РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА
Современная математика — студентам и аспирантам
Ю. Г. РЕШЕТНЯК
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Часть II * Книга 1
Основы гладкого анализа в многомерных
пространствах, Теория рядов
Новосибирск
Издательство Института математики
2 0 0 0

УДК 517
ББК 22.16
Р47
Решетняк Ю. Г.
Курс математического анализа. Ч. II, кн. 1. — Новосибирск: Изд-во
Ин-та математики, 2000. — 440 с. — (Современная математика — студентам
и аспирантам).
ISBN 5-86134-086-2.
Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на
основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном
университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа
по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное
изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.
Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих
к основному материалу. Книга 1 части II учебника предназначена для
студентов второго курса математических факультетов университетов. Учебник
может быть полезен преподавателям математики в университетах и в других
высших учебных заведениях, где читается математический анализ.
Ответственный редактор
Водопьянов Сергей Константинович
jj. Издание осуществлено при финансовой поддержке
>СТТ)И Российского фонда фундаментальных исследований
•" (код проекта 99-01-14013)
pJMwSm Бе3 объявл- © Решетняк Ю. Г, 2000
ISBN 5-86134-086-2 © Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 2000

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть II * Книга 1
Основы гладкого анализа в многомерных
пространствах. Теория рядов
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 9
Предисловие 12
Глава 9. Компактные множества
и топологические пространства 15
§ 1. Обзор некоторых основных утверждений
главы 6 («Курс математического анализа»,
часть I, книга 2), а также глав 2 и 3
(часть I, книга 1) 16
1.1. Общие сведения о метрических пространствах 16
1.2. Векторные пространства. Норма в векторном
пространстве 20
1.3. Понятия предела и непрерывности. Сводка
определений и основных результатов 27
1.4. Открытые и замкнутые множества в метрических
пространствах 40
1.5. Компактные множества и компактные пространства ... 43
§ 2. Критерий пред компактности. Теоремы
Лебега и Бореля 45
2.1. Понятие вполне ограниченного множества 45
2.2. Компактность произведения компактных множеств 53
2.3. Теорема Лебега об открытом покрытии 55
2.4. Теорема Бореля об открытом покрытии 56
§ 3. Понятие топологического пространства 60
3.1. Вспомогательные теоретике-множественные
соотношения 60
3.2. Определение понятия топологического пространства ... 66

4
Оглавление
§ 4. Непрерывные отображения топологических
пространств 73
4.1. Определение понятий непрерывности и предела
для отображений топологических пространств 73
4.2. Понятие компактного множества в топологическом
пространстве 85
Задачи 88
Глава 10. Основы гладкого анализа 91
§ 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 92
1.1. Принцип сжимающих отображений 92
1.2. Абстрактная теорема об обратной функции 98
§ 2. Теорема об обратной функции 101
2.1. Теорема о локальной обратимости гладкого
отображения 101
2.2. Дифференциальные свойства обратного отображения ... 106
2.3. Понятие о произвольной системе координат
в пространстве Кп 109
§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 118
3.1. Теорема о неявных функциях 119
3.2. Первая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме 122
3.3. Вторая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме 128
3.4. Теорема о ранге 131
3.5. Понятия функционально зависимых и независимых
систем функций 136
§ 4. Многообразия и системы уравнений
в пространстве Кп 142
4.1. Понятие fc-мерного подмногообразия пространства Еп .. 143
4.2. Понятие касательной плоскости в точке многообразия .. 149
4.3. Строение множества решений системы уравнений
с условием невырожденности 155
4.4. Множества, определяемые системой уравнений
и одним неравенством 159
4.5. Примеры подмногообразий пространства Кп 162

Оглавление
5
§ 5. Условные экстремумы 168
5.1. Необходимые условия условного экстремума. Метод
множителей Лагранжа 168
5.2. Распознавание точек условного экстремума 173
5.3. Приложения к задаче о собственных значениях
симметрической матрицы 177
§ 6. Теорема Морса 181
6.1. Предварительные сведения о матрицах 182
6.2. Доказательство теоремы Морса 188
§ 7. Вычисление частных производных функций,
заданных неявно. Примеры 194
7.1. О вычислении производных функций, заданных неявно . 194
7.2. Примеры качественных особенностей множества
решений системы уравнений 200
Задачи 211
Глава 11. Теория рядов 219
§ 1. Определения. Общие сведения о рядах 220
1.1. Определение и простейшие свойства сходящихся рядов . 220
1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов 227
1.3. Признак Коши — Больцано сходимости ряда 228
1.4. Свойство ассоциативности суммы ряда 232
§ 2. Признаки сходимости рядов 233
2.1. Условия сходимости ряда с неотрицательными членами 233
2.2. Теоремы сравнения для распознавания сходящихся
и расходящихся рядов 235
2.3. Признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости
и расходимости ряда 239
2.4. Интегральный признак Коши сходимости
и расходимости ряда 242
2.5. Признак Раабе сходимости ряда 245

6
Оглавление
§ 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 247
3.1. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля
сходимости ряда 247
3.2. Пример на приложение признака Дирихле
сходимости ряда 250
§ 4. Сумма значений функций на произвольном
бесконечном множестве 252
4.1. Определение суммы значений на произвольном
бесконечном множестве и ее свойства 252
4.2. Критерий суммируемости функции по произвольному
множеству 257
4.3. Суммирование вещественных функций 262
4.4. Суммируемость функций и понятие коммутативно
сходящегося ряда 267
4.5. Теорема об ассоциативности суммирования (теорема
о суммировании пачками) 270
4.6. Кратные ряды 277
§ 5. Бесконечные произведения 280
5.1. Определение бесконечного произведения 280
5.2. Признаки сходимости и расходимости бесконечного
произведения 282
5.3. Формула Валлиса 286
§ 6. Цепные дроби 289
6.1. Определение и простейшие свойства цепных дробей 289
6.2. Признак Зейделя сходимости цепной дроби 298
6.3. Примеры цепных дробей 303
Задачи 308
Глава 12. Функциональные ряды и интегралы,
зависящие от параметра 315
§ 1. Понятие равномерной сходимости для
семейства функций 316
1.1. Равномерная норма функции. Пространство L^M) 316
1.2. Определение и простейшие свойства равномерно
сходящегося семейства функций 320
1.3. Критерий Коши — Больцано равномерной сходимости . 325
1.4. Теорема о равенстве повторных пределов 327
1.5. Следствия теоремы о повторных пределах.
Пространство ^(М) 331

Оглавление
7
1.6. Теорема Дини 333
1.7. Теорема о произведении рядов 335
§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды . 338
2.1. Понятие равномерно сходящегося ряда 338
2.2. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости
функционального ряда 341
2.3. Теоремы об интегрировании функциональных рядов
и последовательностей 344
2.4. О дифференцируемости предела функциональной
последовательности и суммы функционального ряда 350
§ 3. Степенные ряды 353
3.1. Первая теорема Абеля для степенных рядов (теорема
Абеля о радиусе сходимости степенного ряда) 353
3.2. Разложения в степенные ряды элементарных функций .. 358
3.3. Вторая теорема Абеля для степенных рядов Збб
3.4. Функциональные свойства суммы степенного ряда 370
§ 4. Критерии интегрируемости функции
в замкнутом промежутке 376
4.1. Признак Коши — Больцано сходимости интеграла 376
4.2. Признаки сравнения сходимости и расходимости
интеграла 380
4.3. Признак Дирихле сходимости интеграла 384
§5. Функции, представимые интегралами,
зависящими от параметра 386
5.1. Достаточное условие непрерывности функции,
представимой интегралом, зависящим от параметра 386
5.2. Теоремы о дифференцировании и интегрировании
функций, представимых интегралами 389
5.3. Теоремы о дифференцировании и интегрировании
функций, представимых несобственными интегралами . 396
5.4. Теорема о монотонной последовательности
интегрируемых функций 403
5.5. Эйлеровы интегралы 405

8
Оглавление
§ в. Метод Лапласа построения асимптотических
представлений. Формула Стирлинга 412
6.1. Основная теорема об асимптотической оценке интеграла 412
6.2. Формула Стирлинга для приближенного вычисления
Т(х + 1)-функции при больших значениях аргумента ... 417
§ 7. Теоремы о приближении функций полиномами .. 419
7.1. Теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении
функций 420
7.2. Приложения теоремы Стоуна — Вейерштрасса 424
Задачи 428
Указатель обозначений 431
Предметный указатель 433

Прекрасные возможности предоставлены
также и студенту .... Изведав удовольствие от
занятий математикой, он его забудет нескоро,
и вот тогда, очень вероятно, математика
займет определенное место в его жизни: как
предмет любительского увлечения или как
инструмент в его профессиональной работе, как
профессия или как путь к личной славе.
Д. Пойа. Как решать задачу
От автора
(ко второй части книги)
Предлагаемый вниманию читателя учебник «Курс
математического анализа» (КМА), часть II, состоит из двух книг. Материал этих
книг обычно составляет содержание первого и второго семестров
лекционного курса, читаемого студентам-математикам второго года
обучения.
Однозначного ответа на вопрос, что есть современный курс
математического анализа, по-видимому, не существует. Автор
руководствовался теми соображениями, что в современных математических
исследованиях можно найти новые подходы к методике изложения тех или
иных тем курса математического анализа. Так, например, теорема
о неявных функциях может быть доказана, как это сделано в главе 10,
с помощью принципа сжимающих отображений (возможность такого
способа изложения данной темы отмечает в классическом учебнике
Э. Гурса, вышедшем более 70-ти лет назад). Принцип сжимающих
отображений важен и сам по себе — он является теоретической основой
разнообразных математических методов, в частности и методов
вычислительной математики. Использование понятия равномерной нормы
существенно упрощает изложение вопросов, относящихся к понятию
равномерной сходимости последовательности функций. Это позволяет
свести к минимуму использование техники «£-£-рассуждений», которая
обычно доставляет массу трудностей начинающим.
Дифференциальное и интегральное исчисления составляют основу
математического образования. В широком смысле «математический

10
Курс математического анализа,, ч. II, кн. 2
анализ» означает часть современной математики, включающую такие
ее разделы, как теория функций комплексной переменной, теория
дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, теория
функций вещественной переменной, функциональный анализ, теория
вероятностей и др. Эти направления теоретической математики интенсивно
развиваются в наши дни.
Одна из основных тем математического анализа — интегральное
исчисление. В первой части КМА теория интеграла строится по схеме,
условно называемой теорией интеграла в смысле Ньютона.
Теория кратного интеграла часто излагается на базе понятия
интеграла Римана. В многомерном случае такое изложение
оказывается достаточно тяжеловесным. Оно опирается на понятие меры Жор-
дана множества, которое в современных математических исследованиях
практически не используется. Изложение теории кратного интеграла,
принятое здесь, следует общей идее, которая может быть изложена
следующим образом. Сначала определяется понятие интеграла для
некоторых простейших функций. В качестве таковых здесь выбирается
класс ступенчатых функций п переменных. Понятие интеграла
ступенчатой функции, по существу, относится к элементарной
математике. Для произвольной функции п переменных определяется понятие
Zi-нормы функции. Функция / считается интегрируемой, если
существует последовательность ступенчатых функций (y^^N такая, что
Zi-норма разности ц>и — / стремится к нулю при v —> оо. В этом случае
интегралы функций у>„ будут сходиться к некоторому общему пределу,
который и является интегралом функции /. В зависимости от того,
как определено понятие L\-нормы, мы получаем ту или иную теорию
интегрирования. При некотором выборе L\-нормы мы приходим к
понятию функции, интегрируемой в смысле Римана. В качестве Zi-нормы
можно взять равномерную норму. Отсюда также получается
определенная теория интеграла, которая здесь, впрочем, не рассматривается.
Определение Zi-нормы, данное здесь, приводит к теории
интегрирования Лебега для функций многих переменных. Такой подход к изучению
теории интеграла для функций многих переменных впервые был
предложен американским математиком М; Стоуном. Материал изложен со
всеми необходимыми подробностями в форме, которая, как показывает
опыт преподавания в Новосибирском государственном университете,
доступна студентам-математикам второго года обучения.
Теория интеграла Лебега есть именно та концепция интеграла,
которая работает в современных исследованиях в области
математической физики. Традиционно теория интеграла Лебега читалась у
математиков на третьем курсе университета. Новое изложение позволило
передвинуть эту тему с третьего курса на второй.

От автора,
11
Теория интегральных формул К. Гаусса и М. В. Остроградского
излагается в книге на базе понятия внешней дифференциальной формы.
Такой подход в настоящее время считается общепринятым. В
Новосибирском университете эта тема читается с 1963-го года.
Дифференциальное и интегральное исчисления имеют большое
значение также и с точки зрения приложений математики. Решение
многих задач естествознания, в частности механики, физики, химии
и других наук, основано на методе математического моделирования
различных явлений и процессов. Эти дисциплины представляют собой
язык, на котором формулируется большинство законов физики и
механики. Не случайно один из основателей математического анализа
И. Ньютон является также основоположником современной физики.
Я благодарю всех, кто помог мне с подготовкой и выпуском
моего «Курса математического анализа». Благодарю директора
издательства Института математики СО РАН Владимира Леонидовича Бе-
реснева, сотрудников издательства, научных редакторов, прочитавших
отдельные главы второй части учебника: Игоря Александровича
Шведова, Владимира Кузьмича Ионина, Эрнеста Ошеровича Рапопорта
(глава 9), Александра Дмитриевича Медных (глава 10), Виктора
Алексеевича Александрова (глава 11), Сергея Андреевича Трескова
(глава 12), Нурлана Слямхановича Даирбекова (глава 13), Александра
Сергеевича Романова (глава 14), Сергея Константиновича Водопьянова
(глава 15). Благодарю дирекцию Института математики СО РАН за
поддержку в подготовке рукописи КМ А, руководство Новосибирского
государственного университета и механико-математического
факультета НГУ, где я работаю много лет. Я с глубокой благодарностью
вспоминаю Анатолия Ивановича Мальцева, Сергея Львовича Соболева,
Леонида Витальевича Канторовича и Алексея Андреевича Ляпунова,
которые ознакомились с моим первоначальным проектом содержания
курса математического анализа на механико-математическом
факультете НГУ и в целом одобрили его. Я благодарю Екатерину
Григорьевну Решетняк за ее неоценимую помощь при подготовке рукописи
этой книги.
Издание книги финансировалось Российским фондом
фундаментальных исследований (код проекта 99-01-14013).
Ю. Г. Решетняк

ПРЕДИСЛОВИЕ
Часть вторая «Курса математического анализа» (КМА)
предназначена прежде всего студентам второго курса университетов. Автор
надеется, что эта книга будет полезна и для преподавателей
математического анализа. Введение здесь новых для курса математического
анализа тем достигнуто без ущерба его традиционному содержанию.
Несколько слов о содержании книги 1 второй части «Курса
математического анализа».
В главе 9 «Компактные множества и топологические
пространства» читатель познакомится с теорией компактных множеств, а также
получит начальные представления о некотором абстрактном
математическом объекте — топологическом пространстве. Понятие
компактного множества возникло в связи с задачей отыскать наиболее
широкий класс множеств, для которых верны аналоги теорем Вейерштрасса
и Гейне о непрерывных функциях. Таким является класс компактных
множеств в метрических пространствах. В доказательствах
соответствующих теорем для функций на отрезке, как показывает
внимательный анализ, ключевую роль играет следующее свойство замкнутого
отрезка в множестве К: из любой последовательности его точек можно
извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой
принадлежит отрезку. Аналог этого свойства и принимается за исходный
пункт при определении компактных множеств в метрических
пространствах. Рассматриваются понятия компактного и предкомпактного
множеств, понятие е-сети и вполне ограниченного множества в
метрическом пространстве. Доказываются теоремы Лебега и Бореля об
открытом покрытии компактного множества. Устанавливаются основы
свойства непрерывных отображений компактных множеств. Метрические
пространства являются частным случаем топологических пространств.
Здесь показано, как распространить на общий случай топологических
пространств понятие непрерывности и компактности, которые ранее
изучались только для метрических пространств. Один из основных
принципов, которыми руководствовался автор, — использование
понятий и методов современной математики в тех случаях, когда это
позволяет упростить изложение.

Предисловие
13
Глава 10 «Основы гладкого анализа» является продолжением
главы 7 части первой КМА. Основная задача здесь — доказательство
теоремы о неявных функциях и ее приложений к исследованию
строения гладких (т. е. дифференцируемых достаточно большое число раз)
функций многих переменных. Теорема о неявных функциях выводится
из теоремы о достаточных условиях обратимости гладкого
отображения. Последнее доказывается с помощью принципа сжимающих
отображений для метрических пространств. Принцип сжимающих
отображений имеет многочисленные приложения в математике как в вопросах
теоретического, так и прикладного характера (большинство этих
приложений касается вопросов, выходящих за рамки данного курса). В
числе следствий теоремы о неявных функциях отметим теоремы о
функциональной зависимости и независимости системы функций, теорему
о строении множества решений системы уравнений. Приводится лемма
Морса о строении дважды дифференцируемой вещественной функции
в окрестности невырожденной критической точки, где обращаются
в нуль все первые производные. Рассматриваются вопросы,
касающиеся условных экстремумов. В качестве приложения дается
аналитическое решение задачи о собственных значениях симметрической
матрицы.
Глава 11 — «Теория рядов». Здесь рассматриваются простейшие
свойства суммы ряда, свойство ее ассоциативности. Каковы условия
сходимости данного ряда? На этот вопрос «отвечает» признак Коши —
Больцано, имеющий универсальный характер. Выделяется класс
абсолютно сходящихся рядов. В конкретных случаях непосредственное
применение признака Коши — Больцано связано с определенными
трудностями. Поэтому в математике было предложено большое число
признаков, которые позволяют эффективно устанавливать сходимость или
расходимость определенных классов рядов. К числу таких признаков
относятся признаки Коши, Даламбера, Раабе, Дирихле, Абеля,
Лейбница. Доказательства перечисленных признаков осуществляются с
помощью теорем сравнения и их следствий. Изучается операция
суммирования, т. е. определения суммы значений функции, заданной на
некотором бесконечном множестве, и устанавливаются различные свойства
этой операции. Среди разного вида рядов особое место занимают
кратные ряды. Здесь рассматриваются так называемые бесконечные
произведения и находятся признаки их сходимости или расходимости.
Приводится формула Валлиса для вычисления числа 7г. Интересным
объектом (имеющим приложения в теории ортогональных полиномов,
теории функций комплексной переменной и в теории приближений)
являются цепные дроби. Приводятся необходимые определения и
описываются различные обозначения, применяемые при изучении таких дробей.
Формулируется критерий Зейделя сходимости цепной дроби.

14
Курс математического анализа,, ч. II, кн. 1
Глава 12 — «Функциональные ряды и интегралы, зависящие от
параметра». Центральным здесь является понятие равномерной
сходимости. В книге оно определяется с помощью равномерной нормы функции.
Последняя есть некоторая величина, в определенном смысле
характеризующая «размеры функции». Понятие равномерной нормы функции
позволяет заменить так называемые «£-<5-рассуждения» алгебраическими
вычислениями, что упрощает исследование свойств равномерной
сходимости. Доказывается теорема об интегрировании и
дифференцировании функциональных рядов. Рассматриваются некоторые примеры.
К числу функций, представленных интегралами, зависящими от
параметра, относятся бета- и гамма-функции Эйлера; устанавливаются их
основные свойства. Рассматривается метод Лапласа асимптотической
оценки интеграла, зависящего от параметра, для больших значений
параметра. В частности, доказывается формула Стирлинга для п\ для
больших значений га. Изучаются степенные ряды и функции, предста-
вимые такими рядами.
Главы книги сопровождаются задачами. Основную часть из них
составляют те, которые включались в разное время в билеты на
экзаменах или рассматривались на практических занятиях на механико-
математическом факультете Новосибирского государственного
университета. При отборе задач автор старался подбирать такие, решение
которых способствовало бы лучшему пониманию теоретического
материала.
В книге принята следующая система нумерации. Главы делятся на
параграфы, имеющие порядковую нумерацию. В свою очередь, каждый
параграф разбивается на пункты (или разделы), которые имеют
двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая цифра —
порядковая. Формулируемые в книге утверждения (теоремы, леммы
и предложения) и формулы имеют — в пределах параграфа —
аналогичную двойную нумерацию. Рисунки имеют порядковую нумерацию
в пределах главы. В конце книги даны указатель обозначений и
предметный указатель.

Глава 9
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Г
• Понятия компактного и предкомпактного
множества • Компактные метрические пространства
• Теорема о декартовом произведении компактных
метрических пространств • Предкомпактность и
вполне ограниченность • Понятие е-сети • Теоремы
Лебега и Бореля об открытом покрытии компактного
множества • Теорема об образе компактного множества
при непрерывном отображении ♦ Теорема Вейер-
штрасса о наибольшем и наименьшем значениях
непрерывной функции на компактных множествах •
Понятие равномерно непрерывной функции • Теорема
Гейне о равномерной непрерывности непрерывных
отображений компактных множеств • Аксиомы
топологического пространства • Понятие топологии на
произвольном множестве • Окрестность точки в
топологическом пространстве • Понятие непрерывности для
отображений топологических пространств •
Теоремы о прообразе открытого (замкнутого) множества
относительно непрерывного отображения • Общие
свойства непрерывных отображений • Компактные
множества в произвольных топологических пространствах •
_1

16 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
§ 1. Обзор некоторых основных утверждений
главы 6 («Курс математического анализа»,
часть I, книга 2), а также глав 2 и 3
(часть I, книга 1)
Далее предполагается, что читатель знаком с материалом, излагаемым
в первой части курса. Данная глава по своему содержанию является
продолжением главы 6 (КМА, часть I, книга 2), посвященной исследованию
непрерывных отображений метрических пространств. Для удобства
читателя мы приводим здесь определения некоторых основных понятий,
введенных в главе 6, и формулировки основных результатов, относящихся к ним.
В частности, напомним определения понятий метрического пространства,
предела относительно оценочной функции и приведем формулировки
основных результатов теории предела.
1.1. Общие сведения о метрических пространствах
1.1.1. Пусть М есть произвольное множество. Функция р: (ж, у) G
G М х М ь-> р(х,у) G Ш называется метрикой М, если она
удовлетворяет следующим условиям — аксиомам метрики.
Ml. Для всякого х G М
р(х,х) = 0.
М2. Для любых х G М и у G М
р(х,у) = р(у,х). (1.2)
МЗ. Для любых xeM,y£MttzeM выполняется неравенство
р(х, z) < р(х, у) + р(у, z). (1.3)
М4. Если пара (ж, у), где х G М и у G М, такова, что р(х,у) = 0,
то х = у.
Метрическое пространство есть пара (М, />), где М — множество,
ар — метрика, определенная на М.
Элементы метрического пространства называются его точками.
Для произвольных точек х G М и у G М величина р(х,у) называется
расстоянием между точками х и у в пространстве (М,/>).
(l.i)

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений
17
Свойство метрики, выражаемое равенством (1.2), называется ее
симметричностью.
Неравенство (1.3) далее будем именовать неравенством
треугольника.
Аксиома М4 называется аксиомой точности или аксиомой
отделимости метрики.
Отметим некоторые простые свойства метрики,
непосредственно следующие из определения. Доказательства
формулируемых далее утверждений приводятся в главе 6.
I. Для любых двух точек ж, у метрического пространства (М,р)
выполняется неравенство р(х,у) > 0.
II. Для всякого конечного набора точек £о,£ъ •. . ,£п> я > 2,
метрического пространства (М,р) имеет место неравенство
п
р(х0,хп) < ^р(я*-1,ж*), (1.4)
называемое неравенством ломаной.
III. Пусть даны две произвольные пары х\, у\ и ж2, 2/2 точек
пространства (М, р). Тогда имеет место неравенство
|p(si,yi)-/>(&2,y2)| <р(«ь^) + р(Уьй)- (1-5)
Неравенство (1.5) в дальнейшем называется неравенством
четырехугольника.
IV. Для любых трех точек x,y,z пространства (М,/>) имеет место
неравенство
\р(х, У) - Р(х> z)\ < P(V>z)- (1-6)
Пусть даны метрические пространства (Mi,/>i) и (М2,/>2).
Отображение /: Mi —> М2 называется изометрией пространств (Mi,/>i)
и (М2,/)г)) если / есть отображение Mi на Мг и для любых х\ G Mi
и Ж2 G М2 имеет место равенство
P2(f(xi),f(x2)) = Pi(a?ba?2).
Если f: Mi —> М2 есть изометрия метрических пространств
(Mi,/?i) и (М2,/>2)> то / — взаимно однозначное отображение и
обратное отображение f"1 также является изометрией этих пространств.
Метрические пространства (Mi,/>i) и (М2,/>2) называются мзо-
метричнымщ если существует изометрия этих пространств.

18 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
В случае, когда Mi = М2 = М и р\ = />2 = />? т. е. данные
пространства совпадают, изометрия пространств (M1?/>i) и (М2,/>2)
называется также мзсшега/шчестсгш преобразованием или движением
пространства (М, />).
1.1.2. Пусть даны метрические пространства
(М1,/)1),(М2,/>2),...,(МП,/)П).
Пусть М есть прямое произведение множеств Mi, Мг,..., Мп:
М = Mi х М2 х • • • х Мп.
Это означает, что М есть совокупность всех конечных
последовательностей х = (#!, ж2> • - •) £п) таких, что £& G М& при каждом fc = 1,2,..., п.
Для ж = (#i,£2, • • ->хп) £ -М" точка Xk € М&, А; = 1,2,..., га,
называется к-й компонентой точки х. Для произвольных двух элементов
х = (ж!,ж2,... ,яп) и у = (г/i,2/2? • • • )Уп) множества М определим число
/>(ж,у), полагая
/>(*,у) =
Введенная таким образом функция р: М х М —► Е является
метрикой на множестве М = Mi х Мг х • • • х Мп, как
показано в главе 6.
Метрическое пространство (М,/>), построенное по пространствам
(Mk,pk)i к = 1,2,...,га, указанным способом, называется их
декартовым произведением и обозначается либо выражением
(M,/>) = (Mb/>i) х (М2,/>2) х .••х(Мя,/>та),
либо выражением
(М,/>)= X(MbPib).
1.1.3. Пусть дано метрическое пространство (М,/>). Для a G М и
вещественного числа г > О полагаем
Б(а,г) = {ж в М | />(я,а) < г},
В(а,г) = {х е М \ р(х,а) < г},
S(a,r) = {х е М \ р(х,а) = г}.

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 19
Множество J9(a, r) называется открытым шаром с центром а и
радиусом г. Множество J5(a,r) называется замкнутым шаром с
центром а и радиусом г, множество S(a,r) — сферой радиуса г и с
центром а.
Имеет место равенство
%r) = 5(a,r)U%r).
В дальнейшем, употребляя слово «шар», мы всегда будем иметь
в виду открытый шар, опуская слово «открытый» каждый раз, когда
это не может привести к недоразумению.
Часто встречается ситуация, когда рассматриваемое метрическое
пространство (М,р) является подмножеством некоторого другого
метрического пространства. В этом случае открытый шар, замкнутый
шар и сферу в пространстве М будем обозначать соответственно
символами
J3M(a,r), Вм(а,г), 5д/(а,г).
Как показано в главе б, справедливо следующее предложение
(нумерация утверждений главы 6, приведенная здесь, изменена в
соответствии с нумерацией данной главы).
■ Лемма 1.1. Пусть даны метрическое простра,нство (М, р) и точка,
a £ М. Тогда, для любых чисел г\ и т2 такях, что 0 < ri < г2, слра,вед-
ливо включение 5(a, ri) С 5(а, гг). ■
Из леммы 1.1 вытекает, что если 0 < г\ < г2, то имеют место
включения
5(a,n) С B{a,r2), 5(a,n) С B(a,r2).
Следующее предложение также доказано в главе б.
■ Лемма 1.2. Пусть да,ны точка, a Е М, число г > 0 и точка,
хо £ J5(a,r). Тогда, если О < т] < г — />(жо,а), то имеет место
включение В(жо,г]) С B(a,r). ш
1.1.4. Пусть дано произвольное метрическое пространство М. Часто
возникает необходимость рассмотрения функций, определенных не на
всем пространстве М, а на некотором его подмножестве А. В
частности, это оказывается необходимым при изучении понятий
непрерывности и предела. В связи с этим можно предположить, что понятия
непрерывности и предела должны рассматриваться в общей ситуации,
когда заданы метрическое пространство и некоторое его подмножество
и речь идет о функциях, определенных на этом подмножестве.

20 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Можно, однако, избежать возникающей при этом громоздкости
построений и рассматривать только те функции, областью определения
которых является все метрическое пространство. Для этой цели
служит понятие подпространства.
Пусть даны метрическое пространство М с метрикой р и
множество А. Для всякой пары ж, у элементов множества А определено число
р(ж, у). Тем самым на множестве Ах А определена функция рл = р|лхЛ-
Для этой функции, очевидным образом, выполняются все аксиомы
метрики, введенные ранее (см. п. 1.1.1 этого параграфа).
Метрическое пространство (А,/)д) называется подпространством
пространства М. Множество элементов этого пространства есть
множество А, и />л(ж, у) = />(я, у) для произвольных ж, у Е А.
В дальнейшем вместо рА будем писать просто />.
ш Лемма 1.3. Пусть даны метрическое пространство М и
множество А С М. Тогда для всякой точки х € А и любого числа г > 0 шары
Вд(ж,г), 5д(ж,г) и сфера 5а(ж,г) в метрическом пространстве (А,р)
допускают представление
ВА{х,г) = Ям(я,г)П А,
ВА(х,г) = Вм(х,г)Г)А,
SA(x,r) = SM(x,r)DA. ш
1.2. Векторные пространства. Норма в векторном
пространстве
1.2.1. Векторное пространство есть множество элементов
произвольной природы, в котором определены операция сложения элементов
и операция умножения на число. Детальное изучение свойств
векторных пространств является задачей курса алгебры, а именно, того ее
раздела, который называется линейной алгеброй. Векторные
пространства, рассматриваемые в математическом анализе, обычно возникают
как множества функций, удовлетворяющих определенным условиям.
Важный частный случай векторных пространств представляет
пространство Кп. Его элементами являются всевозможные конечные
последовательности х = (xi, £2, • • • > %п) из п элементов, где Xi, #2, • • • > £п
есть произвольные вещественные числа.
Числа х\, Х2У..., хп называются компонентами или координатами
элемента х = (ж1? #2,..., хп) множества Ж71.
Операции сложения элементов и умножения элемента на число в Кп
определяются следующим образом.

§ i. Обзор некоторых основных утверждений 21
Суммой элементов (a?i,£2> • • •,жп) и (уъУг, • • • >Уп) множества Rn
называется z = (^, ^2, • • • 5 <?п) € Л^п такое, что при всяком j = 1,2,..., га
выполняется равенство Zj = £j + yj.
Для х = (^1,^2,.. .,жп) G Rn и A G Е произведение Хх есть
У = (Уь 2/2, •.., Уп) € Кп такое, что yj = Azj для всякого j = 1,2,..., га.
Справедливы следующее общее предложение и его следствие,
доказанные в главе б.
■ Теорема 1.1. Пусть даны произвольное множество Е и векторное
пространство X. Обозначим символом &{Е, X) совокупность всех
отображений множества Е в пространство X. Предположим, что операции
сложения элементов и умножения на число определены в &{Е, X)
естественным образом, т. е. сумма двух функций /:Е-+Хид:Е-+Х
есть функция h: Е —► X, определенная условием: h(x) = f(x) + g(x)
для всех х 6 Е, а произведение А/ функции /: 1? —► X яа число А 6 Ш
есть функция g: iG£^ А/(ж) для любого х G Е. Множество &{Е, X)
с определенными так операциями сложения и умножения на число
представляет собой векторное пространство. ш
▼ Следствие. Пусть даны множество Е, векторное пространство X
яад полем К и некоторый непустой класс функций Л, имеющих
областью определения множество Е, а областью значений —
пространство X. Тогда если для любых функций f,g G j$ и любых чисел
А,/г Е К функция А/ + \ig принадлежит .Ж', то .Ж является
векторным пространством. ▼
Теорема 1.1 и ее следствие дают способ проверки того, что то или
иное множество функций является векторным пространством.
Если задан некоторый класс функций */#, определенных на
множестве Е и принимающих значения в векторном пространстве X, то для
того, чтобы проверить, что Ж есть векторное пространство,
достаточно убедиться, что для любых двух функций / и у, принадлежащих
множеству */#, и любых чисел А,// € R линейная комбинация А/ + \ig
также является элементом множества */#.
Векторное пространство Кп есть частный случай пространства
c^(J5, X), получаемый при некотором специальном выборе множества Е
и векторного пространства X.
Пусть 1П есть отрезок {к Е N | к < га} = {1,2,... , га} множества
всех натуральных чисел N. Всякая конечная последовательность
(zi,£2,.. .,яп) есть функция, область определения которой есть
отрезок 1П множества N.
Совокупность всех вещественных чисел R, как было отмечено
выше, представляет собой векторное пространство. Отсюда следует, что
пространство Еп совпадает с пространством c^(lIn,IR).

22 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
1.2.2. Пусть X есть произвольное векторное пространство. Функция
N: X —► Е называется нормощ если она удовлетворяет следующим трем
условиям — аксиомам нормы.
N.1. Для любых двух векторов я, у Е X выполняется неравенство
N(x + у)< N(x) + N(y).
N.2. Для всякого х Е X и любого А Е К имеет место равенство
N(Xx) = \X\N(x).
N.3. Если для вектора х Е X ямеет место равенство iV(x) = О,
то ж есть нулевой вектор пространства X.
Пусть N: X -► К есть норма. Тогда 7V(0) = 0 и N(a?) > 0 для
всякого х Е X.
Векторное пространство X называется нормированным, если в нем
задана некоторая норма. Формально, нормированное векторное
пространство есть пара (X, JV), где X есть векторное пространство, а N —
норма в этом пространстве.
Если N есть норма в нормированном векторном пространстве X,
то для iGX величина N(x) называется нормой вектора х.
Норма вектора х обозначается символом \x\pj или каким-либо
другим символом, аналогичным знаку модуля числа, например символами
||z||, III^IH, \x\ и им подобными.
Пусть X = К. В множестве Е определены операции сложения
и умножения элементов, и Е является векторным пространством.
Функция N(x) = |ж|, очевидно, удовлетворяет условиям N.l, N.2
и N.3 и, значит, является нормой в Е, как в векторном пространстве.
Множество Е, таким образом, представляет собой пример
нормированного векторного пространства над полем Е. Норма
произвольного числа х Е Е есть просто его абсолютная величина.
Нижеследующая лемма полезна при проверке того, что та или
иная функция на векторном пространстве является нормой.
■ Лемма 1А. Пусть X есть векторное пространство и F: X —► Е —
неотрицательная функция. Тогда если для любого вектора жЕХя
любого числа А € IK выполняется неравенство
F(\x) < \X\F(x), (1.7)
ТО
F(\x) = \X\F(x) (1.8)
для любых х Е X и А Е К.
Доказательство леммы приводится в главе б (лемма 3.1, §3). ■

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 23
Пусть X есть нормированное векторное пространство. Норму
произвольного вектора х Е X будем обозначать символом \х\. Задание
нормы в пространстве X позволяет ввести в нем некоторую метрику.
Именно, для произвольных точек х, у пространства X полагаем
р(х,у)= \х-у\. (1.9)
Функция пары точек пространства X, определенная равенством (1.9),
является метрикой. Будем говорить, что это есть метрика,
порожденная нормой пространства X.
1.2.3. Рассмотрим отдельно случай пространства Еп. Для
произвольного вектора х = (a?i, #2,..., хп) в пространстве Ета полагаем
\х\ = уж?
2 д. -2 i . . . i ~2 —
+ £о + Ья
4.5>?- (1Л°)
N *=i
Норма |ж| в пространстве Еп, определенная равенством (1.10),
называется евклидовой нормой в EV
Доказательство того, что функция х н-> |ж| есть норма в Еп,
приводится в §3 главы б.
Пусть х = (ж1,Ж2,...,яп) и 2/ = (У1)У2,---,Уп) есть векторы в
пространстве Еп. Величина
п
Zl2/l + Х2У2 + • • ' + Хпуп = ^ Xiyi
называется скалярным произведением векторов х и у и обозначается
символом (ж, у).
Справедливо неравенство, называемое неравенством Коти — Бу-
няковского:
К*,у}|<Ш. (1.И)
Доказательство неравенства (1.11) представлено в п. 8.3 главы 4.
Для всякого вектора х € Ета имеет место равенство (ж, а?) = \х\2.
Пусть k i/i т есть произвольные натуральные числа и п = fc + га.
Тогда декартово произведение К* х Ет изометрично пространству Еп.
Действительно, сопоставим произвольному элементу (y,z)
декартова произведения вектор х G Еп, получаемый следующим образом:
последовательно выпишем компоненты вектора у и затем припишем
к ним, в порядке следования, компоненты вектора z. Полученный в
результате вектор х € Еп обозначим символом j{x,y).

24 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Формально, если у = (з/ьу2, • • • ,Ук) G Е*, г = (z1,z2>...,zm) € Em,
то j(y,z) есть вектор х = (xi,£2,.. .,жп) G Еп такой, что ж,- = у,- для
г = 1,2,..., к и я,; = Zi-k при г = fc+l,fc + 2,...,fc + ra = п. Легко
проверяется, что отображение
у. (у,*) еК^хЕтих = j(y,z) € E*+m = En
является изометрическим. Отображение j, полученное таким
образом, будем называть канонической изометрией пространств Е* х Ет
и Ета = Е*+т.
В дальнейшем вместо j(y, z) будем писать просто (у, z),
отождествляя пару (у, г) с элементом j(y,z) пространства Еп.
Пусть Е2 есть двумерная евклидова плоскость и расстояние между
точками X, Y G Е2 определяется как длина отрезка, соединяющего эти
точки. (В случае X = У отрезок вырождается в точку.)
На плоскости зададим декартову ортогональную систему
координат. Пусть X Е Е2, х и у — координаты точки X в этой системе
координат. Тогда, как следует из известных результатов аналитической
геометрии, отображение d: X н+ (ж,у) является изометрией
плоскости Е2 и метрического пространства Е2.
1.2.4. Опишем некоторые подмножества пространства Ew. Пусть
А{ = (аг-, 6,-), где г = 1,2,..., п, — некоторые отрезки в множестве Е.
Совокупность всех точек х = (х1 ) пространства Еп, у
которых г-я координата принадлежит А,- при каждом г = 1,2,..., п, будем
обозначать символом
АгхА2х---хАп=ХАг (1.12)
и называть координатным прямоугольником пространства Еп.
Всякое множество А С Еп, допускающее представление вида (1.12), будем
называть также n-мерным прямоугольником.
Предположим, что n-мерный прямоугольник А является
произведением отрезков А\, А2,..., Ап. Если каждый из отрезков А, является
открытым, то А называется n-мерным интервалом. Если отрезки At
все замкнутые, то будем говорить, что А есть n-мерный сегмент.
Пусть даны точка а = (ai,a2,... ,ап) пространства Еп и число
г > 0. Полагаем
Q(a, г) = (ai - г, ai + г) х (а2 - г, а2 + г) х • • • х (ап - г, ап + г),
Q(a, г) = [сц - г, ai + г] х [а2 ~ г, а2 + г] х • • • х [ап - г,ап + г].

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 25
. В дальнейшем каждое из множеств Q{a,r) и Q(a,r) будем
называть кубом с центром а и длиной ребра 2г, причем куб Q(a,r) далее
именуется открытым, куб Q(a,r) — замкнутым.
Очевидно, Q(a,r) представляет множество пространства Еп,
состоящее из всех точек х = (ei,E2, ... ,яп), Для которых выполняются
неравенства \х{ — а,-| < г для всех г = 1,2,..., га.
Аналогичным образом, Q{a,r) есть совокупность всех точек
ж = (#i,£2,... ,жп) пространства Еп, для которых |ж,- — а,-| < г для
всех г = 1,2,... , п.
Очевидно, всегда имеет место включение Q(a,r) С Q(a,r). Если
П и г2 таковы, что 0 < г\ < r<i, то Q(a,r\) С Q(a,r<i).
Пусть а есть произвольная точка пространства Еп и г >_0 —
вещественное число. Тогда определены множества J5(a,r), и J5(a,r) —
открытый и замкнутый шары с центром в точке а и радиусом г.
Напомним, что согласно определению (см. п. 1.1.3) шар В(а,г)
есть множество всех точек х 6 Еп таких, что \х — а| < г, г, В (а, г) есть
совокупность всех точек х Е Еп, для которых выполняется неравенство
\х — а\ < г.
Для всякой точки a £ Еп для любого г > О имеют место включения
Я(а, г) С Q(a, г) С 5(а, гу/п), 5(а, г) С Q(a, r) С 5(а, г^). (1.13)
1.2.5. Пусть даны векторные пространства X и Y. Отображение
(р: X —> Y называется линейным, если оно удовлетворяет следующему
условию.
L. Для любых двух векторов x\,x<i G X я любых чисел А,/г G Е
имеет место равенство
ip(Xxi + цх2) = A(/?(zi) + /^(я2).
Совокупность всех линейных отображений векторного
пространства X в пространство Y будем обозначать символом j£?(X,Y). Если
i^:X-^Yh^:X-^Y есть линейные отображения, то для любых
чисел А,/х £ Е отображение Ау> + /х-0 также является линейным. На
основании следствия теоремы 1.1 это позволяет заключить, что
множество отображений J£?(X, Y) является векторным пространством.
Рассмотрим специально случай, когда X и Y есть пространства Еп
и Ет соответственно. Пусть задана матрица
А =
/«n> ai2> • • • «in \
I «2 1) «2 2? • • • «2п I
\ami am2 ... Q"mn'
(1.14)

26 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
из m строк и п столбцов, элементы которой а|>?- есть вещественные
числа.
Пусть х = (zi, #2, • • • ? #п) есть произвольный вектор в К71.
Предположим, что у есть вектор в Кт, координаты которого выражаются
через координаты вектора х равенствами
2/1 = оцХ1 + а12я2 + ... + а1яята,
2/2 = a2ixi + а22Я2 + ... + a2nXn,
Ут = «ml^l + «m2^2 + ••• + amn£n.
В этом случае мы будем говорить, что вектор у получен из вектора х
умножением слева на матрицу А, и писать у = Ах.
Отображение х Е Шп ■-* Ая Е Mm является линейным, и для всякого
линейного отображения у?: К71 —► Ет существует матрица А из m строк
и п столбцов такая, что для любого вектора х Е Еп имеет место
равенство (р(х) = Ах.
Матрица А определяется по линейному отображению <р
единственным образом и называется матрицей отображения (р.
Предположим, что векторные пространства X и Y являются
нормированными. Для упрощения записи норму вектора х Е X будем
обозначать символом \х\ и, аналогично, норма произвольного вектора у Е Y
обозначается здесь символом \у\.
Пусть дано линейное отображение <р: X —► Y. Точная верхняя
граница величины \ч>(х)\ на совокупности всех х Е X таких, что \х\ < 1,
обозначается символом \\<р\\ и называется нормой линейного
отображения ip относительно норм, заданных в пространствах X и Y. В
соответствии с этим определением имеем равенство
IMI = sup \<p(x)\Y.
х€Х, |х|х<1
Отображение (р Е -if (X, Y) называется ограниченным, если его
норма конечна. Совокупность всех ограниченных линейных отображений
пространства X в пространство Y обозначается символом ^J£?(X,Y).
Для всякого линейного отображения ц> пространства Кп в
пространство Rm его норма \\(р\\ конечна, так что любое линейное отображение
(р: Еп —► Ет является ограниченным.
Из определения нормы линейного отображения непосредственно
вытекают следующие утверждения.
1. Если ip Е &Л?(Х, Y), то для всякого вектора х Е X выполняется
неравенство
\Ф)\у < IMINx-
(1.15)

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 27
2. Множество «S^JSf (X, Y) всех ограниченных линейных
отображений нормированного векторного пространства X в нормированное
векторное пространство Y является векторным пространством, и \\(р\\
есть норма в этом пространстве.
3. Пусть даны векторные пространства ХДяТ,и пусть <р: X —> Y,
ф\ Y —► Т есть ограличенные линейные отображения. Отображение
ф о ip линейно, и справедливо неравенство
1№°И1<1МНМ-
Если А есть произвольная m x n-матрица, то норма определяемого
ею линейного отображения х Е Кп ь-> Ах Е Кт называется
операторной нормой матрицы А.
Нормы Ni и N2 в векторном пространстве X называются
эквивалентными, если существует число L такое, что 0 < L < оо,
и для всякого вектора х Е X выполняются неравенства
N2(x) < LN^x), N^x) < LN2(x).
Пусть {xv)v£N — произвольная последовательность точек
пространства X.
Говорят, что эта последовательность сходится относительно
нормы N к вектору а Е X, если N(xu — a) —> 0 при и —► оо.
Если нормы iVi и N2 эквивалентны, то, как очевидно,
последовательность, сходящаяся относительно одной из данных норм, будет
сходящейся, и притом к тому же пределу, также и относительно
другой нормы, так что понятия предела, определяемые с помощью
двух эквивалентных норм, совпадают.
Справедливо следующее утверждение (см. теорему 6.6 главы 6).
■ Предложение 1.1. Если векторное пространство конечномерно,
то любые две нормы в этом пространстве эквивалентны. ш
1.3. ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ. СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИЙ
И ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
1.3.1. В главе 6 была описана некоторая общая концепция предела.
Здесь мы приведем все необходимые определения и перечень основных
результатов, относящихся к ней.
Пусть даны произвольные функции /: М-^Еи А: М —> К.
Определим, что есть предел f(x), когда Х(х) стремится к некоторому
предельному значению р. В этой связи будем говорить, что А есть
оценочная функция с предельным значением р. Общий случай сводится
к случаю, когда у = 0.

28 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Пусть М — произвольное множество и А: М —> Е — оценочная
функция, определенная на М. Предположим, что А удовлетворяет
следующему условию:
Е. Точная нижняя граница функции А на множестве М равна нулю.
Пусть дана функция /: М —► Е.
Число L Е Е будем называть пределом функции f(x) при Х(х) —► О,
если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > О, по нему
найдется S > О такое, что для всякого х Е М, для которого \(х) < й,
выполняется неравенство
\f(x)-L\<e.-
Будем говорить, что L = оо (L = —оо) есть предел f(x) при
\(х) —► 0, если для любого числа /Г Е Е можно указать число 6 > О
такое, что для всякого х Е М, удовлетворяющего условию Х(х) < й,
выполняется неравенство f(x) > К (соответственно неравенство
f(x) <K).
Если число L Е Е есть предел функции /(ж) при А(ж) —* 0, то будем
писать
L= lim f(x). (4.1)
А(х) — 0,xGM
В этом случае будем также говорить, что f(x) стремится к L при А(ж),
стремящемся к нулю, сокращенно записывая это так: f(x) —► Z при
Х(х) —► 0. Когда недоразумение невозможно, выражение ж Е М в
обозначении для предела опускается.
Пусть даны число р Е Е и функция А: М —► Е. Будем говорить,
что р есть предельное значение функции А, если inf \Х(х) — р\ = 0.
Будем говорить, что оо (—оо) есть предельное значение оценочной
функции А, если sup Х(х) = оо (соответственно inf Х(х) = —оо).
_ хем х^м
Пусть р Е Е есть предельное значение функции Х{х). Введем
вспомогательную функцию //(ж), полагая ц(х) = |А(ж) - р| в случае,
когда р конечно, /х(ж) = ехр{—Х(х)} в случае р = оо, и, наконец, пусть
//(ж) = ехр{А(ж)} в случае, когда р = —оо.
Во всех случаях имеем 0 = inf y>(x).
_ х€М
Число L E E называется пределом f(x) при А(ж) —> р, если
выполняется равенство
м(*)->о
В этом случае мы будем писать
L = lim f(x).
А(х)—+р

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 29
Имеет место аналог теоремы об эквивалентности понятий
предела в смысле Коти и в смысле Гейне (см. главу 2).
Пусть дано произвольное множество М. Пусть. А: М —► К есть
оценочная функция на этом множестве и р G К — ее предельное
значение.
■ Теорема 1.2. Для того чтобы число L Е К было пределом
функции f(x) при Х(х) —► р, необходимо и достаточно, чтобы для всякой
последовательности (xn)n^k точек множества, М такой, что
lim Х(хп) = р,
выполнялось равенство
L = lim f(xn). m
В главе б теорема доказывается для случая, когда р = 0. Общий
случай сводится к этому в силу определений, приведенных выше.
1.3.2. Приведем некоторые общие свойства предела.
Зададим произвольно множество М, оценочную функцию А на
множестве М с предельным значением р. Введем два типа
подмножеств М, связанных с данной оценочной функцией А.
Множество Е является протяэюенным относительно оценочной
функции А с предельным значением р, если ограничение Х\е функции А
на Е является оценочной функцией на этом множестве с предельным
значением р.
Множество G С М будем называть базисным относительно
оценочной функции А и ее предельного значенияр, если оно удовлетворяет
условию: еслир конечно, то любая точка х Е М такая, что \\(х)—р\ < 6,
принадлежит множеству G.
Если р = оо, то будем говорить, что множество G является
базисным относительно оценочной функции X и ее предельного значения
р = оо, если существует К < оо такое, что любая точка х Е М, для
которой Х(х) > К, принадлежит G.
Наконец, если р = —оо, то множество G называется базисным
относительно оценочной функции X и ее предельного значения р = —оо,
если существует К > —оо такое, что всякая точка х Е М, для которой
выполняется неравенство Х(х) < К, принадлежит множеству G.
Всякое множество G С М, базисное относительно оценочной
функции А и ее предельного значения р, является также и протяэюенным
относительно А и предельного значения р функции А.
4 Предложение 1.2. Множество Е С М является протяженным
относительно оценочной функции А: М -+Ш с предельным значением р
в том и только в том случае, если существует последовательность
(^n)nGN точек множества, Е такая, что Х(хп) —► р при п —► оо. ♦

30 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
■ Теорема 1.3 (общая теорема о предельном переходе в
неравенстве). Пусть функции /:М-+Шид:М—> Е таковы, что каждая
из них имеет предел при Х(х) —► р. Предположим, что существует
множество Е С М, протяженное относительно оценочной функции А
с предельным значением р и такое, что при всяком х Е Е выполняется
неравенство f{x) < g(x). Тогда справедливо также и неравенство
К = lim fix) < L = lim g(x).
Доказательство теоремы в главе б дано для случая р = 0. Общий
случай, однако, очевидным образом сводится к этому. ■
▼ Следствие. Функция f: М —► Е может иметь не более одного
предела относительно оценочной функции.
Доказательство аналогично случаю, рассмотренному в главе 2. ▼
■ Лемма 1.5. Пусть L Е Е есть предел функции /: М —► Е яря
А(я) —► р, причем L > — оо. Тогда для всякого К < L множество
тех х Е М, для которых f(x) > К, является базисным относительно
оценочной функции А я ее предельного значения р.
Точно так же, если L < оо, то для всякого К > L множество тех
х Е М, для которых f(x) < К, является базисным относительно
оценочной функции X и ее предельного значения р.
Доказательство этой леммы в главе 6 рассматривается только для
случая р = 0. Общий случай легко сводится к этому. ■
■ Теорема 1.4 (общая теорема о зажатой переменной). Пусть дана
функция f: М -+ Е. Предположим, что существуют множество R С М,
базисное относительно оценочной функции X и ее предельного
значения р, и функции u: R —► Е я v: i2 —► Е такяе, что яря каждом х € R
f(x) лежит между и(х) и v(x). Предположим, что К Е Е является
пределом каждой из функций и и v при Х(х) —► р:
if = lim ix(z) = lim v(z).
Л(ж)—►р^бЯ А(ж)--+р, a?G#
Тогда справедливо соотношение
К= lim /(*).
А(ж)->р
Есля существуют базисное множество R С М и функция u: R —► Е
такие, что и(х) < f(x) для всех х Е i2 я
lim гх(ж) = оо,
А(ж)--+р, а?€Я

§ i. Обзор некоторых основных утверждений 31
го также и
lim f(x) = оо.
Если существуют базисное множество R С М и функция u: R —► Е
такие, что и(х) > f(x) для всех х е R и
lim ix(z) = —оо,
А(а?)—►?>, а?€Я
то также и
lim /(ж) = —оо. ■
А(ж) —*р, а?€Л/
Т Следствие 1. Предположим, что для функции /: М —► Е
существуют множество G, базисное относительно оценочной функции
А: М —> Е я ее предельного значения р, и функция a: G —► Е такие,
что для всех х € G выполняются неравенства
О < /(ж) < а(&).
Тогда если а(х) —> 0 лря А(я) —► р, то также я /(ж) —► 0 яря А(я) —► р. ▼
Т Следствие 2 (свойство локальности предела). Пусть дана
функция /: М —► Е. Предположим, что существуют множество R С М,
базисное относительно оценочной функции А: М —> Ее предельным
значением р, и функция g: R —► Е такие, что f(x) = р(я) для всех
х* G Л. Тогда если существует предел
L = lim <7(я),
А(х)—»-р, жбЛ
ТО
i = Urn /(ж). ▼
А(ж)—»-р, х£М
1.3.3. Справедлива следующая общая теорема об алгебраических
операциях с пределами.
■ Теорема 1.5 (теорема об алгебраических операциях над
пределами). Пусть даны функции /,-: М —> Е, i = 1,2,..., m. Предположим,
что при каждом i = 1,2,..., m существует конечный предел
lim fi(x) = Li.

32 Гл. 9. Компактные множества, и топологические простршства,
Тогда, сумма, и произведение данных функций имеют конечные пределы
при Х(х) —> р. При этом
lim [h(x) + f2(x) + ■ • • + /m(s)] = U + L2 + • • • + ZTO,
A(a:)->p
lim [fi(x)f2(x)...fm(x)] = LiL2...Lm.
\(x)->p
Если функция f: M —► К имеет предел
L= lim /(x)#0
A(z)-»p
я /(ж) 7^ 0 для всех ж £ М, то
-г = lim
£ a(*)-p/(&)'
1.3.4. Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика.
Предположим, что задано множество Г, на котором введена оценочная
функция сг, имеющая предельное значение р.
Будем говорить, что точка a E M является пределом отображения
tp: Т —► М при сг(/), стремящемся к р, если
Um p[<p(t),a] = 0.
Если точка a G М удовлетворяет этому условию, то будем писать
а = lim (p(t)
<r(t)-+p
и говорить, что <p(t) стремится к а при <т(/), стремящемся к нулю, в
обозначениях (p(t) —► а при <r(tf) —► р.
Покажем, что если отображение (р: Т -+ М имеет предел при
a(t) —► р, то предел этот единственный. Действительно,
пусть
а = lim y>(<), Ь = lim у>(<).
При каждом f GT имеем
/)(а,6)</)[а,^)] + ^),Ь].

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 33
Каждое из слагаемых справа стремится к нулю при a(t) —► 0. На
основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. выше
теорему 1.3) отсюда получаем
рМ) < 0 + 0 = 0.
Так как, с другой стороны, /?(а,Ь) > 0, то отсюда заключаем, что
/>(а,Ь) = 0 и, значит, а = Ь.
Единственность предела при <j(t) —> 0 установлена.
Аналогично устанавливается единственность предела в случае,
когда речь идет о пределе при a(t) —> оо.
В том частном случае, когда Г = 14, отображение ср: Т —► М есть
просто последовательность точек метрического пространства М.
Точка а метрического пространства М с метрикой р называется
пределом последовательности (хп)п€^ точек пространства М в том и
только в том случае, если р(хп,а) —> 0 при п —► оо.
Последовательность (z^^N точек пространства (М,/>) называется
сходящейся, если она имеет предел, т. е. существует точка а £ М такая,
что р(хп,а) —> 0 при п —► оо.
1.3.5. Пусть дано метрическое пространство Мир — его метрика.
Для произвольной точки a G М положим ра(%) = p(xi<l). Определенная
так функция ра является оценочной функцией с предельным значением
р = 0. Действительно, для всякого х € М имеем р(х,р) > 0 и />(р,р) = 0.
Функция А(я) = />(я,р), как следует отсюда, удовлетворяет условию Е
из п. 1.3.1.
Назовем ра оценочной функцией сходимости к точке а. Пусть
даны метрические пространства М с метрикой р и N с метрикой а.
Будем говорить, что отображение f: М —> N непрерывно в точке
а £ М, если
/(о)= lim /(*)
/>(а?,а)—»0
или, что равносильно, если
0= lim <r[f(x),f(a)}.
р(ж,а)—►()
Перефразируя общее определение предела применительно к
данному частному случаю, получим, что отображение f:M—>N
непрерывно в точке а Е М в том и только в том случае, если для всякого
е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что для любого х G М, для которого
p(t,a) < й, выполняется неравенство
/>[/(z),/(a)]<£.

34 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Отображение f:M—>N называется непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке х метрического пространства М.
Точка а метрического пространства М с метрикой р называется
предельной точкой пространства, если для всякого числа 6 > О
существует точка х £ М такая, что 0 < р(х,р) < 6.
Данное определение, как очевидно, равносильно следующему:
точка а есть предельная точка метрического пространства (М, р), если
каково бы ни было 6 > 0, шар В(а, 6) в этом пространстве содержит
точки, отличные от точки а.
Отсюда, в частности, следует, что если a Е М не является
предельной точкой пространства (М, р), то существует 6 > 0 такое,
что шар В(а,6) не содержит точек пространства, отличных от а,
т. е. имеет место равенство
В(а,6) = {а}.
Если а Е М есть предельная точка пространства М, то функция ра
является оценочной функцией с предельным значением 0 на множестве
М \ {а}, получаемом из М исключением точки а. При этом
Ра(х) > 0 (неравенство строгое!) для всех х G М \ {а}.
Пусть а — предельная точка метрического пространства (М,/>).
Предположим, что заданы метрическое пространство (JV, а) и
отображение f:M-*N.
Точка b G N называется пределом отображения f при ж,
стремящемся к а, если Ь есть предел ограничения отображения / на множестве
М \ {а} при />а(а0> стремящемся к нулю. В этом случае будем писать
Ь = lim f(x).
х—+а
ш Теорема 1.6. Пусть даны метрические пространства М с
метрикой р и N с метрикой а и отображение /: М —> N. Предположим, что
точка р Е М является предельной точкой пространства М. Для того
чтобы отображение f было непрерывно в точке р, необходимо и
достаточно, чтобы величина f{p) — значение f в точке р — было пределом
функции f(x) при х, стремящемся к р по множеству М \ {р}. ■
1.3.6. Имеют место теоремы о замене переменной под знаком предела,
формулировки которых приводятся ниже. (Доказательства этих теорем
даны в главе б.)
■ Теорема 1.7. Пусть даны метрические пространства (М,/>),
(N,(t) и (R,t). Если отображение f: М —► N непрерывно в точке
a G М, а отображение д: N —> R непрерывно в точке Ь = /(а), то
суперпозиция {д о /): х G М н+ g[f(%)] есть отображение, непрерывное
в точке а. ■

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений
35
■ Теорема 1.8. Пусть даны метрические пространства (М, />),
(N,a) и (Я, г) и отображения f:M-+Nng:N-+R. Предположим,
что а Е М есть предельная точка пространства М и функция f имеет
предел
lim f(x) = beN.
Тогда если отображение g; N —> R непрерывно в точке Ь, то
суперпозиция g о /: х € М *-> g[f(%)] имеет предел при х —► а. При этом имеет
место равенство
]im g[f(x)] = g(b). m
X—KL
ш Теорема 1.9. Пусть даны метрические пространства (М, />),
(N,a) и (Rjt) и отображения f: М —► N и g: N —► R. Предположим,
что a € М есть предельная точка пространства М и функция f имеет
предел
lim f(x) = beN,
x—+a
причем f(x) ф Ьприх ф а. Тогда b есть предельная точка метрического
пространства (JV, а). Если отображение д: N —> R имеет предел
lim а(у),
у—►&
то суперпозиция jo/:xGMh ff[/(#)] также ямеет предел при х —> а.
При этом имеет место равенство
umg[f(x)] = limo(y). ■
1.3.7. Пусть М есть метрическое пространство и /> — метрика этого
пространства. Последовательность (хп)п^ точек пространства М
называется фундаментальной, если выполнено следующее условие: для
всякого е > О существует номер n Е N такой, что для любых п\ > п
и щ > п выполняется неравенство
Как показано в главе б, всякая сходящаяся последовательность
точек метрического пространства является фундаментальной.
Метрическое пространство (М,/>) называется полным, если, всякая
фундаментальная последовательность точек этого пространства имеет
предел. Иначе говоря, метрическое пространство (М,/>) называется

36 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
полным, если в нем верен признак Коши — Больцано существования
предела для последовательностей (глава 2).
Отметим один важный частный случай. Пусть X есть
нормированное векторное пространство и х ь-> ||я|| есть норма в этом
пространстве. Полагая р(х, у) = \\х — у\\ для произвольных я, у G X, мы получим
некоторую метрику в X. Будем называть эту метрику естественной
метрикой нормированного пространства X.
Нормированное векторное пространство называется полным, если
(X,/)) есть полное метрическое пространство. Полное нормированное
векторное пространство называется также банаховым пространством
по имени польского математика Стефана Банаха — основателя теории
банаховых пространств. Понятие банахова пространства принадлежит
к числу фундаментальных концепций современной математики и имеет
многочисленные применения.
■ Теорема 1.10. Пусть X и Y есть банаховы простршства,. Пусть
для линейных отобра,жений ср: X —> Y норма, определена, ра,венством
\\(р\\ = sup |<р(я)|." Функция (р н-* ]\(р\\ есть норма, на, множестве
1И<1
<S^j£?(X,Y) всех огра,ниченных линейных отобра,жений простра,нст-
ва, X в простра,нство Y, т. е. отобра,жений, для которых \\ip\\ < оо,
и <^.£?(Х, Y) есть банахово простра,нство.
Доказательство. То, что множество «5?-£?(Х, Y) всех
ограниченных линейных отображений пространства X в Y есть векторное
пространство, доказано ранее (см. п. 1.2.5). Там же показано, что N: ц> ь->
н-> \\(р\\ есть норма на этом пространстве. Требуется, таким
образом, установить, что это пространство полно, т. е. всякая
фундаментальная последовательность линейных отображений пространства
&J?(X, Y) является сходящейся.
Пусть (<Pv)U£N есть произвольная фундаментальная
последовательность элементов пространства ^J^f(X,Y). По определению, это
означает, что величина ||у>„ — ipp\\ стремится к нулю при v —► оо
и при \i —► оо. Требуется доказать, что последовательность (^„)„gN
является сходящейся в пространстве «^JS?(X,Y), т. е. что существует
ip Е ^J£?(X, Y) такое, что \\<р„ - <р\\ -> 0 при v —► оо.
Возьмем произвольный вектор х Е X. Для любых номеров /х и v
имеем
О < \\<Р»(х) - ¥v(&)|| = ПК - ¥>Л(*)11 < 11^ - wlllNI-
При г/ —» оо и р, —► оо величина ||у>„ — ^Ц стремится к нулю. Отсюда
в силу теоремы о зажатой переменной следует, что ||^i/(^) — ^/а(ж)11

§ J. Обзор некоторых основных утверждений 37
стремится к нулю при и —► оо и /i —» оо. Так как пространство Y
является полным, отсюда вытекает, что существует предел
lim (pu{x) € Y.
Обозначим этот предел через ip(x).
Так как х Е X было взято произвольно, то, таким образом,
определено некоторое отображение (р: X —► Y.
Покажем, что это отображение линейно и \\<pv — <р\\ —► 0 при и -+ оо.
Зададим произвольно числа а и (3 и векторы ж, у € X.
В силу линейности отображений (ри при всяком i/GN имеем
Rv = ^„(az + /Зу) - а<р„(ж) - /3<р„(у) = 0.
Положим Д = у?(о:ж + /Зу) — а:(/?(ж) — /3(р(у). При всяком г/ имеем
о<цдц = р*-ДЦ<
< ||^(ая; + /Зу) - ^(ая; + /Зу)|| + \а\\\<ру(х) - р(*)|| + \0\\\<ру(у) - р(у)||.
Каждое слагаемое справа стремится к нулю при и —► оо, откуда
вытекает, что i2 = 0. Так как векторы ж, у G X и числа о: и /3 были взяты
произвольно, то тем самым линейность отображения (р установлена.
Осталось доказать, что норма линейного отображения (р конечна
и ||у>„ — (р\\ —► 0 при v —► оо. Зададим произвольно е > 0 и найдем по
нему число К < оо такое, что если и>Ккц>К, то
\\Ч>*-Ч>Л <£i = 2'
Фиксируем произвольно значение и > К. Для всякого я £ X и
любого /г > К имеет место неравенство
IM*) - М*)Н < 11^ - MINI < §11*11-
Переходя в неравенстве
1Ы*) - ¥>„(х)|| < |||*||
к пределу при \х —► оо, получим, что для любого i G X выполняется
неравенство
1Ы*)-?(*)||<!|М|. (Lie)

38 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Отображение у>„—у>, следовательно, принадлежит классу ^j£?(X,Y)
и, значит, также и
<р = tpv - (<р„ - <р) € &Sf(X, Y).
В силу произвольности х G X из неравенства (1.16) вытекает, что
\\<Pv "HI < 2 <£
Единственное условие, которому при этом должен удовлетворять
номер и, содержится в неравенстве и > К. В силу произвольности е > О
тем самым установлено, что ||<р„ — <р\\ —> 0 при и —> со.
Таким образом, для всякой фундаментальной последовательности
(¥>i/)i/€N отображений, принадлежащих множеству ,^^f(X,Y),
существует (р G «^-£?(X,Y) такое, что ||у>„ - ip\\ —► 0 при ^ —> оо. Согласно
определению это и означает, что «^LS?(X, Y) есть полное нормированное
векторное пространство. Теорема доказана. ■
Замечание 1. При доказательстве теоремы, как можно
видеть, использовалась только полнота пространства Y. Полнота
пространства X явно не использовалась. Поэтому теорема остается верной,
если в ее формулировке опустить условие полноты пространства X.
Замечание 2. Теорема может быть получена так же, как
следствие теоремы, доказываемой в главе 12.
■ Теорема 1.11. Пусть М есть полное метрическое пространство,
Т — произвольное множество с оценочной функцией А, имеющей
предельное значение р. Для того чтобы отображение <р: Т —► М имело
предел при X(t) —► р, необходимо и достаточно, чтобы_для всякого е > О
существовала окрестность U числа р в множестве К такая, что для
любых t1 ,tn G Т, для которых A(tf') G U и \(t") G U, выполняется
неравенство p[<p(tf),<p(t")] < е. ш
Приведем результаты, касающиеся важного частного случая
функций со значениями в пространстве Rw. (Доказательства этих
результатов приводятся в главе 6.)
Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что задано
отображение /: М —> Еп. Тогда для всякого х G М определен вектор
f(x) в пространстве Кп.
Пусть fi(x), i = 1,2,..., п, есть г-я компонента вектора /(ж). Тем
самым на множестве М определена система из п вещественных
функций fi(x). Будем называть их компонентами вектор-функции f(x).
ш Теорема 1.12. Предположим, что на множестве М задана
оценочная функция \(х) с предельным значением р. Пусть дано отображение
f: М —> R71 и вещественные функции /,-, г = 1,2,..., п, есть компоненты
вектор-функции /. Тогда для того, чтобы вектор h = (ЛьЛг> • • • >ЛП)
был пределом f(x) при Х(х) —> р, необходимо и достаточно, чтобы при
каждом г = 1,2,..., п выполнялось равенство hi = lim /,-(я). ■

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 39
Т Следствие. Предположим, что М есть метрическое пространство
и a — произвольная точка. М. Тогда, отображение f: М —► Кп является
непрерывным в точке а в том и только в том случае, если каждая из
его компонент /i, /2,..., fn непрерывна в этой точке. ▼
■ Теорема 1.13. Пусть даны метрические пространства (Mi,pi),
i = 1,2,...,га, и (М,р) есть их декартово произведение. Тогда если
каждое из пространств М,-, г = 1,2,..., гс, является полным, то
М = М1 х М2 х • • • х Мп
есть полное метрическое пространство.
Доказательство. Требуется доказать, что всякая
фундаментальная последовательность точек пространства (М, р) имеет предел. Пусть
(#i/)i/€N есть произвольная фундаментальная последовательность точек
пространства (М,р).
Пусть xv = (ж1,1/,Ж2,ю-">зп,„), где XkyV € М* при каждом
к = 1,2,..., гс. Таким образом, для каждого fc = 1,2,..., гс определена
некоторая последовательность (xkiV)v&^ точек пространства М*.
Докажем, что каждая из этих последовательностей является
фундаментальной. Зададим произвольное е > 0. Так как, по условию,
последовательность (£i/)i,eN фундаментальная, то найдется номер v такой,
что для любых v\ > v и U2 > v выполняется неравенство p{xVx, xV2) < е.
При каждом к = 1,2,..., гс имеем
п
Отсюда видно, что при всяком к для любых ^i > Р и ^ > i/
выполняется неравенство р*(я*,1/1>я*||/2) < £-
Поскольку е > 0 было взято произвольно, то тем самым
установлено, что последовательность (£jfe,„)„eN точек пространства Мк
является фундаментальной.
Так как по условию теоремы каждое из пространств Мк является
полным, то мы получаем, что при всяком к = 1,2,...,гс существует
точка а к £ Мк такая, что
lim хк,„ = ак.
I/—ЮО
Пусть а — (а\,а,2,... ,ап). Имеем
п
J^[p,-(a?t>,ot-)]2.
»=1
p[xUl, xV2) —
N
/o(xv,a) =
1

40 Гл. 9. Компа.ктные множества, и топологические простршства,
Каждое из слагаемых под знаком квадратного корня стремится к нулю
при v —► оо. Отсюда следует, что p(xu,a) —► 0 при v —► оо и, значит,
a = lim ж„.
I/—КХ>
Фундаментальная последовательность (z,/)i,eN в пространстве М
была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что всякая
фундаментальная последовательность пространства
(М,/>) = (MuPl) х (М2,/>2) х ...х (МП9рп)
является сходящейся. Тем самым полнота пространства (М, р)
установлена. Теорема доказана. ■
1,4, Открытые и замкнутые множества в метрических
пространствах
1.4.1. Приведем сначала некоторые общие сведения относительно
открытых и замкнутых множеств в произвольном метрическом
пространстве. Их доказательства используют некоторое общее утверждение
относительно операций над множествами, которое потребуется нам также
и в теории интеграла.
Пусть дано произвольное множество М, Для множества А С М
множество М \А называется дополнением множества А в М.
Дополнение множества А в М обозначается символом См А. Когда
недоразумение невозможно, индекс М в этой записи опускается.
■ Лемма 1.6 (о тождествах Моргана). Пусть дано множество М.
Для всякого множества, А С М справедливо равенство
С(СА) = А. (1.17)
Пусть (At)tqT есть произвольное семейство подмножеств М. Тогда,
имеют место ра.венства
с(ил*) = ПСА*' (1Л8)
мет ' t£T
с(ГИ*) = исл" ■ (1.19)
Замечание. Равенства (1.17), (1.18) и (1.19) называются
тождествами Моргана.
ш Лемма 1.7. Пусть да.ны произвольные множества, Р и Q и
отображение f: Р —> Q. Тогда, для всякого множества. Е С Q имеет место
равенство f-\Q \E) = P\ Г\Е). ш

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 41
Приведем определения и перечислим без доказательства основные
свойства некоторых специальных подмножеств произвольных
метрических пространств.
Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика. Пусть
дано множество G С М. Точка х € М называется внутренней точкой
множества G, если существует е > 0 такое, что шар В(х,е)
содержится в G.
Множество U С М называется открытым множеством
метрического пространства (М,/>), если все его точки внутренние. Из
определения следует, что М есть открытое множество пространства (М,/>).
По формальным соображениям пустое множество также удобно
считать открытым множеством пространства (М, р).
Всякий шар В(а,г) в метрическом пространстве (М,р), как
показано в главе б, есть открытое множество данного пространства. (Это
следует из леммы 1.2 (см. выше).)
Множество А С М называется замкнутым множеством
метрического пространства (М,/?), если его дополнение Сд/А является
открытым множеством пространства (М,р).
Из определения следует, что множество М всех точек метрического
пространства (М,/>) является замкнутым множеством этого
пространства, так как множество СМ пусто и, значит, является открытым
множеством.
Пустое множество 0 является замкнутым множеством
пространства (М,р), поскольку С0 = М есть открытое множество
пространства (М,/>).
1.4.2. Следующая теорема, доказательство которой приводится в
главе 6, объясняет связь понятия замкнутого множества с понятием
предела последовательности.
■ Теорема 1.14. (критерий замкнутости множества в метрическом
пространстве). Пусть дано метрическое пространство (М,/>). Для того
чтобы множество А было замкнутым в этом пространстве, необходимо
и достаточно, чтобы оно имело следующее свойство: для всякой
сходящейся последовательности точек пространства (М, />), все члены
которой являются элементами множества А, предел этой
последовательности также принадлежит множеству А. ш
Все дальнейшие рассуждения относятся именно к произвольно
заданному метрическому пространству (М,/>).
Имеют место следующие утверждения.
■ Теорема 1.15. Объединение любого семейства открытых
множеств метрического пространства есть открытое множество.
Пересечение конечного числа открытых множеств является
открытым множеством. ш

42 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
ш Теорема 1.16* Пересечение любого семейства замкнутых
множеств метрического пространства есть замкнутое множество.
Объединение любого конечного множества замкнутых множеств
является замкнутым множеством, ш
1.4.3* Пусть даны метрические пространства М и N и отображение
f:M —► N. Для всякого множества А С N определено множество
/_1(А) — полный прообраз множества А относительно отображения /.
Напомним, что, по определению, /_1(А) есть совокупность всех
точек х £ М, для которых f(x) E А.
ш Теорема 1.17. Пусть даны метрические пространства М и N
и непрерывное отображение f:M—>N. Тогда:
1) для всякого открытого множества U С N множество /_1({7)
является открытым множеством пространства М;
2) для всякого замкнутого множества F пространства N множество
/_1(F) является замкнутым множеством пространства М. ш
ш Теорема 1.18. Пусть даны метрические пространства М и N
и отображение f: М —> N. Тогда если для всякого открытого
множества U пространства N множество f~1{U) является открытым, то
отображение f непрерывно, ш
▼ Следствие. Пусть М и N есть метрические пространства. Если
отображение f:M—*N таково, что для всякого замкнутого
множества F пространства N его полный прообраз относительно
отображения f представляет собой замкнутое множество, то отображение f
непрерывно. ▼
1.4.4. Пусть дано метрическое пространство М, р — метрика этого
пространства. Предположим, что задано множество А, содержащееся
в М. Тогда определено метрическое пространство (А,/>) —
подпространство пространства М.
Множество V С А называется открытым относительно
множества А, если V является открытым множеством метрического
пространства (А,/>). В соответствии с определением, данным выше, это
означает, что для всякой точки х € V существует 6 > О такое, что шар
BA(x,r)cV.
Аналогично, множество F С А называется замкнутым
относительно множества А, если F есть замкнутое множество метрического
пространства (А,р).
Сформулируем следующее простое полезное утверждение.
■ Теорема 1.19. Пусть даны метрическое пространство М и
множество А С М. Для того чтобы множество V С А было открытым
относительно А, необходимо и достаточно, чтобы V допускало
представление V = U П А, где U есть открытое множество пространства М.
Аналогично, множество F С А является замкнутым относительно
множества А в том и только в том случае, если оно допускает
представление F = РС)А, где Р есть замкнутое множество пространства М. ш

§ 1. Обзор некоторых основных утверждений 43
1.5. Компактные множества и компактные пространства
Множество А метрического пространства М называется
компактным, если из всякой последовательности (xu)u^ точек множества А
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой
принадлежит А.
Метрическое пространство М называется компактным, если
множество всех его точек М компактно. Это, очевидно, равносильно
следующему утверждению: всякая последовательность точек
пространства, М имеет сходящуюся подпоследовательность.
Множество А в пространстве М называется предкомпактным,
если у всякой последовательности (xu)u^ точек множества А существует
подпоследовательность, которая является фундаментальной
последовательностью точек пространства М.
■ Теорема 1.20. Всякое компактное множество в метрическом
пространстве является замкнутым, ш
ш Теорема 1.21. Всякое компактное метрическое пространство
является полным метрическим пространством, ш
■ Теорема 1.22. Если метрическое пространство М является
полным, то всякое замкнутое предкомпактное множество в этом
пространстве компактно, ш
ш Теорема 1.23. Для того чтобы множество А в пространстве Шп
было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было
ограниченным, ш
Т Следствие. Для того чтобы множество А С Кп было
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и
замкнуто. ▼
■ Лемма 1.8 (о непрерывном образе компактного множества).
Пусть М и N — произвольные метрические пространства и А есть
компактное множество в пространстве М. Для всякого непрерывного
отображения f:A—>N множество f(A) является компактным в
пространстве N. ш
ш Теорема 1.24 (теорема Вейерштрасса о наибольшем и
наименьшем значениях). Пусть А есть компактное множество в метрическом
пространстве М. Тогда всякая непрерывная функция /: А —> R
является ограниченной и принимает на множестве А свои наименьшее и
наибольшее значения, ш

44 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Говорят, что отображение / равномерно непрерывно, если
выполнено следующее условие: каково бы ни было е > 0, по нему найдется
S > О такое, что для любых х\, х2 € А таких, что pi(xi,x2) < 6,
выполняется неравенство p2(f(xi),f(x2)) < £•
Точная нижняя граница функции (ж, у) н+ />i(#, у) на произведении
Ах А равна нулю. Поэтому данное определение можно
переформулировать следующим образом: функция f равномерно непрерывна на
множестве А, если величина />2 [/(#)> fiv)] стремится к нулю, когда р\(х, у)
стремится к нулю.
■ Теорема 1.25 (теорема Гейне о равномерной непрерывности).
Пусть даны метрические пространства М и N', множество А С М
и отображение f:M —► N. Тогда если множество А компактно,
а отображение f непрерывно, то f равномерно непрерывно на
множестве А. ш
Пусть, как и ранее, заданы метрические пространства М и ЛГ,
множество А С М i/i непрерывное отображение /: М —> N.
Вещественная функция о;, определенная на отрезке [0,#о)* где
6о > О, называется модулем непрерывности отображения f: М —► N',
если она удовлетворяет следующим условиям.
A) Функция и неубывающая, о;(0) = 0 и ]imu;(t) = 0.
B) Для любых х\,Х2 Е А таких, что pi{x\,X2) < tfo? имеет место
неравенство
P2[f(x1)J(x2)} < и>[Р1(хих2)}. (1.20)
■ Лемма 1.9. Если отображение f:M—*N имеет модуль
непрерывности с*;(<), t E [0,Ло), то оно равномерно непрерывно, ш
Говорят, что отображение f: M —► N удовлетворяет условию
Липшица с постоянной С, где 0 < С < оо, если f имеет модуль
непрерывности u(t) = Ct, 0<t<6.
Если функция Ct01, 0 < t < <5, где С и а постоянные, причем
0<С<оои0<а:<1, является модулем непрерывности /, то
говорят, что / удовлетворяет условию Гёлъдера с показателем а и
постоянной С.

§ 2, Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля 45
§ 2. Критерий предкомпактности*
Теоремы Лебега и Бореля
В этом параграфе устанавливаются некоторые важные свойства
компактных множеств в метрических пространствах, описываемые с помощью
понятия открытого покрытия компактного множества.
Напомним, что открытым покрытием множества называется всякое
семейство открытых множеств, объединение которых содержит в себе данное
множество. Открытые покрытия множества возникают, например, если для
каждой точки множества указана окрестность этой точки, удовлетворяющая
какому-либо данному условию.
Первое свойство выражается теоремой Лебега, которая утверждает, что
для всякого открытого покрытия компактного множества любое из множеств
покрытия содержит в себе часть покрываемого множества размера, не
меньшего некоторой постоянной 6 > 0.
Другое свойство содержится в теореме Бореля, которая утверждает, что
из любого открытого покрытия компактного множества можно извлечь
конечное покрытие.
Теорема Бореля, таким образом, утверждает, что в произвольном
открытом покрытии компактного множества много лишних элементов. Можно
оставить из всего покрытия конечное число составляющих его множеств так,
что оставшиеся все равно будут полностью покрывать данное компактное
множество.
Теоремы Бореля и Лебега служат эффективным средством изучения
свойств непрерывных функций на компактных множествах (примеры их
приложений содержатся в теоремах, которые устанавливаются далее в § 3).
Свойство компактных множеств, содержащееся в теореме Бореля,
полностью характеризует компактные множества. Это обстоятельство дает, как
мы увидим позднее, ключ к распространению понятия компактности на
случай множеств в пространствах, не являющихся метрическими,
2.1. Понятие вполне ограниченного множества
Зададим произвольно метрическое пространство (М,/>). Все
дальнейшие рассуждения в пределах этого раздела относятся именно к
этому пространству (М, р). Пусть даны множества D и А С D и семейство
множеств (Е$ С D)^.
Говорят, что это семейство покрывает множество А или, иначе,
является покрытием множества А, если объединение множеств Е%
содержит А:
(JE^DA.
£€3

46 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Если D С М, где М — данное метрическое пространство, то
покрытие (Е% С M)t£~ множества А называется открытым, если
множества Е% все являются открытыми в метрическом пространстве М.
Будем говорить, что покрытие конечно, если множество индексов Е
является конечным.
Пусть А — непустое подмножество М. Предположим, что задано
число е > 0.
Множество Е С М называется е-сетью множества А, если для
любой точки х Е А можно указать у Е Е такое, что р(х,у) < е.
Данное условие, очевидно, равносильно следующему: семейство шаров
(В(у, е))У£Е является покрытием множества А.
Множество А в пространстве (М, р) называется вполне
ограниченным, если для всякого е > 0 существует конечное множество Е, которое
является £-сетью множества А.
Иначе говоря, множество А в метрическом пространстве М вполне
ограничено, если для любого е > 0 можно указать конечное
множество Е такое, что для всякой точки х Е А найдется точка х1 Е Е,
расстояние которой до х меньше е.
Наглядно (см. рис. 1) можно характеризовать вполне
ограниченные множества как такие, которые с любой степенью точности
приближаются конечными множествами.
А
Рис. 1
Если множество Е является е-сетью множества А С М, то, как
очевидно, Е будет е-сетью также и для любого подмножества А.
Отсюда, в частности, вытекает, что если множество А вполне ограничено,
то и любое множество Е С А является вполне ограниченным.
Пусть множество Е есть е-сеть множества А. Тогда если мы
исключим из Е те точки у, для которых в шаре В(у,е) нет точек
множества А, то оставшиеся точки также будут составлять е-сеть
множества А.
Действительно, пусть Е1 есть совокупность всех у Е Е, для
которых шар В(у,е) содержит точки множества А. Для всякой точки

§ 2. Критерий предкомп&ктности. Теоремы Лебега, и Бореля 47
х Е А, по определению, найдется точка у Е Е такая, что р(х,у) < е.
Эта точка у, очевидно, принадлежит множеству Е\ и тем самым
доказано, что Е1 есть £-сеть множества А.
Предположим, что множество А С М является вполне
ограниченным в пространстве (М, />). Тогда для любого е > 0 существует
конечное множество Я, которое содержится в А и является е-сетью
множества А,
Действительно, пусть А есть вполне ограниченное множество.
Зададим произвольно е > 0. Положим в\ = г/2. Пусть £ = {у!, у2, • • •, Уг}
есть конечное множество, которое является б^-сетью множества А.
В силу предыдущего замечания мы можем считать, что для всякого
к = 1,2,..., г шар B(yk,£i) содержит точки множества А. При каждом
к — 1,2,..., г выберем точку xj~ Е А такую, что />(#ь У*) < £i, и пусть
Я = {х1,х2,...,хг}.
Покажем, что Я есть е-сеть множества А. Действительно, возьмем
произвольно точку жЕ4. Тогда так как Е есть б^-сеть множества А,
то найдется yj~ £ Е такое, что p(x,yk) < S\. Имеем
p(x,Xk) < р(х,Ук)+р(Ук,Хк) < е\ +€i =£,
и тем самым доказано, что Н является е-сетью множества А.
Ранее была введена еще одна характеристика множеств в
произвольном метрическом пространстве. Напомним, что множество А
в пространстве М называется предкомпактным, если из всякой
последовательности (£i/)i/gn точек множества А можно извлечь
подпоследовательность, которая является фундаментальной последовательностью
в пространстве М.
Опишем одну простую конструкцию, которая оказывается
полезной во многих вопросах теории множеств.
Пусть М есть произвольное множество и (хп)п^ —
последовательность его элементов. Ее подпоследовательностью далее мы будем
называть всякую последовательность вида (£n(i/))i/€N> где (n(i/))„eNfc есть
строго возрастающая последовательность элементов множества 14*,
т. е. п(1) < п(2) < ... < n{v) < n{v + 1) < ....
Замечание. Ранее под термином «подпоследовательность»
понималась всякая последовательность вида (£n(i/))i/€Nj У которой область
определения есть множество N, а последовательность номеров (n(i/))„€N
строго возрастающая. Ясно, что подпоследовательность в смысле
старого определения является также и подпоследовательностью в смысле
определения, которое дано здесь.

48 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
ш Лемма 2.1 (лемма о канторовской диагональной конструкции).
Пусть дана произвольная последовательность (хп)п€^. Предположим,
что при каждом п Е N определена последовательность (£m,n)n€N та#>
что выполнены следующие условия:
1) последовательность (£i,n)n€N совпадает с исходной
последовательностью (£n)neN> т- е- xi,n = %п Для любого n Е 14;
2) при каждом m Е N последовательность (£m+i,n)n€N является
подпоследовательностью для последовательности (£m,n)n€N-
Тогда, каково бы ни было m Е N, последовательность (^i/,i/)i/GNm
является подпоследовательностью последовательности (xm>n)n^. В
частности, (£i,,i,)i/eN есть подпоследовательность исходной
последовательности (zn)n€N.
Замечание. Построим некоторую бесконечную таблицу
следующего вида:
^2,1, ^2,2, '•• Ж2,п, "•
^т,1) ^т,2) '"* Хт}П,
При каждом т Е N элементы, стоящие в га-й строке этой таблицы,
образованы членами последовательности (£m,n)neN> расположенными
в порядке их номеров. Очевидно, (xU)l/)u^ есть последовательность,
образованная элементами, стоящими на диагонали этой бесконечной
таблицы.
Доказательство. Сначала покажем^ что для любых m E N
и г Е N последовательность (£m+r,n)n€N есть подпоследовательность
(xm,n)n£N- Для г = 1 это верно в силу определения последовательности
(Em+l,n)n€N-
Предположим, что для некоторого г Е N доказано, что (£m+r,n)n€N
есть подпоследовательность последовательности (£m,n)n€N- Это
означает, что £m+r,n = £m,jir(n)> где jur: N —► N, есть строго возрастающая
функция.
По условию имеем xm+r+i)Tl = £m+r,i/(n)> где ^: N —► N — строго
возрастающая функция. Заменяя в равенстве £тп+г,п — хгп^г^п^ п на
u(n)j получим
•^т+г+1,п — ^m+r,i/(n) — ^m,/ir[i/(n)] ^m,|ir+i(n))
где /ir+i(n) = iAr[v(n)]. Функция /zr+i, очевидно, является строго
возрастающей, и тем самым доказано, что (£m+r+i,n)neN есть
подпоследовательность ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ (£m,n)n€N-

§ 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега, и Бореля 49
По индукции из доказанного следует, что (£m+r,n)neN ПРИ каждом
г € N есть подпоследовательность (#m,n)n€N- В частности, мы
получаем, что хт+Г}ГП+г = ят>лт(г) при каждом г > 1, где Am(r) = /ir(m+r),
Am(r) есть натуральное число.
Покажем, что функция Ат строго возрастающая. Имеем /ir+i(n) =
= /ir|V(ra)]. Отсюда получаем, что Xm(n + г + 1) = /zr+i(n + г + 1) =
= fxr[u(m + г + 1)]. Так как функция i/: N —► N строго возрастающая,
то u(m + г + 1)] > m + г + 1, откуда получаем
Am(r + 1) > Мг(^ + г + 1) > /zr(m + г) = Am(r).
Этим установлено, что Ат : N —► N есть строго возрастающая функция.
Положим Ат(0) = га. При каждом п > га выполняется
равенство хП)П = жП}лт(п-т)- Это равенство, очевидно, выполняется также
и в случае п = га. Функция гс н+ Ат(п — т) строго возрастающая,
откуда следует, что последовательность (^nyn)n€Nm есть
подпоследовательность последовательности (£m,n)n€N- Лемма доказана. ■
■ Теорема 2.1 (теорема Хаусдорфа). Для того чтобы множество А
в метрическом пространстве (М,/>) было вполне ограниченным,
необходимо и достаточно, чтобы оно было предкомпактно.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
множество Е в пространстве (М,/>) является вполне ограниченным.
Требуется доказать, что оно предкомпактно, т.е. из всякой
последовательности его элементов можно извлечь фундаментальную
подпоследовательность.
Пусть Е С М есть вполне ограниченное множество, (хи)и£^ есть
произвольная последовательность его элементов. Докажем, что для
всякого е > О найдется подпоследовательность (xVk)keN такая, что для
любых двух ее членов х„к, и х„к11 выполняется неравенство
P\xvki•> xvkn ) < £•
Действительно, пусть дано е > 0. Так как множество Е, по
условию, вполне ограничено, то оно имеет конечную е/2-сеть (см. выше).
Пусть множество А = {ai, a2,..., an} представляет конечную е/2-сеть
множества Е. Согласно определению того, что есть е/2-сеть
множества, это означает, что для всякой точки х G Е найдется номер г такой,
что р(х,а{) < е/2.
Пусть Ni есть множество тех значений v, для которых p(xu,ai) <
< е/2. Всякий номер v G N принадлежит хотя бы одному из
множеств N{. При каждом г имеем Ni С N. Следовательно,
п

50 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Из этого равенства очевидно следует, что по крайней мере одно из
множеств Ni бесконечно. Предположим, что множество N{0 является
таковым.
Занумеруем элементы множества JV,0 в порядке следования, и пусть
Uk есть его элемент с номером fc, к = 1,2,
Покажем, что подпоследовательность xUk и есть требуемая.
Действительно, при каждом к = 1,2,... точка Vk принадлежит
множеству NiQ и, значит, имеет место неравенство
p(x»k>aio) <£/2-
Отсюда следует, что для любых номеров к\ и к2 выполняются
неравенства
) < p(xvkl,aio) + p(aio,xUk2) < e/2 + e/2 < e,
что и доказывает, что данная подпоследовательность есть искомая.
Требуемую фундаментальную подпоследовательность мы
получим, применяя лемму о канторовской диагональной конструкции
(см. лемму 2.1). Для каждого т Е N определим некоторую
подпоследовательность (£m,i/)i/eN- Полагаем прежде всего x\iU = xv при всяком
i/GN. Предположим, что для некоторого mGN последовательность
(жту), ^ = 1,2,..., определена. Положим е = -. По доказанному
' т + 1
из последовательности (zm,i/)i/€N можно извлечь подпоследовательность
(xmttiu )i/€N) Для которой для любых 1^1,^2 выполняется неравенство
P{xm}tiVl,xmtti„2) < m+i'
Полагаем £w+i,„ = хШфи для каждого и = 1,2, По индукции
для каждого т описанным построением определена последовательность
(zm,i/)> v = 1,2,..., точек множества Е. При этом каждая
следующая последовательность является подпоследовательностью для
предыдущей. Из построения следует также, что если т > 1, то для любых
i/i,^GN выполняется неравенство
. 1
Р\%т,i/i ? ^т,1/2/ <^
Согласно лемме о канторовской диагональной конструкции
(лемма 2.1) последовательность (£m,m)m€N является
подпоследовательностью исходной последовательности {xv)v^.

§ 2. Критерий предкомп&ктности. Теоремы Лебега, и Бореля 51
Докажем, что эта подпоследовательность фундаментальная.
Зададим произвольно е > О и найдем по нему гао > 1 такое, что — < е.
т0
Пусть mi > то и ТП2 > то — натуральные числа. Тогда согласно
лемме о канторовской диагональной конструкции £mi>mi и хт2)ГП2 есть
члены последовательности (xmQfU)u^ и, значит,
Ш0
Так как е > 0 произвольно и для выполнения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства т\ > т0
и гаг > то, то тем самым установлено, что последовательность
(^m,m)m€N фундаментальная. Таким образом, установлено, что
множество Е предкомпактно и необходимость условия доказана.
Достаточность. Пусть множество Е С М предкомпактно.
Предположим, что Е не является вполне ограниченным в пространстве
(М,/>). Это означает, что не для всякого е > 0 можно указать конечное
множество ЯсМ, которое было бы е-сетью множества Е.
Следовательно, найдется число е > О, для которого в пространстве (М, р) не
может быть построена конечная е-сеть множества Е.
Пусть во есть одно из таких значений е > 0. Построим некоторую
последовательность (z„)i,eN точек множества Е. Точку х\ выбираем
произвольно. Предположим, что для некоторого v E N точки Xk
определены для всех к = 1,2,... ,гл Пусть Ev = {£i,a?2,... , я*}.
Множество Ни конечно. Согласно предположению множество Е не
имеет конечной £о-сети. Значит, и множество Ни не является таковым.
Поэтому в Е есть хотя бы одна точка я, для которой нельзя указать
у Е Н такое, что р(х,у) < во- Выберем одну из таких точек х
произвольным образом и обозначим ее через x„+i. Из определения х„+1
вытекает, что p(xl/+i1 Xk) > во для любого к = 1,2,..., t/.
В силу принципа математической индукции последовательность
(£i/)i/€N построена. При этом если щ^2 £ N таковы, что v\ ф v<i,
то />(&„!,а:„2) > £о- Действительно, пусть, для определенности, v\ < г/2.
Положим /с = 1^1, г/ = U2 — 1. Тогда ^2 = ^ + l,l<fc = ^i < ^ и, значит,
p(xVl,xU2) = р(а?„+ьжд.) > £о-
Докажем, что из построенной последовательности нельзя извлечь
фундаментальную подпоследовательность. Действительно, пусть
(xvk)k£N — произвольная ее подпоследовательность. Здесь (i/k)kew есть

52 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда,
каково бы ни было ко Е N, для любого к > ко имеет место неравенство
Это означает, что для е = во не существует номера &о, который отвечал
бы этому е > 0 согласно определению фундаментальной
последовательности.
Таким образом, нами установлено, что если множество Е С М не
является вполне ограниченным, то существует такая
последовательность его элементов, из которой невозможно извлечь фундаментальную
подпоследовательность. Мы получаем противоречие, и, следовательно,
множество Е вполне ограничено. Теорема доказана полностью. ■
Т Следствие. Пусть М есть полное метрическое пространство.
Для того чтобы множество А С М было компактно, необходимо и
достаточно, чтобы оно было вполне ограничено и замкнуто.
Доказательство. Необходимость. Пусть А есть
компактное множество. Тогда оно является замкнутым множеством
пространства М.
Из всякой последовательности элементов множества М можно
извлечь сходящуюся подпоследовательность. Любая сходящаяся
последовательность является фундаментальной, так что всякое компактное
множество является предкомпактным.
В силу теоремы Хаусдорфа (теорема 2.1) отсюда вытекает, что
множество А вполне ограничено. Необходимость условия следствия до-
казана.
Докажем его достаточность. Предположим, что
метрическое пространство М полно, и пусть А есть произвольное
замкнутое вполне ограниченное множество пространства М. Пусть {xv)u^
есть произвольная последовательность точек множества А. Так как А
вполне ограничено, то в силу теоремы Хаусдорфа из данной
последовательности можно извлечь фундаментальную подпоследовательность.
Так как пространство М, по условию, полное, то эта
подпоследовательность является сходящейся. А так как множество А замкнутое, то
предел данной подпоследовательности принадлежит множеству А.
Таким образом, мы получаем, что из всякой последовательности
точек множества А можно извлечь сходящуюся подпоследовательность,
предел которой принадлежит А. Согласно определению компактного
множества это означает, что множество А компактно. Следствие
доказано. ▼

§ 2. Критерий предкомпштности. Теоремы Лебега, и Бореля 53
2.2. Компактность произведения компактных множеств
Докажем, что произведение компактных множеств снова является
компактным множеством.
■ Лемма 2.1. Пусть даны метрические пространства {Mi, pi),
г = 1,2,...,т. Пусть {М,р) есть их декартово произведение.
Предположим, что при каждом г = 1,2,... ,т задано множество Ai С М{.
Тогда если каждое из множеств Ai вполне ограничено, то А = Aj x
хЛг х • • • х Аш С М есть вполне ограниченное множество
пространства (М,р).
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Зададим
£
произвольно е > 0. Пусть е\ = —т=-
у/т
Согласно предположению множества А{, г = 1,2,..., т, являются
вполне ограниченными и, значит, при каждом г найдется конечное
множество Н{ С М, которое является г^сетью множества А,-.
Пусть Н = Н\ х Н.2 х • •' х #тп- Множество Н, очевидно, конечно.
Докажем, что оно является е-сетью множества А = Ai x A.2 х • • • х
хАт пространства М. Действительно, пусть х = (zi,£2> • • • >#т) есть
произвольный элемент множества А. При каждом г = 1,2,..., т имеем
Xi Е Ai. Так как Я,- есть бг-сетъ множества Ai, то найдется yiEHi
такое, что pi{xi, у,) < £i. Положим у = (yi, 2/2> • • • > У™)- Точка у
множества М принадлежит множеству Я. Имеем
/>(я,у) =
N
v^ / ё*"
2^[Pt(«t,yt)]2 < ym~ = e*
»=1
Так как точка х Е А была взята произвольно, то, следовательно,
мы получаем, что множество Я является г-сетью множества А.
Таким образом, мы получаем, что для всякого е > 0 существует
конечная е-сеть множества А. По определению, это и означает, что
множество А вполне ограничено. Лемма доказана. ■
■ Теорема 2.2. Пусть даны метрические пространства {Mi,pi),
г = 1,2,..., га, и пусть {М, р) есть их декартово произведение.
Предположим, что при каждом г = 1,2,..., m задано множество Ai С М,-. Тогда
если каждое из множеств Ai компактно, то А = А\ х A<i х • • • х Аш С М
есть компактное множество пространства (М,р).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Ai = Mi
при каждом % = 1,2, ...,га. В силу компактности каждое из
метрических пространств Mi является полным метрическим пространством.

54 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Отсюда согласно теореме 1.20 из § 1 этой главы следует, что
метрическое пространство (М, р) также является полным. Следствие
теоремы Хаусдорфа позволяет заключить, что каждое из множеств М,-,
i = 1,2,..., m, вполне ограничено. Значит, согласно лемме 2.1 М есть
вполне ограниченное множество пространства (ЛГ, р). Так как М есть
в то же время замкнутое множество этого пространства, то в силу
следствия теоремы Хаусдорфа множество М компактно, т. е. (М,/>)
есть компактное метрическое пространство.
Общий случай сводится к рассмотренному. Пусть даны
метрические пространства (М,-,К,-) и множества А,- С М{. Предположим, что
каждое из множеств А,- компактно. Тогда при каждом i
метрическое пространство (A,*, pi) — подпространство пространства (М,-, R,-) —
является компактным пространством (см. выше). В силу доказанного
отсюда следует, что декартово произведение пространств (А;,/),-)
компактно.
Таким образом, (А,/>), где А = Ai х А2 х • • • х Ат С М, есть
компактное метрическое пространство и, значит, А есть компактное
множество пространства (М,/>). Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Всякий замкнутый куб Q(a,r) пространства Rn
является компактным множеством в К71.
Действительно, пусть a = (a\, а2,..., ап). Тогда
<2(а, г) = [а! - г, а1 + г] х [а2 - г,а2 + г] х • • • х [ап - r,an + r).
Каждый из отрезков [а,- — r,ai + г], г = 1,2,...,7г, есть компактное
множество пространства К. В силу теоремы 2.2 отсюда следует
компактность Q(a,r). Следствие 1 доказано. ▼
▼ Следствие 2. Всякое ограниченное множество пространства Rn
вполне ограничено.
Всякое ограниченное замкнутое множество пространства Шп
компактно.
Действительно, пусть А есть произвольное ограниченное
множество пространства К71. Тогда найдется такое конечное R > 0, что для
всех х £ А выполняется неравенство \х\ < R. Очевидно, А С Q(0,R)
и, значит, А вполне ограничено.
Если множество А С К71 ограничено и замкнуто, то, как следует
из доказанного, оно является вполне ограниченным и замкнутым
множеством в Кп.
Так как пространство Кп полно, то А есть компактное множество.
Следствие 2 доказано. ▼

§ 2. Критерий предкомпштности. Теоремы Лебега, и Бореля 55
2.3. Теорема Лебега об открытом покрытии
Пусть даны множество А в метрическом пространстве (М,/>) и
некоторое семейство множеств (Е( С М)^€н-
Говорят, что семейство (E^)^s покрывает множество А или,
иначе, является покрытием А, если каждая точка х Е А принадлежит
по крайней мере одному из множеств этого семейства. Данное условие,
как очевидно, равносильно требованию, что имеет место включение
А С U Е€.
Покрытие (J5^)^h называется открытым, если каждое из
множеств Е{ является открытым.
■ Теорема 2.3 (теорема Лебега об открытом покрытии). Пусть А
есть компактное множество в метрическом пространстве (М,/>). Для
всякого открытого покрытия (Uz)zts множества, А существует число
6 > О такое, что для любой точки х Е А можно указать такое £ Е S,
что замкнутый шар В(х,6) будет содержаться в множестве U^.
Замечание. Число 6 > О, существование которого
устанавливается данной теоремой, будем называть числом Лебега покрытия
(Uz)(£s множества А.
Доказательство теоремы. Пусть даны компактное
множество А пространства (М, р) и его открытое покрытие (C^fes-
Предположим, вопреки доказываемому, что число 6 > О,
удовлетворяющее условиям теоремы, не существует.
Зададим произвольно число и Е N. Тогда найдется точка хи Е А
такая, что шар В(х1/11/и) не содержится ни в одном из множеств U^
где f Е S.
Действительно, если бы такой точки в множестве А не нашлось, то
для всякой точки х Е А шар J3(x, 1/v) содержался бы в одном из
множеств U^ где £ Е Н, и, стало быть, 6 = 1/и > 0 и было бы требуемым
числом.
По предположению, однако, такое 6 > 0 не существует. Полагая
v = 1,2,..., мы получим некоторую последовательность (хи)и€^ точек
множества А такую, что при каждом и £ N шар B{xv,\jv) не
содержится ни в одном из множеств U{ (f G H).
Множество А, по условию, компактно, и, значит, из
последовательности (xi,)i,eN можно извлечь некоторую сходящуюся
подпоследовательность (zyjJjfceN) предел которой принадлежит А.

56 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства
Пусть xq = lim xUk, xq G А, Положим yk — xVk, 6k = 1/^ь Имеем
k—юо
p(yk,xo) —► 0, 6k —► 0 при к —► oo. Пусть fo € H таково, что ж0 G £^0.
Так как множество U^0 открытое, то найдется 60 > 0 такое, что шар
В(хо,8о) содержится в U^Q.
Пусть ко таково, что 6к < Яо/2, р(уьжо) < ^о/2 при fc > &о-
Возьмем произвольно к > ко и рассмотрим шар
B = 5(^fcJl/i/fc) = S(y*,«fc).
В силу выбора точки xVk шар В не содержится ни в одном из
множеств U^ £ G Н. В частности, он не содержится в множестве (7£0.
С другой стороны, для каждой точки х £ В имеем
р(х, х0) < р(х, ук) + р{ук, х0) < S0/2 + S0/2 = <S0,
и, значит, всякая точка х шара В принадлежит шару В(хо,6о) С U^Q.
Мы получаем, что В С U(Q. Это противоречит тому, что, как было
сказано, шар В не содержится ни в одном из множеств U^ где f G S.
Итак, допустив, что утверждение теоремы неверно, мы приходим
к противоречию. Теорема доказана. ■
Отметим специально один частный случай теоремы Лебега.
▼ Следствие. Пусть А есть компактное множество в метрическом
пространстве (М, р). Тогда для всякого открытого множества U D А
существует число 6 > О такое, что для любого х G А имеет место
включение В(х,6) С U.
Действительно, если открытое множество U содержит в себе
компактное множество А, то тем самым определено некоторое открытое
покрытие А, состоящее из одного элемента — множества U.
Пусть 6 > 0 есть число Лебега этого покрытия. Для всякой точки
х G А шар В(х,6) содержится в некотором множестве данного
открытого покрытия, т. е. в множестве [7, поскольку это покрытие не имеет
элементов, отличных от U. Следствие доказано. ▼
2.4. Теорема Бореля об открытом покрытии
■ Теорема 2.4 (теорема Бореля об открытом покрытии). Пусть А
есть компактное множество в метрическом пространстве (М,/>),
(Uz)t£z — произвольное открытое покрытие множества А, Тогда
найдется такое конечное множество Ф = {£ъ£2> • • • ?£г} С S, что всякая
точка х G А принадлежит по крайней мере одному из множеств U^k,
k = 1,2,...,r.

§ 2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега, и Бореля 57
Замечание. Конечное семейство множеств (С/g), £ =
= fi?^2j • •«jfr? очевидно, является покрытием множества А. Теорема
утверждает, таким образом, что из всякого открытого покрытия
компактного множества А можно извлечь конечное подпокрытие.
Доказательство теоремы. Пусть А — компактное множество
в метрическом пространстве (М, />), (U^)^££ — открытое покрытие
множества А. По теореме Лебега об открытом покрытии (теорема 2.3)
найдется число 8 > 0 такое, что для всякой точки х £ А шар В(х, 6)
содержится в одном из множеств С/^, где ( G 5. Так как множество А
компактно, то оно предкомпактно и, значит, по теореме 2.1 вполне
ограничено. Следовательно, найдется конечное множество Н = {х\, х2, • • • ? #г}?
которое содержится в множестве А и является его <5-сетью. Пусть
£k G S таково, что шар B(xk,8) содержится в J7^fc.
Покажем, что множества С/^, U(2,..., {7fr образуют покрытие
множества А. Действительно, возьмем произвольно х Е А Так как Н
является <5-сетью множества А, то найдется Xk^H такое, что />(ж, £&) < <5.
Имеем х Е B(xk,8), и так как B(xk^S) С U^ki то ж Е (7^.
Мы получили, таким образом, что всякая точка множества х £ А
принадлежит одному из множеств U(k, так что множества U(k,
к = 1,2,..., г, образуют покрытие множества А. Теорема доказана. ■
■ Лемма 2.2. Пусть (М,/>) есть метрическое пространство и
(£i/)i/€N — фундаментальная последовательность точек
пространства М. Тогда для всякой точки х Е М существует конечный предел
lim p(x,xu) = r(z). (2.1)
I/—ЮО
Определенная так функция г: М —► К неотрицательна и непрерывна.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы.
Полнота пространства М не предполагается, так что последовательность
(xu)v&i может вообще не иметь предела. Возьмем произвольно точку
х Е М. Для любых номеров v\ и v2 выполняется неравенство
\р(х,хи1)-р(х,х„2)\ <p(xVlixV2). (2.2)
По условию, последовательность (xu)v^ фундаментальная. Это
означает, что для всякого е > О найдется номер v E N такой, что для
любых xUl,x„2 > v выполняется неравенство p(xUl,xU2) < е. В силу
неравенства (2.2) отсюда вытекает, что для числовой
последовательности (/>(#, #i,))i/eN выполнен критерий сходимости Кохии — Болъцано
(см. главу 2) и, значит, предел
lim p{x,xv) = r(x)

58 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
существует и конечен для всякого х Е М. Так как р(х,хи) > 0 для всех
v Е N, то по теореме о предельном переходе в неравенстве (см. гла-
ву2)г(ж)>0, каково бы ни было х Е М. Зададим в М произвольно
точки х1 и х11. При всяком v Е N имеем
|р(ж', ж„) - р{х9\ хи)\ < р(х\ х").
Переходя в этом неравенстве к пределу при v —► оо, получим
|r(^)-K^)l</>(^5^)- (2.3)
Из неравенства (2.3), очевидно, следует непрерывность функции г.
Лемма доказана. ■
Теорема Бореля устанавливает некоторое свойство, которое имеет
всякое компактное множество в метрическом пространстве.
Покажем, что этим свойством компактные множества в
метрическом пространстве полностью характеризуются. Именно, справедливо
следующее предложение.
■ Теорема 2.5. Пусть А есть множество в метрическом
пространстве (М, р). Тогда, если из любого открытого покрытия (U^)^z
множества А можно извлечь конечное покрытие множества А, то множество А
компактно.
Доказательство. Пусть множество А в метрическом
пространстве (М,/>) удовлетворяет условию теоремы.
Сначала докажем, что А предкомпактно, т. е. любая
последовательность точек множества А имеет фундаментальную
подпоследовательность. Зададим произвольно е > 0.
Рассмотрим семейство шаров (В(х,е))Х£А- Каждое из множеств
В(х1 е) является открытым, и всякая точка х Е А принадлежит по
крайней мере одному из них, а именно, х Е В(х,е).
В силу сделанного предположения из данного открытого покрытия
можно извлечь конечное покрытие, т. е. найдется конечное множество
К = {#1, я2, • • • > хр} точек множества А такое, что всякая точка х
множества А принадлежит по крайней мере одному из шаров B(xi,e).
Множество К является е-сетью множества А. Действительно,
возьмем произвольно точку х Е А. Для нее найдется Х{ Е К такое,
что х Е В(х{,е). Имеем р(х,Х{) < е. Так как х Е А было взято
произвольно, то тем самым доказано, что К есть е-сеть множества А.
Число е > 0 было взято произвольно. Таким образом, мы
получаем, что для всякого е > 0 множество А имеет конечную е-сеть, т. е.

§ 2. Критерий предкомп&ктности. Теоремы Лебега, и Бореля 59
множество А вполне ограничено. В силу теоремы 2.2 отсюда вытекает,
что А предкомпактно.
Пусть (#i,)i,eN есть произвольная фундаментальная
последовательность точек множества А. Покажем, что она является сходящейся,
причем ее предел принадлежит А. Предположим, вопреки
доказываемому, что никакая точка х Е А не является пределом этой
последовательности.
Заметим, что полнота пространства М не предполагается, так что
последовательность (xu)u^ может вообще не иметь предела.
Согласно лемме 2.1 для всякого х Е М существует предел
lim p(x,xu) = r(x).
Вещественная функция г, определенная таким образом, неотрицательна
и непрерывна.
Если г(х) = 0 для некоторой точки я, то это означает, что
p{x,xv) —► 0 при v —> оо, и, значит, точка х является пределом
последовательности (£i,)i,€N- Согласно предположению никакая точка х Е А
не является пределом xv при v —► оо, и, значит, г{х) > 0 для всех х Е А.
Зададим произвольно е > 0 и найдем номер v Е N такой, что для
любого v > v выполняется неравенство p{xv,xv) < е/2. Переходя в этом
неравенстве к пределу при v —*■ оо, получим, что г{х^) < е/2 < е.
Все члены последовательности (я„)„€и принадлежат множеству А.
В частности, жр G А Мы получаем, таким образом, что для любого
е > 0 найдется точка х Е А, для которой г(х) < е.
Для tf > 0 обозначим через Ut множество всех точек х Е М, для
которых выполняется неравенство r{x) > t. Множество Ut открытое.
Таким образом, мы получаем некоторое семейство (Ut)t>o открытых
множеств пространства (М,/>). Данное семейство покрывает
множество А. Действительно, пусть х Е А. Тогда г(х) > 0 и, как следует из
определения множеств Ut, x E Ut для любого t E (0,г(я)).
Мы получили некоторое открытое покрытие множества А. Из
покрытия (Ut)t>o нельзя извлечь конечное покрытие множества А.
Действительно, пусть дано конечное множество
Ф = {*ь<2, ...,</}
значений / > 0. Пусть f есть наименьшее из них. Имеем t > 0. По
доказанному, найдется х Е А такое, что г(я) < /. Эта точка х не
принадлежит ни одному из множеств (7*., г = 1,2,...,/, и, следовательно,
мы получаем, что никакое конечное подсемейство семейства (£/*)*>о не
может образовывать покрытие множества А.

60 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Таким образом, мы приходим к противоречию с тем, что, по
условию, любое открытое покрытие множества А содержит в себе конечное
подпокрытие.
Итак, мы пришли к следующему заключению: допущение, что
никакая точка х G А не является пределом последовательности {xv)v^^
приводит к противоречию. Значит, найдется х € А такое, что
х = lim xv.
I/—ЮО
Таким образом, мы получаем, что из любой последовательности
точек множества А можно извлечь фундаментальную
подпоследовательность и любая фундаментальная последовательность точек
множества А имеет пределом некоторую точку множества А. Компактность
множества А тем самым установлена. Теорема доказана. ■
§ 3. Понятие топологического пространства
В этом параграфе вводится общая концепция топологического
пространства, включающая в качестве частного случая понятие метрического
пространства.
Результаты этого параграфа за исключением тех, которые приводятся
в п. 3.1, в дальнейшем изложении не используются. Мы включаем его сюда
потому, что понятие топологического пространства есть одна из основных
общих концепций современной математики. Его введение позволяет придать
изложению некоторых тем более общую форму. В дальнейшем там, где
возможно, мы попытаемся это показать.
3.1. Вспомогательные теоретико-множественные
соотношения
Докажем предварительно некоторые простые
теоретико-множественные соотношения. Будем предполагать фиксированным некоторое
непустое множество X. Пусть дано множество Е С X. Множество
F С X называется дополнением множества Е в X и обозначается
символом СхЕ или просто СЕ, если множества Е и F не имеют общих
элементов и любое х Е X принадлежит хотя бы одному из множеств
Е и F. Иначе говоря, F есть дополнение Е, если выполняются
соотношения
ЕГ)Е = 0, EuF = X.

§3. Понятие топологического пространства, 61
Множества Е и F входят в данное определение равноправным
образом. Поэтому если F есть дополнение Е, то, в свою очередь, Е является
дополнением F, так что имеет место равенство
С(СЛ) = А. (3.1)
Предположим, что задано произвольное семейство (Es)ses
подмножеств X. Множество индексов S здесь может быть как конечным, так
и бесконечным.
Совокупность всех элементов х множества X, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному множеству J55, s 6 S\ называется
объединением множеств семейства (Es)s^s и обозначается символом
s£S
Совокупность всех элементов х множества X, каждый из которых
принадлежит множеству Es для всех s 6 £, называется пересечением
множеств семейства (Es)ses и обозначается символом
f)E,.
s£S
В случае, когда S есть пустое множество, принято считать, что
объединение множеств семейства (Es)s£s также есть пустое множество,
а их пересечение совпадает со всем основным множеством X.
В то время как первое соглашение может показаться достаточно
естественным, второе, на первый взгляд, может показаться несколько
парадоксальным. На самом деле справедливость данных соглашений
может быть обоснована строго логически, но мы не будем на этом
останавливаться.
■ Лемма 3.1. Пусть дшо множество X. Пусть (Es)sqs есть
произвольное семейство подмножеств X. Тогда, справедливы равенства,
C((JE*) = ПСЕ- <3-2)
^s£S / s£S
c(f]Es) = \JCES. (3.3)
^s€5 ' s£S
Для всякого множества А С X выполняются равенства
АГ\[)Е.= [](АПЕ3), (3.4)
АП f]Es= р|(АП£5). (3.5)
s£S s£S
Замечание. Равенства (3.1), (3.2) и (3.3) называются
тождествами Моргана (см. также лемму 1.6).

62 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства,
Доказательство. Пусть дано произвольное семейство (Es)ses
подмножеств пространства X. Положим
P=\jE„ Q=f|J5f. (3.6)
Если S = 0, то Р = 0, Q = X, C^P = X. В этом случае
равенства (3.2) и (3.3) тривиальным образом верны, поскольку
объединение пустого множества подмножеств X пусто, а пересечение пустого
множества подмножеств X совпадает с X.
Предположим, что S Ф 0. Пусть множества Р и Q определены
равенствами (3.6). Если х G СхР, то х £ Р и, значит, х не принадлежит
ни одному из множеств J5S, s G 5, т. е. ж G CxEs, каково бы ни было
s E S. Отсюда следует, что
х е f| Сх£5,
и мы получаем, следовательно, включение
СХР С f)CxEs.
s£S
Теперь предположим, что
х е f| CXES.
s£S
Тогда х е CxEs для любого s Е S и, значит, х fi ES1 каково бы ни
было 5 £ S. Таким образом, в данном случае х не принадлежит ни
одному из множеств ES1 s G 5, и, следовательно, ж не принадлежит
также и объединению этих множеств. Мы получаем
хе f] CXES ^хе СХР,
ses
т. е. имеет место включение
П CXES С СХР (3.8)
Из соотношений (3.7) и (3.8), очевидно, вытекает равенство (3.2).
(3.7)

§ 3. Понятие топологического пространства,
63
Равенство (3.3) мы получим как следствие равенств (3.1) и (3.2).
Заменяя в равенстве (3.2) Е8 на СхЕ81 получим
СХ( (J С*Я*) = П Сх(СхЕ.) = f| Еа.
Чес / «се «.се
Второе равенство получено здесь применением равенства (3.1).
Применяя равенство (3.1) еще раз, получим
Сх ( f| дЛ = С* [с* ( (J С*яЛ] = [J Сх£,,
и равенство (3.3) установлено.
Докажем равенство (3.4). Пусть множества Р и Q определены
равенствами (3.6). Положим
P'=\J(AnEa), Q'=f)(AnE.).
s£S s£S
Для всякого s Е S имеем А П Es С А и одновременно АП Es С Р.
Отсюда, очевидно, следует, что множество Р9 содержится в каждом из
множеств А и Р, т. е. Р' С А П Р.
Если я Е А П Р, то х G 4 и одновременно х £ Р. Отсюда следует,
что х принадлежит по крайней мере одному из множеств Es, s £ S,
и, значит, найдется so Е Т такое, что х Е А П ESo. Отсюда вытекает,
что х Е Р'. Так как х € АП Р было взято произвольно, то тем самым
доказано, что А П Р С Р' и, значит, А П Р = Р'. Равенство (3.4)
доказано.
Если х € AnQ, то ж G 4 и одновременно ж € Q и, значит, х € Е8,
каково бы ни было множество s € S. Мы получаем, что х € АГ\Е8 для
всех 5 Е £ и, значит,
х Е р| А П £5 = <£'.
Этим доказано, что А П Q С Q'.
Обратно, если ж Е Q', то ж Е А П J5e для любого 5 Е 5 и, значит,
ж Е А и одновременно х € Es для всех s € S. Отсюда следует, что х Е А
и в то же время i G Q, т. е. яЕАПф. Мы получаем, следовательно,
что Qf С А П Q. Отсюда А П Q = Q'. Равенство (3.5) установлено.
Лемма доказана. ■

64 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
ш Лемма 3.2. Пусть даны множества X и Y и отображение
f:X-*Y. Пусть дано произвольное семейство (Es)8^s подмножеств
множества Y. Тогда выполняются равенства
r1(\jEs) = [jr1(Es), (3.9)
^s£S ' s£S
Предположим, что даны множества X, Y и Z и отображения
f:X-+YHg:Y—>Z. Пусть h = g о f есть суперпозиция
отображений f и д. Тогда для всякого множества Е С Z выполняется равенство
h~\E) = rVW (з.п)
Доказательство. Пусть даны отображение /: X —► Y и
семейство (ES)S£S подмножеств Y. Положим
A=\jEs, B=f]Es.
s£S s£S
Пусть P = /""1(Л), Q = f"1(B). Положим также
P' = (J f-\Es), Q'=f] r\Es).
s£S seS
Требуется доказать, что Р = P9 и Q! = Q\ Возьмем произвольно
x G P. Тогда у = f(x) G А и, значит, найдется 5 G 5 такое, что у Е Es.
Отсюда следует, что х G f"1(Es) С Р'. Таким образом, получим
х G Р =» х G Р'. (3.12)
Если ж G Р', то найдется s £ S такое, что х G f"1(Es) и, значит,
/(ж) G Es С А. Отсюда ж G /-1(^) = Р. Итак,
хеР' =>хеР. (злз).
Из предложений (3.12) и (3.13) следует, что Р = Р'.
Пусть я G Q. Тогда у — /(ж) G А и, значит, у € Es для всех s € S.
Отсюда следует, что ж G f"1(Es) для всех 5 G 5 и, значит, ж G ф'. Мы
получаем, таким образом,
х G <£ =» х в Q*. (3.14)

§ 3. Понятие топологического пространства, 65
Если х Е Q', то х Е f~~1(Es) для любого 5 Е S и, значит, /(ж) Е Es
для всех 5 Е 5, т. е. f(x) Е В. Отсюда ж Е /""1(5) = Q. Итак,
ж Е Q' =» ж Е Q. (3.15)
Из предложений (3.14) и (3.15) следует, что Q = Q'.
Теперь докажем равенство (3.11). Пусть даны отображения
f: X —> Y n g: Y —> Z, и пусть h^gof есть их суперпозиция. Зададим
произвольно множество Е С Z.
Пусть Р = h"1(E)1 aP' = Z"1^"1^)]. Множество Р есть
совокупность всех ж Е X, для которых /i(z) E J5.
Множество Р' получается из множества Е в два шага: сначала
определяется полный прообраз д"1(Е) множества Е относительно
отображения у, а затем находится полный прообраз множества д"г(Е)
относительно отображения /. Этот последний и есть множество Р'.
Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что Р = Pf.
Возьмем произвольно точку х Е Р. Тогда согласно определению Р имеем
h(x) E Е. Далее, по определению сложного отображения
h(x) = $[/(&)] = 9(v)>
где у = /(ж). По условию, д(у) = Л(ж) Е £ и, значит, у Е д"1(Е).
Имеем у = /(#)• Для данного ж Е X, таким образом, f(x) E д"1(Е)
и, значит, х € Р!. Итак, установлено, что
хеР = h~\E) =>xG /^[яГЧЯ)] =-i". (3.16)
Пусть дано, что х Е Р' = /"1[д"1(£)]. Тогда у = /(ж) Е 5"Ч^)
и, значит, р(у) = <7[/(я)] € J5. Мы получаем, что справедливо
соотношение
хеР' = /-^[яГЧД)] =^хЕ /Г^Я) = Р. (3.17)
Из соотношений (3.16) и (3.17), очевидно, вытекает равенство (3.11).
Лемма доказана. ■
▼ Следствие. Пусть дано отображение f:X —► Y. Для всякого
множества Е С Y выполняется равенство
Г1(СуЕ) = СхГ1(Е).
Действительно, пусть Е С Y и F = СуЕ. Согласно лемме 3.2
имеем Г\Е П F) = /^(Я) П /"^F) и /^(Я U F) = /_1(£) U /_1(Л-
Но £ П F = 0, £ U F = У. Отсюда вытекает, что f~\E) П /-1(F) =
= /-1(0) = 0 и /-ЧЯ) U /->(F) = Г\У) = X.
Согласно определению дополнения из доказанного вытекает, что
каждое из множеств /~~г(Е) и /""1(Р) является дополнением другого.
Следствие доказано. Т

66 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства
3.2. Определение понятия топологического пространства
Пусть X — произвольное множество, 3? — совокупность
подмножеств X. Говорят, что совокупность У представляет собой топологию
на множестве X, если выполнены следующие условия.
Т1. Пустое множество 0 и все множество X являются
элементами &.
Т2. Объединение любого семейства множеств, принадлежащих ^,
является элементом 3'.
ТЗ. Пересечение любого конечного семейства множеств,
принадлежащих J7, также является элементом &.
Топологическим пространством называется всякая пара (X, ^),
где X — произвольное множество, & — топология в X.
Обычно, говоря о топологическом пространстве, мы будем
называть только первую компоненту пары (X, ^*), указывая отдельно
топологию, заданную на множестве X лишь в тех случаях, когда это
необходимо.
Множества, принадлежащие «^, называются открытыми
множествами топологического пространства (X, J7).
Пусть М есть произвольное метрическое пространство.
Совокупность всех открытых множеств пространства М, как было показано
в главе 6, удовлетворяет условиям Tl, T2 и ТЗ, так что метрические
пространства могут служить примером топологических пространств.
Предположим, что задано топологическое пространство X,
Множество F С X называется замкнутым, если множество X \ F = CxF
является открытым, т. е. CxF E &.
ш Лемма 3.3. Совокупность & всех замкнутых множеств
топологического пространства X обладает следующими свойствами.
F1. Пустое множество и все пространство X принадлежат ^.
F2. Пересечение любого семейства множеств из &
принадлежит &'.
F3. Объединение любого конечного семейства множеств,
принадлежащих &', также принадлежит &\
Доказательство. Имеем С^0 = X и СхХ = 0> откуда
следует, что пустое множество и все пространство X являются
замкнутыми множествами в топологическом пространстве X, и
справедливость предложения F1, таким образом, установлена.
Пусть (FS)S£S есть произвольное семейство замкнутых множеств
в X. Обозначим символом F пересечение множеств данного
семейства. Имеем
CxF = Cx(f)Fs\ = \JCXFS.
^■ses ' ses

§ 3. Понятие топологического пространства,
67
Каждое из множеств CxFs является открытым, и, значит, в силу
условия Т2 определения топологического пространства объединение
множеств CxFs представляет собой открытое множество.
Таким образом, мы получаем, что дополнение множества F есть
открытое множество в X и, значит, само множество F является
замкнутым.
Справедливость утверждения F2, таким образом, установлена.
Пусть (Fs)ses — произвольное конечное семейство замкнутых
множеств пространства X и F — их объединение. Тогда имеем
CXF = CX((JFS) = f)CxFs.
^s£S ' seS
Каждое из множеств CXF9 является открытым, и, значит, в силу
условия ТЗ определения топологического пространства пересечение
множеств CXFS представляет собой открытое множество.
Таким образом, мы получаем, что дополнение множества F есть
открытое множество в X и, значит, само множество F является
замкнутым. Справедливость утверждения F3 тем самым установлена.
Лемма доказана. ■
Пусть X есть произвольное топологическое пространство, ST —
топология в этом пространстве. Предположим, что задано множество
У С X. Пусть 37у есть совокупность всех множеств вида U П У, где
и е&.
■ Лемма ЗА. Для всякого множества, У в топологическом простра,н-
стве X совокупность множеств Зу представляет собой топологию
в множестве У.
Замечание. Топология Sty называется топологией,
индуцированной в У. Множество У, наделенное индуцированной топологией,
называется подпространством топологического пространства X,
Доказательство леммы. Мы должны показать, что условия Т1,
Т2 и ТЗ будут выполняться, если в их формулировках заменить X на У,
а У заменить на «5у.
Имеем 0ПУ = 0и1ПУ = У, и выполнение условия Т1, таким
образом, установлено.
Пусть (VS)S£S есть произвольное семейство подмножеств У,
принадлежащих 27у. Тогда при каждом s e S будем иметь: Vs = Us П У,
где Ua Е ЗГ. Согласно лемме 3.1 имеем
\JV. = Yn(\Ju\
s£S ^s£S '

68 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства,
Множество U = (J Us принадлежит <Т, откуда следует, что мно-
s£S
жество
YDU= [JVS
принадлежит 37у. Выполнение условия Т2, таким образом,
установлено.
Предположим, что (VS)S£S есть произвольное конечное семейство
множеств из ЗГу. При каждом s € S будем иметь Vs = У П J7e, где
i7s G ЗГ. Имеем
В силу условия ТЗ множество Н = f) Us принадлежит ЗГ. Так
s£S
как G = У П Я, то, следовательно, GG ^у. Тем самым установлено,
что условие ТЗ в нашем случае также выполняется. Лемма
доказана. ■
Пусть дано топологическое пространство (X, ЗГ). Семейство
множеств 38 называется базой топологического пространства X, если
всякое множество U G 38 является открытым и любое открытое
множество пространства X может быть представлено как объединение
некоторого подсемейства множеств, принадлежащих 38.
Наглядно, семейство открытых множеств 38 является базой, если
множества из 38 образуют набор «кирпичей», из которых может быть
сложено любое открытое множество пространства X.
Пусть, например, X есть метрическое пространство (М,/>).
Множество всех открытых шаров пространства М яЪляется базой М как
топологического пространства. Действительно, всякий шар в
метрическом пространстве представляет собой открытое множество.
Пусть U — произвольное открытое множество в метрическом
пространстве (М,/>). Обозначим через U' объединение всех шаров,
содержащихся в U.
Очевидно, U* С U. С другой стороны, для всякой точки х G U
можно указать шар В(х,6) с центром в этой точке, содержащийся
в множестве U. Точка х принадлежит шару J3(z,<5), который, в свою
очередь, содержится в множестве U1. Отсюда следует, что х G U1. Так
как точка х G U была взята произвольно, то мы получаем, что U С U1
и, значит, U = Uf.

§ 3. Понятие топологического пространства, 69
Доказанное предложение можно усилить.
Можно доказать, что уже совокупность всех шаров вида В ( ж, — ),
V п)
где п — произвольное натуральное число, образует базу метрического
пространства (М,/>).
Говорят, что X есть пространство со счетной базощ если
топологическое пространство X имеет базу, состоящую из не более чем
счетного множества элементов. (Рассмотрение многих вопросов
упрощается, если данное топологическое пространство является
пространством со счетной базой.)
■ Лемма 3.5. Пространство Еп является пространством со счетной
базой.
Доказательство. Точку р = (pi,P2> • • • ,Рп) пространства Ета
будем называть рациональной, если числа Рьрг, • • • >Рп все
рациональны. Совокупность всех шаров в пространстве Ета вида В ( р, — ),
V mJ
где р есть рациональная точка En, a m £ N, будем обозначать
символом Е.
Пусть Qn есть множество всех рациональных точек р = (pi,P2> • • •
... ,рп) пространства Еп. Множество Qn есть декартово произведение
п экземпляров множества всех рациональных чисел Q.
Так как множество всех рациональных чисел счетно, то Qn счетно.
Множество Qn х N также является счетным. Каждой паре (p,m) €
£ Q71 х N, где р есть рациональная точка Еп, сопоставим шар В ( р, — ),
принадлежащий множеству шаров Е. Мы получаем, как
очевидно, биективное соответствие между множеством Е и счетным
множеством Qn х N. В частности, получаем, что Е есть счетное множество.
Докажем, что Е есть база пространства Еп. Пусть U есть
произвольное непустое открытое подмножество Ета. Пусть U9 есть
объединение всех рациональных шаров, принадлежащих Е и
содержащихся в U.
Требуется доказать, что U* = U. Из определения U9 очевидно, что
U1 С U. Возьмем произвольно точку х G U. Тогда найдется 6 > О
такое, что шар В(х,6) С U.
2 , ч
Пусть т е N таково, что — < 6. Пусть х = (xllx2l.. .,£та).
т
При каждом г = 1,2,..., п найдется рациональное число р, такое, что
|Pt-St| < т 7=л-
(ту/п)

70 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Пусть р = (pi,p2) • • • ,Рп) и г = —. Шар В(р1г) принадлежит Е.
m
Имеем
\р-х\ =
\
i>-*<i2<ipf=-
f—' V "гln m
1=1
_ _ 2_
m m'
Отсюда следует, что х Е В(р,г) С U'. Для всякого ж' Е В(р,г)
имеем
112
Ь' - d < |ж' - Ы + \р - г| < — + — = — < <5,
m m m
и, значит, если ж' Е J3(p, г), то |я' - я| < £, т. е. В(р,г) С В(х,6).
По условию, В{х,6) С СЛ Следовательно, шар В{р,г) содержится
в 17. Отсюда вытекает, что выбранная точка х Е U принадлежит
множеству U1. Так как х £ U было выбрано произвольно, то тем самым
доказано, что U С U9 и, значит, U = U'.
Мы получаем, таким образом, что всякое открытое множество в Кп
может быть представлено как объединение некоторого множества
шаров, принадлежащих Е, и, следовательно, Е есть база пространства Rn.
Как показано в начале доказательства леммы, множество шаров Е
является счетным. Лемма доказана полностью. ■
Один из способов введения топологии на множестве состоит
в задании некоторой базы топологии. Пусть даны множество X и
множество 38 подмножеств X. Предположим, что выполнены следующие
условия.
В1. Для всякой точки х е X существует множество U Е 38 такое,
что х Е U.
, В2. Для всякой точки х £ X для любых множеств U € 38 и V Е 38
таких, что х Е U П V, существует множество W Е 38 такое, что х Е W
kW С UOV.
+ Предложение 3.1. Если 38 есть база, некоторой топологии в
множестве X, то для 38 условия В1 и В2 выполняются.
Доказательство. Предположим, что в X задана некоторая
топология и 38 есть база этой топологии. Тогда согласно определению
базы всякое открытое множество в X может быть представлено как
объединение множеств, принадлежащих 38. В частности, X является
объединением множеств из 38. Отсюда следует, что всякая точка х Е X
принадлежит некоторому множеству U Е 38, так что условие В1 для 38
выполняется.
Пусть х Е U П V. Множество U П V является открытым, и,
значит, согласно определению базы топологии оно является объединением

§ 3. Понятие топологического пространства 71
некоторого множества множеств, принадлежащих 38. Отсюда следует,
что найдется множество W £ 38 такое, что И^СС^П^ивтоже время
х Е W. Выполнение условия В2, таким образом, также установлено,
Предложение доказано. ♦
Предположим, что в множестве X задана совокупность 38
подмножеств X, удовлетворяющая условиям В1 и В2. Обозначим через 3?@
совокупность всех множеств Gel, каждое из которых удовлетворяет
следующему условию: для всякого х Е G существует множество U Е 38
такое, что х Е U и U содержится в множестве G.
Пустое множество также будем считать принадлежащим к 3?б$.
■ Теорема 3.1. Пусть 38 и 2?б$ есть совокупности подмножеств X,
удовлетворяющие условиям, указанным выше. Тогда 3?@ представляет
собой топологию в множестве X и совокупность множеств 38 является
базой этой топологии.
Доказательство. Пусть 38 есть совокупность подмножеств X,
удовлетворяющая условиям В1 и В2, и 2?@ определено по 38, как указано
выше.
Требуется доказать, что S?g$ есть топология в X, т. е. для нее
выполняются условия Tl, T2 и ТЗ и 38 есть база этой топологии.
Пустое множество, по определению, принадлежит множеству 2F&.
Для всякой точки х Е X согласно условию В1 существует множество
U Е 38 такое, что х Е U. Отсюда вытекает, что X Е *^. Выполнение
аксиомы Т1 для совокупности множеств ^^, таким образом,
установлено.
Пусть (Gz)tzz есть произвольное семейство множеств,
принадлежащих ^^, и
G=[JGV
Возьмем произвольно точку х Е G. Для нее найдется £о € S такое,
что х Е (?£0. Так как G^0 Е 3?&, то найдется множество V Е 38 такое,
что х Е U С Gt0. Так как G^0 С (3, то U С G.
Мы получаем, таким образом, что для всякого х Е G можно
указать множество U Е 38 такое, что х Е U С G. Это означает, что
G Е *^. Таким образом, мы получаем, что объединение любого
семейства множеств (G?^)^GE) принадлежащих <^, также принадлежит J?^,
так что аксиома Т2 для совокупности множеств 2?& выполнена.
Пусть G\ и (?2 — Два произвольных множества, принадлежащих
2?@. Если G\ П С?2 = 0, то (?i П G2 E ^. Предположим, что
G\ П G2 т^ 0- Возьмем произвольно точку ж Е (?i П (?2- Тогда ж Е Gi

72 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
и одновременно х Е G2- Согласно определению понятия того, что
значит, что множество принадлежит классу <^, найдутся множества U
и V, принадлежащие 38 и такие, что х Е U С G\ и в то же время
х Е V С С?2- В силу условия В2 найдется множество РГ Е «Й? такое, что
xeW^aW CUilV.
Очевидно, W С Gi Г) G2- Точка х Е G\ П (?2 была взята
произвольно. Таким образом, для всякой точки х Е Gi П G2 существует
множество W Е 38 такое, что х Е W С Gi П (?2- Это означает, что
d П G2 € ^.
Итак, пересечение любых двух множеств из && также
принадлежит J7^. Отсюда легко следует, что пересечение любого конечного
числа множеств из && также принадлежит ^^.
Доказательство — индукцией по числу элементов пересечения —
ввиду очевидности мы опускаем.
Итак, нами доказано, что аксиома ТЗ для совокупности множеств
&@ также выполняется. Таким образом, 2?@ действительно есть
топология в множестве X.
Докажем, что 38 является базой этой топологии.
Прежде всего заметим, что если U Е 38, то для всякой точки чс Е U
можно указать множество G Е 38 такое, что х Е G С U. Именно, мно-
жество G = U, очевидно, удовлетворяет этому условию. Это означает,
что если U Е 38, то U Е ^9, т. е. всякое множество U Е 38 является
открытым в X в смысле данной топологии.
Пусть G E 3?&. Для всякой точки х Е G найдется множество U E 3S
такое, что х Е U и U С G. Отсюда вытекает, что объединение всех
множеств U Е 38, содержащихся в G, совпадает с G.
Таким образом, всякое множество G Е «^ является
объединением некоторого множества множеств, принадлежащих 38. Мы видим,
что совокупность множеств 38 по отношению к топологии 3?@
удовлетворяет обоим условиям определения базы топологии. Теорема
доказана. ■
Всякая совокупность 38 подмножеств множества X,
удовлетворяющая условиям В1 и В2, называется базой в множестве X.
Совокупность множеств 3?&, определенная по 38, как описано выше, называется
топологией, порожденной этой базой.

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 73
§ 4. Непрерывные отображения топологических
пространств и компактные множества
Ниже исследуются понятия непрерывности и предела для отображений
произвольных топологических пространств, В данной общей ситуации эти
понятия вводятся путем требования выполнения условий, которые для случая
метрических пространств устанавливаются как следствие исходных
определений. Для отображений метрических пространств определение, которое
приводится здесь, равносильно нашему прежнему определению.
Понятие компактного множества распространяется на случай множеств
в произвольных топологических пространствах. При этом за основу для
определения того, что есть компактное множество в произвольном
топологическом пространстве, берется свойство, устанавливаемое теоремой Бореля
об открытом покрытии. Как было показано в §3, свойство, выражаемое
теоремой Бореля, является характеристическим для компактных множеств
в метрических пространствах. Это свойство мы принимаем за основное при
определении рассматриваемого класса компактных множеств в произвольном
топологическом пространстве.
4.1. Определение понятий непрерывности и предела
для отображений топологических пространств
Зададим произвольно топологическое пространство X. Пусть &
есть топология этого пространства. Возьмем произвольно точку р £ X,
Открытой окрестностью точки р называется всякое открытое
множество U пространства X, содержащее точку р.
Множество G С X называется окрестностью точки р в
пространстве X, если G содержит в себе некоторую открытую окрестность
точки р.
Иначе говоря, множество G С X называется окрестностью
точки р, если существует открытое множество U такое, что р Е (7, a U С G,
Совокупность всех окрестностей точки р пространства X будем
обозначать символом &х(р)-
Наша ближайшая задача — определить понятия непрерывности
и предела для отображений топологических пространств.
Сначала покажем, как можно определить понятие непрерывности
для отображений метрических пространств, используя только те
понятия, которые мы имеем в общем случае произвольного топологического
пространства.
■ Лемма 4.1. Пусть дано множество G в топологическом
пространстве X, Если G является окрестностью каждой своей точки, то G есть
открытое множество пространства.

74 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Доказательство. Пусть множество G С X является
окрестностью каждой своей точки. Это означает, что для всякой Точки х Е G
существует открытое множество Ux такое, что х Е Ux и Ux С G. Тем
самым определено некоторое семейство открытых множеств (UX)X£G-
Пусть G' есть объединение множеств этого семейства. В силу
аксиомы Т2 множество G1 открытое. Так как Ux С G при всяком х Е 17,
то, очевидно, также и множество G9 С G.
Для всякой точки х Е G существует множество данного семейства,
которому принадлежит эта точка х. Именно, множество Ux обладает
требуемым свойством. Отсюда следует, что
GC \JUX = G'.
x£G
Принимая во внимание, что G' С G, получаем G = G'. В
частности, отсюда вытекает, что множество G открытое. Лемма
доказана. ■
■ Лемма 4.2. Пусть даны метрические пространства: М с
метрикой />, N с метрикой а и отображение f: М —► N. Для того чтобы
отображение f было непрерывно в точке р Е М, необходимо и достаточно,
чтобы для всякой окрестности V точки q = f(p) в пространстве N
множество J~l(V) было окрестностью точки р в пространстве М.
Замечание. Термин «окрестность» в данной лемме
понимается в смысле определения, сформулированного выше. Иначе говоря,
множество V считается окрестностью точки q Е N в том и только
в том случае, если V содержит в себе открытое подмножество
пространства JV, которому принадлежит точка д, и аналогично для
пространства М и точки р.
Доказательство леммы. Необходимость. Предположим,
что отображение / непрерывно в точке р Е М. Зададим произвольно
окрестность V точки q = /(p). Согласно определению окрестности
найдется открытое множество G пространства N такое, что V D G
и в то же время q Е G. Согласно определению открытого множества
в метрическом пространстве найдется е > О такое, что шар Bjs[(q,e)
содержится в множестве G.
Условие — функция f непрерывна в точке р — согласно данному
ранее определению означает, что <r[f(x),q] —» 0 при р(х,р) —> 0. Из
определения предела следует, что найдется 6 > 0 такое, что для всякого
х Е М, для которого р(х,р) < <5, выполняется неравенство
*№)>?] <*•

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 75
Рассмотрим шар Вм(р,8) в пространстве (М,/>). Этот шар
содержится в множестве /"1(V). Действительно, если х Е Вм{р,й), то
р{х,р) < 6 и, значит, cr[f(x),q] < s, т. е. /(ж) Е Bx{q,e) С V.
Итак, /(ж) Е V для всякого х Е Вм(р,8)- Это означает, что все
точки шара Вм{р,5) принадлежат множеству /"1(V), т. е.
Шар Вм{р, 6) представляет собой открытое множество в
пространстве My p Е Вм(р,й), и, следовательно, множество f~l{V) является
окрестностью точки р. Необходимость условия леммы, таким образом,
доказана.
Докажем достаточность условия. Предположим, что
отображение /: М —> N таково, что для всякой окрестности V точки q
множество f"1{V) является окрестностью точки р. Зададим
произвольно £>0и положим V = B^iq^s).
Шар Bjs[{q^e) представляет собой открытое множество в
пространстве (JV, <т), точка q ему принадлежит. Это означает, что V есть
окрестность точки q. В силу сделанного предположения отсюда вытекает,
что множество f~l{V) является окрестностью точки р в пространстве
(М,/)). Согласно определению окрестности найдется открытое
множество U С f~l{V) такое, что р Е С/, и, как следует из определения
открытого множества в метрическом пространстве, найдется 6 > О такое,
что шар Вм(р,8) С ?7. Очевидно, Вм(р,8) С f~~l(V).
Пусть ж есть произвольная точка пространства М такая, что
р(х,р) < 6. Тогда ж Е Вм{р,Ь), т. е. я Е /"1(V) и, следовательно,
f(x) Е V. По условию, V есть шар -Вт\г(д,е). Из условия /(ж) Е V
поэтому следует, что 0"[/(ж),д] < £.
Число £ > 0 было задано произвольно. Мы получаем, таким
образом, что для всякого е > О найдется 6 > О такое, что если р(х,р) < <5,
то <j[f(x),q] < б. Таким образом, нами доказано, что lim &[f(x),q] = 0.
Это, по определению, означает, что g = f(p) = lim /(ж). Тем самым
ж—»-р
установлено, что функция / непрерывна в точке р. Лемма доказана. ■
Свойство непрерывного отображения, устанавливаемое леммой 4.2
для случая метрических пространств, принимается за исходное при
определении непрерывности в точке отображений топологических
пространств.
Пусть даны топологические пространства X и Y и отображение
f:X—>Y. Говорят, что отображение / непрерывно в точке р Е X,
если выполнено следующее условие.

76 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Какова бы ни была окрестность V точки q = f(p) в топологическом
пространстве У, ее полный прообраз f~l(V) является окрестностью
точки р.
■ Теорема 4.1. Пусть X, Y и Z — произвольные топологические
пространства. Предположим, что заданы отображения f:X—*Y
и g : Y —> Z. Тогда если отображение f непрерывно в точке р G I,
а отображение g непрерывно в точке q = /(р), то сложная функция
/1 = 30/ непрерывна в точке р.
Доказательство. Предположим, что отображения / и g
удовлетворяют всем условиям теоремы. Зададим произвольно окрестность W
точки g(q) = h{p). Пусть V = g~l{W) и U = /"1(Vr). Так как
отображение g непрерывно в точке q, то V есть окрестность точки q. Так как
/, по условию, непрерывно в точке р, то U есть окрестность точки р.
Равенство (3.11) леммы 3.2 позволяет заключить, что
U = h-\W).
Окрестность W точки h(p) была выбрана произвольно. Мы
получаем, таким образом, что полный прообраз любой окрестности точки
h{p) относительно отображения h является окрестностью точки р,
и тем самым непрерывность отображения / в точке р установлена.
Теорема доказана. ■
Пусть X и Y есть произвольные топологические пространства.
Отображение f: X —> Y называется непрерывным, если оно непрерывно
в каждой точке х £ X.
ш Теорема 4.2. Пусть даны топологические пространства X и У.
Для того чтобы отображение /: X —► У было непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого открытого множества V
пространства У его полный прообраз f~l(U) относительно отображения f
был открытым множеством пространства X.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть V есть
произвольное открытое множество пространства У, U = /"1(V).
Возьмем произвольно точку х £ U. Пусть у = f{x). Точка у принадлежит
множеству V.
Так как, по условию, V есть открытое множество, то V является
окрестностью каждой своей точки, в частности, V есть окрестность
точки у. Так как отображение / непрерывно, то согласно данному здесь
определению непрерывного в точке отображения пространства X в
пространство У множество U = f~l{V) является окрестностью точки х.
Точка х £ U была взята произвольно. Мы получаем, таким образом,

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 77
что множество U является окрестностью любой своей точки, откуда
в силу леммы 4.1 вытекает, что множество U открытое.
Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем его достаточность. Предположим, что
отображение /: X —> У таково, что для всякого открытого множества V
пространства У множество /""1(Vr) открытое. Возьмем произвольно
точку р Е X, и пусть q = /(р). Пусть G С У есть произвольная
окрестность точки q.
Согласно определению окрестности точки найдется открытое
множество V С G такое, что q Е V. Множество U = /"^(V) согласно
предположению является открытым. Имеем у е U и U С f~l{G).
Отсюда следует, что множество f"1(G) является окрестностью
точки р. Окрестность G точки q была выбрана произвольно.
Мы получаем, таким образом, что полный прообраз всякой
окрестности G точки q — f(p) является окрестностью точки р. Значит,
согласно определению отображение / непрерывно в точке р. Так как
точка р £ X была выбрана произвольно, то тем самым непрерывность
отображения / установлена. Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Для того чтобы отображение f:X—>Y
топологического пространства X в пространство Y было непрерывно, необходимо
и достаточно, чтобы полный прообраз всякого замкнутого множества
был замкнутым множеством.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
/: X —> Y есть непрерывное отображение. Пусть Р С Y есть замкнутое
множество. Тогда множество V = Су(Р) есть открытое множество.
Согласно теореме 4.2 множество f~l(V) открытое.
В силу следствия леммы 3.2 множество f"l{P) является
дополнением в пространстве X множества f~l{V), и, следовательно, /"1(Р)
есть замкнутое множество. Необходимость условия следствия доказана.
Докажем достаточность условия. Пусть отображение
f: X -+Y таково, что полный прообраз всякого замкнутого множества
в пространстве X есть замкнутое множество в пространстве У.
Пусть V С У есть открытое множество в пространстве У.
Тогда множество Р = Су (У) является замкнутым. В силу сделанного
предположения множество f"1(P) замкнутое. Из следствия леммы 3.2
множество f~l(V) является дополнением в пространстве X множества
f"1(P)1 и, следовательно, f~l{V) есть открытое множество.
Таким образом, мы получаем, что полный прообраз всякого
открытого множества пространства У при отображении / является
открытым в X, и, значит согласно теореме 4.2 отображение / непрерывно.
Следствие доказано. ▼

78 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства
Определим понятие предела для отображений топологических
пространств. Пусть дано топологическое пространство X. Точка р
пространства X называется его предельной точкой, если любая
окрестность G точки р содержит точки, отличные от р.
Пусть р есть предельная точка пространства X. Предположим, что
заданы топологическое пространство У и функция / со значениями в У
такая, что величина f(x) определена для всякого х G X, отличного от р.
В самой точке р функция / может быть определена, а может и не иметь
никакого определенного значения.
Точка q пространства У называется пределом f(x) при я,
стремящемся кр, в обозначениях
q= lim /(ж),
ж—+Р
если функция /*: X —► У, определенная соглашением f*(x) = f(x) при
х ф р и f(p) = g, является непрерывной в точке р.
В общем случае невозможно гарантировать даже единственность
предела. Для того чтобы это имело место, на пространство У должно
быть наложено следующее дополнительное ограничение.
Топологическое пространство М называется отделимым или
хаусдорфовым пространством, если оно удовлетворяет следующему
условию.
Т4 (аксиома отделимости). Для любых двух точек
р £ М и q £ М таких, что р Ф q, можно указать окрестность U точки р
и окрестность V точки q так, чтобы множества U иУ не имели общих
точек.
ш Лемма 4.3. Всякое метрическое пространство является
отделимым пространством.
Доказательство. Действительно, предположим, что М есть
метрическое пространство, и пусть р есть его метрика. Зададим
произвольно точки р и q пространства М такие, что р Ф q. Тогда /?(р, q) > 0.
Положим 6 = -р (p,q). Очевидно, 6 > 0. Пусть U = В(р,6)
и V = B(q,6). Множество U является окрестностью точки р, V есть
окрестность точки q.
Докажем, что U и V не имеют общих точек. Действительно,
предположим, что нашлась точка х Е U П V. Так как х £ U, то р{р,х) < £,
и так как х Е V, то />(ж, q) < 8.
В силу неравенства треугольника отсюда вытекает, что
/>(Р> Ч) < р(Р, x) + p(x,q)<6 + 6 = 26 = p(p, q).

§ 4. Непрерывные отобра,жения топологических простра,нств 79
Допущение, что множества (7иК имеют общую точку, таким образом,
приводит нас к противоречию. Значит, U П V = 0. Лемма доказана. ■
■ Теорема 4.3. Пусть даны топологические простршства, X и У,
и пусть р есть предельная точка, пространства, X. Предположим, что
да,на, функция f со зна,чениями в У, определенна,я на, множестве X \ {р}.
Тогда, если пространство У является отделимым, то функция f имеет
не более одного предела, при ж, стремящемся к р.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Предположим, что
qi = lim f(x) и q<i = lim f(x).
Положим h(x) = f2(x) = f(x) при x ф p и fi(p) = qu /2(p) = 92.
Функции /i и /2 непрерывны в точке р. Так как, по предположению,
Ч\ Ф <?2> то найдутся окрестность Vi точки <ji и окрестность Ц точки 92 >
не имеющие общих точек. Поэтому пересечение V\ П V2 есть пустое
множество.
Пусть I7i = /f HVi) иС/2 = Л""1^)- Множества ^ и tf2

представляют окрестность точки р. Положим U = J7i П (/г.
Покажем, что множество (7 является окрестностью точки р.
Действительно, согласно определению окрестности существуют открытые
множества
GiCffi и G2Ctf2,
каждое из которых содержит точку р. Множество G = G\C\G2
открытое иреОкОси. По определению, это и означает, что U есть
окрестность точки р.
Так как р есть предельная точка пространства X, то согласно
определению предельной точки найдется точка х Е U такая, что х ф р.
Имеем х Е U\ и одновременно ж G С^2) откуда следует, что /(х) Е Vi
и в то же время f(x) Е V2. Это, однако, противоречит тому, что, по
условию, множества V\ и Ц не имеют общих элементов.
Итак, допущение, что отображение / имеет два различных
предела, приводит к противоречию. Теорема доказана. ■
Типичной является ситуация, когда функция определена на
некотором подмножестве топологического пространства. Этот случай,
однако, формально сводится к случаю, когда это подмножество совпадает
с самим пространством.
Пусть даны множество А С X и точка р Е X. Положим А' =
= Аи{р}, А' есть множество, получаемое из А присоединением точки р.
Снабдим А1 топологией 2?ач индуцированной из X. Это означает,
что открытыми множествами в А1 считаются такие и только такие

80 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
множества GC А', которые могут быть представлены в виде G = СУП А',
где U есть открытое множество в X.
Точка р называется предельной точкой множества А, если р есть
предельная точка топологического пространства (А', ^').
Пусть дано топологическое пространство У и функция / со
значениями в У, определенная на множестве А С X. Пусть р есть предельная
точка множества А. Тогда определено пространство А* —
подпространство X.
Предположим, что q Е У есть предел функции / как отображения
пространства A' bY при ж, стремящемся к р. В этом случае мы будем
говорить также, что q есть предел f(x) при ж, стремящемся к точке
р Е -Sfim(A) по множеству А, и писать
q= lim f(x).
Пусть X и У — произвольные топологические пространства.
Отображение /: X —> У называется гомеоморфизмом пространств X uY',
если / биективно и каждое из отображений / и Z""1 является
непрерывным.
Топологические пространства X и У называются гомеоморфными
или топологически эквивалентными^ если существует гомеоморфизм
/: X —► У пространств X и У.
Тождественное отображение топологического пространства X,
очевидно, есть гомеоморфизм. Мы получаем, следовательно, что всякое
топологическое пространство гомеоморфно самому себе.
Если X гомеоморфно У и /: X —► У есть гомеоморфизм этих
пространств, то обратное отображение f"1 есть гомеоморфизм пространств
У и X. Отсюда получаем, что также и пространство У гомеоморфно X.
Пусть даны топологические пространства X, У и Z. Тогда если
/: X —► У есть гомеоморфизм пространств 1иУ, a j:F —► Z —
гомеоморфизм пространств У и Z, то сложное отображение h = g о f
представляет собой гомеоморфизм пространств X ж Z. Действительно,
так как / и g есть взаимно однозначные отображения, то и /i взаимно
однозначно. Далее, / отображает X на У, a g отображает У на Z.
Отсюда следует, что h отображает X на Z.
Имеем, очевидно, /i"1 = Z"1 о «jf*1. Отображения / и /-1, # и 0""1
непрерывны. Отсюда в силу теоремы 4.1 следует, что отображения h
и h~l также непрерывны и, значит, h = g о / есть гомеоморфизм
пространств X и Z. Из сказанного, в частности, следует, что если
пространство X гомеоморфно У, а У гомеоморфно Z, то пространство X
гомеоморфно Z.

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 81
Пусть X и У — произвольные топологические пространства
и /: X —► У есть гомеоморфизм этих пространств. Тогда если U
есть открытое множество в X, то f{U) является открытым множеством
в пространстве У. И аналогично, образ всякого замкнутого множества
пространства X есть замкнутое множество пространства У.
Действительно, пусть д = f"1. Отображение д непрерывно, и для
всякого множества Е С X справедливо равенство f(E) = g"1(E).
Отсюда следует, что если Е — открытое множество в X, то f(E) является
открытым в У, а если Е — замкнутое множество в X, то f(E) есть
замкнутое множество в У.
Сказанное позволяет указать некоторый способ задания
топологии на произвольном множестве.
■ Лемма 4.4. Пусть даны множества X и У и биективное
отображение /: X —► У. Предположим, что в X введена некоторая
топология ЗГ. Пусть 3Tf есть совокупность всех множеств U С У, представи-
мых в виде U = /(G), где G Е У.
Совокупность множеств 5Г$ представляет собой некоторую
топологию в множестве У, и отображение / является гомеоморфизмом
топологических пространств (X, 3?) и (Y,&f).
Если fa: X -* Y и /2: X —> У — два биективных отображения,
то топологии 2?jx и &f2 совпадают в том и только в том случае, если
отображение <р = Д""1 о /2 есть гомеоморфизм пространства X.
Доказательство. Пусть даны топологическое пространство X,
множество У и биективное отображение /: X —> У. Пусть «^у есть
некоторое множество подмножеств У, определенное, как указано в
формулировке леммы.
Так как / биективно, то f(X) = У. Ясно также, что /(0) = 0.
Мы видим, что У £ ^/ и 0 е ^/, так что условие Т1 определения
топологии для совокупности ty подмножеств У выполняется.
Положим g = /-1. Тогда в силу биективности / для всякого Е С X
множество /(15) есть совокупность всех у Е У, для которых р(у) Е 15,
т. е. /(15) = g~l(E). Используя утверждение леммы 4.1, отсюда
нетрудно заключить, что объединение любого семейства множеств,
принадлежащих ^/, также принадлежит STj и пересечение любого
конечного семейства множеств из &j также является элементом ^}.
Следовательно, мы получаем, что и аксиомы Т2 и ТЗ для совокупности
множеств 2Ff выполнены.
Отображение / является гомеоморфизмом топологических
пространств (X, &) и (У, &f). Действительно, пусть V Е ^/. Тогда найдется
U Е ЗГ такое, что V = /(17). В силу биективности отображения /
отсюда следует, что U = /"^(V).

82 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства
Мы получаем, что для отображения / полный прообраз всякого
множества, открытого в топологии ^/, есть открытое множество в
пространстве X. Согласно теореме 4.2 отсюда следует, что отображение /
непрерывно.
Пусть д = /-1. Для всякого U € <Т имеем ff"1^) = /(#) € 5).
В силу теоремы 4.2 отсюда заключаем, что отображение д — f^1
также непрерывно. Этим доказано, что / есть гомеоморфизм
пространств (X, &) и (У, 5».
Пусть /i и /2 есть биективные отображения пространства X на
множество У. На множестве У определены топологии ^ и ^/2.
Предположим, что эти топологии совпадают. Тогда каждое из отображений
/2 : X —► У и /f1: У —► X есть гомеоморфизм. Значит, их суперпозиция
/•f1 о /2 есть гомеоморфизм пространства X.
Обратно, предположим, что биективные отображения /i: X —> У
и /2: X —> У таковы, что отображение у? = Д"1 о /2 есть гомеоморфизм
пространства X. Имеем /2 = /i о <р.
Пусть С/ есть произвольное открытое множество в пространстве X.
Имеем /г(£0 = fi[<p(U)]. Так как у> есть гомеоморфизм, то множество
V = у>((7) является открытым. Отсюда множество /2(CO = /i(V) Е
Е ^/х. Следовательно, мы получаем ^/2 С ^д.
Так как у> есть гомеоморфизм, то и отображение (р~г = Д"1 о /а
также есть гомеоморфизм. Меняя в проделанных рассуждениях /i и /2
местами, получим, что 5д С ^/2 и, значит, ^д = ^)2. Лемма
доказана. ■
Пусть даны топологические пространства X и У и множества
А С X и J5 С У. Будем говорить, что множества А и В гомеоморфнъц
если А и 5, как подпространства пространств X и У, представляют
собой гомеоморфные топологические пространства.
Приведем примеры, иллюстрирующие введенные понятия.
Пример 1. Отрезок (0,1) и множество всех вещественных чисел Е
х
гомеоморфны. Действительно, для х Е (0,1) положим f(x) = .
J. —"" X
Имеем f'{x) = 7 —. Отсюда видно, что функция / является строго
(1 — х)2
возрастающей в промежутке (0,1). При х —> 0 функция f(x) —► 0,
при я —» 1 функция /(ж) —> оо. Отсюда вытекает, что / отображает
промежуток (0,1) на промежуток (0, оо). В силу теоремы об обратной
функции для функций одной переменной (теорема 4.3, глава 2) / есть
гомеоморфизм промежутков (0,1) и (0,оо).
Теперь рассмотрим функцию g: x н-> In ж. Эта функция, как мы
знаем, отображает промежуток (0, оо) на множество К. В силу свойств

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 83
логарифмической и показательной функций (см. главу 3, § 1) д
представляет гомеоморфизм промежутка (0,оо) и множества Е. Функция
h = д о /: х € (0,1) »-► In ( ) представляет гомеоморфизм отрезка
\1 — х/
(0,1) и множества всех вещественных чисел Е.
Пример 2. Пусть / есть непрерывная строго возрастающая
функция, определенная в промежутке (0,1) такая, что
lim f(x) = — оо, lim f(x) = oo.
ж—*-f-0 ж—*1
Доопределим функцию /, полагая /(0) = —оо и /(1) = оо. В результате
мы получим биективное отображение / промежутка [0,1] на
расширенную числовую прямую Е.
Определим некоторую топологию в Е путем соглашения, что
отображение / есть гомеоморфизм промежутка [0,1], наделенного
топологией, индуцированной из Е, и множества Е. Построенная топология не
зависит от выбора функции /. Действительно, если д — произвольная
другая функция, удовлетворяющая аналогичным условиям, то f"1 о д
есть непрерывная строго возрастающая функция на промежутке [0,1]
и, значит, представляет гомеоморфизм отрезка [0,1] как
топологического пространства.
Пример S. Пусть || -|| есть произвольная норма в пространстве Еп.
Пусть А есть открытый шар с центром 0 и радиусом г > 0
относительно нормы || « ||, т. е.
A={xeRn\\\x\\<r}.
Покажем, что множество А гомеоморфно шару 2?(0,1) пространства Еп.
Для х £ Еп положим ip(Q) = 0, а в случае если х ф 0, то пусть
IUII
ц>(х) = ^-~7Х*- Покажем, что функция <р непрерывна. В силу теоремы 3.2
г\х\
существует постоянная L < оо такая, что для всякого вектора х Е Еп
выполняются неравенства
Ь"г\х\ < ||г|| <L\x\.
Для любых #i,£2 £ Кп выполняются неравенства
||si|- Nl| < |я?1 -я2|
и
|ЫЫЫ| < Iki - *2|| < £|*i - Ы

84 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства
откуда следует, что функции х \-> \х\ и х ь-> ||ж|| непрерывны в К71.
Отсюда, очевидно, вытекает, что функция tp непрерывна в каждой точке
х ф 0. Итак, мы имеем
И«)| = М < £м,
откуда следует непрерывность у? в точке 0.
Докажем, что <р есть взаимно однозначное отображение Кп на себя.
Для этого достаточно установить, что уравнение
<р(х) = у (4.1)
однозначно разрешимо при любом у Е Шп. Если ж удовлетворяет
уравнению (4.1), то
Ы = И. (4.2)
Г
Отсюда следует, что если у = 0, то ||я|| = 0 и, значит, в этом случае
уравнение (4.1) имеет единственное решение х = 0.
Пусть у ф 0. Если векторы ж и р 1п таковы, что х ф 0 и у = Аж,
где А > 0, то |у| = А|ж| и \\у\\ = А||я||. Отсюда вытекает, что для данных
векторов х и у выполняется равенство
К = \А
11*11 Ы
Ввиду сказанного, из равенства (4.1) следует, что
___ ф| __ г\у\
х~Ы\У~Ыу-
Мы получаем, таким образом, что если х есть решение уравнения (4.1),
то
Лу\
Легко проверяется, что данное х действительно является решением
уравнения (4.1).
Таким образом, нами установлено, что <р есть непрерывное
биективное отображение.
Обратное отображение <р~г при этом определяется следующим
образом:
у."1(0) = 0,
и при у ф 0
Как нетрудно показать, отображение у?"1 непрерывно и,
следовательно, у> есть гомеоморфизм пространства Шп. При этом у>
отображает множество А на шар 5(0,1) пространства Кп, откуда вытекает,
что множества А и 5(0,1) гомеоморфны.

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 85
4.2. Понятие компактного множества в топологическом
пространстве
Определим понятие компактного множества в топологическом
пространстве. За исходное, в общем случае, мы примем то свойство
компактных метрических пространств, которое было получено в итоге
определенного, достаточно кропотливого исследования и содержится
в теореме Бореля об открытом покрытии (см. §2, теорема 2.4).
Пусть дано топологическое пространство X и множество А С X.
Напомним, что семейство (Е% С X)^s множеств пространства X
называется покрытием множества А, если объединение множеств этого
семейства совпадает с X.
Иначе говоря, (Е% С X)^s есть покрытие множества А, если
всякая точка х Е А принадлежит по крайней мере одному из множеств Е^.
Если (Е^)^Е есть покрытие множества А и Е С Е таково, что
объединение множеств Е%, соответствующих значениям £ Е Е,
содержит А, то мы будем говорить, что (Е^)^^ есть подпокрытие покрытия
(Et)tez множества А.
Покрытие (£ff)feE называется открытым, если множества U^,
£ Е Е, все открытые.
Множество А в топологическом пространстве X называется
компактным, если для всякого открытого покрытия (^)^ен множества А
существует конечное множество {£ь£2> • • • ,£т} такое, что множест-
т
ва U(. образуют покрытие множества А, т. е. А С (J U^.
Топологическое пространство X называется компактным, если
для него выполняется аксиома отделимости Т4 и множество всех его
точек X удовлетворяет условиям предыдущего определения.
Иначе говоря, топологическое пространство X компактно, если
оно отделимо и для всякого открытого покрытия (U()(eE пространства
можно указать конечное множество {fb&j - • • >£m} такое, что множе-
т
ства и%{ образуют покрытие пространства X, т. е. X = (J [7^..
■ Теорема 4.4. Если топологическое пространство X
удовлетворяет условию отделимости, то всякое компактное множество в нем
является замкнутым.
Доказательство. Пусть X есть отделимое топологическое
пространство и А — произвольное компактное множество в X. Возьмем
произвольно точку р Е Сх(А). Тогда если х Е А, то х ф р, и, значит,
в силу условия отделимости пространства найдутся открытые
множества Ux и Vx такие, что х Е Ux, р Е Vx, и множества Ux и Vx не имеют

86 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
общих точек. В частности, мы получаем семейство открытых
множеств (UX)X£A- Для всякой точки х Е А существует множество этого
семейства, которому точка х принадлежит. Например, множество Ux
удовлетворяет этому условию. Это означает, что семейство (UX)X£A
образует открытое покрытие множества А. Так как, по условию,
множество А компактно, то найдется конечно^ множество {£i,#2> • • • ,xm}
такое, что множества Uxn i = 1,2, ...,m, образуют покрытие
множества А.
m
Пусть V = П Vx.. Точкар принадлежит каждому из множеств VXi,
t=i
и, следовательно, р Е V. Множество V открытое как пересечение
конечного числа открытых множеств. Для всякой точки х £ А существует г,
1 < г < т, такое, что х Е Ux. и, значит, х £ VXi. Отсюда следует, что
никакая точка х множества А не принадлежит множеству V и,
значит, V С СхА. В частности, мы видим, что множество СхА является
окрестностью точки р. Так как р Е СхА было взято произвольно, то
мы получаем, что множество СхА является окрестностью любой своей
точки и, значит, СхА есть открытое множество.
Из доказанного следует, что А = Сх(СхА) есть замкнутое
множество. Теорема доказана. ■
■ Лемма 4.5. Пусть А есть компактное множество в
топологическом пространстве X. Тогда всякое замкнутое множество,
содержащееся в А, является компактным множеством.
Доказательство. Пусть А С X есть компактное множество,
и пусть Е С А есть замкнутое множество. Пусть (U^)^s есть
произвольное открытое покрытие множества Е. Положим U = Сх(Е).
Множества U и t/f, где £ Е Е, образуют открытое покрытие
множества А. Действительно, если х £ Е, то х Е U. Если же х Е Е, то х
принадлежит одному из множеств U{.
В силу компактности множества А из покрытия множества А,
образованного множествами U и U^ можно выбрать конечное
подпокрытие. В это конечное подпокрытие, возможно, будет входить
множество U = Сх(Е). Так как U не содержит точек множества Е С А,
то это подпокрытие не может состоять из одного множества U и,
значит, в него обязательно войдут множества U^ для некоторых значений
& Е 5, % = 1,2,...,т.
Всякая точка х Е Е принадлежит по крайней мере одному из
множеств U^.j ибо в противном случае выбранные множества i7, (7^,
г = 1,2,..., m, не будут образовывать подпокрытие множества A D Е.
Таким образом, мы получаем, что из всякого подпокрытия множества Е
можно извлечь конечное подпокрытие, что согласно определению
означает, что множество Е компактно. Лемма доказана. ■

§ 4. Непрерывные отображения топологических пространств 87
■ Теорема 4.5. Пусть X есть хаусдорфово топологическое
пространство и (A{)££s есть семейство компактных множеств пространства
X, Предположим, что для любого конечного множества {^, £2> • • • > €k}
~ к
значений £ Е Е пересечение f] А%. непусто. Тогда непусто пересечение
3 = 1
всех множеств данного семейства.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Требуется доказать, что существует точка х Е X, принадлежащая всем
множествам данного семейства (А^)^е=-
Предположим, что такая точка не существует. Выберем
произвольно множество Ло = Af0. Положим 11$ = СхА$. Согласно
теореме 4.4 каждое из множеств А{ является замкнутым и, значит,
множества и% являются открытыми.
Так как согласно предположению не существует точки,
принадлежащей всем множествам Af, то для всякой точки х Е Ао
найдется £ Е S такое, что х £ А% и, значит, х Е Щ. Отсюда вытекает, что
множества U( образуют покрытие множества Ао = А^0.
Так как Ао компактно, то найдется конечное множество значений
£ъ £2 > • • • > f m такое, что множества U^, г = 1,2,..., га, образуют
покрытие множества Ао.
В силу условия доказываемой теоремы существует точка р Е X,
принадлежащая множествам Ао = Af0, Af x, Af2,..., Af m. Точка р
принадлежит, в частности, множеству Ао- При каждом г = 1,2,...,га
точка р Е А^. и, значит, для всех этих значений г точка р не
принадлежит множеству {/£. = C^Af..
Множества (7^, однако, образуют покрытие множества Ао, и
поэтому всякая точка множества Ао, в том числе и точка р, должна
принадлежать хотя бы одному из них.
Итак, допустив, что не существует точки, принадлежащей всем
множествам данного семейства, мы приходим к противоречию.
Следовательно, такая точка существует. Теорема доказана. ■
■ Теорема 4.6. Пусть даны топологические пространства X и Y
и непрерывное отображение f:X —> У. Тогда если пространство X
компактно, то f(X) есть компактное подмножество пространства У.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно открытое покрытие (V^^E множества Е = f(X).
Положим Щ = /_"1(V^).
Отображение /, по условию, непрерывно, и каждое из множеств V^
является открытым. В силу теоремы 4.2 отсюда следует, что каждое
из множеств U{ является открытым. Мы получаем, таким образом,
некоторое семейство (^)^^н открытых множеств пространства X.

88 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
Возьмем произвольно точку х е X. Имеем f(x) Е /(X), и так как
семейство множеств (V^)^es является покрытием множества /(X), то
найдется £ Е Е такое, что f(x) Е V{ для данного х . Отсюда следует,
что х Е 1"1{У^) = £^.
Точка ж Е X была выбрана произвольно. Таким образом, мы
получаем, что всякая точка пространства X принадлежит хотя бы одному
из множеств U^. Это означает, что семейство множеств (^)^^н
является покрытием пространства X.
По условию, пространство X компактно. Согласно определению
компактного множества (см. выше) отсюда вытекает, что найдется
такое конечное множество {£ь£2> • • • ?fr} значений £ Е Е, что множества
U^, г = 1,2,..., г, образуют покрытие множества X. Отсюда следует,
что множества Vf., г = 1,2,..., г, образуют покрытие множества f(X).
Действительно, возьмем произвольно точку у Е f(X). Тогда найдется
х Е X такое, что у = /(ж). Так как множества U^ составляют
некоторое покрытие множества X, то найдется номер г, 1 < г < г, такой, что
ж Е C/f.. Отсюда следует, что у = /(ж) € V^..
Итак, каждая точка множества f(X) принадлежит по крайней мере
одному из множеств V&, г = 1,2,..., г, т. е. множества V^., 1 < г < г,
образуют покрытие множества f(X).
Открытое покрытие (V^)^gh множества f(X) было выбрано
произвольно. Таким образом, мы получаем, что из всякого открытого
покрытия множества f(X) можно извлечь конечное подпокрытие. Согласно
определению это означает, что f(X) есть компактное множество.
Теорема доказана. ■
Задачи
9.1. Пусть /: IRn —» Е есть непрерывная функция. Предположим, что f(x)
стремится к со при \х\ —* со. Доказать, что в этом случае на всяком
непустом замкнутом множестве А пространства Ш71 функция / принимает свое
наименьшее на этом множестве значение, т. е. существует точка xq £ A
такая, что f(xo) = inf /(ж).
9.2. А С К71 — замкнутое множество, хо Е Кп. Доказать, что найдется
точка уо Е А такая, что \хо - уо| = inf \xq - у\.
у£А
9.3. Пусть Аи В — непересекающиеся замкнутые множества в метрическом
пространстве М с метрикой р. Доказать, что если А компактно, то найдется
число 6 > О такое, что р(ж, у) > 6 для всякого х Е А и любого у Е В.
Доказать, что в этом случае существует точка хо Е А такая, что р(хо,у) =
= inf p(x,y).
х£А

Задачи
89
9.4. Пусть М есть метрическое пространство и {An)n£N —
последовательность непустых подмножеств М. Предположим, что каждое из множеств Ап
компактно и последовательность Ап является убывающей, т. е. при каждом п
выполняется включение Ап Э Ап+\. Доказать, что тогда существует точка
xq £ М, принадлежащая всем множествам Ап-
9.5. Пусть (Mi,/9i), (М2,/>г) — компактные пространства, (М,р) — их
декартово произведение. Пусть /: М —* К — непрерывное отображение.
Для всякого х £ Mi положим F(x) = inf f(x,y). Доказать, что функция
ж н-+ F(:r) непрерывна. з/€М2
9.6. Пусть Е — компактное множество на плоскости, не лежащее в одной
прямой. Доказать, что среди всех содержащих его треугольников есть
треугольник наименьшей площади.
9.7. Пусть А С Кта есть компактное множество, содержащее по крайней
мере две различные точки. Доказать, что среди всех замкнутых шаров в К71,
содержащих А, есть шар наименьшего радиуса.
9.8. Пусть (М, р) компактно и /: М —> М — отображение такое, что
p[f(x)if(y)] ^ р{х)У) Для любых ж, у £ М. Доказать, что / есть
изометрическое отображение М на себя, т. е. /(М) = М и р[/(я),/(у)] = р(х,у)
для любых ж, у € М.
9.9. Пусть (М, р) есть компактное метрическое пространство и /: М —>
—» М есть отображение пространства М на себя такое, что p(f(x),f(y)) <
< р(х,у) для любых ж, у £ М. Доказать, что / есть изометрическое
отображение пространства М.
9.10. Даны метрические пространства Mi и М2 и отображение /: Mi —> М2.
Рассмотрим прямое произведение Mi x M2, и пусть Г^ есть график
отображения /, т. е. множество всех точек (ж, у) £ Mi X М2 таких,что у = f(x).
Доказать, что если пространство Mi компактно, то для того, чтобы
отображение / было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы множество Tf
было компактным подмножеством Mi x M2.
9.11. Пусть (М, р) есть метрическое пространство. Для произвольных
множеств А С М и В С М положим р(Л,В) — inf p(x)y). (Наглядно:
х£А,у£В
р(А,В) — длина самого короткого моста, соединяющего А и В.) Доказать,
что если для любых двух замкнутых множеств А и В пространства М, не
имеющих общих точек, величина р(А, В) > 0, то пространство М компактно.
9.12. Функция /:М~+Ев метрическом пространстве М называется полу-
непрерывной снизу в точке xq £ М, если для всякого е > 0 можно указать
такое 6 > 0, что для всех х £ М, для которых />(ж,#о) < ^> выполняется
неравенство f(x) > /(tfo) ~" £• Функция /: М —* К называется
полунепрерывной снизу на М, если она полунепрерывна снизу во всех точках
множества М. Функция /: М —> К называется полунепрерывной сверху, если
функция х £ М н-► — f(x) полунепрерывна снизу. Доказать, что для того, чтобы
функция /: М —* К была полунепрерывной снизу в точке жо £ М, необходимо
и достаточно, чтобы для всякой последовательности (tfn)n£N точек
пространства М, сходящейся к жо, выполнялось неравенство /(хо) < nm /(^п).
п—»-оо

90 Гл. 9. Компактные множества, и топологические пространства,
9.13. Пусть М компактно. Доказать, что для того, чтобы функция /: М —►
—► К была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы
существовала последовательность (fn: М —> K)n€i>j непрерывных функций
такая, что числовая последовательность (/n(ff))neN является возрастающей
при каждом х £ М и fn(x) —> /(я) для всех х £ М.
9.14. Доказать, что для того, чтобы функция /: М —* К была
полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого h £Ш
множество {жЕМ: f(x) < h} было замкнутым.
9.15. Доказать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна снизу.
9.16. Доказать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна сверху.
9.17. Доказать, что если пространство М компактно, то всякая
полунепрерывная снизу функция принимает на М свое наименьшее значение.
9.18. Пусть (М, р) есть компактное метрическое пространство, {xv)v£N есть
последовательность точек этого пространства. Доказать, что если для
всякого х £ М существует предел lim p(xu^x)) то последовательность xv
является сходящейся. |>-юо
9.19. Пусть дано метрическое пространство М с метрикой р. Доказать,
что если всякая непрерывная вещественная функция, определенная на М,
принимает свое наибольшее значение, то М компактно.
9.20. Пусть (М, р) — метрическое пространство. Положим
d(M) = sup р{х,у).
х£М,у£М
Показать, что если (М, р) компактно, то d(M) конечно и существуют точки
хо £ М и уо е М такие, что />(ffo>2/o) = d(M). (d(M) называется диаметром
пространства М.)
9.21. Пусть (М, р) — компактное метрическое пространство, N(e) —
наименьшее число элементов, которое может иметь £-сеть пространства (М, р).
Система множеств А\, A<i,..., Аг в пространстве (М, р) называется е-разли-
чимощ если диаметр каждого из этих множеств не превосходит е и
множества А{ попарно не пересекаются. Наибольшее число элементов, из которых
может состоять е-различимая система в (М, />), обозначается через К(е).
Число log2 N(e) = #(£, М) называется е-энтропиещ число log2 К(е) = С(е, М)
называется е-емкостъю пространства (М,р). Доказать, что для всякого
е > 0 выполняется неравенство Я(2е, М) > С(е) М).
9.22. Построить конечную е-сеть в единичном кубе Q = [0,1] X [0,1]х • • • х [0,1]
пространства Кп. Доказать, что #(e,Q) = nlni + 0(l) при е —► 0.
9.23. Пусть X = RUoo. Топологию в X определим посредством базы 3&,
элементами которой являются, во-первых, всевозможные интервалы (а, Ь) С К
и, во-вторых, всевозможные множества вида {оо}П(—оо, а)С\(}), оо). Доказать,
что пространство X, определенное таким образом, гомеоморфно окружности
{(*i,*2)eR2|*? + *2 = i}.

Глава 10
ОСНОВЫ ГЛАДКОГО АНАЛИЗА
Г
♦ Общая теорема о сходимости метода
последовательных приближений (принцип сжимающих отображений)
• Абстрактная теорема об обратной функции •
Геометрическое представление процесса построения
последовательных приближений ♦ Теорема о
локальной обратимости гладкого отображения •
Дифференциальные свойства обратного отображения •
Понятие о произвольной системе координат в
пространстве Шп • Системы координат в Ш71 • Теорема о
неявных функциях • Первая и вторая теоремы о
выпрямляющем диффеоморфизме • Теорема о ранге (общая
теорема о выпрямлении) • Понятие о
функционально зависимых и независимых системах функций •
Понятие k-мерного подмногообразия класса Сг в
пространстве Шп • Отображение класса Сг с произвольной
областью определения • Понятие касательной
плоскости в точке многообразия • Строение множества
решений системы уравнений с условием
невырожденности • Множества, определяемые системой уравнений
и одним неравенством* Теорема о локальной
представимости многообразия системой уравнений •
Правило нахождения точек экстремума функции на
множестве (метод множителей Лагранжа) • Распознавание
точек условного экстремума • Приложения к задаче
о собственных значениях симметрической матрицы •
Теорема Морса о невырожденных критических точках
функции ♦
_|

92
Гл. 10. Основы гладкого анализа
§ 1. Общая теорема о разрешимости уравнений
Для функций одной переменной (см. КМ А, часть I, книга 1> глава 2)
была доказана теорема, устанавливающая достаточные условия
существования непрерывной обратной функции. Здесь мы докажем аналогичный
результат для функций многих переменных.
Один из известных способов приближенного решения уравнений есть
так называемый метод последовательных приближений. Он заключается
в следующем. Уравнение, которое требуется решить, представляется в виде
х = F(x). Сначала задается некоторое значение х\, а затем строится
последовательность значений (xn)n£N такая, что при каждом п величина жп+1
определяется по хп равенством xn+\ = F(xn). Если функция F непрерывна
и построенная таким образом последовательность (xn)n£N сходящаяся, то ее
предел и будет решением уравнения х = F(x). Если п достаточно велико,
то число хп может рассматриваться как приближенное значение решения
данного уравнения.
Ниже доказывается общая теорема, указывающая некоторые
достаточные условия сходимости метода последовательных приближений, которую
мы будем именовать принципом сжимающих отображений. С помощью этого
принципа далее устанавливается некоторая абстрактная теорема об
обратимости непрерывного отображения.
1.1. Принцип сжимающих отображений
1.1.1. Пусть даны метрическое пространство (М,/>), множество А С М
и отображение tp: А —► М. Точка х Е А называется неподвижной
точкой отображения у>, если х совпадает со своим образом, т. е.
выполняется равенство
х = <р(х). (1-1)
Решение разного рода уравнений часто может быть сведено к
отысканию неподвижных точек некоторого отображения.
Задачи о нахождении неподвижных точек отображения
представляют интерес, в частности, потому, что для их решения может быть
применен прием, известный под названием метода последовательных
приближений и состоящий в следующем.
Пусть дано отображение ip: A —► М такое, что <р(А) С А, и
требуется найти его неподвижную точку. Для этого сначала выбираем
некоторую точку a?i, а затем строим по ней последовательность точек
(#n)n€N пространства (М,/>), полагая х2 = ¥>(zi), #3 = ¥>(#2)> и вообще,
#n+i = ф(хп) при каждом п.

§ 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 93
Если эта последовательность сходится, а отображение <р
непрерывно, то предел последовательности (хп)п£^ является искомой
неподвижной точкой отображения ср. Действительно, пусть a = lim xn.
71 —*<Х>
Тогда также a = lim £n+i- Переходя к пределу в равенстве £n+i =
= ^п)5 в силу непрерывности функции <р получаем a = 92(a), что
и требовалось доказать.
На рис. 1 метод последовательных приближений иллюстрируется
на примере функций одной переменной. Здесь пространство (М,/>) есть
множество всех вещественных чисел Е, (р — непрерывная функция.
Рис. 1
Неподвижные точки отображения ip: Ж —► R есть абсциссы точек
пересечения графика функции ip с прямой /3 = {(х,у) \ х = у} —
биссектрисой первого координатного угла.
1.1.2. Процесс построения последовательных приближений допускает
следующее геометрическое представление.
Пусть дано первое приближение х\. Обозначим
через Pi точку (zi,£i) прямой /3 (см. рис. 1). Через точку Pi проведем
прямую, параллельную оси Оу. Эта прямая пересекает график
функции в некоторой точке Q\. Ордината этой точки есть второй член
Х2 = ip(xi) последовательности {хп)п^.
Чтобы найти третий член последовательности,
необходимо сначала найти точку, абсцисса которой равна выражению х2 =
= <p(xi). Для этого из точки Qi проведем прямую, параллельную
оси Ох. Точка Рг, в которой она пересечет прямую /?, и будет
требуемой.
Первый шаг метода последовательных приближений
геометрически заключается в построении ступеньки P1Q1P2.

94
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Чтобы выполнить следующий шаг, надо проделать те же
построения начиная с точки Рг- Из точки P<i нужно провести прямую,
параллельную оси ОУ, а затем из точки $2, в которой эта прямая
пересекает график функции, провести прямую, параллельную оси ОХ, до
пересечения с прямой /3 в точке Р$ и т. д.
В случае, изображенном на рис. 1, точки Рп и Qni как нетрудно
видеть, сходятся к точке пересечения графика функции <р с прямой /3, так
что последовательность (хп)п^ оказывается сходящейся и метод
последовательных приближений в этом случае действительно решает
задачу отыскания неподвижных точек функции (р.
В случае, представленном на рис. 2, процесс оказывается
расходящимся, как бы ни была выбрана точка х\.
pj/y=x
Рис. 2
1.1.3. Докажем общую теорему о сходимости метода
последовательных приближений. Эта теорема представляет один из самых простых
и вместе с тем один из наиболее важных результатов, касающихся
метода последовательных приближений.
Пусть даны метрическое пространство (М,/>) и множество А С М.
Отображение (р: А —► М называется сжимающим, если существует
постоянная q такая, что 0 < q < 1, и для любых ж', хп Е А выполняется
неравенство
рИх'),^")]<9/>(х',х").
Если (р удовлетворяет этому условию, то функция u(t) = qt,
очевидно, есть его модуль непрерывности (см. п. 1.5 главы 9).
Мы получаем, следовательно, что всякое сжимающее
отображение непрерывно (и даже равномерно непрерывно!).
■ Теорема 1.1. Всякое сжимающее отображение имеет не более
одной неподвижной точки.

§ 1. Общая теорема, о ра,зрешимости ура,внений
95
Доказательство. Пусть даны метрическое пространство М с
метрикой />, множество А С М и отображение (р: А —► М.
Предположим, что <р есть сжимающее отображение. Это означает,
согласно определению, что существует постоянная q такая, что 0 < q < 1,
и для любых двух точек х1, ж" Е А
р[<р(х'),ф")]<др(х',х").
Если у отображения <р вообще нет неподвижных точек, то для него
утверждение теоремы верно.
Пусть a E А есть неподвижная точка отображения (р.
Предположим, что Ь Е А также есть неподвижная точка tp. Тогда a = <р(а),
Ь = <р(Ь). Отсюда
р(а,Ь) = />[^(а),(/?(Ь)] < др(а,Ь)
и, значит, (1 — q)p(a,b) < 0. Так как, по условию, q < 1, то 1 — q > 0,
откуда получаем, что />(а, Ь) < 0 и, следовательно, />(а, 6) = 0 и а = 6.
Таким образом, установлено, что если Ь есть неподвижная точка
отображения <р, то Ь = а и, значит, в этом случае у? имеет в точности
одну неподвижную точку. Теорема доказана. ■
■ Теорема 1.2 (принцип сжимающих отображений). Пусть (М,/>)
есть полное метрическое простршство, А — за,мкнутое множество про-
стра,нства, (М, />), (р: А —► М — сжимающее отображение. Тогда, если
<р(А) С А, то <р имеет неподвижную точку, прина,длежащую
множеству А.
Всякая последова,тельность (хп)п^ точек множества, А такая, что
при каждом n Е N выполняется ра,венство хп+\ = (р(хп), является
сходящейся, и ее предел есть неподвижная точка, отобра,жения (р.
Доказательство. Пусть А есть замкнутое множество
пространства (М,/>) и (р: А —► М — сжимающее отображение множества А
в себя. Предположим, что число q таково, что 0 < q < 1, и для любых
х',х" Е А выполняется неравенство
/9[^')^(^)]<9P(^
доопределим по индукции последовательность (хп)п£^ точек
множества А. Точку х\ зададим произвольно. Если для некоторого п точка хп
определена, то полагаем xn+i = (р(хп). Последовательность (хп)п£^
этим полностью определена. Получена последовательность вида,
указанного в формулировке теоремы. Любая такая последовательность
получается данным построением.

96
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Докажем, что построенная последовательность (хп)п^ является
фундаментальной. Положим р{х\,х2) = p{xi,y>{xi)) = /. Покажем, что
для любого п Е N
p(xn+uxn)<lqn'\ (1.2)
Для п = 1 это неравенство верно.
Предположим, что неравенство (1.2) выполняется для
некоторого п. Тогда имеем
p(xn+2,xn+i) = р(<р(жп+1),<р(жп)) < 5р(а;я+1)а;я) < /д71.
Таким образом, если неравенство (1.2) выполняется для
некоторого п, то, заменяя пнап+1, мы получаем верное неравенство. В силу
принципа математической индукции из сказанного вытекает, что
неравенство (1.2) верно для всех п.
Пусть п £ N и k Е N произвольны. Тогда, применяя неравенство
ломаной, получим
р(хп,хп+к) < ^T,p(xn+i-i,xn+i) < ^2lqn+i~
t'-2
1С/
Отсюда
p{xn,xn+k) <lq > q = <- ,
rr[ 1"9 1-9
Zc?71"1
ибо, по условию, 0 < q < 1. При n —> oo имеем ► 0.
Зададим произвольно £ > 0, и пусть n G N таково, что если п> п,
/я71""1
то < е. Тогда для любого п > п и любого fc G N имеет место
1-9
неравенство /)(£п,хп+&) < е. В силу произвольности £ > 0 тем самым
доказано, что последовательность (хп)п^ является фундаментальной.
Так как согласно условию пространство (М,/>) является полным,
то существует a Е М такое, что а = lim xn.
Так как множество А замкнуто, то a Е А. Отображение у>
непрерывно. Имеем хп+\ = ¥>(яп). Переходя в этом равенстве к пределу при
п —► оо, получим а = у>(а), т. е. а есть неподвижная точка
отображения ср. Теорема доказана. ■
Замечание 1. При доказательстве теоремы 1.2 установлено
неравенство
lqn~l
p(xn,xn+k) <
1-9'

§ 1. Общая теорема, о разрешимости уравнений 97
Устремляя к к бесконечности, получим следующую оценку
отклонения n-го члена построенной последовательности (хп)п£^ от ее
предела:
lqn~l
p{xn,a)< .
1- q
Согласно теореме 1.2 а есть неподвижная точка отображения ср.
Напомним, что / здесь есть расстояние между точками х\ и х^
Отсюда следует, что, зная расстояние между двумя первыми
приближениями х\ и х2 и коэффициент сжатияq для отображения (/?, мы можем
сказать, на каком шаге можно остановить процесс построения
последовательных приближений, чтобы получить точку, отстоящую от
искомой неподвижной точки на расстоянии, заведомо меньшем
произвольного заранее заданного числа е > 0.
Замечание 2. Условия замкнутости множества А и
полноты пространства (М, />), а также требование ср(А) С Л не могут быть
отброшены, как показывают следующие примеры.
Пример 1. Пусть М = К, р{х, у) = \х - у|, А = (0,1], <р{х) = х/2
для всякого х € А. Условие <р(А) С А здесь выполняется.
Отображение <р, очевидно, является сжимающим. Для всякого ж € А имеем
ж > 0 и, значит, х > х/2 = </?(£). Отсюда видно, что в данном случае
отображение <р не имеет неподвижных точек.
В этом примере пространство (М,/>) является полным, а
множество А незамкнуто.
Пример 2. Пусть М = Q+ есть множество всех неотрицательных
рациональных чисел, р(х,у) = \х - у\. Положим А = М = Q+. Пусть
с^(х) = для х Е Q+. Для любых ж, у имеем
X "Т" ^
H«)-rt»)i=(J'2)VUsti»-''-
так что <£> есть сжимающее отображение множества Q+.
Предположим, что х G Q+ есть неподвижная точка у>, т. е. ж = -. Тогда
ж + 2
имеем ж2 + 2ж = 1.
Полученное уравнение, однако, не имеет решений
в множестве рациональных чисел! Действительно, если х есть корень
этого уравнения, то (х + 1)2 = 2, и мы получаем противоречие с фактом,
что квадрат рационального числа не может быть равен 2.
В данном примере А есть совокупность всех точек пространства
(М,/>) и, стало быть, есть замкнутое множество пространства. Однако
пространство (М, р) само не является полным!
Таким образом, теорема 1.2 перестает быть верной, если в ее
формулировке опустить условие полноты пространства (М,/>).

98
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
1.2. Абстрактная теорема об обратной функции
Пусть X есть произвольное банахово пространство. Согласно
определению это означает, что X есть полное нормированное векторное
пространство. Символ \х\ означает норму вектора х £ X.
Во всяком метрическом пространстве (М,/>) для всякой точки
а £ М и любого г > О замкнутый шар В(а,г) в пространстве (М,/>),
т. е. множество всех точек ж, для которых выполняется неравенство
р(ж,а) < г, представляет собой замкнутое множество (глава б, п. 5.1).
Пусть даны множество А С X и отображение f\A-*X. Будем
говорить, что / есть отображение класса I(q)> где q > О, если
функция и{х) = /(ж) — х такова, что для любых ж', х,! Е Л выполняется
неравенство
\u(x')-u(x")\<q\xf-x"\. (1.3)
Всякое отображение класса I(q) непрерывно. Действительно,
предположим, 0 < q и функция и: х н-» /(ж) — ж такова, что для любых ж', ж" Е А
выполняются неравенства (1.3). Возьмем произвольно точки х*,х" Е А.
Тогда имеем
|/(z') - /(*")| < \х' - х»\ + К*') - и(х")\ < (1 + g)|s' - *"|.
Из этого неравенства, очевидно, следует непрерывность отображения /.
Если q < 1, то всякое отображение класса I(q) взаимно однозначно.
Действительно, пусть / Е /(<?), где 0 < q < 1. Тогда /(ж) = я+^я), где
функция w такова, что для любых х\ хп выполняется неравенство (1.3).
Имеем х1 = /(ж') - u(z'), ж" = f(x") - u(z"), откуда
I*1 " х»\ < \f(x') - f(x")\ + \u(xf) - ч(х")\ < \f(x') - f(x")\ + Ф' - x»\.
Отсюда следует, что \f(xf)-f(x")\ > (l-q)\x'-x"\ для любых ж', х" Е А.
Предположим, что х* ф х". Тогда \х' - х"\ > 0 и, значит, также
и \f(xf) - f{x")\ > О, т. е. f(x') ф f(x"). Это означает, что
отображение / взаимно однозначно.
■ Лемма 1.1. Пусть G есть замкнутый шар B(a,r) и /: G —> X
есть отображение класса /(<?), причем О < q < 1. Тогда множество
f(G) содержит в себе шар B(b,s), где Ь = /(a), a s = (1 - q)r.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы.
Требуется доказать, что /(G) D 5(6,5), т. е. для всякого у €_B(b,s)
найдется х е G такое, что f(x) = у. Для всякого у Е B(b,s) имеем
\у-Ъ\ < s = (l-g)r\ Для произвольного hGG положим €У(х) = у-и(х).

§ i. Общая теорема, о разрешимости уравнений
99
Если у = f(x) = х + u{x), то х = у — г*(ж) = £у(аО, т- е- ж есть
неподвижная точка отображения £у. Нетрудно видеть, что и, обратно,
если х есть неподвижная точка отображения £у, то /(ж) = у.
Таким образом, чтобы доказать, что существует х Е G такое, что
f(x) = у, мы должны показать, что отображение £у имеет неподвижную
точку. Покажем, что если у Е В(Ь, s), то отображение £у удовлетворяет
условиям теоремы 1.2. Для любых х', х" Е В(а,г) имеем
!*.(*") - е»(*')| = к*") - «(*')| < Ф" - *г
так что £у есть сжимающее отображение.
Теперь докажем, что_^у преобразует шар В(а,г) в себя. Возьмем
произвольно точку х Е J5(a,r). Полагая в неравенстве (1.3) ж" = х
их' = а, получаем, что \и(х) — ц(а)\ < q\x — a\. Имеем b = /(a) = a + u(a)
и, значит, а = Ь — и(а). Отсюда
\£у(х) -а\ = \у- и(х) -6 + t*(a)| <
< |у - Ь| + |гх(ж) - ti(a)| < (1 - q)r + q\x - а\ < г.
Следовательно, если \х — а\ < г, то имеет место неравенство
\£у(х)-а\ <г,
т. е.
£у(х)еВ(а,г).
Таким_образом, установлено, что £у отображает В(а,г) в себя.
Шар В(а,г) является замкнутым множеством полного
метрического пространства X, Применим теорему 1.2, полагая в ней А =
= В(а,г), <р = £у, где у G 5(Ь,(1 - q)r). Все условия теоремы 1.2
здесь выполняются и, следовательно, для всякого у Е J5(b, (1 — <7)г)
отображение £у имеет неподвижную точку. Лемма доказана. ■
■ Лемма 1.2. Пусть f: А -+ X есть отображение класса /(<?),
причем О < q < 1. Пусть и(х) = /(ж) — х, Е = f(A). Тогда обратное
отображение g = /~"!: Е -* X принадлежит классу /(g), где g = .
1-9
Доказательство. Пусть /(ж) = х + и(х), где функция и такова,
что для любых я', xn Е А выполняется неравенство (1.3). Полагая
в равенстве f(x) = х + и(х) и х = #(у), получим у = f[g(y)] = #Ы +
+%Ы]« Отсюда g(y) = у + v(j/), где v(y) = -w[ff(y)].
Возьмем произвольно точки у\у" Е 12. Имеем
|*(у0-*(»")1 < |2/'-у"1 + 1%(2/')]-%(у")]| < lv'-v"l+«l*(v')-*(v")l,

100 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
откуда
Ш)-9(У")\<^-\У'-У"\-
\-q
Отсюда получаем
Ну') - v(y")\ = \u[g(y')] - u[g(y")]\ < q\g(y') - g(y")\ < ^-{y1 - y"\,
и тем самым лемма доказана. ■
■ Лемма 1.3. Пусть AcXnf:A-+X есть отображение класса
I(q), 0 < q < 1, и g = /-1, v(y) = g(y) - у для всех у€Е = f(A). Тогда
если для некоторой точки a € А имеем u(a) = 0 и \и(х)\ = о(\х — а\) при
х -> а, то /(а) = а и \v(y)\ = о(\у - а\) при у -> а.
Доказательство. Пусть отображение f:A—*X удовлетворяет
условиям леммы. Равенство Да) = а очевидно.
Для всякого у е Е = /(Л) имеем у = f[g(y)] = g(y) + u[g(y)], откуда
получаем, что v(y) = — u[g(y)].
Положим a(x) = u{x)l\x — a\ при х ф a, a(a) = 0. Тогда u{x) —
= a(x)\x — a\ для всех х £ X и a(x) —► 0 при ж —► a. Имеем г?(а) = 0,
Ку)1 = Шу)]\ < Шу)Шу) - «I =
= \a[g(y)]\\g(y)-g(a)\ < ^-ЩдШу - «|. (1.4)
При у -+ а получаем р(у) —► p(a) = а и, значит, a[#(y)] —► 0 при
у —> а. Из неравенств (1.4) поэтому следует, что j Г —> 0 при у —► а,
12/ — «I
т. е. г?(у) = о(\у — а\) при у —> а, что и требовалось показать. Лемма
доказана. ■
Результаты лемм 1.1, 1.2 и 1.3 можно резюмировать в виде
следующего предложения.
■ Теорема 1.3 (абстрактная теорема об обратном отображении).
Пусть даны замкнутый шар А = B(a,r) в банаховом пространстве X
и отображение f: A-* X. Предположим, что функция и: х ь-> f(x) - х
удовлетворяет следующему условию. Существует число q такое, что
0 < q < 1, я для любых х1, х11 Е А выполняется неравенство
\u{x')-u{x")\<q\x9-x"\.
Тогда отображение f непрерывно и взаимно однозначно, множество
Е = f(A) содержит в себе шар В{Ъ, (1 — q)r), где Ъ = /(a), я обратное
отображение g = Z""1 таково, что для любых у1\у" Е 15 выполняется
неравенство *
l-q
Если u(a) = 0 и и(х) = оПж — а\) при х -> а и v(y) = #(у) - у, тоЬ = а,
v{a) = 0 я г?(у) = о(|у — а|) яря у -* а.
Доказательство теоремы содержится в леммах 1.1-1.3 (см.
выше). ■

§ 2. Теорема об обратной функции 101
§ 2. Теорема об обратной функции
В этом параграфе доказывается теорема о разрешимости уравнения
у = /(я) для случая, когда f есть функция со значениями в К71, определенная
на некотором открытом подмножестве пространства К71.
Из алгебры известен следующий результат.
Пусть L: К71 —► Кта есть линейное отображение. Тогда для того, чтобы
уравнение у = f(x) было разрешимо для любого у £ Шп, необходимо и
достаточно, чтобы определитель линейного отображения L был отличен от нуля.
Предположим, что отображение f:U-+ Шп, где U — открытое
множество в пространстве Кп, дифференцируемо в точке xq £ U. Наглядно,
определение дифференцируемости означает, что для х, близких к xq, разность
f(x) - f(xo) является функцией, «почти линейной» относительно х — xq.
Пусть L есть дифференциал функции f в точке хо. Предположим, что
линейное уравнение L(x) = у разрешимо для всех у £ Шп. Тогда для
любого у, принадлежащего некоторой окрестности точки уо = f(xo), уравнение
/(ж) = у имеет, и притом только одно, решение, лежащее в окрестности
точки хо.
Поскольку «почти линейность» разности f(x) —/(a?o) имеет место только
в случае, когда х достаточно близко к xq, to утверждать однозначную
разрешимость уравнения f(x) = у для любого у £ Шп, вообще говоря, невозможно.
Здесь устанавливаются некоторые теоремы о дифференциальных
свойствах обратного отображения. В связи с этим вводится понятие диффеоморф-
ного отображения или диффеоморфизма открытого множества
пространства Кп. Определяется общее понятие криволинейной системы координат
в пространстве Шп. Рассматриваются некоторые примеры таких систем.
2.1. Теорема о локальной обратимости гладкого
отображения
Пусть U есть открытое множество в пространстве Кп, /:(/—► Шт
есть отображение, дифференцируемое в точке р £ U, и пусть df(p)
есть дифференциал отображения / в точке р. По определению, это
означает, что df(p) есть линейное отображение L: К71 —► Кт такое,
что имеет место равенство f(x) = f(p) + L(x — р) + a(x)\x — р|, где
71 df
a(x) —► 0 при х —► р. Имеем df(p) = J2 д—(р)^ж«> где ^Xi есть линейные
функции, определенные условием dxi(z) = Z{ для любого вектора z =
= (*ь Z2,..., zn) £ Еп. Матрица отображения df(p) имеет вид
(®А ®J± ... £^l\
dxi dx2 dxn
df2 df2 df2
dx\ dx2 dxn
dfm 9fm dfm
\ dx1 dx2 dxn

102
Гл. 10. Основы гладкого анализа
где значения частных производных берутся в точке р Е U.
Отметим особо частный случай т = 1, когда / есть вещественная
функция, определенная на множестве U. Предположим, что функция /
дифференцируема в каждой точке х Е U. Тогда для всякого х € U опре-
/ 0/ / ч 9f , N df , Л ъ
делен вектор ( ——(ж), ——(я), ... , -—(ж) . Этот вектор называется
\OXi ОХ2 ОХп J
градиентом функции f в точке х и обозначается одним из символов
grad/(z) или V/(z). (Символ V читается как «набла».) Для всякого
вектора z Е Еп имеет место равенство df(x\z) = (Vf(x),z).
Пусть даны открытое множество U в пространстве Еп и
отображение /: U —> Еп. Предположим, что / дифференцируемо в точке
а £ U и L есть его дифференциал в точке а. Тогда L есть
линейное отображение пространства Еп в себя, и, значит, матрица
отображения L является квадратной. Определитель этой матрицы
называется якобианом отобраэюения f в точке а и обозначается символом
J(a,f).
Отображение а: Еп —► Ет называется аффинным, если оно
допускает представление а{х) = р + А(ж), где А: Еп —> Ет — линейное
отображение, р — вектор в Ет.
Отображение А при этом называется линейной частью аффинного
преобразования а. Линейная часть аффинного отображения однозначно
определяется по этому отображению, как следует из равенства
\(х) = а(х + и) — а(и)у
верного для любых векторов ж, и Е К71.
Любое линейное отображение аффинно. В этом случае линейная
часть отображения совпадает с ним самим.
Всякое аффинное отображение дифференцируемо в каждой точке
х € Еп, и его дифференциал совпадает с линейной частью отображения.
Действительно, пусть а: х (Е Еп н+ р + Х(х) есть аффинное
отображение, L — его линейная часть. Тогда для всякой точки xq Е En,
каково бы ни было х Е Еп, имеем
а(х) = а(х0) + А(я - х0) + 9{х)\х - ж0|, (2.1)
где в(х) = 0 и, значит, в(х) = о(1) при х —► хо.
Равенство (2.1) согласно определению отображения,
дифференцируемого в точке (КМА, часть I, книга 2, глава 7), означает, что а
дифференцируемо в точке £о> а линейное отображение А является
дифференциалом а в точке xq.

§ 2. Теорема, об обратной функции 103
■ Теорема 2.1 (теорема о локальной обратимости отображения).
Пусть даны открытое множество U пространства. Шп и отображение
/: U —► К71. Предположим, что f имеет в U все частные производные
первого порядка, причем эти производные непрерывны в точке a G U.
Пусть b = /(а). Тогда если якобиан отображения f в точке а
отличен от нуля, то найдутся числа е > 0 и 6 > 0 такие, что для всякого
у Е К71 такого, что \у — Ь\ < 6, существует, и притом только одна, точка
х = 9{у) € U', для которой \х — a\ < S и f(x) = у. Функция д,
определенная таким образом в шаре В{Ь, е), дифференцируема в точке Ь. При
этом dgb = (dfa)-1.
Замечание. В силу критерия дифференцируемости
функции в точке, доказанного ранее (КМА, часть I, книга 2, глава 7,
теорема 1.1), из условий теоремы следует, что отображение /
дифференцируемо в точке а.
Доказательство теоремы. Пусть / удовлетворяет всем
условиям теоремы и L = dfa. Определитель матрицы отображения L
отличен от нуля, и, следовательно, L биективно.
Пусть v: U —> Кп есть функция, определенная равенством
f(x) = b + L(x-a) + v(x) = b + V ~^-(a)(xi - a,) + v(x).
dv
Очевидно, v имеет в U все частные производные ——, i = 1,2, ...,n.
OXi
При этом
dv , ч df , ч df , ч
при каждом г = 1,2,...,п и, значит, -—(х) —> 0 при ж —► а. Имеем
также равенство v(a) = 0.
Пусть х е U и у £Rn таковы, что имеет место равенство
У = /(*)• (2-2)
Подставляя сюда выражение ft + i(x — а) + г;(ж) вместо f(x), получим
у = b + L(x — а) + v(x), откуда вытекает, что
х + L-l[v(x)] = Х-1^ - Ь) + а. (2.3)
Произведя те же вычисления в обратном порядке, получим, что если
х к у таковы, что имеет место равенство (2.3), то для данных х и у
выполняется равенство (2.2).

104 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Положим К = L * и и{х) = 7^[г?(ж)]. В силу линейности if имеем
и(ж + tfet) — гл(ж)
t
= К
v{x + tei) — v{x)
t
для любых х G £7 и tf ф 0 таких, что x + tei E [7. Отсюда, очевидно, сле-
дует, что в каждой точке жЕ(/ частная производная ——(х-) определена
ОХ{
для любого i = 1,2,..., п. При этом
&■>=*
(*)
Отсюда, в частности, вытекает, что найдется 6i > 0 такое, что шар
B(a,6i) содержится в U и для всякого ж Е J3(a,<$i) выполняется
неравенство
du
dxi
(х)
1
2^
при любом г = 1,2,..., п.
Положим 6= 7=^1- Куб Q(a) 25) содержится в шаре В(а, (2^/п)<5)=
= B(a,8i). На основании лел«л«ы об оценке приращения (лемма 2.1
главы 7) для любых х\ х" Е Q(a,26) выполняется неравенство
Их') - и(хП\ < ^V^\x'
1,
Х»\ = ±U' - s"|
Имеем J3(a,<5) С В(а,26) С <2(а,2<5). Положим у>(я) = ж + u(z).
Тогда, как следует из сказанного, ограничение отображения <р на шаре
В(а,6) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3 с постоянной q = -.
1 1
Имеем (/?(a) = a, l — g = - и = 2. Согласно теореме 1.3 для
всякого z Е Шп такого, что \z - а\ < (1 - q)6 = (1/2)5, существует,
и притом только одна, точка ж = ^>(г) Е i7 такая, что |я — а\ < 6
и <£>(ж) = z. При этом имеет место неравенство
1
\Ф{*) — а| < |ж — а| = 2|ж - а\.
(2.4)
Рассмотрим аффинное отображение
в: y£Rni-+ К(у-Ь) + а.

§ 2. Теорема об обратной функции 105
Линейная часть этого отображения есть К. Отображение в
непрерывно, и 0(b) = а. Значит, найдется е > 0 такое, что если \у — Ъ\ < е,
то \в(у) — а\ < 6/2. Возьмем произвольно у Е Кп такое, что \у — Ь| < е.
Положим z = 0(у). Тогда |z — а| < Я/2 и, значит, определена точка
х = VK'Z)- Имеем
ф) = z = в(у) = /^(у - Ь) + а. (2.5)
В силу неравенства (2.4) |я — а| < 2\z — а\ < 6. Как было отмечено
выше, из равенства (2.5) вытекает, что f(x) = у.
Таким образом, нами доказано, что если \у — Ь\ < £, то
существует ж, для которого \х — а\ < 6 и f{x) — у. Такое значение х
единственно. Действительно, если х\ хп Е В(а,6) таковы^
что fix1) = f(x") = у, то
ф') = ф") = г = в(у).
Так как <р на шаре В(а,6) взаимно однозначно, то, значит, х1 = х". Из
определения х следует, что ж = ф[в(у)], так что функция р допускает
представление д = ф о в.
Докажем, что д дифференцируема в точке Ь. Действительно, пусть
v(z) = ф^) — z. Из определения ц> следует, что и{х) = о(\х — а\) при
х —♦« а. Значит, согласно теореме 1.3 также и t>(z) = o(|z — а\) при
z —> а. Отсюда вытекает, что функция ф дифференцируема в точке а.
При этом с1фа есть тождественное отображение 1п пространства К71.
Дифференциал функции в есть линейное отображение К. На
основании теоремы о дифференцируемости суперпозиции (теорема 2.2
главы 7) из доказанного следует, что отображение g дифференцируемо
в точке ft. При этом dgb = In ° К = К = dfa~l. Теорема доказана
полностью. ■
▼ Следствие 1. Пусть U есть открытое множество в Kn, /: U —►
—> К71, отображение класса С1 такое, что его якобиан в точке a £ U
отличен от нуля. Тогда Ь = /(а) есть внутренняя точка
множества f{U).
Доказательство. Действительно, согласно теореме 2.1 если
якобиан отображения / в точке а отличен от нуля и b = /(a), то найдется
£ > 0 такое, что для всякого у Е 5(6, е) существует х £ U такое, что
у = f(x). Это означает, что В{Ь,е) С f(U) и, следовательно, Ь есть
внутренняя точка множества /({/), что и требовалось доказать. ▼
Т Следствие 2. Пусть U — открытое множество, f:U—> Шп —
отображение класса С1 такое, что J(x,f) ф 0 в каждой точке х Е U.
Тогда f(U) есть открытое множество в R71.

106
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Доказательство. Возьмем произвольно точку уо £ f(U). Пусть
хо Е U таково, что /(#о) = уо. По условию, J{xq,J) ф 0. На основании
следствия 1 отсюда вытекает, что уо есть внутренняя точка f{U).
Так как уо £ f(U) взято произвольно, то тем самым установлено,
что все точки множества f(U) внутренние, т. е. f(U) есть открытое
множество, что и требовалось доказать. Т
2.2. Дифференциальные свойства обратного отображения
2.2.1. Докажем, что в условиях теоремы 2.1 обратное отображение /-1
принадлежит тому же классу гладкости, что и исходное отображение /.
■ Теорема 2.2. Пусть U есть открытое множество в
пространстве Кп и /: U —> К71 есть взаимно однозначное отображение класса Ст',
г > 1. Предположим, что в каждой точке х G U якобиан отображения f
отличен от нуля, J{x,f) ф 0 для всех х € U. Тогда V = f(U) есть
открытое множество, а обратное отображение f"1: V —> Кп принадлежит
классу Сг.
Доказательство. То, что V есть открытое множество в К71,
верно в силу следствия 2 теоремы 2.1.
Из теоремы 2.1 вытекает также, что отображение g = Z"1
дифференцируемо в каждой точке у G V. При этом если у = /(ж), то defy =
= (d/x)"1. Пусть
/(а) = (/i(a?),/2(a?), ... ,/»(a?))i flf(s) = (л(«),л(я?),
Положим wtJ(x) = ^-Ця). Матрица
их *
fuu(x) щ2(х) ... щп(х)*\
и2\{х) и22{х) ■■■ u2n(x)
,9п(х)).
и(х) =
\unl(x) un2(x) ... щ
»(*)/
есть матрица Якоби отображения / в точке х G U. В силу условия
теоремы определитель этой матрицы всюду отличен от нуля. Значит,
для каждого х G U определена матрица v(x) = [и(ж)]"1.
Пусть
( vu{x) vu(x) ... vln(x)\
г>(ж) =
\Vni(a?) г>я2(я)
i(*)/

§ 2. Теорема, об обратной функции 107
Функции Vij — элементы матрицы v — получаются из функций Uki
конечным числом операций сложения, умножения и деления.
Функции Uki принадлежат классу С7*""1. (В случае 5 = 0, как обычно,
полагаем С3 = С, где С означает множество всех непрерывных
отображений.) Отсюда вытекает, что функции Vij также принадлежат
классу Сг~1.
Возьмем произвольно точку у Е V. Пусть х = д{у). Тогда dgy =
= [с/Д]""1 и, значит, матрица линейного отображения dgy совпадает
с матрицей, обратной по отношению к матрице отображения dfx. Иначе
говоря, матрица отображения dgy есть матрица [^(ж)]""1 = v(x).
Принимая во внимание, что х = #(у), отсюда получаем, что
матрица dgy есть v[g(y)]. В частности, это позволяет заключить, что
Щ = ЧШ]- (2-6)
Доказательство теоремы завершим индукцией по г. Пусть г = 1.
Тогда функции уц непрерывны. Так как отображение д
дифференцируемо в каждой точке у € V, то оно непрерывно. В силу равенства (2.6)
dgi
отсюда вытекает, что производные -— непрерывны и, значит, д при-
оУз
надлежит классу С1, так что для г = 1 теорема верна.
Пусть г G N таково, что если / G Сг, то тогда также и д g Сг.
Предположим, что / есть отображение класса Cr+1. В этом случае,
как было установлено ранее, функции V{j принадлежат классу Сг'.
Так как / G Cr+1, то / G Сг и, значит, согласно индукционному
допущению также и д принадлежит классу Сг.
Учитывая равенство (2.1), отсюда следует, что функции -^-^ =
ОУз
= Vij о д принадлежат классу Сг и, следовательно, отЬбражение д
принадлежит классу Cr+1. В силу принципа математической индукции
теорема доказана. ■
2.2.2. Результаты теорем 2.1 и 2.2 позволяют ввести важное понятие
диффеоморфизма.
Пусть U есть открытое множество в Кп. Отображение /: U —► Кп
называется дифференцируемым гомеоморфизмом класса Сг или,
короче, диффеоморфизмом класса Сг, если / взаимно однозначно и
принадлежит классу Сг, причем в каждой точке х £ U якобиан
отображения / отличен от нуля.
Пусть U и V есть открытые множества пространства Кп.
Предположим, что отображения f:U—> Шп ж g: V —> Rn есть
диффеоморфизмы класса Сг, причем f(W) С V. Тогда и суперпозиция h = g о f

108
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
также представляет собой диффеоморфизм класса Сг. Действительно,
если отображения / и g удовлетворяют этим условиям, то каждое из них
взаимно однрзначно и принадлежит классу Ст, откуда вытекает, что
отображение h также взаимно однозначно и принадлежит классу Сг.
В каждой точке х Е U имеем
dhx = dgy о dfx,
где у = f(x). Отсюда следует, что
J(x;h) = J(x;f)J(y;g)^0,
так как согласно условию J{x\f) ф 0 для любого х G U и J(y;g) Ф 0
для всех у € V.
Отображение Л, таким образом, удовлетворяет всем условиям
определения диффеоморфизма класса Сг.
Если /: U —► К71 есть диффеоморфизм класса Сг, то согласно
теореме 2.2 множество V = /(f) открытое и обратное отображение
<7 = /_1 принадлежит классу Сг. При этом, как очевидно,
отображение g = /_1 взаимно однозначно.
Суперпозиция fog есть тождественное отображение, и, значит,
для всякого у = /(ж) Е V имеет место равенство J(y;g)J(x;f) = 1.
Отсюда следует, что в каждой точке у £ V якобиан отображения # =
= Z""1 отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, что f"1 также
есть диффеоморфизм класса Сг.
ш Лемма 2.1 (лемма о локальном диффеоморфизме). Пусть U есть
открытое множество в пространстве Kn, f:U-*Rn — отображение
класса Сг, г > 1. Предположим, что в точке р € U якобиан
отображения f отличен от нуля. Тогда найдется г > 0 такое, что В(р, г) С U
и ограничение f на шаре В(р, г) есть диффеоморфизм класса Ст.
Доказательство. Данное предложение есть простое следствие
теорем 2.1 и 2.2. Положим q = f(p). Согласно теореме 2.1 найдутся
числа е > 0 и 6 такие, что для всякого у Е B(q, S) существует, и притом
только одно, х £ В(р,е), для которого f(x) = у.
Так как / G Сг, где г > 1, то функция х ь-> J(z; /) непрерывна.
По условию, J{p\f) ф 0. Пусть G есть множество всех х € U,
для которых J(x;f) ф 0. Множество G является открытым в силу
непрерывности функции х н-> J(z; /).
Пусть V есть пересечение G П В(р,е). Множество V открытое,
V CU, так как V С G С U.
Пусть г > 0 таково, что 2?0 = В{р,г) С G. Так как Во С В(р,е),
то ограничение / на шаре 1?о взаимно однозначно. Поскольку Во С (?,
то J{x\p) ф 0 для всех х G Во- По условию, / принадлежит классу Сг.
Значит, также и /|в0 принадлежит классу Сг.
Для отображения /|в0) таким образом, выполнены все условия
определения диффеоморфизма класса Сг. Лемма доказана. ■

§ 2. Теорема, об обратной функции
109
2.3. Понятие о произвольной системе координат
в пространстве Ew
Пусть U есть открытое множество в пространстве Еп. Тогда
(формально) система координат на множестве U есть
диффеоморфизм <р: U —> Еп. При этом если ip принадлежит классу Сг, то
говорят, что данная система координат принадлежит тому же самому
классу Сг.
Термин «система координат» к произвольному диффеоморфизму
применяется лишь в определенном контексте, главным образом тогда,
когда решение той или иной задачи может быть достигнуто заменой
переменных в изучаемых функциях.
Говоря о произвольной системе координат, введенной в открытом
множестве (7, иногда используют термин «криволинейная система
координат». В некоторых случаях его применение не вполне оправдано,
и по этой причине мы не будем им пользоваться.
В частности, тождественное отображение пространства Еп на себя
есть диффеоморфизм и, стало быть, представляет собой систему
координат в пространстве Еп. Эту систему координат в Еп будем называть
естественной системой координат в пространстве Ея. Для точки
х = (zi, #2, • •• •) хп) числа ж;, г = 1,2,..., га, в соответствии с этим мы
будем называть естественными координатами точки х.
Пусть дана система координат tp: U —► Еп, определенная на
открытом множестве U пространства Еп. Для произвольной точки х
множества U пусть (р(х) = у = (уь2/2> - • • >Уп)- В развернутой форме данное
равенство может быть записано так:
У% =z<pi(xlix2,...,xn)i г = 1,2,..., га. (2.7)
Числа j/j, г = 1,2,..., га, называются координатами точки х в
системе координат tp: U —> Еп.
Множество U называется областью определения системы
координат ср или областью, где эта система координат задана.
Множество V = <p(U) называется областью значений системы
координат (р.
Отображение ф = (р*1 позволяет для произвольной точки х Е U
найти ее базисные координаты по координатам в системе координат <р,
а именно, имеют место равенства
Xi = Ф%(У1,У2,.-->Уп), г = 1,2,..., га. (2.8)

по
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
В конкретных случаях вместо <р или ф часто используется символ,
которым обозначаются координаты точки. В этом случае равенства (2.7)
и (2.8) принимают вид
Ух = У*(яъЯ2,...,Яп), * = l,2,...,n,
&t = a?t-(yby2,...,yn), г = 1,2,..., п.
Система координат у?: С/" —► К71 полностью определена, если указано
обратное преобразование ф = v?"1, которое по координатам точки
в данной системе координат позволяет найти ее базисные координаты.
Часто оказывается более удобным задавать систему координат
с помощью отображения ф% указанного выше.
Предположим, что на множестве U пространства Еп задана
некоторая система координат ip: U —► Шп. Пусть V есть область
значений этой системы координат. Предположим, что задана функция
/: U —► Кт. Тогда на множестве V определена функция F = f о ip"1.
Функция F называется представлением функции f в системе
координат (р.
OF d2F
Производные ——(у), ——-—(у) и т. д. называются производными
oyi oyidyj
функции f относительно координат yt- точки х Е U в данной системе
dF d^F
координат (р. Величины ——(у), ——-—(у) и т. д. обозначаются обычно
oyi oyidyj
df d2f
выражениями ——(x), ——~—(x) и т. д.
дух Oyidyj
Опишем некоторые геометрические понятия, естественно
возникающие при рассмотрении произвольных систем координат.
Пусть дана система координат ip: U —> Еп. Положим ф = (р~~г,
и пусть V = <p(U).
Зададим произвольно номера Ji,j2j • • • ,3n-k, где 1 < к < п
и 1 < h < h < *•• < Зп-k < п. Пусть даны числа hi,h2,...>hn-k-
Обозначим через
множество всех точек х G U, у которых координата y7l = Ль
координата уу2 = /i2 и, наконец, координата j/yn_fc = Лп_&.
В случае, когда у? есть естественная система координат в
пространстве Еп, множество Р = Pj1j2...jn-k(h>i,h2,.. . ,ЛП_&) естьАг-мерная
плоскость в Кп. В соответствии с этим будем называть Р к-мерной
координатной поверхностью для данной системы координат,
определяемой системой уравнений
Vh = Ль у,2 = Л2, ..., У;П_Л = Ля_*.

§ 2. Теорема, об обратной функции 111
Образы множеств P?1j2#..yn__fc(/i1,/i2,... ,/in-fc) относительно
отображения (р есть сечения множества значений V данной системы
координат параллельными А;-мерными координатными плоскостями.
Отметим крайние случаи: А:=1иА; = п — 1.
В первом случае множество Р = PjU*2...Jn_fc(/ii,/i2,... ,/in-fc)
называется координатной кривой. Во втором случае — координатной
гиперповерхностью.
При перемещении по координатной кривой меняется
только одна координата точки. На координатных гиперповерхностях
постоянна лишь одна из координат точки.
Приведем некоторые , п р и м .е р ы систем координат в
пространстве Шп для разных значений п.
1. Аффинная система координат в Rn. Отображение F: R71 -►
—► Rm называется аффинным, если оно допускает представление
F(x) = Ax + b, (2.9)
где А есть матрица из т строк и п столбцов, Ь —- вектор в Шт.
Всякое аффинное отображение принадлежит классу Сг при
любом г > 1, и его матрица Якоби во всех точках х Е Кп совпадает
с матрицей А в представлении (2.9).
Пусть F: Еп —► R71 есть аффинное отображение пространства Еп
в себя. В силу известных результатов алгебры отображение F будет
биективно в том и только в том случае, если определитель det А
матрицы А отличен от нуля. Всякое биективное аффинное отображение
F: Шп —> К71 называется аффинным преобразованием Кп.
Формально, аффинная система координат в Кп есть аффинное
преобразование пространства Шп. Для произвольной точки х = (a?i,«2> • • •
...,жп) ее координаты в аффинной системе координат F: Шп —► Еп
выражаются через естественные координаты этой точки по формулам
2/1 = ацЖ1 + ai2^2 + ... + ainzn + bi,
2/2 = «21^1 + «22^2 + ••• + «2n^n + £>2 > (9 Ш
уп = о>п1х1 + an2x2 + ... + annzn + bn.
Это есть развернутая запись равенства (2.9).
Аналогичным образом, естественные координаты точки
выражаются через ее координаты в аффинной системе координат.
Последние будем также называть аффинными координатами точки.

112 Гл. 10. Основы гладкого анализа
Аффинная система координат в пространстве Кп замечательна
тем, что fc-мерные координатные поверхности в ней при каждом к =
= 1,2,..., га — 1 являются обычными А;-мерными плоскостями.
Пусть X есть произвольное га-мерное векторное пространство.
Зададим в пространстве X произвольно точку b и систему из га
линейно независимых векторов ai, аг,..., ап. Пусть х Е X. Тогда вектор
х — Ъ может быть, и притом единственным способом, представлен в
виде
х - b = ^а! + t23L2 + • • • + tnRn. (2.11)
Сопоставляя точке х точку / = (<1,<2> • • • >*п) € К71, где числа /,-,
г = 1,2,..., га, определяются по х из равенства (2.11), мы получаем
некоторое отображение векторного пространства X в К71. Это
отображение взаимно однозначно в силу того, что числа <i,<2> • • •?*« по
вектору ж определяются единственным образом. Нетрудно видеть, что оно
является отображением X на Кп.
Данное отображение будем называть аффинной системой
координат в пространстве X.
Точка b называется началом этой аффинной системы координат.
Векторы а,-, % = 1,2,..., га, называются базисными векторами
данной аффинной системы координат.
Рассмотрим специально случай, когда X есть евклидово
пространство, т. е. в X определено скалярное произведение векторов ж,уи
у-> (хуу). Пусть а;, г = 1,2,...,га, — произвольная система векторов
в пространстве X. Эта система векторов называется ортонормальнощ
если выполнены следующие условия: (а,-,а7) = £,-у, где £,-j есть сгшвол
Кронекера (см. главу 6, п. 2.1), т. е.
Г 0 для г ^ i,
й« = i 1 . .
L 1, если г = j.
Декартовой ортогональной системой координат в n-мерном
евклидовом пространстве Кп называется всякая аффинная система
координат в этом пространстве, базисные векторы которой а,-, г = 1,2,..., га,
образуют ортонормальную систему векторов.
Предположим, что в пространстве Кп задана декартова
ортогональная система координат с началом b и базисными векторами а,-,
г = 1,2,... ,га.
Пусть х и у — две произвольные точки пространства Кп, / =
= (<ь<2>* • •j'n) есть набор координат точки ж, и = (iti,U2,... ,гхп) —
набор координат точки у. Тогда имеем
п
у- ж = 53(и,- -*,)а,-.

§ 2. Теорема, об обратной функции
113
Отсюда получаем
п п
\у-х\2 = (у-х,у-х) = ]Г ^(и,-^)(г^-*,)(а,-,а,) =
= Е Е (и» - '«-х^ - *i)*« = I>* - ^)2 = iw - 'i2-
t=ii=i i=i
Следовательно, сопоставляя каждой точке iGRn набор ее
координат в декартовой ортогональной системе координат пространства Кп,
мы получим изометрическое отображение пространства Кп на себя.
Таким образом, декартова ортогональная система координат
в пространстве К71 представляет собой изометрическое отображение
пространства Шп на себя.
Можно показать, что верно и обратное, а именно, всякое
изометрическое отображение пространства К71 на себя есть декартова
ортогональная система координат в Кп.
2. Полярная система координат на плоскости. Опишем
некоторую систему координат на плоскости К2. Пусть О = (0,0) и Ао
есть луч, состоящий из всех точек Р = (ж, у), у которых координата у
равна нулю, а координата х неотрицательна (см. рис. 3).
Луч Ао есть правая полуось оси Ох декартовой ортогональной
системы координат в IR2. Пусть Р = (ж, у) есть произвольная точка на
плоскости Е2. Длина г = г(Р) отрезка [ОР] называется полярным
радиусом точки Р.
Рис. 3
Предположим, что Р ф О. Пусть Х(Р) есть луч, исходящий из
точки О и проходящий через точку Р.
Угол, на который нужно повернуть луч А0, чтобы совместить его
с лучом А(Р), обозначим символом у>(Р). Будем называть угол tp =
= <р(Р) полярным углом точки Р.

114 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Удобно считать величину угла (р определенной с точностью до
слагаемого, являющегося целочисленным кратным 2ж. Таким образом,
если <р есть полярный угол точки Р ф О, то и любое число в = <£ + 2га7г,
где т — целое число, является полярным углом этой точки.
Используя известное выражение для длины отрезка в
пространстве Шп для случая п = 2 (см. КМА, часть I, книга 2, глава б), для
всякой точки Р = (я, у)
г = у/х2 + у2, х = rcostp, y = rsmtp. (2.12)
Замечание. Здесь используются обозначения г = г(Р),
if = </К^) и последние два равенства имеют смысл только в случае,
когда Р ф О.
Построенное соответствие Р = (ж, у) н+ (г(Р),(р(Р)) не является
«системой координат» в смысле данного здесь определения. Оно не
является даже функцией, поскольку одной точке Р = (ж, у) отвечает
бесконечное множество значений у>(Р). Для точки Р = О значение
¥>(0) вообще не определено.
Чтобы получить систему координат, т. е. взаимно однозначное
отображение в К2, необходимо прежде всего исключить произвол в
определении <р(Р). Этого можно достичь требованием, чтобы величина
<р(Р) лежала в некотором полуинтервале, длина которого равна 27г.
Областью определения U полярной системы координат на
плоскости является множество, получаемое цз К2 исключением точек, для
которых у = 0, а х < 0.
Для произвольной точки Р = (ж, у) Е U пусть г = г(х,у) есть
полярное расстояние точки Р, а </? = <р(х, у) есть число, которое является
полярным углом точки Р и принадлежит промежутку [—7Г,7г].
Так как полярный угол определен с точностью до слагаемого,
являющегося целочисленным кратным 27Г, такое ip найдется. Поскольку
Р не лежит на луче {(я, у)|у = 0, х < 0}, то —7Г < (р < 7Г.
Определенные таким образом числа г = г(х,у) и </> = <р(х,у) и
называются полярными координатами точки Р = (ж, у).
Сопоставляя каждой точке (ж, у) Е £7 пару (г, (/?), где ги^ — ее
полярные координаты, получим отображение F множества U в
бесконечную полуполосу: V = (0,оо) х (-7г,7г) С К2 (см. рис. 4).
Из геометрических соображений очевидно, что F есть взаимно
однозначное отображение U на V.

§2. Теорема, об обратной функции 115
% V-
U
О
-7С
Рис. 4
Чтобы доказать, что F обладает «хорошими» аналитическими
свойствами, рассмотрим формулы (2.12), посредством которых
декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты.
Из равенств (2.12) видно, что х = x(r,tp) и у = y(r, ip) есть функции
класса Ск при любом к > 1.
Якобиан отображения G = F"1: (г, у>) ь-> (ж(г, (£>),у(г,у>)) равен
cosy? — rsm<£>
sin y> r cos у?
= г > 0.
Отсюда следует, что G есть диффеоморфизм класса Ск при любом
fc > 1. Следовательно, и обратное отображение F есть диффеоморфизм,
принадлежащий классу Ск при любом к.
Для произвольной точки Р число г(Р) называется также ее
радиальной координатор <р(Р) — угловой координатой.
В любой системе координат на плоскости координатные
поверхности являются в то же время и координатными кривыми.
В полярной системе координат кривая ip = const есть луч,
исходящий из точки О = (0,0), кривая г = R = const есть окружность
радиуса i2 с центром О. При этом из окружности должна быть
исключена точка (—J?, 0)!
3. Цилиндрическая система координат в Е3. Пусть U есть
множество, получаемое из Е3 исключением всех точек (я, у, г), для
которых у = 0, а х < 0. Для произвольной точки (я, у, z) € Е3
цилиндрические координаты есть числа г, <р, z, где г, <р есть полярные координаты
точки (я, у) в Е2. Декартовы координаты точки (z,y,z) выражаются

116
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
через ее цилиндрические координаты по формулам
х = г cosy?, у = rsin(/?, z = z. (2.13)
Область значений данной системы координат есть множество (0, оо) х
х(—7г,7г) х К. Якобиан отображения
ф: (г, <Pjz) н+ (rcos(/?,rsin(/?,z)
равен г и, следовательно, всюду отличен от нуля. Отсюда ясно, что
все условия определения системы координат здесь выполнены.
Построенная система координат называется цилиндрической.
Координатная поверхность г = R в данном случае (см. рис. 5)
есть прямой круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz и из
которого исключена одна из образующих.
Чтобы понять геометрический смысл координат точки в
цилиндрической системе координат, отождествим пространство Е3 с обычным
трехмерным пространством Е3 с заданной в нем декартовой
ортогональной системой координат.
Рис. 5
Пусть Я есть плоскость z = 0. Тогда \z\ есть расстояние точки
Р = (ж, у, z) до плоскости Н. При этом z > 0, если Р лежит выше
плоскости Я, и z < 0, если z лежит ниже плоскости Я.
Числа г и ip есть полярные координаты ортогональной проекции
точки Р на плоскость Я.

§ 2. Теорема об обратной функции 117
4. Сферическая система координат. Так называется система
координат в Rn, которую мы здесь определим (см. рис. б).
Рис. 6
Пусть Пп = Un U Vn, где Un есть множество всех х = (a?i,a?2> • • ■
..., жп) £ Rn таких, что a?i > 0, a Vn есть множество всех я = (#!, я2> • • •
..., яп) G Rn, для которых #2 7^ 0.
Множества UnttVn, очевидно, открытые, и, значит, С1п также есть
открытое множество.
Заметим, что точка 0 £ Г2П.
Множество Qn есть область определения сферической системы
координат в Еп. Каждой точке х Е Пп в этой системе координат
сопоставим некоторый набор из га чисел г(ж),¥>i(z),..., ^n_i(z)> которые
будем называть сферическими координатами точки х. Координата
г(х) при этом равна \х\.
Так как 0 £ fin, то г(я) > 0 для любой точки х € fin-
Величина r(z) называется радиальной координатой точки я, а числа
<fi(x),... ,(/?n_i(^) — ее угловыми координатами.
В случае га = 2 полярная система координат на плоскости и есть
сферическая система координат в R2.
Область значений системы координат в данном случае есть, как
показано выше, множество (0,оо) х (—7г,7г).
Для произвольного га > 2 угловые координаты точки в
сферической системе координат определяются по индукции. Предположим,
что для некоторого га определено, что есть угловые координаты точки
х Е Оп. Пусть р: Kn+1 —► Кп есть отображение
(хи... ,a?»,a?n+i) € Kn+1 ~ (*i,... ,жп) Е Еп.
Пусть ж € Пп+1- Тогда р(ж) € fin.

118
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Пусть ipi, ip2,..., <fin-i есть угловые координаты точки р(х) в
сферической системе координат в Кп. Полагаем <fii(x) = щ при каждом
i = 1,2,...,п — 1, т. е. первые п—\ угловых координат точки х G Пта+1
те же, что и у ее проекции р(х) в пространство Rn. А п-я угловая
координата (рп(х) точки х определяется из соотношений
COS^n(z) = -5±1 = -ptl, у>п(я?) G [0,7Г].
Если для точки ж^Ов пространстве Кта+1 отношение ,п* равно ±1,
то Х{ = 0 при г = 1,2,... ,п и, значит, ж ^ Пп+1- Отсюда следует, что
для всех точек х G 0n+i координата <рп(х) лежит в открытом
промежутке (0,7Г).
В силу принципа математической индукции описанное построение
определяет некоторое отображение:
Fn:x€Sln~ (r(x)iiPl(x)i...itpn^1(x)) G Rn.
При этом г(х) > 0, —7Г < ^i(z) < 7Г и 0 < (pk(x) < тг при /с > 2.
Пусть Пп есть область
(0,00) X (-7Г,7Г) X (0,7Г) X ••• X (0, 7г)
4 v '
п-2
в пространстве Кп. Легко проверяется, что Fn есть диффеоморфизм,
который при любом г G N принадлежит классу Сг, причем ^(Пп) = Пп
для всех п.
§ 3. Следствия теоремы об обратной функции
Интуитивное представление о функции, господствовавшее в математике
XIX века, связано с понятием зависимых и независимых величин.
Независимая величина — аргумент, зависимая величина — функция этого аргумента.
Это представление в полном объеме не может быть согласовано с понятием
функции, принятым в современной математике.
Зависимость между различными величинами может задаваться,
например, указанием уравнения, которому должны удовлетворять данные
величины. Основным результатом настоящего параграфа является теорема о
неявных функциях, содержание которой сводится к следующему.
Предположим, что рассматриваемые величины представляются как
точки х G К и у £ Кт и зависимость задается системой уравнений вида

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 119
F{(x, у) = 0, г = 1,2,..., т, где F{ — вещественные функции. Здесь мы
докажем, что если пара (хо,уо) является решением этой системы, то
при некоторых предположениях, полную формулировку которых читатель
найдет далее, в малой окрестности точки (xq, у о) данная система однозначно
разрешима относительно у. От функций F{ требуется, чтобы они были
дифференцируемы. Основное условие, которому они должны удовлетворять,
следующее.
Система линейных уравнений, получаемая заменой F{(x,y) на
dFi(x -хо,у-уо) = 0, i = 1,2,..., m, однозначно разрешима относительно у,
каково бы ни было х £ К .
Теорема о неявных функциях показывает, что если зависимость между
некоторыми переменными величинами описывается системой уравнений, то
при определенных условиях, по крайней мере локально, эта зависимость
может быть описана посредством понятия функции.
Теорема о неявных функциях выводится здесь как следствие теоремы
об обратной функции. Заметим, что, в свою очередь, теорема об обратной
функции представляет частный случай теоремы о неявной функции.
Последняя может быть доказана и без использования теоремы об обратной
функции, как это сделано в главе 7 КМА, часть I, книга 2.
Далее в этом параграфе устанавливаются три теоремы, смысл которых
состоит в том, что при определенных условиях функция f': U —► Km, где U —
открытое множество пространства Ж71, в окрестности точки р £ U может
быть приведена к некоторому простейшему виду преобразованием координат
либо в окрестности точки р, либо в окрестности точки q = /(p), либо, наконец,
преобразованиями координат как в окрестности точки р, так и в окрестности
точки q.
3.1. Теорема о неявных функциях
Пусть U есть открытое множество в пространстве IRn, /:[/—>
—► Km — отображение класса Сг, г > 1. Тогда в каждой точке х £ U
определено линейное отображение dfx — дифференциал отображения /
в точке х. Матрица этого отображения имеет вид
(dh
дх\
dh
dxi
9fm
Удх,.
dh
dx2
dh
dx2
dfm
dx2
dh_
dxn
dh_
dxn
\
dfm
dxn '

120
Гл. 10. Основы гладкого анализа
где значения частных производных берутся в точке х. Данная матрица
называется матрицей Якоби отображения / в точке х. Она имеет
т строк и п столбцов.
Пусть п > 1 и т > 1 — целые числа, причем п > т.
Положим п — т = к. Для произвольной точки х = {х\,Х2,... ,хп) G Шп
пусть Kh(x) есть точка у = (х\,Х2,... ,£m) G Кт, у» = ж,- при всяком
г = 1,2,... ,ти 7rv(x) есть точкам = (zm+i,... ,хп) G R*, ^ = xm+j для
любого j = 1,2,..., fc. Пространство Кта будем рассматривать как
прямое произведение Kw x R*, отождествляя произвольную точку х €Rn
с парой (у, г), где у = 7Гд(ж), г = 7rv(^). В соответствии с этим если
даны множества А С Кт и 5 С К*, то множество А х 5 мы
отождествляем далее с совокупностью всех точек a; G Rn, для которых
7Гд(ж) G А и 7rv(:c) G В.
Для произвольной функции /: А —> Rm, где А С К71, ее значение
в точке х = (у, г), у G Km, г G IK*1 обозначим символом f(y,z).
(Формально, следует применять более громоздкое обозначение /((y,z)).)
■ Теорема 3.1 (теорема о неявных функциях). Пусть U есть
открытое множество в пространстве Шп, /: U —► Rm, 1 < га < гс, —
отображение класса Сг', где г > 1. Предположим, что для точки a e U
минор, образованный элементами первых rn столбцов матрицы Якоби
отображения f в точке а, отличен от нуля. Пусть b = 7Гд(а) яс= 7rv(x).
Тогда найдутся открытое множество V С U и открытое множество W
в пространстве Rk такие, что а G V, с G W и для всякого z eW
существует, и притом только одна, точка у = g{z) такая, что точка х = (у, z)
принадлежит множеству V и выполняется равенство /(у, z) = 0.
Определенная таким образом функция g: W —> Rm принадлежит тому же
классу гладкости Сг, что и исходное отображение /.
Доказательство. Пусть множество U в пространстве К71 и
отображение /: U —► Кт удовлетворяют всем условиям теоремы.
Минор матрицы Якоби отображения / в точке a = (Ь, с),
образованный элементами ее первых га столбцов, обозначим через А(х),
dh
dx\
dh
dxi
dfm
dx\
dh
dx-i
dh
dx2
dfm
dx2
EL
OXffi
dh
uxm
dfm
dxm
где значения производных берутся в точке х. Предполагаем, что
Д(о) ф 0.

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 121
Определим некоторое отображение F: U —► Rw. Положим Fi(x) =
= /»(ж) при г = 1,2,..., m и F,-(a;) = ж,- при г = га + 1,..., п.
Для произвольной точки х = (у, г), где у G Rm, 2 G К*,
F(z) = FU/,z) = (/(</,*),*).
матрица Якоби имеет
EIl\
дхп |
dfm
дхп
О
1 /
Матрица Якоби отображения F устроена следующим образом.
Частичная матрица, образованная первыми т строками этой
матрицы, есть матрица Якоби отображения /.
Матрица, образованная последними к = п — т строками,
устроена так: элементы, стоящие в ее первых т столбцах,
все равны нулю, а последние к столбцов образуют единичную
матрицу порядка к. Отсюда видно, что определитель матрицы
Якоби отображения F равен минору, образованному элементами первых
т столбцов матрицы Якоби отображения /, т. е. J(x,F) = А(х). Из
условий доказываемой теоремы следует, что J(a,F) ф 0.
На основании леммы о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1) из
доказанного следует, что найдется 6 > 0 такое, что шар V = В(а,6)
содержится в U и ограничение функции F на V есть диффеоморфизм
класса Сг.
Пусть Н = F(V) и Ф есть отображение, обратное к F\v-
Докажем, что Ф имеет такую же структуру, как и F, т. е. для
всякого t = (щу) G Я, где и = 7гд(*) G Rm, a v = 7rv(t) G R*, имеет
место Ф(гх, v) = (<р(и, г?), г?). Действительно, возьмем произвольно точку
t € Н. Положим х = Ф(/). Тогда F(x) = f и, значит, для всякого
г = га + 1,..., п имеют место равенства
*,- = Ft(z) = я;,- = Ф,-(0-
В частности, мы видим, что 4>,-(i) = 2; при г — га + 1,...,га. Это
означает, что 7Г„[Ф(*)] = 7rv(tf) = v для tf = (u,v) G Я. Тем самым
доказано, что Ф(и,у) = (у>(г4,г>),г>) для всякой точки / = (г*,г>) G Я.
Отображение F принадлежит классу Сг и его
вид
#2?!
fl/m
0
V о
дхг
дхт+1
ой eh
дхт
0
дХт+1
1

122
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Пусть t = (u,v) е Н и х = (у, г) = Ф(щу) = (<£(и,<;),г>). Тогда
у = ^>(гА,г>), z = г?. Имеем (и, г?) = F(y,z) = (f(y,z),z). Отсюда
и = f(y,z). Подставляя в это равенство выражения для у и z через
и и г?, получим и = /[(/?(гх,г?),г>]. По условию, /(а) = /(Ь,с) = 0, откуда
следует, что
F(c) = (/(b,c),c) = (0,c)
и, значит, точка (0, с) принадлежит Я.
Пусть j есть отображение z G К* ^ (0, г). Положим W = j"1^).
Отображение j непрерывно, и, значит, множество W является
открытым. Точка с принадлежит W, так что W непусто.
Возьмем произвольно z G W. Тогда t = (0,2:) = j(z) G Н и,
следовательно, /[у>(0,2),г] = 0. Точка ж = (tp(0,z),z) = Ф(<) принадлежит
множеству V.
Таким образом, для всякой точки z Е W мы можем указать точку
у £ К* такую, что (у, г) G С/ и /(у,<?) = 0, а именно, у = ¥>(0,я)
удовлетворяет требуемым условиям.
Такая точка у единственна. Действительно, если у' и у"
таковы, что (у', *) G V, (у", *) £ У и /(у', *) = /(у", z) = 0, то F(y', *) =
= W,*) = (0,2r).
Отображение F на множестве V взаимно однозначно, и, значит,
(зЛ*) = (y"*z)> откуда следует, что у' = у".
Функция Ф принадлежит классу Сг, и потому у: г ь-> у>(0, г) также
есть функция класса Сг. Теорема доказана. ■
3.2. Первая teorema о выпрямляющем диффеоморфизме
Пусть U есть открытое множество в Kn, f:U—> Шт —
отображение класса Cs, где s > 1.
Ранг матрицы Якоби #тображения / в точке х € U называется
рангом отображения f в этой точке.
Ранг матрицы есть наибольшее из чисел к таких, что
среди строк матрицы имеется к линейно независимых строк. Строки
в этом определении можно заменить столбцами, т. е. ранг матрицы
есть наибольшее из чисел к таких, что среди столбцов матрицы имеется
к линейно независимых. Согласно этому определению, если к есть ранг
матрицы, то любые / строк матрицы, где / > А;, являются линейно
зависимыми. Любые / столбцов матрицы, где I > fc, линейно зависимы.
В курсе алгебры устанавливается, что ранг матрицы равен
наибольшему из таких чисел fc, что среди ее миноров порядка к по крайней
мере один отличен от нуля.

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 123
Ранг матрицы допускает следующее геометрическое
истолкование.
Пусть А есть матрица из m строк и п столбцов. Для всякого
вектора х £ Еп определено произведение Ах, которое представляет собой
вектор в Кт. Для г = 1,2,.. . ,т г-я компонента вектора Ах есть
скалярное произведение г-й строки матрицы А и вектора х. Матрица А,
таким образом, определяет некоторое отображение L: х ь-> Аж, которое,
очевидно, является линейным.
Множество Ь(Шп) представляет собой подпространство в Ж™,
и ранг матрицы А, как известно из алгебры, равен размерности
подпространства i(Kn).
Пусть дана произвольная система /1} /2,..., fm вещественных
функций класса Cs, определенных на множестве U. Ранг отображения
^ (/i(s),/2(aO,...,/m(z))
в точке х будем называть рангом системы функций {/i,/2,. •. 5/m}
в этой точке.
■ Лемма 3.1. Пусть U иУ есть открытые множества в К71, /:(/—►
—► Кт — отображение класса Ст, у>: V —► Кп — диффеоморфизм
класса Сг такой, что <p(V) С С/. Пусть g = f ° Ч>- Для всякой точки
a G V ранг отображения g в точке а равен рангу отображения f в точке
Ъ = <р(а). Предположим, чтор G U,q = f{p) G Ет я 7/: РГ —► Кт —дяф-
феоморфизм класса Сг, заданный в некоторой окрестности W точки q.
Тогда ранги отображений г/ о f и f в точке р совпадают.
Доказательство. Докажем первое утверждение леммы. Пусть г
есть ранг отображения / в точке Ь, г1 — ранг отображения g в точке а.
При каждом % = 1,2,..., п имеем
Таким образом, мы получаем, что векторы
df
—(a), f = 1,2,.,.,п,
являются линейными комбинациями векторов
2L(b), j = l,2,...,n,

124
Гл. JO. Основы гладкого анализа,
с коэффициентами
Ау = ^(а), j = l,2,...,n.
Ранг системы векторов
т^-(Ь)> j = 1,2,...,п,
равен г. Отсюда вытекает, что среди векторов
—(а), г=1,2,...,п,
имеется самое большее г линейно независимых, т. е. г1 < г.
Пусть ф = v?""1. Отображение ^ принадлежит классу Сг и /(#) =
= 5["0(ж)] Для всех х € ^(V). Заменяя в проделанных выше
рассуждениях / на g и <р на ^, получим, что г < г' и, следовательно, г = г'.
Первое утверждение леммы доказано.
Докажем второе утверждение леммы. Положим 7/ о / = h. Пусть г
есть ранг отображения / в точке р, г1 — ранг в этой точке
отображения h. Положим С = г/"1. Имеем
Ранг системы векторов
—(р), t = 1,2,...,п,
по условию, равен г, т. е. среди этих векторов имеется г линейно
независимых и любые г + 1 из них линейно зависимы. Отображение dr)p
линейно, и, значит, любые г +1 векторов, каждый из которых есть одна
из частных производных ——(р), линейно зависимы. Отсюда следует,
OXi
что ранг системы векторов
^Т(Р)» «' = 1,2,...,п,
не превосходит г, т. е. г' < г.

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 125
Имеем f(x) = С[^(ж)] Для всех х из некоторой окрестности точки р.
Заменяя в проделанных выше рассуждениях / на /i, a 7/ на £, получим,
что ранг отображения / в точке р не превосходит ранг h в этой точке,
т. е. г < г'. Отсюда г = г1'. Лемма доказана. ■
Пусть дана произвольная система /i, /2,..., fm вещественных
функций класса Cs, определенных на множестве U. Ранг отображения
a?i-> (/i(z),/2(z),...,/m(a0)
в точке ж будем называть рангом системы функций {/ь/г,... ,/т}
в этой точке. Пусть [7 есть открытое множество в Rn и /: U —► Rm
есть отображение класса С5, s > 1. Предположим, что V есть
открытое множество в Кп и отображение <р: V —► К71 есть диффеоморфизм
класса С5, причем y>(V) С 1/7 Тогда определено отображение F = foip.
Говорят, что F получено из отображения / заменой переменной
х = (p(t). Отображение F будем также называть представлением
отображения f в системе координат (р: V —► Еп.
Пусть t € V и х = ip(t) € (7. Тогда согласно лемме 3.1 ранг
отображения F в точке t равен рангу отображения / в точке х.
Докажем сначала некоторую чисто «техническую» лемму из
линейной алгебры, которая будет использована далее в доказательстве
теоремы 3.2.
■ Лемма 3.2. Пусть дана, система а1? аг,..., ат, 1 < m < га,
векторов пространства Кп. Если эти векторы линейно независимы, то к ним
можно добавить векторы ат+1,...,ап так, чтобы получить систему
{ai,«2,...,ап} яз п линейно независимых векторов.
Доказательство. Пусть ai,a2,...,am — произвольная система
из m < га линейно независимых векторов пространства Кп. Пусть Р
есть линейная оболочка векторов ai,a2,.. .,am, т. е. множество всех
векторов х £ Еп, которые представимы в виде
х — u\a\ + 1x2^2 + • " + wmam,
где iti,U2,...,um — вещественные числа. Р есть га-мерное
подпространство Rn. Так как m < га, то Р не совпадает с Кп. Значит,
существует хотя бы один вектор ж, не принадлежащий Р.
Выберем произвольно такой вектор х и положим am+i = х.
Вектор am+i не принадлежит Р и, следовательно, не является линейной
комбинацией векторов aba2,.. .,am. Отсюда вытекает, что векторы
^1) • • •) am, am+i линейно независимы.
Если га + 1 = га, то лемма тем самым доказана.

126
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Если т + 1 < га, то, применяя проделанное рассуждение к системе
векторов ai,..., am, am+i, найдем вектор am+2 такой, что уже векторы
cxi,..., am+i, am+2 являются линейно независимыми.
Если m + 2 = га, то все доказано. >
Если га + 2 < га, то это же построение применим к системе векторов
ai,... ,am+i,am+2.
Действуя так и дальше, через конечное число шагов получим,
очевидно, требуемый набор векторов am+1,am+2,... ,an. Лемма
доказана. ■
Пусть даны отображения /: А -► Rm и g: В -> R*, где В С Кт,
причем /(А) С В. Тогда определено отображение h = g о / —
суперпозиция отображений f и д.
Пусть вещественные функции #;, г = l,2,...,fc, есть компоненты
вектор-функции 5, #Ы = (й(у),й(»), • • • ,5*Ы) Для всех у € Б.
Согласно определению суперпозиции имеем
h(x) = <?[/(*)] = (Л[/(х)],Л[/(я;)],...1Л[/(х)]),
т. е. компоненты вектор-функции /i выражаются равенствами Л,- = р,о/
при каждом г = 1,2,..., к.
Следующая лемма также используется при доказательстве
теоремы 3.2. Результат этой леммы в некотором смысле подсказывает
идею доказательства этой теоремы.
■ Лемма 3.3. Пусть даны отображение <р: А —► Шп и функция
/: А —► К. Предположим, что ip взаимно однозначно и f(x) = ¥>*(#)
для некоторого к, 1 < fc < га. Положим В = у>(А). Тогда для всякого
У = (У1,У2,*-',Уп) € В имеет место равенство /[^"Чу)] = Уь
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Тогда
у = (р[<р-г(у)]
для всех у Е В. В силу замечания, предшествующего лемме, это
означает, что (Pi[^p"1(y)] = j/i для любого г = 1,2,..., га. В частности,
полагая i = А;, получаем, что
что и требовалось доказать. ■
Следующая теорема показывает, что для всякого отображения
/:(/—► Кт класса Сг, где U — открытое множество в Кп и m < га
в окрестности любой точки р € 17, можно ввести систему координат,

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 127
в которой отображение приводится к некоторому простейшему виду
в предположении, что ранг отображения в этой точке равен га.
■ Теорема 3.2 (первая теорема о выпрямлении). Зададим
произвольно открытое множество U пространства К71 и функции fi: U —> R,
г = 1,2,..., га, класса Cs, s > 1. Предположим, что в некоторой точке
р Е U ранг данной системы функций равен га. Пусть (ki, &2,..., km) —
произвольный набор номеров, заключенных между 1 я п. Тогда
найдутся куб W в пространстве Кп и диффеоморфизм Ф: W —► Кп
класса Cs такие, что множество V = Ф(И^) С [7, точка р принадлежит V
и Л[Ф(у)] = Ук{ при каждом i = 1,2,..., га.
Замечание 1. Из условия, что ранг системы {/i, /2,..., /m}
в некоторой точке р € U равен т, следует, что m < п.
Замечание 2. Предположим, что Ф: W —> Ета удовлетворяет
всем условиям теоремы, и пусть F = Ф""1, F = (F1} F2,..., Fn). Тогда
Fki(x) = fi(x) ПРИ каждом i — 1,2,..., га. Действительно, по условию,
Л[Ф(у)] = у*,
для любого у = (j/i, 2/2) • • •) Уп) € W. Отсюда следует, что
/,[Ф(Ях)] = ^(х)
для всех х G V. Но так как F = Ф"1, то Ф[.Г(ж)] = ж для любой точки
х Е V, и, следовательно, мы получаем, что /«(я) = Fk{{x) для всех ж
из V, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы. Построим сначала отображение F,
обратное к искомому диффеоморфизму Ф. В силу замечания 2
компоненты с номерами к = fci, fc2,..., fcm отображения F определяются
однозначно. Для случая га = п отображение F тем самым полностью
определено. При этом якобиан отображения F в точке р будет отличен
от нуля.
Пусть т < п. Положим I = п — га. Пусть ji,j2, • •., j/ — все те
номера, которые лежат между 1 и п и не совпадают ни с одним из
номеров ki, i = 1,2,..., га. Положим
аг есть вектор, образованный элементами г-й строки .матрицы Якоби
в точке р отображения ж Е С/" ■-* (/i(z), /2(^)> • * - 5 /т(#))-

\
i
128 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Так как ранг этой матрицы равен т, то векторы а\, а2,..., ат
линейно независимы. Добавим к ним векторы ат+\, ат+2 • •.> ап так,
чтобы получить систему {al7 аг,..., ап} из п линейно независимых
векторов. Это возможно в силу леммы 3.2.
Полагаем Fk(x) = fi(x) при к = &;, г = 1,2,...,т, и -F*M =
= (am+iVs) ПРИ & = in * == 1,2,...,/. Тогда VFjfc(p) = а,- при к = fc,-,
г = 1,2,..., т, и VjF*M = вт+t при г = 1,2, — ,7.
Система векторов {V-Ffc(p), fc = 1,2,..., га}, очевидно,
получается перестановкой векторов {ai,a2,... ,an}- Следовательно, векторы
VFfc(p), fc = l,2,...,n, линейно независимы, и поэтому якобиан
отображения F в точке р отличен от нуля.
Заметим, что F принадлежит тому же классу гладкости С5,
что и функции /,-, г = 1,2,.. .,т.
В силу леммы о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 этой
главы) существует е > 0 такое, что шар В(р,е) содержится в U и
ограничение F на В(р,е) есть диффеоморфизм.
Положим q = F(p), G = F[B(p,e)].
Множество G открытое, и, значит, найдется 6 > 0 такое, что шар
B(q,6) С G. Положим W = Q(q,6/y/n).
Куб W содержится в шаре B(q,6). Положим Ф(у) = F"1(y) для
всякого у € W, и пусть V = Ф(И^). Очевидно, V С U и р Е V. При
г = 1,2,... ,га имеем
/<(*) = i%.
На основании леммы 3.3 отсюда вытекает, что
ДОМ] = Vki
на множестве W при каждом г = 1,2,... ,т, что и требовалось.
Теорема доказана. ■
3.3. Вторая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме
Введем обозначения.
Пусть га > 1 и т — целые числа, причем га < т. Положим т-п= к
Для произвольной точки z = (2i,22,...,2m) G Кт пусть 7Гд(г) есть
точка ж = (zi,Z2,... ,*n) Е Кт, я; = ^ при всяком г = 1,2,... , га и 7rv(z)
есть точка у = (*n+i,... > *m) € К*> 2/j = ^w+j Для любого j = 1,2,..., к.
Пространство Km будем рассматривать как прямое произведение
Кп х R*, отождествляя произвольную точку г Е Rm с парой (ж, у),
где ж = 7гд(,гг), у = ^(г). Для произвольной функции /: А —► Rm,

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 129
где А С Кт, ее значение в точке z = (я, у), х G Кп, у G R*, будем
обозначать символом /(ж, у).
■ Теорема 3.3 (вторая теорема о выпрямлении). Пусть U есть
открытое множество в пространстве Кп я /: {7 —> Кт — отображение
класса Ст'. Предположим, что в точке a £ U ранг отображения f
равен п. Тогда m> n и существуют окрестность V точки Ь = /(a) G Кт,
диффеоморфизм F: V —► Rm класса Сг и число 8 > 0 такие, что есля
|ж — а| < <5, то /(ж) EV и F[f(x)] = ж в случае m = гс, а есля m > п, то
F[/(x)] = (*,0).
Доказательство. Предположим, что отображение /
удовлетворяет условиям теоремы. Неравенство m > n следует из того, что ранг
отображения / в некоторой точке равен п.
В случае m = n утверждение теоремы вытекает из леммы о
локальном диффеоморфизме (лемма 2.1).
Будем далее считать, что m > п. Положим m — n = к. Определим
отображенце 7гд: Ет —> Кп (см. обозначения выше). Очевидно, 7Гд
принадлежит классу Ср при любом р > 1.
Пусть W = 7r^"1(f7). Множество W является открытым в Кт.
Пусть a = (ai,a2,...,an). Пусть с есть точка пространства Кт
такая, что с,- = аг- при % = 1,2,..., п и с; = 0 при г > гс, с = (а, 0).
Для г = 1,2,..., п положим ——(а) = щ.
ОХ{
В силу условия теоремы векторы гх,-, г = 1,2,...,п, линейно
независимы. Согласно лемме 3.2 к векторам ^i,!^,... ,wn можно
добавить векторы un+i,..., um так, что векторы
iXj, . . . , iin, Wn+1) • • • ? wm
будут образовывать систему из т линейно независимых векторов в
пространстве Кт.
Определим некоторое вспомогательное отображение Ф: W —> Шт.
Пусть (я, у), ж G Кп, у G К*, есть произвольная точка множества W.
Полагаем
Отображение Ф, очевидно, принадлежит классу Сг. Имеем
foT^'у'= Ъх'- при г = ''''п'
#ф
—-(ж, у) = гхя+у при j = l,2,...,fc.

130
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
В частности, мы получаем
дФ
—(а,0) = щ, t = 1,2,...,п,
#Ф
_(а, 0) = un+J-, j = 1,2,..., k.
Так как векторы и,-, г = 1,2,...,т, линейно независимы, то якобиан
отображения Ф в точке с = (а,0) отличен от нуля. По лемме о
локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 этой главы) существует 8 > 0 такое,
что шар 5(с, 6) пространства Ет содержится в множестве W и
ограничение отображения Ф на В(с, 6) представляет собой диффеоморфизм
класса Сг.
Пусть V = Ф[5(с, 6)] и F: V —► Кп — отображение, обратное
к ограничению Ф на шаре В{с,6).
Пусть х G Кп таково, что \х — а\ < 6. Тогда точка z = (ж,0)
принадлежит шару J5(c, 6) в Кт и, значит, z Е W. Отсюда следует, что
х = 7Гд(;г) G ?7. Следовательно, мы получаем, что шар В(а,6) в
пространстве Еп содержится в множестве U. Для всякой точки (я, у) Е
G В(с,6) выполняется равенство ,Р[Ф(я,у)] = (ж, у).
Далее, имеем Ф(я,0) = /(ж). Отсюда получаем, что для всех
хеВ(а,6)
F[f(x)] = F[<f>(x,Q)] = (x,Q).
Таким образом, отображение F удовлетворяет всем требуемым
условиям. Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Пусть U есть открытое множество в пространстве Жп
и /: U —► Ет — отображение класса Сг. Предположим, что в точке
a £ U ранг отображения f равен п. Тогда m> n и существуют
окрестность V точки Ъ = /(а), отображение д: V —> Шп класса Сг и
число 6 > 0 такяе, что если \х — а\ < й, то f{x) £ V и выполняется
равенство g[f(x)] = х.
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Тогда согласно теореме m > п и существуют окрестность V точки
Ь = /(а) Е Мт, диффеоморфизм F: V -» Кт класса Сг и число 6 > 0
такие, что если |я — а| < й, то /(ж) Е V и ^[/(#)] = жв случае га = п,
а если га > п, то F[/(x)] = (я,0).
В случае m = n отображение д = F и будет искомым.
Пусть m > п. Каждая точка z € Km может быть представлена
в виде z = (ж, у), где х Е Kn, а у Е Kw~n. Для г Е Em положим
7r(z) = Ж.
Отображение 7г принадлежит классу Сг при всяком г. Для всякого
х е U такого, что \х - а\ < <5, точка f(x) Е V, F[f(x)] = (я,0) и,
значит, ^{^[/(я)]} = #• Отсюда видно, что отображение # = 7TO.F
и есть искомое. Следствие доказано. ▼

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 131
3.4. Теорема о ранге
■ Лемма 3.4. Пусть и есть вещественная функция класса Ск,
определенная в кубе W = Q(p,r) пространства Rn. Пусть целое число г
таково, что 1 < г < п, и ранг отображения <р: х = (яь£2,... ,£п) €
GWrn(a;1,x2,..., £r, w(x)) G Er+1 в каждой точке t € W равен г.
Тогда функция и зависит только от переменных a?i, #2>..., £г> т. е. для
любых точек х = (aJi,a?2j • • • ?жп) € W я i = (<i,<2>- • -><п) € W таких,
что ti = Х{, для всех i = 1,2,..., г выполняется равенство и(х) = u(tf).
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы.
Матрица Якоби отображения <р состоит из г + 1 строк и п столбцов и имеет
вид
/ 1, 0, ... О, 0, ... О, \
О, 1,
О,
ди
О,
ди
О,
1,
ди
О,
О,
ди
О,
О,
ди
\dtx dt2 dU1 dtr+1 '■■ dtn/
Из условия леммы следует, что ранг этой матрицы в каждой точке
t E W равен г и, следовательно, все ее миноры порядка г + 1 равны
нулю.
Рассмотрим минор, образованный элементами столбцов с
номерами 1,2,..., г и г + j, где 1 < j < n - г. Этот минор имеет вид
1,
О,
О,
о,
1,
о,
ди
dU dti
О,
О,
1,
ди
ЪТт
О,
о,
о,
ди
dt
r+j
Данный минор равен, как очевидно, частной производной
ди
Следовательно, мы получаем, что частные производные
ди
dt
r+j
dtr+j

функции и тождественно равны нулю для всякого j такого, что 1 < j < n—г.
Пусть точки t = (<1,<2>-«->*п) € W и х = (a:i,:E2,...,a:.n) € W
таковы, что ti = Xi при каждом t = 1,2,...,г. Пусть pi,р2, •. • ,рп есть
координаты точки р — центра куба W. Условие х G W, t G W означает,
что при каждом г — 1,2,..., п выполняются неравенства
pi — h < ti <pi + h и pi — h < Xi < pi + h.

132
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Отсюда следует, что если 0 < А < 1, то
Pi - h < (1 - X)xi + \t{ < pi + h
для всех i = 1,2,..., га, и, значит, точка
ж + А(< - ж) = (1 - А)ж + А*
содержится в кубе РГ при любом A G [0,1]. Для А € [0,1] положим
<р(\) = и[я? + А(< - ж)] = t*[(l - А)я? + А<].
Функция ip непрерывна и дифференцируема в промежутке [0,1].
При этом (р(0) = и(х) и ip(l) = u[t) и, значит,
1
u(t) - и(х) = у>(1) - tp(Q) = / у>'(А) dA.
о
Имеем п
/(А) = £ (*,• - х,)^[* + А(* - х)]. (3.1)
1=1 *
По условию, ti = я; при г = 1,2,...,г и, значит слагаемые в
сумме (3.1), номера которых лежат между 1 и г, равны нулю.
При г = г + 1,..., га — 1, га, по доказанному, производная ——(ж) = 0
для всех ж Е W и, следовательно, слагаемые в сумме равенства (3.1),
номера которых лежат между г + 1 и га, также равны нулю. Отсюда
следует, что у/(А) = 0 в промежутке [0,1] и, значит,
u(t) - и(х) = <р(1) - <р(0) = 0,
т. е. u(tf) = гх(ж). Лемма доказана. ■
Доказываемая далее теорема устанавливает следующий факт.
Если отображение /:£/"—> Кт, где U — открытое множество
в Кта, таково, что в некоторой окрестности точки р Е U ранг
отображения равен одному и тому же числу г, то в окрестностях точек
q = Др) и р можно ввести криволинейные системы координат, в
которых функция / оказывается приведенной к некоторому простейшему
виду. Именно, если <i,^2j*--»*n есть координаты точки ж, лежащей
в заданной окрестности точки р, то /(ж) лежит в заданной окрестности
точки р и имеет координаты t^,..., /г, 0,..., 0 .
m_r нулей

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 133
■ Тетрема 3.4 (общая теорема о выпрямлении или теорема о ранге).
Пусть U есть открытое множество в пространстве Еп я /: U —► Ет
есть отображение класса С8. Предположим, что для некоторой точки
p6U можно указать натуральное число г < min{m,n} и число
6 > 0 такяе, что в каждой точке х Е U, для которой \х — а\ < 5,
ранг отображения f равен г. Тогда существуют n-мерный куб W,
m-мерный куб V и диффеоморфизмы Ф: W —>ЕпяФ: F -> Rm
класса С8, для которых справедливы следующие утверждения:
1) множество G = Ф(\¥) содержится в U, причем р Е G и для
всякого х £ G выполняется неравенство \х — р\ < 6;
2) множество f(G) содержится в множестве V;
3) для всякого t = (ti, t2,..., tn) G W выполняется равенство
Ф{/[Ф(0]} = ('ь.-.,*г, 0^0 )•
тп—г нулей
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Будем
считать, что указанное в формулировке теоремы число 6 > О таково,
что шар В(р,6) целиком содержится в множестве U. Это
предположение не умаляет общности рассуждений, поскольку его выполнения
всегда можно добиться, уменьшая 6.
Из условий теоремы следует, что г < п и в то же время г < т.
В случае г = т < п требуемый результат вытекает из теоремы 3.2.
В этом случае в качестве Ф можно взять тождественное отображение
пространства Кт.
Точно так же, если г = n < га, то утверждение теоремы следует
из теоремы 3.3. В этом случае в качестве W следует взять куб с
центром в точке р, содержащийся в шаре 2?(р, й), и в качестве Ф взять
тождественное отображение этого куба.
Будем далее предполагать, что г < п и одновременно г < га.
Пусть /i, /2,..., fm есть компоненты вектор-функции /. Из
условий теоремы следует, что в каждой точке шара В(р,6) ранг
отображения / равен г и, значит, по крайней мере один из миноров порядка г
матрицы Якоби отображения / в точке р отличен от нуля.
Будем считать, что это есть минор, образованный элементами
первых г строк и г столбцов матрицы Якоби отображения /. Рассмотрим
отображение
g:xeU~ (Л(я), f2(x\ ..., fr(x)) G Kr.

134
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Ранг этого отображения в точке р, очевидно, равен г. Как следует из
теоремы 3.2, найдутся открытый куб Q = Q(a,h) и диффеоморфизм
Ф: Q —► Кп класса Cs такие, что р G Ф(ф), для всякого t € Q
Mt)-P\<6,
и, каково бы ни было t = (<1,^2? • • • >*n) € W, имеет место равенство
0[Ф(<)] = (<Ь«2,...,<г),
/,-[Ф(0]гЛ-[Ф(<)] = <.-
на множестве Q для каждого i = 1,2,..., г.
Не умаляя общности, мы можем считать, что р = Ф(а), поскольку
выполнения этого равенства всегда можно добиться, заменяя куб Q
некоторым кубом, содержащимся в нем.
Положим F(t) = /[Ф(<)], где Ф есть построенный выше
диффеоморфизм. Отображение F определено в кубе Q пространства Шп и
принадлежит тому же классу гладкости С5, что и отображение /. Согласно
лемме 3.1 ранг отображения сохраняется при замене переменных,
осуществляемой посредством диффеоморфизма области в Еп, и, значит,
ранг отображения F равен г во всех точках t Е Q. Для i = 1,,2,... ,га
имеем Ft(/) = /*[Ф(0]- В частности, получаем, что если i — 1,2,... ,г,
то Ft(0 = U.
Покажем, что для значений tf, принадлежащих Q, величина F(t)
зависит только от переменных <i,<2> • • • >^г- Для этой цели рассмотрим
функцию
?(<) = (*Ь <2, • • • , «г, JV+.'(0) = (Jl (0. ■ ■ • . Fr(t), Fr+i(t)).
Пусть a = (аь а2,..., ап) есть центр куба Q. Ранг отображения у>,
очевидно, не превосходит ранг отображения F, и, значит, он равен г.
Отсюда, в частности, следует, что все миноры порядка г + 1 матрицы
Якоби функции <р равны нулю. В силу леммы 3.4 отсюда вытекает, что
для всякой точки * = (<i, *2 j • • • > *n) € Q имеет место равенство
Fr+i(ti,t2,. . . ,^n) = J?V+i('lj • • • j'rj^r+i,. . . ,an)
и, таким образом, компоненты функции F, номера которых
больше г, зависят только от t\, <2» • • • 5 'г- Для компонент, номера которых
не превосходят г, это, очевидно, также верно.

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 135
Положим Ь = (ai,a2,...,ar) G Rr, и пусть Q\ есть куб Q(b,h)
в пространстве Ег. Для произвольной точки (<i,<2> • • • >*n) £ Еп
положим 7r(tf) = (ii,<25 - • • ><г)« Рассмотрим отображение
HiteQi^ JP(ti,...,tr,or+i,...,an). (3.2)
Отображение Я принадлежит тому же классу гладкости С8, что и
отображение F. Для любого г = 1,2,..., г имеем Я,-(<) = *,-. Отсюда
следует, что ранг отображения Я равен г в каждой точке t G Q\. Из
определения функции Я (см. (3.2)) следует, что
Н(Ь) = F(a) = /[Ф(о)] = /(р).
Для всякой точки t G Q имеем F(t) = Я[7г(^)]. На основании теоремы 3.3
найдутся окрестность V точки q = /(р) = Я(6), окрестность О точки Ъ
и диффеоморфизм Ф: V —> Rm такие, что Я(0) С V^ и
Ф[Я(<)] = (*ь<2,.-.,<г, 0,...,0 )GKm
m—r нулей
ДЛЯ ВСЯКОГО t = (^i, /2 5 • • • 5 <г) € О.
Пусть 6 таково, что 0 < е < h и куб Q(b,e) С О. Положим
W = Q(a,e). Пусть G = Ф(И^). Множество G является открытым
и содержится в U. При этом р = Ф(а) G <?.
Теперь покажем, что для построенных множеств V и W и
диффеоморфизмов Ф и Ф справедливы утверждения 1-3 формулировки
теоремы.
Утверждение 1 выполняется в силу определения множеств W и G.
Рассмотрим утверждение 2. Возьмем произвольно точку х G G. Так
как G = Ф(И^), то найдется t &W такое, что х = Ф(£)- Имеем
/(*) = /[Ф(<)1 = Л<).
Далее,
= F(ii,...,tr,ar+i,...,on) = Я(<1,*2,..-,*г) = Я[7г(/)].
Если t G W = Q(a,e), то тг(/) G Q(b,e) и, значит, /(ж) = Я[тг(<)] G V.
Точка х G G была выбрана произвольно, и, следовательно, мы
получаем, что f(x) G V для всякого х G G, так что утверждение 2 также
верно.

136
Гл. 10. Основы гладкого Анализа,
Наконец, заметим, что для всякого t = (ti, Ц,..., tn) € W
F(t) = F(t1,t2,...,tn) = H(t1,t2,...,tr)ev:
При этом
Ф[Я(<Ь*2,...,*г)] = (<1,<2,...,<г, 0,...,0),
т*-г нулей
т. е. мы получаем, что
9{F(t)} = Ф{/[Ф(<)]} = (<i, *2, • • •, tr, O^^O ).
m —r нулей
Таким образом, мы видим, что справедливо и утверждение 3 —
основное в доказываемой теореме.
Мы доказали теорему в предположении, что отличен от нуля
минор матрицы Якоби отображения /, образованный элементами первых
г строк и первых г столбцов.
Общий случай легко сводится к этому изменением нумерации
переменных. Аналитически изменение нумерации координат состоит в
выполнении некоторого диффеоморфизма. Используя тот факт, что
суперпозиция двух диффеоморфизмов есть снова диффеоморфизм, отсюда
легко заключить, что теорема верна и в общем случае. Теорема
доказана. ■
3.5. Понятия функционально зависимых и независимых
СИСТЕМ ФУНКЦИЙ
Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn, /,-: U —► К,
г = 1,2,...,т, — функции класса Сг для некоторого г > 1,
определенные на множестве U.
Говорят, что функции /i, /2,..., fm функционально зависимы в
окрестности точки хо G (7, если можно указать число 6 > О и функцию Ф
от т переменных, определенную на некоторой окрестности V точки
у0 = (fi(xo)9f2(xo),...,fm(xo)) пространства Ет такие, что
выполнены следующие условия:
а) функция Ф принадлежит классу С1 и такова, что в каждой точке
у Е V ее градиент УФ(ж) отличен от нуля;
б) для всякого х £ U такого, что \х — xq\ < 6, точка
(/l(z),/2(z),...,/m(z))

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 137
принадлежит V, причем выполняется равенство
Ф[/1(х),/2(х),,..,/т(Ж)] = 0. (3.3)
Если система функций /i, /2,..., /т не является функционально
зависимой в окрестности точки ж о Е [7, то говорят, что данные функции
функционально независимы в окрестности точки жо-
Если функции /j, /2,..., fm функционально зависимы в
окрестности каждой точки х множества [7, то мы будем говорить, что функции
/i j /2? • • • » fm функционально зависимы на множестве U.
Предположим, что функции /j, /2,..., fm функционально зависимы
на множестве U. Пусть хо — произвольная точка множества U и Ф есть
функция такая, что градиент ее всюду отличен от нуля и
*[fi(x),f2(x),..*Jm(x)] = 0
для всякого х Е U такого, что \х — хо\ < 6, Предположим, для
определенности, что
ЭФ
If-(lto) Ф О,
ОУтп
где уо = (/i(^o))/2(^o)j • • • )/п(^о))« Согласно теореме о неявных
функциях (см. теорему 3.1), предположения которой выполнены в силу
условия а), найдется £>0 такое, что уравнение Ф(у1,у2? • • • >Ут) = О
однозначно разрешимо относительно переменной ут в окрестности
Q{yo,e) точки уо, т. е. существует функция F(yuy2,... ,2/m-i) такая,
что из равенства Ф(уь у2> • • • > Ут) = 0 следует, что
Отсюда вытекает, что существует 6i > 0 такое, что если х £ U
и |я - £о| < tfi, то имеет место равенство
/m(x) = F[/1(a;),...,/m_1(x)]. (3.4)
Резюмируя сказанное, получаем, что если функции /ь/г,...,/™
функционально зависимы на множестве [7, то в окрестности всякой
точки xq множества U одна из этих функций может быть выражена
через другие формулой вида (3.4).
Иначе говоря, значения функции /т в точках некоторой
окрестности х0 полностью определяются значениями функций /ь/г, •.. ,/m-i
в этих точках.

138
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Из определения функциональной зависимости системы функций
вытекает следующее предложение.
Пусть дана функция F: U —► R, где U — открытое множество
в Rn, дифференцируемая в каждой точке х G U. Напомним (см. §2
этой главы), что вектор
(^(x)'^(x)'---'S(x))
называется градиентом функции и обозначается одним из символов:
gvadF(x) или VF(x).
ш Теорема 3.5. Если функции /i, /2,..., fm класса Сг,
определенные на открытом множестве U пространства Rn, функционально
зависимы в окрестности точки хо Е (7, то найдется S > О такое, что ранг
системы функций f\,/2,..., /m не превосходит m — \ в каждой точке
х £ U такой, что |ж — хо\ < S.
Доказательство. Пусть функции /i, /2,..., fm удовлетворяют
условию теоремы. Согласно данному выше определению зависимости
системы функций это означает, что найдется функция Ф класса С1
такая, что для всех х € U таких, что \х — хо\ < <5, выполняется
равенство (3.3), причем градиент функции Ф отличен от нуля во всех точках
ее области определения. Дифференцируя обе части равенства
Ф[/1(х),/2(х),...,/ш(Ж)] = 0
по я;, г = 1,2,..., п, получим, что для любой точки х G U при. каждом
г = 1,2,..., п справедливо соотношение
где f(x) = (Л(*), /2(х),..., /m(s)) 6 R".
#Ф
Положим Aj = -—[/(^)]« Тогда из равенства (3.5) следует, что
для векторов Vfj(x) G Kn, j = 1,2,..., m, выполняется соотношение
m
£ A>v/i(^) = 0. (з.б)

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 139
Так как согласно данному выше определению функциональной
зависимости градиент функции Ф отличен от нуля в каждой точке у
области определения функции Ф, то среди чисел Aj хотя бы одно число
отлично от нуля. Равенство (3.6), следовательно, означает, что векторы
Vfj(x) линейно зависимы.
Компоненты вектора V/Дя) образуют j-ю строку матрицы Якоби
системы функций /t-: U —► Ш, г = 1,2,..., т, в точке х. Таким образом,
строки матрицы Якоби линейно зависимы. Следовательно, мы
получаем, что ранг этой матрицы по крайней мере на единицу
меньше числа ее строк и, следовательно, в каждой точке х Е U
такой, что \х — хо\ < 6, ранг системы функций /i,/2?...,/m не
превосходит т — 1, что и требовалось доказать. ■
▼ Следствие. Если система функций /i, /2,..., fm класса Сг,
определенных на открытом множестве U пространства К71, такова, что в
каждой точке х £ U ранг этой системы равен т, то функции /,-: U —► К,
i = 1,2,..., m, функционально независимы.
Действительно, если бы данная система функций была
функционально зависима, то согласно теореме 3.5 ее ранг был бы не более га — 1,
что противоречит условию следствия. Следствие доказано. ▼
Замечание. Теорема 3.5 устанавливает некоторое
необходимое условие функциональной зависимости для произвольной
системы вещественных функций класса Сг, определенных на открытом
множестве пространства Кп. Применяя теорему о ранге (теорему 3.4),
мы получим достаточное условие функциональной зависимости
системы функций.
■ Теорема 3.6. Пусть U есть открытое множество в
пространстве Шп и /: U —► Кт есть отображение класса Cs. Предположим, что
для некоторой точки a E U можно указать натуральное число г < m
и число <$о > 0 такие, что в каждой точке х £ U, для которой \х—а\ <
< йо, ранг отображения f равен г. Тогда существуют 6 > О, S < So,
m-мерный куб V и отображение в: V —► Кт"г класса Cs такое, что
ранг отображения в равен m — г, шар В (а, 6) содержится в U, причем
f[(B(a,6)] С V, и для всякого х = (xi,x2,.. .,xn) £ В(а,6) выполняется
равенство 0[f(x)] = 0.
Замечание. Пусть #i, 02,..., Om-r есть компоненты
отображения 0. Равенство 0[f(x)] = 0 равносильно системе уравнений
0l[fl(x),f2(x),...,fm(x)] = 0,
ЫМ*Ш*)|--м/ш(*)]=0,
0m-r[fl(x),f2(x),...Jm(x)] = 0.
(3.7)

140
Гл. JO. Основы гладкого анализа
Доказательство теоремы. Пусть выполнены условия теоремы.
Воспользуемся результатом теоремы 3.4, полагая в ней U = В(а,6о).
Тогда согласно теореме 3.4 найдутся диффеоморфизмы Ф: W —► Шп
иФ: 7-^ Kw класса С8 такие, что выполняется равенство
*{/[*(<)]} = (<!,••-Л, J^O).
m—r нулей
Здесь W есть куб в Rn такой, что Ф(\¥) С В(х0,6), V есть га-мерный
куб и выполнено условие: /[Ф(И0] С V.
Положим Ф{/[Ф(<)]} = H{t). Имеем Я^"1^)] = Ф{/(ж)}. При
каждом % = 1,2,..., га имеем Я,-[Ф"1(ж)] = Фг{/(ж)}.
Компоненты с номерами r+l,r + 2,...,m вектор-функции Я
тождественно обращаются в нуль. Отсюда получаем, что
Ф,-{/(х)} = 0
для значений г = г + 1,г + 2,... , га. Полагая 0,-(у) = Ф,-+Г(у) для
г = 1,2,..., га — г, получим, что
*••[/(*)] = о.
По условию, отображение Ф есть диффеоморфизм и, значит,
якобиан отображения Ф всюду отличен от нуля. Отсюда следует, что
строки матрицы Якоби отображения Ф линейно независимы. Это
позволяет заключить, что последние га — г строк этой матрицы также
линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы Якоби
отображения в равен га — г. Теорема доказана. ■
Т Следствие. Пусть U есть открытое множество в пространств
веШ71 и /: U —► Кт есть отображение класса С8: f(x) = (/i(z), /2(2), • '• •
• • •) /т(я))« Предположим, что для некоторой точки a Е U можно
указать натуральное число г < га и число 6 > 0 такие, что в каждой точке
х € U, для которой \х - а\ < 6, ранг отображения f равен г. Тогда
существует окрестность V С U точки а, в которой га — г из функций
/i(^))/2(^),.. .,/ш(^) могут быть выражены через г остальных, т. е.
найдутся номера %i, г'2,..., ir и 3\ > 32 • • • > jm-r такие, что
последовательность
(^, г2,..., гг, ji, j2,..., jm-r)
есть перестановка последовательности (1,2,..., п) я если ж G V, то
имеют место равенства
fjl(x)^F1{fil(x),fi2(x),...,fir(x)] = 0,
/»(*) = Fi[fil(x)1fh(z),...,fir(x)] = 0, ,„ ..
/i»-,0O = ^m-r[/n(x),/,2(x),...,/,r(x)] = 0.

§ 3. Следствия теоремы об обратной функции 141
Доказательство. Действительно, согласно теореме 3.6 найдется
окрестность точки а такая, что для всех х из этой окрестности
выполняются равенства (3.8). Ранг матрицы Якоби системы функций 0t,
г = 1,2,... , га —г, стоящих в равенстве (3.8), согласно теореме З.б равен
га —г. Это означает, что по крайней мере один из миноров порядка
га - г этой матрицы отличен от нуля. Пусть это будет минор,
образованный столбцами матрицы, номера которых есть ji, j2, • • • dm-r-
Пусть i\, г'2,..., гг есть номера, которые остаются в множестве 1Я после
исключения номеров j/, / = 1,2,... ,m — г. Положим /ijb(z) = fik(x),
k = 1,2,..., г. Пусть gi(x) = fjt (ж), I = 1,2,..., га — г. Полагаем также
9(х) = (#i(z),---,0r(z)), Мж) = (/ii(z),...,/im-r(aO). Тогда система
уравнений (3.8) может быть представлена в следующей форме:
ei[g1(x)9...9gr(x)9h1(x)i...,hm^r(x)] = О,
02[0i(z),... ,0r(s), /ii(z),..., ftm-r(aj)] = 0, ( Л
Om-r[gi{x),.. •,flfr(»), /n(z),..., Лт^г(ж)] = О.
Функция б,- здесь получена из функции 0,- перестановкой
аргументов при каждом г = 1,2,..., га — г:
0t(Wi> • • •> У|Рi УЛ> • • • > Vim-r) = *(У1 >№»•••> Ут)-
Положим
9 = (/ц(а),..., Лш_г(а)) G Km"r, Р = (ffi(a),... ,5г(а)) е Кг.
Рассмотрим систему уравнений
0t-(u, v) = 0, г = 1,2,..., m -■ г, (3.10)
где IX = (уь... ,yr) G Kr, v = (уг+1,... ,ут) € Мт"г.
В точке (р, <?) минор матрицы Якоби этой системы функций,
образованный элементами последних m — r столбцов, отличен от нуля.
В силу теоремы о неявных функциях отсюда следует, что найдутся
окрестность G точки р и окрестность Н точки q такие, что для всякого
и Е G существует, и притом только одно, v Е Н такое, что (и, г?) есть
решение системы (3.10). Обозначим это v символом F(y).
Имеем V{ = F,(wi, и2,..., иг) для всех г = 1,2,..., т—г. Функции Fi
при этом принадлежат тому же классу гладкости, что и функции 0,-.
В силу непрерывности функций g ж h найдется е > 0 такое, что если
\х — а\ < £, то /i(z) Е Я, а ^(ж) Е G.
Так как 0t[flf(£), /i(z)] = 0 при каждом г = 1,2,..., т — г, то отсюда
следует, что имеют место равенства
fci(a) = Ji[sri(a),flto(&), • • • >9r(x)] = 0,
h2{x) = F2[gi{x)yg2{x),..^gr{x)} = 0,
/im-r(z) = Fm-r[gi{x\g2{x),... ,gr{x)] = 0.
Эти равенства, после надлежащего изменения обозначений, дают
требуемые равенства (3.8). Следствие доказано. Т

142
Гл. 10. Основы гладкого анализа
§ 4. Многообразия и системы уравнений
в пространстве К71
В приложениях математического анализа часто приходится
рассматривать совокупности объектов, каждый из которых определяется системой из
k > 1 вещественных чисел, не связанных между собой никакими
соотношениями, или, как говорят в таких случаях, зависит от k вещественных
параметров. Точный смысл представления о множестве элементов, зависящих
от к параметров, выражается понятием к-мерного дифференцируемого
многообразия. Определение последнего в полной общности будет дано позднее
(в главе 15).
Исследование свойств абстрактных дифференцируемых многообразий
есть задача курса дифференциальной геометрии и курса топологии. Здесь
мы введем понятие k-мерной поверхности класса Сг или, иначе, к-мерного
многообразия класса Сг в пространстве Шп. Оно является частным случаем
общего понятия k-мерного дифференцируемого многообразия.
Всякое абстрактное k-мерное дифференцируемое многообразие может
быть представлено как подмногообразие пространства Rn при достаточно
большом п.
Формально, k-мерное многообразие класса Сг или, что то же самое,
к-мерная поверхность класса Сг в пространстве Шп есть такое множество
в Кп, любая достаточно малая, часть которого может быть получена из
области пространства Ш выполнением некоторого невырожденного отображения
класса Сг. Термин «невырожденное отображение» означает, что ранг
отображения в каждой точке области его определения принимает наибольшее
возможное значение.
Дифференцируемые подмногообразия М пространства Шп можно
характеризовать тем их свойством, что любая достаточно малая часть
дифференцируемого многообразия почти не отличается от малого куска k-мерной
плоскости — степень отличия тем меньше, чем меньше рассматриваемая часть
многообразия.
В этом параграфе дается определение того, что есть k-мерное
многообразие класса Сг в пространстве IRn, и определяется понятие касательной
плоскости в точке многообразия.
Доказывается, что всякое множество в пространстве Шп, определенное
системой уравнений, есть многообразие, если только эта система является
не слишком «плохой». А именно, предположим, что дана система
уравнений F{(x) = 0, i = 1,2,..., m < n, где функции F, определены на некотором
открытом множестве пространства Шп и принадлежат классу Сг. Тогда
если эта система имеет решение и в каждой точке множества ее решений
ранг системы равен числу составляющих ее уравнений, то, как будет
доказано далее, совокупность всех точек х, для которых Fi(x) = 0 при каждом
i = 1, 2,..., m < п, есть (n — т)-мерное многообразие класса СТ в
пространстве шп.
В заключительной части этого параграфа приводятся некоторые
примеры.

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 143
4.1. Понятие &-мерного подмногообразия пространства Rw
Введем некоторый класс просто устроенных областей
пространства Шк. Множество Р в пространстве R* будем называть к-мерной
стандартной областью, если Р есть либо открытый fc-мерный
прямоугольник
(abbi) х (а2,Ь2) х ••• х (ак,Ък),
либо А;-мерный прямоугольник
[аиЬг) х (а2,Ь2) х ---х (ак,Ьк).
В первом случае множество Р мы будем называть к-мерным
интервалом, во втором Р называется к-мерным полуинтервалом.
Пусть Р есть fc-мерный полуинтервал
[аиЬг) х (а2,Ь2) х ..-х (ак,Ък).
В этом случае fc-мерный интервал
(аиЬг) х (а2,Ь2) х ---х (а*,Ь*)
будем обозначать символом Р° и называть внутренностью
полуинтервала Р. Всякая точка ( £ Р, очевидно, является предельной точкой
множества Р°.
Точки iGP, у которых первая компонента равна oi, будем
называть краевыми точками Р.
Совокупность всех краевых точек полуинтервала Р называется его
краем и обозначается символом дР.
Если к > 2, то для данного полуинтервала Р определен еще (А; — 1)-
мерный интервал
{а2,Ъ2) х •'• х (<**А)>
который мы будем обозначать символом до Р.
Понятие отображения класса СТ (см. главу 7) было введено выше
только для отображений, у которых область определения есть
открытое множество. Сейчас возникает необходимость расширить это
понятие с тем, чтобы оно имело смысл и для некоторых множеств, не
являющихся открытыми. В полном виде этот вопрос будет рассмотрен
в главе 15. Здесь мы ограничимся случаем отображений, определенных
на к-мерных полуинтервалах в пространстве R*.
Пусть G есть открытое множество в пространстве R*. Напомним,
что отображение /: G —> Кт называется отображением класса Сг, где

144
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
г > 0 — целое число, если функция / имеет в G все частные
производные порядка не выше г, причем каждая из этих производных
непрерывна на множестве G (см. §3 главы 7).
Пусть Е есть произвольное множество в R*.
Будем говорить, что отображение f:E-+Rn принадлежит
классу Сг', если существуют открытое множество U D Е и функция f*:U-+
—► Rn класса Сг такая, что f*(x) = f(x) для всех х G Е.
Пусть G есть открытое множество в R*. Тогда всякая функция
/: G —► Rn, принадлежащая классу Сг, в смысле прежнего определения
удовлетворяет всем условиям нового определения класса Сг.
Действительно, в этом случае мы, очевидно, можем взять U = G и положить
/• = /•
Справедливо и обратное, а именно: если множество G открытое
и функция f принадлежит классу Сг в смысле данного здесь нового
определения, то f будет удовлетворять всем условиям прежнего
определения функций класса Сг.
Действительно, пусть G есть открытое множество и функция /
удовлетворяет условиям нового определения, т. е. / является
ограничением на множестве G функции, которая определена на некотором
открытом множестве U D G и имеет в U все частные производные
порядка не выше г, причем эти производные непрерывны. Но тогда,
очевидно, и функция / имеет на множестве G все частные производные
порядка не выше г. Эти производные совпадают с соответствующими
производными функции /* на множестве G и, следовательно,
непрерывны, что и требовалось доказать.
Таким образом, в случае, если множество iCEfc открытое, данное
здесь определение того, что значит, что функция /: А —> Rn
принадлежит классу Сг, равносильно определению, данному в КМ А, часть I,
книга 2, глава 7, § 3.
Пусть Р есть к-мерный полуинтервал в пространстве R* и /: Р —>
—► Кт есть функция класса Сг, Р = [ai,bi) х (а2,Ь2) х ••• х (aj^bk).
Согласно определению функции класса Сг на произвольном
подмножестве Жк существуют открытое множество U D Р и функция
/*:(/—► Rm класса Ск такая, что f*(x) = f(x) для всех х € Р.
Для всякого n-мерного мультииндекса а такого, что \а\ < /с, на
множестве U определена частная производная Daf*.
Для произвольного х G Р полагаем
Daf(x) = D«f* (x).
Данное определение корректно в том смысле, что значение Da f(x) не
зависит от выбора продолжения /* функции /. Действительно, пусть

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 145
/Г: U\ —► Rm и /2* : [/г —► Rm — две функции класса С*, определенные
на открытых множествах U\ D Р и U2 Э Р и такие, что /^(я) =
= /2*(ж) = /0*0 Для любого ж G Р. Так как Р° С Р и Р С UUP С 172,
то Р° CU\ и одновременно Р° С i72.
Так как Р° С Р есть открытое множество и функции /j* и /£ на
множестве Р тождественно совпадают, то они совпадают также и на
множестве Р°, и, следовательно, для любого а такого, что \а\ < А;,
функции Dafi и Daf% на множестве Р° совпадают.
Функции Da fi и J5a/2 непрерывны. Каждая точка to € Р является
предельной точкой множества Р°. Функции Da f% и Da f£ тождественно
совпадают на множестве Р°. Для всякого to E P в силу непрерывности
функций Z?a/j* и Da /2 имеют место равенства
Г>°7Г(*о) = Um Z>e/i40 = lim #а/2*(*) = Лв/а*(<о).
Это доказывает, что величина Da/* не зависит от того, каким образом
строится продолжение /* функции / на открытое множество,
содержащее прямоугольник Р. Корректность определения тем самым
установлена.
Пусть Р есть стандартная fc-мерная область в пространстве Жк
и /: А -* IR71 — отображение класса Сг, где к > 1. Тогда для всякой
точки tf £ Р определены векторы
|£(*), г = 1,2,...Л
Это позволяет для всякого t G Р определить линейное отображение
df(t;h):h = (h1,h2,...,hk)»^^(t)hi,
dU
которое мы будем называть дифференциалом отображения f в
точке t. В этом случае мы будем применять те же обозначения для
дифференциала, что и ранее.
Пусть к < п. Будем говорить, что отображение /: Р —► К71
класса Сг является невырожденным в точке а Е Р, если ранг отображе-
ния / в этой точке равен fc, т. е. векторы — (а), г = 1,2,..., fc, линейно
независимы.
Если / есть отображение класса Сг стандартной fc-мерной
области Р, то для всякой точки a G А справедливо соотношение
f(t) = /(а) + df(a; t - а) + a(t)\t - а|, (4.1)

146
Гл. JO. Основы гладкого анализа,
где a(a) = 0 и a{i) —► 0 при tf —> а. Действительно, условие f е Сг
в данном случае, по определению, означает, что существуют открытое
множество U D Р и функция /* класса С* такие, что /*(<) = /(<) для
всех t € Р.
В силу свойств функций класса Сг, определенных на открытых
множествах, для всякой точки a E U имеем
/*(*) = /*(а) + rf/*(a; * - о) + а(«, a)\t - a|, (4.2)
где а(а, а) = 0 и a(tf, а) —> О при t —> а.
Для всех а Е Р, t Е Р имеем /*(а) = /(а), а производные ——(а)
совпадают с соответствующими производными функции /, и, значит,
если a E Р, то df*(a;h) = df(a\h).
Множество F в пространстве К71 будем называть элементарным
k-мерным многообразием класса или, иначе, к-ячейкой класса Сг, если
существуют стандартная fc-мерная область Р С Шк и отображение
<£ : Р —► Еп такие, что выполнены следующие условия.
ЕМ1. Отображение ip взаимно однозначно и <р(Р) = Р.
ЕМ2. Отображение <р принадлежит классу Сив каждой точке
t £ Р является невырожденным.
ЕМЗ. Отображение у?""1: F —> Р, обратное к </?, непрерывно.
Всякое отображение <р, удовлетворяющее условиям EMI, EM2
и ЕМЗ, называется допустимой параметризацией данного
элементарного многообразия Р.
Пусть Е — произвольное множество в пространстве Кп и р —
произвольная точка Е.
Окрестностью точки р в множестве Е будем называть всякое
множество G С J5, открытое относительно Е и такое, что р Е G.
Напомним (см. глава б, п. 5.4), что множество G С Е называется
открытым относительно JS, если G есть открытое множество
метрического пространства (£,/>), где метрика р есть ограничение на Е х Е
метрики пространства Кп, т. е. />(я,у) = \х — у\ для любых х,у £ Е.
Как было показано в п. 5.4 главы б, множество G является открытым
относительно Е в том и только в том случае, если оно представимо
в виде G = U П Еу где U — открытое множество в Кп.
Множество М в пространстве Кп будем называть к-мерным
многообразием класса Сг, если всякая точка р Е М имеет в множестве М
окрестность Р, которая является элементарным А;-мерным
многообразием класса Сг.

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 147
Всякая допустимая параметризация (р: Р —► Rn элементарного
fc-мерного многообразия F называется допустимой локальной
параметризацией многообразия М класса Сг.
Сделаем несколько замечаний в связи с данным
определением.
Условие ЕМ1 в определении элементарного k-мерного
многообразия означает, что F получено выполнением отображения ip из области Р
пространства К*.
Чтобы разъяснить назначение условия ЕМЗ, рассмотрим
Пример. Пусть к = 1, п = 2. В качестве Р возьмем отрезок
[0,-27г). Отображение <р определим следующим образом. Для t G [0,27г)
пусть (p(t) = (cost,sin/) G IK2.
Множество F = ¥>(-P), как нетрудно видеть, представляет собой
окружность на плоскости К2. Отображение <р удовлетворяет условиям
ЕМ1 и ЕМ2 в определении элементарного многообразия.
Условие ЕМЗ в данном случае, однако, не выполнено. Обратное
отображение <р~г не будет непрерывным в точке р = (1,0)
окружности F. Действительно, пусть (р„ G F)u^ есть последовательность
точек окружности F, стремящаяся к точке р. Тогда:
если pv лежит в полуплоскости у > 0 для всех v G 14, то ^р"1(р1/) —► 0;
если точки pv все лежат в полуплоскости у < 0, то (р"1(ри) —► 27Г
при v —» оо.
Отображение у? в данном случае производит «склеивание» отрезка
в окружность. Условие ЕМЗ в определении элементарного fc-мерного
многообразия позволяет исключить подобного рода склеивание.
Предоставляем читателю доказать, что окружность F является
многообразием класса Сг при всяком г.
Данное здесь определение не исключает случай, когда к = п.
Пусть G есть элементарное n-мерное многообразие в
пространстве Еп. Тогда G = <р(Р), где Р есть либо гс-мерный интервал, либо
гс-мерный полуинтервал. И в том и в другом случае множество Р°
открытое (если Р есть интервал, то Р° = Р) в пространстве Кп.
Условие невырожденности отображения <р в данном случае
означает, что в каждой точке t G Р якобиан отображения <р отличен от нуля.
Следствие 2 теоремы 2.1 позволяет заключить, что множество
<р(Р°) является открытым.
Из доказанного, в частности, следует, что множество G имеет
внутренние точки.
Всякое открытое множество пространства К71 является гс-мерным
многообразием класса Сг при любом г. Действительно, пусть U есть
открытое множество в пространстве Кп. Возьмем произвольно точку

148
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
р е U. Тогда найдется 6 > 0 такое, что шар В(р,6) содержится в U.
Пусть Р = Q ( а, —г= ). Легко проверяется, что Р С В(р, 6) и, значит,
V VnJ
Р С U. Множество Р есть п-мерный интервал. Пусть у> есть
тождественное отображение множества Р в En, <p(t) = / для всех t £ Р.
Нетрудно видеть, что все условия определения элементарного
fc-мерного многообразия класса Сг выполняются для n-мерной
стандартной области
=Ч-£)
отображения tp(t) =tvi множества F = Q.
Таким образом, для всякой точки р € U существует открытое
множество V в R", содержащее точку р и такое, что V(~)U есть
элементарное n-мерное многообразие класса Сг, а именно, множество
V = Q
(а'£Ь
где 6 > О таково, что шар В(р,6) содержится в U.
Множество G пространства Еп называется n-мерной областью
класса Сг, если G замкнуто, является п-мерным многообразием
класса Сг и выполнено еще следующее условие: для любых двух точек
а,Ъ £ G существует непрерывное отображение х: [0,1] —► Шп такое, что
х(0) = а, х(1) = Ь и x{t) G G для всех t G [0,1].
Последнее условие мы будем называть условием связности
множества G. Наглядный смысл этого условия таков (см. рис. 7): любые две
точки а, Ъ множества G можно соединить линией, проходящей в
множестве G.
Рис. 7

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 149
Элементарное fc-мерное многообразие, по определению, есть образ
стандартной к-мерной области относительно некоторого
невырожденного отображения класса Сг.
Стандартная fc-мерная область может быть двух типов: это
или fc-мерный интервал, или fc-мерный полуинтервал.
Возникает вопрос: какие свойства многообразия связаны с этими
различиями!
Введем понятие, связанное с наличием указанных двух различных
типов fc-мерных стандартных областей.
Пусть М есть А;-мерное многообразие класса Сг в пространстве Кп.
Точка р Е М называется краевой точкой многообразия М, если
существует допустимая параметризация (р: Р —> Кта некоторой
окрестности F точки р в многообразии М такая, что множество Р является
к-мерным полуинтервалом и р = v?(a), где а есть краевая точка Р,
аедР.
Совокупность всех краевых точек многообразия М называется его
краем и обозначается символом дМ.
Если fc-мерное многообразие М класса Сг в пространстве Rn не
имеет краевых точек, то мы будем говорить, что М есть многообразие
без края.
4.2. Понятие касательной плоскости в точке многообразия
Множество Н С Шп называется k-мерной плоскостью, если
существуют точка р Е Шп и система из к линейно независимых векторов
ai,a2,... ,а& такал, что Н совпадает с множеством всех точек х Е К71,
представимых в виде
к
х ~Р+^2 **а»>
где <ь<2> •••>** — произвольные вещественные числа. Иначе говоря,
Н есть А;-мерная плоскость в IR71, если Н есть образ пространства R*
относительно отображения
к
Будем говорить, что множество Н есть fc-мерная полуплоскость
в пространстве Мп, если существуют точка р Е Кп и система из

150
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
к линейно независимых векторов ai,a2,... ,а& такая, что Н совпадает
с множеством всех точек х Е Еп, представимых в виде
к
где числа t{ при г > 1 произвольны, a i\ есть произвольное
неотрицательное вещественное число.
Одно и то же множество в Кп не может быть одновременно
fc-мерной плоскостью и fc-мерной полуплоскостью.
Действительно, пусть даны точки х и у, и пусть z = -(ж + у).
Тогда если Р есть fc-мерная плоскость, то, как легко проверяется, из
того, что х Е Р и z Е Р, вытекает, что также и точка у принадлежит Р.
Иначе говоря, если один из концов отрезка и его середина
принадлежат Р, то и второй его конец принадлежит Р. Если Р есть fc-мерная
полуплоскость, то данное утверждение перестает быть верным.
Действительно, предположим, что полуплоскость Р задается
равенством (4.4). Положим z = p + ai, у = р — &ь Тогда
* = 2^ + У) е R
Очевидно, х Е Р, z Е Р и в тоже время у £ Р.
Данные определения не исключает случай к = 1.
Одномерная плоскость в К71 называется прямой. Одномерная
полуплоскость называется лучом.
Множество / в пространстве Кп согласно данному определению
есть прямая, если можно указать точку р Е К71 и вектор а ф 0
такие, что всякая точка х = р + *а, где tf Е К, принадлежит I.
Обратно, если х Е /, то х = р + /а для некоторого f GK.
Аналогичным образом, луч в Rn есть множество I всех точек я,
представимых в виде
ж = р + Аа,
где А > 0, а ф 0. Точка р при этом называется началом луча,
вектор а — его направляющим вектором.
В случаях, когда п = 2 и п = 3, данные здесь определения прямой,
луча и направляющего вектора полностью согласуются с обычными
геометрическими представлениями, как вытекает из известных формул
аналитической геометрии.
Всякое отображение a: R* —► Кта, допускающее представление
вида (4.3), где а,-, г = 1,2,...,/г, называется аффинным отображением

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 151
пространства Кк в Rn. Линейная независимость векторов а,- при этом,
вообще говоря, не требуется.
В случае, если векторы a,-, i = 1,2,...,fc, линейно независимы,
аффинное отображение, заданное равенством (4.3), называется
невырожденным.
Путем в пространстве Ш71 называется всякое непрерывное
отображение х: [а,Ь] —► Кп отрезка [а,Ь] в пространство Кп.
Говорят, что путь х: [а,Ь] —> Кп проходит в множестве А С Кта,
если x(t) £ А для всех t G [а,Ь].
Пусть дано произвольное множество Е С К71. Вектор z Е Кп
называется касательным вектором в точке р G J5, если существует путь
ж: [0,5] —> Е такой, что х(0) = р, вектор-функция ж дифференцируема
при t = 0 и z = ж'(0). Множество всех касательных векторов в точке
р £ Е будем обозначать символом Тя(р)-
Множество Тя(р) непусто, каково бы ни было множество Е.
Действительно, положим x{t) = р для всех tf Е [0,1]. Функция x(tf),
определенная таким образом, непрерывна, x(t) Е Е для всех t Е [0,1], в
частности х(0) = р. Данная функция х дифференцируема при t = 0. При
этом я'(0) = 0. Это означает, что вектор z = 0 является касательным
вектором множества J5, так что Тя(р) всегда имеет по крайней мере
один элемент.
Если вектор z является касательным вектором в точке р множества
Е С Кп, то всякий вектор и = Az, где А > 0, также представляет собой
касательный вектор множества Е в этой точке. Действительно, пусть
х: [0,6) —► J5 есть путь, проходящий в множестве J5 и такой, что я(0) = р
ж z — я'(0). Положим y(tf) = z(Atf), tf Е [0,<5/A]. Путь y(tf), очевидно,
также проходит в множестве Е, у(0) = ж(0) =ри
у'(0) = Az'(0) = А*. (4.5)
Согласно определению это означает, что Az также есть
касательный вектор множества Е в точке р.
Совокупность всех точек х Е Еп, допускающих представление х =
= р + z, где z — касательный вектор множества М в точке р,
называется контингенцией множества М в точке р и обозначается
символом CntgM(p). В случае, если множество CntgM(p) есть fc-мерная
плоскость, то оно называется касательной плоскостью М в точке р.
■ Теорема 4.1. Пусть М есть произвольное k-мерное
дифференцируемое многообразие класса Сг в пространстве En, p — точка
многообразия М и <р: Р —► Rn есть локальная параметризация
многообразия М такая, что р = tp(a) для некоторого a Е Р. Пусть а,- = —,
С/ Ъ i
i = 1,2,..., к. Тогда:

152
Гл. 10. Основы гладкого анализа
если а есть внутренняя точка k-мерной стандартной области Р, то
Тм(р) состоит из всех векторов z G Rn, допускающих представление
вида
к
* = 5>а<, (4.6)
*=1
где 1\, /г,..., h — произвольные вещественные числа;
если же а есть краевая точка Р, то Тм(р) есть множество всех
векторов z, допускающих представление вида (4.6) с коэффициентами /,-,
г = 1,2,..., fc, удовлетворяющими дополнительно условию: /i > 0.
Доказательство. Пусть ip: Р —► Шп есть локальная
параметризация многообразия М такая, что р = tp(a) для некоторого a Е Р.
Положим Р = ф(Р)- Согласно определению многообразия
отображение ip взаимно однозначно и обратное отображение ф = tp"1: F -+ Шк
непрерывно.
Множество Р является открытым относительно М и,
следовательно, допускает представление Р = М П V, где V есть открытое
множество в Кп.
Зададим произвольно вектор 1 = (/ьЬ,... ,h) £ R*- При этом
в случае, если а Е #Р, то будем предполагать, что 1\ > 0. Пусть
£(0> 0 < * < ^? есть ПУТЬ> проходящий в множестве Р и такой, что
£(0) = а и £'(0) = /. Этим условиям удовлетворяет, например, путь
£(/), определенный равенством £(£) = а + tl, где 0 < / < <5, а 5 > 0
достаточно мало.
Положим я(£) = ¥>[£(*)]• Путь x(t) лежит в множестве М. При
этом х(0) = р. Функция ж дифференцируема при tf = 0. Имеем
к к
Ао) = лрш[т] = Е |r(a)/i = Ё ■*'•■•
»=1 * t=i
Мы получаем, таким образом, что всякий вектор z, допускающий
представление вида (4.6), где U удовлетворяют всем указанным выше
условиям, является касательным вектором множества М в точке р.
Пусть z есть произвольный касательный вектор множества М в
точке р. Согласно определению это означает, что существует путь
х: [0,«]->М,
проходящий в множестве М, такой, что х(0) = р и z = я'(0). Не
умаляя общности, можно считать, что для всех t Е [0,5] точка я(/)
принадлежит множеству Р. Положим £(tf) = (p"1[x(t)]1 t G [0,5]. Так как
функция (р~г непрерывна, то непрерывна также и функция £(tf).

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 153
Докажем, что функция £ дифференцируема при t = 0. По
условию, отображение ip принадлежит классу Сг и, значит, существуют
открытое множество U D Р и функция ср*: U —> Кп класса Сг такая,
что <p*(t) = (p(t) для всех t G Р. В каждой точке t € Р выполняется
равенство
du{t) dtiW'
Ранг отображения <р в каждой точке t G Р равен к. Отсюда
следует, что ранг отображения ip* в каждой точке t G Р также равен к.
В частности, ранг отображения ip* в точке а равен к.
Следствие теоремы 3.2 этой главы позволяет заключить, что
найдутся открытое множество V в пространстве Кп, содержащее точку
р = <р(а) = у?*(а), число е > 0 и отображение ф: G -> Шк класса Сг
такие, что если t € U, причем \t — а\ < £, то <p*(t) G V и V>[v>*(')] = '•
Пусть ^i > 0 таково, что <$i < <5, и для всякого tf G [0,tfi]
l«0-a| = |f(«)-«0)|<e.
Имеем ж(/) = ¥>[f(i)] =: V* [£(*)]• Значит, если / G [0, tfi], то
#*(«)] = *М«<)]> = «<)■
Функция -0 принадлежит классу Сг, а функция ж дифференцируема
при £ = 0. Отсюда вытекает, что также и функция £ дифференцируема
при tf = 0.
Пусть / = £'(0)- Тогда х!(0) = d<pa(l) и, стало быть, вектор z =
= я'(0) допускает представление вида (4.6). Предположим, что a G &P.
Пусть Р = [ai,&i) х (a2,b2) х ••• х (ctjt,Ьл?)- Тогда первая координата
точки а равна aj. Имеем f(i) G Р для всех tf G [0,<5i) и, значит, 6(0) =
= ai и fi(/) > ai для всех / G [0,<5i]. Функция &(/), таким образом,
принимает свое наименьшее значение в [0,tfi] при t = 0, и, значит,
/i=£i(o)>o.
Следовательно, мы получаем, что в данном случае коэффициент /i в
равенстве (4.6) неотрицателен.
Таким образом, нами установлено, что всякий касательный
вектор в точке р = tp(q) многообразия М допускает представление вида,
указанного в формулировке теоремы. Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Если точка р k-мерного многообразия М в
пространстве Кп является его краевой точкой, то для любой допустимой
параметризации <р: Р —> Кп окрестности точки р в многообразии М
множество Р есть полуинтервал и р = v?(a), где а есть краевая точка
множества Р.

154
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Заметим, прежде всего, что определение множества
касательных векторов в точке многообразия не требует рассмотрения
параметризаций многообразия.
Доказательство следствия. Пусть рбМи^:Р->М есть
допустимая параметризация окрестности точки р в многообразии М.
Предположим, что р = <^(а)- Множество всех точек р Е М, для
которых эту параметризацию можно выбрать так, что Р есть
полуинтервал и а Е дР согласно определению есть край дМ многообразия М.
Обозначим через М1 множество всех точек р Е М, для которых
параметризацию <р можно выбрать так, что a = ф~г(р) есть внутренняя
точка Р.
Наша задача состоит, собственно говоря, в том, чтобы показать,
что если точка р Е сШ", то она не может принадлежать множеству М'.
Докажем это, используя тот факт, что, как мы покажем сейчас, в
случае, когда а есть внутренняя точка стандартной fc-мерной области Р,
множество Тм(р) устроено иначе, чем в том случае, когда а является
краевой точкой Р.
Согласно теореме 4.1 вектор z Е Еп будет касательным в точке р
в том и только в том случае, если он представим в виде
п
г = Х>а,-, (4.7)
1=1
где а, = ^—(а)> причем если а Е дР> то должно выполняться неравен-
ство
Ai > 0.
Отображение ц> является невырожденным. Это означает, что
векторы a,-, i = 1,2,...,/с, линейно независимы, и потому представление
вектора z E Тм(р) в виде (4.7) единственно.
Предположим, что а есть внутренняя точка Р. Тогда если z есть
касательный вектор многообразия М в точке р, то, очевидно, и
вектор —z является таковым. Действительно, имеем
п п
2г = ^Агаг,-2г = ^^аг,
i=i »=i
где U = — А; при каждом % = 1,2,..., fc, что и доказывает данное
утверждение.
Допустим, что Р есть полуинтервал и р = у>(а), где a E дР. Тогда
найдется вектор z Е Тм(р) такой, что —z £ Тм(р)- Действительно,

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 155
пусть z = ——. Вектор z допускает представление вида (4.6) с коэф-
фициентами Ai = 1 и А2 = • • • = Хк = 0. В силу теоремы 4.1 z
является касательным вектором многообразия М в данной точке р.
Вектор —z допускает представление вида (4.7) с коэффициентами Ai = —1
и А2 = • • • = Хк = 0.
Условие Ai > 0 для вектора —z не в ы п о л н е н о, и, значит,
в данном случае вектор — z не является касательным для
многообразия М в точке р.
Мы получаем, таким образом, что если z E М', то для всякого
вектора z Е Тм(р) также и вектор — z G Тм(р)-
Если же р есть краевая точка многообразия М, то множество
Тм(р) не обладае-т таким свойством. Отсюда вытекает,
что точка р Е М не может принадлежать одновременно как дМ,
так и М9. Следствие 1 доказано. ▼
Т Следствие 2. Пусть р есть произвольная точка k-мерного
многообразия класса Сг в пространстве Rn, ip: P —► К71 — допустимая
параметризация некоторой окрестности F точки р в М и р = у>(а), где
a Е Р. Тогда контингенция множества М в точке р есть совокупность
всех точек iGMn, которые допуекают представление
*^(а) + £>§£(а), (4.8)
где /i, /2,..., h — произвольные вещественные числа. При этом в
случае, если р есть краевая точка М, то должно выполняться условие
h > 0.
Доказательство. Действительно, согласно определению
контингенция CntgM(p) есть множество всех точек х £ Еп, представимых
в виде х = р + z, где z есть касательный вектор многообразия М в
точке р, я Е CntgM(p). В силу этого утверждение следствия
непосредственно вытекает из представления множества CntgM(p), указанного в
теореме. Т
4.3. Строение множества решений системы уравнений
с условием невырожденности
Пусть U есть открытое множество в Еп. Отображение f:xeU*-±
ь-> (/i(ж),/2(^)5 • • • ?/m(^)) Е Em называется невырожденным в точке
х € U, если его ранг (см. п. 3.2 этой главы) в точке х равен min{ra,n}.

156
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Далее мы докажем, что множество решений системы уравнений
fi(x) = 0, % = 1,2,..., т = га — ку при условии невырожденности
системы в каждой точке ж, принадлежащей этому множеству,
представляет собой к-мерное подмногообразие пространства Кп.
ш Теорема 4.2. Пусть U есть открытое множество в К71 и f: U —>
—у Rm, где 1 < m < га, есть отображение класса, Сг. Пусть
М = Г1(0) = {хе1Г\ /(з) = 0}.
Предположим, что отображение f является невырожденным в каждой-
точке х £ М, и пусть к = га — т. Тогда множество М есть к-мерное
многообразие класса Сг, где к = п — т. В каждой точке xq G М
касательная плоскость многообразия М есть множество всех точек a;GKn
таких, что df(xo] х — xq) = 0.
Замечание. Пусть /ь/2>..-,/т есть компоненты вектор-
функции /. Тогда М есть совокупность всех точек
я = (я1,ж2,...,яя) ^ ^
которые удовлетворяют системе уравнений
fm(x1,X2,...,Xn) = 0.
В связи с этим говорят, что множество М, указанное в формулировке
теоремы, определяется системой уравнений (4.9).
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия
теоремы. Возьмем произвольно точку р множества М. Согласно первой
теореме о выпрямлении (теорема 3.1) найдутся га-мерный куб W и
диффеоморфизм Ф: W —► Ш71 класса Сг такие, что р € V = Ф(И^), и для
всякой точки у £ W выполняется равенство
/[ФЫ] = (УъУ2,...,Ут).
Пусть
F = Ф"1, g = F(p), q = (рь... ,pm, ft,...,ад).
Очевидно, pi = р2 = * * * — Рт = 0, поскольку
0 = /(р) = /[Ф(9)] = (рьй,..мРш).

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 157
Пусть
W = (мьvi) х ••• х (un-k,vn-k) x (abbi) x ••• х (ак,Ьк).
Имеем щ < pi = 0 < v,- при каждом г = 1,2,..., п — /г. Положим
S = УПМ. Точка р принадлежит 5, и, значит, 5 есть окрестность р
относительно М.
Пусть / = (ai,6i) х ••• х (а&,Ь&) есть fc-мерный интервал, j —
отображение
(tut2,...,tk)eI~(0i...,Q,t1,t2,...,tk)€Wi
n — k
7Г — отображение
(wi, «2,..., мп-.Л)<1,<2,.-.,**) € И^|-» (*1,<2,...,**) € /.
Для / = (*ь<2>-••><*)€ J положим у>(<) = Ф(0,..., 0,ti,t2> •••>**)•
Имеем ip = Ф о j, <р есть отображение класса Сг. При этом у? взаимно
однозначно.
Возьмем произвольно х £ S. Пусть у = ^Х^О- Тогда х = Ф(у).
Имеем
О = /(ж) = /[Ф(у)] = (У1,И,...,У»-*)>
т. е. у! = у2 = • • • = уя-* = 0 и, значит,
у = (0,...,(Mi,/2,•-.,**)>
где точка < = (<i, <2> •••><*)€ J- Мы получаем, что
Ж = Ф(0,...,0,<Ь...,^) = Ф(ЛО) = ^).
Так как х £ S взято произвольно, то, следовательно, нами
доказано, что tp есть взаимно однозначное отображение / на S.
Далее, мы получаем также, что если х G S и t = 7r[.F(a?)], то х =
= ¥>(<)• Это означает, что
(^-1(x) = 7r(F(x))
для всех х € 5 и, следовательно, у?""1 непрерывно.
Таким образом, мы видим, что для множества S выполнено каждое
из условий EMI, EM2 и ЕМЗ определения элементарного А;-мерного
многообразия класса Сг.

158
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Точка a £ М была взята произвольно. Следовательно, мы
заключаем, что всякая точка a G М имеет в М окрестность, которая является
к-ячейкой класса Сг', так что М есть А;-мерное многообразие класса Сг.
При этом любая точка t Е М есть внутренняя точка М, так что М есть
многообразие без края.
Теперь докажем утверждение теоремы о касательной плоскости
многообразия М в произвольной ее точке х$.
Пусть F есть окрестность точки xq в М, являющаяся fc-ячейкой
класса Сг, и ip: Р —► М есть допустимая параметризация <£, причем
xq = (p(to). Тогда согласно теореме 4.1 касательная плоскость
многообразия М в точке хо есть множество всех точек х € Еп, представимых
в виде
х = фо) + £«»of (*о) = хо + <W«), (4.10)
где a,-, j = l,2,...,fc, — произвольные вещественные числа,
a = («b«2,...,ot)eRl.
Для всякого <еР имеем (p(t) € М, и, значит,
/МО] = о
для всех t € Р. Дифференцируя это равенство, получим, что
d(fotp)iQ(a) = 0
для любого вектора a € R*. Имеем
<*(/ ° <P)to(<*) = dAoH^0(«)].
В силу равенства (4.10) получаем, что для всякой точки ж € Тм(^о)
выполняется равенство
бг/Хо(ж-ж0) = 0.
Ранг системы линейных уравнений dfi(xo,x — хо) = 0, г =
= 1,2,..., т, равен т, и, следовательно, множество ее решений Я есть
плоскость в Rn, размерность которой равна к = га — т. Из доказанного
вытекает, что
Я Э Тм(яо).
Так как согласно следствию 2 теоремы 4.1 множество Тм(^о) есть
fc-мерная плоскость, то отсюда вытекает, что Н = Тм(^о)- Теорема
доказана. ■

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 159
4.4. Множества, определяемые системой уравнений
и одним неравенством
■ Теорема 4.3. Пусть U есть открытое множество в К71, /: U —►
—► IRn~*, u: U —> К — функции класса Сг. Пусть R есть множество
всех точек х Е U таких, что /(ж) = О, М — множество всех x Е R, для
которых и(х) > 0. Тогда если множество М непусто, в каждой точке
х Е R отображение f невырождено, а во всякой точке х Е М такой, что
и(х) — 0, является невырожденным отображение
d:x6U» (f(x),u(x)) Е Rn-k+1,
то М есть k-мерное многообразие класса Сг и множество всех точек
х Е М, для которых и(х) = 0, есть край этого многообразия.
Замечание. Пусть /ь /2,..., /т, где га = п — к, есть
компоненты вектор-функции /. Тогда множество М в данном случае
определяется системой соотношений
fi(x1,x2,*..,xn) = 0,
, а?2,..., хп
) = 0,
1х(жьж2,...,жта) > 0.
Отличие условий теоремы 4.3 от условий теоремы 4.2 состоит
в том, что к равенствам, указанным в формулировке теоремы 4.2,
добавляется еще неравенство и(х) < 0.
Естественно, может возникнуть вопрос: что получится, если
рассмотреть множество, определяемое системой из га < п уравнений и / > 1
неравенств? В этом случае множество М, определяемое возникающей
таким образом системой соотношений, вообще говоря, не будет
многообразием в смысле определения, данного в п. 4.1.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия
теоремы. Требуется доказать, что всякая точка хо Е М имеет в М
окрестность, являющуюся элементарным А;-мерным многообразием класса Сг.
Обозначим через Щ множество всех точек х Е U, в которых ранг
отображения / равен га. Очевидно, М С Uo и согласно лемме 2.1
множество Uo является открытым.
Пусть Мо есть совокупность всех точек х € Uo таких, что f(x) = 0.
По теореме 4.2 Мо есть к-мерное многообразие класса Сг, где к =
= п — га. Множество М есть совокупность всех точек х Е Мо, для
которых и{х) > 0.

160
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Пусть точка xq Е М такова, что u{xq) > 0. В этом случае
существование у точки хо окрестности V такой, что Vf)M есть элементарное
А;-мерное многообразие класса Сг, мы установим исходя из того, что Мо
есть многообразие класса Сг.
Пусть Ui есть множество тех х € f/o, Для которых и(х) > 0.
Множество Ui открытое. Пусть точка хо G М такова, что u(xq) > 0.
Так как Мо — многообразие, то по лемме 4.4 найдется
окрестность G точки хо относительно Мо, которая является элементарным
А;-мерным многообразием класса класса Сг и содержится в U\. Имеем
G = Мо П W, где W — открытое множество в Шп.
Так как G С f/i, то, очевидно, G = MPIV7, т. е. G есть окрестность
точки хо относительно М.
Таким образом, если в точке хо выполняется неравенство и(хо) > 0,
то эта точка имеет в М окрестность, являющуюся fc-ячейкой класса Ст'.
Пусть точка хо € М такова, что и(хо) = 0. Выберем произвольно
допустимую параметризацию (р: Р —► Мо многообразия Мо такую,
что хо = ¥>(*о)? гДе *о € Р- Положим v(t) = г*(^(«?))." Покажем, что по
крайней мере одна из частных производных — (tfo) отлична от нуля.
Действительно, имеем
|('») = |:^»)^o) = (v»W,|(xo)). (4.11)
Векторы V/i(a?o),.. •, V/m(x0), Vu(x0)j по условию, линейно
независимы. Значит, найдется вектор X G Кп такой, что
(Vfi(xo),X) = 0
при всех г = 1,2,..., га, a (Vu(xo), X) ф 0. В силу теоремы 4.1 X есть
касательный вектор многообразия Мо в точке £о и, следовательно,
допускает представление
,=1 OT»
Из равенства (4.11) вытекает, что
^А,^(х0) = (У«Ы,^)#0

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 161
и, значит, хотя бы одна из производных — (t0) отлична от нуля.
С/с j
На основании первой теоремы о выпрямлении (теорема 3.2 этой
главы) найдутся fc-мерный куб Q = (ai,/3i) х * • • х (а&,/?&) и
диффеоморфизм f: Q —► К* такие, что G = £(Q) С Р, <о 6 G, и для всякой
точки г = (zi, 22,..., 2jt) G Q выполняется равенство г>(£(г)) = zi.
Пусть Q = (ai,/?i) x («2,/%) x •■■ x (a*,/?*)-. Пусть <0 = f(a), a =
= (ai,d2,..., a*). Имеем £(a) = £o и, значит, ai = v(£(a)) = гх(ж0) = 0.
Отсюда a\ < ai = 0 < /?i. Положим ф = <р о £, ж пусть
/ = (0l/3i)x(aa,/32)x---x(ab/3O.
Множество G является открытым, и, значит, Н = ^(^) есть
открытое относительно Мо множество, Я = Мо П W, где PF — открытое
множество в пространстве Rn.
Пусть Hi = М П ИЛ Множество i^i является окрестностью
точки хо в М. Как следует из определения М, множество Hi есть
совокупность всех точек жЕЯ, для которых и(х) > 0.
Если хбЯ,ж = ^(г), где z € Q, то и(х) = zi, и поэтому условие
Ця) > 0 равносильно условию zi > 0, т. е. .ffi = ^(/).
Итак, нами построен диффеоморфизм ф: I —> Mi такой, что
множество Hi = ^(J) есть окрестность точки хо в М.
Таким образом, и в данном случае точка xq имеет в М окрестность,
являющуюся fc-ячейкой класса Сг'. При этом xq является краевой
точкой построенной fc-ячейки. Теорема доказана. ■
Следующее предложение представляет собой «локальную версию»
теорем 4.2 и 4.3.
▼ Следствие. Пусть множество М С Шп таково, что для всякой
точки х можно указать окрестность W этой точки в Шп такую, что
либо
MHW = {xeW\ /(а) = 0},
где /: W —► Rn~k — отображение класса Сг, невырожденное в каждой
точке х Е М П W, лябо
Mn^ = {xG^[ /(ж) = 0&u(z) > 0},
где f: W -+ Шп~~к — отображение класса Сг, регулярное в каждой
точке х € М C\W, a u: W —> М — вещественная функция класса Сг, для
которой отображение h: x G W ^ (/(ж),гх(ж)) невырождено во всякой
точке х £ М C\W при и(х) = 0. Тогда М есть k-мерное многообразие
класса Сг.

162
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Доказательство. Действительно, если множество М
удовлетворяет условиям следствия, то всякая точка х Е М, как следует из
теорем 4.2 и 4.3, имеет в М окрестность, которая является fc-мерным
многообразием класса Сг.
Пусть F есть такая окрестность точки х. Тогда F = Ui П М,
где U\ — открытое множество в Кп. Так как F есть многообразие
класса Сг, то найдется окрестность G точки х в F, которая является
fc-ячейкой класса Сг. Имеем
G = U2 П R = (tfi П tf2) П М.
Отсюда видно, что G есть окрестность точки ж в М.
Таким образом, всякая точка х <Е М имеет в М окрестность,
являющуюся А;-ячейкой класса Сг. Следствие доказано. ▼
4.5. Примеры подмногообразий пространства Шп
Пусть U есть открытое множество пространства Кта, /: U —► К —
функция класса Сг. Предположим, что множество Г тех х Е С/, для
которых /(я) = 0, непусто и в каждой точке х Е Г по крайней мере одна
из производных -—(я), г = 1,2,... ,п, отлична от нуля. Тогда множе-
OXi
ство Г является (п — 1)-мерным многообразием класса Сг и каждое из
множеств
и+ = {х е и | /(ж) > о}, сг = {х е и | /(я?) < о}
представляет собой п-мерное многообразие с краем. При этом Г служит
краем как для (7+, так и для U . Действительно, условие -—(х) ф 0
по крайней мере для одного г = 1,2,..., п означает, что отображение /
невырождено в точке х. Сформулированное утверждение поэтому
представляет очевидный частный случай теорем 4.1 и 4.2. Полагая U = Еп
и f(x) = \х - а\2 - г2, где а Е Кп, г > 0, мы получим, в частности,
что n-мерный шар В(а,г) представляет собой n-мерное многообразие
с краем и сфера S(a,r) есть его край.
Внешняя — по отношению к шару В(а,г) — область Rn \ В{а^г)
также представляет собой многообразие, краем которого является та
же сфера S(a,r).

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 163
Укажем некоторые достаточные условия, при
выполнении которых поверхность второго порядка является (п — 1)-мерным
подмногообразием Rw.
Напомним, что множество F в пространстве Кп называется
поверхностью второго порядка, если существуют симметрическая
матрица А порядка п, вектор 6 € Шп и число cG К такие, что F есть
множество всех точек х Е Кп, удовлетворяющих уравнению
(Ах, х) + 2(6, х)+с = 0. (4.12)
Найдем дифференциал функции
/: х ь-> (Ах} х) + 2(6, х) + с.
Имеем
f(x + th) = (Ах, х) + 2(6, х) + с + 2t(Ax, h) + 2t(b, h) + t2(Ah, h).
Дифференцируя это равенство по t и полагая t = 0, получим
df(x;h) = 2(Ax + b,h).
Пусть множество FbR71 задается уравнением (4.12). Теорема 4.1
позволяет заключить, что если Ах + Ь ф 0 в каждой точке х G F, то
множество F является (п - 1)-мерным многообразием класса Сг при
любом г.
Приведем условие Ах + b ф 0 при х € F к более удобному для
проверки виду. Это условие означает, что система уравнений
Ах + 6 = 0,
(Ах,х) + 2(Ь,х) + с = 0
не имеет решений. Система уравнений (4.13) равносильна следующей
линейной системе уравнений:
А+6 = °' (4.14)
(Ь,х) + с = 0.
Действительно, пусть х есть решение системы уравнений (4.13). В силу
равенства
(Ах, х) + 2(6, х) + с = (Ах + 6, х) + (Ь, х) + с (4.15)

164
Гл. 10. Основы гладкого анализа
получаем, что в этом случае также и (Ь, х) + с = О, так что х является
решением системы (4.14).
Обратно, если х удовлетворяет системе (4.14), то, так как Ах + b =
= 0 и (Ь, х) + с = 0, мы получаем, что для этого х выполняется также
и равенство (Ах,х) + 2(6, х) + с = 0, т. е. х является решением
системы (4.13). Из доказанного следует, что если одна из систем
уравнений (4.13) и (4.14) не имеет решения, то и другая система не имеет
решения.
Таким образом, мы получаем, что если система уравнений
Ах + Ь = 0, (Ъ,х) + с = 0
несовместна, то поверхность второго порядка F есть (га — 1)-мерное
многообразие класса Сг при любом г > 1.
Из теоремы 4.1 следует, что уравнение касательной плоскости по-
верхности второго порядка, заданной уравнением (4.12), имеет вид
(Ахо + Ь, х — х0) = 0.
Так как ж0 G F, то
(Ах0у х0) + 2(6, х0) + с = 0.
Это позволяет преобразовать уравнение касательной
плоскости следующим образом. Имеем
(Ах0, х0) + (Ь, х0) = -(Ь, х0) - с
и, далее,
(Ах0 + Ь, х - х0) = (Ах0 + Ь, х) - (Ах0, х0) - (Ь, х0).
Отсюда
(Ах0 + Ь, х - х0) = (Ажо,ж) + (Ь»ж) + (Ь> жо) + с,
и окончательно получаем уравнение касательной плоскости в
следующей форме:
(Аж0,х) + (Ь, ж) + (Ь, я?о) + с = 0.

§ 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 165
Отметим частный случай, когда fix) = (х - а)2 — г2.
Множество F = {х Е Еп | /(ж) = 0} есть сфера радиуса г с
центром а, множество U" = {х Е Еп | /(ж) < 0} — ограниченный этой
сферой замкнутый шар, U+ = {xG Mn | /(ж) > 0} — внешняя область
сферы. Имеем
(х — а)2 — г2 = (х,х) — 2(а,ж) + а2 — г2.
В данном случае А = /, Ь = —а. Система уравнений (4.14) здесь
принимает вид
х - а = 0, (-а, ж) + а2 - г2 = 0. (4.16)
Из первого уравнения имеем х = а. Подставляя это значение х во
второе уравнение, получим равенство
-г2 = 0.
Так как, однако, по условию, г > 0, то система (4.14) we имеет
решений и, значит, сфера 5(а, г) С Мп есть (п — 1)-мерное многообразие
класса Сг при всяком г > 1, а шар В(а,г) есть n-мерное многообразие
класса Сг при всяком г > 1. При этом
S(a,r) = 0l?(a,r).
Отметим, что полученное здесь условие — для того чтобы
поверхность второго порядка была (га— 1)-мерным многообразием — является
достаточным, но не необходимым, в чем мы можем
убедиться на следующем примере.
Пример. Рассмотрим уравнение х\ = 0 [х\ — первая координата
точки х). Рассмотрим множество S всех ж G Rn, удовлетворяющих
этому уравнению. Если х G S\ то х\ = 0 и, значит, S есть (га — 1)-
мерная гиперплоскость. Следовательно, множество S является (га — 1)-
мерным многообразием. В данном случае Ах + 6 = 0 для всех х Е 5,
так что полученное выше достаточное условие для того, чтобы
множество S было многообразием, не выполняется. (Здесь
b = 0 и А есть матрица, у которой в левом верхнем углу стоит
число 1, а остальные элементы равны 0.)
Установление необходимых и достаточных условий для того, чтобы
поверхность второго порядка была многообразием в Кп, требует
дополнительного исследования, которое мы не приводим.

166 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Множество всех квадратных матриц n-го порядка естественным
образом отождествляется с пространством Rn , если матрицу X =
= (a?tj)*\i=i,2l...ln отождествить с вектором
X = (хП, Х12, • • • , Xln, »2l, Ж22, . - . , Я2п, . . . , Хп1, £п2, . . . , Хпп).
Выполнение операций над матрицами, естественно сводится к
некоторым операциям над векторами в Шп .
Покажем, что множество всех ортогональных матриц порядка п
представляет собой многообразие класса Сг при любом г > 1 раЗМер-
Г^П — 1) _2
ности —- в пространстве Шп .
Матрица X = (stjOtjrni^,...,»! называется ортогональной, если для
нее выполняется равенство
ХХ*-/ = 0, (4.17)
где X* есть транспонированная матрица X, I — единичная матрица
порядка п.
Матричное уравнение (4.17) равносильно следующей системе
уравнений:
п
Y^xijxik-Sjk = 0, (4.18)
i=i
где 6jk — 1 при j = A;, Sjk = 0 при j ф A;, 6jk есть известный нам символ
Кронекера (см. п. 1.5.2 главы 9).
Те из уравнений (4.18), которые получаются перестановкой
индексов j и А;, совпадают, так что система (4.17) содержит в действи-
п(п+1)
тельности только уравнении.
* 2 2
Найдем дифференциал отображения /: Шп н+ XX* - / G Кп .
Возьмем произвольно матрицу Я = (-ЁГ.у)»^-—1э2,...,л- Ее мы также ин-
2
терпретируем как вектор пространства Rn . Имеем
(X + Ш)(Х + Ш)т - J = XX* + *(ЯХ* + ХЯ*) + *2ЯЯ* - /.
Дифференцируя данное соотношение по t и полагая затем t = 0,
получим
d/(X; Я) = ^-ДХ + <Я)1=о = ЯХ* + ХЯ*.
Покажем, что линейное отображение Я н-» df (X, Я) = ЯХ* + ХЯ*
для всякой ортогональной матрицы X имеется ранг, равный числу
уравнении (4.17), т. е. .

§4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn 167
2
Для этого найдем размерность множества тех Я G Шп , для
которых df(X, Я) = 0.
Пусть Я таково, что df(X, Я) = НХ*+ХН* = 0. Положим ЯХ* =
= У. Тогда ХЯ* — У* и мы получаем равенство
У + У* = 0.
Матрица У, для которой выполняется последнее равенство,
называется гсососмлшетри'чесгсой. Имеем X = —YH.
Обратно, если дана кососимметрическая матрица У и X = —YH,
то
X* = -Я*У* = Я*У,
ЯХ* + ХЯ* = ЯЯ*У - YHH* = У - У = 0,
т. е. X является решением уравнения
ЯХ*+ХЯ* = 0. (4.19)
Множество Кп всех кососимметрических матриц порядка п есть
подпространство Шп . При этом размерность К„, равна —-.
Отображение У к-> YH, как следует из доказанного,
устанавливает биективное соответствие между Кп и множеством решений
системы (4.19). Это отображение линейно, и, значит, множество реше-
Yl( YI —■■ 1 )
ний системы (4.19) есть подпространство размерности про-
странства Шп .
Складывая число уравнений (4.19) и размерность множества
решений системы уравнений (4.19), получим п2 — размерность
пространства квадратных матриц порядка п. Этим доказана
невырожденность отображения
f:X»XX*-I
в каждой точке X множества всех ортогональных матриц n-го порядка.
Тем самым нами установлено, что множество всех ортогональных
матриц представляет собой дифференцируемое многообразие класса Сг
п(п — 1)
при любом г, причем его размерность равна .

168
Гл. 10. Основы гладкого анализа
§ 5. Условные экстремумы
Здесь рассматривается задача — найти наименьшее и наибольшее
значения функции на подмногообразии пространства Шп, заданном как множество
решений некоторой системы уравнений. Иначе говоря, требуется найти
экстремумы функции п переменных в предположении, что на эти переменные
наложено дополнительное ограничение, а именно, они удовлетворяют
некоторой системе уравнений.
Устанавливаются необходимые условия максимума и минимума,
основанные на использовании так называемого принципа множителей Лагранжа,
и затем доказываются соответствующие достаточные условия.
В качестве приложения основного результата приводится пример,
показывающий, как свести задачу о собственных числах и собственных векторах
симметрической матрицы к решению последовательности задач на условный
экстремум.
5.1. Необходимые условия условного экстремума.
Метод множителей Лагранжа
5.1.1. Пусть даны открытое множество U пространства Rn,
множество М С U и функция f: U —> Ш. Точйа р Е М называется точкой
максимума (минимума) функции / на множестве М, если существует
окрестность V точки р такая, что для всех х € V Г\ М выполняется
неравенство f(x) < f(p) (соответственно неравенство f(x) > f(p)).
Если р есть или точка максимума, или точка минимума функции /
на множестве М, то говорят также, что р есть точка экстремума
функции / на множестве М.
Задача — найти точки экстремума вещественной функции на
некотором подмножестве ее области определения — называется задачей
об условном экстремуме. Происхождение термина связано с тем, что
здесь речь идет об экстремумах величины f(x) в предположении, что
х удовлетворяет дополнительному условию: х принадлежит данному
подмножеству области определения функции.
Пусть U — открытое множество в К71. Если р £ U есть точка
максимума (минимума) функции /: U —► К, то р, очевидно, является
точкой максимума (соответственно минимума) / на любом множестве
MCU таком, что р € М.
Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает следующий
пример.

§ 5. Условные экстремумы
169
Пример. Пусть п = 2, U = R2 и множество М представляет собой
окружность
{(x,y)eR2\x2 + y2 = l}.
Пусть / есть функция (я, у) ь-> у. Для всякой точки (я, у) G М,
очевидно, — 1 < у < 1. При этом / принимает значение 1 в точке
(0,1) Е М и значение —1 в точке (0, —1) Е М. Отсюда ясно, что (0,1)
есть точка максимума, а (0, -1) — точка минимума данной функции /
на множестве М.
Эти точки, однако, не являются точками экстремума функции /
на всей плоскости К2. Более того, в данном случае / вообще не имеет
в К2 точек экстремума. Это следует из того, что производная -7г- = 1
ду
и, стало быть, нигде не обращается в нуль.
Рассмотрим случай, когда множество М есть fc-мерное
многообразие класса Сг.
■ Лемма 5.1. Пусть М есть k-мерное многообразие класса Сг,
г > 1, в пространстве Кп, /: М —► Е — вещественная функция, хо Е M
и <р: Р —> М — допустимая параметризация окрестности точки xq
в многообразии М. Пусть хо = ^(^о)- Для t £ Р положим u(i) =
= f(<p(t)). Точка хо является точкой максимума (минимума)
функции f на множестве М в том и только в том случае, если to есть точка
максимума (соответственно минимума) функции и в множестве Р.
Доказательство. Положим F = <р(Р). Множество F является
окрестностью точки Хо в М. Предположим, что xq есть точка
максимума функции / на М. Тогда найдется окрестность G точки х0 в М
такая, что f(x) < /(xq) для всех х Е G. Пусть V = FC\G. Множество V
является открытым относительно элементарного fc-мерного
многообразия F, и, значит, в силу непрерывности ip множество G1 = 4>~l(V)
является открытым относительно Р. Имеем u(to) = f(<fi(to)) = /(^о)- Есди
t Е (?', то х = <p(t) gGh, значит,
u(t) = f[tp(t)] = f(x) < f(x0) = u(t0).
Этим доказано, что to есть точка максимума функции u(t).
Аналогично устанавливается, что если хо — точка минимума /,
то to есть точка минимума u(t). (Формально этот случай сводится
к рассмотренному заменой / на — /.)
Предположим, что относительно точки t0 известно, что она
является точкой максимума функции и в множестве Р. В этом случае
найдется окрестность W точки to такая, что u(t) < u(to) для всех t Е WC\P.

170
Гл. 10. Основы гла,дкого алализа,
Отображение ip взаимно однозначно, и обратное отображение ф =
= (р"1 непрерывно. Пусть W = ф~г(\¥) = 4>{W). В силу
непрерывности ф множество W1 является открытым относительно F, а
значит, и относительно М и, следовательно, W есть окрестность точки х$
в множестве М.
Пусть х е W*. Тогда х = (p(t), где t e W П Р, и, значит,
S{x) = /(</>(*)) = t*(0 < ti(*o) = /Ы-
Таким образом, /(ж) < S(xo) Для вс^х ж G W1, т. е. яо — точка
максимума функции F на М.
Аналогично рассматривается случай, когда to есть точка
минимума функции и в Р. Лемма доказана. ■
В силу леммы 5.1 задача о точках экстремума функции на
многообразии сводится к задаче, рассмотренной в § 6 главы 7.
Для приложений интерес представляет тот случай, когда
рассматриваемое многообразие определяется системой уравнений в
соответствии с результатом теоремы 4.2 этой главы.
Пусть даны открытое множество U пространства Rn и
отображение /:[/—► Кт, где 1 < т < п, принадлежащее классу Сг, г > 1. Для
х е U пусть/(ж) = (/i(z),/2(x),...,/m(i)).
Обозначим через М множество всех точек х € U, для которых
S(x) = 0, т. е. М есть множество решений системы уравнений
/i(*) = 0, /2(z) = 0,...,/m(z) = 0. (5.1)
Будем далее предполагать, что в каждой точке х G М
отображение / является невырожденным, т. е. ранг отображения / равен т.
Как следует из теоремы 4.2, множество М является fc-мерным
многообразием без края класса Сг. (Здесь и далее к = п — га.)
5.1.2. Докажем некоторый необходимый признак условного
экстремума функции, заданной на /г-мерном многообразии пространства Кп,
определенном системой уравнений.
■ Теорема 5.1. Пусть U есть открытое множество в En, F: U —►
—► К — функция кла,сса, С1, М С U — k-мерное многообразие,
определяемое системой ура,внений (5.1), где функции /i, /2,..., /m
удовлетворяют всем указанным выше условиям. Тогда, если хо е М есть
точка, экстремума, функции F на многообра,зии М, то на,йдутся числа,
Ai, А2,..., Am € R такяе, что при ка,ждом i = 1,2,..., п выполняется
ра,венство
^(х„) = Л,|1Ы + Л2^Ы + ... + Л^Ы (5.2)
для всех i = 1,2,..., п.

§ 5. Условные экстремумы
171
Замечание 1. Равенство (5.2) означает, что вектор
(dF dF dF \
является линейной комбинацией векторов
j = 1,2,..., га. В силу условий теоремы векторы Vfj(xo) линейно
независимы, откуда следует, что коэффициенты А; в равенстве (5.2)
определяются по вектору VF(xo) единственным образом.
Замечание 2. Утверждение теоремы равносильно
следующему. Если xq Е М есть точка экстремума функции F на
многообразии М, то дифференциал функции F в точке xq является
линейной комбинацией дифференциалов в этой точке функций /i, /2,..., /m.
Действительно, из равенства (5.2) вытекает, что для любого вектора
I = (IbI2,...,In)GEn
dF(x0; X) = £ ^ЫХ{ = Е Ai E a7(Xo)Xi = £ Ai dfj{X(h X)
i=i * i=i »=i l j=i
и,значит,
dF(z0) = Aid/i^o) + A2d/2(z0) + • • • + Amd/m(z0). (5.3)
Обратно, предположим, что существуют числа Ai,A2,...,Am
такие, что линейные функции dF{x$), dfj(xo), j = 1,2,..., m,
удовлетворяют равенству (5.3). Тогда для всякого вектора X G Еп
dF(x0,X) = X^f^xo.X) + \2df2(x0,X) + • • ■ + \mdfm(x0,X).
Полагая здесь X = е,-, г = 1,2,..., п, получим равенства (5.2).
Доказательство теоремы. Пусть хо есть точка экстремума
функции /о на многообразии М. Зададим произвольно допустимую
параметризацию <р: Р -+ М многообразия М такую, что хо = y?(tfo)>
и пусть u(tf) = -F[y>(<)]- Тогда функция и принадлежит классу С1 и, как
следует из леммы 5.1, to есть точка экстремума функции и.
Множество М является многообразием без края, и, значит, Р есть
fc-мерный интервал, т. е. Р есть открытое множество в Кп.

172
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Применяя условие экстремума для функции, определенной на от-
du
крытом множестве, отсюда получаем — (to) = 0 для всех г = 1,2,..., к.
О Ьх
Имеем u(t) = F[<p(t)] и, следовательно,
-£
:<*>-££<*>>>> = "(*•£<*•>)
Положим ^— (хо) = а,. Векторы ai, а2,..., а& линейно независимы.
Таким образом, мы получаем, что
АГ(яо,а,-) = 0 (5.4)
при каждом г = 1,2,..., /г. Пусть'Z — произвольный касательный
вектор многообразия М в точке £о- Вектор z допускает представление
z = Aiai + A2a2 H Ь А^а*.
Умножая обе части равенства (5.4) на А,- и суммируя по г, получим,
принимая во внимание линейность функции dF(xo), что для всякого
вектора z G Тм(яо)
</F(zo,*) = 0. (5.5)
Вектор z E Тм(^о) выбран произвольно, так что дифференциал
функции F в точке хо тождественно обращается в нуль на векторном
пространстве Тм(хо)- Согласно теореме 4.2 пространство Тд/(£о) есть
множество всех векторов z €Жп таких, что
df(x0,z) = 0.
Данное уравнение в скалярном виде записывается так:
dfi(xOjz) = 0 (5.6)
для всех i = 1,2,...,m. В силу условия невырожденности
отображения /, уравнения (5.6) линейно независимы. Всякое решение
уравнения (5.6), как следует из доказанного, является также решением
уравнения (5.5). В силу известных из алгебры свойств линейных
уравнений отсюда вытекает, что линейная функция dF(xo) является линейной
комбинацией функций d/i(£o), df2(xq), • • • > dfm(xo). С учетом сказанного
выше и в силу замечания 2 теорема тем самым доказана. ■

§ 5. Условные экстремумы
173
Из теоремы 5.1 вытекает следующее правило нахождения
точек экстремума функции F на множестве М С U. Такие точки
являются решением системы уравнений
/;(а0 = 0, 3 = 1,2,..., тп,
OF a/, a/m . (5.7)
^(x)_Al^(x) А"-^7^ = 0' * = 1>2,.-.,п.
Система (5.7) содержит га+n уравнений. Число неизвестных также
равно п + га (п — число координат точки ж, подлежащей отысканию,
m — число коэффициентов \j). Это правило называют методом
множителей Лагранжа.
Результату теоремы 5.1 может быть придана иная форма.
На множестве U x Rm точек (я, А), где ж G (7, A G Еп, определим
функцию Z, полагая для ж Е U и А = (Ai, A2,..., Am)
L(x, A) = F(x) - Xifi(x) - A2/2(z) Am/m(a?).
Функция L называется лагранжианом для изучаемой здесь задачи
об условном экстремуме. С ее помощью система уравнений может быть
записана в следующей форме:
—(я,А) = 0, — (s,A) = 0, t = l,2,...,n, j = l,2,...,m.
Пусть (ж, А) есть решение системы уравнений (5.7).
Теорема 5.1 не дает способа выяснить, будет ли точка х точкой минимума
или точкой максимума функции F на множестве М. Более того, в этом
случае может оказаться, что х вообще не является точкой экстремума
функции F на М. Поэтому для выяснения того, является ли х точкой
экстремума функции F на М, и определения, какого типа эта точка
экстремума, необходимо дополнительное исследование.
Далее будут приведены результаты, которые в определенных
случаях позволяют дать ответ на эти вопросы. Ответы существенно
используют введенную здесь функцию L(x,\) — лагранжиан задачи об
условном экстремуме, рассмотренной в теореме 5.1.
5.2. Распознавание точек условного экстремума
5.2.1. Зададим произвольно открытое множество U в пространстве Кп.
Пусть М С U есть А;-мерное многообразие класса С2, определяемое
системой уравнений
fi(x) = 0, г = 1,2,..., т = п — А;,

174 Гл. 10. Основы гладкого анализа
где /,- — функции класса С2, причем в каждой точке х G М ранг
системы функций /i, /2,..., fm равен m.
Дальнейшие рассуждения этого раздела относятся именно к
данному многообразию М. Кроме того, далее будем предполагать, что
задана некоторая функция F: U —► К класса С2.
■ Лемма 5.2. Предположим, что для точки хо € М существуют
числа Ai, A2,..., Am таюге, что для любого i = 1,2,..., п выполняется
равенство
dF"л_ ч_ V^x dfi
Положим
^ = E^W (5-8)
£ = **-£>/,. (5.9)
Пусть <р: Р —► М есть параметризация многообразия М такая, что
хо = <p(to), и пусть u(t) = F[<p(t)]. Тогда выполняются равенства
du(tQ) = О, (5.10)
d2u(t0) = d2L[x0;d<p(t0)]. (5.11)
Доказательство. Имеем
*\ 8F
duW = Е *-И')]<%(0- (5-12)
При каждом / = 1,2, ...,т, где m = n — k, fi[f{t)] = 0, откуда
получаем
01
1=1
0 = Ё ёгМ')]<М'). (5-13)
Из равенств (5.12) и (5.13), очевидно, следует, что
du{t) = £
»=1
£и«>]-Х>^мо1
<*¥>•'(*)•
Полагая в последнем равенстве t = to в силу (5.8), получим, что
дифференциал функции и в точке to тождественно равен нулю, и тем самым
равенство (5.10) доказано.

§ 5. Условные экстремумы
175
Дифференцируя равенства (5.12) и (5.13) повторно, получим
п п f)2F n f)F
d2<t) = Е Е ь^:Ш)*рМ*рМ + Е ^(<p№Mt),
t=l j=l l J i=l *
0 = E E -££гШ) ^ w^ w+£ $■№*№(*)■
t=l j = l * J i=l J
Отсюда
Положим здесь < = /0. В силу (5.8) вторая сумма в правой части
последнего равенства обращается в нуль и мы получаем
п п / Q2j? ш Q2 f \
d2u(t0) = Е Е д^ГЫ ~ Е А'0^Т(жо) dfiitoWjito) =
»=i i=i \ 1 3 /=1 г J /
t=i j=i ax*oxJ
Тем самым доказано и равенство (5.11) леммы 5.2. ■
5.2.2. Теорема 5.1 позволяет только указать точки многообразия,
которые могут быть точками экстремума функции на многообразии.
Однако она не дает способа для выяснения, какие из этих точек
действительно будут точками экстремума, а также выяснить, какие точки
являются точками максимума, а какие — точками минимума функции.
Докажем условие, необходимое для того, чтобы точка
многообразия была точкой минимума функции на этом многообразии.
Невыполнение этого условия означает, что данная точка не является точкой
минимума функции.
Аналогичным образом формулируется условие, необходимое для
того, чтобы точка xq многообразия, заданного системой уравнений,
была точкой максимума функции.
■ Теорема 5.2. Пусть точка, хо G М является точкой экстремума,
функции F, числа, Ai,A2,...,Am та,ковы, что выполняются ра.венст-
ва, (5.8), и функция L за,да,ется формулой (5.9). Тогда, если хо — точка,
минимума, F на. М, то второй дифференциа.л функции L неотрица.те-
лен на. пространстве ГХо(М), т. е. d2L(xo,X) > 0 для всякого вектора.
X Е ГЖо(М), а если хо — точка максимума F, то квадратичная форма.
d2L(xo) на.ТХо(М) неположительна..

176
Гл. 10, Основы гладкого анализа
Доказательство. Пусть <р: Р —> М есть параметризация
многообразия М такая, что хо = 9?(/о)> w = Fo^, Тогда согласно лемме 5.1
если хо — точка минимума F, то t0 есть точка минимума м, и точно так
же, если хо — точка максимума F, то <о есть точка максимума и.
Возьмем произвольно касательный вектор X многообразия М в точке хо.
Тогда найдется вектор (GM* такой, что X = dtp(to,£). В силу
равенства (5.11) имеем
d2u(t0]£) = d2L(xo\d(p(to\£)) = d2L(x0,X).
Как было доказано ранее (теорема 6.1 главы 7), квадратичная
форма d2u(t0) неотрицательна, если to — точка минимума гх(ж),
неположительна, если to есть точка максимума и. Это позволяет заключить,
что d2L{xo,X) > 0 в случае, когда хо — точка минимума F на М,
и d2L(xo>X) < 0, если хо есть точка максимума функции F на М.
Так как вектор X Е Тм(^о) взят произвольно, то тем самым теорема
доказана. ■
Теорема 5.2 дает некоторые необходимые признаки точек
минимума и максимума функции F на многообразии М. Из нее
следует, например, что если квадратичная форма d2L(xo) для некоторой
пары касательных векторов многообразия М принимает значения
противоположного знака, то хо заведомо не может быть точкой экстремума
функции F на многообразии М.
5.2.3. Следующая теорема показывает, что некоторое «ужесточение»,
по сравнению с предыдущей теоремой, требований, предъявляемых
к квадратичной форме d2L(xo), дает достаточное условие экстремума
функции F на многообразии М.
ш Теорема 5.3. Предположим, что точка х0 € М такова, что для
функции F выполняются равенства (5.8). Пусть функция L
определена равенством (5.9). Тогда если второй дифференциал функции L
в точке хо есть положительно (отрицательно) определенная
квадратичная форма на Тм(яо)> то хо есть точка минимума (соответственно
точка максимума) функции F на многообразии М.
Доказательство. Пусть <р: Р —> М есть допустимая
параметризация М такая, что х0 Е <р(Р). Пусть х0 = <p(t0). Положим и =
= Fotp. В силу леммы 5.2 тогда du(t0) = 0. Предположим, что d2L(x0)
есть квадратичная форма, положительно определенная на пространстве
Тм(#о)- Возьмем произвольно вектор £ Е R*. Имеем
d2u(t0;£) = d2L(x0}X),
где X = d(p(t0]£), X Е Тм(яо). Допустим, что £ ф 0. Тогда х ф 0
и, значит, d2L(x0,X) > 0, откуда получаем, что <ru(<o>f) > 0.
Тем самым доказано, что d2u(to) есть положительно определенная
квадратичная форма в К*. Отсюда вытекает, что to есть точка
минимума функции и и, значит, как следует из леммы 5.1, х0 есть точка
минимума функции F на многообразии М.
Аналогичным образом устанавливается справедливость
утверждения теоремы относительно точек максимума. Теорема доказана. ■

§ 5. Условные экстремумы 177
5.3. Приложения к задаче о собственных значениях
симметрической матрицы
Пусть L: Еп —► Еп — линейное отображение. Вектор х G Кп
называется собственным вектором отображения L, если х ф 0 и
существует число А Е С такое, что L{x) = \х. В этом случае число А
называют собственным значением (или характеристическим числом)
отображения L, соответствующим собственному вектору х.
Отображение L: Кп —> Шп называется симметрическим, если для
любых векторов ж,у Е IR71 выполняется равенство
(L(y),x) = (L(x),y).
Пусть А = (atJ)tjj=1)...)n — матрица линейного отображения L.
Тогда для того, чтобы отображение L было симметрическим, необходимо
и достаточно, чтобы матрица А была симметрической, т.е. чтобы для
любых г, j = 1,2,..., п выполнялось равенство а^ = ay,-.
Теорема, формулируемая далее, обычно доказывается в курсе
алгебры. Она представляет один из основных результатов того раздела
этого курса, который называется линейной алгеброй.
Приводимое далее доказательство основано на использовании
результата теоремы 5.1, а также того фундаментального факта, что
всякая непрерывная функция на компактном множестве принимает на нем
свое наименьшее значение (см. теорему 1.24 главы 9). Идея, лежащая
в основе этого доказательства, часто именуется вариационным
принципом Р. Куранта. Она применима также и в других, существенно более
сложных ситуациях, например, когда речь идет об отображениях
бесконечномерных векторных пространств (в связи с задачей о собственных
значениях функциональных операторов математической физики,
которые здесь не рассматриваются).
■ Теорема 5.4. Пусть L: Шп —► Кп есть симметрическое
линейное отображение. Тогда существует система векторов iti,it2,...,un,
каждый из которых является собственным вектором отображения L.
При этом \щ\ = \и2\ = • • • = \ип\ = 1 и векторы щ, w2,..., un взаимно
ортогональны, т. е. (ui,Uj) = 0 при i Ф j.
Доказательство. Пусть L:Rn —► Кп есть симметрическое
линейное отображение.
Сначала мы построим некоторую ортогональную систему
единичных векторов iai, w2,..., un и чисел \\ < А2 < • • • < Ап, а затем
докажем, что эти векторы являются собственными векторами L, а числа

178
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Ai, А2,..., Ап есть соответствующие им собственные значения
отображения L. Дальнейшие рассуждения мы разобьем на несколько шагов.
А. Для произвольного я £ К71 положим F(x) = (L(x),x).
Функция F есть квадратичная фор^а в К71, т. е. F есть полином не выше
второй степени. В частности, отсюда вытекает, что F £ Сг при
любом г.
Пусть Mi есть сфера 5(0,1) в Еп. Множество Mi компактно.
Пусть
А1= MF(x).
Функция F непрерывна, и, значит, найдется точка щ Е Mi, в которой
она принимает свое наименьшее значение на множестве Mi, т. е. такая,
что F(ui) = Ai.
Пусть М2 есть совокупность всех векторов х Е Mi,
ортогональных вектору щ. Если п > 2 (это условие мы можем считать заведомо
выполненным, так как случай п = 1 интереса не представляет), то
множество М2 непусто. Оно представляет собой совокупность решений
системы уравнений
|*|2 = 1, (иь*) = 0,
левые части которых есть непрерывные функции, и, следовательно, М2
замкнуто. Очевидно, М2 ограничено и, значит, компактно.
Пусть и2 есть точка, в которой F принимает свое наименьшее
значение на М2 и А2 = F(u2) = inf F. Так как Mi D М2, то
м2
Ai =infF< A2 =infF.
Mi М-2 \
Продолжая это построение, на А;-м шаге мы получим набор
векторов и\, и2,..., Uk и чисел Ai, А2,..., А*. При этом вектор uj- ортогонален
ко всем остальным, и если Mj~ есть множество всех векторов iG Mj,
ортогональных к каждому из векторов щ, гх2,..., w^_i, то имеет место
соотношение
А* = inf F(x) и F(uk) = А*.
x£Mk
В итоге будет построена система из т < п взаимно ортогональных
векторов щ, щ,..., ит G Mi и последовательность чисел Ai, А2,..., \т.
Б. Следующий этап рассуждений состоит в доказательстве того,
что число т построенных векторов щ равно п. Предположим сначала,
что для некоторого т < п векторы щ^щ,..., ит определены, причем

§ 5. Условные экстремумы
179
\щ\ = 1 при каждом г, и если г ф j, г, j = 1,2,..., m, то (it,-, Uj) = 0.
Векторы 1*1,1*2) • • -?^m линейно независимы. Действительно, пусть числа
ai,a?2,... ,am таковы, что
Отсюда
m m
i=l t=l
и, значит, cti = 0 при каждом г = 1,2,...,га, что и доказывает линейную
независимость векторов щ, u<i,..., wm-
Далее, если m < га, то множество Mm+j всех векторов х G 5(0,1),
каждый из которых ортогонален любому из векторов щ, 1*2,..., um,
непусто. Действительно, так как векторы щ, it2,..., иш линейно
независимы и m < га, то найдется вектор v G Кп, который не является их
линейной комбинацией. Положим
w = v - (г>, iii)wi - (г>, w2)w2 - • (г>, iim)wm.
Тогда iu ^ 0 и вектор iu, как легко проверяется, ортогонален каждому
из векторов 1*1,^2) • • • >ит. Вектор и = -.—г, очевидно, принадлежит
И
Мш+1> так что множество Mm+i непусто.
Из сказанного следует, что описанное здесь построение векторов щ
оканчивается только на га-м шаге, так что т = га.
В. По определению (п. А доказательства), и* есть точка
множества Mfc, на котором функция F{x) = (Lx,x) принимает свое
наименьшее значение, а А& = F(iijb). Множество М* при 1 < А; < га определяется
системой уравнений
/о(а0 = (*,&)-1 = 0, ,514ч
/,-(&) = (щ,х) = 0, t= 1,2,..., А;- 1.
Как следует из рассуждений, проделанных в п. Б доказательства,
Mk непусто. Имеем V/o(z) = 2х и V/,(z) = щ при г = 1,2,..., к — 1.
Векторы iii,..., Wife—1, х при ж £ Mk образуют ортонормальную систему
и, следовательно, линейно независимы. Мы получаем, что в каждой
точке х G Mk векторы V/o, V/i,..., Vfk-i линейно независимы и,
значит, при к < га множество М есть (га — /г)-мерное дифференцируемое

180
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
многообразие. (Это есть (п — &)-мерная сфера, получаемая при
пересечении 5(0,1) с п — к + 1-мерной плоскостью, определяемой последними
к — 1 уравнениями (5.14).)
Множество Mk ограничено. Оно замкнуто и, следовательно,
компактно. Так как F есть непрерывная функция, то F принимает на М*
наименьшее значение в некоторой точке и. По построению, Uk
есть одна из этих точек и
Хк = inf F(x) = F(uk).
х£Мк
Найдем градиент функции F. Возьмем произвольно точку iGMn
и вектор h еШп. Для всякого t Е Е имеем
F(x + th) = (L(x) + tL{h), x + th)
= (L(x), x) + 2t(L(x), h) + t2(L(h), h). (5.15)
(Здесь было использовано тождество (L(h),x) = (Z(z),/i), которое
выполняется в силу симметричности отображения L.)
Дифференцируя обе части равенства (5.15) по t и полагал t = 0,
получим, что
(VF(x), h) = dF(x; h) = 2(ОД, Л)
для всякого вектора /i Е Кп. Отсюда градиент функции будет
VF(z) = 2L(x)
для любого- ж £ Rn.
Покажем, что при каждом к = 1,2, ...,п найдутся числа
Pk,iiPk,2i* • ч№к,к такие, что имеет место равенство
Цик) = Цк,1Щ + iikau2 + • • ■ + м*,*и*. (5.16)
В случае fc = n существование таких чисел //£., г = 1,2,..., А;,
следует из того, что ixj, U2, • • • > ип есть система из гс линейно независимых
векторов и, значит, всякий вектор uGKn может быть представлен как
их линейная комбинация.
Пусть к < п. Тогда ик есть точка экстремума функции F на
многообразии Mk и, значит, по теореме 5.1 найдутся числа ai,a2,...,a*
такие, что
VF(uk) = аг Vfo(uk) + a2 V/i(u*) + • • • + a*V/*_i(ti*),

§ 6. Теорема Морса 181
откуда
2L(uk) = 2a\Uk + а2щ Н h otkUk-i,
и равенство (5.16), очевидно, выполняется..При этом Цк,к = а1} /х^, =
= -a,-+i при г = 1,2,..., к - 1.
Докажем, что при i < к коэффициент fik,i в равенстве (5.16)
равен нулю. Действительно, заметим сначала, что из равенства (5.16)
следует, что при j > к выполняется (L(uk),Uj) = 0 для любых
к = 1,2,..., п — 1. Пусть г < /г. Тогда имеем (£(и&), и,-) = /^,-.
С другой стороны, в силу симметричности Z имеет место равенство
(L(uk),Ui) = (Ь(щ),ик) = 0 и, значит, fik,i = 0.
Таким образом, мы получаем, что L(uk) = fik,kuk при каждом к =
= 1,2,..., п. Осталось заметить, что
Ajfc = (L(uk),Uk) = 1*>к,к{ик,ик) = /ijfc,*,
и, стало быть, мы получим, что при каждом А; = 1,2,..., п имеет место
равенство
L(uk) = Afcix*.
По определению, это означает, что г^, 1 < /г < п, есть собственные
векторы линейного отображения L, a A& при 1 < к < п —
соответствующие им собственные значения. Теорема доказана. ■
§ 6. Теорема Морса
Ранее (см. § 3) было доказано, что при условии, когда вектор-функция
/:£/—* Кт определена на открытом множестве U пространства Кп,
принадлежит классу Сг, где г > 1, и является невырожденной в некоторой точке
a G U (т. е. ранг матрицы Якоби функции f в точке a £ U принимает
наибольшее из возможных значений), выбором надлежащих систем координат
в окрестностях точек а и Ь = f(a) функцию f можно привести к некоторому
простейшему виду (теоремы 3.2-3.4).
В этом параграфе изучается строение вещественной функции f
класса Сг, где г > 2, в окрестности точки а в предположении, что данная
функция не является невырожденной в этой точке. Это означает, что
дифференциал функции f в точке а обращается в нуль. Строение функции вблизи
точки а в этом случае определяется производными второго порядка.
Оказывается, что если второй дифференциал функции f в точке а представляет
собой невырожденную квадратичную форму, то выбором системы координат
в окрестности этой точки функция f может быть приведена к виду
п
7(*) = /(а) + ]Г^,
i=l
где Si — ±1 при каждом i = 1,2,..., п. Данное утверждение называется
теоремой Морса. Оно играет важную роль в теории дифференцируемых
многообразий.

182
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
6.1. Предварительные сведения о матрицах
Сделаем некоторые предварительные замечания относительно
матриц. Пусть X = (£tj)t,j=:i,2,...,n есть произвольная квадратная
матрица порядка п. Развернутая запись матрицы X имеет вид
X =
/ХП ^12 ... Xin\
I Я21 Ж22 ••• Х2п I
\Xni Xn2 ... ^пп'
(6.1)
Элементы жц, £22> •. •, жпп матрицы X, заданной равенством (6.1),
называются диагональными элементами матрицы.
Матрица X называется диагональной матрицей, если все ее
элементы, не являющиеся диагональными, равны нулю, ж,у = 0 при г ф j.
Символом Е далее обозначается единичная матрица, т. е. матрица,
все диагональные элементы которой равны единице, а остальные равны
нулю.
На множестве всех матриц определена операция
транспонирования. Пусть X = (iiJ,)i,i=i,2,...,n — квадратная матрица порядка п.
Транспонированной к X называется матрица Y такая, что при
каждом г = 1,2, ...,п г-я строка матрицы Y совпадает с г-м столбцом
матрицы X. Формально Y = (уо*)м=1,2,...,п> где уг*у = я,-,- для любых
г,j = 1,2,... ,п. Матрица, транспонированная к X, обозначается
символом X*.
Операция транспонирования матрицы обладает следующими
свойствами, которые потребуются нам в дальнейшем.
1. Для всякой матрицы X справедливо равенство
{X*}* = X.
2. Для любых квадратных матриц Xi,X2,...,Xm имеет место
равенство
{Х\Х2 .. .Хт}* = Х^ .. .XjX*.
3. Пусть U есть квадратная матрица порядка п. Тогда для любых
векторов х,у Е Кп имеет место равенство
(x,Uy) = (U*x,y). (6.2)
Справедливость данных утверждений устанавливается в курсе
алгебры и является непосредственным следствием определений операции
умножения матриц и транспонирования матрицы.

§ 6. Теорема, Морса,
183
4. Для всякой квадратной матрицы X такой, что detX ф О,
выполняется равенство
(х-1)* = (х*)-\
Действительно, предположим, что detX ф О, и пусть У = Х~г. Тогда
имеем XY = YX = Е. Отсюда вытекает, что У*Х* = X*Y* = Е
и, значит, (X"1)* = У* = (X*)""1, что и требовалось доказать.
Матрица X вида (6.1) называется симметрической, если ж,7 = жу,-
для любых i,j = l,2,...,n. Иначе говоря, матрица X симметрическая,
если выполняется равенство X = X*.
Смлшетрмчесгсме матрицы возникают при изучении так
называемых квадратичных форм. Квадратичной формой п переменных
называется всякий однородный многочлен второй степени в
пространстве К71. Квадратичная форма может быть записана в виде
п п
F(x) = YlY,aiiXiXJ> (б*3)
где коэффициенты atJ- удовлетворяют условию а,-у = ау,* для любых
г,j = 1,2,...,п. Пусть
А =
/ аи о>12 ••• «1п\
I «21 «22 • • • «2п 1
\«п1 «п2 ••• апп/
есть матрица коэффициентов квадратичной формы. Матрица А
однозначно определяется заданием квадратичной формы F(x).
Применяя матричные обозначения, выражение для квадратичной
формы (6.3) можно представить в виде
F(x) = (Ax,x).
Квадратичная форма F называется невырожденной, если
определитель ее матрицы коэффициентов отличен от нуля.
Приведем правило преобразования коэффициентов квадратичной
формы при замене переменной.
Предположим, что задано линейное отображение у ь-> Zy, где Z —
невырожденная квадратная матрица порядка га. Подставляя в
выражение F(x) = (Ах,х) представление х по формуле х = Zy, получим
F(Zy) = (AZy,Zy).

184
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Положим G(y) = F(Zy). Применяя равенство (6.2), получим
G(y) = (Z*AZy,y).
Матрица В = Z*AZ симметрична. Действительно, применяя
предложения 2 и 1, получим
J3* = Z*A{Z*}* = Z*AZ = J9,
так что В* = 5, т. е. матрица В симметрическая.
Из алгебры известно, что для всякой невырожденной квадратичной
формы F(x) существует невырожденное линейное отображение ip: у ь->
■-* Zy такое, что после замены переменной по формуле х = Zy
квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму G(y) вида
<?(*) = !>¥?, (6-4)
1=1
гдее,- = ±1. Равенство (6.4) называется каноническим представлением
квадратичной формы F(x).
Число коэффициентов £,-, равных —1, we зависит от выбора
линейного преобразования <р, посредством которого квадратичная форма F
приводится к виду (6.4). Данное утверждение называется законом
инерции квадратичных форм.
Множество всех симметрических квадратных матриц порядка п
будем обозначать символом Symn.
Если матрицы X жУ симметрические, то для любых чисел а и /3
матрица аХ + /ЗУ также симметрическая. Отсюда вытекает, что
множество всех симметрических квадратных матриц порядка п является
векторным пространством.
Пусть X = (^tj)i,i=i,2,...,n есть симметрическая квадратная
матрица порядка п. Матрица X однозначно определяется указанием
элементов, лежащих либо на ее диагонали, либо выше ее, т. е. таких ж,-у,
для которых i < j.
Матрица X = (£tv)t,i=i,2,...,n называется верхней треугольной
матрицей, если a?,-j = 0 при г > j. Иначе говоря, матрица X
является верхней треугольной матрицей, если все ее элементы, лежащие
ниже диагонали, равны нулю. Множество всех верхних треугольных
матриц порядка п далее обозначается символом Т£.
Если X и У есть верхние треугольные матрицы, то каковы бы
ни были числа а и /3, матрица аХ + /3Y также является верхней
треугольной матрицей. Отсюда следует, что множество матриц Т„ есть
векторное пространство.

§ 6. Теорема, Морса, 185
Матрица X = (a?tj)t,js=i,2,...,n называется нижней треугольной
матрицей, если все ее элементы, лежащие выше диагонали, равны нулю,
т. е. Xij = 0 при i < j. Множество всех нижних треугольных матриц
будем обозначать символом TJJ.
Для произвольной матрицы X = (яу)» г, j = 1,2,... ,п, число
элементов ее первой строки, расположенных или н а диагонали, или
выше ее, равно п. Во второй строке число таких элементов матрицы
равно п — 1.
В общем случае для всякого номера г, где 1 < г < п, число
элементов г-й строки матрицы X, лежащих или н а диагонали, или
выше ее, равно п — г + 1. Отсюда следует, что общее число
элементов матрицы, которые расположены не ниже диагонали, равно
n + (n-l) + --- + 2+l=w(w + 1)=JV. (6.5)
Будем рассматривать пространство R^, где N определяется
равенством (6.5). Компоненты произвольного вектора х Е KN далее
обозначаются следующим образом. Первые п компонент обозначим
символами жп,£12,...,Ж1П, следующие п — 1 обозначаем символами
#22) #23> • • • ? х2п и т. д., наконец, последнюю компоненту вектора х
обозначим символом хпп.
Для обозначения компонент вектора х используются, таким
образом, всевозможные выражения вида жу, где 1 < г < j < п. Для
вектора х = (яу), г < j, пространства R^ пусть t(x) есть матрица
У = (уу)г^=1,2,...,п) определенная условиями уу = х^ при г < j и уу = О,
если г > j. Матрица tf(z) является верхней треугольной матрицей.
Положим s(x) = Z = (^ij)i,i=i,2t...,nj ГДе ^«i = я и ПРИ * < j
и 2r,j = Xjt при г > j. Матрица Z симметрическая. Мы получаем,
таким образом, отображения t: RN —► Т£ и 5: R^ —> Symn. Каждое
из отображений t к s линейно и представляет собой биективное
отображение.
Далее мы рассмотрим отображения пространств Т£ и Symn в
другие пространства. Для всякой матрицы I G TJ существует точка
х Е R^ такая, что х = t(x). Будем далее отождествлять матрицу X
с этой точкой х. Это позволяет рассматривать отображения данных
матричных пространств как отображения множеств пространства RN.
Формально это отождествление может быть описано следующим
образом. Пусть дано отображение tp пространства Т£ в некоторое
другое пространство. Тогда отображение ip отождествляется с
отображением (pot"1 пространства RN. Всякую функцию ф со значениями
в Symn будем отождествлять с функцией s"""1 о ф, значения которой

186
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
лежат вЕ^. В соответствии с этим матричные функции на
подмножествах Тп и Symn со значениями в этих же множествах будем понимать
как отображения множеств в Шм в пространство RN.
Сказанное позволяет придать точный смысл понятию
дифференцируемой матричной функции и вообще матричной функции класса Сг.
ш Лемма 6.1. Пусть D есть невырожденная диагональная матрица.
Существует 6 > 0 tai<oei что для всякой симметрической матрицы X,
удовлетворяющей условию \\Х — D\\ < 6, найдется матрица Y = Y(X)
такая, что Y*XY = D. При этом Y(D) есть единичная матрица,
Y(D) = Е и элементы матрицы Y являются функциями класса С°°
элементов матрицы X.
Доказательство. Пусть е/ц, ^22>..., dnn есть диагональные
элементы матрицы D. Согласно условию матрица D невырожденная
и, значит, dn ф 0 при каждом г = 1,2,..., п. Для произвольной верхней
треугольной матрицы Z положим Q(Z) = Z*DZ.
Покажем, что матрица Q(Z) симметрическая. Действительно,
применяй равенства предложений 1 и 2 (свойства операции
транспонирования матрицы), получим
Q{Zy = {Z*DZ}* = Z*Z>*{Z*}* = Z*DZ = Q(Z). (6.6)
(Здесь используется то, что матрица D диагональная и, следовательно,
она симметрическая, т. е. D* = D.) Применяя свойство 1 операции
транспонирования, получаем, что {Z*}* = Z.
Равенство (б.6) доказывает, что матрица Q(Z) симметрическая.
Таким образом, получено некоторое отображение Q множества всех
верхних треугольных матриц Т£ в множество Symn симметрических
матриц порядка п.
Элементы матрицы Q(Z) выражаются через элементы матрицы Z
посредством операций умножения и сложения. Отсюда ясно, что Z ь+
ь+ Q{Z) есть отображение класса С°°.
Определитель матрицы представляет собой полином относительно
ее элементов, и, следовательно, функция Z н-> det Q(Z) непрерывна.
Имеем Q(E) = D и, значит, det Q(E) = detZ) ф 0. В силу
непрерывности функции Z н-> Q(Z) найдется е > 0 такое, что если ||Z - 2£|| < £, то
det Q(£0 7^ 0- Множество всех матриц ZGT^ для которых ||Z-£|| < 6,
обозначим символом Ве.
Найдем дифференциал отображения Q в точке Z = Е
пространства Тп- Положим Z = Е + /it/, где ЛЕЕ. Получим
0(д + ып - <кд) = 1 д + _ =
h h
= i[Z> + hU*D + hDU + h2U*DU -D] = (U*D + DU + hU*DU).
h

§ б. Теорема, Морса
187
Правая часть этого равенства при h —► 0 стремится к пределу,
равному i7*J9 + DU. Следовательно, dQ(E\U) = (7*J9 + DU. Матрица
U*D + DU', как нетрудно видеть, симметрическая. Таким образом,
есть отображение пространства Т£ в пространство Symn. Это
отображение, очевидно, линейно.
Покажем, что отображение <1Qe взаимно однозначно. Достаточно
показать, что равенство U*D + DU = 0 имеет место в том и только
в том случае, если U = 0. Напомним, что матрица U здесь является
верхней треугольной матрицей, a D — невырожденная диагональная
матрица. Матрица U* является нижней треугольной матрицей.
Пусть Н — произвольная матрица. Тогда матрица DH', как легко
проверяется, получается из Н умножением элементов первой строки
матрицы на du, умножением элементов второй строки на б?22 и т. д.,
наконец, элементы п-й строки умножаются на dnn.
Аналогичным образом, произведение HD есть матрица,
полученная из Н умножением элементов г-го столбца при каждом г = 1,2,..., п
на da. В частности, если Н есть либо верхняя, либо нижняя
треугольная матрица, то матрицы DH и HD будут соответственно верхней или
нижней треугольными матрицами.
Возвращаясь к интересующему нас случаю, получаем, что матрица
U*D является нижней треугольной матрицей и, значит, все ее
элементы, лежащие выше диагонали, равны нулю. Из равенства
U*D + DU = 0 поэтому следует, что все элементы матрицы DU,
лежащие выше диагонали, равны нулю. Это позволяет заключить,
что все элементы матрицы DU, а значит, и матрицы U, лежащие
выше диагонали, равны нулю. Матрица U, таким образом, должна
быть диагональной.
Каждое из произведений U*D и UD есть диагональная матрица,
на диагонали которой стоят произведения гхцйц? ^22^22, • • • > wnndnn. По
условию, da ф 0 для всех г = 1,2,..., п. Из равенства U*D + DU = 0
поэтому следует, что также и диагональные элементы матрицы U равны
нулю.
Таким образом, мы показали, что если матрица U Е Т£ такова,
что U*D + DU = 0, то U = 0. Следовательно, отображение
dQE: U в Tvn ■-> U*D + DU е Symn
взаимно однозначно. Так как размерности пространств
Tvn и Symn совпадают, то отсюда следует, что
отображение dQs есть отображение Т£ на Symn. На основании леммы о
локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 этой главы) множество Q(B£)
содержит некоторую окрестность матрицы D и, значит, найдутся S > 0

188
Гл. 10. Основы гладкого анализа
и открытое множество G пространства Т£, содержащееся в J3£,
такое, что Е £ (7, Q отображает G взаимно однозначно на шар B(D,6)
в пространстве Symn, причем обратное отображение Q"1 есть
диффеоморфизм класса С°°.
Пусть Z e G и U = Q(Z) = Z*J9Z. Тогда имеем Z = Q-\U).
Матрица Z принадлежит множеству Веу и, значит,
определитель матрицы Z отличен от нуля. Отсюда заключаем, что D =
= {z*}-1uz-1.
Осталось заметить, что так как отображение Q принадлежит
классу С°°, то Z(U) = Q^iU) есть функция класса С°°. Значит, и
матричная функция X{U) = [Z(C/')]""1 принадлежит классу С°°. Из
определения функции Х({7) ясно, что X(J9) = £. Лемма доказана. ■
Замечание 1. Можно показать, что если матрица X есть
верхняя треугольная матрица, причем detX ф О, то и обратная
матрица X"1 также является верхней треугольной и, значит, матрица
X(U) является верхней треугольной матрицей.
Замечание 2. Явные выражения элементов матрицы X(U)
через элементы матрицы U известны, и их построение не требует
преодоления каких-либо существенных трудностей.
6.2. Доказательство теоремы Морса
■ Лемма 6.2. Пусть U есть открытое множество в пространстве К71
я /: U —► Е — функция класса, Сг+2, где г > 0. Предположим, что
точка a €U является стационарной точкой функции /, т. е. df(a) = 0.
Пусть 6 > 0 таково, что шар В(а,6) содержится в U. Тогда найдутся
вещественные функции Uij(x), г, j = 1,2,..., тг, класса Сг, определенные
в шаре В(а, й) я такие, что Uij(x) = Uji(x) для любых i,j = 1,2,..., п:
я для всякого х € 5(а, <5) имеет место равенство
п п
f(x) - /(а) + ^Y1ии(х)(х* ~ в»')(г> ~ ai)-

§ 6. Теорема Морса, ^ 189
Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем условиям
леммы. Возьмем произвольно точку х G B(a,8) и для t Е [0,1] положим
(p(t) = f[a + t(x — а)]. Функция <р принадлежит классу Сг+2.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме,
получим
1
f(x) = р(1) = р(0) + р'(0) + У <p»(t)(l - t) dt.
о
Имеем v?'(0) = cf/(a; ж — a) = 0, так как, по условию, df(a) = 0. Далее,
<p"(i) = d2/[a + /(ж - а); ж - a] =
•=i i=i aa?»aa?i
Отсюда получаем равенство
n n
/(ж) = /(a) + J] £ ««(»)(*!• ~ а»)(ж> - ai).
где
Uij(x) = J JLL-\a + t{x - o)](l - <)Л- (6-8)
0
а2/
Функция -—-— принадлежит классу Сг. На основании теоремы
OXiOXj
об интегралах, зависящих от параметра, доказанной в главе 5 (КМА,
часть I, книга 2), отсюда вытекает, что щ$ € Сг. В силу свойства
симметричности вторых производных (глава 7) из интегрального
представления функции Uij следует, что и^(х) = Uji(x) для любых г, j =
= 1,2,...,п. Наконец, заметим, что в случае х = а подынтегральное
а2/
выражение в равенстве (6.8) равно ——-—(a)(l — t). Интеграл от этого
выражения относительно t по промежутку [0,1] равен -. Отсюда
вытекает, что
и справедливость равенства (6.7) установлена. Лемма доказана. ■

190
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Пусть U есть произвольное открытое множество пространства Rn,
/: U —► К — вещественная функция класса Сг+2, где г > 0. Точка
a £ U называется критической или стационарной точкой функции /,
если дифференциал функции / в точке а тождественно равен нулю или,
что равносильно, если выполняются равенства
-г—(а) = 0 для всех % = 1,2,..., п.
Матрица
Н(х)
/ d2f ,x) d2f (д)
^ж^Ж! дхгдх2
dx2dxi
dx-idxi
xJ4_{x) d2f ,x)
\dxndxi dxndx2
d2f
dx\dxn
d2f
dx^dxn
d2f
dxndx.
(x)
(x)
.(*)
(6.9)
называется .матрицей Гессе функции f в точке х Е U.
Определитель detH(x) этой матрицы называется гессианом функции f
в точке х.
Пусть а Е U есть критическая точка функции /. Будем говорить,
что а есть невыроэюденная критическая точка функции /, если гессиан
функции / в этой точке отличен от нуля.
■ Теорема 6.1 (теорема Морса). Пусть U есть открытое
множество в пространстве Шп и f: U —► R — функция класса Сг+2, где г > 1.
Предположим, что a £ U есть невырожденная критическая точка
функции /. Тогда найдется диффеоморфизм (р: В(0,6) —► Шп класса Сг
такой, что <р(0) = а, ц>[В(0,6)] С U, и для всех t Е В(0,6) имеет место
равенство
/(О = /[*>(<)] =/(«О+ $><?,
1=1
где е,- = ±1.
Замечание. Теорема означает, что если критическая точка
функции / является невырожденной, то в окрестности точки а функция
может быть приведена к виду f(a) + Q(t), где Q — невыроэюденная
квадратичная форма, заменой переменных, осуществляемой по формуле
х = у>(<), где tp есть диффеоморфизм класса Сг.

§ 6. Теорема, Щорса, 191
Доказательство теоремы. Пусть функция / удовлетворяет
всем условиям теоремы. Рассмотрим квадратичную форму
d2f(a;h) = J2±-^-(a)hihj.
В силу условия теоремы эта квадратичная форма является
невырожденной и, значит, найдется невырожденная матрица А такая, что для
всякого вектора {GEn
t=l
где Si = ±1. Положим А(£) = а + А£. Пусть д(£) = /[А(£)]. Функция д
определена на открытом множестве V = A"1 (U). Имеем А"1 (а) = О
и, значит, О Е V. Очевидно, д принадлежит тому же классу Сг+2, что
и функция /.
Напишем формулу Тейлора порядка 2 с остаточным членом
в форме Пеано для функции / в точке а. Получим
f(x) = /(а) + -d2f{a\ х - а) + а(х)\х - а|2,
где а(х) —► 0 при х —> а. Полагая в этой формуле х = а + А£, найдем,
что
5(0 = Да) + ^2/(а; А£) + а[Х(0]Ш\\
Имеем А(£) -► а при f -> 0 и |А£| < M|f|, где Af = const < оо.
Заметим еще, что /(а) = /[А(0)] = g(Q). Из сказанного вытекает
равенство
9(O = 9(0) + \d*f(a;AO + P(O\t\\
где /?(£) —► 0 при £ —► 0. Это позволяет заключить, что полином второй
степени
g(0)+ld>f(a;AO
есть полином Тейлора порядка 2 функции g в точке 0. Отсюда
вытекает, что dg(0) = 0 и d2#(0,£) = d2/(a; A£). В силу выбора матрицы А
получаем, что
d2g(0,O = 'E^i- (б-9)
1=1

192
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Согласно лемме 6.2 найдется р > 0 такое, что шар B(Q,p) С V
и для всякого £ Е В(0,р) имеет место равенство
та п
i=i j=i
где функции U{j принадлежат классу Сг. При этом i*y(f) = Uj,'(f) для
любых г, j = 1,2,..., п и
где г,- есть величины, стоящие в правой части равенства (6.9), a 6{j = 1
при г = j, <5tJ- = 0, если г ^ j.
Матрица (7(f) = (г4г*у(£))г^=1,2,...,п симметрическая, и ее элементы
есть функции класса Сг переменной £. При этом D = U(0) есть
диагональная матрица. Элементы, стоящие на ее диагонали, есть числа
—£t*, г = 1, z,..., п.
Теперь воспользуемся результатом леммы 6.1. Согласно этой
лемме найдется число е > 0 такое, что для всякой симметрической
матрицы U', удовлетворяющей условию
\\U-D\\<e,
существует матрица Z(U) такая, что [Z(U)]*UZ(U) = J9. При этом
Z(Z)) = Е и элементы матрицы Z(£7) есть функции класса С00
элементов матрицы U.
Пусть р\ > 0 таково, что 0 < р\ < р, и для всякого £ G 5(0,р\)
выполняется неравенство
\\U{0 - D\\ < е.
Положим Х(£) = Z[i7(£)]. Так как элементы матрицы U есть
функции класса Сг, то функция Х(£) принадлежит классу Сг. При каждом
£ Е .0(0,/>i) имеет место равенство
[Х(0]*и(ОХ(0 = А
откуда вытекает, что
det D = det [*(£)]* detC/(£)detX(£) = dettf(£)[det X(£)]2.

jj 6. Теорема Морса 193
Отсюда следует, что detX(£) ф 0 и, значит, матрица Х(£)
обратима для всех f таких, что |f| < Si.
Положим ф(£) = {Х(£)}~~г£. Элементы матрицы {Х(£)}~г
получаются из элементов матрицы Х(£) посредством конечного числа
арифметических действий. Отсюда вытекает, что матричная функция
е -> {Щ))
-1
принадлежит классу Ст и, значит, ф есть отображение класса Сг.
В частности, ф дифференцируемо в каждой точке f Е 5(0,/>i).
Найдем дифференциал отображения ф в точке 0. Зададим
произвольно вектор 7/. По определению, имеем
#(М) = Вт Ф(° + *?> ' ^(0) = Вт ШЛ,)}-Ч = {Jf(0)}"Ч = Ъ
л—+0 Л л—►()
так как Х(0) = Z(D) = J5 и, значит, также и {Х(О)}"1 = Е.
Таким образом, дифференциал отображения ^ в точке 0 есть
тождественное отобраэюение пространства Кп. Отсюда вытекает, что
найдется открытое множество G С B(0,/>i) такое, что 0 Е G, и
ограничение ф на множестве V есть диффеоморфизм класса Сг.
Далее, имеем ^(0) = 0, так что 0 € ф{0). Множество ф(О)
открытое. Найдем S > 0 такое, что шар В(0,6) С i>(G). Положим <р = Ао^""1.
Покажем, что отображение ср и есть требуемое. Действительно,
для произвольного t Е 2?(0, <5) будем иметь < '
/[v(<)] = /{A[^-1«)]}=^"1(0]-
Если £ = V_1(0> то * = ф(£) = А"(0"Ч» откуда £ = X(£)t.
Следовательно,
/И*)] = 9[Ф~Ч*)] = *[*(*)<] = з(о) + (U№(0t,x(№ =
= 3(0) + ({X(0yu(0x(0t,t} = /(e) + 5>4
1=1
Видим, что диффеоморфизм у? и есть искомый. Теорема доказана. ■
Если функция / удовлетворяет условиям теоремы 6.1 (теоремы
Морса), то степень гладкости диффеоморфизма ip можно
повысить^ именно, диффеоморфизм <р, указанный в формулировке
теоремы, можно йыбрать так, чтобы он принадлежал классу Cr+1.
Доказательство этого требует применения соображений, отличающихся от
приведенных в доказательстве^ изложенном выше, и требует
использования математической техники, которая в данном курсе не
рассматривается (хотя и не является сложной).

194
Гл. 10. Основы гладкого анализа
§ 7. Вычисление частных производных функций,
заданных неявно. Примеры
При решении разнообразных задач математического анализа часто
возникает необходимость находить значения производных той или иной
функции, определенной как решение некоторой системы уравнений. Теорема о
неявных функциях позволяет указать условия, при которых та или иная
система уравнений определяет некоторую функцию. Правила
дифференцирования функций, установленные в главе 7 (КМА, часть I, книга 2),
достаточны для того, чтобы с их помощью можно было найти производную любой
функции, определенной неявно как решение некоторой системы уравнений.
В п. 7.1 этого параграфа приводятся соображения относительно того, как
можно было бы упорядочить работу по вычислению производных функции,
заданной неявно.
В п. 7.2 рассматриваются некоторые примеры на применение методов
дифференциального исчисления функций многих переменных к задаче об
исследовании функции нескольких переменных и изучения строения множеств,
задаваемых системами уравнений.
Исследование строения функций многих переменных или множества
в пространстве может осуществляться, в частности, путем рассмотрения
сечений графика функции или другого интересующего нас множества
двумерными плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Это
приводит к задаче, которая может быть решена средствами дифференциального
исчисления функций одной переменной. При перемещении плоскости
меняется строение кривой, получаемой в сечении графика функции плоскостью.
При этом качественные изменения в строении сечения обычно возникают при
прохождении через точку, являющуюся в том или ином отношении особой для
рассматриваемой функции.
7.1. О ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО
7.1.1. Рассмотрим вопрос о вычислении производных функций,
определенных как решения некоторых уравнений.
Пусть даны функции х: (а,/?) —► К и у: (а,/?) —► К,
принадлежащие классу Сг. Чтобы не оговаривать каждый раз условия, налагаемые
на функции ж и у, будем предполагать, что г таково, что все
выполняемые далее операции дифференцирования возможны.
Предположим, что функция х в промежутке (а,/?) строго
монотонна. Тогда функция х отображает этот промежуток на некоторый
отрезок (а, Ь) и по теореме об обратной функции (КМА, часть I, книга 1,

§ 7. Вычисление частных производных функций
195
глава 2, теорема 4.3) существует непрерывная обратная функция £ =
= я-1 :(а,Ь)->(<*,/?). " .
Если во всех точках промежутка (а,/3) производная функции х
отлична от нуля, то функция £ принадлежит тому же классу
гладкости Сг, что и функция х. Дифференцируя равенство #[£(#)] = ж,
получим
*'[«*)]?(*) = 1- (7-1)
Данное равенство позволяет определить производную функции £(х).
Дифференцируя обе части равенства (7.1) по переменной я, получим
следующее равенство:
*№)№) + *"[{Ш'(х)12 = 0. (7.2)
Это равенство дает средство для вычисления второй производной
функции £. Коэффициент при £п(х) равен я'[£ (ж)] и, следовательно,
отличен от нуля. Дифференцируя по х обе части равенства (7.2), получим
равенство
*'[£(*)]£'"(*) + з*"[«*)]{'(*)?'(*) + *'"[£(*)Ш*)]3 = о. (7.3)
Производная третьего порядка функции £(ж) содержится в
единственном слагаемом левой части равенства (7.3). Коэффициент при
£"'(ж) равен ж'[£(ж)] ф 0. Поэтому если первая и вторая производные
функции £(ж) известны, то равенство (7.3) дает средство для
вычисления ее третьей производной.
Продолжая этот процесс далее, мы сможем найти значения также
и всех последующих производных функции £(я). Вычисления, которые
при этом требуется провести, с каждым шагом становятся все более
и более громоздкими. Мы не можем выписать получаемые формулы
в общем виде и ограничимся только общими указаниями относительно
характера описываемой процедуры.
Заметим, что каждое из равенств (7.2) и (7.3) может быть записано
следующим образом:
+ Fm{x'[t{z)], • • •. *("°[е(*)], *'{*), ■ • •, e(m-1)(^)} = 0. (7.4)
Производная порядка m функции £(х) входит в единственное
слагаемое слева — в то, которое написано первым. Символ Fm обозначает
сумму всех остальных слагаемых, каждое из которых есть
произведение производной &(*)[£(&)] на некоторую комбинацию производных

196
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
функции £(#)• Для каждого из слагаемых, составляющих Fm, порядок
входящих в него производных функции £(х) меньше га.
Дальнейшие дифференцирования приводят к равенствам, в правой
части которых стоит нуль, а структура левой части та же,
что и в случае равенства (7.4). Действительно, продифференцируем
обе части равенства (7.4). Производная первого слагаемого есть
функция
х'[£Ш(т+1)(х) + х"[£Ш(т)(х){'(х)-
При дифференцировании выражения Fm получим некоторую
комбинацию из производных £^[£(#)] и fO(a), где 1 < fc < m + 1 и, что
существенно, 1 < / < га. Отсюда ясно, что в результате мы придем
к равенству, которое формально может быть получено из (7.4) заменой
шнаш + 1. В левой части нового равенства производная порядка га + 1
функции £ входит только один раз в виде слагаемого £'[£(я)]£(т+1)(я),
а остальные слагаемые в левой части содержат производные этой
функции порядка, меньшего га + 1.
Если производные £'(я),.. .,^т""1^(ж) найдены, то, применяя
равенство (7.4), мы сможем найти производную ^т\х). При этом
существенно используется то обстоятельство, что производная £'[£(#)]
отлична от нуля для всех х G (а, Ь).
Теперь рассмотрим функцию f(x) = y[£(s)]. 0на принадлежит
классу Сг. Покажем, как можно вычислить производные высших
порядков функции /. Дифференцируя последовательно равенство f(x) =
= у[£(#)], мы получим некоторую последовательность равенств. При
этом в левой части m-го равенства будет стоять производная f(m\x),
а в правой — выражение, которое получается, если в левой части
равенства (7.4) заменить функцию x{i) на y(t). Подставляя в это равенство
значения производных функции £(я), найденные как описано выше, мы
получим явное выражение для производной f^m\x).
Выпишем явно выражения для некоторых из производных
функции /. Имеем
Отсюда при / = £(х) получаем
f'( \ _ * ISV-/J _ У W

§ 7. Вычисление частных производных функций 197
Покажем, как вычислять производные второго порядка и более
высоких порядков функции f(x) = у[£(х)].
Продифференцируем соотношение (7.5). Получим
/"(*) = </№)Ш*)]2 + у№Ж"(*). (7.6)
Из равенства (7.2) мы имеем следующее выражение для второй
производной функции £(х):
Ш__*Ш4 (77)
Подставляя его в (7.6), получим
/"(*) = j^jMeWK*)] - »№)]*''[«*)]}■ (7-8)
Замечая, что £'(я) = —ггг-тт? последнее равенство можно записать
*'[£(*)]
в следующей форме:
/"(*) = w&w{x'l*ixm*{x)] ~ у'Мх)]х"[ах)]}- (7-9)
Равенство (7.9) может быть представлено также в другой форме:
/"(*) = р^хрг И0у"(0 - у'НУШ (7.Ю)
где t = £(я). Из равенства (7.3) получаем
е'"(х) = -
,„, , _ 3x"[f(хШ*)Г(«) xm[t(x)][?(x)]*
x'[t(x)] x'[t(x)] '
Выражая вторую производную функции £ по формуле (7.7),
получим следующее выражение для третьей производной функции £:
,шМ _ ЗК^*)]}2^*)]3 _ x">[S(xW(x)r
4 W {*№)]}2 *'[«*)] •
Полагая £(ж) = tf и принимая во внимание равенство (7.1), данное
равенство можно записать следующим образом:
г (я) = 3{*"(<)}a *"'(*)
[х'(0]4 К*)]'

198 Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Дифференцируя равенство (7.8), получим выражение для третьей
производной функции /:
/'"(*) = »№)]?"(*) + 3y"[t№'(x){"(x) + у"Щх)][('(х)]3.
Подставляя сюда выражения для первой и второй производных,
установленные ранее (равенства (7.5) и (7.10)), окончательно получим
/"'(*) = j^iAx'y'" - у'х'") - Зх"(х'у" - у'х")). (7.11)
[X \
Значения всех производных берутся в точке t = £(х).
7.1.2. Рассмотрим случай функции многих переменных, заданной
неявно. Вычисление производных высшего порядка осуществляется по
той же схеме, что и в случае функций одной переменной. Технически
вычисления при этом существенно усложняются.
Пусть W есть открытое множество в пространстве Rk и функция
ip: W —> Em задана неявно уравнением
F[V{z),z] = 0, (7.12)
где функция F: U —> Ет определена на открытом множестве U
пространства Шп при п = т + к.
Предположим, что функция F удовлетворяет всем условиям
теоремы о неявных функциях (теорема 3.1 этой главы). Предполагается,
что F принадлежит классу Сг, где г таково, что все дальнейшие
вычисления имеют смысл.
Ранг матрицы Якоби вектор-функции F(y,z) равен т. По
предположению, у = ip(z) есть то решение системы уравнений F(y,z) = 0,
существование которого следует из теоремы о неявных функциях.
Отсюда вытекает, что минор матрицы Якоби вектор-функции F9
образованный элементами первых ее га столбцов, отличен от нуля. Система
уравнений F[p(z),z] = 0 в развернутой форме имеет вид.
Fi[(pi(z)y(p2(z),... ,4>m{z),z] = 0,
F2[pi(z), <p2(z), . . . , <pm(z), Z] = 0,
Fm[<Pl(z),<P2(*),.--,<Pm(z),z] = 0,
где z = (21,22,.. .,2*) G К*. Согласно теореме о неявных функциях
(теорема 3.1 этой главы) <р принадлежит тому же классу гладкости Сг,
что и функция F.

§ 7. Вычисление частных производных функций
199
Предположим, что функция ip определена и требуется найти ее
производные. Дифференцируя обе части равенства (7.13) по переменной Z{
при j = 1,2,..., га, получим
Л=1
Равенства (7.14) можно рассматривать как систему линейных уравне-
д<рг д(р2 д<рт
нии относительно частных производных ——, -=—,...,——, которые
OZi OZi OZi
требуется найти. Определитель этой системы в силу условий теоремы
о неявных функциях отличен от нуля, и, следовательно, производные
—— могут быть выражены из равенств (7.14) через производные функ-
О Z i
ции F и функцию (р. Дело сводится, как очевидно, к решению системы
линейных уравнении относительно неизвестных функции -——.
OZi
Дифференцируя равенства (7.14), мы получим равенства, которые
позволяют вторые производные ——-— выразить через первые произ-
OZiOZj
d(ph d<ph
водные —— и ——. Подставляя в полученные равенства выражения
OZi OZj
для первых производных функций у>д, найдем представления вторых
производных через производные функции F и функцию (р.
Продолжая процесс дифференцирований, мы получим цепочку
равенств, позволяющих последовательно выражать производные высших
порядков функций <ph через их производные низших порядков. После
s < г дифференцирований при j = 1,2,..., т получим равенства вида
^ dF
E^^)^]Ai,b,..,b^(^)+
+ Riltia,..,u0rn<P(*),*]>Dr-M*)} = 0. (7.15)
Здесь
d ay
^.l,.a,..,..v dz.idZia.„dZit-
Символ Dk<p означает совокупность всех производных функции ip,
порядок которых не превосходит к. Явное выражение для слагаемого
^«i,*2,...,«.{• • •} в Равенстве (7.15) ввиду его громоздкости здесь не
может быть выписано полностью.

200
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Равенство (7.15) позволяет выразить производные
через производные функций Fj, посредством которых задается система
уравнений (7.13), и через производные функций </?д порядка, меньшего 5.
Таким образом, мы имеем некоторую процедуру, позволяющую
последовательно определять значения производных Dilti2it„tiMiph(z).
7.2. Примеры качественных особенностей множества
решений системы уравнений
В задаче об исследовании функции многих переменных и множеств,
определяемых как совокупность решений системы уравнений,
используются методы дифференциального исчисления. Важная часть решения
этой задачи — установить основные качественные особенности
изучаемого множества. (В общем виде решение этой задачи требует
привлечения математического аппарата, который здесь мы не рассматриваем.)
Один из возможных путей исследования строения функций
многих переменных и множеств в пространстве состоит в рассмотрении
сечения графика функции или другого интересующего нас множества
двумерными плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Исследование такого сечения представляет задачу, которая может быть
решена средствами дифференциального исчисления функций одной
переменной.
7.2.1. Первый пример. Предположим, что на плоскости заданы
две различные точки А и J5, и для произвольной точки X на плоскости
пусть К(Х) = |АХ|2|5Х|2, К(Х) есть произведение квадратов
расстояний точки X до точек А и В соответственно. Множество всех точек X
на плоскости, для которых К{Х) = t = const, называется овалом Кае-
сини.
Введем на плоскости декартову ортогональную систему координат
так, чтобы точки А ж В лежали на оси Ох и начало координат О
совпадало с серединой отрезка [АВ]. Пусть точка А имеет координаты
(-а, 0), а координаты В есть (0, а). Для точки X с координатами (я, у)
положим К{Х) = /(ж, у). Имеем, очевидно,
f{x, у) = [(х + а)2 + у2][(х - а? + у2} = (х2 + у2)2 - 2а V - у2) + а4.
Вычислим частные производные функции / первого и второго
порядков. Получим
^//_ .Л _ A-tJl , „.2 „2
(х,у) = 4х(х2 + у2-а2),
(7.16)
[х,у) = 4у(х2 + у2 + а2),

§ 7. Вычисление частных производных функции 201
0(Ж,2/) = 4(3:С2+2/2-а2),
d2f
J-(x,y) = xy, (7.17)
dxdy
0(Ж,У) = 4(х2 + Зу2+а2).
Обозначим символом Vx сечение графика рассматриваемой
функции z — /(я, у) плоскостью {(я, у, г) Е К3 | х = const}. Множество Vx
есть график функции у н-> /(я, у) переменной у при фиксированном
значении х. При любых (я,у) имеем, очевидно, /(ж,— у) = /(ж,у), так
что функция у *-* f(x,y) является четной относительно переменной у.
Второе из равенств (7.16) позволяет заключить, что —(я, у) < 0 при
бу
у < 0, ~ЧМ) = 0 и ^(ж,у) > 0 при у > 0.
оу оу
Таким образом, при каждом х Е К функция /(ж, у) относительно
переменной у является убывающей на интервале (—оо,0),
возрастающей на промежутке (0,оо) и, следовательно, принимает свое
наименьшее значение при у = 0. (Это утверждение выражает тот
геометрически очевидный факт, что на всякой прямой /, перпендикулярной
прямой ЛБ, произведение |АХ||ХБ| принимает свое наименьшее значение
в точке пересечения I с прямой АВ.) Последнее из равенств (7.17) по-
ду2
что кривая Vx является выпуклой.
Самая низкая точка кривой Vx соответствует значению у = 0.
Имеем
Дя,0) = х* ~ 2а2х2 + а4 = (ж2 - а2)2.
Функция Дя,0) переменной х обращается в нуль в точках х = ±а.
График функции /(ж,0) имеет вид, указанный на рис. 8.
Отсюда нетрудно заключить, что график функции /(я, у) в
пространстве IR3 выглядит, как указано на рис. 9.
Рассмотрим вопрос о строении множеств уровня изучаемой
функции fix, у). Пусть t e К. Положим Ut(f) = {(x,y) G К2 | /(я, у) = /}.
Множества #*(/), соответствующие разным значениям tf, называются
множествами (или линиями) уровня данной функции /.
При I < 0 множество Ut(f) пусто, так как /(я,у) > 0 для любых
(*,у) ем2.
Для £ = 0 множество Ut{f) состоит из двух точек: А = (—а,0)
иВ = (а,0).
зволяет заключить, что -77-^(^5 у) > 0 для любых ж, у. Отсюда следует,
а*1

202
Гл. 10. Основы гладкого анализа.
Рис. 9
Пусть 0 < t < а4. Из условия f(x, у) = t получаем
f(x,0)<f(x,y) = t,
откуда
(x2-a2)2<t. (7.18)
Положим a = л/a2 — \Д, /3 = у/а2 + \Д. Из неравенства (7.18)
следует, что если точка (х,у) G Ut(f), то либо х € [—/3, — а], либо
хе[а,0\.

§ 7. Вычисление частных производных функций 203
Заметим, что если f(x, у) == tf и у ф 0, то /(я,0) < / и, значит,
в этом случае выполняются неравенства а < х < (3.
В силу выпуклости функции f(x, у) относительно у и строгой
монотонности по у на промежутках (—оо,0] и [0,оо) из сказанного ясно, что
для всякого х Е (а,(3) плоскость V^ пересекает множество Ut(f) в двух
точках, симметричных относительно оси Ох, Следовательно, часть
множества Ut(f), составленная из точек (х, у), для которых а < х < (3,
состоит из двух дуг у = и(х) и у = — и(ж). Точки (а,0) и (/3,0),
очевидно, также принадлежат множеству #*(/). Полагаем u(a) = и(/3) = 0.
В каждой точке (ж, у) Е Ut(f), для которой у Ф 0, производная
fy(x,y) отлична от нуля, и, следовательно, как вытекает из теоремы
о неявных функциях, функция и для таких х дифференцируема. В
частности, она является непрерывной в промежутке (а,(3).
Покажем, что функция и непрерывна также и в каждой из точек
а и /3. Чтобы убедиться в этом, будем решать уравнение f(x, у) = t
относительно х, считая у известным.
Имеем /£(а:,0) ^0и fx((3,0) ф 0. Отсюда согласно теореме о
неявной функции вытекает, что найдется 6 > 0 такое, что для всякого
у Е (S,6) можно указать значения х = £i(y) и х = &(у) такие, что
6(0) = а, £2(0) = /3 и /(6(у),У) = /(6(у)>у) = <• Отсюда следует, что
если у ^ 0, то £i(y) и 6г(у) лежат в интервале (а,(3).
Зададим произвольно е > 0. Пусть /i > 0 удовлетворяет
неравенствам h < 6 и h < £. Если 0 < у < Л, то х = £г(у), г = 1,2, лежит
в интервале (а,/?) и, значит, при у ф 0 имеем &(у) ^ &(0). Отсюда
следует, что функция £,- отображает промежуток [0,/i] на некоторый
отрезок множества R, не вырождающийся в точку. В случае г = 1 это
будет отрезок вида [а, а+т;]. Для всякого х Е [а, а+7/) найдется у Е [0, /i]
такое, что £i(y) = ж- Для этого ж, очевидно, г*(ж) = у. Следовательно,
мы получаем, что если \х — а| < г), то |гх(ж)| < h < £.
Так как г > 0 было взято произвольно, то непрерывность
функции и в точке а, таким образом, установлена. Аналогично
доказывается непрерывность и в точке /3.
Замечание. Непрерывность функции и можно было бы
доказать иначе, используя явное выражение для и(х) через х, получение
которого в данном случае сводится к решению квадратных уравнений.
Существование такого выражения является обстоятельством в
некотором отношении случайным, и мы прибегли выше к рассуждению,
которое применимо в общей ситуации.
Далее, имеем f{x,y) = f(—x,y). Отсюда следует, что часть
множества Ui(f), отвечающая промежутку [—/3, —а], симметрична
относительно оси Оу той части этого множества, которая отвечает значениям

204
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
х 6 [а,/3]. Отсюда вытекает, что часть множества #*(/), образованная
точками (я, у), для которых х G [—/3, —а], состоит из двух дуг,
задаваемых уравнениями у = м(—ж) и у = —и(—я).
Таким образом, мы получаем, что если 0 < t < а4, то множество
Ut(f) состоит из двух замкнутых кривых, получаемых друг из друга
зеркальным отражением относительно оси Оу и не имеющих общих
точек. Каждая этих замкнутых кривых симметрична относительно
оси Ох.
Рассмотрим случай t = а4. В этом случае множество (/<(/)
называется лемнискатой Бернулли.
Пусть /(я, у) = а4. Тогда имеем /(#,0) < /(ж, у) = а4, откуда
получаем, что (х2 — а2)2 < а4. Это позволяет заключить, что в данном
случае -у/2а <х< уДа.
Обратно, если х удовлетворяет этим условиям, то уравнение
f(x,y) = а4 имеет решение. При этом в случае х ф 0 мы будем
иметь два решения: у = и{х) и у = — и{х), где гх(ж) > 0. При этом
и(—х) = и(х), так что множество (/*(/) для / = а4 оказывается смл«л«е-
тричным относительно каждой из координатных осей.
Рассуждением, аналогичным проделанному выше для случал
0 < t < а4, можно доказать, что функция и(х) и в данном случае будет
непрерывна в концах промежутка [—у/2а,у/2а]. Доказательство
непрерывности в точке 0 требует несколько иных рассуждений. Точка (0,0)
является критической точкой для функции / и ее второй дифференциал
в этой точке есть квадратичная форма —4а2dx2 + 4а2dy2.
Теорема Морса (теорема 6.1 этой главы) позволяет доказать, что
существует диффеоморфизм ip: 5(0, г) —► Е2 такой, что у>(0) = 0
(символ 0 здесь означает начало координат) и
Пусть G = ¥>[Б(0,г)]. Множество G открытое. Пусть L =
= y>~l{G П Ut(f)}. Очевидно, множество L определяется уравнением
я4 — £2 + V2 = а*> т- е- ~~£2 + V2 = 0- Отсюда ясно, что множество L
состоит из двух отрезков, являющихся диаметрами круга J5(0, r) и
определяемых уравнениями ( + т/ = 0и-( + г) = 0. Диффеоморфизм ip
преобразует эти отрезки в кривые, пересекающиеся в начале координат.
При / > а4 множество Ut(f) представляет собой замкнутую
кривую. На рис. 10 показано, как выглядит множество £/*(/) для разных
значений t. Заметим, что лемниската Бернуллщ т. е. множество £/<(/),
соответствующее значению t = а4, имеет форму восьмерки.

§ 7. Вычисление частных производных функций
205
Рис. 10
7.2.2. Второй пример. Исследуем строение некоторого
специального множества в пространстве R3, называемого дискриминант-
ным множеством для полиномов четвертой степени. Знание строения
этого множества оказывается полезным при изучении таких
полиномов. Символом ^4 обозначим совокупность всех точек z = (u,v,w)
пространства R3 таких, что полином четвертой степени
Рж(х) = ж4 + их2 + vx + w (7.19)
имеет кратные корни. Множество 0)± будем называть дискриминант-
ным множеством для полиномов четвертой степени.
Исследуем строение множества j^i. Сделаем некоторые
предварительные замечания.
1) Произвольный полином четвертой степени имеет вид
P(t) = М4 + М3 + a2t2 + a3t + a4,
ai
где ао Ф 0. Делением на ао и заменой переменной по формуле t = х — -—
4ао
этот полином приводится к виду (7.19). Поэтому задача выяснения
вопроса, имеет ли данный полином четвертой степени кратные корнщ
сводится к случаю, когда коэффициент ао = 1, а а\ = 0, т. е. полином
задается равенством (7.19).
2) Условие, что полином Р имеет кратные корни, как известно из
алгебры, может быть представлено в виде равенства
J9(ao,ai,a2,a3,a4) = 0,

206
Гл. JO. Основы гладкого анализа,
где D — некоторый полином пяти переменных. В частности,
множество ^4) которое нас интересует, есть совокупность всех точек z =
= (w, г>, w) G IK3, для которых выполняется равенство 2?(1,0, и, г?, w) = 0.
Полином J9(l, 0, гх, г?, ги) может быть представлен в виде некоторого
определителя седьмого порядка. (Каноническое представление этого
полинома является достаточно сложным, и мы не будем его использовать.)
Пусть zG ^ Согласно определению это означает, что полином
Pz(x) = £4 + их2 + vx + w имеет кратный корень f.
Рассмотрим последовательно все возникающие случаи.
1. Предположим, что полином Pz имеет кратный корень, не
являющийся вещественным числом, т. е. £ есть кратный корень полинома Pz,
причем Im£ ф 0. Множество всех z, для которых полином Pz
удовлетворяет этому условию, обозначим символом Z?i.
Если комплексное число £ является корнем полинома Pz, Im£ ^ 0,
то, так как коэффициенты полинома Pz есть вещественные числа,
сопряженное число f также является корнем полинома Pz и,
следовательно, Pz делится на квадратный трехчлен х2 +рх + q = (х - £)(х — £).
Это означает, что Pz(x) = (х2 + рх + q)(x2 + тх + п).
Числа рж q вещественные. Трехчлен х2 + тх + п получается
делением полинома Pz на трехчлен х2 +px + q. Определение коэффициентов
тип требует только выполнения операций деления, умножения,
сложения и вычитания над числами и, г;, ги, р и д. Отсюда ясно, что тип
есть вещественные числа. Так как, по условию, f есть кратный
корень полинома Pz и £ ^ f > то f является корнем также и трехчлена
ж2 + тж + п. Так как числа тип вещественные, то, значит, также и £
есть корень этого трехчлена и, следовательно, трехчлены х2 + тх + п
и х2 + рх + q совпадают.
Таким образом, мы получаем, что в рассматриваемом случае имеет
место равенство
Рж(х) = я4 + их2 + vx + w = (х2 +рх + q)2 =
= я4 + 2ря3 + (р2 + 2q)x2 + 2pqx + q2. (7.20)
Отсюда получаем: р = 0, w = 2g, v = 0, ги = g2. Квадратный трехчлен
£2+/кс + <7 = £2 + <7не имеет вещественных корней, и, значит, q > 0.
Мы видим, таким образом, что множество Z?i состоит из точек
z = (2<7,0,<?2), где g > 0. Это множество лежит в плоскости v = 0.
Оно, очевидно, представляет часть параболы, определенной условиями
и2
v = 0, ги = —, гх > 0.

§ 7. Вычисление частных производных функций 207
Заметим, что множество @± в действительности содержит в себе
и2
всю параболу v = 0, w = —. Действительно, если w = 2g, г> = 0,
a w = <?2, то
Рж(ж) = ж4 + 2дж2 + д2 = {х2 + q)2.
Отсюда видно, что в этом случае полином Ръ имеет два кратных корня:
вещественные — в случае д<0и комплексные — в случае q > 0.
2. Пусть Z?2 есть совокупность всех точек zG ^> для которых
полином Ръ имеет вещественный корень £, причем кратность его не
меньше двух. Тогда полином Ръ делится на полином второй степени
(х-о2 = х2-2&+е.
Следовательно, Ръ допускает представление вида
Ръ(х) = я4 + их2 + vx + w = (х2 - 2(х + £2){х2 + г)х + ().
Раскрывая скобки в произведении, стоящем здесь справа, получим
равенство
ж4 + их2 + vx + w = ж4 + (7/ — 2£)ж3 +
+ (£2 - Ы + С)*2 + (*?£2 - 2«> + £2С-
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х у полиномов,
стоящих в последнем равенстве, получим следующие соотношения:
0 = »/-2£,
U = *2-2r* + C' (7.21)
Исключая из полученной системы 77, получим равенства
г, = 2£3-2С£, (7.22)
Если для z = (гх, г?, ги) существуют вещественные числа £ и С такие,
что выполняются равенства (7.22), то для данных гх, г; и ги выполняются
также и равенства (7.21) с 7/ = 2£.

208
Гл. 10. Основы гладкого анализа
Таким образом, та часть множества &±, которая отвечает
полиномам, имеющим вещественный кратный корень, состоит из тех точек
z = (u,v\w) £ Е3, координаты которых могут быть представлены
равенствами (7.22).
Чтобы разобраться в том, как устроенй множество J92, рассмотрим
его сечения плоскостями {(и, г?, z) Е Е3 | и = const}. Из равенства
—3£2 + ( = и мы получаем ( = и + 3£2. Заменяя величину £ в
выражениях (7.22) для компонент вектор-функции (/?(£, С), мы получим, что
две другие ее компоненты выражаются через и и £ следующим образом:
«,(0 = 3^ + 1*». (7>23)
Проекцию сечения плоскостью w = const на координатную
плоскость, проходящую через оси Ov и Оги, обозначим символом Ти.
Равенства (7.23) дают параметризацию кривой Ти.
Дифференцируя равенства (7.23), получим
t/(0 = -2ti-12fa, t,"(0 = -24f,
«'(£) = 2uf + 12£3, to"(f) = 2u + 36£2.
Строение кривой Гм зависит от знака числа и. Рассмотрим
последовательно три случая: а)ц>0:Ь)ц = 0;с)ц<0.
а) Предположим, что и > 0. В этом случае, применяя первое из
равенств (7.24), мы получим, что
i/(f) = -(2ix+12f2)<0
для всех (ЕК. Отсюда вытекает, что функция г>(£) является строго
убывающей. При этом г>(£) —► оо при £ —► —оо и г>(£) —> -оо при
£ —> оо. Отсюда следует, что функция v взаимно однозначно
отображает множество Е на себя.
Пусть г (г?) есть функция, обратная к функции г>(£). Производя
в параметризации кривой Ти замену переменной по формуле £ = г (г?),
получим параметризацию v G Е н+ (г>,/(г>)), где /(г?) = Цт(г>)].
Таким образом, в случае, когда и > О, кривая Ги однозначно
проектируется на ось Ov и представляется как график некоторой функции /.
Исследуем эту функцию более детально. При этом воспользуемся
формулами (7.5) и (7.9), установленными в п. 7.1.1. В результате получим
гм -*Ш_ i2e3 + ы _ _, (7 25)

§ 7. Вычисление частных производных функций 209
В правую часть последнего равенства подставим выражения для
производных функций v и w из равенств (7.25). Возникающее при этом
громоздкое выражение для fn(v) «чудесным образом» упрощается, и в
результате мы находим следующее выражение для этой производной:
где £ = t(v). Из равенства (7.26) видно, что fn(v) > 0 для всех v
и, следовательно, функция / выпукла. Имеем
lim w(£) = lim w(£) = oo.
£—»oo f—► —oo
Отсюда вытекает, что f(v) —> oo при v —► —oo и при г; —> oo.
b) Пусть и = 0. Тогда из равенств (7.23) получаем
*>(£) =-4£3, to(0 = 3f*,
3
откуда /(г?) = Сг>4/3, где С = /-. Отсюда видно, что сечение множе-
4у4
ства Z>2 в рассматриваемом случае есть выпуклая кривая,
симметричная относительно оси Ог>, ветви которой уходят в бесконечность.
c) Рассмотрим случай и < 0. Полагаем и = — 6А2, где Л > 0. Тогда
выражения для г>(£) и ги(£) принимают вид
v(o = -че - за2о,
ю(0 = 3(£4 - 2А2е2).
Полагая здесь £ = — Atf, получим
v = 4A3(i3 - 30, ti; = 3A4(i4 - 2<).
Положим x(t) = tf3 — 3/, у(/) = tf4 — 2/. Пусть if есть кривая на
плоскости, определяемая параметризацией х(/) = (x(t),y(t)). Эта
кривая уже рассматривалась нами в учебнике (см. КМ А, часть I, книга 1,
с. 429-432, рис. 35). Рис. 11 воспроизводит кривую К,

210
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
Кривая К состоит из двух бесконечных дуг В А и CJ9, исходящих
из точек В и С и уходящих в бесконечность. Точки В ж С
соединяются дугой ВС. Бесконечные дуги В А и CD пересекаются в некоторой
точке 2£, лежащей на оси х = 0. Координаты точки В есть (2,0),
а точка С имеет координаты (—2,0). Наконец, точка Е имеет
координаты (0,3).
При произвольном и < 0 кривая Ти получается из кривой К
преобразованием Fu ь-> (ж, у) Е К2 н-> (4А3£,ЗА4у), где А определяется
из условия и = —6А2.
Преобразование Fu увеличивает координату х точки в 4А3 раз, а
координату у в ЗА4 раза. Форма кривой при этом преобразовании не
меняется. Отсюда ясно, что кривая Ти состоит из двух бесконечных
дуг AUBU и CUDU, пересекающихся в некоторой точке Еи, и выпуклой
дуги BUCU. Дуги BUCU, BUEU и EUCU образуют своего рода
«криволинейный треугольник», стягивающийся в точку при и —► 0 и
неограниченно увеличивающийся по своим размерам, когда и —> —оо.
Отсюда ясно, что множество D<i содержит в себе конусообразную
расширяющуюся трубу с треугольным сечением, вершина которой совпадает
с началом координат О = (0,0,0). На рис. 12 показано, как выглядит
множество Z>2-
Рис. 12
Наглядно строение множества Z>2 можно представить так.
Сначала берется некоторая поверхность в пространстве, однозначно
проектирующаяся на координатную плоскость Ouv и проходящая через
начало координат. Множество Z>2 получается посредством следующих
построений. Поверхность сначала разрезается вдоль линии,
проектирующейся на отрицательную полуось оси Ои. Затем края разреза
начинаем двигать навстречу друг другу так, чтобы две полости,
лежащие по разные стороны разреза, пересеклись по некоторой линии. На

Задачи
211
свободные края этих двух полостей натягивается затем некоторая
поверхность, уходящая в бесконечность.
Чтобы закончить исследование множества ^4? необходимо
выяснить, как располагается множество D^ относительно D2. Как показано
выше, множество D\ есть кривая в К3 с параметризацией u{t) = 2t2y
v(t) = 0, w{t) = tf4, t > 0, и представляет собой половину обычной
параболы, лежащей в плоскости Ouw. Множество D\, как следует отсюда,
лежит в полупространстве {(u,v,w) G Ш3 \ и > 0}. Плоскость,
перпендикулярная оси Ои и проходящая через точку (и, 0,0), где и > 0,
как следует из рассмотрений, относящихся к случаю а), есть кривая,
которая может быть задана уравнением w = f(v).
Согласно равенству (7.25) имеем: /'(г?) = — £. Функция /, как было
показано выше, выпукла и достигает минимума в точке, для которой
f = 0. Для этой точки имеем: г>(£) = 9 и w(£) = 0. Точка множества D\,
и2
лежащая в данной плоскости, имеет координаты v = 0 и w = —. Мы
получаем, следовательно, что половинка параболы, представляющая
множество D\, лежит выше множества D2. Она лежит в
полуплоскости {(u,v,w) | v = 0, гх > 0}, а именно, в ее квадранте, определяемом
условием w > 0. Пересечение множества Z?2 этой же полуплоскостью
есть луч, являющийся нижним краем указанного квадранта.
В заключение ответим на вопрос: «Что представляет собой вторая
половина параболы, одной половиной которой является множество Z?i?»
Предоставляем читателю убедиться, что линия пересечения двух
полостей множества D2, образованная точками Еи} где и < 0, и есть
эта недостающая часть параболы.
Задачи
10.1. При каких а > 0 функция /: (a?i,X2,.. .,яп) £ ^П —* \х\ + х\ + • • •
... + яп) : 1) дифференцируема в точке (0,0, ...,0)? 2) принадлежит
классу Сг(Кта), где г > 1?
10.2. Найти второй дифференциал функции
1 _ 1
*"№' {х\+х1 + ... + х1)г'2
(г вещественное) в точке хо £ К71, xq ф 0.
10.3. Найти второй дифференциал функции
*"i^= (*? + *! + •.. + 4)г/2"

212
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
10.4. Определить дифференциалы первого и второго порядков функции
4 А/2
/: (х1,х2,...,хп) *-* [ У^ х\ - х\
10.5. Функция /:£/—► R, J7 С IK71, принадлежит классу Сг при всех г > 1.
Выразить через дифференциалы функции / дифференциал порядка г
функции д(х) = [/(ж)]2.
10.6. Определить дифференциал х £ Шп \ {0} *-+ т-^у в точке хо-
\х\
10.7. Пусть и = /(г), где /: (0,оо) —> R, г = у/х2 + у2 + z2. Показать, что
Ш + 0 + 0 = F(r)' Вычислить функцию F(r).
10.8. Исследовать на дифференцируемость функцию х £ R71 «—► 1 + |х| — е'х'
в точке xq = 0.
10.9. Доказать, что функция /: ж »-► sin |х| - |х|, х £ К71, дважды
дифференцируема в точке х = 0. Найти е/2/(0).
10.10. Доказать, что функция (х,у) ь-* |х| + |у| не является
дифференцируемой в точке (0, 0) £ К .
10.11. Найти дифференциал в точке (0,0,0) функции
(Х1,Х2,Я?з)
ац + xi а\2 ^13
а21 СЩ + Х2 0>23
0,31 ^32 «33+^3
10.12. Доказать, что функция
(xi, X2) ь-» COS Wxj + X;
принадлежит классу СГ(К2) при любом г > 1.
10.13. Найти значение величины
<92м <92u 92ii
дх2 дх^ <9х£
для функции
ti: (xi,x2,...,xn) ^cos ( Jx2 + x2-\ \-х\ )
в точке (0,0,.. .,0).
а4
10.14. Определить значение в точке (0,0) производной а " 2 функции
и: (»1,»а)'-» Ггф^Т-
10.15. Доказать, что функция F: ж G Еп\0 .— 21^1*1, i?(0) = 1, принадлежит
классу Сг при любом г > 0.

Задачи
213
10.16. При каких значениях а функция
/(*, у) = (х2 + у2)"'2 sin 1
Vх + У
если х2 + у2 ф 0, /(0, 0) = 0: 1) непрерывна в точке О G К71? 2)
дифференцируема в этой точке?
10.17. Функция /: Кп —> К дифференцируема в точке 0 G К71. Положим
9т{х) = т [/ (iL) - /(0)] .
Доказать, что д™, —* d/о в шаре Б(0,1) при т —> оо.
10.18. 1) Доказать, что функция (ffi,ff2) »-» тт{х\,Х2) в М2 непрерывна.
2) Будет ли эта функция дифференцируема: а) в точке (1,1)? б) в точке
(1,2)?
10.19. Функции /: (-1,1) X (-1,1) ->Rng: (-1,1) X (-1,1) -> R
дифференцируемы в точке (0,0)v причем все их частные производные обращаются
в нуль в точке (0, 0), /(0, 0) = #(0, 0) = 0. Пусть h(x, у) = min{/(ff, у), д(х, у)}.
Доказать, что h дифференцируема в точке (0,0).
10.20. Даны открытое множество U С Мп, отображение /:£/—» Жп и точка
хо G С/. 1) Доказать, что если
!/(*)-/(*о)1 :0
\х - х0\
при х —> жо, то функция / дифференцируема в точке хо- 2) Чему равен
дифференциал функции / в этой точке?
10.21. Функция /: Кп —► Кп имеет непрерывные производные порядка г,
причем \Daf(x)\ < М при |а| = г и Daf(0) = 0 при |а| < г. Указать 6 > 0
такое, что /(Я(0,5)) С 5(0,6).
10.22. Дано уравнение ж3 + рх + q = 0. Пусть ро = —3, qo = —2. Указать
числа 6 > 0 и г; > 0 такие, что при \р - ро\ < 6, |g - qo\ < 6 уравнение
ж3 +px + q — 0 имеет, и притом единственное, решение xj, удовлетворяющее
условию \х\ — 2| < rj.
10.23. Определить дифференциал отображения
X G JSf(Kn,Kn) •-+ detX G К.
10.24. 1) Определить дифференциал отображения X £ C£n(R) ь-* X"* .
2) Найти второй и третий дифференциалы этого отображения.
10.25. Пусть X G JSf(En,IKn), X = ||я?у||. Положим
ЕЕ 41 -»•"***.
Найти первый и второй дифференциалы функции F в точке ж = /, где / —
единичная матрица в К71.

214
Гл. 10. Основы гладкого аналяза
10.26. Даны функции одной переменной щ\ (а, /3) —* К, i = 1,2, ...,m,
класса Сг, г > 1. Пусть м(х) = щ(х) > и2(х)... ит(х). Доказать, что
Dru(x) = V . ,г! -Daitij(x)Da2u2(x) ...Da™um(x)
(формула Лейбница для т множителей).
10.27. Пусть U С Шт — открытое множество, U{ : U —► К, i = 1,2,..., m,
есть функции класса Сг, г > 1. Пусть а = (c*i,a:2,... ,ап) — п-мерный
мультииндекс, и(х) = wj(x) • «2(ж).. • ит(х). Доказать, что
Dau(x)= ]Г CM2,..0nbD^ul{x)D^u2(x)...D^Um{x)y
ft+02 + -+0m = *
где Cftft...^ = ^^а?;..^!» Л, /32,..., 0Ш — мультииндексы.
10.28. Определить якобиан отображения (*ь*2,*з>*4) *-* (2/1»2/2»2/з>2/4)> где
2/1 = *1 + *3, 2/2 = *2 + *4, УЗ = |(*1 "*2) + *1*3 ~*2*4, У4 = *1*2 + *2*3 + *1*4-
10.29. Определить якобиан отображения (*i,*2,*3>*4) *-► (l/l»2/2» 2/з> 2/4), где
2/1 = у*? - *1*2 + (<1 -'*2)*3 - 2*1*2*4, У2 = *1*2 - ^2 + 2*1*2*3 + (*? - *г)<4,
2/3 = 2*1 "" 2*2 + *1*3 - *2*4> 2/4 = *1*2 + *2*3 + *1*4-
10.30. Определить якобиан отображения (г, у?) ЕПн+ (г cos у?, г sm^p) £ К2,
П — полуполоскость: {(г, у?) | г > 0}.
10.31. Найти якобиан отображения (<£i,y?2> • • • »^п) *-* (^1,^2» • • •»жп), где
#1 = cos^i, X2 = siny?i • cosy?2, ..., «n = sin^i • sir\(p2 • • . siny?n_i cosy?n.
10.32. 1) Вычислить якобиан отображения
(tfi, Я2,Жз) ^ (Xl + ж2 + #3*^1 #2 + #1^3 + ^2ж3^1^2^з)-
2) Найти дифференциал обратного отображения в точке (р, д, г) G М .
10.33. Определить якобиан отображения
/: (Ж1,х2,...,яп) *-+ (<Ti(a?),er2(a:), — ,«"«(«)),
где (7,- есть элементарная симметрическая функция степени г:
(7i (ж) = xi + х2 Н Нжп,
АГ2(ж) = Ж1Х2 +Ж1Ж3 Н \-Хп-1Хп,
<Тп(х) = ^1^2 . ..Яя.
10.34. Построить диффеоморфное отображение класса С°° отрезка (—1,1)
на прямую (—оо,оо).
10.35. Построить диффеоморфное отображение п-мерного куба
(-1,1)х(-1,1)х...х(-1,1)
на пространство Кп.

Задата
215
10.36. Построить диффеоморфное отображение n-мерного шара В(0,1) =
= {х € Шп | \х\ < 1} на пространство Кп.
10.37. Построить диффеоморфное отображение n-мерного шара на п-мерный
куб.
10.38. Доказать, что функция х «—► т-^у диффеоморфно отображает полупро-
|х|
странство {х £ Кп | хп > 1} на шар {ж £ Кп | |х - \еп\ < ^} с выколотой
точкой 0.
10.39. Построить диффеоморфизм пространства Жп на многообразие
Sn+i\{en+i}, где5я+1 —сфера {х £ Rn+1 | \х\ = 1}, ея+1 = (0,0,..., 1) £
£ Rn+1.
10.40. Построить диффеоморфное отображение на единичный шар вКп
множества
{(xi,x2,...,xn) GlKn|xn > 0, - <«i+«2 + '-' + *i < l}«
10.41. Построить диффеоморфное отображение куба
(-1,1)я = (-1,1)х(-1,1)х...х(-1,1)
на полусферу
10.42. Пусть U С Мт — открытое множество. 1) Доказать: а) что если ото-
2 2 2
бражения Г: С/ —* Мп и 5: С/ —> Мп (Кп рассматривается как
пространство квадратных матриц порядка п) дифференцируемы в точке х$ £ 17, то
отображение Q: ж Е 2\х) * S(x) также дифференцируемо в точке хо; б) что
при этом для любого h £ Km
dAQ(x0) - dhT(x0). S(x0) + T(x0) • адх0)
(порядок множителей в каждом из слагаемых существен!). 2) Найти
выражения для второго и третьего дифференциалов функции Q в предположении,
что Т и S дважды, соответственно трижды дифференцируемы в точке хо-
2 2
10.43. U С Кп — открытое множество, F: U —» Кп — отображение,
2
дифференцируемое в точке xq £ J7 (Кп отождествляется с пространством
квадратных матриц порядка п). 1) Найти дифференциал функции D(x) =
= detF(x) в точке хо- 2) Рассмотреть случай, когда матрица F(xo)
единичная.
10.44. Пространство квадратных матриц порядка п отождествим естествен-
2
ным образом с Шп . Пусть U С Мт — открытое множество, Т: U —»
2
—* К71 . Предположим, что отображение Т дифференцируемо в точке хо,
причем detT(xo) ф 0. Доказать, что тогда отображение S: х ■-+ Г""1(х)
(Г (х) обозначает матрицу, обратную к Т(х)): а) определено в некоторой
окрестности точки хо; б) дифференцируемо в точке хо, при этом для всякого
вектора h справедливо равенство dflS(xo) = —Г~~ (xo)dflT(xo)T" (xq).

216
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
10.45. Пусть Q = [ai,&i] х [02,62] X ••• X [an,bn] — n-мерный сегмент.
Предположим, что функция /: Q —► Ш имеет в Q частные производные
< М для
Зж » TFx »• • •» cfx и существует постоянная М такая, что £тг(#)
всех х £ Q и для всех i = 1, 2,..., п. Доказать, что функция / равномерно
непрерывна на Q.
10.46. Пусть даны область U+ пространства Ш , состоящая из всех точек
(ж, у, г), для которых ж > 0, у > 0, z > 0, и числа a > 6 > с > 0. Доказать,
2 v2 2 о
что уравнение ^~- + ^^ + j^ -1 = 0 для любой точки (ж, у, г) Е {7+ имеет
три корня Ai, Л2 и Лз таких, что Лз > a > Л2 > Ь > Ai > с. Доказать, что
отображение (ж, у, z) ь-» (Ai, Аг,Аз) есть диффеоморфизм класса С°° области
£/_!_ (это отображение называется эллиптической системой координат в Е/+).
(Указание: выразить ж, у, 2 через Ai, A2 и A3.)
10.47. Пусть £7 С Кп — открытое множество, /:£/—> К71 — отображение
класса Cl(U). Предположим, что О Е U, /(0) = 0и с?/х(0) = 0. Доказать,
что тогда найдется 6 > 0 такое, что / есть сжимающее отображение шара
Я(0,<5) всебя.
10.48. Даны открытое множество U С Шп и отображение /:£/—» Кп
класса Cl(U). Предположим, что О £ 17 и /(0) = 0. Доказать, что если
дифференциал функции / в точке 0 есть сжимающее отображение
пространства W1 в себя, то найдется 6 > 0 такое, что / есть сжимающее отображение
в себя шара 5(0, 6) С Кп.
10.49. Пусть U С Шп — открытое множество такое, что точка 0 G t7,
и /: U —► Шп — отображение класса Ст({7), где т > 1. Предположим,
что /(0) = 0 и сГ/о = 0 для всех г = 1,2, ...,т — 1. Пусть 6 > 0
таково, что / есть сжимающее отображение шара В(0,6) в себя (см. 10.47).
Пусть жо — произвольная точка шара Б(0,6) и (#jfe)jfe=o,i,2... —
последовательность, получаемая из жо применением процесса итераций, т. е. жо —
данная точка, ж&+1 = /(ж^) при каждом к. Доказать, что справедлива
следующая оценка быстроты сходимости процесса итераций. При каждом к имеем
\хк\ < DXmk^m"1\ D = const, где 0 < А < 1, т = const.
10.50. Пусть /: [а, 6] —► К есть неотрицательная выпуклая функция
класса С1. Зададим в отрезке [а, 6] произвольным образом точки жо = 0 < xi <
< Ж2 < ••• < Хт = 6, И ПУСТЬ М0 = (#0,/(ff0))>Mi = (Х1,/(Ж!)),...
...,Мт = (жт,/(жт)), А = (0,0), В = (6,0). Соединим последовательно
точки Мо, Мь ... ,Mm_i,Mm отрезками, и пусть 5; — площадь сегмента,
ограниченного отрезком М{-\М{ и дугой М{-\М{ графика функции /.
Долг
казать, что сумма S — ^ Si будет достигать своего наименьшего значения
в том и только в том случае, если при каждом i = 1,2,..., m — 1 касательная
графика функции / в точке М,- параллельна прямой Mt_iM;+i.
10.51. Пусть /: [а, 6] —► К. есть положительная выпуклая функция класса С .
Зададим в отрезке [а, 6] произвольным образом точки жо = 0<Ж1<Ж2<
< * • • < Хт — Ъ. Пусть Mi = (ж,-, /(ж,)), г = 0,1,..., га-1. В каждой точке М\
проведем касательную графика функции /. Пусть Yi есть точка
пересечения касательных графика в точках Mt_i и Mt. Обозначим через Si площадь

Задачи
217
криволинейного треугольника, ограниченного дугой Mt_iMt- графика / и от-
п
резками Mi-\Y{ и У{М{. Пусть S = ^ St. Доказать, что величина 5 будет
»=1
достигать минимума в том и только том случае, если точка Мг является
серединой отрезка Ft_iFt- при г = 1,2,...,т — 1.
10.52. Дана функция п2 переменных ж,-у, i = 1,2,..., n, j = 1, 2,..., n,
(\ »/2
n n \
ЕЕ 4) -nn/2det||x0||.
1) Найти минимум функции F. 2) Вывести из результата неравенство Ада-
мара
х 1/2
1^||ху|||<П(^х?,.
1=1 \i=l
10.53. Пусть С/ С Кп — открытое выпуклое множество, (р: U —► К —
выпуклая функция. Для t £ КЛ полагаем f(t) = sup {(я,*) - у?(я)}. 1) Доказать,
что множество У всех *, для которых f(t) < оо, есть выпуклое открытое
подмножество пространства Кп. 2) Доказать, что sup{(x,£) — f(t)} = y?(ff)
для х £ U и sup{(x,tf) - /(*)} = °° Для х & U. 3) Определить функцию /
в следующих случаях ((xyt) — скалярное произведение векторов х и t):
*)U = Ея, <р(х) = |х|;
6)J7 = Rw>v(x) = (J:Np)1/';
в) и = jb(o,o с кя, ?>(*) = И2 -1-
10.54. Пусть U С Мп — открытое множество, хо Е U. Функция ц>: U -+
—* К71 (г - 1)-кратно дифференцируема в U, Доказать, что функция /: х ь-»
•-> (ж - жо)а<^(ж), где а = (<*i, а2,<5, ап), — мультииндекс такой, что |а| = г,
г-кратно дифференцируема в точке хо.
10.55. Даны n-мерный сегмент Q С Кп и функция /: Q —* Мт,
принадлежащая классу Cr(Q). Оценить остаток формулы Тейлора
/м- £ г!йй1<—•>••
0<|а|<г
х0 £ Q, через модули непрерывности производных порядка г.
10.56. Дана вещественная функция /, определенная и г-кратно
дифференцируемая на шаре В(хо,г) пространства Шп. Предположим, что /(жо) = О
и dkfXQ — 0 при * = 1,2,...,г - 1. Доказать, что если \Daf(x)\ < М, где
М = const < оо для всех х £ В(хо) г) и всех а таких, что |а| = г, то для всех
х £ JB(a?o,r)
I/0OI < j—|*-*о| •

218
Гл. 10. Основы гладкого анализа,
10.57. Пусть /: U —► Ш (U С К71 — открытое множество) — функция класса
С ({/), к > 1, хо £ U. Зададим произвольно векторы hj, /&2» • • •»^ife £ ^n
и положим
А /(жо.ЛьЛ2,...,Л*) =
i=i 1<1!<.«<^<*
1) Доказать, что предел
]im ^ = °hk... dh2dhlf(x0).
2) Доказать, что существует также предел
lim
*1 - *2 - - - *Jfc
(предел берется по множеству всех (*1,*2»---»*й) £ Б , для которых
*1,*2,...,**#0).
10.58. Пусть В = Б(жо,г) — замкнутый шар в пространстве Кп. Функция
/: jB —> К непрерывна в Б и дважды дифференцируема в шаре jB = #(ffo>г)-
Предположим, что функция / обращается в нуль на границе шара В(хо,г),
а ее вторые производные ограничены. 1) Оценить величину sup |/(я)|
через величину х£В(х0,г)
Mi = sup
х€В°
'yy(-*l-\
t=i i=i ч J/
1/2
2) Оценить sup |/(я)| через величину
х€В(жо,г)
Мг = sup
ч
1/2

• Определение и простейшие свойства сходящихся
рядов • Необходимый признак сходимости ряда
• Признак Коши — Больцано сходимости ряда
• Свойство ассоциативности суммы ряда •
Числовые ряды с неотрицательными членами • Условия
сходимости ряда, все члены которого неотрицательны •
Теоремы сравнения для распознавания
сходящихся и расходящихся рядов • Признак Коши —
Адамара сходимости ряда • Признак Даламбера
сходимости и расходимости ряда • Интегральный
признак сходимости и расходимости ряда • Признак
Раабе сходимости и расходимости ряда • Тождество
Абеля. Лемма Абеля • Признаки Абеля и Дирихле
сходимости ряда • Сумма значений функции на
произвольном бесконечном множестве и ее свойства •
Критерий суммируемости функции на произвольном
множестве (аналог критерия Коши — Больцано сходимости
ряда) • Теорема о повторном суммировании функции
по бесконечному множеству • Суммирование
вещественных функций • Суммируемость и понятие
коммутативно сходящегося ряда • Теорема Римана •
Теорема об ассоциативности суммирования по
произвольному множеству (теорема о суммировании пачками) •
Кратные ряды • Определение бесконечного
произведения • Признаки сходимости и расходимости
бесконечного произведения • Формула Валлиса •
Непрерывные (цепные) дроби • Признаки сходимости и
расходимости непрерывных дробей •

220
Гл. 11. Теория рядов
§ 1. Определения. Общие сведения о рядах
В этом параграфе приводятся определения ряда и суммы ряда и вводится
класс сходящихся рядов, т. е. рядов, для которых определено понятие суммы.
Устанавливаются некоторые простейшие свойства сходящихся рядов,
непосредственно вытекающие из определения. Применяя критерий
сходимости Коши — Больцано для последовательностей, мы получаем здесь
аналогичный критерий сходимости ряда.
Изложение ведется в общей форме, а именно, рассматриваются ряды,
члены которых есть элементы произвольного нормированного векторного
пространства. Таковым пространством может быть, в частности, множество
всех вещественных чисел К или множество всех комплексных чисел С. Ряды,
все члены которых есть вещественные или комплексные числа, называются
числовыми. Случай числовых рядов является для нас основным.
Примеры рядов, не являющихся числовыми, будут приведены в конце
этой главы. Ряды со значениями в произвольном нормированном векторном
пространстве в полном объеме найдут применение в следующей главе 12.
1.1. Определение и простейшие свойства сходящихся рядов
1.1.1. Пусть X есть нормированное векторное пространство над
полем R, N: х ь-> ||z|| есть норма в этом пространстве. Тогда, как мы
знаем (см. главу 6), полагая р(х, у) = \\х—у\\ для произвольных х, у Е X,
мы получим некоторую метрику в X. Эта метрика называется
естественной метрикой нормированного векторного пространства X.
Напомним определения некоторых понятий, которые мы будем
использовать в дальнейшем.
Пусть дана последовательность (хп)п^к точек пространства X.
(Для обозначения этой последовательности будем применять также
запись: (хп Е Х)п€1^ .) Точка a £ X называется пределом
последовательности (хп)П£мк> если lim \\хп — а\\ = 0.
п—кх>
Последовательность (хп)п^к точек банахова пространства X
называется сходящейся, если она имеет предел.
Последовательность ($п G Х)п€г^ называется фундаментальной
(см. п. 4.5 главы б), если для всякого е > 0 можно указать номер
п > к такой, что для любых щ > п и ri2 > n выполняется неравенство
11&П! -Snail < S-
Если последовательность (х»)»^ сходящаяся, то она является
фундаментальной. Нормированное векторное пространство называется

§L Определения. Общие сведения о рядах
221
полным, если в нем верно и обратное: всякая фундаментальная
последовательность в этом пространстве имеет предел.
Множество всех вещественных чисел R представляет собой полное
нормированное векторное пространство.
Заметим, что для последовательностей вещественных чисел
определено также понятие предела, равного ±оо. Последовательность
(xn G М)пег4 называется сходящейся в том и только в том случае, если
она имеет конечный предел. Во всех остальных случаях, т. е. в случае,
когда последовательность либо вообще не имеет предела, либо имеет
предел, равный ±оо, она называется расходящейся.
Всякое конечномерное нормированное векторное пространство, как
было показано ранее (см. главу 6), является полным нормированным
векторным пространством. Полное нормированное векторное
пространство называется банаховым.
Пусть X есть нормированное векторное пространство. Ряд в
пространстве X есть пара последовательностей
(xn e x)nGi^ и (sn e x)n€Nfc
векторов пространства X такая, что sj~ = ж*, и при каждом п > к
значение sn определяется равенством sn = sn_i + xn.
Последовательность (xn G Х)П£^к называется
последовательностью членов ряда, a (sn Е X)neNfc — последовательностью его
частных сумм.
Будем говорить, что хп есть п-й член ряда, г, sn — его частная
сумма с номером п или, иначе, n-я частная сумма рассматриваемого
ряда. Из определения очевидно, что последовательность {sn Е X)n€i>^
частных сумм ряда полностью определена, если задана
последовательность его членов (хп Е X)n€Nfc • При каждом nGNjt, очевидно, справед-
п
ливо равенство sn = ]Г) хт. Ряд, последовательность членов которого
есть (хп Е X)n€Nfc, будем обозначать символом [хп G Х]п€^.
В случае, когда пространство X есть либо множество К, либо
множество С, ряд, члены которого есть элементы X, называется числовым.
Числовой ряд, все члены которого есть вещественные числа,
называется вещественным числовым рядом.
Ряд [хп G X]n€i^ в пространстве X называется сходящимся, если
последовательность его частных сумм имеет предел.
Вектор s пространства X, являющийся пределом
последовательности частных сумм ряда [хп G X]n€Nfc, называется суммой этого ряда
и обозначается одним из следующих двух выражений:
оо
У^ хп или Xk + Xk+i H b xn + ... .
п=к

222
Гл. 11. Теория рядов
Те же самые выражения мы будем применять также и для
обозначения самого ряда. Это не приведет к путанице, так как из контекста
всегда будет ясно, что имеется в виду: сам ряд или его сумма.
Для числовых последовательностей определено понятие
бесконечного предела. Если последовательность (sn Е К)П€1Чь частных сумм
ряда [хп Е R]n€i>fc имеет предел L = ±оо, то будем говорить, что сумма
числового ряда [£n]n€Nfc равна Z, и писать
оо
^2,хп = L = ±00.
n=fc
Если сумма ряда [хп Е Х]п€^ не определена или, в случае X = R,
равна ±оо, то говорят, что данный ряд расходится или, иначе, является
расходящимся.
В дальнейшем всякий раз, когда это не может привести к
недоразумению, мы не будем указывать в обозначениях множество,
которому принадлежат члены рассматриваемых последовательностей и
рядов, и будем писать просто (хп)п£^к и соответственно [жп]п€г^ •
Для всякой последовательности (уп Е X)nGi^ можно построить
ряд, для которого она является последовательностью частных сумм.
А именно, полагаем Xk = уь и при п > к пусть хп = уп — yn_i.
Тогда yk = Xk и уп = yn_i + хп при каждом п > fc, как и требуется
определением последовательности частных сумм ряда.
Пусть дан ряд [хп Е X]nGi>^ , и пусть (sn)n^k есть
последовательность его частных сумм. Тогда для любых п Е N* и т Е N таких, что
п > т, имеет место равенство
п т п
sn-sm = Ylx}~^2х> ~ £ xi- (1Л)
j=k j = fc j=m+l
ш Теорема 1.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
[хп Е X]neNfc в нормированном векторном пространстве X сходится,
то lim xn = 0.
71—ЮО
Доказательство. Пусть (sn)n£^k —последовательность частных
сумм сходящегося ряда [xn E Х]пе1^. Тогда существует предел
lim sn = 5, причем в случае X = Е предел этот конечен.
п—*оо
Имеем х\ = s\> а при га > А; имеем жп = sn — sn-i- При п —> оо
в силу известных свойств предела (см. главу 2)
lim 5n_i = lim sn = 5.

§ i. Определения. Общие сведения о рядах 223
Отсюда вытекает, что
lim xn = lim (sn — Sn-i) = 5 — 5 = 0,
та—►оо та—*оо
что и требовалось доказать. ■
1.1.2. Условие теоремы н е является достаточным для
того, чтобы данный ряд был сходящимся, как показывает следующее
рассуждение.
Пример. Пусть X = К, [zn]n>o есть ряд, последовательность
частных сумм которого есть последовательность (ln(rc + 1)), п = 0,1,2,
Имеем
хп = 1п(га + 1) — In n = In ( 1 Н— I
при каждом п > 1, х0 = In 1 = 0. При п —► оо получаем хп —► In 1 = 0.
В то же время имеем sn = ln(rc + 1) —► оо при п —> оо, так что ряд
[^та]та>о является расходящимся.
1.1.3. Пусть дан ряд [zn G Х]п€]Чк. Всякий ряд вида [жп G X]n€Nm+1,
где га > fc, га — целое число, называется остатком исходного ряда.
Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью или
расходимостью ряда и сходимостью или расходимостью его остатков.
■ Теорема 1.2. Если ряд [xn G X]n€Nfc сходится, то и любой из его
остатков является сходящимся рядом.
Обратно, если хотя бы один из остатков ряда [xn G X]n€i^
сходится, то сходится и сам ряд. При этом для всякого сходящегося ряда
[xn E X]nGi>fc при любом целом га > к выполняется равенство
оо m оо
53Хп = ЕXn + S Xn- (L2)
та=& n=k n=m+l
Доказательство. Пусть m > к. Обозначим через sn n-ю
частную сумму ряда [xn]n€Nfc, и пусть tn есть частная сумма с номером п
ряда [£n]neNm+i- При всяком п > га согласно (1.1) имеем
та m та
5П = У Xj = у Xj т / ^ Xj = 5m + tn.
j=k j=k j=m+l
Предположим, что ряд [жп]п€^ является сходящимся, пусть 5 есть
его сумма s = lim 5n. Тогда является сходящейся также и последова-
та—»-оо
тельность («sn)7i€Nm+i> причем вектор 5 является ее пределом. Отсюда
следует, что последовательность (tn)n£Nm+x имеет предел. При этом
lim tn = lim (sn - sm) = s — sm.
та—юо та—»-оо

224
Гл. 11. Теория рядов
Следовательно, мы получаем, что ряд [жп]п^+1 сходится, причем
имеет место равенство
оо оо
S — у Хп — Sm т" У %п*
п=к n=m-fl
Таким образом, нами установлено, что сходимость ряда влечет
сходимость любого из его остатков, причем имеет место равенство (1.2).
Предположим, что для некоторого га Е N ряд [жп]п^т+1 является
сходящимся. Имеем sn = sm + tn при каждом п > т + 1.
Последовательность (tfn)n€Nm+i имеет предел. Отсюда вытекает, что
последовательность («sn)nGNm+i также имеет предел. В силу известных
свойств предела отсюда следует существование предела
последовательности (sn)n€Nfc. Согласно определению это означает, что ряд [х
является сходящимся. Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Если ряд [хп G Х]п€1^ является расходящимся,
то и любой из его остатков расходится. Если хотя бы один из остатков
ряда [хп Е X]n£i>k расходится, то сам ряд является расходящимся.
Следствие 1 есть, в сущности, переформулировка теоремы 1.1. ▼
Т Следствие 2. Для всякого сходящегося ряда любой ряд,
получаемый из него изменением конечного числа членов, также является
сходящимся. Если ряд расходится, то ряд, получаемый из него изменением
конечного числа его членов, также является расходящимся.
Доказательство. Пусть ряды [£n]n€Nfc и [yn]n€Nfc таковы, что
%п Ф Уп лишь для конечного числа значений п. Тогда найдется
номер m такой, что при каждом п > m имеет место равенство хп = уп.
Для этого m ряды
(1.3)
совпадают. Это значит, что если один из них сходится, то сходится
также и другой, и потому в силу теоремы 1.2 и ее следствия 1
сходимость одного из рядов (1.3) влечет сходимость другого, а если один из
них расходится, то расходится и другой. Следствие 2 доказано. ▼
1.1.4. Пусть [хп £ Х]пег^ есть сходящийся ряд. Полагаем
оо
j=n+l

§j. Определения. Общие сведения о рядах ________ 225
где n G Njt. Величина гп называется n-м остатком ряда [xn]n^k.
Согласно теореме 1.2 имеем
оо
5 — у Xj = Sn т" Тп
j=k
нри всех п <Е Nit. При каждом n Е N& верно равенство гп = 5 — sn. При
п —> оо последовательность sn —► 5, откуда следует, что гп —► 0 при
п -► 0.
Последовательность (^n)n€Nfc характеризует «скорость», с которой
частные суммы ряда приближаются к его сумме.
Приведем некоторое простое утверждение об операциях со
сходящимися рядами.
■ Теорема 1.3. Пусть [xn]n^k к [Уп]п€1Чь есть сходящиеся ряды
в нормированном векторном пространстве X. Тогда для любых чисел
а,/3 Е К ряд [а£п + /?yn]n€Njfe также сходится. При этом имеет место
равенство
оо оо оо
^(аж„+/??/„) = а _>„+/?_;Уп- (1.4)
71=1 71 = 1 71 = 1
Замечание. Свойство суммы ряда, выражаемое
равенством (1.4), называется ее линейностью.
п п
Доказательство теоремы. Положим sn = ]С жп *п = ]С У*>
*= fc »=fc
71
wn = __ (axi + /fyi')- Тогда при каждом n, очевидно, un = asn + f3tn.
i=k
В силу условия теоремы существуют пределы
lim sn = s и lim tn = t.
71—*00 71—ЮО
Положим w = a5 + j3t. Тогда при каждом n £ Nfc имеем
|tin - tt| = |о(вп - 5) + /3(t„ - <)l < HI5" " 3| + |/?||*« - t\.
При 7i —► оо имеем \sn — s| —► 0 и |tfn — t| —► 0. Отсюда вытекает, что
Wn — wl —> 0 при га —► 0, т. е. lim un = и. Теорема доказана. ■
п—юо
1.1.5. Пусть X и Y есть нормированные векторные пространства.
Напомним (см. п. 2.3 главы 6), что отображение L: X —► Y
называется линейным, если для любых двух векторов я, у G X и любых чисел
a,/3 6R имеет место равенство
L(ax + (Зу) = а£(я) + /31(у).

226
Гл. 11. Теория рядов
Для произвольного линейного отображения определена величина
\\L\\= sup ||ОД||у,
Н»11х<1
называемая нормой линейного отобраэюения L. Линейное отображение
L: X —> Y называется ограниченным, если его норма конечна.
Если L: X —> Y есть ограниченное линейное отображение, то для
всякого вектора ж £ X выполняется неравенство
ИОДЦу < 1ШН№. (1.5)
■ Теорема 1.4. Пусть X я Y есть нормированные векторные
пространства,, L: X —► Y — ограниченное линейное отображение. Если
[xn]n€Nk есть сходящийся ряд в векторном пространстве X, то ряд
[L(xn)]n£Nk в пространстве Y также сходящийся. При этом
оо / оо \
53 L(xn) = L f ^ жп J .
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Положим
п оо
sn = Y]xn, s = lim sn = Y] xn.
t=ib n=fc
Согласно определению суммы ряда имеем ||sn—s||x —► 0 при п —► оо.
При каждом п > А; имеем £(sn) — L(s) = £(sn - 5), и, значит,
р(*„) - ОД||у = \\L(sn - s)\\Y < \\L\\\\sn - s\\x.
Отсюда следует, что ||£(sn) - £(s)||y —► О ПРИ п —> оо и, следовательно,
L(s) = lim L(sn)- В силу линейности L при каждом n G N имеем
Z(sn) = £ I ^ zn I = Y^ L(xn)
\i=k / *=fc
и, таким образом, мы получаем, что
/ оо \ п
\n=Jfe
Теорема доказана.
п—юо -
^n=fc / i-=-k n=fc

§ 1. Определения. Общие сведения о рядах 227
1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов
Пример 1. Ряд, все члены которого равны нулю, очевидно,
является сходящимся, и его сумма равна нулю.
Пример 2. Пусть X есть векторное нормированное пространство.
Ряд [xn E Х]п€г^, все члены которого равны некоторому ненулевому
вектору а пространства X, является расходящимся, так как для него
не выполняется необходимое условие сходимости ряда, которое дается
теоремой 1.1: n-й член ряда не стремится к нулю при п —► оо.
* Пример 3. Если ряд [х n E Х]П£]>^ таков, что лишь конечное число
его членов отлично от нуля, то он является сходящимся. При этом если
т > к таково, что хп = 0 при любом n > т, то
оо т
n=k n=k
Действительно, ряд [£n]n>m+i сходится, поскольку все его члены равны
нулю. Таким образом, один из остатков ряда [£n]n€Nfc является
сходящимся рядом. Согласно теореме 1.2 отсюда следует, что данный ряд
сходится. При этом
оо т оо
n=fc n=fc n=m+l
Последняя сумма справа равна нулю, откуда и вытекает
равенство (1.6).
Пример 4. Пусть векторное пространство X есть множество всех
комплексных чисел С. Ряд [а2п]п>о, где а и z — произвольные
комплексные числа, причем а ф О, называется геометрической
прогрессией, число z называется знаменателем этой прогрессии.
Применяя известную из школьного курса математики формулу для
суммы членов конечной геометрической прогрессии, получим, что при
гф1 .
^—' 1 — z 1 — z
тп=0
Если \z\ < 1, то \zn+1\ = \z\n+1 —► 0 при п —► оо, откуда следует, что
если \z\ < 1, то частные суммы геометрической прогрессии имеют
предел, равный . Таким образом, ряд [azn]n>o является сходящимся
J. —" Z
при \z\ < 1. При этом
оо

228
Гл. 11. Теория рядов
Предположим, что \z\ > 1. Тогда при каждом п имеем
|а*я| = |а||г|я> |а|>0.
Отсюда следует, что azn не стремится к нулю при п —► оо, и, значит,
в случае, когда \z\ > 1, для ряда [azn]nGN0> гДе а Ф 0> не выполнено
необходимое условие сходимости, и ряд расходится.
1.3. Признак Коши — Больцано сходимости ряда
1.3.1. Далее X означает произвольное банахово пространство.
Представим определение фундаментальной последовательности в форме,
более удобной для применения в теории рядов.
■ Лемма 1.1. Для того чтобы последовательность (хп)п^к точек
нормированного векторного пространства, X была фундаментальной,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 можно было указать
номер n > к такой, что для любого n > n выполняется неравенство
\\хп ~ я»|| < е.
Доказательство. Необходимость. Пусть (xn)n^k есть
фундаментальная последовательность. Зададим произвольно е > 0.
По нему найдется номер п > к такой, что для любых щ > п и Гс2 > п
выполняется неравенство \\хП1 — хП2\\ < е. Полагая щ = га, получим,
что для всякого n > n выполняется неравенство ||яп — Яп||<£-
Необходимость условия леммы, таким образом, доказана.
Докажем достаточность условия. Предположим, что
последовательность (xn)n>k удовлетворяет условию леммы. Зададим
произвольно е > 0. Положим е\ = е/2. Тогда в силу предположения
найдется п такое, что если п > п, то \\хп — хп\\ < Е\. Возьмем
произвольно значения п\ > п и П2 > п. Тогда получим
\\ХП1 - &П2|| < ||&щ - ХП\\ + \\Хп ~ ХП7\\ < Si + Si = 6.
Таким образом, для любых п\ > п и n<i > n выполняется неравенство
ЦЗ^щ *^П2 II ^ £%
Так как е > 0 произвольно, то тем самым доказано, что
последовательность (хп)П£мк является фундаментальной. Лемма доказана. ■
1.3.2. Применяя критерий Коши — Больцано существования предела
последовательности (см. главу 9) к последовательности частных сумм

§L Определения, Общие сведения о рядах 229
ряда, получаем следующий критерий сходимости ряда в банаховом
пространстве.
■ Теорема 1.5 (признак Коши — Больцано сходимости ряда). Для
того чтобы ряд [хп]П£мк в банаховом пространстве X был сходящимся,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 можно было
указать номер m > к такой, что для любого номера n > m выполняется
неравенство
<е.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
ряд [£n]n€Njfc сходится. Тогда последовательность его частных сумм
(sn)n€Nfc является сходящейся и, значит, эта последовательность
фундаментальная. Зададим произвольно е > 0. Тогда согласно лемме 1.1
по нему найдется номер m > к такой, что для всякого номера n > m
имеет место неравенство ||sn — sm|| < е, т. е.
5 71. ^ г
< е.
Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность. Предположим, что для всякого
е > 0 можно указать номер m такой, что для всякого n > m, n E N*,
<е.
Сумма, стоящая здесь слева, равна разности sn — sm. Таким образом,
для всякого е > 0 можно указать номер m такой, что для любого п > тп,
nGNjk, выполняется неравенство
- Sr
<£.
Согласно лемме 1.1 отсюда вытекает, что последовательность (sn)n^k
является фундаментальной и, следовательно, сходящейся. По
определению, это означает, что рассматриваемый ряд сходится. Теорема
доказана. ■
1.3.3. Выделим класс рядов, сходимость которых следует из
сходимости некоторого числового ряда.

230
Гл. 11. Теория рядов
ш Теорема 1.6. Пусть [хп]п£^к есть ряд в банаховом
пространстве X. Тогда если числовой ряд [\\хп\\]п£^к сходится, то ряд [хп]п£^к
также является сходящимся. При этом имеет место неравенство
^2Хп
i=k
< £ н*.|
n=k
(1.7)
Доказательство. Предположим, что для ряда [жп]п€^ числовой
ряд [||£n||]n€Nfc является сходящимся. Тогда для него выполняется
признак Коши — Болъцано сходимости ряда (теорема 1.5). Зададим
произвольно е > 0. По нему найдется номер га такой, что если nGNjt,
причем п > га, то выполняется неравенство
j=m+l
l*jll<e.
Для любого номера п > т имеем
Xi
j = m+l
< £ INl'<e-
j=m+l
Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что для
ряда [znjneN* выполнено достаточное условие сходимости теоремы 1.5.
Следовательно, данный ряд сходится. При каждом п Е N* имеем
неравенство
i=k
i=k
Xi
Переходя к пределу при п —► оо, получим неравенство (1.7).
Теорема доказана. ■
Замечание. Ряд [£n]n€Nfc в банаховом пространстве X
называется абсолютно сходящимся, если для него сходится числовой
ряд [||zn||]n€Nfc.
Пример. Пусть X есть произвольное банахово пространство. Как
было установлено в главе 9, множество 38S£(X, Y) всех ограниченных
линейных отображений банахова пространства X в банахово
пространство Y является банаховым пространством. Пусть L: X —> X есть
ограниченное линейное отображение пространства X в себя.
Определим последовательность отображений Ln, полагал
L1 = L. Если для некоторого п Е N определено in, то полагаем

§L Определения. Общие сведения о рядах 231
Ln+l = L о Ln. Далее, полагаем £° = /, где / есть тоэюдественное
отображение пространства X в себя. Для всякого n E N имеет место
равенство
1поЬ = Ьп+г. (1.8)
Действительно, для п = 1 равенство (1.8), очевидно, выполняется.
Предположим, что для некоторого п справедливость
равенства (1.8) установлена. Имеем
£та+2 = L о Ln+1 = Lo(LnoL) = (LoLn)oL = Ln+1 о L.
Таким образом, мы получаем, что если равенство (1.8) верно для
некоторого п, то оно остается верным, если заменить п на п + 1.
Отсюда по индукции вытекает справедливость равенства (1.8) для
всех п.
Рассмотрим ряд [in]ne]>j0 в пространстве «S^J£?(X, X). В силу
утверждения 3 п. 1.2.5 главы 9 при каждом п имеем
\\l*+1\\ = \\Lol*\\<\\l\\\\l*\\.
Отсюда, индукцией по п, получаем, что при каждом п выполняется
неравенство \\Ln\\ < ||£||п. Используя результат примера 4 п. 1.2,
получим, что ряд [in]neN0 является абсолютно сходящимся, если линейное
отображение L: X —> X удовлетворяет условию q = ||£|| < 1.
Предполагая, что ||L|| < 1, найдем сумму ряда [Хп]п€1^. Положим
ОО 71
n=0 k=0
При каждом и > 1 имеем
(I - L)o An = Y,Lk -J2Lk+1 = I - Ln+1.
fc=0 Jk=0
Применяя равенство (1.8), получим
лпо(/ - D=^^-i>* ° L=iiLk -i>*+i=i -Ln+i-
При каждом n имеем ||in+1|| < ||X||n+1, откуда ||in+1|| -► 0 при n -> oo.
Устремляя пкоов равенствах
(I-L)oAn = I-Ln+1 и Лп <>(/-£) = J-Г*1,
получим
(J-I)oA = J и Ao(J-L) = J.
Отсюда заключаем, что Л = (/ — Z)"1.

232
Гл. 11. Теория рядов
1.4. Свойство ассоциативности суммы рядов
1.4.1. Пусть [жта]п€^ есть ряд в нормированном векторном
пространстве X, a (7im)m€N есть строго возрастающая последовательность це-
щ
лых чисел такая, что пт > к для всех т. Положим у\ = ^ Xj, и для
m > 1 пусть ■*=*
j=nm_i+l
Рассмотрим ряд [ym]m€N- Он получается из ряда [жп]п€^
разбиением последовательности его членов на группы и заменой каждой
группы суммой входящих в нее членов.
Докажем, что если ряд [z^n^N* является сходящимся, то новый
ряд также сходится и имеет ту же самую сумму. Приведем точную
формулировку.
■ Теорема 1.7. Пусть [хп]п^к есть ряд в нормированном вектор-
ном пространстве X. Предположим, что последовательность (ym)m£N
определяется равенствами (1.9), где (nm)me^ — строго возрастающая
последовательность целых чисел, причем пш > к при каждом га. Тогда
оо оо
если определена сумма ]Г) хп = 5, то сумма ^ уш также определена
п=1 т=1
и равна 5. В частности, если ряд [xn]ne^k сходящийся, то ряд [ym]m£N
также сходится и суммы этих рядов совпадают.
Доказательство. Пусть (sn)n€Nfc —последовательность частных
сумм ряда [xn]n€Nfc, (tfm)m€N — последовательность частных сумм ряда
[2/m]m€N. Тогда
tm = Snm (1.10)
при каждом m е N. Действительно, в силу равенства (1.9) у\ — sni,
так что для m = 1 равенство (1.10) верно.
Предположим, что для некоторого га € N равенство (1.10)
доказано. Тогда имеем
Пт + 1 Hm+i
т+1 '
tm+1 =tm+ Ут+1 = *т + ^ %к = «5Пт + 2^ ^* = Sn
fc=nm+l к=пт+1
Из доказанного по индукции следует, что равенство (1.10) верно для
всех га Е N.
Последовательность (пт)т£^ строго возрастающая, и, значит,
lim nm = +оо.
тп—»-оо

§ 2. Признаки сходимости рядов
233
Отсюда вытекает, что если существует предел lim sn, то суще-
п—юо
ствует также и предел lim sn = lim tmi и пределы эти равны.
Tern—юо m m—кх>
орема доказана. ■
Замечание 1. Если ряд [яп]п€1^ расходящийся, то ряд
[2/m]mGN может оказаться сходящимся, так что теорема 1.7 не допускает
обращения, т. е. из сходимости ряда [ym]meNj вообще говоря, не следует
сходимость ряда [zn]n€Njfc.
Пример. Ряд [(—l)n"1]n>ij очевидно, является расходящимся,
так как для него не выполняется необходимый признак сходимости,
а именно, n-й член ряда не стремится к нулю при п —► оо. Положим
пт = 2га для каждого т Е N. Тогда, как нетрудно видеть, ут = 0 при
любом т Е N, и, значит, ряд [ym]m€N сходящийся.
Замечание 2. Свойство рядов, устанавливаемое теоремой 1.7,
называют ассоциативностью суммы ряда.
§ 2. Признаки сходимости рядов
Признак Коши — Боль дано, установленный в п. 1.3 (теорема 1.5),
содержит необходимое и достаточное условия сходимости ряда. Однако
применение этого признака в конкретных случаях часто требует выполнения
достаточно кропотливого исследования.
В этом параграфе будет доказано несколько полезных признаков,
которые хотя и не столь совершенны в теоретическом плане, как признак Коши —
Больцано, но зато дают средства, с помощью которых во многих важных
случаях можно достаточно легко получить ответ на вопрос, сходится тот или
иной ряд или нет.
Несовершенство этих признаков выражается в том, что для каждого из
них можно указать ряд, сходимость или расходимость которого не может
быть установлена с помощью данного признака.
2.1. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДА С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Согласно теореме 1.6 ряд [zrJneN* в банаховом пространстве
сходится, если сходится числовой ряд [||#n||]n€Nfc > образованный нормами
его членов.
Таким образом, мы видим, что сходимость ряда в банаховом
пространстве иногда можно установить, доказав сходимость некоторого
числового ряда с неотрицательными членами — ряда, члены которого
есть нормы членов исходного ряда.

234
Гл. 11. Теория рядов
2.1.1. Пусть [xn]n€Nfc есть числовой ряд такой, что хп > О при всех
п Е Nit, и пусть (sn)n£Nk есть последовательность его частных сумм.
При каждом п е Nk имеем sn+i = sn + хп+ь откуда видно, что
5n+i > 5та для любого п € Nit, т. е. последовательность (sn)nq^k
частных сумм ряда [^n]n€Nfc является возрастающей. В силу теоремы о
пределе монотонной функции (глава 2), отсюда следует, что существует
конечный или бесконечный предел lim sn = s.
п—юо
Таким образом, если все члены числового ряда неотрицательны,
оо
то определена его сумма s = J2 хп.
п=к
Согласно теореме о пределе монотонной функции (глава 2)
справедливо соотношение 5 = sup sn, и, значит, при каждом п Е N^ выпол-
n£Nk
няется неравенство s > sn.
Из сказанного, очевидным образом, вытекает следующее
предложение.
■ Теорема 2.1. Пусть [хп]п£^к есть числовой ряд, все члены
которого есть неотрицательные вещественные числа,. Для того чтобы этот
ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частных сумм была ограничена сверху.
Доказательство теоремы содержится в рассуждениях,
предшествующих ее формулировке. ■
2.1.2. Пусть даны сходящиеся ряды [a?n]n€Nfc и [yn]nGNfc > и пусть
оо оо
Тп = / j Хш, ьп = у ^ ут
ra=n+l m=n+l
есть остатки этих рядов. Имеем: гп —► 0 и tn —► 0 при п —► оо.
Представление той или иной величины в виде суммы ряда может
использоваться как средство для вычисления этой величины.
Естественно, что среди возможных представлений величины в виде суммы
ряда с точки зрения вычислительной математики наибольший интерес
представляет то представление, для которого остаточный член ряда
стремится к нулю как можно быстрее.
Говорят, что ряд [zn]neNfc сходится быстрее ряда [yn]n£Nk > если
справедливо соотношение: rn = o{tn) при п —► оо. В этом случае будем
также говорить, что ряд [yn]neNfc сходится медленнее ряда [xn]ne^k.
ш Теорема 2.2. Пусть [xn]n^k и [yn]n£Nk есть сходящиеся числовые
ряды с неотрицательными членами. Тогда если хп = о(уп) при п —> оо,
то ряд [xn]n£wk сходится быстрее, чем ряд [yn]ne^k •

§ 2. Признаки сходимости рядов
235
Доказательство. Предположим, что выполнены условия
теоремы. Зададим произвольно е > 0. По нему найдется номер га Е 14 такой,
что при каждом га > га выполняется неравенство хп < еуп. Так как
хп > 0 и уп > 0 при всех n G Njb, отсюда, очевидно, следует, что
гп < ^^п при каждом га > га. В силу произвольности £ > 0 тем самым
установлено, что гп = o(tfn) при га —► оо, что и требовалось доказать. ■
Пусть [xn]n€Nfc и [yn]n€Nfc — расходящиеся числовые ряды с неотри-
п п
дательными членами, Sn = Yl xi и Тп = ]С 2/j — их частные суммы.
j=fc j=k
Говорят, что ряд [xn]n€Nfc расходится медленнее ряда [yn]n€Njb >
если £п = о(Гп) при га —> оо. В этом случае говорят также, что ряд
[2/n]nGNfc расходится быстрее, чем ряд [^n]n€Njfe.
Предоставляем читателю доказательство того факта, что если
расходящиеся числовые ряды [xn]n€i>jfc и [yn]n€Nfc таковы, что хп > 0
и уп > 0 при всех n E Njt и жп = о(уп) при га —► оо, то ряд [жп]п€1Ъ
расходится медленнее ряда [yn]n€Nfc •
2.2. Теоремы сравнения для распознавания сходящихся
и расходящихся рядов
Вопрос о сходимости или расходимости того или иного ряда во
многих случаях можно решить, сравнивая его с другими рядами,
сходимость или расходимость которых известна. Здесь мы докажем
утверждения, с помощью которых обычно осуществляется такое сравнение.
■ Лемма 2.1. Пусть [хп]п£^к и [yn]n£Nk есть вещественные
числовые ряды, каждый из которых имеет определенную сумму, конечную
или бесконечную. Тогда, если для каждого га Е N& выполняется
неравенство хп < уп, то
оо оо
71= Л 71= л
71 71
Доказательство. Положим Sn = £ Х{ и Гп = ]£ у,- при каждом
га Е IN*. Из условий леммы, очевидно, вытекает, что Sn < Тп для
любого га. Отсюда в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве
(см. главу 2), очевидно, следует
оо оо
Ехп = lim Sn < lim Tn = Y] yn,
71—ЮО 71—ЮО ^—'
n=fc n=fc
что и требовалось доказать. ■
■ Теорема 2.3 (первая теорема сравнения). Пусть даны
вещественные числовые ряды [хп]п^к и [ап]П£^т, причем хп > 0 и ап > 0 для
любых га. Тогда если ряд [an]nGNm сходится и хп — 0(an) при га -^ оо,
то сходится также и ряд [xn]n^k.

236
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Предположим, что ряды [£n]n€Nfc и [ап]пе^т
удовлетворяют всем условиям теоремы. Тогда найдутся номер N > к,
N > m и число К < оо такие, что для любого п > N выполняется
неравенство хп < Кап. Так как ряд [an]n€Nm , по условию, сходится, то
сходится также и ряд [an]n€NN > а вместе с ним и ряд [Kan]n^N.
При каждом п > N имеем 0 < хп < Кап, откуда в силу леммы 2.1
вытекает, что
оо оо
0< ^2 хп<К ^ ап.
n=N+l n=N+l
Вторая сумма в этой последовательности неравенств конечна. Значит,
конечна и первая, т. е. ряд [а^пег^ сходится, откуда в силу теоремы 1.2
вытекает сходимость ряда [£n]neNfc. Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Пусть [хп]п^к и[ап]п£^т есть числовые ряды с
положительными членами. Предположим, что существует конечный
предел lim —. Тогда если ряд [an]nc.™ сходится, то сходится также
п-»оо an
и ряд [xn]newk.
Доказательство. Действительно, если существует конечный
предел lim —, то xn = 0(an) при п —> оо^ и, значит, если ряд [an]n€Nm
п—юо an " ш
сходится, то, как следует из теоремы 2.3, сходится также и ряд [£n]n€Nfc,
что и требовалось доказать. ▼
▼ Следствие 2. Пусть [хп\п^щ есть ряд в банаховом
пространстве X. Тогда, если существует сходящийся числовой ряд [dn}n^Nm, все
члены которого неотрицательны, такой, что \\xn\\ = 0(an) при п —> оо,
то ряд [xn]n£Nk является сходящимся.
Доказательство. Действительно, если ряд [яп]п€г^
удовлетворяет всем условиям следствия, то, как следует из теоремы 2.3, числовой
ряд [||^n||]nGNfc сходится. Отсюда в силу теоремы 1.6 вытекает, что ряд
[^n]n€Nfc является сходящимся, что и требовалось доказать. ▼
▼ Следствие 3. Пусть [xn]n^k и [an]n€Nm есть числовые ряды с
положительными членами. Предположим, что ряд [an]n€Nm
расходящийся. Тогда если существуют номер N G 1Ч&, N Е Nm и число S > О
такие, что при каждом п > N выполняется неравенство xn > 6an,
то ряд [£n]n€Nfc расходящийся.
Доказательство. Предположим, что ряды [жп]п€^ и [an]nGNm
удовлетворяют всем условиям следствия. Тогда для любого n > N
имеем 0 < an < (l/6)xn. Это означает, что имеет место соотношение
an = 0{хп) при п —> оо.

§ 2. Признаки сходимости рядов
237
Если бы ряд [xn]n€Nfc был сходящимся, то в силу теоремы 2.3 ряд
[an]n€Nm также был бы сходящимся, что противоречит условию.
Следовательно, ряд [£n]n€Nfc расходится, что и требовалось доказать. ▼
▼ Следствие 4. Пусть даны числовые ряды [хп]п^к и[ап]п^т с
положительными членами. Если ряд [ап]П£^т расходится и существует
предел lim — = L, причем L > 0, то ряд [хп]пс^к также является
расходящимся.
Доказательство. Зададим произвольно число 6 такое, что
О < 6 < L. В силу известных свойств предела (см. глава 2) найдется
номер N такой, что N Е N& и N Е Nm и для всех n > N выполняется
неравенство — > 6.
Таким образом, мы получаем, что ряды [жп]п€^ и [an]n€Nm
удовлетворяют всем условиям следствия 3 и, значит, ряд [£n]n€Nfc является
расходящимся, что и требовалось доказать. Т
▼ Следствие 5. Пусть [xn]n£^k есть ряд в банаховом пространстве,
(ttn)n€Njb — ограниченная числовая последовательность. Тогда если
ряд [xn]n£Nk абсолютно сходится, то ряд [anxn]n^k также является
абсолютно сходящимся.
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Положим yn = anxn. В силу условия следствия найдется постоянная L < оо
такая, что для всех n E N* выполняется неравенство \an\ < L. Отсюда
следует, что ||уп|| < <&||жп|| Для всех п- В силу теоремы 2.3 получаем,
что ряд [||yn||]n€Nfc является сходящимся. Следствие доказано. Т
■ Теорема 2.4 (вторая теорема сравнения). Пусть даны числовые
ряды [хп}п£кк к [an]n€Nm, причем хп > О, an > О для любого
n > max{fc,m}. Предположим, что существует номер N > max{fc,m}
такой, что для любого n > N выполняется неравенство
xn an
Тогда если ряд [an]n^m сходится, то сходится также и ряд [xn]n£^k.
Если ряд [an]nGNm является расходящимся и существует номер
N > max{fc, га} такой, что для всех n> N выполняется неравенство
Xn dn
то ряд [xn]n£Nk также расходящийся.

238
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Из неравенств (2.1), очевидно, следует, что при
всяком п> m выполняется неравенство
Последовательность I —'- ) , таким образом, является убывающей,
\an/n€Nfc
начиная с п = N. Следовательно, для всех п> N имеет место
неравенство
откуда получаем, что 0 < хп < Кап, где /Г = —, при любом
aN
п > N. Это означает, что хп = 0(ап) при п —> оо. В силу
теоремы 2.3 отсюда следует, что если ряд [an]n€Nfc сходится, то сходится
также и ряд [жта]тае^ . Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе. Пусть ряды [яп]п€г^ и [an]n€Nm таковы, что все
их члены положительны и существует номер N > тах{А;,га} такой,
что для любого п > N выполняется неравенство
хп ап
Тогда если бы ряд [£n]neNfc был сходящимся, то, по доказанному, был
бы сходящимся также и ряд [ата]та€^ , что противоречит условию.
Следовательно, ряд [£п]п€]>^ не является сходящимся. Теорема доказана. ■
Выбирая в теоремах 2.3 и 2.4 различным способом ряд [an]n€Nm)
можно получить большое число различных конкретных признаков
сходимости.
Сделаем некоторые замечания относительно сравнительной силы
признаков, которые получаются при различном выборе ряда [an]n€Nm.
Будем говорить, что сходимость (расходимость) ряда [zn]n€Nfc
устанавливается сравнением с рядом [an]n€]>jm, если для рядов [жп]п€г^
и [«n]n€Nm выполняются все условия теоремы 2.3 (соответственно
следствия 3 теоремы 2.3).
Пусть [an]n€Nm и [bn]n€Nm есть сходящиеся ряды, причем ап
стремится к нулю при п —> оо быстрее, чем Ьп: ап = о{Ъп). Тогда если
сходимость ряда [жп]п€^Л можно установить, сравнивая его с рядом
[«n]nGNm) то ее можно доказать так же, сравнивая данный ряд с
рядом [&n]n€Nm • При этом существуют ряды, сходимость которых
устанавливается сравнением с рядом [&n]n€Nm > но не может быть доказана

§ 2. Признаки сходимости рядов 239
сравнением с рядом [an]n€Nm. Действительно, если xn = 0(an) при
п —► оо, то, так как ап = о(Ьп) при п —> оо, то, значит, хп = 0(ЬП) при
п —► оо. (Можно утверждать даже, что хп = о(Ьп) при п —> оо.)
Ряд [bn]neNm представляет пример ряда, сходимость которого
может быть установлена сравнением с рядом [&n]neNm > но не может быть
доказана сравнением с рядом [an]n€Nm. Это означает, что,
используя вместо [an]n€Nm ряд [bn]n€Nm» мы получим более сильный признак
сходимости.
Таким образом, мы получаем, что чем медленнее стремятся к нулю
члены ряда [an]n€Nm, тем сильнее признак сходимости, основанный на
сравнении с этим рядом!
Аналогично, пусть [an]nGNm и [bn]nGNm, где an > 0 и Ьп > О при
всех n Е 1Чт, есть расходящиеся числовые ряды, причем an = о(Ьп) при
п —> оо. Тогда если расходимость ряда [жта]пе^т можно доказать,
сравнивая его с рядом [an]nGNm > то того же результата можно добиться
путем сравнения ряда [£n]n€Nm с рядом [bn]n€Nm- Это показывает, что
чем медленнее расходится ряд [an]n€Nfc, тем сильнее признак
расходимости, основанный на сравнении с этим рядом.
Будем говорить, что числовые последовательности (an)nGNm и
(bn)n€Nm асимптотически эквивалентны, и писать an х Ьп при п—>оо,
если одновременно ап = 0{ЪП) и Ъп = 0(an) при гс —► оо. Это условие
выполняется, например, если существует конечный предел
lim ^ > 0.
п-юо an
Ясно, что если ряды [an]n€Nm и [bn]n€Nm с положительными членами
таковы, что ап х bn при п —► оо, то признаки сходимости, основанные
на сравнении с этими рядами, эквивалентны. Точно так же в этом
случае являются эквивалентными и признаки расходимости, основанные
на сравнении с этими рядами.
2.3. Признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости
и расходимости ряда
Здесь мы установим признаки сходимости и расходимости,
основанные на сравнении ряда с геометрической прогрессией.
■ Теорема 2.5 (признак Коши — Адамара о сходимости и
расходимости ряда). Пусть дана последовательность (хп)п^.щ векторов
банахова, пространства X, где к > 0. Определим по ней число j(x), полагая
limsup^/j^j. (2.2)

240
Гл. 11. Теория рядов
Справедливы следующие утверждения:
1) если 'у(х) < 1, то ряд [хп]п£^ сходится, и притом абсолютно,
т. е. сходится числовой ряд [\хп\]п^0;
2) если *у(х) > 1, то п-й член ряда, [жта]п€^0 не стремится к нулю
при п —► оо и ряд расходится;
3) если 7(#)'= 1, то ряд [хп]п^0 может быть как сходящимся, так
и расходящимся.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай j(х) < 1. Зададим
произвольно q такое, что j(x) < q < 1. Тогда в силу известных нам
свойств верхнего предела найдется номер h такой, что при каждом п>п
выполняется неравенство ^/|жп| < q. Отсюда следует, что \xn\ < qn
при п > п. Так как числовой ряд [<7n]n€No является сходящимся, то,
как вытекает из теоремы 2.3, сходится также и ряд [|£n|]n€iW Первое
утверждение теоремы тем самым доказано.
Пусть j(x) > 1. В силу известных свойств верхнего предела
найдется строго возрастающая последовательность номеров (nv)uew такая,
что
. 7(з)= lim VfcnJ-
п—кзо
Тогда если j(x) > 1, то при достаточно больших значениях v G No
VRU>i.
Для таких значений v очевидно \xv\ > 1. Таким образом, из
последовательности членов ряда [|жта|]п€^0 выделена подпоследовательность, не
сходящаяся к нулю. Это означает, что для данного ряда не
выполняется необходимое условие сходимости и, значит, ряд расходится.
Чтобы доказать утверждение 3 теоремы, мы должны привести
примеры сходящихся и расходящихся рядов таких, что
lim VKl = 1-
n—>-oo
Полагая хп = 1 для всех п G N, получим расходящийся ряд, для
которого выполняется это равенство.
1 11
Рассмотрим ряд [хп]п£^, где хп = ———г = —. Его
п(п + 1) п п + 1
гс-я частная сумма равна 1 и при п —> оо стремится к пределу,
п+1
равному единице, так что данный ряд является сходящимся. В то же
время для этого ряда lim л/|жта| = 1. (Проверку последнего утвержде-
п—►оо
ния мы предоставляем читателю.) Теорема доказана. ■

§ 2. Признаки сходимости рядов
241
■ Теорема 2.6 (признак Даламбера сходимости и расходимости
ряда). Пусть [хп]пещ есть числовой ряд, все члены которого
неотрицательны. Предположим, что можно указать номер mo E N такой, что
хп ф 0 при всех п> то, и существует предел
Um '£"±1 = d, (2.3)
Справедливы следующие утверждения:
1) если d < 1, то ряд [xn]n^k сходится;
2) если d > 1, то ряд расходится;
3) если d = 1, то ряд [£n]n€Nfc может быть как сходящимся, так
и расходящимся.
Доказательство. Предположим, что ряд [£n]n€Nfc удовлетворяет
условиям: хп ф О при п > то, и существует предел (2.4). Очевидно,
d>0.
Пусть d < 1. Зададим произвольно q такое, что d < q < 1. Тогда
в силу известных свойств предела (глава 2) найдется номер т > то
такой, что при всяком п > т выполняется неравенство —— < q. Так
как 0 < q < 1, то геометрическая прогрессия (qn)n£Nk сходится. В силу
второй теоремы сравнения (теорема 2.4) отсюда вытекает сходимость
ряда [zn]n€Nfc.
Рассмотрим случай, когда d > 1. В силу свойств предела,
установленных в главе 2, найдется номер га > то такой, что при каждом
X _L1
п > т имеет место неравенство —— > 1. Отсюда заключаем, что
#n+i > хп при каждом п > т, т. е. последовательность (хп)пе^к
является возрастающей для п > т. Отсюда, в частности, следует, что
xn+i > хт > О при каждом п > т и, значит, хп не стремится к нулю
при п —► оо и поэтому ряд [xn]nGNfc расходится.
Ряд [zn]n€N, где хп = 1 для всех п, и ряд '
, указанные
|_га(п + 1)
в доказательстве теоремы 2.5, дают примеры, показывающие, что в том
случае, когда d = 1, ряд [£n]neN может быть как сходящимся, так
и расходящимся. Теорема доказана. ■

242
Гл. 11. Теория рядов
2.4. Интегральный признак Коши сходимости
и расходимости ряда
■ Лемма 2.3. Пусть тип — целые числа, такие, что m < п,
и /: [т,п] —► К есть невозрастающая функция. Тогда имеют место
неравенства
п —1 п п
£/(*)>//(*)*> J2 /W- (2-5)
Доказательство. Возьмем произвольно значение к такое, что
га < к < п — 1. Для всех t G [к, к + 1] имеем /(&) > /(tf) > /(А; + 1),
откуда, очевидно, следует
k+i
/(*)> J f(t)dt>f(k + l).
Суммируя данные неравенства почленно по /с в пределах от к = га
до к = п — 1, получим
п-1 п-1 И1 п-1
£/(*)>£ f №dt>j2f(k+i).
k=m k=m i fc=m
Осталось заметить, что
n-1 *+* ^ n-1 n
£ f(t)dt= f(t)dt, £/(* + l)= £ Л*)-
fc=m j. m fc=m fc=ra+l
Лемма доказана. ■
■ Теорема 2.7 (интегральный признак Коши сходимости и
расходимости ряда). Пусть /: [1,оо) —> Е есть неотрицательная невозра-
стающая функция. Тогда для того, чтобы числовой ряд [f(n)]n^ был
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы функция f была
интегрируема по замкнутому промежутку [1, сю].
Доказательство. Необходимость. Пусть функция /
удовлетворяет условиям теоремы. Для х G [1,оо) положим
х
) = //(<)«
F(x)= f(t)dt

§ 2. Признаки сходимости рядов
243
Функция F непрерывна и является неубывающей, и функция /
будет интегрируема по промежутку [1,оо] в том и только в том случае,
если предел lim F(x) = L конечен.
ж—*оо
Предположим, что ряд [/(n)]n€N сходится. Воспользуемся первым
из неравенств (2.5). Полагая в нем га = 1 и заменяя пнап+1, получим,
что при каждом п
п+1
Имеем
Jk=l •/
L = lim F(n + 1).
Так как ряд [f(n)]n^f является сходящимся, то последовательность
его частных сумм ограничена сверху и, значит, последовательность
(F(n + l))n€N ограничена сверху. Отсюда вытекает, что L конечно
и, значит, функция / интегрируема по промежутку [1,оо].
Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность. Предположим, что функция /
интегрируема по промежутку [1,оо]. Тогда величина L= lim F(x)
х—*оо
конечна. Применим второе из неравенств (2.5), полагая в нем m = 1.
Получим
п п+г
Е № < /(1) + / /(*) Л = /(1) + F(n + 1) < /(1) + I.
Последовательность частных сумм ряда [/(n)]n€N> таким образом,
ограничена сверху. Так как /(п) > 0 для всех п, отсюда вытекает, что ряд
[/(n)]n€N является сходящимся. Теорема доказана. ■
Предположим, что функция /: [1,оо) —► К удовлетворяет всем
условиям теоремы 2.7 и ряд [f(n)]n£^ является сходящимся.
Неравенства (2.5) леммы 2.3 позволяют получить простые
оценки остаточного члена данного ряда. Согласно лемме 2.3
для любых п, га € N имеют место неравенства
п+т п+т п+т+1
/ №dt> ]Г /(fc)> / /С) л.
» *=»+! nil

244
Гл. 11. Теория рядов
Переходя к пределу при т —> оо, получаем следующие оценки для
остаточного члена ряда (см. § 1) [f(n)]n£^:
оо 00 оо
Jf(t)dt> £ /(*)> у до
n fc=n+l n+1
<ft.
Применим теорему 2.7 к исследованию вопроса о сходимости или
расходимости некоторых конкретных рядов.
1
Рассмотрим ряд
пи
, где а — произвольное положительное
~~а имеет первообразной функцию
число. Функция /: х Е [1,оо) н+ х
F: [1,оо) —► Е, где F(x) = , если а ф 1, и i^z) = In ж в случае
I — о:
а = 1. Отсюда видно, что если 0 < а < 1, то lim ^(я) = оо, а если
ж—юо
а > 1, то lim i^z) = 0. Следовательно, функция х ь-> — интегриру-
ж—*оо * Жа
ема по промежутку [1,оо] для любого а > 1 и не является
интегрируемой по этому промежутку, если 0 < а < 1. Мы получаем, что ряд
сходится, если а > 1, и расходится в случае, когда 0 < а < 1.
Jn€N
В случае, если величина 7(ж)> используемая в признаке сходимости
Коти — Адамара, равна единице, то о сходимости или расходимости
ряда ничего сказать нельзя. Подтверждением этого являются ряды
пс
1
пи
(2.6)
Jn€N
Действительно, имеем
lim \ — = lim exp
п—»-оо у ТЬа п—»-оо
И1}-
ехрО = 1.
В то же время, как мы видели, для одних значений а, а именно,
в случае, когда 0 < а < 1, ряд (2.6) расходится, а для любого о: > 1
ряд (2.6) является сходящимся.
Точно так же, если для ряда [жп]п€^ величина d{x), которая
фигурирует в признаке Даламбера сходимости ряда, равна единице, то,
полагая хп = —, получим, что в этом случае ряд может быть как
СХОДЯТСЯ
щимся, так и расходящимся.

§ 2. Признаки сходимости рядов
245
2.5. Признак Раабе сходимости ряда
Приведем здесь один простой результат, который иногда позволяет
выяснить, сходится данный ряд или нет. Он часто оказывается
полезным в тех случаях, когда признаки Коши — Адамара и Даламбера
сходимости ряда не позволяют дать ответ на этот вопрос.
Сначала рассмотрим ряд [£n]n€Nfc, где хп = — при каждом
ть
X _L1
п Е Nfc. Отношение —-—, очевидно, стремится к единице при п —> оо.
Исследуем меру отличия этого отношения от единицы при больших
значениях п. В данном случае
хт
Еп±1 = ( п У
Удобнее рассматривать отношение
хп __ /ге + 1\а
Яп+1 \ П )
Имеем при п —► оо
\ п ) \ п) п \п)
Отсюда
Мы получили, что ряд
lim п ( — 1 1 = а.
1
хп = — I сходится, если предел
па\пекк
lim n
п—юо
/ Хп __ Л _
больше единицы, и расходится, если этот предел не превосходит
единицы.
Это заключение справедливо в более общей ситуации, как
показывает следующее предложение.

246 Гл. 11. Теория рядов
ш Теорема 2.8 (признак сходимости Раабе). Пусть дан числовой
ряд [xn]n£Nk такой, что хп > О для всех п. Тогда,: 1) если
lim n
Хп
l) >1,
,Хп+1
то числовой ряд [a?n]n€Nfc сходится] 2) если существует номер га такой,
что
п
для всех п > т, то числовой ряд [хп]п^к расходится.
Доказательство. Пусть ряд [яп]пе1Чь удовлетворяет всем
условиям теоремы. Предположим, что
(—-О
А = Пт п [ —=- - 1 ) > 1.
Зададим произвольно числа а и /3 такие, что 1 < a < /3 < А. Положим
ап = —. Тогда будем иметь
lim п —— -1)=а</3<\.
п—►оо
Значит, найдется номер га такой, что при каждом п> m выполняются
неравенства
п
(.*—Л <„<„(-£_-Л.
Отсюда следует, что < и, значит, > при вся-
11
сходится, отсюда в силу второй
ln€Nfc
ком п > га. Так как ряд
теоремы сравнения (теорема 2.4) вытекает сходимость ряда [^n]n€Nfc -
Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Предположим, что ряд [zn]n€Nfc
обладает тем свойством, что для него существует номер га такой, что
при каждом п > га выполняется неравенство п ( — 1 ) < 1.
\Хп+1 )
Пусть п > т. Положим ап = —. Тогда п ( — 1 ] = 1, от-
п \an+i J
куда заключаем, что —— > для всех п > т. 1ак как ряд
Хп 0"П
является расходящимся, то в силу второй теоремы сравнения
n€Nfc
(теорема 2.4) отсюда следует, что ряд [xn]neNfc расходится. Теорема
доказана. ■

§ 3, Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 247
§ 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда
В этом параграфе приводятся два признака сходимости рядов, которые
позволяют в некоторых случаях устанавливать сходимость рядов, не
являющихся абсолютно сходящимися. Доказательство их основано на некотором
алгебраическом тождестве Абеля, которое представляет собой аналог
правила интегрирования по частям для конечных сумм. Это тождество
потребуется нам в будущем при изучении свойств степенных рядов,
3.1. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля
сходимости ряда
■ Лемма 3.1 (лемма Абеля). Пусть даны две конечные
последовательности чисел г*о, щ,..., иП1 г;о, v\,..., vn. Положим Uq = uq
и Uk = Uk-i + Uk при к > 0. Тогда имеет место равенство
п п — \
]Г ukvk = Unvn + ]Г Uk(vk - v*+i) (3.1)
Jfe=0 Ь=0
(тождество Абеля),
Доказательство. Имеем
71 71 П 71
S = ^Г, ukVk = uqVq + Y^(uk " Uk-i)vt = U0v0 + ^2 UkVk - ^2 uk-ivk-
k=0 t=l k=l k=l
Во второй сумме справа заменим индекс суммирования, полагая к—1 = г.
В результате получим
71 71 — 1 71 — 1
s = u0v0+y^ ukVk - Y2 Uivi+*= ]С Uk(vk ~ v*+i)+ ^»v«-
fc=l i=0 Jfe=0
Лемма доказана. ■
Тождество Абеля можно рассматривать как своего рода
аналог формулы интегрирования по частям для определенного
интеграла — для случая конечных сумм.

248
Гл. 11. Теория рядов
ш Теорема 3.1 (признак Дирихле сходимости числового ряда).
Пусть даны числовые последовательности (un)n^0 и (vn)n^0.
Предположим, что выполнены следующие условия: 1) последовательность
частных сумм ряда [un G К]П€1Ч) является ограниченной; 2)
последовательность (vn £ K)n€No монотонна, причем lim vn = 0. Тогда числовой
71 —ЮО
ряд [unV^n^ является сходящимся. При этом имеет место равенство
оо оо
^2UnVn = ^2 Un(Vn ~ v»+i)-
71=0 71=0
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Поло-
71
жим Un = Yl uk- Тогда найдется L < оо такое, что \Un\< L для всех п.
k=o
В силу леммы 3.1 для любого n G N имеет место равенство
71 71 — 1
Sn = ^2 u>kVk = Unvn + ^ Uk(vk - vk+1).
k=0 k=0
Так как vn —> 0 при n —> оо, а последовательность (f7n)n€]>j0 в силу
условия 1 ограничена, то (7пг?п —> 0 при п —► оо. Так как
последовательность (vn)n£N0 монотонна, то разности vn — vn+i имеют один и тот
же знак. Для каждого п имеем
71 П
Y2 К - Vfc+i| = a J2(Vk " Vfc+i)'
fc=0 Jfc=0
где (т = 1в случае, если последовательность (vn) убывающая, И(Г = -1,
если эта последовательность возрастающая. Имеем
71
Y^(Vk ~ V*+l) = (V0 - Vi) + (Vi - V2) + ' ' ' + On - Vn+l).
fc=0
В сумме справа все внутренние члены сокращаются, и мы получаем
в результате
71
^2 \vk - w*+i| = <К^о - vn+i) = |v0 - vn+i|. (3.2)
fc=0
Так как t>n+i —► 0 при n —> оо, то правая часть равенства (3.2) при
п —► оо стремится к конечному пределу, равному |г?о|. Следовательно,
мы получаем, что ряд [vn — t?n+i]neN0 абсолютно сходится.

§ 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда, 249
Так как последовательность (f7n)n^N0 является ограниченной, то на
основании следствия 5 теоремы 2.3 из доказанного следует, что ряд
[Un(vn — vn+i)]n£No сходится и, значит, существует конечный предел
п-1
lim J^Ukivk-Vk+i). (3.3)
п—► оо * *
Jk=0
Принимая во внимание, что vn —» 0 при п —» оо, из равенства (3.3)
заключаем, что предел
п
lim У]и^ (3.4)
71—КХ) ' ■*
j=0
существует и конечен, так что ряд [wnvn]n>o является сходящимся. Из
равенства (3.4) следует, что имеет место равенство
оо оо
^2UnVn = 11, Un(Vn ~ v»+i)-
71 = 0 П = 0
Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1 (признак Абеля сходимости ряда). Пусть даяы
числовые последовательности {un Е R)neN и (vn £ R)n€N-
Предположим, что выполнены следующие условия: а) ряд [un Е R]neN сходится;
б) последовательность (vn Е K)n€N монотонна и имеет конечный предел.
Тогда числовой ряд [unvn]n^ является сходящимся.
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Положим a = lim vn. Последовательность (vn — a)n^, очевидно, является
n—*oo
монотонной, и ее предел равен нулю. Так как ряд [un Е K]n€N5 по
условию, сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
В силу теоремы 3.1 отсюда вытекает сходимость ряда [un(vn — a)]n€N.
Ряд [сшп]п€го является сходящимся. Отсюда вытекает, что сходится ряд
[un(vn - a) + aun]n£w Осталось заметить, что un(vn — a) + aun =z.unvn
при всяком n Е N. Следствие 1 доказано. Т
Т Следствие 2 (признак Лейбница сходимости ряда). Для всякой
монотонной последовательности (vn) такой, что lim vn = 0, ряд
71—ЮО
[(-l)n-V]neN (3.5)
является сходящимся.

250
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Данное утверждение есть частный случай
теоремы 3.2 при ип = (—I)71""1. Чтобы доказать сходимость ряда (3.5),
достаточно показать, что последовательность (Un E K)n€N частных
сумм ряда [(—l)n""1]n€N является ограниченной. Имеем U\ = 1, С^2 = 0,
[7з = 1 и, вообще, Un = 0 при четном п и Un = 1? если п нечетно. Таким
образом, Un принимает только два значения: 0 и 1. Это означает, что
последовательность (Un G K)n€N является ограниченной. Следствие 2
доказано. Т
Пример. Рассмотрим ряд
1 1 f-l)71"1
i-2+i--+L4-+-- (36)
Применяя признак Лейбница, получим, что этот ряд является
сходящимся. Так как ряд
.,11 1
1+2 + 3+-+п+-'
как было показано выше (см. §2 этой главы), расходится, то, значит,
ряд (3.6) не является абсолютно сходящимся.
3.2. Пример на приложение признака Дирихле
сходимости ряда
Приведем пример на приложение тео]ремы 3.1 предыдущего
раздела.
■ Теорема 3.2. Пусть (ап)п€^0 есть произвольная убывающая по-
следова,тельность вещественных чисел такая, что lim an = 0. Тогда,
71—ЮО
ряд
CLq
— + Q>i cos х + a,2 cos 2х + Ь dn cos nx + ...
сходится для всякого х ф2-кп, где п — целое число.
Доказательство. Функция cosnz, где n Е N, периодическая,
и число 27Г является ее периодом. Поэтому достаточно исследовать
вопрос о сходимости ряда, указанного в формулировке теоремы в
промежутке (0,27г). Положим
Еп(х) = - + cos х + cos 2x H Ь cos nx.

§ 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда, 251
Вычислим эту сумму. Для произвольных х и m имеем
sin(m + 1)х — sin mx = 2 sin — cos I m + — ) x.
Отсюда, полагая m = n — -, получим
sm
cos nx =
'm(n+l)x sin (та -1)
2 sin — 2 sin ~
2 2
Полагая в этом равенстве п = 1,2,... ,п и складывая полученные
равенства почленно, в результате будем иметь
„ 8т(п+ЯЖ х sinf sin(n+i)x x
> cos kx = ^-т — sin — %jt = j-^ -,
Jfc^ 2 2sin- 2 sin- 2
*-i 2 2
Отсюда
sin (n + — J x
Sn(x) = —* &-. (3.7)
2 sin-
6 X 6
Пусть 6 > О таково, что <5 < х < 2ж - 6, Тогда - < — < 7г — -
и, значит, sin — > sin -. Мы получаем, что для всякого х G (6,2тг — S)
выполняется неравенство
|S„(x)| < М(6) = -Ц-. (3.8)
sin-
Пусть ж G (0,27г). Тогда найдется <5 > 0 такое, что 6 < х < 2ж — 6.
По доказанному, для данного х последовательность
(En(z))n€N
является ограниченной. Воспользуемся результатом теоремы
Дирихле (теорема 3.1), полагая в ней ип = cosnx при п > О , щ = -
и vn = an. Последовательность (an)n€N согласно условию теоремы
монотонна и имеет предел, равный нулю, а последовательность частных
последовательности (ип)п^ ограничена для всякого х такого, что от-
X
ношение —- не является целым числом.
2тг
Все условия признака Дирихле, очевидно, выполнены, и теорема
тем самым доказана полностью. ■

252
Гл. 11. Теория рядов
§ 4. Сумма значений функций на произвольном
бесконечном множестве
Для всякой функции, определенной на произвольном конечном множестве
и принимающей значения в банаховом пространстве, определено, что есть
сумма значений функции на этом множестве. В этом разделе показывается,
каким образом это понятие может быть распространено на случай функций,
имеющих областью определения произвольное множество.
Сумма значений функции на бесконечном множестве есть в некотором
смысле предел сумм на конечных подмножествах области определения
функции. Функция называется суммируемой по некоторому подмножеству
области ее определения, если сумма значений этой функции по данному
подмножеству определена.
В случае если область определения функции есть множество всех
натуральных чисел и функция вещественна, то сумма функции по данному
множеству определена в том и только в том случае, если ряд, члены которого
есть значения данной функции, является абсолютно сходящимся.
4.1. Определение суммы значений на произвольном
бесконечном множестве и ее свойства
Фиксируем произвольно множество Г и банахово пространство X.
Пусть дана функция и: Т —> X. Ее значение на произвольном элементе t
множества Г далее обозначается символом щ. (В тех случаях, когда
это окажется более удобным, будем применять обычное обозначение
u(t).) Пусть Е есть произвольное конечное подмножество множества Т.
Сумма значений функции и: Т —► X в точках множества Е обозначается
символом Y^ut- He исключается случай, когда множество Е пусто.
Е
Если Е = 0, то полагаем ]£ щ = 0.
Е
Формально, величина ^ ut может быть определена следующим об-
Е
разом. Пусть Е непусто и п — число элементов Е. Зададим
произвольно биективное отображение отрезка 1п = {1,2, ...,п} множества
всех натуральных чисел N на множество Е. Пусть t{ есть тот элемент
множества Е, который отвечает i G ln при этом отображении. Тогда
п
Е " «=1

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 253
В силу свойства коммутативности операции сложения
элементов векторного пространства (см. главу б) сумма справа, очевидно,
не зависит от выбора биективного отображения г Е Пп ь-> <,- Е Е. Всякое
такое отображение называется нумерацией конечного множества Е.
Совокупность всех конечных подмножеств множества Г далее будем
обозначать символом J^(T).
Пусть Е\ и 1?2 есть произвольные конечные подмножества Т. Их
объединение, очевидно, также является конечным множеством. Если
Е\ и E<i не имеют общих элементов, то выполняется равенство
Е\ U Е/2 Е\ -С/2
Говорят, что функция и: Т —► X суммируема по множеству Г, если
существует вектор a G X такой, что для всякого £ > 0 можно указать
множество Е Е J^(T), обладающее тем свойством, что для любого
Ef Е J^(T), содержащего множество 15, выполняется неравенство
^Щ-а
Е1
< е.
Вектор а, удовлетворяющий этому условию, называется суммой
функции и по множеству Г и обозначается символом ^ w* или просто
^щ. Если множество Г конечно, то для всякой функции и: Т —► X
т
величина а = ^ ut будет суммой функции и по множеству Г также
г
и в смысле последнего определения. Действительно, в этом случае
можно взять Е = Г. Тогда неравенство
< £
будет выполняться для любого е > 0 и для любого Е* D Е,
содержащегося в Г, так как в этом случае Е' совпадает с Е.
Отметим некоторые свойства введенного понятия суммы
функции на произвольном подмножестве Г, непосредственно
вытекающие из определения.
■ Теорема 4.1. Если функция u: T
ству Г, то ее сумма, по Т единственна,.
X суммируема, по множе-

254
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Пусть векторы р G X и q G X таковы, что
каждый из них является суммой функции и по множеству Т. Требуется
доказать, что векторы р и. q совпадают.
Зададим произвольно е > 0 и положим Е\ = -. Согласно опреде-
/и
лению суммы найдутся конечные множества Е\ С Т и Е2 С Т такие,
что если множество J5 € Ж(Т) содержит Е\, то
а если £ G Ж(Т) содержит Е2, то
<£ъ
<£l.
Положим Е = Ei \J Е2. Множество Е конечно, Е\ С Е к Е2 С Е.
Отсюда согласно определению Е\ вытекает, что
teE
<еи
а согласно определению Е2 имеет место также неравенство
<£l.
t£E
Отсюда получаем, что
Цр-вН<
р-Х^Ч + Ew*~9
t£E
i£E
< £1 +£i = S.
Число е > 0 было выбрано произвольно. Таким образом, мы
получаем, что для всякого е > О имеет место неравенство ||р - q\\ < е.
Отсюда следует, что \\р — q\\ = 0 и, значит, р — q = 0, т. е. р = <?, что
и требовалось доказать. ■
■ Теорема 4.2. Если функции и: Т —> X и v: T —> X суммируемы
ло множеству Г, то для любых вещественных чисел а и /3 функция
au + /3v также суммируема, по Т. При этом имеет место равенство
t£T i£T te?

§ 4. Сумма значений функций на, бесконечном множестве 255
Доказательство. Положим р = ^ ut> Я = ]С ^- Зададим
пробег <€Г
извольно £ > 0. Пусть
ei_H + I/3I + 1-
Согласно определению суммируемой по множеству функции
найдутся конечные множества .Ei С Т и Е2 С Г такие, что если A D £i,
А е Jf (Г), то
<£ь
(4.1)
и, аналогично, для любого А Е JT(T), содержащего множество i?2,
выполняется неравенство
*><
<ei.
(4.2)
Положим Eq = J5i U J^2. Множество J5o конечно. Если множество
Л £ JT(T) содержит в себе множество i?o, то оно содержит каждое из
множеств Е\ и Е2 и, значит, для него выполняется каждое из
неравенств (4.1) и (4.2). Отсюда следует, что
ap + pq- ^2,[ащ + pvM = Up- a^u< +/3g -/3^v<
Л II II <€A t£A
<
<H
i€A
+ И
,^
<€A
^i»i+№. = J^t^<-
Так как e > 0 было взято произвольно и для достижения
последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы множество A Е Jf(T)
содержало множество Eq, то тем самым доказано, что функция au + /3v
суммируема по множеству Г, причем ее сумма по Г вычисляется из
равенства
ар + /3q = а^щ + P^vt.
ter гет
Теорема доказана. ■
■ Теорема 4.3. Пусть множество Т является объединением
конечного числа попарно непересекающихся множеств Т\, Гг,..., Гп. Тогда
если функция и: Г —► X суммяруема по каждому яз множеств Г,, то ояа
суммируема также и по множеству Г. Яря этом ямеет место равеяство

256
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Поло-
п
жим J2 ut = Pi- Пусть р = J2 Pi- Зададим произвольно е > 0. Поло-
■е
ЖИМ Si = —.
п
Согласно определению суммы при каждом г = 1,2,..., п найдется
конечное множество Е{ С Т, такое, что для любого конечного
множества Е D Е{, содержащегося в Г,-, выполняется неравенство
<ег.
Положим Eq = (J £,. Множество 1?о конечно. Пусть Л € Jf(T)
t=i
таково, что J5o С А. Положим А; = А П Г,-.
Множества А,- попарно не пересекаются, и каждое из них конечно.
При этом А{ = AflT,- Э 23оП7* = J5,-. Отсюда в силу выбора множеств Е{
вытекает, что при всяком г = 1,2,..., п выполняется неравенство
2 w* "* «
<£l.
Это позволяет заключить, что
i=1г£А{ t=l
< nei = е.
Заметим теперь, что так как множества А,- попарно не
пересекаются и их объединение совпадает с А, то
££- = £
щ.
t=l iGA,
<GA
Мы получаем, таким образом, что для всякого конечного
множества А С Г такого, что Eq С А, выполняется неравенство
£>*-£>'
<GA
»=1
< е.
Так как £ > 0 произвольно, то тем самым доказано, что функция и
суммируема по множеству Г и вектор р = р\ + Р2 Н Н Рп является ее
суммой по множеству Г. Теорема доказана. ■

§ 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 257
4.2. Критерий суммируемости функции по произвольному
множеству
Докажем критерий суммируемости функции по множеству —
аналог признака Коши — Болъцано сходимости ряда (теорема 1.5
этой главы).
■ Теорема 4.4 (критерий суммируемости функции по множеству).
Пусть Т есть произвольное множество, X — банахово пространство.
Для того чтобы функция и: Т —► X была суммируема по множеству Т,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О существовало
множество Е Е J^(T) такое, что для любого конечного множества А С Т,
не содержащего точек множества Е, выполняется неравенство
J2Ui
А
< е.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
функция и суммируема по множеству Т, и пусть a = Ylut- Зададим
г
произвольно £>0и найдем по нему такое множество Eq G Jf(T), что
для любого множества Е1 Е Ж{Т), содержащего в себе множество Eq,
выполняется неравенство
а-^щ
Е1
6
Пусть А е Jf (Т) таково, что А П Е0 = 0. Положим Е1 = Е0 U А,
*о
^Г,щ, z' = Y^uu z = YlUit
Eq
Е1
Поскольку Ео D Eq и Е1 Э Е0 и множества Е0 и Е1 конечны, то
б б
ко - а|| < - и \\z' - a\\ < - и, значит,
||* - 20|| = ||* - а + а - 20|| < Ik ~ «II + Иа - *о|| < £ + £ = 6'
Осталось заметить, что
Е0ил я0 л

258
Гл. 11. Теория рядов
Так как множество А € Jf(T) такое, что А П Ео = 0 было взято
произвольно, то необходимость условия теоремы тем самым доказана.
Достаточность. Предположим, что функция и: Т —> X
такова, что для всякого е > 0 можно указать такое конечное
множество -Б(б), что для любого множества А Е J^(T), не пересекающегося
с множеством J5(e), выполняется неравенство
< е.
Пусть El есть множество Е(е), отвечающее в указанном смысле
значению е = —. Определим по индукции последовательность
z
множеств (2£„ G «yf(T))I/€N, полагая J5i = J5J и JS^+i = £„ U JS^+1 для
каждого v Е N. Последовательность (i^^N возрастающая, ж Еи D E'v
при каждом г/ Е N.
Отсюда, в частности, вытекает, что для любого конечного
множества Л С Г, не содержащего точек множества Еи, выполняется
неравенство
1
teA
<¥■
Положим zu = Yltut- Докажем сначала, что последовательность
ev
(^i/)i/€N является фундаментальной. Так как пространство X банахово,
т. е. X есть полное нормированное векторное пространство, это
позволит нам заключить, что последовательность (zu)u^ имеет предел.
После этого мы покажем, что ее предел является суммой функции и
по множеству Т. Зададим произвольно номера V\ и v% и рассмотрим
величину \\zU2 — zVl\\. Предположим, что и2 > V\. Тогда EV2 D EVl.
Имеем
щ.
EU2 EV1 EV2\EV1
Так как множество EV2 \ EUl не пересекается с множеством EVl,
то имеет место неравенство
Еи2\Еих
<
2"i
Мы получаем, таким образом, что имеет место неравенство
1
Ik
V-2
*V\\
<
2"i
(4.3)

§ 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 259
Мы предполагали, что V2 > v\* Если щ > V2, то, меняя в
проделанных рассуждениях v\ и v<i местами, аналогичным образом получим,
что
Из доказанного легко вытекает, что последовательность (г„)„€н
фундаментальная. Действительно, зададим произвольно е > 0. Пусть
v E N таково, что — < £. Тогда из неравенств (4.3) и (4.4) следует,
что для любых v\, i/2 > " выполняется неравенство
Ik
I/2
^ll
<е.
В силу произвольности е > 0 фундаментальность последовательности
(^i/)i/€N установлена. Поскольку пространство X банахово, то из
доказанного вытекает существование предела lim zv = p.
I/—ЮО
Докажем, что определенный таким образом вектор р является
суммой значений функции и по множеству Г. Полагая в неравенстве (4.3)
щ = v, V2 = //, где /х > г/, и переходя к пределу при // —► оо, получим,
что для всякого г/ £ N выполняется неравенство
lk,-p||<
(4.5)
Пусть множество A G Jf (Г) таково, что £„ С А. Положим
В = А \ Ev. Множества В и Ev не имеют общих элементов, и их
объединение совпадает с Л. Отсюда получаем
S щ == 2^+ ]Cw* = г" + 2w*-
iGA *€#», <GB t£B
Согласно определению множества Еи имеем
teB
<
2"'
(4.6)
Из неравенств (4.5) и (4.6) вытекает неравенство
Ем<-р - Ew'~4
+ \\*у-Р\\<
Ч£А
Ч£А
2"-1'

260
Гл. 11. Теория рядов
Зададим произвольно е > 0. Пусть v E N таково, что —— < е.
Тогда, как следует из доказанного, для всякого конечного множества
А Э Ev выполняется неравенство
<£.
Мы установили, что функция щ суммируема по множеству Г,
а р есть сумма функции и по множеству Т. Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Если функция u: T —► X суммируема, по
множеству Г, то она, суммируема, также и по любому S С Г.
Доказательство. Пусть функция и: Т —► X суммируема по
множеству Г. Зададим произвольно 6 > 0. Согласно теореме 4.4 по
данному е найдется множество Е € Jfcf(T) такое, что для всякого конечного
множества А С Г, не пересекающегося с множеством JS, выполняется
неравенство
И*
<£.
Положим J5' = Е Г\ S. Множество Е1 конечно. Предположим, что
множество А1 С S также конечно и не содержит точек множества Е1.
Тогда А1 П Е = 0 и, значит, в силу выбора Е выполняется неравенство
< е.
Так как е > 0 произвольно, то мы получаем, следовательно, что для
функции и выполняется условие суммируемости по множеству S.
Следствие 1 доказано. Т
▼ Следствие 2. Если функция и: Т —> X, где X — банахово про-
стршство, суммируема, по множеству Г, то множество знамений t Е Г,
для которых щ ф 0, не более чем счетно.
Доказательство. Предположим, что функция u: T —► X
суммируема по множеству Г. Тогда для всякого i/ G N найдется конечное
множество Ev С Т такое, что для любого конечного множества А С Г,
не содержащего точек множества Е„, выполняется неравенство
u2Ui\
1
< -.
v

§ 4. Сумма, значений функций на бесконечном множестве 261
В частности, для всякого t fi Eu имеем ||г^|| < —. Положим
Е= \JEU.
i/=i
Множество Е не более чем счетно. Пусть t £ Е. Тогда t $ Ev при
каждом i/GNh, значит, \\щ\\ < \ju для всех v £ N. Отсюда вытекает,
что \\щ\\ = 0 и, значит, щ = 0.
Таким образом, построено не более чем счетное множество Е С Т
такое, что щ = 0 для всякого t (fc E. Следствие 2 доказано. ▼
▼ Следствие 3. Если для функции u: T —► X вещественная
функция t € Т у-+ \\щ\\ является суммируемой по Г, то функция и также
суммируема по множеству Т.
Доказательство. Предположим, что функция t ь-> ||и*||
суммируема по множеству Г. Зададим произвольно е > 0. В силу теоремы 4.4
найдется такое конечное множество Е С Г, что для всякого конечного
множества А С Г, не имеющего общих элементов с множеством 15,
выполняется неравенство
£|М<е-
t£A
Для всякого конечного множества А имеем, очевидно,
t£A
E^pEwi'
гел
Отсюда следует, что если А П Е = 0, A G «^(Т), то
<£.
Для функции W, таким образом, выполняется критерий
суммируемости функции по множеству (теорема 4.4). Следствие 3
доказано. ▼

262
Гл. 11. Теория рядов
4.3. Суммирование вещественных функций
4.3.1. Рассмотрим специально случай, когда банахово пространство X
совпадает с множеством всех вещественных чисел Е.
■ Теорема 4.5. Если функция и: Т —► Е суммируема, по
множеству Г, то также и функция t »-► \щ\ суммируема, по множеству Т.
Доказательство. Предположим, что функция и: Т —► Е сумми-
руема по множеству Т. Зададим произвольно е > 0. Положим е\ — -.
Согласно теореме 4.4 найдется такое конечное множество Е, что для
всякого конечного множества А С Г, не содержащего элементов
множества J5, выполняется неравенство
Щ
<6l
Зададим произвольно множество A G <Ж(Т) такое, что А П Е = 0.
Пусть А+ есть множество тех f G А, для которых щ > 0, и А~ —
совокупность тех < G А, для которых щ < 0. Множества А+ и А" не
пересекаются, и их объединение совпадает с множеством А. В силу
выбора множества А ясно, что множества А+ и А" также не пересекаются
с множеством Е и, значит, имеют место неравенства
i£A+
<еъ
Е ui
i£A-
<ег.
Так как щ > 0 для всех / G А+ и и* < 0 для всех t e A , то
Е ^ = Е м> Е Ч= Е Iй*!-
'<€А+ ' *€А+ Ч€А~ ' <€А-
Следовательно, мы получаем, что
Е w<еь Е n<ei'
t£A+ t£A-
Отсюда вытекает, что
Е ы\ = Е w = Е ы + Е w <2ei = e-
Ч£А I <€А fGA+ teA-
Поскольку е > 0 было произвольно и от множества А требовалось лишь,
чтобы оно не содержало элементов множества Е, то мы получаем, что
для функции t *-> \щ\ выполняется критерий суммируемости функции
по множеству, содержащийся в теореме 4.4. Теорема доказана. ■
■ Теорема 4.6. Если функция и: Т —► Е неотрица,тельна, и
суммируема, по Г, то сумма, ее зна,чений на, множестве Т неотрядательна.

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве
263
Доказательство. Предположим, что функция и: Т —► Е
неотрицательна и суммируема по Г. Пусть
Для всякого га G N найдется множество An G Jt(T) такое, что
1
< -.
га
Для всякого га имеем
i£An
Щ <р+ —-
га
Сумма слева неотрицательна, и мы получаем, следовательно, что для
всякого га € N имеет место неравенство р Н— > 0. Переходя в этом
га
неравенстве к пределу при га —> оо, получим р > 0. Теорема доказана, ■
▼ Следствие 1. Пусть функции и: Т —► Ж и v: T —► К суммируемы
на множестве Г я таковы, что при каждом t € Т выполняется
неравенство щ < vt. Тогда J2 ut < £ vt-
ter t£T
Доказательство. Действительно, если функции и и v
суммируемы по множеству Г, то, как следует из теоремы 4.2, также их разность
суммируема по Т. При этом имеет место равенство
<GT <GT t£T
(4.7)
Из условия следует, что vt — щ > 0 для всех iG Ти, значит,
согласно теореме 4.6 правая часть равенства (4.7) неотрицательна.
Отсюда вытекает утверждение следствия 1. ▼
Т Следствие 2. Если функция и: Г —► R неотрицательна и
суммируема по множеству Г, то она суммируема на всяком множестве ЙСГ,
причем имеет место неравенство ^2 Щ < £ tt<.
*ея <€Г
Доказательство. Предположим, что функция и: Г —► Е
неотрицательна и суммируема по множеству Т. Зададим произвольно
множество R С Т и положим 5 = Г \ R. Следствие 1 теоремы 4.4 позволяет

264
Гл. 11. Теория рядов
заключить, что функция щ суммируема по каждому из множеств R
и S. Согласно теореме 4.3 имеем
t£T t£R t£S
Как следует из теоремы 4.6, величина ^ щ неотрицательна. От-
сюда получаем, что ^ щ < ^ щ. Следствие 2 доказано. ▼
ieR teT
ш Теорема 4.7. Если функция u: T —► R неотрицательна,, то для
того, чтобы она была суммируема по Г, необходимо и достаточно,
чтобы существовало число L < оо такое, что для всякого конечного
множества А С Т выполняется неравенство ^2 щ < L. В этом случае
£ щ= sup £ щ.
t£T AeX{T)t£A
Доказательство. Необходимость. Зададим произвольно
множество А Е Jf(T). В силу следствия 2 теоремы 4.6 выполняется
неравенство
^2щ<^щ< ос. (4.8)
Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена:
в качестве требуемого L < оо можно взять число р = ]Г щ.
teT
Докажем достаточность условия. Предположим, что
функция и: Т —► Е неотрицательна и точная верхняя граница р сумм
£) Щ на совокупности <Ж{Т) всех конечных подмножеств Г конечна.
i£A
Докажем, что р = ]Р щ. Пусть А и В — произвольные конечные
подмножества Г. Тогда если А С В, то, полагая в неравенстве (4.8)
Т = В, получим
t£A teB
Зададим произвольно е > 0. В силу признака точной верхней
границы, установленного в главе 1, найдется множество Е 6 Jt(T)
такое, что имеет место неравенство
Е

§ 4. Сумма, зна,чений функций на, бесконечном множестве 265
Пусть множество А Е <Ж{Т) содержит в себе множество Е. Тогда
имеем
А Е
Имеем также ^ щ < р. Из полученных неравенств следует, что для
А
любого множества A D Е выполняется неравенство
£w*-
<£.
Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым
установлено, что функция и: Т —► R суммируема по Г и р = Y^ ut- Теорема
t£T
доказана. ■
Т Следствие. Предположим, что Т = N. Функция и: N —> Е
суммируема яо N в том я только в том случае, есля ряд [un]neN является
абсолютно сходящимся.
Доказательство. Если функция w суммируема по множеству N,
то по теореме 4.6 функция \и\ также суммируема по N. В силу
теоремы 4.7 множество сумм
{ J>n||AeJf(N)}
^ п£А '
является ограниченным сверху. Отсюда вытекает, что
последовательность частных сумм ряда
[|t*n|]n€N (4.9)
является ограниченной и, значит, этот ряд сходится.
Обратно, предположим, что ряд (4.9) является сходящимся.
Зададим произвольно конечное множество А С N. Пусть п есть наибольший
элемент множества А. Тогда, как очевидно, будем иметь
п оо
£М<£|«*|<Х>*1<°°-
n£A k=l ife=l
Мы получаем, таким образом, что существует конечная постоянная
такая, что для всякого множества A G J^(N) сумма ]Р \ип\ не превос-
п£А
ходит этой постоянной. Отсюда вытекает, что функция пи \ип\
суммируема по N. Следствие 3 теоремы 4.4 позволяет теперь заключить,

266
Гл. 11. Теория рядов
что функция п ь-> ип также является суммируемой по N. Следствие
доказано. ▼
Замечание. Предположим, что X есть произвольное
банахово пространство. Тогда из суммируемости по N функции и: N —► X,
вообще говоря, не следует сходимость ряда [||un||]n€N.
4.3.2. Результат теоремы 4.7 указывает путь для распространения
понятия суммы значений функции по бесконечному множеству на
некоторые случаи, когда функция не является суммируемой. А именно,
понятие суммы может быть определено для произвольной
неотрицательной вещественной функции.
Пусть даны множество Г и функция и : Т —► Е такая, что щ > О
для любого t € Т. Допускаются значения щ = +оо. Если щ = +оо
хотя бы для одного t £ Г, то сумму значений функции щ считаем
равной +оо, т. е. в этом случае полагаем ]Р щ = +оо.
Если же щ конечно для всех t € Г, то сумму функции щ по
множеству Г считаем равной точной верхней границе сумм этой функции
на конечных подмножествах Г. Иначе говоря, в данном случае мы
полагаем
Y^Ui= SUP ^2Ui' (4-10)
Указанная в равенстве (4.10) точная верхняя граница может быть
равна +оо, так что и в этом случае сумма функции щ по множеству Т
может быть равна +оо.
Если правая часть равенства (4.10) конечна, то согласно
теореме 4.7 данная функция t —► щ суммируема по множеству Г, в смысле
определения п. 4.1, и правая часть равенства (4.10) равна ее сумме.
Таким образом, мы видим, что для неотрицательной функции щ,
t G Г, суммируемой по Г, данное сейчас определение суммы значений
функции равносильно определению, данному в п. 4.1.
Указанное здесь распространение суммы на случай произвольных
неотрицательных функций полезно в следующем отношении.
Суммируемость той или иной функции часто может быть
установлена лишь посредством некоторых преобразований. Чтобы такие
преобразования можно было осуществлять, важно, чтобы для
неотрицательной функции сумма ее значений на множестве была
определена независимо от того, суммируема функция на этом множестве или
нет.

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 267
4.4. Суммируемость функций и понятие коммутативно
сходящегося ряда
4.4.1. Рассмотрим специально случай, когда множество индексов Г
является счетным. Будем считать, что Г = 14. Общий случай сводится
к этому нумерацией элементов множества Г.
Далее X, как и ранее, означает произвольное банахово
пространство. Перестановкой множества N называется биективное
отображение г: N -> N.
Пусть дан ряд [*n]n€N. Всякий ряд [2r(n)]n6N, где т есть
перестановка N, называется перестановкой ряда [zn]n^. Ряд [хп Е X]neN
называется коммутативно сходящимся, если любая его перестановка
представляет сходящийся ряд.
■ Теорема 4.8. Для того чтобы функция и: п Е N ь-*- ип Е X
была суммируема, по множеству N, необходимо и достаточно, чтобы
ряд [un]n€N был коммутативно сходящимся. Сумма любой
перестановки этого ряда равна ^ ^п-
N
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
функция и: N —► X суммируема по множеству N. Положим р = X^un.
N
Пусть дана произвольная перестановка т множества N. Зададим
произвольно £>0и найдем по нему конечное множество Е С N такое, что
для всякого А Е J^(N), содержащего JS, выполняется неравенство
XX
<е.
Пусть щ < Гс2 < • • • < nm — все те значения га, для которых
г (га) Е J5. Для га Е N пусть Пп, как обычно, означает отрезок {1,2,..., га}
множества всех натуральных чисел N. Положим Ап = г(Пп). Для
всякого га > гат множество Ап содержит в себе множество JS, и, значит,
для любого га > пш справедливы соотношения
ХХ(*)~Р
k=i
2 Uk~P
k£An
< е.
В силу произвольности е > 0 тем самым доказано, что ряд [wr(^)]nGN
сходится и сумма его равна р. Необходимость условия доказана.
Достаточность. Предположим, что функция и: N —>
—► X не является суммируемой по множеству N. Докажем, что в этом

268
Гл. 11. Теория рядов
случае найдется перестановка г множества N такая, что ряд [wr(n)]n€N
является расходящимся.
Множество Е С N будем называть S{u,e)-множеством, если Е
конечно и удовлетворяет следующему условию: для любого множества
А Е JfcT(N) такого, что А П Е = 0, выполняется неравенство
ип
< е.
Согласно теореме 4.4 функция и: N —► X суммируема по
множеству N в том и только в том случае, если для всякого е > 0 можно указать
множество Е С N, которое является 5 (и, г)-множеством. По
предположению, данная функция и: N —► X не является суммируемой по
множеству N. Значит, существует е > О, для которого невозможно найти
5(ц, е)-множество. Фиксируем это значение £ > 0.
Искомую перестановку множества N определим по индукции.
Одновременно построим некоторую вспомогательную строго
возрастающую последовательность натуральных чисел (ип)пе^.
Полагаем v\ = 1 и г(1) = 1. Предположим, что для некоторого
п Е N число ип указано и значение т(п) определено для всех n G 1Уп,
причем т отображает 1„п на себя взаимно однозначно.
(Напомним, что символ 1* означает отрезок {n£N|l<n<fc} =
= [1, к] П N множества всех натуральных чисел N.)
Отрезок 1„п множества N не является 3(и,е)-множеством,
поскольку таких множеств вообще не существует согласно
предположению. Значит, найдется множество A Е Jt(N) такое, что
А П П„п = 0, и в то же время имеем
пвА
>е.
(4.11)
Множество А непусто, ибо сумма функции по пустому множеству
равна нулю, и, значит, для пустого множества А неравенство (4.11)
выполняться не может, поскольку, по условию, е > 0.
Пусть А = {//1,//2,... >А*гп}. Полагаем величину ^n+i равной
наибольшему из чисел //,-, г = 1,2,...,гп. Очевидно,
^n+1 > vn + гп > ип. Функция г определена для значений п < ип,
причем т(п) < ип для всех таких п.
Пусть ап есть отрезок множества N, состоящий из всех к € N
таких, что
vn + 1 < к < i/n+1.

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 269
Определим т(к) для к Е оп так, что
т{уп + 1) = Mi,r(i/n + 2) = /i2,...,r(i/n + rn) = /хГп
и г отображает промежуток <тп на себя.
Таким образом, г определено на отрезке 1|,п+1 множества N я
отображает его на себя.
В силу принципа математической индукции описанные
построения определяют некоторое биективное отображение т: N —► 14, которое
при каждом п отображает на себя отрезок П1/т. Отображение т есть
перестановка N. При этом для каждого п Е N имеем
1 г" 1
ХХ("«+*)
IU=1 I
-
Е"»
"п€Л "
Так как п —► оо при i/n —► оо, то из доказанного вытекает, что для
построенной перестановки ряда [wn]n€N принцип сходимости Коти —
Больцано не выполяется и, следовательно, эта перестановка
представляет собой расходящийся ряд.
Итак, если функция и: п € N *-+ ип € X не является суммируемой
по множеству N, то некоторая перестановка ряда [un]nGN представляет
собой расходящийся ряд. Отсюда следует, что если любая перестановка
данного ряда является сходящимся рядом i то функция и суммируема
по множеству N. Теорема доказана. ■
Т Следствие. Для того чтобы числовой ряд [хп]п£^ был коммута,-
тивно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был абсолютно
сходящимся.
Доказательство. Согласно теореме 4.8 ряд [£n]n€N является
коммутативно сходящимся в том и только в том случае, если функция
i:nENnxnGlR суммируема по множеству N. Следствие теоремы 4.7
позволяет утверждать, что функция х: п Е N *-* хп ЕЖ суммируема по
множеству N в том и только в том случае, если сходится ряд [|£nJ]neN>
т. е. если исходный ряд [£n]n€N является абсолютно сходящимся
(определение абсолютно сходящегося ряда см. в п. 1.3). Следствие
доказано. ▼
Имеет место следующая теорема, которую мы приводим без
доказательства.
■ Теорема 4.9 (теорема Римана). Если числовой ряд
[хп]п^.ц_сходится, но сходится не абсолютно, то для любого числа L Е К
существует перестановка ряда [хп]п£^, сумма которой равна данному
числу L. ш

270
, Гл. 11. Теория рядов
4.5. Теорема об ассоциативности суммирования
(теорема о суммировании пачками)
Пусть X есть произвольное банахово пространство.
■ Теорема 4.10 (теорема об ассоциативности суммирования или
теорема о суммировании пачками). Пусть дано семейство множеств
(Rs)ses- Предположим, что множества, R8 попарно не пересекаются
и Т = (J Rs. Тогда если функция и: Т —► X суммируема по мно-
жеству Г, то для всякого s Е S определена сумма £) щ. Функция
i£R3
s Е S *-> ]Г) щ суммируема по S. При этом имеет место равенство
teRs
E(Ew0 = Ew*-
s£S Xt£Rs ' t£T
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Суммируемость функции и по каждому из множеств Rs имеет место в силу
следствия 1 теоремы 4.4. Положим для s Е S
p = ^2ut и ** = Е щ-
t£T t£Rs
Требуется доказать, что функция s Е S ^ zs Е X суммируема по S,
причем
E^=p=Ew<-
s£S гет
Зададим произвольно е > 0. Положим Е\ = е/2. Согласно
определению суммы найдется такое конечное множество Е С Г, что для
любого множества' А Е Jf (Г), содержащего в себе множество Е,
выполняется неравенство
Еи<"Р
<ег.
Пусть F С S есть совокупность тех значений 5 Е 5, для которых
множество Rs пересекает JS, т. е.
F = {5 Е 5 | Л, П Я ф 0}.

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 271
Множество F конечно. Пусть Н есть произвольное конечное
подмножество 5, содержащее в себе множество F. Пусть Q = |J Rs. Очевидно,
вен
Q D Е. Функция и суммируема по множеству Q. Так как Н конечно,
то согласно теореме 4.3 имеет место равенство
щ.
E^=E(Ew0=Ew
Согласно определению суммы по множеству (см. п. 4.1) найдется
конечное множество Ео С Q такое, что для любого конечного
множества А С Q такого, что Ео С А, выполняется неравенство
Е'и*-Еи*
<ег.
Положим Е = Е U Ео- Множество Е содержится в множестве Q,
и Ео С Е. Отсюда следует, что
Е^"Е^
<6l.
(4.12)
Множество Е содержит в себе также множество Е, откуда вытекает,
что
<£l.
(4.13)
Из неравенств (4.12) и (4.13), очевидно, следует, что имеет место
неравенство
Е^"Е^
< 2ег = е,
т. е. имеет место неравенство
Е*'-*
в€Я
< г.
Для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы
множество Н G Jt(S) содержало в себе множество F С 5.
Так как £ > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено,
что р = ^ 2г5, что и требовалось доказать. ■
s€5

272
Гл. 11. Теория рядов
В общем случае результат теоремы 4.10 не допускает обращения.
То есть из того, что функция и суммируема по каждому из множеств
i2s, s Е 5, а функция z: s G S ь-> ]£ w* суммируема по 5, вообще го-
воря, не следует, что функция и суммируема по Т.
Однако в одном важном частном случае такое заключение может
быть сделано. Именно, справедливо следующее предложение.
■ Теорема 4.11. Пусть дано семейство множеств (Rs)ses такое, что
они попарно не пересекаются, и пусть Т = |J Rs. Предположим, что
функция и: Т —► R неотрицательна,. Тогда имеет место равенство
ses \ея3 ' teT
Замечание. Для сумм, стоящих в левой и правой частях
данного равенства, допускаются значения оо, так что суммируемость
функции t ь-> щ по множеству Г здесь не требуется. Если хотя бы одно
слагаемое слева равно оо, то и вся сумма считается равной оо.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия
теоремы. Положим
t£T i€R3 s£S
Величина Us неотрицательна при каждом s. Действительно, если щ
суммируема по множеству Rs, это следует из теоремы 4.6, а если щ на
множестве Rs не суммируема, то Us = оо > 0. Отсюда следует, что
величина М определена. Требуется доказать, что
L = M. (4.14)
Если хотя бы для одного s £ S функция щ не является суммируемой
по множеству Rs, то Us = оо для этого s и, значит, в этом случае
М = оо. В данном случае функция щ не является суммируемой по
множеству Г, ибо в противном случае согласно следствию 1 теоремы 4.4
она была бы суммируема по любому из множеств Rs. Отсюда вытекает,
что в рассматриваемом случае также L = оо и, значит, в этом случае
равенство (4.14) верно.
Теперь предположим, что функция щ суммируема по множеству Rs
при каждом s £ 5, так что U8 < оо для любого s € S. Зададим
произвольно конечное множество Е С S и положим Re = U ^*-

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве
273
Так как функция щ суммируема по каждому из множеств Rs, то,
как следует из теоремы 4.3, она суммируема также и по множеству Re-
При этом
Е-= £(£».) = £
и..
teRE s£E 4£RS ' s£E
Так как Re С Г, то
В случае, когда функция щ суммируема по множеству Г, это верно
в силу следствия 2 теоремы 4.6, а если щ не суммируема по Г, то i = оо
и, значит, в этом случае неравенство (4.15) также верно.
Конечное множество Е С S было выбрано произвольно, и мы,
таким образом, получаем, что для всякого множества Е Е Jf(S)
выполняется неравенство
£ us < l.
s£E
Отсюда вытекает, что
М = sup ]Г Us < L. (4.16)
ЕеЖ(Б) S£E
Зададим произвольно число К < L. Согласно критерию
суммируемости неотрицательной вещественной функции (теорема 4.7) имеем
L= sup Y]uu
и, значит, найдется А Е Jf(T) такое, что ^ щ > К.
Пусть Е есть совокупность всех 5 G 5, для которых пересечение
Rsf)A непусто. Так как, по условию, А конечно, то множество Е также
является конечным. Пусть Re есть объединение всех множеств Rs, для
которых s € Е. Применяя теорему 4.3, получим
5> = E(l>)=E%-
s£E s£E М€Я, 7 i£RE
Множество Rei очевидно, содержит в себе множество А, и потому
в силу неотрицательности функции щ имеет место неравенство
J] Щ> Y^ ui > К-
i£RE t£A

274
Гл. 11. Теория рядов
В результате получаем, что
М = J>s>£f/S= J2 Щ>К-
Число К < L было выбрано произвольно. Таким образом, если
К < L, то К < М. Отсюда вытекает, что
гет ses
Принимая во внимание (4.16), получаем Yl ui == ]C Ua. Теорема
доказана. ■
▼ Следствие. Пусть дано семейство множеств (Rs)S£s такое, что
они полярно не пересекаются, и пусть Т = |J Rs. Предположим, что
функция и: Т —► Е неотрицательна, и суммируема по каждому из
множеств Rs. Пусть Us = Х^ ut- Тогда если функция s к-* Us суммируема
t£Rs
по множеству S, то функция щ суммируема по множеству Т.
Действительно, согласно теореме 4.11 имеем
t£T s£S \eRs ' s£S
Если функция s y-+ Us суммируема, то сумма справа конечна и, значит,
конечна также и сумма
гет
что и требовалось доказать. ▼
В качестве примера на применение теоремы 4.11 исследуем
на суммируемость некоторые функции, определенные на множестве
N х N = N2. Рассмотрим вопрос: при каких значениях а > 0, /3 > О
и 7 > 0 функция
(т,гс) ь-> —-
суммируема на множестве T = NxN = J42? Для произвольного s Е N
обозначим через Rs множество всех пар (m,n) Е N2, у которых
первая компонента т равна s. Множества Rs попарно не пересекаются,

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 275
и их объединение совпадает с N2. Согласно теореме 4.11 справедливо
равенство
У 1 =у(у 1 )
(т,п)€№ V У т=1 \п=1 v J /
00 1
РЯД 13 ~ сходится при А > 1 и расходится при А < 1. Имеем при
п=1 п
п —» оо
1 1 п^ 1
(та + п^)^ " п^ (тпа + пР)ч (1 + та/пР)ч
оо 1
Это позволяет заключить, что сумма Y] -, ^т— равна оо при
/?7 < 1 и конечна при /?7 > 1- Отсюда следует, что функция
1
(та + пР)ч
не является суммируемой по N2 при /3*у < 1.
Будем далее предполагать, что /?7 > 1. В этом случае величина
оо 1
ф(ш) = У^ т ! £Т~
v y ^ (та + пР)ч
п=1 ч '
конечна при любом т. Требуется установить, при каких значениях
о?, в и 7 сходится ряд
оо
£ ф(ш).
тп=1
Исследуем поведение функции Ф(т) при т —► оо. Для этого
воспользуемся неравенством, установленным в п. 2.4 этой главы. Пусть
/: [0,оо) —► Ш есть неотрицательная невозрастающая функция,
интегрируемая по промежутку [0,оо). Тогда
оо оо
//(Ол >£/(«)> //(<)*•
5 n=1 1
Полагая /(ж) = -.— jr-, получим следующую оценку:
оо оо
/, dX вл >Ф(т)>/? <** .

276
Гл. 11. Теория рядов
В каждом из интегралов, стоящих в этих неравенствах, произведем
замену переменной интегрирования, полагая х = ma^t. В результате
получим
оо оо
dt
_1 / dt 1 / di
г«Ч-а/0 J (I + ^)7 - ^Ш) - т«7-«//? У (1 + ;
т°1-а/Р J (1 + tt)l - V ' - mai-a/fi J (1+^)7"
0 m-«//»
Интеграл, стоящий здесь слева, обозначим символом /(0). Пусть
1(т~а/Р) есть интеграл справа. При m -^ оо, очевидно, 1(т"а^) —>
—> 7(0). При каждом m имеем
^/(0) > Ф(т) > Ц-гДт-"/'9).
Отсюда ясно, что отношение Ф(га) : /Q при m —► оо стремится
к конечному пределу, отличному от нуля. (Предел этот, очевидно,
оо
равен 1(0).) Это позволяет заключить, что ряд £ Ф(яг) сходится,
m=l
если
а
и расходится, если
«7 - Д < I-
После некоторых простых преобразований из доказанного
получаем, что функция
1
(та + п&)ч
суммируема по N2, если выполняется неравенство
1 1
7> -+ д,
а р
и не является суммируемой, если
^ 1 1
7<- + 7г

§ 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 277
4.6. Кратные ряды
Пусть X есть произвольное банахово пространство. Предположим,
что для любых двух целых чисел m > О и га > О определен
некоторый вектор гхШ)П Е X. Иначе говоря, пусть задано отображение
и: (т,га) Е No х No *-► um>n G X. В этом случае будем говорить, что
задана двойная последовательность (umf1l Е X)m€i^jn€]>j0. Для
обозначения этой двойной последовательности мы будем использовать также
выражение (гхт>п Е Х)т>о,та>о- Величины umjn при этом называются
членами данной двойной последовательности. По двойной
последовательности (um^neN^mGNo определим некоторую другую двойную
последовательность (5mjn)nei\j0jm€N0, полагая для т Е No и га Е No
т п
t=0 i=0
Определенная таким образом пара двойных последовательностей
(Wm,n)meNo,n€N0 И (sm,n)m€No,n€N0 Называется двойным рядом.
Для произвольных целых т > О и га > О обозначим символом Ет}П
совокупность всех целых г, j таких, что 0<i<mnO<j<ra. Тогда,
очевидно, имеем
S™,n = 2Lj W,'J*
(«,i)€Emfn
Для произвольных целых чисел т > 0 и т > 0 положим г(т, га) =
= min{m,ra}. Зададим произвольно значение К < оо. Найдутся целые
числа т > 0 и га > О такие, что m > К и га > /С. Для любой такой
пары (т,га), очевидно, г(га,га) > /Г. Отсюда следует, что для любой
окрестности U точки +оо в К можно указать пару (m,ra) E N§, для
которой г(гга,га) Е ?7.
Из сказанного следует, что г(т, га) можно взять в качестве
оценочной функции с предельным значением +оо на множестве N§ = No x No-
Предел lim «sm,n> если таковой существует, называется суммой
r(m,n)—юо
оо оо
двойного ряда [wmjn]n>o,m>o и обозначается символом Х^ X) wm,n-
m=On=0
■ Теорема 4.12. Есля функция u: Nq —► X, где X есть произвольное
банахово пространство, суммируема по множеству N§, то двойной ряд
[wm,n]n>o, m>o является сходящимся и его сумма равна сумме функции и
оо оо
яо множеству Ng, т. е. £ ]С wm,n = ]С иШ)П.
п=Ош=0 (m,n)€Ng

278
Гл. 11. Теория рядов
Доказательство. Пусть двойная последовательность
(^т,п)п>0,т>0
как функция на множестве N§ является суммируемой в смысле
определения, данного в п. 4.1. Пусть s 6 X есть значение суммы функции
(га, га) ь-> ит)П по множеству I4q.
Зададим произвольно е > 0. Согласно определению суммы (п. 4.1)
по нему найдется конечное множество Eq С Nq такое, что для любого
конечного множества Е Э Eq выполняется неравенство
£
(туп)£Е
< е.
Пусть М есть наибольшее из значений га, соответствующих
парам (га,п) € Eq, N — наибольшее из значений гс, отвечающих таким
парам. Пусть R = max{M, N}. Величина R конечна. Предположим,
что r(m,n) > R. Тогда имеет место включение Eq С Ет^п.
Действительно, если (i,j) € Eq, то i < М < R < г(га,гс) < га и, аналогично,
j < N < R < г(т,п) < п. Отсюда следует, что (г, j) G Ет>п.
Итак, если r(ra, n) > R, то ЕтуП D Eq и, значит,
(t\i)€JS,
HtJ
<г,
т. е. ||5m>n — 5|| < е для любых га, п Е No таких, что r(ra, n) > R. В силу
произвольности е > 0 тем самым установлено, что
lim
r(m, n)—*oo
Jm,rf
Теорема доказана. ■
По аналогии с понятием двойного ряда можно определить понятия
тройного ряда и вообще понятие т-кратного ряда для любого га Е N.
Приведем определение га-кратного ряда, и притом сразу
для произвольного га. Пусть N™ есть совокупность всевозможных
последовательностей из га неотрицательных целых чисел (щ, гаг,..., пт).
Для v = (щ, 7г2,..., ram) £ Nq1 полагаем
r(i/) = r(ni,n2,...,nm) = max{ni,n2,...,nm}.

jj 4. Сумма, значений функций на, бесконечном множестве 279
Определенная так функция г на множестве N™ является оценочной
функцией с предельным значением +оо. Для и = (щ, п2,..., пш) будем
обозначать символом Е„ = 5nbn2)...,nm множество всех
последовательностей i = (ii, г2,..., ijn) G N™ таких, что
Ч < ™ъ *2 < та2,...,гт < пт.
Предположим, что всякой последовательности
i/= (пьп2,...,пто) € NJ1
сопоставлен некоторый элемент гх^ = wnijn2)...jTlm банахова
пространства X. В этом случае будем говорить, что задана m-кратная
последовательность
(UvJueNg = (wn1,n2,...,nm)ni>0,n2>0,...,nm>0-
Полагаем
Пара m-кратных последовательностей (и,,),,^™ и («s„)„€N™»
определенная описанным образом, называется m-кратным рядом и
обозначается одним из выражений:
[uu]u£Nrn ИЛИ [Wn1,n2,...,nm]n1>0,n2>0,...,nm>0.
При этом величины uv € X, ^ Е N™, называются членами данного
т-кратного ряда, а величины s^ Е X, ^ Е N™, — его частными
суммами.
Предел lim su = s, если таковой существует, называется суммой
r(i/)—»-оо
т-кратного ряда [ии]и^^т, и обозначается следующим образом:
X j uni,n2 nm-
(п1,п2,...,пт)€Г^
Далее т-кратный ряд называется сходящимся, если, он имеет
определенную сумму.
По аналогии с теоремой 4.12 доказывается следующее
достаточное условие сходимости m-кратного ряда.
■ Теорема 4.13. Пусть [wn1,n2,...,nm]n1>o,n2>o,...,nm>o есть
т-кратный ряд в банаховом пространстве X. Если функция и : и = (ni, п2,...
• ..,TCm) G NJ1 ^ wni,n2,...,nm суммируема ло множеству N™, to
данный m-кратный ряд сходится и сумма функции u„, v G Nq1, ho
множеству 14™ есть сумма этого ряда.
Доказательство теоремы 4.13 мы опускаем, поскольку оно
аналогично доказательству теоремы 4.12. ■

280
Гл. 11. Теория рядов
§ 5. Бесконечные произведения
Понятие бесконечного произведения возникает, если в определении того,
что есть ряд, заменить операцию сложения умножением.
В этом параграфе приводятся необходимые определения,
устанавливаются условия сходимости или расходимости бесконечных произведений,
рассматриваются некоторые примеры.
Исследование вопроса о сходимости или расходимости бесконечного
произведения, как показано здесь, сводится к аналогичной задаче для числовых
рядов.
5.1. Определение бесконечного произведения
5.1.1. Пусть дана произвольная числовая последовательность (xn)n>m,
где xn Е С. Бесконечным произведением называется выражение вида
оо
П *»• (5Л)
71 = 171
Числа хп при этом называются сомножителями бесконечного
произведения (5.1).
По последовательности (хп)п>т построим новую
последовательность (Рп)п>т, полагая Рт = хш, Рт+1 = хтхт+1 = Ртхш+Ъ т. е.
при каждом п > т
п
Рп = хтхт+1 ...хп= Ц хк. (5.2)
fc=m
Числа Рп называются частичными произведениями бесконечного
произведения (5.1).
Предел lim Рп, если таковой существует, называется значением
бесконечного произведения (5.1). Если все члены
последовательности (хп)п>т есть вещественные числа, то числа Рп также являются
вещественными и в этом случае предел Рп может принимать
значения ±00.
Предположим, что хп ф 0 для всех значений п > т. В этом
случае бесконечное произведение (5.1) называется сходящимся, если его
значение Р определено и конечно, причем Р ф 0, т. е. предел Рп
существует, конечен и отличен от нуля. Пусть дано бесконечное произ-
оо
ведение П хп, причем хп ф 0 для всех п > т. Зададим произвольно
71 = 771

§ 5. Бесконечные произведения
281
71 ^ П
N > т и для п > N положим Рп = Ц £&, Рп = Ц ж*. Тогда
fc=m k=N
будем иметь Рп = Pw_iPn- Отсюда следует, что если существует
конечный предел lim Pn = P, причем предел этот отличен от нуля, то
та—*оо
существует также и предел lim Pn = P^-iP. Этот предел отличен от
та—>-оо
нуля, так как Рдг-i ^ОиР^О-
Верно и обратное: если предел lim Pn существует, конечен
та—юо
и не равен нулю, тогда то же самое верно ив отношении
предела lim Pn.
та—*оо
Если последовательность (жп)та>т такова, что хп = 0 для
некоторых значений п, то бесконечное произведение (5.1) мы будем называть
сходящимся, если можно указать номер N > т такой, что хп ф 0 при
оо
n > JV, и бесконечное произведение JJ жп,в котором все множители хп
n=N
отличны от нуля, является сходящимся.
Если бесконечное произведение не является сходящимся, то оно
называется расходящимся.
оо
♦ Предложение 5.1. Если бесконечное произведение JJ хп явля-
п—т
ется сходящимся, то хп —► 1 при п —► оо.
Доказательство. Действительно, не умаляя общности, можно
считать, что хп ф 0 при каждом п > т. Пусть Рп определено
при каждом п равенством (5.2). При всяком n > m имеем
-* та == Рта — 1%п•
Согласно определению сходящегося бесконечного произведения
существует конечный предел lim Pn = Р. При этом Р ф 0. Имеем
та—юо
р
яп = та . При п —► оо имеем Рп —► Р и Pn_i —► Р. Так как Р Ф 0,
Рта-1
отсюда следует, что яп —► ■— = 1 при п —► оо, что и требовалось
доказать. ♦
5.1.2. Из доказанного, в частности, вытекает, что если бесконечное
оо
произведение П хп сходится, то, начиная с некоторого номера JV,
та=т?г
имеет место неравенство хп > 0.

282
Гл. 11. Теория рядов
5.2. Признаки сходимости и расходимости бесконечного
произведения
5.2.1. Следующая теорема позволяет свести вопрос о сходимости или
расходимости бесконечного произведения с вещественными
сомножителями к вопросу о сходимости или расходимости некоторого ряда. В
теореме речь идет о бесконечных произведениях, все сомножители которых
положительны. Как мы видели в предыдущем пункте, это ограничение
является несущественным.
■ Теорема 5.1. Пусть даяо бесконечное произведение
оо
П*»• (5-3)
71=171
Предположим, что xn E К для всех п, причем хп > 0. Тогда, для
того, чтобы бесконечное произведение (5.3) было сходящимся,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
оо
£lna?». (5-4)
71 = 771
71 71
Доказательство. Положим Рп = П xk, Sn = YL In я*. Оче-
видно, имеем Sn = lnPn, Pn = е5п при каждом n > m. Если
бесконечное произведение (5.3) является сходящимся, то существует предел
lim Рп = Р. Более того, 0 < Р < оо. Отсюда следует, что предел
71—>-00
lim Sn = lim In Pn существует и равен In P. В частности, этот пре-
П-^ОО 71—*00
дел конечен, и мы получаем, что в данном случае ряд (5.4) сходится.
Итак, сходимость бесконечного произведения (5.3) влечет сходимость
ряда (5.4).
Предположим, что ряд (5.4) является сходящимся. Это означает,
что предел lim Sn = S существует и конечен. Отсюда следует, что
71—ЮО
существует предел lim Pn. Его значение, очевидно, равно Р = е5,
71—ЮО
и, значит, 0 < Р < оо. Мы получаем, таким образом, что бесконечное
произведение (5.3) является сходящимся. Теорема доказана. ■
5.2.2. Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное
условие сходимости бесконечного произведения, удовлетворяющего
некоторому дополнительному условию. Определим функцию a: (—1, оо)—>
—► К, полагая
1п(1 +1)
{
при t ф О,
a(t)={ t ^ *г"* (5.5)
при t = 0.

§ 5. Бесконечные произведения 283
Далее используется утверждение, что функция а непрерывна в
точке t = 0. Справедливость этого утверждения вытекает из равенств
lim a(t) = lim Ml+Л = l = а(0).
t—+о t—*o t
Заметим еще, что a(t) > 0 и ln(l +1) = a(t)t для всех t > — 1.
■ Теорема 5.2. Пусть дано бесконечное произведение
П(1 + *»)' (5-6)
причем числа, tn либо все неотрица,тельны, либо все неположительны,
причем в последнем случа,е l+tn > 0 для всех n> m. Тогда, бесконечное
произведение (5.6) будет сходящимся в том и только в том случае, если
сходится ряд
оо
£ <•• (5-7)
71 = 771
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда tn > 0 для
всех п. Предположим, что бесконечное произведение (5.6) сходится.
Тогда сходящимся является ряд
оо
Х>(1 + *„). (5.8)
Как показано выше, верно и обратное: если сходится ряд (5.8), то
сходится и бесконечное произведение (5.6). При каждом n > m имеем
Ot{tn)
или, что то же самое,
ln(l + tn) = tna(tn),
где функция а определена равенством (5.5). Если хотя бы один из
рядов (5.7) и (5.8) является сходящимся, то, как нетрудно видеть, tn —► 0
при 7г —> сю и, значит, a(tn) —► 1 при п —► оо.
Применим первую теорему сравнения (теорему 2.3 этой главы).
Напомним, что эта теорема утверждает: если числовые ряды [жп]п>^

284
Гл. 11. Теория рядов
и [an]n>m с неотрицательными членами таковы, что ряд [an]n>m
сходится и хп = 0(ап) при п —► оо, то сходится также и ряд [жп]п>ь
Если хотя бы один из рядов (5.7) и (5.8) сходится, то, как следует из
доказанного, tn = 0(ln(l + tn)) и ln(l + tn) = 0(tn) при п —► оо. В силу
теоремы 2.3 отсюда вытекает, что если хотя бы один из рядов (5.7)
и (5.8) является сходящимся, то сходится также и другой. В силу
теоремы 5.1 сходимость ряда (5.8) равносильна сходимости бесконечного
произведения (5.6).
Утверждение теоремы, относящееся к случаю, когда tn > 0 для
всех п > т, доказано.
Теперь рассмотрим случай, когда tn < 0 для всех п. Согласно
условию доказываемой теоремы 1 + tn > 0 для всех п > т. Положим
tn = —un. Тогда, очевидно, ип > 0 для всех п и сходимость ряда [/n]n>m
равносильна сходимости ряда [wn]n>m. Очевидно, 1 + tn = 1 - un.
Рассмотрим ряд
1 ' (5.9)
Е"»
1 -Un
Имеем
откуда ясно, что сходимость ряда (5.9) равносильна сходимости
бесконечного произведения (5.6). Имеем
In (т^—) = una(-un). (5.10)
V1 - un J
Если ряд (5.9) сходится, то —> 1 и, значит, ип —► 0, а
1 - ип
ot{—un) —► 1 при п —► оо. Равенство (5.10) позволяет заключить, что
если один из рядов (5.9) или (5.7) является сходящимся, то при п —► оо
справедливы соотношения
ь(г^г) = 0<«.). - = °(1п(г^:))-
На основании первой теоремы сравнениями доказанного вытекает,
что сходимость одного из рядов (5.7) или (5.9) влечет сходимость
другого. На основании теоремы 5.1 отсюда вытекает, что и в
рассматриваемом случае бесконечное произведение (5.6) является сходящимся в том
и только в том случае, если сходится ряд (5.7). Теорема доказана. ■

§ 5. Бесконечные произведения
285
5.2.3. В теоремах 5.1 и 5.2 рассматривались только такие бесконечные
произведения, у которых все сомножители являются вещественными
числами. Докажем теорему, применимую к случаю бесконечных
произведений с комплексными сомножителями.
■ Теорема 5.3. Пусть дано бесконечное произведение
оо
П<1 + *»)' (5-и)
71=171
где zn — произвольные комплексные числа,. Тогда если ряд
оо
£ w (5Л2)
71=171
является сходящимся, то бесконечное произведение (5.11) сходящееся.
Доказательство. Пусть бесконечное произведение (5.11) таково,
что числовой ряд (5.12) является сходящимся. В силу теоремы 5.2 тогда
сходится бесконечное произведение
n^ + w)- (5-13)
71=171
71 П
Положим Рп = П (1 + zk)j Qn = П (1 + \ZA)- При каждом п,
& = 171 fc=7Jl
очевидно, имеем \Pn\ < Qn. В силу сходимости бесконечного
произведения (5.13) последовательность (Qn)n>m имеет конечный предел и,
следовательно, она ограничена.
Пусть Qn < М < оо для всех п > га. Тогда \РП\ < М для всех п.
При каждом п>т имеем равенство
Рп = Рт + (Рт+1 ~ Рт) + Н (Рп "~" Pn-l)-
Бесконечное произведение (5.11) будет сходящимся, если сходится ряд
Рт + (Рт+1 - Рт) + • ' • + (Р, - Pn-l) + • • • • (5-14)
При п > т имеем
\Рп - Ря_!| = |(1 + *п)Рп-1 - Pn_.il = |*n||Pn-l| < М|*»|.

286
Гл. 11. Теория рядов
Отсюда вытекает, что ряд (5.14) является абсолютно сходящимся.
В частности, мы получаем, что существует предел lim Рп = Р.
Покажем, что если 1 + zn ф О при всех га, то Р ф 0. Для этой цели
00 1 <
рассмотрим бесконечное произведение Ц .
п I
Для га > т пусть Rn = ГТ . При каждом га > гга имеем
к=т l + Zk
1 и |
RnPn = 1. Положим = 1 + wn. Имеем \wn\ = . ,. Так как
l+Zn ' |1 + *п|
ряд [|^n|]n>m является сходящимся, то zn —> 0 при га —► оо и, значит,
ется ограниченной.
Пусть L < оо таково, что т- г < L для всех га > т. Отсюда
\l + zn\
следует, что \wn\ < L\zn\. Так как ряд [|^n|]n>m сходится, то из
сказанного выше вытекает, что ряд [|wn|]n>m также сходится и, значит,
по доказанному, существует конечный предел lim Rn = R.
п—»-оо
Переходя к пределу в равенстве RnPn = 1> выполняющемся для
всех га > гга, получим RP = 1. Отсюда следует, что R ф 0 и Р ф 0.
Мы получаем, что для бесконечного произведение (5.11) в данном
случае его значение определено и отлично от нуля и, следовательно, оно
является сходящимся.
Предположим, что некоторые из сомножителей 1 + zn данного
бесконечного произведения обращаются в нуль. В силу сходимости
ряда (5.12) 1 + zn —► 1 при га —► оо, и, значит, найдется номер N такой,
что 1 + zn ф 0 при п> N.
оо
Из доказанного следует, что бесконечное произведение JJ (1 + zn)
n=N
является сходящимся, откуда согласно определению вытекает, что
бесконечное произведение (5.11) сходится. Теорема доказана. ■
5.3. Формула Валлиса
Приведем здесь один пример бесконечного произведения. Пусть
га > 0 — целое число. Положим
тг/2
dx.
1{п) = / sinn х

§ 5. Бесконечные произведения 287
7Г
Имеем /(0) = —, /(1) = 1. Пусть n E N, п > 2. Преобразуем
интеграл, которым выражается 1(п) по формуле интегрирования по
частям (см. главу 5). Выражение sinn xdx может быть представлено,
в виде — sin71"1 х d cos x. Отсюда заключаем, что
*72 /2 тг/2
/(га) = - / sin71""1 xdcosx = — sin71 я cos я Ь + / cos xd{smn~l x}.
о ° о
Выражение справа, стоящее перед знаком интеграла, равно нулю, так
7Г
как sin 0 = 0 и cos — = 0. Далее, имеем
cosxd{smn~~1 x} = (n — 1)sin71""2 zcos2 xdx =
= (n — 1) sin71""2 ж dz — (n — 1) sin71 x dx.
В результате получаем равенство
тг/2 тг/2
/(га) = (га — 1) / sin71""2 х dx — (n — 1) / sin71 xdx •=■
о о
= (n-l)I(n-2)-(n-l)/(n),
из которого следует, что
j(n) = ILLlj(n_2). (5.15)
n
Полученное соотношение позволяет вычислить /(п) при каждом п.
Пусть п четно, т. е. п = 2т. Из равенства (5.15) получаем
/(2m) " 2m(2m-2)...4.2 /(0) ~
_ (2т-1)(2ш-3)...3-1тг _ (2m - 1)!! тг
2m(2m-2)...4-2 2~ (2т)!! 2"
Если п нечетно, т. е. п = 2т — 1, то, последовательно применяя
равенство (5.15), придем к следующему соотношению:
_,„ 1Л 2m(2m-2)...2 _,1Ч ■
f(2m + 1)=(2ro + l)(2m-l)...3/(1) =
2m(2m - 2)... 2 (2m)!!
(2m+l)(2m-l)...3 (2m+l)!!'

288
Гл. 11. Теория рядов
При каждом т имеем 1(2т + 2) < 1(2т + 1) < 1(2т). В силу
равенства (5.15)
J(2m + 2) _ 2m - 1
J(2m) "" 2m+ 2 ""*
n /(2m+1) 1
при m —► oo. Отсюда следует, что также и ———г ► 1 при m —► оо.
i(2m)
Имеем
J(2m+1) _ (2m)!! (2m- 1)!! тг [(2m)!!]2 2
J(2m) (2m + 1)!! ' (2m)!! 2 (2m - l)!!(2m + 1)!! тг*
Данное отношение имеет предел, равный единице. Отсюда, очевидно,
вытекает, что
2_ (2m-l)!!(2m + l)!!
тг ~ т™оо [(2т)!!]2
По определению (глава 1),
т
(2т + 1)!! = 3 • 5 •... • 2т + 1 = Д (2Jfc + 1),
171 % 771
(2т-1)!!= Д(2*-1), (2т)!!=Д2*.
к=1 к=1
Принимая эти равенства во внимание, получаем равенство
(2m-l)!!(2m + l)!
В-Й(»«а(-А)-Д(-А)
[(2т)!!]»
Отсюда
9 JJL / 1 \ JS. / 1 \
(5.16)
ife=l ч 7 п=1 ч
4п2
Равенство (5.16) называется формулой Валлиса. (Другой путь
доказательства формулы Валлиса указан далее: см. главу 12, § 5, п. 5.5(8).)

§ 6. Цепные дроби
289
§ 6. Цепные дроби
В этом параграфе изучается понятие бесконечной цепной или
непрерывной дроби. Даются необходимые определения, устанавливаются условия
сходимости или расходимости бесконечной цепной дроби. Приводятся некоторые
примеры.
Теория цепных дробей имеет приложения в теории чисел, теории
функций комплексной переменной и теории приближения функций.
6.1. Определение и простейшие свойства цепных дробей
Начнем с некоторого простого примера. Рассмотрим число у/2.
Имеем 1 < л/2 < 2.
Число 1 можно рассматривать как приближенное значение у/2. Это
приближение, однако, вряд ли можно считать хорошим. Чтобы
получить лучшее приближение, преобразуем \/2 следующим образом.
Положим у/2 - 1 = А. Тогда будем иметь 0 < А < 1. Итак,
VS-i + fc/S-D-i + j^j-i + jij. (6.1)
Если в этом выражении заменить А нулем, то дробь увеличится и в
результате мы получим
V2<l + i.
Из равенства \/2 = 1 + вытекает, что
Z *г А
Л=2ТХ <6'2>
Подставляя это выражение для А в правую часть равенства (6.1),
получим
ч/2 = 1 + Ц—. (6.3)
2+2П
Если в последнем выражении заменить А нулем, то дробь
уменьшится и мы получим неравенство
л/2>1 + -Ц- = ;.
2 + 5 '

290
Гл. 11. Теория рядов
В результате проделанных вычислений находим следующие
границы для у/2:
\<у/2<\ или 1,4<л/2<1,5.
Таким образом, указан некоторый новый интервал, содержащий
число \/2, в десять раз более короткий, чем первоначальный
интервал (1,2)!
Приняв один из концов найденного интервала за приближенное
значение \/2, мы получим значительно менее грубое приближение к
числу \/2, чем то, которое получается, если положить л/2 « 1 или у/2 » 2.
Подставляя выражение для А, которое дается равенством (6.2),
в правую часть равенства (6.3), получим
V2 = l + К •
2 +
2+ 1
2 + А
Этот процесс может быть неограниченно продолжен и далее.
Заменяя в полученных представлениях числа \/2 число А нулем,
мы получим последовательность рациональных чисел, которые будут
попеременно либо больше, либо меньше числа \/2- Каждое из этих
чисел задается дробью вида
1 +
2 +
2 +
Пусть Rn есть дробь, получаемая, когда в последнем выражении
стоит п двоек. Выписывая явно представления для J?o> Rii R2 и т. д.,
после некоторых простых вычислений получим
ъ =
it4 :
= 1,
41
~ 29:
Л]
i
^5
3
2'
=
i?2
99
70'
7
~5'
Re =
239
169''
17
12'

§ 6. Цепные дроби
291
Нетрудно видеть, что если п четно, то Rn < д/2> а если п нечетно,
то Rn > у/2. Длины интервалов между соседними дробями, как это
можно видеть в рассмотренных частных случаях, убывают, и притом
достаточно быстро. Это наводит на мысль, что последовательность
дробей, получаемых описанным Построением, имеет своим пределом
число \/2. В соответствии с этим говорят, что число у/2 равно
бесконечной цепной дроби
1+ —.
2 +
2 +
2 + ..;
Аналогичные построения возникают и в связи с другими
задачами о приближенном представлении иррационального числа, ра,цио-
на,льными числа,ми, а также в задачах о приближении произвольных
функций ра,циона,льными функциями.
Цепной или непрерывной дробью называется выражение вида
Уо + ^— , (6.4)
2/1 + Z
2/2 +
Уп-1 +
Уп +
в котором уо) #1 » 2/1 ? • • -) £n? yny... — произвольные комплексные числа.
Единственное условие, которому должны удовлетворять числа хп и уп,
таково. Выражение
Уо + —; (6.5)
У1 +
£з
2/2 +
Уп-1 +
Уп
должно быть определено для любого п. Выражение (6.5) может стать
неопределенным, если, выполняя указанные в нем операции, мы в
какой-то момент получим дробь, знаменатель которой равен нулю.

292
Гл. 11. Теория рядов
Всякое выражение вида (6.5) называется конечной цепной дробью.
В противоположность этому выражение, задаваемое формулой (6.4),
будем называть бесконечной цепной дробью.
Ввиду громоздкости выражения (6.4) для его записи будем
применять одно из следующих обозначений:
или
£i х2 хп
У о + ——... —
Уг + У2 + + Уп
Уо;
Уп\г
В случае, когда уо = 0> вместо (6.6) и (6.7) будем писать
Х\ Х2 Хп
Уг + 2/2 + " * + Уп '"
или соответственно
(6.6)
(6.7)
Уп}
Аналогичным образом, для конечной дроби (6.5) используется одно
из следующих выражений:
Уо +
Х\ Х2 Хп
У\ + 2/2 + ' ' ' + Уп
или
Уо]
х±
Ук]г
Дробь — называется п-м звеном, цепной дроби (6.4); хп и уп —
Уп
членами п-го звена цепной дроби (6.4); xi,x2, • • • называют частными
числителями цепной дроби (6.4); числа yi,y2,... называют ее част-
ными знаменателями. Наконец, уо называется нулевым звеном цепной
дроби.
Положим R0 = Ro(y0) = Уо- Пусть Ri = Ri(yo,xi,yi) = y0 +
Очевидно,
£1
Уг
Ri =
2/02/1 +хг Рг(уо,хъуг)
Уг Qi{yo,xi,yiY
где Рг(уо,хиуг) = у0уг + зь а Яг{Уо,хъу{) = уг
Теперь положим ЛгСз/о» я?1 > З/i j ^2» У2) = 2/о + -
XI
После выпол-
Уг + —
У2
нения всех операций в выражении, стоящем в этой формуле справа,
получим
#2(2/0, £ъ 2/1,^2,2/2) =
УоУгУ2 + Уох2 + У2Хг _ Р2(у0,хиуих2уу2)
УгУ2 + х2
Я2(Уо<>хгуУг,х2,у2У

§ 6. Цепные дроби
293
где
Р2(уо,яъ Уъ^Ы = 2/02/12/2 + 2/0^2 + 2/2^1,
#2(2/0, £1,2/1, Я2,У2) = У!у2 + ^2.
Отбрасывая в (6.4) все члены, следующие за жп, получим
2/о + ^—га ■ (б-8)
W + Яз
2/2 +
#4
Уз +
Уп
Формально, цепная дробь есть математический объект,
определяемый заданием числовых последовательностей (жп)п>1 и (уп)п>о и Ука_
занием правила, посредством которого из этих последовательностей
получается некоторая третья последовательность (i2n)n>o-
Чтобы описать правило, по которому определяются числа ijn,
введем некоторое вспомогательное понятие.
Функция F(z) переменной z E С называется дробно-линейнощ если
она допускает представление: F(z) = — =-, где А, 5, С и D —
Cz + D
произвольные комплексные числа. Пусть F(z) и G(z) = —
C\Z + D\
произвольные дробно-линейные функции. Тогда для всякого z € С
имеем
^ = -%7ТЖ
+ D
Сгг + Di
Умножив числитель и знаменатель стоящей здесь дроби на С\ z + D\,
получим
F ^ - от
где А0 = AAi + J9Ci, J50 = АВ\ + J9Z?i и, аналогично, Со = CAi + J9Ci,
Dq = CBx +DDi.
Таким образом, мы получаем, что если функции F и G являются
дробно-линейными, то их суперпозиция FoG также есть
дробно-линейная функция. (В проделанных вычислениях предполагалось, что z т&-
ково, что все получаемые выражения имеют смысл, т. е. знаменатели
получаемых дробей не обращаются в нуль.)

294
Гл. 11. Теория рядов
Последовательность Rn определяется следующим образом. Пусть
(sn)n>o и (Sn)n>o есть последовательности дробно-линейных функций,
определенные следующим образом:
х
s0(z) = уо + z и при п > 1 sn{z) = —, (6.9а)
Уп + z
S0(z) = б0(*) и при п > 1 Sn(*) = ^-.i^^C^r)]. (б.9Ь)
Тогда i2n = S'n(O). Величины i2n называются подходящими дробями
цепной дроби (6.4).
Предположим, что заданы некоторые конкретные значения чисел
Уо, Уп, жп, где п= 1,2,....
Наша цель — определить, что означает бесконечное выражение,
заданное формулой (6.4) для этих конкретных значений хп и уп.
Прежде всего заметим, что если для некоторого п оказалось, что
£«+i = 0, причем хш ф 0 для всех т < п, то в этом случае величина Лп,
отвечающая данному номеру п, принимается за значение бесконечной
дроби (6.4). Тогда саму дробь будем считать совпадающей с конечной
дробью, определенной равенством (6.8).
Если при вычислении подходящих дробей Rn возникает дробь,
в знаменателе которой стоит нуль, то будем считать, что в этом случае
цепная дробь (6.4) не определена.
Цепная дробь (6.4) называется сходящейся, если
последовательность ее подходящих дробей (i2n)n€N имеет конечный предел. Пусть R
есть этот предел. Тогда будем говорить, что бесконечная цепная дробь
равна этому числу i2, и называть R значением цепной дроби (6.4).
Теория цепных дробей весьма обширна, и здесь не представляется
возможным осветить все ее аспекты. Мы ограничимся тем, что
определим некоторые простые условия сходимости цепной дроби и приведем
примеры.
Непосредственное вычисление величины Rn с помощью
формулы (6.8), которая ее определяет, оказывается делом достаточно
трудоемким. Следующая лемма устанавливает соотношения,
позволяющие последовательно находить подходящие дроби для цепной дроби
вида (6.4).
■ Лемма 6.1. Пусть дана, бесконечная цепная дробь (6,4). Пусть
(Pn)n=-i,o,i,2,..o (Qn)n=-i,o,i,2,... есть последова,тельности,
определенные условиями P_i = 1, Q_i = 0, Ро = Уо> Qo = 1> я для всякого
п > 1
Рп = УпРп-1 + ХпРп-2, (6.10а)
Qn = VnQn-1 + ZnQn-2- (6.10b)

§6. Цепные дроби
295
Тогда, при ка,ждом п > 1 дробно-линейные функции Sn(z),
определенные равенствами (6.9а) и (6.9Ь), выражаются формулами
Qn-iz + Qn
и n-я подходящая дробь цепной дроби (6.4) равяа
Д« = £". (6.12)
Доказательство. Равенство (6.11), как показывает простая
проверка, верно для п = 1. Предположим, что для некоторого п > 1
равенство (6.11) доказано. Тогда согласно определению имеем
р %п+1 р
V Г ) = n-l^n+l(^) + -Pn Уп+1 + g
n+lUJ Q«-n«+i(*) + Qn дп_г х^ + Qn'
2/n+l + *
Умножая числитель и знаменатель последней дроби на yn+i + z,
получим
g (z) = PnZ + (У»±1^ + ^n+l^Pn-l) = JV + Рп+1
П+1 Qn* + (Уп+lQn + Жп+iQn-i) Qn^ + Qn+1 *
Это есть равенство, получаемое, если в (6.11) заменить п на п + 1.
По индукции, таким образом, установлена справедливость
равенства (6.11) для всех п. Полагая в равенстве (6.11) z = 0, получим
равенство (6.12). Лемма доказана. ■
■ Лемма 6.2. Пусть цепная дробь задана равенством (6.4).
Предположим, что последовательности полиномов Рп и Qn определены, как
указано в лемме 6.1. Тогда, при каждом п имеем равенство
PnQn-X - Рп-1<Эп = (-1)П"^1^2 ...ХП.
Доказательство. Положим Dn = PnQn-\ - Pn-iQn. Подставляя
сюда выражения для Рп и Qn из равенств (6.10а) и (6.10b), получим
Dn = (УпРп-1 + XnPn-2)Qn-l - Pn-liVnQn-l + XnQn-2) =
= Xn(Pn-2Qn-l ~ Pn-lQn-2) = ""^nAi-l-

296
Гл. 1L Теория рядов
Отсюда по индукции заключаем, что
Dn = {-1)п"2хпхп.г... x2Dl = (-l)71"1^!^ ... хп.
Лемма доказана. ■
Т Следствие 1. Пусть дана, цепная др®бь
Х\ 3?2 &п
Уо +
У\ + 2/2 + + Уп
Пусть (Rn)n£N есть последовательность ее подходящих дробей,
рп
Rn = р~-, где Рп и Qn определяются равенствами (6.10а) и (6.10b).
Тогда при каждом га £ N имеют место равенства
-ftn Лп_1 —
(-1)" 1х1х2...хп
QnQn-1
Яп - /Сп-2 - (,-J-J 77-7^ •
ЧпЧп-2
Доказательство. Имеем
ту __ ту "*» -*П —1 __ ^пУп-1 ~" -Ln — ltyn
(6.13)
(6.14)
Qn Qn-i
QnQn-i
Равенство (6.13), очевидным образом, следует отсюда в силу
равенства леммы 6.2.
Теперь докажем равенство (6.14). Применяя равенство (6.13),
получим, что при каждом п > 2 имеем
Rn — Rn-i —
Rn-l " Rn-2 =
(-l)n 1ж1ж2...жп
(-1)Я-2Ж1Ж2...ЖЯ_1
Qn-lQn-2
Складывая эти равенства почленно, будем иметь
Rn - Дп_2 = (-1)я хгх2 ... яя_
+
QnQn-i Qn-iQn-2
(-l)n"2xix2^^xn^1
n-2TiTo ^ Qn XnQn-2
QnQn-lQn-2

§6. Цепные дроби
297
Воспользуемся равенством Qn = ynQn-i+%nQn-2- Подставляя это
выражение в числитель последней дроби, после очевидных
преобразований получим
Кп - Kn-2 - (-1J 7Г7^ >
что и требовалось доказать. ▼
▼ Следствие 2. Предположим, что цепная дробь
Х\ Х2 Хп
у о + — — ... —
2/1 + 2/2 + + Уп
такова, что хп > 0 для всех га я уп > 0 для любого п > 1. Пусть
(Rn)n£N есть последовательность ее подходящих дробей. Тогда,
подпоследовательность (R2n)n£N является строго возрастающей,
последовательность (i22n-i)nGN — строго убывающей и при каждом п
справедливо неравенство R2n < R2n-i-
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
рп
Пусть Rn = т=р. Из равенств (6.10а) и (6.10b) следует, что знаме-
нате л и Qn подходящих дробей положительны для всех п > 1. В силу
равенства (6.14) имеем при п > 2
u u -( ип-2х1х2..-Хп-1Уп
ЧпЧп-2
Числитель и знаменатель дроби, стоящей в этом равенстве,
положительны. Отсюда вытекает, что при п четном разность Rn — Rn-2
положительна и, значит, последовательность (i?2n)nGN является
возрастающей. При п нечетном (—1)п~2 = —1, и мы получаем, что в этом
случае Rn > i2n-2- Этим доказано, что последовательность (i22n-i)n€N
является убывающей.
Из равенства (6.13) следует, что при п четном выполняется
Rn — Rn-i < 0, т. е. мы получаем, что R2n < #2n-i при каждом п.
Следствие доказано. ▼

298
Гл. 11. Теория рядов
6.2. Признак Зейделя сходимости цепной дроби
Здесь мы установим некоторое достаточное условие сходимости
бесконечной цепной дроби. Ограничимся случаем, когда все частные
числители цепной дроби равны единице, а частные знаменатели
положительны. При этих предположениях мы установим условие
сходимости цепной дроби, являющееся одновременно необходимым и
достаточным.
Отметим, что всякую цепную дробь можно превратить в дробь,
все частные числители которой равны единице. Действительно, пусть
дана цепная дробь
2/1 + 2/2 + '" + Уп '" '
Ее можно представить в виде
Xi
3/о + я?-
2/i + y
Разделив числитель и знаменатель дроби, являющейся вторым
слагаемым в этом выражении, на #i, получим выражение следующего вида:
1
хг + -.—.
а?2/а?1
yi/si + —д—
В результате получим цепную дробь
1 х2/хг хп
У о + —-,— —'— ... — ....
2/1/si + 2/2 + + Уп
Последовательность подходящих дробей для полученной цепной
дроби совпадает с последовательностью подходящих дробей исходной
цепной дроби.
Аналогично, делением числителя и знаменателя на х2/х-[ можно
обратить в единицу второй частный числитель и т. д.
Ограничение, связанное с требованием положительности частных
знаменателей, более существенно. Отметим, что для ряда важных
примеров оно соблюдается.
■ Теорема 6.1 (признак Зейделя сходимости бесконечной цепной
дроби). Пусть дана, бесконечная цепная дробь
уо + - - .-.-.•.■ (6.15)
2/1 + У2 + +Уп
Тогда, если уп > 0 для всех п > 1, то для того, чтобы эта дробь была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ряд
2/1 + У2 + • * • + Уп + . •. (6.16)
был расходящимся.

§ 6. Цепные дроби
299
Доказательство. Пусть дана цепная дробь (6.15), причем вы-
Рп
полнено условие теоремы: уп > 0 для всех п > 1. Пусть Rn = --—,
tyn
n = 1,2,..., есть последовательность подходящих дробей цепной
дроби (6.15). В силу равенств (6.10а) и (6.10b) из п. 6.1 при каждом п
имеем
Рп = УпРп-1 + Рп-2 И Qn = VnQn-1 + Qn-2-
Далее, следствие 1 леммы 6.2 позволяет заключить, что при
каждом п > 1 имеет место равенство
(-1)71"1
-"'П -"'п —1 — Til 7ъ *
При каждом п имеет место равенство
Rn = (#п - #n-i) + (#n-i — #71-2) + V {R\ — Ro) + Ro =
n
= i2o + / ^(Дг - #t-l)-
t=l
Мы видим, что последовательность (Rn) будет иметь конечный
предел в том и только в том случае, если сходится ряд
71=1 71 = 1
Положим ап = . Из определения подходящих дробей, оче-
QnQn-i
видно, следует, что для данной цепной дроби Qn > 0, а значит, также
и ап > 0 при любом п > 0.
Докажем сначала достаточность условия теоремы.
Предположим, что ряд (yn)neN является расходящимся. Требуется
доказать, что в этом случае цепная дробь (6.15) является сходящейся.
Как следует из сказанного выше, достаточно установить, что сходится
ряд
Покажем, что для этого ряда выполняются все условия признака
Лейбница сходимости ряда (следствие 2 теоремы 3.1 этой главы), т. е.
последовательность (an)n£N убывающая и имеет предел, равный нулю.
При каждом п имеем
Qn - VnQn-1 + Qn-2 > Qn-2-

300
Гл. 11. Теория рядов
Отсюда, по индукции, получаем, что если п нечетно, то
Qn>Qn-2 >->Qs>Qi = yu
а при п четном получим, аналогично, что
Qn > Qn-2 > • • • > Q2 > Qo = l.
Положим 6 = min{l,j/i}. Очевидно, 6 > 0, и из доказанного
следует, что Qn> 8 для всех п. Из равенства Qn = ynQn-i+Qn-2 следует,
что
QnQn-l = VnQl-! + Qn-lQn-2 > Уп82 + Qn-lQn-2 > Qn-lQn-2,
откуда вытекает, что последовательность (an)n€N является
убывающей. Индукцией по п отсюда заключаем, что при каждом п
QnQn-i > S2(yn + уп-г + ••• + %) + QiQo-
Так как ряд (6.16) является расходящимся, то правая часть
последнего неравенства стремится к оо при п —► оо и, значит, в
рассматриваемом случае QnQn-i —> оо и
1
<*п = ТТЛ * °
при п —► оо. Мы видим, что если ряд [yn]n€N расходится, то ряд
K-ir-^nlneN
удовлетворяет всем условиям признака Лейбница сходимости ряда
и, значит, является сходящимся. И последовательность подходящих
дробей цепной дроби (6.15) имеет, таким образом, конечный предел,
т. е. данная цепная дробь является сходящейся. Достаточность
условия
оо
для сходимости цепной дроби (6.15), таким образом, установлена.
Теперь докажем необходимость этого условия. Для этого
достаточно показать, что если это условие не Ьыполнено, т. е. если

§ 6. Цепные дроби
301
ряд (6.16) сходящийся, то цепная дробь (6.15) является расходящейся.
Имеем Q0 = 1 и Qi = у\ < у\ + 1. Далее,
#2 = 2/2<2i +Qo< 2/2Ы + 1) + К 2/2(2/1 + 1) + (2/1 +1) = (l + 2/i)(1 + у2).
Докажем, что при всяком п
п
Qn<J[{l + yk). (6.17)
ь=1
Предположим, что для некоторого т G N при любом n < m
выполняется неравенство (6.17). Имеем
Qm+l = Ут+lQm + Qm-1-
В силу предположения индукции отсюда получаем
m m — l
Qm+l < Ут+l Д(1 + у*) + Д (1 + У*) =
fc=l Jb=l
m —1
= [ym+l(l + Ут) + 1] [J С1 + М) <
m —1 m-f-1
< [yTO+i(l + ym) + 1 + ym] П (! + »*) = П t1 + »*)■
*=i k=i
По индукции, неравенство (6.17) доказано. Так как ряд [yn]n€N
сходящийся и все его члены неотрицательны, то согласно теореме 5.2
бесконечное произведение
оо
П(1 + у«)
п=1
является сходящимся. Это означает, что последовательность его
частичных произведений
71
П(1 + »*)| п=1,2,...,
имеет конечный предел и, следовательно, является ограниченной, т. е.
существует число L < оо такое, что
п
Ц(1 + Ук)<Ь
к=1

302
Гл. 11. Теория рядов
при любом п е N. Отсюда в силу (6.16) следует, что Qn < L для всех
га £ N и, значит,
Это позволяет заключить, что для последовательности (Rn)neN не
выполнен критерий Коти — Болъцано сходимости ряда (следствие 1
теоремы 3.2 главы 2). Действительно, для е = -=тг нельзя указать
номер га такой, что для любых щ > га и п2 > га выполняется
неравенство |i2ni ~ Rn2\ < е. В самом деле, для всякого га, как мы показали,
\Rn — Rn+\\ > £. Отсюда следует, что последовательность (Rn)n£N не
имеет конечного предела и, значит, рассматриваемая бесконечная
цепная дробь (6.15) не является сходящейся. Теорема доказана. ■
■ Теорема 6.2. Пусть бесконечная цепная дробь
1 1 1
Уо + — — • • • —
2/1 + 2/2 + +Уп
такова, что уп > О при га > 1. Пусть (i2n)n€N есть последовательность
рп
подходящих дробей рассматриваемой цепной дроби, Rn = ~-. Пред-
Qn
положим, что даяная цепная дробь является сходящейся и R= lim Rn
п—»-оо
есть значение данной цепной дроби. Тогда при каждом га, га > 2, имеют
место неравенства
\R-Rn\<—±—, |д_яп|<_1_. (6.18)
ЦпЧп-1 ЧпЦп+\
Доказательство. В силу следствия 2 леммы 6.2
последовательность (J?2n)n€N строго возрастающая, а последовательность (ifen-ijnew
строго убывающая. Имеем
R = lim R2n = lim R2n-i-
71 —КХ) 71 —ЮО
В силу теоремы о пределе монотонной последовательности (глава 2)
имеем R2n < R < #2n-i при каждом га. Из чисел га и га - 1 одно четно,
другое нечетно. Отсюда следует, что R лежит между числами Rn
и Rn-i при каждом га и, значит,
1-й — #п| < \Rn — i2n-i| = 7Г"7> •
УпУп-1
Аналогично устанавливается неравенство
\R — #п| < \Rn — Rn+i\ == 7Г"7! *
Vn4fn+1
Теорема доказана. ■

§6. Цепные дроби
303
6.3. Примеры цепных дробей
6.3.1. Пусть дано произвольное число а Е R. Покажем, как можно
построить разложение числа а в цепную дробь. Найдем целое число у0
такое, что уо < ос < уо + 1.
Если а = у0> то последнее равенство и есть искомое разложение о:
в цепную дробь.
Предположим, что а не является целым числом. В этом случае
уо < а. Положим во = а — уо- Тогда имеем 0 < е$ < 1. Пусть «i = —.
Очевидно, с*! > 1. Имеем
а = у0 + —. (6.19)
Если «1 есть целое число, то равенство (6.19) и будет
представлением числа а в виде цепной дроби.
Предположим, что а\ не является целым числом. Тогда найдется
целое число у\ такое, что у\ < а\ < у\ + 1. Полагаем £\ = «i — j/i.
Пусть «2 = —• Имеем
1 1
« = Уо + ; = Уо + г--
2/1 + £l VX + -
Если число «2 является целым, то последнее выражение и будет
представлением числа а в виде цепной дроби. Это построение можно
продолжить дальше. В результате при каждом п будут определены
числа уп и ап. При этом yn G N и уп < ап < уп + 1.
Если для какого-то п окажется, что уп — &п, то построение
заканчивается. В этом случае мы получаем некоторую конечную цепную
дробь, значение которой равно данному числу а.
Если число а иррационально, то, продолжая процесс далее,
получим бесконечную цепную дробь, равную данному числу а.
Справедливость этого следует из того, что последовательность подходящих
дробей (i2n)n€N B силу теоремы 6.1 имеет предел. С другой стороны,
из построения данной цепной дроби непосредственно видно, что а при
каждом п лежит между числами i2n_i и Rn и потому а = lim Rn.
Таким образом, мы получаем, что всякое иррациональное число
является значением некоторой бесконечной цепной дроби.
Формально описанную конструкцию разложения числа в цепную
дробь можно представить как некоторый индуктивный процесс,
используя две простые функции, употребляемые в теории чисел.

304
Гл. 11. Теория рядов
Пусть х Е К. Тогда найдется целое число у такое, что у < х <
< у+ 1. Это у называется целой частью числа х и обозначается
символом Ent(z). Величина Fr(#) = х — Ent(x) называется дробной частью
числа х. Очевидно, что всегда 0 < Fr(a;) < 1. При этом Fr(a;) = 0 в том
и только в том случае, если число х целое.
Пусть а € R. Тогда последовательность частных знаменателей
в разложении а в цепную дробь может быть определена следующим
построением. Числа уо> 2/1 и а\ определяются следующим образом:
Уо = Ent(a), аг =
Fr(a)
и J/1 = Ent(ai). Если для некоторого п определено ап > 1, то полагаем
уя = Ent(an).
Если ап целое, то уп = an и построение на этом заканчивается.
Конечная цепная дробь
1 1 1
Уо + — — ... —
2/1 + 2/2 + + Уп
и есть разложение данного числа о: в цепную дробь.
В случае, когда ап не есть целое число, то полагаем
ап+* = w—\' У*+1 = Ent(an+i).
По индукции, построение определено полностью.
Предоставляем читателю доказательство того факта, что если
число а является рациональным, то приведенная конструкция всегда
заканчивается через конечное число шагов. Отметим, что имеется связь
между этой конструкцией и известным из алгебры алгоритмом
Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Для случая а = у2 построение, данное в начале п. 6.1, совпадает
с тем, которое описано здесь в общем случае. Следовательно, мы
получаем, что справедливо следующее разложение числа у/2 в бесконечную
непрерывную дробь:
6.3.2. Бесконечная цепная дробь называется правильной, если она
имеет вид:
1 1 1
уо + — — ...—... ,
У1 + У2+ +Уп

§ 6. Цепные дроби
305
причем числа уп целые и уп > 0 при п > 1.
Пример 1. Рассмотрим цепную дробь
7 7 ■•• Т-- (б-2°)
1 + 1+ +1
все частные знаменатели которой равны единице. В силу теоремы 6.1
эта дробь является сходящейся. Пусть х есть значение этой дроби,
Rn — последовательность ее подходящих дробей. При каждом п,
очевидно, имеем Rn = . Переходя в этом равенстве к пределу при
1 + Rn-i
п —► оо, получим х = . Отсюда х2 + х — 1 = 0 и, значит,
1 + х
-1±у/Е
X = .
2
л/5 — 1
Так как, очевидно, х > 0, то х = —-—.
Пример 2. Цепная дробь (6.20) примера 1 связана с одной
замечательной последовательностью натуральных чисел. Пусть (Fn)n^0 есть
последовательность, определенная следующими условиями: Fo = О,
F\ = 1 и Fn = Fn_i + Fn^2 при каждом п >. 2. Эта
последовательность называется последовательностью чисел Фибоначчи, Используя
формулы (б.10а) и (6.10b) из п. 6.1, получим, что подходящие дроби
для цепной дроби (6.20) выражаются формулой
р — п
Fn+i
Укажем явное выражение для числа Fn при произвольном п G N.
Пусть х\ и Х2 есть корни уравнения ж2 = х + 1. Если х есть решение
этого уравнения, то жп = ж71""1 + хп~~2 при каждом п. Полагая ип = ж",
^п ^ #2 ? мы получим две последовательности (wn)n>o и (г>п)та>о, для
каждой из которых выполняется соотношение, посредством которого
определена последовательность Фибоначчи.
Зададим произвольно числа А и /г и положим wn = \ип + \ivn — Fn.
Тогда, очевидно, wn = wn_i + гип_2 при каждом п > 0. Подберем
значения А и /х так, чтобы выполнялись равенства w$ = 0 и W\ = 0.
Тогда гип = 0 для всех п и, значит, Fn = Awn + fivn = Ая" + fix!}.

306
Гл. 11. Теория рядов
и \/5 + i VE-1
Имеем х\ = —-—, x<i = —. Из условии Wq = 0 и Wj = 0
получаем систему линейных уравнений, из которой числа А и /х легко
находятся. Будем иметь
Таким образом, мы приходим к следующему соотношению:
F"~ -л
'*+1\ +ыг-'(у!Ь1
Пусть а > 0 — произвольное иррациональное число,
а = у0 + — — ... —... (6.21)
У1+У2+ +Уп
есть разложение а в правильную цепную дробь, построенное, как ука-
Рп
зано в п. 6.3.1. Пусть Rn = -~^, п = 1,2,..., есть последовательность
подходящих дробей цепной дроби (6.21).
При каждом п > 1, в соответствии с равенствами (б. 10а) и (б. 10Ь)
П. 6.1, ИМееМ Qn = ynQn-l+Qn-2- Отсюда ПОЛучаеМ Qn > Qn-l+Qn-2-
Имеем Qo > Q = Fo, Qi = yi > 1 = Fi. По индукции, отсюда
получаем, что при каждом п имеет место неравенство Qn > Fn, где Fn —
7i-e число Фибоначчи. Это приводит к следующей оценке:
QnQn+i > FnFn+i.
Для всякого п > 1 согласно теореме 6.2 справедлива оценка
1.1
а-Я» <
QnQn+i FnFn+i
Данное неравенство дает оценку скорости сходимости
последовательности подходящих дробей к данному иррациональному числу а —
верную, каково бы ни было а.
в.3.3. Бесконечная цепная дробь
Х\ Х2 Хп
УоЛ — ... —...
У\ + 2/2 + + Уп

§6. Цепные дроби
307
называется периодической, если существуют номер т и число к € N
такие, что при каждом п > tn выполняются равенства xn+k = %п,
Уп+k = Уп- Это означает, что начиная с номера n = m дробь может
быть разбита на блоки длины к, устроенные одинаково.
Построенная в начале п. 6.1 цепная дробь, представляющая
число \/2, а также дробь, все частные числители и частные
знаменатели которой равны единице, дают примеры периодических
бесконечных цепных дробей.
Число х Е Е называется квадратичной иррациональностью, если
оно может быть представлено в виде
__ а + by/z
с + dy/z'
где числа а, Ъ, с, d и z целые, причем z > 0 не является квадратом
целого числа.
Приведем без доказательства следующее утверждение.
■ Теорема 6.3. Если число х 6 Е является квадратичной
иррациональностью, то его разложение в правильную бесконечную цепную
дробь есть периодическая цепная дробь.
Обратно, если правильная бесконечная цепная дробь является
периодической, то ее значение представляет собой квадратичную
иррациональность, ш
в.3.4. Приведем без доказательства разложение в бесконечную
цепную дробь числа е. Имеем
1 1. 1. 1. 1 1 1 1 J_
1 + 2+1+1 + 4+ " ' + 2п - 2 + 1 + 1 + 2п " "
Мы получили дробь вида (6.21), где уо = 2, у\ = 1, уг = 2 и
начинал с уз частные знаменатели этой цепной дроби подчиняются простой
закономерности: у3* = 1, Узк+i = 1, Узк+2 = 2к + 2.
Укажем еще другую цепную дробь, связанную с числом е. Имеет
место равенство
е-1 _ 1 1 _1_ 1
2 ""1 + 6+10+ ' " + 4п - 2 " "
6.3.5. Приведем без доказательства разложение в бесконечную
цепную дробь числа 7Г. Используя построения, описанные в п. 6.3.1, можно
получить представление числа 7Г в виде правильной бесконечной цепной

308 Гл. 11. Теория рядов
дроби. Не известно никакой простой закономерности, которой
подчиняются частичные знаменатели в этом представлении.
Если рассматривать цепные дроби общего вида, то представления,
в которых частичные числители и знаменатели подчиняются
достаточно простой закономерности, могут быть указаны. Например,
справедливо равенство
4 I2 22 п2
7Г = —
1+3 + 5+ + 2п + 1
которое дает пример такого представления 7Г в виде бесконечной цепной
дроби. Эта цепная дробь не является правильной.
Задачи
(1&).
11.1. Исследовать, при каких а сходится ряд
' п=3,4,..
11.2. Дан ряд [ап]п=з,4,...* гДе ап = "п—" • При каких а этот ряд схо-
J(\nx)adx
дится и при каких расходится? \
11.3. Дан ряд [(у/п — l)a]nGN- При каких а этот ряд сходится и при каких
расходится?
11.4. Исследовать сходимость ряда ^ п\\(п)]р ' где Мп)— число цифр
числа п, р > 0. n=1
оо
11.5. Исследовать сходимость ряда ^ -.— * . л, где sa(n) = 1а+2°Ч |-па,
а > 0.
11.6. Дан числовой ряд [an]n€N> гДе ап > 0 для всех nnan = ol-j) при
оо оо
п —* оо, где А > 1. Положим 6n = ^ am. Доказать, что JZ # сходится
771 = 71 71=1
при A + /i > 1.
1
7Z&
?
7i€N*
11.7. Пусть <гп = 1 + 5" Н Н п * При каких а сходится ряд
11.8. Пусть ап = 1 + ja Н h ;^г, где 0 < a < 1. Выяснить, при каких А
сходится ряд ^
Ln Jn€N
11.9. Пусть гп = 1 + -4- Н h -4- - 2-у/п. Доказать, что последовательность
(^n)nGN СХОДИТСЯ.
11.10. Пусть ряд [an]n€N? гДе ап > 0 для всех п, сходится. Доказать, что
1/р
при любом р > 1 сходится ряд [ffn]n€N> гДе жп = г (р-1)/р1 ( +1чг'

Задачи
309
L ОС
11.11. Пусть 0 < а < 1. Доказать, что ряд [п ап ]п^ сходится при любом
a £ (0,1) и любом к > 0.
11.12. Доказать, что если для всех п > по справедливо неравенство
VkI<i-<*—,
где а > 1, то ряд [an]nGN сходится; если справедливо неравенство
Inn
п
где а < 1, то ряд [|an|]n£N расходится.
11.13. Исследовать, при каких а ряд ( /^я+п!!) сходится и при
каких а расходится.
11.14. При каких а сходится ряд [(tg^;) ] N?
11.15. Определить, при каких х > 0 сходится ряд [х ]nGN-
11.16. Пусть хп — положительный корень уравнения х — х — п =■ 0, где
&>0, п > 1, t и п целые. Доказать, что ряд ~- + -г- + • • • + -?—Ь .. •
расходится.
11.17. Пусть ряд [ffn]n€N» гДе ^п > 0 для всех п, сходится. Положим гп =
оо . оо
=: ]С ЖЬ Доказать, что если J2 пжп < сх>, то ряд [rn]neN сходится.
к=п+\ п=1
11.18. Пусть (xn)neN есть возрастающая последовательность такая, что
хп > 0 при всех п и хп —» оо при п —* оо. Доказать, что тогда ряд
-^£Р расходится.
L Xn+l Jn€N
11.19. Пусть [an]nGN — сходящийся ряд такой, что ап > 0 при всех п,
и последовательность (an)n€N убывающая. Положим
сгп = а>1 + о>2 Н h an - nan = (ai - an) + (02 - an) H h (an - an).
oo
Доказать* что lim <rn = У^ an.
я—юо Л_1
n=l
11.20. Пусть y?(t) — монотонная убывающая функция такая, что y?(tf) —► Cf
при t —► оо. Доказать следующий признак сходимости и расходимости ряда
(признак В. П. Ермакова): если существует постоянная С < 1 такая, что
у^)е < С при * > *о, то ряд [^(n)]n=m,m+i,... сходится; если <£^у > 1,
то ряд [y(n)]n=m)W+i>... расходится.
11.21. Дана функция /: К —* К такая, что /(0) = 0и/ дифференцируема
в точке 0, причем /'(0) ф 0. Доказать, что ряд [|/ (^-) | ]neN сходится при
а > 1 и расходится при a < 1.
11.22. Функция /: [-1,1] —► R принадлежит классу Ст, где т £ N, причем
/(0) = /'(0) = • • • = /^"^(О) = 0, /(т) # 0. При каких а > 0 сходится ряд
I/ V^/JnGN'

310
Гл. 11. Теория рядов
2 П
11.23. Доказать, что ряд z + -^ Н Ь Л- + •.. сходится для всякого z £ С
v2 vn
такого, что |г| < 1, z ф 1.
11.24. Ряд [an]n€N> гДе ап > 0 для всех п, расходится. Доказать, что тогда
иряд [г^г]я€МРасходится-
11.25. Пусть (an)n£N есть убывающая числовая последовательность, все
члены которой неотрицательны. Доказать, что если ряд [an]n€N сходится,
то пап —* 0 при п —► оо.
11.26. Дан ряд [an]n€N> ctn > 0 для всех п. Доказать, что если для некоторого
/ £ N справедливо неравенство lim -ZL^ < 0, то ряд [an]n£N сходится,
если же для некоторого I £ N справедливо неравенство lim -zt^—— > 0, то
71—ЮО
ряд [an]nG]>j расходится.
11.27. Доказать, что если ряд [an]n€N> гДе °-п > 0 для любого п, сходится,
то сходится и ряд [yanfln+llnGN- Доказать, что если последовательность
(an)nGN убывает, то сходимость ряда [у/апо>п+l]n£N влечет сходимость ряда
[an]n€N« Верно ли последнее утверждение, если последовательность (a>n)n€N
не является убывающей?
оо
11.28. Дан числовой ряд [ffn]n€N> где хп > ® при всех пи ^ жп = оо. Пусть
71=1
5П = х\ + Х2 Н Ь Хп- Доказать, чторяд [^] N расходится. (Указание:
рассмотреть разность \nSn — ln5n_i.)
оо
11.29. Дан числовой ряд [#n]n€N> гДе хп > 0 при всех пи £) жп = оо.
71=1
-ffcj- сходится при
>n J nPN
71=1
Пусть 5п = #1 + #2 + 1- хп. Доказать, что ряд
всех а > 0. (Указание: рассмотреть разность Sna — &п-1Л)
11.30. Пусть [anJnGN — сходящийся ряд такой, что ап > 0 при всех п,
оо
Sn = ai+a2H (-«п. Положим 5 = ^ an, rn = S-Sn, &i = S-y/ri,..., 6n =
71=1
= y/rn-l — \frn при n > 1. Показать, что ряд [&n]n£N сходится к S медленнее,
чем ряд [an]n€N-
оо
11.31. Пусть числовой ряд [an]n€N таков, что ап > 0 при всех пи ^ an = оо.
Положим »=1
*5П = ai + «2 Н Ь an, fri = у *Si, 6n = vSn - ySn-i
при n > 1. Доказать, что [&n]n€N расходится медленнее, чем ряд [an]nGN-
11.32. Пусть ряд [an]n€N> где ап > 0 и ап > an+i при всех п, сходится.
Доказать, что существует такая возрастающая последовательность (&n)n€N>
что Ьп > 0 при всех п, 6П —► оо при п —> оо и ряд [antnJnGN сходится.
11.33. Пусть (*п)
п GN есть такая убывающая последовательность, что tn >о
оо
для всех n, tn —► 0 при п —> оо и ^ £п = оо. Доказать, что тогда суще-
71=1

Задачи
311
ствует такая подпоследовательность (tnk)k£Ni что ^пк < 1/к для любого А:
и Z) 1пк = °°-
Jk=l
11.34. Пусть («n)n€N — убывающая последовательность такая, что ип > О
при всех п. Доказать, что если существует такое целое к > 2, что кикп > ип
начиная с некоторого п = по при всех п, то ряд [wn]nGN расходится.
11.35. Пусть т > 1 — натуральное число. Для п £ N положим an(m) = 1,
если п не делится на т, и an(m) = — (т — 1), если п делится на т. Доказать,
что ряд 1^1
/у
сходится, причем У] an\jn) __ jn m
*GN n=l
11.36. Пусть [^n]nGN — числовой ряд такой, что хп > 0 при всех п, хп —* О
ОО
при п —» оо и ]Р жп = оо. Доказать, что для любого числа t £ (0, оо) из по-
п=1
следовательности (ffn)n€N можцо извлечь подпоследовательность {хпк)к£Ы
оо
щ < п2 < • • • < rik < ..., такую, что t = £ xnjb.
fc=i
11.37. Исследовать сходимость ряда [ж£] N, где a > О,
тг/2
#п = / (sina?)n б?ж.
11.38. Исследовать сходимость ряда [жп]
= / ITx dx' ПРИ КаКИХ
О
а > 0 сходится ряд [ffn]n€N?
Исследовать на сходимость следующие двойные ряды:
оо оо
11-зэ. Е Е хъ&ф-
n=lm=l
оо оо
n=lm=lv '
1
11.42. £ X) (п+т)в[|1п(п+т)]1»*
оо оо
11.41. е Е л4
п=1 т=1
оо оо
п=1 т=1
оо оо
11-43. 2J 2^ (n+m)2[ln(n)P+(ln т)Я + 1]'
п=1т=1
11.44. Исследовать на сходимость следующие m-кратные ряды:
оо оо
У^ У] •*» У^ (ni+'n2 + "- + nm) P,
711=1 712 = 1 Пт = 1

312 t Гл. 11. Теория рядов
оо оо оо
Е Е - Е М+п*+-+«5.Г/4.
711=1 712 = 1 7im = l
где р > О, Аг > 0.
11.45. Пусть А: целое, большее единицы. Доказать, что
\-^ 1
щп2 ... пк(пг + п2-\ h nk)
= *!,
где суммирование ведется по множеству всех таких систем из А: натуральных
чисел ni, П2,..., П£, которые не имеют общего целого делителя, отличного
от ±1.
11.46. Вычислить сумму
71
11.47. Пусть Sn = Х^ г • Доказать, что
ОО / ОО / ч 1
5=Е }Е(})
р=2 \ ?=2 Ч '
г=1
ОО
n2 -ZZ^ n3 ~L Z^ (n+1)2'
71=1 71=1 71=1 V '
11.48. Доказать суммируемость функции (m,n) i-> (т + п)жт2/п, где |x| < 1,
|y| <1, noNxN.
11.49. Пусть S — произвольное счетное множество, /: 5 —► К —
неотрицательная функция. Обозначим через St, где t > 0, множество всех х £ 5, для
которых /(ж) > *. Доказать, что £) /(ж) = lim ^ /(я)-
11.51. Пусть S — произвольное счетное множество, /: 5 —* Ш —
неотрицательная фуНКЦИЯ. ДЛЯ t > 0 ПУСТЬ Sf = {х £ 5 | /(х) > *}, Z/y(f) ЧИСЛО
элементов множества S*. Доказать, что если Vf(t) = оо хотя бы для одного
* > 0, то ]Г f(x) = оо, а если i/д^ < оо для всех *, то справедливо равенство
x£S
ОО
£/(*) =/*(*)<*•
z£S О
11.51. Функция /: (—1,1) —>К имеет в промежутке (—1,1) все производные
порядка не выше г, где г £ N. Доказать, что если /(0) = 0 и /<*>(0) = 0
для любого А: < г, а /^(0) ф 0, то ряд [/ (^W)]n€N сходится, если а > 1/г,
и расходится, если а < 1/г.
11.52. Функция /: (—1,1) —► К дифференцируема в точке 0 и такова, что
Ряд [f (^)]nrN сходится. Доказать, что /(0) = 0, /'(0) = 0.
11.53. Функция /: (-1,1) —* К имеет в интервале (-1,1) первую и
вторую производные. Доказать, что если ряд / f-4- 1 сходится, то /(0) =
=/'(0) =/"(0) = 0.

Задачи
313
11.54. Функция /: (—1,1) —> К имеет в интервале (—1,1) производную /' ^
для любого к такого, что к < г. Доказать, что если ряд / ( —гт-)
L Wi/TVJn€N
сходится, то /(0) = 0и/' '(0) = 0 для любого к = 1,2,..., г.
Определим некоторое понятие, используемое в следующих задачах
11.55-11.58: Последовательность (xn)n£N точек банахова пространства X
называется последовательностью с ограниченным изменением, если
сходится ряд [\\хп - xn+l||]n€N-
11.55. Доказать, что всякая последовательность с ограниченным изменением
точек банахова пространства X имеет предел.
11.56. Доказать, что всякая монотонная числовая последовательность,
имеющая конечный предел, является последовательностью с ограниченным
изменением.
11.57. Доказать следующий аналог признака Дирихле для банаховых
пространств. Пусть (xn)n£N есть числовая последовательность, (yn)n€N — по~
следовательность векторов банахова пространства X. Предположим, что
выполнены следующие условия: а) последовательность частных сумм ряда
[^n]nGN является ограниченной; b) (yn)n£N есть последовательность с
ограниченным изменением, и предел lim уп равен нулю. Тогда ряд [xnyn]n£N
п—>-оо
является сходящимся.
11.58. Последовательность (уп € R)n€N такова, что для всякого ряда
[хп £ K]n€N такого, что последовательность его частных сумм является
ограниченной, ряд [xnyn]n£N является сходящимся. Доказать, что (yn)n£N есть
последовательность с ограниченным изменением, причем lim yn = 0.
п—юо
11.59. Доказать, что существует конечный предел
lim (l + I + I + ... + I-lnn)=a
n—► оо \ Z о П /
(Величина С, определенная данным равенством, называется постоянной
Эйлера.)
11.60. Пусть /: [1, оо) —» Ш есть неотрицательная невозрастающая функция
оо
такая, что lim f(x) = 0, а интеграл f f(x) dx равен бесконечности. Для
п £ N положим
ж—»-оо j
п .
Дп = ]Г/(п)- f(x)dx.
Доказать, что Дп > 0 для всех п £ N и последовательность (An)n£N
невозрастающая.
11.61. Пусть X есть произвольное нормированное векторное пространство.
Доказать, что если всякий ряд [ffn]n£N в пространстве X, для которого
сходится числовой ряд [||ffn||]n€N> является сходящимся, то пространство X
полно. (Иначе говоря, в этом случае X есть банахово пространство.)

314
Гл. 11. Теория рядов
11.62. Дана числовая последовательность (ffn)n€N- Предположим, что
существуют числа а > 1 и 8 > О такие, что при всяком п выполняется неравенство
хп+\ — хп > —:4т- Доказать, что тогда существует предел lim xn, причем
-оо < lim xn < +оо.
71—ЮО
11.63. Пусть числа р > 1 и q > 1 таковы, что i + ^ = 1. Предположим, что
оо
числовые последовательности (ffj/)„eN и (xMi/eN таковы, что ^ |жп|р < оо
71=1
оо
и ^ |Уп|9 < оо. Доказать, что тогда ряд [хпУп]п€Н является сходящимся,
п=1
причем имеет место неравенство
оо
/_. хпУп
71=1
(неравенство Гёлъдера Эля последовательностей).
оо п
11.64. Доказать что бесконечное произведение Д (1 +12 ), где \t\ < 1, явля-
71=0
ется сходящимся. Чему равно значение этого произведения?
оо
11.65. Доказать, что бесконечное дроизведение х JJ (l + %Л е"х'п сходится
,-• п=1
при любом igR.
11.66. При каких вещественных х и у цепная дробь
х
У +
i x
у+ -
х
у + -
У +
У +
является сходящейся?

Глава 12
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Г
• Равномерная норма функции и ее свойства •
Определение и простейшие свойства равномерной сходимос-
сти ряда • Пространство L^M) • Теорема о
повторных пределах и ее следствия • Теорема о
произведении рядов • Первая теорема Абеля для
степенных рядов (теорема Абеля о радиусе сходимости
степенного ряда) • Разложение в степенные ряды некоторых
элементарных функций • Вторая теорема Абеля для
суепенных рядов • Функции, представимые
интегралами • Теоремы о непрерывности интегралов,
зависящих от параметра • Теорема о монотонной
последовательности интегрируемых функций •
Дифференцирование и интегрирование функций, представимых
интегралами • Теоремы о почленном дифференцировании
и интегрировании функциональных рядов •
Эйлеровы интегралы • Метод Лапласа построения
асимптотических представлений • Теорема об
асимптотической оценке интеграла • Асимптотическое поведение
Y-функции при больших значениях аргумента
(формула Стирлинга) • Теорема Стоуна — Вейерштрасса
о приближении функций • Приложения теоремы
Стоуна — Вейерштрасса •
_1

316
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
§ 1. Понятие равномерной сходимости для
семейства функций
В этом параграфе рассматриваются вопросы сходимости и
расходимости последовательностей функций. Сначала рассматривается понятие
равномерной нормы вещественной функции, заданной на некотором множестве М.
Равномерная норма есть величина, характеризующая в некотором смысле
размеры данной функции.
Множество ограниченных вещественных функций с введением
равномерной нормы превращается в нормированное векторное пространство. Как
будет показано здесь, это пространство является банаховым.
Понятие равномерной нормы позволяет определить, что есть равнбМёрт
ная сходимость для семейства (в частном случае для последовательности^
вещественных функций.
Устанавливаются основные свойства понятий равномерной нормы и
равномерной сходимости.
Один из главных результатов этого параграфа — теорема о повторных
пределах, которая устанавливает условия, когда для функции /(я, у) двух
переменных х и у пределы
lim
r(s)-*0
lim /(ж, у)
и lim
Urn /(&, у)
r(sc)-*0
совпадают. Эта теорема дает средство, в частности, для установления того,
что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций есть непрерывная функция. В качестве другого ее применения мы
докажем в конце этого параграфа общую теорему о произведении рядов.
Понятие равномерной сходимости важно, в частности, потому, что оно
позволяет устанавливать некоторые легко проверяемые достаточные условия
для выполнения различных теорем о свойствах сумм рядов, члены которых
есть функции, определенные на некотором промежутке множества К.
В этом параграфе устанавливаются также некоторые теоремы о
свойствах функций, заданных интегралами, зависящими от параметра.
1.1. Равномерная норма функции. Пространство L^(M)
Для произвольной вещественной функции, заданной на некотором
множестве М, здесь будет определена величина, характеризующая,
в определенном смысле, «размер» этой функции. Эту величину мы
назовем равномерной нормой функции. На основе этого понятия далее
будет введено понятие равномерной сходимости для последовательности

§ L Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 317
функций или, в более общем смысле, — семейства функций. Понятие
равномерной нормы важно также с точки зрения теории приближенных
методов.
Один из способов изучения разного рода функций методами теории
приближений основан на приближении произвольной функции
функциями более простыми с точки зрения вычислений. Равномерная норма
может служить для определения степени близости к функции какого-
либо ее приближенного представления.
Ранее неоднократно употреблялся термин «банахово
пространство». Пока в нашем распоряжении имеются только конечномерные
банаховы пространства — это пространство Кп, наделенное той или иной
нормой. Понятие равномерной нормы позволит указать примеры
бесконечномерных банаховых пространств.
Зададим произвольно множество М. Напомним, что функция
f:M-+R называется ограниченной, если существует число К < оо
такое, что для всех х € М выполняется неравенство \f(x)\ < К.
Совокупность всех ограниченных функций /: М —► К обозначается
символом ioo(M).
Пусть дана функция /: М —► R. Полагаем
ll/IUooCM) = sup \f(x)\.
хем
Величина У/Уjr^Af) называется равномерной нормой функции /
на множестве М. Как уже сказано, равномерная норма характеризует,
в некотором смысле, «размеры» функции /. Определением допускается
значение ||/|Ueo(Af) = °°- В обозначении равномерной нормы мы будем
опускать символ М, а также и все выражение L^M) каждый раз,
когда это не может привести к недоразумению.
Предположим, что функция /: М —> К определена на множестве М
и задано некоторое подмножество Е множества М. Тогда символ
ll/IUooCE) означает равномерную норму ограничения функции / на
множестве Е, т. е. согласно данному здесь определению
||/||Loo(£) = sup|/(x)|.
хеЕ
Отметим некоторые свойства равномерной нормы.
Пусть даны множества Е\,Е2 С М, причем Е\ С Е^- Тогда в силу
известных свойств точной верхней границы функции (см. теорему 5.1
главы 2) для всякой функции /: М —► К выполняется неравенство
H/IUeo(J5i) < H/IUoo(S2)-
(1.1)

318
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
ш Теорема 1.1. Функция /: М —► Е является ограниченной в том
и только в том случае, если ее равномерная норма конечна. Для всякой
функции f: М —► R для всех х € М выполняется неравенство
1/(*)1 < №„(*)■ (1-2)
Пусть f:M-+Rng:M-+R — две ограниченные функции. Тогда
для любых чисел А я /х ямеег место неравенство
||А/ + w||£m(m) < IAIII/II^cm) + H№IU„W (!-3)
Произведение fg функций f и g также является ограниченной
функцией. При этом
\\/д\\ь„(м) < H/IUooCJioyU-w С1-4)
Доказательство. Зададим произвольно функцию f:M —► К.
Для всякого ж Е М имеем |/(ж)1 < SUP 1/(ж)1 = II/IIloo(M)> и нера-
венство (1.2) доказано.
Из неравенства (1.2), очевидно, следует, что если H/Hl^m) < oo>
то функция / является ограниченной.
Обратно, предположим, что функция /: М —► R является
ограниченной. Тогда найдется число К < оо такое, что \f(x)\ < К < оо
для всех х € М и, значит, H/Hl^m) = SUP |/(ж)| < ^ < °°- Первое
xGM
утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть /: М —> Ей
д: М —► Е — ограниченные функции, определенные на множестве М.
Для всякого х G М имеем
\\f(x) + цд(х)\ < \X\\f(x)\ + Н\д(х)\ < |А|||/||Ь. + HllslUc
l/W^NI/WH^I^H/llL.yix..
Отсюда получаем
||А/ + М\\ = sup |A/(x) + цд(х)\ < |A|||/||Leo + ПУк..,
xGM
H/3lUoo = sup||/(x)5(a;)||<||/||Lo0yUoo.
Теорема доказана. ■

§ i. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 319
▼ Следствие 1. Для любых двух функций f:M-*Rng:M-*R
и любого множества, Е С М справедливо неравенство
II/ + 9hx(E) < H/Hws) + Hsllws). (1.5)
Доказательство. Если хотя бы одна из данных функций /и дне
является ограниченной на J5, то одно из слагаемых в правой части (1.5)
равно оо и в этом случае неравенство верно.
Если же функции / и g на множестве Е ограничены, то
неравенство (1.5) есть частный случай (1.3), когда А = // = 1. Следствие
доказано. Т
▼ Следствие 2. Пусть даны функции Д: М —> К, А; = 1,2,..., п.
Тогда для всякого множества Е С М имеет место неравенство
||/l + h + • • • + /nlUoo(^) < H/l|Uoo(S) + ll/2|Uoo(E) + • • • + H/nlUooCE).
Доказательство — индукцией поп — очевидно. ▼
Т Следствие 3. Для всякого множества М множество функций
Loo(M) является векторным пространством и функция N: / G Loo(M)y-+
н+ ||/||Loo(M) есть норма в этом пространстве.
Доказательство. Для любых двух функций f/g G L^M) и
любых двух вещественных чисел А и /г в силу теоремы 1.1 функция Xf+fig
также принадлежит классу L^M). Согласно следствию теоремы 2.1
главы 6 отсюда вытекает, что множество L^M) является векторным
пространством.
Докажем, что функция / € L^M) ь-> H/IU^Af) есть норма в этом
пространстве. Действительно, на основании следствия 1 теоремы 1.1
для любых функций /,5 £ £оо(М) выполняется неравенство
||/ + flflUeo(Af) < ll/IUoo(M) + HffllLoc(M).
Это означает, что условие N.1 в определении нормы (п. 3.1 главы 6; см.
также п. 1.2.2 главы 9) для равномерной нормы выполняется.
Покажем, что для любой функции / G ioo(M), каково бы ни было
AGE, имеет место равенство ||А/|| = |Л|||/||. Воспользуемся
результатом леммы 3.1 главы б (лемма 1.4 главы 9). Для произвольной функции
/ е Loo(E) положим F(f) = HA/Hl^js). Функция F(/), очевидно,
неотрицательна.
Полагая в условии теоремы 1.1 g = 0, получим, что для всякого
А е К выполняется неравенство ЦА/Hl^ < l^lll/llboo? т. е. F(\f) <
< |A|F(/). В силу леммы 3.1 главы б отсюда вытекает, что F(Xf) =

320
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
= |A|F(/) для любого А € R, так что условие N.2 в определении нормы
для равномерной нормы выполняется.
Предположим, что функция /: М —► R такова, что ||/||loo(m) = 0.
Тогда в силу неравенства (1.2) \f(x)\ = 0 для всех х G М,
следовательно, функция / тождественно равна нулю и, стало быть,
представляет собой нулевой элемент векторного пространства L^M).
Следствие доказано. ▼
▼ Следствие 4. Для любых двух функций f: А —> R и g: A —► R,
ограниченных на, множестве Е С А, имеет место неравенство
lll/IU«(B) - \\д\\ь^Е)\ < II/ - д\\ь„(Е). (1.6)
Доказательство. Данное утверждение верно в силу
установленных ранее общих свойств нормы в векторном пространстве (п. 2.1
главы б; см. также пп. 1.1.1 и 1.2.2 главы 9 — неравенство (1.6) есть
следствие неравенства предложения IV п. 1.1.1 главы 9, примененного
к метрике, порождаемой нормой || • Hl^m))- ▼
1.2. Определение и простейшие.свойства равномерно
сходящегося семейства функций
Пусть Г есть произвольное множество, на котором задала
оценочная функция А с предельным значением р. Пусть даны непустое
множество М. Предположим, что для всякого t G Г определена
вещественная функция /*, область определения которой содержит в себе
множество М. Будем говорить в этом случае, что дано семейство функций
(/r:M-R)t€T.
Области определения функций /*, соответствующих разным
значениям £, могут быть различными множествами. Требуется только,
чтобы они все содержали в себе множество М.
В дальнейшем нас будут интересовать, главным образом, случаи,
когда Г есть либо множество всех натуральных чисел N, либо
некоторый отрезок множества R. Изложение, однако, удобно вести сразу
в общем виде. В частности, если Г есть множество всех
натуральных чисел N, то мы будем иметь последовательность функций, каждая
из которых определена на множестве М. В этом случае мы полагаем
A(ra) = п для всех п € N и предельное значение оценочной функции
в этом случае считаем равным оо.
Наша цель состоит в том, чтобы определить, что значит, что
семейство функций (ft: М —► R)t£T сходится на множестве М при.
X(t) —► р к некоторой функции /, область определения которой содержит

§ L Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 321
множество М< Это можно сделать различными способами.
Простейший и, на первый взгляд, самый естественный состоит в следующем.
Говорят, что семейство функций
(ft:M-+R)i£T (1.7)
при X(t) —► р сходится к функции / на множестве М, если для любого
х Е М значение f(x) определено, причем выполняется соотношение
/(*) = vJj4m /*(*)•
В этом случае мы будем также говорить, что семейство (1.7)
поточечно сходится к функции / на множестве М при X(t) —► р.
Сходимость семейства функций в смысле приведенного
определения является, однако, «плохой» в том отношении, что предельная
функция семейства функций может не иметь тех свойств, которые имеют
члены этого семейства.
Уточним последнее утверждение и приведем соответствующие
примеры. Предположим, что М есть промежуток вЕи семейство
функций {ft)t£T при \{t) —> р поточечно сходится на множестве М к
функции /. Тогда: 1) если функции ft все непрерывны на множестве М,
то предельная функция / может и не быть таковой; 2) если каждая из
функций ft интегрируема по промежутку М, то предел данного
семейства функций может оказаться функцией, неинтегрируемои на любом
отрезке, содержащемся в М.
Пример 1. Пусть М = R. Для х е R, n G N полагаем
пх1 + 1
Если х ф 0, то /п(^) —► 1 при п —► оо. В то же время /п(0) = 0 при
всех п и, значит, lim /n(0) = 0.
Таким образом, при п —► оо функции /п сходятся к функции
/: М —► Е, для которой /(ж) = Д при ж ф 0, /(0) = 0. Каждая из
функций /п непрерывна во всех точках К. Предельная же функция /,
очевидно, является разрывной в точке 0.
Пример 2. Пусть М = [0,1] и функция /: Af —► R определена
следующим образом: /(0) = 0 и f(x) = - при х ф 0. Функция /
не является интегрируемой на промежутке [0,1]. Действительно, она

322.
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
интегрируема на полуинтервале (0,1] и ее первообразная на этом
промежутке есть функция вида х н-» In x + С, где CGE постоянная. При
х —> 0 имеем \пх + С —► — оо, откуда ясно, что функция / не имеет
в промежутке [0,1] первообразную и, стало быть, она не интегрируема
на этом промежутке.
1 11
Положим fn(x) = пх при 0 < х < — и fn(x) = — при — < х < 1.
п х п
Каждая из функций fn непрерывна на промежутке [0,1] и,
следовательно, интегрируема по этому промежутку. Легко проверяется, что
/n(z) —► f(x) при п —► оо для всех ж Е [0,1]. Таким образом,
построена последовательность функций, определенных на промежутке [0,1],
поточечно сходящаяся на [0,1]. При этом каждая из функций fn
интегрируема по промежутку [0,1], а предельная функция не является
таковой.
Возникает вопрос: можно ли для последовательностей или, в более
общем случае, для семейств функций определить понятие сходимости
так, чтобы хотя бы некоторые важные свойства функций сохранялись
при предельном переходе?
Понятие равномерной нормы позволяет ввести тип сходимости,
который частично удовлетворяет этому требованию. Пусть даны
семейство функций {ft: М —► M)t£T и функция /: М —> Е.
Будем говорить, что семейство (ft)t£T при A(tf) —► р равномерно
сходится на множестве М к функции /, и писать: ft z3 / на М при
\(t) —► р, если выполняется соотношение lim ||/* — fWb^M) = 0.
Пусть (fn: M —► R)nGN есть последовательность функций, каждая
из которых определена на множестве М< Тогда, в соответствии с
данным здесь общим определением равномерной сходимости семейства
функций, будем говорить, что последовательность (/п) равномерно
сходится к функции / на множестве М при п —► оо, и писать: fn =3 / на М
при п -> оо, если lim \\fn - /Hl^m) = 0.
п—юо
Легко проверяется, что в примере 1, приведенном выше,
Н/п - /IUoo(M) = 1
при любом п = 1,2,..., так что величина ||/п — /||loo(M) = 1 не
стремится к нулю при п —» оо и, значит, последовательность функций
(/n)n€N He является равномерно сходящейся к функции /.
В примере 2 предельная функция / оказывается неограниченной,
откуда нетрудно заключить, что ||/п — fWb^M) = °° Для всех rc€N,
так что последовательность (/n)neN B данном случае не является
равномерно сходящейся на множестве М = [0,1].

§ 1. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 323
Отметим некоторые свойства равномерной сходимости.
I. Если семейство функций (/*: М —> Е)^г равномерно сходится к
функции /: М —> К на множестве М при А(/) —> р, то /(ж) = lim ft(x)
для всякого х £ М, т. е. семейство (ft: М —> М)^г поточечно сходится
к функции / на множестве М при A(tf) —> р.
Действительно, условие ft(x) =t /(ж) на множестве М при А(£) —► р,
по определению, означает, что
II/* - /1ите(м) -> о.
Так как при всяком х Е М имеет место неравенство
|/*(*)-А*)|<11Л-/1к„(м)»
то отсюда следует, что \ft(x) - /(ж)1 —> 0 при А(/) —► р для любого
ж Е М, т. е. /(ж) = lim ft(x) для любого х е М.
\(t)-+p
II. Пусть даны семейство функций (ft'- M —► К)^т и функция
/: М —► Е, причем /* =1 / на М при A(tf) —► р. Тогда если предельная
функция является ограниченной, то найдется окрестность U
предельного значения р оценочной функции А такая, что каждая функция /*,
для которой А(/) £ ?7, является ограниченной.
Обратно, если существует последовательность (tn)n£N такая, что
A(in) —> 0 при п —► оо, и каждая из функций /<я является ограниченной,
то предельная функция / также ограничена на множестве М.
Действительно, пусть ft =3 / на М при X(t) —► р. По определению,
это означает, что ||/* - /|| --» 0 при A(tf) —► р. Отсюда следует, что
найдется окрестность U точки р такая, что для любого tf, для которого
А(/) £ 17, выполняется неравенство ||/* — /||loo(M) < 1- Для всякого
такого £ функция ft — f является ограниченной и, значит, для 2,
удовлетворяющих условию X(t) e U, функция ft = (ft - f) + f является
ограниченной.
Предположим, что последовательность значений (tfn)n€N такова,
что А(/п) —► р при п -» оо, и при каждом п функция /п = /*п
является ограниченной.
Для этой последовательности ||/n —/Hl^m) -_> О ПРИ гс —► оо и,
значит, найдется номер п такой, что \\fn — /||loo(M) < 1- Функция /п,
по условию, является ограниченной. Разность fn — f есть
ограниченная функция, поскольку ее равномерная норма конечна. Следовательно,
функция / = fn — (fn — /) ограничена, что и требовалось доказать.

324 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
III. Если семейство функций (ft: М —► М)^т? ограниченных на
множестве М, при X(t) —> р равномерно сходится на множестве М
к функции /, то имеет место равенство
H/IUooCAf) = wljm H/ilk^M).
Действительно, в силу следствия 4 теоремы 1.1 при каждом t G Г
выполняется неравенство
1Ш1 - 11/111 <НЛ-/II,
откуда, очевидно, следует, что \\ft\\Loo(M) -* II/Hwm) ПРИ Л(0 -+ Р>
что и требовалось доказать.
IV. Пусть даны семейства функций
(ft: М - К)*€Г, (gt:M-+ R)i£T.
Предположим, что при каждом t Е Т функции ft и <jr< являются
ограниченными на М и ft =3 /, #* =3 5 на множестве М при A(tf) —► р.
Тогда при \(i) —> р также и ftgt =t /fif и для любых чисел А,/х Е К
А/* + №9г =3 A/ + /хр на множестве М.
Действительно, предположим, что семейства функций (ft)t£T и
(9t)t€T и функции / и у удовлетворяют всем указанным условиям.
Применяя неравенство (1.5) п. 1.1, получим
Wftgt - /5ll = ll/tst - to + ftg - fg\\ < \\ft(9t - з)11 +ll(/< - f)g\\.
(Индекс //^(М) в обозначении равномерной нормы здесь и далее
опускается.) Отсюда, в силу неравенства (1.4) п. 1.1 следует, что
\\ft9t - fgh„ < \\ft\W\9i - 9\\ + ||/< - /111Ы1. (1-8)
Величины \\ft\l II/H и \\д\\ конечны, и ||/*|| -+ ||/|| при А(<) -> р.
Правая часть неравенства (1.8) при \(t) —► р стремится к нулю, откуда
следует первое утверждение.
Применяя неравенство (1.3) Теоремы 1.1, получим, что для любых
А,/х Е К имеет место неравенство
ll(A/1 + Wi)-(A/ + M5)lk00 =
= ЦА(Л - /) + М(Л - flOlU» < |А|||Л " /llbo. + ИН<* - slUoo-
Так как ||/i-/Hz.» -> ° и llSi-fiflUoo -* ° ПРИ А(<) -> Р, то из полученных
неравенств вытекает, что при X(t) —► р
||(А/, + ^О-(А/ + мя01к»->о,
т. е. Xft + \igt =t A/ + //р на множестве М, что и требовалось доказать.

§ i. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 325
1.3. Критерий Коши — Больцано равномерной сходимости
Установим здесь необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости для произвольного семейства функций, аналогичное
признаку Коши — Больцано существования предела.
ш Теорема 1.2 (критерий Коши — Больцано равномерной
сходимости семейства вещественных функций). Пусть (ft)t^x есть семейство
вещественных функций, определенных на некотором множестве М, А —
оценочная функция с предельным значением р G R, заданная на
множестве индексов Г. Для того чтобы семейство функций (fi)ter было
равномерно сходящимся на множестве М при X(t) —> р в случае, если
р конечно, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О
существовало число 6 > 0 такое, что для любых ti,t2 € Т, удовлетворяющих
условиям \\{t\) — р\ < 6 и |А(^) — р\ < б, выполняется неравенство
Wfn - fbh^M) < £■ (1-9)
Если р = • оо, то семейство функций (ft)t£T является равномерно
сходящимся на множестве М при X(t) —> оо в том и только в том
случае, если для всякого е > 0 существует число К < оо такое, что для
любых /i,<2 £ Т, удовлетворяющих условиям A(tfi) > К и A(tf2) > К,
выполняется неравенство (1.9).
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим случай,
когда р = 0. Предположим, что семейство функций (/*)*€Т равномерно
сходится на множестве М при X(t) —► 0 к некоторой функции /: М —> К.
6
Зададим произвольно е > 0. Положим Si = -. Тогда согласно
определению равномерной сходимости относительно параметра t при X(t),
стремящемся к нулю, найдется S > 0 такое, что если X(t) < 6, то
выполняется неравенство ||/* — /Ц^оо(М) < £ь Возьмем произвольно
ti,t2 € Т, для которых A(tfi) < 6 и X(t2) < <5. Тогда имеют место
неравенства \\ftl - /|| < е\ и ||/*2 - /|| < £\. (Здесь и далее символ L^M)
в обозначении равномерной нормы опускается.) Отсюда получаем
ИЛх - fta\\ < ll/«x - /II + II/ - /*J < ei + £i = e-
В силу произвольности е > 0 необходимость условия теоремь! доказана.
Теперь докажем достаточность условия. Предположим,
что для всякого е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что если A(tfi) < 6
и А(^) < £> то выполняется неравенство ||/^ — /*2|| < е. Зададим
произвольно е>0и найдем отвечающее ему 6 > 0. Тогда для любых

326
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
t\^2 £ М, удовлетворяющих неравенствам А(^) < 6 и А(^) < <$, имеем
\fi1(x)-fta(x)\<\\fil-fta\\<e.
Так как в > 0 было выбрано произвольно, то сказанное означает,
что для функции t-бТи /<(ж) выполнено условие критерия Коти —
Болъцано сходимости при \{i) —► р. Отсюда вытекает, что существует
конечный предел lim ft(x) = f(x).
Таким образом, мы получаем, что семейство функций (/*)*€Т
сходится поточечно на множестве М к некоторой вещественной функции
/: М-»Кпри Л(<) -+0.
Докажем, что рассматриваемое семейство сходится к функции /
равномерно при X(t) —► 0. Зададим произвольно е > 0 и положим
Е\ = -. Согласно условию теоремы найдется й > 0 такое, что для
любых <i,<2 € М, для которых A(^i) < <5 и А(/г) < <$, выполняется
неравенство Ц/^—/^|| < £ь Возьмем произвольно точку х Е М и фиксируем
произвольно значение /о такое, что А(^о) < 8. Для всякого t Е Т, для
которого A(tf) < <5, для всех х £ М имеем \ft0(x) - ft(x)\ < \\fio - ft\\ < e\.
Переходя в этом неравенстве к пределу при X(t) —► 0, получим, что
\ftoix) " f(x)\ < £i Для всякого х € М. Отсюда вытекает, что
||/,0 -/||= sup \ft0(x)-f(x)\ <£X<£.
Осталось заметить, что to £ Т такое, что А(/о) < #> было выбрано
произвольно и, следовательно, для всех < G Г, удовлетворяющих
условию X(t) < £, выполняется неравенство ||/* — /|| < е.
Так как е > 0 было задано произвольно, то тем самым доказано,
что \\ft — /|| —► 0 при X(t) —► 0, т. е. семейство функций (ft)t£T
сходится равномерно к функции / при X(t) —► 0. Тем самым достаточность
условия теоремы также установлена.
Рассмотрим общий случай. Пусть р Е К конечно. Положим ji{t) =
= \X{t) — р\. Тогда для всякой функции F(t) переменной t и любого
ьеш
{L= lim F(*)}*{I = Km F{t)}.
Условие \X(t) — p\ < 6 равносильно условию fi(t) < 8. Отсюда,
очевидным образом, следует, что утверждение теоремы верно и в случае
произвольного конечного р.
Еслир = оо, то полагаем //(/) = ехр[—А(/)]. Справедливость
утверждения теоремы в данном случае вытекает из того, что для всякого
L ЕЕ
{L= lim F(t)}*{L= lim F(t)},

§ 1. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 327
и из соотношений
{fi(t)<6}^ U(t)>K = ln
{X(t) >K>0}^ {fi(t) <S = exp(-/0}.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Нормированное векторное пространство Loo(M)
является полным.
Доказательство. Пусть (/n)n€N есть произвольная
фундаментальная последовательность элементов пространства Loo(M). По
определению, это означает, что для всякого е > О можно указать номер
п Е N такой, что для любых щ > п и n<i > n выполняется неравенство
11/тц -/njLooCM) < £•
Это означает, что для последовательности (/n)n€N выполнено условие
равномерной сходимости при п —> оо и, значит, существует функция
/ е Loo такая, что ||/п - /Hz,*, —► 0. Таким образом, мы получаем, что
всякая фундаментальная последовательность в пространстве Loo
является сходящейся. Тем самым полнота пространства Loo установлена.
Следствие доказано. ▼
1.4. Теорема о равенстве повторных пределов
Зададим произвольно непустые множества А к Т. Будем
предполагать, что на множестве А задана оценочная функция /х с предельным
значением <?, а на Т определена оценочная функция А и р G К есть ее
предельное значение.
Далее, предполагается также, что задано полное метрическое
пространство (М,/>) и рассматриваются функции со значениями в
множестве М. Пусть дана функция /: А х Г —► М, т. е. каждой паре (ж,/),
где х Е А, / Е Т, сопоставлена некоторая точка /(ж, /) пространства М.
Предположим, что для всякого х G А существует предел
lim f(x,t) = (p(x)
и для любого t £ Г существует предел
lim f(x,t) = №. (1.11)
В ■
(1.10)

328 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Пределы
lim (Jim /(*,<))= Ит [<р(х)], (1.12)
lim ( lim /(*,*)) = Нт ty(0], (1.13)
если таковые существуют, называются повторными пределами функ-
ции /(#,£)> когда /г(ж) —► q и,А(^) —> р.
Величины (1.12) и (1.13) получаются из f(x,t) в результате двух
последовательных предельных переходов — сначала по одной из
переменных х и tf, а затем по другой. Если функция / произвольна, то из
существования одного из повторных пределов (1.12) и (1.13), вообще
говоря, не следует существования другого, а если они оба существуют,
то их значения могут и не совпадать.
Пример. Пусть А = Г = N, а метрическое пространство М
совпадает с множеством всех вещественных чисел К. Для произвольных
га, т £ N положим
£( . ra + (-l)nm , - ra-m
Лп^) = —^т^—> 9^т> = ~г^*
га + т п + т
При всяком п lim /(ra,m) = (—1)п и при любом m lim /(ra,ra) = L
Отсюда ясно, что предел lim ( lim /(ra, m)) не существует. В то же
71—>-00 771 —*00
время предел lim ( lim /(ra,m)) существует. Его значение, очевидно,
т—*оо п—юо
равно 1.
Для функции g при каждом га lim р(га,га) = — 1 и при любом т
т—*оо
lim g(n,m) = 1. Отсюда следует, что повторные пределы
71—КХ)
lim ( lim (/(га,га)), lim ( lim p(ra,m))
71—ЮО 771—*<X> 771—*<X> 71—»-00
оба определены. Первый из них равен — 1, второй равен 1, так что
значения этих преде лов. различны.
Установим достаточное условие для совпадения повторных
пределов.
Пусть дана функция /: А х Г —► М. Предположим, что для
всякого х € А существует предел lim f(x,t) = <p(x). Будем говорить,
что f(x,t) сходится к (р(х) равномерно при X(t) —► р w /х(я) —► <?, если
для всякого £ > 0 можно указать окрестность U точки рЕйи
окрестность V точки q в множестве К так, что для любых х G А и t Е Г,

§ 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 329
удовлетворяющих условиям ц(х) G У и A(tf) € U, выполняется
неравенство p[f(x,t),ip(x)} < £.
ш Теорема 1.3. Пусть даны множества А и Т, причем на
множестве А задана оценочная функция /х с предельным значением q, а наТ
задана оценочная функция А с предельным значением р. Пусть (М,/>)
есть полное метрическое пространство и функция f: А х Г —> М
удовлетворяет следующим условиям: 1) при каждом х Е А существует
предел lim f(x,t) = (p(x), а при всяком t £ Т существует предел
\(t)->P
lim /(я, tf) = "0(O> 2) функция f(x,t) сходится к <р(х) равномерно при
X(t) -+ р и fi(x) —► g. Тогда повторные пределы
lim (lim /(ж,<)), lim ( Urn f(z,t))
существуют и равны между собой.
Доказательство. Предположим, что выполнены все условия
теоремы. Сначала докажем существование предела lim <р{х).
В силу полноты пространства (М, р) для этого достаточно
установить, что функция ip удовлетворяет условиям: признака Коши — Боль-
цано существования предела при /л(х) —► q (см. §5 главы 6).
Зададим произвольно е > О, и пусть окрестность U точки р и
окрестность У точки q таковы, что если /л(х) G У и A(tf) G i7, то выполняется
неравенство
p[f(x,t)M*)]<l-
Такие окрестности U и V существуют в силу того, что f(x,t) —► <£(#)
равномерно при ji{x) —> q и А(/) —► р.
Фиксируем произвольно / такое, что \{i) G £Л Для всякого iGi,
удовлетворяющего условию /х(ж) Е V, выполняется неравенство
р№,о,у(х)]<|. (1.14)
В силу условия теоремы существует предел lim /(я, t) = ф{{) и, зна-
чит, найдется окрестность У/ точки q такая, что если ji(x) Е V/, то
р[/{хЛ№)<1' (1Л5)
Пусть Ух есть окрестность предельного значения q оценочной
функции /х, содержащаяся в каждом из множеств У жУ{. Пусть х таково,

330
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
что fi(x) G Vt. Так как Vt С V, то /х(ж) Е^и, значит, для этого х
выполняется неравенство (1.14). Так как Vt С V/, то fi(x) G V/ и,
значит, для данного х G А имеет место неравенство (1.15). Из неравенств
(1.14) и (1.15) следует, что
р[ф), ф{1)] < р[р{х\ f(z, t)] + p[f(xy*), i>(t)] < \ + \ = |. (1.16)
Мы получаем, таким образом, что если fi(x) G V*, то
р[Ф)М*)]< |-
Возьмем произвольно £i G А и ж2 € А такие, что /i(#i) G V* и
/х(#2) € V*- Тогда получим
p[p(x1)i(p(x2)] < p[4>{xi),${t)] + p[i>(t),<p(x2)] < - + - = £.
Так как е > 0 было взято произвольно, то мы, таким образом,
доказали, что для функции <р выполнены условия признака Коти —
Больцано существования предела (теорема 4.9 главы 6). Так как
пространство (М, р) является полным, отсюда следует, что существует
предел
lim <р(х) = z.
Докажем, что z = lim ^(0- Так как z = lim tp(x), то найдется
окрестность Vq предельного значения q метрической функции /х такая,
что если р,(х) G Vo, то p[<p(x)9z] < -.
Пусть х G М таково, что /х(я) G V* и одновременно р,(х) G Vo- Та-
кое ж существует. Для данного х имеем p[ip(x),z] < - и одновременно
£
p[p(x),il>(t)] < -. Отсюда следует, что
/#(*), z) < р[ф{1\<р{х)\ + р[ф\ z] < | + | = е.
Заметим, что t G Г такое, что A(tf) G i7, было выбрано произвольно.
Таким образом, мы получаем, что для всякого е > 0 можно
указать окрестность U точки р такую, что если X(t) G (7, то р[^(<)>*] < £-
По определению, это и означает, что z = lim V>(0 = я. Теорема ДОКа-
зана. ■

§ I. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 331
1.5. Следствия теоремы о повторных пределах.
Пространство У(М)
Докажем здесь некоторые важные свойства равномерно сходящихся
семейств функций, являющиеся следствием теоремы 1.3 п. 1.4. Далее
X означает произвольное банахово пространство.
■ Теорема 1.4. Пусть (ft: M —> Х)^г есть семейство функций,
определенных на, множестве М. Предположим, что в Т задана оце-
ночна,я функция А с предельным значением р Е R, а в М определена,
оценочна,я функция \i и q Е R — ее предельное значение. Предположим,
что при X(t) —► р функции ft ра,вномерно сходятся к функции f: М —► X.
Тогда, если при ка,ждом t Е Т существует предел lim ft(x) = а*, то
/*(*)->ef
функция f имеет предел lim /(ж). Яря этом выполняется ра,венство
lim /(ж) = lim а*.
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что при всяком
х Е М существует предел lim ft(x) = /(ж). Зададим произвольно
А(*)—р
£ > 0. Так как функции ft при \(t) —► р сходятся равномерно к
функции /, то найдется окрестность U точки р такая, что если t Е Т
и A(tf) Е (7, то выполняется неравенство
Пусть / Е Г, причем X(t) Е U. Тогда для всех х Е М выполняется
неравенство
\ft(x)-f(x)\<\\ft-f\\Loa(M)<e. (1.17)
Пусть V есть какая-либо окрестность точки q Е К — предельного
значения //(ж). Мы получаем, в частности, что неравенство (1.17)
выполняется для любых х ж1 таких, что \(t) Е U, a /z(z) Е V.
Таким образом для любого е > 0 можно указать окрестность U
точки р и окрестность V числа q такие, что если ji(x) Е V и \(t)&U,
то ||/*(я) - f(x)\\ < е. Следовательно, мы получаем, что ft(x) —► /(ж)
равномерно при A(tf)—>ри/х(я)—> д. При всяком tf Е Г существует
предел lim ft(x) = di. Из сказанного следует, что для функции F: (ж, /) Е
ЕМхГи /*(#) £ К выполнены все условия теоремы 1.3 и, значит,
повторные пределы
lim (lim /*(&)) = lim /(z),
lim ( lim ft(x)) = lim a*
A(*)-p **(*)-* A(*)-P

332
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
существуют и равны между собой. Теорема доказана. ■
Следующая теорема показывает, что свойство функций быть
непрерывными сохраняется при равномерной сходимости.
■ Теорема 1.5. Пусть {ft: M —► X)iex есть семейство функций,
определенных на метрическом пространстве (М, р). Предположим, что
в множестве Т задана оценочная функция А с предельным значением р
и при X(t) —► р функции ft равномерно сходятся к функции f: М —► X.
Тогда если при каждом t Е Т функция ft непрерывна в точке xq
метрического пространства (М,/?), то предельная функция f также
непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Если
хо Е М есть изолированная точка пространства М, то теорема верна,
так как в этом случае любая функция, определенная на М, является
непрерывной в точке х$.
Предположим, что хо есть предельная точка М. Тогда на
множестве М \ {х0} определена оценочная функция /л: х Е М »-► р(х,хо)
сходимости к точке хо. При каждом t £ Т существует предел
lim ft(x) = ft(x0).
S—►So
Значит, на основании теоремы 1.4 существует предел
lim f(x) = lim ft(xo) = f(x0).
x-*x0 A(<)-»-p
Тем самым непрерывность функции / в точке хо установлена. Теорема
доказана. ■
■ Теорема 1.6. Пусть (fn: M —► Х)п€^ есть произвольная
последовательность функций, равномерно сходящаяся при п —► оо к
функции /: М —у X. Предположим, что на множестве М задана
оценочная функция \i с предельным значением q и при всяком n Е N
существует предел lim fn(x) = an. Тогда функция f также имеет предел
li(x)-*q
lim /n(#) = CL- При этом a = lim an. Если на множестве М задана
произвольным образом метрика р и каждая из функций данной
последовательности непрерывна в точке хо метрического пространства (М,/>),
то функция f также непрерывна в этой точке.
Доказательство. Теорема содержит два утверждения. Первое
есть частный случай теоремы 1.4, получаемый, если взять Г = N и
положить А(п) = га, р = оо. Второе есть частный случай теоремы 1.5,

§ 1. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 333
получаемый, если взять Г = N и А(п) = п для всех п € N и р = оо.
Теорема доказана. ■.
Пусть дано произвольное метрическое пространство (М,р).
Совокупность всех ограниченных непрерывных вещественных функций,
областью определения которых является множество М, обозначается
символом ^(М).
Множество ^(М) является подмножеством пространства L^M).
Для любых двух ограниченных непрерывных функций /: М —> К
и д: М —► К и любых чисел А,/х Е R функция А/ + /хр является
ограниченной и непрерывной. Отсюда следует, что множество функций ^(М)
является векторным пространством — подпространством Ь^М). Для
произвольной функции / Е ^(М) полагаем
||/lk(M) = II/IIloo(M)-
Так как равномерная норма является нормой в пространстве L^M),
то функция N: f € tf(M) ь-> ||/||<^(м) есть норма в пространстве ^(М).
Пространство ^(М) является полным нормированным векторным
пространством. Действительно, пусть (/n)n€N есть произвольная
фундаментальная последовательность элементов пространства ^(М). Она,
очевидно, является фундаментальной также и в пространстве L^M),
и так как пространство Loo(M) полно, то найдется функция / Е L^M)
такая, что ||/п — /||loo(M) -_> 0 при га —► оо, т. е.
последовательность функций (/n)nGN равномерно сходится к функции / при п—>оо.
В силу теоремы 1.5 функция / непрерывна. Согласно предложению II
п. 1.2 / есть ограниченная функция, и, значит, / Е ^(М). При каждом
п Е N имеем ||/n - /||V(A#) = ll/n - /IUoo(M) -► 0 при n -> оо.
Таким образом, мы получаем, что всякая фундаментальная
последовательность элементов пространства ^(М) является сходящейся
в этом пространстве.
1.6. Теорема Дини
■ Теорема 1.7. Пусть М есть компактное метрическое
пространство, (/n)n€N — последовательность непрерывных вещественных
функций, определенных на пространстве М. Предположим, что для
всякого х Е М числовая последовательность (fn(x))n£N является
убывающей, причем lim /п(я) = 0. Тогда последовательность (/n)neN cxo-
71 —*00
дится к нулю на множестве М равномерно при п —► оо.

334
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Если
последовательность (/n(^))n€N Для некоторого х G М является
убывающей и имеет предел, равный нулю, то /п(#) > 0 для этого х при
любом га. Зададим произвольно е > 0. Пусть х G М. Тогда найдется
номер п(х) Е N такой, что для всякого га > п(х) имеет место неравен-
ство fn(x) < -.
Пусть Gx есть множество всех IGM, для которых fn(t) < е.
Множество Gx открытое. Очевидно, х G Gx. Для всякой точки х € М,
таким образом, определено некоторое открытое множество Gx. Мы
получаем семейство (Gx)x^m открытых множеств пространства М.
Каждая точка х G М принадлежит по крайней мере одному из множеств
этого семейства. А именно, Gx и есть то множество семейства, которое
содержит точку ж.
Семейство множеств (Gx)x^m образует, таким образом, открытое
покрытие множества М. В силу теоремы Бореля о покрытии (глава 9,
теорема 2.4) отсюда следует, что найдется конечное множество
значений £;, г = 1,2,...,JV, такое, что каждая точка t E M принадлежит
по крайней м;ере одному из множеств Gx., т. е. множества GXi также
образуют открытое покрытие пространства М.
При каждом г = 1,2,..., N определен некоторый номер щ = п(х{).
Пусть га есть наибольший из этих номеров.
Рассмотрим функцию /п, где га > га. Так как функция fn
непрерывна, а пространство М компактно, то найдется точка tn € M, в
которой функция fn принимает свое наибольшее значение. Для всех t £ М
имеем 0 < fn(t) < /(*п)> откуда следует, что
f(tn) = ||/n||Leo(AO-
Всякая точка t Е М принадлежит хотя бы одному из множеств Gx..
Пусть tn Е GXj. Так как га > п > rij, то
ll/nlUoo(Af) = fniin) < fnj(tn) < е.
Следовательно, мы получаем, что для всякого га, удовлетворяющего
условию га > га, выполняется неравенство ||/п||гвв(АГ) < е-
Так как е > 0 было взято произвольно и для достижения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялось условие га > га,
то тем самым установлено, что Ц/яЦь^СМ) —► 0 ПРИ п —► °°> т- е- fn ^ 0
при га —> оо. Теорема доказана. ■
Т Следствие. Пусть М есть компактное метрическое
пространство, (/n)n€N — последовательность непрерывных вещественных
функций, поточечно сходящаяся при га —► оо к функции f: М —> R. Тогда
если функция f непрерывна и для всякого х Е М последовательность
(/n(^))n€N является монотонной, то fn z^ f в пространстве М.

§ i. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 335
Доказательство. Для х Е М положим ип(х) = |/п(#) — Д#)|-
Если для некоторого х последовательность fn(x) является
возрастающей, то согласно теореме о пределе монотонной последовательности,
доказанной в главе 2,
f(x) = lim /п(ж) = 8ир/я(ж),
так что в этом случае fn(x) < /(ж) для всех п и, значит,
ttn(s) = ~[/п(ж)-/(ж)].
Отсюда ясно, что последовательность (ип(х))п^ для данного ж
является убывающей. В случае, когда последовательность (fn(x))n£N
убывающая, имеем
ип{х) = /п(&) - /(ж)
и последовательность (wn(x))n€N является убывающей и в этом случае.
Функции ип непрерывны и гхп(ж) —> 0 при п —► оо для всякого
х £ М. Последовательность функций (ип)п^ является убывающей. На
основании теоремы из доказанного вытекает, что ип z$ О при п —> оо.
Тем самым следствие доказано. Т
1.7. Теорема о произведении рядов
В качестве приложения теоремы о повторных пределах
(теорема 1.3) докажем следующее предложение.
■ Теорема 1.8 (о произведении рядов). Пусть даяы сходящиеся
числовые ряды [ап] и [bn]n€No- Для произвольного n E No положим
п
сп= ]С akbn-k- Тогда, если один из рядов [ап]п€^ и [bn]n€No сходится
k=0
абсолютно, то ряд [с^п^ является сходящимся, причем имеет место
равенство
оо / оо \ / оо \
5>я = 5>п Ем-
п=0 \п=0 / \п=0 /
Доказательство. Для определенности будем считать, что
абсолютно сходится ряд [an]n€N0- Ддя п > 0 положим
п п
jfe=o k=o

336
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Пусть Сп есть га-я частная сумма ряда [сп]п€к. Имеем; \
п п У m \
Сп = 22 Cm = 22 \ z2akbm-k 1 •
m=0 m=0 \k=0 /
Для всякого к = 0,1,2,..., га в сумме справа соберем все те
слагаемые, которые содержат множитель аь Очевидно, это есть слагаемые
п — к
а*Ьо,а*Ььа*Ь1,...,а*Ьп_ь Их сумма равна ак £ Ьт = а&Бп_ь От-
7П=0
П
сюда вытекает, что Сп = ]>^ akBn-k при каждом га > 0.
Jb=0
Положим umj7l .= amJ5n_m при m < га и wmjTl = 0, если тип есть
неотрицательные целые числа.
При каждом га £ No, таким образом, определен ряд [и™^]™^.
Этот ряд сходится, так как его члены, номера которых больше га,
обращаются в нуль. Его сумма равна
оо п
т=0 т=6
При каждом т > 0 имеем lim um n = lim amBn-m = am5.
n—»-oo n—юо
Ряд [am5]m€N0 сходится, и его сумма равна АВ. При каждом т
величина пш^п имеет пределом при га —► сю т-й член ряда [amB]m€N0.
оо
Наша цель — доказать, что Сп = Yl um,n при га —► оо стремится к АВ,
т=0 ■ , , ,
т. е. к сумме ряда [am5]m€No.
т
Положим £7m,n = J3 WM- При каждом т > 0 существует предел
0 fc=o
m
lim Umi7l = X^ afc^ = AmB. При каждом га > 0 существует также пре-
п—°° ь=о
дел lim (7m n = Сп. Докажем существование и равенство повторных
т—юо '
пределов
lim { lim {7m,n}, lim { lim J7m,n}.
m—»-oo n-^oo n—»-oo m—юо
Заметим, что первый из этих пределов, очевидно, существует и
равен lim АтВ = АВ. Чтобы доказать, что также и второй предел су-
п—юо
ществует и равен первому, мы должны установить, что \]ШлП —> Сп
равномерно при га —► оо и т —► оо.

§ I. Понятие равномерной сходимости для семейства, функций 337
Последовательность (l?m)mGN0 имеет конечный предел и,
следовательно, является ограниченной. Пусть L < оо таково, что \Bm\ < L
для всех т > 0.
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется номер га такой, что
при каждом к > т имеет место неравенство
£ |«| < гтт
m=fc
Имеем Сп - ^7т,п = 0 при га < га, а если га > га, то
|Оп ит>п| —
5Z w*'n
< Е к»1^
ife=m+l
< Е kl|5n_fc|<i E 1**1
Отсюда следует, что для всякого га > га имеет место неравенство
ОО j
k=m+l
Так как для достижения этого неравенства потребовалось лишь,
чтобы га удовлетворяло условию га > га, то тем самым и доказано, что
Um)n —► Сп равномерно при га -+ оо и га —► оо.
Применяя теорему 1.3, получаем, что
п—»оо m—+oo
lim { lim Um n} = lim Ат2? = АВ = lim { lim иШуП) = lim Cn.
Таким образом, установлено, что
оо
АВ = lim Cn = } сп
п—»-оо ^—'
п=0
Теорема доказана. ■

338
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные
ряды
Функциональным рядом называется всякий ряд вида fk+fk+i~\ H/n +
+ ..., где fn, п = к,к+1,.,., есть числовые функции, определенные на
некотором множестве М. Если Д + Д+i Н— • + fn + • • • — функциональный ряд,
члены которого представляют собой функции, заданные на множестве М, то
длявсякогох Е М определен числовой ряд fk(x) + fk+l(%)-\ Ь/П(я) +
Предположим, что этот числовой ряд сходится для всякого х £ М и F(x)
есть сумма этого ряда в точке х. Таким .образом, на множестве М
определена функция F, которую будем называть суммой данного функционального
ряда.
Наша цель — указать некоторые средства, позволяющие установить
свойства суммы ряда, зная свойства отдельных его членов. Например, если
мы знаем, что все члены ряда есть дифференцируемые функции, то,
естественно, возникает вопрос: будет ли его сумма дифференцируемой функцией
и можно ли получить производную суммы, почленно дифференцируя данный
ряд и вычисляя затем сумму полученного ряда? (Предполагается, что
множество М есть промежуток в К.) Легко построить примеры, показывающие,
что, вообще говоря, этого делать нельзя.
Используя результаты § 1 этой главы, мы сможем здесь указать
условия, выполнение которых позволяет устанавливать непрерывность суммы
ряда, все члены которого есть непрерывные функции. Здесь же будут
указаны условия, при выполнении которых производная суммы ряда равна сумме
производных его членов.
Здесь определяется понятие равномерно сходящегося ряда и
доказываются теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании
функциональных рядов. При этом мы существенно опираемся на результаты,
полученные в § 1.
2.1. Понятие равномерно сходящегося ряда
2.1.1. Зададим произвольно непустое множество М. Предположим,
что для всякого номера п > /г, где к — целое число, задана функция
fn: М —► К. Для каждого п > к определим функцию Fn: М -» К,
полагая Fk = Д и Fn+1 = Fn + /n+i для всякого п.
Говорят, что (Fn)n>k есть последовательность частичных сумм
функционального ряда
оо
Л + /*+1 + ••• + Л. + ••• = £ /«• (2-1)
п=к

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 339
Функциональный ряд будем обозначать также одним из следующих
выражений: [/п]я>*> [/п(я)]п>* или [/п- М -> К]п>*. Символ п > к,
используемый во всех этих обозначениях вместо индекса, может
заменяться выражением га Е Nfc.
Будем говорить, что функциональный ряд (2.1) является
равномерно сходящимся на множестве А С М, если последовательность его
частичных сумм (-Fn)n>jt равномерно сходится на множестве А. Для
всякого множества М определено банахово пространство Ь^М).
Последовательность ограниченных вещественных функций (<pn)n>ki
определенных на множестве М, является равномерно сходящейся на М
в том и только в том случае, если она представляет собой сходящуюся
последовательность элементов банахова пространства Loo(M). В силу
этого результаты главы 11 относительно рядов в произвольном
банаховом пространстве могут быть применены к изучению свойств
равномерно сходящихся рядов.
Из теоремы 1.1 главы 11 вытекает следующий необходимый
признак равномерной сходимости функционального ряда.
+ Предложение 2.1. Если ряд [fn: М —► К]п>& равномерно
сходится на, множестве М, то ||/||Loo(Af) ~~* О ПРИ п ~"* °°-
Справедливость данного утверждения устанавливается простым
сопоставлением определений.
ф Предложение 2.2. Пусть дана, последовательность веществен-
ных функций (fn)n>k, определенных на, множестве М. Предположим,
что каждая из функций fn является ограниченной. Для того чтобы
функциональный ряд [fn]n>k был равномерно сходящимся на,
множестве М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О
существовало значение т> к такое, что для любого I E N имеет место
неравенство
1 m+l
■£
|n=m-f-l
/n
Это есть частный случай теоремы 1.5 главы 11, получаемый, если
в ее формулировке в качестве банахова пространства X взять
пространство ioo(M). ♦
Ф Предложение 2.3. Пусть дан функциональный ряд [fn : М —►
-> Е]п>ь Тогда если числовой ряд [||/n|Ueo(Af)]n>* является
сходящимся, то ряд [fn]n>k равномерно сходится на множестве М.

340
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Условие предложения означает, что [/п]п>* есть абсолютно
сходящийся ряд в банаховом пространстве Loo(M). Отсюда согласно
теореме 1.6 главы 11 следует, что этот ряд является сходящимся в
пространстве Loo(M).
Осталось заметить, что сходимость ряда [/n]n>fc в пространстве
Loo(M) есть то же самое, что и равномерная сходимость данного ряда
на множестве М. 4
4 Предложение 2.4 (критерий Вейерштрасса равномерной
сходимости). Пусть дан функциональный ряд [fn: М —> К]П>Л;. Тогда если
существует сходящийся числовой ряд [ап]п>* такой, что |/п(#)| < о,п
при каждом п > к, то функциональный ряд [fn]n>k равномерно
сходится на множестве М.
Действительно, пусть ряд [fn}n>k удовлетворяет условию
следствия. Тогда при каждом п> к выполняется неравенство
H/nlUooCM) < ап.
Значит, согласно теореме 2.3 главы 11 ряд [||/n|Uoo(Ao]»>* является
сходящимся. Отсюда в силу предложения 2.3 вытекает, что ряд [/п]п>*
равномерно сходящийся. Предложение доказано. ♦
♦ Предложение 2.5. Пусть М есть метрическое пространство
и [fn]n>k — РЯД, члены которого есть ограниченные непрерывные
вещественные функции, определенные в пространстве М. Тогда если
данный ряд является равномерно сходящимся, то его сумма есть
ограниченная непрерывная функция в М.
Доказательство. Из условий данного предложения вытекает,
что частичные суммы Fn данного ряда есть ограниченные
непрерывные функции, определенные на пространстве М. При п —► оо
функции Fn сходятся равномерно к некоторой функции F. Согласно
теореме 1.6 данной главы предельная функция F является ограниченной
и непрерывной. Функция F есть сумма функционального ряда [fn]n>k>
и справедливость данного предложения, таким образом, установлена.
Предложение доказано. ♦
2.1.2. Пусть (fn)n>m и (un)n>m есть последовательности
вещественных функций, определенных на множестве М.
Будем говорить, что функциональный ряд [wn]n>m мажорирует
функциональный ряд [fn]n>m, если каждая из функций ип
неотрицательна и для всякого п > т для всех х € М выполняется неравенство
|/n(z)| < ип(х)- В этом случае говорят также, что ряд [ип] есть
мажоранта ряда [fn].
ш Теорема 2.1. Пусть (fn)n>m к (un)n>m есть
последовательности ограниченных вещественных функций, определенных на
множестве М. Предположим, что функциональный ряд [un]n>k мажорирует
ряд [fn]n>k- Тогда если ряд [un]n>k равномерно сходится на
множестве М, то также и ряд [fn]n>k является равномерно сходящимся на М.

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 341
Доказательство. Теорема устанавливается применением
предложения 2.2. Предположим, что ряд [un]n>fc мажорирует ряд [/n]n>jfe
и является равномерно сходящимся на множестве М* Зададим
произвольно е > 0. Тогда в силу предложения 2.2 найдется номер m > k
такой, что для любого / Е N выполняется неравенство
m+l
n=m+l
<е.
Loo(M)
При всяком х G М имеем
т+/
m+l
Е
т+/
< Е i/~(^)i < Е u»(*)^
п=т+1
Е
2 W»
< е.
Ьоо(М)
Так как ж было выбрано произвольно, то мы получаем, таким
образом, что для функционального ряда [/n]n>Jfe выполнено условие
предложения 2.2 и, значит, этот ряд является равномерно сходящимся на
множестве М. Теорема доказана. ■
2.2. Признаки Дирихле и Абеля равномерной
сходимости функционального ряда
2.2.1. Докажем здесь признаки равномерной сходимости ряда,
получаемые соответствующей модификацией признаков Абеля и Дирихле
сходимости ряда, доказанных в главе 11.
Пусть даны числовые последовательности (ип)пе^0 и (г?п)п€^0. Для
п
п > 0 положим Un = ^2 uk- Тогда, как было доказано в главе 11 (см.
теорему 3.1), если последовательность (Un)n^^ является ограниченной,
а последовательность (vn G K)n€i4> монотонна, причем lim vn = 0, то
п—»-оо
числовой ряд [unvn]n£N0 является сходящимся. При этом имеет место
равенство
^2UnVn = 11, Un(Vn - v»+i)-
(2.2)
n=0
n=0
■ Теорема 2.2 (признак Дирихле равномерной сходимости
функционального ряда). Пусть М есть произвольное множество, (fn)n>m
и (zn)n>m — последовательности вещественных функций, определен-
ных на множестве М. Для произвольного n > m положим Zn = J^ z\..
k=m

342
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Предположим, что последовательность функций (Zn)n>m является
ограниченной в ioo(M), a fn{x) =3 0 при п —► оо на, множестве М,
причем последовательность (fn(%))n>m является монотонной для любого
х Е М. Тогда функциональный ряд [znfn]n>m равномерно сходится на
множестве М.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Тогда при каждом х £ М выполнены все условия теоремы 3.1 главы 11
и, следовательно, числовой ряд [zn(x)fn(x)]n>m является сходящимся
для всех х Е М. Для х Е М положим
71 ОО
$п(х) = ^2 zk(x)fk(x)> Rn(x) = ]Г zk(x)fk(x).
k=m k=n+l
Теорема будет доказана, если мы покажем, что Rn(x) =t 0 на
множестве М. Воспользуемся равенством (2.2). Имеем
оо
Rn(x) = ^2Zk+n+l(*)fk+n+l(x)-
к
Положим Z* = Yl zr Имеем Z* = Zk - Zn. Изменим в равен-
j=n+l
стве (2.2) обозначение для индекса суммирования, поставив на место
символа п букву к. Полагая Uk = Zk+n+i и^ = Д+п+1, получим, что
для всякого х Е М имеет место равенство
оо
Rn(x) = J2 Zt(x)[fk+n+1(x) - Л+»+2(*)]. (2.3)
k=0
Пусть L < оо таково, что Н^яИь^м) < L для всех п > т. Тогда
H^nlUooCM) < 2L. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему номер п
такой, что для всякого n> n выполняется неравенство
H/n|Uoo(AO < d - 2L + 1'
Тогда, применяя равенство (2.3), получим, что для всякого n> n
для любого х Е М справедлива оценка
\Rn{x)\ < J2 \Zkn(x)\\fk+n+1(x) - /*+„+2(х)Ь<
ОО
< 2L ^ \fk+n+i(x) - fk+n+2(x)\. (2.4)
k=0
k=0

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 343
Согласно условию теоремы при каждом х Е М последовательность
(fn(x))n>m является монотонной. Отсюда следует, что
\fk(x) - /*+i(&)| = °[fk(x) - /*+i(a?)],
где множитель а равен 1, если последовательность {fn{x))n>m
убывающая, и о = — 1, если эта последовательность возрастающая. Отсюда
получаем
оо оо
2 l/*+n+i(s) " Л+»+2(я?)| = * 5^[/*+n+i(a?) - Д+„+2(аО].
fc=0 fc=0
Так как Д+п+1(ж) —► 0 при к —► оо, то имеем
оо
2[/t+«+i(a?) - Д+„+2(ж)] =
*=о
= Ит Y][/j+„+i(x) - fj+n+2(x)} =
к—*оо А--'
>=о
= lim [/„+i(x) - Д+п+2(х)] = /n+i(x).
Л —ЮО
Из сказанного в силу неравенства (2.4) вытекает, что для всякого
п > п
|Дп(*)| < 2L\fn+1(x)\ < ^-^. (2.5)
Точка х Е М была выбрана произвольно, и, значит,
неравенство (2.5) выполняется для всех х Е М. Отсюда заключаем, что
2Le
WRnh^M) < 2Г+1<6'
Так как е > О произвольно и для выполнения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы п удовлетворяло условию п > п,
то из доказанного вытекает, что ||i2nlUeo(Af) -* О ПРИ п ~~* °°- Тем
самым нами установлено, что Rn(x) z$ 0 и, значит, функциональный
ряд [znfn]n>m равномерно сходится на множестве М. Теорема
доказана. ■

344
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
▼ Следствие (признак Абеля равномерной сходимости
функционального ряда). Пусть М есть произвольное множество, (fn)n>m
и (zn)n>m — последовательности ограниченных вещественных
функций, определенных на множестве М. Для произвольного n > m поло-
п
жим Zn = ]С **• Предположим, что функциональный ряд [zn]n>m рав-
k=m
номерно сходится на множестве М, последовательность (fn)n>m
равномерно сходится на М к некоторой функции /, причем для всякого х Е М
числовая последовательность (/n(#))n€Nm является монотонной. Тогда
функциональный ряд [znfn]n£Nm равномерно сходится на множестве М.
Доказательство. При каждом п имеем znfn = zn(fn — /) + znf.
Ряд [zn(fn — /)]n€Nfc удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2, если
в формулировке последней заменить /п разностью /п — /. По условию,
ряд [^n]n€Nfc сходится равномерно. Пусть
оо оо
*->п == / zn, Ъп = у ^ znj = bnj.
ra=n-f-l m=n-f-l
Привсякомгс> A;HMeeM||En||Loo(M) < \\f\\L„(M)\\sn\\L„(Nt)- Прип-+оо
в силу равномерной сходимости ряда [^п]п€^ имеем H^nlU^M) -* 0.
Величина ||/||ь00(лг) конечна, так как функция / ограничена как предел
равномерно сходящейся последовательности ограниченных
вещественных функций. Отсюда следует, что H^nlU^M) =3 0 на множестве М
при п —► оо. Это означает, что ряд [fzn)n^k равномерно сходится.
Таким образом, мы получаем, что ряд [znfn]n^m является
равномерно сходящимся на множестве М. Следствие доказано. ▼
2.3. Теоремы об интегрировании функциональных рядов
и последовательностей
Зададим произвольно замкнутый промежуток £ = [а, Ь] С Е.
Символом N(0,) обозначим совокупность всех ограниченных функций,
определенных на промежутке £ и интегрируемых на этом промежутке.
Сделаем одно замечание, которое будет нам полезно в
дальнейшем. Предположим, что функция /: [a,b] —► К ограничена и
является интегрируемой по промежутку [а, 6]. Тогда для любых двух точек
#1>£2 € [а5Ь] имеет место неравенство
I Z2
\] f{t)dt
1*1
< 1*2 -XI 111/11^(2). (2.6)

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 345
Действительно, предположим, что х\ < х2. Положим H/Hl^e) = К.
Для всех / Е (xi,x2) имеет место неравенство —К < /(/) < К.
Отсюда согласно правилу интегрирования неравенств
(теорема 2.2 главы 5) вытекает, что
-К(х2-хг)< J f(t)dt<K(x2-x1),
Хх
т. е.
х2
/
хг
/(<) dt
< К\Х2 — Х\\.
Для случая xi < х2 неравенство (2.6) доказано. Случай х\ > х2
сводится к этому в силу равенства
Ж2 Xi
J f(t)dt = -J f(t)dt.
Xi
x2
Пусть / G iV(S) и F есть первообразная функции / такая, что
F(a) = 0. Функция F непрерывна на отрезке [а,Ь] и, значит, в силу
теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях (теорема 5.2 главы 2)
является ограниченной. Для всякого х Е [а,Ь] имеем
F(x
X
dt.
В силу неравенства (2.6) отсюда следует, что для всякого х Е [а, Ь]
верно неравенство
|F(x)| < (* - a)\\f\\Lm(s) <(Ъ- a)||/||Le.(SJ),
откуда получаем неравенство
1И|ьвв(В)<(6-а)||/||ьвв(Я). (2.7)
Напомним, что здесь / есть ограниченная функция,
интегрируемая по промежутку [a,6], a F есть ее первообразная, определенная так,
чтобы выполнялось равенство F(a) = 0.

346
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
ш Теорема 2.3. Пусть даны промежуток Е = [а, ft] С К я
последовательность (/n)n€Nm функций класса iV(E), равномерно сходящаяся на
промежутке [а, ft] к некоторой функции /о : [а, ft] —> R. Тогда предельная
функция /о также принадлежит классу N(E). При этом ямеет место
равенство
б б
/ /0(i) Л = J^ / fn(t) dt. (2.8)
а а
Доказательство. Пусть (fn)n£Nm есть последовательность
функций класса N(E), сходящаяся в пространстве £qo(S) к некоторой
функции /о. Требуется доказать, что функция /0 является элементом
множества JV(E), т. е. функция /о ограниченна и интегрируема по
промежутку [a, ft]. Ограниченность функции /о следует из того, что
/oGloo(E).
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы доказать
интегрируемость функции /о. Пусть Fn есть первообразная функции /п,
удовлетворяющая условию F(a) = 0.
Докажем, что последовательность (Fn)n^m элементов
пространства ioo(E) является фундаментальной в этом пространстве.
Так как (/n)nGNm есть сходящаяся последовательность элементов
пространства Zoo(E), то она является фундаментальной в этом
пространстве. Зададим произвольно е > 0. Положим Е\ = .
Поскольку последовательность (/n)n€Nm фундаментальная, то найдется
номер п такой, что для любых щ > fi и ri2 > fi выполняется
неравенство
ll/ni - /nalUoofS) < £i.
Для любых 7ii > 7г и П2 > п имеем
НЯц - Fn2\\Loo(Z) < (Ь - a)\\fni - /nJUooCE) < (* - «0*1 = *•
Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что
последовательность (Fn)n£N является фундаментальной в пространстве £<х>(Е)
и, значит, она сходится в £<х>(Е) к некоторой функции Fo. Функция Fo
непрерывна в силу того, что все функции Fn непрерывны на
промежутке [a,b].
Докажем, что построенная функция Fo является первообразной
функции /о на промежутке [a,b]. При каждом n > m найдется
не более чем счетное множество Еп С [a,b] такое, что при всяком
х £ Е функция ^дифференцируема, причем выполняется равенство
П(х) = Д(х).

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды
347
Пусть
оо
Е= (J Еп.
п=тл
Множество Е не более чем счетно. Возьмем произвольно точку
хо Е [а,Ь], не принадлежащую множеству Е. Точка хо не принадлежит
ни одному из множеств Еп, и, значит, при каждом п функция Fn
дифференцируема в точке жо, причем имеет место равенство F^xq) = fn(x0).
Далее, построим вспомогательную последовательность функций
Gn: [а, Ь] —► К, полагая при каждом п > О
( Fn(x)-Fn(xo)
п f \ ) ДЛЯ Х ^ Ж0' /о п\
<?п(я) = < х -хо (2.9)
I /п(»о) При X = Xq.
Зададим произвольно номер п G 1ЧШ. При всяком u E 1Чт для
любого х ф хо имеем
х
Gn(x) - G„(x) = —!— f[fn(t) - /„(*)] dt.
Xq
В силу неравенства (2.6) имеем
\Gn(x) - G„(x)\ < 1-^Ц\\и - MU.pj) = ll/n - MU.(r). (2.Ю)
При ^ —> оо, как следует из предложения III п. 1.3,
||/n - /i/|Ueo(E) "♦ ll/n - /olUeo(E)-
Фиксируя п и устремляя в неравенстве (2.10) v к оо, получим
неравенство
\Gn(x) - G0(x)\ < ||/я - /olU.d;). (2.11)
Имеем
\Gn(x0) - <?0(*о)| = |/пЫ ~ /о(*о)| < ||/n - /ollws).
Таким образом, мы получаем, что для всех ж G [а,Ь] выполняется
неравенство (2.11). Отсюда следует неравенство
IIGn - GolUooCE) < ||/n - /olUeo(s)-

348
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Номер п € N был выбран произвольно, и, значит, последнее
неравенство верно для всех п Е N. Правая часть этого неравенства
стремится к нулю при п —► оо, и, значит, \\Gn — (joIIl^d) —► 0 пРи п —► оо.
Таким образом, последовательность функций ((?n)neN сходится
равномерно к функции Go при п —► оо. При каждом п имеем
<?»(*„) = /о(хо) = П(*0) = Km ^(Х)~^(Ж0) = Km ОД,
ж-^жо Ж — Xq х-+х0
и, следовательно, функция Gn при каждом гс непрерывна в точке х0.
В силу теоремы 1.4 из доказанного следует, что функция Go также
непрерывна в точке жо, т. е.
/оЫ = Go(x0) = Um G0(s) = lim ^ж) Z F^ = ^(Жо).
Точка жо Е [а,Ь] \ J5 была выбранная произвольно. Следовательно,
мы получаем, что если х Е [a,b] не принадлежит множеству Е, то
/„(*) = F(s).
Множество Е не более чем счетно. Таким образом, мы получили,
что функция F непрерывна и F'(x) = /о(я) в промежутке [а, Ь] в
основном. Следовательно, функция F является первообразной функции /о
в промежутке [а, 6]. При п —► оо имеем Fn(^) —► Fo(x) Для всех х Е [а, Ь].
Имеем Fn(a) = 0 для всех п Е N и, значит, также 2*о(а) = 0. При
п —► оо
ь ь
Jfn(t)dt = Fn(b) -> ВД = У /о(<)'
a a
Тем самым установлена справедливость также равенства (2.8).
Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Пусть даны промежуток [а, Ь] С К и
последовательность ограниченных вещественных функций {fn)n>m, определенных на
этом промежутке и интегрируемых по нему. Тогда если ряд [fn]n>m
сходится равномерно на [a,b], то его сумма есть функция,
интегрируемая по промежутку [а, Ь]. При этом выполняется равенство
4 оо
/ ^2fn(x)dx= ^ fn(x)dx.
{ п=ш n=ma
Доказательство. Положим
п оо
k=m

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 349
Тогда при га —► оо sn =3 5 на промежутке [а,Ь]. Каждая из функций sn
интегрируема по промежутку [a,b]. В силу теоремы 2.3 отсюда
вытекает, что функция s интегрируема по промежутку [а,Ь]. При этом
ь ь
I sn(x)dx —> / s(z)d£
а а
при га —► оо. При каждом га имеем
/ sn(x)dx = ]Р / fk(x)dx.
a k=m a
Отсюда следует, что
6 п 6 оо 6
/ s{x)dx = Jim^ ^ / fk(x)dx = ^ / ft(x)dx.
к—т a к=т \
Следствие 1 доказано. ▼
Т Следствие 2. Пусть дано непустое множество Т с оценочной
функцией А. Предположим, что для всякого t E Г определена функция
ft: [а, Ь] —> R, принадлежащая классу iV([a, Ь]). Тогда если при X(t) —> О
Л =3 /о #а промежутке [а, Ь], то функция /0 является ограниченной и
интегрируемой по промежутку [a,b]. При этом выполняется равенство
ь ь
/fo(x)dx = lim / ft(x)dx.
A(f)—►() J
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Зададим произвольно последовательность значений (tfn)n€N такую, что
А(*п) —► 0 при га —► оо. Тогда fin =3 /0 при га —> оо. Согласно
теореме 2.3 отсюда вытекает, что функция /о интегрируема по
промежутку [а,Ь], причем
б ь
f0(x)dx= lim fin(x)dx.
a a
Поскольку (tn)n$f$ есть произвольная последовательность
элементов множества Г такая, что A(tfn) —► 0 при га -» оо, то тем самым
установлено, что
б ь
/fo(x)dx= lim ft(x)dx.
AW-оУ
Следствие 2 доказано.

350
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
2.4. О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
Докажем одно общее утверждение о дифференцируемости предела
последовательности функций.
■ Теорема 2Л. Пусть (fu)ueN есть произвольная последователь-
ность функций, определенных и непрерывных на, промежутке (а, Ь)
множества, К. Предположим, что каждая из функций fu дифференцируема
в промежутке (а, ft), причем последовательность производных (fl)uG™
является равномерно сходящейся на всяком промежутке [u,v] С (а, о)
к некоторой функции (р. Тогда если хотя бы для одного значения
р Е (а,й) существует конечный предел lim fu(p), то последователь-
v—юо
ность функций (/i/)i/gn поточечно сходится на (а,Ь) к некоторой
функции /, которая является первообразной функции ip на промежутке (а, ft).
Функция f дифференцируема и удовлетворяет равенству f\x) = (р(х)
для всех х Е (a,b).
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Для
всякого х € (а, ft) имеем
X
Ш = Ш + 1 fl(y)dy.
V
Функции fl интегрируемы по промежутку (а, Ь) и сходятся к функции ip
равномерно на всяком промежутке [u,v] С (a, ft). В силу теоремы 2.3
функция ip интегрируема на всяком таком промежутке [щу] С (a,b) и
V V
I\{y)dy = lim f f'v(y)dy= lim [fv{v) - /„(«)]. (2.12).
J I/—ЮО J V—► OO
u u
Зададим произвольно точку x E (a, ft), отличную от р. Пусть [u,v]
есть отрезок с концами в точках х и р. Из равенства (2.12), очевидно,
следует, что
/
<р(у) dy = lim \fy{x) - f„(p)].
Так как, по условию, существует конечный предел lim fu(p) = h,
то из последнего равенства вытекает, что существует также и
конечный предел lim jv{x) = f(x). При этом мы получаем, что
X
f(x) = h + J<p(y)
dy.

§ 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 351
Поскольку х £ (а,Ь) было взято произвольно, то тем самым
установлено, что функция / является первообразной для функции <р.
Докажем, что f{x) = <р(х) для всех х € (а,Ь). Возьмем
произвольно точку хо Е (а, Ь). Пусть 6 > О таково, что а < xq — tf, £q + £ < Ь.
ПОЛОЖИМ Xq — 6 = U, Хо + 6 = V.
Последовательность производных f9u сходится к функции tp на
данном промежутке [u,v] равномерно. Пусть AI/ = ||/^-(/?||z. (\u v]\> ^v ~* ®
при v —► оо. Возьмем произвольно х ф xq такое, что |ж — хо\ < 6.
Промежуток с концами в точках х ж хо содержится в отрезке [и,г>]. Имеем
X
[/„(*) - Л(*о)] - [/(*) - /(хо)] = У [Ш - v(y)] rfy-
Для всех у G [и,г>] имеет место неравенство ||/£(у) — ^(у)|| < ^i/-
Отсюда следует, что
X
J[fl(y)-f(y)]dy
Fo
< \х — Xq\\u.
Мы получаем, таким образом, что для любого х € [w,v], отличного
от яо, выполняется неравенство
Л(я) " 1Лхо) /(&) - /(я?0)
< А„.
X — Хо X — Хо
Следовательно, мы получаем, что
Л(а?) - Л(а?о) ^ /(а?) - /(а?о)
Ж — Хо X — Хо
на множестве [и, г?] \ жо- При всяком ^ Е N существует конечный предел
/|/(я)-/„(жо)
lim
s—►so
= /;ы.
Значит, согласно теореме 1.4 существует конечный предел
/0О-/Ы
lim
X—»-Жо
Ж — Xq
= lim /^(ж0) = <р(х0).

352
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Точка хо Е (a,b) была выбрана произвольно. Следовательно, мы
получаем, что функция / дифференцируема в каждой точке х
промежутка (а, Ь) и f!(x) = <р(х) для всех х Е (a,b). Теорема доказана. ■
Замечание. В условиях теоремы 5.3 можно утверждать, что
последовательность функций (/„)„gn сходится к предельной функции /
равномерно на всяком промежутке [u,v] С (<х,Ь).
Из теоремы 2.4 вытекает некоторое утверждение об условиях, при
которых производная суммы функционального ряда является суммой
производных членов ряда.
▼ Следствие. Пусть дан ряд [fn: (a,b) —► К]^^, члены которого
есть функции, определенные и дифференцируемые в промежутке (a,b)
множества R. Тогда, если функциональный ряд Г/'1 N , образован-
ный производными функций /п, равномерно сходится в интервале (a,b)
и найдется точка р £ (a,b) таская, что числовой ряд [fn(p)]n£Nm
является сходящимся, то ряд [/n(^)]nGNm сходится для всех х Е (а,Ь). При
этом если
оо
п*) = Е /*(*)»
п=тп.
то функция F дифференцируема в каждой точке промежутка (a,b),
причем имеет место равенство
оо
f'(x) = е ж*).
Доказательство. Для n> m положим
п
ад = Е /*(*)•
Функция Fn при каждом п дифференцируема в промежутке (а, 6). При
этом имеет место равенство
км = Е /К*)-
Положим
*.(*) = Е /К*)-

§3. Степенные ряды
353
Имеем: Фп(^) = F'n(x) для всех я € (а, 6). В силу условия следствия
последовательность функций ($n)neNm равномерно сходится в
промежутке (а,Ь) к некоторой функции Ф. Для некоторой точки р, как
вытекает из условий следствия, существует конечный предел lim Fn(p).
п—*оо
В силу теоремы 2.4 отсюда следует, что для всех х € (а,Ь) существует
конечный предел lim Fn(x) = -F(e). Получаемая таким образом функ-
п—юо
ция согласно теореме 2.4 дифференцируема для всех х G (а,Ь). При
этом
оо
f'(x) = ф(х) = ^ /:<*).
71 = 171
Следствие доказано. ▼
Замечание. Как и в случае, рассмотренном в теореме 2.4,
в условиях следствия можно утверждать, что функциональный ряд
[/n]n€Nm сходится равномерно на всяком замкнутом промежутке [а,/3],
содержащемся в интервале (а,Ь).
§ 3. Степенные ряды
В этом параграфе рассматривается частный случай функциональных
рядов — степенные ряды. Наглядно степенной ряд можно представить себе
как полином бесконечной степени. Функции, представимые как суммы
степенных рядов, играют важную роль в математике — это так называемые
аналитические функции. В эпоху становления дифференциального и
интегрального исчисления функции, которые могут быть представлены как суммы
степенных рядов, считались основным объектом изучения.
Изучение свойств аналитических функций в полном объеме есть задача
курса теории функций комплексной переменной. Здесь же устанавливаются
лишь некоторые простейшие свойства аналитических функций.
3.1. Первая теорема Абеля для степенных рядов
(теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда)
3.1.1. Зададим произвольно банахово пространство X над полем
комплексных чисел С. Норму произвольного вектора х Е X будем
обозначать символом \х\.
Степенным рядом со значениями е X мы будем называть всякий
ряд вида
[an{z-c)n)nm> =a0 + a1(z-c) + a2(z-c)2 + --- + an(z-c)n + ... , (3.1)

354
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
где ап,п = 0,1,2,...,— векторы пространства X, z и с — комплексные
числа. Векторы ап, п = 0,1,..., называются коэффициентами данного
степенного ряда.
Множество ^# тех z, для которых ряд (3.1) сходится, называется
областью сходимости степенного ряда. Очевидно, точка с
принадлежит */#. Для всякого z Е Ж определен вектор F(z) € X — сумма
ряда (3.1), и тем самым определена функция со значениями в векторном
пространстве X, область определения которой есть множество М.
. Рассмотрим вопрос о строении множества jtft тех z, для которых
ряд (3.1) является сходящимся.
■ Теорема 3.1 (первая теорема Абеля для степенных рядов). Для
всякого степенного ряда, [an(z — c)n]n^^ можно указать такое число
г Е [0,оо], что ряд сходится, и притом абсолютно, если \z — с\ < г,
и является расходящимся, если \z — с\ > г. Это число г может быть
найдено следующим образом. Пусть
7= lim VW (3.2)
Тогда
{оо при 7 = 0)
1/7 при 0 < 7 < о°> (3.3)
0 при 7 = °°-
Доказательство. Пусть числа г и 7 определены, как указано в
формулировке теоремы. Если z = с, то все члены ряда [a(z — с)71]^^,
для которых п > 0, равны нулю и ряд, очевидно, сходится. Будем далее
считать, что z ф с. Тогда \z — с\ > 0.
Предположим, что \z — с\ < г. В этом случае г > 0.
1 i i 1*-с1 1
Если г < оо, то 7 = - и, значит, \z - en = < 1.
г г
Если г = оо, то7 = 0ив этом случае неравенство \z — с\"у < 1
также выполняется.
Зададим произвольно число а такое, что \z — c\j < a < 1. Тогда
a
7 < i г- Таким образом, мы получаем неравенство
\z-c\
7= lim VW<
a
\z-c\
В силу известных свойств верхнего предела (глава 2) найдется
номер по такой, что при всяком п > щ имеет место неравенство

§3. Степенные ряды
355
При п > по, очевидно, \/|an| \z — с\ < а и, значит, \an\\z — с\п < а71 для
всех таких п.
Геометрическая прогрессия [ап]п>о представляет собой
сходящийся ряд. Отсюда в силу признака сравнения для рядов (теорема 2.3
главы 10) вытекает сходимость ряда [|an||z — c|n]n€i>j0, а значит, и ряда
[an(z — c)n]nGN0. При этом мы получаем, что для данного значения
z € С ряд сходится абсолютно.
Предположим теперь, что \z — с\ > г. Согласно определению
верхнего предела (глава 2) найдется последовательность номеров щ < П2 <
< nk < ... такая, что n\/lanJ —> 7 ПРИ & —> оо.
Имеет место неравенство \z — c\j > 1. Действительно, если г = 0,
\z - с\
то 7 = оо и \z — c\j = 00 > 1. Если же г > 0, то Ь — ск = - > 1.
г
При А; —► оо
|*-c|"VKT-l*-c|7>i.
Отсюда следует, что при достаточно больших к выполняется
неравенство
I* - С| VkI > 1,
а значит, также и \ank(z - с)Пк \ > 1. Для данного ряда поэтому нельзя
утверждать, что п-й член ряда стремится к нулю при п —► оо.
Таким образом, для ряда [an(z — c)n]n£^ при \z — с\ > г не
выполняется необходимое условие сходимости и, значит, в этом случае данный
ряд является расходящимся. Теорема доказана. ■
Число г Е [0, оо], указанное в теореме 3.1, называется радиусом схф-
димости степенного ряда (3.1). Если условиться считать, что - = оо
1
и — = 0, то выражение для радиуса сходимости ряда можно записать
оо
единой формулой так:
г== —=. (3.4)
limn_>oo у\ап\
Равенство (3.4) называется формулой Кохии — Адамара.
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда
непосредственно по формуле Коши — Адамара (3.4) может быть делом достаточно
трудным. Часто оказывается, что проще найти радиус сходимости
степенного ряда, используя другие известные нам признаки сходимости.
Например, для этой цели иногда может служить признак Даламбера
сходимости ряда (см. §2 главы 10).
Из теоремы 3.1 вытекает следующее предложение.
▼ Следствие. Пусть даны степенной ряд [an(z — c)n]n€N0 я точка
zo £ С. Пусть г есть радиус сходимости ряда,. Тогда: а) если ряд
[an(z0 - c)n]neNo (3.5)
сходится, то г > \zq — с|; б) если ряд (3.5) расходится, то г < \z0 — с\.

356
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство. Действительно, предположим, что ряд (3.5)
сходится. Тогда неравенство г < \zq — c\ не может иметь места, ибо
в противном случае ряд был бы расходящимся для z = zq.
Следовательно, г > \zo — с\.
Аналогично, заключаем, что если ряд (3.5) расходится, то
неравенство г > |zo — с\ невозможно, и потому г < \zq — с\. Следствие
доказано. Т
Теорема 3.1 позволяет получить определенную информацию о
строении множества сходимости степенного ряда. Именно, пусть Л£ есть
область сходимости ряда (3.1) иг — его радиус сходимости. Если
г = 0, то ряд сходится в единственной точке — в точке z = с. В этом
случае Л6 = {с}. Если г = оо, то ряд сходится для любого z и, значит,
Пусть 0 < г < оо. Обозначим через К(с, г) множество всех z G С
таких, что |^г — с| < г. Пусть К(с,г) есть совокупность всех z G С, для
которых \z — с\ < г.
. Будем называть К(с, г) открытым кругом, а К(с, г) — замкнутым
кругом с центром с и радиусом г.
Если z £ К(с,г), то \z — с\ > г и, значит, ряд (3.1) для этого z
расходится, т. е. z ^ Л£. Отсюда вытекает, что все значения z, для
которых ряд сходится, принадлежат кругу К(с,г), т. е. имеет место
включение Л? С К(с,г).
Для всякого z G K(c,r) имеем \z — с\ < г, и, значит, согласно
теореме 3.1 ряд (3.1) сходится для всех z G K(c,r), т. е. К(с,г) С J6.
Таким образом, мы получаем, что для области сходимости j$
степенного ряда (3.1) имеют место включения
/f(c,r)ClC^(c,r). (3.6)
Круг К(с,г), где г есть радиус сходимости степенного ряда (3.1),
называется кругом сходимости этого ряда. (В случае г = оо кругом
сходимости ряда считаем всю плоскость. В случае г = 0 кругом
сходимости ряда считаем пустое множество.)
3.1.2. Рассмотрим примеры на применение теоремы 3.1 и ее следствия.
Пример 1. Рассмотрим ряд [n!zn]nGN0. Применим признак Да-
ламбера сходимости ряда. Получим \(п + l)\zn : n\zn\ = (п + l)\z\.
Если z ф 0, то (п+ l)\z\ —► оо при п —► оо и, значит, ряд расходится для
любого z ф 0. В силу следствия теоремы 3.1 это позволяет заключить,
что радиус г сходимости данного ряда равен нулю.

§ 3. Степенные ряды
357
Пример 2. Применяя признак Даламб ер а сходимости рядак ряду
, получим, что данный ряд сходится для всех z, т. е. его
nGNo
радиус сходимости равен оо. В силу теоремы 3.1 этот ряд абсолютно
сходится для всех z E С.
Пример 3. Пусть 0 < г < оо. Ряд
имеет радиус сходи-
JnGNo
мости, в точности равный данному числу г.
Заметим, что теорема 3.1 не дает никакой информации о
сходимости или расходимости ряда, имеющего радиус сходимости, равный г,
где 0 < г < оо, в точках, лежащих на границе его круга сходимости,
т. е. для значений z таких, что \z — с\ = г.
Следующие примеры показывают, что для таких z возможны
различные ситуации.
Пример 4. Ряд [^jneNo — геометрическая прогрессия со
знаменателем z — имеет радиус сходимости, равный 1. Он является
расходящимся для всех z таких, что \z\ = 1, так как в этом случае не выполнен
необходимый признак сходимости ряда: n-й член ряда, в случае \z\ = 1,
не стремится к нулю при п —> оо.
Пример 5. Применяя признак Даламбера сходимости ряда,
нетрудно показать, что ряд
пА
имеет радиус сходимости, равный 1.
При | jar | = X имеем
п*
1
n€N
< —-. Как было показано ранее (см. п. 2.4
п*
главы 10), ряд
п*
является сходящимся. Отсюда в силу при-
n€N
знака сравнения (теорема 2.3 главы 10) вытекает, что в данном случае
ряд сходится, и притом абсолютно, для всех граничных точек круга
сходимости.
Пример 6. Ряд
п
сходится при z = — 1 и расходится при
n€N
2 = 1. (В первом случае мы получаем ряд
1
(-!)■
п
, во втором
случае — гармонический ряд
п
nGN
) Отсюда вытекает, что радиус схо-
J«€N
димости данного ряда равен 1. Таким образом, мы видим, что
рассматриваемый ряд в одних точках границы круга сходимости сходится,
а в других — расходится.

358
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
3.2. Разложения в степенные ряды элементарных функций
3.2.1. Для некоторых из элементарных функций построим
представления в виде сумм степенных рядов.
Основным средством для построения таких представлений
является формула Тейлора. Пусть дана функция /: (a, ft) —► С.
Предположим, что / имеет в (а,Ь) производную порядка п для любого п. Тогда
для всякой точки xq E (а,Ь) и любого х € (а,Ь) определен ряд
ЭД*-*„Г
Jn€No
Данный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке хо. Его п-я
частная сумма есть полином Тейлора порядка п функции / в точке х$.
При каждом п имеем
/(*) = £^^(z-*o)* + rn(z).
Как было показано ранее, гп(х) = о(\х — хо\п при х —► хо.
Предположим, что функция / удовлетворяет условиям, при которых ее ряд
Тейлора может быть определен в каждой точке хо интервала, в
котором рассматривается данная функция. Этот ряд, очевидно, сходится
при х = £о, и сумма его при этом равна f(xo). Естественно
предположить, что этот ряд будет сходящимся хотя бы в некоторой окрестности
точки £о, и Для каждого ж, для которого ряд Тейлора функции f
сходится, сумма его равна f(x). Существуют примеры функций /,
имеющих производные любого порядка, для которых ни одно из этих
предположений не выполняется.
3.2.2. Для некоторых функций оказывается, что ряд Тейлора функции
сходится к ней в окрестности точки, в которой этот ряд вычисляется.
Доказательство этого требует каждый раз специального исследования.
Здесь мы рассмотрим представления некоторых конкретных функций
как сумм их рядов Тейлора.
1. Рассмотрим функцию z G С *-+ ez. Построим разложение этой
функции в ряд по степеням z. Для этого рассмотрим функцию
вещественной переменной ip(t) = eiz и построим ее ряд Тейлора в точке t = 0.
Имеем
<pW(t) = zneiz

§3. Степенные ряды 359
при любом п. Отсюда следует, что полином Тейлора порядка п
функции <р в точке t = 0 имеет вид
! + _,+ _,* + ... + _,..
Пусть rn(tf) есть остаточный член формулы Тейлора порядка п
функции ip{t) в точке / = 0. Имеем
е" = „(*) = l + ±t+Zlt* + ...+ Z-ltn + rn(t).
Отсюда, полагая < = 1, получим
~2 уп
= 1 + _ + _ + ... + _ + Гп(1).
Из интегрального представления остаточного члена формулы
Тейлора (см. п. 2.7 главы 5) следует
1
гя(1) = 1 /zn+leu{l-t)ndt.
п\ J
Имеем \eiz\ = e*Rez. Если Re 2 > 0, отсюда следует, что для всех
t € (0,1) верна оценка |е**| < eRez. В случае, когда Rez < 0 при
/ € (0,1), верно неравенство \eiz\ < 1. Окончательно получаем
K(i)l < —— у (1 - 0 л - -(^р
О
где постоянная М равна eRez, если Re 2 > 0, и М = 1, если Re2 < 0.
Как было показано выше (пример 2 п. 3.1), ряд
п\
сходится
nGN0
при любом z. Отсюда следует, что, каково бы ни было z G С, —- —► 0
при га —► оо. Это позволяет заключить, что гп(1) —► 0 при га —► оо
и, следовательно,
2Г 22 2*
е' = 1+1! + 2Г + -+Ы+- (3J)
для любого z Е С.

360
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
2. Равенство (3.7) позволяет получить разложения в степенные
ряды функций cos х и sin x. По формуле Эйлера (см. главу 3) имеем
etx = cos ж + г sin x.
В равенстве (3.7) положим z = гж, где ж — вещественное число.
Пусть п — целое число. Если п четно, п = 2т, т > 0, т Е Z,
то гп = (—1)т. Если п нечетно, п = 2га + 1, где га > 0 целое, то
гп = (—1)тг. Принимая во внимание сказанное, получим
:ж / Ж2 Ж4 Ж6 \ . / X3 X5 X7 \
Отсюда заключаем, что для всякого xGE
ЛГ»Л ~,4 пяЬ
cos* = Ree'* = l-- + --- + ...)
Т Т Т
sinx = Ime'1 = x- — + — - — + ....
3. Имеем равенства
1=1_х + х2_... + (_i)—ix—1 + (-1)"-^-,
1 + X 1 + X
_L_ = 1 _ ж2 + ж4 _ ... + (.^п-^гп-г + (_1)п "2п
J. "т" X J-
2Г
+ £*'
верные для любого х такого, что \х\ < 1. Интегрируя эти равенства
почленно, получим
х
Mi+a;) = y*I^7 = a;-^ + ...+(-ir-i^+in(x))
о
х
/dt ж3 х5 ж271""1
1Т^ = ж-т + у--+(-1)п"1^^т+Л'1(ж)'
о
где
Х »п.
M.) = (-i)-/f^, ^) = (-ir/0- <3-8>

§ 3. Степенные ряды
361
В интегралах, стоящих в равенствах (3.8), произведем замену
переменной интегрирования, полагая у = xt. В результате получим
Ln(x) = (-1J-X-+1 J ^, Ая(х) = (-1)*х**+* J -
*2neft
+ х2*2'
о
Отсюда
I^WI-lxr'/^, |iU(.)l-W^-/l^- (3'9)
о о
При 0<х<1,0<£<1 имеем 1 + xt > 1, и первое из равенств (3.9)
позволяет заключить, что в этом случае
1
п+1
J 71+1
и, значит, |£п(ж)| —> 0 при п —> оо для любого ж Е [0,1].
При —1 < ж < О, 0 < tf < 1 имеем 1 + xt > 1 — |я|, откуда следует,
что если — 1 < х < О, то
\Ln(x)\ < 1-^{ J tn dt =
|x|»+1
(n + l)(l-|x|)-
Отсюда вытекает, что Ln(x) —»■ 0 для всякого х G (—1,0) при п —► оо.
Мы получаем, таким образом, что для всех х таких, что —1 < х < 1,
имеет место равенство
ln(l + x) = x-^ + --- + (-I)""1— + ... . (3.10)
В частности, полагая х = 1, получим равенство
b2 = l-i + i-... + (-l)-1- + .... (3.11)
Z О 71
Оценим интеграл, которым выражается Ач(а;). При всяком ж G К
для любого tf £ R имеем l + x2t2 > 1. Применяя второе из равенств (3.9),
получим
1
|2п+1
|Ап(х)|<|х|2»+*/Л*=И^.

362
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Отсюда следует, что Ап(х) —► 0 равномерно в промежутке [—1,1] при
п —► оо. Таким образом, мы получаем, что для всех х € [—1,1]
/рЗ ~5 «,271 — 1
arctga; = x-у+ --•••+ (-1Г-1^—- + .... (3.12)
В частности, полагая здесь х = 1, получим следующее замечательное
равенство:
l = 1_| + |_... + (_1).-._L_ + .... („a)
Равенство (3.13) не может быть использовано для вычисления
числа 7Г, так как частные суммы ряда, стоящего в его правой части,
приближаются к своему пределу слишком медленно, и для того чтобы
получить хорошее приближенное значение 7Г с помощью ряда (3.13),
необходимо взять очень большое число членов этого ряда.
Равенство (3.12), напротив, может служить эффективным
средством для вычисления значений функции arctgz, во всяком случае для
малых значений х. Формула (3.12) может быть средством для
построения эффективных алгоритмов для вычисления числа 7г. Имеет место
равенство
I = 4arctg^arctg —
{формула Мечина), из которого получаем следующее представление
числа 7Г посредством числовых рядов:
"»[ИФ,+-
Это равенство может служить основой для создания эффективных
алгоритмов для определения приближенных значений чисда 7Г.
В настоящее время известно несколько миллиардов верных
знаков в десятичном представлении числа ж. При этом используются
алгоритмы, отличные от тех, которые можно получить, исходя из
равенства (3.12), Нахождение приближенного значения числа 7г с такой
точностью служит, главным образом, средством иллюстрации
эффективности существующих вычислительных машин и программ,
используемых для вычислений. Само по себе знание большого числа верных
десятичных знаков числа 7Г не имеет какого-либо практического или
теоретического значения.
—--(-У
239 3 V 239 У
+

§3. Степенные ряды
363
4. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + х)а. Докажем, что ряд
Тейлора этой функции в точке 0 сходится к ней в промежутке ( — 1,1). Для
всякого п = 1,2,... имеем f^n\x) = «(а — 1)... (а — п + 1)(1 + я)а""п
и, значит, /(п)(0) = а(а: — 1)... (а — п + 1). Отсюда следует, что ряд
Тейлора в точке 0 для функции (1 + х)а имеет вид
а(а - 1) о а(а — 1)...(а — п+1) n /ft л л.
1 + ах + -Ц-—J-x2 + ■ • ■ + -Ъ ^ ) J-xn + ... . (3.14)
2! n!
^ / 1N (a — n)
Отношение (n+l)-ro члена ряда к n-му равно —х и стремится
к пределу, равному —ж. Отсюда в силу признака Даламбера
сходимости ряда вытекает, что ряд (3.14) сходится при \х\ < 1 и расходится
при \х\ > 1, так что радиус сходимости ряда в данном случае равен 1.
Чтобы доказать, что для \х\ < 1 сумма ряда (3.14) равна (1 + я)а,
рассмотрим остаточный член ряда с номером п. Применяя
представление остаточного члена в виде интеграла, найдем, что
X
*(*) = ^//(ж+1)(у)(*-у)1
dy.
Преобразуем интеграл справа, произведя в нем замену переменной по
формуле у = xt. Получим
1
гж(х) = ^//<»+1>(*0(1-0*'*.
п\ J
о
Пусть f(x) = (1 + х)а. Тогда
/(»+1)(я.) = а(а - 1)... (а - п)(1 + я)"-71"1,
откуда
r>(l) = 2(^ibi^^^^y_|_. (,15)
О
Для х е (-1,1) и t е (0,1) имеем 1-<>0и1 + ^>1- \x\t >
> 1 - \х\ > О и, далее,
i-i _ (^
1 + ж* 1 + я*

364
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Следовательно, мы получаем, что если — 1<ж<1и0<<<1, то
выполняются неравенства
1-<
0< ^—т < 1,
1 1
<
1 +xt *' 1 + xt l-\x\'
Полученные неравенства позволяют заключить, что
1
Ых)\.<
g(a-l)...(g-n)_n+1
п!
■и/
dt
(l + xt)1-"'
Интеграл справа в случае a > 1 не превосходит постоянной С = 2
а в случае a < 1 оценивается сверху величиной
оа-1
1
(1-М)1-'
Степенной ряд
(a-l)(a-2)...(a-n)_w
, X
п\
Jn>0
при \х\ < 1 сходится, что, как и в случае ряда (3.14), устанавливается
применением признака Даламбера. (Формально данное утверждение
может быть получено из сказанного относительно ряда (3.14) заменой а
на (а — 1).) Отсюда следует, что если \х\ < 1, то
a(a-l)...(a-n)^n+1
О
га!
при га —► оо и, значит, гп(я) —► 0 при га —► оо для любого ж Е (—1,1).
Окончательно получаем, что для всякого х G (—1,1) выполняется
равенство
. чл, . a(a — 1) о a(a — 1).. .(a - га+ 1) п
(1 + Х)а = 1 + «Я + -Цг; ~* + • ' • + — - 7 ~ХП +
2!
га!
(3.16)
Если a G N, то все члены ряда (3.14), имеющие номер га > а,
обращаются в нуль, так что в этом случае правая часть доказанного
равенства оказывается конечной суммой. В этом случае равенство (3.16)
верно для всех х и совпадает с тождеством, известным из курса
средней школы под наименованием формулы бинома Ньютона.

§ 3. Степенные ряды
365
При а > О исследуем вопрос о сходимости ряда (3.16) в точках
х = ±1. Для этой цели воспользуемся равенством (3.15). Полагая
в нем х = 1, получим
Mi)| =
а(а — 1).. .(а — п)
п\
j /l-t\n dt
Имеем
О
-у Vi + </ (i + О1"" "У n + i
о о
Таким образом, в этом случае имеем следующую оценку:
I «(а — 1).. .(а — п) I
Mi)| <
Положим
(п+1)!
а(о: — 1).. .(а — п + 1)
П!
При п > а получим
n(j!L--A =п(Г!1±1_Л = _!?_(1 + а)^1+а при
п —> оо.
В силу признака Раабе сходимости ряда (теорема 2.8 глава 11)
из доказанного вытекает, что ряд [ап] сходится и, значит, ап —► 0 при
п —> оо. Отсюда следует, что в случае а > 0 равенство (3.16) верно
также и для х = 1. Полагая в равенстве (3.15) ж = — 1, получим
г>(-1) = (_1Г+,«(«-1)...(а-п)
"7.1
П!
У (l-f)1-"-
о
—а(1 — а).. .(п — а)
= с0
п!
где са — постоянная.
Несложный анализ показывает, что если а > 0, то правая часть
этого равенства также стремится к нулю при п —► оо и, значит, и в этом
случае рассматриваемый ряд сходится в точке х = — 1.
Предоставляем читателю доказать, что ряд (3.16) сходится в точке
х = 1 также и в случае, если а > —1, а в точке ж = — 1 при а < 0 этот
ряд расходится.

366
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
3.3. Вторая теорема Абеля для степенных рядов
Мы будем рассматривать здесь только степенные ряды,
коэффициенты которых есть вещественные числа.
■ Теорема 3.2 (вторая теорема Абеля для степенных рядов).
Предположим, что степенной ряд
оо
2>п(х-рГ (3.17)
71 = 0
имеет ра,диус сходимости г, причем 0 < г < оо. Пусть f(x) есть его
сумма, в промежутке (р—г, р+r). Предположим, что с есть одна из точек
р — г и р + г. Тогда, если ряд (3.17) сходится в точке с, то его сумма,
в этой точке равяа пределу ~f(x) при х —> с. При этом ряд сходится
ра,вномерно в промежутке, конца.ми которого являются точки рис.
Доказательство. Пусть ряд (3.17) удовлетворяет условиям
теоремы и с — тот из концов интервала сходимости, в котором сходится
этот ряд. Положим ip(t) = f[p + (с — p)t]. Тогда, в свою очередь,
(X — D \
). Полагая в (3.17 ) х = р + (с — p)t, получим
c-pj
оо оо
¥>(<) = ]г «»(с - р)п*п = £ А»г> (ЗЛ8)
71=0 71=0
где Ап = an(c - р)п. Ряд (3.18) сходится при t = 1. Сумму этого ряда
в точке t = 1 будем обозначать символом у?(1).
Докажем, что
71=0
Для t € [О,1] и п > 0 пусть
71
оо
1=0 Jk=n+1
При каждом п > 0 для любого / е [0,1) будем иметь
^) = ¥>п(*) + Дп(*).

§ 3. Степенные ряды
367
Имеем <p(t) = lim <pn(t) для всех t G [0,1]. Каждая из функций ipn
п—юо
определена и непрерывна на промежутке [0,1].
Докажем, что (pn =J <р в промежутке [0,1] при п —» оо. Положим
оо п
5 = ^ Ап, 5та = ]>3 А*. Тогда 5 = lim sn. При каждом п имеем sn =
n=0 k=0 п~*°°
= ^n(l)- Зададим произвольно £ > 0 и найдем по нему номер n G N
такой, что для любых щ > п и щ > п выполняется неравенство
I - I £
Зададим произвольно номер п > п. Для всякого t G [0,1) будем иметь
оо оо
Д»(*) = Y, Arntm = 2 Arn+n+1r+n+1. (3.19)
m=n+l m=0
Для всякого £ G [0,1) последовательность (tfm+n+1)m>o является
убывающей и имеет предел, равный нулю. Преобразуем ряд
Ел ^n+m+l
71=0
используя тождество теоремы 3.1 главы 11. Положим
тп
m
Jfe=0
Имеем s™ = 5m+n+i - sn. В силу выбора п будем иметь |s™| < - для
всех n G N, так что последовательность {s™)m>0 является
ограниченной. Как следует из теоремы 3.1 главы 11, для всякого t G (0,1) имеет
место равенство
оо оо
яп(*) = ^2 s™(tm+n+i - tm+n+2) = tn+i(i -t)j2 с *m- (3-2°)
m=0 m=0
Отсюда получаем, что если t G [0,1), то имеет место неравенство
ОО ОО -
\Rn{t)\<tn+\i-t)Y,\sn\tn <^-t)\Y,tn = (1-г)\т^ = \-
71=0 71=0

368
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Это позволяет заключить, что при каждом п > п для любого t G [0,1)
имеет место неравенство
\ф) - <рп(х)\ = \Rn(x)\ < |-
Данное неравенство, очевидно, выполняется также и для t = 1.
Следовательно, мы получаем, что
ll¥>-¥>n||Leo([o,i]) < 2 <е
для любого п > п. Так как е > О было выбрано произвольно, то тем
самым доказано, что функции (рп при п —► оо сходятся к функции у>
равномерно на промежутке [0,1].
Каждая из функций (рп непрерывна в точке t = 1. Отсюда
вытекает, что также и функция (р непрерывна в этой точке. В частности,
мы получаем, что
(р(1) = lim (p(t).
Имеем
Если ж G (р - г,р + г), то t = принадлежит промежутку (-1,1).
с — р
При этом < —► 1 при ж —► с. В силу теоремы о замене переменной под
знаком предела из доказанного вытекает, что
оо
lim f(x) = Y] ап(с - р)п.
х—+с *—'
71=0
Заметим еще, что n-й полином Тейлора функции f будет
'х — рУ
fn(x) = (ря
с — р
При п —► оо, как было доказано, (рп =3 у?(ж) на промежутке [0,1].
Отсюда, очевидно, следует, что fn z$ f на отрезке J, где / = [с,р] в случае
с < р и / = [р, с] в случае с > р. Теорема доказана. ■
В качестве примера на приложение теоремы 3.2 рассмотрим
равенство
1п(1 + *) = х-^ + ^-... + (-1Г-1- + .... (3.21)
2 6 п

§ 3. Степенные ряды 369
Ранее было показано, что это равенство верно для всех х из промежутка
(—1,1]. В силу теоремы 3.2 справедливость равенства (3.21) для всех
таких х следует из того, что равенство (3.21) верно для всех х Е (—1,1),
непрерывности функции х н-> 1п(1 + х) в точке х = 1 и сходимости ряда
^ (-1)*-1
Теорема 3.2 позволяет также понять, какими свойствами функции
1п(1 + х) обусловлен тот факт, что ее ряд Тейлора не сходится в точке
х = -1. При х —► — 1 имеем 1п(1 + х) —► оо. Если бы ряд Тейлора
функции 1п(1 + х) был сходящимся для х = — 1, то предел
lim ln(l + х)
Ж-+-1+0
был бы конечен.
Рассмотрим построенное в п. 3.2 разложение функции (1+х)а в
степенной ряд
/л ЧГ¥ л а(а - 1) о а(а - 1).. .(а - и + 1) _
(1 + х)а = 1 + ая + -А——^ж2 + • • • + -^ ~ Lxn + ... .
2! п!
»
В п. 3.2 было показано, что в случае а > О данный ряд сходится в точке
х = 1. В силу теоремы 3.2 отсюда следует, что при а > 0
рассматриваемый ряд сходится равномерно в промежутке [0,1].
Полный ответ на вопрос, какими свойствами той или иной
функции определяется радиус сходимости ее ряда Тейлора, может быть дан
только средствами теории функций комплексной переменной, и мы не
будем здесь его касаться.
Следующая теорема дает пример применения второй теоремы
Абеля для степенных рядов (теоремы 3.2).
■ Теорема 3.3. Пусть [an]ne^ и [bn]n€N0 — сходящиеся числовые
оо оо
ряды. Пусть А = £ ап, В = Y1 Ъп. Для произвольного n G No
ПОЛОТНО 71=0
71
жим сп = ^2 akbn-k- Тогда, если ряд [сп]п^0 является сходящимся, то
его сумма, равна произведению АВ.
оо оо
Доказательство. Положим f(x) = ^ атаяп, #(я) = 53 Ъпхп.
71=0 71=0
Каждый из этих степенных рядов в силу первой теоремы Абеля
сходится, и притом абсолютно, во всякой точке х такой, что \х\ < 1. Из

370
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
условии теоремы вытекает, что данные ряды сходятся также и для
х = 1. Отсюда согласно теореме 3.2 следует, что А = lim f(x)
ж—>1— О
иВ= lim g(x).
ж—»1— О
Применяя теорему о произведении рядов (теорема 1.8 этой главы),
получим, что ряд [^(a^jneiso, где
vn(x) = ^2 akxkbn-kxn k = спхп,
к=о
сходится: для всякого х, удовлетворяющего условию \х\ < 1. Для всех
х Е ( — 1,1) сумма этого ряда равна f(x)g(x). Так как ряд [спжп]п€1^
согласно условию теоремы сходится для х = 1, то
Есп= lim f(x)g(x) = AB.
Ж-+1— О
71 = 0
Теорема доказана. ■
3.4. Функциональные свойства суммы степенного ряда
3.4.1. Исследуем более детально свойства функций, которые являются
суммами сходящихся степенных рядов. Предварительно докажем
следующее утверждение.
■ Лемма 3.1. Предположим, что степенной ряд [ап(ж —Ь)71]^^
имеет радиус сходимости г > 0. Пусть R таково, что 0 < R < г. Тогда
М
найдется постоянная М < оо такая, что \an\ < — для всех п > 0.
Rn
Доказательство. Положим у = b + R. Точка у принадлежит
интервалу (Ь — г,Ь+ г), и, значит, согласно теореме 3.1 степенной ряд
[an(x - b)n]n€N0 сходится, и притом абсолютно, для х = у. Отсюда
на основании необходимого признака сходимости ряда (см. главу 11,
теорема 1.1) вытекает, что |ап|#п = \ап(у - Ь)п\ стремится к нулю при
71 —> ОО.
Последовательность (|an|i?n)n>o, таким образом, имеет конечный
предел, и, следовательно, она ограничена.
Пусть М < оо таково, что |ап|Дп < М для всех п > 0. Тогда
М
\ап\ < -р^- и постоянная М, таким образом, и есть искомая. Лемма
доказана. ■

§ 3. Степенные ряды
371
■ Теорема 3.4. Если радиус сходимости г степенного ряда.
[an(x — ft)n]n€N0 отличен от нуля, то во всяком промежутке [Ь — р, Ь + р],
где 0 < р < г, ряд сходится равномерно.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Зададим
произвольно р такое, что 0 < р < г. Пусть R таково, что p<R<r.
Тогда согласно лемме 3.1 найдется постоянная М < оо такая, что
М
\an\ < -pj-. Для всякого х Е [Ь — р,Ь + р] имеем
М* - Ь)*| = |а.||х - Ь\п < 2L\x - ЬГ < ^ £•
Ряд Mf-pJ является сходящимся, так как 0 < a = — < 1 (см.
главу 11, п. 1.2 , пример 4). В силу признака Вейерштрасса
равномерной сходимости (предложение 2.3, § 2) отсюда вытекает равномерная
сходимость данного ряда в промежутке [Ь — р,Ь + р]. Теорема
доказана. ■
Доказанная теорема позволяет установить следующий важный
результат о сумме степенного ряда.
▼ Следствие. Если радиус сходимости г степенного ряда.
[an(x — b)n]n€N0 отличен от нуля и f(x) есть его сумма,, то функция f
непрерывна, в интервале (Ь — г,Ъ + г).
оо
Доказательство. Пусть f(x) = ]Г) an(x - 6)п. Возьмем произ-
71 = 0
вольно точку хо £ (Ь — r,b+ г). Имеем |а?о — Ь| < г.
Пусть р таково, что \хо — Ь| < р < г. Согласно теореме 3.3 ряд
[an(z — b)n]n€No равномерно сходится в промежутке [Ь—р,Ь+р]. Каждый
член этого ряда представляет собой функцию, определенную и
непрерывную на всем множестве К. В силу предложения 2.4 из § 2 отсюда
следует, что функция / непрерывна на промежутке [Ь — р, Ь + р].
В частности, мы видим, что ограничение функции / на некоторую
окрестность точки х0 есть непрерывная функция. Отсюда следует
непрерывность функции / в точке хо. Так как точка хо Е (Ь — r,b + г)
выбрана произвольно, то тем самым теорема доказана. ■
■ Теорема 3.5. Предположим, что радиус сходимости г степенного
ряда. [an(x — ft)n]n€N0 отличен от нуля. Пусть F(x) есть сумма, этого
ряда, в интервале (b — r,b + r). Определенная таким образом функция F
дифференцируема, в каждой точке х Е (Ь — г, Ъ + г), и ее производная
выражается формулой
оо оо
F'(x) = 53 nan(x - б)""1 = £(n + 1)ая+1(х - b)n.
71=1 71=0

372
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство. Воспользуемся результатом теоремы 2.4 этой
главы. Положим /п(ж) = ап(ж — Ь)п. Функция /п, очевидно,
дифференцируема в каждой точке х интервала (Ь — г, Ъ + г). Имеем /q = 0, а при
п > О имеем /^(я) = пап(х — Ь)71"1.
Докажем, что ряд [/^(я)] N сходится локально равномерно в
промежутке (Ь — г, 6 + г). Пусть р таково, что 0 < р < R. Покажем, что ряд
[/п(ж)]п>0 равномерно сходится в промежутке [Ь - р,Ь + р]. Согласно
М
лемме 3.1 существует постоянная М < оо такая, что \ап\ < —- для
всех п. Для всякого х Е [Ь — />, Ь + р] имеем
\ti(x)\=n\an\\X-br><f^.
Осталось заметить, что, как устанавливается применением
признака Даламбера, если 0 < а < 1, то ряд [no:n]n>i является
сходящимся.
Полагая а = —, получим, что для ряда [/4(я)]п>1 (отсчет членов
ряда мы начинаем с п = 1, поскольку /о = 0) выполняется критерий
Вейерштрасса равномерной сходимости на промежутке [Ь — />, Ь + р]
(см. предложение 2.4 из п. 2.1 этой главы). Из доказанного, очевидно,
следует, что ряд [/п(ж)]п>1 сходится локально равномерно в интервале
(Ъ — г,Ъ+ г).
Условие 1 теоремы 2.4, таким образом, выполняется. Условие 2:
ряд [/п]п>о должен сходиться по крайней мере в одной точке интервала
(Ь — г, Ь + г) — здесь выполнено тривиальным образом. Все условия
теоремы 2.4, таким образом, выполнены. Следовательно, мы получаем,
что функция F дифференцируема в каждой точке х Е (Ь — г, b + г) и
W =!>«»(*-*)"
\п —1
iiu,nyz, — и
71=1
Меняя обозначение для индекса суммирования, получим второе
представление для производной функции F(x), указанное в
формулировке теоремы. Теорема доказана. ■
Т Следствие. Предположим, что радиус сходимости г степенного
ряда [an(x — b)n]n€N0 отличен от нуля. Пусть F(x) есть сумма этого
ряда. Функция F принадлежит классу Ск в интервале (а, Ь) для всякого
к > 1. При этом
оо
F<k\x) = ^2(n + k)(n + k-l)...(n+ l)an+k(x - b)n
71=0
для всех х Е (b — r,b + г).

§ 3. Степенные ряды
373
Доказательство. Будем доказывать следствие индукцией по fc.
Для к = 1 утверждение следствия верно. Предположим, что для
некоторого к следствие верно, так что функция F принадлежит классу Ск,
причем
оо к
F(k\x) = J2A"(x-Vn (Vn^° An = an+k]l(n+j))
n=0 j=l
для всех x G (b — г, Ь + г). Ряд, представляющий функцию F^,
сходится в промежутке (Ь — r,b + r). Согласно теореме 3.4 отсюда следует,
что функция Ф = F^ дифференцируема в каждой точке промежутка
(Ь — г, b + г) и
оо
Ф,(х) = ^/(п+1)Ап+1(х-Ь)п.
71=0
Полученный ряд сходится в интервале (6 — г, b + г).
Имеем Ф'(ж) = F^h+1\x) для всех ж G (Ь — г, Ь + г). Преобразуя
выражение для Ф'(я), получим
оо
1)(п + 1 + к){п + к)... (п + 2)an+fc+i(z - Ь)п.
п=0
По индукции, следствие доказано. ▼
3.4.2. Пусть / = (а,Ь) есть произвольный интервал в множестве К.
Функция /: (а,Ь) —> R называется аналитической, если / G Cm[(a,b)],
каково бы ни было т > 0, и в каждой точке жо £ (а>Ь) ряд Тейлора
функции / в точке х$ является сходящимся в некотором интервале
(х0 - е,х0 + е), причем
п=0
для всех точек х е (х0 - е> х0 + е).
■ Теорема 3.6. Предположим, что радиус сходимости г степенного
ряда
[an(x - b)n]nGNo = ao + о,г(х - b) + a2(x - b)2 + • • • + an(x - b)n + ...
oo
отличен от нуля. Пусть f(x) = £ an(z - Ь)п. Функция /(ж), ояре-
п=0
деленная таким образом, является аналитической в промежутке
{Ъ— г,Ъ+ г).

374
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство, Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно точку хо G (Ь — r,b + г). Положим z = хо — Ь. Пусть
е > 0 таково, что \z\ .+ е < г. Пусть х Е К таково, что \х — хо\ < £.
Тогда
\х-Ь\< \х0 - Ь\ + \х - х0\ < \z\ + е < г.
Положим х — хо = h. Рассмотрим двойные последовательности
(#*,/)*>о,/>о и №k,i)k>o,l>o, где
Uk,i = \ak+l\Clk+l\z\k\h\l и ukJ = а*+/С[+/г*/Л
Способ построения этих рядов демонстрирует рис. 1.
"о.О Kl ^0,2 ... % ...
/ / ' / /
J*uo K\ ?\'z ■••' Я^п ■•■
/
/ ' ' /
/Й2.0 #2,1 #2,2 * * * %i
/ / s /
/ / ' /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
Puc. 1
При каждом / имеем Ukii = |и*,/|. Докажем сначала, что
функция (А;,/) *-» Ukti суммируема на множестве N§ = No x No. Отсюда
согласно следствию 3 теоремы 4.4 главы 10 будет следовать
суммируемость функции Ukj. Требуемый результат мы получим, вычисляя
разными способами сумму функции Ukj.
Пусть Dn есть множество всех пар (fc, /) неотрицательных целых
чисел таких, что к + / = п. Множества Dn попарно не пересекаются,
и их объединение, очевидно, совпадает с N§. Очевидно, Yl Uk,i —
(k,l)£D0
= |ао|. При п > 1 имеем
£ I7*.i = X; |а»|С*|2г|*|ЛГ"* = |аж|(|2г| + |Л|)«.
(ktl)£Dn k=0
Отсюда получаем, что
ОО / \ ОО
Е ^,/ = Е( Е ^,') = Ew(H + w)n- (з-22)
(*,0€Р? n=o\fc,OeD„ У п=0

§ 3. Степенные ряды
375
Радиус сходимости ряда [|an|tfn]n>o равен г. Так как \z\ + \h\ < г,
то ряд, стоящий в правой части равенства (3.22), сходится и, значит,
функция Uk,i суммируема по множеству N§. Отсюда следует, что также
и функция Ukj суммируема по этому множеству.
Сумму функции Ukj определим, сначала выполняя суммирование
по диагоналям Dn множества I4q. Получим Yl uk,i = «о и при к > 1
(ktl)£D0
имеем Y1 ик,1 = an(z + h)n = ап{х — Ь)п. Отсюда заключаем, что
(kj)eDn
оо оо
X wm = XI £ ^м = ХХ(* ~ ь)п =-^)-
Теперь вычислим сумму функции (к J) ь-> и*;,/, суммируя
элементы строк бесконечной матрицы, в виде которой изображается
функция Ukj (см. рис. 1). В силу теоремы об ассоциативности
суммирования (глава 11, теорема 4.10) получаем, что
(M)ei^
Имеем
ОО • ОО ч
.nei^ /=о Ч=о '
(3.23)
X/Ujb»' = X/ ak+l^k+iz h =
*=о
= л, £ (t + o(t + ,-i)...t + i)jw(j| _ ь)к = f^)h,
к=0 к=0
п К^ и ' п
*=0
Подставляя это выражение в правую часть (3.23) и принимая во
внимание, что h = х — £о> получим, что для данного ж выполняется
равенство
г, Ч V^ V^ /(0(Ж0)/ ч/
/(ж) = 2^ wm = z^ —/f—(x " *°) -
(M)€Ng '=0
Сравнивая различные выражения для суммы функции г^/, мы
получаем, что
f(n4xo),
п!
/w-ESPe- «г.
п=0
Так как от ж требовалось лишь, чтобы выполнялось неравенство
\х — ж0| < £, то, таким образом, нами доказано, что ряд Тейлора
функции / в некоторой окрестности точки £о сходится и сумма его в этой
окрестности совпадает с f{x). Теорема доказана. ■

376
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
§ 4. Критерии интегрируемости функции
в замкнутом промежутке
Изучаемые в этом параграфе вопросы составляют содержание того, что
обычно называют теорией несобственных интегралов.
Формально, определение интеграла, данное в главе 5, делает понятие
несобственного интеграла излишним. Часто встречается такая ситуация,
когда известно, что данная функция интегрируема на некотором открытом
интервале, и речь идет о том, будет ли она интегрируема на замкнутом
промежутке, получаемом из данного интервала присоединением его концов.
Исходя из определения интеграла и используя известные нам общие свойства
пределов, во многих случаях можно получить простые, но в то же время
достаточно эффективные средства, позволяющие дать ответ на этот вопрос.
Здесь будут приведены некоторые результаты такого рода.
4.1. Признак Коши — Больцано сходимости интеграла
Предположим, что функция / определена в промежутке (а, Ь) и
интегрируема по одному из полуинтервалов [a,b) или (а,Ь]. Задача,
которая будет изучаться здесь, состоит в том, чтобы указать какие-либо
дополнительные условия, выполнение которых гарантирует
интегрируемость функции / по замкнутому промежутку [a,b]. Мы не
стремимся к тому, чтобы получить результаты, наиболее общие в
математическом отношении, и ограничимся такими, которые, охватывая
некоторые основные случаи, важные для приложений теории интеграла,
в то же время устанавливаются достаточно просто.
Согласно теореме 2.4 главы 5 числовая функция /, интегрируемая
по промежутку [a,b), будет интегрируема по замкнутому промежутку
[а,Ь] в том и только в том случае, если существует конечный предел
х
lim J f(t) dt. Значение этого предела, если он существует и конечен,
ь
и есть J f(x)dx. Аналогично, если функция / интегрируема по про-
a
межутку (a,b], то в силу теоремы 2.4 главы 5 / интегрируема по
промежутку [a,b] в том и только в том случае, если существует конечный
б
предел lim J f(t)dt. Значение этого предела в случае, если он суще-
Ь
ствует и конечен, и есть интеграл J f(x) dx.

§ 4. Критерии интегрируемости функции
377
Из теоремы 2.4 главы 5 вытекает следующее предложение.
■ Теорема 4.1. Предположим, что функция f интегрируема, по
промежутку (a,b). Пусть F есть ее первообразная на. (a,b). Тогда если
пределы
lim F(x) = K, lim F(x) = L
x—► a-f-O ж—»-6—О
существуют и конечны, то функция f интегрируема по промежутку
[a,b], причем имеет место равенство
ь
I f(x) dx = L-K.
a
Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем условиям
следствия. Зададим произвольно точку с£ (a,b). Функция /
интегрируема по каждому из отрезков (а, с] и [с, Ь). При х Е (а, с] имеем
с
Jf(t)dt = F(c)-F(x).
X
Если х Е [с,Ъ), то
х
Jf(t)dt = F(x)-F(c).
С
Из условий теоремы вытекает, что существуют и конечны пределы
с х
lim [ f(t)dt = F(c)-K, lim f f(t)dt = L - F(c).
:—»a+0 J ж—>6—0 J
x-
X
В силу теоремы 2.4 главы 5 отсюда следует, что / интегрируема по
каждому из отрезков [а, с] и [с,Ь]. При этом
с ь
I f(t) dt = F(c) -К, J f(t) dt = L- F(c).
а с
Теорема 1.4 главы 5 позволяет заключить, что функция /
интегрируема по промежутку [а,Ь]. Согласно теореме 2.3 главы 5
б с ь
[ f(x)dx= I f(t)dt+ f f(t)dt = F(c) - К + L - F(c) = L - K,

378
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
что и требовалось доказать. ■
Предположим, что функция /: (a, ft) —► R интегрируема по
промежутку (a,b). Тогда если она будет интегрируемой по замкнутому
ь
справа отрезку (a, ft], то говорят, что интеграл J f(x)dx сходится
a
в точке Ь.
Если функция /, интегрируемая по интервалу (a,b), не является
интегрируемой в точке Ь, то говорят, что указанный интеграл
расходится или является расходящимся в точке ft.
Точно так же в случае, если функция / интегрируема по замкну-
ь
тому слева промежутку [a, ft), говорят, что интеграл J f(x) dx сходится
а
в точке а, а если функция /, интегрируемая на открытом промежутке
(a, ft), не является интегрируемой по замкнутому слева промежутку
[а,Ъ)^ то интеграл называется расходящимся в точке а.
В определенных случаях оказывается возможным приписать инте-
ь
гралу J f(x)dx некоторое значение также и в случае, если интеграл
а
является расходящимся в точке а или Ь. Предположим, что функция /
интегрируема по промежутку \а,Ъ) и существует предел
lim
х
Jf(t)dt,
равный ±оо. В этом случае мы полагаем
ь х
I f(x)dx = lim I f(t)dt.
Аналогично, если функция / интегрируема по промежутку (а,Ь],
то мы полагаем
J f(x)dx= lim J f(t)dt
также и в случае, если указанный предел равен ±оо.
Используя критерий Коти — Болъцапо существования конечного
предела для функций (глава 2), получим следующий критерий
сходимости интеграла.

§ 4. Критерии интегрируемости функции 379
■ Теорема 4.2 (критерий Коши — Больцано сходимости
интеграла). Пусть функция /: (а,Ь) —> R интегрируема, по промежутку [a,b)
(по промежутку (а, Ь]). Тогда, для того, чтобы она. была, интегрируема,
по замкнутому промежутку [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для
всякого е > 0 существовало Ь1 Е (а,Ъ) (а1 Е (а,Ъ)) такое, что для
любых х\, Х2, лежащих в интервале (Ъ1 ,Ь) (соответственно в интервале
(а, а')), выполняется неравенство
Х2
I
|Х 1
f(t)dt
<е.
Доказательство. Предположим, что функция / интегрируема по
промежутку [a, ft). Пусть F есть ее первообразная на этом промежутке.
Тогда для любых х\,Х2 € (a,b) имеем
\F(x3)-F(x1)\ =
Х2
dt
Xi
В силу последнего равенства с учетом теоремы 2.4 главы 5 и критерия
Коти — Больцано существования конечного предела непосредственно
вытекает критерий интегрируемости интеграла в точке Ь.
Критерий интегрируемости интеграла в точке а доказывается
аналогично. ■
Х2 XI
Замечание. В силу равенства J f(t) dt = — J f(t) dt при
X\ X2
использовании теоремы 4.2 достаточно рассмотреть только такие пары
значений Ж] ИЖ2, для которых х\ < #2-
Приведем примеры.
Пример 1. Пусть 0 < а < оо. Функция f(x) = - интегрируема
х
в каждом из промежутков (0, а] и [а,оо). Функция F(x) = Ых является
ее первообразной на этих промежутках. Имеем \пх —► — оо при х —► О,
In ж —► оо, когда х —► оо. Отсюда, очевидно, следует, что
а оо
/dx f dx
—- = оо, / —. = .оо.
X J X
Пример 2. Пусть f(x) = —, где а ф О, х G (0,оо). Функция
ха
F(x) = -
1
(а - Vjx"-1

380
Гл. 12, Функциональные ряды и интегралы
является первообразной данной функции f(x) на промежутке (0,оо),
и, значит, функция f(x) = — интегрируема в интервале (0,оо).
Рассмотрим вопрос об интегрируемости функции f(x) = — на
х a
замкнутых промежутках [0,а] и [а,оо], где 0 < а < оо. Имеем
( 0 при a > 1,
lim F(x) = <
оо при а < 1;
limF(*) = {° ПРИ а<1'
«-►о [ оо при a > 1.
оо б/ж
Отсюда вытекает, что, каково бы ни было число a G Ш, интеграл J* —
a X
конечен, если a > 1, и равен оо в случае, когда а < 1.
а dec
В то же время интеграл J — равен оо при a > 1 и является ко-
о ж<*
нечным, если a < 1.
Окончательно получаем, что интеграл J —, где 0 < a < оо, ежо-
дитпея при a > 1 и расходится при а < 1, а интеграл / — является
о ж
сходящимся при а < 1 и расходящимся при а > 1.
4.2. Признаки сравнения сходимости и расходимости
интеграла
Следующая теорема может служить средством для получения
большого числа конкретных признаков сходимости или расходимости
интегралов.
■ Теорема 4.3 (признаки сравнения интегрируемости функций).
Пусть /: (а,Ь) —> С есть комплексная функция, определенная в
основном в промежутке (a,b) и интегрируемая по полуинтервалу [a,b).
Предположим, что существует неотрицательная функция (р, интегрируемая
по промежутку [a,b] и такая, что f(x) = 0[<^(ж)] при х —► Ъ. Тогда
функция f интегрируема также и в точке Ь.
Аналогично, если функция f(x) определена в основном в
промежутке (а, Ь) и интегрируема по полуинтервалу (а, Ь], причем
существует неотрицательная функция (р, интегрируемая по промежутку [a,b],
такая, что f(x) = 0[у>(ж)] при х —► а, то функция f(x) интегрируема
также и в точке а.

§ 4. Критерии интегрируемости функции 381
Доказательство. Теорема содержит два утверждения: одно
касается условия интегрируемости в точке Ь, в другом речь идет об
условии интегрируемости в точке а. Рассуждения в обоих случаях
проводятся совершенно аналогично. Поэтому мы ограничимся
доказательством первого утверждения.
Пусть функция /: (a, ft) -» С определена в (a,b) в основном и
интегрируема по промежутку [a,b), функция <р определена в основном,
неотрицательна в интервале (а, Ь) и интегрируема по промежутку [а, Ь].
Предположим, что выполняется соотношение f(x) = 0[</?(ж)] при
х —> Ь. Согласно определению это означает, что существуют числа
L < оо и окрестность Ui точки Ь такие, что если х G (a,b) П (7, то
|/(х)| < Ьр(х).
Зададим произвольно е > 0. Так как функция ц> интегрируема по
промежутку (a,b], то согласно теореме 4.2 найдется a\ G (а,Ь) такое,
что для любых х\,Х2 € («ьЬ), где £i < #2, выполняется неравенство ■«
Х2
I
XI
(fi(x)dx < £i = j-j-p (4.1)
Пусть а есть левый конец промежутка U. Пусть также а' =
= max{ai,a}. Тогда если х е (а',Ь), то я Е (а,Ь) П U и, значит,
выполняется неравенство |/(z)| < L<p(x). Для всех х Е (а',Ь) имеем
-L(p(x) < Ref(x) < L<p(x) и -Lip(x) < lmf(x) < Lip(x).
В силу правила интегрирования неравенства (см. следствие 1
теоремы 2.2 главы 5) для любых #1,£2 € (a',b) таких, что £i < £2,
выполняются неравенства
Х2 Х2 Х2
—L / (p(x)dx < / Re f(x) dx < L (p(x)dx,
Xi Xi XX
X2 X2 X2
—L / (p(x)dx < / Im f(x)dx < L / tp(x)dx.
X\ X± X\
Отсюда получаем, что
X2
\dx\ < Ls\ < e.
jRef(x)i
i*i

382 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Аналогично,
х2
/ Ref(x)dx
<е.
Функции Re/ и Im/ интегрируемы в промежутке [a,b). Из
доказанного следует, что для этих функций выполняется критерий Коти —
Болъцано сходимости интеграла [а,Ь] (теорема 4.2). Значит, также
и функция / интегрируема в этом промежутке. Теорема доказана. ■
Выбирая в теореме 4.3 в качестве <р ту или иную конкретную
функцию, можно получить большое число частных критериев
интегрируемости функции. Некоторые из них заслуживают быть отмеченными
особо.
Т Следствие. Пусть /: (а,оо) —> С есть непрерывная в основном
функция, интегрируемая в полуинтервале [а,оо). Тогда если
существует а > 1 такое, что f{x) = О
1
при х —> оо, то интеграл
J f(x)dx является сходящимся.
Доказательство. Данное утверждение очевидно в силу того, что
оо ^х
при любом a > 0 для a > 1 интеграл J — конечен. ▼
a x
Полезно иметь средства для установления расходимости
интегралов. Приведем здесь один результат, который может служить
для этой цели.
■ Теорема 4.4. Пусть f есть вещественная функция,
интегрируемая на промежутке [a,b). Предположим, что существуют число Ь' Е
Е [a,b) и вещественная функция <р, определенная и интегрируемая на
ь
промежутке [Ь1,Ь) и такая, что J(p(x)dx = оо. Тогда если f{x) > <р(х)
Ь'
ь
для всех х Е [V, Ь), то также J f(x) dx = оо.
a
Аналогично, если для вещественной функции /, интегрируемой на
промежутке (a,b], существуют число а! Е (а,Ь] и вещественная
функция <р, которая определена и интегрируема на промежутке (a, a'], при-
а* Ь
чем J (p(x)dx = оо и f(x) > ip(x) для всех х Е (а, а'], то J f{x)dx = оо.

§ 4. Критерии интегрируемости функции 383
Доказательство. Теорема содержит два утверждения: первое
касается расходимости интеграла в точке й, второе относится к точке а.
Так как рассуждения в обоих случаях проводятся одинаково, то мы
ограничимся доказательством первого утверждения.
Предположим, что функция / интегрируема на открытом справа
промежутке [a, ft) и выполнены все условия теоремы, относящиеся к
этому случаю. Для всякого х Е [Ь',й) имеем f(x) > <р(х). Отсюда
вытекает, что для всякого х Е [bf,b) выполняется неравенство
X X
I f(t)dt> [<p(t)dt.
Правая часть этого неравенства стремится к пределу, равному оо при ж,
стремящемся к Ь. Отсюда следует, что его левая часть также стремится
к пределу, равному оо при х —> Ь. Для всякого х Е [a,b) имеем
X О X
[f(t)dt= If(t)dt+ I f(t)dt.
Первое слагаемое справа конечно, так как, по условию, функция /
интегрируема на промежутке [a,b). Второе слагаемое при х —> Ь стремится
к оо. Отсюда следует, что
X b
lim f f(t)dt = f f(t)dt =
oo.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Пусть f есть вещественная функция, интегрируема,я
на, промежутке [а,Ъ). Предположим, что существуют число V 6 [a,b)
и функция ip, определенная и интегрируемая на, промежутке [Ь', Ь) и та-
ь
кая, что j(p(x)dx = оо. Тогда, если <р(х) > 0 для всех х Е [Ь',Ь)
v
fix) ь
и lim 7 \ = А > 0, то также f f(x)dx = оо. Аналогично, если для
х-+Ъ ip{x) a
вещественной функции /, интегрируемой на, промежутке (a,b], суще- .
ствуют число о! Е (а, Ь] и вещественная функция <р, которая определена,
а'
и интегрируема, на промежутке (а, а'], причем / (р(х) dx = оо, <р(х) > О
а
fix) ь
для всех х Е (а, а'1 и lim , ! = А > 0, то f fix) dx = оо.
х-^аф) i

384
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство. Докажем утверждение, относящееся к случаю,
когда функция / интегрируема на открытом справа промежутке [а,Ь).
Положим Xi = —. В силу известных нам свойств предела (см. главу 2)
найдется окрестность U точки Ь такая, что для всех х £ U П [Ь',Ь)
f(x)
выполняется неравенство > \г. Возьмем произвольно Ъ\ Е [Ь',6),
<р(х)
принадлежащее данной окрестности U. Для всех х 6 [bi, Ь) выполняется
неравенство f(x) > \i(p(x). Функция ф\{х) = \\Ц>{х) интегрируема по
промежутку [bi, Ь). Но она не является интегрируемой на замкнутом
промежутке [bi,b], ибо в противном случае функция <р(х) = —(fi(x)
была бы интегрируемой по этому промежутку.
Доказываемое утверждение непосредственно вытекает из
теоремы 4.4, если в ее условиях заменить <р на <pi, а У на Ь\. Следствие
доказано. ▼
4,3. Признак Дирихле сходимости интеграла
■ Теорема 4.5 (признак Дирихле сходимости интеграла). Пусть
функция д: (а,Ь) —> К интегрируема, по промежутку [а,Ь), а функция
/: (а,Ь) —> R монотонна. Предположим, что функции \д\ и fg
интегрируемы по промежутку [а,Ь). Пусть G есть первообразная функции д
на [а,й). Тогда если f(x) —> 0 яря ж —► Ь, a G(x) = 0(1) яря ж —► Ь, то
функция fg интегрируема по [а, Ь].
Доказательство. Так как (7(а0 = 0(1) при х —► ft, то найдутся
числа Ь' Е (а,Ь) и £ < оо такие, что |(?(я)| < L для всех ж Е (Ь',Ь).
Зададим произвольно е > 0. Так как f(x) —► 0 при ж —► Ь, то найдется
Ь" Е (а,Ь) такое, что для любого х Е (Ь",Ь) выполняется неравенство
I'MI < 4ITT-
Пусть /3 есть наибольшее из чисел Ь' и Ь". Возьмем произвольно
точки х\ и я2 из [а,Ъ) такие, что (3 < х^ < b и (3 < х2 < Ь. Покажем,
что
Х2
] П*)9(*)
dx
<е.
Будем считать, что х\ < х2. (Случай х2 < #ь очевидно, сводится
к этому.) Применяя вторую теорему о среднем значении (теорему 5.2
главы 5), получим, что найдется £ Е [#1,22] такое, что
/ f(x)g(x) dx = /(rci) / #(z) da; + /(я2) / tf(s) dx =
Xi Xi if
= /(xi)[G(f) - <?(*i)] + /Ы[С?Ы - G(£)].

§ 4. Критерии интегрируемости функции 385
Отсюда
я2
/
f(x)g(x) dx
< №i)|[|G(fl| + №i)|]+
+ |/(х2)|[|б(ха)| + |G(OI] < ^L + p^2Z = ^fj<e.
Так как е > 0 произвольно, то тем самым доказано, что для
функции fg выполняется критерий сходимости интеграла [a,ft],
содержащийся в теореме 4.2. Теорема доказана. ■
Пример. Применим теорему 4.5 к исследованию вопроса о
сходимости интеграла
оо
f sin x
X
dx. (4.2)
Подынтегральное выражение здесь представляет собой функцию,
определенную всюду и непрерывную в промежутке (0,оо). Предел
sin х
lim = 1. Отсюда, очевидно, следует сходимость данного инте-
х->0 X
грала в точке 0.
Исследованию, таким образом, подлежит вопрос о сходимости
интеграла в точке оо. Полагаем g(x) = sin я, f(x) = —.
х
Функция д в данном случае интегрируема по промежутку [0,оо).
Ее первообразной является функция G: х ь-> cos x. Функция G
ограничена, функция / монотонна и f(x) —► 0 при х —> оо.
Мы видим, что все условия теоремы 4.5 выполнены и,
следовательно, интеграл (4.2) является сходящимся.
Позднее мы сможем показать, что имеет место равенство
оо
/sin х
X
о
dx=\
(см. КМА, часть II, книга 2, глава 14).

386 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
§ 5. Функции, представимые интегралами,
зависящими от параметра
В этом параграфе будут доказаны общие теоремы о дифференцировании
и интегрировании функций, представленных интегралами, зависящими от
параметра. Такого рода представления широко используются в различных
приложениях дифференциального и интегрального исчислений.
Здесь устанавливаются результаты, которые можно получить, применяя
понятие равномерной сходимости.
5.1. Достаточное условие непрерывности функции,
представимой интегралом, зависящим от параметра
Пусть даны промежуток [a, ft] С К, произвольное множество М
и функция /: (ж,/) £ [а,Ь] х М ь-> f(x,t). Предположим, что при
всяком t Е М функция ft: x ь-> f{x,t) интегрируема по промежутку [a,ft].
Для произвольных y,z € [а, ft] положим
2
F(t,y,z) = J f(x,t)dx. (5.1)
У
Интегралы вида, указанного в равенстве (5.1), называются гш-
тегралами, зависящими от параметра. Говорят, что функция F
задана интегралом, зависящим от параметра t Е М.
Функции, допускающие представление вида (5.1), часто
встречаются в различных вопросах математического анализа. Здесь будут
установлены некоторые простейшие сведения относительно таких
функций.
■ Теорема 6.1. Пусть дано произвольное множество М и X есть
оценочная функция на М с предельным значением р. Предположим,
что при всяком t £ М определена функция ft: x e (a, ft) н-> f(x,t),
ограниченная и интегрируемая по промежутку [a,b] такому, что
—оо < a < Ь < оо. Для х e[a,b] и t e M положим
х
Ft(x) = Jf(y,t)dy. (5.2)
a
Тогда если при X(t) —► р функции ft сходятся равномерно на отрезке
[a,b] к некоторой функции /, то функция f интегрируема по [a,b] и при

§ 5. Функции, представимые интегралами 387
А(/) —> 0 функции Ft сходятся равномерно на промежутке [a,b] к
функции F, определенной равенством
X
F(x) = Jf(y)
dy.
Доказательство. Пусть (tfn)n€N есть произвольная
последовательность значений параметра t такая, что lim \{tn) = р. Функции
п—юо
/n(z) = f(x,tn) образуют последовательность, равномерно сходящуюся
к функции / при п —> оо. Каждая из функций fn ограничена и
интегрируема на замкнутом промежутке [a,b]. В силу теоремы 2.3 этой
главы отсюда вытекает, что предельная функция f(x) интегрируема
по промежутку [a,b], причем выполняется равенство
/f(x)dx= lim f(x,tn)dx.
Теорема доказана.
Т Следствие 1. Пусть М есть компактное метрическое
пространство с метрикой />, f:Mx [a,b] —► Е — непрерывная функция. Для
х G М и u £ [a,b] положим
и
F(z,u) = J f(x,t)
dt.
Определенная так функция F непрерывна на множестве М х [a,b].
Доказательство. Согласно теореме 2.2 главы 9 декартово
произведение М1 = М х [а, Ъ] является компактным метрическим
пространством.
По условию, функция f(x,t) непрерывна на этом пространстве.
Значит, согласно теореме 6.5 главы б (см. также главу 9, теорема 1.24)
функция / является ограниченной. В силу теоремы 6.7 главы б (см.
также главу 9, теорема 1.25) функция / равномерно непрерывна на
множестве М1 = М х [а,Ь].
Пусть L = H/HlooCM')' aw: [0,tf) —> R есть модуль непрерывности
функции f (см. главу 9, § 1) на пространстве М'. Зададим произвольно

388
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
точку (xo,uo) £ М9. Для всякого х е М и любого t G [a,ft] имеет место
неравенство |/(z,tf) — f(xo,t)\ < u[p(x,xo)]. Имеем
F(x,u) = J f(x,t)dt= J f(x9t)dt+ I f(x,t)dt,
a a uo
F(xq,u0) = / f(x0,t)dt.
Отсюда получаем
\F(x,u)-F(x0lu0)\<
J[f(x,t)-f(x0,t)]dt + \Jf(x,t)
dt
l«0
(5.3)
Оценим сумму в правой части неравенства (5.3). При каждом х Е
£ М для любого t G [a, ft] расстояние между точками (x,t) и (ж, /о)
в пространстве М' = М х [a, ft] равно />(ж,жо). Отсюда следует, что
\f(xo,t) - f(x,t)\ < u[p(x,xo)}.
Видим, что первый интеграл в правой части (5.3) не превосходит
(u0 - a)u[p(x, х0)] < (ft - a)u[p(x, x0)].
Второй интеграл не превосходит L\u—uq\. Таким образом, мы получаем
следующую оценку:
\F(x, и) - F(xq,u0)\ < (ft - a)u[p(x, х0)] + L\u - и0\.
При х —► xq и и —> щ правая часть последнего неравенства стремится
к нулю. Тем: самым непрерывность функции F на пространстве М' =
= М х [а,Ь] установлена. Следствие 1 доказано. ▼
▼ Следствие 2. Пусть даны открытое множество G в
пространстве R71 и интервал (a, ft) С К в множестве К. Предположим, что
функция /: (x,t) £ (а,Ь) х G »-► f{x,t) непрерывна. Тогда функция F,
определенная яа множестве (a, ft) x (? равенством
F(x,t) = J f(y,t)dy,
где р € (а, Ь), непрерывна, на, множестве (а, Ь) х G.

§ 5. Функции, представимые интегралами 389
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Ситуация, на первый взгляд, противоположна той, которая рассмотрена
в следствии 1 теоремы 5.1, поскольку множество G здесь не является
компактным. Тем не менее требуемый результат мы получим с
помощью именно этого следствия.
Возьмем произвольно точку to E G и точку хо G (а,Ь). Так как
множество G является открытым в Еп, то найдется 6 > 0 такое, что
шар B(to,6) С G. Положим rj = -. Тогда замкнутый шар B(to,r)) С
С B(to,6). Пусть [u,v] С (a,b) есть замкнутый отрезок такой, что
р Е [u,v] и и < хо < v. Шар B(to,r)) представляет собой компактное
множество в пространстве Еп. _
Применяя утверждение следствия 1 к случаю, когда М = Bjto^rj),
получим, что ограничение функции F на произведении [u,v] х B(to,rj)
есть непрерывная на этом множестве функция. Отсюда следует, что
ограничение F на множестве (u, v) х B(to, rj) есть функция, непрерывная
в точке (#o,tfo).
Множество (u,v) x B{to,rj) является открытым в Rn+1. В силу
свойства локальности понятия непрерывной функции и
произвольности хо Е (а,Ь) ж to £ G (см. главу 9, следствие 2 теоремы 1.4) отсюда
вытекает, что функция F непрерывна на множестве (a,b) x G.
Следствие 2 доказано. Т
5.2. Теоремы о дифференцировании и интегрировании
функций, представимых интегралами
Сначала мы докажем некоторую простейшую теорему о
дифференцировании функции, представленной интегралом. Справедливо
следующее утверждение.
■ Теорема 5.2 (правило Лейбница дифференцирования интеграла,
зависящего от параметра). Пусть f есть вещественная функция
переменных х Е К и t Е R, определенная и непрерывная на прямоугольнике
Р = [a,b] х (с,<1). Предположим, что для всякого х Е [a,b] и любого
t Е (с, d) определена частная производная —(x,t), причем эта
производная непрерывна на множестве Р. Тогда функция F, определен-
ь
пая равенством F(t) = j f(x,t)dx, дифференцируема в каждой точке
a
t Е (с, d). При этом имеет место равенство
ь
F'(t) = J^(x,t)dx. (5.4)

390
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно значение to £ (с, d)- Введем вспомогательную
функцию д(х, /), полагая
Г /0М)'-/0Мо) mv ...
- при t ф г0>
$0М)= S
в/ *"'° (5.5)
[ -7^{x,to) При * = <<).
Докажем, что функция д непрерывна на множестве Р = [a, ft] x (с, d).
Если 2 ф ^0) то непрерывность функции д в точке (ж, tf) очевидным
образом следует из того, что, по условию, функция / непрерывна на
прямоугольнике Р. По теореме Лагранжа о среднем значении (глава 4)
имеем
где 0 < в < 1. Пусть (яп)пего и (/n)neN есть произвольные
последовательности точек такие, что хп £ [а,Ь], tfn Е (с, с?) для всех п и яп —>
—► #о € [а, Ь], a tn -* to € (с, cf) при n —► оо.
При любом п имеем
При п —► оо имеем tn — to -* 0 и, следовательно, tfo+0n(<n-*o) —> <о- Так
как, по условию, функция — непрерывна, то из доказанного вытекает,
что * dt
lfi[xnit0 + On(tn - to)] -> -^-[^0,^о]
при п —► оо, т. е. g(xn,tn) —> g(xo,to) при п —► оо. Тем самым
непрерывность функции g в точке (жсь^о) установлена, каково бы ни было
х0 е [о, 6].
В силу теоремы 5.1 из доказанного вытекает, что функция G(t) =
6
= J* g(x,t) dx непрерывна в точке *о и, значит, G(to) = lim (?(tf).
При < т^ ^о имеем
G(t) = ^ П f(x,t)dx - J f(x,t0)dx\
ь
G(to) = J^(x,t0).
F(t)~F(t0)
t-t0 '

§ 5. Функции, представимые интегралами 391
Сопоставляя полученные результаты, получаем, что
б
/
-(x,<0)=h_m t_fo =F(tQ).
Так как точка to G (с, d) была выбрана произвольно, то тем
самым .установлено, что функция F дифференцируема в интервале (с, d),
причем для всякого t Е (c,d) выполняется равенство (5.4). Теорема
доказана. ■
Т Следствие 1. Пусть даны промежуток [a,b] множества К и
открытое множество U пространства Кп. Предположим] что функция
/: (х, и) € [а,Ь] х U ь-* f(x,u) имеет в U непрерывную частную произ-
водную —— для некоторого i такого, что 1 < i < п. Пусть F(u) есть
ощ
функция в области U, определенная равенством
о
F(u) = / f(x,u)dx.
dF
Тогда функция F имеет в U частную производную ——. При этом имеет
aw,-
место равенство
ь
Доказательство. Зададим произвольно точку щ £ U. Так как [7
есть открытое множество, то найдется й > 0 такое, что шар
В(и0,6) С i7. Для произвольного ж Е [а,Ь] и f € (-<5,<5) положим
у?(я,0 = f(x,u0 + tei).
Функция <р, очевидно, непрерывна на множестве [a,b] х (-6,6) и
имеет частную производную -z-(x,t) = ——(ж,ио + <е,-). Эта произ-
ot ощ
водная, как очевидно, непрерывна на множестве [a,b] x (—6,6). В силу
ь
теоремы 5.2 отсюда следует, что функция Ф(£) = J <p(x,t) dx имеет про-
a
изводную для всех t € (—6,6). В частности, существует производная
Ф'(0). При этом
ь
*'(0) = j^(x,0)dx.

392
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Заметим, что
Ф(0 = F(«0 + <е0, Ф'(0) = |^(«о), ^(х, 0) = |£(s, «о)-
В силу доказанного мы получаем, что искомая частная
производная функции F существует. При этом выполняется равенство (5.4).
Следствие теоремы 5.1 позволяет заключить, что производная —— не-
ощ
прерывна на множестве U'. Следствие 1 доказано. ▼
▼ Следствие 2. Пусть / есть функция переменных x€R и teR,
определенная и непрерывная на прямоугольнике Р = [a, b] х (с, d).
Предположим, что для всякого х e[a,b] и любого t G (с, d) определена част-
пая производная —(ж, tf), причем эта производная непрерывна на мно-
г
жестве Р. Для u G [а, Ь], v Е [а, Ь] я tf Е (с, d) положим
V
Ф(и,г>,0 = / f(x,t)dx.
U
Определенная так функция Ф на множестве if = [а,Ь] х [а,Ь] х (с, d)
имеет частные производные по каждой из переменных t,u и v в каждой
точке множества К. При этом
дФ дФ f df
= -/КО» -g£ = /КО. и -^ = / -^-KO^c.
Доказательство. Для произвольного £ Е [а,Ь] положим
F(t,t) = Jf(z,t)dx.
Согласно определению интеграла функция F*: f ь-> F(£,t)
дифференцируема в основном в промежутке [a,b]. При этом Fl(£) = /(£, 0-
Так как функция /(£, 0 — как функция переменной £ — непрерывна на
промежутке [а, Ь], то функция F* дифференцируема в каждой точке
промежутка [a,b]. При этом F{(£) = /(£,0 Для всякого £ Е [a,ft] и любого
<e(c,d).
Имеем Ф(2,и,г>) = F(v,t) — F(w,0- Отсюда вытекает
существование частных производных функции Ф по переменным и и г?, так же как

§ 5. Функции, предста,вимые интеграла,ми 393
и указанные в формулировке следствия выражения для этих частных
производных.
Выражение для частной производной Ф по переменной t
получается непосредственным применением формулы (5.4) теоремы 5.2.
Следствие 2 доказано. Т
▼ Следствие 3. Пусть в условиях теоремы 5.2 задаяы функции
и: (с,d) —► Е и v: (с,d) —► Е, дифференцируемые в каждой точке
t Е (с, d) я такие, что а < u(tf) <6яа< t?(tf) < Ь для всех t Е (с, d).
Доложим
Я(«)= / f{x,t)dx.
4(t)
Определенная так функция Н дифференцируема, в каждой точке
t Е (с, d) и ее производна,я выра,жается ра,венством
«(О
Доказательство. Имеем Я(<) = Ф[/,и(/),г>(/)]. В силу
следствия 2 теоремы 5.2 функция Ф имеет частные производные по
переменным /, и и v в каждой точке (tf, гг, v) Е (с, d) x (а, Ь) х (а, Ь). Из выражений
для этих производных, установленных следствием 2, следует, что они
непрерывны на открытом параллелепипеде V = (с, d) x (а,Ь) х (a, ft).
Это позволяет заключить, что функция Ф дифференцируема в каждой
точке (t,u,v) Е V.
В силу известного правила дифференцирования сложной функции
(см. главу 7) имеет место равенство
H'(t) = ^{t,u(t)Mt)} + ^[«, «(О, «(ОКО + §£[<,«(0,»(*)К(0-
Подставляя в это равенство выражения для частных производных
функции Ф, установленные следствием 2 теоремы 5.2, получим
требуемый результат. Следствие 3 доказано. ▼
■ Теорема 5.3. Пусть /: [a,b] х [с,d] —> Е есть непрерывная
функция. Для х Е [а, Ъ] и t Е [с, d] положим
d Ь
ф) = / /(я?,*) Л, V(0 = //(*,0 <**•

394 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Определенные так функции ц> иф непрерывны. При этом имеют место
равенства
fil>(t)dt= [<p(z)dx.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Непрерывность функций (риф следует из теоремы 5.1. Положим
т
F(x,t) = / f(x,u)du.
Из теоремы 5.1, очевидно, следует, что функция F непрерывна на
множестве [a^b] х [c,d]. Отметим, что
F(x, с) = 0 и F(x, d) = <p(x). (5.7)
Положим
ь
Ф(0= /F(x,t)dx.
a
В каждой точке (ж,/) G [а,Ь] х (с,d) функция F имеет частную
производную -тг- = f(x,t). Согласно условию теоремы эта производная
С/1
непрерывна на множестве [a^b] x (с,d). В силу теоремы 5.2 отсюда
вытекает, что функция Ф дифференцируема в каждой точке интервала
(с, d). При этом
ь ь
*'(*) = / ^(*, <)<** = / /ОМ) ^ - ^ (О- (5-8)
a a
В силу теоремы 5.1 функция Ф непрерывна на промежутке [c,d]. Из
равенства (5.8) следует, что Ф'(2) — ф^) в каждой точке t G (с, d).
Функция Ф, таким образом, является первообразной функции ^ на
промежутке [с, d], и, следовательно,
d б
/ V>(<) dt = «(d) - Ф(с) = /[F(x, d) - F(a?f c)] <te.

§ 5. Функции, представимые интегралами 395
Принимая во внимание равенства (5.7), отсюда заключаем, что
d ь
/ tjj(t)dt = / ip(x)dx.
с a
Теорема доказана. ■
Выведем некоторое полезное правило преобразования интегралов
(применения которого даются ниже в п. 5.5).
■ Теорема 5.4 (о треугольной формуле Дирихле). Пусть /: [a,b] х
х [а, Ь] —> Е есть непрерывная функция. Тогда функции
ь у
х ^ /(ж, у) dy, у*->1 /(я, у) dx
х a
непрерывны в промежутке [а,Ь]. При этом имеет место равенство
J lj f(x,y)dy\dx = J I J f(x,y)dx\ dy. (5.9)
a \x / a \a /
(Равенство (5.9) часто именуют треугольной формулой Дирихле.)
Доказательство. Для x,z G [a,b] положим
Z
g(x,z) = I f(x,y)
dy.
Функция у, определенная этим равенством, непрерывна и имеет
частную производную
-£(x,z) = f(x,z).
Положим
F(z) = / I / f(x,y)dy \dx= g(x,z)dx.
a \x / a
Применяя теорему о дифференцировании интеграла, зависящего
от параметра (см. выше теорему 5.1), все условия которой здесь,
очевидно, выполняются, получим
z z
F\z) = g(z, z)+ ^-(ж, z) dx = / /(ж, z) dx.

396
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
(Мы воспользовались здесь тем, что g(z,z) = 0.) Заменяя в последнем
равенстве z на у, получим
У
?b) = Jf(*,v)dx.
Так как, очевидно, F(a) = 0, то из доказанного следует, что
ь ь г у \
F{b) = F(b) - F(a) = J F\y) dy = J \j f(x, y) dx 1 dy.
a a v a )
Принимая во внимание выражение для F(b), отсюда заключаем,
что равенство (5.9) верно. Теорема доказана. ■
5.3. Теоремы о дифференцировании и интегрировании
функций, представимых несобственными интегралами
Пусть /(ж, у) есть функция, определенная для всех х Е [a,b) и у Е
Е (с, d) и непрерывная на прямоугольнике Р = [а,Ь) х (с, d) на
плоскости К2. Будем считать, что -оо < a < сю. Область изменения
переменной х есть замкнутый слева промежуток [a]b), где й конечно.
В то же время область изменения у есть открытый промежуток (с, d).
Предположим, что при каждом у Е (с, d) функция ж н-> /(ж, у)
интегрируема на замкнутом промежутке [a,b].
Говорят, что интеграл
I
f(x,y)dx
(5.10)
сходится равномерно в точке b для у Е (с, d), если выполнено следующее
условие: каково бы ни было е > 0, по нему найдется /3 Е [а,Ь) такое,
что для любого Ь' Е (/3, Ь) выполняется неравенство
I
f(x1y)dx\
<е.
Пусть (/i/)i/eN есть последовательность функций, определенных
и непрерывных на промежутке [a,b) множества Ж. Предположим, что

§ 5. Функции, представимые интегралами
397
при каждом v £ N функция /„ интегрируема по промежутку [a,b].
Будем говорить, что интеграл
ъ
I
fu(x)dx
(5.11)
равномерно сходится в точке Ь при v —► оо, если для всякого £ > О
можно найти К < оо и /3 G [а, Ь) такие, что для любого v > К и любого
V Е (/?, Ь) выполняется неравенство
ь
I
f„(x)dx
< е.
■ Лемма 5.1. Предположим, что интеграл (5.10) равномерно
сходится в точке Ь при у Е (с, d). Пусть (/?i,)„eN есть числовая
последовательность такая, что при каждом v выполняются неравенства a<(3u <b
и Ь = lim /3U. Для у Е (с, d) положим
I/—ЮО
6 А,
F{y) = J f{x,y)dx, F„(y) = J f(x,y)dx.
a a
Тогда при v —► оо функции Fv равномерно сходятся к функции F на
промежутке (с, d).
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Зададим
произвольно е > 0 и найдем по нему /3 Е [а, Ь) такое, что если (3 < bf < Ь,
то выполняется неравенство
о
I
f(x,y)dx
€
(5.12)
Так как /3„ —► Ь при ^ —► оо, то найдется номер i/GN такой, что при
всяком v > v выполняется неравенство /3 < fiu. При каждом v имеем
о
F(y)-Fv(y) = J f(x,y)dx..

398 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Полагая в неравенстве (5.11) Ь1 •= /?„, где v > j/, получим, что для
всякого г/ > v для всех у Е (c,d) выполняется неравенство
№) - ВД| < |.
Отсюда следует, что для любого ^ > j/
11^-^11^1(^)1= sup |JP(y) - JFV(y)| < | < е.
3/€(c,d) *
Так как для достижения последнего неравенства потребовалось лишь,
чтобы номер v удовлетворял условию v > j/, а е > 0 было произвольно,
то из доказанного следует, что
ll^-^lkoKc^-O
при v —♦« оо. Тем самым установлено, что функции F^ равномерно
сходятся к функции F на промежутке (с, d). Лемма доказана. ■
■ Теорема 5.5. Пусть функция /(ж, у) определена для всех х Е [а, Ь)
я у Е (с, d) я непрерывна на прямоугольнике [а,Ь) х (с, d), причем
интеграл
ь
Jf(x,y)dx = F(y) (5.13)
а
определен и конечен для всех у Е (с, d). Тогда если этот интеграл
сходится равномерно в точке b при у Е (с, d), то функция F(y), задаваемая
равенством (5.10), непрерывна на промежутке (с, d).
Доказательство. Пусть (/3„)„ен есть произвольная
последовательность такая, что a < /3„ < b при каждом v Е N и /?„ —► Ь при
г/ —► оо. Для всякого г/ Е N функция / непрерывна на прямоугольнике
[а,/?„] х (с, d). Отсюда в силу следствия 1 теоремы 5.1 вытекает, что
функция Fv, определенная равенством
h
F„(y) = / f(x,y)dx,
a
непрерывна на промежутке (с, d). Согласно лемме 5.1 функции Fv
равномерно сходятся к функции F на промежутке (с, d). В силу теоремы 1.6
отсюда вытекает, что также и функция F непрерывна на этом
промежутке. Теорема доказана. ■

§ 5. Функции, представимые интегралами 399
■ Теорема 5.6. Предположим, что функция /(ж, у), заданная на
прямоугольнике Р = [а,Ь) х (с, d), где а конечно, непрерывна, и такова,
что хотя бы для одного у Е (с, d) интеграл
ь
J f(x,y)dx (5.14)
а
определен и конечен. Если для всякой точки (х,у) Е Р определена,
df, л
частная произвольная —(х,у), причем эта, производная непрерывна,
бу
ь
—(x,y)dx
бу
а
определен и конечен и сходится равномерно в точке Ъ, то интеграл (5.14)
определен и конечен для всех у Е (с, d), функция F, определенная равен-
Ь
ством F{y) = J f(x, у) dx, дифференцируема в промежутке (с, d), и для
а
всякого у Е (с, d) справедливо соотношение
ь
F'(v) = Jjj(*,v)d*.
Доказательство. Пусть (Ьи)„^ есть последовательность точек
промежутка [a, ft) такая, что при каждом v выполняются неравенства
а<Ь1/<ЬкЬ1,-*Ь при v —► оо. Для произвольного у Е (с, d) положим
Fv{y) = / f(x, у) dx, Ф„(у) = / —(ж, у) dy.
а а
Применим теорему 5.2, полагая в ней [а,Ь] = [а,^]. Получим, что
при каждом у Е (c,d) функция Fu(y) дифференцируема в промежутке
(с, d), причем Fl{y) = Ф„(у) для всех у Е (с, d). Согласно лемме 5.1
последовательность функций (Фи)и£^ равномерно сходится к функции Ф
на промежутке (с, d).
В силу условия теоремы существует значение уо £ (с?<0, Для ко~
торого интеграл (5.14) конечен. Для этого у = у0 последовательность
(FI/(yo))i/€N5 очевидно, имеет конечный предел. В силу теоремы 2.4
настоящей главы отсюда следует, что для всякого у Е (с, d) существует
предел
lim F„{y) = F(y). (5.15)

400 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Определенная таким образом функция F согласно теореме 2.4
дифференцируема для всех у € (с, d), причем F'{y) = Ф(у) всюду на
промежутке (с, cf).
Последовательность (b„)„€N точек промежутка (а,Ь), сходящаяся
к точке Ь, была выбрана произвольно. Таким образом, мы получаем,
что для всякой такой последовательности для любого у Е (с, d)
существует конечный предел (5.15).
На основании теоремы Гейне об определении предела через
понятие предела последовательности отсюда вытекает, что при каждом
у G (с, d) существует конечный предел
Z
lim / f(x,y)dx = F(y)
и, стало быть, при каждом у € (с, d) функция /(ж, у) интегрируема
относительно ж по промежутку [а,Ь]. Теорема доказана. ■
■ Теорема 5.7. Пусть (fu)v£N есть последовательность функций,
определенных и непрерывных на замкнутом слева промежутке [а,Ь)
я интегрируемых на замкнутом промежутке [a,b]. Предположим, что
для всякого х Е \а,Ъ) существует конечный предел lim fu(x) — f(x).
i/--*oo
Тогда если fv =3 / на всяком промежутке [а,/?] С [а,Ь) я интеграл
ь
j fv(x)dx сходится равномерно в точке b при и —> оо, то предельная
а
функция f также интегрируема на промежутке [a,b], причем
о о
/f(x)dx= lim fj,(x)dx.
Доказательство. Для z G [a,b) положим Fv{z) = J* fv{x)dx. Из
а
условия теоремы следует, что функция / непрерывна на всяком
промежутке [a, z], где а < г < Ь. Отсюда вытекает, что она интегрируема на
каждом промежутке [a,z], где a < z < 6, и, следовательно, для любого
2
z £ (а,Ь) определена величина F(z) = J f(x)dx. В силу теоремы 2.3
a
JFV(^) —► ^(2) при i/ —► оо для всех z Е (a,b). Для каждого i/ E N
существует конечный предел
lim f„(z) = / fv{x) dx = Fv(b).
z-*b J

§ 5. Функции, представимые интегралами 401
При этом согласно условию теоремы для всякого е > 0 можно указать
К < оо и /3 Е (а, 6) такие, что если ^ > К, то для любого z Е (/?,Ь)
выполняется неравенство
|F„(z) - Fv(b)\ =
Ь
\ fu(x)dx
< е.
Теперь воспользуемся результатом теоремы 1.3 о равенстве
повторных пределов. Имеем функцию Fl/(z) переменных z Е [а, Ь) и v Е N.
При всяком z €[a,b) существует конечный предел
lim Fu(z) = F(*),
I/—ЮО
и при всяком i/GN существует конечный предел
lim 'Fy(z) = Fv{b),
z—+b
причем Fv{z) стремится к Fv(b) равномерно при и —> оо и z —► Ь. На
основании теоремы 1.3 отсюда следует, что существуют конечные
пределы
lim F(z) и lim Fv{b), (5.16)
z—+b i> —►оо
причем эти пределы совпадают. Существование и конечность первого
из пределов (5.16) означает, что функция / интегрируема по
промежутку [а,Ь]. (Указанный предел равен интегралу функции / по
промежутку [а,Ь].) Совпадение пределов (5.16) означает, что
о о
/f(x)dx= lim fl/(x)dx.
Теорема доказана. ■
Для применения доказанных теорем 5.5, 5.6 и 5.7 необходимо
указать по возможности простые критерии равномерной сходимости
интеграла относительно параметра у. Такие критерии можно получить
некоторой модификацией критериев сходимости интеграла, доказанных
в § 4 этой главы.
ф Предложение 5.1. Пусть дана, функция f(x, у), определенная для
всех х Е [а, Ь) и у Е (с, d) и непрерывная на прямоугольнике [a,b)x (с, d)
на плоскости IR2, где а конечно. Предположим, что существует
функция (р: [/3,6) —> К, где /3 Е [a,b), интегрируемая по промежутку [/3,Ь]
и такая, что для всех х Е [/3,6] для любого у Е (с, d) выполняется
ь
неравенство |/(я, у)| < (р(х). Тогда интеграл J /(я, у) dx сходится рав-
а
номерно в точке b при у Е (с, d).

402
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Замечание. Признак равномерной сходимости интеграла,
устанавливаемый данным предложением, будем называть
мажорантным признаком равномерной сходимости и говорить, что функция <р
является мажорантой семейства функций (/(ж, y))y£(c,d) вблизи точки 6.
Доказательство. Предположим, что функции f(x, у) и (р
удовлетворяют всем указанным условиям. Тогда функция х н+ f(x, у)
интегрируема по промежутку [а, 6]. Зададим произвольно е > 0. По нему
найдется 7 € [/?>&) такое, что для всякого 6' Е (7^) выполняется
неравенство
б
/ (p(x)dx < е.
В силу известных свойств интеграла (см. главу 7) отсюда
вытекает, что для любого у Е (с, d)
16.
/ f{x,y)dx
16'
Так как е > 0 было взято произвольно и для выполнения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы 6' принадлежало промежутку
(7,Ь), то тем самым предложение доказано. ♦
♦ Предложение 5.2. Пусть {fv)y^N есть произвольная
последовательность функций, определенных и непрерывных на промежутке [а, 6),
интегрируемых на промежутке [а, 6]. Предположим, что существуют
число (3 Е [а, 6), функция tp: [/3, Ь) —► Е, интегрируемая на промежутке
[/3,6], и число К < оо такое, что для любого v > К для всех х Е [/3,6)
Ь
выполняется неравенство |/i/(z)| < <р(х). Тогда интеграл j fv(x)dx
a
сходится равномерно в точке 6 при v —► 00.
Замечание. Признак равномерной сходимости интеграла,
который содержится в данном предложении, называется мажорантным
признаком равномерной сходимости интеграла. Функция (р
называется мажорантой функциональной последовательности (fv)u£N-
Предложение 5.2 доказывается рассуждениями, почти дословно
повторяющими доказательство предложения 5.1. Предоставляем
читателю доказать его самостоятельно. ♦
о
dx < е.

§ 5. Функции, представимые интегралами 403
5.4. Теорема о монотонной последовательности
интегрируемых функций
■ Теорема 5.8 (теорема о монотонной последовательности
интегрируемых функций). Пусть (fu)u£N есть произвольная убывающая
последовательность функций, определенных на отрезке [a,b] С К. Тогда если
каждая из функций fu интегрируема на промежутке [a,b] и fu(x) —► 0
при v —► оо в [а, Ь] в основном, то
ь
I f„(x)dx —> 0
а
при v —► оо.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Обозначим через Fv аддитивную функцию отрезка, определенную в [a,b]
равенством
FU(A) = J fv{x)dx
a
для А = [a,(3] С [a,b]. Из условий теоремы следует, что функции /„ все
неотрицательны. Это позволяет заключить, что ^(А) > 0 для любого
отрезка А С [а, Ь] при всех v G N. Так как последовательность функций
(/i/)j/€N убывающая, то для всякого А последовательность (FU(A))U^
также является убывающей и, следовательно, для всякого отрезка А
существует предел lim F„(A) = F(A). Так как F„(A) > 0 при всех
I/—»-00
v e N, то также и F(A) > 0. В промежутке [a,b], таким образом,
определена некоторая функция отрезка F. Теорема будет доказана, если
мы установим, что эта функция отрезка тождественно равна нулю. Для
этой цели последовательно исследуем свойства функции F.
Сначала покажем, что F есть аддитивная функция отрезка. Пусть
Ai и А2 — два произвольных отрезка, содержащихся в [а,Ь] и
имеющих только одну общую точку. Это означает, что либо Ai есть отрезок
[а,/3], а А2 — отрезок [/3,7]» либ° наоборот: Ai = [/?,7], А2 = [«,/?].
Пусть А = Ai U А2. Множество А есть отрезок, и при каждом v G N
имеем FU(A) = ^(Ai) + FU(A2). Переходя в этом равенстве к пределу,
получим F(A) = F(Ai) + F(A2). Так как отрезки Ai и А2 в остальном
были взяты произвольно, то тем самым доказано, что F есть
аддитивная функция отрезка.
При каждом v для любого отрезка А С [a,b] выполняются
неравенства 0 < F(A) < FV(A). Аддитивная функция отрезка Fv непрерывна.

404 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Отсюда в силу критерия непрерывности аддитивной функции отрезка
вытекает, что построенная функция отрезка F также является таковой.
Докажем, что плотность аддитивной функции отрезка F в
основном равна нулю. Пусть М$ есть не более чем счетное множество,
состоящее из всех точек х Е [а,Ъ], для которых соотношение lim /„(ж) = О
I/—КХ>
не имеет места. Далее, пусть Mv есть множество всех точек х Е (а,Ь),
для которых плотность аддитивной функции отрезка Fv либо не
существует, либо существует, но отлична от fu{x). Множество Mv не более
чем счетно. Положим
оо
Е = \JM„.
i/=0
Множество Е не более чем счетно. Возьмем произвольно точку
х £ (а, Ь) \ Е. Тогда х £ М$ и, значит, /„(я) —> 0 при v —► оо. Зададим
£
произвольно е > 0. По нему найдется номер щ такой, что /„0(я) < -.
z
Точка х не принадлежит множеству М„0, и, следовательно, аддитивная
функция отрезка FVo имеет в точке х плотность, равную fVo(x) < -.
Значит, найдется й > 0 такое, что для всякого отрезка А, содержащего
точку х и такого, что длина его 1(A) < й, выполняется неравенство
Так как для любого отрезка А С [а,Ь] верны неравенства F(A) <
< F„0(A), то отсюда следует, что для всякого отрезка, содержащего
точку х и такого, что /(А) < й, выполняются неравенства
В силу произвольности е > 0 этим доказано, что плотность аддитивной
функции отрезка F в точке х равна нулю. Точка х £ Е была выбрана
произвольно. Мы, следовательно, получаем, что DF(x) = 0 в основном.
Отсюда, как было показано ранее, вытекает, что функция отрезка F
тождественно равна нулю. В частности, мы получаем, что
F([a, 61) = lim / fu(x) dx = 0.
Теорема доказана. ■

§ 5. Функции, представимые интегралами 405
5.5. Эйлеровы интегралы
Пусть даны числа х > 0 и у > 0. Полагаем
1
В(*,у) = Jt—^l-ty-Ut. (5.17)
о
Для произвольного х > 0 положим
оо
Г(а)= I tx-le^dt. (5.18)
о
Интегралы (5.17) и (5.18) называют эйлеровыми интегралами.
Функция В(#,у) переменных х > 0 и у > 0 называется
бета-функцией. Функция Г(ж) переменной х называется гамма-функцией.
Все эти интегралы определены и конечны для любых х и у,
удовлетворяющих указанным выше условиям.
Бета- и гамма-функции являются представителями весьма
обширного класса функций, называемых специальными. Этот класс получен
в результате расширения множества элементарных функций
добавлением к нему новых функций, к вычислению которых сводится решение
тех или иных задач математического анализа.
Заметим, что в отличие от совокупности элементарных функций
класс специальных функций не является четко определенным.
Включение той или иной конкретной функции в этот класс определяется
традицией и практикой математических исследований.
Отметим некоторые свойства бета- и гамма-функций.
1. Для любых х > 0 и у > 0 имеет место равенство
В(*,у) = В(у,з). (5.19)
Справедливость данного равенства легко устанавливается заменой
переменной в интеграле (5.17) по формуле 1 — t = и.
2. Для любых х > 0 и у > 0 имеют место равенства
B(z + l,y)=—^-B(z,y), В(*,у+1) = -^-В(с,у). (5.20)
х + у х + у
Действительно, имеем
1
В(я + 1,у)= ft^l-ty-Ut.

406 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Преобразуем это равенство по формуле интегрирования по частям.
Получим
1 1
В(а + 1,у) = -- ftxd(l-t)y = -It*(l-t)*|<=1 + - ftx^(l-t)ydt =
У J У 1<=о У J
о о
1 1
= - / t*-\l - О*"1 dt - - / *ж(1 - О3'""1 Л
о о
и, стало быть,
В(а + 1,у)= -В(з,у)--В(* + 1,у).
У У
Отсюда получаем первое из равенств (5.20). Второе выводится из
первого применением равенства (5.19).
3. Для всякого п Е N выполняется равенство
/ ч 1 * 2... п — 1 . Л„ ч
В(ж, п) = — г-г т -г. (5.21)
v ' ; z(z + l)...(z + n- 1) v ;
Действительно, имеем
1
В(я,1) = Itx"ldt^ -,
о
так что для п = 1 равенство (5.21) верно. В общем случае его
справедливость устанавливается индукцией попе помощью равенств (5.20).
4. Для всякого х > 0 имеет место равенство
Г(& + 1) = &Г(ж). (5.22)
Действительно, применяя правило интегрирования по частям,
получаем
оо оо оо
Г(х + 1) = ftxe-ldt = -f Г(1{е-*} = гхе~1 Г~°° + х It'^e'* dt.

§ 5. Функции, предст&вимые интегралами 407
Внеинтегральные члены в последнем выражении, очевидно, равны
нулю, и мы получаем
оо
Т(х + 1) = х J 1х-^е-х dt = xT(x).
о
Равенство (5.22), таким образом, доказано.
5. Для всякого п £ N имеет место равенство
Г(п) = (п - 1)!. (5.23)
Действительно, имеем
оо
Г(1)= [е-*<И = 1,
так что для п = 1 равенство (5.23) верно. В общем случае его
справедливость устанавливается по индукции с помощью равенства (5*22).
6. Установим основное соотношение, связывающее бета- и гамма-
функции. Для любых х > 0 и у > 0 имеет место равенство
«**-Ш- (s-24)
Достаточно установить справедливость равенства (5.24) для случая
х > 1 и у > 1. Отсюда с помощью равенств (5.20) и (5.22) выводится,
что равенства (5.24) верны в общем случае.
При условии х > 1 и у > 1 подынтегральное выражение в
формуле (5.17), посредством которой определена Бета-функция, есть
функция, непрерывная на замкнутом промежутке [0,1]. Для R > 0 положим
я
7(я?,Д)= ft^e-Ut.
Если ж > 1, то подынтегральное выражение в последнем интеграле
определено и непрерывно на замкнутом промежутке [0, R]. При R —► оо
имеем j(x,R) —> Г(ж) для всякого х > 0.

408
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Рассмотрим произведение /y(x,R)^(yyR). (В дальнейших
рассуждениях предполагается, что х > 1 и у > 1.) Получим
j(x,R)<y(y,R) = I\х-1е-* j fuy^e-udu\ dt.
Ввиду неотрицательности подынтегральной функции внутренний
интеграл не увеличится, если в качестве области интегрирования в нем
взять промежуток [0, R — t]. В результате получим
? (КТ \
-r(x,RMy,R)> //х"1е"Ч / uy-le-udu\dt = r){x,y,R). (5.25)
(Символ r)(x,y,R) введен для обозначения интеграла, стоящего в
правой части равенства (5.25).) Интеграл, определяющий величину
7/(ж, у, i2), преобразуем с помощью треугольной формулы Дирихле
(теорема 5.4, п. 5.2). Для этого интеграла предварительно установим
некоторую оценку снизу, которая позволит заключить, что гу(ж,у,Д) —>
—► Т(х)Т(у) при R —► оо. В силу неотрицательности подынтегральной
функции интеграл в правой части соотношения (5.25) не увеличится,
если уменьшить промежуток интегрирования. Следовательно, мы
получим, что будет иметь место неравенство
Я/2 / Я-<
r){x,y,R)> fV-Vf / uy-le-udu\ dt.
Если О < t < J?/2, то R -t > R/2, откуда получим
Я/2 / Я/2 \
v(x,y,R)> Z**"1^ J u'~le~%
du
Л = 7(х,Л/2)7(у,Л/2).
/
Таким образом, мы получаем следующие неравенства:
7(х, Rh(y,R) > т](х,у,R) > ф,R/2)j(y,R/2). (5.26)
Из неравенств (5.26), очевидно, вытекает, что
lim j1(x,y,R) = T(x)T(y). (5.27)
R—юо

§ 5. Функции, представимые интегралами 409
Имеем
? (У \
rj(xyy,R)= t'^e^ / u*-1e-udu\dt.
Во внутреннем интеграле произведем замену переменной
интегрирования, полагая z = u + t. Получим
R / R
|?(*,у,Д) = Jt-^ljiz-ty-1
О \i
e-'+Uz dt.
Применяя к последнему интегралу треугольную формулу Дирихле
(см. п. 5.2), получим равенство
я
r)(x,y,R)= fe~2 j Itx-\z-t)y-ldt\ dz.
Во внутреннем интеграле здесь произведем замену переменной
интегрирования, полагая t = z£. Получим
Z 1
/ t*~\z - t)*-ldt = zx+y^ U*-\l - iY^di = z***-1 B(x,y).
о о .
Таким образом, имеет место равенство
я
ф, у, R) = В(х, у) f e-zzx+y~l dz = В(я, yfr(* + У, #)•
о
Переходя в этом равенстве к пределу при R —► оо, в силу (5.27)
получаем
Г(я)Г(у) = В(*,у)Г(я + у).
Тем самым справедливость равенства (5.24) установлена в
предположений, что х > 1 и у > 1. Общий случай следует отсюда ввиду
равенств (5.20) и (5.22).
7. Значение гамма-функции для произвольного х > 0 может.быть
представлено также как некоторый предел. Положим
,4Ч ( (l--J Для 0<Kn,
[ 0 при t > п.

410
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Для всех t > 0 имеем е""* > en(t) > 0. При п —> оо имеем £п(0 —► е~~*
для всех / > 0. При каждом t > 0 последовательность (^x""16:n(^))nGN
является возрастающей. Так как предельная функция непрерывна на
промежутке (0, оо), то tx"1en(t) z$ tx"le"i на всяком промежутке [й, Д],
где 0 < 6 < R. Последовательность функций (tx"1en(t))n^
мажорируется функцией tx"1e"ii интегрируемой на промежутке [0,оо].
Следовательно, интегралы
оо
х-1.
/
оо оо
Т(х)= [t*-1e-idt= lim I tx-len{t)i
J n-+oo J
0 0
N имеем
ОО П
jtx~len{t)dt = Jt^fl-^
tx-len(t)dt
0
сходятся равномерно в точках 0 и оо при п Е N. Это позволяет
заключить, что имеет место равенство
оо
.., )dt.
о о
При каждом п Е N имеем
оо п
eft.
V ПУ
о о
Произведя в этом последнем интеграле замену переменной
интегрирования по формуле — = щ получим
п
оо 1
/ t*-len{t) dt = nx f ux-\l - u)n du = nx B(z, n + 1).
о о
Применяя формулу (5.21), отсюда получаем
. Т(х)= lim nxB(x,n+l)= lim тгж-7 ' '"'/ г. (5.28)
П-+0О n-юо Х{Х + 1). . .{X + П)
8. Функция р н-> sin2 (/? является строго возрастающей в
промежутке 0, — и отображает его на отрезок [0,1]. Производя в интеграле,
которым выражается бета-функция, замену переменной
интегрирования по формуле t = sin2 у>, получим равенство
тг/2
В(я, у) = 2 / sin2*"1 p cos23'"1 у> dtp. (5.29)

§ 5. Функции, предст&вимые интегралами 411
Полагая в последнем интеграле х = у = -, получим В
Отсюда с учетом (5.24)
(й) - '•
7Г =
»г
/r(i).
Так как Г(1) = 1, то мы получим, что
r(|)-V*
(5.30)
Применяя равенство (5.30) и представление гамма-функции в виде
предела равенством (5.28), можно получить новое доказательство
формулы Валлиса (глава 11, п. 5.3, равенство (5.16)), дающей
представление числа 7Г в виде некоторого предела.
9. Произведя в интеграле
оо
dt
замену переменной интегрирования по формуле t = ullx, после простых
преобразований получим
Т(х) = 1 fe-ul" du.
В частности, полагая х = -, приходим к равенству
оо
Замечаем, что
J e"i2 dt= I e"i2 dt.
О -оо
Таким образом, мы получаем, что
оо
/ е-*2 dt = y/ir.
(5.31)
(5.32)

412
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
§ 6. Метод Лапласа построения асимптотических
представлений. Формула Стирлинга
В этом параграфе мы выведем некоторую общую формулу об
асимптотическом поведении функции, представленной интегралом, зависящим от
параметра, для больших значений параметра.
В приложениях математического анализа часто возникают функции,
допускающие представление вида
Ь
F(x) = J<p(t)[№]'dt,
a
где ф{{) > 0 для всех t £ (а,Ь). Явное выражение этого интеграла может
быть получено лишь в исключительных случаях, и, как правило, из него
трудно извлечь информацию качественного характера о строении функции
F(x). Между тем при изучении функции F(x) ее основные качественные
особенности есть именно то, что в первую очередь требуется узнать.
Решение различных задач, связанных с данной функцией, часто оказывается
невозможным без знания этих особенностей.
Здесь исследуется вопрос о поведении функции F(x) при х —> оо.
Основная идея метода, применяемого для этой цели, принадлежит Лапласу. В
качестве приложения общей формулы устанавливается формула Стирлинга об
асимптотическом поведении функции Т(х) при х —» оо.
6.1. Основная теорема об асимптотической оценке
интеграла
■ Теорема 6.1 (теорема Лапласа об асимптотической оценке
интеграла). Пусть ip и h есть функции, определенные на промежутке (а, Ь).
Для х € Ш положим
ь
JP(x)= /\p(t)exh^dt. (6.1)
а
Предположим, что выполнены следующие условия:
а) существует число р G Ш такое, что для любого х > р функция
t н-» <p(t)exh№ интегрируема по промежутку [а,Ь];
б) функция h принимает в промежутке (а, Ь) свое наибольшее
значение в некоторой точке т Е (а,Ь). При этом для любого отрезка

§ 6. Метод Лапласа. Формула Стирлинга 413
[РчЯ\ С [а,Ь], не содержащего точки г, точная верхняя граница
функции h на этом отрезке меньше h{r)\
в) существует 6 > О такое, что a < т — 6, т + S < Ь, функция h
принадлежит классу С2 в интервале (т — 6,т + <5), причем h"{r) Ф 0.
Функция <р непрерывна в точке г, причем (р(т) ф 0.
При этих условиях справедливо асимптотическое равенство
F(x) = ¥,(r)e^)Jf--^(l + o(l)) при х-оо. (6.2)
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Сначала приведем некоторые «наводящие» соображения. По определению,
ь
F(x) = J<p(t)<
xkW dt.
Преобразуем интеграл, вынося за знак интеграла множитель
(р(т)ех^т\ Положим 9(t) = Ц-\, g(t) = h(t) - Л(г). Тогда получим
F(x) = <f(r)exh^Fo(x), (6.3)
где
о
F0(x) = fe(t)eX9^dt
В силу равенства (б.З) доказательство теоремы сводится к
исследованию поведения функции Fo(x) при х —► оо.
В силу условий, налагаемых на функцию Л, имеем g(г) = 0, g(t) < О
при t ф т. Отсюда следует, что ехр[хд(т)] = 1.
При х —► оо имеем exp[xg(t)] —► 0 для всякого t ф т. Это наводит
на мысль, что «главный вклад» в асимптотику функции Fo(x) дается
интегралом по некоторому малому промежутку (т — 6,т + 6). Пусть
дано 6 > 0. Имеем
F0(x) = L(x) + M(x) + R(x), (6.4)
где
т+6 т-6
М(х)= I e(t)eX9^dt, L(x)= I 0{t)ex'V*dt,
т — 6 a
b
R(x)= I e(t)ex*Mdt.
T+6

414 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Далее, имеем д(т) = О, д'(т) = h'(r) = О и д"{т) = Л"(г) < О.
Положим h'{r) = —2А;2. Применяя формулу Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано (глава 4), мы можем написать:
g(t) = (-fc2 +«(*))(* -г)2,
где a(tf) —► 0 при / —> г. Отсюда следует, что если S достаточно мало,
то g(t) к -fc2(* - г)2 для < G (г - <S, r + 6).
Функция в непрерывна, причем в(т) = 1, и, следовательно, будем
иметь
0(t)ex'w к ехр
Это позволяет предположить, что
т+6
?Ш-а-т)>
М(х) « / exp[-a:fc2(f - г)2] Л.
В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования
по формуле и = (t — т)ку/х. Положим
Очевидно, А(ж) = О ( —7= ) ПРИ х ~"* °° и> в частности, А(ж) —► О
ЧУ*/
при ж —> оо. В результате получим
M(x)*t\(z) I е~и* du. (6.6)
-6/А
При ж —► оо интеграл в правой части (6.6) стремится к пределу,
равному
е и du = у/к,
откуда следует, что
м(ж) = у^М(1+о(1)) при х""°°-

§ 6. Метод Лапласа,. Формула Стирлинга
415
В силу условий, которым удовлетворяет функция /i, имеем еХ9^ <
< е~Х1 при t $ (т — 6,т + 6) для х > О, где 7 > 0. Это дает основание*
считать, что каждый из интегралов, определяющих L(x) и R(x), есть
величина порядка 0(е"Х7) = о(1/у/х) при ж —> оо. Отсюда имеем
/ —27Г
F0(^) = Дх) + М(ж) + Л(ж) = J-^—(1 + о(1)) при а->оо,
откуда, очевидно, следует (6.1).
Проделаем дополнительные рассуждения, необходимые для того,
чтобы получить точное доказательство теоремы 6.1. Далее
используются обозначения, введенные выше. Сначала выберем 6 > 0. По
формуле (6.1) имеем
0(t)exgW = 0(0 exp[-zjfc2(* - г)2 + aa(0(< " О2]-
При tf —► 0 имеем а(0 —> 0 и 0(0 —> 1. Выберем й > 0 из условия:
к2
|0(О| < 2 и |а(0| < -х- при |< - г| < <5. Тогда при |< - г| < <5 и х > 0
будем иметь
х*(<) < -xfc2(* - г)2 + f£(t - г)2 = ~(t- г)2-
Отсюда получаем, что если \t — г| < 6 и ж > 0, то
|^)е^)|<2ехр(-^-г)2).
Докажем, что при х —> оо
м(ж)=v5-(1+о(1))-
В интеграле, которым выражается М(я), произведем замену
переменной интегрирования по формуле t — т = Aw, где А определено
равенством (6.5), А = у т—. В результате получим
М(я) = А / 0(г + Хи) ехр[хд(т + Хи)] du.

416
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Подынтегральную функцию обозначим символом V(x, u). Доопределим
с
ее, полагая V(x,u) = 0 при \и\ > —•
Л
с
Пусть \и\ < y и t = т +Лгх. Тогда \t - т\ < S и
л
\V(x,u)\ = \e(t)e'°M\ < 2ехр (~^А2 г*2) = 2ехр (^) . (6.7)
С
Это неравенство, очевидно, выполняется также и при \и\ > —•
Имеем, очевидно, для любого и € Ш
lim V(x1u) = e-U\ (6.8)
ж—»-оо
Функция 2ехр ( —— ) интегрируема по промежутку [—оо,оо].
Покажем, что из того, что для V(xyu) выполняются условия (6.7)
и (6.8), уже следует, что
оо оо
Um [ V(x,u)du= f e-u2du. (6.9)
x-юо J J
— oo —oo
Чтобы установить равенство (6.9), используя средства, имеющиеся
2
в нашем распоряжении, мы должны показать, что V(x,u) —► е~и
равномерно на всяком промежутке [—L,L]. Зададим произвольно е > 0.
Пусть 7/ > 0 таково, что если \t — т\ < т/, то
1*(*)-*(г)|<|, |ехр[£а«(*)]-1|<|-
При х —► оо имеем Х(х) —► 0. Пусть £ > 0 таково, что LX(x) < rj при
х > f. Для таких ж для всякого w G [—£, £], очевидно, будем иметь
\0(t)exgW - е-**2(*-г)2| < \0(t) - l\ex°W + \exg^ - е-х*2^"т>2| =
= \6(t) - l\exgW + е-хк2(*-т)2\еха№-т)2 - 1|,
где, как обычно, t = т + \и. При х > f и \и\ < L имеем \t — т\ < г)
и, значит, |0(/) - 1| < -, а |еха^)(<-^) - 1| < - Мы получаем, таким
It £i
образом, что при х > £ выполняется неравенство
\V(x,u) - е-"2| = |0(<)е*'<*> - е-*^-г)а| < §е*«<*> + ^е"**2^2 < е.

§ 6. Метод Лапласа,, Формула, Стирлинга, 417
Докажем, что L(x) = 0[е~~Х7] и R(x) = 0[e~~X7] при ж —► оо для
некоторого 7 > 0. В силу условий, налагаемых на функцию /i,
существует 7 > 0 такое, что если \t — т\ > й, то g(t) < —7- Покажем, что
это 7 и есть искомое. В предположении, что х > 0, получаем
1ВД1 =
т-6
Г-6
/ e(t)eX9^dt\ -
/ e(*-*M%*9M0(t)dt\ < е-(х-р)-< I epgM\9{t)\dt,
откуда следует, что \L(x)\ < С\е Х1 при каждом х > р, где С\ < оо
постоянная,
d =ерч I ер9^\вЦ)\
dt.
Аналогично устанавливается, что \R(x)\ < ^е"17 при х > р, где Сг <
< оо — постоянная.
Полученные неравенства доказывают, что £(ж) = 0[е""Х7] и i2(z) =
= 0[е""Х7] при х —► оо. Теорема доказана. ■
6.2. Формула Стирлинга для приближенного вычисления
Т(х + D-ФУНКЦИИ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ АРГУМЕНТА
Согласно определению гамма-функции имеем
оо оо
Г(я? + 1)= [гхе~*(И= [ exp{xlnt-t}dt.
о о
Интеграл справа преобразуем так, чтобы получить интеграл, к
которому можно было бы применить теорему 6.1. Имеем
<хе~* = exp{zlntf - *}.
х
Производная функции xlnt — t равна 1. Нетрудно видеть, что эта
производная положительна при t < я, обращается в нуль при t = х
и отрицательна при t < х. Отсюда следует, что t = x есть точка
максимума функции t н+ zlntf — t.

418
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Произведем сначала замену переменной t—х = и с тем, чтобы после
замены переменной точка максимума функции, стоящей в
рассматриваемом интеграле под знаком ехр, сместилась в точку 0. Получим
оо
Т(х + 1)= f(u + x)xe-u-*du.
— X
В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования
по формуле и = tx. Получим
оо
Т(х + 1) = х I хх(1 + t)xe~ix-x dt =
-i
оо оо
f(l + t)xe-ixdt = x(-Y f exp{x[ln(l + t)-t]}dt. (6.10)
-i
К внутреннему интегралу применим теорему 6.1, полагая в ней
tp(t) = 1 и h(t) = ln(l + t) — t. Будем иметь
fc'(t) = -i--l и h"(t) = — ]
1 + t W (1 + 02'
Интеграл в правой части равенства (6.10) сходится при любом х > 0,
так что условие а) теоремы 6.1 в данном случае выполняется.
Функция h является строго возрастающей на промежутке (—1,0)
и строго убывающей на промежутке (0,оо). Отсюда ясно, что 0 есть
точка максимума функции h и на всяком промежутке [а,/3] С (-1,оо),
не содержащем точку г = 0, точная верхняя граница функции h будет
меньше, чем /i(0) = —1. Это означает, что условие б) теоремы 6.1
в нашем случае также выполнено.
Пусть 6 таково, что 0 < 8 < 1. В интервале (—5,5) функция h
принадлежит классу С°°. Мы видим, таким образом, что условие в)
теоремы 6.1 также выполняется.
Полагая в формуле (6.2) у> = 1 и h(t) = ln(l + i) — t и принимая во
внимание, что в данном случае (р(т) = 1, a h(r) = /i(0) = 0, получим,
что справедливо следующее асимптотическое соотношение:
оо
/ exp{z[ln(l + t) - t]} dt = J—(I + о (1)) при х -> оо.

§ 7. Теоремы о приближении функций полиномами 419
Отсюда
Г(а + 1)=(-) л/2^с(1 + о(1)) при х —> сх).
Если ж = п 6 N, то Г(я + 1) = п!. Следовательно, мы получаем
соотношение
п\ = (-) \/2тгп(1 + о(1)) при п->оо. (6.11)
Формула (6.11) носит название формулы Стирлинга. Она
позволяет приближенно вычислить функцию Т(х + 1) при больших значениях
аргумента.
§ 7. Теоремы о приближении функций
полиномами
Во многих вопросах математического анализа и его приложений
возникает необходимость в указании способа для вычисления значений той или
иной конкретной функции с заданной степенью точности. Один из путей
достижения этой цели состоит в построения функций, более удобных с точки
зрения вычислений и таких, что их значения мало отличаются от значений
данной функции. В качестве таких функций, более удобных для вычислений,
можно брать, например, обычные полиномы. Постановка задачи о
приближении функции полиномами принадлежит российскому математику П. Л. Че-
бышеву.
Пусть f есть непрерывная функция одной переменной, определенная на
промежутке [a,b] множества К. Пусть Р есть произвольный полином
степени не выше п. Обозначим через Tn(f) точную нижнюю границу величины
||/ — -Р||ьоо([а,Ь]) на множестве всех полиномов степени не выше п. Как было
показано П. Л. Чебышевым, среди полиномов степени не выше п существует
такой, для которого
\\f-P\\L00([a,b]) = Tn(f).
Такой полином — единственный. П. Л. Чебышевым были указаны также
необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять полином,
чтобы для него выполнялось последнее равенство.
Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция для
того, чтобы величина Tn(f) стремилась к нулю при п —► сю?
Или иначе: какова должна быть функция /, чтобы существовала
последовательность полиномов, равномерно сходящаяся к ней на промежутке [a,b]?

420
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Так как всякий полином есть непрерывная функция, то предел
равномерно сходящейся последовательности полиномов есть непрерывная
функция. Таким образом, мы получаем необходимое условие для того, чтобы
функция f была пределом равномерно сходящейся к ней последовательности
многочленов: она должна быть непрерывной. Как показал К. Вейерштрасс,
это условие также и достаточное: для всякой непрерывной функции
f: [а, Ь] —» R существует последовательность полиномов, равномерно
сходящаяся к ней.
Названные результаты были получены в середине XIX века. Они дали
начало новому направлению математического анализа, которое имеет как
теоретическое, так и прикладное значение.
Теорема Вейерщтрасса о равномерном приближении непрерывных
функций полиномами имеет различные аналоги и обобщения. Здесь мы докажем
некоторую общую теорему, частным случаем которой являются теорема Вей-
ерштрасса, а также и другие результаты.
7.1. Теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении
функций
Пусть (М,р) есть произвольное метрическое пространство и F —
некоторое множество вещественных функций, определенных на М.
Будем говорить, что множество функций & отделяет точки
пространства М, если для любых двух различных точек х\, x2
пространства М можно указать функцию / Е F такую, что f{x\) ф f(x2).
■ Теорема 7.1 (теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении
функций). Пусть (М, р) есть компактное метрическое пространство,
& — некоторое множество непрерывных вещественных функций,
определенных на М. Пусть & удовлетворяет следующим условиям:
, 1) сумма и произведение любых двух функций, принадлежащих &',
есть функция из &\
2) функции, постоянные на М, являются элементами &\
3) множество функций & отделяет точки пространства М.
Тогда для всякой непрерывной функции f: М —> R, для любого е > 0
можно указать функцию <р Е & такую, что ||/ — ^pWl^M) < £•
Доказательство. Пусть выполнены все условия этой теоремы.
Доказательство осуществляется в несколько шагов.
А. Совокупность всех функций /: М —► Е, каждая из которых
является пределом равномерно _сходящейся последовательности
функций из &', обозначим символом &'. Требуется доказать, что ^(М) = &'.
Очевидно, & С & и линейная комбинация любого конечного числа
функций из & также является элементом &'.

§ 7. Теоремы о приближении функций полиномами 421
Произведение двух функций из & есть функция,
принадлежащая £.
Предел всякой равномерно сходящейся последовательности
функций из & принадлежит множеству функций ^\ Действительно, пусть
/ такова, что для нее существует последовательность (/n)n€N
функций из ^", равномерно сходящаяся к /. Согласно определению
функций из & при каждом n G N найдется функция (pn G & такая, что
\Wn - /nllLeo(Af) < -• Тогда
п
ll/-¥>n|Ueo(Af) < ll/-/n|Uee(Af) + ll/n-VnlUeo(Af) < ||/-/п|иво(М) +
1
га
и, значит, ||/ - ^nlUoo(M) -> 0 при п -+ оо, откуда следует, что f e &.
В. Докажем, что для всякой функции / € ^ функция |/|
принадлежит ^\ Пусть / Е ^\ Так как пространство М компактно, то в силу
теоремы Вейерштрасса (глава 9, теорема 1.24) функция / ограничена.
Пусть L = ||/||l(oo). Для всякого у Е [—1,1] имеем
Ы = \/у1=л/1-(1-2/2)-
Как показано выше (см. п. 3.2.3 этой главы), для всех t E [—1,1]
имеет место равенство
Л"! -1 -* * f2 Ь3 f3 l-3...(2n-3)
V1 *_1 2* 2-4* 2-4-6* 2-4-6...2n * •'•• {1Л)
В силу второй теоремы Абеля для степенного ряда (теорема 3.2
данной главы) сходимость при этом равномерна в промежутке [0,1].
Обозначим через Рп п-ю частную сумму ряда (7.1). Пусть
An= sup |л/П-7-Ря(<)|-
0«<1
При п —► оо имеем Ап —► 0. При каждом п для всех х € М имеет место
равенство
Д*)2'
1-
Функция
\f(x)\-LPn
Фп(х) = ХР„
L2
<L\n.
(7.2)
1-
/(f)!
i2

422 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
принадлежит множеству &. Из неравенства (7.2) следует, что при
п —► оо функции Фп сходятся равномерно_к функции |/|. Тем самым
доказано, что функция |/| принадлежит &.
C. Покажем, что для любых двух функций /, р Е & также и
функции и и г?, определенные условиями u(x) = min{f(x),g(x)}, v(x) =
= тах{/(ж),р(ж)}, принадлежат ^\ Это следует из того, что имеют
место равенства
mm{f(x)yg(x)} = -(/(*) + 5(я) - |/(х) - <?(я)|),
max{/(z), <?(*)} = !(/(*) + <?(*) + |/(*) - <?(z)|).
В силу доказанного в п. В функция |/ — g\ Е «^. Отсюда в силу п. А
заключаем, что и,г> Е ^.
D. Для любых двух различных точек a?i, x<i Е М и любой пары
вещественных чисел а и /3 найдется функция f € & такая, что /(zi) = a,
a /(#2) = /3. Действительно, пусть xi'€ М и я2 £ Л^5 причем а^ ^ #2-
Тогда согласно условию теоремы найдется функция д £ ^ такая, что
9(xi) Ф 9(х2)- Множество <^, по условию, содержит функции,
тождественно постоянные на М. Отсюда вытекает, что функция
;(,) = °^,Н„)М'Н""
принадлежит 3'. Эта функция, как нетрудно видеть, и есть искомая.
E. Для всякой непрерывной функции /, определенной на
пространстве М, для всякой точки х0 по любому е > 0 можно указать функцию
<р Е & такую, что (р(хо) = /(#о) и ip(x) < f(x) + е для всех х Е М.
Действительно, зададим произвольно е > 0. Для всякой точки z Е М
найдется функция hz Е & такая, что hz(x0) = /(#о) и /iz(z) = /(2).
Существование такой функции очевидным образом следует из
доказанного в п. D. Так как функция hz непрерывна, то найдется Sz > 0 такое,
что если p(x,z) < 82, то hz(x) — f(x) < е. Положим V(z) = B{x,8z).
Для всех х Е V(z) выполняется неравенство h(x) < f(x) + е.
Имеем z Е V(z), и, значит, множества V(z) образуют открытое
покрытие пространства М. По теореме Бореля (теорема 2.4 главы 9)
найдется такая конечная система точек ^i,^,...,^, что множества
V(z{) покрывают пространство М.
Функция (р = mjnl/i^, hZ2,..., hZm } в силу доказанного в п. С
принадлежит классу &. Действительно, для всякого % = 1,2,..., га имеем

§ 7. Теоремы о приближении функций полиномами 423
hzi(xo) = Дяо)5 откуда следует, что (р(х0) = f{x). Пусть х е М
произвольно. Тогда найдется г такое, что х G V{z{). Имеем
<p(*)<hXi(*)<f(x) + e,
так что функция <р и есть искомая.
F. Для всякой точки у G М найдется функция (ру G & такая, что
<ру(у) = f(y) и у>у(а?) < /(я) + £ Для всех х € М. Существование такой
функции <£у вытекает из доказанного в п. Е.
Пусть U(y) есть окрестность точки у такая, что для всех х G U(y)
выполняется неравенство <ру(х) — f(x) > —е, т. е.
¥>»(*) > /(&)-£
для всех ж G £f(y). Имеем у G J7(y), так что семейство открытых
множеств U(y)9 у G М, образует открытое покрытие пространства М.
Применяя теорему Бореля (теорема 2.4 главы 9), получим, что
найдется конечная система множеств U(yj), j = 1,2,..., fc, которая
покрывает пространство М. Получим
^(я?) = maxfa^ (я), ¥>*а(я), • • •>V»* (&)•
В силу доказанного в п. С функция -0 принадлежит классу функций ^\
Возьмем произвольно точку х G М. Имеем <pyi(x) < f(x) + e при
каждом г = 1,2,. >., fc, откуда следует, что ^(я) < f(x) + e для любого
х G М. Так как множества i7(yj) покрывают пространство М, то
найдется точка у;* такая, что х G U(yj). Тогда будем иметь
Ф(х) >¥>*■(&) > /(*)-£•
Таким образом, нами построена функция ф G ^ такая, что
f(z)-e< ф(х)< f(x) + e
для всех ж G М. В силу произвольности £ > 0 из доказанного следует,
что существует последовательность функций из ^, равномерно
сходящаяся к функции /. В силу утверждения п. А доказательства отсюда
следует, что / G #. Теорема доказана. ■

424
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
7.2. Приложения теоремы Стоуна — Вейерштрасса
Приведем некоторые следствия теоремы Стоуна —
Вейерштрасса.
Пусть & есть совокупность всех полиномов одной переменной,
определенных на произвольном отрезке [а,Ь] множества Е. Промежуток
[а, Ь], рассматриваемый как подпространство Е, представляет
компактное метрическое пространство. Функция, тождественно постоянная на
[а,Ь], есть полином нулевой степени. Для любых двух различных
точек ж,у € [а,Ъ] существует функция ip E & такая, что ц>(х) ф 4>{у),
а именно, функция (р(х) = х удовлетворяет этому условию.
Линейная комбинация двух полиномов также есть полином.
Произведение двух полиномов является полиномом.
Таким образом, мы видим, что для множества функций & в
рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы 7.1. Это
позволяет заключить, что справедливо следующее утверждение.
■ Теорема 7.2 (классическая теорема Вейерштрасса о
приближении полиномами для функций одной переменной). Пусть дал отрезок
[а, Ь] С Е и f: [а, Ь] —► Е есть непрерывная функция. Тогда, для всякого
е > О существует полином Р такой, что для всех х Е [а, Ь] выполняется
нера,венство \f(x) — Р(х)\ < е.
Доказательство. Положим М = [а,Ь], и пусть & есть класс
функций, каждая из которых есть ограничение на отрезке [a, ft]
некоторого полинома. Как показано выше, при таком выборе М и &
все условия теоремы 7.1 выполняются. Отсюда, очевидно, и вытекает
утверждение доказываемой теоремы. ■
■ Теорема 7.3 (теорема Вейерштрасса о приближении полиномами
функций многих переменных). Пусть А есть произвольное компактное
множество в простршстве Шп и f: А —► Е — непрерывная функция.
Тогда для всякого е > О существует полином п переменных Р такой,
что спра,ведливо нера,венство ||/ — Р\\ьоо(А) < £•
Доказательство. Данное утверждение есть следствие
теоремы 7.1. В качестве компактного пространства возьмем множество А,
рассматриваемое как подпространство Еп. Пусть & — множество всех
функций, каждая из которых есть ограничение на множестве А
некоторого полинома п переменных.
Множество функций & в рассматриваемом случае удовлетворяет
всем условиям теоремы 7.1.
Действительно, произведение двух полиномов п переменных также
является полиномом, откуда следует, что условие 1 теоремы 7.1 в
данном случае выполнено.

§ 7. Теоремы о приближении функций полиномами 425
Функция, тождественно постоянная в Кп, есть полином, откуда
вытекает, что и условие 2 теоремы 7.1 в данном случае выполняется.
Пусть р = (pi,P2,...,Pn) и q = (9i,92,.-.,?n) — Две различные
точки множества А. Так как эти точки различны, то найдется номер г
такой, что координаты с номером г точек р ж q различны, р, ф qi.
Функция х ь-> Х{ является полиномом и, как очевидно, разделяет точки
р и <?, т. е. принимает в этих точках различные значения. Таким
образом, установлено, что и условие 3 теоремы 7.1 в рассматриваемом
случае выполняется. Теорема доказана. ■
Напомним, что функция /: R —> R называется периодической, если
существует число Т ф О такое, что для всякого х Е К выполняется
равенство f(x + Т) = /(ж). Например, функции х \-> sin nx и ж ь-> cos rcz
являются периодическими с периодом 27г.
Функция Г: М —> К называется тригонометрическим полиномом
степени не выше п, если она может быть представлена в виде
п
Т(х) = — + ХДа*; cos fcz + bk sin fcz),
где dk и 6^, fc = 1,2,..., n, — постоянные.
Если a\ + Ь2п ф 0, то говорят, что степень полинома Г равна п.
Всякий тригонометрический полином представляет собой
периодическую функцию с периодом, равным 27г. Периодические функции
оказывается удобным приближать тригонометрическими полиномами.
Аналог теоремы Вейерштрасса для периодических функций
также может быть получен с помощью теоремы Стоуна —
Вейерштрасса.
ш Теорема 7.4. Пусть /: Е —► R есть непрерывная
2-к-периодическая функция. Для всякого е > О найдется тригонометрический
полином Р такой, что ||/ - P\\loo([-*9*]) < £•
Доказательство. Чтобы применить теорему Стоуна —
Вейерштрасса, в качестве пространства М, очевидно, следует взять отрезок
[—7г,7г]. В качестве & следует взять совокупность всех
тригонометрических полиномов. При этом, однако, возникает трудность, связанная
с тем обстоятельством, что всякий тригонометрический полином в
точках —7Г и 7Г принимает различные значения и, следовательно, множество
тригонометрических полиномов не разделяет эти точки.
Проделаем некоторые построения, позволяющие обойти
возникающую трудность.
Рассмотрим отображение (: t G (—7г,7г] н-» (costf,sin/). Образ
отрезка (—7г,7г] относительно отображения £ есть окружность
§ = {(х,у)еЕ2|х2 + у2 = 1}.

426 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
Пусть So есть множество, получаемое из § исключением точки b =
= С(тг) = (-1,0).
Отображение <р: (t,r) Е (—7г,7г) х (0,оо) ь-> (г costf,rsin/) есть
диффеоморфизм. (Это есть полярная система координат на плоскости.)
Следовательно, обратное ему отображение (р~г непрерывно.
Ограничение отображения у?""1 на множестве §о> очевидно, совпадает с
отображением С""1. Отображение ip"1 непрерывно, так как <р есть
диффеоморфизм и, значит, С""1 непрерывно на множестве §о-
Предположим, что /: Е —► Е есть непрерывная 27г-периодическая
функция. Тогда имеем /(—7г) = /(7г). Построим по / функцию F: S —►
-> Е, полагая F(b) = /(-тг) = /(тг) и F(x) = /[С_1(х)] Для х Ф ь-
Полученная так функция F непрерывна в каждой точке х Е So- Легко
проверяется, что она непрерывна также и в точке b = (—1,0). Ввиду
элементарности проверку этого мы предоставляем читателю.
Таким образом, на окружности § определена непрерывная
вещественная функция F. Из определения непосредственно следует, что для
всякого t Е [—тг,тг] выполняется равенство /(/) = F[C(tf)].
Множество § компактно, и, значит, согласно теореме 7.3 для
всякого е > О найдется полином Р(х,у) от двух переменных х и у такой,
что
V{xE§} |F(x)-P(x)|<e. (7.3)
Зададим произвольное е > 0 и найдем по нему полином Р такой,
что для него выполняется условие (7.3). Полагая х = £(0> где t Е
Е [—тг,7г], получим, что для всех t Е [—7г,7г] выполняется неравенство
|/(<) - P(cost,smt)\ = \F[C(t)] - Р[ф))\ < е. (7.4)
Функция P(sintf,cos/) является тригонометрическим полиномом. Для
этого достаточно заметить, что произведение вида sinm tcosk t, где
m > 0 и fc > О — целые числа, может быть представлено как сумма
выражений вида dj cos jt + bj sin jt. Такое представление можно получить,
используя формулы Эйлера cos ж = — , sin ж = — .
Li С»Ъ
Так как функция \f — P\ непрерывна на отрезке [-тг, тг], то согласно
теореме Вейерштрасса она принимает в некоторой точке to Е [—7г,7г]
свое наибольшее значение. Для всех t E [—тг,тг] выполняется
неравенство |/(/) - P(t)\ < \f(to) - -Р(*о)|- В силу 27г-периодичности функций
/ и Р это неравенство выполняется для всех t E Е, и мы,
следовательно, получаем, что ||/ - РЦь^^ж) < |/(*о) - P(to)\ < е. Так как е > О
произвольно, то теорема доказана. ■

Задачи
427
Задачи
12.1. Пусть даны множество М и функция /: М —► R, и пусть (£<)<€Т —
семейство подмножеств М, Е = (J jE7<. Доказать, что имеет место равенство
гет
ШЬоо(Е)=*ЪР\\1\\Ьоо№У
12.2. Для ж £ R положим /п(я) = +* $п ■ Доказать, что при всяком ж £ К.
существует предел lim /п(я) = /о(я)- Определить функцию /о. Доказать,
П—ЮО
что fn =3 /о на всяком сегменте [а, 6] С R, не содержащем точек — 1 и 1.
Будет ли равномерной сходимость fn(x) к /о(ж) на всем множестве R?
12.3. Для ж £ R и n £ N пусть /n(x) = thnx = §}^§ = g!=|Z21B Доказать,
что lim fn(x) = sgna: при всяком ж £ R. Доказать, что, каково бы ни было
п—*оо
6 > 0, /п(я) ^5 sgnx на множестве R$ = (—оо, —8] U [6,оо). Будет ли
последовательность (/n), n = 1,2,..., сходиться к функции х ь-> sgnx равномерно
на всем множестве R?
12.4. При каких a > 0 и /3 > 0 сходится ряд г(п+Дг(п+^ ^
12.5. Степенной ряд [cn2n]n£N имеет радиус сходимости Я = 1, и cj > С2 >
> ••■ > сп > ..., lim cn = 0. Доказать, что тогда ряд [cn*n]neN сходится
п—юо
в каждой точке z £ С такой, что \z\ = 1, кроме, может быть, точки 2 = 1.
12.6. Определить радиус сходимости ряда ( sin -~ 1 zn
простое число.
12.7. Найти радиус сходимости ряда (tg-jr) *п~"
, где р > 2
n£N
простое число.
Г / \п -.1
, где р > 2
L\ ' / Jn£r"
простое число.
12.8. Дан ряд
n£N
1
l+n2s
. При каких значениях х > 0 этот ряд сходится?
ln£N
Указать, для каких сегментов этот ряд сходится равномерно.
12.9. Исследовать, при каких комплексных z сходится ряд [yqppr] wgN-
12.10. Выяснить область сходимости ряда
I+snrJn=oli,2f..:
12.11. Определить, при каких а и /3 сходится ряд [nasinn^7r]n€^.
12.12. При каких а1? «2,..., %, А, /32,..., /Зто сходится ряд с общим членом
_ __ Г(я+а1)Г(я+а2)^Г(п+ато)9
Жя " Г(п+Л)Г(п+Л)...Г(п+^т) "
тг/2
12.13. Исследовать сходимость ряда [ж£] eN> а > 0, хп = / (sin#)n dx.
х
12.14. Исследовать сходимость ряда [хя]
- / Т& dx* При каких
о
а > 0 сходится ряд [^n]n€N?

сходится равномерно на всяком
428 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
2п
12.15. Пусть fn: х ь-* х $. Исследовать последовательность (/n)n£N на
равномерную сходимость в отрезке [—1,1].
12.16. Доказать, что ряд [(-1)та^И
сегменте [а, 6] С R. Будет ли он абсолютно сходящимся?
Пусть X, Y u Z есть произвольные банаховы пространства.
Отображение и: X X Y —► Z называется билинейной функцией, если оно
удовлетворяет следующему условию: А) для любых векторов ffi,ff2 Е X, |/ Е Y
и любых чисел а,/3 £ К имеет место равенство и(ах\+Рх2,у) = аи(х\,у) +
+/3и(х2,у), и для любых векторов х £ X, yi,2/2 £ Y u 'чисел а,/3 £ К имеем
u(x,ayi + (Зу2) = ati(ay,yi) + /?ti(x,y2).
Билинейная функция и: X X Y —* Z называется ограниченной, если она
удовлетворяет следующему условию: В) существует постоянная L < оо
такая, что для любых векторов ж £ X и у £ Y выполняется неравенство
\\u(x,y)\\z<L\\xMy\\Y.
12.17. Пусть и: X X Y —► Z есть ограниченная билинейная функция.
Доказать, что среди постоянных L, для которых выполняется неравенство
условия В, существует наименьшая. (Наименьшая из таких постоянных
называется нормой билинейной функции и и обозначается символом ||и||.)
12.18. Доказать следующий абстрактный аналог признака Дирихле. Пусть
даны банаховы пространства X, Y и Z и ограниченная билинейная функция
и: X X Y —» Z. Пусть (tfn)n€N есть последовательность с ограниченной вариа-
оо
цией векторов пространства X (т. е. сумма £) ||^n-^n+lll < °°)> {Уп)пеМ —
71 = 1
последовательность векторов пространства Y. Тогда если lim хп = 0 и
последовательность
п = 1,2,..., является ограниченной, то ряд
|*=1 I _
"(ЖЬ У\) + w(^2» У2) Н Ь и(жп, Уп) + ... в пространстве Z сходится.
12.19. Функция /: [-1,1] —*• К дифференцируема в точке х = 0 и /'(0) — 0.
Положим /п(я) = n[f(x/n) -/(0)]. Доказать, что fn =3 0 в [-1,1] при п —* оо.
12.20. Дана функция п переменных f:U—> Em, где U — открытое
множество в Кп, а — точка множества U и 6 > 0 таково, что замкнутый шар
В(а>6) содержится в множестве U. Доказать, что линейное отображение
L: Шп —► Кт является дифференциалом функции / в точке а в том и только
в том случае, если отношение j[f(a + hX) - /(a)] при h —* 0 сходится к L(X)
равномерно на шаре В(а}6).
12.21. Даны множество А и последовательности функций (/n: A —► Н&)П£1Ч>
(gn: A —* R)n£N, равномерно сходящиеся на А при п —* оо к функциям
/о: А —> Ш и до*. А —► К соответственно. Доказать, что: a) min{/n,<7n} ^
=3 min{/o,0o} на А при п —► оо; б) f% + дп =4 /q + £о на А ПРИ « —► оо;
в) fn • 9п =3 /о • £0 на Л при п —* оо.
12.22. Даны множество Л и последовательность функций (/п: -А —* K)neN>
равномерно сходящаяся при п —► оо к функции /о: А —► К. Доказать, что
inf /п(ж) —► inf /о(ж), sup /n(a?) —► sup /о(ж) при п -» оо.

!
Задачи 429
12.23. Функции (/п: [а, 6] —► R)n£N непрерывны, и /п =3 / на (а, 6) при
п —► оо. Доказать, что существует непрерывная функция F: [а, 6] —> К. такая,
что F|(a>6) = / и /n(a) -+ F(a), /n(6) -> F(6) при n -+ оо.
12.24. Пусть /: [a, 6] —► R — непрерывная функция. Обозначим через /п(я)
точную нижнюю границу / на множестве \х — ~,ж + ^Ч П [а,6]. Доказать,
что функция /п непрерывна и /п =5 / на [а, 6] при п —► оо.
12.25. Пусть (fn: А —* R)n£N — последовательность функций такая, что
fn =3 /о на А при п —► оо, F: R —► R — равномерно непрерывная функция.
Доказать, что F о /n =t F о /о на Л при п —► оо.
12.26. Функции /п: [—1,1] —*■ R непрерывны в точке х = 0, и /п =3 /о
на [—1,1] при п —► оо. Доказать, что fn(xn) —► /о(0) для всякой
последовательности (tfn)neN такои» что жп —► 0 при п —► оо.
12.27. Функции /n : [a, 6] —► R сходятся поточечно к функции /о : [а, 6] —► R.
Доказать, что если fn все дифференцируемы на [а, 6] и |/п(я)| £ М при всех
n G N, х G [а, 6], то fn z3 /о на [а, 6] при п —> оо.
12.28. Пусть (/n : R —► R)n£N — последовательность неотрицательных
непрерывных функций, поточечно сходящаяся к непрерывной функции /о: R —*
—► R. Доказать, что если последовательность fn(x) возрастающая при
каждом х и lim fn(x) = lim /п(я) = 0 при каждом п, то fn z^ /о на R.
ж—► — оо ж—»-+оо
12.29. Пусть А есть непустое компактное множество в метрическом
пространстве (М, р). Предположим, что последовательность непрерывных
функций (fn: А —» R)n€N такова, что для всякой сходящейся последовательности
(ffn)n€N точек множества Л существует конечный предел lim /n(^n)- До-
71—*00
казать, что тогда последовательность функций (/n)nGN является равномерно
сходящейся на множестве А.
12.30. Дано число a > 1. Определим последовательность функций (fu)u£N
следующим образом.
Для х G [0,1] полагаем fi(x) = fzy» и Для произвольного п для
ж G [an)an+ ] значение /i(ff) определяется равенством /i(#) = п + /(xa~"n).
При каждом г/ G N функция fv+\ определяется по fv по формуле fv+\ =
= ^/(х2). Доказать, что последовательность функций является
возрастающей и /i/(x) =5 loga х на промежутке [0, оо) при v —► оо.
12.31. Пусть Т и S — произвольные множества и Д = Т х 5 есть их прямое
произведение. Доказать, что если функции /: Г —» R и #: 5 —► R
суммируемы по множествам Т и S соответственно, то функция h(t>s) = f(t)g(s)
суммируема по множеству Д. При этом
2 мм) = (х>(о)(£<к*))-
12.32. Пусть X есть произвольное банахово пространство, 88S£(X, X) есть
множество ограниченных линейных отображений пространства X в себя,
Е — тождественное отображение пространства X в себя. Пусть степенной

430 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы
ряд [апхп]пеЦ) имеет радиус сходимости г > 0. Доказать, что для всякого
X G 39Sf(X,X) такого, что \\Х\\ < г, ряд
clqE + а\Х + а2Х + ... о>пХ +...
является сходящимся. (Хп определяется по индукции по правилам: X = X
и ХЛ+1 =1оГ = Го1при каждом n € N.)
12.33.. Пусть X — произвольная квадратная матрица порядка п. Для t € R
положим
ехр*Х = Я + *Х + ~Х2 + ... + ^Хп + ....
Доказать, что ряд сходится, каковы бы ни были X nt. Доказать, что
функция t н-* exptX дифференцируема для всех t G К, причем ее производная
Jj exptX = X[exptX] = [exptX]X.
Доказать, что для любых t,u £ К имеет место следующее равенство:
exp tX exp uX — exp (i + u)X.
12.34. Пусть М есть метрическое пространство. Для произвольного
множества А С М для любого г > 0 пусть В (А, г) есть объединение всех шаров
радиуса г, центры которых принадлежат А. Множество А С М назовем
ограниченным, если оно содержится в некотором шаре В (а, г).
Пусть Е\, 2?2 С М есть ограниченные множества. Обозначим символом
R(Ei)E2) точную нижнюю границу чисел г > 0 таких, что Е\ С В(Е2,г)
иЕ2СВ(Еъг).
Доказать, что величина R(E\, Е2), определенная так для всякой пары
ограниченных множеств пространства М, удовлетворяет аксиомам метрики
Ml, M2 и МЗ.
Доказать, что если Е\ и Е2 — замкнутые множества, то из равенства
R{E\,E2) = 0 следует, что Ei = jE72.
Доказать, что если М\ есть компактное метрическое пространство, то
множество &(М) всех замкнутых подмножеств М с метрикой Д,
определенной выше, также является компактным метрическим пространством.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(М,р), 16
Х(Мк>Рк), 18
В(а,г),18
В(о,г), 18
S(a, r), 18
Кп, 20
&{Е, X), 21
|зс|лг, 22
|М|, 22
ИМИ, 22
|х|,22
{х,у),23
Е2,24
Q(a, r), 24
Q(a,r),24
Jzf(X,Y),25
^Jzf(X,Y),26
lim /(я),
A(i)-.0,«6M
lim f(x), 28
А(л?)—*p
CXE, 60
C£, 60
^", 66
(X, У), 66
Jf, 66
5y, 67
/(<?), 98
*h(x), 120
яч(х), 120
P°, 143
dP, 143
a0P, 143
dM, 149
Тв(р), 151
CntgAf (p), 151
Sym», 184
T«, 184

432
Т£. 185
[*•e XW221
oo
]C xn9 221
nzrfc
Xk + xk+i +"••• + xn + ..., 221
X><, 252
Jf (T), 253
£ w<>253
X>,,253
T
oo oo
£ E«™.»>277
m=0 n=0
П *n, 280
Xi Ж2 2Cn
У0 + — ^— .... — .-.,292
У1 + У2 + + Уп
292
Г *nl°°
yo;—
L yn Ji
Ж1 Ж2 X
У1 + У2 + " * + Уп
— ..., 292
[-P
1Уп Ji
292
Loo(Af), 317
ll/IIWM), 317
Л =t /,322

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм Евклида нахождения
наибольшего общего делителя
двух целых чисел, 304
База топологического пространства,
68
Бета-функция, 405, 407, 410
Вектор, касательный в точке
множества, 151
— многообразия касательный,
155, 172
Вектор-функция, 126
Гамма-функция, 405, 407, 411
Гессиан, 190
Гиперповерхность координатная, 111
Гомеоморфизм дифференцируемый
класса Сг, 107
— пространств, 80
Градиент функции, 102, 138
Граница нижняя точная, 28
Диффеоморфизм, 134
— класса Сг, 107
Дифференцирование функций,
представимых несобственными
интегралами, 396
Дополнение множества, 40
Дробь цепная бесконечная, 292
(непрерывная), 289
Дробь цепная бесконечная, признак
сходимости Зейделя, 298
конечная, 292
периодическая бесконечная, 307
правильная бесконечная, 304
, те-е звено, 292
, значение, 294
, нулевое звено, 292
, подходящие дроби, 294
, скорость сходимости
последовательности подходящих
дробей, 306
, частные знаменатели, 292
, частные числители, 292
, члены те-го звена, 292
Задача об условном экстремуме, 168
Значение бесконечного произведения,
280
— гамма-функции, 409
— оценочной функции предельное,
28, 29
Изометрия пространств Шк х Шт
и R*+m каноническая, 24
Интеграл, зависящий от параметра,
386
Интегралы эйлеровы, 405
Интегрирование функций,
представимых несобственными
интегралами, 396

434
Интегрируемость функции на
замкнутых промежутках, 380
по замкнутому промежутку,
376
Интервал А;-мерный, 143
— гс-мерный, 24
Иррациональность квадратичная,
307
Класс гладкости Сг, 134
— специальных функций, 405
Компоненты вектор-функции, 126
Контингенция множества в
точке, 151
Координата радиальная, 115
— сферическая радиальная, 117
— угловая, 115
Координаты сферические угловые,
117
— точки,109
аффинные, 111
— естественные, 109
полярные, 114
сферические, 117
— цилиндрические, 115
Коэффициент сжатия отображения,
97
— степенного ряда, 354
Кривая координатная, 111, 115
Критерий Вейерштрасса
равномерной сходимости на
промежутке, 372
— замкнутости множества
в метрическом пространстве, 41
— интегрируемости интеграла
в точке, 379
— Коши — Больцано равномерной
сходимости, 325
— Коши — Больцано существования
конечного предела для
функций, 378
— Коши — Больцано сходимости
интеграла, 382
— равномерной сходимости
интеграла относительно
параметра, 401
Критерий суммируемости функции
по множеству, 257
— сходимости интеграла, 385
Круг сходимости степенного
ряда, 356
Куб, 25
—, длина ребра, 25
— замкнутый, 25
— открытый, 25, 134
Лагранжиан, 173
Лемма Абеля, 247
— о канторовской диагональной
конструкции, 48
локальном диффеоморфизме,
121
Лемниската Бернулли, 204
Мажоранта функциональной
последовательности, 402
Матрица Гессе функции в точке, 190
— диагональная, 182, 192
— единичная, 182
— кососимметрическая, 167
— линейного отображения, 26
— невырожденная, 191
— ортогональная, 166
— порядка п единичная, 166
—; симметрическая, 163
— симметрическая, 192
— транспонированная, 166
— треугольная верхняя, 184
нижняя, 185
— Якоби, 111, 120, 140
Метод Лапласа построения
асимптотических представлений,
412
— множителей Лагранжа, 173
— последовательных приближений,
92
— , оценка сходимости, 97
Метрика, 16
—, аксиома точности, 17
—, аксиомы, 16
—, неравенство треугольника, 17

435
Метрика нормированного векторного
пространства естественная, 36
—, порожденная нормой
пространства, 23
—, симметричность метрики, 17
Многообразие класса Сг, допустимая
локальная параметризация, 147
— fc-мерное класса Сг, 146, 169
— те-мерное с краем, 162
— элементарное, допустимая
параметризация, 146
Множество базисное относительно
оценочной функции, 29
— в метрическом пространстве
замкнутое, 41
открытое, 41
—, дискриминантное для полиномов
четвертой степени, 205
— компактное, лемма о непрерывном
образе, 43
— кососимметрических матриц
порядка п (подпространство
К»2), 167
— метрического пространства
компактное, 43
предкомпактное, 43
— ортогональных матриц
порядка те, 166
—, открытое относительно Е, 146
—, протяженное относительно
оценочной функции, 29
— симметрических квадратных
матриц порядка п, 184
— топологического пространства
открытое, 66
— уровня функции, 201
5(м, е)-множество, 268
Модуль непрерывности
отображения, 44
Мультииндеке п-мерный, 144
Непрерывность отображения
в точке, 75
Неравенство Коши — Буняковского,
23
— ломаной, 17
Неравенство четырехугольника, 17
Норма, 22
—, аксиомы, 22
— вектора, 22
— евклидова, 23
— линейного отображения, 26
— матрицы операторная, 27
— функции равномерная, 317
Область А;-мерная стандартная,
143, 152
— n-мерная класса Сг, 148
— сходимости степенного ряда, 354
Объединение множеств, 256
Овал Кассини, 200
Окрестность точки в множестве, 146
Отображение аффинное, 102, 111
, линейная часть, 102
— векторного пространства
линейное, 25
— класса I(q), 98
— линейное, 26
ограниченное, 26
, собственное значение
(характеристическое число), 177
, собственный вектор, 177
— метрических пространств
непрерывное, 34
— невырожденное, 154
— произвольного множества вКп
класса Сг, 144
— пространства изометрическое, 113
Rn аффинное, 111
— сжимающее, 94
Парабола, 206
Перестановка множества N, 267
— ряда, 267
Плоскость А:-мерная, 158
Поверхность второго порядка,
163, 165
— координатная, 115
— ^-мерная координатная, 110
Подпоследовательность
последовательности, 47

436
Подпространство метрического
пространства, 20
— топологического пространства, 67
Покрытие множества, 45
открытое, 46
Полином Тейлора порядка 2, 191
п функции одной
переменной, 358
— тригонометрический степени
не выше п, 425
Полуинтервал, внутренность, 143
—, краевые точки, 143
—, край, 143
— А;-мерный, 143
Последовательность двойная,
277, 278
— т-кратная, 279
— точек множества
фундаментальная, 59
— фундаментальная, 35
— частичных сумм функционального
ряда, 338
— частных сумм ряда, 221
— чисел Фибоначчи, 305
— членов ряда, 221
Правило дифференцирования
сложной функции, 393
— интегрирования неравенства, 381
— Лейбница дифференцирования
интеграла, зависящего
от параметра, 389
Предел, 28
— отображения, 34
со значениями в метрическом
пространстве, 32
— функции, 28
повторный, 328
— f(x) при Х(х) —► р, 28
Представление отображения
в системе координат, 125
Преобразование аффинное, 111
Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости, 371
— Даламбера сходимости ряда, 355
— Дирихле сходимости числового
ряда, 248
Признак Ермакова сходимости, 309
— Коши — Больцано существования
предела, 36
— Лейбница сходимости ряда, 299
— равномерной сходимости
интеграла мажорантный, 402
— сходимости ряда необходимый,
222
— условного экстремума функции,
170
Признаки сравнения
интегрируемости функций, 380
Принцип математической
индукции, 118
— сжимающих отображений, 95
Прогрессия геометрическая, 227
, знаменатель, 227
Произведение бесконечное, 280
расходящееся, 281
с комплексными
сомножителями, 285
сходящееся, 281
, частичное произведение, 280
— векторов скалярное, 23
Пространства гомеоморфные
(топологически эквивалентные),
80
— метрические, декартово
произведение, 18
, изометрические
преобразования, 18
, изометрия, 17
Пространство банахово, 36
— векторное, 20
нормированное, 22
полное, 36
ограниченных функций на
множестве, 319
— метрическое, 16
полное, 35
— со счетной базой, 69
— топологическое, 60, 66
, аксиома отделимости, 78
, компактное множество, 85
, непрерывное отображение, 76
, окрестность точки, 74

437
Пространство топологическое
отделимое (хаусдорфово), 78
, предел отображения, 78
Прямоугольник пространства Шп
координатный, 24
— те-мерный, 24
Радиус сходимости степенного
ряда, 355
Размерность пространства
квадратичных матриц
порядка те, 167
Ранг матрицы Якоби, 140
— отображения, 125
в точке, 122
— системы векторов, 124
функций,125
в точке, 123
Расстояние между точками, 16
— точки полярное, 114
Расходимость интегралов, 382
Ряд абсолютно сходящийся, 230
—, вторая теорема сравнения
для рядов, 237
— двойной, 277
—, коммутативно сходящийся, 267
— кратный, 277
— т-кратный, 278
— m-кратный сходящийся, 279
—, остаток, 223
—, оценки остаточного члена, 244
—, первая теорема сравнения для
числовых рядов, 235
—, признак Коши — Больцано
сходимости ряда, 229
—, признак Лейбница сходимости,
249
—, признак Раабе сходимости, 246
— расходящийся, 222
— с неотрицательными членами,
условие сходимости, 233
— со значениями в векторном
пространстве, 221
— сходящийся, 221
— Тейлора, 358
— функциональный, мажоранта, 340
Ряд функциональный, признак
Абеля равномерной сходимости,
344
, признак Дирихле равномерной
сходимости, 341
, сходящийся равномерно на
множестве, 339
— числовой вещественный, 221
Свойство локальности предела, 31
Сегмент те-мерный, 24
Символ Кронекера, 112
Система векторов ортонормальная,
112
— координат аффинная, 111
, базисные векторы, 112
в Шп естественная, 109
в те-мерном евклидовом
пространстве, декартова
ортогональная, 112
криволинейная, 101
, область определения, 109
полярная, 113
, область определения, 114
сферическая, 117
, область значений, 117
, область определения, 117
цилиндрическая, 115
, область значений, 116, 109
— уравнений и неравенство, 159
— функций, функционально
зависимая в окрестности
точки, 136
, функционально независимая
в окрестности точки, 137
Сомножители бесконечного
произведения, 280
Соответствие биективное, 167
Сумма двойного ряда, 277
— ряда, 221
, линейность, 225
, свойство ассоциативности, 233
частная с номером те, 221
— m-кратного ряда частная, 279
— функции по множеству, 253

438
Суммируемость функции по
множеству, 256
Суперпозиция отображений, 126
Сходимость семейства функций
поточечная, 321
равномерная, 322
— /(ж, t) к (р(х), равномерная при
fi(x) -► g, X(t) -► р, 328
е-сеть множества в метрическом
пространстве, 46
Теорема Абеля для степенных
рядов вторая, 366
первая, 369
— Бореля, 45
об открытом покрытии
компактного множества, 56
— Вейерштрасса о наибольшем
и наименьшем значениях, 43
приближении полиномами
для функций одной переменной
классическая, 424
функций многих
переменных, 424
— Гейне о равномерной
непрерывности, 44
об определении предела, 400
— Лагранжа о среднем значении,
390
— Лапласа об асимптотической
оценке интеграла, 412
— Лебега, 45
— — об открытом покрытии
компактного множества, 55
— Морса, 181
— о выпрямлении вторая, 129
первая, 127
дифференцировании интеграла,
зависящего от параметра, 395
дифференцируемости
суперпозиции, 105
зажатой переменной, 30
замене переменной под знаком
предела, 368
локальной обратимости
отображения, 103
Теорема о монотонной
последовательности
интегрируемых функций, 403
неявных функциях, 120, 137
предельном переходе
в неравенстве, 30, 33
произведении рядов, 370
равенстве повторных
пределов, 401
ранге, 139
среднем значении вторая, 384
— об алгебраических операциях
над пределами, 31
ассоциативности
суммирования, 375
или теорема
о суммировании пачками, 270
интегральном признаке Коши
сходимости и расходимости
ряда, 242
обратной функции
абстрактная, 100
эквивалентности предела
в смысле Коши и в смысле
Гейне, 29
— Римана, 269
— сравнения первая, 283
— Стоуна — Вейерштрасса, 424
— Стоуна — Вейерштрасса
о приближении функций, 420
— Хаусдорфа, 49
Теоремы о замене переменной под
знаком предела, 34
Тождества Моргана, 40
Тождество Абеля, 247
Топология на множестве X, 66
Точка, 16
— максимума функции, 169
— метрического пространства
предельная, 34
— минимума функции, 169
— многообразия краевая, 149
— множества предельная, 80
— отображения неподвижная, 92
— функции критическая
невырожденная, 190

439
Точка функции критическая
(стационарная), 190
— экстремума функции, 173
Угол точки полярный, 113, 114
Уравнение матричное, 166
Условие невырожденности
отображения, 172
— связности множества, 148
Форма квадратичная, закон
инерции,184
, каноническое представление,
184
Формула Валлиса, 288, 411
— Дирихле треугольная, 395,
408, 409
— для суммы членов конечной
геометрической прогрессии, 227
— Коши — Адамара, 355
— Стирлинга асимптотического
поведения функции Г(х) при
х -► со, 412
для приближенного
вычисления Т(х + 1)
при больших значениях
аргумента, 417
— Тейлора, 358
порядка 2, 191
Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано, 414
Функция дробно-линейная, 293
— отрезка аддитивная, 403
— оценочная, 28
на множестве, 29
— предельная неограниченная, 322
— с предельным значением
оценочная, 27
—, суммируемая по множеству,
253, 265
— сходимости к точке оценочная, 33
Число Лебега покрытия множества,
55
Члейы двойной последовательности,
277
— m-кратного ряда, 279
Шар, 19, 41
— замкнутый, 19
— открытый, 19
Эквивалентность норм, 27
Элемент матрицы диагональный,
182
Якобиан отображения, 102, 115,
116, 140

Учебное издание
Решетняк Юрий Григорьевич
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть II, книга 1
Ответственный редактор
Водопьянов Сергей Константинович
Издание подготовлено с использованием макропакета ДД/(<5-ТеХ,
разработанного Американским математическим обществом.
This publication was typeset using ДД/(<5-ТеХ,
the American Mathematical Society's TgjX macro system.
Подписано в печать 31.10.2000. Формат 70x100 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 37,75. Уч.-изд. л. 30,7.
Допечатка тиража 500 экз. Заказ №358.
Лицензия ЛР №065614 от 8 января 1998 г.
Издательство Института математики
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
Отпечатано в ГУП РПО СО РАСХН
пос. Краснообск Новосибирской обл. 630501