М. М. СМИРНОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для механико-математических
и физико-математических факультетов университетов

е

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСМВ-Л 1964
617.2
c SO

УДК 517.945/7(075.8)

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..............................................    *

Введение.................................................... 7

Глава I. Вывод основных уравнений математической физики 9

§ 1<	Уравнение колебаний струны. ...... ...... 9

§ 2.	Уравнение колебаний мембраны.......................13

§ 3.	Уравнения гидродинамики и распространение звуко-
вых волн................................................17

§ 4.	Уравнение	распространения	тепла	в	изотропном твер-
дом теле	24

§ 5.	Задачи, приводящиеся	к	уравнению	Лапласа........29

1.	Установившаяся температура а однородном твердом
теле (29). 2 Потенциальное движение несжимаемой жидко-
сти (30). Задачи (31).

Глава И. Классификация уравнений второго порядка.... 33

§ 6.	Типы уравнений второго порядка.....................33

§ 7.	Приведение к каноническому виду уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами....................34

§ 8.	Приведение к каноническому виду уравнений второго

порядка с двумя независимыми переменными..... 37

Глава III. Уравнения гиперболического типа..................47

§ 9.	Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера ... 47
1 Неогранвченная струна (47). 2. Задача Коши (50). 3. Огра-
ниченная струна (53). Задачи (50).

§ 10.	Уравнение гиперболического типа с двумя независи-
мыми переменными........................................97

1.	Задачи Коши (57). 2. Задачи Гурса (63).

§ И. Волновое уравнение..................................64

1. Формула Пуассона (64). 2. Цилиндрические волны (69).

3, Непрерывиая зависимость решения аг начальных
данных (71) 4 Теорема единственности (72). 5 Неоднородно!
волновое уравнение (74) 6 Точечный источник (78)

8 12 Задача Коши. Характеристики........................  .79

§ 13.	Смешанная задача....................................85

1	Постановка задачи (85) 2. Единственность решения сме-
шанной задачи (86) 3 Непрерывная зависимость решения
смешанной задачи от начальных данных (88)

§ 14.	Метод Фурье..........................................90

1	Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны
(90). 2 Общая схема метода Фурье (97) 3 Вынужденные
колебания струны, закрепленной на концах (ЮЗ). 4 Выну-
жденные колебания струны с подвижными концами (106).

6	Метод Фурье в многомерном случае (107) 6 Свободные ко-
лебания прямоугольной мембраны (III) 7 Свободные коле-
бания круглой мембраны (115) Задачи (118)

Глава IV. Уравнения параболического типа......................121

§ 15.	Первая краевая задача. Теорема о максимуме и ми-
нимуме ...................................................121

1	Постановка задачи (121) 2 Решение первой краевой задачи
для уравнения теплопроводности (123) Задачи (129).

§ 16	Задача Коши.........................................130

1	Постановка задачи Коши (130) 2 Единственность реше-
ния (130) 3 Существование решения задачи Коши (131) 4 Не-
прерывная зависимость решения задачи Коши от начальной
функции (136).

Глава V. Уравнения эллиптического типа........................142

§ 17.	Уравнение Лапласа...............................142

§ 18.	Формулы Грина. Интегральное представление	произ-
вольной функции	143

§ 19.	Основные свойства гармонических функций.........147

§ 20.	Постановка основных задач для уравнения	Лапласа	131

§ 21.	Функция Грина оператора Лапласа.................153

I Функция Грина задачи Дирихле (153). 2 Некоторые свой-
ства функции Грина (155).

§ 22.	Решение внутренней задачи Дирихле для шара . . . 156
§ 23. Теоремы о последовательности гармонических функ-

ций ........................................  162

$ 24. Внешняя задача Дирихле для шара..............164
§ 25.	Поведение производных гармонической функции на
бесконечности .....................................  166

§ 26.	Теорема единственности задачи Неймана.........* 168

Глава VI. Теория потенциала...............................171

§ 27.	Потенциалы объема, простого и двойного слоев ... 171

§ 28.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра, . 174

§ 29.	Потенциал	объема............................177

§ 30.	Поверхности Ляпунова ..........................186

§ 31.	Потенциал	двойного слоя........................189

§ 32.	Потенциал	простого слоя........................198

Литература ..............................................205
ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга является учебным пособием для студентов
механико-математического и физико-математического
факультетов вечерних и заочных отделений универси-
тетов. Она посвящена теории дифференциальных ура-
внений в частных производных второго порядка — тому
разделу математики, который находит чрезвычайно ши-
рокое и многообразное применение в механике, физике
и технике.

В работе дается вывод основных уравнений матема-
тической физики и классификация уравнений второго
порядка; последовательно излагается теория уравнений
гиперболического, параболического и эллиптического ти-
пов, а также теория потенциала; рассматриваются сле-
дующие методы решения задач, связанных с уравнения-
ми в частных производных второго порядка: метод ха-
рактеристик, метод Фурье и метод функции Грина. Из-
ложенного материала вполне достаточно для первона-
чального ознакомления с теорией дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка.

Автор выражает глубокую благодарность за ряд цен-
ных замечаний и советов академику В. И. Смирнову и
профессору С. Г. Михлину, прочитавшим книгу в руко-
писи, а также редактору книги Г. П. Акилову.

М. М. Смирнов
г. Ленинград, 20 января 1964 г.
ВВЕДЕНИЕ

Уравнение, связывающее неизвестную функцию
>(*1....хп), независимые переменные *>, .хп и ча-

стные производные от неизвестной функции, называется
Дифференциальным уравнением с частными производ-
ными.

Оно имеет вид

-*2»

да	да

Х"' U' dxt.......дх„ ' ‘ '

д*и
дх*1 ... дх*"’

= 0, (1)

уде F— заданная функция своих аргументов.

« Порядок старшей частной производной, входящей
£ уравнение (1), называется порядком уравнения с част-
ными производными.

Наиболее общее уравнение с частными производными
первого порядка с двумя независимыми переменными
й у может быть записано в виде

F(x, у, и, р, = 0 (р=<^, q =	(2)

Аналогично наиболее общее уравнение с частными про*
изйОдными второго порядка имеет вид

.а л ( д*и д2и 1 д*а\

F(x, у, и, р, у, г, s, t) = G (г = _r>s = ;_,/ = _J.

(3)

Уравнение с частными производными называется
Квазилинейным, если оно линейно относительно всех
старших производных от неизвестной функции. Так,
например, уравнение

Л(х, у, и, их, +	+

Ч-С(..	У, «- "л- «у) = 0 (4)

есть квазилинейное уравнение второго порядка.

Уравнение с частными производными называется ли-
нейным, если оно линейно относительно неизвестной
функции и ее частных производных. Так, например, ура-
внение

у)-^ + 2В(х, у)^ + С(х, У)$- +

Н-Щ-’с.У)-^+£(•*» у)-+-О(х, y)u — F(x, у) (5)

есть линейное уравнение второго порядка относительно
неизвестной функции и(х, у).

Решением уравнения с частными производными (1)
называется всякая функция « = «(*], ..., хп), которая,
будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной
функции и ее частных производных, обращает это ура-
внение в тождество по независимым переменным.

В этом курсе мы будем заниматься главным образом
линейными уравнениями второго порядка, в особенности
волновым уравнением

д2и__ 2/ д2и , дги , д2и\

дР ~~а { дх2 "Г" ду2 dz2) ’	Ю

уравнением Лапласа

д2и , д2и ( д2а __~

dx2 dy2 "t" dz2 ~

и уравнением теплопроводности

да „( д2и . д2и . d2u\	/Q.

di ~ а + ду2 + dz2)'	

Многие задачи физики и техники приводят к уравне-
ниям с частными производными и, в частности, к ура-
внениям (6), (7) и (8).
ГЛАВА I

ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ 1. Уравнение колебаний струны

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на кон-
цах. Под струной мы понимаем тонкую нить, которая
Коэкет свободно изгибаться, т. е. не оказывает никакого
сопротивления изменению ее формы, не связанному с из-
менением ее длины. Сйла натяжения То, действующая
ва струну, предполагается значительной, так что можно
пренебречь действием силы тяжести.

Пусть в положении равновесия струна направлена по
оси X.

Мы будем рассматривать только поперечные колеба-
ния струны, предполагая, что движение происходит в од-
ной плоскости и что все точки струны движутся перпен-
дикулярно оси х.

Обозначим через и{х, t) смещение точек струны в мо-
мент времени t от положения равновесия. При каждом
фиксированном значении t
График функции и(х, t),	“

очевидно, дает форму	м,

струны в этот момент вре-	|	‘">х

мени (рис. 1).	Z л

Рассматривая далее Tfa)

только малые колебания	рис.

струны, мы будем счи-

,	ди

тать, что смещение и(х, г), а также производная

столь малы, что их квадратами и произведениями можно
пренебречь по сравнению с самими этими величинами.
Выделим произвольный участок (хь х2) струны (см.
рис. 1), который при колебании струны деформируется
в участок МХМ2. Длина дуги этого участка в момент
времени t равна

X,

S' = J У1и? dx х2 — х, = 5,
X,
вследствие чего можно считать, что в процессе малых
колебаний удлинения участков струны не происходит.
Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натя-
жения Т в каждой точке струны не меняется со време-
нем. Таким образом, при наших предположениях изме-
нением величины натяжения струны, возникающим при
ее движении, можно пренебречь по сравнению с тем, ко-
торому она была уже подвергнута в положении равно-
весия.	'

Покажем, что величину натяжения Т можно считать
не зависящей от х, т. е. Т ~ Го. Действительно, на уча-
сток М\М2 струны действуют силы натяжения, направ-
ленные по касательным к струне втачках и М* внеш-
ние силы и силы инерции. Сумма проекций на ось х всех
этих сил должна равняться нулю. Так как мы рассма-
триваем только поперечные колебания, то силы инерции
и внешние силы направлены параллельно оси и, тогда

Т (xj COS а (х0 — Т (х2) COS а (х2) = 0,
где а(х) —угол между касательной в точке с абсциссой
х к струне в момент времени t с положительным напра-
влением оси х.

В силу малости колебаний

cos а (х) = .	\	=  / 1  • ~ 1

/l+tgM*) /1 + 4

и, следовательно,

Г (хО ® Т (х2).

Отсюда, ввиду произвольности Xi и х2, следует, что ве-
личина натяжения Т не зависит от х. Таким образом,
можно считать, что Т ~ То для всех значений х и t.
Перейдем к выводу уравнения колебаний струны.
Шля этого воспользуемся принципом Даламбера, на осно-
вании которого все силы, действующие на некоторый
Выделенный участок в струне, включая силы инерции,
жолжны уравновешиваться.

Рассмотрим произвольный участок MiM2 струны и
Доставим условие равенства нулю суммы проекций на
шсь и всех сил, действующих на него: сил натяжения,
жавных по величине и направленных по касательным
Ж струне в точках Af( и М2, внешней силы, направленной
Параллельно оси и, и силы инерции.

Сумма проекций на ось и сил натяжения, действую*
Жих в точках Afi и ЛГ2, равняется

Y = То [sin а (х2) — sin а (x^j,

ИО вследствие наших предположений

ди

sin а (х) =__tga(x) =________—____« —

' n + tg’aM	+	дх

й,следовательно,

г==74(-й-) -(-S-) 1-

L\ °Х /Х=Х,	\ °Х 'х=х,1

Замечая теперь, что

X,

[ ди \	/ du \	__ /* д*и

Wx-x, Wx^~J дх*

*1
^окончательно получим

х,

y=zT<>fi£dx- a-1)

X,

Обозначим через р(х, t) внешнюю силу, действую-
щую на струну параллельно оси и и рассчитанную на
-единицу длины. Тогда проекция на ось и внешней силы,
^действующей на участок MiM2 струны, будет равна

х2

J р(х, t)dx.	(1.2)
Пусть р(х) —линейная плотность струны, тогда
сила инерции участка AfiAf2 струны будет равна

Х1

— J f(x)-§pdx.

(1-3)

Сумма проекций (1.1) — (1.3) на ось и всех сил.дей-
ствующих на участок AfiAf2 струны, должна быть равна
нулю, т. е.

f [7о|р- —pW'Sr+/’(-V> /)рх = 0.
х,

Отсюда в силу произвольности Xi и х2 следует, что
подынтегральная функция должна равняться нулю для
каждой точки струны в любой момент времени t, т. е.

=	(1.4)

Это есть искомое уравнение колебаний струны.

Если р = const, т. е. в случае однородной струны,
уравнение (1.4) обычно записывается в виде

где	___

a==/-T'	M

Если внешняя сила отсутствует, то мы имеем
р(х, t) = 0 и получаем уравнение свободных колебаний

струны

д2и , д'* и
di2 и дх2 •

(1.7)

Уравнение (1.4) имеет бесчисленное множество част-
ных решений. Поэтому одного уравнения (1.4) недоста-
точно для полного определения движения струны; нуж-
ны еще некоторые дополнительные условия, вытекающие
из физического смысла задачи. Из динамики точки из-
вестно, что для определения движения точки нужно
знать ее начальное положение и начальную скорость.
Для уравнения колебаний струны естественно задать


в начальный момент времени t = 0 положение и скоро*
сти всех точек струны

u|/=o=?oW.	=<P1W-	(1-8)

V4 |/ = 0

Условия (1.8) называются начальными условиями.

Далее, так как струна ограничена, то нужно указать,
что 'Происходит на ее концах. Для закрепленной струны
на концах мы должны иметь

«|,=0 = О, «|x=z = 0	(1.9)

при всяком 0. Условия (1.9) называются краевыми
или граничными условиями. Возможны и другие гранич-
ные условия.

 Итак, физическая задача о колебании струны свелась
к математической задаче: найти такое решение уравне-
ния (1.4), которое удовлетворяло бы начальным усло-
виям (1.8) и граничным условиям (1.9).

Можно рассматривать колебания полубесконечной
или бесконечной струны, когда один или оба конца на-
ходятся бесконечно далеко. Оба эти случая являются
•идеализацией случая очень длинной струны, причем пер-
вый из них соответствует рассмотрению точек, сравни-
тельно близких от одного из концов струны, а второй —
(рассмотрению точек, расположенных далеко от обоих
концов. В первом из этих случаев в качестве граничного
условия остается требование и|ж==о = О, а во втором
случае граничные условия вообще отсутствуют. Началь-
ные функции <ро(*) и <pi(x) должны быть в этих случаях
заданы соответственно для всех 0<:х< оо или для всех

ОО < х < ОО.

§ 2. Уравнение колебаний мембраны

Мембраной называют свободно изгибающуюся натя-
нутую пленку

Пусть в положении равновесия мембрана располо-
жена в плоскости ху и занимает некоторую область D,
ограниченную замкнутой кривой L. Далее, предположим,
что мембрана находится под действием равномерного
натяжения Т, прилаженного к краям мембраны. Это оз-
начает, что если провести линию по мембране в любом
направлении, то сила взаимодействия между двумя час-
тями, разделенными элементами линии, пропорциональ-
на длине элемента и перпендикулярна его направлению;
величина силы, действующей на элемент ds линии, будет
равна Tds.

Будем рассматривать только поперечные колебания
мембраны, при которых каждая ее точка движется пер-
пендикулярно плоскости ху параллельно оси и. Тогда
смещение и точки (х, у) мембраны будет функцией от
x,ynt.

Рассматривая далее только малые колебания мем-
браны, мы будем считать, что функция и(х, у, t), а так-
же ее частные производные по х w у малы, так что ква-
дратами и произведениями их можно пренебречь по сра-
внению с самими этими величинами.

Выделим произвольный участок (о) мембраны, огра-
ниченный в положении равновесия кривой L Когда мем-
брана будет выведена из положения равновесия, этот
участок мембраны деформируется в участок а' поверх-
ности мембраны, ограниченный пространственной кри-
вой I'. Площадь участка У в момент времени t равна

а'— J J	dxdy ~ J J dxdy = а.

Таким образом, при наших предположениях можно пре-
небречь изменением площади произвольно взятого уча-
стка мембраны в процессе колебаний и считать, что лю-
бой участок а' мембраны будет находиться под дейст-
вием первоначального натяжения Т.

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний
мембраны. Рассмотрим произвольный участок о' мем-
браны. Со стороны остальной части мембраны на этот
участок действует направленное по нормали к контуру
I' равномерно распределенное натяжение Т, лежащее
в касательной плоскости к поверхности мембраны. Най-
дем проекцию на ось и сил натяжения, приложенных
к кривой ограничивающей участок о' мембраны. Обо-
значим через ds' элемент дуги кривой Г. На этот эле*
мент действует натяжение, равное по величине Tils'. Ко*
(ри нус угла, образованного вектором натяжения Т с осью
_	ди

Х)и, равен, в силу наших предположений, очевидно,-^-.

$де п —направление внешней нормали к кривой I, огра-
ничивающей участок о мембраны в положении равно-
весия (рис. 2). Отсюда следует, что проекция на ось и
•<вил натяжения, приложен*

®ых к элементу ds' кон*
g-тура Т, равна

T-J-ds'
on

М, стало быть, проекция
$№ ось и сил натяжения,
Приложенных ко всему
ЭДонтуру равна

Tf^ds'. (2.1)

Так как при малых коле-	Рис>

Маниях мембраны можно

считать ds ~ ds', то мы можем в интеграле (2.1) путь
^Интегрирования V заменить на I. Тогда, применяя фор«
мулу Грина, получим

<2-2>

Предположим, далее, что на мембрану параллельно
оси и действует внешняя сила р(х, у, t), рассчитанная
ла единицу площади. Тогда проекция на ось и внешней
силы, действующей на участок а' мембраны, будет
равна

J Jр{х, у, t)dxdy.	(2.3)

Силы (2.2) и (2.3) должны в любой момент вре*
мени t уравновешиваться силами инерции участка У
мембраны

~ff р(х’ УУ^ахаУ*
в

где р(х, у) — поверхностная плотность мембраны.

Таким образом, мы получаем равенство

f /[р<х’	У’ O]rfJcdy«O.

а

Отсюда в силу произвольности площадки о следует, что

Р(Х, У)-ж-7'(^ + -|р-)+р(х, у, t).	(2.4)

Это есть дифференциальное уравнение поперечных коле-
баний мембраны.

В случае однородной мембраны р = const уравнение
малых колебаний мембраны можно записать в виде

д2и д2и . д2и\ . ,,	/о с.

dt2 ~а \dx2 “I" ду2)	У' *)’

где	_

«= /у • Дх, у, =	(2.6)

Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х, у, t) = О,
то из (2.5) получаем уравнение свободных колебаний
однородной мембраны

й2и _	( д2и , д2и \

dt2 ~а ду*)'

Как и при рассмотрении колебаний струны, одного
уравнения (2.4) недостаточно для полного определения
движения мембраны; нужно задать в начальный мо-
мент времени t — 0 смещение и скорость всех точек мем-
браны:

«|/=о = ?<)(*. У). 4f|/=0 = 'Pi(x> У)-	(2-8)

Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то
должно быть

»|4 = 0	(2.9)

при любом t > 0.
§ 3. Уравнения гидродинамики и распространение
звуковых волн

1. В гидродинамике жидкость или газ*) рассматри-
ваются как сплошная среда. Это значит, что всякий
малый элемент объема жидкости считается все-таки
настолько большим, что содержит еще очень большое
число молекул. Поэтому, когда мы будем говорить о бес-
конечно малых элементах объема, то всегда при этом
будет подразумеваться объем достаточно малый по сра-
внению с объемом тела, но большой по сравнению с мо-
лекулярными расстояниями. В таком же смысле надо
понимать в гидродинамике выражения «жидкая части-
ца», «точка жидкости». Если, например, говорят о сме-
щении некоторой частицы жидкости, то при этом речь
идет не о смещении отдельной молекулы, а о смеще-
нии целого элемента объема, содержащего много мо-
лекул, но рассматриваемого в гидродинамике как
точка.

Пусть жидкость движется со скоростью ®(х, у, z, t),
проекции которой на оси координат обозначим
Vx(X, У, 2, I), Vy(x, у, 2, /), Vz(x, у, 2, t).

Подчеркнем, что ф(х, у, г, t) есть скорость жидкости
в каждой данной точке (х, у, г) пространства в момент
времени t, т. е. относится к определенным точкам
пространства, а не к определенным частицам жидко-
сти, передвигающимся со временем в пространстве;
то же самое относится к термодинамическим ве-
личинам. -

Если поле вектора скорости v(x, у, z, t) известно, то
траектории отдельных частиц жидкости будут опреде-
ляться уравнениями

~^=vx(x,y,z, t), ^=vy(x,ytz,i), ^-=vI(x,yiz,i).

*) В дальнейшем будем говорить для краткости только о жид-
кости имея в виду как жидкости, так и газы.

2 М. М. Смирнов
Отсюда легко можно найти ускорение частицы жидкости

dvx
dt* ~~ dt

dvx dx  dvx dy
dx ' dt ' dy dt

dvx dx ____

dx ' dt

dt "* dx

dvx , dvx

(3.1)

d2y dvy dvy dvy du?

dt* ~ ~dt r“-g-jT®x4 dy~vy~T-~dT'0^

d*x
dt1

dvz . dvz . dvz

~dF + -d^'v- + -dtvV

dvz

В каждый момент и в каждой точке жидкость нахо-
дится в некотором состоянии термодинамического равно-
весия, определяемого давлением р(х, у, 2, /), плотностью
р(х, у, z, t), температурой Т(х, у, z, t), энтропией
S(x, у, z, t) и внутренней энергией Е(х, у, z, t). Из тер-
модинамики известно, что для каждой данной среды не-
зависимы только два из параметров р, р, Т, S и Е. Вели-
чины р, Т и Е можно рассматривать как функции
от р и S.

Начнем вывод основных гидродинамических уравне-
ний с вывода уравнения, выражающего собой закон со-
хранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим неко-
торый объем жидкости V, ограниченный поверхностью S.
Если внутри объема V нет источников и стоков, то изме-
нение в единицу времени массы жидкости, заключенной
внутри V, равно потоку жидкости через поверхность Sj

V	s

где vn — проекция v (х, у, г, t) на внешнюю нормаль п
к поверхности S. Преобразуя правую часть по формуле
Остроградского и дифференцируя по t под знаком инте-
грала в левой части, получим

fff%dV--------ff fawiiv

V	V

или

/ f /(# + divPt’)^ = 0«
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗВУКОВЫХ ВОЛШ J9
кже

dlvp„ = ___^----------|--g7—

liltaK как последнее равенство справедливо для любого
Йвбъема внутри жидкости, то отсюда следует, что

^ + divpt» = O.	(3.2)

%>то уравнение называется уравнением неразрывности.
:  Перейдем теперь к выводу уравнений движения иде-
альной жидкости.

Под идеальной жидкостью будем понимать такую
реформируемую сплошную среду, в которой внутренние
силы — находится ли среда в состоянии равновесия или
движения — приводятся к нормальному давлению, так
что если выделить в этой жидкости некоторый объем V,
ограниченный поверхностью S, то действие на него ос-
тальной части жидкости приводится к силе, направлен-
ной в каждой точке поверхности S по внутренней нор-
мали. Обозначим величину этой силы (давление), отне-
сенную на единицу площади, через р(х, у, гг i).

Таким образом, равнодействующая сил давления,
приложенных к поверхности S, равна

а

где п — единичный вектор внешней нормали к поверх-
ности S. На основании формулы Остроградского имеем

— J fpndS = — ff fgradpdV.
s	v

Пусть, далее, на жидкость действует внешняя сила
F(Fa, Fv, F2), рассчитанная на единицу массы, так что
равнодействующая этих сил, приложенных к объему V,
равна

ff hFdV'

V
Наконец, равнодействующая сил инерции, действую-
щих на объем V, будет

V

где	—вектор ускорения частицы жидкости. Здесь

dv

производная -& определяет не изменение скорости жид-
кости в данной неподвижной точке пространства, а из-
менение скорости определенной передвигающейся в про-
странстве частицы жидкости. Это подчеркивается обо-
d	д

значением вместо •

Применяя принцип Даламбера, получим

f f /(pF-P~--grad/,)rfV = °.
v

Отсюда в силу произвольности объема V следует, что

•g- = F—igradp	(3.3)

или, в силу (3.1), в скалярной форме
. dvK	dvx	, dv,	F 1 dp
dt 1 dx Vjc 1 dy У 1 dz ~tjc p dx’
dvv dvv	dvy	. dvy	„	1 dp
dt । dx Vx । dy	। ds	~' Fy	p dy ’ ^3>3 ‘
dv2 dv,	dvx	F I dp
dt 1 dx 1 dy vy 1 dz z ~~	p dz •

Это есть уравнения движения идеальной жидкости в
форме Эйлера.

Итак, для пяти неизвестных функций vx, vu„ vz, р
и р мы имеем всего четыре уравнения (3.2) и (3.3').
Чтобы получить еще одно уравнение, будем считать, что
движение жидкости происходит адиабатически. При
адиабатическом движении энтропия каждой частицы
остается постоянной (хотя может меняться от точки
к точке) при перемещении последней в пространстве,
dS А
т. е. = 0, где полная производная по времени озна-
чает, как и в (3.3), изменение энтропии определенной
передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту
производную можно написать в виде

Это есть уравнение, выражающее собой адиабатичность
движения идеальной жидкости. В частном случае может
оказаться, что в некоторый начальный момент времени
энтропия одинакова во всех точках жидкости, тогда она
останется везде одинаковой и неизменной со временем
и при дальнейшем движении жидкости. В этом случае
уравнение адиабатичности можно писать просто в виде

5 = So = const

Такое движение жидкости называют изэнтропическим.
При этом мы имеем

/>=/(?. 50)=/(р).	(3.4)

Таким образом, мы имеем пять уравнений: уравнение
неразрывности (3.2), три уравнения движения идеаль-
ной жидкости (3.3') и уравнение (3.4). Эти уравнения
содержат как раз пять неизвестных функций: vx, vy, vz,
Р и р.

2. Колебательное движение с малыми амплитудами
в сжимаемой жидкости или газе называют звуковыми
волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне
происходят попеременные сжатия и разрежения.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость
® в ней мала, так что в уравнении Эйлера (3.3') можно
пренебречь членами ("Ут-‘Кг)’ • • • и т. д. По той же
причине относительные изменения плотности и давления
в жидкости тоже малы. Положим

Р~ Ро~\~Р> р = Ро4"Р>	(3.5)

где ро, До — постоянные равновесные плотность и давле-
ние жидкости, а р и р — их изменения в звуковой волне
(р <С ро, Р Ро); Р называют звуковым давлением.

Уравнение непрерывности (3.2) при подстановке в
него (3.5) и пренебрежении малыми величинами второго
(— — dvr " да др

Р. Р' ~дх' Лг '	и т- д- надо ПРН

этом считать малыми величинами первого порядка) при*
нимает вид

^-+podiv V = 0
или, полагая

Р _ Р~?0 '

Ро Ptt '
будем иметь

+div 0 = 0.	(3.6)

Уравнения Эйлера (3.3'), считая, что внешние силы от*
сутствуют, в том же приближении сводятся к уравне*

НИЯМ dvx	1 др	dvy	1 др	дуг	1 др
dt	Ро дх ’ dt	Ро ду ’	dt	Ро дг
или, в векторной форме,				
	др 	  dt	--J-gradp. гО		(3.7)

Уравнения (3.6) и (3.7) содержат неизвестные функции
V, s и р. Для исключения одной из них обратимся к ура-
внению (3.4), которое в том же приближении можно за-
писать в виде

P=f'M?' = ?of(9o)s.	(3.8)

Подставляя (3.8) в уравнение (3.7), получим
4-a2 grad х=0,

(3-9)

где положено а2 = f'(p0), так как для всех жидкостей и
газов, встречающихся в природе при постоянной энтро-
пии, давление возрастает при возрастании плотности,
т. е. f'(р) > 0.

Применяя к уравнению (3.9) операцию дивергенции
и переставляя дифференцирование по t с операцией ди-
вергенции, будем иметь

-^div0 =— a2divgrads = — d2 ks, (3.10)
Где

d2s , d2s  d2s
дх2 ' dy4 ' dz2'

Принимая во внимание уравнение (3.6), получим

d2s__d2s । d*s । drs \

'di2~~a Ua*-*" dy»-*- dz2)'

(3111)

Для давления p и скорости v также можно получить
'волновое уравнение вида (3.11).

Предположим теперь, что в начальный момент суще*
:гствует потенциал скоростей и&(х, у, л), т. е.

«U = — grad “0(х, у, л).	(3.12)

Из уравнения (3.10) имеем равенство

v(x, у, л, /) = я|<=0— w7grad fsdi
о

или, в силу (3.12),

v =—grad

= —grad и (х, у, z, t),

(3.13)

которое означает, что существует потенциал скоростей
и(х, у, л, I) в любой момент времени /:

t

и(х, у, л, Г)=110(х, у, л)4-^2 /s dt. (3-14)

о>

Покажем, что потенциал скоростей и(х, у, л, t) удо*
влетаоряет волновому, уравнению. В самом деле, диффе*
ренцируя выражение (3.14) два раза по 4 получим

д*а ds

-dV=a?-3t-

(3.15)

С другой стороны, подставляя (3.13) в уравнение (3.6),
будем иметь

— div grad и — Aw.

(3.16)
Сравнивая (3.15) и (3.16), получим
даа________________ д*а । д2а । д5« \

dfl ~ а U-f2 "* ду2 "Г" дг2 ) '

(3.17)

Отметим, что знание потенциала скоростей и(х, у, z,t)
достаточно для определения всего процесса движения
жидкости или газа, так как

»=-grad«,	(3.18)

Перейдем к формулировке начальных и граничных
условий. Пусть жидкость или газ занимают в простран-
стве объем V, ограниченный поверхностью 2. В началь-
ный момент времени t = 0 задано относительное изме-
нение газа s и распределение скоростей © в каждой точ-
ке объема V. Это дает начальные условия в виде

«Uo = ?o(*..M. -г),	=а25=<Р1(х, у, г).

и=о

Если граница S представляет собою твердую непро-
ницаемую стенку, то нормальная составляющая скоро-
сти равна нулю, что приводит к граничному условию

=о-
дп Ij

§ 4. Уравнение распространения тепла
в изотропном твердом теле

Рассмотрим твердое тело, температура которого
в точке (х, у, г) в момент времени t определяется функ-
цией и(х, у, z, I). Если различные части тела находятся
при различной температуре, то в теле будет происходить
движение тепла от более нагретых частей к менее на-
гретым. Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри
тела и на ней малый элемент Д5. В теории теплопро-
водности принимается, что количество тепла AQ, прохо-
дящего через элемент ДЗ за время Д/, пропорционально
ДЬДЗ и нормальной производной т. е.

^Q — — k~^S’M=s—feM • Wgradnu, (4.1)
%де k > 0 — коэффициент внутренней теплопроводности,
$$ п — нормаль к элементу поверхности AS в направле-
нии движения тепла. Будем считать, что тело изотроп-
но в отношении теплопроводности, т. е. что коэффи-
циент внутренней теплопроводности k зависит только от
ргочки (х, у, г) тела и не зависит от направления нор-
Ыали поверхности S в этой точке.

। Обозначим через q тепловой поток, т. е. количество
^гепла, проходящего через единицу площади поверхно-
сти за единицу времени. Тогда (4.1) можно записать
йв виде

»=-*£• <4-2>

Для вывода уравнения распространения тепла выде-
лим внутри тела произвольный объем V, ограниченный
гладкой замкнутой поверхностью S, и рассмотрим изме-
нение количества тепла в этом объеме за промежуток
времени (ti, t2). Нетрудно видеть, что через поверх-
ность S за промежуток времени (/ь t2), согласно фор-
муле (4.1), входит количество тепла, равное

t,

<?i = — fdtf f k(x, у, z)~dS,
t\ s

где n — внутренняя нормаль к поверхности S.

Рассмотрим элемент объема ДУ. На изменение тем-
пературы этого объема на Ди за промежуток времени Д/
нужно затратить количество тепла

Н-Д/)—u(x, у, z, /)] 1(х, y,z)?(x,y,z)bV,
где р(х, у, г), ^(х, у, г) —плотность и теплоемкость ве-
щества. Таким образом, количество тепла, необходимое
для изменения температуры объема V на Ди =*
•= и(х, у, z, t2) — и(х, у, z, fi), равно

Qz — fff Iй <х’ У- *2) — и(х, у, z, fj)] TP dV
v

или

h V
так как

и(х, у, Z, t2) — U(X, у, Z, fjsa У
it

Предположим, что внутри рассматриваемого тела
имеются источники тепла. Обозначим через Р(х, у, 2, t)
плотность (количество поглощенного или выделяемого
тепла в единицу времени в единице объема тела) теп-
ловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого
или поглощаемого в объеме V за промежуток времени
(А, ts), будет равно

Q3 = J*dt f l' У F(x, у, z, t)dV.
it v

Составим теперь уравнение баланса тепла для выде-
ленного объема V. Очевидно, что Q2 = Qi + Q3, т. е.

TTdV=

it V
t,	h

= - fdt f f k^dS+ f dt f f f	У' z' ^dVt

t,	ii	v

или, применяя формулу Остроградского ко второму ин-
тегралу, будем иметь

У dt У У"УрГР	-div(Agradit)—F(x, у, z,

Так как подынтегральная функция непрерывна, объем V
и промежуток времени (ti, t2) произвольны, то для лю-
бой точки (х, у, г) рассматриваемого тела и для любого
момента времени t должно быть

7Р — div (k grad и.) + F(x> у, z, t) (4.3)
>или

Это уравнение называется уравнением теплопроводности
неоднородного изотропного тела.

Если тело однородно, то 7, р и k—постоянные и
уравнение (4.3') можно переписать в виде

где	„

/й ,,	.\ F (х, у, z, 0

—, /(х, у, г, 0=-^---------

Если в рассматриваемом однородном теле нет источни-
ков тепла, т. е. F(x, у, z, t) sO, то получаем однород-
ное уравнение теплопроводности

да __ 2 / д’а . д*а , д»я\

dt а \ dx3 дуа "Т- dz3 / '

(4.5)

В частном случае, когда температура зависит только
от координат х, у и t, что, например, имеет место при
распространении тепла в очень тонкой однородной пла-
стинке, уравнение (4.5) переходите следующее:

ди	1 д*и\

'dt'~a \д^2 ду*Г

(4.6)

Наконец, для тела линейного размера, например для
однородного стержня, уравнение теплопроводности при-
нимает такой вид:

du __ 2 д*и

dt ~а dx* •

Отметим, что при такой форме уравнений (4.6) и (4.7)^
не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверх-
ностью пластинки или стержня с окружающим простран-
ством.

Чтобы найти температуру внутри тела в любой мо-
мент времени, недостаточно одного уравнения (4.3). Не-
обходимо, как это следует из физических соображений,
знать еще распределение температуры внутри тела в
начальный момент времени (начальное условие) и теп-
ловой режим на границе S тела (граничное условие).

Граничное условие может быть задано различными
способами:

1)	В каждой точке поверхности S задается темпе-
ратура

4 = *1(М	(4.8)

где Ч^Р, t) — известная функция точки поверхности S
и времени /^-0.

2)	На поверхности S задается тепловой поток

откуда

£[,=*,(/>. 0.	(4.9)

где Ч^Р, t)—известная функция, выражающаяся че-
рез заданный тепловой поток по формуле

Ф2(Р, 0 =

3)	На поверхности твердого тела происходит тепло-
обмен с окружающей средой, температура которой ио
известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упро-
щения задачи он может быть принят в виде закона
Ньютона.

По закону Ньютона количество тепла, передаваемое
в единицу времени с единицы площади поверхности
тела в окружающую среду, пропорционально разности
температур поверхности тела и окружающей среды:

д =	— а0),

где Н — коэффициент теплообмена. Коэффициент тепло-
обмена зависит от разности температур и — Uq, от ха-
рактера поверхности и окружающей среды (он может
изменяться вдоль поверхности тела). Мы будем считать
коэффициент теплообмена Н постоянным, не зависящим
от температуры и одинаковым для всей поверхности
тела.
По закону сохранения энергии это количество тепла
должно быть равно тому количеству тепла, которое
передается через единицу площади поверхности за еди-
ницу времени вследствие внутренней теплопроводности.
Это приводит к следующему граничному условию:

Н(и~ ий)~~ k~ (на S),

где п — внешняя нормаль к поверхности S, или, поло-
, н

ЖИВ п = -г-,
к

^+Л(и_Ио)|5==О.	(4.10)

Таким образом, задача о распространении тепла в
изотропном твердом теле ставится так:

Найти решение уравнения теплопроводности (4.3),
удовлетворяющее начальному условию

«Ь=о = ?(•*> У- z)	(4Л1)

и одному из граничных условий (4.8), (4.9) и (4.10).

§ 5.	Задачи, приводящиеся к уравнению Лапласа

1.	Установившаяся температура в однородном твер-
дом теле. В предыдущем параграфе было установлено,
что уравнение распространения тепла в изотропном
однородном теле, в случае отсутствия источников тепла,
имеет вид

ди д2и ,	, д2и \	,е ..

Допустим теперь, что температура в каждой точке
(х, у, z) внутри тела установилась, т. е. что она не Me-
т.	ди п

няется с течением времени. Тогда -^- = 0 и уравнение
(5.1) принимает вид

д^и . д*и . дги____л	/с

дхг + <Эуа + дгг ~0,

Таким образом, уравнению Лапласа (5.2) удовлетворяет
установившаяся в однородном теле температура
и(х, у, г). Для определения и(х, уг г) теперь не надо
уже задавать начальное распределение температуры
(начальное условие), а достаточно задать одно гранич-
ное условие, не зависящее от времени.

Задача определения решения уравнения (5.2) по его
значениям на границе рассматриваемой области назы-
вается задачей Дирихле.

Задача определения решения уравнения (5.2), удов—
да I

летворяющего граничному условию -gg- = 'р(/3), назы-
вается задачей Неймана.

2.	Потенциальное движение несжимаемой жидкости.
Рассмотрим установившееся движение несжимаемой
жидкости. Пусть движение жидкости невихревое или,
иначе говоря, потенциальное, т. е. скорость v(x, у, г).
есть потенциальный вектор

9=—grad<p.	(5.3>

Для несжимаемой жидкости плотность р постоянна и
из уравнения неразрывности (3.1) имеем

div V = 0.	(5.4)

Подставляя (5.3) в (5.4), получим

div grad ф—0 или § +	= °.	<5.5)

т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лап-
ласа (5.5).

В предыдущих параграфах мы видели, что задачи
математической физики состоят в отыскании решений
уравнений в частных производных, удовлетворяющих
некоторым дополнительным условиям. Такими дополни-
тельными условиями чаще всего являются граничные
условия, т. е. условия, заданные на границе рассматри-
ваемой среды, и начальные условия, относящиеся к од-
ному какому-нибудь моменту времени, с которого на-
чинается изучение данного физического явления.

Полученные при помощи уравнений математической
физики решения тех или иных задач естествознания
дают нам математическое описание ожидаемого хода
или вида физических явлений, описываемых этими
уравнениями. Поскольку при построении модели физиче-
ских явлений с помощью уравнений математической
физики >мы всегда вынуждены абстрагироваться от мно-
гих сторон этого явления, отбрасывать многое как не
существенное, выделять то, что кажется главным,— ре-
зультаты, полученные при этом не являются абсолютно
истинными.

Поэтому всякая правильно (корректно) поставленная
задача ‘математической физики, имеющая своей целью
описать действительность, должна удовлетворять сле-
дующим трем требованиям: 1) задача должна допускать
решение; 2) решение должно быть единственным и
3) решение должно быть устойчивым; это значит, что
малые изменения любого из данных задачи должны вы-
зывать соответственно малые изменения решения. Тре-
бование существования и единственности означает, что
среди данных задачи нет несовместных и их достаточно
для выделения единственного решения. Требование
устойчивости необходимо по следующей причине: в дан-
ных любой конкретной физической задачи, особенно
если они получены экспериментально, всегда содержится
некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погреш-
ность в данных приводила к малой неточности в реше-
нии. Это требование выражает физическую определен-
ность поставленной задачи.

Задачи. 1) Тонкий однородный цилиндрический стержень со-
вершает продольные колебания, при которых его поперечные сече-
ния, оставаясь плоскими, перемещаются вдоль оси х. Доказать, что
уравнение малых колебаний имеет вид

где u(x,t) есть смещение сечения с абсциссой х в момент времени
/, р —объемная плотность, а Е — модуль Юнга материала стержня.

2)	Тяжелая однородная гибкая нить длиной I подвешена за
один из своих концов х = I и под действием своего веса находится
в вертикальном положении равновесия. Доказать, что уравнение
малых колебаний нити, которые она совершает под действием силы
тяжести, имеет вид

д / ди \	1 д*и

дх дх ) ₽ a* а
где u(x,t) — отклонение точек нити от положения равновесия в мо-
мент времени t, £ —ускорение силы тяжести.

3)	Вывести уравнение распространения тепла в однородном
кольце с очень малым поперечным сечением, принимая во внимание,
что на боковой поверхности его происходит теплообмен с окружаю-
щей средой.

Ответ.

ди „гдги	f~k~ ftp

dF = ai^-b<u-u^ a=V~^‘

где 6 — длина дуги кольца; k, h — коэффициенты внутренней и
внешней теплопроводности; с, р — теплоемкость и плотность веще-
ства кольца; а, р — площадь и периметр поперечного сечения;
«о—температура внешней среды.
ГЛАВА II

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 6. Типы уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение второго порядка

S ач^' •••’ 0-4^7 +
*./=1

+/(хп ...» х„, и,£-,

(6.1)

Коэффициенты — заданные функции в области D
пространства (хь ..хп), причем au = a}i. Все функции
и независимые переменные мы считаем вещественными.

В этом параграфе мы дадим классификацию уравне-
ний вида (6.1) в точке. Зафиксируем определенную
точку (xf, .х£) в области D и составим квадратич-
ную форму

п

Уравнение (6.1) принадлежит эллиптическому типу
в точке (х$, xjj), если в этой точке квадратичная
форма (6.2) знакоопределенная.

Уравнение (6.1) принадлежит гиперболическому типу
в точке (х°,	х°), если в этой точке квадратичная

форма (6.2) при приведении ее к сумме квадратов имеет
все' коэффициенты, кроме одного, Определенного знака,

3 М. М. Смирнов
а оставшийся один коэффициент противоположного
знака.

Уравнение (6.2) принадлежит ультрагиперболическо-
му типу в точке (x°, .... л^), если в этой точке квад-
ратичная форма (6.2) при приведении ее к сумме квад-
ратов имеет больше одного положительного коэффици-
ента и больше одного отрицательного, причем все
коэффициенты отличны от нуля.

Уравнение (6.1) принадлежит параболическому типу
в точке (х°, ..., если в этой точке квадратичная
форма (6.2) при приведении ее к сумме квадратов имеет
только один коэффициент, равный нулю, все же другие
коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Уравнение (6.1) принадлежит эллиптическому типу
соответственно гиперболическому типу и т. д. в области
D, если во всех точках этой области оно принадлежит
эллиптическому типу, соответственно гиперболическому
типу и т. д.

Если коэффициенты ац постоянные, то принадлеж-
ность уравнения к тому или иному типу не зависит от
значений независимых переменных. Простейшим уравне-
нием эллиптического типа является уравнение Лапласа;
уравнением гиперболического типа является волновое
уравнение и, наконец, уравнением параболического
типа — уравнение теплопроводности.

§ 7. Приведение к каноническому виду
уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициен-
тами

п	п

aU dxt dxj +	7*7+ CU	’ XJ' w

Введем вместо (xj...хп) новые независимые перемен-
ные (5ь	5») при помощи линейного преобразования

п

=	(k— 1, 2, .,., л).	(7.2}
Мы предполагаем, что преобразование (72} неособен-
ное, т. е. что определитель |с^| не равен нулю. Производ-
ные по старым переменным выразятся через производ-
ные по новым переменным по следующим формулам:

п	п

ди V Л ди д*и V?	/7 Q\

dxt ~~ 21е*1 dik ' dxidxj ~ 2к C)llC4 di6dZt '
Л = 1	к, 1-1

Подставляя (7.3) в уравнение (7.1), мы получим

2 г«	<+св ................(7Л)

t,i=i	z=i

где
л

ат — 5j ацСмСц-	(7 >5)

1,7-1

Нетрудно проверить, что формулы преобразования (7.5)
коэффициентов при вторых производных от функции и
при замене независимых переменных по формулам (7.2)
совпадают с формулами преобразования коэффициентов
квадратичной формы

(7.6)
i, ;=i

если в ней произвести линейное преобразование

п

ii —	(7-7)

Л=1
приводящее ее к виду

i a*iVr	(7-8)

к, 1=1

В алгебре доказывается, что всегда можно подобрать
коэффициенты cih так, чтобы квадратичная форма (7.6).
привелась к сумме квадратов, т. е. *)

п

2,W	(1-8')

’) Согласно закону инерции для квадратичных форм число по-
ложительных и отрицательных коэффициентов Хд инвариантно отно-
или, иначе говоря, аы ~ 0 при k #= I и = 1ft. Коэффи-
циенты 1ft равны ± 1 или нулю соответственно. Знаки
коэффициентов lft и определяют тип уравнения (7.1),
Преобразованное уравнение (7.4) принимает вид

п	п

<7-9)

Этот вид уравнения (7.1) называется его каноническим,
видом.

Положим, что все 1л отличны от нуля, т. е. что урав-
нение (7.1) не параболического типа, и покажем, что в
этом случае при помощи преобразования функции и
мы можем освободиться от производных первого поряд-
ка. С этой целью введем вместо и новую искомую функ-
цию v по формуле

Подставляя в уравнение (7.1), мы получим, как это не-
трудно проверить, уравнение вида

п

IX §-+^=/2 6...........'«)•

ft=I

Для эллиптического уравнения все 1ft = 1 или
1а = —1, и умножая, если надо, обе части уравнения на
(—1), мы можем считать, что все 1а = 1. Таким обра-
зом, сохраняя прежние обозначения, мы можем утверж-
дать, что всякое линейное уравнение эллиптического
типа с постоянными коэффициентами может быть при-
ведено к виду

п

+	.... хп). (7.10.)

сительно линейного преобразования, приводящего квадратичную
форму (7.6) к виду (7.8'). (См. А. Г. Курош, Курс высшей алгеб-
ры, § 25, Физматтиз, 1962.}
В случае гиперболического типа мы будем считать,
что имеется (п + 1) независимых переменных, и поло-
жим gn+i = t. Тогда всякое линейное уравнение гипер-
болического типа с постоянными коэффициентами при-
водится к виду

п

S —	4-т + с1и=/з(^- •••. х„, t).	(7.11)

dt “ dxi

Й = 1	к

В случае уравнения (6.1) с переменными коэффици-
ентами для каждой точки .... х“) области D можно
указать такое неособое преобразование независимых
переменных, которое приводит уравнение (6.1) к кано-
ническому виду в этой точке. Для каждой точки
(х°, ..., xty имеется, вообще говоря, свое преобразование
независимых переменных, приводящее уравнение (6.1)
к каноническому виду; в других точках это преобразо-
вание может не приводить уравнение к каноническому
виду. Дифференциальное уравнение с числом независи-
мых переменных больше двух (если исключить случай
постоянных коэффициентов), вообще говоря, невозмож-
но привести с помощью преобразования независимых
переменных к каноническому виду даже в как угодно
малой области. В случае же двух независимых перемен-
ных такое преобразование независимых переменных су-
ществует при весьма общих предположениях о коэффи-
циентах уравнения (6.1), как будет показано в следую-
щем параграфе.

§ 8. Приведение к каноническому виду
уравнений второго порядка

с двумя независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение второго поряд-
ка с двумя независимыми переменными

л д2и . nD д2и . д2и ,	ди ди\ п /о

Л +	+ г'	w) = P’(8Л)

где коэффициенты А, В и С суть функции от х и у,
имеющие непрерывные производные до второго порядка
включительно. Мы будем предполагать, что Л, В и С не
обращаются одновременно в нуль.

Уравнению (8.1) соответствует квадратичная форма

Afi+ZBhh+Ctl	(8.2)

Дифференциальное уравнение (8.1) принадлежит

1)	гиперболическому типу, если В*— АС >0 (квад*
ратичная форма (8.2) знакопеременная);

2)	параболическому типу, если В2 — АС = 0 (квад*
ратичная форма (8.2) знакопостоянная);

3)	эллиптическому типу, если В2 — АС<0 (квад-
ратичная форма (8.2) знакоопределенная).

Введем вместо (х, у) новые независимые переменные
(& т)). Пусть

* = £(•«. У).	= У)	(8-3)

— дважды непрерывно дифференцируемые
причем якобиан

А А

D&ri)	дх' дУ ,п

D (х, у)	di) di;	v

дх ’ ду

в области D.

В новых независимых переменных £ и rj
(8.1) запишется так:

функции,

(8-4)

уравнение

£)=°. <8-s>

где

CR, ’l)=^(£)’+2fig-g-+c(g.)!.	(8.6)

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить,
что

Й*-Ж=(В*-ЛС)(-£|!—g-g)’.	(8.7)
Отсюда легко видеть, что преобразование независимых
переменных не меняет типа уравнения.

В преобразовании (8.3) в нашем распоряжении две
функции £(х, у) и ij(Jt, у). Покажем, что их можно вы-
брать так, чтобы выполнялось только одно из условий

1) А=0, С = 0; 2) А —О, В = 0; 3) А = С, 5=0.

Тогда, очевидно, преобразованное уравнение (8.5) при-
мет наиболее простой вид.

1) В2 — АС > 0. В рассматриваемой области D урав-
нение (8.1) принадлежит гиперболическому типу. Мы
можем считать, что в точке (х0, у0), в окрестности кото-
рой мы будем приводить уравнение (8.1) к канониче-
скому виду, либо А =# 0, либо С ¥= 0.	i

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка

АШ+2В^+сШ=0- м

Пусть А =£0. Так как В2 — АС > 0, то уравнение (8.8)
можно записать в виде

[А ^+(5 + ]/Вг—АС) X

X [А £ + (* - У^АС)	= 0.

Это уравнение распадается на два:

Л -g-+(5 -4- VB2-AC)-^ = 0,	(8.8а)

A-g- + (5-/52-AC)-g- = 0.	(8.86)

Следовательно, решения каждого из уравнений (8.8а) и
(8.86) будут решениями уравнения (8.8).

Для интегрирования уравнений (8.8а) и (8.86) со-
ставим соответствующие им системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений

dx	dy	dx	dy

A ~ B + VB2 — AC ’ A ~ B — VW — AC
или

A dy — (В + У B2—AC) dx = 0,

A dy — (5 — /S2—AC) dx = 0.	(8'9)
Заметим, что уравнения (8.9) можно записать в виде
одного уравнения

Ady2— 2В dxdy 4-Сdx2 — 0.	(8.9а)

Коэффициенты дифференциальных уравнений (8.9)^
имеют непрерывные частные производные до второго по-
рядка, что следует из предположений о коэффициен-
тах А, В и С. Так как А(х0, Уо) =# 0. то существуют ин-
тегралы

<Pj(x, у) = const, tp2 (х, у) = const (8.10)
уравнений (8.9) и их левые части имеют непрерывные
частные производные до второго порядка в окрестно-
сти точки (х0, у0*). Левые части интегралов (8.10) бу-
дут соответственно решениями уравнений (8.8а) и (8.86),
а следовательно, и уравнения (8.8).

Кривые (8.10) называются характеристическими кри~
выми или просто характеристиками уравнения (8.1), а
уравнение (8.8) — уравнением характеристик.

Для уравнения гиперболического типа В2 — АС > 0
и интегралы (8.10) вещественны и различны. При этом
мы имеем два различных семейства вещественных ха-
рактеристик.

Положим в преобразовании (8.3)

5 =	у) = ?1(х, у), т1 = т1(х, у) = <р2(х, у),

где ф1(х, у) и фг(х, у) соответственно суть дважды не-
прерывно дифференцируемые решения уравнений (8.8а)
и (8.86). Эти решения можно выбрать так, чтобы яко-
биан	0 в некоторой окрестности точки (х0, у0)

области D. Так как А + 0, то из уравнений (8.8а) и
(8.86) мы имеем

d?i <fyi

дх ду — У В2 —АС д<?2

д<?2 д<р3	А ду ду

дх ду

Отсюда в силу В2—АС>0 и из уравнений (8.8а) и

*) В. В. С т е п а и о в, Курс дифференциальных уравнений, гл. 8,
§ 3—5, Физматгиз, 1959.
1(8.86) следует, что если якобиан в некоторой точке ра-
вен нулю, то в этой точке равны нулю обе частные про-
изводные первого порядка от <pi или ф2. Таким образом,
надо строить такие решения уравнений (8.8а) и (8.86),
у которых обе частные производные первого порядка
одновременно не равны нулю *).

Функции <pi(x, у) и ф2 (х, у) удовлетворяют уравне-
нию (8.8), и, в_силу (8.6), в уравнении (8.5) А = С = 0.
Коэффициент В + 0 всюду в рассматриваемой области,
что следует из (8.4) и (8.7). Разделив на коэффициент
23 уравнение (8.5), мы приведем его к виду

82и Л. да ди\	,о ...

^).	(8.11)

Этот вид уравнения также называется каноническим.

При А = С = 0 уравнение (8.1) уже имеет вид (8.11).
Положив

5 = а + р, т) = а —р

приведем уравнение (8.11) к виду

—4Й- = ф(а- Р>	(8.12)

да2 др2 •	\ г да д$}	'	'

Это — канонический вид уравнения гиперболического
типа.

2)	В2 — АС = 0. В рассматриваемой области D урав-
нение (8.1) принадлежит параболическому типу. Так как
мы предполагаем, что коэффициенты Л, В и С уравнения
(8.1) не обращаются одновременно в нуль, то в силу
условия В2 — АС = 0 следует, что в каждой точке этой
области один из коэффициентов А и С отличен от нуля.
Пусть, например, А Ф 0 в точке (хо, Уо), в окрестности
которой мы будем приводить уравнение (8.1) к канони-
ческому виду. Тогда оба уравнения (8.8а) и (8.86) сов-
падают и обращаются в уравнение

лтй-+в77=°-	<813>

*) Для этого достаточно для уравнений (8.8а) и (8.86) решить
задачу Коши, задавая при х = х0 соответственно значения ф1 (х, у)
и Фг(А У) так, чтобы (х0, у0) =£ 0 и (х0, у0)	0.
Нетрудно видеть, что всякое решение уравнения (8.13),
венду условия В2 — АС = 0, удовлетворяет также урав-
нению

въ+съ=°- <8'Ч)

Мы можем, как и в предыдущем пункте, найти такое
решение ф(х, у) уравнения (8.13), что функция ф(х, у)
имеет непрерывные частные производные второго по-
рядка и ее первые производные не обращаются в нуль
одновременно в некоторой окрестности точки (хо, уа)-
Отметим, что для уравнения параболического типа мы
имеем одно семейство вещественных характеристик
ф(х, у) = const.

Положим в преобразовании (8.3)

? = ?(*. у),

где ф(х, у)—решение уравнения (8.13), а за q(х, у)
возьмем любую дважды непрерывно дифференцируемую
функцию так, чтобы якобиан ¥» 0 в окрестности
точки (х0, Уо). Тогда в уравнении (8.5) Л=0, что еле-
дует из (8.6), а коэффициент при принимает сле-
дующий вид:

в — (А -^-4-В A'l	_u(в	-4-С

° ~дх ду ) дх дх ду ) ду ‘

Согласно (8.13) и (8Л4) В = 0 в окрестности точки
(х0, у0). Коэффициент С в уравнении (8.5) преобразует-
ся к виду

откуда С 4= 0, так как в противном случае в силу (8.13)’
якобиан Л?Я’ =0. Разделив на С ¥=0 уравнение (8.5),
мы приведем его к виду

с.	ди ди\	/Q

^- = Л(е, 7J, И,	(8.15)

Это — канонический вид уравнения параболического
типа.	J'
3)	В2 — АС < 0. В рассматриваемой области D ураа*
нение (8.1) принадлежит эллиптическому типу. Будем
считать, что коэффициенты Л, В и С суть аналитические
функции от х и у. Тогда коэффициенты уравнений (8.8a)J
и (8.86) — также аналитические функции от х и у, й
можно утверждать, что уравнение (8.8а) имеет анали«
тическое решение

<р(л:, у) = ?1(х, у)-Н<р2(х, у)

в окрестности точки (х0, у0) и 11*’| +1 "fy | ® в этой
окрестности*). Положим в преобразовании (8.3)

S = <Pi(*» у),' т) = <Р2(х, у).

Нетрудно показать, что	=£ О-

Разделяя теперь в тождестве

вещественную и мнимую части, получим

л(»!+2в>-£+сОУ=

.as ат) । я (as а^ । as а^ \ r as ач _п

71 дх дх~1~°\дх ду d"'a7'ajc'ду ду —и‘

Отсюда в силу (8.6) следует, что 4 = С, В = 0.
В силу определенности квадратичной формы

Л/?+2В/1/2 + Ctl	(В2 — АС < 0)

А = С могут обратиться в нуль только в том случае,
если

as as дц ат) л	,о . л.

а7 = ’а7==аГ= аГ=°-	<8Л6)

Но мы выбрали решение ф(х, у) таким образом, что ра«
венства (8.16) не выполняются одновременно. Таким

•) Существование такого аналитического решения следует из
теоремы Ковалевской [2].
образом, в уравнении (8.5) А = С =# 0, и после деления
на А оно приводится к виду

д2и ! д2и

Г? /г	<?И

М5’ V, и, -дГ

(8.17)

Это — канонический вид уравнения эллиптического типа.

Замечание. Может оказаться,что в различных ча-
стях области D уравнение (8.1) принадлежит различным
типам. Как уже было сказано, точки параболичности
уравнения (8.1) характеризуются равенством

Я2 — ЛС = 0.	(8.18)

Предположим, что множество точек области D, которое
описывается уравнением (8.18), является простой глад-
кой кривой о. Кривая а называется линией параболиче-
ского вырождения. Если кривая а делит область D на
две части, в одной из которых уравнение (7.1) принад-
лежит эллиптическому типу, а в другой — гиперболиче-
скому типу, то мы скажем, что в области D уравнение
(7.1) смешанного типа. Например:

1)	Уравнение Трикоми

У

д2и , д2и ___

lx2 "г Ту2 ~

— уравнение смешанного типа в любой области D, со-
держащей точки оси х. При у > 0 оно принадлежит эл-
липтическому типу, при у < 0 — гиперболическому типу,
у = 0 — линия параболичности.

2)	Уравнение

д2и , д2и____„

йх2 У 'ду2~[]

'— уравнение смешанного типа в любой области £), со-
держащей точки оси х; у = 0 — линия параболичности,
которая одновременно является характеристикой
(у = 0 — огибающая семейства характеристик).

Пример; Рассмотрим уравнение

о . д2и , д2и	ди л ,о ,

^-2sinxdW_cosx^F-cosxdy = 0: (8,19)
§'8] ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 45
это уравнение гиперболического типа, так как

В2 — АС = sin2x-f-cos2x= 1 > 0.

Согласно общей теории составляем уравнение (8.9а)

dy2 4- 2 sin xdxdy — cos2 x dx2 = 0
или

dy + (1 + sin x) dx = 0, dy — (1 — sin x) dx = 0.

Интегрируя эти уравнения, получим

.x-f-y—cosx = C1, x — у-f-cos x — G>.

Вводим новые переменные (|, т]) по формулам

£ = л:4-у— cos л, rj = x — y-]-cosx.

Тогда уравнение (8.19) в новых независимых перемен-
ных приводится к виду

-Д=о-

Положив | = а + 0, ri = a — 0, приведем уравнение
(8.20) к каноническому виду:

дги diu ___

~ ар" —

Уравнение £8.19) можно проинтегрировать в замкну-
том виде, т. е. найти формулу, дающую все решения
этого уравнения. Действительно, перепишем уравнение
(8.20) в виде

Тогда

Jr=9 01).

(77]	V ,Z

где Q(tj)—произвольная функция q. Интегрируя полу-
ченное уравнение по т), считая g параметром, найдем,
что

u = f 9(”»1)^4-?0).
где <p(g) —произвольная функция от g. Полагая
f б (-»?)	= Ф Сп),

получим

а = <р(0Ч-Ф01)

или, возвращаясь к старым переменным (х, у), получим
решение уравнения (8.19) в виде

п(х, у) — ч>(х-\-у— cosx)4-<P(aT—y + cosx).

Задачи. Привести к каноническому виду следующие уравнения:

о	/л. > . ,	х д3и ди	Л

1)	-ч-у	— 2 cos	л: -5—д---(3-4- sin2	х) -=-5- — у -г— =	О

дх2	дхду	' 1	'	ду3	ду	’

2)	^_2х^- + х2^-2^ = 0,

дх3 дх ду ду3 ду

3)	(И-^-^ + а + у^ + х ^ + >ау = °-

Ответы.

,. д3и -г; — 5 (ди ди\ п ,	_ ,	,

° d^+-32~bi~*г) = 0,5=2-*+sin*+*

т) = 2х — sin х — у\

д3и ди п , х3 .

2)	= ^^- + у^ = х-‘

3) $- + $-=0> e = in(x4-/l+T2), 4=in(y+/f+P).
ГЛАВА III

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

К уравнениям гиперболического типа приводят за*
дачи, связанные с процессами колебаний, например, за*
дача о колебаниях струны, мембраны, газа, электромаг-
нитных колебаниях и т. д. Характерной особенностью
процессов, описываемых такими уравнениями, является
конечная скорость их распространения,

§ 9.	Уравнение колебаний струны.
Решение Даламбера

1.	Неограниченная струна. Уравнение свободных ко-
лебаний однородной струны имеет вид

дги 9дги '	, ГТ	.

dt3 ~~а дх3' а~ V р ‘

Положим

5 = л — at, vi = x-\-at.	(9.2)

Нетрудно видеть, что х— at = сь х + at — с2 — суть ха*
рактеристики уравнения (9.1). Уравнение (9.1) в новых
переменных запишется в виде

или, переписав его в виде
д (ди\__________________________

"Э7 Ud ~

будем иметь

да
где и(£) — произвольная функция g. Интегрируя полу-
ченное уравнение по g, рассматривая q как параметр,
найдем, что

и~ /	^ + 02(’>)»

где 62 (й)—произвольная функция от ц. Полагая те-
перь

получим

« = М) + 02 (''!)•

Возвращаясь к старым переменным (х, t), будем иметь
и(х, /) = 0](х — а/) + 92 (х + а/).	. (9.3)

Нетрудно проверить, что функция и(х, t), определяе-
мая формулой (9.3), есть решение уравнения (9.1), если
Bi и 62 — произвольные дважды непрерывно дифферен-
цируемые функции. Решение (9.3) уравнения (9.1) на-
зывается решением Даламбера.

Выясним физический смысл решения (9.3).

Рассмотрим сначала частный случай колебания стру-
ны, когда 02 = 0, т. е. когда смещение струны опреде-
ляется формулой

И1 = si (х — at)-	(9-4)

Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный мо-
мент времени t = 0 из точки х = с струны, передвигается
в положительном направлении оси х со скоростью а,
т. е. его абсцисса меняется по закону х = с + at или
х — at = с. Для такого наблюдателя смещение струны,
определяемое формулой (9.4), будет оставаться все вре-
мя постоянным, равным 01(c). Самое явление, описы-
ваемое функцией ui=Qi(x — at), называется распро-
странением прямой волны. Таким образом, решение (9.4)
представляет прямую волну, которая распространяется
в положительном направлении оси х со скоростью а.
Точно так же решение «2 = 0г(* + at) представляет об-
ратную волну, которая распространяется в отрицатель->
ном направлении оси х со скоростью а.
Таким образом, решение (9.3) является суммой пря-
мой и обратной волн.

Это приводит к следующему графическому способу
построения формы струны в любой момент времени I.
Строим кривые

«1 = М4 «2 = 92(х),

изображающие прямую и обратные волны в начальный
момент времени t = 0, и затем, не изменяя их формы,

передвигаем их одновременно со скоростью а в разные
стороны: Ui = 61 (х) — вправо, и2 — 62 (х) — влево. Чтобы
получить теперь график струны, достаточно построить
алгебраические суммы ординат раздвинутых кривых.

Рассмотрим верхнюю полуплоскость xt, в которой
ось х соответствует положению струны в начальный мо-
мент времени t = 0. Всякая точка (х, t) нашей полупло-

скости характеризует определенную точку х струны з

определенный момент
впемени t. Нетрудно при
этом найти графи-
чески те точки струны,
начальные возмущения
которых дошли в момент
времени t0 до точки х0.
Это будут, согласно пре-
дыдущему, точки с абс-
циссами х ± а/0, так как

а есть скорость распространения колебаний. Для нахо-

ждения их на оси х достаточно провести через точ-
ку (х0, to) две характеристики

x — at = xQ — at0, x+at = x0+at0,	(9.5)

и в пересечении их с осью х и получаются искомые точ-
ки (рис. 3).

Вдоль первой характеристики 6i(x — at) сохраняет
постоянное значение, т. е. эта прямая дает те значения
(х, t), при которых прямая волна дает то же отклоне-
ние, что и при значениях (х0, t0). Вторая характеристи-
ка из (9.5) играет ту же роль для обратной волны
62(х + at). Можно сказать коротко, что возмущения рас-,
пространяются по характеристикам.

4 М. М. Смирнов
2.	Задача Коши. Найти решение уравнения (9.1),
удовлетворяющее начальным условиям

«Ь=о = Фо(-4 1г|,=0='Р1(л)-	<9-6)

Ввиду неограниченности струны функции <ро(х) и <₽i (-*)
заданы в (—оо, оо).

В решении (9.3) уравнения (9.1) нужно выбрать
функции 61 и 62 так, чтобы удовлетворить начальным
условиям (9.6). Из начальных условий (9.6) имеем

<Ро (х) = 9i (х) + 92 (х), сР1 (х) = — а [6; (х) — 6' (х)],

откуда, интегрируя второе равенство, получим

в1М+^М = %(4

1 Г	(9.7)

0i(x)-02(x) = -ly Ъ(2)^ + С,
о

где С — произвольная постоянная.

Из равенств (9.7) находим

0iW = ^’PoW—<Pi(z)d?+y,

о

,	(9.8)

M*)=7?Q(*)+i f ?i(z)cfz —-у.’

о

Подставляя (9.8) в (9.3), будем иметь

x-at

u(x, t) = ^-<?0(х — at)— f ?i(z)rfz+^ +

6

jc+at

+ -g-'Po(x + ^) + i f ?i(2)<7z —-J

0

или окончательно

x+at

u(x,Q=^~^+^+-*>+^ f ^)dz. (9.9)
x-at
Формула (9.9) дает решение задачи Коши (10.1),
(10.6), если <₽о(х) имеет непрерывные производные до
второго порядка включительно, а фДх) —до первого.

Задача Коши (9.1), (9.6) поставлена корректно. Дей-
ствительно, полученное решение единственно, что сле-
дует из способа вывода формулы (9.9). Несомненна, да-
лее, непрерывная зависимость решения (9.9) от началь-
ных данных. В самом деле, для любого е > 0 можно
указать такое 8 > 0, что если заменить <ро(х) и q?i(x) на
Фо(х) и фДх) так, чтД

IM*) — ?о(*)1 < 8> ki W — ?i (*)1 < 5 (— со<х<оо),

то разность между новым решением й(х, t) и первона-
чальным u(x, t) будет по абсолютной величине меньше s
на любом конечном отрезке времени. Это утверждение
легко следует из формулы (9.9).

Рассмотрим два частных случая.

1)	Начальные скорости точек струны
равны нулю, а начальное смещение имеет место
лишь в конечном промежутке (—а, а) струны, т. е.
фо(х) = 0 вне этого промежутка. Решение (9.9) выра-
жается при этом формулой

«(л, /) = Мх-аП + Мх + аО .	(9 10)

Решение (9.10) является суммой двух волн, распро-
страняющихся направо и налево со скоростью а, причем
начальная форма обеих волн определяется функцией
-2 ?о(х), равной половине начального смещения. Пусть
точка х струны лежит правее промежутка (—а, а), т. е,
х > а. При t <—из вида функции фо(х) и фор-
мулы (9.10) следует, что и(х, t) = 0, т. е. до точки х
волна еще не дошла. С момента времени t = —~~а точ-
ка х начнет колебаться (момент прохождения переднего
фронта прямой волны). При t > - ^~a из формулы
(9.10) следует, что u(x, f) = 0. Моменту времени
, х4-а	„

t = —-— соответствует прохождение заднего фронта
прямой волны через точку х, после чего в этой точке
и(х, t) обращается в нуль. Аналогичные рассуждения
можно провести для точек струны, лежащих внутри
промежутка (—а, а) или левее его. Таким образом, в
каждой точке струны после прохождения обеих волн (а
для точек, лежащих вне области начального смещения,
после прохождения только одной) наступает покой.

2)	Начальное смещение равно нулю, а
Ф1(х) отлична от нуля лишь в конечном промежутке
(—а, а). В таком случае говоря® что струна имеет
только начальный импульс. Решение (9.9) принимает
следующий вид:

x+at

u(x,t)=~ f «h(z)dz	(9.11)

x-at

или, полагая
x
if (z)dz=<!f(x),
0

подучим

« (x, t) = ф (x+at) — <}> (x — at),

t. e. по струне распространяются две волны — одна пря-
мая и одна обратная. Исследуем решение (9.11) более
подробно. Пусть точка х струны лежит правее проме-
жутка (—а, а). При / = 0 промежуток интегриройания
(х— at, х + at) вырождается в точку х, а затем, при
увеличении t, он расширяется в обе стороны со ско-
ростью а. При t < —~ он не будет иметь общих то-
чек с (—а, а), функция <pi(z) в нем равна нулю, и фор-
мула (9.11) даст и(х, t) *= 0, т. е. покой в точке х, На-
чиная с момента времени t — —-— промежуток (х — at,
х + at) будет налегать на (—а, а), в котором $i(z) от-
лична от нуля, и точка х начнет колебаться (момент
Прохождения переднего фронта волны через точку х).
Наконец, при t > промежуток (х — at, x + at)
будет содержать целиком промежуток (—а, а), интегри-
рование по (х — at, x + at) будет сводиться к интегри-
рованию по (—а, а), так как вне его <pi(z) = 0, т. е. при
~— мы имеем постоянное значение и(х, t)t рав-
ное
а

f^^dz.	(9.12)

— а

Момент времени	есть момент прохождения

заднего фронта волны через точку х.

Таким образом, действие начального импульса при-
водится к тому, что с течением времени точки струны
сдвигаются на отрезок, длина которого выражается ин-
тегралом (9.12), и остаются без движения в этом новом
положении. Волны оставляют после себя как бы след
своего прохождения.

3.	Ограниченная струна. Рассмотрим теперь струну
длины /, закрепленную на концах. Задача о колебании
такой струны сводится' к нахождению решения волно-
вого уравнения

при граничных условиях

«|х=о = О, «|л=1 = 0	(9.14)

и начальных условиях

«1/=о = ?о(*).	|(=0 = <Pi(*)	(0<x<Z). (9.15)

Решение Даламбера

и(х, /) = 91(х — aZ) + 62(x4-aZ),	(9.16)

конечно, годится в этом случае, но определение функ-
ций 91 и 62 по формулам

е1 (х) = j ?о (*) — 2^ J <Р1 (г) dz,

\	(9-17)

62(x) = 4?o(^)+i / <fdz)dz

6
встречает здесь то затруднение, что функции фо(х) и
фДх), а следовательно, бДх) и 62(х) определены лишь в
промежутке (0, Z) согласно физическому смыслу задачи,
а аргументы х ± at в формуле (9.16) могут лежать и
вне этого промежутка. Стало быть, для возможного при-
менения решения (9.16) нужно продолжить функции
бДх) и 9з(х) или, что вполне эквивалентно, функции
Фо(х) и ф1(х) вне промежутка (О, I). С точки зрения фи-
зической это продолжение сводится к определению та-
кого начального возмущения бесконечной струны,
чтобы движение ее участка (0, /) было то же самое, как
если бы он был закреплен на концах, а оставшаяся
часть струны была бы отброшена.

Для продолжения функций фо(х) и ф1(х) восполь-
зуемся граничными условиями (9.14), Подставляя в пра-
вую часть (9.16) х = 0 и х = I и принимая во внимание
граничные условия (9.14), получим

бД—aZ)+02(aZ) = 0, at)-i-e2(i-bat) = 0
или, обозначая at через х,

0Д— х) = — б2(х), 02(Z+x) = —Oj(Z —х). (9.18)

Когда х изменяется в промежутке (0, /), то первая из
формул (9.18) определяет функцию 61 (х) в промежутке
(—I, 0), вторая — функцию б2(х) в промежутке (I, 21).
Стало быть, обе функции бДх) и б2(х) вполне опреде-
ляются на промежутке длины 21. Далее, из равенств
(9.18) следует, что

02 (2Z-4- х) = - (- х) = 02 (х), 0! (2Z+х) = 0! (х),
т. е. функции 61' (х) и 62(х) являются функциями перио-
дическими с периодом 21. Итак, функции бДх) и 62(х)
определены при всех вещественных х.

Принимая во внимание, что

Фо (х) = 6j (х) + б2 (X), ф, (х) = а [02 (х) — б! (x)J,
мы найдем

Фо (— х) = 0, (— х) + 02 (— х) — — 02 (х) — 01 (х) = — Фо (х),
Ф1(—х) — а [^(—х) — 6г(—х)] = а [б^х)—02 (х)] = — ф! (х),
Фо (х + 21) = ф0 (х), T1(x-|-2Z) = f1(x).
Эти формулы показывают, что функции фо(х) и Ф1(х)
продолжаются из промежутка (О, I) в промежуток
(—I, 0) по закону нечетности, а затем с периодом 21.

Чтобы полученное решение имело непрерывные про-*
изводные до второго порядка включительно, нужно, по-
мимо условий дифференцируемости функций <ро(х) и
<р1 (х), потребовать еще выполнения условий

<Ро(О) = ?о(О = О. ф;'(О) = ф;(/)=О, Т1(0) = ?1(/)=0.

Это есть условия согласования начальных и граничных
условий.

 Выясним, какое действие оказывают закрепленные
концы струны на< ее колебания. Для этого обратимся к
полуплоскости xt. Ввиду ограниченности струны надо
рассматривать только полосу верхней полуплоскости
/>'0, заключающуюся между прямыми х = 0 и х = /
(рис. 4). Проведем через точки 0 и L характеристики до

встречи с противополож-
ными границами полосы, t
через полученные точки
пересечения опять прове-
дем характеристики до
встречи с противополож-
ными границами полосы
и- т. д. Мы разобьем,
таким образом, полосу-
на области (I), (II),
(III), ...

Точки области (I) со-
ответствуют тем момен-
там времени t, когда к
точкам х струны доходят
прямая и обратная вол-

Рис. 4.

ны, вышедшие в началь-

ный момент времени, из внутренних точек струны. Сле-
довательно, фиктивно добавленные бесконечные части
струны еще на процесс колебания не влияют.

Точки вне области (I) соответствуют тем моментам
времени t, когда к точкам х струны доходят уже волны,
вышедшие в начальный момент времени из> фиктивной
части струны. Возьмем, например, точку М0(х0, t0) в
области (II). Так как

«(х0, to) — 61 (-«О — at0) + 02 (х0+at0),

то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, до-*
шедшая от начально возмущенной точки All струны с
абсциссой х = х0— at0, другая — обратная из точки М2
с абсциссой х = Хо + at0, причем в данном случае Afi
есть реальная точка струны, М2—фиктивная. Нетрудно
заменить ее реальной точкой, заметив, что в силу (9.18),

(хо 4~ at0)= G 4~ хо 4" ato — ty — — ® i (2/ — — а^о)

и,таким образом, обратная волна 62(^0 + ato) есть нечто
иное, как прямая волна —91(2/— Хо — ato) от начально
возмущенной точки Л42(2/— х0— atQ) (симметричной с
М2 относительно точки L), которая, дойдя до конца
струны L в момент

_ z — (2Z — х0 — atp) х0 4- д/0 — z
а	а ’

изменила свое направление и знак на обратный и к мо-
менту времени t0 дошла в таком виде до точки Af0.

Таким образом, действие закрепленного конца х = I
свелось к отражению волны смещения, связанному с
переменой знака смещения и с сохранением его абсо-
лютной величины.

То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших
до конца х = 0; в точках области (III) мы будем иметь
две волны: обратную и прямую, отраженную от конца
х = 0. В точках областей (IV, (V), (VI), ... получим
волны, которые претерпели несколько таких отражений
от обоих концов струны.

Из предыдущих рассуждений следует, что колебание
струны, закрепленной на концах, будет периодическим

2Z
с периодом —.

Задачи. 1) Струна бесконечной длины х>0 находилась в со-
стоянии равновесия. При Z>0 точка х = 0 совершает малые колеба-
ния A sin ©Z. Показать, что смещение точки струны с абсциссой
х > 0 определяется формулой

при

а

и (х, Z) =

A sin <о 11— — I при <>—.

2)	Однородная струна, закрепленная на концах х = 0 и х = I,
имеет в начальный момент времени t = 0 форму параболы, симметрии-

Z
ной относительно перпендикуляра, проведенного через точку х = -%.

Определить форму струны в моменты времени

предполагая, что начальные скорости отсутствуют

§ 10. Уравнение гиперболического типа с двумя
независимыми переменными

Рассмотрим уравнение

Дг + «(х, У)^ + 6(х, у)-^ +

+ г(х, y)w=/(x, у); (10.1)

к‘такому виду, как мы видели в гл. II, § 8, приводится
линейное гиперболическое уравнение с двумя независи-
мыми переменными (а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и f(x, у)~
непрерывные функции).

Уравнение характеристик для уравнения (10.1) имеет
вид

да> да>	г.	дл	п да>	„

-3—-д—= 0 ИЛИ -д— — 0,	-д—— 0.

дх ду	дх ду

Эти уравнения имеют соответственно решения у и х.
Следовательно, х = const, у = const — суть характери-
стики уравнения (10.1).

1. Задача Коши. Пусть в плоскости ху дана дуга
кривЬй /, которая пересекается не более чем в одной
точке с прямыми, параллельными осям координат.
Уравнение этой дуги может быть записано в виде y=g(x)
или х = h(y). Будем считать, что существуют производ-
ные g'(x) и h'(y), отличные от нуля.

Пусть вдоль дуги кривой I заданы значения и и
ди ,
~ду'

=	-S7L.,ul=’i>.W-	00-2)

* ,У”6 *** '

Данные Коши (10.2) позволяют на кривой у = g(x)'
найти значения производной-^-. Действительно, диф-
ференцируя по х первое из (10.2), получим

I “Ь тт- I	S' (•*)= ?о (x)t

дх \y=gw дУ \y=gWS ' 7	'

откуда

44 |,=<м = 'Ро (*) — ?1 (х) S' (*) = ш (•*)•	(10-3)

Задача Коши ставится так: требуется найти решение
уравнения (10.1) в некоторой окрестности кривой I,
удовлетворяющее данным Коши (10.2).

Введем функции
v==-dl> ‘w = -d^-	<10-4)

Тогда уравнение (10.1) равносильно системе трех урав-
нений

4у = f(x, у) — av — Ьто — си,

4j — f(x, у) — av — b-w — си,	(10.5)

Возьмем в прямоугольнике ABCD (рис. 5) произ-
вольную точку-N(x, у) и проведем через нее характери-
стики NP. и NQ до пересечения с кривой I, Интегрируя.
первое и третье уравнения системы (10.5) по пря-
мой QN, а второе — по PN и принимая во внимание
(10.2), (10.3) и (10.4), получим

у

v (х, у) = <о (х)+ J [/(х, у) — at) — bw — cu] dy,

eW

X

w (х> У) = <Pi (х) 4- J lf(x> y) — av —bw — си] dx, (10.6)
Л(У)

,	У

и (х, у) = ср0 (х) 4- J w (х, у) dy.

Очевидно, что если ы(х, у) есть решение уравнения
'<10.1), удовлетворяющее данным Коши (10.2), то функ-
ции v, w и и удовлетворяют
системе интегральных урав-
нений (10.6). Обратно, не-
прерывное решение (и, v, w)
системы уравнений (10.6)
удовлетворяет, очевидно,
системе дифференциальных
уравнений (10.5), а функ-
ция и(х, у) удовлетворяет
уравнению (10.1) и услови-
ям (10.2). Действительно,
из третьего уравнения си-

стемы (10.6) имеем -^- = да. Кроме того, в силу (10.4),
<10.5), (10.3) и первого уравнения (10.6)

у

^-=?o(x)-w(x, y)],=g(Jt)g'(x) + f ^dy =
gM

У

.,.£'(*)+ f №. y)-av-bw-cu] dy=
У

= То(*) — Т1 (*)ё'(-*)-I- f [f(x, y) — av — bw — cu\dy=>
gW

у

= <o(x)4- f [f(x, y) — av — bw— cu]dy = v.
gw

Следовательно, оба уравнения (10.4) выполняются. Под-
ставляя теперь (10.4) в первое уравнение системы
(10.5), мы убеждаемся, что функция и(х, у) удовлетво-
ряет уравнению (10.1). Легко видеть, что и(х, у) удов-
летворяет данным Коши (10.2).

Таким образом, задача Коши (10.1) — (10.2) све-
лась к доказательству существования непрерывного ре-
шения системы интегральных уравнений (10.6).

Решение системы (10.6) будем искать методом по-
следовательных приближений. За нулевое приближение
берем

т>0 = <о(х), wu==?1(x), м0 = %(х),
и следующие приближения вычисляются по формулам

?) = *’(*) +

У

+ f [Ж У)—bw„-i—cun_x\dy,
gw

у) = Т1(л) +

+ J |Ж у) — avn.t — bwn^— cun_}]dx, (10.7)
Л(У)

У

y) = To(x)+ f w„-i(x, y)dy
i'W

(/1=1, 2, 3, ...).

Докажем равномерную сходимость последовательно-
стей {un, wn, un} в криволинейном треугольнике BCD
(см. рис. 5).
Мы имеем

®л+1 — ^п =

У

=- f [a^n-vn-i)+b(wn-wn_^c(un-iin_x)\dy,
gw

Wn+i — W„ =

•	(10 8\

= - J [a(v„-v„_1)+&(w„-w„_1)+c(u„-un_1)]dxt
ft(y)

У

ия'+1 — ил = f (w„ — w„_j) dy.
gW

Покажем, что разности | vn — on-i[, I wn — wn-i I,
| un — un _ 11 удовлетворяют неравенствам

Ivn- vn_J <Kn-'A •(х + у-~^а~у°)Я~1,

(10.9)

I- ««-!I <Kn~'A	,

где Л4 = тах[|аЦ-|&| + |с|], 7<=max(l, M) и A —неко-
BCD

торая постоянная.

При n— 1 справедливость (10.9) очевидна, если вы-
брать А достаточно большой. Покажем, что эти неравен-
ства останутся справедливыми при замене п на п 4- 1.
Из равенств (10.8) имеем, например,
у

/(|о|+|б|+к1)^я~1^-+У1>Тн)',~1^<
•/	V* "’

g(x)
у

Уо

^+у-Хо..-УоГ. {х > Xot yo<g (х) <
Точно так же оцениваются и другие разности
|и1п + 1 —wn| и | ип + 1 —ып|. Из оценок (10.9) следует
абсолютная и равномерная сходимость рядов

^o + 21(-yn — Ч.-0.	^о4-2(®«—

_Л=1	Л=1

«о+3(«Я —«л-1).

Л = 1

члены которых по абсолютной величине меньше членов
равномерно сходящегося ряда

А + А 2 Кп~1 —= А 0 + е* (л+у-л°-у»’)-
Л = 1

Следовательно, последовательные приближения on, wn
и ип в криволинейном треугольнике BCD равномерно
стремятся соответственно к определенным пределам v,
w и и. Предельные функции непрерывны, так как все
последовательные приближения непрерывны. Переходя
к пределу в формулах (10.7), мы получим, что предель-
ные функции и(х, у), w(x, у) и и(х, у) удовлетворяют
системе (10.6).

Единственность решения системы (10.6).
Допустим, что мы имеем два различных непрерывных
решения системы (10.6) щ, wi, ut и v2). ai2, и2- Обозна-
чим V = th —v2, W — Wi — w2, U = Ui — th- Тогда, V, W,
U удовлетворяют однородной системе уравнений

у

|Z(x, у) = — f (aV-HrW+cU)dy,
gw

W(x,y) = —f(aV-^bW+cU)dx, (10.10)
л (У)

U(X, у)= j W(X, y)dy.
гм

Нужно доказать, что V = W — U = 0. Функции V,
W и, U непрерывны и ограничены, как разности непре-
рывных функций в замкнутом криволинейном треуголь-
нике BCD. Значит, существует такая постоянная В, что

|1Г|<5, |L7|<S.

Из (10.10) имеем

J V(x, у)| < f (|a| + |*| + |4.|)Z?rfy <

< кв (у - у0) < кв —4=х71ЛГо~^) .

11Г (х, у) |< КВ	,

|U(х, у)|<КВ	V°~y8) •

Применяя метод математической индукции, получим сле-
дующие оценки

1кяв	у—х° — у^п | i^i кяв^х	— Ха — Уа>п

I и\ <кав	у°Л

для любого п. Отсюда следует, что V =* VF =» (/ — 0, т. е,
»1 = U2, W1 = ®2. «1 = U2.

2. Задача Гурса. Требуется найти решение уравнения
(10.1), принимающее заданные значения на характери-
стиках х = Хо и у = Уо’.

«lz-.ro = $1 (у). Уо<У<Ь,
I / Ч / /	(Ю-И)

«1у=Уо = ^(х), х0<х<а.	4	1

Будем считать, что <pi(y) и фг(-к) имеют непрерывные
производные первого порядка и $i(«/o) = 92(^0).

Введем, как и в случае задачи Коши,

ди	ди	г. ,

w=-^r-	<10-12)
Тогда уравнение (10.1) равносильно системе трех ура-
внений

-^•==/(х, у) — а(х, у)о — b(x, y)w — c(x, у)и,

У)~ а(х< У)^ — b(x, y)w — c(x, у) и, (10.13)

Отсюда, принимая во внимание (11.2) и (11.3), следует,
что

у

о(х, у) = ср'(х)-|- f [/(•*> У)~av — bw — ctt\dy,

Уо

X

w(x, y) = 'f>i(y)4_ J[/(*> У)— av — bw — cu\dx, (10.14)

У

zz(x, y) = <p2(x)+ Jwdy.

Уо

Как и в случае задачи Коши, доказывается, что за-
дача Гурса (10.1), (10.11) сводится к доказательству
существования непрерывного решения системы инте-
гральных уравнений (10.14). Как и выше,существование
я единственность системы (10.14) доказывается методом
последовательных приближений.

§11. Волновое уравнение

1. Формула Пуассона. Рассмотрим волновое урав-
нение

д2« _ 9 (д2и , д2и , д2и\
dt2 ~~а \dx2^~~Sy2"^~'dz2)

(ИЛ)

и будем-искать его решение, удовлетворяющее началь-
ным условиям

«Ii=q = !PoUi У. г),.	у, г). (П.2)
Мы будем предполагать, что у, г) непрерывна вме-
сте со своими производными до третьего порядка, а
Ф1(х, у, г) до второго порядка включительно во всем
пространстве.

Покажем сначала, что интеграл

и(х, у, z, t) = ~ f f —°- dar,	(11.3)

'Sai

взятый по поверхности сферы Sat радиуса г = at с цен-
тром в точке Л1(х, у, г), является решением волнового
уравнения (11.1); здесь ф(|, т], £) —произвольная функ-
ция.

Заметим, что координаты точек сферы Sat могут
быть выражены по формулам

t = x-{-aat, 7] = у + ^а/, С ==z-\~iat,

где (a, J3, •[) — направляющие косинусы радиусов сферы
Sat- Мы их можем записать в виде

а = sin 6 cos ф, p = sinOsin<p, f = cos0,

где угол 6 меняется от 0 до и и угол ф от 0 до 2it. Когда
точка (|, г], £) описывает сферу Sat, точка (а, 0, 7) опи-
сывает сферу S] радиуса, равного единице, с центром
в начале координат, а между соответствующими элемен-
тами площади dar и da\ обеих сфер имеется соотношение

dar = г2 da} = a2t2 dol — a2t2 sin 0 d9 dty.

Тогда интеграл (11.3) приводится к виду

и(х, у, z, t) = ~ f f tp(x + a.at, y + M.

's'	(11.4)

Отсюда легко заметить, что функция и (х,у, z, t) имеет не-
прерывные производные до К-го порядка, если функция
ф(£, Л> С) непрерывна вместе со своими производными
до К-го порядка (К 2).

Из формулы (11.4) находим

1 J_ Г

дх2 "т- ду2 -г dz* ~ J J \ di2 “Г" дт? д? J а'

5 М М. Смирнов
или, возвращаясь к первоначальной области интегриро-
вания,

д1и । д3ц , дги 1 С Г (д*<Г ।	। d’<p\ Z1,

Э^г' + 'З/+'3?''“ 4яаЧ ,/ J	г

Sat

Дифференцируя теперь выражение (11.4) по /, получим

= f f <f(x+aat, y + ^at, z+fatjda^

+£//(^+^+^Ь о-в)

d2u

Чтобы вычислить ~др-> перепишем (11.6) в. виде

	W-=7+w//H+₽^+^)^

sat

и, применяя формулу Остроградского, получим

•y-T+iir / f

Dat

где Dat — шар радиуса г = at с центром в точке
М (х, у, г). Полагая

Dat

будем иметь
ди   и , /
dt	t ~1~ 4r.at

Дифференцируя это выражение по t, получим

д»и __ и_ , J_/«i_____7 \	1 I 1	_ 1 rf/ ।

di1 t2 t \ t ”1” 4itaf / 4nai2 ’’ 4rcaf dt 4icat dt *

(11-7)

Нетрудно видеть, что

<"-8>

Sat
В самом деле, переходя в интеграле / к сферическим
координатам (р, 9, ф) с центром в точке М(х, у, г),
имеем

at 2-п я

ООО

Дифференцируя по t, получим
2л к
о о	к

=“f
Sat

Сравнивая равенства (II.5), (Н.7) и (П.8), мы видим,
что функция и(х, у, z, t), определяемая формулой (Н.З),
удовлетворяет волновому уравнению (ll.l), какова бы
ни была функция ф(х, у, z), имеющая непрерывные про-
изводные до второго порядка. Из формул (II.4) и (11.6)
непосредственно следует, что функция и(х, у, z, t) удо-
влетворяет начальным условиям

«|/=о = О. 4г|/=ог=<р(Ж’ У’ <lL9)

Если и есть решение волнового уравнения (ll.l) с
начальными данными (Н.9), то легко видеть, что
функция
,	ди

Т)(х, у, Z, 0 = -^

будет также решением уравнения (ll.l), удовлетворяю-
щим начальным условиям

г»1/=о = <?(*» У> г),
dv I __ д3и I __ 2 ( д2и i ^2а . дги \ I _(П.Ю)

ЭГ|<=0 “ <№ |/=0 ~а \дх* ду3 *” дг3] |/=0 -и-

Взяв теперь за ф(х, у, г) в случае начальных усло-
вий (II.9) функцию <pi(x, у, г), а в случае начальных
условий (11.10) функцию фо(х, у, г) и сложив построен-
ные таким образом решения, будем иметь решение ура-
внения (11.1), удовлетворяющее начальным условиям
(Н.2).

Таким образом, решение волнового уравнения (11.1),
удовлетворяющее начальным условиям (11.2), запи-
шется в виде

sat

Sat

Эта формула называется формулой Пуассона.

Чтобы более ясно представить себе физическую кар-
тину распространения волн в трехмерном пространстве,
описываемую формулой Пуассона (11.11), положим, что
начальное возмущение сосредоточено в некоторой огра-
ниченной области V с границей S, т. е. что функции <ро
и ф! равны нулю вне области V. Пусть точка М(х, у, г)
находится вне области V. Обозначим через d и D соот-
ветственно наименьшее и наибольшее расстояния от М
до.точек поверхности S (рис. 6). При t < ~ сфера Sat
находится вне V, обе функции <р0 и ф1 равны нулю на
сфере Sai и из формулы (11.11) имеем и(М, t) —0, т. е.
начальные возмущения еще не успели дойти до точки М.
В момент t — сфера Sat коснется поверхности S и пе-
редний фронт волны пройдет через точку М. Начиная
с момента времени до момента времени t =
сфера Sat будет пересекать область V и формула (11.11),
дает и(М, /) #= 0. Наконец, при t > сфера Sat не бу-
дет иметь общих точек с поверхностью S (вся область
V будет лежать внутри сферы Sat) и из формулы (11.11)
будем иметь и(М, t) =0, т. е. начальные возмущения
уже прошли через точку М. Моменту	соответ-

ствует прохождение заднего фронта волны через точ-
ку М. Передний фронт волны в заданный момент вре-
мени t представляет собою поверхность, отделяющую
точки, которые еще не начали колебаться, от точек, ко-
торые уже колеблются. Из предыдущего вытекает, что

все точки этой поверхности
имеют кратчайшее расстояние
от S, равное at. Передний
фронт волны есть огибающая
для семейства сфер, имеющих
центры на поверхности S и
радиус at. Задний фронт вол-
ны в заданный момент t пред-
ставляет собою поверхность,
отделяющую точки, которые
еще колеблются, от точек, в
которых колебание прекрати-
лось. Постоянная а является
скоростью распространения
фронта волны.

Таким образом, начальное

возмущение, локализованное

в пространстве, вызывает в каждой точке М простран-
ства действие, локализованное во времени; при этом

имеет место распространение волны с передним и зад-
ним фронтами волн (принцип Гюйгенса).

2.	Цилиндрические волны. Рассмотрим частный слу-
чай, когда функции <р0 и <pi зависят только от х и у, т. е.
сохраняют постоянное значение на всякой прямой, па-
раллельной оси г. Если передвигать точку М(х, у, г)
параллельно оси г, то, очевидно, правая часть формулы
Пуассона (11.11) не будет менять своего значения, т. е.
функция и также не будет зависеть от г, и формула
(11.11) дает решение уравнения

д2и
dt2

л2 -т-1-4

\ дх2 1

д2и\

ду2)

(11.12)

при начальных условиях

«Ь=о = ?о(^ У)>	=	У)-

(11.13)
Мы можем рассматривать решение (11.11), оставаясь
исключительно на плоскости ху. Для этого надо инте-
гралы формулы (11.11), которые берутся по сферам,
преобразовать в интегралы по кругам на плоскости ху.
Возьмем точку М(х, у) на плоскости ху. Точки с коор-
динатами (|, т], £), определяемые по формулам

t — x-\-aat, Ti = y-)-$at, ^ = 2-^-(ai

при 2 = 0, суть переменные точки сферы Sal с центром
М(х, у, 0) и радиусом at. Части этой сферы, находящие-
ся над и под плоскостью ху, проектируются на плоскость
ху в виде круга Cai с центром М(х, у) и радиусом at.
Известно, что

dCat = cos (nz) d<sal,

где n — направление нормали к Sat, т. е. радиуса этой
сферы, образующей острый угол с осью Oz. EcjiuN — пе-
ременная точка сферы, Nt— ее проекция на плоскость

ху, то

cos (nz)

Ml
| AW|

/ дЦ2 — (£ — ху — (Т) — у)а~
at

где (%, т|) —координаты переменной точки круга Cat.

В результате преобразования формулы (11.11) мы
получим

и(х, у, t) = ^-4- f Г Г.....------------------1-

Cat

+ f Г--------------------------- (1114)

cat

Эта формула дает решение волнового уравнения (11.12),
удовлетворяющее начальным данным (11.13).

Положим, что начальное возмущение ограничивается
некоторой конечной областью В на плоскости ху с кон-
туром I, т. е. ф0(х, У) и фДх, у) равны нулю вне В. Пусть
точка М(х, у) лежит вне области В. Для моментов вре-
мени t < —, где d — наименьшее расстояние от М до кон-
тура /, круг Cat не имеет общих точек с областью В,
функции фо(х,у) и фДх, у) равны нулю во всем
друге Cat и формула (11.14) дает и(х, у, t) =0 — до
точки М возмущение еще не дошло. В момент t — в
точку М придет передний фронт волны. Для зна-
чений ^>-у,где D — наибольшее расстояние от М до
контура I, круг Cat будет содержать внутри себя всю
область В и мы получим

и(х v 1 д Г С  ?о(И)Д*1	.+

В

4- J- f Г г. ?.(6.ч)Д*)	(11>15)

г 2*а J J уа№ — Ц-—х'р — ^ — уУ

в )

, D

В данном случае, после момента времени» = — функция
«(х, У, t} не обращается в нуль, как в случае трехмер-
ного пространства. Но ввиду присутствия а2/2 в знаме-
нателе мы можем утверждать, что и(х, у, f)->0 при
i->oo. Таким образом, начальное врзмущение, локали-
зованное на плоскости, не локализовано во времени.
В этом случае возникает волна, которая имеет перед-
ний фронт волны, но не имеет заднего фронта (принцип
Гюйгенса не имеет места). В трехмерном пространстве
уравнению (11.12) соответствуют так называемые ци-
линдрические волны.

3.	Непрерывная зависимость решения от начальных
данных. Все выведенные формулы, дающие решение за-
дачи Коши для волнового уравнения, содержат инте-
гралы от начальных функций, умноженных на опреде-
ленные функции, и производные по времени от таких ин-
тегралов. Поэтому если изменить начальные функции
Фо и Ф1 так, чтобы при этом они сами и их первые про-
изводные достаточно мало изменились, то при этом
мало изменится и функция и, дающая решение задачи
Коши, т. е. имеем непрерывную зависимость решения от
начальных данных. При этом предполагается, конечно,
что рассматриваются только ограниченные значения t,
если область, на которой задаются начальные функции,
бесконечна.
4.	Теорема единственности. Докажем единственность
решения задачи Коши для волнового уравнения. Для
простоты письма будем считать а = 1, чего можно до-
, i
стигнуть, заменяя в волновом уравнении t на—. Для
определенности рассмотрим случай трех независимых
переменных:

д2и д2и . д2и
dt2 дх2 ' ду2

«1/=о = ?о(*> У). 1г|,=0 = 'Р1(х-у)-	О1-17)

Покажем, что задача Коши (11.16), (11.17) имеет
единственное решение в классе дважды непрерывно
дифференцируемых функций. Предположим, что
«1(х, У, 0 и и2(х, у, t) удовлетворяют уравнению (11.16)
и начальным данным (11.17).Тогда разность и(х,у, t) =
= U\(x, у, t) —ы2(х, у, /) будет удовлетворять волново-
му уравнению (11.16) и нулевым начальным данным

«и = 0, -^-1=0.	(11.18)

*	ш 1/=0

Покажем, что и^О при любых значениях (х, у) и
любом t > 0. Рассмотрим трехмерное пространство
(х, у, t) и возьмем произвольную точку Af(x0, Уо, tn),
причем tn > 0. Из этой точки, как вершины, проведем
конус

(/ _ /0)2 _	_ Хо)2 _ (у _ уо)2 = 0

до пересечения с плоскостью t = 0. Этот конус будем
называть характеристическим конусом*). Пусть D — об-
ласть, ограниченная боковой поверхностью характери-
стического конуса и частью плоскости t = 0, находя-
щейся внутри конуса (D — конус).

Нетрудно проверить следующее тождество:

ди / д2и	д2и	д2и \ 

dt ( dt2	дх2	ду2)

JL Г( V i ( )2 i f )21 о д ( ди ди\ Q д (du du\
dt Ц дх J ' [dy J dt ) J ^дх \ dt dix ) dy \ dt dy ]

Более подробно об этом см. § 12.
Проинтегрируем это тождество по области D. Интеграл
от левой части равен нулю, так как и является реше-
нием уравнения (11.16):

D

_2d^^L\_l2d/^_^dxeiydt.
дх \ dt дх ) ду \ dt ду J)	*

Преобразуем этот интеграл по поверхности области О,
пользуясь формулой Остроградского. Обозначим через Г
боковую поверхность конуса, а через оо — его основа-
ние. Так как на со в силу начальных данных (11.18)
да да ди „

=-^-= О, то остается только один интеграл
по Г:

Г

~2 w^cos^ — 2 IF 11? cos (ny) | rfS = 0. (11.19)

На боковой поверхности Г характеристического конуса
cos2 (nt) — cos2 (nx) — cos2 (ny) = 0.

Равенство (11.19) можно теперь переписать в виде

f f тда {[£cos № - if cos М2 +
г

+ ^-|yCOs(n/) —cos(«y)j2 |tZS = O- (11.20)

На поверхности Г cos (nt) —

и так как подынте-

гральная функция непрерывна и неотрицательна, то из
(11.20) следует, что она на поверхности конуса равна

нулю, т. е.

cos (nt) — J- cos (nx)=0, cos (nt) — ~ cos (ny)=0

(на Г)
или

да	да	да

_ ду — —X (11211
cos (пх) cos (пу) cos (ni) ’	' * '

Обозначим через I направление какой-нибудь образую-
щей характеристического конуса, тогда, воспользовав-
шись равенствами (11.21), получим
ди ди .... ди /. ч , да ....

'dl==~d^03	+ d? C0S + ~dt cos =

= X [cos (пх) COS (lx) 4- cos (ny) COS (ly) 4- cos (nt) cos (//)[ =

= Xcos(n/)=0,

так как образующая конуса всегда составляет прямой
угол с нормалью к его поверхности. Итак, вдоль обра-
зующей I и = const. В точке, где образующая конуса пе-
ресекает плоскость t = 0, значение и = 0. Поэтому
и = 0 вдоль образующей конуса. В частности, это вы-
полняется и в вершине конуса в точке М: и(М) = 0, что
и требовалось доказать. Это утверждение сохраняет
свою силу, если однородные начальные условия (11.18)
имеют место не на всей плоскости ху, а лишь на осно-
вании оо области D. Отсюда можно заключить, что зна-
чение решения волнового уравнения (11.16) в точке
М(х0, Уо, to) зависит от 'значений начальных данных
только на той части плоскости t = 0, которая вырезается
из плоскости t = 0 характеристическим конусом с вер-
шиной М (х0, уо, t0).

5.	Неоднородное волновое уравнение. Рассмотрим
уравнение

дги ,/д3и . д3и . д3и\ , ,,	...

'df3~~a ду3 дг3 )+/(•*’ У' z' (П-22)
и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым
начальным условиям

«1/=о = О, ^-^о = О.	(11-23)

Добавляя к этому решению решение однородного урав-
нения, удовлетворяющее начальным условиям (11.2), по-
лучим решение уравнения (11.22), удовлетворяющее ус-
ловиям (11.2).
Для решения задачи (11.22), (11.23) рассмотрим
однородное уравнение

^.=a2l^L t	- (Ц 24)

dt1 а \дх3 ду3 дг3)*

удовлетворяющее начальным условиям

^ = 0, ^-\^=/(х,у,г,т),	(11.25)

причем за начальный момент времени взято не t = 0, а
t = т, где t — некоторый параметр. Решение задачи
(11.24), (11.25) будет выражаться формулой Пуассона,
но только в этой формуле нужно заменить t на I — т, по-
скольку начальным моментом времени является не
t = 0, a t — т. Итак, мы имеем

v(x, у, z, С, т) = -Ц^- У J7[x + aa(f — х), у +
s.

-4- pa (t — *), z-j--[a(i — т), т| rfe,. (11.26)

Покажем, что функция и(х, у, z, t), определенная фор-
мулой
i

и(х, у, z, t) = J -о(х, у, z, t\ x)dx, (11.27)
о

является решением неоднородного волнового уравнения
(11.22) при нулевых начальных данных (11.23).

Действительно, из формулы (11.27) находим
t

Ьи = J Д'н(х, у, z, t', t)dx. (11.28)
о

Дифференцируя выражение (11.27) по t, получим

t

+ У’г’О1-29)
6

Здесь внеинтегральный член равен нулю в силу первого
из условий (11.25). Дифференцируя еще раз по t, будем
иметь
t

д2и Г d2v , , dv (х, у, z, t; t) I

IF = J -^2-	--------/,

0

причем внеинтегральный член равен f(x, у, z, t) в силу
второго из условий (11.25), т. е.

t

=	(11.30)

б

Из формул (11.28), (11.30) и уравнения (11.24) не-
посредственно вытекает, что функция и(х, у, z, /), опре-
деленная формулой (11.27), удовлетворяет неоднород-
ному уравнению (11.22). Начальные условия (11.23)
также выполнены, что следует из формул (11.27) и
(11.29).

Подставляя теперь в формулу (11.27) вместо функ-
ции ее выражение (11.26), получим

t

u(x,y,z, = f (/ —т){УУ’/[х + аа(/ —t), у +
б	1 's,

4- pa (/ — т), ya (t — t); t] dax | dz.

Введем вместо i новую переменную интегрирования
г = a(t — т). Тогда будем иметь
и(х, у, z, t) =

at it . |О .	. г\

= 4-^ ./ ./ J ~--------г---------- Sin 6

0	0	0

Вводя вместо сферических прямоугольные координаты
$ = % + ar, '>? = y + pr, Z = z-{-fr

и принимая во внимание, что а2 + |32 + у2 = 1, получим
г = /(х-^-Ну-’гГ-Нг-С)2,
и выражение для и(х, у, z, t) окончательно запишется в

виде

0 = ^2 f f f

D„t

/(?, z, t — -)
\ a !

Г

dldudt, (11.31)

где Dat — шар радиуса at с центром в точке (x, у, z).

Выражение (11.31) называется запаздывающим по-
тенциалом.

Отметим, что при выполнении интегрирования функ-
ция f берется не в рассматриваемый момент времени t,
а в момент времени t — предшествующий моменту t
на такой промежуток времени, какой потребуется про-
цессу, распространяющемуся со скоростью а, для про-
хождения пути от точки (£, т], £) до точки (х, у, z).

Совершенно так же, как и выше, мы можем полу-
чить решение неоднородного волнового уравнения

удовлетворяющее начальным данным

Это решение имеет следующий вид:

(11.33)

где

Г Г Г Z(e, Т), т)

J J /а2 а — т)2 — р2

d^dy dx,

(11.34)

р2 = (Х-$)2 + (у-Т1)2.

В случае уравнения

^- = a2~+f(x, t),
dt2 дх2 1 J '

(11.35)

У’ =
о

решение, удовлетворяющее нулевым начальным данным,
будет

лн а|1-т)

u(x, t) —

i/ f	dx. (п.36)

- х-а (/-t)

О
6. Точечный источник. Если мы положим, что свобод-
ный член в уравнении (11.22) отличен от нуля только в
небольшой сфере с центром в начале координат, то при
стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспре-
дельном возрастании интенсивности внешней силы мы в
пределе можем получить решение волнового уравнения
при наличии точечного источника, который начинает
действовать с момента t = 0 и закон воздействия кото-
рого может быть любым в зависимости от времени. По-
ложим, что

f(x, у, z, /) = 0 при )/х2-|-у2Ч-£2> е (11.37)
и

f f f f(x, у, z, t) dx dy dz = 4^a2^(t), (11.38)

где Dt — шар с центром в начале и радиуса е.

Обратимся к формуле (11.31) и будем считать
at > Ух2-f- у2 + z2. В силу (11.37) достаточно произве-
сти интегрирование по шару De. При е->0 величина
г будет равна расстоянию от точки (х,у, г) до на-
чала координат, т. е. г = Уx2~j-y2-(-z2, и мы получим,
принимая во внимание (11.38),

и (л, у, z, t) = у <о — £) (at г). (11.39)

При г > at ясно, что и(х, у, z, t) = 0, так как при г > at
область интегрирования в интеграле (11.31) не содер-
жит внутри себя шара D, при достаточно малых е. От-
метим, что функция (11.39) при любом выборе функции
<о(/) удовлетворяет однородному волновому уравнению
(11.1) и представляет собой сферическую волну, рас-
ходящуюся радиально со скоростью а от начала коор-
динат.

В случае уравнения (11.32) мы должны совершенно
так же, как и выше, считать

f(x, y,t) = Q при '/х2 + у2>е,

J J* f(.x,	0 dx dy = 2лаш (t)t

ct
где Ct — круг с центром в начале радиуса е. Обра-
щаясь к формуле (11.34) и переходя к пределу при
е->-0, получим решение для точечного источника в слу-
чае цилиндрических волн:

и (х, у,

и> (т) dt
/а5 (/ —

П>Р).	(11.40)

и{х, у, t) — 0 при at < р (р = Vx2 + y2)-

Отметим, что воздействие точечного источника на точку
(х, у, z) в момент времени t зависит только от интен-
сивности источника в момент времени t— В случае
же формулы (11.40) это воздействие определяется дей-
ствием точечного источника за промежуток времени от
t — 0 до момента t — •

§ 12. Задача Коши. Характеристики

Рассмотрим гиперболическое уравнение

£аи(х„ • *.)	+

-И*.......= (121)

причем считаем aik = а^. Функции aih вещественны; они
определены в некоторой области D пространства
(xi....хп).

Пусть в области £> задана достаточно гладкая
(и—1)-мерная поверхность S и в каждой точке этой
поверхности некоторая линия I, не касательная к S и
достаточно гладко изменяющаяся при движении вдоль
S, например нормаль к поверхности.

На поверхности S задаются значения функции
и(хь ..., хп) и ее производные первого порядка по на-
правлению линии I. Эти значения на поверхности S бу-
дем называть начальными данными Коши.
Задача Коши для уравнения (12.1) ставится так:
найти решение уравнения (12.1) в некоторой окрестно-
сти поверхности S, удовлетворяющее начальным дан-
ным Коши на поверхности S

Начальные данные Коши определяют функцию
и(х\, ..., хп) и все ее частные производные первого по-
рядка на поверхности S

Поставим перед собой следующий вопрос: можно ли
с помощью дифференциального уравнения (12.1) сов-
местно с начальными данными Коши однозначно опре-
делить на поверхности S также производные второго
и высших порядков от искомой функции и{Х\, ... ,хп)*).

Начнем рассмотрение нашего вопроса с того случая,
когда начальные данные имеют специальную форму:

= =	0 =<Pi(*2. ...,’x„),(12.2)

т. е. начальные данные заданы на гиперплоскости

•ri==xi и за направление I выбрана нормаль. Началь-

ные данные (12.2) дают нам возможность
на гиперплоскости xi = xi все производные
рядка и все производные второго порядка,

определить
первого по-
д2а
кроме —.

Для определения этой последней производной мы дол-
жны воспользоваться самим уравнением (12.1), поло-
жив в нем X] — х°г Здесь могут представиться два

случая:

1. аи(х°,х2,..., хд)=#0, II. ап(х°, х2,	х„) = 0.

В случае I мы однозначно определим производную
о

—j- на гиперплоскости х = х[, а также производные
О X ।

высших порядков.

В случае II мы или придем к невозможному равен-
ству, или получим тождество, т. е. мы придем к несов-
местности или неопределенности при нахождении вто-
рых производных на гиперплоскости х1 = х(].

*) Мы предполагаем, что решение u(xh хп} уравнения (12 1)
существует.
Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные
данные Коши даны на некоторой поверхности

хп) = 0.

(12.3)

В окрестности поверхности 5 введем новые координаты
, £п, полагая

h = (*р • • •. хп) (1=1, 2,...,»),	(12.4)

причем функции (ог(Х1, .... хп) (i = 2, 3, ..., п) вы-
браны так, чтобы якобиан преобразования был отличен
от нуля на S Производные по старым переменным вы-
разятся через производные по новым переменным по
следующим формулам:

п

ди _ VI ди д<лг
dxi ляЛ dii дх{ ’
1 = 1

д2и к-] д2и ди>{ д<ау	ди d2u>i

dxi дхк	dii д%} dxi dxk dxi dxi дхь

Подставляя в уравнение
— д2и ,
ач

(12.1), получим

... =0,

(12.5)

где

п

ап= X '

<, Й=1

д<0| д<0|

74 dxi dxh

(12.6)

,т	. д2и

Невыписанные члены не содержат производной —д-
О? j

В силу (12.3) и (12.4), начальные данные для преобра-
зованного уравнения (12.5) задаются на гиперплоскости
gi — 0, т. е. они имеют указанный выше специальный
вид. Таким образом, в данном случае мы можем вос-
пользоваться результатами, полученными в начале этого
параграфа, но только в новых независимых переменных.
Принимая во внимание (12.6), мы можем, таким обра-
зом, утверждать, что для того, чтобы начальные данные
Коши на поверхности (12.3) приводили к несовместно-
сти или неопределенности при нахождении производных
второго порядка на поверхности S, необходимо и

6ММ. Смирнов
достаточно, чтобы функция <oi(^i, .... х„) удовлетворя-
ла условию

<i2-7>

I, ft = l

причем это условие должно быть удовлетворено при
«1 = 0, т. е., иначе говоря, в силу уравнения (12.3).

Поверхность .... хп) =0 называется характе-
ристический поверхностью уравнения (12.1) или просто
характеристикой, если в каждой точке этой поверхности
имеет место равенство (12.7).

Подчеркнем, что хотя условие (12.7) имеет внешний
вид уравнения в частных производных первого порядка
относительно coi, оно по своему определению еще не яв-
ляется таковым. В самом деле, условие (12.7) не дол-
жно выполняться тождественно относительно xi,...,xn,
а только при И1(%1,..., хп) = 0, т. е. в каждой точке ха-
рактеристической поверхности. Потребуем теперь, чтобы
условие (12.7) выполнялось тождественно относительно
Х\....хп. При этом условие (12.7) будет представлять

обычное уравнение в частных производных первого по-
рядка, и всякое его решение, отличное от постоянной,
будет давать не одну характеристику, а целое семейство
характеристик

.... хп) = С,	(12.8)

где С — произвольная постоянная.

Наоборот, для того, чтобы уравнение (12.8) опреде-
ляло семейство характеристик при произвольном по-
стоянном С, необходимо и достаточно, чтобы функция
<oi(X], .... хп) удовлетворяла уравнению (12.7). Можно
показать, что всякую характеристику уравнения (12.1)
можно включить в семейство вида (12.8), и что таким
образом решения уравнения (12.7) дадут нам все харак-
теристики.

Уравнение (12.7) называется уравнением характери-
стик уравнения (12.1).

Пример. Рассмотрим волновое уравнение

^-——-^ = 0	(129)

dt* дх* ду* и
и конус

х = /2— X2— у2.

Уравнение (12.7) имеет вид

( дш \2	/ д<л \2	( до> \2

(12.10)

Это уравнение при ю = х = 0 удовлетворяется, так как
4/2 — 4х2 — 4у2 = 4 (t2 — х2 — у2) = 4х = 0.

Отсюда следует, что конус х = 0 является характерна
стической поверхностью уравнения (12.9), тогда как по-
верхности х = С при С ¥=0 уже не являются характери-
стическими поверхностями. Конус х = 0 можно вклю-
чить в семейство конусов

«>! = / — Ух2-}-у2 = С,

где cot удовлетворяет уравнению (12.10). Все поверхно-
сти семейства <oi = С являются характеристическими
поверхностями уравнения (12.9).

Если поверхность S(coi = 0) такова, что равенство
(12.7) не выполняется вдоль всей этой поверхности*),
то вторые производные от искомой функции и однознач-
но определяются на поверхности S. В этом случае, ис-
ходя из сказанного выше, следует, что, совершая замену
переменных (12.4), мы можем переписать уравнение
(12.5) в виде

п	п

причем поверхность S переходит в гиперплоскость
gi = 0. Это дает возможность преобразовать задачу Коши
при начальных данных на поверхности S в задачу Коши
с начальными данными на гиперплоскости £i = 0.

Если поверхность S есть характеристическая, то
функция u(xi,...,xn) и ее частные производные пер-

*) В силу непрерывности коэффициентов и производных-^-^
равенство (12.7) будет не выполняться и в некоторой окрестности
поверхности S в пространстве (Xj,.... х„).
вого порядка должны быть связаны на ней некоторым
соотношением. Действительно, н(хь ..., хп) и ее част-
ные производные на S выражаются через такие же ве-
личины на плоскости £i = 0 и наоборот. Пусть

ц1=0=%&. •••> и,	и-

Если S есть характеристическая поверхность уравнения
(12.1), то в преобразованном уравнении (12.5) йц = 0
при £i = О, и мы получим

л	п

ут — дги о \т — д2и	п	г п

i,k=2	к-2

где невыписанные члены не содержат производных пер-
вого порядка. Таким образом, получается связь между
функциями фо и фГ.

п	п

X + 2	+ ‘ ‘ ’ ~0 ПрИ ^=0-

M=2	‘ * fc = 2

Таким образом, на характеристической поверхности 5
начальные данные Коши нельзя задавать произвольно.

Легко показать, что характеристические поверхности
являются единственными поверхностями, при переходе
через которые вторые производные решения и уравне-
ния (12.1) могут претерпевать разрыв первого рода с
сохранением непрерывности самого решения и его пер-
вых производных. Действительно, пусть некоторое ре-
шение п(Х], ..., хл) уравнения (12.1) имеет на поверх-
ности

Ф(х1( хп) — 0	(12.12)

разрыв первого рода для производных второго порядка,
причем само решение и его производные первого поряд-
ка остаются непрерывными при переходе через поверх-
ность (12.12). Будем рассматривать это решение и с
двух сторон поверхности (12.12) как два различных ре-
шения уравнения (12.1). Эти решения имеют на этой
поверхности одинаковые данные Коши, но различные
значения для производных второго порядка, и мы можем
поэтому утверждать, что поверхность (12.12) должна
быть характеристической поверхностью уравнения (12.1).
К тому же самому результату мы пришли бы, если бы
предположили, что не только само решение и и его ча-
стные производные первого порядка, но и частные произ-
водные второго порядка остаются непрерывными при
переходе через поверхность (12.12), а разрыв имеет ме-
сто лишь для производных порядка выше второго.

Вообще говорят, что решение уравнения второго по-
рядка (12.1) имеет на поверхности (12.12) слабый раз-
рыв, если при переходе через эту поверхность решение
u(xt,... ,хп) и его первые производные остаются не-
прерывными, а некоторые производные порядка выше
первого имеют на поверхности (12.12) разрыв первою
рода.

 Из предыдущих рассуждений следует, что поверх-
ностью слабого разрыва может быть только характери-
стическая поверхность.

§ 13.	Смешанная задача

1.	Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

Л

d2« V1 / v- д2и .

дх дх 4

i,J=l

п

i=i

(13.1)

где atj, bt, с и f — суть заданные функции в цилиндре
Qt = П X [0 < / < 7], где Q — конечная область измене-
ния переменных (xj,..., хп) = X, = а^.

Пусть в Qt имеет место

У atl(X, /)£Д,4>а2 й> a = const>0. (13.2)
1,7=1	1=1

Это условие выражает тот факт, что уравнение (13.1)
принадлежит в Qt к гиперболическому типу.

Рассмотрим следующую задачу.
Определить в цилиндре <Эт решение уравнения (13.1),
удовлетворяющее начальным условиям

н|/=0 =%(*),	(13.3)

и одному из граничных условий

u\s = *(P, t) при Z£[0, Т\ (13.4)
или

Л

У Ш 0^cos(nx,)4-A«

= g(P,t) при /£[0, Г],

(13.5)
где S — граница области Q, Р — точка поверхности S,
п — нормаль к поверхности, x(P,Z) и g(P,t)—задан-
ные функции, h — заданная функция на поверхности S.
Задача нахождения решения уравнения (13.1) в ци-
линдре Qt при начальных условиях (13.3) и одном из
граничных условий (13.4) или (13.5) называется сме-
шанной задачей.

2.	Единственность решения смешанной задачи. Для
простоты ограничимся уравнением

р W -Ж —(*) Й) + Я (X)« =/(*, t), (13.6)

где р(х), р(х), р'(х) и q(x) —непрерывные функции при
0х<I, причем р(х) >р»>0, р(х)>ро>О, <?(х)>-0.
Рассмотрим для уравнения (13.6) смешанную задачу:
найти в прямоугольнике QfO < х < Z, 0 < t < Т] решение
уравнения (13.6), удовлетворяющее начальным усло-
виям

Н=о = %(*)>	|,=о =

(0<x<Z) (13.7)

и граничным условиям

«1х=о = *1Ю» «1х=г = «2(0

(0<^<Г), (13.8)

причем <ро(О) = х,(О), <р0 (Z) == х2 (0), Т](0) = «;(0), <Pj(Z) =

Докажем единственность решения задачи (13.6)—
(13.8) в классе дважды непрерывно дифференцируемых
функций в прямоугольнике Q. Предположим, что суще-
ствуют два решения ut(x, t) и и2(х, t) смешанной за-
дачи (13.6)—(13.8). Тогда их разность <о(х, /) =
= «i(x, /)—и2(х, t) будет удовлетворять однородному
уравнению

pW-S-—йг(/’(л)-£)+? (Л)(й=0>	(13-9)

нулевым начальным условиям

•1,.»=о. т|,. = °	03.10)

ил |/=о

и однородным граничным условиям

ш|ж=о = О, ш|х=г = 0.	(13.11)

Покажем, что t) ==0 в Q.

Рассмотрим интеграл энергии
i

E(t) = ~/[р(х)(^-)2(13.12)
о

В начальный момент t = 0, в силу начальных условий
(13.10), будем иметь £(0)=0. Покажем, далее, что
£(0 есть величина постоянная на любом решении урав-
нения (13.9), удовлетворяющем граничным условиям
(13.11). Действительно, дифференцируя (13.12), получим

dE (f) У Г , ч да дга .	/ \ да д2а 	, , да 1 .

о

Интегрируя средний член по частям, будем иметь
i

dE (t) У Г / \ д2<0 д ( / , да \ ,	, . 1 да , .

“Т = ./ [pW^fл?) + 7(а:)<о]-эг^ +
о

Отсюда в силу уравнения (13.9) и граничных условий
(13.11) следует, что rf^~ = Q- откуда E(t) = const, но
£(0)=0, следовательно, £(t)^0. Тогда из (13.12)1,
имеем, что — = т- е- ы(х. О = const в Q. Так
как при i — О и(х, I) равна нулю в силу (13.10), то
<о(х, /)г0 в Q, что и требовалось доказать.

Замечание. Единственность решения смешанной
задачи имеет место и в том случае, если граничные ус-
ловия (13.8) заменить более сложными:

£-ML__o=o, ^+м|л_1=о, (13.13)

где hi^-0, h2^-0— постоянные.

3.	Непрерывная зависимость решения смешанной
задачи от начальных данных.

Теорема. Пусть мы имеем два решения Ui(x, t) и
u2(x, t) уравнения (13.6) в прямоугольнике Q, удовлет-
воряющие одним и тем же граничным условиям (13.8) и

“.I,?grt_=-tW.





Если разности

(*) —	(*) = ?0(Х)> (Р11) (Л) — W = ?1 (•*)

и первая производная <Ро(х) всюду на [0, I] достаточно
малы w абсолютной величине, то разность

их(х, t)— и2(х, t) — u(x, t)

сколь угодно мала по абсолютной величине на всем Q.
Доказательство. Функция и = и{— и2 удовлет-
воряет однородному уравнению

— + (13Л4>

однородным граничным условиям

й|х=о = О, н|д.=/ = 0	(13.15)

и начальным данным

«L=o = ?oW» “Jr l^=o = (-«)-	(13-16)
Рассмотрим снова интеграл энергии
i

6

который, как мы показали в п. 2 § 13, сохраняет по-
стоянное значение на любом решении уравнения (13.14),
удовлетворяющем граничным условиям (13.15). Таким
образом, мы имеем E(t) =Е(0)	или, в силу

начальных условий (13.16),

f [р (4гУG&)2+q “2]dx =
О

I

= f[? W ?1 (*)+р (х) (*) + я (*) То W] dx.
6

Пусть = max (р(х), р(х), q(x)}. Тогда
[0,/1

f [р (4г)2 + Р М (1г)2 + Я (*) «2] dx
О

I

^м/ [^(х) + ^2(х) + ^(л)] dx
б

или, в силу малости правой части, найдем, что при лю-
бом t между 0 и Г

f [р w (4г)2+р (х) (£)а+q (х) й2]
о

dx < е2.

Отсюда

f P^(^f dx<e2’
о
Имеем

и(х, t) — u(0, f)— I* -j~dx,

6

о	о г '

где К — постоянная. Таким образом, и(х, t) мало на
всем прямоугольнике Q, что и требовалось доказать;

Замечание. Непрерывную зависимость решения от
начальных данных можно доказать и при более общих
граничных условиях

ди
дх

k,u\ = 0,
Lr=o

^- + Л2и| =0,
дх 1 2 |ж=1

где Ai > 0, А2 0 — постоянные.

§ 14.	Метод Фурье

1.	Метод Фурье для уравнения свободных колебаний
струны. Метод Фурье или метод разделения переменных
является одним из наиболее распространенных методов
решения уравнений с частными производными. Мы из-
ложим этот метод на ряде примеров, начав с простей-
шей задачи о колебаниях струны, закрепленной на кон-
цах. Эта задача сводится к решению уравнения

дги , д2и
dt3 а дх3

(14-1)

при граничных условиях

« |л=0 = °>

«1х=1=0

(14.2)
и начальных условиях

«1/=о=%(*). 4Н=0=?1^‘	(14-з>

Будем сначала искать частные решения уравнения
(14.1), не равные тождественно нулю, в виде произве-
дения

и(х, t) = X(x)T(t),	(14.4)

удовлетворяющие граничным условиям (14.2), Подстав-
ляя (14.4) в уравнение (14.1), получим

или

T"(t)X(x) = a2T(i)X"(x)

T"(t)  X" (х)

а27 (0 X (х) ‘

(U.5)

Левая часть последнего равенства зависит только от t,
а правая — только от х, и равенство возможно лишь в
том случае, если и левая и правая части не зависят ни
от х, ни от t, т. е. представляют собою одну и ту же
постоянную. Обозначим эту постоянную через — X.
Тогда из равенства (14.5) получ’им два обыкновенных
дифференциальных уравнения

T"(t)+a?lT(i) = 0,	(14.6)

A"'(x)+XX(x) = 0.	(14.7)

Чтобы получить	нетривиальные, т. е.	не	равные	тожде-
ственно	нулю	решения вида (14.4),	удовлетворяющие

граничным условиям (14.2), необходимо найти нетри-
виальные решения уравнения (14.7), удовлетворяющие
граничным условиям

Х(0) = 0, Х(1) = 0.	(14.8)

Таким образом, мы приходим к следующей задаче:
найти такие значения параметра X, при которых урав-
нение (14.7) имеет нетривиальные решения, удовлетво-
ряющие граничным условиям (14.8).

Эти значения параметра X называются собственны-
ми значениями, а соответствующие решения — собст-
венными функциями краевой задачи (14.7), (14.8).
Найдем теперь собственные значения и собственные
функции задачи (14.7), (14.8). Здесь нужно рассмотреть
отдельно три случая, когда А < О, А = 0 или А > 0.

1)	При А<0 общее решение уравнения (14.7) име-
ет вид

Х(х) = С1еу~^Ч-С2е-у-^,

где Ci и С2— произвольные постоянные. Удовлетворяя
граничным условиям (14.8), получим

С, + С2 = 0, С}е^1 + С2й-^' = 0.	(14.9)

Как легко заметить, определитель системы (14.9) от*
личен от нуля; таким образом, Ci = 0 и С2 = 0. Следо*
вательно, /(t)s0.

2)	При А = 0 общее решение уравнения (14.7) име-
ет вид

JC(х) = Cj —|- С2х. »

Граничные условия (14.8) дают

Cj + C2-O = O, Cj + C^O.

Отсюда Ci = 0, С2 = 0 и, следовательно, Х(х) = 0.

3)	При А > 0 общее решение уравнения (14.7) имеет
вид

X(х) = Ci cos У X х 4- С2 sin У X х.

Удовлетворяя граничным условиям (14.8), получим

Ci • 1 + С2 • 0 = О, C]COS/X/4-C2sin угХ/ = О.

Из первого уравнения следует С4 = 0, а из второго
C2sinVr^^ = 0. Мы должны считать С2 ¥= 0, так как в
противном случае X(x)s0. Поэтому

sin y^l = Q, т. е. У~Х = -г-,

где k — любое целое число. Следовательно, нетривиаль-
ные решения задачи (14.7), (14.8) возможны лишь при
значениях

2* 3> •••)•
Этим собственным значениям соответствуют собствен-

ные функции

Лл(х) = 81П -у— ,

определяемые с точностью до постоянного множителя.

Заметим, что положительные и отрицательные зна-
чения k, равные по абсолютной величине, дают собст-
венные значения Л-* = а собственные функции отли-
чаются лишь постоянным множителем. Поэтому доста-
точно для k брать только целые положительные
значения.

При X, = kk общее решение уравнения (14.6) имеет

вид

Л W = cos

k ~at
~~г~

Sin —J— ,

где ак и bk — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

«А (x, t) = Xk (x) Tk (/) = cos —i-\-bk sin — j sin -y-

удовлетворяют уравнению (14.1) и граничным условиям
(14.2) при любых ak и Ьк.

В силу линейности и однородности уравнения (14.1),
любая конечная сумма решений будет также решением.
То же справедливо и для ряда

/	X1 / kr.at , ,	. kr.at \ . knx ,< .

и (х, t)= 2j I я* cos —j---------\-bk sin -у— I sin -y-, (14.10)

fc=i

если он равномерно сходится и его можно дважды по-
членно дифференцировать по х и t. Поскольку каждое
слагаемое в ряде (14.10) удовлетворяет граничным усло-
виям (14.2), то этим условиям будет удовлетворять и
сумма ряда, т. е. функция «(х, t). Остается определить
постоянные ак и bh так, чтобы удовлетворялись и на-
чальные условия (14.3).

Продифференцируем ряд (14.10) по t:

ОО

ди k~ai . kr.at , , kr.at \ . kr.x ...

=	—a*sin~/—Fcos-у-J sin—. (14.11)

s=i
Полагая в (14.10) и (14.11) t = 0, получим, в силу на*
чальных условий (14.3),

ОО	оо

?oW=Sa*sin 'piW=S^r’z’*sin^F- (14Л2>

Л=1	k=1

Формулы (14.12) представляют собою разложения за-
данных функций <ро(я) и cpi(jc) в ряд Фурье по синусам
в интервале (0, /). Коэффициенты разложений (14.12)
вычисляются по известным формулам

i	i

= T f %(x)sin^rfx,	?1(x)sin dx.

о	0

(14.13)

Таким образом, решение задачи (14.1) — (14.3) дает-
ся рядом (14.10), где Ял и bk определяются формулами
(14.13).

Теорема. Если <р0(х) на отрезке [0, /] дважды не-
прерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерыв-
ную третью производную и удовлетворяет условиям

?о(О) = То(О = О. ?«(О) = ?о(О = О> (14.14)

а <₽1(х) непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-
непрерывную вторую производную и удовлетворяет
условиям

<f,1(0) = ?1(/) = 0,	(14.15)

то функция и(х, t), определяемая рядом (14.10), имеет
непрерывные производные второго порядка и удовлет-
воряет уравнению (14.1), граничным условиям (14.2) и
начальным условиям (14.3). При этом возможно почлен-
ное дифференцирование ряда (14.10) по х и t два раза,
и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно
при 0^ I и любом t.

Доказательство. Интегрируя по частям (14.13)
и принимая во внимание (14.14) и (14.15), получим

_ 11\3	_ /1 \3 Ч2>

ak — ~Иг/ *3’’	~ hr/ ’

(14.16)
где
t	i

= \f <р"'(х) cos	dx, а™ =	(х)sindx.

О	о

(14.17)

Нетрудно видеть, что ряды

сходятся, так как

+ а Р«ДЫ Sl^l2- сходятся.
4=1	4=1

Подставляя (14.16) в ряд (14.10), получим

,	/1V V 1 /из) knot 1 (2) . k-at \. knx

и{х, /) = — ( — )	cos-i—’sin—j-Jsin —.

4=1

(14.19)

Этот ряд мажорируется рядом

4=1

который сходится. Следовательно, ряд (14.10) сходится
абсолютно и равномерно. Принимая во внимание
(14.18), мы легко убеждаемся, что ряд (14.10) можно
дважды почленно дифференцировать по х и t. Этим тео-
рема доказана.

Возвратимся теперь к найденному решению (14.10)
задачи (14.1) — (14.3). Если ввести обозначения"

«4 = Лз1п?а, &ft = 4Acos<P4.

то это решение можно записать о виде

. .ч V .	, kr.x . I knat

и (х, f)— У 4 sin —j— sin I-j—

4 = 1

Ц (14-20)
Каждый член этого ряда представляет собою так назы-
ваемую стоячую волну, при которой точки струны со-
вершают гармоническое колебательное движение с оди-
наковой фазой фа, с амплитудой sin^p- и часто-

„	kr.a

ТОН ША = —/—•

Звуки можно классифициоовать на музыкальные и
не музыкальные — первые называются нотами, вторые
шумами. Музыкальные звуки естественным образом рас-
полагаются в определенном порядке соответственно вы-
соте—качеству, которое до известной степени может
оценивать каждый. Те ноты, которые ухо не может раз-
личать, далее называются тонами.

При колебании струна будет издавать звук, высота
которого зависит от частоты колебаний; частота основ-
ного (самого низкого) тона выражается формулой
<*>! =-у уЛ-у. Тона, соответствующие более высоким
частотам, чем основная, называются обертонами. Обер-
тоны, частоты которых являются кратными основной
частоте, называются гармониками. Первой гармоникой
будем считать основной тон, второй гармоникой — тон
с частотой ы2 = 2(i)i и т. д.

Решение (14,20) складывается из отдельных гармо-
ник, амплитуды их, а потому и влияние их на звук, из-
даваемый струной, обыкновенно быстро убывают при
увеличении номера гармоники, и все их действие сво-
дится к созданию тембра звука, различного для разных
музыкальных инструментов и объясняемого именно на-
личием этих гармоник.

Существует очень мало колебательных систем с гар-
моническими обертонами, но эти немногие системы яв-
ляются основными для построения почти всех музыкаль-
ных инструментов. Это является следствием того, что
звук с гармоническими обертонами кажется особенно
приятным в музыкальном отношении.

В точках

х=0,	-....... (n~1)f	, I (14.21)

’ п п ’ н	'	'
амплитуда колебания п-й гармоники обращается в нуль,
так как в этих точках sin—р- = 0, и точки (14.21) назы-
ваются узлами п-й гармоники.

В точках же

I 31	(2п —1)/

х ~~ 2л ’ 2л.... 2л

(14.22)

амплитуда колебаний п-й гармоники достигает наиболь-
шей величины, так как функция sm —у- в этих точках
имеет максимальное абсолютное значение, и точки
(14.22) называются пучностями для п-й гармоники.

Если мы прижмем колеблющуюся струну точно в’ се-
редине, т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся
в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех дру-
гих, имеющих пучности в этой точке, т. е. нечетных гар-
моник; напротив, на четные гармоники, которые имеют
узел в прижатой точке, это влиять нЪ будет. Таким об-
разом, остаются только четные гармоники, и самой низ-
кой частотой будет = у- ]/ у и струна будет изда-
вать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с
числом колебаний в секунду вдвое большим.

2. Общая схема метода Фурье. В настоящем пункте
мы дадим изложение метода Фурье для решения сме-
шанной задачи без строгого обоснования полученных
результатов.

Рассмотрим гиперболическое уравнение

Р W (р W-fe) - ? W w’ (14'23)

где р(х), р(х), р'(х) и q(x) —непрерывные функции при
О < х < I, причем р(х) ро > 0, р(х) ро > 0, q{x) >-0.

Пусть требуется найти решение уравнения (1423),
удовлетворяющее однородным граничньш условиям

««(О, /)+^^А=о,

Л U А	(U-24)

и«(А /)+з^А=о>

7 М. М. Смирнов
где постоянные а, 0, 7 и 8 таковы, что а2 + 02 =# О»
72 + 82 =£0, и начальным условиям

«1/=0 = <Ро(*). 4Н=0 = ?1 (*)	(14-25)

Будем искать сначала нетривиальные решения урав-
нения (14.23) в виде произведения

и(х, /) = Х(х) Т (/),	(14.26)

удовлетворяющие граничным условиям (14.24). Под-
ставляя (14.26) в уравнение (14.23), получим

T(t)~ W х' -я М *<*) Т W=Р <*) W Т" &

или

-771 р W Х' (•*)] — 4 (-*) X (х)

------------------------= Яг (1^)

Левая часть последнего равенства зависит только от х,
а правая часть — только от/, и равенство возможно лишь
тогда, когда общая величина отношений (14.27) будет
постоянной. Обозначим эту постоянную через — X. Тогда
из (14.27) получим два обыкновенных дифференциаль-
ных уравнения

Г(/) + Х7’(/) = 0>	(14.28)

[р (х) X' (х)] + [Хр (х) - q (x)J Х(х) = 0. (14.29)

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения
(14.23) вида (14.26), удовлетворяющие граничным усло-
виям (14.24), необходимо, чтобы функция Х(х) удовлет-
воряла граничным условиям

«Х(0)+?Х'(Щ=0,

Таким образом, мы приходим к следующей задаче о
собственных значениях: найти таки? значения парамет-
ра X, при которых существуют нетривиальные решения
уравнения (14.29), удовлетворяющие граничным усло-
виям (14.30).

Эта задача не при всяком значении X имеет отличное
от тождественного нуля решение. Те значения парамет-
.pa X, при которых задача (14.29), (.14.30) имеет нетри-
виальное решение, называются собственными значения-
ми, а сами эти решения — собственными функциями, со-
ответствующими данному собственному значению.
В силу однородности уравнения (14.29) и граничных
условий (14.30), собственные функции определяются с
точностью до постоянного множителя. Нетрудно видеть,
что всякому собственному значению может соответство-
вать только одна линейно независимая собственная функ-
ция. Действительно, предположим, что при некотором
значении Л существуют два линейно независимых решения
уравнения (14.29), удовлетворяющих граничным усло-
виям (14.30). Тогда оказалось бы, что и общее решение
уравнения (14.29) удовлетворяет этим условиям. Но
этого быть не может, так как всегда можно найти ре-
шение уравнения (14.29) при таких начальных данных
Х(0) и Х'(0), которые не удовлетворяют первому из
граничных условий (14.30)

Можно доказать, что для нашей задачи существует
бесконечное множество вещественных собственных
значений

Хх < Х2 < Х3 < ... < Х„ < ..., limXn = -j-oo-
л->оо

Каждому собственному значению Лл соответствует соб-
ственная функция Xh(x), определяемая с точностью до
постоянного множителя. Выберем этот множитель так,
чтобы
i

fp(jc) Xl(x)dx = 1.	(14.31)

о

Собственные функции, удовлетворяющие условию
(14.31), будем называть нормированными

Докажем, что собственные функции, соответствую-
щие различным собственным значениям, ортогональны
с весом р(х) на отрезке [0, /], т. е. удовлетворяют равен-
ству i

f р (л) Х„ (х) Xm (л) dx = 0	(А * т).	(14.32)

о
Действительно, пусть Хь и Хт — два различных собст-
венных значения, a Хь(х) и Хт(х)—соответственно
собственные функции, так что

[р (х) Х'к (х)] 4- [Xftp (х) — q (х)] Хк (х) = 0,

~ (х) Х'т (х)] + [Xmp (х) — q (х)] Хт (х) = 0.

Умножая первое равенство на Хт(х), второе на Хь(х) и
вычитая почленно, получим равенство

Хт X’k	~ Хк W i	М Х “Wl +

'+(4 -XJp(x)Xft(x)zVw(x) = о,

которое можно переписать в виде

(Ч — Xm) Р (х)	(х) *т (х) +

+ ZT {р (*) [Хл (х) x'k (х) - Хк (х) Х'т (х)]}.

Интегрируя это равенство по х в пределах от 0 до I, по-
лучим
1

(\п — Ч) J Р (х) Xk (х) Хт (х) dx =

— р(х) [Х« (х) Х'к (х) — Хк (х) Х'т (х)] £rflZ.

Принимая во внимание граничные условия (14.30), мы
легко убеждаемся, что правая часть равна нулю, т. е.

(xm —М f Р\х) Хк(х) Хт(х) dx = 0,
О

откуда в силу ¥= кц

f p(x)Xk(x)Xm(x)dx = 0,
'о
е

что и требовалось доказать.

Из свойства ортогональности собственных функций
легко следует, что все собственные значения вещест-
венны.
Пусть теперь А*— собственные значения, а Xft(x) —
собственные функции, образующие ортогональную и
нормированную систему. Мы имеем

[р (*) Х'к (х)} — q (х) Хь (х) = — ХйР (х) Х„ (х).

Умножая обе части на Х^(х), интегрируя и принимая
во внимание (14.31), получим

i

h = — f {-^{Р (х) Х* (*)] — <7 (х) Xk (х)} Xk (х) dx,
о

откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, будем
иметь

К — flp(x) Хь (х) + <у(х) Х\ (х)]</х —
О

-[р(х)^(^)Х(х)]С'о. (14.33)

Предположим, что внеинтегральный член не положите-
лен, т. е.

[p(x)Xk(x)X'k(x)]xx^^.	(14.34)

Так как р(х) > р0 > 0, q(x) >0, то из формулы (14.33)
непосредственно следует, что все собственные значения
задачи (14.29), (14.30) неотрицательны.

Заметим, что условие (14.34) выполняется как раз
при наиболее часто встречающихся в приложениях гра-
ничных условиях

1) Х(0) = 0, Х(1) — 0‘, 2) Х'(0) = 0, Х'(1)=0;

3) Х'(0) —Л1Х(0) = 0, Х'(1) + к2Х(1) = 0,
где hi и h2—положительные числа.

Установив некоторые свойства собственных значений
н собственных функций, обратимся теперь к уравнению
(14.28). Его общее решение при А = Аь (обозначим че-
рез Th(t)) имеет вид

Тк (t) = Ак cos	sin V^k

где Ak и Bh — произвольные пострянные.
Таким образом, согласно (14.26), каждая функция
«лХк (х) Tk(t) = (Аа cos /х; t+Вк sin /Х; 1} Хк(х)
будет решением уравнения (14.23), удовлетворяющим
граничным условиям (14.24).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (14.25),
составим ряд

w(x, /) = 2 (^й c°s y^kt-\-Bk sin У\к t)Xk(x). (14.35)
Й=1

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды,
получающиеся из него двукратным почленным диффе-
ренцированием по х и t, то сумма его будет решением
уравнения (14.23), удовлетворяющим граничным усло-
виям (14.24).

Для выполнения начальных условий (14.25) необхо-
димо, чтобы

u|z=0 = ?0(x)=i ДЛ(*).	(U.36)

k= 1

ОО	»

IF |/=о = (*) = S Х* <*)•	04-37)

fe = 1

Таким образом, мы пришли к задаче о разложении про-
извольной функции в ряд по собственным функциям
Х*(х) граничной задачи (14.29), (14.30), Предполагая,
что ряды (14.36) и (14.37) сходятся равномерно, мы мо-
жем определить коэффициенты Ак и Bh, умножив обе
части равенств (14.36) и (14.37) на р(х)Х^(х) и проин-
тегрировав по х в> пределах от 0 до I. Тогда, принимая
во внимание (14.31), (14.32), получим

i	i

Р(•*)%(*)*й(*)dx, Bk = ~ f P(x)<p1(x)Xft(x)dx.
о	' * о

Подставляя эти значения коэффициентов Да и Вк в ряд
(14.35), мы, очевидно, получим решение смешанной за*
дачи (14.23) — (14J25), если ряд (14.35) и ряды, полу-
ченные из него почленным дифференцированием по х и
i до двух раз включительно, равномерно сходятся.
3. Вынужденные колебания струны, закрепленной на
доцах. Рассмотрим вынужденные колебания однород-
ной струны, закрепленной на концах, под действием
Внешней силы F(x, t), рассчитанной на единицу длины.
Цка задача приводится к решению уравнения

=	=	(14-38)

Йри граничных условиях

ц|х=о = О, «|х=/ = 0	(14.39)

начальных условиях

«1/=о=%(*). 4rL)=tp,(x)‘	(14Л0)

Будем искать решение этой задачи в виде и = V 4- W,	суммы  (14.41)
|где v есть решение неоднородного уравнения  S-=fl2S+/(x’ ъ <14-42)	
[удовлетворяющее граничным условиям ®lx=o = O. ^U=/ = 0	(14.43)
& начальным условиям	
И.» = 0. зг|,., = 0'	(14.44)
я w есть решение однородного уравнения  =	(14.45)	
Удовлетворяющее граничным условиям  <ze»]A.=o = 0, ®)ж=/ = 0	(14.46)
Л начальным условиям	
®L=o = ?oU), 4г1=0 = <Р1 (•*)•	(14.47)
Решение v представляет вынужденные колебания струны, т. е. такие колебания, которые совершаются под	
действием внешней возмущающей силы, причем началь-
ные возмущения отсутствуют. Решение w представляет
свободные колебания струны, т. е. такие колебания, ко-
торые происходят без действия внешней силы, а лишь
вследствие начального возмущения. Задача о свободных
колебаниях струны была решена в п. 1, так что здесь
мы остановимся только на нахождении вынужденных
колебаний. Как и в случае свободных колебаний, мы бу-
дем искать решение v в виде ряда

ОО

v(x, 0 = 2} ГД/) sin	(14.48)

й=1

так что граничные условия (14.43) удовлетворяются са-
ми собою, предполагая, конечно, что ряд (14.48) схо-
дится равномерно.

Определим теперь функции Th(t) так, чтобы ряд
(14.48) удовлетворял уравнению (14.42) и начальным
условиям (14.44).

Подставляя ряд (14.48) в уравнение (14.42), по-
лучим
со

2 [Г£ (/) + <»* ГД/)] sin	/),	(14.49)

*=1

где положено

» k~a

^ = -Г'

(14.50)

Разложим функцию f(x, t) в промежутке (0, I) в ряд
Фурье по синусам

ОО

Ж /) = ^/ft(/)sin^,'	(14.51)

Л=1
где
I

Л (0 = I f f(x, t) sin	dx. (14.52)

6

Сравнивая разложения (14.49) и (14.51) для одной и
той же функции f (х, t), мы получим дифференциальные
уравнения

ТО + “2Л(0=Л(0	(^ = 1, 2, 3, ...), (14.53)

определяющие функции Tk(t).

Чтобы решение v, определяемое рядом (14.48), удо-
влетворяло и начальным условиям (14.44), достаточно
подчинить функции Tk(t) условиям

7\(0) = 0, 7*(0) = 0	(6 = 1, 2, 3, ...) (14.54)

Решение уравнения (14.53) при начальных условиях
(14.54) имеет вид

t

= f fk W sin & — x)
0

или, подставляя вместо fk(t) его выражение (14.52), по-
лучим

=	[ sin u>k(t—t)dt У*f(x, r)sin-^ dx. (14.55)

k о	6

Подставляя найденные выражения для Tk(t) в ряд
'(14.48), мы получим решение задачи (14.42) — (14.44),
если ряд (14.48) и ряды, полученные из него почленным
дифференцированием по х и t до двух раз включитель-
но, равномерно сходятся. Как можно показать, такая
сходимость рядов будет обеспечена, если потребовать,
чтобы непрерывная функция f(x, t) имела непрерывные
частные производные по х до второго порядка и чтобы
при всех значениях t выполнялось условие

/(0, /) = 0, /(/, f) = 0.

Из вышеизложенного следует, что решение задачи
'(14.38) — (14.40) выражается в виде ряда

СО

а (л, t) = Тк (/) sin +
fe=i

ОО
। УЗ I k~at , ,	. АлаМ . Алх

+ X	cos ~г+ькsin -у-)Sin ~Г ’

ft=i
где коэффициенты Tk(t) определяются по формулам
(14.55),.а

i	i

2 /* / \ • кг.х ,	.	2	. kzx ,

ak^=~i I <p0(x)sin — dx, bk = — J <?l(x)stn-j-dx.

6	0

4.	Вынужденные колебания струны с подвижными
концами. Рассмотрим вынужденные колебания однород-
ной струны под действием внешней силы F(x, i), причем
концы струны не закреплены, а двигаются по заданному
закону. Эта задача приводится к решению уравнения
^L = a?%£+f(x, /)	(14.56)

при граничных условиях

«L=o = *i(O, «|Jr=i = ’t2W (14.57)
и начальных условиях

«1,=о = %(*).	|/=0 = (•*)•	(14.58)

Задача (14.56) — (14.58) легко сводится к задаче с одно-
родными граничными условиями. Действительно, введем
вспомогательную функцию

w (х, t) = х, (0+ h (0 - *1 (Г)17 •	(14.59)

Ясно, что

«’1х=о = х1(О. ®1х=г = *г(0-	(14.60)

Решение задачи (14.56) — (14.58) ищем в виде суммы
u = v-]-'w,	(14.61)

где w — новая неизвестная функция.

В силу граничных условий (14.57) и (14.60), а также
начальных условий (14.58), функция v(x,t) должна удо-
влетворять граничным условиям

^1л=о=0» ®L=i=o
’и начальным условиям

© U=0 ~ а l/=e W I/ =0 =

= <Ро (*) — *1 (0) — [*2 (°) — «1 (0)17 = % (•«).

I ____ ди I dw I __________

Л f/=o М 1/=о	1/=о

— ?! (•*> — «1 (0) — («2 (0) — »'1 (0)1 -[ = <Р1 (*) •

Подставляя теперь (14.61) в уравнение (14.56), полу-
чим

dt2 ~а дх2'а дх2 dt2 ^J^x' *>

или, в силу (14.59),

^ = а2^£+7(х, р,
dt2 дх2 1 J ' ’ п

где

7(х, р =/(х, р - х; (р - [х; (р - (pj .

Таким образом, мы пришли к следующей задаче для
функции v(x, р:

d2v п d2v . V.

~dt2'~a dx2~^f(X’

трх=о = О, vlx=l = Or

H=o = ?o(*)> 4r|z=0==tf’i W-

Метод решения этой задачи изложен в п. 3.

5.	Метод Фурье в многомерном случае. Рассмотрим
уравнение

$=£(«),	(14.62)

Где

£<“)=

коэффициенты которого определены в конечной, связной
области Q изменения X = (xlt .... хп) и удовлетворяют
в Q условиям

a(X)>0, aij = ajl,

п	п

I,/=1	>=1

а > 0. (14.63)

Второе из неравенств (14.63) выражает тот факт, что
уравнение (14.62) принадлежит к гиперболическому
типу.

Для уравнения (14.62) рассмотрим следующую сме-
шанную задачу: определить *в цилиндре QT = Я X
X [0 <Л < Г] решение уравнения (14.62), удовлетворяю-
щее начальным условиям

u|/=0 = ?0(X),	(14.64)

и граничному условию

н|5 = 0 при t £ [0, Т\,	(14.65)

где S есть граница области Q.

Будем искать сначала нетривиальные решения урав-
нения (14.62) в виде произведения

и = v (X) Т (/),

(14.66)

удовлетворяющие граничному условию (14.65). Под-
ставляя (14.66) в уравнение (14.62), получим

п

v(X)T"(t) =	у дх.		T(t)
или	Т" (t)	A<eL = _x, V	
	Т«)		
откуда	7’"(/) + ХГ(/) = 0,		(14.67)
	Z. (ti) + Хг) = 0.		(14.68)

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения
(14.62) вида (14.66), удовлетворяющие граничному усло-
вию (14.65), необходимо, чтобы функция v(X) удовле-
творяла граничному условию

г>|$ = 0.

(14.69)
Таким образом, мы приходим к следующей задаче о соб-
ственных значениях: найти такие значения к, при кото-
рых уравнение (14.68) имеет нетривиальные решения,
удовлетворяющие граничному условию (14.69).

Эти значения к называются собственными значения-
ми, а соответствующие решения — собственными функ-
циями краевой задачи (14.68), (14.69).

Можно доказать, что задача (14.68), (14.69) имеет
бесконечное множество собственных значений

X, ... Хя ..., lim кп = оо.
П-+СО

Ввиду однородности уравнения (14.68) и граничного
условия (14.69) собственные функции ^л(Х) опреде-
ляются с точностью до произвольного постоянного. Вы-
берем этот множитель так, чтобы

f^(X)dX=l,

Q

(14.70)

т. е. будем считать собственные функции нормирован-
ными. Собственные функции, соответствующие различ-
ным собственным значениям, ортогональны:

f vll(X)vm(X)dX = 0, k*m. (14.71)
s

Это доказывается совершенно так же, как и в одномер-
ном случае, причем используется формула интегрирова-
ния по частям для многомерных интегралов. Если соб-
i ственному значению Хй соответствует несколько линей-
но независимых собственных функций, то их можно под-
вергнуть процессу ортогонализации и, следовательно,
считать эти функции попарно ортогональными.

Таким образом, мы можем считать, что все собствен-
ные функции задачи (14.68), (14.69) образуют ортого-
нальную и нормированную систему.

Пусть кь — собственные значения, a vh(X)—собст-
венные функции, образующие ортогональную и норми-
рованную систему. Мы имеем
Умножая обе части на vk(X), интегрируя по области Я
и принимая во внимание (14.70), получим
А

2

П

a	Li,; = i

a(X)vk(X) dX

или, интегрируя первую сумму по частям, будем иметь

К

=/[ S

2 Lf,/=1

+-а(Х)^(*)

dX.

Интеграл по границе S области Я равен нулю, так как
W Is = 0. В силу условия (14.63)

п

К

dX,

откуда следует, что все собственные значения задачи
(14.68), (14.69) положительны.

При % = Ха уравнение (14.67) имеет решение в виде
Tk(t)==Akcos}/Ykt + Bk sin yrkf,
где Ak и Bk — произвольные постоянные.

Таким образом, согласно (14.66), каждая функция
ик(Х, t) = vk(X)Tk(t) =

= (A* cos /М + ВА sin УЦ <) vk (X)
будет решением уравнения (14.62), удовлетворяющим
граничному условию (14.65),
Составляем ряд

и (X, 0=2 (Ак cos VTk t + Вк sin /Ц t) vk(X). (14.72)

А=1

Удовлетворяя начальным условиям (14.64), получим
СО	ОО

То(*) = 2 Akvk{X), Tl(X) = 2 Вк Vlkvk(X).
Л=1	А=1
НЭтсюда легко находим

Л = f % W vk (X) dX,	(X) v„ (X) dX.

Подставляя найденные значения коэффициентов Ак и
Вк в ряд (14.72), мы, очевидно, получим решение задачи
‘.(14.62), (14.64) и (14.65), если ряд (14.72) и ряды, по-
лученные из него двукратным почленным дифференци-
рованием по х, и t, равномерно сходятся.

6.	Свободные колебания прямоугольной мембраны.
^Рассмотрим малые колебания однородной прямоуголь-
ной мембраны со сторонами р и <7, закрепленной по кон-
туру. Эта задача сводится к решению волнового урав-
нения

I
dt1 —и\ дх*	ду*}

ири граничных условиях

«L=o = °. «L=p = °> «|у=о = °> «1у=«=° (14.74)
и начальных условиях

и|,=о = ?о(-*;. У). 1г[=0 = 'Р1(Л> У)-	(14-75)

Будем искать частные решения уравнения (14.73) в
виде

и (х, у, 1) = Т (/) v (х, у),	(14.76)

удовлетворяющие граничным условиям (14.74). Под-
вставляя (14.76) в уравнение (14.73), получим

	Г"(0	у _	.2  a*T(t)	v	R ‘

Отсюда, принимая во внимание граничные условия
(14.74), будем иметь

И	Г/(/)4-а2А2Г(/) = 0,	(14.77)  ^-+^+^=0,	<14-78)

®L=o = Q. -f|z=/. = 0. ‘»|у=о = О. ®|у=, = 0. (14.79)


Найдем собственные значения и собственные функ-
ции задачи (14.78), (14.79). Положим

<v(x, у) = Х(х)У(у).	(14.80)

Подставляя (14.80) в уравнение (14.78), получим

откуда получаем два уравнения

Х"(х) + ^Аг(х) = 0, У"(у) + ^Г(у) = 0, (14.81)
где

— АзЧ- Л2 = А? или Л2 = А:2 —|—Л2.	(14.82)

Общие решения уравнений (14.81), как известно, имеют
следующий вид:

X (х) = С] cos kxx + С2 sin kAx,
У (y) = C3cos A2y-j-C4sin k2y.

Из граничных условий (14.79) получаем
Х(0) = 0, Х(р) — 0,
Г(0)=0, y(q) = 0,
откуда ясно, что Ci = С3= 0, и если мы
G= G= 1, то окажется

X(x) = sin^1x, У(у) = sin £2у,
причем должно быть

sinA1/J = O, sin k2q = O.

Из уравнений (14.86) вытекает, что ki и k2 имеют бесчи-
сленное множество значений

= (ти, я = 1, 2, 3, ...).

Тогда из равенства (14.82) получим соответствующие
значения &2:

(14.83)

(14.84)

положим

(14.85)

(14.86)
Таким образом, собственным значениям (14.87), в силу
(14.80) и (14.85), соответствуют собственные функции

vmn (х, у) = sin sin	(14.88)

граничной задачи (14.78) — (14.79).

Обращаясь теперь к уравнению (14.77), мы видим,
что для каждого собственного значения k = kmn его об-
щее решение имеет вид

^тп (0= -^тп cos akmnt —|- Втп sin akmnt,	(14.89)

где Атп и Втп — произвольные постоянные.

Таким образом, в силу (14.76), (14.88) и (14.89) ча-
стные решения уравнения (14.73), удовлетворяющие
граничным условиям (14.74), имеют вид

== cos akmnt + втп sin akmnt) sin sin
(m, «= 1, 2, 3, ...).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (14.75),
составим ряд
и(х, у, t) —

ОО

= У (4« cos akmnt н- Втп sin akmnt) sin sin
т, п-1

(14.90)

Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды,
полученные из него двукратным почленным дифферен-
цированием по х, у и I, то сумма его, очевидно, будет
удовлетворять уравнению (14.73) и граничным усло-
виям (14.74). Для выполнения начальных условий
(14.75) необходимо, чтобы

СО

«1/=о = <Ро(*> У) = 2 A™sin^Tsin7IF’

m’"=1	(14.91)

ди I	,	. V? * п тях ялу

дГ|/=0=='Р1(^ У)= 2i akmnSm/lsin—sm-^-.

т, п= 1

8 М. М. Смирнов
Формулы (14.91) представляют собою разложение за-
данных функций <ро(х, у) и Ф1(х, у) в двойной ряд Фурье
по синусам. Коэффициенты разложений определяются
по формулам

р я ,

.	4 Г Г .	. . тг.х . пку .	,

Атп ~~рч J ./ y)sin ~ГSin-rdxdy>

Q 6

Р Q

f '^(х' y)sin^-sin-^-rfxrfy.
О О

(14.92)

Подставляя (14.92) в ряд (14.90), мы получим решение
нашей задачи.

Положим

Атп = Мтп Si n <pm„, Втп = Мтп COS <ртл.

Тогда решение (14.90) можно записать в виде

ОО

и{х, у, t)=	^m«sin-^-sin-^sin(a^m„/ + <pm„).

т, п=1

(14.93)

Каждый член этого ряда представляет собою стоячую
волну, при которой точки мембраны совершают гармо-
ническое колебательное движение с частотой comn = ак X
X j/"-^г + -^г  Случай мембраны отличается от случая
струны тем, что для последней каждой частоте соб-
ственных колебаний соответствует своя форма струны,
которая просто разделяется узлами на несколько рав-
ных частей. Для мембраны же может оказаться, что
одной и той же частоте соответствует несколько фигур
мембраны с различными положениями узловых ли-
ний, т. е. линий, вдоль которых амплитуда колебаний
равна нулю. Проще всего это исследовать на примере
квадратной мембраны:

р = ^ = я.

В этом случае частота ытт1 будет вычисляться по фор-
муле

= л //п2 + л2.
S3 этой формулы видно, что основной тон, определяе-
ый выражением

un = Afn sin х sin у sin (<onZ + <ри),

дшеет частоту u>1 = a]/2, причем очевидно, что для
'этой частоты узловые линии совпадают со сторонами
квадрата, образуемого мембраной.

В тех случаях, когда

т = 1, п = 2 или т — 2, п — 1,

мы имеем два обертона

«12 = Л412 sin л sin 2у sin (<в12/ -|- <р12),

«21 = ТИ21 sin 2х sin у sin (<»21/ -J-<р21)

с одной и той же частотой м12 = (1>21=ауг5. Ясно, что
для этой частоты (при <pia = Ф21) узловые линии опреде-

ляются из уравнения

a sin х sin 2у +

+ Р sin 2х sin у = 0
или

а cos у + Р cos х = 0.

Простейшие из них изо-	Рис- 7-

бражены на рис. 7 пунк-

тирными линиями. Более сложные узловые линии при
той же частоте получим, когда а=£ ±0 и а, 0 ¥=0.

7.	Свободные колебания круглой мембарны. Рас-
смотрим свободные колебания однородной круглой
мембраны радиуса R с центром в начале координат, за-
крепленной по контуру. Задача приводится к решению
волнового уравнения

д2и . д2и   1 д2и

дх2 ' ду2	a2 dt2

Вводя полярные координаты на плоскости
x = rcos6, y = rsin6,
уравнение (14.94) запишем в виде
д’и .1 ди . 1 д2и  1 д2и
dr2 ' г dr г2 dQ2	a2 dt2

(14.94)

(14.95)
при граничном условии

а|,=/? = 0	(14.96)

и начальных условиях -

4=о = ?о(Л <0. ^|,=0 = 'Р1(г» 6)-	(14-97)

Рассмотрим тот случай, когда круглая мембрана со-
вершает радиальные колебания, т. е. такие колеба-
ния, при которых смещение и зависит только от г и t.
,Эти колебания имеют место в том случае, когда началь-
ные условия имеют вид

4=о=?о(г). ^-\1=0 = <?Лг),	(14.98)

где <ро(г) и ф1(г)—заданные функции в интервале
(О, /?). Так как в рассматриваемом случае и не зависит
от угла 8, то уравнение (14.95) принимает более про-
стой вид:
д2и .1 ди____________________ 1 д2и	...

dr2 ' г dr a2 dt2	' '

Будем искать решения уравнения (14.99) в виде
a(r, f) = T(t)W(r),	(14.100)

удовлетворяющие граничному условию (14.96). Под-
ставляя (14.100) в уравнение (14.99) и разделяя пере-
менные, получим

+ г.((| _

W (г)	— а2Т (0 — А ’

откуда имеем два уравнения

Г'(/)Ч- А2а2Г(/) = 0,	(14.101)

(г) Ч-i U?" (г) Ч-А2 й^(г) = о. (14.102)

Уравнение (14.102) есть уравнение Бесселя. Его об-
щее решение имеет вид

1Г(г) = С1Л(Аг)Н-С2У0(Аг),

где Ci и С2— произвольные постоянные, a J0(kr) и
Yq (hr)—функции Бесселя 1-го и 2-го рода нулевого
[ррядка [5]. Из этих функций только Ja(kr) остается ко-
речной при г = 0, тогда как Уо(^г) обращается в бес-
онечность. Поэтому нужно положить С2 = 0, так как в
ротивном случае смещение u(r, t) мембраны при г = О
удет бесконечно большим, что невозможно. Удовлетво-
яя граничному условию (14.96), будем иметь
\J0(kR) = 0 или Jo(kR) = 0, так как Ci ¥= 0. Обозна-
ая

kR = y.,	(14.103)

Получим

/о(И) = О.	(14.104)

Уравнение (14.104) имеет бесчисленное множество ве-
щественных положительных корней. Обозначим их через
гр1> Иг, Цз. Тогда из (14.103) имеем, что

(« = 1,2,3,...).

При k = kn уравнение (14.101) имеет решение

Тп (0 = ап cos + bn sin ,

где ап и Ьп — произвольные постоянные.
В силу (14.100) функции

».(г. <) = (“,«cos-2^-



удовлетворяют уравнению (14.99) и граничному уело*
Вию (14.96). Составляем ряд

«(г, 0 = 2 («„cos^+Min^p0(^.	(14.105)

л= 1 '

Удовлетворяя начальным условиям (14.98), получим

ОО	ОО

%(/)=2Vo(^). Т1(г)=2-^Мо(¥)-
Л= 1	Л=1
Коэффициенты разложения определяются по следую-
щим формулам [5]-

/?

R

Ьп = —^7 л Уrcpi J° (¥)dr-

Подставляя найденные значения коэффициентов ап и
Ьп в ряд (14 105), мы получим решение поставленной
задачи.

Решение (14 105) можно переписать в виде

«(г, t) = 2 AnJ0 ) sin / + ?„).
n=sl

откуда видно, чго свободные радиальные колебания
мембраны складываются из бесчисленного множества
гармонических колебаний с частотой

Узловые линии для круглой мембраны определяются из
уравнения

МтгН-

Отсюда следует, что л-обертон имеет п узловых линий

1	2 Ии	" 1 Ни	"

представляющих концентрические окружности с центром
в начале координат

Задачи. 1) Однородная струна, закрепленная на концах х = 0 и
х=1, имеет в начальный момент времени форму параболы, симмет-
ричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку
Jf = 2” Определить смещение точек струны от прямолинейного поло>
жения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсут-
ствуют,
Ответ

m (2k +1) KJC (2k 4-1) T.at

. ..	32h V S‘n I “S I

U(x,t)- tc3 2j	(2*4-1)3

s=o

j-де h = u , oj.

2)	Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закреп-*
Ленной на конце х = 0 и подверженной на конце х = I действию воз-
мущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное
>4 sin at
, Ответ

и (X, О =

A sin — х sin a>t
а

<ol

sin —

a

, галх , nr.at
sin —-j— sin ——

3)	Стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смеще-
ние во всех сечениях равно нулю В момент времени t — 0 стержень
освобождается, оставаясь закрепленным на верхнем конце Изучить
вынужденные колебания стержня под действием силы тяжести.

Ответ

, zv gx (21 — х)

16gP
тс3а2

оо sln.(.22L±_L)^.cos(2g+l)^

\т	I	I

2л	(2п 4- I)3

л=0

где g — ускорение силы тяжести

4)	Найти собственные колебания однородной круглой мембраны
радиуса /?, закрепленной по краям, если в начальный момент она
представляет поверхность параболоида вращения, а начальные ско-
рости равны

Ответ.

нулю

Ц(г,^8лУ-7П^-со5-^,

где Ць Ms,
А = и (0,0).

Из,... — положительные корни уравнения /о(р)=Ои
5)	Однородная квадратная мембрана, имеющая в начальный
момент времени t = 0 форму Аху(Ь—х) (Ь—у), где А — постоянная,
начала колебаться без начальной скорости. Исследовать свободные
колебания мембраны, закрепленной по контуру.

Ответ.

оо s|n (2л4-1)лх _ (2от + 1)ку

И (*. У- 0 к6 21	(2п 4-1)3 (2m +1)3 Х

л, т = 0

X COS V(2n+l)3 + (2m+l)3	.
ГЛАВА IV

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения параболического типа наиболее часто
встречаются при изучении процессов теплопроводности
и диффузии.

§ 15. Первая краевая задача.
Теорема о максимуме и минимуме

1. Постановка задачи. Пусть Я— конечная область
пространства (х, у, г). Обозначим через Q в простран-
стве (х, у, z, t) цилиндр, основание которого есть об-
ласть Я и образующие которого параллельны оси Ot.
Пусть Qt — часть этого цилиндра, ограниченная снизу
плоскостью / = 0 и сверху плоскостью / = Т(7’>0).
Часть границы цилиндра Qt, состоящую из его нижнего
основания (t = 0) и боковой поверхности, обозначим
через Г.

Рассмотрим следующую задачу: найти
Qt решение уравнения теплопроводности

ди __ 2/ д2и . д2и . д2и \

~dt~a удх2 ' ~ду^	'dz2') ’

в цилиндре

(15-1)

удовлетворяющее начальному условию

«Ь=о = <?(*’ У> z) ((х, у, z)£2)
я граничному условию

Ц|5 = Ф(Р, t) (/£[0, Л).

(15.2)

(15.3)

!*де S— граница области Я, Р—точка поверхности S.
Функции ф и Т непрерывны, причем значения V при
t = 0 совпадают со значениями ф на границе 5.
Задача нахождения решения уравнения (15.1) при
условиях (15.2), (15.3) называется первой краевой за-
дачей для уравнения теплопроводности.

Теорема. Функция и{х, у, z, t), удовлетворяющая од-
нородному уравнению теплопроводности (15.1) внутри
цилиндра QT и непрерывная вплоть до его границы,
принимает наибольшее и наименьшее значения на Г,
т. е. или при t = 0, или на боковой поверхности цилинд-
ра QT.

Так как теорема о минимуме сводится к теореме о
максимуме переменой знака у и (х, у, z, t), то мы огра-
ничимся доказательством теоремы о максимуме.

Обозначим через М наибольшее значение функции
и(х, у, z, t) в цилиндре DT, а через tn — наибольшее
значение ы(х, у, z, t) на Г. Допустим, что существует
такое решение и(х, у, z, t), для которого M>tn, т. е. для
которого теорема о максимуме не верна. Пусть эта
функция принимает значение М в точке (х0, у0, z0, t0),
где (хо, Уо, 2о) принадлежит й и 0 < t0 < Т.

Рассмотрим функцию

-v(x, у, z, t) = u(x, у, z, /) +

+	К* - ло)2 + <У - Уо)2 + (г - ш

где d — диаметр области й. На боковой поверхности
цилиндра DT и на его нижнем основании

v(x, у, z, ----------g—< М,

а

v (х0, у0, z0, /0) = М.

Следовательно, v(x, у, z, I), так же как и и(х, у, г, /), не
принимает наибольшего значения ни на боковой поверх-
ности DT, ни на его нижнем основании. Пусть
v{x, у, z, t) принимает наибольшее значение в точке
(*i, У1, zlt ti), где (Xi, pi, Z0 лежит внутри £2 и
0<Л<Г. Тогда в этой точке вторые производные
дги d2v d2v	dv п	1 т

~3х^' ~dy* ’ "дх2 неположительны и	^если Г!</»

dv г.	.	-т> dv ~ л\

то ^- = 0, если же ц — 1, то 01, откуда следует,
что в точке (*i, i/ь zlt должно быть

dv d2v . d2v . дЧ/ \ Л	. .

“ST —Л2 -5-5-+тд-5-+-л-5- >0-	(*)

dt \ dx2 1 dy2 1 dz2 j	’

С другой сторны,
dv 21 d2v , d2v i d2v \ 
dt	a 1 dx2 "r <tyJ ”1 dz2 /

du 9i d2u , d2u . d2u \ 9M — m	9M — m n

= -dF-a [-d^ + -w+~d?}-a -^- = ~a2-^-<°>

что противоречит (*)> и теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает,
что:

1)	Решение первой краевой задачи (15.1) — (15.2)
в цилиндре DT единственно. В самом деле, если бы име-
ли два каких-либо решения «1 и и2 задачи, то их раз-
ность w = «1 — «2, удовлетворяя однородному уравне-
нию (15.1), обращалась бы в нуль как при t = 0, так и
на поверхности S области Q. Но тогда, в силу теоремы
о максимуме и минимуме, следует, что w равна тожде-
ственно нулю в области Q при 0</С Г, т. е. щ = и2.

2)	Решение первой граничной задачи (15.1) — (15.2)
непрерывно зависит от правых частей начального и гра-
ничного условий. Действительно, если разность функ-
ций, входящих соответственно в начальное и граничное
условия, по абсолютной величине не превосходит неко-
торого положительного числа е, то и разность
w = Ui — и2 соответствующих решений, как решение од-
нородного уравнения теплопроводности с малыми на-
чальным и граничным значениями, во всем цилиндре
Dt будет по абсолютной величине также не превосхо-
дить е.

2.	Решение первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности. Для прямоугольника Q : [0 х < I,
О	первую краевую задачу можно сформулиро-

вать так: найти непрерывную в прямоугольнике Q функ-
цию и(х, t), удовлетворяющую в Q уравнению теплопро-
водности
начальному условию

и |/=0 = ?(-«)	(0<л<0	(15.5)

и краевым условиям

«L=o = hW. «L=z = H2(O (0</<Т). (15.5')
При этом предполагается, что функции f(x, t), $(x),
Р1(/) и р,2(0 непрерывны и <р(0) == рДО), <₽(/) = ц.2(0).
Изучение общей первой краевой задачи (I) начнем
с решения следующей простейшей задачи (Г): найти в
прямоугольнике решение однородного уравнения

удовлетворяющее начальному условию

и Ь=о = ?(*)	О5-7)

и однородным краевым условиям

«|х=о = О, «|х=| = 0,	(15.8)

где <₽(х) имеет кусочно-непрерывную первую производ-
ную и обращается в нуль при х = 0 и х = /.

Докажем существование решения краевой задачи
(Г) для прямоугольника Q методом Фурье.

Будем искать частные решения уравнения (15.6) в
виде

и (х, 1) = Т (/) Х(х).	(15.9)

Подставляя это в (15.6), имеем

X(jc)T'(t) = a?T(i)X"(x) или =	=-к,

откуда получаем два уравнения

+	(15.10)

X"(x) + Mf(x) = 0.	(15.11)

Чтобы получить нетривиальные решения и(х, t) вида
(15.9), удовлетворяющие краевым условиям (15.8), не-
обходимо найти нетривиальные решения уравнения
(15.11), удовлетворяющие краевым условиям

%(0) = 0, Х(/) = 0.
Таким образом, для определения функции мы при-
ходим к задаче о собственных значениях:

Х/'(х)+ХХ(л:) = 0, Х(0) = 0, Х(/) = 0, (15.12)
исследованной в задаче о колебании ограниченной од-
нородной струны. Там было показано, что только для
значений параметра X, равных

Хя = (^-)2	(п=1, 2, 3, ...),	(15.13)

существуют нетривиальные решения задачи (15.12):

X„(x) = sin-^.	(15.14)

Значениям параметра X = Хп соответствуют решения
уравнения (15.10):

Tn(t) = ane	(15.15)

где ап — произвольные постоянные.

Итак, все функции

«л(х, i) = Tn(t) Хп{х) — апе~'< 1 ’ sin (15.16)
удовлетворяют уравнению (15.6) и граничным условиям
(15.8).

Составим ряд

м(х, /) = 2ja„e 1 ' sin-^-.	(15.17)

И=1

Требуя выполнения начального условия (15.7), получим

«(х, 0) = ?(*) = sin(15.18)
п- 1

Написанный ряд представляет собою разложение задан-
ной функции <₽(х) в ряд Фурье по синусам в промежут-
ке (0, I). Коэффициенты ап определяются по известной
формуле	г

ал = уУ* <p(x)sin-^- dx. (15.19)
о
Так как мы предположили, что функция <р(х) непрерыв-
на, имеет кусочно-непрерывную первую производную и
обращется в нуль при х = 0 и х = /, то ряд (15.18) с
коэффициентами ап, определяемыми по формулам
(15.19), равномерно и абсолютно сходится к <р(х), что
известно из теории тригонометрических рядов. Так как
при

0<е ' ‘ ’ <1,

то ряд (15 17) при также сходится абсолютно и
равномерно. Поэтому функция и(х, t), определяемая ря-
дом (15.17), непрерывна в области 0<х</, >0 и

удовлетворяет начальному и граничному условиям.
Остается показать, что функция u(x, t) удовлетворяет
уравнению (156) в области	t > 0. Для этого

достаточно показать, что ряды, полученные из (15.17)
почленным дифференцированием по t один раз и по-

членным дифференцированием по х два раза, также
абсолютно и равномерно сходятся в области 0<;x<J,
t > 0. А это последнее утверждение следует из того, что

при любом t > 0

о<^е-т'

< 1,

если п достаточно велико.

Совершенно так же можно показать существование
у функции м(х, 0 непрерывных производных любого по-
рядка по х и t в области 0 х < /, / > 0

Единственность решения задачи (lz) и непрерывная
зависимость от начальной функции ф(х) была установи
лена как следствие теоремы о максимуме и минимуме,
Т$ким образом, задача (Г) поставлена корректно для
t > 0, если начальное условие относить к t = 0

Замечание Допустим, что задача (Г) имеет ре-
шение при отрицательных 1. Тогда это решение можно
•было бы как угодно сильно изменить при как угодно
малых отрицательных t, наменян как угодно мало функ-
цию ср(х) и ее производные до произвольного фиксиро-
ванного порядка k Для этого достаточно к решению
прибавить какой-нибудь член с достаточно большим но-
мером из ряда (15.Г7) с произвольно малым постоян-
ным множителем. Отсюда следует, что задача (Г) по-
ставлена некорректно для отрицательных t, если на-
чальное условие относить к t = 0.

Задача I". Найти в прямоугольнике Q решение
неоднородного уравнения

£ =	(15.20)

удовлетворяющее начальному условию

и|,=о = О	(15.21)

и однородным краевым условиям

«L=o = O, «L=1 = 0-	(15 22)

При этом предполагается, что непрерывная функция
f(х, t) имеет кусочно-непрерывную первую производную
и что при всех I > 0 выполнялись условия f (0, t) =
«=/(/, 0=0.

Будем искать решение и(х, t) задачи (I") в виде ря-
да Фурье

ОО

н(х, 0 = 2 гй (Osin— (15.23)

Л=1

по собственным функциям задачи (15.12). Разлагая
функцию f(x, 0 в ряд Фурье по синусам, будем иметь

ОО
/(х, o=2/"Wsin-^-	п5-24)

л= 1
где
i

fn &=т /sin dx- (15.25)
б

Подставляя ряд (15.23) в уравнение (15.20) и принимая
по внимание (15 24), получим

ОО

2 [г; (о+(т)2 тп ю - л (о ] sm	=о.

Л = 1
Отсюда

Tn (t) + (^Tn	(я = 1, 2, 3, ...). (15.26)

Пользуясь начальным условием для и(х, I)

ОО

и(х, 0) = Jj7’„(0)Sin^=0,

л= 1

получаем начальное условие для Tn(t):

Г„(0) = 0	(я=1, 2, 3, ...).	(15.27)

Решение уравнения (15.26) при начальном условии
(15.27) имеет вид

* / пка У1,/ >

1 }	(15.28)

о

Подставляя выражение (15.28) для Tn(t) в ряд (15-23),
получим решение задачи (I") в виде

ОО

л(х, /) = 2

п— 1

л I \ J  П.Т.Х
sin — .

(15.29)

L0

Замечание. Если начальные условия неоднород-
ны, то к решению (15.29) следует прибавить решение
однородного уравнения теплопроводности с заданным
начальным условием и(х, 0) = <₽(х) и однородными
граничными условиями и(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Вернемся теперь,к общей первой краевой задаче (I).
Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив
и(х, t) = v(x, t)-\-w(x, t),
где

W (Х, t) = Р! (0 + [р2 (t) — (Ij (<)] у .

Функция v(x, t) будет определяться как решение урав-
нения

W =	<15-30)

где
/(х, /)=/(х, t) — wt(x, t),
с начальным условием

v(x, 0) = <р(х)— эд(х, 0)	(15.31)

и краевыми условиями

-а (О, 0 = «(О, t) — эд (О, 0 = 0,

v (I, t)=u (I, t) — w (I, 0 = 0.	(15'32)

Таким образом, решение задачи (I) сведено к решению
задачи (15.30) — (15.32), которая нами решена выше.

Задачи. 1) Дан однородный шар радиуса R, центр которого рас-
положен в начале координат. Известно, что начальная температура
любой точки шара зависит только от расстояния г этой точки до
центра шара. Во все время наблюдения внешняя поверхность шара
поддерживается цри температуре, равной нулю. Определить темпе-
ратуру любой точки внутри сферы в момент времени t > 0.

Ответ.

со / пяа \2	%

u(r’ -Rr 2ле Sn~R~ J slnRd?'

л=1	О

где <р(г) —начальная температура шара.

2)	Дан тонкий однородный стержень длиной I, боковая поверх-
ность которого теплоизолирована. Начальная температура известна.
Конец стержня х = 0 поддерживается при температуре, равной нулю,
а на конце х = I происходит теплообмен с окружающей средой
температура которой считается равной нулю. Определить темпера-
туру стержня в момент времени i > 0.

Ответ.

и (х, Z) =

2 V / +

1 “ Р(Р+!)+^

где Ць М-2, Мз,... — положительные корни уравнения

tgP- = — у. Р = Н1>0.

3)	Найти распределение температуры внутри бесконечного кру-
гового цилиндра радиуса R при условии, что начальная температура
равна

и|/=о = »о^1— дг].

а”на его боковой поверхности поддерживается температура, равная
нулю.

9 И. м. Смирнов
Ответ.

§ 16. Задача Коши

1.	Постановка задачи Коши. Найти функцию и(х, t)
(t > 0, — оо < х < оо), удовлетворяющую уравнению

теплопроводности

ди п д2и

"ST =

dt дх2

(16-1)

и начальному условию

«L=o=?(*)

(— ОО < X < оо),

(16-2)

где <р(х)—непрерывная и ограниченная функция.

2.	Единственность решения. Докажем единствен-
ность решения задачи Коши, предполагая, что решение
и(х, 0 ограничено во всей области, т. е. существует та-
кое число М, что I и(х, t) | < М для всех— оо < х < оо
и любом t 0.

Пусть щ(х, t) и Иг(х, 0—два решения уравнения
(16.1), удовлетворяющие одному и тому же начально-
му условию (16.2). Тогда разность <о(х, t) = U\(x, t) —
— и2(х, t) будет удовлетворять уравнению (16.1) и на-
чальному условию

О)|,=0 = 0.

Кроме того, <о(х, t) ограничена во всей области

|и(х, 0| < |«] (х, 0| + \и2(х, 0| < 27И.

Теорему о максимуме и минимуме для неограниченной
области непосредственно применить нельзя, так как
функция и(х, 0 может нигде не достигать наибольшего
и наименьшего значений. Чтобы воспользоваться этой
теоремой, рассмотрим конечную область

|x|<Z,	(16.3)

Возьмем функцию

у (х, 0 — £2	I- ® ’
которая является решением уравнения теплопровод-
ности (16.1). Легко видеть, что

v(x, 0)^>ш(х, 0) = 0,
x»(± L, /)>2М> |<о(± L, 01-

Применяя теорему о максимуме и минимуме к разно-
сти между функциями v(x, t) и ±<о(х, t) в области
(16.3), будем иметь

v(x, t)— ш(х, t)^Q,	f)4-<*>(x,

откуда

— v(x, t) < ш (x, t) < v (x, t)
или

|<n(x, f)|O(x, Z) = -^-^ + a2/j.

Фиксируя некоторое значение (x0, to) и выбирая L до-
статочно большим, получим

И*о> 4r) I <е.

откуда ввиду произвольности е и точки (хо, to) следует,
что

<а(х, /) = 0.

3.	Существование решения задачи Коши. Найдем
сначала частные решения уравнения (16.1) вида

U(X, t)=T(t)X(x).	(16.4)

Подставляя (16.4) в уравнение (16.1) и разделяя пере-
менные, получим

Г it) _ Х"(х) —12
a2T(t)~~ Х(х)

где X2 — постоянная. Мы получаем, таким образом,

Г (t) + а№Т (t) = 0, X" (х) + Х2Х (х) = 0,
откуда, полагая постоянный множитель в выражении
T(t) равным единице,

T(f) = e-a'™, X(x) = >lcosXx + SsinXx;
постоянные А и В могут зависеть от X. Так как гранич-
ные условия отсутствуют, то параметр X остается совер-
шенно произвольным.

Согласно (16.4) получим, что

zz,(x, t) = e~aVt (Л. (Х) cos Xjc —{—£? (X) sin Хлс] (16.5)

есть частное решение уравнения (16.1) при любых Л(Х)
и 5(Х). Интегрируя (16.5) по параметру X, получим так-
же решение уравнения (16.1)

«(х,/) = J e~aW [>!(X)cosXx4-B(X)sinXx]rfX, (16.6)

если этот интеграл равномерно сходится и его можно
дифференцировать под знаком интеграла один раз по t
и дважды по х.

Выберем функции /1 (X) и В(Х) так, чтобы выполняв
лось и начальное условие (16.2). Полагая в (16.6) t = О,
получим, в силу (16.2),

<р(х) = J [Л (X) cos Хх-(- В (X) sin Xjc] rfX. (16.7)
— ОО

Сравнивая интеграл в правой части с интегралом Фурье
для функции ф(х):

<р(л) =

cosXx	ср (;) cos X? dz-hsin Xx j* cp (?) sin X? dz d\

мы видим, что можно удовлетворить равенству (16.7),

положив

ОО

Л(Х) = -^ У*<Р(£)COSХ£с^,

/	— ОО

ОО

— ОО

(16.8)
Подставляя (16 8) в (16.6), получаем

ОО	со

в(х,/) = ± f d\ f <p(5)e-^cosxa-x)^ =
— co	— co

co co

f Л f ?G)e’aWcosX(£—

0	—oo

Меняя порядок интегрирования и пользуясь форму-
лой

СО	эд

f e-^cos рХ dl = ^e~^,
о

легко находим, что

Т 1	<£-*)г

и(х, t)= J	dl. (16.9)

— СО

Нетрудно видеть, что функция

1	^~*>г

F(x, f, =	(16.10)

рассматриваемая как функция от (х, t), является реше-
нием уравнения (16.1). Функцию (16.10) называют фун-
даментальным. решением уравнения теплопроводности
(161).

Докажем, что для любой непрерывной и ограничен-
ной функции <р(х) функция (16.9) удовлетворяет урав-
нению теплопроводности (16.1). Для этого нам доста-
точно показать, что интеграл (16.9), а также интегралы,
полученные его формальным дифференцированием под
знаком интеграла по х и t сколько угодно раз, равно-
мерно сходятся в любом прямоугольнике [—
to t < Т], где t0 > 0. Действительно, дифференцируя
(16.9) несколько раз по х и tt мы получим сумму инте-
гралов, и нужно показать, что каждый интеграл равно-
мерно сходится. После дифференцирования под знаком
интеграла выделяется множитель | — х в положитель-
ной степени, который остается под знаком интеграла, и
множитель t в некоторой степени, который можно
вынести из-под знака интеграла. Таким образом, мы по-
лучим сумму интегралов вида

СО

tR •>

(16.11)

Производя замену переменных

5 — х

Я = ---

2aV t

4а Ч

dt

(t > 0),

преобразуем интеграл (16.11) к виду

и + 1 . °0	_

7=(2a)m+IZ 2 " J <р(х+2дас
— ОО

Отсюда легко видеть, что этот интеграл равномерно
сходится при t ~^-to> 0, так как подынтегральная функ-
ция мажорируется функцией

М\а.\те~л\ где |<р (х+ 2яафл7)1 <711,

которая интегрируема в промежутке (—со, оо).

Таким образом, функция и(х, t), определяемая фор-
мулой (16.9), непрерывна и имеет производные любого
порядка по х и t при t > 0. Так как подынтегральная
функция удовлетворяет уравнению (16.1) при > 0, то
отсюда следует, что и функция u(x, t) удовлетворяет
этому уравнению при t > 0.

Докажем теперь, что функция (16.9) удовлетворяет
начальному условию (16.2), т. е. что

Пти(х, ^) = ср(х)

<-»о

при любом х из (—оо, оо). Введем вместо | новую пе-
ременную а по формуле

Тогда интеграл ^16.9) примет следующий вид:

ОО

и(х, t) = —~ / ср (л-|-2аа V~t)е~da. (16.12)
У я *'
[^Отсюда легко вытекает ограниченность решения и(х, t)
Зари —оо < х < оо и t > 0, если I <р(х) I < М. для всех х.
^Действительно,

ОО

|м(х, 01	/1Ф 2аа ДАТ)] е-“2rfa <

— ОО
со

<-^=г /* е-“’г/а = 7И,
' / тс J
— СО

так как

(16.13)

Умножая (16.13) на <р(х) и вычитая из (16.12), получим

ОО

и(х, t) — <p(jc) = -7L /* [ср (х-J- 2аа]Л7) — ср(х)] е-а’д?а,
У Л V

— оо

откуда

|и(х, /) — ср(х)| <

СО

<—i=- I* |<р (х4- 2да]/~7) — <?(x)\e~al da. (16.14)
У ТС е/

— ОО

В силу ограниченности функции ф(х), при любых х, t и
а имеем

|ср(х+2аауг7) —ср(х)|<2Л1.	(16.15)

Пусть е > 0 — сколь угодно малое число. Так как интег-
рал (16.13) сходится, то можно фиксировать столь боль-
шое положительное число N, что

— N	со

2Л1 Г .1 . s 2Л1	/*	2 ,	. е	1С\

тт / е	7?./е Л<3- (16л6)

' -со	' N

Разбивая промежуток интегрирования на три:
(—оо, —ДГ), (_ДГ, ДГ), (^ оо)
и принимая во внимание (16.15) и (16.16), из (16 14)
будем иметь

|и(л, /) — <р(АГ)|	+

N

+ -^L /*|ср (х+ 2аа /7) — ч(х)\е-лЧа.

jB силу непрерывности <р(х), при всех t, достаточно близ-
ких к нулю, и при | а | N имеем

| <р (х + 2аа /7) — ср (х) | < .

и последнее неравенство дает

|«(х, 0 —?(х)| <^-+417^=- fe-^da,

3	3 у тс •'

' -N

и тем более

оо

|м(х, /) — ср (х)|< ^- + 4-4=- f e-^da.,
о «j У я ♦/

— 00

т. е., в силу (16 13), мы имеем I u(x, t) — <р(х) | < е при
всех t, достаточно близких к нулю, и при всех х, откуда
ввиду произвольности е > 0 и следует

lim и (х, t) — ср (х),
/->о

что и требовалось доказать.

4.	Непрерывная зависимость решения задачи Коши
от начальной функции. Пусть u(x,t)—решение урав-
нения (16J), удовлетворяющее начальному условию
(16.2), а и(х, t) —решение того же уравнения, удовле-
творяющее начальному условию

, Н=о = ?(х).	(16.17)

Тогда, если ] <₽(х) —<р(х) ] < е для всех х из (—оо, сю),
то I м(х, t) — и(х, t) | < е при любых х и t > 0. Действи-
тельно, решения уравнения (16.1), удовлетворяющие со-
ответственно начальным условиям (16 2) и (16.17), вы-
. ражаются формулой (16 9). Веря их разность, будем
иметь

°°	(Х— Е)2

и(х, /) — ц(х, /)= f [?(£) —<р(Ю]-2а1^- g 4а2‘

откуда

£

или, полагая	получим

2а у t

| и (х, t) — и (х, /) I < е -4=г

что и требовалось доказать.

Из формулы (16.9) следует, что тепло распростра-
няется вдоль стержня не с какой-либо конечной скоро-
стью, а мгновенно. Действительно, пусть начальная тем-
пература ф(х) положительна для	и равна

нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего рас-
пределения температур получаем

А 1

откуда видно, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь
угодно больших х, и(х, t) больше нуля. Это объясняется
неточностью теоретических предпосылок, лежащих в ос-
нове теории теплопроводности.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Решение
задачи (16.1) — (16 2) (задачи Коши) есть функция, не-
прерывно дифференцируемая сколь угодно раз по х и t,
вне зависимости от того, будет ли иметь производные
функция <р(х) или нет. Эта гладкость решений сущест-
венно отличает однородное уравнение теплопроводности:
например, от уравнения колебания струны.

Выясним теперь физический смысл фундаменталь-
ного решения (16.10) однородного уравнения теплопро-
водности (16.1),
Выделим малый элемент стержня (х0— ft, х0 + ft)
около точки и будем считать, что функция <р(х), даю-
щая начальное распределение температуры, равна нулю
вне промежутка (ха — h, х0 + h) и имеет постоянное зна-
чение Uo внутри него. Физически можно представить
себе дело так, что мы в начальный момент времени со-
общили этому элементу количество тепла Q = 2hcpU0,
которое вызвало повышение температуры на Uo в этом
участке стержня. В последующие моменты времени рас-
пределение температуры в стержне дается формулой
(16.9), которая в нашем случае принимает вид

=------™

ср 2а \г 2Л •'

Если мы будем теперь уменьшать h до нуля, т. е будем
считать, что то же количество тепла Q распределяется
на все меньшем участке и в пределе сообщается стер-
жню в точке х = х0, то мы приходим к понятию мгно-
венного точечного источника тепла напряжения Q, по-
мещенного в момент времени t — 0 в точке х = ха. От
действия такого мгновенного точечного источника тепла
в стержне получается распределение температур по
формуле

xi+h g_x)s

11m ----f <&	О6-18)

й~>о ср 2а \ nt 2h J

Xo—fl

Применяя теорему о среднем, будем иметь

J е 4а!/ dl=e wt ,

х0-Л

где х0 — h < g0 < х0 + h, и так как g0 -> х0 при h -> 0, то
выражение (16.18) принимает следующий вид:

„	1

—	1___ е 4а‘‘

ср 2а Ytit
Таким образом, фундаментальное решение (16 10)
дает распределение температуры, которое вызывается
мгновенным точечным источником тепла напряжения
Q = ср, помещенным в начальный момент t = 0 в точке
х = I стержня

Графики фундаментального решения

1	в-*»2

F(x, !•) = —е~ ™	(16.10)

2а у nt

при фиксированном £ как функция от х в отдельные мо-
менты времени 0 < t\ < t2 < < ... представлены на

рис. 8 Площадь под каждой из этих кривых равна

ft-*)2

4<р/

Это означает, что количество тепла Q = ср в стержне
остается неизменным с течением времени Из чертежа
видно, что почти вся площадь, ограниченная кривой
(16 10) и осью абсцисс, находится над промежутком
(£— е, £ + е), где £ — сколь угодно малое число, если
только ^>0— достаточно малое число Величина этой
площади, умноженная на ср, равна количеству тепла,
помещенному в начальный момент Таким образом, для
малых значений t > 0 почти все тепло сосредоточено в
малой окрестности точки х = g Из сказанного выше сле-
дует, что в момент времени t = 0 все количество тепла
помещается в точке х = т. е. мы имеем мгновенный
точечный источник тепла.

Теперь нетрудно дать физическое толкование и реше*
нию (16.9) Действительно, для того чтобы придать се-
чению х = g стержня температуру <р(£) в начальный МО’
мент, мы должны распределить на малом элементе dz
около этой точки количество тепла dQ = cp<p(£)d£ или,
что то же самое, поместить в точке £ мгновенный точеч-
ный источник тепла напряжения dQ-, распределение тем-
пературы, вызываемое этим мгновенным точечным ис-
точником, согласно формуле (16.10), будет

1	«-*)а

<р(£)^—~е ia2t .

' v ’	2л V nt

Общее же действие от начальной температуры ф(£) во
всех точках стержня суммируется из этих отдельных'

элементов, что и дает нам полученное выше

(16.9)

решение

ОО

— ОО

(£-*)*

4an dt

Совершенно аналогично
теплопроводности

рассматривается уравнение

ди ,/ дги .

-dt=a fe4

д*и

ду*

. д*и\
т" dz* /"

(16.19)

Решение уравнения (16.19), удовлетворяющее на«
чальному условию

w|/=o«=?(x, у, 2Г),
дается формулой
и(х, у, z, f) =

.	и-л:)г+(1-У)2+(С-г).г

— ОО —ОО —ОО

Задача. Доказать, что неоднородное уравнение

ди „ д*и
dt а дх2

(-/(%, t)
при нулевом начальном условии
«|/=о = О

имеет решение вида

t ОО

л i* f it \	(Е~*)2

u(x,t) =	/ — е did?.

v '	’ J 2а/л(/ — -t)

О -оо r v ’

Указание. Применить метод, изложенный в § 11,
для неоднородного волнового уравнения.
ГЛАВА V

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

§ 17.	Уравнение Лапласа

К уравнениям эллиптического типа приводит изуче-
ние стационарных, т. е. не меняющихся во времени про-
цессов различной физической природы. Простейшим
уравнением эллиптического типа является уравнение
Лапласа

Я- + -Й- + -Й- = °-	(17.1)

дх2 1 ду2 dz2	'	’

В § 5 мы видели, что уравнению Лапласа удовлетворяет
установившаяся в однородном изотропном теле темпе-
ратура и(х, у, 2). Потенциалы поля тяготения и ста-
ционарного электрического поля также удовлетворяют
уравнению Лапласа в точках, в которых отсутствуют
массы, соответственно электрические заряды.

Функция u(x, г/, 2) называется гармонической в ко-
нечной области D, если она в этой области имеет непре-
рывные производные до второго порядка и удовлетво-
ряет уравнению Лапласа во всех точках D.

Функция и(х, у, 2) называется гармонической в бес-
конечной области D, если она в этой области имеет не-
прерывные производные до второго порядка, удовле-
творяет уравнению Лапласа во всех точках D и равно-
мерно стремится к нулю при стремлении точки
М(х, у, 2) в бесконечность (функция и(ЛГ)->0 при
М ->• оо, если для любого заданного положительного е
можно указать такое положительное число А, что
|ц(А4) | < е при г^-А, где г—расстояние точки М от
начала координат).
Мы всегда будем предполагать, что граница об-
ласти D состоит из конечного числа замкнутых поверх-
ностей.

. 1 1

Лемма I. Функция — — г п ,	«

г /(* — *о) + (у - Уо) + (г - го)
есть гармоническая в любой области, не содержащей
точки (х0, у0, 20).

Лемма доказывается непосредственной проверкой.

Функцию и = — называют фундаментальным решением
уравнения Лапласа (17.1).

Аналогично функцию
. 1 , 1
и = In — — In r • 	.. ==-

Г /(X_xo)2 + (y_y0)2

называют фундаментальным решением уравнения Лап«
ласа

д2и . d2u__р

дх2 ’ ду2

Прежде чем переходить к изучению свойств гармони-
ческих функций, мы приведем вывод некоторых формул,
необходимых нам в дальнейшем.

§ 18.	Формулы Грина. Интегральное представление
произвольной функции

Пусть D—конечная область трехмерного простран-
ства, ограниченная кусочно-гладкой ориентируемой по-
верхностью S, и пусть функции Р(х, у, z), Q(x, у, 2),
R{x, У, 2) имеют внутри D непрерывные и ограниченные
производные первого порядка. Тогда имеет место фор-
мула Остроградского

D

— J ]Р cos (гах) +Q cos (гау) +/? cos (гаг)] dS, (18.1)
s'

где «— внешняя нормаль к поверхности S.
Перейдем теперь к выводу формул Грина.

Пусть функции и(х, у, г) и v(x, у, г) и их частные
производные первого порядка непрерывны в D вплоть
до S, частные производные второго порядка внутри D
непрерывны и ограничены. Полагая

n &V ~	„ dv

и пользуясь формулой Остроградского (18.1), приходим
к первой формуле Грина

/* f f ( du dv , ди dv , ди dv\ А

J J J	дШ)ах~

D

— fl' aj^dS — J f J (18.2)
*S	D

Меняя местами и и v в формуле (18.2), будем иметь

Г Г ГI ди dv . ди dv ди dv \,  

J J J \ дх dx ' dy dy ' dz dz; T

D

=/fvidS~ff<18-3>

S	D

Вычитая (18.2) из (18.3), получим вторую формулу
Грина

fl f	= / f(u^-v^ds. <18-4>

D	S

Замечание. Область D может быть ограничена
несколькими замкнутыми поверхностями. Формулы Гри-
на применимы и в этом случае, причем поверхностные
интегралы следует брать по всем поверхностям, ограни-
чивающим область D. Заметим, что при этом нормаль п,
внешняя по отношению к области D, будет на поверхно-
стях, ограничивающих эту область изнутри, направ-
лена внутрь поверхностей.

Лемма 2. Если функция и(х, у, z) непрерывна,
имеет непрерывные производные первого и второго по-
рядков везде в области D, причем первые производные
непрерывны вплоть до границы S, а вторые производные
непрерывны внутри области, то имеет место формула

и(х0, Уо> *o) =

1 Г Г 1

4тс ,/ J \ г дп

S

ОМ

"о

где г = У (х — х0)2 4- (у — у0)2Н- (г — г0)2 — расстояние от
фиксированной точки Л10(х0, ya, 20), лежащей внутри D,
до переменной точки М(х, у, z), п — внешняя нормаль к
поверхности S.

Доказательство. Будем сначала предполагать,
-что функция и имеет непрерывные производные второго
порядка вплоть до поверхности S. Рассмотрим функ-
цию 1? = — -Поскольку эта функция обращается в беско-
нечность, если точка М совпадает с точкой Мв, то мы не
можем применить формулу Грина ко всей области D.
Вырежем из области D шар с центром в точке Мо и ма-
лым радиусом р и обозначим через D? оставшуюся часть
области D, а через ор — поверхность шара. В области
£)? функции и и v = — обладают требуемым свой-
ством непрерывности, и формулу Грина (18.4) можно
применить для этой области. Так как v = у в области
Df — гармоническая функция, то имеем

+И\т^~“тгМ <'««)
°р

Будем теперь стремить радиус р к нулю. Тогда слева в
написанной формуле получим интеграл по всей обла-
сти D. Интеграл справа по поверхности S от р не зави-
сит. Покажем, что второе слагаемое справа стремится
к пределу — 4itu(xo, у«, z0). На поверхности шара-о,

Ю М М. Смирнов
величина г имеет постоянное значение р, и принимая во
внимание, что нормаль п направлена прямо противопо-
ложно направлению радиуса шара, будем иметь

дп , дг r=f Р2
р

и, следовательно,

f f u~£dS==if f udS== 72 «(4)4ltP2=

e	9

я	p

= 4it«(Afp)->4ic«(JWa) при p-*0,

так как функция u(x, у, z) непрерывна в области D.
М( — некоторая точка на поверхности оР-

Производные первого порядка функции ы(х, у, г)
ограничены в Т>, так как по предположению функция
и(х, У, z) имеет непрерывные производные первого по-
рядка в замкнутой области D. Следовательно, суще-
ствует такое К, что -gg < К. Тогда

’р	гр

=-у 4itp2 = 4ir/<p-> 0 при p->d

Таким образом, после предельного перехода при р->-0
В формуле (18.6), мы получим

/ f f dx = f f (7 7% - u dS - Уо. *o).
D	S

откуда и следует формула (18.5).

Для того чтобы избавиться от предположения о том,
что .вторые производные от и непрерывны вплоть до гра-
ницы S, заменим область D областью D<n>, лежащей
вместе с границей внутри D. Применяя сначала фор-
мулу (18.5)- к области П(п) и переходя затем к пределу
при D<n)->D, получим требуемый результат.

Совершенно аналогичные формулы имеют место И
для плоскости:

/ f(ubv — vku)dc = f(u~ — v~'\dS, (18.7)
я	i

/	Л! 1 \

। /»/	, d In— I

u(xQ, Уа)=2^] \In7"5n~“ дп
i

—ifflnTAurfo’ (18-8)
' в ’

где В — конечная область, ограниченная замкнутой кри»
вой I, п—внешняя нормаль к кривой /.

§19. Основные свойства гармонических, функций

Пусть и(х, у, z) —гармоническая функция: в конеч-
ной области D с границей 5. Будем считать, что и не»
прерывна вместе с производными второго порядка
вплоть до границы S. Полагая- в первой формуле Грина
(18.2) v = и и принимая во внимание, что и.—гармони-
ческая функция, получим

S	D

Так как объемный интеграл неотрицателен, то
//“£">»• <19Л>
3

Применяя формулу Грина (18.4) к гармоническим функ-
циям и(х, у, z) и v(х, у, г) = 1, получим

ff£dS=O,	(19.2)

S

т. е. интеграл от нормальной производной гармоничв*
ской функции по границе области равен нулю. Применяй
теперь формулу (18.5) к гармонической функции
п(х, У, z), в силу Дм = 0, получим

и(хй, у0, zQ)=	f f \~g-gg ~~ а ~gg~j dS, (19.3)

s

т. e. значение гармонической функции в любой точке
внутри конечной области выражается через значения
этой функции и ее нормальной производной на границе
области формулой (19.3).	1

Замечание. Интегралы в формулах (19.1), (19.2)
и (19.3) не содержат производных второго порядка
функции и(х, у, z). и для применимости этих формул
достаточно предположить, что гармоническая функция
непрерывна вместе с производными первого порядка
вплоть до границы S. Чтобы убедиться в этом, доста-
точно заменить область D областью №, лежащей вме-
сте с границей внутри D, написать формулы (19.1),
(19.2) и (19.3) для области £>(п\ в которой имеется не-1
прерывность и производных второго порядка вплоть до
границы £<">, и затем перейти к пределу при £Xn)->-Z).

Функция и(х, у, г), гармоническая в области D, име-
ет производные всех порядков внутри этой области.
Действительно, возьмем внутри области произвольную
точку (хо, уо, 2о). Окружим ее поверхностью S', целиком
лежащей внутри области D. Так как функция w(x, у, z)
гармонична в области D, то она будет гармонической
и в области, -ограниченной поверхностью S', причем
функция и(х, у, г) будет иметь непрерывные производ-
ные второго порядка вплоть до поверхности S'. Приме-
няя теперь формулу (19.3), мы получим

«(х0, Уо. г„) = ± f f (1	- и ) dS. (19 3')

S'

Так как точка (хо, z/o, £о) де лежит на поверхности S', то
ная, имеющая непрерывные производные любого поряд-
ка по переменным хо, Уо, za. Следовательно, - правую
Часть формулы (19.3') можно дифференцировать и при-
том сколько угодно раз по *о, Уо, za под знаком инте-
грала. Отсюда и следует наше утверждение.

Теорема 1 (о среднем арифметическом). Зна-
чение гармонической функции в центре шара равно сред-
нему арифметическому ее значений на поверхности это-
го шара.

Пусть и(х, у, z) — гармоническая функция внутри
шара и непрерывна вместе с первыми производными
вплоть до поверхности шара. Обозначим через
Мо(хо, у0, Zq) центр шара, R— его радиус, Sn — поверх-
ность шара.

Применяя формулу (19.3) к этому шару для точки
М0(х0, у0, гй), получим

/

ч(х0, ув, 20) = ±f f\±ddu--u-£-)dS. (19.4)
SR

На поверхности SR шара величина г имеет постоянное
значение, равное R; принимая во внимание, что напра-
вление внешней нормали к поверхности 5Я совпадает
с направлением радиуса шара, будем иметь

л 1

д /1 \| д г	1

\ г6г ' r=R~ R3 ’

и формула (18.12) дает

н(х0, у0, *o)=4ifl f f	+	f f udS

SR	SR

или, в силу (19.2), будем иметь окончательно

“(•«о. Уо. го)= 4^2 f f udS =
s
« 2я

=	[ f u(R, 6, <p)sin6 d6rf<p. (19,5),

о о

Теорема 2 (о максимуме и минимуме). Функ-

ция, гармоническая внутри ограниченной области D и
непрерывная в замкнутой области D, достигает своего
наибольшего и наименьшего значений только на границе
рб ласти, кроме того случая, когда эта функция есть по-
стоянная.

Доказательство. Пусть и(М) достигает наи-
большего значения в некоторой внутренней точке
Мо(х, у, z) области D. Проведем сферу Зр с центром в
точке Ма и радиусом р, принадлежащую целиком обла-
сти D, применим теорему о среднем арифметическом и
заменим подынтегральную функцию и(М) ее наиболь-
шим значением i4“ax) на сфере 5Р. Таким образом, по*
лучим

и =<4 / f “ *s < 4г f f “Г1 as=

причем знак равенства имеет место только в том слу*
чае, когда и на сфере Sp есть постоянная, равная и(М0).
Поскольку по предположению и(Ма) есть наибольшее
значение и(М) в области D, мы можем утверждать, что
имеет место знак равенства и что, следовательно,
и(М) равна постоянной внутри и на поверхности всякой
сферы с центром Мо, целиком принадлежащей обла-
сти D. Покажем, что отсюда следует, что и(М) есть по-
стоянная и во всей области Д.

Пусть N— любая точка, лежащая внутри D. Нам
надо показать, что u(N) = u(Af0). Соединим Мо с N ли-
нией / конечной длины, например ломаной линией, ле-
жащей внутри D, и пусть d — кратчайшее расстояние I
от границы S области D. В силу доказанного выше,
и(М) равна постоянной и(М0) в шаре в центром Мо и
радиусом-у- Пусть — последняя точка пересечения
линии I с поверхностью упомянутого шара, если считать
от Л40. Мы имеем = ц(Л10), и по доказанному вы-
ше м(М) равна постоянной н(М0) и в шаре с центром"

и радиусом у Пусть М2 — последняя точка Пересе-*
чения / с поверхностью этого шара. Как и -выше, функ*
цця ,и(М) равна постоянной и(М,0) и в шаре с цент*
ром М2 и радиусом у и т. д. Путем построения коней*
кого числа таких шаров вся линия I будет покрыта ша*
рами. Точка N окажется внутри некоторого шара, от*
куда будет следовать, что и(N) = и(М0). Аналогично
доказывается, что гармоническая функция не может до*
стигать наименьшего значения внутри области О. Со*
гласно теореме Вейерштрасса функция и(М) в замкну*
.той ограниченной области достигает своего наибольшего
и наименьшего значения, и она достигает их на граница
области D, ибо, по доказанному, внутри области D гар»
моническая функция и(М) не может достигать наиболь-
шего и наименьшего значений. Теорема доказана.

Нетрудно показать, что гармоническая функция
и(М) не может иметь внутри области D ни максимумов,
ни минимумов.

§ 20. Постановка основных задач для уравнения
Лапласа

Пусть S — замкнутая поверхность. Обозначим че-
рез D{ конечную область, ограниченную этой поверх-
ностью, а через De — бесконечную область, внешнюю
к Dit также ограниченную поверхностью S. Пусть на по-
верхности S заданы непрерывные функции fi(P), fz(P)
и f3(P).

1.	Внутренняя задача Дирихле. Нййти
функцию и(М), гармоническую в области Dit непрерыв*
ную в замкнутой области Dt и принимающую на поверх*
ности S заданные значения

(20.1)

Аналогично внешняя задача Дирихле со*
стоит в определении функции, гармонической в- 0$, не-
прерывной в De и удовлетворяющей условию (20.1),

2.	ВнутренняязадачаНеймана.Найтифунк*
цию и(М), гармоническую в области D{, такую, чтобы
du	_

ее производная -gg- по направлению внешней нормали
в каждой точке поверхности S равнялась значению в
этой точке заданной функции f2(P):



(20.2)

Аналогично внешняя задача Неймана со-
стоит в определении гармонической в De функции и(М),
нормальная производная которой на поверхности S удо-
влетворяет условию (20.2).

3.	Третья краевая задача. Найти функцию
и(М), гармоническую в области D,-, непрерывную bD, и
Такую, что	в каждой точке поверхности S

равно значению в этой точке заданной функции fa(P):

£+o(P)«|s =/,(/>).

где а(Р) >0 — заданная непрерывная функция на по-
верхности S.

Аналогично формулируется третья внешняя краевая
задача.

Теорема 3. Решение задачи Дирихле, внутренней
или внешней, единственно.

Доказательство. Рассмотрим сначала внутрен-
нюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют
два решения иДМ) и и2(М} одной и той же задачи Ди-
рихле. Тогда их разность и(М) = Wi(M) — и2(М) будет
гармонической функцией, равной нулю на 5. Отсюда, в
силу теоремы 2, непосредственно следует, что u(M)=0,
т. е. Ui(М) = и2(М) во всей области Dt так как в про-
тивном случае она должна была бы достигать внутри
области D положительного наибольшего значения или
отрицательного наименьшего значения, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле Как к
ранее, предположим, что существуют два решения
Ui(2M) и иДМ.). Тогда их разность и(М) =
= ut(M) — и2{М) будет гармонической функцией, рав-
ной нулю на S и и (М) —> 0 при М->оо, т. е. для любого
6 > 0 можно указать такое R, что |u(Af) I < е, если r^-R,
г — расстояние точки М от начала координат. Пусть
Р(х, У, 2) —произвольная точка бесконечной области Do.
Проведем сферу Sr с центром в начале и радиусом R
ГТлПС Ллтмпим UTnfiui тпикя Р U ПГкИРП УИППТК S лежали
внутри этой сферы. Toi да ]дг(Л*>| <е, что следует из тео-
ремы о максимуме и минимуме, примененной к конечной
области Di, заключенной между S и Sr. В силу произ-
вольности е>0 заключаем, что и(Р) =0, а так как
<Р — любая точка области О, то u=sO в О. т. е. щ = ы2.

§ 21. Функция Грина оператора Лапласа

I. Функция Грина задачи Дирихле. Пусть и(М) —
гармоническая функция внутри конечной области О —
непрерывна вместе с производными первого порядка
вплоть до границы S области D. Тогда, как было пока-
,зано в § 19, имеет место формула

( <?- \

<21”

S

тде г—расстояние от точки MOl лежащей внутри D, до
переменной точки М поверхности S

, Пусть известна функция g(M, Л1о), обладающая сле-
дующими двумя свойствами: 1) как функция перемен-
ной точки М она является гармонической внутри обла-
сти D и имеет непрерывные первые производные вплоть
до поверхности S; 2) на поверхности S функция
g(M, Мо) принимает граничные значения—	 Приме-

няя формулу Грина (18,4) к гармоническим функциям
и(М) и g(M,Ma), получим

S

g(M, Ч)^-

]t/S = 0

. или, в силу граничных значений для функции g(M, Afb),

5’

1
4лг

дп J

0.

Вычитая это равенство из (21.1), мы найдем

И (Ч) = ~ f f « GM) ~	+ g (M, Af0)] dS. (21.2)

s
Положим

O(Af, Af0) = 4^+g(Af; мо).

Эта функция называется функцией Грина задачи Ди-
рихле для уравнения Лапласа.

Определение Функцией Грина задачи Дирихле
для уравнения Лапласа называется функция G(M, Мо),
удовлетворяющая следующим условиям-. 1) G(M, Мо)
как функция точки М есть гармоническая внутри обла-
сти D, исключая точку Мо, где она обращается в беско-
нечность; 2) она удовлетворяет граничному условию

G(M, Mj)|s=O;	(21.31

3) в области D функция G(M, MQ) допускает предста-
вление

G(M, M0) = JL + g(M, мо), (21.4)

где г = |М0, Ml и g(M, Л10)—гармоническая функция
везде внутри D.

Построение функции Грина сводится к нахождению
ее регулярной части g(M, Мо), которая определяется из
решения задачи Дирихле:

Ag(M Мо) = О, g(M, M0)|s = --L (M0£D). (21.5)

С помощью функции Грина решение внутренней задачи
Дирихле (если оно существует) дается формулой
u(M0) = -ff	(21.6)

При выводе формулы (21 6) мы предполагали суще?
ствование функции и(Af) —решения внутренней задачи
Дирихле с граничными значениями /(М), непрерывного
вместе с первыми производными вплоть до границы S.
Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть
гармонической внутри области D и непрерывной в за"
мкнутой области D. Таким образом, не давая доказа-
тельства существования решения, формула (21.6) дает
интегральное представление существующих достаточно
гладких решений задачи Дирихле. Подробное исследо-
вание формулы (21.6), проведенное А. М. Ляпуновым,
показало, что для поверхностей, называемых поверхно-
стями Ляпунова (см. § 30), она представляет решение
задачи Дирихле при любом выборе непрерывной функ-
ции f(A4), входящей в граничное условие.

Совершенно аналогично вводится функция Грина для
внешней задачи Дирихле.

2. Некоторые свойства функции Грина, а) Функ-
ция Грина G(M, Мо) всюду положительна внутри обла-
сти D. В самом деле, функция G[M, Л40) обращается в
Нуль на границе S и положительна на поверхности до-
статочно малой сферы, описанной из точки Afo (так как
при Af-*A1O G(M, Мо) -> +оо). Отсюда в силу теоремы 2
§ 19 следует ее положительность во всей области D.

Выведем еще одно простое неравенство для G(M,M0).
Функция g(M, Мо) на поверхности S принимает отрица-
тельные граничные значения —	тем самым

g(M, Мо) <0 в замкнутой области Д, и, следовательно,
0<0(Л1, Мо)<-^ (внутри О).	(21.7)

б) Функция Грина симметрична, т. е.

G(M, M0) = G(MQt М).	(21.8)

Для доказательства применим формулу Грина (18.4) к
функциям и = G(M, Mi) и v = G(M, М2), выбирая за
область интегрирования D2, которая получается из об-
ласти D исключением двух сфер с центрами в точках
Mt и М2 и с малым радиусом е. Тройной интеграл по
этой области обратится в нуль, так как и и и — гармо-
нические функции вне точек Mt и М2. Интеграл по по-
верхности S равен нулю в силу граничного условия
Г(21.3). Таким образом, мы приходим к равенству >
f f[o (м, м,) —(^ ^a) — g (/и, м2)	4-

— G(M, M2)	=>0,
где Si и S2— поверхности упомянутых выше сфер. Пре-
дел интеграла по сфере с центром в точке М{ при
е->0 будет, очевидно, равен —	А42), а предел ин-

теграла по сфере 32 с центром в точке м2 равен
G(M2, М^. Следовательно, G(Mit М2) = G(M2t AfJ, что
и доказывает симметричность функции Грина.

Замечание. В случае плоскости функция Грина
имеет вид

G(M, =	Af0), г = |Л10Л1|.

Решение внутренней задачи Дирихле выражается фор-
мулой (21.6), где только под S нужно понимать кривую,
ограничивающую плоскую область В.

§ 22. Решение внутренней задачи Дирихле для шара

Пусть требуется найти функцию и(М), гармониче-

скую внутри шара, непрерывную в замкнутом шаре и
принимающую на поверхности 5 этого шара наперед

Рис. 9.

заданные непрерывные значения f(P). Построим сначала
функцию Грина для шара, Пусть R — радиус шара с
«Менаром в точке О; возьмем внутри его произвольную
лючку М(х, у, г) и обозначим через р расстояние этой
«точки от центра шара (рис. 9). Подвергнем точку М
^преобразованию инверсии относительно сферы S. Пре*"
Образованная точка (обозначим ее через A4|(xi, у\, Zi)
*буйет лежать на прямой ОМ вне шара на расстоянии.pi
огцентра шара, причем

РР1 = /?2.	(22.1)
Возьмем теперь какую-нибудь точку Р(1, т], £) и обозна-
чим через г и П расстояния от этой- точки соответственно
до точек М и ЛЬ. Найдем соотношение, между г и и, ко?
гда точка Р находится на поверхности шара. Треуголь-
ники ОМР и ОМ,Р подобны, так как они имеют общий
угол при вершине О и стороны, образующие эти углы,
пропорциональны в силу (22.1). Из подобия треугольни-
ков следует, что

г _ Р
г, - /?

или

-—-1 = 0 (точка Р на S).	(22.2)

Г р г.

Это и есть искомое соотношение между гиг,.

Покажем теперь, что функция Грина для шара будет
иметь следующий вид:

О(Р. =	(22.3)

Действительно, функция G(P, М) как функция точки Р
является гармонической внутри шара, за исключением
точки М, где она обращается в бесконечность. На по-
верхности 5 шара она обращается в нуль, что следует
из (22.2). Таким образом, построенная функция удовле-
творяет всем условиям, налагаемым на функцию Грина
задачи Дирихле. Подставляя найденную функцию Гри-
на в формулу (21.6), получим

« (Ж) = - f f f (Р) -[-г- дп? r'->- dS. (22A)

Преобразуем полученную формулу. Имеем
д-1	д—	д-1

(у) =	cos (л;) н- ~~ cos (nrt) -4- ~ cos (л1) =

= — у- COS (п\) 4- COS (пу) 4- -1^- cos (nC)j =*

= — [cos (г?) cos (и;) 4- cos (гц) cos (ггп) 4-

4-	cos (К) cos (nC)[ == — -1,- cos (r, n).
Аналогично

d/l \ ri /

1	/ ч

----r cos (Гр п).

Г1

Таким образом,

=- 4 cos (г,	" с"(7"1 ta S.

дп	г	р г,

(22.5)

Из треугольников ОМР и OMtP имеем
p2 = /?2_|_riF_27?rcos(r, п),
p2 = /?2_|_r2_2/?/-iCos(r1, ri) (точка P на S).

Определяя отсюда cos (г, п) и cos (rb n) и подставляя
йх в (22.5), получим

(1 а 1 \
----— —_______<? О2 г2 р2 | _2_ „2
Г р Г1 / _____ Р —	•~г I ,	'Т~Г1 Р1

дп ~ 2Rr3 ‘+’ 2рг?

или, в силу (22.1) и (22.2),

Подставляя в формулу (22.4), окончательно получим

=	(22.6)

у

Формула (22.6) называется формулой Пуассона.

Таким образом, если решение внутренней задачи Ди-
рихле для шара существует и если оно непрерывно в
замкнутом шаре вместе с первыми производными, то это
решение представимо по формуле Пуассона (22.6).

Докажем, что если функция f(P) непрерывна, то
формула Пуассона (22.6) дает решение внутренней аа«.
дачи Дирихле для шара. Для этого нужно показать, что
интеграл, входящий в формулу (22.6), есть гармониче-
ская функция внутри шара и что функция и(м), опре-
деленная. формулой (22.6), непрерывна в замкнутом
шаре и принимает заданные непрерывные значения
f(P) на поверхности шара, т. е. что и(М) при стремле-
нии точки М к произвольно взятой точке Р на поверхно*
ста шара стремится к значению f в этой точке. При этом
и(М) становится непрерывной функцией в замкнутом
шаре, если ее соответствующим образом определить на
Поверхности шара.

Гармоничность функции и(М) следует из того, что
при р < R

д-	Л 1

= -^А-^ = -* 1 2 * * s *^^Д7 = 0 (Рна5>-

Возьмем на поверхности шара произвольную точку N
’& докажем, что если M-+N, то и(М)	Для дока-

'зательства нашего утверждения отметим, что формула
(22.6), как это следует из самого способа ее получения,
справедлива в частном случае, когда f(P)sl и когда
решение задачи Дирихле, очевидно, существует (оно то-
ждественно равно единице). Таким образом, имеет место
равенство

1 = <22-7»

S

Умножим обе части равенства (22.7) на и вычтем

из формулы Пуассона (22.6). Мы получим
й(Л1)-/(Л0=4^ f	(22.6)

s

Окружим точку N малым шаром радиуса 28, причем
-выберем 8 столь малым, чтобы во всех точках поверхно-
сти сферы S, которые попадут внутрь этого шара, 5
силу непрерывности функции ЦР) имело место неравен-
ство

|/(Р)_/(ЛА)|<1,	(22.9)

где е>0 — произвольно заданное малое число.

Обозначим через а часть поверхности S, находя-
щейся внутри шара радиуса 28 с центром в точке N,
оставшуюся часть обозначим через S —о. Тогда, разность
(22.8) можно записать в виде

f f[f(P}_f(N)\*L=£dS+

'-wff	(22.10)

5-	ст

Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой ча-
сти равенства (22.10). Мы имеем, в силу (22.9) и (22.7),
та-//|/(₽)-/(У)|-^^ <

1 Г f /?2-р2	. е 1 Г ГФ-?3 е

< 2 4-/? ,/ J г3 dS < 2 4я/? ./ J г* dS — •
о	s

(22.11)

Это неравенство имеет место при любом положении
точки М внутри шара.

Оценим второй интеграл в равенстве (22.10). Для
этого проведем новый шар радиуса. 3 с центром в точ-
ке N. Допустим, что при своем приближении к точке W
точка М находится уже внутри этого шара. Тогда при
Таком положении точки М имеем г = |МР\ > 3, если
точка Р находится на S-— а. Функция /(Р) непрерывна
на поверхности S шара, следовательно, otfa ограничена,
Т. е. |f (Р) ! <:/(. Тогда второй интеграл оценивается так:



2KP(R2 — f)

8з

Когда M-+N, то разность R2 — р2->0 и, следовательно,

та-/

S-я

(22.12)

Из равенства (22.10), в силу (22.11) и (22.12), имеем
z	|«(А1)-f(N)\<е,

откуда ввиду произвольности е>0 следует limu(M) =

М-¥ N

= f(N), что и требовалось доказать.
Замечание I. Введем сферические координаты с
центром в точке О. Пусть (S', ф') — угловые координаты
точки Р, (р, 8,. ф)—сферические координаты точки М.
Обозначим через ч угол между векторами ОР и ОМ.
Тогда формулу Пуассона (22.6) можно записать в виде
и(р, 6, ф) =
2я it

= A f Г /(S', <р')-----R-~р------Jr sin 9' d8' rfcp'.

h o	(/?2 ~ 2/?p cos 7 +p2)

(22.13)
Замечание 2. Решение внутренней задачи Ди-
рихле для круга дается интегралом Пуассона

п

и (г, 6) =27 ./	R2 — 2r R cos (/ — 6) -|- г2	t22’14)

— Я

Следствие из формулы Пуассона. Рас-
смотрим нигде не отрицательную в области D гармони-
ческую функцию и(М). Опишем
из какой-нибудь точки Мо об- /
ласти D сферу S радиуса R, ле- /
жащую внутри D, и обозначим /	\

через М какую-нибудь другую |	/ „д \

точку, лежащую внутри сферы S V I	/хд	1

(рис. 10). Легко видеть, что ядро \ \ r jP |
1	*2-Р2	4,	п	\\	/

*4^ —формулы Пудссо- \	/ I

на при р < R удовлетворяет не-	/

равенствам.	1

1	7?-р ' 1 /?2-Р2	Ч я J

4nR (R + ?y 4 л/? г3	-----------

__!_ ^ + Р (о — \ММ\)	Рис- 10-

< 4^ (R — p)3 (Р —

и из формулы Пуассона (22.6) непосредственно следует

(R + Р)2> 4ttR3 f f “	dS^u (Я) <

s

11 M. M. Смирнов
или, применяя теорему о среднем значении,

«(Ч)<иw	(22Л5)

Эта оценка значений положительной гармонической
функции в произвольной точке сферы через ее значе-
ния в центре сферы называется неравенством Гарнака.

Теорема 4. Функция, гармоническая во всем про*
странстве, тождественно равна нулю

Доказательство. Пусть и(М)—гармоническая
функция во всем пространстве. Опишем из начала коор-
динат как из центра сферу 5 произвольного радиуса.
Гармоническая функция и(М) внутри этой сферы может
быть представлена через свои значения на поверхности
сферы с помощью формулы Пуассона (22.6)1

“(М) = Ъ*//	(22.16)

s

Выберем теперь R столь большим, чтобы на поверхно-
сти сферы 3 имело место неравенство |и(Р)|<е, что
возможно, так как «(Р)->0 при Р->оо. Тогда из
(22.16) имеем

1“ WI < 4iR J f I « (₽) I	<

S

S

или, в силу (22.7), |u(M)| <е, откуда в силу произволь-
ности е > 0 следует, что и(М) = 0, а так как М — любая
точка пространства, то « = 0 во всем пространстве.

§ 23.	Теоремы о последовательности
гармонических функций

Теорема 5. Если последовательность функций
ип(М) (к = 1, 2, 3...), гармонических внутри ограничен-
ной области D и непрерывных в D, сходится равномерно
на границе S области D, то она равномерно сходится и
t 23] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 1вЗ
внутри D. Предельная функция будет гармонической
внутри' области D

Доказательства В силу равномерной сходимо-
сти последовательности функций ип (М) на границе S, по
любому е > 0 найдется такое число N > 0, что

|ия,—	(на S),	(23.1)

как только «1 N, п2 N.

На основании теоремы о максимуме и минимуме не-
равенство (23 1) будет иметь место и подавно внутри
области D Тогда, согласно признаку Коши, имеем, что
последовательность гармонических функций ип(М) схо-
дится равномерно внутри области D к предельной функ-
ции и(М), непрерывной в замкнутой области Л Дока-
жем, что она будет гармонической внутри области D.
Пусть М — любая точка внутри D Опишем сферу S* с
центром в точке М и таким радиусом R, чтобы вся эта
сфера лежала внутри области D. Так как ип(М)— гар-
монические функции в области D, то каждую иа этих
функций? внутри сферы можно представить с помощью
интеграла Пуассона:

= f f »n(P)^^-dS (r = \PM\).	(23.2)

s

В силу доказанной равномерной сходимости последова-
тельности функций un(M) внутри области D, в равен-
стве (232) можно перейти к пределу в обеих частях, и
мы получим

“(”’=«яг

S

Отсюда следует, что и(М) есть гармоническая функция
внутри сферы S

Теорема 6. Если возрастающая последовательность
.функций ип(М), гармонических внутри области D, схо-
дится в некоторой внутренней точке Мо этой области, то
она всюду в области D сходится к некоторой гармони-
ческой функции и(М), и притом равномерно во всякой
замкнутой области Dit которая вместе со своей грани-
цей лежит внутри D.
Доказательство. По условию теоремы мы имеем,
внутри D	ип(М). В силу сходимости после-

довательности в тбчке А40 при любом заданном s > 0 су-
ществует такое N, что

О < ип+р(М0) — ип(М0)<е

при п > N и любом положительном р. Опишем из точки
jW0 сферу S радиуса R, целиком лежащую внутри обла-
сти/Э- Так как ип+Р(М)—ип(М) О внутри D, то, при-
меняя неравенство Гарнака (22.15), получим

0 < ип+р (Л1) — и„ (М) <	е<

где М— произвольная точка внутри сферы S и р—рас-
стояние от М до Af0. Взяв сферу S'c центром Мо и ра-
диуса R— а, где а — малое положительное число, мы
получаем в сфере S' оценку

0<«я+р(М)-«„(Л4)С-^-е,

откуда вытекает равномерная сходимость последователь-
ности ura(Af) в шаре S'. Взяв некоторую точку М\ внутри
сферы S' и повторив предыдущие рассуждения, учиты-
вая при этом сходимость последовательности в точ-
ке Mir мы получим равномерную сходимость внутри
шара, лежащего внутри D, с центром в этой точке. Про-
должая так и дальше, мы докажем равномерную схо-
димость последовательности во всяком замкнутом шаре,
лежащем внутри D. По лемме Бореля всякую замкну-
тую область Z>i, которая вместе со своей границей лежит
внутри D, мы можем покрыть конечным числом шаров,
лежащих внутри D, и это дает нам равномерную
сходимость последовательности ип(М) в области Dj. Из
равномерной сходимости последовательности ип(М), в
силу теоремы 5, следует, что предельная функция и(М)
будет гармонической внутри D.

§ 24.	Внешняя задача Дирихле для шара *

Пусть R— радиус шара с центром в точке О и пусть
на поверхности S этого шара задана произвольная не-
прерывная функция ЦР). Решение внешней задачи Ди-
рихле для шара дается формулой Пуассона

=	(24.1)

где р = I ОМ |, г — | МР |, причем р > /?.

Действительно, как и в § 23, докажем, что прир> /?,
т. е. вне шара, функция и(М), определяемая интегралом
(24.1), удовлетворяет уравнению Лапласа (17.1). Нуж-
но еще показать, что и(М) стремится к нулю равномер-
но при Л4-*-оо. Очевидно, г>р—R. Возьмем точку М
настолько удаленную от начала координат, что р > 2/?,
т. е. R < j, а тогда г > . Отсюда

1	8 ра —/?»	8(р2 —J?a) 8

Г3 р3 И	г3	рЗ	р

и, следовательно,

S
где

S

Отсюда видно, что при р->оо функция и(М) стремится
к нулю. Чтобы убедиться, что и(М)	когда M-+N,

запишем интеграл (24.1) в сферических координатах:

2х к
и (р, 9, ср)= Г Г/(в', <р')------р ~ R----jr sin S' dti' d<?’,

4n / o'	cos v+p*)’/’	t

(24.2)
где (p, 0, ф)—сферические координаты точки М, (S', ф') —
угловые сферические координаты точки Р, у = ZMOP.
Подвергнем точку М(р, 6, ф) преобразованию инверсии
относительно сферы 5. Преобразованная точка Мi (рь В, ф)
будет лежать на прямой ОМ внутри шара из рас-
стоянии pi от центра, причем pip — R2. Интеграл (24.2)
можно записать в виде

2те те	___р2

"(Р. 6. ?) = :&• /f	?')(/?2-2/?₽1 cos\+р|)‘/’sinS'rfS'rf/,

6 о

(24.3)
при этом pi < R, и когда точка 2И 0л ф) будет стре-
миться к произвольной точке N(R, fl, ^>), лежащей на
сфере S, то точка Afi(p1( S, .$)_ будет изнутри шара стре-
миться также к точке N(R, 8, ф). В силу результата, по-
лученного для внутренней задачи Дирихле для шара,
имеем

2те те	2	2

£ / f W', ?') 7^—~Р1 , 2у/, sin 0' rffl'd?

S S	27?P1cosf + pt)'1

когда	и, принимая во внимание, что pi->/? (при

можем утверждать, что и правая часть форму-
лы (24.3) стремится к f(N), что и требовалось доказать.

§ 25.	Поведение производных гармонической функции
на бесконечности

Пусть и(М)—гармоническая функция в бесконеч-
ной области De, внешней к Dit ограниченной замкнутой
поверхностью S. Начало координат поместим внутри
области Di и опишем сферу S с центром в начале коор-
динат и достаточно большого радиуса R, чтобы поверх-
ность S целиком лежала внутри этой сферы. Функция
и(М)—гармоническая в De, тем более она будет гар-
монической вне сферы S и на самой поверхности этой
сферы. Следовательно, вне сферы S функцию и(М) мож-
но представить формулой Пуассона

и^) = 4^/ f	(Р>Я). (25-1)

где	,________

р = | ОМ | = у z2 + y2+z2.

г = IМР | = /(х-У2-Ну-^)2 + (2-С)2.
В § 24 для функции и(М) при достаточно большом р мы
имели оценку

где C = ^f f \u(P)\dS.
s

Дифференцируя (25.1) по х, получим
s
где

д /Р2 —/?2\ _ 2х _ 3(р2 —/?2) х —5
дх \ г3 ) г3	г* г '

Оценим производную Пусть точка М настолько
удалена от начала координат, что р > 2/?, т. е. /? < у.
Тогда г^-р — У? > у и 4’<’р’‘ Заметим, что | х | < р,
'	1. Принимая во внимание все эти оценки,

получим

I д ( Р2 —\ I 61
| дх \ г3 /1 р2 ’

и из (25.2) имеем

где

A=Sif
s

Аналогично

Таким образом, для гармонической функции и(М)
в бесконечной области D' для точек области, доста-
точно удаленных от начала координат, имеют место
Неравенства

' |«(Я)[<у.

|	|	Л

I дг |	р2

(25.3)

где А = const, р — расстояние точки М от начала коор-
динат.

§ 26.	Теорема единственности задачи Неймана

Решение внешней задачи Неймана, имеющее непре-
рывные вплоть до границы производные первого по-
рядка, единственно, решение внутренней задачи Ней-
мана определено с точностью до произвольной постоян-
ной.

Рассмотрим сначала внутреннюю задачу Неймана.
Пусть Щ(М) и —два решения задачи Неймана в
области D с границей S, удовлетворяющие одному и то-
му же граничному условию

Тогда их разность и = щ — и2 будет гармонической
функцией внутри области D, для которой -^—^ = 0.

Воспользуемся первой формулой Грина для гармони-
ческих функций

S	D

Левая часть равна нулю, значит, и правая часть равна
нулю. Тогда в силу непрерывности функции и(М) и ее
первых производных следует, что

ди   ди   ди  „
дх ду дг ’

т. е. и(М) =Uj(AJ) —и2{М) = const, что и требовалось
доказать.
fr2e] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА 169

Отметим, что внутренняя задача Неймана не всегда
разрешима. Для ее разрешимости необходимо, чтобы

f f%as=f //ОТ«-о.

5	$

Необходимость вытекает из свойства гармонических
функций.

Перейдем теперь к внешней задаче Неймана. Пусть
«i(M) и и2(М)—два решения внешней задачи Нейма-
на, удовлетворяющие одному и тому же граничному ус-
ловию. Тогда их разность есть гармоническая функция
в бесконечной области, для которой

|o(M)|<f.	(26,1)

Возьмем сферу SR с центром в начале координат до-
статочно большого радиуса R, так чтобы граница S це-
ликом лежала внутри сферы. Обозначим через об-
ласть, ограниченную поверхностями S и SR. Применяя
формулу Грина для гармонических функций к области
‘Dt, получим

о.

или, в силу (26.1),

fff	+ (>)’ + Of] -‘-fl* % “S- <26-2>

О.	SR

Так как и(М) — гармоническая функция в бесконечной
области, то для нее справедливы оценки (25.3), Мы
имеем

= c°s(nx) + -g-c°s (tty) +

+ ~ cos (ttz) | < ~ (на SR)
SK	SR

Тогда из (26.2) при достаточно большом R имеем

D,

при любом е > 0, что. возможно лишь при условии
ди	ди _ _ ди  п

дх	ду Hz

Значит, и = const; так как и(М)-+0 при М-^оо, то
и(М) = 0, т. е. щ(М) = и2(М).
ГЛАВА VI

ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА

§ 27.	Потенциалы объема, простого и двойного слоев

Пусть в некоторой точке А (а, Ь, с) пространства по-
мещен точечный электрический заряд q. Тогда по из-
вестному закону физики этот заряд создает электро-
статическое поле, напряженность которого Е в любой
точке M(x,y,z), отличной от А, равна



или, в проекциях,

=	=	(27.1)

где г= АМ, г — |ДЛ1|, k — коэффициент пропорциональ-
ности, зависящий от выбранной системы единиц. В даль-
нейшем для простоты будем считать k = Е

Нетрудно видеть, что правые части равенств (27.1)
равны с противоположным знаком частным производ-
ным от функции

и (Af)=~-f-const

(27.2)

соответственно по х, у и z. Эта функция называется по-
тенциалом электростатического поля. Обычно принято
считать произвольную постоянную, стоящую в правой
части (27.2), равной нулю, чтобы u(Af)->0 при удале-
нии М в бесконечность. Таким образом, точечный заряд
величины q создает потенциал

и (М) = 1 = —====?====—. (27.3)
г	/(х - а? 4- (у - ьу 4- (г - с)*	1

Так как при наличии нескольких точечных зарядов
потенциалы, создаваемые ими, складываются, то потен-
циалы, создаваемые непрерывно распределенными за-
рядами, находятся в виде предела суммы, т. е. в виде
интеграла.

Пусть заряд распределен по объему D с объемной
плотностью р(А7), тогда потенциал, создаваемый этим
зарядом, равен

= f f f	(r = ;>|). (27.4)

-ч

Рис. 11.

Правая часть (27.4) называется объемным потен-
циалом. Если заряд распределен по поверхности S с по-
верхностной плотностью p(JV),
м то потенциал, создаваемый
этим зарядом, равен

f ^dS, (27.5)
s

где г есть расстояние от точки М
до переменной точки поверх-
ности S.

Правая часть (27.5) назы-
вается потенциалом простого
слоя.

Представим теперь, что два
точечных заряда q и —q, нахо-
дясь на оси I на расстоянии h

(рис. 11), стремятся к точке А, причем направление ог
—q к q все время совпадает с положительным направле-
нием оси /. Тогда потенциал в любой точке, кроме А, яв- ч
ляется разностью двух величин, стремящихся стать рав-
ными друг другу; поэтому этот потенциал стремится к ну-
лю. Если же в процессе движения q меняется так, что

qh = p=s const,
то предел потенциала равен

и (М) = lim q	=»

Л->0	г 1

J_____1_	_

„г' г"	г cos (ДМ, /)	/п_

= ’5“ р —h— - р ~дг=р —h*—L • <27-6>

Предельное расположение зарядов в физике называют
диполем, величину р — моментом, а ось I — осью этого
диполя. При помощи точечных зарядов диполь может
быть осуществлен лишь приближенно (два больших за-
ряда на малом расстоянии друг от друга).

Пусть теперь дана ориентированная поверхность S,
т. е. такая, на которой указаны внешняя и внутренняя
стороны. Пусть на S распределен диполь с плотностью
момента ц(А/), причем в каждой точке N направление
оси диполя совпадает с направлением внутренней нор-
мали к S в точке N. Тогда потенциал, создаваемый этим
диполем, равен

= f f	я<) dS, (27.7)

s

где вектор г направлен от N к М, п, — внутренняя нор-
маль к S.

Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя,
'так как рассматриваемое распределение диполя может
быть приближенно осуществлено как два наложенных на
поверхность S распределения зарядов с плотностью
•1^(7У) и —-^p.(2V) на расстоянии h (по нормали к S)
друг от друга, если только h достаточно мало. В дальней-
*шём будем считать, что вектор г направлен от точки М
("К JV, и нормаль к поверхности S будем брать внешнюю.
.Тогда потенциал двойного слоя (27.7) можно записать

.ТО(М) = -/ f p(K)-£dS = f f p(N)^dS, (27.8)
s	's'

где <p = (г,П)—угол между вектором я внешней нор-
мали и вектором г, направленным от М к N.
§ 28.	Несобственные интегралы, зависящие
от параметра

Во всем дальнейшем изложении теории потенциала
»ы будем- часто встречаться с несобственными- интегра-
лами, зависящими от параметра. Поэтому напомним
основные положения теории таких интегралов.

1.	Рассмотрим интеграл

v (Af) = J f ff(P, М) dtp,	(28.1)

где f(P, М) —всюду непрерывная функция в конечной
области Д, за исключением точки М, в окрестности кото-
рой она становится неограниченной. Если функция
f(P, М) удовлетворяет неравенству

1/(ЛМ)|<^	(0<«<3),

где г — расстояние между точками Р и М, то несобст-
венный интеграл (28.1) сходится абсолютно.

Определение. Интеграл (28.1) называется рав-
номерно сходящимся в точке Мо, если для любого а > О
можно указать такое 8(e), что имеет место'неравен-
ство

f f f/(P,M)dtp <
°ъ

для любой точки М, расстояние которой от меньше
8(e), и для любой области D*, содержащей точку- Мо и
имеющей диаметр d<i8(e).

Теорема. Равномерно сходящийся в точке Мо ин-
теграл (28.1) есть функция от М, непрерывная в точ-
ке Мо.

Доказательство. Возьмем любое е>0 и вы-
делим область D*, содержащую точку Мо, согласно
определению равномерной сходимости интеграла
(28.1) в точке. Интеграл (28.1) разобьем на два
НЕСОБСТВЕН ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА -Г75

слагаемых:

= f f ff(P^ M)dzP +

°s

+ /j>. M) dtp = vt (Ai)+(M).
d-ds

Р'огда

йда (Al) — v (A40) |< | (A4) | +1 •»! (Al0)| +1 v2 (Al)—v2 (Af0)|.

Пусть точка M находится внутри области Ог. Тогда,
|в силу равномерной сходимости интеграла (28.1) в точ-
же Afo, имеем

|^(M)I<|. ^(Д>)1<т

ЭД’ следовательно,

l-y(Af) —z,(Af0)| < | + |^(Af)-т-2(Л10)|.	(28.2)

,!B интеграле v2(M) интегрирование совершается по об-
ласти D — DS| а точка Al0 лежит внутри Dit и потому
Функция v2 (М) в точке А10 и ее некоторой окрестности
Непрерывна, Таким образом, для всех М, достаточно
•близких к Мо, имеем 1v2 (А1)— т'г^о) I < у и, в силу
1(28.2),

]t»(A4)--o(Al0)|<e,

йкцсуда и следует, в силу произвольности е, непрерыв-
ность интеграла (28.1) в точке Af0, что и требовалось
Показать.

2.	Пусть S — замкнутая поверхность и пусть функ-
ция F(P, М) непрерывна, когда Р принадлежит поверх-
Жости S, а М как угодно меняется в пространстве, не со-
впадая с точкой Р, и обращается в бесконечность при
совпадении точек М и Р. Тогда интеграл

u(M) = f f F(P, M)dSP
s

(28.3)

является непрерывной функцией точки М, когда М не
принадлежит поверхности
Если точка М совпадает с некоторой точкой Ро, ле-
жащей на S, то F(P, Ро) как функция точки Р непре-
рывна на поверхности 5, за исключением точки Ро, в ок-
рестности которой F(P, Ро) становится неограниченной.
Исключим точку Ро некоторой малой областью ап диа-
метра рп< В оставшейся области S — ап функция
F(P, Ро) непрерывна и ограничена, и поэтому сущест-
вует интеграл

f f F(P, P0)dSp.	(2&:4)

A

Если при произвольном стягивании области сп к
точке Ро интеграл (28.4) стремится к определенному ко-
нечному пределу, не зависящему от выбора областей) сп,
то этот предел и называют несобственным интегралом
от функции F(P, Ро) по поверхности S:

/ f F(P, P0)dSP^= lim f f F(P, Po)dSP. (28.5)

S	Pn"*° S-on

Интеграл (28.5) называется абсолютно сходящимся,
если сходится интеграл

f f lF(P,P0)ldSp.	(28.6)

5

Отметим, что значение абсолютно сходящегося инте-
грала не зависит от способа стягивания ап к точке Ро.

Ecjht интеграл (28.6) сходится, то сходится и интег-
рал (2Р.5).

Определение. Интеграл (28.3) называется рав-
номерно сходящимся в точке Ро € S, если для любого
е>0 найдется такая окрестность V(e) точки Ро и такая
часть о(е) поверхности S, содержащая точку Ро строго
внутри себя, что для любой точки М С V(e) интеграл
f f F(P, M)dSP
s

по абсолютной величине меньше e.
Теорема. Равномерно сходящийся в точке Рй € >5
интеграл (28.3) есть функция от М, непрерывная в точ-
ке Ра.

г -Доказательство является повторением рассуждений
предыдущей теоремы.

§ 29. Потенциал объема

Рассмотрим потенциал объема

= f f f	—	(29.1)

D

где D — конечная область. Положим, что плотность
p(jV) ограничена и интегрируема в D. Интеграл (29.1)
является собственным интегралом, если точка М лежит
вне О (г =£0). В этом случае функция о(М) непрерывна
и имеет частные производные всех порядков. Эти произ-
водные могут быть получены дифференцированием под
знаком интеграла, и о(М) удовлетворяет уравнению
Лапласа До = 0 вне области D. Покажем, что при стре-
млении точки М в бесконечность по любому направле-
нию функция о(Л1) стремится к нулю, так что

| и (ЛГ) | < ~ , Л —const,

где R — расстояние точки М от начала координат.

Поместим начало координат внутри области D. Тогда

MN^OM—ON

или

r>R — ON.

Обозначим через d диаметр области D. Тогда
r^-R— d.

Будем считать, что точка М настолько удалена от на-
" а координат, что R > 2d, т. е. d < у. тогда г>-у

12 М. М. Смирнов
1^2	„

или 7<-^-- Теперь

D	О

где

Л = 2///|p(A0|rft.
D

Таким образом, потенциал объема o(Af) есть гармо-
ническая функция вне области D.

Пусть теперь точка М лежит внутри области D.
Тогда интеграл (29.1) будет несобственным. В силу ог-
раниченности плотности p(W) интеграл (29.1) сходится,
так как

|р(У)1 с
г г

Теорема 1. Если р(К) ограничена и интегрируема в
области D, то потенциал v(M) и его частные производ-
ные первого порядка непрерывны во всем пространстве
и эти производные могут быть получены дифференци-
рованием под знаком интеграла.

Доказательство. Покажем сначала, что интег-
рал (29.1) и интегралы

Х(2И) = - f f	Y(M), Z(M), (29.2)

полученные дифференцированием интеграла (29.1) со-
ответственно по х, у и 2 под знаком интеграла, равно-
мерно сходятся в любой точке Мо. Пусть Af0 — любая
точка внутри D Возьмем внутри D область Dit содер-
жащую точку Мо, и вычислим модуль интеграла

ff<С f f f £ («--lAWI).

Dt	*a

где К» — шар радиуса 8 с центром в точке Мо, содер-
жащий область Для вычисления последнего инте-
грала введем сферические координаты с центром в точ-
Ke М. Очевидно, что
28 « 2я

/г,	Кл	ООО

=С'8^,

где /Ga—шар радиуса 28 с центром в точке М. Итак,

<8itC82->0

°8

при

5->0

независимо от точки Мо, т. е. если задано е > О, то, вы-
бирая $ = (не зависящее от выбора точки ЛТ0),
Я4Ы убеждаемся в равномерной сходимости интеграла
f^9.1) в любой точке Мо области D.

Повторяя аналогичные рассуждения для интеграла
Ж(М), мы получим

<с///-£=8«а<»,

если 5 <	• Отсюда и следует равномерная схо-

димость интеграла Х(М). Так как равномерная сходи-*
часть интегралов (29.1) и (29.2) доказана в предполо*
Женин ограниченности плотности 1 p{N) | < С, то эти ин«
«егралы непрерывны также и в точках разрыва функции
p(/V). Точки границы области можно рассматривать как
точки разрыва плотности -р(^), равной нулю вне об-
дасти D. Таким образом, потенциал v (М) н интегралу
Х(М), Y(M), Z(M) непрерывны во всем пространстве.

Остается еще показать, что функции Х(/И), Y(M),
Z{M} являются частными производными от функции
о (/И) и для точек М(х, у, г), принадлежащих обла-
сти D;

= <29-3)
Пусть (х + Дх, у, z) суть координаты точки Mlt а
П — расстояние точки Mt до точки К (%, n, £) интегри-
рования.

Рассмотрим разность

у(хЦ-Дх, у, z) — v(x, у, г) 

D	D

(29.4)

и покажем, что она бесконечно мала вместе с Дх.

Пусть Ki,— шар радиуса 8t с центром Af, лежащий
внутри D, и D2 — часть области D, лежащая вне Ki,-
Разобьем потенциал v(M) и Х(М) на два слагаемых:

©(214) = ^ J J

*», D1

Jf(Al) = ~ /У/Р(ЛГ)АГ1^_

— f f f
D,

Тогда разность (29.4) можно записать в виде

/ — V| (х + ^х> У- z)~vt (х> у, г) _ v

у2 (х + Дх, у, г) — (х, у, г)

Дх

-Хг]. (29.5)

Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части
этого равенства, считая, что точка Afj(x + Дх, у, г) на-
ходится внутри шара Kt,- Мы имеем

«1 (х-Ь Дх, у, г) — Vj (х, у, г) _
&х

-ъ/
отметим теперь, что |г —	С помощью этого не-

равенства мы получаем

‘I у, (х-j- Дх, у, X) — У, (х, у’ I < У У у 'r~r»1

J	Дх	|Дх| г-г,

(29.6)





Производя простые вычисления, имеем

‘ Kit	Ki,	Х2»1

где Кг», — шар радиуса 28i с центром в точке
Из неравенства (29.6), в силу (29.7), получаем

y^x-f-Дх, у, г) — V, (х, у, х)
Дх

(29.8)

Оценивая A'i(Af), будем иметь

Sj 2я я

С f [ J* sin в d6 d!₽dr = 4rtC8i.
ООО

(29-9)

Зададим теперь малое положительное число е и возь-
мем радиус Si шара Ка, столь малым, чтобы выполня-
лось неравенство

бттСа, < |.	(29.10)

Тогда будем иметь

। v. tx + Ax, y,^)-v,(x. у, х) Х11 < Л + ± =	(29.11)

для всех точек Mlt лежащих внутри шара /Се,-
Для третьего слагаемого в равенстве (29.5) мы имеем

ljm Мх+Дх, у, z) — v3(x, у, г)

= Х2,
так как точки Mt и М лежат вне области D2. Следова-
тельно, для любого заданного е > О можно указать та-
кое 82. что

уа (х + Ьх, у, г) — У, (х, у, z)
&х

Х2|<|,' (29.12)

как только I Дх I < 82. Выбирая, наконец, 8 = min {81, 82},
мы из равенства (29.5), в силу (29.11) и (29.12), полу-
чим	j

| ------------------------если |Дх|<8.

Тем самым доказано, что = Х. Аналогично доказы-
dv v dv —
ваются н остальные равенства -^ = г<

Теорема 2. Если плотность p(N) непрерывна в зам-
кнутой области D и имеет непрерывные производные
первого порядка внутри D, то потенциал объема (29.1)
имеет непрерывные производные второго порядка вну-
три D и удовлетворяет внутри D уравнению Пуассона

Дг> (М) = — 4«р (Af).	(29.13)

Доказательство. Возьмем внутри области D
произвольную точку Мй(х0, уо, z0). Пусть — шар ради-
уса 8 с центром Afo, лежащий целиком внутри D, и пусть
О, — часть области D, лежащая вне К8, так что
D =	4- К8. Разобьем потенциал объема (29.1) на два

слагаемых:

°!

+ ///+	(29.14)

В силу теоремы 1 имеем

ъ
д- д —

(г = V (х - У2+ (у - тг)2+(2 - С)2).

Когда

О,	*8

л Интегрируя последний интеграл по частям, получим

+ f	as. (29.15)

*8	53

Цде S& есть поверхность шара Kt> n — направление
|яйешней нормали к Sj в точке N. Первое слагаемое
Жправа в (29.15) есть собственный интеграл для то-
*<ёк М, лежащих внутри Ла, и он имеет внутри Kt про-
изводные всех порядков. То же можно утверждать от-
носительно третьего слагаемого, так как точка N лежит
ftsa поверхности 5а, а точка М внутри Kt- Второе слагае-
мое есть потенциал объема с непрерывной плотностью

,и в силу те°Ремы 1 он имеет непрерывные произ-

Ёдные первого порядка во всем пространстве. Таким
dv(Af)

разом, можно утверждать, что —— имеет непре-
рывные производные первого порядка внутри Kt. В си-
произвола выбора точки Afo внутри D, можно утвер-
Ы. '	dv (тИ)

дедать, что —fa— имеет непрерывные производные пер-
.’вого порядка везде внутри области D. Применяя те же
dv(M)

рассуждения к —— и —, можно утверждать, что
v(M) имеет внутри D непрерывные производные второго
порядка.

Покажем теперь, что объемный потенциал v(M) удо-
 влетворяет внутри области D уравнению Пуассона. Об-
ратимся снова к формулам (29.14) и (29.15). Потенциал
t>i(A4) объемных масс по области Di есть гармоническая
функция внутри шара Kt, так как Kt лежит вне Dit
т. е. ДО1(Л4) = 0 внутри Kt и, следовательно, До(М) =
= Ди0(М) внутри шара Kt. Таким образом, для соста-
вления До(М) достаточно продифференцировать по х
под знаком интеграла те члены в (29.15), в которых ин-
тегрирование совершается по Kt и S ; составить анало-
гичные выражения для производных второго порядка
по у и z и сложить все три производные. Составив та-
ким образом До(Л4) внутри Kt, возьмем его значение
в центре Af0(x0, t/0> Zo) шара К . Мы получим

Kt L

dp (N) *1 — уо
r'J

+	Г /p(Mp^coS(^) +

ОЧ го	I Го

+ COS (/И1) + ^р- cos (BQj dS, (29.16)
где	'

г0 = /(х0 4- S)2 + (Уо - W + (z0 - С)2.

Формула (29.16) справедлива при любом выборе радиу-
са 8, лишь бы шар Kt лежал внутри D, и величина
Дп(Л1о) не зависит, очевидно, от выбора 8. Будем стре-
мить 6 к нулю. Докажем, что при этом тройной интег-
рал будет стремиться к нулю. Действительно, пусть
I dp (N) I	,

m = max —— в некотором фиксированном достаточ-
но малом шаре тогда при 8<^8о и принимая во
| 5 — АГ0 I ' ,
внимание, что -------<.!> получим

г о

Вводя сферические координаты с центром в точке М9,
будем иметь

8 к 2тс



f f f sin в dr rffl — 4m8.

0 6 D	/
Аналогично оцениваются и остальные слагаемые в трой-
ном интеграле. Следовательно, тройной интеграл в фор-
муле (29.16) стремится к нулю при 8->0.

Рассмотрим теперь интеграл по сфере Ss в формуле
(29.16). Так как внешняя нормаль» направлена по ра-
диусу сферы Sa, то

COS ( Л;) 4- cos (ли]) 4-	cos (лС) = .

го	го	га

~ Д- [cos2 (л£) + cos2 (л?;) 4- cos2 (лС)| =
г0	г0

и, следовательно, интеграл по сфере S» может быть за-
писан в виде

или, применяя теорему о среднем,

~rf f p(A9<ZS=4irp(M),

где Ns — некоторая точка на сфере Sj. При 8—>-0 точ-
ка A/s стремится к точке Мо и интеграл по сфере Ss стре-
мится к 4itp(Af0). Таким образом, формула (29.16) в
пределе при 8->0 дает

Д® (А1о) = —4«р (Af0),

что и требовалось доказать.

Замечание. Если f(M) непрерывна в замкнутой
области D и имеет непрерывные частные производные
первого порядка внутри D, то уравнение Пуассона

Дтг (М) — — /(М)

имеет частное решение


§ 30.	Поверхности Ляпунова

Для возможности строгого установления свойств по-
тенциалов простого и двойного слоя необходимо под-
чинить ряду требований те поверхности, на которых рас-
положены эти слои.

Будем называть замкнутую поверхность S поверх-
ностью Ляпунова, если выполнены следующие три
условия:

1)	В каждой точке поверхности S существует каса-
тельная плоскость.

2)	Существует такое d > 0 одно и то же для всех
точек поверхности, что если Na — любая точка S, то вся-
кая сфера с центром No радиуса d или меньшего делит
5 на две части, из которых одна заключается внутри, а
другая вне сферы, и прямые, параллельные нормали
к S в точке A/о, пересекают часть S, находящуюся вну-
три сферы, не более чем в одной точке.

3)	Если 0 — острый угол, образованный нормалями
кЗв двух ее точках Л\ и А/2, и г12— расстояние между
этими двумя точками, то существуют два положитель-
ных числа а и а(0 <	1), не зависящих от выбора то-

чек Ni и Л'г таких, что имеет место неравенство

(30.1)

при любых положениях Nt и N2 на S.

Условие 1) дает возможность в каждой точке
поверхности Ляпунова построить местную прямоуголь-
ную систему координат XYZ, беря точку No за начало
координат, касательную плоскость в точке No за пло-
скость XY и нормаль к поверхности в точке No за
ось OZ. Условие 2) показывает, что в этой местной си-
стеме координат уравнение части поверхности $, заклю-
ченной внутри сферы Со с центром в точке No и радиу-
сом d, может быть представлено в виде, разрешенном
относительно

с-re, ч).	(зо.2)

Через (I, л, £) мы будем обозначать всегда координаты
переменной точки N поверхности S, а через (х, у, г) —
координаты любой точки М пространства. Из условия
3) следует, что частные производные /р существо-
вание которых обеспечено условием 1), являются непре-
рывными функциями £ и т|. В дальнейшем будем счи-
тать, что d взято достаточно малым. Например, можно
принять условие

(30.3)

Так что угол во между нормалью в No и нормалью в лю-
“бой точке N куска поверхности S, находящегося внутри

'Сферы С®, не достигает • Обозначая через г0 расстоя-
ние I N0N | (го<^), будем иметь

cos в0 > 1 — ± I — 1 Ло*,	(30.4)

„откуда

Щ +f‘t+f\< 1 +<Л?< 2	(30.5)

И, следовательно, в силу (30.3)

fl +/2 < 2а2г2“ 4- а*г*‘ < За2г2*	(30.6)

и

|Л1</Заго*. |/4|</3arS.	(30.7)

Вводим полярные координаты

£ = p0cos&, 7) = p<)Sin& (ро = Уг? + ^2)-

Мы имеем

С2о = (Д cos &4-Д sin &)2 </24-/2,

'Откуда, в силу (30.6),

|Ч|< /Загз,	(30.8)

или имеем грубую оценку

(«?<')•

откуда

|С|</3Ро(	(30.9)

но

го = /рЯ^<2Ро.	(30.10)
Из неравенства (30.8) имеем
|^|</За2*р-,

Откуда

или, тем более,

|q<2ap5+1,

так как 2“<а+ 1 при 1. Из (30.4) и (30.10) имеем

1 — cos 90	j а2г2а < 22’~1д2р2’.

Дадим оценку для cos(»X), cos (п¥), cos (nZ), где п —
единичный вектор внешней нормали к $ в точке N.

На основании (30.7) и (30.10) имеем

)cos(nX)| =	< |/J < /Заг“ < /3 • 2’аР‘.

V 1-Ь/еЧ-/^

Аналогично

|соб(лГ)| < ]/3- 2°ар“.

Мы имеем, далее,

cos (nZ) = cos 90

и, в силу (30.5),

|cos (nZ)l^-j.

Выпишем вместе все оценки, которые мы получили
выше:

|C|<Cp3+l, |cos(nX)| <iCp’, | cos (л У) | < Ср’,

1	(30.11)

1 — cos(»Z)< Ср2’, |cos(«Z)|>^,

где С — постоянная, равная наибольшей из постоянных,
входящих в соответствующие оценки. Указанные оцен-
ки, очевидно, сохраняются, Сели в правых частях заме-
нить ро на Го.
§31. Потенциал двойного слоя

Рассмотрим потенциал Двойного слоя непрерывной
плотности p(/V), распределенной на поверхности Ляпу-
нова,

f f	ff ?(N)^dS, (31.1)

5	s

где производная берется по направлению внешней нор-
мали я к поверхности S в точке у, £), вектор г на-
правлен от точки М(х, у, г) к точке W (;, г), С),
Ф= (г,п).

' Потенциал двойного слоя имеет везде вне 5 произ-
водные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лап-
ласа. Покажем, что потенциал двойного слоя стремится
к нулю на бесконечности. Возьмем начало координат
внутри конечной области О, ограниченной поверх-
ностью S. Тогда

— ON
или

—CW.

Обозначим через L наибольшее расстояние точек по-
верхности от начала координат. Тогда

гЖ—L.

Будем считать, что точка М настолько удалена от на-
R	R

чала координат, что R > 2L, т. е. L < -у, тогда г >
1.2

или — <	. Теперь

<4-//

s'

где
Следовательно, потенциал двойного слоя стремится к
нулю на бесконечности как •

Пусть теперь точка М совпадает с некоторой точ-
кой М), лежащей на поверхности S. Тогда r0 *= | N^N |
обращается в нуль при совпадении точек N и No, и ин-
теграл (31.1) есть в этом случае несобственный инте-
грал. Покажем, что он сходится. Для сходимости инте-
грала (31.1) достаточно исследовать подынтегральную
функцию на куске во поверхности S, находящемся вну-
три сферы Со с центром в точке No радиуса d. По остав-
шейся части поверхности интеграл имеет конечное зна-
чение (точка Nq лежит вне области интегрирования).
В точке No построим местную систему координат. Тогда
уравнение куска о0 поверхности S можно представить
В виде

C==/(t и)-

В местной системе координат точка No имеет координа-
ты (0, 0, 0), а точка N координаты (|, ц, £) и

г0= | ММ =

Найдем выражение для cos <ро = cos (ГоП), где Го есть
направление NqN:

cos % = cos (r0X)cos (»X)H-cos (r0Y) cos (пУ)4-

•4- cos (TqZ) cos (nZ),
HO

cos (r0X) = y-, cos(ror) = TL. cos(roZ) = 7-.

Следовательно,
С	~	г

cos <Ро = т cos (я-30Н_ Т- cos (я7“ eos («2>.
*О	'О	'О

Принимая во внимание оценки (30.11), а также очевид-
йые неравенства |£|<р0, hl<Po. Ро<'"о(ро=
получим

cos?0	/ЗС₽0_	ь	(31.2)
Г?	Ро	~ „2-“ ’ Ро	
^где b — постоянная. Кроме того, для непрерывной функ-
ции имеем оценку

|И(ЛГ)|<Л (NeS).

(31.3)

'Заменяя интеграл по со интегралом по проекции°'акуска
at на плоскость ХУ местной системы координат, полу-
чим

"о

В силу оценок (30.11), (31.2) и (31.3), имеем следую*
щую оценку подынтегральной функции:

,е , СОЗФо 1

2АЬ

2-«
₽0

откуда и следует сходимость интеграла (31.1), если точ-
ка М лежит на поверхности S. Таким образом, потен-
циал двойного слоя (31.1) определен во всем простран-
стве.

Если точка М лежит на поверхности S, например,
совпадает с точкой Nq поверхности S, то значение инте-
грала (31.1) в этой точке называют прямым значением
потенциала двойного слоя. Пусть теперь точка M(x,y,z)'
Находится вне поверхности S и пусть точка М прибли-
жается к точке No € >5. Если при этом приближении ока-
жется, что потенциал двойного слоя w(M) стремится к
некоторому конечному пределу, то мы будем говорить,
Что потенциал двойного слоя принимает в точке No пре-
дельное значение. Предельные и прямые значения по-
тенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают,
Далее мы покажем, что предельные значения потенциа-
ла двойного слоя ш (Л1), вообще говоря, различны в за-
висимости от того, извне или изнутри" стремится точка
М к поверхности S, и эти предельные значения не сов-
падают с прямыми значениями, т, е. мы покажем, что
потенциал двойного слоя (31.1) терпит разрыв при пере-
ходе через поверхность S.
Рассмотрим сначала потенциал двойного слоя (31.1),
когда ц(А^) =: 1. Тогда

д-
f -g^as-f f	(3i.4)

;	3	5

Пусть точка M находится вне замкнутой поверх-
ности S*). При этом у есть гармоническая функция
внутрй S с непрерывными производными всех порядков
вплоть до S, и, в силу (19.2), мы имеем

да,(Л1) = — У У -yyrfS = 0	(Ж вне S).

з

Пусть точка М находится внутри S*). Выделим ее ма-
лой сферой Ср с центром М и радиусом р. В части
пространства D' между Cf и S функция у гармониче-
ская, и мы имеем

В точках сферы Ср внешняя нормаль по отношению к
области направлена противоположно радиусу сферы и,

следовательно,
Л

дп

г

с

— _L

С г

Р

так что предыдущая формула перепишется в виде

f f^+rf fas=0

s s

•) Мы будем говорить, что точка М находится внутри (вне)
замкнутой поверхности S, если она принадлежит конечной обла->
сти D/ (бесконечной области De), ограниченной этой поверхностью.
Jf&s = 4тг (Л4 внутри S).

или

//т^" + 4*=0’

откуда

ze>, (М) =—

Положим, наконец, что точка М находится на поверхно-
сти S. Найдем прямое значение потенциала (31.4). Про-
ведем малую сферу С9 с центром в точке М и радиусом
p^d. Эта сфера вырезает часть о поверхности 5. Остав-
шуюся часть поверхности обозначим через S— о. Со-
гласно определению несобственных интегралов, имеем

;!”/ ЛгА5=/' J^S. (31.5)

Пусть СР — часть поверхности сферы Ср, лежащей вну-
три поверхности S. Рассмотрим область, ограниченную
поверхностями S— а и СР. Так как точка М находится
Пне этой области, то в этой области у функция гар-
моническая и, следовательно,

или, принимая во внимание (31.5), будем иметь
л 1

01-6)

Введем сферические

По-прежнему имеем

ср

координаты с центром в точке М.
д —

t = и dSf — р2 sin 9 d<f.
р

дп.

13 М. М. Смирнов
Тогда
A JL 2я *

f f~dtTdSf~f	=

с'	о »№)

е	2»	2«

«= У* [1 -|-cos 9(<р)| rf,p=2« + J cosfl(<p)rff. (31.7)
о	о

Покажем, что
2я

lim Г cos9(?M<p = Q.

9-*0 О

Введем местную систему координат с началом в точ-
ке М, направив ось Z по нормали к S в точке М, а за
плоскость XY возьмем касательную плоскость к поверх-
ности S в точке М. Тогда

cos 9 (?)=£.

Отметим, что точки (р, $, 6(<р)) лежат на линии пересе-
чения сферы Ср с поверхностью Ляпунова S, а тогда
для координат t, точек этой линии имеет место оценка
[£| < Ср1+а. Следовательно,

(cos 9 (<p)KCf>%

откуда следует, что cos9(<₽)->0 при р->0 равномерно,

т. е. независимо от точки М, и J cos 9 (<р) d<f 0 при
о

р—>0, Таким образом, из формулы (31,7) имеем

“™/ /4-^ = 2'
с'

и, окончательно, из (31.6) получаем
dl

f f-&rdS= — 2к (Л4 лежит на S).
а
Мы имеем, таким образом,

S

О (ЛГ вне 5),
2чс (М на S),
4п (AI внутри S).

(31.8)

^Интеграл w^M) называется
^геграл Гаусса представляет
КИЮ.

интегралом Гаусса. Ин-
собой разрывную функ-

Мы в дальнейшем будем предполагать поверхность S
Йгакой, что при любом положении точки М выполняется
яеравенство

у у I cos т I

(31.9)



$де К — определенное положительное число.

f Формулы (31.8) показывают, что при ц(А') = 1 по-
тенциал двойного слоя испытывает разрыв непрерывно-
сти, когда точка пересекает поверхность S. Покажем, что
«то имеет место и для произвольной непрерывности
Плотности ц(Л^).

Теорема. Потенциал двойного слоя w(M) имеет пре-
делы при стремлении точки М к точке No поверхности S
извне или изнутри. Если предел значений w(M) извне
[обозначать через we(N0'), а предел изнутри — через
,Wi(N0), то имеют место формулы

/,F(^^LdS-2«p.(^) =

*5 J

= -w(,N0)-2^(N0),

<МЧ) = /* f p(W)-^dS + 2^(ATo)=	(31.10)

Js J

= w(M))+2’4i(M)>

где <po есть угол, образованный направлением г0 = Л/0М
с внешней нормалью л к поверхности 5 в переменной
точке N.
Доказательство. Пусть No— фиксированная
точка поверхности S. Потенциал двойного слоя w(M)
представим в виде

да(Ж) = f f	fc-^dS =

s	s ’

= w0(Af)4-lb(jV0)wI(jW). (31.11)

Пусть M ->• No извне или изнутри поверхности S. Поведе-
ние потенциала a’i(M) известно — это интеграл Гаусса.
Рассмотрим потенциал двойного слоя Докажем,
что а>о(М) сохраняет непрерывность, когда точка М пе-
ресекает поверхность S в точке No. Пусть е > 0 — задан-
ное число. В силу непрерывности функции p(N) можно
выделить такой участок о0 поверхности S, содержа-
щей точку No внутри себя, на которой выполняется не-
равенство



(31.12)

где К—постоянная, входящая в условие (31.9).

Разбивая S на два куска оо и S — о0, можем напи-
сать

ет0(Л1) = те)'1)(Л!) + да^(Л1),	(31.13)

где

(Л1) = f f (К) - ii (No)| dS,

". -	(31.14)

w® (М)=1 J HV) - ц (tf0)| dS.

5—

При любом положении точки М мы имеем

/ 1и(Л0-ds,
«»
ПОТЕНЦИАЛ двойного слоя	1'97

откуда, -в силу (31.9) и (31.12), имеем

]«Af)|<-|.	(31.15)

Из (31.13) следует

®0(M)-®0(JV0) =	(М) -	(No)+ Ч» (М) - <> (Л/о),

откуда

}(M)-w0(Nq) I < |	(M) | H-

+1<> (*o)I + I <> W -	(^o) I

или, в силу (31.15),

" I w0(M)-w0(2V0)| <-| + | <’(^)-Ч2,(^о)|- <31-16)

В потенциале двойного слоя	интегрирование со-

вершается по S — а0, а точка Na лежит внутри оо, и по-
тому функция w^2)(jW) в точке No и ее некоторой окре-
стности непрерывна.

Таким образом, для всех М, достаточно близких к Na,
мы имеем

|®W- ч2’(Ч)| <Т

и, в силу (31.16),
l®oGW) —®о(М)| < е>

'откуда и следует, ввиду произвольности е > 0, непре-
рывность функции в точке No. Итак,

Пт «у0(Л1) = 'да0(^).	(31.17)

M-»N,

Пусть M~+No изнутри поверхности S. Тогда, принимая
во внимание (31.8) и (31.17), из (31.11) получим

lim ®(Af) = ®)0(^)H-4irp.(A<0).	(31.18)

M-*Nt

Пусть в формуле (3l.ll) точка М совпадает с точкой Л'о,
лежащей на S. Тогда, в силу (31.8), будем иметь

®(М) = тМЛИ + 2кММ>)-	(31.19)

Сравнивая (31.18) и (31.19), получим

tMWo) = ®(Wo) + 2i4*(M>)-	(31.20)

Пусть теперь М-* No извне поверхности <S. Точно так же
получим

lim w (М) = тав (No) = w0 (No),
M /Уд

откуда, в силу (31.19), имеем

™г(^) = ®>(М))-2^(^).	(31.21)

Из формул (31.20) и (31.21) непосредственно полу-
чается величина скачка потенциала двойного слоя в лю-
бой точке Ао поверхности S;

(31.22)

Замечание. Пусть точка М находится на S. Обо-
значим ее через N. Тогда из (31.11), в силу (31.8),
имеем

®(A9 = ®0(7V)+2^(^).

Будем теперь точку N вдоль поверхности S стремить к
точке No. В силу доказанной непрерывности функции
w0(N) будем иметь

lim w(W) = «k(W0)--|-2^(7V0).

Сравнивая это с (31.19), получим

lim ® (N) = w (jV0),
N->Nt

откуда следует, что потенциал двойного слоя w(M) есть
непрерывная на поверхности S функция. Принимая во
внимание формулы (31.10) и непрерывность функции
w(No) при перемещении No на 5, мы можем утверждать,
что потенциал двойного слоя w(M) есть непрерывная
функция внутри S и вплоть до S. Точно так же она не*
прерывна вне S и вплоть до 3,
§ 32. Потенциал простого слоя

Рассмотрим потенциал простого слоя непрерывной
плотности n(N), распределенной по поверхности Ляпу-
нова:

u(M) = ff^-dS	(г=|»|).	(32.1)

s

^Во всех точках М(х, у, z) пространства, не принадле-
жащих поверхности S, потенциал простого слоя имеет
Йроизводные любого порядка и удовлетворяет уравнению
рапласа. Совершенно так же, как и в § 31, можно пока-
рать, что потенциал простого слоя стремится к нулю на
бесконечности, как-^-, где /? = }/x24-y2-|-z2.

Теорема. Потенциал простого слоя с непрерывной
Плотностью есть функция, непрерывная во всем про-
странстве.

Доказательство. Потенциал простого слоя
непрерывен в точках М, не принадлежащих по-
верхности S. Покажем, что и(Л1) непрерывна и в точках
Поверхности S. Для этого нужно доказать, что интеграл
^32.1) сходится равномерно в точках поверхности S.
Пусть Nq — произвольная точка поверхности S. В точ-
jKe No построим местную систему координат, как указано
Йыше. Пусть &> 0 — заданное число и <?i — часть поверх-
"йости S, определенная условием ? d2i

Докажем, что можно выбрать dt настолько малым, чтобы
Цри любом положении М в некоторой окрестности точ-
ней No выполнялось неравенство

f f	dS < е> (32.2)

«1

Мы имеем

(32.3)

где «1 — круг радиуса d± с центром в No, pi — длина
проекции MtNi отрезка MN на касательную плоскость к
S в точке No-, |ц(#)|<Л. Положим, что точка М нахо-
дится внутри сферы радиуса di с центром в No. При
этом точка М1 принадлежит Kpyj-y «i, и если мы на
плоскости (I, л) возьмем круг «1 радиуса 2dj с цент-
ром в Л11( то он будет содержать весь круг так что
в силу (32.3)

.Лл

«1	Р1<2«Л

Эта оценка не зависит от положения точки Na на по-
верхности S. Фиксируя теперь dt так, чтобы 8-гсЛ< s,
мы получаем оценку (32.2) при любом положении точ-
ки М в шаре радиуса с центром в No. Это и означает,
что интеграл (32.1) сходится равномерно в точке No, а
следовательно, и(М) непрерывна в точке No, лежащей
на поверхности S, что и требовалось доказать.

Нормальная производная потенциала
простого слоя. Пусть «о —направление внешней
нормали в некоторой точке No поверхности S. Считая,
что М лежит не на S, составим производную от потен-
циала простого слоя (32.1) по направлению п0. От М

1

зависит только множитель у. и мы можем дифференци-
ровать под знаком интеграла

=f f I* W i (4)dS - f f f W	as-

s	s

(32.4)

Отметим разницу между последним интегралом и по-
тенциалом двойного слоя (31.1). В интеграле (31.1)
Ф = (г, я), где п — единичный вектор внешней нормали
в точке N, которая является переменной точкой интегри-
рования, а в интеграле (32.4) ф = (г, «о), где пй — еди-
ничный вектор внешней нормали в фиксированной точ-
ке No. В обоих случаях г = MN<
Покажем, что интеграл (32.4) существует и в том
случае, когда М. совпадаете точкой Уо, упомянутой выше.
В этом последнем случае мы будем записывать интеграл
(32.4) в виде

J У*	[ f р(АГ) cos<£^lrfS, (32.5)

s	r°	’ s	r°

где r0= |У0У|, а угол фо = (f*0> яо) есть угол между на-
правлениями N0N и По- Для этого достаточно рассмот-
реть его на участке оо поверхности S, содержащем Уо
внутри себя. В точке No построим местную систему ко-
ординат. Через (х, у, z) обозначим координаты точки М,
а через (£, т], О — координаты точки N в местной систе-
ме координат. Тогда

<*О

- Если М совпадает с Уо, то г = 0, и интеграл принимает
вид

"*	°0

где во— проекция ао на касательную плоскость к поверх-
ности S в точке Уо, а £ = £(ё, п) —уравнение участкаа0
поверхности S в местной системе координат. В силу
оценок

1гИ<£ро+1.	|cos(«z)|>-i,

^о>Ро- |Н(^)|<Л,

' имеем следующую оценку подынтегральной функции:

Н(5. т?)

С (6, *1)

Гу cos (nz)

2СА
2-а ’

Ро

откуда и следует сходимость интеграла (32.4), если
точка М совпадает с точкой Уо, лежащей на поверх-
ности S.
Перейдем теперь к выяснению поведения нормальной
производной потенциала простого слоя (32.4) при при-
ближении М к No по нормали изнутри или извне по-
верхности S. Мы покажем, что нормальная производная
потенциала простого слоя имеет определенные пределы,
и для этих пределов имеют место формулы

’ s	0

(32.6)

= f f	-2^(K0).

Для доказательства формул (32.6) составим разность
F(M) интеграла (32.4) и потенциала двойного слоя с
той же плотностью n(N):

OFIq	v t/	'

/	5

(32.7)

Написанный интеграл имеет смысл, если М находится не
на S или если М совпадает с Ng, лежащей на S. Пока-
жем, что интеграл F(M) имеет предел, когда точка
М -> Nq по нормали «о, и что этот предел равен значе-
нию интеграла F(M) при М «= No. В точке No построим
местную систему координат. Пусть ci— часть поверх-
>2 г 2 -z .2 ( j d\
ности S, определяемая условием £ Ч- Ч <,«1 l«i <. jrI*
Точка Л1 находится на нормали к $ в точке No, т. е. в
местной системе координат х = 0, у = 0; (g, t], £) — ко-
ординаты точки N в местной системе координат. При
этом мы имеем

COS <р = у COS (ЛX) + у COS (пУ) +	COS (»z),

, С — z
COS ф = -у— ,
и, следовательно,
COS ф — cos <р
, —

= — ^ cos (пХ) — cos (жГ) — (cos (nZ) — 1).

Принимая во внимание оценки

|cos(nX)|<Cpj, |cos(«K)| <CPJ,
1 — cos (nZ) < Cpj®*,
IM<Po. hl<Po. ^>Po. |C —г|<г,

где Ро = Уг52 + 11г—длина проекции MN на плоскость

XY, получим

| cos ф — cos ? I b{

где bi — постоянная. Принимая во внимание, что
||i(/V)|<M, будем иметь



2х d,

Ро<4 ₽0	0	0	™

где Ь2 — постоянная. Эта оценка имеет место при любом
положении точки М на нормали к 5 в точке No, причем
М может и совпадать с No. Отсюда следует, что если
е > 0 задано, то, фиксируя di таким, чтобы b^d* < -£•,
будем иметь



(32.8)

4 '

Разбивая теперь S на две части oi и S — oi, можем на-
писать

F(M) = F<,,(M)-t-F(2,(2M),	(32.9)
где

F*1’ (2И) = f f |х (ДО ^-.с?8.? ds,

Fm(M} = [ f t*(A9 cos*~-sy dS.

S-o,

Из (32.9) следует

F(M) — F(N0) = F™ (M) - F°’ (No) + F^ (M) - F(2’ (No),
откуда

iw-f^k

< | F'1’ (M) | +1 F(I) (No) | +1 F(2) (M) - F™ (AQ |

или, в силу (32.8),

IF(7W) - FTO| <| + | F<2) (Af) - F(2) (2V0) I. (32.10)

если считать, что точка Af лежит на нормали кЗв точ-
ке Ао. В интеграле интегрирование совершается
по S — oi, а точка А'о лежит внутри Ci, и потому функ-
ция Я2)(М) в точке No и ее некоторой окрестности не-
прерывна. Таким образом, для всех М, достаточно близ-
ких к Ао> имеем

|F(2,GW)-F(2)(7V())|<4

и, в силу (32.10),

|F(M)-F(2V0)|<e,

откуда и следует, в силу произвольности £ > 0, что

lim F(Af) = F(Aro),	(32.11)

М -> Nq

причем точка М -> No по нормал и к 3 в точке No из-
вне или изнутри. Ранее было показано, что потенциал
двойного слоя w(M) имеет предел при стремлении М к
No изнутри или извне поверхности S. А тогда из (32.7),
в силу (32.11), следует, что нормальная производная
потенциала простого слоя (32.4) имеет пределы при
стремлении М к No по нормали изнутри или извне по-
верхности S. Используя (32.11), получим

= f [?(K)^dS-w(N0).

' "О fl	V V

=f f* №	ds-*>

£ °

и принимая во внимание формулы (31.10), мы получим
формулы (32.6). Из формул (32.6) непосредственно сле-
дует величина скачка нормальной производной потен-
циала простого слоя


ЛИТЕРАТУРА

1.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II—IV,
Физматгиз, 1958—1962.

2.	П е т р о в с к и й И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, Физматгиз, 1961.

3.	С о б о л е в С. Л., Уравнения математической физики, Гос-
техиздат, 1954.

4.	Курант Р., Гильберт Дч Методы математической фи-
зики, т. I и II, Гостехиздат, 1951.

Б. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М.,
Основные дифференциальные уравнения математической фи-
зики, Физматгиз, 1962.

6.	Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения матема-
тической физики, Гостехиздат, 1953.

7.	Т р и к о м и Ф., Лекции по уравнениям в частных производ-
ных, ИЛ, 1957.

8.	Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н.,
Сборник задач по математической физике, Гостехиздат^
1956.

9.	Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С.,
Сборник задеч по математической физике, Гостехиздат, 1955.

10.	С м и р н о в М. М., Задачи по уравнениям математической
физики, Физматгиз, 1961.