Предисловие
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций
1.2. Двоичное подразделение пространства R^n
1.3. Определение и основные свойства ступенчатых функций
1.4. Определение интеграла ступенчатой функции
1.5. Теорема о предельном переходе
§2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега
2.2. Понятие L1-нормы функции и ее простейшие свойства
2.3. Свойство субаддитивности L1-нормы
2.4. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции
2.5. Свойства, выполняющиеся почти всюду
§ 3. Примеры систем с интегрированием
3.2. Мера на кольце множеств. Понятия σ-кольца и меры на σ -кольце
3.3. Сумма значений функции на произвольном множестве как интеграл
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
4.2. Нижняя и верхняя огибающие последовательности интегрируемых функций
4.3. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе
§ 5. Измеримые функции и множества
5.2. Теорема о пределе последовательности измеримых функций
5.3. Распространение интеграла на измеримые функции
5.4. Понятие измеримого множества. Интеграл как аддитивная функция множества
5.5. Системы с интегрированием, счетные в бесконечности
5.6. Общая теорема об операциях над измеримыми функциями
§ 6. Измеримые множества и функции в пространстве R^n
6.2. Измеримость открытых и замкнутых множеств в пространстве R^n
6.3. Внешняя мера множества. Геометрическая характеристика внешней меры множеств в R^n
6.4. Измеримость некоторых классов функций в R^n
6.5. Сопоставление различных теорий интегрирования в R
§ 7. Теорема Фубини и ее следствия
7.2. Теорема Тонелли
7.3. Формула Кавальери — Лебега
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле
8.2. Формулировка результата
8.3. Леммы о редукции
8.4. Лемма о представлении диффеоморфизма как суперпозиции диффеоморфизмов специального вида
8.5. Доказательство теоремы 8.1
8.6. Вычисление некоторых мер и интегралов
§ 9. Сходимость в L1. Пространство L1
9.2. Пространство L1
9.3. Достаточные условия непрерывности и дифференцируемости функций, представленных интегралами, зависящими от параметра
Задачи
Глава 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье
1.2. Понятие тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции
1.3. Теорема Римана — Лебега и ее следствия
§2. Общее понятие ортогональной системы функций
2.2. Ортогональные системы векторов гильбертова пространства
2.3. Полнота ортогональной тригонометрической системы функций
2.4. Примеры ортогональных систем функций
§3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке
3.2. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации
4.2. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для функции ограниченной вариации
4.3. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье
4.4. Примеры разложений функций в ряды Фурье
§ 5. Преобразование Фурье
5.2. Правило обращения преобразования Фурье
Задачи
Глава 15. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы
1.2. Понятие кососимметрической полилинейной функции
1.3. Понятие поливектора. Интегрирование по k-мерной плоскости
§2. Исчисление внешних дифференциальных форм
2.2. Умножение внешних дифференциальных форм
2.3. Операция дифференцирования внешней дифференциальной формы
2.4. Операция переноса внешней дифференциальной формы гладким отображением
2.5. Вторая теорема Пуанкаре
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространств R^n
3.2. Понятие диффеоморфизма
3.3. Понятие k-мерного подмногообразия пространства R^n
3.4. Понятие края многообразия
3.5. Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия
3.6. Множества, задаваемые системой уравнений
§ 4. Площадь k-мерного многообразия
4.2. Определение площади k-мерного многообразия
§5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях
5.2. Понятия ориентации и ориентируемого многообразия
5.3. Индуцированная ориентация края многообразия
5.4. Пример неориентируемого многообразия
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса
6.2. Определение интеграла по произвольному k-мерному многообразию
6.3. Обобщенная интегральная теорема Стокса
6.4. Интегральные формулы Остроградского и Гаусса
6.5. Общая теорема Брауэра о неподвижной точке
Задачи
Заключение
Список основных обозначений
Предметный указатель
Именной указатель
Содержание предыдущих книг КМА
Текст
                    РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА
Современная математика — студентам и аспирантам
Ю. Г. РЕШЕТНЯК
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Интегральное исчисление функций
многих переменных.
Интегральное исчисление на многообразиях.
Внешние дифференциальные формы
Новосибирск
Издательство Института математики
2 0 0 1


УДК 517 ББК 22.16 Р47 Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Ч. II, кн. 2. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. — 444 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам). ISBN 5-86134-089-7. Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Часть II, книга 2 учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ. Ответственный редактор Водопьянов Сергей Константинович 'Ф Издание осуществлено при финансовой поддержке И Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-14013) р15(0?У Бе3 объявл' © Решетняк Ю. Г., 2001 ISBN 5-86134-089-7 © Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2001
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть II * Книга 2 Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава 13. Интегральное исчисление функций многих переменных (теория кратных интегралов) 11 § 1. Интегрирование ступенчатых функций 12 1.1. Вспомогательные сведения 12 1.2. Двоичное подразделение пространства Шп 16 1.3. Определение и основные свойства ступенчатых функций 21 1.4. Определение интеграла ступенчатой функции 23 1.5. Теорема о предельном переходе 28 §2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 32 2.1. Понятие системы с интегрированием ....; 32 2.2. Понятие ii-нормы функции и ее простейшие свойства . 35 2.3. Свойство субаддитивности Zi-нормы 39 2.4. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 42 2.5. Свойства, выполняющиеся почти всюду 48 § 3. Примеры систем с интегрированием 56 3.1. Системы с интегрированием в К 56 3.2. Мера на кольце множеств. Понятия ст-кольца и меры на <т-кольце 59 3.3. Сумма значений функции на произвольном множестве как интеграл 68 § 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 70 4.1. Теорема о нормально сходящемся ряде 70 4.2. Нижняя и верхняя огибающие последовательности интегрируемых функций 76 4.3. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе 79
Оглавление § 5. Измеримые функции и множества 85 5.1. Определения и простейшие свойства измеримых функций 86 5.2. Теорема о пределе последовательности измеримых функций 89 5.3. Распространение интеграла на измеримые функции 93 5.4. Понятие измеримого множества. Интеграл как аддитивная функция множества 96 5.5. Системы с интегрированием, счетные в бесконечности . 103 5.6. Общая теорема об операциях над измеримыми функциями 105 § 6. Измеримые множества и функции в пространстве Шп 108 6.1. Кубическое подразделение открытого множества 108 6.2. Измеримость открытых и замкнутых множеств в пространстве Шп 111 6.3. Внешняя мера множества. Геометрическая характеристика внешней меры множеств в Жп 112 6.4. Измеримость некоторых классов функций в Шп 117 6.5. Сопоставление различных теорий интегрирования в Е . 119 § 7. Теорема Фубини и ее следствия 124 7.1. Теорема Фубини 124 7.2. Теорема Тонелли 132 7.3. Формула Кавальери — Лебега 136 § 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 141 8.1. Интегрируемые функции на открытых множествах пространства Шп 141 8.2. Формулировка результата 144 8.3. Леммы о редукции 146 8.4. Лемма о представлении диффеоморфизма как суперпозиции диффеоморфизмов специального вида 149 8.5. Доказательство теоремы 8.1 151 8.6. Вычисление некоторых мер и интегралов 158 § 9. Сходимость в Li. Пространство Li 165 9.1. Сходимость в L\ 166 9.2. Пространство L\ 172 9.3. Достаточные условия непрерывности и дифференцируемости функций, представленных интегралами, зависящими от параметра 175 Задачи 180
Оглавление 5 Глава 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 186 §1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 187 1.1. Тригонометрические полиномы 187 1.2. Понятие тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции 192 1.3. Теорема Римана — Лебега и ее следствия 197 §2. Общее понятие ортогональной системы функций 202 2.1. Понятие гильбертова пространства. Пространство £2(£) 203 2.2. Ортогональные системы векторов гильбертова пространства 210 2.3. Полнота ортогональной тригонометрической системы функций 215 2.4. Примеры ортогональных систем функций 220 §3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 226 3.1. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье 227 3.2. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье 232 § 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 237 4.1. Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье 237 4.2. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для функции ограниченной вариации 243 4.3. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье 247 4.4. Примеры разложений функций в ряды Фурье 249 § 5. Преобразование Фурье 259 5.1. Определение и простейшие свойства преобразования Фурье 259 5.2. Правило обращения преобразования Фурье 267 5.3. Инъективность преобразования Фурье на ii(K) 271 Задачи 276 Глава 15. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы : Л 279 § 1. Полилинейные функции и поливекторы 280 1.1. Понятие полилинейной функции 280 1.2. Понятие кососимметрической полилинейной функции ... 284 1.3. Понятие поливектора. Интегрирование по fc-мерной ' плоскости 288
Оглавление §2. Исчисление внешних дифференциальных форм .. 297 2.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы 297 2.2. Умножение внешних дифференциальных форм 301 2.3. Операция дифференцирования внешней дифференциальной формы 307 2.4. Операция переноса внешней дифференциальной формы гладким отображением 311 2.5. Вторая теорема Пуанкаре 317 § 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространств Шп 320 3.1. Отображения класса ^г с произвольной областью определения 321 3.2. Понятие диффеоморфизма 326 3.3. Понятие fc-мерного подмногообразия пространства Еп .. 331 3.4. Понятие края многообразия 335 3.5. Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия 338 3.6. Множества, задаваемые системой уравнений 341 § 4. Площадь fc-мерного многообразия 344 4.1. Меры на fc-мерных плоскостях 344 4.2. Определение площади fc-мерного многообразия 348 §5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 359 5.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы 359 5.2. Понятия ориентации и ориентируемого многообразия ... 365 5.3. Индуцированная ориентация края многообразия 371 5.4. Пример неориентируемого многообразия 375 § 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 380 6.1. Лемма о разбиении единицы 381 6.2. Определение интеграла по произвольному fc-мерному многообразию 386 6.3. Обобщенная интегральная теорема Стокса 388 6.4. Интегральные формулы Остроградского и Гаусса 395 6.5. Общая теорема Брауэра о неподвижной точке 403 Задачи 409 Заключение 413 Список основных обозначений 414 Предметный указатель 416 Именной указатель 421 Содержание предыдущих книг КМА 431
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга вторая, часть II «Курса математического анализа» (КМА) предназначена студентам-математикам второго курса университетов. В ней рассматриваются вопросы интегрального исчисления функций многих переменных. Книга состоит из трех глав — с тринадцатой по пятнадцатую. Глава 13 носит название «Интегральное исчисление функций многих переменных (теория кратных интегралов)». Существуют различные способы построения интегрального исчисления функций многих переменных. Традиционным является путь, при котором сначала определяется понятие меры (n-мерного объема множества в пространстве Еп) и затем уже с его помощью устанавливается, что есть интеграл функции. Если исходить из простейшего определения меры множества, данного К. Жорданом, то мы придем к теории кратных интегралов в смысле Римана. Теория интеграла Б. Римана в пространстве Шп для случае п > 1 оказывается громоздкой и мало удобной для применения. Если воспользоваться более тонким (более изощренным) понятием меры, предложенным А. Лебегом, то придем к теории кратных интегралов Лебега. Другой возможный путь построения теории интеграла, который взят за основу в этом курсе, состоит в следующем. Сначала понятие интеграла определяется для некоторых «простых» функций, а затем класс функций, для которых интеграл определен, последовательно расширяется. В зависимости от того, какой способ расширения выбран, мы придем к теории интегрирования, которая будет эквивалентна либо римановой, либо лебеговской теории интеграла. В качестве «простых» функций здесь берутся так называемые ступенчатые функции. Для них понятие интеграла имеет естественный геометрический смысл. Доказываются основные свойства интегралов для таких функций. Расширение класса интегрируемых функций осуществляется в один шаг — по схеме М. Стоуна. Это значительно упрощает изложение. Главное свойство интегралов ступенчатых функций, используемое в процессе расширения класса интегрируемых функций по Стоуну, состоит в следующем: для всякой монотонной последовательности ступенчатых функций, поточечно сходящейся к нулю,
8 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 интегралы функций этой последовательности стремятся к нулю. Изложение темы дается в общей аксиоматической форме. Выделяя те свойства ступенчатых функций, которые используются при построении теории интеграла, мы приходим к общему (абстрактному) понятию системы с интегрированием. Процесс расширения системы с интегрированием дает класс функций, называемых интегрируемыми. Понятие меры множества получается как частный случай понятия интеграла. В случае функций в пространстве Шп мера множества в точности совпадает с понятием меры Лебега множества. К числу основных результатов интегрального исчисления функций многих переменных относятся теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, теоремы Фубини и Тонелли о сведении п-мерного интегрирования к последовательному выполнению интегрирований меньшей размерности и теорема о замене переменных под знаком кратного интеграла. Как приложение общих теорем об интегрируемых функциях и свойствах интегралов доказываются теоремы об интегрировании функциональных рядов и о функциях, представленных интегралами, зависящими от параметра. Введение интеграла Лебега уже на втором курсе университета (ранее он читался на третьем или как спецкурс — на четвертом году обучения) позволило упростить изложение некоторых ключевых вопросов теории интеграла. Глава 14 «Ряды Фурье и преобразование Фурье» представляет собой введение в теорию рядов Фурье и преобразования Фурье. Ряды Фурье, так же как и преобразование Фурье, имеют разнообразные применения в теории приближения функций, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в функциональном^анализе, вычислительной математике и других разделах математики и ее приложений. Использование преобразования Фурье во многих случаях позволяет операцию дифференцирования заменить операцией умножения и тем самым задачу, сформулированную на языке анализа, свести к алгебраической задаче. В этой главе приводится определение ряда Фурье функции относительно системы тригонометрических функций, устанавливается теорема Римана — Лебега о коэффициентах ряда Фурье интегрируемой функции, доказываются теорема Дирихле и теорема Дини о поточечной сходимости ряда Фурье, равенство Парсеваля для функций, интегрируемых в квадрате, дается достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье. Известные в математике теоремы о поточечной сходимости рядов Фурье имеют в некотором смысле неокончательный характер. Использование других видов сходимости функциональных рядов позво-
Предисловие 9 ляет получить более законченные результаты. Для рядов Фурье это есть сходимость в Хг([~"т1"?71"])- Здесь описывается пространство L<i функций, интегрируемых с квадратом, и доказывается теорема о полноте этого пространства (теорема Рисса — Фишера). Определяется понятие гильбертова пространства, понятие ортогональной системы векторов. В частности, определено понятие полной ортогональной системы. Доказывается, что система тригонометрических функций 1/2, cos ж, sin ж, cos 2ж, sin 2ж,..., cos пж, sin пж,... является полной ортогональной системой функций в пространстве ^2([—тг,тг]). В этой же главе определяется понятие преобразования Фурье интегрируемой функции и устанавливаются его основные свойства. Доказывается теорема об обращении преобразования Фурье. Последняя глава 15 — «Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы». В теории кратных интегралов и ее приложениях в физике и механике важную роль играют теоремы, позволяющие представить интеграл по границе области через интеграл по самой области. Впервые результат такого рода был получен еще К. Гауссом для областей на плоскости, а для областей в пространстве аналогичное утверждение было доказано М. В. Остроградским. Общий результат — обобщенная интегральная теорема Стокса о представлении интеграла по краю многообразия через интеграл по самому многообразию — был получен в работах А. Пуанкаре и Е. Картана. Описание общего результата требует введения некоторой техники — частично аналитической, частично алгебраической. Такая техника содержится в исчислении внешних дифференциальных форм. Материал, излагаемый в этой главе, относится к разделу современной математики, называемому дифференциальной топологией. Идея автора включить данную тему в университетский курс математического анализа была реализована в 1964-м году (по-видимому, впервые в стране). Здесь приводятся необходимые сведения о внешних дифференциальных формах, определяется, что есть внешняя дифференциальная форма и описываются основные операции для этих форм: умножение внешних дифференциальных форм, операция переноса дифференциальных форм гладким отображением, понятие дифференциала внешней формы. Понятие дифференцируемого А;-мерного подмногообразия пространства Еп, данное в главе 10, здесь уточняется в связи с изучением некоторых дальнейших аспектов теории таких многообразий. В частности, определяются понятия площади fc-мерного многообразия, края многообразия и ориентированного многообразия. Для ориентированного fc-мерного многообразия определяется интеграл внешней дифференциальной формы степени к по данному многообразию. Вводится понятие интеграла внешней дифференциальной формы степени к по ориентированному fc-мер- ному подмногообразию пространства Еп. Доказывается обобщенная
10 Курс математического анализа,, ч. II, кн. 2 интегральная теорема Стокса и устанавливаются ее следствия. Как приложения этой теоремы выводятся интегральные формулы М. В. Остроградского и К. Гаусса. Исчисление внешних дифференциальных форм имеет приложения в топологии. В качестве примера такого приложения дается доказательство общей теоремы Л. Брауэра о неподвижной точке для отображений областей в Rn. (Случай п = 2 был рассмотрен ранее в главе 8.) Отметим, что в настоящей книге «Курс математического анализа» используются те же правила нумерации теорем, лемм, предложений, формул и рисунков, как и в предыдущих книгах этого курса. Напомним: главы делятся на параграфы, имеющие порядковую нумерацию; каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), имеющие двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая — порядковая; формулируемые в книге утверждения (теоремы, леммы и предложения), а также формулы имеют в пределах параграфа аналогичную двойную нумерацию; рисунки нумеруются в пределах главы. В конце даются указатель обозначений и предметный указатель, именной указатель, а также сводное оглавление предыдущих книг «Курса математического анализа».
Глава 13 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ТЕОРИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ) Г • Ступенчатые функции # Интегрирование ступенчатых функций # Лемма о предельном переходе • Понятие системы с интегрированием • L\ -норма функции # Свойство субаддитивности Li-нормы • Понятия интегрируемой функции и интеграла в произвольной системе с интегрированием • Теорема о нормально сходящемся ряде # Теоремы Леви для функциональных рядов и последовательностей • Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе • Измеримые функции и множества • Теорема о пределе последовательности измеримых функций • Интеграл как аддитивная функция множества • Мера множества # Операции с измеримыми функциями • Множества Лебега Ef(t) и Ef{t) # Измеримость открытых и замкнутых множеств в Жп # Внешняя мера множества • Множества меры нуль # Пренебре- жимые функции и условия, выполняющиеся почти всюду • Теоремы Фубини и Тонелли о кратных интегралах • Формула Кавальери — Лебега для вычисления интеграла • Правило замены переменной интегрирования в кратном интеграле •
12 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных § 1. Интегрирование ступенчатых функций Понятие интеграла для функций многих переменных здесь определяется сначала для функций, в некотором отношении простейших, а именно — для ступенчатых функций. Функция f: Шп —► К называется ступенчатой, если можно указать конечный набор попарно непересекающихся n-мерных кубов, на каждом из которых функция f постоянна. Мера (объем) /J>n(Q) n-мерного куба Q, длина ребра которого I, равна 1П. Интеграл ступенчатой функции f по простран- m ству Ш71 равен сумме ^ fifJ>n(Qi)f где Qi, % = 1, 2,..., m, есть попарно непе- ресекающиеся кубы, на которых функция f постоянна, fi — значение, принимаемое функцией f на кубе Q{. Устанавливаются основные свойства ступенчатых функций и их интегралов. Наиболее существенным из них является свойство интеграла, связанное с предельным переходом под знаком интеграла, выражаемое теоремой 1.4. 1.1. Вспомогательные сведения Зададим произвольно непустое множество М. Пусть даны функции /: М -> R, #: М -> R и множество АсМ. Будем говорить, что / > g на множестве А или (то же самое) что g < f на А, если f(x) > g(x) для любого х G А. Если А совпадает с М, то в соглашениях, которые были сейчас введены, оно не указывается, так что запись f > g означает, что f(x) > g(x) для всех х G М. Последовательность функций (/„: М —> R^eN называется возрастающей, если при каждом и G N выполняется неравенство fv < ./V+i- Если при каждом i/GN имеет место неравенство /„ > JV+i, то будем говорить, что (/i/)i/gN есть убывающая последовательность. Последовательность функций (/„: М —> R^eN называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая. Пусть (/„: М —> R)i/GN есть последовательность функций, поточечно сходящаяся на множестве М к функции /: М —► R, т. е. f(x) = lim fu(x) 1/—+00 для любого х G М. Будем говорить, что последовательность (/i/)I/gn сходится к функции / снизу, и писать fu/f
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 13 при v —► оо, если она возрастающая. Если же последовательность (fu)u£N убывающая, то будем говорить, что данная последовательность сходится к функции f сверху. В этом случае будем писать /„ \ / при и —► оо. Пусть у GK есть произвольное вещественное число. Тогда определены числа у4" и у~ — положительная и соответственно отрицательная части у. Напомним, что согласно определению, данному в главе 1, это означает, что: у4" = у в случае у > 0; у4" = 0, если у < 0; у~ = 0, когда у > 0; у~ = —у, если у < 0. Для всякого у G R имеем у4* > 0 и у~ > 0. Очевидно, у4" = max{y,0}, у~ = тах{—у,0}. Пусть у G R. Рассмотрим величины у* — у~ и у4" + у~. Данные выражения имеют смысл при любом у G R в силу того, что у4" и у~ не могут принимать значение оо одновременно. Если у > 0, то у4* = у, у~ — 0 и, значит, у^ — у" — у, у4* + у~ = у. Если у < 0, то у4* = 0, у~ = —у, откуда видно, что в этом случае у4* — у" = 0 — (—у) = у, У4* + У~ = -У- Из сказанного следует, что для любого у G R У4* - У = У, у+ + у = |у|. Если у конечно, то величины у4* и у , очевидно, могут быть выражены через у и |у|. А именно, для всякого у ЕК имеем у+=\у1±1. у \у\ -у (1.1) у+ и у обладают одним важным свойством: + Функции у н-» у^ и у н-> у эти функции монотонные, у >-» y+ есть неубывающая функция, у у-^ у" — невозрастающая функция на множестве К. Данное свойство функций у н-* у4* и у »-» у~ является причиной введения этих функций, в чем, как может показаться, нет необходимости, поскольку они выражаются через у и |у|. Графики данных функций представлены на рис. 1. Рис. 1
14 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть даны множество М и функция /: М —» Е. Символы /+, f~ и |/| далее обозначают функции, получаемые из функции / следующим образом: для всех х Е М /+(х) = [/(х)]+, Г(х) = [/(х)]-, |/|(х) = |/(х)|. Функция /+ называется положительной частью функции, функция /"" — отрицательной частью функции /. Пусть дано множество А С М. Символ хл обозначает функцию, областью определения которой является множество М и которая задается следующим образом: ( 1, если х Е А, I, 0, если х £ А. Функция ха называется индикатором или характеристической функцией множества А в множестве М. Из определения индикатора множества очевидным образом вытекают следующие два утверждения. ♦ Предложение 1.1. Если А — М,то индикатор множества А есть функция, тождественно равная единице. ♦ ♦ Предложение 1.2. Функция, тождественно равная нулю, является индикатором пустого множества. ♦ Применение понятия индикатора позволяет свести исследование соотношений между множествами к изучению связей между их индикаторами. Докажем предложение, иллюстрирующее это утверждение. ■ Лемма 1.1. Пусть даны произвольные множества А С М и В С М. Тогда включение А С В имеет место в том и только в том случае, если выполняется неравенство ха < Хв- Пусть даны множества А С М, А„ С М, v = 1,2, Тогда если оо А = (J Av, то для всех х Е М имеет место неравенство i/=i Xa{x)<Y,xav(*)- (1-2) При этом если множества Av попарно не пересекаются, т. е. для любых V\,V2 Е п таких, что щ Ф V2, множества AUl и AU2 не имеют общих элементов, то имеет место равенство оо Ха(*) = 5>а» (1-3) для всех х Е М.
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 15 Доказательство. Пусть даны множества А С М ж В С М. Предположим, что А С В. Возьмем произвольно точку х G М. Если х Ц. А, то Ха(х) = 0 < Хв(х)- Если же х G А, то Хл(^) =: 1- Так как АсВ, то ж G В и, значит, Хв(#) = 1- Поэтому в этом случае также выполняется неравенство Ха(х) < Хв{х)- Итак, доказано, что если А С Б, то ха < Хв- Предположим, что, обратно, ха < Хв- Возьмем произвольно точку х G А. Тогда Ха(х) = 1? Ха(х) < Хв(х)- Так как Хв(х) может принимать только два значения: 0 и 1, то для данного х также и хв(х) = 1? т. е. х £ В, Таким образом, (х G А) => (х G S), т. е. А С В. Первое утверждение леммы доказано. Пусть даны множества (Аи С М), i/ = 1,2,..., и пусть А есть их объединение. Требуется доказать, что для всех х G М выполняется неравенство (1.2). Если х ^ А, то хл(ж) = 0- Так как все слагаемые в правой части неравенства (1.2) неотрицательны, то в данном случае неравенство верно. Пусть х G А. Тогда найдется щ такое, что х G AVo. Имеем y^Av (#) = 1. Таким образом, по крайней мере одно слагаемое в сумме, стоящей в (1.2) справа, равно единице. Так как все остальные слагаемые неотрицательны, это позволяет заключить, что и в этом случае неравенство (1.2) выполняется. Предположим теперь, что множества Av попарно не пересекаются. Если х £ А, то Ха(х) = 0их^ A,,, xav(x) = 0 для всех i/, и в этом случае равенство (1.3) выполняется. Предположим, что х G А. Тогда найдется номер щ такой, что х G А„0. Так как множества А„ попарно не пересекаются, то х £ А„ при v ф щ. Отсюда следует, что Xauq(x) = 1 и Xav(x) = ° ПРИ v Ф ио- Таким образом, в данном случае одно слагаемое в сумме, стоящей в (1.3) справа, равно единице, а остальные равны нулю. Значит, в этом случае сумма равна 1 = Ха(х)- Тем самым установлено, что равенство (1.3) выполняется для всех х G М. Лемма доказана. ■ ▼ Следствие. Пусть даны множества А„ С М, v — 1,2,...,га. m Пусть А = IJ А,,. Тогда для всех х G М имеет место неравенство Хл(х)<^,хлЛ*). (1-4) Если множества Ai, A2,..., Am попарно не пересекаются, то m Ха(х) = *£хаЛх) (1-5) для всех х G М. Данное утверждение вытекает из леммы 1.1, если применить ее к последовательности множеств (А„ С M)I/=i)...)00, где А\, А2,..., Ат — данные множества, а при v > т множество Av пусто. ▼
16 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 1.2. Двоичное подразделение пространства 1.2.1. Напомним, что множество а в пространстве n-мерным прямоугольником, если a = (abbj) x (a2,b2) x ••• х (an,bn), называется (1-6) т. е. а есть совокупность всех точек х = (#i,#29 • •->#п) £ №п таких, что Х{ Е (аг-,Ьг) при каждом г = 1,2,...,п. Числа 1^ = Ь\ — аь Ь = &2 — <&2,..., /п — Ъп — о>п называются длинами ребер n-мерного прямоугольника а. Будем говорить, что а есть куб, если 1г = 12 = • • • = 1п. Число MnO) = hh ...*п (1.7) называется мерой или объемом n-мерного прямоугольника а. Оказывается удобным иметь дело с прямоугольниками некоторого специального вида, который рассмотрим ниже. Прямоугольник а в пространстве Шп называется полуоткрытым n-мерным прямоугольником или п-мерным брусом, если а = [abbi) х [a2,b2) x ••• х [а^,^). Пустое множество также будем считать n-мерным брусом. Если a = 0, то полагаем /in(a) = 0. В дальнейшем индекс п в обозначении для меры п-мерного бруса, так же как и слово «n-мерный» применительно к брусу, будут опускаться каждый раз, когда это не ведет к недоразумению. В случае п = 1 брус есть не что иное, как полуинтервал вида [а, Ь). В данном случае мера бруса равна длине этого полуинтервала. В случае п = 2 всякий брус в пространстве Е2 изображается в декартовой ортогональной системе координат на плоскости прямоугольником (см. рис. 2) и мера бруса равна площади этого прямоугольника. 14 an О a 1 "1 Рис. 2 X
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 17 Аналогично, трехмерный брус (п = 3) изображается в декартовой ортогональной системе в пространстве трехмерным параллелепипедом, объем которого равен мере данного бруса. В силу сказанного ясно, что мера бруса в Кп может рассматриваться как аналог понятий площади прямоугольника или объема трехмерного параллелепипеда. Ступенчатая функция обычно определяется как функция, которая является линейной комбинацией индикаторов п-мерных брусов. Если, однако, в этом определении брать произвольные n-мерные брусы, то возникают определенные трудности «технического характера». Рассуждения упрощаются, если рассматривать брусы некоторого специального вида. Отрезок а = [а, 6) С Ш называется двоичным полуинтервалом, k к k+l и и если а = —, о = •——, где числа к и г целые. Число г называется 2Г 2Г рангом двоичного полуинтервала _ Г_/Ь_ к + 1\ Будем говорить, что n-мерный, брус а = [abbi) х [а2М) х ••• х [ата,6та) является (?воипкыл« кубом ранга г, если при каждом г = 1,2,..., п отрезок [а,-,Ь,-) есть двоичный полуинтервал ранга г, так что fc,- L ki + 1 * 2r' 2r для всех г = 1,2,..., п, где числа &,-, г = 1,2,..., п, целые. 1.2.2. Установим некоторые свойства двоичных полуинтервалов в пространстве R. А) Пусть а и /3 есть двоичные полуинтервалы в Е, г есть ранг а, 5 — ранг /?. Тогда если а и /3 имеют общие точки и г < з, то а Э /?. Действительно, пусть и пусть а; — какая-либо общая точка данных полуинтервалов. Тогда имеем к ^ fc+1 / ^ /+1 < X < , < Ж < . 2Г ~~ 2r 2s ~~ 25
18 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Умножая эти неравенства почленно на 25, получим k2s~r < 2s x <(k + l)25"r, I < 2sx < I + 1. (1.8) Отсюда следует, что / + 1 > k2s~r. Так как / + 1 и k2s~r есть целые числа, то, следовательно, k2s~r < (/ + 1) — 1 = /. Далее, из неравенств (1.8) вытекает, что I < (к + 1)25_г. Так как левая и правая части этого неравенства есть целые числа, то, значит, / + 1 < (к + 1)25~г. Из доказанных неравенств следует, что к_ l_ MJ. fc + 1 2^-2^ 2« - 2Г ' что и доказывает включение аЗ/3. B) Пусть а и /3 — произвольные двоичные полуинтервалы в Е. Тогда либо а и /3 не имеют общих точек, либо один из них содержится в другом. Если а и /3 имеют общие точки и их ранги равны, то эти полуинтервалы совпадают. Данное предложение представляет собой очевидное следствие предложения А. C) Всякая точка a;Gi принадлежит по крайней мере одному (и, как следует из предложения В, в точности одному) двоичному полуинтервалу ранга г при любом целом г. Действительно, для всякого у G М существует целое число к такое, что к < у < к + 1. Пусть дано г Е Z. к к + 1 Найдем к Е Z такое, что к < х2г < к + 1. Тогда — < х < —-—, _ 2Г "" 2Т и требуемый полуинтервал построен. D) Если a = [а,Ь) есть двоичный полуинтервал ранга г и с = a + b г т\ = —-—, то отрезки р = [а, с) и 7 = [с, Ь) представляют собой двоичные полуинтервалы ранга г + 1. Очевидно, /ЗП7 = 05/5и7 = а- Пусть г — произвольное целое число. Тогда согласно предложению В любые два различных полуинтервала ранга г не имеют общих точек. В силу предложения С всякая точка х G M принадлежит по крайней мере одному двоичному полуинтервалу ранга г. Таким образом, при каждом г Е Z определено некоторое множество попарно непересекающихся полуинтервалов, объединение которых совпадает с Е. При этом длина каждого из построенных полуинтервалов равна 2~т. Будем говорить, что указанные полуинтервалы образуют двоичное разбиение (или двоичное подразделение) ранга г множества К. Двоичное разбиение ранга 0 множества Ш образовано полуинтервалами [0,1), [-1,0), [1,2), [-2, -1),..., [n, n + 1), [-п - 1, -п),.... (1.9)
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 19 Разделив каждый из них пополам, как описано в предложении D, получим двоичное разбиение ранга 1. Деля пополам полуинтервалы этого разбиения, получим двоичное разбиение ранга 2 и т. д. Определением допускаются как положительные, так и отрицательные значения ранга г двоичного разбиения. Очевидно, двоичное разбиение ранга —1 получается объединением некоторых пар полуинтервалов (1.9). 1.2.3. Определим понятие двоичного разбиения пространства Rn для произвольного п. Отметим некоторые свойства двоичных кубов. Ап) Если двоичные кубы а и (3 в пространстве Шп имеют общую точку и ранг а не превосходит ранга /3, то выполняется включение а Э (3. Действительно, пусть a = [ab6i) х [а2,Ь2) х ••• х [ата,М, (3 = [cbdi) х [c2,d2) x .-.x [cn,dn), a x = (zi,z2,... ,ята) есть общая точка полуинтервалов а и /3. Ранг двоичного куба а обозначим символом г. Пусть s есть ранг (3, г < s. При каждом % = 1,2,..., п имеем Х{ € [а,-, 6,-), Х{ € [с;, d;). Промежутки [а,-,6;) и [ct-,dt) суть двоичные полуинтервалы, ранги которых равны г и s соответственно. Они имеют, таким образом, общие точки при всяком % = 1,2,...,п. Значит, в силу предложения А [а,-,Ь,-) Э [ci,d{) при каждом г = 1,2,... ,п. Отсюда, очевидно, следует, что а Э /3, что и требовалось доказать. Из предложения Ата вытекает следующее утверждение. Вп) Пусть а и (3 — два произвольных двоичных куба в пространстве К71. Тогда либо а и /3 не имеют общих точек, либо один из них содержится в другом. Если двоичные кубы а и (3 имеют хотя бы одну общую точку и их ранги равны, то они совпадают. Сп) Всякая точка х £ К71 принадлежит по крайней мере одному (и в силу предложения Вп в точности одному) двоичному кубу ранга г при всяком целом г. Действительно, пусть х = (zi,o;2,... ,zn). Обозначим через щ двоичный полуинтервал ранга г такой, что Х{ G а,-. Пусть а = а! х а2 х • • • х ата. Тогда а есть двоичный куб ранга г и данная точка ж принадлежит а. Dn) Всякий п-мерный двоичный куб а ранга г является объединением 2П двоичных кубов ранга г + 1. Действительно, пусть а = = ai х a2 x • • • х ата, где a,- — двоичные полуинтервалы ранга г. Для
20 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных каждого i = 1,2,..., п имеем аг- = [а,-, Ьг). Положим сг = — -. Пусть а? = [ai, сг), а* = [с,-, Ьг), г = 1,2,..., п. Всевозможные произведения а[х х ар х ... х а£», где каждый из индексов г,- равен нулю или единице, представляют собой двоичные кубы ранга г+1, содержащиеся в а. Всякая точка х £ а обязательно попадает в один из них. В самом деле, пусть х = (х\, £2,..., хп). Тогда Х{ Е ol{ при каждом % = 1,2,..., п. Так как аг- = а^ U а^, то, значит, Х{ принадлежит одному из полуинтервалов а^, а]. Положим <j{ — 0, если Х{ Е а^, и crt- = 1, если Х{ Е а*. Очевидно, х е а"1 х а£2 х ..• х а£п. Таким образом, установлено, что всякая точка х € а принадлежит по крайней мере одному из построенных выше двоичных кубов. Из предложения Dn индукцией по га легко выводится, что всякий двоичный куб ранга г является объединением 2пш двоичных кубов ранга г + га. Назовем число xGi двоично рациональным, если оно может быть представлено в виде х = —, где га и г — целые числа. Всякое целое число, очевидно, является двоично рациональным. Ета) Пусть а = [a!,/?i) х [а2,р2) х ••• х [ата,/Зп) есть произвольный n-мерный куб. Тогда если числа а;-, /Зу, j = 1,2,... ,п, двоично рациональные, то куб сг может быть представлен как объединение конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов ранга г для некоторого целого г. Действительно, каждое из чисел aj и /3;-, j = l,2,...,n, в силу условия может быть представлено в виде дроби, числитель которой есть некоторое целое число, а знаменатель — некоторая степень числа 2, Pj qj Приводя эти дроби к общему знаменателю, получим aj = —, pj = —, где числа pj и <^ целые, ^ < <?j, и г — одно и то же для всех j. Пусть rrij = qj — pj. Полагаем ai,2 = Р± Pj + 1 2r' 2r Pi + 1 Pj + % Gj,m.j — 2r ' 2r
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 21 Всевозможные произведения ^1,*! X <?2,k2 X * ' ' X 0"п,*пЪ (1.Ю) где 1 < kj < rrij при всяком j = 1,2,..., п, представляют собой двоичные кубы ранга г. Каждый из них содержится в n-мерном прямоугольнике <7, и любая точка х £ <7 принадлежит одному из кубов, определенных равенством (1.10). Предложение Еп тем самым доказано. ■ Лемма 1.2. Для всякого компактного множества А пространства Шп для любого целого г множество двоичных кубов ранга г, содержащих точки множества А, конечно. Доказательство. В силу компактности множества А найдется число L такое, что 0 < L < оо, и множество А содержится в шаре 5(0, L). Найдем целое m такое, что L < т. Пусть Q = [—7тг, га) х [—771, га) х • • • х [—m, m). 4 v ' п множителей Очевидно, Q есть n-мерный куб. При этом Q D 5(0, L) D А, так что Q D А. В силу предложения Еп куб Q может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов ранга tq для некоторого целого го. Множество А содержится в Q. Из двоичных кубов ранга го, содержащихся в Q, выберем все те, которые содержат точки множества А. Пусть ai,a25 • • • ,aN есть все выбранные кубы. Очевидно, А содержится в их объединении. Возьмем произвольно г ф го. Если г < го, то каждый из кубов aj содержится в одном из кубов ранга г. Следовательно, мы получаем, что множество А в этом случае содержится в объединении не более чем N кубов ранга г. Пусть г > го. Тогда каждый из кубов aj является объединением 2п(г-г0) дВОИЧНЫХ кубов ранга г и, значит, А содержится в объединении не более чем N2n^r~r°^ двоичных кубов ранга г. ■ Совокупность всех двоичных кубов ранга г будем называть двоичным разбиением (или двоичным подразделением) ранга г пространства Еп. 1.3. Определение и основные свойства ступенчатых функций Функция /: Шп —> Ж называется ступенчатой, если она может быть представлена как линейная комбинация индикаторов двоичных
22 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных m кубов в пространстве Еп, т. е. f(x) = J2 hixai(x), где а1?а2,... ,as — t=i двоичные кубы в пространстве Еп. Из определения ступенчатой функции непосредственно следует, что линейная комбинация двух ступенчатых функций снова есть ступенчатая функция и, значит, множество всех ступенчатых функций в пространстве Еп является векторным пространством. Это пространство будем обозначать символом 3*(Жп). ♦ Предложение 1.3. Всякая ступенчатая функция может быть представлена как линейная комбинация индикаторов попарно непересекающихся двоичных кубов в Еп. Действительно, пусть /: ЕЛ —> Е есть ступенчатая функция m f(x) = Y,hiX*A*)- (1.И) 1=1 Пусть г есть наибольший из рангов кубов щ в этом равенстве. Тогда согласно предложению Dn предыдущего раздела каждый из кубов at может быть разбит на конечное число попарно непересекающихся 71» двоичных кубов ранга г. Если a, = \J 0ij есть такое разбиение куба a,-, ;=i то согласно лемме 1.1 имеет место равенство х««=£>*,• (1л2) i=i Индикатор каждого из кубов а;, таким образом, есть сумма индикаторов двоичных кубов ранга г. Подставляя представления функций Xai(x) по формуле (1.12) в равенство (1.11), после приведения подобных членов получим представление f(x) в виде линейной комбинации индикаторов двоичных кубов, имеющих один и тот же ранг, а именно, ранг, равный г. Полученное представление и есть требуемое. ♦ ■ Лемма 1.3. Пусть f есть ступенчатая функция в Еп, 771 / = 5>,Ха(. (1.13) 1=1 Предположим, что двоичные кубы а», указанные в правой части последнего равенства, попарно не имеют общих элементов. Тогда ш = Еых«, (1Л4) »=1 Если функция f неотрицательна, то все коэффициенты щ в представлении (1.13) функции f неотрицательны.
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 23 Доказательство. Пусть / есть ступенчатая функция и / = m = Yl uiXai — ее представление вида, указанного в формулировке лем- m мы. Положим / = J2 \ui\x<xi- Возьмем произвольно точку х Е аа-. При j ф i выполняется равенство Ха5{х) = 0, откуда следует, что для данного х выполняется f(x) = щ и f(x) = \щ\ = |/(я)| и, значит, \f(x)\ = /(ж) в каждой точке ж, принадлежащей хотя бы одному из двоичных кубов а,-, г = 1,2,... ,га. Если х не принадлежит ни одному из кубов а;, то f(x) = 0 и /(ж) = 0, так что и в этом случае /(ж) = |/(ж)|. Равенство (1.14), таким образом, доказано. При каждом г, как мы показали, f(x) = ггг- для всех х € а,-. Отсюда следует, что если f(x) > О для всех х £ R71, то гг; > 0 при любом г = 1,2,..., га. Лемма доказана. ■ 1.4. Определение интеграла ступенчатой функции 1.4.1. Всякой функции / Е У(КП) может быть сопоставлено некоторое число, называемое интегралом функции f по Шп, которое обозначим символом / f(x)dx. В случае п = 1 функция / имеет конечное число точек разрыва, ограничена и обращается в нуль вне некоторого ограниченного промежутка в Е. Отсюда следует, что функция / интегрируема по замкнутому промежутку [—оо,оо]. Предположим, что функция / выражается формулой m Д*) = Х>;Хау(*), (1.15) где aj, j = 1,2,..., га, есть двоичные полуинтервалы в Ш. Тогда имеет место равенство / f(x)dx = ^\j / Xaji^dx^^Xj^aj). (1.16) Для n = 1 полагаем oo f(x)dx= I f(x)dx = 4^2\jp1(aj). R ;=i
24 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть m /(x) = ^tiiXei(x) (1.17) i=i есть ступенчатая функция в пространстве К71. По аналогии со случаем п = 1 естественно определить интеграл функции / по пространству Шп как сумму m 1>;м»Ы- (1.18) i=i Корректность такого определения, однако, требует обоснования. Ступенчатая функция может быть представлена как линейная комбинация индикаторов двоичных кубов разными способами. Чтобы определение интеграла как суммы вида (1.18) было корректным, следовало бы показать, что значение этой суммы не зависит от выбора представления ступенчатой функции / по формуле (1.15). Однако мы поступим несколько иначе: интеграл ступенчатой функции в Rn определим индукцией по п. После этого будет доказано, что сумма (1.18) равна интегралу в смысле принятого определения. Предположим, что для всякой ступенчатой функции / € У(ЖП) определена величина J f(x)dx, причем если функция / задается фор- мулой (1.15), то справедливо равенство m / f{x) dx = ^2 Ujfj,n(aj). (1.19) R" •7 = 1 Эти условия, в силу сказанного выше, выполнены в случае, когда п = 1. Определим понятие интеграла для ступенчатой функции в Rn+1. Будем понимать пространство Шп+1 как прямое произведение RnxE, отождествляя произвольную точку х = (zi,z2,. ••>Zn,£n+i) € Шп+1 и пару (у, г), где у есть точка (^1,^2,... , #п) пространства Rn, a z = = xn+i. Пусть / есть ступенчатая функция в Kn+1, т
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 25 Каждый п + 1-мерный куб aj будем рассматривать как прямое произведение (3j x 7j, где /3j есть n-мерный куб в En, 7i — полуинтервал в множестве R. Для ж = (у, 2) Е Kn+1, очевидно, имеем Ха(у?<0 = ^Х/^ЫХ (A+O) Действительно, правая часть этого равенства может принимать только два значения: 0 и 1. Она равна единице в том и только в том случае, если Х/зДу) = 1 и Xij{z) = 1, т. е. у Е (3j и z Е 7j- Иначе говоря, если х = (у, г) Е а^. Следовательно, мы получаем, что при фиксированном значении у функция m является ступенчатой функцией в Е и, значит, определен интеграл /т /(у, г) <2z = 53 W(7i)x^ (У). (1.20) R ' = 1 Функция jP(y), определенная равенством -F(y) = / f(y,z)dz для R любого у Е Мп, как видно из равенства (1.20), является ступенчатой, и, значит, в силу предположения индукции, определен интеграл / Rn Полагаем У f(x)dx = JF(y)dy, и, таким образом, понятие интеграла определено для ступенчатых функций в Rn+1. Так как согласно индукционному допущению для ступенчатых функций в Еп верно равенство (1.19), то / F{y)dy= ^Ai/x1(7iW(/?i). R» 7=1 Заметим, что /^i(7i)/in(/5j) = /xn+i(«i) при каждом j = 1,2,... ,m, откуда получаем, что / f(x)dx = Y2Xjfj,n+1(aj).
26 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Таким образом, формула (1.19) верна также и для ступенчатых функций в Rn+1. Итак, всякой ступенчатой функции / Е У(ШП) сопоставлено вещественное число J f(x)dx, которое мы назовем интегралом функ- ции f no пространству Жп. При этом если функция / представима в виде (1.15), то имеет место равенство /т f(x)dx = ^2v.jHn(aj) Л 1 1.4.2. Отметим некоторые свойства интеграла, непосредственно вытекающие из определения. ■ Теорема 1.1 (о линейности интеграла). Для любых двух ступенчатых функций f,g Е У(Ш>П) и любых чисел А и \i имеет место равенство I [Xf(x) + fig(x)] dx = Л / f{x) dx + fj, g(x) dx. Rn Rn Rn s r Доказательство. Пусть / = ]Г) UjXaj и j = ^ vkXpk > гДе ai,a2,...,as, /3u/32,... ,/3r — двоичные кубы в En, uuu2,... ,us, vij V2,..., vr — вещественные числа. Тогда имеем S Г А/ + fig = ^ Atij-xe,- + ^ m^xa • В силу равенства (1.19) имеем f S T \ [\f(x) + pg(x)] dx = А ^2 Ujfin(aj) + \i ^ vkfJ,n(Pk), и, значит, / [\f(x) + fJ>g(x)] dx = X f(x) dx + /j, g(x) dx, R" Rn Rn что и требовалось доказать. ■ ■ Теорема 1.2. Если ступеячатая функция /: Еп —> К неотрицательна, то J f(x) dx > 0.
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 27 Доказательство. Пусть / есть ступенчатая функция в Еп. Тогда согласно лемме 1.1 / может быть представлена в виде /0е) = ^2uiXai(x), ;=i где двоичные кубы aj, аг,..., otm попарно не пересекаются. Согласно лемме 1.3 коэффициенты щ в этом представлении ступенчатой функции / неотрицательны. Отсюда /т f(x) dx = ^2 ui^n{o^i) > 0. Теорема доказана. ■ 1.4.3. Установим некоторую оценку интеграла ступенчатой функции, полезную для дальнейшего. Напомним, что n-мерным сегментом называется всякий п-мерный прямоугольник вица Р = [auk] х [a2M] x "-х [an,bn]. (1.21) (Все множители справа являются замкнутыми отрезками в R.) Для n-мерного сегмента Р полагаем п Hn(P)=l[(bk-ak). Величина fin(P) называется мерой или объемом п-мерного сегмента Р. ■ Лемма 1.4. Если ступенчатая функция f обращается в нуль вне n-мерного сегмента Р, определенного равенством (1.21), и \f(x)\ < L для всех жЕ1Кп, то справедлива оценка / f(x)dx < Lnn(P). Доказательство. Будем доказывать лемму индукцией по п. Для п = 1 лемма следует из свойств интеграла функций одной переменной, доказанных ранее. Предположим, что для некоторого п лемма доказана. Покажем, что в этом случае утверждение леммы верно также и для ступенчатых функций в Rn+1.
28 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть Р есть (п+ 1)-мерный сегмент, /: En+1 -» Е — ступенчатая функция, обращающаяся в нуль вне Р. Пространство En+1 будем рассматривать как прямое произведение En x US и в соответствии с этим сегмент Р будем понимать как произведение Q х Я, где Q есть п-мерный сегмент Q = [ai,bi] х [а2,Ь2] х • • • х [an,bn], R = [ап+ьЬп+1]. Имеем J f(y,z)dx = J F(y)dyy где Dn+l F(y)= J f(y,z)dz. «n+1 Подынтегральное выражение здесь обращается в нуль вне отрезка [an+i,bn+i] и по абсолютной величине не превосходит L. Отсюда следует, что для всякого у G Еп |F(y)|<i(6n+1-an+1). Функция F(y) обращается в нуль вне n-мерного сегмента Q. В силу индукционного предположения отсюда вытекает, что J F{y)> dy < L(bn+i - an+1)fin(Q) = L//n+i(P), что и требовалось доказать. ■ 1.5. Теорема о предельном переходе Теорема, которая будет доказана ниже, играет существенную роль при построении теории интеграла. Основная трудность в ее доказательстве относится к случаю функций одной переменной. ■ Теорема 1.3. Пусть (fu)ueN е^ть убывающая последовательность функций, определенных на отрезке [а, 6] С Е. Тогда если каждая из функций /„ интегрируема на промежутке [а, Ь] и fu{x) —* 0 при v —> оо б в основном в промежутке [а, Ь], то J fu(x) dx —* 0 при и —» оо.
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 29 Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Обозначим через Fv аддитивную функцию отрезка, определенную в [а,Ь] следующим образом. Для произвольного отрезка А = [а,/?] С [а,Ь] Fv(A) = Jfv(x)dx.- a Согласно условию теоремы функции /„ все неотрицательны. Это позволяет заключить, что для любого отрезка А С [а,Ь] имеем Fv{&) > О для всех v —> оо. Так как последовательность функций (/i/)I/GN убывающая, то для всякого А последовательность (^„(Д))„_*оо также является убывающей и, следовательно, для всякого отрезка А существует предел lim FU(A) = F(A). Так как ^(А) > 0 при всех v —» оо, то также и F(A) > 0. В промежутке [а,Ь], таким образом, определена некоторая функций отрезка F. Теорема будет доказана, если мы установим, что эта функция отрезка тождественно равна нулю. Последовательно исследуем свойства функции отрезка F. Сначала покажем, что F есть аддитивная функция отрезка. Пусть Ai и Аг — два произвольных отрезка, содержащихся в [a,b] и имеющих только одну общую точку. Это означает, что либо Ai есть отрезок [а,/3], а А2 — отрезок [/3,7]» либо, наоборот, Ai = [/3,7]» ^2 = [«»/?]• Пусть А = Ai U А2- Множество А есть отрезок, и при каждом i/GN имеем FI/(A) = FV(A1) + FV(A2). Переходя в этом равенстве к пределу, получим F(A) = F(Ai) + F(Аг)- Так как отрезки Ai и Аг, имеющие общий конец, были взяты произвольно, то тем самым доказано, что F есть аддитивная функция отрезка. При каждом v для любого отрезка А С [а,Ь] имеем 0 < F(A) < F„(A). Аддитивная функция отрезка Fv непрерывна. Отсюда в силу критерия непрерывности аддитивной функции отрезка (см. § 3 главы 5) вытекает, что построенная функция отрезка F также является таковой. Докажем, что плотность аддитивной функции отрезка F в основ- ном равна нулю. Пусть Mq есть не более чем счетное множество, состоящее из всех точек х Е [а,Ь], для которых соотношение lim /Дж) = 0 V—ЮО не имеет места.
30 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Далее, пусть Mv есть множество всех точек х Е (а, Ь), для которых плотность аддитивной функции отрезка Fv либо не существует, либо существует, но отлична от fv{x). оо Множество Mv не более чем счетно. Положим Е = |J Mv. Множество Е не более чем счетно. Возьмем произвольно точку х € (а,Ь) \ Е. Тогда х £ Mq и, значит, fv(x) -* 0 при v —► оо. Зададим произвольно е > 0. По нему найдется номер г/о такой, что fi/0(x) < -. Точка ж не принадлежит множеству М„0, и, следовательно, аддитивная £ функция отрезка F„Q имеет в точке х плотность, равную fVQ{x) < -. Lt Значит, найдется 6 > 0 такое, что для всякого отрезка Д, содержащего точку х и такого, что длина его меньше £, выполняется неравенство ^о(А) < Ло(*) + о < е- 1(A) JVoK ' 2 Так как для любого отрезка Д С [а, Ь] имеет место неравенство F(A) < F„0(A), то отсюда следует, что для всякого отрезка, содержащего точку х и такого, что 1(A) < 6, выполняются неравенства В силу произвольности е > 0 этим доказано, что плотность аддитивной функции отрезка F в точке х равна нулю. Точка х £ Е была выбрана произвольно. Следовательно, мы получаем, что DF(x) = 0 в основном. Отсюда, как было показано ранее, вытекает, что функция отрезка F тождественно равна нулю. В частности, мы получаем, что о F([a9 61) = lim / fv(x) dx = 0, v-*cgJ что и требовалось доказать. ■ ■ Теорема 1.4 (о пределе интегралов убывающей последовательности ступенчатых функций, поточечно сходящейся к нулю). Пусть (/*/)j/eN есть убывающая последовательность ступенчатых функций в пространстве Шп такая, что lim fv(x) = 0 для всякого х € Кп. Тогда V—ЮО J fv(x) dx —> 0 при v —> оо.
§ 1. Интегрирование ступенчатых функций 31 Доказательство. Для случая п = 1 нужный нам результат следует из теоремы 1.3. (В формулировке и доказательстве теоремы 1.3 рассматривается общий случай, когда /„ есть произвольные интегрируемые функции в К. Однако если мы ограничимся случаем ступенчатых функций, то это не приведет к упрощению доказательства.) Предположим, что для некоторого n E N теорема доказана. Пусть (/i/)i/GN есть произвольная убывающая последовательность ступенчатых функций в КЛ+1. Пространство Kn+1 будем представлять как произведение Шп х R, отождествляя точку х = (xi, #2, • • • ? #w, #n+i) с парой (у,z), где у = (ж1,ж2,...,яп), z - xn+i- При фиксированном у функция /i/(y,2r) как функция переменной z принадлежит классу S?(K) и, следовательно, определен интеграл *VM = УL(y,z)dz. R Функция F,,, определенная этим равенством, как было показано ранее, является ступенчатой. При всяком у £ Кп для любого л Е К последовательность (/i/(2/,^))i/gn является убывающей, причем lim /„(у,*) = 0. I/—»-00 В силу теоремы 1.3 отсюда следует, что lim Fu(y)= lim f„(y,z)dz = 0 I/—► (» I/—ЮО J R для всех у G R71. В силу свойств интеграла, установленных выше, последовательность функций (^)^ен является убывающей, и при каждом v функция Fv является ступенчатой. Согласно предположению индукции из доказанного следует, что Urn IFl/(y)dy = 0. 1/-ЮО J В соответствии с определением интеграла ступенчатой функции при каждом v имеет место равенство / Fv{y)dy= I f„(x)dx. Rn R*+i Таким образом, нами установлено, что для всякой убывающей последовательности ступенчатых функций (/i/)i/gn в пространстве Шп+1 такой, что /„(ж) —► 0 для всех х Е КЛ+1, существует предел lim / fv{x)dx = 0. 1/-ЮО J &П + 1 Теорема доказана.
32 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных § 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега Изложение теории интеграла здесь ведется в общей форме. Вводится понятие системы с интегрированием. Будем говорить, что задана система с интегрированием, если указано некоторое множество функций, имеющих одну и ту же область определения и называемых основными. Каждой основной функции сопоставлено число — интеграл от этой функции. Множество основных функций и их интегралы должны удовлетворять определенным условиям. Эти условия выполнены, в частности, в том случае, когда основными являются ступенчатые функции в пространстве Еп, причем интеграл ступенчатой функции определен, как это описано в параграфе 1. Первая задача теории интеграла, которую мы рассматриваем, — построение из данной системы с интегрированием расширенной системы, замкнутой относительно определенного типа предельных переходов. Вторая задача — исследование свойств полученного расширения исходной системы с интегрированием. Основным инструментом, используемым при построении расширения системы с интегрированием, является понятие L\ -нормы. 2.1. Понятие системы с интегрированием Пусть М есть некоторое непустое множество и & есть множество функций, определенных на М и принимающих значения в Е. Предположим, что для всякой функции /G.? определено некоторое число /(/). Иначе говоря, определена функция I: 3? —> Е. Функцию, область определения которой есть множество функций, принято называть функционалом, так что I есть функционал, определенный на множестве функций &'. Будем говорить, что тройка (М, J^",/) представляет собой систему с интегрированием, если выполнены следующие условия. R1. Множество функций & является векторным пространством над полем Е, т. е. для любых двух функций / Е &, g Е & и любых вещественных чисел а и /3 функция а/ + (Зд принадлежит &'. R2. Если / Е &, то и функция |/|: х Е М н-* |/(ж)| также принадлежит &". R3. Функционал I является линейным, т.е. для любых двух функций / Е 3?, д Е & и любых чисел а,/3 Е Е выполняется равенство I(af + /3д) = о/(/) +131(9)-
§ 2. Определение и простейшие свойства, интеграла, Лебега, 33 R4. Если / G & и f(x) > О для всех х G М, то /(/) > 0. R5. Для всякой убывающей последовательности (/I/)I/eN вещественных функций, принадлежащих ^, поточечно сходящейся к нулю на множестве М, имеет место равенство lim !(/„) = 0. V—ЮО Условия R1-R5 называются аксиомами системы с интегрированием. Множество М называется базисным пространством системы с интегрированием (М, с^",/). Функции из & называются основными (или простыми) функциями. Функционал /: & —► Ш называется интегралом в данной системе с интегрированием. При этом для / £ & число /(/) называется интегралом функции /. Свойство интеграла, которое описывается аксиомой R3, называется линейностью. Свойство, выраженное аксиомой R4, называется неотрицательностью интеграла. Наконец, свойство интеграла, которое дается аксиомой R5, будем называть непрерывностью. Основной пример системы с интегрированием мы получим, полагал М = Ел, & = У(Шп) и определяя функционал / равенством I(f) = Jf(x)dx. Данную систему с интегрированием будем называть евклидовой. (В следующем § 3 будут приведены и другие примеры систем с интегрированием.) Отметим следствия аксиом системы с интегрированием. Для любых двух вещественных чисел и и v выполняются равенства mm{u,v} = и — (и — г>)+, max{u, v} = v + (и — г>)+. (2.1) Возможны два случал: 1) и < v и 2) и > v. Доказательство равенств (2.1) сводится к простой проверке того, что в обоих случаях равенства (2.1) выполняются. Для произвольных функций /: М —► К и #: М —► К символ min{/,g} в дальнейшем означает функцию h: M —► К, определенную условием Н(х) = min{f(x)1g(x)} для любого х Е М. Аналогично, символ
34 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных тах{/,<7} означает функцию Н: М —> Ш, определенную условием Н(х) — ma,x{f(x),g(x)} для каждого х G М. Далее предполагается заданной некоторая система с интегрированием (М, ^,1). Совокупность всех неотрицательных функций / G & обозначим символом &+. Если функция / G J^", то согласно аксиоме R2 функция |/|: х »-> \j(x)\ принадлежит классу 3?. Отсюда, в частности, следует, что множество функций J^+ непусто. Видим, что для всякой функции / G & также и функции /+ = -(/ + |/|) и /" = -(|/| - /) принадлежат классу &. Равенства (2.1) позволяют заключить, что для любых двух функций f,g G ЗР функции min{/, g} и тах{/, д} также принадлежат &. ш Лемма 2.1. Пусть /ид — две произвольные функции класса, & системы с интегрированием (М,^,1). Тогда если f > g на М, то i(f) > 1(g)- Доказательство. Пусть / > g на М. Тогда / — g > О на М и, значит, в силу аксиомы R3 /(/ — д) > 0. Отсюда, применяя аксиому R4, получаем /(/) — 1(g) = I(f — д) > 0 и, наконец, /(/) > 1(g), что и требовалось доказать. ■ Т Следствие. Для всякой функции f G & имеет место неравенство \Ш < Д1/1)- Действительно, пусть / — произвольная функция из класса &. Для всех х G М имеем -|/(х)1 < /(*) < №)1- В силу леммы 2.1 отсюда следует, что —7(|/|) < /(/) < /(|/|) и, значит, \I(f)\ < I(\f\)-> что и требовалось доказать. Т ■ Лемма 2.2. Пусть (М, &, I) — система с интегрированием, функция / G ЗР вещественная и (fu)ue^ есть возрастающая последовательность вещественных функций из & такая, что для всех х G М f(x) < lim fu(x). V—ЮО Тогда /(/) < lim /(/„). Замечание. Как следует из леммы 2.1, последовательность интегралов (I($v))v^ является возрастающей, и потому предел, указанный в формулировке леммы, существует.
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 35 Доказательство леммы. Предположим, что последовательность (fv)veN и функция / удовлетворяют всем условиям леммы. Положим uv = (/ -,/„)+, и пусть v(x) = lim /Дж). V—ЮО Последовательность (/ — fv)vg& убывающая. Так как функция у нч у+ возрастающая, то последовательность (гг„)„его также убывающая. При всяком i/EN имеем uv SL 3? ж f — $v <uv. Отсюда следует, что /(/ — /„) < Киу) и, значит, 1(f) = IU») + /(/ - Л) < /(Л) + 1Ы для всех ж. Так как v(x) = lim /„(ж) > /(ж) при каждом ж Е М, то f(x) — v(x) < О всюду в М и, следовательно, при любом х € М lim и„(я) = Urn [/(ж) - Л(я?)]+ = [f(x) - ?;(*)]+ = 0. 1/—► ОО 1/-ЮО Последовательность функций (гА„)„ел убывающая, и при v —> оо для любого х € М имеем и„(ж) —» 0. В силу аксиомы R5 системы с интегрированием отсюда вытекает, что I(uv) —> 0 при v —> оо. Переходя к пределу в неравенстве (2.2), получим /(/) < lim /(/„), 1/—ЮО что и требовалось доказать. ■ 2.2. Понятие £i-нормы функции и ее простейшие свойства Предположим, что задана некоторая система с интегрированием, в которой все основные функции имеют областью определения множество М. Для всякой вещественной функции /: М —> К (допускаются, таким образом, значения f(x) = ±oo) может быть определено некоторое конечное или бесконечное число ||/|Ui > 0 — ii-норма функции /. Понятие L\-нормы позволяет выделить в совокупности всех вещественных функций, определенных на М, некоторый класс функций, называемых интегрируемыми. Определение ii-нормы, которое приводится здесь, может показаться чрезмерно сложным и вычурным, однако именно при таком определении класс интегрируемых функций будет обладать нужными нам свойствами. (2.2)
36 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, J^",/). Функции, принадлежащие 3?, в соответствии с терминологией, введенной ранее, будем называть основными. Произведение 0 • ±оо ранее считалось неопределенным. Здесь мы будем считать, что 0 • ±оо = 0. Пусть даны функция /: М —> Е и последовательность (/„)„eN вещественных функций, определенных на М. Тогда будем говорить, что последовательность (/i/)i/gn мажорирует функцию /, если выполнены следующие условия: 1) функции /,, все неотрицательны; 2) последовательность (/i/)1/gN возрастающая; 3) для всех х Е М выполняется неравенство \f(x)\ < lim fv(x). Для всякой возрастающей последовательности функций из 3? последовательность их интегралов (/(/,/))i/gn также является возрастающей и, следовательно, существует предел lim I{fv)- Пусть дана функция /: М —» Е. Число h E Е, h > 0, назовем верхним числом функции /, если существует последовательность основных функций (/,/)i/eN> которая мажорирует функцию / и такова, что h = lim lift/). Множество всех верхних чисел функции / обозначим символом W(f). Точная нижняя граница множества W{f) называется Li-нормой функции f и обозначается одним из символов ||/||li(m,j*",/) или 11/11 Li(S)- Когда недоразумение невозможно, будем обозначать ее символом ||/||li- Может оказаться, что для данной функции f:M —> Е не существует последовательности (/^^n функций класса J^", мажорирующей /. В этом случае множество W(f) пусто и мы полагаем ||/||li = <х>. Из определения непосредственно следует, что для всякой функции /: М —» Е величина ||/||li неотрицательна. Совокупность всех функций / таких, что \\/\\ьг < °°5 будем обозначать символом jCj(E). Пусть (/i/)i/gn — произвольная последовательность основных функций, мажорирующая функцию /: М —> Е. Число h = lim /(/„) является верхним числом функции /, и, значит, ||/||li < ^- Таким образом, для любой последовательности основных функций (/i/)i/GN5 которая мажорирует функцию /, выполняется неравенство \\f\\Ll < lim I{fv). (2.3)
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла, Лебега 37 Предположим, что Li -норма функции /: М —> Ш конечна. Зададим произвольно е > 0. В силу известных свойств точной верхней границы (см. главу 1) найдется верхнее число h функции / такое, что h < ll/IUi + £. Согласно определению верхнего числа функции (см. выше) найдется последовательность основных функций (/i/)I/gn5 мажорирующая / и такая, что h = lim I(fu). Таким образом, если для функции /: М —► К имеем ||/||li < оо, то для всякого е > 0 можно построить последовательность основных функций, которая мажорирует / и такова, что lim /(/„)< ||/||Ll+е. (2.4) v—-юо Итак, для всякой последовательности (fu)i/e^ основных функций, мажорирующей функцию /, выполняется неравенство (2.3). При этом если L\-норма функции / конечна, то для любого е > 0 можно указать последовательность основных функций (/I/)i/eN5 которая мажорирует / и такова, что для нее выполняется неравенство (2.4). ■ Лемма 2.3. Для всякой функции / £ & имеет место равенство ll/lk = /(|/|). (2.5) Доказательство. Пусть (y>i/)i/eN — произвольная последовательность функций из ^", мажорирующая функцию /. Это означает, что последовательность (¥>i/)i/gn возрастающая и для всех х £ М \f(x)\ < lim (fin(x). V—ЮО В силу леммы 2.2 отсюда вытекает, что /(|/|) < lim 1{<рп). V—ЮО В силу произвольности последовательности (<£>i/)i/£N? мажорирующей /, отсюда получаем, что /(|/|) < H/IUi • С другой стороны, полагая у>„ = |/| при каждом i/GN, мы получим последовательность, мажорирующую |/|, для которой Urn Jfo,) = /(|/|). 1/—ЮО Отсюда следует, что u/ik < /(i/i). Тем самым лемма доказана. ■ ▼ Следствие. Если функция /:М-*Ш тождественно равна нулю, то ее Li-норма равна нулю.
38 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Действительно, в этом случае / Е ^\ / = |/|. Так как 0 • / = /, то /(/) = 0 • /(/) = 0 и потому /(|/|) = 1(f) = 0. Согласно лемме 2.3 отсюда вытекает, что ||/||li = 0. Следствие доказано. Т ■ Лемма 2.4. Для всякой функции / E -^i(S) я любого числа, a E R имеет место равенство l|a/lk = HII/IUi- . (2-6) Доказательство. Пусть дана произвольно функция / £ jCj(E). Это означает, что ||/||l*(e) < °°- Возьмем произвольно число qGK. Предположим сначала, что а ф 0. Докажем, что имеет место неравенство IkHk < Nll/lk- (2-7) Зададим произвольно последовательность (fu)ueN функций из ^", мажорирующую /. Тогда последовательность (\а\/и)иек мажорирует а/ и, значит, ||a/||Ll < Um I(\a\fv) = \a\ lim /(/„). I/—►OO I/—►OO Отсюда ±\\af\\Ll < lim J(/„). |a| 1/-юо Следовательно, мы получаем, что у—t||«/||li есть нижняя граница |С*| множества W(f). (Напомним, что последовательность (f»)»^ функций из с^", мажорирующая /, была взята произвольно.) Из доказанного следует, что если функция / £ £i(E), то также и а/ Е -^i(S), причем имеет место неравенство ±\\af\\Ll<MW(f) = \\f\\Ll, N из которого, очевидно, вытекает (2.7). Заменяя в этом неравенстве функцию / на /i = а/ и а на а1 = —, получим неравенство а llai/ilk < ЫИ/ilk,. Так как a\f\ = /, то отсюда следует, что Hll/lk^lkflk. (2.8)
§ 2. Определение и простейшие свойства, интеграла Лебега, 39 Из неравенств (2.7) и (2.8) следует справедливость равенства (2.6) в случае а ф 0. Если a = 0, то функция af = 0 (функция / может принимать значения f(x) = ±oo, но, как указано выше, мы считаем, что 0 • ±оо = 0) и, значит, ||a/IU1=0 = |a|||/|U1. Отсюда видим, что и в этом случае равенство (2.6) верно. Лемма доказана. ■ ▼ Следствие. Для всякой функции /: М —> Ш имеем \\ — /||li = = ||/||li • Для любых двух функций и: М —> К иу: М —> Е имеет место равенство \\и — v||^1 = ||г> — u\\lx. Первое утверждение следствия непосредственно вытекает из леммы 2.4, если положить в ней a = — 1. Второе вытекает из первого, если положить / = u — v. Следствие доказано. Т 2.3. СВОЙСТВО СУБАДДИТИВНОСТИ Хт-НОРМЫ Зададим произвольно систему с интегрированием (М, ^,/). Все дальнейшие рассуждения относятся именно к этой системе. Далее будут установлены некоторые теоремы о предельном переходе для интегралов. Ключевую роль в их доказательстве играет следующая лемма. ■ Лемма 2.5. Пусть даны функции f: М -* Е и fv: М —> К, v = = 1,2, Предположим, что для всех х Е М выполняется неравенство оо |/(*)|<£|/,(*)|. (2.9) Тогда, имеет место неравенство оо Замечание 1. Суммы, стоящие в (2.9) и (2.10) справа, считаем равными оо, если по крайней мере одно слагаемое равно оо. Замечание 2. Свойство L\ -нормы, устанавливаемое леммой, называется су б аддитивностью.
40 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство леммы. Если сумма в правой части неравенства (2.10) равна оо, то неравенство верно. Будем далее предполагать, что эта сумма конечна. Тогда ||/„||li < < оо для всех v Е N. Зададим произвольно е > 0. При каждом v Е N найдется последовательность (/I/,m)m€N функций класса JF, мажорирующая функцию /„ и такая, что iim i(fv,m) < ими, + ^: га—►оо Z Положим дш = /i>m + /2,m + I- /m,m. Каждая из функций дш принадлежит классу &'. Так как последовательность (/i/,m)meN возрастающая, то /i/,m+i > /i/,m при любых v и га. Отсюда получаем, что 5m+l = /l,m+l + Ь /m,m+l + /m+l,m+l > > /l,m+l + /2,m+l + 1" /m,m+l > /l,77i + /2,m + 1" /m,m = 5m5 так что последовательность функций (<7m)meN возрастающая. Докажем, что \f(x)\ < lim gm(x) при каждом х Е М. Зададим 771—►ОО произвольно точку х Е М. Пусть v Е N. Тогда при m > v будет 0m(s) > fl,m(x) + f2)m(x) +'" + /i/,m(s). Отсюда, переходя к пределу при m —► 00, получим lim ЯтпО*) > |/i(x)| + \f2(x)\ + • • • + |/„(*)|. (2.11) 771—ЮО Число j/ E N было выбрано произвольно. Переходя в неравенстве (2.11) к пределу при v -* 00, получим Пт ут(х)>Х)|Л(х)|>№)|. т.—►оо *—-^ i/=l Последовательность (<7m)meN возрастающая, все функции дш принадлежат классу с^4-> и lim #т(ж) > |/(я?)| 771—^ОО для всех х Е М. Это означает, что функциональная последовательность (gm)meN мажорирует функцию /. Отсюда вытекает, что Ll < Urn I(gm). (2.12)
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 41 При каждом v Е N для любого m Е N имеем J(/„>w) < lim J(/„,w) < HMU, + £. m—*оо ^*^ Отсюда следует, что 171 171 / 1 \ i(gm) = £/(/*.«) < £ нлнь! +£ (1 - 55г) • fc=i fc=i \ * / Переходя в этом неравенстве к пределу при m -* оо, получим оо Ит I(gm) < Y, 11/nlUx + е. 171—*00 ^—' П=1 Ввиду (2.12) отсюда следует, что оо ll/IU1<Ell/*ll^+e- п=1 Так как е > О произвольно, то тем самым лемма доказана. ■ Т Следствие 1. Пусть /,/ь/г,•••,/?» — вещественные функции, 171 определенные на множестве М. Предположим, что \f(x)\ < ^ \fn(x)\ п=1 171 для всех iGM. Тогда имеет место неравенство \\/\\ьх < 13 11/nlUi- n=l Данное предложение устанавливается прямым применением леммы 2.5 к последовательности (fu)ue^ такой, что при 1 < u < m функция /,, есть та из функций /i, /2,..., fm, номер которой равен и, и /„ = О при v > га. Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2. Пусть функции /: М -» К иg: M —> К таковы, что 1/0*01 < \д(х)\ для всех х Е М. Тогда \\f\\Ll < \\g\\Ll. Данное предложение есть частный случай следствия 1, соответствующий значению га = 1. Следствие 2 доказано. Т Т Следствие 3. Для любых двух функций f:M—> R и g: М -> Ш имеют место неравенства ll/ + slk< 11/11^ +Ык, ll/IU^IMUx + IIZ-iflk, IMk < 11/1иг + II/ -«IUi.
42 Гл. 13. Интегральное исчисление функции многих переменных Действительно, при каждом х Е М имеем \f(x) + д{х)\ < \f{x)\ + +|(7(я)|. Полагая в условиях следствия 1 га = 2 и /j = /, f2 = д, получим первое неравенство. Далее, для всех х Е М имеем \f(x)\<\g(x)\ + \f(x)-g(x)\ и \д(х)\ < |/(х)| + |/(х) - д(х)\. Полагая в условиях следствия 1 m = 2 и /i =5? /2 — f ~ 9-» получим второе неравенство. Наконец, полагая в условиях следствия 1 га = 2 и /i = /, /г = / — <7, получим последнее неравенство. Следствие 3 доказано. Т Т Следствие 4. Для всякой функции f Ь\-нормы функции f и \f\ совпадают. Действительно, полагал в утверждении следствия 2 / = / и g = |/|, получим ||/||Ll < HI/IUlx- Полагая / = |/|, g = /, получим Ш/Щ^ < < Ц/IIlx и, значит, Ц/IIlx = I||/|||li- Следствие 4 доказано. Т Замечание. Последнее предложение легко доказать и непосредственно, если заметить, что всякая последовательность функций, мажорирующая одну из функций / и |/|, мажорирует и другую. Т Следствие 5. Если функции /:М—>Шид:М^Ш таковы, что числа \\f\\Ll и \\g\\Ll конечны, то \\\f\\Ll - \\д\\ьх\ < II/ - д\\ь^ В силу следствия 3 следствие 5 очевидно. Т 2.4. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, ^", J). Пусть дана произвольная функция /: М -» Е. Для всякой простой функции if величина ip(x) — f(x) определена для всех х Е М, так как простые функции, по определению, всюду конечны в М. Пусть (/j/)j/eN — произвольная последовательность функций, каждая из которых определена и всюду конечна на множестве М. Будем говорить, что эта последовательность L\-сходится или, иначе, сходится в смысле L\ к функции /: М -» Е, если выполнены следующие условия: 1) норма ||/„ - /||Li при каждом v конечна; 2) ||/„ - /||lx - 0 при v -> оо. В этом случае будем также использовать обозначение /„ —* / в смысле Li при z/ —> оо. _ Функция /: М —> Е называется интегрируемой в системе с интегрированием Е = (М, ^", J), если существует последовательность простых функций (<£„)„eN> сходящаяся в смысле L\ к функции /, т. е. такая, что \\ipv — /||l1 -* 0 при v —► оо. Множество всех интегрируемых
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 43 функций в системе с интегрированием Е = (М, «^, I) будем обозначать символом £i(£) или в случае, когда недоразумение невозможно, просто символом Li. Сформулированное условие, как нетрудно видеть, равносильно следующему. Функция /: М —> Е интегрируема, если функционал Pf: & —» Е, определенный на множестве & условием Pf(<p) = ||у> — /|Ui для произвольной функции ip Е «^", является оценочной функцией на множестве «^", имеющей предельное значение 0. Пусть даны вещественные функции /, tp и ф, определенные на множестве М, причем (риф всюду конечны. Тогда для всех х Е М выполняется неравенство \ф) - ф(х)\ < \ф) - /(х)| 4- |/(х) - ф(х)\. (2.13) Действительно, если f(x) конечно, то доказывать нечего, а если f(x) = ±оо для некоторого х Е М, то правая часть (2.13) равна оо. Отсюда следует, что и в этом случае неравенство верно. Отсюда, в частности, вытекает неравенство У - Ф\\Ьг< №-/lk + II/ -Ф\\ьг. (2-14) ■ Лемма 2.6. Если функция /: М —► Е интегрируема, то существует конечный предел I(ip) при \\ц> — /||li(S)? стремящемся к нулю. Доказательство. Пусть (риф есть произвольные функции из класса &. Тогда в силу неравенства (2.14) имеем \№ - Ш < \\ч> - /lUx + \\Ф - /lUx- (2.15) Зададим произвольно е > 0 и положим 5 = е/2. Тогда если \\ф — /IUi < & к \\ф — /||^1 < 5, то в силу неравенства (2.15) выполняется неравенство \1(<р)-1(ф)\<ё + 6 = е. Так как е > 0 было взято произвольно и для выполнения последнего неравенства потребовалось, лишь чтобы было \\(р — /\\ь1 < S и \\Ф ~ /IUi < £> то мы получаем, что здесь выполняется критерий Коти — Больцано существования конечного предела при llv-/IU1(B)-^0 (см. глава 9, теорема 1.11). Лемма доказана. ■
44 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть /: М —> Ш — произвольная интегрируемая функция в системе с интегрированием £ = (М, &,1). Если функция /: М —► Ш интегрируема, то согласно лемме 2.6 величина 1((р), где ^ Е ^", имеет конечный предел при \\<р — /||li(e)? стремящемся к нулю. Полагаем временно, что П/) = п Нш J(v). Величину /*(/) будем далее называть интегралом функции f в данной системе с интегрированием. Всякая простая функция f является интегрируемой, и для нее I*(f) = 1(f)- Действительно, пусть / Е &. Тогда для любой функции ср Е & имеет место неравенство |J(v) - A/)l < llv» - /IUxC=>. откуда следует, что /(/) есть предел 1((р) при \\ц> — /||li(e)-*o и> значит, функция / интегрируема, и /*(/) = 1(f)- Поскольку на множестве функций & функционал I*, определенный сейчас, совпадает с функционалом /, то в дальнейшем вместо /* мы будем писать просто /. Т Следствие. Если функция /: М —> R интегрируема, то для всякой последовательности ((р»)»^ функций класса 3? такой, что II/ "" ^i/IIl^e) стремится к нулю при v —> оо, выполняется равенство 1(f) = lim I{ipv). V—ЮО Справедливость данного утверждения непосредственно вытекает из свойств предела относительно оценочной функции (см. теорему 4.1 главы 6; она же — теорема 1.2 главы 9). ¥ Установим некоторые свойства интеграла и класса интегрируемых функций, непосредственно вытекающие из определения. Предварительно докажем некоторые леммы. ■ Лемма 2.7. Пусть (/1/)j/gn есть последовательность функций, каждая из которых определена и всюду конечна на множестве М, сходящаяся в смысле L\ к функции f: М —> Ш. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если ll/Hz,! = оо, то \\fl/\\b1 = оо для всех */; 2) если \\f\\Ll < оо, то \\f\\Ll = Ит ||M|Ll; v—>оо 3) для всякого а ф О функции ajv при v -+ оо сходятся в смысле L\ к функции а/; 4) функции \fv\ при v —► оо сходятся в смысле L\ к функции |/|.
§ 2. Определение и простейшие свойства, интеграла, Лебега, 45 Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Докажем последовательно утверждения леммы. 1) Пусть II/HLi = од. В силу следствия 3 леммы 2.5 при каждом v имеет место неравенство II/HLl < ||/i/||li + ||/i/-/||li- Так как ||/„-/|Ui конечно при всех и1 то отсюда, очевидно, следует, что ||/i/||li — °° Для любого v G 14. 2) Пусть II/HLi < °о- Следствие 5 леммы 2.5 позволяет заключить, что при каждом v G N имеет место неравенство \\\h\W-\\S\\Lx\<\\h-tt\L,. (2.16) По условию, Ц/,/ — /||li —* 0 при v —► оо. В силу (2.16) отсюда следует, что \\\и\\ьг - II/IUJ -> 0 при и-^ оо. 3) Пусть дано число а ф 0. При каждом v имеем \Ы„ - a/||Ll = ||а(/„ - /)||Ьх = laHl/, - /||bl, откуда, очевидно, следует, что \\afu — a/||z,i —* 0 при v —> оо, т. е. функции а/^ сходятся к / в смысле 1^. 4) При каждом х G М, для которого f(x) конечно, для любого v G N выполняется неравенство \\Mx)\-\f(x)\\<\Ux)-f(x)\ для всех ж G М. Это неравенство верно также и в случае f(x) = ±оо, так как тогда правая часть неравенства равна оо. Следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что IHM-i/ilL^ii/.-zik и, значит, |||/„| — |/|||L -» 0 при и -» оо, т. е. функции |/„| сходятся в смысле L\ к функции |/|. Лемма доказана. ■ ■ Лемма 2.8. Пусть (f^ueN И (<7i/)i/€N — последова,тельности функций, ка,жда,я из которых определена, и всюду конечна, на, множестве М. Предположим, что данные последовательности сходятся в смысле L\ к функциям /:М—>Шид:М—>Ш соответственно. Тогда, если сумма, f{x) + g{x) определена, для всех х G М, то функции jv + gv Li-сходятся к функции / + g при v —» оо.
46 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Пусть х есть произвольная точка множества М. Тогда если f(x) и д(х) конечны, то |Л(х) + gv{x) - [f(x) + д(х)]\ < |/„(x) - f(x)\ + \д„(х) - д(х)\. Это неравенство остается верным также и в случае, когда хотя бы одна из величин f(x) и д{х) равна ±оо, ибо тогда правая часть его будет равна оо. На основании следствия 2 леммы 2.5 отсюда получаем, что II/, + 9» ~ (/ + g)\\Ll < ||/, - /||bl + \\gv - g\\Ll. Правая часть этого неравенства в силу условия леммы стремится к нулю при v —► оо. Отсюда следует, что ||/„ + д„ — (f + д)\\ьг -* 0 при v —► оо. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 2.1. Если функция /: М —► R интегрируема,, то для любого числа, а также и функция af интегрируема,, причем I{af) = = al(f). Если f:M-+Rng:M-+R — интегрируемые функции такие, что сумма f{x) + g{x) определена для всех х Е М, то функция f + g является интегрируемой. При этом J(/ + g) = /(/) + 1(g)- Доказательство. Пусть / есть интегрируемая функция, а ф О — вещественное число, (^1/)1/gn — последовательность функций класса &, сходящаяся к / в смысле L\. В силу леммы 2.7 функции oupv сходятся в смысле L\ к функции af, откуда следует интегрируемость af. При v —► оо имеем I(a<pv) —» I(af). Получаем I(a(py) = al((p„) -► al(f) при v —» оо, откуда следует, что I(af) = al(f). Пусть f и g — интегрируемые функции такие, что сумма f(x) + +g(x) определена для всех х Е М. Пусть ipv жф„ — последовательности простых функций, сходящиеся в смысле L\ к функциям /hj. Функции <р„ + ^V принадлежат классу & для всех i/ и согласно лемме 2.8 при v —> оо сходятся в смысле ii к f + д. Отсюда следует интегрируемость f + д. При каждом z/ E N имеем /(*>„ + iM = i(.v*) + 1Ш - А/) + Kg)- С другой стороны, /(у?* + фу) -* I{f + д) при v —* оо. Отсюда получаем /(/+</) = /(/)+ад. Теорема доказана. ■
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 47 ■ Теорема 2.2. Если функция / интегрируема, то интегрируема также и функция |/|, причем I(\f\) = ||/||li- Доказательство. Пусть / £ £i(S) и (^1/)1/eN есть последовательность функций класса ^", £i-сходящаяся к функции / при z/ —► оо. Тогда на основании утверждений 4 и 5 леммы 2.7 при v —> оо функции |^„| сходятся в смысле Li к функции |/|. Так как [^„l Е «^ при каждом i/GN, отсюда следует, что функция |/| интегрируема. При v —► оо имеем /(|<£i/|) —► /(|/|). Но I(\yv\) — = ||¥>i/||li при каждом z/ G N. Согласно лемме 2.7 ||<£i/||li ""* ll/IUi? т- е- H/IU, = lim |Ы|Ь1 = lim /(Ы), I/—KX> I/-+0O и, значит, II/HLi = А1/1)? что и требовалось доказать. ■ ▼ Следствие 1. Пусть /: М —*• R есть интегрируемая функция. Тогда если функция / неотрицательна, то 1(f) > 0. Действительно, если функция / неотрицательна, то / = |/| и, значит, /(/) = /(|/|) = H/IUi- Так как Li-норма функции всегда неотрицательна, отсюда следует, что /(/) > 0. Следствие 1 доказано. Т ▼ Следствие 2. Пусть /:М-+Шид:М->Ш — произвольные интегрируемые функции. Тогда если / > д, то 1(f) > 1(g). Доказательство следствия 2 очевидно. Т В заключение раздела приведем некоторые комментарии к определениям этого параграфа. Понятия интеграла и интегрируемой функции были введены здесь посредством понятия L\-нормы функции. Сама эта норма определена способом, который может показаться несколько вычурным: Li-норма есть точная нижняя граница множества чисел, каждое их которых, в свою очередь, есть предел некоторой числовой последовательности. Возникает, естественно, вопрос, нужна ли такая сложность, нельзя ли построить теорию интеграла, используя интегральную норму, определенную каким-либо другим, более простым способом. Один из возможных способов действия мог бы быть, например, таким. Предположим, что дана некоторая система с интегрированием (М,&,1). Будем говорить, что функция <р € & мажорирует функцию /: М —► Е, если для всех х € М выполняется неравенство \f(x)\ < < ip(x). Пусть ||/||а есть точная нижняя граница интегралов I(ip) по множеству всех основных функций, мажорирующих /. Величина ||/||я> определенная таким образом, называется риманоеой интегральной нормой функции /. Функция /: М —> М называется интегрируемой в смысле Римана функцией в системе с интегрированием (М, «^", J), если найдется последовательность основных функций (ipt,)»^ такая, что
48 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных II/ - 4>v\\r -+ 0. Для всякой такой последовательности существует предел lim /(^i/). Этот предел называется интегралом Римана функции f v—юо в данной системе с интегрированием. •Возникает вопрос, почему вместо такого просто и, казалось бы, естественно определяемого понятия интегральной нормы мы вводим другое, которое определяется посредством достаточно сложных построений. Легко проверяется, что утверждения лемм 2.3 и 2.4 остаются верными, если в их формулировках заменить Lj-норму римановой интегральной нормой. Нетрудно показать также, что для любых двух функций / и д имеет место неравенство ||/+ #||я < ||/||я + 1Ы1я- Отсюда, по индукции, получаем, что риманова норма суммы любого конечного числа функций не превосходит суммы их норм. Однако попытка доказать то же самое для бесконечной последовательности функций к успеху не приводит. В частности, аналог леммы 2.5 в теории интегрирования, опирающейся на понятие римановой интегральной нормы, не имеет места. Лемма 2.5 играет существенную роль в дальнейших построениях. В частности, с ее помощью доказываются основные теоремы о предельном переходе в теории интеграла. Предоставляем читателю разобраться самостоятельно в том, что мешает доказать лемму 2.5 для римановой интегральной нормы. 2.5. Свойства, выполняющиеся почти всюду 2.5.1. Свойство функции одной переменной быть интегрируемой, так же как и значение интеграла от этой функции, не меняется, если произвольным образом изменить значения функции на некотором не более чем счетном множестве. Оказывается, что и в общей теории интеграла, которая излагается здесь, может быть определен класс множеств такой, что свойство функции быть интегрируемой не нарушается и значение ее интеграла не изменится, если значения функции произвольным образом изменить в точках множества, принадлежащего этому классу. Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, <^",J). Функция /: М —> Е называется пренебрежимой в системе с интегрированием Е, если ее ii-норма равна нулю. Множество Е С М называется пренебрежимым или, иначе, множеством меры нуль, если его индикатор хе является пренебрежимой функцией. Пустое множество 0 является множеством меры нуль. Действительно, индикатор пустого множества есть функция, тождественно равная нулю, и, значит, L\-норма индикатора множества в данном случае равна нулю.
§ 2. Определение и простейшие свойства, интеграла, Лебега, 49 В евклидовой системе с интегрированием ШП,^(ЕП), / 1 всякое одноточечное множество является пренебрежимым. В самом деле, пусть Е = {р}, где р — произвольная точка Шп. Для каждого г > О найдем двоичный куб ранга г, содержащий точку р. Пусть Хг есть индикатор этого куба. Для всех х £ Шп имеем Хе(х) < Хг(х) и, значит, HxslUi < llXrlUx = J Xr(x)dx = —. R В силу произвольности г > О отсюда следует, что ||x#IUi = 0. Отметим, что для системы с интегрированием, не являющейся евклидовой, последнее утверждение может оказаться неверным, т. е. множество, состоящее из единственной точки, может не быть множеством меры нуль. Зададим произвольно систему с интегрированием (М, ^,/). Все дальнейшие рассуждения в этом параграфе относятся к этой системе с интегрированием. Будем говорить, что некоторое условие Р(х) выполняется почти всюду на множестве Л, если множество JS, состоящее из всех тех точек х € А, которые не удовлетворяют условию Р(х), пренебрежимо (или, что то же самое, Е является множеством меры нуль). В этом случае мы будем также говорить, что условие Р(х) истинно для почти всех х £ А. В частности, множество Е может быть пустым, так что условие, которое выполняется на А всюду, выполняется на А также и почти всюду. Мы будем рассматривать также функции, определенные на подмножествах множества М. Далее удобно придерживаться следующей терминологии. Будем говорить, что функция / определена на множестве А С М почти всюду или, иначе, для почти всех х € А, если область определения А1 функции / есть подмножество М такое, что множество А \ А1 есть множество меры нуль. Иначе говоря, функция / определена почти всюду на множестве А С М, если точки х G А, для которых величина f(x) не определена, образуют пренебрежимое множество. Не предполагается, что множество А' — область определения функции / — содержится в А.
50 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ш Теорема 2.3. Если функция f: М —> Е такова, что ее L\ -норма конечна, то множество тех х Е М, для которых f(x) = ±оо, является пренебрежимым. Доказательство. Как было показано выше (следствие 4 леммы 2.5), для всякой функции / имеем ||/||li = ||l/l||L • Пусть Е есть множество всех точек х € М, для которых \f(x)\ = oo. Требуется доказать, что множество J5 является пренебрежимым. Пусть х есть индикатор множества Е. Функция х неотрицательна, и для всякого п € N для всех жЕМ выполняется неравенство пх(х) < < \f(x)\. Следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что имеет место неравенство ||nx|Ui ^ ll/IUi- В силу леммы 2.4 имеем ||raxlUi = = ^llxlUi- Следовательно, мы получаем, что o^llxlk^ll/lk- Устремляя п к оо, отсюда получаем, что HxlUi == 0. Таким образом, Zi-норма индикатора множества Е равна нулю. Согласно определению пренебрежимого множества это означает, что множество Е тех х Е М, для которых f(x) = ±oo, пренебрежимо. Теорема доказана. ■ ■ Лемма 2.9. Пусть дана функция /: М —► Е. Обозначим через S(f) множество всех точек х Е М таких, что f(x) ф 0. Для того чтобы функция f была пренебрежима, необходимо и достаточно, чтобы S(f) было множеством меры нуль. Доказательство. Сначала установим необходимость условия теоремы. Предположим, что функция / пренебрежима. Требуется доказать, что тогда Е = £(/) есть множество меры нуль. Для этой цели рассмотрим последовательность (/i/)i/eN> в которой /„ = |/| для всех v Е N. Для всех х Е М имеет место неравенство оо 1Ы*)1 = Хя(*) <£/*(*)• (2-17) Действительно, если х £ Е, то /„(ж) — О для всех z/ E N. В этом случае Хе(х) = 0 и сумма в правой части (2.17) также равна нулю, так что неравенство (2.17) верно. Если же х Е Е, то все слагаемые в правой части (2.17) равны одному и тому же положительному числу и, значит, сумма равна оо. В этом случае Хе{х) = 1 и, стало быть, неравенство (2.17) также выполняется. В силу леммы 2.5 из доказанного следует, что оо 1Ык < £ Шк = о,
§ 2. Определение и простейшие свойства, интеграла, Лебега, 51 ибо II/j/Hlx = ll/IUi = 0 для всех г/. Отсюда получаем, что HxjsIUi = О и, следовательно, множество Е = S(f) пренебрежимо. Необходимость условия леммы установлена. Докажем достаточность условия леммы. Предположим, что функция /: М —► Ш такова, что S(f) есть множество меры нуль. Положим S(f) = Е и рассмотрим последовательность функций (/j/)j/eN5 в которой /„ = хе Для всех v G N. Докажем, что для всех х G М выполняется неравенство оо |/(*)| <£/„(*)• (2.18) Для х £ Е неравенство (2.18) выполняется, потому что в этом случае левая часть неравенства равна нулю, а правая часть неотрицательна. Если же х G £, то правая часть неравенства (2.18) равна оо, откуда ясно, что и в этом случае неравенство (2.18) верно. На основании леммы 2.5 из доказанного следует, что ll/lk < £ Шк = о и, значит, ||/||li =: 0, т. е. функция / пренебрежима. Лемма доказана. ■ Т Следствие 1. Пусть /: М —> R — две произвольные функции. Тогда, если f(x) = #(я) для лочтя всех ж 6 М, то Ь^-нормы этих функций совпадают. Доказательство. Следствие 3 леммы 2.5 позволяет заключить, что для всякой функции ||/||Ll = |||/|||Li и ||flf||Ll = |||fli||Li. Пусть Е есть множество тех х G М, для которых f(x) Ф д(х). Согласно условию доказываемого предложения множество Е пренебрежимо. Введем функцию a: М —► R, полагая сг(ж) = оо при х G -Е и сг(ж) = О в противном случае. Тогда для всех х G М имеют место неравенства |/(*)| < Ш\ + <*)> Ш\ < №)1 + *{*)■ Действительно, если х £ J5, то <т(х) = 0 и правая и левая части данных неравенств равны одному и тому же числу. Если же ж G £, то правая часть каждого из этих неравенств равна оо, откуда следует, что и для таких х неравенства верны. Следствие 1 леммы 2.5 позволяет заключить, что имеют место неравенства Ill/Ilk < Nik+ Nk и ||kl||Ll< Ill/Ilk+ IHU,.
52 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных В силу леммы 2.9 величина \\<j\\l1 = 0. Следовательно, мы получаем, что |||/| || Li < ||M||Li и одновременно |||5|||Li < |||/|||Li и, значит, || |/| ||L = || 1^11| L • Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2. Пусть функции /: М —► R я #: M —► R та,ковы, что f{x) = д(х) для почти всех х £ М. Тогда, если одна, из данных функций f ид интегрируема,, то интегрируема, также я друга,я, причем значения их интегралов совпа,да,ют, 1(f) = 1(g). Доказательство. Простоты ради будем считать, что интегрируема функция /. Пусть Е есть множество тех х Е М, для которых f(x) Ф 9(х)- И3 условий следствия вытекает, что множество Е пренебрежимо. Согласно определению интегрируемой функции найдется последовательность (y>„)„eN функций класса & такая, что ||/ — ^i/||li *"* 0 при v —► оо. Функция ф„ всюду конечна. При каждом х £ Е имеем f(x) - tpv(x) = g(x) - <р„(х). Таким образом, мы получаем, что функции / — у>„ и g — у>„ почти всюду совпадают. Следствие 1 леммы 2.9 позволяет заключить, что II/ - Vi/IUi = 115 ~ Vi/IUi- Отсюда вытекает, что \\д - ^„Ц^ -> 0 при z/ -» оо. Следовательно, функция д интегрируема. При этом имеет место равенство 1(g) = lim I(y>v) = /(/). Следствие 2 доказано. Т I/—ЮО 2.5.2. Установим дальнейшие свойства пренебрежимых функций и множеств. ■ Лемма 2.10. Если множество Е С М пренебрежимо, то любое множество Н С Е также является пренебрежимым. Для всякой по- оо следовгьтельности (Е,,),,^ множеств меры нуль их объединение (J Ev также представляет собой множество меры нуль. Доказательство. Лемма содержит два утверждения. Докажем их последовательно. Предположим, что множество Е пренебрежимо и Н С Е. Тогда для всех х £ М выполняется неравенство хн(х) < Хе(х)- Функции Хе и хн неотрицательны, и следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что llxtfllza < HxjsIIli = 0 и, значит, ||х#Ilia = 0, т. е. множество Н пренебрежимо. Первое утверждение леммы доказано. Пусть (Ev)v$n есть произвольная последовательность множеств оо меры нуль и Е = [j Ev. Тогда согласно лемме 1.1 для всех х Е М имеет место неравенство оо Хе(х)< ^2хеЛх)-
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 53 В силу леммы 2.5 отсюда ввиду неотрицательности функций Хе и xev вытекает, что имеет место неравенство со UxslU^EllxsJk- (2-19) Так как множества Ev, по условию, все пренебрежимы, то каждое слагаемое в правой части равенства (2.19) равно нулю и, значит, вся сумма равна нулю. Отсюда вытекает, что ||x£?llz,i = 0, т. е. множество Е пренебрежимо. Лемма доказана. ■ ▼ Следствие 1. Объединение не более чем счетного семейства пре- небрежимых множеств есть пренебрежимое множество. Действительно, пусть (Et)iex есть некоторое семейство подмножеств М, каждое из которых пренебрежимо, причем множество Г значений индекса t не более чем счетно. Занумеруем множество Г, и пусть <„ есть элемент с номером v. Положим Ev = Eiv. Если множество Г конечно, п — число его элементов, то полагаем Ev = 0 при v > п. Имеем, очевидно, со и Е>=и я- В силу леммы 2.10 отсюда вытекает, что множество (J Е% пренебрежимо. Следствие 1 доказано. ¥ ieT Т Следствие 2. Всякое не более чем счетное подмножество пространства Шп пренебрежимо в евклидовой системе с интегрированием. Действительно, как было показано выше, одноточечное множество в Еп в евклидовой системе с интегрированием пренебрежимо, откуда в силу следствия 1 вытекает справедливость утверждения следствия 2. ▼ ■ Лемма 2.11 (лемма об условиях, выполняющихся почти всюду). Пусть АСЕ. Предположим, что задано не более чем счетное семейство условий (Pt(x))t£Ti каждое из которых выполняется в А для почти всех х £ А, т. е. при каждом t £ Т множество Et тех х Е А, для которых условие Pt{x) выполняется, является множеством меры нуль. Тогда почти всюду в М выполняются все условия Pt(x) одновременно, т. е. множество тех х Е М, которые не удовлетворяют хотя бы одному из условий Pt(x), пренебрежимо.
54 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Занумеруем элементы множества Т, и пусть Е% есть множество тех х Е М, для которых не выполняется условие Pt(x). Каждое из множеств Et пренебрежимо. Пусть Е есть объединение множеств Et. Согласно следствию 1 леммы 2.10 объединение не более чем счетного семейства пренебрежи- мых множеств является пренебрежимым множеством и, значит, множество Е пренебрежимо. Предположим, что х £ Е. Возьмем произвольно t € Т. Пусть Et есть множество тех ж, для которых условие Pt(x) не выполняется. Множество Ei содержится в Е. Так как х £ Е, то х fi Et, и, значит, условие Р%(х) для данного х выполняется. Поскольку t Е Г было взято произвольно, то мы получаем, что если х £ £, то ж удовлетворяет каждому из условий Pt{x). Лемма доказана. ■ 2.5.3. Следствие 1 леммы 2.9 позволяет заключить, что значение Xi-нормы функции не меняется, если произвольным образом изменить значения функции на множестве меры нуль. Как показывает следствие 2 той же леммы, свойство функции быть интегрируемой не утрачивается и значение ее интеграла не меняется, если изменить значения функции на пренебрежимом множестве. Понятие L\-нормы и свойство функции быть интегрируемой может быть определено для случал, когда рассматривается функция, определенная на множестве М лишь почти всюду. Необходимость в этом возникает в связи с тем, что не всегда можно гарантировать, что функция, заданная тем или иным способом, будет определена для всех точек базисного пространства системы с интегрированием. Такал ситуация имеет место, например, в случае, когда функция определена как сумма функционального ряда, относительно которого может быть доказано только, что множество точек ж, для которых этот ряд является расходящимся, есть множество меры нуль. Пусть / есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Это означает, что / есть функция со значениями в Е, область определения которой есть некоторое множество М' = М \ Е, где Е — множество меры нуль. Доопределим функцию / произвольным образом, задав ее значения на множестве Е. Пусть / есть полученное таким образом продолжение функции / на М. Величина ||/||jox в силу следствия 1 леммы 2.9 не зависит от того, как определены значения функции / на множестве Е. Мы полагаем ||/||l1 = ||/|Ui- Будем говорить, что функция / интегрируема, если существует последовательность простых функций (fv)v£N такая, что ||/ — fu\\bi ~* 0 при v —> оо.
§ 2. Определение и простейшие свойства интеграла, Лебега 55 Разность f(x) — fv(x) определена для почти всех х G М, и, следовательно, величина ||/ — /у\\ь1 определена для всех х. Предположим, что функция / определена в пространстве М почти всюду и функция д: М —► R такова, что f(x) = д(х) для всех х G М, для которых f(x) определено. Тогда f(x) — fu(x) = g(x) — fu(x) для всех ж, для которых /(ж) определено. Отсюда следует, что lk-MUl = ll/-MU1 и, значит, ||<7 — /i/|Ui -* 0 при */ —► оо. Согласно определению интегрируемой функции это означает, что функция д интегрируема. Существует конечный предел lim I(fu) — 1(g)- Мы полагаем интеграл /(/) I/—*С© функции / равным /(/) = lim /(Л). Таким образом, если вещественная функция /, определенная в М почти всюду, интегрируема, то, продолжая / произвольным образом на множество М, мы получим интегрируемую функцию. Интеграл функции / при этом равен интегралу ее продолжения. Все доказанные ранее свойства интеграла сохраняют силу и для случая функций, определенных почти всюду в базисном пространстве системы с интегрированием. Формулировку и доказательства соответствующих утверждений мы предоставляем читателю. ■ Теорема 2.4. Если функция /, определенная в М почти всюду, интегрируема, то функции /+ и /"" также интегрируемы. Для любых двух интегрируемых функций f и g функции min{/, g} и max{/, g} также интегрируемы. Доказательство. Пусть / есть интегрируемая функция, определенная в М почти всюду. Множество точек х G М, для которых f(x) либо не определено, либо равно ±оо, есть множество меры нуль. Пусть f(x) есть функция, определенная условием f(x) = /(ж), если для данного х значение /(ж) определено и конечно и f(x) = 0 для всех остальных значений х. Функция / интегрируема и всюду конечна. При этом f{x) — f(x) почти всюду в М. По теореме 2.2 функция |/| интегрируема. Отсюда вытекает интегрируемость функций /+ = Ш±/ и rJJlzl J 2 J 2 ' Так как /+(я) = /+(ж) и /~(я) = /~(я) Для всякого х G М, для которого f(x) определено и конечно, т. е. для почти всех х G М, то тем самым интегрируемость функций /+ и /~ установлена. Пусть /ид — две произвольные интегрируемые функции, каждая из которых определена почти всюду в М. Если функции / и д определены и конечны для всех х G М, то интегрируемость функций min{/, #} и тах{/, #} следует из равенств min{/,0> = /-(/- 5)+, max{/,fif} = д + (/ - д)+. Общий случай очевидным образом сводится к этому изменением значений функций /и^на множестве меры нуль. Теорема доказана. ■
56 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных § 3. Примеры систем с интегрированием В параграфе 2 указан пример системы с интегрированием, который является для нас основным. В этом примере М есть пространство Шп, 3? — множество ступенчатых функций в Rn, a /(/) есть интеграл ступенчатой функции, определенный, как в параграфе 1. Здесь приводятся некоторые другие примеры систем с интегрированием. 3.1. Системы с интегрированием в R Приведем примеры систем с интегрированием в множестве R. Пример 1. Пусть даны произвольный промежуток [а,Ь] в расширенном множестве вещественных чисел Ш и неотрицательная функция w: [а,Ь] —> R, непрерывная в основном и интегрируемая по промежутку (а,Ь). Положим М = [a,b]. Функцию /: (а,Ь) —> IR будем называть финитной в (а,Ь), если существует отрезок [с,d] С (а,Ь) такой, что /(ж) = 0 для х £ [c,d]. Пусть & есть совокупность всех непрерывных функций, определенных и финитных на промежутке [а,Ь]. Предположим, что / и g — две произвольные функции из &'. Любая линейная комбинация af + f3g этих функций является непрерывной функцией. Согласно определению множества функций & найдутся отрезки [ci,di] и [c2,d2] такие, что /(ж) = 0 вне первого из этих двух отрезков, a g обращается в нуль вне промежутка [c2,d2]. Пусть с — min{ci,c2}, d = max{di,d2}. Промежуток [с,d], очевидно, содержится в (а,Ь). Функция h = af+ /3g обращается в нуль вне этого отрезка [с, d] и, следовательно, является финитной в (а,Ь), т. е. af+/3g G &. Если функция /: (а, Ь) —> К непрерывна и финитна в (а, Ь), то функция |/| также непрерывна и финитна в (а, 6). Это означает, что множество функций & в рассматриваемом случае удовлетворяет условиям R1 и R2 определения системы с интегрированием (§2). Пусть дана функция / G &. Тогда найдется промежуток [с, d] С С (а,Ь) такой, что f(x) = О при х £ [c,d]. Функция w*(x), определенная условиями w*(x) = 0 при х < с, ж > d и к;*(ж) = г(;(ж) при с < ж < d, интегрируема по каждому из промежутков [а, с], [cyd] и [с,Ь] и, следовательно, интегрируема по всему промежутку [а, 6]. Имеем f(x)w*(x) = f(x)w(x) для всех ж G (а,Ь), и, следовательно, функция fw интегрируема по промежутку [а,Ь]. Полагаем для / G & ь 1(f) = [ f(x)w(x)dx.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 57 В силу известных свойств интеграла условия R3 и R4 определения системы с интегрированием (§ 2) в данном случае выполняются. Докажем выполнение условия R5 из §2. Пусть (fu)ueN есть произвольная убывающая последовательность функций из & такая, что fv(x) —► 0 для всех х Е (а,Ь). Тогда при каждом v для всех х Е (а,Ь) имеем 0 < fv{x) < f\{x). Функция /i согласно определению класса & финитна в промежутке (а,Ь), т. е. найдется промежуток [c,d] С (а,Ь) такой, что fi(x) = О для любого х £ [с,d]. Промежуток [с,d] представляет собой компактное множество в Е, и, значит, в силу теоремы Дини (глава 12, теорема 1.7) при v —» oo функции fv сходятся к нулю равномерно в промежутке [с, d]. При каждом и Е N имеем ь d / f„{x)w(x)dx = / /(ж)*ш(ж)Жс < ^ЦЛЦьсоЦссЧ), (3.1) а с d где L = J w(x) < oo. Из неравенства (3.1), очевидно, следует, что с Ь I(fu)= J fu(x)w(x) dx -* О а при v —> оо. Это означает, что и аксиома R5 в определении системы с интегрированием в рассматриваемом случае выполняется. Функция, интегрируемая в данной системе с интегрированием, называется функцией, интегрируемой в смысле Лебега относительно веса w. Отметим, что, в частности, можно взять (а,Ь) = (—оо, оо) = Е и w(x) = 1. Пример 2. Определим систему с интегрированием, в которой множество М есть промежуток (а, Ь) множества Е, множество функций J^", как и в предыдущем примере, есть совокупность непрерывных функций, финитных в интервале (а,Ь). Напомним, что функцию /: (а,Ь) —> Е мы называем финитной в (а,Ь), если существует замкнутый отрезок [с, d] С (а,Ь) такой, что f(x) = 0 для х ф. [с, d]. Пусть ф: (а, Ь) —> Е есть возрастающая функция. Функция ^ является функцией ограниченной вариации на всяком промежутке [с, d] С (а, Ь), и вариация функции ф на этом промежутке равна разности -0(d) — ^(с). Пусть дана непрерывная функция /: (а,Ь) —► Е, финитная в (а,Ь). Зададим произвольно числовые последовательности
58 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных (^i/)i/GN и (Ь„)„егс такие, что при каждом v имеем a < au < bv < b и au —» a, by —> b при v —> oo. При каждом v G N функция ^ будет функцией ограниченной вариации на промежутке [au,bv]. Полагаем 1(f) = [ /(*) Лф(х) = ]ш^ f f(x) (1ф(х). (3.2) a av При каждом v G N интеграл в правой части этого равенства определен и конечен, как следует из основной теоремы о существовании интеграла Стилтъеса (глава 8, теорема 3.6). Пусть f(x) = О вне отрезка [с, d] С (а,Ь). При достаточно больших значениях */, v > z/, выполняются неравенства аи < с < d < bv. Для таких значений v будем иметь ьи d Jf(z)dtKx) = Jf(z)drKz). (3.3) аи с Отсюда следует, что предел в правой части равенства (3.3) существует. При этом значение указанного предела не зависит от выбора последовательностей (а^)^^ и (Ьи)и^. Мы получаем, что d I(f) = Jf(x)drKx), (3.4) с где промежуток [с,d] С (а,Ь) таков, что f(x) = 0 при ж ^ [c,d]. Условия R1 и R2 в данном случае выполняются, что проверяется дословно так же, как и в предыдущем примере. Выполнение условий R3 и R4 непосредственно следует из определения величины /(/), равенства (3.4) и свойств интеграла Стилтьеса, доказанных в главе 8. Докажем, что выполняется также и условие R5. Пусть (/j/)j/eN есть произвольная убывающая последовательность функций из & такая, что jv[x) -* 0 для всех х G (а,Ь). Тогда при каждом v для всех х G (а,Ь) имеем 0 < fv{x) < fi(x). Функция /i согласно определению класса & финитна в промежутке (а, Ь), т. е. найдется промежуток [c,d] С (а,Ь) такой, что fi(x) = 0 для любого ж ^ [с,d]. Промежуток [с, d] представляет собой компактное множество в К, и, значит, в силу теоремы Дини (глава 12, теорема 1.7) при и —> оо функции /„ сходятся к нулю равномерно в промежутке [с, d]. При каждом г/ G N имеем б d J Ux) dф{x) = У /„(*) <ty(s) < ZHMUoodcfl), (3.5)
§ 3. Примеры систем с интегрированием 59 d где L = V ^(ж) = ^(d) — -0(c) < оо. Из неравенства (3.5), очевидно, сле- с дует, что ь a при v —> оо. Это означает, что и аксиома R5 определения системы с интегрированием в рассматриваемом случае также выполняется. Если функция /, определенная в интервале (а,Ь), интегрируема в данной системе с интегрированием, то говорят, что функция f интегрируема в смысле Лебега — Стилтъеса относительно функции ф. Интеграл функции / в этой системе с интегрированием называется интегралом Лебега — Стилтъеса функции f относительно функции ф ь и обозначается символом J f(x) (1ф(х). а 3.2. Мера на кольце множеств. Понятия ст-кольца и меры на (7-кольце 3.2.1. Опишем пример, который, как, впрочем, и предыдущие, важен и сам по себе, а не только как иллюстрация к общему определению понятия системы с интегрированием. Пусть М есть произвольное множество, а «^ — непустое множество подмножеств М. Совокупность множеств & называется кольцом, если она удовлетворяет следующим условиям. К. Для любых двух множеств A, J3, принадлежащих «^, множества A U J3, А \ В также принадлежат &. Из данного определения следует, что если совокупность множеств 8% есть кольцо, то пустое множество 0 принадлежит «^. Действительно, возьмем произвольно множество A G 5. Имеем 0 = А \ А, и, значит, 0Е^. Для любых множеств А, В имеет место равенство АПВ = А\(А\В). Отсюда вытекает, что если множества А и В принадлежат кольцу множеств «^, то также и их пересечение А П В принадлежит ^. Индукцией по числу множеств легко устанавливается, что если совокупность множеств «^ есть кольцо, то пересечение и объединение любого конечного числа множеств, принадлежащих ^, также является элементом «^.
60 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть, например, М = R и 3% есть совокупность всех множеств А, каждое из которых может быть представлено как объединение конечного числа промежутков вида [р, q). Из определения «^ непосредственно видно, что для данной совокупности множеств «^ объединение любых двух множеств из 8% принадлежит 8%. Чтобы показать, что разность двух множеств из «^ принадлежит 8%, достаточно проверить, что разность любых двух промежутков рассматриваемого вида есть либо пустое множество, либо промежуток того же вида, либо представляет собой объединение двух промежутков данного вида. Пусть 8% есть кольцо, образованное подмножествами произвольного множества М. Предположим, что всякому множеству AG^ сопоставлено некоторое вещественное число /л(А). В этом случае говорят, что в М задана функция множеств //, определенная на кольце множеств 8%. Функция множеств /х, определенная на кольце /z, называется мерой, если она удовлетворяет следующим условиям. Ml. Для всякого множества A G ^ величина //(А) неотрицательна. М2. Для любых двух непересекающихся множеств А, В Е 8? имеет место равенство li(A\JB) = fi(A) + n(B). (3.6) МЗ. Для всякой последовательности множеств (А,,),,^, принадлежащей 8% и такой, что Av D A^+i при каждом v Е N и пересечение со Р| Av = 0, величина n(Av) стремится к нулю при v —* 00. v Сделаем некоторые замечания к этому определению. а) Свойство меры, выражаемое равенством (3.6), называется ее аддитивностью. б) Последовательность множеств (А„)„ен будем называть убывающей, если Av D A„+i при каждом v Е N. Последовательность множеств со (А„)„еи назовем исчезающей, если она является убывающей и р| Av = 0. V в) Условие МЗ может быть переформулировано с помощью введенных понятий следующим образом. Для всякой исчезающей последовательности (;4.„)„gn множеств, принадлежащих 8?, справедливо соотношение lim fi(A„) = 0. V —ЮО Отметим некоторые свойства меры, непосредственно вытекающие из определения.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 61 4 Предложение 3.1. Для всякого конечного набора, попарно непересекающихся множеств Ai, A<i,..., Аш, принадлежащих кольцу 2%, и для любой меры /i, определенной на 2%, справедливо равенство V U=i = Х>(л*). Доказательство индукцией по га очевидно. ♦ 4 Предложение 3.2. Пусть /i есть мера на кольце 2% и (Аи)ие^ — последовательность попарно непересекающихся множеств, принадле- оо жащих 2%. Тогда если множество А = |J Av принадлежит кольцу &, то справедливо равенство М(Д) = $>(Д„). Доказательство. Действительно, для i/GN пусть V ОО Sv = U Ak} Rv = (J Ль fc=l Jb=i/+1 При каждом i/GN имеем А — SV\JRV. Множества S„ и Rv не имеют общих элементов, и, значит, Rv = А \ Su. Множество S„ принадлежит классу «^ как объединение конечного числа множеств из 2%. Условие К позволяет также заключить, что Rv Е 2% при каждом u Е N. В силу предложения 3.1 при каждом и имеем v /i(A) = fi[Su U R„] = ii(S„) + p{Ry) = ]£ M^fc) + МДД (3.7) Последовательность множеств (Л^)^^^ является исчезающей. Действительно, при каждом г/, как нетрудно видеть, Av D Au+i. Покажем, что пересечение последовательности множеств (Ru)ueN является пустым множеством. Возьмем произвольно х Е М. Если х £ А, то х £ Rv при каждом v и, значит, х не принадлежит пересечению множеств последовательности (i£„)„eN- Пусть х Е А. Тогда х Е AVQ для некоторого значения щ Е N. Множества Av, по условию, попарно непересекающиеся, и, значит, х ^ Av при и Ф щ. Отсюда следует, что х £ Rv при и > щ и, значит, х не принадлежит пересечению множеств Rv.
62 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Точка х G М взята произвольно. Таким образом, мы получаем, что никакая точка множества М не может принадлежать пересечению множеств Rv и, следовательно, это пересечение пусто и последовательность (R^vqn является исчезающей. В силу условия М2 определения меры отсюда следует, что fi(Ru) —> 0 при v —> оо. Переходя к пределу в равенстве (3.7), получим V ОО ц{А)= lim n{Sv)= lim У^(уЦ) = Vp(A„). V—»-00 1/—ЮО *—** *—** Предложение доказано. ♦ Кольцо множеств «^ называется а-кольцом, если оно удовлетворяет следующему условию: для всякой последовательности множеств оо (A„)„gN, принадлежащих 2%, также и множество А — \J Av принадлежа жит «^. 4 Предложение 3.3. Если некоторая совокупность 2% подмножеств множества М является а-кольцом, то для любой последовательности (A„)„gN множеств, принадлежащих 2%, ее пересечение также принадлежит 2%. оо Доказательство. Действительно, пусть А = (J А^. ЕслиА^Е^? для всех I/ и «^ есть сг-кольцо, то согласно определению сг-кольца множество А принадлежит 2?. Применяя соотношения Моргана (глава 6, лемма 5.1), получим оо / оо \ Па„ = А\ША\аЛ. (3.8) Каждое из множеств А\ Av принадлежит «^, и, значит, множество оо U A \ Av принадлежит 2%. Отсюда в силу равенства (3.8) вытекает, и=1 ~ оо что. и множество f] Av является элементом 2%. Предложение ДОКа- зано. ♦ Если совокупность множеств является кольцом, то множества, которые его составляют, образуют, вообще говоря, достаточно узкий класс. Различие между кольцом и сг-кольцом имеет глубокий качественный характер. Далее мы сможем показать это на примере множеств в пространстве Кп.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 63 Основной результат теории меры содержится в следующей теореме. ■ Теорема 3.1. Пусть 3? есть произвольное кольцо множеств, образованное подмножествами множества М, и /i есть мера на этом кольце. Тогда, существуют а-кольцо £% и мера /}, определенная на &, такие, что М D &, и для всякого множества А Е 2% выполняется равенство Д(Л) = /х(А). ■ Сформулированная теорема утверждает, что всякое кольцо, на котором определена некоторая мера, может быть расширено так, что это расширение будет сг-кольцом, причем мера на данном кольце будет продолжена на построенное расширение. Теорема 3.1 является следствием теорем 5.9, 5.10 и 5.11 параграфа 5 (см. замечание в конце п. 5.4). 3.2.2. Система с интегрированием, определяемая неотрицательной мерой на кольце. Пусть М есть произвольное множество, 3? — некоторое кольцо, элементы которого есть подмножества М, и \х есть мера, определенная на кольце множеств ^. С помощью кольца множеств £% и меры /л, заданной на нем, может быть определена некоторая система с интегрированием, к описанию которой мы переходим. Функция /: М —> Ш называется ступенчатой функцией, если существует конечная последовательность А\, A<i,..., Ат попарно непересекающихся множеств, принадлежащих М, и такая, что при каждом к = 1,2, ...,т функция / постоянна на множестве Ak, причем если хЕМне принадлежит ни одному из множеств Ak, то f(x) = 0. Для произвольного множества Е С М пусть хе есть характеристическая функция или индикатор множества Е, т. е. Хе(х) — 0 при х £ Е и Хе(х) = 1? если х Е Е. Тогда данное определение может быть представлено в следующей эквивалентной форме. Функция /: М —► Е является ступенчатой относительно кольца множеств е^, если она может быть представлена в виде m f(x) = Y,\kXAk(xl (3.9) ib=i где А\, А2,..., Ат — попарно непересекающиеся множества, принадлежащие ^, a Afc, к = 1,2,..., га, — вещественные числа. Пусть /: М —> Ш есть ступенчатая функция. Построим ее представление в виде (3.9). Такое представление может быть не единственным. Сумма т J2xw(Ak) (3.10) k=i не зависит от выбора представления.
64 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Действительно, если функция / ступенчатая, то множество всех ее значений /(М), как следует из определения ступенчатой функции, конечно. Пусть {<1,*2?« • • ?'р} — все элементы множества /(М), отличные от нуля, причем числа t{ попарно различны, t{ ф tj при i ф j. Положим Е{ = f~l(t{). Множество Е{ есть объединение тех множеств Ak в равенстве (3.9), для которых А* = t{, и, стало быть, Е{ Е 3% при каждом г. Множества Е{ и Ej при i Ф j, очевидно, не имеют общих точек. Отсюда следует, что имеет место равенство v /(*) = 5>х*0О (з.п) 1=1 для всех х Е М. Данное представление функции / определяется по ней единственным образом. Рассмотрим сумму v $>/№). (3-12) 1=1 Имеем AkCEi Если Ak С Е{, то Xk = t{. Отсюда видно, что сумма всех тех слагаемых в выражении (3.11), для которых Ak С Е{, равна t{fi(Ei). Полагая г = 1,2,... ,р, получим, что сумма (3.11) равна сумме (3.12) и, следовательно, не зависит от выбора представления функции / в виде (3.10). Пусть ступенчатая функция / представляется равенством (3.9). m Сумма ]Г) Xkfi(Ak) называется интегралом функции f относительно меры /i, заданной на данном кольце 3?, и обозначается символом Ш = J f(*)dp{x). (3.13) м ш Теорема 3.2. Пусть М есть произвольное множество, 2% — некоторое кольцо подмножеств М, & — совокупность всех вещественных функций, ступенчатых относительно 3?. Предположим, что на кольце М определена некоторая мера и для произвольной функции f пусть 1(f) есть интеграл функции f относительно этой меры, определенный в случае, если f представляется равенством (3.9) как сумма (3.10). Тогда система (М,&,1) из трех объектов, определенных, как указано здесь, представляет соббй систему с интегрированием.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 65 Доказательство. Пусть /ид — две произвольные функции, ступенчатые относительно кольца множеств ffl. Тогда для всех х Е М имеем где Аг-, г = 1,2, ...,п, и 2?j, j = 1,2,...,га, есть множества, принадлежащие кольцу ffl, причем Аг-Х П А;2 = 0 при г*1 ф %2 и, аналогично, m n Bjx П J5y2 = 0 при ji т^ J2- Положим А = (J А,-, 2? = (J S;. Пусть Ло = 5 \ Л, a J5o = А \ 5, /о = 0 и go = 0. Образуем всевозможные пересечения CtJ- = Л» П 2?7 при г = 0,1,2,..., n, j = 0,1,2,..., га. Докажем, что m n В,- = УС-,-, A,-=UC,-> (3.14) »=0 .7=0 при любых г, j. Действительно, возьмем произвольно х € Bj. Если ж не принадлежит А, то a; G В \ А = Ао? и мы получаем, что а; е 6 Ао П By = Coy. Если же ж Е А, то х 6 А,- для некоторого г > 1 и, зна- п чит, х € Cij. Отсюда вытекает, что Bj С (J C,j. Так как при всяком г = 0,1,2,..., m имеет место включение Cij С 2?7, то имеет место также п и включение (J Ct-j С Bj. Из доказанного вытекает справедливость 1=0 первого из равенств (3.14). Второе из равенств (3.14) доказывается аналогичным образом. Множества Cij попарно непересекающиеся. Для всякого х € Cij для любых чисел а и /3 имеет место равенство af(x)+(3g(x) = afi+(3gj. Если х не принадлежит ни одному из множеств С,-7-, то х £ А. В то же время х £ В и, значит, в этом случае /(ж) = 0 и #(ж) = 0, следовательно, af(x) + /Зд(х) = 0. Из доказанного вытекает, что функция af + Pg ступенчатая. Далее, имеем / [<*/(*) + /35(х)] <*/*(х) = Е 53(а/,- + РдМСц). м «'=°>=0 . . Отсюда / [*/(*)+/з5(х)] dM(x) = a е Е лм^)+/з Е Е #/*(£«)■ (3-15) м ,=о i=o »=о >=о
66 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Равенства (3.14) позволяют заключить, что первая сумма в правой части равенства (3.15) равна n i m In » i=o [1=0 J i=o JM Аналогично получаем равенство n m - YlY^9i^Cij">= 9(x)d/j,(x). i=o ;=o JM Отсюда следует, что J [af{x) + /3g(x)] dfi(x) = a f f(x) dfi(x) +/3 f g{x) dfi(x). M MM Из доказанного вытекает, что для тройки (М, ^,/), где «f и I определены, как указано в формулировке теоремы, выполняются условия аксиом R1 и R3 системы с интегрированием. Пусть /: М —> Е есть функция, ступенчатая относительно кольца множеств &. Это означает, что / допускает представление п 1=1 где A,-, i = 1,2,...,п, — попарно непересекающиеся множества, принадлежащие М. Тогда, очевидно, имеет место равенство !/(*)! = Ё1Л1х*(*) »=1 для всех х Е М, и, стало быть, функция |/| также является ступенчатой относительно «^. Этим доказано, что и аксиома R2 выполняется. Если ступенчатая функция / неотрицательна, то все коэффициенты fi в ее представлении (3.9) неотрицательны. Отсюда видно, что Г m f(x)dn(x) = Y,firiAi)>0, м -1 так что аксиома R4 системы с интегрированием выполняется.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 67 Проверим выполнение аксиомы R5. Пусть {fu)ue^ есть убывающая последовательность ступенчатых функций такая, что fu(x) —► 0 при v —> оо для всех х G М. Требуется доказать, что тогда I(fu) стремится к нулю при v —» сх). При каждом I/ для всех ж G М выполняются неравенства 0 < п п < /i/(^) < /i(#)- Пусть /i = X) fil^Ai- Положим А= \J A{ и обозначим 1=1 1=1 через Z наибольшее из чисел /,-, i = 1,2,..., п. Пусть дано число h > 0. Обозначим символом Ev(h) множество всех х G М, для которых выполняется неравенство fu(x) > h. Если m 1ЛХ) = 53 PjXEj(x), то Ev(h) есть объединение множеств 2?j, соответ- i=i ствующих тем номерам j, для которых р^ > h. Отсюда следует, что множество Eu(h) принадлежит кольцу множеств ffl. Определим на множестве М функцию Fv{x), полагал Fv{x) — h при х £ А\ Ev(h), Fv(x) = L при х G Ev(h) и Fv{x) = 0 для всех остальных х. Функция Fv является ступенчатой. При каждом v выполняется неравенство fv{x) < FJ/(x). Действительно, для х G Eu(h) это неравенство имеет место потому, что fv(x) < fi(x) < L = Fu(x) для такого х. Для всякого х G А, не принадлежащего Eu(h), имеет место неравенство fu(x) < h = Fv(x). При х $: А выполняется равенство jv(x) = 0, и, значит, неравенство fv(x) < Fv(x) верно для всех х G М. Отсюда вытекает, что 0< [ fv(x) dii(x) < J Fv(x)dii(x) = м м = hp(A \ Ev{h)) + Ln{Ev{h)) < hfx(A) + Lfi(Eu(h)). (3.16) Покажем, что последовательность множеств (25i/(/i))i/€N убывающая. Пусть х G Ev+\{h). Это означает согласно определению множества J5I/+i(/i), что для этого х выполняется неравенство /1/+i(^) > h. Так как последовательность функций {fv)v^ является убывающей, то fu(x) > fu+i(x) и, значит, для данного х выполняется также и неравенство fi/(x) > /i, т. е. х G Ev{h). Точка х G Eu+i(h) была взята произвольно, и, следовательно, доказано, что Eu+i(h) С Eu{h). Теперь покажем, что пересечение множеств последовательности пусто. Для этого достаточно установить, что какую бы точку х G М мы ни взяли, найдется v G N такое, что х fi Ev{h).
68 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть х G М. По условию, fu{x) —» 0 при v —> оо, и, значит, найдется номер v{x) такой, что при v > v{x) имеет место неравенство /Дя) < h. Для таких и точка х fi Ev(h). Следовательно, мы получаем, что никакая точка х Е М не может принадлежать всем множествам E^h) одновременно и, значит, пересечение множеств последовательности (J57i/(/i))i/eN есть пустое множество. В силу условия МЗ определения меры на кольце множеств величина /x[2?„(/i)] стремится к нулю при и —> оо. Зададим произвольно е > 0. Рассуждения проводились для произвольного h > 0. Выберем конкретное значение h из условия Нц{А) < —. Пусть Р Е N таково, что Z/4-Et/(/0] < тт Для любого v > и. Для всех v > и имеем 0 < /(/„) < h»(A) + Ln[Ev{h)) <£ + £ = е. В силу произвольности е > 0 этим установлено, что I(fu) —> 0 при v —> оо. Теорема доказана. ■ Таким образом, мы получаем, что мера, заданная на произвольном кольце множеств !%, определяет систему с интегрированием, в которой класс основных функций есть множество всех функций, ступенчатых относительно кольца множеств ££. При этом если ступенчатая функция / задается равенством (3.9), то интеграл функции /(/) есть величина, определенная формулой (3.10). Если функция / интегрируема в данной системе с интегрированием, то говорят, что функция / интегрируема относительно меры \х. Множество всех интегрируемых функций в данной системе с интегрированием обозначается символом L\(M,\i). 3.3. Сумма значений функции на произвольном множестве как интеграл В §4 главы 12 определено понятие суммы значений функции, заданной на произвольном множестве. Покажем, что указанная сумма может рассматриваться как интеграл функции в надлежащей системе с интегрированием. Пусть М есть произвольное множество. Для функции /: М —> Ш пусть R(f) есть множество всех х Е М, для которых f(x) отлично от нуля. Будем говорить, что / есть функция конечного типа, если множество R(f) конечно.
§ 3. Примеры систем с интегрированием 69 Пусть дана функция /: М —> Е, и пусть А есть конечное множество. Сумма значений функции / в точках множества А далее обозначается символом \_] /(#) или просто Y^ /. xGA A Формально, величина ^ / может быть определена следующим об- А разом. Занумеруем произвольным способом элементы множества А. Пусть Х{ есть элемент А с номером г, г = 1,2,... п, п — число элемен- п тов множества А, причем Х{ ф Xj при г / j. Тогда 53 / — X) f(xi)- А »'=1 В силу свойства коммутативности операции сложения чисел правая часть этого равенства не зависит от выбора нумерации элементов множества А. Пусть /: М —» Ш есть функция конечного типа. Полагаем £/=£/(*) = £ /(*). М iGM xGR(f) Если А — произвольное конечное множество, содержащее множество iZ(/), то £/= £ /=.£/(*)• М х€Я(/) xGA Совокупность всех функций конечного типа на множестве М обозначим символом <Ж(М). Проверим, что аксиомы системы с интегрированием выполняются для тройки (М, J^,/), где J*" = Jf(M), а / = £. м Пусть / G ЛГ(М) и # Е ЛГ(М). Тогда множества R(f) и Д(#), а значит, и множество Е = R(f) U R{g) конечны и для всякого х ^ Е f(x) = О и #(ж) = 0. Отсюда следует, что для х $. Е выполняется равенство af(x) + /Зд(х) = 0, каковы бы ни были а Е Е и /3 £ R. Поэтому а/ + /?<7 есть функция конечного типа для любых а,/? Е 1. При х ^ R(f) имеем f(x) = 0, и, значит, \f(x)\ = 0, т. е. функция |/| принадлежит классу <Ж(М). Таким образом, аксиомы R1 и R2 здесь выполнены. Пусть / е Jf (М) и5Е Х{М). Положим Е = #(/) U Д($). Тогда J] [<*/(*) + /Зд(х)] = ]Г Ы(*) + $9{х)] = хее хеЕ хем хем и тем самым доказано выполнение аксиомы R3.
70 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Сумма конечного числа неотрицательных слагаемых также неотрицательна. Отсюда следует, что для всякой неотрицательной функции / Е Jf(M) выполняется неравенство ^ f(x) > 0, так что аксиома R4 здесь выполняется. х^м Проверим выполнение аксиомы R5. Пусть (/i/)i/gn есть убывающая последовательность функций класса <Ж(М) такая, что для всех х € М выполняется lim fv(x) — 0. Тогда v—»оо при каждом х Е М имеем 0 < jv{x) < fi(x) для всех v Е N. Отсюда, в частности, вытекает, что /„ обращается в нуль вне множества Е = R(fi) при каждом i/GNh, значит, для всех v Е N выполняется равенство X) /Лх) = X) /Лх)- хем хеЕ Выполнение аксиомы R5 в силу последнего равенства непосредственно вытекает из свойств предела последовательности, установленных в главе 2. Система с интегрированием (М, J^(M),^ ) называется дискрет- м ной системой с интегрированием, заданной на множестве М. В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что функция f: М —+ —* К интегрируема в дискретной системе с интегрированием на множестве М в том и только в том случае, если / суммируема по множеству М в смысле определения § 4 главы 12. При этом интеграл функции / в дискретной системе с интегрированием на множестве М равен сумме значений функции на М. § 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Главная особенность теории интеграла, излагаемой здесь, — наличие удобных теорем о предельном переходе под знаком интеграла. Доказывается теорема о функциональных рядах, удовлетворяющих условию: ряд, образованный L\-нормами членов этого ряда, является сходящимся. В качестве следствия этой теоремы доказывается теорема Леви о пределе монотонной последовательности интегрируемых функций. Применяя теорему Леви, получаем теорему Фату, устанавливающую неравенства между интегралом предельной функции и нижним пределом последовательности интегралов. Одно из следствий теоремы Фату — теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 4.1. Теорема о нормально сходящемся ряде Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, J^",/). Все дальнейшие рассмотрения в пределах данного параграфа относятся именно к этой системе с интегрированием.
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знгьком интегра>ла> 71 Как было показано выше (теорема 2.3), если две функции /: М —> —> R и #: М —» Е совпадают почти всюду в М, то Ц/Ць^Е) = II^IU^s)- Это позволяет распространить понятие Zi-нормы на функции, определенные в М лишь почти всюду (см. выше п. 2.5.3). Именно, пусть дана функция /(ж), где f(x) определено для почти всех х G М. Распространим функцию f(x) на все М произвольным образом. Пусть f(x) — полученное продолжение / на М. Величина ||/(^)||l1(S) не зависит от того, каким способом осуществлялось это продолжение, и мы полагаем ll/IUl(S) = Н/>)|1МЕ). ■ Лемма 4.1. Пусть f(x) есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда, если существует последовательность функций (/i/)i/gn такая, что каждая из них интегрируема, и ||/ — /j/Hl^s) "^ 0 при v —> оо, то функция f интегрируема.. При этом 1(f) = lim /(/„). Замечание. Так как каждая из функций /„ определена и конечна почти всюду в М, то разность / — /„ есть функция, определенная почти всюду в М. Доказательство леммы. Будем считать, что функции /, /„, v — 1,2,..., определены и конечны для всех х G М. Этого всегда можно добиться, меняя, если необходимо, значения функций на множествах меры нуль. Значения интегралов рассматриваемых функций, так же как и их Zi-норм, остаются при этом неизменными. При каждом v G N найдем функцию yv G & такую, что ||/j/—¥>i/\\ьх < < —. Имеем v \f(x) - <pv(x)\ < |/0r) - fv(x)\ + |/„(s) - ip„(x)\ для всех х G М, откуда следует, что II/ - wlk < II/ - Mk + II/, - <рЛьх < II/ - M\Ll + \ и, значит, ||/ — ^i/IUi —> 0 при v —> оо. Согласно определению это и означает, что функция / интегрируема. При каждом v G N имеем |Д/)-/(Л)|<|/(/-/,)|<||/-М|ь1 и, значит, /(А) —► /(/) при v —> оо. Лемма доказана. ■
72 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть Y ft/ есть ряд, все члены которого — функции, определенна ные в М почти всюду. Будем говорить, что этот ряд является нор- оо малъно сходящимся, если £ llAlUi < °°- ■ Теорема 4.1 (теорема о нормально сходящихся рядах). Пусть оо J2 fi/ есть нормально сходящийся ряд функций, определенных почти всюду в М. Тогда, для почти всех х G М величина. fv{x) определена. оо и конечна, при каждом i/GNi числовой ряд Y, fi/(x) является сходя- оо щимся. Пусть F(x) = Y, fv(x)- Тогда, при каждом v G N имеет место i/=i неравенство оо < £ Ш\ъ- (4-1) Если каждая из функций /„ интегрируема., то интегрируема, также оо и функция F. При этом выполняется равенство 1(F) = £) I(fv)- Доказательство. Пусть 1£„ есть множество меры нуль такое, что для всех х ^ Ev значение /„(ж) либо не определено, либо определено оо и равно ±оо. Положим Е' = (J 1£„. Тогда согласно лемме 2.10 2?' есть множество меры нуль. Переопределим функции /„, полагая /„(ж) = 0 при х е Е'. Значения их интегралов при этом не изменятся. Величина ||/i/||li конечна в случае, если /„ интегрируема. Для произвольного х G М положим оо ф(ж) = Yj \fvix)\- По лемме о субаддитивности Iq-нормы (лемма 2.5) имеем оо 1|ф|к<£№1<°°- По теореме 2.3 отсюда вытекает, что множество Е" тех х G М, для которых Ф(ж) = оо, есть множество меры нуль. Пусть Е = E'UE". При х £ Е значение fu(x) определено и конечно оо для всех v G N и Ф(ж) = £ l/vOOl < °°- Мы получаем, таким образом, оо что ряд Y fvix) абсолютно сходится для почти всех х G М. Положим
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 73 F(x) = Л /Лх)- Ддя произвольного v G N пусть i/=i //=1 при х £ Е к Ru(x) = О, если х € Е. Тогда для любого х £ Е, т. е. почти всюду в М, и, значит, ЦЯ.1к = £ Л |/t=H-l Для всех х G М, очевидно, имеем оо |Д„(*)|< ^ 1Л(*)1» и, стало быть, по лемме о субаддитивности Li-нормы (лемма 2.5) оо ЦД,1к< £ Шьг- Тем самым доказано неравенство (4.1). Предположим, что функции fv все интегрируемы. Тогда при каж- дом v G N сумма Fv = £ Д представляет собой интегрируемую функ- Jb=l цию. Из неравенства (4.1) следует, что \\F — Fv\\l1 —* 0 при i/ —► оо. Согласно лемме 4.1 отсюда вытекает, что функция F интегрируема, причем и оо 1(F) = lim I(FV) = lim £/(/*) = £'(/*)• J/—*00 JZ-ЮО *—' *—' Jb=l l/=l Теорема доказана. ■ T Следствие I. Пусть (/i/)i/eN есть последовательность функций, каждая из которых определена в М почти всюду. Тогда если сумма оо ряда ^2 ||/j/||li < оо, то для почти всех х G М зяачеяяе /„(ж) опреде- леяо я конечно при любом v G N, причем Д(ж) —► 0 яря i/ —* оо.
74 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Тот факт, что fu(x) для почти всех х £ М определено при любом v Е N, вытекает из доказанных ранее предложений об условиях, выполняющихся почти всюду (см. п. 2.5 этой главы). Со- оо гласно теореме 4.1 для почти всех х £ М ряд ^Г, fv(x) сходится. Для всякого х £ М, для которого это имеет место, fv(x) —> 0 при v —» оо. Следствие 1 доказано. ¥ Т Следствие 2 (теорема Леви для функциональных рядов). Пусть оо ^2 fv есть ряд, все члены которого суть неотрицательные интегрируе- |/=1 оо мые функции. Тогда, если £/(Л) < оо, то почти все х £ М таковы, ОО |/=1 что F(x) = X) Л(ж) < °°- Функция F, определенная последним равен- оо ством, интегрируема, причем 1(F) = J2 I(fv)- Доказательство. В силу неотрицательности функций /„ £ ^i(S) для каждой из них выполняется равенство ||/„||li = A/i/)- Отсюда ясно, что для последовательности (fv)»^ выполнены все условия теоремы, откуда и вытекает справедливость утверждения следствия 2. Т Т Следствие 3 (теорема Леви для последовательностей). Пусть (/i/)i/6N есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует множество Е меры нуль такое, что для всякого х £ Е значение /„(ж) определено и конечно для всех v £ N и последовательность функций (fi/)veN является монотонной на множестве М \ Е. Тогда если последовательность интегралов (7(/1/))i/Gn ограничена, то для почти всех х £ М существует конечный предел lim fv(x) = f(x). Функция f(x), определенная последним равенством, интегрируема, причем 1(f) = lim I(fu). У—ЮО Замечание. Напомним, что согласно определению монотонной последовательности функций условие следствия означает, что либо для всех х £ М \ Е числовая последовательность (fu(x))ueN является возрастающей, либо эта последовательность является убывающей для всех х е М\Е. Доказательство следствия. Будем считать, что последовательность (/i/)i/eN является возрастающей. Случай убывающей последовательности сводится к этому заменой /„ на —fy. Рассмотрим ряд оо X) [/*/+1 " Д]- Все его члены суть неотрицательные интегрируемые функции, и при каждом v £ N £/(/„+1 - /„) = £[/(/"+!) " W'M = Jtf»+l) ~ 7(/l)- //=1 //=1
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, 75 Так как последовательность интегралов (/(/i/))i/gn5 по условию, ограничена, из последнего равенства вытекает, что последовательность оо частных сумм ряда ]Г) /(/y+i — fu) ограничена. На основании след- ствия 2 теоремы 4.1 заключаем, что для почти всех х £ М величина fv+i(x) — fv{x) определена и конечна, причем сумма оо G(x) = £(/„+i(x) - /„(*)) = V - Um У2(д+1(х) - д(х)) = Um и*+Лх) - /Лх)} J/—юо *—' i/—юо //=1 также определена и конечна, и функция (7 (ж), определенная последним равенством, интегрируема. При этом согласно следствию 2 теоремы 4.1 имеем оо /(G) = £/[/„+!-/„] = V = Um 53J[/m+i]-%]= lim{/(/„+1)-/(/i)}. v—+оо ' ■* I/—*оо Таким образом, для почти всех х £ М существует конечный предел Иш[Л+1(я:)-/1(я:)] = С(я:), 1/—ЮО и, значит, для почти всех х £ М существует конечный предел Um[/V(x)-/!(»)] = G(x), I/—ЮО а вместе с ним и предел Um Л(х) = Л(х) + С(я:) = /(х). I/—ЮО Точно так же заключаем, что существует конечный предел Um /(/„) =/(G) +/(Л). I/—ЮО Мы получаем, таким образом, что функция /, определенная равенством f(x) = lim /„(x) 1/—ЮО для всех ж £ М, для которых этот предел существует, интегрируема, причем /(/) = Um /(/„). I/—ЮО Следствие 3 доказано. ¥
76 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 4.2. НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОГИБАЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 4.2.1. Пусть дана последовательность (fv)»^ вещественных функций, каждая из которых определена почти всюду в М. Найдем множество Е С М, состоящее из всех х £ М, для которых fu(x) не определено хотя бы для одного значения v £ N. Для всякого х £ Е определены величины д(х) = inf/„(ж), h(x) = sup/„(ж). Определенную таким образом функцию 5 будем называть нижней огибающей последовательности (/i/)i/gn- Функция ft называется верхней огибающей последовательности. Будем писать g = inf Л, ft = sup /„. Докажем некоторые вспомогательные утверждения относительно точной нижней и точной верхней границ числовой последовательности. ■ Лемма 4.2. Пусть Е — произвольное множество. Тогда для всякой функции F: Е —> Ш имеют место равенства, in!-F(0 = - eup(-F(0), (4-2) supF(0 = -inf(-F(f)). (4.3) Доказательство. Пусть p = — sup(—F(£)). Тогда для всякого £ € E имеем —F({) < -p и, значит, F(£) > p для всех £ £ £, т. е. p является нижней границей функции F. Пусть р' — произвольная другая нижняя граница функции F. Тогда для любого f £ Е выполняется F(£) > р', откуда следует, что для всех £ £ -Б выполняется — -F(f) < — р1. Мы получаем, таким образом, что — р' есть верхняя граница функции —F. Так как — р есть точная верхняя граница функции —F на Е, то —р < —р;, откуда получаем, что Р > р'- (4-4) Таким образом, р есть нижняя граница функции F, и для любой другой ее нижней границы выполняется неравенство (4.4). По определению, это и означает, что р = inf F(£). Этим доказано равенство (4.1).
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 77 Функция F в равенстве (4.1) совершенно произвольна. Заменяя в нем F на — F, получим mf(-F(0) = -supF(0, откуда, очевидно, следует (4.2). Лемма доказана. ■ 4.2.2. Для произвольных z,y G R символ тах{ж,у} означает наибольшее, символ min{x,y} — наименьшее из этих чисел. ■ Лемма 4.3. Пусть дана последовательность (xn G R)nGN. Определим по индукции последовательности (pi/)i/eN и (<Zi/)i/eN> полагая Pi = qi = xi. Если для некоторого n G N числа, рп и qn определены, то pn+1 = min{pn,a;n+i}, <?„+! = max{^ nj^n+i}- Тогда, (qi/)v£N есть возрастающая последовательность, (Pj/)j/gn — убывающая последовательность и lim pn = inf жп, lim qn — supxn. п—юо nGN n—юо n£N Доказательство. Из определения следует, что при каждом п выполняются неравенства pn+i < Pn? <Zn+i > 9п- Это доказывает, что (<Zi/)i/€N есть возрастающая последовательность, a {pv)v€N — убывающая. Пусть L = lim qn. При каждом п имеем xn < qn < L и, значит, L 71—ЮО есть верхняя граница последовательности (жп)пе1Ч- Пусть V — произвольная другая верхняя граница последовательности (xn)neN. Докажем, что для всех п выполняется неравенство qn < V. Для п = 1 это, очевидно, верно. Предположим, что для некоторого п неравенство qn < V выполняется. Так как xn+i < V', то также и qn+i = max{qn,xn+i} < V. Из доказанного, очевидно, следует, что qn < V для всех п и, значит, L = lim qn < V. Таким образом, L есть верхняя граница по- 71—ЮО следовательности (хп)пе^ и для любой другой ее верхней границы V выполняется неравенство L < V. По определению, это и означает, что L — supxn. Для последовательности {pv)v^N соответствующее утвер- riGN ждение доказывается аналогично. (Формально можно получить его как следствие доказанного, используя результат леммы 4.2.) Лемма доказана. ■ ■ Теорема 4.2. Пусть {fv)v^N есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция (р такая, что при каждом v G N выполняется /Лх) > ф{х) Для почти всех х G М. Тогда нижняя огибающая последовательности функций (/i/)i/eN интегрируема. Если существует функция ф такая, что при каждом v G N выполняется fv(x) < ф{х) для почти всех х G М, то верхняя огибающая последовательности функций (/i/)i/GN есть интегрируемая функция.
78 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Предположим, что при каждом v выполняется /„(ж) > ip(x) для почти всех х G М, где <р G £i(S). Пусть д есть нижняя огибающая последовательности (f^ueN- Пусть Ev есть множество меры нуль, состоящее из всех точек х G М, для которых либо одна из величин fv(x), (p(x) не определена, либо они обе определены, оо но неравенство fu(x) > (р(х) не выполняется. Положим Е = [J Е„. Множество Е является пренебрежимым. "=1 Построим некоторую последовательность функций (/u1/)1/G^, полагая ии(х) = оо для любого х G Е при всех j/ G N. Для х £ Е последовательность (м„(ж))„ел определим из условий щ(х) = /i(a^), и если значение ии(х) определено для некоторого v G N, то uv+\(x) = = min{uu(x), fu+1(x)}. В силу принципа математической индукции этими условиями последовательность (u„)„eN определяется однозначно. Из определения последовательности (u„)„gn видно, что она является убывающей. Функция щ интегрируема, и щ(х) > <р(х) для всех х £ Е. Пусть v G N таково, что функция ии для данного и интегрируема, причем uv{x) > (р(х) для всех х £ Е. В силу свойств интегрируемых функций, установленных ранее (см. §2), из определения функции Uj,+i следует, что тогда функция uv+i = min{uv, fv+i} также интегрируема. Так как, по условию, fv+\{x) > (^(ж), ии{х) > ip(x) для всякого х £ Е, то также и uv+\(x) > (р(х) для любого х ф Е. В силу леммы 4.3 для всякого х ^ Е имеем д{х) = lim uv(x), так I/-+00 что функции ии сходятся к функции д почти всюду в М. При каждом v G N имеем ср < uv < щ почти всюду в М и, значит, I&) < 1Ы < *Ы. Последовательность интегралов (/(г^),,^? таким образом, является ограниченной. В силу теоремы Леей для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) отсюда вытекает, что функция g интегрируема, что и требовалось доказать. Утверждение, касающееся верхней огибающей последовательности функций (/j/)i/eN? может быть доказано аналогичными рассуждениями. Формально это следует из доказанного. Именно, пусть h есть верхняя огибающая последовательности (f^ueN- Тогда в силу леммы 4.2 —Л является нижней огибающей последовательности (—f^ueN- Если при каждом v G N для почти всех х G М выполняется fv{x) < ф(х), где ф G Li, то —fv{x) > —ф(х) для почти всех х. Функция — ф интегрируема, и, значит, по доказанному, также интегрируема функция —/i, т. е. имеет место равенство - sup fv = -h= inf (-/„). i/€N ^N Отсюда следует интегрируемость h. Теорема доказана. ■
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, 79 4.3. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе 4.3.1. Докажем сначала некоторые вспомогательные результаты, касающиеся числовых последовательностей. Понятия верхнего и нижнего пределов в главе 2 определены только для последовательностей, все члены которых конечны. Однако определения, приведенные там (КМА, часть I, книга 1), без изменений могут быть распространены на случай последовательностей, у которых отдельные члены равны ±оо. Пусть дана последовательность (xv G R)„gn. Число Н G Ш называется нижним числом данной последовательности, если существует номер v такой, что для всех v > v выполняется неравенство xv > Н. Множество нижних чисел непусто, так как — оо является нижним числом любой последовательности рассматриваемого вида. Точная верхняя граница множества всех нижних чисел последовательности называется ее нижним пределом и обозначается символом lim xv. Аналогично, число Н G К называется верхним числом последовательности (^i/)i/gn? если существует номер v такой, что для всех v > v выполняется неравенство xv < Я, Множество верхних чисел непусто. Его точная нижняя граница называется верхним пределом последовательности (хи)и^ и обозначается символом lim xv. v—юо _ В соответствии со сказанным будем говорить, что число L G К является пределом последовательности {xv G K)i/gn> если L = lim xv — lim xv. При этом верхний и нижний пределы предполагаются определенными, как указано выше. Из результатов главы 2 вытекает, что для случая последовательностей, все члены которых конечны, данное определение предела равносильно тому, которое приводится в главе 2. ■ Лемма 4А. Пусть (Xv G R)i/eN есть произвольная числовая последовательность. Для v G N положим Nv = inf Х^ Vv = supX^. Тогда последовательность (Nj,),,^ возрастающая, последовательность (Vp)p£N убывающая и имеют место равенства lim Nv = lim Xv, lim Vv = lim Xv. l/—*00 I/—ЮО V—ЮО I/—ЮО
80 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Пусть N„ = {/i G N| \i > u}. Тогда N„ = inf X^, Vv — sup X^. При каждом v G N выполняется N„ D N„+i, откуда в силу известных свойств точной верхней и точной нижней границ функции (см. главу 1) вытекает, что N„ < N„+i, К > V^+i для любого i/ G N, т. е. последовательность (-ZV^)^gn возрастающая, а последовательность (V,,),,^ убывающая, и, значит, пределы, указанные в формулировке доказываемой леммы, существуют. Положим Р' = lim Nu, P= lim X„, Q' = lim К, Q = ПпГ X,,. I/—ЮО J/—юо V—+00 V—+ 00 Требуется доказать, что Pf = Р и Q^ = Q. Напомним, что величина Z G Е называется нижним числом последовательности (Xj,)^^, если существует номер v такой, что при каждом v > v выполняется неравенство Xv > I. Согласно определению ниэюний предел последовательности (Xj,)^^ есть точная верхняя граница множества N(X) всех ее нижних чисел. При каждом v € N имеем Х^ > Nu для любого ц > и, откуда следует, что Nv есть нижнее число последовательности (Xu)v^^ для любого v G N и, значит, Nv < Р для всех v G N. Отсюда следует, что Р' = lim Nv < P = supN(X). (4.5) v—+оо Пусть / G N(X). Для этого / найдется номер z/ такой, что Xv > I для всех v > Т>. Отсюда следует, что Р' > Nv > I. Так как / G N(X) взято произвольно, то, следовательно, мы получаем, что Р' является верхней границей множества N(X) и, значит, Р' > Р (4.6) Из неравенств (4.5) и (4.6), очевидно, вытекает, что Р' = Р. Равенство Q1 = Q доказывается аналогичным образом. Нужно только в рассуждениях, проделанных выше, надлежащим образом изменить знаки неравенств. Мы предоставляем эту работу читателю. Заметим еще, что формально данное равенство может быть выведено из доказанного применением леммы 4.2. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 4.3 (теорема Фату о предельном переходе). Пусть (/i/)i/GN есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция <р такая, что /„(ж) > (р(х) почти всюду в М при каждом v G N. Тогда если величина lim I(fv) конечна, то функция /, определенная усло- 1/—+00 вием f(x) = lim fv(x) для почти всех х G М, интегрируема, причем V—+00 имеет место неравенство 1(f) < lim I(fv)>
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 81 Доказательство. Предположим, что выполнены все условия теоремы и величина L = Jim /(/„) конечна. Для v € N обозначим через gv нижнюю огибающую последовательности (/M4.„_i)MeN. Для почти всех х G М выполняется неравенство gv(x) > <p(x). Согласно теореме 4.2 функция gv интегрируема. Для любого /i > v <f(x) < g„(x) < f»(x) для почти всех х G М. Отсюда вытекает, что для любого /i > v и, следовательно, /Ы < inf 1(/д) < L. (4.7) fl>U Последовательность функций (ffi/)j/GN возрастающая. Согласно лемме 4.4 для почти всех х G М имеем lim gv(x) = lim /„(ж) = /(ж). v—+oo * w j/-»oo Последовательность интегралов (J(ffi/))i/ei>b как следует из неравенств (4.7), является ограниченной. Отсюда согласно теореме Леей для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) вытекает, что функция / интегрируема, причем /(/) = Urn I(g¥) < L = lim /(/„). 1/—^ОО I/-+OO Теорема доказана. ■ ▼ Следствие 1. Пусть (Д,) * €N есть последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция ф такая, что при каждом v € N для почти всех х G М выполняется неравенство fv(x) < ф(х). Пусть функция f определена условием f(x) = lim ft/(x) для почти всех х G М. Тогда если К = lim J(/i,) > I/—*00 I/—*00 > — оо, то функция f интегрируема, причем имеет место неравенство 1(f) > Ш /(/„).
82 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Предположим, что последовательность функций (fu)ue^ удовлетворяет всем условиям следствия. Положим /* = = —/„, ф* = — ф, /* = —/. Тогда при каждом v £ N выполняется ftix) > Ф*(х) почти всюду в М, l(fZ) = —I(fu) и для почти всех х е М _ Г(х) = - lim Ux) = Urn [-/„(*)] = Urn /Л*). Аналогично получаем lim /(/;) = - ШК /(Л). (4.8) i/-oo 1/-*°° Для последовательности функций (/*)^ выполнены все условия теоремы. Отсюда вытекают интегрируемость функции /* и неравенство /(Г)< Ит /(/;). (4.9) Отсюда же получаем интегрируемость функции / = — /*. В силу соотношений (4.8) и (4.9) будем иметь ПЛ = -ЦП > - Ит /(/;) = Ш /(/„). I/—ЮО I/—ЮО ^ Следствие 1 доказано. ▼ Т Следствие 2 (теорема Лебега о предельном переходе). Пусть (/i/)i/GN есть произвольная последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в М к функции /. Предположим, что существуют интегрируемые функции (риф такие, что при каждом и £ N для почти всех х Е М выполняются неравенства <р(х) < fv(x) < ф(х). Тогда предельная функция f интегрируема, причем имеет место равенство 1(f) = lim /(/„). I/—ЮО Доказательство. Пусть последовательность (fu)ueN удовлетворяет всем условиям следствия. Тогда при каждом u Е N имеем 1((р) < < I{fv) < 1(Ф)> так что последовательность (J(/i/))i/gn является ограниченной. Отсюда следует, что ее верхний и нижний пределы конечны. Так как f(x)= lim fv{x) для почти всех х Е М, то, значит, I/—ЮО f(x) = lim /|/(ж) почти всюду в М, поскольку предел последовательно- I/—*оо сти в случае, если он существует, является также ее нижним и верхним пределами. Применяя теорему 4.3, отсюда заключаем, что функция / интегрируема, причем имеет место неравенство /(/) < lim /(/,/).
§ 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 83 Далее, следствие 1 позволяет заключить, что имеет место также неравенство /(/) > lim I(fv)> Так как, с другой стороны, lim I(fv) < i/—*оо < lim /(/i/), то из доказанного следует, что I/-+00 /(/) = Шп /(/,) = Шп" /(/„). I/—+ 00 Таким образом, верхний и нижний пределы последовательности (^(/i/))i/€N совпадают, причем их общее значение равно /(/). Это означает, что 1(f) = lim /(/„). I/—fOO Следствие 2 доказано. Т 4.3.2. Докажем некоторые простые утверждения о приближении интегрируемых функций в Rn непрерывными финитными функциями. ■ Лемма 4.5. Пусть f есть ступенчатая функция в пространстве Шп. Тогда для любого открытого множества £У, содержащего носитель функции f по любому е > О, можно указать непрерывную финитную функцию (р такую, что Spr (ср) С U, и имеет место неравенство IIZ-HImr») <е Доказательство. Обозначим символом r{t) функцию переменной <GlR, определенную следующим образом: r{i) = 1 при t > О и r{i) = О при t < 0. Предположим, что дан полуинтервал a = [о:,/3), где —оо < < a < /3 < оо. Разность т(х — а) — т(х — (3) равна единице при t Е сг, и равна нулю при х £ сг, т. е. эта разность совпадает с индикатором X* отрезка сг. Для произвольного h > О положим (ж + /Q+ - s+ rh(t) = . Легко проверяется, что г^(<) = 0 при t < —/i, Th(t) = l при <>0 и 0 < Th(t) < 1 для всех iGK. Функция г^, очевидно, является непрерывной. Имеем lim Th(t) = 0 для всех <6М. Пусть дан полуинтервал a = [а,/3). Положим х<г,л = гл(я — <*) — —гд(ж — /3). Из сказанного следует, что lim x<r,h = r(s - а) - r(s - /3) = *«,(*) л—*о для всех f 6 К. Функция x<rfh непрерывна и обращается в нуль вне промежутка [а — Л,/3].
84 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Предположим теперь, что задан n-мерный полуинтервал а = <7i X <Т2 X • • • X <7П, где (Tk = [(XkiPk), к = 1,2,...,п. Для х = (жьж2,.. .,жп) G Е71 положим X<r,h(x) = Дх^,^^). *=1 Функция х<г,л(я) в пространстве R71 непрерывна й обращается в нуль вне замкнутого n-мерного прямоугольника <rh = [«1 - A,/?i] х [«2 ~ Л, ft] х • • • х [an - hjfin]. Для всякой точки х € (ть можно указать точку у Е а такую, что \х - у\ < hy/ri. Функция x*,h(x) непрерывна и финитна, причем О < х*,к{х) < 1 для всех х Е Шп. При этом справедливо соотношение п liraix<r,h(x) = П Х"*(ж*) = x,(s). Jfc=l Пусть / есть произвольная ступенчатая функция в пространстве Шп и m /0е) = ^2aiXaj(x) i=* есть представление / в виде линейной комбинации попарно непересекающихся двоичных кубов. Будем считать, что коэффициенты аг- в этом представлении все отличны от нуля. Тогда носитель Spr(/) функции /, как нетрудно видеть, совпадает с объединением замкнутых кубов Ьу Предположим, что открытое множество U содержит носитель функции /. Тогда найдется 6 > О такое, что для всякой точки х G Spr(/) шар В(х,8) содержится в множестве U. Для h > О положим m
§ 5. Измеримые функции и множества. 85 Функция fh, очевидно, является непрерывной и финитной иД(ж)-> —► /(ж) при Л —► 0 для всех х € Кп. Если Л, достаточно мало, а именно, с если h < -7=, то носитель функции Д будет содержаться в множе- стве СЛ Функции Д(х) ограничены, |Д(ж)| < max \аЛ = |/(ж)| для l<j<m всех х € R71. Для любого Н > О найдется n-мерный куб Q = [—L,L]n такой, что при 0 < h < Н функции Д обращаются в нуль вне этого куба. Применяя теорему Лебега о предельном переходе, получим, что II/""/aIUi(R») ""* О ПРИ Л —► 0. Утверждение леммы очевидным образом следует из доказанного. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 4.4. Для всякой интегрируемой функции f: Rn —► Ш для любого е > О существует непрерывная финитная функция <р: Rn —► Ш такая, что ||/ - <p\\Ll < е. Доказательство. Пусть / есть функция класса Lj(Rn). Тогда согласно определению интегрируемой функции для всякого е > О найдется ступенчатая функция Ф, для которой имеет место неравенство II/ — V'IIliCR'1) < х- В силу леммы 4.5 можно указать непрерывную финитную функцию <р такую, что ||V,"~¥?IU1(Rn) < ^- Отсюда получаем II/ - pIImr») ^ II/ - ^IUx(R^) + l№ - HImr») < 2 + 2 = €t Теорема доказана. ■ § 5. Измеримые функции и множества Здесь мы опишем некоторый класс функций, естественно возникающий в теории интеграла. Условия, определяющие класс интегрируемых функций, в некоторых случаях оказываются слишком ограничительными. В связи с этим, возникает необходимость ввести более широкий класс функций, который был бы определен условиями, менее жесткими, чем это имеет место в случае интегрируемых функций. Таким является класс измеримых функций. Понятие измеримой функции позволяет производить различные преобразования интегрируемых функций, не заботясь при этом, чтобы функции, получаемые на промежуточных этапах, были интегрируемыми. Если результатом преобразований является некоторая функция, то ее интегрируемость может быть установлена в конце вычислений. Применение измеримых функций оказывается полезным при изучении интегрируемых функций. Соответствующие' примеры приводятся в этой главе позднее.
86 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 5.1. Определения и простейшие свойства измеримых функций Зададим произвольно систему с интегрированием Е = {М,&,1). Дальнейшие рассмотрения относятся именно к этой системе с интегрированием. Функция /: М —» R, определенная в М почти всюду, называется измеримой, если существует последовательность функций (</?j,)i/gn> принадлежащих классу &, такая, что y>v(х) —* f(x) для почти всех ж G М. Для системы с интегрированием Е = {М,& ,1) множество всех функций, измеримых в этой системе, обозначается символом М(Е). Всякая интегрируемая функция измерима,. Действительно, пусть / G ii(E). Согласно определению интегрируемой функции для всякого v G N найдется функция <£>„ £ ^ такал, что ||/ — <£i/||li(i;) < 7^7- Имеем 00 ]T||/-¥>i/||l1(E) <оо. Отсюда согласно следствию 1 теоремы 4.1 вытекает, что для почти всех х Е М разность f(x) — ip„(x) —► 0 при i/ —* 00 и, значит, 4>v(x) —► —> /(ж) для почти всех х € М при i/ —► оо. Согласно определению это и означает, что функция / измерима. Множество А С М называется измеримым, если его индикатор ха является измеримой функцией. ■ Теорема 5.1. Если вещественная функция /, определенная в М почти всюду, измерима,, то функции |/|, /+, /"" являются измеримыми. Доказательство. Так как функция / измерима, то согласно определению существует последовательность (<£>i/)i/eN функций класса &, сходящаяся к / почти всюду. Для всякого х G М, для которого (pv(x) —► —► /(х) при z/ —► оо, очевидно, \<йЛ*)\ ~+ |/(*)|> ¥>*+(*) "+ /+(*)> ¥>i/~0*0 "* /"(*)• Функции |^„|, (^^+, ^i/"" принадлежат классу ^ при всех i/ G N. Следовательно, мы получаем, что для каждой из функций |/|, /+ и /"" можно указать последовательность функций, принадлежащих классу &', сходящуюся к ней почти всюду. Тем самым измеримость всех этих функций установлена. Теорема доказана. ■
§ 5. Измеримые функции и множества, 87 ■ Лемма 5.1. Пусть (х„ Е R)i/gn я (у,, Е K)i/gn есть произвольные числовые последовательности, каждая из которых имеет конечный или бесконечный предел. Пусть X = lim xv, У = lim y„. Положим uv = I/—ЮО 1/-ЮО = тш{х,,,у,,} и^ = тах{ж1/,у1/}. Тогда каждая из последовательностей (u^vzw и (vi/)i/Gn имеет предел. При этом lim uv = min{X,y}, lim vv = тах{Х,У}. Доказательство. В случае, когда X и У конечны, доказываемые соотношения непосредственно вытекают из соотношений min{z,y} = х - (х - у)+, тах{я,у} = у + (ж - у)+. Пусть одна из величин X и У равна — оо. Для определенности будем считать, что X = — оо. При каждом i/ E N имеем г^ < xv. Отсюда следует, что в этом случае lim uv = — оо. Предположим, что У > X = —оо. Тогда найдется номер v такой, что при всяком v > v имеет место неравенство xv < у„. Для всех таких v имеем vv = y„. Отсюда вытекает, что в этом случае lim vv = lim yv = Y = тах{Х,У}. Рассмотрим случай, когда X = У = — оо. Зададим произвольно 1Г > — оо. Согласно определению предела тогда найдется номер i/ £ N такой, что для всякого v > v выполняются неравенства хи < К и у„ < iT. Для всех v > v, очевидно, выполняется неравенство vv < К. Так как К > — оо было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что и в данном случае lim vv — У = тах{Х,У}. Случай, когда хотя бы одно из чисел X и У равно оо, рассматривается аналогично. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 5.2. Пусть f и g есть вещественные функции, определенные в М почти всюду. Тогда если функции f и g измеримы, то измеримы также и функции max{/, g) и min{/, g}. Если сумма f(x) + д(х) определена для почти всех х Е М, то функция f + g измерима. Для всякого а Ф О функция af измерима. Замечание. Требование а ф О в последнем утверждении теоремы введено только для того, чтобы избежать ситуации, когда f(x) = ±оо на множестве, не являющемся пренебрежимым.
88 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство теоремы. Пусть Е\ С М и Е2 С М — пренеб- режимые множества такие, что f(x) определено для всех х £ Е\, а д{х) определено для любого х £ Е2. Построим последовательности (^z/)z/gn и ('0i/)i/GN функций класса &, сходящиеся почти всюду к функциям /ид соответственно. Пусть А\ С М \ Е\ и А2 С М \ Е2 — пренебрежимые множества такие, что ipv(x) —> /(ж) для любого ж ^ Ei U Ai и ^(я) -* d(x) Для всех х ^ £2 U ^2- Множество Е — Ei \J Ai \J E2 U А2 пренебрежимо. Для всякого х £ Е величины f(x) и д(х) определены, причем f(x) = lim у>„(ж) I/—ЮО и </(ж) = lim ФЛХ)- В силу леммы 5.1 для всякого х £ Е имеем I/—fOO max{/(x), </(#)} = lim max{(^I/(a;),'0j/(^)}, J/-400 min{/(i),5(i)}= lim тт{у>,,(ж),^(ж)}. I/—fOO Функции max-j^,,,^!/} и miniv'i/jVv} принадлежат классу & при каждом v G N. Согласно определению доказанное означает, что функции тах{/,#} и min{/,<7} измеримы. Если х £ Е\ U Е2, то для этого ж определены значения каждой из функций f(x) и д(х). Предположим^ что сумма f(x) + g{x) определена для почти всех х G М, т. е. существует пренебрежимое множество Eq С М \ (Е\ U Е2) такое, что для всякого х £ Eq U E\ U Е2 определено /(ж) + д{х). Это означает, что выражение f(x) + д(х) не является суммой вида —оо + оо или оо + (—оо). Для всякого х £ Eq U E\ U Е2 имеет место равенство f(x) + g(x)= ]1т[(рр(х) + фу(х)]. Функция фу + фу при каждом v € N принадлежит классу &. При v —» оо функции ip„ + фу сходятся к f + g почти всюду. Согласно определению отсюда следует, что функция f + g измерима. Наконец, заметим, что если функции у>„, и = 1,2,..., класса & при v —» оо сходятся почти всюду в М к функции / и а ^ 0, то функции ay» почти всюду сходятся к функции а/. При каждом и £ N функция асри принадлежит классу &'. Отсюда следует измеримость функции а/. Теорема доказана. ■ ■ Лемма 5.2. Пусть f есть неотрицательная вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда если функция f измерима, то существует последовательность неотрицательных функций класса &*, сходящаяся к f почти всюду.
§ 5. Измеримые функции и множества, 89 Доказательство. Пусть / — неотрицательная измеримая функция, (<£>i/)i/eN — последовательность функций класса &, сходящаяся к / почти всюду. При каждом v Е N функция |у>„| принадлежит классу &, и для всякого х Е М, для которого 4>v(x) —> /(ж) при I/ —> оо, также и l^i/l ""^ |/(ж)| ПРИ ^ -^ оо. Так как функция / неотрицательна, то \j{x)\ = /(ж) и, значит, |у>1/(ж)| —> /(ж) почти всюду. Последовательность (|^i/|)i/gn и есть искомая. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 5.3. Пусть f есть измеримая функция. Тогда если существует интегрируемая функция g такая, что \f(x)\ < g{x) для почти всех х Е М, то функция f интегрируема. Доказательство. Предположим, что функции /ид удовлетворяют всем условиям теоремы, причем функция / неотрицательна. Согласно лемме 5.2 найдется последовательность (<p„)j/eN неотрицательных функций класса &, сходящаяся к / почти всюду. Положим /„ = minl^, g}. При всяком и функция /„ интегрируема, и для почти всех х Е М выполняется неравенство 0 < fy(x) < д{х). При и —► оо для почти всех хбМ имеем /„(ж) —> min{/(x), #(ж)} = f(x). На основании теоремы Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3) из доказанного следует интегрируемость /. Рассмотрим случай, когда / есть функция произвольного знака. Из условий теоремы следует, что f+(x) < g(x) и f~(x) < g{x) для почти всех х Е М. Функции /+ и /" неотрицательны и измерима. Из доказанного следует, что /+ и /~ интегрируемы и, следовательно, интегрируема также и функция /. Теорема доказана. ■ 5.2. Теорема о пределе последовательности измеримых функций Здесь будет доказано, что предел последовательности измеримых функций, сходящейся почти всюду, есть измеримая функция. ■ Лемма 5.3. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, &, /), и пусть f есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Если существует последовательность (/z/)i/gn интегрируемых функций, сходящаяся к f почти всюду, то функция f измерима. Доказательство. Пусть (fv)ue^ есть последовательность интегрируемых функций, сходящаяся к / почти всюду. Пусть Е\ есть пре- небрежимое множество такое, что f(x) определено для всех х ^ Е\, а Е2 С М\Е\ — множество всех х, для которых сходимость fv(x) —* —> f(x) не имеет места.
90 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных По условию множество JE?2 также пренебрежимо. При каждом v E N найдем функцию <ри класса & такую, что ||у>„ — /i/|Ui < — • Имеем оо откуда следует, что <ри(х) — /Дж) -* 0 для почти всех ж Е М. Пусть 2£з есть множество меры нуль, состоящее из всех точек ж, для которых <ри(х) — /„(ж) не стремится к нулю при v —> оо. Положим Е = Е1иЕ2иЕз^ Возьмем произвольно точку х € М\Е. Тогда х £ Е\ и, значит, для этого ж значение /(ж) определено. Далее, в этом случае ж ф #2 и, значит, fv{x)—> /(ж) при i/—юо. Данная точка ж не принадлежит также и множеству 2?з, откуда вытекает, что 9?^(ж) — /„(ж) —> 0 для этого ж при i/ —> оо. Из доказанного следует, что </?,/(ж) —> /(ж) при и —> оо для всякого х £ Е. Таким образом, построена последовательность (<£i/),/eN функций класса ^, сходящаяся к / почти всюду. Тем самым установлено, что функция / измерима. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 5.4. Пусть дана, система с интегрированием Е = = (М, ^", /), и пусть f есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда если существует последовательность измеримых функций, сходящаяся к f почти всюду, то функция f измерима. Доказательство. Предположим, что функция / удовлетворяет условию теоремы. Пусть (/i/)i/gn есть последовательность измеримых функций, сходящаяся к / почти всюду. Рассмотрим сначала случай, когда функции / и /„ все неотрицательные. Пусть Eq есть множество меры нуль такое, что для всякого х £ Ео значения /(ж) и fv(x) определены для всех u Е N и fv(x) -» /(ж) при v —> оо. Согласно лемме 5.2 при каждом и £ N найдется последовательность (^i/,m)mGN неотрицательных функций класса &', сходящаяся к /„ почти всюду при v —► оо. Пусть Ev есть множество меры нуль такое, что для всех ж ^ Ev fv(x) определено и <^,/>т(ж) —► fv{x) при га —> оо. Положим оо E=\jEy. i/=0 Отмечаем, что множество Е пренебрежимо. Для всякого ж ^ Е имеем /|/(ж) —* /(ж) при i/ —* оо и <^,/,т(ж) —> /Дж) при га —> оо. Для каждого к £ N положим к к i/=l т=1
§ 5. Измеримые функции и множества, 91 Фиксируем произвольно значение k £ N. Пусть дк = min{0jb, /}, #*,„ = mm{9k, /„}. Для всякого х £ Е при i/ —► оо имеем дк,Лх) ~* 9к(х). Каждая из функций дь%и измерима. При этом 0 < дк,Лх) < #*(#) для всякого х £ 22, т. е. для почти всех х Е М. Отсюда в силу теоремы 5.3 следует, что функция дь%и интегрируема. Для почти всех х Е М имеем дк,Лх) ~* 9к(х) и 0 < дк,Лх) < ^к(х). В силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что функция gk интегрируема. Докажем теперь, что gk(x) —> f(x) при к —> оо для всех х $. Е. Действительно, если f(x) = 0 для некоторого х £ Е, то дк(х) = min{0*(x),/(x)} = min{0*(x),O} = О для любого fc и, значит, в этом случае дк(х) —> f(x) при к —> оо. Пусть /(ж) > 0. Так как /„(х) —> /(ж) для данного х при i/ —» оо, то найдется щ такое, что Л,0(х) > 0. Тогда lim <pVo,m(z) = /„0(х) > 0 и, значит, ряд (*) + ... расходится, поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости. Пусть Ф*;(х) есть частная сумма с номером fc этого ряда. Так как все члены ряда неотрицательны и ряд расходится, то Ф*(х) —► оо при к —» оо. Если к > 1/о, то в силу неотрицательности функций <^„)ГП имеем **(*) > ^ ¥4,m(s) = Ф*(я), тп=1 откуда следует, что вк(х) —> оо при fc —> оо. Из доказанного следует, что (7*(х) при fc —> оо стремится к пределу, равному min{/(x),oo} = /(х), т. е. и в данном случае дк{х) —> /(х) при fc —> оо.
92 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Таким образом, мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к / почти всюду. В силу леммы 5.3 тем самым доказано, что функция / является измеримой. В проделанных рассуждениях предполагалось, что функции /иД неотрицательны. Рассмотрим общий случай. Пусть (fu)i/e^ — произвольная последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду к функции /. Тогда f*(x) —> f+(x) и f~(x) —» f~(x) при v —> оо для почти всех х. Функции /+ и /~ неотрицательны и измеримы. Значит, по доказанному, функции /+ и /"" измеримы. Отсюда вытекает измеримость функции /. Теорема доказана. ■ ▼ Следствие. Пусть (/J/)J/eiv — произвольная последовательность вещественных функций и функции U и V определены посредством равенств U{x) = sup/Да;), i/€N V{x) = MUx). i/6N Тогда, если каждая из функций /„ измерима, то U nV есть измеримые функции. Доказательство. Определим вспомогательные последовательности функций (/7„)„егс и (Vi,),,^, полагая Ui = V\ — /ь Если Up и Vv определены, то Up+г = max{J7l/,/I/+i}, V^+i = mm{Up,fp+1}. Последовательность (/7„)„eiv возрастающая, последовательность (Vl/)^^iv убывающая. При v —> оо имеем /7„(ж) —> /7(ж) и ^„(я) —► ^(ж) для всех ж Е М, для которых величины U(x) и V(x) определены. Функции Ui = Vi = /i измеримы. Если для некоторого i/GN измеримость функций Up и Vv установлена, то в силу теоремы 5.2 отсюда вытекает измеримость функций Z7„+i и V^+i- На основании принципа математической индукции получаем, что функции Uv и Vi, измеримы для всех и Е N. Имеем ЕГ(аО= Ит ЕГ„(аО, V(x)= lim 7„(х). J/—*00 Таким образом, из сказанного следует измеримость каждой из функций TJ жУ. Следствие доказано. Т
§ 5. Измеримые функции и множества, 93 5.3. Распространение интеграла на измеримые функции Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, ^,/). Множество всех неотрицательных измеримых функций в системе с интегрированием Е обозначим символом М+(Е). Понятие интеграла частично может быть распространено на случай измеримых функций. Простоты ради мы ограничимся случаем неотрицательных функций. Заметим, что определить понятие интеграла для произвольной измеримой функции — с сохранением некоторых из его основных свойств — невозможно. Пусть / есть неотрицательная измеримая функция, / Е М+(Е). Если / интегрируема, то величина /(/) имеет тот же смысл, что и ранее (см. определение в § 2). Если же функция / не является интегрируемой, то полагаем /(/) = оо. ■ Теорема 5.5. Пусть /ид — две функции класса, М+(Е). Тогда, если f(x) < g(x) почти всюду в М, то имеет место неравенство 4f) < 1(g)- (5.1) Доказательство. Если 1(g) = оо, то неравенство теоремы, очевидно, выполняется. Предположим, что 1(g) < оо. Тогда функция g интегрируема. По условию, f(x) < g(x) для почти всех х Е М. Отсюда в силу теоремы 5.3 следует, что функция / интегрируема и неравенство (5.1) вытекает из следствия 2 теоремы 2.2. Теорема доказана. ■ ■ Теорема 5.6. Для любых двух функций f ид класса, М+(Е) имеет место равенство l(f + g) = l(f) + i(g)- (5.2) Доказательство. Если /(/) < оо и 1(g) < оо, то функции / и д интегрируемы и в этом случае доказываемое утверждение следует из свойств интеграла, установленных ранее (теорема 2.1). Предположим, что хотя бы одна из величин /(/) и 1(g) равна оо. Тогда /(/) + 1(g) = оо, и наша задача состоит в том, чтобы доказать, что /(/ + д) = оо. Допустим, напротив, что /(/ + д) конечно. Тогда функция f + g интегрируема. Так как 0 < f(x) < f(x) + д(х) и 0 < д(х) < f(x) + д(х) для почти всех х G М, то функции / и д интегрируемы и величины /(/) и 1(g) конечны, что противоречит сделанному выше допущению. Значит, /(/ + д) = оо, т. е. ив этом случае /(/ + д) = 1(f) + 1(g). Теорема доказана. ■
94 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ш Теорема 5.7. Пусть (fi/)ueN — произвольная возрастающая последовательность функций класса М+(Е), f(x) — lim fv(x) длях G M. v—юо Определенная таким образом функция f является измеримой, причем 1(f) = lim /(/„). (5.3) J/—ЮО Для любой последовательности (и^^^ измеримых функций, неот- оо рицательных и определенных в М почти всюду, функция F = ^ uv является измеримой, причем имеет место равенство оо /(Л = Х>К). (5.4) Замечание. Если по крайней мере одно из слагаемых, встречающихся в каждой из сумм, указанных во втором утверждении теоремы 5.7, равно оо, то и всю сумму мы считаем равной оо. Доказательство теоремы. Измеримость функции / следует из теоремы 5.4. Так как последовательность (fv)U£N возрастающая, то последовательность (I(fu))ye^ также возрастающая. При каждом u Е N имеем I(fv) < 1(f)- Отсюда следует, что lim I(fv) < 1(f)- V—ЮО Если lim I(fv) = оо, то отсюда вытекает, что /(/) = оо, и, стало V—ЮО быть, в этом случае равенство (5.3) верно. Если же предел lim I(fv) конечен, то, как следует из теоремы J/—ЮО Леей для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1), предельная функция / является интегрируемой, причем 1(f) = lim I(fv). V—ЮО Таким образом, доказано утверждение теоремы, относящееся к неравенству (5.3). Докажем утверждение теоремы, касающееся равенства (5.4). По- V ложим Fv — J2 и\. Последовательность функций (Fv)v^, получаемая таким образом, является возрастающей. Для почти всех х Е М существует предел lim Fu(x) = F(x). Отсюда в силу доказанного утвер- V—ЮО ждения теоремы относительно функциональных последовательностей вытекает, что V V ОО 1(F) = lim I{FV) = lim J(Y>a) = lim У)/(ид) = У)/(и„). V—ЮО V—ЮО -*—' U—ЮО *—' *—' A=l A=l i/=l Теорема доказана. ■
§ 5. Измеримые функции и множества, 95 ▼ Следствие. Для всякой неотрицательной измеримой функции f ее L\-норма, равна /(/). Действительно, в случае, когда / есть интегрируемая функция, данное предложение доказано ранее. Предположим, что / неинтегри- руема. Тогда /(/) = оо. Пусть {fv)v€N — произвольная последовательность простых функций, мажорирующая функцию /. Для всякого х G М существует предел lim fv(x), который мы обозначим симво- _ _ V—ЮО лом /. Функция / измерима, и для всех х € М имеет место неравенство 0 < f(x) < f(x). Отсюдав силу теоремы 5.5 вытекает, что /(/) = оо. Согласно теореме 5.7 /(/) = lim I(fy)- Хаким образом, для у—*оо всякой последовательности простых функций (/i/)i/eN> мажорирующей данную функцию /, в рассматриваемом случае I(fv) —> оо при v —» оо. Отсюда согласно определению Li-нормы вытекает, что Ц/Ць^м) = °°- Следствие доказано. ▼ ■ Теорема 5.8 (теорема Фату для последовательности измеримых функций). Пусть (/j/jj/GN есть произвольная последовательность неотрицательных измеримых функций, и пусть функция f определена равенством f(x) = lim fv{x). Тогда имеет место неравенство 1/—ЮО /(/) < Щп /(Л). (5.5) Доказательство. Предположим, что выполнены все условия теоремы. Положим L = lim /(Д). Если L = оо, то неравенство (5.5) верно. Будем считать, что L конечно. Для v G N обозначим через gv нижнюю огибающую последовательности (/д)д>|/. Это означает, что gv{x) = inf fy(x) для почти всех х G М. Следствие теоремы 5.4 позво- ляет заключить, что каждая из функций gv измерима. Функции gv все неотрицательны в силу неотрицательности функций /„. При всяком /z > v имеем gv < /д, и, значит, I{gv) < /(/д) при любом \l > u. Отсюда следует, что I{gv) < inf /(/д) < L. По предположению L конечно, д>1/ и, значит, I(gv) < оо для всех i/, т. е. функции gv все интегрируемы. Последовательность функций (д»)»^ возрастающая. Для почти всех х G М имеем lim gv(x) = lim fv(x) = f(x). I/—ЮО v—юо Последовательность интегралов (I(gv))vtN ограничена сверху. Отсюда согласно теореме Леей для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) вытекает, что функция / интегрируема, причем /(/) = lim I{g„) < L = lim /(/„). Теорема доказана. ■
96 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 5.4. Понятие измеримого множества. Интеграл как аддитивная функция множества В произвольной системе с интегрированием может быть выделен некоторый класс множеств, которые мы будем называть измеримыми. В случае евклидовой системы с интегрированием измеримые множества есть в точности те, для которых может быть определено естественным образом понятие n-мерного объема. «Естественность» в данном случае означает, что п-мерный объем должен обладать некоторыми «хорошими» свойствами. 5.4.1. Пусть дана система с интегрированием £ = (М, *^,7). По произвольному множеству А определим операцию над множествами, которую будем называть операцией огораживания функции f no множеству А. Сначала определим по множеству А С М некоторые вспомогательные функции Ха(х) и 0д(ж), полагал Ха(х) = 1, 0д(я) = оо при х € "А; Ха(х) — &а{%) — 0 при х $ А. Функция хЛ есть уже известная нам функция — индикатор или характеристическая функция множества А. Предположим, что задана функция /, область определения которой есть подмножество М, содержащее множество А. Полагаем RaKx) = \ при х G А, Если взять f(x) = 1, то Ra/ = Ха, а, если f(x) = оо, то Ra/ = 0а- Будем говорить, что функция Яд/ есть результат огораживания функции f no множеству А. Множество А С М называется измеримым относительно системы с интегрированием Е, если функция ха в этой системе является измеримой. Если множество А измеримо, то функция в а также является измеримой. Действительно, в этом случае при каждом v € N функция vxa измерима и ^хд(я) -*• вА(х) при v -* оо для всех ж, откуда и следует измеримость функции 0д. Пусть даны вещественные функции /ид, определенные почти всюду в М. Предположим, что линейная комбинация А/ + fig также определена почти всюду в М. Тогда имеет место равенство Да(А/ + рд) = XRAf + fiRAg. Действительно, если х £ А, то Яд(А/(я) + fif(x)) = 0, Ra/(x) = О и RAg(x) = 0, и для этого ж, очевидно, имеет место равенство RaW(x) + /*/(*)) = АДл/(*) + мДа<7(*). (5.6)
§ 5. Измеримые функции и множества 97 Если же х G А и для этого х определены /(ж), ^(ж) и Xf(x) + /i/(z), то Да/(*) = /(*), ДА<7(я) = <7(z), RaW(x) + fif(x)] = Xf(x) + /i/(z), и, значит, в данном случае также RA(Xf(x) + /х/(х)) = Айл/(») + vRa9{x). Таким образом, функции, стоящие в равенстве (5.6) слева и справа, принимают одинаковые значения для всех х G М, что и требовалось доказать. Пусть /: М —> IR есть измеримая функция. Тогда для любого измеримого множества А функция RAf является измеримой. Действительно, предположим сначала, что функция / неотрицательна. Тогда, как очевидно, имеет место равенство RAf(x) = mm{0A(x), f(x)}. Так как функции / и 0^ измеримы, то отсюда вытекает измеримость функции RAf. В случае, когда f(x) принимает значения произвольного знака, имеет место равенство f(x) = /+(ж) — f~(x). Отсюда следует, что для всех х G М RAf{x) = RAf+(x) - ЛАГ(х). По доказанному, функции RAf+ и RAf~~ измеримы, и, следовательно, функция RAf также является измеримой. ■ Лемма 5.4. Пусть f — неотрицательная функция. Тогда для любых множеств 4,ВсМ выполняется равенство RA\Bf = {RAf-RBf}+. (5.7) Доказательство. Пусть / есть неотрицательная функция, А и В — произвольные подмножества М. Положим Е = А \ В. Пусть х G Е. Тогда х G А, х £ В. Для данного х имеем Re/(x) = f(x) и в то же время RAf(x) = /(ж), Rb/(x) = 0. Значит, [iW(*0 - Дв/(х)]+ = [/(*)]+ = /(*), так что для данного х равенство (5.7) выполняется. Предположим, что х £ Е. Тогда Re/(x) = 0. Возможны два случал: а) ж G В и Ь) ж ^ В. В случае а) могут иметь место две возможности: либо х G А и тогда RAf(x) = /(ж) и RbKx) = Лж)> либо ж ^ А и тогда RAf(x) - -ДвЛ*) = -Л*) и [ДлЛ*) " Д* Л*)]+ = 0.
98 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных В случае b) x не является элементом множества А, ибо в противном случае х было бы, вопреки предположению, элементом Е. Значит, для данного х выполняется равенство Ra/(x) = Rb/(x) = 0. Тем самым лемма доказана. ■ 5.4.2. Установим дальнейшие свойства операции огораживания. ■ Лемма 5.5. Пусть /: М —> К есть неотрицательная функция, (At)t£T — непустое семейство подмножеств М, U есть объединение множеств данного семейства, V — их пересечение, U=\jAu V=f)At. t£T t£T Тогда имеют место равенства Ruf = sup RAJ, Rvf = inf RAif. (5.8) Пусть (А,,),,^ есть последовательность попарно непересекающихся подмножеств M,U — объединение множеств этой последовательности. Тогда оо Ruf = Y,RAj. (5.9) Доказательство. Пусть даны неотрицательная функция / и семейство множеств (At)t€T) a множества U, V определены, как указано в формулировке леммы. Из определения функции Re/ следует, что для всякого множества Е С М для любого х Е М выполняется неравенство REf(x) < fix). Пусть х £ U. Тогда Ruf(x) = 0. В этом случае х ^ At для всех t Е Т и, значит, для данного х выполняется равенство RAtf(x) = 0, каково бы ни было t Е Т, и равенство Ruf(x) = sup RAif teT для данного х верно. Пусть х Е U. Тогда Ruf(x) = f(x). В этом случае х принадлежит хотя бы одному из множеств At,t GT. Отсюда следует, что по крайней мере одна из величин RAtf(x) равна f(x) и, значит, supRAif(x) > f(x).
§ 5. Измеримые функции и множества, 99 Так как при каждом t € Т имеем RAtf(x) < /(ж), то, с другой стороны, имеем supRAif(x) < f(x). t£T Значит, также и для данного х sup RAt f(x) = f(x). i£T Первое из равенств (5.8) доказано. Докажем второе равенство (5.8). Пусть х Е М. Если х £ у^ то Ryf(x) = 0. В этом случае х не принадлежит хотя бы одному из множеств At, t Е Т, и, значит, по крайней мере одно из чисел RAtf(x) равно нулю. Отсюда следует, что для данного х имеет место равенство inf RAif(x) = 0 = Rvf(x). Если же х Е V, то Ryf{x) — f{x). В данном случае ж Е А<, каково бы ни было t Е Г. Отсюда вытекает, что для этого х для всех t Е Т выполняется равенство RAtf(x) = f(x). Значит, inf RAif(x) = f(x) = Rvf(x). Тем самым доказано также и второе из равенств (5.8). Докажем равенство (5.9). Пусть (AI/)nGiv есть произвольная последовательность попарно непересекающихся множеств, А — их объединение. Если х ^ А, то RAuf(x) = 0 для всех v, и в этом случае равенство (5.9) выполняется. Предположим, что х Е А. Тогда RAf(x) = /(ж). В этом случае найдется значение щ Е N такое, что х Е А„0. Так как множества Av попарно непересекающиеся, то х £ Av при v ф щ. Мы получаем, что в данном случае RAvf{x) = 0 при i/^ои RAuf(x) = f(x) при z/ = щ. Отсюда видно, что для данного х также будем иметь оо RAf(x) = Y,RA»f№' Лемма доказана. ■ ▼ Следствие. Для любых двух множеств А С М и_В С М и любой неотрицательной вещественной функции f:M—*K выполняются равенства, RA\jb/ = тах{ДА/, #в/}, Rahb/ = тт{Дд/, #в/}- Для доказательства достаточно применить лемму 5.5 к случаю семейства, имеющего только два элемента. ▼
100 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 5.4.3. Функция /: М —► К далее называется обобщенно измеримой, если для всякого измеримого множества А С М функция Ra/ является измеримой. Н*р и м е р ы обобщенно измеримых функций. Пример 1. Всякая функция, измеримая в обычном смысле, как следует из доказанного выше (см. п. 5.1, теоремы 5.2 и 5.3), является обобщенно измеримой. В частности, если функция f интегрируема, то она также и обобщенно измерима. Пример 2. Другой пример обобщенно измеримой функции — функция, тождественно равная единице. Пусть /: М —> Е есть обобщенно измеримая функция, А — измеримое множество. Величина /(Дд/), если таковая для данной функции / определена, называется интегралом функции f no множеству А. Для ее обозначения будем применять также выражение I f(x)dfi(x). А Интеграл / XA(x)dp(z) = 1(ха) м называется мерой множества А в этой системе с интегрированием и обозначается символом (л-е(А). Индекс Е в этой записи в дальнейшем опускается каждый раз, когда это не может привести к недоразумению. В случае, когда Е есть евклидова система с интегрированием в пространстве Шп (см. п. 2.1), понятие меры решает задачу строгого обоснования понятий объема и площади и имеет простой геометрический смысл. 5.4.4. Установим некоторые общие свойства измеримых функций и измеримых множеств в произвольной системе с интегрированием £ = (М,«У«7). Докажем следующее утверждение. ■ Теорема 5.9. Для любых двух измеримых множеств А, В множества, A U J3, АП В и А\В измеримы. Для всякой последовательности измеримых множеств (А^)^^ объединение и пересечение множеств последовательности являются измеримыми множествами. Доказательство. Пусть А и В — произвольные измеримые множества. Тогда функции ха и хв измеримы. Применяя леммы 5.4 и 5.5 к функции f(x) = 1, получим, что xaub = тах{хл,Хв}, Хапв = = тш{хл,Хв} и ха\в = [Ха - Хв]+. В силу теоремы 5.2 функции
§ 5. Измеримые функции и множества, 101 тах{хА5Хя}5 Н1ш{хл,Хб} измеримы. Таким образом, функции Хлив, Хапв и Ха\в являются измеримыми, и, значит, AU В, АП В к А\ В есть измеримые множества. - Пусть (А,,),,^ — произвольная последовательность измеримых множеств, оо оо U={jA„, V=f)A„. Полагал в лемме 5.5 f(x) = 1, получим Хи = sup xav , Xv = infxav • i/€N "£N Отсюда следует измеримость функций хи и xvs а значит, и множеств U и V. Теорема доказана. ■ ■ Теорема 5.10 (свойство счетной аддитивности интеграла как функции множества). Пусть /: М —► К есть неотрицательная обобщенно измеримая функция, (А^)^^ — последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, U есть объединение множеств этой последовательности. Тогда имеет место равенство ff(x)dfi(x) = f^ ff{x)dp{x). и "=4, Доказательство. Пусть (А^)^^ есть произвольная последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, U — объединение множеств последовательности и / есть неотрицательная обобщенно измеримая функция. Тогда согласно лемме 5.5 имеем оо Ruf = / , Rav f- Функция Ruf измерима в силу теоремы 5.7. Согласно лемме 5.5 имеет место равенство оо I(Ruf) = J^I(RaJ). Тем самым теорема доказана. ■
102 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ▼ Следствие (о счетной аддитивности меры). Пусть (А,,),,^ есть последовательность измеримых множеств. Тогда, если эти множества, попарно не имеют общих элементов, то выполняется равенство (оо \ оо (J А„ ) = 5>(A„). Данное предложение следует из теоремы 5.10, если в условиях, содержащихся в ней, положить f(x) = 1. ▼ ■ Теорема 5.11. Для всякой убывающей последовательности измеримых множеств (А»),,^ такой, что /x(Ai) конечно и пересечение множеств последовательности (А,,),,^ пусто, справедливо соотношение lim /х(А„) = 0. I/—ЮО Доказательство. Для v = 1,2,... положим (pv = xau • Тогда при каждом v G N имеем <£„ > <^i/+i- Отсюда вытекает, что последовательность функций (<£i/)i/eN является убывающей. Каждая из функций (pv неотрицательна. Из условия ц(А\) < оо вытекает, что функция ipi интегрируема. Так как (fi > р» > 0 для всех v G N, то, как следует из теоремы 5.3, функция (ри интегрируема при всех v G N. Для всех х G М выполняется ^„(ж) —► 0 при v —> оо. Действительно, возьмем произвольно ж G М. Так как пересечение последовательности множеств (A„)„gN пусто, то найдется номер щ такой, что х (fc AUQ. Так как последовательность {Av)y^ убывающая, то при v > щ множество Av С AVQ и, значит, при всяком v > щ точка х не принадлежит множеству Av. Следовательно, для всех v > щ имеет место равенство ^„(ж) = 0. Отсюда вытекает, что ^„(х) —> 0 при v —► оо для всех х G М. Так как х G М было выбрано произвольно, то, таким образом, доказано, что последовательность функций (y>i/)i/eN поточечно сходится к нулю на множестве М. Эта последовательность убывающая, и все ее члены есть интегрируемые функции. В силу теоремы Леей из доказанного следует, что ^{Ev) = I{^pv) —> 0 при v —► оо. Теорема доказана. ■ Замечание. Из теорем 5.9, 5.10 и 5.11 вытекает теорема 3.1, ранее приведенная без доказательства.
§ 5. Измеримые функции и множества, 103 5.5. Системы с интегрированием, счетные в бесконечности 5.5.1. Введем дополнительное условие, при котором может быть расширен класс операций, выполнение которых над измеримыми функциями снова приводит к измеримым функциям. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, ^",7). Система £ называется счетной в бесконечностщ если в дополнение к условиям R1-R5 определения системы с интегрированием (см. §2 этой главы) она удовлетворяет еще условию R6. Существует последовательность (<£i/)i/eN функций класса & такая, что 1 = lim y>v(x) для всех х Е М. V—+00 В том частном случае, который для нас является основным, а именно, в случае евклидовой системы с интегрированием с базисным пространством Кп, условие R6 выполняется. Действительно, для v Е N, xGEn пусть <7„ есть га-мерный куб \-V,v) X [-I/,!/) X ... X [-!/,!/). Пусть ipv есть индикатор этого куба. Так как куб av может быть представлен как объединение двоичных кубов ранга 1, то функция ipv является ступенчатой. Пусть х = (аг1,Ж2,...,а:п) и v Е N таково, что |ж;| < v для всех г = 1,2, ...,п. Тогда х е av при v > й и, значит, для всех v > й справедливо равенство (ри(х) = 1. Следовательно, мы получаем, что <Pv(x) —> 1 при v —>■ оо. Так как х G Шп было взято произвольно, то мы получили, что условие R6 для данной системы с интегрированием выполняется. Зададим произвольно систему с интегрированием S = (М, ^",7), счетную в бесконечности. (До конца этого раздела все рассуждения относятся именно к этой системе с интегрированием.) Из условия R6 вытекает, что функция, тождественно постоянная на базисном пространстве М системы с интегрированием S, является измеримой. Отсюда в силу установленных выше свойств измеримых функций (теорема 5.2) вытекает, что для всякой измеримой функции / в системе с интегрированием — счетной в бесконечности — функции f(x) — tf, [f(x) — tf]+, тах{/(ж),^} и min{/(a;),tf} измеримы, каково бы ни было число t € Е. 5.5.2. Пусть дана функция /: М —► R. Множества /""а((а,Ь)), где (а,Ь) — произвольный промежуток в К, называются множествами Лебега функции /.
104 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Для одного частного случая множеств Лебега введем специальные обозначения. Пусть дано произвольное число t G К. Для функции /: М —> Ш полагаем E_f{t) = {xeM\ f(x) >t} = /^{(t, оо]}, (5.10) Ef(t) = {xeM\ f{x) >t} = ГЧ^оо}}- (5-П) _ Отметим некоторые свойства множеств Лебега Ef(t) и Ef(t). Если f{x) > t, то f(x) > i,jr. е. если х € Ef(t), то х G Ef(t). Мы получаем, что при каждом t G Ш имеет место включение Ef(t) Э Ef(t). (5.12) Далее, легко проверяется, что если t\ G_IR и t<i G К таковы, что t\ < t2, то имеет место включение Ef(t\) D £/(t2). Наша ближайшая цель — доказать, что если функция / измерима, то и ее мноэюества Лебега также являются измеримыми. Для этого нам потребуется следующее простое предложение. ■ Лемма 5.6. Для у G К, t GK пусть t 0, если у <t; { 0, если у > t, если у < t. Для произвольного v G N положим av(y^t) = mm{v(y -^tf)+, 1}. Тогда, имеют место следующие соотношения: для любых у € R, t G К a(y,t)= lim av(y,t), а(у,*) = lim Чу''"^) Доказательство. Если у < £, то (у —£)+ = 0 и, значит, al/(y,t) = = 0 = cr(y,t) для всех i/ G N и, следовательно, в этом случае верно равенство a(y,t)= lim a„(yyt). (5.13) Пусть у > tf. Тогда найдется i/ такое, что i/(y — <) > 1. При всяком v > v выполняются равенства av(y^t) = 1 = a(y,t). Это доказывает, что равенство (5.13) верно и для данного у. Пусть у > t. Тогда для любого v G N выполняется у > t in a ly,t 1=1 = a(y,t), откуда следует, что в этом случае верно равенство a(y,t)= lim <т(у,*--). (5.14)
§ 5. Измеримые функции и множества, 105 Пусть у < t. Тогда найдется и такое, что у <t — -- Для всех v > i/, v очевидно, имеем о ( у,< 1 =0 = a(y,t). Тем самым установлено, что равенство (5.14) выполняется и в этом случае. Лемма доказана. ■ 5.5.3. Пусть дана функция /: М —> Е. Тогда для всякого t Е Ш имеем равенства t 0, если f(x) <t] ( 0, если f(x)>t, _/jf/ ч j4 f 1? если /(ж) > t, если /(ж) < tf. Это означает, что функция х »-► а(/(х), tf) является индикатором множества Ef(t), а функция ж >->• <r(f(x),t) — индикатором множества Ef(t). ш Теорема 5.12. Если система, с интегрированием Е = (М, с^",/) счетна, в бесконечности, то для всякой измеримой функции f: М —> Е я для любого t GE множества -E/(tf) я £/(£) язмерямы. Доказательство. Пусть / есть измеримая функция. Зададим произвольно значение i E R. Функции а„(ж) = mm{i/(f(x) — <)+Д} измеримы при всех i/ £ N, как следует из теоремы 5.2. При и —> оо для всех х £ М в силу леммы 5.6 предел lim av{x) существует и ра- I/—ЮО вен <т(/(х),/). На основании теоремы 5.4 это позволяет заключить, что функция х ■-► <т(/(х),<) измерима при любом <GlK. Нетрудно видеть, что cr(f(x),t) = ХЯ/С*)^)- Таким образом, доказана измеримость индикатора множества Ef(t), т. е. это множество измеримо при любом <>0. Функции /3„(ж) = min{[i/(/(a;) — t) + 1]+,1} при i/ —► оо, как следует из леммы 5.6, поточечно сходятся к функции а(/(ж),<), которая тождественно совпадает с функцией ХШ*иу Измеримость функций /?„ следует из теоремы 5.2. Применяя теорему 5.4, получаем, что функция XEfit) измерима. Значит, множество Ef(t) является измеримым при любом t € 1R. Теорема доказана. ■ 5.6. Общая теорема об операциях над измеримыми функциями Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, ^,7). Будем предполагать, что эта система является счетной в бесконечности. Пусть дан промежуток Д = [р,?)СЕи хд есть его индикатор в IR, ХдЫ = 0 при у £ Д и ХдЫ = 1> если у 6 Д.
106 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Для всякой измеримой функции /: М —► К функция Хд[/(ж)] измерима. Действительно, пусть *(У|<) = J1- если **'• [ 0, если у < t, есть функция, определенная в п. 5.5. Тогда имеет место равенство Ха(у) = сг(у,р) - 5(у,9)- (5.15) Проверка данного равенства сводится к последовательному рассмотрению случаев: а) у < р, Ь) р < у < q и с) q < у. Мы предоставляем это читателю. Из равенства (5.15) следует, что Хд [/(*)] = 5(/(ж),р) - a(f(x),q) = xg/(p) - Xf,^)- Так как функция / измерима и рассматриваемая система с интегрированием счетна в бесконечности, то множества Ef(p) и Ef(q) измеримы. Следовательно, мы получаем, что функция Хд[/(ж)] есть разность двух измеримых функций и поэтому измерима. Заметим, что Хд[/(ж)] есть характеристическая функция множества Лебега /~1{A} функции /. ■ Теорема 5.13. Предположим, что система, с интегрированием Е = = (М, J^", /) счетна в бесконечности. Пусть даны множество Е в пространстве Шт и непрерывная функция Ф: Е —> Е. Тогда если функции fk: М —► М, fc = 1,2,..., m, язмерямы, каждая из них всюду конечна и для всех х € М точка f(x) = (/1(2:), /2(^)5 • • •, /т(я)) пространства Шт принадлежит множеству Е, то функция X н+ Ф(Л(ж), /2(з), . . . , fm(x)) является измеримой. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно брус Д в пространстве IRm. Имеем Д = Ai х Д2 х ••• х Дт,- где Д* = [pkiQk) есть полуоткрытые отрезки в множестве Ш. Для z € Ет пусть хд есть индикатор множества Д в пространстве IRm.
§ 5. Измеримые функции и множества, 107 Докажем измеримость функции х н-> Хд[/(ж)]- Каждая из функций Uk{x) = XAk[fk(x)], как следует из рассуждений, предшествующих теореме, является измеримой. Для всех xGM имеет место равенство Хд [/0*0] = min{ui(z), u2(x),..., um(z)}. (5.16) Действительно, каждая из величин Uk{x) = хд* [Л(я)]5 fc = 1, 2,..., m, может принимать только два значения: 0 и 1. Если f(x) ^ Д, то Ха[/(х)] = 0. В этом случае найдется хотя бы одно значение fc, 1 < fc < га, такое, что fk(x) £ Д* и, значит, v>k(x) = ХдЛ/*(ж)] = 0. Отсюда следует, что в этом случае min{ui(«), u2(x\ ..., um(z)} = 0 = Хд [/(я)]. Если /(ж) G Д, то Хд[/(ж)] = 1 и при каждом к = 1,2,...,га Д(ж) € Ajfc и, значит, ^(я) = Хд*[/*(ж)] = 1. В данном случае min{ui(z), п2(ж),..., um(z)} = 1 = Хд [/(я)]. Равенство (5.16), таким образом, доказано. В силу известных свойств измеримых функций (теорема 5.2) отсюда вытекает измеримость функции Хд[/(я)]- Зададим произвольно v 6 N и найдем все двоичные кубы ранга v в пространстве Rm, которые содержат точки куба Q(0*v). Множество таких кубов конечно (см. § 1 этой главы). Пусть Д*, к = 1,2,..., га„, — все те из этих кубов, которые пересекаются с множеством Е. Для каждого к = 1,2,...га„ выберем произвольно точку у* £ с*ь принадлежащую Е. Положим ту Му) = Y1 фЫхд*Ы- Функция TTli/ *,№)) = Еф(»Ь»(/(4 Jb=l как следует из доказанного, измерима. При и —► оо имеем ФДу) —► Ф(у) для всех у £ -Б. Действительно, возьмем произвольно точку у € Е. Найдем i/ такое, что у € Q(0, v). Пусть а„ есть двоичный брус ранга i/, содержащий точку у. При i/ > i/ имеет место равенство Ф„(у) = Ф(2„), где z„ также принадлежит а„. Имеем |z„ — у| < 2~|/у/га, и, значит, zv -+ у при I/ —► оо.
108 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Поскольку функция Ф непрерывна, то Ф1/(у) = Ф(2„) —» Ф(у) при v —» оо. Из доказанного следует, что Ф„[/(х)] —> Ф[/(ж)] при v —► оо для всех ж Е М. Функции Ф„о/ все измеримы и, по доказанному, поточечно сходятся к функции Фо/. Отсюда следует, что функция Фо/ измерима. Теорема доказана. ■ ▼ Следствие 1. Если система с интегрированием Е = (М, &,1) счетна в бесконечности, то произведение любого конечного числа измеримых всюду конечных функций есть функция измеримая. Доказательство. Это есть частный случай теоремы 5.12, получаемый, если взять Е = Кш и Ф(уьу2, • • • ,Ут) = У1У2-..Ут- Следствие 1 доказано. ▼ ▼ Следствие 2. Если система с интегрированием Е = (M,J?yI) счетна в бесконечности и функции f: М —> R, g: M —► Ш измеримы, f причем д(х) ф 0 для всех х £ М, то функция h = — измерима. 9 Доказательство. Достаточно в условиях теоремы 5.12 положить m = 2, Е = {(ж, у) G К2 | у / 0} и Ф(ж, у) = —. Тем самым следствие 2 У доказано. ▼ § 6. Измеримые множества и функции в пространстве R71 В этом параграфе мы изучим свойства измеримых функций и множеств в евклидовой системе с интегрированием, т. е. в системе, в которой базисное пространство есть Ш71, основными функциями являются ступенчатые функции, а интеграл определяется, как описано в параграфе 1. Здесь устанавливается измеримость открытых и замкнутых множеств пространства Шп в этой системе с интегрированием. Указываются геометрические характеристики меры открытого множества. Определяется понятие внешней меры и устанавливаются некоторые ее простые свойства. Дается геометрическая характеристика множеств меры нуль. Для случая функций, определенных на числовой прямой Ш, здесь выясняется связь между теорией интегрирования, излагаемой в этой главе, и теорией интеграла, изложенной в главе 5. Устанавливается совпадение различных понятий интеграла для некоторых важных классов функций. 6.1. Кубическое подразделение открытого множества Измеримость открытых множеств в пространстве Кп мы получим как следствие некоторого общего утверждения о разбиении произвольного открытого множества в пространстве Шп на кубы. Предварительно введем некоторые вспомогательные понятия.
§ 6. Измеримые множества и функции в пространстве W1 109 Пусть х есть точка пространства Еп иг — целое число. Символом ar(x) обозначим двоичный куб ранга г, содержащий точку х. Пусть а есть двоичный куб в Rn. Он представляет собой некоторый га-мерный прямоугольник вида [ai,fci) x [аг,^) х ••• х [an,bn). В этом случае определен замкнутый куб [al5 bi] х [аг, ^] х • • • х [ап, Ьп], который мы будем обозначать символом а. ■ Лемма 6.1 (лемма о кубическом подразделении). Для всякого открытого множества, пространства, К71 существует последовательность (av)i/€N попарно непересекающихся двоичных кубов та,ка,я, что при каждом v £ N замкнутый куб av содержится в U и имеет место равенство оо U= \Jay. (6.1) Доказательство. Двоичный куб а мы будем называть допустимым, если его ранг неотрицателен и замкнутый куб а содержится в множестве U. Если а есть допустимый куб, то любой двоичный куб (3 С а также является допустимым, поскольку в этом случае ранг (3 не может быть меньше ранга а и, следовательно, ранг /3 неотрицателен и, как очевидно, J3 С а С J7. Допустимый куб а будем называть экстремальным, если никакой двоичный куб, содержащий а и отличный от а, не является допустимым. Множество всех экстремальных допустимых кубов обозначим через &. Если ^ иа2 — два различных элемента &, то а^ и a<i не имеют общих точек. Действительно, допустим, напротив, что пересечение cl\ П «2 непусто. Тогда в силу доказанных ранее свойств двоичных кубов (см. §1) либо а\ D осч, либо а^ D ct\. Так как, по условию, #1 Ф #2э то это противоречит условию экстремальности каждого из кубов ai и «2. Покажем, что всякая точка я € U принадлежит по крайней мере одному из кубов множества £\ Действительно, пусть х Е U. Найдем 6 > 0 такое, что шар В(х,6) содержится в U. Рассмотрим куб аг(х). Для всякой точки х' G аг(х) имеем, очевидно, \х' -х\< 2-гл/п. Пусть го < 0 таково, что 2~~г°л/п < 6. Тогда если г > г0, то для всякой точки х1 € аг(х) будем иметь \х' -х\< 2~гу/п < 2-Гоу/п < 6.
110 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Это означает, что куб ar(x) содержится в шаре В(х,6) С U. Отсюда вытекает, что для г > т*о куб ar(x) допустимый. Пусть 7*1 есть наименьшее значение г > 0 такое, что ar(x) есть допустимый куб. Покажем, что куб аГ1(х) экстремальный. Предположим, что это не так. Тогда найдется допустимый двоичный куб /3, содержащий аГ1(х) и отличный от аГ1(х). Пусть тч есть ранг куба (3. Тогда г2 > 0, /3 = аГ2(х). Так как /3 ф аГ1(ж), то тч < п. Мы получаем противоречие с тем, что, по условию, 7*1 есть наименьшее из чисел г таких, что куб аг(х) является допустимым. Таким образом, всякий куб a G £ содержится в G и, как мы показали, любая точка х G G принадлежит хотя бы одному из кубов a G £. Отсюда вытекает, что (J a = G. (6.2) Заметим, что всякий замкнутый куб а, где a G <£*, также содержится в U и любая точка х G U принадлежит хотя бы одному из них. Отсюда следует, что также и (J a = U. (6.3) Докажем, что множество £ всех экстремальных кубов а бесконечно. Множество U открытое. Покажем, что в U не существует точки, в которой функция 7Ti: (2*1,2*2,... ,яп) *~* х\ принимала бы свое наименьшее значение. Действительно, пусть х G U. Тогда найдется 6 > 0 такое, что шар В(х,6) С U. Пусть t G (0,6) и х' = х — te\. Тогда имеем 7Ti(xf) = 7Ti(2*) —t< TTl(x). Точка x G G была взята произвольно, и, значит, в U нет такой точки, в которой функция 7Ti принимала бы свое наименьшее значение. Предположим, что £ конечно. В силу (6.3) объединение кубов а, где а € &, совпадает с G. Так как каждое из множеств а ограничено и замкнуто, то, значит, в этом случае также и U ограничено и замкнуто, т. е. U компактно. В силу теоремы Вейерштрасса (глава 9, теорема 1.24) функция -к\ принимает на множестве U свое наименьшее значение, что невозможно! Итак, допустив, что £ конечно, мы получаем противоречие. Так как множество всех двоичных кубов счетно, из доказанного следует, что £ счетно. Занумеруем произвольным образом кубы, принадлежащие ё\ Пусть av есть куб с номером v G N. Кубы а„ попарно не пересекаются, оо и в силу (6.2) (J a„ = U'. Лемма доказана. ■
§ б. Измеримые множества и функции в пространстве Жп 111 6.2. Измеримость открытых и замкнутых множеств в пространстве Rn Лемма о кубическом подразделении открытого множества позволяет дать простое доказательство измеримости открытых множеств в пространстве Кп. Напомним, что в соответствии с общим определением, данным в §5, функция /, определенная в Шп почти всюду, называется измеримой, если существует последовательность ступенчатых функций (<£i/)i/gn такая, что (pv(x) —> f(x) для почти всех х Е Шп. В частности, всякая ступенчатая функция (р измерима. Действительно, в этом случае последовательность (<£i/)i/€N? в которой <р„ = (р при каждом v Е N, удовлетворяет всем условиям определения измеримой функции. ■ Теорема 6.1. Всякое открытое множество и любое замкнутое множество в пространстве Шп являются измеримыми. Доказательство. Пусть U есть произвольное открытое множество пространства К71. Согласно лемме 6.1 найдется последовательность (aj,)i,eN попарно непересекающихся двоичных кубов такая, что оо U=\Jav. (6.4) Индикатор двоичного куба av при каждом v Е N представляет собой ступенчатую функцию. Всякая ступенчатая функция является измеримой. Отсюда вытекает, что всякий двоичный куб представляет собой измеримое множество. В силу теоремы 5.9 из равенства (6.4) следует измеримость множества U. Пусть А есть замкнутое множество пространства Кп. Множество U = СА открытое и, значит, по доказанному, U измеримо. Имеем А — Шп \ U. Множество Шп измеримо. Так как разность двух измеримых множеств есть измеримое множество, отсюда следует измеримость множества А. Теорема доказана. ■ Пусть (aI/)i,eN есть последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов такая, что их объединение совпадает с данным открытым множеством U пространства Шп. Тогда согласно теореме 5.10 мера множества U допускает представление оо Данное равенство устанавливает геометрический смысл меры открытого множества в пространстве Кп. Мера открытого множества равна сумме мер кубов, на которые может быть подразделено множество U. Значение этой суммы не зависит от способа подразделения открытого множества.
112 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 6.3. Внешняя мера множества. Геометрическая характеристика внешней меры множеств в rn Пусть А — произвольное множество в системе с интегрированием Е = (М, <^",7). Величина ||xa||li(E) называется внешней мерой множества А. Будем говорить, что последовательность множеств (А„)„ел покрывает множество Е, если Е содержится в объединении множеств Av. Отметим некоторые свойства операций над множествами. Пусть дано произвольное множество М. Последовательность (Еи)уе^ подмножеств М будем называть возрастающей, если при каждом и £ N имеет место включение Ev С Ev+\- Как следует из леммы 1.1, последовательность множеств (Еу)»^ является возрастающей в том и только в том случае, если последовательность индикаторов множеств Е„ является возрастающей. I. Пусть (Еу)уеы есть возрастающая последовательность подмножеств множества М, а Е — объединение множеств этой последовательности. Тогда Хе(х) = lim ХеЛх) (6-5) для всех х £ Шп. Действительно, если х ^ Е, то х ^ Ev для всех х и, значит, в этом случае Xev(x) = 0 для всех и € N и, следовательно, lim XEU(X) = Q = Xe(x)- 1/—ЮО Если же х £ -Б, то найдется номер щ £ N такой, что х Е EVQ. При всяком v > щ множество Ev содержит в себе множество EVQ, и, значит, Xev(x) = 1 = Хе(х) Для любого v > и0. Отсюда вытекает, что и в этом случае lim XEV{X) = Хе(х), и предложение I, таким образом, доказано. 1/—*00 II. Пусть (£1/)1/ем есть произвольная возрастающая последовательность множеств и (i?^^ есть последовательность, определенная по ней следующим образом: Н\ = Е\ и Ни = Е„ \ Ev-\ при и > 1. Тогда множества Hv попарно непересекающиеся. При каждом i/GN V ОО ОО (J Ям = Ev и имеет место равенство (J U„ = (J Я,,. Действительно, возьмем произвольно номера v и /х, причем и ф fi. Для определенности будем считать, что г/ < /х. Тогда /х — 1 > и. Имеем Н„ С Еи С Е^-\ иЯм = £м\£м_1. Отсюда следует, что множества Н^ не имеют общих элементов с множеством £м, а значит, и с множеством Ни С £м. Таким образом, доказано, что множества Hv попарно непересекающиеся.
§ б. Измеримые множества и функции в пространстве Жп 113 Пусть х Е Ev. Найдем наименьшее значение /х < v такое, что х Е -Бд. Если /х = 1, то мы получаем, что х € Hi. Если же /х > 1, то ж ^ -E^-i и, значит, z Е Н^. Таким образом, всякий элемент х множества Ev принадлежит одному из множеств Н^, где 1 < /х < v. Так как для таких значений /х множество Нц содержится в 2?„, то из доказанного вытекает, что объединение множеств Н^, номера которых удовлетворяют условию 1 < /х < г/, совпадает с множеством Ер. Теперь заметим, что Е — объединение множеств последовательности (EV)V£N содержит каждое из множеств Ну. Всякая точка множества Е принадлежит по крайней мере одному из множеств Ev, а значит, как следует из доказанного выше, по крайней мере одному из множеств Нц. Отсюда вытекает, что Е совпадает с объединением множеств Rv, v — 1,2, Предложение II, таким образом, доказано. III. Пусть М есть базисное пространство системы с интегрированием (М, ^",/). Тогда для всякой возрастающей последовательности измеримых множеств {Еу)у^ц имеет место равенство /хШеЛ = \хт^(Еу). Действительно, пусть (Еу)у^ есть произвольная возрастающая последовательность измеримых множеств, Е — объединение множеств этой последовательности. Тогда в силу предложения I последовательность функций (x^l/)i/€N — индикаторов множеств Ev — является возрастающей и lim Xev{x) = Хе(х) Для всех х £ М. В силу теоремы Леви для последовательностей измеримых функций (теорема 5.7) отсюда вытекает, что 1{хе) — Um I(XEy)j т- е- м(^) == lim ^{Еу), что и требова- 1/—ЮО V—+ 00 лось доказать. Множество Е С К71 будем называть элементарным, если оно является объединением конечного числа двоичных кубов. Множество Е С Шп является элементарным в том и только в том случае, если его индикатор является ступенчатой функцией. Пусть Е есть элементарное множество. Представим его как объединение двоичных кубов, и пусть г есть наибольший из рангов кубов, составляющих Е. Тогда каждый из двоичных кубов, объединением которых является множество Е, может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов ранга г. Двоичные кубы одного и того же ранга попарно не пересекаются, и, следовательно, мы получаем, что всякое элементарное множество является объединением конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов.
114 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть АиВ есть элементарные множества. Тогда их объединение, пересечение и разность также являются элементарными множествами. Пусть г — целое число такое, что каждое из множеств А и В есть объединение конечного числа двоичных кубов ранга г. Множество АГ\В мы получим, если из кубов, составляющих А и J5, оставим только те, которые содержатся как в А, так и в В. Разность А \ В состоит из тех двоичных кубов ранга г, которые содержатся в А, но не содержатся в В. Из сказанного ясно, что АП В ж А\ В есть элементарные множества. То, что объединение двух элементарных множеств снова есть элементарное множество, следует непосредственно из определения понятия элементарного множества. Будем говорить, что последовательность множеств (А^)^^ покрывает множество Е, если Е содержится в объединении множеств Av. Следующая теорема устанавливает геометрический смысл понятия внешней меры для множеств в пространстве К71. Для упрощения изложения удобно считать, что пустое множество является двоичным кубом. ■ Теорема 6.2. Внешняя мера, произвольного множества, в про- оо странстве Кп равна, точной нижней границе сумм J^ V>n{oLv), где (g^Wn — произвольная последовательность двоичных кубов, покрывающая множество Е. Доказательство. Пусть (av) есть последовательность двоичных кубов, покрывающая множество Е. Покажем, что имеет место неравенство Дп(£) < Х>пК0. (6.6) m Пусть Е' = [J av. Положим <рт(х) = ]Г) х(а»)- Функция (рт является ступенчатой. Эта функция неотрицательна. Последовательность (<£m)m€N возрастающая. Имеем оо т—юо ^—' Так как Е С Е', то хе(х) < ХЕ'(х)- Таким образом, мы получаем, что Хе(х) < lim ¥>m(z) для всех х Е Шп. Это означает, что последо- т—юо вательность ступенчатых функций (<£m)meN мажорирует функцию хе и, значит, согласно определению L\-нормы функции имеет место неравенство fin(E) = WxeWlx < Hm / tpm(z)dz = V//n(a„). Неравенство (6.6), таким образом, доказано.
§ б. Измеримые множества, и функции в пространстве Жп 115 Если внешняя мера множества Е равна оо, то в силу неравенства (6.6) для всякой последовательности двоичных кубов, покрываю- оо щей множество Е, имеем ^2 ^n{al/) = оо, ив этом случае утверждение теоремы верно. Будем далее предполагать, что р,п(Е) < оо. Зададим произвольно е > О, и пусть (<£i,)j/eN есть последовательность ступенчатых функций, мажорирующая функцию хе и такая, что lim / ч>у{х) dx < fin(E) + -. V R1 Зададим число t такое, что 0 < t < 1 и выполняется неравенство Пусть Е„ есть множество всех жЕКп, для которых выполняется неравенство <pu(x) > t. Покажем, что множество Ev является объединением конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов. Действительно, пусть i=i есть представление функции ipv в виде линейной комбинации попарно непересекающихся двоичных кубов. Множество Ev является объединением кубов <7j, отвечающих тем значениям j, для которых hj > t. Отметим, что / (p„{x)dx > ^2 tfj,n((jj) = tiLn{Ev). j:hj>i (Суммирование производится по множеству всех j, для которых выполняется неравенство h + j > t.) Отсюда вытекает, что M«(S„)<7Um / P„(s) dx < !b!3± £/2 < fin(E) + e. t 1/-+00 J t Если tpv(x) > /, то тем более (pv+\(x) > t. Таким образом, если x G Ev{t), то x G i?i/+i, и? следовательно, Ev С Ev+\ при каждом
116 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных v Е N. Последовательность множеств (Еи)ие^, таким образом, является возрастающей. оо Пусть Е" = |J Ev. Покажем, что Е С Е". Действительно, возь- мем произвольно точку х £ Е. Так как lim y>v(x) > Xe(x) = 1 и t < 1, V—ЮО то найдется номер v, для которого yv(x) > t. Очевидно, х € Е„ С Е". Так как х Е J3" было взято произвольно, то тем самым доказано, что Е С Е". Положим Н1 = Е\, и пусть #„ = Ev\Ev-i при i/ > 1. Множе- оо ства #„ в силу предложения II попарно не пересекаются и (J Hv = = (J Ev. Отсюда следует, что множество Е" измеримо и оо /х„(£") = 5>„(Я„). Каждое из множеств Н„ является элементарным. Представив каждое из множеств Ни как объединение попарно непересекающихся двоичных кубов, мы получим некоторое конечное или бесконечное множество двоичных кубов. Занумеровав их произвольным образом, мы получим последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов («i/)i/GN? объединение которых совпадает с объединением множеств #„, v = 1,2,..., т. е. с множеством Е" D Е. Последовательность кубов (#i/)i/eN> таким образом, покрывает множество Е. Имеем оо fin(E) < Y, /*»(<**) = Hn(E") < Д»(Д) + е. (Первое неравенство здесь следует из того, что данная последовательность кубов покрывает множество Е.) Так как е > О было взято произвольно, то тем самым установлено, оо что точная нижняя граница сумм ]И Vni&v) для последовательностей двоичных кубов, покрывающих множество Е, равна р,п(Е). Теорема доказана. ■ ▼ Следствие. Для того чтобы множество Е в пространстве Кп было множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О существовала последовательность двоичных кубов (а^^^, по- оо крывающая множество Е и такая, что ^ №n(&v) < £• Данное утверждение очевидным образом вытекает из того, что множества меры нуль в пространстве Шп есть в точности те множества, внешняя мера которых равна нулю. Т
§ 6. Измеримые множества и функции в пространстве Шп 117 6.4. Измеримость некоторых классов функций в Rn Установим измеримость некоторых классов функций в пространстве Шп. Предварительно опишем конструкцию, которая понадобится нам для этой цели. Пусть v есть произвольное натуральное число. Обозначим символом Qv n-мерный куб [—и,и) х [—i/, v) х • • • х [—z/, u). Для произвольной точки х £ Шп пусть а„(х) есть двоичный куб ранга I/, содержащий точку х. Если a; G Qy, то ot-v(x) С Qv. При каждом и имеет место включение av(x) D olv+\(x). ■ Лемма 6.2. Для всякой неотрицательной вещественной функции /: Шп —» К существует возрастающая последовательность ступенчатых функций (9?!/)i/gn такая, что для всякой точки х Е К71, в которой функция f непрерывна, справедливо соотношение f(x) = lim <p„(s) = /(ж). Доказательство. Пусть дана неотрицательная функция /: Еп —► —> К. Возьмем произвольно точку z Е Мп. Если х £ Qv, то полагаем ¥>!/(ж) = 0. Если же х Е Q^, то полагаем y>v(x) = inf /(z). Функция </>„ отлична от нуля только на тех двоичных кубах ранга г/, которые содержатся в кубе Qv. Множество таких кубов конечно. Если а есть двоичный куб ранга i/, то а = al/(x) для всякой точки # Е а. Отсюда ясно, что функция ipv на этом кубе постоянна. Мы получаем, следовательно, что функция ipu является ступенчатой при всяком i/GN. Из определения функции ipv ясно, что эта функция неотрицательна. Если ipv(x) = 0, то, очевидно, <pu(x) < (pu+i(x). Предположим, что <pv{x) > 0. Тогда, как следует из определения функции <£>„, двоичный куб av(x) С Qv. Имеем olv+\(x) С av{x) и, значит, au+i(x) С С Qv С Qi/+i. Отсюда вытекает, что для данного х величина ipu+i(x) определяется равенством ^„+i(e) = inf f(x) и, значит, y^+i > > inf /(*) = ?„(*). ' ' <€a-+l(l) <€a„(x) Мы видим, что при каждом г/ функция tpu неотрицательна и является ступенчатой и последовательность функций (y>„)i/eN возрастающая. При этом f(x) > 4>v(x) для всех х Е Шп. Предположим, что функция / непрерывна в точке х0 Е Шп. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему 5 > 0 такое, что для всякого жЕЕп, удовлетворяющего неравенству \х — xq\ < £, выполняется
118 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных неравенство \f(x) — /(яо)| < -. Пусть щ Е N таково, что |я0| < Щ и y/n2~v° <6. Пусть v > щ и х е olVq. Тогда \х — х0\ < v/n2""l/ < < y/n2~u° <:<5и, значит, f(x) > f(xo)— -. Отсюда следует, что для та- Li ких значений v имеет место неравенство yv{x^) > f(xo) — - > f(xo) — e. Lj Поскольку (fiu(xo) < f(x0), то мы получаем, следовательно, что для всякого v > щ имеет место неравенство \<РуЫ~ /Ы\ <е. Так как е > О было выбрано произвольно, этим доказано, что <Pi/(x0) —> /(жо) при z/ —» оо. Лемма доказана. ■ Т Следствие 1. Если функция /: К71 —> К такова, что ее множества, точек разрыва есть множество меры нуль, то функция f измерима. Действительно, пусть функция /: Шп —> К непрерывна почти всюду в К, т. е. ее множество точек разрыва есть множество меры нуль. Предположим сначала, что функция / неотрицательна. Тогда согласно лемме 6.2 существует последовательность ступенчатых функций, сходящаяся к / в каждой точке, в которой функция / непрерывна, и, значит, сходящаяся к / почти всюду в Шп. Отсюда в силу определения измеримой функции вытекает, что функция / измерима. Предположим, что / принимает значения произвольного знака. Тогда справедливо равенство / = /+ — /"-, В каждой точке, в которой непрерывна функция /, непрерывны также и функции /+ и /"". Функции /+ и /"" неотрицательны. Из доказанного следует, что они измеримы и, значит, измерима также и функция /. Следствие 1 доказано. ▼ Пусть дана функция /: Е —> Ш. Будем говорить, что функция / сосредоточена на множестве А С Е, если f(x) = 0 при всяком х £ А. Пусть U есть открытое множество в пространстве К71. Функция f:U—> —» Ш называется финитной, если существует компактное множество А С U такое, что функция / сосредоточена на множестве А, т. е. такое, что f(x) = 0 для всякого х £ А. Совокупность всех непрерывных финитных функций, определенных на множестве С/, обозначается символом %)(U). Т Следствие 2. Всякая непрерывная финитная функция в пространстве Ш71 интегрируема. Доказательство. Пусть /: R71 —► R есть непрерывная финитная функция в К71. Условие финитности означает, что существует компактное множество i С Кп такое, что f(x) = 0 для всех х £ А.
§ 6. Измеримые множества и функции в пространстве Шп 119 Всякое компактное множество ограничено. Пусть R < оо, R > О таково, что \х\ < R для всех х G А. Отсюда, в частности, следует, что функция / обращается в нуль вне замкнутого куба ф(0,Л). Пусть М = sup |/(я)|. Так как функция / непрерывна, а множество __ xGQ(0,A) Q(0,i2) компактно, то М < оо. Очевидно, М > О и f(x) < М для всех х G Еп. Предположим, что функция / неотрицательна. Пусть ((pu)ueN есть последовательность ступенчатых функций, указанная в лемме 6.2. Эта последовательность является возрастающей, и <ри(х) —> /(ж) для всех ж G Кп. При каждом ж G Кп имеем 0 < y>v{x) < f{x). Отсюда вытекает, что функции ipv все обращаются в нуль вне куба Q(0, R) и при каждом i/ для всех ж G К71 имеют место неравенства 0 < <р„(х) < М. В силу оценки леммы 1.4 интеграл функции <рv не превосходит 2nRnM. Таким образом, последовательность интегралов ступенчатых функций ipv является ограниченной. В силу теоремы Леви о предельном переходе из доказанного вытекает, что предельная функция / в нашем случае интегрируема. Предположим, что / G ^(Ш71) есть функция произвольного знака. Тогда ее положительная часть /+ и ее отрицательная части являются функциями класса ^(Ш71). Так как функции /+ и /"" неотрицательны, то из доказанного вытекает, что они интегрируемы, а значит, в силу равенства / = /+ — /~ функция / интегрируема. Следствие 2 доказано. Т 6.5. Сопоставление различных теорий интегрирования в R Все описанные здесь построения без каких-либо изменений проводятся и в случае пространства К — числовой прямой. С другой стороны, для функций одной переменной в главе 5 построена другая теория интеграла, основанная на понятии первообразной. Естественно возникает вопрос о соотношении между этими двумя теориями интеграла в К. Пусть дана функция /: (а, Ь) —> К. Согласно определению, данному в главе 5, функция / интегрируема по промежутку [а,Ь], если существует непрерывная функция F: [а,Ь] —> К такая, что F'(x) = f(x) в промежутке [а,Ь] в основном, т. е. всюду, кроме, может быть, точек, образующих не более чем счетное множество. Функция jF, удовлетворяющая этому условию, называется первообразной функции / на промежутке [а,Ь]. В случае если функция / имеет в промежутке [а,Ь] первообразную, то она определена с точностью до постоянного слагаемого.
120 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Если функция / удовлетворяет этому условию, то мы будем говорить, что / интегрируема по промежутку [а, 6] в смысле Ньютона. Разность F(b) — F(a) не зависит от выбора первообразной F функции /. Здесь мы будем называть ее интегралом в смысле Ньютона функции / по промежутку [а,Ь] и обозначать символом (N)Jf(x) dx. Если / интегрируема на (а,Ь) в евклидовой системе с интегрированием, определенной в К, то мы будем говорить, что / интегрируема на (а, Ь) в смысле Лебега, и интеграл J f(x)dx будем обозначать также символом (<*>&) б (L)jf(x) dx. Возникает вопрос: в каких случаях интегрируемость в одном смысле влечет интегрируемость в другом и интегралы в двух разных смыслах совпадают? Ответ на этот вопрос в общем случае требует весьма глубоких соображений, на которых здесь нет возможности остановиться. Ограничимся основным классом функций, интегрируемость которых была установлена в главе 5. ■ Теорема 6.3. Пусть /: (а,Ь) —> R — непрерывная в основном функция. Для того чтобы f была, интегрируема, в смысле Лебега на, отрезке (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы функция |/| была интегрируема по Ньютону на, (а, Ь). Если f удовлетворяет этому условию, то имеет место равенство о о (N) I f(x)dx = (L) I f(x)dx. Доказательство. Необходимость. Рассмотрим случай, когда /: (а,Ь) —> R непрерывна в основном на (а, Ь) и интегрируема в смысле Лебега по промежутку [a,b]. Тогда также и функция |/| интегрируема по [а,Ь] в смысле Лебега. Обозначим через Е не более чем счетное подмножество (а, Ь) такое, что функция / непрерывна в каждой точке х £ (a,b)\E. Положим X F(x) = (L)Jf(t)dt.
§ 6. Измеримые множества, и функции в пространстве Ш71 121 Докажем, что определенная таким образом функция F является первообразной функции / на [a,b]. Сначала установим непрерывность F. Введем вспомогательную функцию x(xyt)i полагая x(x>t) = О ПРИ i > х> х(х^) = 1 ПРИ t < х. Тогда 6 F(x) = (L)J f(t)x(x,t)dt. При всяком t € [a>b] функция х »-> x(x>t) имеет в промежутке [а,6] единственную точку разрыва, а именно, точку х = t. График функции х i-> x(x>t) представлен на рис. 3. Рис. 3 Зададим произвольно точку xq € [а,Ь], и пусть (хт)те^ есть последовательность точек отрезка [a,b], сходящаяся к хо при т —► оо. Тогда x(xm>t) —* х(#сь<) при m —► оо для любого t ф х$. Пусть (р: t ^ /О0х(зо,<)> <рт: t *-* f{t)x{xm,t). Тогда, по доказанному, y>m(tf) —► <£>(<) при m —► оо для всякого f Ф #о> т. е. <£m(tf) = = lim <p(t) почти всюду. При всяком т имеем \(рт\ < |/|. В силу тео- п—юо ремы Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что 6 ь (L)J<pm(t)dt->(L)J<p(t)dt, а а т. е. F(xm) —► F(xq) при т —► оо. Непрерывность функции F тем самым доказана. Возьмем произвольную точку хо € (а, Ь)\Е. Функция / непрерывна в точке хо. Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6 > О такое, что если х £ (а,Ь) \ Е таково, что \х — х$\ < £, то |/(х) — /(xq)\ < е. Для всех t из интервала (xq — £, #о + Я) выполняются неравенства /(хо) - е < /ОО < /Ы + е. (6.7)
122 Гл. 13. Интегральное нечисление функций многих переменных Возьмем произвольно х € (хо — £, xq + £), х ф xq. Тогда X F(x) - F(x0) = (L) / f(t) dt при х > xQ, x0 x0 F(x) - F(x0) = -(L) J f(t) dt при x < x0. X В силу неравенства (6.7), очевидно, X (/Ы - е)(х - х0) < (L) J f(t) dt < (f(x0) + е)(х - х0) Хо для случая х > xq и (/Ы ~ е)(х0 - х) < (L) J f(t) dt < (f(x0) + e)(x0 - x) для случая, когда х < xq. Отсюда получаем, что /(»0)-E<F(l)-F(l0)</(*0)+E. X — Хо Так как е > О произвольно, то из доказанного вытекает, что функция F дифференцируема в точке жо, причем F'(xo) = /(xq). Функция F, таким образом, удовлетворяет всем условиям в определении первообразной. Следовательно, / интегрируема в смысле Ньютона. Отметим, что F(b)-F(a) = (L)Jf(t)dt, т. е. (N)Jf(t)dt = (L)Jf(t)dt. a a Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена.
§ 6. Измеримые множества и функции в пространстве Шп 123 Докажем достаточность условия теоремы. Пусть / есть функция, непрерывная в основном на промежутке [a,b], причем функция |/| интегрируема на промежутке [a,b]. Предположим сначала, что функция / неотрицательна. Пусть / — ее нулевое продолжение на Е. Ясно, что / есть непрерывная в основном функция. Имеет место равенство (N) I f(x)dx = (N) f f(x)dx. По лемме 6.2 найдется последовательность неотрицательных ступенчатых функций <р„ такая, что для всякого жбЕ числовая последовательность (y>J/(x))1/€/v возрастает и стремится к пределу, равному f(x) для всякого ж, не принадлежащего некоторому не более чем счетному множеству Е. При каждом m имеют место неравенства оо оо (N) I f{x)dx > (N) I ^u(x)dx. (6.8) — ОО —ОО Для ступенчатых функций интегралы в смысле Лебега и в смысле Ньютона совпадают по определению, и, значит, при каждом v верно равенство ОО ОО (N) J ip„{x)dx = {L) J ipv(x)dx. (6.9) — ОО —ОО Неравенство (6.8) и равенство (6.9) позволяют заключить, что последовательность интегралов г оо (L) J yv{x)< \dx «/=1,2, ограничена сверху. На основании теоремы Леей (следствие 3 теоремы 4.1) получаем, что функция / интегрируема в смысле Лебега на М, и для неотрицательных функций достаточность условия теоремы доказана. Предположим, что / — непрерывная в основном функция такая, что |/| интегрируема в смысле Ньютона на [a,b]. Тогда / также интегрируема на [a,b] в смысле Ньютона и, значит, каждая из функций /+ и /" интегрируема в смысле Ньютона на отрезке [а,Ь]. На основании доказанного отсюда вытекает, что /+ и /"", а значит, и / интегрируемы на [a,b] в смысле Лебега. Теорема доказана. ■
124 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных § 7. Теорема Фубини и ее следствия В этом параграфе доказывается, что интеграл функции вШп может быть получен как результат последовательного выполнения одномерных интегрирований. Сначала рассматривается случай интегрируемых в Шп функций. Затем доказывается справедливость аналогичного утверждения для неотрицательных измеримых функций. 7.1. Теорема Фубини В дальнейшем мы часто будем применять следующее представление пространства Шп. Пусть п > 2, к и m есть натуральные числа такие, что к + m = n. Пространство Шп будем отождествлять с произведением Rk x Ew, рассматривал произвольную точку х = (#i, #2, • • • > #n) G Шп как пару (у, z), где у = (уь г/2, •.., Ук) € R* и z = (zu z2i..., 2m) G Кт, причем у,- = ж; для г = 1,2,..., к и zj = Xk+j при каждом j = 1,2,..., т. Для произвольной функции /, определенной в Кта, ее значение /(ж) в точке х = (у, z) G Шп будем обозначать символом f(y,z). Пусть даны произвольные множества В С К* и С С Шт. Множество А всех точек х = (у, г) G En, для которых у G 5, а г G С, будем обозначать символом В х С. Пусть хв есть индикатор множества В в пространстве К*, а %с — индикатор множества С в Кт. Тогда для всякого х = (у, г) G Кп имеет место равенство Ха(я) = Хв(у)хс(*)- (7.1) Действительно, если Ха(х) = 0, то я ^ А и, значит, или у ^ 5, или z £ С. Отсюда следует, что в этом случае один из множителей в правой части (7.1) равен нулю и тогда равенство (7.1) верно. Если же Ха(х) = 1, то ж G А и, значит, у G 5, a z G С. Следовательно, Хв(у) = 1» Хс(^) = 1» так что равенство (7.1) выполняется и в этом случае. Если В С Шк есть fc-мерный прямоугольник, а С С Шт — га-мерный прямоугольник, то А = В х С есть п-мерный прямоугольник. Всякий n-мерный многоугольник А может быть представлен в виде А = В х С, где В ш С есть прямоугольники соответствующей размерности в пространствах R* и Rw. Действительно, пусть п А = (счЛ) х ••• х {ап,Ьп) = Ц(о,-,Ь,->.
§ 7. Теорема Фубини и ее следствия 125 Тогда, очевидно, А = В х С, где Б = (а1,Ь1> х ---х (ак,Ьк) = J[(ai>bj)> n С = (а*+ьЬ*+1> x ••• х (ап,Ьл) = Д (а,,Ь,-). Для прямоугольника А = В х С имеет место равенство М»(А) = м;ь(5)Мт(С). (7.2) Если прямоугольник А является двоичным кубом ранга г в пространстве Кта, то множители 5 и С в представлении А = В х С прямоугольника А являются двоичными кубами ранга г в пространствах Шк и Шт соответственно. ■ Лемма 7.1. Пусть f есть ступенчатая функция в пространстве Шп = R* х Шт. Для всякого у G К* функция z eRm *-+ /(у, г) является ступенчатой в IRm, я для любого z G Rm функция yGKfc^ /(у, г) есть ступенчатая функция в Rk. Если Пу) = / /(у, ^) <**, <?(*) = / /(у, *) <*у, (7-3) Rm R* то F и G есть ступенчатые функции в пространствах Шт и Шк соответственно. При этом имеют место равенства J F(y) dy= J G(z) dz = J /(») dx. (7.4) R* Rm Rn Доказательство. Пусть / есть ступенчатая функция в пространстве КЛ. Тогда согласно определению ступенчатой функции (см. § 1) имеем / ;=i где hj — вещественные числа, aj, j = 1,2,...,/, — двоичные кубы в пространстве Ш71. Каждый из кубов aj можно представить как произведение /?у х 7j? где /3j есть двоичный куб в Rfc, а 7j — двоичный куб в Rm.
126 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных В силу равенства (7.1) имеем Ха,-(у»*) = Xi3j(y)Xyj(z) ПРИ каждом j = 1,2,...,/. Отсюда получаем, что для всякого х = (y,z) G Rn выполняется равенство f(yyz) = ]Г) hjx^j{y)x-ij{z)- i=i Из данного равенства непосредственно видно, что при фиксированном у € Rk отображение z »-> f(y,z) есть ступенчатая функция в пространстве Rm и при любом фиксированном z £ Rm отображение У н~> f(y>z) есть ступенчатая функция в Rk. Далее, используя представление интеграла ступенчатой функции, установленное в § 1, получим, что F(y)= I f{y,z)dz=^jhjfim{li)x^{y) и, аналогично, G(z) = Y,hJ»k(h)x<rM Отсюда видно, что функции F и G являются ступенчатыми. При этом / Ну) dy = ^2 bjPmfrjhkiPi) = ]C hi^{otj) = I f(x) dx Rk i=1 i=1 Rn и, аналогично, / G(z)dz = ^hjiik(Pi)lJLm(lj) = ^hjfiniaj) = / /(a?)da:. Лемма доказана. ■ Введем некоторые временные обозначения. Пусть дана функция /: Rn-*R. Для произвольной точки y€Rh символ Syf обозначает функцию, определенную на Rm следующим условием: Syf(z) = f{y^z) для всех z € Rm. Полагаем F(y) = Для произвольной точки г £ Rm пусть <tz/ есть функция у £ R* ь-> »-» f(y,z). Символом G(z) обозначим Li-норму функции azf в пространстве Rk. ш Лемма 7.2. Для всякой функции f:Rn-*R имеют место неравенства MR») > II^IIli(H*)» II/IUi(R») > l|G||Ll(R-). (7.5)
§ 7. Теорема Фубини и ее следствия 127 Доказательство. Если ||/||z,i(Rn) = оо, то неравенства (7.5), очевидно, верны. Будем далее предполагать, что величина ||/||z,i(Rn) конечна. Зададим произвольно е > О, и пусть (^^eN есть последовательность ступенчатых функций в пространстве Rn, мажорирующая функцию / и такая, что jirn^ / <р„{х)dx < \\f\\Ll(R") + е. Согласно данному в § 2 определению последовательности функций, мажорирующей функцию /, функции ф„ неотрицательны, для всякого х £ КЛ последовательность (tpvix)),,^ возрастающая, причем /(#) < lim <р„(х). 1/—ЮО При каждом у £ Шк определены функции Syf и Syipv. Функции Sy(fu являются ступенчатыми в пространстве Ew. Для любого z € Rm выполняется неравенство Syipv{z) > 0 и последовательность (5y(pJ/(^))J/eN является возрастающей. При этом имеет место неравенство Syf(z) < lim Sy<pv(z). Таким образом, при каждом у €Шк мы имеем последовательность ступенчатых функций в пространстве Rm, мажорирующую функцию Syf. Из определения Li-нормы непосредственно вытекает, что Пу) = ||£,/||Ll<*») < ^SL / SwVy(z) dz. (7.6) Положим ф«/(у) = / Syipv{z)dz^ J ipy(y,z)dz. Функция Ф„, как следует из леммы 7.1, является ступенчатой в пространстве Шк. При каждом v Е N интеграл от функции Ф„ по пространству Шк согласно лемме 7.1 равен интегралу от функции (ри по пространству IRn. В силу известных нам свойств интегралов ступенчатых функций функция Ф„ неотрицательна и последовательность (Ф,/)„^ является возрастающей.
128 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Для всякого j/6EfcB силу (7.6) выполняется неравенство Пу) = \\Svf\\Ll<]**) < Um Ф„(у). Мы получаем, что последовательность ступенчатых функций (Ф^)*^ мажорирует функцию F. Отсюда следует, что \\Щьг(»)< Km $„(y)dy= ton / ip„(x)dx < ||/||Ll(R») + e. Так как е > О было взято произвольно, то отсюда, очевидно, вытекает первое из неравенств (7.4). Второе неравенство (7.4) доказывается аналогичным образом. Лемма доказана. ■ Теперь мы можем доказать основное утверждение о сведении вычисления интеграла функции п переменных к отысканию интегралов для функций меньшего числа переменных. Это утверждение содержится в формулируемой далее теореме. Оно является одним из главных средств, применяемых для отыскания значений тех или иных конкретных интегралов. ■ Теорема 7.1 (теорема Фубини). Пусть /: Rn -* R есть интегрируемая функция в Rn. Тогда для почти всех у £ R* функция Syf: z ь-> /(у, z) интегрируема по Rm, для почти всех z E Rm функция azf: у »-> /(у, z) интегрируема по R*. Пусть F(y) = / f(y,z)dz, G(z) = J f(y,z)dy. Тогда функция F Rm R* интегрируема по R*, функция G интегрируема по Rm, причем имеют место равенства J F(y)dy = J G(z)dz = J f(x)dx. № Rm Rn Доказательство. Пусть /: Rn —*■ R есть произвольная интегрируемая функция. Для всякого v € N найдем ступенчатую функцию <р„ такую, что II/- ¥>*||li(r») < 2^7- Положим / - <ри = г„. Для всякого у £ R* в Rm определена функция Syrv = 5У/ - S^w Положим Д^(у) = |ki/|Ui(R™)- Согласно лемме 7.2 выполняется неравенство II^HL^Rfc) < IMUi(R») < TjIT- Из последнего неравенства, очевидно, следует, что $^1|Д*Нм*) <°° i/=l
§ 7. Теорема Фубини и ее следствия 129 В силу теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1) отсюда вытекает, что Ru(y) —*• О для почти всех у G Шк. Пусть Е есть множество меры нуль в пространстве R*, состоящее из всех точек у G R*, для которых Rv{y) не стремится к нулю при v —► оо. Пусть у $ Е. Тогда Rv(y) —* 0 при ^ —► оо, т. е. для этого у \\Syf- Sy<pu\\Ll(Rm) стремится к нулю при и —► оо. Функция Syipv является ступенчатой. Из доказанного поэтому следует, yiTO функция Syf интегрируема для всякого у, не принадлежащего множеству Е меры нуль в пространстве IR*. Таким образом, мы получаем, что для почти всех у 6 Шк функция z »-> /(у, z) интегрируема по пространству Кт. Для у £ Е положим F(y)= J f(y,z)dz= J Syf(z)dz. Для у G E считаем, что F(y) = 0. Пусть Ф„(у) = / (pl/(yyz)dz. Согласно лемме 7.1 функция Ф„ является ступенчатой в Шк. При всяком у £ Е имеем \F(y) - Ф„(у)| = [f(y,z)-<pv(y,z))dz\ < <l|Sy/-%>Jil(Rm) = U,(y). (7-7) Имеем также II^IImR*) < II/ - ^IUi(Rn)- Переопределим функцию Л„, полагая Ru(y) = оо при у € Е. Значение Li-нормы функции j?„ при этом не изменится. В то же время неравенство (7.7) для переопределенной функции Ru будет выполняться уже для всех у G IR*. Это позволяет заключить, что \\F - Ф„||Ь!(*) < ll^||Ll(Rfc) < II/ - ¥>*IUi(R«) и, значит, \\F — $i/||Li(Rfc) —* О ПРИ " -* °°- Функции Ф„ согласно лемме 7.1 являются ступенчатыми. Из доказанного поэтому следует, что функция F интегрируема по пространству К*. При этом / F(y) dy = Jirn^ / Ф„(у) dy. Rk Rk
130 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Согласно лемме 7.1 при каждом v имеет место равенство / Ф„(у)<1у = / (pv(x)dx. Интеграл справа при v —► оо стремится к пределу, равному J f(x) dx. Мы получаем, таким образом, что Rn / F(y) dy = Jirn^ / Ф|/(г/) dy = / f(x) dx. R* R* Rn Первое равенство теоремы, таким образом, доказано. Доказательство второго равенства утверждения осуществляется аналогично. Предоставляем читателю рассмотрение всех деталей доказательства в этом случае. Теорема доказана. ■ ▼ Следствие I. Пусть Е есть множество меры нуль в пространстве КЛ. Для произвольного у G Шк обозначим через SyE множество всех точек z G Rm, для которых (у, z) G Ё. Для z G Km пусть azE есть множество всех у G R*, для которых (у, z) G Е. Тогда для почти всех у G R* множество SyE есть множество меры нуль в пространстве Шт. Аналогично, для почти всех z G Km множество azE есть множество меры нуль в пространстве Кк. Замечание. Множество SyE называется у-сечением множества Е и соответственно azE — z-сечением множества Е. Доказательство. Данное утверждение получается приложением утверждения теоремы 7.1 к функции хе — индикатору множества Е. Если Е является множеством меры нуль в пространстве Кта, то функция хе интегрируема и интеграл от нее равен нулю. По теореме 7.1 найдется множество А\ меры нуль в пространстве Шк такое, что если у $. А\у то функция SyXE- z *-> Хе(у,*) интегрируема. Положим Яу)= / XE{y,z)dz. Величина F{y) равна мере множества SyE. В силу утверждения теоремы 7.1 функция F интегрируема. Для всякого у £ А\ величина F(y) неотрицательна. В силу теоремы 7.1 интеграл от функции F по Rk равен интегралу от функции хе по пространству Кта, т. е. он равен
§ 7. Теорема, Фубини и ее следствия 131 нулю. Отсюда заключаем, что F(y) = О для почти всех у G Efc, для которых F(y) определено. Пусть Аъ есть множество тех j/GRfc, для которых F(y) ф 0. В силу леммы 2.9 Ач есть множество меры нуль. Положим А = Ai U А2. Тогда множество Л есть множество меры нуль в пространстве Шк. Для всякого у ^ А множество SyE представляет собой множество меры нуль в пространстве Rm. Утверждение следствия, касающееся множеств SyE, таким образом, доказано. Для azE рассуждения проводятся аналогично. Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2. Все утверждения теоремы 7.1 остаются верными также и в случае, если функция /, интегрируемая по Шп, определена, лишь почти всюду в Rn. Действительно, предположим, что / есть интегрируемая функция, определенная в Шп почти всюду. Пусть Е есть множество тех х £ К71, для которых f(x) не определено. Продолжим функцию / на множество Е произвольным образом. Получим некоторую функцию /, определенную всюду в R". Эта функция интегрируема. При этом интегралы функций / и / совпадают. Пусть А\ есть множество тех у G Efc, для которых соответствующее у-сечение множества Е не является множеством меры нуль в пространстве Rm. Далее, пусть A*i есть множество тех у G Kfc, для которых функция Syf интегрируема по Шт. Тогда А\ U А<ъ есть пренебреэюимое множество в R*. Возьмем произвольно у £ А. Множество SyE для данного у является пренебрежимым в Шт в силу того, что у £ А\. Если z £ SyE, то х = (y,z) £ Е и, значит, для этого z имеем Syf{z) = /(у, 2) = Syf(z). Так как у £ A<i, то для данного у функция Syf интегрируема. Так как у $ Ai, то для данного у функция Syf{z) = Syf(z) для почти всех z G Rm. Следовательно, мы получаем, что если у £ А, то функция Syf: z G Rm *-> /(у, 2) интегрируема по Шт. При этом F(y) = J /(У, z) dz = J /(y, z) dz = F(y). R™ R"» В силу теоремы 7.1 функция F интегрируема по Шк. Отсюда вытекает, что функция jP интегрируема по Шк. При этом f(x)dx. R* R* Rn Rn Рассуждения, касающиеся функции G(z) = / /(у, z) dy (см. выше), R* проводятся аналогично. Следствие 2 доказано. Т
132 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 7.2. Теорема Тонелли Здесь мы докажем аналог теоремы Фубини для случая измеримых функций. Необходимость в таком аналоге вызвана тем обстоятельством, что условия теоремы Фубини делают ее в некоторых случаях неудобной для применения. Для того чтобы применять эту теорему, необходимо заранее знать, что рассматриваемая функция интегрируема. Оказывается, что преобразования интегралов функции п переменных, возможность которых вытекает из теоремы Фубини, приводят к правильному результату при значительно более слабых предположениях. Напомним некоторые обозначения. Пусть п > 2, к и m есть натуральные числа такие, что к + m = п. Пространство Шп будем отождествлять с произведением Шк х Шт, рассматривая произвольную точку х = (х1,х2,...,хп) € Кп как пару (у,г), где у = (yi,y2,• • • ,Ук) € Шк и z = (z\, z2,..., zm) G Шт, причем у,- = Х{ для г = 1,2,..., к и Zj = ж^+у при каждом j = 1,2, Для произвольной функции /, определенной в Шп, ее значение f(x) в точке я = (у, г) G Rn будем обозначать символом f(y,z). Для функции /: Rn —► R символ S^/, где у € Шк, как и ранее, означает функцию, определенную на Шт условием Syf(z) = /(у, г) для всех г G Km. Полагаем F(y) = H^/IUxCR™)- Для произвольной точки z G Кт пусть <r2f есть функция j/GEfc^ ш Теорема 7.2 (теорема Тонелли). Предположим, что пространство Rn представлено как прямое произведение Шк х Шт. Пусть f: Шп —► —* Ш есть неотрицательная измеримая функция. Тогда для почти всех у еШк функция Syf измерима в Rm, для почти всех z G Шт функция crzf измерима в Шк. Пусть F(y)= J f(y,z)dz, G(z) = Jf(y,z)dy. Rm R* Определенные tslk функции F и G неотрицательны, измеримы в пространствах mk и Ж™ соответственно, и имеют место равенства J F(y) dy= J G{z) dz = J f(x) dx. R* Rm Rn Доказательство. Предположим, что измеримая вещественная функция f:Rn —► R неотрицательна и определена всюду в Шп. Величина f(x), таким образом, предполагается определенной для всех хешп.
§ 7. Теорема, Фубини и ее следствия 133 Построим некоторую вспомогательную последовательность функций /„. Пусть В„ есть га-мерный брус В„ = [-!/,!/) X [-!/,!/) X ••• X [-!/,!/) = {[-!/, I/)}*. Брус В„ может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов, и, следовательно, его индикатор является ступенчатой, а значит, и измеримой функцией. Положим Xi/ = ^Хв„, и пусть /„ = min{/, \v}- Функция /„ неотрицательна и измерима. При всяком х Е Rn, для которого f(x) определено, выполняются неравенства О < fy(x) < *„(*). Отсюда вытекает, что функция /„ при каждом v £ N интегрируема. Если х £ Ву, то jv(x) = 0 и, значит, в этом случае /„(#) < fy+\(x). Пусть х G В„. Если f(x) < */, то f(x) < и + 1 и, следовательно, /*(*) = Л+iC») = /(ж). Если ^ < /(ж) < ^ + 1, то Если z/ + 1 < /(ж), то имеем /„(я) = ^, /„+i(:c) = и + 1. В этом случае Л(я) < Л+1(ж). Последовательность (/*)*€N» определенная таким образом, является возрастающей. Для всякого х £ Кп имеем lim хЛх) = °°- Отсюда следует, что для всякого х G Кп выполняется равенство lim fv(x) = min{/(x),oo} = f(x). При каждом v для почти всех j/GKfc функция Syf„ интегрируема по Rm. Пусть Av есть то множество меры нуль в пространстве R*, состоящее из тех исключительных значений j/GlR^, для которых функция
134 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Syfv не является интегрируемой по Шт. Для всякого у fi Av определена величина F»(y)= J Mv,*)dz. Rm Получаемая таким образом функция Fv интегрируема по пространству Шк. При этом / F„(y)dy= / fv{x)dx. R* Rn oo Пусть А = (J Av. Тогда А есть множество меры нуль в про- странстве Шк. Возьмем произвольно точку у £ А. Для этого у функция Syf„ определена для всех z € Rm и интегрируема по пространству Rm. Последовательность функций (Syfv)v^ является возрастающей, и Syfv(z) —► Syf(z) при v —► оо для всех z G Mm. Отсюда вытекает измеримость функции Syf. В силу неотрицательности функции Syf для данного у определена величина F(y) = J f(y,z)dz. В силу meo- Rm ремы Леей для последовательностей измеримых функций (теорема 5.7) мы получаем, что F(y) = lim Fv(y). В силу свойства монотонности V—ЮО интеграла последовательность {Fv{y))v^ является возрастающей для всякого у. При этом Fv(y) —► F(y) для почти всех у £ Шк. Отсюда вытекает измеримость функции F. Теорема Леви для последовательности измеримых функций позволяет заключить, что / F(y) dy = Ш^ / Fv{y) dy. (7.8) R* R* При каждом и в силу теоремы 7.1 имеем / Fv(y)dy= I fv{x)dx. R* Rn Имеем также Um I f„(x)dx= J f(x)dx. (7.9) Rn Rn
§ 7. Теорема, Фубини и ее следствия 135 Из равенств (7.7) и (7.9) вытекает равенство f f(x)dx= fF(y)dy. Rn R* Первое из равенств теоремы доказано. Равенство, относящееся к функции G, устанавливается аналогичным образом. В проделанных выше рассуждениях предполагалось, что функция /: Шп —► Ш определена для всех х G Шп. Случай, когда f(x) определено лишь для почти всех х G К71, сводится к рассмотренному и осуществляется рассуждениями, почти дословно повторяющими доказательство следствия 2 теоремы 7.1. Приведем одно полезное следствие теоремы Тонелли. Пусть п — = к + гп, где fc, га — натуральные числа. Пусть А С Шп. Для произвольного у € Rk символом Sy(A) обозначим множество всех z G Шт таких, что точка х = (j/,^) принадлежит А. Пусть z G Шт. Множество всех у G Шк таких, что точка х = (у, 2) G А, будем обозначать символом az(A) и называть 2-сечением множества А. ▼ Следствие. Пусть даяы измеримое множество А в пространстве Шп и неотрицательная измеримая функция /: А —► К. Тогда для почти всех у G Шк множество Sy измеримо в Rm, для почти всех z G Km измеримо множество az(A) в пространстве Шк и имеет место равенство Jf(x)dx = Jl J f(y,z)dz\dy= J I J f{y,z)dy\dz. A R* ^ Sy(A) ' Rm ^ *Z(A) ' Доказательство. Утверждение следствия об измеримости множеств Sy(A) и crz(A) устанавливается применением теоремы Тонелли к функции ха{у, z) — индикатору множества А. Пусть /: А —► К есть неотрицательная измеримая функция, определенная на множестве А пространства Шп = Rh x Шт. Продолжим функцию / на все пространство Rn, полагал f(x) = О при х $. А. Продолжение является неотрицательной измеримой функцией на пространстве Шп. Согласно теореме Тонелли имеем Jf(x)dx = jl J f(y,z)dz\dy = J I J f(y,z)dy\dz. Rn R* ^ Rm ' Rm ^ R* ' Пусть у G Kk таково, что для этого у функция z •-> /(у, z) является измеримой в пространстве Шт и множество Sy(A) измеримо. Таковы
136 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных почти все у € Rm. При z £ Sy(A) величина f(y,z) обращается в нуль. В соответствии с определением интеграла функции по подмножеству отсюда получаем, что для данного у имеет место равенство / f(y,z)dz = I f{y,z)dz. *» sy{A) Принимая во внимание, что Jf(x)dx = J Rn A отсюда получаем первое из доказываемых равенств. Справедливость второго устанавливается аналогичными рассуждениями. Следствие доказано. Т Замечание. Утверждение следствия, касающееся интеграла функции f(x) = /(у, z), верно также и для случая, когда / есть произвольная интегрируемая функция в множестве А С Шп. В этом случае требуемый результат устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были проделаны при доказательстве следствия. 7.3. Формула Кавальери — Лебега 7.3.1. Если система с интегрированием является счетной в бесконечности, то может быть установлено равенство, которое позволяет представить интеграл неотрицательной измеримой функции через меры ее множеств Лебега. Выводом этой формулы мы и займемся. Предварительно докажем некоторое предложение о представлении несобственного интеграла в виде предела суммы ряда. ■ Лемма 7.3. Пусть в: (0,оо) —► Ш есть неотрицательная убываю- оо щая функция. Для h > 0 положим Sh(0) = h £ 0(vh). Тогда имеет место равенство оо [ 0(x)dx= ]imSh(9). (7.10) о При каждом h > 0 справедливо неравенство Sh(0) > S2k(9). (7.11)
§ 7. Теорема Фубини и ее следствия 137 Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Зададим произвольно h > 0. Пусть к € N. Тогда имеют место неравенства 10(x)dx>h^26(kh) > I 9{х)dx. Устремляя 1/коо, получим оо оо /в(х)dx > Л ]Г9{uh) = Sh(6) > f в(х)dx. о "=1 { Переходя в этом неравенстве к пределу при h —► 0, получим, что оо °° оо lim h ]Г e^h) = Ит [o(x)dx= l 6(x)dx. i/=i Теперь докажем неравенство (7.11). Объединяя в сумме, представляющей Sh(0), слагаемые, соответствующие значениям v = 2к — 1 и v = 2к при каждом fc = 1,2,..., получим оо оо Sh(0) = h^20{uh) = h]T{0[(2fc - Щ + 0{2kh)}. *=1 Jb=l Так как, по условию, функция в убывающая, то при всяком к выполняется неравенство в[(2к — l)h] > 0(2kh). Отсюда получаем оо оо h J2 0{yh) > h 53 20(2АЛ) = S2h(0). Тем самым установлена справедливость неравенства (7.11) при каждом /i > 0. Лемма доказана. ■ Зададим произвольно систему с интегрированием £ = (М,^",/). Мы будем предполагать, что эта система счетна в бесконечности. Напомним, что согласно определению, данному в §5, это означает, что существует последовательность простых функций (/„)„eN такая, что fv{x) —* 1 при v —► оо для всякой точки х € М. Пусть /х означает функцию множества, которая является мерой в этой системе с интегрированием. Предположим, что /: М —► R есть неотрицательная измеримая . функция. Для t > 0 положим Ef(t) = {хеМ\ /(*) > *}, £/(<) = {ж G М | /(ж) > <}. (7.12)
138 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Как__было показано выше (теорема 5.11 этой главы), множества Ef(t) и Ef(t) измеримы при любом t > 0. Для любых /i, t2 таких, что 0 < t\ < *2, имеют место включения Ef(h) D EfiU) D Ef(t2). (7.13) Первое включение верно в силу того, что из неравенства f(x) > ti следует f(x) > t\. Второе включение вытекает из того факта, что если f(x) > t2, то f(x) > t\. Для t > 0 положим lif(t) = ii[E,(t)], fl,(t) = ii[E,(t)]. (7.14) Тем самым в промежутке (0, оо) определены неотрицательные вещественные фуНКЦИИ flf И Д/. Из включений (7.13) вытекает, что для любых t\, t2 6R таких, что 0 < t\ < %2, имеют место неравенства M/('i) > /*/(*i) > А/(*з)- (7-15) Отсюда, очевидно, следует, что для всякого t > 0 выполняется неравенство Д/С) > М/С)? и Для любых <i,^2 € R таких, что 0 < ti < t2> имеют место неравенства M/Ci) > М/Сг) и /i/(*i) > /i/(*2), так что /i/ и Д/ есть невозрастпающие вещественные функции на промежутке (0,оо). Заметим, что если для некоторого значения t = to > 0 одна из величин М/Со) и Д/Со) равна оо, то в силу неравенств (7.15) М/С) = М/С) = °° для всех t € (0, to). _ Пусть /: М -» Е есть неотрицательная измеримая функция и функции /i/ и Д/ определены по ней равенствами (7.14). Предположим, что /i/C) конечно для всех / € (0,оо). Тогда в каждой точке / G (0,оо), в которой функция /х/ непрерывна, имеет место равенство Д/С) = ///О- Действительно, пусть / > 0 и h > 0 таковы, что / — h > 0. Тогда имеем м/С - М > Д/С) > м/С). Если функция /i/ непрерывна в точке £, то /i/C — h) —* М/С) при Л —* 0, откуда следует, что в этом случае Д/С) = М/С)- Так как /х/ есть монотонная убывающая функция, то множество ее точек разрыва не более чем счетно и, стало быть, множество значений 2, для которых М/С) Ф М/С)» не более чем счетно.
§ 7. Теорема, Фубини и ее следствия 139 ■ Теорема 7.3. Пусть /:М-+Ш есть неотрицательная измеримая функция в системе с интегрированием Е, счетной в бесконечности. Пусть множества, Ef(t) и Ef(t), функции \Lf и jif определены по функции f посредством равенств (7.12). Тогда если для некоторого t > О имеет место равенство /i/(^o) = оо, то интеграл функции f по М равен оо. Если же fJ,f(t) конечно для всех t > О, то имеют место равенства оо оо [ f(x)dp(z)= J pf(t)dt= [jif(t)dt. (7.16) М 0 0 Замечание 1. Формулу (7.16) будем называть формулой Кавальери — Лебега. Замечание 2. Поскольку по доказанному выше Д/(2) = = /i/(i) в основном, т. е. всюду, кроме точек, образующих не более чем счетное множество, то из условия {Vtf > 0 /х/(<) < оо} вытекает {V* > О Д/(«) < оо}. Замечание 3. Если условиться, что для неотрицательной функции, которая определена в промежутке (0, оо) и равна оо для всех t из некоторого интервала (0,/3), где /3 > О, интеграл по промежутку (0,оо) равен оо, то равенства (7.16) будут верны во всех случаях. Доказательство теоремы. Пусть /: М —► К есть неотрицательная измеримая функция. В используемых здесь обозначениях индекс / будем опускать всякий раз, когда это не может привести к недоразумению. Пусть /i(*o) = оо для некоторого *о > 0. Положим <р(х) = = toXE(t0)(x)- Функция (р измерима. При х £ E(to) имеем (р(х) = 0 < f{x). Если же х G E(to), то <р(х) = to < f(x) согласно определению множества E(to). Таким образом, <р(х) < f(x) для всех х £ М. Отсюда вытекает, что /(/) > 1(<р) = toI(xE(t0)) = *о/4*о) = оо, т. е. /(/) = оо. Первое утверждение теоремы доказано. Будем далее считать, что fi(t) конечно для всех t > 0. Так как fl(t) = n(t) в (0, оо) в основном, то достаточно доказать равенство теоремы, относящееся к функции fJ>(t). Зададим произвольно число га € N. Положим hm = —. Для всякого х G М определим функцию вх: (0,оо) —> R, полагая 0x(t) = 1 при 0 < t < f(x) и 0x{t) = 0 для f(x) < t. Функция вх является оо убывающей. Положим fm(x) = hm £ 0x(vhm) = Shm(0x).
140 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных При каждом га имеем hm = 2/im+i- Применим неравенство (7.11), полагал в нем в = вх и h = /im+i. Получим, что при каждом га для всех х € М имеет место неравенство fm+i(x) = Sjfcm+1(0x) > Shm(0x) = = fm(x)- Последовательность функций /m, таким образом, является возрастающей. В силу леммы 7.3 имеем оо /(*) Um fm(x)= lim Shm(6x)= [ex(t)dt= [ dt = f(z). m—+oo m—+oo J J 0 0 Таким образом, fm(x) —► f(x) при га —► оо для всех ж G М. При каждом £ > 0 согласно определению величины 0x(t) имеем: 9x{t) = 1, если f(x) > /, т. е. если х принадлежит множеству Лебега Ef{i) функции /; 0x{t) = 0, если / < /(ж), т. е. если х £ Ef(t). Таким образом, мы получаем, что х *-> 9x(t) есть индикатор множества Ef(t). Множество Ef{t) измеримо. Следовательно, / 0x(t)dfi(x) = / XEf(t)(x)dn(x) = p(t) м м для всякого / > 0. Применяя теорему 5.7 (теорема Леви для измеримых функций), получаем, что при каждом га G N выполняется равенство / Ux) М*) = ^ J 0* (£) Мх) = ± £ М (£) . (7.17) м м "=1 Правая часть полученного равенства при и —► оо, как следует из леммы 7.3, стремится к пределу, равному оо / fif(t)dt. В силу теоремы Леви для измеримых функций (теорема 5.7) левая часть равенства (7.17) при га —► оо стремится к пределу, равному / f(x)dp(x). м Переходя в равенстве (7.17) к пределу при га —► оо, мы, следовательно, получаем равенство м Теорема доказана. I оо J f(x)dfi(x) = Jfif(t)dt.
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 141 § 8. Формула замены переменной в кратном интеграле В данном параграфе устанавливается формула замены переменной в кратном интеграле. Здесь рассматривается случай, когда дано открытое множество U в пространстве Шп и диффеоморфизм ср множества U в пространство Шп, который взаимно однозначно отображает U на другое открытое множество V пространства Шп. Устанавливается, что интеграл произвольной функции f по множеству V равен интегралу по множеству U от функции f о <р, взятой с некоторым множителем, зависящим только от данного диффеоморфизма (р. Указанный множитель равен модулю якобиана отображения (р, т. е. | J(x, (p)\. Доказательство общей формулы замены переменной состоит в последовательном сведении общего случая к тем случаям, когда функция f достаточно просто устроена, а отображение <р есть диффеоморфизм некоторого специального вида. 8.1. Интегрируемые функции на открытых множествах пространства Rn Зададим произвольно открытое множество U пространства Шп. Функция /: U -» К согласно определению, данному в п. 5.4, является интегрируемой (измеримой) на множестве J7, если ее нулевое продолжение на пространство КЛ, т. е. функция /(ж), определенная условием f(x) = f(x) при х G U и f(x) = 0 при х ^ 17, является интегрируемой (соответственно измеримой) в Шц. Здесь мы установим некоторые предложения о приближении функций, определенных и интегрируемых на открытом множестве пространства Шп ступенчатыми функциями, удовлетворяющими дополнительному условию — условию финитпности относительно U. Функция /: U —> К называется финитной относительно открытого множества U, если существует компактное множество А С U такое, что /(ж) = 0 при х ^ А. _ Пусть А есть подмножество Шп. Для функции /: А -* К полагаем /л(/) = Jf(x)dx. А (Предполагается, что множество А и функция / таковы, что выписанный здесь интеграл имеет смысл.) В случае А = Шп вместо /&»*(/)
142 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных будем писать просто /(/). Под Xi-нормой функции /: А —► Е здесь понимается L\ -норма ее нулевого продолжения на Шп. Понятия L\ -нормы и интегрируемой функции в Шп определяются путем приближения функции ступенчатыми функциями. В случае, когда функция / определена и интегрируема на открытом множестве пространства П£п, как будет показано, можно брать ступенчатые функции, финитные относительно U. Этот факт существенно используется в доказательстве формулы замены переменной интегрирования в кратном интеграле. Предварительно опишем некоторую конструкцию, которая понадобится нам в дальнейшем. Пусть U есть открытое множество в пространстве КЛ. Тогда согласно лемме о кубическом подразделении открытого множества (лемма 6.1) найдется последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов (aI/)I/€N такая, что при каждом и замыкание а„ куба а„ содержится в U и имеют место равенства оо оо U= \Ja„= (Ja„. (8-1) Положим V V и» = Uа"' ^ = U ^»- Пусть Xv есть индикатор множества Uv. Множество Uv при каждом v компактно и содержится в множестве U. Функция Xv обращается в нуль вне множества Uv, и, следовательно, она финитна относительно U. При каждом v имеем Uv С 17,/+ъ откуда вытекает, что последовательность (Xi/)i/€N является возрастающей. Для всякого х Е U найдется номер щ такой, что х Е olVq. При v > щ имеем хЛх) = 1- Отсюда следует, что для всякого х Е U справедливо соотношение lim хЛх) = !• I/—ЮО ■ Лемма 8.1. Пусть U есть открытое множество в пространстве Кя. Предположим, что для функции F: U —> К ее L\ -норма конечна. Тогда по всякому е > О найдется последовательность (/„)„€n стулеяча- тых функций, финитных относительно U, которая мажорирует функцию F и такова, что lim Iu(fu)<\\F\\Ll(Rn)+e.
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 143 Доказательство. Пусть функция F: U —*• R такова, что ее Zi-норма конечна. Зададим произвольно е > 0. Согласно определению ii-нормы найдется последовательность ступенчатых функций (/i/)i/eN> мажорирующая функцию F и такая, что ]imI(fv)<\\F\\Ll+e. I/—ЮО Функции /„ все неотрицательны, последовательность {fi/)ueN возрастающая, и для всякого xGln выполняется неравенство F(x) < Urn fy{x). I/—►ОО Может оказаться, что некоторые из функций /„ не являются финитными относительно U. Положим /*(ж) = /Л^)хЛх)- Функция /* является ступенчатой. Она неотрицательна и обращается в нуль вне компактного множества !7„, содержащегося в множестве U, и, стало быть, /* финитна относительно U. Последовательность (/*) N возрастающая. При всяком х Е U имеем lim /;(х) = lim Ых) > \F(x)\. I/—ЮО I/—+ 00 При х 4 U неравенство lim f*(x) > \F(x)\ выполняется в силу I/-+00 того, что для таких х выполняется F(x) = 0. Последовательность (/£) eN» таким образом, мажорирует функцию F. При каждом v 6 N имеем 0 < /* < /„, и, значит, Um /(/;)< Um /(/„)<||F|Ul+e. Заметим еще, что каждая из функций /* финитна относительно U. Лемма доказана. ■ ■ Лемма 8.2. Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп и f есть функция, интегрируемая по U. Тогда для всякого е > 0 найдется ступенчатая функция ip, финитная относительно U и такая, 4To\\f-<p\\Ll(u) <e. Доказательство. Пусть функция /: U —► К является интегрируемой по множеству U. Согласно определению это означает, что нулевое продолжение функции / на Шп есть интегрируемая функция. Простоты ради мы будем считать, что функция / определена в Шп всюду, причем f(x) = 0 при х £ U.
144 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Зададим произвольно е > 0. Тогда согласно определению интегрируемой функции найдется ступенчатая функция ф такая, что II/ — ^llz,i(Rn) < £• Так как функции / и ф интегрируемы, то интегрируема также и функция / — ф и, значит, ||/ — ф\\ьх = I{\f — Ф\). В силу свойства аддитивности интеграла как функции множества имеем /(|/ - ф\) = Icu(\f - Ф\) + Ы\/ - Ф\). Оба слагаемых справа неотрицательны, и, следовательно, мы получаем, что Iu(\f — ф\) < е. Положим ф„ = фхич где Xv есть индикатор множества Uv, определенного равенством (8.1). Функция фу ступенчатая, и при v —> оо имеем ф„(х) —» ф(х) для всех х Е U. При каждом х Е U выполняется неравенство |/(х) - ф„{*)\ < |/(х)| + №„(х)| < I/0OI + №(*)!• Применяя теорему Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3), все условия которой здесь выполняются, получим 1и(\/~Ф1/\) —> 1и(\/ — ф\)- Так как Iu{\f — ф\) < е, то найдется номер щ такой, что Ы\1-Ф,0\)<е. Функция ip = фио, очевидно, и есть искомая. Лемма доказана. ■ 8,2, Формулировка результата Пусть U есть открытое множество в пространстве Kn, f:U—> —► Шп — отображение класса С7*, г > 1. Тогда в каждой точке х € U определено линейное отображение dfx — дифференциал отображения / в точке х. Матрица этого отображения имеет вид ЁА\ дхп | dh_ дхп , dfnj дхп/ где значения частных производных берутся в точке х. Данная матрица называется матрицей Якоби отображения / в точке х. Она имеет (dh дху dh_ дх\ 'dh дх2 дх2 I dfn dfn \ дхл дх-у
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 145 п строк и п столбцов. Ее определитель называется якобианом отображения f в точке х и обозначается символом «/(я,/). Пусть U есть открытое множество в Rn. Отображение /: U —► Шп называется дифференцируемым гомеоморфизмом класса СТ или, короче, диффеоморфизмом класса Сг, если / взаимно однозначно и принадлежит классу Сг, причем в каждой точке х G U якобиан отображения / отличен от нуля. Пусть U и V есть открытые множества пространства ЕЛ. Предположим, что отображения f:U—> Шп и g: V —» Шп есть диффеоморфизмы класса Сг, причем f(U) С V. Тогда суперпозиция h = g о f также является диффеоморфизмом класса Сг. Действительно, если отображения / и g удовлетворяют этим условиям, то каждое из них взаимно однозначно и принадлежит классу С7*, откуда вытекает, что отображение h также взаимно однозначно и принадлежит классу Ст'. В каждой точке х G U имеем dhx = dgy о dfx, где у = f(x). Отсюда следует, что J{x\ К) = </(я; f)J{y;g) ф О, так как согласно условию J(x;/) =£ 0 для любого ж G U и J{y\g) ф О для всех Отображение /i, таким образом, удовлетворяет всем условиям определения диффеоморфизма класса Сг. Если /: U —» ЕЛ есть диффеоморфизм класса Сг, то согласно теореме 2.2 главы 10 множество V = f(U) открытое и обратное отображение g = Z"1 принадлежит классу Сг. При этом, как очевидно, отображение g = /_1 взаимно однозначно. Суперпозиция / о # есть тождественное отображение, и, значит, для всякого у = f(x) G V имеет место равенство J{y\g)J{x] /) = 1. Отсюда следует, что в каждой точке у G V якобиан отображения g = /_1 отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, что f"1 также есть диффеоморфизм класса Сг. Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn, /: U —*• —► Кп — отображение класса Сг, г > 1. Если в точке р е U якобиан отображения / отличен от нуля, то найдется е > 0 такое, что В(р,е) С С U и ограничение / на шаре В(руе) есть диффеоморфизм класса Сг. Основной результат данного параграфа заключается в следующей теореме. ■ Теорема 8.1 (общая теорема о замене переменной в кратном интеграле). Пусть U есть открытое множество в Rn, ц>\ U —► Шп — произвольный диффеоморфизм nV = <p(U). Тогда для всякой функции /: V —► К, определенной и интегрируемой на множестве V, функция х »-+ f[<p(x)]\J(x,<p)\ интегрируема, причем имеет место равенство J f[<p(x)]\J(x, <р)\ dx = J f(y) dy. (8.2) и v
146 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство этой теоремы распадается на несколько этапов. Сначала мы покажем, что теорема верна для суперпозиции диффеоморфизмов, если она верна для каждого из них в отдельности. Затем будет установлено, что в общем случае теорема вытекает из того ее частного случая, когда функция / есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в множестве U (см. п. 8.3). Далее будет показано, что произвольный диффеоморфизм по крайней мере локально может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого простейшего вида (лемма 8.3). Завершение доказательства теоремы дается в п. 8.5. 8,3, Леммы о редукции Приведенные здесь леммы составляют первую часть доказательства теоремы 8.1, сформулированной выше. Из леммы 8.3 вытекает, что эта теорема будет доказана, если мы сумеем представить произвольный диффеоморфизм как суперпозицию диффеоморфизмов, для каждого из которых теорема верна. Лемма 8.4 позволяет свести случай произвольной функции / к некоторому простейшему случаю. Введем следующие обозначения. Предположим, что даны открытое множество U в пространстве Ж71 и диффеоморфизм tp: U —> Шп. Для произвольной функции /, определенной на множестве V, полагаем £/(*) = f[<p(x)]\J(x,ip)\. Произвольный диффеоморфизм может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого простейшего вида. При этом используется следующее утверждение. ■ Лемма 8.3. Пусть даны открытые множества U, V и W в пространстве Шп и диффеоморфизмы <р: U -> Шп и ф: V —>КП, причем (p(U) = V и <p(V) = W. Тогда если заключение теоремы 8.1 верно для множеств U,V и диффеоморфизма ц>, а также для множеств V, W и диффеоморфизма фу то оно верно также и для множеств U,W и диффеоморфизма в = ф о (р. Доказательство. В силу сделанного предположения для диффеоморфизма ф и множеств V и W = ф(У) заключение теоремы верно. Это означает, что если / есть интегрируемая функция, то функция g = ф/ является интегрируемой на множестве V', причем имеет место равенство / g(y) dy= Ф/(у) dy = I f(z) dz. V V W
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 147 Поскольку утверждение теоремы 8.1, по условию, верно для для диффеоморфизма (р, то мы получаем, что так как функция д: V —> R интегрируема, то функция (рд также является интегрируемой, неотрицательной и измеримой, причем имеет место равенство * <pg(x)dx= / g(y)dy= / f(z)dz. и v w Согласно определению И (рд(х) = /[#p(*))]|JMx),VOI№,<?)l- (8-3) Пусть х £ U ,у = (р(х). Отображение 0 дифференцируемо в точке х. При этом d0x = di\)y о d(px. Определитель суперпозиции двух линейных отображений пространства Шп в себя равен произведению определителей этих отображений. Отсюда вытекает, что J(xy0) = J(<p(x),il>)J(x,<p). В силу (8.3) получаем, что $Ш)(х) = f[6(x)]\J(x,6)\ = 6 f(x). Лемма доказана. ■ Пусть А есть произвольное подмножество Шп. Для произвольной функции /: А —► К полагаем Тд(/) = J f(x)dx. (Предполагается, что А множество А и функция / таковы, что выписанный здесь интеграл имеет смысл.) В случае А = Шп вместо /rt»(/) будем писать просто /(/). Пусть a = [ai,bi) х [a2,62) х • • * х [an,bn) есть двоичный куб в Шп. Символ о обозначает замкнутый куб [ai,bi] х [02,62] х • • • х [an,bn]. ■ ЛеммшЗЛ. Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn, (р: U —► Шп — диффеоморфизм, V = <p(U). Тогда если /: V —► R есть индикатор двоичного куба о С U, то функция fop измерима. При этом f о tp есть индикатор множества у?""1 (а). Предположим, что для всякого двоичного куба о такого, что замкнутый куб о С V, функция (рх<т интегрируема и значение интеграла этой функции по U равно мере куба о. Тогда заключение теоремы 8.1 верно для любой функции f Е L\(U).
148 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Пусть а есть двоичный куб, содержащийся в множестве V", <т = [abbi) x [a2,b2) х ••• х [ал,Ьп). Условие ip(x) E a означает, что компоненты функции (р удовлетворяют неравенствам ai < ¥>|(я) < Ь,% Множество А,- = {а: € 17 | a,- < ^i(x)} замкнуто относительно 17, множество Д = {х Е 17 | 6,- > <pi(x)} является открытым. Отсюда, как доказано в § 6, вытекает, что множества А,- и Д измеримы. Значит, также и пересечение всех множеств А,*, Б», г = 1,2,...,п, измеримо. Мы получаем, таким образом, что множество у?-1 (а) является измеримым. Если х £ у?"1 (а), то <р(х) £ а и, следовательно, хЛ^С^О] = 0- Если же х Е y>~1(a), то <р(я) Е а и, значит, в этом случае также и Х<г[^(х)] = 1- Для любого конечного набора функций щ, г*2,..., um, определенных на множестве V, и чисел А», % = 1,2,..., п, как нетрудно видеть, имеет место равенство {m ^ m 1=1 J 1=1 Отсюда вытекает, что если теорема 8.1 верна для случая, когда функция / есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в V, то теорема верна для всякой ступенчатой функции, финитной относительно V. Предположим, что теорема 8.1 верна для случая, когда / есть ступенчатая функция, финитная относительно V. Пусть дана функция и: V—>К. Определим по ней функцию (ри: U—► —► К. Функции иж(ри продолжим на все КЛ, полагая и(у) = О при у ^ V и (ри{х) = 0 при х £ U. Докажем, что II^IU^R») < NUi(R»)- (8-4) Если ||^||Ll(Rn) = оо, то неравенство (8.4), очевидно, выполняется. Будем считать, что ||u||Li(Rn) < оо. Зададим произвольно е > 0. Пусть (/v)^eN есть произвольная последовательность ступенчатых функций, финитных относительно V, которая мажорирует функцию и и такова, что lim IMUidt») < IHUiftp») + £. Существование такой I/—*00 Ч последовательности вытекает из леммы 8.1. Последовательность (/j/)^eN является возрастающей. При всяком у G V имеем lim /„(у) > \и(у)\. i/-+oo Положим ду = (pfv. Из условий леммы следует, что функции д„ неотрицательны и интегрируемы по U. При этом Iu(9v) = Iv(fi/)i
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 149 последовательность (<7,/)i/eN возрастающая, причем для всех х Е U имеет место неравенство (pu(x) < lim gv(x). i/—>оо Будем считать, что gv(x) = 0 при х £ U. Положим lim <7„(х) = #(ж)- Функция # интегрируема, причем /(у) = lim /(#!,) = lim /(/„) < < IMIz,i(Rn)+£- В силу неотрицательности функции д имеем ||<7||li(R") = = 1(g). Так как |£и(а?)| < д(х) для всех х G Кп, то ИушИьх < HfllUi < < INU^R») + s. Следовательно, мы получаем ||£ti||Ll < lim JVC/*) < IHUx(R») + e- Так как е > О было выбрано произвольно, отсюда следует, что неравенство 8.4 верно также и в случае, когда ||u||li < оо. Согласно лемме 8.2 для всякой функции /, определенной и интегрируемой на множестве V, найдется последовательность (/i,)„€N ступенчатых функций, финитных относительно V, такая, что ||/ — /„|| —» О при */ —» оо. При каждом v Е N имеем <£(/ — Д) = <?/ — <p/i/ и, значит, \\tpf - ^/„lUx = ||£(/ - /y)||L! < II/ - /i/IUx- Выражение справа стремится к нулю при i/ —> оо, и мы, следовательно, получаем, что Н£/ "" Ф/Льг стремится к нулю при v —* оо. Отсюда вытекает, что функция ipf интегрируема. При этом 1ц(iff) = lim /^ (<£/„). Так как i/-+oo из условий леммы следует, что для ступенчатых функций, финитных относительно J7, теорема верна, то Iu($fv) = Ivifv)- При v —> оо величина Iy(fv) стремится к пределу, равному Iu(f)> и окончательно получаем, что Iu((pf) = Iv(f)- Лемма доказана. ■ 8.4. Лемма о представлении диффеоморфизма как суперпозиции диффеоморфизмов специального вида На этом этапе доказательства теоремы 8.1 будет показано, что произвольный диффеоморфизм открытого множества в Шп локально может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого специального вида. Диффеоморфизм <р: х Е U »-* ((pi(x),(p2(x),... , <£>п(ж)) назовем простым <pi(x) = Х{ при каждом i < п. Пусть 1п — отрезок {1,2,..., п} множества всех натуральных чисел N. Всякое взаимно однозначное отображение множества Пл на себя называется перестановкой порядка п.
150 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Если А: Пп —► 1п — перестановка порядка п, то значение А на элементе i Е 1Л обозначается символом А,. Перестановку порядка п можно рассматривать как конечную последовательность (Ai, А2,..., Ап). Если А есть перестановка порядка п, то обратное отображение А""1 = /х также есть перестановка порядка п. Для любого % = 1,2,..., п имеем АД|. = i и /хЛ| = *. Отображение ф: Жп —► Жп будем называть перестановкой независимых переменных, если существует перестановка А порядка п такая, что для всякой точки х = (a?i, Ж2,..., хп) Е Шп имеет место равенство <р(х) = (хХ1,хх2,...,х\п). В этом случае (р является отображением пространства Кп на себя, (р взаимно однозначно и принадлежит классу <ё7°°. Обратное отображение также есть перестановка независимых переменных, а именно: если li = А""1 есть перестановка, обратная к А, то, как легко проверяется, ip'1(x) = (xfll,xfl2,...,xtln) для любого х = (ж1,Ж2,. • чхп)- Отсюда следует, что <р есть диффеоморфизм. ■ Лемма 8.5. Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп, (р: U —► Шп — диффеоморфизм. Тогда для всякой точки xq E U найдется г > 0 такое, что шар B{xq, г) С U и отображение (р допускает на шаре В(хо,г) представление (р = {о0оф, (8.5) где £ — перестановка независимых переменных, в есть диффеоморфизм такой, что вп(х) = хп, а ф есть простой диффеоморфизм. Доказательство. Пусть <р: U —> Rn есть произвольный диффеоморфизм множества U. Возьмем произвольно точку xq € U. Рассмотрим якобиан этого отображения в точке xq. Он представляет собой определитель, последний столбец которого образован производными -^•(хо), % = 1,2,... ,п. Так как (р, по условию, есть диффеоморфизм, а то J(xo, (р) ф 0 и, следовательно, хотя бы одна из производных ^—-(хо), ихп i = 1,2,..., п, отлична от нуля.
§ 8. Формула, замены переменной в кратном интеграле 151 Предположим, что ——(xq) ф 0. Пусть f — перестановка независи- ихп мых переменных такая, что для произвольной точки х = (ж1? ж2,..., хп) координата &(#) точки £(х) равна ж,-, если i ф к и в то же время г ф п. Далее, пусть £*(#) = хп и £Л(#) = #ь Положим и = f о (р. Координата шп(х) точки и>(х) равна £п[¥>(я)] = <£*(я)- Отсюда следует, что Теперь определим отображение ф: U —► К71, полагал ^(я) = = (ж1,Ж2, • • .,Жи-ь^п(я!)). Якобиан отображения V7 в точке х £ 17, как нетрудно видеть, равен —-(ж). Из определения функции ип следует, cten что J(xq,iI>) ф 0. По лемме о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 главы 10) найдется S > 0 такое, что шар B(xq,6) С 17 и ограничение отображения V> на шаре В(хо,6) есть диффеоморфизм. Пусть G\ = ф[В(хо,6)]. Положим в = и о ^Г"1. Отображение б является диффеоморфизмом. Покажем, что для всякой точки у = (уъУ2, • • • >Уп) € £п fi-я координата точки 0(у) равна уЛ. Возьмем произвольно у = (yi, У2,..., уп) € € Gi. Пусть у = ^(ж)- Тогда х = ф"г(у) и Му) = «»№~4v)] = "»(*)• Для точки у = ^(ж) ее n-я координата уЛ равна и>п(х). Следовательно, мы получим, что вп(у) = уЛ. Диффеоморфизм в выражается через <р следующим образом: 0 = о; о ^/j"-"1 = £ о (р о ф"1. Отсюда у? = f-1 о в о ф. Очевидно, f _1 = f. Полученное представление отображения (р и есть искомое. Лемма доказана. ■ 8.5. Доказательство теоремы 8.1 Используя результаты, полученные в пп. 8.1-8.4, мы можем доказать теорему 8.1. Пусть U есть открытое множество в Ел, (р: U —> Ел — диффеоморфизм множества J7, V = ip(U). Требуется доказать, что для всякой интегрируемой функции /: V —> IR функция <pf(x) = /[¥>(#)]!«/(#, ¥>)| интегрируема, причем Jipf(x),dx = Jf(y)dy. (8.6)
152 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Согласно лемме 8.4 достаточно установить, что теорема верна в том случае, когда функция / есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в множестве V. Пусть U есть произвольное открытое подмножество Kvnp: U —* Ш есть функция класса &1 такая, что ч>'{х) ф О для всех х £ U и <р отображает U в Ш взаимно однозначно. Положим V = <p(U). Для п = 1 аналогом величины J(x,ip) является производная <р'(х). Пусть V = ¥>({/) и полуинтервал a = [#,/?) таков, что сегмент [а,/3] содержится в интервале (с, d). Положим ф = (р"1 и [р, q] = = ф([а,/3]). Функция ф на промежутке [а,/3] монотонна, a <р монотонна на промежутке [р, q] в том же смысле, что и ф. Функция Х<г[^(ж)]|^'(ж)| обращается в нуль вне промежутка [p,q] и равна |¥>'(ж)1 Для х из этого промежутка. Отсюда следует, что я / xAvWWMl dx= \<p'(x)\ dx = /3 - а = /ii(<r). В силу леммы 8.4, таким образом, установлено, что для п = 1 теорема 8.1 верна. Рассмотрим случаи, когда диффеоморфизм у? имеет некоторое специальное строение. Общий случай сводится к этому, как будет установлено в конце доказательства. Случай 1. Диффеоморфизм у является перестановкой независимых переменных. Будем считать, что U = Ел. Случай произвольного открытого множества U С Шп очевидным образом сводится к этому рассмотрением нулевого продолжения функции /. В силу леммы 8.4 достаточно установить, что для данного <р теорема 8.1 верна в том случае, когда / есть индикатор произвольного двоичного куба. Пусть а = ([аьbj) х [а2,Ь2) х • • • х [ая,bn)) есть двоичный куб в ЕЛ. Предположим, что для х = (#1,ж2,... ,жп) € КЛ имеет место равенство tp(x) = (жЛ1,жл2,.. .,жЛп), где Л = (Ль А2,..., Ап) — перестановка порядка п. Функция Х(г0{Р является индикатором множества (р"1(а). Действительно, функция х<т°Ч> принимает только два значения: 0 и 1. Если х<т ° <р(х) = 1? то <р(х) принадлежит а и, значит, х € <^""1(а). Если х<т ° ¥>(я) = 0, то ip(x) £ а и потому ж £ у?""1 (а). Таким образом, х<г ° ¥>(#) = 1? если ж € ¥?""1(сг), и x<r ° ¥>(a0 = 0> если ж ^ у?""1 (а). Это и означает, что функция х<т ° ф есть индикатор множества у?"1 (а).
§ 8. Формула, замены переменной в краьтном интеграле 153 Якобиан отображения <р в рассматриваемом случае равен ±1. Множество у?-1 (а), как нетрудно видеть, является двоичным кубом того же ранга г, что и куб а. Следовательно, / Х« о ip(x)\J(x,ip)\dx = Mnte"1^)] = Mn(<0= / X*(y)dy. Rn Rn Отсюда мы получаем, что в случае, когда U = V = ЕЛ, диффеоморфизм у? есть перестановка независимых переменных, а функция / есть индикатор двоичного куба. Теорема 8.1 верна. В силу леммы 8.4 отсюда следует, что она верна для любой функции / £ jCi(Kn). Случай 2. Отображение <р: U —» Кп есть простой диффеоморфизм. В силу леммы 8.4 достаточно рассмотреть случай, когда функция / есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в множестве V. Для точки х = (ж1,Ж2,...,жя) имеем (р(х) = (jci, ... ,жя_1,^я(ж)). Пусть а = [ai,bi) х • • • х [an_i, bn_i) x [ап, Ьп) есть двоичный куб такой, что замкнутый куб о = [oi,6i] x • • • х [an_i,bn_i] x [an,bn] содержится в множестве V = <p(U). Пусть в = у?-1. Тогда 0, очевидно, также есть простой диффеоморфизм. Для всякого у = (j/i, J/2? • • • > Уп) 6 V имеем равенство 0(у) = (yi,... • • • 5Уп-15^п(у))- Якобиан отображения б будет тг^(у) Ф О- dyn Множество а линейно связно, и, значит, функция тг~ имеет один дуп и тот же знак во всех точках у куба а. Пространство Шп будем рассматривать как прямое произведение R71"1 хЕ. Точку у = (yi, У2, • • • j Уп) € Кл при этом будем рассматривать как пару (г, t), где t = ул, а 2 = (у1?..., yn_i). Обозначим символом г (п — 1)-мерный брус [ai,6i) х • • • х [an_i,bn_i). Для всякого г G г функция u i-> 0Л(г,<) дифференцируема на замкнутом отрезке [ал,6п]. Если для всех х £ а якобиан отображения в положителен, т. е. J(y^) > 0> то 0пОМ) является возрастающей функцией переменной / при любом z € г. Если якобиан отображения б отрицателен, J(y,0) < О для всех у € сг, то 0П(г, t) есть убывающая функция переменной t. Положим р(г) = mm{On{z, an), 0Л(;гг, 6Л)} и q{z) = max{0n(z, ал), 0Л(*, Ьп)}.
154 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Тогда ip~l(a) = 0(a) есть совокупность всех точек х = (г,/), для которых z € г, a t лежит между p(z) и q{z). Точнее, в случае, когда J(x,<p) > О, t удовлетворяет неравенствам p(z) < t < q(z)y а если J(x,<p) < О, то p(z) < t < q(z). Величина / = хЛу) равна единице при у £ а и равна нулю, если у £ а. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае (pf(x) = 1 л I ' , если х G 0(a), и (pf(x) = 0 в противном случае. Применяя дх, ■(х) теорему Фубини (теорема 7.1), получим, что t(«). tf г \p(z) <Й dz. (8.7) Так как J(x,ip)J[(p(x),0] = 1, то якобианы J(x,(p) и J(y,0), где у = ¥>(ж), имеют один и тот же знак. дв Пусть z € г. Предположим, что J{y,0) = ""aT'C^O > 0. В этом случае p(z) = 0Л(*,ап), a g(z) = 0л(г,М- Тогда имеем ¥>(z,p(z)) = = (г,ал), а <£>(z,g(2r)) = (г,Ьп). Отсюда, в частности, следует, что (pn(z,p(z)) = ап и ¥>n(z,9(*)) = Ьп- Мы получаем, что в случае, когда J{y,0) > 0 для всех у € а, то имеем / #¥>п 5а;. (г, 0 <Й = ^«[?(г)] - Р*[р(*)] = Ьп - а» В случае, когда J(y,0) < 0 для-всех у € <г, то p(z) = 0n(z,bn) и g(z) = 0n(z,an). Тогда ip(z,p{z)) = (z,bn) и ip(z,q(z)) = (z,an). Отсюда, в частности, следует, что (pn(z,p(z)) = bn и <pn(z,q(z)) = an. Мы получаем, что если J{y,0) > 0 для всех у € ст, то имеет место равенство ,1
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 155 Мы видим, что в обоих случаях внутренний интеграл в правой части равенства (8.7) равен Ьп — ап и, следовательно, для данной функции / справедливо равенство / (pf(x)dx = (bn - an)/xn_i(r) = Цп(<?) = / f(y)dy. и v Таким образом, в данном случае теорема 8.1 верна. СЛУЧАЙ 3. Диффеоморфизм у сохраняет последнюю компоненту вектора х. Пусть отображение <р есть диффеоморфизм такой, что для всякой точки х = (ж1,а?2,.. .,жя) € ^п п"я координата точки <р(х) равна хп. Если п > 1, то согласно предположению индукции для функций в IR71""1 теорема 8.1 верна. Будем рассматривать К71 как произведение К71""1 х К, отождествляя точку х = (ж1,я2,...,жп) с парой (*,*), где 2: = (яьж2,... ,zn_i), а / = жЛ. Согласно лемме 8.4 достаточно доказать, что теорема верна для данного диффеоморфизма (р в случае, когда / есть индикатор двоичного куба а, замыкание которого а содержится в множестве V = = <p(U). Пусть а = [ai,6i) х ••• х [an_b6n_i) x [an,bn). Тогда а = [ai,bi] х • • -х [an_i,bn_i] х [аЛ,6Л]. Множество Н = <р~1(а) согласно лемме 8.5 измеримо и, значит, функция х«г[^(ж)1 = Хя(^) измерима. Положим /(у) = хЛу)- Тогда функция £/(ж) = xzVp(x)]J(xi4>) является измеримой как произведение двух измеримых функций. Пусть т есть (п — 1)-мерный куб [ai,6i) х • • • х [an_;L,bn_i) иг — замкнутый куб [ai,bi] x • • • х [an_i,bn_i]. Возьмем произвольно tf £ К. Обозначим символом С/* множество всех z Е R71"""1 таких, что точка (z,t) € /7, и, аналогично, пусть Vt = {z € К71""1 | (z,t) G V'}. Множества Ut и V* являются открытыми в К71""1. Для всякого t Е [an, 6n] куб f содержится в множестве V%. Применяя теорему Тонелли для вычисления интеграла функции !pf(x) (теорема 7.2), получим оо [<pf(x)dx= f | [<pf(z9t)dz\dt. (8.8) U -оо Ut Пусть ipt есть отображение z Е Ut »-»• ((^(z,/),... ,<£n_i(,z,i)). По условию, ¥>Л(я) = ^п- Это означает, что для всякого х € U координаты с номером п точек х и у = <р(х) совпадают. Отсюда следует, что
156 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных при всяком t функция (ft взаимно однозначно отображает множество Ut на Vt. Матрица Якоби отображения tp имеет вид ду\ ®Ч>\ \ dip п-1 \ 0X1 О джп_1 дхп д<Рп-1 d(pn-i dxn-i дхп О 1 ) где значения всех производных берутся в точке х = (z,t) € U. Определитель этой матрицы, т. е. якобиан отображения у>, равен тому ее минору, который образован элементами первых п — 1 строк и первых п — 1 столбцов. Указанный минор совпадает с якобианом отображения щ, т. е. J(z,t]<p(z,t)) = J(z,(pt). Принимая это во внимание, внутренний интеграл в равенстве (8.8) можно записать следующим образом: Jlpf(z,t)dz = JX <r(<Pt(z),t)\J(z,<pt)\dz. ut ut В силу предположения индукции последний интеграл равен / Xa{z,t)dz. Vt Заметим, что если t £ [anjbn), то хЛг^) = О- Если t € [an,bn), то Х«гОМ) = 0 ПРИ z £ т и Х<т(М) = 1 при z € г. Таким образом, при t G [anjbn) функция z »-» хЛ*^) является индикатором (п — 1)-мерного двоичного бруса т. При t £ [an,6n) эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, мы получаем / ipf(x)dx = / < / Xr{z)dz \dt = (6n - an)/in_;i(7-) = /xn(^).
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 157 Завершение доказательства. Пусть U есть произвольное открытое множество в пространстве Кл и (р: U —* Еп есть диффеоморфизм. Требуется доказать, что для всякой функции /, определенной на множестве V = ¥>(J7), функция Cpf = /[^(^)]|J(x,c^)| интегрируема по множеству J7, причем имеет место равенство (8.2). Пусть хо есть произвольная точка множества U. По лемме 8.5 найдется 6 > О такое, что в окрестности Wo = В(х0,6) С U точки яо отображение <£ допускает представление (р = £ о в о ^, где V> есть простой диффеоморфизм, б — диффеоморфизм, для которого вп(х) = яп, а £ есть перестановка независимых переменных. Пусть Wi = ф[В(хо,6)], W<i = #(Wi) и, наконец, W$ = £(И^)- В силу доказанного выше теорема 8.1 верна для каждого из диффеоморфизмов ф: Wo —* Wi, б: W\ -» —► И^2 и f: И^2 —► И^з. Для диффеоморфизма f это следует из рассмотрений, касающихся первого случая (см. выше). Для диффеоморфизма ф справедливость теоремы 8.1 вытекает из рассуждений, относящихся ко второму случаю. Третий случай позволяет заключить, что теорема 8.1 верна для диффеоморфизма 0. В силу леммы 8.3 из сказанного следует, что теорема 8.1 верна также и для ограничения диффеоморфизма <р на множестве Wo- Заметим, что (p(Wo) = W3. Пусть уо = <p(xq). Положим W^ = = W(yo)- Множество И^(уо) открытое. Пусть а есть произвольный двоичный куб такой, что его замыкание а содержится в множестве V. По доказанному, для всякой точки у € а найдется открытое множество W(y) такое, что теорема 8.1 верна для всякой интегрируемой функции, равной нулю вне множества W(y). Множества W{y), где у £ а, образуют открытое покрытие замкнутого куба а. По теореме Лебега об открытом покрытии (теорема 2.3 главы 9) найдется е > О такое, что для всякой точки у Е о шар В{у,е) содержится в множестве W{y') для некоторой точки у1 € о. Пусть г G N таково, что выполняется неравенство у/п2~г < е. Будем считать также, что ранг куба а меньше г. Тогда куб а разбивается на конечное число двоичных кубов ранга г. Каждый из этих кубов содержится в одном из множеств W(y). Отсюда вытекает, что теорема 8.1 верна для случая, когда функция / является индикатором любого из этих кубов. Сумма индикаторов двоичных кубов, на которые разбивается куб <т, есть х<т- Это позволяет заключить, что теорема верна для функции \<т- Так как а есть произвольный двоичный куб, замыкание которого содержится в множестве V, то в силу леммы 8.4 из доказанного следует справедливость теоремы 8.1 в общем случае. Теорема 8.1 полностью доказана. ■
158 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 8.6. Вычисление некоторых мер и интегралов 8.6.1. Используя результаты предыдущих разделов данного параграфа, найдем значения мер некоторых специальных множеств в пространстве Еп. В частности, будет вычислена мера или, что то же самое, объем произвольного шара радиуса г в пространстве IRn. В приложениях интегрального исчисления часто встречается ситуация, когда вопрос об интегрируемости или неинтегрируемости функции определяется ее поведением вблизи отдельных точек ее области определения. Решение вопроса об интегрируемости функции, следовательно, сводится к исследованию строения функции вблизи таких «особых» точек. Мы рассмотрим некоторые простые примеры, которые могут быть полезны при проведении такого исследования. Зададим произвольно положительные числа р\, рч > • ■ • > Рп и число р > 0. Обозначим через Hv(p), где р = (pi,P2>- - • ,Рп) € Л&л, множество всех точек х = (жь^г? • • • >хп) £ Кл, для которых выполняется неравенство I*i|1/Pl + Ы1/Р2 + • • • + Ы1,Рп < р. (8.9) Множество Нр(р) открытое и, следовательно, измеримое. Для всякого х = (^1,^2,.. .,жЛ) Е Яр(р), очевидно, имеем \х{\ < plp'*', откуда заключаем, что множество Нр(р) ограниченное. Докажем, что при всяком р > 0 имеет место равенство цп[Нр(р)} = /хя[Яр(1Ж+*2+-+*«, (8.10) где рп означает меру Лебега в Шп. Пусть хр есть индикатор множества Нр(р). Для всякого жЕКп справедливо равенство хЛ*ь*а,..-,*•) = XI (^,^,..-,^)- (8Л1) Xh Действительно, пусть = *Jb9 * = (*ъ*2?-•->*п)- Тогда если рРк Хр(х) = 1, то х € Яр(/)), и выполняются неравенства (8.9), т. е. Отсюда м1/л ы 1/Pl + |x2|1/p2 + вытекает, что + |<2|1/р2 + __ ••• + |*„|1/р» = т1/р\( •••+ Ы) 1**1 1/Р2 |1/Р» + •• <?• •W (£) 1/р» <1,
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 159 т. е. t G Др(1) и, значит, Xi(0 = !• Таким образом, в этом случае равенство (8.11) выполняется. Если Хр(х) = 0, то ж ^ Нр(р) и, значит, имеет место неравенство к1|1/Р1+к2Г/Р2 + -- + кпГ/Ря >/>• Отсюда получаем, что |*1|1/Р1 + М1/Р2 + --- + Ы1/р">1, т. е. t £ -ffp(l) и, значит, Xi(0 — 0- Это показывает, что равенство (8.11) верно и в этом случае. Отображение / xi х2 хп\ представляет собой диффеоморфизм множества ЕЛ \ {0} на себя. Якобиан этого диффеоморфизма равен р"^1^^ р». Применяя теорему 8.1, получаем следующее равенство: J \pPl pV2 pPn J = / Xi(tijt2j.. .9tn)dt1dt2 .. .dtn = цп[Нр(1)]. Rn В силу равенства (8.11) отсюда вытекает, что рп[Н,(р)] = цп[Нр(1)]р>*+*>+"+>*, и равенство (8.10) доказано. Введем обозначение an(p) = цп[Нр(1)]. Тогда формула (8.10) может быть переписана в виде /х«[#р(р)] = ffn(p)p*+"H--+*.. (8.12) В частном случае, когда рг = р2 = • • ■ = рп = -, множество Нр(р) есть шар радиуса г = у/р с центром в точке 0.
160 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Итак, мы получили формулу для объема шара В(0*г) в Rn: /zn[B(0,r)] = <тпРп'2 = anrn, (8.13) где an — мера единичного шара в IRn, an = сгп I -, -,..., - ]. 8.6.2. Для случая п = 2 построим некоторое интегральное представление для величины а2{р) = ^(РъЛ)» где pi > 0, рг > 0. Зададим произвольно х € К. Пусть А(х) есть множество всех у G R таких, что точка (ж, у) € Яр(1), т. е. laf/^ + М1/"* < 1. Тогда получим оо ^з(р) = /х2[Яр(1)] = / /zi[A(»)]dx. — ОО Множество А(х) при |х| > 1 пусто, и, значит, /ii[A(z)] = 0 при \х\ > 1. При — 1 < х < 1 множество А(х) есть отрезок (—(1 — |a?|1/pi)M»(l — |ж|1/л)Л). Отсюда 1 1 (т2(й,й) = 2 /(1 - |x|1/pi)P2 dx = 4 /(1 - xa/pi)P2 <**• (Мы воспользовались здесь тем, что подынтегральная функция в первом из последних двух интегралов четна относительно х.) Произведя в интеграле замену переменной х = tPl, получим 1 <ЫРъР2) = 4р1У(1-<)Р2*Р1~1 dt. Полученный интеграл выражается через бета-функцию Эйлера, введенную в п. 5.5 главы 12. Напомним эту формулу. Для t > 0 и и > 0 Г(«)Г(«) ти) = 1х<-\1-хГ-их = Ш^ У
§ 8. Формула, замены переменной в кратном интеграле 161 Применяя это равенство, получаем 0*2 (Рьй) = 4piB(p2 + l,Pi). Используя представление бета-функции через гамма-функцию, получим „ u n \ ап Г(Р2 + 1)Г(Р1) 4р1Р2 Г(Р1)Г(Р2) Г(Р1 + Р2 + 1) Pl + Р2 Г(р1 + р2) т. е. мы получаем *2(РЪР2) = Р!Р2 B(pi,p2). Pi +P2 8.6.3. Рассмотрим интеграл 0(р) = Л .. /eXp(-|x1|1/pi - |ж2|1/л Ы1/р") <*х. (8.14) R R Вычисляя этот интеграл двумя способами, мы получим два выражения, равных в(р). Одно из них, как мы увидим далее, содержит величину сгп(р). Приравнивал полученные разными способами представления для 0(р), мы сможем указать явное выражение для сгп(р). Сначала воспользуемся теоремой Тонелли (теорема 7.2). Применяя эту теорему к интегралу, стоящему в правой части равенства (8.14), получим о(р) = П / е Jb=l —оо 5-W1/F* dx. (8.15) Для всякого вещественного р > О имеем оо оо / exp(-\x\1/p)dx = 2 I exp(-x1/p)dx = —оо О оо = 2р [ е'Ч*-1 dt = 2рТ(р) = 2Г(р + 1). (8.16) о (Под знаком интеграла произведена замена переменной интегрирования по формуле х1!* = t.)
162 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Полагая в равенстве (8.16) р = рьР2? • • • ,Рп и подставляя полученные выражения в (8.15), получим 71 в(р) = 2П П Г(р* + 1). (8.17) Другое представление интеграла в(р) мы найдем, применяя фор- мулу Кавальери — Лебега (теорема 7.3). Пусть E(t) = {(x1,x2,...,xn)eRn\exV(-\x1\1^-\x,\1^ Ы1/р")>0- При t > 1 множество E{t) пусто и цп[Е({)] = 0. Пусть 0 < t < 1. Условиеехр(—Ixil1^1 —^г]1^2 l^wl1^") > t равносильно условию |a?i|1/pi + \х2\1/р2 + • • • + K|1/Pn < In -, и, значит, ъ E(t) = Hp(ln±y Отсюда по формуле (8.12) получим /*»[£?(<)] = *»(?) (in j Pl + P2+" + Pn и, следовательно, ОО 1 ill IMn[E(t)]dt = vn(p)J fin j J Л. о о Произведя в последнем интеграле замену In - = гг, получим, что этот интеграл равен ОО / е~*иР1 + Р2+- + Рп du = Г(?1 + р2 + . . . + pn + !)? О откуда 0(р) = ^ЫГ(Р1 + р2 + • • • + Рп + 1). (8.18) Сравнивая выражения (8.17) и (8.18), получим 2» ft Г(м + 1)
§ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 163 Рассмотрим особо случай, когда р\ = р2 == • • • = pn = 1/2. Тогда равенство (8.19) позволяет получить выражение для объема единичного шара в К71: 2П |Г I)]" Замечая, что Г ( — I = —Г ( — I = -л/к, получим W2 Г(2+1) 8.6.4. Пусть дана функция F: Шп —> К. Будем говорить, что функция F интегрируема в окрестности точки 0, если найдется е > 0 такое, что функция F интегрируема на шаре 5(0, е). Если существует конечное число Е > 0 такое, что функция F интегрируема на множестве К71 \ 5(0, Е), то говорим, что F интегрируема в окрестности точки оо. Применим установленные выше результаты к исследованию вопроса об интегрируемости в окрестности точки 0 и в окрестности оо функции, определенной в Шп равенством f{x) = QxJ'" + \x2\V>* + ■■■ + |xn|1/"")-A, (8.21) где числа pi,P2, • • • ,Vn и А все положительны. Пусть дано число h > 0. Положим ггд(ж) = [f(x) — h]+ и Vh(x) = = min{/i,/(#)}. Рассмотрим отдельно вопрос об интегрируемости в Кп функций иь, и Vh- Для t > 0 пусть EUh(t) есть множество Лебега {х Е Шп | u&(z) > *} функции ггд. Условие гхл(ж) > t при £ > 0 равносильно условию |я?1|1/Р1 + |я?2Г/Р2 + --- + кпГ/Рп < откуда следует, что 1 (Л + «)^А'
164 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Применяя формулу Кавальеры — Лебега, получаем, что оо оо dt I uh(x) dx= I Hn[EUh (t)] dt = an{p) J - (pi + P2+- + Pn)/A< Интеграл справа сходится в том и только в том случае, если выполняется неравенство Pi + Р2 + • • • + Рп - А ' В результате мы получаем, что функция Uh(x) интегрируема, если А < р\ + Р2 Н 1- Рп, и не интегрируема, если А > р1 + р2 + \- рп- Множество Нр ( ttJx ) открытое, О Е Нр I ттл )> и> значит> найдется е > О такое, что 5(0, е) С Нр I —-рг ). Для всех х Е J9(0, в) имеем ством /(ж) = /г + гхд(ж). В силу доказанного мы получаем, что функция / интегрируема в окрестности точки х = 0 в случае, если А < р\ + р2 + • • • + рп- Предположим, что функция / не интегрируема ни в какой окрестности точки 0. Множество Hv(p) является открытым при каждом р > 0. Предположим, что для некоторого h > 0 функция Uh интегрируема. Множество тех х Е К71, для которых Uh(x) > 0, совпадает с множе- Нр I -щ- ]. Пусть е > 0 таково, что шар В(0,е) С НР I -j-д J. Тогда Uk(x) = f(x) — h на этом шаре. Так как функция /, по предположению, не интегрируема по шару Б(0,б), то, значит, также и Uh не является интегрируемой по этому шару и, значит, \>р\ + р2 Н \~Pn- Таким образом, мы получаем, что для того, чтобы функция /, заданная равенством (8.21), была интегрируема в окрестности точки 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство А < р\ +Р2 + -- + Рп- Теперь рассмотрим вопрос об интегрируемости изучаемой функции / в окрестности точки оо. Нетрудно показать, что если функция / интегрируема в окрестности точки оо, то при некотором h > 0 функция Vh интегрируема в К71. Обратно, если функция / не интегрируема ни в какой окрестности точки оо, то для любого h > 0 функция Vh не является интегрируемой
§9. Сходимость в L\. Пространство L\ 165 Вопрос, таким образом, сводится к выяснению того, когда функция Vk является интегрируемой. Чтобы ответить на этот вопрос, применим формулу Кавалъери — Лебега (теорему 7.3). Пусть EVh{t) = {х Е Шп | Vh(x) > t}. При t > h множество EVh(t) пусто. Если f(x) < /i, то, как видно из определения функции ^д, для этого х имеет место равенство Vh(x) = f(x). Это позволяет заключить, что при 0 < t < h множество EVh{t) совпадает с мноэюеством Лебега Ef(i) = {iG Шп | f(x) > t} функции /. Следовательно, мы получаем, что при 0 < t < h выполняется равенство EVh(t) = Н* (<щ) Применяя формулу Кавалъери — Лебега, отсюда получаем, что h h / uh(x)dx = / pn[EVh(t)]dt = / dt <(Pl+P2+—+Pn)/A' 0 Интеграл справа сходится в том и только в том случае, если выполняется неравенство Pi + Р2 + - - - + Рп , А ' Отсюда получаем, что для интегрируемости функции / в окрестности точки оо необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Pi +Р2 + '-- + Рп < А. Полагая р\ = Р2 = ■ * • = рп = ~, А = —, получим, что функция f(x) = -г—г- интегрируема в окрестности точки 0 в том и только в том случае, если р < п. Функция f(x) = г—г— интегрируема в окрестности \х\^ точки оо тогда и только тогда, когда р > п. §9. Сходимость в Ьг. Пространство Ьг В этом параграфе в дополнение к доказанным ранее теоремам о предельном переходе под знаком интеграла будут показаны некоторые другие теоремы, которые во многих случаях оказываются полезными. Вводится понятие сходимости в L\. Для него устанавливается аналог критерия сходимости Коши — Больцано. Заметим, что L\ -норма является, строго говоря, полунормой на множестве всех интегрируемых функций, и множество всех интегрируемых функций формально не является банаховым пространством. В этом параграфе описывается общая конструкция, посредством которой преодолевается возникающая таким образом трудность.
166 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 9.1. Сходимость в ЬЛ Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, ^,1). Пусть (/i/)i/gn есть произвольная последовательность функций, принадлежащих классу ii(E). Данная последовательность называется сходящейся в Li(E), если существует функция / Е £i(E) такая, что величина ll/i/ ~~ /IUi(S) стремится к нулю при и —> оо. Если последовательность функций (/i/)I/gn сходится к некоторой функции /bLi(E),to, как было показано ранее (лемма 4.1), при и —> оо также и /(/j,) -* I(fo)- Следующее утверждение показывает, что результат теоремы Лебега о предельном переходе может быть несколько усилен. + Предложение 9.1. Пусть (/„)„еы есть произвольная последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в М к функции f. Предположим, что существуют интегрируемые функции (риф такие, что при каждом i/GN для почти всех х Е М выполняются неравенства ср(х) < fv(x) < ф(х). Тогда предельная функция f интегрируема и функции fv сходятся к f в ii(E). Доказательство. Пусть выполнены все условия данного предложения. Тогда (р(х) < f(x) < ф{х) и (р(х) < /„(ж) < ф(х) почти всюду в М. Отсюда вытекает, что \fv(x) — f(x)\ < ф{х) — <р(х) почти всюду в М. В силу теоремы Лебега отсюда вытекает, что I{\fv — /|) —> О при v —> оо. Это означает, что ||/„ — /||li(E) —¥ 0 при v —> оо. Предложение доказано. ♦ ■ Теорема 9.1 (критерий Коши — Больцано сходимости в Li). Для того чтобы последовательность (/i/)i/gn функций класса L\ (E) была сходящейся в L\, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О можно было найти номер v такой, что для любых v\ > v и V2 > v выполняется неравенство \\fUl - /„JU^E) < £• Доказательство. Необходимость. Предположим, что для последовательности (/I/)I/eN функций класса L\ существует функция / Е L\ такая, что ||/„ — /||^1 —> 0 при v —► оо. По определению это и означает, что данная последовательность является сходящейся в L\. Зададим произвольно е > 0. Положим е\ = е/2. Пусть n Е N таково, что для всякого v > v выполняется неравенство \\fv — /\\ьг < £i • Тогда для любых v\ > v и v<i > v выполняются неравенства II/,! " UUi < НЛх - /IUx + II/ - AJUi <e1 + e1=e. Так как е > 0 было взято произвольно, то необходимость условия теоремы доказана.
§9. Сходимость в L\. Пространство L1 167 Докажем достаточность условия. Предположим, что последовательность (/i/)^gn функций из класса £i(£) такова, что для всякого е > О можно указать номер v такой, что для любых v\ > v и v<i > v выполняется неравенство \\fUl — /и2\\ьг(я)- Требуется доказать, что тогда найдется функция / Е £i(2) такая, что величина ||/„ — /\\ьх стремится к нулю при и —» оо. Пусть &k Е N таково, что для любых j/i > ^ и 1/2 > ^jfc выполняется неравенство ll/i/i -/1/2IU1 < TjT* По индукции определим последовательность номеров (^jk), fc = 1,2, Полагаем v\ -=• \>\. Если для некоторого к номер и^ определен, то мы полагаем z/fc+i = тах{//* +1, ^fc+i}- Из определения последовательности (^Jb)jbGN следует, что при каждом к имеет место неравенство и^ < fjb+i, так что последовательность (fjfc)jfceN является возрастающей. Далее, при каждом А;, очевидно, имеем v^ > йь- Определим некоторый функциональный ряд [xxjb]jfceN> полагал щ = = /„1? и для всякого к > 1 полагаем г^ = jVh — fi,kmml. Так как v^ > > fk-1 > ^Jfc-ъ то при всяком fc > 1 имеет место неравенство IhfclUxCE) = \\fyk ~ /i/jb-JUxCE) < 2ГЗГ- оо Поэтому мы можем утверждать, что ]Г ||гх^||ь1(Е) < °°- к=1 На основании теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1) отсюда следует, что для почти всех х £ М определена и конечна сумма оо £>*(*) = /(*). (9.1) Доопределим функцию /, полагая f(x) = 0 для тех ж, для которых ряд (9.1) либо не определен, либо является расходящимся. Таким образом, определена некоторая функция /: М —► Ш. Докажем, что последовательность (/i/)i/gn сходится в Li к этой функции /. Согласно теореме о нормально сходящемся ряде, при всяком т £ N имеет место неравенство f~YlUk оо 11 < 2 INIUi(E) < 5Z 2^" = 2^~ Li(E) *=m+l fc=m-fl
168 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных m Заметим, что при каждом га выполняется равенство ]Г) Uk = /i/m. Таким образом, при всяком га € N выполняется неравенство II/-/*JUi(£) < 2^Т- Зададим произвольно е > О, и пусть i/ таково, что для для любых v\ > v и V2 > v выполняется неравенство \\fUl — /i/2||li(I)) < 77 • Возьмем произвольно v > v. При каждом fcGN выполняется неравенство II/, -f\\Li<\\U-Ujbi +ll/^-/IUx. При А; —> оо также и i>k —> оо и, значит, найдется номер &о такой, что при всяком к > ко выполняется неравенство v^ > v. Для всех к > ко мы будем иметь \\и-и>\\ьг<1 и, следовательно, ll/,-/IU1<| + ll/„-/lk1. Переходя в последнем неравенстве к пределу при к —► оо, получим II/, - /IU, < | < е. Таким образом, мы получаем, что для всякого u > v выполняется неравенство \\и-/\\ьг<е. Так как е > О произвольно, то из доказанного следует, что ||/i/ —/||li -* О при v —> оо. Мы получаем, что рассматриваемая последовательность (/i/)i/GN является сходящейся в L\. Теорема доказана. ■ ■ Лемма 9.1 (лемма о приближенно мажорируемой последовательности). Предположим, что (/^)i/gn есть последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду на М к некоторой функции /. Предположим, что для всякого е > О можно указать неотрицательную интегрируемую функцию u: M —» К такую, что для всякого v Е N выполняется неравенство \\{\fu\ — ^}+IUi < £• Тогда предельная функция f интегрируема и последовгьтельность функций (fu)ue^ сходится к ней в L\.
§9. Сходимость в L\. Пространство L\ 169 Доказательство. Предположим, что выполнены все условия леммы. Рассмотрим сначала случай, когда функции jv ж j неотрицательны. Зададим произвольно е > 0. Согласно условию теоремы по этому е найдется неотрицательная интегрируемая функция и такая, £ что для всякого v Е К выполняется неравенство ||(/i/ —^)"i"||li < £i = т- о Положим hv = (/„ — гх)+, и пусть gv = fv — hv. Функцию (/ — u)+ обозначим символом/io- Положим также #о = f — h0. Если/„(ж) > и(х), то hv{x) = ft,(x)—u(x) и <7„(ж) = и(ж). Если же /„(ж) < и(х), то /гДж) = 0, и, значит, для этого х имеет место равенство gv(x) = fv(x). Мы получаем, таким образом, что функция fv может быть представлена как сумма jv = gv + hUJ где функция gv такова, что 0 < д„(х) < и(х), а Li-норма функции hv мала. Можно сказать, что функция и приближенно мажорирует последовательность функций (/i/)I/gn- Для всякого х Е М, для которого f„{x) —> f(x) при и —> оо, также М*) = (/„(х) - и(а;))+ - (/„(*) - u(z))+ и, значит, также и 9ЛХ) = /*(ж) ~ Мж) "* /(ж) - ^о(ж) = flfo(s). Таким образом, мы получаем, что последовательность функций (д»)»^ сходится почти всюду к функции до, а последовательность (hu)u^ сходится почти всюду к функции ho. Так как функции hv неотрицательны, то в силу теоремы Фату (теорема 4.3) функция h0 интегрируема, причем имеет место неравенство I(hQ) < Ит I{hv) <£Ъ та—юо Для последовательности функций (ди)и^ выполняются условия теоремы Лебега (следствие 2 теоремы 4.3). В силу предложения 9.1 отсюда вытекает, что эта последовательность сходится к функции до в Ii, т. е. \\gv — ffolUi "~* 0 при и —> оо. Отсюда следует, что найдется номер v такой, что для всякого и > v имеет место неравенство \\я* — fl^olUx < ei- Для всякого v > v имеем ll/i/ ~ /lUx = \\hv +g„~go- ho\\Ll <
170 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих, переменных В силу произвольности е > 0 этим доказано, что ||/„ — /||li —» 0 при z/ —> оо. В проделанных рассуждениях предполагалось, что функции /„ и / неотрицательны. Теперь рассмотрим общий случай. Предположим, что последовательность (/I/)I/eN удовлетворяет всем условиям леммы. Тогда |/i/(e)| ~* \f(x)\ Для почти всех х G М при i/ —► оо. При каждом х, для которого величина fv{x) определена, имеем [/i/(z)]+ < |/(ж)|. Функция z G К ь-> (г — /i)+ является возрастающей. Следовательно, {[/„(*)]+ - п(х)}+ < {|/„(х)| - и(*)}+ для почти всех х G М, т. е. Отсюда видно, что если функция u G £i(S) такова, что /{[|/i/| — ^]+} < е, то верно также неравенство '{[/,+ -^]+}<£. Применяя проделанные выше рассуждения к последовательностям неотрицательных фуНКЦИЙ (|/i/|)i/GN И (/^")I/EN5 ПОЛУЧИМ, ЧТО |||M-|/|lkl(S)->0 и ||/+-/+||ЫЕ)->0 при «/-со. Принимая во внимание, что выполняются равенства /„ = 2/+ — |/i/| и / = 2/+ — |/|, отсюда получаем, что ||/„ — /Hl^s) —> 0 при v —» оо. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 9.2 (теорема Балле — Пуссена). Пусть Е = {М,^ ,1s) есть система с интегрированием. Пусть А С М есть множество, измеримое в Е, и (fv: А —> K)„eN — последовательность измеримых функций, определенных на множестве А, сходящаяся почти всюду на множестве А к некоторой функции /: А —> К. Предположим, что мера множества А конечна и существует возрастающая функция (р: [0, оо) —> [0, оо) такая, что —> оо при ъ —> оо, я последовательность интегралов ъ (-^{¥?[|/i/|]})i/GN является ограниченной. Тогда функции f и /„ все интегрируемы по множеству А и последовательность (/i/)i/gn сходится к f в Ь\{А),при v —> оо.
§9. Сходимость в L\. Пространство L\ 171 Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда найдется постоянная L < оо, L > О такая, что /[^(|/i/|)] < L для всех и. tp(t) Зададим произвольно число е > 0. При t —► оо отношение стремится к оо, и, значит, найдется значение h > 0 такое, что при вся- ком t > h выполняется неравенство > —. (Предполагается, что t е fi(A) > 0, ибо в случае /х(А) = 0 все рассматриваемые интегралы равны нулю и доказывать нечего.) Рассмотрим функцию [f»(x) — /i]+. Пусть значение х £ А таково, что |/|,(я)| > h. Тогда Шх)|-А]+ = |Л(х)|-Л. В силу выбора /i отсюда следует, что для данного ж выполняется неравенство <р[\Щ\) 2L |Л(*)| е и, следовательно, 1Л(х)| < 4!ШШ. Так как [|/i/(#)| — Л,]+ < |/|/(я)|, то, значит, для данного х € А также и [1№)1_Ч+<^Ш. (9.2) Если |/|/(ж)| < Л, то [|/|/(ж)| — /i]+ = 0, и в этом случае неравенство (9.2) также выполняется. Так как, по условию, ц(А) конечно, то функция и = кхл является интегрируемой. Отсюда следует, что функция [|/|/(я)| — Л,]+ также интегрируема по множеству А при каждом и. В силу неравенства (9.2) получаем, что 1(Ш - h}+) < ^Ы\1Л)] < L^ = | < е. Так как е > 0 произвольно, то, следовательно, выполнены все условия леммы 9.1. Мы получаем, что ||/„ — /||х,1(л) -* 0 при и —► оо. Теорема доказана. ■
172 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 9.2. Пространство Ьл Пусть дана система с интегрированием Е = (М, &, /). В ней определено понятие L\ -нормы. Если функции /: М-^Еи§: М-^Е интегрируемы, то для любых вещественных чисел amp функция af 4- (Зд интегрируема. Отсюда следует, что множество всех интегрируемых в этой системе функций /: М —► R представляет собой векторное пространство. Функционал / •-> II/IIl^e)? который мы называем Lj-нормой, на самом деле является полунормой в пространстве интегрируемых функций. Если ||/||l1(E) = 0, то функция /, вообще говоря, не будет тождественно обращаться в нуль. Можно утверждать только, что множество значений х, для которых f(x) ф О, есть множество меры нуль. В теории интеграла функции, совпадающие почти всюду, принято рассматривать как один и тот же элемент пространства интегрируемых функций Li(S) данной системы с интегрированием. Здесь мы приведем соображения, содержащие формальное обоснование сказанного. Мы используем понятие отношения эквивалентности и понятие фактор-множества, определенного по заданному отношению эквивалентности, описанные в КМА, часть I, книга 2, глава 8, §4. Пусть дано произвольное множество X. Говорят, что на множестве X задано отношение а, если указано некоторое множество Ra С С X х X. Если х G X и у G X таковы, что пара (х, у) G iJa, то будем говорить, что х находится в отношении а к у, и писать хау. Таким образом, хау <=> (х,у) G Ra. Отношение а на множестве А называется рефлексивным, если оно удовлетворяет следующему условию. R. Для любого х € А выполнено хах. Говорят, что отношение а, заданное на множестве А, симметрично, если выполнено следующее условие. S. Для любого х G А и любого у G А имеет место (хау => уах). Отношение а на множестве А называется транзитивным, если для него справедливо следующее утверждение. Т. Для любых x,y,z G А верно, что (xay)Sz(yaz) =Ф> xaz. Отношение а называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то вместо выражения хау применяется запись, в которой символ а заменен
§9. Сходимость в L\. Пространство L\ 173 каким-либо значком, напоминающим обычный знак равенства, например ~, = и т. п. Пусть X — произвольное множество, на котором задано некоторое отношение эквивалентности а. Выражение хау будем записывать символом х ~ у. Для произвольного х Е X пусть С\а(х) = {у £ А \ х ~ у}. Множество С\а(х) называется классом эквивалентности элемента х множества X по отношению эквивалентности ~. Имеем: х ~ х а а (свойство рефлексивности отношения ~) и, значит, х Е С\а(х). а Напомним формулировку основного утверждения об отношении эквивалентности, данное в главе 8 (лемма 4.1), которое существенно используется здесь (в нумерации этого параграфа). ■ Лемма 9.2. Пусть а — отношение эквивалентности на множестве X. Если х € X и у € X таковы, что С\а(х) П С1а(у) Ф 0, то х ~ у, а и множества С\а(х) и С1а(у) совпадают. ш Предположим, что на множестве X задано отношение эквивалентности а. Тогда определено множество классов эквивалентности элементов множества X по отношению а. Всякий элемент множества X принадлежит хотя бы одному из этих классов, и, как следует из леммы 9.2 (лемма 4.1 главы 8), если классы C\a(xi) и С1а(я2) различны, то они не имеют общих элементов. Мы получаем, таким образом, что если на некотором множестве X введено отношение эквивалентности, то множество распадается на попарно непересекающиеся «слои» — классы эквивалентности элементов мноэюества X. Пусть Х/а есть множество всех классов эквивалентности С\а(х) элементов X по отношению а. Говорят, что Х/а есть результат факторизации мноэюества X по отношению эквивалентности а. 1 Факторизация множества по некоторому отношению эквивалентности есть способ построения новых множеств из уже имеющихся, часто встречающийся в различных разделах математики. Наглядный смысл факторизации состоит в том, что мы как бы перестаем различать эквивалентные элементы множества X и начинаем рассматривать их как представляющие собой один и тот же математический объект. , Пусть £ = (М, с^",/) есть произвольная система с интегрированием. Тогда определено понятие пренебреэюимого мноэюества Е С М или, что то же самое, мноэюества меры нуль в данной системе с интегрированием. Множество всех вещественных функций, каждая из которых определена почти всюду на множестве М и является интегрируемой, временно будем обозначать здесь символом -£?(£). На множестве S£ (E) введем отношение ~ между элементами, полагая / ~ #, если f(x) = g(x) почти всюду в М.
174 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Введенное отношение есть отношение эквивалентности. Действительно, всякая функция / G -£?(£) совпадает с собой почти всюду, так что отношение ~ рефлексивно. В определение того, что f(x) = д(х) почти всюду, функции / и д входят равноправным образом, откуда ясно, что отношение ~ симметрично. Если f(x) — д(х) почти всюду и d(x) = h(x) почти всюду, то также и f(x) = h(x) почти всюду, так что условие транзитивности для отношения ~ выполняется. Множество функций .if (£) распадается на классы элементов, эквивалентных по определенному здесь отношению ~. Совокупность всех таких классов обозначается символом ii(S). Таким образом, £i(£) есть результат факторизации множества -£?(£) по отношению эквивалентности ~. Напомним, что условие f ~ g означает, что существует множество Е С М меры нуль такое, что для всякого х ^ Е величины f(x) и д(х) определены, причем имеет место равенство f(x) = д(х). На множестве £i(E) естественным образом определяются операции сложения и умножения элемента на число. Введем следующие обозначения. Для функции / G -£?(£) символом [/] будем обозначать здесь ее класс эквивалентности по отношению ~, т. е. [/] есть совокупность всех функций, каждая из которых совпадает с / почти всюду. Пусть f G £i(E) и a G Ш. По определению, f есть класс эквивалентных функций. Выберем произвольно функцию / G £. Класс эквивалентности функции а/ не зависит от выбора функции / G f, так как если f(x) = f\(x) почти всюду, то также и af(x) = afi(x) для почти всех х G М. Мы полагаем а£ = [а/]. Пусть f и г) — два произвольных элемента ii(S). Выберем произвольно функции / G f и д G г/. Тогда функция / + д принадлежит классу JSf(S). Полагаем f + 77 = [/ + д]. Если fi(x) = f(x) почти всюду и 9i(x) = 9{х) почти всюду, то fi(x) + gi(x) = f(x) + g(x) почти всюду. Отсюда ясно, что класс [/ + д] не зависит от выбора / G f и д G г/. Легко проверяется, что множество £i(S) с введенными так операциями сложения элементов и умножения элемента на число представляет собой векторное пространство. Нулевым элементом этого пространства является множество всех функций f:M —► К, каждая из которых равна нулю почти всюду в М. Пусть f G ii(S). Тогда мы будем говорить, что f > 0, если существует неотрицательная функция / G f. Если f > 0, то для любого числа а > О также а£ > 0. Если f > 0 и 7/ > 0, то также и £ + rj > 0. Будем говорить, что £ < 7/, если г/ — f > 0. Таким образом, на множестве Li(S) определяется отношение порядка.
§ 9. Сходимость в L\. Пространство L\ 175 Пусть £ G L\(Yi). Возьмем произвольно функцию / G £. Полагаем HflUxCE) = ll/IUi- Величина Ц/Ц^ не зависит от выбора функции / G £, так что величина ||f ||z,i(x;) определяется однозначно. Легко устанавливается, что функционал f »-» Ц^Ць^Е) представляет собой норму на множестве Li(E). Не останавливаясь на проверке всех условий определения нормы, заметим только, что если ||£||li(x;) = 0, то £ есть совокупность всех функций, обращающихся в нуль почти всюду в М, т. е. f есть нулевой элемент пространства Zi(E). Построенное нормированное векторное пространство £i(E) является полным пространством. Действительно, пусть (£u)i/eN есть произвольная фундаментальная последовательность элементов этого пространства. При каждом и G N выберем произвольно функцию /„ G £и- Для любых v\, v2 имеем II/*1 - UAlx = II&1 "" &/2IUi(x;)- Отсюда ясно, что последовательность функций (fu)veN является фундаментальной в L\. В силу теоремы 9.1 отсюда вытекает, что существует функция /о G -2f(£) такая, что ||/„ — /o|Ui —> 0 при и —» оо. Пусть £о = [/о] есть класс эквивалентности функции /о. При каждом и имеем II&/ - folUx(S) = ll/i/ ~ /olUu откуда следует, что fo есть предел последовательности (£и)и£Ц элементов пространства Li(E). Таким образом, всякая фундаментальная последовательность элементов пространства £i(E) имеет предел. Этим доказано, что пространство ii(S) полное. Иначе говоря, £i(S) есть банахово пространство. В дальнейшем, несколько отступая от применяемых здесь обозначений, мы будем отождествлять интегрируемую функцию в системе с интегрированием Е с классом [/] функций, совпадающих с ней почти всюду, т. е. с элементом [/] пространства Li(E), и писать / G Li(E). 9.3. Достаточные условия непрерывности и дифференцируемости функций, представленных интегралами, зависящими от параметра Теоремы о предельном переходе, доказанные в этой главе, позволяют получить некоторые полезные теоремы об интегралах, зависящих от параметра.
176 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ш Теорема 9.3. Пусть даны система с интегрированием (M^^I) и множество У, на котором задана оценочная функция А(у) с предельным значениемр €Ш. Пусть функция /: (ж, у) Е А х У —> R удовлетворяет следующим условиям: 1) при всяком у G У функция fy: х G А >-» /(ж, у) переменной х интегрируема] __ 2) существует интегрируемая функция д: М —► R такая, чгто яря каждом у G У неравенство |/(я, у)| < #(ж) выполняется для почти всех х€М; 3) для почти всех х G М существует предел lim /(ж, у) = fo(x). Тогда предельная функция /0 яятегряруема, причем имеет место равенство f /o(x) dfi(x) = lim / /(x, у) d/i(*). (9.3) м м Доказательство. Данная теорема представляет собой непосредственное следствие теоремы Лебега о предельном переходе. Пусть (yi/)i/GN есть произвольная последовательность значений у такая, что А(у„) —► р при v —► оо. Тогда для последовательности функций /yv выполняются все условия теоремы Лебега, откуда следует, что функция /о интегрируема и / f0(x)dfi(x) = jim^ / f(x,yu)dfi(x). м а Так как последовательность значений (yi/)i/eN такая, что А(у1/) —► р при v —> оо была выбрана произвольно, то из доказанного следует равенство (9.3). Теорема доказана. ■ Т Следствие. Пусть даны система с интегрированием (М^,1} и метрическое пространство (У, р). Пусть функция /: (ж, у) EMxY-^-Ш удовлетворяет следующим условиям: 1) яря всяком у G У функция /j,:xGMh /(я>у) переменной х интегрируема; __ 2) существует интегрируемая функция g: M —► К такая, что яря каждом у G У неравенство |/(ж,у)| < <7(ж) выполняется для почти всех хе М; 3) яря всяком х £ М функция у G У ■-> /(ж, у) непрерывна в пространстве М. Тогда функция F: У —* К, определенная равенством F(y) = Jf(x,y)dz, является непрерывной.
§9. Сходимость в L\. Пространство L\ 177 Действительно, пусть уо есть произвольная точка пространства У. Полагая в условиях теоремы А(у) = />(у,Уо)> получим, что / f(x,y0)dx = lim / f(x,y)dx, J У-+УО J M M т. e. F(yo) = lim F(y). Так как точка уо € Y выбрана произвольно, У^Уо то непрерывность функции F тем самым установлена. Следствие доказано. Т Применяя теорему Балле — Пуссена, получим другой полезный критерий непрерывности интеграла, зависящего от параметра. ■ Теорема 9.4. Пусть (М,^,1) есть система, с интегрированием, А С М — измеримое множество иУ — множество, на, котором определена, оценочная функция А(у) с предельным значением р G К. Предположим, что функция fiAxY—^Ш удовлетворяет следующим условиям: 1) мера множества, А конечна,, и для всякого у £ У функция fy: x G G А н-» f(x, у) переменной х интегрируема, по множеству А; 2) существуют непрерывна,я неубыва,ющая функция Ф: [0, оо) —► Ш и постоянная L < оо такие, что лри каждом у G У функция Ф[|/У(я)|] интегрируема, по множеству А, причем выполняется неравенство jnf{x,y)\]dn{x)<L А . ад для всех у £ А и ► оо яри £ —► оо; 3) для почти всех х G М существует предел lim /(ж, у) = fo(x). Ну)-+р Тогда, предельная функция /о интегрируема,, причем имеет место ра,венство / /о(я?) d/i(z) = lim / f(x, у) d/i(z). (9.4) J Ky)-*vJ M M Доказательство. Терема доказывается аналогично предыдущей. Пусть последовательность значений {yv)V£N есть произвольная последовательность значений у такал, что А(у1/) —► р при v —► оо. Для последовательности функций fVv{x) выполняются все условия теоремы Балле — Пуссена. Отсюда следует, что предельная функция /о(х) интегрируема на множестве А, причем / fo(x)dn(x) = Кт^ / fyu{x)dii{x).
178 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Так как последовательность (yu)ueN такая, что Л(у1/) —► р при v —> оо, была выбрана произвольно, то справедливость равенства (9.4) установлена. Теорема доказана. ■ ы Т Следствие. Пусть даны система с интегрированием (М, ^, /), измеримое множество А С М, метрическое пространство (У, р) и функция f: А х У —» К. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) мера множества А конечна, и для всякого у (zY функция fy : х G G A I-* /(ж, у) переменной х интегрируема по множеству А; 2) существуют непрерывная неубывающая функция Ф: [0, оо) —> R я постоянная L < оо такие, что при каждом у G У функция Ф[|/у(#)|] интегрируема по множеству А, причем выполняется неравенство jb[\f{x,y)\}dn(x)<L * ад Л для всех у G А я ► оо пря £ —► оо; 3) для почти всех х G М функция у € М *-* f(x,y) непрерывна в пространстве У. Тогда функция F: У —> Е, определенная равенством F(y) = Jf{x,y)dn(x), м является непрерывной в пространстве (У,/>). Действительно, возьмем произвольно точку уо G У. Полагая в условиях теоремы Л(у) = />(у,уо), получим, что f(x,y0)dx= lim f(x,y)dx, J у-*уо J M M т. e. .F(yo) = lim F(y). Так как уо есть произвольная точка У, то У-+УО непрерывность функции F тем самым установлена. Следствие доказано. Т Приведем предложение о дифференцировании интегралов, зависящих от параметра. ■ Теорема 9.5. Пусть Е = (М,^,1) есть система с интегрированием, А С М — измеримое множество. Пусть дан промежуток (a,b) С К. Предположим, что функция /:(ж,у) G A x Y —> К удовлетворяет следующим условиям:
§ 9. Сходимость в L\. Пространство L\ 179 1) при всяком у G (а, Ь) функция /у:жбАн /(ж, у) переменной х интегрируема] 2) при всяком х £ А функция /(ж, у) имеет производную — (ж, у), _ dy прячем существует интегрируемая функция д: М —► К такая, что яря каждом у G У яеравеяство !<-> < <7(ж) выполняется для почти всех х G М. Тогда функция F(y), определенная равенством F(y) = J f(x,y)dfi(x), дифференцируема при каждом у G (а,Ь). Пря этом /о интегрируема, причем имеет место равенство ^{y) = J^y)Mx)- (9.5) Доказательство. Возьмем произвольно точку уо G (а,Ь). Для всякого у G (а, Ь), отличного от уо, в силу теоремы Лагранжа о среднем значении имеем где 7/ лежит между у и уо. В силу условия теоремы отсюда следует, что 1/М-/Ы1 < <?(*). у-уо При каждом ж € А существует предел ,. /(у) - /Ы dff , Ьт = —(х,уо). »-vo У - Уо »У 5/, Применяя теорему 9.3, получаем, что функция тг"(ж>Уо) интегри- ду руема относительно переменной х G А, причем имеет место равенство / Ъу^9 У°^ d^X>) = Й5о / у - уо 1/->Уо У - УО Это позволяет заключить, что функция F дифференцируема в точке уо G (а,Ь), причем имеет место равенство (9.5). Теорема доказана. ■
180 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Задачи кг -\р интегрируема при 13.1. Доказать, что функция /: х Е Шп ь-» всяком р > 1. 13.2. При каких а функция (я, у) ь-» \х2у\а интегрируема на квадрате \х\ < 1, Ы<1? 13.3. При каких а функция |я2 + у2 - 22|а интегрируема в шаре х2 + у2 + +z2 < 1? 13.4. При каких а функция (я, у, z) *-* (х2 + у2)а интегрируема в шаре {(#, y,z) \ х +у + z < 1} пространства К3? 13.5. Пусть х G Rn, /(ж) = -J, 0 < \х\ < 1/2, где/i > 0. Доказать, »-|- (ln я) что функция / интегрируема при /i > 1 и не является интегрируемой при /i < 1 на шаре В (0, £) = {я G Kn | |ж| < |}. — 2 13.6. Вычислить интеграл J е х с!х, где ® есть область пространства Кп, состоящая из всех точек х = (#ь #2> • • •>#п) пространства Кп, для которых 0 < ari < а?2 < ••• < #п. 13.7. Вычислить интеграл / {l-x2)a'2dx = / (1 — a?i — а?2 — - • * — xn) dx\dx2 •. • dxn. х2 + х2 + ...+ х^<1 13.8. Вычислить объем части n-мерного конуса, определенного неравенствами 2 2 JI 2 о "Г О "Г То 9 ^U> а1 а2 ап-1 а» соответствующей значениям хп, для которых выполнены неравенства 0 < хп < h. 13.9. Вычислить объем n-мерной «чаши», определяемой неравенствами 2 2 2 Хл Xn Xt h>xn> -i + "2, + "e#+"f-
Задачи 181 13.10. Дана система с интегрированием (М, J*", /), счетная в бесконечности. Пусть (р и / есть неотрицательные измеримые функции. Положим £**(/) = = {х £ М | /(я) > t} Доказать равенство с» /^)/(.)*-/ (/*.)*)<■. М 0 £,(/) 13.11. Пусть v?: (0,1) —» К — строго монотонная дифференцируемая функция на (0,1). Доказать равенство 1 / (р(\х\) dxidx2 .. >dxn = штп /г71"" (p(r)dr £(0,1) 0 (<тЛ — объем единичного га-мерного шара). 13.12. Пусть / есть интегрируемая функция на отрезке [а, 6] С R. Положим 6 F(x) = Jmin{/(t),a:}<ft. Доказать, что функция F непрерывна. а 13.13. Пусть (/т: [а, 6] —► R)m=i,2,... — последовательность интегрируемых функций, сходящаяся в Iq([a, Ь]) к функции /о: [а, 6] —► К. Положим Fm(tf) = X X = / /m(t) eft, F0(x) = J /0(t) eft. Доказать, что .FVn, ^J -Fb при 77i —► oo на [a, 6]. a a 13.14. Функция (я, у) »-*• f(x,y) определена и интегрируема на квадрате х у Q = [0,1] х [0,1]. Положим F(x, у) = j j /(£, га) df dra. Доказать, что F непре- 0 0 рывна на Q. 13.15. Построить последовательность непрерывных функций, сходящуюся в Li(lR) к функции fix*-* sgntf|z|_1'3. 13.16. Доказать, что всякое А;-мерное многообразие класса Сг, г > 1, где А; < га, в пространстве Кп есть множество меры нуль. 13.17. Пусть А С Rw — множество, измеримое в смысле Лебега, и /: А —► —► Кп — непрерывное отображение. Доказать, что если образ f(E) всякого множества Е С А, мера которого равна нулю, при отображении / есть множество меры нуль, то образ f(B) всякого измеримого множества В С А при отображении / есть множество измеримое. 13.18. Доказать, что если a — n-мерный сегмент и множество Е С <т таково, что ц(Е) = ц(а) (/i — мера Лебега), то Е всюду плотно в а. 13.19. Доказать, что для всякого е > О найдется открытое множество U С [0,1], всюду плотное в [0,1] и такое, что его мера Лебега ц(Е) < е. 13.20. Доказать, что непрерывный образ всякого ^-множества А С Rn есть F^r-множество. (Множество А называется множеством типа Fa, если А — объединение счетного числа замкнутых множеств.)
182 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 13.21. Построить пример множества А С Шп такого, что ц(А) > ц(А) (/i — мера Лебега, А — замыкание А). 13.22. Построить пример замкнутого множества в Шп положительной меры, не имеющего внутренних точек. 13.23. Доказать, что из всякой последовательности функций fm: Шп —► Ш класса Li(Mn), сходящейся в Li(Mn) к функции /о: Шп —► К, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к /о почти всюду. 13.24. Пусть (/m)mGN — последовательность интегрируемых функций fm: Шп —► Й, сходящаяся в L\ (Шп) к интегрируемой функции /о: Шп —* Ш. Пусть (дт- Кп —► K)mGN — последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в Мл к функции до: ^п —* К- Доказать, что если \9т\ < \fm\ при всех m, to J gmdx —► J 0Odx. 13.25. Пусть u: [0,1] —► Ш — интегрируемая функция. Определим при каждом п ступенчатую функцию un следующим образом: k/n un(x) = n I u(x)dx при < x < —, k = 1,2,..., n. J n ~~ n (*-l)/n Доказать, что функции г/п сходятся к функции г/ в Li([0,1]) при п —► оо. 13.26. Пусть Q = [ai,&i] х [02,62] X ••• X [an,6n] есть n-мерный сегмент, (fu: О —► R)mGN — последовательность непрерывных функций, сходящаяся в L\(Q) к функции /о: Q —► К. Доказать, что если существует функция w: [0,6) —► К, которая является модулем непрерывности каждой из функций /т, то последовательность (/i/)i/gN равномерно сходится на множестве Q при v —► оо к некоторой функции /о такой, что /о (ж) = /о (ж) для почти всех xGQ. 13.27. Функция <р: [—1,1] —► R называется четной, если <р(х) = <£>(—#) для почти всех я £ [—1,1]; нечетной, если <р(ж) = — ср(—х) для почти всех х £ [—1,1]. Пусть /: [—1,1] —► R — интегрируемая функция. Доказать, что для того, чтобы функция / была четна (нечетна), необходимо и достаточно, чтобы для всякой нечетной (соответственно четной) непрерывной функции 1 (р: [-1,1] —► К выполнялось равенство j f(x)cp(x) dx = 0. -1 13.28. Пусть /: [a, 6] —► К — функция, интегрируемая на отрезке [а, 6]. До- х казать, что если J f(t)dt = 0 для всех х £ [а, Ь], то /(£) = 0 почти всюду в [а, 6]. а 13.29. Пусть /: Шп —► Ш — интегрируемая функция. Доказать, что если j f(x) dx = 0 для всякого n-мерного бруса /3 = [ai, 6j) X [02,62) X • • • х [an, 6n), то /(я) = 0 почти всюду в Кп.
Задачи 183 13.30. Пусть /: [а, Ь] —► М и #: [а, 6] —* Ш — интегрируемые на [а, 6] функции. Функция д называется обобщенной производной функции /, если для всякой функции (р € С1 ([а, Ь]) такой, что (р(а) = (р(Ь) = О, выполняется равен- Ь Ь ство j f(x)-^dx = — J g(x)(p(x)dx. В этом случае пишут д = -fe (обобщен- о а ная). Доказать, что если # — обобщенная производная функции /, то f(x) = х = J g(t)dt + С для почти всех я £ [а, Ь], где С = const, а 13.31. Пусть функция / имеет на сегменте [а, 6] обобщенную производную 3 ~ 3z (CM- заДачУ 13.30). Доказать, что функция /г при /г —► О сходится к функции # в пространстве Lj, т. е. 6 I /7*. х М - f(<r\ 1 da: -► О / /(*+*)-/(«).,(,) при /г —► 0 (функцию / считаем продолженной на все множество М, полагая f(x) = f(a) при х < а, /(я) = /(6) при я > 6). 13.32. Пусть / £ ii(R). Положим /д(£) = ^ J f(r) dr. Доказать, что при t-h h —► О функции fh сходятся к функции / в L\(R), т. е. lim ||/ - fh\\bi(R) = 0- 13.33. Функция /: Жп —» R принадлежит классу Li(Rw). Доказать, что интеграл Д(#) = (^) / е~(х~*' ' f(t)dt определен и конечен при всех х € Rn. Доказать, что функция /д интегрируема при всех h > 0 и Д —» / приЛ-*0вЬ1(Еп). 13.34. Пусть /:R—»Rh0:]R —► R. — 27г-периодические функции, интегрируемые на отрезке [0,27г]. Предположим, что функция д ограничена. Доказать, что при А —► оо 2ж 2ir 2ir 2тг 1Ъ 1Ъ lit 2^ J f{x)9(>M) dx^— I f(x) dx • — / g(z) dx. {Указание. Рассмотреть сначала случай, когда функция / ступенчатая.) 13.35. Пусть (М, ^, /) — система с интегрированием, /i — мера в этой системе, /: М «—► Ш — интегрируемая функция. Доказать, что I/ f(x)dfi Е 0
184 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных при ц(Е) —► 0, т. е. что для любого е > О найдется 6 > О такое, что при /i(£) < 6 < е. 13.36. Пусть (М, ^, /) — система с интегрированием такая, что fJ-(M) < оо, и пусть Е есть совокупность всех измеримых вещественных функций, почти всюду конечных в М. Для / Е Е, д Е Е положим м Доказать, что: а) р(Л А') > 0» причем />(/, #) = 0 тогда и только тогда, когда f(x) = д(х) почти всюду по мере /л; б) p(f,g) = p(g,f)] в) />(/, 0) + р(д, Л) > />(/, Л) Для любых /, # и h. 13.37. Пусть Е = (М, ^, /) есть система с интегрированием такая, что ц(М) конечно. Говорят, что последовательность функций (fu)ue^ сходится к функции /: М —+ R по мере, если для всякого е > О мера множества Ev(e) = = {х Е М | |/i/(#) — /(#)| > £} стремится к нулю при v —* оо. Доказать, что для того, чтобы последовательность функций (fv)v£& сходилась по мере к функции /: М —► R), необходимо и достаточно, чтобы р(/т» /о) стремилось к нулю при m —*> оо, где />(/, #) определяется согласно формуле предыдущей задачи. 13.38. Пусть Е = (М, с^, /) — система с интегрированием. Доказать, что из всякой последовательности функций fm E la (E), m = 1, 2,..., такой, что II/™IILi (E) ~~* 0> можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. 13.39. Пусть Е = (М, с^",/) — система с интегрированием, где ц(М) <оо, (fm: М —* M)meN — последовательность неотрицательных измеримых функций. Доказать, что если J fm dx —► 0 при m —► оо, то fm сходится к нулю по мере при m —► оо. М 13.40. Пусть (М, с^,/) — система с интегрированием, причем /л(М) < оо. Доказать, что из всякой последовательности (fm- M —■► R)m£N измеримых функций, сходящейся по мере к функции /о: М —> R, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к /о почти всюду. 13.41. Пусть (М, с^",/) — система с интегрированием, причем fJ-(M) <oo, fi(M) > 0. Пусть /: М —> R — измеримая и неотрицательная почти всюду / \1/г функция. Положим Mr(f) = ( "тщ /[/ООГ^ОО ) (г > 0). Доказать, что Mr(f) есть возрастающая функция переменной г в (0,оо). Доказать, что если Mr(f) конечно хотя бы для одного г > 0, то lim Mr(f) = г—►() = ехр Р?) Jlnf(x)dx м
Задачи 185 13.42. Пусть Mr(f) определено, как в предыдущей задаче. Существенной точной верхней границей функции /: М —► Ж называется точная верхняя граница чисел Л таких, что мера множества тех х £ М, для которых /(х) > Л, положительна. (Обозначение: ess sup/(х).) Доказать, что в условиях преды- хем дущей задачи lim Mr(f) = ess sup/(ж). r^°° хем 13.43. Пусть для х £ R, у £ К выполняется |G(x,y)| < \х - ур1+ае""'х""у', причем функция G непрерывна во всякой точке (ж, у) £М2 такой, что ж ^ у. Доказать, что для всякой ограниченной измеримой функции h: Ш.п —► М функ- оо ция /: х н-* J G(x, y)h(y) dy непрерывна. — оо 13.44. Функция if интегрируема по Лебегу на квадрате [а, 6] х [а, 6]. Для поч- 6 ти всех х £ [а, Ь] выполняется f K(xyy)dy < В, и для почти всех 6 а у £ [а, Ь] выполняется J K(x, у) dx < В, где В постоянная. Пусть /: [а, 6] —> К а и д: [а, 6] —► К. неотрицательны и убывают. Доказать, что 6 6 6 A I K(x,y)f(x)g(y)dxdy<B I f(x)g(x)dx. а а а 13.45. Пусть Е = (М, J*", J) есть счетная в бесконечности система с интегрированием. Доказать, что если функция /: М —► Ш такова, что для всякого рационального числа t £ К множество Лебега Ef(t) = {х £ М | /(х) > t} является измеримым, то функция / измерима. Доказать, что если множество Ef(t) = {х £ М | /(х) > *} измеримо для любого рационального *, то функция / измерима.
Глава 14 РЯДЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Тригонометрические полиномы • Комплексные тригонометрические функции • Понятие тригонометрического ряда • Ряд Фурье интегрируемой функции • Теорема Римана — Лебега • Пространство 1,2 • Теорема Рисса — Фишера • Ортогональная система функций в пространстве Li • Полнота системы тригонометрических функций в пространстве L2([—ft<>ft)] • Критерий сходимости ряда Фурье в точке • Формула Парсеваля • Вычисление интег- оо /sin х dx • Теорема о поточечной сходимости х о ряда Фурье функции ограниченной вариации • Примеры разложений функций в ряд Фурье • Разложение функции sin х в бесконечное произведение • Теорема об обращении преобразования Фурье • Инъективность преобразования Фурье на множестве функций класса L\% _1
§1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 187 § 1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты В этой главе изучаются так называемые тригонометрические ряды, т. е. ряды вида оо — + / (a>n cos nx + bn sin nx), n=l где ao, ai,..., аП) • • • и b\, 62,..., bn,... — последовательности вещественных чисел. Такие ряды применяются для изучения периодических функций и являются средством, полезным при описании различных колебательных процессов и исследовании их свойств. Они находят применение также и в теории дифференциальных уравнений. Представление периодической функции в виде суммы тригонометрического ряда физически интерпретируется как разложение произвольного колебательного процесса в сумму (вообще говоря, бесконечную) некоторых простейших колебательных процессов — так называемых простых гармоник. Для непериодических функций подобного рода представление строится с помощью преобразования Фурье, которое также изучается в этой главе. Преобразование Фурье является важным инструментом теории дифференциальных уравнений. Наша задача — указать критерии, выполнение которых гарантирует, что данная функция может быть представлена в виде суммы тригонометрического ряда. В этом параграфе рассматриваются формальные свойства тригонометрических рядов, определено понятие ряда Фурье функции. Здесь доказывается теорема Римана — Лебега о поведении функции при больших значениях ее аргумента, задаваемой интегралом некоторого специального вида. Эта теорема существенно используется при исследовании вопроса о поточечной сходимости рядов Фурье функций. 1.1. Тригонометрические полиномы Пусть даны множество А С К. Функция /: А —> М со значениями в произвольном множестве М называется периодической, если выполнено следующее условие: существует число Г / О такое, что для всякого х € А точки х+Т и ж — Г принадлежат множеству А и выполняется равенство f(x + Т) = f(x). Число Г, удовлетворяющее этим условиям, называется периодом функции /. Если функция / имеет период, равный Г / 0, то говорят также, что / есть Т-периодическая функция.
188 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Обращаем внимание читателя на тот факт, что условие периодичности включает в себя некоторое требование, которому должна удовлетворять область определения функции /, а именно, если х € А, то также и точки х + Т и х — Т принадлежат А. Если функция / периодическая и Т есть ее период, то любое целое кратное Т, т. е. число Т' = пТ, где п ф О — целое число, также является периодом функции /. Тригонометрические функции х »-» cos пжижи sin пх, где п — неотрицательное целое число, являются примером периодических функций. Эти функции определены и принадлежат классу С°°. Для всякого xGM имеем cos п(х + 27г) = cos пх, sin п(х + 27г) = sin пх. Функции х н-» cos пжижи sin пх, таким образом, периодические, и число 27Г является периодом каждой из них. Функция Р: К —> С называется тригонометрическим полиномом степени не выше п, где п > О — целое число, если она допускает представление п Р(х) = — + /](ап cos пх + Ъп sin пх) (1-1) 2 *=i для всех xGR, где а0, aj,..., ап, bi,..., Ъп — вещественные числа. Далее нам потребуются комплексные тригонометрические функции, т. е. функции вида х »-» егпх, где п — произвольное целое число (допускаются значения п < 0). Имеют место следующие равенства — формулы Эйлера: coskx = \{eikx + e~ikx), sinkx = -Ueikx - e~ikx). Подставляя в (1.1) значения для coskx и sinfccc, из формул Эйлера получим, что всякий тригонометрический полином степени не выше п может быть записан в виде Р(х) = y + \ £[(afc"ibk)eikx + (а*+ ibk>~ik'l- k=l В частности, функция жи- тождественно постоянная на R, а также функции х н-► cos пх и ж »-» sin пж при любом п являются
§L Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 189 а0 ак - ibk тригонометрическими полиномами. Полагая cq = —, а ск = г и с_* = для А; = 1,2, ...,п, получим, что всякий тригономе- трическии полином степени не выше п может быть представлен в виде п Р(х) = J2 с*е'**> (1.2) где числа ск G С удовлетворяют условию: с_* = cjb при каждом к = 0,1,2,... ,п. Правую часть равенства (1.1) будем называть вещественной, а правую часть (1.2) соответственно комплексной формой тригонометрического полинома Р. В соответствии с введенной терминологией числа a0,ai,... ,an, bi,...,bn называются коэффициентами вещественной формы, а числа СЬ ~~п < & < п> — коэффициентами комплексной формы тригонометрического полинома Р. Коэффициенты вещественной формы тригонометрического полинома Р выражаются через коэффициенты его комплексной формы следующим образом: ао = 2со, а при к = 1,2,..., п ак = ск + с-к = 2Recb bk = i(ck - с_*) = -21тсь (1.3) Всякая функция Р, допускающая представление вида (1.2) с коэффициентами с*, удовлетворяющими условию с„к = ск при каждом к = 0,1,2,.. .,п, является трмгонолеетрг/честсгш поликол«ол« степени не выше п. Для любых двух целых чисел к и т имеют место равенства /;™~ .-д.» , Г 27Г, если т = fc, , e""*e-'**dz = ^ ' ' (1.4) I, 0, если т ^ к. —ж Действительно, если к = т, то etmxe~tkx = 1, и в этом случае f eimxe-ikxdx= f Жс = 2тг. — 7Г —7Г e»(m-A;)z Пусть т ф к. Тогда функция Fix) = — гт является первого — к) образной функции х н+ е%(т~к>>х. Функция F имеет период, равный 27Г, откуда следует, что F(n) — F(—7г) = 0 и, значит, в этом случае 1Г / eim*e-ikx dx _ F^ _ f(_^ = 0) и равенства (1.4) доказаны полностью.
190 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Равенства (1.4) позволяют найти некоторые интегральные представления для коэффициентов тригонометрического полинома. Пусть Р есть тригонометрический полином степени не выше п. Пусть номер к удовлетворяет условию — п < к < п. Умножим обе части, равенства (1.2) на е~гкх. В результате получим ~ikxdx. I P(x)e~ikx dx = f J2 cmeimxe'ikxdx = ]T f сте{тхе~{ ** ** im-^^'n чт — — чп ** В силу равенства (1.4) в последней сумме справа отлично от нуля единственное слагаемое, а именно, то, для которого т = к. Это слагаемое равно 27TCjb, и, стало быть, I P{x)e"tkxdx = 2'KCk. Таким образом, мы получаем следующее представление для коэффициентов комплексной формы тригонометрического полинома Р: ck = ±J P(x)e-ikxdx. (1.5) Из доказанного, в частности, следует, что коэффициенты ск комплексной формы тригонометрического полинома Р однозначно определяются этим полиномом как функцией, т. е. если тригонометрические полиномы Рл и Pi таковы, что Pi(x) = Ръ(х) для всех х, то комплексные формы этих полиномов совпадают. Так как комплексная форма тригонометрического полинома однозначно определяет его вещественную форму, то тем самым мы получаем, что вещественная форма тригонометрического полинома однозначно определяется этим полиномом как функцией. Применяя равенства (1.3), из (1.5) получаем следующие выражения для коэффициентов вещественной формы тригонометрического полинома Р: 7Г ао = — P(x)dx, к J
§1. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 191 а при к = 1,2,..., п получим 1 / е~~г*х + е**х 1 [ dk = — I Р{х) dx = — Р(х) cos kxdx, 7Г J 2 Ж J — Ж — Ж 1 / -е~"г*х + e**x l / bk = — / Р(х) — = — / P(x)sinfcxdx. тг J 2г 7Г У — Л" — Ж Применим полученный результат к функциям х *-» cosnx, ж ь-» ь-» sin nx. Получим, что при п, га = 1,2,... имеют место равенства — / cos nx cos rax dx = < W I 0 при п = га, S О при п ^ га; 1 /* Г 1 при п = га, — / sin nx sin rax dx = < тг У [0 при п ф m. —ж Для любых натуральных чисел га и п будем иметь — / cos nx sin rax dx = 0. Заметим, что для любого п £ N имеют место равенства «• ж / cos nx dx = / sin nx dx = 0. — ж —ж Рассмотрим один специальный тригонометрический полином. Для произвольного х £ Ш положим Dn(x) = £ е«' к=—п Отметим некоторые свойства полинома Dn. Объединяя слагаемые, номера которых равны к и —к при каждом к = 1,2,..., п, и принимая во внимание равенство е**х + e"**x = 2cosfcx, получим D„(x) = l + 2]TcosA;x. (1.6) Jb=l
192 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Функция Dn четна, т. е. Dn(—x) = Dn(x) для каждого х £ К. Данное утверждение непосредственно вытекает из равенства (1.6) в силу того, что косинус есть четная функция. Укажем некоторое простое выражение для Dn(x), которое будет использовано в дальнейшем. Величина Dn(x) есть сумма 2п + 1 членов геометрической прогрессищ у которой начальный член есть е"~*пх, а знаменатель равен егх. Применяя известную формулу для суммы членов геометрической прогрессищ получим, что если егх ф 1, т. е. х не является числом вида 27гт, где т — целое число, то имеет место равенство ^«(n-fl)x __ p—inx Умножив числитель и знаменатель выражения в правой части этого равенства на е~*х/2, получим, что для данного х е*(п+1/2)х _ е-*'(п+1/2)х Dn^ = е«/2 _ е-а'х/2 * Замечаем, что е,(»+1/2)* _ е-;(»+1/2)а: = % ^ L + A ^ jx/2 _ g-ix/2 = % ^ |? и окончательно приходим к следующему результату: . / 1\ sin I п + - 1 х Dn(x) = V X2J (1.7) sin- при х ф 27гт, где т целое и Dn{2^m) = 2n + 1. 1.2. Понятие тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции Пусть дана функция и: п £ Z ь-* гхп. (Напомним, что символом Z обозначается множество всех целых чисел.) Равенство w = Y, u» (1-8)
§i. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 193 п далее означает, что имеет место равенство w = lim Yl uk- Если Uk n-+°°k=-n есть вещественные функции, определенные на некотором множестве М, то мы будем говорить, что ряд оо 71= — ОО П сходится равномерно на множестве М, если функции wn — J2 ик сходятся к w равномерно на множестве М при п —> оо. к=-п оо Выражение ^ un формально представляет собой иную форму 71= —ОО ОО записи ряда щ + ^ (un + ^-п), и равенство (1.8) означает, что w есть 71=1 сумма этого ряда. Тригонометрическим рядом называется всякий ряд вида У + /_Хате cos ш: + Ьп sin пж), (1-9) 71=1 где (an), n = 0,1,2,..., и (Ьте), п = 1,2,..., есть произвольные последовательности комплексных чисел. Как и в случае тригонометрических полиномов, ряд (1.9) может быть записан в виде оо со + Y,(cneinx + c-ne~inx), (1.10) 71=1 где со = —, сп = -{ап - гЬп), c_n = -(an -f ibn). В соответствии с соглашением, сделанным выше, выражение (1.10) может быть представлено также в виде J2 cneinx. (1.11) Выражение (1.11) будем называть комплексной формой тригонометрического ряда, (1.9) — вещественной формой того же ряда. Коэффициенты вещественной формы тригонометрического ряда определяются по коэффициентам его комплексной формы посредством равенств ао = 2cq, ап = сп + с_п, Ъп = г(сп — с_те).
194 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Предположим, что тригонометрический ряд CLQ — + ^(«n cos пх + Ъп sin nx) (1-12) п=1 является равномерно сходящимся на промежутке [—7г,7г] и /(х) есть его сумма. Сначала найдем коэффициенты комплексной формы ряда. Имеем оо Дх)= £ спеЫх. (1.13) п=—оо Функция / непрерывна. Умножив все члены ряда (1.13) на е~,тж, где т — произвольное целое число, в силу теорем об интегрировании функциональных рядов, доказанных в главе 12, получим, что имеет место равенство ж ~гшх Л* — dx = — Ж ОО / = со / e"imx dx + ^lcn f e-imxeinx dx + c_n / e-«*™*e-'nx dx -7Г П=1 \ -7Г -7Г > В силу равенств (1.4) слагаемые в правой части этого равенства, для которых пф т, обращаются в нуль. В результате получаем ж J f(x)e~imx dx = 2тгсто — Ж при любом целом т. Отсюда ж cn = ^J f(x)e-inxdx. (1.14) — Ж Принимая во внимание равенства а0 = 2со, ап = сп + с_п, Ъп = = i(cn - c_n), получаем выражения для коэффициентов вещественной формы данного тригонометрического ряда: ж ап = — I /(x)cosnxdx, n = 0,1,2,..., к J (1.15) = — / /(я) sin nx dx, п = 1,2,... . 7Г — 7Г
§1. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 195 Пусть /: К —> К есть произвольная 27г-периодическая функция, интегрируемая на промежутке [—7г, 7г]. Интегрируемость в этой главе понимается в смысле определений главы 13, т. е. как интегрируемость в смысле Лебега. Тригонометрический ряд оо оо — + /_^(^п cosпх + Ъп sin пх) = 2_) сп.егпх п=1 п= —оо называется рядом Фурье функции /, если его коэффициенты выражаются через эту функцию по формулам (1.15) и (1.14) соответственно. Из доказанного следует, что если тригонометрический ряд сходится равномерно на промежутке [—7г,7г], то он является рядом Фурье своей суммы. Следующая лемма будет использоваться при изучении вопроса о сходимости ряда Фурье функции. ■ Лемма 1.1. Пусть /: К —> К есть 2п-периодическая функция. Тогда если существует р G Ш такое, что функция f интегрируема по промежутку \р — 7г, р + 7г], то f интегрируема по любому ограниченному промежутку [а, Ь] С R, и для всякого отрезка [а, Ь] такого, что b—a = 27г, выполняется равенство ъ ж [ f(x)dx= J f(x)dx. (1.16) а — ж Доказательство. Для всякого a;GK найдется целое число п та- X — р + 7Г _ кое, что га < < га + 1. Тогда 2га7г — 7г < х — р < 2гшг + ж 27Г и, значит, х принадлежит промежутку [(р + 2ттг) — 7г, (р + 2га7г) + 7г]. Производя в интеграле (р+2тпж)+ж / f(x)dx (р+2тпж)—ж замену переменной по формуле х = t + 2га7г, получим (р+2ттг)-|-1Г р+тг j f(x)dx= J f(t + 2rrnr)dt. (р+2т7г)—ж р—ж
196 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Так как функция / имеет период, равный 27Г, то f(t + 2ттг) = /(£), и, следовательно, мы получаем, что функция / интегрируема по любому промежутку вида [(р+2т7г)~7г, (р+2гшг) + 7г], причем ее интеграл по этому промежутку равен интегралу этой же функции по промежутку [р—7г,р+7г]. Так как всякий промежуток [a,b], где а и Ь конечны, покрывается конечным числом промежутков вида [(р+2га7г) —7г, (р+2т7г) + 7г], где т — целое число, то, значит, функция / интегрируема по любому такому промежутку [a,b]. Теперь предположим, что промежуток [а,Ь] удовлетворяет условию b — а = 27г. Положим с = —-—. Найдется целое m такое, что (р + 2ттг) — 7г < с < (р + 2тж) + 7г. Введем обозначения: а\ = р + (2т — 1)7г, bi = р + (2т + 1)тг, с\ = р + 2ттг. Если с\ = с, то промежутки [a^bi] и [ауЬ] совпадают. Будем считать, ЧТО С\ ф С. Предположим, что сЛ < с. Тогда а\ < а и bi < b. При этом Ъ\ £ [а,Ь]. В силу свойства аддитивности интеграла как функции множества имеем ь ьх ь I f(x) dx= f f(x) dx+ f f(x) dx. (1.17) Заметим, что bi — 2ж = ai, a b — 2ж = a. После замены переменной по формуле х = t + 2n в силу 27г-периодичности функции / второй интеграл в равенстве (1.17) преобразуется в интеграл от функции / по промежутку [ai,6]. В результате будем иметь Ь Ь\ а Ь\ I f(x)dx= J f(x)dx+ J f(x)dx= J f(x)dx. a a &\ o>\ Аналогично устанавливается справедливость последнего равенства в случае, когда ел > с. Интеграл функции / по промежутку [ai,bi], как показано выше, равен интегралу по промежутку [р — 7г,р + 7г]. Таким образом, для всякого промежутка длины 27г интеграл функции / по этому промежутку равен интегралу по промежутку [р—7г,р+7г]. В частности, интегралы данной функции / по промежуткам [—7г,7г] и [р — 7г,р + 7г] равны между собой. Отсюда следует равенство (1.16). Лемма доказана. ■
§1. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 197 1.3. Теорема Римана — Лебега и ее следствия Докажем теорему, играющую ключевую роль в дальнейших рассуждениях. ■ Теорема 1.1 (теорема Римана — Лебега). Пусть /: К —► К — интегрируемая функция. Для произвольного А € К положим оо Тогда величина F(X) будет определена для всех А € R, причем lim F(X) = 0. |А|—оо Доказательство. Зададим произвольно е > 0. Согласно определению интегрируемой функции (см. главу 13) по нему найдется ступенчатая функция ср такая, что ll/-HUl(R)<|- (1-18) Положим оо Я -оо -Я Имеем m Jb=l где ajb, fc = 1,2,..., га, есть полуинтервалы в множестве R, ajb = [а*, Ь*) при каждом fc. Для всякого A G К имеем оо |F(A) - Ф(А)| < J |[/(х) - tp(x)]eiX*\ dx = — ОО ОО = / №) " Ф)\ dx = ||/ - HUl(«) < |.
198 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Оценим величину Ф(А). Эта оценка облегчается тем обстоятельством, что величина Ф(А) может быть вычислена явно. Получаем J^ V .. ^ e,Ai* - eiAo* ф(А) = Thk е'А* dx = J2 hk~ rr • (1.19) При |А| —> oo правая часть равенства (1.19) стремится к пределу, равному нулю, т. е. lim Ф(А) = 0. |Л|->оо Отсюда следует, что найдется Lq > 0 такое, что при |А| > Lq выполняется неравенство 1*(А)| < |- Для всякого А такого, что |А| > Zo, имеем \F{\)\ < \F(X) - Ф(А)| + |Ф(А)| < | + | = е. Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что lim F(X) = 0. |Л|—юо Теорема доказана. ■ Т Следствие 1. Пусть f: К —► К есть интегрируемая функция. Тогда, оо lim / f(x) sin Ax dx = lim / /(ж) cos Xxdx = 0. Л—>oo J Л—юо J — oo —oo Доказательство. Пусть oo F(A)= f f(x)eiXxdx. — OO Согласно теореме 1.1 при |А| —► oo величина .F(A) стремится к нулю. Отсюда следует, что при А —► оо также и Re{F(A)} —► 0 и 1т{^(А)} —* 0. Для данной функции /, очевидно, оо оо Re^A)} = I f{x) cos Ax dx, Im{F(A)} = / /(x)sinAxdx. —oo -oo Следствие 1 доказано. Т
§1. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 199 Т Следствие 2. Пусть даны промежуток [а ,6], где — оо < а < Ь < оо, и функция /, интегрируемая на этом промежутке. Тогда ь ь ь \ etXxf(x) dx —> 0, / sin Xxf(x) dx -> 0, / cos Xxf(x) dx -> 0 нри A —* oo. Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет условию теоремы. Продолжим ее на все множество вещественных чисел К, полагая f(x) = 0 при х £ [а,Ь]. Мы получим функцию, определенную и интегрируемую на всем множестве R. Имеем о оо [ eiXxf(x)dx -> 0 = / е*'Ла7(я) с/ж -> 0. Аналогичным образом заключаем, что и в каждом из двух других интегралов в качестве области интегрирования можно взять все множество К. Поэтому доказываемое следствие 2 непосредственно вытекает из теоремы 1.1 и ее следствия 1. Т Т Следствие 3. Пусть f есть произвольная функция, определенная и интегрируемая в смысле Лебега по промежутку [—7г, 7г], и для произвольного A G К пусть к ж _ , „ч /* sin Xt „, ч . _ , _ч /* sin A/ „, ч _ л(/) = У ~~Tm dt> Рл(/) = У ~7"/(<) л- о ^ sin - 0 Тогда, имеет место равенство lim [#л(/) — Рл(/)] = 0. Л—»оо Доказательство. Имеем sin Xt sin At Да(/) - Рл(/) = J О 2 am- * f(t)dt < — 2 sin — = /sin A* j*-f(t)dt= / sin \t(p(t)f(t) dt, (1.20) It sin — t t — 2 sin — где <p(<) = 7-^- при * ^ 0. 2< sin - 2
200 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Теперь заметим, что / — 2 sin - lim Д = 0. 2t sin - 2 Действительно, применяя к функции 2 sin - формулу Тейлора с оста- z точным членом в форме Пеано, получим t . t3 2sm^ = t-^ + o(t3) при t —► 0. Отсюда t з «()__al!£L.( >^o и, следовательно, lim <p(2) = 0. Доопределим функцию (p(t). полагая <p(Q) = 0. Мы получим функцию, которая определена и непрерывна в каждой точке промежутка [0,7г], и, следовательно, она ограничена на этом промежутке. Отсюда вытекает, что функция f(t)(p(t) измерима. Так как \f(t)(p(t)\ < L\f(t)\ для всех / G [0,7г], то она интегрируема в этом промежутке. Применяя теорему Римана — Лебега (см. теорему 1.1) к интегралу (1.20), получаем равенство 7Г lim \Rx(f) - Ра(/)] = lim / sin Xt<p(t)f(t) dt = 0, Л—юо Л—юо J и следствие 3 доказано. ▼ Результат следствия 3 позволяет вычислить один интеграл, сходимость которого установлена в главе 12 (п. 4.5, формула (4.2)). А именно, справедливо следующее утверждение.
§1. Ряды Фурье. Определенней предварительные результаты 201 ▼ Следствие 4. Имеет место равенство оо /Sill X _ 7Г cte = — . х 2 (1.21) Полагая в равенстве (1.20) Л = п+-, где n € N и /(ж) = 1, получим * sin ( n + - ) t * sin ( n + - ) t In = J У fJ dt = j V - l) dt + 6n, о 2 sin - 0 где Sn —> 0 при n —> оо. При каждом п в силу равенств (1.6) и (1.7) имеем sin ( п + - ) t п ^ т-^- = - + V4 cos kt. о • ' 2 ^ 2 sin - 2 Отсюда получаем, что при всех п sin | п + х 1 < Jb=l in(n+-L w 2sm- При всяком целом fc > 0 имеем равенство sin И cos ktdt. I cos /rf di = = o, и, следовательно, мы получаем, что / Г--* 5 2sin2 Л = 1 2 для любого п. Отсюда вытекает, что * sin ( п + - ] t J ±-t t-dt = In-6n = ^-6n. (1.22)
202 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье При п -» оо имеем 6П -* 0. Произведя в интеграле в левой части равенства (1.22) замену переменной интегрирования по формуле 5>- п + — J i = ж, получим (п+1/2)х У ж " 2 о Sin Ж 7Г dx = -- — оп. При п -* оо левая часть полученного равенства стремится к пре- оо /sin ж dx. Правая часть равенства стремится к пределу, ж 7Г ° равному —. Из доказанного, очевидно, следует равенство (1.21). След- ствие 4 доказано. ▼ § 2. Общее понятие ортогональной системы функций В первом параграфе было отмечено свойство тригонометрических функций, называемое свойством ортогональности (см. равенства (1.15)). Оно существенно используется при определении ряда Фурье интегрируемой функции. Основной вопрос теории рядов Фурье — вопрос о сходимости этого ряда. В главе 12 были определены понятия поточечной и равномерной сходимости ряда. В общем случае поточечную сходимость ряда Фурье функции и тем более равномерную сходимость этого ряда к исходной функции можно гарантировать только в том случае, если функция удовлетворяет некоторым специальным условиям. Некоторые результаты такого рода будут далее приведены. Оказывается, что если выбрать тип сходимости должным образом, то ряд Фурье некоторой функции всегда будет сходиться к этой функции. Как будет показано в этом параграфе, если 2тг-периодическая функция f измерима и ее квадрат представляет собой функцию, интегрируемую по промежутку [—7г,7г], то ряд Фурье функции в некотором интегральном смысле (точно определенном далее) всегда сходится к этой функции. Совокупность всех функций, удовлетворяющих указанным условиям, представляет собой векторное пространство, которое является частным случаем так называемых гильбертовых пространств. В этом параграфе приводится определение общих понятий гильбертова пространства и ортогональной системы векторов в таком пространстве, а также устанавливаются некоторые простейшие их свойства. В частности,
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 203 вводится понятие полной ортогональной системы векторов в гильбертовом пространстве. Здесь доказывается, что для произвольной системы с интегрированием, счетной в бесконечности, множество измеримых функций, квадраты которых интегрируемы, представляет собой гильбертово пространство (теорема Рисса — Фишера). В заключительной части этого параграфа общие результаты, касающиеся произвольных гильбертовых пространств, прилагаются к исследованию тригонометрических рядов Фурье. 2.1. Понятие гильбертова пространства. Пространство Lo.CE) Введем сначала общее понятие гильбертова пространства. Пусть X есть произвольное векторное пространство над полем К. Будем говорить, что X есть предгильбертово пространство, если каждой паре векторов ж, у пространства X сопоставлено некоторое число (ж, у) таким образом, что выполнены следующие условия. HI. Функция (ж,|/)бХхХи (х,у) линейна по каждому аргументу, т. е. при всяком у Е X для любых £i,£2 € X и любых чисел ai,a2 G 1R имеет место равенство (агхг +а2х2,у) = ai(xby) + a2(x2ly> и для любого х Е X для любых 1/1, у2 € X и чисел /3i, /32 ЕК выполняется равенство Н2. Функция (ж, у) симметрична относительно х и у, т. е. для любых ж,2/бХ имеет место равенство (я, у) = (у, ж). НЗ. Для всякого х 6Х величина (#,ж) неотрицательна, причем (х,х) = 0 в том и только в том случае, если х = 0. Величина (ж, у) называется скалярным произведением векторов ж и у в предгильбертовом пространстве X. ■ Лемма 2.1. Пусть X есть предгильбертово пространство. Для произвольного вектора х € X положим ||ж|| = ^/(х,х). Тогда для любых векторов ж, у € X выполняется неравенство 1(«,»>1<11*Н1Ы1 42.1) (неравенство Коти — Буняковского). Функция х ь-> ||ж|| есть норма в пространстве X.
204 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Доказательство. В случае когда либо х = 0, либо у = 0 в силу линейности скалярного произведения по каждому из сомножителей, очевидно, (я, у) = 0. Тогда неравенство (2.1) выполняется. Будем далее предполагать, что х ф 0 и у ф 0. Для всякого t £ К, применяя условия HI и Н2, получим (х + ty,x + ty) = (х, х + ty) + t(y, x + ty) = = (x,x) +t(x,y) + t(y,x) + t2(y,y) = \\x\\2 +2t(xyy) + t2\\y\\2. Из условия НЗ следует, что (х + ty,x + ty) > 0 для любого < GK. Мы получаем, что квадратный трехчлен p(t) = ||ж||2 + 2t(x,y) + 22||у||2 неотрицателен для всех ^ G К. Отсюда, как известно из школьного курса алгебры, следует, что ((ж, у))2 < ||ж||2||г/||2 и, значит |(я,г/)| < < ||х||||г/||. Неравенство (2.1), таким образом, доказано. Теперь докажем, что функция N: х ь-> \\х\\ является нормой на векторном пространстве X. Для всякого числа a £ К и любого вектора х £ X в силу условия HI имеют место равенства (ax,ax) = а(ж,ах) = а2(ж,ж), т. е. мы получаем, что ||аж||2 = а2||х||2. Отсюда заключаем, что ||ах|| = |а|||х||. Это означает, что условие N1 определения нормы выполнено. Применяя еще раз условие HI, получим Ik + У\\2 = (х + у,х + у) = (ж, х) + 2(х, у) + (у, у). В силу неравенства (2.1) имеем (ж, у) < ||х||||г/||. В результате получим неравенство 1|х + у||2<1И|2 + 2|И||Ы| + |Ы|2. Отсюда вытекает, что 11* + у||<Ы1 + 1М|. Тем самым установлено, что функция х *-> \\х\\ удовлетворяет также и условию N2 определения нормы. В силу условия НЗ при х ф 0 имеем (ж, х) > 0. Значит, ||х|| > 0 для всякого вектора х ф 0. Таким образом, условие N3 определения нормы для функции N: х »-» ||х|| также выполняется. Лемма доказана. ■ Пусть X есть предгильбертово пространство. Тогда X является, как показано выше, нормированным векторным пространством.
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 205 Говорят, что X есть гильбертово пространство, если выполнено следующее условие. Н4. Пространство X является полным нормированным векторным пространством. Примером гильбертовых пространств является пространство Еп с обычным скалярным произведением. Приведем другие примеры. Пусть дана система с интегрированием £ = (М, *^",/). Будем предполагать, что эта система счетна в бесконечности. Последнее условие согласно определению, данному в §5 главы 12, означает, что существует последовательность функций (/„ G ^%eN такая, что при каждом х Е М имеет место равенство lim fv(x) = 1. I/—+OO Пусть /i есть мера в системе с интегрированием Е. Интеграл функции / будем обозначать символом / f(x)dfj,(x). м Далее Ж = ^#(Е) означает множество всех измеримых функций в системе с интегрированием Е. Над функциями, определенными на множестве М, мы будем производить операции, удовлетворяющие следующему условию. Если каждую из функций, над которыми производятся эти операции, заменить функцией, отличающейся от нее почти всюду, то в случае, когда результатом операций должно быть некоторое число, это число при заменах указанного рода остается неизменным. Если же результатом операции должна быть функция, то ее значения меняются лишь на множестве меры нуль в случае, если функции, из которых она получена, меняются на множестве меры нуль. Пусть даны измеримые функции /: М —> К и д: М —» К. Будем считать, что функция / эквивалентна д, и писать / ~ ду если f(x) = = д{х) почти всюду в М, т. е. множество тех х Е М, для которых /(я) ф д(х)у есть множество меры нуль. Отношение / ~ #, как показано в § 7 главы 13, рефлексивно, симметрично и транзитивно, так что употребление термина «эквивалентность» для этого отношения оправдано. Если /i ~ /2 и #1 ~ #2> то figi ~ /252, и для любых а,(3 eR имеем a/i +@9i ~ а/г + /3<72, так что обычные алгебраические операции удовлетворяют тому условию, что результат меняется лишь на множестве меры нуль, если изменить значения каждой из функций, над которыми выполняется данная операция на множестве меры нуль.
206 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Говорят, что функция /: М —» К интегрируема с квадратом, если она измерима и ее квадрат представляет собой интегрируемую функцию. Множество всех интегрируемых с квадратом функций в системе с интегрированием Е далее будем обозначать символом 1/2(2) или просто 1/2? опуская символ Е каждый раз, когда это не может привести к недоразумению. Для произвольной функции / G i/2(E) полагаем II/IIm£)=(/[/(*)NM*)) • (2.2) м ш Лемма 2.2. Если система, с интегрированием счетна в бесконечности, то произведение любых двух функций класса, L<i(E) есть интегрируемая функция. Любая линейная комбинация af + (3g функций f,g G //2(E) есть функция класса ./^(Е). • Доказательство. Пусть / G £2(2) и g G //2(E). Тогда функции /ид измеримы и, значит, в силу следствия 1 теоремы 5.12 главы 13 их произведение fg также есть измеримая функция. При каждом х G М имеем неравенство \f(x)g(x)\<\{[№)2 + [9(x)}2}- Функции [/(ж)]2 и [д(я)]2 интегрируемы. Отсюда вытекает, что интегрируема также и их полусумма, т. е. функция ВД = ^{№)]2 + №)?}■ Для всех х G М имеем \f(x)g(x)\ < h(x). В силу теоремы 5.3 главы 13 отсюда вытекает, что функция fg интегрируема. Пусть функции / и g принадлежат классу ^(Е), а а и /3 есть произвольные вещественные числа. Имеем [af + /3g]2 = a2/2 + 2a/3fg + (32g2. Функции /2 и д2 интегрируемы в силу того, что /ид принадлежат классу ^2(Е). Интегрируемость функции fg доказана выше. Мы получаем, что функция (а/ + (Зд)2 является линейной комбинацией трех интегрируемых функций и, следовательно, сама интегрируема.
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 207 Таким образом, линейная комбинация любых двух функций /,# G G ^2(2) всегда принадлежит классу 1/2(2) и, значит, Хг(2) есть векторное пространство. Лемма доказана. ■ Из леммы 2.2, в частности, вытекает, что множество функций £2(2) представляет собой векторное пространство. Для произвольных двух функций /,# G £2(2) полагаем (f,9) = J f(x)g(x)dfi(x). м Величина (/,5) называется скалярным произведением функций f и д. Из свойств интегралов, установленных в главе 13, очевидным образом следует, что скалярное произведение в 1/2(2) удовлетворяет условиям HI и Н2 определения предгильбертова пространства. Для всякой функции / G 1^2(2), очевидно, имеем </>/> = J[f(x)]2dfi(x)>0. м Знак равенства здесь имеет место в том и только в том случае, если f[x) = 0 для почти всех х G М. В дальнейшем две интегрируемые с квадратом функции, отличающиеся одна от другой лишь на множестве меры нуль, условимся рассматривать как один и тот же элемент пространства 1^(2). Формально элементы пространства 1/2(£) есть классы эквивалентных функций. С учетом этого соглашения мы можем считать, что условие НЗ определения гильбертова пространства для множества функций 1/2(S) также выполняется. ■ Теорема 2.1 (теорема Рисса — Фишера). Пусть Е = (М^у1) есть система с интегрированием, счетная в бесконечности. Множество функций 1^2(£) является гильбертовым пространством. Доказательство. Выполнение условий HI, H2 и НЗ установлено выше. Требуется доказать, что выполняется также условие Н4, т. е. что пространство функций 1/2(2) является полным пространством. Пусть (/i/)i/gn есть произвольная фундаментальная последовательность функций, принадлежащих ^(S)- Для всякого v G N и любого г G N пусть EVfr есть множество всех точек х G М, для которых [/„(ж)]2 > -=■. Так как функции /2 интегрируемы, то множество EVyT при любых v и г измеримо, причем его мера конечна.
208 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Пусть Мо есть объединение множеств £„>г, соответствующих значениям I/,г = 1,2, Тогда если х $. Мо, то х fi EUjr для любых v и г, и, следовательно, для каждой из функций /„ для данного х имеем |Л| < - Ддя всех г € N. Отсюда вытекает, что при всяком ^ функция /„ г обращается в нуль вне множества Мо. Множество Мо является объединением не более чем счетного семейства множеств, мера каждого из которых конечна. Занумеруем множества EVyT произвольным образом, и множество, которое при этом получит номер п, обозначим символом Еп. Пусть v\ < V2 < - • - < Vk < • • • есть последовательность номеров такая, что при каждом к для любого v > Uk выполняется неравенство ИЛ - ЛЛь2 < 2р Существование такой последовательности номеров вытекает из того, что последовательность функций (fv)i/eN является фундаментальной. Пусть Е — измеримое множество такое, что мера Е конечна. Индикатор хе множества есть функция класса ^(Е). Действительно, функция хе интегрируема и [хе(^)]2 = Хе(х) для всех х. Для всякой функции / Е 1/2(2) интеграл J f(x)dp(x) есть скалярное произведение Е функций /ихе,и, значит, для всякой функции / Е 1/2(£) имеет место неравенство / f(x) ёц(х) < ll/IU2HxslU2 = у/КЁ) Применяя это неравенство к функции / = |Л*+1 ~~ Л*|> получим, что при каждом к = 1,2,... выполняется неравенство \ик+Л*)-1»Л*)\Мх)<ЩР-- E Отсюда следует, что сумма оо f k=ijE конечна. В силу теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1 главы 13) отсюда вытекает, что для почти всех х Е Е сходится ряд El/,*+1(*)-/,*(*)!• (2-3) Jb=l
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 209 Множество Мо является объединением не более чем счетного множества измеримых множеств J5n, мера каждого из которых конечна. Пусть Нп есть множество тех х Е Еп, для которых ряд (2.3) является расходящимся. Тогда Нп есть множество меры нуль. Объединение множеств Нп обозначим через Но- Множество Но пренебрежимо, и для всякого х Е Мо \ Но ряд (2.3) является сходящимся. Отсюда вытекает, что для всякого х Е Мо, не принадлежащего Но, сходится ряд Л*0О + [/.*(*) - fM + • • • + [Л*0О - Л*-»] + ■ ■ ■ • Для этого ряда его fc-я частная сумма равна fVk{x). Следовательно, мы получаем, что для почти всех х € Мо существует конечный предел lim fVk{x). к—юо При ж ^ Мо этот предел также существует, так как функции /„ все обращаются в нуль для таких х. Таким образом, определена функция /: М —* Ш такая, что fvk(x) —» /(ж) для почти всех ж Е М. Докажем, что построенная функция / принадлежит классу 1/2(2) и последовательность (/,/)„eN сходится к ней в £г(Е), т. е. ||/„—/||l2 ~* 0 при I/ —» оо. Зададим произвольно е > О и найдем по нему номер й такой, что для любых i/ > й и и" > й выполняется неравенство 11Л'-Л»1из<|. Фиксируем произвольно значение i/ > v. Тогда для достаточно больших значений к выполняется неравенство м При к —► оо имеем fVk{x) —> /(ж) почти всюду. В силу теоремы Фату (теорема 4.3 главы 13) из последнего неравенства следует, что /[/*(*)-/(*)]а <*/*(*)<£• (2.4) м Отсюда следует, что функция /„ — / £ £г(£). Так как /„ £ £2(2), это позволяет заключить, что / = /„ — (/„ — /) £ ^2(S). Номер v >й был выбран произвольно. Мы получаем, таким образом, что для всех v >й имеет место неравенство II/„-/IIl2<!<£. В силу произвольности £ > 0 из доказанного следует, что ||/i/ — /IIL2 —* 0 при I/ —► оо, т. е. последовательность (/i/)i/gn сходится к функции / в £г(£). Теорема доказана. ■
210 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 2.2. Ортогональные системы векторов гильбертова пространства Пусть дано произвольное гильбертово пространство X, (ж, у) есть скалярное произведение в этом пространстве, ||х|| = <\/(х,х) — норма вектора х Е X. Говорят, что векторы х,у € X ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Ортогональной системой векторов пространства X называется всякая последовательность (х1/)1/^ векторов пространства X такая, что для любых двух различных номеров v\ и щ векторы xUl и х„2 ортогональны. Если при этом \\х„\\ = 1 при каждом i/, то говорят, что (хи), v = 1,2,..., есть ортонормальная система векторов. В качестве примера рассмотрим случай, когда X есть множество всех измеримых 27г-периодических функций, интегрируемых с квадратом на промежутке [—7г,7г]. Это множество функций далее обозначается символом £2([—тг,7г]). Скалярное произведение (/, #) двух функций /,# Е Z2Q—7г,тг]) есть интеграл / f(x)g(x)dx. — 7Г Как следует из теоремы 2.1, совокупность функций L2([—л*, 7г]) есть гильбертово пространство. Из равенств (1.15) из § 1 вытекает, что последовательность функций —, cos ж, sin ж, cos 2z, sin 2x, ..., cos их, sin их, ... является ортогональной в пространстве //2([—тг, 7г]. ■ Лемма 2.3. Пусть X есть гильбертово пространство и {ж1,ж2,...,жя} — конечная ортогональная система векторов из X такая, что \\х{\\ ф 0 при каждом i = 1,2,..., п. Тогда векторы Х{ линейно независимы. Если п х Е X есть линейная комбинация векторов £,-,£ = ]Г) А,а;;, то _ (ж, ж,) ' " IM2 (2.5)
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 211 при каждом i = 1,2,.. .,п и имеет место равенство (11-и)2=i: akii^id2=x: %#• (2.6) i=i t=i и**" Доказательство. Пусть функция х является линейной комбината цией векторов ж,-, г = 1,2,..., п, х = ^ А^,-, где Ai, А2,..., АЛ — веще- i=i ственные числа. При каждом j = 1,2,..., п имеем равенство та (я,я7) = ^jTXiix^Xj). 1=1 Так как векторы Х{ образуют ортогональную систему, то все слагаемые в последней сумме, для которых i ф j, обращаются в нуль и, следовательно, (x,xj) = \j(xj,xj) = \j(\\xj\\)2. Отсюда получаем, ( X X ') что А, = ' * , и равенство (2.5) тем самым доказано. (iFtll) та В частности получаем, что если ^ А,я,- = 0, то Xj = О для всех •=i j = 1,2,..., га. Это доказывает, что векторы ж,*, г = 1,2,..., п, линейно независимы. Пусть та Ж = у ^ Л{Х{. 1=1 Тогда, используя свойства скалярного произведения в X, получим (||x||)2 = (x,x> = f;f^At-Ai(xi->xi>. 1=1 i=i Слагаемые, для которых % ф j в двойной сумме, стоящей справа, все равны нулю. Имеем также (zt-,zt-) = (||я,||)2. В результате получаем 1И = Х>?|м2. i=i Таким образом, доказано первое из равенств (2.6). Подставляя в него выражение для коэффициентов А,, которое дается равенством (2.5), получим второе из этих равенств. Лемма доказана. ■
212 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье ш Теорема 2.2. Пусть (a;„)„GN есть ортогональная система, векторов в гильбертовом пространстве X. Тогда, если сумма, (2.7) конечна,, то ряд YLX» является сходящимся в X. Если X есть его сумма,, то i/=i imi2 = £iMP (2.8) 1/=1 Доказательство. Предположим, что последовательность векторов (a;„)„GN удовлетворяет условиям теоремы. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему номер к € N такой, что для любого m > к выполняется неравенство £>„ii2<£l=e2 1/=* Функции #*, zjb+ъ '"^m образуют ортогональную систему. Применим равенство (2.6) леммы 2.2, полагая в нем Ai = А2 = • • • = Aw = 1. Получим, что для всякого т> к Y,x» /=* * I Ё1Ы1а < V^i = е. Tax как e > 0 произвольно, то, следовательно, для ряда [s„]„gn выполняется условие Коти — Больцано сходимости ряда в пространстве X. Так как X есть полное пространство, то, значит, ряд [ж„]„ек является сходящимся в X. Пусть X есть его сумма. п Положим Хп = 53 xv Для п € N. Применяя равенство (2.6) к слу- чаю, когда к = 1, а т = га, получим, что М£1Ы2. При п —► оо имеем ||ХП|| —► ||Х||. В результате приходим к равенству \\Х\\2= lim ||Xn||2 = lim Х>„||2 = Х>„||2. 1/=1 1/=1 Отсюда следует (2.8). Теорема доказана.
§2. Общее понятие ортогональной системы функций 213 Рассмотрим вопрос о разложении векторов гильбертова пространства X в ряд по векторам, образующим некоторую ортогональную систему векторов. ■ Теорема 2.3. Пусть (xj,)»^ есть ортогональная система, векторов пространства, X, ж — произвольный вектор X. Предположим, что \\хи\\ ф О при ка,ждом v, и пусть А„ = |^. (2.9) Тогда, ряд [XvXvJvzn является сходящимся в X. При этом имеет место нера,венство lkll2>f>2JM2. (2.Ю) Если х есть сумма, ряда, [A,,^,,],,^, то вектор R = х — х ортогонален вектору хр при каждом v = 1,2, Замечание. Неравенство (2.10) называется неравенством Бесселя. Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы, и, в частности, числа А,, определены для вектора а; € X, как Л указано в формулировке теоремы. Положим Rn = х — Y1 А„ж„. Для каждого номера к такого, что 1 < к < га, имеем Л (Rn,xk) = (х,хк) ~^2К(х1„хк). (2.11) В силу ортогональности последовательности векторов (xu)u^ величина (хр, Xk) обращается в нуль при v фк. В сумме, стоящей в равенстве (2.11) справа, слагаемые, для которых v ф А:, обращаются в нуль. Мы получаем, что для всякого к = 1,2,..., га выполняется равенство (RnjXk) = (х,хк) - Ajb||a;jb||2. В силу (2.9) отсюда следует, что (Rn^Xk) = 0 для любого такого к. Таким образом, мы получаем, что векторы Ai^i, А2Ж2,..., Атажта и Rn образуют ортогональную систему. Применяя равенство (2.6) леммы 2.2 к этой системе векторов, получим
214 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Отсюда заключаем, что ||ж||2 > £ А?||я„||2 при каждом п и, следова- оо тельно, ]Г \*\\xv\\2 < \\х\\2. В силу теоремы 2.2 это позволяет заключи чить, что ряд [A„:e„]„gn сходится. Пусть хп есть n-я частная сумма этого ряда. Тогда при каждом п € N имеем Rn = х — хп. Возьмем произвольно номер v > 1. Имеем, очевидно, \(Ryxu)^(RnjxJ/)\ = \(R'-Rn}xJ/)\<\\R^Rn\\\\xt/\\. (2.12) При п -» оо имеем \\R — Rn\\ = ||£ — £я|| —*• 0. При га > i/, как доказано выше, имеет место равенство (Rn,xu) = 0. Из соотношения (2.12) поэтому следует, что (R,xu) = 0. Так как номер v € N был выбран произвольно, то тем самым теорема доказана. ■ Пусть (xI/)I/eN есть ортогональная система векторов пространства X такая, что xv ф О для всех v 6 N. Говорят, что ортогональная система (#„)„gn является полной в пространстве X, если всякий вектор z € X, ортогональный каждому из векторов ж„, равен нулю. ▼ Следствие. Если (a;„)„GN есть полная ортогональная система векторов, то для всякого вектора я € X имеет место равенство оо X = у ^ ЛрХр, где числа \р определяются из равенств (2.9). В этом случае имеет место равенство 1И12 = Х>*|Ы|2. (2.13) Замечание. Равенство (2.13) называется равенством Парсе- валя. Доказательство следствия. Согласно теореме 2.3 ряд [А^ж^^м является сходящимся в пространстве X. Если х есть его сумма, то в силу теоремы 2.3 разность z = х — х ортогональна каждому из векторов ж„. Так как {xv)u^^ есть полная ортогональная система векторов оо пространства X, то отсюда следует, что z = 0, т. е. х = ]Г) ^vxv Справедливость равенства (2.12) вытекает из теоремы 2.2. Следствие доказано. ▼
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 215 2.3. Полнота ортогональной тригонометрической системы функций Пусть /: R —► R — произвольная 27г-периодическая функция на множестве К. Предположим, что функция / измерима и ее квадрат есть интегрируемая функция. Совокупность всех таких функций / обозначим СИМВОЛОМ ^2([—7Г,7Г]). Для ПРОИЗВОЛЬНОЙ фуНКЦИИ / G ^2([—7Г,7Г]) полагаем 1/2 Li = [f(x)]2 dx Множество функций £2([—я">я"])> как было показано в п. 2.1, представляет собой гильбертово пространство. Скалярное произведение функций в этом пространстве определяется равенством 7Г (/,#) = / f(x)g(x)dx. Норма произвольной функции / G -/^([—я"?71"]) определяется равенством urn= v 7Г J\f{x)Ydx. Две функции / G ^2([—7г,7г]) и д G .L2Q—7г,7г]), совпадающие почти всюду, рассматриваются как один и тот же элемент пространства £2(НГ,7Г]). ■ Лемма 2.4. Для всякой функции / G ^2([—тг,7г]) существует последовательность тригонометрических полиномов (Pi/)„gn такая, что II/ - Pu\\l2 -+ 0 при v -> оо. Доказательство. Доказательство осуществляется в несколько шагов. На первом шаге мы строим ограниченную функцию, близкую К/В £2([-7Г,7г]). На втором шаге построения ограниченная интегрируемая функция приближается ступенчатой функцией, финитной относительно интервала ( —7Г,7Г). Далее, для построенной ступенчатой функции находится близкая к ней непрерывная функция, обращающаяся в нуль в точках — ж и 7г. Для полученной непрерывной функции — по теореме Вейерштрас- са для периодических функций (глава 12, теорема 7.3) — существует
216 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье близкий к ней тригонометрический полином. Этот полином и является искомым. Пусть /: R —► R есть произвольная функция класса L2([—тг,7г]). Для всякого v предполагается построить некоторый тригонометрический полином Pv. Зададим произвольно число u E N. Пусть дано число N € N. Обозначим символом Un непрерывную функцию, определенную условиями UN(y) = { N при y>N; у при — N < у < N; -N при у < -N. График функции U^(y) представлен на рис. 1. Рис. 1 Функция Un непрерывна, причем для любых у\, y<i € К имеем неравенство \UN(yi) - UN(y2)\ < \уг - у2|. Эта функция ограничена, |{7лг(у)| < N для всех у € R, и такова, что \у — им(у)\ < М> каково бы ни было у € Ш. Наконец, заметим, что Un(v) -» У при N —► оо для любого у € R. Если функция F: R -» R измерима, то функция F;v = ?7дг ° -F является измеримой и ограниченной. Функция /, заданная выше, может оказаться неограниченной. Рассмотрим функцию /n = Un ° /• Эта функция уже будет ограниченной. Имеем [/(*) - Мх)]2 < [/(х)]2.
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 217 При N —► сю величина [f(x) — /лг(я)]2 стремится к нулю для всех х € К. В силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (глава 13, следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что J[f(x)-fN(x)]2dx^0 при N —► оо и, значит, ||/ — /jv||l2 ~~* О ПРИ N —> оо. Фиксируем произвольно значение ЛГ такое, что ||/ — /tv|U2 <2_i/~2. (Напомним, что 1/ есть номер того члена последовательности полиномов, который мы собираемся построить.) Соответствующую функцию fpj = C/^v ° / далее будем обозначать символом и. Функция и определена и интегрируема на промежутке [—7г,7г]. В частности, она определена и интегрируема на открытом промежутке (—7г,7г). В силу леммы 8.2 главы 13 найдется последовательность (/n)n€N ступенчатых функций, финитных относительно интервала (-г-7г,тг), такая, что ||/я - u\\Ll^^) < —. При п — оо имеем }п{х) -> —► и(х) для почти всех х (Е (—7г,7г). Тогда при п —► оо также и ЕМ/п(я)] -» #лг[г*(ж)] = и(ж) для почти всех х Е (—7г,7г). Функция Uisr[fn(x)], очевидно, является ступенчатой и финитной относительно промежутка (—7г,7г). Отсюда следует, что \Uisr[fn(x)] — и(х)\2 —» 0 для почти всех ж. При каждом п выполняется неравенство IM/»W]-^)P<4iV2. Так как функция, постоянная на промежутке [—7г, 7г], интегрируема по этому промежутку, то в силу теоремы Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3 главы 13) J\UN[fn(x)]-u(x)\2dx->0 при п —► оо. Отсюда следует, что найдется номер по такой, что выполняется неравенство \\Upj о /Яо — гх||^2 < 2""и"2. Положим U№fn0 = v. Функция v ступенчатая. По построению она финитна относительно интервала (—7г,7г). Это означает, что найдется число 6 > О такое, что в каждом из интервалов (—7г, — ж + S) и (7г — б, 7г),
218 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье примыкающих к концам промежутка (—7г,7г), функция v обращается в нуль. Функция v интегрируема в смысле Ньютона. Она имеет конечное число точек разрыва. Пусть Ф есть первообразная функции v в промежутке [—7г,7г]. Функция Ф непрерывна. Положим _ Ф(х + к)-Ф(х) Vh{x) = - . Функция Vh непрерывна и при 0 < h < 6 обращается в нуль в каждой из точек —7г и 7г. При h —» О имеем Vh(x) —* v(x) всюду в [—7г,7г], кроме точек некоторого конечного множества, т. е. почти всюду в промежутке [—7г, 7г]. Так как функция v ступенчатая, то она является ограниченной. Если \v(x)\ < L = const < оо, то также и |г>/Дж)| < L для всех h. Применяя теорему Лебега о предельном переходе, заключаем, что \\vh — v\\l2 —► 0 при h —> 0. Выберем произвольно значение h такое, что 0 < h < 6 и 1кл ~ v\\l2 < 2_I/~2. Положим w = Vh. Функция w непрерывна и обращается в нуль в точках — ж и ж. Продолжим ее на всю числовую прямую R так, чтобы получить непрерывную функцию с периодом 27Г. Так как значения функции w в концах промежутка [—7г,7г] совпадают, такое продолжение функции w, очевидно, существует. В силу теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами для всякого е > 0 найдется тригонометрический полином Р такой, что \ю(х) — Р(х)\ < е для всех х Е [—7г,7г]. Для этого полинома Р имеем ||«; - Р||Ьа < VfcFe. Пусть Рр — тригонометрический полином Р, отвечающий значению е = --L г-"-2. Тогда ||w - P„||l2 < 2-"-2. у27г Теперь доказательство легко завершается. Применяя неравенство ломаной (глава 9, п. 1.1.1), получим, что ll/-^IU3<ll/-«IUa + ||tt-t;||L3+ + h - 4Ua + II™ - Р„||£з < 4 • 2-""2 = 2^. Полагая i/ = 1,2,..., получим последовательность тригонометрических полиномов, удовлетворяющую всем требуемым условиям. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 2.4. Последовательность функций I -, cos ж, sin ж,..., cos tie, sinnx,... J (2.14) есть полная ортогональная система функций в гильбертовом пространстве Ь2([—7Г,к]).
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 219 Замечание. Последовательность функций (2.14) называется тригонометрической ортогональной системой функций на промежутке [—7Г,7Г]. Доказательство теоремы. Пусть функция / Е ^г([—я",7г]) ортогональна к любой из функций последовательности (2.14). Требуется доказать, что тогда функция / является нулевым элементом пространства ^2([—7Г,7Г]). Согласно предположению, для всякой функции у>, являющейся членом последовательности (2.14), выполняется равенство (/,¥>) = 0. В силу свойства линейности скалярного произведения последнее равенство, очевидно, выполняется также и в случае, если ip есть линейная комбинация функций последовательности (2.14). Это означает, что функция / ортогональна любому тригонометрическому полиному Т. Согласно лемме 2.4 найдется последовательность тригонометрических полиномов (Tn)neN такая, что ||/ — Гта||^2 —► 0 при п —► оо. При каждом п имеем II/ - Г.Ц1, = (f-Tn,f- Г.) = ||/||12 - 2(/,Гп> + ||T.||i3. Величина (/,Тп) равна нулю, и мы, следовательно, получаем II/ - Г-Н!, = ll/lli, + lir-lli,- Отсюда H/Hjr, < ||/ — Tn\\\ , и так как правая часть этого неравенства стремится к нулю при п —» оо, то, значит, ||/||z,2 = 0 и, следовательно, функция / является нулевым элементом пространства L2Q—тг, 7г]). Теорема доказана. ■ ▼ Следствие. Пусть f есть функция класса l^Q-"71"? я*]). В этом случае ряд Фурье оо — + /J(an cos nx + bn sin nx) (2.15) 2 n=i функции f сходится к ней в Z^Q—тт?71"])? т. е. если оо Тп(х) = — + 2Z(а™cosmx + ^m s*nтж) 2 m=l есть n-я частная сумма ряда (2.15), то ||/ - Тп\\ь2 —► 0 при п —► оо. При этом справедливо равенство 7Г / [f(x)]2dx = ir <*о + £(<*+*) n=l (2.16) Данное предложение есть частный случай следствия теоремы 2.3, когда X = L2Q—7г?тг]), а в качестве ортогональной системы функций в X берется последовательность (2.15). Равенство (2.16) есть частный случай равенства Парсеваля (2.13). ▼ Равенство (2.16) будем называть равенством Парсеваля для тригонометрической ортогональной системы функций.
220 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 2.4. Примеры ортогональных систем функций 2.4.1. Пусть даны промежуток J = (а, Ь) С Ш и измеримая функция w: J —» 1R такая, что i(;(a;) > 0 для всех х G */. Символом -^(«Л будем обозначать множество всех измеримых функций /: (а, 6) —» IR, для которых функция [/(#)]2 интегрируема. Пусть L2(J)iv) есть совокупность всех измеримых функций, определенных в промежутке J и таких, что б / [f(x)]2w(x)dx < оо. а Для любых двух функций /,# G L2(J,w) в силу неравенства 2|/(хМ*)| < [/(х)]2 + [g{x)f конечен интеграл 1 (fi9)w = / f(x)g(x)w(x)dx. -i Величину {f,g)w будем называть скалярным произведением функций f,g G L2(J,'w). Все условия, которым должно удовлетворять скалярное произведение в предгильбертовом пространстве в данном случае, как нетрудно видеть, выполняются. Таким образом, множество .^(J, ги), представляет собой предгильбертово пространство. Функция w(x) называется весовой функцией пространства ^(J, ги). Пространство jC2(^>w) полное и, значит, является гильбертовым пространством. Действительно, для произвольной функции /G £2 («7, w) положим f(x) = f(x)y/w(x). Тогда функция / измерима и ее квадрат есть интегрируемая по промежутку (а,Ь) функция. f Обратно, если / G £2( J), то функция g = —= принадлежит клас- yJVJ су L2(J,w). Таким образом, сопоставляя функции / G ^(«Д™) функцию / = = /\Ау, получаем биективное отображение пространства L2(J^w) на пространство L2(J)* При этом имеет место равенство H/IUaU.tiO = ll/IU2(J)-
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 221 Пространство £2(«Л согласно теореме Pucca — Фишера полно. Отсюда, очевидно, следует, что L,2(J,w) также есть полное пространство. Предположим, что функции Fny n = 0,1,2,..., образуют ортогональную (ортонормальную) систему векторов гильбертова пространства L2(J,w). В этом случае будем также говорить, что Fn, n = = 0,1,2,..., есть последовательность функций, ортогональная (соответственно, ортонормалъная) на промежутке (а,Ь) относительно веса ю(х). Особый интерес представляет тот случай, когда функции, образующие ортогональную систему, являются полиномами. Предположим, что весовая функция w пространства L2(J,w) такова, что б J xnw(x)dx < 00 (2.17) а для всех целых п > 0. Тогда для всякого полинома Р(х) функция P{x)w(x) интегрируема в смысле Лебега по промежутку (а, Ь). Так как квадрат полинома также является полиномом, то мы получаем, что если весовая функция w{x) такова, что выполнены условия (2.17), то всякий полином Р{х) принадлежит пространству L2(J,w). Последовательность полиномов (ггп)п>о, образующая ортогональную систему функций в пространстве L^J^w), строится с помощью так называемого процесса ортогонализации. Опишем этот процесс. Пусть щ{х) = 1. Предположим, что для некоторого целого п > 0 определены полиномы иъ{х),щ(х),... ,ггп(ж), причем (u^Uj) = 0 при *# j\ hi = 0,1,2,...,п. Функцию un+i(x) определим следующим образом. Полагаем п un+i(x) = xn+1 - ]Р akuk{x), Jb=0 где постоянные а, находятся из условия (un+i,Ui)w = 0 для всякого г = 0,1,2,..., п. Для сокращения записи положим еп+\{х) = хп+1. Подставляя в скалярное произведение (tzn+i,tzt) выражение функции г/п+1 через функции £n+1 и функции гг*, где 0 < А: < п, получим равенства (en+i,uk)w - OLk(uk,uk)w = 0. Отсюда заключаем, что коэффициенты о^ выражаются равенствами (en+lyuk)w OLk = -7 г—.
222 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Таким образом, мы получили средство для построения по индукции последовательности полиномов (цп)та>п, образующей ортогональную систему функций в пространстве Lo.(J4w). Возникает вопрос: будет ли ортогональная система функций, построенная описанным здесь способом, полной в пространстве ^(«Л^)? В каждом конкретном случае этот вопрос должен исследоваться специально. 2.4.2. Рассмотрим промежуток ( — 1,1) в множестве Ш. Для целого п > О для х Е [—1,1] положим Tn(x) = cos(narccosa:). Имеем, очевидно, То(х) = 1 и Ti(x) = х. При каждом п > 1 будет иметь место следующее тождество: cos(n + 1)у + cos(n — \)у = 2 cos у cos ny. Полагая в этом равенстве у = arccos я, получим Tn+1(x) + Tn.i(a:) = 2жТп(ж). Отсюда вытекает соотношение, позволяющее последовательно находить функции Тп: Гп+1(х) = 2хГп(х) - Гп.!(я:). (2.18) Применяя соотношение (2.18), получаем, в частности, равенства Т2(х) = 2х2 - 1, Тз(я?) = 4z3 - 3z, Т4(ж) = 8х* - 8х2 + 1. Из соотношения (2.10) по индукции следует, что при каждом п функция Тп представляет собой полином степени п. Коэффициент при хп в этом полиноме равен 271"1. Таким образом, нами определена некоторая последовательность полиномов Tn, n = 0,1,2, Полиномы Тп называются полиномами Чебышёва. Для любых целых n, m > 0, как показано в § 1, выполняются равенства /Г 7г при п = тп, cos ny cos my dy — \ \ 0 при пф т. с Так как подынтегральная функция здесь четна, то интеграл по промежутку [—7г,7г] равен удвоенному интегралу подынтегральной функции по промежутку [0,7г]. В результате получаем 7Г / {f7F — при п = га, 2 0 при пф т.
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 223 В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования, полагая у = arccos x. В результате получим / Tn{x)Tm{x) dx=( 2 ПрИ П = Ш' -1 V 1 — £ [о при пф т. Следовательно, мы получаем, что полиномы Tn, n = 0,1,2,..., образуют систему функций, ортогональную на промежутке [—1,1] относительно веса ti7r(a:)= ; 1 . (2.19) Покажем, что ортогональная система функций Tn, n = 0,1,2,..., является полной в пространстве /^(J, wt)- (Здесь мы полагаем j = (-i,i).) Пусть функция / € L2(J)Wt) такова, что для всякого целого п > 0 выполняется равенство -1 Полагая в этом интеграле х = cos у, получим, что для всякого целого п > 0 выполняется равенство 7Г / /(cos у) cos ny dy = 0. Функция у ь-> /(cosy) интегрируема с квадратом на промежутке [0,7г]. Эта функция четна, откуда следует, что / /(cos у) cos ny dy = 2 / /(cos у) cos ny dy = 0, -x 0 / /(cos y) sin ny dy = 0. В силу полноты тригонометрической системы функций из доказанного вытекает, что /(cosy) = 0 для почти всех у £ [0,7г] и, значит, /(ж) = 0 почти всюду на промежутке (—1,1).
224 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Таким образом, мы получаем, что / есть нулевой элемент пространства L2(J,wt)- Тем самым доказано, что последовательность полиномов Чебышёва представляет собой полную ортогональную систему функций в этом пространстве. Полиномы Чебышёва обладают также и многими другими свойствами. Они находят разнообразные применения в вычислительной математике. 2.4.3. Снова положим J — (—1,1). Определим последовательность функций Рп(^)> полагая Ро(х) = 1, и для п > 1 пусть 1 Нп Рп(х)= / , ~ (Х2-1)П. пК } 2nn\dxnK } Функция х »-> (х2 — 1)п представляет собой полином степени 2п. При дифференцировании полинома его степень понижается на единицу. Отсюда следует, что если полином степени 2п продифференцировать п раз, то в результате будет получен некоторый полином степени п. Функция Рп в силу сказанного является полиномом степени п. Полиномы Рп называются полиномами Лежандра. Заметим также, что если к < п, то производная d (x2-l)n dxk есть полином степени 2п —А;, делящийся на (х2 — 1)п к. Действительно, имеем 4-(х2-1)п = 2пх(х2-1)п-\ ах Пусть к + 1 < п. Докажем, что если к < п, то имеет место равенство ^(х2 - 1)* = (х2 - 1Г-*<?„,*(*), (2.20) где Qn,k — полином степени к. Предположим, что для некоторого к это доказано. Дифференцируя соотношение (2.20), получим j^(x2 - 1)" = (*2 - 1Г"*-1 [2(п - k)xQn,k(x) + (х2 - 1)<?U*)] • Множитель при (х2 — l)71-*-1 B правой части этого равенства представляет собой полином степени к +1. Индукция по к позволяет заключить, что равенство (2.20) верно для любых натуральных кип таких, что к < п.
§ 2. Общее понятие ортогональной системы функций 225 Пусть п > 0 и тп> О — целые числа. Рассмотрим интеграл 1 / Простоты ради будем считать, что n> m. (Этого, очевидно, можно достичь, меняя обозначения.) Воспользуемся формулой кратного интегрирования по частям. Пусть функции и и v определены на промежутке [а,Ь] С Ми имеют там все производные порядка, не превосходящего п, причем все эти производные непрерывны на [а,Ь]. Тогда имеет место равенство б I uM(x)v(x)dx = а = ^(-l)*^""*^)^*-1^) + (-1)" / u(x)v(n\x) dx. l_i \x=a ** K—1 a d™ Положим здесь а = —1, u(x) = (x2 — l)n и v{x) = (x2 — l)m. dxm Все производные порядка k < n функции (x2 — l)n, как следует из сказанного выше, обращаются в нуль в точках х = — 1 и ж = 1. Отсюда вытекает, что сумма, стоящая в правой части равенства (2.22) перед интегралом, равна нулю. Если п> т% то '/£_(,. _1Гио. dxn \dxmK J J / Отсюда вытекает, что при п > т правая часть равенства (2.21) равна нулю. Из доказанного, в частности, следует, что при пФ т получим 1 Pn(x)Pm(x)dx = 0. -1 Таким образом, установлено, что полиномы Лежандра образуют систему функций, ортогональную на промежутке (—1,1) относительно веса ю(х) = 1. Эта ортогональная система является полной в пространстве L,2([—1,1]). Справедливость данного утверждения устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были проделаны выше при доказательстве полноты тригонометрической ортогональной системы функций, и мы их опускаем. Ключевая роль в доказательстве полноты ортогональной системы полиномов Рп(ж), п = 0,1,2,..., принадлежит теореме Вейерштрасса о приближении непрерывной функции полиномами.
226 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье § 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке В параграфе 2 было доказано, что если функция, интегрируемая на промежутке [—7Г,7г], интегрируема в квадрате на этом промежутке, то ее ряд Фурье сходится к ней в Z,2([—7Г, 7г]). Для функциональных рядов ранее были определены также и некоторые другие типы сходимости, а именно, поточечная сходимость и равномерная сходимость. Известно большое число теорем, устанавливающих условия, выполнение которых для какой-либо функции позволяет заключить, что ее ряд Фурье сходится к этой функции поточечно. Следует сказать, что непрерывность функции, вообще говоря, не гарантирует поточечную сходимость к этой функции ее ряда Фурье. Существуют примеры непрерывных функций, для которых ряд Фурье в отдельных точках является расходящимся. Таких точек может быть бесконечно много. Существование примеров указанного рода следует из общих принципов, излагаемых в курсе функционального анализа, и является следствием того факта, что при п —► оо интеграл [ \Dn{t)\dt, о где Dn(t) есть тригонометрический полином, определенный в параграфе 1 равенством (1.6), стремится к оо. С другой стороны, существуют разрывные функции, у которых ряд Фурье поточечно сходится для всех х Е R. (В этом случае сходимость, естественно, не является равномерной.) Мы приведем здесь некоторые простейшие утверждения о поточечной сходимости рядов Фурье функции. Ряд Фурье определен для всякой 2тг-периодической функции, интегрируемой в промежутке [—7г,7г]. В 1930 г. А. Н. Колмогоровым был построен пример интегрируемой функции, у которой ряд Фурье является расходящимся в каждой точке х Е Ш. В 1966 г. Л. Карлесон доказал, что для всякой функции f класса i^2([—7Г,7г]) ряд Фурье функции f сходится к ней ПОЧТИ ВСЮДУ В [— 7Г, 7Г]. Свойство ряда Фурье функции сходиться к ней в некоторой точке имеет локальный характер — оно определяется только строением функции в малой окрестности данной точки. Здесь будет установлено также достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье периодической функции, которое получается уточнением условий теоремы о поточечной сходимости.
§ 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 227 3.1. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье Пусть /: К —► Ш есть 27г-периодическая функция. Будем говорить, что функция / удовлетворяет условию Дини в точке aiGl, если существует 6 > О такое, что функция 4>x\J>) = (3.1) интегрируема в промежутке [0,<$). Если / интегрируема на всяком отрезке [а,Ь], где а и Ъ конечны, то на любом отрезке [р, q], где 0 < р < < q < оо, функция f(x + t) — 2f(x) + f(x — t) интегрируема, функция - ограничена и непрерывна. Отсюда следует, что на всяком таком промежутке [р, q] функция <£>х(0> определенная равенством (3.1), интегрируема. Заключаем, что если / интегрируема на всяком ограниченном промежутке [а,Ь] и удовлетворяет условию Дини в точке х, то функция (px(t)y определенная равенством (3.1), будет интегрируема на промежутке [0, q] для любого q такого, что 0 < q < оо. Приведем примеры функций, удовлетворяющих условию Дини. Если функция /: Ш —* С непрерывна и удовлетворяет условию Гёлъдера с показателем а, где 0 < а < 1 (глава 2), т. е. существуют постоянные L < оо и г) > О такие, что если \х2 — #i| < ??, то выполняется неравенство \f(x2)-f(x1)\<L\x2-xi\a. Отсюда следует, что в данном случае функция <px(t), определенная равенством (3.1), непрерывна в промежутке (0, г/), причем выполняется неравенство \yx{t)\<2Lta-\ Это позволяет заключить, что функция <px(i) интегрируема по промежутку [0,7/]. Если функция / интегрируема и дифференцируема в точке xGl, то / удовлетворяет условию Дини в точке х. Действительно, в этом случае ,„ (Л f(x + t)-f(x) f(x-t)-f(x) при t —» 0. Отсюда ясно, что функция ipx(t) ограничена в промежутке [0,й] для достаточно малых значений 6 и, значит, интегрируема в этом промежутке. Условию Дини могут удовлетворять некоторые разрывные функции. Пусть х есть точка разрыва функции /. Будем говорить, что /
228 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье имеет в точке х правильный разрыв, если х есть точка разрыва первого рода функции f (т. е. / имеет в точке х конечные пределы слева и справа) и выполняется равенство /( = /(s-0) + /Qc + 0) Предположим, что в точке х функция / имеет правильный разрыв и существует 8 > О такое, что функция / дифференцируема в каждом из интервалов (х — <5, х) и (я, х + <5), причем ее производная ограничена, \ff(t)\ < L для всех t £ (х — <$, х) U (х,х + 8). Тогда, как следует из теоремы Лагранжа о среднем значении (см. главу 4), для всякого t E [0,8] выполняются неравенства \f(x + t) - f(x + 0)| < Lt, \f(x - i) - Я* ~ 0)| < it. Отсюда следует, что функция /(ж + t) - 2/(я) + /(ж - i) _ ¥>.(<) f(x + t)-f{x + 0) { /(»-<)-/(g-0) непрерывна и ограничена в промежутке (0,<$) и, следовательно, интегрируема в промежутке [0,6]. ш Лемма 3.1. Пусть /: R —*■ С есть интегрируемая в промежутке [—7Г, 7г] 2п-периодическая функция и 5П(/; ж) есть значение n-й частной суммы ряда Фурье функции f в точке х. Тогда имеет место равенство 1С Sn(f; х) - /(*) = ±- J[f(x + t)- 2f(x) + f(x - t)}Dn(t) dt. (3.2) 0 Доказательство. Выражение для n-й частной суммы ряда Фурье функции / в точке х преобразуем следующим образом. Имеем Sn(M= £ ckeikx. k=—n Согласно определению коэффициентов ряда Фурье ск = ± J f(u)e-ik«du
§ 3. Основные теоремы о сходимости ряда, Фурье в точке 229 для всякого целого к. Отсюда получаем, что т. е. 7Г Sn(f] x) = -L / f(u)Dn(x - u) А*, (3.3) где Dn(u) = ]Г егки. Преобразуем правую часть равенства (3.3). Имеем Sn(f;xj= — / f(u)Dn(x-u)du. Произведем в интеграле справа замену переменной интегрирования, полагая и — х = t. В результате, принимая во внимание, что Dn(t) = Dn(-t), получим 7Г —Ж Л. Функция /(ж + 2)2}п(2) переменной t имеет период, равный 27Г, и в силу леммы 1.1 отсюда следует, что последний интеграл не изменится, если пределы интегрирования в нем заменить на —7Г и яг, т. е. Sn(f;*)= ^ J f(x + t)Dn(t)dt. Интеграл справа представим как сумму интегралов по промежуткам [—7г,0] и [0,7г]. Имеем U 7Г Sn(f\ х) = ^ J f{x + t)Dn(t) dt+^Jf(x + О А»0О dt. В первом из этих интегралов произведем замену переменной интегрирования, полагая t = —и. После изменения обозначений получим 1С ТГ Sn(f; х) = 2. J f(x - t)Dn(t) Л + 2- У" /(х + t)Du(t) dt,
230 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье откуда, Sn(f; х)=^ J [К* - 0 + А* + 0] АЛО dt. (3.4) о Функция F(x) = 1 является тригонометрическим полиномом нулевой степенщ и, значит, для нее 5П(/; ж) = 1 для всех п > 0. Полагая в равенстве (3.4) /(ж) = 1, отсюда заключаем, что при любом п > 0 выполняется равенство l = ±-J2Dn(t)dt. о Умножал обе части этого равенства на f(x) и вычитая результат почленно из (3.4), получим (3.2). Лемма доказана. ■ Основное утверждение о поточечной сходимости ряда Фурье функции, которое мы приводим, заключается в следующей теореме. ■ Теорема 3.1 (теорема Дини о сходимости ряда Фурье в точке). Пусть /: К —> С есть 2тт-периодическая функция, интегрируемая по промежутку [—7Г,7г]. Тогда если функция f удовлетворяет условию Дини в точке х Е К, то ее ряд Фурье сходится в точке х и сумма его равна f(x). Доказательство. Пусть Sn(f\x) есть n-я частная сумма ряда Фурье функции / в точке х. Тогда согласно формуле (3.2) будем иметь 1 } sin(n+M* S»(/;x)-/(x)=— / [/(* + *)-2/0О+ /(*-*)] Ч t dt- о sin2 Для сокращения записи положим (p(t) = f(x +1) — 2f(x) + f(x — t). Как следует из леммы 1.1, функция / интегрируема на любом ограниченном промежутке [а,Ь], откуда следует, что функция tp интегрируема на промежутке [0,7г]. Так как по условию функция / удовлетво- <p(t) ряет условию Дини в точке х, то для некоторого 6 > 0 функция ъ интегрируема по промежутку [0,6]. Отсюда следует, что она интегрируема также и по промежутку [0,7г]. Имеем ¥>(0 _ ¥>(*) i . t t . t sm - sm -
§ 3. Основные теоремы о сходимости ряда, Фурье в точке 231 Функция т- непрерывна и ограничена на промежутке (0,7г], от- sin - 2 куда следует, что функция j- интегрируема на отрезке [0, тг]. В силу sin - 2 равенства (3.2) имеем тг SnU\ *) - /(*) = ^ / Щ-™ (n + 0 * Л. о sin2 На основании следствия 1 теоремы Римана — Лебега (теорема 1.1 этой главы) интеграл справа стремится к нулю при п —> оо, т. е. Sn(f] х) ~ /(я) —» 0 для данного х при п —> оо. Теорема доказана. ■ Следующая теорема позволяет установить, что свойство ряда Фурье функции / сходиться к /(х) в точке х G R, имеет локальный характер: оно полностью определяется строением функции / в малой окрестности точки х. ■ Теорема 3.2 (принцип локальности теории рядов Фурье). Пусть /: R —» С я #: Е —> С есть 2тт-периодические функции, интегрируемые по промежутку [—7г,7г]. Предположим, что для некоторой точки хо G G Ш существует е такое, что 0 < е < тг и функции /ид совпадают на множестве |х — хо| < е. Тогда если для функции / ее ряд Фурье в точке хо сходится и его сумма равна /(хо), то ряд Фурье функции g также сходится в точке хо и его сумма равна д(хо) = /(х0). Доказательство. Предположим, что функции / и д удовлетворяют условию теоремы. Положим F{t) = /(х0 +1) - 2/(х0) + /(х0 - t), G{t) = g(x0 +t)- 2g(x0) + д(х0 - t). Функции F и G интегрируемы по промежутку [0,7г], и из условия теоремы следует, что F(t) = G(t) для всех t G [0,е]. Пусть 5Л(/;хо) и 5л(^;хо) есть значения для х = хо частных сумм с номером п рядов Фурье функций / и g соответственно. Тогда, как следует из формулы (3.2), имеют место равенства . , 1\ ж sin п + - ) t Su(f;x0)-f(x0) = ±-jF(t)—\ t2j dt, 7Г Sn(g; xq) - g(x0) = — / G(t) sin — 2 sin ( n + - ) t . T~ sm — 2 dt.
232 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Отсюда получаем [S„(/; х0) - f(x0)] - [Sn{g; x0) - g(x0)) = sin ( n + - ) t = hi[m ~ G{t)] . t dt sm2 Так как F(t) — G(t) = 0 при 0 < t < e, то последний интеграл не изменится, если в качестве области интегрирования взять промежуток [е,7г], т. е. имеет место равенство [S„(f; х0) - /(х0)] - [Sn(g; х0) - д(х0)] = * F{t)-G{t)_.( , 1 2тг У sin - 2 j-^sm (n+]-)tdt. (3.5) Функция з- в промежутке [е, 7г] ограничена и непрерывна, и, сле- sin - Fjt) - G(t) довательно, функция 1 интегрируема в промежутке [£,7rJ. sin — 2 На основании следствия 2 теоремы Римана — Лебега (теорема 1.1 этой главы) интеграл в правой части равенства (3.5) стремится к нулю при п->оои, значит, [SnU\ хо) - f(xo)] - [Sn(g] xo) - д(х0)] -» О при п —» оо. Отсюда следует, что если Sn(f; ^о) —/(#о) —* 0 при п —» оо, то 5П(^; хо) — #(#о) —* 0 при п —» оо. Теорема доказана. ■ 3.2. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье Пусть /: К —» С есть 27г-периодическая функция. Будем говорить, что / равномерно удовлетворяет условию Дини (см. выше), если для всякого е > 0 можно указать значение 6 > О такое, что ?l/(x + 0-2/(x) + /(x-Ql dt < e для любого х £ [—7г,7г].
§ 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 233 ■ Лемма 3.2. Пусть функции (/?: А ~> Ея^: А -» R, где А С К, ограничены и равномерно непрерывны, L\ = |MU«>(a)> L2 = IMUoo(A) и lo\ и u>2 есть модули непрерывности функций (риф соответственно. Тогда произведение (рф равномерно непрерывно и имеет модуль непрерывности Ш = L2Ui + L\U2. Доказательство. Возьмем произвольно £1,2:2 € А. Тогда получим ^(siM^l) ~ (р(х2Щх2)\ < < \[<P(*l) ~ <Р(*2)]ФЫ\ + \(р(х2)[ф(х1) - Ф(Х2)]\ < < L2U1(\X1 - Х2\) + ii^dXi - Х2\) = Ы(|Х! ~ Х2|), и тем самым лемма доказана. ■ ■ Лемма 3.3. Пусть даны промежуток [a,b] С К я непрерывная функция /: [а,Ь] —> R. Предположим, что |/(х)| < М < 00 для всех х £ [а, Ь] я а; есть модуль непрерывности функции /. Тогда при всяком _ _ 7Г А > До = т выполняется неравенство о — a о / /(х) sin Ах dx Л^ТГ 1 /t ч /7Г\ <—+ -(6-а)а,(х). (3.6) Доказательство. Положим о F(X)= f f(x)sin\xdx. (3.7) а 7Г Пусть А0 = . Предположим, что А > А0. В интеграле, которым о — a представляется функция ^(А), произведем замену переменной интегри- 7Г рования по формуле х = t + —. Получим л Ь-чг/А F(A) = / / (« + ~) sin(A* + 7г) dt. Отсюда а—тг/А F(A) = - f f(x+^) sin(Ax) cte. (3.8) а—тг/А
234 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 7Г 7Г Из условия А > А0 следует, что b—a > — и, значит, b——>a. Используя Л Л исходное выражение для F(\), получим Ъ-к/Х Ь F(\)= J f(x)sm\xdx+ J f(x)sm\xdx. (3.9) a 6-7Г/Л Применяя представление (3.8) для функции .F(A), получим а Ъ—ic/X F(\) = - / f(x + у) sin Ax dx- / f (x+^)smXxdx. (3.10) a—ir/X a Складывая равенства (3.9) и (3.10) почленно, получим a 2F(X) = - J f (x + J) sin Xx dx + a — ir/X Ь-тг/Х b + / \f(x) — f(x + --)\sm\xdx-\- / f(x)sm\x dx. (3.11) a b-n/X Из (3.11) следует, что если А > А0, то выполняются неравенства a 2\F(X)\< J \f(x + l) dx + i \ л/i a—tt/X b-ir/X / 7Г \ I t .- . ,\dX' Ь—ТГ/А Отсюда О —7Г/Л О + J \f(x)-f(x+j)\dx+ J |/(x)|. „.„..ч. ^ М7Г /, 7Г\ /7Г\ М7Г Окончательно, Это и есть требуемая оценка. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 3.3. Пусть /: Е —► С есть непрерывная 2ж-периодическая функция. Тогда если f удовлетворяет условию Дини равномерно, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно в R.
§ 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 235 Доказательство. Для произвольных х G Е и t G Е положим <px(t) = Vx(«; /) = f(x + t)- 2f(x) + f(x - t). Пусть, как и ранее, Sn{f\x) означает n-ю частную сумму ряда Фурье функции /. Как было показано выше, имеет место равенство 1 Г -(n+k) Sn(f;x)-f(x)=±j?x(t) X -У sin ( п + — ) t dt. . t sm2 Зададим произвольно е > 0. При t —» 0 отношение т- стремится sin — 2 к пределу, равному 2. Пусть <5i > 0 таково, что для всех t G (0,<5i) 0 < j < 3. sin - 2 Так как по условию функция / удовлетворяет условию Дини равномерно, то найдется 6 > 0 такое, что 0 < 6 < <5Ь и для всех я G [—7г,7г] 1/ 2тгУ * ^Wl л < £. 2тг У * 6 о Положим sin [ п. + - I t Unix) = ^- IVx(t)—±—*J-dt sm — 2 sin [ n + - ) < J ei-r» * 2 Тогда Sn(f; x) — /(x) = Un(x) + Vn{x) для всех х. Имеем s М')1Л^ 1 / ЗЫ«)| Л^ 3£ = £ 6 2 P.WI^/^.^/fcffll-K о sm 2 о при всех х €
236 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Докажем, что Vn(x) —* 0 равномерно в [—7г,7г] при п —> оо. Для любых t\,t2 € [0,7г] и любого х € К имеем M<i) - 4>x{ty)\ = \[f(x + h) - f{x + t2)] + [f(x -U)-f(x- t2)]\ < < \[f(x + U) - f{x + <2)]| + \[f(x -tl)-f(x- t2)}\ < 2u(\h - h\), так что функция (px(t) переменной t имеет модуль непрерывности, не зависящий от х. Функция т- в промежутке [<5, тг] непрерывна и, следовательно, sin - ограничена и равномерно непрерывна. На основании леммы 3.2 отсюда вытекает, что функция Fx(t) . t sin — 2 имеет в промежутке [<5, тг] модуль непрерывности, не зависящий от х. Очевидно, существует число М<оо, которое не зависит от х и такое, что |-FX(0I < M для всех «е[-тг,тг]. Воспользуемся результатом леммы 3.3. Если \f(x)\ < М < оо для всех ж G [а,Ь]ио; есть модуль непрерывности /, то при всяком 7Г А > До = т получаем о / /(x)sin Xxdx ^ Mir S—+2 I(b-aV(^). (3.12) Полагая в неравенстве (3.12) / = Fx, a = 6, Ь = 7г, получим, что 1 Л тг если п + - > Ао = , то 2 7Г — О №(*)! = it ±- f Fx(t)sin (n+ lb* < 2М 2тг 1. 2п + 1 + 2W V 2п + 1 Правая часть последнего неравенства не зависит от ж и при тг —> оо стремится к нулю. Пусть п таково, что при п > п будет иметь место неравенство 2М 1 / 2тг \ е 2п + 1 2 \2n+lJ 2 Тогда для любого х € [—7г,7г] выполняется неравенство |V„(a;)| < —. Значит, при п > п для всех х £ [—7г,7г] имеем \Sn(f; х) - /(*)| < |Г7.(х)| + |К(х)| < | + | = е. Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что частные суммы 5П(/; х) ряда Фурье функции f(x) сходятся к ней равномерно на промежутке [—7г,7г], а значит, и на всем множестве R. Теорема доказана. ■
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 237 § 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации В этом параграфе будут даны доказательства некоторых классических результатов, касающихся сходимости рядов Фурье, которые мы применим к изучению вопроса о почленном интегрировании и дифференцировании ряда Фурье периодической функции. В главе 8 данного курса было введено понятие функции ограниченной вариации. Здесь мы докажем, что если функция f имеет период, равный 2-к, и является функцией ограниченной вариации на всяком промежутке [—7г, 7г], то ее ряд Фурье поточечно сходится на множестве Ш. Если же / есть непрерывная функция ограниченной вариации, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. 4.1. Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье 4.1.1. Напомним понятие функции ограниченной вариации, введенное в главе 8. Пусть дан промежуток [а,Ь] С R. Функция /: [а,Ь] —> R называется функцией ограниченной вариации, если существует постоянная L < оо такая, что для всякой конечной последовательности (я*), к = 0,1,2, ...,т, точек промежутка [а, 6], удовлетворяющей условию х0 = а < х\ < • • • < zm-i < хш = Ь, выполняется неравенство m £l/(**)-/(**-i)l<£. Ь Наименьшая из таких постоянных L обозначается символом V / и на~ зывается вариацией функции f на промежутке [a,b]. a Как было показано в главе 8, функция /: [а,Ь] —> М является функцией ограниченной вариации в том и только в том случае, если она допускает представление / = g — /г, где /ид §сть возрастающие функции на промежутке {а,Ь]. При этом если функция / непрерывна в некоторой точке xq £ [а,Ь], то функции g и h могут быть выбраны так, что они будут непрерывны в точке xq. Если функция / непрерывна на всем промежутке [а,Ь], то возрастающие функции g ж h такие, что / = g — /г, можно определить так, что они будут непрерывны на всем промежутке [а, 6].
238 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 4.1.2. Далее нам потребуется следующее утверждение, доказанное в главе 5. (Для удобства читателя мы приводим его в нумерации этого параграфа.) ■ Теорема 4.1. Пусть даны промежуток [a,b] С К и функции f: [а, Ь] —» Ш и g: [a, 6] —► М. Предположим, что функции д, \д\ и fg интегрируемы по промежутку [a,b] и функция f монотонна. Тогда найдется f £ [а,Ь] такое, что имеет место равенство ь t ь J f(x)g(x) dx = Да) J g{x) dx + /(b) / g(x) dx. (4.1) Теорема 4.1 есть в точности теорема 5.2 главы 5 и носит наименование второй теоремы о среднем значении. Интеграл в теореме 4.1 понимается как интеграл в смысле Ньютона. 4.1.3. Докажем две простые леммы, используемые при доказательстве основной теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов Фурье. ■ Лемма 4.1. Пусть, как и ранее, Dn(t) означает тригонометриче- п ский полином X) etk1. Тогда существует постоянная L < оо такая, k=i—n I V \ что для всякого г) £ [0,7г] выполняется неравенство \J Dn{t) dt\ < L. 10 I Доказательство. Для упрощения записи введем обозначение N = = п + -. Как показано в § 1, имеет место равенство Dn(t) = An(t) + <p(t)smNt, 2 12 где АЛ(/) = - sin Nt, tp(t) = -—,— т- При t —» О имеем ip(t) —► 0. t " sin 2 * Положим (р(0) = 0. Получим функцию, непрерывную и, следовательно, ограниченную в промежутке [0,7г]. Пусть Н = max |у>(<)|« Тогда получим, что для любого rj £ [0, тг] имеет место неравенство v i7 j Dn{t)dt\ < \jAn(t)dt + #тг. (4.2)
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 239 Произведем в интеграле v [ An(t)dt = 2 J sin Nt t dt о о замену переменной интегрирования по формуле Nt = u. Получим Nrj An{t)dt = 2 / А*. , _, ч _ /* sin w , Функция г (ж) = 2 / <ш определена и непрерывна на проме- J и о жутке [0,оо) и имеет конечный предел при х —> оо. Отсюда следует, что функция jP является ограниченной. Пусть |.Р(ж)| < Lq для всех х G [0,оо). Из неравенства (4.2) вытекает, что для любого 7/ G [0,7г] выполняется неравенство v JDn(t) dt <L = L0 + Ятг. Лемма доказана. ■ Лемма 4.2. Пусть а есть возрастающая функция на промежутке [0,7г] такая, что сг(0) = 0я lim a(t) = 0. Тогда для всякого т G (0,7г) выполняется неравенство т J a(t)Dn{t) dt < 2Х(т(г), (4.3) где L — постоянная леммы 4.1. Доказательство. Пусть L < оо таково, что для всякого rj G [0,7г] выполняется неравенство \J Dn{t) dt\ <L.
240 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Выберем произвольно т такое, что 0 < т < тт. Применим вторую теорему о среднем значении. Полагая в формулировке этой теоремы g = Dn(t) и / = a(t), получим г г J a(t)Dn{t)dt = a{T) j Dn(t)dt, (4.4) О ?7 где 0 < г) < т. Интеграл, стоящий в правой части равенства, представим как разность двух интегралов: Т Т 7J j Dn(t)dt= j Dn(t)dt- I Dn{t)dt. Абсолютная величина каждого из интегралов справа в силу леммы 4.1 не превосходит L. Отсюда заключаем, что г / Dn{t)d < 2L. (4.5) Из неравенств (4.4) и (4.5) вытекает неравенство (4.3). Лемма доказана. ■ ■ Теорема 4.2 (теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье). Пусть f есть 2тг-периодическая функция. Тогда если f есть функция ограниченной вариации на промежутке [—7г,7г], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке xGlR, причем сумма его равна -[f(x — 0) + f(x + 0)]. Доказательство. Пусть функция / имеет период, равный 27г, и является функцией ограниченной вариации на промежутке [—7г,7г]. Пусть 5П(/; х) есть n-я частная сумма ряда Фурье функции /. Требуется доказать, что в каждой точке х G К существует предел lim Sn(f\x) = ~[f{x - 0) + f(x + 0)]. В силу 27г-периодичности функции / достаточно показать, что это верно для всякой точки х промежутка [—7Г,7Г]. Зададим произвольно точку х G [—7г, 7г]. Простоты ради будем считать, что f(x) = -[/(я — 0) + f(x + 0)]. Этого всегда можно добиться, изменив значение функции / в данной точке х. Свойство / быть функцией ограниченной вариации при этом, очевидно, сохраняется.
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 241 Требуется, таким образом, доказать, что Sn(f]x) —> /(х) при п —> —► оо для данного х. Положим ¥>*(<) = /(* + 0 ~ 2/(ж) + /(* - <). Так как / есть функция ограниченной вариации на промежутке [—7г,7г], то в силу периодичности / является функцией ограниченной вариации на любом промежутке [(2п — 1)7г,(2п + 1)7г], где п — целое число. В частности, / есть функция ограниченной вариации на каждом из промежутков [—37Г, — 7г] и [л-, Зл-]. В силу свойств функций ограниченной вариации, установленных в главе 8, отсюда вытекает, что / является функцией ограниченной вариации также на промежутке [—37г,37г] = [—Зл*, —7г] U [—7г,7г] U [7г,37г]. Это позволяет заключить, что функция / на промежутке [—37г,37г] допускает представление f(x) = g(x) - h(x), где g и h есть возрастающие функции. Согласно лемме 3.2 справедливо равенство Sn(f; x) - f(x) = ± J *>,(<) А»(0 dt. (4.6) О Зададим произвольно т такое, что 0 < г < 7Г. Тогда получим т ж $n(fl x) - f(x) = i- J tpx(t)Dn(t) dt + ^J ¥>«(*) Ai(0 dt. О г По предположению, х € [~7г,7г]. При t € [0,7г] точки х + t к х — t принадлежат промежутку [—27г,27г] и, значит, для всякого t Е [0,7г] имеют место равенства f(x + t) = g(x + t) - h(x + «), f(x - t) = g(x - t) - h(x - t). Далее, имеем tJimo<px(t) = Дто[/(Ж + <) - 2/(x) + f(x - t)] = = f{x + 0) - 2/(ж) + /(x - 0) = 0. Функция ifx выражается через функции g A h следующим образом: <Pxit) - [gix +1) - /i(x - /) - fix)] - [hix + t)- gix -t) + fix)}. Каждая
242 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье из функций g(x +1) — h(x — t) — f(x) и h(x + t) — g(x — t) + f(x) является возрастающей функцией переменной t. Из равенства (4.6) следует, что ]im[g(x + t)- h(x - t) - f(x)]- t-+o т. e. - ]im[h(x + t)- g(x -t) + f(x)] = lim <px(t) = 0, . ]im[g(x + t)- h(x -t)- f(x)] = lim[/i(x + t) - g(x - t) + f(x)]. Общее значение этих пределов обозначим через А. Положим ф{{) = д(х + i) — h(x — t) — f(x) — A, a 0(i) = h{x + t) — —g(x — t) + f(x) — А. Функции ф ж 0 возрастающие, и lim фН) = Ит 0(t) = 0. Доопределим функции ф ж в, полагая я/?(0) = 6(0) = 0. Имеем Т 7Г Sn{f;x)-f(x) = ±jtp(t)Dn(t)dt + Jip(t)Dn(t)dt. <4.7) О т Положим fip(t)Dn(t)dt = Rn(x,T). г Следовательно, мы получаем, что имеет место равенство т г Sn(f] х) - /(*) = I tl>(t)Dn(t) dt- f 0(t)Dn(t) dt + Rn(x, т). (4.8) о о Применим лемму 4.2, полагая в ней a = ф, а затем сг = в. В результате получим следующие неравенства: г г Je(t)Dn(t) dt dt < 21ф(т), < 2L9(t),
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 243 где L < оо — постоянная леммы 4.1. Из полученных неравенств и равенства (4.8) вытекает, что \Sn(fi х) - f(x)\ < 21ф(т) + 2L0(t) + Rn(xy r). Зададим произвольно е > 0. Так как 2Ь[ф(т) + 0(т)] —> 0 при г —► 0, то найдется значение г Е (0,7г) такое, что 2L[V>(r) + 0(т)] < -. Фиксируем такое значение г. ¥>(0 г 1 Функция т- является ограниченной в промежутке [г, 7г] и имеет sin - 2 в этом промежутке не более чем счетное множество точек разрыва. Отсюда следует, что данная функция абсолютно интегрируема по промежутку [г, 7г] и, значит, в силу теоремы Римана — Лебега величина л- Лп(х,г) = / ^Щ- sin (n+ -J tdt sm - 2 стремится к нулю при п —> оо. Следовательно, найдется номер п такой, что при всяком п > п выполняется неравенство |Дп(х,т)| < -. При каждом п > п, очевидно, будем иметь \Sn(f;x) — f(x)\ < е. Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что Sn(f; x)] —> /(х) для данного х при п —> оо. Теорема доказана. ■ 4.2. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для функции ограниченной вариации ■ Лемма 4.3. Пусть f есть непрерывная 2тт-периодическая функция и число т таково, что 0 < г < 7г. Для произвольного xGi положим Rn(x) = J Dn(t)[f(x + t)- 2f{x) + f(x - t)] dt. Г Определенная так функция Rn при n —> оо равномерно сходится к нулю на множестве Е. Доказательство. Воспользуемся результатом леммы 3.3 этой главы. Для упрощения записи положим N = п + - и ((t) = [f(x + t) — —2/(x) + /(ж — t)]. Пусть и есть модуль непрерывности функции /
244 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье на промежутке [-2тг,2тг] w L = max |/(x)| = Н/Нь^а-*,*]). Тогда |С(01 < 4Z для любого * Е [0,7г] и функция 2ы(£) является модулем непрерывности £. Пусть <p(tf) = г-. Имеем sin - 7Г Л" / JDn(«) dt = J sin Nt((t)(p(t) At. Полагая в условиях леммы 3.3 f(t) = C(0v(0> A = iV, а = ги6 = 7г, получим, что при N > справедливо неравенство 7Г — Г / ад)с(!) J <j^+Ь(_£_), (,9) где М = ||/||boo([o,ir])j a <*>/ есть модуль непрерывности функции /. На промежутке г, — функция <p(t) дифференцируема и непрерывна, причем ее производная в этом промежутке ограничена. Пусть А(т) есть точная верхняя граница функции (p(t) на промежутке [г,7г], а В(т) — точная верхняя граница производной \<pf(t)\ на . Согласно теореме Лагранжа о среднем том же промежутке значении для любых t\, t<i E 7Г Г- 2 а имеем Wi)-^)| = Hf)('i-'OI, где f лежит между t\ и ^- Отсюда получаем, что \ч>{Ч)~Ч>^)\<В{т)\Ц-12\. Таким образом, заключаем, что tp имеет модулем непрерывности функцию ы<р{1) = B(r)t. Из леммы 3.2 следует, что функция /(tf) = C(0vK0 на промежутке [г, 7г] имеет модулем непрерывности функцию (*;/(<) = 2А(г)а;(0 + 4ZJ9(r)t.
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариа,ции 245 Подставляя это выражение в формулу для оценки (4.9), получим неравенство it* / ч. г 4Ln Л, '/ 2тг \ 8LB(r)n /лл^ "*•<*><£ 4- - йгтт+'"М" (st+t )+ "йгт (4Л0» Величина £п не зависит от х и при п —> оо стремится к нулю. Так как функция / имеет период, равный 27г, то также и функция Лп имеет тот же период. В силу периодичности Rn неравенство |-ДЛ(ж)| < 6п выполняется для всех х Е R. Отсюда H-RnlU^R) < ^п и, следовательно, величина ||-Rn||Loo(R) стремится к нулю при п —► оо, т. е. i?n =^ 0 при п —> оо. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 4.3. Пусть /: К —> К есть 2п-периодическая функция, непрерывная в каждой точке х € К. Тогда если f является функцией ограниченной вариации на, промежутке [—7г, 7г], то ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на, множестве Ш. Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет условиям теоремы. Тогда / является функцией ограниченной вариации на промежутке [—37г,37г]. Из свойств функций ограниченной вариации, доказанных в главе 8, вытекает, что / на промежутке [—37г,37г] допускает представление / = g — /i, где g и h есть непрерывные возрастающие функции. Положим <px(t) = f{x + t) — 2/(х) + f((x — t). Имеем Sn(f; x) - f(x) = i- J Vx(t)Dn(t) dt. 0 Функция (рх выражается через функции g и h следующим образом: ¥>*(<) = [»(* + 0 - М* - 0 - Я*)] ~ [Л(х + 0 - д(х - 0 + /(*)]. Положим ^х(0 = #(# + t) — h(x — t) — f(x) и 0x{t) = h(x + t) — —g(x — t) + f(x). Функции фх и 0X являются возрастающими на промежутке [0,7г]. Эти функции непрерывны на этом промежутке, причем фх(0) = вх(0) = 0. Пусть u>i есть модуль непрерывности функции д, ОД2 — модуль непрерывности h. Тогда функция и = u>i + Ш2 является модулем непрерывности каждой из функций фх и 0Х. Представление разности Sn(f', x) — /(ж), вытекающее из леммы 3.2, запишем в виде г г Sn(f; x) - f{x) = -^ J №)D»(t) dt-^J ex(t)Dn(t) dt + Rn{x, t),
246 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье где 1Г Д»(х,г) = -^ 14>x(t)Dn{t) dt. Применим лемму 4.2, полагая в ней а = фх и а = 0Х. В результате получим неравенства ^JMt)Dn(t)dt О г -^ fex(t)Dn(t)dt < 2Ьфх(т) < 2Loj(t), < 21вх(т) < 2Lu{t), Отсюда вытекает следующая оценка для разности между п-й частной суммой ряда Фурье и значением функции f в точке х: \Sn(f\x) - f(x)\ < 4Xw(r) + \Rn(x,r)\. Данное неравенство выполняется для всех х Е [—7г,7г]. Так как функции f(x) и Rn(x,r) имеют период, равный 27г, то последнее неравенство выполняется для всех х Е Ш. Зададим произвольно е > 0. Так как u>(t) —> 0 при t —► 0, то най- е дется значение г такое, что 0 < г < тг, и в то же время 4Zu;(r) < —. Согласно лемме 4.3 при п -> оо функция Дп(я,г) стремится к нулю равномерно на множестве Е. Найдем номер п такой, что при n > n вы- е полняется неравенство ||i2nlUoo(R) < о* При каждом n Е N выполняется неравенство |5п(/;х)-/(х)|<- + 11^11^^) и, значит, \Sn(f) - /Uoo(R) < о + II^IUoo(R)- Отсюда видно, что l|5.(/)-/IUee(R)<| + | = e при всяком п > п. Так как г > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено, что Sn(f;x) =t f(x) на множестве R. Теорема доказана. ■
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 247 4.3. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье ■ Теорема 4.4. Пусть f есть 2ж-периодическая функция. Предположим, что функция f непрерывна, дифференцируема в основном на множестве Ш и ее производная есть абсолютно интегрируемая (в смысле Ньютона) по промежутку [—7г, 7г] функция. Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно. При этом если + yj(ancosnx + bn sinnx) (4.11) ao 2 я=1 есть ряд Фурье функции /, то ряд Фурье ее производной может быть получен почленным дифференцированием ряда (4.11). Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем условиям теоремы. Докажем, что тогда / является функцией ограниченной вариации на промежутке [—7Г, 7г]. Для всякого промежутка {t\, <2] С [—7г, 7г], где <i < *2> имеем \т) - f(h)\ = I2 *2 Jf'(t)dt\<J\f'(t)\dt. Отсюда вытекает, что для всякой последовательности a = = {tQ = —7Г < t\ < • • • < tk = 7г} точек промежутка [—7г,7г] имеет место неравенство к к ** * *(*,«) = £|/(f,_b/(*,)|<£ J \f'(t)\dt= j\f'(t)\dt. (4.12) 1=1 »'=lv. _ *t-l — * Правая часть неравенства (4.12) конечна, и тем самым доказано, что / есть функция ограниченной вариации на промежутке [—7г,7г]. По условию, функция / непрерывна, и, значит, согласно теореме 4.3 ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Пусть Л °° — + У^(^п cos nx + Bn sin nx) w n=l есть ряд Фурье функции /'. Имеем 7Г / f\x)dx = f(ir) -/(-*) = О
248 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье в силу периодичности функции / и, значит, Aq = 0. При га > 1, применяя формулу интегрирования по частям, получим 7Г cos rax dx -/(х) cos rax + 7Г I J /(x)n sin nx dx = гаа* Аналогично, получаем л- Bn = — /'(х) sin rax dx = 1 |Х=7Г 1 / = —/(x)sinrax / /(x)racosraxdx = — rabn. 7Г 1х= — 7Г 7Г J — 7Г Таким образом, ряд Фурье функции /' имеет вид оо /](nbn cos rax — raam sin rax). n=l Это в точности есть то выражение, которое получается, если продифференцировать почленно ряд (4.11). Теорема доказана. ■ Т Следствие. Предположим, что функция /, определенная на множестве Ш, имеет период, равный 2п, и абсолютно интегрируема по Ньютону (т. е. в смысле определений главы 5) по промежутку [—7г, 7г]. Пусть оо а0 — + 2_\(an cos rax + bn sin rax) 71=1 есть ряд Фурье функции f. Положим X Fix) = J [/(0 - f dt. Определенная так функция F является периодической на множестве Ш, ее ряд Фурье сходится к ней равномерно в К и имеет вид Aq y^ — bn cos rax + an sin rax n*) = ? + £ 71=1 ra (4.13)
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 249 где А° = Е т- (4Л4) Доказательство. Действительно, для всякого х Е К имеем х+2тг F(x + 2тг) - F(x) = / /(/) Л - тга0. Так как функция / имеет период, равный 27Г, то х+2тг A f(t)dt= J f(t)dx = ica0, и, следовательно, мы получаем, что F(x + 27г) — F(x) = 0 для любого xGR. Тем самым 27г-периодичность функции F установлена. Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы 4.4, и, значит, ее ряд Фурье сходится к функции F равномерно. Пусть Л °° F(x) = -—■ + ^2(Ап cos пх + Вп sin nx). (4.15) 2 n=i Из теоремы 4.4 следует, что коэффициенты в разложении функции / в ряд Фурье выражаются через коэффициенты ряда Фурье функции F следующим образом: ап = пВп и Ьп = —пАп. Отсюда получаем представление для коэффициентов Ап и Вп разложения ряда Фурье функции F. Подставляя эти выражения в (4.15), получим равенство (4.13). Из определения функции F следует, что F(0) = 0. Полагая в (4.13) х = 0, получим равенство (4.14). Следствие доказано. Т 4.4. Примеры разложений функций в ряды Фурье Здесь мы рассмотрим некоторые примеры разложений в ряды Фурье для различных конкретных функций. Далее будет полезно следующее простое замечание. Пусть дана функция /: (—7г,7г] —*• R. Возьмем произвольно х Е Ш. Тогда найдется целое значение т такое, что —7г < х — 2т7г < 7г. Такое значение т единственно. Полагаем F(x) = f(x — 2т7г). Получаемая таким
250 Гж. 14. Ряды Фурье я преобразование Фурье образом функция F определена для всех х € Е и имеет период, равный 27г. Для всех х € (—тг,7г], очевидно, F(x) = f(x). Будем говорить, что функция F получена продолжением f на все множество Е с условием 2ж-периодичности. Пример 1. Рассмотрим функцию /: Е —> Е, определенную следующим образом: f(x) = ж при —7Г < ж < 7г и /(7г) = 0. Продолжим / на все множество Е с условием 27г-периодичности. График функции f выглядит, как указано на рис. 2. Рис. 2 Ряд Фурье данной функции / сходится к ней поточечно на множестве Е. В данном случае справедливость этого может быть установлена применением любой из доказанных ранее теорем о поточечной сходимости ряда Фурье функции. Найдем коэффициенты ряда Фурье функции f. Прежде всего заметим, что функция / нечетна на промежутке [-7г,7г]. Отсюда следует, что для любого п > 0 функция f(x)cosnx является нечетной и, значит, I f(x) cos nx dx = 0 для любого целого п > 0. Таким образом, коэффициенты ап ряда Фурье данной функции / все равны нулю. Найдем коэффициенты Ьп. При каждом п > 0 согласно формулам (1.15) имеем Ьп = — / х si тг J sin nx dx.
§ 4. Рааложеиш в ряд Фурье функций ограниченной вариации 251 Интеграл преобразуем по формуле интегрирования по частям. Получим тгЬп = X COS ПХ п - +1/ с=—тг П J cos nxdx= —(—1) n w-1 В результате получаем, что для любого х € (—7Г,7г) выполняется равенство х . sin2x sin За: _ = 8тж__ + _—.... Функция / данного примера, очевидно, интегрируема с квадратом на промежутке [—7г,7г], и к ней может быть применено равенство Парсеваля для ортогональной системы тригонометрических функций (формула (2.16) этой главы). В общем виде эта формула выглядит следующим образом: 7Г / [/(ж)]2 dx = тг ? + ЕК+ь») П=1 Здесь / есть произвольная измеримая функция, квадрат которой интегрируем по промежутку [—7г,7г]. Применяя эту общую формулу к рассматриваемому частному случаю, получим /2 1 Отсюда получаем следующее замечательное соотношение: п=1 2 °° 1 Пример 2. Пусть число а € R не является целым. Определим функцию /: Ш —» R, полагая /(я) = cosaa: при а: € [—-7Г, 7г] и затем продолжив на все R исходя из условия 27г-периодичности. Функция / четна, и ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно на множестве Е. Справедливость этого вытекает как из теоремы 4.3 этого раздела, так и из теоремы 3.3. Отсюда сэедует, что коэффициенты 6^ ее ряда Фурье равны нулю.
252 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Найдем коэффициенты a„.. Сначала заметим, что для любого числа А / О имеет место равенство 7Г / cos Xx dx = 2 sin Ая- (4.16) Применяя равенство (4.16), получим, что а0 7Г -V cos axdx 2 sin атг спг При п > 1 имеем 7Г 1 / cos а ж cos пж dx. Произведение под знаком интеграла преобразуем по формуле cos ар, cos nx == -[cos(n + а)ж + cos(n — а)х]. Применяя равенство (4.16), получим , :, 1 а>п = — 7Г sin(nt+. д)7г | sin(n — а)7г n + a п — а Отсюда следует, что при п > О коэффициент ап ряда Фурье рассматриваемой функции выражается следующей формулой: ап = (-l)n sina7r 7Г 1 п + а п — а В результате мы получаем, что если а не является целым числом, то для всех х Е [—7г,7г] справедливо следующее равенство: cos ax = sina7r 7Г ; + »-«• 71=1 п + а п — а cosnx Данное равенство выполняется для всех жЕК. Полагая в нем х = 7г, получим, принимая во внимание, что cos П7Г = ( — 1)п для всякого целого п, следующее равенство:
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 253 Полагая атг = ж, получим равенство = - + ,гг * х cos ж sm ж 71=1 П7Г + Ж П7Г — X (4.17) верное для всякого ж, не являющегося целым кратным 7г. Равенство (4.17), установленное в примере 2, позволяет получить некоторое замечательное представление функции sin x в виде бесконечного произведения. Именно, справедлива следующая теорема. ■ Теорема 4.5. Для всякого х Е Е имеет место равенство sm 71=1 Х ' Доказательство. Сначала докажем, что бесконечное произведение в правой части равенства (4.18) является сходящимся для любого xGi. Зададим произвольно х Е Ш. Пусть п Е N таково, что \х\ < п. х2 Тогда при п > п имеем неравенство 1 -— > 0. 7Г2П2 Воспользуемся результатом теоремы 5.2 главы 11. Пусть дано бесконечное произведение оо H(l+tn) (4.19) такое, что числа tn все имеют один и тот же знак, причем 1 + tn > 0 для всех п > т. Тогда бесконечное произведение (4.19) сходится в том оо и только в том случае, если сходится ряд ]Г) tn. Применим это утвер- 71=771 хР" °° х^ ждение к случаю, когда tn = г—г-, т = п. Ряд У) является тг2п2 n==rn -к1п1 сходящимся, откуда получаем, что бесконечное произведение (4.18) сходится для любого жЕК. Введем следующее временное обозначение. Положим «£- / г2 71=1 Ч Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что 5(3;) = sin x для всех х G 1. Сначала докажем, что равенство (4.18) верно для х из интервала (0,7г).
254 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Если х € (0,7г), то все множители в бесконечном произведении (4.18) положительны. Так как данное бесконечное произведение сходится, то сходится ряд b« + f>(l--fL). (4.20) П=1 ^ ' Пусть F(x) = 1п5(ж) есть сумма этого ряда. Рассмотрим ряд, получаемый почленным дифференцированием ряда (4.20). Производная / х2 \ функции х ь-> In I 1 r—r- J равна \ ж1п1) -2х 7г2п2 _ -2Ж 1 1 X2 7Г2П2 — X2 П7Г + X П7Г 7Г2П2 Таким образом, почленно дифференцируя ряд (4.20), мы получаем ряд (4.17). Пусть е > 0, причем 2е < 7г. Тогда, как нетрудно показать, найдется постоянная М{е) < оо такая, что для любого х G [е, 7г - е] выполняется неравенство -2х 7Г2П2 — X2 <М(£) п* Отсюда следует, что ряд (4.17) сходится равномерно в промежутке [е, 7г — е] при любом е > 0. Таким образом, ряд, получаемый из ряда (4.20) почленным дифференцированием, равномерно сходится на промежутке (е,7г — е) при любом е > 0 таком, что 2е < 7г. Следствие теоремы 2.4 главы 12 позволяет теперь заключить, что функция F(x) — сумма ряда (4.20) — дифференцируема на промежутке [е,7г — е] при любом е > 0, удовлетворяющем условию е < 27г, и эта производная равна сумме ряда (4.17). Отсюда вытекает, что функция F(x) = 1п£(ж) является дифференцируемой в интервале (0,7г). При этом F'(x) = для всех х из этого интервала. Следовательно, мы sinx получаем, что F(x) = ln(sin x) + С, где С = const для всех х € (0,7г). Отсюда S(x) = ecsinx.
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 255 Из представления, которым задается функция 5, следует, что х->0 X Так как также и 1# sin ж lim = 1, х-+о а: то ес = 1 и, значит, 5(ж) = sin ж для любого х £ (0,7г). Равенство S(x) = sin ж, очевидно, выполняется также и для ж = 0 и ж = 7г. Чтобы доказать, что равенство (4.18) верно для всех х Е R, покажем, что для любого ж € R выполняется равенство S(x + тг) = — S(x). Положим Jb=l v ' Имеем 5(ж) = lim 5n(x) для любого ж £ R. Функция Ьп представ- п—юо ляет собой полином степени 2п + 1. Перепишем этот полином в иной форме. Имеем 5»(х) = х д(fa - ffi+■> = (-D-^w П<* - *«)(»+*»)■ Jb=l V '' Jfc=l Отсюда Заменяя в этом равенстве х на а; + 7г, получим = Ja^na | П [^ + (^ + 1)тг] Их + птг)(х + (п + 1)тг) = (-Ц""1 ( ТТ 1х1Ы)(- + ^)(х + (п+1),)_ (а: + П7г)(х + (п + 1)7г) = -S'n-i(x)- 7Г2П2 Таким образом, для любого х £ R выполняемся равенство (х + П7Г)(Ж + (п + 1)7Г) Sn(x + ic) = -Sn-1(x)- 7Г2П2
256 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Множитель при Sn-\(x) стремится к единице при п —* оо. Переходя к пределу, мы получим, что S{x + тг) = -5(ж) для всех х G К. Из определения функции S(x) непосредственно видно, что для всякого х G К справедливо соотношение S{-x) = -S(x). По доказанному, S(x) = sin х для всех ж G [0,7г]. Пусть я ^ [0,7г] и ж > 0. Тогда найдется n G N такое, что t = ж — П7Г G [0,7г]. Отсюда ж = tf 4- П7Г и, значит, 5(ж) = (~l)nS(t) = (-1)Л sin * = sin x. Таким образом, S(x) = sin ж для любого ж > 0. Если ж < 0, то ^(а:) = — S(—x) = — sin(—ж) = sin ж. Мы получаем, что 5(ж) = sin x для всех ж G Ш. Теорема доказана. ■ 7Г Полагая в равенстве (4.18) х = —, получим равенство 71=1 х ' С точностью до тривиальных преобразований это уже известная нам формула Валлиса. Из равенства (4.18) вытекает аналогичное разложение в бесконечное произведение функции cos x. Именно, справедливо следующее утверждение. ▼ Следствие 1. Для всякого х G К выполняется равенство cos 71 = 1 N Ч ' ' Доказательство. Имеем равенство cos ж = sin f — — х J. Требуемое представление функции cos ж мы получим из равенства (4.18), за- меняя в нем х на — — х. 2 Преобразуем отдельные множители в бесконечном произведении, получаемом из (4.18) в результате такой замены. Имеем (,--£)_ (1 +i) (!_ JL) \ П1Кг J \ П7Г/ V П7Г/
§ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 257 Заменяя в этом равенстве х на — — ж, мы получим выражение (i i_ jl\ Л - — — ^ \ 2п П7Г/ \ 2П П7Г/ Преобразуем его, вынося за скобки из первого множителя величину 1 2п + 1 1 2n-l ^ 1 + _ = — } а из второго — величину 1 — —- = — . В ре- 2п 2п 2п 2п зультате этих преобразований мы найдем, что / JL jc\ Л _ J_ _*\ _ \ 2п П7Г/ \ 2П П7Г/ = V ~~ 4^2 J V1 " (2п + 1)тг) V1 + (2п-1)тг/ ' Это приводит к следующему представлению cos x в виде бесконечного произведения: cosx = (l - |) | П (l - 4^) П (l - (2^flv) (* + (2^1^) • Применяя равенство (4.21), отсюда получаем = V1 " TJ П V1 " (2п + 1)тг) i1 + (2п-1)тг) • cos а: = Равенство, указанное в формулировке следствия, устанавливается перегруппировкой сомножителей в последнем равенстве. Положим Имеем =Й(1-(^)п( 2ж 1 + (2А? — 1)7г/ '
258 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Отсюда . СМ = П (l - Щ^~) (l - (gig;) ■ (4.23) Переходя в равенстве (4.23) к пределу при п —► оо, получим равенство (4.22). Следствие 1 доказано. ▼ Равенство (4.18) позволяет установить некоторое замечательное соотношение для гамма-функции. Т Следствие 2. Для всякого х G (0,1) выполняется равенство Т(х)Т(1 - х) =-£-. (4.24) Замечание. Формула (4.24) называется формулой дополнения для гамма-функции. Доказательство следствия. Воспользуемся следующим представлением гамма-функции в виде предела, установленным в §5 главы 12: Г(ж) = lim пх— -г г = bm г-оо х(х+1)...(х + п) п^°° х д (1+*)' Jb=l Заменяя здесь х на 1 — ж, получим Ь2-...-п Г(1-х)= Urn п->оо (1 - Д?)(1 - X + 1) ... (1 - X + П) г nl" = bm — п—юо (п+1-*)П (1-f) Jb=l Отсюда вытекает, что Г(х)Г(1 - *) = lim —? I п / I . (4.25) \ Jb=i v ' Первый множитель справа при п —*• оо стремится к единице. Из равенства (4.18) вытекает, что оо / 2 \ -~n(i-y) sm7ra: n=l Это позволяет заключить, что знаменатель второго множителя в пра- S1H 7Г2? вой части равенства (4.25) стремится к пределу, равному . О сюда вытекает равенство (4.24). Следствие 2 доказано. ▼ т-
§5. Преобразование Фурье 259 § 5. Преобразование Фурье В этом параграфе приводятся некоторые начальные сведения относительно так называемого преобразования Фурье интегрируемой функции. Разложение в ряд Фурье периодической функции дает ее представление в виде суммы простых гармоник, т. е. функций вида a cos nx + bsin nx. Преобразование Фурье позволяет получить аналогичное представление для произвольной интегрируемой функции, определенной на всей числовой прямой Ш. Здесь даются необходимые определения и устанавливаются некоторые простейшие свойства преобразования Фурье. Приводится способ восстановления функции по ее преобразованию Фурье (правило обращения преобразования Фурье). Понятие преобразования Фурье имеет различные приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в теории вероятностей, в некоторых вопросах современной теоретической физики и других разделах прикладной математики. Отдельные вопросы теории преобразования Фурье рассматриваются здесь для случая функций, определенных в пространстве Ж71. В связи с этим приводятся некоторые дополнительные сведения из теории интеграла Лебега функций многих переменных. 5.1. Определение и простейшие свойства преобразования Фурье 5.1.1. Далее рассматриваются функции на пространстве Шп. Понятия интегрируемой функции и интеграла были определены в главе 13 только для случал вещественных функций. Распространим эти понятия на случай функций со значениями в множестве всех комплексных чисел С. Пусть дана функция /: Шп —> С, f(x) = u(x) + iv(x), где u(x) = = Re/(ж), a v(x) = Imf(x). Будем говорить, что функция / измерима, если измеримы функции u = Re/ и v = Im/. Функцию / считаем интегрируемой, если, и и v интегрируемы. В этом случае полагаем / f(x) dx = I и(х) dx + i v(x) dx. R» Rn R* Совокупность всех интегрируемых функций /: Шп —► С будем, как и в главе 13, обозначать символом Li(En).
260 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Если / измерима, то также и функция \f(x)\ = yf[u{x)]2 + [v(x)]2 является измеримой. Неравенство y/[u(x)]2 + [v(x)]2 < \u(x)\ + \v(x)\ позволяет заключить, что если функция f(x) интегрируема, то интегрируема также и функция |/(ж)|. Для произвольной функции / £ ii(lRn) полагаем ll/IUi = /l/(«)l<fa. Rn Для интегрируемых комплексных функций справедливы следующие утверждения. A) Для всякой интегрируемой функции /: Rn -» С и любого комплексного числа с = a + ib имеют место равенства Jcf(x)dx = cjf(x)dx, \\cf\\Ll = \c\\\f\\Ll. Rn Rn B) Для любых интегрируемых комплексных функций /ид функция / + g интегрируема. При этом / [f(x) + 9(х)] dx= f(x) dx+ g(x) dx. Rn Rn Rn Проверку данных утверждений мы предоставляем читателю. Согласно лемме 1.2 для всякой комплексной функции класса L\ (Шп) выполняется неравенство f f(x)dx\< f\f(x)\dx. (5.1) Пусть (/i/)i/gn есть произвольная последовательность комплексных функций, сходящаяся почти всюду к функции /: КЛ -» С. Предположим, что каждая из функций /„ интегрируема и существует интегрируемая функция F: Шп —► К такая, что при каждом v для почти всех х € Кп выполняется неравенство |/|,(я)1 < F(x). Тогда предельная функция / интегрируема, причем /f(x)dx= lim I fl/(x)dx. V-+GQJ Rn Rn
§5. Преобразование Фурье 261 Данное утверждение непосредственно следует из теоремы Лебега о предельном переходе (следствие теоремы 4.3 главы 13). В дальнейшем, употребляя выражение теорема Лебега о предельном переходе, мы будем иметь в виду именно это утверждение, сформулированное сейчас. Формула замены переменных в кратном интеграле (теорема 8.1 главы 13) верна также и для случая комплексных интегрируемых функций. Теорема Фубини (см. § 7 главы 13) тривиальным образом распространяется на случай комплексных функций. 5.1.2. Для векторов х = (xi,£2>... ,жп) и / = (<i,<2» • • • >'п) пространства Шп символ (х,/) означает их скалярное произведение, т. е. п (xyt) = ^xktk. Пусть дана функция / G Zi(Rn). Для всякого < G Rn функция х ь-> e%(X}i) f(x) переменной х измерима, причем \el^x,i^ f(x)\ < \f(x)\ для Bcex/GKn. Отсюда следует интегрируемость этой функции. Полагаем /(<) = Je^x^f(x)dx. Правая часть этого равенства определена и конечна для всех / G Rn, и, таким образом, мы получаем некоторую функцию /(/) в пространстве Шп. Эта функция называется преобразованием Фурье функции /. В общем случае преобразование Фурье произвольной функции далее обозначается знаком ~ над символом, обозначающим функцию. Сформулируем некоторые простые свойства преобразования Фурье, непосредственно вытекающие из его определения. F1. Преобразование Фурье линейно, т. е. если / и g есть произвольные вещественные функции класса Zi(Rn), а и (3 — вещественные числа и h = а/ + /?#, то имеет место равенство h = af + fig. F2. Пусть А > 0 и функция / G Zi(Kn). Положим 6\f(x) = f (j\ Тогда имеет место равенство Sx№ = А»/(А<).
262 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье F3. Для произвольного вектора h G Шп и функции /: Еп —» С положим Thf(x) = f(x + h). Если функция / интегрируема, то для любого /iGEn выполняется равенство ^?(<) = е-^-Ч/СО. Утверждения Fl, F2, F3 доказывается простым применением формулы замены переменной в кратном интеграле. F4. Для любой функции / G £i(Rn) функция / ограничена и непрерывна в КЛ, причем для всех /G Шп имеет место неравенство 1/(01 < H/IUxCE"). Действительно, так как |е^х,^/(ж)| = |/(я)|, то, значит, 1/(01 = Це'^Лж)^! <J\f(x)\dx=\\f\\Ll(Rn), Rn Rn что и требовалось доказать. Для любой последовательности (/i/)i/gn точек пространства ЕЛ, сходящейся к точке to G Кп, имеем в*<*,Мдж) _* е'<х'*о)/(х) при v —> оо. При каждом */ имеем |с«*А->/(*)| = |/(х)|. Функция |/| интегрируема, и в силу теоремы Лебега о предельном переходе мы получаем, что МК) = J e^x^f{x)dx -> /e^^f(x)dx = /(«0) при i/ -^ оо. Тем самым установлена непрерывность функции /. Из неравенства предложения F4 вытекает следующая оценка для равномерной нормы преобразования Фурье функции f G £i(RnV. II/IIWM) < ||/IUl(R"). (5-2)
§5. Преобразование Фурье 263 F5. Пусть (/i/)^gn есть последовательность функций класса Li(Rn), сходящаяся в L\ к функции / Е £i(Rn). Тогда функции /„ при v —» оо сходятся равномерно на пространстве Еп к функции /, Д it / на Еп при ^ -^ оо. Действительно, при каждом и £ N имеем II/ - /i/IUoo(Rn) ^ II/ "" /*IUi(R»)- Если правая часть последнего равенства стремится к нулю при v —► оо, то II/ ~~ /i/||Loo(Rn) ~* 0 при I/ —► оо. Это, по определению, и означает, что /„ =5 / на множестве R71 при */ -» оо. В качестве примера найдем здесь преобразование Фурье некоторой конкретной функции. Пример. Пусть дана функция f(x) = e*~lxl переменной х Е Шп. Данную функцию называют также гауссовой функцией. Она имеет важные применения в теории вероятностей. Найдем здесь ее преобразование Фурье. Имеем п eitxe-\x\2 _ TT eitkXk-xZ k=l Применяя теорему Фубинщ получим, что оо [ eiixe~\x\2 dx = П / ей*х*~х2 dxk. (5.3) Rn *=1-оо Видим, что дело сводится к рассмотрению одномерного случая. Имеем оо оо оо (p(t) = / elix~x dx = I e~x costxdx + i / e~""x sintxdx. — oo —oo —oo Второй интеграл в этом равенстве равен нулю, так как подынтегральная функция в этом интеграле нечетна. Следовательно, мы получаем, что Ф) = / оо е~х costx dx. оо
264 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Найдем производную (p'(t). Применяя теоремы о дифференцировании интегралов, зависящих от параметра, получим равенство оо dio f d 2 — (t) = / -r{e~x costx}dx. — оо Отсюда имеем равенство оо (p'(t) = / [—е"х xsmtx\dx. — оо Последний интеграл преобразуем по формуле интегрирования по ча- стям. Получим оо оо \ t 2 1 2|°° 1 /" _ 2 (p'(t) = - / sm xtd(e~x ) = -smxte~x — - / e~~x t cos xtdx. 2 J 2 1-00 2 J —00 —00 Внеинтегральные члены здесь обращаются в нуль, и в результате мы приходим к соотношению <p'(t) + \Mt) = о- Имеет место равенство dt {е* 'М*)} = * /4 v'W + ^vW Отсюда получаем, что для данной функции <р справедливо соотношение ±{et2/i<p(t)} = О, и, стало быть, функция е* ^4^(<) является постоянной, т. е. e'2/V(i) = с. Отсюда <p(t) = се~'2/4. Найдем постоянную с, полагая / = 0. Имеем оо = <p(fi) = / е~~х2 dx = \рк.
§5. Преобразование Фурье 265 В силу равенства (5.3) получаем, что преобразование Фурье функции /: х £ Кп ь-* e"'xl есть функция /(/) = 7Г»/2е-1'12/4. (5.4) 2 Применим к функции f(x) = е""х переменной ж Е Мп предложение F2. Для произвольного А > 0 пусть 6\f(x) = f(x/X). Согласно предложению F2 выполняется равенство £?(*) = А"/(А<)- Отсюда вытекает, что для всякого А > 0 преобразование Фурье функции имеет вид в-.»/Д» = е-А2^/4(А^Г Полагая А = \/2, получим, в частности, что преобразование Фурье функции е"х /2 есть функция е"х /2(27г)п/2. ■ Теорема 5.1. Пусть f есть функция класса ii(En) б пространстве Rn, / — ее преобразование Фурье. Тогда /(f) —► 0 яря |i| —► оо. Яря этом есля функция f непрерывна и f(x) = 0 яря |х| > L, где О < I < оо йо; есть модуль непрерывности функции /, то яря |£| > 7Г ямеет место оценка >Чй)- |/(0l<2-1(X + l)*w^p|J. (5.5) Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда / есть ступенчатая функция. Достаточно рассмотреть случай, когда / есть индикатор некоторого n-мерного бруса. Пусть Q = [aiM) х [«12,62) х ••■ х [a>n,bn) и / = XQ есть индикатор Q. Тогда простые вычисления показывают, что № = П f Г^ • (5-6) eibt __ e»oi Функция t € R *-* есть преобразование Фурье индикатора промежутка [а,Ь) и, следовательно, является ограниченной. Используя оценку предложения F4, получим, что еш _ eiat <Ь-а.
266 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Таким образом, мы получаем, что каждый множитель в произведении (5.6) является ограниченной функцией. Пусть L < оо является верхней границей для каждого из этих множителей. Зададим произвольно е > О и положим е Пусть точка / = (^,<2) • • • ?*п) такова, что \t\ > К. Тогда tj+t2n + --- + t2n>K2 и, значит, по крайней мере для одного номера fc, 1 < к < п, выполняется неравенство п Пусть это будет номер ко. Тогда для данного t абсолютная величина множителя с номером ко в произведении (5.6) меньше . Каждый из остальных множителей не превосходит L. В результате получаем, что если \t\ > К, то для данной функции / имеет место неравенство 1/(01 < Y1- < е. Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что f{t) -* 0 при \t\ —> оо. Из доказанного очевидным образом вытекает, что для всякой ступенчатой функции / справедливо соотношение lim /(<) = 0. |i|—оо Пусть / есть произвольная функция класса Zi(Rn). Согласно определению интегрируемой функции найдется последовательность ступенчатых функций (/i/)i/eN> сходящаяся к функции / в L\. В силу предложения F5 тогда будем иметь Ш =* /(<)• Так как lim fv(i) = 0 при каждом v, то в силу известных свойств |*|—оо равномерной сходимости (см. теорему 1.4 главы 12) отсюда вытекает, что также и lim f(t) = 0. |*|—оо
§ 5. Преобразование Фурье 267 Рассмотрим специально случай, когда функция / непрерывна и обращается в нуль при \х\ > R > 0. Пусть t ф 0. Положим г = у-^. 14 Тогда (/,г) = 1. В интеграле [ ei{x>Vf(x)dx = f(t) произведем замену переменной интегрирования, полагая х = у — тгт. Получим, очевидно, Kt)=^Jei^t)[f(x)-f(x + iTT)]dx. (5.7) Предположим, что |/| > 7г. Подынтегральное выражение в правой части (5.7) обращается в нуль, если \х\ > L и \х + тгт\ > L. Ввиду неравенства \х + 7ГГ| > \х\ — \7ГТ\ > |х| — 1 это условие заведомо будет выполнено, если \х\ > L + 1. Для всех х G Шп имеем |е'"<-*>[/(*) - f{x + пт)]\ = |/(х) - f{x + тгг)! < « (щ) • (5- 8) Итак, если |i| > 7г, то подынтегральная функция в интеграле (5.8) обращается в нуль при \х\ > L + 1 и по абсолютной величине не превосходит и I т-т ). Отсюда в силу оценок для интеграла, полученных выше, вытекает неравенство (5.5). Теорема доказана. ■ 5.2. Правило обращения преобразования Фурье Во многих случаях важно уметь находить функцию по ее преобразованию Фурье. Ниже приводится теорема об определении функции по ее преобразованию Фурье для случая функций одной переменной. (Существует аналог этой теоремы для функций п переменных для произвольного п. При этом доказательство основано на аналогичных соображениях, но технически оказывается более громоздким.)
268 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Пусть дана функция /: Е —► Е. Напомним, что согласно определению, данному в § 3 этой главы, функция / удовлетворяет условию Дини в точке xq G Е, если существует S > О такое, что функция /(до + t) - 2/(жр) + fjxo - t) t интегрируема в промежутке [0,5). ■ Теорема 5.2 (правило обращения преобразования Фурье). Пусть f: Е —> Е есть произвольная интегрируемая в смысле Лебега функция на, множестве Е, / — преобразование Фурье функции /. Тогда если функция f удовлетворяет условию Дини в точке xq G Е, то имеет место равенство /(*о) = jKm, ^ / /(Ое-'*0* Л. -Г Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет условиям теоремы. По определению, имеем оо /(*) = J f(x)t etxt dx. Подынтегральная функция в последнем интеграле мажорируется неотрицательной интегрируемой функцией |/(ж)|. Отсюда следует, что интеграл, определяющий функцию /, сходится равномерно при < 6 R. Поэтому в выражении г г / оо \ ± J /(<)e-"el * = ^ / ( / K*V(x-Xo)t dx J dt -T -T \-oo / можно изменить порядок интегрирования. В результате получим т оо / г \ / f(t)e-ixQi dt = Y f f(x) I f e**-**» dt j dx. -T -oo \-T / Внутренний интеграл здесь равен эг 6t(x-xo)r е-|'(х-ю)г ^ 2sin(s-s0)r (ж — жо)г я — xq
§5. Преобразование Фурье 269 и мы, следовательно, получаем, что Г оо / f(t)e-b« Л = I / /(х)^п(ж-Жо)Г &. У 7Г У X — Хо —Т -оо Интеграл справа преобразуем, произведя замену переменной по формуле х — хо = г. Это приводит к равенству Г оо / f(t)e~ixQi Л = 1 / /(х0 + г)^-^ <fe. -Г -оо Интеграл справа разобьем на два: один — в пределах от -оо до О, второй — с пределами интегрирования 0 и оо. В первом интеграле заменим переменную интегрирования z на — z. В результате получим равенство Г оо J f(t)e-ixQi dt = I /[/(«о + г) + /(х0 - *)]^^<fc. -Г О Имеем равенство оо /(*о) = - / 2/(ж0) dz. -к J z о Вычитая данное равенство почленно из предыдущего, получим г Jj(t)e'ixoUt-f(x0) = -т 00f(xo + z)-2f(xQ) + f(xo-z) . sin Тг аг. z о Теорема будет доказана, если мы установим, что интеграл в правой части последнего равенства стремится к нулю при Т —► оо. Для этой цели мы представим этот интеграл как сумму трех интегралов, для каждого из которых будет установлено, что при Т —» оо он стремится к нулю. -k
270 Гл. 14. Ряды Фурье и яреобразоваяяе Фурье Выполнение условия Дини в точке xq означает, что функция /(so + г) - 2/(s0) + /(s0 - z) z переменной z интегрируема в промежутке [0,£], где 6 > 0. На основании теоремы Римапа — Лебега отсюда следует, что U{T) = j /(so + z) - 2/(s0) + /(*о - *) sin Тг dz стремится к нулю при Г —► оо. Далее, справедливо равенство оо J[f(xo + z) - 2/Ы + /(«о ~ z)]^p-dz = V(T) - W(T), где /(so + *) + /(жо - *) sinTzcte, ос v(T) = у со со W(T) = 2/(s0) / —j-dz = 2/(s0) / — <**• Для всякого 2 > £ имеем I /(^о + z) + /(so - 2r) <j[\f{*o + z)\ + \f(x0-z)\]. Отсюда следует, что функция /(Sp + z) + /(Sp - г) z интегрируема по промежутку [<5, оо) и, значит, в силу теоремы Ри- мана — Лебега величина V(T) стремится к нулю при Г -» оо. со _ fsinz Так как интеграл / алг является сходящимся, то интеграл °? . о /sin г / а2г стремится к нулю при 1 —» оо. * i
§5. Преобразование Фурье 271 Таким образом, мы получаем, что при Г -* оо каждая из величин ?7(Т), V(T) и W{T) стремится к нулю при Г —» оо. Имеет место равенство 1 7/(a, + ,)-2/(»o) + /(s0-*)^r^ = + _ О Из доказанного поэтому вытекает, что если функция / удовлетворяет всем условиям теоремы, то г /Ы = ^ i- У" /(t)e-"e< Л. -т Теорема доказана. ■ 5.3. ИНЪЕКТИВНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ НА Ьл (R) Здесь будет доказано, что интегрируемая функция в К однозначно определяется своим преобразованием Фурье. Сделаем некоторые предварительные замечания. 1. Как было показано выше, интеграл оо /sin х ах х —оо сходится и значение его равно 7г. Для произвольного / > 0 положим Ф(А)=/^. -Л Функция Ф, определенная так на промежутке [0,оо), непрерывна и имеет конечный (равный 7г) предел при А —*■ оо. Отсюда вытекает, что функция Ф является ограниченной. Пусть N < оо таково, что |Ф(А)| < N (5.9)
272 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье для любого А > 0. Рассмотрим интеграл Л / -Л smux dx. (5.10) Произведя замену переменной интегрирования \u\x = t, после очевидных преобразований получим А / sin их X dx = ±Ф(|м|А). В частности, отсюда вытекает, что Л / smux х dx <М, (5.11) где М есть постоянная неравенства (5.9), каковы бы ни были и £ К и А > 0. 2. Далее нам понадобится одно простое замечание, касающееся измеримых функций в R. ■ Лемма 5.1. Для всякой всюду конечной измеримой функции f на, множестве Ш функция х ь+ sgn f(x) измерима. Доказательство. Для произвольного п £ N определим функцию сгп(у), полагая -1 для у < , п °п{у) = { пу при < у < -, п п 1 при у > —. п График функции an представлен на рис. 3.
§5. Преобразование Фурье 273 А' О Мп х Рис. 3 Функция сгп, очевидно, является непрерывной, и справедливо следующее соотношение: lim an(y) = -1 для у < О, 0 при у = О, 1 при у > 0. Это означает, что сгп(у) —► sgn у при п —*■ оо для любого у G R. Пусть /: К —► К есть произвольная измеримая функция. Тогда согласно теореме 5.12 главы 13 функция crn[f(x)] измерима. При п —► оо имеем crn[f(x)] —*■ sgn/(ж) для любого я G М. Функция sgn/(ж), таким образом, есть предел последовательности измеримых функций, и, следовательно, в силу теоремы 5.4 главы 13 эта функция измерима. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 5.3. Пусть f есть интегрируемая функция в R. Тогда если преобразование Фурье функции f тождественно равно нулю, то f(x) = 0 для почти всех х Е R. Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем условиям теоремы. Согласно предположению имеем оо / f(x)eitx dx = 0 (5.12) для всех < G К. Зададим произвольно полуинтервал a = [a, 6) С К, еМ __ eita и пусть <p(t) = : есть преобразование Фурье индикатора от- it резка. Согласно теореме 5.2 для любого #, не совпадающего ни с одной
274 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье из точек а и 6, будем иметь равенство л Xa(x)= lim i- [ ip(t)e-ixi dt. (5.13) А-юо Z7T J -A Заметим, что A A // ч ,v* , 1 f cos *(b — x) — cos £(a — ж) f <p(t)e-txi dt=- dt + A / -A -A A . smt(b — x) — smt(a — x) + / - at. Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как подынтегральная функция в нем н е ч е т н а, и, стало быть, J(A, x)=J <p(t)e-^ dt=j "Mb-*)-™ *(«-*) dt -A -A В силу неравенства (5.9) отсюда мы получаем, что |/(А,#)| < 2М для любых х G Ш и А > 0. Умножим левую часть равенства (5.12) на (p{t). (Напомним, что если z — комплексное число, то z есть сопряженное ему число.) Функция (p(t)etix непрерывна и, следовательно, измерима в Ш2. Функция (x,t) ь-> f(x) измерима. Рассмотрим интеграл / ( / f(x)eiix<p(t)dx ] dt. (5.14) Абсолютная величина подынтегральной функции в (5.14) равна 1/(^)11^(01- Из теоремы Тонелли следует, что последняя функция интегрируема по множеству точек (#,<) 6 К2 таких, что жЕЕ,а/Е [—А, А]. Отсюда вытекает, что функция f(x)elix<p(t) интегрируема по множеству R х [—А, А]. Применяя теорему Фубинщ получим, что при каждом А > 0 имеет место равенство 0 = / f(x) I f eitx<p(t)dt ) dx. (5.15)
§5. Преобразование Фурье 275 Внутренний интеграл здесь равен /(А,#). Для я, отличного от а и Ь, при А —► оо имеем, что /(А, ж) стремится к пределу, равному нулю, если х £ [а,Ь], и равному единице, если х £ (а,Ь). Для всех х Е Ш и А > О имеем |/(А, я)/(я)| < 2М|/(я)|. В силу теоремы Лебега о предельном переходе из доказанного следует, что со оо 0= lim / f(x)I(\,x)dx = / f(x)xa(%) dx. A-^oo J * % 7 Из доказанного вытекает, что для всякой ступенчатой функции у имеет место равенство оо / f(x)(p(x)dx — 0. Согласно лемме 5.1 функция sgn/(я) измерима. Значит, найдется последовательность ступенчатых функций (^i/)i/gn такая, что (ри{х) —> —► sgn f(x) для почти всех х Е К. Положим ^(#) = тах{-1, <£„(#)}. Функция ^, очевидно, является ступенчатой, и при i/ —* оо для всякого ж, для которого sgn f(x) = lim <р„(ж), I/—ЮО также и lim (pl(x) = max{—l,sgn/(x)} = sgn fix). I/—ЮО Далее, положим ф„(х) = тт{1,<^(#)}. Для всякого ж, для которого sgn f(x) = lim ^(ж), v—юо также и lim ^„(ж) = min{l,sgn/(#)} = sgn f(x). I/—ЮО Имеем последовательность ступенчатых функций (Vv)i/€N> для которой ф„(х) —*■ sgn /(ж) для почти всех ж Е R. При этом —1 < фи(х) < 1 для всех о: при каждом v Е N. По доказанному, при каждом i/ имеем равенство / ^t/{x)f{x)dx = 0.
276 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье При v —► оо для почти всех iGR произведение ф„(х) имеет пределом при v -» оо величину sgn f(x)f(x) = |/(ж)|. Так как \фи(х)/(х)\ < < |/(ж)|, то в силу теоремы Лебега о предельном переходе оо оо / ф»(х)/(х)<1х-* / \f(x)\dx при v —*■ оо. Так как интеграл в правой части этого соотношения равен нулю при всех i/, то мы, следовательно, получаем, что оо / |/(*)|d* = 0, и, значит, f(x) = 0 для почти всех х G К. Теорема доказана. ■ Т Следствие. Пусть /ид есть две произвольные функции класса Li(En). Тогда если f = g, то f(x) = #(#) для почти всех х G Е. Действительно, пусть / и # — две интегрируемые функции на множестве R. Положим R = f — д. Функция R принадлежит классу L;i(R), и ее преобразование Фурье R = f — д = 0. В силу теоремы 5.3 отсюда вытекает, что R(x) = 0 для почти всех х £ Е, т. е. f(x) — д{х) для почти всех х G Е. Следствие доказано. Т Задачи 14.1. Доказать, что для всякой интегрируемой функции /: Е —► Е для лю- 6 бых а, Ь G Е существует предел lim J f(x) sin Xxdx. A-°° а 14.2. Пусть 0: E —* E есть непрерывная 27г-периодическая функция. Доказать, что если интеграл функции функции 9 по промежутку [—7г, 7г] равен нулю, то для любых а,/3 G Е таких, что a < /3, интеграл J 6(Xx)dx стре- мится к нулю при Л —► оо. 14.3. Используя результат задачи 14.2, показать, что если в: Е —> Е есть непрерывная 27г-периодическая функция такая, что ее интеграл по промежутку [—7г, 7г] равен нулю, то для всякой ступенчатой функции / интеграл J f(x)6(\x) dx стремится к нулю при Л —► оо. R
Задачи 277 14.4. Пусть 0: К —»- 1R есть непрерывная 27г-периодическая функция, причем интеграл функции / по промежутку [—7г, 7г] равен нулю. Используя результат задачи 14.3, показать, что для всякой интегрируемой функции /: К —> Ш интеграл J f(x)6(\x) dx стремится к нулю при Л —► оо. - R 14.5. Пусть /:Е-*Ки51:Е-->К есть 27г-периодические функции, интегрируемые в смысле Лебега по промежутку [—тг,7г]. Положим (/ * д){х) = * тг = Jw I f(x "~ У)9(у) dy- Доказать, что функция / * д есть интегрируемая по промежутку [—7Г, 7г] функция и ее комплексные коэффициенты Фурье выражаются через комплексные коэффициенты Фурье функций / и д следующим образом: ся(/ * д) = cn{f)cn{g). X 14.6. Пусть Dn(x) = sin^y22)a:. Положим Ф»(ж) = J Dn(t)dt. Доказать, о что для всякого х Е Ш существует предел lim Фп{х) = Ф(#). Построить п—юо график функции Ф, определенной таким образом. п 14.7. Пусть Фп(#) = 5^ sinjfc . Показать, что последовательность функций k=i (^r'/)i/EN ограничена в Loo(lR), т. е. существует постоянная К < оо такая, ЧТО ||*n||Loo(R) ^ К ДЛЯ ВСеХ П' 14.8. Пусть функции Dn(x) и Фп(#) определены, как указано в задачах 14.6 и 14.7. Вычислить интеграл j^ J sinnxtyn(x)Dn(x) dx. — 7Г 14.9. Пусть функция Dn(x) определена, как указано в задаче 14.6. Положим Ln = j£ J №п(%)\ dx. Доказать, что Ln > С In n+Rn, где С > О постоянная, a Rn = 0(1) при п —► оо. (Указамгле. Воспользоваться результатами задач 14.7 и 14.8.) 14.10. Пусть (ап) nEN есть убывающая числовая последовательность такая, оо что lim an = 0. Доказать, что ряд У^ Qfnslnna: равномерно сходится на п-"°° п=1 промежутке [—7г,7г]. 14.11. Пусть /: Ш —► Ш есть 27г-периодическая функция, интегрируемая °° Ь (f) в смысле Лебега по промежутку [—7Г, 7г]. Доказать, что ряд ^2 п^Т) является *• п=1 сходящимся. (Здесь bn(f) = 7 / /(#) sin na? da?.) 14.12. Пусть /: [0,7г] —► К есть функция класса С1 такая, что /(0) = /(-к) = 0. Доказать, что справедливо неравенство J*|/(a?)| dx < J \f'(x)\ dx, причем о о знак равенства здесь имеет место только в том случае, если f(x) = Л sin x.
278 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 14.13 Пусть функция /: [—7г,7г] —► Ш принадлежит классу С1, причем /(—7г) = /(7г) и J f(x)dx = 0. Доказать, что тогда имеет место неравенство -it J[f(x)]2dx< J[f'(x)]2dx — 7Г —7Г (неравенство Виртингера). При этом знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда f(x) = A cos x + В sin x. 14.14. Пусть (x(t),y(t)), t G [•—7г, 7г], есть параметризация гладкой кривой на плоскости, где параметр t = Щ^-, s — длина дуги, L — длина всей кри- 2 * вой. Имеем [x'(t)]2 + [y'(t)]2 = j^. Пусть А = \ J [x(t)y'(t) - x'(t)y(t))dt — 7Г есть ориентированная площадь, ограниченная данной кривой. Выразить ин- 7Г 7Г тегралы / ([x'(t)]2 + [y'(t)]2) dt и / [ж(*)у'(*) - ж'(*)у(*)] dt через коэффициен- ты Фурье функций х и у. Применяя полученные выражения, доказать, что L > 4тгА) причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда x(t) — xq + Л cost + Bsintf, y(t) = уо — В cost + As'mt и данная кривая есть окружность. 14.15. Пусть (/Зп)п=0,1,2,... есть последовательность функций, определен- оо ных следующим образом: при п четном /Зп = ^2 s™n , а при п нечетном оо *=1 имеет место равенство /Зп = ]Г} с°^п • Показать, что при каждом п > 1 Jb=i функция /Зп дифференцируема на множестве К, причем /З'п(х) — /3n__i(a?) для всех х, а функция /3i (а?) дифференцируема для всякого х ф п-к, где п — целое число и /3[(х) = /Зо(я) для всех таких х. Показать, что ограничение функции /Зп на промежутке (0, 7г] есть полином степени п + 1. Написать явные выражения для функций (Зп для п = 1,2ип = 3. Применяя формулу Пар- севаля для рядов Фурье к функциям /Зп для п — 1,2, 3, найти значения сумм оо оо оо П=1 П=1 71=1 14.16. Положим J = (0,оо). Пусть w(x) = ж""" пх. Доказать, что последовательность полиномов (tin)тг>сь получаемая ортогонализацией системы функций еп(%) = #п, п = 0,1,2,..., не является полной в пространстве 1/2 («A w). (Указамгле. Доказать, что для всякого а > 0 имеет место равенство оо / х2а'1 sin(27rIn я)аГln x dx = д/^е"2 "*' sin 2тга, о и рассмотреть случай а = ^^-.) (Данный пример был любезно указан автору В. В. Ивановым и С. А. Тресковым.)
Глава 15 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Г • Интегральное исчисление на многообразиях • Понятие внешней формы • Умножение внешних форм • Свойства операции внешнего умножения • Операция дифференцирования внешней формы • Свойства понятия дифференциала внешней формы • Операция переноса внешней формы гладким отображением • Первая и вторая теоремы Пуанкаре • Понятие гладкого k-мерного подмногообразия пространства Шп • Отображения класса Сг с произвольной областью определения • Понятие диффеоморфизма • Свойства диффеоморфизмов • Понятие края многообразия • Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия • Множества, задаваемые системой уравнений • Определение площади k-мерного многообразия • Ориентируемые многообразия, критерии ориентируемости, индуцированная ориентация края • Обобщенная интегральная теорема Стоке а • Интегральная формула Стокса в пространстве Ш • Формула Остроградского • Приложения обобщенной интегральной теоремы Стокса • Общая теорема Брауэра о неподвижной точке • _1
280 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях § 1. Полилинейные функции и поливекторы В этом параграфе вводится понятие полилинейной функции. Полилинейная функция есть функция к аргументов — векторов пространства Шп} линейная по каждому аргументу. Устанавливается формула, которая выражает значение полилинейной функции через координаты ее аргументов. Рассматривается также понятие кососимметрической полилинейной функции. Определяется понятие k-мерного поливектора. Геометрически к-мерный поливектор есть ориентированное k-мерное подпространство, которому сопоставлено некоторое число — мера поливектора. Поливектор определяется заданием упорядоченной системы из к линейно независимых векторов. Мера поливектора при этом равна объему k-мерного параллелепипеда, построенного на данных векторах. 1.1. Понятие полилинейной функции Далее X означает конечномерное векторное пространство, п — размерность X. Предположим, что для всякой системы Х\, Хг,..., Xk из к векторов пространства X определено число F{Xi,X2,... ,Xk) € К, т. е. задано отображение F:(X1,X2,...JXk)eXxXx--.xX^F(X1,X2,...,Xk)eR. к множителей Будем говорить, что F есть полилинейная функция степени &, если при каждом % = 1,2,..., к функция F линейна относительно Х{ при фиксированных значениях векторов Xj с j ф г. Иначе говоря, для всякого г = 1,2,..., fc, для любых векторов Х\,..., Xi-i, Х{, Х{ , Xi+i,... Хк и любых чисел а и /3 выполняется равенство F(X1,...,aX'i + 0X?,...,Xk) = = aF(X1,...,X'i,...,Xk) + l3F(Xi,...,Xl',...,Xk). Полилинейная функция степени к называется также к-линейной функцией или иначе к-линейной формой. В случае к = 2 полилинейная
§ I. Полилинейные функции и поливекторы 281 функция степени к называется билинейной функцией или билинейной формой. Данное определение не исключает случай к = 1. Для к = 1 понятие fc-Линейной функции совпадает с понятием линейной функции. Приведем некоторые примеры. Пример 1. Скалярное произведение (X,Y) = X^Yi + Х2У2 Н Ь +XnYn является билинейной формой в Кп. Пример 2. Пусть п = 1. Для XijX2j... , X* £ К положим P(Xi, X2,..., Xk) = X1X2 ... Хь В силу известных свойств операции умножения чисел функция Р, очевидно, является полилинейной формой в векторном пространстве К. Пример 3. Пусть {ui, 112,... ,un} есть базис пространства X. Предположим, что даны векторы Х\^Х2<,. • • ^Х^ пространства X, причем при каждом г = 1,2,...,А; вектор Х{ относительно данного базиса имеет координаты (Хц,Х{2,... ,Х{П). Зададим произвольно номера ji,j2, • • • J к и положим и"'Ь'-'Ь(ХиХъ...,Хк) = X2h хк^ х, X2j2 22 Xkj2 Xljk X2jk Xkjk (1.1) В силу известных свойств определителей функция uJ'1,J'2,,",J'ls есть fc-линейная функция в пространстве X. Найдем выражение для значений полилинейной функции F через координаты векторов Xi, X?. Xh. Результат содержится в следующем предложении. ■ Лемма 1.1. Пусть F есть произвольная к-линейная функция в пространстве X и u1? u2,..., un — базис пространства X. Для произвольного набора индексов ji,J2 >• • • 5 jk положим ^jlj2---jk ~ * VUJl •> UJ2 •> * * * 5 U3k )' Пусть Х{ = Хцщ +Xi2u2 4 hX,nun, i = 1,2,..., k. Тогда имеет место равенство F(Xi,X2,...,Xk)= /] '-/Z 22FjiJ2...jkXij1X2j2..-Xkjk. (1.2)
282 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Лемма доказывается индукцией по к. Для к = 1 лемма верна в силу известных свойств линейных функций. Предположим, что для некоторого к лемма доказана, и пусть F есть полилинейная функция степени к 4- 1. Положим Fjk+1(Xi,X2>> •.. ,-Х"*) = = F(Xi,X2, • • • ,Х^,и^+1). Очевидно, 2^+1 есть fc-линейная функция в X. Для произвольного набора индексов ii,j2, • • •, j* положим -rjiJ2>-.jk,jk+i = ^ifc+i(uii' uj2> • • • 5 uiit)- (!•«*) В силу предположения индукции получаем 71 П П Fjk+i(Xiix2i---<>Xk) = 2^*,,2^ /^ Fjij2-jkjk+ixijix2j2• • • ^fcjfc• Имеем n ^*+l = / /^"fc+lyjfc+lu^+l>jfc+l- ii Подставляя это выражение в ^(Х^Хг,. •. ,Xfc,Xjb+i), ввиду линейности F относительно Xk+i выводим F(Xi,X2,... ,Xk,Xk+\) = / = F I XbX2,...,Xfc, 2^ ^fc+i,ifc+iufc+i,ifc+i n Подставляя в это равенство выражение для ^+1 (Xi, Хг,..., X*), которое дается формулой (1.3), после очевидных преобразований получим, что равенство (1.2) остается верным, если к заменить на к + 1. Лемма доказана. ■ Числа Fj1j2m^jk в представлении (1.2) полилинейной функции / называются ее коэффициентами относительно базиса {ui, 112,..., un} пространства X. Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть X = Шп и к = 2. Согласно лемме 1.1 для всякой билинейной функции F (т. е. полилинейной функции степени 2) в пространстве Rn величина F(X, Y) выражается
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 283 через координаты векторов X и Y равенством, которое может быть записано в виде п п F{X,Y) = Y,Y.aHX>Yy i=l i=l Представим это выражение в другой форме. Пусть А есть матрица /«11 «12 ... «1п\ I «21 «22 • • • «2п I \«п1 «п2 ... 0>nn' Будем называть ее матрицей коэффициентов билинейной функции F. Имеет место равенство F(X,Y) = (X,AY). (1.4) Матрица А равенством (1.4) определяется однозначно. Действительно, для всякого j = 1,2,..., п имеем Auj = (aij,a2j,...,anj-). Отсюда получаем, что (u,-, Auj) = a^-, так что матрица А в представлении билинейной формы определена однозначно. Билинейная функция F(X,Y) называется симметрической, если F(X,Y) = F(Y,X) для любых векторов 1,У бХ. Функция F(X,Y) называется кососим- метрическощ если F(Y,X) = -F(X,Y) для любых X,Y G X. Для случая X = Шп выясним, какова должна быть матрица билинейной функции F для того, чтобы она была симметрической или кососимметрической. Функция F(X, Y) = F(Y,X) билинейна. Имеем F(X,Y) = (Y,AX). В силу известных свойств скалярного произведения (Y,AX) = (A*Y,X)=(X,A*Y), где А* означает транспонированную матрицу А. ^ Мы видим, что А* есть матрица билинейной формы F. Матрица билинейной формы — F есть, очевидно, матрица —А. Следовательно, мы получаем, что если форма F симметрична, т. е. F = -F, то А = А*. Это означает, что в этом случае матрица А является симметрической. Нетрудно видеть, что и обратно: симметричность матрицы А влечет симметричность билинейной формы F. Аналогично получаем, что форма F является кососимметрической в том и только в том случае, если А* = —А, т. е. матрица А кососим- метрическая.
284 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях 1.2. Понятие кососимметрической полилинейной функции Полилинейная функция F(Xi, Х2,..., Xk) называется кососиммет- рическощ когда она меняет знак, если поменять местами два ее произвольных аргумента. Кососимметрические полилинейные функции в дальнейшем будут одним из основных объектов изучения. Поэтому рассмотрим детально некоторые их свойства. Пусть F есть к-линейная кососимметрическая форма. Тогда если среди векторов Х\, Хг,..., Xk есть два одинаковых, например Х{ — Xj, где i ф j, то F(X\,X2,.. *,Xk) = 0. Действительно, если поменять в выражении у = F(Xi, X2,..., Xk) векторы Х{ и Xj местами, то в силу кососимметричности величина у умножится на — 1. С другой стороны, при такой перестановке последовательность {Xi,X2,... ,Xk} не изменится и, значит, имеет место равенство —у = у. Следовательно, у = 0, что и требовалось доказать. Напомним некоторые сведения из алгебры. Перестановкой порядка г называется всякое биективное отображение а: 1Г —> 1г, где Пг есть отрезок {1,2,..., г} множества натуральных чисел N. Множество всех перестановок порядка г далее обозначается символом Рг. Пусть а — перестановка порядка г. Полагаем а(г) = аг. Мы получаем набор индексов (ai,c*2,.. .,аг) и далее будем говорить, что задана перестановка (tti, Q2, • . • , OLr) ПОрЯДКа Г. Пусть даны перестановка а = (ai,a2,... ,аг) порядка г и набор индексов I = (ii,i2,.. .,гг). Тогда определен набор индексов J = = (JbJ2,.-.,Jr), где jjb = iajfc для всех к = 1,2,...,г. Будем говорить, что «J получается из / посредством перестановки а», и писать J = I о а. Перестановка a G Рг называется транспозицией, если можно указать числа &, / G Пг такие, что А; 7^ ^, a* = /, a/ = А; и аг- = г, если г ^ &, i/l. В этом случае будем также говорить, что а есть транспозиция элементов А;, I множества Пг. Всякая перестановка a G Pr может быть представлена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Как известно из алгебры, всякой перестановке a G Pr может быть сопоставлено некоторое число (т(а) = ±1 такое, что выполняются следующие условия: 1) для любых a,/3 G Рг выполняется равенство а(ао/3) = a(a)cr(/3); 2) если а есть транспозиция, то a(a) = — 1; 3) если перестановка а может быть представлена как суперпозиция m транспозиций, то, как следует из данных условий, сг(а) = ( —1)т.
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 285 Число с(а) называется сигнатурой перестановки а. Перестановка а называется четной, если сг(сх) = 1, и нечетной, если сг{а) = — 1. ■ Лемма 1.2. Предположим, что F есть кососимметрическая полилинейная функция степени к > 2. Тогда, для всякой перестановки a порядка к имеет место равенство F(Xai,Xa2,...,Xak) = (7(a)F(X1,X2>...,Xk). (1.5) Доказательство. Пусть a: i Е I* *-*■ &i € lib есть произвольная перестановка порядка к. Предположим, что а есть суперпозиция N транспозиций. Применение транспозиции к какой-либо последовательности векторов (Yi, Y2,..., Y&) сводится к тому, что два члена последовательности меняются местами, а остальные остаются неизменными. Отсюда вытекает, что последовательность (Х1,Х2,... , Х^) может быть преобразована в последовательность (Xai,Xa2,... ,Хак) в N шагов, на каждом из которых два члена последовательности меняются местами. При каждом таком преобразовании последовательности аргументов функции F значение функции умножается на — 1, и в результате мы получаем ,Xk) = a(a)F(XuX2,...,Xk). F(Xai, Xa2,..., Хак) — = (-l)NF(X1,X2,. Лемма доказана. ■ ■ Теорема 1.1. Пусть векторы Ui,u2,...,un образуют базис пространства X. Для произвольного набора индексов ji,j2, - • - ,3k пусть ujiJ2—jk есть полилинейная кососимметрическая функция, определенная равенством ^i ji Xij2 ... Х\ и^-^(ХьХ2,...,Х*) = X 2ii X 2J2 Xkh Xkj2 X2jk Xkjk (1.6) Тогда для всякой кососимметрической полилинейной функции F степени к имеет место равенство l<Jl<J2<~-<jk<n u Jl>j2,--->Jk где •TjlJ2~-Jk — * \U3l 5 UJ2 5 • * * ' Ujk )' (1.7) (1.8) Замечание. Равенство (1.7) называется каноническим пред- сгпавлением кососимметрической полилинейной функции F относительно базиса {щ, и2,..., un} пространства X.
286 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Пусть F есть кососимметрическая полилинейная функция в векторном пространстве X и Ui, 112,..., un — произвольный базис пространства X. Рассмотрим представление (1.2) полилинейной функции F. Согласно (1.2) для любых векторов Х\,Х2,... >Xk пространства X выполняется равенство п п п F(X1,X2j...,Xk)= 22 '"22 /] FhJ2-.-jkxihx2h • • • xkjk, (1.9) ifc=i i2=iii=i где *'jlJ2—Jk = * VUil ? Uj2> * * * ' U3k )• Преобразуем равенство (1.9), используя тот факт, что рассматриваемая полилинейная функция F является кососимметрической. Прежде всего заметим, что те слагаемые в правой части равенства (1.9), для которых среди индексов ji,J2,... ,jjb есть одинаковые, равны нулю. Зададим произвольно набор индексов i\, i2,..., ik такой, что 1 < i\ < i2 < • • • < г* < п, и рассмотрим сумму тех слагаемых в сумме (1.9), для которых набор индексов {ji,j2> • • • >jk} есть пере-^ становка последовательности индексов {ii,^,... , и}, т. е. j\ = га1, j2 = ia2,...,jib = *«*, где г н-> аг- есть перестановка порядка А;. Согласно лемме 1.2 имеем * jlh~-jk ~ * \X1iac1 5 U«a2 5 • • • 5 U*afc ) = = a(a)F(utl,u,-2,...,utJ = (7(a)Ftli2...tit. Отсюда заключаем, что сумма тех слагаемых в правой части равенства (1.9), для которых набор индексов {ji,j2> • • • ?Jfc} является перестановкой набора {zi, г*2,..., и}, равна выражению *W..u ^2а(а)хиа1Х2^2 ...Xkiak. а Сумма справа есть определитель Хцх Хц2 ... Хцк X2ix X2i2 .. • X2ik I Xkix Xki2 •.. Xkik = u^-^(X1,X2,...,Xk),
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 287 где u*1,,2,,*',,fc есть кососимметрическая функция, определенная равенством (1.1). В результате получаем F(Ii,I2)"«}^) = Е ^.^*и^л-Л(хьх2,...,хо, (i.io) 1 <»1 <*2 <•••<** <П где суммирование выполняется по множеству всех наборов индексов ii,Z2,... ,г'ь удовлетворяющих условию 1 < г*1 < г2 < -\- < г* < п. Векторы ХьХг,... ,Xk взяты произвольно, и мы, следовательно, получаем, что всякая кососимметрическая функция F степени к может быть представлена в виде г = V^ р. . . u«i,«2,...,u г /-/ rn»2-»jtu l<«l<«2<"<«Jk<n Теорема доказана. ■ ■ Лемма 1.3. Пусть F есть кососимметрическая полилинейная функция степени к. Тогда если векторы Xl,X2, ... ,Xk линейно зависимы, то имеет место равенство F(X\,X2,..., Xk) = 0. Доказательство. Пусть F есть полилинейная кососимметрическая функция степени А;. Предположим, что векторы Xl,X2, ... ,Xk линейно зависимы. Тогда один из них может быть представлен как линейная комбинация остальных. Для определенности предположим, что вектор Х\ является линейной комбинацией векторов X2,...,Xfc, Х\ = A2-^2H bAfcXfc. В силу линейности функции F по первому аргументу отсюда вытекает, что F(X\,X2,... ,Xk) = A2-F(X2,X2,... ,Xk)+ h \kF(Xk, X2,..., Xk)- Правая часть этого равенства равна нулю, так как каждое слагаемое справа содержит под знаком F два одинаковых аргумента. Следовательно, F(Xi,X2, -. • ,-^Jb) — 0 для данных векторов Х\, Х2,..., Xk- Лемма доказана. ■ ■ Лемма 1.4. Пусть F есть кососимметрическая полилинейная функция степени к. Предположим, что системы векторов Х = {ХъХ2,...,Хк} и Y = {Y1,Y2,...,Yk} таковы, что при каждом i = 1,2,..., к выполняется равенство к Y{ = 2 ;aijXj, i=i
288 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях и пусть А есть к х к-матрица (a»j)*,j=i,2,...,b Тогда имеет место равенство F(YuY2,...,Yk) = (detA)F(X1,X2,...,Xk). (1.11) Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Если векторы Xi,X2i • • • ,Xk линейно зависимы, то они принадлежат некоторому (к— 1)-мерному подпространству Q пространства X. Очевидно, тогда и векторы Y\, Y<i,..., Yk принадлежат тому же подпространству и, следовательно, они линейно зависимы. Обе части равенства (1.11) в силу леммы 1.3 в этом случае обращаются в нуль и, стало быть, в этом случае равенство (1.11) верно. Предположим, что векторы Xl,X2, ... ,Xk линейно независимы. В этом случае в X существует базис иг, г = 1,2,...,п, такой, что Xi = иг для г = 1,2,...,/с. Координаты каждого вектора Уг относительно этого базиса равны aZJ- при j = 1,2,...,А; и равны нулю при j > к. Отсюда вытекает, что выражение unh...]k(YuY2,...,Yk) (1.12) обращается в нуль, если хотя бы один из индексов ji, j*25 • • • > jk больше &, ибо в этом случае в определителе, которому равна величина (1.12), все элементы, стоящие в одном из его столбцов, будут равны нулю. Из доказанного вытекает, что для данных векторов Y\, Y2,..., Yfc величина uJlj2" J*(Yi, Y2,..., Yjb) может быть отлична от нуля в единственном случае, а именно, только когда j\ = 1, j2 = 2,..., jk = к. Мы получаем, следовательно, F(YuY2j... ,П) = Flf2t...9k^'2'""k(YuY2i...,Yk). Осталось заметить, что u1,2,"M*(Yi,Уг,...,У*) = detA, а 2*1,2,...,* = = F{X\, Х2,..., ^ib)- Лемма доказана. ■ 1.3. Понятие поливектора. Интегрирование по А:-мерной плоскости Приведем некоторые построения геометрического характера. Далее к означает целое число такое, что 1 < к < п. Будем называть к-репером в пространстве Кп всякую упорядоченную систему {Xi,X2,... ,Xfc} векторов пространства Шп. Будем говорить, что fc-penep является вырожденным, если векторы Х\, Х2,..., Xk линейно зависимы. Если векторы Х\, Х2,..., Xk линейно независимы, то fc-penep называется невырожденным.
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 289 Пусть X = {ХьХг,... ,Xk} есть произвольный невырожденный А;-репер в пространстве Кп. Множество всех векторов X, которые являются линейными комбинациями векторов Xi,X2,... , Х&, представляет собой некоторое А;-мерное подпространство Р пространства Е71. Будем называть Р плоскостью данного к-репера. Будем говорить, что fc-penep Y = {Y1,Y2,...,Yk} подобен fc-penepy X = {Xi,X2,...,Xjb}, если существует квадратная матрица А = (^»'i)tj = l,2,...,Jb порядка fc, определитель которой отличен от нуля, и такая, что для всякого i = 1,2,..., к выполняется равенство к Yi = ^aijXj. (1.13) j=i Если А;-реперы X и Y таковы, что выполняются равенства (1.2), то мы будем писать Y = АХ. Обозначим символом Ек единичную матрицу порядка к. Очевидно, detEk = 1, и для всякого fc-penepa X имеем X = JSjfcX. Если Y = АХ, то, в свою очередь, X = A"1Y. Если Y = АХ, a Z = BY, то имеет место равенство Z = (БА)Х. Из сказанного следует, что отношения подобия для fc-реперов, введенное описанным здесь способом, рефлексивно, симметрично и тран- зитивно. Пусть X и Y — два невырожденных fc-penepa. Будем говорить, что fc-репер Y эквивалентен fc-penepy X, и писать Y ~ X, если Y = АХ, где А; х А; — матрица А такова, что ее определитель det A = 1. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности, очевидно, здесь выполняются, так что применение термина «эквивалентность» для определенного отношения между А;-реперами законно. Множество всех невырожденных А;-реперов распадается на классы эквивалентных fc-реперов. Каждый такой класс мы будем называть к-вектором в пространстве КЛ. Если X = {Х^Хг,... ,Xfc} есть невырожденный А;-репер в пространстве Rn, то X определяет А;-вектор, который мы будем обозначать одним из символов [X] или [Х\, Хг,..., Xk].
290 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Всякий fc-вектор в пространстве К71 мы будем называть также к-мерным поливектором. Пусть и = {г/i, ^2, • • •, Uk} есть невырожденный fc-репер в fc-мерной плоскости Р. Говорят, что и есть ортогональный к-репер, если векторы щ взаимно ортогональны, т. е. если (u{,Uj) — 0 для любых i,j = 1,2,... ,fc таких, что г ф j. Ортогональный fc-penep называется ортонормалъным, если длины составляющих его векторов равны единице. Во всяком fc-мерном подпространстве Р пространства Е71 существует ортонормальный репер. Он может быть получен из произвольного fc-репера и применением так называемого процесса ортогонализации Грама — Шмидта, описание которого читатель найдет в любом руководстве по линейной алгебре. Пусть Р есть fc-мерное подпространство пространства W1 и и= {иьг*2,...,гх*} — невырожденный fc-penep, лежащий в плоскости Р. Всякий вектор X Е Р может быть представлен, и притом единственным образом, в виде X = tiu-i + t2u2 Н Ь tkUk- Положим Ки{Х) = (*ъ*2>-••>**)• Очевидно, X ь-> Ки(Х) € Шк есть биективное отображение плоскости Р в Шк. Это отображение называется линейной системой координат в плоскости Р, определенной к-репером и = {tzi,tZ2,-• .5и*}- Вектор t = KU(X) Е Шк будем называть координатным вектором точки X в данной линейной системе координат. Символом 1и будем обозначать обратное отображение К~1. Для ' = (*ъ*25- ..,**)€ R* имеем Iu(t) = hu\ + hu2 H h ^ь Предположим, что задана функция /: Р —» К. Тогда BRfc определена функция g(tf) = /[/и(^)]. Будем говорить, что g есть представление функции / в линейной системе координат, определенной fc-репером и. Пусть и и v — произвольные невырожденные fc-реперы в fc-мерной плоскости Р пространства Кп. Предположим, что v = Au, где А = = (a*i)*\j=i,2,...,b матрица А невырожденная, т. е. det А ф 0. На плоскости Р мы получаем две линейные системы координат. Одна определяется fc-репером и, другая — fc-репером v.
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 291 Выясним, как координаты произвольной точки в одной из этих систем координат выражаются через ее координаты в другой системе координат. Пусть и = {щ^щ,... , г^} и v = {vj,V2,..., v*}. Имеем равенства к Vi = ^T,a>ijUjy г = l,2,...,fc. i=i Пусть X £ Р. Имеем к к i=l i=l Пусть г = (*1,*2,...,**) GE* = ЛГ«(Х) и t = (*ь/2,...,**) е G Rfc = KV(X). Подставляя выражения для векторов г>,- через векторы г/j, получим ib / * Х = Е2' [lLa4ui t=l \j=l Меняя в этом равенстве порядок суммирования, найдем, что i=i \*=i / Отсюда получаем к *=i и, значит, / = A*z, где, как обычно, А* есть транспонированная матрица А. Заметим, что / = KU{X) и z = iTv(X), и, таким образом, равенство / = A*z может быть представлено в виде KU(X) = A*KV(X). (1.14) Линейная система координат в Ar-мерной плоскости Р называется ортонормалъной, если она порождается некоторым ортонормальным Ar-репером и. Пусть и = {щ,и2,... , г/*} есть ортонормалъный репер в плоскости Р. Покажем, что в этом случае скалярное произведение векторов выражается через координаты векторов в системе координат, определенной данным репером, по тем же формулам, что и в случае векторов в пространстве R*.
292 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Действительно, пусть к к X = 22 tiuii У = 2J ZJUJ' Отсюда в силу билинейности скалярного произведения получаем, что к к t=l j'=l В силу ортонормальности /с-репера и имеем (1 при i = j, (^ 0, если г ^ J- Отсюда следует, что к (X,y) = J>^. Иначе говоря, мы получаем, что если t = А^(Х) и z = А"и(У), то (Х,У) = (М) = <#„(*), #а(У)>. Пусть и и v суть произвольные ортонормальные реперы в плоскости Р. Имеем v = Au. Покажем, что матрица А является ортогональной. Пусть А = (a,'j)ij=i,2,...,Jb и u = {г^,^, • • • ,^Jb}? a v = = {^b^25---?^ib}- Имеем Jb Vi — ^>CLijUj, 2 = 1,2, ...,fc. (1-15) J = l Пусть вектор a, = (a^, аг2,..., а;*) есть г-я строка матрицы А. Вектор аг- £ Е*, как следует из равенства (1.15), есть координатный вектор вектора г>,-. Так как и есть ортонормальный репер в плоскости Р, то для любых г, j = 1,2,..., к имеет место равенство (ai,aj) = (vi,Vj). Отсюда следует, что векторы а, взаимно ортогональны и длина каждого из них равна единице, и, значит, матрица А ортогональная. Будем говорить, что fc-вектор является единичным, если он порождается некоторым ортонормальным fc-репером. Пусть X есть произвольный невырожденный fc-penep в пространстве Еп, Р — плоскость этого fc-репера. В плоскости Р построим ортонормальный fc-репер и. Имеем X = Au. Величину | det A\ будем
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 293 называть абсолютной величиной k-вектора [Xi,X2y.. -yXk] и обозначать одним из символов |[Xi,X2,... ,Xk]\ или |[Х]|. Найдем явное представление для абсолютной величины поливектора. Пусть Р есть fc-мерное подпространство пространства Шп и X = = {Xi,X2,... ,Хк} — невырожденный fc-репер в плоскости Р. Пусть и = {щ,и2,..., Uk} есть ортонормальный репер в плоскости Р. Тогда имеем X = Ахл и согласно данному выше определению |[Х]| = | det A\. Определим некоторую функцию 2fc аргументов A(Xi, Х2у..., Хк, У1, У2,..., У*), полагая А(Х1,Х2,...5ХЬУ1,У2,...5П) (XuYi) (XUY2) ... (ХЬП) (X2,Y1) (X2,Y2) ... (X2,Yk) (Хк,Уг) (XkyY2) ... (Xk,Yk) В силу известных свойств определителей функция А является ко- сосимметрической относительно Y\, У2,..., Yk. Пусть {У1,У2,... ,Yk} = Y = В\х. Тогда в силу леммы 1.4 имеем A(X1,X2,...,XkyYuY2y...,Yk) = detBA(XuX2y...,Xk,uuu2,...,uk). Функция А(ХЬ Х2,..., Хк, иъ и2,..., ик) переменных Xi,X2,... ,Хк является кососимметрической полилинейной функцией. В силу леммы 1.4 из соотношения {Хг,Х2,...,Хк} = Х = Аи поэтому следует равенство А(Хг,Х2,...,Хк, щ, и2,..., ик) = det АА(щ, u2j..., ukj ии и2,..., г^). В силу ортонормальности системы векторов ui, и2,..., ик величина A(?xi, г^2,..., ик, ul5 гг2,...,ик) = 1, и мы получаем, таким образом, что еслиХ = ЛииУ = Ви,гдеХ = {Х1Д2,...Д*}иУ={У1,У2,...,П}, то имеет место равенство A(X1,X2,...,Xk,Y1,Y2,...,Yk) = detAdetB. В частности, получаем отсюда \{X]\2 = (detA)2 = A(X1,X2,...,Xk,X1,X2,...,Xk).
294 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Выписывая явно выражение для последней величины, получим (Х19Хг) (XUX2) ... (ХиХк)\ (Х29Хг) (Х2уХ2) ... (Х2,Хк)\ (Xk)X\) (Xk>X2) ... (Xk,Xk)\ Понятия интеграла интегрируемой функции и меры множества, изучаемые в главе 13, могут быть определены также и для функций, определенных на к-мерных подпространствах пространства Еп. При этом нет необходимости повторять все построения, выполненные в главе 13 для этого случая. Теория интеграла для функций, определенных на подпространствах Е71, может быть получена формальным переносом теории интеграла в пространстве Шк. Пусть Р есть произвольное к-мерное подпространство En, u и v — невырожденные fc-реперы в плоскости Р. Эти реперы определяют в Р линейные системы координат. Пусть v = Au, где А есть невырожденная к х /стматрица. Определены биективные отображения Iu: Е* —> Р и Iv: Шк —> Р. Для произвольной функции /: Р —> Ш положим /*/ = / о Iu и/*/ = = / о Iv. Будем говорить, что функции /*/ и /*/ есть представления функции в линейных системах координат, определяемых fc-реперами и и v соответственно. Предположим, что точки t,z еШк таковы, что Iu(t) = Iv(z) = X. В этом случае t есть координатный вектор точки X в системе координат с базисом u, a z — координатный вектор X в системе, определенной посредством fc-репера v. Как показано выше, имеет место равенство t — A*z. Имеем I*f(t) = f{X) и I*f(z) = f(X), и, стало быть, имеет место равенство I*f(t) = I*f(z). Принимая во внимание представление вектора t через вектор г, получаем равенство /;/(*) = i:ka*z). (i.i6) Будем говорить, что функция /: Р —> Е измерима, если для некоторого невырожденного к-репера и в плоскости Р функция /*/ измерима в пространстве Е*. Будем говорить, что функция / интегрируема по плоскости Р, если функция /*/ интегрируема в пространстве R*. В силу равенства (1.16) свойство функции /: Р —» Е, очевидно, не зависит от выбора fc-репера и, определяющего линейную систему координат в плоскости Р. га2 =
§ 1. Полилинейные функции и поливекторы 295 Множество Е С Р будем называть измеримым, если множество KU{E) = 1^г(Е) для некоторого fc-репера и является измеримым. Нетрудно видеть, что это равносильно следующему условию: индикатор множества Е на плоскости Р есть измеримая функция. Чтобы определить интеграл функции / по плоскости Р, зададим в Р линейную ортогональную систему координат, определяемую орто- нормальным к-репером и. Пусть /: Р —» Е есть интегрируемая функция. Величина / /;/(<) л (i.i7) называется интегралом от функции f no плоскости Р и обозначается символом J f{X)diik{X). р Данное определение корректно в силу того, что интеграл (1.17) не зависит от выбора ортонормального fc-репера и. Действительно, пусть v — произвольный другой ортонормальный fc-penep в плоскости Р. Тогда будем иметь Iyf(z) = I*f(A*z). Применяя формулу замены переменных в кратном интеграле (см. главу 13), получим flu(t)dt= fI4(A*z)\detA\dz = \detA\ II*f(z)dz. R* R* R* Матрица А ортогональная, и, значит, модуль ее определителя равен единице. Отсюда вытекает, что Jlu(t)dt = Jltf(z)dz. Rk Rk Этим, очевидно, доказана независимость величины интеграла функции / по плоскости Р от выбора ортонормального репера и. Установим некоторую характеристику кососимметрических полилинейных функций. Полилинейная функция F(Xi,X2, . •. ,^fc) степени к называется внешней формой степени fc, если она удовлетворяет следующему условию: если fc-реперы X = {Х^, Хг,..., Xk} и Y = {Yi, У2? • • •, Yk} эквивалентны, то имеет место равенство F(X1,X2,...,Xk) = F(Y1,Y2,...,Ylc). Справедливо следующее утверждение. ■ Теорема 1.2. Для того чтобы полилинейная функция F степени к была внешней формой, необходимо и достаточно, чтобы она была косо- симметрична.
296 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Доказательство. Докажем сначала необходимость. Зададим произвольно векторы Х^Хг,... , Х& пространства X. Выберем произвольно номера i и j такие, что i ф j, и пусть Y = {Y\, У2,..., Yk} есть к-репер, определенный следующим образом. Если s ф г и s ф j, то Ys — Xs. Далее, Y{ — —Ху, a Yj = Хг-. Данный fc-репер получен из fc-penepa X перестановкой векторов Хг- и Xj и умножением вектора Xj на — 1. Имеем Y = АХ, где матрица А получается из единичной мат- рицы Ek порядка к перестановкой ее столбцов с номерами г и j и последующим умножением элементов одного столбца на —1. Определитель матрицы А в данном случае, очевидно, равен единице. Отсюда следует, что данные fc-реперы эквивалентны. Выпишем значения функции F для систем векторов Х\, Хг,..., Xjb и Y\, У2 ? • • •, У к • Приравнивая полученные значения, будем иметь равенство F(... ,Xi,...,Xj,...) = .Р(.. . ,-Xj,...,Хг-,...). (Простоты ради предполагается, что г < j, и совпадающие члены в выражениях под знаком F справа и слева не выписываются.) В силу линейности F по каждому аргументу мы получаем отсюда, что F(..., — Xj,... ,Хг-,...) = — F(... , Xj,... ,Хг-,...). Тем самым установлено, что полилинейная функция F кососимметрична. Необходимость условия теоремы, таким образом, доказана. Достаточность условия теоремы является простым следствием леммы 1.3. Предположим, что к-реперы У = {УЬУ2,...,П> и Х = {Хг,Х2,...,Хк} эквивалентны. Тогда Y = АХ, где матрица А такова, что ее определитель равен единице. В силу леммы 1.3 имеем F(Y1,Y2,...,Yk) = detAF(X1,X2,...,Xk) = F(XuX2,...,Xk). Таким образом, мы получаем, что если к-реперы {Xi,X2,...,Х^} и {Yi, У2,..., Yk} эквивалентны, то F(YllY2,...,Yk) = F(X1,X2t...,Xk). Теорема доказана полностью. ■
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 297 § 2. Исчисление внешних дифференциальных форм Понятие дифференцируемого многообразия было определено в главе 10. В этом параграфе изучается вторая основная составляющая рассматриваемой теории — понятие внешней дифференциальной формы (кратко, внешней формы). Внешние дифференциальные формы играют роль подынтегральных выражений в излагаемой здесь теории интегрирования. Исчисление внешних форм является разделом области математики, называемой тензорным анализом. Здесь приводятся основные сведения о внешних дифференциальных формах, применяемые в дальнейшем изложении. Определяются некоторые операции над внешними формами, в частности операция умножения внешних форм, операция перенесения внешней формы гладким отображением и, наконец, операция дифференцирования внешней формы. Теория внешних форм играет важную роль в современной дифференциальной геометрии и в топологии. С ее помощью строится аналитическая версия раздела топологии, называемого теорией когомологий. 2.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы Пусть U есть произвольное открытое множество в пространстве Шп. Предположим, что для всякой точки х € U определена косо- симметрическая полилинейная функция u(x): (ubu2,...,ur) H+cj(aO(ubti2,...,ur) векторов г/1,г/2,... ^иг пространства Еп. В этом случае мы будем говорить, что на множестве U определена внешняя дифференциальная форма и(х) степени г. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство ы(х)= £ w»'i.'3 .•r(s)eil>,2--\ 1<1*1<*2< •<*г<П где е*1,,2,,,'*г есть кососимметрическая функция, значение которой для системы векторов щ = (иц, ut*2,..., гг1П), г = 1,2,..., г, задается равенством et"1'I'a»-^(tibU2,...,tir) = Щ{х U2i2 ... U2{ ^*T"f i **ТЧо •«. \iif (2.1)
298 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Далее используются следующие обозначения. Полилинейная функция е*1,,2,"*,гг обозначается одним из следующих двух выражений: dx%1 Л dx%2 Л • • • Л dxlr или dxlldx12 .. .dx%r. Целесообразность такого обозначения будет видна из дальнейшего. Предварительно опишем формальные правила, посредством которых определяются некоторые алгебраические операции с внешними дифференциальными формами. Пусть п — произвольное натуральное число. Тогда символом 1п, как обычно, обозначается отрезок множества натуральных чисел N, состоящий из всех чисел к G N таких, что 1 < к < п. Пусть г G N. Множество всех конечных последовательностей (г*1, г*2,..., гг), где 4,22,... ,гг — элементы множества 1п, будем обозначать символом \гп. Множество Vn есть прямое произведение 1п х 1п х ... х 1П. 4 v ' г множителей Можно рассматривать 1гп также как множество всех отображений отрезка 1г в множество 1п. Элементы множества 1£ будем (имея в виду дальнейшие приложения) называть наборами индексов. Пусть даны наборы индексов / G Vn и J G I*. Тогда символом (/, J) обозначим набор индексов К G I^+s, который получается, если к I приписать справа индексы, составляющие J в таком порядке, в каком они входят в J. Первые г компонент набора индексов К совпадают с соответствующими компонентами набора индексов 7, а следующие s компонент совпадают с соответствующими компонентами J. (Формально К = (&i, &2,..., kr+s), где kt — it при t = 1,2,..., г, и kr+t = jt при t = 1,2,... ,5.) Аналогично, если мы имеем произвольное конечное число наборов индексов Ik, к = 1,2,..., т, то выражение К = (I\, I2,..., Im) означает набор индексов, получаемый, если выписать сначала индексы, составляющие Ii, в порядке их нумерации, затем написать компоненты набора индексов /2? расположив их в порядке нумерации, и т. д., и, наконец, последние гш компонент набора индексов if, взятые в порядке следования, образуют набор индексов 1Ш. Совокупность всех наборов индексов / = (ii,i2,... ,гг) G \тп таких, что %\ < г*2 < * • • < гг, будем обозначать символом 5£. Множество 5£, очевидно, определено только при г < п. Видим, что S™ состоит из единственного элемента — набора индексов (1,2,... ,п). Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп. Предположим, что на множестве U задана внешняя дифференциальная форма и степени г, где 1 < г < п, ш{х) = J2 w«i A,...,tr (x)dx{ldxi2 ... dxir. (2.2) »1<»2<...»г
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 299 Всякому набору индексов / = (гьг2,... ,гг) Е S„ отвечает вещественная функция u>,ll2...,r = cj/, определенная на множестве СУ. Введем также следующее обозначение. Для / = (^, г2,..., гг) Е 5£ полагаем dx1 = dxlldxt2 ... dx,r. В соответствии с этим равенство (2.2) сокращенно может быть записано следующим образом: oj(x) = V^ ojjdx . iesrn Данное равенство так же, как и развернутую его форму, которая дается равенством (2.2), будем называть каноническим представлением внешней дифференциальной формы и(х). Пусть и{х) и 0(х) есть внешние дифференциальные формы степени г, определенные на открытом множестве U пространства Шп. Для всякой точки х Е U определены кососимметрические полилинейные функции и>(х) и в(х) степени г. Их сумма и(х) + в(х), очевидно, также представляет собой некоторую кососимметрическую функцию. Коэффициенты функции г = ш + в выражаются равенствами г/ = uj + Oj. Будем говорить, что внешняя дифференциальная форма и принадлежит классу ^r, если все ее коэффициенты есть функции класса <ё7г. Под внешней дифференциальной формой степени 0 в области U понимается просто вещественная функция, определенная на множестве U. Степень внешней дифференциальной формы и обозначается символом degcj. Внешняя дифференциальная форма и называется мономом, если она может быть представлена в виде и = vdx1, т. е. если все ее коэффициенты, кроме, может быть, одного, обращаются в нуль. Всякая внешняя дифференциальная форма является суммой конечного числа мономов. Установление различных свойств внешних дифференциальных форм поэтому часто может быть сведено к случаю, когда внешняя дифференциальная форма есть моном. Отметим, что полилинейная функция г векторов в пространстве Кп в случае г > п тождественно равна нулю, как следует из леммы 1.3, ибо при г > п любые г векторов пространства Шп линейно зависимы. Пусть дан произвольный набор индексов / = (г'ьг2,... ,гг) Е 1£. Выражению dx1 = dxlldx*2 .. .dx%r согласно определению, данному выше, соответствует полилинейная функция е*1,,2'",,г. Эта форма косо- симметрическая. Заметим, что в определении внешней формы e*1,t2,,",,r нет необходимости требовать, чтобы индексы i\, г'2,..., гг образовывали возрастающую последовательность. Будем считать, что dx1 = dx%1dx12 .. ,dxtr
300 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях означает полилинейную функцию е'1,,2,,,,,,г также и в случае, когда I не принадлежит S„- Пусть дана перестановка а: 1Г —* Ег. Предположим, что набор индексов J = (iai,itt2,... ,гаг) является перестановкой набора индексов /. Так как определитель является кососимметрической полилинейной функцией своих столбцов, то, как следует из леммы 1.2, имеет место равенство dxJ = ai^dx1. (2.3) Если среди индексов г1? г2,..., ir есть одинаковые, то определитель (2.1), посредством которого задается величина e2l,,2,",2r(u1,u2,... , ^r), имеет два одинаковых столбца и, следовательно, в этом случае dx1 = 0. Рассмотрим некоторые частные случаи. Базисные внешние формы первой степени суть dx1,dx2,... ,dxn. В соответствии с этим каноническое представление всякой внешней дифференциальной формы и степени 1 имеет вид п и(х) = y^uJi(x)dx\ t-i Множество 5£, как было отмечено выше, состоит из единственного элемента — набора индексов I = (1,2,...,п). Поэтому имеется только одна базисная внешняя форма степени п, а именно, форма dxldx2 ... cte71. Для произвольной системы из п векторов щ, и2,..., ип величина dx1dx2 ...dxn(u\,щ,...,ип) есть определитель, у которого г-я строка при каждом г = 1,2,..., п совпадает с вектором щ. Каноническое представление всякой внешней дифференциальной формы и степени п имеет вид и(х) = £l(x)dx1dx2 ... dxn. Рассмотрим внешние дифференциальные формы степени п — 1. Имеется в точности п наборов индексов, принадлежащих S^"1. Каждый из них получается из последовательности (1,2,...,п) вычеркиванием какого-либо одного ее члена. Обозначим символом ег набор индексов, получаемый вычеркиванием числа г из последовательности (1,2,. ...п). Каноническое представление внешней дифференциальной формы и степени п — 1 имеет вид п и(х) = ^jTuei(x)dxei. Далее используются следующие обозначения. Для произвольной формы и степени п — 1 полагаем Ui(x) = (—l)'"1^. Тогда каноническое представление внешней дифференциальной формы и(х) принимает вид п и(х) = ^(-1),~1о;1(ж)^е\ а=1 (Целесообразность таких обозначений будет видна из дальнейшего.)
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 301 2.2. Умножение внешних дифференциальных форм Пусть ш и в — произвольные внешние дифференциальные формы степеней г и s соответственно, u{x)= Y^ wiirfdx1, в(х)= Y^ 0j(x)dxJ — их канонические представления. Внешним произведением дифференциальных форм и ж в называется внешняя дифференциальная форма ф степени г + s, определенная равенством ^х) = I] I] 0j(^/(z)dz(/'J). ies^ Jes°n Внешнее произведение дифференциальных форм и и в обозначается символом и А в. Формально внешнее произведение форм и и в получается, если их канонические представления перемножить как обычные многочлены, полагая произведение dx1 и dxJ равным для любых /, J. Напомним, что для I = (z'i, 22,... ,гг) и J = (ii,j*2? • • • ?is) символ dx{i^) означает внешнюю дифференциальную форму drc'1 dx12 ... cfo*r dx-71 dx-72 ... eta-7*. Рассмотрим примеры. Пример 1. Пусть даны внешние формы первой степени ш — п п — ^ Uidx1 и в — Yl, Q{dxl. Тогда, по определению, г=1 г=1 п п u А в = ^2 Y2 uieidxi A dxJ- t=i i=i При г = j имеем dx* Л eta-7 = 0 и, следовательно, и А в = ^ ((jji9jdxi A dx3 + Uj9idxj A dx{), l<t<j<n где суммирование ведется по множеству всех пар (г, jf) таких, что г < j. При г < j имеем dx-7 Л cte* = —dx1 A dx3 и окончательно получаем и АО = ^ (ш*вз ~ ^j0i)dx{ A dxj. l<i<j<n
302 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях п Пример 2. Пусть в = ^ 9jdxi есть внешняя дифференциальная J = l форма первой степени, и — внешняя дифференциальная форма степени п — 1. Запишем каноническое представление формы и в виде u(x) = Yj{-l)i-1u;i(x)dx€\ где в{ £ S^-1 означает набор индексов, получаемый вычеркиванием числа г из последовательности (1,2,..., п). Найдем внешнее произведение в А и. Если г ф j, то da:-7 Л dx€i = 0, так как в этом случае набор индексов (j, £г) содержит два одинаковых члена. Поэтому произведение tfjcta-7 на г-е слагаемое в выражении для внешней дифференциальной формы и при i ф j обращается в нуль. Следовательно, мы получаем в Л и = ]Г(-1)г" V(z)Mz* Л dx€\ i=i Имеем da;1 Л cfoe' = (-l)*"1^1^2 .. .жп. В результате получаем в Аш= 1^Г,и{(х)вЛ dx1dx2 ...dxn. Отметим некоторые свойства операции внешнего умножения, непосредственно вытекающие из определения. Ф Предложение 2.1. Для любых внешних дифференциальных форм и;*, к = 1,2, ...,т, степени г и любой внешней дифференциальной формы в степени s выполняется равенство (ui + u2 H Ь шт) Л9 = и1Лв + и2Лв-\ \-иш АО. Аналогично, для всякой внешней формы и степени г и любых внешних дифференциальных форм 0*, к = 1,2,...,т, степени s выполняется равенство ш Л (02 + 02 + • • • + 0т) = ш Л 0! + ш Л 02 + • • • + и Л Л
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 303 Данное предложение непосредственно вытекает из определения операции умножения внешних дифференциальных форм. ♦ ♦ Предложение 2.2. Пусть даны вещественная функция а и внешние дифференциальные формы и и в. Тогда имеют место равенства (аш) Л 0 = ш Л (ав) = а(ш Л в). Доказательство непосредственно следует из определения умножения внешних дифференциальных форм. ♦ + Предложение 2.3. Пусть даны внешние дифференциальные формы шив, deg(cc;) = fc, deg(0) = L Тогда имеет место равенство иЛв = (-1)к1вЛш. (2.4) Действительно, согласно определению имеем iesi Jes'n ies* Jes'n Доказательство сводится к установлению того, что для любых / £ Sk и J £ Sln выполняется равенство dx^1'^ = (—l)kldx^J,I\ Последовательно меняя в (/, J) = (ii, г*2, -.., %к> ji>h> • • •»j/) индекс ji местами с индексом, стоящим от него слева, после к транспозиций получим набор индексов (ji,ii,i2,.. .,u,j2?-•-?i/)j который отличается от (/,«/) тем, что ji занимает в нем первое место, весь блок индексов / сдвинут на одно место вправо, а остальные индексы остаются на своих местах. Проделав ту же процедуру с индексом j2, после к транспозиций получим набор индексов, в котором два первых места занимают j\ и j*2, блок индексов / сдвинут вправо на два места, а остальные индексы остаются на своих прежних местах. Проделав то же построение / раз, в итоге получим, очевидно, набор индексов (•/,/). При этом всего будет выполнено kl транспозиций. Таким образом, набор индексов (/,«/) превращается в («/,/) за Ы транспозиций. Отсюда следует, что dx^I,J^ = (—l)kldx^J,I\ и тем самым справедливость равенства (2.4) установлена. Предложение доказано. ♦ ♦ Предложение 2.4. Операция умножения внешних дифференциальных форм ассоциативна, т. е. для любых трех внешних дифференциальных форм а?, в и ф имеет место равенство (и Л 0) Л ф = ш Л (0 Л ф). (2.5)
304 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Действительно, пусть суть канонические представления данных внешних форм. Согласно определению внешнего произведения дифференциальных форм имеем о;ЛЙ= J J urfjdx^1^, /65* JGS^ Jes'n Kes? В силу предложений 2.1 и 2.2 отсюда следует, что (иЛв)Лф= Y, Ys S vieJ^Kdx{I,J) ^dxK. ieskn Jes'n i<es? Вычисляя аналогичным образом произведение ш Л (9 Л ф), получим ш/\(в Лф) = J2 S 2 "rfj^Kdx1 Adx(J>K\ Доказываемое свойство внешнего умножения будет установлено, если мы покажем, что dx^1^ Л cte/c = cte7 Л dx^JfK^ для любых /, J, К. В связи с этим заметим следующее. Пусть Р и Q — произвольные наборы индексов, принадлежащие Vn и I* соответственно. Тогда определены внешние дифференциальные формы dxp и dx®. Покажем, что произведение этих внешних форм можно вычислять по тому же правилу, что и в случае, когда Р £ 5£, a Q Е 5*, т. е. dxpAdxQ = dxlp'Q\ (2.6) Действительно, если среди индексов, входящих в Р, есть одинаковые, то dxp = 0. В этом случае, как очевидно, также и dx^PyQ^ = 0. В то же время dxp Л dx® = 0. Таким образом, для данных Р и Q равенство (2.6) верно. Точно так же убеждаемся в справедливости равенства (2.6) в случае, если среди индексов, составляющих Q, есть одинаковые. Предположим, что Р = (рьР2>---,Рг), Q = (Яъ92>-••»?*)> где р^ ^ Pj при г ^ j и точно так же qk ф q\ при к ф I. Пусть наборы индексов Р' € S^
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 305 и Q1 £ 5* являются перестановками Р к Q. Предположим, что Р' получается из Р посредством mi транспозиций, a Q' получено из Q т2 транспозициями. Тогда dxp = (—l)midxp , dx® = (—l)m2dx^ . Согласно определению внешнего произведения имеем dxp Л dx® = (-1)т1+тЧх(р'Я'К Заметим, что набор индексов (Р, Q) получается из (Pf,Qr) mi + г^2 транспозициями и, значит, dx(P,Q) = (_l)mi+madx(P',Q') = ^Р д dxQ^ что и требовалось доказать. В силу сказанного получаем, что для любых /, J и К имеет место равенство dx^'V Л dxK = dx1 Л d*W> = dxV>J'K\ Предложение доказано. ♦ ♦ Предложение 2.5. Пусть даны внешние дифференциальные формы первой степени А,-, г = 1,2,..., г, где 1 < г < п, лря каждом г = 1,2,... ,г, и пусть Х(х) = Ai(z)AA2(a;)A. • -ЛАг(ж). Тогда для любых векторов Jfj, Х2,..., Хг в пространстве Жп выполняется равенство A(Xi,X2,.. .,ХГ) Ai№) Ai(X2) ... A!(Xr) A2(Xi) A2(X2) ... A2(Xr) Ar(Xi) Ar(X2) ..• Ar(Xr) Обозначим правую часть равенства (2.7) символом Х(х)(Х1,Х2,...,Хг). Требуется доказать, что \(х)(Х1,Х2,...,Хг) = \(х)(Х1,Х2,...,Хг) (2.7) (2.8)
306 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях для любых векторов Х\, Х2,..., Хг. В силу известных свойств определителя \(х)(хъх2,.:.,хг) есть кососимметрическая полилинейная функция степени г переменных Xi,X2,... <>ХГ. Пусть А(х) есть матрица, образованная коэффициентами внешних форм A,, i = 1,2,..., г, Л(*) = (\ц{х) Х12(х) ••• А1п(ж)\ A2i(z) А22(я) ••• A2n(z) \Ari(z) Ar2(z) ••• Хгп(х)) Из свойств произведения внешних форм, установленных выше, следует, что 71 П П А=ЕЕ-Е A1)fcl(a;)A2>Jb2(x)...Ar,fcr(a;)dx':4xfc2...^^. (2.9) Слагаемые в сумме справа, в которых по крайней мере два индекса кг совпадают, обращаются в нуль. Пусть ]Г) Xi(x)dxI есть каноническое представление формы Х(х). Для всякого / = (г*1, г2,..., гг), где 1 < i\ < г2 < • • • < гт < п, имеем А/(а?) = А(ж)(е11,ег-2,...,егг). Зададим произвольно / = (ii,z2,.... ,гг) G 5£. Тогда слагаемое Xi(x)dxJ канонического представления внешней формы А равно, как очевидно, сумме всех тех выражений в правой части (2.9), для которых набор индексов К = (fci,fc2,..., kr) является перестановкой набора /, т. е. k\ = iai, fc2 = ia2,..., kr = iQr, где a G Pr. Для всякой перестановки a G Pr имеем dx%ai dxla* ... dxtar = (j{a)dx%1dx%2 ... dx%T = ^(a)^7. Отсюда следует, что Aj(z)cte7 = f J^ cr(a)A1,lai(x)A2)ta2(a:)...Ar>lar(x)J^/,
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 307 где суммирование ведется по множеству всех перестановок a € Рг. Сумма справа есть определитель Ац-! (ж) Аь-2(х) Азп(ж) А2;2(ж) (х) А„-3 (г) Ait, (ж) А2»г(ж) А„-Г(а;) (2.10) При каждом j = 1,2,..., г имеем АцДж) = А^(ж)(е^.). Отсюда ясно, что величина ^(е^, е;2,..., е,г) равна тому же определителю (2.10). Мы получаем, таким образом, что канонические представления внешних форм А и А совпадают, т. е. эти формы равны между собой. Предложение 2.5 доказано. ♦ Отметим один частный случай результата предложения 2.5. Если г = п, то матрица Л(ж), составленная из коэффициентов внешних форм А,-, является квадратной. В этом случае и(х) = Ai Л А2 Л • • • Л An = det A(x)dx1dx2 .. .dxn. ♦ Предложение 2.6. Пусть А,-, г = 1,2,... , г, r < п, есть внешние дифференциальные формы первой степени. Для всякой перестановки a £ Рг ямеет место равенство A<*i Л Att2 Л • • • Л Ааг = a(a)Ai Л А2 Л • • • Л Ат (2.11) Справедливость данного утверждения непосредственно следует из предложения 2.5 в силу известных свойств определителей. ♦ 2.3. Операция дифференцирования внешней дифференциальной формы Зададим произвольно открытое множество U пространства Еп. Всякой внешней форме ш степени г > 0, принадлежащей классу ^т, m > 1, которая определена на множестве 17, может быть сопоставлено некоторая форма степени г + 1, называемая дифференциалом формы и и обозначаемая символом du. Если deg(u;) = 0, то форма и есть вещественная функция, определенная на множестве U. В этом случае дифференциалом и> называется внешняя дифференциальная форма первой степени, которая выражается равенством Едш —(x)dx\ (2.12)
308 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Предположим, что и есть внешняя форма степени г > 1. Тогда она имеет каноническое представление и(х) = 2_\ ui(x)dxI. iesrn Предположим, что и принадлежит классу ^т для некоторого m > 1. Согласно определению это означает, что каждая из функций l>i(x) принадлежит классу <ё?т и, значит, при каждом I € 5£ определена внешняя дифференциальная форма первой степени dui — дифференциал коэффициента uj формы и. Полагаем du{x) = ]Г dur(x) Л dx1. (2.13) iesrn Из определения видно, что du есть форма степени г + 1, принадлежащая классу <ё?ш"1. Установим некоторые свойства понятия дифференциала внешней формы. Все рассматриваемые далее внешние дифференциальные формы предполагаются определенными на некотором открытом множестве U пространства Еп и принадлежащими классу ^т, где т > 1. ♦ Предложение 2.7. Пусть даны внешние формы ui, u>2,..., и;* степени г > 0. Тогда имеет место равенство d{ui + u2 Ч Ь u>k) — duji + du2 Ч Ь duk- (2.14) Равенство (2.14) непосредственно следует из определения дифференциала. ♦ Ф Предложение 2.8. Для всякой функции a: U —► Е класса сё>7П и любой внешней дифференциальной формы и степени г > 1 имеет место равенство d(au) = da Ли + adu. (2.15) Действительно, в силу предложения 2.7 достаточно установить, что равенство (2.15) верно для случая, когда форма и есть моном. Пусть и = fidx1. Согласно определению дифференциала имеем d(au) = d(a(3) Л dx1 = [{da)f3 + adfi] Л dx1 = = (da) Л fidx1 + ad/3 Л dx1 — da Ли + adu. Предложение доказано. ♦
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 309 + Предложение 2.9. Пусть даны внешние дифференциальные формы шив, причем deg(u;) = г > 1 и deg(0) = s > 1. Тогда имеет место равенство d(u Л 0) = (du) Л 0 + (~1)гш Л (d0). (2.16) Действительно, в силу предложения 2.7 достаточно доказать данное предложение для случая, когда каждая из форм и ж в является мономом. Пусть u(x) = u(x)dxI и в(х) = v(x)dxJ. Тогда и(х) Л 0(а;) = = u(x)v(x)dxI Л da;J. Заметим, что если коэффициенты внешней формы постоянны в С/, то дифференциал формы, как следует из определения, тождественно равен нулю. Применяя предложение 2.8, получим d{u(x) Л в(х)} = d{u(x)v(x)dxJ Л dxJ} = = d[u(x)v(x)] Л da;7 Л dxJ + u(x)v(x)d[dxI Л dxJ]. Так как dx^1'^ есть внешняя форма с постоянными коэффициентами, то второе слагаемое справа равно нулю, и мы получаем d{u(x) Л в{х)} = d[u(x)v(x)] Л dx1 Л dxJ = = v(a?)dtz(a;) Л da;7 Л da;J + w(a;)dv(a;) Л dx1 Л da;J = = (du(x) Л da;7) Л (i^a^da;"7) + u(x)dv(x) Л da;7 Л dxJ. Применяя правило перестановки множителей во внешнем произведении (предложение 2.3 из п. 2.2), получим dv(x) Л dx1 = (—l)rda;7 Л Adv(x), так как, по условию, deg(dt>(a;)) = 1, a deg(da;7) = г. Имеем du(x) Л dx1) Л (v(a?)dsJ) = (du) Л 0, u(a?)dt;(a?) Л dx1 Л da;J = (-l)ru(x)da;7 Л (dv(x) Л da;J) = (~1)гш Л (d0). Окончательно получаем d(u Л 0) = {du) Л 0 + (~l)ru Л (d0), что и требовалось доказать. ♦ ■ Теорема 2.1 (первая теорема Пуанкаре). Пусть U есть открытое множество в Шп. Тогда для всякой внешней формы о;, определенной в U и принадлежащей классу ^т, где m > 2, выполняется равенство d(du) = 0.
310 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда deg(cc;) = 0, т. е. и есть просто вещественная функция, определенная на множестве U. Тогда имеем du = У^ ~—dxl. .•=1dXi Отсюда получаем d^ = J2 E S^dxi A dxj- (2-17) i=l j = l ' J Теперь заметим, что dx% Л dx1 = 0, dxl Л da;-7 = — dx* Л cte\ Отсюда получаем 4-^. \dxidxj dxjdxij Последнее выражение равно нулю в силу свойства симметричности вторых производных. Таким образом, мы получаем, что в данном случае равенство d(du) = 0 верно. Пусть deg(u;) > 1. Тогда и = 2_] ujdx1, du = Y^ dc^j Л da;7. /gs; iesrn Отсюда d{du) = 2_. d(dui) A dx — 2_, ^ui Л d(dx ). iesrn iesrn По доказанному, d(dui) = 0, a d(dx!) = 0, так как da;7 есть форма с постоянными коэффициентами. Окончательно получаем d(du;) = 0, что и требовалось доказать. ■ Далее нам понадобится следующее простое предложение. ■ Лемма 2.1. Пусть щ, u<i,..., ur? r <п-> — вещественные функции класса, ^2, определенные на открытом множестве U пространства Шп. Положим u = du\ Л d^2 Л • • • Л dur. Тогда имеет место равенство du = 0. Доказательство. Лемма доказывается индукцией по г. При г = 1 результат вытекает из первой теоремы Пуанкаре (теорема 2.1) Предположим, что для некоторого г < п лемма доказана и даны функции (щ ? ^2,..., ur, ur+i) класса ^2. Если г + 1 = п, то доказывать нечего. Пусть г + 1 < п. Положим 0 = U\du2 Л • • • Л dur Л d?xr+i = t^i, где a;i = du2 Л • • • Л dur Л dur+i. Применяя предложение 2.9, получим d6 = dui Лц+ ixida;i. В силу индукционного предположения du\ = 0. Таким образом, мы получаем, что имеет место равенство d6 = du\ Au\ = ш. Согласно теореме Пуанкаре отсюда вытекает, что du = 0. В силу принципа математической индукции лемма доказана. ■
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 311 2.4. Операция переноса внешней дифференциальной формы гладким отображением Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn, V — открытое множество в Rm, f:U—*V — отображение класса ¥>г, где г > 1. Предположим, что на множестве V определена внешняя дифференциальная форма и степени к > 0. С помощью отображения / мы построим по и некоторую внешнюю форму той же степени уже на множестве U. Эту последнюю форму мы будем обозначать символом f*u и говорить, что f*u получена перенесением формы и в множество U посредством отображения /. Пусть deg(u;) = 0. Тогда и есть просто вещественная функция, определенная на множестве V. Мы полагаем в этом случае /*од = и о /. Рассмотрим случай, когда deg(o;) = к > 1, и пусть и(у) = ]Г uili2„.ik (y)dyixdyi2 ... dyik 1 <*i <%2<••<«к <т есть каноническое представление формы и в пространстве Шт. Пусть f(x) = (/i(z),/2(z),...,/m(a:)). Полагаем f*u(x) = ]Г w.-l.a...u[/(«)]4f.4(») Л #.',(*) Л • ■ • Л dfih(x). l<ii<t2<—<u<m Форма /*u>, как видно из этого равенства, получена следующим построением. В каждом из коэффициентов о;/ исходной формы и величина у заменяется на /(ж), и сам коэффициент тем самым заменяется суперпозицией их о /. Базисная форма dy%1dyt2 .. .dy** представляет собой произведение dy%1 Л dy%2 Л • • • Л dy**. В этом выражении каждая из величин dyx заменяется дифференциалом компоненты с номером г отображения /. Можно сказать, что f*u(x) получается из о;(ж), если всюду заменить у{ на fi(x). Установим некоторые свойства определенной здесь операции над внешними формами. Далее мы предполагаем фиксированными открытое множество U в пространстве Кп, открытое множество V в пространстве Шт и отображение /: U —> V класса ^г, где г > 1. ♦ Предложение 2.10. Предположим, что и(у) есть внешняя форма, степени к > 1 в пространстве Кт. Тогда для всякой точки х € U и любых векторов Х\, А^,..., Хк € Кп имеет место равенство ru(x;X1,X2,...,Xk) = u,[f(x),dfx(X1),dfx(X2),...,dfx(Xk)]. (2.18)
312 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Предположим сначала, что форма и есть моном, и(у) = u(y)dy4dy12 .. .dy%r. Положим df(x;Xj) = Yj. Пусть х € U и У — /(ж)- Тогда справедливо равенство u(y)Y1,Y2,...,Yr) = u(y) Уц2 *2i2 Y7 rii / . Tl<2 Y Y ■ Y Далее имеем f*u(x) = u[f{x)]dfi1Ndfi2^ • -Adfir, и, значит, согласно предложению 2.5 имеет место равенство f*u(x;Xi,X2,...,Xr) = u[f(x)} dU^Xi) dfh{X2) ... dfi^Xr) <*/.-,№) dfl2(X2) ... dfi2(Xr) dfir{X,) dfir(X2) dfir(Xr) Осталось заметить, что u[f(x)] = u(y)y a dfi5(Xk) есть координата с номером ij вектора Yk = d(x,Kk), т. е. dfi^Xk) = Ykir Следовательно, u(y; Yi,Y2,..., Yr) = f*u(x; Xi, X2,..., Xr), каковы бы ни были векторы Х\, Хг,..., Хг. Для случая, когда внешняя форма и есть моном, справедливость доказываемого утверждения установлена. Общий случай очевидным образом сводится к этому. Предложение доказано. ♦ Ф Предложение 2.11. а) Для любых внешних форм степени к > О определенных на множестве V, выполняется равенство f*{ui +u2 + h uN) = /*u;i + /*u;2 + h /*^ЛГ- б) Для всякой формы и и любой функции а, определенных на множестве V, имеет место равенство f*(au) — f*af*u. Справедливость утверждения а) непосредственно следует из определения операции /*. Докажем утверждение б). Если степень и равна нулю, то и есть вещественная функция и, значит, Г(аи,)(х) = a[f(x)]u[f(x)] = (/*а)(х)(/*а;)(х),
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 313 так что в этом случае требуемое равенство выполняется. Предположим, что deg(u;) > 1, и пусть ш(у) = J2 wn«a-u (</WW2 ... dy»'* l<«l<*2<-<*fc<Wl есть каноническое представление о;. Тогда каноническое представление произведения аи; имеет вид YL <x(y)uili2...ik(y)dylldyt2 .. ,dyXk. Согласно определению /*(«") = X) «[Л^Ж.Ъ-й №)]#х(*) Л <*/.-,(*) Л • • • l<U<t2<-<U<wi •••Л^(х) = (Га)(х)(Го;)(х). Предложение доказано. ♦ ♦ Предложение 2.12. Для любых двух форм шив, определенных на множестве V, имеет место равенство />Лб) = /*ыЛА (2.19) Действительно, пусть ш = 53 w/V, в = 53 MyJ есть канонические представления форм шив. Тогда ш Л в = 53 51 ui0Jdy(I'J) lest Jes' n *- n и /*ш = 53 (W/ о /) /•( V), Гб = £ (вJ ° /) Г (V). (2.20) /€S* J6SJ, В силу утверждения а) предложения 2.11 имеем Пш Л в) = £ Е ("' ° Л (^ ° /) ndVU'J))- (2-21) n ^- n
314 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Перемножим выражения для f*u и /*0, которые даются равенствами (2.20). Сравнивая результат умножения с правой частью равенства (2.21), получим, что предложение 2.12 будет доказано, если мы покажем, что /WlJ)) = /W) Л Г(dyJ) (2.22) для любых / G S* и J G Sln. Пусть дан произвольный набор индексов / = (и,г2,... ,гг) G 1^. Тогда в Е771 определена внешняя форма dy1. Покажем, что для нее имеет место равенство /Чу1 = dfh Л dfi2 Л .-. Л dfir. (2.23) В случае, если I € S„, это непосредственно вытекает из определения. Предположим, что последовательность индексов / не является возрастающей. Если среди индексов i\, Z2,..., ir есть одинаковые, то dy1 = 0и, значит, также и f*dyT = 0. В этом случае произведение в правой части (2.23) содержит два одинаковых множителя и, следовательно, равно нулю. Значит, в данном случае равенство (2.23) верно. Предположим, что числа и, г*2,..., гг попарно различны. Пусть a G Pr есть перестановка порядка г такая, что iQl < ia2 < • • • < iar. Положим J = (га1,га2,... ,гЛг). Тогда dy1 = a(a)dyJ и /*dy7 = a(a)dfiai Л d/,-ea Л ..- Л dfiar = d/Zl Л d/,-a Л - • • Л d/,-r, и тем самым равенство (2.23) доказано. Пусть 7 = (гьг2,. ••,**), J = (ii,j2, - • - ,il)- Тогда, по доказанному, f\dy{I>J)) = d/,-, л <*д2 л... л <*/,-, л #Л л d/ia л... л <*/Л = /"V л Г dyJ. Справедливость равенства (2.19), таким образом, установлена. Предложение полностью доказано. ♦ ♦ Предложение 2.13. Пусть f есть отображение класса *£г, где г > 2. Тогда для всякой внешней формы и класса ^1, определенной на множестве V, выполняется равенство d{f*u} = f*{du}. Замечание. Если и есть внешняя форма класса <^?r, a / G <^?г+1, то дифференциальная форма f*u принадлежит классу <ё"г. Справедливость этого следует из того, что коэффициенты формы f*u выражаются алгебраически через производные первого порядка компонент вектор-функции / и через функции u>i о /, где ui есть коэффициенты формы ш.
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 315 Действительно, рассмотрим сначала случай degu; = 0. Тогда и есть вещественная функция, определенная на множестве V. Имеем f*u = u о f и, значит, «{/•-} = £^«*' »=1 дж» Согласно правилу дифференцирования сложной функции (см. главу 7) дх{ 2^дуМКУ)\дх. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем «*{/•«}(*) = £ ^[/(х)} ^ dJ±dx^ = £ ^[f(x)} dfj(x). (2.24) По определению дифференциала внешней формы (см. выше) имеем *"{v) = Е t&W* {Г *»}(*) = Е 7^[/(*)]#;(*)- (2-25) Сопоставляя равенства (2.24) и (2.25), убеждаемся в том, что для случая degw = 0 доказываемое предложение верно. Пусть degw > 1. Тогда ш(у) = Е "liy^y1' <Му) - Е d{w*(y)}Л dy*- Отсюда получаем {/*&;}(*) = J] {/* Ли/}(*) Л {/Чух}(х), Имеем d{/*a;}(x)= J2 d{f*uI}(x)A{rdyI}(x)+ J^ {f^I}(x)d{f*dyI}(x).
316 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Из леммы 2.1 вытекает равенство <*{/*V}(*) = d{dfh{x) Л dfi2(x) Л • • • Л dfik(x)} = О, и, значит, Предложение доказано. ♦ ♦ Предложение 2.14. Пусть U есть открытое множество в Шп, V — открытое множество в Ш™ я, наконец, W есть открытое множество в Шк. Предположим, что заданы отображения /: U -* V и д: V —» W, принадлежащие классу <^?1. Положим h = gof. Тогда для всякой внешней формы и, определенной на множестве W', имеет место равенство r{g*L>} = h*u = (gof)*u>. Сначала рассмотрим случай, когда степень формы о; равна нулю, т. е. форма о; является функцией o;o(>z), определенной на множестве ИЛ Тогда g*u есть функция #о(у) = ojo[g(y)], а /*{5*^} — функция °o[f(x)] = ^оЫДя)]} = <*>о[Мж)]> откуда f*{g*u}(x) = /i*u;(x) для всех х. Теперь рассмотрим случай, когда и есть базисная форма первой степени dzl. Тогда g*dz*(y) = dgi(y) и, значит, согласно предложению 2.12 f*{g*u}(x) = [/*<&](*) - d[f*gi(x)] = d{gt[f(x)}} = dhi{x), так что для этого случая доказываемое предложение верно. В общем случае справедливость данного предложения вытекает из доказанного в силу предложений 2.9 и 2.11. Предложение доказано. ♦ ♦ Предложение 2.15. Предположим, 4Toj есть тождественное отображение области U С Шп на себя. Тогда для всякого гладкого отображения /: U —» Кт справедливо равенство /* о j* = /*, я для любого гладкого отображения д: V —> J7, где V есть область в Kk, j* о д* = #*. Это есть очевидное следствие предложения 2.12. 4
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 317 2.5. Вторая теорема Пуанкаре Открытое множество U в пространстве Кп называется звездным относительно точки р, если для всякой точки х G U отрезок, соединяющий точку р с точкой ж, содержится в множестве /7, т. е. для любого t G [0,1] точка р + t(x — р) принадлежит U'. ■ Теорема 2.2 (вторая теорема Пуанкаре). Пусть U есть открытое множество в пространстве К71, звездное относительно некоторой своей точки ру и и(х) есть дифференциальная форма степени г > О и класса ^Л, где к > 1. Тогда если дифференциал формы и тождественно равен нулю на множестве U, то в множестве U существует дифференциальная форма 0 класса ^к такая, что u(x) = d0(x). Доказательство. В пространстве Kn+1 точек (x,t), где х G Еп, a t G М, рассмотрим множество Q, — U х R, состоящее из всех точек (ж, 2), для которых х G U. Множество Q, является открытым в пространстве Rn+1. Всякая дифференциальная форма 0 степени г > 1 на множестве П может быть представлена в виде 0{x,t) = 0i(x,t) + dt Л 92(x,i), (2.26) где n (2.27) 02(x,t)= 22 9j(x,t)dxJ. Данное представление дифференциальной формы 0(x,t) определяется по ней единственным образом. Полагаем Е(*)= Y, [j9j{x,t)dt\dxJ. Степень формы Е(0) равна г — 1, так что операция Е, определенная равенством (2.26), уменьшает степень дифференциальной формы на единицу. Для всякой дифференциальной формы 0, определенной равенством (2.26), справедливо соотношение d[E(0)] + E(d0) = 01(s, 1) - 0i(a?,O). (2.28)
318 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Заметим, что £(0) есть дифференциальная форма степени г — 1 и, значит, d[£(0)] есть внешняя форма степени г. Степень формы d0 равна г + 1, но так как операция £ уменьшает степень формы на единицу, то, значит, степень формы £(с?0) также равна г. Если форма в принадлежит классу ^*, то, очевидно, также и £(0) G <ё?к. Вывод равенства (2.28) будет дан в конце доказательства теоремы 2.2, а сначала мы покажем, как с помощью равенства (2.28) выводится утверждение теоремы. Предположим, что множество U звездно относительно некоторой своей точки р. Пусть ф{{) есть функция переменной f G М, принадлежащая классу ^^ и такая, что ф{1) = 0 при t < О, i/>(t) = 1 при t > 1 и 0 < ф(1) < 1 для всех t G К. Функцию ф, удовлетворяющую этим условиям, можно получить, например, следующим образом. Положим Л(0=ехр(-^тт^7у) при t G (0,1) и \(t) = 0 для всех остальных значений t. Определим постоянную 7 из условия 1 — = / X(u) du. 7 J о Функция t ф[{) = 7 / ^(u) du, о очевидно, и будет искомой. Для всякой точки х G U точка ip(x,t) = р + ф{1){х — р) принадлежит U в силу того, что множество U звездно относительно точки р. Мы получаем, таким образом, некоторое отображение П на множество U. Предположим, что форма и степени г, определенная на множестве 17, такова, что du(x) = 0. Положим в = <р*и. Тогда в силу установленных выше свойств операции переноса формы посредством отображения имеет место равенство dQ = 0. Поэтому £(с?0) = 0. Предположим, что и(х) — 2_\ (^i(^)dx1. Имеем
§ 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 319 Пусть dx1 — dxlldxl2 .. .dxtr. Тогда ^{dx1) есть внешнее произведение следующих форм степени единица: ^'(0(ж*1 "~Pii)dt + ^{t)dx%1, il)'{t){xi2 - pi2 )dt + ^\t)dx^,..., il)'(t)(xir - pir )dt + tp(t)dxir. Это произведение является суммой конечного числа слагаемых, из которых, как нетрудно видеть, отличны от нуля самое большее г + 1 слагаемых. Слагаемое, не содержащее множитель dt, имеет вид [<0(/)]rdx/. Мы получаем, что в представлении (2.26) для формы 9 = <р*и слагаемое в\ в представлении (2.26) имеет вид e1(x,t) = {ф(г)уш\р + ф(г)(х-Р)}. В силу равенства (2.28) мы получим dZ[<p*u](x) + E(d<p*u)(x) = 0i(z, 1) - 0i(ж, 0). Имеем efy?*u; = <p*du; = 0. В силу выбора функции ф разность 0i(x, 1) — —0i(z,O) равна а;. Таким образом, дифференциал формы Т,[<р*и](х) равен исходной форме и. Для завершения доказательства необходимо установить справедливость равенства (2.28). Применяя теорему о дифференцировании ин- тегралов) зависящих от параметра, получим <ffi(0)(a?) = 5^ Y1 ( /§^0M)<ft ) dx{AdxJ. (2.29) -1 Jesr1 \o X|" Далее, имеем dfi de(x,t) = 53 Е -^-(x,t)dxi Л Лс7+ + 53 ^(x^dtAdx1 -J2 53 ТГ^ОМ)* Л dx'' AdxJ. _ C/t UXi Отсюда заключаем, что /€S-; E E lf^:(x,t)dt\dxiAdx j
320 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Справедливо соотношение Е f [^-(x^dAdx1^ £[/ДМ)-//(*,0)]^7 = = в1(х,1)-в1(х,0). Принимая во внимание равенство (2.29), получаем равенство E(d0)(x,t) = вг(х91) - 0i(ж,0) - dZ(9)(x). Отсюда, очевидно, вытекает равенство (2.28). Теорема доказана. ■ § 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространства Е71 В параграфах 1 и 2 этой главы было введено понятие внешней дифференциальной формы. Здесь будет описан другой основной объект, с которым мы будем иметь дело в этой главе, — понятие дифференцируемого подмногообразия пространства Кп. Материал этого параграфа частично повторяет, что уже было изложено в главе 10. Наличие повторов вызвано, прежде всего, желанием сосредоточить весь материал, относящийся к изучаемой теме, в одном месте, что должно облегчить труд читателя. Здесь рассматриваются также вопросы, касающиеся теории многообразий, не рассматривавшиеся в главе 10. Далее определяется понятие отображения класса ^г для случая отображений, имеющих областью определения произвольное подмножество пространства Шп, вводится понятие диффеоморфизма для таких множеств и устанавливаются простейшие свойства диффеоморфизмов. Особо выделяется класс множеств, для которых понятие производной Da f для функции класса <^?г, определенной на данном множестве, может быть определено единственным образом. Здесь определяются понятия гладкого k-мерного многообразия, а также края многообразия и касательной k-мерной плоскости в точке многообразия. Определяется понятие локальной системы координат или карты многообразия. Доказывается теорема о функциях перехода для различных систем координат. Вводится понятие ориентированного многообразия.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 321 3.1. Отображения класса ^г с произвольной областью определения Понятие функции класса ^г, имеющей областью определения некоторое подмножество пространства К71, было определено только для случая, когда это подмножество открыто. Оказывается полезным определить данное понятие в более общей ситуации. Пусть G есть открытое множество в пространстве Шк. Напомним, что тогда /: G —► Шп называется отображением класса <^7Г, где г > О — целое число, если функция / имеет в G все частные производные порядка не выше г, причем каждая из этих производных непрерывна на множестве G. Пусть А есть произвольное множество в Шк. Будем говорить, что отображение /: А —► Шп принадлежит классу <^7Г, если для всякой точки р £ А можно указать окрестность U = В(р,6) этой точки и функцию f*: U -+ Rn, принадлежащую классу ^г и такую, что f*(x) = f(x) для всех х £ А О U. Пусть G есть открытое множество в Жк. Тогда всякая функция f:G-+ К71, принадлежащая классу ^Т в смысле прежнего определения, удовлетворяет всем условиям нового определения класса <^7Г. Действительно, в этом случае для произвольной точки р £ G в качестве U мы можем, очевидно, взять шар В(р,6) такой, что G D В(р, £), и положить /•(*) = /(*)• Справедливо и обратное: если множество G открытое и функция / принадлежит классу ^т в смысле данного здесь нового определения, то / будет удовлетворять всем условиям прежнего определения функций класса <^7Г. Таким образом, в случае, если множество АсК^ открытое, данное здесь определение принадлежности функции /: А —► Шп классу ^т равносильно прежнему. Пусть дано множество А С R*, причем А ф 0. Тогда если функция /: А —► Шп принадлежит классу <^7Г, то для всякого множества Е С А ограничение функции / на множестве Е, очевидно, также есть функция класса <^7Г. Отметим некоторые свойства отображений класса (ё>г, непосредственно вытекающие из определения. ■ Теорема 3.1. Пусть даны множество А С Ет и В С Шк и отображения /: А —► R* и д: В —► Шп. Тогда если f(A) С В и каждое из отображений f ид принадлежит классу ^г, то суперпозиция gof также есть отображение класса <^7Г.
322 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Возьмем произвольно точку р G А. Пусть q = f(p). Так как д принадлежит классу ^г, то согласно данному выше определению найдутся окрестность V = B(q,e) точки q и отображение д* : V —» Еп, принадлежащее классу <^7Г, такое, что д*(у) = д(у) для всех у G К П Б. Так как / принадлежит классу ^г, то найдутся число <$i > 0 и функция /* G <^7Г, определенная в окрестности Ui = B(p,6i) точки р и такая, что f*(x) = /(ж) для всех a: G J7i П А. Пусть 6 > 0 таково, что 6 < Siy и для всякого a; G Ет из неравенства |ж — р\ < 6 следует, что |/*(#) — /(р)| = |/*(я) — q\ < е. Для всякого ж G J7 = В(р,6) определена величина g*[f*(x)]. Функция h* = #ж о /* принадлежит классу <^7Г. Если ж G (7 П А, то /*(#) = /(ж), и, значит, для этого х точка у = /(ж) G 5. Отсюда вытекает, что для данного а: имеет место равенство h*(x) = #*(г/) = #Ы = #[/(*)]• Мы получаем, таким образом, что для всякой точки х € А можно указать окрестность U — В(р,6) этой точки и функцию h*: U —> Еп, принадлежащую классу ^г и такую, что /i*(x) = g[f(x)] для всех ж G G /70 А. Так как точка р G А была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что отображение д о /: А —» Еп принадлежит классу <ё?г. Теорема доказана. ■ В общем случае, когда множество А в пространстве Шк произвольно и функция /: А —» Еп принадлежит классу ^г, то, вообще говоря, частные производные для этой функции не могут быть определены. Пусть, например, к = 2 и множество А есть прямая, состоящая из всех точек х = (х,у) таких, что х — у. Функция /: А —» Е, определенная условием /(ж) — х — у для произвольной точки ж = (ж, у) G А, принадлежит классу ^г при любом г. Действительно, каждая из функций д(хуу) = ж и h(x,y) = у представляет собой продолжение функции / на Е2, которое есть функция класса ^г при любом г. Имеем — (ж, у) = 1, ——(ж, у) = 0. ох ох В силу сказанного становится непонятным, какое конкретное зна- чение нужно приписать производной —(ж,у): следует ли считать ее ох равной единице в каждой точке множества А или же эту производную мы должны считать тождественно равной нулю? Имеется, однако, один важный частный случай, когда понятие частной производной функции класса ^г определяется однозначно, хотя область определения функции и не является открытым множеством в пространстве Ет для какого-либо конкретного значения т. Рассмотрим этот случай. Предварительно сделаем некоторые общие замечания.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 323 Пусть А есть произвольное непустое множество в метрическом пространстве (М,р). Точка х множества А называется внутренней точкой А, если существует 6 > О такое, что шар В(х,6) С А. Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью или открытым ядром множества А и обозначается символом А°. Открытое ядро всякого множества А в метрическом пространстве (М,/>) есть открытое множество. Действительно, если множество А вообще не имеет внутренних точек, то множество А° пусто и, следовательно, в этом случае А0 есть открытое множество. Предположим, что множество А° непусто. Пусть х есть произвольная точка множества А°. Тогда согласно определению найдется 6 > О такое, что В(х,6) С А. Все точки шара В(х,8) являются его внутренними точками, и так как В(х,6) С А, то каждая точка данного шара является внутренней также и для множества А. Это означает, что В(х,6) С А° и, следовательно, х есть внутренняя точка множества А0. Так как точка х G А0 взята произвольно, то тем самым доказано, что множество А° открытое. Пусть А и В — произвольные множества в метрическом пространстве (М,/>), причем В С А. Говорят, что множество В всюду плотно в множестве А, если для всякой точки х G А по любому е > О можно указать точку у G В такую, что р(х,у) < е. Пусть дано непустое множество А в пространстве К*. Множество А назовем регулярным, если его внутренность всюду плотна в А. Пусть А есть произвольное множество в метрическом пространстве (М,/>). Напомним, что множество G С А называется открытым относительно А, если G есть открытое множество пространства (А,р) — подпространства (М,/>). Как было показано в свое время (глава 9, п. 1.4.2), множество G С А является открытым относительно А в том и только в том случае, если G допускает представление G = А П /7, где U есть открытое множество пространства (Х,р). Далее будет полезно следующее утверждение. ■ Лемма 3.1. Если множество А в метрическом пространстве (М, р) регулярно, то всякое непустое множество Е С А, открытое относительно А, также является регулярным. Доказательство. Пусть А есть регулярное множество в метрическом пространстве (М,/>) и множество Е С А является открытым относительно А. Возьмем произвольно точку х G Е. Так как множество Е является открытым относительно А, то найдется 6 > О такое, что всякая точка х1 G А, для которой р(х*\х) < <$, принадлежит Е.
324 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Так как множество А регулярно, то х является пределом некоторой последовательности {xu)v^ внутренних точек множества А. Согласно определению понятия предела последовательности точек метрического пространства (§ 1 главы 9) найдется номер v такой, что для всех v > v выполняется неравенство p{xv,x) < <$, т. е. xv G Е для всех v > v. При v > v точка xv является внутренней точкой множества Е. Действительно, возьмем произвольно номер v > v. Так как xv есть внутренняя точка А, то найдется Е\ > 0 такое, что B(xv,S\) С А. Положим e<i — 6—р(х1/,х). Очевидно, е2 > 0. Пусть е > 0 есть наименьшее из чисел Е\ и £2- Тогда если р(х,,х1/) < £, то х' G B(xv,e\) С А, поскольку е < е\. Значит, х' G А°. В то же время имеем е < £2 и, следовательно, р(х\х) < p(x\xl/) + p{xv,x) < е2 + p(xv,x) = <5, и потому х' G Е. Мы видим, что все точки шара В(х1/,е) принадлежат множеству JS, т. е. xv есть внутренняя точка множества Е. Полагая yv ~ х„ при v < v и yv — xv при v > 1>, мы получим последовательность внутренних точек множества Е, имеющую своим пределом точку х. Поскольку точка х G Е была взята произвольно, то тем самым установлено, что множество Е регулярно. Лемма доказана. ■ Пусть А — регулярное множество в пространстве Шк и /: А —> Шт есть функция класса ffr. Тогда ограничение функции / на множестве А0 принадлежит классу <ё?г. Множество А° открытое. Так как А° С А, то ограничение / на А° есть функция класса Ч>Т и, следовательно, функция / имеет в каждой точке множества А° все частные производные порядка не выше г, причем эти производные на множестве А° непрерывны. Возьмем произвольно точку р G А. В силу регулярности А точка р является предельной для множества А°. Согласно определению функций класса ^г существуют окрестность U = В(р,6) точки р и функция /*: U —> Ет такие, что /* принадлежит классу ^г и f*(x) = f(x) для всех х G U О А. В каждой точке х G А° для всякого fc-мерного мультииндекса а такого, что |а| < г, определена частная производная Daf(x). Функции / и /* на множестве U О А° совпадают. Множество U П А° открытое, и, значит, Daf(x) = Daf*(x) для всех х G U П А0. Функция Da/* непрерывна. Пусть {xv)u^^ — произвольная последовательность точек множества А°, сходящаяся к произвольной точке
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 325 х £ А П U. Так как U есть открытое множество, то найдется номер v такой, что при всяком v > v точка xv принадлежит окрестности U точки р. В силу непрерывности функции Da /* существует предел lim Daf*{xu) — Daf*(x). При v > v справедливо равенство v—юо Daf*(xl/) = Daf(xv). Отсюда, в частности, вытекает, что в рассматриваемом случае существует также и предел lim Daf{xu) = lim Daf\xv) = Daf*(x). 1/—ЮО V—>00 Из доказанного в силу критерия Гейне существования предела следует, что для всякой точки х € U Л А для любого fc-мерного муль- тииндекса а, удовлетворяющего условию \а\ < г, существует предел lim Daf(t). Значение этого предела равно Daf*{x). t->x,t€A° В частности, существует предел lim Da f(x). Этот предел бу- дем считать значением производной Da f в точке р множества А и обозначать символом Da f(p). Из проделанного выше построения следует, что всякая точка р 6 А имеет окрестность U = В(р,6) такую, что во всех точках множества 11Г\ А имеет место равенство Da f(x) = /a(z), гДе fa — Da f* есть функция, непрерывная в точке р. Отсюда вытекает, что функция Da f непрерывна в точке р. Точка р £ А взята произвольно, и, следовательно, мы получаем, что функция Da/, где |а| < г, непрерывна в каждой точке множества А. Пусть А есть регулярное множество в пространстве Шк и /: А —> —* Шп — отображение класса <^7Г, где г > 1. Тогда для всякой точки t £ А определены векторы тт-(0> г = l>2,...,fc. Это позволяет для всякого a £ А определить линейное отображение df(a;h): h = (hu h2j... ,hk) ^ ])T —(t)hi, г=1 которое мы будем называть дифференциалом отображения f в точке а. Мы будем применять в этом случае те же обозначения для дифференциала, что и в главе 7. Если / есть отображение класса ^г множества А, регулярного в тк, причем г > 1, то для всякой точки р £ А справедливо соотношение /(*) = /(р) + #(р; * - р) + «(<)!< - р\, (3-1)
326 Я^л. 15. Интегральное исчисление на многообразиях где a(t) —► 0 при t —> р. Действительно, условие / G ^ в данном случае согласно определению означает, что существуют окрестность U = В(а,6) точки а и функция f*:U—> Kn класса 4>т такие, что f*(t) = /(*) для всех t £ U П А. В силу известных свойств функций класса <ё?г, определенных на открытых множествах (глава 7), для всякой точки р G U справедливо соотношение f*(t) = f*(p) + dr(p;t-p) + a(t,p)\t-p\, (3.2) где a(tjp) —» 0 при t —» р. Для случая, когда t G А, имеем равенство df* f*(t) = f(t), а производные ——'(р) совпадают с соответствующими С/ Z i производными функции /. Это означает, что если р G А, то df*(p; h) = = d/(p; /i), какова бы ни была функция /* G ^г, определенная на окрестности U точки р и такая, что /*(ж) = /(ж) для всех a: G /7 П А. (Напомним, что множество А предполагается регулярным.) 3.2. Понятие диффеоморфизма Пусть дано множество А С Шк. Отображение /: А —> Ет называется диффеоморфизмом класса ^г, если оно удовлетворяет следующим условиям. 1) Отображение / взаимно однозначно и принадлежит классу ffr для некоторого г > 1. 2) Пусть Б = /(А). Тогда обратное отображение /_1: J? —► R* принадлежит тому же классу гладкости ^г, что и отображение /. В дальнейшем, говоря о диффеоморфизмах, в тех случаях, когда это не может привести к недоразумению, мы, как правило, не будем специально указывать, какому именно классу ^г принадлежит рассматриваемый диффеоморфизм. Если /: А —► Ет есть диффеоморфизм и В = /(А), то будем говорить, что множество В диффеоморфно А. При этом если / есть диффеоморфизм класса ^г, то будем говорить, что множество В диффеоморфно множеству А в классе <ё7г. а ' Пусть даны множество А С }М* и диффеоморфизм /: А —> Ет класса ^г. Пусть В = /(А). Отображение / взаимно однозначно, и согласно определению отображение Z""1 принадлежит классу <ё7г. Отображение, обратное к Z""1, есть / и, следовательно, принадлежит классу сё?г.
§ 3. Дополнительные введения о гладких подмногообразиях 327 Таким образом, мы получаем, что отображение /"*: В —» К* удовлетворяет указанным выше условиям 1) и 2) и, значит, f-1 есть диффеоморфизм того же класса ^г, что и отображение f. Отметим некоторые простейшие свойства диффеоморфизмов, непосредственно вытекающие из определения. Тождественное отображение множества А С Шк удовлетворяет условиям 1) и 2) данного выше определения для любого г > 0 и, следовательно, представляет собой диффеоморфизм класса ^т для любого г. Пусть даны множество А сШк и отображение f: А —» Ет представляет собой диффеоморфизм кла,сса, <ё7г. Тогда, для всякого множества Е С А ограничение отображения f на множестве Е также есть диффеоморфизм клеьсса, <&г. Пусть даны множества А С IRm, В С Шк и С С Еп. Предположим, что множество А диффеоморфно в ^г множеству В, а, В диффеоморфно в ^г множеству С. Пусть дан диффеоморфизм /: А —► Кт класса ^г, и пусть 5 = = f(A). Предположим, что отображение д: В —> Rn также представляет собой диффеоморфизм класса ffr'. Тогда, отображение h = gof есть диффеоморфизм класса, сё?г. Действительно, каждое из отображений / и g взаимно однозначно. Отсюда следует, что отображение h взаимно однозначно. При этом h(A) = #[/(А)] = д(В). Отображения / и д принадлежат классу {ё,г. В силу теоремы 3.1 это позволяет заключить, что h принадлежит классу *Ё?Г. Положим h(A) = С, С = д(В). Так как каждое из отображений /ид есть диффеоморфизм, то отображения /_1 и д~г принадлежат классу <ё7г. Очевидно, имеем h"1 = f"1 о д"1. Применяя теорему 3.1, отсюда получаем, что отображение h"1 также принадлежит классу <^7Г. Таким образом, доказано, что h есть диффеоморфизм. Из доказанного, в частности, вытекает, что введенное здесь отношение диф- феоморфности для множеств в евклидовых пространствах рефлексивно, симметрично и транзитивно. Всякое множество в пространстве Шк диффеоморфно самому себе. Если А С Шк диффеоморфно В С Кт, то, в свою очередь, В диффеоморфно А. Если множество А С Шк диффеоморфно В С Rm, В диффеоморфно С С Мп, то А диффеоморфно С. Докажем предложение, которое в случаях, важных для нас, позволяет устанавливать, что некоторое отображение есть диффеоморфизм.
328 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях ш Теорема 3.2. Пусть А есть регулярное множество в пространстве R*, <р: А —» Шп — отображение класса ^г и В = <р(А). Предположим, что <р удовлетворяет следующим условиям: 1) <р взаимно однозначно и обратное отображение (р~1: В —» Шк непрерывно; 2) в каждой точке t € А векторы тг-(*)> i — l,2,...,fc, линейно независимы. Тогда (р есть диффеоморфизм класса <ё?г. Доказательство. Предположим, что отображение <р удовлетворяет всем условиям теоремы. Положим ф — (р~*. Теорема будет доказана, если мы покажем, что ф есть отображение класса сё?г. Возьмем произвольно точку q £ В. Пусть р = ф{ц). Тогда р 6 А и <р(р) = q. По условию, <р принадлежит классу tifr. Это согласно определению означает, что найдутся окрестность U = 2?(р, <5i) точки р и отображение у>*: U —» Шп класса ^г такие, что <p*(t) = <p(t) для всех t € AC\U. Так как множество А регулярно, то производные тг"(0 определены для всех д(р t € А. Функции тг— непрерывны на множестве А. Множество А0 П U С/6 2 открытое, и так как функции (р и (р* на нем совпадают, то для всякого t € А° Г) U имеет место равенство тг-(0 = -^—(0* Эти производные С/6 j С/6 j представляют собой функции, непрерывные на множестве А П /7, откуда следует, что они совпадают во всех точках t E. AdU. В частности, ——(р) = тг— (р) при каждом i — l,2,...,fc. Имеем С/ 6 j С/С j ^ = y?(p) = ¥>*(?)• Согласно второй теореме о выпрямлении (г'лава 10, теорема 3.3) можно указать числа 6 > 0, е > 0 и отображение F: V —» —» Еп класса <^7Г, определенное в окрестности У = B(q,e\) точки q — — <Р*(р) £ ^п? такие, что 0 < 6 < 6\ и выполнены следующие условия. Для всякого tf, достаточно близкого к точке р, а именно, для любого, которое удовлетворяет неравенству \t — р\ < 6 при n — fc, выполняется равенство jF[(/>*(tf)] = tf, а если п > к, то F[(p*(t)] = (2,0). (Пространство Еп в последнем случае рассматривается как декартово произведение Шк х Ет, где m = п — к.) Иначе говоря, если t Е А и \t — р\ < <$, то г-я компонента вектора F[(p*(t)] равна г-й компоненте вектора tf, т. е. 2^[у>*(0] = U Для г — l,2,...,fc. Пусть ф* есть отображение ж н-> ь^ (jP1(a:),ir2(a:),... ,Fk(x)) £ К*. Отображение ф* принадлежит классу ^Г и определено на шаре B(q,e\). Отображение ф = (^_1 в силу условий леммы непрерывно, и, значит, найдется е такое, что 0 < е < £i, и если х е В удовлетворяет неравенству \х — q\ < в, то ^(я) — р| < 6.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 329 Пусть х G В, причем |ж — q\ < е. Положим t = Ф(х). Тогда имеем ф*(х) = 4>*[ip*(t)] = '0*[v?(O] = *• Мы получаем, таким образом, что ф*(х) = ^(ж) для любого ж G .В, принадлежащего окрестности B(q,e) точки д. Точка q € В выбрана произвольно. В силу определения из доказанного следует, что -0 = ^_1 есть отображение класса <ё?г. Следовательно, отображение <р есть диффеоморфизм класса (ё?г. Теорема доказана. ■ ■ Лемма 3.2. Пусть А есть регулярное множество в пространстве R*, <р: А —» Шт — диффеоморфизм класса ^г, г > 1. Пусть В = = у>(А) и q — </>(р), где р G А. Предположим, что окрестность V — = B(q,e) точки q и отображение ф: V —> IRfc класса ^г таковы, что ф(х) = (р~1(х) для всех х €. U С\ В. Тогда для всех t £ А таких, что \ip(t) — ¥>(р)\ < £, выполняется равенство drj)[<p(t)] о d(^(£) = Id^, где Id^ есть тождественное отображение пространства Шк. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Так как <р принадлежит классу <^7Г, то согласно определению отображения класса &т найдутся окрестность U — В(р, 6) точки р и отображение </?* : U —* —>ШП класса^77" такие, что <p*(t) = у>(<) для всех < G £/ПА и \ip*(t) — q\ <e для всех t G /7. Функция 95 определена во всех точках множества А0 и принадлежит классу ^г на множестве А0. Отсюда следует, что <р дифференцируема во всех точках t G UС\ А0. Согласно правилу дифференцирования сложной функции (1[<ф о <p*](t) = dr/>[(p*(t)] о d<p*(t) (3.3) для всех t e U Г) А°. Пусть t G AnU. Тогда ж = <р*(<) = <p(t) G 5 и, значит, ф{х) — (р~г(х). Отсюда следует, что для данного t имеет место равенство Таким образом, d£(t) = Idfc во всех точках открытого множества А°П£Л По условию, множество А регулярно и, значит, согласно лемме 3.1 множество A C\U также регулярно. Возьмем произвольно точку t G А. В силу регулярности множества А П U найдется последовательность (<i/)i/€N точек множества (А П J7)° такая, что / = lim xv. В каждой V—ЮО из точек <„ имеем равенство d^o^p*]{tv) = Id^. В силу непрерывности функции d[^o<p*] на множестве А П С/ отсюда следует, что равенство d[ij)o<p*](t) = Idk выполняется и для данного t G Af)U. Так как t G Afll7 было выбрано произвольно, то мы, следовательно, получаем, что для
330 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях t Е А Г) U справедливо drl>od<p*(t) = Uk. ^ А ТТ д^ Осталось заметить, что на множестве АП и производные —— сов- падают с производными — и, значит, d<p*{t) = dtp(t) в каждой точке t E А. Лемма доказана. ■ Замечание. Пусть даны конечномерные векторные пространства X и У. Пусть L: X —> У есть линейное отображение. Предположим, что существует линейное отображение М: У —> X такое, что для любого £ Е R* выполняется равенство M[L(f)] = f. Тогда для всякой системы £1,62? • • • jffc линейно независимых векторов пространства X векторы гц — L(£i) в пространстве У линейно независимы. Действительно, предположим, что отображения 1,Ми векторы &, г = 1,2,...,/с, удовлетворяют этим условиям. Зададим произвольно числа /г-, г = 1, 2,..., /с, не обращающиеся одновременно в нуль. Пусть е = Е ^ *?= L(^ = Е '^(fc) = Е1^- г=1 г=1 i=l Вектор £ отличен от нуля. Имеем f = 2>M[Z(fc)] = М г'=1 S/i7?« г=1 = M[L(0] = М(т?). Отсюда следует, что также и т\ ф 0. Тем самым доказано, что векторы т/г-, г = 1,2,..., /с, линейно независимы. Т Следствие. Пусть множество А в пространстве Шк является регулярным и отображение (р\ А —> Мп есть диффеоморфизм. Тогда в каж- дои точке t Е А векторы тт—СО» тг"(')>' * * > "Н—(0 линейно независимы. Oti ОТ 2 ^fc Замечание. Теорема 3.2 устанавливает некоторые достаточные условия для того, чтобы отображение /: А —> ]Rn, где А С Efc — регулярное множество, было диффеоморфизмом. Данное следствие показывает, что эти условия необходимы. Доказательство. Пусть А есть регулярное множество в пространстве Кк и (р: А —> Еп есть диффеоморфизм. Возьмем произвольно точку р Е А. Согласно определению отображения класса 4>т найдутся окрестность U = 5(р, 5) точки р, окрестность V = B(q,e) точки q = Ц>(р) и отображение ф: V —> Шк класса ^г
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 331 такое, что на множестве t Е Af)U определено отображение фор, причем d1>[<p(t)] о dtp(t) = Uk. Положим (1ф[(р(р)] = М и d(^(p) = X. Имеем M[Z(£)] = £ для всякого вектора (ЕК^и £(ег) = тт—(О ПРИ всяком г = 1,2,..., /с, где С/1 j ei,e2,... ,е& есть канонический базис пространства Шк. В силу замечания, предшествующего следствию, отсюда вытекает, что векторы —(/), г = 1,2,..., fc, линейно независимы. Следствие доказано. ▼ С/ L i 3.3. Понятие А;-мерного подмногообразия пространства Rn 3.3.1. Множество Р в пространстве Шк будем называть fc-мерной стандартной областью, если Р есть либо 1) открытый А:-мерный прямоугольник (аиЬг) х (а2,Ь2) х ••• х {ак,Ьк), либо 2) fc-мерный полуоткрытый прямоугольник (abbi] х (а2,Ь2) х ••• х (ак,Ьк). В случае 1) множество Р будем называть к-мерным интервалом, а в случае 2) Р называется к-мерным полуинтервалом. Пусть Р есть £;-мерный полуинтервал (abbi] х (02,62) х •*• х (ak,bk). Точки t Е Р, у которых первая компонента равна bj, будем называть краевыми точками Р. Совокупность всех краевых точек полуинтервала Р называется его краем и обозначается символом дР. Если к > 2, то для данного полуинтервала Р определен еще (к — 1)-мерный интервал (а2,Ы х ••• х (ак,Ьк), который будем обозначать символом до Р. Пусть j есть отображение (<2>-••?**) € $оР •-* (Ьъ*2> • • • ?**) £ Е дР. Отображение j есть диффеоморфизм. Действительно, j взаимно однозначно и отображает д$Р на дР. При этом j E с£т при любом г > 1. Отображение р: (Ьь*2> • • • >**) Е $Р »—► (<2>•••,**) £ $оР? является обратным к j и принадлежит классу ^г для любого г > 1.
332 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Тем самым доказано, что j есть диффеоморфизм класса (ё?г при любом г > 0. 3.3.2. Покажем, что всякая стандартная А:-мерная область Р в Кк является регулярным множеством в пространстве Шк. Если Р есть fc-мерный интервал, то Р есть открытое множество в К*, его внутренность, стало быть, совпадает с Р и, следовательно, в этом случае внутренность Р является множеством, всюду плотным в Р. Пусть Р есть полуинтервал (аьЬ^х^,^)** ' 'x(ak->bk). Положим Ро = (аьЫ х (а2,Ь2) х ••• х (ak,bk). Все точки интервала Р0, очевидно, являются его внутренними точками. Следовательно, они являются внутренними также и для полуинтервала Р, т. е. справедливо включение Ро С Р°. (Предоставляем читателю доказать, что в действительности Ро = Р°.) Всякая точка t £ Р является пределом последовательности (^„^n точек интервала Pq. Действительно, пусть 2 = (<ь<2> • • • >^) € -Р. Тогда имеем cti < ^i < bi и аг- < /г- < Ьг- при г — 2,...,А:. Если а! < < ^i < bj, то < принадлежит множеству Pq С Р° и в этом случае все ясно. Предположим, что t\ — Ь\. Положим / = Ь\ — aj, и пусть ^, I/ £ N, есть точка t ei. (Как обычно, символы ег, г = 1,2,..., к, v + 1 обозначают векторы канонического базиса в Шк.) Легко проверяется, что tv £ Ро для всех v £ N и tv —> t при i/ —> оо. Мы получаем, следовательно, что Ро, а значит, и Р° всюду плотно в Р. Множество Р, таким образом, является регулярным. Пусть Р есть к-мерная стандартная область в Шк и <р: Р —» Rn есть диффеоморфизм. Тогда в каждой точке t € Р определены векторы Согласно следствию леммы 3.2 эти векторы линейно независимы. Отсюда, в частности, следует, что к < п. Таким образом, если для стандартной А:-мерной области Р существует диффеоморфизм tp: Р —> Rn, то ее размерность к < п. 3.3.3. Множество F в пространстве Шп называется элементарным к-мерным многообразием класса (ё?г или, иначе, k-ячейкой класса (ё?г, если F диффеоморфно в смысле (ё?г некоторой А:-мерной стандартной области. Пусть F есть элементарное А:-мерное многообразие класса ^г и (р: Р —» F есть диффеоморфизм класса (ё7г стандартной А:-мерной области Р на множество Р.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 333 Отображение <р называется параметризацией k-ячейки F. Обратное ему отображение ф = <р~г называется локальной системой координат или картой £;-ячейки F. Для произвольной точки х Е F координаты точки t — ф(х) будем называть координатами точки х в системе координат ф. Всякая £;-ячейка класса (ё?г принадлежит также и классу ce>s для любого s < г. Если F С Шп есть £;-ячейка класса (ё?г', то параметризация (р: Р —» F называется допустимой, если она представляет собой диффеоморфизм именно класса <ifr. Так как тождественное отображение есть диффеоморфизм, то всякая k-мерная стандартная область является элементарным к-мерным многообразием класса сё?г при любом г > 1. Напомним (см. §1 главы 9), что множество G С А называется открытым относительно А, если G есть открытое множество пространства (А,/>) — подпространства (X,р). Пусть А — множество в метрическом пространстве (X, р). Как показано в главе 9 (см. п. 1.4.2), множество G С А является открытым относительно А в том и только в том случае, если G допускает представление G — А П U^ где U есть открытое множество пространства (X, р). Пусть х — произвольная точка множества А С X. Окрестностью точки х в множестве А будем называть всякое множество G С А, открытое относительно А и такое, что х Е G. Множество М в пространстве Шп называется k-мерным многообразием класса <^?г, если для всякой точки х Е М существует окрестность F точки х в множестве М, которая является А:-ячейкой класса (ё?г. В данном определении не исключаются случаи, когда к = 1 и к = п. В случае к — п будем называть к- мерное многообразие класса с(эг также областью класса ^г в пространстве Шп. Если к = 1, то fc-мерное многообразие класса (ё?г называется кривой класса <г?г. В случае 1 < fc < n всякое fc-мерное подмногообразие F класса ^ пространства Шп будем называть также k-мерной поверхностью класса ci?r в пространстве Rn. Отметим еще, что (га—1)-мерное подмногообразие пространства Шп называется гиперповерхностью. 3.3.4. Пусть М есть fc-мерное многообразие класса ffr, а множество F, открытое относительно М, является А:-ячейкой класса ^г. Всякая параметризация (р: Р —» F fc-ячейки F называется локальной параметризацией данного многообразия. Слово «локальная» в наименовании параметризации в дальнейшем, как правило, опускается.
334 Гл. 15. Интегральное исчисление яа многообразиях Отображение, обратное к (/>, называется локальной системой координат или картой многообразия М. Пусть х — произвольная точка множества F. Тогда будем говорить, что <р: Р —> F есть параметризация окрестности F точки х в многообразии М. Отображение ф = р~1 в этом случае будем называть системой координат или картой, определенной на окрестности F точки х. Пусть <р: Р —» М и ф: Q —» М — произвольные локальные параметризации многообразия М. Параметризации <р и ф называются перекрывающимися, если множества F = р{Р) и(? = Ф{Я) имеют общие точки. Пусть ip: Р —» М и ф: Q —> М есть перекрывающиеся параметризации fc-мерного многообразия М, F = <р(Р) иб = Ф(Я)- Множества F и G открытые относительно М, и, значит, их пересечение Н — F П G также есть множество, открытое относительно М. Положим S — (^_1(^Г) и Т — ф~1(Н). В силу непрерывности отображений (риф множество S является открытым относительно Р, Г есть множество, открытое относительно Q. Согласно лемме 3.1 каждое из множеств S и Т является регулярным в пространстве Ш . Определим отображения т = ф"1 о р> и а — р~г о ф. Так как S = р~г{Н) и Г = ф"1^), то <р отображает 5 на if, ,0~1 отображает jy на Г. Отсюда следует, что г взаимно однозначно отображает множество S на Г. Аналогично устанавливается, что а взаимно однозначно отображает Г на S. При этом а — г-1 и г = сг"1. Каждое из отображений <р и т/?-1 есть диффеоморфизм класса ^г. Отсюда следует, что отображения г и а — г"* также являются диффеоморфизмами класса ^г. Отображения г и а называются функциями перехода для локальных параметризаций риф многообразия М или, иначе, для локальных систем координат <р~г и ф~1. Так как множества S и Т регулярны, то во всех точках множества S определены частные производные функции г и в каждой точке и множества Т определены частные производные отображения о. Пусть а* есть отображение класса <^?г, определенное на окрестности U точки to € Т и совпадающее с а на Г П U. Тогда согласно лемме 3.2 для всех t £ S таких, что r(t) Е U, выполняется равенство d<j*[r(t)] о dr{i) — IcL, где 1сЦ означает тождественное отображение пространства К . При t Е S точка и = r(t) E Т, и, значит, для этой точки da*[r(t)] = da[r(t)]. В силу этого равенства окончательно получаем для и — r(t) da(u) о dr(t) = Id*, dr{t) o da(u) = Id*. (3.4) 3.3.5. Пусть J(tf,r) означает якобиан отображения г в точке i E S, т. е. определитель линейного отображения dr(i), J(u,a) — якобиан отображения а в точке и = г(£). Тогда из равенства (3.4) вытекает, что J(<,r)J(tx,a) = l. (3.5) Отсюда, в частности, следует, что якобианы отображений т и а всюду отличны от нуля.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 335 3.4. Понятие края многообразия 3.4.1. Для произвольного подмногообразия пространства Шп может быть определено некоторое его подмножество, называемое краем многообразия. Это определение опирается на следующее утверждение. ■ Лемма 3.3. Пусть М есть k-мерное многообразие класса (ё?г в пространстве Kn, ipi: Pi —» М и if2 : P2 —> М — две допустимые параметризации многообразия М. Предположим, что данные параметризации являются перекрывающимися, и пусть t G Pi и u G Рг таковы, что ^i(^i) = 4>2(и)- Тогда если t есть внутренняя точка Pi, то и является внутренней точкой Р2. Верно и обратное: если известно, что и есть внутренняя точка ?2, то можно утверждать, что также t есть внутренняя точка Pi. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Пусть Fi = (fi(Pi), F2 = ^2(^2)- Множества Fi и F2 являются открытыми относительно М. Пусть Н = Fi П F2, Si = ^_1(Я), S2 = (р""1(Я). Множества Si и 52 являются открытыми относительно Pi и ?2 соответственно. Пусть 7"i = ц>2~~1 ° ¥>1 и т2 — V^i-1 ° 9^2 — функции перехода для данных параметризаций. Тогда r2 = ri"1 и каждое из отображений Ti и т2 представляет собой диффеоморфизм. Пусть точки t G Pi и и G ?2 таковы, что y>i{t) = ip2(u)- Предположим, что t есть внутренняя точка стандартной области Pj. Множество 5i является открытым относительно Р1? t G Si, и, значит, найдется #i > 0 такое, что всякая точка f' G Pi, для которой |£' — t\ < 61, принадлежит Si. Так как t есть внутренняя точка Р1? то найдется 62 > 0 такое, что шар B(t,82) пространства Шк содержится вРь Пусть 8 — minj^!,^}- Тогда шар B{t,8) содержится в Pi и \t' — t\ < 61 для всякой точки t' G B(t, 6). Отсюда следует, что шар B(t, 8) содержится в Si. Отображение т\ взаимно однозначно и преобразует шар B{t,8) в некоторое подмножество 52- Так как якобиан отображения т\ всюду отличен от нуля, то по теореме о локальном диффеоморфизме (глава 10), образ шара B(t,8) относительно этого отображения есть открытое множество в Шк. Отсюда, в частности, следует, что точка и = Ti(t) G Ti[B(t,8)] С 52 является внутренней точкой стандартной области Р2. Так как t и и входят в условие леммы равноправным образом, то, меняя в проделанных рассуждениях местами точки t и и, точно так
336 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях же получим, что если и есть внутренняя точка S2 С Р2, то t есть внутренняя точка множества Si С Pi. Лемма доказана. ■ ▼ Следствие. Пусть ц>\: Pi —> М и ф2 : Р2 —» Af —две перекрывающиеся параметризации k-мерного многообразия М класса ^г, и пусть точки t £ Pi и и € Р2 таковы, что ipi(t) — ip(u). Тогда если одна из точек t и и является краевой точкой соответствующей стандартной области, то и другая является таковой. Действительно, предположим, что точка t Е Pi краевая. Тогда в силу леммы 3.3 точка и не может быть внутренней точкой Р2, ибо в противном случае t было бы внутренней точкой Pi. Аналогично заключаем, что если и Е 9P2, то t не может быть внутренней точкой Pi. Таким образом, мы получаем, что t Е dPi <=> и Е д?2- Следствие доказано. ▼ Предположим, что М есть fc-мерное многообразие класса (ё?г в пространстве Шп. Точка х многообразия М называется краевой точкой данного многообразия, если существует параметризация ip: Р —> М многообразия М такая, что стандартная область Р есть полуинтервал, причем х = <ур(/), где t E дР. Следствие леммы 3.3 позволяет заключить, что если х есть краевая точка многообразия М, то для любой другой параметризации ф: Q —» —» М многообразия М такой, что х = ф(и) для некоторого и € Q, область определения этой параметризации Q является полуинтервалом, причем и Е 0Q. 3.4.2. Совокупность всех краевых точек многообразия М называется его краем и обозначается символом дМ. Многообразие М, в частности, может вообще не иметь краевых точек. В этом случае, естественно, дМ = 0. Всякая точка многообразия М, не являющаяся его краевой точкой, называется внутренней точкой. Совокупность всех внутренних точек многообразия М будем обозначать символом Внт(М). Чтобы избежать расхождения с прежними определениями, слова «внутренняя точка многообразия» следует понимать как единый термин, так что выражения «внутренняя точка многообразия М» и «внутренняя точка множества М» означают разные понятия. Выполним еще некоторые построения, которые позволят установить, что представляет собой край многообразия. Пусть М есть А:-мерное многообразие класса (ё7г в пространстве Rn, причем 2 < к < п. Предположим, что М имеет краевые точки. Выберем произвольно точку х Е дМ, и пусть ip: Р —► М есть локальная
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 337 параметризация многообразия М такая, что х — ip(t) для некоторого t Е Р. Так как ж есть краевая точка многообразия М, то стандартная fc-мерная область Р представляет собой полуинтервал, причем t Е 5Р. Пусть Р = (abbi] х (02,62) х ••* х (аьМ- Согласно определению дР есть совокупность всех тех точек t Е Р, у которых первая компонента равна bj. Так как, по условию, к > 2, то определен (fc — 1)-мерный интервал 90Р = (02,62) х ••• х (а*,&*). Имеем отображения j: (*2,.-., Ы £ #оР ~ (6Ь *2 ,-..,**) £ #Л р: (6Ь<2, • • • ,<*) € 5Р н-> (*2,...,**) Е 90Р. Отображения j и р взаимно однозначны и принадлежат классу ^г, каково бы ни было г > 1. При этом j отображает 9оР на #Р и р является обратным к j. Это означает, что j есть диффеоморфизм класса ^г, каково бы ни было г > 0. Отсюда следует, что отображение Sip = ip о j есть диффеоморфизм (fc — 1)-мерного интервала д$Р ъ М. При этом так как j отображает 8qP на #Р, то Sip(doP) = ip(dP). Все точки множества <р(дР) являются краевыми точками многообразия М. Покажем, что множество ip(dP) является открытым относительно $М. Действительно, пусть F = </?(Р). Множество Р является открытым относительно М, и, значит, Р = /7 П М, где С/ есть открытое множество в пространстве Rn. Покажем, что S<p(dQP) = <р(дР) = дМпи. (3.6) Действительно, если х Е ip(dP), то ж Е дМ, и в то же время х Е Р С U, т. е. ж Е дМпи. Обратно, если ж Е дМ П 17, то ж G М П 17 = ¥>(^)> и> значит, ж = <^(£), где t € Р. Так как ж есть краевая точка многообразия М, то £ Е $Р и, следовательно, ж Е ip(dP). Равенство (3.6) доказано. Таким образом, если к > 2, то для всякой краевой точки х fc-мерного многообразия М класса ^г и любой локальной параметризации ip: Р-* М определен диффеоморфизм Sip: 8qP —*■ Rn такой, что множество OF = Sip(doP) содержится в 9М и является открытым относительно $М и точка х Е 9Р. Область определения диффеоморфизма Sip
338 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях в данном случае есть открытая (к — 1)-мерная стандартная область — интервал до Р. Из доказанного вытекает следующее предложение. ■ Теорема 3.3. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ^r в пространстве Шп. Предположим, что к > 2. Тогда если М имеет краевые точки, то край многообразия М есть (к — \)-мерное многообразие класса ¥?т, не имеющее краевых точек. Последнее утверждение можно представить формулой д(0М) = 0. Доказательство. Действительно, как следует из доказанного выше, для всякой точки х Е дМ существует множество 8F, открытое относительно М и являющееся элементарным (к — 1)-мерным многообразием класса <i?r. При этом 8F допускает параметризацию, область определения которой есть открытая (к—1)-мерная стандартная область. Для множества дМ, таким образом, выполнены все условия определения (к— 1)-мерного многообразия класса ^г. При этом, как следует из сказанного, никакая точка х Е дМ не является краевой точкой дМ, т. е. дМ не имеет краевых точек. Теорема доказана. ■ Замечание. Для всякой локальной параметризации <р окрестности краевой точки многообразия М определена параметризация 6(р окрестности этой точки на многообразии дМ. Она получается из <р, если компоненте t\ точки t = (^1,^2? • • • ,tk) £ Р придать постоянное значение, а именно, положить ее равной наибольшему значению, которое принимает t\. 3.5. Касательная плоскость и касательное пространство В ТОЧКЕ МНОГООБРАЗИЯ Путем или параметризованной кривой в пространстве Жп называется всякое непрерывное отображение х: [а,Ь] —» Шп. Будем говорить, что путь x(t), t E [а, 6], лежит в множестве Е С К71, если x(t) E E для всех t. Говорят, что путь х: [а, Ь] —» Шп исходит из точки р, если х(а) = р. Пусть М есть fc-мерное многообразие класса ^Т в пространстве W1 и р есть произвольная точка многообразия М. Вектор h E Шп называется касательным вектором многообразия М в точке р, если существует путь х: [а, Ь] —► R71, лежащий в многообразии М и исходящий из точки р и такой, что h = х'{а). Множество всех касательных векторов в точке р многообразия М называется контингенцией многообразия М в этой точке и обозначается символом Cntм(р)- Следующая теорема дает полный ответ на вопрос о строении контингенции в произвольной точке многообразия М.
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 339 ■ Теорема 3.4. Пусть М есть k-мерное дифференцируемое многообразие класса, (ё?г в пространстве Шп. Пусть <р: Р —* Шп есть локальная параметризация многообразия М такая, что р = <р{и) для некоторого д<р u G Р, и пусть аг = —~, г = 1,2,..., к. Тогда: dti 1) если р есть внутренняя точка М, то Сп%м(р) состоит из всех векторов £ вида к £ = $>а,-, (3.7) 1=1 где Zi, /2,..., Ik — произвольные вещественные числа; 2) если р есть краевая точка М, то Cnt^(p) есть множество всех векторов £, допускающих представление вида (3.7) с коэффициентами Zt-, г = 1,2,..., fc, удовлетворяющими дополнительно условию 1^ < 0. Доказательство. Пусть <р: Р —> R71 есть локальная параметризация многообразия М такая, что р = (^(д) для некоторого q £ Р. Положим F = (р(Р), и пусть ^ = V9"1: F ~* ^к- Отображение ф есть диффеоморфизм, и, значит, согласно определению диффеоморфизма существуют окрестность V точки х и отображение ф* : V —» Шк класса сё>г такое, что ф*(х) — ф(х) для всех х £ F C\V. Зададим произвольно касательный вектор £ многообразия М в точке р, и пусть х: [a,b] —» Rn есть путь, лежащий на многообразии М и исходящий из точки р такой, что х'(а) = £. Пусть G — открытое множество в Шп такое, что F = Mf)G. В силу непрерывности функции x(t) найдется Ьо такое, что а < Ьо < Ь, и точка ж(/) G СПУ для любого ^ G [а,Ьо] и, значит, x{t) £ F П V для всех t € [а,Ь0]. Простоты ради, будем считать, что z(tf) £ FDV для всех 2. Этого, очевидно, всегда можно добиться, заменяя в случае необходимости Ь определенным сейчас значением Ьо. При этом предположении x(t) £ V для всех t £ [а,Ь]. Положим ?/(/) = V>*[#(0] Для ^ ^ [а>&]- Так как для всех t G [а, Ь] согласно предположению x(t) G Ffl V, то y(t) = ^[ж^)] G P для таких /. Функция ж дифференцируема в точке а, причем х'(а) = £. Отсюда вытекает, что функция у также дифференцируема для t — а. При этом f = y'(a) = <ty*M. Пусть г/,-(<), г = l,2,...,fc, есть компоненты вектор-функции ?/(/), Zj, г = 1,2,..., fc, — компоненты вектора Z. Имеем, очевидно, U — у[(а). Так как отображение ip является обратным к ф, то p[y(t)] = x(t) для всех t G [а,Ь]. Отсюда получаем, что £ = х\а) = <bp[* у'(а)] = £ ||(<^ = £ /,-а,-, г=1 г г=1 и вектор f, таким образом, допускает представление требуемого вида.
340 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Рассмотрим случай, когда q £ дР. Пусть Р = faiM] х (^2,62) х ••• х (a>k,bk). (3.8) Тогда имеем у\{а) = £>! и 2/i(£) < &i для всех t £ [а,6]. Мы получили, что функция у\(t) принимает свое наибольшее значение в [а,Ь] при ( = аи, значит, 1\ = у[(а) < 0. Следовательно, в данном случае коэффициент 1\ в равенстве (3.7) неположителен. Таким образом, мы установили, что всякий касательный вектор в точке р = ip(q) многообразия М допускает представление вида, указанного в формулировке теоремы. Докажем, что верно обратное: всякий вектор £, допускающий представление вида (3.8), причем 1\ < 0 в случае р £ ОМ, является касательным вектором многообразия М в точке р. Зададим произвольно числа /j, i = 1,2,..., к. При этом в случае, если р £ $М, будем предполагать, что /i < 0. Пусть I = C'l»'2» - - - ? 'jb)- Положим у(^) = q+lt. Тогда найдется 6 > 0 такое, что y(t) £ Р при t £ [0,Ь]. Действительно, если q есть внутренняя точка Р, то существует 6 > 0 такое, что шар Р(д, 6) С Р, и любое число Ъ > 0 такое, что |/|Ь < <5, удовлетворяет требуемому условию. Предположим, что р £ дМ. В этом случае Р есть fc-мерный полуинтервал, и согласно предположению /j < 0. Предположим, что Р определяется равенством (3.8). Положим Р = (аьоо) х (а2,Ь2) х ••• х (а*,Ы- Множество Р открытое и Р С Р. Пусть 6 > 0 таково, что шар B(q^6) С С Р. Пусть Ь > 0 выбрано так, что |/|Ь < 6. Тогда точка y(t) £ Р при 0 < t < Ь . Так как y\{i) = bi + /^, то ?/(£), очевидно, принадлежит Р для таких /. Положим x(t) = <р[у(<)]. Этим определен некоторый путь, лежащий на многообразии М и исходящий из точки р = (/?(#) = ж(0). Имеем Jb ib е = х'(0) = ^[д; у'(о)] = £ %f(q)li = £ /,-а,-. Так как числа /,• были заданы произвольно, то тем самым теорема доказана. ■
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 341 Пусть М есть fc-мерное многообразие класса <ё?г. Возьмем произвольную точку р G М. Если р есть внутренняя точка М, то, как следует из теоремы 3.3, множество Сп1м{р) представляет собой fc-мерное подпространство пространства Кп. Будем называть его касательным пространством многообразия М в точке р и обозначать символом Тм(р)- Предположим, что р есть краевая точка М. В этом случае Сп1м{р) есть образ полупространства К^ = {/ = {h,h-> • • • Jk) \ h < 0} пространства Шк относительно некоторого линейного отображения к L(l): (hyh,"-Jk) •-+ X^ab i=i где ai,a2,... , а* есть система из к линейно независимых векторов пространства Кп. В дальнейшем мы будем говорить, что в данном случае Cntм(р) есть касательное полупространство многообразия М в точке р, обозначая его символом Пм(р)- Пусть Е — произвольное подмножество пространства Шп. Линейной оболочкой множества Е называется множество всех векторов х, каждый из которых может быть представлен как линейная комбинация элементов множества Е. Если М есть к-мерное многообразие в пространстве Шп и р G дМ, то определено множество Пд/(р). Его линейная оболочка есть образ пространства Шк относительно некоторого невырожденного линейного отображения. А именно, если <р: Р —► Еп есть параметризация многообразия М такая, что р = (p(t), где t G ЭР, то линейная оболочка Им(р) есть подпространство dipt(Rk). Полагаем Тм{р) — d(pt(Rk) и в этом случае. 3.6. Множества, задаваемые системой уравнений ■ Теорема 3.5. Пусть U есть открытое множество в пространстве Кп; и, /;, г = 1,2,..., п — к, где 1 < к < п, — вещественные функции класса, с£т, М — множество всех точек х G U, для которых выполняются соотношения fi(x) = 0, г = 1,2,..., п — fc, -и(ж) < 0. Предположим, что в каждой точке х G М ранг системы функций {/ъ /25 • • • 5 fn-k} равен п — к, причем если и{х) = 0, то в точке а: раяг сястемы функций {/i, /2,..., fn-k, u} равея п — fc + 1. Тогда множество М представляет собой к-мерное многообразие класса tfr, причем точки, в которых и(х) = 0, образуют край многообразия М.
342 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Замечание. Условия теоремы не исключают случай к = п. Если к = п, то функции /; отсутствуют и условия теоремы сводятся к следующему. На множестве U задана функция u: U —> К класса <^?г, и в каждой точке х G 17, для которой г/(ж) = 0, хотя бы одна из частных производных ——(х) отлична от нуля. Множество М в этом случае OXi есть совокупность всех а; € 17, для которых гх(ж) < 0. Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Для упрощения записи положим п — к = т. Обозначим через Uq множество всех х G 17, для которых гх(ж) < 0. Множество всех х G М, для которых и(х) — 0, обозначим символом SM. Возьмем произвольно точку р G М. Сначала мы построим некоторую окрестность V точки р, для которой существует диффеоморфизм, преобразующий данную окрестность в куб так, что множество V П М при этом переходит в сечение куба к-мерной плоскостью, параллельной одной из его граней. Предположим, что и(р) < 0. Тогда р G Uq, и в случае т > 0 в точке р ранг системы функций {/i, /2,..., fm} равен т. Значит, по первой теореме о выпрямлении (глава 10, теорема 3.2) найдутся n-мерный куб Q и диффеоморфизм Ф: Q —► Шп такие, что V = Ф(ф) С С £/(ь и для любого у G Q имеют место равенства: /г[Ф(у)] = т при каждом г = 1,2,..., т. В случае т = 0 находим £ > 0 такое, что шар Б(р, £) содержится в [/о (напомним, что для выбранной точки р имеет место неравенство и(р) < 0). Полагаем Q = Q(p,e/y/n), а в качестве Ф берем тождественное отображение куба Q в Шп. Предположим, что и{р) = 0. Тогда согласно условию теоремы в точке р ранг системы функций {/i, /2,..., /m, г/} равен га + 1. (Если m = 0, эта система состоит из единственной функции — функции и.) Согласно первой теореме о выпрямлении (глава 10, теорема 3.2) найдутся n-мерный куб Q и диффеоморфизм Ф: Q —► Шп такие, что V = = Ф(ф) С U, p G V и для любого z — (z^, 22,..., 2n) G Q выполняется равенство /г[Ф(г)] = г; при каждом г = 1,2,...,га и гх[Ф(г)] = 2т+1. (В случае га = 0 из этих соотношений остается только последнее.) Во всех случаях множество V = Ф(ф) открытое, р G V. Покажем, что множество 5 = V П М есть элементарное fc-мерное многообразие класса с£>г. Рассмотрим отдельно случай га = 0. Пусть -и(р) < 0. Тогда S = У = Q и 5, очевидно, является n-ячейкой класса <ё?г. Предположим, что и(р) = 0. Тогда имеем Q = (<zi,bi) х (а2,Ь2) х • • • х (ап,Ьп) и для всякой точки z = (zi,z2,... ,zn) G Q справедливо соотношение
§ 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 343 u(z) = z\. Пусть р = Ф(<?), где q Е Q. Для точки q ее компонента с номером 1 равна и(р) = 0. Отсюда следует, что а! < 0 < &i. Полагаем Р = (<zi,0] х (02,62) х • • • х (an,6n). Множество Р есть п-мерный полуинтервал. Легко проверяется, что Ф(Р) = КП М. Таким образом, доказано, что в данном случае всякая точка р Е М имеет окрестность, которая является элементарным п-мерным многообразием класса ctfr. Будем далее считать, что га > 0. Пусть Q = (uuvi) х ••• х (umjvm) x (ab6i) x ••• х (ak,bk). Предположим, что р = Ф(<?), гДе 9 = (гъ • • • >гтз^ъ • • • 5 hk)- Пусть Е = ф-1(5). Покажем, что Е есть множество всех точек куба Q, у которых первые га координат равны нулю, а в случае, когда р G <5М, координата с номером га + 1 неположительна. Действительно, пусть у Е Q и пусть ж = Ф(у). Тогда согласно определению М точка х принадлежит множеству М в том и только в том случае, если fi(x) = 0 при каждом % — 1,2,..., га и и(х) < 0. Согласно определению диффеоморфизма Ф имеем /,•(*) = /,-[Ф(у)] = у,- для любого г = 1,2,...,га, ав случае р Е <5М, кроме того, выполняется еще равенство м[Ф(у)] = 2/m+i* Отсюда следует, что точка х = Ф(у) принадлежит 5, т. е. у Е Е в том и только в том случае, если у\ — У2 — — • •. = уш = 0, а если р Е <5М, то выполняется еще условие ym+1 < 0, что и требовалось доказать. Доказанное можно понимать также следующим образом. Отображение Ф = Ф"1 есть система координат, определенная в окрестности V точки р. Часть множества М, лежащая в этой окрестности в случае, когда р Е Uo, в этой системе координат определяется системой уравнений у\ = = у2 = •.. = уш = 0, а если р Е ИМ, то системой уравнений yi = = у2 = • • • = ут = 0 и неравенством уп < 0. В частности, для точки <7 = (ri,..., rm, /ii,..., /ijfe), определенной условием р = Ф(#), имеем ri = = г2 = • • • = тш = 0. Если р Е ИМ, то м(р) = 0, и, значит, (га + 1)-я компонента точки g равна нулю, т. е. /ii = 0. Отсюда следует, что в последнем случае ai < 0 < &i. Теперь покажем, что все условия определения элементарного fc-мерного многообразия выполняются для множества S.
344 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Пусть Н есть fc-мерный прямоугольник, определенный следующим образом. В случае, когда р £ С/о, полагаем Н = (ai,bi) x • • • х (а*,Ь*). Если же р Е <5М, то Н — (al50] x • • • х (а*,6*.). Пусть j есть отображение (<ь<2, •. • ,**) е к* ^ (о,... ,(Мь<2,.. • ,<*) е кп. Оно принадлежит классу ^г при любом г и отображает Л взаимно однозначно на Е. Отображение j есть диффеоморфизм. Чтобы убедиться в этом, следует показать, что обратное отображение j~l принадлежит классу ^г. Отображение 7r:(yu...,ym,tu...,tk)£Rn^(tut2,...,tk)£Rk принадлежит классу ^г при всяком г и на множестве Е, очевидно, совпадает с j"1. Это доказывает, что j"1 £ <r?r при любом г. Положим <р = Ф о j*. Отображение у? есть диффеоморфизм. При этом, как нетрудно видеть, <p(-ff) = 5. Отсюда следует, что 5 есть элементарное fc-мерное многообразие класса <^?г. Так как точка р £ М взята произвольно, то тем самым доказано, что М есть к-мерное многообразие класса ^г. Если р (fc 6M, то прямоугольник Н открытый и, значит, в этом случае р есть внутренняя точка М. Если же р £ 6М9 то Н есть полуоткрытый прямоугольник и р = = <р(£о)5 где to есть краевая точка Н. Отсюда следует, что р является краевой точкой многообразия М. Следовательно, мы получаем, что дМ = SM. Теорема доказана. ■ § 4. Площадь fc-мерного многообразия В этом параграфе определяется понятие к-мерной площади, или поверхностной меры, на дифференцируемом многообразии. Приводятся формулы для вычисления площади множества на многообразии и рассматриваются примеры. 4.1. Меры на fc-МЕРНЫХ плоскостях Пусть h есть произвольный вектор пространства Шп и А есть подмножества Еп. Символ h + А обозначает множество всех точек у £ Шп вида у = h + х, где х £ А.
§ 4. Площадь k-мерного многообразия 345 Множество S С Шп называется к-мерной плоскостью пространства Rn, если S = h + Р, где Р есть fc-мерное подпространство Кп. В § 1 этой главы показано, как для произвольного fc-мерного подпространства Р пространства Rn определить понятия интегрируемой и измеримой функции измеримого множества и fc-мерной меры множества. Пусть S = h + Р есть fc-мерная плоскость в Еп. Тогда будем считать функцию /: 5 —» R интегрируемой (измеримой), если функция f(x + h) интегрируема (соответственно измерима) на подпространстве Р. Полагаем при этом / /Ы d^k(y) = / f(x + р) d^k(x). s р Множество Е С S считаем измеримым относительно fc-мерной меры в плоскости 5, если множество —h + E измеримо в плоскости Р. При этом полагаем fJ>k(E) = /х*(—/i + E). Предположим, что линейное отображение А: Шк —* Шп таково, что A(R*) = Р есть к-мерное подпространство Шп. Тогда t Е Шк ь-» h + \(t) есть биективное отображение Шк в плоскость S = h + Р. Напомним, что отображение вида <£>(£) = Л + A(i), где /г Е Еп, a A:Efc -> Кп линейно, называется аффинным. Аффинное отображение (р будем называть ортогональным, если линейное отображение А сохраняет неизменными скалярные произведения векторов, т. е. для любых векторов и,г> Е К* имеет место равенство (и, v) = (A(u), А(г>)}. Биективное аффинное отображение <^>(i) = h+X(t) пространства Шк в fc-мерную плоскость S называется аффинной параметризацией S. Пусть Р есть fc-мерное подпространство Еп, и пусть А: Шк —» Р есть биективное линейное отображение. Для произвольной точки t = = (<i,<2> • • • ><*) £ К* имеем А(£) = ijft + г2&2 + h 2*6; • Здесь векторы & определяются из условия & = А(ег), где ег-, г — 1,2,..., fc, есть векторы канонического базиса пространства R*. Имеем fc-репер х = {£ь£г> • • • >£*}> который определяет некоторый fc-мерный поливектор [х] = [fbfoj • • • >£*]• Тогда, как показано в §1 для произвольной функции /, заданной на подпространстве Р = A(R*), интеграл функции / относительно fc-мерной площади равен интегралу J f[\(t)]\[x\\dt. Rk
346 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях В соответствии с этим мы получаем, что для функции /, определенной на к-мерной плоскости S = h + Р, интеграл от функции /: S —> Е относительно fc-мерной меры в плоскости S равен интегралу Jf[h + X(t)]\[x]\dt. Rk Преобразуем этот интеграл. Положим <p(t) = h + X(t). Векторы & = = А(е,) могут быть представлены следующим образом: 6 = dip Положим 9ii - ъ"*'' - \tdti' atj Тогда, как показано в § 1, имеют место равенства 1МГ = (6,6) (6,6) ... (6,6) (6,6) (6,6) ... (6,6) (6,6) (6,6) ... (6,6) 5п 521 512 522 9к\ 5*2 51 к 92 к 9кк Последний определитель будем обозначать символом д. Величина д для всякой аффинной параметризации плоскости постоянна в К . Заметим, что если аффинная параметризация </? является ортого- дср нальной, то векторы £г- = -j— образуют ортонормальный А>репер. Пусть U есть открытое множество в пространстве Шк. Предположим, что задано множество G, открытое относительно 5, и определен диффеоморфизм <р: U —> S такой, что <p(U) = G. Отображение ip есть параметризация множества G на плоскости Р. Покажем, каким образом может быть определена fc-мерная мера для произвольного множества Е С G с помощью параметризации (р. Для произвольного t Е U положим Положим также g(t) «H&<w> 0л (О 012(0 ••• 0ifc(O 031 (О 022(0 ••• 02*(О 0Jfci(O 0*2(0 ••• 9kk{t)
§ 4. Площадь к-мерного многообразия 347 Как следует из доказанного в § 1 этой главы, последний определитель равен квадрату абсолютной величины fc-мерного поливектора Справедливо следующее утверждение. ■ Лемма 4.1. Для всякой функции /: G —► М, интегрируемой относительно k-мерной меры р,к в плоскости 5, выполняется равенство Jf(x)dvLk(z)= J f[<p(t)]VgU)dt. G <P~1(G) Доказательство. Действительно, пусть ф: Шп —► S есть какая- либо аффинная ортогональная параметризация плоскости S. Положим У — t/;"1(G). Множество V открытое, и функция ф*/^) = f[4>(t)] интегрируема по множеству V. При этом в соответствии с данными ранее определениями будем иметь / ф*/(и)(1и= / f(x)dp,k(x). v G Отображение в = ф"го(р является диффеоморфизмом и отображает U на V. При этом имеет место равенство f[ip(t)] — ф*f[0(t)]. Отсюда в силу формулы замены переменных в кратном интеграле, доказанной в главе 3, следует, что J ф*/(ч) du = J Pf№]\J(x, 0)| dt = J /[¥>(*)]№, 0)1 dt. V V V Лемма будет доказана, если мы покажем, что \J(x,e)\ = y/g(j)- Заметим, что имеет место равенство tp{t) = ф[0^)]. Отсюда согласно правилу дифференцирования суперпозиции вытекает, что к д<р __ ^ дф дв{ dti 4^f duj dtj '
348 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях dip Таким образом, мы получили, что векторы тг~ являются линей- oti дф ными комбинациями векторов —— и матрица коэффициентов в этой OUj линейной комбинации является транспонированной матрицей Якоби отображения в. Определитель этой матрицы равен J{t*0). дф , Векторы —— образуют ортонормальный fc-penep, и, значит, вели- OUj чина |J(tf,0)| равна абсолютной величине fc-мерного поливектора » &<«> которая равна yjg{t). Лемма доказана. ■ 4.2. Определение площади fc-МЕРНого многообразия 4.2.1. Для всякого к-мерного многообразия класса ^г, г > 1, в пространстве Шп может быть определена некоторая вполне аддитивная функция множества /ifc, которую мы будем называть к-мерной площадью или, иначе, поверхностной мерой на многообразии М. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ^г, где г > 1, и (р: Р —► М — допустимая параметризация многообразия М. Пусть F = <р(Р)- Множество F является открытым относительно М. Для всякого t = (ti,t2,... ,tk) G P определены векторы ^—(<0- По аналогии с тем, как это было выполнено в п. 4.1, определим квадратную к х к- матрицу G>(0 = (5.;(*)).\i=i,2 ь (4.1) где «w = 0£w>- Матрица G^{t) симметрическая. Покажем, что она является положительно определенной. Пусть f = (&, f2? • •., Ы и V = (Vi i V2> • • • 1 %) — произвольные векторы в пространстве R*. Дифференциал d^t отображения <р в точке t взаимно однозначно отображает пространство Ш на касательное пространство Тм(р) многообразия М в точке р = <p(t). Пусть X = <1<р%{£) иУ = dipt(r]). Векторы X и Y принадлежат fc-мерной плоскости Тм(р). Имеем
§ 4. Площадь k-мерного многообразия 349 Отсюда получаем следующее выражение для скалярного произведения векторов X и У: <*-у> = Е Е (яг», few) ««* = ££«<«»*• ,=i ,-=i \ ar« ab / ,=1 i=i В частности, получаем, что для всякого вектора X = dy><(0> где € = (6»6, • • •,&) € Efc, имеем ОТ = ££*»(<)*.•&> о. Знак равенства здесь имеет место в том и только в том случаем, если X = 0 и, значит, также £ = 0. Следовательно, мы получаем, что квадратичная форма к к feR*"££*i(<)fcfc (4.2) является положительно определенной. Квадратичная форма (4.2) в дифференциальной геометрии называется линейным элементом многообразия М и обозначается символом к к Далее используется обозначение g^t) = detGv(i). В силу положительной определенности квадратичной формы ds2 имеем gv(t) > 0 для всякого t € Р. ш Лемма 4.2. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ^т в пространстве Шпу (р: Р —*• М и ф: Q —*• М — две перекрывающиеся до- пустимые параметризации многообразия М, R = <р(Р) и S = ^(Q). Предположим, что матричные функции G^t) и G^{u) определены равенствами вида (4.1), т. е. Gfpit) = (ftj(0)bj=l,2,...,*> G^M = (^ti(tx))i,j=lf2,...,Jb, где
350 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Пусть gv{t) = detGv(<), 3ty(u) = detCfy(u), Pi = ^(ЙП 5), a Qi = = ^p"1(RnS). Обозначим через в отображение ф~1о(р: Р1 —► Qb Пусть J(t, в) есть якобиан отображения в в точке t Е Pi. Тогда для всех t Е Pi выполняется равенство 9v(t) = 9*№W(t,0)?- (4-3) Доказательство. Множество Pi является открытым относительно Р, a Qi есть множество, открытое относительно Q. Отображение 0 = -0-"1 о у? есть диффеоморфизм. Оно отображает Pi на Qi. Пусть t есть произвольная точка множества Pi и u = 0(t) E Q\. Зададим произвольно векторы £,г] £ К*. Пусть £ = d#*(£) и rj = det(rj). Жмеем ip(t) = tl>[e(t)]. В силу правила дифференцирования суперпозиции имеем х = <ые) = #«[^(е)] = rf^.(o. Аналогично, для вектора г/ имеем У = d(pt(ri) = dipu(rj). Отсюда получаем, что скалярное произведение векторов X и Y равно (G*(v)£,ri) = (Gv(t){tr,). Пусть A{t) есть матрица линейного отображения d6t. Тогда f = = A(t)£ и т) = А(£)т/, и мы получаем, что для любых векторов f, 77 G К* имеет место равенство (G^(«)A(Of,il(0'7> = <Gv(Oe,»7>- Применяя равенство (u,Hv) = (H*u^v)1 верное для любых векторов u,vGR^h всякой квадратной матрицы i? порядка fc, находим, что {G*(u)A(t)t,A(t)r,) = (А(г)*Сф(и)А(и)/;,т1). Таким образом, для любых векторов £,7/ 6 К имеем равенство (i4(<)*^(«M(Of,»7> = <Gv(*)e,»7>. Отсюда следует, что Gv(t) = A(*)*G*(u)A(t)
§ 4. Площадь к-мерного многообразия 351 и, значит, det Gv(t) = | det A(t)\2 det G^(u), где w = 0(£). Так как, очевидно, det A(£) = J(£,0), то тем самым лемма доказана. ■ Т Следствие. Предположим, что на, к-мерном многообразии М класса ^г, где г > 1, задана вещественная функция /. Пусть (р: Р —> М и ф: Q —» М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М, i2 = ¥>(Р), 5 = ф{(}). Предположим, что множество Е С С R П S таково, что множество В = ф~1(Е) измеримо. Положим £/(*) = /M0]VW(0> я> аналогично, пусть ^/(гх) = /[^M]V#^0- Тогда если функция ф/(и) интегрируема по множеству В = ф~г(Е), то функция (p{i) интегрируема по множеству А = (р~г(Е). При этом имеет место равенство J (pf(t)dt = J rj>f(u)du. Доказательство. Применяя правило замены переменной в кратном интеграле, получим [ф/(и)(1и= [$f[0(t)]\J(t,0)\dt. Согласно лемме 4.2 для всех t Е Pi имеет место равенство g<p(i) = ^[0(t)][J(t,0)]2. Принимая во внимание это равенство, получаем Отсюда следует, что j £/(*) dt = J 1[ф(и))^дф{и)йи. А В Следствие доказано. Т 4.2.2. Определим понятия измеримой и интегрируемой функции на к-мерном многообразии М в пространстве К71. Напомним, что замыканием множества Е в метрическом пространстве (X, р) называется множество J5, которое является пересечением
352 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях всех замкнутых множеств, содержащих множество Е. Всякое множество метрического пространства (X, р) содержится в некотором замкнутом множестве (например, множество X замкнуто и содержит в себе любое множество данного пространства). Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество, и, значит, множество Е является замкнутым. Зададим произвольно &-мерное многообразие класса сё?г, где г> 1 в пространстве Шп. Множество М как подпространство Шп само является метрическим пространством. Функция /: М —* К называется измеримой на многообразии М, если для любой допустимой параметризации ip: Р —► М многообразия М функция (p*f = fcxp является измеримой на множестве Шк. Множество Е С М называется измеримым, если для всякой допустимой параметризации ip: Р —► М многообразия М множество <р~1(Е) является измеримым в пространстве Шк. Множество Е С М будем называть ограниченным множеством, если его замыкание Е в многообразии М является компактным множеством. Функция / называется локально интегрируемой по многообразию М, если для всякой допустимой параметризации <р: Р —> М многообразия М и любого ограниченного измеримого множества А С Н = = (р(Р) функция (pf(t) = <р*f{i)^/g4>{t) интегрируема по множеству А* = <р-г{А). Будем говорить, что множество Е на многообразии М мало, если существует локальная параметризация <р: Р —> М многообразия М такая, что Е С F = у>(Р). Пусть /: М —*• К есть функция, которая определена на многообразии М и является измеримой. Предположим, что измеримое множество Е С М является малым. По определению, это означает, что существуют локальная параметризация (р: Р —» М многообразия М такая, что Е С F = (р(Р). Будем говорить, что функция / интегрируема по множеству Е, если функция f(t) = /[<£>(*)] V#*>(*) интегрируема по множеству ip"1 (E). В этом случае полагаем J f(z)dpk(x)= J (pf(t)dt. (4.4) E <P~X(E) Если ф: Q —> M — произвольная другая параметризация многообразия М такая, что -Б С ^(Q)> TO согласно лемме 4.2 в этом случае
§ 4. Площадь к-мерного многообразия 353 функция ф/ интегрируема по множеству ф 1(Е), причем имеет место равенство J (pf(t) dt= J ф/(и) du. Мы получаем, таким образом, что правая часть равенства (4.4) не зависит от выбора локальной параметризации (р: Р —> М такой, что Е С <р(Р). Справедливо следующее утверждение. ф Предложение 4.1. Всякое ограниченное измеримое множество многообразия М может быть представлено как объединение конечного числа малых множеств. Действительно, пусть множество Е С М является ограниченным. Тогда его замыкание Е компактно. Для всякой точки х Е Е найдется локальная параметризация (р: Р —> М такая, что х Е <р(Р). (Параметризация <р зависит от точки х; простоты ради мы не указываем это в обозначениях.) Положим Fx = ip(P). Множество Fx является открытым относительно М. Множества Fx образуют открытое покрытие множества Е, и так как Е компактно, то найдется конечное множество точек ^1,^2,... ,ждг, принадлежащих М, такое, что Е содержится в объединении множеств FXi, з i = 1,2, ...,i\T. Положим А{ = Е Г) FXi. Пусть Bj = |J Аг. Множе- i=i ства Bj образуют возрастающую последовательность и 5дг = Е. Положим Ei = Au и при j > 1 пусть Ej = Bj \ Bj-\. Множества Ej, j = l,2,...,iV, попарно не пересекаются, их объединение, очевидно, совпадает с множеством Е. При каждом j множество Ej содержится в множестве FXj и, стало быть, оно является малым множеством. Предложение доказано. ♦ Доказанное предложение позволяет определить понятие интеграла функции по произвольному ограниченному измеримому подмножеству fc-мерного многообразия. Пусть Е есть произвольное ограниченное измеримое подмножество М. Будем говорить, что функция / интегрируема по множест- N еу Е, если Е допускает представление Е — [j Ej такое, что каждое из i=i множеств Ej является малым, причем функция / интегрируема по Е3. Полагаем Е j=1Ej
354 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Сумма справа не зависит от выбора разбиения множества Е на малые множества. (Мы предоставляем читателю доказательство этого простого факта.) Данные определения распространяются также и на случай неотрицательных измеримых функций. Если / есть неотрицательная измеримая функция и измеримое множество Е С М мало, то мы определим интеграл тем же равенством (4.4), что и в случае интегрируемой функции. Если множество Е ограничено, то интеграл функции / мы определим посредством равенства (4.5). В частном случае, когда функция /: М —> R тождественно равна единице, интеграл J f(x) djj,k(x) обозначается символом fJ>k(E) и назы- Е вается площадью множества Е в многообразии М. 4.2.3. Рассмотрим примеры вычисления площади подмногообразий в пространстве Шп. Пример 1. Площадь графика функции. Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп и /: U —> К есть вещественная функция класса ^r, где г > 1. Будем исследовать пространство Rn+1 как произведение Кп х К, рассматривая произвольную точку z G Rn+1 как пару (ж,у), где х G Mw, ayGK. Пусть М есть график функции / в пространстве Кте+1, т. е. множество всех точек (ж, f(x)) G Kn+1, где х G U. Отображение (р: х G U н+ (x,f(x)) G Кте+1 принадлежит классу сё?г. Множество М является n-мерным подмногообразием пространства Kn+1. Действительно, пусть р = (a,f(a) G М. Точка a G U. Так как U есть открытое множество, то некоторый куб Q(a,6) с центром в точке а и длиной ребра, равной 2<5, содержится в множестве U. Если а = (ai,a2,. ..,ате), то Q(a, 6) = (аг - 5, ai + 6) х (a2 - <5, a2 + <5) х • • • х (an - <5, ап + 6). Множество V всех точек (х,у) G Kn+1 таких, что ж G Q(a,<$), является открытым в Kn+1 как прообраз множества Q(a,6) относительно непрерывного отображения 7г: (ж, у) G Rn+1 »-> (z,0). Очевидно, VC\M = ¥>[Q(a,<5)]. Отображение у> взаимно однозначно и непрерывно. Обратное к нему отображение есть ограничение на М отображения 7г и, следовательно, также непрерывно. Пусть ei,e2,... ,еп есть канонический базис пространства Шп. В каждой точке х €U имеет место равенство
§ 4. Площадь к-мерного многообразия 355 dip Отсюда вытекает, что векторы ——(х) линейно независимы и, стало ОХ{ быть, отображение tp есть диффеоморфизм. Матрица (ffij(E))ifj=i,2,...,n в данном случае будет иметь вид / *" Jxi JX1JX2 9v(x) = /Xi/Xn \ /*a/*x l + /x22 ••• /х2/х„ \fxnfxi fxnJx2 ••• 1 + /xn / Преобразуем квадратичную форму С>(ж)(£), матрицей которой является д<Дж). Пусть f = (6 ,&,..., 60 € Kw. Тогда Отсюда следует, что для данного отображения у? имеет место равенство адко = lei2 + (v/(xu>2 и д<р(х) есть матрица коэффициентов этой квадратичной формы. Пусть Р есть ортогональная п х n-матрица такая, что PVf(x) = = \Vf(x)\ei. Тогда будем иметь (v/(x),p*e> = (pv/(x),o = iv/(x)i6, i^ei2 = lei2- Заменяя в квадратичной форме £ на Р*£, получим новую квадратичную форму gv(x)(p*o = iei2+iv/(x)i2ei = (l+iv/(x)i2)e?+#+■ ■ ■+en. Используя представление С^(ж)(£) = (flv(«)f,0 квадратичной формы через матрицу ее коэффициентов, получим равенство Gv(x)(P*0 = (gv(x)P*t,P*0 = (P5v(x)P*e,0. Таким образом, матрица квадратичной формы G<p(x)(P*£) есть матрица Рд^Р*, и ее определитель равен det Рд^(х)Р* = [detP]2 det^(x) = det^z).
356 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Матрица квадратичной формы G^(P*^) диагональная, и ее определитель легко вычисляется. Он равен произведению диагональных элементов матрицы. В результате мы получаем, что определитель матрицы д<р(х) равен det^(z) = l + |V/(z)|2. Величина det д^(х) легко вычисляется также непосредственно с помощью известных из курса алгебры стандартных приемов преобразования определителей. Способ, которым этот определитель был найден выше, избавляет от необходимости неоднократного выписывания громоздких формул с определителями. Окончательно мы приходим к формуле для вычисления площади поверхности, заданной уравнением у = /(ж), где х Е С/, U — открытое множество в К71. Для произвольного измеримого множества Е на данной поверхности М его площадь цп{Е) выражается следующей формулой: fxn(E)= J y/l + \Vf(x)\*dx. (4.6) тг(Е) Пример 2. Площадь сферы в пространстве Кте+1. Будем считать, что центр сферы находится в начале координат и радиус ее равен R. Полагаем U = 5(0,1). Плоскостью у = 0 сфера разбивается на две полусферы, одна из которых, назовем ее верхней, задается уравнением У = у/В? ~ \х\\ а вторая — нижняя полусфера — определяется уравнением у = -у/В? - \х\2. Для функции f(x) = y/R2 — \х\2 будем иметь -(s) = — дх{к ' y/R? - \x\2 ' Отсюда Применяя формулу (4.6) к рассматриваемому случаю, получим, что площадь верхней полусферы равна интегралу / y/R2 - \х? В(0,Я) Rdx
§ 4. Площадь к-мерного многообразия 357 Площадь ниэюней полусферы, очевидно, равна тому же самому интегралу. В результате получим, что площадь сферы 5(0, R) в пространстве Kn+1 равна удвоенному интегралу (4.7). Для вычисления интеграла (4.7) воспользуемся формулой Кавальеры — Лебега. Пусть E(t)= lx€B(Q,R) R >t х/д2 - N2 При 0 < t < 1 множество E(t) совпадает с шаром 5(0,72) в пространстве R71. При t > 1 множество E(t) есть совокупность всех точек х £ R71, для которых выполняются неравенства \х\ < R и R2 > t2R2 — t2\x\2. Отсюда получаем R > \х\ > -R^/i2 - 1. Множество E{t) для таких значений t есть множество B(o,R)\B(o,jVW^ry Объем шара радиуса R в пространстве Шп равен crnRn, где ап постоянная. Величина ап есть объем единичного шара в пространстве Шп. Следовательно, мы получаем, что n-мерная мера Лебега множества E(t) выражается следующим образом: A*«[S(0] = { ( anRn при 0 < t < 1, (iJ-iW2' <rnRn[l-± j^—} при *>1. ■1)"/2\ Отсюда следует, что площадь верхней полусферы будет равна B(0,A) V \ 1 / 1 В интеграле справа произведем замену переменной по формуле t = —. Переименовывая переменную интегрирования снова в £, получим
358 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Последний интеграл преобразуем по формуле интегрирования по частям. Имеем dt 7 = * откуда получаем 1 В). /[1 _ (1 _ t2)nl2)% = -I[i - (1 - 12у12]Г1 + п /(1 - *y/2-i dt = -!+=/(!- О-'-.-^ * - -1 + f В (|. |) Применяя известную формулу, представляющую бета-функцию через галша-функцию, получим равенство HU) = i§ + 1 r'i n+ 1 Подставив найденное значение для интеграла (4.9) в правую часть равенства (4.8), получим, что площадь п-мерной полусферы равна / Rdx Б(0,Я) VfR2 - N2 = On в+П\ п+ 1 Rn. Заметим, что Г(1/2) = у/ж. Как показано в §8 главы 13 (см. равенство (8.20)), справедливо равенство 7Г п/2 <?п = '(§+0 Отсюда после очевидных преобразований получим, что площадь полусферы равна Rdx 7г(*/2)+1 / Б(0,Я) у/в? - И2 г 'п + 1 -Я".
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 359 Окончательно заключаем, что площадь сферы 5(0, R) в пространстве Рп+1 выражается следующим соотношением: 27г(»/2) + 1 Ах»[5(0,Л)] = о;пЛп = —р—^гЛя. п+ 1 Умножим числитель и знаменатель этой дроби на п + 1. Принимая во внимание, что п+ 1, п + 1 = Г п+ 1 + 1 , получим следующее выражение для величины ип — площади единичной сферы в пространстве Rn+1: и. » = (п+1)- 7Г (п/2)+1 П + 1 + 1 = (п + 1)ап+1. Здесь <7n-j-i есть объем единичного шара в пространстве Кта+1. § 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях В этом параграфе определяется понятие внешней дифференциальной формы (кратко, внешней формы или просто формы) на k-мерном подмногообразии пространства К71. Говорят, что на многообразии задана внешняя дифференциальная форма степени М, если в каждой точке многообразия М в касательном пространстве Тм(х) задана полилинейная кососимметрическая функция степени т. Операции над внешними дифференциальными формами, определенные в параграфе 2 для случая форм на открытых множествах, здесь распространяются на общий случай внешних дифференциальных форм на произвольном k-мерном многообразии. Вводится понятие ориентируемого к-мерного многообразия и устанавливается некоторый критерий ориентируемости многообразий. 5.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы НА fc-MEPHOM МНОГООБРАЗИИ 5.1.1. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ^г, где г > 1, в пространстве К71. Предположим, что для всякой точки х G М в касательном пространстве Тм(х) многообразия М определена кососимметрическая полилинейная функция и(х) степени m < к. В этом случае будем говорить, что на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма и(х) степени т.
360 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Возьмем произвольно точку р многообразия М. (Как обычно предполагается, что М принадлежит классу ^г, где г > 1.) Пусть Т^(ж) есть касательное пространство многообразия М в точке р. Предположим, что в Тм(р) задана внешняя форма и степени га < к, и пусть ip: Р —► М есть допустимая параметризация многообразия М такая, что р G F — <р(Р)- Тогда найдется значение to £ Р такое, что р = <p(to). Линейная функция d(p(t) отображает пространство Шк на касательное пространство Тм(р) многообразия М. Для всякой внешней формы и, определенной на пространстве Тм(р)> может быть определена некоторая внешняя форма (p(t0)*uj, которую мы будем называть представлением формы и в параметризации <р многообразия М. Форма (p(to)*u) определяется следующим образом. Для произвольной системы из га векторов fi, £2? • • • > fm пространства Шк полагаем ¥>(<о)Мб>6> • • • >fm) = w[cfy>*(£i)><fy>*(6)> • • -jdtpttfm)]. (5.1) В силу предложения 2.10 данное здесь определение формы (p(to)*u согласуется с определением операции перенесения внешней формы отображением класса (ё?г. ш Лемма 5.1. Пусть М есть к-мерное многообразие класса <й?г', где г > 1, ip: Р —► М и ф: Q —> М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М, 0 = ф"1 о <р — функция перехода для данных параметризаций. Пусть точка р G М, причем р = tp(t) = ф(и), где t G Р, a u G Q. Предположим, что в касательном пространстве Тм(р) многообразия задана внешняя форма, и степени га < fc, и пусть (р*и и ф*ш есть представления этой формы относительно данных параметризаций. Тогда имеет место равенство 0*(ф*и) = (р*и. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Положим F = tp(P) и G = V(Q), и пусть Pj = p-^G), Qj = ^_1(Л- Множества F и G являются открытыми относительно М. Отсюда следует, что множества Pi и Q\ являются открытыми относительно Р и Q соответственно. В частности, множества Р и Q являются регулярными, и, значит, для отображения в = ф~* о у? в каждой точке t G Pi определены все частные производные и дифференциал отображения в в этой точке. Пусть р есть данная точка на многообразии М, р = <£>(£) = VK^)- Зададим произвольно векторы fi, &» • • •»fm в пространстве R*, га < fc. На множестве Pi определена внешняя форма <р*и, на Qi — форма ф*и. Имеем ^ Мб, 6, • • • , бп) = W[#(fl), ^(6), • • • , <W(6»)],
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 361 где <1ф означает дифференциал отображения ф в точке и. Согласно предложению 2.10 имеет место равенство n^w)(6,6,...,fm) = ^M^(6).^(e2),...,^(em)]. Для любых векторов (7/1,7/2,..., т/m) в пространстве R* имеет место равенство <А;(т/1,7/2, • • • >»?m) = ^[^(^?l),^(%), • • • ,<fy>0?m)]- (5.2) Значения дифференциалов здесь берутся в точке 2. Если векторы £, т/ Е Шк таковы, что т/ = d0*(f)> то X = d^fo) = d^[d^(0] = (<ty« ° d0i№ = <*(V> о *),(£). Из определения 0 следует, что (-0 о #)(£) = (^(2) для всех t Е Pi. Следовательно, мы получаем, что если т/ = d0^(£), al = (1фи{г)), то X = dcpu(£). (Здесь точки 2 Е Pi и и Е Qi таковы, что <p(t) — ф(и), т. е. u = t-1[(p(t)] = e(t).) Полагая в равенстве (5.2) щ — d9i(£i) для каждого % = 1,2,... ,?7г, получим, что ^(^w)(ei,6,...,fm) = w[^i(6),^t(6),...,^(U)]. Таким образом, мы получаем, что внешние дифференциальные формы 0*ф*и и ip*u совпадают. Лемма доказана. ■ 5.1.2. Пусть М есть произвольное к-мерное многообразие в пространстве Шп класса ^г, где г > 1. Предположим, что для всякой точки х Е М в касательном пространстве Тм{х) многообразия М определена кососимметрическая полилинейная функция и(х) степени m < к. В этом случае будем говорить, что на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма и(х) степени га. Для всякой допустимой параметризации ср: Р —> М в этом случае в стандартной области Р определена внешняя дифференциальная форма cp*u(t) — представление формы и в данной параметризации. Будем говорить, что форма и принадлежит классу ^5, где 5 < г — 1, если форма tp*uj{t) принадлежит классу c€s для любой параметризации (р многообразия М. Пусть ср:Р—>Мжф:(2—>М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М, и пусть F = ¥>(Р), G = ф{Р), Н = F П G. Определим также множества Pi = ср~г(Н) и Qi = ф~1{Н). Множество Pi является открытым относительно Р, и точно так же Q\ есть
362 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях множество, открытое относительно Q. В этом случае определены диффеоморфизмы в — ф"1 ocp:P1-^Q1nr = ip'1 о ф: Q1 —» Р1# Диффеоморфизмы 0 и т принадлежат классу (Ё"Г. При этом т = в"1 и в = г-1. Если на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма и степени m < к, тогда на стандартных областях Р vlQ определены внешние формы <р*и и ф*и. Лемма 5.1 позволяет заключить, что имеет место равенство ср*и = 0*(ф*и). Параметризации ср ж ф в формулировку леммы входят равноправным образом. Отсюда следует, что имеет место также и равенство ф*и = т*(ср*и). Выражения для коэффициентов внешней дифференциальной формы <р*и через коэффициенты внешней дифференциальной формы ф*и содержат производные компонент отображения 0. Эти производные принадлежат классу (ё?г~1. Отсюда ясно, что понятие внешней дифференциальной формы класса c€s для s > г — 1 на многообразии М, принадлежащем классу (ё?г, не имеет смысла. Это утверждение может быть представлено в виде точного математического предложения. А именно, какова бы ни была внешняя дифференциальная форма и степени m > 1 на многообразии М, всегда найдется допустимая параметризация (р многообразия М, в которой коэффициенты внешней формы <р*и есть функции класса с£т~~1 и не являются функциями класса ^г. (Мы оставляем данное утверждение без доказательства, поскольку оно в дальнейшем не используется.) 5.1.3. Операции над внешними дифференциальными формами, определенные ранее для случая внешних дифференциальных форм, заданных на открытых подмножествах пространств Шп, распространяются естественным образом на внешние дифференциальные формы на многообразиях. Это распространение существенно опирается на следующее предложение. ■ Лемма 5.2. Пусть М есть k-мерное многообразие класса ^г, где г > 1, в пространстве Шп. Предположим, что для всякой допустимой параметризации (р: Р —> М многообразия М определена внешняя дифференциальная форма Up класса с€&', где s < г — 1, причем выполнено следующее условие. Для любых двух перекрывающихся параметризаций ср: Р-^Миф-.Q-^M для всех i G Р, для которых определено отображение в = ф"1 о<р, имеет место равенство 9*u^(t) = u^it). Тогда на многообразии М может быть определена, и притом единственным способом, внешняя дифференциальная форма и такая, что для всякой допустимой параметризации ip многообразия М выполняется равенство U<p = <P*U.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 363 Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Выберем произвольно точку рЕМ. Пусть ср: Р —> М есть допустимая параметризация многообразия М такая, что р = <p{t). Зададим произвольно векторы Xi,X2,.. .,Хт, принадлежащие касательному пространству Тм(р) многообразия М в точке р. Тогда dipt есть взаимно однозначное линейное отображение пространства Шк на Тм{р)- Пусть векторы £г- Е К*, г = 1,2,..., га, таковы, что d^(&) — X{. Положим U(p] Xi, Х2, • • • , Хот) = Wv(f 1, f2, • • • > fm)- Функция o;(p;Xi,X2,...,Xm), определенная таким образом, представляет собой внешнюю дифференциальную форму степени га в пространстве Тм(р). Покажем, что значение этой внешней формы не зависит от выбора параметризации ср: Р —► М такой, что р Е <р(Р). Действительно, пусть ф: Q —► М есть произвольная другая параметризация многообразия М такал, что р = ^(и), где u E Q. Зададим произвольно векторы Xi,X2,... ,Xm в пространстве Тд^(р), и пусть векторы &,77» £ К* таковы, что dcpt(£i) — dipu(rji) = Х{ для любого г = 1,2,... ,га. Покажем, что <<V(6 56г-.,(т)= Ыф(тЦ , 7?2, . . . , 7?т). (5.3) Действительно, при каждом г = 1,2,..., m имеет место равенство *?,• = (^)_1№) = (<ад_1[<Ы6)] = rf(^_1 о v)*(f.-) = мм). Следовательно, мы получаем иф{щ, 7/2, • • • , Г?т) = ^[^(6 ), ^(£2), • • • , ^i(fm)] = = 0*Uifi(Zl, &, • • • > £m) = WV(6 ,&,•••, f m), и равенство (5.3), таким образом, доказано. Из равенства (5.3) следует, что величина ш(р; Xi,X2,... ,Хт)тйе зависит от выбора параметризации у? такой, что р = у?(<) для некоторого £. Точка р Е М была выбрана произвольно. Мы получаем, следовательно, что на многообразии М определена некоторая внешняя дифференциальная форма и. Из ее определения непосредственно следует, что для всякой допустимой параметризации ср многообразия М справедливо равенство uj^ = <p*u. Лемма доказана. ■
364 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях 5.1.4. Операции над внешними формами производятся следующим образом. Пусть а и /3 есть внешние формы, определенные на к-мерном многообразии М в пространстве Еп, а (р: Р —» М есть произвольная параметризация данного многообразия. Тогда на множестве Р определены формы (р*а и (р*(3. Положим А<^ = (р*а Л у>*/3. Каждой допустимой параметризации ip многообразия М, таким образом, сопоставлена некоторая внешняя дифференциальная форма А^, степени, равной dega + deg/3, заданная в области определения этой параметризации. Пусть (р:Р—>Мжф:(2—>М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть в = ф~г о <р есть функция перехода для данных параметризаций. Имеем ср*а = 9*{ф*а) и, аналогично, Отсюда в силу свойств операции переноса внешней формы дифференцируемым отображением следует, что А^ = <р*а Л <р*/3 = 0*(ф*а) Л 0*(V>*/3) = в*(ф*а Л ф*/3) = в*\ф. Таким образом, для любых двух перекрывающихся параметризаций (риф многообразия М выполняется равенство где в = ф"1 о (р. Тем самым в силу леммы 5.2 на многообразии М определена некоторая внешняя дифференциальная форма А. Будем говорить, что А есть произведение внешних форм а и /3, и писать А = а Л /3. Все свойства операции умножения внешних форм, доказанные ранее для форм, определенных в открытом множестве пространства Еп, имеют место и в данном случае. Проверка этого, будучи тривиальной по существу, оказывается несколько громоздкой, и мы ее опускаем. Приведем еще определение операции дифференцирования для внешних форм на многообразии. Предположим, что М есть гладкое многообразие класса ^г, где г > 2, и пусть a — внешняя дифференциальная форма степени га < к на многообразии М и класса ^s, где 1 < s < г — 1. Тогда для всякой допустимой параметризации (р: Р —> М определена форма а^ = (р*а. Эта форма принадлежит классу ^5,
§ 5. Внешние дифференциальные формы на, многообразиях 365 и так как s > 1, то определен дифференциал da^. Пусть у> и ф — две перекрывающиеся допустимые параметризации многообразия М и в = ф~1 о ip. Имеем а^ = в*аф. В силу свойств дифференциала, доказанных в § 2, отсюда вытекает, что da^ — 6*da^. Для всякой допустимой параметризации <р, таким образом, определена некоторая дифференциальная форма da^ степени т + 1, причем выполнено условие леммы 5.2: формы, соответствующие разным параметризациям, преобразуются одна в другую согласно правилу, указанному в лемме 5.2. Согласно лемме 5.2 это означает, что на многообразии М определена некоторая форма /3 такая, что (р*/3 = dcp*a для всякой допустимой параметризации ip многообразия М. Форма /3 далее называется дифференциалом внешней формы а и обозначается символом da. Свойства операции дифференцирования, установленные в § 2 для внешних форм, определенных на подмножествах пространства К71, очевидным образом распространяются на рассматриваемый здесь общий случай. 5.2. ПОНЯТИЯ ОРИЕНТАЦИИ И ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ 5.2.1. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ^г, где г > 1 в пространстве Шп. Предположим, что ср: Р —> М и ф: Q —► М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть F = = (р(Р) и G = ф(Я). Множества F и G являются открытыми относительно многообразия М. Пусть Р\ — ^f~1(F П G) и Q\ = ф~1(Р П G). Множества Pj и Q\ являются открытыми относительно Р и Q соответственно и, следовательно, представляют собой регулярные множества в пространстве Шк. Пусть в = у?-1 о ф и г = я/?"1 о ср, т = в"1. Отображения т ж в есть диффеоморфизмы. При этом т отображает множество Pj на фь а 0 отображает Qi на Pi. В каждой точке f G Pi определена величина J(t,r) — якобиан отображения г в точке t. Если и — т(<), то имеет место равенство J(tf,r)J(u,0) = 1. Отсюда, в частности, следует, что величины J(t,r) и J(u, 0) имеют один и тот же знак. Параметризации ср и ф называются когерентными, если якобиан функции г = ф"1 о ip имеет один и тот же знак во всех точках, где он определен, т. е. для всех < 6 ?i. В этом случае в силу равенства J(t,r)J(u,9) — 1, где в = г-1, также и якобиан функции в имеет один и тот же знак во всех точках множества фь Предположим, что перекрывающиеся параметризации <р: Р -* М и ф: Q —> М когерентны. Тогда мы будем говорить, что они одинаково ориентированы или, иначе, имеют одну и ту же ориентацию,
366 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях если якобиан отображения т = ф~ о ср всюду положителен. Если же якобиан отображения т всюду отрицателен, то будем говорить, что параметризации (риф ориентированы противоположно. Будем говорить, что fc-мерное многообразие М ориентируемо, если любые две его параметризации когерентны и множество всех параметризаций многообразия М можно разбить на два класса так, что любые две перекрывающиеся параметризации, принадлежащие одному классу, ориентированы одинаково, а параметризации, принадлежащие разным классам, ориентированы противоположно. Говорят, что задана определенная ориентация многообразия или, иначе, что многообразие ориентировано, если все параметризации одного класса названы правымщ а параметризациям другого класса присвоено наименование левых параметризаций. 5.2.2. Приведем некоторый критерий ориентируемости многообразия. Сначала проделаем некоторые предварительные построения. Введем здесь некоторые понятия, связанные с fc-реперами, т. е. упорядоченными системами из к векторов пространства Шп. Пусть Р есть fc-мерное подпространство Жп и X = {X1,X2,...,Xk}i Y = {Y1,Y2,...,Yk} — два невырожденных репера в плоскости Р. Тогда векторы У, могут быть представлены как линейные комбинации векторов Xj, т. е. имеют место равенства к У{ = ^а*зХз> * = M,...,fc. (5.4) i=i Пусть А есть матрица (aij)t,j=i,2,...,*- Тогда равенства (5.4) сокращенно записываются в виде Y = АХ. Будем говорить, что реперы Y и X ориентированы одинаково, если det A > 0. Если определитель матрицы А отрицателен, то говорят, что данные fc-реперы ориентированы противоположно. Пусть X, Y и Z есть невырожденные fc-реперы в fc-мерном подпространстве Р. Тогда Z = BY и Y = АХ и, значит, Z = В АХ. Имеем det В А = det Adet В. Предположим, что fc-реперы Х и Y ориентированы противоположно, т. е. det A < 0. Отсюда следует, что если det В > 0, т. е. fc-репер Z ориентирован одинаково с fc-репером Y, то он ориентирован противоположно реперу X. Если же det В < 0, тогда fc-репер Z ориентирован одинаково с к-репером X.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на, многообразиях 367 Множество всех невырожденных fc-реперов, лежащих в плоскости Р, таким образом, распадается на два класса. При этом реперы одного класса ориентированы одинаково с X, а реперы другого класса ориентированы одинаково с Y. Легко проверяется, что два репера, принадлежащие одному классу, ориентированы одинаково, а реперы, принадлежащие разным классам, ориентированы противоположно. Говорят, что задана определенная ориентация fc-мерного подпространства Р, если некоторый невырожденный fc-penep X, лежащий в этой плоскости, назван правым. В этом случае всякий fc-penep, ориентированный одинаково с X, также называется правым. Реперы, ориентированные противоположно X, называются левыми. Пусть М есть fc-мерное ориентируемое многообразие класса ^г, г > 1, в пространстве Шп. В каждой точке xGM определено подпространство Тд/(ж). Предположим, что задана ориентация многообразия М. . Покажем, что в этом случае для всякой точки жЕМ может быть однозначно определена некоторая ориентация касательного пространства Тм(х) многообразия М в этой точке. Пусть ip: Р —► М есть произвольная параметризация многообра- зия М и F = <р(Р). Пусть х = <p(t) и pi = —^-(i), i = 1,2,..., к. Век- торы pi линейно независимы и принадлежат /с-мерному подпространству Тм(я) пространства Шп. В плоскости Тм(яо)> таким образом, определен некоторый fc-репер р = {ръР2? • • • ,Pk}- Будем говорить, что р есть координатный репер параметризации <р в точке жЕМ. Условимся считать, что fc-репер р является правым или, иначе, положительно ориентированным, если параметризация <р многообразия М правая. Если же параметризация ip левая, то fc-репер р будем считать левым (отрицательно ориентированным) fc-репером в плоскости Тд^(ж). Пусть ip: Р —> М и ф: Q —> М — две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть х = <p(to) = ф(ио). Положим г\ / qi = ——(^о), i = I? 2,..., к. Тем самым в точке х определен координатам ный репер q = {qi, (/2, • • • > Qk} параметризации ф. Параметризации ip и ф перекрывающиеся. Пусть в = ф~1 о <р есть функция перехода для параметризаций (риф. Тогда cp(t) = Ф[0^)] в некоторой окрестности точки to Е Р. Дифференцируя обе части равенства <p(t) = ф[в^)] по t{ и полагая t = to, мы получим, что при каждом г = 1,2,..., к выполняется равенство j=i oii
368 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Пусть D есть матрица ( -тг-^о) ) • Тогда равенства (5.5) сокращенно могут быть записаны следующим образом: р = Dq. Определитель матрицы D, очевидно, равен якобиану отображения в — функции перехода для данных параметризаций. Если параметризации (риф ориентированы одинаково, то J(t,0) = deti? > 0, и, значит, в этом случае также и к-реперы р и q ориентированы одинаково. Если же J(t,0) = detD < О, то параметризации (риф ориентированы противоположно. В этом случае fc-реперы р и q ориентированы противоположно. Пусть М есть fc-мерное многообразие класса ^г, г > 1, в пространстве Еп. Предположим, что многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация. Символом е(х) будем обозначать внешнюю дифференциальную форму степени fc, определенную на многообразии М следующим условием. Пусть u = {iii,U2,... ,Ufc} есть положительно ориентированный ортонормальный fc-penep в пространстве Тм(ж). Тогда выполняется равенство ф)(иьи2,...,и*) = 1. (5.6) Этим условием дифференциальная форма е(х) на многообразии М определена однозначно. Действительно, пусть X = {Х\, Хг,..., Xk} — произвольный fc-penep в плоскости Тм(#)- Тогда имеем X = Аи и, значит, как вытекает из леммы 1.4 в § 1, имеет место равенство e(x]X1,X2,\..JXk) = det A. Если репер {Х\, Х?,..., Xk} является правым ортонормальным репером, то матрица А является ортогональной и определитель ее равен единице. Следовательно, мы получаем, что для всякого правого ор- тонормального репера v = {vi, V2,..., у к} в плоскости Тм(х) имеет место равенство e(z;vbv2j...,Vjb) = 1- Внешнюю дифференциальную форму е(х) на многообразии М будем называть единичной дифференциальной формой степени к на многообразии М. Пусть (р: Р —> М есть произвольная параметризация многообразия М. Найдем выражение для формы (p*e(t). Степень этой формы равна fc, и, следовательно, ее каноническое представление имеет вид <p*e{t) = pifid&dt2 .. .dlk.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 369 Требуется найти функцию /J,(t). Имеем /х(<) = ¥>*е(';РьР2,-.-,Р*)> где рг = dcp(t;ei) = -~r(t)- Пусть и = {иь и2,..., -и*} есть правый С/6 j ортонормальный репер в плоскости Тм(^), где х = ^(0- Тогда имеем Отсюда получаем <PnP*> = ^T,Kjbsj- u (5.7) i=i Пусть Л = (\ij)ij=i,2,...,k- Тогда имеем р = Ли и, значит, /z(f) = = s(x,p1,p2, • • • ?Pfc) = detA. Для вектор-функции ^ определена мат- рица Gv(i) = (#г;(0)г\;=1,2,...,ь где #,-(<) = / ^(0» ^(0 Равенство (5.7) в матричной форме может быть записано следующим образом: Gv(<) = ЛЛ*, где * означает операцию транспонирования матрицы. В результате получаем g^it) = detGv(t) = detA detA* = (detA)2. Отсюда \fi{t)\ = y/g<p(t). Имеем detA > 0, если параметризация 99 правая, и detA < 0, если параметризация <р левая. Окончательно получаем <p*e(t) = x{ip)ylg^{i)dtldt2 ... dtk, (5.8) где х(<р) = 1, если ср есть правая параметризация, и x(tp) = — 1, если эта параметризация левая. Из доказанного, в частности, следует, что внешняя форма е(х) принадлежит классу <ё?г~1. ш Теорема 5.1 (критерий ориентируемости дифференцируемого многообразия). Пусть М есть к-мерное многообразие класса <ё?г, где г > 1. Для того чтобы многообразие М было ориентируемо, необходимо и достаточно, чтобы на многообразии М существовала внешняя дифференциальная форма и(х) степени, равной размерности к многообразия М, принадлежащая классу <ё?г~1 и такая, что во всякой точке xGM внешняя дифференциальная форма и{х) отлична от нуля.
370 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Установим необходимость условия теоремы. Предположим, что многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация. Тогда внешняя форма е(х) — единичная внешняя форма степени к на многообразии М, соответствующая данной ориентации — непрерывна и отлична от нуля во всех точках многообразия. Форма и(х) = е(х) удовлетворяет всем требуемым условиям, и тем самым необходимость условия теоремы установлена. Докажем достаточность условия. Предположим, что на fc-мерном многообразии М может быть определена внешняя дифференциальная форма и степени fc, принадлежащая классу ^г, где г > 1, и такая, что в каждой точке xGM внешняя дифференциальная форма и отлична от нуля. Пусть (р: Р —> М есть произвольная допустимая параметризация многообразия М. Тогда в к-мерном прямоугольнике Р определена внешняя дифференциальная форма <р*и. Степень этой внешней формы равна fc, и, значит, она имеет вид Aft)*1 Л2 ...dtk. Коэффициент А представляет собой непрерывную функцию. При этом X(t) ф 0 для всех t Е Р. Отсюда вытекает, что величина X(t) имеет один и тот же знак во всех точках прямоугольника Р. Будем считать параметризацию (р правой, если X(t) > 0 для всех t Е Р, и левой в случае, если X(t) < 0 для всех t Е Р. Предоставляем читателю проверку того, что любые две перекрывающиеся параметризации многообразия когерентны. При этом якобиан функции перехода от одной параметризации к другой положителен, если эти параметризации являются одноименными, т. е. если они либо обе правые, либо обе левые. Если же одна из двух перекрывающихся параметризаций правая, а другая левая, то якобиан функции перехода отрицателен. Таким образом, достаточность условия теоремы установлена. Теорема доказана. ■ Замечание. Предположим, что на fc-мерном многообразии М задана непрерывная внешняя форма о>(ж), отличная от нуля во всех точках М. Тогда внешняя форма о;, как показано при доказательстве теоремы 5.1, позволяет указать некоторую конкретную ориентацию многообразия. А именно, ориентацию, в которой параметризация <р является правой, если коэффициент А в представлении формы (p*Lj(t) = \{t)dtldt2 ... dtk всюду положителен. Если же этот коэффициент всюду отрицателен, то параметризация <р является левой. Будем говорить, что данная ориентация определяется внешней дифференциальной формой и.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 371 5.3. Индуцированная ориентация края многообразия 5.3.1. Если многообразие с краем в пространстве Шп ориентируемо, то и его край, как будет показано здесь, также является ориентируемым многообразием. При этом если задана некоторая ориентация многообразия, то по ней может быть однозначно определена ориентация края многообразия. Предварительно проделаем вспомогательные рассуждения. Зададим в пространстве Шп fc-мерное многообразие М, к > 2, принадлежащее классу ^г, г > 1. Предположим, что край дМ многообразия М не является пустым множеством. Тогда согласно теореме 3.2 множество дМ является (к — 1)-мерным многообразием класса сё?г. При этом дМ не имеет краевых точек. В каждой точке х G дМ определена контингенция Cnt м(р) многообразия М. Она, как показано в §3, представляет собой некоторое fc-мерное полупространство. Касательное пространство Тэм(х) многообразия дМ есть (к — 1)-мерное пространство, содержащееся в множестве Cntм(р) и являющееся краем этого множества. Пусть п(х) есть единичный вектор, лежащий в касательном пространстве Тм(#) многообразия М в точке ж, не принадлежащий множеству CntM(#) и ортогональный плоскости Там(^)? т- е- такой, что для всякого вектора X G Тэм(х) имеет место равенство (п(я), X) = 0. Вектор п(х) будем называть вектором внешней нормали края многообразия М в точке х. ш Лемма 5.4. Пусть М есть многообразие с краем, и для х G дМ пусть п(х) есть вектор внешней нормали в точке х G дМ. Вектор- функция п(я) непрерывна на множестве дМ. Доказательство. Возьмем произвольно точку х0 G дМ. Пусть (р: Р —> М есть параметризация многообразия М такая, что х G F = = <р(Р)- Множество F является открытым относительно М, и, значит, dF = F П дМ есть множество, открытое относительно дМ. Как показано в § 3, в рассматриваемом случае стандартная к-мерная область Р является fc-мерным полуинтервалом, Р = (aj,bi] x (аг?^) х ... ••• х (an,bn). Лемма будет доказана, если мы установим, что ограничение функции п на множестве dF непрерывно. Если х G dF, то х = <£>(/), где t = (b1?i2? • • • ->tk)- Векторы — (i), где i = 2, ...,fc, принадле- С/6 j жат касательному пространству Тэм(х) многообразия 9М. Всякий вектор X G Тдм(я) является линейной комбинацией векторов -^—(t), С/1 j г = 2,..., к. Сначала построим вектор и(х), полагая д<р ду д<р и(х) = яГ ~ А2я^ А* яГ" ail af2 <эт*
372 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Коэффициенты А2,...,А* определим из условия: вектор п(х) ор- тогонален каждому из векторов тг—(О? гДе г = 2,... ,fc. Это приводит С/1 j К следующей системе линейных уравнений для коэффициентов А,-: 9u(t) = АзЫО + •' • + А*0«(О> i = 2,...,k. (5.9) Здесь мы используем обозначения, введенные в §3: „ (Л /д<Р дР Квадратичная форма к к является положительно определенной. Отсюда вытекает, что частичная квадратичная форма к к г=2 >=2 также положительно определенная. Это позволяет заключить, что определитель системы уравнений (5.9) отличен от нуля. Решая систему уравнений (5.9), мы получим, что коэффициенты A2(tf),..., Ajt(i) выражаются через компоненты векторов —-(t) посред- ством некоторых рациональных функций. Отсюда вытекает их непрерывность, а следовательно, и непрерывность вектор-функции и(х) на множестве dF. dtp В каждой точке t Е дР вектор —— не принадлежит полуплоско- ut\ сти Пм(#)« Отсюда следует, что вектор п(х) также не принадлежит Пм(я)- Величина 1{х) = |и(ж)| является функцией, определенной и непрерывной на множестве OF. Имеем, очевидно, равенство п(ж) = щи{х) для всех х £ dF.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 373 Из доказанного следует, что всякая точка х G дМ имеет в множестве М окрестность такую, что ограничение функции п на этой окрестности непрерывно. Тем самым установлено, что вектор-функция п непрерывна на множестве дМ. Лемма доказана. ■ 5.3.2. Основным результатом этого раздела является следующая теорема об ориентируемости края многообразия. ■ Теорема. 5.2 (об ориентируемости края многообразия). Пусть М — ориентируемое многообразие класса ^г, г > 1, в пространстве Rn, причем его размерность к > 2. Тогда если край многообразия М не пуст, то он представляет собой ориентируемое многообразие размерности к — 1. Доказательство. Пусть М есть ориентируемое многообразие класса ^г, где г > 1, и пусть Г = дМ есть край данного многообразия. Как показано в §3, множество Г является (А; — 1)-мерным многообразием класса ^г. Пусть е(х) есть единичная внешняя дифференциальная форма степени к на многообразии М. Возьмем произвольно точку х G Г. В точке х определен вектор внешней нормали п(х) края многообразия. Определим на многообразии Г внешнюю дифференциальную форму в степени к — 1, полагая для произвольных касательных векторов Xi,...,Xfc_i многообразия Г значение этой формы в точке х равным величине е(х; n(a:),Xi,... ,Xfc_i). Покажем, что построенная внешняя дифференциальная форма в принадлежит классу {ё?г~1 и отлична от нуля в каждой точке х G Г. Действительно, пусть U2,..., и* есть ортонормальная система векторов в плоскости Тр(ж) такая, что {п(я), U2,..., и&} есть правый ор- тонормальный репер в пространстве Тм(х)- Тогда 0(ii2,..., и&) = = e(a;n(a:),U2,...,U|.) = 1. Пусть (р: Р —» М есть параметризация многообразия М такая, что точка х G Г принадлежит множеству F = ф(Р)- Предположим, что Р есть прямоугольник Р = (abbi] х (02,62) х ••• х (*к,Ьк). Тогда х = <£>(i), где х G дР. Пусть Sip: доР —> Г есть соответствующая параметризация края многообразия М. Имеем #^(<2> • • • >**) = = (p(bi, ^2? • • • 5 tk). Для внешней дифференциальной формы в(х) на многообразии Г имеем {6<p}*0(t) = fi(t)dt2 ...dtk.
374 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Коэффициент fj,(t) при этом определяется из равенства ./*(<) = W0(*;e2,...,e*) = = *fe£ f*> = 'WM*01.£<0,....g<0>. Отсюда следует, что функция /i(t) непрерывна. Тем самым установлено, что внешняя форма в на многообразии М непрерывна в окрестности любой точки х Е Г. Таким образом, мы получаем, что для многообразия Г выполняется критерий ориентируемости дифференцируемого многообразия, установленный теоремой 5.1, и, следовательно, многообразие Г = дМ ориентируемо. Теорема доказана. ■ Замечание. Пусть М есть ориентированное fc-мерное многообразие с краем, е(х) — единичная форма степени к на этом многообразии. При доказательстве теоремы 5.2 установлено, что внешняя дифференциальная форма в(х) на многообразии дМ, определенная равенством в(х;Х\)... ,Xk-i) = е(ж; п(ж),Хь ... ,Xjfc_i), непрерывна и всюду отлична от нуля. Она задает некоторую ориентацию многообразия дМ, о которой мы будем говорить, что она индуцирована ориентацией многообразия М. Пусть векторы U2,..., и& в плоскости Тэм(х) образуют ортонормальный репер. Тогда векторы п(ж), U2,..., Щ также образуют некоторый ортонормальный репер. Если этот репер является правым, то 6(х; U2,..., и*) = е(х] n, U2,..., и*) = 1. Таким образом, форма в(х) определяет на многообразии дМ ориентацию, в которой ортонормальный репер {u2,...,uj;} является правым на многообразии М в том и только в том случае, если {n, U2,... , и*} есть правый репер в касательном пространстве Тм(х) многообразия М. Форма 0, как следует из сказанного, является единичной формой степени к — 1 = dim дМ на многообразии дМ. В заключение сделаем замечание, которое понадобится нам далее. Пусть xq — краевая точка fc-мерного многообразия М, ср: Р —» М есть параметризация этого многообразия такая, что xq Е <р(Р)- Тогда Р есть fc-мерный полуинтервал Р = (ai,bi] х (аг,^) х ••• х (afc,bfc). В этом случае, как показано в п. 3.3.1, определена параметризация 6<р: доР —► дМ края многообразия М. Мы будем говорить, что dip есть параметризация края, порожденная параметризацией ip окрестности краевой точки многообразия М. Покажем, что если многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация, край многообразия М наделен индуцированной ориентацией, то параметризация 6(р окрестности точки xq в множестве
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 375 дМ будет одноименной с параметризацией <р, т. е. если ip есть правая параметризация М, то Sip есть правая параметризация дМ. Точно так же если (р — левая параметризация дМ, то (5у> есть левая параметризация дМ. Действительно, пусть Р = (ai,bi] x (02,62) x ••• х (afc,bfc). Тогда 6(p(t2,... ,<*) = y(bi,<2? • • • »**)• Пусть вдм есть единичная форма (fc — 1)-мерного многообразия дМ. Чтобы выяснить, является параметризация S(p левой или правой, следует найти знак выражения: (д6(р д6(р\ _ („г„\ д^р dip _ €дм{ж-'-Ж)=£м{п(х^''-дГ^' (5Л0) Заметим, что, по построению, имеет место равенство п(х) = a(t)u(x) = a(t) д(р д(р dip dti dt2 dtk Множитель a(t) здесь положителен. Мы получаем, что выражение (5.10) имеет тот же знак, что и величина (dip dip dip dip dip M \dt1 2dt2 dtk' dt2'""> dtk Функция ем линейна по каждому из своих аргументов. Кососим- метрическая функция обращается в нуль, если какие-либо два ее аргумента равны между собой. Преобразуя последнее выражение в соответствии с этими свойствами функции ем, получим fdSip dSip\ u. (dip dip dip\ £дм\Ж'---,ж)=а{*)£м{дГ1>дГ2>---дГк)- Так как a{t) положительно, то еэм и £м имеют один и тот же знак. Это позволяет заключить, что если ip есть правая параметризация М, то Sip есть правая параметризация 5М, а если ip — левая параметризация, то и Sip является левой параметризацией. 5.4. Пример неориентируемого многообразия Сначала приведем некоторые построения наглядного характера. В пространстве К3 построим некоторую поверхность. Рассмотрим в К3 ленту в виде плоского прямоугольника ABA'В1 (см. рис. 1). При этом будем предполагать, что сторона АА! значительно длиннее стороны АВ.
376 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях В В' Рис. 1 Данную ленту сначала изогнем в виде кольца, а затем склеим по отрезкам АВ и А1 В', перевернув отрезок АВ так, чтобы точка А при этом совместилась с точкой Б', а точка В с точкой А!. Для этого, очевидно, придется ленту перекрутить, как это показано на рис. 1. Склеивание может быть осуществлено так, что в результате получится глад- кос многообразие. Это многообразие называется листом Мёбиуса. Неориентируемость построенного многообразия мы установим с помощью критерия ориентируемости, который дается теоремой 5.2. Покажем, как описэдъ приведенное выше геометрическое построение мебиусова листа аналитическими средствами. В плоскости х$ — О зададим окружность х\ + х\ = 1. Пусть z(u) = (cos u, sin и, 0), 0 < и < 27Г, есть параметризация этой окружности. Обозначим через / ось х\ = 0, Х2 = 0 системы координат в пространстве R3. Пусть Ри есть плоскость, проходящая через прямую / и точку z(u). В плоскости Ри зададим прямолинейный отрезок с концами в точках £(и) и г)(и)
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 377 такой, что длина его \ri(u) — £(^)| = 2/i = const < 2 и серединой отрезка / ч / ч £Ы + Т1(и) является точка z{u), т. е. z(u) = . Предположим, что когда и монотонно изменяется в пределах от О до 27Г, отрезок [£(u)ri(u)] с постоянной скоростью вращается в плоскости Ри. Это означает, что угол, образуемый вектором г){и) — z{u) с вектором z(u), равен Агл, где А постоянная. Имеем г]{и) — z(u) — (h cos Xu)z(u) + (h sin Xu)e$ = = (h cos Xu cos u, /i cos Агг sin u, h sin Aw). Произвольная точка отрезка [£(u)ri(u)] может быть представлена следующим образом: x(t, и) = 2:(гг) + i[7/(w) — z(u)] — = ([1 + icos Xu] cosw, [1 + 2 cos Xu] sin гг,^ sin Xu), (5.11) где —h<t<h. Когда параметр t монотонно меняется в пределах от О до 27Г, отрезок [^(u)rj(u)] зачерчивает в пространстве К3 двумерную поверхность, которая, как мы покажем, является двумерным многообразием класса ^°°. Если А = 0, то мы будем иметь £(27г) = £(0), а 7/(27г) = ??(0). В этом случае рассматриваемая поверхность представляет собой круговое кольцо в плоскости жз = 0, ограниченное двумя окружностями, радиусы которых равны 1 — h и 1 + h. Это кольцо, очевидно, представляет собой ориентируемое дифференцируемое двумерное многообразие. Рассмотрим случай, когда А = -. Получим, что т/(27г) = £(0), а £(27г) = 7/(0). В этом случае один из концов полосы, зачерчиваемой отрезком [£(u)ri(u)] при обходе окружности, поворачивается на 180°. Обозначим через L множество, которое зачерчивается отрезком [£(^)т7(г0], когда и пробегает промежуток [0,27г]. Отметим, что при данном выборе А имеет место равенство x(t, и + 27г) = x(—t, и). Покажем, сначала, что множество L является двумерным многообразием. Сначала приведем одно общее замечание. Именно, справедливо следующее утверждение. ♦ Предлоясение 5.1. Пусть даны метрические пространства М и N и компактное множество А в пространстве М. Тогда если непрерывное отображение /': А —► N взаимно однозначно, то обратное отображение f"1 непрерывно.
378 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Действительно, пусть множество А С М компактно и /: А —> N есть непрерывное взаимно однозначное отображение. Положим В — = /(А), и пусть д = f"1. Зададим произвольно замкнутое множество Е в пространстве М. Так как д(В) = А, то д-1(Е) = д-1(ЕГ\А) = /(ЕпА). Множество Е П А компактно, и, значит, множество f(E П А) = = д~1(Е) компактно и потому замкнуто. Таким образом, полный прообраз любого замкнутого множества пространства М относительно отображения д является замкнутым множеством. Отсюда следует, что д непрерывно (см. главу 9, следствие теоремы 1.18). Предложение доказано. ♦ Рассмотрим произвольный промежуток (а,/3) С К такой, что /3 — a < 27Г. Полуоткрытый прямоугольник Р = {—h,h] x (а,/3) содержится в замкнутом прямоугольнике Р = [—Л,Л] х [а,/?]. Отображение x:((,u)gPh x(t,u) взаимно однозначно и непрерывно. Так как множество Р компактно, то в силу предложения 5.1 обратное отображение непрерывно. Отображение х взаимно однозначно и непрерывно на прямоугольнике Р. Обратное к нему отображение является ограничением непрерывного отображения на множестве х(Р) и, следовательно, непрерывно. дх дх В каждой точке (t, u) векторы -^— и -^- линейно независимы. Поло- ot ои жим Р' = [—h,h] х (а,/3). Множество х(Р') представляет собой пересечение множества L с множеством Va,p всех точек (яьЯ2,£з) ^ ^3' для которых х\ = rcosw, X2 = rsinw, где г > О, ж a < и < /3. Множество Vaj открытое как образ множества (0,оо) х (а,/3) х К относительно отображения (г,гц^з) »-► (гcosiersini*,^)? которое, очевидно, является диффеоморфизмом. Отсюда вытекает, что F' == ж(Р') есть открытое относительно Z множество. Множество Р = х{Р) получается из F' исключением дуги Д, являющейся образом относительно отображения х стороны прямоугольника Р, состоящей из всех точек (t,u) Е Р, для которых t = —h. Дуга R представляет собой компактное и, следовательно, замкнутое множество. Окончательно получаем, что F = х(Р) есть множество, открытое относительно L.
§ 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 379 Пусть X есть произвольная точка L. Тогда X = x(to,uo) для некоторых to € [—Л, Л] и гг G К. Предположим, что —Л < t0 < h. В этом 7Г 7Г случае полагаем a = щ — —, р = гл0 + — • Мы ВИДИМ? что IGF = z(P), гдеР = (-Л,Л] х (а,/?). Таким образом, в данном случае точка X имеет в множестве L окрестность, которая является элементарным двумерным многообразием класса {ё?°°. При tn = h ак (3 определим, как и в предыдущем случае. Получим, что X G F = х(Р). Рассмотрим случай tn = —h. Положим, как и в предыдущих двух 7Г 7Г случаях, а = гл0 — —, /3 = гг0 + —. Пусть Q = [—Л,Л) х (а,/?). Отоб- ражение х: (t,u) G Q »—► х(^,гг) G К3, где ж(^,гл) определяется равенствами (5.11), есть диффеоморфизм, и множество F = #(Q) является окрестностью данной точки X в множестве L. Справедливость этого утверждения устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были выполнены ранее. Прямоугольник Q имеет тот недостаток, что он содержит в себе точки левой стороны, параллельной оси Ои, а не правой, как это требуется определением параметризации дифференцируемого многообразия. Данный недостаток легко исправляется заменой t на — t и соответственно функции x(t,u) функцией x(—t,u). Итак, мы показали, что L действительно есть дифференцируемое многообразие класса ^^° в пространстве R3. Очевидно, это есть многообразие с краем. Докажем, что многообразие L неориентируемо. Предположим, напротив, что L есть ориентируемое многообразие. Пусть е(х) — единичная внешняя форма второй степени на многообразии L. Рассмотрим замкнутую кривую х(Очи), О < и < 27г, на многообразии L. Пусть дх hi(u) = —(0,м) = (— sin гц cos u,0), ди дх Ьг(^) = "л~(0,гг) = (cos \ucosu,cos\us'mu,sm\u). (JL Легко проверяется, что векторы hi(u) и ii2(u) единичные и ортогональны между собой.
380 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Ориентацию многообразия L будем считать выбранной из условия, что {hi(0), h2(0)} есть правый репер в касательной плоскости многообразия L в точке я(0,0). Функция r](u) = e(x(0,u), hi(u), h2(u)) непрерывна. Так как е есть единичная внешняя формы степени 2 на многообразии Z, то г){и) = e(x(0,u),hi(u),h2(u)) = ±1 для всех u G [0,27г]. Так как репер {hi(0),h2(0)} правый, то »?(0) = ф(0,0), ^(0)^2(0)) = 1 и, значит, г)(и) = 1 для всех и. В частности, должно выполняться равенство 77(27г) = e(a;(0,27r),hi(27r), h2(27r)) = 1. Напомним, что А предполагается равным -. Отсюда следует, что hi(27r) = hi(0), a h2(27r) = -h2(0), и, значит, т/(2тг) = ф(0,2тг), hi(2?r), h2(27r)) = = e(a:(0,0),hi(0), —h2(0)) = —1. Таким образом, одновременно выполняются равенства 7/(271") = 1 и 7/(271") = — 1. Итак, допущение, что многообразие L ориентируемо, приводит к противоречию. Следовательно, многообразие L не является ориентируемым. § 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса В этом параграфе, как и в предыдущем, также рассматриваются внешние дифференциальные формы (кратко, внешние формы или просто формы) на k-мерном подмногообразии пространства Шп. Определяется понятие интеграла внешней дифференциальной формы степени к по к-мерному многообразию класса *€*, где г > 1. Основной результат этого параграфа — обобщенная интегральная теорема Стокса. Согласно этой теореме интеграл от внешней дифференциальной формы степени к — 1 по краю k-мерного многообразия равен интегралу от дифференциала внешней формы по самому многообразию. Из обобщенной интегральной теоремы Стокса получаем известные интегральные формулы Остроградского и Гаусса. Доказательство интегральной теоремы Стокса опирается на некоторый вспомогательный результат — лемму о разбиении единицы. Эта лемма имеет и определенный самостоятельный интерес. В качестве приложения интегральной теоремы Стокса дается доказательство классической теоремы Брауэра о неподвижной точке в пространстве Шп. В главе 8 данного курса эта теорема была доказана для случая п — 2. Геометрическая часть доказательства теоремы Брауэра для произвольного п проводится так же, как и в случае п — 2. Аналитическая часть в общем случае основана на применении обобщенной теоремы Стокса.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса, 381 6.1. Лемма о разбиении единицы Предварительно введем некоторую вспомогательную функцию ф: Ш —► К, полагал яо = | О при it < О, ехр (—\) при i > 0. (-0 Так как ехр I — I —►О при £, стремящемся к нулю справа, то функция ф непрерывна в точке 0, а значит, и для всех xGE. Функция ф принадлежит классу ^°° на каждом из лучей (—оо,0) и (0,оо). При этом производная порядка г функции ф тождественно равна нулю в промежутке (—оо,0). В промежутке (0,оо) производная ф(г\1) является функцией вида р'(т)ехрН)' где Рг есть некоторый полином. Действительно, имеем </,'(*) =1 ехр (-1). Предположим, что для некоторого г Е N доказано, что для всех t > О выполняется равенство *"»(') = ft (т)«р(-т Дифференцируя это равенство, получим, что в интервале (0, оо) выполняется соотношение *<~>М = ^ [ft (i) " К (i)] ехр (-1) - iV+. (i) ехр (-1) , где Pr+i(x) = £2[Рг(я) — Р^(ж)]. Если Рг есть полином степени 2г (для г = 1 это условие выполнено), то Pr+i также есть полином, причем степень Pr+i равна 2г + 2 = 2(г + 1). Для всякого целого N > О справедливо соотношение 1 / 1\ xN lim -тгехр — 1 = lim — = 0. *->+ofW ^ ^ ^у х_оо ех
382 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Отсюда вытекает, что ,"■?„*"<«)-Jjm», (-i) Л (1) =0. Так как lim i/;(t) = 0 = ф(0), то функция ф непрерывна в точке 0, а значит, и для всех t GM. Предположим, что для некоторого г > 0 доказано, что производная 0 = ф(г) определена и непрерывна для всех t £ Ш. (Под производной нулевого порядка функции ф понимается сама функция ф.) Тогда функция в дифференцируема в каждой точке t ф 0, при этом lim e'(t) = 0. Применяя правило Лопигпаля к соотношению 0(0 - 0(0) 0(t) получим, что функция в дифференцируема также и в точке t = 0. При этом производная функции в непрерывна в Шп. Этим доказано, что функция ф принадлежит классу Сё>г+1{Ш). По индукции из сказанного следует, что ф G #r(R) при всяком г G N, т. е. ф G ^°°(К). Положим rj(t) = (р(1 — t)(p(4 — t). Функция г/ неотрицательна, принадлежит классу <ё?°° и обращается в нуль вне интервала (1,4). Определим по ней новую функцию r(tf), полагая оо T(t) = tjr,(t)dt, (6.1) t где 7 постоянная, значение которой определяется из условия г(0) = 1. Очевидно, функция г принадлежит классу <ё?°°. При этом r(t) = 1 при К1и r(t) = 0 при t > 4. Функция г является убывающей, так как ее производная равна —r](t) < 0 для всех t G Ш и, следовательно, 0 < r(t) < 1 для всех t 6R. Напомним, некоторые определения, приведенные в §6 главы 13. Пусть дана функция f:E-±K. Будем говорить, что функция / сосредоточена на множестве А С J57, если /(ж) = 0 при всяком х £ А. Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп. Функция /: U —> К называется финитной, если существует компактное множество А С U такое, что функция / сосредоточена на множестве А, т. е. такое, что f(x) = 0 для всякого х £ А.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 383 ■ Лемма 6.1 (лемма о разбиении единицы). Пусть U есть произвольное открытое подмножество пространства Еп и (^)^ен есть семейство открытых множеств пространства К71 такое, что U = [J 11$. Тогда найдется последовательность {^ру)у^ неотрицательных функций класса ^^(М71) такая, что выполнены следующие условия: 1) для каждой из функций (р„ существует ( G S такое, что (ру сосредоточена в множестве U$\ 2) для всякого компактного множества А С U существует номер N(A) N(A) такой, что сумма ]Г Vv(0 = 1 Для всех '? принадлежащих неко- торому открытому множеству V Э А; оо 3) для всякого х G U выполняется равенство ]Г) <р»(х) = 1. Замечание. Будем говорить, что последовательность функций (¥?i/)i/€N образует разбиение единицы, подчиненное семейству открытых множеств (£^)£ен- Доказательство леммы. Пусть S есть множество всех точек х G U, у которых все координаты есть рациональные числа. Множество 5 является подмножеством счетного множества Qn = QxQx-.-xQ. 4 v / п множителей Шар 5(х,г) назовем допустимым, если х G 5, г_есть рациональное число и найдется f G Е такое, что замкнутый шар В(х,2г) содержится в множестве U^. Множество всех допустимых шаров, очевидно, допускает взаимно однозначное отображение в Qn+1 и, следовательно, не более чем счетно. Покажем, что всякая точка х G U принадлежит по крайней мере одному из допустимых шаров. Действительно, пусть х = (a?i,a?2,...,a:n) G U. Так как объединение множеств U( совпадает с U, то х G U{ для некоторого £ G S. Множество U( открытое, и, значит, найдется 6 > О такое, что шар В(х,6) С U{. Пусть ti есть рациональное число такое, что с \xi-U\ < ^-7=1 t = 1,2,...,n. Для точки < = (<i, <2» • • • j ^n) имеем неравенство |# — tf| < 6/3. Пусть г есть рациональное число такое, что \х — t\ < г < 6/3. Шар B(t,r)
384 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях содержит точку х. Для всякого у G_B(/,2r) имеем: \у — х\ < |у — t\ + + \t -x\< 26/3 + 6/3 = 6 и, значит, B(t, 2r) С В(х, 6) С Щ. Мы получаем, что если г удовлетворяет неравенствам \х —1\ < г < < 6/3 и является рациональным числом, то открытый шар B(t,r) содержит данную точку х G U, а замкнутый шар B(t,2r) содержится в одном из множеств U(. Шар i?(tf,r), следовательно, является допустимым. Множество всех допустимых шаров не более чем счетно. Это множество бесконечно и, следовательно, счетно. Занумеруем произвольным образом множество всех допустимых шаров. Пусть Ву есть шар с номером и. Пусть xv есть центр шара 2?„, г„ — его радиус. ^ _ Обозначим символом Bv замкнутый шар 2?(ж„,2г„), концентричный шару Ву и такой, что его радиус вдвое больше радиуса (\х -ж„|2\ шара Bv. -Пусть 0у(х) = г ( г-^— 1, где г есть функция в J?, опреде- \ rl J \х - Ху\2 ленная равенством (6.1). Тогда 0и(х) = 1 при < 1 и 9у(х) = О, 11/ | дг^ — 2? I если - v > 4, т. е. при \х — х„\ > 2ги. Мы получаем, таким обрати v ^ зом, что 9у(х) = 1 при х € By и 0у(х) = О, если х £ Ву. Для всякого х G К71 выполняются неравенства 0 < 0у{х) < 1. Положим Ai(a;) = 1 — в\(х). При i/ > 1 полагаем К{х) = Д[1 - **(*)] = Ху^(х)(1 - *„(*)). (6.2) При каждом i/ G N определим следующие множества: V V Vy=\J By, Fy=\J By. k=l *=1 Каждое из множеств Vu является открытым как объединение некоторого множества открытых шаров, а каждое множество Fv компактно как объединение конечного числа замкнутых шаров. При этом имеют место включения VyCFyC U. Всякая точка х G 17, как показано выше, принадлежит некоторому допустимому шару, т. е. одному из шаров Ву. Отсюда следует, что оо u=\Jv¥.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 385 Функция 1 — ви(х) обращается в нуль при х G Bv и равна единице при х ^ Ву. Для всех х G Шп выполняются неравенства 0< 1-0„(а?) < 1. Отсюда следует, что функция \„ неотрицательна, обращается в нуль на множестве Vv и равна единице вне множества Fv. Искомую последовательность функций [}Pv)vg& мы получим, полагая (fi(x) = 1 — Aj(x) = 0i(я), а при v > 1 — задавая функцию <р„ равенством ipv(x) = A^-iCa:)- А„(ж). В силу (6.2) при каждом v > 1 верно равенство ¥>i/(s) = K-i(x)0„(x). Отсюда следует, что функция у» неотрицательна и принадлежит классу ^°°. Заметим, что в данном случае функция <ри обращается в нуль на множестве V^-i, так как функция X^-i обращается в нуль на этом множестве. Функция вv обращается в нуль вне шара Bv, и, значит, также и функция <р„ обращается в нуль вне этого шара. Согласно определению допустимого шара найдется £ G Н такое, что Bv С U^. Таким образом, мы получаем, что для любого номера v € N функция (р„ неотрицательна и финитна, принадлежит классу ^°°(КП) и сосредоточена в одном из множеств (Е^)$е~ данного открытого покрытия множества U. Это означает, что для построенной последовательности функций (¥?i/)i/gn выполняется условие 1) формулировки леммы. Обозначим через Фм сумму первых N функций </?„. Имеем N Фаг = £ <Р* = (! " Ai) + (Ai " Х^ + ' " + (A^-i - А^) = 1 - \N. 11=1 Величина Фаг (ж) обращается в нуль при х fi Fm и равна единице при хе VN. Пусть А С U есть компактное множество. Каждая точка х G А принадлежит по крайней мере одному из открытых шаров J3„. Значит, по теореме Борелл (глава 9, теорема 2.4) найдется конечное семейство допустимых шаров (5|/1, J3„2,..., BUm), объединение которых содержит множество А.
386 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Пусть N = N{А) есть наибольший из номеров v\, v<i,..., um. Тогда, очевидно, А С V/v С ^дг С £Л Отсюда следует, что для всех х £ V}v имеет место равенство N "*Гч>Лх) = $n(x) = 1. Мы получаем, следовательно, что последовательность функций ((/?„)i/Gn удовлетворяет также и условию 2) формулировки леммы. Заметим, что при v > N функция (ри обращается в нуль на множестве VJv. Следовательно, для всех х Е Удг имеет место равенство оо J^¥>„(a?) = 1. Применяя этот результат к тому частному случаю, когда множество А состоит из единственной точки, получаем, что условие 3) формулировки леммы для построенной последовательности функций ((р»)^^ выполняется. Лемма полностью доказана. ■ 6.2. Определение интеграла по произвольному А;-мерному многообразию Пусть N есть fc-мерное многообразие класса ^г, г > 1, в пространстве Шп. Предположим, что многообразие М ориентируемо. Зададим произвольно ориентацию многообразия М, и пусть е есть единичная внешняя форма степени к на многообразии М, соответствующая данной ориентации многообразия. Предположим, что на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма о;, степень которой также равна числу к — dimM. Тогда для всякой точки х Е М определено некоторое число /(ж) такое, что и(х) = f(x)e(x). Мы будем говорить, что внешняя форма и(х) интегрируема по многообразию М, если функция / интегрируема по многообразию М относительно поверхностной меры на М. Интегралом внешней формы ш(х) по многообразию М называется число, равное интегралу от функции f(x) по многообразию М относительно площади. Интеграл от формы и>(х) по многообразию М обозначается символом J u(x). В соответствии с определением имеем м I ш{х) = / f(x)dfik(x). м м
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 387 Заметим, что если ориентацию многообразия М изменить на противоположную, т. е. переименовать все правые параметризации в левые, а левые в правые, то внешняя форма е при этом умножается на —1. Отсюда следует, что при этом также и функция f(x) заменяется на —/(#), и в результате мы получаем, что интеграл внешней формы и по многообразию М при изменении ориентации многообразия на противоположную умножается на —1. Внешняя дифференциальная форма и(х), определенная на fc-мерном многообразии М класса {ё?г, г > 1, называется финитной, если существует компактное множество А С М такое, что и(х) = 0 в каждой точке х £ А. Далее используется следующий простой факт. ♦ Предложение 6.1. Пусть М есть ориентированное k-мерное многообразие класса ¥>*', г > 1, и (р: Р —» М есть допустимая параметризация многообразия М. Предположим, что на М определена внешняя дифференциальная форма и степени к, причем существует компактное множество А С F = <р(Р) такое, что и>(х) обращается в нуль вне этого множества. Тогда / и{х) = х(у>) / ip*u(t)dt, м Р где я(ц>) = 1, если параметризация (р правая, и >с((р) = —1, если параметризация <р левая. Действительно, имеем u(x) = f(x)e(x). Отсюда <p*u>(t) = f[tp(t)]<p*e(t) = /ЬСМл/Ж*1*2 • • •**• Согласно определению /ф) = J f(x)dfik(x) = J f[iP(t)]^/^t)dt1dt2...dtk. (6.3) мм p В силу равенства (5.8) справедливо соотношение (p*e(t) = x{y)Jg^)dtldt2 ... Л*, и, значит, подынтегральное выражение правой части равенства (6.3) может быть представлено в виде fWit^Jg^d^dt2 ...dtk = x(^)y>*o;(t). Отсюда получаем требуемый результат. Предложение доказано. ♦
388 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях 6.3. Обобщенная интегральная теорема Стокса Сначала докажем некоторые предложения, являющиеся частными случаями общей теоремы. Доказательство общей теоремы основано на сведении к рассматриваемым ниже частным случаям в леммах 6.2 и 6.3. Формулировка и доказательство общего утверждения будут даны в конце этого раздела. Пусть u{i) есть внешняя форма степени к — 1 в пространстве Шк. Предположим, что внешняя форма и принадлежит классу ^7l. Тогда определена форма du{t) степени к — дифференциал формы u){t). Пусть к a;(0 = ^(-l)'"1w,-(0^ *=1 есть каноническое представление внешней формы о;(<), где dte% есть базисная внешняя форма dt\ .. .dt{.. .dtk, знак ~ над каким-либо множителем означает, что этот множитель пропускается. Имеет место равенство к д du(t) = Е j^Wd^dt2 ... dtk. (6.4) .=1 dti Действительно, согласно определению имеем м*) = Ее-1)'"1 Е §£(')*''л л* (6-5)- t=i j=i j При j / i произведение dtj Л Лв. = dtj Л d/1 Л Л1""1 Л Л'+1 Л ... • - • Adtk содержит два одинаковых множителя и, следовательно, обращается в нуль. При j = г мы получаем произведение Л1' Л d*1 Л Л1'"1 Л Л'+1 Л • • • Л Л*, которое преобразуется в dt^dt2 ...dtk выполнением г — 1 транспозиций. При каждой транспозиции перед произведением появляется множитель — 1, и в результате будет dt{ Л dt1 Л Л1"1 Л dti+1 Л • • • Л dtk = (-ly-id^dt2 . ..dtk. Окончательно получим к dU к я du(t) = Y^?p-(t)dtldt2 ...dtk »=i Таким образом, равенство (6.4) доказано.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 389 Используя выражение для дифференциала внешней формы степени к — 1 в пространстве М*, которое дается формулой (6.4), мы можем теперь доказать следующие леммы 6.2 и 6.3. ■ Лемма 6.2. Пусть даны к-мерный интервал Р = (а^, Ь\) х (<22, Ь2) х ' • * х {a>k, bk) и внешняя форма и степени к — 1 класса <й?1, определенная и финитная на интервале Р. Тогда имеет место равенство J du(x) = 0. р Доказательство. Пусть u(t) = ]£(—l)%~1Ui(t)dt€i есть канониче- ское представление внешней формы и. По условию, существует компактное множество А С Р такое, что U{(t) = 0, если t £ А. Прямоугольник Р рассматриваем как ориентированное fc-мерное многообразие, ориентация которого определена соглашением: тождественное отображение Id* : t £ Р *-► t есть правая параметризация Р. Имеем du(t) = X^di^dt2 ...dtk. Из условий леммы следует, что X(t) = 0, если t лежит вне множества А. Форма e(t) в данном случае есть внешняя дифференциальная форма dtldt2 ... dtk. Применяя общее определение к данному случаю, получим равенство f du(x)= IX(t)dtldt2 ...dtk. р р В силу равенства (6.4) справедливо соотношение *>-£&«>• 1=1 Лемма будет доказана, если мы покажем, что / ^(t)dt1dt2...dtk = 0 dtiv ; р при каждом i = 1,2,...,/г. Применяя теорему Фубини (глава 13, §7), получим J^(odudt2...dtk = J (j^(t)du 1л1...dV .л*. Pi \»i
390 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях (Здесь Р{ есть открытый прямоугольник в R*"1.) При фиксированных значениях переменных tj, где j ф г, функция о;,- обращается в нуль вне некоторого интервала (аг- + 6, Ь,- — <5), и, значит, /duji f du; -^-(t)du= j ^(t)di1- = 4..)il-f,...)-4",e.' + «I.-). Имеем u>j(. ..,!),•-{,...) = 0и a;t-(..., a» + 6,...) = 0. Отсюда следует, что при каждом г = 1,2,..., к выполняется равенство [^i(t)dt1dt2...dtk = 0. р Лемма доказана. ■ ■ Лемма 6.3. Пусть даны к-мерный полуинтервал Р = (ai,bi] x х(02,62) х • • • х (ajb,bjb) и внешняя форма, и степени к — 1 класса, &1, определенная и финитная на полуинтервале Р. Тогда имеет место равенство / du(x) = / о;(ж). р ар Доказательство. Пусть форма о; удовлетворяет условиям леммы. Прямоугольник Р мы рассматриваем как ориентированное fc-мер- ное многообразие с краем. При этом ориентацию Р определим посредством соглашения, что тождественное отображение Id* :<6?^iGP есть правая параметризация Р. Край многообразия Р есть множество всех точек t = (Ьь<2> • • • >'*)> гДе ai < '1 < ^ при каждом г > 1. Применяя формулу (6.4), получим, что и в этом случае /<Ч0 = 2( f^;(t)dt1dt2...dtkY (6.6) Применяя к интегралу /1= f^l(t)dt1dt2...dth J oh р теорему Фубинщ найдем, что "-life* э0р Vi dU dt2 ...dtk
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса, 391 Функция u>i(t) согласно условию леммы обращается в нуль вне некоторого компактного множества А С Р. Отсюда следует, что при фиксированных значениях переменных <2> • • • *** найдется 6 > О такое, что <*>i('b*2>'••>'*) обращается в нуль при t\ < a^ + 8. Отсюда следует, что в этом случае ибо u>i(ai + 5, <2,..., tk) = 0. В результате получим h = J ui(but2,...,tk)dt2...dtk. d0p Имеем отображение j: (*2?« ••»'*) € #o^P *-* (bi»*2» • • • ,Л*)« Нетрудно видеть, что j*u> есть форма ui(&i,t2>... ,tk)dt2 .. ,dtk. Следовательно, величина /j равна интегралу формы и по краю дР прямоугольника Р. Рассмотрим те слагаемое в сумме (6.6), которые соответствуют значениям г > 1. Пусть /.= [^(t)dt4t2...dtk. J oti р Рассуждениями, аналогичными проделанным при доказательстве леммы 6.2, устанавливается, что при г > 1 величина 1{ — 0 обращается в нуль. В результате получаем р эр Лемма доказана. ■ Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат этого раздела.
392 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях ш Теорема 6.1 (обобщенная интегральная теорема Стокса). Пусть М есть ориентируемое к-мерное многообразие класса <^?r, r > 2, в пространстве Шп. Предположим, что задана некоторая ориентация М и на многообразии М определена внешняя дифференциальная форма и класса ff1 и степени А; — 1, финитная относительно многообразия М. Тогда если М не имеет краевых точек, то / du{x) = 0. м Если же край многообразия М не пуст, то имеет место равенство fduj{x)= I uj{x). (6.7) м эм При этом предполагается, что край ЭМ многообразия наделен ориентацией, которая индуцирована ориентацией многообразия М. Замечание. Формула (6.7) носит наименование обобщенной интегральной формулы Стокса. Доказательство теоремы. Пусть А С М есть компактное множество такое, что и{х) = 0 при х £ А. Рассмотрим сначала частный случай, когда множество А является малым в том смысле, что можно указать параметризацию ip: Р —» М многообразия М, для которой множество А содержится в элементарном А;-мерном многообразии F = ф{Р)- В силу предложения 6.1 имеем / du{x) = х(<р) I <p*du(t) = x(tp) f dtp*u(t). (6.8) MP Р По условию, А С Р и и(х) = 0 при х £ А. Отображение (р"1 непрерывно, и, значит, множество Е = (р~г(А) С Р компактно. При t £ Е, очевидно, ip*u>(t) = 0. Предположим, что F не содержит краевых точек многообразия М. Так как AcFh lj(x) = 0 при х £ А, то форма и{х) тождественно равна нулю на многообразии дМ и, следовательно, [ш(х) = 0. дм
§ 6. Обобщенная интегральная теорема, Стокса, 393 Покажем, что в данном случае равен нулю также и интеграл: / du(x) = 0. м Действительно, в этом случае А;-мерная стандартная область Р является fc-мерным интервалом, а внешняя дифференциальная форма (p*u(t) обращается в нуль вне компактного множества Е С Р. На основании леммы 6.2 отсюда следует, что /■ d(p*u(t) = 0. р В силу равенства (6.8) отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае / duj{x) = 0 = / ш(х) м дм и, значит, в этом случае обобщенная интегральная формула Стокса верна. Предположим, что F содержит краевые точки многообразия М. В этом случае область определения параметризации <р есть А;-мерный полуинтервал, Р = (а1,Ь1]х(а2,Ь2)х* * 'Х^ь^О- Пусть Sip: 8qP —» дМ есть параметризация элементарного А;-мерного многообразия F П 9М, порожденная параметризацией (р. Если tp есть правая параметризация М, то параметризация Sip также является правой, а если <р — левая параметризация М, то Sip есть левая параметризация 9М. Согласно предложению 6.1 имеем / и(х) = x(fy>) f {6tp}*Lj(t), f duj{x) = x(<p) I <p*du>(t). (6.9) ам ар м р Так как ip*du = dip*u>, то в силу леммы 6.3 имеем / ip*du(t) = / <y?*u>. р дР Заметим, что Sip = <^о j5 где j есть отображение (<2,. • • ^Jk) G #оР ь-> (Ьъ<2> •••>**) и? значит, / у>*и> = / j*ip*u = / {£<^}*u;. ар а0р а0р
394 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях В результате получаем, что [tp*du(t)= f {6(p}*u. р д0Р В силу равенств (6.9) из доказанного вытекает равенство / du(x) = / u(x). м дм Таким образом, справедливость обобщенной интегральной формулы Стокса установлена для случая внешних дифференциальных форм, обращающихся в нуль вне некоторого малого множества. Рассмотрим общий случай. Пусть А С М есть компактное множество такое, что форма и>(х) обращается в нуль вне множества А. Для всякой точки х Е М существует параметризация (р: Р —> М многообразия М такая, что х Е F = ц>{Р). Множество F является открытым относительно М, и, значит, найдется открытое множество U^ в пространстве Шп такое, что F = U<p П М. Таким образом, мы получаем некоторое семейство открытых множеств Е/^, покрывающее многообразие М. По теореме о разбиении единицы найдется последовательность (<2i/)i/£N неотрицательных финитных функций класса ^°°, каждая из которых сосредоточена в одном из множеств Uv, причем для всякого компактного множества А С М существует номер N = N(A) такой, что N ]>>„(*) = 1 (б.Ю) для всех ж, принадлежащих некоторому открытому множеству V D А. Пусть А С М есть компактное множество такое, что ш(х) = 0 при х ф А. Пусть N = N(A) есть номер, отвечающий данному компактному множеству А в указанном выше смысле. Тогда для всех х Е А выполняется равенство (6.10). Пусть <pv: Р„ —> М есть параметризация многообразия М такая, что функция а у сосредоточена на множестве XJV = U{pu. Положим uv{x) = av(x)u{x). Тогда для всех х Е М справедливо равенство N ш(х) = 2_]Uv(X)' (6-11)
§ 6. Обобщенная интегральная теорема, Стокса 395 Для х £ А равенство верно в силу того, что ш(х) = О для такого х и, значит, также и uv(x) = 0 для всех v — 1,2,..., N. Если же ж £ А, то равенство (6.11) верно в силу того, что для таких х сумма ^ а1/(х) = 1. Имеем N du>(x) = 2_] du„(x), откуда следует, что fdu(x) = J2 f <Ь>„(х). (6.12) м "=1 м Имеем uv{x) = a„(a;)u;(a;). Функция а„ обращается в нуль вне некоторого компактного множества £v С (7v,o;(a;) = 0 при х £ А, где А компактно. Отсюда следует, что форма uv{x) обращается в нуль, если х £ А„ = Ev П А. Множество А„ компактно и содержится в А;-ячейке Fv. Для каждой из дифференциальных форм <j„, г/ = 1,2,..., N, в силу установленного в первой части доказательства теоремы имеет место равенство / du^z) = / uv(x). м дм Суммируя данные равенства почленно по v = 1,2,..., TV, в силу равенств (6.11) и (6.12) получаем искомое равенство (6.7): / du(x) = / Lj(x). м дм Теорема доказана. ■ 6.4. Интегральные формулы Остроградского и Гаусса 6.4.1. Рассмотрим специально случай, когда размерность многообразия в пространстве Шп с краем равна размерности п, т. е. размерности пространства Шп. Всякое n-мерное многообразие в пространстве Шп ориентируемо. Действительно, пусть М есть n-мерное многообразие в пространстве Rn. Пусть ip: Р -* М есть произвольная параметризация многообразия М. Множество Р представляет собой n-мерный прямоугольник,
396 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях и, следовательно, в каждой точке t Е М матрица Якоби отображения ip является квадратной и ее определитель, т. е. якобиан отображения ip в точке £, отличен от нуля. Так как область определения отображения ip есть n-мерный прямоугольник, то J(t,(p) = det d<p(t) имеет один и тот же знак во всех точках множества Р. Назовем параметризацию (р: Р —► М n-мерного многообразия М СШп правой, если якобиан отображения tp положителен для всех t € Р. Нетрудно показать, что все условия определения ориентации многообразия в данном случае выполняются. Получаемую описанным способом ориентацию многообразия М С Rn будем называть его естественной ориентацией. Пусть М есть п-мерное многообразие в пространстве Шп. Для произвольной его параметризации ip: Р —> М образ всякой внутренней точки n-мерного прямоугольника Р согласно теореме о локальном диффеоморфизме является внутренней точкой М как подмножества R71, т. е. если х = <p(t), где / Е Р°, то можно указать S > О такое, что шар В(х,6) содержится в М. ♦ Предложение 6.2. Пусть М есть n-мерное многообразие с краем в пространстве Шп. Тогда если точка х Е М является краевой точкой многообразия М, то х является граничной точкой М как подмножества пространства Шп. Доказательство. Действительно, пусть xq есть краевая точка многообразия М. Пусть <р: Р —> М есть произвольная допустимая параметризация М такая, что xq = (p(to). Тогда согласно определению краевой точки многообразия Р есть n-мерный полуинтервал и /о £ 9Р. Пусть Р = (ai,bi]x(a2ib2)x- • *х(аЛ,Ьп). Множество F — <р(Р) является открытым относительно М, и, значит, найдется открытое множество U пространства Шп такое, что F = U П М. Пусть <р*: V —* Шп есть отображение, определенное на некоторой окрестности V = В (to, 8) точки t0 такое, что tp* Е ^г и <p*(t) = <p(t) для всех / Е Р П V. Согласно определению диффеоморфизма, данному в § 3, векторы 7г~(^о) = -7Z—(^о)? i — 1,2,... ,п, линейно независимые и, зна- oti oti чит, якобиан отображения (р* в точке to отличен от нуля. По теореме о локальном диффеоморфизме найдется Si > О такое, что 0 < Si < S и отображение <р* на шаре Bq = B(to,Si) взаимно однозначно, причем (р*(Во) содержится в открытом множестве [У, пересечение которого с М есть множество F = <р(Р П V). Пусть Р = (abbi] х (a2,b2) x • ■• х (an,6n). Пусть г таково, что О < г < Si. Плоскостью ti = bi шар B(to,r) делится на две половины. Пусть В+(г) есть верхняя половина, т. е. множество точек t = ('i»*2>---»'n) G B(t0,r) таких, что ti > &i, a B~(r) — нижняя
§ б. Обобщенная интегральная теорема Стокса, 397 половина шара B(to,r), состоящая из тех его точек, у которых t\ < Ъ\. Так как отображение (р* на шаре B(toy6i) взаимно однозначно, то множества G+(r) = (р*[В+(г)] и G~(r) = <р*(В~(г)) не имеют общих точек. Если г достаточно мало, то множество G+(r) не содержит точек множества М. Действительно, допустим, что это не так. Тогда для всякого v £ N найдется точка xv € М, принадлежащая множеству G+ ( — ]. Очевидно, xv Е F и при v —> оо имеем ж„ —> жо- Так как отображение с^""1 непрерывно, то при */ —> оо точки tv = с^-1^,,) сходятся к точке <о = ¥>""1(^о)« Значит, при достаточно больших ^ точка i„ Е i?+(£i) и, следовательно, точка #„ = ¥>(*!/) принадлежит множеству G"(tfi). В то же время xv Е Gf+(^i). Таким образом, мы получаем противоречие с тем фактом, что множества G+(Si) и G~(6i) не имеют общих элементов. Отсюда заключаем, что найдется значение 6q такое, что 0 < 6q < 6i я. множество G+(8q) не содержит точек множества М. Множество G+(6i), очевидно, содержит точки, сколь угодно близкие к точке хо. Так как G+(£i) с множеством М не пересекается, то из доказанного вытекает, что xq есть граничная точка М. Предложение доказано. ♦ 6.4.2. Докажем один важный частный случай обобщенной интегральной теоремы Стокса — интегральную теорему Остроградского. Предположим, что множество М в пространстве Жп является n-мерным многообразием класса ^г, где г > 1, и каждой точке х Е М сопоставлен вектор и(х) = (щ(х), и2(х),..., un(x)) Е Еп. В этом случае будем говорить, что на множестве М определено векторное поле и(ж). Предположим, что векторное поле и принадлежит классу ft1. Величина называется дивергенцией векторного поля и(х) в точке х. Напомним обозначения, введенные в § 2. Символ ее%, г = 1,2,..., п, означает базисную внешнюю дифференциальную форму степени п — 1, определенную условиями effl =dx2 ...dxn-ldxn, e€n = dxUx2 .. .dxn~\ а если 1 < k < n, то ee* = da;1.. .dxk ... dxn, где запись с/ж*1 означает, что множитель dxk должен быть пропущен.
398 Гл. 15. Интегральное исчислейие на, многообразиях Всякому векторному полю u(z), заданному на множестве М, может быть сопоставлена внешняя дифференциальная форма степени п — 1, которую будем обозначать символом *u(z). Пусть п(х) = (/ui(z), u2(x),..., un(x)) для всех х Е М. Полагаем п k=i Как показано в § 2, имеет место равенство d[*u(x)] = g ^(sjAcV*2 .. vdx* = div u(x)^1^2 ...dzn. ■ Лемма 6.4. Пусть дана ортонормальная система ni, П2,..., nn_i из п '— 1 векторов' пространства Ж™. Определим вектор По, полагая по = (i/i,i/2,.--,^n), где ^* = (-l)A:":leefc(nbn25...,nn_1). Вектор п0 ортогонален каждому из векторов п*,& = 1,2,...,га — 1, длина его равна единице, я ортогональный репер {nto, пъ .... ,;nn-.i},B пространстве Rn является правым. Доказательство. Пусть дана произвольная система векторов Xi,Хг,... ,Xn_i в пространстве Rn. Рассмотрим (п ~ 1) х п-матрицу, составленную из компонент векторов X;: / Хц Х\2 ... Xi>n_i X\n \ I X21 X22 • • • ^2,n-l ^2n J \Хп_1д Xn_i}2 • •• Xn-.i>n-i ХП-1}П/ Положим &(ХьХ2,...,Хп-1) = (-l)*-V*(XbX3,. • • ,*»-i). Величина e£fc(Xi,X2,... ,Xn_i) есть значение определителя квадратной матрицы, получаемой из матрицы (6.13) вычеркиванием А;-го столбца. Таким образом, определен вектор £(XbX2,.. .,Xn_i) = (£1,62,. •. ,fn)> rze^uX2,...,Xn-1) = (-l)k-1e*'>(X1,X2,...,Xn-1). (6.13)
§ б. Обобщенная интегральная теорема Стокса, 399 Пусть дан вектор Y = (Yi, YJj,..., Yn). Тогда в силу известной из алгебры формулы разложения определителя по минорам первой строки величина п равна определителю I Yi Y2 ... Yn Хц ^12 • • • Х\п Если Y = Xk для одного из номеров к = 1,2,...,п — 1, то определитель (6.14) содержит две одинаковые строки и, следовательно, равен нулю. Мы получаем, таким образом, что скалярное произведение (£,Xk) = 0 при каждом А; = 1,2,... ,п — 1, т. е. вектор £ ортогонален каждому из векторов Х\, Х2,..., ^n-i- Рассмотрим случай, когда векторы Xt = nt, г = 1,2,...,п — 1, образуют ортонормальную систему. Пусть п есть единичный вектор, ортогональный каждому из векторов п15 где г > 0, и такой, что п-репер {n,ni,n2,...,nn_i} (6.15) является правым. Векторы nt, г = 1,2,...,п — 1, линейно независимы, и, значит, множество решений системы линейных уравнений (ж,пг) = 0, г = 1,2,...,п— 1, одномерно. Отсюда следует, что вектор По = f(ni,ri2,... ,nn_i) равен An, где A G К. Вычислим значение определителя (6.11) для случая, когда Y = п, а Х{ = пг. Тогда матрица определителя (6.14) будет ортогональной. Так как п-репер (6.15) является правым, то определитель (6.14) в этом случае положителен и его значение равно единице. По доказанному, значение этого определителя равно (п, По) = А. Следовательно, мы получаем, что По = п. Лемма доказана. ■ Замечание. Для систем из п — 1 векторов Х\, Х2,..., Хп-\ пространства Rn, как показано в доказательстве леммы, определен вектор £ = f(Xi,X2,... ,Xn_i), координаты которого задаются равенствами: £k = (-1)к~~1еек(Х1,Х2,.. .,Xn_i) при каждом fc=,l,2,... ,п-1. Вектор £ называется векторным произведением векторов Х\,Х2,... ... ,Xn_i. Будем обозначать его символом Х\ х Х2 х • • • х Хп-\. Как (6.14)
400 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях установлено при доказательстве леммы 6.4, вектор Х\ х Х2 х • • • х Хп_\ ортогонален каждому из векторов X*, к — 1,2,..., п - L Произведение Х\ х X<i х • • • х Xn_i является полилинейной кососимметрической функцией векторов Х\, Хч,..., Хп_!. Предоставляем читателю проверить, что длина вектора Х\ х Х2 х • • • х Xn_i равна абсолютной величине поливектора \X\,X<i,... , Xn_i]. Если векторы X\,X<i,.. .,Хп-\ линейно независимы, то п-репер {Xo,Xi,... , ХЛ}, где Хо = Xi х Х2 х • • • х Xn_i, является правым, т. е. ориентирован одинаково с базисным репером {ei,e2,... ,еп} пространства Шп. В случае п = 3 определенное здесь понятие векторного произведения совпадает с понятием векторного произведения, известного из курса аналитической геометрии. ■ Теорема 6.2 (интегральная теорема Остроградского). Пусть М есть n-мерное многообразие класса ffr с краем в пространстве Еп. Пусть п(х) есть единичный вектор внешней нормали в точке х Е дМ. Предположим, что на множестве М задана вектор-функция u: x н-» »-* (ui(x),U2(x),... ,un(x)), причем существует компактное множество А С М такое, что и(х) = 0 при х £ А. Тогда имеет место равенство / div u(x) dx1dx2 ... dxn — \ (и(ж), n(x)) dfin-i(x). (6.16) м дм Замечание. Равенство (6.16) носит название интегральной формулы Остроградского. Доказательство теоремы. Применяя обобщенную теорему Стокса получим, что имеет место равенство / *u(z) = / d{*u(x)}. дм м Правая часть этого равенства есть интеграл м Доказательство теоремы поэтому сводится к преобразованию интеграла в левой части последнего равенства. Пусть еп-\ есть единичная внешняя форма степени п — 1 на многообразии дМ. Тогда *u(z) = \(x)en-i(x) (6.17)
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 401 для всех х £ 5М, причем имеет место равенство / *u(s) = / A(x)d/in_i(x). дм дм Пусть Ui, U2,..., un_i есть правый ортонормальный репер в касательном пространстве Тэм(х) многообразия дМ в точке х. Тогда en_i(ui,u2,...,un_i) = 1, и, следовательно, множитель А(ж), стоящий в равенстве (6.17), равен *u(z)(ui,u2,...,un_i). Имеем *u(a?)(ubu2>..MUn-i) = П 71 J^(-l)A;"1^(a:)e^(u1,U2,...,un.1) = ^2uk(x)nk(x) = (u(z),n(z)). Jfc=l Jfc=l Здесь п(х) есть вектор, fc-я координата которого равна ec*(ui, u2,... ..., un_i) при каждом к = 1,2,..., п. Согласно лемме 6.4 вектор п(х) ортогонален плоскости Тэм(х)у \п(х)\ = 1 Для всех х € дМ и п-репер {n,Ui,u2,... ,un_;i} является правым в пространстве К71. Это означает, что п(х) есть вектор внешней нормали многообразия М в точке х. Теорема доказана. ■ 6.4.3. Интегральная формула Гаусса. Под интегральной формулой Гаусса понимается тот частный случай обобщенной теоремы Стокса, который соответствует значению п = к = 2. Пусть G есть ограниченное открытое множество на плоскости, граница которого есть гладкая замкнутая кривая Г. В данном случае гладкость кривой означает, что замкнутая кривая Г допускает параметризацию z: [0,£] -» R2, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) производные z\i) и z"(i) определены и непрерывны для всех t £ [0, Ь], причем z'(t) ф 0 для любого t £ [0, L\\ 2) z(0) = z(L) и z'(0) = z'(Z), а также и z"(0) = z"(£); 3) при t\ Ф t<i равенство z(*i) = z(tf2) имеет место в том и только в том случае, когда одно из данных значений t\ и tf2 равно нулю, а другое равно L. При этих условиях множество G U Г представляет собой двумерное многообразие класса ^2. Действительно, пусть р = (а,Ь) есть произвольная точка М. Если р Е G, то найдется 6 > 0 такое, что круг В(р,6у/2) С G. Тогда
402 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях квадрат Q(p,6) С В(р,6лД) С G. Полагая Р = Q(p,6) И if = Ы2, получим параметризацию окрестности точки р, удовлетворяющую всем условиям определения многообразия. Предположим, что р Е Г. Тогда a = z(£0), Ь = у(*о)> где 0 < t0 < i. Ограничимся случаем 0 < <о < L. Имеем zr(t0) = (я'Со^у'Со))- В силу условия 1) по крайней мере одно из чисел ж'(<о) и г/'(<о) отлично от нуля. Для определенности предположим, что я?'(*о) ^ 0. Пусть е > 0 ж (р есть отображение (£, ту) »-> (я(£0 + ??), у(^о + ??) + £) интервала Ре = (—£,£) х (—£,£). Если £ > 0 достаточно мало, то <р отображает Р€ взаимно однозначно на некоторую окрестность Н точки z(io)- Кривая Г разбивает Н на две части, одна из которых содержится в М (см. рис. 2). Т = дМ Рис. 2. Якобиан отображения <р, как легко вычисляется, равен — x'{to + rj) и при \rj\ < е отличен от нуля, если е > 0 достаточно мало. Если та из половин множества #, которая содержится в М, соответствует значениям £ < 0, то ограничение (р на прямоугольнике (—£,0] х (—е,е) есть параметризация окрестности точки z(to) в М. Если часть множества J?, содержащаяся в М, образована точками уэ(£, т/), Для которых £ > 0, то ограничение функции (р(—£, ту) будет параметризацией окрестности точки z(io) в многообразии М. Будем говорить, что область G расположена слева от кривой Г, если параметризации окрестности точки <р, построенные, как описано выше, являются правыми. (Рассмотрение случая, когда в точке t0 я'Со) = 0 и у'(^о) Ф 0, а также случаев t = to и to = L, мы предоставляем читателю.) Пусть и = u(x,y)dx + v(x,y)dy есть внешняя дифференциальная форма первой степени, определенная на множестве М = G U Г. Тогда дифференциал внешней формы и? есть внешняя форма ( j£(x,y)-?£{z,y))dxdy.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 403 Пусть задана параметризация z(t) = (x(t),y(t)) граничной кривой Г, удовлетворяющая всем указанным выше условиям 1)-3). Предположим, что при изменении параметра t область G оказывается лежащей слева от кривой Г. Интеграл внешней формы и по краю многообразия М в данном случае равен ь J{u[x(t)y y(t)]x'(t) + ф(*), y(t)]yV)} dt. о Применяя обобщенную интегральную теорему Стокса^ получим равенство L J (£(*'У) ~ £(*'У)) dxdy = /М*(*)]*'(<) + v(z(t))y'(t)} dt. (6.18) G 0 Равенство (6.18) называется интегральной формулой Гаусса. 6.5. Общая теорема Брауэра о неподвижной точке ■ Теорема 6.3 (общая теорема Брауэра о неподвижной точке). Пусть В есть замкнутый шар в пространстве Шп и непрерывное отображение /: В —> Еп таково, что f(B) С В. Тогда найдется точка xGS, для которой f(x) = х. Замечание. Частный случай теоремы 6.3 был рассмотрен в главе 8 КМА, часть I, книга 2. Доказательство теоремы. Пусть В = B(ayr) и S = S(a,r). Рассмотрим сначала случай, когда отображение f принадлежит классу ^°°. Предположим, вопреки доказываемому, что точка х Е В такая, что f(x) = ж, не существует. Это означает, что х ф f(x) для всякого х Е В. Наша задача — привести это допущение к противоречию. Дальнейшие рассуждения состоят из двух частей. 1. Первая часть, по существу, геометрическая и состоит в построении по / некоторого отображения шара В на сферу S (см. рис. 3).
404 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях S Рис. 3 Возьмем произвольно точку х £ В. Найдем точку f(x) и построим луч, исходящий из точки f(x) и проходящий через точку х. Так как, по предположению, х ф /(я), то такой луч существует и определяется этими условиями однозначно. Пусть (f(x) есть точка пересечения этого луча со сферой S. Формально это означает, что <p(x) = f(x) + t[x-f(x)]9 где t > 0, причем \<р(х) — а\ = г. Определенное таким образом отображение (р непрерывно и, более того, оно принадлежит классу <^7°°, как и исходное отображение /. Постараемся это показать. Укажем явное выражение для (р(х). Условие \(р(х) — а\ = г, очевидно, равносильно условию \ф) - а\2 - г2 = 0. Положим х — f(x) = д(х). Имеем \ф) - а\2 - г2 = \f(x) - а + tg(x)\2 - г2 = = (f(x) -а + tg(x), f(x) - а + tg{x)) - г2 = A(x)t2 + 2tB(x) + С(х), где А(х) = (д(х),д(х)), В(х) = (f(x)-а,д(х))9 С(х) = \f(x) - а\2 - г2.
§ 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 405 Положим P(t) = A{x)t2 + 2tB{x) + С{х). Так как согласно предположению х ф f(x) для всех х G Б, то А(х) = |#(ж)|2 > 0, каково бы ни было х £ В. Очевидно, функции А, В и С принадлежат классу <^7°°. Так как f(x) G 5, то \f(x) — а| < г, откуда следует, что С(ж) < 0. Это позволяет заключить, что уравнение P(t) = 0 имеет два вещественных корня: t^ и fa, один из которых неположителен. Пусть ti > fa. Если \х — а\ < г, то Р(1) < 0. Так как А(х) > 0, то имеет место неравенство fa > 1 > fa. В случае |ж — а| = г, очевидно, fa = 1 является корнем уравнения P(t) = 0. Если |ж — а| < г, то Р(1) = |ж — а|2 —г2 < 0, и, значит, в этом случае fa > 1. Таким образом, fa > 1 во всех случаях. Отсюда вытекает, что -Д(Ж) + УД(Я)Д-Л(Я)С(Х) h = 1{Х) = Мх) • Функция t(x), очевидно, принадлежит классу ^°°, откуда следует, что (р G <ё?со. Если х G S, то (р(х) = х. Действительно, если это х G S, то единственное t > 0 такое, что |/(*)-а + ф-/(*)]| = г, очевидно, есть < = 1. Отсюда следует, что в этом случае (р(х) = /(ж) + я - /(ж) = ж. Таким образом, нами построено отображение у? шара В на его границу — сферу S, при котором каждая точка этой сферы переходит в себя. Чтобы почувствовать «парадоксальность ситуации», стоит понять, что означает полученный результат хотя бы для п = 2. 2. Вторая часть рассуждения — аналитическая (а на самом деле топологическая) — имеет целью привести к противоречию возникшую «парадоксальную ситуацию». Пусть и(х) есть дифференциальная форма степени п — 1, определенная равенством п u(x) = V^(—1)*'"1(жг- — ai)dx\dxi.. .dxi.. .dxn. t=l
406 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Имеем du>(x) = у — dx\dx2 ... dxn = ndx\dx2 •.. dxn. t=i diC» На основании интегральной теоремы Стокса (см. выше) отсюда получаем / w(jc) = A du{x) = пцп(В). (6.19) 5 В Здесь fin(B) означает объем шара Б. Определим внешнюю дифференциальную форму 0(ж) == ср*о;(ж). В силу установленных ранее (см. § 2 этой главы) свойств операции внешнего дифференцирования имеем d6(x) = (p*du>(x) = ndtpi Л d(^2 Л • • • Л d<^n. Для всякого iGB имеет место равенство .F[y?(a;)] = 0, где F(y) = = (у-а,у- а) -г2. Функция F дифференцируема и ее градиент отличен от нуля в каждой точке у ф 0. Дифференцируя соотношение F[<p(x)] = 0 по переменной ж,-, получим где Aj = ——[^(я)]- Умножая обе части равенства (6.20) на dx{ и сум- uyj миру я по г, получим п Y^^jd(fj(x) = 0. i=i Для каждого х Е В хотя бы одно из чисел А; в этой сумме отлично от нуля. Следовательно, мы получаем, что внешние дифференциальные формы difj(x) линейно зависимы. Отсюда следует равенство d(fi Л dcp2 Л • • • Л d(pn = 0. Из доказанного вытекает, что fo(x)= f d0(x) = 0.
§ б. Обобщенная интегральная теорема Стокса 407 Докажем теперь, что [ в(х)= I ш{х). (6.21) 5 5 Тем самым мы получим требуемое противоречие: с одной стороны, некоторый интеграл равен нулю, а с другой — в силу равенства (6.19) он отличен от нуля! Справедливость равенства (6.21) вытекает из того, что для х £ S (р(х) = х. Действительно, пусть а: Р —» S есть произвольная параметризация сферы S. Представление дифференциальной формы в в этой параметризации есть дифференциальная форма a*0(t) = a*[y>*u;] = [tp о a]*u. Для всякого t £ Р точка a(t) £ S, и, следовательно, имеет место равенство <£>[а(0] = a(t). Следовательно, получим ip о a = а, и, значит, a*0(t) = a*cj(f). Таким образом, в любой параметризации сферы представления внешних дифференциальных форм в и о; совпадают. Отсюда вытекает, что интегралы от этих дифференциальных форм по сфере S также равны между собой. Тем самым равенство (6.21) доказано. Итак, допустив, что х ф f(x) для отображения / при всех ж, мы получаем противоречие. Следовательно, для данного отображения f найдется хотя бы одна точка х такая, что х = fix). В проделанных рассуждениях предполагалось, что отображение / принадлежит классу <^7°°. Теперь освободимся от этого ограничения. Зададим произвольно е > 0. Пусть /,-, г = 1,2,... ,п, есть компоненты вектор-функции /. Согласно теореме Beuepmmpacca (см. главу 13) при каждом г найдется полином щ от п переменных, для которого К(я) - fi(x)\ < —= L\Jn для всех х € В. Положим и(х) = (щ(х),и2(х),... ,ип(х)). Тогда, как легко проверяется, \f(x) — u(x)\ < е/2 для всех х £ В. Пусть 6 = е/2. Очевидно, вектор-функция гх принадлежит классу ^°°. Но мы не можем утверждать, что и отображает шар В в себя. Нетрудно видеть, однако, что для всякого х £ В имеет место неравенство \и(х) - a| < \u(x) - f(x)\ + \f(x) - а\ < 6 + г. Таким образом, мы получаем, что и(х) £ J5(a,r -f 6) для любого х £ Б.
408 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях Шар J5(a,r + 6) преобразуем в шар B(a,r) подобным преобразованием относительно точки а. Именно, пусть т <ф(у) = а+ ——(у-а), г + о Для всякого у € J3(a, r + 6) будет Му)" al= V+^y "a' - 7Т^Г + *)= г- Далее, для любого у £ В(ауг + 6) справедливо соотношение |l/-V>(y)| = h/-a|(l-^) <*■ Полагая в этом неравенстве у = и(ж), получим \и(х) — ^[м(я)]| < <$• Пусть #(ж) = ^>[м(ж)]. Тогда д есть отображение класса ^°° шара 5 = J5(a, r) в себя. При этом \д(х) - /(х)| < |у(») - u(x)\ + \u(x) - /(х)| < в + б = е. По доказанному, найдется точка xq £ Б такал, что <7(жо) = яо- Имеем |/(ж0) - »о| = ||/(»о) - *о| ~ ЬОо) ~ «oil < №о) ~ flf(»o)| < е. Отсюда следует, что inf \f(x) -x\< \f(x0) - &о| < е- Так как е > 0 было выбрано произвольно, то мы получаем, что inf |/(s)-s|<0, и, значит, в силу неотрицательности \f(x) — х\ будем иметь inf |/(х) - х| = 0. Функция ж»-» \х — f(x)\ непрерывна. Так как множество В компактно, то найдется точка х £ 2?, для которой \f(x) — х\ = 0, т. е. /(ж) = ж. Теорема доказана. ■
Задачд 409 Задачи 15.1. Сфера радиуса г в пространстве Ш снабжена ориентацией, индуцированной естественной ориентацией ограниченного ею шара. Доказать, что отображение (у>, в) ■—► (г cos ср cos 0, г sin ср sin 0, г sin 0), где 0 < ср < 27Г, —7г/2 < 0 < 7г/2, представляет собой параметризацию сферы. Определить ориентацию этой параметризации (переменная ср считается первой, переменная 0 — второй). Определить ориентации экватора сферы, индуцированные ориентациями верхней и нижней полусфер, z > 0, z < 0. 15.2. Пусть Г есть тор, полученный вращением окружности радиуса г вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и проходящей на расстоянии а > г от ее центра. Показать, что функция г(<р,0) = (а?(у>, 0), у(у>, 0), г(у>, 0)), где а? = a cos <р + г cos 0 cos у?, у = а sin у? + т» cos 0 sin у?, z = r sin <£>, отображает плоскость R на Т. Показать, что ограничение отображения г на всяком интервале (а, 2п + а) х (/?, 27Г + /3) представляет собой параметризацию тора Г. Показать, что все получаемые таким образом параметризации одинаково ориентированы. Сравнить ориентацию тора, определяемую данным набором параметризаций, с ориентацией, которая индуцируется в нем внутренней областью тора как трехмерным многообразием в К . 15.3. Сфера Sn = {х Е Rn+1 | \х\ = г} в пространстве Rn+ снабжена ориентацией, индуцированной естественной ориентацией ограниченного ею шара. Доказать, что отображения Ч>%* (*1»<2,..-,*п) € В(0,г) н-> *!,...,*,_!, </>*■: (*Ъ<2,.-.,*п) € В(0,г) ьн- *!,...,*;_!, где г = 0,1, 2,..., п, есть диффеоморфизмы шара В(0, г) в Sn, Показать, что множества y?t[J3(0, г)], ^"[5(0, г)], г = 1,2,..., га + 1, покрывают всю сферу 571. Определить, какие из этих диффеоморфизмов ориентированы положительно, а какие отрицательно. 15.4. Пространство R та будем рассматривать как произведение п экземпляров пространства R . Пусть Г — единичная окружность в К . Множество Тп = ТхТх---хТ 4 v ' п раз
410 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях называется n-мерным тором. Показать, что n-мерный тор в R2n может быть определен системой уравнений 2,2-% 2 I 2 -\ 2 ,2 -1 Хг + Х2 = 1, Х3 + Х± = 1, . . . , Ж2я-1 + Х2п = 1- Определим отображение т*: (<Рь¥>2, • • • >^n) GKnb4 (cos^>i,sin^i,cos^2«^п^>2> • •. ,cosy?n,sinv?n). Показать, что отображение г принадлежит классу ^°° </> = (^1,^2,..-,^п) еК71 и отображает Мп на Тп. Каким должен быть n-мерный интервал / = = (аъ &) X (с*2, /Зг) X • • • X (an,0n) для того, чтобы ограничение гна/ представляло собой параметризацию Гп? Определить формы г*и для следующих форм: и = dx1dx2 ... dxn + dxn+1dxn+2 ... dx2n, со = da:1 da?3 ... da?211"1 + dx V ... dx2n, и = x2x* ... x2ndx1dx* ... dx271"1 + a?1*3 ... x2n~1dx2dx* ... dx2n. 15.5. В Ш рассмотрим поверхность F, определяемую системой уравнений 2 , 2 i 2 i 2 с% 2Х2 2.2 ^1+^2+^3+^4 = А х1 + х2 = х3 + х4- Показать, что F есть двумерный тор. Пусть Е — часть сферы 53(л/2) = = {xj + х2 + #з + х4 == 2}? в которой а?! + аг2 > а?з + ж4- Доказать, что Е есть трехмерное многообразие с краем и F = <9Е. Ориентируем Е, считая правыми те ее параметризации, которые являются правыми параметризациями сферы 5 (л/2). Определить индуцированную ориентацию F (т. е. указать хотя бы одну правую параметризацию F). Построить касательные плоскости многообразий Е и F в точке (0,1,0,1). Указать в этой точке правые реперы многообразий Е и F. Определить интегралы по поверхности F следующих форм: и = x$x±dx\dx2 — x2x±dx\dx$ + x2x^dx\dx^-\- + x\x±dx2dx$ — x\x$dx2dx± + x\x2dx$dx±, и = x^X4.dx\dx2 — x2X4.dx\dx^ + a?2X3dxida?4 + 2 2 2 2 2 2 + xiX4.dx2dx3 — x\x$dx2dx± + a?ja?2da?3da?4. 15.6. Доказать, что множество всех ортогональных матриц представляет со- 2 бой дифференцируемое многообразие в пространстве К квадратных матриц порядка п (условие ортогональности матриц рассмотреть как систему уравнений относительно п переменных коэффициентов матрицы и определить ранг этой системы). Что представляет собой касательное пространство этого многообразия в точке / (/ — единичная матрица)?
Задачи 4М 15.7. В четырехмерном пространстве Ш рассмотрим множество, определяемое неравенствами #1 + #2 + хз ~~ х4 ~ — 1» ж4 > 0? жз ~ 2#4 + 2 > 0. Доказать, что Е есть многообразие с краем, диффеоморфное трехмерному шару. Ориентируем Е, приняв за нормаль в точке xq = (0,0,0,1) вектор г>0 = (0,0,0,1). Построить положительно ориентированную карту многообразия Е. Показать, что точка xq = (0,0,4/3,5/3) принадлежит краю многообразия Е. Построить касательные плоскости многообразий Е и <9Е в точке xq и правые касательные реперы этих многообразий в точке xq. 15.8. Пусть и ф 0 — внешняя форма степени 1 в Rn, a — произвольная внешняя форма в Шп. Показать, что для того, чтобы существовала форма /3 такая, что а = и Л/3, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 15.9. В пространстве Шп дана внешняя дифференциальная форма и = c/zV + d* W+ • • • + dx2k~1dx2k, где 2к < п. Определим последовательность форм f2j, ^2» • • •» ^j> • -•» полагая Qi = о;, и если П^- определена, то Qj+i — Clj Ли>, так что fiy = о; Л и; Л - • • Л о;. j множителей Вычислить форму Clk- Доказать, что Qj = 0 при j > /г. 15.10. Дано отображение <р: (^1,^2,^3^4) •—» (Уь У2> Уз> У4) пространстваIR в себя, где- - . . - 2/1=^1- а?2^з^4) У2 = ^2 - xix^x^, УЗ = #3 ~ #i#2#4> У4 = #4 - #1#2ЯЗ- Определить формы <^*о; для следующих форм: и = xidxi + x<idx<i + жзс/^з + x±dx±, и = dx\dx2 + da?3 cfa?4» о; = dx\dx2dx$dx±. 15.11. Дано отображение у?: (ж, у) •—► ( / « 0 > / «f ) области R \ {0} пространства R в себя. Определить формы <^*о; для следующих форм: и) = яс/у + ус/ж, о; = яс/у — ус/ж, о; = (х — у )с/у — 2xydx. 15.12. Пусть (р есть отображение х »—* щ множества Rn \ {0} в себя, п и = Л (—1) xj~dxi ... dxj~... dxn- Jb=l Найти форму <^*u;. Доказать, что с/(<^*и;) = 0.
412 Гл. 15. Интегральное исчисление на, многообразиях 15.13. Дана дифференциальная форма и) = \ у$х. Определить форму ip*u> X "ТУ для случая отображений ip: (w, v) i—* (eu cosv,eMsin v), /ev + e~"v ev-e"v \ <p: (u,v)>-+ ( ^ cosw> 2 sinw J > <£>: (u, v) »—► (u — v , 2uv). 15.14. Пусть U С IRn — открытое множество в Кп, V С IRm — открытое множество в Km, а; — форма степени к класса Сг, определенная в У, и f: U —* V — отображение класса Сг+ . Доказать, что если множество /({/) содержится в некотором fc-мерном многообразии F класса Cr+1, то дифференциал формы f*w равен нулю. 15.15. Дана форма и = х f~y^x в плоскости с выколотой точкой (0,0). Доказать, что dw = 0 и форма и не является дифференциалом в К \ {0,0} никакой функции и. (Указание. Доказать, что если и = dw, то должно выполняться равенство J to = 0 для всякой окружности Сг с центром в начале координат.) 15.16. Проверить, что дифференциал внешней формы w = [/(*i) + 0(^2) + f(xi)g(x2)]dx1dx2 + [f(xi) - u(x3)]dxidx3 + + [f(xi) + v(x4)]dxidx4i - [g(x2) + u(x^)]dx2dx^ + + b(a?4) - g(x2)]dx2dx4: + [u(x3) + v(x±) + u(x3)v(x4)]dx3(ix4 равен нулю (здесь fyg,uyv — дифференцируемые функции, определенные всюду в Ш). 15.17. Пусть ш(х) = ^^-^^т^- Доказать, что du;(x) = 0. Построить форму <р степени 1, определенную на полупространстве z > 0 и такую, что cj = cfy?. Показать, что не существует формы <р степени 1 в области R3 \ {0,0,0} такой, что и = d<£>. (Утсазамие. Действовать аналогично случаю задачи 15.15.) 2п 2п 15.18. Пусть w = ^2 ^2 aijdx{dxj — внешняя форма степени 2 в про- странстве R2n, a,j = — aJt\ Тогда ы Л и Л • • • Л ы = Hdx\dx2 .. *dx2n> где п множителей Я = const. Найти множитель Я в этом представлении. 15.19. Дана форма w = adydz + bdzdx + cdxdy, где a, 6 и с — постоянные. Определить все линейные преобразования A: R —► R , сохраняющие эту форму, т. е. такие, что A*w = и. 15.20. и) = xdydz — 2zf(y)dxdy + yf(y)dzdx, где /: R —► R и /(1) = 1. Определить те /, для которых: а) du) = dx Л dy Л dz и б) gL> = 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ О ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Гирлянды цифр, поля решений, цепь интегралов в звездной пене, цветы дробей, сны приближений и боль границ в садах сомнений. Г. Камалугпдинов, студент НГУ, 1988 г. На этом «Курс математического анализа» в двух частях — четырех книгах заканчивается. Молодой читатель нашел здесь (как надеется автор) необходимые для себя знания, накопил опыт математической культуры, приобщился к пониманию проблем математического анализа, получил заряд творчества для будущей работы как в области теоретической («чистой») математики, так и в различных разделах науки и техники, где применяются математические методы исследований. Курс может быть полезным и опытному преподавателю, и исследователю в области математики — здесь он, возможно, найдет для себя что-то новое, интересное. Ю. Г. Решетняк
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ / > д на множестве Л, 12 / > я, 12 U / /,12 U \ /, 13 /+,14 /",14 ХЛ, 14 дп(а), 16 ^(Rn), 22 J /(ж) dx, 23 Rn ^", 32 I: Jf — R, 32 (M,^,/),32 ^"+,34 ll/llL^Af,^,/)- 36 il/lk(E), 36 ll/IUi, 36 L*(E), 36 / /(x)d/x(*),64 M (m,JT(M),X;)-70 v м' M(E), 86 M+(E), 93 MS (A), 100 £/(<)> Ю4 S/(<)> Ю4 a(y, t), 104 ff(», t), 104 aT(x), 109 Sj,£, 130 azE, 130 **/(*). 138 A/(<). 138 J(x,/), 145 -Sf(E), 173 ck = jz J P(*)e~ikx dx, 190 — 7Г 7Г a0 = ^r J P(z)dz, 190 — 7Г £>n(x) = £ eikx> 191 7Г cn = ± J f(x)e~inx dx, 194 — 7Г 7Г ал = ~ J f(x)casnxdx, 194 — 7Г 7Г bn = ^ J /(x)sinnxdx, 194 <x,y),203 ^ = ^(E), 205 S„(/;x), 228 sinx = x П (l-^r),253 n=l Ч '
Список основных обозначений 415 cosx= П (i-pi^w)'256 п=1 ч у f(t) = J е^''>/(х)Жг, 261 R» <т(а), 284 uiii2...ifc| 285 b(Xl9X2,...,Xk,Yl,Y2,...,Yk), 293 J f(X)dfik(X)i 295 P eu.*2,...,S 297 In, 298 I;, 298 5n, 298 u;(x) = J^ "idx1, 299 degw, 299 €i, 300 wA^, 301 W А В = (-l)dego; deg 0g д Wj 303 (u> Л 9) А ф = w А (0 А ф), 303 du>, 307 d(w Л 0) = (da;) Л 0 + (-l)de6"o; Л Л(с*0), 309 f*u(x), 311 A0, 323 (ab6i) x (a2,62) x • • • x (afc^A.), 331 (abbi] x (a2,62) x •• x (0^,6^), 331 ЭР, 331 Э0Р, 331 j: д0Р — ЭР, 331 p = у-1: аР -> а0р, 331 Idfc, 334 дМ, 336 Внт(М), 336 Sep = ср о j, 337 CntM(p), 338 ТМ (р), 341 Пм (р), 341 /г + А, 344 0ij(*)» 346 flf(<). 346 Gv(t)t 348 ds2, 349 /xfc(£), 354 Gv(s)(0, 355 /xn(^) = / v/l + |V/(x)|2dx, 356 / В(0,Л) 356 / л/Я2-|х|2 В(0,Я) V ' ' 358 Rdx _a r[f+ 1]Г(1) /in[S(0,fl)] = unRn = 27Г(п/2) + 1 - трр]"я '359 (П + I)- r(n/2) + l = (n + l)crn+i, 359 e(x)t 368 (p*e(t) = X(v?)^/flfv(t)d*ld*2 ...Л*, 369 J duj(x) — J u(x), 392 divu(x), 397 *u(z), 398
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Брус п-мерный, 16 Вектор внешней нормали в точке края многообразия, 371 —, касательный к многообразию в точке, 338 Векторы гильбертова пространства ортогональные, 210 Внутренность множества, 323 А;-вектор, абсолютная величина, 293 — в пространстве Rn, 289 — единичный, 292 Гиперповерхность класса ^т в Еп, 333 Гомеоморфизм дифференцируемый класса Сг, 145 — класса Сг, 145, 326 Дивергенция векторного поля, 397 Диффеоморфизм простой, 149 Дифференциал внешней дифференциальной формы, 307 формы, 365 Замыкание множества в метрическом пространстве, 351 Индикатор множества, 14 Интеграл в системе с интегрированием, 33 , его линейность, 33 Интеграл в системе с интегрированием, свойство неотрицательности, 33 , свойство непрерывности, 33 — в смысле Ньютона, 120 — измеримой функции по множеству, 100 — как функция множеств, свойство счетной аддитивности, 101 — Лебега — Стилтьеса функции / относительно функции ф, 59 — относительно меры на кольце множеств, 64 — функции /,33 класса ^(Еп), 23 по плоскости, 295 Интервал А;-мерный, 331 Карта, определенная на окрестности точек многообразия, 334 — А;-ячейки F, 333 Класс эквивалентности, 173 Кольцо, 59 Контингенция многообразия, 338 Коэффициент полилинейной формы относительно данного базиса, 282 Край многообразия, 336 — полуинтервала, 331
Предметный указатель Кривая в пространстве Шп параметризованная, 338 — класса^7*, 333 ' Критерий ориентируемости многообразия, 369 Куб двоичный ранга г, 17 — допустимый, 109 — экстремальный, 109 сг-кольцо множеств, 62 Лемма о кубическом подразделении, 109 приближенно мажорируемой последовательности, 169 разбиении единицы, 383 субаддитивности L\ -нормы, 73 Лист (лента) Мёбиуса, 376 Мера (объем) п-мерного прямоугольника, 16 — на кольце множеств, 60 —, свойство аддитивности, 60 —, свойство счетной аддитивности, 102 Многообразие ориентируемое, 366 — А;-мерное класса <£7Г, 333 элементарное, 332 Множества Лебега вещественной функции, 103 Множество в Шп элементарное, 113 — измеримое, 86 —, измеримое на А;-мерном многообразии, 352 — меры нуль, 48 —, открытое относительно А, 323 — пренебрежимое, 48 — регулярное, 323 Набор индексов, 298 Неравенство Бесселя, 213 — Коши — Буняковского, 203 L\-норма функции в системе с интегрированием, 36 Область класса ^т в Ел, 333 — стандартная А;-мерная, 331 417 Объем единичного шара в пространстве Rn, 357 — шара радиуса R в пространстве Еп, 357 Огибающая последовательности функций верхняя, 76 нижняя, 76 Окрестность точки в множестве, 333 Операция огораживания функции по множеству Л, 96 Ориентация А;-мерного подпространства, 367 — многообразия, 366 — области в Шп естественная, 396 —, определенная внешней дифференциальной формой, 370 Отношение порядка, 174 — рефлексивное, 172 — симметричное, 172 — транзитивное, 172 — эквивалентности, 172 Отображение аффинное, 345 ортогональное, 345 — класса^, 321 Параметризации многообразия когерентные, 365 перекрывающиеся, 334 — одинаково ориентированные, 365 — противоположно ориентированные, 366 Параметризация А;-мерного многообразия локальная, 333 — А;-мерной плоскости в Шп аффинная, 345 — А;-ячейки, 333 — окрестности, 334 Перестановка независимых переменных, 150 — нечетная, 285 — порядка п, 149, 284 — четная, 285 Период функции, 187
418 Плоскость А;-мерная пространства Rn, 345 — fc-репера в Rn, 289 Площадь верхней полусферы, 356, 357 — n-мерной сферы в Kn+1, 359 — множества на А;-мерном многообразии, 354 — нижней полусферы, 357 Поверхность fc-мерная класса Sfr, 333 Подмножество всюду плотное, 323 — многообразия ограниченное, 352 Полином тригонометрический степени не выше п, 188 Полиномы Чебышёва, 222 — Лежандра, 224 Полуинтервал двоичный, 17 , его ранг, 17 — fc-мерный, 331 Полунорма, 172 Полупространство, касательное к многообразию в краевой точке, 341 Последовательность множеств исчезающая, 60 , покрывающая данное множество, 114 — подмножеств возрастающая, 112 — функций возрастающая, 12 , мажорирующая функцию /,36 монотонная, 12 , сходящаяся сверху к функции /,13 , сходящаяся снизу к функции /,12 L\ -сходящаяся, 42 убывающая, 12 Предел нижний, 79 Представление дифференциальной формы в параметризации, 360 — каноническое кососимметрической полилинейной функции, 285 Преобразование Фурье, правило обращения, 268 Предметный указатель Преобразование Фурье функции /, 261 Произведение внешнее дифференциальных форм, 301 — скалярное функций из 1>2(£), 207 элементов предгильбертова пространства, 203 Пространство гильбертово, 205 —, касательное к многообразию в данной точке, 341 — предгильбертово, 203 Прямоугольник п-мерный, 16 полуоткрытый, 16 Путь в Еп, 338 —, исходящий из точки р, 338 —, лежащий в множестве Е, 338 Равенство Парсеваля, 214 для тригонометрической системы функций, 219 Разбиение единицы, 383 — (подразделение) двоичное ранга г пространства Кп, 21 Разложение в бесконечное произведение функции cos ж, 256 sin ж, 253 Репер ориентированного подпространства левый, 367 правый, 367 — параметризации координатный, 367 Ряд тригонометрический, 193 , вещественная форма, 193 , комплексная форма, 193 — функциональный нормально сходящийся, 72 — Фурье интегрируемой функции, 195 fc-penep в касательном пространстве ориентированного многообразия левый, 367 правый, 367 пространстве Rn, 288 вырожденный, 288
Предметный указатель А;-репер в пространстве К71 невырожденный, 288 — ортогональный, 290 — ортонормальный, 290 А;-реперы вК71 подобные, 289 эквивалентные, 289 Сигнатура перестановки, 285 Система векторов в гильбертовом пространстве ортогональная, 210 ортонормальная, 210 Система координат линейная, определенная данным А;-репером, 290 А;-мерного многообразия локальная, 334 Ьячейки F, 333 Система с интегрированием, 32 , базисное пространство, 33 дискретная, 70 евклидова, 33, 120 , основная функция, 33 , простая функция, 33 j счетная в бесконечности, 103 — функций на промежутке [—7г, 7г] тригонометрическая ортогональная, 219 Субаддитивность L\-нормы, 39 Сходимость в L\, 165 , критерий Коши — Больцано, 166 у-сечение множества, 130 z-сечение множества, 130 Теорема Брауэра о неподвижной точке общая, 403 — Балле — Пуссена, 170 — Дини, 58 — Дирихле о сходимости ряда Фурье, 240 — Лебега о предельном переходе, 82 — Леви, 123 для последовательностей функций, 74 419 Теорема Леви для функциональных рядов, 74 — о замене переменной в кратном интеграле, 145 нормально сходящемся ряде, 72 существовании интеграла Стилтьеса, 58 — Остроградского интегральная, 400 — Пуанкаре вторая, 317 первая, 309 — Рисса — Фишера, 207 — Стокса обобщенная интегральная, 392 — Тонелли, 132 — Фату о предельном переходе, 80 — Фубини, 128 Точка многообразия внутренняя, 336 краевая, 336 — множества внутренняя, 323 — полуинтервала краевая, 331 Транспозиция, 284 Тригонометрический полином, вещественная форма, 189 , комплексная форма, 189 Условие, выполняющееся почти всюду на множестве А, 49 — Дини в точке х для функции, определенной в Шп, 227 Факторизация по отношению эквивалентности, 173 Форма билинейная, 281 — внешняя дифференциальная на многообразии финитная, 387 степени m на многообразии, 359 степени 1, каноническое представление, 300 степени п — 1 в Кп, каноническое представление, 300 степени г, 298
420 Предметный указатель Форма внешняя дифференциальная степени г, каноническое представление, 299 степени А;, 295 — дифференциальная ориентированного многообразия единичная, 368 — А;-линейная, 280 Формула Гаусса интегральная, 401 — для вычисления площади поверхности, заданной уравнением, 356 объема шара в Шпу 160 — дополнения для гамма-функции, 258 — Кавальери — Лебега, 139 Функции перехода для перекрывающихся параметризаций многообразия, 334 Функция в Шп ступенчатая, 21 — вещественная невозрастающая, 138 — билинейная кососимметрическая, 283 — билинейная, 281 , матрица коэффициентов, 283 симметрическая, 283 — измеримая, 86 —, измеримая на fc-мерном многообразии, 352 —, интегрируемая в системе с интегрированием, 42 —, — в смысле Лебега, 123 —, относительно веса wf 57 —, Лебега — Стилтьеса относительно функции Ф, 59 Функция, интегрируемая в смысле Ньютона, 120 —, — на А;-мерном многообразии, 352 —, — по плоскости, 294 — комплексная интегрируемая, 259 — конечного типа, 68, 69 — А;-линейная, 280 —, локально интегрируемая на fc-мерном многообразии, 352 — множества характеристическая, 14 — обобщенно измеримая, 100 —, определенная почти всюду на множестве А, 49 — полилинейная кососимметрическая, 284 —, пренебрежимая в системе с интегрированием, 48 степени А;, 280 — Т-периодическая, 187 —, ступенчатая относительно кольца множеств, 63 — финитная, 118 —, — в (а, 6), 57 —, — относительно U, 141 Часть функции отрицательная, 14 положительная, 14 Число двоично рациональное, 20 — последовательности верхнее, 79 нижнее, 79 — функции верхнее в системе с интегрированием, 36 Элемент многообразия линейный, 349 Ядро множества открытое, 323 fc-ячейка класса ^т, 332
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ*^ Абель Нильс Хенрик (1802, близ Ставангера,— 1829, близ Арендаля), норвежский математик Абеля признак сходимости ряда; Абеля первая и вторая теоремы для степенных рядов; Абеля признак равномерной сходимости интеграла; Абеля тождество Адамар Жак Саломон (1865, Версаль,—1963, Париж), французский математик Александров Александр Данилович (1912, село Волынь, ныне Рязанская обл.,—1999, С.-Петербург), русский математик Арнольд Владимир Игоревич (р. 1937, Одесса), русский математик Архимед (ок. 287, Сиракузы, о. Сицилия,—212 до н. э., там же), древнегреческий математик, механик Банах Стефан (1892, Краков,—1945, Львов), польский математик Адамара — Коши формула радиуса сходимости степенного ряда Александрова теорема об интегральной кривизне кривой Теория особенностей (теория катастроф) Архимеда аксиома; Архимеда спираль Банахово пространство *) Данные об упомянутых в «Курсе математического анализа» ученых взяты (в основном) из следующих источников: Математический энциклопедический словарь, 1988; Большая советская энциклопедия, 1970; Internet.
422 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 Безу Этьен (1730, Немур,—1783, Бас-Лож, близ Фонтенбло), французский математик Бернулли Иоганн (1667, Базель,—1748, там же), швейцарский математик Бернулли Якоб (1654, Базель,—1705, там же), швейцарский математик Безу теорема Бернулли неравенство Бернулли лемниската Бессель Фридрих Вильгельм (1784, Минден,—1846, Кенигсберг), немецкий астроном, геодезист и математик Бесселя неравенство Больцано Бернард (1781, Прага,—1848, там же), чешский математик Б орел ь Феликс Эдуар Жюстен Эмиль (1871, Сент-Африк,—1956, Париж), французский математик Брауэр Лёйтзен Экберт Ян (1881, Оверсхи,—1966, Амстердам), голландский математик Больцано — Коши признак существования конечного предела; Больцано — Коши критерий сходимости несобственного интеграла Бореля теорема об открытом покрытии компактного множества Б pay эра теорема Буняковский Виктор Яковлевич (1804, Баре Подольской губ.,—1889, Петербург), русский математик Балле Пуссен Шарль Жан де л а (1866, Лувен,—1962, Брюссель), бельгийский математик Валлис (Уоллис) Джон (1616, Ашфорд, Кент,—1703, Оксфорд), английский математик Буняковского — Коши неравенство Балле Пуссена теорема о предельном переходе под знаком интеграла Валлиса формула о представлении числа 7г в виде бесконечного произведения
Именной указатель 423 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815, Остенфельде,—1897, Берлин), немецкий математик Вейерштрасса теорема выбора; Вейерштрасса теорема о наибольшем значении; то же в общем случае; Вейерштрасса признак (критерий) равномерной сходимости функционального ряда; Вейерштрасса — Стоуна теорема Гаусс Карл Фридрих (1777, Брауншвейг,—1855, Гёттинген), немецкий математик Гаусса формула для криволинейного интеграла Гейне (Хейне) Генрих Эдуард (1821, Берлин,—1881, Галле), немецкий математик Гейне критерий существования предела; Гейне теорема о равномерной непрерывности Гёльдер (Хёльдер) Людвиг Отто (1859, Штутгарт,—1937, Лейпциг), немецкий математик Гёльдера неравенство для конечных сумм Гессе Людвиг Отто (1811, Кенигсберг,—1874, Мюнхен), немецкий математик Гессе матрица; гессиан Гильберт Давид (1862, Белау, близ Кенигсберга,—1943, Гёттинген), немецкий математик Гильбертово пространство Г рам Йёрген Педерсен (1850, Нуструп, близ Хадерс лева,—1916, Копенгаген), датский математик Грама — Шмидта процесс ортогонализации системы векторов Даламбер (Д'Аламбер) Жан Лерон (1717, Париж,—1783, там же), французский математик Даламбера признак сходимости ряда Дарбу Жан Гастон (1842, Ним,—1917, Париж), французский математик Дарбу свойство вещественной функции
424 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм (1831, Брауншвейг,— там же), немецкий математик 1916, Дедекинда принцип для множества вещественных чисел Декарт Рене (1596, Лаэ (Турень),—1650, Стокгольм), французский математик Декартова ортогональная система координат Дини Улиссе (1845, Пиза,—1918, там же), итальянский математик Дирихле Петер Густав Лежён (1805, Дюрен,—1859, Гёттинген), немецкий математик Дини критерий для функции; Дини теорема о равномерной сходимости Дирихле признак сходимости ряда; Дирихле признак сходимости функционального ряда; Дирихле признак равномерной сходимости интеграла Евклид (Евклид из Александрии) (ок. 365, Александрия, Египет,—ок. 300 г. до н. э., предположительно там же), древнегреческий математик Евклидово пространсто Ермаков Василий Петрович (1845, село Терюха, близ Гомеля,—1922, Киев), русский математик Ермакова признак сходимости ряда Жордан Мари Энмон Камиль (1838, Лион,—1922, Париж), французский математик Жордана мера; Жордана критерий спрямляемости кривой Зейдель (Зайдель) Энмон Камиль (1821, Цвайбрюккен,- Мюнхен), немецкий математик -1896, Зейделя признак сходимости цепной дроби Йенсен Иоган Людвиг (1859, Наксков,—1925, Копенгаген), датский математик Йенсена неравенство для выпуклой функции Кавальери Бонавентура (1598, Милан,—1647, Болонья), итальянский математик Кавальери — Лебега формула для вычисления интеграла
Именной указатель 425 Кантор Георг (1845, Петербург, Россия,- 1918, Галле, Германия), немецкий математик Кантора теория множеств Карлесон Леннарт Аксель Эдвард (р. 1928, Стокгольм), шведский математик Теорема Карлесонао сходимости почти всюду рядов Фурье для квадратично интегрируемых функций Картан Эли Жозеф (1869, Доломьё,—1951, Париж), французский математик Картана теория внешних форм Кассини Джовани Доменико (Жан Доминик) (1625, Перинальдо,—1712, Париж), французский астроном Кассини овал Колмогоров Андрей Николаевич (1903, Тамбов,—1987, Москва), русский математик Колмогорова пример интегрируемой функции со всюду расходящимся рядом Фурье Коти Огюстен Луи (1789, Париж,—1857, Со), французский математик Коши теорема о промежуточных значениях; Коши — Больцано признак сходимости ряда; Коши — Больцано признак существования предела; Коши — Больцано признак сходимости несобственного интеграла; Коши — Буняковского неравенство; Коши неравество для среднего арифметического и среднего геометрического Кронекер Леопольд (1823, Лигниц (Легница), Польша,—1891, Берлин), немецкий математик Кронекера символ Курант Рихард (1888, Люблинец, Полыиа,- 1972, Нью-Йорк, США), американский математик Куранта вариационный принцип Лагранж Жозеф Луи (1736, Турин,—1813, Париж), французский математик, механик Лагранжа теорема о среднем значении в дифференциальном исчислении
426 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 Лаплас Пьер Симон (1749, Бомон-ан-Ож,—1827, Париж), ' французский математик, физик, астроном Лапласа асимптотическая формула Лебег Анри Леон (1875, Бове, деп. Уаза,— 1941, Париж), французский математик Лебега теорема об открытом покрытии компактного множества; Лебега теорема о предельном переходе; Лебега интеграл; Лебега — Кавальери формула; Лебега — Римана теорема; Лебега характеристическая функция Леви Бенно (1875, Турин,—1961, Розарио), итальянский математик Леви теорема для функциональных рядов; Леви теорема для последовательностей Лежандр Адриен Мари (1752, Париж,—1833, там же), французский математик Лежандра полиномы Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646, Лейпциг,—1716, Ганновер), немецкий математик Лейбница формула для n-й производной произведения функций; Лейбница — Ньютона формула для определения интеграла Линдеман Карл Луис Фердинанд (1852, Ганновер,—1939, Мюнхен), немецкий математик Линдеман а теорема Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд (1832, близ Кенигсберга,— 1903, Бонн), немецкий математик Липшица условие Лопиталь Гийом Франсуа Антуан де (1661, Париж,—1704, там же), французский математик Лопиталя первая и вторая теоремы; Лопиталя правила раскрытия неопределенностей Маклорен Колин (1698, Килмодан, Аргайл,- 1746, Эдинбург), шотландский математик Маклорена формула
Именной указатель 427 Мечин Джон (1680—1751, Англия), английский математик Минковский Герман (1864, Алексоты Минской губ., Россия,—1909, Гёттинген, Германия), немецкий математик Мечина формула для вычисления числа 7г в виде быстро сходящегося ряда Минковского неравенство для конечных сумм Морган Огастес де (1806, Мадура, Индия,— 1871, Лондон), шотландский математик Моргана тождество для операций над множествами Морс Харолд Калвин Марстон (1892, Уотервилл, США,— 1977, Нъю-Джерси, там же), американский математик Ньютон Исаак (1643, Вулсторп, окр. Грантема,—1727, Кенсингтон), английский математик, механик, физик Морса теорема о представлении функции многих переменных в окрестности невырожденной стационарной точки Ньютона — Лейбница формула; Ньютона бином; Ньютона интеграл; в смысле Ньютона интегририруемая функция Остроградский Михаил Васильевич (1801, дер. Пашенная, ныне Полтавская обл.,—1862, Полтава), русский математик Парсеваль Марк Антуан (1755, Розьер-о-Салин,— 1836, Париж), французский математик Пеано Джузеппе (1858, Кунео,—1932, Турин), итальянский математик Остроградского формула для кратных интегралов Парсеваля равенство Пеано форма остаточного члена в формуле Тейлора для функций одной переменной; то же для функций многих переменных; Пеано кривая Пуанкаре Жюль Анри (1854, Нанси,—1912, Париж), французский математик Пуассон Симеон Дени (1781, Питивье, деп. Луара,—1840, Париж), французский математик Пуанкаре первая и вторая теоремы в исчислении внешних форм Пуассона — Эйлера интеграл
428 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 Пфафф Иоганн Фридрих (1765, Штутгарт,—1825, Галле), немецкий математик Пфаффа внешние дифференциальные формы Раабе Йозеф Людвиг (1801, Броды,—1859, Цюрих), швейцарский математик Радон Иоганн (1887, Дечин,—1956, Вена), австрийский математик Риман Георг Фридрих Бернхард (1826, Брезеленц, Нижняя Саксония, Германия,—1866, Селаска, близ Интры, Италия), немецкий математик Раабе признак сходимости ряда Радона определение плоской кривой с ограниченным вращением Римана интеграл; в смысле Римана интегрируемая функция; Римана — Лебега теорема в теории рядов Фурье Рисе (Рис) Фридьеш (1880, Дьёр,—1956, Будапешт), венгерский математик Ролль Мишель (1652, Амбер,—1719, Париж), французский математик Сард Артур (1909, Сан Диего, США,— 1980, Биннинген, Швейцария), американский математик Стилтьес Томас Иоаннес (1856, Зволле, Оверэйссел, Нидерланды,—1894, Тулуза, Франция), голландский математик Рисса — Фишера теорема Ролля теорема в дифференциальном исчислении функций одной переменной Сарда лемма о множестве стационарных значений функции многих переменных Стилтьеса интеграл Стирлинг Джеймс (1692, Гарден,—1770, Эдинбург), шотландский математик Стирлинга формула для приближенного представления п! Стоке Джордж Габриель (1819, Скрин, Ирландия,— 1903, Кембридж, Англия), английский математик, физик Стокса интегральная формула в исчислении внешних дифференциальных форм
Именной указатель 429 Стоун Маршалл Харви (1903, Нью-Йорк,—1989, Мадрас, Индия), американский математик Стоуна — Вейерштрасса теорема; схема Стоуна изложения теории интеграла Лебега Тейлор Брук (1685, Эдмонтон, Мидлсекс,—1731, Лондон), английский математик Тейлора формула; Тейлора полином; Тейлора ряд Тонелли Леонида (1885, Галлиполи (Лече),- 1946, Пиза), итальянский математик Тонелли теорема об изменении порядка интегрирования для кратных интегралов Фату Пьер Жозеф Луис (1878, Лориент,—1929, Порнишет), французский математик Фату теорема о предельном переходе под знаком интеграла Фенхель Вернер Мориц (1905, Берлин,—1988, Копенгаген), датский математик Фенхеля неравенство Ферма Пьер (1601, Бомон-де-Ломань,— 1665, Кастр), французский математик Ферма теорема в дифференциальном исчислении для функций одной переменной Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1180, Пиза,—1240, там же), итальянский математик Фибоначчи последовательность чисел Фишер Эрнст Сигизмунд (1875, Вена,—1954, Кёльн), немецкий математик Фишера — Рисса теорема Фреше Морис Рене (1878, Малиньи,—1973, Париж), французский математик В смысле Фреше кривая Фубини Гвидо (1879, Венеция,—1943, Нью-Йорк), итальянский математик Фубини теорема об изменении порядка интегрирования для кратных интегралов Фурье Жан Батист Жозеф (1768, Осер,—1830, Париж), французский математик Фурье ряды; Фурье преобразование
430 Курс математического анализа, ч. II, кн. 2 Хаусдорф Феликс (1868, Бреслау,—1942, Бонн), немецки^математик Хаусдорфа критерий предкомпактности множества Чебышёв Пафнутий Львович (1821, с. Окатово, ныне Калужской обл.,—1894, С.-Петербург), русский математик Чебышёва полиномы Шмидт Эрхард (1876, Дерпт,—1959, Берлин), немецкий математик Шмидта — Грама процесс ортогонализации системы векторов Эйлер Леонард (1707, Базель, Швейцария,- 1783, С.-Петербург), русский математик Эйлера теорема об однородных функциях; Эйлера бета- и гамма-функции; Эйлера — Пуассона интеграл; Эйлера постоянная Эрмит Шарль (1822, Дьёз,—1901, Париж), французский математик Эрмита теорема о трансцендентности числа е Юнг (Янг) Виллиам Хенри (1863, Лондон,—1942, Лозанна, Швейцария), английский математик Юнга неравенство Якоби Карл Густав Якоб (1804, Потсдам,—1851, Берлин), немецкий математик Якоби матрица; Якоби определитель; якобиан
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДЫДУЩИХ КНИГ «КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть I * Книга 1 Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ОГЛАВЛЕНИЕ От автора 7 Предисловие 9 Глава 1. Введение в математический анализ 11 § 1. Понятие множества 12 1.1. Множество и его элементы 12 1.2. Логическая символика 14 1.3. Кванторы 16 1.4. Операции над множествами 16 1.5. Прямое произведение множеств 17 § 2. Функции 19 2.1. Понятие функции или отображения 19 2.2. Образ и прообраз. Накрывающее и взаимно однозначное отображения 20 2.3. Суперпозиция отображений 21 2.4. Обратное отображение 22 2.5. Сужение и продолжение функции 25 2.6. График функции 25
432 Содержание «Курса математического анализа» § 3. Вещественные числа и числовые множества 26 3.1. Алгебраическая структура множества вещественных чисел . 27 3.2. Порядковая структура множества К 28 3.3. Расширенная числовая прямая. Промежутки (отрезки) 29 3.4. Абсолютная величина. Положительная и отрицательная части числа 30 § 4. Точные границы числового множества. Аксиома непрерывности. Натуральные, целые и рациональные числа 32 4.1. Понятия точной верхней и точной нижней границ числового множества. Аксиома непрерывности 33 4.2. Признаки точной верхней и точной нижней границ числового множества 35 4.3. Свойство монотонности относительно включения точной верхней и точной нижней границ 37 4.4. Множества натуральных, целых и рациональных чисел 38 4.5. Существование квадратного корня 48 4.6. Сокращенные обозначения для суммы и произведения 50 § 5. Вещественные числовые функции 52 5.1. Алгебраические операции над вещественными функциями. Монотонные функции 52 5.2. График вещественной числовой функции 53 5.3. Точные границы вещественной функции 55 § 6. Комплексные числа 58 6.1. Понятие комплексного числа. Определение и основные свойства 58 6.2. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Модуль. Сопряженное число 62 6.3. Геометрическое представление комплексных чисел 64 § 7. Счетные множества 67 7.1. Определение счетного множества 67 7.2. Операции над счетными множествами 71 Задачи 75 Глава 2. Теория предела 81 § 1. Определение и простейшие свойства предела 82 1.1. Понятие предельной точки числового множества 82 1.2. Определение предела функции на произвольном подмножестве IR 87 1.3. Понятие непрерывной функции 94 1.4. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Единственность предела 95 1.5. Существование предела и асимптотическая ограниченность . 98
Курс математического анализа,, ч. J, кн. 1 433 1.6. Теорема о зажатой переменной и ее следствия 100* 1.7. Характеристика предельных точек числового множества 105 1.8. Понятия непрерывности и предела для комплексных функций 107 § 2. Теоремы об операциях над пределами 109 2.1. Операции с бесконечно малыми 109 2.2. Теоремы об операциях с пределами. Случай конечных пределов 112 2.3. Правила замены переменной под знаком предела 114 2.4. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного. Случай бесконечных пределов 119 § 3. Признаки существования предела 125 3.1. Теорема о существовании предела монотонной функции 126 3.2. Критерий Коши — Больцано существования конечного предела 130 3.3. Критерий Гейне существования предела 135 3.4. Несчетность множества вещественных чисел IR 137 3.5. Понятие одностороннего предела и классификация точек разрыва функции на отрезке 138 §4. Теорема о разрешимости уравнения f(x) = h и ее следствия 143 4.1. Теорема Коши о промежуточных значениях 144 4.2. Теорема о существовании непрерывной обратной функции .. 147 § 5. Основные теоремы о непрерывных функциях 151 5.1. Теорема выбора Вейерштрасса 152 5.2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции 155 5.3. Понятие равномерно непрерывной функции 156 5.4. Топологические отображения отрезков в множество IR 161 § 6. Верхний и нижний пределы последовательности 163 6.1. Определение и простейшие свойства верхнего и нижнего пределов 163 6.2. Критерий существования предела последовательности 167 6.3. Понятие частичного предела последовательности 170 6.4. Характеристика верхнего и нижнего пределов последовательности ? 174 Задачи 176
434 Содержание «Курса математического анализа,» Глава 3. Элементарные функции 187 § 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции. Некоторые замечательные пределы 188 1.1. Существование и конечность предела lim (1 + -) 189 п—юо ч п/ 1.2. Свойства функции ехр 194 1.3. Функция — натуральный логарифм 199 1.4. Операция возведения в степень. Степенная функция. Показательная функция 204 § 2. Тригонометрические функции. Общее понятие элементарной функции 211 2.1. Синус, косинус и тангенс 211 2.2. Предел lim ^^ 219 ж-»0 х 2.3. Обратные тригонометрические функции 223 2.4. Показательная функция комплексного аргумента 226 2.5. Общее понятие элементарной функции 228 2.6. Гиперболические функции 229 § 3. Сравнение поведения элементарных функций вблизи концов области определения 224 3.1. Понятие об асимптотических соотношениях 235 3.2. Сравнение поведения основных элементарных функций в концах области определения 238 § 4. Некоторые дополнительные сведения об элементарных функциях 241 4.1. О функции ехр в комплексной плоскости 242 4.2. Функциональные уравнения элементарных функций 251 Задачи 261 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 263 § 1. Определение и простейшие свойства производной ... 264 1.1. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Определение производной 264 1.2. Правила дифференцирования 267 1.3. Дифференцирование основных элементарных функций 271 § 2. Некоторые приложения понятия производной 278 2.1. Касательная графика функции 278 2.2. Понятие параметризованной кривой. Касательная к параметризованной кривой 279 2.3. Полярная система координат на плоскости. Графики функций в полярной системе координат 297 2.4. Приложения понятия производной в физике и механике 301
Курс математического анализа, ч. I, кн. 1 435 § 3. Производные высших порядков 303 3.1. Определение производной высшего порядка 304 3.2. Производные высших порядков некоторых элементарных функций 306 3.3. Теорема о произведении функций классов &п и с€п. Формула Лейбница 309 3.4. Теоремы об операциях над функциями классов Q)n и с€п 312 § 4. Теоремы о среднем значении 315 4.1. Точки экстремума функции. Теорема Ферма 316 4.2. Теоремы Коши и Лагранжа о среднем значении 319 4.3. Теорема Дарбу о производной 324 4.4. Критерий монотонности функции 326 4.5. Ослабленный критерий монотонности функции 329 § 5. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей ... 336 5.1. Неопределенность типа ^ 336 5.2. Неопределенность типа Ц 341 § 6. Формула Тейлора 344 6.1. Некоторые сведения о полиномах одной переменной 345 6.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 350 6.3. Оценка остаточного члена формулы Тейлора 354 6.4. Новое доказательство формулы Лейбница 358 6.5. Метод Ньютона (метод касательных) приближенного решения уравнений 361 § 7. Точки экстремума дифференцируемой функции 369 7.1. Необходимые условия экстремума 370 7.2. Достаточные условия экстремума 374 7.3. Достаточные условия экстремума для функции, п-кратно дифференцируемой в точке 377 § 8. Выпуклые функции 379 8.1. Определение выпуклой функции. Неравенство Иенсена 379 8.2. Критерий выпуклости функции 384 8.3. Основные неравенства анализа 389 8.4. Точки перегиба функции 394 8.5. Критерий выпуклости функции в общем случае 398 § 9. Исследование функции методами дифференциального исчисления 406 9.1. Построение графика функции 407 9.2. Исследование алгебраических уравнений второй и третьей степени 417 9.3. Исследование параметризованных кривых 423 Задачи 433 Указатель обозначений 443 Предметный указатель 445
436 Содержание «Курса математического анализа» КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть I * Книга 2 Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 11 § 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 12 1.1. Понятие первообразной 12 1.2. Интегрируемость линейной комбинации интегрируемых функций 18 1.3. Первообразная функции постоянного знака. Произвол в определении первообразной. Определенный и неопределенный интегралы 20 1.4. Интегрируемость по объединению промежутков 26 § 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства 28 2.1. Линейность определенных интегралов 28 2.2. Свойство монотонности интеграла 30 2.3. Свойство аддитивности интеграла 34 2.4. Критерий интегрируемости функций по замкнутому отрезку 37 2.5. Правило интегрирования по частям 41 2.6. Правило замены переменной интегрирования 45 2.7. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме 47 § 3. Достаточные условия интегрируемости 49 3.1. Понятие аддитивной функции отрезка 49 3.2. Понятие нижнего интеграла 60 3.3. Основная теорема об интегрируемости функции по промежутку 63 § 4. Техника неопределенного интегрирования 67 4.1. Общие сведения о неопределенных интегралах 68 4.2. Интегрирование рациональных функций 74 4.3. Примеры неопределенных интегралов 85 § 5. Интегральные теоремы о среднем значении 95 5.1. Первая интегральная теорема о среднем значении 95 5.2. Лемма о приближении монотонных функций ступенчатыми . 98 5.3. Вторая интегральная теорема о среднем значении 101
Курс математического анализа,, ч. I, кн. 2 437 § 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 104 6.1. Интегралы и неравенства, содержащие суммы 104 6.2. Римановы суммы и понятие функции, интегрируемой в смысле Римана 109 6.3. Численное интегрирование функций. Формула трапеций .... 113 6.4. Формула Симпсона численного интегрирования 119 § 7. Приложения интегрального исчисления 126 7.1. Площадь плоской фигуры 126 7.2. Объемы тел вращения 130 7.3. Длина кривой и площадь поверхности вращения 134 7.4. Некоторые физические приложения интеграла 141 7.5. Доказательство трансцендентности числа е 147 Задачи 154 Глава 6. Непрерывные отображения метрических пространств 163 § 1. Общие свойства метрических пространств 164 1.1. Определение и простейшие свойства метрических пространств 164 1.2. Произведение метрических пространств 168 1.3. Шары и сферы в метрических пространствах 170 1.4. Понятие подпространства 172 § 2. Общие сведения о векторных пространствах 173 2.1. Понятие векторного пространства 174 2.2. Общий принцип построения векторных пространств 179 2.3. Линейные отображения векторных пространств 182 § 3. Нормированные векторные пространства 190 3.1. Понятие нормы в векторном пространстве 190 3.2. Нормы в пространстве Шп 193 3.3. Некоторые специальные подмножества пространства Шп 198 3.4. Норма линейного отображения 200 § 4. Понятия предела и непрерывности для отображений метрических пространств 204 4.1. Понятие предела относительно оценочной функции 205 4.2. Общие свойства предела 212 4.3. Определение предела для отображений метрических пространств 219 4.4. Теоремы о пределе сложной функции 223 4.5. Понятие полного метрического пространства 226 4.6. Предел и непрерывность для функций со значениями в Кп .. 229 4.7. Определение и простейшие свойства асимптотических соотношений 231 § 5. Открытые и замкнутые мнолсества в метрических пространствах 236 5.1. Определения открытых и замкнутых множеств 236
438 Содержание «Курса математического анализа» 5.2. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Замыкание, внутренность и граница множества 241 5.3. Непрерывные отображения и открытые и замкнутые множества 248 5.4. Относительно открытые и относительно замкнутые множества 251 § 6. Компактные множества в метрических пространствах 254 6.1. Определение и общие свойства компактных множеств 254 6.2. Критерий компактности множества в IR71 257 6.3. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компактных множествах 260 6.4. Некоторые приложения теоремы Вейерштрасса 263 6.5. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного отображения 267 6.6. Модуль непрерывности отображения 269 Задачи 272 Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 279 § 1. Понятие частной производной и дифференциала 280 1.1. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций одной переменной 281 1.2. Понятие производной функции вдоль данного вектора. Частные производные 284 1.3. Понятие дифференцируемой функции многих переменных ... 290 § 2. Общие свойства дифференцируемых функций 295 2.1. Лемма об оценке приращения функции 296 2.2. Лемма об интегрировании асимптотических соотношений ... 298 2.3. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке 302 2.4. Теорема о дифференцируемости сложной функции 303 2.5. Признак постоянства функции 305 2.6. Теорема Эйлера об однородной функции 308 § 3. Производные высших порядков 310 3.1. Определение производных выше первого порядка 311 3.2. Свойство симметричности производных второго порядка 314 3.3. Теорема о симметричности производных высших порядков .. 317 3.4. Мультииндексные обозначения 318 3.5. Классы Сг 321 § 4. Формула Тейлора для функций многих переменных . 324 4.1. Полиномы п переменных 324 4.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 331 4.3. Асимптотическая характеристика полинома Тейлора 333 4.4. Формула для производной произвольного порядка функции t — f(x + th). Понятие дифференциала г-го порядка 335 § 5. Вычисление частных производных 338
Курс математического анализа, ч. I, кн. 2 439 5.1. Применение формулы Тейлора к вычислению частных производных 339 5.2. Исчисление полиномиальных форм 344 § 6. Экстремум функций многих переменных 358 6.1. Необходимые условия экстремума функции 358 6.2. Достаточные условия локального экстремума функции 364 § 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения 367 7.1. Простейшая теорема о неявных функциях 368 7.2. Общая теорема о неявных функциях 374 Задачи 379 Глава 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Еп 387 § 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 388 1.1. Свойства функций, представленных интегралами, зависящими от параметра 389 1.2. Определение интеграла линейной дифференциальной формы вдоль кривой 392 1.3. Понятия точной и замкнутой дифференциальной формы 400 1.4. Общая теорема о представимости дифференциальной формы как дифференциала функции 407 § 2. Приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 417 2.1. Понятие индекса точки на плоскости относительно замкнутой кривой. Теорема о неподвижных точках 417 2.2. Доказательство основной теоремы алгебры 424 § 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 426 3.1. Функции ограниченной вариации 427 3.2. Функции ограниченной вариации со значениями в банаховом пространстве 434 3.3. Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла дифференциальной формы первой степени по спрямляемой кривой 442 § 4. Общее понятие кривой 453 4.1. Понятие отношения эквивалентности 454 4.2. Определение кривой в метрическом пространстве 458 4.3. Натуральная параметризация кривой 465 4.4. Регулярные кривые в пространстве Шп 471 4.5. Кривизна кривой 475 Задачи 488 Послесловие 491 Указатель обозначений 492 Предметный указатель 495
440 Содержание «Курса математического анализа,» КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть II * Книга 1 Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов ОГЛАВЛЕНИЕ От автора 9 Предисловие 12 Глава 9. Компактные множества и топологические пространства 15 § 1. Обзор некоторых основных утверждений главы 6 («Курс математического анализа», часть I, книга 2), а также глав 2 и 3 (часть I, книга 1) 16 1.1. Общие сведения о метрических пространствах 16 1.2. Векторные пространства. Норма в векторном пространстве . 20 1.3. Понятия предела и непрерывности. Сводка определений и основных результатов 27 1.4. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 40 1.5. Компактные множества и компактные пространства 43 § 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля 45 2.1. Понятие вполне ограниченного множества 45 2.2. Компактность произведения компактных множеств 53 2.3. Теорема Лебега об открытом покрытии 55 2.4. Теорема Бореля об открытом покрытии 56 § 3. Понятие топологического пространства 60 3.1. Вспомогательные теоретико-множественные соотношения ... 60 3.2. Определение понятия топологического пространства 66 § 4. Непрерывные отображения топологических пространств 73 4.1. Определение понятий непрерывности и предела для отображений топологических пространств 73 4.2. Понятие компактного множества в топологическом пространстве 85 Задачи 88 Глава 10. Основы гладкого анализа 91 § 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 92 1.1. Принцип сжимающих отображений 92 1.2. Абстрактная теорема об обратной функции 98
Курс математического анализа,, ч. II, кн. 1 441 § 2. Теорема об обратной функции 101 2.1. Теорема о локальной обратимости гладкого отображения ... 101 2.2. Дифференциальные свойства обратного отображения 106 2.3. Понятие о произвольной системе координат в пространстве Жп 109 § 3. Следствия теоремы об обратной функции 118 3.1. Теорема о неявных функциях 119 3.2. Первая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме 122 3.3. Вторая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме 128 3.4. Теорема о ранге 131 3.5. Понятия функционально зависимых и независимых систем функций 136 § 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Жп 142 4.1. Понятие &-мерного подмногообразия пространства Шп 143 4.2. Понятие касательной плоскости в точке многообразия 149 4.3. Строение множества решений системы уравнений с условием невырожденности 155 4.4. Множества, определяемые системой уравнений и одним неравенством 159 4.5. Примеры подмногообразий пространства Шп 162 § 5. Условные экстремумы 168 5.1. Необходимые условия условного экстремума. Метод множителей Лагранжа 168 5.2. Распознавание точек условного экстремума 173 5.3. Приложения к задаче о собственных значениях симметрической матрицы 177 § 6. Теорема Морса 181 6.1. Предварительные сведения о матрицах 182 6.2. Доказательство теоремы Морса 188 § 7. Вычисление частных производных функций, заданных неявно. Примеры 194 7.1. О вычислении производных функций, заданных неявно 194 7.2. Примеры качественных особенностей множества решений системы уравнений 200 Задачи 211 Глава 11. Теория рядов 219 § 1. Определения. Общие сведения о рядах 220 1.1. Определение и простейшие свойства сходящихся рядов 220 1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов 227 1.3. Признак Коши — Больцано сходимости ряда 228 1.4. Свойство ассоциативности суммы ряда 232
442 Содержание «Курса, математического анализа,» § 2. Признаки сходимости рядов 233 2.1. Условия сходимости ряда с неотрицательными членами 233 2.2. Теоремы сравнения для распознавания сходящихся и расходящихся рядов 235 2.3. Признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости и расходимости ряда 239 2.4. Интегральный признак Коши сходимости и расходимости ряда 242 2.5. Признак Раабе сходимости ряда 245 § 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 247 3.1. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 247 3.2. Пример на приложение признака Дирихле сходимости ряда . 250 § 4. Сумма значений функций на произвольном бесконечном множестве 252 4.1. Определение суммы значений на произвольном бесконечном множестве и ее свойства 252 4.2. Критерий суммируемости функции по произвольному множеству 257 4.3. Суммирование вещественных функций 262 4.4. Суммируемость функций и понятие коммутативно сходящегося ряда 267 4.5. Теорема об ассоциативности суммирования (теорема о суммировании пачками) 270 4.6. Кратные ряды 277 § 5. Бесконечные произведения 280 5.1. Определение бесконечного произведения 280 5.2. Признаки сходимости и расходимости бесконечного произведения 282 5.3. Формула Валлиса 286 § 6. Цепные дроби 289 6.1. Определение и простейшие свойства цепных дробей 289 6.2. Признак Зейделя сходимости цепной дроби 298 6.3. Примеры цепных дробей 303 Задачи 308 Глава 12. Функциональные ряды и интегралы, зависящие от параметра 315 § 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 316 1.1. Равномерная норма функции. Пространство Loo(M) 316 1.2. Определение и простейшие свойства равномерно сходящегося семейства функций 320 1.3. Критерий Коши — Больцано равномерной сходимости 325 1.4. Теорема о равенстве повторных пределов 327 1.5. Следствия теоремы о повторных пределах. Пространство Ъ(М) 331
Курс математического анализа,, ч. II, кн. 1 443 1.6. Теорема Дини 333 1.7. Теорема о произведении рядов 335 § 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 338 2.1. Понятие равномерно сходящегося ряда 338 2.2. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда 341 2.3. Теоремы об интегрировании функциональных рядов и последовательностей 344 2.4. О дифференцируемости предела функциональной последовательности и суммы функционального ряда 350 § 3. Степенные ряды 353 3.1. Первая теорема Абеля для степенных рядов (теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда) 353 3.2. Разложения в степенные ряды элементарных функций 358 3.3. Вторая теорема Абеля для степенных рядов 366 3.4. Функциональные свойства суммы степенного ряда 370 § 4. Критерии интегрируемости функции в замкнутом промежутке 376 4.1. Признак Коши — Больцано сходимости интеграла 376 4.2. Признаки сравнения сходимости и расходимости интеграла . 380 4.3. Признак Дирихле сходимости интеграла 384 § 5. Функции, представимые интегралами, зависящими от параметра 386 5.1. Достаточное условие непрерывности функции, представимой интегралом, зависящим от параметра 386 5.2. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых интегралами 389 5.3. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых несобственными интегралами 396 5.4. Теорема о монотонной последовательности интегрируемых функций 403 5.5. Эйлеровы интегралы 405 § 6. Метод Лапласа построения асимптотических представлений. Формула Стирлинга 412 6.1. Основная теорема об асимптотической оценке интеграла 412 6.2. Формула Стирлинга для приближенного вычисления Г(х + 1)-функции при больших значениях аргумента 417 § 7. Теоремы о приближении функций полиномами 419 7.1. Теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении функций . 420 7.2. Приложения теоремы Стоуна — Вейерштрасса 424 Задачи 427 Указатель обозначений 431 Предметный указатель 433
Учебное издание Решетняк Юрий Григорьевич КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть II, книга 2 Ответственный редактор Водопьянов Сергей Константинович Издание подготовлено с использованием макропакета A^S-T^ij разработанного Американским математическим обществом. This publication was typeset using •ДД/^-Т^Х, the American Mathematical Society's TEX macro system. Подписано в печать 28.05.01. Формат 70x100 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 36,0. Уч.-изд. л. 31,0. Тираж 500 экз. Заказ №423. Лицензия ЛР №065614 от 8 января 1998 г. Издательство Института математики пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 Отпечатано в ГУП РПО СО РАСХН пос. Краснообск Новосибирской обл. 630500