Автор: Новацкий В.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация теплопроводность теплопередача физика механика
Год: 1970
Текст
В.Новацкий
ДИНАМИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMOW TECHNIKI
POLSKIEJ AKADEMII NAUK
WITOLD NOWACKI
DYNAMICZNE ZAGADNIENIA
TERMOSPR§ZYSTO?CI
WARSZAWA 1966
В. Новацкий
ДИНАМИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
Перевод с польского
Я. РЫХЛЕВСКОГО
Под редакцией
Г. С. ШАПИРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1970
УДК 539.30+536.21
Это первая в мировой литературе монография по теории
связанной термоупругости. Термоупругость — новая область ме-
механики, обобщающая в единое целое две независимые ранее
дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности.
В книге дан вывод основных уравнений термоупругости, изло-
изложены методы их решения, а также сформулированы основные
энергетические и вариационные теоремы. Приведен подробный
анализ распространения гармонических и апериодических волн.
В конце книги в качестве приложения помещен обзор новейших
результатов, полученных в термоупругости после выхода в свет
польского издания.
Книга представляет интерес для научных работников в об-
области механики сплошных сред, а также для инженеров.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-4-2
34-70
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
Предлагаемая вниманию читателей книга является сокра-
сокращенным переводом первой в мировой литературе монографии
по теории связанной термоупругости, написанной крупным поль-
польским ученым В. Новацким. Эта теория (называемая автором
книги для краткости теорией термоупругости) учитывает взаим-
взаимное влияние полей деформации и температуры. Учет такого вза-
взаимовлияния представляет интерес только в динамических зада-
задачах, где удается обнаружить качественно новый эффект — зату-
затухание упругих волн; количественный эффект оказывается незна-
незначительным.
Основные результаты связанной термоупругости получены за
последние 10—15 лет; многие из них принадлежат В. Новац-
кому и его школе. Нашему читателю имя автора книги уже из-
известно по переводам двух его монографий: «Вопросы термоуп-
термоупругости», Изд. АН СССР, М., 1962 и «Динамика сооружений»,
Стройиздат, М., 1963. Его перу принадлежит также известная
монография по теории температурных напряжений (Thermo-
elasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962).
Характеристика содержания этой книги имеется в помещен-
помещенных ниже предисловиях автора к польскому и русскому изда-
изданиям.
В приложении к книге, написанном В. А. Шачневым, дается
представление о новейших результатах в рассматриваемой об-
области, полученных после выхода в свет польского издания книги.
Г. С. Шапиро
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Русское издание книги представляет собой сокращенный пе-
перевод польского оригинала. В издание не включены, например,
две последние главы, в которых рассматривались задачи пьезо-
термоупругости и магнитотермоупругости. Эти разделы термо-
термоупругости развивались в последние годы настолько интенсивно,
что потребовалась бы новая, более широкая их трактовка.
Книга содержит расширенный материал факультативного
курса, который в течение нескольких лет читался автором в ка-
качестве дополнения к курсам теории упругости и пластичности
на факультете математики и механики Варшавского универси-
университета.
Термоупругость является новой областью науки, в которой
быстро возрастает число научных публикаций и результатов.
Ряд достижений в области сопряженной термоупругости полу-
получен советскими учеными. Следует особо отметить монографию
В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелишвили, Т. В. Бурчу-
ладзе «Трехмерные задачи теории упругости», в которой даны
доказательства теорем существования и единственности реше-
решений основных краевых задач для дифференциальных уравнений
сопряженной термоупругости. Широко известен вклад в разви-
развитие термоупругости В. И. Даниловской, А. Д. Коваленко и
Я. С. Подстригача.
Я очень рад, что моя книга, будучи изданной в Советском
Союзе, найдет новый круг читателей.
В. Новацкий
ПРЕДИСЛОВИЕ
Термоупругость — новая область механики, развившаяся
за последнее десятилетие. Она исследует взаимодействие поля
деформаций и поля температуры и, таким образом, связывает
на основе термодинамики необратимых процессов две отдельные
ранее независимые дисциплины — теорию упругости и теорию
теплопроводности. Напомним, что два основных раздела теории
упругости — эластостатика и эластокинетика — основываются
на различных термодинамических предположениях. Задачи эла-
стостатики рассматриваются как изотермические, а задачи
эластокинетики — как адиабатические. В свою очередь теория
теплопроводности развивалась на основе предположения о неза-
независимости температурного поля от поля деформаций. Термоуп-
Термоупругость синтезирует упомянутые дисциплины, объединяя их
в одно гармоническое целое.
В настоящее время термопругость вполне оформилась как
научная дисциплина. Четко сформулированы ее исходные пред-
предположения, выведены основные соотношения и дифференциаль-
дифференциальные уравнения. Разработан ряд методов решения дифференци-
дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энерге-
энергетические и вариационные теоремы. Общие теоремы и методы
термоупругости в качестве частных случаев содержат, естест-
естественно, теоремы и методы теории упругости и теории теплопро-
теплопроводности.
Следует оговориться, что решения, получаемые в рамках
термоупругости, в количественном отношении не слишком сильно
отличаются от решений теории упругости и теории теплопровод-
теплопроводности. Однако принципиальными являются качественные отли-
отличия. Это видно хотя бы на примере упругих волн — в термоуп-
термоупругой трактовке, в отличие от упругой, они затухают и подвер-
подвержены дисперсии. Термоупругая трактовка становится основной
в тех задачах, в которых целью исследования является термо-
термоупругая диссипация. Итак, большое значение термоупругости
состоит в ее познавательных и обобщающих аспектах.
8 Предисловие
Вопросам термоупругости посвящено довольно значитель-
значительное число работ, о чем свидетельствует обширный список
литературы, помещенный в конце книги. Эти работы опублико-
опубликованы в различных научных журналах — в журналах по меха-
механике, прикладной физике, акустике и др. В настоящей книге
впервые делается попытка изложить теорию термоупругости
в виде отдельной монографии. Автор старался использовать все
доступные материалы и представить результаты по возможности
с единой точки зрения. В книгу включены также некоторые до
сих пор нигде не опубликованные результаты автора.
В первой главе излагаются термодинамические основы тер-
термоупругости и выводятся основные соотношения и дифферен-
дифференциальные уравнения этой теории. Даны общие энергетические и
вариационные теоремы, а также теорема взаимности с выте-
вытекающими из нее методами интегрирования уравнений.
Вторая глава посвящена распространению изменяющихся во
времени гармонических волн. Детально рассмотрены цилиндри-
цилиндрические, сферические и поверхностные термоупругие волны. Даны
основные сингулярные решения уравнений термоупругости и
описано их использование для решения краевых задач. Наконец
приведены обобщения ряда задач, играющих существенную роль
в эластокинетике.
В третьей главе обсуждаются основные задачи, связанные
с распространением термоупругих апериодических волн. В связи
с трудностью этих задач и осложнениями математического ха-
характера при выполнении обратного преобразования Лапласа,
представлены приближенные решения, полученные по методу
возмущений или по методу малых значений времени.
При работе над монографией предполагалось, что читатель
хорошо знаком с теорией упругости и теорией теплопроводности
и свободно владеет математическим аппаратом, используемым
в этих теориях.
Считаю своим приятным долгом выразить сердечную при-
признательность Ю. Игначаку за обсуждение ряда вопросов, Е.Мос-
саковскому за внимательное ознакомление с рукописью и мно-
многочисленные ценные замечания, и наконец редактору Ю. Яни-
чеку за постоянное внимание к редакционной обработке моно-
монографии.
В. Новацкий
Глава I
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
1.1. Соотношения между напряжениями, деформациями
и температурой
Деформация тела неразделимо связана с изменением содер-
содержащегося в нем тепла и, следовательно, с изменением распре-
распределения температуры в теле. Изменяющееся во времени поле
деформаций вызывает изменение поля температуры, и наоборот.
Внутренняя энергия тела зависит, таким образом, от деформа-
деформаций и температуры. Область науки, рассматривающая эти взаи-
взаимодействующие процессы, называется термоупругостью.
Исследованиям в области термоупругости предшествовали
обширные исследования в рамках так называемой теории темпе-
температурных напряжений. Под этим названием мы понимаем тео-
теорию деформаций и напряжений, вызываемых нагревом тела, ос-
основанную на упрощенном представлении об отсутствии влияния
деформации на поле температуры.
В теории температурных напряжений, которая восходит к ис-
истокам теории упругости и за последние годы интенсивно разви-
развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется
классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена,
связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в сле-
следующем порядке: на основе уравнения теплопроводности нахо-
находится распределение температуры в теле, а затем интегрируются
уравнения теории упругости в перемещениях, содержащие уже
найденные члены, зависящие от градиента техмпературы1.
Параллельно теории температурных напряжений развива-
развивались э ласт окинет ика, основанная в свою очередь на предполо-
предположении о том, что теплообмен между частями тела, происходя-
происходящий за счет теплопроводности, протекает настолько медленно,
что процесс может рассматриваться как адиабатический.
В термоупругости изучается более широкий класс явлений.
Она включает обобщенную теорию теплопроводности и обоб-
обобщенную теорию температурных напряжений. В рамках термо-
термоупругости рассматривается распределение температуры, вызван-
вызванное деформациями, а также дается описание явления упругого
1 Duhamel J. М. С, Second memoire sur les phenomenes thermomeca-
niques, /. de ГЕcole Poly technique, 15 A837).
10 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
рассеяния энергии, являющегося причиной внутреннего затуха-
ния в упругих телах. Несмотря на свою математическую слож-
сложность, термоупругость дает возможность более глубоко прони-
проникнуть в механизм деформационных и тепловых процессов, про-
происходящих в упругих телах.
Термоупругость является новой областью науки. Она начала
развиваться в последнем десятилетии, хотя уместно отметить,
что сопряжение поля деформации и поля температуры постули-
постулировал еще Дюамель, а обобщенное уравнение теплопроводности
было дано Фойгтом1 и Джеффрисом2. Интенсивные исследо-
исследования в области термоупругости связаны с выходом работы
Био3, в которой был дан обоснованный с использованием тер-
термодинамики необратимых процессов вывод основных соотноше-
соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные тео-
теоремы термоупругости.
В настоящей главе мы дадим подробный вывод основных со-
соотношений и уравнений термоупругости, а также рассмотрим
методы решения задач термоупругости. Будут обсуждены, в ча-
частности, энергетические теоремы и вытекающие из них методы
интегрирования уравнений.
Мы начнем с вывода определяющих уравнений, т. е. уравне-
уравнений, связывающих тензор напряжений с тензором деформаций и
температурой. При этом мы ограничимся в основном рассмотре-
рассмотрением изотропных и однородных упругих тел. Упругое деформи-
деформированное состояние определяется тем условием, что после сня-
снятия сил, вызывающих деформацию, тело возвращается в исход-
исходное недеформированное состояние. Изотропность понимается как
независимость упругих свойств от направления в теле, а одно-
однородность— как независимость упругих свойств от координат
рассматриваемой частицы.
Пусть в недеформированном и ненапряженном состоянии
(внешние силы отсутствуют) тело имеет температуру Го. Указан-
Указанное исходное состояние мы назовем естественным состоянием
тела. Вследствие действия внешних нагрузок, т. е. массовых и
поверхностных сил, а также вследствие действия внутренних
тепловых источников и нагрева (или охлаждения) поверхности,
тело будет деформироваться, а его температура изменяться.
В теле возникнут перемещения ии причем приращение темпера-
температуры составит 0 = Г— Го, где Г — абсолютная температура точки
х тела. Изменению температуры сопутствует возникновение
1 Voi gt W., Lehrbuch der Kristallphysik, Teubner, 1910.
2 Jeffreys H., The thermodynamic of an elastic solid, Proc. Cambr.
Phil. Soc, 26 A930).
3 В i о t M. A., Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, /. AppL
Phys.,21 A956).
1.1. Соотношения между напряжениями, деформациями и температурой 11
деформаций et-j и напряжений а^-. Перечисленные величины ии
8, Eij, Gij являются функциями координат xt и времени t.
Будем считать, что изменение 8 температуры, сопутствующее
деформированию, невелико, причем это возрастание темпера-
температуры не приводит к существенным изменениям упругих и тепло-
тепловых констант материала. Мы будем рассматривать эти кон-
константы как величины, не зависящие от Т.
Принятое предположение |8/Го1 <Cl мы дополним предполо-
предположением о малости деформаций. А именно будем считать, что
квадраты и произведения компонент тензора деформаций прене-
пренебрежимо малы по сравнению с самими компонентами ец. Таким
образом, мы будем рассматривать в дальнейшем геометрически
линейную термоупругость. Соотношения между перемещениями
и деформациями имеют поэтому линейный вид
^^A/2)(»/,у + «у./). 0)
Как известно, компоненты тензора деформаций не могут быть
произвольными функциями, а должны удовлетворять шести так
называемым уравнениям геометрической совместности1
*ih ki + 4t. и - *jt> ik~ *ik, п = ®> l> J, k, 1=1, 2, 3. B)
Основной задачей является получение уравнений состояния,
т. е. соотношений, связывающих компоненты тензора напряже-
напряжений Gij с компонентами тензора деформаций е^ и температу-
температурой Т.
Механическое и тепловое состояния среды в данный момент
полностью описываются распределением деформаций е^ и тем-
температуры Т. Отсюда следует, что процесс изотермического измене-
изменения состояния является упруго и термодинамически обратихмым.
С другой стороны, в рассматриваемых явлениях, происходящих
с изменением температуры, имеют место два взаимосвязанных
процесса — обратимый упругий и необратимый термодинамиче-
термодинамический. Последний вызван самопроизвольным и, следовательно,
необратимым процессом переноса тепла посредством теплопро-
теплопроводности. Поэтому термоупругие возмущения не могут быть опи-
описаны в рамках классической термодинамики, справедливой для
равновесных состояний. Здесь необходимо использовать соотно-
соотношения термодинамики необратимых процессов2.
1 S о к о 1 n i к о f f J. S., Mathematical theory of elasticity, New York,
1956.
2 Гроот де СР., Термодинамика необратимых процессов, ИЛ, М.,
1958.
12 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Для вывода уравнений состояния необходимо рассмотреть
энергию системы. Мы будем исходить из дифференциального
соотношения, выражающего второй закон термодинамики
da = вц detj -j- T ds. C)
Это соотношение гласит: малое изменение du внутренней энер-
энергии и равно сумме изменения работы деформации и изменения
количества тепла, введенного в рассматриваемый бесконечно
малый объем тела. Изменение количества тепла равно Tds, где
s — энтропия системы; входящие в C) величины отнесены к еди-
единице объема. Следует добавить, что приращение внутренней
энергии представляет собой полный дифференциал. Независи-
Независимые переменные в C) суть деформации гц и энтропия s, т. е.
u = u(&ij, s). Вместо функции и удобно ввести свободную энер-
энергию Гельмгольца f=u — 57", являющуюся функцией независимых
переменных е^ и Г; тогда имеем
df = aijdeiJ-sdT. D)
Соотношения C) и D) дают возможность определить напряже-
напряжения Gij как функцию от гц и s или как функцию от г^ и Т.
Поскольку
сравнивая соотношения C) и E) с соотношениями D) и F),
получаем
df \ ( df \ ^ ( да
В дальнейших рассуждениях мы будем использовать второе из
соотношений G), так как нам нужно найти выражение a%j в за-
зависимости от деформаций е^- и температуры Т.
Разложим функцию /(e*j, Т) в ряд по е^-, Т в окрестности ес-
естественного состояния f@, Го). Имеем
f(c т\ f (С\ Т\ ! **f @, ^о) ^ [ df @, То) /т,
(8)
Удержим в этом выражении только линейные и квадратичные
1.1. Соотношения между напряжениями, деформациями и температурой 13
члены, имея в виду лишь линейные соотношения между напря-
напряжениями Gij, деформациями е^ и изменениями температуры 0=
= Т — То.
Поскольку при Bij — O, T=Tq тело находится в естественном
состоянии, можно положить /(О, Го) =0. Кроме того, можно при-
принять, что д/@, Т0)/дТ=0. В самом деле, сравнивая D) и F),
видим, что
(df\- s
и для естественного состояния имеем
д/ @, То) __ ,0
Используем теперь второе из соотношений G)
—I -5—^p—•(/ — Tq). (9)
Мы нашли линейную зависимость, справедливую для малых
значений деформации и для |в/Го1 <С1. В (9) следует положить
д/@, То)/дец=О, так как в естественном состоянии (е^=0, Т=
= То) должно быть ац=0.
Введем обозначения
дви^гы iJkl' дг^дТ ?lJ'' дт*
и запишем (8) и (9) в виде
Ле , Т) /1/ Ь , е л Q P!fll mA 2/9 И М
//> / — \ /2/ ^ijkl ij kl vij ij \Г Г'" i^1* \^ )
Заметим далее, что
= -9». О2)
В соотношениях A1) мы узнаем закон Гука, обобщенный на
случай термоупругости. Эти соотношения носят название закона
Дюамеля—Неймана для анизотропного тела.
Постоянные с^ы и P*j, соответствующие изотермическому со-
состоянию, являются материальными константами. Величины сцы
суть коэффициенты жесткости анизотропного материала, а вели-
величины р^. связаны, как мы вскоре убедимся, с его механическими
и тепловыми свойствами.
14 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Для изотропной однородной среды свободная энергия вы-
выражается значительно более простой формулой
f(su, r) = ae^y + (X/2)^-K6 + (V2)^. A3)
Эта формула получается из следующих соображений. По-
Поскольку свободная энергия является скаляром, то каждый член
в правой части A3) должен быть скаляром. Но из составляю-
составляющих тензора деформации можно образовать только два незави-
независимых квадратичных скаляра: квадрат объемного расширения
e2=(ekkJ1 и сумму квадратов г^гц всех составляющих гц. Тре-
Третий член в правой части соотношения A3) линеен по е — гш\ это
единственный линейный скаляр, который можно образовать из
Sij. Материальные константы \х и X являются постоянными Ламе.
Величины y и m будут определены в дальнейшем.
Для изотропной среды соотношения A1) записываются
в виде
-тв)8/7, /, у=1, 2, 3. A4)
Свертывая обе стороны, получаем
)|*. A5)
Решая уравнения A4) относительно е^- и определяя виз A5),
находим
Для определения величины у рассмотрим свободное расши-
расширение объемного элемента при отсутствии напряжений на его
поверхности. Из этого условия и из A6) и A7) получаем
A8)
Итак, изменение объема е° в рассматриваемом процессе пропор-
пропорционально температуре. Коэффициент пропорциональности ра-
равен а=у/К> Обозначая через а*=а/3 коэффициент линейного
термического расширения, можно записать A8) следующим об-
образом:
etf=*flbiS, e=3*tB. A9)
Эти соотношения выражают следующее свойство свободного
элемента изотропного тела: при возрастании температуры проис-
происходит изменение объема без изменения формы.
Мы определили смысл величины у= (ЗЯ + 2|л)а^ = 3/Са<, ко-
которая входит в формулу для свободной энергии и в соотношения
1.2. Внутренняя энергия и энтропия системы 15
Дюамеля—Неймана. Заметим далее, что из A4) и A7) следуют
такие соотношения
де \ 1 I де \ о ,щ
Необходимо подчеркнуть, что величины \i9 Я, К, входящие в фор-
формулы A3) — A7), соответствуют изотермическому процессу и
измеряются в изотермических условиях.
Соотношения A3) и A4) можно записать также и в другой
форме. Известно, что деформацию можно представить в виде
суммы деформации чистого сдвига и всестороннего растяжения
*и ^ (е/у - Ш М + (Чз) V ^ еи + (%) Ъие. B1)
Первый член ец в правой части, называемый девиатором дефор-
деформаций, представляет собой чистый сдвиг; сумма еш его диаго-
диагональных компонент равна нулю. Второй член (V2) бг*^^ называ-
называется шаровым тензором. Подставляя B1) в A3), получаем
/ = ^^+W2)^-T^ + A/2)^2. ^ = ^+B/з)^. B2)
Величины ji и К носят названия модуля сдвига и модуля объем-
объемного расширения.
Производя аналогичное разложение тензора напряжений на
девиаторную и шаровую части
запишем соотношения A4) и A5) в виде
^Л = 3/С (^ - За,В). B4)
1.2. Внутренняя энергия и энтропия системы
Для вывода обобщенного уравнения теплопроводности необ-
необходимо представить внутреннюю энергию и энтропию в виде
функций от деформации и температуры. Отправной точкой на-
наших рассуждений будет термодинамическое соотношение D)
предыдущего параграфа
du = оц d&tj -\-T ds. A)
Приращение энтропии является здесь полным дифференциалом,
т. е.
Подставляя B) в A), получаем
16 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Поскольку du есть полный дифференциал, должно иметь место
равенство
М
из которого следует, что
В предыдущем параграфе была получена формула
дТ
Подставляя ее в E), находим
С учетом этого соотношения уравнения B) и C) запишутся сле-
следующим образом:
{^\dT, G)
du = аи с1еи ^^Tde+T {dsjdT) e dT. (8)
С другой стороны, сравнивая соотношение
с (8), получаем
Далее имеем (duldt)s=ce, где с& — удельная теплоемкость
при постоянной деформации. Следовательно,
Подставляя A1) в G) и (8), находим
^-, A2)
+ СьйТ. A3)
Подставляя в A3) закон Дюамеля—Неймана
^ = 2^г;.+ (Хе--Г8)8/;.)
находим
du = 2\*и dsu + \ede + -[To de + cs dT. A4)
1.3. Обобщенное уравнение теплопроводности 17
Интегрируя полученное соотношение и предполагая, что и = 0
в естественном состоянии (т. е. при ег;?==0, 7=Го), получаем
и = №Лу + W2) е2 + -<Гф + свв A5)
или
Л A6)
В правую часть этого выражения входят три члена: первый
представляет собой работу деформации, последний равен коли-
количеству тепла в единице объема, а средний определяется взаимо-
взаимодействием поля деформации и поля температуры.
Проинтегрировав соотношение A2) для s = 0 при 8^=0, Т=
= Го, получим
. A7)
Первый член в правой части этого уравнения соответствует со-
сопряжению поля деформации с полем температуры, а второй ра-
равен энтропии, вызванной теплопроводностью. В уравнении нет
чисто упругого члена, отсюда следует, что процесс деформирова-
деформирования является обратимым и не приводит к увеличению энтропии.
Ввиду принятого предположения |6/Го|<С1 можно разло-
разложить функцию In A + 9/Г) в ряд, удерживая лишь первый член.
Таким образом получим следующее выражение для энтропии:
8 = че + с.ЦТ0. A8)
По найденным функциям и и s можно определить свобод-
свободную энергию f=u — sT. Разлагая опять функцию 1пA+0/Го)
в ряд и сохраняя первые два члена, получаем
. A9)
Итак, постоянная т=<—се/То, которая входит в формулу A3)
предыдущего параграфа, определена.
1.3. Обобщенное уравнение теплопроводности
Нам осталось выявить связь энтропии с теплопроводностью.
Перенос тепла в твердом теле происходит от мест с более высо-
высокой температурой к местам с более низкой температурой и на-
называется теплопроводностью. Этот самопроизвольный необра-
необратимый процесс приводит к производству энтропии. Уравнение
теплопроводности выводится из закона сохранения энергии, вы-
выраженного в виде уравнения переноса энтропии. Этот закон, яв-
являющийся локальной формулировкой второго закона термоди-
термодинамики, имеет вид
T(dsldt)=-divq+W. A)
2 Заказ ЛЬ 362
18 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Здесь q — вектор потока энергии. В нашем случае он равен век-
вектору потока тепла. Через W обозначено количество тепла, про-
производимого в единице объема тела за единицу времени.
Уравнение A) можно также записать в виде
Рассмотрим тело, занимающее объем В, ограниченный поверх-
поверхностью А. В этом случае интеграл
dS
dt
представляет собой скорость роста энтропии в объеме В из-за
переноса тепла. Соотношение C) можно представить в виде
В В В
Применяя формулу Гаусса, находим
^ E)
Приращение энтропии во времени состоит здесь из двух ос-
основных членов. Первый записан в виде поверхностного инте-
интеграла, выражающего приращение (или убывание) энтропии, вы-
вызванное потоком тепла через поверхность А. Следовательно, этот
член определяет обмен энтропией с окружающей средой. Объ-
Объемные интегралы связаны с производством энтропии в объеме В.
Первый из них равен энтропии, возникающей в В за счет тепло-
теплообмена, а второй обусловлен действием тепловых источников.
Вернемся к соотношению B) и представим его в виде
dsjdt = ¦- (gJT), t - qtTt t\T* + W\T. F)
Здесь записан локальный закон приращения энтропии, причем,
как и выше, первый член описывает обмен энтропией с окру-
окружающей средой, а два другие равны скорости производства эн-
энтропии в элементарном объеме. Соотношение F) можно пред-
представить в виде
G)
где q — вектор потока тепла, а
(8)
является источником энтропии.
1.3. Обобщенное уравнение теплопроводности 19
Второй закон термодинамики для необратимых процессов
в локальной формулировке сводится к следующему требованию1:
ds\dt = dse\dt-\-dsi\dt>O и dsijdt>0 (9)
для любого элементарного объема. Здесь dse/dt — скорость об-
обмена энтропией с окружающей средой, a dsi/dt — скорость про-
производства энтропии, т. е.
(Ю)
. A1)
Источник энтропии связан с причинами, вызывающими необра-
необратимые процессы; они называются обычно термодинамическими
силами. Эта связь имеет следующий вид:
A2)
т. е. источник энтропии равен сумме произведений термодина-
термодинамических сил Fi и связанных с ними потоков тепла qi. Сравни-
Сравнивая соотношения A1) и A2), имеем
Ft=-TttIT*. A3)
Итак, термодинамической силой для теплопроводности является
градиент температуры.
С другой стороны, между компонентами вектора теплового
потока и термодинамическими силами существуют функциональ-
функциональные связи
^ = ^(Л. F2, Fz)-
В термодинамике необратимых процессов предполагается, что
для ламинарных течений справедливы линейные соотношения
qt = LuFj. A5)
Эти соотношения имеют феноменологический характер. Вели-
Величины Lij считаются постоянными, причем установлено, что они
должны удовлетворять соотношениям взаимности Онзагера
L4 = 4i' A6)
Подставляя A3) в A5), находим
q^-LnTJT*. A7)
Это уравнение согласуется с законом Фурье для теплопроводно-
1 Г р о о т д е С. Р., М а з у р П., Неравновесная термодинамика, изд.
«Мир», М., 1964.
20 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
сти в анизотропном теле. Для рассматриваемого нами изотроп-
изотропного тела соотношение A7) записывается в виде
4i = -\T,i9 \^LIT*>0. A8)
Величину X0=L/r2 будем считать постоянной; она называется
коэффициентом теплопроводности. Подставляя A8) в B), по-
получаем конечную формулу для скорости изменения энтропии
T(ds\dt) = \Ttii+W. A9)
Остается выразить ds/dt через деформацию и температуру
тела. Соответствующее выражение можно получить на основе
соотношения A8) предыдущего параграфа. Дифференцируя ука-
указанное соотношение по времени и умножая результат на Г, на-
находим
Т (ds\dt) = {еТ + с\ (Г/Го) в. B0)
Сравнивая A9) и B0), имеем
9. B1)
Вместо Т здесь можно положить Го, что связано с предполо-
предположением |0/7ol<Cl. Тогда правая часть уравнения B1) стано-
становится линейной. Учитывая, что 7=70 + 9» получаем конечный
вид обобщенного уравнения теплопроводности в виде
e,«-(iwe-^=-(Qw; B2)
где
В это уравнение входит член, связывающий приращение темпе-
температуры со скоростью изменения объема деформируемого тела.
Отметим еще, что постоянные Ламе, через которые выражена
величина у, соответствуют изотермическому состоянию.
1.4. Основные дифференциальные уравнения термоупругости
Полная система уравнений термоупругости состоит из урав-
уравнений движения в перемещениях и сопряженного с ними уравне-
уравнения теплопроводности.
Уравнение движения мы получим обычным путем, опи-
опираясь на закон сохранения импульса. Для произвольного объема
В, ограниченного поверхностью А, этот закон имеет вид
l\ lfrdA> '=1>2, 3. A)
В В А
Здесь Xi — компоненты вектора массовых сил, pi — компоненты
1.4. Основные дифференциальные уравнения термоупругости 21
усилий, приложенных к поверхности А Учитывая, что pi свя-
связаны с составляющими тензора напряжений а^ на поверхности
А формулами
Pi = ai]Hj> B)
где щ — направляющие косинусы нормали к Л, и используя фор-
формулу Гаусса—Остроградского
jjj C)
А В
приведем уравнение A) к виду
D)
В
Поскольку оно справедливо для произвольного объема, из него
следует локальное уравнение движения
Полученное уравнение связывает производные напряжений
с массовыми и инерционными силами. Выразим компоненты на-
напряженного состояния через компоненты деформированного со-
состояния и температуру при помощи соотношений Дюамеля—
Неймана
и используем формулы
Тогда уравнения движения запишутся в виде
№, jj + (* + I*) Ч п + Xt = T8, t + рщ. (8)
Присоединим к этим трем уравнениям уравнение теплопровод-
теплопроводности
(l/-/.)9-^,w=-Q/*- (9)
Здесь введены обозначения
Уравнения (8) и (9) составляют полную систему диффе-
дифференциальных уравнений термоупругости. Следует помнить,
что постоянные Ламе в уравнениях (8) соответствуют
22 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
изотермическому состоянию (р, = [хт, Х—Хт). Заметим, что в урав-
уравнения движения входит, наряду с перемещениями, температура
О, а в уравнение теплопроводности помимо температуры входит
скорость е изменения объема.
Уравнения (8) и (9) можно представить в векторной форме
\1 V2u -f (* + р) grad div u + X = т grad 0 4- pii, A0)
-Q/x. A1)
В выведенных уравнениях искомыми функциями являются пе-
перемещения ui и температура 9. Они могут быть заменены дру-
другими функциями, например перемещениями и энтропией. Ис-
Используя соотношение
)(*-Т*), A2)
следующее из формулы B6) § 1.2, приведем систему уравнений
(8) и (9) к виду
№, jj + (* + Р + 8) Яу, п + Xt = rfs, , + ^щ, A3)
s, jj - AW s - TV^y = -Q/xp. A4)
Здесь введены обозначения р = Г0/с8, 6=y2P- Эта форма си-
системы уравнений удобна при исследовании квазистатических за-
задач, о которых пойдет речь ниже.
Деформация тела и сопряженная с ней температура вызваны
действием массовых и поверхностных сил, а также действием
тепловых источников и эффектами теплопроводности среды, ок-
окружающей рассматриваемое твердое тело. Поле деформации и
поле температуры возникают под влиянием каждого из этих воз-
воздействий, приложенных отдельно.
Если мы создадим в теле градиент температуры, приводящий
к необратимому процессу теплообмена, то с этим самопроиз-
самопроизвольным процессом будет связана деформация тела. Процесс
деформации является здесь вторичным, вынужденным процес-
процессом, происходящим за счет теплопроводности. Процесс тепло-
теплопроводности связан с производством энтропии, а процесс дефор-
деформации, противоположно направленный, идет за счет уменьшения
энтропии. Однако разность этих составляющих энтропии поло-
положительна в каждой точке тела, что приводит к возникновению
некомпенсированного тепла — энергии диссипации.
И наоборот, если при помощи внешних нагрузок или массо-
массовых сил вызвать деформацию тела, то деформирование вызовет
вторичный, вынужденный процесс теплообмена.
1.4. Основные дифференциальные уравнения термоупругости 23
В обоих случаях мы имеем дело с взаимосопряженными про-
процессами; поля деформации и температуры сопряжены между
собой. Описанную нами среду, в которой возможен обратимый
упругий процесс и необратимый тепловой процесс, будем назы-
называть в дальнейшем термоупругой средой.
Следует получить еще краевые и начальные условия для си-
системы уравнений A0) и A1).
Краевые условия могут быть различного типа. Тепловые кра-
краевые условия отражают воздействие окружающей среды на по-
поверхность А тела и записываются в форме одного из следующих
условий:
1) на поверхности А задана температура 0 как функция
от пространственных координат и времени
Q = h(P, t), Р € A, t>0. A5)
2) на поверхности А задана нормальная компонента гради-
градиента температуры как функция координат и времени
= k(P,t), P 6 A, t>0. A6)
3) на поверхности А задана функция
_^ L nrU/p л— ftp л pc Л /">() (M\
dn i ) \ > )—J \*> >' ^ ' ^ y v1'/
где а — некоторая константа.
Условие 2) соответствует потоку тепла через поверхность А.
Если 6>Г1 = 0, то поверхность тела изолирована. Условие 3) яв-
является условием свободного теплообмена на поверхности А. Мо-
Могут, наконец, встретиться случаи, когда на А заданы смешанные
краевые условия, т. е. на различных частях А заданы различные
краевые условия.
Далее, на поверхности А могут быть заданы внешние на-
нагрузки pi или перемещения щ как функции координат и вре-
времени. В первом случае имеем
р. (Р, t) = aljnj = a (uit j + Uj, t) rij + (le - 7O) nt, P 6 A, t > 0.
A8)
Во втором случае краевые условия выражаются формулой
//. — II (Р t\ Р С- А / "> 0 Н9\
И здесь могут встретиться смешанные краевые условия, т. е. на
части А могут быть заданы нагрузки, а на остальной части —
перемещения.
Для решения дифференциальных уравнений термоупругости
необходимы начальные условия. Начальное условие для
24 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
температуры состоит в задании в начальный момент /=0 рас-
распределения температуры как функции координат
9(/>, 0)=l(P), PeB, / = 0. B0)
Деформацию тела в начальный момент определяют условия
t = 0, /=i, 2, 3. B1)
Здесь gi, fi, I — заданные функции.
1.5. Волновые уравнения термоупругости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений термо-
термоупругости в векторной форме
(аV2u + (X -f- ja) grad div u Jr X = f grad 9 -f pu, A)
-Q/x. B)
Предположим сперва, что массовые силы и тепловые источ-
источники отсутствуют. Тогда уравнения A) и B) становятся одно-
однородными. Применяя к A) операцию ротора, получаем волновое
уравнение
[v2-(i/*5)tf]Q=o, C)
где
SJ^rotu, d~[ijp.
Мы видим, что скорость распространения вектора Q равна ско-
скорости поперечной волны Сг. Элементы тела сохраняют свой объ-
объем, меняя форму, причем этот процесс не вызывает изменений
температуры. Из формулы A8) § 1.2 следует, что ввиду 0 = 0,
е = 0 энтропия равна нулю, 5 = 0. Поперечная волна не затухает
и не подвержена дисперсии.
Применим теперь к однородному уравнению A) операцию
дивергенции. В результате получим
[ч2-ШТАе = пЛ% D)
где
с\ = (X -f 2[i)/p, m е= Т/(Х + 2jx), e = div u.
Это уравнение определяет волну расширения. Вид уравнения D)
показывает, что эта волна связана с температурой 8. Поэтому
следует одновременно рассматривать однородное уравнение B)
[V2-(l/*)d,]0-^ = O. E)
1.5. Волновые уравнения термоупругости 25
Из уравнений D) и E) следует, что распространение волны
расширения связано с производством тепла. Механическая энер-
энергия волны расширения частично переходит в тепло, что и при-
приводит к росту температуры.
Исключая из уравнений D) и E) функцию 0, получаем сле-
следующее волновое уравнение, определяющее распространение
волны расширения в термоупругой среде:
= 0. F)
В дальнейшем мы убедимся, что волна расширения подвержена
затуханию и дисперсии.
Вернемся к неоднородным уравнениям A) и B) и разложим
вектор перемещения и вектор массовых сил на потенциальную
и соленоидальную части
u = grad Ф + rot г|). G)
X = P(grad» + rotZ). (8)
Этот способ используется в классической эластокинетике для
разложения волн на продольные и поперечные. Потенциал Ф
соответствует там продольным волнам, связанным с изменением
объема тела; в этом случае направление движения частиц совпа-
совпадает с направлением распространения волны. Вектор яр описы-
описывает распространение поперечных волн, вызывающих только
изменение формы. Точно так же представления G) и (8) приво-
приводят к выделению продольных и поперечных волн в термоупругой
среде. В самом деле, подставляя G) и (8) в A) и B), получаем
уравнения1
[V2 - A/х) dt] 0 - т^2Ф = -О/х, (9)
[v2 — (l/??) df\ Ф = тв — (!/??)*, A0)
¦ (И)
Введем следующие дифференциальные операторы:
D^V2-№)<??, а = 1,2, Jsv'-tlW*,
и представим уравнения (9) — A1) в виде
nle-7iT2<i>=-Q/x, A2)
Z?® = /rc9-(l/c?)&, A3)
-h=-(Vd)t. A4)
1 N о w а с k i W., On some problems of thermoelasticity, Problems of con-
continuum mechanics, Philadelphia, 1961.
26 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Исключая из этой системы температуру, получаем два волновых
уравнения
(П?Пз - -nm dt V2) Ф = -mQ/x - {\\с\) и\Ъ, A5)
A6)
Первое из этих уравнений определяет продольную волну — вол-
волну расширения, а второе — поперечную волну (см. C) и F)).
Рассмотрим сначала распространение волн в неограниченной
термоупругой среде.
Предположим, что в неограниченной среде действуют тепло-
тепловые источники и массовые силы потенциального типа, т. е. Х =
= pgrad'&, %=0. В этом частном случае if = 0 во всей среде,
т. е. в неограниченном термоупругом теле возникнут только про-
продольные волны — волны расширения, определяемые уравнением
E) и связанные с потенциалом Ф.
После определения частного интеграла уравнения A5) по
формулам
A7)
определим перемещения и деформации. По известной функции
Ф найдем из A0) температуру 0. Наконец, напряжения, на ос-
основе закона Дюамеля—Неймана, соотношений A7) и уравнения
A0) определяются формулой
-ЬиФ9кк) + р(Ф-Ь)Ьи. A8)
Заметим, что в правую часть уравнения A5) входят источ-
источники, вызывающие возникновение продольных волн, а именно
тепловые источники и потенциальная часть массовых сил. Легко
в'идеть, что действие сил X=pgrad<0> приводит к такому же ре-
результату, как и действие тепловых источников. В дальнейшем,
при более подробном анализе продольных волн, мы покажем,
что они подвержены дисперсии и затуханию.
Рассмотрим случай, когда в неограниченной среде отсутст-
отсутствуют тепловые источники (Q=0) и /& = 0, a X=prot%. В этом
случае возникнут только поперечные волны, определяемые урав-
уравнением A6) и распространяющиеся со скоростью сг. Эти волны
не затухают и не вызывают изменения температуры. Поскольку
ф = 0, 9 = 0 и e=V29 = 0, энтропия 5 равна нулю. Перемещения,
соответствующие поперечной волне, равны
«1 = Фз, 2-^2,3» Й2=ФЬЗ — Фз,1> %=4>2, 1— Фь2> (Щ
а напряжения определяются формулой
. B0)
1.5. Волновые уравнения термоупругости 27
В ограниченной среде возникнут, как правило, одновременно
продольные и поперечные волны. Решение уравнений A2) — A4)
составим из двух частей, а именно из частных интегралов 9о, Фо,
if о неоднородных уравнений
Пзв0 — ^V2*0==—Q/x, B1)
-?Ф0=те0-A/^)&, B2)
? !¦<>=-0/$* B3)
и из общих интегралов однородных уравнений
Иье'-^2Ф' = 0, B4)
П?Ф'-ягб' = 0, B5)
п!1>' = 0. B6)
В качестве функций во, Фо, i|>o можно взять частные решения для
неограниченной среды или же некоторые решения, удовлетво-
удовлетворяющие части краевых условий на поверхности тела А. Функции
в', Ф', г|/ подбирают таким образом, чтобы решения 6=9о+0/>
ф=фо4-Ф/, if^ifo + if7 удовлетворяли всем краевым усло-
условиям.
Рассмотрим теперь те уравнения термоупругости, в которых
неизвестными величинами являются перемещения и энтропия
[1V 2и + (X + {л -f S) grad div u -f X = rf grad 5 + pii, B7)
V%--U-TV2(divu) = -j^, p^Jo., g^fp. B8)
Подставляя сюда соотношения G) и (8), получаем следующую
систему уравнений:
^4 B9)
b, C0)
Х, C1)
где
Исключая из этих уравнений энтропию s, находим два волновых
уравнения
tol - m*Tv4) Ф = - («'/«?) Q - (Цс?) п|», C2)
<3h = -(llcl)t. C3)
28 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Рассмотрим распространение волн в неограниченной термо-
термоупругой среде. Если тепловые источники отсутствуют (Q = 0) и
X = prot%, О=0, то получим Ф=0 и 5=0. Из уравнения 8 =
= C(s — уЧЩ)) следует, что и 0=0. В среде возникают только
поперечные волны. Если %—0 и t|>(x, 0)=0, а причиной возму-
возмущений являются тепловые источники и хмассовые силы Х =
=pgrad#, то -ф=0. В среде возникают в этом случае только
продольные волны. Энтропию s найдем из уравнения C0); тем-
температура, перемещения и деформации равны
«|=Ф,о ?,7=Ф,/;> 6 = РE~ТУ2Ф). C4)
Рассмотрим вновь однородную систему дифференциальных
уравнений термоупругости A) и B)
[xv2u-f (X + ^)graddivu = f grad б -f pii, C5)
V29-(l/*)e = 7]divu. C6)
Уравнение теплопроводности мы записали здесь таким образом,
что член, содержащий производную изменения объема по вре-
времени, находится в правой части. Рассмотрим неограниченную
термоупругую среду. Функцию rjdivu будем рассматривать как
тепловой источник, а уравнение C6) как классическое уравне-
уравнение теплопроводности. Решение этого уравнения при однород-
однородном начальном условии можно записать с использованием изве-
известной функции Грина в следующем виде:
Хехр(-
^), C7)
р2 = (Xt - %i) {Xt - %i), P=(X{, X2, X3).
Интегрируя по частям и подставляя результат в уравнение C5),
получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение для
и:
(хV2и + (X + [*) grad div и = pii - -^Tvr X
Xgrad |rfxjdlvn-^[(/-cr>/'exp(- 4%{f_%) )}dV {%). C8)
В этом уравнении, полученном Зорским *, можно использовать
1 Z о г s k i H., On a certain property of thermoelastics media, Bull. Acad.
Polon. ScL, Serie Sci. Tech., 6, № 6 A958).
1.5. Волновые уравнения термоупругости 29
представление вектора перемещения в виде G). Используя обо-
обозначение
*<* '-') - - ъ$& w
вместо уравнения C7) получаем систему
6l" 0
ц|ф = О. C9)
Мы вновь убеждаемся, что сопряжение с полем температуры от-
относится только к продольной волне, описываемой уравнением
C8). Путем интегрирования по частям это уравнение можно за-
записать в виде
t
f2 0. D0)
Используя закон Дюамеля—Неймана, находим
D1)
Напряжение в точке определяется интегралом (по всему
объему и полному времени действия возмущения) от изменения
объема. Отсюда следует, что изменение температуры, которое
распространяется с бесконечной скоростью, вызывает изменение
объема во всей области. Этим и объясняется интегрирование по
всей области и по всему временному интервалу действия возму-
возмущения.
В некоторых случаях (особенно в задачах с плоским напря-
напряженным или плоским деформированным состоянием) удобно
использовать уравнения в напряжениях. В классической теории
упругости такие уравнения известны как уравнения Бельтрами—
Митчелла. Для несопряженной термоупругости соответствующие
уравнения получил весьма простым путем Игначак1 и затем не-
несколько иным путем Шоош 2.
1 I g n а с z а к J., Direct determination of stress equations of motion in
elasticity, Arch. Mech. Stos., II, № 5 A959).
2 S о б s E., Galerkin's representation, Beltrami — Michell's conditions and
Green's functions for short time in the linear theory of the coupled thermo-
elasticity, Arch. Mech. Stos., 17 A965).
30 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Отправной точкой подхода, намеченного Игначаком, явля-
являются уравнения в перемещениях
t*V4H^X+tOe.i-Te,/ + */==PU. D2)
Перепишем эти уравнения, изменив индекс
[*V2tf;+ (Х + *)е, у —тв, у + *у = Р%- D3)
Дифференцируя первое уравнение по х^ второе по х\ и склады-
складывая результаты, находим
(i, ; + %/)• D4)
Используя соотношения
2eZy = «if у+ «;,«, D5)
получаем уравнения
^V2^+^+^^//-T0,/y+(V2)№,y + ^;,O = P^. D6)
Теперь на основе закона Дюамеля—Неймана
в эти уравнения можно ввести напряжения. Таким образом по-
получим
Эти уравнения можно записать значительно проще, если исполь-
использовать соотношение
D7)
оль-
оль= °' D8)
которое следует из D7) после свертки.
Подставляя D8) в D7), находим окончательный вид уравне-
уравнений в напряжениях
D9)
1.6. Разделение системы дифференциальных уравнений термоупругости 31
Присоединим к этим уравнениям уравнение теплопроводности
[V2 - (l/x) dt\ 0 - '/j<V= -(?/*. E0)
Из закона Дюамеля—Неймана следует соотношение
е = в«/(ЗХ + 210 + ЗаД E1)
Подставляя E1) в E0), получаем уравнение теплопроводно-
теплопроводности, в которое наряду с температурой входит сумма нормаль-
нормальных напряжений
(V2 - % dt) б - фкк1Cк + 2|i) = -Q/x,
Эо = A/*)A+Зд^х). E2)
Уравнения D9) и E2) составляют полную систему уравнений
термоупругости в напряжениях. Из этой системы можно еще ис-
исключить температуру.
Вернемся теперь к уравнению D9) и применим к нему опера-
операцию П^. Учитывая D8), находим следующее уравнение:
???!:.„ -mal [2ц (9, и - 8/;-v28) + Pbj] + П?(Хи , + Х},,) +
+ №,№ + Ю] DlXr, r - [BХ + 2|*)/(Х + 2^I ХГ; п7 = 0. E3)
Если бы мы рассматривали несопряженную задачу, то темпера-
температура 8 в уравнении E3) была бы известной функцией. Тогда
уравнение E3) было бы биволновым уравнением для напряже-
напряжений Oij. Однако, поскольку мы изучаем сопряжение полей дефор-
деформации и температуры, уравнение E3) надо рассматривать со-
совместно с уравнением E2), которое можно записать в следую-
следующем операторном виде:
?>9 - V**/CX + 2{i) = -Q/x, D = V2 - %dt. E4)
Из уравнений E3) и E4) можно исключить температуру. Соот-
Соответствующие преобразования приводят к волновому уравнению
для Oij с первой, второй и третьей производными по времени от
суммы нормальных напряжений Okk-
1.6. Разделение системы дифференциальных уравнений
термоупругости
В предыдущем параграфе мы провели разделение основной
системы уравнений путем введения потенциальной функции Ф
и векторной функции г|). В настоящем параграфе мы изложим
общий метод разделения уравнений термоупругости посредством
введения четырех разрешающих функций %i (i = l, 2, 3, 4).
Под разделением системы мы понимаем действия, преобразую-
преобразующие ее в систему четырех уравнений высшего порядка, содержа-
содержащих ПО ОДНОЙ ИСКОМОЙ фуНКЦИИ %i.
32 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Излагаемое здесь решение было получено различными авто-
авторами с использованием разных подходов. Ионеску-Казимир1
определила разрешающие функции для квазистатических задач
на основе метода Моисила2. Калиский3 получил соответствую-
соответствующий результат для динамических задач. Его результат был за-
заново установлен другим путем Ю. С. Подстригачем4 и Рюдиге-
ром5.
Представим дифференциальные уравнения термоупругости
№, jj + (х +1\> uj9 п + Хг = рщ + ?e, i9 A)
6,;7-(lW9-^=-Q/^ B)
в более удобном для дальнейших рассуждений операторном виде
) = -Fii C)
M) 44fl=-Q/*> /, У=1, 2, 3. D)
Здесь введены следующие обозначения:
Fi^X^, To = т/^> aE
Уравнения C) и D) можно записать также в виде следую-
следующей таблицы, составленной из операторов и свободных членов:
I
II
III
IV
«1
адгд{
ад{д2
П2 + ад\
адъд2
— rfitd*
адхдъ
ад2дз
? g + пд^
— г^д3
е
— To^i
- Т0^2
— То^з
Щ
-л
-0/х
E)
Monescu-Cazimir V., Asupra ecuatiilor echilibruiui termoelastic,
Comunlcarile Acad. Rep. Pop. Romana, 1 A951).
2 M о i s i 1 G. C, Matricele asociati sistemelor de ecuatii cu derivate par-
tiale, Acad. Rep. Pop. Romana, Bucaresti, 1950.
3 Kali ski S., Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii apr§zystosci
i cial niespr§zystvch, Warszawa, 1957.
4 Подстригач Ю. С, Основное решение нестационарной термоупру-
термоупругой задачи, Прикладная механика, Киев, 6, № 2, A960).
5 R u d i g е г D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grund-
gleichungen, Osterr. Ing. Arch.. IS, № 1—2 A964).
1.6. Разделение системы дифференциальных уравнений термоупругости 33
Введем четыре функции %i (t = l, 2, 3, 4), связанные с пере-
перемещениями и температурой следующим образом:
Xi
X2 ^22
^-2
Хз
7.4
-32
^42
^23
L
33
-34
A2 Xi L
^22 X2 /*:
^-32 ХЗ А
^42 X4 ^
Ml
?21
A»
4i
4i
Ai
Xi
X2
Хз
X4
I12
^-22
^32
^-42
^23
^33
?43
Z,13
^23
^-33
^43
/-14
/^24
^34
/-44
Xi
Z2
Хз
X4
F)
Найдем эти определители, рассматривая операторы, как числа.
Это даст следующие соотношения между функциями ф^гЩ^
i=l,2,3,4:
М] = (а _ д\т) «р, - д,а2г<р2 - <v3r<p3 + to^i п h,.
и2 = -
«з = -<
з
2Гср2 + B - ^
,—,2—,2
LJiLlS
Здесь
Q =
а)
Введем обозначение i|)^n|94 и запишем соотношения G)
в более компактном виде
(8)
+«)
i, j=\, 2, 3,
или в векторной форме
и = Щ
- grad div (Г9) + То
e = 7](?/divn2? + (l+a)
(9)
Функции и и 0 выражаются через векторную функцию ф и
скалярную функцию ф, функцию ф можно рассматривать как
обобщение на динамические задачи термоупругости векторной
функции Галеркина. Подставим соотношения G) и (8) (или (9))
в уравнения C) и D) (или E)). После простых преобразований
получим систему четырех уравнений
П2[П1Пз — тщ 6^v J <P/ -f- Xi\\C\$) = 0, /=1, 2, 3, A0)
3 Заказ До 362
34 Гл. L Основные соотношения и уравнения термоупругости
В каждом из этих уравнений фигурирует по одной неизвест-
неизвестной функции. Решение уравнений A0) будет состоять из трех
членов: частного интеграла ср° неоднородного уравнения A0) и
общих интегралов q/ и ф" уравнений
~& = 0, (ub' - m-qd^2) ^ = 0. A2)
Функция q/ удовлетворяет простому волновому уравнению,
описывающему поперечную волну, а функция ф"— сложному
волновому уравнению, соответствующему продольной волне. Ре-
Решение уравнений A1) представим в виде суммы <ф=г|H + <ф/, где
г|)о — частный интеграл неоднородного уравнения A1), а ф' — ре-
решение уравнения
(?/^V2)f = 0. A3)
К уравнениям A0) и (И) следует добавить тепловые крае-
краевые условия, краевые условия для перемещений или напряже-
напряжений и начальные условия. Однако краевые условия записыва-
записываются, как мы знаем, через функции 8 и Ui либо их производные,
и поэтому благодаря соотношениям (8) эти условия можно все-
всегда записать через функции фг- и г|).
Решение уравнений A0) и A1) существенно упрощается
в случае неограниченной термоупругой среды. Здесь нет крае-
краевых условий в точном смысле этого слова; вместо них выдви-
выдвигается постулат обращения в нуль напряжений и температуры
на бесконечности, если массовые силы и тепловые источники
действуют в ограниченной области.
Пусть в неограниченной среде действуют лишь тепловые ис-
источники. Ввиду отсутствия массовых сил имеем ср = О, и дело
сводится к решению уравнения A1). Из соотношений G) сле-
следует, что
*г, = Тод,Ф, 9 = A+а) ??<!>, /=1, 2, 3. A4)
Напряжения легко определяются на основе соотношений Дюа-
меля—Неймана
Сравнивая формулы A4) и A5) с формулами A7) и A8)
предыдущего параграфа, мы убеждаемся, что функция Yo^ иг-
играет роль потенциала Ф.
В другом случае, когда в неограниченном термоупругом про-
пространстве действуют массовые силы, а тепловые источники от-
отсутствуют (Q = 0), искомыми функциями будут фг (i=l, 2, 3).
Перемещения и температура равны соответственно
h i> У=Ь 2, 3. A6)
1.7. Квазистатическая задача термоупругости 35
Если массовые силы направлены вдоль оси Х±, т. е. ф2—фз=0,
то имеем
-Тд^ъ, 6 = 72^^291. A7)
Представленный способ решения дифференциальных уравне-
уравнений термоупругости удобен прежде всего для неограниченной
среды. Для ограниченного тела значительно более удобен способ,
описанный в § 1.5.
Аналогичный способ разделения дифференциальных уравне-
уравнений можно применить и к системе, в которой искомыми функ-
функциями являются перемещения и и энтропия 5 (см. уравнения
B7) и B8) § 1.5). Однако это не вносит ничего существенно но-
нового, так как, решая уравнения A0) и A1), мы по найденной
температуре 0 немедленно определяем энтропию
1.7. Квазистатическая задача термоупругости
Если массовые силы, поверхностные усилия и тепловые ис-
источники медленно меняются во времени, то можно пренебречь
инерционными членами в уравнениях движения и рассматривать
задачу как квазистатическую. Тогда основные уравнения термо-
термоупругости запишутся в виде
№,y/+(* + tO«y,yz + ^ = Te,P 0)
e>..._(iW0-^;,y=-Q/x. B)
Решение этой системы уравнений будет состоять из частных
интегралов (и0., 0°) неоднородных уравнений A) и B) и из
общих интегралов (и', 8') однородных уравнений
, /7+ (* + (О IV.y/ = Te.' ь C)
'^ = 0. D)
Особенно просто обстоит дело с нахождением частного инте-
интеграла уравнений A) и B) для неограниченной термоупругой
среды с тепловыми источниками и массовыми силами потенци-
потенциального типа X=pgrad'&. В этом случае ищется решение урав-
уравнений
° = т< I, E)
3*
36 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Введем в уравнения E) и F) потенциал термоупругого переме-
перемещения Ф, связанный с и° соотношением
и°1 = Фг1, u° = grad<l>. G)
В результате получим систему уравнений
2 ° \ (8)
i*)/P. (9)
Исключая из этих уравнений функцию Ф, получаем для функ-
функции 9° уравнение параболического типа
vV-(l/x1)e°=-Q/x-D/c?)»> x^x/d + xYjm). A0)
Это уравнение аналогично классическому уравнению теплопро-
теплопроводности. Отличие состоит в том, что вместо постоянной и, кото-
которая входит в классическое уравнение теплопроводности, мы
имеем здесь постоянную xi<x. После определения температуры
из A0) функция Ф находится как решение уравнения (8). Ре-
Решение этого уравнения для неограниченного пространства имеет
вид
Ф(Х л- 1 Г
в
R(x, I) ' {i[)
в
где
После определения функции Ф все величины определяются по
формулам
и] = Ф,19 е1у=Ф,/;, A2)
а;у = 2|х (Ф, и - ЬиФ, м) - »р8/у. A3)
Для ограниченного тела частные интегралы и°, 6° можно
определить таким образом, чтобы была удовлетворена часть
краевых условий; впрочем, эти интегралы могут быть взяты и
в виде частных интегралов уравнений (8) и (9) для бесконечной
области. Функции и'., 6/ должны быть подобраны так, чтобы
суммарное состояние удовлетворяло всем краевым условиям на
поверхности тела.
Используя метод, описанный в предыдущем параграфе, мо-
можно провести разделение системы A) и B). Поскольку в этих
уравнениях нет инерционных членов, то в соответствующих фор-
формулах предыдущего параграфа нужно вместо операторов П^,
П| брать лапласиан V2. Таким образом, перемещения щ и тем-
1.7. Квазистатическая задача термоупругости 37
пературу 0 можно выразить через четыре функции срг- (f=l, 2, 3)
и ф, т. е.
«,= ^;-Г^у)Ту + То^, A4)
B = ridtdjV2Vj+ (l+a)vV ^=(l+fl)V2(^з-^д/),
r = az!-T(M. A5)
Подставляя A4) и A5) в уравнения A) и B), получаем четыре
независимых уравнения
V4(u3~^^)?i + ^//(p^) = 0, A6)
V2(ni-m7i^)^ + Q|i/(xp^) = 0. A7)
Частные интегралы этих уравнений для неограниченного про-
пространства имеют весьма простой вид. Если в термоупругой среде
действуют только тепловые источники, то ср = О, а температура
и перемещения равны
, 6 = (l+a)V2^. A8)
Если тепловые источники отсутствуют, то г|з ===== 0; функции ср*
определяем из уравнений A6). Для случая Х2 = Хз=0, Х\фО
единственной неизвестной функцией является cpi.
Для ограниченного тела решение уравнений A6) и A7) мо-
можно взять в виде
?, = ?; + ?;-{-?;, <?=у + у + у, A9)
где ф°, \|)° — частные интегралы неоднородных уравнений A6)
и A7), а остальные функции — общие интегралы уравнений
v4f;=o, (z*-*и<?,)?;=о, B0)
V2f = O, (l]'-^^)f = 0. B1)
Другой подход к решению системы уравнений A) и B) со-
состоит в использовании потенциалов Папковича—Буссинеска 1.
Этот путь был указан Био2, который использовал систему урав-
уравнений относительно перемещений и энтропии
/K)i-TV2iiy.; = O, Р = 7-0/с., 8 = Т2?. B3)
1 Папкович П. Ф., Comp^. i?encf., 195 A932), 513—515, 754—756.
Boussinesq J., Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et des
mouvements des solides elastiques, Paris, 1885.
2 В i о t M. А.; см. примечание на стр. 10.
38 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Продифференцировав уравнения B2) по хг и сложив резуль-
результаты, получим соотношение
+ 2a + 5). B4)
Подставляя B4) в B3), получаем
. B5)
Мы получили уравнение параболического типа. Любопытно
то обстоятельство, что в квазистатических задачах энтропия удо-
удовлетворяет диффузионному уравнению. Выразим вектор переме-
перемещения и через потенциалы Папковича—Буссинеска
r = (AV х2, хг). B6)
Здесь if — гармоническая функция. Подставляя B6) в B2), по-
получаем
=0. B7)
Оператор градиента можно отбросить, если добавить к выра-
выражению 1в скобках квадратичную функцию координат. В против-
противном случае надо, как это следует из структуры соотношений
B6), добавить к функции г|) линейную функцию координат. По-
Положим, следовательно, выражение в квадратных скобках в B7)
равным нулю и добавим к г|; линейную функцию координат. То-
Тогда из B7) следует, что
V 2^0 + m*s = 0, т* = Ш'* + 2ц + 8). B8)
Исключим далее из уравнений B5) и B8) функцию 5. Функция
г^о должна удовлетворять уравнению
V2[V2-(l/*2)^Ho = O. B9)
Легко видеть, что i|3o=^o + ^b, где % — гармоническая функ-
функция, a ipb — решение уравнения диффузии.
Таким образом, для определения функций -фо и ip имеем си-
систему уравнений
0, V2^ = 0, [V2-(l/x2)^]^ = 0, C0)
После решений этой системы (при заданных краевых и началь-
начальных условиях) легко определить перемещения и\ (см. B6)) и
температуру 9.
L8. Стационарные задачи термоупругости ЗЭ
1.8. Стационарные задачи термоупругости
Изменение энтропии в необратимом процессе вызвано обме-
обменом энтропией с окружающей средой и производством энтропии
(источник энтропии а>0). В стационарном состоянии прираще-
приращение энтропии во времени равно нулю, dsjdt=Q. Из уравнения
F) § 1.3 следует, что в стационарном состоянии непрерывный
процесс производства энтропии компенсируется процессом ее
обмена с окружающей средой. Этот обмен отрицателен и по
абсолютной величине равен мощности источника производства
энтропии. Из уравнения B2) § 1.3 следует, что температура дол-
должна удовлетворять уравнению Пуассона
lo\4=~W A)
или
-Q/x, x^g<7e, Q^W\cz. B)
Для стационарного состояния уравнения в перемещениях не со-
содержат производных по времени и имеют вид
№,м+^ + ^)%,^ + ^ = 79,/> /,_ Л—1, 2, 3. C)
Уравнения B) и C) взаимно независимы, т. е. отсутствует
сопряжение деформационных и тепловых явлений. Температуру
находим по уравнению B) и затем подставляем ее как извест-
известную функцию координат в правую часть уравнения C).
Решение уравнения C) можно строить, исходя из следующей
аналогии с массовыми силами: влияние температуры эквивалент-
эквивалентно действию дополнительных объемных и поверхностных сил,
т. е. вместо действительных массовых и поверхностных сил Хи
pi можно взять массовые силы Хг — уд^ и поверхностные на-
нагрузки pi + Qyrti1. В самом деле, из структуры уравнений C) и
краевых условий на поверхности тела А
Pi = а/Я; = I2^
имеем
В дальнейшем мы будем пренебрегать массовыми силами, огра-
ограничиваясь рассмотрением деформаций, вызванных только ста-
стационарным полем температуры.
Решение системы уравнений A) можно записать в виде сум-
суммы частного интеграла а/.=Ф,г- неоднородных уравнений и
г
См. например: S о к о 1 n i к о f f J. S., Mathematical theory of elasticity,
Ynrh 1QZ&
New York, 1956.
40 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
общего интеграла и" однородной системы. Для потенциала и'.=
=Ф,{ получаем уравнение Пуассона *.
у 2ф = me, m = t/(a -f 2a). E)
Решение этого уравнения позволяет сразу же определить соот-
соответствующие части деформаций и напряжений
Ю=ф.и> ^/ = 2^(Ф>/у-3/уФ,ЛЛ). F)
Для неограниченного пространства эти части составляют конеч-
конечные решения; здесь функция Ф(и' =Ф,г) выражается интегралом
Пуассона
где /?(х, §) —расстояние между точками (х) и (|). Для ограни-
ограниченного тела надо найти дополнительно перемещения и", удо-
удовлетворяющие системе уравнений
№, м + (а 4- (i.) ali, л/ = 0, (8)
причем функции и," должны быть подобраны так, чтобы конеч-
конечный результат щ = и'.-{-и/! удовлетворял всем краевым усло-
условиям. В частности, на свободном от нагрузки краю тела должны
быть удовлетворены условия
причем напряжения а7, определяются функцией Ф, а напряже-
напряжения а".— перемещениями и"..
Систему уравнений (8) можно решить с использованием трех
функций Галеркина. Применяя подход, описанный в предыду-
предыдущем параграфе, предположим, что
и] = [A + a) 8/yv2 - adidj] ?y, a e= (X + р№,
и у=1, 2, 3. (9>
Подставляя (9) в (8), убеждаемся, что каждая из функций <р$
должна удовлетворять бигармоническому уравнению
V2vV = 0, /=1, 2, 3. A0)
1 Goo die г J. N., On the integration of the thermoelastic equations, PhiL
Mag., 7 A937).
1.8. Стационарные задачи термоупругости 41
Зная функции ср*, можно определить перемещения и'[ по фор-
формуле (9) и напряжения по формулам
a"i/=2^BU~i-lebij A1)
или
^=-i^W[(AA2-^)?*.* + (i-v)v2(?w + ?;i/)]. A2)
где v=a/2(a + jx) —коэффициент Пуассона.
Решение каждого из бигармоничеоких уравнений A0) мо-
можно представить через две гармонические функции. Две из ше-
шести гармонических функций являются зависимыми.
Во многих простых случаях, например для задач о тепловых
напряжениях в полупространстве и упругом слое, полное реше-
решение можно построить с использованием лишь одной функции
перемещений ср. Если задача обладает осевой симметрией, то
функции Галеркина переходят в функции Лява.
Решение уравнения (8) можно представить в другом виде,
используя функции Папковича—Нейбера
1*1 = 4A—v)'h-Tt/, /=1, 2, 3, A3)
где
В это решение входят четыре гармонические функции % (?=1,
2, 3) и г|)о. Полное решение уравнений C) получим, составляя
сумму
^ = я;+я; = Ф|, + 4A -v)^-?f/, У2Ф = /тг0. A4)
Учитывая соотношение
?>=V2J>-j-(l -2v) V2T,
находихМ следующее выражение для напряжений:
A5)
Для задач, в которых касательные напряжения равны нулю на
плоскости Хз=0, достаточно использовать только одну функцию
Папковича—Нейбера
Фо==—A — 2v)?, ф1==ф2 = 0, <!>3=-?.з. A6)
Здесь функция ср является гармонической. В этом случае пере-
перемещения выражаются формулами
i3-C-4v)?f333i, /=1,2,3. A7)
42 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Из уравнений A5), учитывая, что VW = —2ф,3з, получим сле-
следующие формулы для напряжений
оп = 2{х (Ф, п - V2$ + лг3?, из + ?, и + 2vc?, 22),
а22 = 2р. (Ф, 22 - V2* + *3<Р, 223 + ?, 22 + 2vy, п),
а33 = 2а (Ф, 33 - V2Ф + X,?, ззз ~ ?, зз)>
3t,3+A-2v)?]i12> A8)
Бели (поле температуры 6 симметрично относительно плоско-
плоскости х3=0, то производная Ф,з равна нулю. Из формул A8) сле-
следует, что для х3 = 0 и Ф,з=0 напряжения oi3 и с?2з равны нулю.
Следовательно, если в плоскости хз=0 заданы напряжения
с>зз (или перемещения из) и температура 9, то вопрос сводится
к определению потенциальной функции ф с заданными по краю
#з=0 значениями ф,3 (или ф,зз) *.
В случае осесимметричной задачи функции Галеркина сво-
сводятся к одной бигармонической функции %, известной под назва-
названием функции Лява. В цилиндрической системе координат
(г, 9, г), вводя обозначение 11= (и, 9, ш), имеем
и = дФ\дг-д\\дгдг, A9)
+ 2(\ -v) \\~
Напряжения выражаются через функции Фи^по формулам
B0)
причем функция х удовлетворяет уравнению
1 S t е г n b е г g Е., М а с D о w е 11 Е. L., On the steady-state thermoelastic
problem for the half-space, Quart. App. Math., 1957.
1.8. Стационарные задачи термоупругости 43
В случае осесимметричной задачи, в которой должно выпол-
выполняться условие равенства нулю касательных напряжений в пло-
плоскости Хз=0, удобнее использовать функции Папковича—Ней-
бера. В самом деле, при таком дополнительном условии эти
функции сводятся к одной гармонической функции ф (см. фор-
формулу A7)). Преобразовав соотношения A7) и A8) к цилиндри-
цилиндрической системе координат, получим следующие формулы для
перемещений:
дФ
B2)
дФ о /1 Л ду . д2?
и для напряжений:
\ дг2 — V i -гг дг2дг -г дг2 -Г г дг
06
i r /it- I »
**>' B3)
drdz -Г-** дг дг2
Во многих стационарных задачах с краевыми условиями
в напряжениях удобно использовать уравнения Бельтрами—Мит-
Бельтрами—Митчелла. Такие уравнения для термоупругой среды были нами вы-
выведены в § 1.5. Для рассматриваемого случая производные по
времени равны нулю и, следовательно, уравнения D8) и D9)
§ 1.5 запишутся в виде
^**+-тВг9'**=0' B4)
'» ft* "
Уравнения в напряжениях имеют особенно простой вид для
температурного поля без источников. В этом случае 6,^=0 и
из B) следует, что oSs,kk = 0. Уравнение B5) записывается
в виде
°и, ы + ТТТ (°** + я'?в). и = °-
где
v = Х/2 (X + (х), ? = ^ (За + 2а)/(>. + ;х).
44 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
1.9. Основное энергетическое уравнение
Основное энергетическое уравнение, выражающее закон со-
сохранения энергии, получим, используя уравнения движения и
обобщенное уравнение теплопроводности,
aiJ>j-i-Xi = pviy ч^щ, /,/=1,2,3, A)
e3/7-_(i/z)e-^=-Q/x. B)
Умножим уравнение A) на скорость перемещения vi и проинте-
проинтегрируем по всей области тела
I Ы i + Xt) v, dV = ?\ i,v, dV. C)
в в
Это уравнение выражает закон сохранения энергии.
Преобразуем первый из интегралов левой части уравнения C)
J а/Л jvt dV = f (vfitJ), jdV~\ 3,/u,. j dV. D)
В В В
Согласно формуле Гаусса, имеем
А
I \ \
В А А
где pi — нагрузка на поверхности. Далее, ввиду того что тензор
скорости вращения является антисимметричным, имеем аца)ц =
=0и
} &, + »„) dV = J а^и dV.
В
Интеграл D) приводится, таким образом, к виду
fa,7, jVl dV=\ PivL dA - f atfrj dV. E)
В А В
Следовательно, закон сохранения энергии выражается следую-
следующим образом:
j Х{ох dV + f ры dA = 9\ ihvt dV + f c/ys.. dV. F)
В А В В
Запишем теперь этот закон с учетом специфики термоупругой
среды. Умножим выражение Дюамеля—Неймана
1.9. Основное энергетическое уравнение 45
на вц и проинтегрируем по области В. Тогда получим
J Vy dV = f B№/ьj + W) dV - т J 6* dV. G)
Введем две функции: кинетическую энергию
(8)
и изотермическую энергию деформации
(9)
(
В
Ясно, что для малых деформаций
^ = pj4MV, -^ = jBui(.. + X^)rfI/. A0)
В
Подставляя G) и A0) в F), получаем следующее уравнение:
4г^WWJ
В А В
выражающее закон сохранения энергии для термоупругой среды.
Правая часть этого уравнения содержит источники, вызывающие
движение, а именно: массовые силы Х{, нагрузки pi на поверх-
поверхности и температуру 8. Температура связана в свою очередь
с действием тепловых источников и нагревом тела. Для явного
учета этих источников в энергетическом уравнении используем
уравнение теплопроводности B). Умножая обе части этого ра-
равенства на 0 и интегрируя по объему, получаем
f J A2)
в в
Используя теорему Гаусса
§$ A3)
А
приведем соотношение A2) к виду
A4)
46 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Введем функцию тепловой энергии
A5)
i,x J
Дифференцируя A5) по времени,
%±1
в
можно записать A1) с использованием A4) и A5) в следующем
виде:
dK , dW , dP С v ,T7 , С , . ,
ЧГ + -ЧГ + ЧГ = J *'*' ^ + J Л^ ^Л +
В А
+ -ir$Q<^V+Jr5w,ndA-±ije,ie>ldV. A6)
1 в ' л 'в
Используя обозначения т]=<у^оАо, х^Х0/^8, получаем
Теперь правая часть содержит только источники, вызывающие
поле деформаций и температуры. Введем обозначение
$(^) A8)
В
Учитывая связь вектора теплового потока с градиентом тем-
температуры
q=-Xo grade, ^=-X08}/, A9)
запишем A8) в следующем виде:
S B0)
в в
Функция %т была введена Био и носит название функции дисси-
диссипации.
Принихмая во внимание B0), получим конечную форму за-
закона сохранения энергии для термоупругой среды
dt ' dt dt ! A/
flr ar аг ^
^_ V /\ll Jl / I ЛП I UU *J /1 r -^ j ч
1.10. Теорема единственности решений задач термоупругости 47
Это уравнение мы будем использовать при выводе теоремы
единственности решений динамических и квазистатических задач
термоупругости.
1.10. Теорема единственности решений задач термоупругости
Покажем, что краевые задачи термоупругости имеют не бо-
более одного решения. Рассмотрим термоупругое тело, занимающее
объем В, ограниченный поверхностью А. Пусть на тело дей-
действуют массовые силы Xi, поверхностные силы ри тепловые ис-
источники Q внутри тела и нагрев на поверхности. Под их влия-
влиянием возникают перемещения ui и температура 9. Будем предпо-
предполагать, что напряжения и деформации' являются функциями
класса С^\ а температура и перемещения — функциями класса
СB). Эти функции удовлетворяют уравнениям движения
alJtJ(p,t) + xl(P,t) = pttl(P,t), Рев, t>o о)
и уравнению теплопроводности
b,jj(P> t)~{\k)b{P, t)-fie(P, t) = -Q(P, ф,
рев, t>o. B)
Краевые и начальные условия для уравнений A) имеют вид
pi(p> t)=av(P, t)nj, Pe a, t>o, C)
Щ(Р> 0)=/i(P), ii(P,0) = gt(P), PeB, t = 0. D)
Для уравнения B) имеем краевое условие
б(Р, t) = k(P, t), Pe A, t>0 E)
и начальное условие
цр, о)=а(/>), рев, t=o. F)
Компоненты напряженного состояния, компоненты деформиро-
деформированного состояния и температура связаны законом Дюамеля—
Неймана
а,,. (Я, ^) = 2[xs/y. + (Xe-T9)8iy.) G)
где
4j(P, t) = (V2)(«,., + «,.i), Рев+А, оо.
Для доказательства теоремы единственности предположим,
как обычно, что задача имеет два решения и1., 9' и и'.\ 9"; через
48 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
о'., и а" обозначим соответствующие этим решениям поля на-
напряжений. Оба решения удовлетворяют нашей системе, т. е.
а-Л j-\-Xt = pill, °"и\ i + Xt = pu'i, (8)
e.'f//-(lWef'-^ir=-Q/x. (9)
Обозначим разность этих решений через
иь == tit — и", 6 = 0— в"
и соответствующую разность напряжений через
Из (8) и (9) следует, что эти величины должны удовлетворять
однородным уравнениям
Я €5, />0 A0)
и однородным краевым условиям
^. = 0 = ^.7]., 6=^=0, Я 6 Л, />0, A1)
Ui(P, 0) = 0, ^(Я, 0) = 0, ?(Я, 0) = 0,
Я 6 5, ^ = 0. A2)
Отсюда следует, что перемещения и% и температура 9 должны
были бы существовать в теле, свободном от массовых и поверх-
поверхностных сил, а также от воздействия тепловых источников и
нагрева на поверхности, при нулевых начальных условиях. По-
Покажем, что в описанном состоянии перемещения и температура
равны нулю. С этой целью используем выведенную в § 1.9 энер-
энергетическую теорему. Для перемещений щ и температуры 9 эта
теорема имеет вид
A3)
L10. Теорема единственности решений задач термоупругости 49
Поскольку в рассматриваемом случае Xi = 0, Q = 0 внутри тела,
и р? = 0, k = 0 на его поверхности, то правая часть этого уравне-
уравнения равна нулю. Иначе говоря,
J BJ,tdV<0 A4)
ИЛИ
0. A5)
В начальный момент интеграл в левой части равен нулю, так как
функции Ui, Vi, 8ij, 8 равны нулю. Выведенное неравенство пока-
показывает, с другой стороны, что этот интеграл либо уменьшается,
либо остается постоянным и равным нулю. Поскольку подынте-
подынтегральное выражение является суммой квадратов и равняется
нулю в начальный момент /=0, то реализуется вторая из ука-
указанных возможностей. Следовательно,
/>0. A6)
Из A5) следует, что каждая из функций в отдельности равна
нулю, т. е.
Я: = 0, %j = 0, ?=0 для />0.
Напряжения о^-, выражающиеся линейно через ец и 9, также
равны нулю. Итак,
v'i = vl9 зи=аи9 б' = 9" для />0. A7)
Следовательно, если решение для температуры, напряжений и
скоростей перемещений существует, то оно единственно. По-
Поскольку
легко видеть, что перемещения определены однозначно с точно-
точностью до линейного члена, описывающего жесткое движение тела.
Теорема единственности, доказанная нами для краевых усло-
условий C) и E), может быть без труда доказана и для других слу-
случаев, когда на поверхности тела заданы перемещения и тепло-
тепловой поток qn = —2ч)9,п. Здесь также справедливы соотношения
4 Заказ № 362
50 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
A7) и A8), причем если на поверхности заданы перемещения,
то в каждой точке тела имеем и'.=и".
г г
Теорема единственности решений уравнений A) и B) для
изотропного тела была доказана Узйнером1. Ионеску-Казимир 2
расширила эту теорему, рассмотрев анизотропные тела, а также
изотропное тело, в котором имеет место конечный разрыв на не-
некоторой поверхности внутри замкнутой области, занимаемой
телом.
1.11. Вариационные теоремы термоупругости
Общеизвестно то большое значение, которое имеют в эласто-
статике и эластокинетике вариационные теоремы. Они позво-
позволяют не только получать простым путем дифференциальные
уравнения, описывающие поведение таких систем, как мем-
мембраны, пластинки и оболочки, но и приводят к ряду методов ре-
решения рассматриваемых задач.
Вариационные теоремы термоупругости были установлены
Био, который доказал эти теоремы3'4 и привел примеры их прак-
практического применения. Ниже мы дадим сжатое изложение ва-
вариационных теорем.
Рассмотрим следующий интеграл:
^ 0)
и сравним его с аналогичным интегралом, соответствующим со-
соседнему состоянию, для которого перемещения равны ui + 6и*,
а деформации равны ъц + 6е^. Таким образом, получим
bW= j B[хе.уЦ. + lebe) dV. B)
в
Поскольку
а;. = 2^.;+(Хг-0тН7, C)
вариацию 8W можно записать следующим образом:
= f аиии dV + T§ Bbe dV. D)
в в
1 W e i n е г J. H., A uniqueness theorem for the coupled thermoelastic pro-
problem, Quart. AppL Math., 15, № 1 A957).
2 Ionescu-Cazimir V., Problem of linear coupled thermoelasticity.
Uniqueness theorems, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 12
A964).
3 В i о t M. A., Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, /. AppL
Phys., 27, № 3 A956).
4 В i о t M. A., New thermoelastical reciprocity relations with application to
thermal stresses, /. Aero/Space Sci., 26, № 7 A959).
1.11. Вариационные теоремы термоупругости 51
.Преобразуем первый интеграл в правой части
5s/-d\/= I ar^uif dV = j (а1-ъщ)г • dV — \ зг ^tttdV =
в в в
,Ъщс1А-] 3ij:jmLdV. E)
Принимая во внимание уравнение движения
г»
= J
А
^,. + ^.-р^ = 0 F)
и соответствующие краевые условия
Pi=aijnj> G)
лриведем E) к виду
J а.у Ц;. dК = J Xt Ъщ dV + f pt Ьщ dA - p j ^ 8^ rfl/. (8)
В В А В
Сопоставляя D) и (8), получаем следующую теорему о вирту-
виртуальной работе:
в А 1 в в
Левая часть этого уравнения содержит виртуальную работу
массовых сил, поверхностных сил и сил инерции. Правая часть
равна виртуальной работе внутренних усилий. Уравнение (9) яв-
является обобщением принципа виртуальных работ Лагранжа на
задачи термоупругости. Этого уравнения было бы достаточно
для рассмотрения несопряженных задач термоупругости, когда
температура в последнем интеграле правой части является изве-
известной функцией1. Однако при учете сопряжения поля деформа-
деформации и поля температуры функция 6 не может быть определена
независимо. Поэтому необходимо установить добавочное соот-
соотношение, учитывающее явление теплопроводности. Основой на-
наших рассуждений будет закон Фурье
q=- — Xqgrade, — divq = sro = cBd^- ^TQe A0)
и соотношение для приращения энтропии во времени (см. фор-
формулы A8) и B0) § 1.3). Удобно будет использовать введенный
Био вектор S, связанный с вектором q и энтропией следующими
соотношениями:
q = TQS, 5 = -divS. A1)
1 П а р к у с Г., Неустановившиеся тех\шературные напряжения, Физмат-
гиз, AL, 1963.
52 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Запишем A0) в компонентах вектора S
Т& = -М * > -7^/, i = cj + чТое. A2)
Умножим первое из уравнений A) на 8Si и проинтегрируем ре-
результат по области тела В. Тогда получим
причем мы предполагаем, что вариация б52- согласована с крае-
краевыми условиями. Займемся первым членом уравнения A3)
= J On, bSt dA - J 6 bSit i dV. A4)
А В
Интегрируя A2) по времени и определяя постоянную интегри-
интегрирования, находим
-5м=(с?е/г0)-те>
т. е.
W/fi=-(^8e/r0)-T^. A5)
Подставляя A5) в A4), получаем
^ . A6)
В А ° В
Таким образом, уравнение A3) принимает вид
° В В
+ -^\sibStdV=0. A7)
Л° в
Введем «тепловой потенциал»
р^Л-tvdV, причем оР= -J- f 686^/1/,
и «функцию диссипации» /), такую, что
и в
Теперь запишем уравнение A7) в виде
%щ oSj dAJrbP-\-bD-{-^i\BbedV = O. A8)
А
1.11. Вариационные теоремы термоупругости 53.
Мы получили, таким образом, второе вариационное уравне-
уравнение, учитывающее процесс теплопроводности. Уравнения (9) и
A8) сопряжены посредством члена JQ8edV и должны рассма-
в
триваться совместно. Они независимы только в том случае, когда;
сопряжение поля деформаций и температуры не учитывается,
т. е. когда во втором из уравнений A2) отбрасывается член
у и, следовательно, в уравнении A8) отбрасывается член
yJQ8edV. В этом случае уравнение A8) выражает вариацион-
в
ную теорему для классического уравнения теплопроводности1..
Исключая из уравнений (9) и A8) общий член fQ8edV, мо-
в
жно записать единое вариационное уравнение для сопряженной
задачи термоупругости
J щЬщ dV+ -^ J ^ 8S, dV + -^ J 6
+ f (v*tj Цу + ** be) dV=\xi Ъщ dV +
в в
+ J Pl but dA - j Ьщ bSt dA A9)^
или
pt Ьщ dA-\ bnt bSt dA.
j
A
Уравнение A9') гласит: вариация суммы функции диссипации,,
теплового потенциала и работы деформации равна виртуальной
работе, обусловленной внешними силами, силами инерции и на-
нагревом поверхности тела. Следуя Био, назовем выражение
термоупругим потенциалом. Тогда имеем
8Ф + bD= j (Xt - puL) Ьщ dV +
+ J p{ Ьщ dA-l Bnt bSt dA. B0)'
1 В i о t M. A., New methods in heat flow analysis with applications to
flight structures, /. Aero. ScL, 24, № 12 A957); /. Aero/Space ScL, 26, №. 6
A959).
54 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Из уравнения B0) можно вывести ряд важных частных за-
задач термоупругости. Например, в квазистатических задачах, в ко-
которых влиянием сил инерции можно пренебречь, следует поло-
положить р/ui6uidV=0. Далее, если тело свободно от воздействия
в
массовых и поверхностных сил, то первые два интеграла в пра-
правой части уравнения B0) равны нулю. Наконец, если на поверх-
поверхности тела задано условие 0 = 0, то последний член в правой ча-
части равен нулю.
Из уравнения B0) легко получить непосредственно основную
энергетическую теорему. Примем в качестве ^и9 действитель-
действительное перемещение и действительную температуру в теле.
Тогда
и т. д. B1)
Подставляя B1) в A9), получаем
ак , d\v , dP_ , dD __
dt "г dt + ~df + dt ~~
= J XtvL dV + J ptvL dA + ^-$ Onfi, {dA, B2)
В Л ° А
что согласуется с уравнением B1) § 1.9. Здесь К — кинетиче-
кинетическая энергия
K^\\vlvidV. B3)
в
Легко видеть, что
^^0. B4)
Производная функция диссипации D по времени равна интен-
интенсивности источника энтропии а, которая всегда положительна.
1.12. Теорема взаимности
Одной из наиболее интересных теорем теории упругости яв-
является теорема взаимности (теорема Бетти). Эта теорема имеет
весьма общий характер и дает возможность построить методы
интегрирования уравнений теории упругости, основанные на ис-
использовании функций Грина. Теорема взаимности была обоб-
1.12. Теорема взаимности 55>
щена на задачи термоупругости в ряде работ. Майзель1 устано-
установил обобщенную теорему взаимности для статических задач тер-
термоупругости и вывел из нее некоторые методы интегрирования
основных уравнений. Эта теорема была доказана другим путем
Новацким2 для неоднородных и анизотропных тел, причем "рас-
"рассматривался случай, когда квазистатическое поле температуры
было задано независимо от поля деформаций (несопряженная
задача). Обобщение теоремы взаимности на несопряженные ди-
динамические задачи термоупругости было дано Пределеану3. На-
Наконец, Ионеску-Казимир 4 установила обобщенную теорему вза-
взаимности для термоупругих однородных и анизотропных тел.,
В настоящем параграфе мы ограничимся установлением теоремы
взаимности изотропных однородных тел.
Рассмотрим тело, занимающее область 5, ограниченную по-
поверхностью А. Внешние источники приводят к возникновению
в этом теле перемещений щ(х, t) и температуры 9(х, t), а так-
также напряжений Оц(х, t) и деформаций г^(х, t).
Будем предполагать, что напряжения и деформации непре-
непрерывны вместе со своими первыми производными, а перемеще-
перемещения и температура непрерывны вместе с первыми и вторыми
производными для х?В + Л, ^>0. Перечисленные функции
должны удовлетворять уравнениям движения
°*у,у + **=Р«/. хбВ, t>0, A)
краевым условиям
Л(х, t) = otJ(x, t)nj}
однородным начальным условиям
иь (х, 0) = 0, к-, (х, 0) = 0,
а также уравнению теплопроводности
А,
в,
B)
C)
D)
с краевым условием
в(х, t) = *(x, t)9 хе A, t>0
и однородным начальным условием
6(х, 0) = 0, х 6 В, t = Q.
1 Майзель В. М., Температурная задача теории упругости, Киев, 1951.
2 Nowacki W.f Napr§zenia cieplne w cialach anizotropowych i niejedno-
rodnych (I), Arch. Mech. Stos., 6, № 3 A954).
3 Predeleanu P. M., On thermall stresses in visco-elastic bodies, Bull,
Math. Soc. Phys., R. P. /?., 3, № 2 A959).
4 Ionescu-Cazimir V., Problem of linear coupled thermoelasticity.
Reciprocal theorems for the dynamic problem of thermoelasticity, Bull. Acad*
Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 9 A964).
•56 Гл. /. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Перемещения и температуры в рассматриваемом ограниченном
теле возникают под действием массовых сил Xiy поверхностных
сил р^ тепловых источников Q и нагрева поверхности тела до
температуры •&. Обозначим эти величины следующим образом:
1=[Х1, Л; Q, Щ, E)
«а возникающие перемещения и температуры обозначим через
С=\Щ,Ц. F)
Пусть наряду с этой системой величин / и С на тело воздейст-
Бует вторая система величин
/' = {*;,/>;.; Q', Ь) и C' = [u'l9 б'}. G)
Теорема взаимности устанавливает соотношения между этими
двумя системами величин.
Закон Дюамеля—Неймана справедлив для обеих систем,т.е.
3,, = 2tis,; + (te-T8)8J;> (8)
о'и = 2^'и-\.(\е'-т9')Ь1]. (9)
Применим к этим соотношениям интегральное преобразование
.Лапласа, определяемое формулами
оо
Oij (х, р)=& [a,j (х, t)\ = j е-"ои (х, t) dt и т. д.
U
Применяя преобразование Лапласа -к (8) и (9), умножая
преобразованное уравнение (8) на &'.., а (9) на е^ и вычитая
результаты, получаем
viy+Tei'-^/y-Tffl^-=O, A0)
так как
Интегрируя A0) по объему тела В, находим тождество
f &?, - o'tftj) dV = т f (97 -Ve)dV,
В В
жоторое является уже некоторым соотношением взаимности.
1.12. Теорема взаимности 57
Преобразуем первый интеграл левой части уравнения A1)
= J Zgjnju'tdA - j 3iJt Jit dV. A2)
А В
Применим теперь преобразование Лапласа к уравнению движе-
движения A) и используем краевые условия B) и начальные условия
C). Таким образом, получим
, 0) -^(х, 0)], х 6 В, A3)
Pi(x, p)="aiJ(x9 р)пг х (Е Л, A4)
щ{х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, х 6 В, t = 0. A5)
Подставляя A5) в A3) и затем A3) и A4) в A2), получаем
A2')
J §§
AB В
Наконец, подставляя A27) и аналогичный интеграл
в A1), находим уравнение
+ Т \{W -We)dV = 0. A2")
в
Отметим, что в этом соотношении уже нет инерционных членов,
которые входили в преобразованные уравнения A3).
В уравнения A2") входят только величины механического ха-
характера: массовые силы и поверхностные нагрузки. Поэтому
уравнение A2") следует рассматривать лишь как первую часть
теоремы взаимности. Чтобы получить вторую часть этой тео-
теоремы, следует рассмотреть уравнения теплопроводности с обеими
системами величин / и V. Эти уравнения после преобразования
и использования однородных краевых условий запишем в сле-
следующем виде:
V26 - (/>/*) 0 - prie= -Q/x, A6)
V20' - (/?/*N' - рче' = -Q'/x, x e B,
6(x, 0) = 0, 6'(x, 0) = 0, xgfi, * = 0.
•58 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Умножая A6) на 0', а A6') на Э, вычитая результаты и инте-
интегрируя по объему, получаем следующее тождество:
Jj A7)
в L в
Заметим, что
A8)
Здесь использовано краевое условие D) и введено обозначение
0п==9>г-Пг, т. е. 8)П — нормальная компонента градиента темпера-
температуры на поверхности А. Подставляя A8) и аналогичное выра-
выражение для интеграла jQV^dV в A7), получаем следующее
в
соотношение:
A9)
Это и есть вторая часть теоремы взаимности. В полученное
уравнение входят тепловые источники и заданная температура
поверхности. Исключая из уравнений A2) и A9) интегралы, со-
содержащие произведения объемного расширения и температуры,
получаем уравнение взаимности, в которое входят обе системы
величин /, С и 1', С.
) р&1 — ~p\iii)dA -f щр \ [Xiii'i —
А В
=хТ f (Щ п - Щп)dA + т j (QV - Q'B)dV. B0)
А В
Теперь применим обратное преобразование Лапласа и исполь-
используем теорему о свертке
/ t
&~Х [7: (Р) 72 (/>)] = J /, (^) Л (/ - ^) rfT = j /2 (х) /, (( - т) dr.
1.12. Теорема взаимности 59
Уравнение B0) принимает вид
1 А
диЧх ,I • Г
А в о
f
XQ'(x, т)9(х, ^-x)]rfx + xJ^A(x)
Л U
Уравнение B1) справедливо как для динамических сопря-
сопряженных задач термоупругости, так и для квазистатических за-
задач. Однако функции Ui, 9 и иг. , д/ несколько отличаются для
этих двух случаев. В динамических задачах функции и%, 6,...
являются решениями уравнений движения, сопряженных с урав-
уравнением теплопроводности, а в квазистатических задачах — ре
шениями основных уравнений термоупругости без инерционных
членов.
Наши рассуждения относились к случаю, когда на поверх-
поверхности А задана нагрузка pi и температура Ф. Однако легко ви-
видеть, что рассуждения будут верны и в том случае, когда на
поверхности А заданы перемещения и тепловой поток, пропор-
пропорциональный нормальной компоненте градиента температуры 9)П.
Уравнение B0) (и B1)) справедливо также и для смешанных
краевых условий.
Необходимо отметить, что выведенное уравнение взаимности
справедливо для однородных начальных условий. Однако легко
вывести соответствующую теорему для более общего случая
с неоднородными механическими и тепловыми начальными
условиями.
Особенно простой вид имеет теорема взаимности для неогра-
неограниченной среды. В этом случае имеем
^- j №; - Х\щ )dV = \ (Qв ~ Qi) dV, B2)
' в в
'60 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
дли, после применения обратного преобразования Лапласа,
— Л i (х, г — ^) ^
= j rfl/ (х) j IQ (x, t--z)W (x, i) - Q' (x, * - ~) 8 (x, •:)! d-z. B3)
в и
Рассмотрим далее случай гармонического изменения вели-
величин / и V во времени. Пусть
Q (х, t) = Q* (х) еш, & (х, 0 = &* (х) ^/ и т. д., B4)
где со — частота вынужденных колебаний. Тогда величины
щ(х, t) = u*(x, ы)еш, б(х, 0 = е*(х> ">)еш и т. д. B5)
также будут гармоническими. Сравнивая уравнения термоуп-
термоупругости для гармонических колебаний с этими же уравнениями
после применения преобразования Лапласа (при однородных
начальных условиях!), мы видим, что в уравнениях B0) и B2)
следует заменить величины tit, 6, Хи... амплитудами колебаний
и*, 9*, Z*,..., а параметр р преобразования Лапласа — вели-
величиной ш. Таким образом, уравнение взаимности для вынужден-
вынужденных гармонических колебаний запишется в виде
-4— J (XiUi - Хь щ)dV + \ \piVLi - pi щ )dA =
{ \_В A J
qv* - q'*O dv+x J (»'v я - &*е;;) ^л. B6)
Для неограниченной термоупругой среды с массовыми си-
силами и тепловыми источниками в ограниченной области в урав-
уравнении B6) не будет поверхностных интегралов.
Из уравнений взаимности можно получить ряд интересных
выводов, а также некоторые методы интегрирования основных
дифференциальных уравнений термоупругости.
Рассмотрим сначала случай, когда движения неограничен-
неограниченной среды вызываются только массовыми силами, т. е.
1=(Х19 0; 0, 0), / = (*;, 0; 0, 0).
1.12. Теорема взаимности 61
В этом случае уравнение B2) сводится к следующему:
_ Х\ (х, ,) d"'(V~x) ] ^ = 0. B7)
Предположим, что в точке (|) приложена мгновенная сосредо-
сосредоточенная сила, направленная по оси Xj, а в точке (§') —сосре-
—сосредоточенная сила, направленная по оси хи- Тогда имеем
В результате получим
отсюда следует
«;(§, §', о=«*(§'. §. 0- B8)
Это означает, что скорость перемещения и', частицы (|) из-за
действия в точке (|7) сосредоточенной мгновенной силы, на-
направленной по оси Xh, равна скорости перемещения ик частицы
(|7) из-за действия сосредоточенной мгновенной силы, прило-
приложенной в точке (|) и направленной по оси Xj.
Для случая
^ = 8 (х-5)8,^@, Ж = Цх-?'M,.,//@,
где H(t) —функция Хевисайда, из уравнения B7) находим со-
соотношение
Uj(l Г. О = «*(§'. §. О- B9)
Рассмотрим далее случай, когда в неограниченной термоуп-
термоупругой среде действуют только тепловые источники,
/={0, 0; Q, 0}, /' = {0, 0; Q', 0}.
62 Гл. L Основные соотношения и уравнения термоупругости
В этом случае уравнение B2) значительно упрощается и при-
принимает вид
t
(x, т)в'(х, /-t)-Q'(x, tH(x, t-<z)]dt = O.
C0)
Пусть в точках (?•) и (?') находятся сосредоточенные мгновен-
мгновенные тепловые источники, т. е.
Q(x, t) = b(K~l)b(t), Q'(x, t) = b(x-l')b(t),
9 = 6(x, I t), 8's8'(x, I', t). C1)
Подставляя C1) в C0), находим соотношение
е' (i v,t)=Hr, г, t), C2)
которое является соотношением взаимности для температур.
Пусть в точке (|) приложена сосредоточенная мгновенная
сила, направленная по оси х$, а в точке (|') действует сосредо-
сосредоточенный мгновенный тепловой источник. В этом случае / =
= №,0;0,0},// = {0,0;Q/,0} и
Подставляя C3) в B3), получаем
71 х f /1/ ^
^ 5 о
x) f 8(х-Г)Ч^)б(х, ?, <--c)rfx, C4)
В 6
откуда находим
9E', I t) = --^uj(l §', 0- C5)
Итак, температура в точке (|7), вызванная действием сосредо-
сосредоточенной мгновенной силы, приложенной в точке (|) и направ-
направленной по оси Xj, пропорциональна скорости перемещения
м'(!» У1 t) частицы (|) из-за действия сосредоточенного мгно-
мгновенного теплового источника, действующего в точке (Iх).
Если в точке (|) приложена изменяющаяся по гармониче-
гармоническому закону сосредоточенная сила Xi=6(x — %)8^е{т, а в точ-
точке (§') действует сосредоточенный тепловой источник Q/ =
1.12. Теорема взаимности 63
= б (х — \')еЫх, то соотношение C5) запишется в виде
в'(§', I «,)=-J^L u';(i g'f со). C6)
Рассмотрим некоторые другие эффекты сопряжения механи-
механических и тепловых явлений, связанные с движением сил и теп-
тепловых источников в неограниченной термоупругой среде. От-
Отправной точкой рассуждений будет здесь уравнение B3)
г , . да\ (х, t — i)
[Q(x, ^)в'(х, ^--)-Q4x, т)в(х, ^-T)]dT. C7)
j
О
Предположим, что /= {0,0; Q,0}, где Q= б (a:i) б (яг) б (хз—и/).
Это означает, что в неограниченной среде движется с постоян-
постоянной скоростью v в направлении оси хз тепловой источник Q.
Рассмотрим одновременно вторую систему тепловых источников
в виде //={0,0; Q',0}, Q/ = 6(x — х') б (t), т. е. предположим,
что в точке (х7) действует мгновенный тепловой источник. Под-
Подставляя указанные величины в уравнение C7), получаем
о
X Ъ(х2 — х'2)Ъ(хг — Хг)ЪA)в(хг, х2, хг, t — ^dt,
откуда
t
6(jci, xi х'з, <) = je'(O, 0, те; х'и х'2, хз, t — t)d*. C8)
Полученная формула позволяет определить поле температуры,
вызванное движущимся тепловым источником, если известно
поле температуры, вызванное действием сосредоточенного мгно-
мгновенного теплового источника.
Перейдем к определению перемещений неограниченной
среды, вызванных действием движущегося теплового источника
64 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Q=6 (xi) б (лг2) б (хз — vt). Поле перемещений обозначим через.
tii(xy t). В качестве штрихованной системы величин примем
силу X't, сосредоточенную и мгновенную, приложенную в точке
(!) и направленную по оси хи т. е. Х'=-8(х— ?) б (t) 5ц, Q'— О-
Подставляя Q и X'. в уравнение C7), получим соотношение
(х) f S (х — g) S (т) 8/у Ц/ (У ~ т) ^т =
о
= j dV (x) J 8 (^) 8 (х2) Ь (Лз - v-z) в(У) (х, g, / - <=) rfT,
5 О
откуда
rix 0
Здесь 00')(х, |, /)—температура в точке (х), вызванная дей-
действием сосредоточенной силы X'., приложенной в точке (|) и
направленной по оси х\.
Рассмотрим следующую задачу: требуется определить тем-
температуру и перемещения неограниченной термоупругой среды
из-за действия сосредоточенной силы, направленной по оси Xj
и движущейся в направлении оси хз. Для определения вызван-
вызванной этим воздействием температуры используем следующую
систему величин:
Подставляя D0) в B3), получаем
t
В О
= W. J dV (x) \b{Xl)b (x2) 8 (x3 - от) 8,..
в о
8,.. /
откуда следует соотношение
t
е„ /)=- -^-f4-?/y(o, a w, sP g2, 53. *-*)^,
/=1, 2, Я. D1)
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости 65
Здесь f/j(x, |, t) —перемещение частицы (х), вызванное сосре-
сосредоточенным мгновенным тепловым источником Q' = 8 (х—|) б (/).
Для определения перемещений, вызванных сосредоточенной си-
силой, направленной по оси Xj и движущейся в направлении оси
хзУ примем следующую систему величин:
ky Q = 0, Q' = 0. D2)
Подставляя D2) в B3), получаем
| d
О
= j dV (х) j 8 (х,) Ь (х2) 5 (х3 - w) 8/; г ^' й?т
или
*"»<*¦ <*.*»¦ о =|_^ до»)(Ot о, от, 5l, б,, 6,, /-^)]л.
и
У, А=1, 2, 3. D3)
Здесь через ?/Ф(х, |, ^) обозначена составляющая перемещения
в направлении оси Xj, вызванная действием сосредоточенной
силы Х/=6(х — 1)б(<)бгл, приложенной в точке (|) и направ-
направленной по оси л:^.
Формулы C8) — D3) справедливы как для динамических,
так и для квазистатических задач термоупругости.
Мы рассматривали для простоты случай, когда тепловой
источник или сосредоточенная сила движутся с постоянной ско-
скоростью, но можно найти соответствующие выражения и для
случая, когда скорость движения переменна.
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина
в термоупругости
В эластостатике устанавливаются формулы, связывающие
перемещения Ui внутри тела с перемещениями и нагрузками на
его поверхности. Эти формулы носят название теорем Сомили-
Сомилиано и Грина1. В настоящем параграфе мы дадим, используя
обобщенную теорему взаимности, аналогичные формулы для
термоупругости. Эти формулы будут выражать перемещения ui
1 Треффц Е., Математическая теория упругости, ГТТИ, М., 1934.
5 Заказ Ко 362
66 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
и температуру Э внутри тела через распределения перемещений
п{, нагрузки ри температуры 6 и производной от температуры
0, п на поверхности тела.
Применяя преобразование Лапласа к уравнению, выражаю-
выражающему теорему взаимности, получаем (см. B0) § 1.12)
грр \ (Xitt'i — XiUi)dV -f ч\ър j (piti'i — p'iUi) dA =
В А
= l$№-Q'Q)dV + *^(Wd,n--?d[n)dA} A)
В А
где
OO
M ) &[{ t)]^i{x> t)e-t>ldt и т. д.
В этом уравнении 1={Хи рг-, Q,$} —система величин, вызываю-
вызывающих движение тела, причем Х\ — массовые силы, Q — интенсив-
интенсивность тепловых источников, pi — нагрузки на поверхности, # —
температура поверхности. Величины С={цг-, 8} суть перемеще-
перемещения и температура, возникшие под влиянием нагрузок и нагрева.
Через I' = {X'V p[, Q\ #'} и С' = {и'., Э7} мы обозначили вспо-
вспомогательную систему величин. Далее напомним, что в этом урав-
уравнении: г]=уГоМо, Го — абсолютная температура тела в естест-
естественном состоянии, Яо — коэффициент теплопроводности тела; y=
s (ЗЯ + 2[i)ati Я, [I — постоянные Ламе (замеренные в изотерми-
изотермических условиях), at — коэффициент линейного теплового расши-
расширения; х=%о/се> се — удельная теплоемкость при постоянной
деформации.
Для определения функций Ui(xy t), Q (x, t), x^B, t > 0 исполь-
используем две системы штрихованных величин. В качестве первой
возьмем мгновенную сосредоточенную силу Х^ = 8 (х—|) б (/) 6ij,
приложенную в точке (|) и направленную по оси Xj, причем бу-
будем считать, что она воздействует на неограниченную среду; вы-
вызванные этой силой перемещения и температуру обозначим через
^ = [Дй(х, |, t)w 6/ = C^)(x, |, t). Эти функции определим путем
решения системы, состоящей из уравнений движения и уравне-
уравнения теплопроводности,
Dik [Uf (х, I, t)) + 8 (x - 5) 8 (О Ь1} = т<# (х, I t), B)
l ?)-ч№ь (x, I t) = 0, x,^B, ^>0 C)
с однородными начальными условиями
I 0) = 0, O?(x, I 0) = 0, С(Л(х, I 0) = 0,
x, \ев, t=o. D)
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости 67
В этих формулах введены следующие операторы
Д. = рЪ1} -22 + (X + jx) dfij, i, j = 1, 2, 3,
E)
Итак, будем предполагать, что функции ?/Ф, C(J) найдены; они
являются функциями Грина для неограниченной среды. Под-
Подставляя X'. = 6(x — l)8(t)8ih иг. = Ш\ 6/ = С«) в уравнение
взаимности, получаем следующее выражение для функции
> I P)dV(X)-
х, I p)dV(x)
(х> I P)*i(*. p)]dA(x)-
-JLJ[6ie(x, p)Cu\x, I p)-
х, 5, />)]rfA(x). F)
Здесь р(з)=о^рпк, где а^|—напряжения на поверхности, вы-
вызванные действием сосредоточенной силы JT.= 6(x — lN(/Nij.
В качестве второй штрихованной системы величин возьмем
сосредоточенный мгновенный источник Q' = 6(x — |)б(/), дей-
действующий в точке (g) неограниченной термоупругой среды
и вызывающий перемещения и^ = ^(х, |, /) и температуру
9/=Я(х, |, /). Последние функции являются, таким образом,
решением системы уравнений
Dl}[Wj(x,lt)] = iHtl(x,lt), /,/=1,2,3, G)
rf|//(x, 5, О-Л,*(х. §> О = -О/*)8(х-5)8(О,
х, i e в, t>o, (8)
с однородными начальными условиями
W,(x, I 0) = 0, W^x, I 0) = 0,
Я(х, g, 0) = 0, х, g^ A ^ = 0. (9)
5*
68 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
В дальнейших рассуждениях будем считать, что функции Грина
Wu H известны. Подставляя Q'=6(x —6N@, ur. = Wu 6'=Я
в уравнения A), получаем следующее соотношение:
41 />) = jQ(x, p)W(x, I
;(x, p)Wi(x, I p)dV(x)
j
В -
(х, p)Wt(x, I p)-W\x, l р)щ{х, p)]dA(x)-
x, I p)\a(x, р)-Ъ(х, р)Н.я(х, I p)]dA(x). A0)
Здесь p(Q)=o№)rij9 где o^) — напряжения в точке хеЛ, вызван-
вызванные действием сосредоточенного мгновенного теплового источ-
источника Q'.
Применяя к равенствам F) и A0) обратное преобразование
Лапласа, получаем
flfi (x t i)
l ^'6> dV(x)-
OB
t
о в
t
1 0 A '
- Ь (х, т) C^l (x, g, / -^ x)] дГЛ (x), A1)
t
f d-z j Q (x, x) H (x, g,- /— x) dV (x) -
6 В
1 b в
dwt (x, g, «о
б А
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости 69
- ft (x, / - ¦:) Я, п (х, s, 'с)] </Л (х). A2)
Формулы A1) и A2) являются обобщением формул Соми-
Сомилиано на динамические задачи термоупругости. Они позволяют
определить перемещения и% и температуру 8 в точке ?^В по
заданным на поверхности функциям щ, ри Ф> 9,п, когда известны
функции Грина Ш\ С^\ Wu H для неограниченной термоупру-
термоупругой среды.
Соотношения A1) и A2) можно несколько упростить, если
принять во внимание, что функции С^ и Wj связаны зависимо-
зависимостью
Wj(l х, t) = --±-CU)(x, I t), A3)
которая получается из формулы C5) предыдущего параграфа.
Соотношения (И) и A2) принимают значительно более
простой вид, если функции №, C(j), Wu H относятся не к без-
безграничной среде, а к телу S, ограниченному поверхностью А.
Итак, предположим, что в точке |еВ этого тела приложена
сосредоточенная сила X'. = S(x — |N(/Nij, вызывающая пере-
перемещения № и температуру С^\ Эти функции должны удовлет-
удовлетворять дифференциальным уравнениям B) и C) с начальными
условиями D) и со следующими краевыми условиями:
U^ix, I 0 = 0, С(У)(х, I 0 = 0 на Л,
х?Л, ЪеВ, t>0. A4)
Функции Wu H, связанные с действием сосредоточенного теп-
теплового источника Q' = б (х — |) б (t), должны удовлетворять
дифференциальным уравнениям G) и (8), начальным усло-
условиям (9) и краевым условиям
^(х, g, /) = 0, Я(х, g, 0 = 0 на Л,
х 6 Л, §65, t>0. A5)
70 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Для вновь определенных таким образом функций Щ\ С^\ Wi
и Н соотношения A1) и A2) запишутся следующим образом:
P (х, s, ")
\) l l dV(x)~
Ь В
t
f
?- f rf* f Q (x, x) C°'> (x, I t-x) dV (x) -
'v о в
t
— I dz \ щ (x, < — t)
71 о
, f, *-т)сЩх), A6)
(х, f, <-t)
TIT,
"T"
J
A
t
По формулам A6) и A7) можно определить перемещения
Ui и температуру 8 в точке |^fi, если на поверхности А заданы
перемещения и температура О. Формулы A6) и A7) являются
обобщением теоремы Грина классической эластокинетики на
динамические задачи термоупругости.
Когда на поверхности А заданы перемещения ьц и состав-
составляющая 0,п градиента температуры, функции Щ\ С® должны
быть подобраны так, чтобы на поверхности А удовлетворялись
краевые условия
?#>=0, СРп = 0. A8)
Аналогичным образом следует удовлетворить условиям
Wt = 0, Н,п = 0 на поверхности Л, A9)
Рассмотрим еще случай, когда внутри тела приложены мас-
массовые силы Xi и тепловой источник Q, а на поверхности А за-
заданы нагрузки pi и температура Ф. Функции и*. , Q' следует
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости 71
подобрать таким образом, чтобы на поверхности А были удов-
удовлетворены условия р^ = 0, 0' —0.
Возьмем внутри области В (или на поверхности А) произ-
произвольную точку х' и потребуем, чтобы перемещения и вращение
этой точки были равны нулю. Пусть теперь в точке \^В прило-
приложена сосредоточенная мгновенная сила X! = б (х — |) б (t) б*j,
направленная по оси Xj. Эта сила вызывает перемещения
№(х, |, t) и температуру С^(х, |, *). Функции № и С^ долж-
должны удовлетворять дифференциальным уравнениям B) и C),
начальным условиям D) и краевым условиям
0 B0)
на поверхности А. Здесь
где
k + Uk, i).
Пусть в свою очередь в точке |eS действует сосредоточен-
сосредоточенный мгновенный тепловой источник Q' = 8(x — |N(f), вызы-
вызывающий перемещения Wi(x, |, t) и температуру Я(х, |, f). Эти
функции мы получим путем решения системы уравнений G) и
(8) с начальными условиями (9) и краевыми условиями
pl = aiknk = 09 H = 0 на А, B1)
где
Для определенных таким образом функций U{j\ С®, Wu H
уравнения A1) и A2) запишутся в виде
Я, (I t)=\dz\ Xt (X,~t ~ -:) 1 'д/ dV (X) -
6 в
\
6 в
t
\
6
J л f А
0 А
, -)С(Л(х, 5, ^-.)
X, ?, -)
(х)
t
4
^ б Л
' •=) с-л« (х> 5- < -т)
72 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
t
6(g, -с) = J dx j" Q (x, *)H(x, I t-x)dV(x)-
'ил
- J * (x, t-i)H,n (x, 5, x) <*Л (x). B3)
Л
J J
U Л
Если функции Ш\ С^\ Wi, H известны, то по формулам B2) и
B3) получаем решение следующей задачи термоупругости:
определить перемещения и температуру внутри тела по заданным
массовым силам, тепловым источникам, поверхностной нагрузке
и температуре на поверхности. Соотношения B2) и B3) можно
рассматривать как обобщение второй теоремы Грина эластоки-
нетики на динамические задачи термоупругости.
1.14. Обобщение метода Майзеля на задачи термоупругости
Рассмотрим ограниченное тело, подверженное действию мас-
массовых сил и тепловых источников. Пусть на поверхности А за-
заданы смешанные краевые условия: на части поверхности за-
заданы перемещения и\ и нормальная компонента градиента тем-
температуры к, а на остальной части — нагрузки pi и температура #.
Следовательно, мы должны решить систему дифференциальных
уравнений
p^+Te,/, A)
-Q/x B)
с краевыми условиями
Pi = aijnj> 0 = & на А*> ^ = Аи + Аа C)
u>
и однородными начальными условиями
^(х, 0) = 0, щ{х, 0) = 0, в(х, 0) = 0. D)
Вместо непосредственного решения этой системы мы исполь-
используем теорему взаимности, подбирая соответствующим образом
1.14. Обобщение метода Майзеля на задачи термоупругости 73
штрихованную систему величин. Итак, определим для тела той
же формы перемещения и', и температуру 9' из уравнений
\хv 2Ui -f (a 4- \i) e, t = put -f- ^, /> E)
Y26' — (l/x)9' — vji' = —A/-^) 5 (x — g) 8 (/) F)
с краевыми условиями
«/ = 0, в'л = 0 на Ля,
/?/ = 0, б' = 0 на А, G)
и однородными начальными условиями
Ui(x, 0) = 0, »)(х, 0) = 0, 9)(х, 0) = 0. (8)
Следовательно, штрихованная система величин описывает дей-
действие сосредоточенного мгновенного теплового источника
Q/=8(x — lN(f) в точке (|), причем мы предполагаем, что
массовые силы отсутствуют, Х/ = 0, а краевые условия на Аи
и на Ао однородны.
Будем считать, что функции Грина и?(х, |, t) и б^х, |, t)
определены из уравнений D) и E) и, следовательно, известны.
Подставляя Q' = 6(x — |)б(/), ^^ = 0 и и[, 07 в уравнение
взаимности B1) § 1.12, получаем следующее соотношение:
t
5 О
, f, t-*)
J
0
-^- UA (x) f щ (x,
.
Это соотношение охватывает ряд частных случаев, поскольку
в нем учтено влияние различных факторов, вызывающих
74 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
изменение температуры (содержащихся в правых частях урав-
уравнений A) и B) и в-краевых условиях C)). Итак, например, если
^г = 0, Qi = 0, k = 0, Ui = 0 на Аи и pi = 0 на Аа, то
t
4lt)=—'. JdA(x)j»(x, 1N,'я(х, I t-*)dt.
A3 0
Для определения перемещений и% возьмем иную вспомога-
вспомогательную штрихованную систему величин. Предположим, что
при отсутствии тепловых источников Q' приложена в точке (|)
мгновенная сосредоточенная сила Л^ = 6(х — 1)б^-б(/), направ-
направленная по оси Xj. Введем обозначения
^s^(X| I t), e'sCW(x, I t).
Функции и'{ и Q' должны удовлетворять дифференциальным
уравнениям
V.VW + (л + |х) lf?M + 3 (х - 5) 8/у 8 @ = рЭД* + ТСа], A0)
V2C(^-(l/x)C^-^, = 0, A1)
краевым условиям
?/1Л = 0, С|;1 = 0 на Лц,
р(Л==а%к = 09 С(/) = 0 на Ла A2)
и однородным начальным условиям.
Будем предполагать, что функции Щ\ С® уже определены.
Подставляя А^ = 6(х — SN*j6(tf), Q/ = 0 в уравнения взаимно-
взаимности B1) § 1.12, получаем соотношения
Г Г our' (X, §, т)
+ )dA(x)]Pl(x, t-t) ' V' dx-
A 0
-L J dA (x) j »(x, x) C°l (x, ?,i-^)^
1.15. Задачи со смешанными краевыми условиями 75
\ fdA(x)Jc(>)(x, I t-z)k(x, т)Л, /, /=1, 2, 3. A3)
1 \ °
Мы получили формулу, которая дает возможность определить
величину Uj в точке (|). Подинтегральное выражение в правой
части соотношения A3) содержит известные распределения Хи
Q, ри Hi, Ф, k и найденные из уравнений A0) и A1) функции
Грина.
Уравнения A3) являются аналогом формул Майзеля для
несопряженных задач, т. е. для упомянутой ранее теории тепло-
тепловых напряжений. Аналогия состоит здесь лишь в использовании
сходных функций Грина. Однако формула A3) значительно
отличается от формул, данных Майзелем. В методе Майзеля нет
формулы (9), поскольку температура определяется там на основе
классического уравнения теплопроводности, не учитывающего
влияния поля деформации на температуру. Поэтому данные Мей-
зелем формулы для перемещений, соответствующие соотноше-
соотношению A3), отличаются большей простотой. Метод Майзеля будет
изложен в § 1.18 применительно к стационарным задачам тер-
термоупругости.
1.15. Задачи со смешанными краевыми условиями
В предыдущем параграфе был описан некоторый подход
к решению задач термоупругости со смешанными краевыми
условиями. Использованные там функции Грина для перемеще-
перемещений и температуры определялись в соответствии с этими крае-
краевыми условиями. Изложим теперь другой подход. Будем поль-
пользоваться новыми функциями Грина, построенными для тела той
же формы, но с однородными краевыми условиями. Такие функ-
функции Грина определяются гораздо проще. Мы покажем далее,
что решение задачи со смешанными краевыми условиями можно
свести к решению системы интегральных уравнений.
Рассмотрим односвязную область Б, ограниченную поверх-
поверхностью Л, причем на частях Аи и Ао этой поверхности заданы
разные краевые условия. Для простоты будем предполагать, что
на части Аи перемещения равны нулю, причем она считается
теплоизолированной. Впрочем, можно было бы принять, что на
поверхности Аи заданы ненулевые перемещения и тепловой
поток.
Пусть на поверхности AG заданы нагрузки pi и температура
#, а внутри тела действуют массовые силы Хг и тепловой источ-
источник Q. Будем считать, что система {Xi, pu Q, Ф} начинает
действовать в момент /=0+, т. е. начальные условия будем
76 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
считать однородными1. Точку, расположенную внутри тела,
будем обозначать через х, а точку на поверхности — через |.
Перемещения и температура должны удовлетворять системе
уравнений
Д7[и,.(х, /I+^(х, О = ТМ*, t)> A)
?з6(х, г)-%,*(х> 0 = -A/*) Q(x, 0. x6S, t>0, B)
где
краевым условиям
«,E> 0 = 0 на Ая> |€ Ая, ^>0,
6,л(§, 0 = 0 на Ая, g е Ля, ^>0,
0(§,.*) = » на Лв, ?еАа, ^>0 C)
и начальным условиям
^(х, 0)=0, и(х, 0) = 0, 6(х, 0) = 0, х 6 5, / = 0. D)
Для решения нашей задачи рассмотрим несколько простых
вспомогательных задач с одинаковыми краевыми условиями на
поверхностях Аи и Лст. В качестве основной системы рассмот-
рассмотрим тело В, свободное от нагрузок на поверхности А, причем
§ = 0 на Аи и Ла. Будем воздействовать на это тело сосредото-
сосредоточенными силами и тепловыми источниками. Для того чтобы
тело было неподвижным, достаточно закрепить одну его точку.
Итак, пусть на основную систему воздействует приложенная
в точке (х') мгновенная сосредоточенная сила, направленная
по оси Xk- Эта сила вызывает в теле перемещения №>(х, х', t)
и температуру C(fe)(x, x', t). Мы должны найти решение уравне-
уравнений движения и уравнения теплопроводности
//Чх, х, 0]+г(х-х')8(О3/* = тС!лКх, х', t), E)
х, 0-ЛМх, х', <) = 0, х, х'6 5, />0 F)
с однородными краевыми условиями на поверхности А=Аи-{-А0
J$(l x', t)nj = O, i6 A,
C<*)(g, xf, 0 = 0, § 6 А, />0
1 Nowacki W., Mixed boundary problems of thermoelasticity, Bull. Acad.
Polon. Set, Serie Sci. Techn., 12, № 11 A964).
1.15, Задачи со смешанными краевыми условиями 77
и однородными начальными условиями
U\k)(x, х\ 0) = 0, UPix, х, 0) = 0, С(Л)(х, х', 0) = 0,
х, хг ?В, t = 0. (8)
В дальнейшем будем предполагать, что решение Uf\ CW этой
более простой задачи известно заранее.
Далее пусть на основную систему действует сосредоточен-
сосредоточенный мгновенный тепловой источник Q' = 6(x — х/)б(/), поме-
помещенный в точке (х'). Перемещения W%(x, х', t) и температура
Я(х, х', t), вызванные действием этого теплового источника,
должны удовлетворять системе уравнений
;;х, х', /)] = тЯ/(х, х', t), (9)
П23я(х, х, fi-Wj.jix, х, *)=-О/*)8(х-х')8(*),
х, х' ? В, t>0, A0)
краевым условиям
офA х, <)л; = 0 на Л, §6 Л, />0,
Я(§, х', t) = 0 на Л, § е Л, *>0 (И)
и начальным условиям
Wt(x, x', 0) = 0, ^(х, х\ 0) = 0,
Я(х, х', 0), х, х; 6 5, * = 0. A2)
Здесь о&)—напряжения, вызванные действием сосредоточен-
сосредоточенного мгновенного источника. Условия A1) означают, что по-
поверхность А не нагревается и свободна от нагрузок. Предполо-
Предположим, что функции WittH для свободной системы определены, и
будем считать их в дальнейшем известными. При решении за-
задач со смешанными краевыми условиями весьма полезной яв-
является теорема взаимности
dV -f vp.p J {pim — pirn) dA =
А
J -.Q'Q)dV + v^ J (H, - M[n)dA. A3)
В Л
В качестве штрихованной возьмем здесь основную систему
78 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
с сосредоточенной силой Х'г =-б (х — х') б (/) бг^, вызывающей
перемещения L/W и температуру С&\ В результате получим
j \Xt (х, p) W (х, х, р) - 8 (х - х') Ь,п (х, р)] dV (х) +
+ W j Л E- /») ^' E. х', />) с?Л (?) =
= TfQ(x, ^)Cw(x, x', p)dV(x)-
. A4)
Мы использовали здесь краевые условия G). Обозначим через
Rife t)=pi(%, t) неизвестные силы реакции на поверхности Аи,
а через 0(|, t) неизвестную температуру на Аи. Уравнение A4)
приводит к следующему функциональному соотношению:
пк{х, р) = ~и\{х, р)+ J^E. P)WA x, p)dA(l) +
Аи
Je(g р
Je(g, р)&Ж х, />)йГЛ(§), /, k=\, 2, 3. A5)
Здесь
J (х, х', p)dV(x)
х,
, x, />)dK(x) A6)
известная величина, так как известны все подынтегральные
функции. Вернемся к уравнению взаимности A3) и подставим
в него функции u'. = Wi и 9/ = Я, которые являются решением
1.15. Задачи со смешанными краевыми условиями 79
системы уравнений (9) и A0) для сосредоточенного мгновен-
мгновенного источника. В результате имеем
х, х', p)dV{x) +
^ I pt(l p)Wi(l x, p)dA(l) =
= tJ[Q(x, рO7(х, х', р)-Ь(х-х')Цх, p)]dV(x)~
В
-хТ ^ ft(g, p)Htn(l x', p)dA(%), A7)
при получении которого были использованы краевые усло-
условия A1). Введем обозначения pi=Ru Ф=в на поверхности Аи.
Тогда из A7) следует, что
в(х', р) = %(х', p)-^f- J^(?, p)Wl(l x', p)dA{l)~
Au
-x JeE, />)Я.ЯE, x', p)rfA(S), A8)
где
е (х', p)=\Q (x, p)H(x, xf, p) dV (x) -
.(x, p)Wi(x, x', p)dV(x)~
J A E. /») ^ (§• x', /;) ^Л (?) -
E, p)H,n(l x, ^)rfA(g). A9)
Поскольку все подинтегральные функции известны, отсюда
можно вычислить величину 0о.
В функциональные соотношения A5) и A8) входят две не-
неизвестные функции, а именно: распределение на поверхности Аи
сил реакции Ri(l, t) и температура в(|, /). Для определения
этих функций мы располагаем краевыми условиями C) на по-
поверхности Аи. Для точки (?') эти условия имеют вид
uh(\', 0 = 0, д9{?, t)ldn' = O, Г 6 Лй, *>0. B0)
80 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Устремляя точку (х') к (|'). на поверхности Аи, получаем сле-
следующую систему интегральных уравнений Фредгольма первого
рода:
o=«;(s\
Аа
Je(
J
Je(g, p)C^(l g', p)dA{l), B1)
=b 2, з. B2)
Решая эту систему уравнений, мы получаем функции Ru в
на поверхности Аи. Подставляя Ri, в в функциональные равен-
равенства A5) и A8), находим величины ил(х', р), 6(х', р). Нако-
Наконец, применяя к A5) и A8) обратное преобразование Лапласа,
находим
t
J J С/т
О Ац
t
+ -1- j d-z | в (g, t) C^i(g, x', t-x)dA (I), B3)
О Л^
0 A(i
t
(* л
g). B4)
Мы видим, что «центр тяжести» решения перенесен на систему
интегральных уравнений Фредгольма B1) и B2). Простота ис-
использованных в настоящем подходе функций Грина достигнута
ценой сложности интегральных уравнений.
Изложенный метод может быть использован прежде всего
в теории пластин и оболочек со смешанными краевыми усло-
условиями. Функции Грина для однородных краевых условий нахо-
находятся здесь сравнительно просто, особенно для гармонических
колебаний.
1.16. Уравнения классической э ласт окинет ика 81
1.16. Уравнения классической эластокинетики
В основе классической эластокинетики лежит предположе-
предположение о весьма медленном теплообмене между отдельными час-
частями тела. Если за промежутки времени порядка периода коле-
колебательного движения теплообмен практически не происходит,
то каждая часть тела может рассматриваться как изолирован-
изолированная в тепловом отношении, а движение как адиабатическое.
Основные соотношения классической зластокинетики мы вы-
выведем из общих уравнений термоупругости
№, jj + (* + !*) Uj. ji + Xt = ?Щ + Т8, t, A)
Мы считаем, что тепловых источников нет, а поверхность тела
теплоизолирована. Величины \iT и ат относятся к изотермиче-
изотермическому состоянию тела. Вместо уравнения теплопроводности B)
можно в соответствии с рассуждениями § 1.3 рассматривать
«систему уравнений
TQs = Хов, ^, TQs = Т0{е + свВ. C)
Для адиабатического процесса имеем 5 = 0, s = const. Из урав-
уравнений C) следует, что в этом случае
Аое,,. = О, 6=-GVr/*.)e. D)
Интегрируя второе из уравнений D) по времени и принимая
во внимание, что е = 0 и 9=0 в момент /=0, получаем
8=--7jrxe, ^г^т/^о'(^зу0' Tr = C^r + 2;j.r)^. E)
Мы видим, что в адиабатическом процессе температура пропор-
пропорциональна объемному расширению. Уравнение E) заменяет
уравнение теплопроводности. Подставляя E) в закон Дюа-
меля—Неймана
., F)
находим соотношение
где
(8)
Записывая закон Дюамеля—Неймана с использованием девиа-
торов
stJ = Ъ^еч, akk = Жт (е - Зя,в) (9)
6 Заказ ^ь 362
82 Гл. 1. Основные соотношения и уравнения термоупругости
и подставляя сюда E), получаем следующие формулы:
s/;. = 2ivv °** = 3*>, A0)
где
Мы получили, таким образом, соотношение между адиабати-
адиабатическим модулем сжимаемости и изотермическим модулем сжи-
сжимаемости.
Наконец, подставляя E) в уравнения в перемещениях A) и
исключая температуру, получаем
uj, п + xi = 9Щ > 00
jj «у, у/ + Xi = pUl. (IV)
Как известно, уравнения A1) можно разделить на две си-
системы, если использовать представление вектора перемещения
и вектора массовых сил в виде суммы потенциальной и солено-
идальной частей:
u = grad Ф + rot я|>, A2)
t7). A3)
Подставляя A2) и A3) в уравнение A1), получаем
^2~-Лгд")ф = ~т^Г' (I4)
где
Через (ci)s и (c2)s здесь обозначены скорости распространения
продольных и поперечных волн. Заметим, что между скоростями
продольных волн для адиабатического и изотермического со-
состояний имеются, согласно (8), следующие зависимости:
W),=W)r + *%Tr/p. (c!),=(d)r. A6)
Мы не будем обсуждать методов решения системы уравне-
уравнений A1) с соответствующими начальными и краевыми усло-
условиями. С этими методами читатель может ознакомиться по лю-
любому достаточно полному курсу теории упругости или по моно-
монографиям, специально посвященным эластокинетике. Однако
представляется целесообразным дать несколько замечаний от-
1.16. Уравнения классической э ласт окинет ики 83
носительно вариационных и энергетических методов. В § 1.11
¦была изложена общая вариационная теорема с использованием
вариаций напряженного и деформированного состояний. Пер-
Первая часть этой теоремы описывается уравнением (9) § 1.11
bW= f {Xt ~ ?щ)ЪщйУ + f ptbatdA — Tr Je 8*dV, A7)
В А В
тде
Здесь W — работа деформации, причем постоянные Ламе, вхо-
входящие в функцию W, соответствуют изотермическому со-
состоянию.
На основе предположения об адиабатичности температура
выражается формулой
e=-*7i7«. A8)
Подставляя A8) в A7), получаем следующий вид вариацион-
вариационной теоремы:
bW* = f (Xt - рщ) Ьщ dV+\ pt Ьщ dA, A9)
В А
тде
Уравнение A9) выражает известный в эластокинетике принцип
виртуальной работы (принцип Лагранжа).
Подставляя теперь в уравнение A9) действительные прира-
приращения перемещений и деформаций
t = BiJdt и т. д.,
.находим соотношения
^ (г* +/о = J ^mi/+ J лМА,
В А
К^Аг \44dV. B0)
в
Мы получили основную энергетическую теорему эластокине-
тики. Это уравнение можно использовать, в частности, для до-
доказательства теоремы единственности решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений эластокинетики 1.
1 Треффц Е., Математическая теория упругости, ГТТИ, М., 1934.
б*
84 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Теорема взаимности, полученная в § 1.12, также значительно
упрощается для адиабатического процесса. Напомним, что
утверждение теоремы состояло из двух уравнений. Первое из
них после применения преобразования Лапласа (с однород-
однородными начальными условиями) принимает вид
j {~Xtut - Х'ш) dV + l (piu't - Jiiii) dA +
?-B'e)dV = 0, B1)
в
где
и (x n) — l и (y Л p~pt di
0
Подставляя соотношения
в B1), мы убеждаемся, что последний интеграл в уравнении
B1) равен нулю. Применяя к B1) обратное преобразование
Лапласа, имеем
t
J dV (x) J [Xt (x, -с) u'i (x, t — t) — X\ (x, т) щ (x, t — *)] d* +
в и
t
+ j rfA (x) j [# (x, t) «i (x, t — t)—p'i (x, t) ^ (x, t — t)] ^ = 0.
л о
B3)
Мы получили известную теорему взаимности классической эла-
стокинетики. На основе уравнения B3) можно построить ряд
методов интегрирования уравнений при различных краевых
условиях1 с использованием функций Грина для перемещений.
Добавим, наконец, что рассуждения, проведенные в § 1.2, при-
приводят к следующим соотношениям для свободной энергии и энт-
энтропии в адиабатическом состоянии:
/" = tj, s. .с.. j_ п /2) #2 5 = 0 B4)
В дальнейшем мы неоднократно будем сопоставлять реше-
решения термоупругих задач с соответствующими решениями задач
классической эластокинетики. Располагая точными решениями
термоупругости для тел, подверженных воздействию массовых
1 Nowacki W., Mixed boundary problems of elastodynamics, Bull. Acad.
Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 3 A964).
1.17. Уравнения теории температурных напряжений 85>
и поверхностных сил (при отсутствии тепловых источников и
тепловом изолировании поверхности тела), мы будем произво-
производить некоторые формальные предельные переходы и получать
решения в приближении классической эластокинетики. Струк-
Структура уравнений A) термоупругости и уравнений A1) класси-
классической эластокинетики показывает, что такой переход состоит
в принятии ут = 0 и замене постоянных Ламе \1т и ат адиаба-
адиабатическими ПОСТОЯННЫМИ [is И As.
Следует подчеркнуть, что этот переход имеет чисто формаль-
формальный характер. В самом деле, допущение yT = 3atK = 0 соответ-
соответствует лишь некоторой фиктивной среде с нулевым коэффици-
коэффициентом теплового расширения. Далее равенство ут = 0 приводит
в соответствии с E) к равенству 0 = 0. По этой причине пере-
переход уг = 0, fxT = j-is, kT = K, дает правильные результаты только
для перемещений и%, деформаций &ij и напряжений сг^, соответ-
соответствующих задаче эластокинетики. Что же касается результата
6 = 0 для температуры, то он неверен и должен быть заменен,
правильным решением 6 = —%цте.
1.17. Уравнения теории температурных напряжений
Рассмотрим случай, когда деформация тела вызвана изме-
изменяющимся во времени нагревом или охлаждением на поверхно-
поверхности тела, а также действием тепловых источников, в то время,
как нагрузки и массовые силы отсутствуют. При этих предпо-
предположениях основные уравнения термоупругости имеют вид
№, ц + (* + [О Яу, II = РЩ + Те, i > (!)
Эта система сильно упрощается, если пренебречь членом —це
в уравнении теплопроводности. Такое пренебрежение оправды-
оправдывается тем, что член —це представляет собой поправку порядка
(са — сЕ)/сЕ по сравнению со вторым членом уравнения B) 1.
Таким образом, получаем более простую несопряженную си-
систему уравнений
V-Ч и + (х + Р) uj, и = ?*i + T9, i» C)'
где \i = [It, l = XT — постоянные Ламе для изотермических
условий.
1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Физмат-
гиз, Л1., 1956."
6 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Уравнение D) с краевым и начальным условием дает воз-
возможность определить независимо температуру В, которая мо-
может рассматриваться далее в уравнениях C) как известная
функция. Член yQti в уравнениях C) вполне аналогичен массо-
массовым силам. Используя методы классической эластокинетики,
можно определить из уравнений C) перемещения, разумеется
•с использованием краевых и начальных условий. Система урав-
уравнений C) и D) значительно проще по своей структуре, чем
точные уравнения эластокинетики, и поэтому решение этой си-
системы сопряжено с несравненно меньшими математическими
трудностями.
В дальнейшем мы будем называть систему уравнений C) и
D) несопряженными уравнениями термоупругости или, короче,
уравнениями теории температурных напряжений.
Обсудим вкратце методы решения системы уравнений C) и
D); читатель, желающий более детально ознакомиться с этими
методами, может использовать монографии1.
Используя разложение вектора перемещений на потенци-
потенциальную и вихревую части
u = grad Ф + rot t|5, E)
лолучаем из C) следующую систему уравнений:
V- -L-tf) Ф = тВ, msT/(X + 2[i)f F)
V2- -^-<??W = 0. G)
В неограниченной среде действие тепловых источников при-
приводит к возникновению лишь продольных волн, так как в этом
случае 1|э = 0. Выражение
где /?(х, |)—расстояние между точками (х) и (|), является
частным интегралом уравнения F). Область интегрирования
¦есть сфера, центр которой расположен в точке (х), а радиус
1 П а р к у с Г., Неустановившиеся температурные напряжения, Физмат-
гиз, М., 1963.
2 Нов а цк и й В., Вопросы термоупругости, Изд. АН СССР, М., 1964.
3 Б о л и Б., Дж. У э й н е р, Теория температурных напряжений, «Мир»,
М., 1964.
4 Nowacki W., Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962.
1.17. Уравнения теории температурных напряжений 87
равен R = cit. Формула (8) справедлива для тела, которое
в начальный момент свободно от напряжений и неподвижно.
По известной функции Ф легко рассчитать перемещения, дефор-
деформации и напряжения, т. е.
а, . = 2а (Ф, и - ЬиФ9 kk) + р8/уФ. A0)
В ограниченном теле возникнут как продольные так и по-
поперечные волны. Перемещения ьц составим из частного интег-
интеграла и(°)=?гас1Ф@) + roti|?(°) следующей системы:
^ = 0 A2)
и общего интеграла ФA>, г^1) системы
A) 0, A3)
O. A4)
Решение уравнений F) и G) для неограниченной среды
также можно представить в виде суммы частного интеграла
а/=ф(°) и общего интеграла и" однородной системы
№, //+ (х + Iх) ul n = Р«/. A5)
Последнее уравнение можно записать также в операторном
виде
где
Выражая и" через три функции фг (/=1, 2, 3),
a!=[Zi2^ + fl(V2--^y)]9y, г, у = 1, 2, 3 A7)
и подставляя эту формулу в A5), получаем систему трех бивол-
новых уравнений для определения функций фг,
^О, D?SV2-№)d!, /=1,2,3. A8)
Полученные уравнения являются однородными уравнениями
''88 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
эластокинетики; функции фг можно рассматривать как обобще-
обобщение функций Галеркина на задачи эластокинетики1.
Решение уравнений C) можно представить также в другом
виде, вводя обобщенные на динамические задачи функции Пап-
ковича—Нейбера,
.^ = Ф<°> +4A — v)^? —Tfi, /=1,2,3, w^xfo + %. A9)
Эти функции должны удовлетворять уравнениям
??<!><> +-к, D?<h= 0, П1ф, = О. B0)
Уравнения движения мы записывали в перемещениях, од-
однако можно использовать и выведенные в § 1.4 уравнения
в напряжениях. Такое представление уравнений движения
удобно в тех случаях, когда краевые условия заданы в напря-
напряжениях. Если в уравнения C) подставить деформации
то получатся уравнения
Phj, kk + (* + р) Чи, ij - Т9, ij=P4j- B1)
Выражая деформации через напряжения с использованием со-
соотношений Дюамеля—Неймана, из B1) получаем уравнения
.в напряжениях
В случае, когда величины, вызывающие движение тела, из-
изменяются весьма медленно, в уравнениях движения можно от-
отбросить инерционные члены. Система уравнений принимает вид
№,уу + (^ + ^)^.у/ = Тв./, B3)
e,;..~(l/xN=-Q/K. B4)
Т1осле определения 9 из уравнения B4) правая часть уравне-
уравнений B3) будет известной функцией. Уравнения B3) отлича-
отличаются от уравнений C) § 1.8 (т. е. от уравнений для стационар-
стационарных задач) лишь тем, что правая часть B3) зависит от коор-
координат xt и времени t, причем время можно рассматривать как
параметр. Поэтому к системе B3) применимы методы, изло-
изложенные в § 1.8.
1 S t e r n b e r g E., E u b a n k s R. A., On stress functions for elastoki-
netics and the integration of the repeated wave equation, Quart. Appl. Math.,
15 A957).
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 89'
Следует ответить еще на вопрос о возможности прямого пе-
перехода от дифференциальных уравнений термоупругости к урав-
уравнениям теории температурных напряжений. Сопоставляя си-
системы уравнений A), B) и C), D), мы убеждаемся, что такой
переход осуществим, причем в B) надо положить т] = 0. Отме-
Отметим еще раз, что этот переход не имеет физического смысла
(см. § 1.16) и должен рассматриваться как чисто формальный.
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений
В теории температурных напряжений предполагается отсут-
отсутствие сопряжения между полем температуры и полем деформа-
деформации. Это предположение меняет, разумеется, и вид вариацион-
вариационной теоремы, выведенной в § 1.11. Эта теорема распадается на
две независимые части: уравнение
$ A)
В
в котором варьируются лишь перемещения и деформации при
постоянной температуре и уравнение
Jfl85/I^ = a B)
А
Здесь использованы обозначения
j
jew,
Уравнение B) получается из общего уравнения термоупру-
термоупругости A8) § 1.11 путем отбрасывания члена, соответствующего
сопряжению поля температуры и поля деформаций. Следова-
Следовательно, это уравнение является вариационной теоремой для
классического уравнения теплопроводности.
Уравнение A), которое мы будем исследовать, является
обобщением принципа Лагранжа на несопряженные задачи
термоупругости. Используя обозначение
W* =
для упругого потенциала W*, можно записать уравнение (И)
в виде
bW* = U-?\u№dV> D)
90 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
где 6L — виртуальная работа внешних усилий. Уравнение D)
гласит: работа внешних усилий, массовых сил и сил инерции
на виртуальных перемещениях равна вариации работы дефор-
деформации W*.
Полагая в уравнении A)
^ul=-^dt=^vidtf ^ij = ^ijdt и т. д.
и ограничиваясь рассмотрением действительных перемещений и
деформаций, получаем энергетическое уравнение
]\l vt = uh E)
BAB
где
в
Используем это уравнение для доказательства единствен-
единственности решений в теории температурных напряжений. Рассмот-
Рассмотрим два поля перемещений и' и и" при фиксированной темпе-
температуре 9. Введем разности
at = Ui— ll'l Qji = S-y — S-y, б == б' — б" = 0 И Т. Д.
Первая из них щ должна удовлетворять системе однородных
уравнений
F)
с однородными краевыми и начальными условиями.
Правая часть уравнения E) будет равна нулю, так как
Xi = 0, pi = O и 6 = 0.
Отсюда получаем
~" =0. G)
Из однородности начальных условий следует, что K + W=0
для />0. Поскольку под знак интеграла в выражении для
K + W входит сумма квадратов величин ъц и vu то должно
быть eij=O, Vi = 0. Поскольку eij = O, Vi = O, имеем оц = 0. В ре-
результате получим
е'7 = г"и у °Н== aU > Ъь = Ъ1> (8)
т. е. перемещения и'х и и" равны между собой с точностью до
линейной функции, соответствующей жесткому движению тела.
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 91
Из уравнения A) можно вывести принцип Гамильтона.
Рассмотрим непрерывное изменение состояния тела от мо-
момента времени t=0 до t=U. Изменение величины щ обозначим
через 6 и*, причем будем предполагать, что 8п{ равно нулю для:
^ = 0 и для t=tt. Интегрируя уравнение A) по времени и ис-
используя обозначения C) и D), получаем
и и и
j 81 dt - J p dt \ щ Ьщ dV = \ b\V* dt. (9)
о о л о
Преобразуем второй член, используя интегрирование па
частям,
t = u *i
§ ^ § § A0)
OB
t=0 0 В
в
Принимая во внимание принятое предположение 8т\*г^ = 0г
получаем
и и и
Р \dt \и,хЪщй,У =—? \dt \viivldV= — \bKdt, (И)
OB OB О
где
есть кинетическая энергия. Подставляя A1) в (9), находим
bUw*-K)dt=ULdt. A2)
о о
Если силы консервативны, то существует потенциал Ф, причем
Ы= —(d$jdu:) Ьщ = —8Ф. A3)
Используя A3), придадим уравнению A2) следующий вид:
и
Ь j (П -K)dt = O, П = W* + Ф. A4)
о
Уравнение A2) выражает принцип Гамильтона, обобщенный
на теорию температурных напряжений. Используя этот принцип,
можно вывести дифференциальные уравнения, описывающие по-
поведение ряда систем при упругих колебаниях, вызванных дей-
действием поля температуры.
¦92 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
Перейдем к квазистатическим задачам. В этом случае в ва-
вариационной теореме A) инерционные члены обращаются в нуль
и оно записывается в виде
bW = J XMi dV + )pMdA + т J B *edV. A5)
BAB
Предположим, что при виртуальном перемещении массовые
•силы, поверхностные нагрузки и температура не изменяются.
Тогда можно вынести символ вариации в правой части A5) за
знак интеграла. Полагая далее, что на поверхности Аи, на ко-
которой заданы перемещения, должно быть б щ = 0, приведем урав-
уравнение A5) к виду
- [рмйА-ч Uedv]=0. A6)
ла в J
Здесь Ао — часть поверхности тела, на которой заданы нагрузки.
Обозначая через Г выражение в A6) в квадратной скобке,
запишем A6) как
ВГ = О. A7)
Мы получили обобщенную на задачи теории температурных на-
напряжений теорему о минимуме потенциальной энергии. Эта тео-
теорема гласит: среди всех геометрически возможных положений
равновесия действительным положением является то, для кото-
которого функция Г минимальна.
Вернемся к уравнению A5) и преобразуем последний инте-
интеграл в его правой части
J
в
J 0 be dV = j 9 buit tdV = l [(ВbuL), t -
в в
= f б Ъщщ dA-\e, t but dV. A8)
i в
Подставляя A8) в A5) и группируя соответствующим обра-
образом члены, получаем
\ buidA = O. A9)
В теории температурных напряжений можно использовать, та-
таким образом, аналогию массовых сил, т. е. рассматривать Вхместо
действительных сил и температуры массовые силы Xi—yQti и
поверхностные нагрузки pi + yQtii.
В теории температурных напряжений используется также вто-
второй минимальный принцип, являющийся аналогом известной
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 93
в эластокинетике теоремы Кастильяно о дополнительной работе.
Для вывода этой теоремы воспользуемся соотношениями Дюа-
меля—Неймана, разрешенными относительно деформаций
B0)
Поскольку
W = ^ф] + (Х/2) е* = ?.'а^и + (V/2) а2,,, B1)
имеем
^ B2)
Умножая B2) на 8оц и интегрируя по объему В, получаем
0 B3)
или
J 4j Ц,- dV = j *?l 3a,,. dV + j afi 8aM dV. B3')
в в J в
Преобразовав интеграл в левой части B37), получим
bw, + j afi bakk dV = j §/W ^^ — J Цу, fa dV. B4)
Виртуальные приращения напряжений бa^j подбираются таким
образом, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия F<х^)^ =
= 0 и условия др{ = 0 на поверхности Ла с заданными на-
нагрузками. Таким образом, находим
:0. B5)
Г W9 + f фкН dV - j Л«, dA]
L h Aa J
Обозначая выражение в квадратных скобках через Г*, полу-
получаем минимальную теорему
8Г* = 0, B6)
которая гласит: среди всех статически возможных напряженных
состояний в действительности реализуется то состояние, для ко-
которого величина Г* минимальна. Минимальность функционала
Г* следует из положительности его второй вариации.
Существенное значение в теории температурных напряжений
имеет теорема взаимности. Эту теорему мы получим непосред-
непосредственно из теоремы о взаимности, установленной в § 1.12, ис-
используя уравнения A2") и A9). Эти уравнения были выведены
94 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
там для динамических задач. Итак, предполагая начальные ус-
условия однородными, из A2х) § 1.12 получаем
Ъ А В
B7)
Напомним, что Хи Ui и т. д. получены в результате применения
преобразования Лапласа к функциям Х^ и% и т. д.
Уравнение A9) § 1.12 было выведено для сопряженных за-
цач. В теории температурных напряжений следует пренебречь
сопряжением, т. е. в уравнении A9) § 1.12 следует отбросить
первый интеграл правой части. Предполагая, что начальные ус-
условия однородны, получаем следующее соотношение:
' - Q'в) dV + *l (Щ п - Щ п) dA = 0. B8)
В А
Это уравнение выражает теорему взаимности для классической
теории теплопроводности. В дальнейшем нас будет интересовать
уравнение B8) с известной функцией 0 (или (К). Применяя
к B7) обратное преобразование Лапласа, находим
о
t
+ J dA (x) f [p, (x, t - *)«; (х, х) - р\ (х, ^ - х) щ (х, х)] rfx +
А 0
+ Т JfifV(x) J [9(х, ^-т)е'(х, х)-9'(х, f-x)e(x, i)]rf«c = 0.
В 0
B7')
Рассмотрим, наконец, стационарную задачу термоупругости,
В этом случае теорема взаимности принимает вид
f {Xp'i - Х\и) dV-\-\ {pflt - р\щ) dA +
=o B9)
или
f (Xpt - Х\щ) dV + f (piu't - р\щ) dA +
В А
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 95
Предположим, что тело односвязно и свободно от нагрузок
и массовых сил, Х{ = 0. Вследствие действия тепловых источни-
источников или нагрева на поверхности в теле возникают поля темпе-
температуры 0 и перемещений щ. В качестве штрихованной системы
величин возьмем всестороннее растяжение и Х' = 0, 0'=О. Для
уравнение B9) сводится к простому виду
- J щщ dA + За, J 0 dV = 0. C0)
А В
Подинтегральное выражение первого члена равно проекции век-
вектора перемещения на нормаль щ к поверхности Л, а интеграл
равен приращению объема тела, вызванному действием темпе-
температуры1
\ C1)
Итак, приращение объема зависит лишь от распределения тем-
температуры 0 в теле В.
Проинтегрируем теперь по объему тела соотношение
C2)
Имеем
\ \^ \ C3)
Поскольку интеграл в левой части и второй интеграл в правой
части равны приращению объема, то
akkdV = 0. C4)
в
Мы получили интересный результат: интеграл от первого инва-
инварианта тензора напряжений по объему тела равен нулю.
Из уравнения B9) или B9') можно вывести метод интегри-
интегрирования уравнений стационарной задачи термоупругости, пред-
предложенный В. М. Майзелем2.
Рассмотрим тело Л, часть поверхности Аи которого закре-
закреплена, а остальная часть поверхности Ао свободна от нагрузок.
Под влиянием нагрева в теле возникают перемещения и% и
1 N о w а с k i W., см. примечание на стр. 55.
2 Майзель В. М., Температурная задача теории упругости, Киев, 1951.
96 Гл. I. Основные соотношения и уравнения термоупругости
температура Э, распределение которой устанавливается по урав-
уравнению теплопроводности. Записывая уравнение B7) для ^г = 0;.
pi = 0 на Ао и пг = О на Аи, получаем
- j X[ut dV -f J ptu'i dA - j р\щ dA + T J (бе' - e'e) rf\/ = 0.
d A ^
C5)
Для того чтобы найти перемещение пи точки (g) в направлении,
оси Xk, следует подобрать соответствующую штрихованную
систему.
Будем считать, как и выше, что на поверхности Аи тело за-
закреплено (и^ = 0), а на поверхности Ла свободно от нагрузок
(р^ = 0) и что температура равна нулю @/ = О). Пусть в точке
(|) приложена единичная сосредоточенная сила, направленная
вдоль искомой компоненты вектора перемещения, т. е. по оси хъ.
Эта сила вызывает перемещения u' = G^)(x, |), напряжения
oik) и деформации e(.fe). Перемещения иг. мы определим из си-
системы уравнений
Л/+(*+ |О 0^// + 5 (х - i) 8ift = 0,
/, у, ^=1, 2, 3 C6)
с краевыми условиями
p[k) = 0 на Ав, О(/° = 0 на Аи. C7)
Поскольку ^^.= б(х —|NiA, из уравнения C5) следует
j о (х - §) blkut (х) dK (х) = т J8 (х) ^) (х, §) rfK (х) C8)
или
C9)
В этом уравнении через в^ обозначено изменение объема, а че-
через с№ — первый инвариант напряженного состояния, вызван-
33
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 97
ного в теле В действием сосредоточенной единичной силы. Опи-
Описанный способ определения перемещений удобен в тех случаях,
когда поле температуры обладает симметрией относительно
точки (сферическая толстостенная оболочка, шар) или относи-
относительно оси (толстостенный цилиндр, цилиндрический круглый
брус, полупространство, слой).
Метод В. М. Майзеля особенно пригоден для изучения пла-
пластин и тонкостенных оболочек, так как для многих пластин и
оболочек функции е№ или <№} известны.
7 Заказ
Глава II
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЕ
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной
термоупругой среде 1
Пусть в неограниченной термоупругой среде в направлении
оси Xi движется плоская волна, меняющаяся во времени по гар-
гармоническому закону. Эта волна может быть вызвана механиче-
механическим воздействием (например, массовыми силами, равномерно
распределенными на плоскости, ортогональной оси х\) или теп-
тепловым воздействием (плоскими тепловыми источниками). Плос-
Плоская волна определяется следующим образом: в данный момент
времени на любой плоскости, ортогональной оси Xi перемещения
и температура постоянны. Поэтому функции и*, 9 зависят только
от пространственной переменной xi и времени t. Уравнения
термоупругости значительно упрощаются:
^±^W = o. A)
Поскольку мы предполагаем, что плоская волна возникает под
действием величин, изменяющихся во времени по гармониче-
гармоническому закону, то перемещения и температура запишутся в виде
&;. = Re [u)(xlt ®)е~ш'],
6 = Re[8*(;c1,a)*-'<u'], j=\, 2, 3. B)
Подставляя B) в A), получаем следующую систему обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд перемеще-
перемещений и температуры:
где
с2 == io2jc2 -с == аГ/?
с2 == io2jc2i у -с == аГ/?2, q = го)/х.
1 Chadwik P., Sneddon I. N., Plane waves in an elastic solid con-
conducting heat. /. Mech. Phys. Solids, 6 A965). Chadwik P., Thermoelasticity.
The dynamical theory, Progress in Solid Mechanics, v. 1, Amsterdam, 1960.
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 99
Исключая из двух первых уравнений температуру, находим си-
систему трех волновых уравнений
D)
Первое из этих уравнений определяет продольную волну,
а два следующих — поперечные волны. Для фиксированного со
последние уравнения определяют по две волны
[—/со (/ — хх\с2)\ -j- Z?_exp [—/со (t-\-xx\c^)\,
[ —/со (^ — хх\с2)\ -j-C_exp [~i^{t-\-xl\c2)]y E)
распространяющиеся с постоянной скоростью С2= (м>г/рI/г
в направлении осей xi и —xi соответственно. Эти волны не вы-
вызывают изменения объема и не приводят к возникновению поля
температуры.
Перейдем к описанию продольной волны, соответствующей
двум первым уравнениям системы C). Рассмотрим сначала
распространение продольной волны в гипотетической среде, для
которой коэффициент теплового расширения at равен нулю. По-
Поскольку
т] = ЗТ0К^0 и пг = ЗК
два первые уравнения системы D) для а/ = 0 примут вид
Подставляя сюда
их = ti°eiXlXi, 9* = Q°eil2Xi, G)
получаем
о о 2/2 .о
\х = а = со jci, X2 = q = /co/x.
Для фиксированной частоты решением системы F) являются
следующие функции:
0 = 01 ехр [ — /со/ -j- 12хг ] -f- Ol ехр [ —/со/ — Х^],
их = ^+ехр [—/со (/! — хх\сх)\ -f-^-exp [—/со (/ -\- xjc^], A0)
-iV^/Bx)"]. (И)
100 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Здесь Ui(xi, t)—чисто упругая волна, распространяющаяся
в направлениях х\ и —Xi с постоянной скоростью
Эта волна не подвержена дисперсии и не затухает. Формула
A1) представляет собой чисто тепловую волну, затухающую и
испытывающую дисперсию. Затухание определяется здесь ко-
коэффициентом #2 = 1т(Я2) =Усо/Bи). Дисперсия имеет место,
поскольку фазовая скорость i>2=co/Re(A2) = у2жо является
функцией частоты со.
Вернемся теперь к термоупругой среде, в которой движется
продольная волна, определяемая двумя первыми уравнениями
системы C). Подставляя в эти уравнения
u\=ueikx\ е* = бУ^, A2)
получаем соотношение
№).. A3)
Исключая u°/Q°, находим алгебраическое уравнение
?4 _ k2 [a2_j_ g (! _|_ е)'] + ^ = 0, е = 7]/ЮХ, A4)
корни которого имеют вид
Эти корни, как мы видим, зависят от параметра е. Отметим,
что для 8 = 0
k{ @) = Х1 = о, k2 @) = Х2 = Yq.
Поэтому по аналогии с формулами (8) и (9) запишем решение
двух первых уравнений системы D) в следующем виде:
их = и+ехр [—Ш-i-ik^i] +й1ехр [— Ш — ikxx{\ +
+ [mik2l(a2 — k\)\ {9+exp [— Ш-\- ik2xx\ ~ 6%?хр-[—Ш —ik^]},
A5)
— Ы + ^2-^1] + е-ехР [—i®t — ik2xx\ -f
ik^kl—q)] {tt+exp [ — i^t-\-ikxxx\ — й!_ехр [ — Ш — ik^]}.
A6)
Эти формулы мы будем называть выражениями для продоль-
продольных термоупругих волн, распространяющихся при постоянной
частоте в направлениях х± и -—xi.
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 101
Анализ корней ki и k% показывает, что они являются ком-
комплексными величинами, причем их действительные и мнимые
части положительны.
Обозначая через ур(Р = 1, 2) фазовую скорость, а через
Ор(р = 1, 2)—коэффициент затухания, и учитывая связь этих
величин с корнями уравнения A4) посредством известных соот-
соотношений
?=1, 2,
придадим формулам A5) и A6) следующий вид:
— to(t — xx\vx) — &ххх] +
+ uL exp [ -Ь (t + xx\vx) + Ьххх} +
-ш(/ + х^2) + &Л]}, A7)
6 = 6lexp [—/о) (/ — xx\v2) — ^xj +
+ 0l exp [ -ко (t + xx\v2) + Vi] +
+ [w/Ai/(*i~- ^)] {alexp[—/a)(^ —л:^) -^j —
-^_exp[-/o3(/ + x1K) + Vi]K A8)
Сравнивая эти формулы с A0) и A1), мы видим, что они
описывают модифицированную упругую волну и модифициро-
модифицированную тепловую волну соответственно. Первые члены фор-
формулы A7), а именно
#1ехр [ — До (t -- xx\vx) —§iXx\9
ul exp [-До (t + xx\vx) + ViL A9)
мы будем называть квазиупругими членами, а следующие члены
формулы A8):
9+ехр [—m(t — xx\v2) — Ь2Х\\>
9°_ exp [ — to (t + xxlv2) + b2xx], B0)
— квазитепловыми членами. Физический смысл волн A7) и A8)
становится ясным, если сравнить их с волнами A0) и A1), ко
торые соответствуют гипотетической среде с а* = 0.
Отметим прежде всего, что формулы A7) и A8) переходят
в A0) и A1) для а* = 0, т. е. для ц = 0 и m=Q. В этом пере-
переходе используются соотношения
Л1@) = Х1 = а, k2 @) = Х2 =
vx @) = O3/Re \kY @)] =с19 Ъг @) = Im [kx @)] =0,
^2 @) = WRe [k2 @)] = 1/^, »2 @) = Im [A, @)] = >A
102 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Сравнивая формулы A7), A8) с A0), A1), мы видим, что
корень k±(е), как это и было принято в A9), определяет вид
квазиупругой термоупругой волны, подобно тому как ki@)=M
определяет чисто упругую волну. Таким же образом корень
^2 (в) определяет вид квазитепловой волны, а &2@) = Л2— чисто
тепловой волны в указанной гипотетической среде.
В выражение для модифицированной упругой волны A7)
входят совместно квазиупругие и квазитепловые члены. Анало-
Аналогичная ситуация имеет место и в модифицированной тепловой
волне A8).
Отметим, что в отличие от чисто упругого члена A0), ква-
квазиупругий член A9) затухает и подвержен дисперсии. Затуха-
Затухание и дисперсия имеют место и для квазитеплового члена B0),
причем фазовая скорость и2 и коэффициент затухания #2 зави-
зависят здесь более сложным образом от частоты со, чем в чисто
тепловой волне A1).
Перейдем к обсуждению корней уравнения A4), приведя его
сначала к виду
или
&4-№ + й0+е)] + /х8 = 0, B1)
где
C,/U) J У., СО = CljY., ¦? = Ш/СО .
Корни уравнения B1) следующие:
_
0 У 2Х + *(! + ^)ГЯ -
V (l-fe)J'''}. B2)
Таким образом, эти корни зависят от параметров е и % =
= (о/(о*. Величина е постоянна и определяется термическими и
механическими свойствами материала, а % изменяется с часто-
частотой со. Величина со* является характеристикой данного мате-
материала.
Частота вынужденных колебаний ограничена величиной
1/, B3)
которая получается из дебаевского спектра для продольных
волн1. В формулу B3) входит атомная масса материала М и
скорость продольной волны в условиях адиабатичности (ci)s-
1 Brillouin L., Tenseurs en mecanique et en elasticite, Paris, 1938.
p. 324.
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 103
Для твердых тел величина озс оказывается значительно больше
ш*. Ниже приведена таблица характерных величин для четы-
четырех металлов.
В таблице указаны также значения коэффициента затухания
#^° для х=°°-
Ъ? = A\2)ж\(сх)т. B4)
Таблица 1
(C})s, см/сек
в
а>*, сек'1
Ь™, см~1
w СМ'1
Алюминий
6,32 • 105
3,56- 10-2
4,66 • 10П
1,31 • 104
9,80 •• 1013
4
1
1
3
7
Медь
,36-
,68 •
,73 •
,29 •
,55 •
105
10-2
юн
103
1013
5
2
1
4
9
Сталь
,80 • 105
,97 ¦ 10-4
,75 • 1012
,48 • 102
,95 • 1013
Свинец
2,14
7,33
1,91
3,27
3,69
105
10-2
юн
104
1013
Заметим, что сос в несколько сот раз больше to *. В экспери-
экспериментах с применением ультразвука было обнаружено, что
со « о)* < еос,
т. е. для реализуемых механических колебаний можно принять,
что % = co/to*<Cl.
На рис. 2.1 и 2.2 представлены величины vi/(ci)T и Oi/i^30
для меди (в = 1,68 • 10"~2) в зависимости от параметра % = со/(о*.
Эти графики построены непосредственно на основе уравнения
B2) с использованием соотношения
Sl,2=(^l)r(xK2+»b2K). B5)
Из рис. 2.1 следует, что фазовая скорость v± больше (ci)r и
стремится к этой величине при %-^оо. Коэффициент затухания
di растет с %: в области малых частот пропорционален %2, а при
->• оо стремится к асимптотическому значению $™.
В окрестности абсциссы %—1(со = со*) величины vi и fh резко
меняют поведение. В практических приложениях мы имеем дело
лишь с небольшой областью изменения величины % = со/со*.
104 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
Поэтому для %<Cl можно разложить корни gi и ?г в ряд по сте-
степеням % и, используя соотношение B5), получить приближенные
1,009
а
О
7
6
1005
Ц
3
2
1
1000
V,
(с,)т
-
J
-1
1
\
\
0.8
0,6
0,2
Рис. 2.1.
6 в 10
Рис. 2.2.
значения фазовых скоростей и коэффициентов затухания. Таким
образом, имеем
B6)
1 -
+=
хз?(8 —2Qs + ?2)
16(l + sN
, ^2D-s)
2 A + eJ I 8 A + eL
X3s (8 - 12s + s2)
Отсюда следует: что для x<Cl можно считать vi^ci^l + e вели-
величиной постоянной, несколько превышающей d==(ci)Ti и рас-
рассматривать квазиупругую волну как затухающую, но не под-
подверженную дисперсии.
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 105
Вернемся к уравнениям F), справедливым для гипотетиче-
гипотетической среды с at = 0, и рассмотрим колебания с фиксированной
длиной 2n/Re(X). В этом случае решение имеет вид
их = и+ ехр [А (хх - cxt)} + uL exp [il (x{ + cxt)}, B7)
j B8)
Чисто упругая волна аналогична волне A0), а чисто тепло-
тепловая волна B8) является стоячей волной с экспоненциально
убывающей амплитудой.
Перейдем к двум первым уравнениям системы C) и предпо-
предположим, что решение этих уравнений имеет вид A2) с постоян-
постоянным k. Тогда в B1) величина % будет постоянна. Перепишем
B1) в виде
X3 + itf? + Z A + О ? + ft4 = °> 5 = (Ф*) k B9)
и определим корни
Xi = /-te, Z2=-/-^ Z3=^A, C0)
где
/г = 12 —2^, /2^3^2-^2^ + S2(l + s),
a g" — действительный корень уравнения
8g3 _ 8^^2 + 2^2 (g2 + 1 + е) _ ?|4 = 0. C1)
Решения двух первых уравнений системы A) имеют вид
и = elkx* (V'***' + Vltt ^ + А3е-Ш*ъ<), C2)
9 = eikxi B{e~^bt + ^-/ш^ + В3е-Ш™). C3)
Используя обозначения
Л! == и+, А2 = и1, 53 — ^°
и зависимость между постоянными А\ и Вг-, соотношения C2)
и C3) можно записать в виде
C4)
- -f
106 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
Заметим, что, подставляя е = 0, rj = O, m = 0 в уравнения C4)
и C5), т. е.
Xi@)=5, Z2(O)=-S, -/з@) = -/$3, g = 0,' / = 6,
мы находим уравнения B7) и B8), описывающие чисто упру-
упругую волну и чисто тепловую стоячую волну. Модифицированная
упругая волна и модифицированная тепловая волна состоят из
волны квазиупругой и квазитепловой, причем последняя явля-
является стоячей.
Из формул C4) и C5) видим, что амплитуда стоячей квази-
квазитепловой волны пропорциональна величине e~~t;x, где т^(со*Я)~1
является временем затухания вол-
волны. Используя выражения для
длины волны б и нового пара-
-otois метра |3,
8 = 2тс/А = 2^7E@*),
C == (%2\h) — 1, т == (со*/*),
получаем следующую формулу
для времени затухания:
•]2. C6)
I'
На рис. 2.3 представлен гра-
юг 1 ю ю2 фик р в зависимости от \ для
Рис 2.3. меди при 20° С. В окрестности
|=1 кривая резко падает. Вели-
Величине 1=\ соответствует длина волны порядка 10 сек и время
затухания порядка 10~12 сек. При тепловых возмущениях, имею-
имеющих практическое значение, имеем g<Cl. Используя разложение
по степеням ?, находим
Поскольку
имеем
Время затухания для g<Cl можно определить по формуле
* = [A+е)/х][3/B«)]2. C7)
Рассмотрим простой пример действия плоского теплового
источника интенсивности Qo, приложенного на плоскости xi=0
и изменяющегося во времени по гармоническому закону. Реше-
Решение волновых уравнений в полупространстве Х\>0 можно выпи-
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 107
сать сразу, используя те члены выражений A7) и A8), которые
соответствуют волнам, распространяющимся в положительном
направлении оси xi
C8)
= 8° ехр [-/со {t - -?l) - Эус,] +
W=T u°ехр [~/<0 ('-¦?¦)- &Л1 • C9)
Для определения постоянных ц°, 0° нужны два условия. Первое
получим, используя антисимметрию функции ui(xi, t) относи-
относительно плоскости #i = 0. Из условия Ui@, t) =0 имеем
и + bmik2\ (а2 - k\) = 0. D0)
В качестве второго условия используем то обстоятельство, что
разность потоков через две плоскости, с правой и с левой сто-
стороны сечения *i = 0, должна быть равна интенсивности источ-
источника W=Woe-M, т. е.
Здесь до — коэффициент теплопроводности, Wq — количество
теплоты, произведенное на плоскости xi = 0 за единицу времени.
Условие D1) можно записать также в виде
±(J
дхх )xi = o+ ' \ дхх )Xi =
Учитывая симметрию функции 0 относительно плоскости xi = 0,
из условия D1') получаем
m2-^L«°=-^. D2)
Определив постоянные и° и 6° из уравнений D0') и D2) и ис-
использовав соотношения
tqk\ = {kt - a2) (kl -q), а = 1, 2,
108 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
получим следующие выражения для термоупругих волн:
Xl>0, D3)
Xl>0. D4)
Соответствующие выражения для области xi<0 выписываются
без труда, если учесть, что функция 9 симметрична, a tit анти-
антисимметрична относительно сечения jci = O.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если не учитывать
сопряжения полей деформации и температуры, т. е. если отбро-
сить в уравнении теплопроводности член це и, следовательно,
подставить вместо fei(e), fe(e) величины k\@)=o, fe@)=Y^,
то выражения D3), D4) будут решениями рассмотренной за-
задачи в рамках теории температурных напряжений,
i]!1 D5)
Выражение для и± состоит из двух членов: незатухающей упру-
упругой волны, распространяющейся с постоянной скоростью ci, и
диффузионной волны, подверженной дисперсии и затуханию.
Легко рассмотреть случай гипотетической среды с a* = 0,
т. е. с т = г\ — е = 0, /г±@)=о, fe@)=y^. Подставляя эти зна-
значения в D3) и D4), получаем только тепловую волну
«i(*i, 0 = 0, D7)
6 (Xl, t) = [QO*7B* Vq)] ехр [-До {t - xjV^) - x{ УЦЩ].
D8)
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 109
Рассмотрим теперь задачу о воздействии массовых сил
Рое~ш, равномерно распределенных на плоскости xi = 0. Под
действием этих сил, направленных по оси хи возникнет анти-
антисимметричное поле температуры G и симметричное поле пере-
перемещений м4. Условие 6@, t) =0 приводит здесь к соотношению
6° + ti°riy.qikll(k2i — q) = 0. D9)
Вторым условием будет равенство усилий, приложенных к бес-
бесконечно тонкому плоскому слою, содержащему плоскость хх = 0,
"и@\ t)-an(O~, t) = -PQe-M. E0)
Поскольку Gn= Bji + А,)^1д — yQ, условие E0) приводит к соот-
соотношению
Определяя постоянные и° и 8° из C8) и C9), получаем соот-
соотношения
E2)
_ exp [-to (*-¦§-)-&,*,]}. E3)
Переходя от сопряженной задачи к несопряженной, т. е.
подставляя 8=0, т) = 0, fti@)=a, fe(O)=yB E2) и E3), на-
ХОДИхМ
6 = 0. E5)
Мы получили только упругую волну, распространяющуюся
с постоянной скоростью С1=[(Ят + 2|лт)/р]1/2. Результат спра-
справедлив и для гипотетической среды.
Рассмотрим, наконец, переход к классической эластокине-
тике в соотношениях E2) и E3). Как указывалось в § 1.16, та-
такой переход возможен, причем следует положить k± = o, kz=~]/q,
110 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
ввести вместо тепловых постоянных \х, X адиабатические и запи-
записать температуру в виде 0 = г]>се. Таким образом, в рамках клас-
классической зластокинетики имеем
и, (*,, 0 = { />0/[2 (X, + 2ц,) /а,]} ехр [-w> (/ - х.Цс,),)}, E6)
, E7)
причем напряжения Oij, согласно A), равны
°п = (К + 2{1,) аь 1 - т^, а22 = азз = х^ь 1 - Т*0,
а12 = а23 = а31 = 0- E8)
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде
Рассмотрим еще один частный вид волнового движения,
в котором радиальное перемещение uR зависит только от ра-
радиуса #= (xj + *! + *зI/2 и времени, т. е. функция Ur(R, t) при
постоянном t постоянна на любой сфере радиуса R. Продоль-
Продольные волны такого вида возникают под влиянием ряда возмуще-
возмущений, например точечных сосредоточенных тепловых источников
или «центров сжатия». Сферические волны возникают также
в неограниченной среде со сферической полостью, на поверхно-
поверхности которой задано воздействие в виде равномерного нагрева,
равномерной нагрузки или равномерной деформации.
При исследовании сферических волн будем исходить из
уравнений A2) и A3) § 1.5,
П2з6-т]У2Ф = 0, A)
? ?Ф = /ю6, B)
где
Потенциал термоупругого перемещения Ф связан с радиальным
перемещением uR следующей зависимостью:
C)
Для возмущений, меняющихся во времени по гармоническому
закону, имеем
Ф(#, *) = Re [*-'»'©• (#, «>)],
Q(R, 0 = Re[<Tle'6*(/?f о))]. D)
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде 111
Подставляя эти формулы в A) и B), получаем систему урав-
систему уравнений
(V2 + a2)d>*-/n9* = O, E)
(V2 + q) 0* + ?}?<7V2<?* =0> q = гш/х, а = о>/с. F)
Исключая из этих уравнений функцию Ф*@*), находим
k\ + k\ = q A + s) + a2, ^ = a2,?. G)
Частные интегралы имеют вид
elM\R, eik2R\R, e~lkxR\R, e~ik2R\R.
В дальнейшем мы будем использовать только первые два
интеграла. Дело в том, что решения
Re [е-шеьк**№]={е-*
Re [е-ше'**№] = (е'^Щ)cos [a> (/ -
^a>0, &a>0 a=l, 2
описывают волну, расходящуюся от начала -..„координат /? = 0
в бесконечность, в то время как решение
Re [е-ше-'**«Щ] = {e**R\R) cos [a> (t + RK)}, a = 1, 2
определяет волну, сходящуюся к центру 'координат из беско-
бесконечно удаленных точек тела. Физический смысл имеет только
первый тип волны.
Итак, представим решение уравнений G) в виде
Ф* = AЩ) [Axeik'R + A2eik2R), (8)
6*= (\IR) (BxeiklR + B2eik*R). (9)
В дальнейшем мы убедимся, что потенциал Ф и температура 8
удовлетворяют условию типа условия излучения, допускающему
существование волны, расходящейся от источника возмущения
в бесконечность. Это условие, данное для комплексных значе-
значений k В. Д. Купрадзе1 имеет вид
<&:=*'*«* о (/г1),
^L-lka<!>: = eik**O(ir2), &a>0, a=l, 2. A0)
Здесь x=O(R"~a) обозначает такую величину, что x/Ra остается
ограниченным при 7?->оо.
1 Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интеграль-
интегральные уравнения, ГТИ, М.—Л., 1950.
112 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Вернемся к уравнениям (8) и (9). Вводя обозначения А\ =
=Ф°, В2=9°, ©ыражая Bi через Ф°, а Аъ через 6° и используя
уравнения E) и F), представим функции Ф и 0 в виде
(И)
|- Ф° ехр [ -Ш + /А,/?]
A2)
Эти функции описывают расходящиеся термоупругие волны;
введя фазовые скорости Фз(Р = 1» 2) и коэффициент затухания
5=1, 2), определенные в § 2.1, получаем
= ^(Ф° ехр [_/ш(<-^-) -
Мы видим, что модифицированная тепловая волна A4) и
модифицированная упругая волна A3) содержат по два члена:
квазиупругий и квазитепловой. Обе волны затухают и подвер-
подвержены дисперсии.
Полученный результат значительно упрощается для динами-
динамической задачи теории температурных напряжений. Подставляя
г] = 0, ^!@) = а, &2@)=Уд в A3) и A4), получаем формулы
A6)
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде 113
Для гипотетической среды с нулевым коэффициентом линей-
линейного теплового расширения, т. е. при а* = 0, т] = т = 0, находим
По известной функции Ф легко определить перемещения, де-
деформации и напряжения. В декартовой системе координат
имеем
В сферической системе координат в силу симметрии задачи за-
запишем
= —D1*//?) (dQ>ldR) + рФ,
A8)
д2ф \ г дф
-д^- -|- — —
Поскольку Ф является комплекснозначной функцией, а переме-
перемещения и напряжения действительны, то на конечной стадии
исследования следует, разумеется, взять действительные части
правых сторон этих соотношений.
Рассмотрим несколько частных случаев термоупругих сфе-
сферических волн. Пусть в начале координат приложен сосредото-
сосредоточенный тепловой источник интенсивности Woe~iG)t. Тепловой по-
поток через поверхность сферы радиуса R при R->0 должен быть
равен интенсивности источника, т. е.
дв
—шг
Поскольку радиальное перемещение симметрично относительно
начала координат, то оно должно быть равно нулю в этой точке.
Запишем это в виде второго условия так:
8 Заказ Л"о 362
114 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Соотношения A9) и B0) послужат для определения постоян-
постоянных Ф° и 0°. Подставляя сюда A3) и A4), находим
е° —тм \ ф° = _Дд. =
4тгл '
B1)
Ф° m Q° = о.
Решая эту систему, получаем следующие выражения для термо-
термоупругих сферических волн, вызванных действием сосредоточен-
сосредоточенного теплового источника, приложенного в начале координат:
_ е1ф [_(„(/_ ?) -»,/?]], B2)
- (*! - »2) ехр [ -» (< —|-) - »,«] j • B3)
Для 8 = 0, ki@)=G, k2@)=yq эти формулы значительно упро-
упрощаются
mQ0
ф== —
4тс%/< (a* — q) у г | \ Ci )\
~'-Ъь\\> B4)
Отделяя действительные части в B4) и B5), получаем1
-|-)]j, B6)
1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticity, Arch. Mech.
Stos., 9, j\b 3 A957).
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде 115
B7)
с2,
*~ со* } х
Перемещения и напряжения определяются по формулам A8).
•Если в формулах B2) и B3) положить Qo= 1, а тепловой
источник сместить в точку (|), то функции Ф(х, |, /) и 0(х, |, t)
будут функциями Грина для потенциала Ф и температуры 8.
Согласно этому замечанию, функция Грина Ф(х, §, t) имеет
•следующий вид:
- ехр [ -Ы + /^Jb B8)
Если задано распределение тепловых источников Q(x, /) =
= Q*(x)e~i0)/ в ограниченной области В и то потенциал упругих
леремещений примет вид
Ф(х, O=JQ*(?)Dx, I t)dV{l), B9)
•а температура 9—вид
6(х, 0 = j Q*(g)?(x, g, 0^E)- C0)
Ниже мы дадим другой простой способ определения частного
интеграла неоднородной системы уравнений
n^-^V2? = -Q/*, C1)
гп2ф = /;г9. C2)
Для тепловых источников гармонического типа путем ис-
исключения температуры 0 из уравнений C1) и C2), получаем
уравнение
C3)
которое можно записать также в операторном виде
DxD2<S>* = -mQ*\*. C4)
Покажем, что частный интеграл уравнения C4) можно по-
построить из частных интегралов более простых уравнений
DXF\ = -wQ>/, D2F*2 = -mQ*/x. C5)
116 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Решение уравнения C4) запишем в виде
©¦ = -(w/x)(Q*/D1D2) C6)
или
Поскольку решение уравнений C5) записывается как
^=-^Q*, « = 1,2, C7)
а
то решение C6') можно представить в виде
Ф« =_ (tf _/$/(*? _*|). C8)
Следовательно, задача сводится к решению простых волновых
уравнений C5).
Для точечного теплового источника уравнения C5) имеют
вид
+ жж+ %] Я=- («Q»8 (/?). C9)
а их решения известны:
Ft = (mQ*l4**R)eik**9 R^{x\ +x\ +х\)ч\ а = 1, 2. D0)
Подставляя D0) в уравнения C8), получаем1
Ф*- "J ,Ле^~е^). D1)
Используя формулу
получаем следующее уравнение для амплитуды температуры:
Применим теперь этот способ для решения задач с массо-
массовыми силами типа X=pgrad'O. В § 1.5 мы уже показали, что
иод действием массовых сил такого типа в неограниченном
пространстве возникают лишь продольные волны.
1 N о w а с k i W., On some problems of thermoelasticity, Problems of con-
continuum mechanics, Philadelphia, 1961.
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде 117
Для функции Ф, зависящей от R и t, система A2) и A3)
§ 1.5 принимает вид
D2)
», D3)
где
Для Ь = ®о(Я)е-ш после исключения температуры из D2) и
D3) получим
O. D4>
Используя обозначения
V2+^5., «==1,2, X2 + q^D3>
запишем уравнение D4) так:
DxD^=-(\\c\)D,%. D5)
Тогда
Решениями вспомогательных уравнений
DxSi (l/c?)»o- AS2 = - A \с\)\ D7)
будут функции
S:=-(\\c\){\\Da), а = 1,2. D8)
Подставляя D8) в D6), получаем частный интеграл
Ф* = ^ 2~ А* (^1 — «Й). D9)'
Для $o(R) =p6 (R) решения уравнений D8) имеют вид
Sl=--{p\4nc\R)e а , а = 1, 2. E0)
Подставляя E0) в D9), получаем
118 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Температуру, возникающую под действием рассматриваемых
массовых сил, определим из D3). Для 7?>0 это уравнение ста-
становится однородным
+ а2)ф*. E2)
Применяя к функции Ф*, определяемой формулой E1), опера-
операцию V2 + а2 и используя
-*)9 а=1, 2,
получаем
6 = { грд\[Arx\mR {k\ - k\)}} [falM - k\elk^\. E3)
В § 2.5 будет показано, что принятый вид массовых сил
¦0(/?, t)=p8 (Я)е~ш соответствует центру сжатия.
Выражения для Ф и 0 значительно упрощаются в теории
температурных напряжений, т. е. при 8 = 0, ki@)=o, fe@) =
— }fq. В этом случае имеем
Ф = [p\{4nc\R)] exp \-m (t - R\cx)l 8 = 0. E4)
Переходя к решению, справедливому в рамках классиче-
классической эластокинетики, следует в E1) положить 8 = 0, &i(O)=cr,
k2@)=iq и заменить мГ, ХТ адиабатическими коэффициентами
us, A,s. Для упругой волны получим, таким образом, выражение
Ф = [pl(^R (cDs)} exp [-Ь (t - /?/(*!),)]. E5)
Температура 9 здесь отлична от нуля
]гх(а)?у2Ф. E6)
Рассмотрим еще распространение сферических волн в не-
неограниченной термоупругой среде со сферической полостью.
Пусть тело занимает область R^a. На границе R = a могут
быть заданы либо перемещения uR, либо напряжения oRR = —р
и температура 6, либо тепловой поток — Xo(dQ/dR).
Рассмотрим два простых примера. В первом возьмем крае-
краевые условия
в (a, t) = %e~'mty cRR(a, t) = 0. E7)
Используя формулы A1), A2) и A3), получаем соотношения
я-К
ФУ *'"„, + 9s. л m 2 е1Кащ = 0, E8)
¦ч
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде 119*
где
пг = 4р. A — ikxa) — pa2to2, п2 == 4р. A — /?2а) — р#2<*>2,
из которых определяются постоянные 0° и Ф°. Потенциал тер-
термоупругого перемещения Ф и температура 0 принимают вид
Ф = — (а%тЩ\) {пг exp [ik2 (R — а)]—
- п2ехр \ikx (R - а)]}е~ш, E9)
- п2 (k\ - a2) exp [ikx (R - а) ]) е~ш", F0>
где
Д s (A2 - а2) Я1 - (А? - а2) п2 .
От этих формул легко перейти к соответствующим формулам
теории тепловых напряжений (г = 0, kt = o, k% = ^q). В этом
случае
[-Ш + i(R- a
где
rtx = 4(i. A — /за) — ра2ш2, я2 == 4(х (l — /а ]/<?) — ра2а>2.
Мы видим, что упругая волна, определяемая функцией Ф, со-
состоит из двух частей: упругой и диффузионной, подверженной
затуханию и дисперсии.
Во втором примере на границе R = a положим
д (a, i) = 0, вд#(а, t) = —ре~ш . F3)
Термоупругие волны имеют здесь вид
Ф = — j3a" К^2 — а ) exp \ik{ (R — а)] —
- {k\ - о2)exp [ik2 (R - а)]\е-ш. F4)
X {exp \ik2 (R - а)) - exp \ikx (R - а)}} е~ш. F5)
120 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
В рамках теории температурных напряжений получаем
Ф = - (pa^lRn^exp [-/со (t - (R-a)\cx)], 9 = 0, F6)
т. е. мы имеем дело с незатухающей и не подверженной дис-
дисперсии упругой волной.
Решение, соответствующее классической эластокинетике,
имеет также «вид F6), где величины jutT, XT заменены на адиаба-
адиабатические значения pis, As. Добавим, что температура здесь не
равна нулю, Э = —цтке = —у]т%У2Ф.
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной
термоупругой среде
Рассмотрим третий частный вид волнового движения,
а именно движение, в котором перемещения и температура за-
зависят только от переменных г= (л^ + д^I/* и t. Такие волны
называются цилиндрическими. Они могут возникнуть под дей-
действием линейного источника или же в неограниченной среде
€ цилиндрической полостью, на поверхности которой заданы
равномерно распределенное давление, тепловой поток или де-
деформация.
Потенциал термоупругого перемещения удовлетворяет урав-
уравнению
{и\и\-~т^д^2)Ф = 0, A)
тде
Б случае возмущений гармонического типа уравнение A) ста-
становится обыкновенным дифференциальным уравнением
Вспомогательная система имеет вид
(v2+*i)O? = 0, (у2+^)Ф2 = 0, Ф* = Ф1 + Ф2*, C)
л ее решениями являются функции
< = АЛН$(каг) + В11Н%)(Кг), «=1, 2, D)
где HW(kar), Hf(kar) —функции Ханкеля комплексного аргу-
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 121
мента. Эти функции можно записать в виде линейных комбина-
комбинаций функций Бесселя h(kar) и функций Неймана N0(kar):
М2) (Кг) = /о (Кг) - INO (КП- E)
Здесь
FT Ff)
Из уравнений E), F') и F") следует, что для Аа?=Ва вы-
выражение D) является решением уравнения C), причем вначале
координат это решение имеет особенность типа In A/г).
Для больших значений аргумента функцию
можно записать в виде
т. е. в виде волны, расходящейся от г = 0. Асимптотическое вы-
выражение для функции
имеет вид
и определяет волну, сходящуюся из бесконечности к г = 0. Фи-
Физический смысл имеет лишь расходящаяся волна G). Поэтому
решение уравнения A) запишем в виде
Ф=[АгН^(Кг) + А2Н^ (к2г)]е~ш. (8)
Выражение для температуры получим по формуле A3) § 1.5
б = (е-ш\т) [Л, (а2 - А?) М1' (*,/¦) + Л2 (а2 - А?) Я(о'> (V)]• (9)
122 1л. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Частные интегралы, входящие в состав (8) и (9), удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям излучения:
\/] - iKHf (Кг) = е'^'О (г-'Л),
ka = aa + i\, aa>0, »„>0, а=1, 2.
После определения постоянных Ai, Аг по известным Ф, 8
найдем перемещения и напряжения
о„ = -2ц Re [е~ш
(И)
о99 = -2а Re [е-ш (d'ldr2 + ^2/2) Ф*],
Рассмотрим цилиндрическую полость радиуса г = а в неог-
неограниченной термоупругой среде. Пусть на краю г = а прило-
приложены нагрузки или температура, вызывающие осесимметрич-
ную деформацию и температуру. Если в области г>а нет теп-
тепловых источников и массовых сил, то потенциал Ф и темпера-
температура 6 выражаются формулами (8) и (9).
Возьмем краевые условия в виде
в (а, О = во*~^ *„(а, 0 = 0. A2)
Напряжение на краю orr{a, t) =a^.(a)e~ifi)* связано с Ф* фор-
формулой
а*г(а) = ~ [B-х/Г) Д?Ф V + P«>V]r = fl. A3)
Учитывая краевые условия A3), получаем
Л1 = /7г0о^2/А, A2=—m0Qnll\, A4)
где
na = 2pkaH{?\kaa) -ариГНр^а), а=1, 2,
А = (а2 - k\) щН^ (kxa) - (а2 - k\) щН^ (k2a). A5)
Итак, имеем
Ф = (/иео/Л) [/гз/У^ (*/) - я^о0 (k2r)] е~ш, A6)
О = FО/Д) [п2 (а2 - ^2) Я(о1} {kxr) - пх (а2 - k\) Я@П (*/)] ^/ю'. A7)
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 123*
Переход к «несопряженной» теории температурных напряже-
напряжений не представляет труда. Положив е = 0, ki = o, k2 = iqy no-
лучим
Ф = {шф) [п2Н{01)(зг) -n^irVq)} е~ш, A8')
6 = 6о(я(о1)(г>^)/М1)(а) 1))е-ш, A8")
где
л, = 2[xaH(i) (ва) -ар^Я'о1' (зд),
п2 = 2.x VqH^ {a V~q) - арш2 Н^ (a Y~q). A9)
Рассмотрим второй пример со следующими краевыми усло-
условиями:
Ца, 0 = 0, агг(а, ?) = -ре~ш. B0)
В этом случае
А, = (/>а/Д)(а2
2
X [Я^ (М) //(о" (V) - Я(о° (Л,а) Я'о1' (V)] е"'"'. B3)
(о2 - A?) M!) (^а). B1)
Следовательно,
Ф = (pajl) [(а2 - Л?) /У'о1' (^2а) //^ (*,г) -
- (а2 - Л,) М'> (Л,а) М0 (V)] е""", B2)
Величины Д, па, входящие в эти формулы, определяются по
формулам A5). В случае теории температурных напряжений
имеем
Ф = -Ыл1)//(о1)ИГы, B4)
0 = 0. B5)
Рассмотрим, наконец, цилиндрические волны, вызванные
действием линейного теплового источника интенсивности Qo,
расположенного на оси Хз1. В этом случае имеем
Q(r, t) = Q0{b(r)l2«r)e~lat.
1 Nowacki W., On some problems of thermoelasticity, Problems of con-
continuum mechanics, Philadelphia, 1961.
124 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
Для определения функции Ф* используем неоднородное
уравнение A5) § 1.5
(ufc2 - y\m dtV2) Ф = -otQ/x B6)
или
(v 2 _|_ k\){ V2 + kl) Ф* = — ^Q0S (г)/Bтсхг). B6;)
Частным интегралом этого уравнения является функция
Ф* = - (К — ^2)/(^ - $)> B7)
где F* (а=1, 2) суть решения волновых уравнений
т. e.
^^(/nQo/^M^tV). P=U. B9)
Подставляя B9) в B7), получаем
ф= ^g!:^ Wikrt-HWikfUe-1*. (зо>
Температуру определим по формуле A3) § 1.5
9=1Ц^Ьщу [{°2 ~kX) H^{kir) ~ (°2 ~ kl) И°] (hr)] е~Ш-
C1)
Напряжения и радиальные перемещения даются формулами
A1). Для несопряженной задачи теории тепловых напряжений
имеем
ф= 4*(?У.») WM-mrVDle-", C2)
е = ШЬ)нР(гУд)е-ш. C3)
Рассмотрим далее воздействие центров сжатия, равномерно
распределенных по оси Хз. Воспользуемся уравнениями A2) и
A3) § 1.5, рассматривая задачу как осесимметричную,
? 26-т]У2Ф=0, C4)
? ?Ф - mb = - A \с\)», X = р grad &. C5)
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 125
Положив $='&о(г)е~м и исключив температуру, получим урав-
уравнение
+ я)Ъо(г). C6)
Частным интегралом этого уравнения является функция
1 /1 1
C7)
(см. аналогичное решение в § 2.3). Здесь S* (а=1, 2) суть
решения уравнений Гельмгольца
ОЛ=-Ш)Ь0(г)9 ?>a=v2+*a, a=l, 2. C8)
В частном случае при #о@ =/?6 (г)/2пг функции 5* имеют вид
5: = (/7//4^)M1}(V). C9)
Подставляя C9) в C7) и применяя оператор ?>3 к Щ\ прихо-
приходим к следующему частному интегралу уравнения C6):
ф = Тч^Нл К* - ® ^ № - b - ® я°' (V)] в"'-
D0)
Температура выражается формулой
В рамках теории температурных напряжений (т] = 0, ki = o,
k2 = iq) формулы D0) и D1) значительно упрощаются:
Ф = (pi\Ac\) Нф (or) е~ы\ Q = 0. D2)
В рамках классической эластокинетики (в предположении ади-
абатичности процесса) имеем
Ф = [pi\A (сгI) Я(о!) (as) е~ы\ б= -we. D3)
Следует помнить, что в этих выражениях постоянные \х, К от-
относятся к адиабатическим условиям.
Займемся теперь более подробным изучением поведения ре-
решений волновых уравнений на бесконечности и дадим теорему,
126 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
аналогичную теореме Гельмгольца классической эластокинетики.
Рассмотрим уравнение продольной волны
(V2 + *D(V2+^K = O. D4>
Это уравнение можно заменить системой
(v2+*?)ai==0, (v2-f *1)»2 = 0, и=и\ + и2. D5>
Особую роль играют, как известно, те решения уравнения D4),
которые имеют особенность в точке (|) и зависят от радиуса г,
являющегося расстоянием точки (х) от точки (|). Эти реше-
решения, которые обозначим через ф* (г), удовлетворяют уравнению-
d\\\d?+\(n- \)\r]d^\dr+kl?l = 0, a = l, 2. D6>
Здесь п = 3 для пространственного и п = 2 для плоского слу-
случая. Общее решение уравнения D6) имеет вид1
{*] (kar)}, m = (n- 2)/2, D7)
где ЯA) и ЯB) — функции Ханкеля m-го порядка и соответст-
соответственно первого и второго рода.
Для п = 3 (т. е. для т=1/2) имеем
Я,'/2,' (А„г) = /l/2R7e"'v/r, а = 1, 2,
а решением уравнения D6) является функция
T:(r) = V*e> + *ie-"er/r,
г2 = (х;. - ?у) (^ - Sy), /=1,2,3.
Из обсуждения, проведенного в § 2.3, следует, что для cp(r, t) =
= (p*(rN~i'G)f физический смысл имеет только член Aieik*rjr, оп-
определяющий продольную расходящуюся волну.
Для цилиндрической волны (при п = 2 и т = 0) получим
ер! (г) = Л//(о1} (*вг) + ЯМ2) (*.г),
D9)
/¦=[Ui-6,J+(^2-y2]/2-
Как указывалось ранее, физический смысл имеет только пер-
первый член H^(kar), определяющий расходящуюся волну.
1 Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интеграль-
интегральные уравнения, ГТИ, М.-Л., 1950, стр. 114.
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 127
Рассмотрим предел выражения
при г, стремящемся к бесконечности. Имеем
lim г [д\дг(eIKT\r) - ikJK'\r\ = lim ( -еШг\г), E0)
Г
т. е. предел равен нулю, если Im(Aa) =^a^0. Следовательно,
lira r [d\dr(eikrJ\r) - ikaeiKr\r]=\im (-eik*r\r) = 0, Ьа >0.
Г -> со г~>со
Для л=2 рассмотрим в сбою очередь предел
lim У7 [(?/У^ {kar)\dr - ik%H{? (kj)]. E1)
Г-+ оо
Для больших аргументов имеем
/ (Aar - B/n + 1) тс/4)] [l + О (г)] •
Отсюда, используя формулы для производных от бесселевых
функций,
dZJdx= — (mix) Zm + Zm_u dZojdx= —Z,,
приведем E1) к виду
Hm V~r {-К V2^Kreik«r [(г'1' + ih) + О (г)] = 0, (g2)
&a>0, a=l, 2.
Полученные результаты запишем, используя символ O(r~a),
в следующем виде:
я = 3: ^r(e'V/r)_^'V/r = e«V0(r-2)> &a>0)
¦ E3)
Напомним, что x = O(r~a) таково, что х/га остается ограничен-
ограниченным при г-> оо.
Формулы E3) описывают поведение фундаментальных ре-
решений в окрестности бесконечно удаленной точки.
Рассмотрим класс тех решений уравнения D4), которые ве-
ведут себя на бесконечности как фундаментальные решения
128 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
eikar/r, HW(kar). Для этих решений а* (а =1,-2) по определе-
определению имеем
п = 3: -^ - ikju = е'*-'о (Г2) = e'^oir1), К > О,
= 2:
Эти условия называются условиями излучения. Здесь х=
= о(г~а) таково, что х/га стремится к нулю при г->оо равно-
равномерно и независимо от направления радиуса-вектора.
Первое из условий E4) можно записать также в виде
lim г (duljdr — ikaul) = 0. E5)
Г-> оо
К этому условию следует добавить еще условие
иа = о(\) при г-^оо, E6)
где оA) — бесконечно малая величина.
Для фа(г, t) =ф* (г)еш физический смысл имеют решения
E7)
поскольку только они описывают расходящиеся волны. Условия
излучения запишутся в виде
л = 2: ~ Щ}(Кг) + ikJJo (kj)=e-"«rO{r~ '¦'), Im(?J<0,
E7')
Для функций и* имеем аналогичным образом
я = 2: duller -\-ikaul = e~i"'1' О (г~3'2), 1т(&аХ0,
ikaul = е~'к"гО(г~2), Im(^a)^0. E8)
Покажем теперь, что условия излучения достаточны для оп-
определения регулярного решения уравнения D4) во всем про-
пространстве.
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 129
Рассмотрим область Вг-, ограниченную замкнутой поверхно-
поверхностью 5. Рассмотрим в этой области систему сопряженных урав-
уравнений термоупругости
(V2 + а2) и* - mv* = О, (V2 + q) <а* + (gsjm) V2и* =. 0, E9)
(V2-f а2)Ф*-т6* = О, (V2-f Я)Ъ* + {Я-\т) V2«&* = 0. F0)
Умножим второе из уравнений E9) на Ф*, а первое из
F0) —на а*. Вычитая результаты и интегрируя по области Ви
получаем
j l = 0. F1)
Bi i
Умножим первое из уравнений E9) на 6*, а второе из F0) —
на у*. Аналогичным образом получим соотношения
J
Bi
в
Из
J<
/
уравнений
[8*v2^* — г
F1) —F3)
Я) jF
путем
f
преобразований
)dV-0,
^ = 0.
получим
F2)
F3)
Применяя к этому соотношению теорему Грина, находим
8* -г ^ -г- к/о Ч—S" Ф -1 и -з— rfo = 0. F4)
J \ дп дп ) ' m2 J \ dn ^/г / v 7
о 5
Мы предполагали неявно, что первые и вторые производные
функций и*, и* непрерывны в области Bi и на поверхности 5.
Соотношение F4) справедливо в том случае, когда особая точка
функций Ф* и 8* расположена вне области Bi. Если особая
точка (|) функций Ф* и 8* расположена в области Вг-, то способ
рассуждения нужно изменить следующим образом. Из области
Bi выделим содержащуюся в ней сферу радиуса р с центром
в (|), ограниченную поверхностью а. Применяя формулу F4)
9 Заказ JVs 362
130 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
к области, содержащейся между поверхностями 5 и а, получаем
dv* * дб* \ ,с , eqa2 Г /
дп № дг
дг Г '
F5)
Пусть особенность в § 6 В± вызвана тепловым источником.
Тогда, согласно формулам D1) и D1х) § 2.2, получим
ф* = __^__^ (e^jr _ eik2T\r\
F6)
(n2eik2rlr - пхе1кгГ\г), па = kl~o\ a = 1, 2.
Рассмотрим первый поверхностный интеграл в правой части
уравнения F5). Имеем
7-ъ ^—llm
m f [J^
-^0 J L г
Переходя к пределу при r=p->0, получаем
1 sin 6 db = v* (§)/x.
Второй поверхностный интеграл в F5) принимает вид
Jk2r
i
Подставляя полученные предельные значения интегралов в F5),
находим следующее уравнение для | ? 5^:
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 131
Рассмотрим теперь внешнюю область Ва. Предположим, что
функции а*, у* имеют непрерывные первые и вторые производ-
производные в Ва и на S. Возьмем сферу с центром в § ? Ва и подберем
радиус сферы так, чтобы вся область Вг попала внутрь сферы.
Напишем уравнения F5/) для области Vt, содержащейся между
поверхностью 2] указанной сферы и поверхностью 5. Имеем
Г/о
J \
дп дп
F7)
Отрицательный знак двух первых интегралов связан с диффе-
дифференцированием по нормали на 5, направленной внутрь области
Ва. Первый поверхностный интеграл представляется следующим
образом:
meik*r ( dv* .и Л пхеш ( ди* ., Л ,
lk^\- ikv*\\
Г Г
J L
з lk^\ -т
dr 2 ) г \ дг
Перейдем к пределу при г->оо. Поскольку в выражении для
элементов поверхности имеется множитель г2, а функция v* удо-
удовлетворяет условиям
v* = 0(\)9 Im(Ae)>0, a = l,2, F8)
то при г-^оо рассматриваемый интеграл равномерно стремится
к нулю. Аналогично этому и второй интеграл по поверхности
сферы 'в F7) стремится к нулю. Таким образом, для области Ва
получим при | 6 Ва следующую формулу:
F9)
132 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
Уравнения F7) и F9) можно рассматривать как обобщение
известной теоремы Гельмгольца на задачи теории теплопровод-
теплопроводности. Если функция t/*(?) известна, то функцию а* можно опре-
определить из первого уравнения E9),
1
V
Перейдем к несопряженной задаче, когда 8 = 0, &i = a, fe —
==~}/q. Формулы F6) принимают вид
Ф* = -т{еЬт - е1гУ1)\[Аы{з2 - q)r] ш д*=е1гУ71*™. F6')
В уравнении F9) остается только первый интеграл; используя
F6х), находим
Мы получили результат, хорошо известный в теории параболи-
параболического уравнения теплопроводности.
Рассмотрим теперь систему уравнений
G2)
Здесь имеются особенности вида
G3)
a = q — k\, a = l, 2.
Мы видим, что эти особенности соответствуют действию центра
сжатия или единичной массовой потенциальной силы (см. фор-
формулы E1), E3) § 2.3).
Умножая первое уравнение G2) на и*, а первое уравнение
E9) на Ф*, вычитая результаты и потом интегрируя по области
Вг полученное выражение, находим
Ш) "(§), G4)
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 133
откуда
+ тс* \(v*<&* — 6*u*)dV(x)f G4')
причем Ф* и 9* определяются формулами G3).
Аналогичную формулу получим для внешней области Ва. От
формулы G4) легко перейти к задаче классической эластокине-
тики. Подставляя в G4х)
получаем
§ dV (x) = u* ft). G5)
Здесь с^ = (Я +2|ы)/р, г [i и К являются изотермическими кон-
константами. Используя формулу A6) § 1.6, получаем
где (с)s — скорость продольной упругой волны (при адиабатиче-
адиабатических постоянных Ламе). Уравнение G5) запишем в виде
Т - «*
Функция Ф* является здесь решением уравнения G2), в котором
следует положить 9* = —г)гхУ2Ф*,
(x-g), alSco/(^b, G7)
Частным интегралом этого уравнения является функция
<D*=[4«(e?)J-V"f/r. G8)
Подставляя G8) в G6), получаем
О, если g^fi/. G9)
Формула G9) известна в эластокинетике под названием фор-
формулы Гельмгольца.
134 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Дадим еще одну формулу, определяющую и* для х ? В через
поверхностные интегралы1. Будем исходить из следующего то-
тождества для двух произвольных функций а* и Ф*:
j \u* (?) DXD2Q>* (?) - Ф* (?) А?>2и* (?)] dl/ E) =
В
= j [и* (?) 74Ф* (S) - Ф*
В
и формулу Грина
запишем уравнение (80) следующим образом:
J (и*ОхО2Ф* - Ф*ОхО2и*) dV =
D,st4*2, а = 1, 2. (80)
Используя основную формулу для билапласианов
|(^т). (83)
где
D'-v' + tf + AS.
Предположим, что функция ц* не имеет особенностей в об-
области В и удовлетворяет однородному уравнению
D1D2a* = 0. (84)
Температура у*, связанная с м*, дается формулой
(85)
1 Ignaczak J., Nowacki W., Osobliwe rownania calkowe sprz§zonej
termospr§zystosci, Rozpr. Inzyn., 13, № 4 A965).
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 135
Пусть функция Ф* является решением сингулярного уравнения
DXD2®* = -(/ю/х) 3 (х - g), (86)
справедливым в неограниченном пространстве. Такое решение,
согласно F6), нам известно. Подставляя (86) в (83) и учитывая
(84), получаем
|
-У2Ф*E, х) du*d™]dA(t), xeB, (87)
и*(х)=0 для хеЬ-В, (87')
где через $ обозначено все пространство.
Соотношение (87) можно преобразовать, используя соотно-
соотношение (85) для и* и v*. В результате имеем
и* (х) = у. j [Ф* (I х) i^- - ?;* (?) 4" Ф* E- х) ] rfA (I) -
х е В, (88)
и*(х) = О для х€8--?, (88f)
где
Формула (88) выражает функцию ц* внутри области В через
функции и*, ди*/дп, у*, dv*/dn на поверхности А. Она анало-
аналогична формуле G4х).
Применяя к (88) операцию (V2 + <?2)M и используя F0) и
(85), получаем
<г;*(х) = — (V2-f з2)#* =
= у. j [0* (I х) -*^1 - ^* (|) -А 0* (?, х)] rfA (S) -
(89)
136 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Поскольку
а на поверхности А имеем Д1Д2Ф* = 0, из (89) находим соотно-
соотношение
v* (х) = х ] [в* (S, х) -^?1 - v* (?) -А е* (I х)] </л (§) -
-5^5 [и* (S) 4-Ф* (§, х) - Ф* (§, х) *^I] dA (I). (90)
Л
Это соотношение идентично формуле F7), полученной ранее
другим путем.
Соотношения (88) и (90) послужат нам для приближенного
решения следующей задачи. Предположим, что на границе тела
А задана нормальная производная потенциала термоупругого
перемещения du*/dn=f(%) и температура v*=g(%). Используя
(88) и (90) для х 6 S —5, мы придем к следующим функцио-
функциональным уравнениям:
^1[ ^ ]А(|), (91)
Л
0 = j[ ^^^ ]
(92)
Неизвестными функциями здесь являются dv*/dn и и* на по-
поверхности Л. Определив эти функции, мы получим по формулам
(88) и (90) функции и* и у* для х^В. Уравнения (91), (92),
в которых функции dv*/dn, и* содержатся только под знаком
интеграла, а области изменения точек х и | не совпадают, мы
будем называть каноническими функциональными уравнениями.
Можно показать, что уравнения (91) и (92) для dv*/dn и а*,
где 1 б Л, имеют единственное решение.
Введем обозначения
-^-«•(g) = *(§), «*E) = П§) (93)
и будем решать канонические уравнения приближенным мето-
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 137
дом путем сведения к системе линейных алгебраических уравне-
уравнений с использованием квадратурных формул.
Выберем N точек Xj (/ = 1, 2, ..., N) на некоторой поверхно-
поверхности А', содержащей всю область В (рис. 2.4). Точки Xj могут
быть точками пересечения с поверхностью Л' нормалей к по-
поверхности А. Указанные нормали разместим на поверхности А
достаточно равномерно. Тогда ядра подинтегральных выраже-
выражений в (91) и (92) будут ограничены для Xj ? А' и gj ? А и можно
будет применить квадратурные формулы. Таким образом, имеем
а Л(дг) — коэффициенты соответствующей квадратурной формулы.
Мы получили систему уравнений (94) и (95) для 2N неизве-
неизвестных X(li), У(|г) (*"=1, 2, ..., N). Основной детерминант си-
системы можно сделать, вообще говоря, отличным от нуля путем
соответствующего подбора точек Xj на поверхности Л/.
Приближенные формулы для потенциалов а* и и* в точках,
расположенных внутри области В, имеют вид
(96)
138 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
2
). (97)
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием
точечной сосредоточенной силы
Поставим задачу определения функции Грина для перемеще-
перемещений и температуры в неограниченной термоупругой среде, воз-
возникающих под действием приложенной в точке (§) сосредото-
сосредоточенной силы, меняющейся во времени по гармоническому закону1.
Обозначим через L/W (&=1, 2, 3) векторное поле перемещений,
вызванное действием сосредоточенной силы, приложенной в точке
(|) и направленной по оси х±.
Наша цель состоит в определении функций U® и связанных
с ними полей температуры 6<#. Эти функции будут функциями
Грина для неограниченной термоупругой среды. Отправной точ-
точкой наших рассуждений являются волновые уравнения A5) и
A6) §1.5
AУ) ШI A)
B)
Напомним, что функции Ф и % были введены путем следующего
представления массовой силы:
X = p(grad& + rotX). C)
Если массовые силы изменяются во времени по гармоническому
закону
$ = Ъ*(х)е~ш, Х(х, t) = yC(x)e'i(ut9 D)
то функции Ф, ф, G также изменяются по гармоническому закону
Ф(х, /)=Ф*(х, и)е-ш, ф(х, /) = Ф*(х, и))^-'^,
6(х, /) = 6*(х, со)*-"", E)
1 Nowacki W., Green functions for an thermoelastic medium (I), Bull.
Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 6 A964). Nowacki W., Green
functions for an thermoelastic medium (II), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci.
Techn., 12, № 9 A964).
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точечной силы 139
Подставляя D) и E) в A) и B), получаем систему уравнений
(v2 + *?)(va + *a<D'=-(l/tf)(v2+tf)<f. (б)
(уЧ^)<Ь* = -A/^Х*, G)
Функции Ф* и %* выразим через составляющие массовых сил
при помощи следующих формул1:
(8)
Предположим, что сосредоточенная сила приложена в на-
начале координат и направлена по оси х±, т. е. Х*(х') =
= б (х[) б (х'г) б (ж3') бц, /= 1, 2, 3. Тогда
Следовательно, мы должны решить систему уравнений
1 Kupradze V. D., Dynamical problems in elasticity, Progress in Solid
Mechanics, v. 3, Amsterdam, 1963.
140 Гл. IL Гармонические волны в термоупругой среде
¦^(г)' (И)
Рассмотрим первое уравнение A1), так как решение осталь-
остальных уравнений известно:
где
Используем два свойства функции Ф*. Волновые функции и
перемещения, возникающие под действием сосредоточенной
силы, направленной по оси xi, будут симметричны по отноше-
отношению к этой оси. Поскольку перемещения и± симметричны относи-
относительно плоскости (#2, #з), функция Ф* относительно нее анти-
антисимметрична. Рассматривая Ф* как функцию х\ и радиуса г =
= (х|+ х|) ^2у применим к волновому уравнению сперва пре-
преобразование Ханкеля, а затем синус-преобразование Фурье.
Итак, если
Ф(а, 3) = ]/2/те Ф*(х1у r)rJQ(ar) sm$xxdr dxx, A3)
о о
то волновое уравнение сводится к следующему:
Ф(а, р) = —i-=
-Л2-2 1-^— ~ tt2 1 32 1 ' ^14)
где
Применяя к A4) обратное преобразование Ханкеля—Фурье
(аг) Sin pJCt rfa rf?, A5)
и о
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точечной силы 141
получаем следующее замкнутое решение:
Ф*(^.г)=-^Г^7^(/?)со)) A6)
где
, со) = A//?)ехр(/*;/?), /=1,2, /0=
Заметим, что, переходя к несопряженной задаче, т]=0, &|=<7,
?2=(д мы получаем известное решение волнового уравнения
классической эластокинетики:
^^ A7)
Вернемся к выражению A6) и изменим точку приложения
силы на (|). Функции Ф* и if* мы будем снабжать верхним ин-
индексом, указывающим, что они связаны с силой, направленной
по оси Х\. Тогда имеем
где
Налагая поле перемещений по формуле
получаем
Полученному полю перемещений сопутствует поле темпера-
температуры, которое можно определить по уравнению A3) § 1.5.
142 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
Амплитуда температурного поля равна
После простых преобразований с использованием равенств
получим
Мы видим, что функция 9*W имеет особенность в точке (х=|).
Воздействие сосредоточенной силы приводит, таким образом,
к возникновению теплового источника в точке приложения силы.
Направим теперь силу, приложенную в точке (§), сначала по
оси jci, затем по оси Хг и, наконец, по оси хз. Это даст составляю-
составляющие перемещений [/*w, U*S2\ U*<® и амплитуды температур
9*(i)? 9*B), 9*C>. Множество всех составляющих вектора переме-
перемещений является фундаментальным симметричным тензором пе-
перемещений Грина ?/*(*) (/, й = 1, 2, 3), причем
U f{x, I 0 = —4^зг Re[«;(*'(x, 5> »)e-'wl] =
-/(o(/-/?/c2)]}. B2)
Поле температуры 0(fe) выражается формулой
8(*>(х. I O = Re[e-'u"e*(ft)(x, g, «)] =
B3)
По известным функциям f/W, 6^ легко найти напряжения и де-
деформации
m + ?/^„),. /г, /га, А = 1, 2, 3. B4)
Формулы B2) и B3) взаимно связаны. Каждой тройке соста-
составляющих перемещения i/W (/=1, 2, 3) сопутствует поле темпе-
температуры Wk\
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точечной силы 143
Переход к функции перемещений Грина классической эласто-
кинетики не составляет труда. Положив k± = G, k2=iq и, следо-
следовательно, Ai = 0, Л2 = 0, так что
получим известную формулу1
?//>= - (i/4xpco2) Re [e-iatdjdk(ehRIR - el)
-^V~'m('~R/ei)]- B5)
Здесь постоянные \х и Я соответствуют адиабатическому про-
процессу. Температура 9<Ч согласно § 1.16, выражается формулой
б(й) = -У1т*ещ = -%*?/}f}. B6)
Ниже мы опишем другой, более непосредственный способ по-
построения функции Грина, основанный на системе разделенных
уравнений
w^V2)cp/+^/(p^) = 0, /=1,2,3 B7)
(см. уравнения A0) § 1.6). Напомним, что перемещение и и тем-
температура 9 выражаются через <р по формулам
u = 29-graddiv(r?); e = ^^div (Г|?), B8)
где
2 = A + а)П?Пз - T<tf ^V2, Г = аП1 - Тот] dt,
а = (Х + [i.)/[i., То = Т/Р-
Рассмотрим сначала действие на неограниченную среду мас-
массовой силы Х= (Хи 0, 0), направленной по оси х±. В этом слу-
случае фа=фз = 0. Система B7) сводится к одному уравнению
??, (ПЫ - тщ д(V2) cpi + ^/(рс?) = 0. B9)
Предположим, что массовая сила Xi(x, f) меняется во вре-
времени по гармоническому закону. Подставляя в B9)
Хг (х, t) = Хг (х) е~ш, ср, (х, 0 = ? (х, ш) в"г'^ ,
получаем
Уравнение C0) представим в операторном виде
D^Dtf^-xllipcl), C1)
Da = V2 + /fea, a = l, 2, ?>3 = v2 + ^2.
1 См., например, работу в примечании на стр. 139.
144 Гл. //. Гармонические волны в термоупругой среде
Частный интеграл уравнения C1) запишем в виде
I Г F* Z7* k2 — k2
II 2 i 12
*
C2)
где функции Z7* (а=1, 2) суть решения простых волновых урав-
уравнений
DaFl=-Xil(pcf), a = 1,2,3. C3)
Предположим, что в начале координат приложена сосредоточен-
сосредоточенная сила, направленная по оси xi, т. е. X* = б (xi) 8 (хг) б ()
Тогда частным интегралом уравнений C1) будут функции
)etk«K, a=l, 2; Fz = {\\ATz?c\R)el%H. C4)
Подставляя C4) в C2), находим для ф* следующее выражение:
C5)
Функции U*W и 9*^ определены по формулам B8)
где
Подставляя C5) в C2) и учитывая соотношения
(УЙ - q) (kl - о2) = klqs, a = 1, 2,
(А? - -2) (^ - -2) = а2 [а (^ - х2) - A + а
после простых преобразований получаем формулы для амплитуд
перемещений и температуры
C7)
совпадающие с A9) и B0).
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точечной силы 145
Пусть в точке (gi + Agi/2, |г, Ь) приложена сосредоточенная
сила интенсивности (P/A?i)?~iCD*> направленная по оси х±, а в то-
точке (|i — Agi/2, ^2, Ы приложена сила той же интенсивности, но
противоположного направления. Перемещения, вызванные
этими силами, равны
p ¦** *з5 Ы-А^/2, ?2, у]. C8)
Переходя к пределу при Agi-^O, получаем перемещения УФ,
вызванные так называемой двойной силой без момента,
I t) =
Ix==elxRIR. C9)
Обозначим температуру, связанную с этим полем перемещений
через 6W. Проводя те же рассуждения, что и при выводе фор-
формулы для УФ C9), получаем выражение для в<4>
@(i) (x, g, t)= —P ;¦- 8^)(х, g, t)f D0)
где функция 6W(x, |, t) задана формулой B1).
В общем случае, когда двойная сила без момента действует
в точке (|) и направлена по оси Xk, соответствующие особенно-
особенности даются формулой
Kf(x, §, *)=-Я-^-?/}*>(х> I t), D1)
в(*>(х, g, /)=— Я-~-8<*>(х, g, 0 (не суммировать по Л!). D2)
Рассмотрим теперь три двойные силы интенсивностью Ре~~ш,
направленные соответственно по осям xi, хг, хз. Легко показать,
что такое воздействие создает на поверхности бесконечно ма-
малого шара с центром в точке (§) равномерно распределенное
давление. Поэтому система трех двойных сил равной интенсив-
интенсивности называется «центром сжатия». Обозначим через Wj со-
составляющие поля перемещений, а через в — температуру,
Ю Заказ № 362
146 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
вызванную действием «центра сжатия». Используя результаты,
полученные для сил, находим
dj (Л,*?/, - A2k\l2) е~ш, /=1, 2, 3, D3)
Покажем, что центр сжатия вызывает возникновение только
продольных волн, В самом деле, обозначая через Ф и ф волно-
волновые функции для центра сжатия, получаем
Вектор я|), описывающий поперечную волну, равен нулю.
Рассмотрим, наконец, перемещения, вызванные сосредото-
сосредоточенными моментами. Пусть в точке (gi + Agi/2, ?2, ?з) приложена
сила (M/Agi)e~24°*, направленная ио оои х% а в другой точке
(li — Agi/2, ^2, h)—сила той же величины, но противополож-
противоположного направления. Тогда
Uj = -щ- [Uf] (xv x2i хъ\\х- Д^/2, 52, у -
- ?/f (^, ^2, х3; 6i + A61/2, е2. У] • D6)
Переходя к пределу при A?i->0, получаем перемещения, вы-
вызванные действием сосредоточенного момента М,
^f D7)
Пусть теперь в точке (|i, ^2 + А?2/2, Ъ) действует сила
Ме~ш/А12, направленная по оси хи а в точке (gi, ^2 — Д&/2, |з)
действует сила противоположного направления. Тогда имеем
"j-M-kW- D8)
2,5. Неограниченная термоупругая среда под действием линейной силы 147
Сумма указанных двух сосредоточенных моментов вызовет пере-
перемещения
==h % 3-
Изменение объема, вызванное действием этих сосредоточенных
моментов, равно нулю. Поэтому имеем Эм = 0. Выражение E0)
идентично результату, известному в классической эластокине-
тике.
2.5. Неограниченная термоупругая среда под действием
линейной сосредоточенной силы
Рассмотрим неограниченную термоупругую среду, находя-
находящуюся под действием массовых сил Х* = 6 (xi) 8 (х2) 8це~~ш, на-
направленных по оси Xi и равномерно распределенных вдоль оси
Хз. В этом случае перемещения, напряжения и температура не
зависят от переменной хз, и мы имеем дело с двумерной задачей.
Решение этой задачи можно получить, используя соответствую-
соответствующие формулы предыдущего параграфа и принцип наложения.
Исходя из функции Грина для перемещений и температуры, воз-
возникающих от точечной силы, приложенной в точке @, 0, |з) и
направленной по оси х±, и интегрируя эти функции ;по х3 от —оо
до +°°> получаем требуемые результаты.
Поскольку
— сю
где Ko(z) —модифицированная функция Бесселя третьего рода,
можно записать
B)
С другой стороны, имеем
2Ko(-ikar) = raH{o1}(kar), a = l, 2.
ю*
148 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Если теперь проинтегрируем перемещение i/fw и температуру
8*w, определяемые формулами A9) и B1) § 2.4 по хз, то, согла-
согласно B), получаем
C)
Обобщая эти формулы на случай линейной силы, проходящей че-
через точку (|) и действующей в направлении оси #&, находим
^ ^о1' (хг)] -
^(v)}. E)
-bj), y=l, 2. F)
Постоянные Л4 и Л2 в формулах C) — F) определяются согла-
согласно A47) §2.3.
Зная функции LW и 0<ft), легко находим деформации и напря-
напряжения
, m ~T Um, l)> alm =- l\^4m ~p VA^ "
ft, /, w = l, 2, 3. G)
Функции Грина можно определить также и другим путем, ис-
используя разделенные уравнения A0) § 1.6,
(va+*?)(v2+Jg)(v4^hr=-tf(/c?p). V^dt + dl (8)
Мы предположили здесь, что сосредоточенная сила приложена
в начале координат и направлена по оси х\. Частный интеграл
запишем в виде
где функции F* (а=1, 2, 3) суть частные интегралы уравнений
, a=l,2, A0)
/(pe?). A1)
2.5. Неограниченная термоупругая среда под действием линейной силы 149
Для сосредоточенной силы Х*±=8 (xi) б (х2), действующей в на-
направлении положительной оси х±, находим
К=--Ч"//?1}(*,г)> а=1, 2; ^з = -^Я^(тг). A2)
4pcf • 4pcf
Подставляя A2) в (9), получаем функцию >ср*. Используя фор-
формулы
A3)
где
определяем выражения для перемещения и температуры, кото-
которые аналогичны выражениям C) и D).
Используя подход, примененный в предыдущем параграфе,
можно построить особые решения высшего порядка. Например,
для двойной силы, приложенной в (gi, |г) и направленной по
оси Хи получим
V j (X, 5» ч ==—~жг иj v^» 5» ч>
0(I)(x, S, 0=-^-eA)(x, I t). A4)
Для линии центров сжатия имеем
,г) - A2k\HiX) (k2r)} е~ш , A5)
(х,5, о=-(^гво + ^г
Легко проверить, что под действием линии центров сжатия воз-
возникают лишь продольные цилиндрические волны.
150 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Переходя к теории температурных напряжений (несопряжен-
(несопряженная задача), т. е. полагая 8 = 0, ki = o, h = ']/>q в E) и F), по-
получаем
? ^ I дА И1' К) - М1' М] - •=Vtf} м}, E')
9(*) = 0. F')
Для линии центров сжатия имеем
У}=-^Н^(^)е-ш, 9 = 0. A5')
2.6. Осесимметричная задача Ламба
для термоупругого полупространства
Задача ставится следующим образом. На полупространство
<г^0 действует осесимметричная нагрузка р(г, /), направленная
по оси z. Требуется найти поле перемещений и температуру. Ча-
Частным случаем представленного ниже решения является соответ-
соответствующий результат классической эластокинетики. Будем пред-
предполагать, что в рассматриваемой области z^O нет тепловых
источников и массовых сил. В этом случае исходные уравнения
задачи однородны. В цилиндрических координатах (г, г) эти
уравнения имеют вид
[V2-(l/*)<?,]e-7]V2<b = 0, A)
[v2- {\\с\)д?[Ф-тЬ = 0, B)
[V2 —A/?^)а?]ф = 0, V2 = d2ldr2 + (Hr)dldr + d2ldz\ C)
Радиальные иТ и вертикальные w перемещения выражаются че-
через функции Ф и г|) следующим образом 4:
и, = д,Ф + дГд^, w = дгФ - [д2г + A /г) дг] ф = дгФ +
+ [<Й-A/с2)Я]ф, D)
а напряжения соответственно равны
[2 ^г - -^- ^] Ф
E)
1 Е w i n g W. M., J a r d e t z k у W. S., P r e s s F., Elastic waves in layered
media, New York, 1957, p. 9—10.
2.6. Осесимметричная задача Л амба для термоупругого полупространства 151
Предположим, что нагрузка изменяется по гармоническому за-
закону p(r, t) =f(r)e-i(dt. Вводя обозначения
Ф(г, г, *) = *V> г)е~ш, 6 (г, г, /) = ф*(г, г)*Г/@' и т. д.,
F)
приведем систему A) — C) к виду
+ J4K = O. G)
«j»* = 0, (8)
-m8* = 0, (9)
где
А? Ч- ^ = ^ A -4- е) -f- о2, k*t& = qa2, q = /ш/х,
9 91 9 9 9 9
Соотношения между перемещениями и функциями Ф* и ф* при-
примут вид
#г = дгФ -j- (?г ^ф , w = ^Ф* -f- (dz -f- т ) 6'.
Амплитуды напряжений выражаются следующим образом:
а;г = -2|х((Й + A/г)(?г + т2/2)ф'
Применяя к уравнениям G) — (9) интегральное преобразование
Ханкеля
Ф(а, г)= j Ф*(г,
о
оо
ф*(г, г)= J Ф(а, z)aJ0(ar)da,
о
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$-(а2-*?)]$-(а2-$]? = (), A1)
[^-(«'-^Ф^О, A2)
[<32-(а2-о2)]ф=тв: A3)
152 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Отсюда легко определить функции Ф(ог) и г|)(аг) и, наконец, со-
соответствующие им функции <р* (г, г) и я|)* (г, г),
оо
Ф* (r, z) = j (ЛбГ^ + Be~hz) a/0 (ar) da, A4)
о
оо
f " A5)
где
Ар == (а — ko) 2, ^=1, 2, v = (a — т) 2.
В A4) входят только две постоянные, а в A5)—одна, по-
поскольку мы требуем, чтобы при г-^-оо удовлетворялись условия
Ф*->0, i|;*->0. Амплитуду температуры определяем по уравне-
уравнению (9)
A6)
Величины А, В и С находим из краевых условий
в*(г, 0) = 0, 4(r, 0) = 0, aL(r, 0)=-/(г). A7)
Мы предполагаем, следовательно, что в плоскости 2=0 тем-
температура равна нулю, а перемещения и температура возникают
только под действием вертикальной нагрузки p(r, t) =f(r)e~iu>t.
Используя формулы A0), A4), A5) и A6), находим систему
трех уравнений
A{a2-k\) + B{32-k\) = 0,
(а2 + 72)С = 0, A7')
(Л + В) (а2 + v2) - 2va2C= -/(«)/(*.
Отсюда находим
Л = -7(a)(a2 + v2)/г2/([лД)) В=-Апх\п2, '
A8)
С = 2А(Х,я8 - Х2/г1)/[л/2(а2 -f-v2)],
где
Д = W (Х2«., - А,я2) + {k\ - kl) (a2 + v2J, щ = о2 - ^,
р=1, 2, f(*) = ) f(r)rJ0(*r)dr.
о
2.6. Осесимметричная задача Л амба для термоупругого полупространства 153»
Зная постоянные Л, В и С, можно по формулам A4) и A5)
определить функции Ф* и г|)*, а затем по формулам A0) —на-
—напряжения.
Рассмотрим теперь случай нагружения плоскости 2=0 только
касательными усилиями g(r)e~iait при нулевых нормальных уси-
усилиях и температуре, т. е.
в*гг(г, 0)=-?(г), 4(г, 0) = 0, в*(г, 0) = 0. A9)
Определяя постоянные Л, В и С, находим
С=- [(*?-Й)(«ЧЭДгD B0)
где
g»=j g(r)J0(ar)rdr.
о
Легко видеть, что краевое условие для температуры можно
без труда заменить более общим, например условием dz0 —
— k(Q — Go) =0 при 2=0 (условие теплообмена через плоскость
2=0) или dz9 = 0 (условие теплоизолирования плоскости 2=0).
Полученные решения дают возможность определить поля пе-
перемещения и температуры, вызванные действием тепловых ис-
источников или массовых сил в термоупругом полупространстве.
Рассмотрим частный случай действия точечного теплового
источника в точке @, ?) термоупругого полупространства, т. е.
Q(r, z, t) = Q0[b{r)\{2^r))b{z~l)e-i^t.
Предположим, что плоскость 2=0 свободна от напряжений и
в(г, 0, *)=0, т. е.
4(г, 0) = 0, 4(г, 0) = 0, в*(г, 0) = 0. B1)
Напряжения и температуру получим в виде сумм а*. =а*.'+-
+ G*", 9*^=8*/ + 8*", решая задачу в два этапа. Сперва рас-
рассмотрим действие на неограниченное термоупругое пространство
двух тепловых источников: положительного в точке @, +?) и
отрицательного в точке @, —?). В этом случае в пространстве
возникнут только продольные волны, описываемые потенциалом
Ф*7. Используя полученное ранее решение (см. B2) и B3) из
§ 2.2), для случая двух источников находим
ф"= , /?° ^ to/*-) ( ) о/я») V
B2)
154 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Оо
где
D _ Г 2 , / — Гч2]г/2 r_/J , 2V/2
По известной функции Ф*7 можно определить перемещения, де-
деформации и напряжения на первом этапе решения. Легко ви-
видеть, что для г=0 имеем Ф*' —0, 8*/=0, ^7=0, но а*/=^=0.
Функцию Ф*7 можно представить в виде интеграла Ханкеля—
Фурье,
где
Поскольку а*^=2|х^г(?2Ф*/, имеем
r, 0)=+ -^ у '>(a/7) tf«rfT- B5)
После интегрирования по у находим
На втором этапе решения рассмотрим полупространство, сво-
свободное от тепловых источников и массовых сил и нагруженное
на краю 2=0. Краевые условия таковы:
<?(/¦, 0) = 0, С{г, О) + с?(г, 0) = 0, 6*>, 0) = 0. B6)
В этих формулах функция 0*'=—g(r) известна. Функции Ф*/7
и ij;*77 выразим в виде A4) и A5), а постоянные Л, В и С в этих
формулах определим из краевых условий B6) или из формулы
B0), в которых
Представленные решения носят формальный характер, посколь-
поскольку до сих пор ни одной частной задачи не удалось решить в зам-
замкнутом виде или в виде, пригодном для обсуждения.
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства 155
Проследим еще переход от сопряженной задачи к задаче
классической эластокинетики. Как мы помним, для этого сле-
следует положить 8=0, ki = o9 &2 = У<7, заменить изотермические
постоянные X, \х на адиабатические, а температуру взять в виде
0 = —г\тхе. В рамках классической эластокинетики будут спра-
справедливы формулы A) — E) и A0). Интегралы Ханкеля A4) при-
примут вид
ф*(Г; г) = ] {Аехр [-2]/а2-а2] +
0
+ 5ехр [-zVo? - д ] } aJ0(ar)da, A4')
оо
г, г) = \ Сехр [-г ]/а2 - т2] aJ0(ar)da. A5')
Для краевых условий частного вида
*„{г, 0) = 0, о«(г, 0)=-/(г)
получим из A7х) соотношения
где
До = (а2 ^ V2J
Второй член под знаком интеграла в A4^ обращается в нуль,
поскольку В = 0.
По функциям Ф* и г|)* легко определить перемещения и де-
деформации. Следует добавить, что и в рамках классической эла-
эластокинетики точное решение задачи Ламба до сих пор не полу-
получено. Имеется лишь приближенное решение для точек, удален-
удаленных от граничной плоскости.
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев
упругого полупространства
Пусть поверхность 2=0 упругого полупространства свободна
от нагрузок и подвергается неравномерному нагреву, завися-
зависящему от переменных ги/. Поставленная задача может быть ре-
решена таким же способом, как осесимметричная задача Ламба,
рассмотренная в § 2.6.
156 Гл. //. Гармонические волны в термоупругой среде
Функции Ф*, я|)* и 0*, определяющие напряжения и пере
щения, представим в виде интегралов
ос
Ф* = j (Ае~1'2 + Be~A2Z) a/0 (or) da,
о
со
6
ее
m
где
Величины Л, В и С определяются из краевых условий
е (г, о, *) = eo(r)e~/(D', а^с, о, о = о» °rz(r» о, о = о.
Выражая два последних краевых условия через функции
и г|5*, получаем по формулам A0) § 2.9
г + ^)ф* = 0, г = 0.
В результате краевые условия D) приводят к следующей
стеме уравнений:
Апх -j- -S«2 = m^o (a)>
(a2 + v2) (A + B)- 2va2C = 0,
+ X2B) - (v2 + a2) С = 0, 60 (a) = J 60 (r) rJ0 (ar) dr.
6
Решая эту систему, получаем
А = -m\(a) [(a2 + ,4 - 4vX2a2j/A,
В = /ив0(a) [(a2 + v2J ~ 4vXja2]/Д,
где
д = (a2 + v2J {k\ - Al) + 4voc2 (/г,^ - /z^j).
Напряжения выражаются через найденные функции Ф*,
по формулам A0) § 2.6.
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства 157
Пренебрегая сопряжением поля температуры с полем дефор-
деформации, т. е. полагая е = 0, k2t =o2 k^=q, находим
А = -т% (а) [(а2 + v') - 4va2 (а2 - qjh] /До,
В = т% (а) [(а2 + v2J - 4va! (а - - а2)''2] /Ло,
C = (a2 +
где
Поскольку #1 = 0, формулы A) — C) запишутся в виде
оо
Ф* = \ (Л exp [-Z ]/a2-a2] +
6
+ 5 exp [~zVa?~ q}aJ0(ar))da, (V)
со
ф* = j С exp [-г ]/"«2 - ^2] oiJ0(ar)da, B')
оо
6*= j ?0(a)exp [-г К^7^ o.JQ(ar)do..
C')
Полученные решения как для сопряженной, так и для несопря-
несопряженной задач имеют формальный характер.
Рассмотрим теперь весьма интересную задачу о стационар-
стационарном тепловом потоке. В качестве исходных возьмем уравнения
V20 = O, ?2Ф = ягб. (8)
Решение уравнения теплопроводности имеет вид
сю
б (г, г) = j 60 (a) e-"yJ0 (ar) do., 6 (г, 0) = 60 (/•). (9)
6
Функцию Ф подберем так, чтобы на краю 2=0 было удовлетво-
удовлетворено условие Ф(г, 0)=0. Тогда решение второго уравнения (8)
запишется следующим образом:
со
Ф (Г, г) = - ^ j lH (a) e-™JQ (ar) da, (Ю)
о
j
о
а напряжения соответственно равны
=-2ц (й+4- ^г)
\ г I (и)
о\) Ф, а^, = 2|х дг
158 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Легко видеть, что ст^=О для 2 = 0, однако в'^фО. Следова-
Следовательно, для получения решения о'., задачи следует найти допол-
дополнительное поле напряжений о".. Это поле должно удовлетво-
удовлетворять однородным уравнениям
f*V2aI + (X + |x)e;, = 0 A2)
и краевым условиям
<4 = 0, ^ + а^ = 0 для г = 0. A3)
Напряжения а", мы выразим через функцию Лява, удовлетво-
удовлетворяющую, как известно, бигармоническому уравнению1
V2V2cp = 0. A4)
Функцию ф выберем в виде интеграла Ханкеля
A5)
Напряжения выражаются через функцию Лява следующим об-
образом:
^ =Т^27 д> [B - v) V2 - dl] ь A6)
Постоянные С и D определяются из краевых условий A3). От-
Отметим в этой связи, что величина о' (г, 0), входящая в краевые
условия A3), определяется соотношением
оо
а'гг (г, 0) = 2р. дГ дгФ (г, 0) = [xm J" X (а) а/, (аг) rfa. A7)
о
Таким образом, имеем
С (а) = - A - 2v) D (а), D (а) = A - 2v)?0 (а) яг/Bа2).
1 Huber M. Т., Teoria spr§zystosci, t. 2, Warszawa, 1948. (См, также,
например, Л е й б е н з о н Л. С, Курс теории упругости, М., 1947, стр. 235.—
Прим. перев.)
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства 159
По формулам A6) находим
со
I D <а>
I
о
l-2v
[2v/0(«r) - Bv-2+аг)^>] rfa,
(
,;, = _ -j^- J D (a) a3*—* /i (ar) A - аг) rfa.
Суммируя поля напряжений а^.и о^., получаем действительное
поле напряжений ац:
о„= -2A - v)fx j 60(a)ae— [/„ (ar) - ^P~\da, A9)
Мы получили любопытный результат: напряженное состояние
является квазиплоским, т. е. компоненты orz и azz равны нулю
в каждой точке упругого полупространства1.
Предположим теперь, что 0(г, 0)=6 (г)/Bяг). Тогда Во(а) =
= 1/Bя). По формулам A9) найдем
a
1 Лурье А. И.,' Пространственные задачи теории упругости, М.—Л.,
1955.
160 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Перенеся точку приложения температурного пика из начала
координат в точку (?4, ?2, 0) и переходя к декартовым коорди-
натам, получаем
Ml 4-(х tvl
R -Т
7Г ( Ж —
^1з = ^2з = ^зз = 0, р = ?а//Bтс). B1)
Эти напряжения соответствуют полю температуры, удовлетво-
удовлетворяющему бигармоническому уравнению и краевому условию
0(*i, X2, 0) = б(^1 — li) б (х2 — 5г). Если в области Г плоскости
Хз=0 задано распределение температуры 0°(#i, X2, 0) =f(xi, X2),
то температуру внутри полупространства находим по формуле
jj ^2, B2)
(Г)
а вызванные этим воздействием напряжения — по формулам
<з°ц{хи х2, х>)= JJ/fti, У^у(^1. ^2. -Y3; Si. ^2> 0)^^, B3)
(Г)
где 0ij определяются соотношениями B1).
Для частного случая нагрева прямоугольника — ai<xi<ai,
—ai<Lx<i<.a<i в плоскости хз=0 до температуры 0=1 находим
после вычисления интегралов следующие соотношения:
— 3
@2 + jc2) r4
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства 161
2гс — arccos -
— arccos
^уТ 1 / Г о О~1 1 /
*!]'1 [к-*»J+•*§]''
хг) (а2 + х2)
— arccos
где
Отмеченный выше вывод о равенстве нулю напряжений о°3.
(i=l, 2, 3) в упругом полупространстве, находящемся под дей-
действием поверхностного нагрева, справедлив и для упругого слоя,
подверженного поверхностному нагреву. Он теряет силу если
внутри полупространства или слоя расположены тепловые ис-
источники, а также в случае, когда поверхность Хз=0 полностью
закреплена1. В этих случаях о°3{Ф0 (i=l, 2, 3).
Вернемся к динамической задаче об упругом полупростран-
полупространстве, нагреваемом на поверхности таким образом, что при этом
Q(xu X2yt)\ x==o=Qo(x2)e-iwt, где Xi=z, а ось хг расположена
в плоскости xi=0.
Функции Ф*, г|)* и 0* можно записать в виде следующих ин-
интегралов Фурье:
оо
Ф* = -Д=- f (Ae~l'z+Be~hz)e~ia2X'd<x.2, B5)
Ce~vz~ia2Xzdai2, B6)
= -р^- J (Ая1е-х'г + 5я2^2г)^ил^2. B7)
1 S n e d d о n I. N., Boundary value problems in thermoelasticity, Proc.
of 2-nd Symposium Differential Equations, Madison, Wise, 1951.
И Заказ № 362
162 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
где
Хр = (а1-^I/2, Я, = а2-?2р; р = 1, 2, v = (al - ^
Используя краевые условия
0@, х2, О = во(^2)^-/<й', ап@, х>, 0 = 0, а12@, jc2> 0 = 0
B8)
и формулы, связывающие функции Ф*, ф* и 0* с напряжениями,
получаем следующую систему уравнений:
Апг + Вп2 = яг60 (а2),
-~2т2С + (а! + v2) (А + В) = 0,
—ОО
Решая эту систему, определяем
А = ~m% (a2) [(al + v2J - 4va22X2] /Д,
B9)
В = ^ (а2) [(а! + v2J - 4vaiX,] /A,
где
Д = (а2 + v2J О2 - yfe2) + 4va^ (л^ - ^Х^.
Эти формулы значительно упрощаются для несопряженной за-
задачи, т. е. для 8 = 0, k2± =a2, k\ =q, n±=0.
Переходя к случаю^стационарного нагрева1, мы видим, что
под действием поверхностного нагрева 9@, л:2)=0о(^2) в полу-
полупространстве Xi^O не возникают напряжения an, ozz и о^. Един-
Единственной отличной от нуля компонентой напряжений является
Озз=—2jim6.
2.8. Волны Рэлея в термоупругой среде
Задача о распространении поверхностных волн Рэлея в тер-
термоупругой среде рассматривалась в нескольких работах. Впер-
Впервые ее исследовал Локетт2, а впоследствии ею занимался Чед-
вик3, весьма тщательно изучивший корни уравнения, служащего
для определения фазовой скорости волн Рэлея.
1 N о w а с k i W., Thermoelasticity, London, 1962, p. 329.
2 L о с к e 11 F. J., Effect of thermal properties of a solid on the velocity
of Rayleigh waves, /. Mech. Phys. Solids, 7 A960), 71.
3 Chad wick P., Thermoelasticity, The dynamical theory, Progress in
Solid Mechanics, v. 1, Amsterdam, 1960. Chad wick P., Win die D. W.,
Propagation of Rayleigh waves along isothermal and insulated boundaries,
Proc. Roy. Soc, Ser. A, 280, № 1380 A964).
2.8. Волны Рэлея в термоупругой среде 163
Пусть в упругом полупространстве Xi^O движется парал-
параллельно поверхности Xi = 0 в направлении оси х2 плоская гармо-
гармоническая термоупругая волна. Будем считать, что возмущение,
вызванное этой волной, не зависит от переменной Хз. Рассмотрим
случай, когда плоскость *i=0 не нагружена, причем на ней
происходит свободный теплообмен, т. е.
ап@, х2, 0 = 0, о12@, х2, 0 = 0, д1в + Ав|Х1=0 = 0. A)
Мы имеем здесь дело с плоским деформированным состоянием.
Волновое движение описывается при помощи двух функций Ф
и \|), причем
B)
Напряжения связаны с функциями Фиф следующим образом:
fr C)
о12 = 2[а дх д2Ф — \х (д\ — df) ф.
Волновые функции должны удовлетворять уравнениям
(П?Пз- г1тдУ1)Ф = 0, D)
п!ф = О, E)
где
ПЫ^-Ш)д1 «=1,2, Dlsv?-AW^, V?S^ + ^.
Решения уравнений D) и E) возьмем в следующем виде:
Ф(^, х2% 0 = Фо()[(^)]
B2^)],
ty(x1$ х2, /) = Ф°(х1)ехр[/(а2х2~а)/)]. ^ ^
Эти соотношения описывают волну, меняющуюся во времени по
гармоническому закону и движущуюся в направлении оси х2.
Подставляя F) в D) и E), получаем дифференциальные
уравнения
(д21-1!)(д21-^)ф\х1) = 0, G)
(<??-v2)f (*,) = (), (8)
где
11*
164 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Потребовав, чтобы в пределе при (х\ + х*) ->• оо напряжения,
а следовательно, и функции Ф и г|) обращались в нуль, мы полу-
получим следующее решение уравнений D) и E):
Ф = (Ae~llXi + Be***) exp [/ (а2х2 - Ы)], (9)
ty = Ce~llXi exp [/(а2х2 — а)/)]. A0)
Согласно уравнению
П2Ф = т6, A1)
определяем температуру
0 1 г л ( 2 *2\ —х,*, , г» /
[А (а А?) <Г + 5 (а2 - ^) ^X2i exp
A2)
Постоянные i, В и С, входящие в формулы (9) — A1), опреде-
определяем из условий A). Имеем
Bа| - т2) (Л + В) + 2/Ca2v = 0,
2/а2 (AXj + ЛХ2) + Bа2 - т2) С = 0,
Хз) = 0, лр = а2—Ар, р=1, 2. A3)
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем урав-
уравнение
(9а2, - г2J
Это уравнение значительно упрощается для случая А = 0, что со-
соответствует теплоизолированной поверхности, и для.А = оо, что
соответствует краевому условию 6@, Х2, t) =0.
Введем обозначения
p2 = l_$/a2, у = 1, 2, р! = 1 — т2/а| A5)
и выразим величины Хь Я2, v, щ и я2 через р4, р2 и |33. Тогда
уравнение A4) примет вид
B - v2
А [(^2J -4ft,(p1p2 + l - ^22)] . A6)
Здесь a = co/a2 — независимая переменная, l/Re(l/u) —фазовая
скорость, colm(l/t;) —мера затухания волны.
2.8. Волны Рэлея в термоупругой среде 165
Заметим, что, согласно рассуждениям § 2.1, комплексные
корни ki и кг удовлетворяют биквадратному уравнению
?4-?2К + <7A + ?)]+з2<7=--0, A7)
причем
?l + ?! = =>2 + ?(l+s), k\k\ = fq. A8)
Учитывая A5) и A8), получаем
2 ! 2 - т?\с\ - {iv2lyA) (I + ?)>
B?) A + г - **/<:?), z = хо/с?. A9)
Подставляя A9) в A6) и разлагая величины Pi и Рг в ряд по
степеням приведенной частоты %, получаем уравнение
4
С2 )
+-
\ f [о
B0)
Пренебрегая членами порядка хЧ мы придем к выводу, что
скорость v не зависит от частоты со и от тепловой постоянной h.
Уравнение B0) запишется в виде
B - *W = 4 [A - v2ld)(l - v2l(l +г)сШ'\ B1)
Мы должны определить из этого уравнения величину и/с2.
Сначала рассмотрим, однако, волны Рэлея при дополнительном
предположении, что движение происходит в адиабатических ус-
условиях. Для этой задачи эластокинетики волновые уравнения
имеют вид
(У2-A/Сс?),)а?)Ф = 0, (у?-A/с|)а?)ф = 0. B2)
Заметим, что величина (йЬ в первом уравнении определена
в адиабатических условиях и, следовательно, отлична от вели-
величины d в уравнении B1). Решая уравнение B2) с учетом F)
и используя два первых краевых условия A), получаем некото-
некоторую систему уравнений; приравнивая определитель этой си-
системы нулю, находим
B - v2jclJ = 4 [A - v2jcl) A - vWM'2 ¦ B3)
166 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Сравнивая B1) и B3), замечаем отличие в последнем члене:
в сопряженной задаче у нас был делитель A + е) {с\)т, а в рам-
рамках классической эластокинетики делитель равен (с*)в. Введем
в B1) следующие обозначения:
и запишем B1) в виде
^з __ 8т|2 + B4 — 16&)т}— 16A — $) = 0. B4)
Для частного случая <&=1/з, т. е. Я=|хA —2е)/A + е), имеем
т]3 - 8т]2 + E6/3) ц - 32/3 = 0.
Отсюда находим
'" "~ = 0,8453.
Условиям задачи удовлетворяет только последнее значение. Сле-
Следовательно,
Это значение скорости распространения волн Рэлея соответст-
соответствует частному значению # = 1/з. Мы видим, что v = cR<Cc2. Дан-
Данное решение является первым приближением для волн Рэлея
в термоупругой среде. Для ознакомления с более полным обсу-
обсуждением вопроса, включающим дальнейшие приближения и бо-
более широкий диапазон приведенной частоты (мы предполагали,
что %<С1), рекомендуем читателю обратиться к цитированной
работе Чедвика и Уайндля.
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 1
Рассмотрим задачу о распространении плоской волны в не-
неограниченном упругом слое толщиной 2а. Волна движется в по-
положительном направлении оси %г и является гармонической по
времени. Задача двумерна и описывается следующими уравне-
уравнениями:
Предполагая, что
Цхх, х2, t) = f(Xl, х2)еш, Ф(хи х2, () = Ф*(х1, х2)еш,
*?{хх> х2, t) = ^(Xl, х2)еш, B)
1 N о w а с k i W., Sokolowski M., Propagation of thermoelastic waves
in plates, Arch. Mech. Stos., 11, № 6 A959).
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 167
приведем систему A) к виду
(v2 + ,2)f=o, C)
где
Эту систему заменим следующей:
D)
а решение возьмем в виде
Ф* (х,, х2) = /х to) <Г/в*, <|> (х2, х2) = /5 (*,) <Г/в*. E)
Подставляя E) в D), получаем два обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнения
/V - Bа2 + q - з2 + дг) f\ + [(а2 + д) (а2 - а2) + <7а2е] /, = О,
;/;-(а2-,2)/2 = о. (б)
Решение этих уравнений приводит к следующим функциям Ф, if
и функции 0, определяемой вторым из уравнений C),
Ф = [Л, ch llxl + Л2 ch X2x, + Л3 sh X,*, + Л4 sh Х2х,] el {u" ~aXl) ,
^ = lA5ch1xl + Aesh^1}ei(ti"-aj"),
Ъ=^[АУ (X2 + а2 - a2) ch a,jc, + Л2 (Xl + з2 - a2) sh \2Xl +
+ Л3 (X2 + а2 - а2) sh ХЛ + Л4 (Xl + а2 - а2) sh X2jc,] el {ш'-ах>\ G)
Здесь введено обозначение у= (а2 — т2I/г. Величины Xi и ^ яв-
являются корнями следующего биквадратного уравнения:
Х4 - [2а2 + Я ~ *2 + ^] ^2 + [(«2 + ^)(*2 - =2) + ^«2^1 = 0. (8)
Заметим, что для 8 = 0 имеем
Поскольку 8 мало по сравнению с единицей (s<Cl), определим
корни Xi и h в виде линейных функций от е
X? = a2+0 + s8i> X?> = a2-a2-f sB2. (9)
168 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Приближенные значения м и л2 получим путем подстановки (9)
в (8), пренебрегая членами порядка е2. Таким образом, имеем
Из четырех корней %% рассмотрим лишь те два корня, которые
удовлетворяют условию Re(XiJ) >0
Заметим, что значению 8 = 0 соответствует упругая волна,
т. е. рассматриваемая задача является в этом случае задачей
классической эластодинамики о распространении волн Ламба.
Неизвестной величиной остается коэффициент а, содержащий
фазовую скорость волны. Для его определения воспользуемся
краевыми условиями, рассмотрев два случая:
а) поверхность слоя свободна от напряжений, причем на ней
поддерживается постоянная температура,
аи = 0, а12 = 0, 6 = 0 для хг=±а, A0)
б) поверхность слоя свободна от напряжений и теплоизоли-
теплоизолирована
ап = 0, а12 = 0, д1б = О для хх = ±а. A1)
Рассмотрим два типа колебаний: симметричные и антисим-
антисимметричные относительно срединной плоскости слоя (второму
случаю соответствует изгиб слоя). В первом случае величины
Аз, Ak и Аь, а во втором случае величины Аи А2 и Ае должны
быть равны нулю.
Амплитуды напряжений определяются формулами:
в*п = -2ц {д\ + ^ 12) Ф* + 2{х дх
4 = -2A {д\ + z212) Ф* ~ 2(, дх
щ = дгФ + (?2ф, щ = д2Ф — д
Используя краевые условия A0) и A1) и учитывая соот-
соотношения G) и A2), находим систему трех уравнений. Прирав-
Приравнивание нулю определителя этой системы дает следующие транс-
трансцендентные уравнения:
1) для краевых условий а) при симметричной форме коле-
колебаний
Bя2 - ,2) (X? - >|) (а2 + I2, - а2) Х2 th V - (а2 + А - *2) *, th X>fl
th T^
A3)
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 169
2) для краевых условий а) при антисимметричной форме ко-
колебаний
B,2 - z) (л2 - X2) (^2 + X2 - <?) \ Cth 12п - (*2 + X2 - а2) \ Cth Xlfl
4а2Т cthffl
A4)
3) для краевых условий б) при симметричной форме -коле-
-колебаний
}2 _
4) для краевых условий б) при антисимметричной форме ко-
колебаний
/9^2 Т212 ХДО (X? — X?) th ia
(а2 + X2 - а2) Х} th \п - (а2 + X2 - а2) Х2 th \п
Положив 8 = 0, получим вместо A3) — A6) уравнения клас-
классической эластокинетики; в этом случае температура в слое
равна 0=—цтке-
Рассмотрим краевые условия а), т. е. трансцендентные урав-
уравнения A3) и A4). Введем безразмерные величины
) = %l(%-ih). A7)
где со^Ужо. Величина с = оо/а является здесь фазовой скоро-
скоростью лишь для действительного значения а. Для комплексного
значения сб=ай — ra* экспоненциальный член в формулах G)
запишется следующим образом:
Фазовая скорость равна c=co/Re(a), а /0i=Im(a) —член, под-
подверженный затуханию. Используя обозначение A7), приведем
уравнение A3) к виду
- As (?, - /30)]/^f=T=cth VT^iaa X
X {[Pi + i% + Ae/?o] /l-З^ + ЬЗ^ th aa ]/l - ^C + ВД -
- A?^ УТ+Ш+1лЩ. th aa l/i+/por + Ae/po } . A8)
Обсуждение этого трансцендентного уравнения в общем слу-
случае представляется весьма сложным. Поэтому мы ограничимся
рассмотрением двух крайних случаев aa>l и aa<Cl. В первом
случае гиперболический тангенс в A8) можно положить равным
единице (если t<l), во втором случае его можно заменить
170 Гл. П. Гармонические волны в термоупругой среде
значением аргумента. Для асс>1 пренебрежем в A8) членами,
содержащими е2. В результате получим приближенное уравне-
уравнение
A - ОДJ
или, после простых преобразований,
A-0.5СР 1 ... / 3i-/3o Г A-ОДJ
о,5/зос_ ут^и
A9)
Отметим, что для 8 = 0 правая часть уравнения A9) равна нулю;
отсюда получаем
Л « = j^ir^g^ -i=o, B0)
т. е. трансцендентное уравнение для поверхностных волн Рэлея
в классической эластокинетике. В дальнейшем величину ?, полу-
полученную из B0), будем обозначать через ?R=c2R/c22.
Величину ?, соответствующую 8=^0, получим следующим пу-
путем. Обозначим через /ieF2(?) правую часть уравнения A9),
а через б—приращение величины ?, вызванное сопряжением
поля температуры и поля деформации. Запишем уравнение A9)
в виде
Предположение о малости 8F<С?я) позволяет разложить обе
части уравнения в ряд в окрестности значения ? = ?h- Сохраняя
два члена разложения, получаем
B2)
Поскольку Fi(Lr) =0, имеем
B3)
и, следовательно,
>.._ - 'PoPi(Po + '3iJ у
(P8 + i?)(iPC) x
05?AРС)-1+05AСГ1A0ДГ1 *
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 171
Определяемое этой формулой значение б зависит только от без-
безразмерных величин е, Ро, Pi и l,r. Две из них (Pi и ?я) зависят
только от механических свойств среды, а две остальные — от
тепловых и механических свойств.
Более подробного обсуждения заслуживает зависимость б от
параметра р0^с|/хсо, связанного с частотой вынужденных ко-
-Log(ReS) -log(JmS)
-1
Рис. 2.5.
лебаний со. Эта зависимость представлена на рис. 2.5 в виде гра-
графиков ReF) и 1т(б) для алюминиевого слоя при следующих
условиях:
\ v = 0,34, р = 2,75 г • см~3,
^i = 6,17 • 105 см • сек~х,
^ = 0,870,
х = 0,61 см2 - сек,
?2 = 3,04 • 105 см - сек~ \
0 = 293°К = 20°С.
Е = 1 • 105 кГ •
s = 0,035,
^ = 0,242,
172 Гл. //. Гармонические волны в термоупругой среде
На основе формулы B4) и рис. 2.5 можно раличить три ха-
характерных диапазона изменения переменной C0.
При малых величинах (ро->О) модуль | б | стремится к нулю,
а само б имеет чисто мнимое значение, определяемое прибли-
приближенной зависимостью б ^4,5- 10~4ф0. Максимальное влияние
сопряжения имеет место для 1<р0<10, причем б достигает
значения 6,4-10~4A +i).
При больших значениях |30 мнимая часть 1т(б) стремится
к нулю, a ReF) стремится к асимптотическому значению,
Re(боо) -> 0,0021. Применимость полученного графика в этой
области ограничена, разумеется, условием
аа = (а/со) am » {^a\cR) 3> 1, т. е. со »cR\a,
которое использовалось при выводе формулы A9). Однако из
неравенства |3о = с22/жо>1 ори этом имеем со<С^/%.
Правая часть графика сохраняет свое значение только для
величины §Q=ac\l%cR, равной в нашем случае значению 5,3-105.
Переходя к непосредственному определению изменения фазо-
фазовой скорости с, отметим, что для малых значений б можно по-
положить
jet - (cR\c2f « 2cR Hc\<?2. B5)
Отсюда получаем относительное приращение скорости
Ас/сг* 8/B^ = 3/1,74. B6)
Вернемся к формулам F) и G). Имея в виду, что
-?- = ^A+8/B^)), 8 = 8'+ /8", B7)
мы можем представить функцию <D(xi, x2, t) в виде
Xexpf- f хУ B8)
\ Z^RCR I
Мы видим, что множитель ReF) = 6/ увеличивает фазовую
скорость в A + 67B^л)) Раз» а величина 1ш(б)==б// является
множителем коэффициента затухания. Величина, обратная коэф-
коэффициенту затухания,
d = 2lRcRl(ub) = 2$*%%1(с2Ъ'), B9)
для алюминия равна d = 3J4-10~6 ро/бх
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 173
На рис. 2.6 в логарифмическом масштабе представлена за-
зависимость относительного приращения скорости Ac/cR и коэф-
коэффициента d от частоты со для рассматриваемого алюминиевого
слоя.
Ac
to3-
10'
10L
10'
10
10
ю1
W1
W1
Рис. 2.6.
W1'
со, сек'
Перейдем теперь ко второму крайнему случаю аа<С1. Ис-
Используя первый член разложения thx=;t+---, запишем усло-
условие A8) в виде
(зо>
причем здесь уже отброшены члены, содержащие г во второй И:
более высоких степенях. Уравнение C0) можно преобразовать.
к виду
,[A - 0,5СJ/A - ДО - 1 ] [ 1 _ Аб (& - /РоЩ + /ft,)! = 0. C1>
174 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Отсюда следует, что в первом приближении величина z не зави-
зависит от е и равна соответствующему значению для несопряжен-
несопряженной задачи.
Полученный результат можно объяснить следующим обра-
образом. Предположение аа<^\ означает, что толщина слоя значи-
значительно меньше длины волны, причем 0 = 0 на поверхности слоя.
Поэтому влияние температуры на деформацию будет здесь зна-
значительно меньше, чем оз предыдущем случае (сш^>1). Иначе
обстоит дело при обычной тепловой изоляции, когда поле
температуры может достигать больших значений. Здесь влия-
влияние поля температуры на поле деформаций значительно возра-
возрастает.
Переходя ко второму типу волн, т. е. к антисимметричным
волнам A4) или, иначе говоря, к изгибным колебаниям пла-
пластины, отметим, что в первом крайнем случае (сш>1) останется
справедливым условие A9), поскольку для больших значений
аргумента х имеем thx^cthx~l. В связи с этим проведенное
выше обсуждение зависимости ? от е, включая графики на
рис. 2.5 и 2.6, сохраняет силу и для изгибных колебаний.
Так же просто и обсуждение второго крайнего случая, т. е.
случая антисимметричной волны в пластинке, толщина кото-
которой мала по сравнению с длиной волны. Здесь надо, однако,
в разложении функции cthx сохранить два члена, согласно
формуле
Учитывая эту зависимость и соотношение A7), уравнение A4)
можно привести к следующему виду:
*- ° 1=0- C2)
Отсюда следует, что фазовая скорость не зависит от е и прибли-
приближенно равна
Отметим, наконец, что полученные соотношения C1) и C2)
отличаются от соответствующих соотношений для несопряжен-
несопряженной задачи, поскольку входящие в эти формулы величины \х и к
являются изотермическими, а не адиабатическими, как это имеет
.место в классической эластокинетике.
2.10. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости 175
2.10. Сингулярные интегральные уравнения
термоупругости 1
Рассмотрим ограниченное тело, подверженное воздействию
источников, изменяющихся во времени по гармоническому за-
закону. Будем считать, что источники, вызывающие движение тела,
влияют лишь на краевые условия. Прежде чем строить соответ-
соответствующие интегральные уравнения, мы рассмотрим две вспомо-
вспомогательные задачи.
Представим вектор перемещения и и температуру во внутрен-
внутренней точке тела В при помощи интегралов по поверхности Л,
ограничивающей В. Для простоты обозначений мы будем рас-
рассматривать Oij,- щ, 6 и т. д. как амплитуды, опуская применяе-
применяемую в предыдущих параграфах звездочку.
Построим решения следующих уравнений для амплитуд:
а//,;=—^РЯ/» 0)
v20+ й^е + (т/а)аЛ|Л==0, х е В, i, J, * = 1, 2, 3, B)
где
а = /7гт/(еАз), h3 = i(bjxL\ Glj = aij(x), ul = ul(x)t B = Q(x).
Уравнения A) и B) дополним определяющими уравнениями
. C)
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений, соответствую-
соответствующую термоупругой среде, в которой находится сосредоточенный
тепловой источник интенсивности х, изменяющийся во времени
по гармоническому закону. Амплитуды всех функций, входящих
в эти уравнения, будем обозначать крышкой над соответствую-
соответствующей буквой. Итак, имеем
аи, /= — со2р«?, D)
-§), E)
F)
Комбинируя соответствующим образом уравнения A) — C)
и уравнения D) — F), интегрируя результат по области В и
1 Ignaczak J., Nowacki W., Osobliwe rownania eaflmwe termo-
tsci, Rozpr. Inzyn., 13, № 4 A965).
176 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
используя преобразование Грина, получаем следующее урав-
уравнение:
0(х)= 1
A
] A4(g), x 6 5. G)
4j )Л®-М5)Я«, х)
Здесь
Л (?) = °U E) Я; (О- Л E. X) = а,у (g, X) Л, (g),
а операции дифференцирования под знаком поверхностного ин-
интеграла проводятся по переменным |г-. Уравнение G) выражает
температуру 9 в точке х 6 В через функции 9, dQ/дп, и% и рг- на по-
поверхности Л. Оно совпадает с формулой Сомилиано, обобщен-
обобщенной на случай термоупругости и детально рассмотренной в § 1.13.
Добавим, что функции 6 и Ui мы рассматриваем как заданные,
так 'как они были получены в § 2.2.
Для того чтобы получить интегральное представление век-
вектора и(я), х ?В, следует вновь рассмотреть две системы соотно-
соотношений, а именно соотношения A) — C) и систему
<*//./=-со2Р«?-8 (x-g)8,,, (8)
vV+ftl85 + (T/aLfft = 0, (9)
a?/ = 2lie|y + (X4fft-TO8/y, A J> *=1, 2> 3. A0)
Последняя система определяет воздействие сосредоточенной
силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону, при-
приложенной в точке | и направленной по оси xs.
Комбинируя соответствующим образом A) — C) и (8) — A0),
получаем следующее уравнение:
us (х) = J [и% (I х) pk (?) - uk (?) pi (g, x)] dA (?) +
j((bx)^-e(g)«^^)dA(g)f A1)
где
ttl(x, ?) = «sft(x, g) = »J(g, x), pU
Уравнение A1) является обобщенной формулой Сомилиано для
перемещений. Его можно получить и сразу из рассуждений,
проведенных в § 1.13 при дополнительном предположении, что
движение является гармоническим, а массовые силы и тепловые
2.10. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости 177
источники отсутствуют. Функции usk и 9s известны — они полу-
получены в § 2.3.
Введем теперь, так же как это делается в эластокинетике1,
термоупругие поверхностные потенциалы. Итак, термоупругим
потенциалом одинарного слоя будем называть систему
(?)9*(f, x)dA®,
A2)
l/(x) = 2 f <!>(§)?(§, х)й?Л
Л
где
•суть неизвестные поверхностные плотности соответствующей
гладкости. Функции ии, 9, икя и 9s суть функции Грина для бес-
бесконечной среды, определяемые формулами D), E) и (8), (9).
Термоупругим потенциалом двойного слоя будем называть
систему
4-2а Ф(?) ——\s> -dA(l),
J ОН,
А
A3)
х) = 2 J ф (g) -?- в (I х) dA E) + 4-1 ?ft (?) л (S, х) dA E),
д
/* (I, x) = 2as^- + (Хи*. P - if) bki]
pk (I x) = [2'^j + (xMp; p _ T9 ) 5,
Определим еще некоторый термоупругий потенциал, являю-
являющийся линейной комбинацией потенциалов одинарного и двой-
двойного слоев
,() 1
А
A5)
Ж (х) = 2 j <? (S) б (I х) <*Л (S) + -§- J ?* (?
1 Kupradze V. D., Dynamical problems in elasticity, Progress in Me-
Mechanics of Solids, v. 3, Amsterdam, 1963.
12 Заказ № 362
178 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Для исследования поведения потенциалов A2), A3) и A5)
при переходе через поверхность А введем следующие обозна-
обозначения:
Ws(l0) предел вектора Ws(%) при g-*g0 € А, § ? А,
Wf}(g0) предел вектора Wf >E) при g —g0 6 Л, g?5,
Wf} (У предел вектора Wf }(g) при g —g0 6 A, g 6 8 - Я,
где через § обозначено все пространство. Можно показать, что
потенциалы Fs(x) и V(x) являются непрерывными функциями
точки х?А. Покажем, что потенциалы двойного слоя Ws{x) и
W(x) терпят разрыв на поверхности А. В самом деле
) = ?, Eо) + ws (g0), г (^} (g0) = ф (g0) + г (g0). A6)
Эти соотношения аналогичны соотношениям для скачка гармо-
гармонического потенциала двойного слоя в эластокинетике. Пока-
Покажем, что первый поверхностный интеграл в A3) является раз-
разрывной, а второй — непрерывной функцией. Действительно, из
первого уравнения системы (8) следует соотношение
Учитывая, что
1 для § е В,
г12 для ЪвА, A8)
в { О для g 6 В - Ь,
интегрируя A7) по х^В и меняя переменные, получаем
где
I х) - 2рсо2
Можно показать, что функция ?s(x), как комбинация объемных
интегралов, непрерывна для хеЛ. Аналогично этому с исполь-
использованием уравнения (9) проверяется непрерывность второго сла-
слагаемого потенциала Ws.
Формулы A9) и A3) приводят к первой группе формул A6).
Разрыв функции W=W(x) можно обнаружить аналогичным
образом посредством интегрирования уравнений D) и E). Вто-
2.10. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости 179
рое слагаемое в формуле для W(x) непрерывно на поверхно-
поверхности А. Введем обозначения
А (х) = [2рУи, fl + (Wkl k - iV) Ьи] nj (х),
B0)
6 (x) = V,knk(x), 1/(;,,, = 1Л ,. + 1Л (,
где функции Vs и V заданы формулами A2). Можно показать,
что
У" (So) = «Р* (So) + Л (So), в @ (So) = * (So) + в (So).
B1)
?ie) (So) = -ъ (So) + Я (So), в(" (So) = - * (So) + ^(So).
Термоупругие потенциалы A2) — A5) и полученные соотно-
соотношения для скачков этих потенциалов дают возможность свести
основные краевые задачи термоупругости к решению сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений. Мы ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением лишь некоторых типичных задач.
Рассмотрим случай, когда на границе тела заданы переме-
перемещения и либо температура, либо тепловой поток. Итак, пусть
tts(So)=68E) и в(|о)=?(!о) на поверхности А. Решение разы-
разыскивается в виде потенциала двойного слоя A3)
Us(x) = Ws(x), fl(x)=U7(x). B2)
Легко проверить, что функции Us(x) и 9(х) удовлетворяют урав-
уравнениям
?Л-ТЭД = О, rf9 + (T/a)d//, = 0, X6 5, B3)
где
U - (и дР дР + ^Р) bsu + (^ + !-) д3 дк.
Используя соотношения A6) для функций фа(|) и я|э(§),
получаем следующую сопряженную систему уравнений:
?, (So) ~2W (§) /* (S. So) <*Л E) - 2a j ф E) -A f/ (f, §0) flf Л (?) =
= -ЛEо). B4)
<>(So)-2 J ^ (?) -^ ? (?,
Эти уравнения являются сингулярными интегральными уравне-
уравнениями Фредгольма второго рода; интегралы следует понимать
в смысле главных значений.
12*
180 Гл. II. Гармонические волны в термоупругой среде
Для несопряженной задачи вместо B2) и B4) получим сле-
следующие соотношения:
*/.|.=о = 2 J<P*(g) [/* (I go)].=o^(g) +
Л
^(^иЛ1 go)
(i) go)]i=o<M(g), B5)
где функции щ и г|з суть решения несопряженных интегральных
уравнений
-2
Ш~ 2 J* (-|f)t=0<M== -*(So). B6)
Рассмотрим случай, когда на поверхности А заданы переме-
перемещения м*(?о)=Ы|о) и тепловой поток dQ/dn=S(lo). Решение
будем разыскивать в виде
Us(x) = Ms(x), "в(х) = ЛГ(х), х^5, B7)
где функции Ms и М определены формулами A5). Легко прове-
проверить, что внутри области В выполняются уравнения B3), а не-
неизвестные плотности cps(l) и ФШ удовлетворяют следующей
системе сингулярных интегральных уравнений:
<P,(go)-2 j |
А Л
^ ~fs Eо)»
Ф Eо) + 2 J Ф E) -^ в E, 5о) ^^ (?) + B8)
где
2JO. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости 181
Для несопряженной задачи уравнения B8) значительно упро-
упрощаются
-2]<?*(!) [Ml
-2 f <!»(§)[»,(§о.
B9>
Мы не будем выписывать интегральные уравнения для крае-
краевой задачи с заданными нагрузками. Отметим лишь, что для
заданных на границе А нагрузок pi = /?i(go) и потока S=S(go)
решение следует разыскивать в виде потенциалов Vs(x) и V(x)
одинарного слоя. Используя соотношения B0) и B7), можно-
явно выписать соответствующие сингулярные интегральные
уравнения.
Исследование существования и однородности решений полу-
полученных уравнений можно выполнить тем же путем, как это
было сделано для упругих потенциалов1.
1 К и р г a d z e V. D.; см. примечание на стр. 1/7,
Глава III
ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ,
ВЫЗВАННЫЕ АПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
3.1. Общая постановка задачи
Вопрос о распространении термоупругих волн, вызванных
действием апериодических возмущений, является значительно
более сложным по сравнению с теми задачами, которые были
рассмотрены во второй главе, где предполагалось, что воздей-
воздействия изменяются во времени по гармоническому закону.
В дальнейших рассуждениях мы будем поступать в основ-
основном следующим образом. К основным уравнениям термоупру-
термоупругости
, /=1,2,3, A)
v29 _(i/x) e _,? = _Q/x B)
«будем применять преобразование Лапласа
оо
3 \щ, 9] = {щ, б) = j (и,, 6) e~pt dt, C)
О
где р — комплексное число, действительная и мнимая части
которого подобраны так, чтобы интеграл сходился. Таким об-
образом, получим преобразованные уравнения
р v % + (а + р) е, t + Xt = р [р\ - рщ (х, 0) - щ (х, 0)] + Тё", ь
D)
V26 - A/х) [Р9 - 6(х, 0)] - т, [ре -е(х, 0)] = -Q/x, E)
:в которые время не входит. Далее будем решать уравнения D)
л E) с использованием тех методов, которые были изложены
в первой главе. И наконец, применяя к найденным функциям
.иг и 9 обратное преобразование Лапласа, найдем искомое реше-
решение т, 8.
В дальнейших рассуждениях будем полагать, что возмуще-
лие приложено в момент /=0+, причем все начальные условия
однородны. Это значительно упрощает уравнения D) и E).
В случае неоднородных начальных условий соответствующие
^величины можно рассматривать, как это следует из уравнений
3.1. Общая постановка задачи 183
D) и E), в качестве известных функций, вызывающих дви-
движение.
Рассмотрим, в частности, волновое уравнение, определяющее
апериодическое движение. Согласно § 1.5, систему A) и B)
можно записать в виде уравнений для продольных и для попе-
поперечных волн. Применяя к этим уравнениям преобразование
Лапласа, в случае однородных начальных условий получаем
[(.V2 - />,'*) (V2 - p2jc!) - Bs/;/*) V2] Ф = -(«/*) Q -
-(l/c?)(v2-/>/*)», F)
(?2-//с2Н=-A/<:!)Х, s = w- G)
Функции Ь и х определены равенством
X = P(gradu-f-rotX). (8)
Температура связана с функцией Ф следующей зависимостью:
e=(l/m)(v2-//c2)?. (9)
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее урав-
уравнению F), записав его в виде
где Ai и Я2 — корни биквадратного уравнения
t - 12р (р\с\ + A /х) A + е)) + //(у-С2) = О,
X? + XI = (рМ A + в) + p'ld Х2)| = рЪсХ)
Поскольку эти корни,
являются весьма сложными функциями параметра р, то выпол-
выполнение обратного преобразования сопряжено, разумеется,.
с очень большими трудностями. Эти трудности могут быть су-
существенно уменьшены за счет введения приближенных решений..
Одним из методов приближенного решения поставленной за-
задачи является метод возмущений. Поскольку 8 — величина:
весьма малая (e<Cl), воспользуемся разложением
Ф = Ф0 + вФ1 + е2Ф2 + ... . A2}
184 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Подставляя A2) в F), находим систему уравнений
01@2Фо = - H*)Q ~ A/*?) 02^
ад2Ф1=Ы*)У2Ф0> A3)
тде
= V2 - /7>2, ®2 = V2 -
Величина Фо совпадает с решением несопряженной задачи.
Практически можно ограничиться двумя членами ряда A2).
Температуру, согласно (9), представим в виде ряда
в = @1/ю) (Фо + еФ, + в2Ф2 + ...). A4)
Второй метод приближенного решения уравнений D), E) или
же F), G) применим для малых значений времени. Этот метод
особенно полезен в динамических задачах, так как различие
между динамической задачей и соответствующей квазистати-
квазистатической задачей с течением времени уменьшается. Для малых
значений t можно использовать теорему Абеля
\lm.f{t)=\imp&[f{t)\. A5)
t -*-0 р-^оо
Отметим, что малым значениям времени соответствуют большие
значения параметра р.
Описываемый метод заключается в том, что корни Ai и Яг
разлагаются в ряды по параметру 1/р с удержанием несколь-
нескольких первых членов. В некоторых случаях одновременно приме-
применяется метод возмущений, состоящий в том, что Ф и 8 разла-
разлагаются в ряды по степеням е.
Можно использовать еще один метод решения уравнений
F) и G). К этим уравнениям применяется тройное преобразо-
преобразование Фурье по переменным х^ что приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению третьего порядка по времени.
К решению этого уравнения последовательно применяется об-
обратное преобразование Фурье. Этот метод детально обсуждается
-в § 3.5.
Весьма общий метод решения, основанный на применении
четырехкратного преобразования Фурье, представлен в следую-
следующем параграфе.
Полученные до настоящего времени решения сопряженных
динамических задач термоупругости являются приближенными.
С другой стороны, в теории температурных напряжений имеется
3.2. Применение интегральных преобразований 185
ряд решений несопряженных задач. Ниже мы представим неко-
некоторые из этих решений, имея в виду сравнение результатов
с приближенными решениями сопряженных задач.
3.2. Применение интегральных преобразований
Интегральные преобразования Фурье и Ханкеля использо-
использовались для решения ряда динамических задач термоупругости К
Были получены замкнутые решения для различных частных за-
задач, в первую очередь для задач с тепловыми источниками в не-
неограниченной термоупругой среде, изменяющимися во времени
по гармоническому закону.
Запишем уравнения для перемещений и уравнение теплопро-
теплопроводности
д2 ! д2 \ i л ! \ d2ak . v
/=1, 2, 3,
д2 д2 д2 X ! аб d2uk Q_
1^ д4 д4) % *
а также соотношение Дюамеля-—Неймана
°<7 = !J'-7b- + -^7Г + л-л7Г—"Р °<7- C)
j dxt j ' \ dx-? ь ] и
Введем новые независимые переменные
Q = (^/х) хь, i = c\t\*.
Тогда систему A) — C) можно записать в виде
/ д2 ^2 ^2 \ ^fe
д2 \ д2 \ д2
duj
C )
1 Eason G., S n e d d о n I. N., The dynamic stresses produced in elastic
body by uneven heating, Proc. Roy. Soc. Edin., A65 A959). Lockett F. J.,
Sneddon I. N., Propagation of thermal stresses in a infinite medium, Proc.
Edin. Math. Soc, 11, part 4 A959). Снеддон И. Н„ Берри Д. С,
Классическая теория упругости, Физматгиз, М., 1961.
186 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
f = (X + 2ji)/|x, a = c\lcl, 6 = *t/(Ki)>
где
в = (*/<??) Q, *lJ = (*lv.C1)aiJ.
Дифференцируя первое уравнение из уравнений (I7) по ?д,
второе по L2 и третье по ?3 и складывая результаты, получаем
следующее соотношение:
Теперь воспользуемся четырехкратным преобразованием
Фурье, определяемым как
t. E)
Умножив уравнения (Г) — (З7) и D) на exp [t(ocj?j + сот)], про-
проинтегрировав результаты по всей области и использовав фор-
формулу
= — (/ay, o>2)/@4, a2, a3, w), F)
получим следующую систему алгебраических уравнений:
~akd^-f- /соб'-f- iu>ge = — в, (8)
т/у = -/ (аД + a,ay) + Ь2 - 2)?- bo] 8,., (9)
Q2 I A» A /7 2/? /1Г^
3.2. Применение интегральных преобразований 187
Исключая из уравнений (8) и A0) сперва е, а затем 0, получаем
а2| а3, со)
— to) +
с — —
где
D (ocj, Gco, зс3, со) = ($?%kak — #co2) (oLkcik — /to) — iu)bgxkQLk,
2 j 2 | 2
Применяя к A1) и A2) обратное преобразование Фурье
I, а2> аЗ> 03)Х
находим
оо
6= -1 f f f f у
4^2 J J J J Z)(ab a2, a3, ca) A
—oo
X exp [ — / (a?j + ojt)] dd^^da^d^, A4)
/» = J- f f f f fa^fc (fa) - a^) + v
4ru2 J .) J J D (ab a2, a3f со) А
— CO
X exP [— /(a;-C;- + OJTI dxlda2da3du. A5)
В правых частях под знаком интеграла стоят величины, вызы-
вызывающие движение тела: массовые силы и тепловые источники.
Подставляя A1) и A2) в G), получаем
- _ ?j[(ft2 - 1) (ЧЧ - i<*) - wbg) zfik?k ,
j
+ ' D(*u a2j a3l со)'
Применение обратного преобразования Фурье дает
— * Г Гг Г { ^J \(Pl)D4to)iQ>bg)zj4Fk
Uj ~4^ J J J J 1 a^p — aco2 (^a^_at02) /) (ab a2, 7.3, w) '
?> («ь^, о.) } exP [-/(я^ + 0>тI do.xdo,2d4d*. A7)
188 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Формулы A4), A5) и A7) имеют весьма общий характер;
под знаком интеграла находятся преобразования величин, вы-
вызывающих движение термоупругого полупространства. Труд-
Трудность состоит в фактическом вычислении выписанных четырех-
четырехкратных интегралов.
Преобразования величин 0 и Fj определим по формуле E).
Дадим соответствующие выражения для некоторых наиболее
важных случаев. Пусть в начале координат приложен сосред*)-
точечный мгновенный тепловой источник
По формуле E) получим
0 = -W [Ш
A8)
Если тепловой источник меняется во времени по гармоничес-
гармоническому закону
то
со
4тс^ J 2т^ vi/j v /
—со
так как
Если тепловой источник движется в направлении оси ?з с по-
постоянной скоростью v, то
со
J J
ехР I* («А + а2^)] Л, </С2 X
ехр [/ (а3С3 + ">")] ^з ^ =
B0)
От решений, выписанных для трехмерного напряженного со-
состояния, легко перейти к решению для плоского деформирован-
деформированного состояния. В этом случае все величины будут функциями
переменных ?i, ?2 и t.
3.2. Применение интегральных преобразований 189
Рассмотрим теперь осесимметричную задачу, в которой пе-
перемещения tit и температура зависят от переменных хз=г, г=
= (х\ + х\I/з и /. Введем обозначения
и запишем основную систему в виде
~b^i=a^r> B1)
1 E6 , d28 ^6 a / da , и ,
УГ ' "ЭР 5x ^"7 i"^p~ ^"'" "•
B3)
Здесь и — радиальная, a w — осевая составляющие вектора пе-
перемещений.
Для решения уравнений B1) — B3) используем смешанное
интегральное преобразование, а именно преобразование Хан-
келя—Фурье
со со
(и, л) = -4-Ие'к+ит)Л*| РЛ(8р)(и, Ft)dP, B4)
?, в, Fj = -±- j |е'к+шх)^;^ J р/0(8Р)К 9, в, Fc)
—со
B5)
Применяя это преобразование к уравнениям B1) — B3), полу-
получаем систему алгебраических уравнений
(p2g2 _j_ a2 __ аи2) и — i(p2 — \)baw — F9 = ЬЬд,
I (р? — 1) 8а^ + (82 -L р2а2 - ааJ) ^ - ?, = /ба?, B6)
(§2 _|_ а2 _ /а))^ __ /cog- (йй — /асо) = 0.
190 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Отсюда имеем
— яш2) E2 -f- а2 — ш) — mbgtf] Ур
4-
[F2
j
ИР»
+ ?2*!
* К'
E2
»z -
+
- #со2) E2 -
! 4~ л2 — ^2
а2 — aoj2)
асо2) (а2 4
f а2 —
- /со) —
/со) -
Ь, со)
О))
5, со)
i
(а, б,
E2 -f а2 — аоJ) ?) (а, 8, со) ' Z) (а, 5, аз)
4- «?с + (Э2а2 - ^2) О
D (а, 5, со)
где
D (а, В, «>) == [р* (а2 + 82) - ааJ] (а2 -f 82 - /со) - iabg (а2 + §2).
Применяя обратное преобразование, находим
B8)
B9)
«(Р. С, ^)=^г! je-;(a- + tOT)flfaflfcoj«(a, 8, со)8/,(8р)db, C0)
--L
C1)
— со
Значительное число частных результатов, полученных при
использовании преобразований Фурье и Ханкеля—Фурье, чита-
читатель найдет в статьях, цитированных в начале настоящего па-
параграфа, особенно в статье Исона и Снеддона. Однако несмотря
на несомненную общность представленного метода интеграль-
интегральных преобразований, предпочтительнее использовать метод вол-
волновых функций, изложенный в § 1.5.
3.3. Волны в неограниченном термоупругом пространстве
под действием сосредоточенного теплового источника
Пусть в начале координат находится сосредоточенный мгно-
мгновенный тепловой источник Q(R, t) =Qo6 (R) б (t). Это воздейст-
воздействие приведет к распространению в неограниченной среде про-
продольной сферической волны. Соответствующее этому случаю
3.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника 191
волновое уравнение после применения преобразования Лапласа
запишется в виде
ф(я, р)=
= -(ml*)Q04R), A)
где
V2 s d2\dR2 + B//?) rf/rf/?, e = rtim.
Запишем это уравнение иначе
(v2-X?)(v2-X1)O = -(ot/x)Q08(/?). B)
Решением является функция
ф =
Преобразование температуры Э запишется на основе (9) § 3.1
в следующем виде:
Прежде чем перейти к определению приближенного реше-
решения, рассмотрим решение соответствующей несопряженной за-
задачи. Положив 8=0 в формулах C) и D), т. е. Ai = fp/x, Я2 =
=plci, получим
mc\Qn (--f, -
=ст? v *. F)
Применяя обратное преобразование Лапласа и используя но-
новые переменные
находим i
G)
Jl?
BхK (тег) h
\ 4т /
1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticity, Arch. Mech.
Stos., 9, № 3 A957).
192 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
где
E2(z, C) = eT-c-l.
По известной функции Ф находим напряжения
дФ
= ае9 = -
Используя обозначения
и введенные новые переменные ^ и т, получаем
?-< erfc —77=- -у
-K)e '-1J , (II)
/С s mQ0/D«), 8 = рс?/D(.).
3.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника 193
Функция Ф является непрерывной, однако перемещение и =
= dO/dR терпит разрыв в момент t=R/cir причем величина раз-
разрыва равна —с±К/(кЯ). В этот момент разрывны и напряжения
OrRj афф, причем величины соответствующих разрывов таковы:
1-25 ^ 1
' С ) С2 '
С ростом ? величина разрывов уменьшается. Следует заметить,
что для. t^>R/ci напряжения очень быстро стремятся к своим
квазистатическим значениям. Для t^>R/ci получаем
С2
ехр
2 \/z
Вернемся к уравнению B), описывающему сопряженную
задачу1. Дифференциальные операторы будем трактовать как
числа. Тогда
ъ (R) mQ0 1
х LxL2-eL3 х 1^2 ^1-е^з/(А^)/ ^
где
La^v2~hl a = l, 2, кЫр21с1 h\ = р\*9
Разлагая выражение в скобках в ряд по степеням е, получаем
A3)
Используя решение задачи Гельмгольца для неограниченного
пространства
(v* _ h\) e-bR\R = -4^o (/?), (v2 - Al) в"ад//? = -4*3 (/?),
имеем
A/А4) [-4«8 (/?)] = (^"Л1/? - *-**)/(* (А? - A3)) •
Заменяя теперь h\, h22 величинами <otft^, @2^22' гДе ^i» ^ —не"
которые параметры, получаем
ехр {—hjR V~^) — ехр (—
1 Н etna г ski R. В., Solution of the coupled problem of thermcelasticity
in the form of series of functions. Arch. Mech. Stos., 16, № 4 A964).
13 Заказ № 362
194 Гл. HI. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Заметим, что
A5)
Подставляя величины (V2 — coi/z^)1 и (V2 — со2/г|) -1—^ в A3)
и полагая coi = co2= 1, получаем
{оо
^ sn(v2)n д2п Г 1 1
?0 {n\J(h\f д*«д<% [(V2-co1/z1)(V2-oJ/i2) J Х
^=1- A6)
Подставляя наконец A4) в A6), получаем следующее выра-
выражение:
Ф = А'
ехр (—/г^ 1/"сох) — exp (—h2R
х M^t)
Далее, используя соотношение
а= 1, 2 (по а не суммировать!),
применим к A7) обратное преобразование Лапласа. В резуль-
результате находим
( f д2"
= л( f д2" X
"
оз2 = 1
Применяя к выражению в квадратных скобках обратное преоб-
преобразование Лапласа, получаем следующий результат:
Ф = .
3.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника\9Ь
где
ехр -* ¦ erfc -тт-
/ —u2ciR \ . I R 1/оJ l/*05^^
ехр ^=— erfc (-75- |/ -4 ~ ^1 I/ .^г—
s = 0
Для проверки можно непосредственной подстановкой убедиться,
что A9) удовлетворяет исходному уравнению A). В дальней-
дальнейших рассуждениях воспользуемся тем, что e<Cl и удержим
в ряде A9) только два первых члена.
Введем безразмерные величины
B0)
где величина а = %/й имеет размерность длины (напомним,
что к имеет размерность см2/сек). Запишем уравнение продоль-
продольной волны в виде
[J()t]p?()() ? (Q0/)
B1)
Два первых члена ряда A8) запишутся в виде
/ехр (-/>?)-ехр(-р/р) в Г /?
I р/?(/7-1) /7 (/7 — 1J [ 2 ~1~
)]} B2)
Первый член здесь совпадает с E), если в E) ввести новые
ний.
B3)
переменные. Функция ф послужит для определения напряжений.
Введем обозначения
Имеем
B4)
13*
196 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Рассмотрим приведенное напряжение трр. Подставляя B2)
в B4) и применяя обратное преобразование Лапласа, находим
следующее соотношение:
., B5)
где
-р). B6)
Полученное соотношение позволяет сделать ряд выводов. Пре-
Прежде всего имеем
Трр-^оо при р—^0,
Трр-^оо при т-^0,
Трр —^ 0 ПрИ р-^ОО,
Трр-^О при т-^оо.
Рассмотрим теперь сечение р=т. Подставляя в B5) т=р+ и
т=р~, получаем в этом сечении скачок напряжений
трр(р+ p)--cpp(F, р)
S.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника 197
Для несопряженной задачи этот скачок при
к нулю. Для сопряженной задачи имеем
(p + , р)-трр(р-, p)] = -
стремится
lim
р -> оо
На рис. 3.1 представлены графики функции трр(р, т) для по-
постоянных значений приведенного времени: т=1, 2, 3, 4. Пол-
Рис. 3.1.
ностью график дан лишь для т=1. В остальных случаях нане-
нанесены только правые части кривых.
Аналогичным образом можно построить функцию тфф, если
ограничиться линейным приближением для Ф, Ф=Ф0 + ?Ф1-
Соответствующие рассуждения приводят к следующей величине
скачка:
B7)
198 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
При р->оо величина скачка стремится к —q&(n—1)/Bя).
На рис. 3.2 представлены графики тфф=тфф(р) для г — 2 и т=3.
Наконец, приведенная температура Ф равна
чя
• B8)
Т<р<р
0
-0,2
1
I
^—
/
2
I
1
1
1
Г=2
3 4 5
! ^^^
т
Р и с. 3.2.
Исследование этого уравнения показывает, что
1
lim» = 0,
2
• — е1 erfc У (
В сечении т=р приведенная температура терпит разрыв, при-
причем величина скачка равна eg7Djtp).
Рассмотрим воздействие на неограниченное термоупругое
пространство теплового источника типа Q = Qo8 (R)H(t). Реше-
Решение этой задачи будем разыскивать, используя другой метод,
а именно метод малых величин времени1. Уравнение упру-
упругого потенциала B1) запишется в рассматриваемом случае
в виде
B9)
1 Hetnarski R. В., The fundamental solution of the coupled thermo-
elastic problem for small times, Arch. Mech. Stos., 16, № 1 A964).
3.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника 199
Применяя преобразование Лапласа, получаем
ИЛИ
(v2-X?)(v2-Xl)^=-^3(p)(l//?), C0)
где
.A+зJ]1/2|]1/2. C1)
Решением уравнения C0) является функция
4г^(л2-Л2)
В связи со сложностью зависимостей Xi, Я2 от р обращение
преобразования Лапласа является здесь весьма трудной, зада-
задачей и до сих пор не выполнено.
Запишем корни Xi, X2 в следующем виде:
\=s-'[A(s)]4i, h=-^l/2(s)Yh, s=\\p, C3)
где
/l(*)^72) 11+0 +?)*+ [1 +2(e - 1) '/}
Используя теорему Абеля
C4)
(большим значениям р, т. е. малым значениям 5, соответствуют
малые значения времени t), разложим функции fa(s), a=l, 2
в ряд Маклорена и удержим первые четыре члена разложения.
Имеем
:;/:0Mз, «=1,2.
Подставляя значения производных, получаем
/j (S)= I + в5 + bs2 - s(e - l)s3, /2(s)= 1 - ss
Используя эти формулы в C3), разлагая Яа (а=1, 2) в ряды
Маклорена с удержанием трех членов и пренебрегая величи-
величинами е2, малыми по сравнению с е, получаем
X, =р + (е/2) A
(/)]. C5)
200 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Подставляя C5) в C2), получаем выражение ф для малых
значений времени. Используем это выражение в первой фор-
формуле B4), учитывая соотношение
exp [ep/B Vp)] «1 +(ер/2)/Г1/2.
Пренебрегая членами, содержащими p~9/s, р~5, оказывающими
малое влияние на решение, получаем
. Я Г/ ф I Г П-О*2 I 4
UPP— [{ -Т-[ р + P2
A-4s) п2 , 2B-е) ,411
р 1 р h^j^
4A—Зе) , 4A — е)
C6)
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим следую-
следующую приближенную формулу для приведенного напряжения
трр:
'рр ¦
X DxK/2/3erfc8 + [ A~4^2 + 2e + ^jD,J/4erfc 8
C7)
3.3. Волны в термоупругом пространстве под действием теплового источника 201
Здесь /о, А, /2, /3 — функции Бесселя первого рода и
2 ~ 2
erfc 3 = у^ J ^ ~и du,
ос 00 оо оо
j
/лerfc8 = j j ••• j J erfc С Л Л
4 л-1
Преобразование температуры получим на основе последней
формулы B4). Используя C2), получаем
&"~ Ч 1 ГЛ2 24 —рА, Л 2 2\ —рХ21 /oQ\
4710/7 )^^L г / \ ^ -Г/ J * \/
Подставляя C5) в C8), находим
Ь = -/- [(ф2 + 28//?3 + 2s//?4) ехр (-ре/2 — рр — ре/2/?) -
— ( —1//> — (рг/2)/Г3/2 + ?// + A — 2г)// + (ре/2) /Г?/2 +
+ A — 6s)//?4)exp(—p/?1/2)] • C9)
Осталось выполнить обратное преобразование Лапласа. Имеем
л! Т'Г1/г 3/ 1
\г» / ^.Тср |^ V г/ L i IV/ 1^ 2 \ / I ^г 3 \ /J I
-+ [erfc 8 -f JJ- Dт//2 / erfc 8 - s Dт) /2 erfc В - A - 2s)DtJ/4 erfc 8 -
- Ц-DтM/2г5erfc8 + (l — бе)DтK/6erfcb\ J. D0)
Эта функция непрерывна по р, так как имеем /i((o) =/г(со) =
= /3(со) = 0 для р=т. На рис. 3.3 представлен график приве-
приведенной температуры $($, т) для сопряженной (сплошная линия)
и несопряженной (штриховая линия) задач при 8 = 0,0168 (медь)
и т=0,25. Видно, что влияние сопряжения на температуру весь-
весьма мало.
Рассмотренная задача родственна задаче об определении
поля деформации и температуры в неограниченной среде со сфе-
сферической полостью. Если граница полости будет подвержена дей-
действию нагрузки или температуры, зависящих только от времени,
202 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
то в окружающем пространстве возникнут сферические термоуп-
термоупругие волны.
Первая задача, а именно задача о внезапном нагружении
границы полости, была рассмотрена в двух работах. В первой
из них Лессен1 использовал метод возмущений, в котором
в качестве малого параметра была взята величина е. Во вто-
второй работе Чедвик2 применил асимптотический метод малых
значений времени.
Задачу о внезапном нагреве границы сферической полости
рассмотрел Нариболи3, применяя как метод возмущений, так
и метод малых времен.
Упомянутые решения
показывают, что тер-
термоупругие волны под-
подвержены дисперсии и за-
затуханию, причем значения
скачков напряжений не-
несколько уменьшены за
счет сопряжения по срав-
сравнению с соответствующи-
соответствующими значениями в теории
температурных напряже-
напряжений. Влияние сопряжения
температуры и деформа-
деформации является незначи-
незначительным.
Для случая воздейст-
воздействия тепловых источников
влияние сопряжения на поле температуры также незначительно.
Однако для задачи о внезапном нагреве границы сферической
полости поле температуры в сопряженной задаче значительно
отличается от поля 9=—цусе, соответствующего решению в рам-
рамках теории температурных напряжений.
Описанные методы дают возможность найти приближенные
функции Грина для сосредоточенной апериодической силы. Ре-
Решение динамической задачи для малых значений времен было
дано Шоошем4, а для квазистатической задачи получено ав-
автором5.
US /.О
Рис. 3.3.
Р
1 LessenM.,/. Mech. Phys. Solids, 5 A956).
2 С h a d w i с к Р.; см. примечание на стр. 98.
3 N а г i b о 1 i G. A., Spherically symmetric shock in a medium with ther-
thermal and elastic deformations coupled, Mech. Appl. Math., 14, part 1A961).
* Sods E.; см. примечание на стр. 29.
5 Nowacki W., Green functions for the thermoelastic medium (III), BulL
Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 13 A965).
3.4. Плоская волна в термоупругом полупространстве 203
3.4. Плоская волна в термоупругом полупространстве
В настоящем параграфе рассмотрено действие теплового им-
импульса на термоупругое полупространство. Внезапный нагрев
края полупространства вызывает плоскую термоупругую волну,
распространяющуюся от этого края в глубину. Такая задача
была рассмотрена в рамках теории температурных напряжений
В. И. Даниловской1 и вызвала большой интерес. Этой теме
был посвящен ряд работ. Хетнарский2 рассмотрел задачу
В. И. Даниловской для малых значений времени, а в другой ра-
работе3 он дал общий метод решения с использованием малого
параметра. Отметим далее работы Боли и Толинса4 и работу
Муки и Броера5.
Ниже мы сначала представим решение несопряженной за-
задачи, а затем дадим на основе работ Хетнарского решение за-
задачи сопряженной.
Предположим, что плоскость xi = 0, ограничивающая упругое
полупространство, внезапно нагревается в момент ^=0+, т. е.
6@, t) = 60b(t). A)
Далее предположим, что эта плоскость свободна от нагрузок,
а начальные условия однородны,
лп@, /) = 0, Цхи 0) = 0, ап(х1,0) = 0, <;„(*!, 0) = 0. B)
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
o C)
с краевым условием A) и начальным условием 9(xi, 0) =0 и
уравнения движения
{д\-{\1с\)д])щ = тдхЬ. D)
В дальнейшем используем выражение для напряжений
ап = (Х + 2[х)^1-Те. E)
1 Даниловская В. И., Температурные напряжения в упругом полу-
полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы,
ПММ, 14, № 3 A950).
2 Hetnarski R. В., Coupled one-dimensionel thermal shock problem for
small times, Arch. Mech. Stos., 13, № 2 A961).
3 Hetnarski R. В., Coupled thermoelastic problem for the half-space,
Bull. Acad. Polon. Set, Serie Sci. Techn., 12, № 1 A964).
4 В о 1 e у В. А., Т о 1 i n s I. S., Transient coupled thermoelastic boundary
value problems in the half-space, /. Appl. Mech., 29 A962).
5 Muki R., Breuer S., Coupling effects in transient thermoelastic pro-
problem, Osterr. Ing. Archiv., 16 A962).
204 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Решая уравнения C) и D), получаем для величин 0 и аи преоб-
преобразованные выражения
P-c\l
Применяя обратное преобразование Лапласа и используя обоз-
обозначения
приходим к следующим результатам:
9 (С, т) = (90/21/
МС ^) = (-С1ТвоМИ,(С, ^)-А2(С, х)], G)
где
А, (С, х) = С/2) е № erfc (С/2 ^ + V^) +
+ e-t erfc (С/2 /х — "j/x")] + (l/2x l/^x") exp (-C2/4x)
Положим теперь 9о=1 в формулах G) и введем для значений
Л.
полученных выше функций при /—? обозначения 0(g, т—т7)»
А. А А.
сгц(?, т—т7). Функции 6, аи можно рассматривать как функции
Грина. Следовательно, для краевых условий
8@, t) = f(t), an@, 0 = 0, (8)
температура 9 и напряжения соответственно равны
t
Ь(х1г t)=
} ~ (9)
nC*i. 0= /(О °п(-«1. t-t')dt'.
Для частного случая, когда плоскость *i=0 внезапно нагре-
нагревается до температуры 90, причем в дальнейшем температура
поддерживается на этом уровне, т. е. для 0@, t)=QoH(t), полу-
получим, согласно формулам (9),
в (С, т) = б0 erfc (С/21/7), A0)
-С)], (И)
3.4. Плоская волна в термоупругом полупространстве 205
где
Вх (С, т) =
ec erfc (С/2 )/Т
(С/2 ]Л~ -
На рис. 3.4 представлены графики функции ац/К, где К=
=/у8о, в зависимости от расстояния ^=х±с±/к (согласно работе
Мура). Член, содержащий В±9 имеет диффузионный характер,
а член, содержащий Вг#(т—?),— характер упругой волны.
Рассмотрим произвольную точку внутри упругой среды. В этой
точке сразу возникнут напряжения, определяемые членом
—у0о#1 (?> т). В момент т=? (т. е. t=xjci) в эту точку при-
приходит упругая волна и напряжение претерпевает разрыв ве-
величины y0o. После ухода упругой волны напряжение в рассмат-
рассматриваемой точке уменьшается, стремясь к квазистатическому зна-
значению. Графики для т=1 ит=100 показывают, что фронт волны
г=/
1.0
г з i
6ff
к
Рис. 3.4.
находится в точке ?=т, а величина скачка равна /С=у9о и не
зависит от расстояния до свободной поверхности. Это значение
является максимальным и для напряжения на достаточно боль-
большом расстоянии от границы.
Остальные главные напряжения равны
Поскольку
i«i -Т9> A3)
исключая
получаем
а22 = аЗЗ =
Для xi = 0 имеем
A4)
A5)
т. е. эти значения постоянны, причем сгц@, t) =0.
206 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Перейдем к сопряженной задаче и сопоставим ее решение
с решением В. И. Даниловской. Будем исходить из обобщенного
уравнения теплопроводности
'Пдхдгщ = 0 A6)
и уравнения движения
{Л-{\\с\) $)щ = т<Ц. A7)
Вводя термоупругий потенциал и исключая температуру, полу-
получаем уравнение продольной волны
)-(е/х)д?<?/]ф = 0 A8)
и уравнение
ъ = {\\т){д\-(\\с\)д])Ф. A9)
Переходя к переменным
С = сххх\ъ, т; = с\Цъ
и применяя преобразование Лапласа по переменной т, получаем
обыкновенные дифференциальные уравнения
р*\ Ф (С, р) = 0, B0)
, Ъг = РоРФ. B1)
где
т0 = тч?\с\, р0 = pet I*2.
В этих уравнениях уже использовано свойство однородности на-
начальных условий.
Учитывая краевые условия 0@, т)=60#(т), <7ц@, т)=0, на-
находим следующие уравнения:
^M №-р2)е^-№-р2)е-*], С>0 B2)
5^-(.«-.-«). :>а B3,
Л1 ~ Л2
ЗА. Плоская волна в термоупругом полупространстве
207
Здесь %i и Я2 — действительные положительные корни уравнения
0, B4)
т. е.
B5)
Применяя метод возмущений, детально описанный в § 3.3, нахо-
находим следующее решение для Ф в виде ряда по степеням пара-
параметра е:
Ф = mobo
X
Согласно формуле B3), имеем
ап = еоТ
") - ">2 ехР (~С VP*1 )
<о2)
B6)
V f
_
"У exp (-/< V^ ) - «I exp (-C j/>2 )
0J= 1
Удерживая в B7) только два первых члена и применяя об-
обратное преобразование Лапласа, получаем
ехр(-С2/4х)}, B8)
где
U = (У/2) [e"cerfc (С/2 Кт - /7) -I- ec erfc (С/2 |/^ + уТ)] ,
с erfc (С/21/^" - ]/т ) - ес erfc (с/2 /х
B9)
Легко видеть, что
Нто„ = 0, Нтоп = 0, Нтоп = 0, Итоп = 0.
?-*0 т-»-0 С-»-=о т-^оо
208 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Напряжение аи терпит разрыв при т=?, т. е. на фронте волны,
причем величина скачка равна
S(C, е) = ап(С+, С; е)-ап(С- С; е) = Тв0A - (С/2) е).
Можно убедиться, что величина скачка, выведенная на основе
полного ряда B7), а не только с учетом двух его первых членов,
равна
5 (С, e) = 8oTexp(-sC/2).
На рис. 3.5 представлены эпюры напряжений для меди при т=
0,2
О
'0,2
-0,4
-0,6
-0,д
Рис. 3.5.
= 1, 2, 3. Сплошными линиями даны результаты для сопряжен-
сопряженной задачи, штрихованными — для несопряженной.
Используя формулы B1) и B6), получаем следующее выра-
выражение для температуры (учитываются лишь два первых члена
разложения):
- s[е^Цр - 1 J + (С У~р\2р{р-\)~\\{р-\у)е-" YJ] ¦ C0)
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим
K]. C1)
Для 8=0 получаем распределение температуры для несопря-
несопряженной задачи. Легко видеть, что
= 60, lim8 = 0, lim6 = 0, Iim8 =
C2)
3.5. Приведение волнового уравнения к обыкновенному дифф. уравнению 209
На рис. 3.6 представлены эпюры 6/0о для меди при т=1, 2, 3.
Мы не будем описывать здесь второго приближенного метода
решения этой задачи — метода малых значений времени, по-
поскольку он используется здесь таким же образом, как и в задаче
в/в0
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 3.6.
о волновом движении под действием сосредоточенного теплового
источника (см. § 3.3).
3.5. Приведение волнового уравнения к обыкновенному
дифференциальному уравнению по времени
Возьмем основные уравнения термоупругости в том виде, в ка-
каком они были даны в § 3.2, т. е.
V26-
^ = P2»/ + *ei/, /, k = \9 2, 3, A)
.*=-в> /,?=1,2,3, B)
где
ии j =
*, f = c\\c\, b ss
C)
Здесь Xi — составляющие массовой силы, Q — интенсивность
теплового источника.
14 Заказ № 362
210 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Подставляя соотношения
щ = grad Ф + rot ф, X = р (grad Ь + rot X) D)
в A) и B) и исключая температуру 0, находим следующие вол-
волновые уравнения:
{П\П\ - в dt V2) Ф = - (blf) 0 - (Plf) D2A E)
П|ф=-рХ. F)
Здесь использованы обозначения
Рассмотрим сперва одномерную задачу для неограниченного
пространства1. Возьмем в = 0, ® = 0 и начальные условия
^(d, 0) = 0, щ^, 0) = 0, e(Clf О) = во(С1). G)
Уравнение продольной волны запишется в виде
Предположив, что перемещения и температура обращаются
в нуль на бесконечности, запишем последнее начальное условие
G) в виде интеграла
оо
Отсюда видно, что функцию Go (Si) можно рассматривать как ре-
результат применения преобразования Лапласа к функции я(а).
Формула (9) справедлива, таким образом, для функций, к кото-
которым применимо преобразование Лапласа.
Возьмем функцию ф=ф(?4, т) в виде интеграла
оо
Ф (d, t)=] Ф(а> t)ea^^da A0)
и сведем уравнение (8) к обыкновенному дифференциальному
уравнению третьего порядка с производными по времени
(а, т) = 0. A1)
Предположив, что
Ф(а, ^) =
1 Ignaczak J., Note on the propagation of thermal stresses in a long
metallic rod, Bull. Acad Polon. Sci.} Serie Sci. Techn., 7, № 5 A959).
3.5. Приведение волнового уравнения к обыкновенному дифф. уравнению 211
получим для A1) следующее характеристическое уравнение
третьей степени:
Выполняя подстановку r\ = ix—jio, приведем это уравнение к виду
'13 + />-1 + <7 = О) A3)
где
/>/3=-Mft> + 0 + e)]. ^/2 =-|*g [1*0-3A-е/2)]. A4)
Уравнение A3) имеет различные действительные корни, если
(<7/2J + (/>/3K<0. A5)
Это условие выполнено, поскольку
(ФУ + (Pl3f = -цз [A _ Зц0)' + C/4) W (? + 20) +
+ ?(s2 + 3s + 3)]<0. A6)
По теореме Виета
(а) [х1{л2[л3 = —9р-о, (б) [^i + р-2 + ^з =-^о• О7)
Из соотношения (а) следует, что случай двух отрицательных и
одного положительного корня невозможен: либо один корень от-
отрицателен и два положительны, либо все три корня отрица-
отрицательны. Второй вариант противоречит, однако, условию (б). Сле-
Следовательно, мы имеем один отрицательный и два положительных
корня.
Корни определяем по формуле
^cos [(%)(<?+ 2kn)}, ?=1,2,3, A8)
где
У г =
Обозначим отрицательный корень через ц=—т\ (а, г) <0, а два
остальных через т\ (а, е)>0, т\{<х, е)>0. Тогда получим
+ С3(а, e)
14*
212 Гл. III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями
Величины Си Сг, Сз определим по краевым условиям G), кото-
которые записываются с использованием функции Ф следующим об-
образом:
^ф —о Л г с\\ т —о
-^)ф(с1; -с)|х=0. B0)
Определяя из этой системы постоянные С&(а, е), получаем выра-
выражение для Ф и далее перемещения и напряжения.
Рассмотрим теперь упругое полупространство 0^?i< + cx>,
поверхность которого, ?i = 0, свободна от напряжений, а темпера-
температура на ней равна нулю, и возьмем начальные условия в следую-
следующем виде:
МС 0) = 0, й2(С15 0) = 0, 6(Clf О) = во(С1). B1)
На бесконечности температура и напряжения должны быть равны
нулю.
Краевые и начальные условия будут удовлетворены, если мы
возьмем функции 8o(?i) и Ф(?ь т) в следующем виде:
оо оо
0О(С1)= J и: (a) sin ad da, Ф(С1? т)= f Ф (а, %) sin a^ da. B2)
о о
Подставляя <E>(?i, т) в уравнение (8), получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение
dl + а2 а? +a2 A + в) <?х + а4] Ф (а, х) = 0.
B3)
Положив Ф(а, т) =?VT, найдем характеристическое уравнение
ч3 + ЗАО + 3vvo(l -f e)+ 9v20 = 0 B4)
или
где
Поскольку для 8<Cl выполняется неравенство
(?,/2J + (А/3K = (vg/4) [4a4 _ a2 (в2 + 20е - 8) + 4 A + sK] > 0,
B5)
«5.5. Приведение волнового уравнения к обыкновенному дифф. уравнению 213
мы имеем здесь дело с одним действительным отрицательным
корнем vi = —n2t и двумя комплексными.
Запишем функцию Ф в виде
Ф (а, ъ) = Схе~^ + C2e"(a2"^)t/2cos«3T+ Сье~^~п^ T/2sin/z3^
B6)
Здесь Пз является мнимой частью комплексного корня уравне-
уравнения B4)
Постоянные Си Сг и С3 определяются по начальным усло-
условиям B1).
Боли и Уэйнер4 рассмотрели частный случай воздействия
теплового источника Q(xu /)=Qo(l —в"*/То) cos я// при нулевых
начальных условиях. Полное обсуждение приближенного реше-
решения этой задачи показывает, что влияние сопряжения на вели-
величину напряжений весьма мало. Сопряжение должно учитываться
только тогда, когда главная цель состоит в определении термоуп-
термоупругой диссипации.
Представленный способ решения можно обобщить без труда
на трехмерную задачу для неограниченного пространства. В са-
самом деле, применяя к уравнению E) тройное преобразование
Фурье по переменным ?*, получаем алгебраическое уравнение
(для Ф=0)
B7)
где
ОО
Ф(а„ а2, а3) -с) = B«Г'Л J J J Ф (С,, С2, С3, *)ехр(м/,;)Л, Л2ЙС3.
—оо
Решая уравнение B7) с соответствующими начальными ус-
условиями, определим функцию Ф. Применяя обратное преобразо-
преобразование Фурье, получаем
Ф^Д^Сз, т) =
оо
= Brc)-~8/aj j j Ф(а1? а2, а3, х)ехр [— /а^у] rfa2 da.2da3. B8)
1 Боли Б., Уэйнер Дж.; см. примечание на стр. 286.
Глава IV
ТЕРМОУПРУГОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
4.1. Основные соотношения и уравнения термоупругости
анизотропных тел 1
Начнем с вывода уравнения состояния. Соотношение между
напряжениями oy?, деформациями е^- и приращением темпера-
температуры 0 получим на основе уравнения
)
Свободная энергия f(&ij, T) определяется здесь формулой A0)
§i.i
/{*и> Л = (V2) cim*ifiki - hbfi + mV. B)
Подставляя B) в A), получаем следующие соотношения
Дюамеля—Неймана для анизотропного тела:
°ц = Ш (Сцы + Сын) гы -ЪР = сш*ы - М> l> j,k,l=\, 2, 3.
C)
Здесь Cijki — декартовы компоненты постоянного тензора упругой
жесткости для анизотропного тела. В теории упругости анизо-
анизотропного тела доказаны следующие свойства симметрии этого
тензора:
Cijkl==Cjikl^ Cijkl = Cijlk> Cijkl = Cklij- D)
Первое из этих свойств отражает симметрию тензора напря-
напряжений, а второе получается как следствие разделения тензора
djki на симметричную и антисимметричную части по индексам
k и /. Наконец, третье свойство следует из A). Соотношения D)
показывают, что имеется 21 независимых постоянных, описываю-
описывающих общую анизотропность упругого тела. Следует добавить, что
жесткости Cijhi относятся к изотермическому состоянию и опре-
определяются в естественном состоянии, т. е. сцы={с{]ы)т. Разрешая
систему уравнений C) относительно деформаций, получаем
?/; = 5/;ЛТа/А E)
В i о t M. А.; см. примечание на стр. 10.
4.1. Основные соотношения и уравнения термоупругости анизотропных тел 215
Величины Sijki называются модулями упругой податливости. Они
удовлетворяют тем же условиям симметрии
Sijkl = Sjikl' Sijkl = Sijlk > Sijkl = Skllj • F)
Рассмотрим теперь объемный элемент анизотропного тела,
свободный от напряжений. Согласно E), имеем
*U=*ifi. G)
Это соотношение описывает хорошо известное физическое свой-
свойство пропорциональности деформаций приращению температуры.
Величины a,ij являются коэффициентами теплового расширения.
Поскольку 8tj = 8j2, тензор otij = aji является симметричным.
Из соотношений C) и E) следуют формулы .
Перейдем к определению внутренней энергии и и энтропии s
(в расчете на единицу объема). Приращения этих величин равны
(9)
Подставляя A0) в (9), получаем
Величина du является полным дифференциалом. Записывая не-
необходимое и достаточное условие того, чтобы правая часть A1)
была полным дифференциалом,
A2)
~J L \ "~'У /T J ""U I \ "x ls\
находим
A3)
Учитывая вторую формулу (8), получаем
Поскольку
да
216 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
где сг — удельная теплоемкость при постоянной деформации,
имеем
ds = ^dzu + (c%\T)dT9 A5)
du = оц deu + Т$и deu + сг dT. A6)
Подставляя соотношение C) в уравнение A6), получаем
du = с1Шгы deu + Т0$и dsu + csdT. A7)
Проинтегрируем полные дифференциалы ds и du при условии,
что в естественном состоянии (т. е. при 8^=0, Т=То) имеем
5 = 0и^ = 0. Тогда находим
* = &Лу + *.1пA+0/7о), A8)
^A/2)^й;%+ Т$Иги + сшЪ. A9)
Первый член выражения для энтропии описывает сопряже-
сопряжение полей температуры и деформации, а второй — энтропию, выз-
вызванную теплопроводностью. В формуле A9) первый член имеет
чисто упругий характер, последний — чисто тепловой, а средний
член выражает сопряжение деформаций и температуры. Для
|6/Го1<С1 формулу A8) можно записать следующим образом:
T0)B. B0)
Подставляя A8) и A9) в выражение для свободной энергии
f = u—sT и разлагая In A + 9/Г0) в степенной ряд с удержанием
двух членов, получаем
/ = Ш clJkfilJ*kl - hfyfi + сД\ - TjT,) + (cJI2Tl) б2 B1)
или
о) 62. B2)
Таким образом, мы определили величину m=—cs/2To в выраже-
выражении для свободной энергии B).
Перейдем к выводу обобщенного уравнения теплопроводно-
теплопроводности, отправляясь от формулы
Tdsldt=-qlti + W, B3)
где q — вектор теплового потока, a W — количество теплоты, про-
производимое в единице объема за единицу времени. Из рассужде-
рассуждений § 1.3 следует, что составляющие вектора q связаны с темпе-
температурой следующей зависимостью:
T.j, B4)
где Lij — постоянные величины, удовлетворяющие соотношениям
взаимности Онзагера Ьц = Ьц. Обозначая через
4.1. Основные соотношения и уравнения термоупругости анизотропных тел 217
коэффициенты теплопроводности, получаем закон Фурье для ани-
анизотропной среды
<?i=-kuT,j. B5)
Подставляя B5) в B3), находим
Т dsjdt = ktjT, u + W. B6)
С другой стороны, из формулы B0) следует, что
e b. B7)
Исключая Ts из уравнений B6) и B7), получаем
kijT, j+W = Пиеи + (cJT0) П. B8)
Проведем линеаризацию этого уравнения, положив Т^То.
Таким образом, обобщенное уравнение теплопроводности имеет
следующий вид:
киТ,и-с^-Т0$иги^^ B9)
или
W.u-cj-T&^-W. B9')
Входящий в это уравнение член —Р^е^То определяет сопря-
сопряжение поля температуры и поля деформации. Сопряжение исче-
исчезает только для стационарного теплового потока. В этом случае
M./y(x)=-W(x). C0)
Уравнение B97) следует рассматривать совместно с уравне-
уравнением движения
o^j + Х^рщ. C1)
Подставляя C) в C1), находим
Уравнения B9') и C2) образуют полную систему дифферен-
дифференциальных уравнений термоупругости анизотропных тел. Краевые
и начальные условия не отличаются от тех, которые мы описали
в § 1.4.
Решение системы B9'), C2) связано с большими математи-
математическими трудностями. Эти трудности значительно уменьшаются
для плоской задачи (особенно в случае ортотропного тела) и для
одномерных задач.
В общем случае для трехмерных задач систему B97) и C2)
можно свести к системе несопряженных уравнений при помощи
метода, описанного в § 1.6 для изотропной однородной среды.
218 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
От полученных сопряженных уравнений легко перейти к уравне-
уравнениям классической эластокинетики. Последние выводятся, как
известно, в предположении адиабатичности теплового процесса.
Подставляя 5=0 в B7), получаем
To$iAj-\-cBd^O. C3)
Интегрируя это уравнение по времени и полагая e*j = O, 6 = 0 для
/=0, определим температуру
в = -Го(^>«. C4)
Подставляя C4) в уравнения для перемещений C2), находим
teW А, и + xi = №, C5)
где
№<. C6)
Величины (Cijki)s являются коэффициентами жесткости для ани-
анизотропного тела, справедливыми в адиабатических условиях.
Дадим теперь формулы остальных хмеханических коэффици-
коэффициентов анизотропного тела для адиабатических и изотермических
процессов. Выражение для энтропии можно представить как
функцию температуры и напряжений, подставляя E) в B0),
+ ct\TQ) 6. C7)
Учитывая вторую формулу (8), получаем
S = Zi?ij + ($ij«ij + CelTo)Q. C8)
С другой стороны, так как s = s(oij, 8), имеем
в- C9)
где
ШМ-^яг), = а»- D0)
Величина To(ds/dTH есть мера количества тепла, выделяе-
выделяемого с изменением температуры при постоянных напряжениях.
Эта величина определяет теплоемкость со на единицу объема.
Сравнивая формулы C8) и C9), находим
\ /а
Отсюда
4.1. Основные соотношения и уравнения термоупругости анизотропных тел 2\9
Итак, мы получили соотношение хмежду теплоемкостями при по-
постоянной деформации и постоянном напряжении.
Из уравнения E) следует
(?г)г (^г)/е' D2>
где
Для адиабатических процессов ds=0. Подставляя ds=O
в уравнение C9) и исключая из C9) и D2) приращение d0, по-
получаем соотношение
Поскольку левая часть этой формулы есть полный дифферен-
дифференциал, причем формула D4) выведена при s = const, выражение
в скобках можно записать так:
Учитывая D0), D1) и D3), находим
(siM)s = (Stjkih ~ («//««/О то • D6)
Поскольку со является, как правило, положительной величи-
величиной, а коэффициенты теплового расширения положительны по
определению, отсюда заключаем, что адиабатические коэффици-
коэффициенты упругости меньше изотермических. Это связано с тем, что
в адиабатическом процессе растяжение элемента вызывает паде-
падение температуры (см. C4)), а это в свою очередь вызывает из-
изменение деформации. Полная деформация будет поэтому меньше
деформации, полученной в изотермическом процессе.
Рассмотрим еще коэффициенты податливости. Исходя из
уравнений
(^f) (^) dd = {cm)T d4l - (?jy)r dQ, D7)
ds=Ut)d&kl + {-w).de = ®»i)tds" + {cJTo) dB' D8)
полагая ds = 0 для адиабатического процесса и исключая dQ, по-
получаем следующее соотношение:
I ds
т \ дТ /Д де
-)ШГ
220 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
или
{cim)s = {сш)т
Формулы, полученные нами для анизотропного тела, содер-
содержат в качестве частного случая соответствующие формулы для
изотропного тела. В этом случае имеем
&1. E0)
где
Здесь fx, Я — постоянные Ламе, К — модуль сжатия, at — коэф-
коэффициент линейного теплового расширения изотропного тела.
4.2. Основные энергетические уравнения
для анизотропного тела
В настоящем параграфе мы дадим обобщение основной энер-
энергетической теоремы на случай анизотропных сред. Будем исхо-
исходить при этом из соотношения F) § 1.9
$ A)
Здесь Хг — составляющие массовых сил, pi — составляющие
внешней нагрузки на границе Л, v\ — составляющие скорости
перемещения, а^ — напряжения, е^ — скорости деформаций.
Соотношение A) справедливо как для изотропного, так и для
анизотропного упругого тела. Подставляя в A) обобщенное со-
соотношение Дюамеля—Неймана
°*у = */у*Ам--Р/А B)
приведем уравнение A) к следующему виду:
\pividA =
Л
= Р J 44 dV + J cljklzjtj dV-\ hfrft dV. C)
в в в
Введем обозначения
К = (р/2) J vtv, dV. W = (%) J сшгыгч dV D)
4.2. Основные энергетические уравнения для анизотропного тела 221
для кинетической энергии и работы деформаций. Тогда C) запи-
запишется в виде
Т + Т = 1 X^dV + 1 Л*< ^ + J ft Л/>^ E)
В А В
Используем далее уравнение теплопроводности
ktfi.u^T&fy+cj-W. F)
Умножая это уравнение на 0 и интегрируя по области В, полу-
получаем
J bfafi dV = Го j hfrfl dV + ce J 66 rfl/ - J Wb dV. G)
Я 5 В В
Исключая из уравнений E) и G) интеграл J fcfiifidV, находим
в
*'А '^ dV ~
(8)
Учитывая формулу
f Ai;-9;lV6 dK = f kij (№, i), j dV - j kifi, fit t dV =
в в в
= f ku№, /i} dA - j ktfi, fi, t dV (9)
и вводя функцию тепловой энергии Р и функцию диссипации
по формулам
00)
запишем основную энергетическую теорему в следующем виде:
В А
j J
Заметим, что в правой части этого уравнения находятся вели-
величины, вызывающие движение, а именно массовые силы Xit по-
поверхностные нагрузки pi, тепловые источники Q и значения
температуры на поверхности. Отметим, что подинтегральное
222 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
выражение &^Э,Дг в интеграле для %т является положительно
определенной квадратичной формой1.
Выведенная энергетическая теорема послужит нам для про-
проведения доказательства теоремы единственности решения основ-
основных уравнений термоупругости2
^/А/у + ^ = Р^ + М/> О2)
bifl.il-cJb-T&fr^-W. A3)
Возьмем следующие краевые условия:
р.(Х, t) = au(x9 t)flj, X е A, t>0,
6(х, t) = k(x, t), x e A, t>0, A4)
и начальные условия
щ(х, 0) = /,(х), щ(х, 0) = gl(x), 6(х, 0) = А(х), х 6 В. A5)
Предположим, что имеются два решения u'i9 6х, и", 9/7 си-
системы A2), A3), удовлетворяющие краевым условиям A4) и
л. л.
начальным условиям A5). Обозначая через и,, 9 разности этих
решений, мы видим, что они удовлетворяют системе
краевым условиям на поверхности
Pt (X, t) = a,jnj = 0,1 х € А^ t у 0 A7)
6(Х, 0 = 0, I
и начальным однородным условиям
м.(Х( 0)==0, и)(х, 0) = 0, ?(х, 0) = 0, х 6 5. A8)
Л. Л. А.
Поскольку внутри /тела Xi=0, Q = 0, а на поверхности pi=0>
9^0, энергетическое уравнение A1) запишется в виде
-Xr 09)
1 Car slaw H. S., Jager J. С, Conduction of heat in solids, Oxford,
1959.
2 I o n e s с u - Ca z i m i r V.; см. примечание на стр. 50.
4.2. Основные энергетические уравнения для анизотропного тела 223
или
В
(р/2) W + (CJ2T,) Ц dV =
B0)
Введем обозначения
Cijkl
в
i для i = j,
/2)?g-7-i ДЛЯ l^h
cm-k^t дляу = /,
c9_.i__jfk для
?о_;-_/,о--ь_/ ДЛЯ
и представим первое подинтегральное выражение из уравнения
B0) ад== A/2) CijkiSijSki в виде
^ = A/2)^Я *,/=Ь 2,...,.6. B1)
Работа деформации на единицу объема является положительно
определенной квадратичной формой, а определители
B2)
Ck\
положительны.
Используя метод Якоби, можно привести квадратичную
форму B1) к сумме квадратов
^__./!/ w^ _ /д \^^ ^__ ]5 2, 6, А = 1, B3)
причем матрица-столбец Ф=
выражается через матрицу-
J
столбец S> = . . | следующим образом:
224 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
ф=Г S, где Г — треугольная матрица
Г =
Тп
0
0
Tl2
Т22
0
Т13 • • •
Т23
Тзз
Tie
Т26
Тзб
B4)
.0 0 0 ... Тб6 J
Используя эти обозначения, запишем соотношение B0) в виде
dV
B5)
Это неравенство показывает, что интеграл не возрастает при
/>0. Так как начальные условия однородны, этот интеграл
в начальный момент равен нулю. Поскольку подинтегральное
выражение является суммой квадратов с положительными коэф-
коэффициентами (р>0, св>0, Г0>0), интеграл B5) не может быть
отрицательным. Поэтому он должен быть равен нулю для всех
t^O, т. е. в B5) имеет место в действительности знак равенства.
Отсюда следуют равенства
= 0, (Г=0, <zv=0 для
в области В.
B6)
Поскольку матрица Г является треугольной, то из щ=0 еле-
А Л> А.
дует e; = 0. Нулевым значениям функций е* и 9 соответствуют
нулевые значения напряжений, т. е. о^=0, е^ = 0. В результате
имеем
е..
.=0», е' = 9"
B7)
для t^O в области В.
Итак, мы убедились, что решение термоупругой задачи дает
единственные значения деформации, напряжения и температуры.
Для перемещений имеем
и\ = и[ -\- линейный член.
B8)
Линейный член соответствует жесткому повороту и перемещению.
Представленное доказательство единственности можно обоб-
обобщить на случай других краевых условий, когда на части поверх-
поверхности Ао заданы нагрузки ри а на части Аи заданы перемещения
щ. В этом случае получим и^ = и". Можно также учесть различ-
различные тепловые условия на частях Ао и Аи. С детальным обсужде-
обсуждением этого случая, а также случая, когда на некоторой поверх-
поверхности Ах внутри тела разрывны напряжения, читатель может оз-
ознакомиться по цитированной статье Ионеску-Казимир.
4.3. Вариационная теорема термоупругости для анизотропных тел 225
4.3. Вариационная теорема термоупругости
для анизотропных тел
Вариационную теорему термоупругости для анизотропных тел
можно получить таким же образом, как и для тел изотропных.
Рассмотрим вариацию выражения
т. е.
в
Поскольку
°ij — cijkl~kl Pi/7» \°)
имеем
bW = $oijUljdV+§hflbeudV. D)
в в
Преобразуя первый интеграл в уравнении D), получаем
= \ p$ti.tdA-{- \ \Х{ — pUi)butdV. E)
А В
Подставляя E) в D), получаем первую часть теоремы
о W = J (Xt - put) Zut dV + J ррщ dA + j 3.y9k/y dV. F)
В Л В
В это уравнение входят только вариации перемещений и дефор-
деформаций. К уравнению F) следует добавить одно уравнение, со-
содержащее тепловой поток; в этом уравнении появятся вариации
температуры. Связующим звеном для обоих уравнений будет
последний член уравнения F).
Переходя ко второй части теоремы, введем вектор Н, свя-
связанный с вектором теплового потока q соотношением
q = 70H. G)
Поскольку
имеем
Q.i^-TJnjHj. (9)
15 Заказ JVib 362
226 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
Здесь Xij — обратная матрица для kih т. е. Кц= [кц]-*. Умножая
(9) на 6#г и интегрируя результат по объему тела, получаем
O. A0)
в
Поскольку
J в, tbHt dV = j [(вВЯД , - ObHit t] dV =
= J OntbHibHl dA~\ ObHi} t dV,
А В
уравнение A0) принимает вид
Используя теперь уравнение для скорости роста энтропии
74os=-divq = cee + p/yroe/y, A2)
находим
Интегрируя это выражение по времени, получаем для бЯг,г фор-
формулу
8Ям=-*.8е/7^Ме/у. A3)
Подставляя последнее соотношение в A1), получаем
f б 8//„ лГЛ + (с./7*0) J
А В
\ $ = O. A4)
в в
Наконец, исключая из F) и A4) интеграл jP;jQ8ez-jdV и вводя
в
обозначения
в в
находим следующее вариационное соотношение:
IW + bP + lD^bL- \ъЪНпс1А,
i A5)
Ы = f [хх - ри,) Щ dV + J Pi Ьщ dA.
4.3. Вариационная теорема термоупругости для анизотропных тел 227
Мы получили обобщенный принцип виртуальных перемещений,
включающий вариации перемещений и температуры, для термо-
термоупругого анизотропного тела.
Для действительных приращений перемещений щ и вектора
Н уравнение A5) переходит в выведенное ранее энергетическое
уравнение. Поскольку в этом случае
Ъщ = щ dt, lHt = Hldt= — (ku!T0) 8, j dU
A6)
в
перепишем A5) следующим образом:
A, A7)
1т = A/Г0) j kuBt ft,,- dV, К = (р/2) f vtvt dV.
В В
Рассмотрим еще частные случаи этого вариационного урав-
уравнения. Мы показали раньше, что
fl=-GVOP«sw A8)
для адиабатического процесса E = 0). Температура здесь опре-
определена и тем самым уравнение A4) не понадобится. Подставляя
A8) в F), получаем
3 W* = J (Xt - put) Ьщ dV + f pt Ьщ dA, A9)
В А
где
W* = A /2)(cUM)&fikl, (cUkl)s = (cijkl)T + (Tolc.)(hj)r (hi)r•
Пренебрегая сопряжением деформаций и температуры, т. е. чле-
членом fiijTo&ij в уравнении энергии A2), получаем соответствую-
соответствующие теоремы теории температурных напряжений:
B0)
^ B1)
А
15*
228 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
Уравнение B1) выражает вариационную теорему классической
теории теплопроводности. Температура в уравнении B0) рас-
рассматривается как известная функция, полученная из решения
классического уравнения теплопроводности.
4.4. Теорема взаимности для анизотропных тел 1
Рассмотрим две системы величин. В первую входят массовые
силы Х{, поверхностные нагрузки pi, тепловые источники Q и
поверхностный нагрев А, которые вызывают возникновение в ани-
анизотропном теле перемещений Ui и температуры 0. Вторую си-
систему соответствующих величин будем отмечать штрихами.
Применяя к соотношениям Дюамеля—Неймана интеграль-
интегральное преобразование Лапласа, получаем
Умножая первое уравнение на е^., а второе на е^, находим со-
соотношение
(^ + М)^=(^/ + М')^- B)
Интегрируя это тождество по области В и используя соотно-
соотношение
получаем
f (^i. f ~ Wi. j) dV + ] hj (Sii/ - e'i/;) dV = 0. C)
в в
Поскольку
л л _ f п
J \autlu,jdV= J 0цП]И>1с1А= J ptuLdA и. т. д.,
в л а
отсюда, учитывая уравнения движения
atJi у + А"/ = ?Р%, а\и 3-\-Х\ = рр2а1,
приведем уравнение C) к виду
J {Xfli - Хщ) dV + j (л»; - р-щ) dA +
5 A
1 Ionescu-Cazimir V.; см. примечание на стр. 55
4.4. Теорема взаимности для анизотропных тел 229
Мы предполагали здесь, что начальные условия однородны.
Полученное уравнение является первой частью теоремы взаим-
взаимности. Вторую часть мы получим, рассмотрев уравнение тепло-
теплопроводности. Используя преобразование Лапласа, запишем
*/А и = Tophfi,j + ctlfi - W, E)
М! и= ToPfo'u + ctpB' -~W'.
Здесь также использовались однородные начальные условия.
Умножим первое уравнение на §', второе на 8, вычтем резуль-
результаты и проинтегрируем по объему. Тогда получим
j / ^ -~^70) dV = 0. F)
В
Учитывая соотношение
]jl}j, и т.д., G)
А
приведем уравнение F) к виду
рТ0 J р„ (!,/' - ё^в) dV - J (W - We
в в
- J (А'Л,Д, - hk-Jl^tij dA = 0. (8)
А
Здесь были использованы краевые условия для температуры
6(х, t) = h(x, t), B'(x, t) = h'(x, /), х е A, t>0. (9)
Уравнение (8) выражает вторую часть теоремы взаимности. Ис-
Исключая из уравнений D) и (8) интеграл /Cij(8ji9/ — e'.l))dV,
в
получаем уравнение, содержащее все штрихованные и нештри-
хованные величины,
рТ0 J {piu'i — р'щ) dA + pT0 ) {Xttii — X'ttii) dV =
А В
[) A0)
230 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
Применяя к этому уравнению обратное преобразование Ла-
Лапласа, находим
да. (х, z)
~Х[(х, t - *)
— л(х, /-т)е'/(х, т) л.
(и)
Заметим, что полученное уравнение справедливо как для дина-
динамических, так и для квазистатических задач, хотя значения
функций пи и' и 9, 8Г в этих случаях будут различными.
Рассмотрим частные случаи этой теоремы. Предположим, что
тепловой источник отсутствует, а при деформации обмена тепла
между частицами тела не происходит. Для такого адиабатиче-
адиабатического процесса имеем
lc.)*kt. e' = -(WO4, A2)
а уравнения A) принимают вид
aij = (Cijkl)sskl> Gif=(Cijkl)sskh
Отправной точкой при выводе теоремы взаимности является
тождество
Ja A3)
приводящее к уравнению
Й - p[ut) dA + \ {X& ~ Хщ) dV = 0. A4)
4.4. Теорема взаимности для анизотропных тел 231
Отсюда имеем
t
j
6
в
Поскольку в адиабатическом процессе при отсутствии тепловых
источников уравнения E) приводят к соотношению A2), урав-
уравнение F) отпадает и уравнение A4) является конечной формой
теоремы взаимности.
Рассматривая нестационарную задачу термоупругости в рам-
рамках теории техмпературных напряжений, т. е. пренебрегая сопря-
сопряжением, следует отбросить в E) члены, содержащие деформа-
деформацию. Тогда мы получим уравнения
f
А
[щ) dA-\-\ (Xju't - Хщ) dV
В
f (
В
W- W'd)dV+ f */ДА'в,/-Ав|'/)л^Л=О. A6)
В А
Уравнение A6) выражает теорему взаимности для класси-
классического уравнения теплопроводности и не зависит от A5). Урав-
Уравнение A5) следует рассматривать как теорему Бетти, обобщен-
обобщенную на задачи теории температурных напряжений, причем функ-
функции 8 и В7 здесь известны и являются решениями классического
уравнения теплопроводности.
Применяя к уравнениям A5) и A6) обратное преобразова-
преобразование Лапласа, получаем
[dA(x)
A 6
J
о
t
dV (x) f %; [e'tJ(x, t-*)B (x, x) - BtJ (x, t-*)B' (x, x)} d^ = 0,
о
A7)
232 Гл. IV. Термоупругость анизотропных тел
§dV(x)$[W(x,t- х)О'(х,^)-Г(хЛ-т)О(х, *)]d'z +
в о
+ ] ^у ЙЛ (х) J [flr (X, / — т) 6, ? (х, т) ~ А (X, / — т) б' /(X, *с)] ^т = 0.
А О
A8)
Для статической задачи со стационарным температурным по-
полем теорема взаимности весьма проста:
• - p'itt) dA + J (X,u, — Хм) dV +
= 0, A9)
B0)
Для анизотропной среды можно, так же как и для изотроп-
изотропной, получить далее формулы Сомилиано и формулы Май-
зеля.
Рассмотрим наконец частный случай уравнения A9), когда
Возьмем односвязное однородное тело, которое свободно от воз-
воздействия массовых сил и поверхностных нагрузок, и деформация
которого вызвана действием поверхностного нагрева и тепловых
источников. В качестве штрихованной системы возьмем изотер-
изотермическое состояние всестороннего растяжения. Уравнение A9)
значительно упрощается
B1)
Значение первого интеграла равно приращению объема тела
4.4. Теорема взаимности для анизотропных тел 233
Поскольку для всестороннего растяжения p/i = \m9 в теле возни-
возникает однородное напряженное состояние ах.. = 1 б 2J.
Следовательно,
§ B2)
Итак, приращение объема равно интегралу от поля температуры
по области В, умноженному на первый инвариант тензора
теплового линейного расширения а#. Для изотропного тела
БИБЛИОГРАФИЯ
Bernstein F., Doetsch G., Eine neue Methode zur Integration partieller
Differentialgleichungen. Der lineare Warmeleiter mit verschwindender
Anfangstemperatur, Math. Zeitschr., 22 A925).
В i о t M. A., [1] Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, /. Appl.
Phys., 27 A956). Имеется русский перевод: сб. Механика, № 3 D3),
1957.
— [2] Variational principles in irreversible thermodynamics with applications
to viscoelasticity, Phys. Rev., 97 A955).
— [3] Linear thermodynamics and the mechanics of solids, Proc. Third U. S.
Nat. Congr. Appl. Mech,. ASME, New York, 1958.
— [4] New methods in heat flow analysis with applications to flight structure,
/. Aero. Sciences, 24, № 12 A957).
— [5] Futher developments of new methods in heat-flow analysis, /. Aeroj
Space Sciences, 26, № 6 A957).
— [6] New thermoelastical reciprocity relations with application to thermal
stresses, /. Aero/Space Sciences, 26, № 7 A957).
Боли Б., Уэйнер Дж., Теория температурных напряжений, ИЛ, М., 1964.
В о ley В. А., Т о 1 i n s J. S., Transient coupled thermoelastic boundary value
problems in the half space, /. Appl. Mech., 29 A962).
Chad wick P., [1] Thermal damping of a vibrating elastic body, Mathematical
9 A926).
— [2] Thermoelasticity. The dynamical theory. Раздел в монографии: Pro-
Progress of solid mechanics, Amsterdam, 1960.
Chad wick P., Sneddon I. N., Plane waves in an elastic solid conducting
heat, /. Mech. Phys. of Solids, 6 A958).
Chadwick P., Windle D. W\, Propagation of Rayleigh waves along
isothermal insulated boundaries, Proc. Roy. Soc.y 280, № 1380, Ser. A
A964).
Deresiewicz H., [1] Plane wave in a thermoelastic solid, /. Acount. Soc.
Amer., 29 A957).
— [2] Solution of the equation of thermoelasticity, Proc. Third. U. S. Nat.
Congr. Appl. Mech., 1958.
Doetsch G., [1] Der lineare Warmeleiter mit verschwindender Anfangstem-
Anfangstemperatur. Die allgemeinste Losung und die Frage der Eindeutigkeit, Math.
Zeitschr., 22 A925).
— [2] Probleme aus der Warmeleitung, Math. Zeitschr., 23 A926).
Duhamel J. M. C, Second memoire sur les phenomenes thermomecaniques,
/. de VEcole Polytechn., 15 A837), 1—15.
E a s о n G., Sneddon I. N., The dynamic stresses produced in elastic bodies,
by uneven heating, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, ser. A, 65 A959).
Grioli G., Mathematical theory of elastic equilibrium, J. Springer Verlag,
Berlin, 1962.
Гроот де С, Термодинамика необратимых процессов, Физматгиз, М., 1968.
Библиография 235
Н etna r ski R. В., [1] Coupled one-dimensional thermal shock problem for
small times, Arch. Mech. Stos., 13 A961).
— [2] Solution of the coupled thermoelastic problem in the form of series of
functions, Arch. Mech. Stos., 16, № 4 A964).
— [3] The fundamental solution of the coupled thermoelastic problem for
small times, Arch Mech. Stos., 16, № l A964).
— [4] Coupled thermoelastic problem for the half-space, Bull. Acad. Polon.
ScL, Serie Sci. Techn., 12, № i A964).
Hermann G., [1] On a complementary energy principle in linear thermo-
elasticity, /. Aero/Space Sciences, 25 A958).
— [2] On variational principles in thermoelacticity and heat conduction,
Quart. Appl. Mech., 21, № 2 A963).
Ignaczak J., [1] Direct determination of stress from the stress equations of
motion in elasticity, Arch. Mech. Stos., 11, № 5 A959).
— [2] Note on the propagation of thermal stresses in a long metallic rod,
Bull. Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 7, № 5 A959).
Ignaczak J., Nowacki W., [1] The plane dynamic problem of thermo-
elasticity, Probl. Vibr., 2, № 4 A961).
— [2] The Sommerfeld conditions for coupled problems of thermoelasticity.
Examples of coupled stresses and temperature concentration at cylindrical
and spherical cavities, Arch. Mech. Stos., 14, № 1 A962).
Ionescu-Cazimir V., [1] Asupra ecuatiilor echilibrului termoelastic, It.
Relatiile intre tensiuni si temperatur, Com. Acad. R. P. R., 1, № 2 A951).
— [2] Asupra ecuat iilor echilibrului termoelastic, III. Relatiile intre tensiuni,
Com. Acad. R. P. R., 1, № 5 A951).
— [3] Asupra equat iilor echilibrului termoelastic, V. О teorema de unicitate
pentru problema echilibrului termoelastic, Com. Acad. R. P. R., 9, № 11
A959).
— [4] Problem of linear coupled thermoelasticity. Theorems on reciprocity for
the dynamic problem of coupled thermoelasticity (I), Bull. Acad. Polon.
Sd., Serie dci. Techn., 12, № 9 A964).
— [5] Problem of linear coupled thermoelasticity. Some applications of the
theorems of reciprocity for the dynamic problem of coupled thermoela-
thermoelasticity (II), Bull. Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 9 A964).
— [6] Problem of linear thermoelasticity. Uniqueness theorems (I), (II),
Bull. Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 12 A964).
Jeffreys H., The thermodynamics of an elastic solid, Proc. Camb. Phil. Soc,
26 A930).
К a 1 i s к i S., Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprgzystosci i cial
niesprgzystych, Warszawa, 1957.
Kaliski S., Nowacki W., Twierdzenie о wzajemnosci w magneto-termo-
sprezystosci A), BiuL WAT, 13, № 11 A964).
Krzenziessa R., Thermoelastische Randwertaufgaben, Math. Zeitschr., 25
A926).
Lessen M., [1] Thermoelasticity and thermal shock, /. Mech. Phys. Solids, 5
A956).
— [2] The motion of a thermoelastic solid, Quart. Appl. Math., 15 A957).
— [3] Thermoelastic damping at the boundary between dissimilar solids, /.
Appl. Phys., 28 A957).
Locke tt F. J.. [1] Effect of thermal properties of a solid on the velocity of
Rayleigh waves, /. Mech. Phys. Solids., 7 A958).
— [2] Propagation of thermal stresses in a semi-infinite medium, AFOSR
TN 59-448 (Duke Univ. ASTIA AD 215 923), Apr. 1959.
— [3] Longitudinal elastic waves in cylinders and tubes including thermoela-
thermoelastic effects, Proc. Edinbourgh Math. Soc, 11, part 3 A959).
236 Библиография
L о с к е 11 F. J., S n e d d о n I. N., Propagation of thermal stresses in an in-
infinite medium, Proc. Edinbourght Math. Soc, 11, part 4 A959).
N a r i b о 1 i G. A., Spherically symmetric thermal shock in a medium with ther-
thermal and elastic deformation coupled, Quart. J. Mech. Appl. Math., 14,
№ 1 A961).
N a r i b о 1 i G. A., N у а у a d h i s h V. В., One dimensional thermoelastic wave,
Quart, J. Mech/Appl. Math., 16, № 4 A963).
N e у J. F., Wiasnosci fizyczne krysztalow, Warszawa, 1962.
N о w а с к i W., [1] Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962.
— [2] Some dynamic problems in thermoelasticity, Arch. Mech. Stos., 11,
№ 1 A959).
— [3] On the treatement of the two-dimensional coupled thermoelastic pro-
problems in therms of stresses, Bull. Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 9,
№ 3 A961).
— [4] Sur certain problemes dynamiques de la thermoelasticite, Acad. Polon.
Sci., Centre Scient, a Paris, Fasc. 37, Paris 1962.
— [5] Nouveaux courants dans les recherches portant sur la thermoelasticite,
Accad. Pollaca di Science e Lettere, Biblioteca di Roma, Fasc. 21, 1963.
— [6] Green functions for an thermoelastic medium (I), Bull. Acad. Polon.
Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 6 A964).
— [7] Green functions for the thermoelastic medium (II), Bull. Acad. Polon.
Sci., Serie, Sci. Techn., 12, № 9 A964).
— [8] Green functions for the thermoelastic medium (III), Bull. Acad. Polon.
ScL, Serie Sci. Techn., 13, № 4 A964).
— [9] Mixed boundary value problems of thermoelasticy, Bull. Acad. Polon.
Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 11 A964).
N о w а с к i W., Sokolowski M., Propagation of thermoelastic waves in pla-
plates, Arch. Mech. Stos., 11, № 6 A959).
P a r i a G., Coupling of elastic and thermal deformations, Appl. Sci. Res.,
(A), 7 A958).
Parkus H., [1] Ober eine Erweiterung des Hamiltonschen Prinziples auf
thermo-elastische yorgange, Federhofer-Girkmann Festschrift, Wien, 1950.
— [2] Instationare Warmespannungen, Wien, 1959.
— [3] Methods of solution of thermoelastic boundary value problems, Proc.
Third Symp. on Naval Struct. Mechanics, Pergamon Press, New York,
1963.
Подстригач Я. С, Прикладная механика, Киев, 6, № 2 A960).
Rosenblatt A., Uber das allgemeine thermoelastische Problem, Rend. Circ.
Mat. di Palermo, 29 A910).
R u d i g e r D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grundglei-
chungen, Osterr. Ing. Archiv., 18, № 1—2 A964).
'S tie'd don I. N., The propagation of thermal stresses in thin metallic rods,
Proc. Roy. Soc. Edin., Sec. A, 65, № 9 A959).
Снеддон И., Б e p p и Д., Классическая теория упругости, Физматгиз, М.г
1968.
Sods E., Galerkin's representation, Beltrami-Michell's conditions and Green's
functions (for short time) in the linear theory of coupled thermoelasticity,
Arch. Mech. Stos., 17 A965).
Weiner J. H., A uniqueness theorem for the coupled thermoelastic problem,
Quart. Appl. Math., 15 A957).
Zorski H., [1] Singular solutions for thermoelastic media, Bull. Acad. Polon.
Sci., Serie Sci. Techn., 6, № 6 A958).
— [2] On a certain property of thermoelastic media, Bull. Acad. Polon. ScL,
Serie Sci. Techn., 6, № 6 A958).
Приложение
О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ
В ТЕОРИИ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
В. Л. Шачнев
В настоящем приложении отражены новые результаты, полу-
полученные в теории сопряженной термоупругости после выхода
в свет польского издания книги. Эти результаты относятся к сле-
следующим направлениям.
1. Получение фундаментальных решений некоторых задач
термоупругости и различных представлений решений задач с по-
помощью функций Грина; различные случаи представления общих
решений с помощью функций напряжений.
2. Исследование вопросов существования и единственности
решений общих и специальных задач термоупругости.
3. Формулировка общих и частных форм вариационных прин-
принципов термоупругости.
4. Изучение специальных задач термоупругости с учетом
влияния взаимодействия полей деформации и температуры на
характер динамического поведения нагруженных тел.
5. Обобщение некоторых положений термоупругости, а также
построение теорий, в которых теория термоупругости является
элементом более общего случая сопряжения физических полей.
G. Обобщение основных результатов термоупругости для раз-
различных сред со сложной внутренней структурой.
Рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к указанным
направлениям.
1. Функция Грина и общие представления решений. Построе-
Построению функций Грина для уравнений термоупругости посвящены
работы {16Ь—с, 35а, 39Ь]. В случае квазистационарной задачи
[35а] для неограниченной среды определены функции Грина и
получены формулы для перемещений и температуры. В работе
[16Ь] функции Грина строятся с помощью решений уравнений
температурных напряжений, использованных в теореме взаим-
взаимности в качестве штрихованной системы величин. При этом
задавались или сосредоточенная сила или сосредоточенный
тепловой источник, произвольно изменяющиеся во времени.
В этой и последующей работе [16с], в частности, рассматрива-
238 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
лась плоская задача термоупругости, и в этом случае обратное
преобразование Лапласа для решения было получено путем раз-
разложения изображения функции Грина по степеням параметра
сопряжения е. В работе [39Ь] обратное преобразование для
функции Грина в случае пространственной задачи определено
при малых значениях времени и параметра 8. В работе [36Ь]
обсуждается задача, в которой построение функции Грина путем
разложения по параметру сопряжения приводит к значительным
погрешностям.
В работе [35с] получена формула Кирхгофа для потенциала
перемещений Ф, выраженного через значения потенциала и его
нормальной производной на поверхности тела. Для Ф найдено
разложение по малому параметру сопряжения 8 путем разложе-
разложения по е функций Грина. Для гармонических колебаний в ра-
работе [35d] получены формула Грина для температуры 0 и фор-
формула Гельмгольца для потенциала перемещений Ф. В случае
плоских гармонических колебаний [44а] получена формула Ве-
бера для Ф и 0, выраженных через значения Ф, Ф)П, 6, 0,п, на
границе области. Оригинальным путем получены в работе [7]
аналоги формулы Клапейрона для сопряженной термоупруго-
термоупругости, из которых следует единственность классического решения
задачи Коши для уравнений термоупругости.
В работах [39Ь, 40а] решения задач термоупругости строятся
с помощью функций напряжений Галёркина. Функции напряже-
напряжений в случае плоской задачи рассмотрены в работе [39а], где
было показано, что для уравнений термоупругости, выраженных
в напряжениях, напряжения аи, 022 и температура 9 могут быть
определены через три функции напряжений Фг, i=l, 2, 3, для
которых получены раздельные уравнения. В случае общей за-
задачи сопряженной термоупругости проблеме разделения уравне-
уравнений посвящена работа [31], где для переменной Q, введенной по
формуле Q = Q — b'Okk, &/ = const, получено отдельное уравне-
уравнение вида
Проблеме общности решения, представленного в виде раз-
разложения Стокса и с помощью функций напряжений Галёркина,
посвящена работа [35Ь].
2. Существование и единственность решений. Значительные
результаты, относящиеся к проблеме разрешимости уравнений
сопряженной термоупругости, были получены в работах ряда
авторов. Характерной особенностью системы уравнений сопря-
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 239
женной термоупругости, отличающей ее от классических систем
уравнений математической физики, является то, что она состоит
из системы уравнений гиперболического типа и параболического
уравнения.
В работе [10] проблема существования решения системы
уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного
неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных
однородных граничных условий для перемещений, напряжений,
температуры и теплового потока и начальных данных для пере-
перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при
которых рассматривается существование единственного реше-
решения, следующие: 1) существенные нижние границы для плотно-
плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется нера-
неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения
теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории
упругости является положительно определенным для принятых
граничных условий. Существование единственного обобщенного
решения на конечном промежутке времени доказано в простран-
пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения сум-
суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые
производные, температура суммируема с квадратом и сумми-
суммируем интеграл по времени от квадратов производных темпера-
температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких усло-
условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное
количество непрерывных производных по координатам и вре-
времени.
Полученные результаты используются для исследования про-
проблемы устойчивости решения уравнений термоупругости. Дока-
Доказано, что при отсутствии тепловых источников и массовых сил
и при указанных выше условиях решение при t-^oo обладает
устойчивостью в следующем смысле: энтропия и градиент тем-
температуры стремятся к нулю, температура и перемещения или
стремятся к нулю, или отвечают в пределе периодическим коле-
колебаниям. Последний случай определяется специальным видом
граничных условий и может иметь место, например, для тепло-
теплоизолированного тела.
В работе [46] доказана единственность решения задачи Коши
в случае, когда u,fej, 8,kjeL(—оо, оо), fe, / = 0, 1, 2; начальные
данные f при этом удовлетворяют условиям f^C1, (I -\- r2)f^
gL(—оо, оо), г — полярный радиус.
Первая краевая задача для полупространства рассмотрена
в работе [47], где была доказана единственность решения в клас-
классе функций, для которых модули производных по времени t ра-
растут по t не быстрее, чем экспонента, и для которых существуют
двойные интегралы от вторых производных по соответствующим
240 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
определению интеграла координатам. При доказательстве при-
применялось двукратное преобразование Фурье по двум координа-
координатам и преобразование Лапласа по времени.
Единственность решения задач термоупругости для тонких
оболочек исследовалась в работе [58а] и в более ранней ра-
работе [54].
Методом сингулярных уравнений в работе [50] для гармони-
гармонических колебаний среды исследуются следующие четыре основ-
основных граничных задачи термоупругости: на границе тела заданы
1) перемещения и температура, 2) напряжения и поток тепла,
3) перемещения и поток тепла, 4) напряжения и температура.
С помощью построенных в работе фундаментальных решений
получены сингулярные интегральные уравнения соответствующих
задач, и для этих уравнений доказаны альтернативы Фредгольма.
Для внутренних задач термоупругости определен спектр собст-
собственных частот оператора задачи и установлены теоремы единст-
единственности. Для внешних задач доказана их разрешимость, когда
перемещения, температура и их первые производные имеют за-
заданный порядок убывания на бесконечости.
3. Вариационные принципы. Большое значение для прибли-
приближенных решений конкретных задач имеет вариационная трак-
трактовка проблемы сопряженной термоупругости. Определению ва-
вариационных принципов теории посвящены работы [4, 17а, 18, 34,
37]. В работе [4Ь] для квазистатической задачи сформулирован
вариационный принцип, аналогичный принципу Вашизу в клас-
классической теории упругости, из которого для данного случая сле-
следуют все соотношения термоупругости и смешанные граничные
условия. Вместе с тем сформулированы некоторые частные ва-
вариационные принципы, вытекающие из общего принципа. В ра-
работе [4а] общий вариационный принцип применяется к расчету
оболочек.
Аналог теоремы Кастильяно для квазистатической задачи по-
получен в работе [18].
В самой общей постановке вариационная задача сопряжен-
сопряженной термоупругости для неоднородного и анизотропного тела
сформулирована в работе [17а]. Начальные условия заданы для
перемещений, скоростей перемещений и температуры, граничные
условия носят смешанный характер и заданы на различных
частях поверхности тела для перемещений, напряжений, темпе-
температуры и теплового потока. При помощи операции свертки со
специальными функциями в уравнениях сопряженной термоупру-
термоупругости исключены производные по времени, и вариационные прин-
принципы сформулированы для произвольного момента времени.
Сформулированы общий вариационный принцип, эквивалентный
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 241
проблеме сопряженной термоупругости, и несколько частных
принципов, следующих из общего принципа.
Аналогичный подход к вариационной формулировке пробле-
проблемы термоупругости для несколько другого представления си-
системы уравнений был проведен в работах [34а, Ь]. Были полу-
получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Ва-
шизу, Хеллингера—Рейсснера, минимум потенциальной энергии
и другие. В работе [34Ь] показано приложение одного частного
вариационного принципа к приближенным вычислениям реше-
решения задачи о нагреве полупространства.
В работах [37а—с] развивается метод Био введения обоб-
обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам
вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эй-
Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры,
объемного расширения и роторной части вектора перемещений.
Начальные условия заданы для температуры, перемещений и
скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы
произвольным образом; путем введения дополнительных пара-
параметров они удовлетворяются приближенно.
В качестве приближенного метода решения задач термоупру-
термоупругости, являющегося по существу вариационным, в работе [41]
предлагается метод подобластей, в котором решение рассматри-
рассматривается как функция, ортогональная в некотором смысле системе
функций, определенных в различных подобластях области опре-
определения решения.
4. Частные задачи. Наряду с результатами общего характера
ряд работ относится к исследованию конкретных проблем сопря-
сопряженной термоупругости. В основном они посвящены исследо-
исследованию особенностей взаимодействия полей деформации и тем-
температуры. В рассматриваемых уравнениях термоупругости
коэффициент сопряжения является малой величиной, и это об-
обстоятельство, как правило, используется при построении прибли-
приближенных решений путем разложения решения по малому пара-
параметру. Так как начальное приближение, соответствующее зна-
значению 8 = 0, является решением задачи о температурных
напряжениях, при быстрой сходимости приближенного решения
влияние взаимодействия полей должно быть незначительным.
Однако наличие такого взаимодействия может влиять на харак-
характер решения, что, в частности, хорошо проявляется в задачах
о распространении разрывных волн в термоупругих телах.
Метод решения задач термоупругости, основанный на пред-
представлении решения в виде рядов по степеням малого параметра
рассмотрен, например, в работе [6]. Случай, когда параметр
сопряжения равен единице и метод разложения по параметру
16 Заказ №> 362
242 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
не применим, рассмотрен в [11], где приведенные решения кон-
конкретной задачи сравниваются с решениями в случае малого па-
параметра.
В работе [42а] для решения задач термоупругости предла-
предлагается метод последовательных приближений, в котором началь-
начальным приближением является чисто упругое решение. С помощью
упругого решения определяется температура тела, а затем полу-
полученное решение для температуры используется для определения
поля деформаций и т. д. Таким образом, процесс основан на
определении последовательного влияния поля температуры и
поля деформаций.
Задача о распространении термоупругих волн в прямоуголь-
прямоугольном стержне, на боковых поверхностях которого напряжения и
температура равны нулю, изучалась в работе [48]. Решение раз-
разлагалось по степеням толщины слоя (г) и, таким образом, была
получена последовательность систем уравнений. Для основной
системы уравнений определены три типа волн, фазовые скорости
которых зависят от частоты колебаний. Задача о колебаниях
в термоупругом слое, на поверхностях которого задается кон-
конвективный теплообмен со средой, рассматривалась в работах
[49а—с]. Было показано, что колебания затухают и дисперги-
диспергируют, фазовые скорости зависят от упругости и теплофизи-
ческих свойств слоя, а также от условий теплообмена на поверх-
поверхностях слоя. Значения фазовых скоростей при продольных ко-
колебаниях ниже, чем при поперечных, и меньше зависят от ус-
условий теплообмена на поверхностях слоя. Показано также, что
фазовые скорости термоупругих волн меньше, чем упругих, на-
например, для малых значений частот.
В работе [55] рассматривается квазистатическая постановка
задач термоупругости и на примере задачи о сплошном цилин-
цилиндре исследуется влияние коэффициента Био на характер рас-
рассеяния энергии. Показано, например, что при Bi^O кривая за-
зависимости рассеяния энергии от частоты колебаний имеет макси-
максимум, положение которого зависит от значения Bi.
Влияние сопряженности полей деформаций и температуры
на характер распространения ударных волн в однородном изо-
изотропном теле исследовалось в работах [5, 8, 14, 16а, 28, 32, 39Ь,
52]. В работе [8] показано, что слабые разрывы и разрывы пер-
первого порядка (разрывны первые производные от перемещений)
распространяются по характеристикам и могут быть предста-
представлены как волны расширения и вращения. При этом волны рас-
расширения диспергируют и затухают. В работе [39Ь] показано,
что величина скачка, распространяющегося в пространстве, за-
затухает, а порядок затухания определяется множителем
ехр(—sR/2). В работе [5] рассмотрены различные случаи обра-
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 243
зования разрывных волн и показано, что они имеют лишь две
характеристики разрывов следующего типа: /Сехр(—гх/2),
/Ся-У.ехр (—ex/2) lim(t — х) -1/..
Асимптотические значения величин скачков при малых и
больших значениях времени t приведены соответственно в ра-
работах [52] и [14], где рассматривалась задача о распростране-
распространении волн в полупространстве, вызванных скачкообразным во
времени изменением температуры на границе полупространства.
Случай скачкообразного изменения во времени силового нагру-
жения границы полупространства рассмотрен в работе [42Ь], где
показано, что на фронте упругой волны температура непре-
непрерывна; порядок значения скачка температуры на фронте тепло-
тепловой волны для больших t равен е/C/?.
Исследованию явления термоупругости в стержнях, пласти-
пластинах и оболочках посвящены работы [2, 19, 23, 26, 27, 30, 51,
586, в]. В термоупругости (в отличие от классической теории уп-
упругости) поперечные и продольные колебания осесимметричной
оболочки [586] связаны и сдвиг фаз этих колебаний равен
(я/2)+6, где G — величина, пропорциональная параметру со-
сопряжения. Отмечаются два типа колебаний. В случае первого
типа преобладают радиальные перемещения, когда значения
собственных частот (о>0,7; если же о)<0,7, то преобладают осе-
осевые перемещения. Отношение осевого перемещения к радиаль-
радиальному по абсолютной величине меньше, чем в теории упругости, и
поэтому собственные частоты меньше чисто упругих собствен-
собственных частот.
Было показано [586], что при наличии сопряжения полей де-
деформаций и температуры резонанс, наблюдавшийся в упругой
пластинке, отсутствует для значения собственной частоты, рав-
равной 0,198.
В работе [38] определяются вероятностные характеристики
решения задачи о полупространстве, когда случайными являются
тепловые нагрузки на границе полупространства или распределе-
распределение неровностей на границе.
5. Обобщенные теории. Другим направлением развития тер-
термоупругости являются различные обобщения теории, изложен-
изложенной в данной монографии В. Новацкого. Например, в работе
[20а] путем введения в принцип Онзагера характеристики скоро-
скорости изменения потока (тепловой инерции) получено более общее
уравнение теплопроводности вида
где то —время релаксации. В работе [25] рассматривалась воз-
244 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
можность определения то в экспериментах на удар для различ-
различных диапазонов температур. Характерным для такого обобще-
обобщения термоупругости является то, что тепло распространяется
в теле с конечной скоростью, за исключением частного случая
то = О, когда уравнение теплопроводности приводится к обычному
уравнению Фурье. С позиций общей теории в работе [57] рас-
рассмотрена задача о скачкообразном во времени нагружении полу-
полупространства и было показано, что существуют две волны: бы-
быстрая и медленная. При малых и средних (fe~l) значениях вре-
времени максимум напряжения достигается на фронте быстрой
волны и затухает по экспоненциальному закону. При больших
значениях времени (/е>1) появляется второй максимум, ско-
скорость распространения и величина которого затухает со скоро-
скоростью порядка t~"l\ Аналогичная задача рассматривалась в ра-
работе [1], в которой на границе полупространства задавалось ска-
скачкообразное во времени изменение напряжения. Было показано,
что разрыв на обеих волнах затухает по экспоненциальному за-
закону. В работе [12] рассматривалась задача о распространении
волн в растяжимых нитях.
Некоторым обобщением сопряженной термоупругости, изло-
изложенной в монографии, является теория, в которой учитывается
начальное распределение деформаций в ненапряженной среде.
Основные результаты этой теории получены в работе [35т].
Обобщению различных теорий термомеханических сред по-
посвящена работа [15]. Предложенная в работе аксиоматика
среды, подверженной действию термодинамических и механиче-
механических сил, позволяет получить известные подходы к описанию
термоупругих сред и определить новые. Вместе с тем доказы-
доказывается, что некоторые известные теории несостоятельны с пози-
позиций введенной аксиоматики.
В последнее время появились работы, в которых рассматри-
рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9,
13, 20b—d, 21, 22, 24, 29, 33, 35е—f, 36, 45, 58а] рассмотрено со-
совместное влияние температурного, магнитного и электрического
полей и поля деформаций. В этом направлении получено много
общих результатов: определены основные уравнения магнитотер-
моупругости, сформулированы энергетические принципы, полу-
получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотре-
рассмотрены вопросы единственности решения уравнений, в некоторых за-
задачах исследованы волновые процессы.
В недавно вышедшей работе [56] исследуется задача о вза-
взаимодействии полей деформаций, температуры и химического по-
потенциала, вызывающего процесс диффузии вещества. Сформули-
Сформулирован общий вариационный принцип, из которого следуют урав-
уравнения задачи и граничные условия смешанного типа.
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 245
6. Сложные среды. Новое направление развития сопряжен-
сопряженной термоупругости связано с рассмотрением сложных сред, та-
таких, как среда Коссера и ее обобщения. Например, в работах
В. Новацкого рассматривается среда, в которой кинематика
точки характеризуется независимыми друг от друга вектором
перемещения и и вектором вращения со (в случае среды Кос-
Коссера со= (V2) rot и). Этим характеристикам соответствуют два
вида взаимодействия точки со средой, определяемых тензором
силовых напряжений и тензором моментных напряжений. Вме-
Вместе с тем среда находится в поле массовых сил и моментов.
Сложная среда может быть представлена как предельная, если
под точкой понимать сколь угодно малую частицу, обладающую
внутренней структурой.
Основные результаты моментной теории термоупругости из-
изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—I, 40b, 43a—b, 44b, 53b]. Вы-
Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохране-
сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для
среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя
энергия есть квадратичная функция от температуры и компонен-
компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих
уравнений уравнения движения записываются для температуры
и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и
вращения представлены в форме Стокса; для потенциальных и
соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения.
Решения последних определяют в пространстве волны расшире-
расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения
затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют
с температурным полем. Методом ассоциированных матриц ре-
решения уравнений движения для перемещений, вращений и тем-
температуры представлены с помощью функций напряжений, для
которых получены раздельные уравнения.
Вариационная теорема моментной термоупругости непосред-
непосредственно выводится из принципа виртуальной работы. Из вариа-
вариационной формулы получается энергетическая теорема, с по-
помощью которой доказывается теорема единственности. Доказана
теорема о взаимности работ, а с помощью функции Грина по-
получены интегральные представления для температуры и векто-
векторов перемещения и вращения.
Ряд работ посвящен рассмотрению более общих сред. Так,
в микрополярной теории [3] учитывается изменение плотности
материала. В работах [43а, Ь] строится теория среды, в которой
точка характеризуется произвольным числом степеней свободы
и различными свойствами.
246 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ
1. Achenbach J. D., The influence of heat conduction on propagating
stress jumps, /. Mech. and Phys. Solids, 16 № 4 A968), 273—282.
2. A n d e r s о n G. L., Mowbray D. F., Free vibrations of infinite plate
based on the linear coupled theory of thermoelasticity, / Acoust. Soc.
Amer., 45, № 3 A969), 646—653.
3. Ariman Т., С 1 a u s W. D., T a u с h e r t T. R., The linear theory of micro-
polar thermoelasticity, Intern. J. Engng. Sci., 6, № 1 A968), 37—47.
4. Ben-Amoz M., a) A new variational theorem in coupled thermoelasticity
and its apllications. Doct. diss. Univ. Pa, 1965, Dissert. Abstrs, 1965, 26,
№ 6, 3220.
b) On a variational theorem in coupled thermoelasticity, Trans. AS ME,
E32, № 4 A965), 243—245. (Имеется русский перевод: Труды Американ-
Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 32, № 4, изд. «Мир»,
1965.)
5. В о ley В. A., Hetnarski R. В., Propagation of Discontinuities in Cou-
Coupled Thermoelastic Problems, Trans. ASME, E35, № 3 A968), 489—494.
(Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-
механиков, серия Е, т. 35, № 3, изд. «Мир», 1968.)
6. Brull M. A., Soler A. I., On the solution to transient coupled thermo-
thermoelastic problems by perturbation techniques, Trans. ASME, E32, № 2
A965), 389—399. (Имеется русский перевод: Труды Американского об-
общества инженеров-механиков, серия Е, т. 32, № 2, изд. «Мир», 1965.)
7. В г u n L., Sur l'unicite en thermoelasticite dynamique et diverses expres-
expressions analogues a formule de Clapeyron, C. r. Acad. sci., 261, № 14
A965), 2584—2587.
8. С h a d w i k P., P о w d r i 1 1 В., Singular surfaces in linear thermoelasticity,
Int. J. Engng. Sci., 3, № 6 A965), 561—595.
9. С h a n d e r S., Phase velocity and energy loss in magneto-thermoelastic
plane waves., Int. J. Engng. ScL, 6, № 7 A968), 409—424.
10. D a f e r m о s С. М., Existence and asimptotic stability of solutions of the
equations of linear thermoelasticity, Arch. Ration. Mech. and Analysis.
29, № 4 A968), 241—271.
11. Dillon O. W., Thermoelasticity when the material coupling parameter
equals unity, Trans. ASME, E32, № 2 A965), 378—382. (Имеется русский
перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е,
т. 32, № 2, изд. «Мир», 1965.)
12. D i п с a G., Influenta temperaturii asupra propagarii undelor in fire exten-
sibile (problema cuplata), Studiisi cereetari mat. Acad. RSR, 19, № 5
A967), 659—680.
13. Dragos L., Sur equations de la magneto-thermoelasticite, Z. angew. Math.
und Phys., 17, № 2 A966), 249—259.
14. Dann H. S., Transient solution of a one-dimensional thermoelastic wave
propagation problem, Quart. J. Mech. and Appl. Math., XIX, № 2 A966),
157—165.
15. Erin gen A. C, A unified theory of thermoelasticity materials, Int. J.
Engng. Sci., 4, № 2 A966), 179—202.
16. Galka A., a) Singular solutions of thermoelasticity, Bull. Acad. Polon.
Sci.. Ser sci. techn., 13, № 10 A965), 887—893. b) Green's functions for
the coupled problem of thermoelasticity obtained from the solutions of the
theory of thermal stresses. Bull. Acad. Pol. ScL. Ser. sci. techn., 13, № 7
A965), 617—624. c) Green functions for plane thermoelasticity, Bull.
Acad. Pol. ScL, Ser. sci. techn., 14, № 2 A966).
17. Iesan D., a) Principes variationnelles dans la theorie de la thermoelasti-
thermoelasticite couple, An. Stiint. Univ. IasL, Seca, 12, № 2 A966), 439—456.
Приложение, О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 247
b) Sur la theorie, de la thermoelasticite micropolaire couplee, С r. Acad.
sci.y 265, №> 9 A967), A271—A274.
c) On plane problem of the coupled micropolar thermoelasticity, BulL
Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 8 A968), 653—664.
18. Ionescu V., О teorema variationala pentru problema thermoelasticitatii
cuplate, An. Univ. Bucuresti. Ser. stiint, natur., Mat.—mecan., 15, № 2
A966), 33—40.
19. Jones J. P., Thermoelastic vibrations of a beam, /. Acoust. Soc. Amer.r
39, № 3 A966), 542—548.
20. К a 1 i s к i S. a) Wave equations of thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci.^
Ser. sci. techn., 13, № 5 A965), 409—416.
b) Wave equations of thermo-elektromagnetoelasticity, Proc. Vibrat. ProbL
Polish. Acad. Sci., 6, № 3 A965), 231—265.
c) The reciprocity theorem for the wave equations of thermo-magneto-
elasticity, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 7, № 1 A966), 85—91.
d) Therrno-magneto-microelasticity, BulL Acad. Polon. ScL, Ser. sci. techn.,
16, № 1 A968).
21. Kali ski S., Nowacki W., a) Excitation of mechanical-electro magnetic
waves induced bv a thermal shock, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn.,
10, A962), 25.
b, c) The reciprocity theorem of magneto-thermo-elasticity, I, II, BulL
Acad. Pol. ScL, Ser. sci. techn., 13, № 2 A965), 93—99, № 7, 624—632.
d) The theorem on reciprocity for real anisotropic conductors in thermo-
magneto-elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 3 A966),
229—234.
22. Kali ski S., Petykiewicz J., Dynamical equations of motion coupled
with the field of temperatures and resolving functions for elastic and in-
inelastic anisotropic bodies in the magnetic field., Proc. Vibrat. Probl., 1,,
№ 3 A960).
23. К о w a 1 e w s к i J., Berechnung warmebeanspruchter Tragwerke als Auf-
gabe der irreverciblen Thermodinamik, Stahblan, 37, № 5, A968), 129—138.
24. L e v о n i S., a) Su un theorema di unicita per le equazioni della magneto-
termoelasticita, Atti. Semin. mat. e fis. Univ. Moderna, 14 A965), 146—156.
b) Ancora su una questione di reciprocity in magneto-termo-elasticita,,
Atti. Semin. mat. e fis. Univ. Moderna, 16 A967), 171—186.
c) Sull propagazione di onde piane in magneto-termo-elasticitita, Ann.
mat. pura ed. appl., 78 A968), 105—129.
25. Lord H. W., Shulman Y., A generalised dynamical theory of thermo-
thermoelasticity, /. Mech. and Phys. Solids, 15, № 5 A967), 299—309.
26. Z о r s к i H.. Lyons W. C, Dynamics of thermoelastic plates, Arch. mech.
Stosowanej, 17, № 3 A965), 497—515.
27. Lyons W. C, Higher approximations in the theory of transverse vibrations-
of thermoelastic plates, Doct. diss., 1965, Dissert. Abstrs., 26, Л<? 7 A966),
3838—3839.
28. Mahalanabis R. K-, On temperature changes due to application of im-
impulsive pressure on the surface of a spherical cavity, Rev. roumaine sci.
techn,, Ser. mec. appl., 13, № 1 A968), 121—125.
29. McCarthy M. F., Wave propagation in nonlinear magnetothermoelasti-
city. Propagation of acceleration waves, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad.
Sci, 8, № 4 A967), 337—349.
30. M с Q u i 11 e n E. J., Dynamic fully-coupled thermoelastic response of
cylindrical shells, Doct. diss. Univ. Pa, 1968, Dissert, Abstrs, B29, № 7
A969), 2474.
31. Mount fort M. V., A transformation in coupled thermoelasticity problems,,
Trans. ASME, ЕЗЗ, Л'д 1 A966). (Имеется русский перевод: Труды Аме-
248 Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
риканского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 33, № 1, изд.
«Мир», 1966.)
32. М и 11 e r H., Stork K-, Zum Problem der Ausbreitung thermoelastischer
Wellen, Ann. der Physik, 18, № 5—6 A966), 214—218.
33. Mu r thy S. N., Effect of magneto-thermo-elastic interactions on the colling
process in a semi-infinite solid, Proc. Nat. Acad. ScL India, A36, № 2
A966), 361—368.
34. N i с k e 11 . R. E.. Sackman J. L., a) Variational pirnciples for linear
coupled thermoelasticity, Quart. Appl. Math., 26, № 1 A968), 11—26.
b) Approximate solutions in linear coupled thermoelasticity, Trans. ASME,
E35, № 2 A968), 255—266. (Имеется русский перевод: Труды Американ-
Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 35, № 2, изд. «Мир»,
1968.)
35. N о w а с k i W., a) Green's functions for a thermoelastic medium (quasi-
static problem), Bull. Inst. politehn. last, 12, № 3—4 A966), 83—92.
b) On the completeness of stress functions in thermoelasticity, Bull Acad.
Polon. ScL, Ser. sci. techn., 15, № 9 A967), 785—793.
c) Thermoelastic wave-motions in an infinite body, Proc. Vibrat. Probl.
Polish. Acad. Sci., 9, № 3 A968), 207—220.
d) Quelques theoremes de la thermoelasticity, Rev. roumaine. sci. techn.,
Ser. mec. appl., 11, № 5 A968).
e) Problem of linear coupled magnetothermoelasticity: I Energetic theo-
theorem and unigueness theorem of solutions, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci.
techn., 13, № 4 A965), 377—382. II Variational formulation for magneto-
magnetothermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. sci. techn., 13, № 6 A965),
509—514.
f) III Two-dimensional problem of magnetothermoelasticity, Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. sci. techn., 13, № 5 A965), 461—468;
ibid, II, 11, № 1 A963), 1—8;
ibid, I, 10 A962), 485.
g) Couple-stresses in the theory of thermoelasticity, ibid, I, 14, № 2
A966), 129—138; ibid, II, 14, № 3 A966), 263—272; ibid, III, 14, № 8
A966), 801—809.
h) Some theorems of asymmetric thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. sci. techn., 15, № 5 A967).
i) Green functions for micropolar thermoelasticity, Bull. Acad. Polon.
ScL Ser. sci. techn., 16, № 11—12 A968), 919—928.
j) On the completeness of stress functions in asymmetric elasticity, Bull.
Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, N2 7 A968), 549—555.
k) Naprezenia momentowe \v thermosprezystosci, Rozpr. inz., 16, № 4
A968), 441—471.
1) On the completeness of potentials in micropolar elasticity, Arch. Mech.
Slosow., 21, № 2 A969).
m) Thermoelastic distorsion problems, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser., sci.
techn., 14, № 3 A966).
36. Purushothama С. М., a) Magneto-thermo-elastic plane waves, Proc.
Cambridge Phylos. Soc, 61, Nb 4 A965), 939—944.
b) Integral transform methods applied to a dynamic problem in thermo-
thermoelasticity, Pure and Appl. Geophys., 69, «Nb 1 A968), 60—74.
37. R a f a 1 s к i P. a) Lagrangian formulation of dynamic thermoelastic pro-
problem, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, X° 1 A968), 25—30.
b) The lagrangian formulation of the dynamic thermoelastic problem for
mixed boundary conditions, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 9,
№ 1 A968), 17—35.
c) A variational principle for the coupled thermoelastic problem, Internal.
J. Engng. ScL, 6, № 8 A968), 465—471.
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупругости 249
38. S о b с z у к К-, Thermoelastic field in semi space bounded by a rough sur-
surface, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 9, № 2 A968), 169—181.
39. S о 6 s E., a) Func|ii de tensiune in problema cuplata a thermoelasticitatii
An. Univ. Ser. stiint. natur. Math-mecan, 14, № 1 A965), 133—141.
b) The Green's function (for short time) in the linear theory of the cou-
coupled thermoelasticity, Arch. mech. stosowanej, 18, № 1 A966), 101—109.
c) Reciprocity theorems for elastic and thermo-elastic material with
micro-structure, Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. sci. techn., 6, № 11—12
A968), 895—907.
40. Stefaniak J., a) Naprezenia, przemieszczenia i temperatura w organi-
czonym osrodku sprezystym przy uwzglednienin sprzezenia termomecha-
nicznego, Rozpr. inz., 16, № 1 (Ш58), 115—129.
b) A generalisation of Galerkin's functions for asymmetric thermoelasti-
thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 8 A968).
41. Thrun Z., The method of subregions in coupled thermoelasticity, Ingr-
Arch., 37, № 6 A969), 369—373.
42. Wilms E. V., a) On coupling effects in transient thermoelastic problems,
Trans. ASME, E31, № 4 A964), 719—722. (Имеется русский перевод:
Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 31,
№ 4, изд. «Мир», 1964.)
b) Temperature induced in a medium due to suddenly applied pressure
inside a spherical cavity, Trans. ASME, E33, № 4 A966), 941—943.
(Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-
механиков, серия Е., т. 33, № 4, 1966.)
43. W о z n i a k С, a) Hyperstresses in linear thermoelasticity, Bull. Acad. Po-
Polon. ScL, Ser. sci. techn., 14, № Ц —12 A966), 1079—1084.
b) Thermoelasticity of bodies with micro-structure, Arch. mech. stosowanejb
19, № 3 A967), 335—365.
44. W у r w i n s к i J., a) A generalisation of Weber's theorem for problems of
the coupled thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14,
№ 7 A966).
b) Green functions for thermoelastic Cosserat medium, Bull. Acad. Polon.
Sci., Ser. sci. techn., 14, № 2 A966), 145—154.
45. Бурак Я. И., Дифференциальные уравнения термодинамических процес-
процессов в деформируемом теплоэлектропроводном твердом теле, Физ.-хим^
механика материалов, 2, № 4 A966).
46. 3 а г о р с к и й Т. Я., Иваненко Г. С, О задаче Коши для системы
уравнений теории термоупругости, Bichuk JIbeie, пол1т. институту, № 16.
A967), 32—36.
47. Иваненко Г. С, Первая краевая задача для системы уравнений тер-
термоупругости в полупространстве, BicnuK JIbeie. полп. институту, № 31
A969) 23—28.
48. К и л ь ч и н с к а я Г. А., Петренко М. П., Распространение продольных
термоупругих волн в стержне, сб. «Тепловые напряжения в элементах
конструкций», АН УССР, вып. 5, 1965.
49. К и л ь ч и н с к а я Г. А. а) Исследование волновых процессов с обратным
термоупругим эффектом в нагретых упругих телах, Прикл. механика, 2,
№ 10 A966), 16—21. " "
б) Распространение термоупругих волн в упругом слое при конвектив-
конвективном теплообмене на его поверхностях, сб. «Тепловые напряжения в эле-
элементах конструкций», АН УССР, вып. 6, 1966.
в) Распространение термоупругих волн в теплопроводящем слое по-
постоянной толщины, Прикл. механика, 3, № 12 A967), 78—83.
50. Купрадзе В. Д., Бурчуладзе Т. В., Граничные задачи термоупру-
термоупругости, Дифф. уравнения, 5, № 1 A969).
250 Приложение, О новых результатах в теории сопряженной термоупругости
51. Лобанов А. И., С и д л я р М. М., Связанные задачи термоупругости
для тонких пластинок, сб. «Тепловые напряжения в элементах кон-
конструкций», АН УССР, вып. 7, 1967, стр. 243—252.
52. М ы ш к и н а В. В., Совместная динамическая задача термоупругости
для слоя в случае малых значений времени, Инженерный журнал, Ме-
Механика твердого тела, № 2 A968), 111—115.
53. Но в а цкий В., а) Плоская задача магнитотермоупругости, Прикл.
механика, 1, № 6 A965), 1—7.
б) Моментные напряжения в термоупругости, Прикл. механика, 3, № 1
A967), 3—17.
54. П о д с т р и г а ч Я. С, Некоторые общие вопросы теории термоупругости
и теплопроводности тонких оболочек, сб. «Теория пластин и оболочек»,
Изд-во АН УССР, 1962.
55. П о д с т р и г а ч Я. С, Швец Р. Н., Квазистатическая задача взаимо-
взаимосвязанной термоупругости, Прикл. механика, 5, № 1 A969), 43—45.
56. П о д с т р и г а ч Я. С., Шевчук П. Р., Вариационная форма уравнений
теории термодиффузионных процессов в деформируемом твердом теле,
ПММ, 33, № 4 A969), 774—776.
57. Попов Е. Б., Динамическая связанная задача термоупругости для полу-
полупространства с учетом конечности скорости распространения тепла,
ПММ, 31, № 2 A967), 328—334.
58. Швец Р. Н., а) О единственности решения динамической задачи термо-
термоупругих тонких оболочек, Прикл. механика, 1, № 4 A965), 25—29.
б) Динамические напряжения в тонкой термоупругой пластинке, ослаб-
ослабленной круговым отверстием, сб. «Концентрация напряжений», вып. 1,
Киев, 1965.
в) Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки, Прикл. ме-
механика, 5, № 3 A969), 23—30.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Андерсон (Anderson G. L.) 246
Ариман (Ariman Т.) 246
Аченбах (Achenbach J. D.) 246
Башелишвили М. О. 6
Бен-Амоз (Ben-Amoz M.) 246
Бернштейн (Bernstein F.) 234
Берри (Berry D. S.) 185
Био (Biot M. А.) 10, 37, 50, 214, 234
Боли (Boley В. А.) 86, 203, 213, 234,
246
Бриллюэн (Brillouin L.) 102
Броер (Breuer S.) 203
Брул (Brull M. А.) 246
Брун (Brun L.) 246
Бурак Я. И. 249
Бурчуладзе Т. В. 6, 249
Буссинеск (Boussinesq J.) 37
Вожняк (Wozniak С.) 249
Вырвиньский (Wyrwinski J.) 249
Галка (Galka A.) 246
Гегелия Т. Г. 6
Герман (Herrmann G.) 235
Гриоли (Grioli G.) 234
Гроот де (Groot S. R. de) 11, 19, 234
Гудьер (Goodier J. N.) 40
Дан (Dunn M. S.) 246
Даниловская В. И. 6, 203
Дересевич (Deresiewicz H.) 234
Джеффрис (Jeffreys H.) 10, 235
Джонс (Jones J. P.) 247
Диллон (Dillon О. W.) 246
Динка (Dinca G.) 246
Дойч (Doetsch G.) 234
Драгое (Dragos L.) 246
Дюамель (Duhamel J. M. C.) 9, 234
Erep (Jager J.) 222
Ердетский (Jardetzky W. S.) 150
Загорский Т. Я. 249
Зобшик (Sobczyk К.) 249
Зорский (Zorski H.) 28, 236, 247
Иваненко Г. С. 249
Игначак (Ignaczak J.) 8, 29, 134,
175, 210, 235
Иесан (Iesan D.) 246
Ионеску-Казимир (Ionescu-Cazi-
mir V.) 32, 50, 55, 222, 224, 228,
235, 247.
Исон (Eason G.) 185, 190, 234
Калиский (Kaliski S.) 32, 235, 247
Карслоу (Carslaw H. S.) 222
Кильчинская Г. А. 249
Клаус (Claus W. D.) 246
Ковалевский (Kowalewski J.) 247
Коваленко А. Д. 6
Купрадзе В. Д. 6, 111, 126, 139, 143,
177, 181, 249
Лайонс (Lyons W. С.) 247
Ландау Л. Д. 85
Левони (Levoni S.) 247
Лейбензон Л. С. 158
Лессен (Lessen M.) 202, 235
Лифшиц Е. М. 85
Лобанов А. И. 249
Локкет (Lockett F. J.) 162, 185, 235,
236
Лорд (Lord H. W.) 247
Лурье А. И. 159
Мазур (Mazur P.) 19
Майзель В. М. 55, 75, 95, 97
Макдауэл (Mac Dowell E. L.) 42
Маккарти (Me Carthy M. F.) 247
Макквилен (Me Quillen E. J.)
Марта (Marthy S. N.) 248
252 Именной указатель
Маунтфорт (Mountfort M. V.) 247
Махаланобис (Mahalanobis R. К.)
247
Моисил (Moisil G.) 32
Моссаковский (Mossakowski J.) 8
Муки (Muki R). 203
Мур (Миг Т.) 205
Мышкина В. В. 250
Мюллер (Muller H.) 248
Нариболи (Nariboli G. А.) 202, 236
Ней (Ney J. F.) 236
Никел (Nickell R. Е.) 248
Новацкий (Nowacki W.) 5, 6, 8, 25,
55, 76, 84, 86, 95, 114, 116, 123,
134, 138, 162, 166, 175, 191, 202,
235, 236, 243, 245, 247, 248, 250
Папкович П. Ф. 37
Парна (Paria G.) 236
Паркус Г. 51, 86, 236
Паудрил (Powdrill В.) 246
Петыкевич (Petykiewitz J.) 247
Петренко М. П. 249
Подстригач Я. С. 6, 32, 236, 250
Попов Е. Б. 250
Пределеану (Predeleanu P. M.) 55
Пресс (Press F.) 150
Пурушотама (Purushothama С. М.)
248
Рафальский (Rafalski P.) 248
Розенблатт (Rosenblatt A.) 236
Рюдигер (Rudiger D.) 32, 236
Сакман (Sackman J. L.) 248
Сидляр М. М. 250
Снеддон (Sneddon I. N.) 98, 161,
185, 234, 236
Соколовский (Sokolowski M.) 166,
236
Сокольников (Sokolnikoff J. S.) 11,
39.
Соулер (Soler A. I.) 246
Стернберг (Sternberg E.) 42, 88
Стефаняк (Stefaniak J.) 249
Толинс (Tolins I. S.) 203, 234
Точер (Tauchert Т. R.) 246
Тран (Thrun Z.) 249
Треффц (Trefftz E.) 65, 83
Уайндль (Windle D. W.) 162, 166,
234
Уилмс (Wilms E. V.) 249
Уэйнер (Weiner J. H.) 50, 86, 213,
234, 236
Фойгт (Voight W.) 10
Хубер (Huber M. T.) 158
Хетнарский (Hetnarski R. B.) 193,
198, 202, 203, 207, 235, 246
Чедвик (Chadwik P.) 98, 162, 166,
202, 234, 246
Шапиро Г. С. 5
Шачнев В. А. 5, 237
Швец Р. Н. 250
Шевчук П. Р. 250
Шоош (Soos E.) 29, 202, 236, 249
Шторк (Stork К.) 248
Шулман (Shulman Y.) 247
Эринген (Eringen А. С.) 246
Юинг (Ewing W. М.) 150
Яничек (Janiczek J.) 8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Апериодические возмущения 182
Вариационные принципы 240
Волна плоская 98, 203
— поперечная 99
— продольная 99
— сферическая ПО
— цилиндрическая 120
Волны Рэлея 162
Девиатор деформаций 15
Естественное состояние тела 10
Задача Л амба осесимметричная 150
— термоупругости квазистатиче-
квазистатическая 35
стационарная 39
Закон Дюамеля—Неймана 13
— Фурье для анизотропных тел
217
Коэффициент теплопроводности 20
Метод Майзеля 95
Модуль объемного расширения 15
— сдвига 15
— упругой податливости 215
Нагрев поверхности неравномерный
155
Обобщение метода Майзеля 72
— теорем Грина и Сомилиано 65
Постоянные Ламе 14
Потенциал термоупругий 53
Применение интегральных преобра-
преобразований 185
Распространение волны в слое 166
Сила сосредоточенная линейная 147
точечная 138
Соотношения Дюамеля—Неймана
для анизотропных тел 214
Существование и единственность
решений 238
Тензор упругой жесткости 214
— шаровой 15
Теорема вариационная для анизо-
анизотропных тел 215
— взаимности 54, 228
— Грина 65
— единственности 47
— Кастильяно 93
— минимальная 93
— Сомилиано 65
Теоремы теории температурных на-
напряжений 89
— термоупругости вариационные
50
Теория связанной термоупругости 5
— температурных напряжений 9,
86
Тепловой источник сосредоточенный
190
Теплопроводность 17
Термодинамические силы 19
Термоупругая среда 23
Термоупругость 9
— анизотропных тел 214
Уравнение основное энергетическое
44
— теплопроводности обобщенное
17
Уравнения Бельтрами—Мигчелла 29
— геометрической совместности 11
— канонические функциональные
136
254 Предметный указатель
Уравнения классической эластокине-
тики 81
— теории температурных
жений 85
напря-
— термоупругости волновые 24
дифференциальные 20
сингулярные 175
— энергетические для анизотроп-
анизотропного тела 220
Условия излучения 128
Формула Гельмгольца 133
— Сомилиано обобщенная 176
Функция Грина 237
—• диссипации 46
— Лява 42
Эластокинетика 9
Энергия внутренняя 15
— свободная 12
Энтропия системы 15
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского издания 5
Предисловие к русскому изданию 6
Предисловие 7
Глава I. Основные соотношения и уравнения термоупругости ... 9
1.1. Соотношения между напряжениями, деформациями и тем-
температурой 9
1.2. Внутренняя энергия и энтропия системы 15
1.3. Обобщенное уравнение теплопроводности 17
1.4. Основные дефференциальные уравнения термоупругости . 20
1.5. Волновые уравнения термоупругости 24
1.6. Разделение системы дифференциальных уравнений термо-
термоупругости 31
1.7. Квазистатическая задача термоупругости 35
1.8. Стационарные задачи термоупругости 39
1.9. Основное энергетическое уравнение 44
1.10. Теорема единственности решений задач термоупругости . 47
1.11. Вариационные теоремы термоупругости 50
1.12. Теорема взаимности 54
1.13. Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости 65
1.14. Обобщение метода Майзеля на задачи термоупругости . 72
1.15. Задачи со смешанными краевыми условиями 75
1.16 Уравнения классической эластокинетики 81
1.17. Уравнения теории температурных напряжений 85
1.18. Энергетические теоремы теории температурных напряжений 89
Глава II. Гармонические волны в термоупругой среде 98
2.1. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупру-
термоупругой среде 98
2.2. Сферические волны в неограниченной термоупругой среде ПО
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде 120
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точеч-
точечной сосредоточенной силы 138
2.5. Неограниченная термоупругая среда под действием линей-
линейной сосредоточенной силы 147
2.6. Осесимметричная задача Ламба для термоупругого полу-
полупространства 150
2.7. Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупро-
полупространства 155
2.8. Волны Рэлея в термоупругой среде 162
2.9. Распространение волны в термоупругом слое 166
2.10. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости . . 175
256 Оглавление
Глава III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возму-
возмущениями 182
3.1. Общая постановка задачи 182
3.2. Применение интегральных преобразований 185
3.3. Волны в неограниченном термоупругом пространстве под
действием сосредоточенного теплового источника .... 190
3.4. Плоская волна в термоупругом полупространстве . . . 203
3.5. Приведение волнового уравнения к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению по времени 209
Глава IV. Термоупругость анизотропных тел 214
4.1. Основные соотношения и уравнения термоупругости ани-
анизотропных тел 214
4.2. Основные энергетические уравнения для анизотропного тела 220
4.3. Вариационная теорема термоупругости для анизотропных
тел 225
4.4. Теорема взаимности для анизотропных тел 22S
Библиография 234
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупру-
термоупругости, В. Л. Шачнев 237
Литература к приложению 246
Именной указатель 251
Предметный указатель 253
В. Новацкий
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Редактор Л. С. Попов
Художник Л. Д. Смеляков Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Г. Б. Алюлина Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в производство 8/1 1970 г. Подписано к печати 6-'Х1 1970 г. Бумага №. 1
60x90Vie=8 бум. л. 16 пе,ч. л. Уч.-изд. л. 12,21. Изд. Лр° 1/5447. Цена 1 р. 40 к. Заказ 362
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Ленинград, Прачечный пер., д. 6