УДК 539.3
ББК 30.1
К17
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 02-01-14034
Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамические кон-
контактные задачи для предварительно напряженных полуог-
полуограниченных тел. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 240 с. - ISBN
5-9221-0299-0.
Настоящая работа посвящена поиску закономерностей влияния началь-
начальной деформации среды на динамическое поведение контактирующих с ней
тел и исследованию возможности оценки напряженного состояния среды по
изменению параметров движения тела.
Для инженеров — специалистов в области машиностроения, приборостро-
приборостроения и других отраслей современной техники.
Ил. 77. Библиогр. 253 назв.
Научное издание
КАЛИНЧУК Валерий Владимирович
БЕЛЯНКОВА Татьяна Ивановна
ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ
Редактор Р.А. Бунатян
Оригинал-макет: В. И. Шутов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 16.09.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 15. Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГП «Книжная
фабрика № 1» Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
144003, Московская обл., г. Электросталь, ул. Тевосяна, 25
E-mail: knigist@mail.ru
БВМ 5-9221 ™0299»0
785922 102995
ISBN 5-9221-0299-0
© ФИЗМАТЛИТ, 2002

ВВЕДЕНИЕ
Теория контактного взаимодействия твердых деформируемых тел, на
результатах и выводах которой базируются многие положения современной
теории прочности, является одной из актуальных областей современной
механики, привлекающей пристальное внимание многочисленного отря-
отряда отечественных и зарубежных исследователей. Об этом свидетельствует
большое количество монографий, обобщающих результаты исследований
по статическим E, 37, 42, 55, 80, 81, 93, 97, 109 и др.) и динамическим [11,
13, 38, 39,47, 70, 94, 101,102 и др.] контактным задачам механики твердого
деформируемого тела.
Машиностроение и приборостроение, ультразвуковая дефектоскопия и
акустическая эмиссия, фундаментостроение и сейсмостойкое строитель-
строительство, геофизика и сейсмология, акустоэлектроыика и приборостроение пред-
представляют собой далеко не полный перечень отраслей современной техники,
в которых теория контактного взаимодействия твердых деформируемых тел
со сложными физическими и механическими свойствами играет важную,
а в ряде случаев, определяющую роль.
Фактором, стимулирующим развитие теории и математических методов
исследования смешанных динамических задач теории упругости, является
значительный прогресс, достигнутый в изучении процессов распростра-
распространения волновых полей в средах со сложными свойствами и в разработке
соответствующих экспериментальных методов исследования, что нашло
отражение в многочисленных монографиях как отечественных, так и зару-
зарубежных авторов [29, 33, 34, 44, 51, 54, 56, 57, 70, 89-90, 91, 108, 116, 121,
126, 158, 165, 183].
Исследованию различных аспектов динамики контактного взаимодей-
взаимодействия деформируемых твердых тел посвящены многочисленные публи-
публикации [8-15, 20^28, 31, 35, 36, 38-41, 45, 47, 58, 65^69, 83, 94, 101,
102 и др.].
В большинстве работ краевые и начально-краевые задачи теории упру-
упругости и математической физики сводятся к интегральным уравнениям или
к системам интегральных уравнений, для решения которых развит доста-
достаточно широкий круг как численных методов (вариационно-разностный [13,
45, 46], граничных элементов [31,41], коллокаций [41] и др.), так и аналити-
аналитических и полу аналитических методов (асимптотические [27], ортогональных
многочленов [101, 102], комплексных потенциалов [17, 18, 52, 55] и др.).

Введение
В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техни-
техники многие исследователи отдают предпочтение численным методам, по-
поскольку они обладают определенной универсальностью и легко поддаются
алгоритмизации и реализации на различных языках программирования.
Однако при исследовании динамики контактного взаимодействия струк-
структурно-неоднородных, в том числе многослойных сред, непосредствен-
непосредственное использование прямых численных методов (вариационно-разностный,
коллокаций, граничных элементов и т.д.) в значительной мере осложнено
осцилляцией ядра интегрального оператора. Это обусловливает необходи-
необходимость разработки специальных, приспособленных для решения интеграль-
интегральных уравнений с осциллирующими ядрами методов.
Высокую эффективность при исследовании динамических смешанных
задач для областей типа слоя или пакета слоев, особенно на высоких ча-
частотах колебаний, показали развитый в ряде работ В.А. Бабешко метод
факторизации [11,38, 39], а также предложенный В.А. Бабешко и развитый
в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной [11, 14, 39] метод фиктив-
фиктивного поглощения. Последний был успешно использован при изучении
контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих ба-
балочных плит и двухмассовых инерционных систем, а также для решения
систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании задач
контактного взаимодействия массивных электродов с электроупругими
средами.
Потребность изучения смешанных задач для областей типа неоднород-
неоднородного полупространства или слоя с переменными свойствами обусловила
необходимость обобщения метода фиктивного поглощения на эти классы
задач. Обобщение метода основано на применении в его рамках численных
процедур, что позволило существенно повысить эффективность самого ме-
метода и расширить класс исследуемых смешанных задач [21,65]. Одно из до-
достоинств такого подхода состоит в том, что применение численных методов
позволяет использовать точное представление символа ядра интегрально-
интегрального уравнения, опустив традиционный для метода фиктивного поглощения
этап аппроксимации с применением громоздких по структуре и допускаю-
допускающих факторизацию функций. Тем самым реализована возможность строить
более точные решения, улавливающие любые незначительные изменения
свойств среды, вызванные как возникновением дефектов в ее структуре,
так и изменением ее напряженного состояния под воздействием силовых
факторов различной природы.
Совершенствование методов расчета деталей и узлов машин и конструк-
конструкций, потребность прогнозирования их ресурсной способности, обуслов-
обусловливают необходимость не только учета начальных напряжений на стадии
проектирования, но и разработки теоретических основ и эксперименталь-
экспериментальных методов контроля их напряженного состояния, оценки величины и
характера начальных напряжений в деталях и элементах конструкций при
эксплуатации.
Самостоятельный интерес представляет проблема разработки принци-
принципиально новых методов неразрушающего контроля, систем мониторинга

Введение
напряженного состояния и ресурсной способности деталей и узлов авиаци-
авиационной и космической техники, выполненных из композиционных матери-
материалов и находящихся в сложных условиях больших, динамических силовых
воздействий. Реализация таких методов может стать основой для созда-
создания эффективных систем обеспечения контроля качества при изготовлении
изделий авиационной и космической техники и систем обеспечения без-
безопасности при их эксплуатации.
Проблема контроля напряженного состояния горных пород, причиной
возникновения которого являются действие гравитационных сил и текто-
тектонические процессы в земной коре и верхней мантии, является актуальной
в геофизике и сейсмологии при разработке методов раннего прогнозирова-
прогнозирования землетрясений и сейсмического мониторинга сейсмоопасных районов.
Особый интерес представляет разработка теоретических основ и создание
экспериментальных методов направленного вибрационного воздействия на
очаги концентрации напряжений в сейсмоопасных районах с целью пре-
преждевременного сброса накопившихся напряжений за счет инициирования
искусственных землетрясений малой интенсивности.
Значительный интерес представляет проблема мониторинга напряжен-
напряженного состояния элементов конструкций энергетических блоков ядерных ре-
реакторов АЭС, находящихся в сложных условиях температурных и силовых
воздействий
Немаловажной представляется проблема учета начальных напряжений
в грунте и подстилающем основании при расчетах фундаментов и конструк-
конструкций ответственного назначения на вибрацию и сейсмостойкость, особенно
в условиях неглубокого залегания коренных пород.
Все вышеизложенное определяет значительный, постоянно возрастаю-
возрастающий интерес отечественных и зарубежных ученых к проблеме изучения
динамики предналряженных тел.
Строгое описание процессов, проистекающих в твердом деформиру-
деформируемом теле при больших (конечных) деформациях представляет сложную
проблему и требует привлечения определяющих соотношений нелинейной
теории упругости [74-76, 88,130,191 и др.] с использованием громоздкого
математического аппарата и мощной вычислительной техники. Сложность
процесса построения решения, проблемы ветвления при неустойчивости
численных алгоритмов, необходимость постоянного контроля их сходимо-
сходимости сопровождают исследование динамических задач в нелинейной поста-
постановке.
В то же время, множество процессов, происходящих в телах, подвер-
подверженных действию начальных напряжений, можно рассматривать в рам-
рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (динамических
возмущений) на конечные деформации (начальное статическое состояние)
в предположении, что возмущения малы. Такой подход позволяет суще-
существенно упростить нелинейную проблему, за счет линеаризации нелиней-
нелинейных уравнений в окрестности статического состояния, и построить в той
или иной мере последовательную линеаризованную теорию динамических
процессов в предварительно напряженном теле. От последовательности

Введение
линеаризации зависит степень адекватности описания влияния начальной
деформации на динамические процессы в преднапряженных средах.
Впервые понятие предварительно напряженного упругого тела ввел Ко-
Копти (A.L. CauchI Sur Feqilibre et le monvement d' une plaque solide. Exerclces
de mathematicue). Отдельные аспекты подхода, основанного на наложении
малых деформаций на конечные, были изложены Фингером (Finger J. Ueber
die allgemelnsten Bezlehungen zwlschen Defonnatlonen und den zugehoerigen
Spannungen in aelotropen und isotropen Substanzen) в 1894 году.
Исследование влияния начальных напряжений, обусловленных воздей-
воздействием гравитационного поля Земли, на скорость релеевских волн пред-
предпринято в 1898 году проф. Бромвичем (T.J. ГА. Bromvlch // On the Influence
of Gravity on Elastic Waves, and, In particular, on the Vibrations of an Elastic
Globe). Систематизированное изложение линеаризованной теории наложе-
наложения малых деформаций на конечные дал A. Love (русский перевод Ляв А.
Математическая теория упругости. ОНТИ, 1927г.). Общие вопросы меха-
механики преднапряженных упругих тел постоянно находили место в исследо-
исследованиях как отечественных, так и зарубежных ученых, что нашло отражение
в многочисленных публикациях [53, 54, 61, 74, 75, 88, 130, 166, 169-171,
173, 176, 191, 234 и др.]. В этих работах реализованы различные подхо-
подходы к линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Построены
различные варианты теории наложения малых деформаций на конечные де-
деформации, в той или иной мере адекватно учитывающие особенности дина-
динамических процессов, проистекающих в реальных, подверженных большим
силовым воздействиям, телах.
Вопросам распространения волн в предварительно напряженных неогра-
неограниченных телах посвящено большое количество работ отечественных и за-
зарубежных авторов. Основное внимание уделено исследованию закономер-
закономерностей распространения объемных волн [50, 53, 54, 63, 64, 73, 79, 92, 98,
103-107, ПО, 111, 116, 119, 120, 126-129, 134-137, 145, 151-155, 157-
159, 164-170, 174, 179, 180, 183-188, 192-198,201-210,212-214,218,
220-232, 235-239, 241, 243, 248, 251 и др.], на основе которых возможна
разработка экспериментальных, основанных на использовании закономер-
закономерностей распространения проходящих или отраженных волн, методов оцен-
оценки напряженного состояния деталей и узлов конструкций, находящихся
в условиях воздействия силовых факторов различной природы. Ряд выяв-
выявленных закономерностей явились основой для разработки эксперименталь-
экспериментальных методов и инстументального оборудования для определения упругих
констант третьего порядка различных конструкционных материалов [98,
103-106, 111, 136, 139, 215, 221, 228, 229, 231, 252 и др.].
Другим направлением, привлекающим пристальное внимание исследо-
исследователей, является исследование закономерностей распространения волн на
поверхности предварительно напряженных тел. Это вызвано тем, что часто
условия или геометрические размеры исследуемых объектов, их располо-
расположение не позволяют применять методы контроля начального напряженно-
напряженного состояния, основанные на использовании проходящих или отраженных
упругих волн.

Введение
Несмотря на то, что проблема регистрации особенностей и выявление
закономерностей распространения волн на поверхности предварительно
напряженных тел является более сложной и более трудно реализуемой экс-
экспериментально, она представляет значительный интерес для разработки
методов оценки напряженного состояния контролируемых объектов. Осо-
Особенности распространения поверхностных волн в предварительно напря-
напряженных телах при различных видах начального напряженного состояния
исследовались в'[7,'53, 54, 79, 120, 137, 145, 146, 149, 161, 163, 164, 171,
172, 175, 181, 211, 219, 240-248 и др.].
Необходимо отметить, что волновые процессы в подавляющем боль-
большинстве работ рассматриваются без учета источников колебаний. В этом
плане исключение составляют работы А.Н. Гузя и его учеников СЮ. Ба-
Бабича, Ф.Г. Махорта и В.Б. Рудницкого [17, 18, 52-55], в которых рассмо-
трены плоские динамические задачи о движении нагрузки для упругих
сжимаемых и несжимаемых тел с начальными напряжениями. В предполо-
предположении постоянства скорости движения нагрузки исходные динамические
задачи допускают преобразование к стационарным задачам в подвижной
системе координат, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью.
Существенную роль в этих, исследованиях играло предположение об одно-
однородности начального напряженного состояния, что позволяло использовать
хорошо развитую теорию комплексных потенциалов.
Более общие виды преднапряжений, а также более сложные модели (в том
числе физически нелинейные материалы) среды использовались при исследо-
исследовании статических контактных задач в работах В.М. Александрова, Н.Х. Ару-
тюняна и их учеников: СР. Брудного, И.В. Воротынцевой, В.Б. Зеленцова,
Е.В. Коваленко, B.C. Порошина, Л.М. Филлштовой [3, 4, 6, 59, 117, 118].
Динамические контактные задачи о вибрации жестких штампов для
преднапряженных, как однородных, так и для неоднородных сред рас-
рассматривались в работах И.В. Ананьева, В.А. Бабешко, Т.И. Белянковой,
И.В. Лысенко, И.Б. Поляковой и автора [8,9,23-26,66-69]. Проблемы кон™
тактного взаимодействия массивных тел или систем с преднапряженными
полуограниченными средами рассматривались в работах Т.И. Белянковой
и автора [24, 25].
Значительный интерес как для технических приложений (снижение
риска возникновения нежелательных резонансов в конструкциях), так и
для фундаментостроения и сейсмостойкого строительства (выработка ком-
комплексов защитных инженерных мероприятий по снижению опасных сей-
сейсмических воздействий на здания и сооружения) представляет пробле-
проблема резонансного взаимодействия ограниченных и полуограниченных тел.
В частности, большой интерес вызывают низкочастотные [13, 20, 22, 35,
36, 38-41] и высокочастотные «изолированные» резонансы [10, 11, 15],
поскольку они оказывают значительное влияние на прочностные характе-
характеристики контактирующих тел.
Исследования показывают, что резонансы могут играть важную роль
при разработке принципов и методов неразрушающего контроля и монито-
мониторинга напряженного состояния и ресурсной способности узлов конструкций,

Введение
находящихся в условиях больших статических и динамических воздействий.
В монографии дано систематическое изложение постановки и методов
решения динамических смешанных задач для предварительно напряжен-
напряженных тел. Особое внимание уделено постановочной части проблемы контакт-
контактного взаимодействия преднапряженных тел с учетом того обстоятельства,
что литература в данной области почти отсутствует.
Приведен большой объем сведений справочного характера, который по
мнению авторов позволит читателю при необходимости самостоятельно
провести соответствующие выкладки и построить решение линеаризован-
линеаризованных задач в той или иной системе координат с привлечением соответству-
соответствующих, законов состояния среды. Метод изложения с использованием «пря-
«прямых» обозначений тензорных и векторных величин позволяет без особых
затруднений путем введения соответствующих, базисных векторов пере-
перенести приведенные в монографии результаты в новую систему координат
(цилиндрические, сферические и т.д.). Приведенные в монографии форму-
формулы в максимальной степени приспособлены для программной реализации.
Монография содержит следующие основные результаты:
1)	изучен новый класс задач о динамическом контактном взаимодей-
взаимодействии массивных тел, механических инерционных систем с преднапряжеы-
ными упругими полуограниченными средами;
2)	развиты эффективные методы решения интегральных уравнений
и систем первого рода, возникающих при исследовании задач для сред ти-
типа полупространства, слоистого полупространства, среды с переменными
свойствами. В том числе:
—	получил обобщение метод факторизации применительно к инте-
интегральным уравнениям, символы ядер которых имеют одну или две точки
ветвления на вещественной оси;
—	получил обобщение метод фиктивного поглощения на класс дина-
динамических, контактных, задач для слоисто неоднородного полупространства.
Обобщение основано на использовании численных методов решения инте-
интегральных уравнений и систем;
3)	изучен широкий круг конкретных задач о динамическом контактном
взаимодействии массивных тел, инерционных систем с полуограниченны-
полуограниченными неоднородными, преднапряженными гиперупругими средами;
4)	построены новые решения интегральных уравнений динамических
контактных задач для однородного полупространства, символы ядер кото-
которых, имеют одну или две точки ветвления на вещественной оси;
5)	изучена взаимосвязь спектральных свойств краевой задачи со струк-
структурой поверхностного волнового поля и динамической жесткостью среды;
6)	изучено влияния характера изменения свойств среды на структуру
поверхностного волнового поля и динамическую жесткость среды;
7)	изучены закономерности влияния условий контакта между слоями
в двухслойной среде на динамику массивного штампа;
8)	исследованы условия возникновения неограниченных низкочастот-
низкочастотных резонансов при контактном взаимодействии двухмассовой стержневой
системы с полуограниченной средой;

Введение
9)	доказана теорема, устанавливающая резонансные свойства двухмас-
совой инерционной системы со стержневым упругим элементом, контакти-
контактирующей с полуограниченной средой;
10)	изучено влияние начального напряженного состояния различных
полуограниченных тел на динамику контактирующих с ними массивных
тел и двухмассовых инерционных систем.
Единственность решения рассматриваемых в настоящей монографии
смешанных краевых задач динамической теории упругости и математиче-
математической физики и связанных с ними интегральных уравнений и систем, обес-
обеспечивается применением принципов излучения, которые сформулированы
в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича [11, 38], И.Н. Векуа [32], А. Зом-
мерфельда [60], В.Д. Купрадзе [72], Л.И. Мандельштама [77], А.Г. Свешни-
Свешникова [100], А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [112] и др.
Вопросы однозначной разрешимости аналогичных рассматриваемым в
работе интегральных уравнений и систем, детально изложены в публикаци-
публикациях и монографиях В.А. Бабешко и И.И. Воровича [11, 39 и др.]. Они тесно
смыкаются с вопросами поверхностной и внутренней устойчивости среды,
которые изучались в работах А.И. Лурье, А.Н. Гузя, Л.М. Зубова и др. [54,
61-63,74,75].
Цель настоящей работы — поиск закономерностей влияния начальной
деформации среды на динамическое поведение контактирующих с ней тел,
исследование возможности проводить оценку напряженного состояния сре-
среды по изменению тех или иных параметров движения тела.
В связи с этим полагается, что диапазон изменения начальных напряже-
напряжений значительно меньше критических значений, которые могут привести
к потере устойчивости среды.
При таком предположении доказательства теорем существования и един-
единственности решения интегральных уравнений и систем ничем не отличаются
от доказательств теорем существования и единственности решений ин-
интегральных уравнений и систем в отсутствие преднапряжений, представ-
представленных в многочисленных публикациях и монографиях В.А. Бабешко и
И.И. Воровича, и здесь не приводятся. В настоящей работе лишь отме-
отмечены свойства символов ядер интегральных уравнений и систем, наличие
которых обусловливает однозначную разрешимость.
В основу данной работы положены исследования, выполненные авто-
авторами в рамках выполнения исследовательских грантов 95-0-4.3-158 КЦФЕ
при СПбГУ, 95-01-00580 РФФИ, 98-01-00401 РФФИ, 99-01-01015 РФФИ.
Авторы выражают глубокую благодарность академику РАН В.А. Бабеш-
Бабешко за поддержку и постоянное внимание к работе, Л.М. Зубову за ценные
советы и замечания, высказанные при подготовке рукописи, В.А. Еремееву
за содержательное обсуждение ряда результатов.
С глубокой признательностью авторы хранят память об академике
И.И. Воровиче, личное общение с которым оказало значительное влияние
на возникновение замысла написания этой книги.

ГЛАВА 1
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Исследования, результаты которых представлены в данной монографии,
ограничены моделью сжимаемой среды. По мнению авторов, использова-
использование модели несжимаемого тела существенно обедняет содержание про-
процессов динамического контактного взаимодействия конечных тел и систем
с полуограниченными средами из-за того, что из рассмотрения выводится
целый класс физических процессов — продольные волны, из поля зрения
исчезает важнейший при исследовании динамики неоднородных твердых
деформируемых тел процесс взаимного преобразования различных типов
волн друг в друга.
В монографии остались незатронутыми вопросы как внутренней, так и
поверхностной устойчивости преднапряженных тел. Эти вопросы с исчер-
исчерпывающей степенью полноты изложены в монографиях [54, 55, 61, 74,
75, 88] и др.
Основной задачей, которую ставили перед собой авторы при подготовке
данной книги, была разработка эффективных методов решения интеграль-
интегральных уравнений или систем интегральных уравнений, позволяющих с вы-
высокой точностью учитывать малейшие изменения динамических свойств
среды. Объектом исследования данной монографии является поиск зако-
закономерностей влияния преднапряжений на динамику контактного взаимо-
взаимодействия преднапряженной полуограниченной среды с ограниченными те-
телами. При этом предполагается, что преднапряжения и возникающая при
этом начальная деформация настолько малы, что не могут привести к по-
потере внутренней или поверхностной устойчивости.
В монографии вне поля зрения осталось одно из важнейших для изуче-
изучения вопросов внутренней устойчивости понятий - понятие акустического
тензора. Как уже отмечалось выше, в данной работе рассматриваются лишь
процессы контактного взаимодействия ограниченных тел с полуограничен-
полуограниченными средами и тесно связанные с ними аспекты влияния преднапряжений
на структуру поверхностных волновых полей.
В настоящей главе приводится краткая сводка основных положений, по-
понятий и терминов из нелинейной теории упругости, которые необходимы
при проведении последовательной линеаризации определяющих соотно-
соотношений динамики предварительно напряженных тел в окрестности их неко-
некоторого начального напряженного состояния, а также для цельности и про-
прозрачности изложения линеаризованной теории динамических контактных
задач для предварительно напряженных сред. Сведения носят справочный
характер и не претендуют на полноту и последовательность.
Следуя А.И. Лурье, при изложении мы используем принятые в моно-
монографиях [74, 75] «прямые», не связанные с конкретным векторным бази-
базисом, обозначения тензорных и векторных величин. Применяется правило

1.1. Основные понятия нелинейной теории упругости	11
суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему немым индексам.
Компонентная запись тензорных величин используется при изложении част-
частных случаев и конкретных задач.
Последовательному изложению фундаментальных аспектов нелиней-
нелинейной теории упругости, в которых приведены достаточно полные обзоры
работ отечественных и зарубежных авторов в области нелинейной меха-
механики сплошной среды, посвящены монографии [54, 55, 57, 61, 74, 75, 88,
116] и др.
1.1. Основные понятия нелинейной теории упругости
В нелинейной теории упругости, в отличие от классической (линейной)
теории упругости, большое значение имеет выбор конфигурации, в которой
может находиться тело. Различие конфигураций проявляется в различных
формах определения базисных векторов и обусловливает множественность
форм представления тензорных и векторных величин, участвующих в опи-
описании деформации и напряженного состояния тела.
Отсчетной (естественной, натуральной) конфигурацией [75] (далее v-
конфигурация) называется конфигурация тела или среды до действия по-
поверхностных и массовых сил.
Актуальной (текущей) конфигурацией (далее V-конфигурация) назы-
называется возмущенная конфигурация тела или среды, вызванная действием
поверхностных или массовых сил.
1.1.1. Системы координат Лагранжа и Эйлера. В рассмотрение вво-
вводится система материальных координат [74,75]. С этой целью каждой точке
сплошной среды в некоторой фиксированной ее конфигурации ставится в
соответствие тройка чисел q1, g2, q3 — номер, который для этой точки
останется неизменным в процессе деформирования.
Место материальной точки в этой конфигурации (далее отсчетной кон-
конфигурации) задается радиус-вектором
r = T{q\q2,q3).	A.1.1)
Положение этой же точки в текущей конфигурации — в процессе де-
деформирования среды определяется радиус-вектором
n = H(q1,q2,q3,t).	A.1.2)
Функции г и R предполагаются непрерывными и дифференцируемыми
необходимое число раз.
Координаты qk в общем случае являются криволинейными (сфериче-
(сферическими, цилиндрическими и т. п.), векторный базис не конкретизируется, что
в сочетании с используемыми «прямыми» обозначениями тензоров опре-
определяет общий характер приводимых результатов и дает возможность при-
применить получаемые формулы при исследовании тел цилиндрической или
сферической формы.

12	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
Любую функцию материальных координат и времени (тензор, вектор
или скаляр) $(gi, cfe, Ш, t), характеризующую напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние среды или участвующую в его описании, можно представить,
вследствие взаимной однозначности отображений A.1.1) м A.1.2) либо в ба-
базисе отсчетной конфигурации
) = *(Г, t),	A.1.3)
либо в базисе текущей конфигурации
).	A.1.4)
Представление A.1.3) принято называть материальным или представле-
представлением Лагранжа, представление A.1.4) — пространственным или представ-
представлением Эйлера. Однако эти названия (Лагранжа и Эйлера) не оправданы
исторически, поскольку, как отмечал Терстон [116] ссылаясь на Лэмба,
"Эйлер раньше Лагранжа использовал оба вида представлений".
Замечание 1.1.1. Далее в работе будет использоваться исключитель-
исключительно материальное описание процессов, но в различных системах координат.
Представление A.1.3) будем связывать с некоторой отсчетной, в боль-
большинстве случаев естественной (натуральной) конфигурацией, за которым
сохраняется название «представление Лагранжа».
Представление A.1.4) будем связывать с некоторой фиксированной, все-
всегда отличной от натуральной начально-деформированной конфигурацией.
Именно в этом смысле, для различения представлений A.1.3) и A.1.4),
за вторым представлением в данной книге закрепляется название «пред-
«представление Эйлера» с соответствующими им «координатам Эйлера».
1.1.2. Исходный и взаимный базисы. В общем случае координаты qk
являются криволинейными (например, сферическими или цилиндрически-
цилиндрическими) с векторным базисом, который в отсчетной конфигурации образуется
тройкой некомпланарных векторов
в актуальной конфигурации — векторами
Представления A.1.5) и A.1.6) определяют основной (исходный) век-
векторный базис в отсчетной (г^) ив актуальной (R&) конфигурациях. По
векторам A.1.5) и A.1.6) строятся взаимные векторные базисы в v- и V-
конфигурациях:
1	1	2 1	3 1
г =-г2хг3, г = -г3хгь r = -rixr2,
v	v	v	A.1.7)
R1 = - R2 x R3, R2 = -R3xRb R3 = - Rx x R2,
V	V	V

1.1. Основные понятия нелинейной теории упругости	13
где
v = п • (г2 х г3) = г2 • (г3 х п) = г3 • (ri х г2),
V = Hi • (R2 x R3) = R2 • (R3 x Ri) = R3 • (Ri x R2). ( ° ° }
Формулы A.1.8) определяют объемы параллелепипедов, построенных на
векторах основных базисов, в соответствующих конфигурациях.
Справедливы формулы обращения, которые позволяют выразить векто-
векторы основного базиса через векторы взаимного:
гг = у г2 х г3, г2 = vr3 х г1, г3 = vr1 х г2,
Ri = VB2 х R35 R2 = FR3 x R1, R3 = FR1xR2.
Использование векторов основного и взаимного базисов в отсчетной и акту-
актуальной конфигурациях обуславливает многообразие форм представлений:
-	произвольного вектора:
а = а°ктк = актк = акПк = акПк,	A.1.10)
-	единичного (метрического) тензора 11 ранга:
Е = дкптктп = дкптктп = vkvk = vkvk,
Е ^ Ст xV?xvn ^ Gr^nR. За. ^ За. За.^ ^ За.Д;За.
^ За.Д;З
- изотропных тензоров IV ранга [74, 75]:
r,rfcrnr", Сц = г*г„г*гп,
A.1.12)
	 ТО ID TD^ID^	f^ 	 ID ID TDnTQ^
II — **'k**"n**' ^ •)	^III — -t^A;-t^n-^ " •
Компонентами метрических (единичных)тензоров в представлениях A.1.11)
являются скалярные произведения соответствующих, векторов:
9ы = гк-гп,	gkn = Tk.Tn
кп	к	A.1.13)
Gkn = Rfe • Rn? G n = R • Rn.
Справедливы соотношения, связывающие векторы основного и взаим-
взаимного базисов
гк • тп = тп - тк = Шк • Rn = Rn • Rfe = J*,
г к =9кпгп,	тк =дкпгп,
тк.тп=дкп,	тк-тп=дкп1	A.1.14)
	 /~y Tjn	тп> к 	 fikriT^
к — Ь-^ПИ ,	±1 — ijr ±tn,
RIO 	 /~t	TD^TD^ 	 fikn
к • tin — ^km ±V • ±t — Lr 5
где JJ? — символ Кронекера.

14	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
1.1.3. Набла-оператор. В отсчетной v-конфигурации набла-оператор
дится формулой (здесь и далее индекс «О» соответствует отсчетной кон-
конурации):
вводится ф
фигурации)
V0a = r*!?-.	A.1.15)
oqk	oqk
В V-конфигурации:
V = R*^-, Va = R*|^.	A.1.16)
Справедливы соотношения связи между набла-операторами
(...) = VoR-V(...),
V(...)=Vr-V0(...),	U '
а также отличные от выражений A.1.11) представления единичного тензора
в v- и V-конфигурациях
Е = VR = ШкШк ,
A.1.18)
Е = Vor = TkTk.
1.1.4. Декартовы координаты Лагранжа и Эйлера. Зададимся неко-
торой декартовой, единой для всех последующих конфигураций тела, си-
системой координат ОХ1Х2Х3 с ортонормированным базисом Ii, I2, 1з-
Радиус-векторы, определяющие в осях ОХ1Х2Х3 место материальной
точки в определенных выше конфигурациях, представляются в виде
Если в качестве материальных координат точки q k принять ее декартовы
координаты а к в v-конфигурации, то место точки в отсчетной и актуальной
конфигурациях будут определять векторы
г = lkak, R = \кХк (а1, а2, а3, t) .	A.1.20)
Формулами A.1.20) определяется материальное описание (Лагранжа)
процессов деформирования в декартовых (материальных) координа-
координатах а1, а2, а3.
Если отождествить материальные координаты точки q k с ее декартовы-
декартовыми координатами X к в V-конфигурации, то положение точки в отсчетной
и актуальной конфигурациях будут характеризовать векторы
г = ikak (Х\ X2, X3) , R = ikXk.	A.1.21)
Формулами A.1.21) определяется пространственное описание процес-
процессов деформирования (Эйлера) в декартовых (пространственных) координа-
тахХ\Х2,Х3 [74,75].

1.2. Описание кинематики сплошной среды	15
Представления векторов основного A.1.5), A.1.6) и взаимного A.1.7),
A.1.8) базисов в декартовой системе координат имеют вид
Tk = -lm^— = -lk	B.k=im^l=ik	(U22)
т dqk	'	m dqk
rfe=jm ^_=jfc	Rfc _ »m 4 _ ^	A.1.23)
Qam	QXm
Различия между векторами \т и \т нет. Эти обозначения применяются
исключительно для удобства с целью сохранения правила суммирования
по немым верхним и нижним индексам.
1.2. Описание кинематики сплошной среды
Пусть точка среды, положение которой до деформации задается радиус
вектором г, после деформации занимает новое положение, которое описы-
описывается радиус-вектором
R = r + u.	A.2.1)
Здесь и — вектор смещения точки среды.
1.2.1. Градиент места. Основными тензорами, характеризующими ки-
кинематику сплошной среды в нелинейной теории упругости, являются гра-
градиенты места
-	в v-конфигурации
C = V0R,	A-2.2)
-	в V-конфигурации
C-^Vr.	A.2.3)
В соответствии с определениями базисных векторов и набла-операторов
в отсчетной и актуальной конфигурациях градиенты места в общем случае
имеют представления
Справедливы формулы, устанавливающие связь между дифференциа-
дифференциалами векторов в различных конфигурациях:
dR = dr - VqR = VqRT • dr,
dr = dU ¦ Vr = VrT • dR.
Компонентное представление градиентов деформации в декартовой си-
системе координат имеет вид
C = i*i.^, С- = Л8|^.	A.2.6)
дак	дХк

16	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
1.2.2. Меры деформации. Деформация сплошной среды определяется
выражениями:
--в отсчетной конфигурации
dr =j0 |dr| = j
- в актуальной конфигурации
Здесь jo и j — единичные векторы, задающие направления векторов в рас-
рассматриваемых конфигурациях, ds, dS — их длина. В качестве характери-
характеристики (меры) деформации) выступают выражения
ds2=dr •dr = d'R- Vor • VorT • d~R = dU • g - dU = dS2j - g - j,
dS2 = dU - dK = dr-VoR-VoRT-dr = dr-G-dr = ds2jo-G-jo.
В представлениях A.2.7), введены:
-	тензор меры деформации Коши-Грина [75], определенный в векторном
базисе отсчетной конфигурации
G = С • Ст = rkUk • Knrn = Gknrkrn,	A.2.8)
-	тензор меры деформации Альманзи [75], определенный в векторном ба-
базисе V-конфигурации
g = G = С ¦ С"т = R*rfc ¦ г„Н" = ^„RftR".	A.2.9)
В приложениях часто используется мера деформации Фингера [75] —
тензор обратный тензору меры деформации Альманзи
F = Ст • С = Kkrk • rnRn = gknTLkTLn.	A.2.10)
Из представлений A.2.8) и A.2.10) видно, что главные значения тензоров
меры деформации Коши и меры деформации Фингера равны, главные на-
направления тензоров мер деформации Альманзи и Фингера в декартовой
системе координат совпадают.
Геометрический смысл тензоров меры деформации. Обозначим
главные направления и значения мер деформации Коши-Грина, Альман-
Альманзи и Фингера соответственно jOje и j^, Gk и gk, т. е.
G = GJoijoi + G2J02J02 + G3J03J03,
+ 5p2J2J2 +^3J3J3,	A.2.11)
+ G2J2J2 + G3J3J3.
Величина
/G^ = vk = 1^5k	A.2.12)
sJk

1.2. Описание кинематики сплошной среды	17
представляет собой длину единичного отрезка, ориентированного до де-
деформации по главному направлению jo^ меры Коши-Грина; Аналогично,
величина
\ ^1 + ^=^1 = A + 4Г1	A.2.13)
j k
представляет собой длину единичного отрезка, ориентированного в акту-
актуальной конфигурации по главному направлению j& меры Альманзи, кото-
которую он имел до воздействия поверхностных и массовых сил.
Здесь Sk и Ak — главные относительные удлинения в отсчетной и в ак-
актуальной конфигурациях.
Обозначим объем тела, ограничивающую его поверхность и плотность
в V-конфигурации соответственно F, О, р , а в v- конфигурации соответ-
соответственно V, О, pQ.
В соответствии с законом сохранения массы имеет место соотношение
A.2.14)
G , , ^ , 1
где коэффициент — = det G = det g называется метрическим множи-
9
телем.
1.2.3. Тензоры деформации. По приведенным выше мерам деформа-
деформации Коши-Грина G и Альманзи g определяются:
-	тензор деформации Коши-Грина
S = 1/2(G-E),	A.2.15)
-	тензор деформации Альманзи
A = l/2(E-g),	A.2.16)
где Е — единичный тензор, определенный в соответствующей конфигура-
конфигурации формулами A.11) или A.18).
С учетом представления A.2.1) тензоры деформации A.2.15) и A.2.16)
можно переписать в виде
S = \ [V0(r+u) ¦ Vjf(r+u)-Е] = ^ [Vou+V^u] + iVou ¦ V^u,
A=i [E-V(R-u)- VT(R-u)]=i [Vu+VTu] -^Vu • VTu.
A.2.17)
В компонентном представлении с учетом выражений A.11) тензоры дефор-
деформации имеют вид
S = l/2(Gs,-9s,)r-r<
)R'R»

18	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
1.2.4. Инварианты мер деформации. Справедливы соотношения меж-
между инвариантами мер деформации Коши-Грина и Фингера:
/i(G) = Ji(F) = Gi + G2 + G3 = 9knGkn,
/2(G) = J2(F) = dG2 + G2G3 + Gsd = h(G)gknGkn, A 219)
/(F) GGG
3() 123
Для инвариантов меры деформации Альманзи имеют место формулы
/2(g)=/2(G ) = — + — + — = —= -g Gkn,
A.2.20)
1.2.5. Связь инвариантов тензоров деформации и мер деформации.
Инварианты тензоров деформации и меры деформации Коши-Грина связа-
связаны формулами
- 2Ji(G) + 3),	A.2.21)
Обратные соотношения имеют вид
Ji(G) = 2Ji(S)+3,
/2(G) = 4/2(S) + 4Ti(S) + 3,	A.2.22)
/3(G) = 1 + 2/!(S) + 4/2(S) + 8/3(S).
Инварианты тензоров деформации и меры деформации Альманзи связаны
формулами
h (А) = \ [3 - h (g)],
h (A) = J [I2 (g) - 2Д (g) + 3],	A.2.23)
/3 (A) = \ [-I3 (g) + h (g) - h (g) + 1] •
Обратные соотношения имеют вид
h (g) = 3 - 2Д (А),
h (g) = 3 - 4h (A) + AI2 (A),	A.2.24)
/3 (g) = 1 - 2Д (A) + 4/2 (A) - 8/3 (A).

1.3. Описание напряженного состояния сплошной среды	19
1.3. Описание напряженного состояния сплошной среды
Как уже отмечалось, нелинейная теория упругости отличается от линей-
линейной тем, что напряженное состояние в среде можно определять различны-
различными тензорами, которые различаются между собой как по заданию базисных
векторов той или иной конфигурации, так и параметрами ориентированной
площадки, на которой они определяют вектор напряжений.
1.3.1.	Тензор напряжений Коши. Основным тензором (тензором «ис-
«истинных» напряжений), который описывает напряженное состояние среды
в актуальной конфигурации, является симметричный тензор напряжений
Коши Т. Механический смысл этого тензора состоит в том, что с помощью
формулы Коши
tN = N-T	A.3.1)
восстанавливается вектор напряжений tN, действующий по площадке с
нормалью N и определяющий усилие, действующее на эту площадку.
Описание напряженного состояния с помощью тензора Коши Т яв-
является естественным и физически наглядным, поскольку в его определе-
определении используются реальные величины в актуальной конфигурации. Однако
в нелинейной теории упругости зачастую сама актуальная конфигурация
является предметом исследования и требует определения, в то время как
отсчетная конфигурация является заданной.
1.3.2.	Тензор напряжений Пиола. Проблема определения напряжен-
напряженного состояния среды существенно упрощается введением тензора Пиола
П [54, 61, 75], определенного в отсчетной конфигурации и связанного с
тензором Коши соотношением
П = «7СГТ-Т.	A.3.2)
Тензор Пиола П, именуемый иногда «квазитензором механических, на-
напряжений», в отличие от тензора Коши является несимметричным тензо-
тензором. Механический смысл тензора Пиола состоит в том, что в исходном
соотношении A.3.1), определяющем напряжение на ориентированной пло-
площадке в актуальной конфигурации, ориентированная площадка N dO заме-
заменяется ее представлением ndo в отсчетной конфигурации:
N • TdO = Jn • С • Tdo = n ¦ Udo.	A33)
Тензор Пиола, являясь «квазитензором механических напряжений»,
лишь опосредованно определяет напряженное состояние среды.
Каждый раз, решив задачу и определив тензор П, для восстановления
истинной картины напряженного состояния тела необходимо, используя
связь между тензорами Пиола и Коши, вернуться к тензору Коши.
1.3.3.	Тензор напряжений Кирхгофа. В ряде работ при исследова-
исследовании напряженного состояния нелинейно-упругого тела вводится тензор

20	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
напряжений Кирхгофа [61] («тензор обобщенных напряжений» [54], «энер-
«энергетический тензор»[74, 75]), который также как и тензор Пиола является
"квазитензором механических напряжений"
К = П-СГ1.	A.3.4)
В отличие от тензора Пиола, тензор напряжений Кирхгофа является
симметричным и связан с тензором Коши соотношением
К = JCT^T-Cr1.	A.3.5)
Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются
удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-
определяющими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда
требует возвращения к «истинному» тензору напряжений Коши. С другой
стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной
теории упругости при построении определяющих соотношений, в частно-
частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имею-
имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору
градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина.
1.4. Уравнения состояния нелинейно упругих сред
Далее будем рассматривать среды, имеющие упругий потенциал, — ска-
скалярную функцию градиента места частицы в деформированном состоянии,
тензора деформации или одной из мер деформации, описывающую потен™
циальную энергию, накапливаемую телом в процессе нагружения. Суще-
Существование множества различных форм уравнений состояния определяется
как возможностью представления потенциальной энергии в виде скалярной
функции одной из мер деформации или одного из тензоров деформации,
так и множественностью определения напряженного состояния одним из
тензоров напряжений.
Представление упругого потенциала как скалярной функции градиента
места частицы в деформированном состоянии х — х(С) является наиболее
простым, так как позволяет определить тензор Пиола П как производную
функции х по тензорному аргументу С и записать закон состояния матери-
материала среды в виде
и=Ш=хс-	(ыл)
Представление упругого потенциала в виде скалярной функции меры де-
деформации Коши—Грина х = x(G) дает возможность представить тензор
Пиола в виде производной функции х по мере деформации. В этом случае
закон состояния материала среды имеет вид
П = 2||-С = 2хс-С.	A.4.2)
Использование представления упругого потенциала как скалярной функ-
функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) позволяет представить

1.5. Закон состояния изотропного тела	21
тензор П через производную функции \ по тензору деформации. Закон
состояния принимает вид
n = xs*C.	A.4.3)
Представление упругого потенциала как скалярной функции тензора
деформации Коши-Грина х — x(S) используется для определения тензора
Кирхгофа К (энергетического тензора), поскольку он сопряжен тензору
деформации Коши-Грина S. Закон состояния с использованием тензора
Кирхгофа имеет вид
K = xs = |.	A.4.4)
В выражениях A.4.1)—A.4.4) предполагается, что скалярная функция
является функцией всех компонент конкретного тензора, от которого она
зависит. Такая зависимость определяет самый общий случай анизотропного
тела. Например, для тензора меры деформации G имеет место представ™
ление с шестью независимыми переменными, которые не связаны между
собой:
.	AA5)
В случае ортотропного материала количество независимых переменных
уменьшается до шести, но появляется связь:
X = x(Gn, G22, G33, G\2, G223, G231, J3(G)).	A.4.6)
В трансверсально изотропном материале потенциал представляется в виде
X = x(h(G), /2(G), /3(G), /4(G), /5(G)).	A.4.7)
Здесь I\ (G, /2G/3 (G) —инварианты тензора меры деформации,
/4(G)=c-G-c, I5(G) =c-G2-с,	A.4.8)
где с — ось трансверсальной анизотропии.
В изотропном материале представление потенциала значительно упро-
упрощается:
A.4.9)
1.5. Закон состояния изотропного тела
В формулах A.4.1)—A.4.4) функция х в общем случае анизотропной
среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент
одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места.
В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция
инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие ин-
инварианты и каких, тензоров используются в представлении потенциальной
энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой
среды.

22	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
1.5.1. Закон состояния Фингера. Будем полагать, что потенциальная
энергия деформации определена как функция инвариантов меры деформа-
деформации Коши—Грина G или, что равносильно, как функция инвариантов меры
деформации Фингера F [75, 160]
X = x(Ji(F),J2(F),J3(F)).	A.5.1)
В этом случае используется тензор напряжений Коши и уравнение состоя-
состояния нелинейно-упругой среды имеет вид
T = 2J-1F-XF.	A.5.2)
При вычисления производной потенциала по мере деформации Фингера ис-
используется переход к дифференцированию потенциала по ее инвариантам:
и формулы дифференцирования инвариантов:
/i(F)P=E,
/2(F)p = E/i(F)-F,	A.5.4)
/3(F)F=/3(F)F-1.
В формулах A.5.4) учтено, что мера деформации является симметрич-
симметричным тензором. Внося выражения A.5.3) и A.5.4) в представление A.5.2),
придем к часто используемому в литературе закону состояния в форме
Фингера [74, 75]
Т = 2J~1(^0E + ^F + ф2?2),	A.5.5)
где
1.5.2. Представление через алгебраические инварианты тензора де-
деформации Коши. Часто закон состояния изотропной среды представляет-
представляется в виде функции алгебраических инвариантов [54] — первых инвариантов
степеней тензора деформации Коши-Грина S:
X = x(/i(S),/1(S2),/1(S3)).	A.5.7)
В этом случае закон состояния представляется либо в виде A.4.3) с ис-
использованием тензора Пиола, либо в виде A.4.4) с использованием тензора
Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной ска-
скалярной функции по тензору деформации используется переход от диффе-
дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым
инвариантам степеней тензора деформации [75]:
!k^*	(L5-8)
с учетом представления их производных [75]:
Ji(S)s=E,
/!(S2)S = 2S,	A.5.9)
/!(S3)S=3S2.

1.5. Закон состояния изотропного тела	23
При записи формул A.5.9) учтено, что тензор деформации является сим™
метричным. Закон состояния гиперупругого тела при использовании функ-
функции, определяющей потенциальную энергию в виде A.5.7), представляется
выражением
К = 7оЕ + 7i S + 72S2,	A.5.10)
где
дх	2дХ	ЗдХ
70 dh(Sy 7l 9/i(S2M Ъ 9/i(S3)*	{ }
1.5.3. Представление через инварианты меры Альманзи. В ряде ра-
работ потенциальная энергия деформации упругого тела определяется как
скалярная функция инвариантов меры деформации Альманзи [74, 75]
X = x(/i(g),/2(g),/3(g))-	A-5.12)
Соответствующее этому выражению уравнение состояния среды предста-
представляется в форме
T = -2J-1g-Xg.	A.5.13)
В приложениях вместо дифференцирования по мере деформации Альманзи
используется переход к дифференцированию по ее инвариантам [75]:
х' = ашш"	AЛ4)
где
A(g)g=E,
I2(g)g=EI1(g)-g,	A.5.15)
Закон состояния A.5.13) после внесения в него представлений для произ-
производных A.5.14) и A.5.15) принимает вид
T = 2J-1(^E + ^g + ^g2)	A-5.16)
Участвующие в представлении A.5.16) коэффициенты при использовании
обозначений I'k = Ik (g) представляются в виде
*щ-щ>	A-5Л7)
1.5.4. Представление по степеним меры Коши-Грина. Представле-
Представление потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры
деформации Коши-Грина
X = x(/i(G),/2(G),/3(G))	A.5.18)
позволяет в общем случае анизотропного тела определить закон состояния
с использованием тензора Пиола в виде A.4.2). Внося выражение A.5.1)

24	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
в представление A.4.2) и используя формулы перехода A.5.2), A.5.3),
нетрудно получить представление закона состояния в виде
П = 2(^0G^ + ^Е + t/j2G) • С,	A.5.19)
где коэффициенты фъ определены формулами A.3.14).
Использование теоремы Гамильтона-Кэлли [74, 75] позволяет предста-
представить закон состояния по положительным степеням меры деформации в виде
П = 2(<р0Е + <piG + if2G2) - С	A.5.20)
с коэффициентами
dh dh dl3
Представление A.5.1) потенциальной энергии деформации как функ-
функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно
и то же) и использование связи A.3.4) между тензорами Пиола и Кирхго-
Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа:
К = 2А /l^oG + ^iE + ^2G),	A.5.22)
V С
где коэффициенты фк определены формулами A.5.6). Применение Теоремы
Гамильтона-Кэлли дает возможность преобразовать это выражение к виду
A.5.23)
где коэффициенты cpk определены формулами A.5.21).
1.6. Потенциальная энергия деформации
Для изотропных материалов упругий потенциал представляется в виде
скалярной функции от инвариантов одного из тензоров меры деформации
или тензора деформации.
1.6.1. Материал Синьорини. Одним из наиболее простых квадратич-
квадратичных законов представления потенциальной энергии является трехконстант-
ный закон Синьорини [74,75], при котором потенциал представляется в ви-
виде скалярной функции от инвариантов меры деформации Альманзи:
X = \М [2c(I2 (g) + 1) + (Л + М - |) (If (g) + 3) -
- 2 (ЗА + ii - |) (h (g) - 1)] -(/*+!)¦ A-6.1)

1.6. Потенциальная энергия деформации	25
В приложениях часто используется упрощенное представление потен-
потенциал для материала Синьорини в виде скалярной функции от первого ин-
инварианта тензора деформации Альманзи (при с = 0):
] ^ (L6'2)
Используя формулы A.2.23) и A.2.24), связывающие инварианты тензо-
тензора деформации и меры деформации Альманзи, из выражения A.6.2) нетруд-
нетрудно получить представление потенциала для материала Синьорини, выра-
выраженное через инварианты меры деформации Альманзи:
X = \J^ [9А + 5М - 2 (ЗА + М) h (g) + (\ + ц) II (g)] - ». A.6.3)
Применив к выражению A.6.3) соотношения A.2.20), связывающие ин-
инварианты мер деформации Коши-Грина и Альманзи, можно получить пред-
представление потенциала для материала Синьорини, выраженное через инва-
инварианты меры деформации Коши—Грина [75]:
1.6.2. Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотроп-
изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление
упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора де-
деформации Коши-Грина Ik = /fc(S), (к = 1, 2, 3) [191]:
X = -Ph + ^[A + 2fi]li - 2»I+\[l + 2m]lf - 2mhh + nl3. A.6.5)
Часто применяется представление потенциала Мурнагана в другой фор-
форме [74, 75] с заменой инвариантов тензора деформации Коши-Грина на его
алгебраические инварианты [54] — первые инварианты его степеней:
X =
A.6.6)
Ряд исследователей в представлении функции потенциальной энергии
также использует алгебраические инварианты тензора деформации Коши-
Грина, но с другими константами, что приводит к несколько иному пред-
представлению потенциала Мурнагана — так называемому потенциалу «типа
Мурнагана» [54, 55]:
X = -Ph + l[XI21(S)	^	|
A.6.7)
В работе [85] используются также алгебраические инварианты тензо-
тензора деформации Коши-Грина, но константы, в отличие от использованных

26
Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
в представлении A.6.6), имеют другой смысл:
X = -Ph + \xil(S) + /x/i(S2) + i/iJf(S) +
A.6.8)
Перейдя в представлении A.6.5) с помощью формул A.2.21), A.2.22) от
инвариантов тензора деформации Коши к инвариантам меры деформации
Коши-Грина, можно получить выражению потенциальной энергии в виде
Х =
9
21
2J
I (A + 2/х - 31 - 2m)I12(G) + (-2// + 3m - J) J2(G) - шД (G)/2(G) +
- 1)] . A.6.9)
+ i(Z + 2m)/13(G) + |
В работе[57] используется отличная от приведенных выше форма функ-
функции потенциальной энергии типа Мурнагана, в которой не только константы
III порядка, но и основные константы (II порядка) отличаются от использо-
использовавшихся в представлениях A.6.5) — A.6.9):
X = \{К + ^)lf ^ 2/i/2 - (А + 25Ix12 + 1BА + 6В + 2C)lf + AIS.
A.6.10)
Учитывая многообразие используемых в литературе представлений
упругого потенциала Мурнагана, мы публикуем ниже табл. 1.6.1, где
приведены соотношения между парами наиболее часто используемых
основных констант.
Таблица 1.6.1
Л
/i
к
Е
и
Основные пары
Л, /i
Л
/i
fj, (ЗА + 2/i)
A + /i
А
2(A + /i)
К,/i
К
9Kfi
ЗК + р
ЗК-2/i
5Ж + 2/1
»(Е-2ц)
3fj,-E
(i
цЕ
3 C/i - ?7)
?^
I/.E7
A + i/) A - 2i/)
2(l+i/)
3 A - 2i/)
/x, i/
2/i i/
l-2i/
2/i A + i/)
3(l-2i/)
2/i A + i/)
i/
В табл. 1.6.2 приведены соотношения между упругими константами
Мурнагана III порядка, которые наиболее часто втречаются в литературе.

1.6. Потенциальная энергия деформации
27
Таблица 1.6.2
Константы
I
т
п
А
В
С
а
Ь
с
V\
V\
I, га, n [74]
I
m
n
n
m - l/2n
l-m + t/2n
l-m + t/2n
m - l/2n
n
21 - 2m + n
m- l/2n
l/4n
А, В, С [57]
B + C
1/2A + B
A
A
В
С
С
В
А
2G
В
1/4А
а, 6, с [54]
а + 5
Ь + 1/2с
с
с
Ь
а
а
Ь
с
2а
Ь
1/4с
^i, ^2, г/з [85]
1/21/1 +^2
1/2 + 2 г/з
4i/3
4i/3
V2
l/2i/i
l/2i/i
^2
4i/3
г/i
^2
Проведено большое количество экспериментов, которые позволили для
ряда материалов получить значения констант третьего порядка. Результа-
Результаты этих экспериментов, как для металлов и различных конструкционных
материалов, в том числе и для кристаллов, так и для некоторых горных
пород, заимствованные из различных литературных источников, представ-
представлены в табл. 1.6.3 и 1.6.4.
Замечание 1.6.1. Применение упругого потенциала в той или иной
форме определяется спецификой рассматриваемой задачи и используемой
системой координат. Опыт показывает, что в лагранжевой системе коорди-
координат лучше использовать потенциал в виде скалярной функции алгебра-
алгебраических инвариантов тензора деформации Коши. В эйлеровой системе
координат удобнее использовать упругий потенциал, выраженный через
инварианты меры деформации Фингера.
Замечание 1.6.2. Во многих работах зарубежных исследователей
(например [148, 149, 154, 155, 248-251] и др. используется «усеченное»
выражение для функции потенциальной энергии — когда в представлении
потенциальной энергии присутствуют лишь квадратичные члены, а члены
III порядка отброшены.
В ряде работ используется двухконстантный, так называемый «полули-
«полулинейный» материал Джона (материал гармонического типа, гармонический
материал) [176]. Удельная потенциальная энергия деформации для этого
материала представляется в виде традиционной для линейной теории упру-
упругости квадратичной формы с тем отличием, что главные значения линей-
линейного тензора деформации заменены на главные относительные удлинения,

28	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
которые определяются формулами A.2.12):
X = iWi + ё2 + ё3J + 2^E2г + 31 + el)}.	A.6.11)
1.7. Постановка краевой задачи
нелинейной теории упругости
Как следует из вышеизложенного, постановка краевой задачи нелиней-
нелинейной теории упругости существенным образом зависит от используемой
системы координат.
1.7.1. Постановка краевой задачи в координатах Лагранжа. Для
описания большинства процессов, происходящих в твердых телах, пред-
представляется целесообразным использование материальной системы коорди-
координат Лагранжа, что обусловлено возможностью применения относительно
простой формы представления тензора Пиола и других, связанных с ним
функций в отсчетной конфигурации.
В отличие от линейной теории упругости, когда неизвестной величиной
выступает вектор перемещения u = R — г, в нелинейной теории упругости
неизвестной величиной является вектор, определяющий новое положение
точки R.
Краевая задача нелинейной теории упругости описывается уравнения-
уравнениями движения
Vo • П + р0Ъ = p0R	A.7.1)
и граничными условиями на поверхности тела о = о\ + о2
01 : n'n = tn'	A72)
Замыкает постановку задачи закон состояния в виде одного из выра-
выражений A.4.1)—A.4.4). b — вектор массовых сил, действующих в среде.
Участвующий в представлениях A.4.1)—A.4.4) упругий потенциал в об-
общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функ-
функции A.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора
меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных
сред используется представление через инварианты тензора одной из мер
деформации или тензора деформации.
Материал Синьорини. Допустим в качестве материала среды выступа-
выступает материал Синьорини. В этом случае используем представление упругого
потенциала A.6.4) как функцию инвариантов меры Фингера, внесем его
в формулы A.5.6) и применим обозначение для инвариантов меры Коши
Ik = Ik (G). После необходимых преобразований получим закон состояния,
выражающий тензор напряжений Пиола в виде A.5.19).
П = 2(tp0G^ + ^iE + ^2G) • С	A.7.3)

1.7. Постановка краевой задачи нелинейной теории упругости
29
с коэффициентами
1 :
^° ~ 16 ::
фг = -
Г
h	(h
9 А + 5/х + 2 (ЗА + /х) -f- ~~ 3 (Л + ii) if-
h	\h
- (ЗА + /i) + (А + /i) -4
i
A.7.4)
Материал Мурнагана. Допустим, что в качестве среды выбран мате-
материал Мурнагана. Используя представление упругого потенциала через ин-
инварианты меры Коши-Грина (или, что равносильно — меры деформации
Фингера), A.6.9) получим закон состояния в виде A.7.3) но с коэффициен-
коэффициентами
1 т
= \ \{Iv - 3) Л - 2/i + l- (Д - ЗJ + т (Д - /2) - | (h - 1) | ,
1
(Д - 3) + -
A.7.5)
В литературе часто применяется представление A.6.7) потенциала Мур-
Мурнагана по степеням тензора деформации. В этом случае целесообразно ис-
использовать закон состояния в виде A.5.10) с учетом связи A.3.4) между
тензором Кирхгофа и Пиола:
II = GoE + 7iS + 72S2)C.	A.7.6)
В случае использования потенциала типа Мурнагана A.6.7), коэффициенты
в представлении A.7.6) имеют вид
7о = A/1(S) + 6/1(S2) +oif(S),
72 = |-
1.7.2. Постановка краевой задачи в «координатах Эйлера». В неко-
некоторых случаях более удобным является описание процессов в системе ко-
координат, связанной с текущей или актуальной конфигурацией. Преиму-
Преимуществом этого подхода является возможность использования «истинного»
тензора напряжения Коши и других, связанных с этим тензором функций,
заданных в текущей конфигурации.
В строгом смысле, этот подход обусловливает использование простран™
ственной формы (Эйлера) описания процесса. Однако, как уже отмечалось,
в данной книге используется исключительно материальное (Лагранжа) опи-
описание процесса, но относительно различных систем координат, определен-
определенных в разных конфигурациях. В данном разделе используется система коор-
координат, связанная с некоторой фиксированной начально-деформированной

30	Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
конфигурацией, отличной от натуральной. Именно в этом смысле, для раз-
различения постановки краевой задачи нелинейной теории упругости в си-
системе координат, связанной с текущей конфигурацией, в данном разделе
использовано название «Эйлера».
Краевая задача нелинейной теории упругости в эйлеровой системе
координат, связанной с некоторым начальным напряженным состоянием,
описывается уравнениями движения
V-T + pb = pR	A.7.8)
и граничными условиями на поверхности тела О = О\ + О2
mOi
N.T = tN,	A.7.9)
наО2
R = R*.	A.7.10)
Постановку задачи в общем случае упругого анизотропного тела при
пространственной форме описания замыкает закон состояния в виде A.4.2),
который с учетом соотношения A.3.2) можно записать в виде
Т = J^CTxsC.	A.7.11)
По форме от представления A.7.11) мало отличается закон состояния, вы-
выраженный через тензор деформации Коши-Грина
Т = J^C1* -xs-C.
Для изотропных тел наиболее часто используется закон состояния Финге-
ра A.5.5) по степеням меры деформации Фингера (или Коши—Грина, что
равносильно)
T = 2,&VoE + ViF + ^2F2)	A.7.12)
с коэффициентами в виде A.7.4) для материала Синьорини или с коэффи-
коэффициентами в виде A.7.5) для материала Мурнагана.
Иногда, при исследовании задачи в эйлеровой системе координат целе-
целесообразно использовать закон состояния, выраженный через инварианты
меры деформации Альманзи A.5.16)
T = 2J-1(^E + ^g + ^g2)	A.7.13)
с коэффициентами, вид которых устанавливается при подстановке в выра-
выражения A.5.17), используемого в данном конкретном случае представления
потенциальной энергии A.6.1) или A.6.3).

1.7. Постановка краевой задачи нелинейной теории упругости
31
СП
I\D
S
ю
(Й
Н
i
с
о
5
ллы
оз
Й
1
СО
О
1—i
д
S
№
О
н
о
иал
Он
1
д
о
1—1
X
сЗ
Я"
К
к
к
Ff
-Н
СО
ь-
CD
I
-н
00
ь-
Ю
1
-Н
ю
см
со
!
Т8Т
00
CD
-Н
О5
CD
гН
in
ЧЭ
О
;[	t
СМ
см
:535
S
5
со
CD
-н
00
о
+1
±0.75
.005
о
-н
ТО*
о
-н
-н
00
о
-н
со
со
-н
т—1
ю
-н
т—i
см
00
CD*
-н
1—1
1—1
т—1
СП
см
00
см
см
СП
13
0>
X
из
ей
б
СМ
со
!'0Т
со
CD*
-н
±0.65
.005
о
-н
1—1
CD
CD*
-н
-н
00
-6.6
-н
ю
-н
00
см
со*
20±
00
о
-н
CD
in
см
00
см
см
13
o>
X
из
ей
CM
:'0T
см
со
CD*
-н
±0.30
.005
о
-н
1—1
CD
CD*
-н
00
о
сЙ
г—i
СО
-Н
ю
со
см
Т6Т
оо
CD
CD
т—1
СП
00
t	t
см
см
a 138A
13
§
и
CD
Ю
CD
+1
±0.55
.005
о
-H
TO*
о
-H
ц
!
-H
CM
Ю
!
-H
Ю
CO
Ю
!
16±
i^
CD*
-H
°°.
CD
•n
ЧО
о
00
l
CM
CM
a ATV
о
X
a
6
00
CD
+1
6'0T
CO
CD
О
-H
.02
о
-H
~H
-8.0
-H
CM
CO
CO
!
-H
Ю
CM
CO
!
-H
о
00
CD
-H
о
T—1
00
X
»n
СП
5
CO
H
±0.
00
T—i
CD
~H
±0.175
.002
о
-H
002
±0.
-H
00
2
-H
CO
-H
i—i
~H
CO
о
00
CD*
o3
T—1
1—1
in
00
e
CM
s
и
X
о
из
ей
со
т—1
'ОТ
00
CD*
-н
±0.2
.002
о
-н
002
'ОТ
-н
00
о
-Н
i—i
CD
т
-н
т—1
1—1
со*
T9Z
см
CD*
~н
ю
CD*
СП
|>
см*
см
см
см
ю
т—1
±0.
00
CD
см
г—i
ТОО*
о
-н
002
±0.
со
ь-
см*
ь-
00
см
-н
ю
со
см
см
-н
о
со
см
CD
-н
оо
ю
CD
чэ
см
t	t
CM
гм
in
Ю
CM
±0.:
CM
о
+1
±0.4
TOO*
о
-H
002
±0.

32
Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости
-н
со
~Н LO
7 ~н
-н п
О о
0.262±
±0.001
0.619±
±0.003
2.687
221
A1B53SP
-Н ^
см i~~l
~Н LO
00 т-Н
7 5
~Н со
•>- 1—1
7 5
0.260±
±0.001
0.491±
±0.002
2.719
221
Al D54S
-4.36±
±0.08
-3.95±
±0.14
-3.37±
±0.25
0.268±
±0.001
0.575±
±0.002
2.864
221
Al JH77S
см
1
-2.67±
±0.1
-4.12±
±0.28
0.417±
±0.002
1.133±
±0.002
8.921
LO
г—i
О
|
LO
CD
е
ш
СМ и
! ""
0.490±
±0.02
1.042±
±0.002
8.317
s
Бронза бериллиевая
оо *-[
CD о
-н -Н
-н
S |
НН ю
0.166±
±0.003
0.259±
±0.002
1.776
221
Магний
~~Н CD
_JJ
O^t СО
CD
00 ю
о о
«-н
l.lOdz
±0.001
1.57±
±0.002
9.71
221
Молибден S
00
о
С5
СМ
ю
об
!
т-Н
о
со
!
1.24
00
Ь-
т—1
10.2
133
Молибден R
1 Ч
"Н <л
« 2
7 -н
-н
^ со
о
LO О
1
0.730±
±0.01
0.750±
±0.005
14.16
221
Вольфрам S
00
CD
О
1—1
!
см
т
ю
см
ь-
т
1.37
1.63
17.8
133
Вольфрам R
0.188
0.024
о
1—i
о
!
0.186
0.390
1.160
s
Оргстекло
-0.44±
±0.12
0.71±
±0.14
ю
0.31261
0.15872
2.203
Плавленый кварц

1.7. Постановка краевой задачи нелинейной теории упругости
33
чо
ей
Я*
Я
ю
ей
н
О
3
я
Рн
Я
Я
я
я
э
(N
го
О
О
CD
О
х"
я
Рн
5S
3
н
о
X 3
о, я
S « r
III
о
Я с
Я )S
сп Её
fc SI
>» О
С й Я Рч
О jS
111
s|
Я со
Рн О
о»! Ри
со
Ё §
Е- Рн
,Р- 0J
I
Р-
Ь
н
S 5Я
S я
о
к
к
К Рн

ГЛАВА 2
ОСНОВЫ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Исследование динамических задач теории упругости в нелинейной по-
постановке относится к одной из сложных и мало разработанных областей
механики твердого деформируемого тела. В то же время существует целый
класс задач, в которых на некоторое конечное напряженное статическое со-
состояние накладываются малые динамические возмущения. Это позволяет
в строгой постановке строить решение статической задачи, а динамику яв-
явлений, основываясь на малости динамических возмущений, исследовать на
базе линеаризованных относительно некоторой малой окрестности напря-
напряженного состояния соотношений. При этом в полном объеме сохраняется
присущая нелинейным задачам специфика постановки краевых задач в за-
зависимости от используемой системы координат и используемых в процессе
решения тензорных и векторных величин, описывающих напряженное со-
состояние среды.
В настоящей главе, следуя подходам Л.М. Зубова [61] и А. И. Лурье
[74,75], на основе последовательной линеаризации нелинейных уравнений
механики твердого у пру го-деформируемого тела в окрестности некоторого
его начального напряженного состояния мы даем вывод определяющих со-
соотношений линеаризованной теории динамики упругой преднапряженной
среды. Окончательные выражения построены в произвольной, в общем слу-
случае криволинейной системе координат и представлены в компактной форме,
что удобно как для проведения исследований общего характера, так и для
исследования конкретных задач.
2.1. Линеаризация в системе координат Лагранжа
В данном разделе дается вывод линеаризованных соотношений теории
наложения малых деформаций на конечную статическую в системе коор-
координат Лагранжа. Преимущество такого подхода состоит в том, что процесс
варьирования конфигурации при ее возмущении не затрагивает векторный
базис, в котором определены тензорные и векторные величины.
2.1.1. Начальное напряженное состояние Будем предполагать, что
существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигура-
конфигурация (НДК) упругого тела, заданная радиус-вектором Ri = [Х\, Х\, Х3),
которая в векторном базисе естественной конфигурации определяется гра-
градиентом места С i = V0R1. Напряженно—деформированное состояние сре-
среды в НДК задается тензором Пиола П1 = II(Ci).
Уравнения статики в объеме и на поверхности о = о\ + о^ в базисе

2.1. Линеаризация в системе координат Лагранжа	35
о отчетной конфигурации представляются соотношениями
Vo ¦ П1 + Pobi = 0,	B.1.1)
01	: n • IIi = fi i
n ¦ И -R	BЛ2)
02	.	ill — M4.
2.1.2. Возмущенное состояние. Предположим, что под действием
определенного изменения поверхностных или массовых сил
b* =bi+^b#, f* =fi+*7f	B.1.3)
этой конфигурации сообщается малое возмущение tju,t.q. положение точек
в возмущенном состоянии среды определяется радиус-вектором
R = Ri+^u.	B.1.4)
Из B.1.4) следует
u = R# = — (Ri + f]n) U=o .	B.1.5)
drj
Очевидно, что при и = 0 в теле имеют место внутренние напряжения,
характеризуемые тензором П1 = II(Ci).
Градиент места точки в возмущенном состоянии после деформации
определяется выражением
С |R+T?U = V0(Ri + tju) = V0Ri + T?Vou = Ci + 77V011. B.1.6)
Если ввести обозначение С# = Vqu, to B.1.6) можно переписать в виде
C|R+7?U =Ci+r/C*	B.1.7)
Теперь запишем представление тензора Пиола в возмущенном состоянии:
П |R+T?U = П1 + г]П9 + ^2(...) + . . .	B.1.8)
Сохранив в этом разложении члены, содержащие rj лишь в первой степени,
получаем
IT = ^П (Ci + 77V0U) |^о .	B.1.9)
Следуя [61], представим тензорные и векторные величины, участвую-
участвующие в описании напряженного состояния тела в возмущенном состоянии
(индексом 1 отмечены их значения в НДК) в виде
Ф = *i +77Ф*,	B.1.10)

36	Глава 2. Основы линеаризованной теории упругости
где индексом # обозначены конвективные производные соответствующих
функций, которые определяются формулой [61, 75]:
^Ф(С1+т|?ои) |„=0.	B.1.11)
drj
Тензор П должен удовлетворять системе уравнений B.1.1) и возмущен-
возмущенным граничным условиям:
01	: n-n = f*+^f,
02	: R = Ri +tju.	\^-i.^)
Если подставить B.1.8) в уравнения B.1.1) и граничные условия B.1.2),
затем учесть B.1.9), то, сохраняя линейные по rj члены, придем к опре-
определенной в базисе естественной конфигурации краевой задаче относительно
перемещения и, которая описывается линеаризованной системой уравнений
Vo-n#=poii	B.1.13)
и линеаризованными граничными условиями на поверхности о = о\ + о^
Таким образом, роль тензора Пиола в системе уравнений B.1.13) игра-
играет его конвективная производная П#, в инерционном слагаемом вместо
радиус-вектора места стоит вектор перемещения.
2.1.3. Конвективная производная тензора Пиола. I вариант. Для
вычисления конвективной производной тензора Пиола воспользуемся его
представлением в виде D.3)
Тензор xs является производной скалярной функции — термодинамиче-
термодинамического потенциала х = x(S), зависящей от тензора деформации Коши^
Грина S, определяющей запасенную в процессе деформации энергию упру-
упругого тела.
Поскольку конфигурация тела определяется градиентом места дефор-
деформации, то естественно этот тензор принять за основу при варьировании
напряженного состояния. С учетом правил дифференцирования произведе™
ния тензоров последовательно получаем:
П- = (xs • С)* = xhc ¦ -С'т • Ci + xs • С:	B.1.15)
Далее используем формулу перехода от дифференцирования по градиенту
места к дифференцированию по тензору деформации S
Xse = Xss • С	B.1.16)

2.1. Линеаризация в системе координат Лагранжа	37
и определение конвективных производных градиента деформации
С* = Vou, С#т = VouT.	B.1.17)
Подставляя B.1.16) и B.1.17) в B.1.15), получим
Ci • ... VouT ¦ Ci + xl " Vou.	B.1.18)
Индексом 1 обозначены значения в НДК соответствующих функций, опре-
определенных в базисе ЕК.
Формула B.1.18) определяет конвективную производную тензора П,
участвующую в представлении уравнений движения гиперупругой среды.
Использование выражения B.1.18) затруднено из-за того, что тен-
тензор Vqu стоит внутри произведения. Для того чтобы представить П# в бо-
более удобной для дальнейших исследований форме, используем изотропные
тензоры IV ранга A.1.12), для которых имеют место формулы [75]:
Q = Cn..Q, QT = Cm..Q.	B.1.19)
Внося B.1.19) в B.1.18), получим
П# = Xss • Ci • -Со • -Von • Ci + xs' Gin • -Vou.	B.1.20)
Окончательно, с учетом представлений изотропных тензоров A.12) в ком-
компонентном виде будем иметь:
П# = (Xss • Ci • т*гв • Ci + xl ' r8rt) r'r8 * .Vou.	B.1.21)
2.1.4. Конвективная производная тензора Пиола. II вариант. В ли-
литературе иногда используется иное по форме представление конвективной
производной тензора Пиола [17]. Для его построения вернемся к выра-
выражению B.1.15), но производную тензора Пиола будем вычислять не по
градиенту места, а по мере деформации:
IT = (xs • С)# = x^G - -G* • Ci + xs- C#.	BЛ.22)
Далее используем формулу перехода от дифференцирования по мере де-
деформации к дифференцированию по тензору деформации S
B.1.23)
и представление конвективной производной меры деформации
G* = С* • Ст + С • Ст\	B.1.24)
Подставляя B.1.23), B.1.24) с учетом B.1.17) в B.1.15), получаем
П# = ^Xss • -(Vou • Cf + Ci • VouT) • Ci + xs- Vqu. B.1.25)

38	Глава 2. Основы линеаризованной теории упругости
Как и ранее, индексом 1 обозначены значения в начально-деформирован-
начально-деформированной конфигурации соответствующих функций, определенных в базисе ЕК.
Замечание2.1.1. Представление конвективной производной тензо-
тензора П в виде B.1.25) эквивалентно представлению B.1.18) в силу симметрии
тензора Xss-
В компонентной форме в декартовой системе координат необходимо
положить Yk = U, тк = lk = Ik. Тогда:
п# = 2 {*ss • ihin • Cf + Ci • inik) • Ci + xs * hin} '^'^ • -Vou.
Замечание2.1.2. В литературе можно встретить несколько отличаю-
отличающиеся от представлений B.1.21) или B.1.25) выражения для конвективной
производной тензора Пиола. Это разнообразие форм основано на свойствах
многократного произведения тензоров, для которого имеют место формулы
[74,75]:
2.2. Линеаризации определяющих соотношений в НДК
При линеаризации определяющих, соотношений в начально-деформиро-
начально-деформированной конфигурации необходимо исходить из уравнений движения A.7.8)
и граничных условий A.7.9) и A.7.10), заданных в векторном базисе акту-
актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации
представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению долж-
должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состоя-
состояние функции (тензоры напряжений и деформаций), так и сама актуальная
конфигурация (т. е. система координат, связанная с ее векторным базисом,
а также определенный в этом базисе набла-оператор).
Следуя [61], чтобы избежать затруднений, связанных с варьировани-
варьированием базиса актуальной конфигурации, в качестве исходных соотношений,
определяющих, равновесную НДК, будем использовать уравнения статики
в объеме A.7.1) и на поверхности A.7.2), выраженные через тензор Пиола.
Варьируя эти уравнения в окрестности начально-деформированной кон-
конфигурации и используя представления B.1.8) и B.1.9), придем к линеари-
линеаризованным уравнениям B.1.13) и граничным условиям B.1.14), записанным
в векторном базисе ОК, но определяющим движение среды в возмущенной
конфигурации.
Введем в рассмотрение тензор в [61, 75]:
П* = ЛС^т-0.	B.2.1)
Подставляя представления B.2.1) в линеаризованные уравнения B.1.13)
и граничные условия на части поверхности B.1.14), получаем:
Vo- JiCrT-e = /?oii,	B.2.2)

2.2. Линеаризация определяющих соотношений в НДК	39
oi : n- JiCTT • 0 = f*.	B.2.3)
Для последующего преобразования выражений B.2.2), B.2.3) в вектор™
ный базис актуальной конфигурации используем тождество Пиола [75]:
Vo ¦ (ЛС"Т) = 0	B.2.4)
и формулу преобразования ориентированной площадки на части поверхно-
поверхности oi в ЕК (п — вектор нормали, do — площадь в базисе ЕК) в ориенти-
ориентированную площадку на части поверхности 0\ъ АК (N — вектор нормали,
dO — площадь в базисе АК)
N dO = JCT1 - n do = Jn - C~Tdo.	B.2.5)
Учитывая формулу B.2.4) в представлениях B.2.2) и B.2.3), выраже-
выражение B.2.5) в представлении B.2.3), после необходимых преобразований,
получим определенные в базисе начально-деформированной конфигура-
конфигурации линеаризованные уравнения движения и граничные условия (на части
поверхности) преднапряженной среды в виде:
Vi • 0 = piii,	B.2.6)
на Ог : N-0 = f.	B.2.7)
Здесь
dO
Таким образом, линеаризованные уравнения движения и граничные
условия преднапряженной упругой среды в базисе НДК задаются тензо-
тензором В (играет роль тензора напряжений Коши в линейной теории упругости).
Подставляя B.1.21) в B.2.1), получаем
0 = j-^cl ¦ [XlSs • d • -VouT • d + xs ¦ Vou].	B.2.8)
Нетрудно заметить, что тензор В в форме B.2.8) представляет собой
функцию, заданную в базисе ОК, но отнесенную к векторному базису НДК.
Для полного преобразования В в базис НДК введем в рассмотрение тензоры
XUs = Jr1CT-X1ss-Ci,	B.2.9)
Xs=Jr1CT-Xs-Ci,	B.2Л0)
заданные в начально-деформированной конфигурации и связанные с тен-
тензорами, характеризующими упругие свойства материала среды соотноше-
соотношениями, аналогичными соотношениям, связывающим тензоры Кирхгофа
и Коши.
Внесем в B.2.8) формулы
VouT = ViuT - С?1,	B.2.11)

40	Глава 2. Основы линеаризованной теории упругости
и представления B.2.9) и B.2.10). Получим:
T ¦ С? • d + х! • Viu.	B.2.12)
Формулы B.2.9)^B.2.12) представляют собой функции, заданные в базисе
начально-деформированной конфигурации и определяющие напряженное
состояние упругой среды в возмущенной конфигурации. Нетрудно заме™
тить, что тензор B.2.12), участвующий в представлениях уравнений дви-
движения B.2.6) и граничных условиях B.2.7), является линейной функцией
относительно тензора Viu, но в то же время нелинейной относительно
градиента начальной деформации Сь
Представление тензора в B.2.12) неудобно для непосредственного ис-
пользования из-за того, что тензор Viu стоит внутри произведения. Для
того, чтобы представить выражение B.2.12) в более удобной форме, необ-
необходимо, как и в предыдущем разделе, использовать изотропные тензоры
A Л. 12) и формулы BЛ. 19).
Окончательно получаем:
в = (xls • .R*Rn • Cj • Ci + xU ' RnRfe) R"Rn • -Viu. B.2.13)
2.3. Линеаризация определяющих соотношений в НДК.
II вариант
В ряде работ [74,75] используется другая форма линеаризованных урав-
уравнений движения упругой среды в актуальной конфигурации, выраженная
через конвективную производную тензора напряжений Коши. При этом
потенциал предполагается скалярной функцией инвариантов меры дефор-
деформации Коши-Грина (Фингера, что одно и тоже) A.5Л).
Следуя А. И. Лурье [74, 75], представим тензор в в уравнении B.2.6)
в виде
в = JrxCf - П# = JrxCf - (J€TT • Т)#.	B.3.1)
Вычислим конвективную производную выражения, стоящего в скобках.
Имеем последовательно
(J€TT • Т)# = Г(С^Т - Т) + J(C^TY - Т + JCTT - Т#. B.3.2)
Примем во внимание формулы для конвективных производных [74, 75]
Г = JV-u,
(СГТ)# = -СГТ - VouT - СГТ5	B.3.3)
VouT - €ГТ = Viu.

2.3. Линеаризация определяющих соотношений в НДК. II вариант 41
Внося формулы B.3.3) в представления B.3.2) и затем в выражения
B.3.1), получим
в = Ti Vi • u - ViuT - CfT - Ti + T#.	B.3.4)
Для вычисления участвующей в представлении B.3.4) конвективной
производной тензора Коши воспользуемся представлением тензора Т в
форме A.5.2).
Т = 2^г(ф0Е + ^iF + ^2F2),	B.3.5)
где участвующие в B.3.5) коэффициенты имеют вид
dl3
l2
B3-6)
В формулах B.3.6) использовано сокращенное обозначение инвариан-
инвариантов меры деформации Коши—Грина Ik = /fc(G). Варьируя B.3.5) получим
[74, 75]
Т* = -TVi • u+2J-^E + гр^+ф^+ф^'+^Р' ¦ F + F • F*)].
B.3.7)
Здесь
^ - duki:{G)-	B3-8)
Конвективные производные инвариантов имеют вид [75]
/r(G)=2I1F--e(u),
^(G)=2(/1F-F2)--e(u),	B.3.9)
/3#(G)=2/3E--e(u).
где е(и) — линейный тензор деформации
e(u) = -(Vu + VuT).	B.3.10)
Внося выражения B.3.8)—B.3.10) сначала в представление B.3.7), а за-
затем с учетом соотношения B.3.6) в представление B.3.4), получим выра-
выражение для линеаризованного тензора в координатах НДК:
0 = Т • Viu + 4J-1 [-^oe(u) + ^2F - e(u) • F+
2 2
+EE^F*rm'-?H' B3Л1)
k=0m=0

42	Глава 2. Основы линеаризованной теории упругости
где
г 9фк
= i3"
B.3.12)

ГЛАВА 3
КРАЕВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
О КОЛЕБАНИИ ПРЕДНАПРЯЖЕННЫХ СРЕД
При исследовании динамических процессов в предварительно напря-
напряженном теле традиционно [54, 61, 74, 75] различают три его состояния
(конфигурации): естественное ненапряженное (ЕК), начальное деформиро-
деформированное (НДК) и возмущенное состояние (состояние в данный момент вре-
времени — актуальная конфигурация (АК)). В рассмотрение вводятся соответ-
соответствующие, в общем случае криволинейные, системы координат а\, а,2, «з
в ЕК, х\, Х2, %з в НДК и Х\, Х2, Х%в АК. Величины, характеризующие на-
начальное напряженное состояние или определяющие переход из ЕК в НДК,
будем отмечать индексом 1, величины в возмущенной конфигурации —
штрихом, сами возмущения индексами не отмечаются. В этих обозначени-
обозначениях все величины в возмущенном состоянии представляются в виде
п' = ui + и.
Предполагается, что деформации в НДК являются конечными, значи-
значительно превосходящими их возмущения в АК. В рамках этого подхода про-
проводится линеаризация уравнений состояния, движения и граничных усло-
условий относительно НДК, что позволяет в значительной степени упростить
процесс исследования и повысить его эффективность.
При постановке задач для преднапряженных сред сохраняется присущее
нелинейным задачам различие в их. описании в лагранжевой и эйлеровой
системах координат. Заметим, что с точностью до отбрасываемых в про-
процессе линеаризации членов, описание динамических процессов в «системе
координат Эйлера» совпадает с описанием этих процессов в системе ко-
координат, связанной с НДК. Ниже, различие между системами координат
эйлеровой и НДК не проводится.
3.1. Лагранжевы координаты
Краевая задача о колебаниях преднапряженной среды под действием
осциллирующей нагрузки qe~tujt, распределенной в области о\ на поверх-
поверхности среды, в общем случае описывается линеаризованными уравнениями
движения
Уо-0 = рой	C.1.1)
с граничными условиями на поверхности о = о\ + о*}
01	: п-в = qe^iuj\	C.1.2)
02	: u = u*.	C.1.3)

44	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
Здесь Vo — оператор Гамильтона, u, q, n — векторы перемещений, на™
пряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, опре-
определенные в лагранжевой системе координат, ро — плотность материала
среды.
Различные представления тензора 0, играющего в линейной теории
упругости роль тензора напряжений Коши, для различных систем коор-
координат и видов напряженного состояния среды приводятся в [61, 74, 75].
В настоящей работе в качестве тензора 0 используется линеаризованный
тензор напряжений Пиола B.1.22), который в декартовой системе коорди-
координат с учетом принятых обозначений принимает вид
в = (xss • Ci ¦ -i*in ¦ Ci + xl • inh) i*in • -Vou.	C.1.4)
Здесь Ci — градиент деформации места, характеризующий НДК, S — тен-
зор деформации Коши—Грина, х — упругий потенциал, который полагает-
полагается дважды непрерывно дифференцируемой функцией своих переменных.
Далее рассматриваются изотропные среды, имеющие упругий потенциал
A.6.6) или A.6.7), которые в принятых здесь обозначениях представляются
в виде
X = ^рВг + hxBf + 2fiB2] + h^Bf + 6и2В1В2 + 8i/3B3], C.1.5)
2	о
или
X = -рВг + -[\Bl + 2fiB2] + ^Bf + ЬВ1В2 + ^Bs.	C.1.6)
2	о	о
Здесь В^ = h (Sk — алгебраические инварианты (в отличие от /д. - обыч-
обычных инвариантов) тензора деформаций Коши—Грина A.2.15) в НДК. В ком-
компонентном виде алгебраические инварианты имеют представление:
В\ = опгИ I?2 — SnmSmn, B% = SnmSmiSin.	C.1.7)
Будем предполагать, что среда подвержена однородной начальной де-
деформации, определяемой соотношениями
R = г • A, G = А • Ат, А = SijViTiTj, Vi = const,	C.1.8)
здесь Rmr — радиус-векторы точки среды соответственно в НДК и EK,Vi =
= 1 + S{, Si — относительные удлинения волокон, направленных в ЕК
вдоль осей ai, г = 1, 2, 3, совпадающих с декартовыми координатами,
Sij — символ Кронекера. В этом случае участвующие в представлениях
C.1.5), C.1.6) компоненты и инварианты тензора S A.2.15) имеют вид (здесь
и далее по «мертвым» повторяющимся индексам идет суммирование)
№-1),	C.1.9)

3.2. Координаты начально деформированной конфигурации	45
1
52 = " Wfe - !) (^1 - !) >	C.1.10)
Уравнение состояния A.5.10), A.5.11) с учетом принятых обозначений
представляется в виде
Xs = 7oE + 7iS + 72S2,	C.1.11)
где
В зависимости от типа среды, задача C.1.1)—C.1.3) замыкается допол-
дополнительными граничными условиями.
В настоящей работе рассматриваются задачи о колебании полуограни-
полуограниченных преднапряженных сред с прямолинейными границами типа полу-
полупространства, слоистого полупространства или слоя.
Дополнительные условия имеют вид:
-	для полупространства | а\ |, | «2 | ^ оо, аз ^ 0
и|0, а3 -)> -оо;	C.1.13)
-	для слоя | а\ |, | (i2 | ^ оо, ао ^ аз ^ «зо, нижняя грань которого
жестко защемлена
и = 0, а3 = а0;	C.1.14)
-	для слоя | а\ |, | а2 | ^ оо, ао ^ аз ^ «зо, контактирующего без
трения с жестким основанием
^з=0, 031 = в32 = 0, а3 = а0;	C.1.15)
-	для слоя | ai |, | с&2 | ^ оо, 0 ^ а3 ^ азо, нижняя грань которого
жестко сцеплена с упругим полупространством | а\ \, | а2 | ^ оо, аз ^ О
(индекс 1 соответствует слою, индекс 2 — полупространству)
и^ = uB), n • @^ - вB)) =0,	а3 = 0,	„ 1 _
иB)|о а^оо	(ЗЛЛ6)
3.2. Координаты начально деформированной
конфигурации
Краевая задача о колебаниях преднапряженной среды под действием ос-
осциллирующей нагрузки qe^t(Jjt, распределенной на части поверхности О\,
в общем случае описывается линеаризованными уравнениями движения
Vi-0 = /Oiii	C2.1)

46	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
с граничными условиями на поверхности О = О\ + О2:
Ог : N>B = qe^ioj\	C.2.2)
О2 : u = u*.	C2.3)
Здесь Vi — оператор Гамильтона в НДК; N — вектор внешней нормали
к поверхности среды в начально деформированной конфигурации; u, q —
векторы перемещений и напряжений определенные в эйлеровой системе
координат; р\ — плотность материала среды в НДК.
В качестве тензора 0 используется линеаризованный тензор напряже-
напряжений B.3.12), который в принятых здесь обозначениях имеет вид
0 = Т • Viu + 4J^X [-фое (u) +
2 2
+^2F • e (u) • F + ^ ^ FfemFfeFm • • ? (u)
где
, C.2.4)
|f, Jfc=Jfc(G).
С/ 1 2
Здесь T — тензор начальных напряжений A.5.5) в НДК, который опреде-
определяется формулой
J—1 — метрический множитель, F — мера деформации Фингера A.2.10),
е (и) — линейный тензор деформации возмущенного состояния, I — еди-
единичный тензор, Ik = Ik (F) — инварианты меры Фингера начальной де-
деформации.
Среда предполагается гиперупругой, сжимаемой, имеющей упругий по-
потенциал вида A.5.1), который с учетом принятых обозначений имеет вид

3.2. Координаты начально деформированной конфигурации	41
Далее в работе рассматриваются первоначально изотропные среды с
прямолинейными границами (полупространство, слоистое полупростран-
полупространство или слой) и упругим потенциалом в форме Мурнагана A.6.9), который
здесь представляется в виде
Х=\ [(-ЗА - 2,1 + у, + |)/! + 1(А + 2М - 31 - l
+ {-2,1 + 3т- |)/2 - mhh + d^(l + 2m)ll + \(h~ 1I ¦ C.2.7)
Будем предполагать, что среда подвержена однородной начальной
деформации, определяемой соотношениями (здесь R, г — радиус-
векторы точки среды соответственно в НДК и ЕК, Vi = 1 + Si, Si —
относительные удлинения волокон, направленных в ЕК вдоль осей
щ^ г = 1, 2, 3, совпадающих с декартовыми координатами, S^ — символ
Кронекера).
R = г • A, F = Ат -А, А = SijViTiTj, Vi = const. C.2.8)
В этом случае после вычисления коэффициентов C.2.5) и C.2.6) с уче-
учетом A.2.19) и подстановки их в C.2.4) получим представление компо-
компонент тензора в в декартовой системе координат х±, Х2, %з-> совпадающей
с декартовой системой координат начально-деформированной конфигу-
конфигурации, в виде
Olk8p^,	C.2.9)
О Х
где
6lk6sps\3s\	C.2.10)
C.2.11)
2	2
M=0 N=0
Здесь J = У\У2^ъ — метрический множитель.
После внесения выражений C.2.11) в представления коэффициентов
C.2.10), последние преобразуются к виду (здесь и ниже индексы принима-
принимают значения 1, 2, 3):

48	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
9Ш=2.Г1 {-14 [	* (])
2J~l К № + ^ (uj + VD] } >	О-2Л2)
0jkjk = 2.Г1 {-^>о + fovjvl} ,
= 4J {Foo + v)v\ [Vn + V12 (u? + «A2)]} .
Коэффициенты фь, Vnk определяются формулами C.2.5), C.2.6) при выбо-
выборе конкретной формы упругого потенциала. В частности, для потенциала
Мурнагана C.2.7) они представляются в виде
ф	1
-/2)-| (/i-l)l , C.2.13)
ф2 = - [2/1 + т (Д - 3) + |] ,
Vn = ± [Л + I (Д - 3) - т (Д - 1) - |] ,	C.2.14)
Vi2 = F2l = -Ш.
Нетрудно видеть, что выражения коэффициентов C.2.13) и C.2.14)
являются нелинейными относительно начальной деформации.
Линейное приближение. В случае малых начальных деформа-
деформаций используется линейное приближение для инвариантов меры деформа-
деформации:
vk = l + 6k, ^ = 1 + 2^, i;| = l + 44, vek = l + 66k, k = 1,2,3,
/1=3 + 20, /2=3 + 46>, /з = 1 + 20,	C.2.15)
/2 = 9 + 120, J^1 = /3^1/2 = 1-0, 0 = 5± + J2 + 53.

3.2. Координаты начально деформированной конфигурации	49
Подстановка выражений C.2.15) в C.2.13) и C.2.14) дает более простые
выражения для коэффициентов в представлении C.2.11).
фх = ^ [2X0 -2ц- 2тв -пA + в)],	C.2.16)
ф2 = 1 [2М + 2тв + |] ,
®	C.2.17)
уи = -Га + 210 - 2т A + 6») - Л .
4 L	2J
В этом случае вид компонент тензора В в значительной мере упрощается
и их можно записать в виде, удобном для использования:
Ojjjj = Л + 2/i + 26> (I - /i) + 25j E/i + 2Л + 2m),
0jkkj = // + 0 (Л + m - /x - !) + 2/^- + 2 (^ + 4) (/i + J) , C.2.18)
= \ + в Bl + n-2m-\) + 2Ej+5k) (А + т
Нетрудно заметить, что при отсутствии начальной деформации, т. е. при
v\ = V2 = ^з = 1, коэффициенты 9iksp вырождаются в общеизвестные
коэффициенты закона Тука
В зависимости от типа полуограниченной среды, задача C.2.1)—C.2.3)
замыкается дополнительными граничными условиями, которые в рассма-
рассматриваемых ниже случаях имеют вид
- для полупространства
и
— ДЛЯ СЛОЯ \xi\ , Х2 ^
жестко защемлена
Xi ,
4 0,
ОО5 i
Х2 ^00, Х3 *
х3 -> -оо;
^о ^ ж3 ^ ж3(
so
з, нижняя
грань
C.2.19)
которого
и = 0, х3=х0.	C.2.20)

50	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
- для слоя l^i |, |ж2| ^ оо, xq ^ ж3 ^ жзо, контактирующего без трения
с жестким основанием
и3 = 0, в31 = вз2 = 0, х3=х0,	C221)
Целесообразность использования коэффициентов 0iksp B полном (нели-
(нелинейном) виде C.2.12) или в линейном приближении C.2.18) зависит как
от характера напряженного состояния и величины начальных напряжений,
так и от типа используемого в данном конкретном случае материала. Зна-
Значительную роль при решении вопроса использования линейного прибли-
приближения играет сама исследуемая характеристика волнового процесса или
напряженно-деформированного состояния, поскольку влияние учета нели-
нелинейности в каждом конкретном случае для разных характеристик прелом-
преломляется по-разному.
В качестве примера на рис. 3.2.1-3.2.12 представлены результаты, иллю-
иллюстрирующие влияние учета нелинейности на компоненты тензора началь-
начальных напряжений (рис. 3.2.1, 3.2.3, 3.2.5, 3.2.7, 3.2.9, 3.2.11) и на скорости
объемных и поверхностных волн Релея для полупространства (рис. 3.2.2,
3.2.4, 3.2.6, 3.2.8, 3.2.10, 3.2.12) для различных материалов.
В качестве характеристики влияния на тензор начальных напряжений
была рассчитана компонента а^ в случае одноосного состояния (а^ =
= о"зз = 0) и компоненты сг^ = сг§3 в случае двухосного состояния
(afx = 0) в зависимости от величины сжатия Si по оси х\. Индексом
«lin» отмечены компоненты тензора, рассчитанные в линейном приближе-
приближении C.2.18), «nl» — соответственно компоненты, рассчитанные по полным
(нелинейным) формулам C.2.12).
В качестве характеристики влияния на скорости поверхностных и объ-
объемных волн используется относительное по отношению к удлинению из-
менение скорости rj = п	Индексами Р, R и S обозначены ха-
рактеристики для поперечной (S), продольной (Р) и поверхностной (R)
волн.
На рис. 3.2.1-3.2.4 приведены результаты для стали, на рис. 3.2.5 —
3.2.8 — результаты для бронзы, на рис. 3.2.9 — 3.2.12 — для горной породы.
При расчетах использовались упругие константы, приведенные в табл. 1.6.3
и 1.6.4.
Из графиков следует, что более чувствительной характеристикой по
отношению к учету нелинейности является скорость волны, причем для
различных материалов или различных напряженных состояний, равно как
и для различных типов волн, эта чувствительность может сильно варьиро-
варьироваться.
Обращает на себя внимание значительная чувствительность к учету
нелинейности, проявленная при анализе волнового процесса для горных
пород. Это свидетельствует, с одной стороны, о необходимости использо-
использования точных представлений коэффициентов в законах состояния при ис-
исследовании динамических процессов в горных породах, с другой стороны,

3.3. Многослойная среда	51
о необходимости совершенствования экспериментальных методов опреде-
определения констант третьего порядка.
33. Многослойная среда
Для многослойных сред, состоящих из к плоскопараллельных слоев,
уравнения движения представляются в виде
у8-е«=р«и«,	(з.зл)
где индекс г пробегает значения от 1 до к.
Граничные условия на поверхности (в зависимости от используемой
системы координат) о = о\ + о^ (Лагранжа) или О = О\ + О 2 (Эйлера)
принимают вид
(Ох): п, ¦ в^ = <4°\	C32)
о2 (О2) u^ =u*.	C.3.3)
В уравнениях (З.ЗЛ)-C.3.3) индекс s в зависимости от выбранной системы
координат принимает значения:
s = 0 для лагранжевой системы координат,
s = 1 для эйлеровой системы координат;
Vs — оператор 'Гамильтона, ns — вектор внешней нормали к поверхности
среды, u, tn, — векторы перемещений и напряжений, тензор Ss и pf —
плотность материала среды — определены в выбранной системе координат.
На границе между слоями имеют место условия полного сцепления
u«=u(*+1), tW=t?+1\ х3=4г\	C-3.4)
индексом г обозначены величины, относящиеся к г-му слою.
В случае, когда подстилающим для многослойной среды является по-
полупространство, задача замыкается условием C.1.13) в лагранжевой или
C.2.19) в эйлеровой системе координат. Если подстилающим является слой,
нижняя грань которого жестко защемлена, то замыкают задачу граничные
условия C.1.14) или C.2.20). Если подстилающим является слой, нижняя
грань которого лежит без трения на жестком основании, то задачу замыкают
граничные условия C.1.15) или C.2.21).
3.4. Неоднородная среда
Рассматривается неоднородная преднапряженная среда, механические
параметры которой (плотность, константы в представлении упругого потен-
потенциала C.1.6) или C.2.7) в зависимости от используемой системы координат)

52	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
и начальные напряжения представляют собой произвольные, достаточно
гладкие, изменяющиеся по глубине (координата хз) функции.
Уравнения движения представляются в виде
Vs-Qs=pfudt2.	C.4.1)
Граничные условия на поверхности (в зависимости от используемой
системы координат) о = о\ + о^ (Лагранжа) или О = О\ + О2 (Эйлера)
принимают вид
О! (Ох) : ns-9s = tn,	C.4.2)
о2 @2) u = u*.	C.43)
В записи краевой задачи C.4.1)—C.4.3) индекс s в зависимости от вы-
выбранной системы координат принимает значения:
s = 0 для лагранжевой системы координат,
s = 1 для эйлеровой системы координат;
V' s — оператор Гамильтона, ns — вектор внешней нормали к поверх-
поверхности среды, и, tn, — векторы перемещений и напряжений, тензор Ss
(г)
и ру — плотность материала среды — определены в используемой систе-
системе координат.
В общем случае тензор ®s, участвующий в представлении краевых
задач C.4.1) —C.4.3) определяется формулами C.1.4) либо C.2.4). Особен™
ностыо задачи является то обстоятельство, что компоненты тензоров xs,
Xss? С, и S в представлении C.1.4), а также компоненты тензоров Т, F
и коэффициенты фи и Vkm B представлении C.2.4) в рассматриваемом
случае являются произвольными, достаточно гладкими функциями коор-
координаты хз. Закон изменения этих характеристик определяется характером
приложенных начальных напряжений, величина которых зависит от хз.
Такой подход используется при исследовании полуограниченных тел,
выполненных из упругих материалов, для которых известны константы
как второго, так и третьего порядка. Это в основном конструкционные
материалы (стали, сплавы, цветные металлы, органические материалы ти-
типа оргстекла и т.д.), широко используемые в машиностроении, для изу-
изучения свойств которых были проведены соответствующие эксперименты.
Однако в задачах геофизики, сейсмологии, сейсмического фундаменто-
строения, виброизоляции и виброзащиты фундаментов и т.п. использова-
использование представления тензора Ss в виде C.1.4) или C.2.4) является неоправ-
неоправданным, так как изучаются процессы распространения упругих волн
в материалах (различные виды грунтов), для которых известны лишь обыч-
обычные упругие константы. В подобных случаях представляется целесообразным
использование приближенного, предложенного в [61] подхода. Задача в соот-
соответствии с этим подходом рассматривается в эйлеровой системе координат.

3.4. Неоднородная среда	53
Тензор Bs (далее в — индекс отбрасывается) представляется в виде [61]:
в = Р + и.	C.4.4)
Относительно слагаемых в правой части представления C.4.4) предполага-
предполагается, что:
-	антисимметричный тензор U не зависит от свойств материала среды
и выражается через тензор начальных напряжений Т = Т (жз), симмет-
симметричный е (и) и ко со симметричный О (и) тензоры деформации:
U = 1 [Т • е (и) - е (и) ¦ Т] - Т ¦ О (и);	C.4.5)
-	симметричный тензор Р не зависит от начальных напряжений и
в случае малых начальных деформаций имеет вид (где Л (хз), /л (хз) —
параметры Ламе, I — единичный тензор):
Р = А (гг3) tr е (и) • I + 2/х (x3) e (и).	C.4.6)
С учетом представлений C.4.5) и C.4.6) компоненты тензора в в уравне-
уравнениях движения C.4.1) можно записать в виде
дик	dus
^ks = ®ks д	1- h 8 д—, к ф s,
dxs	дхк	(ЗА7)
0кк = X(x3H + 2fi(x3) -^, к = 1, 2, 3,
дхк
где
дщ дщ дщ
Здесь коэффициенты ats? bks, а также <r^s являются произвольными,
достаточно гладкими функциями координаты хз, которые определяются
видом неоднородности рассматриваемой среды.
В зависимости от типа полуограниченной среды, задача C.4.1)-C.4.3)
замыкается дополнительными граничными условиями, которые в рассма-
рассматриваемых ниже случаях имеют вид:
- для слоя \xi\, \х2\ ^ оо, xq ^ хз ^ жзо, нижняя грань которого
жестко защемлена
и = 0, х3 = х0;	C.4.8)

54	Глава 3. Краевые задачи о колебании преднапряженных сред
-	для слоя l^i |, |ж2| ^ оо, xq ^ ж3 ^ жзо, контактирующего без трения
с жестким основанием
^з = 0, в31 = вз2=0; х3=х0;	C.4.9)
—	для слоя \х± |, \х21 ^ оо, 0 ^ хз ^ жзо, нижняя грань которого жест-
жестко сцеплена с однородным (в общем случае преднапряженным) упругим
полупространством \xi\, |ж2| ^ оо, ж3 ^ 0 (индекс 1 соответствует слою,
индекс 2 — полупространству)
= uB), n • (в^) - вB)) = 0, x3 = О,
C.4.10)

ГЛАВА 4
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ СРЕД
В настоящей главе излагаются методы решения динамических задач
линеаризованной теории упругости для преднапряженных полуограничен-
полуограниченных сред с плоскопараллельными границами, т. е. предполагается, что за-
задачи допускают применение одномерного или двумерного интегрального
преобразования Фурье. При этом задача, описываемая системой дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных, сводится к системе обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(в случае однородных сред) или с переменными коэффициентами (в случае
сред с переменными свойствами), решение которых строится в простран-
пространстве образов Фурье. Решение исходной задачи получается в результате ис-
использования формул обращения Фурье.
4.1. Общий случай преднапряженной упругой среды
Движение преднапряженной упругой среды в общем случае описыва-
описывается линеаризованными уравнениями движения C.1.1) или C.2.1) в зави-
зависимости от используемой системы координат. Далее, метод решения ди-
динамической задачи будем излагать на основе использования эйлеровой
системы координат, связанной с начально-деформированным состоянием
(идентификационные индексы опущены). Переход к лагранжевой системе
координат не представляет принципиальных трудностей.
4.1.1. Краевам задача о колебании преднапрмженной среды. Будем
полагать, что упругая среда движется под действием нагрузки q (xi ,X2,t),
распределенной в некоторой области О на поверхности среды х% = жзо • Вне
этой области поверхность среды свободна от напряжений. Задача о движе-
движении преднапряженной упругой среды в общем случае описывается систе-
системой линеаризованных уравнений C.2.1)
V-0 = pd2u/dt2	D.1.1)
с граничными условиями C.2.2), которые в данном случае принимают вид
3зсь !,2,
D.1.2)
х3 = ж3(ь xi, х2 ф О.
В случае многослойной среды задача описывается системой уравнений
C.3.1) с граничными условиями C.3.2), которые в данном случае предста-
представляются в виде

56	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
(qW (si, %2j t), жз=ж30, Х!,х2еп,
<	D.1.3)
[О,	х3 =ж30, хъ х2 i О.
Далее общий подход к решению динамических задач о колебаниях
преднапряженной среды излагается в применении к краевой задаче D.1 Л),
D.1.2), поскольку изложение его для многослойной среды является гро-
громоздким. Однако результаты для случая многослойной среды также будут
ниже приведены.
В случае неустановившихся колебаний задачу D.1.1), D.1.2) необходи-
необходимо дополнить соответствующими начальными условиями на перемещения
и скорости. Для решения таких задач необходимо использовать преобразо-
преобразование Лапласа по времени с учетом начальных условий
со	с+гоо
Л (р) = | A (t) e-ptdt, Х^ = ^- } Л (Р
Далее будем полагать, что колебания среды носят установившийся гар-
гармонический характер с зависимостью от времени вида е^гш 1 под действием
осциллирующей нагрузки.
4.1.2. Сведение к системе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Для решения краевых задач в пространственной постановке ис-
используется двумерное преобразование Фурье
V(ai,a2)f(a:i,a;2)= [ [ f (xux2) ei(-aiXl+a2X^dx1dx2 = F
— оо —оо
V-1(xi,x2)F(a1,a2) =
В плоском случае, когда задача не зависит от одной из компонент (на-
(например, Х2\ используется одномерное преобразование Фурье
V(ai)f(a;1)= | f Ы etol x4Xl = F
| F (аг) edai = f (

4.1. Общий случай преднапряженной упругой среды	57
Применяя к краевой задаче D.1.1), D.1.2) или C.3.1), D.1.3) преобра-
преобразование Фурье по жь #2, получаем систему обыкновенных линейных диф-
дифференциальных уравнений, которую можно записать в операторном виде
/xj2U = 0	D.1.4)
с граничными условиями
LxU = Q5 х3=х30.	D.1.5)
Здесь L = L ( —2, -:—, аиа2 ), Lx = Lx ( -—, аи а2 ) — диффе-
\dx^ dx3	J	\dx3	J
ренциальные операторы с постоянными коэффициентами, U = Vu, Q =
= Vq — преобразование Фурье соответственно векторов перемещения и
напряжений.
В случае полупространства, к граничным условиям D.1.5) необходимо
добавить условие
U(ab «2, х3) 4 0, х3 ^ оо.	D.1.6)
В случае слоя с защемленным основанием задача D.1.4), D.1.5) допол-
дополняется условиями на нижней грани
U = 0, ж3=ж0,	D.1.7)
С/3 = 0, L1C/1=L1C/2 = 0, x3=x0.	D.1.8)
Для многослойной среды представление краевой задачи D.1.4), D.1.5)
трансформируется:
уравнения движения
L^U(i)+p(i)a;2U(i) =0;	D.1.9)
граничные условия
D.1.10)
U«) = u«)) Lu() = Lu«+i)) Хз = ж«.
4.1.3. Решение линейной системы. Решение системы уравнений D.1.4)
будем искать в виде
V(a1,a2,x3) =U0(aba2)e.	D.1.11)
После подстановки D.1.1) в систему D.1.4) приходим к однородной линей-
линейной системе алгебраических уравнений
\L(a,aua2)+puj2l)lJ0 = 0.	D.1.12)

58	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
Условием существования нетривиального решения этой системы является
det ||L (а, аъ а2) + pu2l\\ = 0.	D.1.13)
Выражение D.1.13) представляет собой уравнение шестой степени относи-
относительно сгив общем случае имеет шесть различных корней. Общее решение
системы D.1.4) имеет вид
U = AiCie^1'''")*3 +А2С2е{7B'а1'а2'а;)жз,	D.1.14)
где Ak —- матрицы третьего порядка, векторы которых удовлетворяют си-
системе D.1.12) соответственно для значений сг = at; eCT (fc, qji, «25 ^) хз —
экспоненты от матриц
сгA, аъ а2, cj)=diag{<7b о2, стз}, сг B, аъ а2, и) =dlag{aA, а5, а6} .
Векторы Ci =f {Ci, C2, Сз}, С2 =t {C4, С5, С6} определяются из
граничных условий D.1.4)—D.1.6). В общем случае они представляют со-
собой функции а\, а2, ш, имеющие особые множества в виде полюсов, нулей
и точек ветвления (в случае полупространства).
С учетом формул обращения Фурье, решение задачи D.1.4), D.1.5) пред™
ставляется в виде
u(xi, ж2, х3) = V^1 (аь a2)U (аъ а2, #з),	D.1.15)
или
х Qе^а1Х1+а2Х2иагёа2, D.1.16)
где Cfe (аь а2, ^) = С^ (аь а2, ^) Q.
4.1.4. Решение краевой задачи. Учитывая, что q(#i,a;2) = 0 вне
области О, запишем решение исходной краевой задачи D.1.1), D.1.2) в
виде
и(хи х2хз) = ^2 к(ж1 - €
п
k(s, t, ж3, w) = [ [ К(аь а2,
D.1.17)
Контуры Fi и Г2 выбираются в соответствии с принципом предельно-
предельного поглощения [11,38] и поведением элементов матрицы-функции

4.2. Гиперупругое полупространство
59
К
на вещественной оси. Как правило, при выборе времен-
временe~lu}t контуры Гх и Г2 совпадают с вещественной
ного множителя в виде e~lu}t контуры Гх и Г2
осью почти всюду, отклоняясь от нее, обходя отрицательные полюсы функ-
функции К (ai, «2, #з, ш) свеРхУ? а положительные — снизу.
4.2. Гиперупругое полупространство
Рассмотрим краевую задачу о колебаниях преднапряженного гипер-
гиперупругого полупространства, занимающего область | х\ |, | х^ | ^ оо, жз ^ О,
под действием осциллирующей на его поверхности нагрузки q (х\, ж 2) е~ш г.
Материал среды полагается сжимаемым, первоначально изотропным или
трансверсально^изотропным, имеющим упругий потенциал, начальное на-
напряженное состояние — однородным. Колебания предполагаются уста-
установившимися, временной множитель опущен. Исследования проводятся
в эйлеровой системе координат, связанной с начально-деформированным
состоянием.
4.2.1. Краевая задача. Краевая задача в этом случае описывается ли-
линеаризованными уравнениями движения B.2.6), которые запишем в виде
д
к=1
Щ + В12
+
= О,
дщ
523~
= 0, D.2.1)
513"
с граничными условиями
ж3 =0:
k=l
J'bk
=0
Г
дщ
D.2.2)
^ЗЗЗЗ^	Г с/цзз ^	Г С/2233^
ОХ3	ОХ\	0X2
и ф 0.

60	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
В выражениях D.2.1.), D.2.6) использовано представление C.2.9) компонент
тензора 0 с упругими коэффициентами Oiksp C.2.12), которые для удобства
перепишем еще раз:
2 [Fo
2v2jV12)] } ,
0jkkj = 2I
D.2.3)
F1
12
Здесь коэффициенты фи, Vmn определены формулами B.3.8), B.3.13),
и для потенциала Мурнагана C.2.7) принимают вид
^о = gn/3j ф2 = | [2/i + w (/i - 3) + |] ,
= \ \Aг - 3) Л - 2/1 + ^ (Д - ЗJ + ш (Д - /2) - | (Д - 1I ,
7п/3) F12 = F2i = -m,
о	4
- 3) - т {h - 1) - |] ¦
4.2.2. Сведение к линейной системе. После применения двумерного
преобразования Фурье к уравнениям D.2.1) и граничным условиям D.2.2)
краевая задача представляется уравнениями движения
-Pi
^—
0x
- a1a2B12U2 -
-—
0x3
U3 = 0,
(Л "I	Г\
1^ U2 - ia2B23 — U3 = 0, D.2.4)
дх	дх
-ia1B131—U1 - ia2B231—U2 + -P3 + ^3333-75—| Us = 0

4.2. Гиперупругое полупространство	61
с граничными условиями
хз =0
9зиз о ~ ^«1^1313^3 — Qi?
л Ш2 ¦•¦ л "з = О2,	D2.5)
л 9w3 .
с^зззз^	*«i<
GЖ3
жз —>• ^оо U 4 0.
В уравнении D.2.4) приняты обозначения Рп = 6>innia^ + 6>2nn2
(п _ 1 9 4^
Vfi — Х5 Z5 ^j-
4.2.3. Решение краевой задачи. Решение задачи D.2.4), D.2.5) пред™
ставляется в виде
Iff
k(s, t,
D.2.6)
Вид элементов матрицы-функции К («i, a2, ^з, cj) в представлении
D.2.6) существенно зависит от характера начального напряженного со-
состояния среды.
Общий случай напряженного состояния. В случае, когда начальное
напряженное состояние задается условием (а^ — компоненты тензора на-
начальных напряжений B.2.5)) af± ф а\2 ф а®3 (v± Ф v2 ф Уз) (однородное
напряженное состояние произвольного вида) элементы матрицы-функции
К («1, а2, хз, oS) представляются выражениями
к=1
Здесь А0 = det || Tkp \fk 1? Afep — алгебраические дополнения элемен™
тов Tfc p матрицы
Т = ^3223^1/21 ~ iM2 ^3223^2/22 ~ ^Л^2 ^3223^3/23 ~ ^^2?
D.2.8)

62	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
2
Мк = ак0кзкз, Мзк = ^an0nn33fnki к = 1, 2, 3,
п=1
где
$1к — ^2зF*3113^ — ^l) + «1^12^13,
S2k = 1^13F*3223^ — Р2) + «2^12^23,
D.2.9)
D.2.10)
crfe (к = 1,2,3) определяются из характеристического (в данном случае
бикубического) уравнения:
13S2k
fe = 0.	D.2.1
Напряженное состояние а^г ф а\2 — ^зз • ^ случае, когда НДС среды
задается условием (г\х / а\2 = CJ33 (НДС-1), из формул D.2.3) следует
симметрия коэффициентов 9iksp по индексам 2 и 3, т. е.
^2222 = G3333l в\22\ = 6>13315 <^2332 = ^3223 ?
#3113 — ^2112, 6*1212 = 6*1313? 6*1122 = ^1133?	D.2.12)
6*3333 = ^2222 = 6*2332 + ^2323 + ^2233, ^12 = #13-
Элементы символа уравнения D.2.6) Кц имеют вид D.2.7)—D.2.9) с
коэффициентами
, J2k = -—, J3k = 1 {k = 1, 2),
«cjfe	D.2.13)
/13 = 0, /23 = ^^'
ia2
Бикубическое уравнение D.2.11) в этом случае распадается на два и ак
(fc = 1, 2, 3) удовлетворяют уравнениям
33<i - р2) + ajBUal - oil) = 0 (fc = 1, 2),
I - Рз = 0.
D.2.14)

4.2. Гиперупругое полупространство	63
Напряженное состояние а%2 / а^г = а®3. В случае, когда НДС среды
задается условием aS^ / (jfi = о"з3(НДС-2), из формул D.2.3) следует
симметрия коэффициентов Oiksp по индексам 1 и 3, т. е.
#1111 — <^3333? <^1221 = ^32235 #1331 = ^3113?
#2112 = 6*2332, 6*1212 = ^32325 <^1122 = ^3322 ?	D.2.15)
л 	 л 	 л \ d \ п D 	 D
111 — 333 — 331 + 313 + 133? ^12 — ^23-
Элементы символа Kij имеют вид D.2.7)—D.2.9) с коэффициентами
1&	*«^^	/4 2 16)
/13 = -—5 /23 = 0.
гаг
В рассматриваемом напряженном состоянии среды характеристическое
уравнение D.2.11), как и в предыдущем случае, распадается:
(#3223^ - Р2)(вззззо1 ~ Pi) + <4Bf2(ai - а\) = 0, к = 1, 2,
~з — -Рз — 0.
D.2.17)
Напряженное состояние а33 / а^г = а22 • В случае, когда НДС среды
задается условием а33 ф сгп = (т\2 (НДС-3), из формул D.2.3) следует
симметрия коэффициентов Bihsp по индексам, принимающим значения 1
и2, т.е.
Д		 Д	Д		 Д	/)		 Л
111 — "9999, С/1991 — "9119, С/1 ЯЧ1 — "9449,
/1		 Д	Д		 Д	Д		 Д	/4 Л 1 О\
113 — 2235 313 — 323? 133 — 233?	D.Z.lcSj
д 	 д 	 д I Д i Д D 	 D
"mi — 222 — 112 + 212 + 122? -?*1з — ^23-
Элементы матрицы-функции К (а±, «2, ^з, cj) имеют вид
1 з
^° kf	D.2.19)
^ А;=1
A0 = det||To-|| f,=1;	D.2.20)

64	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
Д&р — алгебраические дополнения элементов Тир матрицы \\Ткр\\к р=1, где
Tzk = в3ззз(тк - 10ЦЗЗ («i/i* + /2*) {к = 1,2),	D.2.21)
-М. 3 =: ^3113^3/13? -^23 :=: ^3113^/23? -^33 :=: О-
В представлениях D.2.19) и D.2.21) участвуют коэффициенты
„рз	D.2.22)
jlj — —z,	/23 = —Ш1,	/Jfe = °Г°2 ^о	*
Уравнение D.2.11) как и в предыдущих случаях, распадается. ак удовле-
удовлетворяют уравнениям
@3333а2к - Рз)[@зизA2к - (^2И2^2 - Piuj2) - и2В12)] + г/
^3113^3 - (^2112^2 ^ Pl^2) = 0.
D.2.23)
4.2.4. Роль симметрии напряженного состояния. Выражения
D.2.19)-D.2.22) (равно как и D.2.7), D.2.9) с коэффициентами D.2.13) или
D.2.16) при других, частных видах напряженного состояния) являются наи-
наиболее общей для конкретного напряженного состояния среды, удобной для
программирования и численной реализации формой элементов матрицы
функции К (ai, а2, х3, ш).
В то же время, использование соответствующих соотношений между
упругими константами, реализующих свойства симметрии того или друго-
другого вида начального напряженного состояния, позволяет значительно упро-
упростить представление элементов матрицы функции К (ai, a2j x3j uS).
Например, в случае напряженного состояния а®3 ф aft = o\2 имеют
место соотношения D.2.18). Их учет в выражениях D.2.19)—D.2.22) по-
позволяет представить элементы матрицы функции К («i, a2i Ж3, oS) в виде
a\ a3l31l13 *?р-еа™ + а22А0е°
513
?13	?*13
D.224)

4.3. Гиперупругий слой	65
H
32
^жз	, H32
е	~ Ol/ц ——б
^13 =7СГЗПЗ ^2*12^е	Ol/ц
/А	I	В13	В13
К23 = -l^a3l1 L
Здесь
A = и2а3113А0, Ao = 0-2/12/31 - 0-1/11/32,	D.2.25)
hk = ^3113^	1- и 0i3i3, /за; = 03333ak — B\\33^—, /13 = #3113-
±f13	±f13
4.3. Гиперупругий слой
Рассмотрим краевую задачу о колебаниях преднапряженного упругого
слоя, занимающего область | х\ \, | ж2 | ^ оо, 0 ^ жз ^ h, под действи-
действием осциллирующей на его поверхности нагрузки q {х\, Х2) e~lujt. Нижняя
грань слоя жестко сцеплена с не деформируемым основанием. Материал
среды предполагается сжимаемым, первоначально изотропным, имеющим
упругий потенциал. Колебания предполагаются установившимися, времен-
временной множитель опущен. Исследование проводится в эйлеровой системе
координат.
4.3.1. Краевая задача. Краевая задача о колебаниях предналряженно-
го гиперупругого слоя с защемленной нижней гранью описывается ли-
линеаризованными уравнениями движения D.2.1) с граничными условиями
х3 = h :
дщ	ди3
"ЗИЗТ^ + 313 Т^ — 41 ч
ОХ3	ОХ\
ди2	ди3
223 т;	г C72323TJ	 — ^2 ?	(Л 1 1 Л
дх3	дх2	D.J.1J
^зззз т;	Ь ^иззт;	\- ^2233 т;— — ^з5
аж	аж	ож
= 0 : и = 0.	D.3.2)

66	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
4.3.2. Сведение к линейной системе. Следуя изложенной ранее схеме,
к краевой задаче D.2.1), D.3.1), D.3.2) применим двумерное преобразова-
преобразование Фурье по координатам х\1х2. В результате краевая задача сводится
к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений D.2.4)
с граничными условиями
х3 = h :
т;	^1^1313^3 = Qij
дх3
Т;	Ш2#2323^3 = Q2i	D.3.3)
дх3	х J
дщ	ди2
З^Г с/цзЗ"^	Г С/2233^	 — #3 j
ОХ3	ОХ\	0X2
х3=0: иг = U2 = Us = 0.
Решение системы D.2.4) при исследовании динамики слоя целесооб-
целесообразно представить в виде
k=l
3
U2 = ^2 hk {Ck\shakx3 + Ck2chakx3),	D.3.4)
k=l
3
Us = ^2 ^kichakx3 + Ck2shakx3.
k=l
Здесь fik выбираются из условия согласования представлений функций Uk
при удовлетворении решения D.3.4) системе D.2.4), коэффициенты Cik
определяются при подстановке D.3.4) в граничные условия D.3.3).
4.3.3. Решение краевой задачи. Решение исходной краевой задачи
D.3.1), D.3.2) строится путем удовлетворения решения D.3.4) граничным
условиям D.3.3) с последующим применением обратного преобразования
Фурье и может быть представлено выражением D.1.16), которое перепишем
в виде
Iff/
и = —т k [xi - f, х2 - г), xs, со
°	н	D3°5)
к (s, t, x3juj)= К (аь а2, х3, и) е~г(а18+а2г)ёагёа2.
Г1Г2
Вид элементов матрицы-функции К («i, a2j x3, ш) в представлении
D.3.5) существенно зависит от характера начального напряженного со-
состояния среды.

4.3. Гиперупругий слой
67
Общий случай напряженного состояния. В случае однородного на-
напряженного состояния af± ф а22 Ф ^зз элементы матрицы-функции
К («1, «2,
в представлении D.3.5) определяются формулами
1
Здесь
К2р =
D.3.6)
k=i
~А°
к=1
А^р, к, р = 1, 2, ..., 6 — алгебраические дополнения элементов Ткр ма-
матрицы
lncha\ I
Т =
h\sha\
О
О
0
0
1
0
0
1
/и
/21
0
/12
/22
0
Лз
/23
0
/
D
.3.8)
D.3.9)
Коэффициенты /п*. определяются выражениями D.2.9), D.2.10), постоян-
постоянные Oiksp для материала Мурнагана представляются формулами D.2.3).
Характеристические числа at (к = 1, 2, 3) удовлетворяют бикубическо-
бикубическому уравнению D.2.11), которое при введении обозначений
Нпк ~~
рп =
принимает вид
+ а2га2кВ13Б2к + a22a2kB23Slk = 0.
D.3.10)
D.3.11)

68	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
Напряженное состояние а^г ф и\2 = а33. В случае НДС-1 для ко-
коэффициентов Oiksp, участвующих в выражениях D.3.9) выполняются со-
соотношения D.2.12), определяющие симметрию по индексам 2 и 3. Эле-
Элементы матрицы К в представлении D.3.5) представляются выражениями
D.3.6)^D.3.9) с коэффициентами fki D.2.12), которые при использовании
обозначений D.3.10) принимают более компактный вид:
hk=. Щкп , hk = — (A = 1,2), /13=0, /23 = —, D.3.12)
где
Н^к = 0зззз^к ~ Р%-	D.3.13)
В рассматриваемом напряженном состоянии среды характеристическое
уравнение D.3.11) распадается, его корни удовлетворяют уравнениям
Н1кН4к + а\В\2 [а2к - а|] = 0 (к = 1, 2),
2	D.3.14)
^3223^3 ~ ^3 =0.
Напряженное состояние aft = а^2 ф ^зз- ^ случае НДС-2 для ко-
коэффициентов Oiksp справедливы соотношения D.2.15), определяющие сим-
симметрию по индексам 2 и 3. Элементы матрицы К в представлении решения
D.3.5) имеют вид D.3.6)—D.3.9) с коэффициентами
fik = —, hk = . Щкп , (* = 1, 2), Лз = —, /23 = 0. D.3.15)
Здесь
Нък = ^3333^"А; "" ^1*
Характеристическое уравнение D.3.11) как и в предыдущем случае,
распадается:
Н2кН5к + а%В*2(а2к - а?) = 0 (к = 1, 2),
D.3.16)
03113а23 - Р3 = 0.
Напряженное состояние а33 / сгJx = сг^. В случае НДС-3 для коэф-
коэффициентов Oiksp выполняются соотношения D.2.18). Элементы матрицы-
функции К («1, а2, жз, cj) представляются в виде (р = 1, 2, 3):
(г = 1,2),
D.3.17)
к=1
Здесь
Дг1 = /nl Shcri^3 ™/n
dfn2cha2x3 (n = 1, 2),
F23 = /23sha3x3,
Р31 = ch(iix3 - chсг2ж3, F32 = sh(iix3 + dshсг2ж3;

4.4. Составная гиперупругая среда (слой на полупространстве)	69
°/Л°	Л°
рк/А , A =
Т II 3
\lpkj\\ Pik=1,
алгебраические дополнения элементов Трк матрицы
ioLi{ln ehg\ —l\2 chcr|) —ia\(ln sh«7*+«ili2 sh cr|) ««
chcrj-—/12 chcr|) ^^«2(^11 shcr^+dli2 sh<
т=
\_	i _	2	_	1	_	2	/
G\	(J2	G\	d2	/
D3.19)
Здесь
/ — й ^зк а- Й	1-й 2 Й ^3k (h — Л 9)
, ,2.
FT
fk= • 2 3 p	(fc = 1, 2),
rr (Й ^2 p ч	D3.20)
,	^21,^3333^1 — гъ)
В рассматриваемом напряженном состоянии характеристическое уравне-
уравнение D3.11) также распадается:
НзкН6к - и2В12Нзк + и2а2кВ213 = 0 (к = 1, 2),
D3.21)
Я63 = 0,
где
- РШ2) = Яи + «1^12, U2 = а? + «2-
4.4. Составная гиперупругая среда
(слой на полупространстве)
Рассматриваются колебания предварительно напряженной структурно
неоднородной среды под действием нагрузки <i(xi,X2)e~luJt, осцилли-
осциллирующей на ее поверхности. В качестве составной среды рассматривает-
рассматривается предварительно напряженный слой \xi\, \х2\ ^ оо, 0 ^ х3 ^ h,
лежащий на поверхности начально деформированного полупространства
xi\ ? |^2| ^ 005 х3 ^ 0. Начальное напряженное состояние слоя и полу-
полупространства предполагается различным.
4.4.1. Краевам задача. Краевая задача описывается линеаризованны-
линеаризованными уравнениями движения C.3.1) с граничными условиями
х3 = h :
(жъ х2) е О,
D.4.1)
{)iu

70	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
Жз =0, \х\
оо :
D.4.2)
0A) _ 0B) ?	V	J
здесь верхним индексом A) отмечены переменные слоя, индексом B) —
переменные полупространства.
4.4.2. Решение краевой задачи. Решение краевой задачи C.3.1), D.4.1),
D.4.2) представляется в виде
U("> (Я!, Х2, Х3) = ^г }}к(П) (Ж1 " ^ Ж2 " »?, Хз, СО) «
п
к("> (в, *, жз, ш) = f f К<"> (аь а2, жз, ш) ei{a^+
Г1Г2
D.4.3)
Как и ранее, контуры Гх и Г2 выбраны в соответствии с принципом
предельного поглощения [38] и поведением элементов матрицы-функ-
матрицы-функции Шп^ («1, «2, #з, и) на вещественной оси. Они совпадают с веще-
вещественной осью почти всюду, отклоняясь от нее лишь при обходе отрица-
отрицательных полюсов сверху, а положительных — снизу. Представление D.4.3)
определяет вектор перемещения произвольной точки слоя | х\ \, | x<i \ ^ сх),
О ^ %з ^ h (n = 1) или полупространства | х\ \, | Х2 \ ^ оо, Ж3 ^ О
(п = 2) и существенным образом зависит от характера начального напря-
напряженного состояния среды.
Напряженное состояние произвольного вида. В случае, когда слой
подвержен действию однородных начальных напряжений а[^ ф а^2 ф
^ сгдз , а НДС полупространства также однородно и задано условием
BH / BH / BH	.	- iz(n\ (	X
и\\ Т °2 Т °"зз •> элементы матриц-функции K{n) («i, «2, ^з? и)
в представлении D.4.3) имеют вид
1 3
К1р = до Е^ [Д^зЬ^^з + Дк+з.рсЬ^^з] (I = 1, 2),
А1
+ Д*+з,Рshears],	D.4.4)
D.4-5)

4.4. Составная гиперупругая среда (слой на полупространстве)
71
9
k,P=i'
кр — алгебраические дополнения элементов Т^р матрицы
т =
1<Ь31
О
о
1
о
о
1A)
?31
c
12
О
О
1
о
о
/С1)
о
о
1
о
о
/С1)
Здесь введены функции
/11
/21
О
hi
1V nk — ьпк
и использованы обозначения
«/12
!т2
о
42
«/13
/23
о
/A)
43
о
о
о
/11
_fB)
/21
-1
lB)
21
lB)
О
О
о
-/('2)
/22
-1
_jB)
_/B)
/B)
"/23
-1
/C)
D.4.6)
\
1
'
B)
33
D.4.7)
(п,к = 1, 2, 3)
(те) Ап) -, п(п)
^23 Mlk
j
зк
"" и3113ак	Г1 '
(n)
fc ~ га2^2233/2^ '
(n) _
3
1к Н2к
D.4.8)
uHkk
n) _
{n)
An) _
(n)
An) q(n) '
D.4.9)
сг^, ; определяются из характеристических уравнений
тт(п) Ми)	2(пJв(п) Мп)	2(пJв(п) Мп) _ 0	й 4 10)
Напряженное состомние сгJx / сг^ = СГ33 • В случае, когда напряжен-
напряженное состояние слоя или подстилающего полупространства определяется

72	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
условием а^г / о-^ = сгзз? следует симметрия участвующих в выраже-
выражениях D.4.8) коэффициентов в\^1р (слой п = 1, полупространство п = 2)
по индексам, принимающим значения 2 и 3 (НДС-1).
Решение задачи описывается формулами D.4.3)—D.4.7) с коэффициен-
коэффициентами D.4.8), в которых
f(n) — 	4fc	An) _ 2 /, _ -j ^x -(n) _ q л(п) _ °~3
Jlk — .	(n\^(n\i Hk — . (n\ V^ "" L-> Z/ ' «/13 — u? i23 — „• . ?
H 	 	7—ч	7—Г, /Oi 	 	7—Г	ft 	 ±, ZjI , /-i о 	 U, /oq
'Ire	,	G7,) 7-» G7,)	** 2 к	, G7,) ^	' / ' «/ lo	" «/ Zo
^«1G^ B]_2	l®k	0iJC2
D.4.11)
где
^(n) _ Q(n) a(nf _ p(n)
Характеристическое уравнение D.4.10) в данном напряженном состоянии
среды распадается:
a?B{f [a^f - al] = 0 (к = 1, 2),
D.4 Л 2)
Напряженное состояние о^2 Ф °"i i — °"зз • В случае, когда напряжен-
напряженное состояние слоя или подстилающего полупространства определяется
условием G22 Ф °~i I = °"зз 5 следует симметрия соответствующих, коэффи-
коэффициентов в\ь по индексам, принимающим значения 1 и 3 (НДС-2).
Решение задачи в этом случае описывается формулами D.4.3)^D.4.7)
с коэффициентами D.4.8), в которых
тт{п)	(п)
An) _ al	An) _	аък	(и _ 1 9^ f^ — ^J	 f^n) — П
Jlk "" . (П) > Jlk - .	(n) „(n) '	^ ~ i? Z) ' Jl3 ~ ^a ' J23 ^ U'
li12	1
D.4.13)
где
тт{п) 	 n(n) (nJ p(n)
Бк	3333 к	1
В рассматриваемом напряженном состоянии соответствующей составляю-
составляющей составной среды характеристическое уравнение D.4.10) распадается,
его корни удовлетворяют уравнениям
Я(п) тт(п)	2 тэ(пJ Г_(пJ _2] _
2fe ^5Й +a2^12 \ак ~al ~
D.4.14)
Напряженное состояние afx = о"^ 7^ °"зз • ^ случае, когда напряжен-
напряженное состояние слоя или подстилающего полупространства определяется
условием а^г = о^\ / сгдз, следует симметрия коэффициентов соответ-
п(п)
ствующеи составляющей составной среды Щкзр по индексам, принимаю-
принимающим значения 1 и 2 (НДС-3).

4.5. Неоднородный слой с защемленным основанием	73
Решение задачи в этом случае также описывается формулами D.4.3)—
D.4.7), но с коэффициентами D.4.8), в которых
#(п) _
/life —
аА; ^13	Ш ^ ^13	D.4.15)
/l3 = *O;2' «/23 = ~*-
В данном случае характеристическое уравнение D.4.10) распадается, его
корни удовлетворяют уравнениям
D.4.16)
т{п) тт{п)	2 г>{п) тт{п)	2 dW2 (пJ _
Зк П6к U DY1 nZk ^ U П\Ъ ак —
где	2
4.5. Неоднородный слой с защемленным основанием
Рассмотрим колебания неоднородного преднапряженного слоя, занима-
занимающего область | х\ |, | Х2 | ^ оо, 0 ^ хз ^ h. Предполагается, что меха-
механические параметры слоя, а также его начальное напряженное состояние
зависят от координаты х%. Материал слоя предполагается сжимаемым, пер-
первоначально изотропным. Движение среды осуществляется под действием
осциллирующей на его поверхности нагрузки q (хг, х2) e^twt. Исследова-
Исследования проводятся в эйлеровой системе координат, связанной с начальным
деформированным состоянием.
4.5.1. Краевая задача. Краевая задача о колебаниях неоднородного
преднапряженного слоя описывается линеаризованными уравнениями дви-
движения C.2.1) с граничными условиями C.2.2), C.2.3), которые запишем в
виде (индекс 1, характеризующий принадлежность тензорных и векторных
величин НДК опущен)
V-e = p—	D.5.1)
с граничными условиями
х3 = h :
q(u 2), (ь 2) О,
N - в = ID.5.2)
10?() $п
ж3=0, |xi|, |ж2| ^оо : и = 0.	D.5.3)
Особенность краевой задачи D.5.1)—D.5.3) состоит в том, что компонен-
компоненты тензора начальных напряжений и меры деформации Фингера F,
а также коэффициенты фк и Т4Шэ через которые представляется тензор 8

74	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
C.2.4), предполагаются произвольными, достаточно гладкими функциями
координаты жз. Начальное напряженное состояние наводит в слое анизо-
анизотропию, при которой для коэффициентов
D.5.4)
участвующих в записи компонент Qkn тензора, имеют место соотношения:
01111 — ^2222? 01221 = 02112? 01331 = 02332,
03113 = 03223? 01313 = 02323? #1133 = 02233? D.5.5)
01111 = 02222 = 02112 + 01212 + 01122? #13 = #23-
4.5.2. Сведение к системе с переменными коэффициентами. Вне-
Внесем коэффициенты D.5.4) с учетом соотношений D.5.5) в систему уравне-
уравнений D.5.1). Получим:
503ИЗ дщ	д2и2	д2щ 901313 дщ
+ В+ #+	0
г 1 50
+L2 [и2 +
дХ2	ОХ\0Хз	0Хз ОХ\
ди2	д2щ 901313 дщ
0x3 0x3	дх2дхз дхз дх2
OX2OX3 J	OX3 \OXi OX2J	0X3 0X3
D.5.6)
где
Применив к краевой задаче D.5.6), D.5.2), D.5.3) двумерное преобразо-
преобразование Фурье, представим ее в матричной форме:
Y/ = M(a1,a2,^3)Y	D.5.8)
с граничными условиями
Dfc(aba2, ft)Y = Q*,
D.5.9)
Do(aba2, 0)Y = 0,
где
Искомый вектор в (системе D.5.8)) имеет вид
/
D.5.10)

4.5. Неоднородный слой с защемленным основанием
75
здесь Ukj Qk — трансформанты Фурье компонент векторов перемещений
и напряжений соответственно;
М =
^3113
n
<^3333
1
0
0
г»
pi
^3113
6*3113
0
1
0
ol\B\3
#3113
#3113
pi
^3333
^3333
0
0
1
Pi
OL 2 -012
pi
^1133
^3333
0
0
0
a? #12
P<2
^1133
0
0
0
«1^313 \
Рз
0
0
0
3
/
D.i
5.11)
Компоненты матрицы М
2, жз)зависят от координаты жз и определя-
определяются характером изменения упругих параметров и начальных напряжений
в слое
Pn = 0lnr
f 03113 (h)
0
0
x2 ~~ p\u
ulksp
0
9з11з(Л)
0
0	0
о о
«зззз(Л) 0ii33(Л)
дх3
О
О
изз(^)
3131
О
\
0 0 0 10 0
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
D.5.13)
D.5.14)
4.5.3. Решение системы с переменными коэффициентами. Пред-
Представим решение системы D.5.8) в виде суммы линейно независимых ре-
решений задачи Коши с начальными условиями yi к («i, «2 ? 0) = Si к:
б
Yfc = У ^ Ci («I, Oi2)Vik (а1 ? tt25 хз)	(fc = 1, 2, . . . , 6).	D.5.15)
г=1
Неизвестные с\ («i, «2 ) (г = 1, 2, ..., 6), участвующие в представле-
представлении D.5.15), находятся при удовлетворении решения D.5.15) граничным
условиям D.5.9).
Окончательно решение краевой задачи D.5.6), D.5.2), D.5.3) предста-
представляется в виде D.1.17) с матрицей-функцией К (ai, «25 ^з, о;), элементы

76
Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
которой определяются выражениями
з
1
А
D.5.16)
к=1
Здесь коэффициенты fSj являются компонентами матрицы
1 21
«1
а 1
а2
—mi ^ia2
mi
1
ia2
1
D.5.17)
A = det r, RQk- — алгебраическое дополнение элемента г ^-матрицы
г(аь а2, h)=\
0312/13-«1^132/63\
<9|32/з1 +^11332/71
D.5.18)
В представлении D.5.18) введены обозначения
2/fen = Укп (h) , |/7п = У An + 2/5п,
01133 =^изз (Л), 013 =01313 (Л), 031 =^3ii3 (Л), 0зз =^зззз (Л). D.5.19)
4.5.4. Случай отсутствии начальных напряжений. В частном слу-
случае, когда механические параметры слоя зависят от координаты хз, а на-
начальные деформации отсутствуют (т. е. v\ = v2 = ^з = 1 — имеет место
условие стзз = сг^ = а^2 = 0), коэффициенты 6iksp вырождаются:
°jjjj = х(хз) + 2/х(ж3), 9jkkj = %fejfe = М(^з), 0jjkk = A(ar3).
D.5.20)
В этом случае система D.5.6) принимает вид
т г 1 5/i дщ	92ii2	92ii3 <9/i <9ii3
0Xiox2
OX1OX3
ОХ\ОХ2
D.5.21)
, 	- . Э (A + 2/x) <9ii3 _n

4.5. Неоднородный слой с защемленным основанием
11
где
ill
дх\
/ л	е\ \ U	U	U
= (Л + 2/л) ^™^т + Ртгт + ^тг^т
oxi oxi
дх\
D.5.22)
L3=^
л +
Q2
После применения преобразования Фурье система уравнений D.5.21),
D.5.22) преобразуется к виду D.5.8), граничные условия — к виду D.5.9)
с матрицами
М =
/i
О
о
fi1
а\
Pi
Л+/1 (Л+2/i)'
Л+2/i Л+2/i
О
>(Л)
о
о
Л+2/i
0
0
1
Л+2/i
0
0
0
0
0
/i
/i
Л+2/i Л+2/i
О
I
D.523)
-a?//(ft)
О Л (h) + 2/x (ft) Л (ft) Л (ft)
D.5.24)
Параметры Л, /i, p, участвующие в представлении элементов матрицы М
зависят от жз.
Р2 =
Р3 =
(Л + 2/i) a\ - риз1,
D.5.25)
pa;2
ii2 = af
4.5.5. Решение краевой задачи в вырожденном случае. Решение кра-
краевой задачи D.5.8), D.5.9) с матрицами D.5.24), D.5.25) представляется в
виде D.1.17) с матрицей-функцией K(ai, «2, ^з, о;), элементы которой

78	Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
определяются соотношениями D.5.16) с коэффициентами D.5.17), но с ма-
матрицей г, которая в этом случае принимает вид
(х1 B/u-ai2/6i)	fi1 (у 12-aly62)	/i1 (y13-aly63) \
M1 B/2i-«i2/6i)	M1 B/22-^22/62)	pt1 B/23 —«22/63)
D.5.26)
В представлении D.5.26) использованы обозначения
г = r(aua2jh), у7к = 2/4fc + уы,
D.5.27)
А1 = A (h), /х1 = /1 (h), 2/fen = 2/Лп (h).
4.6. Неоднородный слой,
лежащий на однородном полупространстве
Рассмотрим колебания составной преднапряженной среды под действи-
действием нагрузки q(#i,a;2) e~tU!t9 осциллирующей на ее поверхности. В каче-
качестве составной среды рассмотрим неоднородный преднапряженный слой
\xi\, |ж2| ^ оо, 0 ^ ж3 ^ h, лежащий на поверхности однородного
преднапряженного полупространства (занимающего область \х\\, \х2\ ^
оо, хз ^ 0). Механические параметры слоя, равно как и начальные на-
напряжения, зависят от координаты хз,
4.6.1. Краевая задача. Краевая задача описывается линеаризованны-
линеаризованными уравнениями движения C.4.1) с граничными условиями A.1.2), услови-
условием стыковки слоя с полупространством C.4.10), которые запишем в виде
(г = 1 — слой, г = 2 — полупространство):
v-e(i)='°li)-^-'	D-6л)
с граничными условиями:
х3 = h :
D.6.2)
(Д	(хих2)$П,
Хз =0, Х\ , |^21 ^ ОО •
цС1) = uB), n . (в^ - в^) = 0,	D.6.3)
uB) I 0.	D.6.4)
Особенность краевой задачи D.6.1)—D.6.4) состоит в том, что компоненты
тензора начальных напряжений и меры деформации Фингера F, а также

4.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве	79
коэффициенты фк и Т4Шэ через которые представляется тензор 0^ C.2.4),
предполагаются произвольными, достаточно гладкими функциями коорди-
координаты жз- Начальное напряженное состояние слоя наводит анизотропию,
хх	лA)	лA) ( х
при которой для коэффициентов Щк8р = Щк8р\х^)^ участвующих в записи
компонент 8^ тензора имеют место соотношения:
/аA) _ /аA)	дA) _ дA)	дA) _ дA)
С/1111 — С72222, С71221 — С/2112, 1/1331 — ^23325
73113 "~ ^3223' Р1313 "~ ^2323?
механические параметры полупространства, компоненты тензора началь-
начальных напряжений и меры деформации Фингера F, коэффициенты фи и Vkm,
через которые представляется тензор 0B), не зависят от координаты х%.
Начальное напряженное состояние полупространства полагается однород-
BH / BH' / BH
ным и определено условием a\tJ ф (J22; ^ а\^ .
Применяя к краевой задаче D.6.1)-D.6.4) двумерное преобразование
Фурье представимм ее в матричной форме:
D.6.6)
D.6.7)
x3=h: D^] (aba2,ft)YA) = Q*;	D.6.8)
ж3 = 0 : D^ (аг, а2, 0) Y^ = D^} (ах, а2, 0) Y^2^,	D.6.9)
D.6.10)
Здесь
=t {-iatVP, -ia2V2{1\ У3A), -
D.6.11)
vl1] =dU{k1]/dx3, Q*=t{-*aiQi,-ia2Q2, Q3},	D.6.12)
Y<2> =f { -Wl U™, -ia2 U?\ UP] ,	D.6.13)

80
Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
где
в
^3113
^3113
0
BfJ
в{1)
^3333
1
0
0
и
/э(Д)
^3113
^3113
в[у
/зA)
^3333
0
1
0
^3113
а2В^
/i(i)
^3113
^3333
jQ A)
^3333
0
0
1
^3113
^3113
•1 A)
^1133
/зA)
^3333
0
0
0
/зС1)
^3113
^3113
^1133
jQ A)
^3333
0
0
0
^3113
^3113
^3333
0
0
0
D.6.14)
= ^lnnlal + ^2nn2a2 ~ Pi u2'i	D.6.15)
- дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:
/
, д
дх3
, д
дх3
, D.6.16)
Для матриц D^ ^ и D^, участвующих в D.6.8) - D.6.10) имеем соотноше-
соотношения
где
о 4Х)
V о о
ы,
О ™
\
о -«|41}
№ 0 /
D.6.17)
D.6.18)
D.6.19)

4.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве
81
0 0 0 10 0
=000010
0 0 0 0 0 1
D.6.20)
/ лB) j^
^3113 "оТ"
о
3223
дх3
\
71133
^2233
2^2323
3333
D.6.21)
/
Jj
fc Jj трансформанты Фурье компонент векторов перемещений и
напряжений слоя (г = 1) и полупространства (г = 2) соответственно.
Компоненты матрицы М^ зависят от координаты хз и определяются ха-
характером изменения упругих параметров и начальных напряжений в слое.
4.6.2. Решение системы. Как и в предыдущем разделе, представим
решение системы D.6.6) (соответствует слою с переменными свойствами)
в виде суммы линейно независимых решений задачи Коши с начальными
условиями yi к (аь а2, 0) = &ik'-
б
У^ («ь а2) = ^2ск (аъ a2)yik («ь «2, х3), к = 1, 2, ..., 6.
D.6.22)
Решение системы D.6.7) (соответствует однородному полупространству)
запишем в виде
где
7кХз, к = 1,2,3, D.6.23)
fB)
B)
lk
D.6.24)
fB) _ ^2^B)^1^ _ _
Нк — afe /2) ""
B) оB)
к Ь2к
fB) _
?B)
B)
находятся из уравне-
уравнеопределены формулами D.4.8), d^
ний D.4.10)
Неизвестные c« («i, a2 ) (i = 1, 2, ..., 6), участвующие в представ-
представлении D.6.22), и Q (ai, «2 ) i = 7, 8, 9, участвующие в представле-
представлении D.6.23), находятся при удовлетворении решений D.6.22) и D.6.23)
граничным условиям D.6.8) -D.6.10). После внесения D.6.22), D.6.23)
в D.6.8) -D.6.10) получаем матрицу 9x9 следующего вида:

82
Глава 4. Краевые задачи для предварительно напряженных сред
г =
rll
A)
Г21
M)
Г31
0
0
0
0
{ о
Г12
A)
Г22
Г32
0
0
0
0
r82
0
r13
A)
Г23
r33
0
0
0
0
0
r93
r14
A)
r24
rM
1
0
0
0
0
r94}
4}
r35}
0
1
0
0
0
r95}
r16
A)
r26
r36
0
0
1
76
r86}
0
0
0
0
fB)
ill
—r77
_rB)
r87
r97
0
0
0
/22
_/B)
rB)
'78
^r88
rB)
'98
0 \
0
0
-Л(з}
^J23
fB)
i33
^r79
^r89
rB) i
r99 /
D.6.25)
где
r
(ft) ,
П = 1, 2,
' 82
(h)y3k(h) +
@),
(h) [y4k (h) + y5k (h)}, к = 1, 2, ..., 6,
_ л,2дA) /П\	^С1) _ л,2лA)
r76
(l) _ лA)
J2)
f
1 93
rB)
-ДB) ^B)
3333 Vu/ ?
лB) B)
"l^lSlS V
A) _ A)
'
@),
0A)
дB) f B)
f B)
k = 1, 2, 3.
D.626)
Решение краевой задачи D.4.1)—D.4.4) для неоднородного слоя, лежа-
лежащего на поверхности однородного полупространства, представляется в ви-
виде D.4.3), где элементы матриц-функций К^п) («1, а2, хз, ш) определяют-
определяются соотношениями:
б
D.6.27)
к=1
к=1
здесь
f^i? являются компонентами матрицы D.5.17):
Rk- = R^jA^1, A = detr, r = Цг^-Ц f? j=:i ?
- алгебраическое дополнение элемента fkj матрицы D.6.24).

ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДНАПРЯЖЕННЫХ
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД
В настоящей главе приводятся интегральные уравнения и системы ин-
интегральных уравнений, возникающие при изучении задач теории упругости
о динамическом контакте жестких штампов с различными типами упругих
полуограниченных сред. Решения этих интегральных уравнений являются
базой для исследования динамики контактного взаимодействия массивных
тел (механических инерционных систем) с упругим основанием и возника-
возникающих, при этом взаимодействии резонансных явлений.
В каждом разделе настоящей главы приведены свойства символов ядер
интегральных уравнений. Вопросы существования и единственности ре-
решения интегральных уравнений, имеющих аналогичные свойства, деталь-
детально изложены в публикациях и монографиях В.А. Бабешко и И.И. Воровича
[11, 23, 24, 67 и др.]. При изучении динамики преднапряженных сред про-
проблема однозначной разрешимости тесно связана с вопросами поверхност-
поверхностной и внутренней устойчивости среды, которые исследовались в работах
Д.И. Лурье, А.Н. Гузя, Л.М. Зубова [54, 61-63, 74, 75 и др.].
Целью настоящей работы является исследование закономерностей вли-
влияния НДС полуограниченной среды на динамику контактирующих, с ней
массивных тел или инерционных систем. В связи с этим будем полагать,
что рассматриваемый в данной монографии диапазон изменения начальных
напряжений не выходит за пределы критических, значений, которые могут
привести к потере устойчивости среды.
В рамках таких предположений доказательство теорем существования
и единственности решений изучаемых в настоящей работе интегральных
уравнений может быть опущено, поскольку ничем не отличается от пред-
представленных в статьях и монографиях В.А. Бабешко и И.И. Воровича до-
доказательств теорем существования и единственности решений подобных
интегральных уравнений при отсутствии предналряжений. В настоящей
работе лишь отмечены свойства символов ядер интегральных уравнений,
наличие которых является необходимым условием однозначной разреши-
разрешимости.
5.1. Некоторые задачи о контактном взаимодействии
массивных тел5 механических (инерционных с сосредото-
сосредоточенными параметрами) систем с полуограниченными
средами
Развитые в предыдущих разделах методы исследования колебаний
полуограниченных преднапряженных сред являются базой для ис-
исследования особенностей динамического взаимодействия дискретных

84 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
элементов (массивных штампов, инерционных систем, стержневых си-
систем) с полуограниченными средами.
Будем предполагать, что жесткое массивное тело (штамп) располага-
располагается на поверхности среды и совершает установившиеся колебания под
действием силы, изменяющейся по гармоническому закону. Вне области
контакта напряжения отсутствуют.
В качестве и нерционной рассматривается двухмассовая система, пред-
представляющая собой массивный штамп rri2, контактирующий со средой и
связанный посредством упругой связи с массивным телом т\.
В зависимости от вида упругой связи, рассматриваются следующие
инерционные системы:
-	двухмассовая система (а), в которой роль упругой связи играет пру-
пружина жесткости к;
-	двухмассовая система (б), с упругой связью в виде стержня, модуль
упругости и плотность материала которого равны соответственно Eq и ро-
Основным подходом, который будет использоваться в этом направле-
направлении, является согласованное решение соответствующих уравнений (систем
уравнений, краевых задач в случае стержня) движения штампов (системы)
и краевых задач о колебании среды.
5.1.1. Колебания массивного штампа (общий случай). Движение
массивного, занимающего в плане область О, жесткого штампа на по-
поверхности преднапряженной среды (здесь и далее временной множитель
опущен) в общем случае описывается уравнениями:
w = wc + c/9xS,	E.1.1)
Г Г
= F-R, K= \\q(xux2)dx1dx2,	E.1.2)
-u2J(f = M, M = N- (S x q(x1,x2))dx1dx2,	E.1.3)
Q
где m — масса штампа, w — амплитуда его колебаний, wc — вектор пе-
перемещения центра масс, S = {х\ ~~ ж?,#2 — Х2?хз — хз}-> Ж1? Ж2? хз —
координаты центра масс штампа, (р = {cpi, ^25 ^з} — вектор углов пово-
поворота, J — диагональная матрица с элементами Ji, J2, J3, «Л, i = 1, 2, 3 —
моменты инерции штампа относительно осей xi, х^, х%. F — главный век-
вектор, N — главный момент внешних сил, приложенных к штампу, R —
реактивная сила, М — реактивный момент сил, q (х\, Х2) — напряжения,
возникающие при контакте штампа с основанием.
Перемещение штампа и волновое поле в среде определяются путем со-
согласованного решения уравнений движения штампа и краевой задачи о ко-
колебании среды, на поверхности которой (жз = жзо) должны выполняться
условия:
w = и(жьж2,ж3о), хъх2еп,	E.1.4)

5.1. Взаимодействие массивных систем с полуограниченными средами 85
q(xbx2) = O5 хъх2фп,	E.1.5)
где и (х\, Х2 , жз) — вектор перемещения произвольной точки среды.
5.1.2.	Поступательные колебании штампа. В случае поступатель-
поступательных колебаний ((р = 0, w = wc) движение штампа описывается урав-
уравнением E.1.2). Перемещение штампа и волновое поле в среде определяют-
определяются путем согласованного решения уравнений движения штампа и краевой
задачи о колебании среды, на поверхности которой (ж3 = х3о) должны
выполняться условия E.1.2) и E.1.4), E.1.5).
5.1.3.	Колебания инерционной системы (а). В случае инерционной
системы (а), совершающей поступательные колебания под действием си-
силы F, уравнения движения штампа Ш2 и тела mi имеют вид
2i = —к (wi — W2) + F,
2 = к (wi — W2) — R, R — ч(жъ x2) dx\ dx2j v • • i
о
где wi, W2 — амплитуды колебаний тела mi и штампа Ш2.
Перемещение элементов системы и волновое поле в среде определяются
путем согласованного решения уравнений движения элементов системы
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
которой (хз = хзо) должны выполняться условия
w2 = u(a;i, X2, ж3о), xi, x2 e О,	E.1.7)
u х2) = 0, хих2фп,	E.1.8)
где и {х\, Х2, хз) — вектор перемещения произвольной точки среды.
5.1.4. Колебания инерционной системы (б). В случае инерционной
системы (б), совершающей поступательные колебания под действием силы
F, движение элементов системы определяется краевой задачей
^	2,	E.1.9)
д w
х = 1 : -mipo^2w = F - Ео ——,
ох
х = 0 :	-т2рош2ш = Ео ^— - R, R =
х
E.1.10)
где w — амплитуда колебаний соответствующего сечения стержня.
Перемещение элементов системы (б) и волновое поле в среде опре™
деляются путем согласованного решения краевой задачи E.1.9), E.1.10)
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
которой (хз = хзо) должны выполняться условия
wU=o = и(#ъ#2,#зо) j хг,х2еп,	E.1.11)

86 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
q(#i, x2) =0, Xi, X2 (? О,	E.1.12)
где u (xi, ж2, ж3) — вектор перемещения произвольной точки среды.
5.2. Однородное полупространство
Рассматривается задача о вибрации жесткого штампа, занимающего
в плане область О, на поверхности преднапряженного полупространства
%з ^ 0. Смещение подошвы штампа задается функцией f (xi, x2). Пред-
Предполагаем, что поверхность среды вне области контакта свободна от на-
напряжений, колебания — установившиеся, гармонические, все параметры
задачи убывают при жз —>• ^оо, материал среды является гиперупругим,
первоначально изотропным или трансверсально-изотропным.
5.2.1. Система интегральных уравнений. Из вышеизложенного (пп.
4.1 и 4.2) следует, что задача сводится к исследованию системы интеграль-
интегральных уравнений III порядка (q {х\, х2) — неизвестная функция распределе-
распределения контактных напряжений, и (х\, х2) = f {х\, х2) —заданная амплитуда
перемещений подошвы штампа):
{х\ — ?, Ж2™^5 ш) q(?, 77) d? drj = f (xi, x2), (xi,x2)E:Q, E.2.1)
о
Iff
k (s, t, cj) = -—- К(аьа2,и;) e^*(aiS+a2t)daida2,	E.2.2)
4тг^ J J
К (аь a2, cj) = ||^ (ab a2, w)|| i?i=i-	E-23)
Здесь iiT^- («i, a2, oS) i, j = 1, 2, 3 имеют вид
"гр до
A;=l
E.2.4)
-— Уд
А0 = det || Г^р ||^ 1Э А^р — алгебраические дополнения элементов Tfep
матрицы D.2.8). Коэффициенты fit, участвующие в представлении E.2.4),
в зависимости от вида НДС определяются либо формулами D.2.10) — про-
произвольное напряженное состояние, либо соотношениями D.2.13)—НДС-1,
либо формулами D.2.16) — НДС-2, либо выражениями D.2.22) — НДС-3.
Элементы К и («i, «25 и) являются четными, Кц («i, «2, и>) (г ф j) —
нечетными функциями, аналитическими в комплексной плоскости с непе-
непереходящими друг в друга разрезами, лежащими строго в первом и третьем
квадрантах (по три в каждом из них), и имеют на вещественной оси два

5.2. Однородное полупространство	87
полюса (по одному на положительной и на отрицательной полуосях). Раз-
Разрезы проведены от точек ветвления, которые определяются численно из
уравнений
<гк (аь а2, cj, <7?1? <т%2, а°33) = О (к = 1, 2, 3)	E2.5)
(о^ удовлетворяют характеристическому уравнению D.2.11)) до бесконечно
удаленных точек.
Функции Kij на разных отрезках вещественной оси обладают качественно
различным поведением: принимают вещественные значения при \а\ ^ х*,
(ж* = max {xi, >f2, >^з})?при|а| ^ ж0 (м° = min{xi, k2j k%} — мнимые,
в остальной области — комплексные. При ai, «2 —>- оо имеет место ра-
равенство
Kij (aba2) = Н Су G) [l + O (и)]	E.2.6)
(ai = HCOS7, «2 = ^sin7, ^2 = ol\ + a|). Коэффициенты Cij G) зависят
от механических параметров среды и начальных напряжений.
Однозначная разрешимость систем интегральных уравнений анизо-
анизотропной теории упругости, подобных E.2.1)—E.2.3), установлена в рабо-
работах [11, 38].
5.2.2. Вертикальные колебания полосового штампа. Задача о вер-
вертикальных колебаниях полосового штампа, занимающего в плане область
х\\ ^ 1 на поверхности преднапряженного полупространства, сводится
к решению системы интегральных уравнений II порядка (f (х\) = {Д, /з },
Q (#i) = {<7ъ О'з} — векторы смещения подошвы штампа и распределения
контактных напряжений), которая имеет вид
1
к (хг - 0 q@ dC = fW , kiK 1,	E.2.7)
k(t) = ^~^K(a)eiatda, К (a) = \\Ki3 (a)\\ iij=h3.	E.2.8)
г
Здесь K^ (a) — элементы матрицы К (a), полученной из К (ai, «2, ^)
E.2.3) удалением строк и столбцов с номером 2 и подстановкой в оставши-
оставшиеся члены ai = a, «2 = 0.
Элементы К и (а) являются четными, Кц (а) (г ф j) — нечетными
функциями своих аргументов, аналитическими в комплексной плоскости с
непереходящими друг в друга разрезами и имеют на вещественной оси два
полюса. Разрезы лежат строго в первом и третьем квадрантах (по два в каж-
каждом из них) и соединяют бесконечно удаленные точки с точками ветвления,
которые определяются численно из уравнений
<тк (а, и, a°tlJ a°22j a°33) =0 (к = 1, 2),	E.2.9)
где at удовлетворяют характеристическому уравнению D.2.11). На разных
отрезках вещественной оси эти функции обладают качественно различным

88 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
поведением: принимают вещественные значения при \а\ ^ К2, мнимые —
при \а\ ^ mi, в остальной области — комплексные.
При а —>¦ оо справедливы представления
Kij (а) = а~газ [1 + 0 (а~2)] , г, j = 1, 3,	E.2.10)
где коэффициенты Cij зависят как от механических параметров среды, так
и от начальных напряжений.
5.2.3. Сдвиговые колебания полосового штампа. Задача о сдвиго-
сдвиговых вдоль оси Х2 колебаниях полосового штампа, занимающего в плане
область \xi | ^ 1 на поверхности преднапряженного полупространства, сво-
сводится к решению интегрального уравнения:
1
к (х\ — ?) д2 (С) ^С = / (xi) •) \xi\ ^ 1?	E.2.11)
-1
г
Здесь К (а) = К22 («), где К22 (сх) в данном случае может быть запи-
записана в виде
К22 (а) = а21 = . \	E.2.12)
Функция К22 (сх) является четной, аналитической в комплексной плоскости
с непереходящими друг в друга двумя разрезами, лежащими строго в первом
и третьем квадрантах, и не имеет полюсов на вещественной оси. Разрезы
проводятся от точек ветвления
«1,2 = ±ихП^	E.2.13)
V 221
до бесконечно удаленных точек.
При \а\ ->• оо справедливо представление:
К22 (а) = laf1 C22 [1 + 0 (сГ2)] .	E.2.14)
Здесь С22 является функцией механических параметров среды и предна-
пряжений.
53. Однородный слой
Рассматривается задача о вибрации жесткого штампа, занимающего в
плане область О, на поверхности преднапряженного слоя 0 ^ жз ^ h. Сме-
Смещение подошвы штампа задается функцией f (xi, Ж2), поверхность среды
вне зоны контакта свободна от напряжений, нижняя грань слоя х% = О
жестко сцеплена с не деформируемым основанием. Колебания предполага-
предполагаются установившимися, материал среды — гиперупругий, первоначально
изотропный или трансверсально-изотропный.

53. Однородный слой	89
5.3.1. Система интегральных уравнений. Как следует из разделов
4.1 и 4.3, задача сводится к исследованию системы интегральных уравне-
уравнений III порядка E.2.1)—E.2.3) с матрицей К (а±, «2, и), элементы которой
имеют вид
1
= д^ ]Р fik [Akp shakh + Ak+3^pchakh] , г = 1, 2,
1 3
^	i],	E.3.1)
к=1
6
г, j=i
где А^р, fc, p = 1, 2, ..., 6 — алгебраические дополнения элементов Ткр
определителя матрицы D.3.8). Участвующие в представлениях E.3.1) ко-
коэффициенты / пк определяются либо формулами D.2.9), D.2.10) — одно-
однородное напряженное состояние произвольного вида, либо соотношениями
D.3.12) — для НДС-1, соотношениями D.3.14) — для НДС-2, соотношени-
соотношениями D.3.20) — для НДС-3 соответственно.
Функции Кц («1, «2, и) являются четными, Кц (ai, a.2, uS) (i ф j) —
нечетными, мероморфными в комплексной плоскости и имеют на веще-
вещественной оси конечное, зависящее от частоты, количество нулей и полю-
полюсов. Расположение последних диктует выбор контуров Т\ и Г2 в уравне-
уравнениях E.3.1) по правилам, указанным в [11, 38], обеспечивая тем самым
единственность решения этих уравнений.
Анализ показал, что в достаточно широких пределах изменения НДС
сохраняется строгое чередование вещественных нулей и полюсов функ-
функций К^ (ai, «2 5 h, и), за исключением особых областей, где имеются дву-
двукратные полюсы. Асимптотические свойства элементов Кц (ai, «2, h, и)
определяются формулами E.2.5).
Как уже отмечалось, исследованию интегральных уравнений анизо-
анизотропной теории упругости, ядра которых имеют подобные свойства, в том
числе изучению их однозначной разрешимости, посвящены работы [11,38].
В частном случае, когда afx = а^2 / ^зз?в [66, 67] исследовалось влия-
влияние начальной деформации на полюсы функции Кц (а\, «2, ^, oS) (случай
плоской задачи) и связанные с ними фазовые скорости поверхностных волн.
В других случаях влияние НДС носит более сложный характер: по-
поверхности нулей и полюсов, имеющие в ЕС вид тел вращения, в НДС
приобретают свойственный анизотропным средам вид [11, 31, 38, 39].
5.3.2. Вертикальные колебания полосового штампа. Задача о верти-
вертикальных колебаниях полосового штампа, который занимает в плане область
х\ | ^ 1 на поверхности преднапряженного гиперупругого слоя, нижнее
основание которого жестко защемлено, сводится к решению системы инте-
интегральных уравнений E.2.7), E.2.8), где матрица-функция К(а) получается
из функции К (ai, «2, ^) E.3.1) удалением строк и столбцов с номером 2
и подстановкой ai=a5a2 = 0.

90 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
Функции Кц (а) — элементы К (а) — являются аналитическими в
комплексной плоскости и имеют на вещественной оси конечное, завися-
зависящее от частоты, количество полюсов и нулей. При г = j они являются
четными, при г / j — нечетными функциями. При а —>> сю справедливы
асимптотические представления E.2.10) с зависящими как от механических,
параметров среды, так и от начальных напряжений коэффициентами Сц.
5.3.3. Сдвиговые колебании. Задача о сдвиговых вдоль оси х2 коле-
колебаниях полосового штампа, занимающего в плане область \х\\ ^ 1, на
поверхности преднапряженного слоя с защемленным основанием сво-
сводится к исследованию интегрального уравнения E.2.11), в котором
E.3.2)
где а2 определяется из уравнения (напряженное состояние слоя полага-
полагается однородным произвольного вида, т. е. afx / а^2 Ф ^ззI
^3223^1 - (б>1221«2 - /W2) = 0.	E.3.3)
Функция К22 (а) является четной, мероморфной в комплексной плос-
плоскости, имеет на вещественной оси конечное, зависящее от частоты, ко-
количество нулей и полюсов. Асимптотическое поведение при \а\ —»¦ оо
определяется формулой E.2.14).
5.4. Слой на поверхности полупространства
Рассматривается задача о вибрации жесткого штампа, занимающе-
занимающего в плане область О, на поверхности преднапряженной двухслойной сре-
среды, представляющей собой упругий начально-деформированный слой 0 ^
жз ^ h, жестко сцепленный с упругим преднапряженным полупростран-
полупространством хз ^ 0. Смещение подошвы штампа задается функцией f (#i, x2),
поверхность среды вне зоны контакта свободна от напряжений. Колеба-
Колебания предполагаются установившимися.
5.4.1. Система интегральных уравнений. Как показано в п. 4.4,
задача сводится к исследованию системы интегральных уравнений III
порядка (q(#i,X2) — неизвестная функция распределения контактных
напряжений, и (х\ ^х2) = f {х\, х2) — заданная амплитуда перемещений
подошвы штампа):
()	x2), (xux2)eil,
E.4.1)

5.4. Слой на поверхности полупространства	91
(я, t, со) = JL \\kW (аиа2,со) е-^а^+а^Aа1Aа2, E.4.2)
и <*2,
3
E.4.3)
где элементы Кц («i, «2, cj) определяются формулами:
Kip = Ко Е ^ [Д/^Ц^ + Д^с/иг^л] , i = 1, 2,
= Ко Е
E.4.4)
^кр {к} р = 1, 2, ..., 9) — алгебраические дополнения элементов опре-
определителя Tkp, которые даются выражениями D.4.7) ак удовлетворяют
характеристическому уравнению D.4.10), коэффициенты цк определя-
определяются формулами D.4.9).
Функции Щ-' являются аналитическими в комплексной плоскости
с не переходящими друг в друга разрезами, лежащими строго в I и III
квадрантах (по три разреза в каждом из них). Разрезы проводятся от
точек ветвления, которые определяются численно из уравнений
^ („ъ а2, и, <т™°, °Т, 4f) =0 (к = 1, 2, 3), E.4.5)
до бесконечно удаленных точек (ак являются корнями характеристиче-
характеристического уравнения D.4.10)).
A)
Функции Кц (ai, «25 ^) принимают вещественные значения при
а\ ^ к*, (к*= шах I к[ ,щ ,щ И, мнимые — при \а\ ^ х°,
(к°= min < к\ \ж\ , щ >), в остальной области — комплексные, что
характерно для задач о колебании полупространства. Особенностью функ-
функций K]j («1, «2, и) является наличие на вещественной оси конечного,
зависящего от частоты, количества нулей и полюсов. Расположение по-
последних определяет выбор контуров Гх и Г2 в уравнениях E.4.1), E.4.2)
по правилам, указанным в [38], обеспечивая единственность их решения.
Анализ показал, что в достаточно широких пределах изменения НДС со-
сохраняется строгое чередование вещественных нулей и полюсов функций

92 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
К\у («1, а2, h, и). Их асимптотические свойства определяются форму™
лами E.2.5).
Изучению вопросов однозначной разрешимости интегральных урав-
уравнений, ядра которых имеют подобные свойства, посвящены работы [11,
38].
В частном случае, когда afx = а22 / ^зз (трансверсальная анизотро-
анизотропия), в [66] исследовалось влияние начальной деформации на полюсы
функции Кц («1, «2, h, и) и связанные с ними фазовые скорости по-
поверхностных волн.
5.4.2. Вертикальные колебания полосового штампа. Задача о вер-
вертикальных колебаниях полосового штампа, занимающего в плане область
\х\ | ^ 1 на поверхности составной среды, представляющей собой предна-
пряженный гиперупругий слой, жестко сцепленный с преднапряженным
полупространством, сводится к решению системы интегральных уравне-
уравнений II порядка:
МО, E.4.6)
-1
E.4.7)
Здесь f (xi) = {/i, /3} и qW (xi) = {^1,^3} — соответственно векторы
смещений подошвы штампа и распределения контактных напряжений;
Кц (а) являются элементами матрицы Ж^\а), полученной из функ-
функции К^ («i, а2, tj) E.4.4) удалением строк и столбцов с номером 2,
а также подстановкой а± = а, а2 = 0; К^' (а) — четные, К\у
(а) (г / j) — нечетные функции, аналитические в комплексной плос-
плоскости с разрезами, проведенными в I и III квадрантах от точек ветвления,
которые определяются численно из уравнений E.4.5), до бесконечно уда-
ленных точек. Они принимают вещественные значения при \а\ ^ ж2 ,
мнимые — при \а\ ^ к\ , в остальной области — комплексные; имеют
на вещественной оси конечное, зависящее от частоты множество полю-
полюсов и нулей. Асимптотические свойства определяются формулой E.2.10).
5.4.3. Сдвиговые колебания. Задача о сдвиговых вдоль оси x<i коле-
колебаниях полосового штампа, занимающего в плане область \х\\ ^ 1 на
поверхности преднапряженной составной среды, сводится к решению
интегрального уравнения:
1
Ы ^1,	EА8)

5.4. Слой на поверхности полупространства	93
E.4.9)
Здесь К (а) = К^2 (а), функция К^2 (а) может быть представлена в виде
E.4.10)
4 — определяются из уравнения
У3223и2
= 0-	E.4.11)
Выражения E.4.10), E.4.11) получены в предположении, что напряженное со-
состояние слоя и напряженное состояние полупространства однородны и опре-
(гH / (гH / (гH
делены условиями а\{ ^ (J\i T аЫ •
Функция К22 («j является четной, аналитической в комплексной плоско-
плоскости с двумя не переходящими друг в друга разрезами, проведенными строго
в I и III квадрантах, и имеет на вещественной оси конечное количество нулей
и полюсов. Асимптотическое поведение определяется выражением E.2.14).
5.4.4.	Неоднородный слой с переменными по глубине свойствами.
Рассматривается задача о вибрации жесткого штампа, занимающего
в плане область п, на поверхности преднапряженного неоднородного
слоя 0 ^ жз ^ h, \xi\, |#21 ^ oo. Предполагается, что механические
параметры слоя, а также начальные напряжения являются функциями
координаты жз- Нижняя грань слоя жестко сцеплена с не деформируемым
основанием. Смещение подошвы штампа, как и в предыдущих разделах, за-
задается функцией f (xi, X2), поверхность среды вне области контакта сво-
свободна от напряжений. Полагаем, что колебания являются установившимися,
гармоническими.
5.4.5.	Система интегральных уравнений. Как показано в п. 4.5. ре-
решение задачи сводится к исследованию системы интегральных уравнений III
порядка E.2.1)-E.2.3), где элементы Кц («i, «2, ^) имеют вид
?k (h), A = detr, r = ||г^-||, E.5.1)
k=i
алгебраические дополнения элементов rjk матрицы D.5.18), у и (х%) —
линейно независимые решения задачи Коши D.5.8) с начальными усло-
условиями tjik («1, «2,0) = Sik. Коэффициенты fij являются элементами ма-
матрицы D.5.17).
Функции К и являются четными, Кц {% ф ]) —нечетными, мероморф-
ными в комплексной плоскости и имеют вещественные нули и полю-
полюсы, количество которых зависит от частоты. Четность и мероморфность

94 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
функций Kij(ai, а2, h,u), г, j = 1, 2, 3 устанавливается из вида анали-
аналитической зависимости коэффициентов дифференциальных уравнений D.5.8)
от параметров «i, а2. Определить наличие и характер распределения ве-
вещественных нулей и полюсов можно лишь при задании конкретного вида
функций %м (ж3), р(хз), (?ij Оз).
5.5.6. Асимптотические свойства символа идра. Важную роль игра-
играет асимптотическое поведение функций Кц {pt\, a2j и) при \а\ |, \а2 | —>¦ оо,
исследование которого проведем с учетом трансверсальной анизотропии
задачи в предположении, что нагрузка на грани х% = h обладает осевой
симметрией.
Теорема5.5.1. При и —»- оо, и2 = а\ + а2 справедливо представление
ij (аъа2) =
j [1 + 0 (и^2)] .
E.5.2)
Поскольку ядро интегрального уравнения E.5.1) строится численно
на основе решения краевой задачи D.5.8), D.5.9), есть полное основание
отождествить асимптотические свойства ядра интегрального уравнения с
асимптотикой соответствующего краевого оператора.
Используя обозначения
2	2
9i = ^2Ук' д2 = ^3' ^3 = X]Ук' д4 = Уз'	E.5.3)
к=1	к=1
преобразуем систему D.5.8), D.5.9) к виду
G; = L(u,h) -G,	E.5.4)
E.5.5)
где
(и,
L
h)
=
•G =
/ h
к
1
\ 0
s,
к
0
1
h
0
0
(u,
и
и
0)
%
0
0
•G = 0,
\
/
Здесь
^3113
<^3113 '
^1313
^3113
^3333
Mi =
M4 = —
^3333
puo2
M5 = -
3113
1133
^3333
7
— ^1331 —
pUJ
Й^1
2 | ^3333?

5.4. Слой на поверхности полупространства
95
di О О -u2d2
О d3 d4 О
ОО1О
0 0 0 1
Обозначив
-1
е = и , zi =е gb z2=eg2,
перепишем задачу E.5.4), E.5.5) в виде
еЪ' = А(ж3, е) • Z,
Z -
, Л) = e Se, Z ¦
0) = 0,
A(x3ie) =
/ he h
h h
1
V о
0
h he \
he h
0 0
oo,/
/ di О О -d2 \
\ О d3 d4 О )
Матрица А(ж3, г) допускает разложение в ряд по степеням <
3, е)
со
Е
fe=O
причем
О l2 h	О
к 0 0	18
10 0	0
0 10	0
Собственные значения матрицы Aq (ж3 )
1/2
i,2,3,4 = ± [-p±
E.5.6)
E.5.7)
E.5.8)
E.5.9)
E.5.10)
E.5.11)
= /3/
3/8
различны. Асимптотическое решение системы E.5.6) в этом случае запи-
запишется в виде [30]

96 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
E.5.12)
E.5.13)
где ак-г} подлежат определению из задачи E.5.6), E.5.7). Будем подставлять
поочередно частные решения, соответствующие различным А«, в E.5.6)
и приравнивать выражения, стоящие слева и справа при одинаковых степе-
степенях г.
Если ввести в рассмотрение матрицу
— А ^	1'2	'я
= \\к3
то для значения г = 0 получим [30]
„(°) -
О
«5
1
0
-А
0
1
О
о -;
E.5.14)
Здесь Вгк- — алгебраическое дополнение элемента Ьщ, причем к выбра-
выбрано таким образом, что для любых i, j хотя бы одно Вгк- отлично от нуля.
Постоянные с? определяются из граничных условий E.5.7). Запишем усло-
условия E.5.7) в виде
i = 1,2, 3,4,
где
г=1
r*u =
r*2i = {d3B^2(h) + dU
E (г, h),
Поскольку det | ^ | ^ 0> •?> ^ = 1? 2, 3, 4, то система E.5.4) имеет только
тривиальное решение, т. е. с^ = 0, г = 1, 2, 3, 4, следовательно, а^' = 0.
Рассмотрим случай г = 1. Подставляя решение Zj (жз, s) E.5.12) в си-
систему E.5.6) и действуя аналогично случаю г = 0, получаем, что для а^
справедливо представление E.5.14), причем выражения для коэффициен-
тов В
к-
остаются без изменений.
Краевые условия в этом случае принимают вид
4

5.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве	97
откуда следует представление [30]
с} =det ||г^||. А*.
Учитывая E.5.10)—E.5.14) можно заключить, что при е —>¦ 0 все Zj (х%, е)
будут равномерно ограничены по е. Получаем, что
Zj(xs, s) « const • е, е —>• 0.	E.5.15)
Возвращаясь к исходным переменным, имеем
щ « const/г*, w —>> оо,
откуда следует утверждение теоремы.
Вопросы существования и единственности решений интегральных урав-
уравнений, символы ядер которых имеют подобные свойства, изучались в рабо-
работах [11, 13, 38]. В [67] исследовалось влияние различных видов изменения
свойств материала и характера изменения начальной деформации на по-
полюсы функции Кц (ai, «2, h, и) и связанные с ними фазовые скорости
поверхностных волн, а также на распределение контактных напряжений
под штампом.
5.5.7. Вертикальные колебания. Частным случаем является задача
о вертикальных колебаниях полосового штампа, занимающего в плане
область \х\\ ^ 1 на поверхности преднапряженного неоднородного слоя
О ^ %з ^ К \х±\, |жз | ^ оо, нижняя грань которого жестко сцеплена с не де-
деформируемым основанием. Предполагается, что механические параметры
слоя, равно как и начальные напряжения, являются произвольными, доста-
достаточно гладкими функциями координаты хз. Смещение подошвы штампа,
как и в предыдущих разделах, задается функцией f (жьжг)? поверхность
среды вне зоны контакта свободна от напряжений. Полагаем, что колебания
являются установившимися, гармоническими.
Задача сводится к решению системы интегральных уравнений E.2.6),
E.2.7), где Kij (а) — элементы матрицы К (а), полученной из функ-
функции К («1, а2, oS) E.5.1) удалением строк и столбцов с номером 2, а также
подстановкойai=a, «2=0.
Функции Кц (а) являются четными при г = j, нечетными при г / j,
мероморфными в комплексной плоскости, и имеют конечное множество
вещественных нулей и полюсов. Асимптотические свойства при а —>• оо
даются формулами E.5.2).
5.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве
Рассматривается задача о вибрации жесткого штампа, занимающего
в плане область О на поверхности преднапряженного слоя 0 ^ жз ^ h,
лежащего на поверхности однородного полупространства жз ^ 0. Ме-
Механические параметры слоя, а также начальные напряжения, являются
произвольными, в общем случае различными функциями координаты х%.
Как и ранее, смещение подошвы штампа задается функцией f (xi, X2),

98 Глава 5. Интегральные уравнения задач для преднапряженных сред
поверхность среды вне области контакта свободна от напряжений. Коле-
Колебания предполагаются установившимися.
5.6.1. Система интегральных уравнений. В п. 4.6 было установле-
установлено, что задача сводится к исследованию системы интегральных уравне-
уравнений III порядка E.4.1) —E.4.3), где элементы матрицы ^
определяются формулами
k=i
A = detr, r=||rifc||?fc=1.	E.6.2)
Rkj — алгебраические дополнения элементов Tjk матрицы г D.6.24),
Ук(хз) — линейно независимые решения задачи Коши D.6.6) с началь-
начальными условиями yik («1, «2, 0) = Si к • Коэффициенты fnl! являются ком-
компонентами матрицы D.5.17).
К\г' («1, «2, h, и) являются четными, К\^ («i, «2, h,oj) (г / j) —
нечетными функциями, аналитическими в комплексной плоскости с разре-
разрезами, расположенными строго в I и III квадрантах (по три в каждом из них)
и проведенными от точек ветвления, которые определяются численно из
уравнений E.4.1), до бесконечно удаленных точек.
Элементы К\^ («i, «25 h,oj) имеют на вещественной оси конечное,
зависящее от частоты, количество нулей и полюсов. Расположение послед-
последних, диктует выбор контуров 1\ и Г2 в уравнениях E.4.1) с матрицей E.6.1)
по правилам, указанным в [38], обеспечивая единственность решения этих
уравнений.
Анализ показал, что в достаточно широких пределах изменения НДС
сохраняется строгое чередование вещественных нулей и полюсов функций
К\- («1, «2, h, и), за исключением особых областей, где имеются двукрат-
двукратные полюсы.
Асимптотические свойства элементов Kjk при ot\, «2 —>• 00 (в предпо-
предположении осевой симметрии свойств среды и нагрузки) даются формулами
E.5.2), где коэффициенты Cjk G) зависят как от механических параметров
среды, так и от начальных напряжений.
Существование и единственность решения интегральных уравнений
анизотропной теории упругости, ядра которых имеют подобные свойства,
установлены в работах [11, 13, 38].
В [66] исследовалось влияние различных видов изменения параметров
среды и начальной деформации, обусловленной действием силы тяжести,
на полюсы функции К^ (ai, «25 h, uj) (случай плоской задачи), на свя-
связанные с этими полюсами фазовые скорости поверхностных волн, а также
на распределение контактных напряжений.

5.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве	99
5.6.2. Вертикальные колебания. Частным случаем рассмотренной вы-
выше задачи является задача о вертикальных колебаниях полосового штампа,
занимающего в плане область \х\\ ^ 1, на поверхностипреднапряженного
слоя, механические параметры которого зависят от координаты х%. Слой
лежит на поверхности однородного полупространства. Между слоем и по-
полупространством выполняются условия жесткого сцепления.
Задача сводится к решению системы E.4.6), E.4.7), где к\У (а) — эле-
элементы матрицы К^(а), полученной из матрицы-функции К^ («i, «2, и>)
с элементами E.6.1) удалением строк и столбцов с индексом 2 и внесением
в оставшиеся члены а± = а, «2 = 0.
Функции К\-' (а) (г = j ) являются четными, Кц (а) (г / j ) —
нечетными, аналитическими в комплексной плоскости с не переходящими
друг в друга разрезами, лежащими строго в I и III квадрантах (по два
разреза в каждом из них). Разрезы проводятся от точек ветвления, которые
определяются численно из уравнений
/	BH BH BH\ _ q
k = 1, 2
до бесконечно удаленных точек. Здесь ак ' являются корнями характери-
характеристического уравнения D.4.10).
На разных отрезках вещественной оси функции Кц (а) обладают ка-
качественно различным поведением: они принимают вещественные значения
при |а| ^ к\ ', мнимые — при \а\ ^ к\ , в остальной области — комплекс-
комплексные. Особенностью функций Кц (а) является наличие на вещественной
оси конечного, зависящего от частоты, количества нулей и полюсов. Распо-
Расположение последних диктует выбор контуров Гх и Г2 в уравнениях E.4.1)
по правилам, указанным в [38], обеспечивая тем самым единственность
их решения.
Асимптотические свойства при а —»¦ оо даются формулами E.5.2).

ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ I РОДА
Исследование влияния начальной деформации на процесс динамическо-
динамического контактного взаимодействия массивных штампов дискретных механиче-
механических систем с преднапряженными средами, основанное на использовании
решений интегральных уравнений соответствующих смешанных задач ли-
линеаризованной теории упругости, предъявляет высокие требования к точ-
точности и надежности этих решений и, в первую очередь, к точному учету
динамических свойств исследуемых объектов.
В настоящей главе излагаются некоторые методы решения интегральных
уравнений, удовлетворяющие этим требованиям и позволяющие с высокой
точностью учитывать динамические свойства полуограниченной среды.
Первая группа методов (п. 6.1) — представляет собой обобщение раз-
развитого в цикле работ В.А. Бабешко [11, 13, 38 и др.] метода факторизации
на классы интегральных уравнений, символы ядер которых имеют точки
ветвления на вещественной оси. Использование предложенного в насто-
настоящей работе подхода позволило построить в новой форме решения инте-
интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях штампа
на поверхности упругого полупространства.
При этом показано, что особенность на краях штампа имеет осцилли-
осциллирующий, обусловленный наличием точек ветвления, характер. В механиче-
механическом смысле оба края штампа представляют собой источники неоднород-
неоднородных быстро затухающих, поверхностных волн напряжений под штампом
и перемещений на свободной поверхности, распространяющихся со скоро-
скоростями объемных волн рассматриваемой среды.
Вторая группа методов (пп. 6.2-6.4) представляет собой обобщение
метода фиктивного поглощения, предложенного В.А. Бабешко и развитого
в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной [11, 15, 39 и др], на классы
интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, возникающих,
в задачах для слоисто неоднородного полупространства.
Обобщение метода основано на применении в его рамках численных
процедур. Такой подход позволяет использовать точное представление сим-
символа ядра интегрального оператора и опустить необходимый в традицион-
традиционной схеме метода фиктивного поглощения [15, 39] этап аппроксимации.
Тем самым учитываются все динамические особенности символа ядра,
в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету ди-
динамических свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности
получаемого в результате решения. Последнее обстоятельство играет опре-
определяющую роль для эффективного исследования динамики контактных вза-
взаимодействий преднапряженных сред.

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	101
6.1. Метод факторизации решении
интегральных уравнений
При исследовании большого круга динамических, плоских смешанных
задач для полуограниченных тел типа слоя, пакета слоев, многослойной
среды эффективным является метод факторизации, одним из важнейших
преимуществ которого является точный учет динамических характеристик
среды.
6.1.1. Общая схема метода факторизации. Рассмотрим интегральное
уравнение
1
&tei-О?(?)<? = /Ы, ЫО, F.1.1)
-1
k(t) = ^
F.1.2)
Следуя [11, 38], определим свойства функции К (а) = К (а, k2)
{жп (п = 1, 2) — безразмерная частота, нормированная в соответствии
с типом задачи, либо к скорости продольной волны (п = 1), либо к скоро-
скорости сдвиговой волны (п = 2)).
Будем полагать, что функция К (a, к2):
-	является четной и мероморфной в комплексной плоскости с разре-
разрезами, количество и расположение которых определяется наличием точек
ветвления;
-	имеет на вещественной оси конечное число нулей и полюсов, количе-
количество и значение которых зависит от частоты к2;
-	при \а\ —>• оо представляется в виде
К(а,к2) = с\а\~г A + 0(сГ2)) .	F.1.3)
Наличие у функции К (а, к^) вещественных нулей и полюсов обуслов-
обусловлено появлением в соответствующих областях упругих волн (нули — волны
напряжений под штампом, полюса — волны перемещений на свободной
поверхности среды), которые в отсутствие источников на бесконечности
должны иметь определенную направленность. Эту направленность диктует
выбор контура Гв представлении F.1.2).
Как правило (исключительные случаи подробно обсуждаются в [11,
38]), этот контур при выборе временного множителя в виде e^twt совпадает
с вещественной осью почти всюду, отклоняясь от нее при обходе положи-
положительных полюсов и точек ветвления функции К (а, м2) снизу, а отрица-
отрицательных — сверху.
Уравнение F.1.1) однозначно разрешимо [3 8] при любой дважды непре-
непрерывно дифференцируемой функции / (х\) в пространстве функций, непре-
непрерывных с весом, т. е.

102 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Аппроксимация символа ядра. Следуя [11, 38], заменим функ-
функцию К (а, к2) функцией
N
(a2 -
F.1.4)
Здесь R (а) — четная функция, определяющая асимптотическое
поведение К* (а) и не имеющая вещественных нулей и полюсов,
zk = zk{K2) (k = 1, 2, ..., щ) и jk = jk(^2) (fc = l,2,...,n2)- ве-
щественные и комплексные полюсы и нули К (а, к2), лежащие в полосе
|Ima
(к = п\ + 1, ..., N), jk (к = П2 + 1, ..., N) —парамет-
—параметры аппроксимации, которые определяются из условия наилучшего прибли-
приближения К (а, хъ) функцией К* (а) на вещественной оси:
\К*(а)-К(а,к2)\ \К^1(а,м2)\ A + |а|O < 6,
> 0.5, |а| ^ оо.
F.1.5)
В этом случае при достаточно малых S решения интегральных уравнений
вида F.1.1), ядра которых определяются функциями К {а., к?) и К* (а)
будут близки в смысле [11,38]:
(q-q*)Jl-xl\\ <M5\\qJl-xl
F.1.6)
Выбор функции R(a) определяется асимптотическим представлени-
представлением F.1.3) К (а, к2) и возможностью ее непосредственной факторизации.
В большинстве публикаций по динамическим контактным задачам в каче-
качестве такой функции использовалась
R(a)=c (a2 + В2
F.1.7)
где с — постоянная, участвующая в представлении F.1.3), В ^> 1 — задан-
заданный параметр аппроксимации.
В ряде работ в качестве R (а) использовалась функция
R (а) = с
tha
а
также допускающая точную факторизацию.
В настоящей работе используется представление F.1.7). Нетрудно ви-
видеть, что в этом случае функция К* (а) сохраняет все свойства функ-
функции К (а, к2) и допускает факторизацию:
К*(а)=К+(а)К_(а),	F.1.8)
N
К± (а) = ^(а± гВу1'2 Д (а ± lk) (a ± zkyl.

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	103
Сведение к системе уравнений II рода. Следуя изложенному в [11,
38] подходу, уравнение F.1.1) с ядром К* (а) после ряда преобразований
сведем к системе интегральных уравнений II рода (берутся последовательно
верхние, затем нижние знаки):
1 Г
X(z,±) = -^— X(a,±)P(a,z)da + a(z,±), Imz ^ 05 F.1.9)
2пг I
Р (a, z) = К^ (а) е^га [К+ (а) (а + z)}^1 ,	F.1.10)
a(z, ±) = -2^7 f IFH±F(^«)] lK+ (<*)(<* + zT'e^da, F.1.11)
X (а, ±) = [Ф+ (-а) ± Ф~ (а)] [К- (а)}^1	F.1.12)
относительно вспомогательных неизвестных функций X (z, =Ь), являю-
являющихся комбинациями Ф+ (а), Ф^ (а) — преобразований Фурье функций,
представляющих собой продолжение правой части уравнения F.1.1) соот-
соответственно в область х > 1 (ср+ (х)) и х < 1 (ир~ (х); F (а) — преобра-
преобразование Фурье функции / (х). Контур Fi лежит строго выше контура Г,
но не выходит из полосы регулярности, являющейся некоторой окрестно-
окрестностью контура Г.
Решение интегрального уравнения (общий случай). Решение инте-
интегрального уравнения F.1.1) дается формулой [38]:
Q О) = 2^ lF (а) + ф+ И + ф^ (а)] К^ И e~taxda, | х
F.1.13)
Ф± (а) = ±[Х (та, +) ± X (та, -)] К± (а) е±га.	F.1.14)
Поведение свободной поверхности вне штампа имеет вид
ср±(х) = — \<l>±(a)e~iaxda, \х\>1.	F.1.15)
2тг J
г
Система уравнений F.1.9) является фредгольмовой в некотором ве-
весовом пространстве С (Г) [38]. Ее приближенное решение можно найти,
вычисляя интегралы в правой части по вычетам. Действительно, опуская
контур интегрирования до уровня ближайшей точки ветвления (из F.1.8)
следует, что ближайшей точкой ветвления является —гВ\ и, полагая для
простоты изложения, полюсы функции Р(а, z) однократными, получим:

104 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
N
X (z, ±) = ± ]Р X (-zk, ±)
k=i
Z Zk
+ a (z, ±) + О {е~2В) , Imz ^ О,
F.1.16)
где
_
'А; —
2,
. .	F.1.17)
Полагая в F.1.16) последовательно z = —zn (п = 1, 25 ..., AT"), получим
конечную систему 2Ж алгебраических уравнений относительно 2N неиз-
неизвестных (берутся соответственно верхние и нижние знаки):
А±Х± = а±,	F.1.18)
где матрицы А± и векторы Х± и а± имеют вид
А± =
N
Xdz 4- Г V ( ^ J_M	„i х f . / _,
— | {А (—zn, ±J) , a —| \a{—zri
Подставляя решение системы F.1.18) в F.1.16), получаем следующее пред-
представление для функций X (z, ±):
B, ±) =
к=1
N
11 = 1
a(z,
F.1.19)
где Bj^ — элементы матрицы В± обратной матрице А±.
Функции, описывающие распределение контактных напряжений q (ж),
а также поведение свободной поверхности ср± (х), восстанавливаются
по формулам F.1.13)—F.1.15).
6.1.2. Решение интегрального уравнения (специальный случай).
Рассмотрим случай, когда смещение подошвы штампа задается функцией
f(x) = e^x, \x\^l.	F.1.20)
Следуя [38], продолжим эту функцию на интервалы ж > 1 и ж < — 1.
Тем самым, перейдем к новым функциям
<р*(х) =ср+(х) ^е1цх, х>1, ф*(х) =<р~(х) ^eif]X, x < -1.
F.1.21)
Участвующие в правых частях равенств F.1.16) функции a(z, ±) пред-
представляются в виде

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	105
Контактные напряжения. Подставляя выражение F.1.19) с учетом
F.1.22) вF.1.13)иF.1.14)и применяя формулы операционного исчисле-
исчисления, получим:
% (я) = ^^ру + Qv С1 + х) + % С1 - х) + ° (е~2В) > F.1.23)
где
g^ (t) = А±-== + Ж^1 (rj) eTi<n^-t)erfy/(B±irj) t +
N Г	г ^e"^*1* /	\1
+ 2^ BfetZkterfy/(B + i^fc) t + - ^	(l - er/V(B - г^) tj .
F.1.24)
Здесь
/1±
(т})(гк^ г?) jr+' (-zk) vb + izk
N
Д-+(zfc) л/F^li^ ?j BP + zfc) K+> (-zp)
±
? =
N
Реактивнаи сила. Для вычисления реактивной силы, действующей на
штамп со стороны среды (реакции среды), применим к F.1.23), F.1.24)
формулы операционного исчисления [1, 48]. Амплитудное значение реак-
реакции среды представляется в виде
1
Qi] = Чг] (х) dx = QOri + Q^v + Q^ + Q^ + Q^,	F.1.25)
-l
Qon = - ^Я, Qfv = S&rfVw + 5±erf y/2(B±ir,),
N
E

106 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
где
S
ЛГ
k=l
Д[.-
Zk
, = ^l
Bk ^^
Zk
~2izk
Формулы F.1.23), F.1.24) и F.1.25) с учетом представлений F.1.17)
и F.1Л 9) позволяют построить функцию распределения напряжений в зоне
контакта и реакцию среды для произвольной формы основания штампа.
Штамп с плоским основанием. В случае штампа с плоским осно-
основанием в F.1.25) необходимо положить rj = 0. Используя соотношения
Sfk = S^k = Sik, B^ = В^ = Вк,Ъ~1 = Ь^ = Ьк, получим амплитудное
значение реактивной силы, действующей на штамп со стороны среды:
Q = -
K@)
N
k=l
SlkGifу/2 (В + izk) + S2kGrf у/2 (В ^iZk) + Sok , F.1.26)
где
k=l
А =
у/ВК@)
А;=1
лг
К+ (zk)
fe) K+1 (-zp)
6.1.3. Решение интегрального уравнении (произвольнаи форма
основания штампа). Пусть функция / (х) в правой части F.1.1) является
произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функцией, которую
можно представить в виде
f(x)=

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	107
Тогда [71] решение q(x) интегрального уравнения F.1.1) с правой
частью f (х) имеет вид:
п (т\ — п (т\ W (п\ рг11х'rln	(f\ 1 11Л
i? I»*7/ — I tffl I**7/ ¦*- \'I)	/5	lU^liZ /I
где qv (x) — решение интегрального уравнения F.1.1) с правой частью
fv (ж) = ещх. Аналогично, поведение свободной поверхности и реакция
среды определяются формулами:
±{х)= | 4%(x)F{n)eirixdn, P=
4>
Из вышеизложенного следует, что для построения решения интеграль-
интегрального уравнения с произвольной правой частью, необходимо иметь решение
интегрального уравнения F.1.1) с правой частью fv (x) = ещх.
6.1.4. Решение интегральных уравнений (одна точка ветвления).
Изложенный выше метод не учитывает наличие у символа ядра интеграль-
интегрального уравнения точек ветвления на вещественной оси, что является харак-
характерным для задач о колебаниях штампа на поверхности полупространства.
Непосредственное использование формул F.1.21)—F.1.23) в этом случае
может привести к значительной ошибке.
В настоящем пункте излагается модификация метода факторизации при-
применительно к интегральному уравнению, символ ядра которого имеет одну
точку ветвления на вещественной оси. Для прозрачности, метод изложим
на примере задачи о сдвиговых колебаниях штампа на поверхности полу-
полупространства.
Интегральное уравнение. Задача сводится к решению интегрального
уравнения F.1.1), ядро которого определяется функцией
F Л .28)
Функция К (а, к) является четной, аналитической в комплексной плос-
плоскости с двумя не переходящими один в другой разрезами, проведенными
от точек ветвления ±>г до бесконечно удаленных точек строго в 1 и III
квадрантах; при \а\ ~~> оо для нее справедливо представление F.1.3).
Представим функцию К (а, к) в виде:
К (а, к) = К+ (а, к) К^ (а, к), К± = с±(а Т >^Г1/2, с± = y^e±i7l/4.
F.1.29)
Постоянные с+ис_ выбираются таким образом, чтобы выполнялось
условие [38]:
К+ (-а) = К^ (а).

108 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
При учете отмеченных выше свойств функции К (а, к) уравнение F.1.1)
после ряда преобразований сводится к системе интегральных уравнений
II рода вида F.1.9) относительно вспомогательных неизвестных X (z, ±).
Метод решения. Для построения решения системы F.1.9) в данном
случае продеформируем контур Гх в нижней полуплоскости (в области
регулярности X (а, ±), К- (а)) так, чтобы он обходил разрезы от точки
ветвления —к до бесконечно удаленной точки параллельно мнимой оси
(от — лг — ioo до —к слева от разреза и от —к до —к — ioo — справа
от разреза).
Представляя интегралы по левому и правому берегам разреза в виде
суммы и учитывая связь между значениями К+ (а) на этих берегах, систему
F.1.9) запишем в виде:
м
k=i	z Zk
+ а(г, ±) + O(e^2iZM) , Im^^05 F.1.30)
где
Здесь Zk = к + itk (к = 1, 2, ..., М) — узлы по берегам разреза
\—>с, —к — гоо]. Полагая в F.1.30) z = —zn (n = 1, 2, ..., М), полу-
получим конечную систему алгебраических, уравнений, аналогичную F.1.19)
относительно неизвестных X (—?&, =Ь), решение которой при подстановке
в представление F.1.30) дает
м
к=1
Z-Zk
м
11=1
a(z,±), imz^O, F.1.31)
где Вы - элементы матрицы, обратной матрице вида
А±=(б1к±
Контактные наприжения. Функции q (х) и ^ (х) легко восстанавли-
восстанавливаются при подстановке полученного решения F.1.31) в формулы F.1.13)-
F.1.15).
Рассмотрим случай, когда смещение подошвы штампа задается функ-
функцией вида F.1.20). Следуя подходу, изложенному в п.6.1.1, продолжим эту
функцию на интервалы х > 1 и ж < — 1. Участвующие в правых частях
уравнений F.1.30) функции a (z, ±) также представляются в виде F.1.22).

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	109
При учете соотношений F.1.31), F.1.22), применяя к равенствам F.1.13),
F.1.14) формулы операционного исчисления, получим решение интеграль-
интегрального уравнения F.1.1) с символом ядра F.1.28) в виде:
ргцх
+ A + х) + q~ A - х) + О (e~2zN) , \х\ ^ 1. F.1.32)
где
ег г , , е
Здесь
К (г,)
+
- erf^-i
. N
г
А± =
Реактивная сила. Применив к F.1.32) формулы операционного исчис-
исчисления, получим амплитудное значение реакции среды:
Qn = | qri (х) dx = QOv + Q+v + Q" + Q+ + 02-,	F.1.33)
ion
-1
2sin^	±
-2i (x ± r,),
M
[S?kerfy/-2i(>c+zk)
Поведение свободной повержности. После внесения выражений F.1.31)
с учетом F.1.22) и F.1.14) в представление F.1.15) получим форму-
формулы (берутся последовательно верхние или нижние знаки), описывающие

110 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
поведение свободной поверхности
^ (х) = eir]X [1 - erf v^i (ус -?])И 1)] +
. N
г '
± (i) = b^
(х Т 1), ±х > 1,
Jk
N
Случай плоского штампа. В случае сдвиговых колебаний плоского
штампа в F.1.32) необходимо положить rj = 0. Из формул F.1.32)—F.1.33)
следует
до (ж) =ix + g+(l + x) + ^ A - х) , |ж| ^ 1,	F.1.34)
¦ (t) = —iycQvf.y/—iyct Л
. M
. M
г
k=l
М
bk =rk
Реакции среды. Полагая в представлении F.1.33) г/ = 0, получим ре-
реакцию среды в случае сдвиговых колебаний для плоского штампа:
Q = 2гж + A - 4i
М
,
А;=1
—
zh. L
F.1.35)
Поведение свободной поверхности. Поведение свободной поверхно-
поверхности описывается выражениями:
/(ж) = Д(хт1), ±х>1,	F.1.36)
R(t) = l-
N
А;=1

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений	111
Замечание. Из формул F.1.32) и F.1.34) следует, что особенность
на краях штампа имеет осциллирующий, обусловленный наличием точ-
точки ветвления характер. Если учесть временной множитель e^twt (процесс
предполагается установившимся), то видно, что под штампом от его краев
распространяются неоднородные, затухающие степенным образом волны,
скорость которых равна скорости сдвиговых волн. Аналогично, на свобод-
свободной поверхности (выражения F.1.34) и F.1.36)) также обнаруживаются
неоднородные, затухающие степенным образом волны. Оба края штампа
представляют собой источники неоднородных быстро затухающих поверх-
поверхностных волн напряжений под штампом и перемещений на свободной по-
поверхности.
6.1.5. Решение интегральных уравнений (две точки ветвления).
В настоящем разделе предложенная выше модификация метода факториза-
факторизации обобщается на интегральные уравнения, символы ядер которых имеют
две точки ветвления, что характерно для контактных задач о вертикальных
колебаниях штампа на поверхности полупространства. Существенным мо-
моментом является использование предложенной в работе [27] аппроксима-
аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, которая сохраняет все суще-
существенные свойства исходной функции.
Аппроксимация символа ядра. Будем полагать, что функция
К (а) = К (а, х\, ж^), участвующая в представлении F.1.2) ядра инте-
интегрального уравнения F.1.1), в дополнение к свойствам, указанным в п.6.1.1,
имеет на вещественной оси две точки ветвления, связанных с безразмер-
безразмерными частотами к\ и ж^.
Наличие двух точек ветвления обусловливает сложный характер пове-
поведения функции К (а) на вещественной оси: она принимает вещественные
значения при |а| ^ ж^, при |а| ^ ж\ — мнимые, в остальной области —
комплексные.
Это обусловило необходимость использования специальной, предло-
предложенной в [27] функции, которая с достаточной точностью аппроксимирует
функцию К (а) на вещественной оси и допускает факторизацию:
Л / 2	2*
К* (а) =	/" ~*\ _2,М+ (а) М_ (а), Ima0 > О,
(а1 - ?2) (а1 - a;j) [а2 -а0)
F.1.37)
М± (а) = Вал
Функция К* (а) сохраняет все свойства функции К (а) и обладает таким же
качественным поведением на вещественной оси: принимает вещественные
значения при \а\ ^ ж>2, при \а\ ^ ж\ — мнимые, в остальной области —
комплексные. Полюсы а = ±ао ш а = =Ь"ао компенсируют нули функций
М+ (а) и М^ (а). Постоянные А, В (где А > О, В > 0) выбираются из
условия равенства функций К* (а) и К^з («) в нуле и на бесконечности.

112 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Видно, что функция К* (а) допускает факторизацию
К*(а)=К+(а)К-(а),	F.1.38)
К±(а)=
d± выбирают таким образом К+ (а) = К- (—а).
При учете отмеченных выше свойств функции К* (а) уравнение F.1.1)
после ряда преобразований сводится к системе интегральных уравнений
второго рода типа F.1.9)относительно вспомогательных неизвестных функ-
функций X (z, ±).
Сведение к системе II рода. Для построения решения системы F.1.9)
в данном случае продеформируем контур Гх в нижней полуплоскости (в
области регулярности X (а, ±), К- (а) ) так, чтобы он обходил разрезы
от точек ветвления —ж\, — Ж2 до бесконечно удаленных точек параллельно
мнимой оси (от —ж\ — ioo до — >^i5 от до —К2 слева от разрезов и от —х\
до —к\ — гоо, от —К2 до — справа от разрезов). Представляя интегралы
по левым и правым берегам разрезов в виде суммы, и учитывая связь между
значениями К+ (а) на этих берегах, систему F.1.9) представим в виде:
N+M
X(z,±) = ± Y, X(-zk,±)j^y+a(z,±) +
^0(e^2iZN+M+1) , Imz^O, F.1.39)
где
Здесь Zk = >c\ + ilk {к = 1, 2, ..., N) — узлы по берегам разреза
[—>^l, ~^i ~ ^°°]5 zk = K2 + it к (к = N + 1, ..., N + M) —узлы по бе-
берегам разреза [^Ж2, —К2 — ioo].
Полагая в F.1.39) последовательно z = —zn (n = 1, 2, ..., N + М)
получим конечную систему алгебраических уравнений, относительно
X (—Zk] =Ь), решение которой при подстановке в F.1.39) дает формулу
N+M
X(Zj±) =
k=l
'N+M
B±a(-Zl,±)
+ a (z, ±), Imz ^ 0,
F.1.40)
где Bj^ — элементы матрицы, обратной матрице вида
= \Sik±	 I
%l + zk J д.? /=lj _^ N+M

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений
113
Функции, описывающие распределение напряжений в области контак-
контакта q (x) и поведение свободной поверхности ср^ (х) восстанавливаются по
формулам F.1.13)—F.1.15).
Контактные напряжения. В случае, когда смещение подошвы штампа
задается функцией вида F.1.20), для функций q(x) и (р± (х) получаем:
огцх
{X) —	-\- q^ ух) -f- q^ {X} -\-
где
Здесь
n=l
oi>cn A±ж)
m=l
N+M
A;=l
= 1,2,3,
, F.1.41)
F.1.42)
vt (*) =
f-i [кп +
N+M
лп±
^TW 2 ^
= 0,2,3, n = l, 2,
fn = Ti
p=i
Bta (-^
(n = 1, 2, 3) ,
, tf = ±п, tf = ^bOj 4 = -Ъо.
1 d+E2^4)' z d+(B2^4)
Коэффициенты а^э a^fe определяются из разложения на простые дро-
дроби выражений
1
1
(а±г])К+(а)
соответственно.

114 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Поведение свободной поверхности. Поведение свободной поверхно-
поверхности вне штампа описывается функцией:
(р (х) = (р± (х) , 1 =F х < О,
F.1.43)
вде
fr± (±7?) + Dfn*± (?) + DfnV± (a0) + Dfn4>± (Щ) +
п=1
N+M
к=1
±х>1. F.1.44)
Здесь
[-i
N+M
k=l
m = 2, 3, 4, n = l, 2,
?^fe определяются из разложения на простые дроби
Коэффициенты /?J^
выражений К- (a) (a±rj)~ и 1^ (а) (а — Zk)^ соответственно. Участ-
Участвующие в F.1.42)-F.1.44) постоянные ад, ад" и 6q,
соответственно М+ (а) F.1.37) и
являются нулями
L (а) = Bay
( \/2а + >f2 )
Замечание. Из формул F.1.41) и F.1.42) следует, что, как и в слу-
случае сдвиговых колебаний, особенность на краях штампа имеет осцилли-
осциллирующий, обусловленный наличием точек ветвления, характер. Учитывая
временной множитель e~tujt, нетрудно заметить, что под штампом от его
краев движутся затухающие степенным образом волны, скорости которых
равна скоростям продольных и сдвиговых волн. Аналогично, на свободной
поверхности (выражения F.1.43) и F.1.44)) в дополнение к однородной
релеевской волне также обнаруживаются затухающие степенным образом
волны. Таким образом, оба края штампа представляют собой источники
неоднородных быстро затухающих поверхностных волн напряжений под

6.2. Метод решения одномерных интегральных уравнений
115
штампом и перемещений на свободной поверхности, движущихся со ско-
скоростями объемных волн.
Реакция среды для плоского штампа. Для вычисления реакции среды
в случае плоского штампа в F.1.41), F.1.42) необходимо положить ц = О
и учесть, что имеют место соотношения:
тп ~ ^'тп
тп ~ °тп
F.1.45)
Применяя к F.1.41), F.1.42) формулы операционного исчисления, по-
получим представление для реактивной силы, действующей на штамп со сто-
стороны полупространства:
1
Q= I q (^) dx = Qi + Q2, Qn = Qoon + Qon + Qm- F.1.46)
-l
Здесь
О	2
Q
00n =
K
On =
Gln+
+i
.N+M
г
m=l m	k=l
N+M
Qln = -2%
k=\
-г (xn + x)
кп
„ = 1,2.
6.2. Метод решения одномерных интегральных
уравнений
Настоящий раздел посвящен обобщению предложенного В.А. Бабешко
метода фиктивного поглощения на класс динамических смешанных задач
для неоднородного полупространства. Традиционно [11, 14, 39 и др.] ме-
метод предусматривает замену символа ядра интегрального уравнения спе-
специально построенной функцией, с определенной степенью точности ап-
аппроксимирующей его на вещественной оси и допускающей факторизацию.

116 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Для ряда задач (слой, пакет слоев и т. д.), где мероморфность символов
ядер интегральных уравнений позволяет строить достаточно приемлемые
аппроксимации, такой подход оказался эффективным. Обзор работ этого
направления приведен в [39].
Для определенного круга задач (слоисто-неоднородное полупростран-
полупространство) этот подход неприменим в силу невозможности построения равно-
равномерных аппроксимаций символа ядра интегрального уравнения, которые
учитывали бы наличие точек ветвления на вещественной оси и допускали
бы точную факторизацию.
Предлагаемое в настоящей работе обобщение метода фиктивного по-
поглощения основано на применении в его рамках численных процедур, что
позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального
оператора и опустить необходимый при традиционной реализации метода
этап аппроксимации. Тем самым, сохраняются все динамические особен-
особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более
полному учету динамических свойств задачи, и, следовательно, к повыше-
повышению точности получаемого в результате решения.
Интегральное уравнение. Рассмотрим интегральное уравнение:
F.2.1)
= — \к (a) eia sda.	F.2.2)
2тг J
Будем полагать, что функция К {а) обладает характерными для смешанных
задач теории упругости и математической физики для слоисто-неоднород-
слоисто-неоднородного полупространства свойствами:
1)	она является четной и имеет на вещественной оси конечное, завися-
зависящее от типа задачи и свойств материала среды, количество точек ветвления;
2)	является мероморфной в комплексной плоскости с не переходящими
друг в друга разрезами, расположенными в I и III квадрантах и соединяю-
соединяющими точки ветвления с бесконечно удаленной точкой;
3)	имеет на вещественной оси конечное, зависящее от частоты, количе-
количество нулей jk (k = 1, 2, ..., п2) и полюсов^ (к = 1, 2, ..., щ), а также
счетное множество комплексных нулей и полюсов с точками сгущения
в некоторых секторах, содержащих мнимую ось;
4)	на бесконечности представляется в виде
К (а) = с laf1 A + 0 (сГ1)) , а ^ оо.	F2.3)
Расположение контура Г в F.2.2) обеспечивает выполнение условий
излучения [11]. Однозначная разрешимость уравнения F.2.1) при любой
дважды непрерывно дифференцируемой функции / (х±) установлена в [ 11 ].

6.2. Метод решения одномерных интегральных уравнений	117
Факторизация символа ядра. Введем в рассмотрение функцию:
м
(а2-7*2)(а2-*ЛТ\	F-2.4)
к=1
где 2^ (к = 1, 2, ..., п\) wjk (к = 1, 2, ..., пг)—вещественные полюсы
инулиЖ" (а), остальные 2^ (fc = п\ + 1, ..., М) и 7л (& = Щ + 1, • • • ? М,
М ^ max {щ , П2}) — комплексные полюсы и нули К (а), лежащие в поло-
полосе |Ima| ^ Eq.
Представим функцию К (а) в виде
К (а) = Ко (а) П (а).	F.2.5)
Развиваемый в настоящей работе подход основан на использовании точ-
точного представления F.2.5) символа ядра интегрального уравнения динами-
динамической задачи. С этой целью в качестве Ко (а) используется функция
Ко (а) = К (а) ГГ1 (а) .	F.2.6)
Замечание 6.2.1. Зависящая в общем случае от частоты функ-
функция Ко (а) включает в себя все неучтенные в П (а) динамические осо-
особенности К (а) и, прежде всего точки ветвления на вещественной оси.
Асимптотические свойства функций К (а) и К о (а) совпадают, так как
П(оо) = 1.
Ранее [11, 14, 39 и др.] при реализации МФП использовалось прибли-
приближенное представление F.2.5) функции К (а), допускающее точную факто-
факторизацию, в котором
Ко(а) = с {а2 + В2)-1'2 ,
где В ^> 1 — заданный параметр аппроксимации.
Лемма 6.2.1. [11]: Пусть функция q(x\) G Lp[—a, a], p > 1 имеет
носитель в интервале [—a, a]. Для того чтобы функция
t(x1)=V-1(x1)U(a)V(a)q
обладала этим же свойством, необходимо и достаточно, чтобы на полярном
множестве функции П (а), т.е. при а = ±^ь к = 1, 2, ..., М име-
имело место тождество (V(a) и V^1(xi) — операторы прямого и обратного
преобразования Фурье)
V(a)q = 0.
Теорема 6.2.1. Трансформанта Фурье решения уравнения F.2.1) да-
дается формулой
2М
Q (а) = Т (а) 1Г1 (а) + ]Р CkRk(a),	F.2.7)
к=1

118 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
где
2М
F-2.8)
р=1
Rk{oi) — функция, удовлетворяющая условию [11]
Q(a) = Rk(a), a = ±zk, (к = 1, 2, ..., М),	F.2.9)
р^ — компоненты векторов В^ = {р^} =1, удовлетворяющих системам:
ABfe =Fk, A = \\Apl\\^l=1 , Fk = {й}^=1,	F.2.10)
где
dxu	F.2.11)
Здесь ()* — комплексно сопряженная величина, Ф р (а) — преобразование
Фурье координатных функций
, ч f 1j xi ? [ар-1,ар],
^(^i) = i п	^г	1	(р=1,2, ...,ЛГ), F.2.12)
ар(р= l? ... ? JV — 1) —точки, делящие интервал [—а, а] на равные части,
по = —а, адг = а; постоянные Ск, участвующие в F.2.7), F.2.8), находятся
из условий
Г(±7п) = 0 (п = 1, 2, ...,М).	F.2.13)
Доказательство теоремы. Доказательство теоремы опирается
на развитую в [11, 14, 39и др.] технику регуляризации интегрального опе-
оператора, которая заключается в представлении решения уравнения F.2.1) в
виде
r(Xl)	F.2.14)

6.2. Метод решения одномерных интегральных уравнений	119
при условии [11] (V(a) — оператор прямого, V^1^) — обратного пре-
преобразования Фурье)
V (a) q = V (а) г, V (a) q0 = 05 а = ±zk (fc = 1, 2, ..., М).
F.2.15)
Не теряя общности, в силу наличия произвола в равенствах F.2.15),
в качестве функции г выберем:
2М
г(х1) = ^,СкГк(х1).	F.2 Л 6)
к=1
Исходное уравнение F.2.1) после внесения решения F.2.14) с учетом
F.2.16) и переходом к новой неизвестной
t(x1)=V-1(x1)T, T(a) = U(a)Q0(a)	F.2.17)
сведется к новому уравнению
ко (xi - О t @ d^ = Y, Сф (an) + /о (а*),	F.2.18)
где
fo(xi) = /On), /„ (хг) = - I к (Xl - 0 rn @ d?.	F.2.19)
Согласно лемме 6.2.1, функция i{x\) должна удовлетворять условиям
F.2.13), что завершает доказательство первой части утверждения теоремы.
Для доказательства теоремы в полном объеме используем принцип
суперпозиции и представим решение уравнения F.2.18) в виде суммы:
2М
t(Xl)= t0 (xi) + J2 Ck tk (Xl)>	F.2.20)
k=l
где функции tk (x\), к = 0, 1, ..., 2M — удовлетворяют уравнениям
а
kotk= I ko(x1-?)tk(?)dZ = fk(x1), |rri|<a.	F.2.21)
Введем две системы координатных функций вида F.2.12) ipp(xi),
^Рр (xi) 5p=l, 2, ...57Vh положим:
N
tk (Xl) = Y,PkVv (^i)' * = 0, 1, ..., 2M.	F.2.22)

120 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
После подстановки F.2.22) в F.2.21) получаем систему уравнений:
N	"
F.2.23)
Применение к системе уравнений F.2.23) метода Бубнова—Галеркина при-
приводит к системе уравнений F.2.9), F.2.10) относительно неизвест-
неизвестных В^ = {/3%} _1Э решение которых завершает доказательство теоремы.
Реализация метода. Предположим, что матрица А в системе F.2.9),
а по ней матрица А^1 построены. Тогда решения систем F.2.9) можно
представить в виде
Вк=А-г?к,	F.2.24)
т.е. проблема отыскания всех функций tk (#i), к = 0, 1, ..., 2М решается
путем последовательного применения соотношения F.2.24).
Основная тяжесть при решении 2М + 1 систем алгебраических уравне-
уравнений F.2.9) заключается в построении матрицы Айв вычислении А.
Из вышеизложенного следует, что это необходимо проделать один раз.
Далее, последовательным применением F.2.24) вычисляются все векто-
векторы Вк, компонентами которых являются коэффициенты /??, р = 1, ..., JV,
fc = 0, 1, 2, ..., 2М.
Для отыскания коэффициентов Ск, представим функции F.2.20) в виде
2М	N
Г (а) = Го (а) + J2°kTk (а), Тк (а) = ^/ЗркФр (а). F.2.25)
к=1	р=1
Внесение F.2.25) в условия F.2.13) дает систему для определения Ск,
Го (±7„) + J2 СкТк (±^-) = ° л = 0, 1, ..., 2М.	F.2.26)
к=1
Реакции среды. При исследовании динамики массивных тел, дискрет-
дискретных механических систем, контактирующих с полуограниченной средой,
где не требуется знания функций распределения контактных напряжений
и т.д., решение уравнения F.2.1) целесообразно искать в виде F.2.14),
где, следуя [11, 39], в качестве г(хг) используется функция
2М
r(x1) = ^2dS(x1-x\).	F.2.27)
г=1
Здесь х\ — координаты точек, которые делят отрезок [—а, а] на равные
части. Нетрудно установить, что г (х\) удовлетворяет соотношениям F.2.9).
Внося F.2.27) в F.2.7) получим трансформанту решения исходного
уравнения F.2.1) в виде
2М
Q (а) = Г (а) 1Гх (а) + ]Р Скега х".	F.2.28)
к=1

6.3. Метод решения двумерных интегральных уравнений	121
Реактивная сила, действующая на штамп со стороны среды определяет-
определяется формулой
2М
Q @) = Г @) 1Г1 @) + J^ °k°	F.2.29)
к=1
В предложенном подходе в полной мере проявляется преимущество ме-
метода фиктивного поглощения: транс форманта Фурье решения интегрально-
интегрального уравнения динамической задачи в явном виде выражается через транс-
трансформанту Фурье решения регуляризированного интегрального уравнения.
Это позволяет получать интегральные характеристики динамической зада-
задачи (реакция среды и т. д.), минуя промежуточный этап вычисления плотно-
плотности этих, характеристик.
Такой подход особенно эффективен при исследовании динамики мас-
массивных тел, дискретных механических систем, контактирующих с полу-
полуограниченной средой, где не требуется знания функций распределения кон-
контактных напряжений и т. д.
Замечание 6.2.2. В случае необходимости вычисления функции
q(xi) — решения исходного уравнения F.2.1) — использовать непосред-
непосредственно представление F.2.28) нельзя, так как в окончательных выраже-
выражениях, после применения к F.2.28) обратного преобразования Фурье, будет
присутствовать обобщенная функция.
В этом случае либо функция г(х\) должна выбираться из класса Lp,
р > 1, либо функция t(xi) должна вводиться таким образом [11], что-
чтобы функция г(х\) в окончательных выражениях для q(x\) присутствовала
под знаком оператора.
63. Метод решения двумерных интегральных уравнений
Изложенный в предыдущем разделе метод решения одномерных инте-
интегральных уравнений обобщается на двумерные, которые возникают при ис-
исследовании пространственных контактных задач для слоисто-неоднородно-
слоисто-неоднородного полупространства. Как уже отмечалось, характерной особенностью
этих задач является наличие у символа ядра интегрального оператора
(наряду с вещественными нулями и полюсами) точек ветвления на веще-
вещественной оси.
Обобщение основано на применении в рамках метода фиктивного по-
поглощения прямых численных методов. Это позволяет использовать точное
представление символа ядра исходного интегрального уравнения, опустив
этап аппроксимации его функциями, допускающими факторизацию. Тем
самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том
числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических
свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности решения.
Далее рассматриваются трансверсально изотропные среды с осью ани-
анизотропии, направленной по нормали к поверхности.

122 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Интегральное уравнение. Рассмотрим интегральное уравнение
i = f (хг, x2), (xu x2) G О, F.3.1)
=
k(s,t) = ^ [[ if(ab a2)ei(ais+a2t)daida2.	F.3.2)
Будем полагать, что функция К (ai, a2) = К (и) (и =
ет перечисленными в п.6.2.1 свойствами, которые являются характерными
при исследовании ряда смешанных задач теории упругости и математи-
математической физики для слоисто-неоднородного полупространства. В частно-
частности, она четная, мероморфная в комплексной плоскости с разрезами, имеет
на вещественной оси точки ветвления и конечное, зависящее от частоты
количество нулей jk (fe = 1, 2, ..., п2) и полюсов Zk (к = 1, 25 ..., п\).
На бесконечности имеет место представление:
К(и) = с Н A + 0 (и'1)) , \и\ -+ оо.	F.3.3)
Не теряя общности, будем полагать, что область О в уравнении F.3.1)
представляет собой прямоугольник [—а, а] х [—Ь, Ь]. Расположение кон-
контуров Г]_, Г2 в F.3.2) обеспечивает выполнение условий излучения [11].
Однозначная разрешимость F.3.1) при любой дважды непрерывно диф-
дифференцируемой функции / (хг, ж2) установлена в [11].
Факторизация символа ядра. Следуя изложенной в п.6.2.1 схеме вве-
введем в рассмотрение функцию
м
П(«) = П(«2-7^)(«2-^)-	С6-3-4)
k = l
Здесь zk = zk{K2) (к = 1, 2, ..., щ), jk = 7*5(^2) (к = 1, 2, ..., п2) —
вещественные полюсы и нули функции К (и), остальные Zk (к = п\ +1, ...
..., М) и 7^ {к = ^2 + 1, • • •, МM М ^ max{ni, п2} — комплексные
полюсы и нули К (и), лежащие в некоторой полосе |Im u\ ^ Eq.
Представим функцию К (и) в виде
К (и) = К0(и)П(и),	F3.5)
где
Ко (и) =К(и)П(и)~1 .	F.3.6)
Замечание 6.3.1. Функция Kq (и) включает в себя все динамиче-
динамические особенности символа К (и), неучтенные в функции П (и), поскольку
представление F.3.5) с учетом выражения F.3.6) является точным пред-
представлением функции К (и).
Ранее в работах [11,14, 39 и др.] при реализации метода фиктивного по-
поглощения использовалось приближенное представление F.3.5) с функцией
=с(и2+В2у1/2,	F.3.7)

6.3. Метод решения двумерных интегральных уравнений	123
где В > 1 — заданный параметр аппроксимации, что определяло прибли™
женный характер решения интегрального уравнения.
Теорема 6.3.1. Трансформанта Фурье решения уравнения F.3.1)
дается формулой
2М
O(aba2)=T(aba2)n(ii) + ^Cffc^(aba2),	F.3.8)
к=1
где
2М
Т (аъ а2) = То (аъ а2) + ]Г С*г* (аь «2),
N k=1	F3.9)
р=1
Rk (oil, a2) — функция, удовлетворяющая условию [11]
'	F.3Л0)
/3% — компоненты векторов, удовлетворяющих системам:
ABfe=Ffe, Вк = Щ}^=1, k = Q, 1, ..., М2,	F3.11)
где
Г1Г2
F.3.12)
( HN	l Г f /	\ /	\ * /
F.3.13)
ь
п
Здесь Фр(«1, а2) —преобразование Фурье координатных функций
A, х!,х2епр,
(рр(х1, х2) = <	F.3.14)
где Ор (р = 1, 2, ..., 4М2) — равные прямоугольники, на которые раз-
разбита область контакта, ()* — комплексно сопряженная величина, постоян-
постоянные С к, участвующие в F.3.8), F.3.9), находятся из условий
Т (аъа2) =0, а\+а2= 7f (fe = 1, 2, ..., М). F.3.15)

124 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Доказательство теоремы. Доказательство опирается на разви-
развитую в [11, 14, 39 и др.] технику регуляризации интегрального оператора
(в данном случае — двумерного), которая заключается в использовании
представления решения уравнения F.3.1)
q{xux2) = goOi,x2) + г(жьж2)	F.3.16)
при условии [11]
Vq = Vip, Vgo=0 a\+al=zl, Ы,2,...,М. F.3.17)
В силу имеющего место в соотношениях F.3.17) произвола в качестве
функции г выберем
4М2
г(хъх2) = ^2,Спгп{хи х2).	F.3.18)
п=1
Внесем выражения F.3.16), F.3.18) в уравнение F.3.1) и введем новую
неизвестную
t{xux2)=Y^T,	F.3.19)
образ Фурье которой определяется выражением:
Г (аь а2) = П (и) Qo (аь а2) ,	F.3.20)
где
Qo(aua2)=Vqo.	F.3.21)
После ряда преобразований получим новое уравнение:
4М2
о (xi -?,х2- г]) t (С, f	^2
п=1
F.3.22)
где
In (xi, х2) = -\\к(х1- С, х2 - 7]) гп (С, 77) d^drj.	F.3.23)
j j
о
Функция t (xij x2), согласно лемме 6.2.1, должна удовлетворять усло-
условиям F.2.13), которые в рассматриваемом случае преобразуются в равен-
равенства F.3.15), представляющие собой систему 4М2 уравнений относительно
неизвестных постоянных Си. Решение этой системы замыкает задачу и по-
позволяет представить транс форманту Фурье решения интегрального урав-
уравнения F.3.1) в виде F.3.8).

6.3. Метод решения двумерных интегральных уравнений	125
Применяя принцип суперпозиции, решение интегрального уравнения
F.3.22) будем искать в виде суммы:
t (xi,x2) = to (xi,x2) + yj CiU (xi,x2),	F.3.24)
i=l
где ii (xi, X2), i = 0, 1, 2, ..., 4M2 удовлетворяют уравнениям
з (xi — ^, X2 — rj) ii (C? v) d^drj = fi (xi, Ж2). F.3.25)
Для решения этих, уравнений применяется вариационно-разностный
метод, для чего вводятся в рассмотрение две системы координатных функ-
функций фк (жъ Х2) и if к (xi, x2) F.3.14). Решение строится в виде
N
U (жь х2) = J2 $4>к Ы, х2).	F3.26)
к=\
После внесения выражения F.3.25) в уравнения F.3.25) и примене-
применения метода Бубнова—Галеркина приходим к алгебраическим системам вида
F.3.10)—F.3.13), что и завершает доказательство теоремы.
Реализация метода. Допустим, что решение систем F.3.11) построено:
В* = A^F*.	F.3.27)
Тем самым все функции tk (жъ х%) F.3.24), которые представляются с по-
помощью коэффициентов /3lk, I = 1,2, ..., JV, к = 0, 1,2, ..., 4М2, будут
найдены.
Наиболее трудоемким этапом при реализации предлагаемого подхода
является построение матрицы А и вычисление А™1. Дальнейшие действия
по нахождению всех векторов В&э компонентами которых являются коэф-
коэффициенты /?[, заключаются в последовательном применении F.3.27).
Для определение постоянных С к представим преобразуем выраже-
выражение F.3.24):
4М2
Т(аиа2)=Т0(аи а2) + J2 С& (аь «2),	F.3.28)
Ti(aua2) = ^^Фл(а1,а2).	F.3.29)
к=1
После подстановки F.3.28) в F.3.23) получим систему уравнений для
определения С к. Если взять М значений а± = «im, m = 1,2, ...,М

126 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
(агт задаются достаточно произвольно), то эту систему можно предста-
представить в виде
AM2
То ( ±а1т, ±^2к - «L ) + 2^ CiTi ( ±aim' ± V 7^ " °^ ) = °'
^	^	г=1	^	^
Jb,m = 1, 2, ..., M. F3.30)
Реактивная сила. При исследовании динамического контактного взаи-
взаимодействия массивных тел или инерционных систем с полуограниченными
средами случае целесообразно использовать функцию rk(xi, x2) в виде
п(хъ х2) = &{х1- х\, х2 - хк2) ,	F331)
где х±, ж|, (к = 1, 2, ..., 4М2) — координаты точек, которые делят пря-
прямоугольник [—а, а] х [—Ь, Ь] на равные прямоугольники. Внося выражение
F331) в представление F3.8), получим трансформанту решения инте-
интегрального уравнения F3.1):
4М2
Q (аи а2) =Т(аи а2) П^1 (аъ а2) + ^ Скег^х"+^х"). F3.32)
А;=1
Реактивная сила со стороны среды на воздействие штампа дается формулой
4М2
Q @, 0) = Т @, 0) IT1 @) + ^2 ск-	F-3.33)
к=1
Замечание 63.2. Алгоритм метода фиктивного поглощения позво-
позволяет существенно повысить эффективность решения интегральных урав-
уравнений пространственных динамических задач за счет использования со-
современных вычислительных технологий. Создание специализированных баз
данных, описывающих со сколь угодно большой степенью точности решение
регуляризированного уравнения F3.25), позволяет значительно упростить
процедуру восстановления решения исходного интегрального уравнения,
повысить его точность и получать более прозрачные результаты.
Замечание 63.3. Выражение F333) непригодно для непосредствен-
непосредственного восстановления функции q (xi, x2) — решения исходного интеграль-
интегрального уравнения F3.1), так как после применения обратного преобразова-
преобразования Фурье в окончательных выражениях будет присутствовать обобщенная
функция. В этом случае надо либо изменить класс функций, из которого
берется r(xi, x2) (Lp (U), р > 1), либо использовать отличное от F.332)
представление функции rk(xi, x2) таким образом [11], чтобы в оконча-
окончательных выражениях для q(xi, x2) функция г(х\I х2) находилась лишь
под знаком оператора.

Метод решения систем интегральных уравнений	127
6.4. Метод решения систем интегральных уравнений
В настоящем разделе метод фиктивного поглощения обобщается
на класс динамических смешанных задач для слоисто-неоднородного полу-
полупространства с учетом сцепления в области контакта. Обобщение основано
на использовании в рамках метода фиктивного поглощения численных ме-
методов решения интегральных уравнений первого рода, что позволяет в зна-
значительной мере усовершенствовать процесс регуляризации систем инте-
интегральных уравнений динамических контактных задач.
Во-первых, процесс регуляризации освобождается от ограничений, обу-
обусловленных требованиями функциональной коммутативности [11,39 и др.]
к применяемым в построениях матрицам. Используемые в предлагаемом
подходе матрицы-функции имеют простую структуру и должны лишь со-
сохранять асимптотические свойства символа ядра интегрального оператора.
Тем самым существенно расширяется класс пригодных для использования
в методе фиктивного поглощения матриц-функций, что позволяет подби-
подбирать из них матрицы, позволяющие с большей точностью аппроксимиро-
аппроксимировать символ ядра.
Во-вторых, в процессе регуляризации может использоваться либо точ-
точное, либо приближенное представление символа ядра интегрального опе-
оператора, что зависит от его свойств, которые определяются типом задачи.
Приближенное представление символа ядра интегрального оператора
применяется в случае, когда он является мероморфной функцией (слой,
слоистые структуры и т. д.), что способствует построению точных аппрок-
аппроксимаций символа в виде достаточно простых и удобных для численной реа-
реализации функций. В этом случае резко снижаются затраты вычислительных
ресурсов и в значительной мере повышается эффективность метода.
Точное представление символа ядра интегрального оператора приме-
применяется в случае, когда он наряду с полюсами имеет точки ветвления на
вещественной оси (слоисто-неоднородное полупространство), что не по-
позволяет строить приемлемые аппроксимации. Это обусловливает необхо-
необходимость использования в процессе реализации метода точных, но громозд-
громоздких и неудобных для численной реализации представлений символа ядра,
что ведет к определенному повышению затрат вычислительных ресурсов и
в некоторой мере снижает эффективность метода.
Интегральное уравнение. Рассмотрим систему N двумерных инте-
интегральных уравнений вида
Г Г
kq= k(a?i-f, x2-r))€i(Z, tj) d^drj = f (хъ x2) , xu x2 G 0, F.4.1)
= ^ [ [ К (ai, a2) e-^ai8+a^da1da2,	F.42)

128 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
К (аи а2) = \\Ктп {аи ^)\\^п=1 .	F.4.3)
Элементы Ктп («i, а2) обладают следующими свойствами [11]:
1) они являются аналитическими функциями двух комплексных пере-
переменных, допускающих представление:
Ктп(аъа2) =
Л=1
Здесь Р^п («1, «2) — некоторые полиномы, R^nn (и) — аналитические
функции такие, что имеет место соотношение:
где D (и) — аналитическая функция переменной и;
2)	функции R^n (и) и D (и) могут иметь конечное число точек ветвле-
ветвления и конечное число вещественных полюсов Zk (к = 1, 2, ..., М);
3)	при \ai\ ~~> оо в системе координат ajOa^ («7 — ai cos7 + «2 sin7,
«2 — «2 cos 7 — 0:1 sin 7) справедливы асимптотические представления:
(к, Л, т, п) < 05
где
Х^п («7^ «D = Ктп («7 C0S7 - «2 Sin7) «I sin7 + а2 C0S7) j
aTOn = amn (aj, 7), bTOn = bmn (aj, 7) — ограниченные функции обоих,
параметров.
Система уравнений F.4.1) однозначно разрешима при любой дважды
непрерывно дифференцируемой функции f (#i, Ж2). Область О, граница
которой может иметь угловые точки, является выпуклой. Контуры Гх, Г2
расположены в соответствии с правилами, обеспечивающими выполнение
условий излучения.
Введем в рассмотрение матрицу-функцию S, асимптотическое поведе-
поведение которой совпадает с асимптотическим поведением символа К.
Лемма 6.4.1. [11] Справедливо представление:
К (аи ol2) = S(au «2) П (аь а2),	F.4.4)
где матрица-функция П (ai, «2) при |«i|, \а2\ ^ 00 обладает асимпто-
асимптотикой

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	129
а матрица-функция S {а\, а2) соответствует задаче с сильным затуханием.
При традиционной схеме реализации метода фиктивного поглощения
центральное место занимает теорема возмущений.
Теорема 6.4.1. [И] Пусть уравнение
kq = f
корректно разрешимо в пространстве В (Хр) для любой f E С2 (О). Тогда,
если
г = шах (|ПШП - П^п|, \птп - тг^п|) , -оо < аь а2 < оо F.4.5)
«1, «2
достаточно мало, то разрешимо и второе уравнение
k*q* = f,
причем справедливо неравенство
||q-q*||B<eL,
где постоянная L зависит лишь от f, К и п.
В предлагаемом в настоящей работе подходе использование этой теоре-
мы ограничено случаями, когда символ ядра допускает построение доста-
достаточно точных аппроксимаций.
Факторизация символа ядра. Введем в рассмотрение матрицу
S(«i, «2), имеющую простую структуру и обладающую асимптотически-
асимптотическими свойствами символа K(ai, «2) и с ее помощью построим матрицы:
П(аъа2) = Б~1(аъ
F.4.6)
ж(аъа2) = U~1(a1,a2) = К~1(а1, а2) S(ab a2).
Аппроксимируем элементы этих матриц на вещественной оси рациональ-
рациональными функциями:
_	P?w(ai, a2)
о , }
Используя элементы F.4.7) построим новые матрицы, аппроксимирую-
аппроксимирующие II(ai, a2) итг(а1, а2) на вещественной оси:
F.4.8)
7Г*(аЬ «2) = ||<Л ш,п=1'
а также матрицу-функцию
1.	F.4.9)

130 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Функция Ко, обладая асимптотическими свойствами К, не имеет полю-
полюсов, но включает в себя все неучтенные в П* особенности, и, прежде всего,
точки ветвления.
Замечание 6.4.1. В настоящей работе в качестве S {а\, а2) исполь-
используются простые матрицы-функции, которые должны сохранять лишь асим-
асимптотические свойства символа ядра. Для многих задач (слой, пакет слоев
и т. д.) нетрудно подобрать матрицу-функцию S («i, «2) простой структу-
структуры и построить функции II(ai, «2) и 7r(ai, «2) F.4.6), а также аппрок-
аппроксимирующие их II*(ai, ,«2) и 7r*(ai, a2) F.4.8), которые с достаточной
степенью точности удовлетворяют условию F.4.5) теоремы 6.4.1. Это по-
позволяет использовать традиционную схему метода фиктивного поглощения
и при малом е вместо системы уравнений kq = f F.4.1) решать уравне-
уравнение k*q* = f.
Однако, как уже упоминалось в настоящей работе, использование этой
теоремы ограничено, поскольку основное внимание уделяется уравнени-
уравнениям, символ ядра которых имеет точки ветвления на вещественной оси, что
исключает возможность построения в достаточной мере приемлемых ап-
аппроксимаций.
Теорема 6.4.2. Трансформанта Фурье решения уравнения F.4. Сда-
Сдается формулой
4М2
Q(aba2) = тг*(аь а2)Т(аь а2) + ^ GkGk{au а2),	F.4.10)
к=1
N 4М2
Т(аь «2) = То (аь ®2)-J2Yl CkTk (аь а2)'	F.4.11)
3 = 1 к=1
L	L
Т0 («1, а2)= ^^ ЭтФт («1, «2) , Т^, («1, а2)= ^^ Ркт^™ (аЬ а2) ?
771=1	772=1
F.4.12)
где функции Gk (&i, «2) выбраны таким образом, что на полярном множе-
множестве символа К имеют место соотношения
4М2
Q(a;i,a2) = ^^ CfcGfc(ai, a2), а^ + а% = z%, к = 1, 2, ..., М.
к=1
F.4.13)
Коэффициенты/3^ {/^4} f=i?@lm = i /^im f ?1 удовлетворяютiVx4M2+
+ 1 системам алгебраических уравнений размерности N х L:
N	N
A nl QJI _ х
= Ff, n, j = 1, 2 ..., TV,
к = 1, 2, ..., 4М2 F.4.14)

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	131
относительно векторов ft = {PJm}
Anl =
Здесь
AIL
i ^=1, где
wn}f=i-
F.4.15)
FA16)
о
К^- — элементы матрицы Ко, Фр(«ъ «2) — преобразование Фурье коор-
координатных функций
A, (хих2)епр,
У>р(жьж2) = <	F.4.17)
[О, (жь ж2) i %]
Op (p = 1, 2, 3, ... L) прямоугольники, на которые разделена область кон-
контакта; звездочкой отмечена комплексно сопряженная величина; коэффици-
енты Ck = i СI > находятся из условий
N 4М2
То (аи a2)^Y,Yl СкТк («ь а2) =0, а\ + а22 = (I
1=1 к=1
к = 1, 2, ..., М. F.4.18)
Доказательство теоремы. Доказательство теоремы опирается
на предложенную в [11, 39] технику вынесения из ядра интегрального опе-
оператора осциллирующей составляющей, следуя которой решение уравнения
F.4.1) представляется выражением
q(#i, #2) = qo(#i, #2) + g(^i, ж2),	F.4.19)
где функция g (xi, ж2), удовлетворяет на полярном множестве П* (ai, a2)
соотношениям (V («i, a2), V^1 (a\, a2) — операторы прямого и обратно-
обратного преобразования Фурье) [11]:
V {аи а2) Ч = V (ab a2) g, П* (аь а2) V (аь а2) q0 = 0. F.420)
В качестве функции g выберем
4М2
Ckgk(xux2),	F.4.21)

132 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
где Ck = {Сгк}/._1 — коэффициенты, определяющие произвол функции g,
gfc(#i, x2) — набор некоторых базисных функций.
Уравнение F.4.1) после внесения в него F.4.19) и F.4.21) и перехода
к новой неизвестной
t(a;b x2) = V~1(xi, ж2)П*(аь a2)V(ai, a2)q0j	F.4.22)
преобразуется в новое уравнение
ко (xi — ?, Х2 — vf) t (?, 7;) d^drj = f (xi, х2) — к g, F.4.23)
о
где
JV 4M2
kg = 2_J yj G|f| (xi, x2),	F.4.24)
г=1 /fe=l
fI = { /^n | n=ii fln(xii xi) = K-ni (xi — С? Ж2 — v) Tk (C? v) d^drj.
о
Решение преобразованной системы уравнений F.4.23), используя прин-
принцип суперпозиции, ищем в виде
N 4М2
t (xi,x2) = to (xi, ж2) — 2^ 2^ ^k^k (Ж1? ^з),	F.4.25)
г=1 А;=1
где to, t\ — функции, удовлетворяющие уравнениям
kot = f (хъ х2), kot = f|.	F.4.26)
Доказательство теоремы завершается введением в рассмотрение систе-
системы координатных функций F.4.17) с последующим применением к уравне-
уравнениям F.4.26) метода Бубнова-Талеркина. Условие F.4.18) вытекает из лем-
леммы работы [11], определяющей условия эквивалентности преобразований.
Замечание 6.4.2. В построениях может использоваться либо точное
представление К = KqII, либо приближенное представление К* = SII*
символа ядра исходного интегрального уравнения.
Точное представление К = КоП*,гдеКо = КП*^1 используется в слу-
случае, когда символ ядра наряду с полюсами имеет точки ветвления на веще-
вещественной оси (слоисто-неоднородное полупространство), что не позволяет
строить в достаточной мере точные аппроксимации функции П.
Приближенное представление К* = 8П*, где П* является аппрокси-
аппроксимацией функции П = S^K, используется в случае, когда символ ядра
является мероморфной функцией (слой, слоистые структуры и т. д.), что
позволяет строить достаточно точные аппроксимации функции П.
6.4.1. Некоторые типы систем интегральных уравнений. Изложен-
Изложенная выше схема решения систем F.4.1) позволяет в самой общей постановке
исследовать пространственные связанные смешанные задачи анизотропной
теории упругости и электроупругости. В то же время, ряд реальных проблем

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	133
механики, акустоэлектроники и т. д., в частности, закономерности динами-
динамического контактного взаимодействия массивных тел, механических систем
с полуограниченными средами, можно эффективно изучать на основе ис-
использования решений смешанных задач в двумерной постановке. При этом
возникает необходимость исследования систем вида
Ы ^ а,	F.4.27)
k(s,cj) = — \K(a)eiasda.
2тг J
г
где К (а) — матрица-функция второго порядка.
Далее рассматриваются функции К (а) двух типов, элементы которых,
обладая свойствами, перечисленными в п.б.4.1, имеют различное асимпто-
асимптотическое поведение.
I тип функции К (а) является характерным для задач о вибрации штам-
штампа с учетом сцепления в области контакта. К такому же типу интегрального
уравнения приводятся задачи о сдвиговых колебаниях пленочного электро-
электрода на поверхности электроупругой среды.
Элементы Кц (а), i, j = 1,3 функции К (а):
-	имеют одни и те же полюсы ±^, к = 1, 2, ..., N;
-	К и (а), г = 1, 3 — четные, Кц (а), г ф j, i,j = 1,3 — нечетные
функции, причем Kis (а) = —Ksi (о) = шК® (а), где К® (а) — четная
функция;
-	при а —» =Ьоо обладают асимптотическим поведением:
Kii(a)=ci\a\-1[l + 0{a-1)], г = 1, 3,
Ко (а) =Ьа2 [1 + 0 (а-1)] .
Представим функцию К (а) в виде
К (а) = S (а) П (а),	F.4.29)
где
d = \/1 — Ь2, ф = 2/тг arctg (a arcth Ь).
Очевидно, матрица-функция S (а) не имеет особенностей на вещественной
оси и обладает асимптотическими свойствами К (а), т. е. при а —>¦ =Ьоо:
ci	гЬ sign a \
Й	[1 + 0 (а-1)].
ib sign а С2 /

134 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
Матрицы П (а) = S^1K и ж (а) = П^1 = K^1S имеют вид
/ Пи iall12 \	/ тгц ia7r12 \
П(а)=	, тг(а) =	.
у -гаП21 П22 /	\ -гатг21 тг22 у
F.4.30)
где
fij = -Щ, г ф h h j = 1, 2,
Дц (а) = с2Кц сЪ.ф — aKoshtp, R22 (а) = с\К^ сЪ.ф — аК0
Ri2 (а)=с2КосЪ.ф - а™1Ж'зз sh^, R2\ (a) =ciK0 скф — а^гК
По = (а2 + В2У1/2 d^A, тго = П^Д-1^-1^),
А = cic2 ch2 ф - sh2 1/?, D(a) = КцК33 - a2K$.
Элементы П^- (а) —четные функции, при \а\ —>> ±сх)
П«(а)-^1 + О(а-1), г = 1,2,
По построению П^ (а) имеют нули ±7^, ^ = 1, 2, ..., Nij и одни
и те же полюсы ±^, fc = 1, 2, ..., N. Функции тгц(а) имеют, соответ-
соответственно, нули ±Pkij , к = 1, 2, ..., Nij9 причем, (}к11 = 7^22, Рк22 =
= 7мъ Ьк12 = 7Л12? Pk2i = 7Л21, а также одни и те же полюсы ±(к,
к = 1, 2, ..., N.
Элементы П^- (а) и тхц (а) аппроксимируются функциями
Nij	N
щ н = П (°2 - ^-) П (°2 - ^Г1' F-4-31>
А;=1	А;=1
* / \	1 | / о /-J \ 1 I / о >-2 \—1	лт	I '
^ («) = и (« - /з*«) п (« - с*) , ^ = <: _
II тип матрицы-функции К (а) характерен для связанных смешанных
задач о колебаниях массивного электрода на поверхности электроупругой
среды. В этом случае элементы К (а):

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	135
-	имеют одни и те же полюсы ±2^, к = 1, 2, ..., N;
-	Кц (а), г, j = 1,4 — четные функции, причем Ki± (a) = К±\ (а);
при а —>¦ сх) обладают асимптотическим поведением
#« («) = с* И [1 + 0 (с^1)] , г = 1, 4,
' L	V /J	F432)
1 [ C^1)]
Представим К (а) в виде F.4.29), где
Матрицы П (а) и тг(а) в этом случае имеют представление:
, ч / Пц П12 \	/ П22 ^П12 \
П (а) =	, тг (а) =	, F.4.33)
V п21 п22 у	\ ^п21 Пи ;
где
П	ni?	Гц = i?3-i, 3-i,	^ij = ^Rijj
i, j = l, 2,
R12 (а) = c2i^i4 ^ bi^44, Д21 (а) = ciiiTu - ЬК1Ъ
По =	^
D(a) = К1гКм - К2Ы1 А =
Элементы n^j (a)—четные функции, при а ^> =ЬооП^ (а) —>• 1 + 0 (tt^1)?
Элементы, П^- (а) -» а™2 [1 + 0 (а)], г ^ j. По построению функ™
ции П^- (а) имеют нули ±7hj5 k = 1, 2, ..., 7?^-, а также одни и те же
полюсы ±Zfc, fc = 1, 2, ..., N. Функции тт^ имеют, соответственно, ну-
нули ±fikij, к = 1, 2, ..., Nij, где /Зкц = 7^22, fiwn = Tfeib A12 =
= Tfei2, A21 = 7fc2b атакже одниите же полюсы ±(^, fc = 1, 2, ..., N.
Как и в предыдущем случае, элементы матриц П^- (а) и тгц (а) аппрок-
аппроксимируются рациональными функциями
Щ («) = П («2 " 72«) П («2 " ^J,	F-4.34)
А;=1	к=1

136 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
N
к=1
к=1
г г1 J-
Реализации метода. Применив теорему 6.4.2 с учетом размерности
системы уравнений F.4.27), получим, что ее решение дается формулами
F.4.10)—F.4.12) с тем отличием, что участвующие в представлении F.4.12)
функции имеют вид:
2М
= t0 (хг) -
к=1
t0(an) =
F-435)
F.4.36)
ш=1
ш=1
где Рт = {Pln,P?n},l3ikm = {Pfm , ^fTO } — неизвестные коэффициенты.
Участвующие в первом представлении F.4.36) векторы /Зш удовлетво-
удовлетворяют системе
L
Е-
m = l
= 1, 2, ...,
с матричными коэффициентами
A#m =
F.437)
А*, F.4.38)
гг
F\=
x1, i = l, 2.
Равенство F.4.37) представляет собой систему L уравнений с матричными
коэффициентами относительно L неизвестных векторов. Изменив в F.4.37)
порядок суммирования, преобразуем систему к более удобному для числен-
численной реализации виду
8 +АоЛ~1о'	F-4-39)
где
F.4.40)

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	137
Решение системы F.4.39) можно записать в матричной форме:
/З1 = А11 • [F1 - А12/32] = А11"^1 - А11^ А12/32,
i	F.4.41)
/З2 = [А22 - A21 A11" A12] [F2	^]
Аналогично, участвующие во втором представлении F.4.36) векторы
/Згкт = {/З^п, Рг^т} удовлетворяют системе L уравнений с матричными
коэффициентами относительно L неизвестных:
X] А1шПт = F|/? I = 1, 2, ..., L,	F.4.42)
OO
17 A;Z "~ I r kh r kl J 5	r kl ^	J к \xt) Yl \xt) uxti	l — L, L.
— oo
Повторив процедуру изменения порядка суммирования, получим:
F.4.43)
Система F.4.43) также представляет собой систему уравнений с матрич-
матричными коэффициентами относительно двух неизвестных векторов, которая
отличается от F.4.39) лишь правыми частями. Ее решение можно предста-
представить в матричной форме:
1-1
-1
, 1? = |А22 - А21 А11 А12| |Ff - А21А1Г
где
F.4.44)
Fin 	 § T?in\ L
к — I P Ы I /=1?
L
m=l*
Таким образом, основная проблема построения решения систем F.4.39)
и F.4.44) сводится к построению матриц A*J', г, j = 1, 2, ..., N, вычис-
— 1 Г «	*	—1 1 —"^
лению матриц А11 и А22 — А21 А11 А12 . Остальные действия по
вычислению всех векторов /Зг и /3^п сводятся к последовательному умно-
умножению указанных матриц на векторы ?г и F|n.
Предположим, что решения систем F.4.39) и F.4.44) построены. Для
нахождения коэффициентов Сгк, устраняющих произвол в решении F.4.35),

138 Глава 6. Методы решения интегральных уравнений и систем Iрода
используем лемму 6.4.2, согласно которой должны выполняться соот-
соотношения:
2 2М
СьТь И = °'  = ±6» * = 1, 2, ..., М. F.4.45)
г=1 к=1
Реактивная сила в пространственном случае. В формулировке тео-
теоремы 6.4.1 имеет место определенный произвол, обусловленный множе-
множественностью выбора функции g в представлении F.4.19). В дальнейшем,
при использовании теоремы в пространственном случае, следуя [11, 39],
в качестве функции g (#i, ж2) используем систему ^-функций:
4М2
g = J2 С^ (Ж1 -4,х2- 4),	F-4.46)
к=1
где xf, х\ , к = 1, 2 5 ..., 4М2 — точки, делящие область п на равные пря-
прямоугольники. Такой выбор позволяет существенно упростить вид F.4.10)
трансформанты решения уравнения F.4.1):
4М2
Q(aba2) = тг* (aba2)T (aba2) + ^Ске^х"+^х")'. F.4.47)
Функция Т определяется выражениями F.4.11), F.4.12) при подстановке
решения систем F.4.14)—F.4.16), в которые необходимо внести
** = { ft } ?=i. Яп(*и X!) = kni(Xl - xl x2 - хк2), F.4.48)
где kni — элементы символа ядра.
Участвующие в F.4.46) коэффициенты С\ удовлетворяют уравнениям:
[А22 - Аз^^А^] , а\ + а22 = (I к = 1, 2, ..., М. F.4.49)
Из F.4.47) следует, что реакция среды в пространственном случае опреде-
определяется формулой
4М2
Q @,0) = тг* @,0) Т @, 0) + ]Г Ск.	F.4.50)
к=1
Реактивнаи сила в двумерном случае. В двумерном случае, теорема
6.4.2 должна применяться с учетом размерности задачи. При реализации
метода, следуя [11, 39], используем представление
CkS(x1^xk1),	F.4.51)
к=1

6.4. Метод решения систем интегральных уравнений	139
где х\ — координаты точек, делящих отрезок [—а, а] на равные части.
Трансформанта F.4.10) решения уравнения F.4.1) в двумерном случае
представляется в виде
2М
Q (а) = тг* (а) Т (а) + ]Р Ckeiax".	F.4.52)
к=1
Функция Т определяется выражениями F.4.35), F.4.36) при внесении
решений систем F.4.37), F.4.38), в которые необходимо внести
** = {/*1./*2}. /*" = M*i - **),	F-4.53)
где kni — элементы матрицы — символа ядра исходного уравнения.
Участвующие в F.4.52) коэффициенты С\ удовлетворяют уравнениям:
N 2М
QTn«)=0, a = ±(k, к = 1,2,...,М. F.4.54)
г=1 к=1
Из F.4.47) следует, что реакция среды определяется формулой
2М
Q @) = тг* @) Т @) + J2 С*-	F-4-55)
к=1

ГЛАВА 7
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО
КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МАССИВНЫХ ТЕЛ
С ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ СРЕДАМИ
В настоящей главе развиваются методы исследования динамических.
свойств как однородных, так и неоднородных полуограниченных сред, вы-
выявлены закономерности, которые лежат в основе принципиально новых
подходов к проблеме неразрушающего контроля напряженного состояния
и ресурсной способности деталей и узлов различных конструкций, в част-
частности «резонансных» методов, использующих резонансные явления. Они
основаны на изучении особенностей динамического контактного взаимо-
взаимодействия жестких штампов с полуограниченной средой, исследовании ее
динамической жесткости — реакции среды на единичное смещение штампа.
Динамическая жесткость среды определяется ее физико-механическими
свойствами, структурой, наличием неоднородностей и начальных напря-
напряжений. Любое изменение напряженного состояния или структуры среды
(возникновение или изменение геометрических размеров внутреннего де-
дефекта) приводит к изменению динамической жесткости среды, что, в свою
очередь, определяет изменение резонансных явлений, возникающих при
контактном взаимодействии массивных штампов, дискретных механиче-
механических систем с полуограниченными средами.
7.1. Некоторые динамические свойства упругого слоя
В настоящем разделе изучаются динамические свойства упругого слоя
О ^ хз ^ К нижняя грань которого хз = 0 жестко сцеплена с недеформи-
руемым основанием. Рассматривается случай сдвиговых вдоль оси Х2 или
поступательных вертикальных вдоль оси жз колебаний жесткого штампа,
занимающего в плане область \х\\ ^ 1, \х%\ ^ оо. Предполагается, что ма-
материал слоя является однородным (физические и механические параметры
слоя — постоянные величины).
Как следует из пп. 5.2 и 5.3, в этих случаях задача сводится к решению
характерного одномерного интегрального уравнения
G.1.1)
где / (xi) — смещение подошвы штампа. Для штампа с плоским основа-
основанием / (х\) = / = const.

7.1. Некоторые динамические свойства упругого слоя	141
Здесь приняты обозначения:
—	q (х\) = q2 (xi), К (а) = К22(а), где К22 (о) — функция, получен-
полученная из элемента К22{а\^ a2i и) матрицы К E.3.1) путем внесения
а\ = а, а2 = 0;
—	в случае вертикальных поступательных колебаний штампа q{x\) =
= q3 (xi), К (а) = К33(а) (К33(а) = К33(а, 0, и) —элемент, по-
полученный из ,йГзз(«ъ а2? и) матрицы К E.3.1) за счет подстановки
а± = а, а2 = 0).
И в том и другом случае символ ядра К (а) является мероморфной
функцией, что позволяет использовать развитый в п. 6.2 метод решения
интегрального уравнения.
Изучение динамики массивных тел, контактирующих с полуограничен-
полуограниченной средой, сводится к исследованию свойств динамической жесткости —
реакции среды Q@, к) на единичное смещение штампа, которая удовле-
удовлетворяет интегральному уравнению вида
1к(а, Л, x)Q(a, K)e~iaxida = I, \Xl\ ^ 1.	G.1.2)
г
Здесь и далее в качестве частотного параметра используется безразмерная,
нормированная к скорости сдвиговых волн частота к2 = uh (p/fi) . При
этом, если специально не оговаривается, индекс опускается.
Исследование свойств динамической жесткости проводится на основе
изучения поведения нулей и полюсов символа ядра интегрального опера-
оператора, непосредственным образом влияющих на динамическую жесткость
среды, как в комплексной области, так и на вещественной оси, анализа
особенностей их выхода на вещественную ось.
В п. 6.2 показано, что реакция среды представляется формулой F.2.28)
2М
Q@5 ж) =Т@)ГГ1@, к) + ^2ск(х),	G.1.3)
к=1
где
2М
Г* (а) =
2М
П(а, х) = Д («2 - ll W) («2 - ^(х)) ,	G.1.5)
fc = l
где 7fe(x)? zk{K)i k = 1, 2, ..., М — нули и полюсы К (а, /г, к), кото-
которые в общем случае являются комплексными; коэффициенты /?? являются
G.1.4)

142 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
решениями систем уравнений F.2.10), F.2.11); Фр(«) — преобразование
Фурье координатных функций F.2.12); Ск{к) — постоянные, удовлетво-
удовлетворяющие системе F.2.26), которую перепишем в виде
2М
Го (±7п) - Yl Cki^)Tk (±7п) = 05 п = 0, 1, ..., 2М. G.1.6)
к=1
Основная особенность динамических задач о колебании штампов на по-
поверхности среды заключается в том, что Q@, я) — усилие, возникающее
при смещении штампа (реакция среды), отличается от главного вектора
внешних сил, приложенных к штампу. Из представления G.1.4) следует,
что функция (9@, ж) непосредственно зависит от динамических свойств
среды и, прежде всего, от изменяющегося по частоте распределения jt iK)
и Zk{x) — нулей и полюсов символа ядра интегрального операто-
оператора К (а, /г, ж).
7.1.1. Сдвиговые колебании штампа. Рассматриваются сдвиговые по-
поступательные колебания жесткого штампа на поверхности слоя 0 ^ х% ^ /г,
нижняя грань которого жестко защемлена. Начальные напряжения в сре-
среде предполагаются отсутствующими. Как уже отмечалось, задача сводится
к решению интегрального уравнения G.1.2), символ ядра интегрального
оператора которого представляется в виде
К (а, К к) = ^^, <т = \/а2 ^ж2.	G.1.7)
а
Функция К (а, /г, к) является четной, мероморфной, удовлетворяющей
условиям, указанным в п. 6.2.1. Нули и полюса этой функции определя-
определяются формулами:
G.1.8)
Нетрудно заметить, что при к = 0 нули и полюсы располагаются на мнимой
оси симметрично относительно начала координат. С увеличением частоты
нули и полюсы приходят в движение в направлении вещественной оси,
причем скорость их движения зависит как от частоты, так и от номера
соответствующего полюса или нуля, возрастая с уменьшением их. модуля.
В дальнейшем полюсы и нули попарно сдвигаются к началу координат,
через которое на частотах
ж~1 = (к + 1/2) тг (полюсы) и ж^ = (к + 1) тг (нули) G.1.9)
переходят на вещественную ось.
Свойства нулей и полюсов функции G.1.7) детально исследованы и
достаточно полно представлены в литературе [51, 116]. Здесь лишь отме-
отметим, что процесс трансформации нулей и полюсов является периодическим

7.1. Некоторые динамические свойства упругого слоя	ХАЗ
в том смысле, что нули 7fc(^) и полюсы z^k) G.1.9) функции К (a, h, к)
G.1.7), каждый в своем частотном окне
(к + 1/2) тг ^ ж ^ (к + 3/2) тг, А; = 0, 1, 2, ...	G.1.10)
пробегают одни и те же значения. Тем самым, функция П@, к) G.1.5), если
учитывать лишь некоторое фиксированное количество нулей и полюсов,
имеющих в частотном окне G.1.10) наименьшие значения модулей, будет
получать в этом частотном окне одни и те же значения.
На рис. 7.1.1 представлены графики функции Re Q@, к) (сплошная ли™
ния) и Im Q@5 к) (штриховая линия). Нетрудно заметить, что действитель-
действительная и мнимая составляющие реакции динамической жесткости среды пред-
представляют собой почти периодические функции, которые на каждом периоде
G.1.10) отличаются лишь амплитудными значениями, причем ReQ@, к)
является осциллирующей знакопеременной, ImQ@, к) — осциллирую-
осциллирующей отрицательно определенной функцией, отличной от нуля при к > х*
(к* — первая критическая частота или частота запирания волновода).
Из графиков следует, что характеристикой реакции среды при сдвиговых
колебаниях штампа могут выступать:
-	собственные частоты колебания слоя жУ — точки выхода полюсов
функции К(а^ /г, к) на вещественную ось, в которых ReQ@, к)
и Im Q(Oj к) одновременно обращаются в ноль;
-	частоты хГ — точки выхода нулей функции К (а, /г, к) на веще-
вещественную ось, в окрестности которых находятся:
а)	частоты к^, на которых Re Q @, к) обращается в ноль, a Im Q @, к)
имеет экстремум;
б)	частоты м^* и л^Г*, на которых ReQ@, ж) достигает максималь-
максимальных по модулю значений.
Численный анализ показал, что для вычисления с достаточной точно-
точностью значений реакции среды G.1.4), необходимо учитывать лишь те ве-
вещественные и комплексные нули и полюсы функции К(а, h, к), модуль
которых не превышает некоторого, достаточно большого числа Aq. В част-
частности, в случае задачи о сдвиговых колебаниях штампа, Aq = 10. Учет этого
обстоятельства может позволить существенно упростить процесс анализа
динамической жесткости среды, в первую очередь, при изучении высокоча-
высокочастотных колебаний и нестационарных воздействий на здания и сооружения,
расположенные на грунтах с близко залегающим скальным основанием.
7.1.2. Вертикальные колебании штампа Рассматриваются вертикаль-
вертикальные поступательные колебания жесткого штампа на поверхности слоя 0 ^
^ жз ^ h, нижняя грань которого жестко защемлена. Начальные напряже-
напряжения в среде и трение в области контакта предполагаются отсутствующими.
Как отмечалось выше, задача сводится к решению интегрального уравнения
G.1.2), символ ядра которого представляется выражением
К(а, К *2) = К33(а, 0, Л, и),	G.1.11)

144 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
где функция К33(аг, а2, ^з5 и>) является элементом матрицы К E.3.1).
Полагая начальные напряжения в среде отсутствующими, придем к хо-
хорошо известному представлению:
К (a, h, м2) =
\ sh° o\ ch а2 — a2 sh° а2 ch g\
(ст2с72 + в2) sh° аг sh° a2 '
G.1.12)
Здесь приняты обозначения
в = а2 -я$/2, sh°ak = а~г shak,
а\ = а2 — х|, ^2 = е2 лг2, е2 = д (Л + 2/i)~ .
Свойства функции G.1.12) достаточно полно исследованы [11, 38]. Здесь
лишь отметим, что она удовлетворяет всем указанным в п. 6.2.1 условиям.
Наличие у функции G.1.12) двух семейств нулей и полюсов, связанных с
существованием в среде вертикально поляризованных продольных и сдви-
сдвиговых волн, которые на границе среды трансформируются друг в друга,
приводит к резкому усложнению поведения динамической жесткости сре-
среды.
Первое семейство нулей и полюсов определяется собственными ча-
частотами колебания слоя к^к = s(k + 1/2) тг (точки выхода полюсов на
вещественную ось) и частотами резонанса напряжений в зоне контакта
к^к = е(к + 1)тг (точки выхода нулей на вещественную ось), второе се-
семейство — частотами к^к = к^к = (к + 1/2) тг (совпадающими точками
выхода второго семейства полюсов и нулей на вещественную ось). Ха-
Характерный вид кривых нулей (пунктирные линии) и полюсов (сплошные
линии) — пять первых мод, приведен на рис. 7.1.2.
В [37] было установлено, что в статическом {ж = 0) случае, счетное мно-
множество комплексных нулей jn и полюсов zn функции К (а, /г, к2) распо-
располагается на четырех симметричных относительно мнимой и вещественной
осей ветвях. Их вещественные и мнимые части по абсолютной величине
монотонно возрастают с увеличением номера. В динамическом случае по-
поведение комплексных нулей jn и полюсов zn функции К(а^ /г, к2) имеет
более сложный характер и существенно зависит от частоты. На рис. 7.1.3 —
7.1.5 приведены графики, иллюстрирующие характерное поведение полю-
полюсов zn функции К (а, /г, к2) G.1.12) в комплексной плоскости изменения
аргумента ? = х + гу.
Анализ показал, что в этом случае могут быть следующие типы zn:
1)	четверки комплексных полюсов, которые располагаются на четырех
симметричных относительно мнимой и вещественной осей ветвях;
2)	пары мнимых полюсов, симметричных относительно веществен-
вещественной оси;
3)	пары вещественных полюсов, симметричных относительно мни-
мнимой оси.

7.1. Некоторые динамические свойства упругого слоя	145
При увеличении частоты полюсы подвергаются трансформации по сле-
следующим правилам:
1)	четверки комплексных полюсов могут:
а)	- выходить на мнимую ось, образуя две пары движущихся в раз-
разные стороны мнимых, расположенных симметрично относительно
вещественной оси полюсов;
б)	- выходить на вещественную ось, образуя две пары движущихся в
разные стороны вещественных полюсов, соответствующих прямой
и обратной волне;
2)	пары мнимых полюсов могут:
а)	- двигаться по мнимой оси к нулю и выходить на вещественную
ось;
б)	- двигаться от нуля по мнимой оси и реагировать с другой, дви-
движущейся навстречу по мнимой оси парой, с образованием четверки
комплексных полюсов;
3)	пары вещественных полюсов могут:
а)	- двигаться по вещественной оси, возрастая по модулю (регуляр-
(регулярный случай);
б)	- двигаться по вещественной оси к нулю (нерегулярный случай)
и выходить на мнимую ось.
Отметим следующие особенности поведения полюсов:
1)	модуль комплексного полюса с большими номерами слабо зависит
от частоты, причем эта зависимость уменьшается с увеличением его
номера;
2)	скорость изменения модуля полюса по частоте резко возрастает при
приближении к началу координат или при прохождении через начало
координат;
3)	первая, наиболее близкая к мнимой оси четверка комплексных
полюсов переходит на мнимую ось, образуя две пары мнимых, распо-
расположенных симметрично относительно вещественной оси полюсов.
Одна из них уменьшается по модулю (рис.7.1.3) и через начало коор-
координат выходит в вещественную область, вторая пара стремительно
уходит на бесконечность;
4)	следующая четверка полюсов выходит на вещественную ось,
образуя две пары симметричных относительно мнимой оси веще-
вещественных полюсов. Одна из них (рис.7.1.4), «регулярная», возраста-
возрастает по модулю, вторая, «обратная», убывает по модулю, проходит
через начало координат и выходит на мнимую ось. Немного про-
продвинувшись (правый — вверх, левый — вниз) по мнимой оси, эта
пара достигает некоторого значения, далее вновь уменьшается по
модулю и через начало координат выходит на вещественную ось
(нижний — налево, верхний — направо);
5)	третья четверка выходит на мнимую ось, образуя две пары
мнимых, расположенных симметрично относительно вещественной
оси полюсов (рис.7.1.5). Одна из них убывает по модулю, и через на-
начало координат выходит на вещественную ось. Вторая пара мнимых

146 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
полюсов возрастает по модулю. Далее может быть два варианта: ли™
бо продвинувшись по мнимой оси, эта пара достигнет по модулю
некоторого значения, затем уменьшится и через начало координат
выйдет на вещественную ось, либо она будет возрастать по модулю
с тем, чтобы прореагировать с парой мнимых полюсов от следующей
четверки;
6) следующая четверка (рис.7.1.5) также выходит на мнимую ось,
образуя две пары мнимых, расположенных симметрично относи-
относительно вещественной оси полюсов. Одна из них убывает по модулю
до определенного значения, встречается с предыдущей парой и вы-
выходит в комплексную плоскость.
Такими же свойствами обладают нули jn функции К (a, h, 1*2), с той
разницей, что процесс трансформации типа нуля по отношению к про-
процессу трансформации типа полюса либо может быть сдвинут по частоте,
либо иметь противоположный характер (полюс переходит с мнимой оси на
вещественную, ноль — с вещественной на мнимую и наоборот), что ока-
оказывает непосредственное влияние на поведение реакции среды Q@5 ж2),
которая, как показал численный анализ, и в этом случае вполне определя-
определяется значениями вещественных, комплексных и мнимых нулей и полюсов,
не превышающих по модулю некоторое, достаточно большое число А®.
На рис.7.1.6 и 7.1.7 приведены графики функций Re <Э@, ж2) (рис.7.1.6,
штриховые линии) и Im Q @, ж2) (рис.7.1.7, штриховые линии) в зависимо-
зависимости от безразмерной частоты. Сплошными линиями на этих рисунках пред-
представлены графики функций ReQ@, ж2) и ImQ@, ж2) для задачи о сдви-
сдвиговых колебаниях слоя, пронормированных к скорости продольных волн.
Нетрудно заметить, что эти кривые имеют много общего. Это касается по-
почти периодического характера поведения динамической жесткости среды
в обоих случаях, а также того, что ReQ@, ж2) является осциллирующей
знакопеременной, ImQ@, ж2) — осциллирующей отрицательно опреде-
определенной функциями.
В то же время имеет место существенное различие в поведении кривых.
Это касается экстремумов Re Q@, к2) и Im Q@, ж2) в случае плоской за-
задачи, находящихся в окрестности частот ж^к = ж^к = (к + 1/2) тг.
Наличие в случае плоской задачи двух семейств трансформирующихся
друг в друга волн, определяющих достаточно сложный характер поведения
нулей и полюсов в комплексной плоскости, в значительной мере услож-
усложняет характер поведения Q@, ж2). Например, на первой критической ча-
частоте распространения волн ж^0 = ж* нуль и полюс функции К (а, /г, ж2)
одновременно переходят с мнимой оси на вещественную ось. Это при-
приводит к тому, что реальная составляющая Q@, ж2) гладко переходит че-
через ноль, появляется ее мнимая составляющая. На следующих частотах
ж^к{к = 1, 2, 3, ...) одновременное изменение типа нулей и полюсов
носит противоположный характер (полюс из вещественного становится
мнимым, нуль из мнимого — вещественным и наоборот). Это приводит
к появлению изломов на кривых ReQ@, ж2) и ImQ@, ж2), находящихся

7.2. Слой с переменными по глубине свойствами	147
в окрестности частот к^к = к~к = (к + 1/2) тг на графике реакции среды.
Из графиков на рис. 7.1.6 и 7.1.7 следует, что характеристикой
реактивной силы, действующей на штамп со стороны слоя в случае вер-
вертикальных колебаний могут выступать:
-	частоты к~1к, на которых ReQ@, ж2) и ImQ@, к2) одновременно
обращаются в ноль;
-	частоты к^к , в окрестности которых находятся:
а)	частоты *соь, на которых ReQ@, к2) обращается в ноль,
aIm<2@5 к2) имеет экстремум;
б)	частоты к^ и ж^ , на которых Re Q@, к2) достигает максималь-
максимальных и минимальных значений.
7.2. Слой с переменными по глубине свойствами
В настоящем разделе рассматривается задача о колебаниях жесткого
штампа на поверхности неоднородной полуограниченной среды, предста-
представляющей собой упругий слой 0 ^ жз ^ h, свойства которого непрерывным
образом изменяются по координате х%. Нижняя грань слоя жестко сцеплена
с не деформируемым основанием. Решение задачи сводится к исследованию
системы интегральных уравнений
-f, X2-ri, ш) q(f,77) d?dri = u(xi, x2), (хь х2) е О,
G.2.1)
1 Г Г
k(s,t,u) = —T К(аь а2, и) е^{а18+а2г)ёагёа2, G.2.2)
4тг2 JJ
Г1Г2
К (аь а2, cj) = \\Kij («ь «2, о;)|| ?j=1,	G.23)
где u (xi, жг) — заданная амплитуда смещений подошвы штампа, элемен-
элементы Кц (ai, а2, о;) определяются соотношениями E.5.1).
В случае вертикальных поступательных колебаний полосового штампа
(\хг\ ^ 1, \х2\ ^ со), лежащего на поверхности х% = h неоднородного
слоя, задача сводится к решению интегрального уравнения
k fa - ?) q3 (?)(% = и (xi), |xiKl,	G.2.4)
-1
г
где u(xi) = щ — заданное смещение штампа с плоским основани-
основанием; Кзз (а) = 1^зз («1? О, ш) — элемент К (а) G.2.3), полученный из
^зз (qji, «2, tj) E.5.1) подстановкой «i = a, «2 = 0.

148 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
В качестве примера будем рассматривать слой, упругие модули которого
изменяются по закону:
fi (х3) = Mo f(xs), А (х3) = Ао/(ж3),	G.2.5)
где функция /(жз) представляется графиками на рис. 7.2.1.
Будем полагать, что колебания являются установившимися, трение
в области контакта отсутствует. Анализ показывает, что изменение свойств
материала среды может характеризоваться:
-	видом неоднородности — «нормальная» (жесткость увеличивается
по глубине) или «аномальная» (жесткость уменьшается по глубине);
-	градиентностью неоднородности — скоростью изменения свойств
материала и областью ее локализации (в придонной области — «нор-
«нормальная», в приповерхностной области — «аномальная»);
-	интегральным коэффициентом неоднородности
п
Ъ = т
/о =
Цифрами 2 и 3 на рис. 7.2.1 обозначены кривые, которые соответствуют
«нормальной» зависимости — изменению /(жз) от 0.4 на поверхности до
1.0 на нижней грани слоя (далее — «нормальный» слой, материал кото-
которого с глубиной становится более жестким). Цифрами 2' иЗ' отмечены
кривые, соответствующие «обратной» зависимости — изменению /(жз)
от 1.0 на поверхности до 0.4 на нижней грани слоя (далее — «аномальный»
слой, жесткость материала которого уменьшается с глубиной). Кривая 2
соответствует случаю, когда градиентность (резкое изменение свойств) ло-
локализована в придонной области слоя, кривая 2 ; — случаю, когда градиент-
градиентность локализована в приповерхностной области среды. Цифрой 1 отмечен
случай однородного слоя с постоянными по глубине свойствами.
На рис. 7.2.2 и 7.2.3 представлены дисперсионные кривые (три первых
моды), соответствующие постоянным значениям Л, /i (сплошные линии 1)
и переменным, вычисляемым по формулам G.2.5) значениям Л, /л (пунктир-
(пунктирные линии 2 и 2;, и сплошные линии 3 и 3;. Цифрами 1, 2
и 3 на рис. 7.2.2 отмечены I, II и III ветви полюсов, соответствующие
зависимостям 1, 2 и 3 на рис. 7.2.1. Аналогично, на рис. 7.2.3 цифрами 1,
2' и 3; отмечены I, II и III ветви полюсов, соответствующие зависимостям
1, 2'и 3'на рис. 7.2.1.
Известно, что изменение жесткости однородного слоя [13, 38] приво-
приводит к равномерному по частоте сдвигу дисперсионных кривых вверх или
вниз в зависимости от характера изменения жесткости (увеличение или
уменьшение). Из графиков на рис. 7.2.2 и 7.2.3 легко видеть, что влияние
представленных на рис. 7.2.1 видов неоднородности на рассматриваемые
дисперсионные кривые является неравномерным как качественно, так и ко-
количественно. Последнее относится к кривой третьей моды, на которую
влияние различных видов неоднородности сводится лишь к ее большему

7.2. Слой с переменными по глубине свойствами	149
(«нормальная» неоднородность) или меньшему («аномальная» неоднород-
неоднородность) сдвигу по частоте пропорционально значению /о.
Влияние указанных выше видов неоднородности на первую и вторую
моды поверхностной волны имеет качественно различный характер. «Нор-
«Нормальная» неоднородность (рис. 7.2.2) проявляется в сдвиге первых двух
дисперсионных кривых вверх по частоте и в значительном их растяжении
по оси а. Трансформация пропорциональна значению /о. Это ведет к непро-
непропорционально малому и неравномерному по частоте увеличению фазовых
скоростей первых двух мод.
«Аномальная» неоднородность (рис. 7.2.3) проявляется в незначитель-
незначительном (при малом /о — неощутимом) сдвиге первой и второй дисперсионных
кривых вверх по частоте, но в значительном их сжатии по оси а. Трансфор-
Трансформация кривых и этом случае пропорциональна значению /о. Такое изме-
изменение дисперсионных кривых приводит к непропорционально большому
и неравномерному по частоте увеличению фазовых скоростей первых
двух мод.
В целом и «нормальная» и «аномальная» неоднородности приводят
к существенному изменению структуры поверхностного поля, которое за-
заключается как в изменении количества распространяющихся мод поверх-
поверхностных волн, так и в динамических характеристиках этих мод.
На рис. 7.2.4^7.2.7 представлены графики, иллюстрирующие влияние
представленных на рис. 7.2.1 видов неоднородности упругих параметров
на динамическую жесткость среды 02@, к2) — реакция слоя на единичное
перемещение штампа, удовлетворяет уравнению G.2.4) при и (хi) = щ = 1).
Цифрами 2 и 3 на рис. 7.2.4, 7.2.5, 21 иЗ; на рис. 7.2.6, 7.2.7 отмечены
кривые Re 0@, к2) (рис. 7.2.4, 7.2.6) и ImQ@, к2) (рис. 7.2.5, 7.2.7), рас-
рассчитанные для соответствующих видов неоднородности с аналогичными
номерами, представленных на рис. 7.2.1.
Из графиков следует, что при всех видах неоднородности сохраняются
характерные для однородного слоя с защемленным основанием свойства
динамической жесткости среды:
-	Re (9@, к2) и Im (9@, к2) являются почти периодическими функци-
функциями с периодом, равным периоду частот собственных колебаний слоя
при данном виде неоднородности, имеющими на каждом периоде
различные амплитудные значения;
-	Re<9@, к2) является осциллирующей, знакопеременной функцией;
-	ImQ@, я2) является осциллирующей знакопостоянной функцией,
отличной от нуля на частотах выше первой критической частоты рас-
распространения волн в слое.
Обычно поведение Re Q@, к2) и Im Q@, к2) характеризуется:
-	частотами к^к (собственных колебаний слоя, определяются точка-
мими выхода полюсов z±k на вещественную ось), на которых
ReQ@, k2) Im<9@, к2) одновременно обращаются в ноль;
-	частотами к^к (определяются точками выхода нулей 71 к та веществен-
вещественную ось) в окрестности которых находятся:

150 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
а)	частоты к\к, где ReQ@5 к2) обращается в ноль, a ImQ@, ж2)
имеет экстремум;
б)	частоты к^к и частоты *с^, где Re Q@, м2) достигает максималь-
максимальных и минимальных значений;
-	частотами к2к = я2к (определяются точками одновременного выхода
нулей 72^ и полюсов z2k), в окрестности которых ReQ@, k2)
и ImQ@, к2) одновременно претерпевают излом и получают мак-
максимальные значения модуля.
В случае изменения жесткости однородного слоя, все перечисленные
выше частоты равномерно сдвигаются в ту или иную сторону (в зависимо-
зависимости от увеличения или уменьшения жесткости).
Неоднородность среды приводит к неравномерному сдвигу частот ж^к
как относительно я^к, так и относительно ж^к. Этот сдвиг зависит от вида
неоднородности и от величины значения /q. Обозначим через ж^к и ж^к
значения соответствующих частот в случае «нормальной» или «аномаль-
«аномальной» неоднородности, через тг^н = м^2ш - к^ и тг^а = к^2а — к^ —
периоды, связанные с этими значениями частоты. Из графиков следует, что
поведение динамической жесткости среды при «нормальной» неоднород-
неоднородности отличается от поведения динамической жесткости при «аномальной»
неоднородности:
-	значением первой собственной частоты xf^ > к^;
-	периодом частот собственных колебаний слоя тг^н > тг^а;
-	диапазонами частот к^к - ж^к > м^к — к^к, на которых Re Q@, ж2)
принимает отрицательные значения;
-	диапазонами частот к2к — ж^к > к2к — К\и^на которых Re Q@, ж2)
положительная, что является важным при изучении условий возмож-
возможного возникновения резонансов при взаимодействии слоя с массив-
массивными телами или системами.
Все эти параметры непосредственным образом зависят от значения /0.
Отметим, что каждый вид неоднородности приводит к определенному
увеличению амплитудных значений активной (излучение из зоны контак-
контакта — определяется Im Q@, к2)) и реактивной (упругость среды — опре-
определяется Re Q@, к2) ) составляющих реакции среды. При этом «аномаль-
«аномальную» неоднородность по сравнению с «нормальной» отличают:
-	большее значение статической жесткости Re Q@, 0);
-	повышенная жесткость среды (больше амплитуда Re Q@, ж2));
-	лучшие волноводные качества (амплитуда ImQ@, к2) больше).
Последнее характеризуется значительно более высоким уровнем из-
излучения энергии из зоны контакта.
Влияние неоднородности свойств слоя на амплитуду колебаний
массивного штампа иллюстрируют рис. 7.2.8 и 7.2.9. Цифрами 2, 3, 2'
и 3' на рис. 7.2.8 и 7.2.9 отмечены кривые и, рассчитанные для соответ-
соответствующих видов неоднородности с аналогичными номерами, представ-
представленных на рис. 7.2.1, в низкочастотном (до первой критической часто-
частоты — рис. 7.2.8) и в высокочастотном (рис.7.2.9) диапазонах. Из графиков

7.3. Слой с переменными по глубине свойствами	151
следует, что как вид неоднородности, так и интегральный коэффициент
неоднородности существенным образом влияют на динамику массивного
тела. Однако для детального определения характеристик колебаний этого
тела необходимо их исследование в каждом конкретном случае измене-
изменения параметров слоя.
7.3. Слой с переменными по глубине свойствами,
лежащий на поверхности однородного
полупространства
В настоящем разделе рассматривается задача о колебаниях жесткого
штампа на поверхности составной среды, представляющей собой слой
О ^ хз ^ h с переменными по глубине свойствами, лежащий на поверхно-
поверхности однородного полупространства х% ^ 0. На поверхности раздела слоя
с полупространством имеют место условия полного сцепления.
Из п. 5.6 следует, что в общем случае задача сводится к исследованию
системы интегральных уравнений (и (х\, х2) — заданная амплитуда пере-
перемещений подошвы штампа):
G.3.1)
(«i, a2, w) e~l(aiS+a2<Wida2, G.3.2)
,i=i,	G-3.3)
где элементы Кц (ai, «25 ^) определяются формулами E.6.4)
В случае вертикальных поступательных колебаний при отсутствии тре-
трения в области контакта задача сводится к исследованию скалярного аналога
интегрального уравнения G.3.1), в котором матрица-функция G.3.3) долж-
должна быть заменена скалярной функцией К (a, h, *с2) = K^J(a, 0, /г, и),
(К^3 («1, «2, h, и) определяется формулами E.6.1), строится численно,
и как показал проведенный численный анализ, полностью удовлетворяет
указанным в п. 6.2.1. условиям).
Таким образом, в данном конкретном случае задача сводится к исследо-
исследованию интегрального уравнения вида
1
к (хг - 0 q @ d? = u(x1), \хг | <С 1,	G.3.4)

152 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
1 Г
k(t) = — \K (a) eiatda, К (а) = К$(а, 0, /г, ш), G3.5)
2тт J
г
где u(xi) = щ — заданное смещение подошвы штампа с плоским основа-
основанием.
Как и в предыдущем разделе, в качестве неоднородной составляющей
среды будем рассматривать слой, упругие модули которого представляются
G.3.6)
где Ао, /io — упругие модули материала полупространства.
Изменение свойств материала составной неоднородной среды, по ана-
аналогии с изложенным в предыдущем разделе, также может быть охаракте-
охарактеризовано:
-	видом неоднородности — «нормальная» (жесткость слоя увеличива-
увеличивается по глубине) или «аномальная» (жесткость слоя уменьшается по
глубине);
-	градиентностыо неоднородности (скорость изменения свойств
материала слоя по глубине) и областью ее локализации (в придонной
области слоя — «нормальная», в приповерхностной области слоя —
«аномальная»);
-	интегральным коэффициентом неоднородности слоя (осредненным
по толщине слоя значением функции /(#з))
h
G.3.7)
Графики функции /(#з) в представлении G.3.6) переменных модулей
слоя зависимости от хзпредставлены на рис. 7.2.1. Цифрами 2,3 обозначены
кривые, которые соответствуют «нормальному» изменению /(#з) («нор-
(«нормальный» слой — жесткость увеличивается по глубине, градиентность ло-
локализуется в придонной области слоя). Цифрами 2' и 3; отмечены кривые,
соответствующие обратным к 2 и 3 зависимостям — «аномальному» из-
изменению f(xs) («аномальный» слой — жесткость уменьшается по глубине,
градиентность локализуется в приповерхностной области слоя). Цифрой 1
отмечен случай однородного слоя с постоянными по глубине свойствами.
Необходимо отметить, что, в отличие от рассмотренного ранее случая
неоднородного слоя с защемленным основанием, увеличение значения /о
приближает свойства слоя к свойствам полупространства, а градиентность
в придонной части слоя приводит к лучшему согласованию свойств слоя
со свойствами полупространства. И то и другое делает составную среду
в целом более однородной.
На рис. 7.3.1 и 7.3.2 представлены дисперсионные кривые для случаев
2 и 2' (рис. 7.3.1) и случаев 3 иЗ' (рис. 7.3.2) изменения упругих мо-
модулей, соответствующие составной среде с «нормальным» слоем (прямые
зависимости 2 и 3, сплошные линии) и «аномальным» слоем (обратные
зависимости 2' и 3;, штриховые линии).

7.3. Слой с переменными по глубине свойствами	153
Как следует из графиков, структура среды, определяемая видом и гра-
диентностъю неоднородности слоя, существенно влияет на структуру по-
поверхностного волнового поля. Наиболее сильное влияние на структуру вол-
волнового поля оказывает величина коэффициента /о. Чем больше значение /о
(средние значения модулей слоя ближе к значениям модулей полупростран-
полупространства), тем больше динамические свойства составной среды приближаются
к свойствам однородного полупространства (значения критических частот
появления новых мод поверхностных волн увеличиваются, количество этих
мод в рассматриваемом диапазоне уменьшается). В частности, при неод-
неоднородности 3 (рис. 7.3.2) в рассматриваемом диапазоне частот существуют
4 моды, при неоднородности 2 (рис. 7.3.1) их уже 5. Аналогично, частоты
возникновения мод при неоднородности 3 (рис. 7.3.2) существенно выше,
чем при неоднородности 2.
Локализация неоднородности также играет важную роль, сказываясь,
прежде всего, на частотах возникновения новых мод поверхностных волн,
значения которых существенно увеличиваются при «нормальной» неодно-
неоднородности, локализованной в придонной области слоя. В рассматриваемом
случае это реализует более гладкий переход от слоя к полупространству.
«Аномальная» неоднородность, особенно при малых значениях /о при-
приводит к понижению частот возникновения новых мод и увеличению их
количества.
Нормальная неоднородность также характеризуется значительным сни-
снижением скорости первой моды, причем это снижение прямо пропорцио-
пропорционально значению /о. Остальные моды в меньшей степени зависят от гради-
ентности перехода от слоя к полупространству.
На рис. 7.3.3 и 7.3.4 представлены нули (штриховые линии) и полю-
полюса (сплошные линии) функции К (а, /г, ус^) для нормальной (случай 2,
рис. 7.3.3) и аномальной (случай 2;, рис. 7.3.4) зависимости изменения
упругих параметров слоя. Нетрудно заметить, сравнивая рис. 7.3.3 и 7.3.4,
что нормальная неоднородность отличается довольно равномерной струк-
структурой поверхностного волнового поля, в которой представлены все моды;
аномальная неоднородность резко изменяет структуру поверхностного поля,
делая ее неравномерной, в частности, приводит к подавлению первой моды.
На рис. 7.3.5 представлены графики функций Re Q (О, К2), на рис. 7.3.6 —
графики функций Im* Q = x^~1ImQ@, кч), иллюстрирующие влияние
характера изменения свойств слоя на динамическую жесткость — реак-
реакцию среды на единичное перемещение штампа. Цифрами 2, 3, 2' и 3;
на рис. 7.3.5,7.3.6 отмечены кривые Re Q и Im* Q, рассчитанные для случа-
случаев изменения свойств, соответствующих кривым /(#з) на рис. 7.2.1 с анало-
аналогичными номерами. Цифрой 1 отмечены кривые Re Q@, ж^) Im* Q@, к^),
рассчитанные для случая однородного (/(#з) = 0.4) по толщине слоя.
Нетрудно заметить, что поведение динамической жесткости по час-
частоте имеет характерный для слоистого полупространства вид, который
характеризуется периодом и амплитудой осцилляции ReQ@, X2)
hIhi*Q(G, k2).

154 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
Как следует из графиков, наличие неоднородности по сравнению с од™
нородным случаем (на рис .7.3.5и7.3.6 отмечен цифрой 1) приводит к уве-
увеличению периода осцилляции (прямо пропорционально значению /о).
Аномальная неоднородность приводит к увеличению амплитуды осцил-
осцилляции Re Q(Oj k2) и Im* Q@, к2), нормальная — к ее уменьшению. Если
учесть, что ReQ@, к2) определяет реактивную составляющую жестко-
жесткости среды, a Im* Q@, я2) — активную составляющую (излучение энер-
энергии из зоны контакта), то нетрудно заметить, что, целенаправленно из-
изменяя структуру среды, можно влиять на динамику контактирующих с
ней массивных тел или систем, добиваясь либо малой чувствительно-
чувствительности к динамическим воздействиям (максимальные значения Re Q@, к2),
либо наилучшего отвода энергии из зоны контакта (максимальные значе-
значения Im*Q (О, К2)\
7.4. Динамические свойства пакета из двух слоев
В настоящем разделе рассматривается динамическая задача о колебани-
колебаниях жесткого массивного штампа |#i| ^ 1, \х2\ ^ оо на поверхности состав-
составной среды, представляющей собой пакет из двух слоев, толщина и упругие
параметры которых равны соответственно /&ь Ai, 1^1 ^h2, \2i fi2. Слой
(I) h2 ^ ^з ^ h (h = hi + /12) лежит на поверхности слоя (II) 0 ^ х% ^ h2,
нижняя грань которого жестко сцеплена с не деформируемым основанием.
Общая толщина пакета h = h\ + /12 является постоянной. Штамп совер-
совершает вертикальные, поступательные колебания, которые предполагаются
установившимися, трение в области контакта отсутствует.
Задача сводится к согласованному решению уравнения движения мас-
массивного тела
1
R= \q{x1)dx1	G.4.1)
и краевой задачи о колебании составного слоя, на поверхности которо-
которого (жз = К) должны выполняться условия:
w = щ (xi, h), \xiI ^ 1, \х2\ ^ оо5	G.4.2)
0, Ы >1, \х2\ ^сх).	G.4.3)
Здесь т — масса штампа; w — амплитуда его колебаний; F — внеш-
внешняя сила, приложенная к штампу; R — реактивная сила; q(xi) — на-
напряжения, возникающие при контакте штампа с основанием; u (#i, X3) =
=f {^i (xi, хз), ^2 (xi, ж3)} — вектор перемещения произвольной точки
среды.
Краевая задача о вертикальных поступательных колебаниях составного

7.4. Динамические свойства пакета из двух слоев	155
слоя сводится к исследованию скалярного одномерного интегрального
уравнения
G.4.4)
где / (х\) — заданное смещение штампа, К (а) = К33 (а, 0, /г, и) (функ-
(функция K33(ai, «2, h, и) определена формулами E.4.4)).
В силу того обстоятельства, что функция K33(ai, «2, h, и) являет-
является мероморфной, решение уравнения G.4.4) можно строить либо методом
факторизации, либо методом, предложенным в п. 6.2.
На рис. 7.4.1, 7.4.2 представлены графики, иллюстрирующие влияние
условий контакта между слоями (сцепление или скольжение) на амплитуду
колебаний массивного тела при различной толщине верхнего слоя. При этом
суммарная толщина пакета слоев остается неизменной. Здесь т = \w~ | —
—	\w+1, где w~ kw+ — амплитуды колебаний штампа в случае отсутствия
трения между слоями (абсолютное скольжение) и в случае полного (жест-
(жесткого) их сцепления при Ai < А2, /ц < M2 (случай (а), рис. 7.4.1) и при
Ai>A2,/ii>/i2 (случай (б), рис. 7.4.2) соответственно.
Поскольку жесткость пакета сцепленных слоев превышает жесткость
пакета скользящих слоев, то резоыансы при сцеплении (отрицательные пи-
пики на рис. 7.4.1, 7.4.2) лежат выше резонансов при скольжении (положи-
(положительные пики на рис. 7.4.1, 7.4.2). Это следует из особенностей колебаний
массивного тела на поверхности упругого слоя в докритической области ча-
частот, где резонансная частота обратно пропорциональна массе тела и прямо
пропорциональна жесткости среды.
Из графиков на рис. 7.4.1 следует, что в случае (а) (жесткость верхне-
верхнего слоя мала) и hi = 0.1 влияние условий контакта между слоями очень
мало и почти не сказывается на резонансной частоте колебаний штампа. Та-
Такой характер поведения штампа обусловлен тем, что общая жесткость пакета
определяется жесткостью нижнего, значительно более толстого (Jtt2 = h ~~
—	hi) и более «жесткого» слоя. Условия его контакта с достаточно тонким
и «мягким» слоем играют незначительную роль в жесткости всего пакета и
оказывают незначительное влияние на амплитуду колебаний массивного тела.
При увеличении толщины верхнего слоя hi = 0.2, 0.3, 0.4 влияние
условий контакта на резонансную частоту колебаний штампа резко усили-
усиливается. Это обусловлено тем, что с увеличением толщины «мягкого» слоя
(hi = 0.2, 0.3, 0.4, толщина «жесткого» слоя при этом уменьшается, так
как толщина пакета в целом предполагается постоянной), жесткость всего
пакета также уменьшается при одновременном увеличении в ней доли «мяг-
«мягкого» слоя, поскольку она увеличивается пропорционально толщине этого
слоя.
Тем самым, условия контакта между слоями играют более значительную

156 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
роль в жесткости всей структуры и оказывают ощутимое влияние на ампли-
амплитуду колебаний массивного тела.
На рис. 7.4.2 представлена обратная ситуация (случай (б)), когда жест-
жесткость нижнего слоя мала. Как следует из графиков, уже при толщине верх-
верхнего слоя hi = 0.1 условия контакта между слоями значительно влияют
на жесткость всего пакета. Это влияние возрастает до толщины hi = 0.3,
далее (hi = 0.3, 0.4) влияние стабилизируется, почти не изменяясь.
Такой характер динамического поведения штампа обусловлен тем, что
в этом случае общая жесткость пакета в меньшей степени зависит от жест-
жесткости нижнего, значительно более толстого Q12 = h — hi), но «мягкого»
слоя. Условия его контакта с тонким, но «жестким» верхним слоем уже
при hi = 0.1 играют значительную роль в жесткости всего пакета и оказы-
оказывают значительное влияние на амплитуду колебаний массивного тела.
С увеличением толщины «жесткого» слоя (толщина «мягкого» слоя при
этом уменьшается, так как толщина пакета постоянна), жесткость всей
структуры увеличивается при одновременном увеличении вклада в эту
жесткость доли верхнего «жесткого» слоя (его жесткость увеличивается
пропорционально толщине). Тем самым, условия контакта между слоями
хотя и играют значительную роль в жесткости всей структуры, но их влия-
влияние на динамику массивного штампа (с увеличением толщины верхнего слоя)
стабилизируется.
7.5. Резонансное взаимодействие упругой двухмассовой
системы с упругим основанием
В настоящем разделе рассматривается проблема контактного взаимо-
взаимодействия упругой двухмассовой системы с упругим основанием. Она свя-
связана с разработкой теоретических основ неразрушающего резонансного
контроля напряженного состояния и ресурсной способности деталей и уз-
узлов машиностроительных конструкций. В этом плане значительный ин-
интерес представляет возможность без проведения сложного анализа дина-
динамического контакта системы с упругим основанием устанавливать количе-
количество неограниченных низкочастотных резонансов и, при необходимости,
изменять это количество, целенаправленно подбирая параметры системы
с целью повышения достоверности информации о состоянии и ресурсной
способности исследуемых объектов.
Исследуются условия возникновения неограниченных низкочастот-
низкочастотных резонансов при взаимодействии упругой двухмассовой системы
с упругим основанием. Система включает упругий стержень, свя-
связывающий массивное тело Mi с жестким, занимающим на поверхно-
поверхности среды произвольную область О штампом М^. В качестве основания
рассматривается полуограниченная среда, имеющая критическую частоту
распространения волн (слой, пакет слоев и т.д.).
Условия возникновения изолированных резонансов, существование ко-
которых установлено в [35, 36, 38], при динамическом контакте массивного

Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами 157
штампа или инерционной системы с упругим слоем, а также при изгибных
колебаниях упругой балки, лежащей на поверхности слоя, исследовались
в [39].
Будем полагать, что система совершает вертикальные поступательные
колебания под действием гармонической нагрузки, которая приложена к те-
телу М\ (зависимость от времени принята в виде exp (—iut),) трение в области
контакта отсутствует.
Из изложенного в п. 5.1.4 следует, что исследование резонансных свойств
системы «упругий нагруженный массами стержень — полуограниченная
среда» сводится к согласованному решению краевой задачи E.1.9), E.1.10)
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
которой должны выполняться условия E.1.1.1) и E.1.12).
Здесь и ниже тип среды, имеющей критическую частоту распростране-
распространения волн, не конкретизируется. С учетом предположений о характере дви-
движения элементов системы, краевую задачу E.1.9), E.1.10) можно записать
в виде (используются безразмерные переменные, временной множитель
здесь и далее опущен):
wxx = -a2w,	G.5.1)
x = l: -miM$w = F - ESwx,	G.5.2)
= ES wx ~~ Qqw, Qq = \\q (xi, x2) dx\ dx2. G.5.3)
Здесь F — амплитуда внешней нагрузки, ж\ = p/i га2ш2 — приведенная
к параметрам среды безразмерная частота колебаний, р, /i — плотность
и модуль упругости материала среды, а = а0к2 — приведенная частота
колебаний стержня, где а^ = р^Е-1, Е, ро — модуль Юнга и плотность
материала стержня, приведенные к соответствующим параметрам матери-
материала среды, тп, п = 1, 2 — масса тела Мп, q (#i, x2) — напряжения в
области контакта, удовлетворяющие интегральному уравнению
Г Г
kq= \\к(х1-€,х2-'п) q (С, ff) d^di] = 1, (хи х2) G О,
о
G.5.4)
к(хъх2)= П К (аи а2) e^a^1+a^2Wi?fa2.
Функция К («1, а2) в зависимости от типа среды определяется формулами
E.2.4), E.3.3), E.4.4), E.5.1) или E.6.1), является мероморфной и удовле-
удовлетворяет условиям, указанным в п. 6.2.1. Контуры Г i и Г2 совпадают с
вещественной осью, отклоняясь от нее при обходе отрицательных полюсов

158 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
К («1, а2) сверху, а положительных — снизу; Qo (^2) — реакция основа-
основания на единичное перемещение штампа, которая, как отмечалось в п. 7.1.1,
для сред типа слоя или пакета слоев является вещественной в диапазоне ча-
частот [0, к*} (к* — первая критическая частота распространения волн), вне
этого диапазона — комплекснозначной функцией. Последнее обстоятель-
обстоятельство определяет особенности резонансного взаимодействия ограниченных
упругих тел с полуограниченными средами, в частности, значение критиче-
критической частоты определяет границу области существования неограниченных
резонансов. Краевую задачу G.5.1) —G.5.3) будем называть задачей I.
Далее введем в рассмотрение частные случаи условий G.5.2) и G.5.3):
х = 1:
F-ESwx=0,	G.520
х = 0 :
w = Q.	G.5.30
Краевую задачу G.5.1), G.5.2) и G.5.30 %Дем называть задачей II, крае-
краевую задачу G.5.1), G.5.20 и G.5.30 — задачей III. В механическом смысле
задачи II и III описывают колебания закрепленной системы или закреплен-
закрепленного стержня соответственно.
Решение задачи I имеет вид (wn — амплитуда колебаний тела Мп):
Wl =F[7o7i +E°] До"\
G.5.5)
W2 = FEa cos™1 al Aq ,
где
7o = tgcrZ, 71 = Qo - ш2>*2,
G.5.6)
72 = Eg G0 + 73 l) Ai \ 7з Х = ™i°-
Здесь
Ao = ЕаАг(л ^72M
Ai = 1 - ЪЪ1? mi = т1Рог-
Из G.5.5), G.5.6) следует, что резонансными частотами системы, взаимо-
взаимодействующей с упругим основанием, являются собственные значения ж\
краевой задачи I, которые удовлетворяют уравнению
Ао (м2) = 0.	G.5.7)
Неограниченный резонанс системе, контактирующей с упругим основани-
основанием, доставляют вещественные м^.
Лемма 7.5.1. Вещественные корни к^ уравнения G.5.7)удовлетворя-
G.5.7)удовлетворяют неравенству ж®п < ж *.
Лемма вытекает из того факта, что при комплексных значениях Qo (^2)
уравнение G.5.7) не может иметь вещественных корней.

Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами 159
Собственные значения zn краевой задачи II удовлетворяют уравнению
Аг (ж2) = 0.	G.5.8)
Собственные значения z^ краевой задачи III являются корнями уравне-
уравнения cos al = 0. В силу свойств задач II и III zn и z®n являются вещественны-
вещественными, причем zl^ = 1/2 Bп — 1) tfcfq!™1, п = 1, 2, 3, ...
Пусть N — количество zn, Щ — количество z^, принадлежащих, интер-
интервалу [0, ж*], т.е. имеют место неравенства zn ^ i<* hzn+i > m*,z^q ^ ж*
и z%0+1 > >^*, где Щ = [ж*тг~гао1 + 1/2] (здесь [а] — целая часть а).
Заметим, что в случае упругого слоя с защемленной нижней гранью [38]
No = [1/2 (aol + 1)].	G.5.9)
Теорема 7.5.1. Количество N* неограниченных резонансов ж^ си™
стемы, контактирующей с упругой средой, удовлетворяет неравенству
N* ^ No. При этом N* = Щ + 1, если выполнено одно из неравенств
7i (к*) ^ 72 (к*) или 7о (^*) ^ 7з (>^*); iV* = iV0 + 2, если выполнены
оба неравенства; N* = No, если не выполнено ни одно из неравенств.
Для доказательства установим связь между собственными значениями
краевых задач I, II и III и их количеством.
Лемма 7.5.2. Собственные значения задач I и II на интервале [0, ж*]
удовлетворяют неравенству ж^ ^ zn.
Из G.5.6) следует, что zn являются полюсами функции 72 [р<2) (кри-
(кривые 2 на рис. 7.5.1). Лемма вытекает из непрерывности 72 (^2) на интерва-
интервале [zfc_i, Zk], к = 1, 2, 3. (zq = 0) и ограниченности 71 (>^) (кривая 1 на
рис. 7.5.1).
Лемма 7.5.3. Собственные значения задач II и III удовлетворяют нера-
неравенству zn ^ z^.
Для доказательства преобразуем G.5.8) к виду
7з fa) = 0.
Согласно G.5.6) z^ являются полюсами функции 70 iK2) (кривые 2
на рис. 7.5.2). Справедливость леммы следует из характера поведения функ-
функций 7о (к*!) и 7з {^2) (кривая 1 на рис. 7.5.2) на интервале [z^_1, z%],
fe = 1, 2, 3, ... (z® = 0).
Из лемм 7.5.2 и 7.5.3 вытекает, что замена жесткого основания на упру-
упругое, равно как и нагружение закрепленного стержня массой приводит к по-
понижению его резонансных частот: ж^ ^ zn ^ z^.
Связь между количеством собственных значений задач I, II и III на
интервале [0, ж*] устанавливается леммами.
Лемма 7.5.4. Если 71 (^*) ^ 72 (^*M то 7V* = N + 1, в противном
случае N* = N.
Согласно лемме 7.5.2 ж®н G [0, zn}- Из характера поведения 71 (^2)
и 72 {к*!) на интервале [zn, ж*} следует, что ж^+1 Е [zn^ ^*] тогда,
когда 7i (x*) ^ 72 (^*).

160 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
Лемма 7.5.5. Если 7з (^*) ^ 7о (к*)^ то N = Nq + 1, в противном
случае N = N®.
В силу леммы 7.5.3 гщ G [0, z%0]- Аналогично, znq+i ? [zi?0''^*]
тогда, когда выполнено неравенство 70 (^*) ^ 7з (^*)- Лемма 7.5.5 завер-
завершает доказательство теоремы.
Использование теоремы позволяет наглядно представить влияние пара-
параметров системы на условия возникновения резонансов, что делает возмож-
возможным без проведения сложного анализа динамического контакта системы
с упругим основанием устанавливать количество низкочастотных неогра-
неограниченных резонансов и, при необходимости, изменять это количество, це-
целенаправленно подбирая параметры системы.
Следствие 7.5.1. При mi = 0 количество неограниченных резонан-
резонансов N* = Щ + 1, если 7i (^*) ^ Ъ (к*)- В противном случае N* = JV0.
Следствие вытекает из теоремы 1, если принять во внимание, что при
mi = 0 собственные значения задач II и III совпадают.
Следствие 7.5.2. Если ао1 > 1/2, то система при контакте с упру™
гой средой имеет не менее одного неограниченного резонанса при любом
значении массы штампа тп2.
Следствие 7.5.3. Если wi2 > Qo (к*) к* , то система при контакте
с упругой средой имеет не менее одного неограниченного резонанса при
любом значении длины стержня.
Замечание 1. Величина mi и wi2 влияет не только на количество ре-
резонансов, но и на значения резонансных частот, причем rri2 непосредствен-
непосредственно влияет на м^ (рис. 7.5.1.), a mi — опосредованно, через значения zn
(рис. 7.5.2):
—	при любых значениях rri2 zn^\ < yfin < zn. Увеличение ni2 приводит
к уменьшению к^. При малых ni2 влияние их изменения на резонансные
частоты увеличивается с возрастанием номера. С увеличением тп2 (по мере
приближения к®п к zn-{) изменение к®п замедляется и приобретает асим-
асимптотический характер. Это имеет место сначала для более высоких, а затем
распространяется на низкие резонансные частоты. В конечном счете, при
достаточно больших значениях rri2, их. изменение сказывается лишь на пер-
первом резонансе;
-	при любых значениях mi ^ < zn < zjj, где ^ — нули функ-
функции 7о (>^)- Увеличение mi приводит к уменьшению значений zn, что,
в свою очередь, определяет уменьшение резонансных частот к®п. Скорость
изменения zn при малых mi возрастает с увеличением номера резонансной
частоты. При увеличении mi (по мере приближения znK ?%) изменение zn
замедляется и приобретает асимптотический характер не достигая ?jj. Как
и ранее, это имеет место для более высоких., а затем охватывает низкие
резонансные частоты. В конечном счете, при достаточно больших значени-
значениях mi, их изменение влияет лишь на первый резонанс.
Замечание2. Полученные выше результаты справедливы для лю-
любой полуограниченной среды, имеющей критическую частоту распростра-
распространения волн (слой, пакет слоев, неоднородный слой и т.д.), для плоских

Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами 161
или пространственных задач безотносительно к форме области контакта.
В качестве примера рассмотрим плоскую задачу о колебаниях упругой
двухмассовой системы на поверхности упругого слоя толщины he защем-
защемленной нижней гранью. Система представляет собой жесткий, полосовой,
занимающий в плане область \х\\ ^ 1 штамп М^ соединенный с помощью
стержня конечной длины I с массивным телом Mi. Модуль Юнга и плот-
плотность материала стержня равны соответственно Е и ро.
Пусть штамп, стержень и тело Mi совершают поступательные верти-
вертикальные колебания под действием гармонической нагрузки, которая прило-
приложена к телу Mi. Краевая задача, описывающая движение элементов, имеет
вид G.5.1), G.5.2) с тем отличием, что реакция среды Qo (я^) в этом случае
представляется выражением
Qo = q(xi) dxi,	G.5.10)
-l
где контактные напряжения q{x\) удовлетворяют интегральному урав-
уравнению
1
*зз (а* - 0 9 (О # = 1, *зз («) = I K33 (a) e-iasda. G.5.11)
Функция К%% («) определяется формулами E.3.1), в которые необходимо
внести «1 = а, «2 = 0 и положить начальные напряжения равными нулю.
Для решения интегрального уравнения G.5.11) применим метод фактори-
факторизации. Функция Qo (хъ) дается формулой F.1.26), которую для удобства
запишем в виде:
^зз @)
N
+ 2 ]Р [Si*erf ^2 {В + izk) + 52feerf v/2 {В - izk) + Sokj, G.5.12)
k=l
где В ^> 1 — заданный параметр аппроксимации, zk — вещественные и
комплексные полюсы функции К^з («), Siu (г, к = 0, 1, ... N) определены
формулами F.1.25), F.1.26).
На рис. 7.5.3 приведены графики, иллюстрирующие влияние значений
масс mi и rri2 на резонансные свойства упругой двухмассовой системы,
контактирующей с упругим основанием. Параметры стержня имеют значе-
значения, при которых «тоI = 4.32. В этом случае из условия G.5.9) имеем Nq = 2.
Цифрами 1, 4, 5 обозначены кривые 71 (^2) при массе т2 = 0, 3, 5, циф-
цифрами 2, 3 — кривые 72 (^2) при значении массы mi =0,3 соответственно.
Нетрудно убедиться, что 7о (к*) ^ 7з (ж*) при mi = 3.

162 Глава 7. Взаимодействие массивных тел с полу ограниченными средами
Из графиков следует, что при данных значениях параметров стержня
возможны следующие ситуации:
-	конфигурация (а): т\ = 0, гп2 = 0 (кривые 1, 2 на рис. 7.5.3).
Из следствия 7.5.1 следует, что система имеет два резонанса, поскольку
7i(**) >72(^*);
-	конфигурация (б): т\ = 0, т,2 = 3 (кривые 4, 2 на рис. 7.5.3).
Из следствия 7.5.1 вытекает, что система имеет три резонанса, поскольку
7i(**)<72(**);
-конфигурация (в): mi = 3ЭШ2 = 0 (кривые 1,3 на рис. 7.5.3). Из теоре-
теоремы 7.5.1 следует, что система имеет три резонанса, так как
70	(**) ^ 7з (**) и 7i (**) > 72 (**);
-	конфигурация (г): wi = 3, m2 = 5 (кривые 5, 3 на рис. 7.5.3).
Из теоремы 7.5.1 следует, что система имеет четыре резонанса, так как
71	(**) ^ 72 (**) и 7о (**) ^ 7з (**).
На рис. 7.5.4 и 7.5.5 представлены графики перемещений w\ в зависи-
зависимости от частоты. Цифрами 1, 2 на рис.7.5.4 обозначены кривые w\, соот-
соответствующие конфигурациям (а) и (в) системы, цифрами 1, 2 на рис. 7.5.5
обозначены кривые w±, соответствующие конфигурациям (б) и (г) систе-
системы. Из графиков следует, что при данном значении cfq! система с конфи-
конфигурацией (а) имеет только две резонансные частоты (кривая 1, рис. 7.5.4).
С увеличением mi значения резонансных частот уменьшаются. При mi =
= 3 (конфигурация (в), кривая 2, рис. 7.5.4) система имеет три изоли-
изолированных резонанса. Расчеты показали, что дальнейшее увеличение mi
приводит к некоторому уменьшению значений резонансных частот, увели-
увеличивается добротность системы (в малой окрестности резонансной частоты
наблюдается значительный рост амплитуды колебаний), однако количество
резонансов не изменяется. Сравнивая кривые 1 на рис. 7.5.4 и рис. 7.5.5,
легко видеть, что увеличение Ш2 приводит к смещению резонансов в низ-
низкие частоты. При Ш2 = 3 (конфигурация (б)) появляется третий резонанс.
Расчеты показали, что дальнейшее увеличение Ш2 в этом случае приводит
лишь к сдвигу резонансов в область низких частот, добротность систе-
системы изменяется мало, количество резонансов остается прежним. Сравнивая
кривые 2 на рис. 7.5.4 и рис. 7.5.5 видим, что увеличение Ш2 (конфигурация
(г)) приводит к смещению резонансов в область низких частот, появляется
четвертый резонанс. Дальнейшее увеличение Ш2 не влияет на количество
резонансов. На рис. 7.5.6 представлены кривые W2, иллюстрирующие сме-
смещение штампа в зависимости от частоты. Цифрами 1,2 обозначены кривые,
соответствующие конфигурациям (б) и (г) системы.
Как следует из графиков, характер поведения W2 аналогичен характе-
характеру поведения w\ с тем отличием, что отсутствуют частоты антирезонанса,
т.е. частоты, на которых амплитуда колебаний обращается в ноль. Расчеты
показали, что дальнейшее увеличение mi приводит к некоторому умень-
уменьшению значений резонансных частот и увеличению добротности систе-
системы (в малой окрестности резонансной частоты наблюдается значительный
рост амплитуды колебаний), однако количество резонансов не изменяется.

ГЛАВА 8
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
НА ДИНАМИКУ МАССИВНЫХ ТЕЛ
И ИНЕРЦИОННЫХ СИСТЕМ
В настоящей главе приводятся результаты исследования большого круга
динамических контактных задач о колебании жестких штампов и различ-
различных инерционных систем на поверхности преднапряженных полуограни-
полуограниченных сред. Представленные закономерности динамического контактного
взаимодействия массивных тел (инерционных систем) составляют основу
для разработки принципиально новых, базирующихся на использовании
резонансных явлений в системе «массивное тело (инерционная система) —
полуограниченная среда», подходов к проблеме оценки, контроля и мони-
мониторинга напряженного состояния деталей и узлов различных инженерных
конструкций.
Любое изменение напряженного состояния среды влияет на ее дина-
динамическую жесткость — реактивную силу, возникающую в среде при коле-
колебаниях штампа с единичной амплитудой. Поскольку изменение напряжен-
напряженного состояния является относительно малой величиной по отношению к
модулю упругости (порядка 10^4 — 1СР5 /i, где /i — модуль упругости сре-
среды), а изменение жесткости среды имеет тот же порядок, то основная про-
проблема заключается в регистрации этих изменений и в разработке методов
повышения информативности этого подхода. Успешное решение проблем
возможно лишь на основе изучения закономерностей влияния начальных
напряжений на реакцию среды и способов повышения чувствительности
динамики системы к изменению напряженного состояния среды.
Во многих случаях, когда характерный размер контролируемого объек-
объекта существенно превышает длину волны, система «датчик^изделие» моде-
моделируется массивным штампом на поверхности полупространства. В этом
случае добротность контура, образованного объектом с датчиком, является
очень малой, что обусловлено значительным геометрическим поглощени-
поглощением — утечкой энергии в подстилающую среду. В силу малой добротности
контура, изменение амплитуды колебаний массивного тела, будет иметь
порядок изменения реакции среды. Использование различных инерцион-
инерционных систем позволяет значительно увеличить добротность системы «дат-
«датчик-изделие», повысить на несколько порядков чувствительность системы
к изменению напряженного состояния среды.
Далее, при проведении конкретных расчетов будем рассматривать сле-
следующие виды начального напряженного состояния:
НДС-1 — одноосное по оси xi(a^ = р, а^® = ^зз = ^, задается
начальным удлинением v\ = 1 ± е (аналогично по другим осям — НДС-2,
НДС-З);
2-НДС — двухосное (aff = сг^ = Р, ^"зз = 0)? задается начальным

164
Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
удлинением v\ = 1 ± е (аналогично по парам других осей);
3-НДС — трехосное (а^ = ®Ш = cr*J = р), задается начальным удли™
нением vn = 1 ± е, п = 1, 2, 3.
8.1. Динамические свойства преднапряженног©
полупространства. Сдвиговые колебания
В данном разделе исследуются закономерности динамического контакт-
контактного взаимодействия жесткого штампа с преднапряженным полупростран-
полупространством, а также влияние различных видов напряженного состояния и вели-
величины начальной деформации на реакцию среды, динамику массивных тел
и различных видов двухмассовых инерционных систем.
8.1.1. Сдвиговые колебании штампа на поверхности преднапря-
женного полупространства. Рассмотрим задачу о сдвиговых вдоль оси
Х2 колебаниях жесткого штампа, занимающего в плане область \х\\ ^ 1,
\х21 ^ оо на поверхности преднапряженного полупространства жз ^ 0. За-
Задача сводится к решению интегрального уравнения относительно неизвест-
неизвестной функции q(xi) —распределения контактных напряжений под штампом
, (8.1.1)
здесь функция К (а) = К%2 («) — определена формулой E.2.12), которую
в данном случае при использовании безразмерных параметров перепишем
в виде
здесь к — безразмерная частота.
Решение уравнения (8.1.1) в соответствии с разделом 6.1.4 дается фор-
формулами F.1.34), которые перепишем в виде
q{x) =i
где
(8.1.3)
q (t) = —ixexfy—ixt +
м
k=l
k=l
V-i (zk - к) e^Zkt (l - erf д/^ (к + zk) t). (8.1.4)

8.1. Сдвиговые колебания	165
Здесь zu = ж + it к (к = 1, 2, ..., М) — узлы по берегам разреза
[—>*т, —^ — гоо], коэффициенты Ьк определены формулой F.1.34).
Динамическая жесткость полупространства выражается формулой
F.1.25), которая в данном случае имеет вид
Q = 2гж + A - Агк) erf л/^
, (8.1.5)
где функция К+ (а) имеет вид F.1.29), а безразмерная частота к определена
в выражении (8.1.2).
В качестве характеристики влияния НДС на динамическую жесткость
среды используется функция 0 = Qq — Qa, где Qq, Qa — реакция среды
соответственно в естественном и начально деформированном состоянии.
Анализ показал, что характер влияния начальных напряжений на дей-
действительную и мнимую составляющие реакции среды существенно разли-
различается: Re 0 является осциллирующей около нуля функцией; Im 0 также
осциллирует, но эта осцилляция слабо выражена на фоне значительного
роста Im 0 по частоте.
Особенностью сдвиговых колебаний штампа является изменение ам-
амплитуды 0 пропорциональное величине начальных напряжений, а также
наличие счетного множества частот ж°, на которых Re 0 = 0, т. е. реальная
составляющая реакции среды на этих, частотах не зависит от преднапряже™
ний.
Для более детального исследования влияния начальных напряжений
представим реакцию среды Q@, к) (8.1.5) в виде
(8.1.6)
Исходя из (8.1.6) с учетом (8.1.5) нетрудно получить представление:
G = -2г + e2iM0 (AW^щ{1 + г) + 2A - гOг~1/2^1/2) , (8.1.8)
где W(z) = e^z erfc(-iz) [1, 48] является функцией, действительная и
мнимая компоненты которой положительны и монотонно убывают.

166	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
Из выражений (8.1.6)—(8.1.8) следует, что качественное поведение Qi
на высоких частотах определяется функцией G (8.1.8) и не зависит от вида
начального напряженного состояния и величины начальной деформации.
Разделяя G на действительную и мнимую составляющие, получаем,
что Re G обращается в ноль на частотах ж®, удовлетворяющих, уравнению
4R WV(l i) 21/2^1/2
Осциллирующая составляющая ImG обращается в ноль на частотах >f|,
которые определяются из уравнения
tg2x0 = С~1.	(8 Л .10)
Необходимо отметить, что ж® — значения частоты, на которых влияние
преднапряжений на динамическую жесткость среды отсутствует, т. е. ди-
динамическая жесткость на этих частотах не зависит ни от вида начального
напряженного состояния, ни от величины начальной деформации; к\ —
значения частоты, на которых это влияние максимально, т. е. на этих ча-
частотах имеет место наивысшая чувствительность динамической жесткости
полупространства к изменению внутренних напряжений.
8.1.2. Массивный штамп. В случае сдвиговых колебаний массивного
штампа \х\\ ^ 1, \х^\ ^ оо на поверхности преднапряженного полупро-
полупространства хз ^ 0 под действием силы F движение штампа описывается
уравнением (скалярный аналог уравнения E.1.2), где w = wc):
= F^Q	(8.1.11)
на поверхности полупространства должны выполняться условия:
: 1, \х2\ ^ оо;
q(xi) = 05 \хг
> 1, Ж2| ^ 00.
(8.1.12)
Здесь т — масса штампа, w — амплитуда колебаний штампа.
Решение уравнения (8.1.11) в безразмерных параметрах имеет вид
w = F[Q(k) ^тж2]~\	(8.1.13)
где Q{k) — реакция среды, определяется формулой (8.1.5) при f{x\) = 1.
Движение штампа имеет резонансный характер: существует частота ж*,
на которой амплитуда колебаний имеет ограниченный максимум А*. Значе-
Значения ж* ш А* зависят не только от массы штампа, но и от вида напряженно-
напряженного состояния. Наибольшее влияние начальных напряжений имеет место в
окрестности к*. В то же время существует значение частоты ж®, на которой
влияние начальных напряжений на амплитуду колебаний штампа практи-
практически отсутствует.

8.1. Сдвиговые колебания	167
На рис. 8.1.1 приведены графики функции т = w° — \w\ (w° ш w —
амплитуды колебаний штампа соответственно в ЕС и в НДС), рассчитан-
рассчитанные для стали 35ХГСА и иллюстрирующие влияние начальных напряжений
на амплитуду колебаний штампа. Индексами Ап, п = 1, 2, 3 отмечены кри-
кривые в НДС-1, НДС-2, НДС-3, 4 — в 3-НДС, 5 — в 2-НДС, (кривые 1-3
увеличены в 10 раз). Масса штампа фиксирована, значение р во всех случа-
случаях одинаково и положительно. Из графиков следует, что наиболее сильное
влияние на динамику штампа оказывает 3-НДС. Далее по степени влияния
идут соответственно 2-НДС, НДС-2, НДС-1 и НДС-3. Все виды напряжен-
напряженных состояний различаются максимальными А+ и минимальными А~~ зна-
значениями (им соответствуют частоты к+ и к~~). Значения частот максималь-
максимального влияния к+ и х~, а также м°, где влияние практически отсутствует,
не зависят от преднапряжений. Характерно, что на частотах к0 достигается
максимум изменения аргумента.
8.1.3. Инерционная система (а). Допустим, что к жесткому штам-
штампу М2 \xi\ ^ 1, \х2\ ^ оо, лежащему на поверхности полупространства
жз ^ 0, посредством упругой связи жесткости к присоединено массивное
тело Mi (система (а)). Система совершает поступательные горизонтальные
колебания под действием приложенной к телу М\ силы F.
Краевая задача описывается системой уравнений движения
= —к (wi — w2) + F,
}	(8.1.14)
}
Перемещение элементов системы и волновое поле в среде определяются
путем согласованного решения уравнений движения элементов системы
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
которой (жз = 0) должны выполняться условия
W2 = щ (xi,0), \xi\ ^ 1, |ж2| ^ оо,	(8.1.15)
<z(si)=O, \х1\>1,	(8.1.16)
где ii2 (xi, Ж3) — перемещения произвольной точки среды.
Решение краевой задачи (8.1.14) с учетом условий (8.1.15) и (8.1.16)
после перехода к безразмерным параметрам принимает вид
F(Q + k62)	F
Wl k[S1(Q-^kS2)-kY W2 81(Q + k82)^kJ l j
где Q — реакция среды на единичное перемещение штампа, которая опре™
деляется формулой (8.1.5) при f(x\) = 1; 8п = 1 — м2тп/к, тп — массы
телМт га = 1, 2.

168	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
В случае жесткого сцепления массы mi с штампом (упругая связь от-
отсутствует), выражения для w\, W2 принимают вид
wi = W2 = F (Q — тк2) , т = mi + Ш2.	(8.1.18)
Из (8.1.17), (8.1.18) нетрудно заметить, что введение упругого элемента зна-
значительно усиливает резонансный характер поведения инерционной систе-
системы. Соответствующим подбором ее элементов можно добиться повышения
чувствительности динамики системы к изменению начального напряжен-
напряженного состояния среды в 102 — 105 раз.
На низких частотах {к >> 1.0) условие резонанса имеет вид
51{ReQ + k52) - к = 0,	(8Л. 19)
амплитуда резонансного пика определяется выражением
(8.1.20)
Из соотношений (8.1.19) и (8.1.20) следует, что в низкочастотном диапа-
диапазоне колебаний системы резонансная частота и амплитуда резонансного
пика определяются параметрами системы, видом и величиной начальной
деформации.
Введение в рассмотрение упругого элемента позволяет решать задачу
анализа влияния начальной деформации на динамику инерционной систе-
системы на высоких частотах, где определяющую роль в поведении w\ играет
Im Q. Условие резонанса в этом случае имеет вид
Ji=0.	(8.1.21)
Амплитуда резонансного пика описывается формулой
w* = ^[Q + M2]ir2.	(8.1.22)
Из выражений (8.1.21) и (8.1.22) следует, что в высокочастотном диапазоне
резонансная частота не зависит от начальной деформации и определяется
лишь компонентами системы mi и fc. При этом амплитуда резонансного
пика зависит от жесткости к и массы штампа Ш2.
На рис. 8.1.2 приведен характерный для высокочастотного диапазона
сдвиговых колебаний вид кривых т. Индексами Ап, п = 1, 2, 3 отмечены
кривые, соответствующие одноосной деформации (щ = 1.005, г = 1, 2, 3)
по осям a?i, #2, #з. Из графиков следует, что влияние начальной деформации
характеризуется максимальными А+ иЛ" значениями г (им соответству-
соответствуют частоты ж+ и >с~\ а также значением частоты м°, при котором влияние
вида и величины начальной деформации на амплитуду колебаний w± от-
отсутствует. Легко видеть, что наибольшее влияние на динамику массы mi
оказывают начальные напряжения, действующие по оси Х2, наименьшее —
напряжения по оси х\. Напряжения по оси жз оказывают качественно про-
противоположное влияние.

8.1. Сдвиговые колебания	169
Как следует из графиков, влияние начальной деформации на динамику
системы характеризуется частотой к+ (ж~) (влияние максимально), ам-
амплитудой резонансного пика А+ (А~) и частотой м° (влияние отсутствует).
Легко видеть, что изменение вида начального состояния приводит лишь
к изменению амплитуд А+(А^), но не влияет на значения ж^ и м°.
Одновременное уменьшение параметров mi, k(mi/k = const) приво-
приводит к увеличению добротности контура «инерционная система— полу-
полупространство» и значительному увеличению амплитуд А+ иА~ . Увеличе-
Увеличение параметров mi, к приводит к противоположному результату.
8.1.4. Инерционная система (б). Допустим, что в описанной в пре-
предыдущем разделе системе роль упругой связи играет упругий стержень
(брус — система (б)). В этом случае краевая задача описывается соотноше-
соотношениями
^	(8.1.23)
х3 = I : -mip0uj2w = р _ Eq
1	(8 Л.24)
Г\	р	V	/
х3 = 0 : -wi2poUJ2w = Eo-	Q, Q=
-i
где w — амплитуда колебаний соответствующего сечения стержня.
Перемещение элементов системы (б) и волновое поле в среде опре-
определяются путем согласованного решения краевой задачи (8.1.23), (8.1.24)
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
которой (жз ^ 0) должны выполняться условия
W2 = ^2 (#1, 0) ,	\xl\ ^ 1? 1^21^00,	(8.1.25)
<z(si)=O, |ап|>1,	(8.1.26)
где U2 (xi, жз) — вектор перемещения произвольной точки среды.
Решение задачи (8.1.23), (8.1.24)—(8.1.26) при сдвиговых (горизонталь™
ных поступательных) колебаниях, после перехода к безразмерной частоте
и в обозначениях п. 7.5, описывается формулами:
wi=F A^1 [(Q - т2м2) tg al + /iV] ,
w2 =F/iVA,	(8.1.27)
A = /jl'ct (Q - [mi + m2] ^2) — miK2 [Q — m2^2) tg al - /i 2a2 tgal.

170	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
Анализ показал, что характер влияния начальной деформации на ди-
динамику тела mi на низких частотах отличается от влияния на высоких
частотах.
На низких частотах (к >> 1.0) условие резонанса имеет вид
tg al =	—2~9 »	(8.1.28)
f
причем амплитуда резонансного пика определяется выражением
F\(Q- т2м2) tg al + иа]
w* = -p	 /S ^ J.	(8 Л 29)
г (/лет — m\Kz tg o7) Im Q
Легко видеть, что в этом случае резонансная частота системы зависит как
от ее параметров, так и от реакции среды, а, следовательно, будет зависеть
от начальной деформации.
На высоких (к ^> 1) частотах условие резонанса упругого стержня при-
принимает несколько иной вид:
tg al = fMjm^K^2,	(8.1.30)
причем амплитуда резонансного пика определяется выражением
^a].	(8.1.31)
В этом случае резонансная частота системы зависит лишь от ее параметров.
Реакция среды, а, следовательно, начальная деформация на нее не влияет.
Брус, как упругий элемент инерционной системы, по сравнению с пру-
пружиной имеет ряд отличий, основным из которых является наличие счетного
множества значений толщины, при которых данная частота является резо-
резонансной, а также наличие счетного множества резонансных частот при
фиксированной его толщине. Из (8.1.28), (8.1.30) следует, что толщины
стержня, при которых наступает резонанс, определяются выражениями:
-	на низких частотах
2 (ReQ-m2K2) }	1
2Ш ^ 	2, , },2 9 }+ктта^\ fe = 0, 1, 2, ... ,
2 (ReQ - m2K2)+fi 2a2 J
(8.1.32)
—	на высоких частотах
h = а~г aretgj/iW^1^2} +Ьга~\ к = 0, 1, 2, ... (8.133)
На рис. 8.1.3 приведен характерный для высокочастотного диапазона
вид кривых г, иллюстрирующих влияние начальной деформации на дина-
динамику системы при различных видах НДС. Индексами Ап, п = 1, 2, 3 отме-
отмечены кривые, соответствующие одноосной деформации (щ = 1.005, г =
= 1, 2, 3) по осям xi, X2, хз. Из графиков следует, что и в этом случае

8.2. Вертикальные колебания	111
влияние начальной деформации характеризуется максимальными А+ шА^
значениями г (им соответствуют частоты к+ и >с~), а также значением
частоты ж0, при котором влияние вида и величины начальной деформа-
деформации на амплитуду колебаний w\ отсутствует. Легко видеть, что, как и в
случае инерционной системы с пружиной, наибольшее влияние на динами-
динамику массы mi оказывают начальные напряжения, действующие по оси Х2,
наименьшее — напряжения по оси х\. Напряжения по оси х% оказывают
качественно противоположное влияние. На рис. 8.1.4 приведен характер-
характерный вид кривых г, иллюстрирующих влияние толщины бруса на динамику
системы. Начальная деформация является одноосной по оси х\, толщина
бруса рассчитана по формуле (8.1.32) при к = О, 1, 5иш2 = 1.
Видно, что поведение системы (б) носит ярко выраженный резонанс-
резонансный характер. Как и ранее, влияние начальной деформации характеризуется
частотами м±, м° и амплитудами А±. Основной эффект увеличения толщи-
толщины бруса проявляется в том, что резонансный характер поведения системы
усиливается (увеличивается добротность контура, образованного системой
и полупространством), причем с увеличением номера моды к0 и к+ —
уменьшаются, >с~ практически не изменяется, равно как и амплитуды А±.
Анализ показал, что все виды начальной деформации отличаются меж-
между собой лишь амплитудой А±. Значения частот хР, ж+ и н~ являются
фиксированными.
8.2. Динамические свойства преднапряженного
полупространства. Вертикальные колебания
В настоящем разделе исследуются закономерности динамического кон-
контактного взаимодействия жесткого штампа с преднапряженным полупро-
полупространством, а также влияние вида напряженного состояния и величины
начальной деформации на реакцию среды и динамику массивного тела и
различных инерционных двухмассовых систем в случае вертикальных ко-
колебаний штампа, которые инициируют в среде два типа волн—продольную
и поперечную. Это обстоятельство определяет специфику влияния различ-
различных видов начального напряженного состояния на динамику преднапря-
женной среды в случае вертикальных колебаний.
8.2.1. Вертикальные колебания жесткого штампа. Рассмотрим за-
задачу о вертикальных поступательных колебаниях жесткого штампа, зани-
занимающего в плане область \х\\ ^ а, \х2\ ^ оо на поверхности преднапря-
женного полупространства х% ^ 0. В предположении, что трение в области
контакта отсутствует, задача сводится к решению интегрального уравне-
уравнения относительно неизвестной функции q (x\) распределения контактных
напряжений:

172	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
(8.2.1)
k(t) =
K{a)elatda,
(8.2.2)
здесь if (a) = if33 (aM функция K%% (a) = 1^33 («i,O,u;) определена
формулой E.2.4). Как показал анализ, функция К (а) имеет две точки
ветвления на вещественной оси. Это обстоятельство определило необ-
необходимость применения к уравнению (8.2.1.) развитого в п. 6.1.5 метода
решения, который представляет собой обобщенный на случай наличия
у символа ядра интегрального оператора точек ветвления метод факториза-
факторизации. В результате решение уравнения (8.2.1) имеет вид
К@)
где
71=1
N+M
• Y р? -
Z__j	КП
к=\
' (f \	т ~~ 1 о Ч
(8.2.3)
(8.2.4)
o-iz{l±x)
=erf ^/-г
Реактивная сила Q@, ^), действующая на штамп со стороны полупро-
полупространства дается формулами F.1.46)
1
Q= q (x) dx = Q\ + Q2, Qn = Qoon + Qon + Qiru (8.2.5)
-1
где
i?+M
iw
, (8.2.6)
_
VOn ^
9А
V 4
+г
. N+M
m=l
tm 2
, (8.2.7)

8.2. Вертикальные колебания	173
3 r	N+M
Qln = -2% J2 т^*п (tm) + i E —ф-
k=l
x)
n=l,2,
здесь ^ — полюсы Ж33 (ab 0, о;), коэффициенты Gmn9 Smn, Bmn, bk, tk
определяются из формул F.1.42) при rj = 0.
На рис. 8.2.1, 8.2.2 представлен характерный вид кривых Re в (рис. 8.2.1)
и Im в (рис. 8.2.2), иллюстрирующие влияние начальных напряжений на
динамическую жесткость полупространства. Здесь 0 = Qa — Qo, Qa, Go —
значения реактивной силы, действующей со стороны среды на штамп при
его смещении с единичной амплитудой в начально деформированном и ес-
естественном состояниях соответственно.
Кривые Ai на рис 8.2.1 и 8.2.2 соответствуют НДС-1, кривые Ai/2 —
уменьшенной в два раза деформации. Нетрудно заметить осциллирующий
характер влияния начальных напряжений на Re в и Im 0, который опреде-
определяется двумя частотами, поскольку, в отличие от сдвиговых, вертикальные
колебания штампа связаны с двумя типами волн (продольной и попереч-
поперечной).
Влияние различных видов начальной деформации на Q@, uS) имеет
существенное качественное различие. Для более детального исследования
представим реакцию среды Q@, к^) (8.2.5) в виде
где
'" д<° ^Р=о'
Исходя из (8.2.8) с учетом (8.2.5) нетрудно получить представления:
из которых следует, что G\ и G2 являются осциллирующими функциями,
но не зависят от начальных напряжений.
Влияние начальной деформации на функцию Q\ определяется поведе-
поведением к 'п, п = 1, 2, в частности их зависимостью от начальных напряжений.
Для различных видов начальной деформации эта зависимость имеет ка-
качественно различный характер. Например, ограничившись линейным при-
приближением для используемого здесь материала 35ХГСА, имеем для НДС-1:

174	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
к[ = 2.5, к'2 = 0.7 для НДС2-: м[ = -0.2, к'2 = -0.2; для НДС-3:
м[ = -0.2, к'2 = 2.7.
Отсюда следует, что в НДС-1 доминирующей будет длинноволновая
осцилляция, в НДС-3 — коротковолновая осцилляция. Этим определяется
качественно различное влияние различных видов начальной деформации
на реакцию среды, и, как следствие, их качественно различное влияние
на динамику массивных объектов или инерционных систем.
8.2.2. Массивный штамп. В случае вертикальных колебаний массив-
массивного штампа \х\\ ^ 1, \х2\ ^ оо на поверхности преднапряженного полу-
полупространства под действием силы F, движение штампа описывается урав-
уравнением
F-Q,	(8.2.10)
на поверхности полупространства должны выполняться условия
\xi\ ^ 1, \х2\ ^ оо,	(8.2.11)
ж!| > 1, |ж2|^оо,	(8.2.12)
здесь т — масса штампа, w — амплитуда его колебаний.
Решение уравнения (8.2.10) после перехода к безразмерным параметрам
имеет вид
w = F [Q {к2) - тк22] ~г ,	(8.2.13)
где Q(m2) — реакция среды на единичное перемещение плоского штампа,
которая определяется формулами (8.2.5), (8.2.7).
Движение штампа имеет резонансный характер: существует частота к *,
на которой амплитуда колебаний имеет ограниченный максимум А*. Зна-
Значения к* и А* зависят не только от массы штампа, но и от вида НДС.
Наибольшее влияние начальных напряжений имеет место в окрестнос-
окрестности ж*. Вместе с тем существует значение частоты к0, на которой влия-
влияние начальных напряжений на амплитуду колебаний штампа практически
отсутствует.
На рис. 8.2.3 приведены графики функции т = \w° — \w\ (напомним,
что ад°ишз — амплитуды колебаний штампа соответственно в ЕС и НДС),
рассчитанные для стали 35ХГСА и иллюстрирующие влияние начальных
напряжений и массы штампа на амплитуду его колебаний. Индексами Хп,
п = 1, 2, 3 отмечены кривые, соответствующие НДС-1, НДС-2 и НДС-3,
кривые Аз/2 — уменьшенной в 2, Аз/4 — в 4 раза деформации по оси хз.
Масса штампа фиксирована, значение р во всех случаях положительно.
Нетрудно заметить, что поведение т носит резонансный характер.
Из графиков следует, что наиболее сильное влияние на динамику штам-
штампа оказывает НДС-3. Все виды напряженных состояний характеризуются
различными значениями А*, к*, максимальными А+ и минимальными А~~
значениями 0 (им соответствуют частоты к+ и >с~\ а также частотой к0,
где влияние практически отсутствует. Характерно, что на частотах м° до-
достигается максимум изменения аргумента. Расчеты показали, что т влияет

8.2. Вертикальные колебания	175
как на значение м±, так и на А± (частоту и амплитуду резонансного пика).
С уменьшением т значения м± увеличиваются, а значения А^ уменьша-
уменьшаются. Изменение деформации при данном виде НДС приводит к измене-
изменению А±, но значения м± и м° при этом не меняются.
8.2.3. Инерционнам система (а). Допустим, что к жесткому штам-
штампу М2, осциллирующему на поверхности полупространства х3 ^ 0, по-
посредством упругой связи жесткости к присоединено массивное тело Mi
(система (а)). Система совершает поступательные вертикальные колебания
под действием приложенной к телу М\ силы F.
Краевая задача описывается системой уравнений движения
= —к {w\ — W2) + F,
1
—ni2UJ2W2 = к (wi — W2) — Qi Q = \ q (xi) dx\ .
(8.2.14)
—l
Перемещение элементов системы и волновое поле в среде определяются
путем согласованного решения уравнений движения элементов системы и
краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности жз = О
которой должны выполняться условия
W2 = г^з (xi, 0), \xi\ ^ 1, |ж2| ^ оо,	(8.2.15)
q(Xl)=0, \хг\ >1,	(8.2.16)
где us (xi, xs) — вертикальные перемещения произвольной точки среды.
Решение (8.2.14) с учетом условий (8.2.15) и (8.2.16) в случае поступа-
поступательных вертикальных колебаний и использовании безразмерных парамет-
параметров принимает вид
F(Q + kS2)	F
Wl k[61(Q + k62)-k]' W'2 61(Q + kS2)-k' K }
где Q — реакция среды, которая определяется формулами (8.2.5), (8.2.7);
8п = 1 — я^гпп/к^ п = 1, 2; тп —массы тел Мп, п = 1, 2.
В случае жесткого сцепления массы mi с штампом (упругая связь от-
отсутствует), выражения для wi, W2 принимают вид
wi = W2 = F [Q — тк^) 5 т = mi + Ш2.	(8.2.18)
Из (8.2.17), (8.2.18) нетрудно заметить, что введение упругого элемен-
элемента значительно усиливает резонансный характер поведения инерционной
системы. Соответствующим подбором ее элементов удается добиться по-
повышения чувствительности динамики системы к изменению начального
напряженного состояния среды в 102 —105 раз.
На низких частотах (к2 <С 1.0) условие резонанса имеет вид
5г (ReQ + Ы2) - к = 0,	(8.2.19)

176	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
амплитуда резонансного пика определяется выражением
(8.2.20)
Из соотношений (8.2.7) и (8.2.8) следует, что в низкочастотном диа-
диапазоне колебаний системы резонансная частота и амплитуда резонансного
пика определяются параметрами системы, видом НДС и величиной началь-
начальной деформации.
Введение в рассмотрение упругого элемента позволяет решать задачу
анализа влияния начальной деформации на динамику инерционной систе-
системы на высоких частотах, где определяющую роль в поведении щ игра-
играет Im Q. Условие резонанса в этом случае имеет вид
6г = 0.	(8.2.21)
Амплитуда резонансного пика описывается формулой
wi = ~ [Q + &<У k^2.	(8.2.22)
Из выражений (8.2.21) и (8.2.22) следует, что в высокочастотном диапазоне
резонансная частота в основном определяется компонентами системы mi
и к, в меньшей степени (опосредовано через Х2) зависит от начальной
деформации. Амплитуда резонансного пика зависит от жесткости к и массы
штампа wi2.
На рис. 8.2.4 приведен характерный для высокочастотного диапазо-
диапазона вид кривых т при одноосной начальной деформации. Индексами Ап,
п = 1, 2, 3 отмечены кривые, соответствующие НДС-1, НДО2 и НДС-3
(кривые 1,2 увеличены в 6 раз). Из графиков следует, что влияние началь-
начальной деформации характеризуется максимальными А+ и А~" значениями т
(им соответствуют частоты ж+ и х~, а также значением частоты х°, при
котором влияние начальной деформации на амплитуду колебаний w\ прак-
практически отсутствует. Легко видеть, что наибольшее влияние на динамику
массы mi оказывают начальные напряжения, действующие по оси хз, наи-
наименьшее — напряжения по оси Х2.
Одновременное уменьшение параметров mi (krrii/k = const, часто-
частота резонанса не изменяется) приводит к увеличению добротности контура
«инерционная система—полупространство» и значительному увеличению
амплитуд А+ и А~. Увеличение параметров mi, k приводит к противопо-
противоположному результату.
8.2.4. Инерционная система (б). Допустим, что в описанной в пре-
предыдущем разделе системе роль упругой связи играет упругий стержень
(система (в)). В этом случае краевая задача описывается соотношениями
0 Я—2 = ™^° °° Wj	@.2.2З)

8.2. Вертикальные колебания	111
1	2	jp rp dw
l	(8.2.24)
x3 = 0 : -m2pouj2w = Eo —— -Q, Q = \ q (xi) dx\ ,
dx	J
-l
где w — амплитуда колебаний соответствующего сечения стержня.
Перемещение элементов системы (б) и волновое поле в среде опре-
определяются путем согласованного решения краевой задачи (8.2.23), (8.2.24)
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности
х3 = 0 которой должны выполняться условия
w2=u3(xu0), kiKl, |x2|<Coo,	(8.2.25)
g(si)=0, \хг\ >1,	(82.26)
где г^з (xi, хз) — вертикальные перемещения произвольной точки среды.
Решение задачи (8.2.23)—(8.2.26) при вертикальных поступательных ко-
колебаниях в обозначениях раздела 7.5 описывается формулами
u1=FA~1 [{l)	]
и2 =F/iVA,	(8.2.27)
А = //сг [Q — [mi + ТП2] ^2) ~ ^ii^22 {Q ~ m2^22) tg сг1 — /х' a2 tgcrl.
Как и при колебаниях инерционной системы типа (а), в рассматривае-
рассматриваемом случае характер влияния начальной деформации на динамику тела mi
на низких и высоких частотах будет отличаться.
На низких частотах (м2 <С 1.0) условие резонанса имеет вид
и® (Re Q — ткп)
tg al = 	f K V	2'i 2 2>	(82.28)
mK2 (ReQ - т2щ) + /i2®2
причем амплитуда резонансного пика определяется выражением

9	7\ т г~Л
— т\к2 tg al) Im Q
Легко видеть, что в этом случае резонансная частота системы зависит как
от ее параметров, так и от реакции среды, а, следовательно, будет зависеть
от начальной деформации. На высоких (к2 ^> 1) частотах условие резонанса
упругого стержня принимает несколько иной вид:
tgcrZ = fiam^1 ж^2 5	(8.2.30)
причем амплитуда резонансного пика определяется выражением
w* =FA [(Q-m2K2)tgal + ii'a] .	(8.2.31)

178	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
В этом случае резонансная частота системы зависит лишь от ее па-
параметров. Реакция среды, а следовательно, начальная деформация на нее
не влияет.
Стержень как упругий элемент инерционной системы по сравнению
с пружиной имеет ряд отличных моментов, основным из которых является
наличие счетного множества значений длины, при которых заданная часто-
частота является резонансной, а также наличие счетного множества резонансных
частот при фиксированной его длине. Из (8.2.28), (8.2.30) следует, что дли-
длины стержня, при которых наступает резонанс, определяются выражениями:
- на низких частотах
1к=а-г arctg I ^2т \	2. 2;2 9 \ +Аяг<7-1, fc = 0, 1, 2, ...;
(8.2.32)
- на высоких частотах
lk = a^1 arctg {/iVmf 1х22} + fortr, к = 0, 1, 2, ... (8.2.33)
На рис. 8.2.5 приведен характерный вид кривых г, иллюстрирующих
влияние начальной деформации на динамику системы (б) (со стержнем) при
одноосной начальной деформации. Индексами АПэ п = 1, 2, 3 отмечены
кривые, соответствующие НДС-1, НДС-2 и НДС-3 (кривые 1,2 увеличены
в 6 раз).
Видно, что поведение системы (б) также носит ярко выраженный резо-
резонансный характер. Как и ранее, влияние начальной деформации характери-
характеризуется частотами м±, м° и амплитудами А^.
На рис. 8.2.5 приведен характерный вид кривых т при различных значе-
значениях длины стержня. Начальная деформация является одноосной по оси х\,
длина стержня рассчитана по формуле (8.2.32) при к = 0, 1, 5 (кривые, со-
соответственно, 1,2 и 3) и rri2 = 1. Нетрудно заметить, что основное влияние
увеличения длины стержня состоит в усилении резонансного характера по-
поведения системы (увеличивается добротность контура, образованного си-
системой и полупространством). С увеличением номера моды х° и к+ —
уменьшаются; к~~ практически не изменяется, равно как и амплитуды А±.
Изменение массы штампа слабо влияет на характер поведения т, что иллю-
иллюстрируется кривыми на рис. 8.2.6 (шг = 0) и 8.2.7 (шг = 7).
8.3. Особенности динамического контактного
взаимодействия массивных тел и систем
с преднапряженным слоем
В настоящей главе исследуются закономерности динамического кон-
контактного взаимодействия жесткого штампа с преднапряженным слоем
0 ^ хз ^ h, нижняя грань которого сцеплена с не деформируемым основа-
основанием. Изучаются закономерности влияния вида НДС и величины начальной

8.3. Контактное взаимодействие систем, с преднапряженным слоем 179
деформации на структуру поверхностного волнового поля, на динамиче-
динамическую жесткость слоя, на динамику массивного тела и различных инерци-
инерционных, систем.
8.3.1. Некоторые динамические свойства преднапряженного слоя.
В общем случае отмеченные выше проблемы сводятся к исследованию ин-
интегральных уравнений, символы ядер которых зависят как от механических
и геометрических параметров задачи, так и от начальных напряжений, ко-
которые могут создавать в среде так называемую наведенную анизотропию.
В частном случае трансверсальной анизотропии с осью хз, влияние на-
начальных напряжений на распределение нулей и полюсов и связанные с ни-
ними фазовые скорости поверхностных волн исследовалось в [67]. В других
случаях влияние начальной деформации носит более сложный характер:
поверхности нулей и полюсов, имеющие в естественном состоянии вид
тел вращения, в НДС приобретают свойственный анизотропным средам
[11, 31] вид. Тем самым, структура поверхностного волнового поля суще-
существенно усложняется, что требует привлечения пространственной формы
описания определяющих соотношений.
Рассмотрим задачу о вертикальных колебаниях жесткого штампа
на поверхности преднапряженного слоя 0 ^ х3 ^ h. Полагая трение в обла-
области контакта отсутствующим, приходим к интегральному уравнению
(х\ —?, х2—7], и) q (?, rj) d?drj = f (х\, х2), (х\} х2) Е О, х3 = /г,
о
(8.3.1)
1 ( 4- \ 		I I ТУ (	\ —ЪуСХ.Л S-^-Q.'jt) J	J	/О 1 О\
fb[SjtjUJ) = 	—	Л (ttl, Ot2j UJ) 6 v	JUQLiUQL2.	(p.J.Z)
Здесь К (аъ а2, и) = К33 (аъ а2, и) (функция К33 (аь а2, и) =
= 1^зз («1? «2, h, и) определена формулой E.3.1) и зависит от вида на-
начального напряженного состояния).
Представление о влиянии начальной деформации на дисперсионные
поверхности можно получить из рис.8.3.1 и 8.3.2, на которых приведены
сечения дисперсионных поверхностей плоскостями к2 = 2.80, 2.81, 2.82
и 2.83 (кривые 0, 1, 2 и 3 на рис. 8.3.1 при растяжении вдоль оси х\) и
плоскостями к2 = 2.84, 2.85, 2.854 и 2.86 (кривые 0, 1, 2 и 3 на рис. 8.3.2
при сжатии вдоль оси х\). Видно, что дисперсионные поверхности де-
деформируются как за счет растяжения или сжатия (в зависимости от знака
начальных напряжений) в плоскости к2 = const, так и за счет сдвига точек,
их. образующих., в сторону низких или высоких частот.
Деформация происходит неравномерно: сильнее по оси, соосной на-
направлению действия напряжений, слабее — в перпендикулярном направ-
направлении. В результате на дисперсионной поверхности образуется локальный
минимум на оси а± (растяжение) или на оси а2 (сжатие). Это обусловливает
зарождение второй моды в окрестности оси ai на более низких частотах

180	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
при растяжении и в окрестности оси «2 на более высоких частотах при
сжатии. Отметим, что «переходная зона» — диапазон частот, при которых
нерегулярная мода существует не на всех направлениях, при растяжении
намного шире, чем при сжатии.
8.3.2. Колебании жесткого штампа. Рассмотрим задачу о вертикаль-
вертикальных поступательных колебаниях жесткого штампа, занимающего в плане
область \xi\ ^ 1, |жз| ^ оо на поверхности преднапряженного слоя
О ^ ^з ^ К нижняя грань которого сцеплена с не деформируемым осно-
основанием. Материал слоя предполагается гиперупругим, первоначально изо-
изотропным, колебания—установившимися, трение в области контакта отсут-
отсутствует.
Задача сводится к решению интегрального уравнения
1
fc(:ci-0g@df = 1> Ы ^1,	(83.3)
K(a)eiatda,	(83.4)
г
здесь К (а) = К%% («) (функция^з («) = i^33 («ъ О, ^> и) определена
формулой E.3.1)).
Для решения (83.3) в данном случае используется метод факториза-
факторизации. В результате функция распределения контактных напряжений q{x\)
представляется выражением
q (х) = ^^щ + д+ A + х) + q~ A - re) + О {е~2В) ,	(83.5)
где
e-Bt
q^(t) = А^= + К~г@) e
л/ттг
rf у/(В + izk) t + %- ^f^r (l
(8.3.6)
Реактивная сила Q@, къ), действующая на штамп со стороны полупро-
полупространства, дается формулами
A;=l
где
N
2 J2 [Sik^f^2(B + izk) + S2kcrfV^(B-izk) + Sok], (83.7)
A

8.3. Контактное взаимодействие систем с преднапряженным слоем 181
N
2iBk
(8.3.8)
S<2k = —
Коэффициенты A, Bk,
новкой rj = О, В >> 1
выражением F.1.8), zk
получаются из формул F.1.24), F.1.26) подста-
параметр аппроксимации, К+ (а) определяется
- полюсы Ж"зз («ъ 0, /г, cj).
Численный анализ, проведенный для ряда материалов (материал среды
предполагался сжимаемым, первоначально изотропным, имеющим упру-
упругий потенциал Мурнагана A.6.9)), показал, что поведение реакции сре-
среды <Э@, Х2) в начально напряженном состоянии имеет такой же качествен-
качественный характер, что и в случае отсутствия начальных напряжений [11, 13,
38] — она является вещественной в диапазоне [0, х|]5 где к\ — «частота
запирания» [13,51] слоя — первый корень уравнения
coscj2 |а=0 = 0,	(83.9)
что обусловлено отсутствием излучения из зоны контакта — слой ведет
себя как пружина с жесткостью Q.
На более высоких частотах реакция среды становится комплексной.
При этом Re Q определяет реактивное сопротивление слоя — его жест™
кость как пружины воздействию штампа; Im Q определяет активное сопро-
сопротивление слоя — излучение из зоны контакта. Поведение функций Re Q и
Im Q существенным образом зависит от поведения полюсов и нулей функ-
функции К^3 (а). На частотах выше к\ Im Q ^ 0, причем в ноль она обращается
на собственных частотах [13, 38] колебаний слоя ^к, которые определя-
определяются из уравнения
coscti |а=0 = 0 .	(8.3.10)
Re Q является осциллирующей функцией с периодическим изменением
знака в точках
?к
и м
^ к.
Последние находятся в окрестности частот,
определяемых из уравнения
Sin Ох а=0 = 0 .
Обозначим xfj, значения а к при а =
(8.3.11)
соответствует безразмерной
О)
частоте М2) в естественном состоянии среды, щ ' —значения ак при а = 0,
соответствующие НДС-1, НДС-2, НДС-3, (г = 1, 2, 3 — соответственно).
Из C.2.12) следует:
C) C)

182	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
В отсутствие начальных напряжений нк = к®. С учетом (8.3.9)—
(8.3.11) заключаем, что значения х|, к^k и >с^к, которые характеризуют
реакцию среды, зависят не только от величины, но и от вида напряжен-
напряженного состояния. Максимальное влияние на критическую частоту слоя ж^
оказывает НДС-1, при котором она возрастает. При НДОЗ к^ также возра-
стает, но в меньшей степени. НДС-2 приводит к уменьшению к\ по сравне-
сравнению с естественным состоянием. Максимальное влияние на м^0 оказывает
НДС-3, при котором она значительно увеличивается. При НДС-1 и НДС-2
эта частота уменьшается.
Далее представлены результаты численного анализа, при проведении
которого использовались параметры стали 09Г2С и следующие виды на-
начального напряженного состояния (если специально не оговаривается):
НДС-1 с i/i = 1,001; НДС-2 с г/2 = 1,001; НДС-3 с уъ = 1,001.
Предположим, что удлинения, сдвиги и повороты в НДС малы. Это
предположение оправдано [53, 54, 74, 75] для широкого класса материалов,
обладающих достаточной жесткостью. Ограничиваясь линейным прибли-
приближением, запишем реакцию среды Q (8.3.7) в виде
Q = Qo + GicJo + 0(cjg), Qo = Q\ao=o, Qi=dQ/d<TO\ao=o, (8.3.12)
где do С 1 (ctq = (Т^ — напряжение, действующее по оси xi, которое
реализует соответствующее преднапряженное состояние).
Численный анализ показал, что НДС-3 приводит к уменьшению жест-
жесткости слоя, в то время как НДС-1 и НДС-2 ее увеличивают. При этом влия-
влияние НДС-3 на порядок больше. Кроме того, излучение из зоны контакта под
влиянием начальной деформации может уменьшаться или увеличиваться
в зависимости от рассматриваемого диапазона частот.
8.3.3. Массивный штамп. Пусть штамп, описанный в предыдущем
разделе, имеет массу т. При исследовании вертикальных поступательных
колебаний массивного штампа необходимо учесть, что движение штампа
подчиняется уравнению
-u2mw = F-Q.	(8.3.13)
На поверхности слоя х% = h выполняются условия:
w = щ (xi,h), |xi| ^ 1, |ж2| ^ оо,	(8.3.14)
0, |xi|>l, |ж2|^оо,	(8.3.15)
здесь F — внешняя сила, действующая на штамп, Q — реакция среды, w —
амплитуда колебаний штампа.
Решение (8.2.14)—(8.3.15) в безразмерных переменных имеет вид
w = F(Q- тк^у1 ,	(8.3.16)
где <Э@, к^) — динамическая жесткость слоя, которая дается форму-
формулой (8.3.7) при f(Xl) = 1.
С учетом особенностей поведения реакции среды Q, можно выделить
диапазоны частот с различными типами колебаний:

8.3. Контактное взаимодействие систем, с преднапряженным слоем 183
1)	низкочастотный диапазон [0, ж^\ в котором при условии т > Qk^
имеет место «изолированный» [35, 36, 38] резонанс;
2)	диапазон \к\, ж^0] и диапазоны \ж^ к, ж^ к , к = 1, 2, ..., в кото-
которых Re Q > 0. При условии т = ж^2 Re Q это обусловливает появление
ограниченных резонансов III рода [38]. Особый интерес представляет ин-
интервал [х|, ж^0], в котором резонанс этого типа является наиболее выра-
выраженным, поскольку |Im Q\ <C Re Q;
3)	диапазоны ^t^K2,k м & = 1, 2, ..., в которых реакция среды яв-
является комплексной с отрицательной вещественной частью. Возможность
появления ограниченных резонансов отсутствует.
Далее остановимся на исследовании резонансных режимов колебаний
штампа, при которых влияние начальной деформации на амплитуду его
колебаний проявляется наиболее сильно.
В качестве характеристики влияния НДС на динамику штампа (как
и в предыдущих разделах), рассмотрим величину т = |w*| — \w®\, где w*
MW® — амплитуды колебаний штампа в естественном и в преднапряженном
состояниях.
В интервале частот [0, ж^\ из выражения (8.3.12), (8.3.16) следует, что
влияние начальной деформации характеризуется частотами (в линейном
приближении) ж+ = (Q®/m) ' и к- = ж+ A + a®Qi/2Q®), на которых
функция т достигает максимального А+ и минимального А~~ значений,
а также частотой к® = ж+ A + o-®Qi/4Q®), на которой т = 0. Из выра-
выражений для >с- и ж® следует, что любое изменение НДС приводит к сдвигу
ж_ и ж® по отношению к ж+, причем сдвиг определяется знаком и величи-
величиной Pi и пропорционален т®.
Особенность влияния начальной деформации на амплитуду колебаний
массивного штампа в низкочастотном диапазоне иллюстрируется графи-
графиками на рис. 8.3.3, где приведены кривые г для НДС-1, НДС-2 и НДС-3
(индексы Лп, п = 1, 2, 3). Видно, что каждая кривая состоит из двух ре-
резонансных пиков, один из которых определяется свойствами среды и мас-
массой штампа. Центральная частота второго пика определяется видом НДС
и величиной начальной деформации. Из графиков следует, что в низко-
низкочастотном диапазоне (докритические частоты) любое изменение НДС су-
существенным образом влияет на амплитуду колебаний массивного штампа.
Максимальное влияние оказывает НДС-3, которое приводит к снижению
резонансной частоты колебаний.
Рассмотрим следующий диапазон частот [ж^, ^о] ? в котором Re Q >
> 0, ImQ < 0, причем |ImQ| <C 1. Введем pt = KeQk, ru = ImQ^, где
Qk (к = 0, 1) участвуют в представлении (8.3.4). В этом диапазоне влияние
начальной деформации на амплитуду колебаний штампа характеризуется
частотами ж+ и >г_, на которых г достигает максимального А+ и мини-
минимального А~~ значений, а также частотой ж®, на которой т = 0. Последняя

184	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
находится из уравнения
2 (ро - тк%) + 2r0G + aoPl (l + G2) = 0,	(83.17)
где G = r\ /pi — функция частоты. Анализ показал, что функция G опре-
определяется видом НДС и не зависит от величины начальной деформации. В
частности, при НДС1 существуют области частот, в которых G принима-
принимает достаточно большие значения, т. е. влияние начальной деформации на
излучение из зоны контакта и на жесткость слоя соизмеримы. При других
НДС преобладает влияние начальной деформации на жесткость слоя. Та-
Такое различие в поведении функции G обусловливает специфику движения
штампа при различных НДС.
В НДС-1 частота щ не зависит от величины начальных напряжений, т. е.
их изменение не влияет на амплитуду колебаний штампа. Это объясняется
тем, что решение уравнения (8.3.17) в этом случае (с точностью до сг|)
представимо в виде
xo = ([po+fOG]/mI/2.	(8.3.18)
В НДС-3 частота к® зависит от величины начальных напряжений, по-
поскольку в этом случае решение уравнения (8.3.17) (с точностью до al) имеет
вид
м0 = ([р0 + aoFi/2 + r0G] /mI/2 .	(8.3.19)
Изложенное иллюстрируют представленные на рис. 8.3.4 графики т,
рассчитанные для НДС-1, НДС-2 и НДС-3 (кривые отмечены индексами
Хп, п = 1, 2, 3), а также при уменьшенной деформации по соответству-
соответствующей оси. Из графиков следует, что в рассматриваемом диапазоне частот
изменение начальных напряжений существенно влияет на динамику мас-
массивного штампа. Однако, в отличие от рассмотренного выше случая докри-
тических частот, при НДС-1 и НДС-2 существует частота mq, на которой
амплитуда колебаний штампа не зависит от величины начальной деформа-
деформации. При НДС-3 такая частота отсутствует.
8.4. Динамические свойства
составной преднапряженной среды
Рассматривается динамическая задача о колебаниях двухмассовой инер-
инерционной системы типа (а) на поверхности составной среды, которая пред-
представляет собой слой 0 ^ хз ^ h, лежащий на поверхности полупростран-
полупространства хз ^ 0. Упругие параметры слоя и полупространства равны соот-
соответственно As, jtis и Ар, IIр. Инерционная система состоит из жесткого
штампа M2(|#i| ^ 1, |жз| ^ оо), осциллирующего на поверхности полу-
полупространства (хз ^ 0), и соединенного с ним посредством упругой свя-
связи жесткости к массивного тела Mi. Система совершает поступательные
вертикальные колебания под действием приложенной к телу Mi силы F.
Колебания предполагаются установившимися, трение в области контакта
отсутствует.

8.4. Динамические свойства составной преднапряженной среды 185
Из предыдущих разделов следует, что задача сводится к согласованному
решению уравнений движения элементов системы
—mioj w\ = —k (wi — W2) + F,
(8.4.1)
— Ul2UJ2W2 = k (Wi — W2) — Q
и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхнос-
поверхности хз = h которой выполняются условия (г^з (#i, Х3) — вертикальные
перемещения произвольной точки слоя, q{x\) — напряжения в области
контакта):
w2=u^){xuh), Ы ^ 1, |ж2Коо,	(8.42)
g(xi) = 0, |xi|^l, |x2|^cx).	(8.43)
Из п. 5.4 следует, что краевая задача о вертикальных поступательных
колебаниях составной преднапряженной среды сводится к решению инте-
интегрального уравнения
1
l,	(8-4.4)
-1
&(?) = — Kf% (a) etatda,	(8.4.5)
г
где функция К^ (а) = Kf^ (аъ 0, /г, ш) определена формулами E.4.4)
и удовлетворяет всем, указанным в п. 6.2 условиям. Решение уравнения
(8.4.4) строится предложенным в п. 6.2 методом.
Решение задачи (8.4.1) —(8.4.3) в данном случае при использовании без-
безразмерных параметров имеет вид
Wl = kfriQ + kSJ-k]' W2 = S1(Q + kS2)-k'	(8A6)
1
здесь Q = J q {х\) dx\ — динамическая жесткость среды (или реакция
среды на единичное смещение штампа), q {x\) — решение интегрального
уравнения (8.4.4); Jn = 1 — м22тп/к, п = 1, 2;тп—массы тел Мп,п= 1,2.
Далее рассматриваются следующие типы составной среды:
«однородная» — слой и полупространство из одного материала (Xs =
= Ар, /as = /Ар); «нормальная» — слой «мягче» полупространства (A s < Ар,
«аномальная» — слой «жестче» полупространства (As > \р, /as > /ap);
а также следующие виды НДС:
«приповерхностное» — преднапряженный слой на ненапряженном по-
полупространстве (слой сначала растянут или сжат, а затем соединен с полу-
полупространством);

186	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
«заглубленное» — ненапряженный слой на преднапряженном полу-
полупространстве (полупространство сначала преднапряжено, затем соедине-
соединено со слоем). Как и ранее, НДС в слое или полупространстве может быть
одноосным, двухосным или трехосным.
Влияние структуры среды и области локализации преднапряжений иллю-
иллюстрируют рис.8.4.1-8.4.6, на которых представлены графики ReQ±,
Im*Q± = ^1ImQ± (рис. 8.4.1, 8.43, 8.4.5) и ReQ±, Im* Q± =
= к^1 Im Q± (рис. 8.4.2, 8.4.4, 8.4.6). Функции Q± и Q± соответствуют ди-
динамической жесткости среды в НДС при сжатии (-) или растяжении (+) слоя
(верхний индекс) или полупространства (нижний индекс). На рис. 8.4.1 и 8.4.2
приведены графики для однородной структуры, на рис. 8.4.3 и 8.4.4 — для
«нормальной», на рис. 8.4.5 и 8.4.6 — для «аномальной». На рисунках циф-
цифрой 1 отмечены кривые в ЕС, цифра 2 соответствует растяжению, цифра 3 —
сжатию соответствующей области составной среды. Из графиков следует,
что для всех структур Re Q± и Re Q± осциллируют около Re Qo пересекая
ее, причем Re Q+ ведет себя аналогично Re Q~ и наоборот. Im* Q± ведет
себя аналогичным образом, в отличие от Im* Q±a, которая также осцилли-
осциллируют относительно Im* Qo, не пересекая ее.
Таким образом, для составной среды остаются справедливыми особен-
особенности, отмеченные при изучении динамических свойств преднапряженного
слоя и полупространства: наличие у полупространства частот максималь-
максимального и минимального влияния и отсутствие таких частот у слоя.
Необходимо отметить, что сжатие однородного слоя или полупростран-
полупространства приводит к повышению их жесткости, растяжение — к ее уменьшению.
В случае неоднородной составной среды сжатие более жесткой соста-
составляющей структуры, равно как и растяжение более мягкой составляющей,
приводит к усилению неоднородности (усиливается осцилляция ампли-
амплитуды динамической жесткости среды). Обратное приводит к ослаблению
неоднородности (осцилляция амплитуды динамической жесткости среды
уменьшается).
Сжатие слоя приводит к увеличению излучения из зоны контакта, растя-
растяжение слоя — к его уменьшению независимо от типа структуры составной
среды. НДС полупространства также влияет на уровень излучения из зоны
контакта. Это изменение уровня излучения является частотно зависимым,
увеличиваясь на одних и уменьшаясь на других значениях частоты.
Влияние локализации НДС на динамику массивного штампа иллюстри-
иллюстрируют графики на рис. 8.4.7 (преднапряжен слой, полупространство свобод-
свободно от начальных напряжений) и 8.4.8 (преднапряжено полупространство,
слой находится в естественном состоянии). Как и ранее, индексом Хп,
п = 1, 2, 3 и 4 отмечены кривые т, рассчитанные соответственно
при НДС-1, НДС-2, НДС-3 и 3-НДС. Нетрудно видеть, что максимальное
влияние на динамику массивного тела оказывает 3-НДС, локализованное
как в слое, так и в полупространстве. В то же время имеет место резкое отли-
отличие проявления НДС в слое и в полупространстве. При локализации в слое
(рис.8.4.7) НДС оказывает основное влияние на амплитуду резонанса.

8.5. Колебания прямоугольного штампа на поверхности слоя	187
Кривые т для различных НДС вложены друг в друга. При локализации
в полупространстве (рис.8.4.8) НДС оказывает основное влияние на ча-
частоту резонанса. Кривые т сдвинуты друг относительно друга. Каждый
вид НДС характеризуется частотами максимального влияния м± и часто-
частотой м°, на которой влияние НДС на амплитуду колебаний массивного тела
отсутствует. Тем самым проявляется особенность полупространства, кото-
которое заключается в наличии у полупространства при каждом НДС частот
максимального и минимального влияния и отсутствии таких частот у слоя.
8.5. Колебания прямоугольного штампа
на поверхности слоя
Настоящий раздел посвящен исследованию особенностей колебания
прямоугольного штампа на поверхности преднапряженного слоя. В про-
пространственной постановке исследуется влияние геометрических парамет-
параметров (отношение длины к ширине) штампа на информативность контроля
изменения НДС по изменению амплитуды колебаний штампа. В частности
изучалась целесообразность использования решения пространственной за-
задачи для оценки вида НДС и величины начальной деформации.
Рассматривается задача о колебаниях массивного штампа, занимающего
в плане область О : а ^ х\ ^ Ь, с ^ х2 ^ d на поверхности слоя
О ^ хз ^ h. Будем предполагать, что штамп совершает вертикальные
поступательные колебания, трение в области контакта отсутствует.
Задача сводится к согласованному решению уравнений движения мас-
массивного тела
F^Q	(8.5.1)
и краевой задачи о колебаниях преднапряженного слоя, на поверхности
которого (хз = h) должны выполняться условия:
w = щ (xi, х2), (xi, x2) e О,	(8.5.2)
q(x1,x2)=0, (х!,х2)еп.	(8.5.3)
Из п. 5.3 следует, что краевая задача о вертикальных поступательных ко-
колебаниях преднапряженного слоя сводится к решению интегрального урав-
уравнения (случай плоского штампа):
l, (жь х2) G О, x3 = h, (8.5.4)
к (s, t, uj) = ^ ffli(aba2,cc;) e^i(aiS+a^da1da2,	(8.5.5)
здесь
К (аъ a2j uj) = К33 («i, a2, и),

188	Глава 8. Начальные напряжения и динамика массивных тел
Кзз («ъ «2,^) = К33 («1, a2j h, и) определена формулой E.3.1), зави-
зависит от вида НДС и удовлетворяет всем, указанным в п. 6.2 условиям.
Решение задачи (8.5.1)—(8.5.3) при использовании безразмерных пара-
параметров имеет вид
w = F(Q-m>4)~1 ,	(8.5.6)
Г Г
где Q = \\q (#i, х2) dx± dx2 — динамическая жесткость среды (или ре™
j j
о
акция среды на единичное смещение штампа), функция q (х\, х2) распре-
распределения контактных напряжений под штампом является решением инте-
интегрального уравнения (8.5.4).
Рис. 8.5.1 иллюстрирует влияние НДС на динамическую жесткость сре-
среды. Цифрами 1 и 1', 2 и 2;, 3 и 3', 4 и 4; отмечены кривые Re 0* (в* = Q/Qo,
в = Qq — Q(j, где Qq и Qo- — динамическая жесткость среды в естественном
и в начально деформированном состояниях соответственно), рассчитанные
для штампов с размерами 1x0.1, 1x0.2, 1x0.4 и 1x1. Сплошные линии
соответствуют НДС-3, прерывистые (отмечены цифрами со штрихами) —
2-НДС по осям х\ шх2.
Из графиков следует, что качественный характер влияния НДС не зави-
зависит от геометрических параметров штампа. Эта зависимость проявляется
лишь количественно. При НДС-3 имеет место значительное и равномерное
по частоте увеличение значений Re 0* (по модулю) при изменении формы
штампа от вытянутой прямоугольной до квадратной. При 2-НДС анало-
аналогичное изменение формы штампа приводит к неравномерному по частоте
уменьшению значений модуля Re 0*.
Графики на рис. 8.5.2-8.5.5 иллюстрируют влияние геометрических
параметров Ax0.1, — рис. 8.5.2,1 х 0.2 — рис. 8.5.3,1 х 0.4 — рис. 8.5.4
и 1 х 1 — рис. 8.5.5) штампа на чувствительность его динамики к изме-
изменению НДС. Сплошные линии на всех рисунках соответствуют НДС-3,
пунктирные линии — 2-НДС. Из графиков следует, что квадратный штамп
является наиболее чувствительным к наличию в среде начальных напря-
напряжений, но различие между видами НДС достаточно мало. Прямоугольные
штампы 1x0.4,1х0.2и1х0.1 оказываются несколько менее чувствитель-
чувствительными к наличию начальных напряжений (сдвиг резонанса уменьшается по
мере увеличения отношения длины штампа к его ширине). В то же время
прямоугольный штамп позволяет более четко различить наличие НДС-3
от наличия 2-НДС.
Отметим, что качественный характер закономерностей влияния НДС
на динамику массивного тела в случае квадратного штампа не отличается
от закономерностей влияния НДС на динамику массивного тела в случае
вытянутого прямоугольного штампа. Последний, в отличие от квадратно-
квадратного, хорошо приближается моделью штампа в рамках плоской задачи. Тем
самым, изучая закономерности влияния преднапряжений на динамику мас-
массивных тел и систем, необходимые для разработки методов оценки начально-
начального напряженного состояния, можно ограничиться решениями плоских задач.

Иллюстрации
189
an,a22=o-3°3=0
0 -0.35 -0.7 -1.05 -1.4 -1.75
Рис. 3.2.1
-0.35 -0.7 -1.05
Рис. 3.2.2
-1.4 -1.75

190
Иллюстрации
0	-0.13	-0.26 -0.39	-0.52
Рис. 3.23
0.13	-0.26	-0.39	-0.52
Рис. 3.2.4

Иллюстрации
191
0.00
-0.15	-0.20
Рис. 3.2.5
0.00 -0.05	-0.10 -0.15
Рис. 3.2.6
-0.20

192
Иллюстрации
бронза сгп = 0, (J22°=
О -0.18 -036 -0.54 -0.72 -0.9
Рис. 3.2.7
0 -0.18 -0.36 -0.54 -G.72 -0.9
Рис. 3.2.8

Иллюстрации
193
луяврит среднезернистый
-3
-1.2
Рис. 3.2.9
-5-
Рис. 3.2.10

194
Иллюстрации
апатито-нефелиновая руда <гп, о-22 = о-^= О
-6.6

Иллюстрации
195
LL
)	a X]
Рис. 5.1.1
-, 1
/77,
-a
11
111
0
a X]
Рис. 5.1.2
а	х,
Рис. 5.2.1
h	a
Рис. 5.3.1
h	a
Рис. 5.4.1

196
Иллюстрации
350"
Re Q, Im Q
175 —
0 —
-175 —
^350-
0.3	6.5	12.7	18.9
Рис. 7Л .1
4-
Рис. 7.1.2

Иллюстрации
197
Imf
It
Рис. 7.1.3
Рис. 7Л.4
III б

198
Иллюстрации
G.3
12.7	18.9
Рис. 7.1.6
^40-

Иллюстрации
199
1-
0.6
I
1.9
3.2	4.5
Рис. 7.2.2

200
Иллюстрации
Рис. 7.2.3
0.31
6.50

Иллюстрации
201
15-
30-
45-
imQ ),
1
V
V \
2 \\
I 3
k2
I 1 1
0.31
.85	3.40
Рис. 7.2.5
4.95	6.50
0.31
1.85	3.40
Рис. 7.2.6
4.95	6.50

202
Иллюстрации
-30
-15-
-30-
-45
0.31
6.50
-30-
-60
0.34
0.46

Иллюстрации
203

204
Иллюстрации

Иллюстрации
205
Рис. 7.3.4
Рис. 73.5

206
Иллюстрации
0.3
Рис. 7.3.6
120
60 -
--120
^60 -
0.59
0.61	0.63
Рис. 7.4.1
0.64	0.66

Иллюстрации
207
120
60 -
-120
-60 -
0.400	0.423	0.446
Рис. 7.4.2
0.469
2 /
н—^—-L
2
' кг
Z2
z?
1
/к*
2
/
к2
Рис. 7.5.1

208
Иллюстрации
%,7э
\
\
\
2 У
—	—	—_
/
Рис. 7.5.2

Иллюстрации
209
10
0-
10
2)y
2
/ 1
1
1 i f
I 2
;
2
1
0.25
Рис. 7.5.4
0.5
10
-10
0.25
Рис. 7.5.5
2;/
2 1
/ - '
j
1 2'
2
0.5

210
Иллюстрации
0.14
0.20

Иллюстрации
211
20-
10-
3.09
3.11
3.100
6-
	J
V
1
/ V2
Аз
к
3.104
Рис. 8.1.3
3.108

212
Иллюстрации
3 -
3.100
3.108
-1
0,3
3,4	6,5
Рис. 8.2.1
9,6

Иллюстрации
213
0,3	3,4	6,5	9,6
Рис. 8.2.2
6-
0 -
-6 -
-12-
r.10'
___ / /
V
i
А Хз
Г
/
1
/ V2
^V4
k.
0,27
0,29	0,31
Рис. 8.2.3
0,33

214
Иллюстрации
ии
40^
20-
о-
-20-
-40
т • 10
/ / \Хг6
\^
Х2-6 /
\ /
\] к2
1
3,09
3,10
Рис. 8.2.4
3,11
-15 -
3,100
3,104
Рис. 8.2.5
3,108

Иллюстрации
215
10-
3,100
3,104
Рис. 8.2.6
3,108
15 -
10-
5-
п
с
J
г'102 |Лк=о
J
л
1 \ к=5
УЛ
I
3,100
3,104
Рис. 8.2.7
3,108

216
Иллюстрации
7=0
7=iv/2
0.0	1.0	7=0
Рис. 8.3.2

Иллюстрации
217
1,512
1,514
8
4-
0-
4-
8™
т-10~3
~———_
\
A,
/ A,/2
I
/ A3/2\
?/^
/a7
k2
2,27
2,31	2,35
Рис. 8.3.4
2,39

218
Иллюстрации
0,3
2-
0-
-2-
-4-
Re Q', InTQ*
,::-
I ¦¦	.--
I
9
3^
2
3
1
"¦¦¦	k2
3,4	6,5
Рис. 8.4.1
9,6
0,3
2-
o-
-2-
-4-
-6-
Б
te Q±, Im*Q±
^^^ ""
,vV
1
3
2
1
3 ^^
1
3,4	6,5	9,6
Рис. 8.4.2

Иллюстрации
219
2-
о-
-2-
-6
ReQ",
\
Im*Q=
\ ч" -"" у'"
I
A
2
/" 1
****-"" з
1
4f
2
0,3
3,4	6,5	9,6
Рис. 8.43
0,3
3,4	6,5
Рис. 8.4.4
9,6

220
Иллюстрации
Re Q\
-6
-6
ReQ±,
ImQ+
^ /
2
3
2
J
1
0,3
3,4	6,5
Рис. 8.4.6
9,6

Иллюстрации
221
-12
-18
5,93
6,05
Рис. 8.4.7
6,18
12
-12
5,93
6,05
Рис. 8.4.8
6,18

222
Иллюстрации
-2,5
-5
0,31	0,93	1,55	2,17
Рис. 8.5.1
20
10
0
г-1СГЧ
J
(
к2
0,635
0,636
Рис. 8.5.2
0,637

Иллюстрации
223
20
10
-10
0,742
0,743
Рис. 8.5.3
0,744
20
10
-20
т-10
п
J
0,904
0,905
Рис. 8.5.4
0,906

224
Иллюстрации
20
10
-10
т 10
к2
1,259
1,260
Рис. 8.5.5
1,261

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с форму-
формулами, графиками и таблицами. - М.: Наука, 1979. - 832 с.
2.	Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи для преднапряженных
деформируемых тел // Прикл. механика. 1984. Т. 20. №3. С. 9-16.
3.	Александров В.М., Брудный С Р. Осесимметричные контактные задачи для
преднапряженных деформируемых тел // ПМТФ. 1990. №3. С. 146-153.
4.	Александров В.М., Воротынцева И.В. Осесимметричные контактные задачи
для преднапряженных деформируемых тел // ПМТФ. 1990. №3. С. 146-153.
5.	Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со сме-
смешанными граничными условиями. - М.: Наука, 1986. - 336 с.
6.	Александров В.М., Порошин B.C. Контактная задача для предварительно на-
напряженного физически нелинейного упругого слоя // Изв. Ан СССР. МТТ.
1984. №6. С. 79-85.
7.	Амандосов А.А., Нуржумаев О. Распространение волн Лява в среде с началь-
начальными деформациями. - Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. 1977. №5. С. 71-1Г4.
8.	Ананьев КВ., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по
глубине характеристиками. //МТТ, 1978. №1, С. 64-69.
9.	Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн вибрирую-
вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями. // ПММ,
1983. Т. 47. Вып. 3. С. 483-489.
10.	Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа. // Докл.
АН СССР. 1989. Т. 306, №6. С. 1328-1332.
11.	Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных дина-
динамических смешанных задачах теории упругости. - М.: Наука, 1984. - 256 с.
12.	Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного ре-
резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями. // МТТ, 1990. №3.
С. 74-83.
13.	Бабешко В. А., ГлушковЕ.В., ЗынченкоЖ.Ф. Динамика неоднородных линейно-
упругих сред. - М.: Наука, 1989. - 343 с.
14.	Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских дина-
динамических задачах. // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477-484.
15.	Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации
волновых процессов в электроупругих средах // Докл. РАН, 1995. Т. 345, №1.
С. 50-53.
16.	Бабич В.М., Молотков И. А. Математические методы в теории упругих волн. //
Итоги науки и техники. Т. 10. Сер. Мех. твердого деформ. тела.
М. : ВИНИТИ АН СССР, 1977. С. 5-62.
17.	Бабич СЮ. О динамических контактных задачах для полуплоскости с на-
начальными напряжениями. //Прикл. механика. 1982. Т. 18, №2, С. 68-73.
18.	Бабич СЮ., Гузъ А.К, Рудницкий В.Б. Контактные задачи для упругих тел
с начальными напряжениями (жесткие штампы). // Прикл. механика. 1989.
Т. 25, №8. С. 3-18.

226	Список литературы
19.	Бакулын В. К, Протосеня А..ПО наличии нелинейных эффектов при распро-
распространении упругих волн в горных породах // ДАН СССР. 1982. Т. 263, №2.
С. 314-316.
20.	Белоконъ А.В., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории
электроупругости // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1982. №2.
С. 29-32.
21.	Белянкова Т.Н., Ворович Е.И., Калинчук В.В. Низкочастотные резонансы при
продольных колебаниях упругого стержня, контактирующего с упругим сло-
слоем. //Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1998. №3. С. 19-21.
22.	Белянкова Т.И., Ворович И.И., Калинчук В.В. Низкочастотные резонансы при
динамическом взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой. //
ПММ. 1998. Т. 62, вып. 5. С. 860-865.
23.	Белянкова Т.К, Калинчук В.В. О сдвиговых колебаниях штампа на поверх-
поверхности предварительно напряженного полупространства. //ПММ. 1992. Т. 56,
вып. 2. С. 313-320.
24.	Белянкова Т.К, Калинчук В.В. О взаимодействии осциллирующего штампа с
предварительно напряженным полупространством. ПММ. 1993. Т. 57, вып. 4.
С.123-134.
25.	Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамика массивного тела, взаимодействую-
взаимодействующего с предварительно напряженным полупространством //Изв. РАН, МТТ.
1994. №6. С. 83-94.
26.	Белянкова Т.К, Калинчук В.В. Динамика массивного тела, взаимодействую-
взаимодействующего с предварительно напряженным слоем. // Изв. РАН, МТТ. 1998. №2.
С. 89-101.
27.	Боев СИ., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой по-
полуплоскости при высоких частотах колебания. // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6.
С. 1039-1043.
28.	Бородачев КМ. Определение динамических напряжений, возникающих в
упругом полупространстве под штампом с плоским основанием. //
Изв. АН СССР, Механика. 1965. №4. С. 158-162.
29.	Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - 344 с.
30.	Возов В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. - 464 с.
31.	Ватулъян А. О. О граничных интегральных уравнениях первого рода в дина-
динамических задачах анизотропной теории упругости // ДАН. 1993. Т. 333, №3.
С. 312-314.
32.	Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука,
1970.-321 с.
33.	Веселовский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев:
Наукова Думка, 1981. - 216 с.
34.	Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. - М.: Наука,
1981.-287 с.
35.	Ворович И. И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для
неоднородной полосы. ДАН СССР, 1979. Т. 245, №4. С. 817-820.
36.	Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. ДАН
СССР, 1979. Т. 245, №5. С. 1076-1079.
37.	Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные
задачи теории упругости. - М: Наука, 1974. - 456 с.
38.	Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упру-
упругости для неклассических областей. - М: Наука, 1979. - 320 с.

Список литературы	227
39.	Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резо-
резонансные явления в деформируемых средах. — М.: Научный мир. 1999. — 246 с.
40.	Ворович И. К, Белянкова Т.И., Калинчук В. В. К проблеме низкочастотных
резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой. //
ДАН, 1998. Т. 358, №5. С. 624-626.
41.	Ворович И.И., Боев СИ, Полякова И.Б. К проблеме изолированных резонан-
резонансов в упругом слое: энергетика переходных режимов. // ДАН, 1993. Т. 329,
№2. С. 148-150.
42.	Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. - М.:
Наука, 1980.-304 с.
43.	Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
44.	Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых
волноводов.- Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. - 144 с.
45.	Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача
для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // ПММ. 1992. Т.56,
вып. 5. С. 780-785.
46.	Голъдштейн Р.В., Кл.ейн КС, Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод
решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
трехмерных задач теории упругости. Препринт № 33 ИПМ АН СССР,
М. 1973. -56 с.
47.	Горшков А.Г., Тарлаковскш Д.В. Динамические контактные задачи с подвиж-
подвижными границами. - М.: Наука, 1995. - 352 с.
48.	Градштеш И.С, Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-
произведений. М: Физматгиз. 1962. - 1108 с.
49.	Грин А.Е. Крутильные колебания предварительно напряженного кругового
цилиндра. В кн. Проблемы механики сплошной среды. М. Изд. АН СССР,
1961. С. 128-134.
50.	Гринфелъд М.А., Мовчан А.А. Влияние предварительного деформирования на
распространение упругих волн. // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975.
№8. С. 29-35.
51.	Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих
телах. Киев: Наук, думка, 1981. -283 с.
52.	Гузъ А.К О контактных задачах для упругих сжимаемых тел с начальными
напряжениями. // Докл АН УССР. 1980. Сер. А, №6. С. 48-52.
53.	Гузь А.К Упругие волны в сжимаемых материалах с начальными напря-
напряжениями и неразрушающий ультразвуковой метод определения двухосных
остаточных напряжений // Прикл. мех. 1994. Т. 30, №1. С. 3-17.
54.	Гузъ А.К Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наук,
думка, 1986. Т. 1. - 376 с. Т. 2. - 536 с.
55.	Гузъ А.К, Бабич СЮ., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих
тел с начальными напряжениями. Киев: Вищ. школа. 1995. - 304 с.
56.	Гузъ А.К, Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наук.
думка, 1977. - 152 с.
57.	Зарембо Л.К., Красилъников В.А. Введение в нелинейную акустику. - М: На-
Наука, 1966.-520 с.
58.	Закорко В. К, Ростовцев К А. К динамической контактной задаче стацио-
стационарных колебаний упругого полупространства. // ПММ. 1965. Т. 29, В. 3.
С. 545-552.
59.	Зеленцов В.Б., Филиппова Л.М. Контактные задачи для предварительно
напряженных полуплоскости и полосы // Изв. РАН МТТ. 1989. №2. С. 73-76.

228	Список литературы
60.	ЗоммерфелъдА. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.:
ИЛ. 1956.
61.	Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Рос-
Ростов н/Д. Изд-во РГУ. 1982. - 143 с.
62.	Зубов Л.М. Эффективный способ проверки условия Адамара для нелинейно-
упругой сжимаемой среды. // ПММ. 1992. Т. 56, вып. 2. С. 296-305.
63.	Зубов Л.М., Рудев А.К Об условиях существования продольных волн в ани-
анизотропной нелинейно-упругой среде // ДАН. 1994. Т. 334, №2. С. 156-158.
64.	Ильичев В.А. Определение динамических напряжений при прохождении
упругих волн в грунте. // В кн.: Тр. к VIII Международному конгрес-
конгрессу по механике грунтов и фундаментостроения. — М.: Стройиздат. 1973.
С. 317-319.
65.	Калинчук В.В., Белянкова Т. К К проблеме исследования динамических сме-
смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородно-
слоисто-неоднородного полупространства // Изв. Вузов, Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000.
№3. С. 74-76.
66.	Калинчук В. В., Лысенко И. В., Полякова И. Б. Об особенностях взаимодействия
колеблющегося штампа с неоднородным тяжелым основанием. // ПММ. 1989.
Т. 53, вып. 2. С. 301-308.
67.	Калинчук В.В., Полякова КБ. О возбуждении волн в слое с начальными на-
напряжениями. //ПММ. 1980. Т. 44, вып. 2. С. 320-326.
68.	Калинчук В.В., Полякова КБ. О возбуждении преднапряженного цилиндра. //
ПММ. 1981. Т. 45, вып. 2. С. 384-389.
69.	Калинчук В.В., Полякова КБ. О вибрации штампа на поверхности предва-
предварительно напряженного полупространства. // Прикл. механика. 1982. Т. 18,
вып. 6. С. 22-27.
70.	Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упру-
упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Думка. 1985. - 175 с.
71.	Крейн М'.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от
разности аргументов. //УМН. 1958. Т. 13, вып. 5(83). С. 3-120.
72.	Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. - М.: ГИФМЛ,
1963.-472 с.
73.	Кушнир В.П. Продольные волны в сплошном трансверсально-изотропном
цилиндре с начальными напряжениями. // Прикл. мех. 1974. вып 10. №7.
С. 109-113.
74.	Лурье А.К Нелинейная теория упругости. - М: Наука, 1980. - 512 с.
75.	Лурье А.И. Теория упругости. - М: Наука, 1970. - 939 с.
76.	Ляв А. Математическая теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
77.	Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой
механике.//Сб. тр. Т. 2. - М.: Изд. АН СССР. 1947.
78.	Мартыненко М.Д., Романчик В. С. Об одном методе решения основного инте-
интегрального уравнения контактных задач теории упругости. // Весци АН БССР.
Сер. физ.-матем. наук. 1977. №3. С. 42-47.
79.	Махорт Ф. Г., Гуща О. И., Чернооченко А. А. Нелинейные свойства твердых тел
и некоторые особенности распространения волн Ре лея в телах с начальными
напряжениями //Прикл. мех. Киев. 1995. Т. 31, №2. С. 62-66.
80.	Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. - Л.: Изд-во
ЛГУ. 1978. - 182 с.
81.	Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. - М.: Наука,
1984.-255 с.

Список литературы	229
82.	Моссаковский В. И. Давление круглого штампа на упругое полупространство,
модуль упругости которого является степенной функцией глубины. // ПММ.
1958. Т. 22, вып. 1. С. 58-63.
83.	Муравский Г. Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при
действии силы, приложенной к поверхности полупространства. // Изв. АН
СССР, МТТ. 1969. №6. С. 134-139.
84.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упру-
упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.
85.	Ныгул У.К., Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Кутсер М.Э. Эхо-сигналы от упру-
упругих объектов. Таллин: Инст. Кибернетики АН ЭССР. 1974. Т. 1. — 345 с.
86.	Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для
неоднородных сред. Сообщ. по прикл. мат. ВЦ АН СССР. вып. 3. - М.: ВЦ
АН СССР. 1976. 103 с.
87.	Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных
уравнений в частных производных. - М.,ИЛ. 1962. - 275 с.
88.	Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - М.: Гостехиздат,
1948.-238 с.
89.	Петрашенъ Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. - Л.:
Наука, 1980.-280 с.
90.	Петрашенъ ПК, Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных
изотропных упругих средах. - Л.: Наука, 1982. - 289 с.
91.	Бирюков СВ., Гуляев Ю.В., Крылов В. В., Плес скип В. П. Поверхностные аку-
акустические волны в неоднородных средах. - М.: Наука, 1991. - 416 с.
92.	Поленов B.C., Чигарев А.В. Нестационарные упругие волны в неоднородных
средах с начальными напряжениями // Весщ АН Беларусь Сер. ф!з.-мат. н.
1995. №1. С. 51-54.
93.	Попов ЕЯ. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Ки-
Киев; Одесса: Вища школа, 1982. - 168 с.
94.	Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. - М.: Наука,
1986. -328 с.
95.	Проценко B.C. Кручение упругого полупространства, модуль упругости ко-
которого изменяется по степенному закону. // Прикл. мех. 1967. Т. 3, вып. 1.
С. 38-41.
96.	Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специаль-
Специальные функции. - М.: Наука, 1983. - 752 с.
97.	Рвачев В.Л., Проценко В. С Контактные задачи теории упругости для неклас-
неклассических областей. Киев: Наук, думка, 1977. - 236 с.
98.	Родюшкт В.М. Акустическое зондирование для определения НДС упругих
сред. Шмеждунар. совещ.-сем. «Инж.-физ. проблем новой техники». Москва.
17-19 мая. 1994: Тез. докл. М. 1994. С. 10 - 11.
99.	Ростовцев НА. К теории упругости неоднородной среды. // ПММ. 1964. Т. 28,
вып. 4. С. 34-39.
100.	Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода. // ДАН
СССР. 1951.Т.78,№3.
101.	Сеймов В.М'. Динамические контактные задачи. Киев: Наук, думка, 1976.
-284 с.
102.	Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в слоистых
средах. Киев: Наук, думка, 1990. - 224 с.
103.	Секеев К. Влияние начальных напряжений и малых деформаций на скорости
упругих волн. Рук. Деп. в ВИНИТИ 30.06.81. №3193-81. 25с.

230	Список литературы
104.	Секоян С. С. Исследование влияния статических напряжений на скорости рас-
распространения упругих волн в стали и определение модулей упругости тре-
третьего порядка. Упругость и неупругость. — М.: Изд. Моск. ун-та. 1971. Вып. 1.
С.268-269.
105.	Секоян С. С. О вычислении констант упругости третьего порядка по резуль-
результатам ультразвуковых измерений. //Акуст. журн. 1970. Т. 16, №3. С. 453-457.
106.	Секоян С.С, Еремеев А.Е. Измерение константы «о» Мурнагана для стали
методом эллиптически поляризованных волн. // Измер.техника. 1966. №10.
С. 20-24.
107.	Секоян С. С, Субботина Е.К. О распространении упругих волн в изотропном
теле с начальными напряжениями. // Прикл. мех. 1972. Т. 8, №2. С. 113—115.
108.	Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. - Л.: Судостроение, 1972. -
376 с.
109.	Слепян Л.И. Механика трещин. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.
110.	Слепян Л.И., Энгелъбрехт Ю.К. Резонансные и медленные волны в начально
напряженном волноводе // Изв. РАН МТТ. 1992. №3. С. 132-138.
111.	Сорокин Б.П., Турчин П.П., Глушков Д.А. Упругая нелинейность и особенно-
особенности распространения объемных акустических волн в условиях действия од-
однородных механических напряжений в монокристалле La^Ga^Sioi^ II Физ.
тверд.тела. 1994. Т. 36, №10. С. 2907-2915.
112.	Тихонов А.Н., Самарский А.Л. Уравнения математической физики. - М.: На-
Наука, 1966.-735 с.
113.	Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных
задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. - 261 с.
114.	Уфлянд С.Я. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - М.:
Наука, 1967.-420 с.
115.	Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
116.	Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. — М.: Мир, 1966. Т. 1, ч. А. - 592 с.
117.	Филиппова Л.М. Пространственная контактная задача для предварительно
напряженного упругого тела//ПММ. 1978. Т. 42, №6. С. 1080-1084.
118.	Филиппова Л.М., Цветков А.Н., Чебаков ММ. Плоская контактная задача
для предварительно напряженного состояния тела прямоугольного сечения //
Прикл. механика. 1990. Т. 26, №12. С. 81-89.
119.	Хейз М., Ривлин Р. Распространение волн в изотропном материале, находя-
находящемся в состоянии чистой однородной деформации. //Механика. 1962. №3.
С. 109-117.
120.	Яковенко М.Г. Волны Релея и поверхностная неустойчивость в предваритель-
предварительно деформированной нелинейно-упругой полуплоскости. // Изв. АН СССР.
Сер. Физика Земли. 1979. №2. С. 48-53.
121.	Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: Nort-Holland
PubLCo. 1973.-425 p.
122.	AwojobiA. 0., Gibson RE. Plane strain and axially symmetric problem of a lineary
nonhomogeneous elastic half space. // Qart. J. Meeh.and Appl. Math. 1973. 26, 3.
P. 285-302.
123.	Babeshko V.A., Kalinchuk V. V. Application of localized wave resonances for evalua-
evaluation of residual stresses. Review of Progress in Quantitative NDE, NDE University
of Washington, Seattle, Washington. 1995. P. 128.
124.	Baker M., Ericksen J.L. Inequalities restricting the from of the stress-deformation
relations for isotropic elastic solids and Reiner-Rivlin fluids. // J. Washington Acad.
Sci. 1954. V. 44, №2. P. 33-35.

Список литературы	231
125.	BeattyM.E, Hayes МЛ. Deformations of an elastic, internally constrained material.
1 Homogeneous deformations. J. Elasticity. 29A992). №1. P. 1 - 84.
126.	Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: Springer-
Verlag, 1981. -1108 p.
127.	Bergman R.M. and Shahbender. Effect of statically applied stressed on the velo-
velocity of propagation of ultrasonic waves. // J. Appl. Phys. 1958. 29, 12.
P. 1736-1739.
128.	Bhattacharya R.C A theory for longitudinal elastic wave propagation in a solid
cylinder under an initial stress. // Int. Adv. Nonderstruc. Test. 1977. 5. P. 321-325.
129.	Bhattacharya R. C, SenguptaP.R. Effects of initial stress on reflection and refraction
of plane waves at a plane interface of two elastic solid media. // Gerlands
Beitr.Geophys. 1978. 87, №5. P. 395-402.
130.	Biot МЛ. Mechanics of incremental deformation. №.-Y.: John Willey and Sons,
1965. -504 p.
131.	Birch E The effect of pressure upon the elastic properties of isotropic solids
according to Murnaghan's theory of finite strain. // J. Appl. Phys. 1938. 9, №4.
P. 279-288.
132.	BjarehedH.L. Multiply loaded rigid punch on a stressed orthotropic half-plane via
a thin elastic layer // Trans. ASME J. Appl.Mech. 1992. 59, №2. P. 115-122.
133.	Bocardus E.H. Third-order elastic constants of Ge, MgO and fused SiO2. //
J. Appl. Phys. 1965. 36, №8. R 2504-2513.
134.	Boulanger Ph., Hayes МЛ. Further properties offi.nite-amplitu.de plane waves in
deformed Mooney-Rivlin materials. Quart. J. Mech. Appl. Math. 48A995). №3.
P. 427-464.
135.	Bradford L.J., Dong S. Elastodynamic behavior of laminated orthotropic plates
under initial, stress. // Int.J.Solid and. Struct. 1.975. 11, №2. P. 213-230.
136.	Bridgntann P. W. The compression of 39 substances to 100, 000 kg/cm2. // Proc.
Acd. Sci. Amsterdam. 1948. 76. P. 55-70.
137.	Bromwich T.J.I'A. On the influence of gravity on elastic waves, and, in particular,
on the vibrations of an elastic globe. // Proc. Lond. Math. Soc. vol. XXX. P. 98-1.21.
138.	Brown P. Т., Gibson R.E. Rectangular loads on inhomogeneous elastic solid. // J.Soil
Mech. and Found. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Enng. 1973. 1.0. P. 91.7-920
139.	Brugger K. Thermodynamic definition of higher order elastic coefficients // Phys.
Rew. 1964. 133, №6A. P. A1611-A1612.
140.	Brunelle E. Surface wave propagation under initial tension or compression. //
Bull.Seismol.Soc.Amer. 1973. 63, 6, P. 1895-1899.
141.	Bufler H. Der Spannungszustand in einen geschichteten Scheibe. // Z.angew. Math.
undTech. 1.961.41,4.
142.	Bufler H. Die inhomogene elastic schicht. // Z.angew. Math, und Mech. 1963. 43,
Sonderh. 61.
143.	Burridge R., KnopoffL. The effect of in stress or residual stress on elastic energy
calculations.//Bull.Seismol.Soc.Amer. 1.966. 56, 2. P. 412-420.
144.	Cauchy A.L. Sur Fequilibre et le monvement d'une plaque Solide Exercices de
mathematique. // Bure Freres, Paris. 1828. vol. 3.
145.	Chadwick P. Interfacial and surface waves in pre-stressed isotropic elastic media.
J. Ang. Math. Phys. 46A995). Spec. Issue. P. 551-571.
146.	Chadwick P., Jarvis ВЛ. Surface waves in prestressed elastic body. // Proc. Roy.
Soc. London, A. 1979. 336, №1727. P.517-536.
147.	Chakraborty S. K. A SH-source in a elastic half-space with a non-homogeneous
surface layer. //Pageoph. 1973. 102, 1. P. 73-77.

232	Список литературы
148.	Chakraborty S.K., Dey S. The disturbance due to plane and line sources in prestressed
semi-infinite elastic solid. // IntJ.Solids and Struct. 1982. 18, №12. P. 1153-1164.
149.	Chattopadhyay A., Kar B.K. Love waves due to a point source in an isotropic
elastic medium under initial stress. // Int. J. Non-Linear Mecfa. 1981. 16, №3/4.
P. 247-258.
150.	Chen W.T., Wright T.W. Frequency equation for waves propagation in an initi-
initially stressed circular cylinder. // J. Acoust. Soc.Amer. 1966. 39, №5, pt. 1.
P. 847-848.
151.	Connor P., Ogden R. W. The influence of shear strain and hydrostatic stress on stability
and elastic waves in a layer. Intern. J. Engrg. Sci. 34A996). №4. P. 375-397.
152.	Currie P.K., Hayes M. Longitudinal and transverse waves in finite elastic strain
Hadamard and Green materials. //J.Ins. Math. andAppl. 1969. 5, №2. P. 140-161.
153.	Dahlen FA. Elastic velocity anisotropy in the presence of an anisotropic initial
stress. //Bull Seismol. Soc. Amer. 1972. 62, P. 1183-1193.
154.	Dey S. Wave propagation in two layer medium under initial stresses. // Pageophys.
1971. 90, 7. P. 38-52.
155.	Dey S., Addy S.K. Reflection of plane waves under initial stresses at a free surface. //
Int. J. Non-Linear Meek 1977. 12, №6. P. 371-381.
156.	Ditri John J. Determination of nonuniform stresses in an isotropic elastic half
space from measurements of the dispersion of surface waves // J. Mech. and Phys.
Solids. 1997. 45, №1. P. 51-66.
157.	El-Naggar A.M., Saliem M.M. Wave propagation in layered media under initial
stress. Appl. Math. Comput. 75A996).'№2-3. P. 95-117.
158.	Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. - Elastic waves in layered media. New York
etc.: Me Graw - Hill Book Co. 1957. - 380 p.
159.	Fine A.D., ShieldR.T. Second-order effects in the propagation of elastic waves. //
Int. J. Solids and Struct. 1966, 2, 4, P. 606-620.
160.	Finger J. Ueber die allgemeinsten Beziehungen zwischen Deformationen und den
zugehoerigen Spannungen in aelotropen und isotropen Substanzen. // Sitzungsbe-
richt d. Akad. Wiss., Wien, 1894. Ser. A, 103. S. 1073-1100.
161.	Flavin J.N. Surface wave in pre-stressed Mooney material. // Quart J. Mech. and
Appl. Math. 1963. 16, 4. P. 144-149.
162.	Gaviglia G., Morro A. Asymptotic rays in prestressed, anisotropic, dissipative
solids. Europ. J. Mech. A Solids. 16A997). №5. P. 857-877.
163.	Gerhart G.R. Rayleigh wave velocity for a stress induced slightly anisotropic
solid. //Acoust Soc. Amer. 1976. 60, 5. P. 1085-1088.
164.	Ghosh M. L. Love waves due to a point source in an inhomogeneous medium. //
Gerlands Beitr. Geoph. 1970. 79. P. 129-141.
165.	Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. - 666 p.
166.	Green J.E. A note on wave propagation in prestressed elastic solids. // J. Mech.
and Phys. Solids, 1963. 11, 2. P. 119-126.
167.	Guo J., Kaloni P. N. Second order effects in an elastic half-space acted upon
non-uniform shear load//Acta Mech. 1994. 104, №3-4. P. 173-200.
168.	Hayes M. Wave propagation and uniqueness in pre-stressed elastic solids. //
Proc.Roy.Soc.London, A. 1963. 274, №1359. P. 500-506.
169.	Hayes M., Rivlin R.S. Energy propagation in a deformed elastic material.// Arch.
Ration Mech. and Analysis. 1972. 45, 1. P. 54-62.
170.	Hayes M., Rivlin R.S. Propagation of plane wave in an isotropic elastic material
subjected to pure homogeneous deformation. // Arch. Ration Mech. and Analysis.
1961.8, l.P. 15-22.

Список литературы	233
171.	Hayes M., Rivlin R.S. Surface waves in deformed elastic materials. // Arch. Ration
Meek and Analysis. 1961. 8, 5. P. 358-380.
172.	Hirao M., Fukuoka H, Hori K. Acoustoelastic effect of Rayleigh surface wave in
isotropic material. // Trans. ASME, J. Appl. Mecfa. 1981. 48, 1. P. 119-124.
173.	Hughes D.S., Kelly J.L. Second-order elastic deformation on solids. // Phys.Rev.
1953. 92, №5. P. 1145-1149.
174.	Iwashimizu Yu. Ultrasonic wave propagation in deformed isotropic elastic materi-
materials. // Int. J. Solids and Struct. 1971. 7, №4. P. 419-429.
175.	Iwashimizu Yukio, Kobori Osami. The Rayleigh wave in a finitely deformed
isotropic elastic material. // J. Acoust. Soc. Amer. 1978. 64, №3. P. 910-916.
176.	John F. Plane problem for a perfectly elastic materials of harmonic type. //
Commun. Pure and Appl. Math. 1960. 12, 2. P. 239-296.
177.	Johnson B.E., Hoger A. The dependence of the elasticity tensor on residual stress.
J. Elasticity. 33A993). №2. P. 145-165.
178.	Koiter W.T. Approximate solution of Wiener-Hopf type integral equations with
applications. //Proc. Koninkl. Nederl. Akad. wet. 1954. B57. 5.
179.	Kurashige M. Radial propagation of axial shear waves in finitely deformed elastic
solid. // Ibid. 1974. 41, №1. P. 83-88.
180.	Kurashige M. Shear waves guided by a cylindrical hole in a finitely deformed
elastic solid. // Trans. ASME, E. 1972. 39, №3. P. 703-708.
181.	Mase G Т., Johnson G C. An acoustoelastic theory for surface waves in anisotropic
media// J. Appl. Meek 1987. 54. P. 127-135.
182.	Maugin G.A. Exact relativistic theory of wave propagation in prestressed non-linear
elastic solids. //Ann.Ins. H. Poicare, A. 1978. 28, №2. P. 155-185.
183.	Miklowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. - Amsterdam: North-
Holland Publ. Co. 1978. - 618 p.
184.	Mittra M. On a finite SH type source in a layered half-space (II). // Pageoph. 1970,
80, III. P. 147-151.
185.	Montanaro A. An analysis of the propagation condition for small displacement waves
in prestressed bodies. Intern. J. Non-Linear Mech. 33A998). №2. P. 327-355.
186.	Montanaro A. On small-displacement waves in prestressed bodies with isotropic
incremental elasticity tensor. Mech. 32A997). №6. P. 505-514.
187.	Montanaro A. Wave propagation along axes of symmetry in lineary elastic media
with initial stress. J. Elasticity. 46A997). №3. P. 217-221.
188.	Moodie Т., Bryant, Rogers C, Clements D.L. Radial propagation of axial shear
waves in an incompressible elastic material under finite deformation. // Int. J. Eng.
Sci. 1976. 14, №7. P. 585-603.
189.	Mooney M. A theory of large elastic deformation. // J. Appl. Phys. 1940. 11.
P. 582-592.
190.	Mott G. Equations of elastic motion of an isotropic medium, in the presence of
body forces and static stresses. // J. Acoust. Soc. Amer. 1971. 50, №3, pt. 2.
P. 859-868.
191.	Murnaghan ED. Finite deformation of an elastic solid. John Willey and Sons,
N.-Y. 1951.-140 p.
192.	Musgrave M.J. Crystal acoustics. Introduction to the study of elastic waves and
vibrations in crystals. San Francisco: Holden Day. 1970. - 288 p.
193.	Nariboli G.A., June]a B.L. Wave propagation in an initial stressed hypoelastic
medium. // Int. J. Non Linear Mech. 1971 6, 1. P. 13-25.
194.	Nowinski J. L. Reflection of acoustic waves at the fiberface of two highly stressed
elastic half-space. // J. Acoust. Soc. Am. 1978. 6. P. 1287-1290.

234	Список литературы
195.	Ogden R. W. Wave in isotropic elastic materials of Hadamarad, Green or harmonic
type. // J. Nach. and Phys. Solids. 1970. 18, 2. P. 149-169.
196.	Ogden R. W., Sotiropoulos D.A. On interfacial waves in pre-stressed layered incom-
incompressible elastic solids // Proc. Roy. Soc. London. A. 1995. 450, №1939. P. 319-341.
197.	Ogden R. W., Sotiropoulos D.A. On interfacial waves in pre-stressed layered incom-
incompressible elastic solids. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 450A995). №1939.
P. 319-341.
198.	Ogden R.W., Sotiropoulos D.A. The effect of pre-stress on the propagation and
reflection of plane waves in incompressible elastic solids. IMA J. Appl. Math.
59A997). №1. P. 95-121.
199.	Ogden R.W., Yibin Fu Nonlinear stability analysis of pre-stressed elastic half-
spaces. 19-th, Int. Congr. Theoret. and Appl. Meek, Kyoto, Aug. 25-31, 1996,
Abstr., Kyoto. 1996, P. 694.
200.	Pan E, Beatty M Instability of an internally constrained hyperelastic material.
Intern. J. Non4inear Mech. 34A999). №1. P. 169-177.
201.	Pan U.C. SH-waves in two layered inhomogeneous medium under initial stress. //
Bull. Calcutta Math. Soc. 1979. 71, №2. P. 86-93.
202.	Pao Y.H., Sachse W., Fukuoka H. Acoustoelasticity and ultrasonic measurements
of residual stresses // Phys. Acoust. (Ed. Mason W.P., Thurston R.N., Academic,
N.Y. 1984). Vol. 17. P. 62-143.
203.	Pay ton R. G. Two dimensional wave front shape induced in homogeneously strained
elastic body by a point perturbing body force. // Arch. Rat. Mech. And Anal. 1969.
32, №4. P. 311-330.
204.	Payton R. G. Wave-front singularities for two dimensional anisotropic elastic waves. //
Ibid. 1972. 72, №2. P. 105-116.
205.	Ramakanth I. Some problems of propagation of waves in prestressed isotropic
bodies. //Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad.'Sci. 1965. 6, №2. P. 161-172.
206.	Ramakanth J. Longitudinal Vibrations of prestressed circular cylinder. // Bull.
Acad. pol. sci. Ser. Tech. 1964. 12, №11. P. 495-503.
207.	Rao C.R., Godo M.A. Generalization of Lamb's problem to a class of inhomogene-
inhomogeneous elastic half spaces. // Proc. Roy. Soc. London. 1978. 359, 1696. P. 93-110.
208.	Reismann K, Pawlik PS. Dynami.cs of initially stressed hyperelastic solids. //
ZAMM. 1979. 59, №4 P. 145-155.
209.	Rogers C., Moodie T.B., Clements D.L. Radial propagation of rotary shear
waves in an initially stressed neo-Hookean material. // J.Mech. 1976 15, №4.
P. 595-614.
210.	Rogerson G.A. Waves in pre-stressed laminated plates // ЮТАМ Symp. Anis.,
Inhomogen. and Nonlin. Solid Mech., Proc. IUTAM-ISIMM Symp., Nottingham.
30 Aug. - 3 Sept. 1994. Dordrecht. 1995, P. 475-480.
211.	Rogerson G.A., Fu Y.B. An asymptotic analysis of the dispersion relation of
a pre-stressed incompressible elastic plate. ActaMech. 111A995). №1-2. P. 59-74.
212.	Rokhlin S.I. Recent advances in waves in layered media // J.Phys.Sec.4. 1992. 2,
№l.Pt.2.P. 819-826.
213.	Sawyers K.N., Rivlin R.S. On the speed of propagation of waves in a deformed
compressible elastic material. // ZAMP. 1978. 29, №2. P. 245-251.
214.	Scott N.H., Hayes M. Constant amplitude acceleration waves in prestrained -
incom pressible isotropic elastic solids. Math. Mech. Solids. 2A997). №3.
P. 291-295.
215.	Seeger A.,Buck O. Die experimentermittung der elastischen Konstanten hohere
ordnung. IIZ. Naturforsch. A. 1960. 15, №12. P. 1056-1060.

Список литературы	235
216.	Seth В. R. Finite strain in elastic problems. // Phil. Trans. Roy. Soc. Lon. 1935. Ser.
A. 234. P. 231-264.
217.	Sezawa K. Love waves generated from a source of a certain depth. // Bull. Earthq.
Res. hist Tokyo. 1935. 13, P. 1-10.
218.	Singh B. M., Dhaliwal R. S. Propagation of SH-waves in laterally and vertically
heterogeneous media due to a line source. // Rev. Roum. Tech. Mech. Appl. 1979.
24, №2. P. 217-223.
219.	Singh L, Singh S.J. Surface waves in prestressed elastic media // Acta Geophys.
Pol. 1991.39, №1. P. 33-45.
220.	Smith R.T. Stress-induced anisotropy in Solids - the acoustoelastic effect. // Ultra-
Ultrasonics. 1963. 1, №3. P. 135-147.
221.	Smith R. T, Stern R, Stephens R. W.B. Third-order elastic moduli of poly crystalline
metals from ultrasonic velocity measurements // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. 40,
№5. P. 1002-1008.
222.	Sotiropoulos D.A., Sifniotopoulos C. G. Interfacial waves in pre-stressed incompres-
incompressible elastic interlayer. J. Mech. Phys. Solids. 43A995). №3. P. 365-387.
223.	Stachowicz B. Determination of the stresses under a punch in a non-homogeneous
elastic semi-plane. //Arch. Mech. Stosowanej. 1968. 20, 6.
224.	Suhubi E.S. Small longitudinal vibrations of an initially stressed circular cylinder. //
Int.J.Eng.Sci. 1965. 2, №5. P. 509-515.
225.	Surhendu D. Torsional wave under initial stress. // Pure and Appl. Geophys. 1972.
94, №2.
226.	Tang S. Wave propagation in initially stressed elastic solids. // Acta Mech. 1967.
4, 1, P. 92-106.
227.	Teymur M. Small but finite amplitude waves in two-layered incompressible elastic
medium. Intern. J. Engrg. Sci. 34A996). №2. P. 227-241.
228.	Thurston R.N. Effective elastic coefficients for wave propagation in crystals under
stress // J. Acoust. Soc. Amer. 1965. 37, №2. P. 348-356.
229.	Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small
amplitude elastic waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev. 1964.
Vol. 133, №6A. P. А160Ф-А1610.
230.	Tokuoka T, Iwashimizu Yu. Acoustical birefringence of ultrasonic waves in
deformed isotropic elastic materials. // IntJ. Solids and Struct. 1968. 4, №3.
P. 383-389.
231.	Tokuoka T, Saito M. Elastic wave propagation's and acoustical birefringence in
stressed crystals. // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. 45, №5. P. 1241-1246.
232.	Toupin R.A., Bernstein B. Sound waves in deformed perfectly elastic materials.
Acoustoelastic effect// J. Acoust. Soc. Amer. 1961. 33, №2. P. 216-225.
233.	Trefftz E. Zur Theorie der Stabilitaet des elastischen Gleichgewichts. // ZAMM.
1933. 12. S. 160-165.
234.	Truesdell С General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Ratl.
Mech. Anal. 1961. 8. P. 263-296.
235.	Vlaar N. J. The field from an SH-point source in a continuously layered inhomo-
geneous half space. //Bull. Seism. Soc. Am. 1966. 56. P. 1305-1315.
236.	Wagh D.K. Effect of constant initial stress on the Love wave propagation. // Acta
Gtophys. 1974. 22, №1. P. 3-9.
237.	Wagh D.K. Longitudinal wave in an elastic cylinder having Cauchy 's initial stress. //
J.Indian Math.Soc. 1969. 33. 2-4. P. 165-179.
238.	Wagh D.K. Propagation of plane waves in an unbounded elastic medium with
Cauchy's initial stress. // Pure and Appl. Geophys. 1970. 82, 5. P. 62-65.

236	Список литературы
239.	Wagh D.K. Propagation of SH waves in an infinite elastic plate with Cau-
chy's initial transverse stress. // Pure and Appl. Geophys. 1979. 99, 7.
P. 95-115
240.	Wagh D.K. Rayleigh waves in an elastic half-space with Cauchy's initial stress. //
Grelands Вeitr.Geophys. 1970. 79, 4. P. 289-294.
241.	Walton K. Seismic waves in prestrained media. // Geophys. Roy. Astron. Soc. 1973.
31,4. P. 374-394.
242.	Willson AJ. Loves waves and primary stress. // Bull. Seismol. Soc. Amer. 1975.
65, №5. P. 1481-1486.
243.	WillsonA.J. Plate waves in Hadamarad materials. //J.Elast. 1977. 7, l.P. 103-111.
244.	Willson AJ. SH waves in uniaxially stressed Hadamarad materials. // Pure and
Appl. Geophys. 1973. 110, 9. P. 1977-1981.
245.	Willson AJ. Surface and plate waves in biaxially-stressed elastic media. // Pure
and AppLGeophys. 1973. 10, 2. P. 182-192.
246.	Willson A J. Surface waves in prestressed elastic plates. //Pure and AppLGeophys.
1973. 110, 9. P. 19674.976.
247.	Willson AJ. Surface waves in uniaxially stressed Mooney materials. // Pure and
Appl. Geophys. 1974. 112, 2. P. 352-364.
248.	Willson AJ. The anomalous surface waves in uniaxially stressed elastic material.
// Pure and AppLGeophys. 1974. 112, 4. P. 667-674.
249.	Willson AJ. Wave propagation in biaxially-stressed elastic media. // Pure and
AppLGeophys. 1972. 95, 3. P. 48-58.
250.	Willson AJ. Wave propagation in thin pre-stressed elastic plates. // lnt.J.Eng.Sci.
1977. 15, №4. P. 245-251.
251.	Willson AJ. Wave propagation in uniaxially-stressed elastic media. // Pure and
AppLGeophys. 1971. 93, 1. P. 5-18.
252.	Winkler Kenneth M., Liu Xigzhou. Measurements of third-order elastic constants
in rocks // J. Acoust. Soc. Amer. 1996. 100, №3. P. 1392-1398.
253.	Wo Quo- Wei An elastic solution of a nonhomogeneous half-plane problem // Appl.
Math, and Meek, Engl.Ed. 1994. 15, №10. P. 989-996.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .....................................	3
Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости . .	10
1.1.	Основные понятия нелинейной теории упругости .........	11
1.1.1.	Системы координат Лагранжа и Эйлера. ..............	11
1.1.2.	Исходный и взаимный базисы. ...................	12
1.1.3.	Набла-оператор. ..........................	14
1.1.4.	Декартовы координаты Лагранжа и Эйлера. ............	14
1.2.	Описание кинематики сплошной среды ..............	15
1.2.1.	Градиент места. ..........................	15
1.2.2.	Меры деформации. ........................	16
1.2.3.	Тензоры деформации. .......................	17
1.2.4.	Инварианты мер деформации. ...................	18
1.2.5.	Связь инвариантов тензоров деформации и мер деформации. ....	18
1.3.	Описание напряженного состояния сплошной среды .......	19
1.3.1.	Тензор напряжений Коши. .....................	19
1.3.2.	Тензор напряжений Пиола. .....................	19
1.3.3.	Тензор напряжений Кирхгофа. ...................	19
1.4.	Уравнения состояния нелинейно упругих сред ...........	20
1.5.	Закон состояния изотропного тела. .................	21
1.5.1.	Закон состояния Фингера. .....................	22
1.5.2.	Представление через алгебраические .инварианты тензора деформации
Коши. ...............................	22
1.5.3.	Представление через инварианты меры Альманзи. .........	23
1.5.4.	Представление по степеням меры Коши-Грина. ..........	23
1.6.	Потенциальная энергия деформации ................	24
1.6.1.	Материал Синьорини. .......................	24
1.6.2.	Материал Мурнагана. .......................	25
1.7.	Постановка краевой задачи нелинейной теории упругости ....	28
1.7.1.	Постановка краевой задачи: в координатах Лагранжа. ........	28
1.7.2.	Постановка краевой задачи в «координатах Эйлера». ........	29
Глава 2. Основы линеаризованной теории упругости .........	34
2.1.	Линеаризация в системе координат Лагранжа ...........	34
2.1.1.	Начальное напряженное состояние .................	34
2.1.2.	Возмущенное состояние ......................	35
2.1.3.	Конвективная производная тензора Пиола. I вариант ........	36
2.1.4.	Конвективная производная тензора Пиола. II вариант ........	37
2.2.	Линеаризация определяющих соотношений в НДК ........	38

238	Оглавление
2.3. Линеаризация определяющих соотношений в НДК. II вариант . .	40
Глава 3. Краевые динамические задачи о колебании преднапря-
женныж сред ...........................	43
3.1.	Лагранжевы координаты .......................	43
3.2.	Координаты начально деформированной конфигурации .....	45
3.3.	Многослойная среда .........................	51
3.4.	Неоднородная среда .........................	51
Глава 4. Решение краевых динамических задач дли предвари-
предварительно напряженных сред ...................	55
4.1.	Общий случай преднапряженной упругой среды .........	55
4.1.1.	Краевая задача о колебании преднапряженной среды ........	55
4.1.2.	Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений .	56
4.1.3.	Решение линейной системы ....................	57
4.1.4.	Решение краевой задачи ......................	58
4.2.	Гиперупругое пространство .....................	59
4.2.1.	Краевая задача ...........................	59
4.2.2.	Сведение к линейной системе ...................	60
4.2.3.	Решение краевой задачи ......................	61
4.2.4.	Роль симметрии напряженного состояния .............	64
4.3.	Гиперупругий слой ..........................	65
4.3.1.	Краевая задача ...........................	65
4.3.2.	Сведение к линейной системе ...................	66
4.3.3.	Решение краевой задачи ......................	66
4.4.	Составная гиперупругая среда (слой на полупространстве) ....	69
4.4.1.	Краевая задача ...........................	69
4.4.2.	Решение краевой задачи ......................	70
4.5.	Неоднородный слой с защемленным основанием .........	73
4.5.1.	Краевая задача ...........................	73
4.5.2.	Сведение к системе с переменными коэффициентами ........	74
4.5.3.	Решение системы с переменными коэффициентами .........	75
4.5.4.	Случай отсутствия начальных напряжений .............	76
4.5.5.	Решение задачи о вырожденном случае ...............	77
4.6.	Неоднородный слой, лежащий на однородном полупространстве	78
4.6.1.	Краевая задача ...........................	78
4.6.2.	Решение системы .........................	81
Глава 5. Интегральные уравнения динамических контактных задач
для различных преднаприженных полуограниченнных сред	83
5.1. Некоторые задачи о контактном взаимодействии массивных тел,
механических (инерционных с сосредоточенными параметрами)
систем с полуограниченными средами ...............	83
5.1.1.	Колебания массивного штампа (общий случай) ...........	84
5.1.2.	Поступательные колебания штампа ................	85
5.1.3.	Колебания инерционной системы (а) ................	85

Оглавление	239
5.1.4. Колебания инерционной системы (б) ................	85
5.2.	Однородное полупространство ...................	86
5.2.1.	Система интегральных уравнений. .................	86
5.2.2.	Вертикальные колебания полосового штампа. ...........	87
5.2.3.	Сдвиговые колебания полосового штампа. .............	88
5.3.	Однородный слой ..........................	88
5.3.1.	Система интегральных уравнений. .................	89
5.3.2.	Вертикальные колебания полосового штампа. ...........	89
5.3.3.	Сдвиговые колебания. .......................	90
5.4.	Слой на поверхности полупространства ..............	90
5.4.1.	Система интегральных уравнений. .................	90
5.4.2.	Вертикальные колебания полосового штампа. ...........	92
5.4.3.	Сдвиговые колебания. .......................	92
5.4.4.	Неоднородный слой с переменными по глубине свойствами. ....	93
5.5.5.	Система интегральных уравнений. .................	93
5.5.6.	Асимптотические свойства символа ядра. .............	94
5.5.7.	Вертикальные колебания. .....................	97
5.6. Неоднородный слой на однородном полупространстве ......	97
5.6.1.	Система интегральных уравнений. .................	97
5.6.2.	Вертикальные колебания. .....................	98
Глава 6. Некоторые методы решения интегральных уравнений
и систем интегральных уравнений I рода .........	100
6.1.	Метод факторизации решения интегральных уравнений .....	101
6.1.1.	Общая схема метода факторизации. ................	101
6.1.2.	Решение интегрального уравнения (специальный случай). .....	104
6.1.3.	Решение интегрального уравнения (произвольная форма основа-
основания штампа). ...........................	106
6.1.4.	Решение интегральных уравнений (одна точка ветвления). .....	107
6.1.5.	Решение интегральных уравнений (две точки ветвления). ......	111
6.2.	Метод решения одномерных интегральных уравнений ......	115
6.3.	Метод решения двумерных интегральных уравнений .......	121
6.4.	Метод решения систем интегральных уравнений .........	127
Глава 7. Особенности динамического контактного взаимодей-
взаимодействия массивных тел с полуограниченными средами .	140
7.1.	Некоторые динамические свойства упругого слоя .........	140
7.1.1.	Сдвиговые колебания штампа. ...................	140
7.1.2.	Вертикальные колебания штампа ..................	143
7.2.	Слой с переменными по глубине свойствами ............	147
7.3.	Слой с переменными по глубине свойствами, лежащий на поверх-
поверхности однородного полупространства ...............	151
7.4.	Динамические свойства пакета из двух слоев ...........	154
7.5.	Резонансное взаимодействие упругой двухмассовой системы -
с упругим основанием ........................	156

240	Оглавление
Глава 8. Влияние начальных напряжений на динамику массив-
массивных тел и инерционных систем ...............	163
8.1.	Динамические свойства преднапряженного полупространства.
Сдвиговые колебания ........................	164
8.1.1.	Сдвиговые колебания штампа на поверхности преднапряженного
полупространства. .........................	164
8.1.2.	Массивный штамп. ........................	166
8.1.3.	Инерционная система (а). .....................	167
8.1.4.	Инерционная система (б). .....................	169
8.2.	Динамические свойства преднапряженного полупространства.
Вертикальные колебания .......................	171
8.2.1.	Вертикальные колебания жесткого штампа. ............	171
8.2.2.	Массивный штамп. ........................	174
8.2.3.	Инерционная система (а). .....................	175
8.2.4.	Инерционная система (б). .....................	176
8.3.	Особенности динамического контактного взаимодействия массив-
массивных тел и систем с преднапряженным слоем ............	178
8.3.1.	Некоторые динамические свойства преднапряженного слоя. ....	179
8.3.2.	Колебания жесткого штампа. ....................	180
8.3.3.	Массивный штамп. ........................	182
8.4.	Динамические свойства составной пред напряженной среды ...	184
8.5.	Колебания прямоугольного штампа на поверхности слоя .....	187
Иллюстрации ..................................	189
Список литературы ...............................	225