Автор: Багров В.Г. Белов В.В. Задорожный В.Н. Трифонов А.Ю.
Теги: общая ботаника физика математика математическая физика математическая логика методология физики издательство томск
ISBN: 5-89503-153-2
Год: 2002
Текст
Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Томский государственный университет
Московский институт электроники и математики
В. Г. Багров, В. В. Белов,
В.Н. Задорожный, А.Ю. Трифонов
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
уравнения математической физики
Рекомендовано Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-физических специальностей высших учебных
заведений
Томск 2002
УДК 581
М341
Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Нм Трифонов
А. Ю. Методы математической физики. IV. Уравнения
математической физики. — Томск: Изд-во НТЛ, 2002. —
646 с.
Настоящее пособие посвящено изложению теории и
методов решения интегральных уравнений и дифференциальных
уравнений в частных производных первого и второго порядка.
Оно содержит теоретический материал в объеме,
предусмотренном ныне действующей программой курса высшей
математики для инженерно-физических и физических специальностей
университетов. Теоретический курс дополнен
индивидуальными заданиями (30 вариантов) для самостоятельного решения
по разделу «Уравнения математической физики» курса
«Высшая математика и математическая физика».
Пособие предназначено для студентов и аспирантов
физических и инженерно-физических специальностей.
Рецензенты: академик РАН, профессор В.П. Маслов
кафедра математики физического факультета
Московского государственного университета
Издание осуществлено при финансовой поддержке Томского
политехнического университета и фирмы «КонсультантЪ».
ISBN 5-89503-153-2 © В.Г. Багров, В.В. Белов,
В.Н. Задорожный, А.Ю.Трифонов, 2002
© Издательство
научно-технической литературы, 2002
ЧАСТЬ IV
Уравнения математической физики
Данный раздел является центральным для всего курса
математической физики. Подавляющее большинство физических
задач удается математически сформулировать в виде
различных дифференциальных или интегральных уравнений.
Оказывается, что самые, на первый взгляд, непохожие
физические задачи приводят к одинаковым по форме математическим
уравнениям. Мы сочли полезным продемонстрировать это на
большом числе самых разных примеров, проиллюстрировав не
только способ получения уравнений, но и характер начальных
и граничных условий. Наиболее типичные уравнения и
являются предметом изучения в данном разделе курса. Свойства
решений уравнений формулируются, как правило, в виде
теорем, доказательства которых, за редким исключением,
приводятся. Основные свойства решений иллюстрируются
задачами. В большинстве случаев решения задач сопровождаются
графиками, дающими наглядное представление о характере
решения.
ГЛАВА 1
Уравнения в частных производных
первого порядка
Введение
Мы будем рассматривать те дифференциальные
уравнения в частных производных, которые описывают
математические модели физических явлений. Именно эти уравнения и
называются дифференциальными уравнениями
математической физики.
♦ Уравнение, содержащее кроме независимых переменных
х £ Шп и искомой функции и = и(х) частные производные этой
функции, называют дифференциальным уравнением в
частных производных.
Такое уравнение записывается в виде
F{xu Ж2,..., х11} и, иХ1У..., иХп, uXlXl,..., иХкХп_,...) = 0, (0.1)
где F - заданная функция от своих аргументов. Здесь и далее
4 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
мы используем обозначения
du d2u
uXb =
dxk' *' dxkdxi
ф Порядок уравнения равен порядку старшей производной,
входящей в уравнение.
♦ Решением уравнения (0.1) называется любая функция
и — (p(xi,..., жп), которая, будучи подставленной в уравнение
(0.1), обращает его в тождество.
♦ Совокупность всех частных решений уравнения (0.1)
называется общим решением уравнения (0.1).
Пример 0.1. Найти общее решение уравнения
-£ = У + *> (0.2)
где и = и{х,у).
Решение. Проинтегрируем (0.2) по ж и получим
х2
u{xyy) = xy+Y + $(y)i
где Ф(у) - произвольная функция.
Пример 0.2. Найти общее решение уравнения
d2u(x,y)
дх2
0. (0.3)
Решение. Проинтегрировав уравнение один раз по
переменной ж, получим
ди(х}у)
~дх— = ^
где (р(у) - произвольная функция переменной у.
Проинтегрировав еще раз по ж, найдем
и(х,у) = х<р(у)+ф{у),
где ф(у) - также произвольная функция.
О Из рассмотренных примеров видно, что общие решения
уравнений (0.2) и (0.3) содержат произвольные функции. В этом
1. Линейные уравнения первого порядка
5
заключается отличие общего решения уравнения в частных
производных от общего решения обыкновенных
дифференциальных уравнений, содержащего, как правило, лишь
произвольные постоянные, количество которых равно порядку
уравнения. Для уравнения в частных производных первого
порядка обычно существует общее решение, зависящее от
произвольной функции, а для уравнений второго порядка - от двух
произвольных функций. Однако для многих уравнений более
высокого порядка явное представление общего решения через
произвольные функции затруднительно.
1. Линейные уравнения
в частных производных первого порядка
♦ Дифференциальным уравнением в частных производных
первого порядка называется уравнение, содержащее
неизвестную функцию и ее частные производные только первого
порядка.
Общий вид дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка
F{xux2,...,xn,u,uXl,uX:t,...,uXn) = 0 (1.1)
или в векторной форме
F(z,u,Vu) = 0, xEi;. (1.2)
Здесь F — заданная функция своих аргументов.
О Геометрически решение и = и(х) уравнения (1.2) можно
интерпретировать как поверхность в п+ 1-мерном
пространстве (ж, u) E MJJt1» представляющем собой прямое произведение
пространства MJJ на пространство Ши (М" х Ши). Такая
поверхность называется интегральной поверхностью уравнения
(1.2).
♦ Уравнение вида
Y, тг^-М*) + ™*о(*) = Цх), (1.3)
*=i °Xk
где Ь{х) = Ь(жь...,жп) и ak(x) = ak(xu ..., ж„), к = 0,п, -
заданные функции указанных аргументов, называется линейным
уравнением в частных производных первого порядка.
Уравнение (1.3) называется однородным, если Ь(х) = 0, и
неоднородным в противном случае.
6 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
♦ Уравнение вида
V) «—<**(*»**) = а0(ж,и) (1.4)
называется квазилинейным (линейным относительно частных
производных). Если ао(ж, и) = 0, то уравнение (1.4) называется
квазилинейным однородным, в противном случае -
неоднородным.
Рассмотрим подробнее квазилинейные уравнения с двумя
независимыми переменными
Р(ж, уу u)ux + Q(xy t/, u)uy = Д(ж, у, и). (1.5)
Функции Ру Q} R будем считать непрерывно
дифференцируемыми в некоторой области D пространства M^jJ/u, причем Р
и Q не обращаются в нуль одновременно в области D.
Заданные функции (Р, Q,R) определяют в области D
векторное поле a = (P,Q,R).
♦ Кривая X называется векторной линией поля а, или
интегральной кривой, соответствующей этому полю
направлений, если в каждой точке этой кривой касательный вектор
параллелен вектору а.
Векторные линии поля а определяются в результате
интегрирования системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx _ dy _ du _ ^
P(x}y,u) Q(x}y,u) R(x,y,u)
Мы уже отмечали, что решение уравнения (1.5) определяет
в пространстве хуу}и некоторую поверхность и = и (ж, у),
называемую интегральной. Нормаль к этой поверхности
параллельна вектору п = (их, иу, — 1). В этом случае уравнение (1.5)
выражает условие ортогональности нормали к векторным
линиям поля направлений
(ща) = О, n = (u„u„-l), a = (P,Q, Л). (1.7)
Система уравнений (1.6), записанная в виде
— = ж = Р(ж,у,м),
^=y = Q(*,y,u), (1.8)
du . _, х
— = u = Л(ж,у,и),
1. Линейные уравнения первого порядка
7
задает в параметрической форме (t - параметр) векторные
линии поля а.
♦ Система уравнений (1.6) или (1.8) называется
характеристической, а ее решения - характеристическими линиями,
или характеристиками, уравнения (1.5).
О Если поверхность u = и (ж, у) - геометрическое место
характеристических линий уравнения (1.5), т.е. образована
линиями, удовлетворяющими системе (1.8), то любая плоскость,
касательная к этой поверхности, ортогональна вектору п.
Следовательно, функция и(ж,2/), задающая поверхность,
удовлетворяет уравнению (1.5), и поверхность и = и (ж, у) является
его интегральной поверхностью.
Рассмотрим первый интеграл характеристической
системы уравнений (1.8).
♦ Первым интегралом системы дифференциальных
уравнений
Xj=fj(xu...,xn,t), j=T^n (1.9)
называется функция Ф(ж1,..., хПу £), не равная тождественно
постоянной, но сохраняющая постоянное значение на решениях
х — x(t) системы (1.9), т.е. Ф(жх(^),.. . ,жп(£),£) = С.
Теорема 1.1. Пусть
Ъ{х,у,и) = С (1.10)
- первый интеграл системы (1.8), Ф(ж, t/, и) дифференцируема
по всем своим аргументам и
Тогда функция и = (р(хуу), неявно определяемая
соотношением (1.10), удовлетворяет уравнению (1.5).
Доказательство. Функция Ф(х,ууи) = С - первый интеграл
системы (1.8). Следовательно,
л
-[Ф(х,2/,«)-С] = 0,
т.е.
ЗФ dx 9Ф dy ЗФ du
8 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Разделим полученное уравнение на ЗФ/Зи. Учтя систему (1.8)
и правила дифференцирования функций, заданных неявно,
ЗФ /ЗФ du _ дЪ /дЪ
дх I du ' 3t/ 3t/ / ди '
Зж Зж / 3u ' 3t/ 3t/ -
получим
ди ди
-—Р(х, у, z) - -q-Q(x, у, и) + R(x, у, и) = 0.
Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Пусть
«i(u,*,y) = Ci,
•Ф2(щх,у)-С2
(1.11)
- два линейно независимых первых интеграла системы (1.8).
Тогда общее решение уравнения (1.5) неявным образом
задается соотношением
Ф(«1(и, ж, у), ¥2(и, ж, у)) = 0, (1.12)
где Ф(Сх,Сз) - произвольная гладкая функция двух
переменных.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.1.
Пример 1.1. Найти общее решение дифференциального
уравнения
ди ди _
дх ду
Решение. Заметим, что a = (1,1,1). Следовательно,
характеристическая система имеет вид dx = dy = du или
{dx — dy \ х — у — Ci,
В силу приведенного выше следствия общее решение неявно
задается уравнением
Ф(ж — t/, ж — и) = 0.
2. Линейные уравнения первого порядка
9
Так как функция и входит только в один первый интеграл, то
общее решение уравнения можно записать в виде
Ф(х — у) +х — и = 0
или _
и(хуу) = Ф(х-у) +ж,
где Ф(о>) - произвольная функция.
Пример 1.2. Найти общее решение уравнения
ди ди __
дх ду
Решение. В этом случае
Р(х, у, и) = ж, Q(x, у, и) = -и, £(ж, t/, а) = 0.
Характеристическая система примет вид
dx dy du
х —и 0
Из последнего соотношения найдем и — С\ и
(1.13)
dx _ dy
~ж~~~С?
у = -Cilnz + lnC2 = \nC2x~Cl.
В результате для первых интегралов системы (1.13) получим
а общее решение исходной задачи неявным образом
определяется соотношением
Ф{ще'хи) = 0.
О Задача Коши для дифференциального уравнения (1.5)
формулируется следующим образом: определить
интегральную поверхность уравнения (1.5), которая проходит через
заданную кривую в пространстве (и, ж, у).
В неявной форме эта кривая задается системой уравнений
Г Ф1(и,*,у) = 0, ,- ш
1 Ф2(и,х,у) = 0 (1-Ы>
10 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
при условии, что
дФ± дФг дФ±
гап8 | 5Фз 5Ф2 5£з "2-
du Зж 9t/ /
0 Полученные результаты легко обобщить на случай
квазилинейного уравнения (1.4) с произвольным числом
переменных. Полностью эти обобщения описаны теоремами (1.2) и
(1.3), которые полезно предварить рядом примеров.
Пример 1.3. Найти общее решение уравнения
ди ди
х- yz — =0, u = u(x,y,z) (1.15)
и выделить из общего решения частное, удовлетворяющее
условию
и\ , = ху.
12 = 1
(Lie)
Решение. 1. В нашем случае уравнение (1.15) представляется
в виде
Р(ж, t/, z)ux + Q(x, t/, z)uy + R(x, t/, z)uz = Z(x, y, z),
где
P(z,t/,z) = ж, Q(x,y,z) = 0,
Д(ж, t/, z) = -t/z, £(ж, t/, z) = 0.
Следовательно, характеристическая система
dx dy dz du
P{x,y,z) Q{*,y,z) R(x,y,z) Z(x,y,z)
примет вид
dx _ dy __ dz _ du
Здесь нуль в знаменателе понимается в смысле пропорции, т.е.
если записано а/0 = 6/с, то а = (Ь/с) • 0 = 0. Из (1.17) получим
dx dz
dy = 0, du = 0, — =
ж -t/z
1. Линейные уравнения первого порядка
11
и найдем первые интегралы
_ _ . In 2;
у = Ci, u — Сз, In ж = - —- + In С2
или
C2 = zz1/Cl = ж*1/*.
Следовательно, общее решение уравнения (1.15) неявным
образом определяется уравнением
Ф{у,хгг'*,и) = 0, (1.18)
где Ф(?/, u,u) - произвольная функция трех переменных.
Разрешив уравнение (1.18) относительно и, получим
ti = /(y»w)L=„i/^
где f(y,w) - произвольная функция двух переменных. Из
условия (1.16) находим
uL=i = /(^w)LM = a;,f-
Выразив правую часть соотношения через шч получим, что
Следовательно, решение задачи (1.15), (1.16) имеет вид
« = w»L=„1/, = (iPz1/*)» = ^*. (1.19)
Пример 1.4. Найти общее решение уравнения
du o.du
x-Q- + (y + x~)— = u, u = u(x,y) (1.20)
и выделить из него частное, удовлетворяющее условию
Решение. В нашем случае
Р{хч t/, u) = ж, Q(z, t/, и) = у + ж2, Z(z, t/, и) = а.
Следовательно, характеристическая система имеет вид
dx = dy = da
х у + х- u
12 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
В результате приходим к системе уравнений
( dx dy
J x y + x2<
I dx _ du
v x u
Из второго уравнения получим
In u = In ж-bin Co. (1.23)
Первое уравнение системы эквивалентно линейному
дифференциальному уравнению первого порядка
dy у
-х,
ах х
решение которого имеет вид
у= (Сг + х)х. (1.24)
Разрешим уравнения (1.23) и (1.24) относительно Ci и Со.
Тогда первые интегралы системы (1.22) есть
Ci = ^-a, С2 = -, (1.25)
х х
а общее решение уравнения (1.20) неявным образом
определяется соотношением
ф(--х.'-) =0. (1.26)
\ X X/
где Ф(р, q) - произвольная функция двух переменных.
Разрешив (1.26) относительно и, найдем
« = */HL=J_,. (1-27)
где f(u) - произвольная функция. Перейдем к решению задачи
Коши.
1. Первый способ. С учетом условия (1.21) из (1.27)
запишем
«|д-=2 = 2/М|ы=£_2 = у -4.
Выразив правую часть через ш* получим
2/М =2а; + 4-4.
1. Линейные уравнения первого порядка
13
Следовательно, f(w) = о;, и решение задачи (1.20) и (1.21)
имеет вид
u = x(jL=*-x = у~х2- (L28)
2. Второй способ. Записав первые интегралы (1.25) с учетом
условия (1.21), получим
Ci = j-2, ft = —,
т.е.
Возвратившись в полученном равенстве к явному виду первых
интегралов, найдем
У и
х = -,
х х
что эквивалентно соотношению (1.28).
Обобщим полученные результаты на многомерный случай.
Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных
уравнений первого порядка
ж = 5(ava), и — ао(х,и). (1.29)
Будем предполагать, что функции а(ж, г*) и ао(ж, и)
непрерывно дифференцируемы в области D С Я&£*\ а вектор а(я, и)
отличен от тождественного нуля в области D.
(} Далее мы будем использовать обозначение
п
(a.b) = y^Qfcbfc
fc=i
для евклидова скалярного произведения векторов в отличие от
эрмитова скалярного произведения
п
(3,6) = ^2а1ьь-
Л = 1
Теорема 1.2. Пусть го(ж, гг) - первый интеграл системы
(1.29). Тогда функция u{x,t), неявно определяемая
уравнением w(xiu) = 0, удовлетворяет квазилинейному уравнению
(а(ж, а), Vu) = а0(ж, и). (1.30)
14 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Доказательство. По правилу дифференцирования сложных
функций найдем
Продифференцируем первый интеграл системы (1.30) по t
dw ,„ u dw . . ^,_ 4V dw , ^ ч
•— = (Vw, X) + -г— u = (Viu, а(ж, u)> + -г—а0(ж, г*) = 0.
dt oil du
Воспользуемся соотношением (1.31) и получим (1.30), что и
требовалось доказать.
Теорема 1.3. Пусть Wk{x,u). к = 1,п - независимые первые
интегралы системы (1.29). Тогда общее решение уравнения
(1.30) определяется соотношением
F(wi(x, u),wo(x, гл),. ..,гу,,(ж, и)) =0, (1.32)
где F(wi. wo,..., гип) - произвольная гладкая функция п
переменных.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.1.
♦ Система (1.29) называется характеристической системой
для уравнения (1.30).
2. Задача Коши для
линейных дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка
Рассмотрим уравнение
(3(ж), Vw) + а0(х)и = /(f). (2.1)
Задача Коши для уравнения (2.1) ставится на поверхности
размерности п — 1 в пространстве EJ.
♦ Гладкой гиперповерхностью 7 называется множество в
Мп, заданное уравнением
х- £(*i,..., *„-i), (ai,..., a„_i) EC/,
где С/ - область в пространстве М'"-1, а вектор-функция
<p(sii..., 5„_i) - непрерывно дифференцируемая вС/и
2. Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений 15
♦ Задачей Коши для уравнения (2.1) называется задача о
нахождении его решения, удовлетворяющего условию
и(я)|7 = /i(si,...,sn_i), (2.2)
где h(si,..., s«_i) - функция, непрерывно дифференцируемая
в U. Поверхность 7 называется поверхностью Коши.
♦ Система
£ = а(х) (2.3)
называется характеристической системой для уравнения (2.1),
а ее решение - характеристикой.
Теорема 2.1. Пусть гиперповерхность 7 не касается
характеристик. Тогда задача Коши (2.1), (2.2) однозначно
разрешима в некоторой окрестности гиперповерхности 7-
Доказательство. 1. Выпустим из каждой точки поверхности
7 характеристику системы (2.3), т.е. решим задачу Коши для
системы (2.3):
аГ|*=о = £(*i,...,*ti-i), (si,...,sn_i) G U. (2.4)
2. Пусть
х = X(t,$i,...,sn_i) (2.5)
- решение задачи Коши (2.3), (2.4). Тогда вдоль
характеристик
dii " •
— = (V«,!B> = (V«,S(x)>. (2.6)
at
3. Для определения функции и — U(t, si,..., s«_i) получим
задачу Коши на характеристиках системы (2.3)
-^ + a0{x(t))u = f{x(t)), u|t=0 = Л(*ь • • •, *n-i). (2.7)
Решив это уравнение, получим и = {/(£, Si <sn-i) как
гладкую функцию от t, 5i,..., sn_i.
4. Разрешим систему (2.5) относительно t и $&, т.е. найдем
t — Т(х) и 5fc = 5jt(x), & = l,n— 1. В результате решение
задачи Коши (2.1)—(2.5) запишется в виде
u(x)=U(T(x),S1(x),...,Sn-i{S)).
16 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Остается показать, что U есть гладкая функция переменной
х. Для этого достаточно убедиться, что из соотношения (2.5)
можно выразить t, si,..., sn_i как гладкие функции через ж.
Действительно, якобиан
ЭХ дХ дХ
dt ' dsi'"' 3sn_i
t=o
^,^ч дх дх |
так как, по условию, гиперповерхность 7 не касается
характеристик. Таким образом, существование решения задачи Коши
доказано.
5. Предположим, что задача Коши (2.1), (2.2) имеет два
решения ui(x) и из (ж). Введем v = щ — из, тогда
(Vv.a(x)) + ao(x)v = 0, v|7 = 0.
В силу уравнения (2.7) на характеристиках имеем
dv
^- + ao(t)t; = 0, v|ts=0 = 0<
По теореме о существовании и единственности решения задачи
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений v (t) = 0.
Следовательно, ui(e) = uo(x) и решение задачи Коши (2.1),
(2.2) единственно. Таким образом, теорема доказана.
Из этого доказательства следует, что для решения задачи
Коши (2.1), (2.2) достаточно:
1) построить характеристики системы (2.3), проходящие
через поверхность 7> и найти х — A"(£,si,...,sw_i) - решение
задачи Коши (2.3), (2.4);
2) решить семейство задач Коши (2.7), т.е. найти
u = {/(Mi,...,.9n_i);
3) найти решение системы (2.5)
t = T(s), sk=Sk(x), fc = l,n-l; (2.8)
4) используя (2.8), вычислить
u(S) = U(T(x),S1(S),...,Sn-i(S)).
Пример 2.1. Используя приведенную выше схему, найти
решение задачи Коши
2. Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений 17
Решение. 1. В этом случае характеристическая система
имеет вид
х = ж, у = О, z = — yz. (2.9)
Уравнение поверхности Коши z = 1 в параметрической форме
запишется как
х = зг, y = s2, z = 1, 0*1,52)еМ2,
начальные условия примут вид
Из (2.9) найдем
х = X(t, sb82) = sie*, у = y(t, 5i, s2) = «2,
* = 2(t,ei,*2)=eT"*.
2. Задача Коши (2.7) примет вид
откуда
м = V(*,si,s2) =*Ia.
3. Разрешим систему уравнений
х = .sie*, у = «2, z = е*2*
относительно £, 5i и 52. Получим
s2 = 2/, 5i = е~'ж, 52^ = —lnz,
откуда
«1 = Si(*,y,*) =*е<1п*>/*, 52 = S2(z,y,z) = 2/,
t = T(s,y,s) = - —.
4. Окончательно получим
ti = U(T(x, у, z), S^x, у, z), S2(x, у, г)) = [*е(ь*)/»]"= zx»,
что совпадает с (1.19).
18 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Пример 2.2. Используя приведенную выше схему, найти
решение задачи Коши
du , 2xdu i
х-—h [У + х )-r— = u, u\ „ = у — 4.
Решение. 1. Характеристическая система имеет вид
х = ж, у = у + ж2. (2.10)
Уравнение поверхности Коши ж = 2 в параметрической форме
имеет вид
х = 2, у = 5i, si G Е.
Следовательно, для системы (2.10) необходимо поставить
начальные условия
Из (2.10) найдем
ж = 2е*, 2/ = 5!е*+4е2*. (2.11)
2. Для определения функции U(t, si) получим задачу Коши
й = u' wL=o = si + 4> ,
откуда
и = У(^в1) = (в1+4)е*. (2.12)
3. Разрешим систему уравнений (2.11) относительно f., si:
t = In |, 5i = i/e"* - 4e< = ^ - 2ж. (2.13)
2 ж
4. Подставив (2.13) в (2.12), окончательно получим
ч /2у Л \ ж о
м(ж, у) = ^ 2ж^ - = у - ж~,
что совпадает с (1.28).
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
19
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
♦ Уравнение в частных производных первого порядка, не
содержащее явным образом неизвестную функцию, называется
уравнением Гамильтона-Якоби. Уравнения
^+W(VS,£,<) = 0, хеШ^ S = S(x,t) (3.1)
от
W(V5,z) = J5, VS=^, Я = const, S = S{z) (3.2)
OX
называются нестационарным и стационарным уравнениями
Гамильтона-Якоби, а их решения - функции S{x,t) и S(x) -
нестационарным и стационарным действием соответственно.
Функция H(p,x,t), p G Кр, называется функцией Гамильтона
или гамильтонианом; n-мерное пространство К£ называется
конфигурационным; 2п-мерное пространство М^р = R£ x М£
- фазовым. Если гамильтониан не зависит от времени, то он
называется стационарным.
О Уравнение Гамильтона-Якоби - основное уравнение
классической механики и, кроме того, естественным образом
возникает в теории дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка, поскольку произвольное уравнение
в частных производных первого порядка может быть сведено
к уравнению (3.1) или (3.2), о чем говорит следующее
утверждение, которое непосредственно следует из теоремы о
дифференцировании неявных функций:
_95 /05 _ ди _
дх/ dz дх
Утверждение 3.1. Произвольное уравнение в частных
производных первого порядка
F{x,u,Vu) = 0 (3.3)
для функции п переменных и(х) эквивалентно уравнению
Гамильтона-Якоби
'('--те- <">
для функции 71+1 переменных 5(ж, z). Решения уравнений (3.3)
и (3.4) связаны соотношением
5(ж, и) = const.
20 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
3.1. Задача Коши для нестационарного уравнения
Гамильтона-Якоби
♦ Задачей Коши для уравнения (3.1) называется задача об
отыскании функции 5(ж, t), удовлетворяющей уравнению (3.1)
при t > to и условию
S(x,t)\t=to = So(S) (3.5)
при t = t0. Здесь So (я) - заданная гладкая функция
переменной х.
♦ Системой Гамильтона, соответствующей гамильтониану
%{р, ж, *), ж G К", рЕ Мр, £ > 0, называется система
обыкновенных дифференциальных уравнений
х- dp ' р~ дГ— (3-6)
Система (3.6) также называется характеристической системой
уравнения (3.1), а ее решения - характеристиками.
♦ Задачей Коши для системы Гамильтона называется
задача об определении вектор-функций p(t) и x(t),
удовлетворяющих при t > to системе (3.1), а при t =to - условиям
x(t0) = «о, Р(*о) = A, U) G !£, Ро G P.JJ. (3.7)
Для интегрирования систем с нестационарными
гамильтонианами оказывается полезным следующее утверждение.
Утверждение 3.2. Пусть гамильтониан И не зависит
явно от переменной t. Тогда он является интегралом системы
(3.6).
Действительно, пусть x(t) и p(t) - решения системы
Гамильтона (3.6). Тогда, продифференцировав функцию
W(p(t), x(t)) no t, с учетом системы Гамильтона (3.6) найдем
ш*т*w) = Ebb лг+ ^-^г)= 0i
т.е. 7^(^(2), ж(*)) = const, что и требовалось показать.
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
21
Лемма 3.1. Пусть S(x,t) - решение задачи Коши (3-5) для
уравнения Гамильтона-Япоби (3.1), а функция х = X(t,xo) -
решение задачи Коши
д%
х = —(VS(x,t),x,t), x\t=to = a?0. (3.8)
Тогда функции X(t,xo) и P(t) = V5(X(t, x*o)A)
удовлетворяют системе Гамильтона (3.6) с начальным условием
v(4 г \ х 6(4 z \ д£о(жо,/.0)
X(to>x0) = ж0, .Р(<о,зо) = jp . (3.9)
Доказательство. Обозначим р(хЛ) — VS(x,t) и
продифференцируем уравнение Гамильтона-Якоби по %. Получим
1гЖ + Шп{рл^)лг)= (3,10)
= dp ^an(p{s,t)&t)en(s,t) dn(pfrth$,t) =0
dt f^ dpk дх дх
Положим х = J? (£, £о)> где «Y(t, а?о) - решение уравнения (3.8).
С другой стороны,
\ dt
i=i
_ (dp(x,t) [ y^apt(«,t)g9£(p(g,t),»,«)4|
9H{p{x,t),z,t)\
dx \x=X{t,x0)
Здесь мы воспользовались соотношением (3.10).
Следовательно, лемма доказана.
Теорема 3.1. 1. Пусть при t £ [0,Т] существует решение
Xj=Xj(t4x0), pj = Pj(t,x0), j = T7n, (3.11)
задачи Коши (3.9) Лдя системы Гамильтона (3.6),
дифференцируемое по параметру xq £ Щ£.
22 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
2. Пусть при t £ [О, Т\ существует единственное и
гладкое решение системы уравнений
х — X(t,x0)
относительно Xq, xq = X$(t,x), т.е. якобиан
J(x0,t) = det
dXjjt.xp)
dxio
*€[0,T],
(3.12)
(3.13)
отличен от нуля для х £ М".
3. Пусть
X
5(*,х0) = So{So) + J[(P(T),X(T))-H(T)]dT (3.14)
- действие (см. разд. «Уравнения Эйлера-Лагранжа
(многомерный случай)» части II) вдоль характеристики (3.11).
Тогда функция
S,(£,t) = S(*,20)|i,o_jpo(M)
(3.15)
является решением задачи Кошм (3.1), (3.5).
О Здесь и далее, где это не приводит к недоразумениям,
зависимость функций Р и X от xq опускается и используется
обозначение Щт) = ЩР(т), X(т), г).
Доказательство. 1. Найдем частную производную
д
дх<
О,"
•[S(t,x0) -So{x0)] =
= J- [[(Р(т,х0)),Х(т,х0))-Н(т)]<1т =
OX0j J
' 0
dxQ
-i((
-<™.^>-<**>.^»*-
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
23
/(<*'>-2?W*'>.^>h=
t
т.е.
dxoj
[5(«, 5b) - Sb(*o)] = (P(*), ^) - (p(*o), Щ^-)
dxoj
dS(t,x0) _/Su. dX(t)\
= (?{*),'
Здесь мы воспользовались соотношениями
dXi(t0)
= &.
dSo(xo)
dxi
Oj
dx0j
2. Найдем
dS(x,t) _^dS(t,x0)dX0j(t,x)
= Pj(to).
(3.16)
(3.17)
dx{
Следовательно,
j = l
дж
oj
dxi
x0=Xo{x,t)
OS(xJ)
dxi
=E<**i^>
dX{t)\dXoj{t,x)
i=i
dxi
Xo=Xo(x,t)
(3.18)
Продифференцировав соотношение X(t, Xo{t, ж)) = ж по ж,-,
получим
А аад*о(*,^)Д*оЛ*,*) = ^
4-^ dxoj dxi
j=i J
Подставив последнее соотношение в (3.18), запишем
dxi ~ ^1''Х°'1*о=*.(*,*)-
(3.19)
24 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
3. В силу (3.16), (3.17) получим
dS(t, x)
dt
= {(P(t)j(t))--H(t) +
j = l
^dXoj(t,x)dS(t0,x0)
dt
dx0j i\x0=Xo(x,t)
т.е.
+
?^ = {{P{t)J(t))-n(t)+
^dxoj(t,s),p a*(*)ui
^ dt \ { h dxoj /i\xo=x0(x}t)
(3.20)
Продифференцировав соотношение X(tf, Xo(t, x)) = x no t,
получим
-[X(t,Xo(t,x))-%-l^—-—+-5r\
dt
Следовательно,
j=i
Xo=Ao(i?»0
= 0.
ax(t)
lo=Ao(j,t)
\xo—Xo{x,t) ut-
Подставив (3.21) в (3.20), найдем
^ = -n(P(t),x{t),t)\llo=jl^tY
Воспользовавшись соотношением (З.Г9) и тем, что
X(t,X0(t,x)) = ж,
получим
(3.21)
8S(x,t)
dt
+ W(VS(S,t),2,t) = 0,
что и доказывает теорему.
Теорема 3.2. Решение задачи Коши{ЗЛ)% (3.5) единственно,
если выполняются условия предыдущей теоремы.
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
25
Доказательство следует непосредственно из единственности
решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Доказанные выше теоремы обосновывают следующую
схему решения задачи Коши для нестационарного уравнения
Гамильтона-Якоби
{dS fdS \
Ж+П(йМ=0* Х£ШП> (3.22)
S\t=o = 5°(£)> * > °-
1. Выписать характеристическую систему для (3.22) -
систему Гамильтона в 2п-мерном фазовом пространстве Ш2п:
(
v- -?Мр>£,*), ,3 23ч
x=Hp(p,x,t). К ' ;
Функция Гамильтона (классический гамильтониан)
определяется по виду (3.22).
2. Поставить для (3.23) задачу Коши
\ Pl'=t° " ~~ЗйГ' (3.24)
I x\t=t0 = fo, xo e mj,
и найти n-параметрическое (хо - параметр) семейство
решений задачи (3.23), (3.24):
^{Г^'!^ (3.25)
t p = P(t,x0),
£То Е K2w - характеристика или фазовая траектория,
стартующая из точки (рЬ = 5f (ж0), жо)- Проекция £Хо на Ш" : х =
= J?(2, жо), /-о ^ ^ < ^о + Т, - «луч» или траектория
классической частицы, начинающаяся из точки Xq с начальным
импульсом ро — S^(xo).
3. Вычислить действие 5(^о,жо) на характеристике 1Хо:
t
S(t, So) = So(So) + /((P(r), £(r)> - n)(r)dr. (3.26)
to
26 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
4. Разрешить первое уравнение системы (3.25)
относительно параметра хо:
x0 = X0{x,t) • (3.27)
в предположении, что якобиан не равен нулю:
J(t<х0) = DX^:Xo) /о, t0 <:t <t0 + т, хо ешп.
Dxo
5. Построить функцию
S(x,*) = S(t,a?o)L *■ (3-28)
Пример 3.1. Решить задачу Коши для уравнения Гамильто-
на-Якоби
f + J_(f)2 = 0 (3.29)
dt 2m\dxJ v '
при следующих начальных данных:
2
1) S|«=o = a*; 2) 5|в=о = ~;
3) 5|t=o = -y; 4) S|,=0 = -^arctgz + -ln(l + :c2).
Здесь £ € M - некоторая постоянная. Указать, при каких
значениях t решение существует.
Решение. Функция Гамильтона, отвечающая уравнению
(3.29), имеет вид H(p,x,t) = р2/(2га), поэтому система
Гамильтона определяется выражением
dx p dp _
dt m' dt
откуда следует
х = X(t, ж0, ро) = — * + ж0, Р= P(t, х0, ро) = Ро, (3.30)
m
где (ро,«о) - начальные значения импульса и координаты.
1) При 5|t=o = So{x) = £x начальными данными для
системы Гамильтона являются
i i dS° с
s|t=o = ж0, p|t=o = .-у = f,
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
27
Zt/m
поэтому уравнения траектории есть
х = X(t, х0) = —t + ж0, р = -Р(*, ж0) = £.
В силу того, что якобиан J(t, жо) = dX{t, xq)/0xq =z 1, решение
S(e,£) существует при любых t £ [0, +оо[. Поскольку
ж0 = *o(z, *) = х - i-t, W = —р2,
m 2?n
то из формулы (3.26) получим
О
=ф-ё)+^''=ф-^)-
2) При 5|t=o = Sq(x) = —х2/2 начальные данные для
системы Гамильтона есть
i i dS°
X\t=0 = Яо, Р|*=0 = 7j = -Xq.
Траектория задается уравнениями
х = Х($, ж0) = -x0t + х0, р= P{t, х0) = -ж0.
Якобиан J = дХ/дхо = — t + 1 обращается в нуль при t = га.
Поэтому решение
«■•« = (-2+s;/*r)
О
-й(-1+=)1
Z \ 771/ 1аг0 =
aro=srm/(m — *)
m х2
X =
аг0=ят/(т"~*) 2 t — 771
существует при tf E [0,m].
3) При S|*=o = 5о(ж) = — ж3/3 начальные условия для
системы Гамильтона имеют вид
I I ^0 2
x\t=o = ж0, pltsso = —q— = -ж0,
28 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
уравнения траекторий -
ж2
х = X(t, х0) = -t + х0, p= P{t, х0) = -xl
771
и якобиан определяется выражением
т _ dX(t,xp) _ 2ж0
j — - — t -+•1.
oxq m
Нетрудно заметить, что для любого t > О существует такое
хо El1, что условие единственности не выполняется.
Следовательно, задача Коши не имеет решения в области П = Ш х [О, Т]
при любом Т.
4) При S\t=o = — arctg x + [ln(l -f ar)]/3 начальные условия
для системы Гамильтона имеют вид
x\t=o = ж0, p\t=o = -^- = - arctg ж0,
уравнения траекторий -
х = Л"(*,жо) = arctg ж0 + ж0, р = Р(*,ж0) = - arctg ж0
m
и якобиан
J=ftY(t,g0) = t
dx0 m(l + xl)
При t > m якобиан J > О, поэтому решение существует при
0 < £ < 1 и имеет вид
5(ж, <) = - ж0 arctg х0 + - 1п(1 + х%) + —- arctg2 х0\\ ,
L Z ZT71 J 1лг0=А'о(.т,<)
где Л"о(ж,^) - решение уравнения
t
X = Хо arctg Ж0, 0 < t < 771.
771
Пример 3.2. Решить задачу Коши для уравнения Гамильто-
на-Якоби в постоянном и однородном электрическом поле
dS 1 /dS\2
если 5|t=o = So{x) = аж, где а = const - числовой параметр.
Указать, при каких значениях t решение существует.
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
29
Решение. Функция Гамильтона, отвечающая уравнению
(3.31), имеет вид W(p,x,t) = р2/(2га) — Е/х, поэтому
система Гамильтона определяется выражением
dx_ _ р_ dp _
dt 7n' dt
Общее решение этой системы есть (см. разд. «Канонические
уравнения Гамильтона» части II)
pj.2 п
х - X(t, р0, х0) = h — t + ж0, р = P(t< ро, ж0) = Et + ро-
Z771 771
Траектории определяются уравнениями
Et2 a „,
х = X{t, xq) = -— + — t + ж0, P = P(<, a;o) = Et + a.
zra m
Тогда
Ж0 = Ло Ж,< = Ж — tf.
2m ?n
В силу равенства
J = dX{t,x0) =l
Зжо
решение существует для всех tf > 0 и имеет вид
О
+е(—— +-т + xo)]dr\\
V2771 771 Л J |,0=gVo(jM)
(ах0+ -— + —t + t- + Ezot)
V 37П 2m m /
xo=Xo(x,t)
^ч a2* Яа*2 E2t3
= x(a + Et) .
2771 2771 6771
Пример 3.3. Решить задачу Коши для уравнения
Гамильтона-Якоби
dS l/35\2 и2х2 Л ,оолч
30 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
отвечающее одномерному гармоническому осциллятору, если
2
1) S|,=o = So(aO = -^p; 2) S\t=o = S0{x) = £с,
где £ - числовой параметр, х £ Ш. Указать, при каких
значениях t решение существует.
Решение. Функция Гамильтона, удовлеворяющая уравнению
(3.32), имеет вид
О 0 0
V LO X"
Я(Р,*.*) = у + —•
Ему соответствует система Гамильтона
dx dp о
dt Pl dt
Продифференцировав первое уравнение по t и подставив в
него dp/dt из второго уравнения, получим d2x/dt2 + ш2х = 0.
Отсюда найдем общее решение системы Гамильтона
dx
х — A cos t + В sin ut, p = —- — — Аш sin ut + Вы cos ut.
dt
Выразив постоянные А и В через начальные значения
координаты и импульса, получим
х — хо cos ut + Ро sin ut, р— —х$ы sin ut + Ро& cos wt.
1) Если 5о(ж) = — о>ж2/2, то ро = —«о^ и, следовательно,
г* = X (£,ж0) = x0(cosut — sinwtf) = \/2:cocos(utf + — j,
p — P(t,xo) = — xow(miut + coswt) = (3.33)
= — v2xoco sinlut + — J.
Справедливо равенство
0жо
Отсюда следует, что решение 5(ж,/.) задачи Коши существует
при t Е [0,7г/(4а>)[. Из уравнения (3.33) найдем
хо = Xo(x,t) =
yficos(wt + 7г/4)'
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
31
Вычислим интеграл
t
J (Р(т)Х(т) - Щт))вт = \ j[P2(r) - u2X2{r))dr =
о о
t
= — w2Xq I cos(2o>r + 7r/2)dr = -^Хо(1 ~~ cos2wt).
0
Тогда
t
S(t,x0) = So(x0) + J(p(t)X(t) -%{r))dr = -|a£coe2wt,
0
откуда следует
S(x,t) = S(t,x0)\Xo=Xo{xt) - -4Ж-С082(^ + 7г/4) ~
ш 9sin(2o;t + 7г/2) w 0 / 7r\
для всех 0 ^ tf < 7г/(4о>).
2) Пусть S\t=o = So(x) = £ж. Тогда p\t=0 = dSo/dx0 = £,
x\t=o -«ой
ж = X(t*xo) — x^cosut H—sinwt,
p = P(t,xo) = — xowsmwt -\-£coswt.
Аналогично случаю 1)
их — ^smwt
xq = Xo(x,t)
U) COS U)t
2 2 i Л2 /■
^OM = 5—— tgw* + -5—г, 0 ^ t < —.
2u coswt 2w
Пример 3.4. Решить задачу Коши для уравнения
Гамильтона-Якоби
^ + <V(W = 0 (3.34)
/
32 Глава 2. Уравнения в частных производных первого порядка
с начальным условием
S\t=0 = S0(x) = (fc, ж), x e Mn. (3.35)
Здесь с - некоторая постоянная, ^ G ln. Указать, при каких
значениях t решение существует.
Решение. Функция Гамильтона, отвечающая уравнению
(3.34), имеет вид
Запишем систему Гамильтона
dx _ р dp _
~dt~c]$\' 1Е~
Тогда
р = P(t,po,x0) =Ро, х- X(t,po,x0) = с—yt + жо-
Из начальных условий получим
1 dS° Г
Следовательно, уравнения траекторий имеют вид
р = Р(*, ж0) —po — k, x = X(t, х0) — cut + ж0,
где п - единичный вектор в направлении вектора к. Отсюда
видно, что решение существует при всех t и
5(ж, t) — (fc, ж - стй) = (fc, ж) - |fc|ctf,
так как выражение под интегралом вдоль траектории (3.26)
равно нулю.
О Уравнение (3.34) в геометрической оптике описывает
распространение волнового фронта в однородной среде и
называется уравнением Эйконала. В этом случае с - скорость света в
среде, а начальные условия (3.35) описывают плоскую волну.
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
33
Пример 3.5. При исследовании разностных схем для
волнового уравнения на устойчивость возникает задача о решении
уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом
W(p, х) — — arcsinf — ship),
где 7 = т/h, г, ft - шаги разностной сетки соответственно по
осям /. и х. Указать, при каких значениях t существует
решение уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющее условию
S\t=o = x2/2.
Решение. Система Гамильтона
дН cosp
х =
дР y/l-tfAn'p)/*
с начальными данными
ж(0) = so, р(0) = —- = х0
ОХо
легко интегрируется
гг. •=. JC(t. я?гЛ =
y/l-(72sin2a;o)/4
р = P(t, хо) = ж0, ж = X (t, хо) = , t + ж0.
Вычислим якобиан
_ dX(t,xp) _ _ (l-72/4)sinx>0
9ж0 " < ,[l-(728in2»o)/4]3/3 "
Уравнение J = О имеет решение
[l-(72sin2z0)/4]3/2
*Ы =
(1 -72/4)sinz0
так что в области П — MJ х [0,Т] ни при каком Т > 0 не
существует решения задачи Коши, если 72/4 ^ 1; при 72/4 < 1
решение S(x*,£) в П существует, если Т = mint(xo).
Пример 3.6. Решить задачу Коши для уравнения (3.29) при
тп = 1, если
S\t=o = So(x) = - —, ж е По» ^о = {ж, |ж| < 1} С
34 Глава 2. Уравнения в частных производных первого порядка
Решение. Начальные условия для системы Гамильтона
имеют вид
dSo __ Xq
dx0 4
x\t=o = x0,
«j _ v~u — жо
С учетом соотношения (3.30) система Гамильтона имеет
решения
x = X(t,x0) = x0-^t, p=P.(t,x0) = -^. (3.36)
Первое из уравнений (3.36) совместно с условием
их
J(t, х0) = -=— = 1 - x%t = 0
ихо
определяет две ветви огибающей t = 4/(9аг) семейства
траекторий £ в пространстве (x,t) (рис. 1).
Как видно из рис. 1, решение задачи Ко-
ши существует только в области
I: 0<*< 1,
, 1 , 1
-1 + з'<ж<1-з*'
В каждую точку (x,t) области II приходят
две траектории. В каждую точку области
III приходит единственная траектория, но
-1 0 1 Я ранее якобиан J обращается в нуль в точ-
рис i ке касания огибающей, и поэтому условия
существования решения задачи Коши в
области III не выполнены.
Пример 3.7. Указать область существования решения для
задачи Коши (3.22) с гамильтонианом ?£(р, хЛ) = с|р], р Е М3,
и начальным условием S\t=o — 5о(|ж|), 0 < a < |ж| < b < оо.
Решение. Для решения задачи воспользуемся сферической
системой координат q = (r, 0, (р). Выразив производные от
функции 5 по декартовым координатам через производные по г, 0, у>,
получим соотношение
^\dxJ " \dr) + гЛдв)
7=1 J
+ ■
1
3S\2
г- sin'
( —
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
35
Следовательно,
-в 2 , 1 л ,
Р = Рг + — Ре +
1
г- ran в
Уравнения Гамильтона в сферических переменных имеют вид
dpr _ Pjj+p£/(sin2fl) dr^_pr_
dt " |plr3 ' Л " |p|;
cZp^ _ 2p£ cos 9 dO _ pe
~dT~ |plr3sin30' dt~]^;
dp<p
_0 d<P= P<p
dt ' dt r2sin2|pl0*
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Из начальных условий
q\t=o = $)>
p\t=o
dSojgo)
dqo
получим начальные условия для уравнений (3.37)-(3.39) в
явном виде:
r|t=o = r0, Pr\t=o = 5o(r0), 0|t=o = 0o,
Из уравнений (3.37)-(3.39) вытекает, что р^(£) = 0, p^(^) = О,
pr(t) = 50(7*0), а поэтому из (3.38) и (3.39) следует, что (р = у>о,
9 — 0О. Проинтегрировав второе уравнение в (3.37), получим
r = sigii5/(r0)< + r0. (3.40)
Отсюда следует, что решение задачи существует, если S' (го) ф 0
при а <С го ^ 6. Если же S'(ro) обращается в нуль в
некоторой точке с £ [а, 6], то для существования решения достаточно
выполнения условия 5"(с) > 0 (рис. 2).
So(r)<0
а 6 г
36 Глава 2. Уравнения в частных производных первого порядка
3.2. Решение задачи Коши с помощью
лагранжевых поверхностей*
С начальными данными (3.24) и решениями системы
Гамильтона (3.23) можно связать следующие геометрические объекты в
фазовом пространстве — пространстве координат и импульсов
1) поверхность Л? С MJ х К£, задаваемую уравнениями
- . . dSo(xo)
где lo G К" - параметры;
2) поверхности Л" CKJx RJJ, полученные из поверхности Л©
сдвигом точек (pb. х*о) G Л J вдоль траекторий гамильтоновой
системы (3.23) за время t. Поверхности Л[* задаются системой уравнений
х; = Xi(t,x0), pi = Pi(t,x0), г = 1,п,
и являются важным примером поверхностей, названных лагранже-
выми.
Пусть в фазовом пространстве К£ xRJJ поверхность Л" локально
задается уравнениями
х = A"(ai,...,a„), р = P(ai,...,a„), г = 1,п,
(ai arl)6^Cr.
♦ Поверхность Лп называется латранжевой, если
(3.41)
<f>(P,dX)=0
для любой гладкой кривой Г С Л", непрерывно стягиваемой на Л"
в точку.
Понятие латранжевой поверхности позволяет преобразовать
формулу (3.26) для решения задачи Коши, связав ее с интегрированием
по латранжевой поверхности.
Если лагранжевы поверхности Л? иЛ", t £ [0,Т], взаимно
однозначно проектируются на плоскость х (pi = рз = ... = рп = 0)
и р = P(X)t) - уравнения, задающие Л[\ то решение задачи Коши
(3.22) можно найти по формуле
t
S(x,t) = So(xm0) + f [(Р(т,хо*)Д(т,гг0*)>-
о
-«(^(T,f;),Jf(T,fS),T)]dT+ f (P(t%x)%<&), (3.42)
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
37
где Xq - произвольная фиксированная точка, х* = Л(£, xj), p*t =
P(fc,Xq) - траектория, выходящая из (po,xJ) € Л?, а последний
интеграл в (3.42) вычисляется по любому пути £(ж*, х) на лагранжевои
поверхности Л* от точки (ж?,р?) до произвольной точки (ж,р) £ Л".
Формулой (3.42) удобно пользоваться, когда многообразия Л", t £
[0,Т] имеют общую неподвижную точку (р, ж), т.е. точку,
координаты которой не меняются при эволюции начальной лагранжевои
поверхности. В этом случае, положив Xq = ж, из формулы (3.42)
получим
t
S(x,t) = S0(£)- I*H($J&<T)dT + A (p(t,x)4dz). (3.43)
0 *(*,*)
Между решением задачи Коши (3.22) и лагранжевыми
поверхностями Л", 0 ^ t ^ Т существует тесная связь, когда Л" диффео-
морфно проектируются на плоскость переменных, т.е.
а именно: если S(x,t) - решение задачи Коши (3.22), то уравнения
лагранжевых поверхностей Л" могут быть записаны в виде
P=p(S,t) = ^^-, х€П; (3.44)
a = {г = *(*,*„). J = D*Qt:£°) Ф о, о < t < г}.
♦ Функция 5(ж, t) в этом случае называется производящей
функцией поверхности Л".
Лемма 3.2. Условие (3.41) для поверхности Лп С К£ х RJJ
эквивалентно условиям для любой точки (e*i,... ,an) £ V С Кп
1=1
Выражение {ж,р}*.т называется скобками Лагранжа.
Доказательство. Пусть гладкая кривая Г целиком лежит в
окрестности U(x) С Л" некоторой точки х £ Лп и пусть часть £/"(ж) р| Лп
поверхности Л" задается уравнениями
ж = X(ai,...,a„), p = P(ai,...,a„), (3.45)
где (ai,..., an) - локальные координаты на Лп:
38 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
rangl|-*r
Тогда криволинейный интеграл
/ = ф (р, dx)
г
в координатах (ai,..., an) запишется в виде
/= £(p,dx) = l(KP(au...,an),^jdah (3.46)
г г
где Г - прообраз кривой Г при отображении (3.45). Преобразуем
интеграл (3.46) по формуле Стокса:
D j=l m=l
-//ш&£>-<&£>ь*- ™
D jzzl m=l
Здесь D - двумерная область в пространстве параметров
(ai,..., a„) G Mai границей которого является Г.
Из равенства (3.47) следует утверждение леммы.
Пример 3.8. Найти уравнения поверхностей Л? и Л" в задачах
3.1 - 3.4 и с их помощью - решение этих задач, используя формулы
(3.42) или (3.43).
Решение. 1. Пример 3.1, 1). Уравнение лагранжевой поверхности
имеет вид (рис. 3 при m = 1)
A} = Up,x),x = X(t,x0) = ±t + x0yp = P{t.z0)=A.
I га J
Выберем Xq = 0, тогда действие S(x,t) определяется формулой
(3.42)
2™ J
*(*.') = 2^+ / *«** = **-£•
2. Пример 3.1, 2). Уравнение лагранжевой поверхности имеет
вид (рис. 4 при га = 1)
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
39
?5=о
л£=л?
я;=&
Рис. 3
9о-9?-0
Рис. 4
AJ
Л?
A(' = {(p,s),p = P(*,t) = ^}.
Неподвижная точка имеет координаты asj = 0, pj = 0, поэтому
5(х
с
ах
2 t-m'
О < fc < 1.
3. Пример 3.2. Уравнение лагранжевой поверхности имеет вид
(рис. 5 при тп = 1)
Л| = {(р,«), Р = P(t,«о) = Et + a,
Е1.2 N
ж = Х(Мо) = —- + — £ + ж0, ж0 GM1 >.
2m т J
Неподвижных точек нет. Воспользуемся формулой (3.42), выбрав
Xq = О, ро = а, тогда
"■•"-/[^♦'(т^Ж*
о
+ / (JS* + а) А: =
/(r,X(t,r0))
aEt" a't / Er at\ _
m 2г7г \ 2m m /
a2t Eat2 EV
= x(a + Et)
277i 2m 6m
4. Пример З.З. 1) Уравнение лагранжевой поверхности имеет
ВВД (рис. 4 при ш = 1)
Л{ =|(p,x),p = P(x,t) = -xa;tg^a;fc+^|.
40 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
a
9F0
Р
7V
9?
—Л,1
I
Л1
IV0
—~0
ч .,
95 = 0
-^5ГТ Лб
9? \ 9
Рис. 5
Рис. 6
Неподвижная точка имеет координаты ж£ = 0, pj = 0, поэтому
а;
S(x,t) = - / awtg(a/t+ ^) dx = -~- tg(u;fc + ^).
о
5. Пример 3.3, 2) Уравнение лагранжевой поверхности имеет
вид (рис. 6 при ш — 1)
А{ = {(р,х),р = Р(я?,*) =
£ — aswsinwfc
coswfc
}•
Воспользуемся формулой (3.42), положив ж J = 0, тогда
£ — их sin ьзЬ
5(ж, Ь) = - I £2 cos 2шт dr + /
cos 2шт dr -f
2 2 , >
coswfc
dx ■
0 (£/o>)sinu/t
2 2 . >2
tgu»t +
«*
2a; о ■ cos wf.
6. Пример З.4. Лагранжевы поверхности Azt задаются
соотношениями pj = kj, j = 1,2,3. Неподвижных точек на многообразиях
нет, -поэтому положим хJ = 0 и воспользуемся формулой (3.42):
5(х, t) = / (Р(х, t), dx) = (к, (х - cnt)). »1:
1*1
Пример 3.9, Пусть
2 2 2
2~'
^|t=o = &ci
Ш2Х2
Найти решение задачи Коши с помощью формулы (3.42).
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
41
Решение. Система Гамильтона в данной задаче распадается на
две независимые системы с независимыми начальными данными.
Эти системы такие же, как в примерах 3.3, 1) и 3.3, 2), поэтому
лагранжевы многообразия Л? задачи представляют собой прямые
произведения многообразий, приведенных в этих примерах:
Л? = Л{?1 х Л}2 = \ (р,ж), xi = xoi cos wit H sinwifc,
pi = — xqilji sinu;ifc-f ^ cos wit, X2 = y/2cos(LJot -f 7r/4),
po = — W2v2sin(a;2fc -f тг/4) >.
Формула (3.42) распадается в сумму двух слагаемых, и поэтому
S(x,t) =Si(aM) + S2(x,t),
где Si (ж, fc), So(x^t) - решения примеров 3.3, 1) и 3.3, 2)
соответственно.
3.3. Задача Коши для стационарного уравнения
Гамильтона—Якоби*
Рассмотрим стационарное уравнение Гамильтона-Якоби
К(^Г<*)=Е< £€K"' С3-48)
где H{Pix) - гладкая функция на KJJ x RJJ и \Ир(р,х)\ ф 0.
Задача Коши для стационарного уравнения Гамильтона-Якоби
формулируется аналогично задаче Коши для линейных
дифференциальных уравнений в частных производных (см. разд. «Задача
Коши для линейных дифференциальных уравнений в частных
производных»).
Пусть 7nl ~ гладкая гиперповерхность в R",
7"-1 = {х, х = jf°(a), a = (ai a„-i) € D},
rang I — J (a) = n - 1.
Начальные данные Коши на 7""1:
S\y»-i = 5o(a), (3.49)
Ш =**(«). (3-50)
где So и Р° - заданные гладкие функция и вектор-функция,
подчиненные условиям:
а) согласования с уравнением (3.22)
42 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Щр°(а),Х°(а)) = Е; (3.51)
б) согласования Р° с дифференциалом функции So
п
dSo(a) = ]Г P?(a)dX?(a). (3.52)
»=i
Решение задачи Коши для стационарного уравнения Гамильто-
на-Якоби аналогично решению задачи Коши для линейных
дифференциальных уравнений в частных производных.
Приведем схему решения.
1. Выписать характеристическую систему для (3.48) - систему
Гамильтона
р = -Hs(p, £), £ = Нр(р< х)щ (р, х) е RjS, (3.53)
где точкой обозначены производные по т, с начальными данными
Г g|т=0 = #»(«), (3 54)
\Йт=о=Р°(а).
2. Найти (п — 1)-параметрическое семейство решений задачи
Коши (3.53)-(3.54) - характеристику £а (а - параметр)
{
р = Р(т,а);
(3.55)
3. Вычислить действие S(r,a) на характеристике £а
т
5(т,а) = 5о(а)+ [ (Р(т',а),к(т\а))(1т'. (3.56)
О
4. Разрешить первое уравнение системы (3.55) относительно т
{;г£$; , (3.57)
считая, что
J = Л*Ц1 * 0, а€5, |т|<т,.
5. Построить функцию
5(х) = 5(Т(х),А(х)). (3.58)
Справедлива следующая теорема:
Теорема 3.3. Пусть выполнено условие
J(0,a)#0.
Тогда формула (3.58) определяет единственное гладкое регаение
задачи Коши (3.48)-(3.52) в окрестности V(i) = {x G К", ж =
= Jf(r,a), |т| < то, a G £>nJ(r,a) # 0}.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
43
3.4. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
ф Непрерывно дифференцируемое решение S(xy £, а)
уравнения Гамильтона-Якоби (3.1), содержащее п произвольных
постоянных а = (ai, аз,..., ап)> называется полным
интегралом этого уравнения, если выполняется условие
det
d2S
dxidaj
7*0.
(3.59)
Полный интеграл S(x, t, a) позволяет найти общее решение
уравнения Гамильтона-Якоби.
Теорема 3.4. Пусть /(ж, £,а) - полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби и
S(x,t,a) = f(x,tya)+C{a),
где С (а) - произвольная функция от а. Тогда функция
S(x,t) = S{x,t,a)\a=A(x,t), (3.60)
где функции координат и времени A(x,t) неявным образом
определяются уравнениями
dS{x,t,a)
daj
= 0, i-=l,n,
(3.61)
является общим решением уравнения Гамильтона-Якоби,
Доказательство. Действительно, так как /(ж, £, а) - полный
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то для произвольной
функции С (а), не зависящей от ж и t, функция
S(x,t,3) = f{x,t,3) + C(S)
- также полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Заменим здесь величины а функциями А(ж, £), которые
являются решениями уравнения (3.61). Тогда для функции 5(ж, t) =
= S(x,t,a)\a=A{xyt) справедливо
dS{x,t)
dxj
dS{x,t,a) ( /dS{x,t,a) day
' dxi I
c-
daj \ da
_ dS{x,t,a)\
dXj la=A(f,<)
a=A(£,t)
44 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Аналогично
dS{x,t) _ dS{x,t,a)
dt dt
Тогда
dS(x,t)
a=A{x,t)
dt
dS(x, t, a
+ H{VS{x,t),x,t):
dt
+ n{VS{S,t,a),S,t)]\ =0,
поскольку функция S(x,t,a) является решением уравнения Га-
ми л ьтона-Якоби. Так как S(x,t) содержит произвольную
функцию С(а) и удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби,
теорема доказана.
О Как правило, интегрирование системы Гамильтона
является более простой задачей, чем интегрирование уравнения
Гамильтона-Якоби. Однако для некоторых типов
гамильтонианов метод разделения переменных позволяет
сравнительно просто находить полный интеграл уравнения Гамильтона-
Якоби. Поэтому рассмотрим метод, позволяющий по функции
S(x, t) находить решение системы Гамильтона.
Теорема 3.5 (Якоби). Пусть S(x,t,a) - полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби. Тогда
^— =ft, тг-=Рм г = М, (3.62)
дщ дх{
- независимые первые интегралы соответствующей
системы Гамильтона.
Доказательство. 1. Пусть 5 есть полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби (3.1). Обозначив V5 = р, запишем
Считая /3j, j = l,n, постоянными, найдем
d (dS Q\ d2S A d2S . п .„^
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
45
Поскольку S(x, *,а) непрерывно дифференцируема, можно
поменять порядок дифференцирования. Вычтя (3.63) из (3.62),
получим
^ d2S (. дП\ . j—
Ел^(я*-^)=0 3 = hn- (3-65)
Согласно формулировке теоремы, выполняется условие (3.59),
следовательно,
opk
для всех Xk(t), удовлетворяющих первой системе уравнений в
(3.62).
2. Найдем полную производную по времени от второго
соотношения в (3.62). Получим
dPj d2S A d2S . А /0/?/?,
Hlh^ + £*^ = 0- (3-66)
Учтем, что 5 - полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби, т.е.
д fdS
£-Д+«^) =
d2s <m_ у, d2s дп _
dxjdt dxj < ^ dxjdxk dpu
Вычтем из (3.67) соотношение (3.66) и получим
Следовательно, соотношения (3.62) сохраняются в силу
уравнений Гамильтона, т.е. они являются первыми интегралами
этих уравнений. Независимость первых интегралов следует из
условия (3.59), что и доказывает теорему.
О Теорема Якоби обосновывает следующее правило
построения общего решения системы Гамильтона x(t) и p(t) по
известному полному интегралу S(x<t,a) уравнения
Гамильтона-Якоби:
46 Глава 1, Уравнения в частных производных первого порядка
1) разрешаем систему п уравнений
относительно переменных ж&, к = 1,п, и находим функции
xk = Хк {t, а, /?), fc = TTrT,
зависящие от 2п произвольных постоянных (3j;
2) подставляем функции хь = Xk{t, а,/3), fc = 1, п, во второе
уравнение (3.62) и находим
Pj = Pj(t,aJ) = ^-(X(t,aJ),t,a).
Пример 3.10. Найти полный интеграл стационарного
уравнения Гамильтона-Якоби (3.2) с гамильтонианом
9 0 0 0
Соответствующая механическая система называется
двумерным осциллятором.
Решение. В уравнении Гамильтона-Якоби, которое в данном
случае имеет вид
i(osy i(dsy- ш\х\ *Ы=Е
2\дх1) 2\дх2) 2 2
переменные полностью разделяются, поэтому
S(*i, х2, au Е) = Si(xu ец) + S2(x2, оь Е),
где 5i(si) и 5о(а;2) удовлетворяют обыкновенным
дифференциальным уравнениям
2"fe) +^ = «b-ai>0;
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
47
Проинтегрировав эти уравнения, находим полный интеграл
at w\ 1 ( ^ ~ . 2а1 • wix*i ,
о(Ж1,Ж2,<*ь Е) — ~ »i\/2ai — а>гж: Н arcsm . +
2 V V wi y2ai
/—— «-^- 2(E — ai) . W2^2 \
+Ж2Л/2(Я-ai) -w?z? + -* ^ arcsm—^
V ' - - W2 y/2(E-сч)'
Пример 3.11. Используя результаты предыдущего примера
и формулу (3.62), найти общий вид траекторий частиц в
конфигурационном пространстве.
Решение. Общее решение уравнений Гамильтона для
двумерного осциллятора можно найти из системы (3.5). В силу
результата предыдущей задачи для определения Xi(t,a,/3) и
X2(t,a,/3) справедлива система уравнений
dS(xi,X2,OLuE) 1 . LJiXi
= — arcsm
dai cji ' v/2ai
arcsm —. = = p\;
"2 y^tf - ai)
dS(x1,x2,a1,E) 1 . w2x2
— — = — arcsm —==== — t + /32.
d# w2 ^2(0-c*i)
Решением этой системы являются функции
^i = Xi(i,ai,j9i,A1^) = ^l8mWl(*+i9i+i82);
ж2 = -У2(<,аь/32,Д) = — — sina^fa + ft).
а>2
Пример 3.12 (проблема Кеплера). Методом Якоби найти
траектории движения нерелятивистского электрона в поле
ядра.
Решение. Гамильтониан задачи имеет вид
Zm r Zm \ г- г1 sin 0' ^
Уравнение Гамильтона-Якоби для кулоновского поля в
сферической системе координат имеет вид
^+2^(Ы +^Ы +^п^Ы Ь=0- (М9)
48 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Решение уравнения (3.69) будем искать методом разделения
переменных
S{r,9,<p,t) = -а^ + 5i(r) + S2{0) +<*з<р.
Здесь мы учли, что переменные t и <р циклические. Тогда
2гае
\dr ) * тЛм) r2sin20
= airm.
г
Домножив это уравнение на г1 и разделив переменные, найдем
o((dSi\2 оЛ (dS2\2 a? 2
ГЧЫ +2mer-2,na1r-|=-(—J - _ =-a2.
Тогда для Si (г) получим уравнение
r2<f-y-j + 2mer — 2?na1r2 > = — a^,
из которого
„ , . , , ir2 — 2?тгег — а? ,
Si(r)= / А/ - ^ -dr.
Аналогично для функции 5з(г)
/d52\2 «5 _ 2
откуда
J у sm
2
3-d0.
Окончательно для полного интеграла уравнения (3.69)
получим
5(г, 0, <р, t) = -axt + a3y> + / у2тагг2 ; jdr+
Hai-A
+ I \hl - -rj^M- (3-70)
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
49
Согласно теореме Якоби, общее решение канонических
уравнений в неявной форме определяется уравнениями
OS
а7 = р"
dS
^— = -А,
OOCi
ds
Ж = р"
dS
Ъ1Г2 = ~*>
8S
5S=-A-
(3.71)
Отсюда
Г ' 2гае аТ Г\ аз
V г г2 у sin-0
m / 0<fr = t - Д. (3.72)
7 / „ 2me a;
2?nair- —
Вычислим интеграл (3.72)
[ t l dr= /_ ,
У / 2me a? У \/2mair2 — 2mer — a?
V2mai~ —"^
■/■
4?7iax J
+
^2ma.ir2 — 2mer — ol\
d(2mair2 — 2mer)
y/2mair2 — 2mer — a
e Г dr
2«i J y/2ma1r2 — 2mer — <x\
dr =
2
\j2mcL\T2 — 2mer — a\
2mai
e f dr
V('-^r)'
2aly/2ma1 J j^ e ^2 ^ ^2
4aj 2mai
yj2mot.\T2 — 2mer — a?>
2mci\
50 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Следовательно, зависимость радиуса от времени задается
уравнением
\/2талг2 — 2тег — <&
2mai
е
+ /- з1п
2ai у ^ rai/ 4a2 2raai
Из уравнений (3.71) найдем
<*2
/ * , = Р + /Ь- (3.74)
a3 i /-
sin2 0уа1
2 sin20
Интеграл (3.72) позволяет найти зависимость полярного
радиуса г от времени; интегралы (3.73) и (3.74) -
пространственные интегралы.
Вычислим интегралы (3.74), положив tg0 = ж. Тогда
dx х
0 = arctg*, d^j^J, sin^=ri^
Л
/l
sin20
sin^ya2,
_ Г xdx —If dt
~ J x2y/a2x2-a2{l + x2) ~2J ty/a2t - а2(1+Ц*
Сделаем замену \Л(а?, — a§) — a§ — y^y2 — t(a2 — a§) — a§,
«2 - a3 a2 ~ a3
и получим
У <*2 - аз J/2 + «3 2/ i У2+Ч аз a3
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
51
Вернувшись к исходным переменным, последовательно найдем
Л = — arctg 4/-2 (<*! - a\) - 1 + С =
= i-«rtg^g»e(^-i)-i + a
Следовательно,
tg2(^ + /33)=(^}-l)tg2e-l.
Окончательно получим
,_^
1
tgg = V дч. (3.75)
6 cos(y> + /?3) V '
Рассмотрим теперь в (3.73) интеграл
dB . [ sin 9d0
Г d9 , _ Г si
1 Г d(cosfl) 1_ Г dx
<*2 J Г* ^ ^Г a2 i
= arcsin —, cos 0 + С/2.
В интеграле по г в (3.73) проведем замену переменных
х = 1/r, dr = —dx/x2, и тогда
52 Глава I. Уравнения в частных производных первого порядка
Рассмотрим подкоренное выражение
2mai 2me
а? а?
— х~
х2
Ътых\ ( о „те т2е2 т2е2\
^-i- ж2 + 2—+ — 5-) =
аз V а| а2 а2 '
2т<х\ t m2e2 ( те\2
4
Тогда получим
dx
Zmai rrre~ ( те\*
~ 2~ + 4 1Ж+ ~) •
--/
72
-(■ + $)'
/2maia^-i-^t2e2
V
1 . ж+ «
= arcsin —, "2 + Сз-
Возвратившись к исходным переменным, запишем
1 . ol\ + гаег _,
J3 = arcsm —7===== + С3.
«2 r-y/2?naia5 + m2e2
Следовательно, выражение (3.73) примет вид
. / «2 Л , • / aj + mer \
— arcsin ( , 9 у cos в 1 + arcsin I —/ 9 J = ~@2
Vа2 ~" аз Vy2raaia2 -f mire2'
или
а?, + тег . г . / а2 \ 1
, = sin arcsm —, cos в) — в2\
yjlmaxa\ + т2е2 L V<*2 ~ <*з ' J
а? + тег г . / а2 Л |/Э1
у 0 = COS arCSin I ^-_^==С08^) + Р2
r^/zmaiaj + т2е2 L ^ Va2 ~ аз
или
или
1 те \/т2е2 + 2maia?
" = J- + - 5 -х
х cos arcsin ( —, cos в +/32 . (3.76)
V а2 _ а3
3. Уравнение Гамильтона-Якоби
53
Пример 3.13. Найти полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби в двумерном поле кулоновских сил.
Решение. Гамильтониан системы в полярных координатах
имеет вид
H(p,q,t) = cJm*c* + p} + Ц- 7тюс2 - ^ = 0, qe К2.
V Г' Г
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби
ГТТ fdS\* 1 /dS\*
+с\Нс +Ы + ^J -inoc'-
Обозначим постоянную энергию через аз, постоянный импульс
Рр через аз и разделим переменные, положив
S{q,t) = -a3t + a2(p + f(r).
Тогда для определения функции /(г) получим уравнение
-н^Ш№=
тоС Ь а3.
Отсюда
Полный интеграл имеет вид
S(q, i) = -a3t + a2<p + (3.77)
+/v(!?:"4^+2'Tioe('7io+?)^+a3('7io+S)*-
Пример 3.14. Методом Якоби найти траектории
релятивистского электрона в двумерном кулоновском поле.
Решение. По теореме Гамильтона-Якоби находим
54 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Обратимся к геометрическому интегралу
aodr
/-
5J(^-a°2)^ + 27noe(7no + ^)i + a3(mo + ^)
= ¥> + /%,
следующему из (3.77). Вычислим его, предположив, что
о о
-V" - «; < 0, а3 < 0.
Положим
1 Hi + ^2 1*1 — ^2 г,
где ui, аз - корни уравнения
( —^ а? Ьг + 2?по7(^о + -j)u + а3Ипо + -у J = 0.
if-&'+»]-
Проинтегрировав, найдем
1 t*i + wo wi — «2
- = 1 cos
r 2 2
Здесь с - скорость света в вакууме, поэтому
о о
Найдем приближенное выражение для периода
2тг * ~?^
Тг =
=ч+да-
Видно, что тг > 27г. Траекторию электрона можно
приближенно представить в виде вращающегося эллипса (аз < 0).
ГЛДВА 2
Приведение уравнений второго
порядка к каноническому виду
4. Классификация уравнений
второго порядка
♦ Уравнением в частных производных второго порядка с
двумя независимыми переменными х и у будем называть
соотношение между неизвестной функцией и и ее частными
производными до второго порядка включительно
F(x ) = 0. (4.1)
♦ Уравнение (4.1) называется линейным относительно
старших производных, если его можно представить в виде
ацнГ;г + 2a12'u.vy + a.22Uyy + F(x, t/, u, ux, ity) = 0, (4.2)
где aik = aik(x, у), г, к = 1,2.
О Если а,^ = а**(ж> у, и), то уравнение называется
квазилинейным.
♦ Уравнение в частных производных второго порядка
называется линейным, если оно линейно как относительно
старших производных, так и относительно самой функции и и ее
первых производных
onww + 2ai2UXy + aooUyy + Ь\их + b2uy + си + / = 0. (4.3)
Если / = 0, то уравнение называется однородным.
Рассмотрим уравнение (4.2), линейное относительно
старших производных. Сделаем в нем замену переменных
<* = <р(х,у), /3 = ф{х,у). (4.4)
О Мы хотим выбрать такие а, /3, чтобы в новых
переменных уравнение (4.2) имело наиболее простой вид.
Найдем выражения для производных функции и по новым
переменным
их = ахиа + /Зхир, иу = ayuQ + /3yUp;
v>xx = <*2xuaa + 2ax(3xuap + Р1щр + uQaxx + щ(Зхх\ (4.5)
U;ry = <XxayUaa + (<*xPy + <*yPx)uafi +
56 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
иУУ — alUaa + 2otyfiyUQp + /?*Пдо + Uaa^ + U^j,.
Подставим эти выражения в уравнение (4.2) и получим
ЙП'Иаа + 2ai2Wa/3 + «22^/3/3 + ^(<*> /3, И, Ua, U/j) = 0, (4.6)
где
an = anal + 2ai2aTay + a22^,
«12 = aii<*xPx + ai2(<*xfiy + «уДг) + a22<Xy(3y, (4.7)
«22 = aii/?J + 2а12РтРу + a22/3y.
Потребуем, например, чтобы оц = 0 (или a22 = 0). Тогда
для определения функций а (ж, у) и /3(х,у) необходимо решить
следующее дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка:
anzl + 2ai2zyZx + a22z* = 0. (4.8)
ф Уравнение (4.8) называется характеристическим
уравнением для квазилинейного уравнения второго порядка (4.2), а
кривая z(x,y) = С, где z = z(x,?/) - непрерывно
дифференцируемое решение (4.8), называется характеристической линией,
или характеристикой, уравнения (4.2).
Лемма 4.1. Если z = z(x^y) - частное решение уравнения
(4.8), удовлетворяющее условию
то z{x,y) — С - общий интеграл уравнения
o>\\dy2 — 2ai2(lx dy + a22<£c2 = 0. (4.9)
Доказательство. Пусть z(x,y) - решение уравнения (4.8).
Тогда если уравнение z(x,y) = С разрешимо относительно
у = /(ж, С), то по правилу дифференцирования функций,
заданных неявно,
dx Zy \y=f{x,C)'
4. Классификация уравнений второго порядка
57
Подставим эту производную в уравнение (4.9) и получим
<dy\* . dy
ail{di) _2ai2
dx
+ a22 =
= fau( - -V - 2a12( - ^) + a22j I = 0,
L V Zy/ V Zy/ Jly=/(.r,C)
так как уравнение (4.8) справедливо для всех ж, у в области,
где существует решение. Таким образом, лемма доказана.
Справедлива и обратная лемма.
Лемма 4.2. Если <р(х,у) — С - общий интеграл уравнения
(4.9), то функция z = <р(х,у) является частным решением
уравнения (4.8).
Доказательство аналогично.
Разрешив уравнение (4.9) относительно dy/dx, видим, что
оно распадается на два уравнения
dy _ ^12 + л/D dy _ а\2 — yD ^ _ 2
dx ац ' dx an
D = a12-ana22, (4.10)
которые называются дифференциальными уравнениями
характеристик для (4.2).
В силу доказанных выше лемм общие интегралы уравнений
(4.10) <р(х,у) = С\ и ф(х,у) = С2 определяют два семейства
характеристик уравнения (4.2).
О Непосредственной проверкой найдем
D — а\2 — аца22 = DJ2,
где
J = a*&-&a, = -5^#0
3(a,/3)
d(x,y)
- якобиан перехода к новым координатам. Следовательно,
замена переменных (4.4) не меняет знака D.
♦ Уравнение (4.2) в точке М называется:
1) гиперболическим, если в этой точке D > 0;
2) эллиптическим, если в этой точке D < 0;
3) параболическим, если в этой точке D = 0.
ф Уравнение (4.2) в области G называется
гиперболическим (эллиптическим, параболическим), если оно принадлежит
58 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
к гиперболическому (эллиптическому, параболическому) типу
в каждой точке области G.
О Одно и то же уравнение может принадлежать к
различным типам в разных точках области его определения (см.
пример 5.3).
5. Каноническая форма дифференциальных
уравнений второго порядка
с двумя независимыми переменными
О Рассмотрим область G, во всех точках которой
уравнение принадлежит к одному и тому же типу. Тогда из (4.10)
следует, что через каждую точку области G проходит две
характеристики, причем для гиперболического типа
характеристики действительны и различны, для эллиптического типа
комплексны и различны, а для параболического типа
действительны и совпадают.
1. Уравнения гиперболического типа
D > 0. Общие интегралы
(p{x,y) = Ci и ф(х,у)=С2
определяют действительное семейство характеристик.
Выберем новые переменные следующим образом:
<* = <р{х,у), Р = Ф(х,у),
тогда dn = Й22 = 0и^ = а\2 — DJ2 > 0. Разделим левую и
правую части уравнения (4.6)наа12^0и получим
иа(з + Ё(а,13,и,иа,ир) = 0. (5.1)
♦ Уравнение (5.1) называется уравнением
гиперболического типа в первой канонической форме.
Сделаем в (5.1) замену
Тогда
^а - , Uf3 - , UQfl - .
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
59
Следовательно, (5.1) примет вид
utf ~ uw + F(^ Ъ u>u6 t*i|) = 0. (5.2)
♦ Уравнение (5.2) называется уравнением
гиперболического типа во второй канонической форме.
2. Уравнения эллиптического типа
D < 0. Уравнения (4.9) имеют два комплексно сопряженных
общих интеграла. Положим
<* = <р{х,у), р = у*(х,у),
что дает
иа(3 + F = 0.
Введем вещественные переменные
Получим
ф Уравнение (5.3) называется эллиптическим уравнением
в канонической форме.
3. Уравнения параболического типа
D — 0. Уравнения (4.10) совпадают, и существует только
один общий интеграл <р(х,у) = С. Положим
а = ¥>(ж,2/), /3 = #с>у),
где -0(ж> у) - произвольная функция, не зависящая от у>(ж, у). В
силу определения оц = 0, но так как из условия D = 0 следует,
что
D = aj2 — «11^22 = 0,
то
^12 = \/^11^22 = 0.
Таким образом, имеем
ЩР + F(a, /3, ua, t^) = 0. (5.4)
60 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
♦ Уравнение (5.4) называется параболическим уравнением
в канонической форме.
0 Если F не зависит от иа, то уравнение (5.4) -
обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от а как от
параметра.
0 В случае многих переменных классификация уравнений
не столь проста (более подробно см. [31]). Уравнения вида
t°<AZ)1^ + F&u,Vu) = 0, V=A, (5.5)
называются квазилинейными уравнениями второго порядка от
п переменных.
Вообще говоря, при п ^ 3 не существует замены
переменных, приводящей коэффициенты gij к диагональному виду во
всем пространстве М£ (т.е. gij(x) = gi(x)Sjj, где Sij - символ
Кронекера). Однако в любой наперед заданной точке
области изменения переменной х приведение к диагональному
виду возможно. Причем число положительных, отрицательных
и нулевых коэффициентов #,(ж) не зависит от способа
приведения (закон инерции квадратичной формы). На этой основе
можно построить классификацию уравнения (5.5) в различных
областях.
В дальнейшем нам встретятся уравнения трех типов:
1) эллиптического
п Я2
*=1 k
2) гиперболического
do n «о
ЙГЕ £Г+ *<«.«.*«> = *
3) параболического
£!?+JJ,(£,u'Vu) = 0-
]fc=2 k
В заключение сформулируем схему приведения
уравнения (4.2) к каноническому виду:
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
61
=> определить коэффициенты оц, ai2, a2o в соответствии с
видом уравнения (4.2);
=> определить области знакопостоянства дискриминанта
D = a\2 — (J>nd22) в которых тип уравнения (4.2)
сохраняется, и выяснить тип заданного уравнения в этих областях;
=> записать характеристическое уравнение (4.9) по
коэффициентам исходного уравнения ац<1у2 — la^dydx -f a22dx2 = О
и найти его первые интегралы <р(хлу) = С\. ф(х,у) = Сг;
=> записать формулы перехода от старых переменных (хчу) к
новым а = <р(х,у), (3 = ф(х,у) по решениям
характеристического уравнения с учетом его типовых особенностей;
=> выразить производные по старым переменным через
производные по новым переменным, согласно (4.5), и подставить
их в исходное уравнение;
=> выразить из (5.4) старые переменные через новые, т.е.
найти х = £(а,/3), у = ф{а,р);
=> исключить в полученном выражении старые переменные с
помощью (5.4) и привести подобные слагаемые, что и
приводит исходное уравнение к одной из канонических форм.
После вышеописанных упрощающих преобразований
исходного уравнения получается каноническая форма, допускающая в
частных случаях нахождение общего решения. Частные
методы нахождения общих решений рассмотрены ниже на
конкретных примерах.
Пример 5.1. Найти общее решение уравнения
Зи,, + Uuxy + Suyu = 0. (5.6)
Решение. 1. Составим характеристическое уравнение
3dy2 - Ш-ydx + &dx2 = 0
или
з($У-14^ + 8 = 0.
V dx/ dx
Разрешив полученное уравнение относительно dy/dx, найдем
dy 14 ± \Д)
-г = ^—, D = 196 - 4 • 3 • 8 = 100 > 0.
ах 6
Следовательно, уравнение (5.6) - гиперболического типа на
всей плоскости. Проинтегрировав полученные характеристи-
62 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
ческие уравнения, найдем
^-4 *И-1 С,-ь-Ах C,-v--x
dz ' dx~Z> С1~У ' С-~У Z
2. Сделаем замену переменных
2
а-у-Ах, /3 = у--х.
Получим
Тогда
OLx — ~"~ *> ^у — *, ^#а? — ОС-ху — ^уу — ^>
2
и* = uaaT + u/j^r = -4иа - -ti^,
Uxx = 1*а*а* + ^а«ягх + tl^arjS* + U$fSxx
- CCx(uQQax + '"а/зДг) + иа«х^г +
+Дг(1А/За«х + Щ&Рх) + Uppxx =
16 4
= 16.tiae + yWa/3 + oU/3/?-
Аналогично
a 14 2
3. Подставим полученные выражения для частных
производных в исходное уравнение и получим
100
—тЧа =
или
upQ = 0.
Следовательно, общее решение уравнения (5.6) имеет вид
u(a,/3)=p(a)+ «(£)>
где р(а), #(/3) ~ произвольные функции. Возвратившись к
исходным переменным, запишем
ti(s, t/) = р(у - 4a?) + g(j/ - 2ж/3).
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
63
Пример 5.2. Привести к каноническому виду и найти общее
решение уравнения
*> У
уихх + х(2у - l)uxy - 2x~uyy —-u.x = 0.
Решение. Задача разбивается на две части:
1) Приведение к каноническому виду
Сравнив исходное уравнение с уравнением общего вида (4.2).
находим коэффициенты
&ii = 2Л °12 = 0,5ж(2у — 1), азз = —2ж2.
Так как
D = а\2 — СЩС122 — %2(у — 0,5)2 -f 2х2у = х2(у -f 0,5)2 > 0
на всей плоскости (за исключением х = 0 или у = —0,5), то
исходное уравнение относится к гиперболическому типу.
Согласно (4.10), запишем два характеристических уравнения
dy_ _ а12 ± у/Р _ х(у-0£)±х{у + 0,Ь)
dx ац у
Разделим переменные в каждом уравнении. После
интегрирования имеем два общих интеграла
Ci-y- ж2, С2 = У2 + ж2,
которые и определят новые переменные
а - <р{х, у)-у-х2, /3 = ф(х, у) = у2 + ж2. (5.7)
По формулам (4.5) выразим все производные от фунхции и
по старым переменным через производные от и по новым
переменным. Подставив их в исходное уравнение, получим
достаточно громоздкое выражение. Однако, если все выкладки
сделаны правильно, то большая часть слагаемых взаимно
уничтожится и останется очень простое уравнение
2
1 + 4у + 4у2
64 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
Последнее, что необходимо, - выразить оставшуюся старую
переменную у через новые. В данном случае это легко сделать
с помощью соотношения (5.7). Действительно,
а + /3 = у + у2.
Тогда
«•* + 1 + ца + /3)и? = °- ^
Это и есть искомая каноническая форма исходного уравнения.
Заметим, что из всех производных второго порядка осталась
только смешанная производная, как и должно быть для
уравнения гиперболического типа.
2) Нахождение общего решения
По некоторой аналогии с обыкновенными
дифференциальными уравнениями можно заметить, что уравнение (5.8)
допускает понижение порядка, если ввести новую функцию v
следующим образом:
v = и$.
Тогда (5.8) относительно новой функции перепишется в виде
"°+l + 4(2a+/3)V = 0-
Для нахождения общего решения полученного
дифференциального уравнения первого порядка в частных производных
запишем, согласно (1.6), систему характеристических уравнений
или
da
0
__d/3 _
1
<
dp
l + 4(a
dv
-2t;/[l + 4(a +
ia = 0,
ldv
+ jS) " 2 v '
fl]
Интегрирование первого уравнения дает а = ai, где «i -
произвольная постоянная. С учетом этого второе уравнение
примет вид
dp _ 1 dv
l + 4(ai+/3) ~~2T'
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
65
При его интегрировании появляется вторая произвольная
константа do
-ln(l-f 4[ai + 0\) = -lnv + lna2.
Таким образом, характеристическая система имеет два
первых интеграла
ai = a,
a2 = т>д/1 + 4(а + /3),
и общее решение исходного уравнения имеет вид
Ф(а,уу/1 + Ца+р))=0,
где Ф(а, ш) - произвольная функция двух переменных.
Поскольку функция v(a,/3) входит только в одну переменную функции
Ф(а, vy/\ + 4(a + /3)), решение можно записать в явной форме
Vl + 4(« + i9) = Ci(a) или v(a,p) = -====,
ч/1 + 4(о: + /3)
где Ci(a) - произвольная функция переменной а. С учетом
этого уравнение (4.8) можно записать в виде
Ci(a)
ti/j = V =
д/1 + 4(а + )9)
Для нахождения решения этого уравнения вновь запишем
характеристическую систему уравнений
da d/3 du
О 1 cm/y/T+Ца + Щ
или
Ci(a)da
l + 4(a + /J)
= du.
Интегрирование первого уравнения дает /3 = &i, где &i -
произвольная постоянная. В результате второе уравнение примет
вид
66 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
Интегрирование этого уравнения дает вторую произвольную
константу &з:
j d(z)dz
= u + Ь2
Таким образом, характеристическая система имеет два
первых интеграла
h = p,
} d{z)dz
J у/1 + Цг + р)
и общее решение исходного уравнения имеет вид
V У Vi + Ф + С) /
где Ф(/3, о>) - произвольная функция двух переменных.
Поскольку функция и(а:,/3) входит только в одну переменную функции
Ф, то решение можно записать в явной форме
y/l + 4{0 + z)
ИЛИ
а
/ Лч f C\iz)dz „
(/3)
где Сг (/3) - произвольная функция переменной /3. Возвращаясь
к исходным переменным (4.7), получим общее решение
и(хуу)= \
Ci{z)dz
y/l + 4{y-X*+z)
+ С2(2/-ж2).
Описанная выше процедура нахождения общего решения
уравнения (5.8) может быть упрощена, если использовать ана-
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
67
логию с обыкновенным дифференциальным уравнением
первого порядка при условии постоянства /3. Действительно,
разделив переменные в уравнении
^+1 + 4(2«+/3)" = 0
и проинтегрировав последнее уравнение при условии a = const,
получим
Ci(a)
v(a,p) =
4/l + 4(a + /3)'
где Сi - постоянная интегрирования, т. е. не зависит от
переменной интегрирования а, но может произвольным образом
зависеть от параметра /3. Возвратившись к функции а(а,/3),
получим
" у/1 + Ца + Р)'
Проинтегрировав это равенство по /3 при фиксированном а,
найдем
/з
Ci(z)dz
—, -f 02(0:).
у/1 + 4(a + z)
Возвратившись к исходным переменным, получим общее
решение
Пример 5.3. Привести к каноническому виду и найти общее
решение уравнения
«(а,)9) = У
sign 1/ u„ + 2и*у + uyv = 0, sign j
f 1, l/>0;
{ 0, y = 0;
I -1, y<0.
Решение. Поскольку коэффициенты оц = sign у, ai2 = 1,
«22 = 1, ТО
D = aj2 — ацогг = 1 — sign
(0, y>0;
У={ 1, У = 0;
12, j/ < 0,
68 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
и исходное уравнение параболично в верхней полуплоскости
(у > 0) и гиперболично в оставшейся области (у ^ 0). В
силу этого приходится рассматривать эти области отдельно.
Случаи гиперболического типа рассматриваются аналогично
примеру 1. Рассмотрим случай параболического типа (у > 0,
sign у = 1, оц = 1, А = 0).
1) Приведение к каноническому виду
Согласно (4.10), имеем одно характеристическое уравнение
с общим интегралом С = у — ж, который и определяет одну из
двух новых переменных, например а = у — х. Тогда в качестве
другой новой переменной /3 может быть выбрана любая
функция от ж, ?/, независимая от a = у — ж. Для простоты выберем
/3-х. Тогда, согласно (4.5), получаем каноническую форму
уравнения в области параболичности
и о о = 0.
2) Нахождение общего решения
Применим подстановку v = up, понижающую порядок
уравнения, тогда vp = 0, решением которого является
произвольная функция от а, откуда v = p(a). Проинтегрировав
последнее уравнение по переменной /3, получим
u(a,P)=p{a)P + q{a),
где q(a) - еще одна произвольная функция по переменной а.
Возвратившись к исходным переменным, получим общее
решение в виде
и(х, у) = хр(у - х) + q(y - ж).
Отметим, что в области параболичности имеется только одно
характеристическое уравнение. Поэтому однозначно
определяется только одна переменная, тогда как другая может быть
выбрана произвольно. Такой произвол порождает целый
набор решений и(х,у), например выбор а — у — х, /3 = у + х
приводит к общему решению вида
u(s> у) = (ж + у)р(у - ж) + q(y - ж).
Пример 5.4. Найти общее решение уравнения
иху + их + иу + и — 0.
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
69
Решение. Поскольку уравнение уже записано в канонической
форме, задача сводится только к нахождению общего решения.
Порядок уравнения можно понизить, введя новую функцию
v = uy -f u. Тогда исходное уравнение примет вид
V* + v — 0.
Его решение записывается как
v(x,y) = (р{у)е~х%
где <р(у) - произвольная функция от у. Возвратившись к
функции и(х,у), имеем
Ug + u = e-*<p(y), (5.9)
т.е. линейное по щ uy уравнение. По аналогии с методом Бер-
нулли для обыкновенных дифференциальных уравнений
решение уравнения (5.9) будем искать в виде
а(ж, у) = а(ж, у)Ъ(х, у), (5.10)
где а (я, у) и 6(ж, у) - некоторые функции, одну из которых
можно выбрать произвольно. Подставив (5.10) в (5.9), получим
ayb + aby + ab = e~x<p(y).
Положив
ay + a = 0,
для определения функции Цх,у) найдем
а6у = е~х(р{у).
Из первого уравнения имеем
а из второго
ь, = е»->(»):
После интегрирования получим
Ь(ж,2/)= ey-x<p{y)dy + g(x).
70 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
Здесь д(х) - произвольная функция. Возвратившись к функции
и (ж, у), находим
и(х, у) = а(ж, у)Ь(х, у) = е~у |e~* / ey(p(y)dy + д(хЦ
или
а(ж,у) = е *g(</)+ e yg(x).
Здесь вместо (р(у) введена новая произвольная функция
q(y) = е у ey(p{y)dy.
Таким образом, общее решение имеет вид
и(ж, у) = e~xq(y) + е~уд(х),
где q(у) и д(х) - произвольные функции переменных у и х
соответственно.
Пример 5.5. Решить задачу Коши
упхх + х(2у - 1)иху - 2х2иуу ux = О,
и(ж,0) = ж2, иу(ж,0) = 1.
Решение. Общее решение этого уравнения получено в
примере 5.2 и имеет вид
УЧ:Г2
uu(x,y)= f hlAV{Z)dZ , = + q(y-x2), (5.11)
J y/l/4 + y-x~ + z
где p(z) и g(a>) - произвольные функции. Начальные
условия позволяют конкретизировать эти функции. Найдем
частную производную иу(ж, у). Для этого нам потребуется формула
дифференцирования интегралов, зависящих от параметра:
/(у) f(y)
dyi
J\y) JW)
+f'(y)p(y, /(»)) -9'Шу,9(у))- (5.12)
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
71
В нашем случае это дает
J ч z/ (1/4 + у — х1 + z) '
+2у Р(У2 + *21 + q>{y _ ж2). (5.13)
V1/4 + У - х2 +z
Здесь и ниже штрих означает производную по аргументу
соответствующей функции. Положив у = О в самой функции и(х,у)
и производной иу(х,у) и приравняв их, согласно начальным
условиям, ж2 и 1, получим систему для определения функций
р, q, т.е.
.г
/" P(z)<fe з 2
/ —, = +fl(—ж 1 = ж ,
J Jl/4-x2+z '
(5.14)
1 t p(z)dz ,(_д3 (
2У (1/4 + у-х2 + г)3/3
Для нахождения решения продифференцируем уравнение
(5.14) по переменной ж. С учетом (5.12) получим
о
или
р(д2)
г)3/2 ' ""V1/4-X2 + X-2
2 J (l^ + y-^ + zr-
Последнее уравнение сложим с уравнением (5.15) и получим
2р(х2) = 2,
откуда р(х2) = 1 и соответственно p(z) = 1. Подставив
найденное значение p(z) в (5.14), находим функцию
72 Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду
=--4i-vT
= ж2 - 1 + \Л-4ж2.
Следовательно,
q(y - х2) = -(t/ - ж2) - 1 + \Л-4(2/-ж2).
Возвратившись к общему решению и (ж, у) и подставив
вычисленные значения
P(*) = l, <?(y - а;2) = -(</ - х2) - 1 + ^1 - 4(з/ - ж2),
после интегрирования найдем
и(х,у) =
/
p(z)dz
т/1/4 + у - z2 + z
(у-х2)- 1 + Л/1-4(3/-х2) =
7F
■Ж" + Z
-2/+ж2-1 + х/1-4(у-ж2) =
= 1 + 2у - 71-4(2/-ж2) - у + ж2 - 1 + у/1-Цу-х*),
т.е. получили частное решение
и(х,у) = a?2+y,
удовлетворяющее начальным условиям.
Окончательно решение задачи Коши имеет вид
и(х,у) = ж2 + у.
Легко проверить, что данная функция удовлетворяет как
уравнению, так и начальным условиям.
Пример 5.6. Найти решение задачи Коши
иху + их + иу + и = О,
Ф,у)\у=3х = Ь Мж>2/)|у=3* = е~4*-
Решение. Общее решение уравнения получено в примере 5.4
и имеет вид
и(ж, и) = e~xq(y) + e~yg(x). (5.16)
5. Каноническая форма уравнений второго порядка
73
Из начальных условий определим функции р(ж), q(x).
Предварительно вычислим иу:
uy{x, u) = e~xq'(y) - e~yg(x).
Затем, положив у — Зж и подставив и и иу в начальные
условия, получим систему уравнений для определения функций
Ф,У)\у=Ъх = e-*q(Zx) + e-**g(x) = 0; (5.17)
«f(*.y)|f=3, = в"V(3«) - е"3^(ж) = в"4-. (5.18)
Здесь штрих означает производную по аргументу Зх, т.е.
„>fi„\ - dq№
q {Zx) - w
Сложив уравнения (5.17) и (5.18), имеем
e-'[q{3x) + g'(3x)] = е"4*,
откуда
g(3a;) = e-3*(3a; + C),
где С - произвольная константа. Соответственно
q(z) = (z + C)e-\ (5.19)
Подставив (5.19) в (5.16), находим
g(z) = -e~r[Zx + C\. (5.20)
Возвратившись к и(х, у) (5.12), с учетом (5.20) получим
и(х,у) = e-<*+»>(jH-C)-e-»'е-(Zx+C) = e~^+^(y+C-Zx-C).
Таким образом, решение задачи Кошй имеет вид
u(x,y) = e-{x+y)(y-Zx).
ГЛАВА 3
Уравнения с частными производными
в физических задачах
6. Линейная цепочка
Рассмотрим предельный переход от механики системы
материальных точек к механике распределенной массы.
В качестве примера представим себе линейную цепочку,
состоящую из N одинаковых материальных точек массы т
каждая, соединенных пружинами. Пусть эти пружины обладают
одинаковыми коэффициентами жесткости к (рис. 7).
Предположим, что в состоянии равновесия цепочка имеет длину /, а
расстояния между соседними точками одинаковы и равны а. При
отклонении от положения равновесия допускаются только
одномерные движения по отрезку. Граничные точки будем
считать неподвижными. На j-ю точку действуют силы упругости
^1 и Fo, направленные в противоположные стороны и,
согласно закону Гука, по модулю равные (см. рис. 7) F\ = k(uj+i — iij)
и i<2 = k(itj — u,_i), где Uj - смещение j-й точки. В результате
второй закон Ньютона для j-й точки имеет вид
miij = k(uj+i — Uj) — k(uj — Uj-i), j = 2, N — 1, (6.1)
•til = un = 0.
Для того чтобы перейти к непрерывному распределению
массы по цепи, рассмотрим предел а —У 0, т —> 0 при условии, что
линейная плотность р = т/а и модуль Юнга Е — ка остаются
конечными. Поскольку размер цепи при этом не меняется, то
число точек N стремится к бесконечности. В этом пределе
номер точки j заменяется непрерывной величиной ж, задающей
положение точки на отрезке, т.е. j —у х. Расстояние а между
соседними точками заменяется дифференциалом, т.е. а —У dx.
В результате смещение Uj(t) становится функцией двух пере-
Рис. 7
7. Уравнения колебаний струны
75
менных х и t. При этом
ди
(uj+1 - Uj) - (uj - uj-г) -> a ~q^2-
Система уравнений (6.1) в этом пределе переходит в уравнение
в частных производных для функции и(хЛ)
д~и ^д"и . , Л //. ЛЧ
Р^уГ = Е^-^> и\х=о = Щт=1 = 0. (6.2)
at" ох~
Полученное уравнение описывает продольные волны,
распространяющиеся в стержне со скоростью у/Е/р (подробности
см. в разделе, посвященном продольным колебаниям
упругого стержня).
7. Уравнения колебаний струны
Рассмотрим твердое тело, продольные размеры которого
значительно больше поперечных (/ ^> а, где / - длина, a a
- максимальный поперечный размер тела). Пренебрегая
поперечными размерами тела, приходим к понятию струны как
идеального одномерного объекта. Если сила натяжения,
действующая на это тело, значительно больше силы сопротивления
при изгибе, то последней можно пренебречь, т.е. струну можно
считать идеально гибкой.
Пусть положение струны в состоянии покоя совпадает с
осью Ох. Допустим, что струна под влиянием поперечных сил
движется в одной плоскости хОи, где под и будем понимать
отклонение струны от положения равновесия в точке с
координатой х в момент времени t. Тогда соотношение и = u(x,t)
определяет профиль струны в плоскости хОи в момент
времени t. Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение,
которому удовлетворяет функция и — u(x,t). Будем
предполагать, что струна является упругой, т.е. подчиняется закону
Гука: изменение силы натяжения пропорционально изменению
длины струны.
Обозначим через р(х) и F(x,t) линейную плотность
струны и линейную плотность внешних поперечных сил
соответственно. Так как струна не сопротивляется изгибу, то сила
натяжения T(x,t) в точке х в момент времени t направлена по
касательной к струне (см. рис. 8).
76 Глава 3. Уравнения в физических задачах
Связь между длиной элемента струны в положении
равновесия dx и длиной dl элемента струны, выведенной из
положения равновесия, выражается известным соотношением
di=f+Wdx-
Если в этом соотношении величину
- = tga(z)
считать малой и пренебречь величинами высшего порядка
малости по сравнению с ней, то dl » dx. Это означает, что в
рамках сделанных предположений длина струны в процессе
колебания практически не изменяется, так как удлинение струны
пренебрежимо мало (бесконечно малая более высокого
порядка) по сравнению с первоначальной длиной, и мы им
пренебрегаем. Отсюда, согласно закону Гука, сразу следует
утверждение, что сила натяжения Т(ж, t) может изменять только свое
направление (по касательной), тогда как модуль |Т(ж,£)| -
величина постоянная, не зависящая от ж и t, т.е. |Т(ж,/.)| = То =
const.
Заметим, что в рамках сделанных предположений справед-
7. Уравнения колебаний струны
77
ливы соотношения
tga 9a / / /du\2 du
sin a =
;a _ du j Г /Buy
>/l + tg2 a &/VlW Зж'
cos a = = = 1 / л /1 + —- « 1.
v/i + tg2a /V VaJ
На элемент струны (ж, ж + dx) массой dm = p(x)dx
действуют силы натяжения Т(х + dx,t) — T(x,t) и внешние силы
F{xA)dx [плотность F(x,t) на интервале dx можно считать
постоянной (см. рис. 8)]. Их сумма, согласно второму закону
Ньютона, определяет ускорение d2a(x,t)/dt? этого элемента
струны. Проекция действующих сил на ось Ох с учетом (7.1)
дает
Т0 cos(a(z + dx)) - Т0 cos(a(x)) « Т0 - Т0 = О,
а на ось О и
Т0 sin(a(& + da;)) - Т0 sin(a(z)) + F{x, t)dx = р(ж) ^' dx,
откуда с учетом соотношения
зт(а(ж + dx)) — sm{a(x))
dx
ди(х + dx,t)/dx — du(x,t)/dx _ d2u(x,t)
dx dx2
получим уравнение
, ,d2u(x,t) m d2u(x,t) _, ч ,„ лч
P(s) gt2 = To ^; ; + FOM), (7.2)
которое называется уравнением малых поперечных колебаний
струны. При F(x,t) ^ 0 колебания называют вынужденными,
а при F(x,t) = 0 - свободными.
Если плотность струны постоянна, то, обозначив
2 ?0 F
а = —, /=—,
можно записать уравнение (7.2) в виде
д2и <>д2и
^ = «-&? + /• <7-3>
78
Глава 3. Уравнения в физических задачах
в котором его рассматривали Эйлер и Даламбер еще в 18-м
веке. Позднее мы увидим, что уравнения вида (7.3) будут
возникать при решении других физических задач, поэтому
независимо от физического смысла величины u(x,t) уравнение (7.3)
будем также называть одномерным волновым уравнением.
Отметим, что решение уравнения (7.2) как уравнения в
частных производных второго порядка не единственно,
поскольку обычно содержит две произвольные функции. Для
однозначного описания процесса колебаний струны уравнение (7.2)
дополняется некоторыми условиями, вытекающими из
физической постановки задачи. При этом, как правило, для уравнения
колебания струны (7.2) ограничиваются следующими
условиями.
1. Задача Коши
Если из физических соображений поведение граничных
точек струны заранее не оговаривается (например, струна
бесконечно длинная), то однозначное решение может быть получено
при задании начальных условий
о = i,(x), (7.4)
определяющих смещения и скорости (импульсы) всех точек
струны в начальный момент времени.
♦ Задача о нахождении решения уравнения (7.2),
удовлетворяющего начальным условиям (7.4), называется задачей
Коши.
2. Смешанная задача
Если поведение граничных точек струны (расположенных,
например, в точках а и Ь, так что длина струны / = b — а)
оговорено заранее, то задача Коши должна быть дополнена
граничными условиями. Рассмотрим три основных
(классических) типа граничных условий:
а) граничные условия первого рода: граничная точка
струны движется по определенному закону, т.е. u(x,t)\x=a =
= fi(t); естественно, что fi(t) — О соответствует жесткому
закреплению точки а (т.е. точка а неподвижна);
б) граничные условия второго рода: на граничную точку
действует заданная сила v(t), тогда
Tosina|,=e « Т0ди/дх\х=а = ^(*),
откуда
9м | v{i)
дх \х=а То
ti(M)lt=o = ¥>(ж),
OU(X,t)
at I
7. Уравнения колебаний струны
79
т.е. при v{i) = 0 конец х = а струны движется свободно (не
закреплен);
в) граничные условия третьего рода: граничная точка
струны закреплена упруго с коэффициентом жесткости
закрепления Л, тогда в соответствии с законом Гука
(т0^ + /ш)| =0.
V ОХ / \х=а
Аналогично задается поведение второй граничной точки
х = Ь. Если х = b —у оо, получается задача для полу
бесконечной струны ]а, оо[ с одним только граничным условием.
♦ Задача о нахождении решения уравнения (7.2) с учетом
начальных (7.4) и любого из граничных а), б), в) условий
называется смешанной задачей.
О Приведенная классификация граничных условий
является классической и исчерпывает большую часть физических
задач. Аналогичные граничные условия возникают в других
физических задачах, приводящих к одномерному волновому
уравнению. Поэтому независимо от физического смысла условия
а), б), в) называют граничными условиями первого, второго и
третьего вида соответственно.
Граничные условия, не укладывающиеся в классическую
схему, могут быть получены выделением отрезков,
примыкающих к концам стержня ]а, а + dx[ или ]b — dx, 6[, и записью
уравнений движения для них, как это делалось при выводе
уравнения.
3. Краевая задача
Влияние начальных условий в процессе колебаний струны
может со временем ослабевать (например, за счет сил
сопротивления), и с некоторого момента этот процесс практически
полностью определяется только граничными условиями.
Таким образом, на больших временах начальные условия (7.4)
становятся несущественными, и задача о нахождении
решения уравнения (7.3) для а ^ х ^ 6, t —> оо, становится чисто
краевой. Краевые задачи в зависимости от выбора граничных
условий а), б) или в) называются первой, второй и третьей
краевой задачей.
В такой постановке можно выделить три типа важных
задач: нахождение уравнения равновесия струны под действием
стационарных внешних сил и задачи о собственных и
вынужденных колебаниях струны. В первом случае задача сводится
80
Глава 3. Уравнения в физических задачах
к решению обыкновенного дифференциального уравнения
0d2u(x) _. ч
а""^+/(ж)=0'
Если решение задачи о свободных колебаниях искать в виде
периодической функции
u(x,t) = v(x) sin wt или u(x,t) = v(x)coswt,
то для амплитуды v(x) получим уравнение
12 + —v{x) = o, (7.5)
называемое уравнением на собственные колебания струны, для
однозначного решения которого достаточно только граничных
условий. Задача о нахождении нетривиальных решений
уравнения (7.5), удовлетворяющих заданным граничным условиям,
является частным случаем краевой задачи. Легко заметить,
что в математическом плане она сводится к задаче на
собственные значения (собственные частоты wn) и собственные
функции (см. разд. «Задача Штурма-Лиувилля»),
определяющей амплитуды vn(x).
Для вынужденных колебаний струны, когда вынуждающая
сила f(x,t) является периодической с частотой v и амплитудой
а2/(ж), т.е.
f(x,t) = a"f(x)sinvt, f(x,t) = a" f(x) cos vt, (7.6)
решение можно искать как функцию с неизвестной амплитудой
v(x) и частотой, равной частоте вынуждающей силы, т.е.
u(x, t) — v(x) sin vt или u(x, t) = v(x) cos vt. (7.7)
После подстановки соотношений (7.6) и (7.7) в уравнение (7.3)
получаем для функции v(x) стационарное уравнение
описывающее вынужденные колебания струны и являющееся,
как мы увидим в дальнейшем, одномерным аналогом
уравнения Гельмгольца. Естественно, что однозначное решение
уравнения (7.8) определяется только граничными условиями,
однако характер решения существенным образом зависит от
соотношения частоты вынуждающей силы v и собственных частот
8. Уравнение продольных колебаний струн и стержней 81
струны ип. В случае совпадения v с одной из собственных
частот ип возникает хорошо известный из курса общей физики
эффект резонанса.
В заключение отметим, что учет конкретных внешних сил
(сопротивления среды, силы тяжести и др.) может быть
естественным образом проведен при выводе уравнения
колебаний в полном соответствии с физической постановкой задачи.
С другой стороны, трудности построения гладких решений
дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными
распределениями физических характеристик (р(х), F(x) и др.)>
могут быть преодолены на основе понятия обобщенных
решений в классе обобщенных функций (см. разд. «Обобщенные
функции»).
О Вывод уравнения колебаний струны сопровождается
рядом механических и геометрических предположений. Вопрос
о том, насколько точно уравнение описывает физический
процесс, может быть решен только сравнением результатов,
полученных при решении уравнения, и экспериментальных
данных. Аналогичная ситуация имеет место и для других
дифференциальных уравнений.
8. Уравнение продольных колебаний
струн и стержней
Уравнения продольных колебаний для пружин, струн и
стержней записываются одинаково. Однако более наглядно эта
задача может быть рассмотрена на примере упругого стержня.
Стержнем мы будем называть твердое тело, поперечные
размеры которого достаточно малы по сравнению с продольными
(для струны они пренебрежимо малы). При выводе уравнения
будем предполагать, что натяжения, возникающие в процессе
колебаний, подчиняются закону Гука. По сути дела, условия,
обеспечивающие выполнение закона Гука (упругое
растяжение), и определяют область применения искомого уравнения.
Пусть координатная ось Ох совпадает с направлением
продольной оси упругого стержня. Под продольными колебаниями
будем понимать смещение поперечных (перпендикулярных оси
Ох) сечений стержня S(x) вдоль оси Ох (рис. 9), причем
рассматриваемые поперечные сечения в процессе смещения
остаются плоскими и ортогональными оси Ох. Последнее
допущение вполне оправдано в предположении о линейных размерах
стержня.
Обозначим через u(x,t) отклонение в момент времени t то-
82
Глава 3. Уравнения в физических задачах
- u(x+dx,t)-u(x,t) —-
\F(x+dx,t)
T(xft) \x+dx\u(x+dx,t) T(x+dx,t)
I \ I
<* V /
^ ^-«
(x+dx)-x=dx -|
Рис. 9
го сечения стержня S(x), которое, находясь в покое, имело
абсциссу ж. Выбранная таким образом геометрическая
координата х называется переменной Лагранжа. Такой выбор вполне
естественен, но не единствен. Так, например, в качестве
геометрической координаты можно выбрать величину X = х + и,
называемую эйлеровой координатой (о связи лагранжевых и
эйлеровых координат см. [51]).
Пусть р = р(х) - плотность стержня в невозмущенном
состоянии; F = F(x,t) - объемная плотность внешних сил,
действующих строго вдоль оси Ох; Е = Е(х) - модуль упругости
Юнга; Т = Т(х, t) - натяжение.
Подсчитаем относительное удлинение элемента (x,x + dx)
в момент времени £. Поскольку координаты концов этого
отрезка в момент времени t имеют значения
[х + u(x, t); х + dx + u(x + dx, t)],
то относительное удлинение равно (см. рис. 9)
{[х -{-dx + u(x -\-dx,t)] — [х + u(x,t)]} — {(х + dx) — х} _
dx
_ u(x + dx, t) — u(x, t) _ du(x, t)
dx dx
Учтя, что натяжение T(x,t) пропорционально относительному
удлинению, находим
т(«,*) = ад£^*>. (8.1)
Рассмотрим элемент стержня dV = S(x)dx, заключенный
между сечениями S(x) и S(x-\-dx). Пусть приращение dx
таково, что в этом элементе функции S(x), F(x,t), p(x) можно
считать постоянными. Тогда вдоль оси Ох действуют силы
натяжения T\(x,t) -T(x,t)S{x) и Тг{х,г) - Т(х + dx,t)S{x + dx),
8. Уравнение продольных колебаний струн и стержней 83
направленные в противоположные стороны, и внешняя сила
Tz(x,t) = F(x%t)S(x)dx. Согласно закону Ньютона, элемент
стержня dV массой dm = p(x)S(x)dx приобретает ускорение
d2u{x,t)/dt2 такое, что величина
p(x)S(x) U ' dx
равна сумме всех сил, действующих на него в направлении
перемещения, т.е.
д2и(хЛ)
p(*)S(z)° д\2' }dx =
= [Т(х + dx,t)S(x + dx,t) - T(x,t)S(x,t)] + S(x,t)F(x,t)dx.
Тогда с учетом (8.1)
(TS)(x + dx,t)-{TS){x,t) _
dx
_ (ES%)(x + dx,t)-(ES%)(X)t) ^d(E(x)S(x)d-^l)
dx dx
получим дифференциальное уравнение продольных колебаний
стержня
P(x)S(x)^^l = ±(s(x)E(x)^^) + S(x)F(x,t). (8.2)
Для стержня или струны постоянного сечения S(x) = const из
уравнения (8.2) получим
, d2u(x,t) д /_, ^du(x,t)\ _, iX /ft ЛЧ
Если к тому же стержень или струна однородны, т.е. р(ж),
Е(х) постоянны, то уравнение (8.3) упростится еще больше и
примет вид
d2u(x,t) 2d2u{x,t)
—di2~-a~dx^- + f(x^ (8A)
где a2 = E/p, f(x,t) = F{x,t)/p, полностью совпадающий с
видом (7.3) одномерного волнового уравнения. Поэтому
постановка дополнительных условий для нахождения однозначного
84
Глава 3. Уравнения в физических задачах
решения уравнения (8.4) полностью совпадает с постановкой
аналогичных условий для уравнения (7.3).
Уравнения (7.3), (8.4) как уравнения в частных
производных второго порядка могут быть записаны в виде системы
двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Действительно, положив в (8.4)
wM = **£>, тмнад^,
получим
dW _ 1 дТ
Эх " Е дЬЛ (8 5)
дх ~ Р dt '
Как уже упоминалось, область Применимости уравнения (8.4),
ограниченная применимостью закона Гука, может быть
расширена посредством использования более общей зависимости
_ / ди\ ди
V ' дх) дх'
приводящей к квазилинейному уравнению второго порядка
д Г„/ ди\ dw\ д2и
дх
Г,-./ ou\dw\ д'и „, х
9. Уравнения электрических колебаний
в проводах (телеграфные уравнения)
Расположим провод, по которому проходит переменный
ток i(x,t) и напряжение на котором v(x,t), вдоль оси Ох.
Через R, L, С, G обозначим соответственно распределенные,
рассчитанные на единицу длины омическое сопротивление,
индуктивность, емкость и потери заряда через несовершенную
изоляцию, причем величину потерь будем считать
пропорциональной напряжению в рассматриваемой точке. Для
определенности предположим, что направление тока совпадает с
направлением оси Ох.
Согласно закону Ома для участка цепи с координатами
(ж, х + dx), можно записать, что падение напряжения на
участке цепи длиной dx равно сумме электродвижущих сил, т.е.
v(x, t) — v(x + dx, t) = Ri(x, t)dx + L—^—dx,
9. Уравнения электрических колебаний в проводах
85
а с учетом соотношения
v(x + dx, t) — v(x% t) dv(x, t)
dx dx
это равенство приобретает вид
dv(xA) diixj.)
_^1 = Ж(Я,*) + 1_Ь_). (9.l)
Приравняв заряд
[i(x.t) - %(х + dxA)]dt %^-dxdt.
ox
притекающий на элемент цепи (ж. х+dx) за время от t до t+dt,
к заряду
C[v(x, t + dt)- v(x, t)]dx + Gv(x, t)dx 4t =
\„dv(x,t)
dt
+ Gv(x,t)
dxdt%
расходуемому на зарядку элемента цепи (ж, х + dx) и утечку
через несовершенную изоляцию, находим
«^ + C*^)+G.(«,«) = 0. (9.2)
Соотношения (9.1), (9.2)называются системой телеграфных
уравнений и представляют собой систему дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка. Ее можно
свести к одному уравнению в частных производных второго
порядка для тока i(x,t)
д2ИхЛ) d2i(xst) дг
?-^ = CL?-^ + (CR + GL)l^ + GRi(x,t) (9.3)
или для напряжения
°^ = CL<^ + {CR + GL)% + GM,,t). (9.4)
Уравнения (9.3) и (9.4) имеют совершенно одинаковый вид
и носят название телеграфных уравнений. В рамках теории
86
Глава 3. Уравнения в физических задачах
электромагнитного поля полученные уравнения можно
рассматривать как достаточно хорошие приближения, не
учитывающие электромагнитные колебания в среде, окружающей
провод.
Если в уравнениях (9.1)—(9.4) пренебречь потерями через
изоляцию и омическим сопротивлением G = R ъ О, то (9.1),
(9.2) принимают вид
di _ dv
~~dx~^ W
dv _ di
дх~~ 5?
(9.5)
а уравнения (9.3), (9.4) приводятся к известным уравнениям
для колебательного контура
d2i о d2i
W = a~lh?-'
д v , d"v
W = a~!h*'
1
v/IC'
(9.6)
по форме полностью совпадающим с одномерным волновым
уравнением.
Общая схема постановки начальных и краевых задач для
телеграфных уравнений полностью совпадает со схемой,
приведенной в разд. «Уравнения колебаний струны» (задача Ко-
ши для бесконечно длинного провода, смешанные задачи для
конечного и полубесконечного провода и т.д.). Следует лишь
помнить о том, что при формулировке граничных условий для
участков ]a,a-\- dx[ и ]b — г/ж, b[ необходимо вместо уравнений
движения рассматривать падение напряжения и приток
заряда. Если в цепи имеются последовательно включенные
сосредоточенные омическое сопротивление Лс, индуктивность Lc и
емкость Сс, то падение напряжения дается формулой
A'V:
о • г di
Rci + Lc — +
kia-
Представляется интересным сравнить систему уравнений,
описывающих продольные колебания стержня (8.5), с системой
телеграфных уравнений (9.5):
_dv_
дх
5Т_ _
~дх~~Р!Н;
OV
di _ dv
— -L
дх dt
»'
(9.7)
10. Уравнение поперечных колебаний мембраны
87
Очевидна физическая аналогия между электрическим
напряжением v и натяжением стержня Т, между электрическим
током г и механической скоростью w. Аналогичная связь может
быть установлена между механическими и электрическими
характеристиками физических процессов. Так, индуктивность
электрической цепи L является аналогом плотности
твердого тела, а электроемкость С - аналогом обратной величины
коэффициента упругости 1/Е. Если учесть, что обе системы
(9.7) получены в предположениях, не учитывающих
омическое сопротивление и сопротивление среды, то механическое
сопротивление является аналогом омического сопротивления
(см. [36]). Такое совпадение математического описания задач
различного физического содержания позволяет моделировать
и изучать механические системы с помощью электрических
систем и наоборот.
10. Уравнение поперечных колебаний
мембраны
Под мембраной будем понимать твердое тело, толщина
которого пренебрежимо мала по сравнению с другими
размерами, не сопротивляющееся изгибу или, другими словами,
идеально гибкую пленку.
Предположим, что мембрана натянута равномерно по всем
направлениям и в состоянии равновесия занимает некоторую
область 5 с границей L в плоскости хОу. Обозначим через
u(x,y, t) отклонение точки мембраны с координатами (х.у)
в момент времени t в направлении, ортогональном
плоскости хОу, под действием внешних сил с плотностью F(x,y.t),
направленных перпендикулярно плоскости хОу. Тогда
выражение и — а(ж, у Л) в фиксированный момент времени /, можно
рассматривать как уравнение поверхности, соответствующей
форме мембраны в процессе колебаний.
Пусть da - элемент площади этой поверхности с
единичным вектором нормали n — (sin в cos ^>, sin в sin ip* cos 0), a (IS -
проекция da на плоскость хОу. Тогда
(b=^T9 = f+U +(^)dxdy- (101)
На элемент dl границы da действует натяжение, равное
Т(я, 2/, t)dl. Поскольку мембрана не сопротивляется изгибу,
вектор натяжения T(a?,j/,t) расположен в плоскости, ортогональ-
88 Глава 3. Уравнения в физических задачах
ной вектору нормалип (касательной плоскости к u = и(х, у, £)).
Если вектор T(x,y,t) образует с плоскостью угол 0', то этот
угол не превосходит угла В между нормалью п и осью О и, т.е.
cos*' £ со.* = l/07(|j4(ff • (10.2)
Если в соотношениях (10.1), (10.2) пренебречь бесконечно
малыми высшего порядка по отношению к ди/дх% ди/ду, то
da » dS. Таким образом, площадь мембраны в процессе
колебаний практически не меняется, а это, в свою очередь,
означает, что вектор натяжения Т(ж,<Л £), согласно закону Гука,
может менять только направление, оставаясь постоянным по
абсолютной величине: |Т(ж,у,t)\ = То = const.
С учетом этого проекции вектора натяжения Тхоу и Тои
на плоскость х О у и ось Ои можно записать в виде
я,
Тхоу = Т0 cos в' « Т0, Той — 2оу--
Обозначим через р(х,у) поверхностную плотность
мембраны, через Si - проекцию произвольного участка изогнутой
поверхности мембраны на плоскость хОу с границей L и
приравняем импульсы вертикальных сил натяжения и импульсы
внешних сил за время to —1\ изменению количества движения
выделенного участка мембраны:
*2
ti L, Si
_ ГГ rfru(x,y,t2) дЦх.у^г)
dt dt
\p(x,y)dxdy.
Считая to — ?i малым: t2 — ti « dt, по теореме Лагранжа о
среднем запишем
du(x,y,t2) du(x,y>ti) _ d2u(x,y,,t)^
dt Jt " dt2
и, воспользовавшись формулой Грина
fdUjl ff (Pu d2u\J ,
10. Уравнение поперечных колебаний мембраны
89
получим интегральное уравнение колебаний
Отсюда в силу произвольности S\ и t2 — t\ получим
дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны
В случае однородной мембраны р(х, у) = р = const приходим
к уравнению
d2u 2/92u д2и\ ,, . /<|Л АХ
дё = аЛа* + в?)+Пх'уЛ (10-4)
где а2 = То/р и /(ж,?/, £) = F{x,y,t)/p, называемому
двумерным волновым уравнением.
Постановка задач о нахождении однозначных решений
двумерного волнового уравнения и их классификация полностью
совпадают со схемой, рассмотренной для одномерного
волнового уравнения. Изменения, возникающие при формулировке
граничных условий для плоской кривой £, не приводят к
принципиальным затруднениям.
Отметим, что выбор конкретных моделей (струна,
мембрана и т.п.) и их рассмотрение обусловлены стремлением
наиболее просто и наглядно продемонстрировать основную схему
вывода уравнений математической физики, иллюстрирующую
органичное сочетание и взаимодополняемость
математического и физического аспектов задач.
Действительно, все выведенные уравнения можно получить
из уравнения Ламэ
д2й
p-z-j = (Л + 2/z)graddivu-/zrot(rotu) +F (10.5)
от
для трехмерного вектора смещения и = (г*(ж, t/, z, £), г>(ж, t/, z, £),
w(x<y,z,t)), являющегося специальным предметом изучения
теории упругости. Однако его вывод, несмотря на понятную
громоздкость выкладок, основывается на законе Гука и
схеме, изложенной выше. Во-первых, в однородном изотропном
90
Глава 3. Уравнения в физических задачах
твердом теле с плотностью р выделяется элемент объема с
координатами граней ж, ж + dx, у, у + dy, z, z + dz, который
под действием внутренних сил (напряжений) и внешних сил
с плотностью F = (X(x,y,z,t),Y(x,y,z,t),Z(x,y,z,t))
смещается на величину й(ж, у, z, t). Затем для выделенного элемента
составляются три соотношения в проекциях на каждую
координатную ось, в которых изменения количества движения
приравниваются к импульсу внутренних и внешних сил за
момент времени dt. В результате для смещений получаем
систему уравнений
4^ = G(Av+;^(div<>+y' (10-6>
Р^тг = G А™ + 5 я" dlvti ) + Z'
где G - модуль сдвига; га - коэффициент Пуассона,
характеризующий отношение соответствующего поперечного сжатия
к продольному растяжению (см. [27]). С помощью
коэффициентов Ламэ /i = G, Л = 2G/(m—2) систему (10.6) можно записать
в виде векторного уравнения (10.5).
Если решение уравнения (10.5) искать в виде
и — grad Aq + rot Л,
то скалярный А0 и векторный А потенциалы удовлетворяют
трехмерным волновым уравнениям
д2А0 ,(д2 д
о/З2 д2 д2\А 1Ж
д2А -/ д2 д2 д2\х 1-.
3t2 \дж2 ov2 oz2/ о
(10.7)
где Фо, Ф - скалярный и векторный потенциалы векторного
поля F
F = grad Фо + rot Ф
2 Л + 2/i 2
а = , о =
Р
10. Уравнение поперечных колебаний мембраны
91
Наряду с вышеизложенным в классической механике
достаточно успешно используются вариационные методы (см.
разд. «Обобщенные функции»). Приведем для простоты
вариационный метод получения, например, уравнения
равновесия упругой мембраны под действием стационарных внешних
сил F(x,y). Пусть А[и] - функционал, определяющий работу
внешних сил и сил упругости по перемещению мембраны из
положения равновесия г* = 0 в положение изогнутой
поверхности u = u(х, у). Поскольку работа внешней силы равна
//
F(x,y)u(x,y)dxdy,
s
а работа сил упругости, согласно (10.1),
5
то A[u] имеет вид
*1=//{'-т[(к),+№* "м>
5
и, следовательно, вариация функционала (10.8) определяется
выражением
^Н = //{^-То[^(£) + ^(|)]К* ,ю.9»
что
5
В положении равновесия SA(u) = 0. Тогда с учетом того,
<дх) дху h \ду) дуу
и вариация на границе обращается в нуль 8u\i — 0, получим
: на границе обращается в нуль 8u\l — 0
JJ {F+4e+w)}6udxdy-ToI^Sudl=
S L
92 Глава 3. Уравнения в физических задачах
где п - внешняя нормаль к кривой L. Вследствие
произвольности 8и в соответствии с основной леммой вариационного
исчисления получим
d2u d2u F(x,y)
dx2 + dy2 + To
Естественно, что аналогичное уравнение следует из (10.4) и
(10.5).
11. Уравнения гидродинамики и акустики
Рассмотрим движение жидкости, занимающей некоторый
объем. Выделим часть жидкости - «капельку», заключенную
в некотором объеме АV. Если объем AV мал по сравнению
с размерами системы и силы, действующие на части
жидкости, заключенные в этом объеме, можно считать постоянными,
то приходим к понятию материальной точки жидкости. Если
в рассматриваемом пространстве силами трения между
частицами жидкости, или, другими словами, вязкостью, можно
пренебречь, то приходим к понятию идеальной жидкости.
Пусть в декартовой системе координат v(t) = (^1,^2,^3),
dx
V = —, X = (XU Х2, Яз). (11.1)
- вектор скорости движения жидкости, определяющий
траекторию движения каждой материальной точки жидкости. Пусть
р(х, t), р(ж, t) - ее плотность и давление в точке х в момент
времени t; G(x,tf), F(x,t) - интенсивность источников массовых
сил.
Выделим некоторую замкнутую поверхность 5 с внешним
вектором нормали п, охватывающую объем V. Изменение
количества жидкости в единицу времени равно потоку жидкости
через границу 5 и притоку вещества от внутренних
источников
d_
dt
jjj p(x, t)dV = - jj{v{x, t), dS)p{x, t) + HI G(x, t)dV,
где dS — ndS. Преобразуя поверхностный интеграл в
объемный по формуле Остроградского-Гаусса, получим
ffjl*^+ **№>*№-<*&*)
dV = 0.
11. Уравнения гидродинамики и акустики
93
В силу произвольности объема V приходим к
дифференциальному уравнению
^ + &v(pv) = G(x,t). (11.2)
♦ Уравнение (11.2) называется уравнением неразрывности,
или уравнением переноса.
Другое уравнение, характеризующее движение жидкости,
можно получить, рассмотрев все силы (внешние силы, силы
давления), действующие на элемент dV объема V. Так,
результирующая сила давления равна
Fi(t)= И p(x,t)ndS = fjfgtaAp(x,t)dV,
s v
а равнодействующая всех массовых сил F(x,t) равна
F2(t) = jjj p{x,t)F(x,t)dV.
v
Поскольку из (11.1) следует, что
dv dv dv dv dv dv ._ __ 1лл .
a = л + d?'+ d~yVy +d-zv' = m+ KgradK (1L3)
то изменение количества движения вещества в выделенном
объеме запишется в виде
llfpi^dV = jJJ№)[% + Wgr-dji/
dV.
v v
Отсюда в соответствии со вторым законом Ньютона получим
v
+ —^- gradp(a?,*) - F(x,t)\dV = 0. (11.4)
p(x,t) )
В силу произвольности V из (11.4) получим
дифференциальное уравнение движения жидкости
~ + (tT,grad)» + -gradp(f,«) = F(x,t). (11.5)
at p
94
Глава 3. Уравнения в физических задачах
♦ Уравнение (11.5) называется уравнением движения
идеальной жидкости, или уравнением Эйлера.
Система четырех уравнений, состоящая из уравнения
неразрывности (11.2) и уравнения Эйлера (11.5), содержит пять
неизвестных функций {Г, р, р и не является замкнутой.
Поэтому для полного и однозначного описания процесса движения
идеальной жидкости систему (11.2), (11.5) необходимо
дополнить уравнением состояния, задающим связь между
давлением р(ж, t) и плотностью p(x,t). В общем случае уравнение
состояния содержит абсолютную температуру Т (например, для
идеального газа
- JL
Р~ ВТ'
где R - газовая постоянная). В этом случае замкнутая система
уравнений должна включать и уравнение теплопроводности
(см. ниже), описывающее изменение температуры системы.
В ряде случаев уравнение состояния не содержит
температурной зависимости, т.е.
р = /(р). (п-в)
Например, для несжимаемой жидкости
р- const. (11.7)
Температурной зависимостью можно пренебречь для
адиабатических процессов, т.е. процессов, протекающих настолько
быстро, что тепло не успевает передаваться от одной части
жидкости к другой и
-*(£)
1/7
» / " (1L8)
Здесь 7 = Cp/cv ~ отношение удельных тегоюемкостей при
постоянном давлении и постоянном объеме.
Движение несжимаемой жидкости будет подробно
рассмотрено в разд. 29. Здесь же мы остановимся на адиабатическом
движении газов. Система уравнений гидродинамики в этом
случае имеет вид
-£ + div(pv) = G
dv l -
— + (у, grad)tT + - gradp = F (11.9)
ot p
I P = №=Po(-)lh
11. Уравнения гидродинамики и акустики
95
и представляет собой нелинейную систему уравнений,
которую можно «линеаризовать», если ввести некоторые
упрощающие предположения. Пусть G(x, t) = 0, F(x, t) = 0 и
движение молекул газа представляет собой малые колебания вокруг
положения равновесия, характеризуемого постоянными
значениями плотности ро и давления ро- Отбросив квадраты,
произведения и высшие степени величин г7, р —ро* р —Ро и их
производных, получаем «линеаризованные» уравнение адиабаты
Р = Ро + — (р - Ро) + ... » Ро + — (р - Ро), (11.10)
7ро о,-
Ро 2
7— = <Г;
Ро
уравнение Эйлера
^ = __Lgvadp (и.п)
ot ро
и уравнение неразрывности
^ + A)divtr=0, (11.12)
которое с учетом (11.10) может быть представлено как
-L^J + A»divtr=:0. (11.13)
Нас интересует потенциальное (безвихревое) течение
идеальной жидкости, при котором каждый малый объем
деформируется и перемещается поступательно, но не вращается. В этом
случае
v = — grad (p. (11.14)
Функция (р(х, t) называется потенциалом скоростей. Покажем,
что хотя соотношение (11.14) определяет потенциал с
точностью до произвольной функции от времени, знания его
достаточно для полного описания всего процесса движения.
Действительно, подставив (11.14) в (11.11), имеем
-grad-^ = gradp
ot ро
или
р=р°% (11Л5)
96
Глава 3. Уравнения в физических задачах
Подставив (11.15) и (11.14) в (11.13), получим уравнение
-^-а2А<р = 0, (11.16)
которому должен удовлетворять потенциал (р. Оно является
трехмерным волновым уравнением, и его решение с помощью
соотношений (11.15), (11.14) и (11.10) полностью определяет
функции и, р, р. С другой стороны, продифференцировав
уравнение (11.16) по t, x*i, #2, #3i видим, что эти величины сами
удовлетворяют уравнениям, совпадающим с (11.16), т.е.
^f-a2Ap=0, (11.17)
*г-в9д> = °-
Уравнения (11.16), (11.17) называют уравнениями акустики
или гидродинамики в акустическом приближении, поскольку
в рамках сделанных предположений они достаточно хорошо
описывают процессы с малыми колебаниями плотности и
давления, например распространение звука. (Как будет показано
ниже, в физике коэффициент a = y/jpo/po соответствует
скорости распространения колебаний, что при нормальных
атмосферных условиях дает численное значение скорости звука
a = 335 м/с.) Краевые условия для волновых уравнений (11.17)
формируются по стандартной схеме. Например, для
непроницаемой границы 5 с внешней нормалью п
(М)|«
0 или -т—
on
= 0.
5
Для процессов, характеризующихся большими скоростями и
градиентами давления (сверхзвуковое обтекание, взрывные
волны и т.д.), «акустическое приближение» невозможно и
необходимо обращаться к нелинейным уравнениям
гидродинамики (или газодинамики), выходящим за рамки
рассматриваемого курса.
12. Уравнение распространения тепла в стержне
97
12. Уравнение распространения
тепла в стержне
Пусть продольная ось стержня направлена вдоль оси Ох и
u(x, t) - температура всех точек поперечного сечения стержня,
проходящего через точку с координатой х. Рассмотрим
элемент стержня, заключенный между поперечными сечениями с
координатами х и х -f dx (рис. 10).
Обозначим через Q\ количество тепла, расходуемое на
нагревание выделенного участка, через Qi ~ количество тепла,
поступившее через боковую поверхность этого участка.
Согласно закону Ньютона, Qo пропорционально разности
температур на боковой поверхности, причем знак Qo обусловлен
ее знаком. Обозначим также через Qz количество тепла,
поступающее через поперечное сечение стержня и определяемое
законом Фурье, а через Q± - количество тепла, поступившее
от внутренних тепловых источников (например, в
результате химических реакций). Тогда уравнение теплового баланса
этого элемента стержня за время dt имеет вид
Qi = Q2 + Q3 + Q4. (12.1)
Пусть S(x) и р(х) - площадь и периметр поперечного
сечения стержня; р(х), с(х),к(х) - плотность, удельная
теплоемкость и коэффициент теплопроводности стержня
соответственно; F(x,t) - объемная плотность мощности внутренних
источников тепла; ио и ко - температура и коэффициент
теплопроводности внешней среды.
С учетом введенных обозначений величины Q,, г = 1,4,
S(x) | Q2
^ (u(xftj\ Ql iifs+dz,*)
04
Рис. 10
98
Глава 3. Уравнения в физических задачах
можно записать следующим образом:
Qi = c(x)p(x)S(x)[u(x,t -f dt) — u(x,t)]dx =
= c(x)p(x)S{x)du^ dxdt,
Q2 = p(x)k0(x)[u0(x,t) - u(x,t)]dxdt, , .
Q3 = [(kSux)(x + dx,t) - (kSux)(x,t)]dt = \iZ'z>
Q4 = F(x,t)S(x)dxdt.
Подставив (12.2) в (12.1), получим дифференциальное
уравнение распространение тепла в стержне
Л Л Л
cps!ti = ^ (*5з^) +pfeo(n°" u) + FS- (12-3)
Если сечение стержня постоянно, это уравнение приводится к
виду
du d /. du\ pk0,
Если стержень однороден, т.е. /9, с, к постоянны, уравнение
(12.4) можно записать в виде
ди о д~и
Здесь а2 = к/(ср) - постоянная, называемая коэффициентом
температуропроводности; h = kop/S - коэффициент
теплообмена с окружающей средой через боковую поверхность;
L Н Г F L
6 = —, / = Ь 6и0.
С/9 С/9
Если теплообмен с окружающей средой через боковую
поверхность отсутствует (боковая поверхность теплоизолирована),
т.е. h = 0, то уравнение (12.5) приводится к виду
ди о0и2 /-Л/.ч
Ж = а"а^ + /' (12л5)
называемому одномерным уравнением теплопроводности.
Для нахождения однозначного решения уравнения (12.6)
необходимо задать начальное распределение температуры и
тепловой режим на концах стержня.
12. Уравнение распространения тепла в стержне
99
Рассмотрим классические постановки начальных и
краевых задач для уравнения (12.6).
1. Задача Коши
В отличие от одномерного волнового уравнения,
уравнение теплопроводности достаточно дополнить одним
начальным условием
ti(M)|i=o = ¥>(*)• (12.7)
Задача о нахождении температуры, описываемой уравнением
(12.6) в совокупности с начальным условием (12.7),
называется задачей Коши. Такие задачи достаточно хорошо описывают
реальные физические процессы, в которых требуется
определить распределение температуры в стержне либо за малый
промежуток времени (т.е. граничные условия не успевают
оказать существенного влияния на процесс), либо для очень
длинного (в идеале - бесконечно длинного) стержня, где граничные
условия не оказывают влияния на изменение температуры в
рассматриваемой (центральной) части стержня. Хотя
следует заметить, что по умолчанию граничные условия в таких
задачах имеют вид
lim u(x,t) = 0,
х —»±оо
вытекающий из закона сохранения энергии.
2. Смешанная задача
Рассмотрим стержень, концы которого расположены в
точках с координатами х = а и х = 6. В этом случае начальное
условие должно быть дополнено граничными условиями.
Рассмотрим три основных (классических) типа граничных
условий.
а) Граничные условия первого рода. На конце стержня в
точке х — а задается искомая функция и(х^), т.е.
которая может быть постоянной величиной. В частности,
если на торце стержня поддерживается нулевая
температура, то fi(t) = 0.
б) Граничные условия второго рода. На конце стержня
задается значение частной производной функции и(я, £), т.е.
дх \х=а
100
Глава 3. Уравнения в физических задачах
Рассмотрим физический смысл этого условия. Если вместо
температуры на границе стержня, например в точке х = а,
задать тепловой поток, тогда, согласно закону Фурье,
Обозначив v(t) = Q(t)/k, приходим к условию для
производной. При v(t) = 0 конец стержня теплоизолирован.
Граничные условия третьего рода. На границе
стержня задается линейная комбинация функции u(x,t) и ее
производной
№+~c«>)L=*«- ,12-8)
Это условие отвечает теплообмену (по закону Ньютона)
с внешней средой заданной температуры To(t) на конце
стержня х = а. Действительно, тепловой поток на границе
можно записать как
Я = кди{хЛ)
дх
так и Q = h[T0(t) - u(x,t)]\x=a. Тогда
du(x,t)
k-
дх
h[T0(t)-u(x,t)]\x=a.
Заметим, что, в отличие от предыдущего случая,
тепловой поток «саморегулируется» в зависимости от разности
[To(tf) —u{x, t)]I _ , уменьшаясь по мере выравнивания
температур с внешней и внутренней сторон границы. Вводя
обозначения а = /i/&, *y(t) = hTo/k, приходим к условию
(12.8).
Аналогично рассматриваются граничные условия в точке
х = 6. Граничные условия в точках х = а и х = b могут
принадлежать к разным типам. При х = Ь —> оо получаем
задачу для полубесконечного стержня.
Задача о нахождении решения уравнения (12.6) с
начальным условием (12.7) и граничными условиями а), б), в)
называется смешанной задачей для уравнения теплопроводности.
Граничные условия, не укладывающиеся в классическую
схему а, б, в, могут быть получены описанием теплового баланса
для граничных участков стержня ]а,а -f dx[ и ]b — dx,b[ так
12. Уравнение распространения тепла в стержне
101
же, как это делалось при выводе уравнения
теплопроводности. Пусть, например, конец стержня х = а зажат в
массивную клемму, обладающую большой теплопроводностью и
имеющую теплоемкость со. Тогда граничное условие запишется
как
\ux(x,t) - —ut(x,t)\\ = 0.
Помимо постановки задач с линейными граничными
условиями возможна постановка задач с нелинейными граничными
условиями. Так, например, учет излучения по закону Стефана-
Болыдмана с торца х = а в среду с температурой uo(t)
приводит к следующему граничному условию:
kdu{x,t)
дх
_ =H[u*(t)-t^(x,t)]\r=a.
3. Краевая задача
За счет перераспределения тепла влияние начальных
условий в стержне со временем ослабевает. Если время наблюдения
t можно считать достаточно большим (много больше времени
релаксации), то температура стержня в пределах точности
измерений определяется практически только граничными
условиями. Тем самым вклад начальных условий (12.7) становится
несущественным, и мы приходим к чисто краевой задаче о
нахождении решения уравнения (12.6) для а ^ х ^ 6, t —> оо:
первой краевой, если заданы граничные условия первого рода;
второй, если граничные условия второго рода; третьей, если
граничные условия третьего рода.
В такой постановке можно выделить две интересные
задачи: задачу Фурье о температурных волнах и задачу о
стационарном распределении тепла. В первом случае
рассматривается первая краевая задача для полубесконечного стержня с
периодическим граничным условием. Во втором - все краевые
задачи в предположении, что плотность внутренних
источников тепла и граничные условия не зависят от времени.
Одномерное уравнение теплопроводности в этом случае сводится к
обыкновенному дифференциальному уравнению
а ~d^ + f{x) = 0
или в более общей постановке [см. уравнение (12.3)] - к
уравнению
— (kS^) + PMtio - u) + FS = °-
102
Глава 3. Уравнения в физических задачах
В заключение отметим, что учет зависимости физических
характеристик р, с, к от температуры приводит к
квазилинейному уравнению
c(x.u)p(xiU)^=^(k(x,u)-£)+F{x,t), (12.9)
существенно расширяющему границы области применения
уравнения теплопроводности.
13. Уравнение диффузии и
теплопроводности в пространстве
К задаче о распространении тепла примыкает задача о
диффузии - изменении концентрации вещества. Если в
растворе или газе вещество распределено неравномерно, то
начинается его перераспределение из областей с большей
концентрацией в области с меньшей концентрацией. Этот процесс
называется диффузией и подчиняется закону Нернста, который
аналогичен закону Фурье для теплопроводности.
Пусть и (ж, t) - концентрация вещества в точке х = (ж, у% z)
в момент времени *, распределенного в неподвижной
изотропной среде, занимающей некоторый объем с коэффициентом
пористости 'у(х) (отношение объема пор к полному объему) и
коэффициентом диффузии D(x). (В анизотропной среде
последние являются тензорами, а не скалярами.) Если диффузия
происходит с поглощением или выделением данного вещества,
например за счет химических реакций, то пусть F(x,t) -
объемная плотность мощности его источников и стоков.
Выделим внутри рассматриваемого объема произвольную
поверхность 5 с единичной внешней нормалью п,
ограничивающую некоторый объем V.
Составим уравнение баланса диффундирующего вещества.
Обозначим через dQi количество вещества, проходящего через
элемент поверхности dS за единицу времени. Согласно закону
Нернста,
du
dQx = -D(x)—dS = -(n, Vit)D(x)dS.
on
Тогда количество вещества, поступающего в объем V через
поверхность 5 за время от ti до *з> с учетом формулы Остро-
13. Уравнение диффузии и теплопроводности в пространстве 103
градского-Гаусса можно записать
*2 «2
Qi = f dt <f>{n,S7u)D(x)dS= f dt f div(D(x)4u)dx.
<i 5 <i V
Количество вещества Qo, поступающего от внутренних
источников, определится как
*2
Q2= J dt J F(x,t)dx.
*i V
Общий приток вещества Q^ вследствие изменения
концентрации и(хЛ) за малое время At по теореме Лагранжа
U
будет равен
Поскольку
,^,(. i LSI) а\л,,ь) ~
ti
Q3 = Jdtj^x)^dx.
«i V
Qi + Q2 - <Эз = 0,
имеем
«2
f dt f \div(D(x)S7u) + F(x,t) -i{x)^]dx = 0.
*i V
В силу произвольности объема V и времени t2 —ti
подынтегральное выражение должно быть равно нулю, т.е.
7(£)~^ = div {D(x)Vu(x,t)) + F(x,t). (13.1)
Уравнение (13.1) называется уравнением диффузии.
Если среда однородна, то величины j(x), D(x) постоянны
и уравнение (13.1) принимает вид
104
Глава 3. Уравнения в физических задачах
где
*- = -, f &*)-
7 7
При сравнении одномерного уравнения диффузии,
следующего из (13.2)
du od2u
с одномерным уравнением теплопроводности (12.6) видно, что
они полностью совпадают по форме, причем коэффициент
температуропроводности соответствует коэффициенту диффузии
при 7 = 1- Более того, их размерности одинаковы. Для
газов даже численные значения обоих коэффициентов довольно
близки, так как кинетическая теория газов дает
приближенную связь к — Dpc, откуда D = к/(рс) — а2. Таким образом, в
задачах диффузии количество диффундирующего вещества и
его концентрация играют такую же роль, как количество
тепла и температура в задачах теплопроводности. Тогда
уравнение распространения тепла в пространстве в обозначениях,
принятых в предыдущем разделе,
с(х)р(х)^^ = div (fc(*)Vti) + F{x,t) (13.3)
сразу следует либо из уравнения (13.1) при замене *у{х) ~~*"
с(х)р(х), D(x) —>■ к(х), либо выводится из уравнения теплового
баланса аналогично выводу уравнения диффузии из уравнения
баланса диффундирующего вещества. Рассмотрим этот вывод.
Степень нагрева тела характеризуется его температурой.
Пусть к (ж, t) - температура в точке х в момент времени t; p(x)
- плотность тела: к(х) - коэффициент теплопроводности и с(х)
- удельная теплоемкость в точке х: в теле есть источник тепла
F(xJ.) и пусть V - некоторый объем с границей 5у.
Составим уравнение теплового баланса. Обозначим через
dQi количество тепла, проходящего через элемент
поверхности dS
dQx = k(x)dSdt — = k(x)dt(Vu,dS). (13.4)
on
Тогда через- поверхность Sy за время t пройдет количество
тепла
Qx = f dt I k(x)(Vu,dS) = f dt f div(k{x)Vu)dx. (13.5)
23. Уравнение диффузии и теплопроводности в пространстве 105
Количество тепла, выделяемого или поглощаемого в объеме V
за время to — *ь определяется как
Q2= J dt I F(x,t)dx. (13.6)
*i V
На изменение Au = кз(ж,t) — ui(x%t) температуры элемента
объема dV = dx за время dt нужно израсходовать тепла
dQ3 = [u(x,t Л-dt) — u(z, t)]c(x)p(x)dV = —c(x)p(x)dxdt.
Расход тепла на нагрев объема V за время to —ti равен
<Эз = J dt J ^c(x)p(x)dx. (13.7)
Таким образом, тепло £?з« затраченное за время £з — ^i на
нагревание объема V, равно сумме тепла Qo, полученного от
внутренних источников, и тепла Qi, полученного от внешних
источников:
или
*2
J dt f \^р{х)с(х) -div{k(x)Vu) - F(x,t)]dV = 0
В силу произвольности объема V и времени to — ti должно
быть равно нулю подынтегральное выражение, т.е.
du
р(х)с{х)— = div(fc(x)Vu) + F{x,t). (13.8)
ot
♦ Уравнение (13.8) называется уравнением
теплопроводности.
Для однородного вещества с, р, к - постоянные величины
и уравнение (13.3) принимает вид, аналогичный (13.2):
щ = a2Au + f(x,t). (13.9)
106
Глава 3. Уравнения в физических задачах
Это уравнение есть уравнение теплопроводности для
однородной среды.
Здесь
ср
F(x,t)
ср
и f(xj.) называется плотностью источников.
Для однозначного решения задач диффузии и
теплопроводности по уже упоминавшейся схеме задаются начальное и
граничные (краевые) условия. Начальное условие u(x<t)\t=o =
= (р(х) определяет первоначальное распределение
температуры (концентрации). Мы будем рассматривать краевые условия
трех типов:
первого типа - если на границе 5 поддерживается заданное
распределение температуры (концентрации) ио:
u(x,t)\s - ио = 0;
второго типа - если на границе 5 поддерживается
заданный поток тепла (вещества) щ:
(*sl + Ul)
= 0,
о
);
третьего типа - если на границе 5 происходит обмен
тепла (вещества) согласно закону Ньютона:
k— + h(u-uo)
= 0,
^9и _, ■
D— + п(и - щ)
•)•
где h - коэффициент теплообмена (проницаемости) и по -
температура окружающей среды (концентрация
диффундирующего вещества в окружающей среде).
14. Уравнения переноса
Как следует из рассмотренных выше примеров, уравнения
гиперболического типа в общем случае описывают некоторые
волновые процессы (распространение волнового поля). С
уравнениями параболического типа более естественно связать
описание поведения некоторых макроскопических характеристик
системы частиц. Действительно, если под величиной а(ж,/.),
14. Уравнения переноса
107
введенной в предыдущем разделе, понимать концентрацию
некоторых частиц (молекул, ионов и др.), то уравнение
диффузии для разреженного газа можно получить, приписав
частицам некоторую массу, так что сам процесс диффузии можно
будет рассматривать как процесс переноса массы частицами
в результате их перераспределения. Аналогично
теплопередачу можно рассматривать как перенос энергии, течение вязкой
жидкости - как перенос импульса, электрический ток - как
перенос заряда и т.д.
Чтобы получить уравнение переноса нейтронов в ядерном
реакторе, имеющее большое практическое значение, следует
рассматривать модели, отличные от использованных ранее при
выводе уравнений диффузии и теплопроводности.
Обозначим через iV(x, n, t) концентрацию нейтронов в
точке я, летящих в направлении единичного вектора п, в момент
времени t. Все нейтроны имеют одинаковые скорости у, а
длина свободного пробега нейтронов / значительно больше их
размеров. Обозначим через П полную группу непересекающихся
событий: А\ - столкновение нейтрона с другим нейтроном, А2
- упругое рассеяние нейтрона неподвижным ядром (нейтрон
отскакивает от него как упругий шарик), А3 - поглощение
нейтрона ядром, А± - деление ядра нейтроном с
коэффициентом размножения нейтронов к(х). Распределение нейтронов по
направлениям до и после рассеяния и размножения
равномерно (изотропно). Пусть вероятности указанных событий есть
Р(Аг) *^0, Р(А2) = Р2, Р(А3) = Р3, Р{А*) = 1 - Р2 -
Рз> a F(x,n,t) - плотность источников. Тогда поток частиц
U = No удовлетворяет односкоростному уравнению переноса
с изотропным рассеянием
v ot L
P2 + k{l-P2-P3)
4тг/
/ u{x,n\
t)drt + F(x,n,t), (14.1)
где Л - вероятность распада ядер в единицу времени.
Уравнение (14.1) является интегродифференциальным.
В диффузионном приближении указанный процесс
описывается уравнением диффузии (13.1), где и (ж, t) -
концентрация нейтронов в активной зоне, D - коэффициент
эффективной диффузии нейтронов, а плотность источников нейтронов
F(x, п, t) пропорциональна их концентрации, т.е.
F = au — fiu = ku,
108
Глава 3. Уравнения в физических задачах
где а - коэффициент рождения, (3 - коэффициент поглощения,
a к = а — /3 - коэффициент размножения (а и /i определяются
экспериментально).
Отметим, что если к > 0, то процесс объемной генерации
преобладает и возможно возникновение цепной ядерной
реакции. В результате уравнение (13.2) (при коэффициенте С = 1)
примет вид
ut-DAu-ku = 0. (14.2)
Это уравнение лежит в основе математической модели цепных
ядерных реакций.
15. Уравнения квантовой механики
Основные положения квантовой механики, в том числе и
уравнение Шрёдингера, постулируются. Обоснованность этих
положений проверяется соответствием предсказаний
квантовой механики экспериментальным данным. Поэтому
уравнение Шрёдингера, в отличие от уравнений диффузии,
теплопроводности, колебаний и др., не может быть выведено из неких
более общих положений.
Приведем основные постулаты квантовой механики.
Постулат 1. В координатном представлении состояния
квантовой системы описываются нормированным (лучом)
вектором Ф(ж, t) некоторого гильбертова пространства С. Функция
Ф(ж, t) называется вектором состояния, а пространство С -
пространством состояний. Каждому ненулевому вектору Ф(ж, t)
соответствует некоторое состояние.
Постулат 2. Каждой физической величине А (называемой
наблюдаемой) системы ставится в соответствие линейный
самосопряженный оператор Л, действующий в пространстве
состояний £.
Постулат 3. Эволюция изолированной квантовой системы
описывается уравнением Шрёдингера
-ih— +Я(*)* = 0,- (15.1)
где li(t) - линейный эрмитов оператор, называемый
гамильтонианом.
25. Уравнения квантовой механики
109
Обычно из физических соображений на волновую функцию
накладывается следующее граничное условие:
lim Ф(ж,<) = 0.
|л?|-юо
согласованное с постулатом 1.
Постулат 4. При измерении величины А можно получить
лишь те значения ап, которые являются собственными
значениями оператора А
ЛФп = а„Фап. (15.2)
Если производится измерение величины А и результат
измерения равен ап, то после измерения квантовая система будет
находиться в состоянии Ф0я.
Постулат 5. Для операторов координат х\ и импульсов pj
справедливы следующие коммутационные соотношения:
[*/,£/]_ = \phPj]- = 0, [xt,pj]- = iHSij, IJ = I~n, (15.3)
где [А. В]ц: = А В =f В А - коммутатор (антикоммутатор)
операторов Л, В.
Например, в координатном представлении
ж/= ж/, Pj = ~ih-rT-, /,,7 = 1, п.
Хотя математическая схема классической механики может
быть получена из квантовой (квантовая механика в пределе
h —> 0 содержит классическую), взаимоотношения между
ними как физическими теориями более сложны и не сводятся к
взаимоотношениям их формальных математических
аппаратов. В этом проявляется коренное отличие квантовой
механики от специальной теории относительности, которая в пределе
с —> ос содержит нерелятивистскую классическую механику
и в ней не нуждается. Это связано с тем, что
релятивистская (специальная теория относительности) и
нерелятивистская классические механики математически формулируются
на одном языке, от которого язык квантовой механики
отличается принципиально. И сложности их взаимоотношений
связаны со сложностью перевода и интерпретации.
Заметим, что вопрос о взаимно однозначном
сопоставлении физической величине самосопряженного оператора в
общем случае остается открытым. Однако для величин,
имеющих классический аналог, такое сопоставление можно
провести (например, по правилу Вейля), поскольку классические
110
Глава 3. Уравнения в физических задачах
величины выражаются через обобщенные координаты и
импульсы. Поэтому операторы таких величин выражаются через
операторы координат и имйульсов.
Так, например, функция Гамильтона классической
частицы в потенциальном поле имеет вид
-H(p,x,t)=^ + U(x,t), (15.4)
где 7П - масса частицы. Проведем в (15.4) формальную замену
1-2-
ldxh
%k —> #ь Pk —> ~"^я|~ и> подставив в (15.1), получим
<9Ф h2
ih—=-—A*-U(x,t)V. (15.5)
Уравнение Шредингера часто называют нерелятивистским
волновым уравнением, а его решение Ф - волновой функцией.
Уравнение (15.5) позволяет по значениям волновой функции
в начальный момент времени определить её значения в
последующие моменты, являясь, тем самым, выражением принципа
причинности в квантовой механике.
Для заряженной частицы в электромагнитном поле с
потенциалами Ло(ж, £), Д(#, t) уравнение Шредингера имеет вид
(■4-еЛ°)ф=2^(-шу-^)2ф- (15-б)
Здесь с - скорость света, е - заряд электрона.
Чтобы получить волновое уравнение для описания
движения релятивистской частицы, необходимо воспользоваться
релятивистским соотношением между энергией и импульсом
Е~ 42 , 2 2
— = р + т0с .
с-
Здесь ?по - масса покоя частицы. Проведя формальную замену
E-*ih—, p-±—ifiV,
получим релятивистское волновое уравнение
ft3 32Ф
dt*
= (й2У-?п2с2)Ф. (15.7)
16. Уравнения Максвелла
111
Уравнение (15.7) называется уравнением Клейна-Гордона.
Полагая здесь ?по = 0, получим волновое уравнение для фотона.
Уравнение Шрёдингера получается из (15.7), если мы
положим Ерел = Е -f ?7ioc2 и предположим, что \р\ <С тос. Тогда
можно отбросить нелинейные слагаемые по v/c.
Во внешнем электромагнитном поле уравнение
Клейна-Гордона примет вид
(ihj- - еЛо)2* = с2 ( - tftV - -Л)2Ф + mgc4*. (15.8)
Вопрос об интерпретации решений уравнения Клейна-Гордона
долгое время оставался открытым. Расщепление уровней
энергии атома водорода, предсказанное на основе уравнения
Клейна-Гордона, отличается от экспериментального. Поэтому
считалось, что уравнение (15.7) является нефизическим. Позднее
выяснилось, что уравнение Клейна-Гордона описывает
релятивистские бесспиновые частицы, например 7г-мезоны,
которые могут быть как заряженными (волновая функция
комплексна), так и нейтральными (волновая функция
вещественна).
Релятивистское волновое уравнение для электрона
(частицы спина 1/2), играющее фундаментальную роль в
релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля, было
предложено Дираком и имеет вид
| - ihdt + еАо+ с(а, [ - tftV - -AY) - /93?пос2}ф = 0.
Здесь
d = { S 0 ) ' * = ( 0 -1 )
- матрицы Дирака в стандартном блочном представлении;
5 — (<7ЬСГ2,СГз),
ai = ( 1 0 ) ' *2=\i d ) ' аз = ( 0 -1 )
- матрицы Паули. Решением уравнения Дирака является
четырехмерный столбец - волновая функция Ф = (Ф^Фз^Фз»^)-
112
Глава 3. Уравнения в физических задачах
16. Уравнения Максвелла
Пусть в некоторой среде существует переменное
электромагнитное поле. Пусть H(x,t) - напряженность магнитного
поля, Е(х, t) - напряженность электрического поля, е -
диэлектрическая постоянная, // - коэффициент магнитной
проницаемости среды, ЩхЛ) - ток проводимости, a. p(x,t) - плотность
электрических зарядов. Тогда эти поля удовлетворяют
системе уравнений Максвелла
div(eE) =4тгр(ж,*)>
div(jiff) = О,
rot Я =_!*(§*>, (16.1)
С Qt
rot#=—\—L + —ftx,t)m
с at с
В дальнейшем мы ограничимся средами с постоянными £\ //.
Причем вакуум будет соответствовать е — \i — 1.
Рассмотрим случай, когда внешние токи и заряды
отсутствуют, т.е. Дж, t) = О, р{хЛ) = 0. Применим к третьему и
четвертому уравнениям операцию rot и получим
и д , -* ц,е д2Е
rot rot Е = -- — (rot Я) = -^
2 '
cdV ' с2 dt2
Поскольку rot rot A = grad div A — А А, с учетом первых двух
уравнений из (16.1) получим
ей д2Н
- rJ4 (1б-2)
Отсюда видно, что каждая декартова компонента векторов
E(x,t) и Н(хЛ) удовлетворяет уравнению Даламбера и
скорость распространения электромагнитных волн в однородной
диэлектрической среде есть
17. Стационарные процессы и уравнения эллиптического типа 113
Электромагнитное поле можно задавать не только напря-
женностями E{x,t) и H{x,t), но и электромагнитными
потенциалами. Будем искать решение уравнений Максвелла (16.1)
в виде
Н(хЛ) = rot A(x,t),
*i-^ AM-* 1дА*А (16-3)
с от.
где А(х, t) - векторный, а Ао(х, t) - скалярный потенциалы
электромагнитного поля. Подставим (16.3) в (16.1). Второе и
третье уравнения становятся тождествами, два других в
однородной среде приводят к следующим уравнениям для
потенциалов:
/.Led2Ao 4тг
J* л Е (16-4)
А т fied2A 4тг_ v
При этом мы предполагаем выполненным калибровочное
условие Лоренца
fie дАо
dt
+ <1пгД = 0.
17. Стационарные физические процессы
и уравнения эллиптического типа
В случае стационарных процессов, когда внешние
возмущения [/(ж, t) = /(ж)] и граничные условия не зависят от
времени [a(x,t) = a(x), /3(x,t) = /3(ж), /i(£,t) = /i(z)], решение
уравнения теплопроводности или уравнения колебаний можно
искать в виде
u(x, t) = u(x).
Тогда из уравнений теплопроводности или колебаний
приходим к уравнению
div [k(x) gradti] — q(x)u = /(ж), (17.1)
граничные условия для которого вытекают из физической
постановки задачи. Рассмотрим несколько примеров
стационарных процессов.
114
Глава 3. Уравнения в физических задачах
17.1. Стационарное волновое уравнение
Мы уже отмечали, что волновые процессы описываются
уравнениями гиперболического типа. Основные свойства
таких уравнений проявляются при изучении волнового
уравнения (уравнения Даламбера)
Au-^—utt = V, (17.2)
a-(x)
где a(x) - скорость распространения волны.
Во многих задачах, например в задаче об установившихся
монохроматических колебаниях в упругой среде, естественно
искать решение уравнения (17.2) в виде
и(х,г) = е-*ш'уш{х). (17.3)
Тогда функция иш(х) удовлетворяет уравнению
Аг>ш +\(х)уш = 0, (17.4)
где
2
\(х) = кЦх) =-£—.
Граничные условия для уравнения (17.4) вытекают из
граничных условий для уравнения (17.2), рассмотренных ранее.
В результате приходим к задаче о нахождении
собственных значений о>, при которых существуют отличные от нуля
решения уравнения (17.2).
♦ Уравнение (17.4) называется уравнением Гельмгольца.
Если в волновом уравнении
Au-^—utt = f(x,t) (17.5)
а-'(х)
внешнее возмущение /(ж, t) - периодическое с частотой и и
амплитудой д{х):
f(x,t) = eiwtg(x),
то можно искать периодическое решение и(ж, t) с той же
частотой, но неизвестной амплитудой:
u(z,t) = eiwtv{x).
(17.6)
17. Стационарные процессы и уравнения эллиптического типа 115
Подставив (17.6) в (17.5), получим неоднородное уравнение
Гельмгольца
Av + k2(x) = g(x), k(x) = -^-. (17.7)
a(x)
О В данном случае и задана и речь идет о краевой задаче
для уравнения (17.7), а не о задаче Штурма-Лиувилля (17.4),
где ш является спектральным параметром, подлежащим
определению.
17.2. Уравнения электростатики и магнитостатики
Рассмотрим уравнения Максвелла (16.1). Если процесс
стационарен, то система уравнений Максвелла распадается на
две независимые системы
dive(s)JB = 47rp(z), rot£ = 0 (17,8)
и
-* -* 47Г
div fi{x)H = 0, rot Я = —?. (17.9)
с
♦ Уравнения (17.8) и (17.9) называются уравнениями
электростатики и магнитостатики соответственно.
Поскольку rot Е = 0, то можно положить Е(х) = —УФ(ж).
Тогда при е(х) = const для электромагнитного потенциала
получим уравнение
ДФ = /(*), № = -Цр{х). (17.10)
♦ Уравнение (17.10) называется уравнением Пуассона.
17.3. Стационарное уравнение Шрёдингера
Уравнение Шрёдингера квантовой системы имеет вид
{-iMt+ii}9 = Q. (17.11)
Пусть гамильтониан *Н не зависит от времени явно. Найдем
решение уравнения (17.11) Ф(ж, £), представляющее собой
динамическое состояние с определенной энергией Е. Функцию
Ф(ж, t) будем искать в виде
V(x,t) = e-iEt/hVE{x), (17.12)
116
Глава 3. Уравнения в физических задачах
где функция Фб(£) не зависит от времени. Подставив (17.12)
в (17.11), получим уравнение для функции Ф#(а;)
ПЪЕ = Е*е. (17.13)
♦ Уравнение (17.13) называется стационарным уравнением
Шредингера.
При движении нерелятивистской частицы в потенциальном
поле U(x) уравнение (17.13) примет вид
[ - 2^А + Щх)\ *е = ЕЪЕ. (17.14)
Для волновой функции Ф(ж) предполагаются выполненными
условия, рассмотренные в разделе «Уравнения квантовой
механики».
О С математической точки зрения, задача о нахождении
решений нестационарного уравнения Шредингера (17.12) и
(17.13) представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на
собственные значения и собственные функции оператора *H.
17А. Рассеяние на неподвижной мишени
с потенциалом конечного радиуса действия
Рассмотрим рассеяние нерелятивистской бесспиновой
частицы на неподвижной мишени с потенциалом конечного
радиуса действия. Пусть направленный пучок частиц с
определенной энергией падает на мишень и рассеивается ею.
Будем предполагать, что взаимодействием частиц в пучке можно
пренебречь. Тогда можно рассматривать рассеяние одиночной
частицы из пучка.
Пусть исходное состояние падающих частиц представляет
собой плоскую волну Фь = N е%(к'хК В общем случае
исходный волновой пакет удобно рассматривать как суперпозицию
плоских волн
*(2,0)= Iе,(^Ф(£)<№. (17.15)
В результате приходим к уравнению
[A + k2-U(x)]V = 0, Щх) = =&-Щх), к2 = к2, (17.16)
17. Стационарные процессы и уравнения эллиптического типа 117
решение которого при больших |ж| удовлетворяет следующему
условию:
Щх) ~ ^ + Uj(j|), (17.17)
|т|-юо \Х\ ы \\Х\/
т.е. представляет собой суперпозицию плоской волны е^А,г) и
расходящейся сферической волны. При этом предполагается,
что lim U(x) = 0.
|.т|—юо
Условие (17.17) можно переписать в виде
lim |r -у(ж) | < оо, г = |ж|;
lim (^^ - i|fc|t>(x)| = 0, v(x) = Щх) - JVei(*'*>.
Г—УОО I ОТ У
♦ Соотношения (17.18) называются условиями излучения
Зоммерфельда.
В частности, если потенциал U(x) представляет собой
бесконечный потенциальный барьер
UW- \ 0, x$V,
то уравнение (17.16) для функции v(x) = Ф(ж) — Ne^k,x^
трансформируется в уравнение Гельмгольца
(A + k2)v = Q, Ф|5 = 0 (17.19)
с условием Зоммерфельда (17.18) на бесконечности. Здесь 5 -
граница области V.
17.5. Скалярное поле
Как известно, ядро атома состоит из нуклонов (протонов
и нейтронов), взаимодействующих между собой посредством
ядерных сил. С точки зрения квантовой теории поля,
ядерные силы обусловлены обменом мезонами между нуклонами
ядра. Такое взаимодействие называется сильным
взаимодействием элементарных частиц. Структура ядра в
значительной степени определяется поведением ядерных сил на малых
расстояниях, где они недостаточно хорошо известны. Поэтому
в теории ядра широко используется модельный подход.
Число моделей очень велико. С их помощью описывают свойства
118
Глава 3. Уравнения в физических задачах
ядер и ядерные реакции. Одной из таких моделей является
модель скалярного поля, в основу которой положено уравнение
Клейна-Гордона
1 2 2
А<р--<рн-к20<р = -4жр(хЛ), к0='1^-, (17.20)
с ri-
где по аналогии с уравнением Пуассона в правую часть
добавляется слагаемое, характеризующее источники поля (р.
Ядерные силы - короткодействующие, поэтому решения уравнения
(17.20) должны быстро (как минимум, экспоненциально)
убывать на больших расстояниях. Уравнение (17.20) описывает
поле частиц с массой покоя ?no = hko/c, создаваемое
источником р(ж, t). В стационарном случае, когда источник можно
считать неподвижным, приходим к уравнению Гельмгольца
для функции (р(х)
(А - kl)<p = /(£), f(S) = 4*p(s), (17.21)
которое отличается от уравнения (17.7) только знаком перед
слагаемым с Ajq.
18. Постановка начальных и краевых задач
для уравнений математической физики
Выше мы рассмотрели некоторые физические процессы,
математическое описание которых после ряда физических и
геометрических предположений сводится к линейным
уравнениям (системам уравнений) в частных производных. При этом
оказывается, что различные явления описываются
одинаковыми по форме уравнениями, например, процессы диффузии и
теплопроводности, механические и электрические колебания и
т.д. Это связано с тем, что в их основе лежат
фундаментальные законы природы.
Все рассмотренные нами уравнения можно отнести к
одному из следующих типов:
а) уравнения колебаний (гиперболического типа)
p(x,t)utt = Lu+f(x,t); (18.1)
б) уравнение теплопроводности (параболического типа)
p{x,t)ut = Zu+f(z,t); (18.2)
18. Постановка начальных и краевых задач
119
в) стационарное уравнение (эллиптического типа)
Lu+f(x) = 0. (18.3)
Здесь обозначено
Lu = div(k(x)gva.du) - q(x) = (V, fc(s)Vu) - q(x) (18.4)
и предполагается, что k(x) > О, q(x) ^> 0.
Мы уже отмечали, что общее решение уравнений в
частных производных второго порядка, как правило, содержит две
произвольные функции. Из физических соображений обычно
требуется найти единственное решение. Поэтому, помимо
дифференциальных уравнений, математическая постановка
физической задачи должна включать дополнительные условия,
которым должна удовлетворять искомая функция на границах
области ее определения.
Рассмотрим постановку основных задач, включающих
такие условия.
I. Задача Коши: найти функцию u(x,t), удовлетворяющую
при t > 0 уравнению (18.1) или (18.2) в любой точке х Е Е (в
этом случае область Е совпадает со всем пространством), а
также начальным условиям
u\t=o = <p(x), ut\t=o = 1>(x) (18.5)
для уравнения (18.1) и начальному условию
u\t=o = <p(x) (18.6)
для уравнения (18.2).
0 Обычно искомую функцию подчиняют еще некоторым
ограничениям общего характера, например требуют, чтобы на
бесконечности выполнялось следующее условие:
lim |u(£,*)|<Coo (18.7)
|<г|-юо
ИЛИ
lim \u(x.t)\ = 0. (18.8)
|.т|-юо
Как правило, такие условия естественно вытекают из
физической постановки задачи. Искомую функцию можно подчинить
другим ограничениям, например потребовать, чтобы
[ \u{x,t)\2p(x)dx<oo (18.9)
Е
120
Глава 3. Уравнения в физических задачах
или
/
gradu(cc,t)\2p(x)dx < оо,
где р(х) > 0, х Е Е С Кп. В этом случае искомую функцию
можно рассматривать как элемент гильбертова пространства
£, u(x, t) Е £. в котором норма определена соотношениями
\\u(x,t)\\2= f \u{xA)\2p{x)dx (18.10)
или
||и(ж,*)||2 = / \gva.du(x,t)\2p(x)dx
Е
соответственно. Такие требования возникают, в частности, в
квантовой механике. В более общей ситуации функцию u(£, i)
считают элементом некоторого функционального
пространства. В последующих главах мы будем предполагать (если не
оговорено противное) выполнение условия (18.7) или (18.9).
II. Смешанная задача: найти функцию и(ж, 2),
удовлетворяющую при t > 0, х Е Е уравнению (18.1) [или (18.2)],
начальным условиям (18.5) [или (18.6)] и граничному условию
du
a(x)—+P(x)u
■»№*)\з>
(18.11)
[а2(х)+Р2(х)]\5фО.
Здесь 5 - граница области Е* du/dn - производная по внешней
нормали к поверхности 5. При этом предполагается
выполнение условия согласования
«(£)^+/3(x)v>]|s = /x(x,0)|s. (18.12)
♦ Граничные условия (18.11) называются граничными
условиями первого рода (условиями Дирихле), если a(x)\s = 0:
второго рода (условиями Неймана), если (3(x)\s = 0, и третьего
рода (условиями Робина) в противном случае.
III. Краевая задача (задача определения
стационарного режима): найти функцию и(х, £), удовлетворяющую в
области Е уравнению (18.1) [или (18.2)] и граничному условию
(18.11) (без начальных условий).
18. Постановка начальных и краевых задач
121
Для уравнений эллиптического типа: найти функцию,
удовлетворяющую в области Е (х Е Е) уравнению (18.3) и
граничному условию
a(x)^+/3(x)u]\SE= »(x)\Se, [а2(х)+/32(х)]\5вф0. (18.13)
♦ Краевая задача при a(x)\s = 0 называется задачей
Дирихле, , а при (3{х) = О - задачей Неймана.
До сих пор мы рассматривали внутренние задачи х Е Е.
О Если нужно найти решение и(х, £), удовлетворяющее
условиям (18.11), (18.13), в бесконечной области Е*, внешней по
отношению к поверхности 5, то требуют выполнения условия
регулярности на бесконечности (18.7) или (18.8). Такая задача
называется внешней краевой задачей.
IV. Задача Штурма-Лиувилля. В разделе, посвященном
специальным функциям, мы рассматривали задачу Штурма-
Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Такая задача может быть естественным образом обобщена на
случай уравнений в частных производных.
Рассмотрим уравнение в частных производных
Lv + Xp(x)v = 0, хеЕ (18.14)
с однородными граничными условиями
("S-H
= 0. (18.15)
Здесь обозначено
Lv = div (k(x)Vv) - q(x)v. (18.16)
♦ Задача об определении значений параметра Л, при
которых существует нетривиальное решение уравнения (18.14)
с краевыми условиями (18.15), называется задачей Штурма-
Лиувилля. Значения параметра Л, при которых существует
решение задачи Штурма-Лиувилля, называются собственными
значениями, а отвечающие им функции v\(x) - собственными
функциями.
♦ Совокупность всех собственных значений {Ап} задачи
Штурма-Лиувилля называется спектром, а совокупность
собственных значений и отвечающих им собственных функций
[А«, ип(ж)], п = 1, оо, - спектральной серией.
122
Глава 3. Уравнения в физических задачах
О В последующих разделах мы будем рассматривать
главным образом методы решения этих классов задач.
V. Корректность постановки задач математической
физики. Перечисленные выше типы постановки задач, отличаясь друг
от друга, преследуют, тем не менее, одну и ту же цель:
обеспечить единственность решения поставленной задачи. Если принять
во внимание, что данные задачи: начальные и(или) граничные
условия, коэффициенты и неоднородность уравнения - определяются,
как правило, из экспериментов, то возникает вопрос о влиянии
погрешности измерений на полученное решение. Другими словами,
как и насколько сильно решение задачи меняется при
варьировании значений перечисленных выше параметров. Ответ очевиден:
всякий физически определенный процесс не должен существенным
образом зависеть от погрешностей измерений. Малым изменениям
начальных и краевых условий задачи должно соответствовать
малое изменение решения, т.е. решение задачи должно непрерывно
зависеть от исходных данных. В противном случае практически
одинаковым условиям задачи (в пределах точности измерения)
могут соответствовать два существенно различных решения.
♦ Задачу, решение которой непрерывно зависит от ее исходных
данных, будем называть устойчивой.
Требование устойчивости решения замыкает перечень
требований, предъявляемых к математической постановке задачи,
корректно определяющей ее решение.
♦ Математическую задачу будем называть поставленной
корректно, если она удовлетворяет одновременно следующим трем
требованиям: а) решение задачи существует; б) решение задачи
единственно; в) решение задачи устойчиво.
Остановимся более подробно на третьем требовании -
устойчивости решения. Обозначим через J- класс функций, к которому
принадлежат исходные данные задачи, содержащий
последовательность {<р»»(ж)}, п = 1,оо, сходящуюся к функции <р(х) при н -> оо.
Соответственно через Ы обозначим класс функций - решений
задачи и, к которой стремится последовательность решений {и,,},
п = 1, оо при п —У оо. Бели при заданном п данные задачи <рп
определяют решение wn, то для устойчивого решения из
сходимости
4>п -> Ч> (ч>п — <р -¥ 0) при п -> оо (18.17)
следует сходимость
un -> u (un — u -> 0) при n -»■ оо. (18.18)
♦ Классом корректности задачи будем называть совокупность
классов ^*hW, задающих ее корректное решение. Задача,
некорректная в одном классе, может быть корректной в другом.
Формулы (18.17) и (18.18) чисто формально определяют
устойчивость решения задачи. Для того чтобы это понятие приобрело
18. Постановка начальных и краевых задач
123
определенный смысл, необходимо конкретизировать понятие
сходимости в классах Jnli. Наиболее распространенными в
математической физике являются понятия равномерной сходимости и
сходимости в среднем (см. разд. «Основные и обобщенные функции»
части II). Их естественность характеризуется, например, краевой
задачей для уравнения теплопроводности, где роль и играет
температура тела Q, а роль <р - температура на границе тела S. В этом
случае малое изменение температуры на границе вызовет малое
ее изменение во внутренних точках тела. Таким образом, классом
корректности в данном случае является совокупность двух классов
С(П) и C(S) непрерывных на Q и S функций.
Помимо указанных выше существуют и другие определения
сходимости, которых мы касаться не будем. Отметим лишь, что более
строгий подход к проблеме устойчивости решения основан на
введении двух метрических пространств Т(Ф) и V(U) с нормами ||Ф||
и ||/7|| элементов Т и U соответственно. В терминах пространств
?(Ф) и ?([/) определение корректности формулируется следующим
образом.
♦ Математическую задачу будем называть корректной в
совокупности пространств *Р(Ф). V(U)i если решение задачи
единственно в V(U) и существует при любых данных из *Р(Ф). причем малому
изменению начальных данных по норме пространства Т(Ф)
соответствует малое изменение решения по норме пространства V(U).
К примеру, в пространстве С(а,Ъ) [или С°(а,Ь)] функций /(ж),
непрерывных на отрезке [а,Ь], с нормой
||/(*)||с = max |/(*)| (18.19)
хС[а,Ь]
последовательность /»»(ж), п = 1,оо, из С(а,Ъ) будет сходиться по
норме к функции f(x) £ С(а% Ь), если ||/»»(ж) — /(я)||с —> 0 при п —У ос.
Определенная таким образом сходимость в пространстве С(а^Ь)
будет эквивалентна указанной выше равномерной сходимости
последовательности /»»(ж), п = 1,оо, к функции f(x) из класса С(а,Ь).
Сходимость последовательности /п(я), п = 1,оо, в среднем, или
сходимость по норме
ь
\\f(*)\\p=(j' P(x)f{x)dx)1'*
а
в пространстве £2(0,6, р) [или £2(0,6)] определена в разд. «Дельта-
функция Дирака и ортонормированные системы функций» части II.
О Возможно введение и других метрических пространств,
продиктованных требованием конкретности постановки
математической задачи.
Если обратиться к задаче Коши для дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка, то ее решение, если
оно существует, всегда корректно. Для уравнений более высоких
124
Глава 3, Уравнения в физических задачах
порядков это утверждение уже не всегда справедливо. Например,
решение задачи Коши для уравнений более высоких порядков
может быть неустойчивым относительно начальных данных.
Обратимся к примеру, приведенному Адамаром. Рассмотрим
последовательность задач Коши для уравнения Лапласа
d2u d2u _
с начальными условиями для n-й задачи
sin тьх
и(ж,0) = 0, iiy(x,Q) = <рп(х) = , п = 1,оо.
п
Функциональная последовательность {<рп{х)} при п—Юо
равномерно стремится к функции <р(х) = 0. Легко убедиться, что п-я задача
Коши имеет единственное решение
. ч sh ny sin nx
Un(x,y) = ^ .
П'
Однако при возрастании п последовательность {и,»(ж,у)} не
стремится к решению w(as,y) = 0, соответствующему начальному
условию <р(х) = 0, а, напротив, неограниченно возрастает, поскольку
I sh ny sin nх I
lim
Таким образом, хотя решение задачи существует и единственно,
оно не является устойчивым по отношению к начальным условиям.
Следовательно, указанная задача поставлена некорректно.
Отметим, что требование корректности постановки задачи
обусловлено идеализацией рассматриваемых физических явлений в
классической физике. Исследования, основанные на отказе от такой
идеализации (квантовая теория, нелинейные явления, обратные
задачи), показывают, что корректно поставленные задачи - далеко не
единственные задачи, отражающие физические явления. В
последнее время некорректно поставленные задачи становятся объектом
интенсивного исследования (см., например, [50]).
VI. Классические и обобщенные решения. Как правило,
мы будем предполагать, что во всех рассматриваемых случаях
требуется найти решение и(ж, £), непрерывное вместе со
своими частными производными соответствующего порядка
(например, для уравнений второго порядка решение
непрерывно вместе с частными производными второго порядка по всем
переменным). Такие решения называются классическими, а
постановка соответствующей краевой задачи в этом классе
функций - классической постановкой. Однако в ряде
интересных случаев начальные и (или) краевые условия могут
задаваться негладкими (разрывными) функциями, и решения
задач такого сорта уже не являются гладкими функциями.
28. Постановка начальных и краевых задач
125
В частности, именно такие задачи привели к понятию
обобщенного решения.
Рассмотрим линейное уравнение в частных производных
второго порядка
Lu = /(ж), Lit = (V, k(x)Vu) - q{x)u, x G Rn, (18.20)
где k(x) и q(x) — гладкие функции.
♦ Обобщенным решением уравнения (18.20) в области Е С
Шп называется обобщенная функция и(ж), удовлетворяющая в
этой области уравнению (18.20) в обобщенном смысле, т.е.
(Lu(S)\p(x)) = (f(S)MS))< (18-21)
где <р(х)< х G Е С Мп, принадлежит пространству основных
функций V(E) [для неограниченных областей — пространству
Шварца S(E) (см. разд. «Основные и обобщенные функции»
части II)].
О Всякое классическое решение является и обобщенным.
Рассмотрим несколько постановок начальных и краевых
задач, приводящих к обобщенным функциям.
VII. Фундаментальные решения. Понятие
фундаментального решения, введенное для линейного оператора одной
переменной (см. разд. «Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов» части II), естественным образом
обобщается на случай нескольких переменных.
♦ Фундаментальным решением (функцией влияния)
уравнения в частных производных Lu(x) = 0 или
фундаментальным решением линейного дифференциального оператора L
(18.20) называется обобщенная функция £(х,у), которая при
каждом фиксированном у G Мп удовлетворяет в Еп уравнению
LrE(x,y)=S(x-y), (18.22)
где по определению 6(х — у) = S(xi — yi)8(x2 — уо) • • -S(xn —yn)-
Фундаментальное решение £ (ж, у) позволяет найти частное
решение неоднородного уравнения (18.20) по формуле
u(z) = J £{x,y)f{y)dy (18.23)
Е
в предположении, что интеграл, стоящий в правой части,
существует. В справедливости соотношения (18.23) можно убе-
126
Глава 3. Уравнения в физических задачах
диться, если подействовать на него оператором L. Тогда
получим
Lu(x) = / Lx£(x,y)f(y)dy = / 8(x-y)f(y)dy = f(x).
О Если оператор L - дифференциальный оператор с
постоянными коэффициентами, то под фундаментальным решением
оператора L часто понимается обобщенная функция £ (ж),
которая является решением уравнения
L£(x) =8{x). (18.24)
Очевидно, что эти фундаментальные решения связаны
соотношением
£{х,у) = £(х-у). (18.25)
В этом случае, если функция /(ж) такова, что свертка /*<; (см.
разд. «Свертка обобщенных функций» части II) существует,
то соотношение (18.23) принимает вид
u(x) = f*g = Jg{x-y)f(y)dy. (18.26)
Само решение в виде (18.26) иногда называют решением в
форме потенциала.
Второе название - функция влияния - становится
понятным, если неоднородность /(ж) в уравнении (18.20)
представить в виде «суммы» точечных источников f(y)8(x — {j)% т.е.
?) = [ 6{х-
f(x)= 6(x-y)f(y)dy.
В силу соотношений (18.22) и (18.23) каждый точечный
источник f(y)8(x — у) влияет на объект, помещенный в точку ж, в
соответствии с формулой f(y)£(x,y). Поэтому решение
и(х) = / £(x,y)f(y)dy
Е
представляет собой суперпозицию этих влияний.
28. Постановка начальных и краевых задач
127
О Можно показать, что фундаментальное решение
существует для любого дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, а также для любых эллиптических
дифференциальных уравнений (см. [12]).
Ниже приведены фундаментальные решения основных
операторов, встречающихся в математической физике.
а) Оператор Лапласа Ап = > я"~т:
fc=i ^
Ап£„(ж,у) =6(х-у),
£п(х,у) = -т— —еп{х-у).
(fan + п - 2)(тп
Здесь ^2» ~~ дельта-символ Кронекера, ап - площадь
поверхности единичной сферы в Rn,
/о^п/2
dS = , о-2 = 27г, сг3 = 47г
Г(п/2)
|*| = 1
1
е,Лж) = ^
б) Оператор Гельмгольца An + fc2:
1П|1, » = 2,
п> 2.
(An + k?)£n(x,y) = <J(z - у),
£п(х,у) = <
±-H^\k\x-y\), n = 2;
Р±*1*-Я
[ 47г|ж — зЛ'
71 = 3.
Здесь #о , щ" - функции Ханкеля нулевого индекса, к - в
общем случае комплексная величина.
в) Оператор теплопроводности а"Ап:
ot
/ й
(■^-a2An)£n(x,y,t)=6(t)S(x-y), х,у£Ш'\ «Gl1,
\х-у\2'
<•<«•> = I^-(-*SF)
128
Глава 3. Уравнения в физических задачах
п2
г) Волновой (Даламбера) оператор Оп = —^ — а2АТ1:
On£n(x,y,t) -8{t)8{x-y),
l-0(at-\x-y\),
£n(x,y,t) = <
2а
0(at-\x-y\)
2-кау/аН2 -\х-у\2%
9(t)8(a2t2-\x-y\2)
2ira
n = 1;
n- 2;
n > 3.
Фундаментальное решение £(х,у) оператора L не единственно
и определяется с точностью до слагаемого до(х,у),
являющегося при каждом фиксированном у произвольным решением
однородного уравнения
Lg0(x,y) = 0.
Это позволяет находить фундаментальные решения,
удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, в том
числе решения уравнений (18.22) с краевыми, начальными и
смешанными (начально-краевыми) условиями. Фундаментальные
решения соответствующих задач называются также
функциями Грйна этих задач. Для функций Грина будем использовать
обозначения д(х,у) и G(x,y).
VIII. Обобщенная задача Коши
♦ Обобщенной задачей Коши для уравнения (18.1) или (18.2)
называется задача о нахождении обобщенной функции й(ж, £),
обращающейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей волновому
уравнению
p(x)utt = Lu + F(x,t) (18.27)
или
р(х)щ = Lu + F{x,t). (18.28)
Можно показать, что решение классической задачи Коши (18.1),
(18.5) и обобщенной (18.27) связаны соотношениями (см. [12])
u(z,t) = 9{t)u{x,t), (18.29)
F(x,t) = f(zJ.) + <p(S)8'{t) + t(S)S(t).
Аналогично для задачи Коши (18.1), (18.6)
u(x, t) = 9(t)u(x, t), F(x, t) = /(£, t) + <p{x)6{t). (18.30)
ГЛАВА 4
Задача Штурма-Лиувилля
для уравнений в частных
производных
19. Постановка задачи
В разделе, посвященном специальным функциям, мы
рассматривали задачу Штурма-Лиувилля для обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. разд. Ш.2). Понятие о задаче
Штурма-Лиувилля может быть естественным образом
обобщено на случай уравнений в частных производных.
Пусть Е - ограниченная область в пространстве Шп и Se
- ее граница (гладкая поверхность). Рассмотрим уравнение в
частных производных
Lv + Xp(x)v = О, хеЕ (19.1)
с однородными граничными условиями
= 0. (19.2)
SE
Здесь обозначено
Lv = div (k(x) grad-u) - q(x)v = (V, k(x)Wv) - q{x)v, (19.3)
dv/дп - производная вдоль внутренней нормали к поверхности
Se ир(ж) - заданная знакоположительная функция.
♦ Задача об определении значений параметра Л, при
которых существует нетривиальное решение v\(x) уравнения (19.1)
с краевыми условиями (19.2), называется задачей Штурма-
Лиувилля. Значения параметра Л, при которых существует
решение задачи Штурма-Лиувилля, называются собственными
значениями, а отвечающие им функции v\(x) - собственными
функциями.
♦ Совокупность всех собственных значений {Ап} задачи
Штурма-Лиувилля называется спектром, а совокупность
собственных значений и отвечающих им собственных функций
[А„, vn(x)], п = 0, ос, - спектральной серией.
Перечислим основные свойства собственных значений и
собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
(a(Z)^+/J(2)w)
130
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
Свойство 1. Существует бесконечное счетное множество
собственных значений {Лп} и собственных функций {ил(ж)};
можно так выбрать нумерацию собственных значений Лп, что при
увеличении номера п они неограниченно возрастают. Каждому
собственному значению соответствует конечное число линейно
независимых собственных функций.
0 В отличие от задачи Штурма-Лиувилля для
обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений в
частных производных собственные значения могут быть
вырожденными, т.е. собственному значению может соответствовать
несколько линейно независимых собственных функций.
Количество таких функций называется кратностью собственного
значения, или кратностью вырождения. В дальнейшем мы
будем предполагать, что в спектре задачи Штурма-Лиувилля
каждое собственное значение присутствует столько раз,
какова его кратность.
Свойство 2. При q(x) ^ 0 и a = 0, (3 = 1 (краевое условие
Дирихле) собственные значения задачи Штурма-Лиувилля
положительны:
К > 0, «• = 0, ос.
Свойство 3. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
(19.1), (19.2) удовлетворяют условию ортогональности
(vn{x)\vm(x))p = \\vn(x)\\2Snm, n,m = 0,oo, (19.4)
где обозначено
(v\u)p = (v(x)\u(x))p = / v(x)u(x)p(x)dx\ (19.5)
E
H\ = \\v(m = vWMWp- (i9.6)
О В дальнейшем мы будем предполагать, что
собственные функции, соответствующие вырожденному собственному
значению, выбраны ортогональными. Последнее всегда
можно сделать, например, методом ортогонализации Шмидта (см.
разд. «Ортогональные классические полиномы» части III).
Свойство 4 (теорема разложения В.А. Стеклова). Если
функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в
замкнутой области Ё и удовлетворяет граничному условию (19.2),
то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
по собственным функциям задачи (19.1) и (19.2)
оо
/(*) = £ 0,(2), (19-7)
п=0
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи 131
где
1
Сп = |к|р(/(*)М*))'>- (19-8)
Ряд (19.7) называется рядом Фурье функции f(x) по
ортогональной системе функций {vn(x)}, п = 0, оо. Коэффициенты
(19.8) называются коэффициентами Фурье.
Следствие. Система собственных функций {vn(x)} задачи
Штурма-Лиувилля удовлетворяет условию полноты
£й—7^p(y)vn(x)vn(y)=S(x-y) (19.9)
п=0 №
в классе дважды непрерывно дифференцируемых в области
Е функций, для которых выполняется однородное граничное
условие (19.2).
Доказательство. Подставим (19.8) в (19.7) и поменяем
порядок суммирования и интегрирования. Получим
С °° 1
JE n=0 l|VnH
откуда в соответствии с определением дельта-функции
следует (19.9).
О Доказательства свойств 1-4 полностью аналогичны
доказательствам соответствующих свойств задачи
Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений.
20. Задача Штурма-Лиувилля и
начально-краевые задачи для уравнений
математической физики
20.1. Редукция задачи
Рассмотрим неоднородное уравнение
p(x)Ptu = Lu+f(x,t), xeE, (20.1)
где
2
Ptu=<Taj(t)^, (20.2)
132
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
а оператор L определен формулой (19.3). Уравнение (20.2)
является уравнением гиперболического типа, если аг Ф 0, и
параболического типа, если ао = 0, a ai ^ 0.
В частности, при
<*2 = — > ао = ai = 0 и iYu = -ru«
a- a2
уравнение (20.2) переходит в волновое уравнение, а если при
этом L = А, то в уравнение Даламбера
1
—м« = Ли.
а-
Если в уравнении (20.2)
0,0 = 0,0 = 0, fti = — И Pt^ = ""о tit,
a- a-
то оно переходит в уравнение теплопроводности. В
дальнейшем нас будет интересовать случай, когда L = А и уравнение
теплопроводности примет вид
—щ = Дм.
Поставим для уравнения (20.1) начальные условия
u\t=o = <p{x), ut\t=o = 1>(x) (20.3)
и граничные условия
(a(x)^+(3(x)u)\SE=№,t)\SE, \а(х)\ + \13(х)\ф0. (20.4)
0 В случае уравнения теплопроводности начальное условие
имеет вид
u|«=o = <p(x). (20.5)
ф Классическим решением задачи (20.1)-(20.5) называется
функция и(ж, £), определенная и непрерывная вместе со своими
производными до второго порядка включительно в области Е
и t G [0,Т] и удовлетворяющая граничному условию (20.4) и
начальным условиям (20.3) или (20.5).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
справедливо следующее
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи 133
Утверждение 20.1. Пусть функции и\(х< t), из(ж, t) и из(ж, t)
являются классическими решениями следующих задач:
хвЕ,
:(-£+*0
s = 0, u1\t=0 = <p(x), -^r
хеЕ,
п I 5аз
t=o
(20.6)
= -0(ж);
*=о
= 0;
(20.7)
t=o
= 0,
(20.8)
р(х)Р(гц = £«i,
p(x)Ptu2 = Irw2 + f(x,t),
ди2
дп
{p(x)Ptu3 = Хгпз, х е Е,
(а^+/Зиз)|я=М*,*)|5, »з|«=о = ^|
тогда решение u(x,t) задачи (20.1), (20.3) u (20.4) имеет вид
и{хЛ) = ui(ic,<) + u2(£,t) + пз(ж,^). (20.9)
Процедура сведения начально-краевой задачи (20.1), (20.3) и
(20.4) к* более простым задачам (20.6)—(20.8) называется
редукцией общей задачи.
О Задача (20.6) представляет собой смешанную задачу с
однородным граничным и неоднородным начальным
условиями для однородного линейного уравнения в частных
производных второго порядка; задача (20.7) - смешанную задачу с
однородными граничными и начальными условиями для
неоднородного линейного уравнения; задача (20.8) - смешанную
задачу с неоднородными граничными и однородными
начальными условиями для однородного линейного уравнения.
20.2. Неоднородные начальные условия
Рассмотрим задачу (20.6). Ее решение будем искать в виде
u1(x,t) = J2Tn(t)vn(x),
(20.10)
п=0
где vn(x) - решение задачи Штурма-Лиувилля (19.1), (19.2).
Подставим (20.10) в (20.6) и получим
оо оо
Р(х) 5%п(г)Азд = ££тп(*к(г) =
п=0
71 = 0
134
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
/>(*)£(-a»)t„«K(£)
71=0
Приравняв коэффициенты при одинаковых функциях уп(ж),
для определения функций Tn(t) получим следующую задачу
Коши:
Р,Т„ + А„Т„ = 0, Тп{0) = <ря, 3i(0) = ^„. (20.11)
где (рп и фп - коэффициенты (19.8) разложения функций <р(х)
и ф(х) в ряд Фурье по функциям vn(x)
со со
¥>{*) = ^2 ?"**(*)' ^(г) = Yl ^vn(x)\ (20.12)
»i=0 n=0
В частности, задача Коши (20.11) для уравнения
теплопроводности примет вид
bz£ + A„T„ = 0, T«(0) = p„. (20.14)
и ее решением являются функции
Т„(<)=¥>»е-А"°\ (20.15)
Аналогично задача Коши для волнового уравнения
Л^' + А„Т„=0, Т„(0) = у>„, Гп(0)=фп (20.16)
aw
будет иметь решение
Tn(t) = p„coe(aV^) + -^=вт(а>/АГ*). (20.17)
Таким образом, решение смешанной задачи (20.6) для
уравнения теплопроводности имеет вид
со
«i(2, t) = J2 <Pne-Xnaltv„(x), (20.18)
i»=0
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи 135
а для волнового уравнения
Фп
п=0
ui(x,t) =y^\<pucoe{ay/]£t) + -^=sin(a^t)]vn(x). (20.19)
♦ Функция g(x,y,t) называется функцией Грина, или
фундаментальным решением смешанной задачи, для уравнения
теплопроводности, если для произвольного фиксированного у €
Е справедливо
p{x)gt(x, у,t) = Lxg(x, у,t), x € Е; (20.20)
[a№d9f*t] +№g(2,v,t)}\ = 0; (20.21)
g\t=o = 6(x-y), |o(x)| + |/3(x)|#0. (20.22)
Если область Е совпадает со всем пространством, то
функция g(x,I/,£), удовлетворяющая условиям (20.20), (20.22),
называется функцией Грина задачи Кош и для уравнения (20.6)
и обозначается через G(x,y,t).
Подставив (20.22) в (20.13), из (20.18) получим
Утверждение 20.2. Функцию Грина смешанной задачи для
уравнения теплопроводности (20.1) Pt = a~2dt можно
представить в виде
°° 1
*(*,£*) = £ -—pffle-^-'vnWvniJf). (20.23)
Утверждение 20.3* Пусть g(x,y,t) - функция Грина
смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Тогда
решение задачи (20.6) имеет вид
tii ОМ) = Jg(x,y,t)tp{y)dy. (20.24)
Е
Действительно, подставив коэффициенты Фурье (20.13) в
соотношение (20.18), с учетом явного вида функции Грина
(20.23) приходим к (20.24).
♦ Функции р(ж, у, t) и 0(ж, j/, t) называются функциями
Грина смешанной задачи для волнового уравнения, если для
произвольного фиксированного у £ Е справедливы условия
P(x)gtt{x,y,t) = Lxg(x,y,t), хе E; (20.25)
136
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
a(x)dg(*'V,t) + 0(x)g(x,y,t)}\ = 0; (20.26)
on* J \sB
ff|t=o = 0, gt\t=0 = S{x-y). (20.27)
p(x)&tt{x,y,t) = Lxg(x,y,t), x£E; (20.28)
[a(S)^^+/3(*)g(*,y,t)}| =0; (20.29)
x *Se
v\t=o = 6(x-y), 0«|t=o = 0. (20.30)
Когда область JE7 совпадает со всем пространством, функции
g(x,y,t) и Q(x,y,t), отвечающие условиям (20.27)-(20.30),
называются функциями Грина задачи Коши для волнового
уравнения (20.1) Pt = оГ2д2 и обозначаются G(x,y,t) и 0(ж, */,*).
Аналогично для волнового уравнения приходим к
утверждению
Утверждение 20.4. Функции Грина смешанной задачи для
волнового уравнения Pt — а~2д2 (20.1) можно представить в
виде
°° 1 1
^0avK IMr
Q(x,y,t) = У] Л—7^p{y)co8(ay/X^t)vn{x)vn{y). (20.32)
Подставив коэффициенты Фурье (20.13) в соотношение
(20.19), с учетом явного вида функций Грина (20.31) и (20.32)
убеждаемся в справедливости следующего утверждения.
Утверждение 20.5. Пусть g(x,y,t) и Q(x,y,t) - функции
Грина смешанной задачи для волнового уравнения. Тогда
решение задачи (20.6) можно представить в виде
щ(2, t) = f g{x, у, t)i>(y)dy + j д(ж, у, t)<p(y)dy. (20.33)
О Если Pt = а 2д2 - волновой оператор, то из (20.31) и
(20.32) следует
Q(x,y,t) = gt(x,y,t). (20.34)
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи 137
20.3. Линейное неоднородное уравнение
Рассмотрим теперь задачу (20.7). Ее решение будем искать
в виде
u2(£,t) = ^0n(f>n(x). (20.35)
п=0
Подставим (20.35) в (20.7):
оо оо
р(х) £ vn(x)PtTn(t) = £ LTn(t)vn(x) + f(x.t) =
71=0 71=0
ОО ОО
= № £(-a„)tu(<K(£) + р(х) £ /»(*)»»(*)•
11=0 71=0
Здесь
IK(*)||- \ p(«) I /„
Приравняв коэффициенты рядов Фурье, стоящих в левой и
правой частях, получим следующее уравнение для ©„(*):
Двп + Апв„ = /„(*), в„(0) = в'п(0) = 0. (20.37)
Решение уравнения (20.37) можно представить в виде
t
6„(t) = J Kn(t,T)fn(r)dT} (20.38)
о
где /С„(*,т) - функция Грина задачи Коши (20.37) (см. разд.
«Фундаментальные решения линейных операторов» части II).
В случае уравнения теплопроводности получим
t
Sn{t) = e'a'Xnt f ea2XnTfn{r)dr (20.39)
/Сп(*,т) = е-°2л»<<-г). (20.40)
юго уравнения для определения функции
>гющее уравнение:
6£ + Ana36n = /„(<) (20.41)
В случае волнового уравнения для определения функции
®n(tf.) получим следующее уравнение:
138
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
с начальными условиями (20.37).
Решение уравнения (20.41) будем искать методом Лагран-
жа:
в„(<) =p„(*)cos(ai/A^) + qn(t)sin(ay/\^t),
где функции pn(t) и <7n(tf) определяются системой уравнений
Г j/n(^ cos(av/^0+«»(*) ein(av^"<) = 0,
[ p^(^)(-a>/A^)sin(aA/A^t) + ^J^)aV^cos(av/^^) = fn(t)-
В результате получим
Pn(t) = 7F= / /n(r)sin(a>/A^r)dr+ p°,
о
Qn{t) = —7= / /n(r)cos(aV/A^r)dr + 9n-
о
Из начальных условий (20.37) найдем q„ = р° = 0. Тогда
en(t) = —= / /»(т)[ - sin(av/A^r)cos(aV/A^O +
a\/An J
о
+ cos(av^T)sin(av^ir<)]dr=—■== fn(r) sm[ay/\^(t - r)]dr.
a\/\nJ
о
Таким образом, для волнового уравнения
Kn(t,r) = —-=sm[ay/X^(t - г)]. (20.42)
ay/Xn
♦ Обобщенная функция <£(£, у, £, т) называется
фундаментальным решением, или функцией Грина, смешанной задачи,
если она при фиксированных у Е Mn, r 6 М, удовлетворяет
уравнению
р(ж)Дв = 2*« + <У(ж - iOtf(* - г) (20.43)
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи 139
и однородному начально-краевому условию
H^+^HIs =0, «U=o = в*|*=о = О, (2U.44)
{а*(х)+(3*(х)}\5ЕфО.
Утверждение 20.6. Фундаментальное решение (£(ж, у, t,r)
смешанной задачи (20.1) можно представить в виде
оо
«(2,»,*,т) = £fc„(*,->>„(£)«„($• (20-45)
п=0
Действительно, положив в (20.36)
f(x,t)=S(x-y)6(t-r),
из (20.35) получим (20.45).
Подставив коэффициенты Фурье (20.36) в (20.35) и поменяв
местами суммирование и интегрирование, с учетом явного
вида функции <£(.-?, у, £, г) приходим к следующему утверждению.
Утверждение 20.7. Пусть <£(ж, у, t,r) - фундаментальное
решение смешанного задачгк (20.43) и (20.44). Тогда решение
задачгь (20.7) можно представить в виде
t
и2(х, t)= fdrf <£(£, у, t, т)/(у, r)dy. (20.46)
О Е
Утверждение 20.8. Функцгш Грина <£(ж, у, t, т) (20.43) и
9(%,y,t) (20.25), (20.20) связаны соотношением
«(*, у, t, г) = -4т*(*> У, * - г). (20.47)
В случае уравненгш теплопроводности в соотношенгш (20.47)
коэфгщг1ент аз(т) необходгию заменить на ai(r).
Действительно, рассмотрим функцию
t
из(2, Ь) = J dr J ~о^(т)9^ & Ь " r)/(^ r)d* (20,48)
140
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
где функция g(x,y,t) - решение задачи (20.25). Тогда
t
Lu2{x,t) = dr ——Lxg(x,y<t - r)f{y,r)dy.
J J o^{t)
0 E
Аналогично
г
Ptu2{z,t) = dr ——Ptg(x,y,t - T)f(y,r)dy +
0 E
+<*з(*) / -^9t(x,y,0)f{y,t)dy +
J 0,2(1)
E
W*) у ^9(x,y,Q)f(y,tW.
E
С учетом определения (20.27) получим
Ati2(x,<) = fdT j -^Ptg(x,y,t-T)f(y,T)dy+ f{x,t).
0 E
Отсюда в силу произвольности функции /(j/, г) следует, что
представление (20.46) эквивалентно представлению (20.48) и
соотношение (20.47) справедливо. Для уравнения
теплопроводности доказательство аналогично.
20.4. Неоднородные граничные условия
Рассмотрим, наконец, задачу (20.8). Покажем, что ее
можно свести к рассмотренным ранее. Действительно, пусть v(x. t)
- произвольная функция, удовлетворяющая условию
a(x)j£+p{g)v] \$Е = fi(x,t)\SE. (20.49)
Решение уравнения (20.8) будем искать в виде
u3(x, t) = v(x, t) + w{x, t). (20.50)
21. Задача Штурма-Лиувилля и краевые задачи
141
Тогда для определения функции w(x,t) имеем задачу
p(x)Ptw = Lw + /(ж, t), (20.51)
(«ю£+Я*)»)|,я = о.
w\t=o = -v\t=o, wt\t=o = -vt\t=o,
где
f(x, t) = Lv(x, t) - p(x)Ptv(x, t),
т.е. для функции ш(ж, t) получим задачи, рассмотренные
выше. Тогда ее можно записать в виде
w(x,t) = dr <£(x,y,t<r)f(y,T)dy-
о я
• / 0(«, у, ф(у, 0)dy -/*(*, U *№(y, 0)dy. (20.52)
Соответственно для уравнения теплопроводности вместо
(20.52) получим
;(ж, t)= dr <£(ж, у, t, r)f(y, r)djT- / у(ж, y, t)v(y, 0)dy =
о я б
t
= / ^-rr / g(S,ifit - T)f(y,r)dy- I g(x,y,t)v(y,Q)dy.
Для оператора Pt = a 2 формулу (20.52) можно записать с
помощью одной функции Грина g(x,y,t):
w(x, t)= dr g(x, у, * - r)/(y, r)dy -
О Е
- / 9t(x,V,t)v{y,i))dy- / y(s,y,t)t*(y,0)dy.
142
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
21. Задача Штурма-Лиувилля и краевые
задачи для стационарных уравнений
Рассмотрим следующую задачу:
£« = /(£); (21.1)
(«(*)|jf+#*)«) |Sb = ¥>(*)|s,- (21-2)
Решение задачи (21.1), (21.2) будем искать в виде
u(x) = w(x) + v{x), (21.3)
где и(х) - произвольная гладкая вместе со своими
производными второго порядка функция, удовлетворяющая условию
[a(S)^+fi{S)v]\SB=V{g)\SB.
например, v(x) = <р(х), если функция р(х) удовлетворяет
перечисленным условиям. Тогда для функции w(x) получим
уравнение
Lw = f[x) (21.4)
с однородными граничными условиями
a(x)^+0(x)w]\SE=O. (21.5)
Здесь обозначено
№ = /(*) - Lv(x).
Решение уравнения (21.4) будем искать в виде
оо
W(*) = ^wn'vn(x), (21.6)
п=0
где vn(x) - собственные функции оператора L в области Е.
Подставим (21.6) в уравнение (21.4):
L^2wnvn(x) = f(x);
п=0
21. Задача Штурма-Лиувилля и краевые задачи
143
^(-K)p(x)wnvn(x) = ^p(x)anvn(x), (21.7)
n=0 n=0
где
и приравняем коэффициенты при одинаковых функциях vn(x).
Получим
Апшп = —а„, п = 0, оо,
где Лп - собственные числа задачи (19.1), (19.2). Предположим,
что Лп ф О, и, следовательно, функция w(x) есть
оо
»(5) = -Ег,,,,(5) (2L9)
»=о п
и решение исходной задачи имеет вид
оо
u(x) = v(x)-Y/^-vn{x). (21.10)
п=0 Лп
♦ Обобщенная функция д{х,у) называется функцией
источника, или функцией Грина внутренней краевой задачи, если
она при фиксированных у Е Шп удовлетворяет уравнению
* Lrg(z,y)=6(z-y) (21.11)
и однородному граничному условию
= 0, (21.12)
sE
{а>(х)+р-(х)}\5вф0,
где п - единичный вектор, нормальный к поверхности 5 и
внутренний по отношению к области Е (внутренняя нормаль).
В случае граничных условий первого (a(ic)|s = 0), второго
(j3(x)\s = 0) и третьего рода функция д(х, у) называется
функцией Грина (функцией источника) первой, второй и третьей
краевой задачи соответственно.
144
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля
Утверждение 21.1. Функцию источника, или функцию
Грина, д(Х)У) внутренней краевой задачи (21.11), (21.12) можно
представить в виде
^й=£-жЬр^(£)в-(й- (21ЛЗ)
Действительно, подставив f(x) = 5(х — у) в (21.8), из (21.9)
получим (21.13).
Утверждение 21.2. Пусть д(х.у) - функция Грина
внутренней краевой задачи (21.11), (21.12). Тогда решение
однородной задачи (21.1), (21.2) [<р(х) = 0] можно представить в
виде
u(x)=Jg(x,y)f(y)dy. (21.14)
Е
Действительно, подставив коэффициенты ап (21.8) в (21.9)
и поменяв местами суммирование и интегрирование, с учетом
(21.13) и (р(х) = 0 убеждаемся в справедливости утверждения.
О Из явного вида функции Грина (21.13) следует, что она
определена, если соответствующая задача Штурма-Лиувилля
не имеет тривиальных собственных значений. В противном
случае можно ввести обобщенные функции Грина,
аналогичные тем, которые возникали в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. разд. «Краевая задача для
линейных дифференциальных уравнений с параметром» части
II). Например, для второй краевой задачи ()3(x)\s = 0)
(V, k(x)Vu) = /(2), ^^|Se = 0 (21-15)
существует обобщенная функция Грина, удовлетворяющая
вместо (21.11) условию
(дд(х,у)'
I дпх
Se
1_
So'
(21.16)
где So - площадь поверхности Se- Такая функция Грина
называется функцией Неймана (см. также [46]). Подробно такая
задача будет рассмотрена ниже.
ГЛАВА 5
Уравнения эллиптического типа
22. Формулы Грина
Теорема 22.1. Пусть Е - область в пространстве М3,
граница которой Se ~ кусочно-гладкая замкнутая поверхность.
Тогдаj если функции и(х) и v(x) непрерывны вместе со
своими первыми и вторыми производными в области Е вплоть
до границы Se, справедливы соотношения
/ [u(x)Av(x) + (Vw(x), Vv(x))]dx =
Е
= &u(x)(Vv{z),d§). (22.1)
Se
J [u(x)Av(x) — v(x)Au(x)]dx =
E
= <f([u(x)Vv(x) - v{x)Vu(x)],dS). (22.2)
Se
Соотношения (22.1) и (22.2) называются
соответственно первой и второй формулой Грина.
Доказательство. Формула Остроградского в случае трех
переменных имеет вид
fdivA(x)dx= &{A{z),dS). (22.3)
Е SE
В правой части стоит поверхностный интеграл второго рода,
где dS = ndS и нормаль п является внешней по отношению к
замкнутой поверхности Se- Положим в (22.3)
А(х) = u(x)Vv(x),
т-r /-ч j /-ч (dv(x) dvlz) dv(x)\
146
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
где и(х) и v(x) - функции, непрерывные вместе со своими
первыми производными в области Е, тогда
divide) = (V,l(z)) = (V,Hx), Vv(x))) =
= u(x) Av(x) + (V'u(£), Vv(x)),
т.е.
div Л(ж) = м(ж)Дг>(ж) + (Vu(z), Vt>(z)).
Подставив в (22.3), получим (22.1). Заменим в (22.1) u(x) на
v(x), a v(x) на м(ж), тогда
f[v(x)Au(x) + {7u(x),y7v(x))]dx = I v(x)(Vu{x),d§). (22.4)
Вычтем полученное соотношение из (22.1) и получим (22.2).
Таким образом, теорема доказана.
О Условия, которые накладываются теоремой 22.1 на
функции и(х) и v(x), определяются типом поверхности Se, для
которой справедлива формула Остроградского. Ниже будет
показано, что эти требования можно ослабить, если усилить
ограничения на поверхность Se-
О Формулы Грина (22.3) и (22.4) остаются
справедливыми, когда область Е ограничена несколькими поверхностями
(т.е. имеет многосвязную границу). В этом случае нормаль п,
внешняя по отношению к области Е на поверхностях,
ограничивающих эту область изнутри, будет направлена внутрь
этих поверхностей.
О Формулы Грина (22.3) и (22.1) остаются справедливыми
в пространствах JRn, n ^ 2. При этом под Se подразумевается
замкнутая плоская кривая для п = 2 и замкнутая
гиперповерхность для п > 3.
23. Фундаментальные решения
уравнений Гельмгольца и Лапласа
♦ Уравнение
Ди-Аи = /(ж), А = const, хеШп, (23.1)
называется уравнением Гельмгольца.
23. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца 147
♦ Фундаментальным решением уравнения Гельмгольца
(23.1), или функцией Грина уравнения Гельмгольца,
называется обобщенная функция £(ж, i/), удовлетворяющая уравнению
[Д, - \]£{х,у) = 6{х-у), х,уеШп, (23.2)
где S(x-y) = S(xi-yi)S(x2-y2) • •-S(xn-yn) -дельта-функция
Дирака, х - переменная, у - параметр.
В случае п — 3 и положительных Л, Л = к$, уравнение
Гельмгольца используют в ядерной физике (модель Юкавы).
Когда Л отрицательно, Л = — &q, уравнение Гельмгольца
возникает в теории дифракции.
Теорема 23.1. Функция Грина £(х,у) позволяет найти
частное решение уравнения (23.1) при произвольной f(x)
и(х) = f £{z, y)f{y)dy, Е С Кя. (23.3)
Е
Доказательство. Действительно, домножим уравнение (23.2)
на f(y) и проинтегрируем по у в области Е. Тогда
[Д, - Л] J £(2, y)f(y)dy = J[AX - А]£(2, y)f(y)dy =
Е Е
= Jf(m2-y)dy = f(x).
Е
Таким образом, приходим к (23.1), где и(г) определяем из (23.3),
что и требовалось доказать.
О Функция Грина определена с точностью до слагаемого
<7о(ж, $), которое при фиксированном у является произвольным
решением однородного уравнения
[Д*-%о(*.У)=0, (23.4)
но если потребовать, чтобы функция Грина убывала на
бесконечности, то решение такой задачи для положительных Л
единственно. Чтобы решение было единственным для
отрицательных Л, необходимо потребовать также выполнения
условий Зоммерфельда (17.18).
О Функция f(x) имеет смысл плотности источников
данного процесса (например, плотности электростатических
зарядов), распределенных в рассматриваемой среде. А так как
148
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
дельта-функция Дирака S(x — у) является локальной и
сосредоточенной в точке х = у, то S(x — у) = О, если х фу.
Следовательно, решение уравнения (23.2) (функция Грина) описывает
влияние точечного источника, находящегося в точке у.
Теорема 23.2. Фундаментальное решение уравнения Гелъм-
гольца имеет вид
£п(х,у) = <
! e±VX|*-*|
47г \х-у\
[V=A|i
±4Я°
(1,2)
при п — 3;
при п
(23.5)
Доказательство. 1. Сделаем в уравнении (23.2) замену
переменных х — у — R, тогда уравнение (23.2) примет вид
(AR-\)£n(R,y)=6(R).
Так как правая часть уравнения не зависит от у, то его
решение можно искать в виде
£n{R,y)=£n(R),
в результате чего приходим к уравнению
(bR-\)En(R)=6(R). (23.6)
Разложим функцию En(R) в интеграл Фурье
£п (R) = [ £(£)e'"»*>dp, п = 2, 3.
Тогда
AR£n(R) = -Jp2eH(flJ<*'A)dp,
Подставив в (23.2), получим
- J(р2 + X)Sn{p)^'A)dp= щз J е«**>ф
23. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца 149
Здесь мы воспользовались разложением J-функции в интеграл
Фурье (см. разд. «Дельта-функция Дирака» части II)
«*=■&?/"*+
Следовательно,
^ = -(SFFTT (23J)
Сделав обратное преобразование Фурье, найдем
^(Л) = -(2^/?+А* (23-8)
К»
2. Вычислим интеграл (23.8) при п — 3 и Л = Щ. Для этого
перейдем в нем к сферической системе координат, направив
вектор рз по вектору R, тогда (р, R) = pR cos 9, р2 = р2, rip =
= p2dp sin 0 с/0 dtp, p\ = р sin в cos 9^p2 — p sin 0 sin у?, рз = р cos 0,
gip-R cos 0
1 t о Г /* e«P«COS0
*з(й) = -WT4p'dpJ ™edeJ d*TT4 =
0 0 0
2тг)- У р- + &5 У
(271 Г j р- -г *0
* о о
Вычислив интеграл
gipR cos fl
[eipRcos0d(cose)= .
о
о pit
получим
о
oo
1 f , ж sin ж 1 i. о ,ЛЛ ЛЧ
= -Sl^iw = -i^e ° ' (23'9)
150
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
так как (см. пример 23.5 разд. «Приложения теории вычетов»
части I)
/
хsinх . 7г __
dx--ea, a> 0.
x2 + a2 2
о
3. При п — 2 в интеграле (23.8) перейдем к полярной
системе координат: р\ = pcos^>, pi = psin^>, р = |р|, (р, .R) =
= pR cos р. Тогда
ОО 27Г
О О
Воспользовавшись представлением функции Бесселя (III. 10.7)
с помощью интеграла Бесселя, найдем
ОО
с , 5\ ! [ PMRP) dP
о
= -^-K0{Rk) = -^H{01](ikR). (23.10)
27г 4
Здесь использованы формула (6.4) и соотношение (III. 10.24).
Аналогично или методом аналитического продолжения
доказываются остальные формулы (23.5). Выбор
фундаментального решения из (23.5) в каждом конкретном случае обусловлен
постановкой задачи.
ф Функция £п(р) (23.7) (фурье-образ функции Грина)
называется пропагатором уравнения (23.2).
Пример 23.1. Найти общее решение уравнения (23.4),
зависящее только от |ж|.
Решение. Уравнение (23.4) для функции до(х) = 0о(|я|),
|ж| = г, имеет вид:
при п — 3 (в сферической системе координат)
при п = 2 (в полярной системе координат)
23. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца 151
Приняв во внимание, что
1 d / odg0\ Id2.
уравнение (23.11) можно записать
;£5(r0o) - A(rflfo) = 0.
Общее решение последнего имеет вид
Vx
0-rvTi
9о(\х\) = ро(г) = -[Cier^A + С2е~ых].
(23.13)
В свою очередь, уравнение (23.12) представляет собой
уравнение Бесселя индекса v — 0 с параметром —Л:
2d~g0 dg0 2
о.
общее решение которого имеет вид
9о(\х\) = flfo(r) = CiH™(ry/=\) + C2H{02)(rV=\). (23.14)
Поскольку однородное уравнение (23.4) всюду вне точки
х = у совпадаете (23.2), то полученные решения (23.13), (23.14)
с точностью до постоянных множителей совпадают с
соответствующими фундаментальными решениями (23.5).
Следствие. Функция Грина уравнения Лапласа имеет вид
1 1
(23.15)
£n{S,y) = \
47Г \х — у\ '
11п 1
2тг \х-у\'
х,уеШ3:
х,ует2.
Доказательство. Положив в соотношении (23.5) А = 0 и
приняв во внимание поведение функций Ханкеля Hq '" (z) в
окрестности точки z = 0 (см. разд. «Асимптотическое
поведение функций Бесселя» части III)
я
(1,2)
о,
152
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
получим функцию Грина уравнения Лапласа (23.15).
О Соотношения (23.15) можно получить из уравнения
Лапласа с помощью преобразования Фурье аналогично тому, как
были получены соотношения (23.5).
О Очевидно, что функция Грина (23.15) удовлетворяет
уравнению
Ах£п{х,у) = 8{х-у), Ах-—- = -4<к6(х-у), (23.16)
F-2/j
а частное решение уравнения Пуассона Au — f(x) имеет вид
^-Ы'Ш '*■*• ,23Л7)
О Функция Грина уравнения Лапласа (23.15) в
электростатике представляет собой кулоновский потенциал
точечного заряда или заряженной линии, а функция Грина уравнения
Гельмгольца (23.5) в ядерной физике - потенциал Юкавы.
24. Гармонические функции
24.1. Гармонические функции и их свойства
♦ Функция и(х) называется гармонической в области Е С
JR'\ если она непрерывна в Е вместе со своими частными
производными до второго порядка включительно и удовлетворяет
уравнению Лапласа Anu = О во всех внутренних точках
области Е.
О Определение гармонической функции дано для открытой
области. Если в дальнейшем мы будем говорить о
гармонической функции в замкнутой области JE7, то это означает, что она
гармоническая в более широкой открытой области G (Е С G).
О Данное выше определение справедливо как для
ограниченных, так и для неограниченных областей. Иногда для
неограниченных областей его дополняют условием
lim \x\n~2u(x) — const < ос, n ^ 2. (24Л)
|:г|—юо
Ниже будет показано, что это требование выполняется, если
гармоническую функцию подчинить условиям регулярности
(18.7) или (18.8). Такие функции будем называть регулярными
на бесконечности гармоническими функциями.
24. Гармонические функции
153
О Регулярная гармоническая функция в неограниченной
области Е С Шп стремится к нулю при стремлении |ж| к
бесконечности вдоль любой кривой, принадлежащей #, при п > 2 и
является ограниченной при п — 2.
О Отметим, что при п = 1 гармонические функции
удовлетворяют уравнению
d2u
и сводятся к линейным функциям, которые графически
изображаются прямыми линиями. Теория таких функций
рассмотрена в курсе математического анализа и в нашем случае
интереса не представляет. Тем не менее, поведение прямой,
заданной на границе области Е, т.е. в точках а и 6 отрезка [а, 6],
хорошо иллюстрирует и, более того, позволяет предсказать
некоторые свойства гармонических функций размерности п ^ 2.
Действительно, задание значений прямой в двух точках (т.е.
на границе) однозначно определяет, во-первых, явный вид
линейной функции, т.е. поведение функции во всех внутренних
точках отрезка, что соответствует теореме об интегральном
представлении; во-вторых, среднее значение линейной
функции на отрезке [а, 6], что соответствует теореме о среднем.
Кроме того, прямая не может достигать наибольшего или
наименьшего значения во внутренних точках отрезка [а, 6], что
соответствует теореме об экстремуме или принципу максимума.
К рассмотрению этих теорем мы и перейдем, доказав
предварительно следующую лемму.
Лемма 24.1. Если функция и(х) непрерывна вместе со
своими производными до второго порядка включительно в
области Е вплоть до границы Sj£, т.е. и(х) £ С2(Е), то имеют
место формулы
h(x,E)u{x)= / £n(x,y)Au{y)dy+
Е
l{[u(y)V£n{x,y)- £n{x,y)Vu(y)),dS}, (24.2)
+
Se
где
h{x,E)-^ fl для ££Е
154
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
характеристическая функция области Е и
1
Sn(x,£) = <
4ir\x-y\
1 i" 1
• — — шг^—^г ^^ 71 = 2.
L 27Г |ж — з/|
♦ Соотношение (24.2) называется третьей формулой Грина.
Доказательство. Для удобства во второй формуле Грина
положим х = у:
/ W{y)&yv(y) - v(y)Ayu(y)]dy =
Е
= f(W(ii)Vv(y) - v(y)Vu(y)],dSy).
SE
1. Выберем v(y) — \x — у\~г и учтем, что
&y'v(y) = -4irS(x-y).
Тогда
-47г / u(y)S(x-y)dy =
E
Учтя, что
/»(й^-^={;,(г)' I||;
получим утверждение леммы для ^Ct3.
2. Выбрав v{y) — In теглт и Учтя> что
Ау 111 т-s qr = -27Г<У(Ж - у),
получим утверждение леммы для Е С М2.
24. Гармонические функции
155
Теорема 24.1 (об интегральном представлении). Если
функция и(х) - гармоническая в области Е, то имеет место
формула
и(х) = -f {[u(y)V£n{x,y)- £n(x,y)Vu(y)],dSy); (24.3)
SE
хеЕсШп, n = 2,3,
причем эта функция бесконечно дифференцируема во всех
внутренних точках области Е.
Доказательство непосредственно вытекает из леммы 24.1,
если в формуле (24.2) учесть, что Аи = 0. Бесконечная диффе-
ренцируемость следует из соответствующей дифференпируе-
мости интеграла, стоящего в правой части соотношения (24.3),
по параметру ж.
О Таким образом, гармоническая функция в области Е
определяется только значениями и(х) и Vu(x) на поверхности Se-
Теорема 24.2 (о нормальной производной). Если
функция и(%) - гармоническая в области Е С Ш3, то
<I)(Vu(x),dS) = i Щ^-dS = 0, (24.4)
5 5
где S - произвольная замкнутая поверхность, целиком
лежащая в Е. Иными словами, если функция и(х) - гармоническая
в области, ограниченной замкнутой поверхностью S, то
поток W-u(x) через эту поверхность равен нулю.
Доказательство. В первой формуле Грина
/ [v(x)Au(x) + (Vv(x), Vu(x))]dx - <Ъ v{x)(Vu(x),dS)
положим v(x) = 1, а функцию и(х) гармонической. С учетом
Аи(х) = 0, v(x) = 1 и Vv(x) = 0 получим (24.4), что и
требовалось доказать.
Заметим, что теорема 24.2 остается справедливой и в том
случае, когда и(х) гармонична в Е и непрерывна в Е. В этом
случае поверхность S совпадает с Se-
156
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Теорема 24.3 (о среднем). Для функций и(х),
гармонических внутри сферы (окружности) радиуса R, справедливо
соотношение
Ф) = „(2д)п-1 f <V)dSv, п = 2,3. (24.5)
|*-*|=я
Доказательство. При п = 3 будем считать Se в (24.3) сферой
радиуса R = \х — у\. Тогда
/ (|~f'^) = ^ / (Vu(y),dSy) = 0.
\S-j?\=R \Z-y\=R
Последний интеграл равен нулю в силу формулы (24.4).
Заметим, что
y_J - *-*
__А
\S-V\ " ~\x-y\*\\*-y\=R " Д3'
Для сферы
-» 7?
dSy = ndSy — -—dSy.
R
Следовательно, из (24.3) получим
и(х) = ^2 f u(y)dSy.
Доказательство для случая п = 2 аналогично.
О Теорема о среднем утверждает, что значение
гармонической функции в некоторой точке х равно среднему значению
этой функции на сфере с центром в точке ж, если сфера не
выходит из области гармоничности.
Теорема 24.4 (об экстремуме). Если и(х) гармонична в
замкнутой области Ё — Е + Se* где Se ~ граница Е, то
она не может достигать экстремального значения во
внутренних точках области Е, т.е.
min и(х) ^ и(х) ^ тахи(ж), х £ Е. (24.6)
x€Se &€Se
Соотношение (24.6) называется принципом максимума.
24. Гармонические функции
157
Доказательство. Проведем доказательство от противного в
предположении, что и(х) гармонична в Е. Пусть функция и(х)
не равна тождественно постоянной, а точка xq £ Е - точка
максимума. Тогда
u0 = u(x0) ^ u(x)
в некоторой окрестности точки жо, принадлежащей области
гармоничности. Возьмем малую сферу радиуса £, целиком
лежащую в этой окрестности, тогда
и(во) = т—J f u(x)dS.
|*-*о|=«
Поскольку u(x) ^ wo, должно выполняться неравенство
и(х0) ^ —^2 f dS ^ w0.
|f-^o|
Здесь мы воспользовались соотношением
/
\x-y\=R
Следовательно, возможно только равенство, атогдаи(£) = const,
что противоречит предположению и доказывает утверждение.
Доказательство для точки минимума аналогично.
Пример 24.1. Показать, что если две функции и(х) и -у (ж),
гармонические в Е и непрерывные в Е, удовлетворяют на
границе Se неравенству
u(x) <С v(x), (24.7)
то оно справедливо и для* всех внутренних точек области Е.
Решение. Рассмотрим функцию w(x) = u(x) — v(x),
гармоническую в Е< непрерывную в Ё и удовлетворяющую условию
ш(ж)|5 ^ 0. Предположим, что в некоторой внутренней точке
х G Е имеет место неравенство w(x) > 0. Но это
предположение противоречит замечанию к теореме 24.2, и, следовательно,
неравенство (24.7) справедливо во всей замкнутой области Е.
158
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
В заключение сформулируем некоторые утверждения,
вытекающие из замечания к теореме 24.2, которые потребуются
нам при рассмотрении краевых задач для уравнений Лапласа
и Пуассона.
Утверждение 24.1. Если и(х) гармоническая в Е и
непрерывная в Е, то
\и(х)\ ^ max |и(ж)|, х е Ё. (24.8)
x€Se
Неравенство (24.8) следует непосредственно из (24.6).
Утверждение 24.2. Если гармоническая функция и(х)
равна нулю на границе области Е, то она тождественно равна
нулю внутри этой области.
Утверждение 24.3. Если последовательность
гармонических в области Е и непрерывных в Е функций {ит(х)}, т —
О, ос, сходится равномерно на границе области Е, то она
равномерно сходится в Е к гармонической функции.
Из неравенства (24.8) вытекает
lim \щ{х) — ит(х)\ <^ lim max |и*(ж) - ит(ж)| = 0, жЕ Ё,
к —юо к —юо x£Se
т—юо т—юо
откуда следует справедливость первой части утверждения.
Справедливость второй его части вытекает из теоремы о
среднем: поскольку функции ит(х) удовлетворяют равенству (24.5),
то и их предел удовлетворяет этому же равенству, откуда и
следует гармоничность предельной функции.
Аналогичные утверждения для неограниченных областей
мы сформулируем ниже, рассмотрев поведение гармонических
функций на бесконечности.
24.2. Поведение гармонических функций
в особых точках и на бесконечности
Пусть функция и(х) гармонична в области Е, за исключением
особой точки у G Е. Рассмотрим ее поведение в окрестности этой
точки.
Теорема 24.5. Если функцияи(х) - гармоническая в области Е С
Мг\ за исключением точки х = у, в окрестности которой она
ведет себя так, что
24. Гармонические функции
159
lim "/** = 0, (24.9)
где £п(%,у) - фундаментальное решение оператора Лапласа, то
и(х) можно гармонически продолжить в эту точку.
Доказательство. Рассмотрим сферу Sc радиуса е с центром в
точке х = у. Выберем гармоническую внутри Sc функцию v(x),
которая на Se совпадает с рассматриваемой функцией и(х) (согласно
теореме 24.8 о единственности решения задачи Дирихле, это
всегда возможно). Из условия (24.9) следует, что в окрестности точки
х = у функция и(х) удовлетворяет оценке и(х) = »(£?)£,,(£,у), где
а (ж) - бесконечно малая величина при х -* у. Рассмотрим еще две
функции: wi(x) = и(х) - v(x) и ад2(я) = fi[£n{x,y) - £»»(£о,27)], где /3
- произвольное положительное число, а жо — произвольная точка,
лежащая на сфере 5£.
Из точки х = у, как из центра, опищем еще одну сферу Ss-,
лежащую внутри Sc, с радиусом S таким, чтобы на Ss выполнялось
неравенство
«a(2)|s^|wi(3)||v (24.10)
Поскольку функция wi(sS) как разность гармонических функций
гармонична в области вне Ss и внутри 5£, то неравенство (24.10) с
границы Ss можно продолжить на эту область. Для функции wo(x)
с фиксированной точкой х ф у предельный переход /3 —> 0 дает
lim wzix) = 0.
Но это означает, что функция wi{x) = 0 всюду, за исключением,
может быть, точки х = у. Таким образом, функция и(х) всюду в Е,
за исключением точки х = у, совпадает с функцией v(x).
Доопределив функцию и(х) так, чтобы и(у) = v(y), получим функцию и(х)ч
гармоническую^всюду в области Е.
Прежде чем перейти к рассмотрению поведения гармонической
функции на бесконечности, коротко остановимся на
преобразованиях, сохраняющих гармоничность рассматриваемых функций.
Известно, что на плоскости, т.е. в К", любое конформное
преобразование
w(z) = и(х<у) + iv(x,t/), z = х + iy4 z £ Е, w £ D.
области Е в область D сохраняет гармоничность функции /(ж, у),
так как
Обобщим известное для R" понятие симметрии относительно
окружности на R3.
160
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
♦ Точки х и х' называются симметричными относительно
сферы (окружности) радиуса R с центром в начале координат,
если они лежат на одном луче, исходящем из начала координат, и
\x\-\x'\ = R\
Очевидно, что декартовы координаты симметричных точек
связаны соотношениями
X = XW?' X=XW ( }
♦ Функция
^)=(§у-\Ю=(^П-\ф), (М.12)
£eRn, п = 2,3
называется преобразованием Кельвина гармонической функции и(х).
Теорема 24.6. Если функция и(х) гармоническая в окрестности
точки х, то ее преобразование Кельвина - функция v(x)
гармонична в окрестности точки х!, симметричной точке х относительно
сферы (окружности) Sr.
Доказательство. 1. Для п = 3 точку х зададим сферическими
координатами г,0.<р. Тогда точка х будет иметь координаты г\0,<р,
где г = Я2/г. Теорема будет доказана, если мы покажем, что из
уравнения
Л^«=^|:(г2^)+^Д«,^ = 0 (24.13)
следует уравнение для функции v
д^"=(^^Ий+(^д^=о- (24Л4)
В (24.13) и (24.14) введено обозначение
1 ft2 1 ft / ft \
Д0 = ——.—— + -—-—[ sin 0—)• (24.15)
* sin2 в dip2 sinOdOK дв) v '
Заметив, что
lif^-i^™), (24.16)
уравнение (24.13) можно записать
. l[£>2(rtt) , 1Л 1 1 \д2(т) ,
+±ь.Л™)] = f [& + h АвН = °- (24Л7)
24. Гармонические функции
161
С учетом того, что
Bv _ dv_dr^__ dv_(_&\ (г')2 dv
дг ~ дг' дг ~ дг' \ г2) ~ в? дг''
соотношение (24.17) примет вид
откуда и следует (24.14).
2. Доказательство для п = 2 аналогично.
Как уже отмечалось, преобразование Кельвина позволяет
некоторые внешние задачи сводить к внутренним (см. разд.
«Постановка начальных и краевых задач для уравнений математической
физики») и наоборот. Кроме того, оно позволяет достаточно просто
оценить поведение гармонической функции на бесконечности.
Теорема 24.7. Если функция и(х) гармонична и регулярна вне
шара (круга) Е : |ж| ^ R, то при \х\ —> оо справедливы следующие
оценки:
u(x) = 0(l), gradu(x) = 0(|x|-2), n = 2; (U lg)
и(£) = 0(\3\~1), gradu(x) = 0(|xr2), n = 3. К ' }
Доказательство. Для п = 3 преобразование Кельвина функции
ti(x), согласно (24.12), имеет вид
/^/ч R / Л _Д
<x) = w\u\wx)
и является гармонической функцией внутри шара Е, за
исключением точки х! — 0, в которой она в силу регулярности функции и(х)
на бесконечности удовлетворяет оценке
<*) = ЩоМ = о(\г'Г) = o(£z(S')). (24.19)
Условие (24.19) эквивалентно условию (24.9). Это означает, что
функция v(x') гармонически продолжается в точку х! = 0.
Совершив обратное преобразование Кельвина, для функции и(х) получим
представление
,- R (В? л
UW = W\V\WX)'
откуда и следуют оценки (24.18). Доказательство для п = 2
аналогично.
162
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Теоремы 24.5-24.7 показывают, что утверждения 24.1-24.3
можно распространить на неограниченную область К \Е с границей Se
при условии регулярности функции и(х) на границе.
Действительно, пусть функция и(х) - непрерывная в К3\Е И
регулярная гармоническая в К3\Ё. Согласно теореме 24.7, и(х*) при
х —У оо удовлетворяет оценкам (24.18).
Начнем со случая п = 2, для которого при х —> оо
справедлива оценка u(x) = O(l). Пусть Sr - окружность, целиком лежащая
в области Е. Тогда преобразование Кельвина (24.12)
относительно этой окружности трансформирует неограниченную и лежащую
вне Sr область К3\Е в ограниченную и расположенную внутри Sr
область (М3\Е); с границей S'R. По теореме 24.6 функция
v(2') = 4jir')
непрерывна в (М3\Е)' и гармонична в (М3\Ё)\ за исключением,
может быть, точки х = 0, в которой она ограничена. Но по
теореме 24.6 такую функцию можно доопределить до гармонической,
что позволяет считать функцию v(x') гармонической в замкнутой
ограниченной области (JR3\^); с границей S'R. Но тогда, согласно
(24.8),
\v(x)\ ^ max \v(x)\, x' G (К2\Я)'.
Совершив обратное преобразование Кельвина, получим
u(£')=t,(jfH' 2€r2\^'
откуда и следует справедливость соотношения (24.8) для
неограниченной области К2\.Е с границей 5д, что влечет за собой
справедливость утверждения 24.2 для К \Е. Для п = 3 доказательство
аналогично.
Утверждение 24.4. Гармоническая функция, ограниченная во
всем пространстве Kn, n ^ 2, равна постоянной.
Утверждение 24.5. Регулярная гармоническая в Кп, п ^ 3,
функция есть тождественный нуль.
24.3. Постановка, разрешимость и единственность
краевых задач для уравнений
Лапласа и Пуассона
Рассмотрим более подробно краевые задачи для уравнения
Лапласа, сформулированные в разд. «Постановка начальных и краевых
задач для уравнений математической физики».
24. Гармонические функции
163
Обратимся, например, к внутренней задаче Дирихле в
ограниченной области Е с границей Se*
Au(x) = О, х е Е, (24.20)
u(*)\Se=№\Se, *e$s. (24.21)
Поскольку решение уравнения (24.20) обычно ищут в открытой
области Е, то одного граничного условия (24.21), вообще говоря,
недостаточно для обеспечения единственности решения задачи.
Например, функция
"W=W" ill <24-22>
с произвольными постоянными С\ и Со является неоднозначным
решением задачи. Более того, в различных подобластях области
Е произвольные постоянные можно выбрать по-разному. Поэтому
корректная постановка задачи, помимо (24.20), (24.21),
предполагает выбор классов искомой функции и(ж), а также f(x) и 5е,
допускающих ее устойчивое решение. Будем искать решение краевых
задач (18.3) в классе регулярных гармонических функций, и пусть
Se - замкнутая гладкая в смысле Ляпунова поверхность (кривая
при Е С М"), ограничивающая область Е.
♦ Поверхность S называется поверхностью Ляпунова (или
гладкой в смысле Ляпунова), если она удовлетворяет следующим
условиям:
1) в каждой точке поверхности S существует касательная
плоскость;
2) существует такое г > 0, что вокруг каждой точки М
поверхности S можно описать шар радиуса г, внутрь которого попадает
лишь участок Sm поверхности 5, являющейся окрестностью
точки М на поверхности. 5 и пересекаемой прямыми, параллельными
нормали ПМ) восстановленной из точки М, не более одного раза;
3) нормаль к поверхности S непрерывна в смысле Липшица-
Гельдера с показателем 0 < а ^ 1, т.е. если пм и пр — нормали к
поверхности 5, восстановленные из точек М и Р, то
\пм-пР\ < CRa, (24.23)
где С — некоторая постоянная, а Л — расстояние между точками
Ми Р.
В рамках сделанных предположений и обозначений
сформулируем основные краевые задачи для уравнения Лапласа (где, как
обычно, Ё = Е + 5е).
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в Е
функцию, непрерывно примыкающую [т.е. и(х) £ С(Е)] к заданной
(непрерывной) на Se функции f(x).
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в Е
функцию и(х) е С(Е) такую, что (du/dn)\sE = /(ж), где /(£) - заданная
164
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
(непрерывная) на Se функция, an- нормаль к Se, внешняя
относительно Е.
Внутренняя третья краевая задача: найти гармоническую в Е
функцию u(x) £ С(Е) такую, что [(du/dn) -f hu]\sE = /(ж), где
/(ж) - заданная (непрерывная) на Se функция, п - нормаль к Se,
внешняя относительно Е, и h = /3/а > 0 [см. (18.3)].
Внешние задачи, т.е. задачи для области К3\Ё, формулируются
аналогично внутренним с соответствующей заменой ЕнаМ3\ЁиЁ
на К3\Е при дополнительном условии регулярности функции и(х)
на бесконечности.
Теорема 24.8. Решение и внутренней, и внешней задачи Дирихле
единственно и непрерывно зависит от граничного условия.
Доказательство. Предположим противное: пусть ui(x) и ^(ж) —
два решения задачи Дирихле (внутренней или внешней). Тогда
разность xti(x) — uo(x) также является решением задачи Дирихле с
граничным условием [tii (ж) — ^(ж)] =0. Но в таком случае,
согласно утверждению 24.2, ui(x) — ^(ж) = 0. Тождество ui(x) = и^{х)
доказывает первую часть теоремы независимо от того, решениями
внутренней или внешней задачи являются функции и\(х) и ио(х).
Перейдем к доказательству устойчивости решения задачи, т.е.
непрерывной зависимости решения и(х) от граничного условия.
Пусть tii (ж) и «2 (ж) - два решения задачи Дирихле (внутренней
или внешней), соответствующие граничным условиям
Предположим, что граничные условия удовлетворяют оценке
\h(S)-MS)\\SE^e.
Тогда такой же оценке на границе области Е удовлетворяет
гармоническая функция tii(ж) — и,2(х). В силу неравенства (24.8) оценка
|ги(ж) - «2(ж)| < е
справедлива для всех ж, принадлежащих области Ё для внутренней
задачи и области R3\.E для внешней, откуда и следует устойчивость
решения задачи Дирихле.
0 Если /(ж) = 0, то решение задачи Дирихле для уравнении
Лапласа есть тождественный нуль, т.е. и(х) = 0.
Отметим, что постановка задачи Дирихле допускает
расширение на разрывные граничные условия. Теорема 24.8 остается
справедливой и в этом случае, если потребовать, чтобы и(х) непрерывно
примыкала к граничным значениям в точках непрерывности
последних и была ограниченной в Е.
24. Гармонические функции
165
Теорема 24.9. Решение внутренней задачи Неймана определено с
точностью до аддитивной постоянной. Для разрешимости этой
задачи необходимо и достаточно выполнение условия
(условияразрешимости)
(24.24)
<Ь f(x)dS = 0.
sE
Доказательство проведем при дополнительном условии, что
функция и(х) имеет непрерывные первые производные в Е. Пусть и\ (х)
и U2 (х) - два решения внутренней задачи Неймана
ди
дп
sE
'•№
SE
(24.25)
Аи(х) = 0,
Очевидно, что для функции v(x) = ui(x) — «2(2?) будем иметь
= 0. (24.26)
Av(x) = 0, *
sE
В рамках сделанных предположений можем воспользоваться первой
формулой Грина (22.1), положив и(х) = v(x). Тогда
/ „(£) <M*ldS = f[v(x)Av(x) + (Vt;, Vv)]dx. (24.27)
SE E
Формулу (24.27) с учетом (24.26) можно записать
откуда в силу непрерывности и(х) и ее первых производных
следуют соотношения
dv
dv
= 0,
dv
дх\ дх2 дх$
означающие, что v(x) = const или ui(x) = U2(x) -f const.
Необходимость условия (24.24) очевидным образом вытекает из
второй формулы Грина (22.2), если положить там v = 1:
/ Аи(х) dx = ф
е sE
ди(х)
дп
dS,
и учесть (24.25).
В физическом смысле условие (24.24) является частью законов
сохранения соответствующих физических процессов и для
уравнения Лапласа оно означает отсутствие внутри Se источников тепла,
зарядов и т.д.
166
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Теорема 24.10. Регулярное на бесконечности решение внешней
задачи Неймана
Аи(х) = 0, х
ди\
дп\5Е
ек*\Е, e = e + se,
= /(*)|5я, ^ = 2,3
(24.28)
единственно в К3 и определено с точностью до аддитивной
постоянной в К2. Необходимым и достаточным условием
разрешимости задачи в К2 является равенство (24.24).
Доказательство. Пусть сфера (окружность) Sr С М* радиуса R
содержит Ё. Тогда Se U Sr есть граница конечной области G.
Привлекая, как и при доказательстве теоремы 24.9, первую формулу
Грина для разности
v(x) = ui(x) -ti2(:H),
где tii(ж), ио(х) - два решения задачи (24.28), найдем
f[vAv + (Vv,Vv)]dx = f v^dS+ [ v^dS.
G Se
Отсюда, приняв во внимание, что
dv\
Sr
dn\sE
получим
/
[vAv + (Vi>, Vv)]d:
, = jv
dS.
(24.29)
g sR
Далее доказательство для k = 2 и k = 3 проведем раздельно.
Для к = 3, учтя поведение гармонической функции на
бесконечности, на сфере Sr имеем оценки
w < 1Г
дп
<
Я2'
(24.30)
из которых вытекает, что
SR SR
и, следовательно,
dv ^2
\дх
J[(dx-J +teJ +(-dx-j\dx<4"-ir-
24. Гармонические функции
167
Устремив в этом неравенстве R —> оо, получим
/[(S2+(£)2+(fe)1d2=o-
G
Это возможно лишь при условии
ду _ ду_ _ dv_
дх\ дх2 dxs
и, значит, v(x) есть постоянная. Но эта постоянная может быть
только нулем, поскольку и(оо) = 0. Таким образом, разность двух
решений внешней задачи есть нуль и, следовательно, она имеет
единственное решение.
Для к = 2 с учетом поведения гармонической функции на
бесконечности на окружности Sr имеем оценки
ду
дп
М2
< Я2'
\vi(x)\ <Mi,
из которых следует
2nMiM2
\Jv^dS\^JMmds^'i^jdS
SR SR SR
Таким образом, оценка для случая к = 2 аналогична оценке
для к = 3. Следовательно, в К2 функция v(x) также является
постоянной, но теперь эта постоянная не обязана быть нулем, что и
доказывает вторую часть теоремы.
Необходимость условия (24.24) при к = 2 очевидным образом
вытекает из второй формулы Грина (22.2) для области G, если там
положить v(x) = 1:
/*.— /£«+/£«
Учтя в (24.28) направление нормалей на Se и окружности 5я,
получим
I f(x)dx= S^p-dS.
SE SR
Перейдя к пределу jR —> оо и использовав оценку ди/дп\я, = 0(Я~2),
придем к (24.24), что и требовалось доказать.
Теорема 24.11. Решение третьей краевой задачи - как
внутренней, так и внешней - единственно.
168
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Доказательство аналогично доказательству рассмотренных
выше теорем. Несмотря на это, мы приведем доказательство для
внутренней задачи:
Аи(х) = 0, х£Е; (|£ + Ь«)| =/(3)^, (24.31)
чтобы подчеркнуть роль условия h > 0. Действительно, пусть ui (х)
и 1*2(ас) - два решения задачи (24.31). Тогда для функции v(x) =
= iti (ж) — по (х) имеем третью краевую задачу с однородным
граничным условием, т.е.
Av(z) = 0, х£Е; {lT + hv)\ = °- (24.32)
Далее воспользуемся формулой (24.27) с учетом (24.32), тогда
SE Е
Сумма двух интегралов от положительно определенных (h > 0)
функций может обратиться в нуль только при условии v(x) = 0 в
Ё, т.е. Ui(ic) = «2(3?) везде в Е, что и требовалось доказать.
Перейдем к уравнению Пуассона.
Теорема 24.12. Решение уравнения Пуассона
Аи(х) = -F(z), х е М3, (24.34)
регулярное на бесконечности [ti(oo) = 0], единственно.
Доказательство. Пусть wi(x), u?(x) -дварешения задачи (24.34).
Тогда их разность v(x) = Ui(x) — ii2(x) является гармонической в К3
функцией, регулярной на бесконечности и, согласно утверждению
24.5, есть тождественный нуль, что и требовалось доказать.
Постановка краевых задач для уравнения Пуассона аналогична
постановке краевых задач для уравнения Лапласа. Теоремы 24.8-
24.11 остаются справедливыми и в этом случае с единственной
оговоркой: в теореме 24.9 условие разрешимости (24.24) заменяется
условием
J f(x)dS+ I F(x)dx=0, (24.35)
sE в
вытекающим, как и (24.24), из второй формулы Грина (22.2), но
теперь с учетом (24.34).
Условие (24.35) в случае F(x) = 0 естественно переходит в
(24.24), а для однородного граничного условия f(x)\ = 0 полу-
чим
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 169
[ F(x)dx=0. (24.36)
Е
Ниже мы покажем, что замена
u(x) = v(x) + V(x), x £ Е,
где V(x) - объемный потенциал в области Е с плотностью заряда
(вещества) F(x), сводит уравнение Пуассона (24.34) для функции
а(х) к уравнению Лапласа для функции v(x).
Ниже мы рассмотрим методы решения поставленных задач,
начав с метода разделения переменных, или метода Фурье.
25. Разделение переменных
в уравнении Лапласа
Этот раздел посвящен одному из наиболее
распространенных методов решения начальных и краевых задач - методу
Фурье или, как его называют в соответствии с основной
идеей, методу разделения переменных. Этот метод оказывается
эффективным в тех случаях, когда, во-первых, уравнение в
частных производных в выбранной системе координат
допускает разделение переменных и, во-вторых, граничные условия
задаются на координатных линиях или поверхностях данной
системы координат. Это позволяет из общих решений
обыкновенных дифференциальных уравнений по соответствующим
переменным выделить единственные решения и, как
следствие, определить единственное решение исходной задачи.
25.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа
в декартовой системе координат
Рассмотрим пример, наглядно иллюстрирующий сущность
метода. В прямоугольнике О^ж^а, O^t/^б рассмотрим
следующую задачу Дирихле для функции и(х,у):
d2u d2u
^2+^1- = 0, 0 < ж < а, 0<у<Ь; (25.1)
и(ж,0) = /(ж), и(х,Ь) = (р(х), и(0,у)=ф(у), u(a,y)=x{y)-
Функции /(ж), ^>(ж), ф(у), х{у) непрерывны на каждой
стороне прямоугольника, а в его вершинах в зависимости от
физического смысла величины и (ж, у) эти функции могут быть
170
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
непрерывными или иметь разрывы. В первом случае должны
выполняться условия непрерывности
f(a) = х(0), Х(Ъ) = ¥>(<*), р(0) = ф(Ь), ф(0) = /(0). (25.2)
Рассмотрим последовательно обе возможности.
I. Граничные условия в вершинах прямоугольника имеют
разрыв.
В этом случае сразу можно провести редукцию задачи.
♦ Процедура сведения исходной задачи к более простым
называется редукцией исходной задачи.
Представим функцию и (ж, у) в виде суммы четырех
гармонических функций
и(х, у) = tii (ж, У) + и2{х, у) + и3(ж, у) + и4(ж, у), (25.3)
каждая из которых принимает заданные значения на одной из
сторон, обращаясь в нуль на остальных трех. В результате
имеем четыре задачи Дирихле
дх2 ду:
с граничными условиями
+ п]М^)=0. »'=1И, (25.4)
щ(ж,0) = /(ж), иг(х,Ъ) = иг(0,у) =иг(а,у) = 0;
и2(х, 0) = 0, и2(х, Ь) = <р(ж), и2(0, у) = м2(а, у) = 0; m -*
из(*, 0) = пз(«, Ь) = 0, и3(0, у) = ф(у), и3(а, у) = 0; ^^
м4(ж, 0) = м4(ж,Ь) = м4(0, у) = 0, м4(а,t/) = x(t/).
Найдем одну из функций и,(ж, у), например и2(ж, у). Следуя
идее метода, частное решение задачи ищем в виде
u2(x,y)=X(x)Y(y), (25.6)
где Х(х) и Y(у) - «функции разделения», каждая из
которых зависит только от одной переменной. Подстановка (25.6)
в (25.4) дает
X"(x)Y(y)+X(x)Y"(y) = Q.
Следующий шаг метода разделения переменных состоит в
том, что уравнение, в которое уже подставлены функции
«разделения», домножается на такой множитель, чтобы получить
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
171
сумму, каждое из слагаемых которой зависит только от
одной переменной. В данном случае таким множителем является
[XWYiy)]-1:
Х"(х) Y"(y) =0
(Х(х) + Y{y)
Последнее равенство возможно лишь тогда, когда каждое
слагаемое (группа слагаемых), зависящее только от своей
переменной, равно константе, а сумма этих констант равна нулю.
Поскольку мы имеем всего две переменных, то констант
должно быть две, равных по величине и противоположных по знаку.
Следовательно,
Х"(х)_ Y"(y)_
TvTT —4F7~T - А> Л = const.
{Х(х) Y(y)
В результате приходим к двум обыкновенным
дифференциальным уравнениям
Х"(х) = ХХ(х),
Y"(y) = -XY(y).
Эти уравнения необходимо дополнить граничными
условиями, которые следуют из подстановки (25.6) во вторую строку
(25.5):
X(x)Y(0) = 0, u2(x,b) = ip(x),
X{0)Y{y)=0, X(a)Y(y)=0.
Так как сомнбжители Х(х) иУ(у) для произвольных х и у не
могут обращаться в нуль, [тогда из (ж, у) = 0], то
Х(0) = Х(а) = 0, У(0) = 0, и2(з, Ь) = ф). (25.7)
Таким образом, для функций Х(х) иУ(у) получим следующие
задачи:
Х"(х) = \Х{х), Х{0) = Х(а) = 0; (25.8)
У"(у) =-АУ(у), У(0)=0. (25.9)
Задача (25.8) представляет собой задачу Штурма-Лиувил-
ля для Х(х}, решение которой приведено в примере III.2.2:
JYTIX / 7Г71 \ ■*
Хп(х) =ап&т , А„ = —(—J , п=1,оо. (25.10)
172
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Общее решение уравнения (25.9) с учетом (25.10) имеет вид
,, , ч . . 7Г71 . 7Г71
Yn (у) = 6n sh —у + с„ ch —у.
а а
Если учесть, что Уп(0) = 0, то
Yn(y) =bnsh—у
a
и, следовательно,
. ч , ч , , 7Г71 7Г71
и2\я,У) - Xn(x)Yn(y) = an6nsm —zsh —у =
a a
. 7Г71 _ 7Г71 - /Л1Г . . %
= ansm—zsh—y, n=l,oo. (25.11)
a a
В силу линейности уравнения Лапласа любая сумма его
решений также будет решением, поэтому, просуммировав все
решения (25.11), получим общий вид решения уравнения Лапласа
оо
П2(з,2/)= > a„sm—zsh—у, (25.12)
^—' a a
n = l
удовлетворяющего однородным граничным условиям из
второй строки (25.5).
Оставшиеся не определенными произвольные постоянные
dn = anbn можно найти, воспользовавшись последним
условием (25.7), т.е.
и2{х,$) = ^a„sin —zsh = <р(х). (25.13)
Разложим функцию <р(х) на интервале ]0, а[ в ряд Фурье по
ортогональной системе функций (25.10)
о ?
/ ч V^ . Я"™ Z I ч . 7Г71Ж
<р(ж) = > <pnsin—х; (рп = - / <p(z)sm аж. (25.14)
*—' а а / а
71 = 1 0
Поскольку разложение в ряд Фурье единственно, то равенство
(25.13) справедливо лишь тогда, когда коэффициенты рядов
(25.13) и (25.14) равны, т.е.
dn = Х7^7Г7^^П' (25.15)
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
173
и, следовательно,
ч ^> sh(nny/a) . 7Г71
u2(x,y) = V р» . У' вш —ж. 25.16
^ sh(7rn6/a) a
После аналогичных вычислений для функций ui(x,;ty),
мз(ж,з/), ^(ж,//) получим, согласно (25.3), решение задачи
irn(b — у) ] &in(irnx/a)
оо
и(ж, ?/) = V{ L>„ sh — + /„ sh
n=l '
г _ 7гпж , . 7rn(a — x*)i sin(7rm//b) 1 //ч„ „„Л
+ Xnsh—- + 0nsh —4 Ц ; -" ' I 25.17
Lb 6 J sh(7raa/6) J
где /п,Хп,Фп ~ коэффициенты Фурье функций /(ж), х(ж), ^(ж),
определяемые аналогично (25.14) формулами
a
2 ^ 7Г71Ж
/п(ж) = - / /(ж) sin eta;
ay a
о
ь
Хп = ^ J Х(У) sm —«k; (25.18)
о
ь
Фп = т 1>{y)sm—r-dx.
II. Граничные условия в вершинах прямоугольника
являются непрерывными.
Как уже отмечалось, в этом случае должны выполняться
условия непрерывности (25.2). Поскольку значения функции
и(х,у) в вершинах прямоугольника не обязательно нулевые,
то редукция задачи непосредственно для функции и (ж, у)
невозможна. Поэтому решение задачи будем искать в виде
и(ж, у) = и0(х, у) + w(x, у), (25.19)
где ио(х,у) - гармоническая функция, которую следует
выбрать так, чтобы гармоническая функция w(x,y) в вершинах
прямоугольника обращалась в нуль. Это означает, что
функция wo (ж, у) должна удовлетворять следующим условиям:
ио(0, 0) = 0(0) = /(0), tio(a, 0) = /(a) = Х(0), т т
и0(а, Ь) = <р(а) = Х(6), гю(0, Ь) = р(0) = ф(Ь), lZ°-ZU;
174
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Положим
u0(x, у) = А + Вх + Су + Dxy. (25.21)
Такая функция гармонична при любых вещественных
коэффициентах, которые мы найдем, подчинив соотношение (25.21)
условиям (25.20). В результате имеем
А = т в = /(а)-/(0), с=М,
д=Ма)-У(а0)]-[/(а)-/(0)]. (25.22)
ab
Таким образом, замена (25.19) приводит к задаче Дирихле
для функции w{x,y)
^ + ^ = 0, 0<ж<а, 0 < 7/ < 6, (25.23)
ох2 ду
w(x, 0) = /(ж), <ш(ж, Ъ) = £(ж),
«ш(0, у) = ^(у), ш(а, Ь) = х(у),
(25.24)
где /(ж), у>(ж), "0(2/), х(у) определяются формулами
/(ж) = /(ж) - п0(ж, 0), <р(ж) = <р(х) - и0(х, 6),
■0(1/) = Ф(У) ~ ^о(0, у), х(у) = ХЫ - ^о(а, у)
и удовлетворяют условиям непрерывности
/(a) = х(0) = х(Ь) = £(а) = ¥>(0) = ф(Ь) = ф{0) = /(0) = 0,
означающим, что непрерывная на границе функция w(x, у) в
вершинах прямоугольника обращается в нуль. Для такой
функции можно провести редукцию задачи (25.23) к задачам типа
(25.4), решение которых определено формулами (25.17), (25.18),
причем в последних функции /(ж), <р(х), ф(у), х(у) следует
заменить функциями /(ж), (р{х), 4>(у), х(у).
О Отметим, что ряды (25.17), определяющие решение в
случае непрерывных граничных условий, равномерно сходятся
в прямоугольнике в отличие от аналогичных рядов,
определяющих решение для разрывных граничных условий, которые
в окрестности вершин могут утрачивать равномерную
сходимость.
Аналогично рассматривается задача Дирихле для
прямоугольного параллелепипеда.
Перейдем к задаче Неймана. Некоторые особенности,
возникающие в этом случае, проиллюстрируем на задаче
Неймана в прямоугольнике О^ж^а, 0<Су^Ь:
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
175
ихх + иуу = О, О < х < а, О < у < Ь; (25.25)
МО, 2/) = -гч %(ж, 0) = , ux(a, у) = иу{х, Ь) = О,
Ь
a
где jP = const. Сразу отметим, что редукция этой задачи к
двум, каждая из которых на трех сторонах имеет нулевые
граничные условия, невозможна, так как при этом нарушится
необходимое условие разрешимости задачи Неймана (24.24):
SE 0 0
Поэтому решение задачи ищем в виде
и(ж, у) = u0(aj, у) + w(x, у), (25.26)
где ио(х^у) - гармонический полином
u0(x,y) = A + Bx + Cy+ Dxy + Е(х2 - у2), (25.27)
удовлетворяющий условиям (25.25), т.е.
F
B + Dy=-, B + Dy + 2Ea = Q,
о
C + Dx = --, C + Dx-2Eb = 0. (25.28)
a
Отсюда находим
F о о
uo{x, у) = А + 2"т[|/- ~ 2Ь2/ ~ (х~ ~ 2ая0]-
Если оставшийся неопределенным коэффициент Л выбрать в
виде Л = F(62 - a2)/(2ab), то
'"о(ж'у) = &ъ[{у "Ь)2"(ж " а)3]' (25'29)
В результате подстановки (25.26) задача (25.25) сводится к
следующей задаче для функции w(x^y):
u>xx + wyy = О, 0< ж < a, 0 < у < Ь;
*М°>У) = ti»y(aj,0) = и;» (а, у) = шу(ж, 6) = О,
решением которой является произвольная постоянная с. Таким
образом, решение задачи Неймана имеет вид
и(х,у) = ^[(у-Ьу--(х-а)2]+с. (25.30)
176
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Пример 25.1. Найти стационарное распределение
температуры в тонкой прямоугольной пластине длиной а и шириной b
с коэффициентом теплопроводности &, если:
а) по периметру прямоугольника поддерживается заданная
температура;
б) через одну сторону поступает, а через смежную ей
сторону выводится количество тепла Q.
Решение, а) Математическая постановка задачи
соответствует (25.1). Ее решения задаются формулами (25.17), (25.18) или
(25.17)-(25.19).
б) Математическая постановка задачи соответствует
(25.25), где следует положить F = Q/k. Решение задачи
определяется формулой (25.30).
25.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа
в полярных координатах
Рассмотрим первую краевую задачу для круга
Д9« = 0, u(x,y)|v__=a = /(x,J/)|v^^=a, (25.31)
где Дз = д% + ду, а f(x,y) - заданная функция. Задача, для
которой \Jx2 + у2 < а, называется внутренней, а задача, для
которой у/х2 + у2 > а, - внешней.
Задачу (25.31) удобно рассматривать в полярной системе
координат
х = rcosp, y = rsiii(p.
В этом случае оператор Лапласа примет вид
г дг\ дг/ г2 dip2
(Г1) + Рг£г (25-32)
(Доказать самостоятельно.)
Тогда граничное условие (25.31) можно переписать в виде
u(r,p)|r=e = /(p), (25.33)
где функция f(tp) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке
[0, 27г]. Уравнение Лапласа Дз'м = 0 с граничными условиями
(25.33) будем решать методом разделения переменных, или
методом Фурье. В этом случае частное решение уравнения ищем
в виде
u(r,p) = Д(г)Ф(р), (25.34)
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
177
где R(r) и Ф(<р) - «функции разделения» - зависят только от
одной переменной (г и (р соответственно). Поэтому далее
аргументы этих функций будем опускать. Подставив (25.34) в
уравнение Лапласа в полярных координатах, получим
$_d_/ dR\ -Кф„_0
г dr\ dr J r2
Умножим левую и правую части этого равенства на г2/(.ЙФ),
чтобы каждое из слагаемых получившегося выражения
зависело только от одной переменной - г или р:
r_d_/ dR\ <^_n
RdrVdr) + Ф
Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда
каждое слагаемое равно константе, а сумма этих констант равна
нулю. Таким образом,
г d ( dR\ Ф"
— —(г-— = --— = А, А = const.
Rdr\ drJ Ф
В результате приходим к следующим уравнениям для функций
Ф(<р) и Л(г):
Ф" + АФ = 0, r4-(rR) - XR = 0. (25.35)
dr
Здесь точкой обозначена производная по переменной г.
Функция и — ФД (25.34) - гармоническая, поэтому она достигает
своего наибольшего значения на границе области
гармоничности, для чего должны выполняться условия
|Д(г)|<оо, |ФЫ|<оо.
Кроме того, решение уравнения Лапласа в полярных
координатах не должно измениться, если к углу (р прибавить 27г:
Ф(<р + 2п) = Ф(<р). (25.36)
Для определения функции Ф(^) и параметра А получили
задачу Штурма-Лиувилля (25.35), (25.36), решение которой
приведено в примере III.2.8. В этом решении следует положить
I = 27г. Тогда
Фп((р) = An cosntp + Bn smrup, А = п2. (25.37)
Функцию R(r) будем искать в виде R(r) = г*4, тогда R = цг1*"1,
R = /i(/i — l)7,/i_2. Подставим в уравнение (25.37):
178
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
r2R + rR-n2R= О
и получим /i2 = 7i2 или /i = ±7i. Таким образом,
Л»(г) = Cnrn + £nr-n, n ф О, Г2. ^
До(г) = С0 + Яо1пг, n = 0. (Z0'6*}
Из условия |Д(г)| < оо следует, что для внутренней задачи
(г < а) -Во = Д» = 0, а для внешней (г > а) Б0 = С„ = 0. В
результате приходим к двум возможным вариантам частного
решения (25.34)
uifo <P) = rn(An cos7i<p + Bl sinn<p), r <£ а;
un (Л ¥>) = ^Г (Al cos ™<P + В* sin n<p), г ^ а,
где n — 0, ос. В силу линейности исходного уравнения любая
сумма его решений также будет решением этого уравнения.
Просуммировав все частные решения (25.39), получим
наиболее общий вид решения уравнения Лапласа
оо
wi(r, <р) = 22 r1l(^n cosn<P + B\ sinn<p), r <L a; (25.40)
71=0
оо
u2(r, у?) = Y^r"n(j42 cosn<p + -B^ sinn<p), r ^ а,(25.41)
71=0
удовлетворяющего условиям
|u(r, <р)| < ос, u(r, <р + 27г) = u(r, у?). (25.42)
Функция ai(r, (p) есть решение для внутренней задачи, а аз (г, ^>)
- для внешней.
0 Заметим также, что для функции, гармонической в
кольце a < г < Ь, условие ограниченности решения выполняется
автоматически и общее решение, удовлетворяющее условиям
(25.42), примет вид (25.53) (см. пример 25.4).
Положим в (25.40) г = а, тогда
оо
щ(а, у?) = ^2 аП (An cosn<P +-Bi sinn<p) = /(<?). (25.43)
n=6
Разложим f((p) в ряд Фурье, что всегда возможно, так как она
периодична и удовлетворяет условиям Дирихле. Получим
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
179
оо
я?) - т + ^2an cos nip+^n sin n<^
1 n = l
где
2тг
an — — I f(r/}) cos тиф dif>, fin = — / f(i>)smnil>dil>. (25.44)
о о
Поскольку разложение в ряд Фурье единственно, то равенство
(25.43) возможно лишь в том случае, когда
n a11 n а11
Проделаем аналогичные операции для ^(r, ip). Окончательно
имеем
ОО I
ui,2{r,<p) = Y + X^ \ ) («ncosn^+^nsinny)). (25.45)
n = l
О Если ап и /Зп - коэффициенты Фурье ограниченных и
непрерывных функций, то при г < а ряд для iii(r, ^>) (при
г > а для иг) сходится равномерно.
Пример 25.2. Найти функцию, гармоническую в круге
радиуса а и такую, что 1) u\r=a = (р; 2) u\r=a = Л sin3 <р-\-В, где Л,
-В - некоторые постоянные.
Решение. 1) Математическая постановка задачи имеет вид
A'U = 0, и\г-а — (f, Г < й, 0 ^ <р ^ 27Г.
Решение этой задачи дается функцией iii(r, ^>) (25.45). Найдем
коэффициенты разложения функции f((p) = (p в ряд Фурье. Из
(25.44) найдем
ап — — I (p cos ткр d<p.
n J
о
Проинтегрируем один раз по частям, положив U = ^>, сИ7 = cfy>,
dK = cos ткр dtp, V = (sinn^?)/n. Получим
2тг
1г . |2л" /* sinn<p . I
an = — 7i<psni7i<p — / d(p\ = 0,
180
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Рис. 11
где п = 1, ос. Аналогично
2тг
1
А
2тг
2 1 /*
sin nip dip = , с*о = — / (pd(p =
п ж J
о о
2тг.
о
Окончательно получим
Л v^ / г \ n sin n<p л а — г cos <z>
u(r, а>) = тг - 2 > - = 2 arctg : -.
71 = 1 Г
2) Математическая постановка задачи имеет вид
An = 0, u\r-a = i4sin3^? + -В, г* < а, 0 ^ у? ^ 27г,
и ее решение дается формулой (25.45), где в показателе степени
нужно выбрать положительное п. С учетом того, что
•з 3 . 1
sin (р = - sin (р — - sm Зу?,
простым сравнением находим
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
181
а0 = 2В, c*k = О, к = 1, оо;
ЗЛ
4 4
Этот же результат можно получить из (25.44) с учетом
условия ортогональности тригонометрических функций. Таким
образом,
/ ч « ЗЛг . А /г\3 . Л
и(т\ Ы = ±J + —— sin у? —- - sin 3<р.
4а 4 \а/
График этой функции при А=1,В = 0иа=10 приведен на
рис. 11.
Пример 25.3. Найти стационарное распределение
температуры в бесконечном цилиндре, образующая которого
параллельна оси Oz, а направляющая представляет собой границу
лежащего в плоскости z = О кругового сектора радиуса b с
углом раствора а, 0 < a < 27Г, если на его границе
поддерживается температура u(r, 0) = u(r, a) = 0, u(fc, у?) = у?.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
d2u ldu 1 d2u d2u Л /Л„ ^.
w(r, 0) = u(r, a) = 0, u(6, у?) = у?.
Поскольку граничные условия не зависят от z, то u (r, ^>, z) =
= и(т\ у?). Решение задачи ищем методом разделения
переменных:
u(r,p) = Д(г)Ф(р). (25.47)
Подставив в (25.46) и домножив на г2/(ЛФ), получим
8д» + дуг ф = 0
л ф
Разделив переменные, для определения функции Ф(<р) получим
следующую задачу Штурма-Лиувилля:
Ф = АФ, Ф(0) = Ф(а) = 0, (25.48)
решение которой дано в примере III.2.2 и имеет вид
л • *ПЧ> -л х /7ГП\2 /лг ^л.
Ф„ = Ап sin , n = 1, оо, А« = — I — . (25.49)
a \ a /
Тогда для определения функции R(r) получим уравнение
182
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
г2т>"
2В" + rR* _ (—)"jR = о, \R(r)\ < оо, (25.50)
решение которого будем искать в виде
Л (г) = г''.
Подставив его в (25.50), получим
(7Г71 \ ^
—) =о,
откуда 7гп
М1,2 = ± ,
а
и общее решение уравнения (25.50) можно представить в виде
Rn(r)=BnrKnfa+Cnr-Knfa.
Из условия \R(r)\ < оо для г G [0,6] находим, что Сп = 0.
Тогда
Дп(г)=Д|г1Г,1/а. (25.51)
Подставив (25.49) и (25.51) в (25.47) и просуммировав по п,
получим
u(r, v?) = У" л*»г1Гп/в sin ^, (25.52)
71 = 1
где Л = i4nBn. Подставим (25.52) в граничное условие (25.46)
п(6, р) = У" i„6™/Q sin ^ = р
и разложим правую часть в ряд Фурье по ортогональной
системе функций (25.49). Приравняв коэффициенты при одинаковых
функциях из этой системы, найдем
с*
/
/
<р sm(irn<p ja)d<p
&in~(irn(p/a)du
Anb«n/a = 0_ _ (-1)»+* — .
О
Окончательно для распределения температуры получим
*.*-Ч±^®
2а ^ (-l)n+1 /r\Wa . <кгыр
х ' ' sin .
n=l
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
183
Пример 25.4. Найти функцию u(r, ^>), гармоническую в
кольце 1 < г < 2 и такую, что
n|r=i = 1 -f cos2 ip, u\r-2 = sin2 <p.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Аи = 0, -м(г, ¥>) = и(г< (р+ 27г),
г*(1, ^>) = 1 Н- cos2 ^>, г*(2, tp) = sin" ^>.
Перейдем к полярным координатам
Г Г-
Частное решение этого уравнения ищем в виде
и(г,(р) = Щг)Ф((р).
Разделив переменные, получим
г2Д" + гД'-А2Д = 0,
Ф" + Л2Ф = О, Ф((р) = Ф(<р + 2тг).
Решение задачи Штурма-Лиувилля для функции Ф приведено
в примере III.2.8 и имеет вид
Ап = тГ, Фп(^>) = An cosгнр И- Bn sinn^, п = 0,оо.
Для определения функций Rn(r) получим уравнение
г2В% + гД'п - п2Rn = 0.
1. Рассмотрим случай, когда п = 0. Тогда
г2 Д'о' + гД0 = 0.
Общее решение уравнения имеет вид
Ф0(г) = С01пг +Аь
Обозначим Фо(^) = Ао, тогда
ио{г, Ч>) = -Ао(Д) + Со hir) = а0 + 60 In r,
где а0 = ^оАь &о = А) Со-
2. Рассмотрим случай, когда п ф 0. Решение ищем в
виде Лп(7') = га. Уравнение для определения an(r) запишется
следующим образом:
184
/
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
r2[a{a - l)]ra~2 + rar"-1 - n2ra = 0.
Из последнего соотношения находим
a = ±п.
Следовательно,
Rn(r) = Cnrn + Dnr-n.
Общее решение запишется в виде
■м,,(г, (р) = An \Cnrn + -^-J cosmp + Rn \Cnrn + —£J sinnp.
Обозначим
и просуммируем w„(r, ^>) по всем п. Тогда
n = l
Из первого граничного условия
u(r,y>) = ao + bobr+
" —Jcosn^+(ctlr +-1-
+Х)[(а»гП + $cosn^ + (с»гЯ + ^) sinnH • (25-53)
u(l,(p) = ao + ^[(an + 6„) cos ny> + (cn + dn) sinny>] = l + cos2<p.
n = l
Разложив правую часть в ряд Фурье и приравняв
коэффициенты при одинаковых функциях sinn^> и cos п<р, получим
3 1
<*о = л' a» + *» = о^2п' сп + d„ = 0, п = 1, оо.
Здесь мы воспользовались тем, что
о 1 + cos 2<р 3 cos 2<z>
l + cos-,>=!+—^ = - + --*.
Из второго граничного условия
•и(2, <р) = а0 + &о Ь 2 + £Г=1 [ (a„2n + ^ J cos n<p +
+ (cn2n + 2^-J sinn^J = sin2 <p.
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
185
Аналогично найдем
а0 + Ьо1п2=Д, а„2" + ^- = -^2п, с„2» + ^ = 0.
Здесь мы воспользовались тем, что
Тогда
sin <р = - — - cos 2<p.
3 j, х
й°-2' 6°-~Ь2'
1 , Ь2 1
а2 = --, ^2=2, «и = Ь„ = 0, n ^ 2.
Окончательно получим
> 3 In г /2 г2\
Рассмотрим теперь задачу Неймана
A2u{r, р) = 0, Е :r< R; (25.54)
rl = /<*>•
(Ш 1г=а
где п - нормаль к окружности радиуса .R, внешняя по
отношению к области Е. Если функция f((p) удовлетворяет условию
разрешимости (24.24), то решение задачи ищем в виде
оо
^1,з(л^) = 2jr±fc(^fc cos ktp + Bk sin fey?),
fc=0
где произвольные постоянные Ak и Б* следует определить из
граничных условий (25.54). Так как направление нормали п
совпадает с направлением радиус-вектора f, то
du _ du
dn dr'
Поскольку это условие не определяет коэффициент Ло, то
с точностью до произвольной постоянной С = Ао найдем
186
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
^ rk
ui(Л <р) = V, i fc-i (а* cos fc<^ + ^* sin ^) + С (25.55)
fc=i fca
для внутренней задачи и
^2(Л у>) = 5^ T7r(afc cos fe<? + Pk sin fc<^) + & (25.56)
AJ7*
Л = 1
для внешней. Коэффициенты а& и Д. по-прежнему определены
формулами (25.44).
Аналогично решается третья краевая задача.
Отметим, что преобразование Кельвина (24.12)
относительно окружности радиуса а саму окружность оставляет
неизменной и, более того, будучи конформным, сохраняет углы
между окружностью и нормалью. Поэтому решения внешних
задач можно получить из решения внутренних преобразованием
Кельвина, т.е. заменой г —> а2/г. Легко убедиться, что такая
замена в (25.31) переводит ui(r, p) в из (г, у?), а (25.55) в (25.56)
и наоборот.
Пример 25.5. Для задачи Неймана (25.54) отметить
неправильно поставленные задачи: а) f((p) = А = const; б) f((p) =
cos (р; в) f((p) — sin2 (p.
Решение. Для задачи Неймана должно выполняться условие
разрешимости (24.24), которое в полярных координатах для
окружности г — а Примет вид
2тг
Jf{<p)d<p = 0, (25.57)
а) I = 2пА, б) I = 0, в) I = тг.
Отсюда следует, что задачи а) и в) поставлены
неправильно. Это означает, что не существует гармонических функций,
которые бы на окружности удовлетворяли условиям а) и в).
25.3. Разделение переменных в уравнении Лапласа
в цилиндрических координатах
О Если цилиндр бесконечен и граничные условия не
зависят от переменной z, то решение задачи имеет вид
u(r, у?, z) = u(r, р).
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 187
Для определения функции u (r, ip) получим двумерную
задачу, решение которой получено выше (см., в частности^ пример
25.3).
Рассмотрим ряд задач на определение гармонических
функций в цилиндре радиуса а и конечной высоты Л, решение
которых можно найти методом разделения переменных.
Общая постановка задачи в этом случае имеет вид
Aw = 0, 0 ^ г < а, 0 < z < h) О ^ (р < 2тг;
u(r, ip + 2тг, z) = u(r, ip, z), м(а, tp, z) = Д (p, z),
u(r, <p, 0) = /2(r, (p), u(r, <p, h) = /3(r, y>)
и допускает следующую редукцию и = щ-\- щ:
Awi = 0, ui(a, <р,*) = Д(р, z),
ui(r,y>,0) = tii(r,y>,fc) = 0
и
Ди2 = 0, u2(a, у?, z) = 0,
у>2(г, <р, 0) = Д (г, у?), ti2(r, v?, h) = Д(г, <р).
Учет зависимости от азимутального угла ^ был рассмотрен
в предыдущем разделе, поэтому перейдем сразу к задачам, в
которых граничные условия не зависят от переменной (р.
Пример 25.6. Дан цилиндр радиусом г = а и высотой Й,
боковая поверхность и нижнее основание которого
поддерживаются при нулевой температуре, а верхнее основание - при
температуре Т. Найти стационарное распределение температуры
в цилиндре.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Аи = 0, 0 < z < Л, г < а, 0 ^ (р < 27г;
и|г=0 = 0, u\r=a = 0, и|г=Л = Т.
Запишем оператор Лапласа в цилиндрической системе
координат
A _ 1 д ди 1 d2u д2и
г дт дг г2 dtp2 dz2
Поскольку краевые условия не зависят от переменной у?, то
решение задачи можно искать в виде u(r, у?, г) = u(r, z), т.е.
188
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
^ = 0
и, следовательно, уравнение Лапласа примет вид
_ 1 д ди д2и _
г дг дг dz2
Решение задачи будем искать методом Фурье, положив
u(r,z) = R(r)Z(z).
Обозначим Jr> ,,_
R1 -— Z = —
dr' dz'
Тогда
i о
-^-rR'Z + RZ = Q.
Г Or
Разделив переменные, получим
R" R' Z x
—— H—— = — -— = A, A = const
R rR Z
ИЛИ R!
R" + — = ДА; Z + \Z = 0.
r
Из граничного условия
u(a,z) = R(a)Z(z) = 0
найдем R(a) = 0. Поскольку функция u(r, z) имеет смысл
температуры, то
\R(r)\ < оо при г ^ а.
В результате функция Д(г) есть решение задачи Штурма-
Лиувилля для уравнения Бесселя
R" + -R' - XR = 0, lim |Л(г)| < оо, R(a) = 0.
Для собственных значений и собственных функций получим
соответственно
У°Ч2
А = — (—-J , п = 1,оо;
Rn(r) = AnJ0(a^),
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
189
где an - нули функции Jq(x) (см. разд. «Задача Штурма-Ли-
увилля для уравнения Бесселя» части III). В результате
уравнение для функции Z(z) примет вид
Z-(al)2Z = 0, n=l7oo.
Следовательно,
Zn(z) = Bn shanz + Cn dianz
и
un(r,z) = An J0(o££)[B» sha°nz + Cn chanz].
Просуммировав по n, найдем
oo
U(r.z) = J2 J°(a»9 [*» Sha«Z + 6* ChanZl
11 = 1
где
Jdu = Anijn, On = AnC>,f
Из граничных условий получим
oo
ti|,=0 = £CnJo(aS£) =0.
»i=0
Следовательно, Сп — 0. Аналогично
со
n=l
Разложим функцию f(r) в ряд Фурье-Бесселя на интервале
]0,«[:
/(r)=T=£A.J0(a^),
П = 1
a
А = ^Гг7~оТг [rf(r)JoUnr-)dr.
где
Тогда
А.
с« = -
2вЬо2Л'
190
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Итак,
Jo[an-)fin
n = l
*-> = £>(«*>S&
Чтобы определить коэффициент /Зп разложения функции
/(г) = Т в ряд Фурье-Бесселя, найдем значение интеграла
(см. пример III.5.8)
-?/•»*«)*•
Q
Сделаем в интеграле замену переменных oftr/a = t. Тогда
dr = (a/ofydt. Для новых пределов интегрирования получим
П = О, ti = О, г»2 = а, ^2 = а° и
о о
а а
О О
Окончательно имеем
In 2T
А,=
КК)]2 KWK)
«(r,z) = g-Jo(a„-j sh =
2Т sha?,z
= y>2TshagzJo(«gr/a)
Пример 25.7. Дан цилиндр радиусом г = а и высотой h,
боковая поверхность которого поддерживается при температуре
siii7r?nz (m = 1,оо), а верхнее и нижнее основания - при
нулевой температуре. Найти стационарное распределение
температуры в цилиндре.
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
191
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
An = 0, 0 < z < Л, г < а,
и|г=0 = u\z=h = 0, u\r-a = sinTrmz.
Решение задачи будем искать методом Фурьеi положив
u{r,z) = R(r)Z(z).
Аналогично предыдущему примеру, для определения функций
R(r) и Z(z) имеем следующие задачи:
В!
R"+ — = \R; |Я(г)|<оо r<^a, (25.58)
г
Z + \Z = 0, z{0) = z(h) = 0. (25.59)
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-
Лиувилля (25.59) получены ранее (см. пример III.2.2) и имеют
вид
А = (—), Zn(z) =A„sm-r-, n=l,oo.
Тогда общее решение уравнения (25.59) есть
^ / ч « * /1гпг\ „ „ /7гпг\
Rn(r)=BnIo[-j^)+CnKo[—),
и из условия ограниченности (25.59) Сп =0. Следовательно,
Рис. 12
Рис. 13
192
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
u(r, z)- 2^ AnIo [—j—J sin -7—1
n = l
где Лп = AnB1}. Из граничных условий получим
оо
Е- /7гпа\ . 7rnz
11 ° 1~7Г Jsul ~7~~ = sin 7rmz'
11=1
Таким образом,
- /тгпа\
и для решения исходной задачи получим
. . Io(nmr/h) . irmz
u r' * = T~? 7ГТ sin IT"'
/o(7r?7ia/Ai) ft
График этой функции при a = 1, ft = 1, ?n = 1 приведен на
рис. 12, а при a = 1, ft = 1, га = 3 - на рис. 13.
25.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа
в сферических координатах
Рассмотрим задачу на определение гармонической
функции, решение которой можно найти методом разделения
переменных в сферической системе координат.
Пример 25.8. Найти функцию, удовлетворяющую на сфере
единичного радиуса условию ur|r=i = sin(7r/4 — (р) sin 9 и
гармоническую а) вне этой сферы и б) внутри нее.
Решение. Запишем уравнение Лапласа в сферической
системе координат. Тогда для определения функции a(r, 0, ip)
получим следующую задачу:
1 д ( <>ди\ 1 5/. Лди\ 1 д2и л
г2 or \ or/ r- sin 9 о9\ од) г2 snr 9 dtp2
ur{r,9,<p)\r=1 = sin(--pjsin0 = f(<p,0);
а) г > 1, б) г < 1.
Отметим, что хотя для внешней задачи Неймана условие
разрешимости (24.24) не требуется, для внутренней задачи
необходимо проверить следующее условие:
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
193
J un (г, 0, <p)dS = J ur (r, 9,<p)dS = 0.
r=l г=1
Действительно,
2л- я-
/ / sin (— — (р) sin2 9 d9d(p = 0.
о о
Таким образом, внутренняя задача Неймана разрешима.
Решение задачи будем искать методом разделения
переменных
u(r,0,ip) = R(r)Y(0,<p). (25.61)
Поскольку функция -14(г, 0, ^>) - гармоническая вне сферы
единичного радиуса, то
|Я(г)|<оо, |У(0,р)|<оо, г>1.
Стандартным образом разделив переменные, для определения
функции R(r) получим уравнение
r2R" + 2rR'-\R = ti, (25.62)
а для Y(<p,9)
-^—— fsin<9—- ) + ——-о-т + АУ = 0 (25.63)
sin0<90V d9 J sin2 9 dip2 v '
с периодическим граничным условием
У(0,^)=У(0,^ + 2тг).
Решение уравнения (25.63) будем искать в виде
У(0,р) = в(0)Ф(р). (25-64)
Функция Ф(^>) является решением задачи Штурма-Лиувилля
с периодическим граничным условием
Ф" + /хФ = 0, Ф{<р + 2тг) = Ф(р). (25.65)
Решение задачи (25.65) для га = 0, ос имеет вид
Фт (у?) = Сто cos ?ny? + Dm sin га<р, /х = ?п2. (25.66)
С учетом (25.66) для определения функции 0(0) имеем
194
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
1 d ( . de
sm0</0\ dB / \ sin20/
|0(0)|<oo, O<C0 <тг.
Сделаем в уравнении (25.66) замену переменных z = cos#.
Тогда для функции 6(z) получим
|0(z)|<oo, -l^z^l.
Решением задачи (25.68) являются присоединенные функции
Лежандра (см. разд. «Присоединенные функции Лежандра»
части III) с собственными значениями Л = п(п + 1):
enm(z) = Anmp?(z) = Anm(i -z2)m/2PimHz)? n = 0753.
Возвратившись к переменной 0, запишем
6„то(0) = Anm sinm 0- _[pn(coefl)] = A,lmP?(cos0).
a(cosv)m
Поскольку P™(cos0) = 0 при ?n > n, то для функции (25.64)
получим
1г„т(в^) = С,„оР»(совв)+
n
+ X] (^»'» cos ™P + ^»msin ™*>)С (cos *)> (25.69)
m=l
где обозначено
k«fN — ЛптОп, JJnmAnTnJJn.
Решение уравнения (25.61) при Л = n(n + 1) будем искать в
виде
R(r) = re.
Тогда для определения a получим
a(a - 1) + 2a - ?i(n + 1) = 0
или 9
a" + a — n(n + 1) = 0.
Следовательно,
«i = n, аз = — (n + 1)
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа
195
Rn(r) = En7*n + Fnr~(n+1K
Из условия |Д(г)| < ос, г > 1 находим Еп = 0 при п > 1, т.е.
Л»И = -Йг + ^огп^о,
(25.70)
где J«o - символ Кронекера. Для внутренней задачи
аналогично запишем
Rn(r) = Enrn. (25.71)
Подставив (25.69) и (25.70) в (25.61) и просуммировав по п,
получим
оо +
м(г, р, 0) = Я0 + X) ^ГТГ [CnoPn(cos9)+
п=0
+ 5^ (^»m COS Ш(Р + ^»m Sil1 m4>)Pn (COS *)
, (25.72)
m=l
где обозначено
Cum = FnCnm* Dnm — ^nAimi ^0 = EqCoo*
Подставим (25.72) в граничное условие (25.60):
du
dr
;^т[<7»оР»(совв)+
»i=0
11
+ 1>2 №nm cos my? + Dnm sin m(p)P™ (cos 0)
= sinf y?J sin0.
m=l
r=l
(25.73)
Поскольку Po(cos0) = 1, уравнение (25.73) можно записать в
виде
оо п
-Соо - ^2 Y^(n + ЩСпт cos my? + Dnm sin m^P™ (cos 0) =
71=1 »»=1
= sinf j — <p) sin0.
"азложим правую часть в ряд по ортогональной системе
функций cosv7iy>P™(cos0), sin m<pPnn (cos 0). Тогда для
коэффициентов Спт и Dnw получим
196
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
-Соо — — \ dip I sinf — - <р) sin2 9d9,
-c+i)e.I=(2V,"!"T"x
27г(п + ?п)!
2тг тг
X
О О
-S7T 7Г
/ / sin ( — — (рJ sin OP™ (cos 0) cos ?n^> sin 0 c/0d^>,
/nMvfi (2n + l)(n-m)! w
(П + 1) Д1Ш = j—; ; - X
27Г 7Г
X
0 0
47C 7Г
/ / sin f — — (pJ sin 0P,™ (cos 9) sin ?n^> sin 0 d9d<p,
где ?n = 1, n, n = 1, ос. Поскольку
sin ( — — <р ) = sin — cos (р — cos — sin у?, sm 0 = Px (cos 9),
TO ~~
{sin 7r/4
2—, n = m=l,
О, пф1,тф1;
( COS7T/4
D — } —тг—, n = m=l,
I 0, пф1,тф1.
Окончательно получим
~ 1 Г 7Г 7Г
u(r, у?, 0) = Ео — —7 sin — cos угР* (cos 9) — cos — sin ipP^ (cos 0)
или 1
u(r, (p, 9) = E0 - ^2 sin (- - y?J sin 9.
Постоянная Eq произвольна. Если функцию u(r, p, 9)
подчинить условию регулярности на бесконечности (u\r=OQ = 0), то
Ео = 0 и решение задачи становится однозначным.
В случае внутренней задачи Неймана, проделав
аналогичные операции с (25.71), получим
u(r, у?, 9) = #о + г sin ( — — (р) sin 0.
26. Интегралы Пуассона и Дини
197
26. Интегралы Пуассона и Дини
Теорема 26.1. Решение первой краевой задачи (25.31) для
круга
А2и = 0, u(r,¥>)|г=« = f{<p), r <£ а, (26.1)
можно представить в виде
u(r, „) = 1 L,, УУ"7;2!—г. (26.2)
v 'Y1 2тг J * г2 + а2 - 2аг соь(ф - ip) v '
о
4 Соотношение (26.2) называется интегралом Пуассона
первой краевой задачи, а функция
2 2
К(г, <р, а, 0) = 0 а"'Г" (26.3)
г- + а2 — 2ar cos(-0 — <р)
- ядром интеграла Пуассона первой краевой задачи.
Доказательство. Подставим в соотношение (25.45) значения
ап и /Зи, поменяем местами интегрирование и суммирование и
получим
2тг
u(r'<P) = lfd1>f(1>){\ +
о
/J (~) [cos n^ cos п'Ф + s^n n^ s*n пФ] г =
п = 1
2тг ^
оо
+
2тг
О n=1
но при \t\ < 1 справедливо соотношение
1 °° 1 ~
> tn cos па — -
^ 2_
п=1 п=1
_1/ *e,Q te-,a
~2V + 1 - teia + 1 - te~ia
\ + Y,tn cos па = i [l + JT *п(е|,вя + e",an)] =
l-*2
2(l-2tcosa+*2)
198
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
т.е.
i-<2
\^"^na= J-J- Щ <1. (26.4)
Подставим теперь в (26.4) t — г /а, а = ф — <р и получим (26.2),
что и требовалось доказать.
О Решение внешней краевой задачи можно получить из
(26.2) с помощью замены a —у г и г —> a (т.е. просто
изменением знака).
Теорема 26.2. Решение второй краевой задачи (25.54) для
круга г < а можно представить формулой
7Г
и{г, <р) = С - £- I /(-0) 1п[а2 + г2 - 2ar cos(V> - р)]#< (26.5)
— 7Г
называемой формулой или интегралом Дини.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 9.1,
подставим значения коэффициентов ап, (Зп в выражение (25.54).
После изменения порядка суммирования и интегрирования
получим
u(r.(p) = C+- J 1(Ф)У2-(-) со*п(ф-<р)<1ф =
-к n = 1
= c+i//w)B.f;i(:)"^«-'# =
а } °° /"
= С + - / /(V0 Re У -#, (26.6)
где /, = (r/a)ne,na, а=ф-(р, \t\ < 1.
Воспользовавшись известным разложением
оо
I
In-
1 -t
n = l
и учтя, что
1 °° +п
Reln(l — *) =ln|l — *| = ln|l — (-)VlQ
1, a2 + r2 — 2ar cos a
= t: I11 •
2 a
27. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца 199
находим
7Г
^ а [ „, |Ч1 а2 + г2 — 2аг cos а ,,
u(r, 4>) = C- — J 1{ф) In <ty,
— 7Г
а с учетом условия разрешимости для /('0)
л-
■н(г, у?) = С - — I /(ф) In [а2 + г2 - 2ar cos(V> - у?)] (i^,
— Я"
что и требовалось доказать.
Аналогично суммируется ряд (25.56), определяющий
решение внешней второй краевой задачи для круга.
27. Разделение переменных
в уравнении Гельмгольца
27.1. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в полярных координатах
Рассмотрим уравнение Гельмгольца для круга
Au±k2u = 0 (27.1)
с граничными условиями вида
Ou I
а) «|,=. =/(*>) либо б)— =д(ч>). (27.2)
ОТ 1г=о
Пусть Аи + к2 и = 0. В полярной системе координат это
уравнение примет вид
1 д / ди\ 1 д2и _0 А ,ОГ70Ч
Решение уравнения (27.3) будем искать методом разделения
переменных:
и(г,<р) = Щг)Ф(<р).
Получим
г dr r
(гШ) + ^Ф" + к2ФВ, = 0.
Домножив обе части уравнения на г2/(ДФ) и разделив
переменные, найдем
200
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
- — (гВ!) + *2г2 = - — = Л.
Rdr } Ф
Следовательно,
г2R" + гД' + (й2г2 - А) Д = 0 (27.4)
Ф" + АФ = 0 (27.5)
с условиями Ф(^> -f 27г) = Ф(^>), |Л(г)| < ос, которые следуют
из постановки задачи. Задача Штурма-Лиувилля (27.5) уже
рассматривалась (см. пример III.2.8), и ее решение имеет вид
А„ = п2, Фп(^) = An cos nip + Bn sin n<p. (27.6)
Уравнение (27.4) при X = n2 есть уравнение Бесселя с
ограниченным при г < а решением
Rn(r)=CnJn(kr). (27.7)
В результате для решений исходного уравнения получим
оо
г*(г, (р) = J^ Jn(b-)[yln cosrup + Бп sinn<p]. (27.8)
n=0
Коэффициенты An, В„ определим из граничных условий:
а) Для граничных условий первого типа, разложив f{ip) в
ряд Фурье, найдем
u\r=a = /(у>) = -~ + У] (ап cos rc<? + Д, sin тир).
^ п = 1
Следовательно, в предположении, что fcg не является корнем
функции Бесселя [т.е. Jm(ka) ф 0, ?п = 0, ос], получим
A02J0(fca) = «о, AnJn(ka) = an, BnJn(ka) = Д,., (27.9)
где a„ и /3„ определяются формулой (25.44), а решение
поставленной задачи единственно и имеет вид
a0J0(kr) $<s^Jn(kr)r . , /0f7im
M(r'^ = тзд+Еш[в*в"'ЧР+Авпя,?1'(27Л0)
Если А:« является корнем функции Бесселя [Jni(&a) = О,
m = 0, ос], то решение существует только при условии, что
коэффициенты а,, и /Зп равны нулю при п — т. В этом случае
27. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца 201
решение не единственно, так как коэффициенты Ат и Вт не
определяются из соотношения (27.9). Если хотя бы один из
коэффициентов а„ или Д, при n = т отличен от нуля, решение
исходной задачи не существует.
б) Аналогично для граничных условий второго типа
находим
доо
= 9((Р) = ~7Г + 2^а" cosn<p+pnsm n<p),
n = l
dr
где а„ и Д, определяются соотношением (25.44), в котором
функции <р(х) и ф(х) следует заменить функциями ф{х) иф(х).
Следовательно, в предположении, что ка не является корнем
производной функции Бесселя J'n{x), n — 0, оо, получим
А _ ^0 А _ в" R _ А»
Л0 — п1 т//т О Л« — 7 Т/ / 7 \ ' "^П —
2Ы'0{каУ n fcJi(fca)' n Ы'п{каУ
а решение поставленной задачи единственно и имеет вид
, х Qo Jo(kr)
оо Т (J. \
+ 5Z 1ТП1\№* cosn<p+pn sinnp]. (27.11)
В противном случае, как и для граничных условий первого
рода, решение задачи не существует или не единственно.
Если Дг* — к2 и = 0, то вместо формул (27.10) и (27.11)
получим соответственно
""•»>- уШ+|Ш1""со8""+А'в!""И; (27Л2)
где /п(аз) - модифицированная функция Бесселя первого рода.
В этом случае решение существует для любых значений ка и
единственно, так как задача Штурма-Лиувилля Au—Xu — 0 не
имеет положительных собственных значений и,
следовательно, величина Ат не может совпасть с каким-либо из них.
Заметим, что этот вывод также следует непосредственно из формул
(27.12) и (27.13), поскольку модифицированная функция
Бесселя первого рода /„ (ж), а также ее производная не имеют нулей
(см. разд. «Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя»
части III).
202
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
27.2. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в декартовых координатах
Рассмотрим уравнение Гельмгольца
Ди - k2 u = О, 0 <£ х <£ р, O^y^q. (27.14)
с граничными условиями
а) и\у=о — (р(х), и\у=я = ф(х), u\x=0 = u\x=p = 0 (27.15)
или
б) л
у=о оу
ди
ди
дх
х=0
дх
=ч
= 0.
= ф{х),
х=р
(27.16)
К задачам с такими граничными условиями редуцируются
(см. разд. «Разделение переменных в уравнении Лапласа»)
задачи Неймана (в предположении ее разрешимости) и
Дирихле для уравнения Гельмгольца с произвольными граничными
условиями.
Решение уравнения (27.14) ищем методом Фурье:
u(x,y) = X(x)Y(y). (27.17)
Подставив (27.17) в (27.14), запишем
YX" + XY" - k2XY = 0.
Домножим обе части уравнения на X(x)Y(y) и, разделив
переменные, найдем
xr// V/r
— --— + k2 - A
X ~ Y +k -Л
или
X" -\Х = 0, Y" + (-k2 + \)Y = 0.
(27.18)
Из исходной задачи для первого уравнения из (27.18) получим
следующую задачу Штурма-Лиувилля:
Х(0) = Х(р) = 0, \Х(х)\<оо,
27. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца 203
решение которой имеет вид (см. пример III.2.2)
А = -(^)2 = -ш1 Xn(x) = Cn sin ?y. (27.19)
Подставив А» в (27.18), найдем
Yn(y) = Апе^+^У + Впе-№+&* =
= ап cii(>/«2 + fc2y) + 5„ 8h(>/«2 + fc2y)-
Таким образом,
оо
^(ж,'//) = $3[^п сЬ(>/^2 + fc2y) + Д, sh( VwT+^J/)] siliw««,
n = l
где An = AnCm Bn = BnCn.
а) Из граничных условий первого типа найдем
оо ос
Е. 7ГПЖ ^-л . 7ГП.Т
а„ sm , а|у=д = 2_^ Рп sm ,
..—1 ^ .,—1 ^
где
an = - / у>(ж) siiicjn£ с(ж, /?„ = - / 0(ж) siiia>n£ с(ж.
о о
Следовательно, для определения коэффициентов Ап, 5„
получим следующую систему алгебраических уравнений:
Ап = лп,
Ая di( VSITfc5^ + Bn sh(y/wn + k*q) = fin.
Тогда
An =■ QJn,
8h(v4-i + fe-fl)
Окончательно получим
оо
u{x, y) = Y^ {«« ch(>/w2 + *2W)-
n = l
sh(v42, +к я) J
204
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Решение задачи (27.16) находится аналогично.
0 Уравнение Да + k2 u = 0 рассматривается аналогично.
Следует лишь обратить внимание, совпадает ли к2 с одним из
собственных значений задачи Штурма-Лиувилля (см.
предыдущий раздел).
27.3. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в сферических координатах
Рассмотрим пример, решение которого можно найти
методом разделения переменных в сферической системе координат.
Ограничимся случаем, когда граничные условия не зависят от
переменной (р. В общем случае решение аналогично решению
примера 25.8.
Пример 27.1. Найти решение уравнения Гельмгольца в
шаре:
ди\
Au + 25u =0, —
or
= COS0, 0 ^ Г < 7Г.
Решение. В сферической системе координат уравнение
Гельмгольца примет вид
1 9 ( <>ди\
1 о / ои\ 1 д~и
+ ^r^^^(sm^) + -T--rT^r + 25u = 0.(27.20)
г2 sin 0 00 \ дг/ г2 sin- 0 Ою2
Переменная <р не входит явно в уравнение и в граничные
условия, поэтому будем считать, что ди/др = 0. Решение будем
искать методом Фурье:
и(г,0)=Д(г)в(0). (27.21)
Обозначим
„, dR • dQ
dr d0
Подставим (27.21) в (27.20):
0 d t ,dR\ R d ( . d<d\ лг „^ n
или
%(2rR! + r2R") + 0R Л(cos00 + sin00) + 25Д0 = 0.
v r- sin 0
27. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца 205
Домножив обе части этого равенства на г2 /QR и разделив
переменные, получим
2rR -\-V~R ЛИ, о 1 / ЛА • ЛАч
^ + 25г- = - . „cos 00+sin 00 = А.
Д 0sin0v '
В результате функция R(r) определяется из уравнения
г2Я" + 2гЯ' + (25г2 - А)Д = О, 0 <£ г <£ тг, |г| < ос.
а функция 0(0) является решением следующей задачи
Штурма-Лиувилля:
0 + 0ctg0 + A0 = O, ОО^тг, |0(0)|<оо. (27.22)
Решение
Ап = п(п+ 1), 0«(0) = AnPn(cos9), n- 0,оо,
задачи Штурма-Лиувилля (27.22) найдено в примере III. 18.1.
Подставим Ап в уравнение для функции R(r) и получим
r" + -r' +
г
25-
п(п + 1)
Д=0.
Решение этого уравнения будем искать в виде
R(r) = z(r)r-1/2.
Тогда
ff(r) = r-1l2z'(r)--r-3'2z{r);
R"(r) = г"1/V(r) - r~3'2z'(r) + -r~^2z(r).
Для функции z(r) получим уравнение
r2z" + rz'+ [(5r)2- (n+5)"]* = 0- (27-23)
Общее решение уравнения (27.23) имеет вид
zn(r) = В» J)l+i/2(5r) + C„J_„_i/2(5r),
206
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
где Вп и Сп — произвольные постоянные.
Для функции R„(r) получим
Rn (г) = г-г'2[Вп J„+i/2(5r) + СяЛГп+1/2(5г)]. (27.24)
С учетом известного свойства функции Неймана
lim Nn+i/olx) — —оо
имеем Ся = 0 и
Ли(г) = Вяг-1/2Л+1/2(5г).
Тогда решение запишется выражением
ti„(r,fl) = Я„(г)6я(0) = AnPn(coe0)-£jn+1/2(5r),
vr
просуммировав которое по п, найдем
оо
"М) = ]Ci*»p»(coee)r"1/2j»+i/2(5r)' (27-25)
п=0
где Ап = А„ Вп. Из граничного условия
= cosfl (27.26)
ди
Ik
вычислим константы Ап. Для этого продифференцируем u(r, в)
(27.25) по г:
дм
дг
.„ = Eii»p»^coee)[5J»+i/3(5r)r"1/2-
п=0
-^•-3/2Л+1/2(5г)][=)г =
ОО 1
= J] A.P,,(cos в) [5./;1+1/2(57г)-^=-
п=0 v
-i-^.7„+1/2(57r)]. (27.27)
Разложим cos0 в ряд Фурье по полиномам Лежандра.
Функция cos 0 - полином первой степени по cos 0. Следовательно, ее
28. Метод функций Грина
207
разложение в ряд Фурье не будет содержать полиномов выше
первого порядка. Поскольку
Ро(ж) = 1, Pi(x) = z,
то
ос
cos(9 = 0 • Po(cos0) + Pi(cos0) + ^ ° * Pn(cosO). (27.28)
п=2
Следовательно,
Подставив (27.28) и (27.27) в (27.26) и приравняв
коэффициенты при одинаковых полиномах Pn(cos0), получим
Ап = an/[5j;+1/2(5r)-^ - --p:JM+1/2(5r)
или
1 1 1
, п = О, ос.
Л» =^i/[5J;i+1/2(5tt)-^ - -—7п+1/2(5тг)].
Тогда
2(ч/тг)3 </з/->(5т-]
u(r,0) = ? ^—^ ТРХ (cos 0)--'---- j
[Ю7Г4/2(57Г)-,73/2(57Г)] ' V^
С учетом соотношений (Ш.5.16) получим
тг2 /sin5r \
u(r, 0) = - — ( — cos or J cos в.
28. Метод функций Грина
В предыдущих разделах мы рассмотрели метод Фурье,
позволяющий представлять решение краевых задач в виде
рядов Фурье по собственным функциям соответствующих задач
Штурма -JIиувилля. Решение краевых задач также можно
находить в интегральной форме с помощью метода функций
Грина. Прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению
метода, заметим, что в разд. «Интегралы Пуассона и Дини»
суммирование рядов Фурье привело к формулам Пуассона (26.2)
и Дини (26.5). Эти формулы в интегральной форме
представляют решение задач Дирихле и Неймана для круга. В этом
Разделе мы получим, в частности, эти же формулы
посредством метода функций Грина.
208
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
28.1. Функция Грина задачи Дирихле
Обратимся к задаче Дирихле для уравнения Пуассона в
области Е% ограниченной поверхностью 5я,
Au(x)=-F(x), хеЕсШ". п = 2,3; (28.1)
u(x)=f(x), xeSE. (28.2)
Эту задачу можно рассматривать, например, как задачу о
нахождении электростатического (гравитационного, теплового и
др.) потенциала, создаваемого зарядами, распределенными в
области Е с плотностью р(х) = F(x)/(4ir) (см. обозначения
разд. «Стационарные физические процессы и уравнения
эллиптического типа»), значение которого на границе Se
задано. Обобщая известный подход (см. разд. «Краевая задача с
параметром» части II) к решению краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений методом функций
Грина, сформулируем следующую вспомогательную задачу: найти
потенциал, создаваемый внутри заземленной проводящей
поверхности Se точечным зарядом величиной 1/(47г).
Обозначим искомый потенциал через G(x, у). В отличие от
м(ж), функция G(x%y) зависит не только от переменной ж, но и
от параметра •*/, который указывает положение точечного
заряда. Поскольку плотность точечного заряда с помощью дельта-
функции можно записать в виде — 6(х — у)/(47г), а проводящая
сфера заземлена, приходим к следующей краевой задаче:
A.rG(avi7) = -S(x-y), 2,ye #,
Здесь и далее индекс у оператора Лапласа указывает
переменную, на которую он действует.
Суть метода функций Грина заключается в представлении
решения общей задачи (28.1), (28.2) через решение полученной
краевой задачи специального вида, т.е. через функцию G(x, у),
называемую функцией Грина, или функцией источника.
♦ Функцией Грина (функцией источника) задачи Дирихле
(28.1), (28.2) называется функция G(x, ?/), являющаяся
решением краевой задачи
AxG(x,y) = -6{x--y). x,y£EcW\ ?* = 2,3; (28.3)
Из этого определения следует, во-первых, что функция
Грина G(x<y) как решение неоднородного уравнения (28.3) допус-
28. Метод функций Грина
209
кает представление
G(x,y) = go{x,y)-£n{x,y), (28.5)
где go{x,y) - регулярная гармоническая функция, а £п(х,у) -
фундаментальное решение оператора Лапласа, т.е.
Ахдо(х,у) = 0; (28.6)
Ах£п(х,у)=6(х-у). (28.7)
Во-вторых, функция Грина G(x,y) обладает свойством
симметрии
G{S,y) = G(y,x). (28.8)
Действительно, положим во второй формуле Грина (22.2)
u(x) = G(x, у), v(x) = G{x, z).
Тогда
J[G(x, y)AxG(x, г) - G(x, z)AxG(x, у)] dx =
E
= J ([G(x, y) V,G(s, z) - G(x, z) VrG(z, v)l d§).
Se
Отсюда, согласно (28.3), (28.4), получим
f[G{x, y)S{x -z) + G(x, z)S{x - y)} dx =
E
= -G{z,y)+G{y,z) = 0
и соответственно (28.8). С учетом равенства £п(х%у) =
= £п(\х — 2/|), означающего симметрию фундаментального
решения по переменным х и у [т.е. £„(ж, у) — £«(*/, ж)], из (28.8)
следует, что гармоническая функция
9о(х,у) =9о{у,х) (28.9)
тоже симметрична. Поэтому справедливо не только (28.6), но и
Д„</о(я,<7) = 0. (28.10)
210
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
0 Если вернуться к физическому смыслу функции G(x,y),
то сформулированный выше принцип симметрии G(x,y)
является ничем иным, как математическим выражением принципа
взаимности в физике, а именно: источник, помещенный в точку
у, производит в точке х такое же действие, какое производит
в точке у источник, помещенный в точку х.
0 Функция Грина внешней задачи Дирихле (для
неограниченных областей) определяется аналогично (28.3), (28.4) с
дополнительным условием регулярности функции G(x,y) —>- О
при |ж| —> оо и фиксированном у. Это же условие необходимо
и для внутренних задач с неограниченными поверхностями,
как, например, задача Дирихле в полупространстве.
0 Если для уравнения (28.3) граничное условие первого
рода (28.4) заменить граничным условием третьего рода,
получим определение функции Грина третьей краевой задачи.
Перейдем к построению решения задачи (28.1), (28.2).
Теорема 28.1. Если решение задачи Дирихле (28.1), (28.2)
существует, то его можно представить в виде
«(£)= I G(x,y)F(y)dy-
в
■/ля
Se
dG(x,y)
дпь
dSv
(28.11)
Доказательство. Если и(х) и Se удовлетворяют условиям
леммы 24.1, то, согласно (24.2),
и(х) = / £n(x,y)Ayu(y)dy+
J L дпу
Se
■£n{x,y)-
dSy. (28.12)
Переобозначим (для удобства) во второй формуле Грина (22.2)
жнауи применим ее к функциям и(у) и до(х, у) с учетом (28.2).
Тогда
Ф и
(У)
- / 9o(x,y)Ayu(y)dy-
Е
дд0{х,у) -+ди(у)
dnv
-9о(х,у)-
dnv
dSy = 0. (28.13)
28. Метод функций Грина
211
Суммирование (28.12) и (28.13) дает
и(х) - / [£п(х, у) - g0{x, y)]Ayu(y)dy +
Е
+ Ф \u(ifl-fa-[£n{x> У) - 9о{х, У)] ~
Se
-[£п{х,у) -go{x,y)]-^-jdSy.
С учетом (28.5) полученное выражение можно записать как
и(х) = - / G(x,y)Ayu(y)dy-
Е
- f>[u(y)-^G(x,y) - G(x,y)?£p]dS, (28.14)
и упростить, если учесть соотношения (28.1), (28.2) для и(х)
и граничное условие (28.4) для С(ж, ?/), к виду
u(x) = J G{x, y)F(y)dy+ j> f(y) q^G(x, y) dSy
E SE
совпадающему с (28.11).
Как следует из доказанной теоремы, для решения задачи
(28.1), (28.2) достаточно найти функцию G(x.y). К изучению
этого вопроса мы и переходим.
28.2. Методы построения функции Грина
задачи Дирихле
Существует несколько методов построения функции
Грина, определяемой в виде (28.3), (28.4).
I. Начнем с обобщения метода построения функции Грина
краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения (см. разд. «Функция Грина краевой задачи» части И),
основанного на использовании собственных функций
соответствующей задачи Штурма-Лиувилля и разложения функции
$(х — у) по этой системе функций (см. разд. «Дельта-функция
Дирака и ортонормированные системы функций» части II).
212
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Итак, наряду с (28.3), (28.4) рассмотрим задачу Штурма-
Лиувилля
Av(x) + Xv(x) = 0. хеЕсШк, & = 2.3; (28.15)
Пусть г7„(ж)/||'Уи(ж)|| - полная ортонормированная система
собственных функций этой задачи с собственными значениями Ап.
п — 1, ос. Будем искать функцию G(x, у) в виде ряда
«=i nWnii
В таком виде функция G(x.y) уже удовлетворяет
граничному условию (28.4). А подстановка (28.16) в уравнение (28.3) с
учетом (28.15) и разложения
6(х-у)-^
n=i
дает
ОО
1Ы12
Мг) v^ vn(x)vn(y)
Отсюда при условии А„ ф 0 для п = 1, оо получим равенство
""Anlkll'
подстановка которого в (28.16) дает следующее представление:
С(*,Й-£^Ж1Р (28Л7)
II. Рассмотрим далее метод электростатических
изображений (метод отражений). Идея метода исходит из
электростатической интерпретации функции Грина и состоит в том, чтобы
для заданного точечного заряда и поверхности Se изобразить
дополнительные заряды таким образом, чтобы суммарный
потенциал на указанной поверхности обращался в нуль, как и
предписывает граничное условие (28.4).
Рассмотрим несколько примеров построения функции
Грина в заданных областях #ЕМП, п = 2, 3.
28. Метод функций Грина
213
Пример 28.1. Построить функцию Грина в
полупространстве (полуплоскости) Е : хп > 0, Se • хп = 0.
Решение. Пусть точка у лежит в
полупространстве хп > 0, тогда
симметричная ей относительно плоскости хп =
0 точка у9 лежит в полупространстве
хп < 0. Легко видеть (см. рис. 14, где
точка хо лежит в плоскости хп = 0),
что при приближении точки у к
плоскости хп = 0 симметричная ей точка у"
также приближается к этой плоскости
и на самой плоскости они совпадают.
Если в точку у* поместить заряд,
равный по величине заряду,
расположенному в точке у, но противоположный Рис. 14
по знаку, то искомую функцию Грина можно записать в виде
G(x, у) = -£п (2, у) + £п(х, if). (28.18)
Действительно, подействуем на (28.18) оператором А;Г:
A*G(5, У) = -*(« - У) + *(« " ^).
Отсюда видно, что условие (28.3) выполняется, поскольку в
рассматриваемой области хп > 0 функция S(x-y') = 0. Наряду
с этим, учтя равенство \х — у\ = \х — г?\ непосредственно на
плоскости хп = 0, убеждаемся в справедливости граничного
условия (28.4):
G(x,y) = -£п{х,у) +£п(х,у) =-£п(\х - у\) + £п{\х - у\) = 0,
так как £п(х,у) = £п{\х - у\).
Наконец, легко убедиться, что G(x,y) —>■ 0 при |ж| —>- ос.
Последнее становится совершенно очевидным, если функцию
Грина (28.18) записать, используя явный вид
фундаментальных решений £п(х,у) уравнения Лапласа:
ед$ = <
I 4ir\\x — v\ |ж —•?!'
!
27Г V \х — у\
lnW^[)'
3;
2.
(28.19)
Таким образом, формула (28.19) действительно является
решением задачи (28.3), (28.4) в области х„ > 0.
214
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Пример 28.2. Построить функцию Грина в шаре (круге)
Е: \х\ < R, SE: \x\ = R.
Решение. Пусть точка у Е Е, у ф 0, а у* = уг2/\у\2 - точка,
симметричная ей относительно сферы Se (рис. 15), т.е.
\y\W\
R-
(28.20)
Если считать, что в точке j/"расположен заряд, равный 1/(4тг),
то в точку у1 поместим заряд величиной — a/(4ir). Поскольку
aS(x — у1) = 6([х — $]/а), функцию Грина ищем в виде
G(x,y) = -Sn(\x-y\) + £n(\x-y'\/a).
(28.21)
\у\
Подберем значение а так,
чтобы функция G(x, у) обращалась
в нуль на границе Se- Заметим,
что треугольники Охуи Оху'
подобны: один угол у них общий, а
прилегающие стороны, согласно
(28.20), пропорциональны.
Поэтому на поверхности Se- \Щ — R
справедливо соотношение
Jg-iTI
и, следовательно, в силу (28.21) следует положить а = R/\y\.
Тогда
G(x,y) = -£n(\s-v\) + e»№ \*-?\/R) =
= -Sn(\S-y\)+£n(^\x-y^\).
В силу (28.20) эта формула справедлива и при у
G(x,0) = -En(\x\)+En(R).
0:
(28.22)
(28.23)
Как и в предыдущем примере, нетрудно убедиться, что
формулы (28.22), (28.23) удовлетворяют задаче (28.3), (28.4).
и выписать их явный вид для п = 2 и п = 3.
Следуя принципу, использованному в приведенных выше
примерах, можно находить функции Грина для различных
областей: двугранного угла, сектора, полушара, полукруга и т.д.
28. Метод функций Грина
215
III. Рассмотрим теперь метод, представляющий
комбинацию описанных выше. Ограничимся трехмерной областью в
виде шара Е: \х\ < R, Se- \x\ = R. Решение задачи (28.3),
(28.4) ищем в форме (28.5). При п = 3 оно принимает вид
G{x. у) = 4?г|г_^ + д0(х, у). (28.24)
Таким образом, задача (28.3). (28.4) редуцируется к
следующей:
Д*0о(ж»У) = О» г^^; (28.25)
9o(x,y) = -—Tz—q, sGSe.
Решение этой задачи будем искать методом разделения
переменных. Для этого с учетом геометрии задачи
воспользуемся сферической системой координат с началом в центре шара
и осью z, направленной вдоль вектора у. При таком выборе
х(г, <р, 0), у(р, 0,0) и граничные условия не зависят от (р.
Следуя примеру 25.8, найдем функцию до(х, у) в виде
оо
go(x,y) = J2An{j) pn(cos9)- (28-26)
п=0
Для определения неизвестных коэффициентов Ап подставим
(28.26) в (28.25) и получим
= 1 (28.27)
47r^i/l - 2(р/Л) cos fl + (р/Л)2
Так как р/Л < 1, правую часть этого выражения можно
рассматривать как производящую функцию полиномов Лежанд-
ра (см. разд. «Полиномы Лежандра» части III). В результате
формулу (28.27) можно записать как
оо ^ оо
5>Р„(со.0) = -_£(!)Пр„(со«0),
п=0 п=0
откуда выводим равенство
a -—L(£.Y
216
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
с учетом которого найдем
^й = -^£(§)Ч(со-в).
Точка у1, симметричная точке */относительно сферы 5#,
будет иметь координаты (//, 0, 0), где р' — R?/р < R. Тогда
n=0 r
Соотношение г/// < 1 позволяет свернуть этот ряд к
производящей функции, т.е. получить
до{х,у) = -
4тгД y/l - 2(г//У) cos (9 + (г/р')2
4тг Д v/(^)2-2/yrcosfl + г2
р' Л д
47г7?.|:Н- •у1\ . 47Г/>|х-//| 4тг|у71 |ж - $[
Возвратившись к (28.24), находим явный вид искомой
функции Грина
ОД У) = ]- (т^Ц - , * ^,), (28.28)
совпадающий с найденным ранее (28.22) при п = 3.
28.3. Формула Пуассона
Выше было показано, что решение задачи Дирихле (28.1), (28.2)
для уравнения Пуассона задается формулой (28.11). Решение задачи
Дирихле для уравнения Лапласа можно получить из (28.11),
положив там F(x) = 0. Таким образом, решение задачи Дирихле для
шара (круга)
А„и(х) = 0, х е Е С R", Е : \х\ = R; (28.29)
и(х) = /(ж), х £ SE :\x\ = R< n=2,3,
имеет вид
28. Метод функций Грина
217
ulx) = ф —^—
У)
f№y,
(28.30)
где G(x^y) определена формулой (28.22).
Преобразуем соотношение (28.30), вычислив значение
нормальной производной функции Грина на поверхности Se согласно (28.22):
G(x,y)
SE
-е'Л\£-у\)тгг{\*-у\)+
дпи
«CSM&CSM
SE
(28.31)
Здесь штрих обозначает производную функции по всему аргументу.
Учтя, что на сфере (окружности) 5д, т.е. для у £ Se- \y\ = R
*<"*-*>L-*=*(§'*-a) L*- <28-32>
а также д/дпу = д/д\у\, производную (28.31) можно записать
йЬс<*'й
\g\=R
-£U\s-y\)
■^-v-m-Mil*-*)]
'\.д\уГ~ "" д\у\
Вычислив громоздкие, но несложные производные
1*1=«
д
д
dW\il* " 'Jl)l'*i=* = W\{{* " ®)y/w + w " 2|*l|y1 cos0:
R — |5| cos 6>
R — \x\cos0
y/\x\*+R? -2R\x\cos0 \S - У\
1?1=я
d\y\\R\ |уТУ
д /lLa Д2
|flSR 9\y\\R\Xm \у\
«D
l*l=«
1щ(^И^+*-^И1|Лсо..)| =
|ж|2 - fl|s|cosfl
1*1=
|ж|2 — R\x\ cos 6? I
Я./|х|2 + Я2-2едсо8 0 Д|ж-у| 1|^|=л'
найдем
— G(x,y)\ =-E'n{\x-y '
1*1=«
Приняв во внимание, что
218
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
№-yD={^"JI) Л [~w^
Н|£-У|) [ f_J_ln|:H_£|)
= <
4тг|ж-у|- i
= /<ч|_ ^тт—г, п = 2,3,
1 тг(2|ж - у))""1
27г|£ - у|
приходим к формуле Пуассона
1 Г \х\2 - R2
и(х) = ~Г-^ Ф -rl ^r-ftiftdSy, (28.33)
|у|=я
где |ж| < Я, п = 2,3.
При п = 2 формула (28.33) переходит в формулу (26.2),
полученную ранее методом разделения переменных. Как и в плоском
случае (п = 2), можно показать, что решение внешней задачи
Дирихле определяется формулой
1 f R2 - \х\2
"(*) = „ , „ Ф Т^ ^-/(У)^у. (28-34)
v } 2"-lirR J \x-y\n JKin y v ;
1*1=я
где \х\ > R,n = 2,3.
28.4. Функция Грина задачи Неймана
для уравнения Лапласа
Перейдем от задачи Дирихле к задаче Неймана
Ail(x) = О, х € Е, (28.35)
П5Г = /(*)' *eSE' (28-36>
Основное ее отличие от задачи Дирихле состоит в том, что
соответствующая задача Неймана с нулевым граничным условием (28.36)
всегда имеет нетривиальное решение и(ж) = const. Поэтому
функция Грина в общепринятом смысле для нее не существует и следует,
вообще говоря, искать модифицированную (обобщенную) функцию
Грина, как это, например, делалось при решении краевой задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения (см. разд.
«Краевая задача с параметром» части II).
♦ Функцией Грина задачи Неймана (28.35), (28.36) называется
функция С?(ж, у) - решение специальной краевой задачи
Д*С(ж, у) = -8(х -у), ж, у € Я С R\ (28.37)
^ = 4 *€S*, Л = 2.3, (28.38)
an S
28. Метод функций Грина
219
где тг - нормаль к Se, внешняя по отношению к Е, а 5 - площадь
поверхности Se-
Граничное условие (28.38) диктуется требованием
разрешимости (24.24) для уравнения Пуассона, которое в данном случае имеет
вид
[^dSy+fs(x-y)dy = 0
SE E
I
-dsy +1 = а.
д<1
дп
SE
Отсюда следует, что при выполнении именно условия (28.38)
последнее выражение обращается в тождество
-1 /dsy + i = a.
SE
Определенная таким образом функция G(x, у) неоднозначна,
поскольку вычисляется в точностью до аддитивной постоянной. Тем
не менее, она позволяет строить решения задачи (28.35), (28.3G).
Теорема 28.2. Решение задачи Неймана (28.35), (28.36) при
выполнении условия разрешимости (24.24) можно представить в
виде
rG(x,y)f(y)dSy+C< (28.39)
и(х) = ф
SE
где С - произвольная постоянная.
Доказательство. Следуя доказательству теоремы 28.1, получим
выражение
u{S) = I G(x, y)f(y)dSy + ±£ f(y)dSy + С,
Se S^
из которого при выполнении условия разрешимости (24.24) и
следует (28.39).
О Для внешних трехмерных задач или задач, определенных на
неограниченных поверхностях, трудностей, связанных с
существованием нетривиального решения, можно избежать с помощью
условия регулярности а(оо) = 0, обращающего нетривиальное решение
в тривиальное и(х) = const = 0. Соответствующие определения
функций Грина в этом случае дополняются условием G(x,y) —> 0
при х —> оо и фиксированном у.
220
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Перейдем теперь к вопросу о построении функции G(x,y).
Отметим, что определение (28.37), (28.38) допускает следующую
редукцию задачи:
G(x,y) = до(х,у) - еп{х,у), (28.40)
где Sn(x,y) - фундаментальное решение оператора Лапласа An, a
9о(х,у) - гармоническая функция, являющаяся решением задачи
Д*0о(ж,у) =0, ж,у€#, (28.41)
д</о(ж»У) d£n{x,y) l
Рассмотрим примеры построения функции Грина G(x.y) для
некоторых областей.
Пример 28.3. Решить внутреннюю задачу Неймана для шара
Аи(х) = 0, х е Е С R3, # : \х\ < Я, (28.42)
^ = /(*). *eSs:|*| = A
Решение. Воспользовавшись представлением G(x,y) (28.40) и
явным видом £з(ж,у), имеем
(3(5, у) = -—L— +до(5,17), (28.43)
47Г|Ж — у|
где функция (/о(ж, у) является решением задачи
Д*0о(ж,у) =0, х.уеЕ, (28.44)
дд0(х,у) _ 10/1
071
-"4^^(|f^f)"5' ^€5e'
а площадь сферы 5 = 47гЯ2.
Аналогично задаче Дирихле с учетом результатов примера 25.8
решение задачи (28.44) ищем в виде
до (5, у) = Х)А,;^тРп(со8 0) + С. (28.45)
п=1
Здесь векторы ж, у имеют сферические координаты (г, </?, 6?) и (р, 0,0),
а вектор у*, симметричный вектору у относительно сферы 5е,
соответственно (р',0,0), р' = R2/p.
Подстановка (28.45) в граничные условия (28.44) дает
А n + l{p\n
и соответственно
28. Метод функций Грина
221
*&*> ^ЕТ (g)V„(cos0) + С. (28.46)
Если воспользоваться разложением (III.19.21) (см. разд.
«Полиномы Лежандра»), то (28.46) можно записать
1 Г /? 1 9 #? Т
Д 1 2Д2
L^tfi Л П Я- - r/9Cos 0 + рД
где
А =|г-йГ|. (28.47)
Таким образом,
1
<?(*,*) = £
^ 1 . 2Д:
+ ■
R К2 -rpco&0 + pRil
и соответственно
\х-у\ p\S-ff\
+ С (28.48)
-ю-г/'Чщг;
£1 р|я-у1
1 . 2Й3
^+
d5y + С. ' (28.49)
Л R2 - г/9 cos 0 + pRi J
Это выражение можно упростить с учетом условия разрешимости
f(y)dSy = О
/■
и равенства Ri \г-я = R\x — у|/р:
sE
(28.50)
♦ Формула (28.50) называется формулой Неймана и представ-
ля< 1 собой трехмерный аналог формулы Дини (26.5).
0 Если в задаче (28.44) положить 1/5 = 0 и рассматривать
область Е: \х\ > Я, то получим задачу для определения
функции до(х,у), являющейся, согласно (28.40), частью функции Грина
G(x,y) внешней задачи Неймана.
Пример 28.4. Найти функцию Грина задачи Неймана для
полупространства (полуплоскости) ^ С К", Е : хп > 0, Se : xn = 0.
222
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Решение. Так как поверхность Se неограничена и 1/5 = 0, то для
искомой функции Грина G(x.y) имеем граничное условие
dG(x.y)
дп
= о.
SE
(28.51)
Следуя примеру 28.1. воспользуемся методом электростатических
изображений (отражений). Напомним, что в случае задачи
Дирихле заряду, расположенному в точке с радиус-вектором у £ Е.
ставился в соответствие равный по величине и противоположный по
знаку заряд, помещенный в точку у', симметричную у относительно
плоскости у„ = 0. Такое отражение иногда называют «нечетным».
Легко увидеть, что в случае задачи Неймана следует
воспользоваться «четным» отражением, т.е. не менять знак заряда. Тогда
функция G(x^y) будет иметь вид
G(x,y) = -£п{х,у) -£п(х,у).
(28.52)
Простой проверкой убеждаемся, что (28.52) удовлетворяет условию
(28.51). Действительно,
ЭО(х,у)
дп
= -7^[М*-^+М*-у')]]
х„=0 ОХп 1а«=0
*<"* - ™Ч^+^ - м^ъг1) L...- (28-53)
Воспользуемся соотношениями
*<i*-*>L-. = £(i*-*i>l...-.-
Тогда
3G(x,y)
дп
= -е'„(\х-у\)
хп=о
■it-* -*\
д\х-у\ , д\х-$
дхп
OX» J |Гп=о
= -^^[i*»-v») + i*» + y»)]
о.
хп=0
Рис. 16
28, Метод функций Грина
223
Силовые линии, характеризующие потенциал соответствующей
системы зарядов (см. рис. 16), наглядно иллюстрируют методы
«четного» и «нечетного» отражения, комбинация которых
позволяет находить функции Грина для широкого класса граничных
условий.
Докажем теперь, как с помощью модифицированной функции
Грина можно находить решения задачи Неймана. Для этого
рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля
Av = Л», х е Е, (28.54)
dv(x)
дп
О, xeSE.
отвечающую краевой задаче (28.1), (28.2). Пусть vu(x) - полная ор-
тонормированная система собственных функций этой задачи с
собственными числами Лгм п = 0,оо. Очевидно, что собственному
значению Ло = 0 соответствует функция vo = V-1'2, где V - объем
области Е. Тогда, следуя разд. «Функция Грина краевой задачи»
части II. рассмотрим функцию G(x.y) решение задачи
AxG(x,y) =-6{х - у) - ^, хвЕ< (28.55)
Связь между функциями и(х) из (28.1), (28.2) и G(x.y) из (28.55)
можно найти, применив к ним вторую формулу Грина (22.2). Тогда
,- ^дп(х) ,^dG(x.y)] .„
u{x) = A [G{x,i
+ ^r I u{y)dy = Ф f(y)G(x,y)dSy + const. (28.56)
Согласно формуле (28.56), решение задачи (28.1), (28.2) свелось
к решению задачи (28.55), которое мы будем искать в виде
G(x4S) = Y^^nvn(x)4 (28.57)
м=1
заведомо удовлетворяющем граничным условиям (28.55).
Подставив (28.57) в (28.55) и.учтя известное разложение дельта-функции,
находим
А _ Уп(у)
•An — -
И, следовательно,
224
Глава 5. Уравнения эллиптического типа.
G(^) = £^(£ (28.58)
П=1
Таким образом, решение исходной задачи (28.1), (28.2) можно
свести к решению задачи Штурма-Лиувилля (28.54) для заданной
области J5, а затем с помощью формулы (28.58) записать искомое
решение в виде (28.5G) [см. более подробно главу «Задача Штурма
Лиувилля для уравнений в частных производных»!.
29. Плоско-параллельное течение идеальной
жидкости. Методы комплексного
анализа для двумерных задач
29.1. Обтекание цилиндра
Стационарное безвихревое (ламинарное) движение идеальной
несжимаемой жидкости описывается уравнениями
div<7=0, rotv = 0, v = v(r), r = (a;,y,z), (29.1)
где v - скорость частиц жидкости в точке г. Если в жидкость
погружено тело, ограниченное замкнутой кусочно-гладкой
непроницаемой для жидкости поверхностью 5, то уравнение (29.1) описывает
обтекание этого тела потоком жидкости, если наложить граничные
условия
(*(*М)|Я = 0, *||Р|=0О=Л (29.2)
где п - нормаль к поверхности 5, ?7° - постоянный вектор.
Уравнение поверхности 5 в общем случае имеет вид
/(*,у,*) = 0. (29.3)
Рассмотрим частный случай поверхности - цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси Oz
/(*,У)=0, (29.4)
и граничными условиями
(*7(rV*) = 0,
t7 = t?° = (t/J.,vS,0) = v°(cosa,sina,0).
I |r|=oo 9
Очевидно, что в этом случае решение v(r) следует искать в виде
v(f) = Мж,у),^(ж,у),0). (29.6)
♦ Такое течение называется плоско-параллельным.
Уравнения (29.1) теперь примут вид
29. Плоско-параллельное течение идеальной жидкости 225
Второе уравнение в (29.7) имеет решение вида
du du , _
*;* = —, *;у = —, и = и(ж,у), и = Vu, (29.8)
с/ж ау
где и(эт.у) - произвольная функция (гидродинамический
потенциал), имеющая непрерывные частные производные до второго
порядка включительно. Подставив (29.8) во второе уравнение (29.7),
найдем, что м(гс, у) есть гармоническая функция
Д2м = 0, (29.9)
удовлетворяющая граничным условиям
£i| =0, V«L, =*°. (29.10)
d7l\S Hr|=oo V '
Записав общее решение первого уравнения из (29.7)
t,r = S' "y = ~S' * = *(*'»)• (29Л1>
из второго найдем, что ф также гармоническая функция
А2ф =0,
называемая функцией тока. Сравнив (29.8) и (29.11), получим
euw ^ = _^. (29.12)
дх ду' ду дх v ;
Если ввести комплексную функцию w
w = ti + t^, (29.13)
называемую комплексным потенциалом, то (29.12) являются для
нее условиями Коши-Римана, и комплексный потенциал
го = ги(г), z = х + гу (29.14)
является аналитической функцией z в области, где справедливы
уравнения (29.7).
0 Выясним физический смысл функции ф. Для этого
рассмотрим уравнение линий тока жидкости - линий, в каждой точке
которых касательная совпадает с вектором v,
dx _ dy
vx vy
или
Vydx — vxdy = 0,
что дает
|£<te + ^dy = dtl> = 0. (29.15)
226
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Таким образом, семейство линий тока определяется уравнением
ф(х,у) = С. (29.16)
Рассмотрим плоско-параллельное обтекание жидкостью
бесконечного цилиндра радиуса а. Уравнение (29.4) в этом случае имеет
вид
х + у — a = 0.
В полярной системе координат
х = г cos </?, у = r «in V
вместо граничных условий (29.10) запишем
-!i =0, Vul = v°(cosa,sina). (29.17)
0lllr=a ,Г=°°
Общее решение двумерного уравнения Лапласа
и(х, у) = Ао + -Во Inr +
оо
4- / {г"[An cos 7г(ц> — а) 4- Bn sin n((p — ft)] 4-
+г~"[A,, cos n(</? — а) 4- В,, sin n((p — а)]}
получено ранее. Из граничного условия находим
ди
~дг
ИЛИ
д
= 0
ди
= — + У^К^А. - а"""1 Д„)совп(^ - а) +
»»=1
+п(а"~ Вп — a~"~l Bn)smn((p — а)] = 0.
Отсюда следует
В0 = 0, An = a3"j4„, B„ = a2"B„. (29.18)
Тогда '
ti(r, v?) = Ао + ^ |r" j4„ [l + (^ J J cos 7i(v> - a) +
r»=l
+г"5п[1+(^у"]8тп(^-а)}.
Постоянные An-, Bn выберем из второго граничного условия
ди
дх
= vq cos a,
dl^
= Vq Sin a
29. Плоско-параллельное течение идеальной жидкости 227
и учтем, что
du _ du da sin (p du _ du . du cos </?
dx dr *~ dip r ' dy dr d(p r
получим
^=5:{w-A.[i-(j)-]co.^-«,+
+m-,-1B„[l- (^'"]sinn(y>-a)};
r»=l
+7irn"15„ [l + (j)""] cosn(v> - a)}.
Из условия
находим
Таким образом,
~дх
дч_
Ъг~
An = Bn = О,
< оо
п> 1.
= [i4i cos(v? — a) + i?i sin(v? — a)] cos</?—
= oo
— [—Ai sm((p — a) + B\ cos(v? — a)] simp =
= i4i[cos v?cos(v? — a) + sin</?sin(v? — a)] +
+ B\ [cos </? sin(</? — a) 4- sin </? cos(</? — a)] =
= Ai eos(v? — </? 4- a) 4 B\ sin(</? — </? + a) =
= j4i cos a 4- B\ sin a,
i4i = vo,
#i =0
r.2 >
откуда следует, что
и
ti(r, (р) = Ao + vo (r 4- —) cos(v? - a). (29.19)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что соотношение
du Л .
-г— = А\ sin a
0у
справедливо и условие (29.17) выполняется.
О Решение (29.19) получено в предположении, что u{r, </?) =
— гг(г, </?-f 27г) (см. разд. «Разделение переменных в уравнении
Лапласа в полярных координатах»). Однако физическая постановка
228
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
рассматриваемой задачи допускает непериодические по
переменной (р решения, которым соответствует вращение жидкости вокруг
цилиндра. Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция
мо (г, </?) = Л</?, Л = const, удовлетворяет уравнению Лапласа Дз А^> = О,
хотя и не периодично: Х(р ф. Х((р 4- 27г). С учетом вышесказанного
решение задачи принимает вид
n(r,v?) = v0(r + —J cos(v?- a) +Av?. (29,20)
Найдем комплексный потенциал w = ti + iifi. Для этого
удобно воспользоваться условиями Коши-Римана в полярной системе
координат
£ = i* !£ = -£. (29.21)
Or r dtp г д^ дг' к }
дф ( а2\
= vq I г J cos(v? - a):
д(р
дф_
дт
= 7(r + 7")sin(v7~a)~r-
Отсюда нетрудно получить
<ф = v0 (г - — J sin(y> - a) - Alnr, (29.22)
т.о.
гу = u + i^ = vo (г Н ) cos((p — a) +
+ivo (г ) sin(</? — a) + X(p — iA In r.
Введем переменную z = relv? = x + гу. Тогда
о
w(z) = v*z + v iAlnz, (29.23)
где v = t»oe,a, w* = voe~,a = t»o cos a + *fo sin a.
0 Поскольку Vf = А, то слагаемое A In z описывает циркуляцию
жидкости со скоростью А вокруг цилиндра.
Введем безразмерную переменную z = a£, тогда
w(C) = av*C + ™т - tAlnC- (29.24)
29. Плоско-параллельное течение идеальной жидкости 229
29.2. Обтекание плоской пластины
Полученные для круга результаты позволяют решить задачу
обтекания тела произвольной формы. При этом применяется метод
конформных преобразований, позволяющий отобразить
произвольный гладкий контур на окружность.
Рассмотрим в качестве примера обтекание плоской пластины
ширины 2а и бесконечной длины. После стандартного отделения
переменной z получим следующую задачу:
Дом = 0, v г=оо = 'tfo(cosa,sma), тг~
an
О,
(29.25)
где 5 — отрезок [—a, a].
Рассмотрим комплексную переменную z = re#v? = x 4- iy. При
помощи функции Жуковского
!И)-
C=£ + i77 = pe'
(29.26)
отобразим отрезок [—a, a] на окружность единичного радиуса (см.
гл. «Конформные отображения» части I), а пространство вне
отрезка - на пространство вне круга единичного радиуса.
Действительно,
*V a ( <> i 1 -»>\
ге =гГ V )•
Единичной окружности р = 1 в плоскости С в плоскости z отвечает
кривая
<V i • a ( «> i 1 -иЛ
= ге ^ = ж + гу = - I ре v + -е v J
= асозф.
p=i
Поскольку Im(acos^) =0, то у = 0 и i = acos0, т.е. единич-
ная окружность отображается в отрезок [—a, a]. Аналогично
пространство вне отрезка отображается на пространство вне круга,
т.е. z = оо отвечает £ = оо. (Более подробно см. разд. «Функция
Жуковского» части I.)
Рассмотрим фиктивное течение жидкости в плоскости (.
0 Фиктивное течение представляет собой обтекание цилиндра
единичного радиуса потоком, имеющим на бесконечности скорость
dw
С=оо
dw
~dz~
dz_
a *
= T»
C=oo *
В этом случае комплексный потенциал имеет вид
(29.27)
Найдем
dw I
"57
= voe
230
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
В соответствии с граничным условием
dz
Таким образом,
>.-!(-?)
С=оо
VQ = V-
Из соотношения (29.26) следует
*С=£(С2 + 1) или <2-^< + 1 = 0.
I a
Выделим полный квадрат
+ 1-^ = 0'
откуда
Найдем
С"1 =
>/z2 - а2
•+Vz2 - a? z + y/z'2 - a2 z - y/z2 - a2 '
Следовательно,
Подставив в (29.27), получим
a .1,
i>(z) = V^(* + у/*2-"2) + f «£(* - \A2-<*2) -
(29.28)
(29.29)
(29.30)
-•/Л In
(* + >/*2-«2)
^ain(l±^HZ). (29.31)
Решение задачи (29.25) определяется как
ti = Retw(;z).
0 Из полученных соотношений следует, что скорость на концах
пластины равна оо. Это связано с тем, что жидкость идеальна.
ГЛАВА б
Элементы теории потенциалов
Мы переходим к изучению еще одного метода решения
краевых задач, основанного на теории потенциалов. Смысл этого
метода заключается в том, что решения краевых задач ищут в виде
некоторого специального интегрального представления - в форме
потенциалов. Тогда решение этих задач удается свести к решению
интегральных уравнений.
Помимо того, что изучение потенциалов имеет
методологическое значение, теория потенциалов представляет и самостоятельную
ценность как математический аппарат отдельных разделов физики:
электростатики, магнитостатики, гравитации и др.
30. Основные понятия и определения
Запишем формулу (24.2) в эквивалентной форме
ti(:H) = ~i/l?iAu(j7)dj7+
Е
1 Г 1 ди(у) 1С, 1 f .^ д
J.
И J
dSu
(30.1)
\r\ = \x - y\ = yj(x\ - yi)- 4- (x-2 - */2)2 4- (x-i - уз)2
более удобной для дальнейшей
работы (см. рис. 17, где в точке М(у) 6
€ Se строится нормаль пу,
внешняя по отношению к области J5, а (р
~ угол между нормалью и вектором
г = х — у). Формула (30.1) является
исходной для всей теории
потенциалов. Поскольку функция \х — у\~1
Фундаментальное решение
уравнения Лапласа, то можно пред пол о- р
жить, что она дает явное решение ис*
следующей краевой задачи для уравнения Пуассона:
Дк = -4пр(х), х £ Е,
с граничными условиями
ди
\sE
и(х)
SE
дпи
SE
= ц(х)
Днако ранее было установлено (см. разд. «Гармонические функции
и их свойства»), что для произвольных функций ia(x) и у(х),
определяющих значение функций и(х) и ди(х)/дп на поверхности Se,
232
Глава 6. Элементы теории потенциалов
невозможно поставить краевую задачу. Поэтому формула (30.1) не
выражает решения какой-либо краевой задачи, если функции £*(ж)
и v(x) не удовлетворяют условиям разрешимости. Тем не менее, все
три интеграла, входящие в формулу (30.1), имеют важное значение
в физических приложениях и носят общее название ньютоновых (ку-
лоновских) потенциалов.
♦ Интеграл
Е Е
называется объемным потенциалом, а функция р(х) - плотностью
этого потенциала.
♦ Интеграл
&Е $Е
называется потенциалом простого слоя с поверхностной
плотностью /i(x).
♦ Интеграл
f^wh*5*=f^аУйЬ=w& (30-4)
Se Se
называется потенциалом двойного слоя с плотностью ts(x).
Интегралы, входящие в соотношения (30.2)-(30.4), обладают
общей особенностью: в окрестностях точки х = у они (в силу
неограниченности \х — у\~1) становятся несобственными кратными
интегралами (см. приложение «Несобственные интегралы» части I). Для
дальнейшей работы нам понадобится понятие равномерной
сходимости несобственных интегралов, поскольку равномерно
сходящиеся несобственные интегралы можно дифференцировать и
интегрировать по параметру.
♦ Интеграл
U(x)= ff{x.y)dy (30.5)
Е
называется равномерно сходящимся в точке х = хо. если для любого
е > 0 можно указать такие 6(e)-окрестность точки xq и область
е(е) G Е. что для непрерывной по ж, у функции f(x<y) для всех х и
j/, принадлежащих окрестности 6(e) и ограниченному замкнутому
множеству Е\е(е) соответственно, выполняется неравенство
[ \№y)\dy^e.
20. Основные понятия и определения
233
Рассмотрим некоторые свойства равномерно сходящихся
интегралов (30.5).
Лемма 30.1. Равномерно сходящийся в точке х = xq интеграл
(30.5) определяет функцию U(x), непрерывную в точке xq.
Доказательство. Рассмотрим разность
\U(x0)-U(x)\ =
/ f(xQ,y)dy- I /(ж,
/(£o,y)dy
Е Е
Из (30.6) следует неравенство
y)dy
(30.6)
/ f(xo,y)dy- / f(x,y)dy
й
Е Е
< / f(xo,y)dy- / f(x,y)dy
Е\е(е) Е\е(е)
+ / f(xo,H)dy- / f(x,y)dy\ ^
+
е(е)
е(е)
J |/(*o,y)-/(£,y)|dy + [\f(£o,y)\dy + f\ffry)\dy.
,е(с) е{е) е(с)
Е\е(е)
Выберем 6(e) и е(е) такими, чтобы каждый из двух последних
интегралов был меньше е/3. Для первого интеграла воспользуемся
условием непрерывности /(ж,у) на ограниченном замкнутом
множестве Е\е(е), которое следует из равномерной сходимости
интеграла (30.5). ВьГберем произвольную точку х так, чтобы для всех
У € Е\е(е) выполнялось неравенство
l/(So,y)-/(*,y)l<
ЗУ'
где V — объем области Е\е(е), или
J |/(*о,у)-/(£,#№/< J ^vdy=l-
Е\е(с) Е\е{с)
Но тогда
\U(So)-U{x)\<^ = e,
что и доказывает лемму.
Понятие равномерной сходимости в точке естественным образом
обобщается на область.
234
Глава 6. Элементы теории потенциалов
♦ Интеграл (30.5), равномерно сходящийся в каждой точке х
некоторой области Е, называется равномерно сходящимся в этой
области.
0 Если в области Е можно указать $(е), одну и ту же для всех
точек области, то данное выше определение равномерной
сходимости совпадает с использованным ранее в курсе математического
анализа.
С учетом этого получаем следующее очевидное обобщение
леммы 30.1.
Лемма 30.2. Интеграл (30.5), равномерно сходящийся в области
Е, определяет функцию U(x), непрерывную в этой области.
Рассмотрим интеграл (30.5) с подынтегральной функцией
который в последующем будем использовать как эталон, поскольку
для него справедлива
Лемма 30.3. Интеграл
U(x) = [ -т^г (30.7)
Е
при а < 3 сходится равномерно в ограниченной области Е.
Доказательство. В области Е выберем
\рр ^\ произвольную точку жо, а в качестве ее
<£(е)-окрестности - шар |я?о — х\ ^ 6(e) и в
качестве области е(е) - шар |я?о — у\ ^ р(е).
Если 6(e) < р(е), то шар е(е) целиком
располагается в шаре ё(е): \х — у\ ^ 2р(е) (см.
рис. 18).
Покажем, что для заданного е > 0 и
а < 3 можно указать такое р(е), чтобы
выполнялось неравенство
J \2
dy
<е.
(30.8)
Цс)
Для вычисления интеграла (30.8) перейдем в сферическую
систему координат с центром в точке х. Тогда
30. Основные понятия и определения
235
Отсюда следует, что для всех
м < \
(З-а)^1/^3-")
47Г
неравенство (30.8) выполняется, но тогда выполняется и
неравенство -
/]*ф<в' е(£)се"(£)'
е(с)
что и доказывает равномерную сходимость интеграла (30.7) в Е.
Возвратившись к интегралу (30.5), сформулируем для него
следующий признак равномерной сходимости.
Теорема 30.1 (достаточный признак равномерной
сходимости). Если функция /(ж, у) б ограниченной области Е
удовлетворяет неравенству
где а < 3 и С - некоторая постоянная, то интеграл (30.5)
равномерно сходится в Е.
Доказательство очевидным образом следует из неравенства (30.9)
и леммы 30.3.
В заключение приведем еще одно обобщение известной из
анализа формулы
l2? = k I'<*' *W = I Я7/(*« № (30Л0)
Е Е
справедливой при условии, что последний интеграл в (30.10)
является собственным. Оказывается, эта формула остается
справедливой и для несобственного интеграла при условии его равномерной
сходимости в Е.
Действительно, в силу равномерной сходимости интеграла
/
Q^[f{^y)]dy
Е
на отрезке [ж,,ж, + Дж,] 6 Е существует интеграл
*. Е
[f(x,y)]dy
dxi,
Допускающий изменение порядка интегрирования
236
Глава 6*. Элементы теории потенциалов
Х{-\-ДХ{
a-'i + Да.-;
/ [М^Н"ж; = /[ / hf(*MdXi
dy,
из которого следует
лч + Даг,-
dxi = U(x{Axi}) - Щх)ч (30.11)
где ж{Дж,} обозначает вектор ж, координата ж, которого получила
приращение Дж,- и стала равной ж; + Дж;. Из (30.11) имеем
«i+Д*,-
,b,sr / [М^*Н
с?ж,- = lim
Да;-К)
£7(ж{Дж J - Щж)
Дж
Мими*-^-я/"*"*
0 Поскольку размерность интегралов не имела существенного
значения вплоть до соотношения (30.10), аналогичные обобщения
и результаты (будем приводить их по мере необходимости) можно
получить не только для интегралов по объемам, но и по плоским и
пространственным поверхностям, если последние являются
поверхностями Ляпунова.
Ниже мы рассмотрим основные свойства этих потенциалов и их
использование в некоторых физических задачах. Предварительно
напомним некоторые сведения, связанные с понятиями точечного
потенциала и потенциала диполя.
30.1. Точечный потенциал
Рассмотрим материальную точку массой m (или с зарядом е),
находящуюся в точке М(у) (см. рис. 17). По закону всемирного
тяготения (или закону Кулона) на массу m (или заряд е'), помещенную
в точку Р(ж), действует сила притяжения
^ mm' _
И3
Положив га' = 1 и выбрав систему единиц, в которой 7 = 1^
получим
* = -$*■ (30Л2>
SO. Основные понятия и определения
237
Вектор силы F, направленный от точки Р(х) к точке М(у).
образует с координатными осями Oxi, Ox?, Ох$ углы, косинусы которых
равны
cosa = ррг-, cos/З = р^—, cos7 = ртт"• 30.13
И" И" кг
Соответственно проекции силы F на координатные оси будут
Fi = |F|cosa = -т^з (Ж1 -yi).
|f|3
-* Tfh
F2 = \F\cosp = -T^(x2 - y2). (30.14)
In
-* 771
F3 = |F|cos7 = --rj(a:3 -y3).
In
Все три выражения (30.14) являются производными по
координатам х = (я1,яэ,яз) от одной и той же скалярной функции
u(f) = £ = -^Ц. (30.15)
Действительно.
c)u d [ my
1" dxi " £ьЛ|гу "
= -Т^ГТ^—Л/(Ж» -2/02 + (Ж2 -У2)2 +(Ж3 "УЗ)2 =
|r|- axi
ш ( \
и аналогично
„ ди 'га, . . _ ди т
Fi = d^.= ~w(X2" ы' 3 = ьг» = ~W(X3"уз)'
Таким образом, силу притяжения F (30.12), которая является
вектором, можно определить через одну скалярную функцию u(f)
(30.15):
F = ^+j^ + k^ = V,u = mV* (30.16)
dxi дхо дхг \г\
♦ Скалярную функцию и(г*), определяемую равенством
F(f) = V,^, (30.17)
называют потенциалом силового поля г (г).
^0 Формула (30.15) определяет потенциал силового поля в точке
"(ж), создаваемого массой га, расположенной в точке М(у).
238
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Чтобы выяснить физический смысл потенциала 'u(r), найдем
работу А, которую производит сила Р(х) по перемещению единичной
массы из точки Р'(х') в точку Р(х). Учтя, что
f' = \* -У\ = у/(х\ -I/O' + К -Уз)2 + (*i - Уз)2,
согласно (30.17), находим
р р
A = J{P, dl) = Jdu = u(P) - „(P') = m (JL - p^) . (30.18)
p/ p/
Это означает, что работа силы F зависит лишь от положения
начальной Р'(х') и конечной Р(х) точек перемещения, но не зависит
от пути, по которому проводилось это перемещение.
При \г\ < \г '| работа (30.18) положительна. При |г"| -> оо
m m
А = u(r) = — = —
|f| |ж-у|"
Из сравнения с формулой (30.15) следует, что потенциал в точке
Р(х) имеет смысл положительной работы, которую производит
силовое поле, создаваемое точечной массой, расположенной в точке
М(у), при перемещении единичной массы из бесконечности в точку
Р(х). Это соответствует потенциальной энергии системы
материальных точек М(у) и -Р(ж), взятой с обратным знаком.
Сказанное выше естественным образом обобщается на область
электромагнитных явлений. Тогда в случае притяжения, как и при
тяготении, пользуются равенством (30.17). В случае отталкивания
полагают
F(x) = -V*u(£),
так что потенциал совпадает с потенциальной энергией системы.
Следует отметить, что потенциал точечной массы (30.15) с
точностью до постоянного множителя совпадает с фундаментальным
решением уравнения Лапласа £з(х^у) (23.15):
xdr) = ii(x.y) = -rz цг = — 47Г7п£ч(х, v),
F ~ У\
т.е. точечный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона с
дельтообразной плотностью тп8(х — у):
ДА.и(ж,£) = Agf.-™ ) = -4птп6(х - у). (30.19)
\\х-у\/
Вне точки х = у он удовлетворяет уравнению Лапласа
Д,п(х,у) = Д,(-^_) = 0, (30.20)
т.е. является гармонической функцией.
SO. Основные понятия и определения
239
30.2. Объемный потенциал
Рассмотрим тело Е с плотностью р(у) и определим потенциал,
создаваемый им в точке Р(х) (см. рис. 17). Для этого разобьем весь
объем Е на малые элементы dy = dy\dyndyz и заменим влияние
массы pdy влиянием равной массы, сосредоточенной в точке М(у).
Тогда для вектора силы dF, действующей на единичную массу,
помещенную в точку Р(х). получим следующее выражение:
Интегрирование по всему объему Е дает выражение для полной
силы
*-1«Яш-Хфщ)*1' i = 1'2'3'
Е
или в векторной форме
? = Jp(y)V*(W^)dy. (30.21)
Е
Интегралы (30,21) от непрерывной ограниченной функции р(у)
являются собственными для х £ Е и несобственными, но
равномерно сходящимися для х 6 Е в силу теоремы 30.1 и выполнения
неравенства
д ( 1 М , ,^Axi-yi\ 1
Oxi \\x-y\J
= \Р(У)Г> "' * <^
|^-у| |х-у|2 |ж-<7|3'
Таким образом, независимо от того, принадлежит точка х области
Е или нет, операцию.дифференцирования по ж/ можно вынести за
знак интеграла и записать (30.21) в виде
F = j Р(у)V* (щг^|) dV = v' / ||т^ = v*^ <*)' (30-22)
где
tf (*) = / r^Q-dy (30.23)
Е
- объемный потенциал силового поля (30.21), создаваемого массой
с плотностью р(у)< заключенной в объеме Е.
Сравнение (30.23) и (30.15) говорит о том, что точечный
потенциал (30.15) можно рассматривать как частный случай объемного
(30.23), если р(у) = mS(y — у'). Основные свойства объемного
потенциала будут рассмотрены ниже. Отметим лишь, что объемный
240
Глава 6. Элементы теории потенциалов
потенциал, в отличие от точечного, никогда не обращается в
бесконечность, даже когда точка Р(х) лежит внутри области Е* так
что
1
F-S7I
в силу равномерной сходимости (30.23) в Е согласно теореме 30.1.
30.3. Потенциал простого слоя
Предположим теперь, что действующая масса сосредоточена на
границе Se в виде слоя незначительной толщины Ah (рис. 19,а).
Пусть dSy - элемент поверхности этого слоя. Тогда с точностью
до бесконечно малых высших порядков dy = dyidy^dyz = AhdSy. В
таком предположении объемный потенциал (30.23) превращается в
интеграл по поверхности Se
V(x)
u\ds"
Объемную плотность р(у) в точке М(у) можно рассматривать как
массу, содержащуюся в элементе объема, т.е. р(у) = Am/(AhAS,,).
Тогда произведение p(y)Ah = Am/ASy = ц(у) имеет смысл
поверхностной плотности. С помощью поверхностной плотности fi(y)
потенциал простого слоя запишется в виде
V(x
Ч№
dSu
(30.24)
Формулу (30.24) для простого слоя можно получить из формулы
объемного потенциала (30.23) в предположении, что
р(у) = V>(y)Ss
(30.25)
♦ а?з
X j
^У
/\ г=х-у
Se
&3
Se/
Р(х)
%>/ п4
/ м(у)
$+
г
^
У
'Пу
хг
^1
Рис. 19
30. Основные понятия и определения
241
Здесь /i(y) - поверхностная плотность, a SsE - поверхностная дельта-
функция, действующая по правилу (см. разд. «Основные и
обобщенные функции» части II)
(/Л.
?eW) = / V>(x)SsE<p(x)dx = / fi(x)(p(x)dSx, x £ Rn,
mn sE
где <p(x) - произвольная основная функция, т.е. (р(х) £ D(Rn).
Так же как и для объемного потенциала V(x)< исследуем
возможность дифференцирования интеграла (30.24). Очевидно, что ес-
ли х £ Se , то
WW _ О Г ц{у) _ Пу1-х;)ц(у)
-dxT -dxlf W^\ У ~ f I*-01s У*
SE Se
Если из точки х $ Se восстановить нормаль п к поверхности Se.
то дифференцирование по направлению п дает
dV(
SE Se
где ф - угол между векторами п и у — х (или между п и —г, см.
рис. 19,(5).
30.4. Потенциал диполя и двойного слоя
Понятие потенциала двойного слоя наиболее органично
вытекает из рассмотрения магнитных полей, источниками которых яв-
М"(у"]
ляются магнитные диполи. Магнитный
диполь схематично можно представить
в виде бесконечно малой и тонкой иглы
(магнитной стрелки), на концах
которой сосредоточены равные по
величине и противоположные по знаку
«количества магнетизма». Чтобы избежать
введения новых обозначений, вместо
магнитного диполя рассмотрим
математически эквивалентную задачу, а именно,
Диполь, образованный двумя массами
"■"Щ и -fm, расположенными в точках М'(у') и М"(у")
соответственно на расстоянии I = \1\ = \у " — у '| (рис. 20, вектор I направлен
°т отрицательного полюса — m к положительному -fm).
Потенциал диполя w в точке Р(х), согласно (30.15), равен
m m
w=w\-w\=m
l|r"l Ir'l)-
(30.26)
242
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Обозначив через ip угол между вектором г = х — у, проведенным из
середины диполя к точке Р(ж), и вектором Z, можем записать
|r/;| = |r1 + |r1Zcos^+ j,
i2
\r'\ = И -|r|/cosv+j.
Отсюда, пренебрегая величинами порядка J2/|f|3 и выше, имеем
и, следовательно,
mZ
го = -г^ cos V?.
|f|2
Допустим теперь, что при I —>• 0 произведение ml стремится
к конечному пределу v, называемому моментом диполя. Тогда в
пределе получим
w = т—-cosv?. (30.27)
И"
С учетом того, что
cos </? =
И '
потенциал диполя (30.27) можно записать через производную по
направлению I:
•-й$Ч'.й-0-'я(й)- <»->
Формула (30.28) допускает обобщение, которое и приводит к
понятию двойного слоя. Допустим, что двусторонняя поверхность Se
покрыта слоем диполей, оси которых в каждой точке М(у)
ориентированы по нормалям п к Se, направленным от отталкивающих
масс к притягивающим (рис. 21). Потенциал такого слоя диполей
носит название потенциала двойного слоя и определяется формулой
(30.4). Для ее получения обозначим через v{y) плотность дипольно-
го момента, т.е. его значение, отнесенное к площади поверхности,
называемую еще плотностью двойного слоя. Тогда для потенциала
двойного слоя с учетом (30.27), (30.28) получаем следующие
выражения:
w& = /^(йЬ|Ь = f^W^\dS- (Ж29)
20. Основные понятия и определения
243
где <р ~ угол между векторами пу и х — у (см. рис. 21). Формулу
(30.29) можно получить из выражения для объемного потенциала
(30.23), если распределение плотности записать с помощью
обобщенной функции
Эта функция определяется соотношением
(-^№sE)\v&)) = fv(2)!^dS; x£R'\ v>(£)€£(nO
и описывает плотность зарядов,
соответствующих распределению
диполей на поверхности Se,
ориентированных вдоль заданного
направления нормали п на Se и создающих
дипольный момент с поверхностной
плотностью v(x).
Таким образом, рассмотренные
выше потенциалы представляют
собой потенциалы, создаваемые
массами или зарядами с различными
распределениями в пространстве. В частности, непрерывное
распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы
или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают
потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи,
то создаваемый ими потенциал есть потенциал двойного слоя.
Отметим, что, несмотря на существенные различия, все
потенциалы обладают одним общим свойством, которое мы
сформулируем в виде следующей леммы.
Рис. 21
Лемма 30.4. Пусть функции р(х), ^л(х), и(х) сосредоточены в
области Е или на поверхности Se- Тогда вне области Е или
поверхности Se потенциалы (30.2)-(30.4) удовлетворяют
уравнению Лапласа.
Доказательство. Потенциалы (30.2)-(30.4) зависят только от
расстояния между точками Р(х) и М(у), т.е. от модуля
\у- х\ = \/(yi -xi)2 + (уо - ж-i)2 + (уз - ж3)2.
Причем для всех точек Р(ж), лежащих вне области Ё, выполняется
неравенство \у — х\ ф. 0. Оно означает, что интегралы (30.2)-(30.4),
определяющие потенциалы, - непрерывные и ограниченные функ-
41111 параметра х. Аналогичное утверждение справедливо и для
производных du/dxi. д2и/дх], явный вид которых можно найти
непосредственным дифференцированием подынтегральных выражений
244
Глава 6*. Элементы теории потенциалов
Тогда
(30.2)-(30.4) по параметрам ж,-. Учитывая, что
Ч|^Ь[)=°- (зо-зо)
для потенциала объемных масс и потенциала простого слоя
находим
*-ЩШ)=д* / \0hdtJ=/А- (rb[)p{g)dg=°'
E E
a*v{s)=A*I 0r\ds*=h* (ыЬ\Уш8"=°-
(30.31)
Для потенциала двойного слоя помимо (30.30) следует принять во
внимание, что
b^(^^)J = ^b^(^£[)J- (жз2)
SE
=/^Nj^)b=°' (зо-зз)
SE
что и требовалось доказать.
30.5. Эквипотенциальные поверхности
Рассмотрим уравнение
U(x) = С = const, (30.34)
где U(х) - некоторый потенциал, градиент которого, согласно
(30.13), определяет силу, действующую на единичную массу.
Уравнение (30.34), как известно, задает поверхность уровня функции
U(x) независимых переменных ж(жьЖо,жз).
♦ Поверхность уровня (30.34) для потенциала U(x) называется
эквипотенциальной поверхностью.
Производная от потенциала U(х) по положительной нормали
n = (cosa, cos/?, cos7) к некоторой поверхности 5 запишется в виде
-— = (?г, VX.U) = -—cos а + -—cos/H
on ox 1 0x2
30. Основные понятия и определения
245
+ !^-cos7 = (Р.Л) = F„. (30.35)
ох$
Выберем здесь в качестве поверхности 5 эквипотенциальную.
Тогда для направляющих косинусов нормали п к такой поверхности
запишем
cosa=—— -—, cos/? = —s--—, cos7=-^t^—* (30.36)
где
Тогда, подставив (30.36) и (30.37) в (30.35), получим
gj- = Fn = ±±—l-L ^-^ ^—*-L- = ±\F\. (30.38)
В формуле (30.38) знак «+» выбирается в случае dU/dn > 0, а знак
«—» в случае dU/dn < 0 для выбранного направления п. Кроме
того, из формулы (30.38) следует, что в каждой точке
эквипотенциальной поверхности ее вектор-градиент F направлен по нормали к
ней в сторону возрастания потенциала U(x). Проекция вектора Р
на произвольное направление / имеет следующее значение:
Ft = (PJ) = ^- cos(n,f), (30.39)
on
из которого следует, что потенциал U(x) изменяется сильнее всего
в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности [когда
cos(?1,1) = 1] и совсем не изменяется в любом направлении, лежащем
в касательной плоскости к ней [когда cos(n.Z) = 0].
Для характеристики всего семейства эквипотенциальных
поверхностей (30.34) в целом рассмотрим две эквипотенциальные
поверхности:
Si : U(x) = C и So : U(x) = С + ДС.
Ьыбрав точку Mi на эквипотенциальной поверхности S\ и
обозначив через Дуг расстояние (по нормали к Si) от точки М\ до точки
**»2, лежащей на эквипотенциальной поверхности 5>, с точностью
До бесконечно малых высших порядков найдем
ЛГГ
ДС = — An = FnAn.
an
246
Глава 6*. Элементы теории потенцигшов
откуда
АС , АС
An = —— = ±—5-.
Fn \F\
(30.40)
Из формулы (30.40) следует, что эквипотенциальные поверхности
при заданном АС располагаются в пространстве более плотно в
тех точках, в которых величина \F\ (т.е. градиент потенциала)
наибольшая.
Рис. 22
На рис. 22 изображены эквипотенциальные поверхности
единичного точечного заряда (а) и диполя с моментом -fl (б),
расположенных в начале координат.
31. Свойства объемного потенциала
Рассмотрим теперь более подробно объемный потенциал (30.23),
основные свойства которого достаточно наглядно можно
проиллюстрировать рядом конкретных примеров.
Пример 31.1. Найти объемный потенциал шара радиуса R со
сферически-симметричной плотностью р = р(гм) - так называемой
ньютоновой сферы, где гд/ = |гл/| - расстояние от точки М(гм)
до центра шара Sr. Исследовать поведение первых и вторых
производных потенциала.
Решение. Выберем систему координат (яьвд.яз)* центр которой
совпадает с центром шара (рис. 23). Обозначим для удобства
вектор х через гр, <\. у через гд,/» где гр и гд/ - радиус-векторы точек
Р и М соответственно. Согласно условию задачи, р(гм) = р(гм)>
где г л/ = |гл/|. Тогда для потенциала, создаваемого в точке Р(ггр)
массой, сферически-симметрично распределенной по шару,
согласно (30.23), получим
ЩтР)
-!
r.\t<R
р(гм)
И
(31.1)
%\. Свойства объемного потенциала
247
Р(гР)
где f = гр — гм и интегрирование ведется по всему объему шара
гм < R»
Перейдем в интеграле (31.1) в сферическую систему координат.
Тогда
2ir R к
U(гг) = I dip I p{rM)r\tdrM I " ,.
0 0 0
С учетом соотношения
\г\ = |гР - гд/| = гр + гд/ - 2гргм cos (9
и замены переменных cos 0 = t получим
л 1
С7(гр) = 27Г / р(гл/)гд/бЬ-л/
1
cfc
2rPrMt
(31.2)
Обозначим через J внутренний интеграл в (31.2) и найдем его
значение в зависимости от соотношения радиусов г я и г м-
Цгр.гм)
Г dt
J yjr-p +r\f -2rPr\it
— [Vr2p + гм - 2rPrM - VH + rL + 2rprM] =
[|гр-гл/|-|гр+глН] = {^
гргм
1
гргм
гр > гм',
гр < гм-
(31.3)
В силу неоднозначности интеграла (31.3) для дальнейшего
вычисления (31.2) следует различать два случая:
I- ?*p > R. Здесь гр заведомо больше гм и, следовательно.
U(rP)
-Щ«
гм)г'м<1гм.
(31.4)
248
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Поскольку масса вещества то, заключенного внутри сферы 5д,
определяется интегралом
я
то = 47Г / р(гм)г2м(1гм. (31.5)
о
потенциал (31.4) можно записать в виде
C7(rP) = mo/rp. (31.6)
Это означает, что для внешних точек Р (гр > R) потенциал
ньютоновой сферы Sit эквивалентен точечному потенциалу. создаваемому
массой то, расположенной в центре шара.
П. гр < R. В этом случае интервал интегрирования ]0, R[
следует разбить на два: ]0,гр[ и ]rp,R[, т.е.
я
U(rp) = 27Г / р(гм)г1[1(гр,гм)(1гм =
о
= 2тг[р(
гм)г~м1(гр,гм)(1гм +
о
Я
■I
+2тг / р^м^мЦгр^гм^гм. (31.7)
В первом интеграле (31.7) гр > гд/, а во втором гр < гл/. Поэтому,
согласно (31.3), имеем
Гр tt
U(rP) = — / р(гм)г2М(1гм +47Г / р(гм)гм<1гм. (31,
,8)
Рассмотрим два предельных случая формулы (31.8): а) гр = R
и б) гр = 0.
а) Поскольку гр = Л, из (31.8) следует
U(R) = ^ f Р(гл/)гл/^гл/ = ^^. (31.9)
R
Но такое же выражение дает и формула (31.6) при гр = R. Отсюда
следует важный вывод о том, что потенциал ньютоновой сферы
является непрерывной функцией гр и не имеет разрыва при переходе
через границу сферы Sr во внешнее пространство.
31. Свойства объемного потенциала
249
б) При гр = О
Я
U(0) = 4тг J p{rM)rMdrM, (31.10)
о
так как раскрытие неопределенности вида (0/0) в первом интеграле
(31.8) дает
47Г J p{rM)r\jdrM
lim -i = lim 4^rp)r-p=0
rP-+0 Гр rp-^0 1
Согласно (31.6) и (31.8), как вне ньютоновой сферы, так и
внутри Нее эквипотенциальными поверхностями являются
концентрические сферы, поскольку при гр = const имеем U = const.
При исследовании производных будем исходить из сферической
симметрии эквипотенциальных поверхностей. Последнее означает,
что введенная ранее сила притяжения, действующая на единицу
массы, в точке Р(гр) всегда направлена от этой точки к центру
сферы и может быть найдена как производная от потенциала по
внешней нормали к эквипотенциальной поверхности или как
производная по гр, т.е.
"•">!-£--£■ _ <-">
Из формулы (31.11) для потенциала в точке Р(гр), расположенной
вне сферы Sr< имеем
dU то
дгР
\F(rp)\ = -JEi = -^ (31.12)
а для потенциала в точке Р(гр), расположенной внутри сферы 5д,
' -I'MI-g-
Гр
= - I-р- / p(r\r)r2MdrM + —p{rp)rp - 4тг/э(гр)гр I =
о
Гр
= -£ / p(r\t)r2MdrM. (31.13)
гр J
о
Поскольку масса вещества тп(гр)* заключенная внутри сферы
радиуса гр, определяется интегралом
гр
m(rp) = 47Г / p(rM)rlrdrM, (31.14)
250
Глава 6. Элементы теории потенциалов
выражение (31.13) можно представить в виде
|F(rp)| = m(rP)/rp. (31.15)
Из формул (31.12) и (31.15) следуют два важных утверждения.
Во-первых, сила притяжения, т.е. первая производная потенциала
U', как и сам потенциал, является непрерывной функцией от гр и
не имеет разрыва на границе ньютоновой сферы Sr при переходе из
ее внутренней части во внешнюю, поскольку функция тп(гр)
непрерывна. Во-вторых, на внутреннюю точку Р(гр), согласно (31.15),
действует сила притяжения только тех масс, которые расположены
внутри сферы с радиусом г р. Внешние слои, лежащие на
расстоянии больше гр вплоть до R, как бы уравновешивают свое
воздействие на эту точку и не притягивают ее вовсе. В пределе гр —У 0.
т.е. в центре сферы, 1*40)1 = 0.
О Интересный результат следует из (31.15), если считать
плотность р(гм) постоянной. Действительно, положив в (31.15) р(гм) =
= ро, получим (см. пример 31.2 и рис. 24,г)
|i?(rp)| = ^rp, (31.16)
так что внутри однородной сферы сила притяжения
увеличивается пропорционально расстоянию, т.е. ведет себя как квазиупругая
сила.
Перейдем теперь к рассмотрению вторых производных. Так как
Гр = (Ж1,Жо,Жз), ТО
эи__ du_drp^_xi_du_ ._123
dxi drp dxi гр дгр'
d2U /xi\2d2U /1 x]\dU . Л о
тт= - трг+ Г}'*-' 1=1,2,3,
axj \гр/ dr-p \гр гр/дгр
*U ~ 2^ дх2 " дг% + \гР гр ) дгр "
d2U 2 dU
= 7Пг + —?г-' (31.17)
ог'р гр дгр
Воспользовавшись теперь формулами (31.6) и (31.8), из (31.13) для
внутренних точек сферы (гр < R) находим
д2и д (ди\ 8тг 7 ,
0
откуда
31. Свойства объемного потенциала
251
2 dU a t ^
-7-рд7р--^р(гр)'
(31.18)
Подставив (31.18) в (31.17), получим, что потенциал U(rp)
удовлетворяет следующему уравнению:
AU(rP) = -4irp(rP). (31.19)
Для внешних точек сферы (гр > R) вместо (31.18) имеем
dU m &2U 2т
эГР='Ъ *Г = 7Г- ( >
Подставив (31.20) в (31.17), получим уравнение
АЩгР) = 0. (31.21)
Таким образом, потенциал ньютоновой сферы во внутренних
точках гр < R удовлетворяет уравнению Пуассона (31.19), в во
внешних точках гр > R - уравнению Лапласа. Сравнение (31.19) с
(31.21) с учетом (31.17) и непрерывности первой производной по гр
приводит в выводу о разрывности второй производной потенциала,
испытывающей скачок величиной 4irp(R) при переходе из
внутренней области сферы во внешнюю.
Пример 31.2. Найти объемный потенциал шара радиусом R с
постоянной плотностью (см. рис. 24,а)
р{гм)
_ Г Ро,
"\ 0,
гм ^ R;
гм > Я.
(31.22)
Исследовать поведение первых и вторых производных потенциала.
Решение. Воспользовавшись результатами предыдущего
примера, из (31.5) и (31.14) получим (см. рис. 24,6)
т(гр) = I
— рогр, гР < R:
то
Л
47Г з
— poR , гр > R.
Д3
гр <R;
wio, гр > R*
Отсюда, согласно (30.29) и (31.2), следует (см. рис. 24,в)
гР R
г'мйгм + / гд/^гд/1
U(rP) = t
0 I
R
ТГро [ о
ГР J
rdriu
252
Глава б. Элементы теории потенциалов
рА
т(гРЦ
т0
гМ
гР
1
2т0
Л»
Щ
Л»
, д2и(гР)
drj,
\
1\ 2т0
\r
д
гР
R уравнение Тр
Лапласа
— , тР > R.
Згр
Из (31.23), в свою очередь, имеем (см. рис._24,г)
( 4тгрогр
|F(rp)|-~~^7"-<
47ГР0Д3
Зг2р
= <
ГР / D
wio«g, rp < К;
-7J-, Гр > it.
(31.23)
(31.24)
И, наконец, из (31.19) и (31.21) получим (см. рис. 24,е)
_ &U(rp) | 2 dU(rp)
дЛ
Тр
и(ТР) _ / -4ттро, гр < R; ,
-дт~р~ ~ \ 0, гр > Д. (31'25)
31. Свойства объемного потенциала
253
решение примера наглядно иллюстрируют графики, приведенные
на рис. 24.
Покажем, что эти свойства объемного потенциала,
создаваемого шаром со сферически-симметричной плотностью, справедливы
и для потенциалов с плотностью р(у) общего вида. При
рассмотрении, если это не оговаривается особо, будем предполагать р(у)
ограниченной в некоторой области Е и равной нулю вне ее, т.е.
= { ы
1 о.
Р(У) = < , . в (31.26)
yi е.
Свойство 1. Объемный потенциал U(x) и его частные
производные dU(x)/dxi являются непрерывными и ограниченными
функциями во всем пространстве К3, причем
Е
Действительно, в области R3\£? справедливость этого свойства
вытекает из леммы 30.4, а в области Е. как показано выше, потенциал
U(x) и его производные dU(x)/dxj связаны соотношением (30.22) и
являются равномерно сходящимися в Е и, следовательно,
непрерывными и ограниченными функциями.
Свойство 2. В области R3\J5 объемный потенциал является
регулярной гармонической функцией.
Действительно, согласно лемме 30.4, функция U(x) в области
№.3\Е удовлетворяет уравнению Лапласа. Покажем, что наряду с
этим имеет место асимптотическая оценка
Щх) = о(-М при |ж|->оо. (31.28)
\\x\J
Домножив и разделив на |ж| правую часть (30.23), получим
Е
Приняв во внимание, что
lim гД= = 1.
И-юс \Х-у\
имеем
lim U(x) = т-г.
Н-оо \х\
254
Глава 6. Элементы теории потенциалов
где m — масса вещества, сосредоточенного в области Е. Таким
образом, потенциал U(x) удовлетворяет всем требованиям,
предъявляемым к функции, гармонической в неограниченной области IR3\J5.
Свойство 3. Если объемная плотность р(х) и ее частные
производные др(х)/дх; непрерывны в области Е. то объемный потенциал
U(х) имеет в Е непрерывные вторые производные и удовлетворяет
уравнению Пуассона
АЩх) = -4тг/э(ж), х е Е. (31.29)
Основная трудность при доказательстве этого свойства состоит
в том, что несобственные интегралы
Е
-jMwhp-'irffi)*1 (31-30)
Е
не являются равномерно сходящимися в Е и не могут представлять
производные d2U(x)/d2Xi. Можно показать, однако, что в
сделанных выше предположениях относительно р(х) частные производные
д" U(х)I'д~х; существуют и непрерывны в Е, хотя не
представляются в виде (31.30).
Обратимся к формуле
ESr=/"Wsrd^ir)*'
дх
Е
которую с учетом соотношения
д 1 1 \ д
WXW^W' ЭуЛ\х-у\) (31в31)
можно представить в виде разности
^-/^(рЬг)*-
дх
Е
Е Е
С помощью формулы Остроградского-Гаусса выражение (31.32)
можем записать в следующем виде:
^ - f йЧ^*" [т^сшагОВ,, (31.33)
дх-, J \£-y\ diM J J \г-у\ "' v ;
F. SE
32. Свойства объемного потенциала
255
где Se ~ поверхность, охватывающая область Е, а а; - угол между
внешней нормалью пу к поверхности Se и осью х,\
Таким образом, производные dU(x)/dxi могут быть
представлены суммой двух потенциалов. Первый из них - объемный потенциал
с непрерывной плотностью dp(x)/dxi. который, как мы доказали,
является равномерно сходящимся и имеет в области Е
непрерывную первую производную. Второй - потенциал простого слоя с
непрерывной плотностью р(у) cos а;, который, согласно лемме 30.4,
удовлетворяет внутри области Е уравнению Лапласа, т.е. имеет в
Е производные всех порядков.
Тот факт, что правая часть формулы (31.33) имеет
непрерывные первые производные, означает существование вторых
непрерывных производных d~U(x)ld~Xi объемного потенциала U(x).
Осталось доказать, что в области Е потенциал U(x) удовлетворяет
уравнению Пуассона (31.29). Воспользуемся наглядным (хотя и не
совсем строгим) методом, предложенным Грином.
Выделим внутри объема Е шар е(е) с центром в точке х и
радиусом е. достаточно малым для того, чтобы его плотность можно
было считать равномерной. Таким образом, плотность всего шара
будет такой же, как и в точке ж. Потенциал всей области Е
разобьется тогда на две части:
и^щ +и2.
Одна из них - U\ - будет зависеть от масс, лежащих вне шара,
другая - Uo - от масс, находящихся внутри него. Тогда
а учитывая, что точка х является внешней для области Е\е(е),
получим
MJ\ = 0
и, следовательно,
AU = ДС/2.
Но, как следует из примера 31.2, для однородной сферы
произвольного радиуса справедливо соотношение
ДЕ/о = -47Г/9.
Отсюда, устремив радиус сферы к нулю, в пределе получим
AU(x) = -4тгр(ж), х е Е.
Что и требовалось доказать.
Строгое доказательство формулы (31.29) заключается в
корректном вычислении частных производных функции U(x) второго
256
Глава б. Элементы теории потенциалов
порядка d2U(x)/dxj. Для этого левую и правую части (31.33)
продифференцируем по ж;:
>2U(x) д Г 1 др(у) ,„ д Г р(у)
где а; - угол между внешней нормалью пу к поверхности Se и осью
х,-. Поменяв в соотношении (31.30) местами дифференцирование по
Xi и интегрирование, с учетом формулы (31.31) получим
д~Ц(х) _
Эх]
Е SE
Далее, как и в доказательстве, предложенном Грином, вырежем
шаровую окрестность с(е) с центром в точке ж, радиус которой е
достаточно мал, так что
^ = _lim / ^* (_l_w
Эх] £-о J Эу; ду>\\х-у\; У
Е\е(с)
+Jm^(wi\)aMaids" (31'34)
Se
С учетом равенства
J дУ1 дуЛ\я-у\) у
= /l?[p(j7)4(j^|)]d!7-/p(yle(l^f)<ij7
формулу (31.34) можно записать
д'Ц(х)
дх:
Е\е{е)
й{ J ^щ{\^в\)*''
-1 ВКШП+
Е\е{е)
+Ip(S)i;(\^T\)cosaidSv- (31-35)
31. Свойства объемного потенциала
257
Второй интеграл в (31.35) преобразуем по формуле Остроградского-
Гаусса:
Е\е(е) SE
+
S«
где S£ - поверхность шара е(е) и пу - внешняя нормаль к
поверхности 5eU5£. В результате такого преобразования формула (31.35)
примет вид
Е\е(с)
Е\е(с)
Sg
В поверхностном интеграле (31.36) положим (у — х)/е = г/е = £,
где \z\ = 1. Если у G S£, то z 6 Si и для у € Sc получим dSy = e2dSz.
Тогда
02tf(
P-fel / чя^(щ^)*-
9хр
EV(£)
- /р(х + «)^-(-Д-) coefte'dS.l, (31.37)
где pi - угол между внешней нормалью nz к поверхности Si и осью
ж;. Так как
^Ц = cos 7м (31.38)
где 7i' - угол между вектором г* и осью ж,, а нормали пу и п2,
использованные в теореме Остроградского-Гаусса, направлены
против вектора z = ef = e(y — ж), то
cos/З; = - cos 7* (31.39)
dyt
7V|*-y|)
yi - Xi
l*-tfl=«
\2-y-\=c \X - y|3
= -—cos 7; = — cos/3,-. (31.40)
еЛ е-
258
Глава 6. Элементы теории потенциалов
С учетом (31.38)-(31.40) формула (31.37) примет вид
d2U(x)
дх[
Е\е(с)
I
Е\е(с)
р(х + ez) cos2 /3ie dSz .
Если считать р(у) непрерывной функцией, то вторую производную
д2U(x)Jдх2, существование которой было доказано выше, можно
записать в виде
d2U{
Р-й/чя&О^яК
ЭХ2;
Е\е(с)
-р(х) J cos2 fa dSz. (31.41)
Si
Просуммировав выражение (31.41) по г, находим
В\е(е)
—р(ж) / [cos2/3i + cos2/3o + сов3-/Зз]с1£г = —47гр(ж),
Si
что и требовалось доказать.
О В силу свойства 3 объемный потенциал U(x) (30.2) является
частным решением уравнения Пуассона
Дп(ж) = —47гр(ж),
общее решение которого можно записать в виде
u(x) = U(x) + по(ж),
где ио(х) - общее решение уравнения Лапласа
Дмо(ж) = 0.
32. Потенциал простого слоя
Как и в предыдущем разделе, понятие потенциала простого
слоя проиллюстрируем рядом примеров.
32. Потенциал простого слоя
259
Пример 32.1. Найти потенциал простого слоя, создаваемого
сферой радиуса R с постоянной поверхностной плотностью /io (см.
рис. 25,а). Исследовать поведение первых и вторых производных
потенциала.
Решение. Поместим начало декартовой системы координат ii, #2.
хз в центр сферы Sr. Воспользуемся обозначениями примера 31.1
и рис. 23 при условии, что точка М(гм) может быть расположена
только на сфере Sr, т.е. |гд/| = R. Тогда
уЬг) = / *TST- (32Л)
В сферической системе координат (см. рис. 23) потенциал простого
слоя (32.1) можно записать
__. ч , р-и*- *>*л0dQdip
V(rP)-
//io R~ sin I
y/rp + Ю-
2rpRcos9
Sr w '
IT
_o f sin в dO
= 2*г/10Я- / . o
J фр + R- -2rPRcos9
С помощью подстановки cos0 = t и формул (31.2), (31.3) получим
4*г/40Д2
V(rP)
R 0
47r/io Л"
rP
rP <R;
(32.2)
rp > R.
Если учесть, что величина Att^qR" определяет массу тпо,
равномерно распределенную по сфере Sr с постоянной поверхностной
плотностью /to, то выражение (32.2) примет вид (см. рис. 25,в)
-{
ino/Ri rp < R;
V(rP)=l ^R (32.3)
mo/rp, rp > li.
Таким образом, согласно первому равенству из (32.3), внутри
сферы потенциал простого однородного слоя есть величина
постоянная: mo/R. Производная от него в этом случае равна нулю.
Отсюда следует, что однородный сферический простой слой диполей
не действует на тела, находящиеся внутри этой сферы. Второе
соотношение из (32.3) означает, что простой слой с произвольной
поверхностной плотностью действует на тела вне сферы так, как если
бы вся его масса была сосредоточена в центре сферы Sr. Другими
260
Глава 6. Элементы теории потенциалов
словами, для внешних точек потенциал простого слоя эквивалентен
точечному потенциалу, создаваемому массой тпо, сосредоточенной
в центре сферы Sr. В точках самой сферы гр — R оба выражения
из (32.3) дают одно и то же значение rrio/R. Это говорит о том. что
потенциал простого слоя вполне определен на сфере Sr и, более
того, не терпит разрыва при переходе через сам слой, т.е. является
непрерывной функцией г р.
Дифференцирование формулы (32.3) по гр дает выражения для
(см. рис. 25,г)
ЭУ(гр)
дгр
(° Г0'
-\Р\ = I 4тг^оД2 = } _™^
I г% { ГР
гр <R;
rP> R
и (см. рис. 25,д)
д2У(гР)
дг%
( 0 о Г °'
t SnfioR" = J 2m
I ~^p~ I rj,
о,
2m
~3~'
гр < Я;
гр > R.
(32.4)
(32.5)
Из (32.4) и (32.5) следует, что для всех точек rp, расположенных
как внутри сферы Sh, так и вне ее, потенциал V(rp) удовлетворяет
уравнению Лапласа (см. рис. 25,е)
ДУ(гР) =
д~У{гР) 2 дУ(гР)
дг\
гр дг?
0.
(32.6)
Решение задачи наглядно иллюстрируется графиками,
приведенными на рис. 25. Так как dV/drp =dV/dn, то производная по
нормали в точке rp = R имеет скачок, равный mo/R2 (см. рис. 25,г).
т(гр) \
V(rP)
\\ПгР)\
R2
1
2т0
R
. д2У(гР)
К*
гР
д
\АУ(гР)
е
уравнение уравнение
Лапласа Лапласа
Ф
R
Гр
Рис. 25
32. Потенциал простого слоя
261
Покажем, как формулу (32.3) можно получить с помощью
теоремы Остроградского-Гаусса.
Обратимся к уравнению Пуассона
AV(x) = -4тг/(ж),
интегрирование левой и правой части которого по произвольной
области ЕбЕ3, ограниченной поверхностью Se, дает
4тг J f(x)dx = - J AV(x)dx =
Е Е
= - J (V,VV(x))dx = - J (VV(x),n)dS. (32.7)
Е SE
Так как f(x) описывает пространственное распределение
массы (заряда) в простом сферическом слое радиуса R с постоянной
поверхностной плотностью /io, то
• / f(x)dx =<
J \ (4тг)2Я^о. \£\
1*1<я;
> R
Е
V{x) = V(\£\), VV(x) = pfV'd^l),
\х\
или в принятых ранее обозначениях
V(2) = V(rP), VV(rP) = ^^^i
Тр ОГр
выражение (32.7) можно переписать в виде
/
OV(rP) (fP,n)dv=_Wp^Pl
дгр тр р дг
SE
О, тр < R;
(4тг)2Д>о, гР > Я,
■{
откуда
( Си гР <R;
К гР
Из условия lim V(rp) —> О находим Сг = 0, а из условия непре-
рывности в точке rp = R - константу С\ = 47r#/io. Тогда
262
Глава 6. Элементы теории потенциалов
-{
47r#/io, rp < R;
4irR~iio/rp, rp > Я,
что соответствует формуле (32.2), полученной ранее.
Перейдем к рассмотрению потенциалов простого слоя с
поверхностной плотностью /i(x). Предварительно сформулируем две
леммы.
Лемма 32.1. Интеграл
VW= I'kg-V' *'0€£CR3, (32.8)
при а < 2 сходится равномерно в ограниченной области Е.
Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 30.3
с той лишь разницей, что области, изображенные на рис. 18,
являются не шарами, а кругами, а неравенство, связывающее р(е) и е.
имеет вид [ё(е) С К2]
ё(е) 0 О
т.е.
Наряду с интегралом (32.8) рассмотрим интеграл
_ [ dSy
J |2-0Г
V(S) = / ■- ч„. £, j/ € сг С RJ. (32.9)
Различие интегралов (32.8) и (32.9) состоит в том, что в (32.8)
интегрирование проводится по плоской области Е 6 М2 (двойной
интеграл), а в (32.9) - по пространственной поверхности а £ Р:3.
Покажем, что интеграл (32.9) при определенных условиях также
является равномерно сходящимся на поверхности а.
Лемма 32.2. Интеграл (32.9) для а < 2 сходится равномерно на
ограниченной поверхности а, если она является поверхностью
Ляпунова.
32. Потенциал простого слоя
263
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 30.2,
воспользуемся рис. 18, в котором проведем дополнительное построение.
Пусть хо - произвольная точка поверхности и (рис. 26). Построим
сферу Sp радиусом р с центром в этой точке, называемую сферой
Ляпунова. Через эту же точку проведем касательную плоскость (ее
существование обеспечено по определению) с единичным вектором
нормали ?!о, восстановленным из точки жо.
Часть поверхности (7, отсекаемую сферой Ляпунова 5Р,
обозначим через сгр, а проекцию <тр на касательную плоскость - через ер.
Пусть х - произвольная точка по-
верхности сг, отстоящая от жо на
расстояние S (|ж—ж*о| = S). Из
точки х восстановим единичный
вектор нормали ?1. Для оценки угла
между нормалями п0 и ?1 введем
новую декартову систему
координат x'liXiix's, ось ж3 которой
направим по нормали ?!. Тогда оси
Ох[ и Ох'п лежат в указанной
выше касательной плоскости. Из
второго условия в определении
поверхности Ляпунова следует
существование такой ^-окрестности
точки жо, в которой поверхность a
может быть описана уравнением
Из первого условия
точке поверхности
Рис. 26
(32.10)
условия существования нормали в каждой
следует дифференцируемость функции (32.10),
в силу чего направляющие косинусы вектора ?1(cosa,cos/3,cos7)
определятся формулами
cos a
Ndx[
тгт, cos/З =
1 дх'3
N dxV
cos 7
1_
(32.11)
N:
\RifHi)
Таким образом, на поверхности Ляпунова а всегда можно выбрать
такую ^-окрестность точки жо, чтобы угол у - угол между
нормалями п и по (или, что то же самое, угол между нормалью п и осью
^жз) ~ удовлетворял условию
1}<Х»у=±>\.
Обратимся теперь к интегралу
dSu
I
\x-y\a'
(32.12)
(32.13)
264
Глава 6. Элементы теории потенциалов
который можно свести к двойному интегралу по области ер,
являющейся проекцией ор на касательную плоскость, проходящую через
точку ж о и на которой x'z = 0. Тогда
/dSy _ f dSyi _ Г dx[dxo/cosy
\£-y\a ~ J \S'-ii'\a = J \£'-y'\a <
<Tp tTp €p
<2Sw^- l'''€e'cR' (32Л4)
Согласно лемме 32.1, интеграл в правой части (32.14) сходится
равномерно в точке жо при а < 2. Следовательно, в этой же точке хо
и при этом же а сходится равномерно и интеграл (32.13). В силу
произвольности точки xq можно сделать вывод, что интеграл (32.9)
сходится равномерно на всей поверхности сг, что и требовалось
доказать.
Основываясь на доказанных выше леммах, сформулируем ряд
свойств потенциала простого слоя (30.3)..
Свойство 1. Для непрерывной и ограниченной плотности ^л(х)
потенциал простого слоя V(x) (30.3) является непрерывной и
ограниченной функцией для всех ж € К3, в том числе и для всех х £ Se.
Действительно, непрерывность и ограниченность потенциала
простого слоя для х $■ Se очевидны. Аналогичное утверждение для
х 6 Se вытекает из равномерной сходимости интеграла (30.3),
которая, в свою очередь, согласно достаточному признаку
равномерной сходимости (теорема 30.1), является следствием
ограниченности плотности А*(ж) и равномерной сходимости интеграла (32.9) при
a = 1 (лемма 32.2):
М = max|/i(x)|.
2£SE
Г y(x)dSy I J Г dSy
J \x-v\\ | J И - У\
О Это свойство остается справедливым и для неограниченных
поверхностей, если плотность потенциала простого слоя имеет при
|ж| -> оо асимптотическую оценку
,.(*) = 0(|*Г'~*). Р > 0-
Свойство 2. Для всех х £ R3\5e потенциал простого слоя является
регулярной гармонической функцией.
Это вытекает из леммы 30.4 и асимптотической оценки
V(S) = 0(\x\-1),
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
265
поскольку
lim
1*И«
\X\V(X) :
где m - масса поверхности Se.
Исследование поведения производных потенциала простого слоя
вблизи поверхности Se проведем после рассмотрения некоторых
свойств потенциала двойного слоя.
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
Изучение потенциала двойного слоя (30.4) начнем с конкретного
примера.
Пример 33.1. Найти потенциал двойного слоя сферы радиуса R
с постоянной плотностью дипольного момента v.
Решение. Найдем решение задачи, не
обращаясь непосредственно к формуле (30.4), а
используя решение примера 32.1 для
потенциала простого слоя. Для этого двойной слой
сферы представим (см. рис. 27) простыми слоями
двух сфер, отстоящих друг от друга на
«бесконечно малое» расстояние I. Сферу радиуса
R будем считать отрицательно заряженной с
плотностью — v/l. Сферу радиуса R +1 будем
считать положительно заряженной с
плотностью vi/U которую найдем из тех соображений,
что суммарный заряд диполей равен нулю:
-у4тгЯ2 + у4тг(Я + 02 = 0.
Следовательно,
V\
= ЧдТт)2-
(33.1)
Использовав результат решения примера 32.1, потенциал двойного
слоя можно записать в виде
4тг
•ц(Д + 1) -vR
W(rP) =
I
4тг|ХД + *)2-^Д2
4тг Г
rp L
I
], rP<R;
]•
rP> R + l,
а устремив I к нулю, получим
W(rp) = 47rz/lim <
-[(Я-ИН, rP<R;
(33.2)
266
Глава, 6, Элементы теории потенциалов
Из (33.2) с учетом (33.1) находим потенциал двойного слоя
(33.3)
W(rp) = 47rz/lim <
/-►о *
d\ R2 ]
ТЛЩТГ)! =/ -4™' гр<*
d[n2, \ 0, гР > R,
Jl[R]
Как следует из (33.3), потенциал двойного слоя сферы Sr с
плотностью дипольного момента и есть функция, не зависящая от гр
(т.е. не оказывает никакого действия на массы, лежащие внутри и
снаружи) и имеющая конечный разрыв Атги на самой сфере Sr,
Формулу (33.3) можно получить из определения (30.4), согласно
которому
Sr Sr
Рассмотрим подробнее интеграл
^=/i(j]rbiH (33-5)
Sr
представляющий собой потенциал двойного слоя с плотностью
дипольного момента и = 1. Для его вычисления исследуем два случая:
когда точка х находится вне сферы и внутри нее.
Пусть точка ж находится вне сферы Sr, Тогда функция 1/|ж — у|
- гармоническая внутри Sr, и в силу теоремы 30.1 (о нормальной
производной) имеем
^ = /^(i^l)^ = 0' |г|>л- (33-6)
Sr
Пусть теперь точка х находится внутри сферы Sr, Построим
вокруг этой точки сферу Sr радиусом г с центром в ней. В
сферическом слое между Sr и Sr функция 1/\х — у\ также гармоническая
и, следовательно,
/ » ( 1 W+/jL( I W = 0,
J дпу\\х-у\) J дпу\\х-у\)
Sr Sr
где ny - нормаль, внешняя к сферическому слою и направленная на
сфере Sr против радиуса г = у — х. Тогда
H-V(wh\)ds"=-Idf = -^ '*'<*• <33-7>
Sr Sr
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
267
Объединение формул (33.6) и (33.7) дает значение интеграла (33.5):
/д / 1 \ Г -4тг, |ж| < Я;
подстановка которого в (33.4) приводит к полученному ранее
решению (33.3). Отметим, что выражение (33.8) - частный случай
соотношения для поверхностей более общего вида, к рассмотрению
которого мы и переходим.
Лемма 33.1. Интеграл
tr
определяющий потенциал двойного слоя с плотностью диполъно-
го момента v = 1, сходится равномерно для всех х £ af если
поверхность а является поверхностью Ляпунова (не
обязательно замкнутой).
Доказательство. Исходный интеграл (33.9), согласно (30.29),
запишем в виде
W(x) = [ .™s*dSy = о, ж, у е <т, (зз.ю)
где (р - угол между нормалью пу и вектором у — ж. Лемма будет
доказана, если будет доказана справедливость оценки
cos(p^A\x-y\K, (33.11)
с некоторыми постоянными А>0и0<к^1 для ж, у 6 а.
Действительно, для (33.10) с учетом (33.11) можем записать
*> = / ]|Г§5Г«*. < AJ W^dS»- (ЗЗЛ2)
W(:
Согласно лемме 32.2, последний интеграл в правой части (33.12)
сходится равномерно для всех х 6 <7, но тогда в силу достаточного
признака сходимости интеграл (33.9) также равномерно -сходится
на <т.
Перейдем теперь к рассмотрению неравенства (33.11),
справедливость которого достаточно установить для малых |ж — у|, т.е.
в окрестности точки ж, лежащей на поверхности а. Пусть по и гг
(рис. 28) - единичные векторы нормали, восстановленные к
поверхности а в точках ж и у, соответственно (как и в доказательстве
26$
Глава 6. Элементы теории потенциалов
\
\ n(cosa,cos/3,cos7)
(У^У'^Уз)
Рис, 28
леммы 32.2, пользуемся условиями определения поверхности
Ляпунова). Опишем радиусом р = х — у с началом в точке х сферу
Ляпунова Sp. Часть поверхности <7, ограниченную сферой Ляпунова,
обозначим ар. Кроме того, точку х выберем началом новой
декартовой системы координат у'цуЬуЬ ось Oyz которой направим по
нормали tlo. Тогда по = й, а единичные орты г и j расположатся в
касательной плоскости к поверхности сг, проходящей через точку £.
Проекциями вектора у' = х — у на координатные оси являются
Уii 2/2* Уз* причем проекцией р = у/(у[)2 + (yi)2 + (у'з)2 на
касательную плоскость является отрезок р' = \/{у[)2 + (yi)2 < р.
Возможность указанных выше построений вытекает из
первого условия определения поверхности Ляпунова. Из второго условия
следует, что часть поверхности стр в координатах у\ описывается
дифференцируемой функцией /(у1,уо)
Уз = /Ы,^)- (33.13)
Наконец, из третьего условия имеем
\гг-п0\<С\у'\к = Срк. (33.14)
Величину р выберем так, чтобы выполнялось условие
|п-п0| < Срк < -. (33.15)
Тогда из неравенств (33.14) и (33.15) вытекают неравенства
|cosa| = |(n,t)| = |(n- п0,г) + (п0,Г)| =
33, Потенциал двойного слоя и его свойства
269
= |(п- п0,Г)1 < \п-п0\ ^ Срк,
|cos/3| = |(n,j)l = |(t1-?1o,j) + (no,j)| =
= |(?1- no.j)| ^ \n -no| ^ Срк,
|cos7| = |(« - «о,по) + (гсо,«о)| = |1 + (п - по,по)| > (33.16)
> 1-|(n-tfo,tf0)| ^ 1- |«~«о| ^ l-Cp" ^ 1/2,
|cosv?| = \(п,у')\/\у'\ = |(л-по,у')/р + (яо»у')/р1 <
^ \п - п0\ + |уз|/р ^ Срк + |yi|/p.
Для оценки величины |;г/з I воспользуемся теоремой о конечных
приращениях
Уз = ДУпУг) =У1^т(УпУ2)+У2^-т(УьУ2),
где 0 < yl < yi, 0 < у2 < У2- Поскольку
df _ cos а _ (п,г) df _ cos/3 _ («,J)
dy[ cos 7 (n,n0)' #y2 cos 7 (ri, no)'
(33.17)
то с учетом (33.16) получим
Of
9y\
^ 2<V\
df
dy'i
< 2Cp"
и, следовательно,
|Уз| ^ 2Cpw(|y;| + \y'2\) < 4CpV < 4Cpl+ \
(33.18)
Возвратившись к (33.16), получим оценку для cos</? в окрестности
точки х:
| cos ip\ ^ Срк + 4Срк = ЬСрк = ЪС\х - у|к.
(33.19)
Из произвольности точек ж, у следует справедливость (33.11) при
-А = 5С и, соответственно, утверждения леммы.
Рассмотрим еще одно свойство интеграла (33.9).
Лемма 33.2. Интеграл (33.9), определяющий потенциал
двойного слоя с плотностью дипольного момента и = 1, равен
телесному углу, под которым из точки х видна ограниченная кусочно-
гладкая двусторонняя поверхность о\
270
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Доказательство. Так как точка х лежит вне поверхности сг,
построим коническую поверхность с вершиной в точке х и основанием
а (рис. 29). Пусть Sp - часть сферы радиуса р с центром в точке ж,
лежащая внутри упомянутого конуса. Рассмотрим
пространственную область Е, ограниченную сг, Sp и боковой поверхностью конуса
5К. в которой функция \х — у\~1 является гармонической и,
следовательно,
/ £-yi\iri\)dSv+/ i (i^b[)d5"+
<r Sp
+
(33.20)
На поверхности 5К
дп,
(рЦ)= ^рг = ^=0. (33.21)
\\x-y\J \x-y\- \x-y\-
На поверхности Sp векторы пу и х — у параллельны и направлены
в одну сторону, причем
£>nyV|x-y|/ p2
Тогда интеграл
• / £ (^пЬт)dS» = - / 7d5" = IdU{£) = ад (33-22)
Рис. 29
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
271
дает телесный угол Q(x), под которым из точки х видна часть
сферы Sp. Из (33.20) с учетом (33.21), (33.22) следует
/ i; (w^¥\)dS»= I W^WdSv = щ*]- (33-23)
Таким образом, поверхность а и часть сферы 5Р, ограниченная
конической поверхностью, видны из точки х под одним телесным
углом, равным значению интеграла (33.9) в этой точке.
Может оказаться, что прямая, проведенная из точки ж,
пересекает поверхность <т в нескольких точках, например в трех, как
изображено на рис. 29. Тогда внешние нормали, восстановленные
к о*, образуют поочередно тупые и острые углы. Косинусы этих
углов поочередно меняют знак. А так как проекции элементов dSy
на сферу Sp равны по абсолютной величине, то в интеграле (33.23)
остается только сумма углов видимости П(ж), под которыми видна
сфера Sp, что и требовалось доказать.
В дальнейшем мы будем предполагать поверхность 5 такой, что
телесный угол По-(ж), под которым любая часть поверхности 5
видна из произвольной точки ж, ограничен:
|Ог(ж)| < К. (33.24)
Это ограничение обусловлено тем, что если прямая пересекает
поверхность 5 неоднократно, то, приняв за <т множество таких кусков
5, которые видны с положительной стороны (cos</? > 0), мы можем
получить, вообще говоря, сколь угодно большое значение По-(ж).
0 Если с учетом (33.23) потенциал двойного слоя с произвольной
плотностью дипольного момента ь>(у) записать в виде
W(x) = J'„(ft JL(_i_)d5, = fu(y)dn(x), (33.25)
то из этой формулы при v = 1 следует
W(x)\v=1= JdQ(x) = Q(x).
Заметим, что леммы 33.1 и 33.2 по отдельности характеризуют
поведение потенциала двойного слоя с v = 1, когда х находится
непосредственно на поверхности или вне ее. Их обобщением является
следующая лемма.
272
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Лемма 33.3. Если Se - замкнутая поверхность Ляпунова,
охватывающая область Е С М3, то потенциал двойного слоя с и = \
определяется формулой
47г, х е Е;
зж [ О, £€&\Е,
называемой формулой (или интегралом) Гаусса.
(33.26)
xeSE
х0еш3\Е
Рис. 30
Доказательство. Для х £ R3\5e
справедливость двух утверждений
леммы следует из леммы 33.2,
если упомянутая там поверхность а
является замкнутой, т.е. а = Se»
Для доказательства третьего
значения интеграла Гаусса выберем
на поверхности Se произвольную
точку х и опишем вокруг нее как
центра сферу Ляпунова Sp
радиуса р. Часть поверхности Se,
заключенную внутри Sp, обозначим
через Sep (рис. 30). Тогда Se =
Sep + Se\Sep и интеграл (33.26)
можно записать
*™ -/£(wk\)dS-+ / £(щ=тяW (33-27>
SEP SE\SEp
Так как точка х находится в Sep и не принадлежит Se\SePi to
второй интеграл в (33.27), согласно лемме 33.2, равен телесному
углу &sE\sE 1 под которым из точки х видна поверхность Se\Sep*
Поэтому при стягивании сферы Ляпунова в точку этот интеграл
стремится к —27Г, а первый интеграл в (33.27) в силу его
равномерной сходимости стремится к нулю, что и требовалось доказать.
О В примере 33.1 было замечено, что решение в виде (33.8)
представляет частный случай. Действительно, сравнение (33.8) и
(33.26) говорит о том, что при переходе из внутренней части сферы
во внешнюю потенциал двойного слоя испытывает, вообще говоря,
двойной скачок: от —4irt/ внутри сферы к — 27г^ на самой сфере, а
затем к нулю вне ее. В связи с этим более точно решение примера
33.1 можно записать в виде
(W(R) - 2тпл гР <R
W(R), rP = R
W(R) + 2тпл rP > R
W(R) = -27ПЛ (33.28)
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
273
Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с переменной
плотностью дипольного момента v(x) и докажем, что для непрерывной
плотности справедливы следующие свойства.
Свойство 1. Для непрерывной и ограниченной плотности
дипольного момента v(x) потенциал двойного слоя (30.4) является
непрерывной и ограниченной функцией для всех х £ Se*
Действительно, в силу ограниченности плотности v(x)
справедлива оценка
ww=\l^iLAw^\)dS>
>Е
\fJ^{]x^)dS>
SE
SE
(33.29)
Последний интеграл в (33.29) в силу леммы 33.1 сходится
равномерно для всех х € Se* Но тогда, согласно достаточному
признаку равномерной сходимости, потенциал двойного слоя (30.4) также
сходится равномерно для всех х 6 Se. Кроме того, из равномерной
сходимости интеграла (30.4) в силу леммы 33.2 следует и
непрерывность потенциала двойного слоя для всех х 6 Se •
0 Это свойство остается справедливым и для неограниченных
поверхностей, если плотность и(х) имеет асимптотическую оценку
ь>{х) = 0(1/|ж|к), « > 0, |ж| -» оо. (33.30)
♦ Значение потенциала двойного слоя (30.4) при х £ Se
называется его прямым значением.
Таким образом, свойство 1 описывает поведение прямого
значения потенциала двойного слоя.
Свойство 2. Потенциал двойного слоя (30.4) вне Se является
регулярной гармонической функцией.
Действительно, согласно лемме 30.4, потенциал двойного слоя
удовлетворяет уравнению Лапласа для всех х £ Se* Кроме того,
справедлива асимптотическая оценка
W(x) = 0(\x\-2), |ж|->оо.
0 Тот факт, что потенциал двойного слоя имеет указанную
оценку, вообще говоря, затрудняет его использование в
построении других гармонических функций, имеющих, как правило, оценку
0(\2Г).
Сформулированные выше свойства характеризуют двойной слой
непосредственно на поверхности Se и вне ее. Рассмотрим поведение
потенциала двойного слоя при пересечении поверхности Se *
274
Глава 6*. Элементы теории потенциалов
Свойство 3. Потенциал двойного слоя с плотностью дипольно-
го момента ^(ж), непрерывной на поверхности Ляпунова Se, имеет
пределы W+(x) и W-(x) при приближении к поверхности Se
извне и изнутри, соответственно, которые определяются через прямое
значение потенциала двойного слоя W(x) соотношениями
W+(x) = W(x) + 2*i/(d?), W-(x) = W(x) - 2м(х). (33.31)
Действительно, рассмотрим значение потенциала двойного слоя
w^'f^(w^u\)ds' (33'32)
SE
в некоторой точке ж". Если ж" 6 Se, то интеграл (33.32)
определяет прямое значение потенциала двойного слоя; если х £ Se, to
интеграл определяет гармоническую функцию. Рассмотрим
поведение интеграла (33.32), когда х -> ж. Для этого представим его в
виде
sE
-^МОй^Н (33-33)
SE
Второй интеграл в правой части (33.33) - интеграл Гаусса и
определяется леммой 33.3. Покажем, что первый интеграл в (33.33)
W(*) = Jhs) - "(г)]^- (]srr^|)d5" (33-34)
где ж' 6 М3 и х G Se , равномерно сходится в точке х = ж. Для этого
воспользуемся непрерывностью плотности v(x) в точке ж, в силу
которой для любого е > О можно указать такую е(е)-окрестность
точки ж, принадлежащую 5е, что
Ну) - v{2)\ < е-
Тогда для любой точки ж\ лежащей в некоторой $(е)-окрестности
точки ж, будем иметь
jHy) - уЩ±- (^)dSv < efJL (j^H (33.35,
Se Se
33. Потенциал двойного слоя и его свойства
275
где х' £ 5е, а в силу условия (33.24)
J Ну)-»W^{\ir^)dsv <«*• (33-36)
sE
Этого достаточно для выполнения условия равномерной сходимости
интеграла (33.34) и, следовательно, согласно лемме 30.1, его
непрерывности в точке ж. С другой стороны, непрерывность интеграла
(33.34) в точке ж означает, что в указанной точке предельные
значения W\(x) при стремлении х -> ж извне и изнутри существуют
и совпадают с его прямым значением W\ (ж), т.е.
Wi + Ob) = Wi-{x) = Wi(x). (33.37)
Из формул (33.33), (33.37) и интеграла Гаусса (33.36) следует, что
предельные значения потенциала двойного слоя W+(:c), W-(x)
также существуют, причем для х -> ж извне Se
W+{x) = Wi + (x\, (33.38)
а для х -> ж изнутри Se
W-(x) = Wi-(x)+4wu(x). (33.39)
Учтем, что, согласно (33.34),
Wl{x) = W(x)-2w(x).
Тогда (33.38) и (33.39) можно записать соотношением
W+(£) = W{x) - 2тгЦж), W-(x) = W(x) + 2тгЦж),
совпадающим с (33.31) и содержащим прямое значение потенциала
двойного слоя
w^-Jt^^(wn)dS't *€5в- (33-40)
SE
О Если ввести обозначения
W+ (х) = W(x + пх • 0), W-{x) = W{x - пх • 0),
где пх - внешняя нормаль к Se в точке ж, то из (33.31) можно
получить формулы
W(x+nx-0)=W(x)-2wu(x),
W(£-Hx-0) = W(x) + 2nu(x), ( ' '
276
Глава 6. Элементы теории потенциалов
аналогичные формулам Сохоцкого (см. разд. «Примеры
обобщенных функции» части II). Из (33.41) вытекают простые
соотношения, связывающие предельные значения потенциала с плотностью
потенциала двойного слоя v(x) и его прямым значением W(x):
W(x + nx • 0) - W(x - га* • 0) = -4тпу(ж),
W(x + nx • 0) + W(x - 7% • 0) = 2W(x).
(33.42)
34. Нормальная производная
потенциала простого слоя
Продолжим начатое ранее рассмотрение свойств потенциала
простого слоя. Обратимся снова к примеру 32.1, из которого
следует, что радиальная производная потенциала простого слоя при
переходе через сферу Sr терпит разрыв. Но для сферической
поверхности производная по радиусу совпадает с производной по внешней
нормали. Для того чтобы выяснить, как обстоит дело с нормальной
производной в общем случае, введем понятие правильной
нормальной производной.
Пусть функция и(х)
определена в некоторой открытой
области J5, ограниченной
замкнутой поверхностью Se-
Рассмотрим поверхность 5^, которая
получается из Se смещением
каждой точки х G Se на достаточно
малое расстояние Ы по нормали
п к поверхности Se внутрь области Е (рис. 31). Поверхность S'E
можно назвать «параллельной» поверхности Se , поскольку при
достаточно малом Ы нормаль к S'E можно рассматривать как
нормаль к S'E и наоборот. Для поверхности S'Ei состоящей из
внутренних точек J5, вычисление производной ди(х')/дп (в
предположении, что она существует) не составляет труда. Тогда производную
ди(х)/дп в точке х 6 Se можно рассматривать как предел
Рис. 31
du(x) = Ит flu(s')
дп
*'-
дп
xesE.
(34.1)
О Если предел (34.1) существует и является равномерным и
непрерывным относительно х 6 Se, то говорят, что функция и(х)
обладает на границе Se области Е правильной нормальной
производной.
Приведенные выше рассуждения относятся к области,
расположенной внутри поверхности Se- Но аналогично можно ввести
понятие правильной нормальной производной для области J5,
лежащей вне поверхности Se- Таким образом, для Se можно
рассматривать правильные нормальные производные при стремлении х к
34. Нормальная производная потенциала простого слоя 277
х 6 Se как изнутри, так и извне Se, которые мы будем обозначать
(du/dn)- и (du/dn)+ соответственно.
Возвратившись к потенциалу простого слоя, запишем его
нормальную производную
dV(
х? = L J ^whf^ <34-2>
дп
SE
где п - внешняя нормаль к поверхности Se* проведенная из точки
х. Результат дифференцирования интеграла в (34.2) существенным
образом зависит от положения точки х. Если х £ Se, to в силу
гармоничности V(x) вне Se можно записать
dV(x]
on =h)a^(wh\)dSB=h^]^WdS^ <34-3>
Se Se
где t/> - угол между вектором у— ж и внешней нормалью п к Se,
проведенной из точки х. Предельные значения нормальной производной
(34.3) при х £ Se* стремящейся к х £ Se извне и изнутри, при
условии их существования обозначим через (OV(x)/dn)+ и (dV(x*)/дп)-
соответственно.
Если в (34.2) точка х £ Se, to операции дифференцирования
и интегрирования нельзя поменять местами. Тем не менее, если
формально рассматривать (34.3) для х £ Se, to этот интеграл
равномерно сходится, если Se ~ поверхность Ляпунова. Последнее
вытекает из того, что для х 6 Se углы (риф совпадают и.
следовательно, можно воспользоваться оценкой (33.11), как это было
сделано при рассмотрении потенциала двойного слоя. В силу
равномерной сходимости интеграла (34.3) для х 6 Se он будет
представлять непрерывную функцию, для которой мы сохраним обозначение
(dV/dn)sE и которую мы будем называть прямым значением
нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности Se
(хотя ее и нельзя в этом случае рассматривать как нормальную
производную потенциала простого слоя для х £ Se).
Сохранив нумерацию свойств потенциала простого слоя,
начатую ранее, сформулируем свойство, описывающее разрыв
нормальной производной потенциала простого слоя.
Свойство 4. Потенциал простого слоя (30.3) с непрерывной
плотностью ц(х) на поверхности Ляпунова Se имеет правильные
нормальные производные (dV/dn)+ и (dV/dn)- как извне, так и
изнутри ее, связанные с прямым значением нормальной производной
(dV/dn)sE следующими соотношениями:
(Ю+(г)=(Ю5Е(г)-2^); (з4-4)
(Э_(г)=(Э^+2^г>- (з4-5)
278
Глава 6. Элементы теории потенциалов
Доказательство этих соотношений аналогично доказательству
свойства 3 потенциала двойного слоя, описывающего разрыв
(скачок) потенциала двойного слоя на поверхности Se-
Из суммы и разности (34.4) и (34.5) следуют соотношения
(ж) <*>-(!!г)+<*>=*""<*" ,34-6)
(£).<'>♦(£)«»>"(£)..<'>• <"•"
Иногда вместо производных по нормали п требуются
производные по произвольному направлению Z, образующему с ней угол 0. В
этом случае формулы (34.6) и (34.7) принимают вид
(^г)_(5)" (ж)+(г) = 4^(*)совв' <34-8>
откуда следует, что производная по касательной, в отличие от
производной по нормали, не испытывает разрыва при переходе через
поверхность простого слоя.
Для рассмотренного выше класса поверхностей введение
понятия нормальной производной позволяет обобщить теорему 22.1.
Теорема 34.1. Если и(х) и v(x) — гармонические в Е функции,
обладающие правильными нормальными производными, то для них
справедливы формулы Грина (22.1), (22.2).
Доказательство. Применим формулы (22.1), (22.2) к любой
подобласти Е', ограниченной поверхностью S'E. Перейдя в этих
формулах к пределу при Д/ —> 0, убеждаемся в справедливости теоремы.
Теоремы 24.9, 24.10 также остаются справедливыми в
предположении, что решения задач Неймана имеют правильные нормальные
производные.
35. Логарифмический потенциал
(плоский случай)
В процессе рассмотрения свойств потенциалов мы
неоднократно обращались к сферически-симметричным распределениям
зарядов, масс и т.д. Остановимся теперь более подробно на
распределениях, обладающих цилиндрической симметрией. Рассмотрим
объемный потенциал, создаваемый бесконечно длинным цилиндром с
плотностью р(х), и потенциалы простого и двойного слоя,
создаваемые цилиндрическими поверхностями с плотностями fi(x) и v(x).
35, Логарифмический потенциал (плоский случай)
279
Предположим, что функции р(ж), А*(ж) и v(x) не зависят от
длины цилиндра или цилиндрической поверхности. В результате
создаваемые ими потенциалы являются фактически функциями двух
переменных. Поскольку вся теория трехмерного потенциала была
построена на основе потенциала точечного заряда, рассмотрим
следующий пример.
Пример 35.1. Найти потенциал бесконечно длинной заряженной
нити, вытянутой вдоль оси жз, с линейной плотностью 1/(47г).
Решение. Бесконечно длинную нить заменим нитью конечной
длины 2N. вытянутой вдоль оси жз между координатами жз = — N и
хз = N. Тогда плотность р(х) можно записать в виде
p(S) = -^-S{xi)S(x3}e(N - Ы), (35.1)
47Г
где 0(C) - функция Хевисайда. Для нахождения искомого
потенциала воспользуемся формулой (30.2), подставив в нее плотность (35.1):
— сю — оо — N
N
47Г У л/ж?+ж2+(ж3-
Уз)2
1, жз - N + л/ж2+ж2 + (ж3-ЛГ)2
= —:— 111
47Г Хз + N + 0.2 + х2 + (жз + ^)2
Если в полученном выражении величину АГ устремить к
бесконечности, то исходный интеграл расходится. Эту расходимость
можно устранить «смещением точки отсчета» потенциала, т.е.
добавлением к нему величины In |2ЛГ|/(27г). Тогда
lim V(x) = -^ In Jx\ + ж; = ^- In \х\. ж G R3.
N-Юо 27Г " 27Г
Сравнив полученное выражение с (23.15), видим, что
фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа совпадает с
потенциалом бесконечной заряженной нити.
Отталкиваясь от фундаментального решения уравнения
Лапласа £>(ж) = hi |ж|/(27г), можно построить теорию плоского, или
логарифмического, потенциала.
♦ Интеграл
Щх)= f p(y)ln-^-^dy (35.2)
Е
280
Глава 6. Элементы теории потенциалов
называется логарифмическим потенциалом, интеграл
V(x) = I /i(y)In |д L ^dly (35.3)
_1_
"1*-уГ
7£?
- потенциалом простого слоя и, наконец, интеграл
IE
- потенциалом двойного слоя. Если 7е ~ кривая Ляпунова, то с
учетом интеграла Гаусса (33.26), который на плоскости имеет вид
W(x) = / 1Г- In- -Жу = < -тг, х е 7е; (35.5)
все основные свойства трехмерных потенциалов можно без
труда переформулировать для логарифмических потенциалов (35.2)-
(35.4).
36. Применение теории потенциала
к решению краевых задач
Рассмотрим уравнение Пуассона
Au(x) = -F(x), x£E. (36.1)
Пусть
{Х) 4* J |х-у1
Е
- объемный потенциал с плотностью F(x*). Поскольку, согласно
(31.29) (свойство 3), потенциал (36.2) удовлетворяет уравнению
Пуассона (36.1), то подстановка
%i(x) = v(x) + V(x) (36.3)
сводит краевые задачи для уравнения Пуассона на функцию и(х)
к соответствующим краевым задачам для уравнения Лапласа на
функцию v(x). Поэтому перейдем к рассмотрению краевых задач
для уравнения Лапласа. Воспользовавшись изложенной выше
теорией потенциала, сведем краевые задачи к интегральным
уравнениям, получив, таким образом, еще один метод их решения.
Итак, пусть Se ~ замкнутая поверхность Ляпунова,
ограничивающая две области: внутреннюю Е и внешнюю Ш3\Ё.
VW = Т- I 7^4г<# (36.2)
36. Применение теории потенциала к решению краевых задач 281
Решение внутренней (внешней) задачи Дирихле
Аи(х) = О, х е Е (или R3\£), (36.4)
<*)\sB=№\sE (36'5>
будем искать в виде потенциала двойного слоя
„Ю = wW = J Ну1^-(^узу (36.6)
SE
с неизвестной непрерывной на Se плотностью и(у). Решение задачи
в виде (Зб.б) заведомо удовлетворяет уравнению Лапласа, так как
потенциал двойного слоя является гармонической вне Se функцией
и для нее справедливо условие W{oo) = 0. Граничные условия (36.5)
будут выполнены, если подобрать такую плотность ^(ж), что
f(Z) = W±(x), xeSE< (36.7)
для внутренней и внешней задачи Дирихле, соответственно.
Поскольку предельные значения потенциала двойного слоя W± (x)
удовлетворяют уравнениям (33.31) (свойство 3), то подстановка их в
(36.7) дает для внутренних задач
f(x) = -2*v(x) + /^)^-(йГ^|)^5У *^5^ (36-8)
а для внешних
f{x) = 2nu(x) + L(y)^(^-L_)dSy, x e SE. (36.9)
sE
Уравнения (36.8), (36.9) представляют собой интегральные
уравнения Фредгольма (см. разд. «Уравнения Фредгольма») относительно
неизвестной плотности v{x) и полностью их определяют. Обозначив
*<«>-s£(ishi)-5FV {ЯЩ
запишем уравнения (36.8), (36.9) в единой форме с помощью
параметра Л = ±1:
и{х) = A I K(x,y)u(y)dSy + g(x), x G SE. (36.11)
SE
282
Глава б. Элементы теории потенциалов
Для внутренней задачи Л = 1 и д(х) = —/(ж)/(27г), а для внешней
А = -1 и д(х) = f(S)/(2w).
Аналогично решение внутренней (внешней) задачи Неймана
Ди(ж) = 0, хеЕ (илиМ3\Я), (36.12)
du I
= 4>(х)
SE
Se
(36.13)
dn\
ищем в виде потенциала простого слоя
u(x) = V(x) = j i0j^Sy (36.14)
SE
с неизвестной непрерывной плотностью А*(у). Потенциал
простого слоя заведомо является гармоническим вне Se и удовлетворяет
условию V(oo) = 0. Для того чтобы выполнялись граничные
условия (36.13), потребуем выполнения равенств
О (*) = *>(*), *esE. (36.15)
Поскольку потенциал простого слоя обладает правильными
нормальными производными с предельными значениями,
удовлетворяющими уравнениям (33.4), (33.5), то подстановка их в (36.15) дает
ф) = А [ L(x,y)v(y)dSy + р(ж), xeSE. (36.16)
(x) = \JL(x,
SE
Здесь
L(x>y) = ^o^(w^\) = ^^W (36Л7)
- ядро уравнения и Л = — 1 соответствует внутренней задаче с
р(ж) = </?(ж)/27г, а Л = 1 - внешней с р(х) = — (p(x)/2ir.
Ядра (36.10) и (36.17) получаются одно из другого
перестановкой аргументов, а так как они еще и вещественны, то они являются
сопряженными (союзными), т.е.
Цх,у) = К*(х,у). (36.18)
С учетом этого уравнение (36.16) можно переписать в виде
[x) = \j К\х,
ц(х) = А / К*(х,H)n(y)dSy + р(ж), х е SE. (36.19)
Таким образом, для первой и второй краевых задач мы
получили две пары (Л = ±1) попарно сопряженных интегральных
уравнения (36.11) и (36.19).
36. Применение теории потенциала к решению краевых задач 283
Что касается третьей внутренней (внешней) краевой задачи
Дм(ж) =0, х е Е (или М3\Я), (36.20)
(£♦*)
= ф{х)
SE
(36.21)
SE
где h > 0 и п - нормаль, внешняя к Е (или ]R3\.E), то ее
решение также ищем в виде потенциала простого слоя (36.14). Подобно
предыдущему, приходим к интегральным уравнениям
ц(х) = \ I \К9{хчу) + —^
(х) = \[[к*(х,г
27г|ж - у\
v(y)dSy + q(x), x e 5E, (36.22)
где Л = — 1 соответствует внутренней краевой задаче с q(x) =
ф(х)/2тт1 а Л = 1 - внешней с q(x) = —•0(ж)/27г.
♦ Интегральные уравнения (36.11), (36.19), (36.22) называются
интегральными уравнениями теории потенциала.
Поскольку, согласно (36.9)-(36.12), ядро К(х,у) удовлетворяет
оценке
IWtf>| = £
■^-(tzT^7 )\<: .-^-.о 1 «>0^ (36'23)
дпу\\х-у\)\^ 2w\x-y\2-a' V ;
то оно является полярным, и, следовательно, к интегральным
уравнениям теории потенциала применимы все положения теории
интегральных уравнений (см. главу «Интегральные уравнения»).
Решения задач на плоскости, т.е. задач (36.4), (36.5) и (36.12),
(36.13) в R2, также ищут в виде (36.6) и (36.14), соответственно, с
заменой фундаментального решения
В результате уравнения (36.11) и (36.19) запишутся в виде
и{х) = A J К(хщy)u{y)dSy + g{x), x e SE; (36.24)
sE
(х) = \ [ К*(х,
ц{х) = А / K*(x<y)v{y)dSy + р(ж), х е 5Е, (36.25)
где полярные союзные ядра равны:
К(х.у)=-— -, x,yeSE,
7г|ж-у|
К* fry) = К{у,х) = -^^, (36.26)
7Г|Ж - у\
284
Глава б. Элементы теории потенциалов
при этом по-прежнему Л = 1 соответствует внутренней задаче
Дирихле, а Л = — 1 - внешней. Напротив, Л = — 1 соответствует
внутренней задаче Неймана, а Л = 1 - внешней.
Подробное рассмотрение этих задач возможно в рамках теории
интегральных уравнений (см. гл. «Интегральные уравнения»), где
можно проследить связь чисел Л с характеристическими числами
соответствующих интегральных уравнений. Однако для
простейших областей решения уравнении (36.24) и (36.25) удается найти
непосредственно, не обращаясь к специальным методам решения
интегральных уравнений.
Пример 36.1. Методом потенциалов найти решение внутренней
задачи Дирихле для круга.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Аи(х) = О, х е Е : \х\ < R, Е С М2; (36.27)
и(х) = /(ж), х е SE : \х\ = Я,
(36.28)
где R - радиус круга.
Согласно (36.6), решение задачи ищем в виде потенциала
двойного слоя
7{v(y)dSy, x£SE. (36.29)
= f-
J I*
COS(f
|я-у|
SE
Для плотности v(x) справедливо интегральное уравнение (36.24) с
Л = 1, т.е.
*>(£)= I^^rMy)dSyi xesE.
J Щя-У\
tJn
(36.30)
Поскольку для х £ Se справедливо
равенство (см. рис. 32)
Рис. 32
и{х) = -
2тгЯ
то ядро
K(S,y)
и уравнение
J u(y)dSy-
COS (f 1
COS (f 1
7г|ж — у\ 27гЯ'
\ (36.30) примет вид
Д2, *€5В.
7Г
(36.31)
(36.32)
36. Применение теории потенциала к решению краевых задач 285
Нетрудно заметить, что его решение можно искать в виде
(подробности приведены в разд. «Интегральные уравнения с
вырожденным ядром»)
и{х) = -!/(£)+;4, (36.33)
где А - некоторая постоянная, определяемая подстановкой (36.33) в
(36.32). Действительно, получается
ИЛИ.
A = *!hilf[y)dSy- (36-34)
SE
Таким образом, для функции v(x), являющейся решением
интегрального уравнения (36.30), получим
и(х) = -!/(*) + ^ J f{y)dSy. (36.35)
SE
Подставив (36.35) в (36.29), найдем решение внутренней задачи
Дирихле (х G Е) в виде
«<*) = f{-\m+^lM)4S,}£^. (36.36)
Se $е
Преобразуем правую часть (36.36), учитывая, что х 6 Е [а не
SE, как в (36.30)]:
se Se
5Е
286
Глава 6. Элементы теории потенциалов
С использованием теоремы косинусов для треугольника хОу
(рис. 33)
|ж| = \х — у\~ + R2 + 2R\x — y\ cos </?
интеграл (36.37) приводится к виду
^=-ш!^^тлз- (зб-з8)
Як \
Выражение (36.38) представляет собой ин-
у£> | теграл Пуассона для внутренней задачи Ди-
Е jJ^^^xP рихле, полученный ранее методами Фурье и
/^^^ функций Грина.
Se\. ^s Пу Аналогично с помощью потенциалов
решается и внешняя задача Дирихле.
Рис. 33
Пример 36.2. Методом потенциалов найти решение внутренней
задачи Неймана для круга.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Аи(х) = О, х е Е : \х\ < Я, Е С R2; (36.39)
^- = /(f), х е SE : \х| = Я, j f(y)dSy = 0, (36.40)
где R - радиус круга.
Согласно (36.14), решение задачи ищем в виде потенциала
простого слоя
u(x) = V(x) = f f(y)\nj^^»(y)dSy. (36.41)
sE
Для плотности fi(x) справедливо интегральное уравнение (36.25) с
Л = —1 и ядром К*(х,у) из (36.26):
**) = "- / -S^rtMS, + М, (36.42)
7Г J 7Г|Ж — у\ 7Г
SE
которое с учетом (36.31) принимает вид
№) = ^ГЪ I »(y)dSy + —. * € SB. (36.43)
2nRj '
sE
36. Применение теории потенциала к решению краевых задач 287
Решение интегрального уравнения (36.43) будем искать так же,
как решение уравнения (36.32). В результате получим
Se
а с условием разрешимости задачи (36.40)
/»(*) = -f(x). (36.44)
7Г
Подставив (36.44) в (36.41), найдем решение внутренней задачи
Неймана в виде интеграла
и(х) = С + I J f(y) In j^-^dSy
J_
I* - уГ
или
u(£) = C-i J f(y)ln\x-y\dSy, (36.45)
sE
представляющего собой интеграл Дики для внутренней задачи
Неймана, полученный ранее методом Фурье.
Аналогично с помощью потенциалов решается внешняя задача
Неймана.
Приняв во внимание, что в полярной системе координат для
окружности Se имеем
х = (\х\,ч>); у = (Я,^);
\х-у\ = у/\х\2 + Е? - 2\x\Rcos{tp - ф); dSy = Rd^,
запишем интегралы (36.38) и (36.45) в виде
■w-s/ff+g-'ffH,.*)*- |i|<ft
— П
■к
и(х) = С- — //(<?) 1п[|ж|2 +Я2 -2|ж|Ясо8(</>-^)]^, \Щ <R,
27Г J
полностью совпадающем с видом интегралов Пуассона (26.2) и Ди-
ни (26.5).
Пример 36.3. Методом потенциалов найти решение внутренней
задачи Дирихле для полупространства.
288
Глава б. Элементы теории потенциалов
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Ди(ж) =0. х е Е : хг > 0, Я С К3; (36.46)
^^- = /(*), х е SE : хг = 0. (36.47)
Решение задачи ищем в виде потенциала двойного слоя
и(х) = W(x) = f J^*-v(jJ)dSw, ZeE. (36.48)
X
~Г^\^ В случае полупространства внутренняя и
j cfrv^V внешняя задачи эквивалентны, поэтому
"^ tfN ^ Xi яГо рассмотрим только внутреннюю. Интег-
' ральное уравнение (36.8) для плотности
Рис. 34 v(x) при Л = 1 примет вид
u(S) = / w=wmds>" ^?' *€5в- (36-49)
Приняв во внимание, что в интегралах (36.48) и (36.49) у £ 5^,
из треугольника ажу (рис. 34) следует
|ж — у\
о,
Жз г,
, если х G & : жз > 0,
если ж G 5в : жз = 0.
Но тогда
|^(ж) = --
2тг
и, соответственно,
SE
оо оо
_ fi /" / f(yuw)dyidy2
Напомним, что решение (36.50) имеет смысл, если для
функции f(x) при |ж| -> оо справедлива асимптотическая оценка f(x) =
0(|ж|~к), к > 0 [см. оценку (33.30)].
36. Применение теории потенциала к решению краевых задач 289
Формулу (36.50) можно получить и с помощью функции
Грина задачи Дирихле для полупространства (28.19). Действительно,
продифференцировав (28.19):
dG(x,y)
dn
уз=о
dG(x,y)
дуг
уз=о
27г[(Ж1-У1)2+(Жо-у2)2+ж2]3/2
и подставив полученное выражение в (28.11), приходим к (36.50).
ГЛАВА 7
Уравнения гиперболического типа
37. Задача Коши для одномерного
однородного волнового уравнения.
Формула Даламбера
Рассмотрим одномерное гиперболическое уравнение на
бесконечном промежутке, описывающее свободные колебания
бесконечно длинной струны:
ин — а2ихх = 0, -ос < х < оо, n7n
и(М) = ¥>(*), щ(х,0) = ф(х). (6{Л}
Теорема 37.1. Решение задачи Коши (37.1) имеет вид
x+at
1 1 Г
t*(M)= £ И* + <**)+ ¥>(*-<**)] + — / tf(y)dy. (37.2)
х — at
Формула (37.2) называется формулой Даламбера,
Доказательство. Характеристическое уравнение для
исходного уравнения (37.1) имеет вид (см. главу 2)
(dx)2-a2(dt)2 = 0
и эквивалентно двум уравнениям
dx — adt = О, dx + adt — 0,
общие интегралы которых записываются в виде
*i(M) = x-at = d, *з(М) = x + at = C2 (37.3)
и, как будет показано ниже, играют важную роль в решении
задачи.
На плоскости xOt введем новые переменные
а = x + at, /3 = x- at. (37.4)
Тогда
ди ди ди ди ди ди
~дх~ fa+~dp' ~dt " "fa ~а~др
37. Задача Коши для одномерного волнового уравнения 291
и, соответственно,
d2u d2u л d2u d2u d2u
d2u d2u d2u _ 2(d2\i d2u d2u\
dx2~da2* dadf3*W l№~a\~fa2~ d^*W'
Подставив полученные выражения в уравнение (37.1),
преобразуем его к виду
-4<Г
d2u
dadp
Следовательно,
ИЛИ
да\др)
(37.5)
u(a,p) = Jx(PW+f(a)
Таким образом,
•«(a,/3) = /(a)+ff(/3),
где /(a) и д(/3) — произвольные дважды дифференцируемые
функции. Возвратившись к исходным переменным, получим
и(ж, t) = f(x + at) + g(x — at).
(37.6)
Определим /(ж), д(х) так, чтобы выполнялись начальные
условия. Из начальных условий (37.1) найдем, что
f(x) + д(х) = ф), a[f{x) - д'(х)] = ф{х)
f(x)-g(x) = ^Ji>(y)dy + C.
•То
Здесь С - произвольная постоянная. Следовательно,
X
1 1 f С
f(x) = -<р(х) + —J ф(у)<1у + -,
(37.7)
292
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Подставив (37.7) в (37.6), получим
x+at
1 1 /*
u(x,t)=-<p(x + at) + — / ф(у)с1у +
X0
x — at
1 If
+ -(p(x-at)- — J i>(y)dy,
откуда следует формула (37.2).
О Из формулы Даламбера следует единственность решения
поставленной задачи (37.1).
О Функция u(x, t), определяемая формулой Даламбера (37.2),
описывает процесс распространения начального отклонения и
влияние начальной скорости на этот процесс. Действительно,
характеристики (37.3), как следует из (37.4) и (37.6), являются
линиями уровня функций д(х — at) и f (x + at). Вдоль этих
кривых значения функций д{С\) и /(Сз) постоянны. Графически
это означает, что отклонение струны от положения
равновесия, зафиксированное в точке х и равное д(С\), с течением
времени равномерно перемещается вдоль оси О ж со скоростью
а в положительном направлении (вправо), сохраняя свое
значение. Соответственно, отклонение /(Со) равномерно
перемещается вдоль оси Ох с той же скоростью а в отрицательном
направлении (влево). Волны, описываемые такими
функциями, в физике принято называть бегущими: прямую - бегущей
вправо, обратную - бегущей влево. Функция и(ж,0) дает
профиль струны в момент t — 0.
Таким образом, общее решение задачи Коши для
бесконечной струны есть суперпозиция двух волн f(x + at) и д(х — at),
одна из которых распространяется вправо со скоростью a, a
другая — влево с той же скоростью.
Пример 37.1. В начальный момент времени неограниченная
струна имеет форму, изображенную
на рис. 35. Построить профили
струны для моментов времени tk = Ik/6a,
где I = d — с, a k — 1,2, 3,4,11.
Указать область, в которой решение
задачи u(x,t) равно нулю для * > 0.
Рис. 35
Решение. Согласно условию задачи, функция -ф(х) = 0. Тогда
в соответствии с (37.2) имеем
37. Задача Коти для одномерного волнового уравнения 293
Рис. 36
1 11
u(x, t) = -[(р(х — at) + (р(х + at)] = -*р(х — at) + -<р(х + at),
где (р(х) задана графически (см. рис. 35).
Прямая \(р{х—at) и обратная \(p(x-{-at) волны в начальный
момент времени t = 0 совпадают, имея амплитуду \(р(х). За
время t > 0 график прямой волны переместится без
деформации вправо на расстояние at, а график обратной волны - влево
на at. Складывая графики перемещенных прямой и обратной
волн в фиксированные моменты времени tj., получим профиль
струны в эти моменты времени (рис. 36).
Для решения второй части задачи можно использовать
рис. 36. Но, поскольку моменты времени tk фиксированы, то
полную информацию об областях, где u(x,t) = 0, можно
получить, изобразив процесс распространения колебаний на
фазовой плоскости xOt (рис. 37). Отложим на оси Ох плоскости
xOt отрезок [с, rf], соответствующий области
первоначального отклонения. Из точки d строим характеристику х — at = d,
соответствующую перемещению переднего фронта прямой
волны. Из точки с строим характеристику х — at = с,
описывающую перемещение заднего фронта прямой волны. Область
между этими характеристиками есть область прохождения пря-
294
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
обратная вол
х + at = с\
передний \
фронт \
II. u(z,t) = 0
на
\t
х 4 at = d
\1задний
[чфронт
\Ш. u(x
X /
a \y
x — at = cy
задний/
фронт /
/ U У
/ u /
\ to /
\u / ,
*n\/<* У
прямая волна
/х — at — d
у^передний
Уфронт
I. u(xj.) = 0
^\ *g« = a
Рис. 37
мой волны. Аналогично характеристики х + at = с, х + at = d
соответствуют движению переднего и заднего фронтов
обратной волны, а область между ними является областью
прохождения обратной волны. Таким образом, указанные
характеристики выделяют три области I, Ц, III фазовой плоскости, где
решение задачи u(x,t) равно нулю.
Если на фазовой плоскости провести прямые t = ^, то
пересечения этих прямых с характеристиками указывают
области распространения первоначального отклонения от оси Ох*. С
другой стороны, если зафиксировать координату ж, то можно
проследить процесс распространения колебаний в зависимости
от t. Так, наблюдатель, помещенный в точку х > d, в
начальный момент времени видит струну в положении равновесия,
затем регистрирует прохождение переднего и заднего фронтов
прямой волны и снова наблюдает струну в положении
равновесия. Аналогичную картину видит наблюдатель, помещенный
в точку х < с. В точке с < х < d наблюдатель регистрирует
взаимодействие задних фронтов волн, после чего тоже
наблюдает струну в положении равновесия. Во всех случаях в любой
конечной точке х по истечении определенного времени струна
возвращается в положение равновесия. В этом случае говорят,
что справедлив принцип Гюйгенса.
Все сказанное справедливо, естественно, в предположении,
что струна является бесконечной и граничные условия не
оказывают влияния на ее поведение в области конечных
значений х (как будет показано в следующем параграфе, волны,
вызываемые граничными условиями, также
распространяются со скоростью а. поэтому они просто не успевают доходить
до рассматриваемого участка). Это позволяет оценить длину
37. Задача Коши для одномерного волнового уравнения 295
струны L условием L ^> аТ, где ]0, Т[ — интервал времени, на
котором рассматривается процесс колебаний.
В заключение приведем геометрическую интерпретацию
формулы Даламбера для решения рассматриваемой задачи:
решение и(М) в фиксированной точке М(жм, t-м) фазовой
плоскости определяется первоначальными отклонениями лишь в
точках А(хм — <rtm» 0) и В(хм + «£д/, 0), которые получаются
пересечением оси Ох с характеристиками, проходящими через
точку М (рис. 37). Треугольник МАЕ называют основным
характеристическим треугольником для точки М. С точки
зрения наблюдателя, находящегося в вершине М
характеристического треугольника, струну можно считать бесконечной,
если точка М удалена от концов струны на расстояние большее,
чем at^j. Точки А и В — это точки влияния начального
данного (р(х) на значение решения u(x<t) в точке М,
Пример 37.2. Неограниченной струне, находящейся в
положении равновесия, на отрезке с ^ х ^ d сообщена поперечная
начальная скорость vq = const,
вне этого отрезка начальная
скорость равна нулю. Построить
профиль струны для моментов
времени tj. = kl/4a< где / = d—c,
а к - 0,1,2,3,4,8. Указать
область, в которой решение и(ж, /.)
равно нулю для t > 0, и
исследовать его характер при / -> 0.
00
v0l-
2a
ф(х)
1
1
Ф(ж) с
1
1
d
X
^^
с
Рис.
38
d
X
Решение. По формуле Даламбера (37.2) с учетом (р(х) = 0
имеем
л:-fat
u(x,t) = — j 4>(y)dy = $(x + at)-$(x-at), (37.8)
x — at
где Ф(ж) есть первообразная функции ф(х), которую определим
формулами
V(x) = ^a-f Ф(у)с1у={
Xq
го,
Vq(x — С)
2а
vol
2^'
—ОО < X < С,
, с ^ х ^ d,
d < х < +оо.
(37.9)
296
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
2(1
t8 = 61/(4a)
О с d
vol\u(x,t4)
2а
U = 41 /(4a)
О с
^|ц(д,/.з)
О с
'Vol_lu(x,t2)
О с
^о^|ц(ж,/,1)
2а
U = //(4а)
//4 О с ^^d
vqIiu(x,0) = О
2а
<о = 0
Здесь жо = с и d — с = I. На рис. 38 изображены графики
функции ф(х) и ее первообразной Ф(ж).
Профиль струны для моментов времени tj. может быть
получен, согласно (37.8), вычитанием графика прямой волны
Ф(ж — at) из графика обратной волны Ф(ж + at) и имеет вид,
изображенный на рис. 39.
Для решения второй части задачи в фазовой плоскости xOt
отложим на оси Ох отрезок [c,d\, соответствующий области
действия начальной скорости vq. Из точки d строим
характеристику х — at = d. описывающую движение переднего фронта
прямой волны. Аналогично характеристика x+at = с
описывает перемещение переднего фронта обратной волны. Отметим,
что волны, возникающие за счет первоначальных скоростей
(импульсов), в отличие от волн, возникающих под действием
первоначальных отклонений, в любой момент времени не
имеют заднего фронта (ср. с предыдущим примером). В силу этого
37. Задача Коши для одномерного волнового уравнения 297
i
х + at = с\
передний
фронт
И. u(x,t) =
t
0
III.
ах
U у
/х — at — d
u(x,t) ф 0 ^/передний
/фронт
t* / 1
£з / terry — ±-
U / M 6 a
U / XX l.n(x,t) = l\
U/<* / \ V \]
d
Рис. 40
построенные характеристики выделяют на фазовой плоскости
не три, а две области I, II, где решение a(x,t) = 0.
По этой же причине наблюдатель, помещенный в
фиксированную конечную точку ж, первоначально видит струну в
положении равновесия, затем, по мере прохождения переднего
фронта волны, регистрирует движение струны от положения
равновесия до максимального отклонения, равного vol/2a, при
котором струна «замирает». Такое поведение наблюдаемого
участка струны напоминает смещение твердого тела на
расстояние, соответствующее заданному импульсу. В этом случае
говорят, что имеет место диффузия волн, нарушающая
принцип Гюйгенса.
С учетом этого решение в фиксированной точке М(хмЛм)
(рис. 40) основного характеристического треугольника МАВ
определится первоначальными скоростями не только в точках
А(жл/ — а^м,0), B(x\i + а<л/,0), но во всех точках отрезка
[А, В].
Для нахождения^решения при I -» 0 предположим, что
суммарный импульс I, передаваемый струне в момент времени
t = Q, равномерно распределен по отрезку [с, d] с плотностью
р и равен
d
•!
VQpdx — vopl.
Тогда первообразную (37.9) можно переписать в виде
Щх) =
Г о,
1(х-с)
, 2alp '
—оо < х < с,
с ^ х ^ d,
d < x < оо,
2ap
298
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
откуда формальным переходом к пределу I -» 0 получим
соотношение
—оо < х < с,
Г О,
Ф(ж) = < J_
{ 2ap
, с <с: ж < оо,
2ар
которое с помощью ^-функции (см. разд. «Примеры
обобщенных функций» части II) можно записать в виде
I
2ар
\$и\ В силу рассмотренного предель-
ного перехода, схематично
изображенного на рис. 41, процесс рас-
0 с а х пространения волн, соответству-
Рис. 41 ющий рис- 40, трансформируется
к процессу, соответствующему
рис. 42. Этот результат можно получить проще, если
использовать дельта-функцию 8(х). Действительно, записав
начальное условие в виде
щ(х<0) = —5(х — с),
Р
из формулы Даламбера (37.2) найдем решение
x+at
u(x,t) = —- / -8(x — c)dx = -—[9(x + at — c) —9{x — at — c)],
2a J p 2ap
x — at
график которого для моментов времени ti = //(4а), *2 — 21 j(4а)
показан на рис. 42.
В рассмотренных выше примерах последовательно
исследовался процесс распространения колебаний с начальными
условиями и(х,0) = <р{х), м*(ж,0) = 0 и и(ж,0) = 0, щ(х,0) = Ф{х).
Общий случай, когда оба начальных условия отличны от
нуля, в силу линейности волнового уравнения представляет
собой суперпозицию полученных решений.
Следует также отметить, что графики функции u(x,t),
фигурирующие в этих примерах, содержат ломаные линии и
разрывы, что противоречит требованию непрерывной дифферен-
цируемости функции u(x,t) и ее частных производных до
второго порядка включительно. Это противоречие можно
рассматривать двояко. С одной стороны, можно считать, что в
37. Задача Коши для одномерного волнового уравнения 299
окрестностях излома функции являются гладкими и ломаные
линии использованы для удобства построения. С другой
стороны, можно рассматривать решение задачи (37.1) в классе
обобщенных функций, допускающих такие решения, и, более
того, в других физических интерпретациях (акустические
колебания и др.), имеющих естественное физическое обоснование
(ударные волны).
О Как правило, решение задачи Коши в обобщенной
постановке выражается через обобщенные функции. Поэтому уравнение Да-
ламбера действительно может иметь разрывные решения. Здесь мы
ограничимся доказательством того факта, что разрывы могут
находиться только на характеристиках.
Действительно, оператор Даламбера
300
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
из (37.1) можно представить в виде
п = £+£-,
где
? д д ? д д
представляют собой операторы дифференцирования вдоль векторов
a+ = (а, 1) и а. = (—а, 1). На фазовой плоскости xOt эти векторы
параллельны характеристикам (37.3). Оператор Даламбера примет
вид (37.5)
О2
+ дад/З
Таким образом, оператор Даламбера D можно рассматривать как
композицию коммутирующих операторов L+, L-
дифференцирования вдоль характеристик. Следовательно, П обращает в нуль
любую функцию, постоянную вдоль характеристик, включая
разрывную, что и подтверждает возможность существования разрывов
только на характеристиках. Это утверждение достаточно наглядно
иллюстрируется графиками рис. 42.
38. Теорема о единственности
решения смешанной задачи
для одномерного волнового уравнения
Лемма 38.1. Пусть функция v(x,t) - классическое решение (см.
гл. 3) смешанной задачи для одномерного волнового уравнения
**>& = |:(*<*>£)' 0<*<г' °°' (38Л)
удовлетворяюгцее краевым и начальным условиям
<u(0, t) = v(Z, t) = 0, v(x, 0) = <р(х), vt(x, 0) = ф(х), (38.2)
где р(х) > 0, к(х) > 0. Тогда функция
i
B(t) = \ [[кЫ2 + P(v,)2]dx (38.3)
о
не зависит от времени, т.е. E(t) = const.
О Напомним, что классическое решение задачи (38.1). (38.2)
есть функция *>(ж,£), дважды непрерывно дифференцируемая на
38. Теорема о единственности решения смешанной задачи 301
множестве ]0,Z[x]0, оо[= И^, непрерывная вместе со своими
первыми производными в замкнутой полуполосе W^, удовлетворяет
в Woo уравнению (38.1), начальным и граничным условиям (38.2),
если р(х) непрерывна, а к(х) непрерывно дифференцируема на
отрезке [0,Z].
0 Уравнение (38.1) можно интерпретировать как уравнение
продольных колебаний стержня длины Z, где р(х) — линейная
плотность стержня, к(х) — его линейная упругость. Тогда функция E(t)
(38.3) есть полная (кинетическая + потенциальная) энергия
системы. Эта система — непрерывная среда, каждая точка которой
является осциллятором. Напомним, что в классической механике
энергия осциллятора записывается в виде
_ тпх2 кх2
Условие dE/dt = 0 означает отсутствие притока энергии.
Доказательство. Найдем
dE(t)
= / (fcivu,
WxVjct + pvtvtt)dx ■
dt
0
/ fctii-Vxt + Vtdx (k— J \dx = I —(kvxvt)dx = kvxvt
Так как концы стержня закреплены, то для согласования
начальных и граничных условий выполняется Vt(0, t) = vt(l,t) = 0.
Следовательно,
dt
E(t) = E(0) =±f [fc(*№2(*) + p{x)(^^j'^dx. (38.4)
0
Теорема 38.1. Классическое решение смешанной задачи для
волнового уравнения
р(х)гщ = д,(к(х)иж) + F(x, t), p(x) > 0, к(х) > 0 (38.5)
с условиями
и(х,0) = </?(ж), щ(х,0) = -ф(х), , ,
и(0,*)=М*), u(l,t)=n2(t) <38'6'
единственно.
302
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Доказательство. Предположим противное: пусть щ и«о — два
решения задачи (38.5), (38.6). Тогда функция v = m — uo
удовлетворяет условиям леммы 38.1 с нулевыми начальными и граничными
условиями. Из (38.4) следует, что Е(0) = 0 = E(t). а из выражения
(38.3) — v = 0, т.е. «1 = но.
39. Смешанная задача для одномерного
однородного волнового уравнения
на полупрямой. Метод Даламбера
Эта задача, в отличие от рассмотренной выше задачи Коши,
имеет важное значение для изучения и описания процессов
отражения волн различной природы. Основные особенности и методы
решения этой задачи рассмотрим на примере колебаний струны,
вытянутой вдоль оси Ож, один конец которой совмещен с началом
координат, а другой находится на большом (L ^> at) расстоянии от
начала координат, формально — на +оо.
39.1. Метод падающих и отраженных волн
Математическая постановка смешанной задачи имеет вид
Utt — а~ихх =0, х > 0, t > 0,
u(x.O) = (р(х), ut(x,0) = ф(х), (39.1)
«(0,t) = /i(t), (39.2)
где f.i(t) - гладкая заданная функция. Здесь мы рассматриваем
неоднородные граничные условия первого рода.
На фазовой плоскости xOt проведем из начала координат
характеристику x—at = 0, которую, в отличие от других, будем называть
главной. Как следует из рис. 43, свойством главной
характеристики является то, что она делит всю область решения задачи на две:
под главной характеристикой, где x — at > 0 (I), и над главной
^ II
О я
Рис. 43
u(xfl)=<p(x),
щ(х$)=ф(х)
39. Метод Даламбера для полупрямой
303
характеристикой, где х — at < 0 (II). Область I содержит ось Ох
(t = 0), на которой задаются начальные условия, а область II
содержит ось Ot (x = 0), на которой задаются граничные условия.
Такое деление позволяет искать решение задачи, составленное из
двух частей. Одна часть решения в области I должна отвечать за
выполнение только начальных условий, тогда как вторая часть в
области II - за выполнение граничных условий. Естественно, что
полное решение должно удовлетворять как начальным, так и
граничным условиям.
Рассмотрим область I
х - at > 0.
Решение задачи, как и раньше, будем искать в виде (37.6)
u(x, t) = g(x - at) + f(x + at). (39.3)
Подставив (39.3) в начальные условия (39.1) и проинтегрировав
полученную систему, находим решения
х
о
х
9(
fix)
ф(у)йу ■
ФШу +
х> 0,
отличающиеся от аналогичных, полученных при выводе
формулы Даламбера (37.2), только областью определения, ограниченной
условием х > 0 вместо — оо < х < +оо, так как (р(х) и ф(х)
определены теперь только для х > 0.
Возвратившись к исходным аргументам, для х — at > 0 имеем
g(x - at)
*>(
х—a
x-at)-- J
•ф(у)(1у -
(39.4)
x+at
II 1 /* С
f{x + at)= -\<p(x + at)+- / tl>{y)dy+-
2 I a J a
(39.5)
Сложив (39.4) и (39.5), при х — at > 0 находим для м(ж, t) формулу
u{x,t) = -
x+at
(p(x + at) + (p(x — at) +
U
${y)dy
(39.6)
304
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
совпадающую с формулой Даламбера (37.2) по форме, но
отличающуюся от нее тем, что формула (39.6) справедлива только в
области I (х — at > 0). Отметим, что это различие возникает только
за счет функции д(х — at) (39.4), поскольку ее аргумент
становится отрицательным, если х — at < 0, тогда как функция f(x + at),
определяемая формулой (39.5), может быть использована на всей
фазовой плоскости, поскольку ее аргумент всегда положителен.
С учетом вышесказанного решение в области II
х - at < 0
ищем в виде
и(ж, t) = д(х - at) + f(x + at), (39.7)
где f(x + at) определена формулой (39.5). а д(х — at) - неизвестная
функция, подлежащая определению из граничного условия (39.2).
Условимся волну f(x + at) в области II называть падающей, а волну
д(х — at) - отраженной. На рис. 43 характеристики падающей волны
изображены непрерывными линиями, а отраженной - штриховыми.
Подставив (39.7) в (39.2), получим равенство
0(-ai) + /(aO=/i(t),
которое после замены переменной t = —z/a< z < 0, примет вид
S(*) + /(-*) = /i(-*/a), *<0.
Отсюда, согласно (39.5), имеем
g(z) = »(-z/a)- -
ij
v(-z)+- / tP(y)dy +
g(*-et)=/*(t-f)-
at — x
(p(at-x) + - / i/>(y)dy+ —
a J a
(39.8)
Тогда u(x,t) из (39.7) запишется как
«(ж,ь)=»(ь-^ + i[v?(at + х) - tp{at - ж)]+
— / Ф(у)<1у* x-at <0.
+
(39.9)
39. Метод Даламбера для полупрямой
305
Окончательное решение задачи (39.1), (39.2) имеет вид
( А'(*~ a) + \МаЬ + х) ~ *№ ~ ХЯ+
«t + ar
+ — / ${y)dy. x-at<0;
и(хЛ) = <
-[(p(x + at) + (p(x - at)]+
x+at
+
2a J
ip(y)dy, x - at > 0.
(39.10)
Поскольку решение (39.10) задается в областях I и II разными
формулами, оно может быть разрывным вдоль главной
характеристики. Для выяснения этого вопроса в произвольной точке главной
характеристики вычислим
Нщ и(хЛ) — lim u(x,t) = /i(0) — v?(0).
(39.11)
При вычислении (39.11) использованы формула (39.10) и тот факт,
что волна f(x + at) на главной характеристике непрерывна, так как
ее линии уровня х + at = const пересекают прямую х — at = 0 (см.
рис. 43).
Таким образом, если физическая интерпретация задачи (39.1),
(39.2) допускает разрывные решения, то такой разрыв возможен
только на главной характеристике (39.11). Этот разрыв постоянен,
поскольку он обусловлен разностью граничного и начального
условий в точке, соответствующей началу координат.
В задачах, не допускающих разрывных решений (разрыва
струны в нашем случае), начальные и граничные условия </?(ж), fi(t) не
могут выбираться произвольно и должны быть согласованы
условием непрерывности в точке (0,0)
/i(0) = v(0),
(39.12)
которое, как показано выше, обеспечивает непрерывность решения
(39.10) на всей главной характеристике.
Перейдем к рассмотрению смешанной задачи с граничным
условием второго рода
их.(0Л) =v(t), t>0.
(39.13)
Решение задачи (39.1), (39.13) во многом повторяет решение задачи
(39.1), (39.2). Основное различие заключается в том, что функция
306
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
д(х — at) в данном случае должна определяться из условия (39.13),
а не из (39.2). Подставив (39.7) в (39.13),.получим уравнение
g'(-at) + f'(at) = i/(t),
которое после замены переменной t = —z/a примет вид
g'(z) + f'(-z) = v(-z/a)
дифференциального уравнения с общим интегралом
9(z)-f(-z)
-z/a
-a J'„,
(y)dy + Ci,
где С\ - произвольная постоянная. Отсюда с учетом (39.5) найдем
-z/a
*«> = 2
- / Ф(у)Лу+—\ -a / v
</>(-*) +г / ^М*/ +
о
{y)dy + d
или
at —х
g(x-at) = -\(p(at-x) + - / $(y)dy +--
о
-a | „,
<y)dy + Ci.
(39.14)
Сложив (39.14) и (39.5), получим выражение u(x,t) для х — at < 0
f-ar/a
и(ж,£) = -a / v(y)dy + -[v?(z + a£) + </?(<*£ - ж)]+
о
x+at at — x
о о
+ - + Ci. (39.15)
Окончательное решение второй краевой задачи (39.1), (39.13) имеет
39. Метод Даламбера для полупрямой
307
вид
u(x,t) = <
t-x/a
-a / v(y)dy + ~[(p(x + at) + v?(afc - s)]+
+
a?+at at-
Ф(У)<*У+ I Ф(у)<1у
+
+ — + Ci, x-at<0;
1 a
-fo(rc + a*)+ ¥>(«*-*)]+
.r+at
(39.16)
+
2a J
•ф(у)а*у, x — at > 0.
Для выяснения условия непрерывности решения (39.16) на
главной характеристике, как и для первой краевой задачи, вычислим
пределы lim u(x4t). В результате имеем
х — at-»-±0
lim u(x,t)
lim и(ж, t)
x —aC-t + 0
a
(39.17)
Таким образом, для физических задач, допускающих разрывные
решения, функция п(ж, t) (39.16) имеет скачок величиной C/a + Ci,
который не может быть найден из условий (39.1), (39.13).
Возникающая неопределенность может быть устранена в каждом конкретном
случае только с помощью дополнительных условий, вытекающих из
физической природы рассматриваемого процесса.
Например, требование непрерывности решений приводит к
условию
£ + с,=о.
a
Тогда решение задачи (39.1), (39.13) определено однозначно.
Структура формул (39.10), (39.16) имеет достаточно простое
объяснение. Поскольку волны, вызванные воздействием граничных
условий, также распространяются со скоростью а, то они могут
взаимодействовать только с падающими волнами в области II,
образуя отраженные волны и не изменяя прямые волны в области
I, вызванные начальными условиями. Это и объясняет отсутствие
функций /i(t), v(t) во вторых частях формул (39.10) и (39.16).
Более того, оказывается, что решение смешанной задачи с
краевыми условиями второго рода может быть сведено к решению
смешанной задачи со специальными граничными условиями первого
рода.
308
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Действительно, однозначное решение смешанной задачи с
краевыми условиями первого рода возможно при задании трех функций:
</?(ж), ф(х), ix(t) = u(0,t). По найденному решению можно
определить и «А(0, t) = u(t). Отсюда можно предположить, что
существует соотношение, связывающее все четыре функции: <р(х)у 'ф{х),
li(t) и u(t). Для нахождения этого соотношения
продифференцируем (39.10) по х и положим х = 0. В результате получим
v(t) = <p'(at) + -ip(at) - -fi'(t). (39.18)
a a
Аналогичное интегральное соотношение можно получить из
непрерывного (С/а + С\ =0) решения (39.16), положив в нем х = 0:
t at
/i(t) = -а / u(y)dy + <p(at) + i / f/>{y)dy. (39.19)
о о
Таким образом, решение смешанной задачи с краевым условием
tix(0,t) = u(t) (39.13) можно получить из решения смешанной
задачи с граничным условием первого рода
t at
u{0,t) = -a / u(y)dy + <p(at) + - / 4{y)dy.
о о
Легко проверить, что подстановка (39.19) в (39.10) дает
решение (39.16). Аналогичным способом решение смешанной задачи с
краевым условием третьего рода тоже может быть сведено к
решению смешанной задачи с краевым условием первого рода. Хотя
теоретически решение любой одномерной классической смешанной
задачи может быть сведено к решению смешанной задачи с
граничным условием первого рода, практически это не всегда оправдано.
Изложенный выше общий метод решения смешанных задач на
полубесконечной прямой, который иногда называют методом
падающей и отраженной волны, в некоторых частных случаях может
быть заменен более простым методом четного и нечетного
продолжения начальных условий.
39.2. Метод четного и нечетного продолжения
Рассмотрим смешанную задачу с однородным краевым
условием первого рода
iitt = а2мхх, х > 0, t > 0;
м(ж,0) = </?(ж), ut(x,0) =ф(х), x > 0; (39.20)
u(0, t) = 0, t > 0.
39. Метод Даламбера для полупрямой
309
Ее решение дается формулой (18.27) при /i(t) = 0.
Покажем, что решение задачи (39.20) может быть сведено к
решению задачи только с начальными условиями, т.е. задачи Коши.
Действительно, решение задачи Коши
utt = a"tia..*, —do < х < оо, t > 0;
(39.21)
и(ж,0) = Ф(ж), ut(x,0) = Ф(ж), -оо < х < оо,
где функции Ф(ж), Ф(ж) являются нечетными продолжениями
функций (р(х) и ф(х) на. всю ось Ож, в области ж > 0 совпадает с
решением задачи (39.20). Это объясняется тем, что решение задачи (39.21),
согласно формуле Даламбера
«(«. *) = «(«-">+*<« + «*) + -L JlM, (39.22)
a?—at
при х = 0 имеет вид
at
и(0,£) = — +^Г / *ЫЖ/
и обращается в нуль для нечетных функций Ф(ж) и Ф(ж).
Следовательно, граничные условия задачи (39.20) выполняются
автоматически.
Воспользуемся явным видом функций Ф(ж) и Ф(ж):
[ ] ~ I -?(-*), ^ < 0;
(39.23)
Подставив (39.23) в (39.22), придем к уже полученной форме
решения (39.10). В этом и заключается смысл метода нечетного
продолжения начальных условий для смешанной задачи (39.20). Легко
проверить, что все сказанное остается справедливым, если
граничное условие задается в точке хо ф. 0. Естественно, в этом случае
функции (р(х) и ф(х) нечетно продолжаются относительно точки
ж0.
Несомненным достоинством этого метода является простота и
наглядность графического построения решения u(x,t) как решения
задачи Коши.
Пример 39.1. Решить задачу с начальными условиями примера
37.1, считая струну полубесконечной с закрепленным левым краем.
Построить профили струны для tk = М/a, к = 0,1,..., 9.
310
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
Рис. 44
Решение. На плоскости хОи в области х >0, которую будем
называть физической, строим график реального первоначального
отклонения (см. рис. 44). В нефизической (фиктивной) области ж<0
строим график фиктивных первоначальных отклонений, являющийся
нечетным продолжением графика (р(х). Затем, как и в примере 37.1,
оба первоначальных отклонения с течением времени разбиваются
39, Метод Даламбера для полупрямой
311
'~ба
*5"6а
'" ба
1 /
ь У отраженная
/ волна /
/ *7 /
**\/ /
падающая^/
/ волна/ \.
Ос d
Рис. 45
*5
прямая
' волна
*7 /
X
на прямые и обратные волны. Прямая фиктивная волна,
взаимодействуя с обратной (падающей) реальной волной, образуют
реальную прямую (отраженную) волну в области х > 0. В результате в
физической области имеем две бегущие волны: прямую начальную
и прямую отраженную - с амплитудами противоположных знаков
(в противофазах). Рис. 45 наглядно иллюстрирует все сказанное.
Во избежание излишних построении в нефизической области х < 0
целесообразно построение только графика нечетным образом
продолженной падающей обратной волны.
Рассмотрим теперь задачу (39.1) с однородным краевым
условием второго рода wx(0, t) = 0. Ее решение задается формулой (39.16)
с v(t) = 0. Покажем, что ее решение также может быть получено
из решения задачи Коши (39.22), где функции Ф(ж) и Ф(ж)
являются четными продолжениями начальных условий (р(х), ф(х) на всю
ось Ох. Действительно, решение задачи (39.21) задается формулой
(39.22) и тогда,
М0, t) = *'{at) +2*#(-g*) + ±[*(at) - Щ-at)] = 0. (39.24)
Второе слагаемое этой суммы обращается в нуль в силу четности
функции Ф(ж), а первое - в силу нечетности (или равенства нулю)
производной от четной функции. Тем самым решение задачи
Коши в области х > 0 совпадает с решением второй краевой задачи,
поскольку граничные условия (39.24) выполняются автоматически.
Функции Ф(х) и Ф(ж) задаются формулами
>0,
<0;
х >0,
х < 0.
Подставив их в (39.22), приходим к уже полученной форме решения
(39.16). Естественно, что если граничное условие задается в точке
312
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
xq ф 0, то функции ip(x) и •ф(х) четно продолжаются относительно
ТОЧКИ Xq.
Графическое построение решения смешанной задачи для
граничных условий второго рода практически совпадает со схемой,
изложенной для граничных условий первого рода (см. предыдущий
пример) с той разницей, что продолжение начальных условий в
нефизическую область х < 0 проводится четным образом.
Пример 39.2. Найти закон колебаний полубесконечной струны,
вызванных начальными отклонениями и(я,0) = (poe~x и
начальными скоростями ut(x,0) = ^ocosojo;, если ее левый конец упруго,
с коэффициентом жесткости /г, закреплен в точке х = 0,
колеблющейся по закону A cos at. Исследовать решение в зависимости от
постоянных ^?о, *0о, Л, и/, /?..
Решение. Требуется найти непрерывное (струна) решение
смешанной задачи с краевыми условиями третьего рода
un = a2uxx, х > О, t > 0;
и(ж,0) = <poe-a\ ut(x,0) = фо cosujx; (39.25)
ux(Q,t) = h[a(0,t) - A cos at].
Рассмотрим область I: x — at > 0 (см. рис. 43).
В этой области справедлива формула Даламбера (37.2)
x+at
и(хЛ) =—[е 1 ' + е * х '\-\ / cosu;ydy, (39.26)
2 2a J
x—at
которую после интегрирования можно записать в виде суммы
прямой и обратной волн
u(x, t) = д(х - at) + f(x + at), (39.27)
где
д(х - at) = *±е-(*-«') _ j£l. nnw(x - at), (39.28)
2 2 a a;
/(ж + at) = £2.c-<*+«0 + ^- sinwj! + at). (39.29)
2 2aa?
Рассмотрим область II: x — at < 0 (см. рис. 43).
В этой области решение ищем в виде
м(ж, t) = gh(x - at) + f(x + at). (39.30)
Здесь f(x+at) - падающая волна, определенная (39.29), &дн(х—at) -
отраженная волна, подлежащая определению из граничного условия
(39.25).
39. Метод Даламбера для полупрямой
313
Подставив (39.30) в граничное условие, получим
дифференциальное уравнение (штрих означает производную по всему
аргументу)
9h(-at) ~ hgh(-at) =
= —(1 + h)e~at — — ( cos wat sin wat) — Ahcosat,
2 2a V w /
которое после замены переменной at = — 2, z < 0, примет вид
9h(*) ~ hgh(z) = F{z), (39.31)
где
F(z)= ^-(l + h)ez- p-(coswz+-smwz\ -Ahcos—. (39.32)
Уравнение (39.31) легко интегрируется:
gh(z) = C(z)eh\ (39.33)
где
C(z)= fe~hzF(z)dz. (39.34)
Отсюда с учетом (39.32) и (39.33) найдем явный вид профиля
отраженной волны
Ы«) = YT^Jle*" Ph{wz)" 4h (?z) + Сне>>г- (39,35)
Здесь Си - произвольная постоянная, а ph(wz) и qh(az/a) задаются
выражениями
Ph{wz) =
фо
qh{az/a) =
2a(h2 +w2) L a;
Aha
2 l2
w — h . Л.
sin a;2 — 2ft cos uz
(fta)2+a2
], (39.36)
a sin ha cos—z\ (39.37)
a a J
и, соответственно,
Sk{* - at) = JuQiL^e—* - ph(o(x - at))-
-qh(^(x-at))+Cheh{*-at).
(39.38)
Произвольная постоянная Сь находится из условия непрерывности
волн д(х — at) и дн(х — at) на главной характеристике х — at = 0.
Согласно (39.38) и (39.28), имеем
11+^ - р„(0) - Ы0) + С = Ц- (39.39)
314
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
и, следовательно,
Сн = -YITh +р"(°) + «*(°)' (39-40)
При h = 1 решение уравнения (39.31) имеет вид
gi (х - at) = (х — at)<pQex~at — р\(ш[х — at]) —
-qi(a[x - at]/a) + Ciex~at, (39.41)
где p\(b)z), qi(az/a) определяются формулами (39.36), (39.37) при
h= 1, а
d = ^+Pl(0) + gk(0). (39.42)
При h = oo граничное условие (39.25) преобразуется в граничное
условие первого рода
м(ж,0) = A cos at,
а дифференциальное уравнение (39.31) — в алгебраическое
-*»(*) = у* - — smu,z-Acos-z.
Отсюда
Уоо(ж -at) =
= -^-ex-at - -^- sinwfa; - at) + A cos -(ж - at) (39.43)
2 2aa; a
с условием непрерывности на главной характеристике
V?o = A. (39.44)
Таким образом, непрерывное решение задачи (39.25) имеет вид
/ хч / 9h(x-at) + f(x + at), ж-а£<0;
шж,с) = < v у ч (39.45)
v ' \ g(x-at) +f(x + at), x - at > О,
где </(ж — at), f(x + at) определены формулами (39.28), (39.29), а
дь(х — at), в зависимости от h, формулами (39.38), (39.41), (39.43).
Соотношения между частотами а и о;, амплитудами щ, фо, А
влияют на характер решения (39.45). Не проводя полного
исследования, отметим некоторые частные случаи.
1. (pQ = ф0 = 0. Процесс колебаний струны определяется только
граничными условиями. В этом случае u(x,t) имеет вид
И(М = {£(.-*). :-а;<0; (39.46)
поскольку д(х — at) = f(x -f at) = 0.
39. Метод Даламбера для полупрямой 315
а) h = 0, что соответствует граничному условию ttx(0, t) = 0.
Согласно (39.3б)-(39.38), дь(х — at) = 0, u(x,t) = 0, что вполне
естественно, поскольку к нулевым начальным условиям
добавляется нулевое граничное условие.
б) h = oo, граничное условие первого рода м(0,fc) = Acosat,
д<х(х — at) = Acos —(x — at),
а
Этот случай примечателен тем, что существует отличное от
нуля решение, имеющее на главной характеристике разрыв,
равный А. Условие неразрывности (39.44) приводит к А = </?о = 0,
что дает непрерывное, но равное нулю решение м(ж, t) = 0.
в) 0 < h < oo, граничные условия общего вида
ux(0,t) = h[u(0,t) - A cos at].
Поскольку при </?о = *0о = 0 функция д\(х — at) представляет
собой частный случай дн(х — at), то для всех h, включая h = 1,
согласно (39.38), (39.41), решение u(x,t) имеет вид
A(haf Г а
(har-+a*[COSa{x-at)-
« dn^(*-at)-eb<—'M, x-at<0; (39-47)
ha a J
0, х - at > 0,
и процесс колебаний струны сводится фактически к
распространению граничных условий вдоль нее. Соответствующие
графики при частных значениях А = 1,25, /i = 2, a = l, a = l для
моментов времени t = 0,1,3, 5,10 приведены на рис. 46.
Как следует из< (39.47), если точка упругого закрепления не
колеблется (а = 0), а зафиксирована на расстоянии А от оси
u(x,t) =
316
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
А
4
А
А
А
^ = 10
^Ч t=8
Л«
^N <=4
N t=2
2a
Aa 6a
Рис. 47
8a
10a X
Ox, то (39.47) упрощается до формулы
u(x,t)
f A[l-e"<
x~at)l x-at<0;
x - at > 0,
которая графически изображена на рис. 47 для моментов
времени t = 2, 4, б, 8, 10 при h = 1, А = 1.
Наконец, при А = 0 граничное условие вырождается в
однородное ux(Q, t) — hu(0,t) = 0, что в совокупности с нулевыми
начальными условиями позволяет предполагать u(x,t) = 0, что
и следует из (39.47).
2. </?о Ф- 0, фо = 0. Процесс колебаний определяется только
начальными отклонениями и граничными условиями.
a) h = 0, u*(0,fc) = 0, левый конец свободен. Согласно (39.28),
(39.29), (39.38), решение выражается функцией
u(x,t) =
^[e*-fl4e-('+flt)]
х - at < 0;
2
20 ж
39. Метод Даламбера для полупрямой
317
график которой при </?о = 2, А = 1 для моментов времени t =
0,1, 5,10,15 при а = 1 изображен на рис. 48.
б) h = оо, u(0,t) = -Acosafc, левый конец движется по заданному
закону. Согласно (39.28), (39.29) и условию сопряжения А = <ро.
получим решение
il(x, t)
( M2co8?4*-at)-
I 2 L a
-ex~at + e-<*+et>
ж - at < 0;
^[е-<*-л<>+е-<*+*'>], ж-а£>0,
график которого при А = </?о = 2, а = 1 для моментов времени
£ = 0,2,5,10 изображен на рис. 49.
2 4 6
Рис. 49
8 . 10 12 14 ж
в) 0 < h < 1, 1 < h < оо, граничные условия общего вида
ux(0,t) = h[u(0,t) - A cos at].
Тогда получим решение
и(хЛ) = <
V>o
2(1-Л)
A{haf
[(l + b)e—ee-2beh(r-et)]+
+
cos — (х — at) —
а
(/ia)2+a2
ha a J
WO -(*+«*)
+ 2
V?0 r -(A._at) , -(*+«'h
'[e
+ e
x - at < 0;
ж - at > 0,
график которого при Л = 1,25, </?о = 2, h = 2, a = a = 1 для
моментов времени £ = 0,2, 5,10 изображен на рис. 50.
318
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Дальнейшее исследование для случая h = 1, а также для случая
фо ^ 0 принципиально не отличается от изложенного выше и может
быть проведено самостоятельно.
Пример 39.3. Профиль полу бесконечной струны в начальный
момент времени задается формулой п(ж,0) = e~xs\nux. Найти закон
колебания струны, если ее левый конец х = 0 движется по закону
u(0,t) = ipoe~at smwat.
Решение. Имеем смешанную задачу с неоднородным краевым
условием первого рода
titt = a'Ujcxi ж > 0, t > 0;
и(ж,0) = e~x sinwjn, ut(x,0) = 0i
n(0, t) = (poe~at sin wat.
(39.48)
Условие сопряжения u(x^)\x=q = ti(0,t)\t=o = 0 выполняется. Для
x — at > 0 решение il(x. t) находится по формуле Даламбера
u{x,t) = i[e-(*-aty sinews - at) + e"(r+et) smu>{x + at)]. (39.49)
L
Для x — at < 0 решение ti(ar, fc) ищем в виде
u{x, t) = g(x - at) + _e~(*~et) sin w(x + at). (39.50)
Подставив (39.50) в граничное условие (39.48), получим
д(—at) + -e~a*sina;at = (poe~at smwat,
g(—at) = I (po — -J e~at sin wat
откуда
39. Метод Даламбера для полупрямой
319
и, следовательно,
д(х - at) = (- - (pQ)ex~at sinu;(:n - at). (39.51)
Таким образом,
u(xnt) :
-(l-2(po)c* atsmu)(x-at) +
2 ^
_l_ _e-(*+«0 sinш(х + at), x - at < 0;
ie-(*"et,8inw(a:-at) +
I 2 i
[ + -e~(*+et,sinci>(a; + at), ж - at > 0.
(39.52)
Как следует из (39.52), граничные условия могут существенно
корректировать фазу и амплитуду отраженной волны, вплоть до
полного поглощения падающей волны при ^о = 1/2. Вывод достаточно
очевиден, если обратиться к формулам (39.8), (39.14),
описывающим отраженные волны с различными граничными условиями.
Пример 39.4. По упругому полу бесконечному стержню при t < 0
распространяется волна деформации
u(x,t) = J q"
sina;(x + at), x > — at:
0 < x < -at,
t <0,
(39.53)
бегущая влево со скоростью a > 0. Левый конец стержня упруго
закреплен с коэффициентом жесткости h. Найти и(хЛ) для t > 0.
Решение. Имеем краевую задачу
uu - a2utx, x > 0, t > 0; (39.54)
и(я,0) = sinwa;, nt(x,0) = awcoswXi x > 0;
ti*(0, t) - hti(0, t) = 0, h > 0, * > 0.
При ж > at, согласно формуле Даламбера, имеем
и(я,£) = -[sinu;(:n — at) + sinu;(:n + at)]+
X+flt
+
2a /
aw cos u>2 dz = sin w(x + at).
(39.55)
При ж < at функцию w(:c,t) ищем в виде
м(ж, t) = д(х — at) + sin о;(ж + at).
(39.56)
320
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Подставив (39.56) в граничное условие и проинтегрировав
полученное уравнение, найдем
д(х - at) =
— [2 hw cos w (ж — at)
h2+u;2
-(a;2 - hr)smu>(x - at)] + Cieh{x~at).
Из условия непрерывности <;(0) = 0 определим произвольную
постоянную С\
с1 = -121ш
откуда
tl{x,t) = <
h? + a;2 1
,0 * 0{2/ifa>[cosfa>(a; - at) - efc(—ee,l-
/i2 + ш2 L v ' J
—(a/2 — h2) sin w(x — at)}+
+ sin о;(ж + at), x < at;
( sina;(:c + at), ж > at. .
При /г = 0, tix.(0, t) = 0 (свободном левом торце) имеем
-sinu;(:n — at) + sin a;(я + at), ж < at;
ж > at.
При h = оо, м(0, t) = 0 (закрепленном левом торце) получим
sin ш(х — at) + sinoj(sc + at), ж < at;
ж > at.
(39.57)
f -sinwfa; — at
( sin u>(x + at),
/г = oo, u(0, t) = 0 (закрег
f sinw(a; — at) -|
[ sin a;(я -|- at),
(39.58)
(39.59)
Как следует из (39.58), (39.59), изменение граничных условий
меняет фазу отраженной волны на противоположную.
Пример 39.5. Плоский источник малых возмущений движется
равномерно с дозвуковой скоростью вдоль цилиндрической
неограниченной трубки с газом. Считая, что возмущение давления в том
месте, где находится в момент времени t > 0 источник, является
известной функцией времени, найти колебания газа слева и справа
от источника, если в начальный момент времени газ был в
невозмущенном состоянии, а источник находился в точке ж = 0.
Решение. Используя обозначения, принятые в разд. «Уравнения
гидродинамики и акустики», в лагранжевых координатах имеем
смешанную задачу
titt = a~uxx,
—оо < ж < vot, vot < ж < оо, t > 0:
39. Метод Даламбера для полупрямой
321
u(x,0)=0, ut(x,0)=Ob -оо < х < 0, 0 < х < v0t;
u(x,t) = u2(x,t), -оо < х < vQt; (39.60)
u(x,t) = tii (xbt), vot < x < oo;
Ulx(Vot,t) = U2x(VQt,t) = -p(t)/(ypo),
где vq < a - скорость движения источника с заданным возмущением
P(t).
Пусть х > at. По формуле Даламбера в силу нулевых начальных
условий имеем tii(x,t) = 0, так как g(x — at) = f(x + at) = 0. При
vot < х < at решение ищем в виде м(ж, t) = р(ж — at). Из граничных
условий (39.60) имеем
д (vot-at) = -^l. (39.61)
7Ро
Замена переменной (a — vo)t = —z, z < 0 приводит (39.61) к
уравнению
e'(,) = -J-,(—*_)
7Ро \ a — vq )
с общим решением
«<*>~£/'(-;гН>-
у \ a — vq / \ a — vo/
a — vo
7Po
-2/(a-t»0)
7Po
9W = £7I2i / *(«/№/ + <?. (39-62)
0
где С - произвольная постоянная. Тогда
(at-x)l(a-vo)
)
7Ро
р(ж - at) = ^ ° / p(y)dy + С.
Условие сопряжения д(0) = 0 на характеристике х — at = 0 дает
С = 0. Таким образом, для ж > vot функция u\(x^t) запишется в
виде
iii{x,t) = <
{at-x)/{a-v0)
<L^L J P(y)dy, vot<x<at; (3g 63)
0
^ 0, x > at.
322
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Аналогично
(at+x)/(a+i>0)
Il2(x,t) ■
/ P(y)dy, -at < x < v0t;
7Po
0, x < -at.
(39.64)
Если возмущение p(t) представляет собой колебания с частотой о;,
например p(t) = Acosut, то формулы (39.63), (39.64) принимают
вид
Asm
tii(*,*)=< УРоШ
и 1
(at — х) , vo^ < ж < at;
a - vo J
0, x > at.
(„+\-J ~~——Asin " (x + at)\,
—at < x < vofc;
ж < —at.
Таким образом, наблюдатель, навстречу которому движется
источник, регистрирует частоту u>i = aa;/(a — vo), большую, чем частота
источника о;. Соответственно, наблюдатель, от которого источник
удаляется, регистрирует частоту u>o = aa;/(a + vo), меньшую
частоты источника ш (эффект Допплера).
40. Начально-краевые задачи для
одномерного неоднородного
волнового уравнения
40.1. Задача Коти
Рассмотрим колебания бесконечной струны, когда на нее
действует внешняя сила, характеризуемая величиной F(x,t) -
силой, отнесенной к единице массы,
utt - a2uxx = F(x,t), -оо < х < оо, t > 0;
(40.1)
u(x, 0) = (р(х)9 щ{х, 0) = ф(х).
Уравнение (40.1) - неоднородное волновое уравнение.
Так же как и для однородного уравнения (37.1),
соотношениями (37.4) введем новые переменные т] и £. Тогда уравнение
(40.1) примет вид (37.5)
d~U \*(Ч,0, (40.2)
д^дг) 4а2
40. Задачи для неоднородного волнового уравнения
323
о
II
г), a
x+at=0
Рис. 51
где F(r),£) - функция F(x,y), записанная в переменных 77, £.
Если в переменных x,t решение задачи (40.1) следует
искать в области 0 < ж < оо, t >0 (верхняя полуплоскость xOt)
с начальными условиями, заданными на прямой t = 0, то в
переменных 77, £ — в области —ос <т) + £<оо(х = (г) + £)/2),
<^ — 77>0(^= (^ — rj)/2a) с «начальными условиями»,
заданными на прямой £ — т/ = 0 (рис. 51).
Для нахождения общего решения перепишем
дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных
(40.2) в виде системы двух уравнений первого порядка [см.
также (9.7)]
dZ(r,,j)
От)
ди(т),£)
1
dt
4а?
F(V,(),
(40.3)
(40.4)
Интегрирование уравнения (40.3) по г] при условии £ = const
дает
ч
z(v, О = / (- £2)р{а' t)da + р(^' (40-5)
а интегрирование (40.4) по £ при условии т\ — const
соответственно
u(i7,0 = Jz(rj,e)dp + q(rj), (40.6)
324
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
где р(£)- q(4l) ~ произвольные функции переменных £, rj.
Подстановка (40.5) в (40.6) дает общее решение в виде
Г ''
или
* - О
^'0 = "4b/[/^(a^H^ + /P(^W + 9(77)' (40'7)
»; & г)
Два последних слагаемых в (40.7) можно представить
суммой двух новых произвольных функций д(т}) и /(£)• Если при
этом во внешнем интеграле (40.7) поменять порядок
интегрирования, а само решение рассматривать как решение в точке
М(г),£) с координатами г;, £, то общее решение (40.7) примет
вид
и(7л0=4^/[/^К/3)Н
«0+ 0fo) +/(0, (40.8)
£ Э
где интегрирование ведется по области
г; < a < /3 < <£,
(40.9)
которая соответствует треугольнику МАЕ на рис. 51. С
учетом этого решение (40.8) можно представить двойным
интегралом вида
U(7?'0=4^ И F(<*>P)d<*dP + 9(v) + №- (40.10)
АМАВ
Возвратившись к старым переменным, с учетом
Р(т,,0 = D(a,0) =
1 -о
1 a
= 2a
и F(a,f3) = F(y,r) имеем
u(M)=2^ /7 F(»,T)dTd» + sr(a;-a<) + /(a!+a<). (40.11)
ЛМЛВ
40. Задачи для неоднородного волнового уравнения
325
Для вычисления двойного интеграла запишем уравнения
прямых МА и MB в координатах т, у как уравнения прямых с
угловыми коэффициентами ±1/а, проходящих через заданную
точку M(t,x):
r-t= -(г/-ж),
r-t = --(у-х),
откуда
у = x-a(t-T),
у = x + a(t -r).
(40.12)
Двойной интеграл в формуле (40.11) запишем как повторный,
в котором внешний интеграл вычисляется по переменной т.
Тогда
t x+a(t-r)
"0М)=2^ Idr j F(y,r)dy + g(x-at)+f(x + at). (40.13)
0 x-a(t-T)
Произвольные функции g, f определим из начальных
условий (40.1). Продифференцировав (40.13) по t с учетом правила
дифференцирования определенных интегралов с переменным
верхним пределом
7(0
jtJf(y,t)dv =
0(0
7(0
= / ^(y,«)dy + y(0/(7W,<)-^W/W<).*). (40.14)
*(t)
найдем
ut(x,t) = f -[F{x + a(t - t),t) + F{x - a(t - т),т)]<1т-
o
-ag'{x - at) + af'(x + at). (40.15)
326
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Подставив (40.13), (40.15) в начальные условия (40.1),
получим систему
g(x) + f(x) = <p{x).
*[Г(х)-</(*)] = Ф(х),
полностью совпадающую с системой, полученной при
решении однородной задачи (37.1), и дающую решение,
описываемое формулой Даламбера (37.2)
x+at
1 1 Г
g{x-at) + f(x + at) = -[(p(x-at) + (p(x + at)]+- / i>(y)dy.
x — at
Таким образом, окончательное решение неоднородной задачи
(40.1) можно записать в виде
t x+a(t-r) x+at
u(x, t) = -^-jdr j F{y, r)dy + i- J i>{y)dy+
0 x-a{t-T) x-at
+ -[<p(x +at) + <p(x - at)]. (40.16)
Из формулы (40.16) очевидно, что решением задачи Ко-
ши для неоднородного волнового уравнения с однородными
начальными условиями, т.е. задачи
utt - a2uXT — F(x. t),
(40.17)
гь(ж,0) = щ(х,0) = 0,
является функция
t x+a{t-r)
й(хЛ) = ^fdr J F(y,r)dy. (40.18)
0 x-a(t-r)
Покажем, что эту формулу можно получить из решения
(38.2) задачи Коши для однородного уравнения (38.1) с
помощью полезного в дальнейшем приема, называемого
«принципом Дюаме*чя».
40. Задачи для неоднородного волнового уравнения
327
Утверждение 40.1 (принцип Дюамеля). Решение задачи
(40.17) можно представить в виде
t
*)= jv(x,t,T)dT, (40.19)
о
где функция v(x,t,r) является решением следующей задачи:
vtt - а2ихх = 0,
(40.20)
v\t=T = 0. vt\t=r = F(x,r).
Действительно, согласно формуле Даламбера (37.2),
решение задачи (40.20) имеет вид
x+a(t-r)
Ч*М=± J F(y,r)dy. (40.21)
х — a(t — t)
Подстановка (40.21) в (40.19) дает (40.18), что и доказывает
справедливость утверждения. Кроме того, в справедливости
утверждения можно убедиться непосредственной проверкой.
Для этого производные функции u(x,t) (40.18), согласно
соотношению (40.14), запишем в виде
t
ди а ,
at
о
&
at
= Та [ dT^(Ж + а(* " Г)'Г) + F^X " а(* " Г)' Г)^;
о
t
j = F(x, t) + lfdr j^[F(z + a(t - r), r) -
о
F(x-a(t-T),r)};
t
= Та IdT [F{X + а(< " Г),Г) " F{X " ^ " Г)'Г)];
о
= ^£J'dT[F(z + a(t-T),T)-F(z-a(t-T),T)].
du 1
dx
о
d\i Id'
dx
о
328
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Поставив d2u/dt2 и д2и/дх2 в (40.17), получим тождество
0 = 0, т.е. и(хЛ) (40.18) - решение неоднородного волнового
уравнения.
О В заключение отметим, что решение (40.17) однозначно
определено начальными условиями и является устойчивым.
Действительно, пусть щ(хщЬ) и uo(x<t) - два решения задачи (40.1) с
различными начальными условиями
ui(x<0) = (pi(x)< uit(x^O) = ф\(х);
г*о(ж,0) = </?о(ж), и-2*(ж,0) = -02(ж),
отличающиеся друг от друга меньше чем на 8:
\<Pi(v)-<P*(x)\<S, \ф1(х)-ф2{х)\<6, xeR. (40.22)
Тогда для любого е и промежутка [0,Т] можно указать такое 8,
что \ui(x,t) — u2(x,t)\ < е для х 6 R, t 6 [0,Т], как только |v?i(:n) —
4>2(х)\ < 8 и \tl>i(x) — *02(ж)| < 8. Для нахождения 8 рассмотрим
неравенство
\щ(хЛ) -%i2(x,t)\ < -\(fi(x -at) -(p2(x -at)\ +
+ т\ч>Ах + <**) -<P2(x + at)\ +
x+at
1 /* 8 8 1
+ ^ / |t/4(y)-V-->(!/)My< -+- + —2a<Jt =
a--at
откуда 8 = e/(l + T). Здесь мы воспользовались соотношением
(40.22). Другими словами, решение (40.17) непрерывно зависит от
начальных условий:
lim [tii(ж,t) — «а(ж,*)] = 0, ж€К. te[0,T\.
«rl-»-V2
Пример 40.1. Найти закон колебании бесконечной струны под
действием внешней силы F(x,t) = Ae~at coswx (a ^ 0).
Решение. Согласно условию задачи, решение имеет вид
t x+a{t-r)
u(x,t) = — I dr I Ae~ar cos ivydy,
0 x-a\t-r)
40. Задачи для неоднородного волнового уравнения
329
откуда
t
А Г
u(x,t) = —coswa; / e ar sinwa(t — r)dr
w J
и окончательно получим
ч i4cosu;:n Г _Q* a . 1 ,ЛП ЛЛЧ
u(x,t) = —г-т — е + - sin u;t - cos a;* . (40.23)
a(a- -h a;-) L a; J
При a = 0 это дает
при ш = 0
и(ж, t) = -— 1 - cos wt\,
40.2. Смешанная задача для полупрямой
Рассмотрим колебания полу бесконечной струны, вызванные
первоначальными отклонениями ^(ж), первоначальными скоростями
ф(х) и внешней силой F(x,t)n если левый конец струны х — 0
колеблется по заданному закону ц(Ь).
Математическая постановка сводится к смешанной задаче с
краевыми условиями первого рода:
utt — a2uxx = .Р(ж, £), х > 0, t > 0;
«(*,()) = ¥>(*), t*e(;c,0)=tf(n:), * >0; (40.24)
u(0,t)=/i(t), *>0.
Решение задачи (40.24) будем искать в виде
u(x, t) = v(x, t) + й(ж, t), (40.25)
где функция и(ж, t) — решение задачи (39.1), (39.2), а й(ж, t) —
частное решение неоднородного уравнения (40.24) с нулевыми начально-
краевыми условиями.
Как было показано выше, функция v(x, t) задается формулой
(39.10) и имеет различные виды в областях х — at > 0 под главной
характеристикой и х — at < 0 над ней (рис. 52).
Естественно, что частное решение й(ж,£) в точке M(x,t)
также будет зависеть от того, какой области принадлежит эта точка
M(x,t) (см. рис. 52).
330
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
x-at = Q
В Х,У
Если точка М(хЛ) принадлежит области I: х — at > 0, то
решение записывается в виде
t x-a(t + r)
"(*,*) = Ya if F(y<T)drdy =h IdT I F(y>T)dy
ЛЛ/ЛВ 0 x-a(t-r)
и совпадает с формулой (40.18).
Если точка M(x,t) принадлежит области II: х — at < 0, то
t x—a(t+r)
й(х, t) = ^ И F(y, r)dr dy=-±- j dr J F(y< r)dy.
OIMO'A'B 0 \x-a(t-r)\
Таким образом, решение задачи (40.24) имеет вид
at+x
u(x,t) = <
М (' " а ) + \ №Х + at) " ^at " Х)] + h i^y)dy+
at—r
г x+a(t-r)
+ 2а / dT \ Р^Уч Т^У' Ж " at < °'
0 |x_a(t_T)|
at + x
±[<р(х + at) + <p(at - х)] + ^ / ${y)dy+
r+a{t-r)
2а У
•Р(у> f)dy, х - at > 0.
x-n(t-r)
(40.26)
41. Метод Даламбера для конечного отрезка
331
Естественно, что при F(x, t) = О эта формула совпадает с формулой
(39.10).
Аналогичным образом можно решать краевые задачи других
типов, а также задачи для конечного отрезка.
41. Смешанная задача для одномерного
однородного волнового уравнения
на конечном отрезке. Метод Даламбера
Рассмотренный выше метод Даламбера для полу бесконечной
прямой можно применить и для конечного отрезка. Начнем со
смешанной задачи с краевыми условиями первого рода
wee = a~u£X) 0 < х < Z, t > 0;
и(х. 0) = <р(х), ut{x, 0) = ф(х); (41.1)
u(0,t)=/ii(*), ti(U) = M0-
Сама постановка задачи говорит о том, что необходимо найти
решение в полуполосе 0<ж</,£>0на фазовой плоскости xOt. Для
удобства разобьем эту полуполосу правыми и левыми
характеристиками (рис. 53)
I х , I
(к- 1)- < t < к-, к = 0,оо,
I a x a ai (41.2)
m- < t H—<(m + l)-, m = 0,oo.
a a a
Бели полосы, образованные правыми характеристиками,
занумеровать числом А;, а левыми - числом т, то вся рассматриваемая
область решений разобьется на подобласти, являющиеся
пересечениями пронумерованных полос. Каждая подобласть однозначно
определяется парой чисел (т,к). Решение в этих подобластях обозначим
через u(x,t) = umk(x,t).
Как следует из рис. 53, из всех подобластей выделяется
треугольник, характеризуемый числами m = 0, к = 0, в котором
искомое решение задачи должно удовлетворять только начальным
условиям. Таким образом, решение в этой области определяется
формулой Даламбера (37.2)
в,оОМ) = ^[<р(х - at) + ф + at)] +~ J j>(z)dz. (41.3)
Если решения уравнения (41.3) представить прямой Go (ж — at)
и обратной Fq(x 4- at) волнами
и0,о(ж, t) = F0(x + at) + G0(x - at), (41.4)
332
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
F3(x+at) 4[
\1п = о a
\
F2(x+at) \
\m-2 3Z.
\
F^x+at) \
Чт = 1 Ч
\ 2Z.
F0(s+a<) \ a
Чт=0 Ч
\ \
\ !
\ °
\
t
(1Л>
ФД)
v1'1^
(0,Ф
Ф,0)
/(0,0) \|
G3(z-a<)
Jfc=3 /
/
/ G2(x-at)
/ k=2 /
/
/ t_iGi(J!-o')
/ /
/ /
/ Go(x—at)
/ /
/ k=o /
/ /
/
/
0 I
Рис. 53
то тогда
F0(x + at) = ^<p(x + at) + ^-Ф(ж + at), (41.5)
Gq(x - at) = ^<p(x - at) - ~Ф(ж - at), (41.6)
где Ф(ж) - первообразная функции ф(х).
Теперь найденные функции Fo(x + at) и Go (ж — at) можно
рассматривать как базис для построения решения в других областях
так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям.
Представим решение в области (0,1) в виде
wo,i(ж, t) = F0(x + at) + Gx(x- at) (41.7)
и определим Gi (ж, t) так, чтобы uo.i (ж, t) удовлетворяла левому
граничному условию
ио,1(ж,*)|,=0 =/ii(0- (41-8)
Подставив (41.7) в (41.8), найдем
Gi(x - at) = /ii (t - -\ - F0{at - ж). (41.9)
Аналогично, представив решение в области (1,0) в виде
и1,о(ж,£) = Fi(x+at)+G0(x-at) (41.10)
41. Метод Даламбера для конечного отрезка
333
и подчинив его правому граничному условию
t*i,o(a:,t)U=« = /i2(t), (41.11)
получим
Fx(x+at) =fio(t- ^—) -G0(2l-x-at). (41.12)
Для непрерывных решений условия сопряжения
Gi(x — at)\x~at=o = Gq(x — at)\x~at=o
и
Fx(x + at)\x+at=i = Fq(x + at)|*+at=/
дают естественное соотношение
/i(0) = V(0), /ia(Z)=V(Z). (41.13)
Тогда решение в области (1,1) запишется как
t*i,i (ж, t) = Fx{x + at) + Gi(n: - at),
где Fi(2; + at) и (xi(:n — at) задаются соответственно формулами
(41.12) и (41.9).
Аналогично решение в произвольной области (т, к) можно
записать
tim,ft (ж, t) = Fm(x + at) + <3*(ж - at). (41.14)
Действуя так же, как при нахождении F\(x + at) nGifi- at),
получим рекуррентные соотношения
Gfc(*)=/i,(--)-Fft-i(-*),
> "y_Zx (41.15)
Л»(«) = /j3 { - — J - Fm_! (2Z - 2),
с учетом которых можно выписать явный вид Fm(x+at) и Gu(x—at).
Для нечетных к = 2к — 1, к = 1, оо
G2jb_i(a-at) = ^/ii^t- Г)-
r=0
fc-2
-£"»('" * + *<* + 2r)) - F0(at - * - 2Z[E - 1]); (41.16)
для четных fc = 2k, к = 1, оо
G„(«-at) = £№(t-£±i2l)
334
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
1с — 1
_^ft2(t-a: + ^+2r))-Go(2ffc-ot + Z). (41.17)
г=0
Для нечетных га = 2т — 1, га = 1, оо
Л»-1
г=0
_ £ Ml (t + *-2y+r>) - G0(2Zm - at - *);
r=0
для четных 77г = 2га. га = 1, оо
т-1
сай,(.+«*)=х:^(*+х"(1+2г))"
r=0
- ^ ^1 (Ь + Ж"2/(1 +Г)) - *o(at + ж - 2Zm). (41.19)
r=0
Формулы (41.14) и (41.16)-(41.19) дают полное решение первой
краевой задачи и, несмотря на свою громоздкость, имеют простой
физический смысл. Так, например, величина ц\([аЬ — х — 21г]/а) при
г = О представляет собой волну, возбуждаемую левым граничным
условием при х = 0. Следующие слагаемые при г = 1,2,...
представляют собой последовательные отражения этой волны от как бы
закрепленного края х = 0. Слагаемые /ii([a£ + х — 21(1 + г)]/а), в
свою очередь, описывают отражение этой волны от как бы
закрепленного края х = I. Аналогично интерпретируются и остальные
слагаемые.
Таким же образом решаются смешанные задачи с граничными
условиями второго и третьего рода. Возникающие в этих
случаях рекуррентные соотношения, аналогичные (41.15), представляют
собой уже дифференциальные уравнения. Поскольку эти
уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями
первого порядка, то они легко интегрируются. Возникающие
произвольные постоянные находятся из условий сопряжения на
характеристиках х — at = 0 и х + at = 0.
Естественно, что громоздкость записи полученных решений
затрудняет их практическое использование. Тем не менее, метод Да-
ламбера позволяет преодолевать некоторые трудности,
возникающие при решении смешанных задач методом Фурье.
Пример 41.1. Найти закон колебаний ограниченной струны,
левый конец которой х = 0 колеблется по закону Asmwt, а правый
х = I закреплен. Для моментов времени £, = iZ/a, % = 0,4 построить
профиль струны, положив u>i = 37ra/2Z, u>o = 27ra/Z.
(41.18)
41. Метод Даламбера для конечного отрезка
335
Решение. Согласно условию, имеем краевую задачу
utt = а~иХГп О < ж < Z, t > О,
и(ж,0) = «*(ж,0) = 0, а(0,г) = Л sin art, u(Z, г) = 0.
Поскольку условие сопряжения w(0,0) = 0 выполняется, то
непрерывное решение, согласно (41.14), записывается в виде
"т,*(ж, t) = Fm(x + at) + Gk(x- at).
где Fm, С?д. определены соотношениями
fc-i
^ , .ч ,V^ • / x + 2lr\
(*2к-1\х — at) = А ) sinw t 1,
r=0
*-i
^ / ч * V^ • Л ж + 2Zr \
Gojk (ж — at) = — A y. sm w\t-\ 1,
r=0
m-2
ftm-i (ж + at) = A ^ smu(t + *~ 2Z(1+rM , (41.20)
r=0
^ / v /v^ • / ж-2Z(l + r)\
G2m{x + at) = -Л > sinuMt + *—-—-J.
Для построения профиля струны в моменты времени г,- выпишем
явный вид решений и;,; (ж, г,) (см. рис. 53)
ио.о(ж,г0) = 0,
«1 д (ж, t\) = A sin w (t\ 1.
ч \( • / Х\ • / Х ~21\\
ио,о(ж,со) = Л у sin о; I го J — smun го Н ] >,
Щ,з (ж, гз) = Л< sinuH гз ) + sinuMt3 J - (41.21)
-sinu>U3 H J j,
. Г • / x\ • Л ж + 2/\
M4,i (ж, t4) = Л < sm a; I r.i ) + sin w I r4 ] —
. / ж-2/\ . / ж-4/4^
— sm w I Г4 H I — sin ш I r4 H I >.
Положив в (41.21) г* = il/a, получим выражения, описывающие
профили струны в указанные моменты времени
Го = 0, «о,о(ж,0) = 0,
' ( l\ A ' 1~Х
t\ = - tii 1 I ж, — I = Л sin a; ,
a \ a/ a
336
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
21
) —
<
31-х
+ sin ш -
1-х
21 ( 21\ Л( . 21-х . х}
to =— W2,2l#,— = -A<sinu; sin a;—>,
a \ a/ I a a)
h = — W3.3 k, — 1 = A< s
— sin w >,
a J
t4 = — U4.4 (Ж, — 1 = A<
41 - x . 21 - x
sin a; —; \- sin w
21 + ж
- sin a; sin
a J
или после упрощении
uo,o(:n,0) = 0,
tii i I ж, -) = A sin a; ,
\ a
a
Z Z — x
2 A cos a; sin a; ,
a a
31 — x x
sin a; cos w
a a
«3,3 (*,|)
/ Z 3Z\ . x
— I 2 cos a;—h cos a;— sina;-
\ a a J a
21 I . Z-ж
4 Л cos a; — cos a; — sin w .
a a a
Для частот w = Зтга/(21) (41.22) записываются как
ПО,о(ж,0) = U2,2 (ж, —J = U4,4 f Ж, —J = О,
/ l\ t 31 \ A Зтгж
ttl4*' a J = -^V^rJ = ~ACOS 1Г
и изображены на рис. 54.
(41.22)
avz
"^ /
\ /
A
„ ui,i(x,//a)
2/ // x
3 /
•
У
^з,з(2,3//а)
Рис. 54
41. Метод Даламбера для конечного отрезка
337
4А
2 А
-2 А
ЛА-
ЪА*) 1^4,4(^4/%
из,з(#,3//а)/,..
^2,2^/2//а>^;.'..
<@L wo,o(0)
Рис. 55
Для частот w = 27ra/Z (41.22) принимают вид
Зпх
1-Т'
ио.о(ж,0) = 0, tii.i ( ж, - J = — A sir
wo,2 (ж, —J = 2щ,1 (ж, -J,
гх3,з (ж, —J = Зщд (ж,-J, и4,Лж,— J = 4щЛж,-1
и изображены на рис. 55.
В последнем случае амплитуда колебаний линейно возрастает с
течением времени, т.е. возникает явление резонанса. Как следует из
формул (41.22), это явление возникает для всех частот о;, кратных
величине 7ra/Z, которые являются собственными частотами
ограниченной струны длиной I (см. разд. «Задача Штурма-Л иу вилл я»). В
этом случае решение задачи приемлемо только для моментов
времени t < Z/a, т.е. в области (0,0), так как само волновое уравнение
описывает малые поперечные колебания (см. разд. «Уравнения
колебаний струны»).
Пример 41.2. Решить задачу с начальными условиями примера
37.1, считая струну конечной (длиной I) с закрепленными в точках
ж = 0 и ж = I концами. Точки end имеют координаты жс = J/5,
х^ = 41 /5. Построить профили струны для моментов времени tk =
fcZ/(10a), А: = бЛ0.
Решение. В данном случае удобнее использовать не аналитические
выражения (41.14), (41.1б)-(41.19), а их геометрическую
интерпретацию. Для этого на плоскости хОи в области 0 < ж < Z,
которую будем называть физической, строим график реального
первоначального отклонения (см. рис. 35). В нефизических (фиктивных)
областях ж < 0 и ж > I строим графики фиктивных
первоначальных отклонений, являющихся нечетными продолжениями
реального графика (р(х) относительно точек ж = 0 и ж = I. Затем прямая и
338
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
t10 = l/a = Т/2
обратная реальные волны, взаимодействуя с фиктивными обратной
и прямой волнами, образуют в физической области 0 < х < I
прямую и обратную отраженные волны. В момент времени t\0 = l/a
от начала процесса колебаний профиль принимает вид,
симметричный первоначальному отклонению струны относительно оси Ох.
Это означает, что значение l/a соответствует полупериоду
колебаний, откуда Т = 2Z/a. Эти рассуждения наглядно иллюстрируются
рис. 56.
42, Метод Фурье для конечного отрезка
339
42. Метод Фурье и смешанная задача
для одномерного волнового уравнения
на конечном отрезке
Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях струны.
Математическая постановка такой задачи имеет вид (см. разд.
«Уравнения колебаний струны»)
utt - a2uxx = /(ж, *)♦ 0 ^ х <£ /, t > 0, (42.1)
u\t=o = <p(x), ut\t=o = Ф(х), (42.2)
(aiu + piux)\x=o = fn(t), (a2ii> + p2Ux)\x=i = /i2(<),
где a2 = T/p. Рассмотрим сначала смешанную задачу с
краевыми условиями первого рода, т.е. ol\ = a2 = 1, /3i = /Зг = 0.
Проанализируем поставленную задачу подробно, проследив на
этом примере связь метода Фурье и метода функций Грина.
42.1. Однородная смешанная задача с однородными
краевыми условиями первого рода
Рассмотрим колебания струны длины I с закрепленными
концами. Такому физическому процессу математически
соответствует следующая смешанная задача:
ии - a2uxx = 0, 0 ^ х ^ /, * > 0, (42.3)
и(*,0) = ?>(*), щ{х,0) = ф(х), (42.4)
ti(0,t) = ti(/,t) = 0.
Решение будем'искать методом разделения переменных. Для
этого функцию u(x,t) представим в виде
Тогда
Обозначим
u(x,t)
rpll
х -А'
= X(x)T(t).
а—= 0.
rpll
1 2 \
— = а Д.
Т
(42.5)
Для функции Х(х) получим задачу Штурма-Лиувилля
Х(0) = Х(1) = 0 иначе T(t) = 0. ^42'6^
340
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Решение задачи Штурма-Лиувилля (42.6) получено в примере
Ш.2.2:
v / ч л ^ПХ ^ /7ГП\2 ,ЛЛ„к
Х„(ж)=Лпв1п—, \п = -{—J , п = 0,оо. (42.7)
Подставим Ап (42.7) в уравнение для T(t)
Общее решение этого уравнения имеет вид
Тп (t) = С„ cos — t + Dn sin —-1. (42.8)
Учтя, что ип(ж,£) = Xn(x)Tn(t), и просуммировав по всем п,
получим
t*(se, *) = 2^ [Ся cos -у- + Dn sm -у-J sm -у-, (42.9)
n=l
где С„ = AnCni а Д* = ДгА»- При этом должны выполняться
начальные условия
оо оо
Ца;, 0) = 2^ w sm —— = <р(х) = 2L, an sm "7"®;
n=l n=l
оо оо
ММ) = ^_^ ^>« —^— sin —^— = ф(х) = 2^Aism—ж,
п=1 н=1
где an, Рп ~ коэффициенты ряда Фурье функций у?(ж) и ф(х)
соответственно
/
Qn = У / ^у'8Ш "Т"
°| (42.10)
Ai = у / ^(y)sin^pdy.
о
Два ряда Фурье по ортогональной системе функций равны,
если равны коэффициенты этих рядов. Следовательно,
7гап
42. Метод Фурье для конечного отрезка
341
В результате получим
/ ч v^ Г nant l/3n . -кагйл . ппх ,ЛЛ% __
u(x,t)= > ancos:— 1 sm—-— sm ——. (42.11)
^—' L I nan 111
n=i
Пример 42.1. Найти закон колебаний струны длиной 1/2 с
жестко закрепленными концами. Начальная скорость равна
нулю, а начальное отклонение задается соотношением
и(х,0) = х{х- 1/2).
Решение. Такому физическому процессу математически
соответствует следующая смешанная задача:
utt = a2uxx; (42.12)
и(ж,0) = Ф - 1/2), щ{х,0) = u(0,t) = ti(l/2,t) = 0(42.13)
в пол у полосе 0<ж<1/2,0<<<оо. Решение будем искать
методом разделения переменных. Для этого функцию u(x,t)
представим в виде
u{z,t) = X{t)T{t). (42.14)
Обозначим
dX=x, dT=f
ах at
Подставив (42.12) в (42.14), получим
Т У"
ТХ = а2Х"Т, £ = а2^ = А
или
Г - XT = 0, Xй - Х:\Х = 0.
Подставим функцию (42.12) в граничные условия (42.13)
X(0)T{t)=X{l/2)T{t) = 0.
Следовательно,
Х(0) = 0, Х(1/2) = 0.
Обозначим Л = Ла2, тогда
Т-Аа2Т, X" -\Х = 0.
342
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Для Х(х) получим задачу Штурма-Лиувилля
X" - XX = О, Х{0) = Х(1/2) = О,
решение которой имеет вид (см. пример Ш.2.1)
Хп(х) = Вп зт27гпж.
Для определения функции T(t) получим
Г + 4тг2п2а2Т = 0.
Составим характеристическое уравнение
1 2 i a 2 2 2 л
« + 47Г па = 0,
корни которого равны
к = ±i2nna.
Следовательно,
Тп(t) — Cn cos 2irnat + Дг sin 27гпа£
и
un(z,t) = Xn{z)Tn(t).
Просуммировав по п, получим решение уравнения (42.12),
удовлетворяющее граничным условия (42.13):
оо
п(а;, t) — 2_. [С,г cos 2nnat + Dn sin27rnat] sin 2nnx.
n=i
Здесь Dn = DnBni Cn = CnBn — постоянные, которые
должны быть определены из начальных условий (42.13). Иг первого
условия найдем
°° / 1\ °°
и(ж, 0) = 2Z Cn sin2ттпх = хIх — -тJ = 22, a« s*n2t"ie,
n=i n=i
где aw — коэффициенты Фурье функции (р(х) = х(х — 1/2)
/
<р(х) sh\(2nnx/l)ux.
о
2 Г
an — - I (p(x)sh\(2nnx/l)d2
42. Метод Фурье для конечного отрезка
343
Приравняв коэффициенты при одинаковых функциях sin27rn:c,
получим
Сп = а„.
Аналогично из второго начального условия
ut(x, t) = 2_] snl 27гпж(— Cn27rnasin 2тта£ -f Dn27rnacos 2-Knai),
11=1
щ{х, 0) = У^ sin 2irnxDn27rna = 0
п=1
следует, что
А, = 0.
Найдем явный вид коэффициентов an:
1/2
an = 4 if ж(ж — l/2)sm(27m:c)ete.
о
Проинтегрируем по частям, положив
U = x(x- 1/2), dU = (2х - l/2)dx;
dV = sin 27гпж dx< V = — -— cos 27гпж.
27ГП
Получим
Л , , /Лч/ cos27rna;\ I1/2
1/2
— -— / (2х — l/2)cos2irnxdx .
о
Проинтегрируем еще раз по частям:
|1/2
_ 4 / 1 \ / cos 2-nnx \
27ГП V 7ГП / V 27ГП /
1 г , _ ., 1
о
Н-1)"+1]=-зГз[(-1)"-1]'
3^3 L тгЗ<пЗ
2
7Г°П^ 7Г°П'
т.е.
a2fc = 0, aofc+i = -
7T3(2fc+l)3'
344
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Следовательно,
6. = i[(-i)"-4 =
о,
7T3(2fc + I)3
п = 2&;
, n = 2fc + l,
где к = 0, оо. Окончательно получим
2 ^ sin[27r(2fc + l)x] cos[2?r(2fc + l)at]
С учетом соотношения
sin a cos /3 = - [ sin(a + /3) + sin(a — /3)]
запишем
и(ж> t) = -[(p{x + a*) + tp(z - at)],
2 ^ sin27r(2n+ IK
^ ~~ "^ ^ (2n + l)3 '
Функция (р(£) обладает свойствами
«ко = -#>(-«, *>« +1/2) =-v(a ^ + i) = #»«)
и на отрезке [0,1/2] имеет вид
р(0=*К-1/2).
Отсюда следует, что
,0 } tf-KHfe-K]-*), <K*-fcUi/2;
где [£] — целая часть £.
42. Метод Фурье для конечного отрезка
345
42.2. Фундаментальное решение смешанной задачи
с краевыми условиями первого рода
♦ Функцией Грина g(x,y,t) (фундаментальным
решением) смешанной задачи для уравнения Даламбера называется
обобщенная функция, удовлетворяющая условиям
Qtt — & 9ххч
(<*1<7.г +/3i<7)|.r=o = (cc2gx +/32</)U=/ = 0, (42.15)
g\t=o = О, gt\t=o = $(х - у)-
Утверждение 42.1. Функцию Грина смешанной задачи
(Jtt = а2Ухх, t > 0, 0 < х < /,
g\x=o = g\x=i = 0, (42.16)
g\t=o = 0, gt\t=o = S(x-y)
можно представить в виде
2 . тгпх . 7гга/ . nnat
7
n=i
/ .ч v^ 2 . ппх . 7гтш . nnat /ЛЛ _
г/(ж, ?/, t) = > sin —- sm —г- sm ——. (42.17)
7ГС*Т1 6 6 6
Выполнение первых трех условий в (42.16) следует из (42.17).
Последнее условие в (42.16) вытекает из соотношения
\~^ 2 . ППХ . 7ГТШ /.Л.Лч
А О* - У) = Е у sin — sm -^, (42.18)
u=i
которое получается из разложения J-функции в ряд Фурье по
полной ортогональной системе функций [см. (III.2.9)]. Таким
образом, утверждение доказано.
Рассмотрим простейшие свойства функции Грина
смешанной задачи.
Свойство 1. Функция
/
ч(х, t) = j{gt(x% у, t)<p(y) + g(x, у, t)i>(y)}dy (42.19)
о
является решением задачи (42.3), (42.4).
346
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Доказательство. Действительно, подставив (42.10) в (42.11)
и поменяв местами суммирование и интегрирование, получим
(42.19), где g(x,y,t) определена в (42.17).
Свойство 2. Функция д(ж, у, t) = gt(x,y,t) является решением
смешанной задачи
0« = а20.гт, t > 0, 0 ^ х ^ Z,
eU=o = 0|*=i = 0, (42.20)
0|*=о = %-у), 0*|*=о = О.
Доказательство полностью аналогично доказательству
предыдущего утверждения.
Свойство 3. Функция
&(x,y,t) = e(t)g(x,y,t) (42.21)
является фундаментальным решением смешанной задачи (42.3),
(42.4), т.е.
«„ - аЧхх = 8(х - y)6(t), (42.22)
«|*=о = «|*=i = «|t=o = «t|t=o = 0.
Доказательство. Подставим (42.21) в левую часть
соотношения (42.22) и получим
«« - аЧхх = e''t{t)g + 26ft(t)gt + 0(%„ - a20(t)</^. =
= S'(t)g + 28(t)gt.
Здесь мы воспользовались соотношением d'(t) = S(t) и
уравнением (42.16).
Воспользуемся теперь свойствами J-функции Дирака (см.
разд. «Дельта-функция Дирака и ее свойства» части II)
gtS(t) = gt\t=06(t),
gS'(t) = g\t=oS'(t)-gt\t=oS(t).
Тогда
Stt - а2£хх = g\t=oS'(t) + gt\t=oS(t) = 6{x - y)S{t).
Здесь мы воспользовались начальными условиями (42.16) для
функции g(x,y,t). Выполнение начальных и краевых условий
42. Метод Фурье для конечного отрезка
347
(42.22) вытекает из соответствующих условий для функции
g(x,y,t). Таким образом, свойство 3 доказано.
Свойство 4. Функция
t i
й(х, t) = I dr J g(z, y, t - r)f{y, r)dy (42.23)
о о
является решением следующей задачи:
utt - a2uxx = f(x< t), (42.24)
u|.r=o = u\x=i = u\t=o = ut\t=o = 0.
Доказательство. С учетом соотношения (42.23) найдем
t i
uxx(x,t) - J dr I gxx{x,y,t-T)f(y,T)dy
о о
и аналогично
t I
щ = dr gt{x, y, t - r)f(y, r)dy+
о о
* + f 9{*,y,0)f{y,t)dy. (42.25)
о
В силу начальных условий (42.16) для функции g(x,y,t)
последнее слагаемое равно нулю. Тогда справедливость
начально-краевых условий в (42.25) очевидна. Продифференцировав
соотношение (42.25) по £, получим
t i
utt - dr gtt(x,y,t - r)f(y,r)dy + / gt{x,y,0)f{y,t)dy.
о о
Отсюда и из определения функции Грина g(x,y,t) в (42.16) с
учетом свойств J-функции свойство 4 доказано.
348
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
42.3. Неоднородная смешанная задача
с неоднородными краевыми условиями
первого рода
Будем искать ненулевые решения уравнения
utt = a2uxx + f{x,t), (42.26)
удовлетворяющие дополнительным условиям
u((U) = /*!(<), u(l,t) = /x2(*), (42.27)
u(x, 0) = <p{x), щ(х, 0) = ф{х). (42.28)
Рассмотрение проведем в несколько этапов.
1. Сначала введем новую неизвестную функцию v(x,t),
положив
u(z,t) = w(x,t) + v(z,t),
где w(x,t) — произвольная функция, удовлетворяющая
условиям ш(0,£) = /4i(<), w(l,t) = fait). Простейший вид такой
функции:
w{z,t) = M(t) + j[p2(t)-l*i(t)]-
Тогда для функции v(x,t) получим смешанную задачу с
нулевыми (однородными) граничными условиями
vtt-a2vxx = f(x,t), (42.29)
t>(0, t) = v{l, t) = 0, v(x, 0) = ф(х), vt(z, 0) = j>(t),
где
f(x,t) = f(x,t) - [wtt - a2wxx],
<p(x) = (p(z)-w(z,0),
#) = #c)-ti>,(M).
2. Решение смешанной задачи (42.29) можно представить в
виде
v(z,t) = L(z,t) + M(x,t), (42.30)
где
Ltt ~" Q>~Lxx = 0,
(42.31)
£|t=o = ¥>(z), if|t=o = V>(«). ^U=o = i|*=» = 0
42. Метод Фурье для конечного отрезка
349
*„-«»*„ = /(,.«)-. (4232)
M\t=o = Mt\t=o = M\x=o - М|,=/ = 0.
3. Согласно (42.11), решение смешанной задачи (42.31)
имеет вид
y-^ Г т:ant ви1 . тгапЬл . тгпх ,,ЛЛЛЧ
L(x,t) = > d„cos—— + -^-sm—— sin—-, 42.33
^—' L / 7ran I J /
n=l
где
2 /■ _, . . 7rnt/ . - 2 Г - . 7гш/ .
а" = 7 / ^'sin ~Т~ у' 1 ^у*sin ~T~
4. Решение задачи (42.32) будем искать в виде разложения
по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (42.6)
М(я, t) = Yl en (t) sin ^, (42.34)
где функции ®n(t) подлежат определению. Из (42.32)
вытекает, что
е„(0) = в'п(0) = 0. (42.35)
Подставив (42.34) в (42.32), получим
f:[0»+,r(^)20„]sm^=/>,<).
n=i
Разложим правую часть последнего соотношения в ряд Фурье
по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (42.6)
оо
V—> 7ГПЖ
/(*,*) = £/»(*) «in-у-, (42.36)
/
f»(t) = jjf(v,t)™~dy
350
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
и приравняем коэффициенты рядов Фурье в левой и правой
частях соотношения. Тогда для определения функции 0П(<)
получим следующее уравнение:
в::+(^)2©п = /»(*) (42.37)
с начальными условиями (42.35).
Решение уравнения (42.37) будем искать методом Лагран-
жа
7TCLTI
©п(*) = Pn (t) COS UJnt + qn(t) Sill Unt, LJn = -y-,
где функции pn(t) и qn(t) определяются системой уравнений
{p'n(t)cosunt + q'n(t)sinunt = О,
j/n(t)(-wn)amwnt + q'n{t)wn coBwnt = fn(t).
В результате получим
t
Pn(t) = / /n(r) sinw„rdr+p°,
b>n J
0
t
qn(t) = — / fn{r) coswnTdT + q„.
Vn J
0
Из начальных условий (42.35) найдем q% = р®% = 0.
Следовательно,
t
Qn(t) = — / fn(T)(-smu)nTCOsu>nt +cosunTsmu>nt)dT =
b>n J
о
t
= — / fn(r)smujn(t-r)dr.
un J
0
Таким образом,
M(x,t) = V— / /„(r)smwn(*-r)drsin—. (42.38)
_,"u J a
42. Метод Фурье для конечного отрезка
351
Подставив (42.36) в (42.38), найдем
t I
М(х, t)= f dr f f(y, т)д(х, уц t - r)dy4 (42.39)
о о
где функция g(x,y,t — т) определяется соотношением (42.17).
Окончательно получим
и(ж,t) = v(x.t) + w(x4t); (42.40)
w{z,t)= (l-y)/ii(*) + y/i2(<),
v{x,t) = L(x,t) + M(x,t),
где функции L(x.t) и М(хЛ) определяются соотношениями
(42.33) и (42.39) соответственно.
Пример 42.2. Решить смешанную задачу
utt = иХх, 0 < х < тг, t > 0; (42.41)
<u(0,tf)=tf2, u(7r, t)=t2, u(£,0) = sin:c, щ = 0.
Решение. Согласно общей схеме (42.40), решение ищем в виде
и(М) = «(«,*) + fl- -V + -t2 = v(x,t) + t2.
V 7Г/ 7Г
Для функции v(a;,f.) получим следующую смешанную задачу:
vtt = vxx r 2; и(0, t) = 0, v{*, t) = 0; (42.42)
у(ж,0) = sin ж, '^(ж,0) = 0.
Решение задачи (42.42) ищем в виде
v(x.t) = L(x,t) + M(x,t),
где Ь{хЛ) — решение однородного уравнения
Ltt — Lxx;
L\x=0 = £|,=ж = 0; (42.43)
L\t=o = sin ж; Lt\t=o = 0,
а М(.г*,<) — решение неоднородного уравнения
Mtt = Мхх + 2 (42.44)
352
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
с нулевыми граничными и начальными условиями
М\х=0 = М\г=ж = 0; M\t=0 = Mt\t=Q = 0.
Частное решение задачи (42.43) ищем в виде
L(x,t) = X(x)T(t).
Разделив переменные, получим следующее уравнение для
функции T(t):
Т" - XT = 0.
С учетом граничных условий
I(0,i) = X{0)T{t) = 0, L(nJ.) = X(n)T(t) = 0
для определения функции Х(х) получим задачу Штурма-Лиу-
вилля
X" - XX = 0, Х(0) = Х{п) = 0,
решение которой имеет вид
-X",, (х) = В„ sinnx; А„ = —n"\ n = 1, оо.
Тогда для функций Tn(t) получим
Т// + п2Тп = 0, п = l^oo.
Из характеристического уравнения ur+n2 = 0 найдем w = ±in.
Поэтому общее решение имеет вид
Т„ (/.) = Cn cos nf. + D„ sin nt.
Следовательно,
2/n (ж, tf) = (С?1 cos nt -f Z)n sin nt) sin пж,
где Сц = CnBn, Ai = DnBn. Просуммировав по п, получим
Х(ж,*) = У^(С'П cosntf + 2Jn sinnt) sinnz.
»=i
Из начального условия для функции u(x,t) найдем
>о оо
L(x, 0) = yj Cn sin пж = sin ж + YJ 0 • sin пж.
n=2
42. Метод Фурье для конечного отрезка .
353
Следовательно,
Сп = Sni.
Из начального условия для производной щ(х,1) аналогично
найдем
оо оо
Lt(x,Q) = }] sm х[—пСп • 0 + Dnn] = 0 = YJ 0 • sinnaj.
n=i n=i
Следовательно,
Dn =0, п = 0, оо,
и окончательно получим
L(x, t) = 2_. cos nt s*n x ^in = cos t sin ж. (42.45)
71=1
Решение задачи (42.44) ищем в виде
оо
M(x,t) = ^0„(t)sinnz. (42.46)
n = l
Подставив (42.46) в (42.44), получим
оо оо
^2 0n(*) shins = ^ n2(- sinnx)0n(t) + 2.
!I = 1 / П = 1
Разложим правую часть уравнения в ряд Фурье по функциям
sinnz:
со
2 = 2_2ап ^ппж'
п = 1
где
7Г
2 / 4
ап = — /2 sinnx dz = —(—cos nn + cos 0) =
7Г J 7ГП
о
ГО, n = 2t;
354
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
где к = 0,оо. Для определения функций 0»(t) получим
следующую задачу Коши:
©«(*) + n2en(t) = an; (42.47)
6n(0) = 0; 6^(0) = 0.
Частное решение уравнения (42.47) ищем методом
неопределенных коэффициентов
en(t) = fint° = Рп.
Тогда
п213п = а„,
т.е.
Следовательно,
®п(*) = -т. п = 0,оо,
п-
или
ос
0П U) = a,, cos nt + 6n sin nt H—£■.
n-
Из начального условия для функций 0«(t) (42.47)
6«(0) = an + ^
получим
а„ = -, п = 1,оо.
п-
Из начального условия для производной функций 0'п получим
Ьп = 0, п = 1, оо. Тогда
©„(*) = ^-(1-cosnt).
В результате запишем
ОС
M(x,t) = ^{^(l-coant)\amnx. (42.48)
n = l
42. Метод Фурье для конечного отрезка
355
Окончательно получим
и(х, t) =t2 -f cos t sin x -f
^ |-4h _ ( —1)д] 1
+ > < - (1 — cos nt) > sin nx = t2 -f cos t sin x +
fl = l
oo
+ E { ^fc + 1)311 - cos(2fc + *)*]} sin(2fc + 1)g.
где функция L{x,t) определена соотношением (42.45), а
функция M — соотношением (42.48).
42.4. Редукция неоднородных граничных условий
Найдем связь между функциями u(x,t) и v(:n,£),
удовлетворяющими соответственно неоднородным и однородным граничным
условиям
(ащх + bitx)| =0=A*i(£), (ciivx + biti)| =o =0,
(42.49)
(aoux + bow)| _ = A*2(£); (c»2Vx + bov)| = 0.
Отметим, что задача имеет неоднозначное решение. Будем искать,
например, и(ж,£) в виде
«(ж, t) = г«(ж, £) + v(x, t) =
= Pi(x)vi(t)+p2(x)v2(t) + v(x,t). (42.50)
Подставив (42.50) в первую пару уравнений (42.49), получим с
учетом второй пары граничные условия для функции pi(x)
[aipi(:c) + bipi(:c)]| =1,
(42.51)
[aaPi(*) + b2Pi(a:)]|es=|=0
и для функции ръ(х)
[alP2(x) + blP2(x)]\ x_0=0,
(42.52)
[а2Р2(х) + Ъ2Р2(х)]\х=1 = 1.
Наиболее просто явный вид функций р\ (х) и рг(ж) может быть
найден в классе полиномов
Pi (х) = 7о + 71* + 72Ж2, (42.53)
Р2(ж) = Jo + 81Х + <Ьж2, (42.54)
356
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
коэффициенты которых удовлетворяют системам уравнений,
полученным при подстановке (42.53) и (42.54) соответственно в (42.51)
и (42.52), т.е.
&i7o +ai7i = li
Ь27о + (<*2 + Whi + (2а2 + Ы)*72 = О
Wo +<*iS\ = О,
Мо 4- (а2 4- k>l)Si + (2а2 4- b2l)lS2 = 1.
Отсюда
(42.55)
(42.56)
7о = т , 71 = 7 > 72 = 72 (42.57)
So=a^f-1\ Sl = h^-fJh\ *,=*, (42.58)
где
Ai=a2+b2/, Д2=а2 + Дь A = biAi-aibo. (42.59)
Для наиболее часто встречающихся случаев формулы можно
упростить.
1. Граничные условия первого рода:
1-(1+*272)у4 72Я2]М*) +
и(ж,£) =
или, если выбрать 72 = <Ь =0,
*(*,*) = (l - у)М*) 4- j&(t) + *(*,*).
2. Грами^мые условия второго рода:
иЛх^)\х.ы = А*з(*),
м(ж,*)= (-^-+^+7o)/ii(0 +
+ (^+*о)мз(*)+ *(*,*)
42, Метод Фурье для конечного отрезка
357
или, если выбрать 70 = So = О,
/ 2 \ 2
и(хщЬ) = {-^+х)Ы*)+^Ы*)+ "(*<*)-
3. Смешанные граничные условия:
а) "(*•*) L=0 = М*).
М*.*)|,в|=М*).
ti(a:,t) = [72^ - 2/72Ж + l]/ii(t) +
+[<Ья2 + (1 - 2lS2)x]fi2(t) + t?(a:,t)
или, если выбрать 72 = <Ь = 0,
u(x,t) = f.ii(t)+xfi2(t) + v(x,t);
б) М*.*)|,в0=/М*).
«(*1*)|,в| =/*(').
u{x4t) = [{x2 - Z2)72 + (x - Z)]/ii(t) +
+[(*2 -/2)£2 + 1Ы*) + *'(*>*)
или, при 72 = Jo = 0,
и(хч t) = (x- Z)/ii(t) + /i2(t) + «(ж, t)
и так далее.
С другой стороны, если ввести функции yi(x) и У2(ж),
непрерывные на отрезке [0,1] и удовлетворяющие условиям
l/i(0) = 1, yi(Z)=0,
2/2(0)= 0, W(Z) = 1,
то соотношения (42.51), (42.52) можно записать следующим
образом:
yi(a:)[aipi + bipi] + y2(a;)[a2pi + fcipi] = yi(a), (42.60)
yi(a:)[aipi + bip2] + Уз(ж)[озй + ЬзРз] =Уг(ж). (42.61)
Уравнения (42.60), (42.61) в общем случае являются линейными
дифференциальными уравнениями первого порядка, любое частное
решение которых автоматически удовлетворяет условиям (42.51),
358
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
(42.52). В случае первой краевой задачи дифференциальные
уравнения (42.60), (42.61) вырождаются в алгебраические (ai = a2 = 0,
Ьх = bo = 1)
[yi(x) +V2(x)]pi(x) =2/1 (ж),
(42.62)
[У\(х) + у2(х)]р2(х) =yi(x).
Выбор явного вида функций t/i (ж), у о (х) обусловлен либо
конкретным видом уравнения, которому соответствуют граничные условия
(42.49), либо наиболее простым видом уравнения (42.62). В
последнем случае, например, можно выбрать
У\
(*)=(l-j). У2(*) = у (42.63)
гл(х)=со$—, tj-2(x) = sin— (42.64)
и т.д.
Тогда для первой краевой задачи и (42.63) получим найденное
уже соотношение
u(x,t)= (l-j^frW + jtnW + vfat). (42.65)
а для (42.64)
u(x, t) = /ii (t) cos — + /i-_>(t) sin — + v{x, t). (42.66)
42.5. Метод Фурье для одномерного
волнового уравнения. Общая схема
Метод разделения переменных, рассмотренный в предыдущих
параграфах, может быть применен не только для уравнения
колебаний однородной струны или стержня (уравнение с
постоянными коэффициентами), но и для уравнения колебаний неоднородной
струны или стержня (уравнение с переменными коэффициентами)
[см. главу «Уравнения с частными производными в физических
задачах»]. Если при этом принять во внимание силы сопротивления,
обусловленные, например, трением или другими факторами,
которые в большинстве случаев пропорциональны самой функции и (ж, t)
или ее производной ut(xЛ), то уравнение колебаний можно записать
в виде
p(x)[utt + a(t)ut] = [ JL (k(x)^j - д(*)н] + /(*, t), (42.67)
где a(£), p(x), k(x), q(x) - заданные неотрицательные функции,
определяемые физической постановкой задачи, /(хЛ) - внешняя
сила, отнесенная к единице массы.
42. Метод Фурье для конечного отрезка
359
Если ввести дифференциальные операторы с частными
производными (см. разд. «Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые
задачи для уравнений математической физики»)
Pl = i+a^l-f (42-68)
*■-£
k(x)L
- q(x), (42.69)
то уравнение (42.67) примет вид
p(x)Ptu(x, t) = Lru(x, t) + /(ж, t). (42.70)
Поставим для уравнения (42.70) смешанную задачу
и(х,0) = (р(х), щ(хщ0) = ф(х), (42.71)
(ащг +hlu)\*=o = (anil* -\-b2u)\r=i = 0. (42.72)
Сначала рассмотрим однородное уравнение (42.70), когда в
правой части функция f(x,t) = 0. Частное решение этого однородного
уравнения будем искать методом разделения переменных, положив
u(x,t) = X(x)T(t). (42.73)
Подставим (42.73) в (42.70). Разделив переменные, для
определения функций Х(х), T(t) получим обыкновенные дифференциальные
уравнения
LxX(x) = -\p(x)X(x), (42.74)
PtT(t) = -\T(t). (42.75)
Функции Л*(ж) и Т(.£), стоящие в уравнениях (42.74) и (42.75),
зависят только от одной переменной х или t. Поэтому частные
производные в операторах Pt и Lx можно заменить обыкновенными.
Уравнение (42.74) с учетом (42.73) и (42.71) следует дополнить
граничными условиями
ецХ'(0) + biX(0) = a2X'(l) + b2uX(l) = 0, (42.76)
что приводит к задаче Штурма-Лиувилля для определения
функции Х(х) и постоянной Л.
Пусть Хп(х) - ортонормированные собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля (42.74), (42.76) с собственными значениями лп
(п = 07оо)
(Xn(x)\Xk(x))p{x) = J p(x)Xn(x)Xk{x)dx = 6nk. (42.77)
360
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Тогда, согласно принципу суперпозиции, функция
оо
и{хщ t) = ^2 Xn(x)Tn(t) (42.78)
r»=0
— решение однородного [f(x,t) = 0] уравнения (42.70), если
функции Tn(t) удовлетворяют уравнениям
PtTn(t) = -A„T„(t), n = 0, оо. (42.79)
Последовательное применение метода Фурье в конкретных
задачах связано с большим количеством промежуточных выкладок,
которых можно избежать, если при вычислениях использовать
следующие утверждения.
Утверждение 42.2. Если функция Tn(t) является решением
уравнения (42.79) с начальными условиями
Т„(0) = 1. Т;,(0) = 0, п = 07^, (42.80)
то решение задачи
p{x)Pt$(x,y,t) = Lx${x,y,t),
д (42.81)
Я(я, У, *)|е=о = S(x - у), ^(ж'У' ^'t=° = °
с граничными условиями (42.72) имеет вид
оо
Q{x4y,t) = 4£tp{y)Xn(x)X„{y)Tn{t). (42.82)
n = 0
С учетом соотношения полноты собственных функций задачи
Штурма-Лиувилля (см. разд. «Задача Штурма-Лиувилля» части
III)
S(x -y) = ^p{y)Xn(x)Xn(y)
утверждение очевидно.
Утверждение 42.3. Если функцииТп(Ь) (п = 0,оо)
удовлетворяют условиям утверждения 42.2, то решение задачи
p(x)Ptu(x41) = L£u(x< t),
u(x,Q) = <p(x), ut(x<0) =0
с граничными условиями (42.72) имеет вид
i
м(ж, t) = (<р(у)\я(х, у, t)) = J g(z, у, t)<p(y)dy. (42.84)
о
42. Метод Фурье для конечного отрезка
361
С учетом соотношений (42.80), (42.82) и свойств скалярного
произведения (42.77) утверждение очевидно.
Утверждение 42.4. Если функцииТп(Ь) (п = 0,оо) являются
решениями задачи Коши (42.79) с начальными условиями
Тп(0) = 0, T,i(0) = l, (42.85)
то решение задачи
p(x)Ptg(x,y,t) = Lxg(x,y,t),
g(x,y,0) = 0, gt(x,y<0) = S(x -у)
(42.86)
с граничными условиями вида (42.72) имеет вид
g{x,y,t) = Y^P(y)Xn(x)Xn(y)Tn(t). (42.87)
Функции g(x, у, t) и д(ж. у, t) называются функциями Грина
смешанной задачи (42.70)-(42.72).
Доказательство аналогично доказательству утверждения 42.2.
Утверждение 42.5. Если функцииТп{Ь) (п = 0,оо)
удовлетворяют условиям утверждения 42.4, то решение задачи
p(x)Ptu(x,t) = Lxu(x,t),
и(х,0) = 0, ие(ж,0) =ф(х)
с граничными условиями (42.72) имеет вид
l
(42.88)
u(x,t) = (ф(у)\д{х,уцЬ)) = J g(x,y,t)fk{y)dy. (42.89)
Доказательство аналогично доказательству утверждения 42.3.
0 Как уже упоминалось, функции р(ж,у, t) и (/(ж, у, t)
являются функциями Грина соответствующих смешанных задач (42.83) и
(42.88). Явный вид функций д(ж,у, t) и (/(ж, у, fc), найденный
методом разделения переменных в форме (42.82), (42.87), позволяет не
только формализовать запись решения этих задач в форме (42.84),
(42.89), но и проясняет физический смысл решений как суммарного
воздействия точечных источников начальных возмущений (р(х) и
Ф{х).
362
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Утверждение 42.6. Если в операторе Pt (42.68) коэффициента
является постоянной величиной, то функции 0(ж,у,t) и <?(ж,у, £)
связаны соотношением
д
$(x,y,t) = ag(x,y,t) + —g(x,y,t).
(42.90)
Пусть а = 0, тогда функции g и g удовлетворяют уравнениям
(42.91)
(42.92)
о2 ^
p{*)-Qp9 = Lxg
и связаны соотношением £(ж,у,t) = </*(ж,у, i). Подставив его в
(42.91), имеем
( \ д* ? д
откуда получим уравнение
dt
[p(x)^g-L«g
= 0,
которое, согласно (42.92), обращается в тождество.
Пусть а^О, тогда, подставив (42.90) в уравнение (42.81), имеем
*xiw+ali){a9+i) = 4a9+£)
дд^
р(х)
aW9+W9 + a Ft9 + ade9l
= aL,g + Lz-.
Дифференцирование (42.86) по t дает
и предыдущее уравнение приводится к виду
W9 + adi9)=aZx9>
откуда при а^О имеем уравнение
p(x)Ptg = Lxg,
совпадающее с уравнением (42.86).
42. Метод Фурье для конечного отрезка
363
Таким образом, соотношение (42.90) справедливо при любых
постоянных а. Для проверки начальных условий положим в (42.90)
t = 0, тогда
Я(ж,у,01*=о = <xg(xiy,t)\t=o + ^0(ж,1/,*)1*=о,
и начальные условия для g(x,y,t) (42.86) приводят к равенству
в(ж,у,0|«=о =S(x -у)
в полном соответствии с первым начальным условием (42.82). Для
проверки второго начального условия (42.82) продифференцируем
(42.90) по t и выразим Jp-c/ из уравнения (42.86). Это дает
^3(я,у,0 = a—g(x,y,t) + —g(x,y,t)
и
-^g{x,y,t) = -a—g(x,y,t) + -— Lxg(x,y,t),
откуда
р(ж)^д(ж,у,£) = Lxg(x,y,t).
Использовав начальные условия для </(ж,у, fc) (42.87), приходим ко
второму начальному условию (42.82)
= 0.
Здесь мы учли, что g и с/ удовлетворяют одним и тем же граничным
условиям. Таким образом, утверждение справедливо.
Утверждение 42.7. Если функция д(х, у, t) является решением
задачи (42.86), то решение задачи
(42.93)
p(x)Ptu(x, t) = Lxu(x, i) + /(ж, £),
u(x,0) =ut(x,Q) = 0
с граничными условиями (42.72) имеет вид
t
u{x,t)= (f(y^)\g(x,y,t-r))dr =
о
t i
= J dr J g(x,y,t- r)/(y,r)dy, (42.94)
о о
edef(x,t) = f(xrt)/p{x).
364
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Рассмотрим действие оператора Lx на функцию (42.94):
t
Lxii{x, t)= (/(у,т)\Ьхд{х, у, t - r))dr. (42.95)
о
Аналогично
t
^«(*,t)= H/(«.T)b(*,»,t-T)>dT + (/(y1t)M*,y,0)>, (42.96)
О
t
at2
u(z, t) = J (/(у,T)|flf«(a:, у, t - т))<*г + (/(у, t)\gt(x, у, 0)).(42.97)
о
С учетом начальных условий для функции д(х, у, t) (42.86)
получим
д_
-и(ж, t)= (/(у, r)\gt{x, у, t - т))Лг,
t ° (42.98)
^u(x1t) = J(hy,T)\gn(x^t-T))dr^^^.
о
Подставим (42.95) и (42.98) в (42.93) и получим тождество.
Выполнение нулевых начальных условий следует из (42.94), (42.98), а
выполнение граничных условий - из определения функции д(х, у, t).
Таким образом, утверждение доказано.
После проведения последовательной редукции (42.83), (42.88),
(42.93) решение исходной задачи (42.70), (42.71) можно записать в
окончательном виде
u(x, t) = (<р{у)Ых, у, t)) + (Ф(у)\д(х, у, *))+
t
+ [(f(v,T)\g(x,y4t-T))dT. (42.99)
о
Если в операторе Pt (42.75) функция а - постоянная, то решение
исходной задачи имеет вид
и(ж, t) = ((p(y)\gt(x, у, t)) + (a<p(y) + ф{у)\д{хщ у, *))+
t
+ j(f(y>r)\g{x,y,t-r))dT. (42.100)
42. Метод Фурье для конечного отрезка
365
Рассмотренный метод легко обобщается на случай задачи с
неоднородными граничными условиями
(aiUr +bm)| = /ii(t),
*=0 (42.101)
Действительно, заменой
«(ж, t) = w(x, t) + v(x, t), (42.102)
где w(x<t) — функция, удовлетворяющая граничным условиям
(42.101), исходная задача (42.70), (42.71), (42.101) редуцируется к
смешанной задаче для функции v(x^t)
p(x)Ptv(x, t) = L£v{x, t) + /(ж, t),
v(x*0) = <p(x)i Vt(x^O) = ф(х)
с однородными граничными условиями вида (42.72). Здесь
обозначено
ф(х) = (р(х) — *ш(ж,0), Ф(х) = ф(х) — гиЛж,0),
V / V (42.104)
/(ж, t) = /(ж, t) - p(x)Ptw(x< t) + Lxw{x, t).
Явный вид функции w(x,t) в зависимости от /ii(fc), №(t) приведен
в предыдущем параграфе.
Таким образом, решение смешанной задачи с неоднородными
граничными условиями, согласно (42.102) и (42.100), имеет вид
п(ж, t) = w(x, t) + (<p(y)\gt{x, у, t)) + (<хф{у) + ф(у)\д(х, у, *))+
,т)|с/(ж,у,*-т))<*т. (42.105)
У(/(У1-
Все сказанное позволяет сформулировать следующую схему
метода Фурье для случая, когда a(t) = const:
1. решить задачу Штурма-Лиувилля
LxX(x) = — \p(x)X(x)i
V ; НУ ' V ' (42.106)
aiX'(0) +biA"(0) = а2Х'(0 +b2X(Z) = 0;
2. решить задачу Коши
P,T„(t) = -A„T„(t), » = 0^;
Г„(0)=0, Г/,(0) = 1,
где А„ - собственные функции предыдущей задачи;
366
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
3. по ортонормированным функциям Хп(х) и функциям Tn(t)
построить фундаментальное решение в виде формального ряда
д(хщуцЬ) = Y^P{y)Xn(x)Xn(y)Tn(t); (42.108)
г»
4. по функциям /zi(t), №(t). определяющим граничный режим
исходной задачи, согласно (42.50), построить функцию w(x,t) (в
случае однородных граничных условий w(x.t) = 0);
5. по формуле (42.105) с учетом (42.102) записать решение
исходной задачи u(x<t).
Указанная схема существенно уменьшает число
промежуточных выкладок, а кроме того, позволяет достаточно просто
учитывать вид и характер граничных условий. Принимая во внимание,
что уравнение (42.107) является уравнением с постоянными
коэффициентами, функцию Tn(t) можно представить в виде
Tn(t) = Щу (42Л09)
где Tn(t) - частное решение уравнения, удовлетворяющее условию
f„(0) = 0 (т.е. e"Qt/2t, e"at/2 sinu;t, e"Qt/2 shut).
В заключение отметим, что предложенная схема с помощью
теоремы 42.2 легко обобщается на случай, когда величина а
является функцией времени. При этом используются свойства
фундаментального решения р(ж,у, t). Если коэффициент q также является
функцией fc, а не ж, и р(х) = const, то соответствующее слагаемое
переносится из оператора Lr в оператор Pt.
43. Задачи, сводящиеся к одномерному
волновому уравнению
Пример 43.1. Решить первую краевую задачу о продольных
колебаниях упругого неоднородного стержня длиной Z, если его
линейная плотность и модуль упругости возрастают
пропорционально расстоянию от конца стержня. Начальные
отклонения и скорости заданы, внешние силы и силы сопротивления
среды отсутствуют.
Решение. Расположим стержень вдоль оси Ох, совместив
левый торец с точкой х = 0, а правый - с точкой х = L В
обозначениях, принятых в разд. «Уравнение продольных колебаний
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 367
струн и стержней», имеем р(х) = рох. Е(х) = Еох. Тогда,
согласно (8.3), требуется решить уравнение
d2u 1 д /_ ди\ ,,« ,ч
д2п 1 д {„ ди\
рох <
с начальными условиями
и(х, 0) = <р(х), гх*(ж, 0) = 0(ж). (43.2)
Постановка граничного условия для правого торца стержня не
вызывает затруднений:
ti(M) = 0. (43.3)
Аналогичная формулировка граничного условия для левого
торца х = 0 не имеет смысла, так как р(х)\.х=о = 0, и должна
быть заменена более общим условием
|u((U)|<oo. (43.4)
Таким образом, математическая постановка задачи
определена соотношениями (43.1)-(43.4).
Согласно схеме, изложенной в предыдущем разделе, решим
1. Задачу Штурма-Лиувилля
-4-(е0х^-)х(х) = АВД;
paxdx\ dx/ v " (43.5)
|Х(М)|<оо, |*(M)| = 0.
Эта задача эквивалентна задаче на отыскание собственных
значений и собственных функций уравнения Бесселя индекса
х2Х"(х) + хХ'{х) + ^-\х2Х(х) = 0;
Ео
\X(0,t)\<oo, \X(l,t)\ = Q.
Ортонормированные решения этой задачи (см. разд. «Задача
Штурма-Лиувилля для уравнений Бесселя» части III) имеют
вид
_ у/2 Ma* z/l)
Хп(х) ~ — лю ' <43-6)
368
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
где а Л - положительные нули функции Jo (ж), а
соответствующие собственные значения определятся из соотношения
гК=(^У, п=1,оо. (43.7)
Получив выражения для Аи, запишем
2. Задачу Коши
™ = -|г(т)2тп(<)'
^W/ "* " (43.8)
Т„(0) = 0, 2i(0) = l,
решение которой имеет вид
где
Т»(*) = —sinwn*, (43.9)
«2 №
3. По функциям Х„(х) (43.8) и Тп (43.9) построим
фундаментальное решение смешанной задачи (43.1)
»(«.**> = Е ^(^/^тН^т) sinu,,,*, (43.10)
с помощью которого запишем решение задачи
u{x,t) = (ip(y)\gt(x1y1t)) + (^(y)\g(x1y,t)). (43.11)
С учетом явного вида скалярного произведения для функций
Бесселя решение (43.11) примет вид
/ /
х I — coswnt y(p(y)Jo(a°j)dy + smunt M(y)J0(a°-^dy\.
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 369
Пример 43.2. Решить задачу о поперечных колебаниях
однородной круглой мембраны радиуса 6, вызванных заданными
начальными отклонениями и скоростями, зависящими только
от расстояния до центра мембраны (осесимметричная задача).
Внешние силы и силы сопротивления среды отсутствуют.
Решение. В разд. «Уравнение поперечных колебаний
мембраны» было показано, что амплитуда колебаний мембраны
м(ж»2/»^) определяется уравнением
d2u о /d2u d2u\
w=aiw+w)u' (43ЛЗ)
которое с учетом геометрической формы мембраны удобнее
записать в полярных координатах г, <р:
d2u 3ri а ( du\ 1 д2гп
Из постановки задачи запишем начальные условия
ti(r, (р, 0) = ф0(г), tif (г, <р, 0) = ф(г), (43.15)
где фо(г), ф(г) - заданные функции начальных отклонений и
скоростей, зависящих только от полярного радиуса г, и
граничные условия
u(b,(p,t) = 0, |ti(0,p,t)| < ос. (43.16)
Поскольку все дополнительные к уравнению (43.14)
условия не зависят от азимутального угла у?, то и само решение
свободно от этой зависимости и является функцией только
переменных г и t. В результате этого математическая
постановка задачи имеет вид
d2u 2(^®u d2u\
u(r, 0) = ф0(г), и*(г, 0) = ф(г), (43.17)
|ti((M)|<oo, м(Ь,<) = 0
и полностью совпадает с постановкой задачи, рассмотренной в
предыдущем примере. Таким образом, решение задачи (43.17)
370
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
Рис. 57
дается формулой (43.12) предыдущего примера, где нужно
сделать следующие замены: переменная х заменяется на
переменную г, у - на р, I - на 6, Ео/ро ~ на а2, <р(х) - на фо(р).
Эти два примера наглядно иллюстрируют, что две
физически различные задачи в математическом плане можно
считать тождественными.
В частности, если в (43.15) положить
фо(г) = AJo (а°£), ф(г) = В Jo (а§ j),
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 371
где А и В - некоторые постоянные, то из (43.12) с учетом
ортогональности функций Бесселя получим
/ ,ч АЬ т / 0г\ а 0 i*t> / пг\ . а п
"М) = —о Jo (a1-)cos-a1t+ —^J0 [a%- sin-а^-
aa\ \ о/ о aa^ \ о/ о
График этой функции при a = 1, b = а§, А = 3, В = 4 в
моменты времени £* = 7г£'/2, к = 0,14 приведен на рис. 57.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Пример 43.3. Найти закон колебаний струны, левый конец
которой х = 0 колеблется по закону A smut, а правый х = I
закреплен. Для моментов времени t^ = kl/a, к = 1,4,
построить профиль струны, положив vi = Зтга/(2/), uo = 2na/L
Решение. Математическая формулировка сводится к
смешанной задаче с краевыми условиями первого рода
иц = u2uXJP, 0 < х < Z, * > 0, (43.18)
и(х,0) = щ(х,0) = 0, u(0,t) = Л sin о;*, u(l,t) = 0.
Согласно схеме разделения переменных, Pt = d2/dt2, Lx =
a2 d2/dx2. Тогда
/2 . nnx -
Xn(x) = VT8111"!"' *i= l,oo,
1 TTThd
Tn{x) = — smwnt, 07„ = -г-, (43.19)
CO
- ^ ^ . 7Г74Ж . 7T7*2/ .
g(x,ij,t) = 2^ j—sin-y-sin—-sino;nt.
n = l ,l
Согласно (42.65),
ш(ж,£) = (1 — — J A sin wt,
откуда
<p(x) = Q, $(x) = -a(i-j)v,
f{x,t) = Aw2(l- jisinut
и соответственно решение u(x, t) запишется в виде
u{x, t) = A(l-j) sinut - Аш( (l - |) \g(x, y, t)}+
(43.20)
372
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
+Ла
4а;2 J ( (l - |) \д(х, у, t - r))dr. (43.21)
о
Решение (43.21) в развернутой форме имеет вид
и(ж, t) = А (1 — у J sin ut — Аш 2_. — s^n ~~г~ х
х у / (l - у J sin -у-^'У sinu;nt+
о
Л о \~^ 1 . тггаж Г 2 /* Л i/\ . тгад , 1
+А,- 2 - -ш — у у (1 - у) sm —dy x
11 = 1 0
t
х I sin ипт sin wn(t — т) dr.
(43.22)
Если учесть, что
f Л У\ . ™у , о.
JK1-!)"*—*^^
о
то (43.22) можно записать как
u(a;,t) = А[ 1 - у ) smut - 2А— > — sin —— sina;rtr+
«=1 **
2 °° I л
+2Л—— Y^ —^ sin —— / sino;nrsina;n(< - т) dr. (43.23)
* n^[wn l J
n_l 0
Напомним, что аналогичная задача рассматривалась в
примере 41.1 и было показано, что характер решения (43.23)
существенно зависит от того, совпадает частота и с одной из
собственных частот шп или не совпадает. В связи с этим
рассмотрим два случая:
1. Частота ш не совпадает ни с одной из собственных частот
a;n, n = 0, оо (отсутствие резонанса).
43, Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 373
Учтя, что
t
/sinwtsino7n(t-т)dr = — -(u)nsinwt—wsmunt)< (43.24)
07- - 07-
0
получим
U(x,t) = All- -) 811107*- 2A—- ) 0 S11107nt +
\ I / I *—' 07-
n = l n
лЛао72^-ч sin(7rnx/Z) , . , . /.ЛЛ^ч
+2Л-5- > j -^-Ц—Цг(о7п smo7t - 07 smo7nt . 43.25
1 ^rjws(«r.-«-)
Для построения профиля струны в заданные моменты
времени представим величину (1 — х/1) в виде разложения по
собственным функциям (43.19). Тогда из (43.25) имеем
a{x,t) = 2Aj Y] ьт\ППХ'о (o7n sin07^ - o7sino7nt). (43.26)
/ *~~^ 07П — 07-
Формула (43.26) дает решение задачи для всех моментов
времени. Если в этой формуле положить t = t^ = kl/a, k =
0,oo, то sin(o7nfcZ/a) = siii7rnA; = 0и с учетом известного
разложения
со • / \
Era sin nz sma(7r — z)
— т = тг—тг-г L, a>0,
jv — a- 2 sin 7ra
n=i
решение (43.26) запишется достаточно простым выражением
/ Ms = Aem(^/a)sm[a,(f-x)/a]
V a / sin(o7//a)
и совпадет с решением, полученным методом Даламбера
(пример 41.1), график которого для 07 = 37ra/(2Z) изображен на
рис. 54.
2. Частота 07 совпадает с одной из собственных частот, т.е.
07 = wj (резонансный случай).
В этом случае вместо (43.24) имеем
t
I sin07* sin07n (t — r)dr =
0
374
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
= <
( 1 \
I —^ г (<*>u sin wjt - Wj sin w„t 1, j ф n;
I 07- - 07J /
11/1.
I —I — sin Wjt — t cosoijt), j = n,
^ 2 Vc*7j
а вместо (43.25)
/ x\ . Л aw. ^—v sin(7rnaj/Z) .
u(x4t) = All - -J smujt - ЪА-у- 2^ —v 2 ' ; Slna^nt +
n=l n
sin(nnx/l)
+2Л—p- > ^ 0 oTl^n smwjt - Uj smwnt +
n=l nV n ^
+Ayf— sinu^-Jcosc^t) sin^-. (43.28)
/ \Ct7j / *
Как следует из (43.28), в j-й гармонике возникает слагаемое,
линейно зависящее от времени. Это означает, что
амплитуда этой гармоники неограниченно возрастает со временем —
возникает явление резонанса. Как уже отмечалось, область
применения формулы (43.28) ограничена во времени
условием t < l/a.
Для сравнения решения (43.28) с решением, полученным
методом Даламбера, положим j = 2, и)} — 2iui/l, tu = kl/a,
к = Т~4. Тогда
и я, — = — Ak sin ——.
V a / *
Это выражение полностью совпадает с решением, полученным
в примере 41.1, график которого изображен на рис. 55.
Пример 43.4. Найти закон колебаний однородной струны с
закрепленными концами, вызванных воздействием внешней
силы f(x)sinwt. Исследовать характер решения в зависимости
от f(x) и ш. Сопротивление среды отсутствует.
Решение. Математическая формулировка задачи имеет вид
utt = a2uxr + f(x)smut, 0 < x < /, t > 0;
(43.29)
u(a;,0) = щ(х,Ъ) = u(Q,t) = u(l,t) = 0.
Из решения предыдущего примера имеем
/ ч V^ 2 . 7ГПХ . 7ГПУ .
д(х, у, *) = > -— sm ~"Т~ sm "7" em wnt, (43.30)
^1 lw« l l
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 375
где шп = тгпа/l. Отсюда получим
t
и{хЛ) = J {f(y)sh\WT\g(x,y,t- r))dr
о
или в развернутом виде
/ \ V4 ^ . тгпх Г f . ппу
«(*•«)= L ^sm — [у/{у) sin ~tdy
п-1 0
/ sino;nTsina;n(f. — r)d
x
"о
(43.31)
: J f(y)eia^-dy. (43.32)
Как и в предыдущем примере, рассмотрим два случая
1. Частота ш не совпадает ни с одной из собственных частот
о;,,, п = 0,оо.
В этом случае решение (43.31) можно записать
/ .ч v^ 2sin(7rnaj//) , .
u(z9t) = > -—-\ —(u;n smart -wsmunt)x
/
X
0
Вычислим интеграл
Fn= J f(y) sm^dy (43.33)
о
при следующем выборе функций f(x):
la) f(x) = /о - const. В этом случае в решении (43.32)
отсутствуют все гармоники с четными га, т.е. вынуждающая
сила возбуждает колебания только с нечетными гармониками
2sin(2fc + 1)тгжЛ
■х
x(cjsina;fc+i^ — tt>2fc+isinu;tf); (43.34)
376
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
16) f(x) с точностью до постоянного множителя /о
совпадает с одной из собственных функций
^ / ч г . k-KX
Xk(x) = /о sin——,
тогда
и в решении (43.32) отсутствуют все гармоники, за
исключением &-й, т.е.
u(x,t) = ^in(*feg/f> (Uk sinut -utAnukt). (43.35)
w*(wj[: -w-)
le) /(ж) = /о<5(ж "~ жоЬ сосредоточенная внешняя сила
приложена в точке х = xq Е]0,1[. Тогда
u(x.t) = J2
2/о sm(7rnx/l) sin(7rra£o/0
Zo7„(o72 -a;2)
n=i
x(uv sinujt — wsinunt). (43.36)
Отсюда следует, что амплитуда n-й гармоники в
зависимости от положения точки xq на отрезке [0,/] может изменять
амплитуду этой точки от максимального значения, когда xq
попадает в одну из пучностей га-й гармоники, до
минимального (нулевого), когда точка xq попадает в один из узлов этой
гармоники.
1г) f(x) = foS(x — xo)Xk(x). Этот случай есть комбинация
случаев 16) и 1в), и решение имеет вид
u(x,t) = —^ тг-(мк smut - usmubt) (43.37)
wk(u£ -07-)
со всеми последствиями, вытекающими из случая le) для
одной оставшейся k-й гармоники.
2. Частота вынуждающей силы совпадает с одной из
собственных частот: и = ик. В этом случае решение (43.31)
принимает вид (см. предыдущий пример)
/ ч v^ 2 . жпх Г Г _, ч . жпу _
n=i
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 377
<*>:
7>{wn smwkt - шк sinwn<) +
1 . 7Г71Ж
f(y) sm — dy
(—ukt - <cos<*;*<).(43.38)
\o;fc /
Таким образом, периодическая вынуждающая сила,
частота которой совпадает с одной из собственных частот о;*,
вызывает на этой гармонике резонанс. В отличие от
аналогичного явления, вызываемого периодическим граничным условием,
явление резонанса может отсутствовать, если функция f(x)
удовлетворяет определенным условиям:
2a) f(x) = /о - const. Как было показано в 1а), в этом
случае вынуждающая сила возбуждает колебания только с
нечетными гармониками. Поэтому, если вынуждающая частота
и совпадает с одной из собственных частот четных гармоник,
последнее слагаемое в (43.38) обращается в нуль и явление
резонанса отсутствует. Сама формула (43.38) остается
справедливой для всех моментов времени t > 0, а не только для
t < l/a.
26) f(x) ортогональна собственной функции sin(7rfcz/Z),
соответствующей частоте ик [например, f(x) = fosin(7rmx/l),
тф &], т.е.
/
/
/(y)ein^dy = 0.
Тогда последнее слагаемое в (43.38) обращается в нуль и
явление резонанса отсутствует.
2в) f(x) = foS(x-xo). Как следует из 1в), резонанса можно
избежать, если точка xq совпадает с одной из точек,
соответствующих узлам стоячей волны fc-й гармоники.
Пример 43.5. Решить смешанную задачу
1 4
Щг = 4fj. + ~ux о11 + *«Ы<*1я), 0 < х < 1; (43.39)
X X"
1Чг=о| < оо, u\x=i = u\t=o = ut\t=o = О,
где ос\ — первый положительный нуль функции Бесселя 7з(ж).
Решение. Ищем решение в виде
u(x,t) = $(t)J2(alx). (43.40)
378
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Из начальных условий найдем
Ф(0) = Ф'(0) = 0.
Подставив (43.40) в (43.39), получим
Ф"Л(а?х) = {^jJ2(aJ«) + ^^(а?х) - ^J2(a^) +
+ (ai)2J2(«i^) >Ф - {al)272(а2ж)Ф + tj2(alx).
Так как 72(а2я) есть решение уравнения Бесселя, то
выражение в фигурных скобках равно нулю. Следовательно,
Ф"«Ы<*1я) = —{gl\)2 J2{gl\x)$ + tJ2{a\x)-
В результате для функции Ф(<) получим
Ф" + (а2)2Ф = *, Ф(0) = Ф'(0) = 0.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
Ф(<) = Acob[a\t) + Bm\(a\t), A,B = const.
Частное решение неоднородного уравнения найдем методом
неопределенных коэффициентов
Ф*{Ь) = С4 + С2.
Поскольку
[*•(*)]" = о,
то
(al)2C2+(al)2dt = t,
откуда
(aj)-
Окончательно получим
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 379
Тогда
t
ф(<) = ф(*) + Ф*(*) = AcoB{ait)+Bsm(alt) +
И)2'
Из начальных условий определим постоянные А и В:
ф(0)=Л = 0;
Ф'(<) = te^cos(a?<) +
(aj)-
(aj)-
В = -
И)
2\3*
Окончательно
(a;)- (aj)3
а решение исходной задачи имеет вид
u{z,t) = *{t)J2{alx) = [т^ор " -ПШein(a?<)] J2(<*iz).
Пример 43.6. Записать закон поперечных колебаний
однородной струны с закрепленными краями, вызванных
начальным распределением скоростей ф(х), если среда оказывает
сопротивление, пропорциональное смещению струны от
положения равновесия.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
utt = aruxx - qu, q ^ 0, 0 < x < /, t > 0,
u(z, 0) = 0, щ(х, О) = ф{х), (43.41)
u(OJ) = ti(M) = 0.
Согласно схеме разделения переменных, для определения
функции Х(х) получим задачу Штурма-Лиувилля
а2Х"(х) - qX(x) = -\Х(х),
Х{0) = Х(1) = 0
380
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
со спектром собственных значений
\n=wl+q, wn = ——, n= Loo (43.42)
и соответствующим ортонормированным набором собственных
функций
/2 7Г77.Ж
J ein—- (43.43)
Уравнение для функций Tn (t) с учетом (43.42) имеет вид (42.75)
TZ(t) = -(u,l + q)Tn(t), т„(о) = о, т;ло) = 1
с решением
Tn(t) = — eini/ni, vn = у/ш* + q. (43.44)
Согласно (42.82), фундаментальное решение смешанной
задачи (43.41) запишется в виде
. ^—v 2 . жпх . жпу .
д(х, у, t) = 2_j J— sm —r~ sin —r~ sin ^**
Формула (42.105) дает решение исходной задачи
u(x,t) = (i>{y)\g{x,y,t)) =
Е2 . 7ГПХ . t f ., . . 7ГП'У
-— sm —— sm i/n< / -0(2/) sin —— dy. (43.45)
71 = 1 0
При g = 0, как следует из (43.44), vn — ип и решение (43.45)
переходит в решение для свободных колебаний.
Таким образом, учет сил сопротивления,
пропорциональных смещению, не вносит принципиальных изменений в
характер колебаний струны, изменяя лишь спектр частот шп ->
Пример 43.7. Решить пример 43.6 при условии, что сила
сопротивления среды пропорциональна скорости отклонения
струны от положения равновесия.
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 381
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
utt + ant — a2ur:r, a ^ 0, 0 < х < Z, t > О,
u(z, 0) = 0, <и,(ж, 0) = ф{х), (43.46)
u(0,i) = ti(/,t) =0.
Задача Штурма-Лиувилля для функции Х(х) имеет
известный набор ортонормированных собственных функций
Хп(Х) = у/1вш™ (43.47)
с собственными значениями (см. пример 43.6 при q = 0)
7Г7Ш
A„=w-, шп = ——, п=1,оо.
Уравнение для определения функций Т„ с учетом (43.46), (43.47)
можно записать в виде
T';(t) + aT'n{t) = -u>iTn{t), T„(0) = 0, Т/,(0) = 1. (43.48)
Поскольку корни характеристических уравнений для
уравнения (43.48) определяются из выражений
fc?.2=.-f ±V(f)"~W2, (43,49)
то его решение существенным образом зависит от
коэффициента сопротивления а.
1. Пусть (а/2)2 < ш\ < (жа/l)2. В этом случае для всех
п корни характеристических уравнений являются
комплексными числами и частное решение задачи Коши (43.49) имеет
вид
Tn(t) = ±-e-at'2wivnt, vn = yjwl - (|)2. (43.50)
Функцию g(x,y,t), согласно (42.82), можно записать в виде
,ч v^ 2 . жпх . тгпу' _п*/о .
g(x,y,t) = 2_j-—sin-— sin——e a''-smi/n$, (43.51)
n=i
382
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
откуда в силу (42.105) найдем решение задачи
и(хЛ) = (ф(у)\д(х,у,г)) (43.52)
или в явном виде
оо 1
u(x,t) = e-"t/2 V — *„ sin ^dni/„t. (43.53)
* 71 |
»=1,у» /
где
%t = jjt(y)An^dy. (43.54)
о
При a = 0, как следует из (43.53), ^п = wn и решение переходит
в решение для свободных колебаний.
При наличии сопротивления среды (а ф 0) характер
колебаний струны, согласно (43.53), принципиально отличается от
характера свободных колебаний. Это отличие заключается не
только в изменении спектра частот
wn -> "» = \J"i ~ (|) ,
а главным образом в том, что колебания за счет множителя
— nt/2
е I со временем постепенно затухают, так что
lim u(X)t) = 0.
t-юо
2. Пусть (а/2)2 =. ш\. В этом случае корни
характеристических уравнений (43.49) для n ^ 2 по-прежнему комплексны,
а для п — 1 они действительны и кратны. В связи с этим для
функции g(x,y,t) вместо (43.51) имеем
</(.г% j/, *) = -с Г/ |* em — sin — +
Е1 . жпх . -кпу . 1 nft„r.
— sin —у— sin —r— sin unt >, (43.55)
и соответственно решение исходной задачи (43.46) запишется
в виде
I С 7Г7* 1 7Г77Т ^
u(x,t) = e-a'/2«*isin— + ]Г —Фпвт—-sinvnt\, (43.56)
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению 383
где г/п и Ф„ определены формулами (43.50) и (43.54).
Из решения (43.56) видно, что, как и в предыдущем
случае, колебания со временем затухают, причем все гармоники с
п ^ 2 затухают гораздо быстрее, нежели основная гармоника с
п = 1, которая при больших временах описывает практически
апериодическое по времени поведение струны.
Если функцию ф(х) выбрать ортогональной собственной
функции Xi(x) = siii(irx/l), то Ф1 = 0 и основная
гармоника п — 1 в решении (43.56) отсутствует.
3. Пусть (а/2)2 = Uo. В этом случае корни
характеристических уравнений (43.49) определяются следующим образом:
для п — 1 они действительны и различны;
для п — 2 они действительны и кратны;
для п ^ 3 они комплексны.
В связи с этим функция д(хч у, t) определится соотношением
0(з,2Л*) = те \ — sin — sin — sh i/i< +
. 27гж . 27Г?/ y-^ 1 • 7ГПХ • 7ГП2/ • 1
+ £ S111 —7— Sill —т1- + > Sill —г— Sill —г— Sill l/nt >,
Z I *—* vn I I )
u=3
где
*"= Уй)2-"»' "" = \M-(f)2' (43-57)
и соответственно для решения исходной задачи получим
u(x, t) = тс /-S —*i sin -г- sh i/^ + *Ф2 sin —р- +
I Ivi I I
Е1 т . 7ГПЖ . Л
— ФП8Ш—-8Ш1/„П.
н=3
В общем случае, если
wfc-i < (^J <^fc>
то решение задачи (43.46) имеет вид
и(з, *) = е-в'/3{ У —Фп sin ^ AM+
п = 1
384
Глава 7, Уравнения гиперболического типа
— Ф„ sin —— em i/w< \. (43.58)
Если же а удовлетворяет условию (a/2)2 — ш^ то
fc-i 1 ,
I 7ГТ1T* "^
+ 2J — *nsin—i—sini/„tk (43.59)
n=k + l
В формулах (43.58) и (43.59) частоты vn и vn определены
соотношениями (43.57).
Пример 43.8. Решить пример 43.6 при условии, что сила
сопротивления среды пропорциональна скорости смещения
струны от положения равновесия и на струну действует
вынуждающая сила f(x) sin wt.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
utt + a-щ — a2uxx + f(x) sinwJ, a ^ 0, 0 < х < /, t > О,
u(x,Q) = ut(x,Q) = "(<М) = u(M) = 0.
Из решения примеров 43.6 и 43.7 известно, что
#(ж, у, t) = 2^ 7— sin —г- sin —— е ' sin i/nt, (43.60)
»»=1
если (а/2)2 < ш2. Соответствующее этому условию решение
имеет вид
i ±\ V^ 1 л • 7ГПХ
u(x, t) = > —Фп sin —— х
n=l Vn '
t
х f е~а{*-т)/2 sinwTsin vn(t - т) dr. (43.61)
Здесь
*» = f / /(ж)sin nnd»' (43-62>
44. Сферические волны
385
а vn определятся формулой (43.57).
Вычислив интеграл по времени в (43.61), найдем
t
I e~nc{t~T)/2smuTsmVnft -r)dr =
о
= ——i (ш^ — ш2) smut — wacosu;t+
+ ue~at/2 [a cos unt + Ш" + "n " 2Ufl sin i/nt] }, (43.63)
где
Пя=ы3+а;2-4ы3|/2, (43.64)
что позволяет записать решение исходной задачи следующим
образом:
оо 1
Vs 1 ^ • 7ГПХ Г *> *>ч •
u(x^t) — у. 7Г"*« sm —;—^ (^н — W) smwt — cjacosa;<+
2 I 2 О 2
+a;e-Qt/2[acos/V>+Ct; " ~ ^ 8ini/wt]}. (43.65)
Легко убедиться, что при а — 0 решение (43.65)
переходит в решение (43.63), не учитывающее сопротивление среды.
При а ф 0 решение (43.65) принципиально отличается от
решения, полученного в примере 43.7, тем, что явление резонанса
отсутствует для любых частот вынуждающей силы. Сила
сопротивления среды, таким образом, играет роль фактора,
стабилизирующее процесс колебаний. Со временем колебания с
частотами i/n в (43.65) затухают, что приводит к
установившимся колебаниям с частотой ы, т.е.
оо 1
u(x,t) = у^ — Ф wsin —j— {(ш2г — uj2)smujt — wacoswt}. (43.66)
n = l
Пример 43.7 позволяет обобщить решение задачи (43.65) на
произвольное значение коэффициента сопротивления а.
44. Сферические волны
Часть многомерных задач может быть сведена к
одномерным.
386 Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Ранее был рассмотрен процесс распространения волн на
полупрямой. Покажем, что распространение волн,
возбуждаемых точечным источником, в пространстве допускает
аналогичное описание.
Если задано краевое условие в точке
utt-a2Au = 0, (44.1)
du I
a) u\?=o = <p{t) либо б) — ='</>(<),
or lf=o
то решение уравнения (44.1) можно искать в виде
u(f, t) = u(r, t), где г = |f|. (44.2)
Запишем оператор Лапласа в сферической системе координат
1 3 ( 0ди\ 1 д2и 1 3 /. Лди\ ,ЛЛП^
г2 Зг V Зг/ г2 sin" 6 д(р2 г2 sin 0 д0\ дВ/
Поскольку функция u(r, t) (44.2) не зависит от 0, (р, уравнение
(44.1) примет вид
Заметим, что
Действительно,
1 д ( 2ди\ 1 д2
>d2w\ 2ди д2и
H.fra^ = if2r—+ га—1 = ?—+ ,
г2 Зг \ Зг / г2 L 3r 3r2 J г Зг Зг2'
г дг\ дг / г дг L Зг J r L Зг
32и
З^2
и соотношение (44.5) выполняется. Тогда уравнение (44.4)
можно записать в виде
2 /а2
utt-— 5pH = 0. (44.6)
Г С/Г"
Обозначив ru(r, tf) = v(r,£), получим для функции 'tf(r\£)
уравнение
vtt - a2vrr = О, г > 0, (44.7)
45. Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 387
совпадающее с уравнением колебаний одномерной струны.
Общее решение уравнения (44.7) нам известно:
v{r, t) = Л(< + г/a) + f2.(t - г /а), (44.8)
где Д и /з — произвольные гладкие функции. Тогда для u (r, t)
получим
u(rt)=fl(t + r/a) + Mt-r/a)
Г
Это — общее решение уравнения (44.1), описывающее
процесс распространения возмущения, создаваемого сферически-
симметричным (не обязательно точечным) источником,
расположенным в начале координат (?= 0).
♦ Функции u(r,t) вида (44.9) называются сферическими
волнами.
Рассмотрим граничные условия типа а) в точке г = 0.
Пусть u(0,<) = <p(t)i где функция (p(t) ограничена. Тогда
v{0,t) = ru(r,«)|r=0 = 0, h(t) = -f2(t) = f(t)
и, следовательно,
,M.)=/(t + r/a)-/('-r/a)- (44.10)
Г
Перейдем в (44.10) к пределу г -> 0:
\imu(r>t)=-f(t)=ti(0,t) = <p(t),
r->o a
т.е.
t
яч-1/.
(p(r)dr.
о
Следовательно,
t+r/a
u(r,<)= — / (p(r)dr. (44.11)
t-r/a
Краевая задача типа б) решается аналогично.
О Амплитуда сферической волны (если \f(x)\ ^ а)
убывает не медленнее, чем обратно пропорционально расстоянию до
центра.
388
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
45. Задача Коши для уравнения Даламбера
в пространстве
Рассмотрим задачу о распространении колебаний в
бесконечном объеме — задачу Коши для волнового уравнения во
всем пространстве (х Е Шп):
utt=a2Au + F(x.t), u = u(x,t), t> 0, (45.1)
u(x, 0) = <р(х), щ(хч 0) = ф(х). (45.2)
45.1. Метод усреднения и формула Кирхгофа
Теорема 45.1. Пусть функции (р(х) иф(х) соответственно
трижды и дважды дифференцируемы в К3, а функция
f(x,t) непрерывно дифференцируема по всем своим
переменным. Тогда классическое решение задачи Коши (45.1), (45.2)
(х G К3) имеет вид
\.v-y\=at \x-y\=at
\y-x\^.at
Соотношение (45.3) называется формулой Кирхгофа.
Доказательство. Решение задачи (45.1), (45.2) представим в
виде
u(x,t) = й(ж, t) + y(f, f,), (45.4)
где функции й(х, t) и и(хЛ) являются решениями следующих
задач:
utt = a2An, t > 0; (45.5)
й(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х) (45.6)
и
vu = a2Av + F(x%t)% t > 0; (45.7)
v(x.0) = г>,(ж,0) = 0. (45.8)
45. Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 389
Решение задачи (45.5). (45.6) основано на искусственном
приеме, использующем усредненные по части переменных
величины. Положим х — у + -R, где
R — R(cosOcos(p, sin 0 sin у?, cos0),
и рассмотрим функцию
й(у,Д,*) = ^з <fu{v + R,t)dS. (45.9)
где Sr — сфера радиуса R с центром в начале координат,
dS = Д2<Ш, dQ, = sin 6d6d(p. Ее можно записать в виде
й(учНЛ) = -!- £u(y + R,t)dn. (45.10)
47Г J
Интегрирование проводится по полному телесному углу Q.
Очевидно, что й(у, 0,/-) = u(y,t) и
Ах'й(у + RJ.) = —utt(y + R,t). (45.11)
Оператор Лапласа А^ действует на переменную R.
Проинтегрируем левую и правую части соотношения (45.11) по шару
Vr радиуса R (переменной Д). По формуле Остроградского
f^d*=fdidS=fR2didn-
Vr Sr Sr
Поскольку для сферы du/dn = da/OR, то
[(Agu)dR = R2— AudQ.
vR
Последний интеграл, согласно (45.10), равен 47гй. Таким
образом,
(A*«)«Ui=4*A*2S&M. (45.12)
v1{
/<
390
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Рассмотрим теперь интеграл по объему Vr от правой части
соотношения (45.11)
л С 1 /i2 с
-^ \ utt(y + R<t)dR= —^2 / u{y + R,t)dR =
Vr VR
R
= ^W\ IR2dR(fu(y + ^t)dn}'
о n
Внутренний интеграл равен 47гй. Следовательно,
R
л г _ 47г д2 Г
-з / utt(y + R,t)dR =~2q^2 R2MR. (45.13)
vR о
Приравняв правые части соотношений (45.12) и (45.13),
получим
о
Продифференцируем левую и правую части (45.14) по R:
m\RdR) = -*w- (45Л5)
Сделаем в (45.15) замену w = v/R (аналогично разд.
«Сферические волны»):
ш = *w (45Л6)
Следовательно,
*(At)=*(* + f)-*(*-£), («•")
так как ii(0,£) = u(y,t) существует, что возможно только при
условии 17(0, t) — 0. Следовательно,
ад«)=5М'+!)-»(<-1)]' (45Л8)
причем
«(0. to) = |яг'(*о) = «(у, *о). (45.19)
45, Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 391
Построим функцию L
Очевидно, что при R = 0 и t = to
= -(j'[t + -).
а V а /
л=о = ^/(*о)=й(У,<о).
(45.20)
(45.21)
Аналогично при Я = «f-o, t = 0
f=0 = "V(*o) = й(2/,<о),
i?=«t0
но
u{y<R,Q) = -j- /й(у + Я,0)<й1 = ^- <(<p(y + R)dSl (45.22)
47Г У 47Г у
и
tL=^f^+J^°- (45-23)
Подставим (45.23) и (45.22) в (45.20) и воспользуемся явным
видом функции L (45.21):
mRhfa*+&)da+laRi
ф[у + В)в£1
47Г
t=0
R=at0
= й(зМо).
Обозначив y = x,to = t, запишем
й(ж, t) = — kpt Ф (p(x + R)d(l + * Ф ф(х + #)dft ,(45.24)
п п
Д = at (cos у? sin 0, sin (p sin 0, cos 0).
Таким образом, получили решение однородного волнового
уравнения с произвольными начальными условиями во всем
пространстве.
Положив у = х + R и перейдя от двойного интеграла к
поверхностному по сфере \х — у\ = at, из соотношения (45.24)
с учетом dSу = (at)2dil придем к формуле
\x-y\=:at \2-y\=at
(45.25)
392
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Для решения неоднородного уравнения (45.7), как и в
одномерном случае, воспользуемся принципом Дюамеля,
задающим решение v(x, t) в виде
t
v{x, t)= I U(x4 U r)dr, (45.26)
о
где U(xJ.,r) является решением задачи Коши
Utt = a2AU, (45.27)
tf|f=r = «- Ut\i=r=F(x4r).
Непосредственной проверкой, как и при доказательстве
утверждения 40.1, убеждаемся в справедливости (45.26). Далее,
воспользовавшись формулой (45.25), выпишем решение задачи
(45.27)
\Jc-y\=a(t-r)
подстановка которого в (45.26) дает
t
О \3-jj\=a(t-r)
откуда заменой t — г — г/а находим
в(М)=4^У1 J г dST =
о \х-ц\=т
\x-y\<ut
Подстановка (45.25) и (45.28) в (45.4) дает формулу Кирхгофа
(45.3), что и требовалось доказать.
О Формула Кирхгофа (45.3) остается справедливой и для
пространства размерности больше трех, т.е. х Е Mn, n ^ 3.
45, Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 393
Пример 45.1. Решить задачу Коши
utt =a2Au + f(x,t), xGl3, (45.29)
Ч=о = ^£ь 4=0 = wx), (45-3°)
если
a2 = 8, /(ж, t) = я2/.2, <р(х) = ж!, ч/»(ж) = ж§. (45.31)
Решение. Решение задачи задается формулой Кирхгофа
ч*«>-ет / гМ*'-1*^1)**
+5S / ^W + ^[7 / *«Н. (45.32)
Первый интеграл в (45.32) представляет собой тройной
интеграл по шару радиуса at
(я-У)2 ^ W)2»
а остальные два — поверхностные по сфере (х — у)2 = a2t2.
Для их вычисления удобно перейти в сферическую систему
•координат с началом в точке х — (жх, Хо, жз)
уг = xi + psin 0 cos <р,
2/2 = жз + р sin 0 sin (p, (45.33)
Уз = ^з + pcos<p.
Вычислим первый интеграл в (45.32). С учетом (45.31) имеем
h=-^x (45.34)
47га-
Г Уг [t - У(У1 - *i)2 + (Уз ~ х2)2 + (2/з ~ аз)2/в]"d-
■/ л/(2/1 " *i)2 + (Уз - х2)2 + (</з - *з)2 У
\jj-x\^at
К, перейдя в систему координат (45.33), запишем
at тг
Д = / о2 dp / sin0d0x
47ra- J J
394
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
2тг
X
О
jdip(x1+pSinecosr)4t-p/ay- (4535)
Последовательное вычисление интегралов
2тг
/ (х1 -г р sin 0 cos (p)2d<p = 27ra>i + 7rp2 sin2 0,
о
7Г
/О
(2тгжI + тгр2 sin2 в) sin BdB = 4тг (ж? + ^-)» (45.36)
о
дает
~ 1 , ,ггт*" а2*6] «Л*
180'
а поскольку а2 = 8, то
ь-^+яЛ <45ЭТ»
Вычислим второй интеграл в (45.32). С учетом (45.31) имеем
|у-а?|=а*
27Г 7Г
= -—77 d(p (х3 +at cos О)2 (at)2 sin OdO =
о о
* /* о /о a2t2\
= - / (^з + a£cos0)2sin0d0 = <(ж2 Н J
о
или окончательно
/з = *(*!+—^). (45.38)
45. Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 395
Аналогично вычислим третий интеграл в (45.32)
2тг я-
/3 = / y\dS' = I d(p I (х2 + at sin 9 sin <p)2(at)2 sin BdB =
\$-3\=at 0 0
= 4n(at)2(>c2 + ^f),
откуда
13/1
1з =
4тга2 dt
или при а2 = 8
(7*)*я[«Н + г?)]"8 + Л*
/3 = ж2 + 8*2. (45.39)
Подставив (45.37), (45.38) и (45.39) в (45.32), найдем
x2t4 2 / 8£2\
и(хих2,х3Л) = ^ + ^t6 +t(x2 + —) +(x22 + St2).
Непосредственной проверкой убеждаемся в правильности
полученного результата.
45.2. Метод спуска и формула Пуассона
Теорема 45.2. Классическое решение задачи Коши (45.1),
(45.2) при х G Ш2 имеет вид
"(*') = 2^ /
ф(у)<1у
у/аЧ*-\х-у\*
\g-$\<at
27га
-■-■--/
Idt J у/аЧ*-\£-у\*
\|x-y|<at
+
, J_ fdr f F(y,r)dy
2тга J J ^a2(t-r)2-\y-x\2
i f mdy
2тга J ,/a42-\x-y\2 V
|y-.P|<ot
396
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
где (р(х) - двукратно, а ф(х) - однократно непрерывно
дифференцируемые функции в М2, а функция /(ж, t) непрерывно
дифференцируема по всем, своим переменным.
Соотношение (45.40) называется формулой Пуассона
задачи Коти для волнового уравнения в R2.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 45.1,
воспользуемся редукцией задачи (45.1), (45.2) в виде (45.4)-(45.8),
положив в них жЕМ2. Для нахождения функции й(ж, /.)
используем метод спуска, предложенный Адамаром и позволяющий
по известному решению в 1R'1+1 строить решения задачи
меньшей размерности (ЕА+1 с к < п). Смысл метода заключается
в том, что решение (45.25) можно рассматривать как решение
в12, положив начальные условия зависящими только от х\
и Ж2, т.е. (р(х) = <p(xi,X2)< Ф(х) = Ф(х1,Х2), и учитывая, что
дй/дхз = 0.
По известной из анализа формуле сведения поверхностных
интегралов к двойным имеем
/ /(2/1, 2/2, V3)dS =
S
/(Уь 2/2i2/з(2/ь2/2))i/l+ [q-^) + \q^) dyidy2,
E "
где Е - проекция поверхности S на плоскость уз = 0.
Применим эту формулу к (45.25) и учтем, что поверхность 5:
\х - 2/1 = at или х3 - 2/з = ±у/аЧ2 - (хг - ух)2 - (х2 - у2)2
проецируется на плоскость уз = хз дважды (верхняя и
нижняя полусферы). Учтем также, что
дуз _ , хг -2/1
дух у/аЧ2 - (хг - уг)2 - {х2 - у2)2
дуз _ х2 - 2/2
дУ2 ~ у/аЧ*-(х1-у1)*-(х2-у2)*'
'дуз\2 , /ду3\2 t
У1 + (щ) +(а|) ~^/aW
(хг - уг)2 - (х2 - у2)2
В результате для ж, у Е Р.2 получим
U^t]'2ica J Ja2t2_\z_W +
у/аЧ2-\х-у\2
\x-y\<at
45. Задача Коши для уравнения Даламбера в пространстве 397
Id f PdDdy
+ 2^dl J y/a4*-\S-W (45'41)
\x-y\<at
Применив теперь принцип Дюамеля, функцию v(x, t) в М2
(см. теорему 45.1) с учетом (45.41) запишем в виде
*(*, t) = ^-[dr f / F^T)d" (45.42)
О \2-$\<a{t-r)
Подстановка (45.41) и (45.42) в (45.4) дает формулу Пуассона
(45.40), что и требовалось доказать.
О Применив метод спуска к формуле Пуассона, получим
формулу Даламбера (37.2).
О Устойчивость решений задачи Коши (45.1), (45.2) в Ш2
и Е3, т.е. формул Кирхгофа и Пуассона, доказывается так же,
как и устойчивость формулы Даламбера.
О Формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера описывают
сферические, цилиндрические и плоские волны
соответственно.
Пример 45.2. Решить задачу Коши
utt = a2A-a + /(ж, f.), x G М2, (45.43)
u|f=0 = p(f). 4=o = V'(*b (45.44)
если
a = 1, f(x,t) = 6xix2t, (p(x) — x\ — x\, ф(х) = x\X2- (45.45)
Решение. Решение задачи задается формулой Пуассона (45.40)
t
к ' ' 2naJ J л/а2(<-г)2-|у-£|2
О |j?-.f|«.(t-r)
1 Г фЩу
<p{y)dy
у/аН*-\г-у\
\y-x\<at
+ 2^& У л/а2<2-!£-#' (45'46)
\y-x\«tt
398
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Все интегралы в (45.46) представляют собой двойные
интегралы по кругу радиуса at
Ы ~ zi)2 + (У2 ~ х2)2 ^ (at)2,
для вычисления которых удобно перейти в полярную систему
координат с началом в точке х = (#i, х2)
У\ = ®i + pcos <р, 2/2 = ж2 + psin (p. (45.47)
Тогда для первого интеграла из (45.46) с учетом (45.45) и
(45.47) имеем
г / 6yiy2rdyidy2
ji =
/
y/a*(t - г)'- - (У1 - Xl)* - (уз - х2у-
\H-x\<a(t-r)
= 6r "Tpdp 7dip(^ + pcos<p)(x2+psin9) (45 48)
J J y/a2(t-r)2 - p2
о о v
Последовательное вычисление интегралов
2тг
/ (#i + pcos(p)(x2 + psin(p)d(p = 2ttxix2i
о
a{t-r)
t pdP =_Va2{t_T)2_ p2\ait-r)=a{t_T)
0
дает
/i = 6r27rx1x2a(t - r). (45.49)
Величину Ji, согласно формуле Пуассона (45.46), следует еще
проинтегрировать по т, тогда
t t
7i = -— I hdr = 6xxx2 / r(t - r)dr = xxx2t3. (45.50)
о о
Аналогично вычисляются два остальных интеграла.
Действительно,
, _ _1_ t yiV2dyidy2
2 " 2™ J yja2t2 - (У1 - x\)2 - (y2 - x2)2 "
\y-x\^at
46, Смешанная задача в пространстве
399
at lit
1 /* А Г
= ьГа} JaH^- * I {Xl + '"» 9){X2 + PSi" ^ =
XiXo Г
~ a J
\Га*г* - р*
о v о
at
ffj , = *i*2*. (45.51)
х/аН- - р-
о v
В свою очередь,
I-
- /
у/аЧ2 - (2/i - хх)2 - (уз - ж2)2
|y-.f|<at
at 2тг
= / / ^f о /[(^i + pcos^)2-(x2+psm^)2]d^ =
J \/a-t- — о- J
о v о
at
= 2tt(xJ - x\) / f / = 2tt(xJ - ж|)а<.
j Weft" — p"
о
Отсюда
7з = il[/3] = m[t(xl"ж*)] = xl"**• (45-52)
Подставив (45.50), (45.51), (45.52) в (45.46), получим
U(x,t) = ZiZ2<3 + X\Xot + x\— X'o.
Непосредственной проверкой убеждаемся в правильности
полученного результата.
46. Смешанная задача для волнового
уравнения в пространстве. Метод Фурье
Рассмотрим задачу о распространении волн в ограниченных
пространственных и плоских телах. Начнем с исследования
колебаний круглой (радиуса К) мембраны с закрепленным краем.
Обозначим через ti(r, </?, t) отклонение точки мембраны с полярными
координатами (г,</?) в момент времени t от плоскости хОу. Как
было показано в разд. «Уравнения поперечных колебаний мембраны»,
математическая постановка такой задачи имеет вид
utt=a~Aoti, u = u(r.<p4t)i (46.1)
u(r,v?,0) = gi(r,tp), ut(r,v?,0) = </2(r,v?), it(R,(p,t) = 0,
400
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Частное решение будем искать в виде u(r, (p,t) = T(fc)V(r, </?).
Подставив его в уравнение (46.1), получим
Т"Г = ааТД2Г или 11 = 5!!|М- = А.
Тогда
Т" - ЛТ = 0, \Т\ < оо, (46.2)
A2Y-^Y = 0. (46.3)
а**
Частное решение уравнения (46.3) ищем в виде К(г, </?) = /(г)#(</?).
Так как
2 гдгУдт) * г* dtp*'
то
-тг(г/)+—* -—«/ = 0.
г с/г г- а-.
Домножим это уравнение на г2/(Ф/) и получим
г д , Лг2 *"
7^(г/)-^- = -Т = ^
Следовательно,
ф" + /i$ = 0, (46.4)
r3/f'+r/'-(^+ji)/ = 0. (46.5)
Для уравнений (46.4) и (46.5) из постановки исходной задачи
вытекают следующие краевые условия:
Ф(</> + 2тг) = Ф(</>), |Ф(<р)| < оо,
(46.6)
/(Д)=0, |/(г)|<оо, О^г^Д.
Уравнение для Ф(<р) (46.4) с периодическими условиями (46.6) при
/i = ±п2 имеет решение
ФГ|(</?) = А„ cos rup + В„япп^, п = 0,оо. (46.7)
Следовательно, для определения /(г) получим уравнение
г2/" + г/' + (7гЭ-п2)/ = 0, 7 = -^-, (46.8)
с условием
f(R) = 0, |/(г)| < оо, 0 ^ г < Л,
46. Смешанная задача в пространстве
401
т.е. задачу, решение которой получено в разд. «Задача Штурма-
Лиувилля для уравнения Бесселя» части III:
т=(^)2, fc = T^,
где а£ — положительные корни уравнения Jn(a) = 0,
а
/».*(r) = C„.*J„(aJ^). (46.9)
Наконец, для функции T(t) получим уравнение
о
Т" + (ш„к)2Т = 0, где a£* = £aJJ, (46.10)
общее решение которого имеет вид
Tn,k = Dnk coswnkt + E„k sinwnkt. (46.11)
Следовательно,
u(r,v,t) = 22 [An,kCoswnkt + Bntksinwnkt]x
xJn (a" — ) [Cn cos rap + Dnsmmp]. (46.12)
При этом должны выполняться начальные условия
gi(r,(p) = }j Ank(Cn cosmp + Dn smny?)Jn (a£ — j,
n,k
92{r,(fi) = }^п,кВпк(Сп cosmp + Dnsmn<p)Jn(ai-=? j.
»,*
Разложив функции </i(r, </?) и </2(r, v?) в ряд Фурье, найдем, что при
п > 0
2тг R
АпкС,г = -гу»г7//апчр / dv? / rdr{^(r^)J"(a^) cosnyj;
о о
2* Я
А"^" = ^jf^njp / d4> j rdr[gi(г, <p)J„ (otfj) sinnV};
402
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
ш»*в»кС» = ^[i(«iop/dy/rdr{ga(r'y)J"(a^) cosnv};
о о
"»kB»kD" = ^[j?(al?)?/dy/rdr{g2(r'y)J"(a*l) 85ПЧ
и при п = О
AotCo = *ЯШ«0»)]3 /^/rgt(r,y)Jo(^aat)dr;
О О
тт Я
О Если функции с/1 и 0о зависят только от одной переменной г,
то полученные формулы дают решение задач, рассмотренных ранее
в разд. «Задачи, сводящиеся к одномерному волновому уравнению».
Пример 46.1. Записать закон поперечных колебаний однородной
прямоугольной мембраны О^ж^р, 0 ^ у ^ q с закрепленным
краем, если колебания вызваны непрерывно распределенной по
мембране поперечной силой с плотностью
f{x,y,t) = xexp(-t)sinf—у J.
Я
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
2/ ч ! / ч • /27Г \
un = a (uxx +uyy) + -xexp(-t)sm —у J,
9 \ Я /
u\x-Q = U\x=p = U|y = 0 = U\y=q = 0,
u|t=o = ut\t=o =0, О^ж^р, 0 ^ у ^ g.
Рассмотрим вспомогательную однородную задачу
utt = a2(iixx +йуУ),
«U=o = «U=P = w|y=0 = ti|y=<l = 0.
Частное решение будем искать методом разделения переменных
u{x,y4t) = v(x4y)f(t).
46, Смешанная задача в пространстве
403
Отделив переменную £, получим уравнения
f" + a2 AT = 0, vxx + vyy + Av = 0
с граничными условиями
0(0, у) = 0, v(p. у) = 0, «(ж, 0) = 0, v(x, q) = 0.
Решение последней задачи ищем в виде
v(x,y) = X(x)Y(y).
Разделим переменные и получим
X" + vX = 0, Х(0) = Х{р) = 0 (46.13)
и ^
У" + /хУ = О, У(0) = У («) = 0, (46.14)
где /i + z^ = А. Решение задачи Штурма-Лиувилля (46.13) имеет вид
~ 717Г / 717Г \ *
Xn{x) = Bns\n—ж, и = I— , п = 0, оо,
Р V Р /
а задачи (46.14) — вид
Таким образом, собственные значения
соответствуют собственным функциям
Zt / ч « ЯЪ7Г /7717Г\2
У»» (у) = В„ sm у, /i = I ) , т = 0, оо.
?венные значения
*••-= (т)+ (т)
/ ч „ . П7Г . 7П7Г
W»»,m(3I,t/) = 5n,m S1I1 Ж Sill у,
Р Я
где Б„,т — константа. Выберем ее так, чтобы норма функции vn,n
с весом 1 равнялась единице, т.е.
р ч р ч
/ / vltm(x,y)dxdy = Б2,,,, / sin2 —xdx / sin2 ^p/dy.
о о
Тогда
в - Г
V ря
404
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
и собственные функции однородной задачи имеют вид
. ч / 2 . П7Г . 7717Г
fn.m (ж, у) = л/ — sin —ism у.
\ pq p q
Решение неоднородной задачи будем искать в виде ряда по
собственным функциям однородной задачи
I СО ОО
щх,у,Ь) = х — > > 7».п» U) sin —х sin у;
V PQ P Я
n=l m=l
i CO CO
2 V"^ V^4 // /.ч . ЛЯ" . 7П-7Г
V pq ^ , p я
n=l m=l
(7717Г \ " /2 V-^N V-^n . П7Г . 7717Г
—J у й ^ l, ^m^sin уж sm -7-*"
n=l m=l
u" = ~v7V V^^7n,ro()smyxsmTy"
n=l m=l
Тогда исходное уравнение перепишется в виде
СО ОО о 0
2 V^4 V4 Г // . 2 2 / ГС" т" \ 1 . П7Г . Ш7Г
-^2.2Лт"",+а * 1^ + 7"ГпНипТя!ППТ!'1
v n=l m=l
= -жехр(—nsin —у .
Р W /
Разложим правую часть в ряд Фурье по sin(m7ry/g):
Е . Ш7Г . 27Г
/3m sin у = sin —у, /Зт = дт2.
Ч Я
m—l
Тогда 7»»,т = 7»,2<$т2 И
2 Vх Г " i (п2 ■ 4 А 2 21 . птг 1 _е
«=i
Разложим функцию хе~1 / р в ряд Фурье по sin(?i7r:n/p):
-хе = у y„(t)sm—ж,
Р ^—' Р
46. Смешанная задача в пространстве
405
где
р
. 2 f 1 _t . гаг
</„(£) = - / -же sin—xdx =
PJ P P
о
р
2 _е г р гаг \р , р /* П7Г
= —е .гcos —х\ Н / cos —xdx
Рр L 777Г р |о П7Г У р
о
.[-(-!)ȣ.
2е-'
рр
= -(-1)»^е-'.
П7Г/0
Приравняем коэффициенты при sin(7roa;/p). Получим
7::,+7..»(£ + £)«v = -(-i)"^-^-
птгр
Обозначим
/п" 4 \ •> о
Vp- г/
Общее решение однородного уравнения (46.15) имеет вид
7П)о = j4„,2 cosa;„,2t + #»>,2 sinu;,,,*^.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Тогда
7»,2 = С„ое ', (7,*,2)" = Спое '.
Т17Г/9
С»,2 = —
(-i)wpygg
(46.15)
twrp(l + ci£|3)
Общее решение неоднородного уравнения запишется в виде
/*\ ^ *_LR • * (-1)>у^ -t
7»,2(£) = -An,2 coswn.jt 4- BVi2 sina;„,'_)t —-—^—re .
П7г/9(1 + w-|2)
Из начальных условий найдем коэффициенты Ап,2 и Б„,о:
7«,2(0) = j4„,2 ^ . о v = 0.
-An ,2 =
П7гр(1 Н-о;^2)
(~1)пРу^ ,
гмгр(1 + о>- 3)'
406
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
Т.»,2(0) = BnflWn,i + /, , ■> ч = 0l
R (-l)"P^g
#»,2 =
и>п,2П7Г/э(1 +^2)'
Тогда
7»,2(t) = 7——^—r[cosa;„,2t smu;„,2t-e J.
П7г/э(1+и>-2) wn,2
Окончательно получим
и(х,уЛ) = У —-—ь— cosa;n,2t-
^-—' П7Г/9(1 + W- о) L
«=1 '"
1 -и • П7Г • 27Г
sinu;„2t — e J sin—х sin—у.
<*>»,2 ' р q
Пример 46.2. Оболочка сферического сосуда, заполненного газом,
начиная с момента времени t = 0 совершает малые гармонические
колебания вдоль одного из своих диаметров. Смещение оболочки
описывается законом Asinwt. Найти закон колебаний газа в сосуде
в предположении, что при t < 0 газ покоился.
Решение. Следуя разд. «Уравнения гидродинамики и акустики»,
введем потенциал поля скоростей и(ж, t):
v(x,t) = Vu(:c, t).
Потенциал ti(r,0,fc) поля скоростей является решением следующей
смешанной задачи:
iht = a2\ — (r2tir)r + ., . fl(sinOne)e k (46.16)
I r- r2 sin 0 J
t > 0, r < Д, 0 ^ 0 < тг;
u(r,0,O) = ut(r,0,O) =0, ur(R,0,t) = wA cos 0 cos wt. (46.17)
Функцию u(r,0,t) будем искать в виде
ti(r, 0, £) = t;(r, 0, t) - wAr cos 0 cos wL (46.18)
Тогда функция v(r, 0,t) — решение смешанной задачи
vtt = a2<—(r2vr)r + -^—:—-(sin0V0)0f — w3j4r cos0cosu;t;(46.19)
lr- r- sin 0 J
v(r,0,O) = u>;4rcos0, vt(r,0,O) = 0, vr(R,0,t) = 0. (46.20)
46. Смешанная задача в пространстве
407
Искать эту функцию будем в виде
ti(r, 0, t) = W(r, 0, t) + V(r, 0, t), (46.21)
где W(r, 0, £) и V(r, 0, £) определяются соответственно задачами
Wtt = a2\±(r2Wr)r + -Ti—(вт0ИЪ)Л; (46.22)
I r- r- sin 0 J
W(r,0,O) =uMrcos0, Wt(r,0,O) = 0, Wr(R,0,t) = 0 (46.23)
и
Vet = ar\\(7-2Vr)r + 0 * л (sin 0^)4 - u;3Ar cos 0 cos u;t; (46.24)
lr- r- sin 0 J
V(r,0,O) = Ve(r,^,0) = Vr(R,0,t) =0. (46.25)
Положим
W(r, 0, t) = X(r)Y(0)T(t). (46.26)
Тогда процедура разделения переменных в (46.22), (46.23) дает
-Д-[sin0r'(0]' + XY(9) = 0, (46.27)
81П0
\Y{9)\ < oo, 0 < в < тг;
[г2Л"(г)]' - A*(r) + 1/*г2ЛГ(г) = 0, (46.28)
|Х(0)|<оо, Xf(r)\r=R = 0;
T"(t) = -a2v-T(t)< T'(0) = 0. (46.29)
Задача (46.27) есть задача Штурма-Лиувилля для уравнения Ле-
жандра. Ее решение имеет вид (см. пример III.18.1)
Yn(0) =A„P„(cosO), A = n(n + 1), n = 0,oo. (46.30)
Заменой X(r) = Z{r)/ \fr сводим задачу Штурма-Лиувилля (46.28)
к задаче Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя (см. разд.
«Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя» части III). В
результате получим
Х„п,(г) = ^р„+./3 (7,',\+,/2 £), v„m = ^-. (46.31)
■z м + 1/2
где 'пг = 1, oo, a 7ni ~ корни уравнения
7^п+1/з(7) " j^»+i(7) = 0. (46.32)
С учетом (46.31) решение уравнения (46.29) можно записать
п+1/2
Tnm{t) = Cnm cos ^^ 1. (46.33)
408
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Таким образом, функция W(r,0, t) представляет собой следующую
суперпозицию (D„,„ = AnBntnCnm):
Л+1/2(7п.+ 1/2г/:^х
w{rAt) = Y,Y,D- \yr
»=0 m=l
»»+l/2
x P„(cos (9) cos ^^ 1. (46.34)
R
Коэффициенты D nm определим из начального условия
W(r\ 0. 0) = uAr cos 0 = wArP! (cos 0). (46.35)
Положив в (46.34) t = 0 и приравняв его к (46.35), получим
оо оо
£ S А....-/^.+1/2(Чт+,/>/Д)Р„(со80) = wArP^cosfl).
«=0 т=1
Это выражение домножим на
г»/*
2,7Л+1/2 f —^—^ JP*(cos0)sin0
и проинтегрируем по г и 0. Тогда
л
JT £ DnmfrJ„+l/2 (2й_>)Л+1/а (L^)dr x
r>=0 m = l jj
x / Pn(cos0)Pfc(cos0)sin0d0 =
0
R 7Г
/ If+ 1/2 ч f
r5/Vfc+1/2p-^Jdr/^
0 0
С учетом соотношений ортогональности для полиномов Лежанд-
ра
IT
/ Р..(спя й\ Pi.(спя Й\ sin ЙЛЙ =
2Л: Ч-1
/ P„(cos0)P*(cos0)sin0d0 = о? t л6нк
о
и функций Бесселя
R
/^lfl(^)w(^)*-h.(.(*«i)l
46. Смешанная задача в пространстве
409
$пк$п
выражение (46.36) можно записать в виде
tt«-BTih">(^"*i)l
n=0 rw=l
R
откуда
Du = и А-
||Л+1/з(7Г+1/-г/Д)||а
-Sik.
(46.37)
Правая часть этого равенства отлична от нуля только при к = 1.
Тогда
R
[r5/2Jzr_(j/2r/R)dr
Dnm = ША т-г; :
||Л/з(7?/2г/Д)||а
Подстановка (46.38) в (46.34) дает
-**.
(46.38)
W(r,0,t) = Y^wA —
fr5/2J3/2(j*l2r/R)dr
1=1
||J3/2(7/3/2r/B)|P
3/2
sF
7J*'2 (т'3/2^)Р,(с08<,)со8(^')- (46-39)
Если обозначить
frs/-Ji/2(^l2r/R)dr
N,
||J3/2(7,3/2r/H)|P
то (46.39) можно представить в виде
(46.40)
W(r,0.t) = ^a;A№^J3/2f7?/2^)cos^cosf^LH. (46.41
410
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Поскольку числа 7/ являются корнями уравнения
3/2 т/ / 3/2ч 1 7 , 3/2Ч Л
то норма в (46.40) запишется формулой
(46.42)
Ы^'Ш'Т^»^'
(^)>^">Г}.
которую с учетом (46.42) можно упростить:
2
М^Ш'-тЬ-т^]*^ (46-43>
(7,3/2)2
Таким образом, решение задачи (46.22), (46.23) задается
соотношением (46.41), где коэффициент Ni определен формулами (46.40)
и (46.43).
Заметим, что решение задачи можно было несколько упростить,
воспользовавшись явным видом начального условия (46.23).
Действительно, вместо (46.26) решение можно было искать в виде
W{r,e,t) = X(г) cos 0T(t) =X(r)Pi (cos O)T(t).
Перейдем к решению задачи (46.24), (46.25). Функцию V(r, 0. t)
ищем в виде разложения
оо
V(r^t)=Y,Si(t)^=J,/2[^/2^) cos0, (46.44)
где неизвестная функция Si(t) удовлетворяет начальным условиям
St(0) =5|(0) =0, (46.45)
вытекающим из (46.25). Граничные условия (46.25) выполняются в
силу (46.44).
Подстановка (46.44) в (46.24) с учетом (46.28) дает
f>''(t)-Lj3/2(7,3/2l)cos* =
оо 3/2 о
= ~Xl5/(^(^^T"^J3/2(7?/2^) cose~^Arcos w*.(46.46)
/=1 *
Для решения этого уравнения воспользуемся разложением
оо
г=£"'^/з(7?'3й' (46-47)
47, Обобщенная задача Коши для одномерного уравнения 411
где коэффициент Ni определен соотношениями (46.40) и (46.43).
Тогда Si(t) удовлетворяет уравнениям
(3/2 о
-^-У Sp(t) - ш3 ANt cos u>t, l = T^. (46.48)
Общее решение (46.48) находится достаточно просто и имеет вид
5,(0 = р, cos Ц-t + q, sin Ц-t + „ "'*%. (46.49)
Произвольные постоянные pi и <// можно найти из условий (46.45).
Действительно, подставив (46.49) в (46.47), находим
w*ANt
Pi = Тп ' 01=0.
с*>-(а7?/2/Я)2
Следовательно,
u>*ANt Г a7?/2 I
S/(£) = -тт cos art — cos —£-—1\
x-L./3/2(7(3/2^)cos0. (46.50)
Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
ti(r, 0, t) = W(r. 0. t) + V(r, 0, t) - wAr cos 0 cos art,
где W(r.0. t) определяется формулой (46.41), a V(r,0, t) - формулой
(46.50).
Эти формулы, а также формулы, определяющие коэффициент
Ni, можно упростить, используя выражение функций Бесселя через
элементарные функции, т.е.
^{х) = у^{^-совх)-
В этом случае интеграл (46.40) достаточно просто вычисляется по
частям, что мы и предлагаем выполнить самостоятельно.
412 Глава Г. Уравнения гиперболического типа
47. Обобщенная задача Коши
для одномерного волнового уравнения
Прежде чем перейти к обобщенной задаче Коши, напомним
некоторые сведения относительно классической задачи для
одномерного волнового уравнения (см. разд. «Задача Коши для одномерного
волнового уравнения»)
Пи(хЛ) = F(x,t). t> 0;
u(x,0) = <р(х), щ(х,0) = ф(Ь). "'
Здесь □ - одномерный оператор Даламбера
Решение задачи (47.1), как мы установили, дается формулой
(40.16) и состоит из трех слагаемых
u(x. t) = U(x. t) + V (ж, t) + W(x, t); (47.3)
Щхщ t) = ^-fdr f F(y, r)dy. (47.4)
0 x-a(t-r)
x+at
2a J
У{***) = 7Г / *1У)*У* И7.5)
W(x, t)=^ [<p(x - at) + <p(x + at)], (47.6)
которые иногда называют запаздывающими потенциалами, причем
потенциалы (47.5) и (47.6) - запаздывающими потенциалами
простого и двойного слоя с плотностями ф(х) и (р(х) соответственно.
Очевидно, что потенциалы (47.4)-(47.6) являются решениями
следующих задач:
nW{x.t) = 0. *>0; ,
(47.7}
DV(x,t) = 0, t>0;
(47.8)
V(x.0)=0. Ъ(х.0) = ф(х): { }
nU{x.t) = F(x.t), t>0;
U(x,0) = Ut(x,0) =0. K }
Последняя задача (47.9) может быть решена не только
непосредственно [см. (40.18)], но и с помощью задачи, аналогичной (47.8),
47, Обобщенная задача Коши для одномерного уравнения 413
поскольку функцию U(x,t) можно представить в виде
t
U(x,t) = [щх,Ьт)<1т, (47.10)
о
где функция Ы(хЛ,т) является решением задачи [в чем можно
убедиться простой проверкой (см. утверждение 40.1)], в которой
неоднородность из уравнения переводится во второе начальное условие
(принцип Дюамеля). т.е.
Ш{хЛ<т) = 0, t > т,
U(x,Lr)\t=r = 0. U(x,t,r)\t=r = F(x,t). (47,11)
Таким образом, исходная задача (47.1), вообще говоря,
редуцируется фактически к двум задачам (47.7) и (47.8), решение которых
мы нашли методом Даламбера. В связи с этим возникает вопрос:
существует ли другой подход к решению исходной задачи (47.1),
не связанный с указанной несложной, но громоздкой процедурой
редукции, а также допускающий упоминавшиеся выше разрывные
решения?
Такой подход существует и состоит в решении задачи Коши
(47.1) в обобщенном смысле, позволяющем «свести» ее к одному
неоднородному уравнению, «автоматически» учитывающему
начальное условие, т.е.
Ви = Ф(хЛ). (47.12)
В этом случае мы приходим к стандартной задаче о нахождении
решения неоднородного уравнения с помощью фундаментального
решения £\{хЛ) в виде свертки
и(хЛ) = €i *Ф(ж,*), (47.13)
где £\{хЛ) есть решение уравнения
D£, = 8(x)S(t). (47.14)
Аналогично тому, как это делалось в задаче Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. часть II), положим
функции -и(хЛ) и Р(хЛ) равными нулю для t < 0, т.е.
й(хЛ) =0(Ь)а(хЛ),
F(x,t) = 0(t)F(x,t),
и воспользуемся определением обобщенного решения уравнения (см.
разд. «Постановка начальных и краевых задач»), согласно
которому для любой основной функции g 6 D(Ri + 1) имеем
оо оо
(Du\g) = (u\Dg) = I dt I й(хЛ)Пд(х>Ь)с1х =
414
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
ОО ОО
dt и(ж,
t)Dg(x,t)dx =
О —оо
оо оо
,. f, f / ч Г д2 од2
= lim / tit / а .г. t) — - а" ;—
g(x,t)dx. (47.15)
£ —ОО
Двукратное интегрирование по частям дает
,dg(x.t)
[ д2д
J о?
dt = —u(x,e)
dt
du(X) t)
dt
, ч 7 0'2и{хЛ)^
oo oo
/a-c/ f d2u
u——dx = I g——dx.
Отсюда
oo oo
(OU\g) = lim { J dt J g(x, t) [ JL - a2 |-j] u(*. t) dx -
£ —OO
OO OO
d~ u •-, d~ u I , ч .
dt2 Эх'2
-hi
0 —oo
-ju{x,o)d^dx+jd-^l9{Xlo)dx.
— oo —oo
Тогда с учетом (47.1) и определения функций S(t) и S'(t) найдем
оо оо
{Пй\д) = dt J F{x,t)9{x,t)dx-
О —оо
47, Обобщенная задача Коши для одномерного уравнения 415
оо ос
- I V(x.0)d9(g-0)dx+ f i,(x,0)g(x,0)dx =
— ОО —ОО
ОО ОО ОО
= [ dt f F(x.t)g(x,t)dx- f V(x,0)d9{^°}dx +
ОО
/
ф(х, 0)g(x. 0) dx = (F(x, t) + <p(x)6'(t) + iftx)6{t)\g(x. t)).
Таким образом, функция u(x. t) удовлетворяет волновому
уравнению в обобщенном смысле
DU = Ф(ж, t) = F{x. t) + <p(x)S'(t) + tf (*)*(*). (47.16)
Классические решения задачи (47.1) находятся среди тех
решений уравнения (47.16), которые обращаются в нуль при t < 0. Что
касается обобщенной функции Ф(я,£). то, как следует из (47.16),
если внутренние источники F(x.t) действуют постоянно с
момента времени t ^ 0, то начальные возмущения <p(x)S'(t) и ф(х)8(Ь)
играют роль источников, действующих мгновенно в момент
времени t = 0. При этом начальному отклонению (р(х) соответствует
двойной слой (p(x)S'(t), а начальному импульсу ф(х) - простой слой
ф(х)8(Ь) на плоскости t = 0.
♦ Таким образом, обобщенной задачей Коши для одномерного
волнового уравнения с источником Ф 6 2}'(М1 + 1) назовем задачу о
нахождении обобщенной функции и £ 2}'(Е1 + 1), обращающейся в
нуль при К0и удовлетворяющей волновому уравнению
Ои = Ф(х. t) = F(x, t) + <p{x)8'{t) + V(^)<5(t). (47.17)
Как следует из (47.13), решение этой задачи определяется
суммой потенциалов
и{х. t) = v{x. t) + W(x, t) + V(rc, *),
где
v(o:,t) = ft *F(rc,0 (47.18)
— запаздывающий потенциал с плотностью F(x,t):
W(x. t) = ft * (<p{x)6'(tj) (47.19)
— запаздывающий потенциал двойного слоя с плотностью (р(х) и,
наконец,
V{x. t) = ft * (tf (ж)<5(0) (47.20)
416
Глава Г. Уравнения гиперболического типа
— запаздывающий потенциал простого слоя с плотностью ф(х).
Перейдем к уравнению (47.14), определяющему
фундаментальное решение оператора Даламбера.
Применим к нему преобразования Фурье Fr->s (см. разд.
«Преобразование Фурье обобщенных функций» части II)
F,
*-и
&>£i
= F.
*->■(.
[5(x)8(t)}
и воспользуемся формулами
F^[8(x)S(t)} = F«_nM(0*(t) = m)S(t),
P.i-->£
дЧх
д? \
-^rFx.-).J^i], Fx_^
д-Ех
L дх'2 }
= -K|3F,^[ft].
Тогда для фурье-образа (пропагатора) фундаментального решения
£i (£« О = Fx->s[£i(iit)] получим уравнение
дЧ^л)
дГ-
+ a3|f|2ft(effc) = l(0^).
(47.21)
рассмотренное ранее. В части II было показано, что
фундаментальным решением оператора d2/dt2 +a2, т.е. решением уравнения
дгЕ
dt2
+ ure=8{t)
в S+ является обобщенная функция £ = [0(t)smwt]/u> (см. пример
П.16.2).
Использовав этот результат, имеем
а к, «) = *(*)-
ia\Z\t
«1*1 '
(47.22)
Применив обратное преобразование Фурье F,_J , найдем
£,(x.t)= — 0(at-|*D-
Определив £i(x\t), можем вернуться к формулам (47.18)-(47.20).
которые дают решения (47.4)-(47.6) задачи (47.1)
t x+a(t-r)
v(x,t) = ±0(at-\x\)*F(x,t) = ± fdr I F(y,T)dy;(47.23)
x-a(t-r)
V{x,t) = ±0(at-\x\)*(iHx)6(t))
47. Обобщенная задача Коши для одномерного уравнения 417
t x+a(t-r) x+at
^f j *(v)6{T)dTdy=± f *{y)dy, (47.24)
0 r-a{t-r)
W(x, t) = ±e(at - |z|) * (tp{x)S'(t)) = ^§-t(4«t - |*|) * Ф)) =
= ±-[V(x + at) + <p(x-atj\. (47.25)
la L J
Теперь, когда схема подхода, основанного на обобщенной
задаче Коши, определена, можно вернуться к задачам (47.7) и (47.8).
Нетрудно убедиться, что фурье-образ фундаментального решения
можно рассматривать как решение следующей задачи:
(47.26)
ЁММ1 _1
^«,ou = o
dt
Но ранее было показано, что если преобразование Фурье понимать
в обобщенном смысле, то Fr|x.[l] = 8(х) (см. разд. «Преобразование
Фурье обобщенных функций» части II). Поэтому, применив
обратное преобразование Фурье, из задачи (47.26) получим
^И-°"-^и=о' (47-27>
ft(*,0) = 0. ££ig^l = *(*). (47.28)
♦ Обобщенную функцию £\(хЛ) называют фундаментальным
решением задачи Коши одномерного волнового уравнения, или
функцией Грина этой задачи, если она удовлетворяет уравнению (47.27)
и начальным условиям (47.28).
Теперь решение задачи Коши можно строить, исходя из задачи
(47.27), (47.28). Так, например, решение задачи (47.8)
представляется в виде свертки (47.20) или (47.24).
Аналогично функция Грина £\{x,t) = d£\(x,t)l&t дает решение
задачи (47.7) в виде свертки (47.19) или в виде (47.25), если она
удовлетворяет уравнению
dt2 дх1 v ;
418
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
и начальным условиям
ft (*.о> = *(*>. %2>=о.
О Решение задачи Коши в пространстве с размерностью 2, 3 и
более находится аналогично с помощью функции £»(ж, t), х 6 R".
Функцию £„(ж, £) можно найти или как фундаментальное решение
оператора
□„£,(*,*) = (^-а3Дв)б,(а,*)=0, f„(£,t)€5;(Rn+l),
(47.30)
или как функцию Грина задачи Коши
On£n(x,t) = (—- -a2An)£n(x,t) = 0,
ydt~ ' (47.31)
ft.(*.0)=0. ^2) =*(«).
Если однозначность функции Грина (47.31) обусловлена
граничными условиями, то для уравнения (47.30) роль граничного играет
условие
£„(£, t) = 0 для * < 0. (47.32)
Действительно, решение уравнения (47.30), как и любое
фундаментальное решение, определяется с точностью до функции £о(ж, t),
являющейся решением однородного уравнения
ПП£П(£Л)=0.
Условие (47.32) однозначно определяет функцию £о(ж, t) и тем
самым фундаментальное решение £„(х,Ь)»
В заключение отметим, что решение задачи (47.1) может быть
найдено непосредственно с помощью интегральных преобразований
(Фурье, Лапласа) или сведено к интегродифференциальному
уравнению.
Пример 47.1. Показать, что функция Грина (фундаментальное
решение) задачи Коши
Gtt - a'2Gxr =0, t > 0;
. . (47.33)
G\ =0, Gt\ = S(x-y) V
lt=o ' lt=o v u'
имеет вид
G(x, у, t) = -^[0(x + at-y)- 0(x -at- y)]. (47.34)
48. Обобщенная задача Коши в пространстве
419
Решение. Подставив начальные условия (47.33) в формулу Далам-
бера (37.2), получим
x+at
G(*,y,t) = ^ J S(z-y)dz = ^-[9(x + at-y)-e(x-at-y)],
x — at
что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойствами
дельта-функции Дирака.
48. Обобщенная задача Коши в пространстве
Схема постановки и решения обобщенной задачи Коши для
одномерного волнового уравнения применяется и для волновых
уравнений в пространствах R". ??. ^ 2.
♦ Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с
источником
Ф(ж, t) = F(x, t) + <p(x)6'(t) + ф(х)6(Ь), Ф(ж, t) e S'(Rn+1), (48.1)
называется задача о нахождении обобщенной функции медленного
роста u('Xit) 6 S'(IR"+1), обращающейся в нуль при КОи
удовлетворяющей волновому уравнению
Ои(хЛ)= [—-a2An)u = $(x<t). (48.2)
О Решение обобщенной задачи (48.2) для Ф(ж, t) = О при t < О
представляется в виде запаздывающих потенциалов
и = £п*Ф = £п* F(x, t) + £n * (<p{x)8'(t)) + £n * (ф(х)6(Ь)), (48.3)
где £n - фундаментальное решение оператора Даламбера в Е", т.е.
решение уравнения
П£п = (£т " «а Д»)*п = *(£)*(*), « G Rn. (48.4)
Так как мы не рассматривали детально теорию обобщенных
функций в пространствах Rn+1, n ^ 2, то сформулируем, не
обращаясь к строгим доказательствам (см., например, [12]), основные
этапы решения уравнений (48.1) и (48.4) и вывода классических
формул Кирхгофа и Пуассона.
Начнем с уравнения (48.4). Применив к нему преобразования
Фурье по пространственным переменным х для обобщенной
функции F£_^?[£n(x,t)] = £(£Л). получим уравнение
420
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
Как было показано выше (см. разд. «Задача Коши для одномерного
волнового уравнения»), его решением является функция
*»(£*) ='<*>=^. (48.5)
Тогда обратное преобразование Фурье F71 _ определяет функ-
цию £n(x,t):
ia\(\t
£n{x,t) = F£g[£n(bt)] = 0(t)FZ^
Если n = 3, то (48.6) дает
«Kl
(48.6)
*<*•*>=IS'*-***=2^eV -|a|2)- (48-7)
Обобщенная функция £п(.т, £) действует по правилу
ОС
(Ш = ^-т[ j J 9(x,t)dS^ (48.8)
0 Sat
где g(x,t) — произвольная функция из пространства Шварца
5(Rn+1).
0 Согласно свойствам дельта-функции (см. разд.
«Дельта-функция Дирака» части II), справедливо
<J(aV + \х\2) = i- [S(at - \х\) + S(at + |х|)]. (48.9)
Тогда среди решении уравнения (48.4) могут присутствовать
функции, зависящие от аргумента at — \x\. Такие функции называются
опережающими функциями Грина. Они учитывают влияние
источников, действующих при Ь > 0. Мы не будем подробно
рассматривать такие решения, хотя некоторые задачи (например,
классическое уравнение Дирака-Лоренца) невозможно корректно решить без
учета опережающего воздействия.
В случае п = 2 вместо обратного преобразования Фурье
можно воспользоваться рассмотренным выше методом спуска.
Действительно, согласно (48.8), для £> в предположении, что g(x,t) не
зависит от жз, имеем
(Ш = <*»(*,t)l»(s?.t)i(*»)> = -^ J j J g(£,t)dS.
0 Sat
48. Обобщенная задача, Коши в пространстве
421
Заменив поверхностный интеграл по сфере Sat: \х\~ + х\ = art" на
удвоенный (по верхней и нижней полусферам) по кругу Vat: \х\ < at,
х € К", найдем
оо
V Ш' 27ГоУ J Ja42 _ |£|3
0 |*|<al
2™ J J JuW - \SP
-см Щ2
откуда
*,(*,*) =-L ?^-|ж1) . (48.10)
2™ ^/W2 - |£|2
Явный вид фундаментальных решений (48.10) оператора Да-
ламбера (48.7) в пространстве размерности п объясняет некоторые
особенности распространения сферических и цилиндрических волн.
Так, из (48.7) следует, что возмущение £з(хЛ) от точечного
мгновенно действующего источника 8(x)8(t) в момент времени t > 0
будет сосредоточено на сфере радиуса R = at с центром в
точке х = 0. Это означает, что возмущение распространяется в виде
сферической волны f(r — at). Как было показано выше, после
прохождения такой волны в точке наблюдения снова наступает покой,
т.е. распространение волн в пространстве подчиняется принципу
Гюйгенса.
Совершенно иная картина наблюдается в случае
цилиндрических волн, т.е. волн на плоскости. Действительно, из (48.10) следует,
что возмущение £>(#. t) от точечного мгновенно действующего
источника S(x)8(t) к моменту времени t > 0 будет сосредоточено не на
окружности радиуса R = at. а в замкнутом круге радиуса R = at
с центром в точке х = 0. Следовательно, наблюдатель с того
момента, как он попадает в круг |ж| < at, после прохождения
переднего фронта волны будет постоянно наблюдать отличные от нуля
суммарные возмущения (задний фронт волны отсутствует). Таким
образом, для волн на плоскости (цилиндрических) имеет место
диффузия волн, нарушающая принцип Гюйгенса.
Возникновение диффузии цилиндрических волн можно
объяснить, если источник цилиндрических возмущений рассматривать
как
S(xi)6(x2)l(x*)6(t),
т.е. как источник, сосредоточенный в каждой точке оси Ох^.
Поэтому с некоторого момента времени наблюдатель будет постоянно
фиксировать возмущения, приходящие от точек, лежащих на оси
Ож.з и все более удаленных от точки наблюдения, чем и
объясняется отсутствие заднего фронта волны.
422
Глава 7. Уравнения гиперболического типа
= 1.
Распространение волн в R1, т.е. на прямой, было рассмотрено
ранее.
Как и для одномерного волнового уравнения, функцию £П(£Л)
можно рассматривать как решение следующей задачи:
(|г-«3К?)*»(6*) = о,
которая для функции £п(хЛ) = FT1 ..£,»(£,£) примет вид
(— -a2An)£n(x.t) = 0. (48.11)
£п(ж.0) = 0, £t(x,0) = S(x), x£Fn.
В заключение отметим, что классические формулы Кирхгофа
и Пуассона можно получить подстановкой фундаментальных
решений (48.7) и (48.10) в свертку (48.3).
ГЛАВА 8
Уравнения параболического типа
49. Задача Коши для одномерного уравнения
теплопроводности. Функция Грина
задачи Коши
49.1. Задача Коши. Метод разделения переменных
Рассмотрим бесконечно тонкий длинный однородный теп-
лопроводящий стержень, боковая поверхность которого
теплоизолирована. Уравнение теплопроводности в этом случае
имеет вид (см. разд. «Уравнение распространения тепла в
стержне»)
О Если стержень достаточно длинный, то на процессы
теплообмена, происходящие в средней его части, оказывает
влияние только начальное^ рас пределение температуры, а краевыми
условиями — характером теплового режима на его концах —
можно пренебречь. Пусть начальное распределение
температуры задано
u(x,i)) = u\t=0 = <p{x). (49.2)
♦ Задача нахождения решения уравнения (49.1) при
условии (49.2) называется задачей Коши.
Частное решение уравнения (49.1) будем искать в виде
и(хЛ) = Т(г)Х(х). (49.3)
Подставив это выражение в (49.1), получим
1 Т' Y"
~ = ^г = Л, Г - а2ХТ = О, X" - XX = 0.
Общее решение уравнения для функции T(t) имеет вид
T(t) = СеХаЧ. (49.4)
Поскольку в стержне нет источников тепла, то
температура стержня ни при каком х не может достигать
бесконечного значения, т.е. |и(х\*)| < оо. Следовательно, \T(t)\ < ос и
\Х(х)\<оо.
424
Глава 8. Уравнения параболического типа
Таким образом, Л может быть только отрицательным.
Положим Л = — ш2. Тогда
T(t) =Ce~u;2a''i\ (49.5)
а для определения функции Х(х) получим уравнение
X" + ш2Х = О,
общее решение которого имеет вид
Х(х) = А^ созыж + Вш sincjx.
Если ввести комплексный коэффициент С^, то
Х(х) = Сше*ы* + C*e~iu".
и соответственно для u(x.t) получим
2 1'.
иш(хЛ) = е~ш " (Аш cos was + Вы ътшх) =
= e-,3ea'(CwelW + C;.e-,w).
Проинтегрировав по ш в пределах от нуля до бесконечности,
получим
ОС
u(x< t) = / do; е-"'' а '(Лц, cosljx + Д„ sincjz)
о
или
оо
«(*.*) = /<iwe-u3a!,Cue'w. (49.6)
-ОО
При /. = 0 должно выполняться условие (49.2):
оо оо
а(.г-,0) = /* duC^t*"" = у>(х) = / dwawe**",
— CO —ОО
где
оо
аи = — ip{y)e-lu)gdxj
49. Задача Коши для уравнения теплопроводности
425
- коэффициенты Фурье функции <р(х). Из равенства двух
интегралов Фурье следует, что Сы = qw, т.е.
оо со
u(x,t)=^- I бы [ (1у<р(у)е-ш'а2(е{ш^-!>). (49.7)
-ОО —СО
49.2. Функция Грина задачи Коши
♦ Обобщенная функция G(x,y,t), удовлетворяющая
условиям
dG{x,y,t) _ 2d2G(x,y,t)
dt ~a dx2 ' l4J'8)
С(х,у,0) = 8(х-у), (49.9)
называется функцией Грина задачи Коши для уравнения
теплопроводности (49.1).
Утверждение 49.1. Для функции Грина справедливо
представление
со
9y.t) = ^- [ e-^V^^W (49.10)
G(x
С учетом обозначений (49.10) соотношение (49.7) можно
записать в виде
* СО
u(x,t) = /
G(x,y,t)<p(y)dy. (49.11)
Поскольку функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (49.1), то
из (49.11) следует, что функция (?(ж,2/, t) удовлетворяет
уравнению (49.8).
При t = 0 получим
оо
G(x, у, 0) = ±- j e^-^du = 8(х - у).
Zn J
— со
Здесь мы воспользовались представлением ^-функции
интегралом Фурье (см. разд. «Преобразования Фурье обобщенных
426
Глава. 8. Уравнения параболического типа
функций медленного роста» части II). Справедливость
уравнения (49.8) можно проверить непосредственной подстановкой
(49.10) в (49.8), что и доказывает утверждение.
Из определения (49.10) нетрудно вывести следующие
свойства функции G(x<y,t).
Свойство 1. Справедливо соотношение
ос
/ G(x,y,t)dx = 1. (49.12)
— оо
Доказательство. Действительно,
оо оо оо
/ G(x,y,t)dx = ^- f dx f e-^'abeiu{x-»\lu) =
— ОО —ОО —ОО
ОО ОО
= f сЬе-ш'''"'''*е'шу— f е'шЧх =
— ОО —ОО
оо
= f Лше-ш'г"Че1ыЧ(ш) = е-,'а'*е^11\ш_0 = 1,
— ОО
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Справедливо соотношение
/
G(x,y,t)dy = 1.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего
свойства.
Свойство 3. Справедливо соотношение
G(x,y,t) = -^=e-^-y)'r-aVt)]\ (49 13)
2 v nta2
Доказательство. Вычислим в (49.10) интеграл по ш. Для
этого представим функцию G(x,y,t) в виде
G(
х*, y,t) = — I e~a ^ '[cos о; (ж — у) + i sin ш(х — у)]с1ш.
27Г J
49. Задача Коши для уравнения теплопроводности
427
Интеграл от второго слагаемого равен нулю в силу нечетности
синуса. Поэтому
G(x,y,t)=— / e~a w г coscj(x-y)du
27Г ./
— оо
Сделаем в этом интеграле замену переменных
z dz
U) = т=, (1Ш = yz.
ay/t ayt
Тогда
оо
1 I 2 dz х 11
G(x,y,t)= - / e~z" coshz—-=, и- -=-. (49.14)
тг J a\Jt a\/t
Обозначив
оо
J [ус]— I e~z cos xzdz,
о
найдем
dj(n)
dn
о
•00
-/■
e z (—z) sin xzdz.
Вычислим второй интеграл по частям, положив U = sin иг.
dV = —ze~z dz. Тогда dU — hcos nzdz, V = е~г~/2 и
dJ(x) 1 _22 .
-i = -e Sill XZ
dx. 2
oo
00
е~г cos xzdz.
о
о
Внеинтегральное слагаемое равно нулю, а интеграл равен J [и).
Следовательно, для J (и) получим дифференциальное
уравнение
<Щи) и
-*T = -2J(X)'
решение которого есть функция
J(x) = Се-*''*.
428
Глава 8. Уравнения параболического типа
Постоянный множитель С определим из условия
,/(())= /'е-''dz.
о
Сделаем замену переменных z2 = t, z = \Д> dz = dt/(2\/i).
Тогда
т.е.
Но
J(0)=\ J e-H-Wdt =±Г(1/2) =
C=£, J(x) = £e-"<
G(x,y,t) = jjJ{x),
nay/t .
2 '
что дает (49.13). Таким образом, свойство 5 доказано.
Следствие. Для процессов, описываемых уравнением
теплопроводности, скорость распространения тепла равна
бесконечности.
Доказательство. Пусть начальное распределение
температуры в стержне имеет вид
Г /(ж), х G Га, 61
<р{х) = \ 1V h d , (49.15
I 0, х$ [а, 6],
где f(x) - непрерывная функция. Тогда, согласно (49.10),
оо Ь
u(x,t) = f G{x,y,t)<p(y)dy = JG(x,y,t)f(y)dy. (49.16)
Из явного вида функции Грина (49.13) следует, что функция
(49.16) бесконечно дифференцируема по х и t при t ф 0. Кроме
того, u(x,t) ф 0 при 1■ ф 0 (в том числе при сколь угодно
малых) для любого х (в том числе для сколь угодно большого),
тогда как начальная темпсфатура м(ж, 0) = (р(х) (49.15) равна
49. Задача Коши для уравнения теплопроводности
429
нулю при х £ [а, 6]. Следовательно, скорость теплопередачи
бесконечна.
О Полученный вывод о бесконечности скорости передачи
«взаимодействия» справедлив и для других уравнений
параболического типа.
Пример 49.1. Найти уравнение Клейна-Гордона (15.7) в
нерелятивистском пределе с —> оо.
Решение. В уравнении Клейна-Гордона
*-2
Л-*м - ft2A* + nigc2* = 0 (49.17)
с
сделаем замену
2
*(£,*) = <р{х, <)ехр ( - *^-<)- (49.18)
С учетом соотношений
л> _ ЛЛ о;т°с2/Л ?Tl0CV-<т0Л/Л
получим
#-2
—<ptt + 2in0(-ih(pt) + (-ifl)2A(p = 0.
с-
В пределе с —у ос
(-Л^-^ = °(?)- (49Л9)
Таким образом, при с —>■ оо уравнение Клейна-Гордона
переходит в уравнение Шрёдингера.
Функция Грина задачи Коши G{x,y,t) позволяет найти
частное решение неоднородного уравнения теплопроводности.
Свойство 4 (принцип Дюамеля). Решение задачи Коши
для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным
начальным условием
дй .,д2й ч _.
430
Глава 8. Уравнения параболического типа
имеет вид
t со
u(xj.)= f dr I dyG(x.yJ.-r)f(y,r), (49.20)
О -со
где G(x,y,t) — функция Грина (49.13) уравнения
теплопроводности.
♦ Соотношение (49.20) называется формулой Дюамеля для
одномерного уравнения теплопроводности.
Доказательство. Действительно, из (49.20) запишем
со t со
— со 0 —со
Учтя, что G{x4 у< 0) = 8(х — у), и обозначив Т = t — r, получим
дй и 4\^ Г 1 1 1 №(х,у,Т)„
— = f(xJ.) + J dr I dy — f{y,r).
0 -co
Аналогично
дЧ r J J d2G(x,y,T)„
w=JdTJdy a.» /(y'r)-
0 -co
Подставив эти производные в уравнение (49.1), найдем
t со
дй д"й
ft
t-a*=f{x-i) + JdTJ Мет"* w )fM-
О -со
Поскольку выражение в скобках равно нулю, то
дй д2й
что и требовалось доказать.
50. Смешанная задача на полупрямой
431
Свойство 5 (сохранения четности). Четность
начального состояния сохраняется, т.е. если функция и(ж,0) = <р(х) -
четная или нечетная:
(р{-х) = ±<р(х), (49.21)
то функция u(xj.) будет четной или нечетной для всех t ^ 0:
и(-хЛ) = ±u(z,t). (49.22)
Доказательство. Из явного вида функции G{x^y,t) (49.13)
следует, что
G(-x. -y,t) = G(x,y4t). (49.23)
Для решения задачи Коши (49.1), (49.2), согласно (49.11),
имеем
оо
u(-x.t)= / G(-x.y,t)<p{y)dy.
— оо
Сделав в этом интеграле замену переменных у —У — у и
воспользовавшись соотношениями (49.23) и (49.21), получим
то
u(-x,t)= / G(-x,-y,t)(p(-y)dy =
оо
= / G(x,y,t)(p(-y)dy = ±u(x,t).
— со
Таким образом, утверждение доказано.
Следствие. Если
<р(-х) = -(р(х), (49.24)
то
ti(0,*) = 0. (49.25)
Доказательство непосредственно следует из (49.22).
432
Глава 8. Уравнения параболического типа
50. Смешанная задача для одномерного
уравнения теплопроводности
на полупрямой
Рассмотрим полу ограниченный стержень, боковая
поверхность которого теплоизолирована и левый торец расположен
в точке х = 0. Распределение температуры в таком
стержне определяется решением следующей смешанной задачи для
уравнения теплопроводности:
^ = а2^ + /(Ж.<), <> 0, 0<я<оо; (50.1)
u(z,0) = *>(*), §?| =*[и|„=о-м(<)]. (50.2)
' \х=0
Будем предполагать выполненным условие согласования
ди\
дх
:г=о = *[^(з)-/*(<)]
f=0
t=0
Мы ограничимся рассмотрением краевых условий первого
рода, т.е. u(0,/) = //(tf). Решение смешанной задачи (50.1) с
краевыми условиями второго и третьего рода находится
аналогичными способами.
50.1. Однородная смешанная задача
Рассмотрим смешанную задачу с однородным граничным
условием
^=а2ё< ч=о=^м,=о=°'*>о'*>°- (5°-з)
Для классического решения будем предполагать выполненным
условие согласования у>(0) = 0.
Доопределим функцию <р(х) для отрицательных значений
х нечетным образом. Тогда из (49.24) и (49.25) следует, что
w(0, t) = 0, а задача (50.3) сводится к задаче Коши для
уравнения теплопроводности, рассмотренной в предыдущем разделе.
Теорема 50.1. Решение смешанной задачи (50.3) имеет вид
оо
«(*,*)= Ig(x,y,t)<p(y)dy, (50.4)
50. Смешанная задача на полупрямой
433
где
g(x,y,t) = G{x,y,t) - G(x,-y,t), (50.5)
a G{x,yA) - функция Грина задачи Коши (49.1).
Функция g(x, у J) называется функцией Грина смешанной
задачи (50.3).
Доказательство. Продолжим функцию ip{x) на
отрицательную полуось нечетным образом и обозначим через ф{х) такое
продолжение
= Г ф) при 0 < х < ос
I -<Р{-Х) при -ос < х < 0. v '
Тогда при t ^ 0 функция
оо
u(x. t) = j G(x, y, t)<p(y)dy (50.7)
-ОО
является решением задачи Коши
Щ = а2щ.х, u\t=o = ф(х).
Согласно (49.24), и\,г=о = 0, и, следовательно, функция (50.7)
при х ^ 0 является решением задачи (50.3).
Выразим функцию u(z.t) (50.7) через функцию <р(х). Для
этого разобьем область интегрирования в (50.7) на две части:
оо
u(x,t)= 7 G(x.y,t)<p(y)dy =
-оо
оо О
= JG{x,y,t)<p(y)dy + J G(x,y,t)<p(y)dy =
О -оо
оо
= J[G(x,yJ.) - G{x, -y,t)]<p(y)dy.
о
Таким образом,
ОС'
и(хЛ) = f[G(x,y,t) - G(x,-y,t)]<p(y)dy, (50.8)
434
Глава 8. Уравнения параболического типа
что и требовалось доказать.
Рассмотрим основные свойства функции Грина д(х, y,t).
Свойство 1. Справедливо соотношение
g(z,y,t) = _* {с-И*-»)'/(*Л)] _e-[(*+»)a/(4-s«)]}. (50.9)
Доказательство непосредственно следует из (49.13).
Свойство 2. Справедливо соотношение
д(х<у,0) = 6(х-у). (50.10)
Доказательство. Функция u(x,t) (50.4) - решение
смешанной задачи (50.3). В частности,
ос
и(хщ 0) = / </(ж, у, 0)(p(y)dy = (р(х).
о
В силу произвольности функции <р(у) и определения <$-функции
свойство 2 доказано.
Свойство 3 (принцип Дюамеля). Решение задачи Коши
щ = a2uxx + /(ж, t). u\t=o - u\x=0 = 0 (50.11)
имеет вид
* ос
u(x,t) = JdrJ g(x,y,t- r)f(y,r)dy. (50.12)
о о
Доказательство. Из (50.12) найдем
оо t со
Щ{х, t)= g(x, у, 0)/(j/, t)dy + dr / gt(x, у, t - r)f(y, r)dy =
о oo
t CO
= /0M)+ / dr / gt{x,y,t-T)f(y,r)dy.
о о
Здесь мы воспользовались соотношением (50.10). Аналогично
t ОС
uxx{x,t) - I dr l дхх{х,уЛ - r)f(y,T)dy.
о о
Подставив щ и axx в (50.12), получим тождество.
50. Смешанная задача на полупрямой
435
50.2. Неоднородная смешанная задача
Рассмотрим на полупрямой неоднородную смешанную
задачу с граничным условием первого рода
щ = аЧхх + f(x,t), t^ 0, х ^ 0, (50.13)
u\t=o = <f(x), и\х=0 = fi(t).
Решение уравнения (50.13) будем искать в виде
u(z,t) = v{x,t) +w(x,t), (50.14)
где v(x*t) - решение смешанной задачи
vt = a2vxx + f(xj.). v\t=o = <p(x), v\x=0 = 0, (50.15)
а функция w(X)t) - решение задачи
wt = a2wxx% w\t-o = 0, w\x=0 = p(t). (50.16)
Согласно (50.4) и (50.12), решение смешанной задачи (50.15)
имеет вид
ОС
ь(хЛ) = / <}{х,уЛ - r)<p(y)dy+
о
t ОС
+ [ dr f g(x, у, t - r)f(y, r)dy. (50.17)
* о о
Решение задачи (50.16) будем искать в виде
w(x,t) = S(x,t) + p(t). (50.18)
Тогда для функции S(x<t) получим следующую задачу:
St = a2Sxx - /*'(*), S\t=0 = -/i(0), S\x=0 = 0. (50.19)
Согласно (50.4) и (50.12), решение задачи (50.19) можно
представить в виде
г
S(x, t) = -ц(0)х(х, t)-fdr х(х, * - т)ц'(т),
(50.20)
436
Глава 8. Уравнения параболического типа
где обозначено
Тогда
X(*,t)= [g(x,y,t)dy. (50.21)
w(xJ.) = -/x(0)x(z<*) + //,(*) - f (1тХ(хЛ- r)fi'(r). (50.22)
о
Рассмотрим некоторые свойства функций х{хЛ) и w(x,t).
Свойство 1. Справедливо соотношение
x/(2a\/t) х/{2алД)
Х(М)=^= / e~z2dz=-7= J e~z~dz. (50.23)
\Д ./ v ^ J
0 -х/{2алД)
Доказательство. Из определения (50.21) следует
У 2v7rta2
о
Сделаем в первом интеграле замену г/ = 2ay/tz-\-x, а во втором
- у — 2a\/tz — ж. Получим
оо
—= / е z dz -= I e z dz =
>Л J v71" J
Xf\M
= v* J
Х(М)
V71"
-х/(2оуД) */(W*)
x/(2aVt)
-x/(2aVt)
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Справедливы соотношения
Х(0.<) = 0, х(*,0) = 1. (50.24)
Доказательство. Соотношение х(0,<) = 0 следует из (50.23).
51, Смешанная задача на отрезке
437
Рассмотрим предел
x/(2aVt) оо
х(х< 0) = lim —p= I e~z dz = —р= / e~z dz = 1,
t-+0 yft J уД J
-r/(2ay/t) -°°
что и требовалось доказать.
Свойство 3. Справедливо соотношение
о
Доказательство. Проинтегрируем в (50.22) по частям,
положив
U = x(*,t-T), dV = ti'(T)dr,
С учетом соотношения
dx(x,t-r) _ 2 ж ( / х у\
~ 4ач/тг(/. - г)3' еХР i ~ \2о>/Г^г/ J '
следующего из (50.23), получим
w(x,t) =х(х,г-т)11(т)\*0 +
t
Г ду(хЛ-т)
+ У ММ ^^ ^г - /t(0)x(x, t) + м(<) =
о
о о
что и требовалось доказать.
438
Глава, 8. Уравнения параболического типа
51. Смешанная задача для одномерного
неоднородного уравнения
теплопроводности на отрезке
Рассмотрим смешанную задачу для неоднородного
уравнения теплопроводности
ди од2 и ,., Л
-дт = <r— + f(x.t), <> 0, 0 < х < /,
ot ох~
(51.1)
u\t=o = <р(х). -^
ди
дх
- fel{t*|a-=0-A*l(*)}^
*=° (51.2)
x=l
fc2{tiU=/-A*2(*)}-
Будем предполагать выполненным условие согласования
ди
ди
дх
х=о = h[<p(x) - Vi(t)]
t=0
t=()
.,.=/ = k2[<p(x) - n2(t)]
t=0
x=l-
t=0
Ниже мы ограничимся подробным решением этой задачи
с краевыми условиями первого рода. Схема решения задачи
(51.1), (51.2) для более общей ситуации была приведена в
разделе, посвященном задаче Штурма-Лиувилля.
51.1. Однородная смешанная задача
Рассмотрим смешанную задачу с однородными краевыми
условиями для однородного уравнения теплопроводности
ut = а2иг.г. t ^ О, 0 ^ х ^ /,
ti|*=o = ¥>(ж)« и\х=0 = 0, u\x=i = 0.
Частное решение уравнения (51.3) ищем в виде
u{x,t) = X(x)T(t).
Подставив (51.4) в (51.3). получим
1 Т _ X" _
г-т~~х~х
или
(51.3)
(51.4)
Т - \о?Т = О, X" - АХ = 0. Х(0) = Х(1) = 0.
51. Смешанная задача на отрезке
439
Решение задачи Штурма-Л иу вилл я для функции Х(х)
получено в примере III.2.2:
7T7Z7J / 7Г71 \ ~"
Хп(х) = Ап .sin —, А„ = -(—) . (51.5)
Подставив Ап в уравнение для Т, найдем
Т„(<)=Д.ехр{-(^)2<}.
Следовательно, решение уравнения (51.3) имеет вид
и(ж,*) = 2^Аиехр|- (—J *jsm—, (51.6)
n = l
где Ап = АпВп. Из начальных условий найдем
Ай=а1И (51.7)
где а,, - коэффициенты Фурье функции <р(х)
/ Ч V^ • ППХ * I / Ч • ЪПУ , /„-ft,
и = 1 ' 0
♦ Обобщенная функция (/(ж, у, f.) называется функцией
Грина (фундаментальным решением) смешанной задачи (51.1),
(51.2) для уравнения теплопроводности, если она
удовлетворяет уравнению
9t(x,y,t) = а2дхх(х,уЛ), (51.9)
начальному условию
д(х,у,Ц) = 6(х-у) (51.10)
и однородным граничным условиям
(9, - ki9)\r=0 = for ~ k29)\r=l = 0. (51.11)
Утверждение 51.1. Функцию Грина смешанной задачи (51.3)
можно представить в виде
^y,t) = £-8m—siu^expj- (—J tj. (51.12)
440
Глава 8. Уравнения параболического типа
Подставим коэффициенты an (51.8) в явном виде в
функцию (51.6) и поменяем местами суммирование и
интегрирование. Получим
и{хЛ) = Jg{z.yA)<p(y)dy, (51.13)
о
где д(х.уЛ-) определена соотношением (51.12).
Следовательно, функция д(х.уЛ) ~ решение уравнения теплопроводности,
для которого по построению выполняются граничные условия
(51.3). При t — 0 получим
д{х, у, 0) = 2^ у sin — sin — = 6(х - у).
n=i
Таким образом, утверждение доказано.
0 Свойства функции д(х<уЛ) (51.12) полностью
аналогичны свойствам функции Грина задачи Коши для уравнения
теплопроводности .
51.2. Неоднородная смешанная задача
Теперь рассмотрим смешанную задачу для неоднородного
уравнения теплопроводности с неоднородными краевыми
условиями первого рода
щ = a?uxx + f(x. *), t> 0, 0 < х < I; (51.14)
u((M) = /ii(f.), u(Lt) = H2(t), u(x,0) = <p{x). (51.15)
Введем новую функцию ь(хЛ) посредством соотношения
и(хЛ) — 'ш(хЛ) 4- о(хЛ),
где ш(хЛ') ~ произвольная функция, удовлетворяющая
условиям П)(0Л) — V>i{i)-> ш(1Л) — Мз(^)> например
wfat) = m(t) + j[p2{t)-Pi{t)]-
Тогда функция -о(хЛ) будет определяться как решение
однородной краевой задачи
vt = a2vxr + /(ж,*), * > 0, 0 < х < I; (51.16)
v(0,<) = 0, v(U) = 0, v(x,0) = (p(x), (51.17)
£(я) = (р(х) - w(x, 0), /(ж, t) = /(ж, *) - [wt - a2wxx].
51. Смешанная задача на отрезке
441
Аналогично одномерному уравнению Даламбера, решение
задачи (51.16), (51.17) можно представить в виде суммы решений
двух более простых задач: v(x,t) = Ь(хЛ) + M(x,t), где
а) L(x,t) - решение однородного уравнения с: ненулевыми
начальными условиями
Lt = a2LrT. t > О, 0 < х < I: (51.18)
£(0,t) = 0, £(M) = 0, L(x,0) = (p(x). (51.19)
Согласно (51.6), решение задачи (51.18), (51.19) имеет вид
ос о
-Г--Ч Г /7Г7Ш\2 "I . 7ГП
£(ж,*) = 2^ ««ехр [ - [~г) f'\sin "гж'
/1 = 1
где
/
2 /* /7ГП \
а» = у J £Msin (— 2/Jdy. (51.20)
о
б) M(x,t) - решение неоднородного уравнения с нулевыми
начальными условиями
Mt=a2Mxr + f(x.t), О 0, 0<х<1; (51.21)
М(0,*) = 0, М(М) = 0, М(ж,0) = 0. (51.22)
Решение задачи (51.21), (51.22) ищем, аналогично решению
уравнения Даламбера, в виде
со
M(x,t) = ]Tsn(<)sin^p (51.23)
i=i
Подставим (51.23) в (51.21) и разложим функцию f{x,t) в ряд
Фурье:
/(*,<) = 2/n(<) dn-р, (51.24)
« = 1
/
2 [ - /7ГП \
/иИ = у / /(2/^)sin \-j-yyly.
о
В результате получим следующее уравнение для функции 5П (£):
—) £.=/«(*). 5„(0) = 0. (51.25)
442
Глава 8. Уравнения параболического типа
Решение уравнения (51.25) имеет вид
t
S„(t) = y/„(T)exp{(^)2(T-*)}dr. (51.26)
Следовательно,
М(М) = Х;у/п(т)ехр [(?^)>-t)]dr sin™*. (51.27)
n = l0
Подставив коэффициенты Фурье /п(т) (51.23) в явном виде в
функцию (51.26) и поменяв местами суммирование и
интегрирование, получим
t i
M(x,t)= f dr Jg(x,y,t-T)f(y,T)dy, (51.28)
где функция д(х,уЛ) определена соотношением (51.13).
♦ Формула (51.28) называется формулой Дюамеля.
Пример 51.1 (задача о безопасности ядерного
реактора). Определить параметры ядерного реактора, при которых
цепная реакция не произойдет ни при каком начальном
распределении нейтронов в реакторе (реактор не «взорвется»).
Решение. Мы уже отмечали, что в диффузионном
приближении процесс распространения нейтронов в реакторе
описывается уравнением
щ = DAu + 7u, (51.29)
где и(хЛ) - концентрация нейтронов, D - эффективный
коэффициент их диффузии, 7 ~ коэффициент их размножения.
Коэффициенты D и 7 определяются экспериментально.
Будем предполагать, что рабочее тело реактора имеет
форму шара радиуса Ь и начальное распределение нейтронов
описывается сферически-симметричной функцией, т.е.
u\t=o = <p(r)< г = \fx2 + у2 + z2.
51. Смешанная задача на отрезке
443
Будем также предполагать, что концентрация нейтронов на
поверхности шара равна нулю. В результате приходим к
следующей задаче:
Г щ = DAu + 7u, t > 0, г < 6,
1 u|t=0 = <Pir), и\г=ь = 0.
Если выражение для концентрации нейтронов u(x,t) будет
содержать слагаемые, экспоненциально растущие по t, то будет
протекать цепная реакция и реактор «взорвется». Поэтому
параметры реактора должны гарантировать выполнение
условия
\u(x,t)\ < ос, t > 0,
вне зависимости от выбора начальных данных — функции
<р(г).
В силу сферической симметрии решение задачи (51.30)
будем искать в виде
tt(r,t) = u(r,t) = uM)e7'. (51.31)
В результате приходим к следующей задаче для функции v(r, t)
(см. разд. «Сферические волны»:
DVt = r{rV)rr' *>0' (51.32)
v\t=o = <p(r), v\r=b = 0, г <b.
Решение этого уравнения будем искать в виде rv(r, t) = ш(г, t).
Тогда для определения функции w(r.t) имеем следующую
задачу:
—wt = wrr< t > 0, г < Ь, (51.33)
w
|*=о = rip(r), ш|г=0 = w\r=b = 0.
Решение этой задачи получено нами ранее [см. (51.14)] и имеет
вид
оо
7ГПГ
71 = 1
где
М) = ^^e-^/^'sin^-, (51.34)
71 = 1
Ь
2 /* 7TTIV
ап = - / r<p(r) sin —r-dr. (51.35)
444
Глава. 8. Уравнения параболического типа
Возвратившись к исходным обозначениям, получим
Таким образом, ответ на вопрос задачи определяется
неравенством
tt2D Л
которому должны удовлетворять параметры реактора.
Следовательно, при b < 6кр и заданных D и 7 цепная реакция не
произойдет. Критический радиус определяется соотношением
6 =7ГЛ-. (51.36)
V 7
Ему соответствует критическая масса
mKp = ^M>Kp.
Пример 51.2. В однородном бесконечном цилиндре радиуса
6, начиная с момента t = 0, действуют источники тепла
постоянной плотности Q. Начальная температура цилиндра равна
Т. Найти распределение температуры в цилиндре при t > О,
если поверхность цилиндра поддерживается при постоянной
температуре 0.
Решение. 1. Математическая постановка задачи имеет вид
щ = a2Au + Q: u\t=0 = Т, u\r=b = 0. (51.37)
Запишем уравнение (51.37) в цилиндрических координатах.
Поскольку условие задачи не зависит от переменных z и ^
то
u(r,<p.z,t) = u(r,t).
Тогда для функции u(r,t) получим
da ofd2u 1 ди\
2. Сведем исходную задачу к смешанной задаче с
однородными граничными условиями заменой
u(r,t) = v(r,t) + Q.
51. Смешанная задача на отрезке
445
Функция v(r,t) является решением следующей смешанной
задачи:
% = «2ФА%)+^ 4=о =Т-0, ,|^=0. (51.38)
Решение задачи (51.38) будем искать в виде
v(r,*) = ti;(r,t) + £(r,t), (51.39)
где функция w(i\t) удовлетворяет уравнению
dw ofd2w ldw\
Ж=а'Ш + г^) (5L40)
с начальным условием w\t=o = Т — 0 и граничным условием
w\r=b = 0.
Подставив (51.39) в (51.38), с учетом (51.40) получим
следующую смешанную задачу для функции L(r,t):
dt
= a4inr + -я-) + Q- L\*=o = 0> Цг=ь = 0. (51.41)
\ ОТ" V ОТ /
3. Решение уравнения (51.40) будем искать методом
разделения переменных
w(r,t) = R(r)T(t).
Разделив переменные, запишем
Г _ R"(r) + R'(r)/r
*а3Т~ R
откуда для определения функции T(t) получим
Т' -Ла2Т = 0; |T(*)|<oo, t > 0, (51.42)
а функция Rfr) является решением следующей задачи Штурма -
Лиувилля:
R"+-R'-\R = 0, \R{r)\ < oo, R(b) =0, г < Ь. (51.43)
7*
Задача (51.43) была рассмотрена нами в разд. «Задача Штур-
ма-Лиувилля для уравнения Бесселя» части III, где было
получено
Я,.(г)=С„70(а2£), А»=-(х)2' П=Т^°'
446
Глава 8. Уравнения параболического типа
где а^ — корни функции Бссселя Jq(x). Тогда из уравнения
(51.42) найдем
Tn(t) = Я„еА""2< = Впе-{а»а/ь)2', п = Т^Е><
а решение задачи (51.40) запишется в виде
оо
/1 = 1
где Ап = ВПС1}. Для определения коэффициентов Ап
используем начальное условие
оо
11 = 1
Разложив функцию Т — 0 на интервале ]0, Ь[ в ряд Фурье-
Бесселя по ортогональной системе функций Jo(a°r/b), n =
1,оо, получим (см. пример III.13.1)
Л„=(Т-е,/^(*«*=М. ,51.44,
J \\Manr/b)\r <*nM<*?i)
о
4. Решение задачи (51.41) будем искать в виде
£М) = £М*)-/о(а°£). (51.45)
Правую часть уравнения (51.41) разложим в ряд Фурье-Бесселя.
Аналогично (51.44) запишем
^ V Ь) <Л«)
Подставив разложения (51.45) и (51.46) в уравнение (51.41) и
приравняв коэффициенты при одинаковых функциях Бесселя,
для определения функций 0n(t) получим
0'n - a3A„0fl = (3n, 0n (0) = 0, n = 1^5.
51. Смешанная задачи на отрезке
447
Отсюда
а лп
5. Решение исходной задачи (51.37) с учетом (51.40) и (51.42)
имеет вид
Пример 51.3. Решить смешанную задачу
Щ = ихх, ил\г-о = 1, и\х=\ = 0, u\t=0 = 0. (51.47)
Решение. Решение задачи (51.47) будем искать в виде
м(:М) = .г- l + v(x,t). (51.48)
Тогда для функции v(x,t) получим смешанную задачу с
однородными граничными условиями
Щ = vxx, vx\r=o - 0. "U=i = 0, t»|t=o = 1 - х. (51.49)
Решение задачи (51.49) будем искать методом разделения
переменных
v(x,t)=X(x)T(t). (51.50)
Для определения T(t) получим уравнение
Т = АТ, (51.51)
а функция Х(х) является решением следующей задачи Штурма-
Лиувилля:
Х"{х) = XX (х), Х'{0) = Х'(1) = 0 (51.52)
с собственными функциями
7г(1 + 2п)я
Хп (х) = Ап cos -±-^—'-. п = 0, оо (51.53)
и собственными значениями (см. пример III.2.3)
Г7Г(1 + 2п)12
Аи = -|^ J , п = 0,оо.
448
Глава 8. Уравнения параболического типа
Подставив (51.53) в (51.51), найдем
Тогда
/.ч^1 Г Гтг(14-2п)12 1 тг(1 + 2п)ж
vn(x,t) = 2_jK охр J -|^ - J tjcos ^ .
n =0
(51.54)
Здесь An = AnBn. Из граничного условия (51.48) найдем
Е°° - 7г(1 + 2п)х
An cos -^— = х - 1.
п = 1
Разложив правую часть в ряд Фурье по функциям Хп(х) (51.53)
и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях Хп(х),
получим
д, = 2/(1_1)со,^±^ = _1_. (51.55)
о
Подставив (51.55) и (51.54) в (51.48), получим решение задачи
(51.47)
u(x,t) = х — 1+
8^1 г Г7г(Ц-2п)-|2 1 тг(1 + 2п)ж
+ ^ЩГ^^{-[-^—\ *\™ 2 *
л=0 '
Пример 51.4. Решить смешанную задачу
Щ - Uxx - 9u = 4 sin21 cos З.т — 9ar - 2, , w Л „ Л х
1П I 0 I 2^o (51-56)
«r|;r=o = 0, uv\x=ir - 27Г, u\t=o = x" + 2.
Решение. Решение задачи (51.56) будем искать в виде
а(хЛ) = ж2 + -и(а,\<). (51.57)
Тогда функция v(x,t) является решением смешанной задачи с
однородными граничными условиями
'Щ — vx.v — 9v = 4 sin" t cos Зж, (51.58)
t».r|a-=0 = 0, V,|.r = jr = 0, tl|t=0 = 2.
51. Смешанная задача на отрезке
449
Проведем редукцию задачи (51.58)
и (ж, t) = w(x< t) 4- w{x, t).
Здесь функция w(x<t) является решением смешанной задачи
для однородного уравнения теплопроводности
Щ - wxx - 9w = 0, wx\x=Q = wx\x=1t = 0, w\t=o = 2, (51.59)
а функция w — для неоднородного уравнения, но с нулевыми
начальными условиями
Щ — Wxx- — 9ш = 4 sin" t cos Зж, (51.60)
W.r|.r=0 = WX\X = K = 0, tZ)|t=o = 0.
Решение задачи (51.59) имеет вид
оо
w(x,t) = Y, Ane{9~n2)t cosnx.
n=0
Из начального условия находим
ш(ж, 0) = 2_] An c°sггж = 2.
п=0
Следовательно, Ао = 2, Аи = 0, п = 1, оо, и
Ца?,*) = 2е9'.. (51.61)
Решение задачи (51,60) будем искать в виде
ОС
ш(ж, t) = 2_] Sn cos их. (51.62)
л=0
Подставив (51.62) в (51.60) и разложив правую часть в ряд
Фурье по Хп(х) = cosnx
оо
4 sin21 cos Зж = 4 sin2 t \] &n3 cos пж<
n=0
получим
оо оо
2_] S'n (t) cos nx = 4 sin2 /, У^ <$w3 cos пж.
n=0 n=0
450
Глава 8. Уравнения параболического типа
Приравняв коэффициенты при одинаковых функциях Хп(х) =
= cos n.7:, получим для п = 3
S'3 =4 sin2*, 53(0) = 0
и для п ф 3
5; + (п2 - 9)5П = О, S»(0) = 0.
Следовательно,
Sn(t) = (2t- sin 2t)Sn3, n = OToo.
Окончательно получим
u(x% t) - x2 + 2c9' + (2* - sin 2t) cos 3a:.
52. Задача Коши для многомерного
уравнения теплопроводности.
Функция Грина задачи Коши
ф Функцией Грина уравнения теплопроводности
щ - a2Au (52.1)
называется обобщенная функция G(x<y,t), х,у Е Мп,
удовлетворяющая этому уравнению и начальному условию
G(x,yA))=S(x-y). (52.2)
Утверждение 52.1. Функция Грина уравнения
теплопроводности
dG
— = a2 AG, G(£, £ 0) = Л(з - у) (52.3)
гшеега вш?
G(x,y,t) = G(xi,yi,t)G(z2,y2,t)---G(zn,yn,t) =
n
= l[G(xk<yk,t), (52.4)
k = l
где G(xk,yk,t)i k = l,n — функция Грина задачи Коши для
одномерного уравнения теплопроводности (49.13).
52. Многомерная задача Коши
451
Найдем частные производные
dG(x,y,t) _ A G{x,y,t) dG(xk,yk,t)
dt ~ ^Gix^y^t) dt
лг<* ,7л-Г G(x,y,t) d2G(xk,yk,t)
Ho
dG(xk,yk,t) 2дС(жь2/ь*) 7 -л—
at oxj.
Таким образом, G(x, у, t) удовлетворяет уравнению (52.3). При
t = 0 получим
П 11
G\t=o= Y[G(xk,yk,t)\ _ = Д 8(хк -ук) -8{х-у),
к = 1 *~° к = 1
что и требовалось показать.
Утверждение 52.2. Решение задачи Коши для однородного
уравнения теплопроводности
— = a2An. 4=о = Ф), * G Мп, (52.5)
at
имеет вид
tf(se, t) = f G{x, y< t)<p{y)dy. (52.6)
ж3
Очевидно, что функция (52.6) удовлетворяет уравнению
(52.5). Кроме того,
u(z,0) = / G(x,y,0)<p(y)dy= / 6(x-y)<p(y)dy = <p(x),
что и требовалось показать.
0 Из явного вида функций Грина (49.13) нетрудно
получить
452
Глава 8. Уравнения параболического типа
Подставив (52.7) в (52.5), получим
ЕЛ
♦ Соотношение (52.8) называется формулой Пуассона
задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Утверждение 52.3. Решение задачи Коши для
неоднородного уравнения теплопроводности
— = a2Au+f(x,t), u\t=o = 0, (52.9)
имеет вид
г
u(x,t) = / dr J G(x,y,t-r)f(y,T)dy. (52.10)
о к»
♦ Соотношение (52.10) называется формулой Дюамеля.
Доказательство аналогично доказательству для
одномерного случая.
Следствие. Решение задачи Коши для неоднородного
уравнения теплопроводности
-^=a2Ati + f(x,t), u|f=0 = *>(*). *€!", О 0,
dy +
есть сумма решений (52.6) и (52.10) и имеет вид
ч*" = (7Ян)7*й,ч,[-1ТИ£]
Е"
t
О v Е»
Доказательство очевидно.
Пример 52.1. Найти решение задачи Коши
щ = 2иТХ, и\ - ехр(-4ж2 + 8ж).
52. Многомерная задача Коши
453
Регпение. Согласно формуле Пуассона (52.8), решение задачи
Коши для уравнения теплопроводности при a = \/2 имеет вид
ос
и(хЛ) = ^= J exp(-4j/2 + Sy)exp[-{X~^
dy. (52.12)
Выделим полный квадрат в показателе экспоненты
-4у2 + % - (Ж ~*]' = -^[32j/2* - 64pt + x2 - 2жу + у2] =
->+'»('-Штт)'-^+4
Сделав в (52.12) замену
У = z +
32< + ж
найдем
и(ж,2)
2\/27rt
оо
ехр
ЗМ + 1'
r_2_L2 (32/ +ж)
I 8* ~
32* +
f]}
/ "Ч-^^'К
С учетом значения гауссова интеграла
оо
/
*dz = ^-
окончательно получим
u(x, t) = . ехр (
V M2t + 1 V
4ж2-8ж- 128* \
n/32* + 1 * V 35» + 1
Пример 52.2. Решить задачу Коши
щ =a2uxx + f(x,t). Ч=о = ^ж)' жЕМ' *>0' (52ЛЗ)
если
а2 = 1, f(x,t) = e~* cos ж, ^(ж) = cose. (52.14)
454
Глава 8. Уравнения параболического типа
Регыение. Решение задачи (52.13). (52.14) дается формулой
Пуассона (52.8) при п = 1:
ОС'
u(xj.) = ~Л= / e-(x-y)2/4a2tcosydy+
2a\J-Kt J
— оо
t оо
+ f (IT f * g(Jr-y)a/4«a(t-r)e-r CQS d (52Л5)
У У 2av/?r(* - г)
О -ос
Первый интеграл в (52.15)
оо
7' = i^/e"""''"B"^
заменой переменных
-—% = z, y = 2a\/t.z+x, dy = 2a\ftdz (52.16)
2a\Jt
сводится к интегралу вида
со
1х — —=. I [ cos 2ayt. z cos х + sm 2ci viz sin x\e~z dz, (52.17)
V 7Г J
— oo
вычисленному в разд. «Функции Грина задачи Коши» при
доказательстве свойства 3:
оо
/ v-s\o*Hzdz = Ае"^2/4, (52.18)
-оо
оо
/ e"rJ sh\ hz dz = Q. (52.19)
Подставив (52.18) и (52.19) в (52.17), найдем
7i = со8яе~Л. (52.20)
52. Многомерная задача Коши
455
Последовательное вычисление интегралов при a = 1
оо
/
— оо
e-{!/-,-f/4a'i{t-r)e-Tcosydy
a=l
= 2ay/*(t - r)e_<r(f-r) cosz
a=l
a=l
= 2^/n(t-r)e-{t-r) cos ж,
t * t
I cos x e~r~ ^~T^dr = cos хе~* I dr = e~tt cos x
о о
дает для второго интеграла из (52.15)
t оо
/о= /"dr /" * eM-rf/^V-^e-'cosydy
" J J 2ач/тг(/.-г)
О -оо v
= e~4cos.T. (52.21)
Подставив (52.20) и (52.21) в (52.15), находим
u(x.t) = е~'(1 4- t)cosx.
Пример 52.3. На поверхности бесконечного однородного
стержня происходит конвективный теплообмен со средой
нулевой температуры. Найти распределение температуры в
стержне, если ее начальное распределение имеет вид u\t=o — 2>/7Г($(ж).
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид (см.
уравнение (12.5))
щ = a2u,vx — u, u\t-o = 2у/тг6(х).
Решение задачи ищем в виде
u(x.t) — e~lv{x,t).
Тогда для определения функции v(x,t) получим задачу Коши
vt - a2vxx, v\t=o = 2\Jk8(x),
решение которой дается формулой Пуассона (52.8) при п = 1.
С учетом свойств дельта-функции получим
456
Глава 8. Уравнения параболического типа
0,05V—. - < >• х' S
0,1 \<"-\ ^ v ч ,- / UP
/ ч ч ^ ^- Vo
' °'15Ч '■■"/.<0 5 х
о>Х
Рис. 58
График функции (52.22) при a = 1 приведен на рис. 58.
Здесь в качестве дельта-функции использовалась
дельтообразная последовательность
д<"'£, = \ о и
^
е>0
5| > е,
при е = 0.01.
Пример 52.4. Решить задачу Коши
щ = a2Au + /(ж, *■), u|t=0 = р(ж), ж € К2, (52.23)
если
а = 1, /(£,f.) = sina;ismx2sm<, <р(х) = 1. (52.24)
Решение. Согласно формуле Пуассона (52.8), при п = 2 с
учетом (52.24) найдем
u(x,t)= J j _1_e-[(».-i),+<»»-*»)1/«dwdIto+
— оо —оо
t оо со
+ [ <1т [ I 1 -p-[(«»-*i)'+(»»-«»)']/W«-'-)1v
У У У (2у/тг(<-г))2
О —со —ОС'
52. Многомерная задача Коши
457
х sin yi sin y2 sin т dyidy2. (52.25)
Замена переменных
2/1 - «1 2/2 - ж2 2/i - Ж1 _ 2/2 - ж2
2\/i 2y/f. 2v/T^7 Ix/t^r
даст
оо оо
u(z,t) = - I c-u\lu I e-,,2dv+
— оо —оо
t оо
Н— / rir sin г / е~" sin[2\/f. — тй + x]dux
О -со
ос
х [ гГр2 sii\[2y/t - то 4 x]dv, (52.26)
откуда с учетом соотношения
sin (а 4/3) — sin a cos /3 4- cos a sin /3
и формул (52.18), (52.19) получим
t
u(x,t) = 1 + sin xi sin x2 I sinre~2^~r^(ir =
о
t
= 1 4-sill жi sin жз^ / sin re: dr
/sir
0
1 I*
= 1 4 8И1Ж18И1Ж2е~2'-[е2г(28И1т — cos2rl =
5L Jlo
= 1 4 psinzi siiix2e-2f [(2sin^ — cos 2t 4 e~2t]-
о
Пример 52.5. Решить задачу Коши
ut = о2А« + Дж,<), Ч=0 = ^(г)' г^м3' (52.27)
для
а2 = 2, /(a?,f.) = tcosaji, у>(ж) = созжзсозжз- (52.28)
458
Глава 8. Уравнения параболического типа
Решение. Согласно формуле Пуассона (52.8) для п = 3 (см.
предыдущий пример), с учетом (52.28) имеем
t
u(xj.) = Д + / 12тс1т, (52.29)
где
о
Д= / _l=e-<*'-*>a/4a'td
У 2ач/^
— оо
оо
х / —L—e-l*>-v)*/*«'* cosy, dy2x
— ОО
ОО
X / -J_e-(^-^)2/4a2tcosy3(iy3 (5230)
7 2ay/7rt
=e-(-i-^i)2/4a2(t-r)d
т)
У 2ал/тг(/ - ■
-со
со
J 2ay/n(t - т)
— CO
со
х [ ^_e-^-^)2/4a3(*-r)cosy3ci2/3. (52.31)
J 2ал/7г(/. - т)
-со
Все интегралы, фигурирующие в (52.30), (52.31), вычислялись
в двух предыдущих примерах, поэтому величины Д и 1о
можно записать сразу
h = cosz2cosz3er2a2', (52.32)
I2 = cosx1e-a2{t-TK (52.33)
Интегрирование Io по т дает
t t
f I2rdr= f cosx1e-a*it-r)TdT =
53. Теорема единственности для уравнения теплопроводности 459
г
ie-«2' f еаЧ dr = ^i [aH - 1 + е-'*] .(52.34)
= COSE_
о
Подставив (52.32), (52.34) в (52.29), находим
u(x, t) — cos xo cos хзе~2а * Н —— \a2t — 1 -f е~а '],
а4
а с учетом того, что а2 =2, - соответственно
Цж, t) = cos яз cos хзе~** -f - cos x*i [2t — 1 -f e~2*].
53. Теорема единственности
для одномерного уравнения
теплопроводности
Теорема 53.1 (принцип максимума). Всякое классическое
решение u(x,t) (непрерывное в замкнутой области D = {0 ^
х ^ /, 0 ^ t ^ T}) уравнения
д_
дх
к(х)дх~
= р(х)щ (53.1)
принимает наибольшее и наименьшее значения либо в
начальный момент времени u\t=o< либо на границе отрезка и\х=о-
u\x=i.
Доказательство. 1. Если u(x,t) — const, то справедливость
утверждения теоремы очевидна.
2. Пусть
Mi - max{ti|t=o, ^|.r=o, ^U=/}, (53.2)
M2 — max u(x,t), Mo = u{xo,yo). (53.3)
.r€[0./]
f€[0,T]
Покажем, что М\ — Mo. Предположим противное: М\ < Мз.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Мо -Мл
v(x,t) = u(x,t) + a{T-t), где 0< а < Л \
460
Глава 8. Уравнения параболического типа
Функция v(x,t) непрерывна в D и, следовательно, достигает
в D наибольшего значения в некоторой точке (#i,£i), так как
М3 =v(xuti)
М - и(х0, *о) ^ Ф'о, *о) + a(T - t0) = v(x0, t0) ^ М3.
Точка (xi,ti) не может лежать на границе, так как
\v{z, 0)| <$ |и(ж, 0)| 4- аТ < Мх + -(М2 - Mi) < М2 ^ М3;
НО,01 ^ |«(0,*)| + <*{Т - t) < Mi + i(M2 - Mi) < M2 ^ M3;
И*, t)| ^ W{1, t)\ + a(T - t)< Mi + ^(M2 - Mi) < M2 $ M3.
Таким образом, точка (xi,<i) E i) и в ней функция u(x,t)
должна удовлетворять уравнению (53.1). Но, так как (xi,ti)
- точка максимума, то
tiar(»i,*i) =vx(xuti) = 0, «„(aji^i) = vxx(xi,ti) ^ О,
uf(aji,*i) = vt(xuti) -fa > 0,
поскольку
Г 0. 0 < t < Т;
t"(*i.'i) = ( ,)(a,t)^0, * = Т.
и, следовательно, в точке (xi.ti) функция u(x,t) не
удовлетворяет уравнению (53.1). Следовательно, предположение Mi <
М2 неверно, т.е. М\ = М2, что и требовалось доказать.
Доказательство для минимума аналогично.
Теорема 53.2 (о единственности). Классическое решение
смешанной задачи с краевыми условиями первого рода
[непрерывное в области 0 <J х ^ I, t ^ 0)
u(0,t) = /ii(<), u(U)=/x2(*), ф,0) = у>(ж), (53.5)
единственно.
Доказательство. Пусть Ui и и2 — два решения задачи (53.4),
(53.5). Пусть v = и2 — «1, тогда
■w(0, t) = v(Lt) = v(x%0) =0.
53. Теорема единственности для уравнения теплопроводности 461
Это решение непрерывно и достигает наибольшего и
наименьшего значений на границе. Следовательно, v(x,t) = О, что и
доказывает теорему.
Теорема 53.3. Классическое решение задачи Коши
(непрерывное и ограниченное при —ос < х < ос, t ^ 0)
2д2'а ди ,го*\
ttto*=«- (53-б)
и(ж, 0) = у>(ж). \(р(х)\ ^ М < ос,
единственно.
Доказательство. Пусть существуют функции щ и из«
удовлетворяющие уравнению (53.6), и функция v = и\ — ио, для
которой \v\ ^ 2M. Рассмотрим функцию
w[x.t)=™(£+a*t). (53.7)
Очевидно, она удовлетворяет уравнению (53.6), причем
М*,0)|=-р-(—) ^2М при \x\^L,
|to(x,0)|^«(z,0) = 0,
\w(±L.t)\^2M.
\w(±L,t)\2\v{±L,t)\.
Следовательно, по теореме об экстремуме
\v(x,t)\ ^w(x,t)
для всех ж, принадлежащих отрезку ] — L, L[. Зафиксировав ж,
перейдем в последнем равенстве к пределу при L —> ос. Тогда
\v(xJ.)\^d
что дает ^(ж,/.) = 0. Таким образом, теорема доказана.
ГЛАВА 9
Интегральные уравнения
54. Основные понятия и определения
♦ Уравнение, содержащее неизвестную функцию под
знаком интеграла, называется интегральным уравнением.
О Интегральные уравнения делятся на два основных
класса: линейные и нелинейные.
О Линейные интегральные уравнения имеют вид
А(х)и(х) + I K{x.y)u(y)dy = f{x), xEE, (54.1)
Е
где Е - подмножество В.'1 и А, К, f - заданные функции, из
которых А(х) называется коэффициентом, К(х,у) - ядром, f(x)
- свободным членом (или правой частью); и(х) - неизвестная
функция.
Если f(x) = 0, то уравнение (54.1) называется однородным,
в противном случае -- неоднородным.
О В зависимости от коэффициента А различают три типа
линейных интегральных уравнений:
1) уравнения первого рода, если А — 0 для всех х Е Е:
2) уравнения второго рода, если А ф 0 для всех х Е Е:
3) уравнения третьего рода, если А = 0 на некотором
подмножестве Е.
О В дальнейшем ограничимся одномерным случаем,
когда область Е - конечный или бесконечный интервал ]а, 6[,
Е =]а, Ь[С М.
В этом случае линейные интегральные уравнения первого
и второго рода можно представить в виде
ъ
J K(x.y)u(y)dy = f(x), x е]а,Ь[; (54.2)
а
Ъ
и(х) - A J K(x, y)u(y)dy = /(ж), х Е]а, Ь[. (54.3)
а
♦ Уравнения (54.2). (54.3) называются уравнениями Фред-
гол ьма первого и второго рода соответственно.
54. Основные понятия и определения
463
♦ Комплексное число Л называется параметром
интегрального уравнения.
О Мы ограничим рассмотрение случаем, когда функция
К(х,у) непрерывна в Ё х Е (здесь Е — [а, Ь]) или
удовлетворяет условию
[ \K(x,y)\2dxdy< оо. (54.4)
ЕхЕ
В этом случае интеграл
ь
I K{x,y)u[y)dy-v(x)
а
определяет непрерывную функцию v(x) для квадратично
интегрируемой на [aj)] функции и(х). Действительно, применив
к приращению функции Av(x) = v(x + Ax) — v(x) неравенство
Коши-Буняковского (II. 17.2), имеем
ь ъ
\v(x + Ах) - v(x)\ ^ J[K(x + Ах, у) - K{x,y)]2dy J u2(y)dy.
а а
Приняв во внимание непрерывность ядра К(х,у) и
квадратичную интегрируемость (не обязательно непрерывной или
ограниченной) функции и(х)< найдем
. lim {v(x + Ax) - v(x)} = 0,
Д.г->0
откуда и следует непрерывность v(x). Поэтому для
непрерывных функций f(x) решение уравнения (54.3), если оно
существует, является непрерывным. Соответственно, если функция
f(x) квадратично интегрируема на [а, 6], то и(х) также
принадлежит к этому классу функций.
♦ Решением интегральных уравнений (54.2), (54.3) будем
называть любую функцию и(х). при подстановке которой
уравнения обращаются в тождество.
О Однородные уравнения (54.3), очевидно, всегда имеют
решение и(х) — 0. которое называется тривиальным. Значение
Л, при котором однородное уравнение имеет отличные от нуля
решения, называется характеристическим, а ненулевые
функции и(х) - собственными функциями однородного уравнения
(54.3).
464
Глава 9. Интегральные уравнения
♦ Функция Щх, у, А) переменных ж, у и параметра Л
называется резольвентой уравнения Фред гол ьма (54.3), если
решение уравнения (54.3) можно представить в виде
ь
ч(х) = f(x) + Л У Д(а, ущ X)f(y)dy. (54.5)
а
♦ Если ядро К(х,у) обращается в нуль при у > ж, такое
ядро называется ядром Вольтерра, а .уравнения (54.2), (54.3)
принимают вид
K(xyy)u(y)dy = f(x); (54.6)
.г
/
(/
.г
«(*) - A J K(x, y)u(y)dy = f(x) (54.7)
a
и называются уравнениями Вольтерра первого и второго рода
соответственно.
Уравнение (54.5) в этом случае примет вид
г
u(x) = f{x) + А | Д(з. у, A)/(y)dy. (54.8)
55. Задачи, приводящие
к интегральным уравнениям
Рассмотрим несколько задач, которые приводят к
интегральным уравнениям. Прежде всего покажем, что некоторые
задачи, рассмотренные нами в частях I и III, можно свести к
интегральным уравнениям.
55.1. Задача Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши
£ад«(,о(*)=/(*), (551)
«(0) = Со, пЩ = С1, ..., «<"-1»(0) = С„_1.
55. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям 465
Бели ввести функцию v(x) соотношением
v(x) =и<я>(ж), (55.2)
то последовательное n-кратное интегрирование этого
выражения с учетом формулы (см. разд. «Свойства преобразования
Лапласа» части I)
.Г Xi X п - 1 X
jdXlf dx2--- j f(x„) dxn = j^-^ j(x - y)"-lf(y)dy
Xq Xo .Id Xq
дает
у
ul"-l)(x)-Ca-i = Jv(y)dy,
°. ; (55.3)
«(*)-Ec*^ = (^iijj/(*-i')""1»(»)rfw-
k=0 0
Подстановка (55.2), (55.3) в (55.1) приводит к интегральному
уравнению Вольтерра второго рода для функции v(x):
х
Pnix)v(x) + J К{х, y)v(y)dy = F(x), (55.4)
где
М-у)"-1
F(x) = f(i)- Pn.MCn-i - Р„-2(х)[С„-2 + Ca-!x] - (55.5)
-...-Ро
■„ г, С2х2 Cn-ix"-1
Со + Сц + -^- + • • • +
2! (n-1)! J
О Отметим, что если коэффициенты Pt(a;) уравнения (55.1)
постоянны, то ядро К(х.у) интегрального уравнения (55.4)
зависит только от разности аргументов х,у, т.е. К(х,у) =
К(х - у).
466
Глава 9. Интегральные уравнения
В некоторых частных случаях, как например
ul»4x) = f(z.u(*)), *(0) = Co, /РКЛХ
(55.6)
ti'(0) = d, ^"-^(OJrrCn-b
решение задачи Коши можно свести к решению
интегрального уравнения непосредственно для искомой функции и(х).
Действительно, как и в предыдущем случае, п-кратное
интегрирование (55.6) дает
п-1
л г к /~ч
(п-1)! У ^о^"1)'
Заметим, что если функция f(x<u(x)) линейна по и(х), то
уравнение (55.7) является линейным уравнением Вольтерра,
в противном случае это нелинейное интегральное уравнение,
называемое также уравнением Вольтерра-Гаммерштейна.
55.2. Краевая задача для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим краевую задачу
u»(x)+q(x)u(x) = f(z), (55.8)
tt(0) = u(l) = 0.
В формуле (55.7) при п — 2 величины С\ и С2 считаем
произвольными постоянными, a f(x,u(x)) - равной f(x) — q(x)u(x).
Тогда общее решение уравнения (55.8) можно найти из
интегрального уравнения
X
и(х) = Пх - y)[f(y) - q(y)u(y)]dy + Ci + C2x. (55.
9)
Произвольные постоянные определим из граничных условий
(55.8). Положив в (55.9) х — 0 и х — /, найдем
d = 0, С2 = -у J(l - y)[f(y) - q(y)u(y)]dy. (55.10)
55. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям 467
Подставив (55.10) в (55.9). имеем
.г
и{х) = / (х - y)[f(y) - q{y)u(y)]dy-
0
/
-j I (I - УМУ) ~ Я(у)п(у)]с1у. (55.11)
Уравнение (55.11) можно представить в «более
симметричном» виде
;Г
Ф) = J ^-р^[/М - q(vHv)]dy-
О
/
- f ^Y^-[f(v) - q(vHv)]dv- (55.12)
.г
Введем функцию
К(*.у) = 1 1_ (55.13)
{ К t , х<у<1.
Тогда уравнение (55.12) примет вид
ф) = F(x) + J K(x, y)q(y)u(y)dy, (55.14)
о
где
F(x) = -JK(x,y)f_(y)dy,
а функция К(х,у) определена соотношением (55.13) и
является функцией влияния G(x,y) краевой задачи (55.8) (см. разд.
«Функция Грина краевой задачи» части II).
Краевая задача (55.8) при q(x) — А и f(x) — 0 является
задачей Штурма- -Лиу вилл я. Интегральное уравнение (55.14)
468
Глава 9. Интегральные уравнения
в этом случае имеет вид
/
и(х) = A j К(хщ y)u{y)dy (55.15)
о
и для неоднородного интегрального уравнения
u(x) = F(x) + А / К (ж, y)u{y)dy
играет ту же роль, что и задача Штурма-Лиувилля для
краевых задач (55.8).
55.3. Задача обращения
Рассмотрим интегральное преобразование Фурье функции
<р(х):
оо
/(*) = --L J е''»р{у)<1у. (55.16)
-ОО
Задача о нахождении функции у>(ж), если известна функция
f(x) - ее фурье-образ (55.16), называется задачей обращения.
Ее решение
ос
<р(у) = -±= J e~"yf{x)dx (55.17)
— ОО
было получено Фурье в 1811 г. Уравнение (55.16) для функции
<р(х) является уравнением Фред гол ьма первого рода.
55.4. Уравнение Шрёдингера
Рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера
#Ф = ЯФ, где 4 = -iA-U(x) (55.18)
и 7 = ft2/2m, а [/(ж) - потенциал внешнего поля. Пусть
Ф(£)= f ei{^<p(k)dk.
56. Метод определителей Фрсдгольмп
469
Тогда
Д* = - / к2<р(к)е^^с1к.
Е3
Потенциал U(x) представим в виде
U{£)= f ei{?^U(p)dp,
где U(p) - фурье-образ функции U(x).
Подставив в (55.18), получим
Е3
7 fk2<p(ky{j:'J)dk+ f dpei{^U(p) f dkei{i*^<p(k) =
ЖЛ E3
[ <р(к)е*1*>г)<1к.
E3
В интеграле
/ = /\ip / j£e'(^+^?)tf(^(£)
сделаем замену переменных p—k' — k,dp= dk'. Тогда
/= /j£' [dkU(k-k')<p{k)eiiu''*K
i» e3
Обозначим к — q, к' — к vl перепишем интеграл
J = /dfe f dqU(q- k)<p(q)ei{i*>*].
Es E3
Тогда уравнение (55.18) примет вид
[dkei{i'g)lik2<p{k) + f dqU{k-q)<p(q)-E<p(k)\ = 0.
E3 ЕЛ
Следовательно, уравнение Шрёдингера (55.18) эквивалентно
уравнению
[у1? - Е\<р(к) + f dqU(k-q)<p(q) = t). (55.19)
Е3
470
Глава 9. Интегральные уравнения
56. Резольвента уравнения Фредгольма и
метод определителей Фредгольма
В уравнении Фредгольма (54.3) интеграл
б
/ K(x,y)u(y)dy
a
заменим римановой интегральной суммой ^
ii
^2K(x,xt)u(xi)Ax,
1=1
где
а Ь - a _ . _ -—
/\х = , х\ — a + /Дж, / = 1, п,
п
так, что
Г
/ K{x,y)u(y)dy = lini V"#(:e,:c/H:c/)A:c.
« '=1
0 Такая замена, строго говоря, недопустима, но
предлагаемая ниже схема позволяет выяснить структуру резольвенты
Фредгольма (54.3), хотя и имеет иллюстративный характер.
Итак, вместо (54.3) запишем
п
u(x) = f(x) + А ]Г К(х, xi)u(xt)Ax. (56.1)
/=i
Так как это уравнение обращается в тождество на всем
отрезке а ^ х ^ 6, то оно справедливо и тогда, когда х принимает
значения Xj при j — 1,п. Положив в (56.1) х — жу, получим
систему
/?
u(xj) - ХАх^2к(х^Х1)и(х1) = f(xj), j = I^L (56.2)
/=i
Система (56.2) есть неоднородная система линейных
алгебраических уравнений, в которой роль неизвестных играют u(xj).
56. Метод определителей Фредгольмн
471
Она имеет единственное решение, если определитель
Dn(X)= (56.3)
|1 - XAxK(xi.xi) -ХАхК(хх,х2) ... -\AxK(xi,xn)
-ХАхК(х2, xi) 1 - ХАхК{х2, х2) ... -ХАхК(х2, хп)
—XAxK(xn,xi) -ХАхК(хп,х2) ... 1 — ХАхК(хп. хп)\
отличен от нуля. Согласно правилу Крамера, решение
системы (56.2) в этом случае можно записать в виде
u(xj) =
1
Dn^)[f{xi)Du{xj,x1.X)+
+/(*з) A, (xj,x2, X) + ... + f(xn )Dn(xj, ж„, Л)], (56.4)
где Dn (xj, ж/, Л) алгебраические дополнения к элементам
определителя (56.3), стоящим на пересечении 1-й строки и j-ro
столбца.
Разложение по степеням Л определителя Dn(X) дает
п
Dn(X) = 1-А^Д"(:с/,:с/)Д:с+
/=i
]K(xisXi) K(xhXj)
ij=i
Л уу WL[XhXi) IV[XhXj)
^2! ^ \K{xj<xi) K(xj,xj)
(Ax)2-
дз » ^C(xhxi) K(xt,Xj) K(xhXi)
^\Л W(xj*xi)~ K(xJixj) K(xj,Xi)
6'ij,i=i |К(ж,-. xi\ K(xi,Xj) K(xi, Xi)
(Аж)3 + ...(56.5)
и соответственно определителя
D„(xj<xi,\) = \Ax<K(xj,xt)-
1 = 1
K{xj,xi) K(xj,Xi)
K(xi,xi) K(xj,Xi)
(Дз)+
Л2 " W{xj*xi) K(xj,Xi) K(xj,xk)
— 2^ UC(Xi<Xi) K(xhXi) K(X4,Xk)
i.k=i]K(xk.xi) К(хк.Х{) K(xk,xk)\
(Ax)2
>.(56.6)
Подчеркнем, что формула (56.6) справедлива только при
Xj ф х\. Мы не выписали явный вид алгебраических
дополнений D(xj,Xj. X) к диагональным элементам определителя
472
Глава 9. Интегральные уравнения
(56.3), так как их структура в данном случае совпадает со
структурой самого определителя, а следовательно, разложение
D(xj,Xj,\) по степеням Л аналогично разложению (56.5).
«Решение» (56.4) представим в виде
»Ы = *М д,(Л) + g^'> д,(Л) • (56J)
Устремив n -» ос (Дж —>> 0) и заменив соответствующие
интегральные суммы интегралами, вместо (56.7) можем записать
ь
u(x) = f(x) + А I Щщ^Х) f(y)dy. (5C.8)
О В формуле (56.8) учтено, что при п —> оо справедливы
предельные соотношения
£>n(sj,s/,A)
А, (А)
Д,(А)->ВД; ДД.г,,ж,,А)->А1)(я,2/,А),
где £>(А) и D(x,y.\) представляют собой ряды по степеням А,
явный вид которых получим из разложений (56.5) и (56.6):
Д(А) = Е("1)ТС"- (5С-9)
п=0
(-1ГХ"Вп(х,у)
11=0
а коэффициенты С„ и Вп(х.у) есть
С0 = 1, В0 = К{х,у) (56.11)
при п -= 0 и
ъ ь
Д(«.>Л) = Е'-"ЛТ'1-'", (56.10,
С„ = / dt/i / г£;г/о .
56. Метод определителей Фредгольма
473
о
■/
K(yi,yi) К(ух,у2)
K(y2.yi) К(у2,У2)
К(уп.ух) К(у„,у2)
и о
Вп(х,у,Х) = / dyi / dy2
■I
К(х,у) К(х,У1)
К(У1.у) К(ш, Vi)
К{у2-у) K{y2,yi)
K{yu,y) К (у
К(у!,уп)
К{У2,Уп)
К(Уп,Уп)
К(х,Уп)
К(УъУп)
К(У2,Уп)
К(уп,уп)
dyn, (56.12)
dyu (56.13)
При 71^1.
Из (54.5) и (56.8) для резольвенты R(x,y, А) получим
следующее представление:
Щх,у<\)
Д(ж,у,А)
D(A) '
(56.14)
Величины D(x<y. X) и jD(A) принято называть соответственно
минорами и определителем Фредгольма.
Как уже отмечалось, предложенный вывод формулы (56.8)
имеет иллюстративный характер. Существует и строгий
(хотя и довольно громоздкий) вывод формулы (56.8) (см.,
например, [47]). Не вдаваясь в подробности, отметим его основные
моменты. Прежде всего, из условия (54.4) доказывается
сходимость рядов (56.9) и (56.10) к целым, аналитическим по А
функциям. Затем, исходя из формул (56.12), (56.13), выводится
следующая зависимость между функциями (рядами) D(x, t/, A)
и D(\):
ь
D(x. у, А) = D(X)K(x. y)+\ J К(х, z)D(z, t/, \)dz, (56.15)
которая соответствует интегральному уравнению
ь
Щх, t/, А) = К(х, у) + \ f K[x, z)R{z, у, X)dz (56.16)
474
Глава 9. Интегральные уравнения
для резольвенты R(x, у, Л).
О Уравнение (56.16) можно получить непосредственно из
соотношений (54.3) и (54.5). Действительно, подставим (54.5)
в (54.3) и получим
ь
f(x) + \JR(x,yA)f(y)dy-
a
-А J К (х, у) | /(у) + Л У" Д(2/, z, A)/(z)d* Id» = /(
= /(*)
ИЛИ
| Л(х, у, A)/(y)dy - | dy | ri* *(*, у)АЛ(у. s, A)/(s) -
о </а
Ь
-JdyK(x,y)f(y)=0.
a
Заменив во втором интеграле у на г, a z на у, получим
/ dy /(у) | Л(я, у, А) - А / #(*, г) Д(г, у, A)dz - К(х, у) I = 0.
В силу произвольности функции f(x) получим
ь
Д(я, у, А) - A I К(х, z)R(z, у, A)d* = -ИГ(ж, у).
а
Таким образом, приходим к (56.16).
О Помимо уравнения (56.16) резольвента уравнения Фред-
гольма (54.3) как функция у удовлетворяет уравнению
ь
Д(ж, у, А) - А А #(*, у) Я(ж, г, A)dz = K(x, у), (56.17)
а
где х - фиксированное число.
56. Метод определителей Фредгольмя
475
Действительно, из (54.3) найдем
ъ
/(ж) = и(х) - А / K{x,y)u{y)dy
а
и подставим в (54.5). Получим
ь
u(x) = u(x) — А / K(x.y)u(y)dy -f
+А / R{y.z.\) < m(j/) - Л J K{y,z)u(z)dz \ dy.
а У a )
Следовательно,
b
- J K(x,y)'u,(y)dy+
a
+ f dyR(x.y,\)lu(y) -A f K(x,y)u(z)dz\ = 0.
Переобозначив в последнем интеграле у —> z и z —> у, получим
fdyu(y) I -If (ж. /у) 4- Д(ж, t/, Л) - Л / Д(ж, г, А)#(г, y)cb I = 0.
a I a )
В силу произвольности функции и(х) получим
ь
К(х, у) = Д(ж, ■</, А) - А / Д(ж, г, А)# (z, j/)dz,
а
и уравнение (56.17) справедливо.
О Таким образом, резольвента Щх, у, А) как функция
переменных ж и у определяется только ядром и не зависит от /(ж).
Если решение уравнения (54.3) существует, оно представимо
в виде (54.5).
476
Глава 9. Интегральные уравнения
Теперь решение (56.8) можно получить, исходя только из
уравнения (56.16). Действительно, пусть и(х) - некоторое
решение уравнения (54.3). Умножим это уравнение на \R(z< ж, Л)
и проинтегрируем по х. С учетом (56.16) получим
ъ ь
А / R(z< ж, \)u{x)dx = А / R(z,x, X)f(x)dx -f
о a
b
+\j [R(z,y.\)-K(z,y)]u(y)dy.
a
Приведя подобные члены и еще раз использовав соотношение
(54.3), получим уравнение
ь
u(z) = f(z) + A J Щгщ у, \)f(y)dy, (56.18)
с/
которое после переобозначения z на х полностью совпадает с
(56.8).
Из формулы (56.18) следует, что решение интегрального
уравнения практически полностью определяется резольвентой
ii(x,t/, Л), являющейся ядром интеграла (56.18). Поэтому
резольвенту R(x,y, \) иногда называют разрешающим ядром
ядра К(х, у).
Подводя итог вышесказанному, можно утверждать, что
справедлива
Теорема 56.1. Если значение Л не является нулем определи-
теля Фредгольма D(\), то уравнение (54.3) при любой
функции f(x) имеет единственное решение, задаваемое
формулой (56.18), в которой резольвента Д(ж,у, Л)
удовлетворяет уравнению (56.16) или определяется через определители
Фредгольма согласно (56.14).
Следствие 56.1.1. Если /(ж) = 0, то однородное уравнение
ь
и(х) = Х I K(x,y)u(y)dy (56.19)
о
не имеет непрерывного решения, кроме тривиального и(х) = 0.
56. Метод определителей Фредгольма
477
Доказательство следует непосредственно из (54.3) и (56.18).
Пример 56.1. Построить резольвенту ядра К(х,у) = хеу в
квадрате [0,1] х [0.1] (а = 0. b = 1) и с ее помощью найти
решение уравнения
1
и(х) = еГх + А / К(х. y)u(y)dy, \ф\.
о
Решение. Согласно (56.11) (56.13), имеем
В0(х.у)=К(х.у)=хе». Со = 1:
1 1
/I теу геу\ I С
1 1
.ге^ хе
В2(х,у) = J J
О О
У\
хе
У2
У1с!' ухс^ у^У*
у2еи т/2 еУ1 У2еУ2
dyi dy2 = 0,
2/i e-
?У2е
О О
dyi dy2 = 0.
Очевидно, что все последующие Вп(х,у) и С„ равны нулю.
Тогда
D{z, у, А) = В0(ж, у) = же*, £(А) = 1 - А
и соответственно
D{x.y.X) _ жеу
Д(ж,у,А)
D(A)
1-А
С учетом полученного выражения и формулы (54.5) решение
интегрального уравнения с: f(x) = е~г имеет вид
1
/Т€'У Т
О
О Отметим, что построение резольвенты по формулам
(56.9)—(56.14) возможно лишь в очень редких случаях. Тем
не менее, из этих формул можно вывести следующее полезное
утверждение.
478
Глава 0. Интегральные уравнения
Утверждение 56.1. Для коэффициентов Вп(х<у) иСп
справедливы рекуррентные соотношения
ъ
Вп(х,у) = С„К(х.у) -п I K(x,z)Bn.1(z.y)dz; (56.20)
а
Ь
С„= [ Bn.x(z,z)dz. (56.21)
Действительно, формула (56.21) очевидным образом
вытекает из сравнения (56.12) и (56.13). Для вывода соотношения
(56.20) воспользуемся уравнением (56.15)
ь
D{x, у, А) = К(х, y)D(X) + А / К{х, z)D(z, у, X)dz.
Подставив в эту формулу вместо D(X) и D(z, t/, Л) ряды (56.9),
(56.10) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
Л, придем к формуле (56.20).
Формулы (56.20), (56.21) дают возможность простого
последовательного вычисления коэффициентов Вп(х,у) и Сп и,
следовательно, Щх,у, А) следующим образом. Положив в
(56.21) п = 1 и приняв во внимание, что Во(х,у) = К(х,у)<
получим из этой формулы С\. Затем из формулы (56.20) при
п = 1 получим Bi(x<y) при условии, что Со = 1. На
следующем шаге при п — 2 из формулы (56.21) найдем Сз, а из (56.20)
- В2(х,у) и т.д.
Пример 56.2. Построить резольвенту ядра К(х, y) = sin(x + y)
в квадрате [0, 27г] х [0, 2ж] (а = 0, b = 27г) и с ее помощью найти
решение уравнения
2тг
и(х) - X sin(a: + y)u(y)dy = 1 (56.22)
о
при условии Л ф ±\/2/(27г).
56. Метод определителей Фрадгольма
479
Регыение. Согласно (56.12). (56.13), имеем Со = 1, Во(х<у) =
= К(х,у) = sin(х 4 у). С помощью формулы (56.21) найдем
2тг
d = / sin 2z d* = 0.
о
По формуле (56.20) получим
2л-
Bi(x,y) = — sin(x + z)x\n(z + y)dz = —7гсоз(ж — t/).
о
Далее имеем
2л-
Со = I [—7г cos 0] ciz = —27Г2;
о
Во(х< у) = —27г2 sin (ж Н- у) —
2л-
—2 / sin (ж 4 z)[—7rcos(2 -г y)](iz = 0;
о
С3 = С4 = ... = 0, В3(х. у) = В4(ж, з/) = ... = 0.
Следовательно,
jD(A) = 1 - 2тг2Л2. D(x. //. А) = sin(.T 4 у) 4 Attcos(x* - у).
sin(a; 4 ty) 4- А7гсоз(ж — t/)
Л(ж.уу,А)- =
1 - 2тг2А2
Явный вид резольвенты позволяет записать решение
интегрального уравнения (56.22) в виде
Этт
/ \ 1 , \ /sml^ + vyJ + ATrcosfaj-y)
и(я) = 1 + А у ^2^2 ^ = 1-
о
Подставив и(х) = 1 в (56.22). убеждаемся в правильности
полученного решения
2тг
1 — А / sin(.r. 4- у) dy = 1.
о
480
Глава 9. Интегральные уравнения
В заключение рассмотрим две теоремы, полезные при
дальнейшем исследовании интегральных уравнений.
Теорема 56.2. Всякий нуль функции D(\) является полюсом,
резольвенты R(x. у< А).
Доказательство. Пусть Ло - нуль функции D(X) кратности
71 т.е.
£>(А) = (А-Ао)"А)(А). Д)(Ао)^0.
Положим в формуле (56.10) х = у и проинтегрируем по х.
Тогда
[ ъ, ,ч , /V^ (-1)П\ПВП{Х.Х) ,
/ D(x< х. X)dx =2^ ~ " f dx
или с учетом (56.20) и (56.21)
" п<,. , Aw • V^ (-D^CWi <Ш(А)
D(:c,a;,A)fb; = ^ ~t = ^д—• (56.23)
71=0
/
Предположим теперь, что А() является еще и нулем функции
D(x,y,\) кратности А;, т.е.
D{z,y,\) = (\- \0)kD0{x,y,\),
где Do(x,y, Ao) - ряд по целым положительным степеням
(А — Ао), свободный член которого отличен от нуля при
некоторых значениях х и у. Тогда в силу (56.23)
dD(X)
d\
о
о)*' / D0(x,x,.
= (А-Ао)* / D0(x,x,X)dx
Левая часть полученного уравнения как производная от D(X)
имеет корень А — Ао кратности п — 1, тогда как в правой части
уже имеется множитель (А — Ao)fc и, кроме того, может
случиться, что после интегрирования по ж выделится еще целая
положительная степень А — Ао- Это приводит нас к
неравенству h ^ п — 1, означающему, что если А = Ао и является нулем
функции D(x,y<X). то его кратность, во всяком случае, ниже
п кратности нуля функции D(X). Последнее означает, что Ао
- полюс резольвенты Щх, /у. А).
57. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
481
Теорема 56.3. Если Ло является полюсом резольвенты
неоднородного уравнения (56.1). то соответствующее ему
однородное уравнение
ь
и[х) = А / К(хл y)u(y)dy (56.24)
а
имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Пусть Ло - полюс резольвенты R(x,y, Л)
кратности п. Тогда в окрестности точки Ло справедливо
разложение
...+ ^^ + Еа,(,:^)(Л-Ло^, (56.25)
Л — Ло
в котором коэффициент а_„ (х% у) не равен тождественно нулю
и является непрерывной функцией своих аргументов в Е х Е.
Подставив (56.25)-в (56.16), умножив обе части на (Л — Ло)п и
положив затем Л = Ло, получим
ь
а-п(х<у) = Л0 / K(x,z)a-n(z,y)dz.
а
Таким образом, коэффициент а_п(ж, у) как функция аргумента
х при любом значении у является решением однородного
уравнения (56.24). Учтем, что а_п(.т,*/) не является
тождественным нулем и удовлетворяет уравнению (56.24), и можем
считать а_п(ж,т/) нетривиальным решением однородного
уравнения (56.24).
57. Построение резольвенты уравнения
Фредгольма с помощью итерированных
ядер. Ряд Неймана
Рассмотрим уравнение Фредгольма
ь
и(х) = \J К(х, y)u(y)dy + f(x). (57.1)
482
Глава 9. Интегральные уравнения
Решение этого уравнения, в отличие от предыдущего раздела,
будем искать в виде разложения по степеням параметра Л:
и{х) = ^Аяи„(ж),
(57.2)
п=0
где функции ип(х) не зависят от Л и подлежат определению.
Будем предполагать, что существует область значений
параметра Л, для которых ряд (57.2) сходится равномерно.
Подставим (57.2) в (57.1)
оо ос Ь
5>nti»(3)-а£)А" / K(x,y)un(y)dy = f(x).
п=0 п=0 {
Положим п + 1 = &, тогда
ь
ио(ж) + ]£А*К*(ж)- / K(x,y)uk^(y)dy\ = f(x).
k=i L { >
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях А,
получим
[ м*) = /(*).
ъ
tin (ж) = / K(v,y)un-i{y)dyj п ^ 1.
a
Распишем подробнее систему (57.3):
ь
til (ж) = / K(x,y)f(y)dy,
a
b b
u2{x) = dy dy1K{x,y1)K{yi,y)f{y),
(57.3)
a a
un(x) = dy I dyi... dyn-lK{x,yl)K{yi,y2) •
a a a
•••#('«/„-1, </)/(?/)•
57. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
483
Обозначим
ь ь
тогда
Кп(х,у) = / dyx dy2...
a a
b
... j dyn^K{x,У1)К(У1,у2) • • • tf(t/n-by), (57.4)
a
b
un{x) = f Kn(x.y)f(y)dy, n£ 1. (57.5)
a
♦ Функция Кп(х,у) (57.4) называется п-м итерированным
(или повторным) ядром.
О Для итерированных ядер из (57.4) вытекает следующее
рекуррентное соотношение:
ь
Кп(х,у)= J K(x,z)Kn^1(z,y)dz, n = 2~^. (57.6)
Здесь мы использовали обозначение Ki(x,y) = К[х,у).
Воспользовавшись рекуррентным соотношением (57.6) m раз,
получим
ь
Кп(х,у) = JKn(x,z)Kn-m(z,y)dz. (57.7)
a
Подставив (57.5) в (57.2), найдем
«(*) = /(х) + А^А'-1 / Kn(x,y)f(y)dy. (57.8)
Изменив порядок суммирования и интегрирования, запишем
ь
и(х) = /(*) + А У Щх, у, X)f(y)dy. (57.9)
484
Глава 9. Интегральные уравнения
Здесь обозначено
оо
R(x,y,\) = Y,*n~1K«(x,y). (57.10)
n=i
♦ Ряд (57.10) называется рядом Неймана для резольвенты
ядра К(х,у).
Теорема 57.1. Если ядро К(х,у) непрерывно по переменным
{х^у) € [a>b] х [а,6], а функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь], то ря<? (57.8) равномерно сходится к функции «(ж),
являющейся решеммеж уравнения (57.1).
Доказательство. Так как ядро if (ж, у) непрерывно в области
(х,у) € [а>Ь] х [а, Ь],то |Jf (ж,у)| ^ А, так же как |/(ж)| ^ В при
ж G [а, Ь]. А так как \К(х<у)\ <$ А, то \Кп(х,у)\ <$ Ап(Ь-а)"-1.
Отсюда следует оценка интеграла
ь ь
\J Kn{x,y)f(y)dy\^An(b-a)n-1 J f{y)dy^AaB(b-a)a.
a a
Следовательно, числовой ряд
оо
^ВАп\\\п{Ь-а)п (57.11)
п=0
является мажорирующим для (57.8). При
1Д1 < л(ьЬо (57Л2)
ряд (57.11) сходится и, следовательно, ряд (57.8) сходится
равномерно, что и требовалось доказать.
О Условие (54.4) позволяет более точно определить область
сходимости ряда Неймана. Действительно, неравенство
b b - -1/2
|А|< U JK2(x,y)dzdy
(57.13)
в силу соотношения
ь ь
A2(b-a)2^ J JK2{x,y)dxdy
57. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
485
расширяет область сходимости ряда (57.10) по сравнению с
(57.13). Если же ряд (57.10) допускает аналитическое
продолжение через границу
- b b - -1/2
/ / K2(x,y)dxdy\
на любую конечную область комплексной плоскости Л (кроме
особых точек этой области), то по формуле (57.9) мы получим
решение уравнения (57.1) для всех Л, за исключением особых
точек.
Более того, ниже будут приведены примеры, когда ряд
Неймана и, следовательно, резольвента Щх,у) вообще не зависит
от Л.
Пример 57.1. Решить уравнения
1
а) и(х) - А / xyu(y) dy = х + 1;
-1
1
б) и(х) — Л / x2y2u(y)dy = ж2.
Решение, а) Здесь К(х. у) = ху, a — —1, 6=1, f(x) = x + 1.
Согласно (57.5), найдем
Ki(x,y) = ху;
1
К2(х,у) = / (xz)(zy)dz = -ху;
Кз('*<у) = (xz)[-zy)dz= (-} ху;
-1
/2у,_1
Кп(х,у) = [^) ху;
486
Глава 9. Интегральные уравнения
Полученная последовательность итерированных ядер дает
возможность записать ряд (57.10) для резольвенты
со о \ —1
Д(*,у, А) = £ А»-1/^*,!,) = 5>*(т)"~ ,
/2А\»-1
n=i
сходящийся к
ш и 1 Зжу
если |А| < 3/2, что также следует из неравенства
1 1
|A|< U J(xy)2dxdy]
-1 -1
-1/2 J
Явный вид резольвенты позволяет записать решение
уравнения в виде
1
и(х) = х + 1 + A J зз|д(» + WV =
-1
Отметим, что функция (57.14) является решением не
только для |А| < 3/2. но и для |А| > 3/2, что легко проверить
непосредственной подстановкой. Это возможно в силу того, что ряд
Неймана допускает аналитическое продолжение через границу
на которой точка А = 3/2 является простым полюсом
резольвенты R(x,y, A).
б) Здесь К(х,у) — х2у2, a = —1, 6=1, f(x) = ж2.
Аналогично случаю а) с учетом соотношения
57. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
487
найдем
'2Г_1„2 1
v5
и, следовательно,
5/ Х°у1'
5 0 О
х~у
Щх,у,\)
5-2Л
Последнее выражение получено для |Л| < 5/2. Но так же как
и в случае а), ряд Неймана допускает аналитическое
продолжение через границу
w = |.
Решение уравнения имеет вид
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что
функция (57.15) является решением исходного уравнения.
♦ Ядра L(x,y) и М{х,у) называются ортогональными на
[а, Ъ] х [а, Ь], если
о и
[ L(x, z)M(z, y)dz = f M(x. z)L(z, y)dz = 0. (57.
a a
О Существуют ядра, ортогональные сами себе.
Пример 57.2. Показать, что
а) ядра L[x,y) — ху и М(ж, у) — (ху)2 ортогональны на
[-1,1]х[-1,1];
б) ядро К(х,у) — cos(z — 2y) ортогонально само себе на
[-7Г,7Г] X [-7Г,7Г].
Решение. Согласно (57.16). имеем
а) для L{x,y) и М(х.у)
1 1
16)
/ (xz)(zy)2dz = ху2 I z3dz = 0,
-1 -1
1 1
/ (xz)2(zy)dz — х2у I z3dz = 0,
488
Глава 9. Интегральные уравнения
откуда и следует их ортогональность;
б) для L(x,y) = М(х,у) — К(х,у) = cos(z — 2у)
7Г
/
cos(aj — 2z) cos(z — 2y)dz
1 г Г 1
= 2 |_~ sin(z - 2у - z)\ - - sin(rc -f 2y - 3z)
0.
О Ортогональные сами себе ядра обладают важной
особенностью: резольвента такого ядра не зависит от параметра Л
и, более того, совпадает с самим ядром, т.е.
Щх,уЛ) = К(х.у),
поскольку ряд Неймана вырождается в этом случае в одно
слагаемое К(х,у), так как Ко('.г,у) и все последующие Кп{х*у)
равны нулю.
Пример 57.3. Решить уравнение
u(x) — А / cos(.r — 2y)n{y)dy — ж.
— 7Г
Решение. Так как ядро интегрального уравнения
ортогонально само себе (см. пример 57.2), то
R(x, у,\) = cos (ж — 2у)
и, следовательно,
u(x) — х + А / cos(.t — 2у) ydy — х — Ая-sin x.
— л-
О Рассмотрим ядро К(х,у). представляющее собой сумму
двух ортогональных на. ЕхЕ ядер L(x,y) и М(я, у). Вычислим
для него второе итерированное ядро
ъ
К2(х,у) = J K(x.z)K(z,y)dz =
a
b
= J[L(x, z) + M(x. z)][L(zy y) + M(z, y)]dz.
58. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами 489
Отсюда в силу (57.16) имеем
К2(х,у) = L2(x,y) + АГ2(я,з/),
где L2(x,y) и Мз(ж,2/) - вторые итерированные ядра
соответственно ядер L(x<y) и М(х, у).
Продолжив вычисление итерированных ядер Кп (ж, t/). с
учетом (57.8) и (57.16) найдем
Kn{z,y) = Ln(x,y) + Mn{z,y). (57.17)
Из соотношения (57.17) вытекает, что
Д(ж, у, Л) = RL(z, у, А) 4- Дм(*, 2/, А). (57.18)
Таким образом, резольвента, соответствующая ядру К(х,у) =
L(x, y)-\-M(x, у), состоящему из двух ортогональных ядер L(x, у)
и М(х,у), равна сумме резольвент Дх,(ж, t/, A), Rm(ж, у, А),
соответствующих каждому из этих ядер.
Пример 57.4. Решить уравнение
1
и(х) - А / ^t/(l + xy)u(y)dy = ж + 1.
-1
Регыение. Ядро уравнения /С(.'/;, ;у) можно представить в виде
K(z,y) = L{x,y)+M{z,y),
где
Цх, у) = ху, М(х, у) = (ху)2.
В примере 57.2 показано, что ядра L(x,y) и М(х,у)
ортогональны на [—1,1] х [—1,1]. В примере 57.1 найдены
резольвенты, соответствующие этим ядрам:
tOf'tl iOf"'11**
Rl(x, у, А) = 3_2Д. Rm(x, У, А) = 5_2Д.
Тогда с учетом (57.18) получим
Д(*,у, А) = RL(x,y. А) + Дл/(ж,у, А) = —У— + ^—|^,
откуда
, , , Зж 10 Аж2
и(х) = 1+—— +
3-2А 3 5-2А"
490
Глава 9. Интегральные уравнения
58. Интегральные уравнения
с вырожденными ядрами
ф Ядро К(х,у) называется вырожденным, если его можно
представить в виде
71
K(z,y) = 'Y^ai(x)bi(y), n< ос, (58.1)
»=i
где cii{x) и bi(y), i — l,n, - семейства линейно независимых
функций.
0 Интегральные уравнения с вырожденными ядрами
сводятся к системам линейных алгебраических уравнений и,
следовательно, могут быть решены известными методами
линейной алгебры.
Подставим ядро (58.1) в уравнение (54.3):
ъ
и(х) - Л J К(х, y)u(y)dy = f(x). (58.2)
a
Тогда имеем
л
u(x) = f(x) + \Y,CiOi(x), (58.3)
t=i
где
ь
Ci = / bi(y)u(y)dy.
a
Подставив (58.3) в (58.2), получим
п п
t=i i=i
где
ъ ъ
aij = / aj(y)bi(y)dy, fr = / f(y)bi(y)dy.
a a
Так как a,- — линейно независимые функции, то выражение
(58.4) равно нулю тогда и только тогда, когда выражение в
58. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами 491
фигурной скобке равно нулю. Отсюда получим систему
алгебраических уравнений
Ci - X^aijCj + Д-,
(58.5)
определитель которой зависит от параметра Л. Если
определитель системы не равен нулю, то она имеет единственное
решение. Решив эту систему, найдем С;, а, следовательно, по
формуле (58.3) определим и(х).
Пример 58.1. Решить уравнение
1
■и(х) = х + Л / (ху2 + x2y)u(y)dy. (58.6)
Решение. Здесь
f(x) = ж, аг(х) = х, a2(x)=x2, Ьг(у) = у2, Ь2(у) = у.
Следовательно, согласно (58.3) и (58.4),
an =
1
4'
1
«31 = -.
а12=5'-
1
аоо = -.
4
A=4J
Р2 3-
а система (58.5) примет вид
А\„ А
4/-1_5С2-4'
(58.7)
Решение системы найдем методом Крамера. Для этого
вычислим
А
5
Ai =
Д =
1
1-* -
4
А
А
4
240 - 120А - А2
240
4
А
4
60 +А
240 '
Д-> =
4 4'
А 1
492
Глава 9. Интегральные уравнения
Тогда
_ 60 +Л = 80
1 ~ 240 - 120Л - Л2 ' 2 " 240 - 120Л - Л2
и, следовательно,
60 4-Л . 9 80
и(х) = х 4- Аж——-— ту 4- АаГ
240-120А-А2 240-120А-А2
_ 240я - 60Ая 4- 80А.г-2
" 240-120А-А2 * (08*8)
О Существуют два значения А, при которых решение
уравнения (58.6), согласно (58.8), не существует. Такие А, как уже
отмечалось, соответствуют характеристическим числам, к
рассмотрению свойств которых мы и переходим.
59. Характеристические числа
и собственные функции
Обратимся теперь к однородному уравнению Фредгольма
ь
u(x) -\f K(x,y)u(y)dy = 0. (59.1)
Как уже отмечалось, это уравнение всегда имеет тривиальное
решение и(х) = 0.
♦ Значения параметра А, при которых уравнение (59.1)
имеет нетривиальные решения, называются
характеристическими числами уравнения (59.1) или ядра этого уравнения, а
каждое нетривиальное решение, соответствующее
характеристическому числу А. - собственной функцией.
О Иногда вместо характеристических чисел А
рассматривают собственные значения /л = 1/А.
О Число А = 0 не является характеристическим, так как,
согласно (59.1), ему соответствует. тривиальное решение
и(х) = 0.
О Собственные функции определяются с точностью до
произвольной постоянной С. Так, если и(х) - собственная
функция, соответствующая характеристическому числу А, то Си(х)
- собственная функция, соответствующая тому же
характеристическому числу А.
59. Характеристические числа и собственные функции 493
ф Рангом характеристического числа Л называется
число линейно независимых собственных функций,
соответствующих этому числу.
Заметим, что в соответствии с теоремами 56.2 и 56.3
характеристические числа можно определить как нули
определителя Фредгольма D(X) или полюсы резольвенты Щх, у, Л) ядра
К(х,у). Отсюда следует, что уравнение (59.1) может иметь
конечное или бесконечное множество характеристических чисел
или вообще их не иметь.
О Характеристические числа уравнения (59.1)
оказываются полезными при решении неоднородного уравнения
Фредгольма
ь
п(х
-xJK(x,y)u(y)dy = f(x). (59.2)
С их помощью можно сформулировать так называемую
альтернативу Фредгольма, вытекающую из теорем 56.1-56.3.
Теорема 59.1 (альтернатива Фредгольма). Либо
неоднородное уравнение (59.2) имеет единственное решение для
любой функции f(x) G Lo(ci,b), либо соответствующее
однородное уравнение (59.1) имеет по крайней мере одно
нетривиальное решение.
Другими словами, уравнение (59.2) будет иметь
единственное решение только в том случае, если параметр Л не является
характеристическим числом однородного уравнения (59.1). В
противном случае решения либо вообще не существует, либо
оно, как мы увидим ниже, не единственно.
Рассмотрим задачу нахождения характеристических чисел
и собственных функций для некоторых классов интегральных
уравнений.
59.1. Уравнения с вырожденным ядром
Рассмотрим интегральное уравнение с вырожденным ядром
ь „
и(х) - X ПГ/ц.(ж)Ь,
:(У)
u(y)dy = 0. (59.3)
Собственные функции будем искать в виде (58.3), положив там
f(x) — 0. Тогда для коэффициентов С* вместо неоднородной
494
Глава 9. Интегральные уравнения
системы (58.5) получим однородную:
* — А / j OLijCj.
(59.4)
Условием существования нетривиального решения однородной
системы (59.4) является равенство нулю ее определителя
Д(А)
1 — Aon — Aaio
—Aaoi 1 — А«22
-Aa„i
-Aan2
-Aai„
-Aa2n
= 0. (59.5)
.. 1 - Aann
5) является уравнением для
Алгебраическое уравнение (59
нахождения характеристических чисел А. Если уравнение
(59.5) имеет m (1 ^ m ^ п) корней, то интегральное уравнение
(59.1) имеет m характеристических чисел. Каждому
характеристическому числу А/ (/ = 1,?ti) соответствует ненулевое
решение системы (59.5):
c<'\d'\...,c<", i = T^
с собственной функцией
п
'щ(х) = 2^^к а*(я), I — 1»т-
к = 1
(59.6)
(59.7)
Пример 59.1. Найти характеристические числа А и
отвечающие им собственные функции уравнения Фредгольма
1
и(х) - А Пху2 + x2y)u{y)dy = 0. (59.8)
о
Регыение. С учетом результатов примера 58.1 собственные
функции ищем в виде
и(ж) = \С\Х 4- АСож2,
где d, Co удовлетворяют системе
А\^ А
*C, + (l-£)ft = 0.
(59.9)
(59.10)
59. Характеристические числа и собственные функции 495
вытекающей из (58.5).
Поскольку определитель А (Л) системы (59.10) равен
Л , Л х 240 - 120Л - Л2
А(Л) = 240 '
то характеристические числа являются решениями
квадратного уравнения
240 - 120Л - Л2 = 0. (59.11)
Отсюда
Л1л=-120±32у/15 = _60±16^
ИЛИ
Л, = -60 + (-I)f16\/15, I = 1,2. (59.12)
Подставив (59.12) в систему (59.10), найдем ее нетривиальные
решения
МП МП _ 5(4-Аг)^(0
Cl ' °2 " 4А, Cl
и соответственно собственные функции уравнения (59.8)
5.
ui(x) = C[l)[\ix + -(4-\l)z2],
где А/ определяются формулой (59.12), причем их ранг,
согласно (59.10), равен'единице.
59.2. Уравнения с симметричным ядром
♦ Вещественное ядро, для которого
К(х,у) = К{у,х), (59.13)
называется симметричным.
Справедливо следующее
Утверждение 59.1. Итерированные ядра Кп{х,у)
симметричного ядра К(х,у) также симметричны, причем Кп(х,у).
п = 1, оо, не равны тождественно нулю.
496
Глава 9. Интегральные уравнения
Действительно, первое утверждение следует
непосредственно из (59.7) и (59.13). Для доказательства второго
допустим, что Кр(х,у) = 0 при 2П-1 < р ^ 2П. Тогда, согласно
(57.7),
ь
Коп(х.х) = / K2r>-i(x,z)K2n_2n-i(z,x)dz =
a
Ь
= f[K2u-i{x.z)]2dz = 0,
a
откуда следует, что К2п-\ (х,у) = 0. Применив подобное
преобразование п раз, приходим к равенству К\(х, у) = К(х, у) = 0,
что противоречит начальному условию К(х,у) ^ 0.
Полученное противоречие и доказывает второе утверждение.
Теорема 59.2 (Шмидта). Если ядро К(х,у) уравнения
(59.1) симметрично, то оно имеет по меньшей мере одно
характеристическое, число.
Доказательство. Теорема будет доказана, если мы покажем,
что резольвента уравнения (59.1) имеет по меньшей мере один
полюс или, что то же самое, функция D{\) имеет по меньшей
мере один нуль, т.е. определитель Фред гол ьма для
симметричного ядра не может быть функцией, не имеющей нулей вообще.
Воспользуемся равенствами (56.23) и (57.6) и получим
dDW /"«/ *ч Г R(X,X.\) , 1 А, хп.
a a n_1
ИЛИ
^ ' n = l
где
ь
kn = / Kn (x, x)dx.
a
59. Характеристические числа и собственные функции 497
Далее воспользуемся очевидным для вещественных а
неравенством
ь ь
j [[аКп-г{х,у) + Kn+1(xiy)]2dxdy ^ О,
а а
которое с учетом условия симметрии (59.13) можно
преобразовать к виду
ork2n-2 + 2ak2n + k2li+2 ^ 0. (59.15)
Из (59.15) в силу вещественности а имеем
1*211-2 > 0, 1ь2п — k2n-2&2п+2 ^ 0.
Таким образом, все к2п > 0, причем
&2?i+2 k2n
к2п &2п-2
Положив k±/k2 — v, по индукции находим k2n+2/k2 ^ и11.
Тогда, если v 5> |А|-2, то ряд
П = 1
расходится, а это означает, что функция D'(\)/D(\) в
области |А| ^ 1/\/^ имеет по меньшей мере одну особую точку.
Поскольку 1?(А) - целая функция, то единственно возможными
особыми точками функции D'(\)/D(\) являются нули
определителя Фредгольма D(X). Поэтому можно утверждать, что
D(\) имеет по крайней мере один нуль, Д(ж, у, А) - один полюс,
а интегральное уравнение (59.1) - одно характеристическое
число.
Теорема 59.3. Собственные функции щ(х), Uj(x) уравнения
(59.1) с симметричным ядром, соответствующие различным
характеристическим числам А& ф \j, ортогональны на
отрезке [а, Ь], т.е.
ь
j uk{x)uj(x)dx = 0. (59.16)
а
498
Глава 9. Интегральные уравнения
Доказательство. Согласно условиям теоремы, имеем два
тождества
ъ ъ
ик(х)
^ = J K(x. y)uk(y)dy, ^ = J К(х, y)uj (y)dy.
Xk
Умножим первое из них на uj(x), второе на ик(х) и
проинтегрируем по х. Тогда
ь ь ь
— / Uk(x)uj(x)dx= / / K(x,y)uk(y)uj(x)dxdy,
a a a
b b b
— I Uj(x)uk(x)dx = I I K(x,y)uj(y)uk(x)dxdy.
a a a
Вычтя из первого уравнения второе, с учетом (59.13) найдем
ь
(т- - т-J / uk(x)uj(x)dx = О
или
b
/ Uk(x)'Uj
itj(x)dx = О,
поскольку Afc ф Xj. что и требовалось доказать.
Теорема 59.4. Все характеристические числа уравнения
Фредголъма (59.1) с симметричным ядром вещественны,
причем ранг г каждого из них не превышает R\ (т.е. г <С. R\),
где
ь ь
Rx = \2 f J K2(x, y)dxdy. (59.17)
Доказательство. 1. Допустим противное: пусть из
некоторого множества характеристических чисел число Лп -
комплексное с собственной функцией ип(х) = vn(x) + iwn(x). Далее
59. Характеристические числа и собственные функции 499
воспользуемся тождеством
ь
uu(x) = Л„ / K(x,y)un(y)dy,
комплексное сопряжение которого дает
ъ
<(z) = A; JK(x,y)K(y)dy.
Отсюда следует, что А* также является характеристическим
числом с собственной функцией и* (ж) = vn(x)—iwn(x). Но
собственные функции, принадлежащие различным
характеристическим числам, ортогональны на отрезке [а, Ь] и,
следовательно,
ъ ъ
О = / un(x)u*n(x)dx = / [vl(x) + wl(x)]dx ф О,
что невозможно. Таким образом, Лп, п — 1, оо, - вещественные
характеристические числа.
2. Пусть теперь А„ - вещественное характеристическое
число, которому соответствует г линейно независимых
собственных функций
иЫ(х)<и£Цх), ..., ««>(*), ..., т£>(х), (59.18)
удовлетворяющих одному уравнению
С) b
l^l = jK(x,y)u^(y)dy, (59.19)
a
которые без ограничения общности можно считать ортонорми-
рованной системой (в противном случае к ним всегда можно
применить метод ортогонализации и нормировки), т.е.
ъ
I■iij){x)u^){x)dx = 8jk. (59.20)
500
Глава 9. Интегральные уравнения
Интеграл в правой части (59.19) есть j-й коэффициент
разложения ядра К(х.у) как функции аргумента у в ряд Фурье
по ортонормированной системе функций (59.18). Согласно
неравенству Бесселя (П. 17.15), имеем
E^j^S/*'(«. »)«&• (59.21)
Э ~ * a
Интегрирование (59.21) по х с учетом (59.20) дает
ь ь
Y1 йпт ^ I R2(x^y)dxdy^
J a a
откуда
b b
r ^ 1Лп|2 / / K2(x,y)dxdy,
a a
что и требовалось доказать.
Выше было установлено, что характеристические числа
являются полюсами резольвенты уравнения (59.1) по переменной
Л. Следовательно, их совокупность представляет собой либо
конечное, либо бесконечное счетное множество. Это позволяет
пронумеровать их в порядке возрастания абсолютных величин
|AiK|A2|<$...^|A„K...,
причем так, чтобы в этой последовательности
характеристическое число ранга г присутствовало именно г раз. Если
принять во внимание, что во всякой ограниченной области Л
может существовать лишь конечное множество
характеристических чисел (полюсов резольвенты), то |А„| —> ос при п —> оо.
В соответствии с нумерацией характеристических чисел Лп
пронумеруются и соответствующие им вещественные
собственные функции
щ(х), u2{z), ..., и» (ж), ..., (59.22)
которые мы без ограничения общности можем считать
ортонормированной системой.
♦ Конечную или бесконечную ортонормированную систему
функций (59.22) будем называть системой собственных
функций ядра К (ж, у) или соответствующего ему уравнения (59.1).
Таким образом, доказано следующее утверждение:
59. Характеристические числа и собственные функции 501
Утверждение 59.2. Существуют последовательность
характеристических чисел {А„}. п = 1,оо. и
соответствующая им последовательность собственных функций {п„(ж)}.
п = 1, ос уравнения Фредгольма (59.1) с симметричным ядром,
причем все характеристические числа можно пронумеровать
в порядке возрастания их абсолютного значения.
0 Отметим, что система собственных функций ядра К(х.у)
может и не быть замкнутой, как, например, для вырожденного
ядра, имеющего конечное число собственных функций. Тем не
менее, эта система обладает весьма важным свойством.
Теорема 59.5. Если К(х, у) - непрерывное симметричное
ядро уравнения (59.1),. то для него справедливо представление
с помощью системы его собственных функций (59.22)
^(г.у) = Е«Ф^ы (5923)
при условии, что ряд (59.23) сходится равномерно, когда
a <J х <^ 6, а ^ у ^ Ь.
Доказательство. Рассмотрим симметричное непрерывное
ядро
к(з, у) = К(х, у)-Х, д . (59-24)
где Uk(x) и А* - все собственные функции и соответствующие
им характеристические числа ядра К(х,у). Теорема будет
доказана, если мы покажем, что ядро к (ж, у) есть тождественный
нуль. Предположим противное. Тогда по теореме Шмидта
ядро ь;(ж, у) должно иметь по меньшей мере одно
характеристическое число /Ai. Пусть vi(x) - собственная функция,
соответствующая указанному характеристическому числу /*i, т.е.
ъ
vi(x) = /zi / K(x,y)vi(y)dy. (59.25)
а
Умножив (59.25) на ип(х) и проинтегрировав, получим
ъ ь ь
/ ип(x)vi(х)dx = //1 / I к.(х< у)vi(у)ип (х)dy dx.
502
Глава 9. Интегральные уравнения
С учетом представления (59.24), равномерной сходимости ряда
(59.23) и симметрии ядра (59.13) находим
ь ь
/ v1(x)un(x)dx = Ц\ / / K(x,y)vi(y)un(x)dy dx -
-«Zfl
6 buk{x)MK(y)un(x)dydX =
b
-j-1 ViMtin(y)dy ~ y l Un^Vl^dy - °-
a a
Полученное равенство означает, что функция v\(x)
ортогональна собственным функциям ип(х) ядра К(х,у). Тогда,
возвратившись к (59.25), имеем
ъ _
Uk(x)uk(y)
vi(x) =>i / \К(х,у) -J2
*=i Л*
vi(y)dy-
о
= /ii / K(x,
y)vi(y)dy,
т.е. /ii и vi(x) являются характеристическим числом и
собственной функцией не только ядра к (ж, у), но и исходного
ядра К(х,у). Но в таком случае характеристическое число ц\
должно совпадать с одним из характеристических чисел Л^, а
функция v\(x) должна быть линейной комбинацией
собственных функций u\i(x) ядра К(х,у), соответствующих
характеристическому числу А*;. Но ортогональные функции vi(x) и
ип '(х) не могут быть линейно зависимыми. Полученное
противоречие доказывает, что ядро ft(z,t/) тождественно равно
нулю и, следовательно, справедливо разложение (59.23).
Приведем несколько очевидных следствий из этой теоремы.
Следствие 59.5.1. Представление (59.23) справедливо и для
конечного множества характеристических чисел, т.е.
К{Х1У) = ±ЩИМ. (59.26)
59. Характеристические числа и собственные функции 503
Ранее было показано, что вырожденное ядро К(х,у) имеет
конечное множество характеристических чисел. Объединение
этого свойства со свойством (59.26) позволяет сформулировать
Следствие 59.5.2. Для того чтобы симметричное
непрерывное ядро было вырожденным, необходимо и достаточно, чтобы
множество его характеристических чисел было конечным.
Доказанная выше теорема неудовлетворительна в том
смысле, что в каждом частном случае требуется проверка
сходимости ряда (59.23). Отметим, однако, что для симметричных
ядер К(х,у), имеющих характеристические числа только
одного знака, можно доказать (см., например, [47])
справедливость следующего утверждения.
Теорема 59.6 (Мерсера). Если К(х,у) - непрерывное
симметричное ядро с системой собственных функций {ип(х)} -
имеет характеристические числа одного знака (за
исключением, может быть, конечного количества чисел с
противоположным знаком), то ряд (59.23) сходится абсолютно и
равномерно для (х,у) Е [а, Ь] х [а, Ь].
Пример 59.2. Найти характеристические числа и
собственные функции уравнения
1
и{х) -X f К(х, y)u(y)dy = 0 (59.27)
о
с симметричным ядром (55.13) при Z = 1, т.е.
К[Х'у>-\х{1-у), х<у<1.
Решение. Представим уравнения (59.27) в виде
X 1
и(х) - А / К(х, y)u(y)dy - А / К(х, y)u(y)dy = О
или
х 1
и(х) - A J t/(l - x)u(y)dy - A J х(1 - y)u(y)dy = 0. (59.28)
504
Глава 9. Интегральные уравнения
Продифференцировав (59.28) по ж, найдем
X
и'(х) 4 А / yu[y)dy — Лж(1 — х)и(х) —
о
1
-AMI- y)u(y)dy 4 Аж(1 - х)и(х) = О
.г
ИЛИ
х 1
и'(ж) + А / yu(y)dy -AMI- y)u{y)dy.
0 яг
Повторное дифференцирование дает
и"(х) 4 Ам(ж) = 0. (59.29)
Уравнение (59.29) нужно дополнить граничными условиями
и(0) = м(1) = 0, (59.30)
вытекающими из явного вида ядра: К(0, у) = К(1,у) = 0.
Уравнение (59.29) с условием (59.30) представляет собой
задачу Штурма-Лиувилля, решение которой дано в примере 2.2
части III: спектр собственных значений определяется
выражением
А = А„ = (тгп)2, п=1,оо, (59.31)
а ортонормированные собственные функции имеют вид
и(х) — ип(х) = л/28тп7гж. (59.32)
Таким образом, характеристические числа и собственные
функции интегрального уравнения (59.27) совпадают с
собственными значениями и собственными функциями задачи Штурма-
Лиувилля (59.29), (59.30) и определяются формулами (59.31) и
(59.32).
Рассмотрим сумму
п=1 п=1
1 y^4 cos П7Г(Ж "~ 2/) + cos П7г(ж 4- у)
71 = 1
59. Характеристические числа и собственные функции 505
которую с использованием известного разложения
^—ч COS TIZ 7Г TVZ Z Л
= ^г-^Г + Т-> 0<$г<$2тг,
f-' п2 6 2 ' 4
можно записать в виде
Е°° un{x)un{y) _ ft/(l — ж),
n=i Лп И1" 2/)'
О < у < х;
х < у < 1
или
—i ^«
п = 1
Таким образом, мы установили, что ряд
оо
un(x)un(y)
сходится и его сумма равна ядру исходного интегрального
уравнения (59.27). Поскольку все характеристические числа
уравнения (59.27) положительны, полученный результат можно
было предсказать, исходя из теоремы Мерсера.
Отметим, что ряд
2 y^v sin П7гж sin n7rt/ _
можно рассматривать либо как ряд Фурье ядра К(х,у) по ор-
тонормированной системе функций V2sinn7ra; (у - параметр),
либо как ряд Фурье ядра К(х,у) по ортонормированной
системе функций 2 sin П7гж sin kny (n, k =. l,oo), определенной на
квадрате O^z^l, O^t/^1.
Пример 59.3. Найти характеристические числа и
собственные функции интегрального уравнения
и(х) -А (К(х- y)u{y)dy = 0, (59.34)
506
Глава 9. Интегральные уравнения
если ядро К (х — у) является четной функцией, которую можно
периодически продолжить на всю ось Ох так, что
К(х-у)=К(у-х). (59.35)
Решение. Рассмотрим интеграл
7Г
JK(x-y)
cos ky dy,
который заменой переменной х—у — z с учетом четности
функции K(z) можно записать
/ К(х — у) cos kydy =
Х + 1Г
= coskx I K(z) cos kzdz + sinkx I K(z)sinkzdz =
— 7Г —7Г
7Г
= cosfcz / if(z) cos kzdz = 7гС* cos &ж, (59.36)
— 7Г
где обозначено
nCk = f If (г) cos Ь cb. (59.37)
— 7Г
Аналогично получаем
/ if (ж - t/)sin fct/dt/ = 7rCfe sinfcz. (59.38)
— 7Г
Возвратившись к уравнению (59.33) и сравнив его с (59.36),
(59.38), заключаем, что уравнение (59.33) имеет
характеристические числа
1
Afe = ^r-, к = 0,оо, (59.39)
59. Характеристические числа и собственные функции 507
которым соответствует ортонормированная система
собственных функций для п — 1, оо
1 1\\, ч cosnx /оь ч sinnz ,„Л ,ЛЧ
!*)*=-=, u^(x =—7=-, ,#>* =—^. (59'4°)
V27T V71" V71"
Характеристические числа определены формулой (59.39) в
предположении, что Си отличны от нуля. Характеристическое
число
\0=-[ K{z)dz
имеет ранг, равный единице, все остальные Лп имеют ранг,
равный двум (см. пример 2.8 части III).
Система (59.40) замкнута и, следовательно, исчерпывает
всю систему собственных функций ядра К(х — у) уравнения
(59.33). Разложение ядра К(х — у) по системе собственных
функций (59.40), согласно (59.23), имеет вид
*(*-») = £
п=0
ип(х)и„(у)
Со
— Ь Y, С* (cos kx cos ky + sin kx sin ky)
= -£ +Y,Ck cosk(x-y) (59.41)
и представляет собой ряд Фурье. Нельзя утверждать, что в
общем случае ряд (59.41) сходится, однако если, начиная с
некоторого к, все Ск > 0 (или С& < 0), то ряд (59.41) сходится к
ядру К(х — у) абсолютно и равномерно в силу теоремы Мер-
сера.
Пример 59.4. Найти характеристические числа и
собственные функции интегрального уравнения Фредгольма
7Г
и(х) = А / G{x,y,z)u(y)
dy
с ядром (И.17.11) [см. также (26.3)]
G(*'**>= 2^-2,^-»)+*»!' W<h <59-42>
508
Глава 9. Интегральные уравнения
Решение. Симметричное ядро (59.42) можно разложить в ряд
Тейлора по z
1 1 °°
G(x,y,z)=— +-yVcos(z-y). (59.43)
/IT ТГ ' »
27Г 7Г
n = l
Так как | cos(z — у)\ ^ 1, то при \z\ < 1 ряд (59.43) сходится
абсолютно и равномерно. Следовательно, его можно почленно
интегрировать:
/ G(x,y,z)dy= 1,
— 7Г
7Г
/ С(ж, t/, z) cosnydy = zn cosnx,
— 7Г
7Г
/ С(ж, t/, z)sinm/dt/ = zn sinnz.
— 7Г
Таким образом, получим характеристические числа
Ао = 1, A2n-i = Агп = —> п = 1, оо,
zn
которым соответствуют ортонормированные собственные
функции
МЖ) = -/==> V>2n-l{x) = —^COSTIX,
V27T V71"
1
u2n(x) — —p=sinnz, n = l,oo.
V71"
Пример 59.5. Найти характеристические числа и собственные
функции интегрального уравнения Фредгольма
v(x)-X / <ru(x,y,z)v(y)dy = 0,
где ядро сти(ж,2/, z) определяется выражением (25.5)
/ ч - 1 Г4ху2-(Ц-22)(ж2+272)1
^^Т^гЧ 2d-Д И- <59-44>
59. Характеристические числа и собственные функции 509
Решение. С помощью соотношений (25.1) и (25.5) найдем
оо
/ au(x,y,z)un(y)dy =
— оо
Г *2(1 + *2)
L 2(1
:ехр
y/2nn\yfi(l - г2) L 2(1 -z2)
— ОО
где ti„(x) - функция Эрмита, а Нп{х) - полином Эрмита.
Последний интеграл легко вычисляется с учетом формулы (III.24.5), что
немедленно приводит к выражению (59.45). Таким образом,
оо
/ <Ju{x,y,z)un{y)dy = znun(x). (59.45)
— оо
Следовательно, характеристические числа и отвечающие им орто-
нормированные собственные функции имеют вид
Л„ = —, vn(x) = un(x).
Пример 59.6. Найти характеристические числа и собственные
функции уравнений:
оо
. a) u(x) = \ Ka(x,y,z)u(y)dy, (59.46)
о
оо
б) u{x) = X J Ra{x,y,z)u{y)dy, (59.47)
о
где ядра Ka(x,y,z) и Ra(x,y,z) определяются соотношениями
*■<■■»■•>-т^Ч^тЧ*)'-^ <—>
«■<■*■>-т^Ч^т^'-вт!)- <*•>
Здесь a, z - комплексные параметры, причем Re а > —1; Ja{x) -
функция Бесселя первого рода, a Ia{x) - модифицированная
функция Бесселя первого рода.
510 Глава 9. Интегральные уравнения
Решение. 1. Легко заметить, что
Ra(x,y,z) = Ka(x,y,-z) (59.50)
и ядра Ka{x,y,z) и Ла(х,у, z) симметричны по переменным х и у.
2. Положим в формуле (36.19)
11 + 2 .ZX
и умножим правую и левую части (36.19) на
z~1/2 fz + lx\
T37expU3T2>
Тогда (36.19) запишется с учетом (59.48) в виде
оо
/ Ka{x,y,z)Ia+n,n{y)dy = (z)n/a+n>„ (ж), (59.51)
0
а область a > 1/2 переходит в область
\2z - 1| < 1. (59.52)
Здесь /а>/з(х) - функция Лагерра.
Положив в формуле (36.22)
11 — 2, zx ^ 1
°=2ТП' Ь=(ГГ^' R->2^l2z + 1l<1
и умножив обе части равенства (36.22) на
z"1/2 (z-lx\
ТТГхриТТ2>
с учетом (59.49) получим
/ Д«(*,у,г)1в+п,»(у)<*у = (^e,w)n/a+n,n(x). (59.53)
о
Равенства (59.51) и (59.53) доказывают, что при произвольных п и
условии (59.52) функция un(x) = Ia+n,n(x) есть собственная
функция задачи а) с собственным значением Ап — zn, а при
|2г+1|<1 (59.54)
59. Характеристические числа и собственные функции 511
она является собственной функцией задачи б) с собственным
значением Л„ = (—z)n. Если число п - целое неотрицательное, то область
допустимых значений z задачи а) есть
Rez<l, (59.55)
а задачи б)
Rez>-1. (59.56)
Область (59.52) есть внутренняя часть круга единичного
диаметра, причем окружность проходит через точки z = 0, z = 1.
Область (59.54) - внутренняя часть круга единичного диаметра с
границей, проходящей через точки z = 0, z = — 1. Таким образом,
области (59.52) и (59.54) не пересекаются, тогда как области (59.55)
и (59.56) имеют непустое пересечение
-l<Rez<l. (59.57)
Для целых неотрицательных п область Re a > —1/2 переходит
в область (59.55) для (59.51) и в область (59.56) для (59.53).
Для ядер Ка(х, У, z) и Яа(а;, у, z) справедливы разложения (35.33)
и (35.34), что вытекает из теоремы 59.3.
59.3. Уравнения с симметричным
нагруженным ядром
Рассмотренный выше класс уравнений можно расширить
уравнениями вида
ь
u{x) -\f K{x,y)p{y)u{y)dy = 0, (59.58)
а
которые называются уравнениями с симметричным
нагруженным ядром (или симметричным ядром с нагрузкой р(у)) и
простым преобразованием приводятся к интегральным
уравнениям с симметричным ядром (59.1). Действительно, введя
вместо и(х) функцию v(x) = u(x)yjp(x), приходим к
интегральному уравнению
ь
v(x) - Л / К(х, y)\fp(x)p(y)v(y) dy = 0 (59.59)
а
с симметричным ядром
L{x, у) = К{х, у)у/р(х)р{у). (59.60)
512
Глава 9. Интегральные уравнения
Очевидно, что если {vn(x)} (п = 1,оо) - ортонормирован-
ная система функций ядра L(x,y), то {ип(х)} - ортонормиро-
ванная система собственных функций ядра К(х, у)р(х) с весом
р(ж), т.е.
ъ
/ un(x)uk(x)p(x)dx = 6nk.
a
Пример 59.7. Найти характеристические числа и
собственные функции интегрального уравнения Фредгольма
оо
w(x)-X / K(x,y,z)w(y)dy = 0,
— оо
где ядро K(x,y,z) определяется выражением (25.5)
K(x,y,z) = ] ехр[2жуг~г2а;2"Г1. (59.61)
Л/7Г(1 — Z2) L l-Z- J
Регыение. Нетрудно заметить, что уравнение Фредгольма с
ядром (59.61) является интегральным уравнением с
симметричным нагруженным ядром и весом р(х) — е~х /2. Введем
вместо w(x) функцию
v(x) = е~х '2w[x).
Тогда
K(z,y,z)e*''2e-*''2 = *n{z,y,z),
где (ти (x,y,z) определяется соотношением (59.44). Задача на
собственные функции для уравнения Фредгольма с
симметричным ядром au(x, t/, z) решена в примере 59.5, с учетом
результатов которого для характеристических чисел и
отвечающих им ортонормированных собственных функций получим
An = —, wn{x) = , Нп(х),
z y/2nn\y/n
где Нп(х) - полином Эрмита.
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия
513
60. Теорема Гильберта-Шмидта
и ее следствия
В предыдущем разделе было показано, что интегральные
уравнения с симметричным ядром обладают ортогональной
системой собственных функций. В связи с этим возникает
вопрос о возможности использования этой системы для
нахождения решения уравнения Фредгольма (54.3). Чтобы ответить
на этот вопрос, рассмотрим последовательность непрерывных
симметричных ядер
Uk(x)uk(y)
к = 1
kn(x,y) = K(x}y)-Y,Uk[X{U *W, п = 1^5, (60.1)
А*
где щ(х) - ортонормированная система собственных функций
ядра К(х,у) с характеристическими числами А&. Покажем,
что для них справедлива
Теорема 60.1. Для симметричного непрерывного ядра (60.1)
интегрального уравнения
ь
и(х) -А /кп(ж,y)u{y)dy = 0 (60.2)
а
ортонормированная система функций
, Un+i(:c)> ип+2(ж), ... (60.3)
и характеристические числа
An+i(se), Ап+2(я), ... (60.4)
представляют собой все его собственные функции и
характеристические числа, причем
1
= max
An+i
о
/ kn(x,y)u(y)dy
(60.5)
Доказательство. Поскольку ип(х) - ортонормированная
система собственных функций и Лп - отвечающие им
характеристические числа ядра К(х,у), то, умножив (60.1) на ит(у)
514
Глава 9. Интегральные уравнения
и проинтегрировав, получим
ъ
/ kn(x,y)um(y)dy =
a
b
= J K(x,y)um(y)dy -Y,JUkiXk{y)um{y)dy' (60'6)
A f uk(x)uk(y)
Тогда
b
/ kn(x,y)um(y)dy = —um(x) - Y\ —x—skm,
a k = 1
откуда
b
/Г 0, га ^ n;
М^)МУМУ={иго(ж)/Ат? m^n+l. <60'7>
a
Если ядро К(х,у) имеет конечное число собственных
функций (60.3), то выражение (60.7) доказывает первую часть
теоремы. Если же ядро К(х,у) имеет .бесконечное множество
собственных функций, то следует показать, что (60.3)
представляет собой полную систему собственных функций ядра
кп(х,у).
Пусть и(х) - некоторая собственная функция уравнения
(60.2) с характеристическим числом Л. Тогда, умножив (60.2)
на um(x) (га ^ п) и проинтегрировав, найдем
ъ
/ u(x)um(x)dx = 0, m^n. (60.8)
a
С другой стороны, подставив (60.1) в (60.2), получим
уравнение
ь
u(x) -\[k(x,y)u(y)dy = 0. (60.9)
a
Формулы (60.8) и (60.9) позволяют утверждать, что и(х)
является собственной функцией не только ядра кп(х,у), но и
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия
515
ядра К(х, t/), причем ортогональной всем функциям um(x) для
m ^.п. Таким образом, функция и(х) является одной из
функций полной системы (60.3) с характеристическим числом из
(60.4), что и доказывает первую часть теоремы.
Для доказательства (60.5) положим решение и(х) равным
un+i(x) с минимальным характеристическим числом An+i.
Тогда, согласно (60.7),
An
+i
о
= / kn(x,y)un+1(y)dy
и, следовательно,
IK+i(z
\i+i
ЛП + 1 II ^
(y)dy
(60.10)
Приняв во внимание, что последовательности (60.4)
соответствует убывающая последовательность
1 1
>
\i+i
\i+2
> ...
видим, что из (60.10) следует (60.5).
Следствие 60.1.1. Справедливо соотношение
ъ
II f
. lim / kn(x,y)u(y)dy
п—Уоо \]J
a
b n
V II flirt \ ST^ uk{x)uk{y)
A*
u(y)dy
= 0. (60.11)
Доказательство непосредственно следует из соотношения
(60.10) и условия
lim An = оо.
n-юо
0 Формулы (60.11) можно рассматривать как некоторую
оценку ядра кп(х,у) и, следовательно, ядра К(х,у) в
отсутствие равномерной сходимости ряда
£
fc=i
"fc(s)"fc(y)
А*
(60.12)
516
Глава 9. Интегральные уравнения
Если ряд (60.12) сходится равномерно, то
в полном соответствии с формулировкой теоремы (59.3),
требующей равномерной сходимости (60.12).
Для формулировки теоремы Гильберта-Шмидта введем
одно весьма важное понятие.
♦ Непрерывную функцию f(x) будем называть
истокообразно представимой через ядро К(х,у), если для нее
существует непрерывная на [а, Ь] функция h(x) такая, что
ъ
/(*) = J K(x,y)h(y)dy. (60.13)
a
Теорема 60.2 (Гильберта-Шмидта). Если функция f(x)
истокообразно представима через симметричное ядро К(х, у),
то ее ряд Фурье по ортонормир о ванной системе собственных
функций ип(х,у) ядра К(х,у) сходится абсолютно и
равномерно на [а, Ь] к этой функции:
оо оо ,
я*) = Е /***(*) = Е -г"*(*). <б0-14>
fc=l fc=lЛк
где
ь ъ
fk = / f(x)uk(x)dx, hk = / h(x)uk(x)dx. (60.15)
а а
Доказательство. Преобразуем выражение для
коэффициентов Фурье fk функции /(ж), определяемое (60.15), с учетом
(60.13) и симметрии ядра К(х,у), тогда
ь ъ ъ
fk = / f(x)uk(x)dx = / / K(x,y)h(y)uk(x)dydx =
а а а
Ь
= 1-Jh(y)uk(y)dy=1^. (60.16)
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия
517
Если ядро К(х,у) вырождено, то оно имеет конечное
количество собственных чисел и для него справедливо
представление
к(х,у) = £Щ«Ш.
fc=i
А*
Подставив это представление в (60.13), получим
ь
я*)
-It
i fc=i
щ(х)ик(у)
hk
h(y)dy = Y/YLM*), (60.17)
fc=i
Afc
что и доказывает справедливость соотношения (60.14).
Пусть теперь ядро К(х,у) имеет бесконечное множество
собственных чисел. Воспользуемся неравенством Бесселя для
функций h(x), K(x,y):
Г
£>U h2(x)dx,
fc = l
oo 2
k = l
4ix)
<:
/*■(..
y)dy.
(60.18)
(60.19)
Напомним, что неравенство (60.19) вытекает из равенства
ъ
щ(х)
= / K{x,y)uk(y)dy,
для которого величины uk(x)/\k являются коэффициентами
ряда Фурье ядра К(х,у) как функции аргумента у.
В свою очередь, из неравенства Коши-Буняковского
тп+1 . ч m+l m+l / \ ,о
ЕИЫе^еШ*.
k=m )| k=m \ k—m
во-первых, и из неравенства (60.19), во-вторых, следует, что
k=m k k=m k {
518
Глава 9* Интегральные уравнения
где
Таким образом,
гп+1
К= max• \К{х,у)\.
а$.х,у<^.Ъ
£[^*w
к=тп
<
тп+1
J2 h2kKy/b^i.
U
(60.20)
Сумма, стоящая в правой части (60.20), не зависит от х
и стремится к нулю при га —У оо и любом Z, поскольку ряд
(60.18) из величин h\ сходится. Но это и означает, что ряд
(60.14) сходится на [а, Ь] абсолютно и равномерно.
Остается показать, что сумма этого ряда равна именно
/(ж). Для этого разность
f(x)-YjTUk^
k=i
А*
с учетом (60.13) и (60.15) представим в виде
ъ ' ь
Щ(х)щ(у)
Xk
h(y)dy
или
-E
fc=i
uk(x)uk(y)
k=l
A*
о
Hv)dy = J *„(», y)h(y)dy. (60.21)
Поскольку
II II Г
f(x) ~^2fkuk{x)\ = / kn(z,y)h(y)dy
k — 1 " ''^
то из соотношения (60.11) и равномерной сходимости ряда
(60.14) вытекает
л
/(*)-•]£/*«*(*) = о,
Jt=l
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия
519
откуда и следует, что сумма ряда (60.14) совпадает с функцией
/(ж). Теорема доказана.
Теорема Гильберта-Шмидта имеет ряд важных следствий.
Следствие 60.2.1. Для итерированных ядер Кп(х,у)
справедливо разложение в равномерно сходящийся в квадрате
[а, Ь] х [а, Ь] ряд Фурье
Кп(х,у) = > v , п = 2,оо. (60.22)
fc=i Л*
Доказательство. Действительно, согласно определению
(60.13), функция К2(х, у) истокообразно представима через
ядро К(х,у), а коэффициенты Фурье функции К(х,у) равны
Uk{x)/^k- Тогда в силу теоремы Гильберта-Шмидта
соотношение (60.22) справедливо при п = 2. Методом
математической индукции можно убедиться в справедливости этого
соотношения для произвольного п.
Следствие 60.2.2. Для итерированных ядер Кп(х,у)
справедливо соотношение
\ «J
Кп(х,х)(1х = У2—, п = 2,оо. (60.23)
{ *=iА*
Доказательство. Действительно, формула (60.23) вытекает
из (60.22), если<в ней положить х = t/, а затем
проинтегрировать по х на отрезке [а, Ь].
Следствие 60.2.3. Для резольвенты R(x,y} А) справедливо
представление
Щ{х)щ{у)
Я(ж, t/, Л) = If (ж, у) + А 2^ 7Т\ TV-
^ А* (А* -Л)
(60.24)
Ряд (60.24) при любых А ф \к сходится абсолютно и
равномерно в квадрате [а, Ь] х [а, 6].
Доказательство. Формула (60.24) получается подстановкой
(60.22) в ряд Неймана (57.10). Из формулы (60.24) следует, что
характеристические числа А& являются простыми полюсами
резольвенты Д(ж, t/, А).
520
Глава 9. Интегральные уравнения
Следствие 60.2.4. Резольвента Д(ж, t/, Л) может быть
разложена в ряд Фурье
Щ*,у,Х) = £*&Щ&. (60.25)
Доказательство. Ряд (60.25) естественным образом
вытекает из разложения (60.24), если для ядра К(х,у)
воспользоваться разложением (59.23). Действительно,
р^ *, п _^Мх)Му) , ^Мх)Му) _^Мх)Му)
В разд. «Задача Штурма-Лиувилля» мы без
доказательства сформулировали теорему разложения Стеклова в виде
одного из свойств системы собственных функций задачи Штурма-
Лиувилля. Теорема Гильберта-Шмидта позволяет
достаточно просто провести доказательство этой теоремы. Напомним
предварительно ее формулировку.
Теорема 60.3 (Стеклова В.А.). Если функция f(x)
дважды непрерывно дифференцируема на ]а,Ь[ и удовлетворяет
условиям
очf (а) + М'(р) = a2f(b) + /32/'(6) = 0, а\ + ft ф 0,
то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся
на ]а, 6[ ряд Фурье
?
/(*) = £/*«*(*). h = f{x)p(x)uk(x)dx (60.26)
по ортонормир о ванной системе собственных функций задачи
Штурма-Лиув илля
^И
M^"l q{x)u(x) + Хр{х)и(х) = 0; (60.27)
dx
aiu(a) + fiiu'(a) = a2u(b) + fi2u'(b).
Доказательство проведем в предположении, что/?1 = /?з = 0,
т.е. при условии
f(a) = f(b) = 0, и(а) = и(Ь) = 0.
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия
521
В этом случае соответствующая (60.27) краевая задача
dx
Р(х)—Т-^ I ~ q(x)u(x) = F(x), u(a) = u(b) = 0
dx
имеет решение в виде (см. разд. «Функция Грина краевой
задачи» части II)
о
u{x) = J G(x,y)F{y)dy,
где G(x,y) - симметричная по аргументам функция Грина
этой краевой задачи. Таким образом, задача Штурма-Лиувил-
ля (60.27) эквивалентна интегральному уравнению с
нагруженным ядром
ъ
и(х) = -^ G{x,y)p(y)u{y)dy
a
[роль неоднородности F(x) играет произведение — Хр(х)и(х)]
или уравнению с симметричным ядром
ъ
v(x) = -\j G(x,y)yjp(x)p(y)v(y), (60.28)
< а
где
v(x) = u(x)y/p(x). (60.29)
Так как f(x) дважды непрерывно дифференцируема, то
существует некоторая непрерывная функция h(x) такая, что
^[р(ж)^г1 -q(x)f{x) + h{x) = °- (60-30)
В силу (60.30) с учетом условия f(a) = f(b) = 0 имеем
ь
f(x) = -JG(x,y)h(y)dy,
522
Глава 9. Интегральные уравнения
т.е. /(ж), а следовательно, и f(x)y/p(x) истокообразно пред-
ставимы через ядро G(x,t/), так как
ь
f(x)v^W = - J G(x, y)y/^^JMdyu (60>31)
a
С учетом (60.28) и (60.31) и теоремы Гильберта-Шмидта
можно записать
f(x)y/p{x) = ^Л^(ж),
fe=i
Л = / л/р(ж)/(ж)^(ж)^ж'
fe=i
(60.32)
где Vk(x) - система собственных ортонормированных функций
симметричного ядра G(x, у)у/р(х)р(у). Возвратившись к
задаче (60.27), формулы (60.32) с учетом (60.29) можно записать в
виде
f(x) = ^fkUk{x), Л = / p{x)f{x)uk(x)dx,
где Uk = Vk(x)/y/p(x) - система собственных
ортонормированных функций нагруженного ядра С(ж, у)р{х) и,
следовательно, ортонормированная система собственных функций задачи
Штурма-Лиувилля (60.27). Таким образом, теорема доказана.
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
61.1. Уравнение Фредгольма с симметричным ядром
Воспользуемся теоремой Гильберта-Шмидта и
следствиями из нее, чтобы найти решения неоднородных уравнений
Фредгольма второго рода с симметричным ядром К(х,у), т.е.
ъ
u(x) -\J K(x, y)u(y)dy = f(x). (61.1)
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
523
Как уже отмечалось ранее, его решение можно записать через
резольвенту R(x} t/, A) (54.7):
ь
u(x) = f(x) + A J Д(х, t/, \)f{y)dy. (61.2)
В свою очередь, система собственных функций щ(х)
однородного уравнения, соответствующего уравнению (61.1), дает
возможность найти резольвенту R(x,y, А) в виде (60.25).
Подставив (60.25) в (61.2), находим
b со
u{z)^f{z) + xj^^^f{y)dy. (61.3)
a k = l
Если воспользоваться введенным ранее обозначением
ъ
fk = J f(y)uk(y)dy, (61.4)
a
то (61.3) можно записать
u(x) = f(x) + \f2^rt- (61-5)
Решение (61.5) является единственным и непрерывным в
силу теоремы Гильберта-Шмидта и следствий из нее при
условии, что значение параметра Л не совпадает ни с одним из
характеристических чисел А&. Если же значение параметра
Л совпадает с одним из характеристических чисел, например
Лп, то решение уравнения (61.1) в общем случае не
существует. Однако, как и при решении краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром (а ранее в
линейной алгебре), существует возможность найти семейство
решений, если функция f(x) ортогональна собственной
функции ип(ж), соответствующей характеристическому числу Лп,
т.е.
ъ
fn=jf(y)un(y)dy = 0. (61.6)
524
Глава 9. Интегральные уравнения
Тогда решение уравнения (61.1) имеет вид
и(х) = /(*) + Лп J2 ^Щ1 + Спп(х), (61.7)
кфп
где С - произвольная постоянная.
Сказанное выше легко обобщается на случай
характеристического числа ранга г. Ранее отмечалось, что если ранг
характеристического числа Лп равен г, то в системе
характеристических чисел оно фигурирует ровно г раз как Лп, An+i, •..,
An+r-i- Хотя Лп = An+i = ... = ЛП4-г-1? соответствующие
собственные функции, имеющие те же номера, т.е. un(x))Un+i(x),
..., tzn+r-i(^), различны и линейно независимы. Поэтому для
существования решения функция f(x) должна быть
ортогональна одновременно всем этим функциям, т.е.
ъ
fn+j = J f(y)un+j {y)dy = 0, j = 0~^T. (61.8)
Тогда решение уравнения (61.1) имеет вид
u{x) = f(x) + An 2^ ii +
r-l oo . v.
+X)c^n+iw+An y. тЩ^> (6i-9)
j=0 k=n+r
где Cj - произвольные постоянные.
Наконец, если хотя бы одно из условий (61.8) не
выполняется, то уравнение (61.1) решения не имеет. Если же функция
f(x) ортогональна всем без исключения собственным
функциям щ(х), то решением уравнения (61.1) является сама функция
/(ж), т.е. и(х) = /(ж).
Отметим, что для симметричных вырожденных ядер
приведенные выше формулы остаются справедливыми, если ряды
заменить конечными суммами (из-за конечного количества
характеристических чисел).
Подводя итог, коротко сформулируем основные из
полученных результатов в следующем утверждении.
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
525
Утверждение 61.1. Если для интегрального уравнения
(61.1) с ядром, имеющим ортонормир о ванную систему
собственных функций щ(х) с характеристическими числами Л^:
а) Л ф А*; для любого к, то решение этого уравнения
существует, единственно и представляется формулой (61.5);
б) Л = Лп для k = п, а функция f(x) ортогональна всем
собственным функциям, соответствующим
характеристическому числу \п, то его решение существует, не
является единственным и представляется формулой (61.9);
в) Л = Лп для к = п, а функция f(x) не ортогональна хотя
бы одной собственной функции, соответствующей
характеристическому числу \п, то решение уравнения (61.1) не
существует.
Пример 61.1. Решить уравнение
1
u(x)-\J K(x,y)u(y)dy = l (61.10)
о
с симметричным ядром
*(*'у) = Ь(1-у), «<у<1, (бЫ1)
если а) А ф п27г2, п = 1, оо; б) А = 47г2; в) А = 7Г2.
Решение. С учетом результатов примера 59.2 ортонормиро-
ванную систему собственных функций ядра (61.11) можно
записать в виде
ип(х) — v2sin7rn£, п=1,оо, (61.12)
с характеристическими числами
Ап = тгтг2, п=1,оо. (61.13)
Разложим правую часть уравнения (61.10) в ряд Фурье по
ортогональной системе функций (61.12). Для коэффициентов
Фурье получим
/fey
1 • V2 sin тгпх dx — (cos -кп — 1) =
7ГПУ
о
526
Глава 9. Интегральные уравнения
О, п = 2fc;
2У5 п-2* 1 к = Т^' (61Л4)
С помощью (61.14) и в силу (61.5) находим решение уравнения
(61.10)
/ ч , 4А ^ sin7r(2fc- 1)х
^ = 1 + V £ (2t-l)[(2t-^-A]- (6Ы5)
Решение (61.15) является единственным в случае а) при Л ф
п2ж2, п= 1, оо. В случае б), т.е. когда Л = 47Г2, решение
уравнения существует, так как функция f(x) = 1 ортогональна
собственной функции uo(x) = \/2sin27rE:
l
J 1 • >/2sin27rajdaj = 0. (61.16)
о
Однако оно становится не единственным, поскольку решение
(61.15) можно дополнить функцией Csin27rz, являющейся
собственной функцией, соответствующей характеристическому
числу Аз = 47г2. Таким образом, при Л = 47г2 решение
задачи имеет вид
^ . Л 4^ sin7r(2fc — l)x .ЛЛ Л.
»(«) = l + g»n2" + -E(2t.1)[(t-1/2),.1]. (61Л7)
где С - произвольная постоянная.
Наконец, в случае в): Л = 7г2, уравнение не имеет
решений, поскольку функция f(x) = 1 не ортогональна собственной
функции u\(x) = \/2sin7rE, т.е.
/ 1 • V2sinnxdx = — ф 0. (61.18)
о
Заметим, что условия (61.16) и (61.18) очевидным образом
вытекают из (61.14).
Пример 61.2. Решить уравнение
7Г
u(x) — А / sin(z -f y)u{y)dy = sin x — cos x. (61.19)
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
527
Решение. Уравнение (61.19) - интегральное уравнение
Фредгольма с симметричным вырожденным ядром
if (ж, у) = sin ж cos у -f cos ж sin t/. (61.20)
Воспользуемся обозначениями, принятыми в предыдущих
разделах. Тогда
(ц (х) = sin ж, 6i (t/) = cos t/,
аз(ж) = созж, Ьз {у) = sin t/,
(61.21)
и соответственно
7Г
<*ii — / sin ж cos ж dx = 0, ахз = / cos2 xdx = —,
о о
7Г
#21 = / sin2 xdx = —, азг = / cos ж sin ж dx = 0.
о о
(61.22)
Таким образом, система (59.4) для нахождения собственных
функций
u(x) = \[Ciai(x) + С2а2(ж)]
ядра (61.20) имеет вид
d - уС2 = 0, -^d + С2 = 0. (61.23)
Поскольку определитель А (Л) системы (61.23) равен
лй) = 1-(^)2,
то характеристические числа находятся из уравнения
.-(у)'-*
Отсюда
2 2
Ai = —, Л2 = —
7Г 7Г
и соответственно
txi = i\Ti(sin£ -f cos ж), U2 = .N2 (sin ж — cos ж), (61.24)
528
Глава 9. Интегральные уравнения
-*Д
где iVi, N2 - произвольные постоянные. Нормировка
собственных функций (61.24) дает ортонормированную систему
ui(x) = —j= (sin ж + cos ж), v>2(x) = —r=(sina; — cos ж). (61.25)
у7Г у7Г
С помощью (61.25) найдем Д и /г:
7Г
Д = / (sins — cosx)ui(x)dx =
(sin x — cos ж) (sin x + cos ж)йж = О,
f2= I (sins — cosx)u2(x)dx = •
0
7Г
= —7= / (sin ж — cos ж) (sin ж — cos x)dx = \рк,
0
откуда в силу (61.5) можем записать
, . sin ж —cos ж sin ж —cos ж
и(ж) = sin ж — cos ж + А = —г-—. (61.26)
4 ' А2 - А 1 + Атг/2 v J
Исследуем решение (61.26) для различных значений
параметра А. При А ф ±2/ж выражение (61.26) является
единственным решением уравнения (61.19). При A = Ai=7r/2 решение
(61.26) становится не единственным, так как к нему можно
добавить функцию
Q
Cui(x) = -7=(sinx H- cos ж),
V71"
являющуюся собственной функцией ядра (61.20) с
характеристическим числом Ai = 7г/2. Последнее оказывается возможным
в силу ортогональности правой части уравнения (61.19) с
собственной функцией ui(x). Таким образом, в этом случае
решение уравнения имеет вид
, ч sin ж — cos ж С , . ч
U\X) = 1 ^=(81ПЖ + COS Ж),
2 у7Г
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
529
где С - произвольная постоянная.
Наконец, при Л = А 2 = — 2/п уравнение (61.19) решения
не имеет, так как правая часть уравнения не ортогональна
функции
и2(ж) = —;=■ (sin х — cos x)
V71"
и знаменатель дроби обращается в нуль (/г ф 0).
61.2. Уравнение Фредгольма с разностным ядром
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма
оо
u{x) -A f K(x- y)u(y)dy = f(x) (61.27)
— ОО
с разностным ядром К(х,у) = К(х — у). Оно имеет важные
приложения и отличается от рассмотренных ранее
бесконечным интервалом интегрирования. Решение этого уравнения
будем искать в классе непрерывных и ограниченных на
вещественной оси (] — оо, оо[) функций и(х). Можно показать, что
в этом случае функции f(x) и К(х) должны быть
непрерывными и абсолютно интегрируемыми, причем решение будет
единственным, если
оо
< |Л| / \K{x)\dx<l. (61.28)
Обозначим через /(о>), К (и), и(а>)'фурье-образы функций
/(ж), К{х) и и(х) соответственно. Напомним, что функция
оо
v(x) = / К(х - y)u(y)dy
— оо
представляет собой свертку двух функций К(х) и и(х):
оо
v(x) = К(х) * и(х) = / К(х - y)u(y)dy,
530
Глава 9. Интегральные уравнения
так что ее фурье-образ является произведением фурье-образов
К(ш)й(ш). Применим к уравнению (61.27) преобразование
Фурье. Тогда для фурье-образов /(о>), К (и), й(и) получим
уравнение
й(и) - Хл/2пК(и)й(и) = /(w),
решение которого имеет вид
u<w) = 1 Лгйч Г (6L29>
1 - Хл/27гК(и)
Если к выражению (61.29) применить обратное
преобразование Фурье, получим решение уравнения (61.27)
и(х) = -4= I Щ^= eiTUdu. (61.30)
— ОО
Решение (61.30) можно записать в более привычной для
интегральных уравнений форме с использованием резольвенты.
Для этого преобразуем соотношение (61.29) к виду
-/ ч it n \у/ЪхК{ы) -, х
и подставим его в (61.30). В результате получим
^'«^'/■■шм^ (ил1)
— ОО
Выражение
является фурье-образом резольвенты Д(ж,Л). Тогда (61.31)
можно записать в виде
u(x) = f(x) + АЯ(ж, Л) * /(ж) =
оо
= /(*) + A j R(x - у, \)f(y)dy, (61.33)
— ОО
где фурье-образ резольвенты R(x, А) определяется
выражением (61.32).
61. Неоднородное уравнение Фредгольма
531
Пример 61.3. Решить уравнение
и(х) - A J e-^-^u{y)dy = e~K (61.34)
— ОО
Решение. Определим значения параметра Л, для которых
уравнение (61.34) имеет единственное ограниченное решение. Для
этого воспользуемся условием (61.28)
оо оо
|Л| / e~Mdx = 2|Л| f e~xdx = 2|Л| < 1,
-оо О
из которого следует |Л| < 1/2.
Поскольку ядро К(х) = е-'*' и правая часть f(x) = е~'х1
уравнения совпадают, то в данном случае удобнее
воспользоваться выражением (61.30). Действительно, так как фурье-
образы функций К(х) и f(x) равны
оо
К {и) = /И = -i= / е~Ме-{шх(1х =
\/27Г J
— оо
О оо
-оо О
_< 1 / 1 1 \ _ [2 1
~~ а/27г \ 1 - iw 1 + га>/у7г1+а;2'
то, согласно (61.29), имеем
"(ж) = \/|^ + 1-2Л-
Легко убедиться, что знаменатель этой дроби для |А| < 1/2 ни
при каких вещественных значениях и не обращается в нуль, и,
следовательно, возможно использование формулы обращения
(61.30):
оо . оо
м-- / е'хш<1ш I [
e,xwdw
(u> + iVl - 2A) (и - Wl - 2A)'
532
Глава 9. Интегральные уравнения
Полученный несобственный интеграл можно вычислить с
помощью вычетов (см. разд. «Приложение теории вычетов»
части I)
2г Res
/ \ _ J шЫуД=2\ (cj + iy/l - 2А)(о> - iy/1 - 2Л)
u\x) — Л „ххш
-2г Res
»VT=2A (и + гд/1 - 2А)(о> - iy/1 - 2Л)
ж>0;
€-х>/1^2Л
л/Г^2Л '
ж<0,
exVT-2A
I VI -2А'
откуда следует
е-\х\у/Т=2\
u(x)
62. Уравнение Вольтерра второго рода
Во введении к этой главе мы отмечали, что уравнение
Вольтерра второго рода
х
и(х) - А Г К(х, y)u{y)dy = f(x) (62.1)
a
является частным случаем уравнения Фредгольма второго
рода, для которого ядро
К(х,у)=0 (62.2)
при а ^ ж < у ^ Ь.
Итак, обратимся к рассмотрению уравнения (62.1),
предположив, что К(х, у) и f(x) непрерывны для а ^ х < у ^ Ь.
Теорема 62.1. Уравнение (62.1) при любом параметре А
имеет единственное непрерывное решение, задаваемое формулой
X
Ф) = /(*) + A J R(x, у, \)f(y)dy, (62.3)
62. Уравнение Вольтерра второго рода
533
где резольвента Д(ж, у, Л) определяется абсолютно и
равномерно сходящимся рядом
оо
Д(Ж,у,Л) = ^Лп-1Хп(Ж,у) (62.4)
71 = 1
итерированных ядер
Кг(х,у) = К(х,у),
Кп(х,у)= K(x,z)Kn-i(z,y)dz, n = 2,oo.
(62.5)
Доказательство этой теоремы во многом напоминает
доказательство теоремы 57.1, но имеет при этом, как мы увидим,
некоторую особенность. Будем искать решение уравнения (62.1)
в виде, аналогичном (57.2), т.е.
оо
71=0
Подставим (62.6) в (62.1):
X
оо оо -
£ А>п(х) - Л £ А" / К(х, y)<p„(y)dy = /(*)•
71=0 71=0 ~
В полученном уравнении перегруппируем слагаемые
X
ОО г - -,
Мж) + ^Апк>п(ж)- / K(z,y)(pn-i(y)dy\ = f(x)
71=0
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Л:
<р0(х) = /(ж);
<рп(х) = / #(ж,у)^п-1(у)Л/, п= 1,(
а
Для К(х,у) и /(ж) справедливы оценки
\К(х,у)\ ^ Л, а^у ^х^Ь;
\f(x)\^B, аОО.
534
Глава 9. Интегральные уравнения
В результате можно получить оценки для функций <рп (ж).
Действительно,
X
Ы*)| ^ j \K(x,y)\\<p0(y)\dy ^ АВ(х - а);
а
х х
\<р2(х)\ <$ j \К(х, у)\\<Р1(у)№ ^ АВ2 j(x - a)dx =
а а
= AB2(^f. (62>7)
\<рп(*)\^ J \K(*,y)\\<Pn-i(y)\dy
<Л[В(х-а)}"
Таким образом, на отрезке [а, Ь] ряд (62.6) мажорируется
сходящимся при любых А числовым рядом
л^[\Х\В(Ь-а)Г ^ЛсМВ(ь_а)
S п!
В этом и состоит основное отличие доказываемой теоремы от
теоремы 57.1. Введение итерированных ядер для (62.5),
резольвенты (62.4) и представление решения (62.6) в виде (62.3)
проводится с учетом (62.7) точно так же, как это делалось в
разд. 57. В результате убеждаемся в справедливости
сделанного утверждения.
Следствие 62.1.1. Однородное уравнение Вольтерра
X
и(х) - A f K{x, y)u{y)dy = 0 (62.8)
не имеет характеристических чисел и вследствие этого имеет
только тривиальное решение и(х) = 0.
Это утверждение естественным образом вытекает из
абсолютной и равномерной сходимости ряда (62.4) при любых Л,
означающей, что резольвента Д(ж, у, Л.) есть целая функция. В
62. Уравнение Вольтерра второго рода
535
справедливости этого можно убедиться также,
воспользовавшись выражением (56.9) для определителя Фредгольма D(\).
Учет (62.2) в (56.9) приводит к следующему выражению для
D(X):
to "! {
ИЛИ
D(\)=e~XAl, (62.9)
означающему, что определитель Фредгольма ни при каких
вещественных Л не имеет нулей, т.е. характеристических чисел.
О В силу этого параметр Л при записи уравнения
Вольтерра иногда опускают (полагают Л = 1).
О Резольвента Д(ж, у, Л) удовлетворяет интегральному
уравнению
х
Д(ж, у, Л) - Л f K(x, z)R{z, у, \)dz = К(х, у), (62.10)
У
которое вытекает из (62.1) и (62.3). Решение уравнения (62.10)
представляет собой более сложную задачу по сравнению с
решением исходного уравнения (62.1), однако оно оказывается
полезным при качественном анализе задач, различного рода
эквивалентных и упрощающих преобразованиях (как,
впрочем, и в случае уравнения Фредгольма) и для обоснования
асимптотических оценок.
О Отсутствие характеристических чисел для уравнений
Вольтерра (62.8) не случайно и обусловлено их связью с
задачей Кош и для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так, например, можно получить представление для решения
уравнения (62.1), аналогичное формуле Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, выполнив
формальное интегрирование по частям в (62.3), найдем
X
и(х) = v(x,a)f(a) + / v(x,y)d(f(y)),
где
X
v(x, у) = 1 + Л / Д(ж, у, A)dy.
536
Глава 9. Интегральные уравнения
Пример 62.1. Решить уравнение
X
и(х) - J e*-yu(y)dy = ж. (62.11)
о
Решение. Первый способ. Имеем Л = 1 и
К(х,у)=К1(х,у) = е*-У.
Далее, согласно соотношениям (62.5), для итерированных ядер
найдем
X . X
К2(х,у)= fex-zez-ydz = ex-y f dz = ех~у(х - у),
У У
х
К3(х,у) = fex-ze*-»(z - y)dz =
X
= е*~У [(z - y)d.
z = e*-y(*-v)
2 '
X
Кп{х,у) = /
e*->e*-y(>-y)n-2dz=:e*-y(*-yY
(n-2)! (n-1)!
у
Согласно определению (62.4), находим резольвенту
R(x,y) = e*-»[l + (x-y)+[^ft + ...
•',+ (n-1)! +--'J-e
а с ее помощью и решение уравнения (62.11)
X
и(х) = * + f e^^ydy =^ + i(e2* - 1). (62.12)
о
О В правильности полученного решения можно убедиться
непосредственной подстановкой (62.12) в (62.11). Отметим, что
в данном случае возможен
63, Уравнение Вольтерра с ядрами специального вида 537
Второй способ решения, основанный на сведении
интегрального уравнения (62.11) к задаче Кош и для
дифференциального уравнения. Продифференцировав (62.11) по ж, найдем
X
и'{х)- fex-yu(y)dy-u{x) = 1. (62.13)
о
Из (62.11) следует, что
х
j ex-yu(y)dy = и(х) - ж, и(0) = 0. (62.14)
о
Подставив (62.14) в (62.13), получим линейное
дифференциальное уравнение
и'{х)-2и(х) = 1-х (62.15)
с начальным условием
и(0) = 0. (62.16)
Так как общее решение уравнения (62.15) имеет вид
то, определив с помощью начального условия (62.16)
постоянную С, получим решение исходной задачи
«(*) = | + |(е2* -1),
совпадающее с (62.12).
63. Уравнение Вольтерра второго рода
с ядрами специального вида
Рассмотрим некоторые специальные виды ядер К(х,у)
уравнения Вольтерра (62.1), для которых процедуру нахождения
резольвенты (62.4) или решения (62.3) можно упростить.
538
Глава 9. Интегральные уравнения
I. Пусть ядро К(х,у) является полиномом по у
ak(x) i
*=0
^(*.») = Еп^(«-»)'
(63.1)
с коэффициентами а&(ж), непрерывными для х Е [а, Ь[.
Определим функцию L(x,y) как решение уравнения
A &• +ао(ж) Л-1 +
+ах(ж)
dn-2L(x,y,\)
dxn~2
с начальными условиями
+ ... + ап_1(ж)£(ж,у,А) = 0 (63.2)
^(^,у, А)|^_ (
dL(x,y,\)
*-у=о dx
dn-2L(x,y,\)
dxn~2
х-у=0
= 0,
х—у=0
(63.3)
dz"-1
х-у=0
1.
Тогда резольвента Д(ж,у, А) уравнения (62.1) с ядром вида
(63.1) определится равенством
Д(„,Л)4^м.
(63.4)
Соотношение (63.4) очевидным образом вытекает из
формул (55.1)—(55.5), иллюстрирующих эквивалентность задачи
Коши и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.
Пример 63.1. Решить уравнение
X
и(х) - (х- y)u(y)dy
х2.
(63.5)
Решение. Имеем А = 1 и ядро К(х,у) — х — у,
представляющее собой частный случай ядра (63.1) при а\ — 1 и равных
нулю остальных коэффициентах. Уравнение (63.2) в этом
случае принимает вид
63. Уравнение Вольтерра с ядрами специального вида 539
с начальными условиями
АХ А т.. a. \\ i
4-*4U. = o. Щ^
dx
Положив
х—у=0
Цх,у) = С1(у)е*+С2(у)е-*,
приходим к алгебраической системе уравнений, вытекающей
из начальных условий
С1(х)е*+С2(х)е-х = 0,
Сг(х)ех - С2{х)е~х = О,
решение которой имеет вид
С1=-е-*, С2 = --е*
В результате
Цх, у) = 1-[е*-У - е-<-»>] = sh(x - у).
Отсюда, согласно (63.4),
d2 d2
R^X'^ ~ dx2 L^X'У^ ~ dx2 Sh^ ~y>> = sh^ ~ у)'
и, следовательно,
х
u(x) = х2+ у2 sh(z - y)dy - 2(ch x - 1). (63.6)
П. Для ядра К (ж, у), представляющего полином степени
п — 1 по х:
*(,|У)=£*^(У-,)*, (63.7)
резольвента Щх,у, А) [по аналогии с (63.1)] имеет вид
Я(х,г/,Л) = -- — , (63.8)
540
Глава 9. Интегральные уравнения
где £(ж, у, Л) удовлетворяет уравнению
ldnL(x,y,X) , t , d^iM,
+bi(y)d"~2jx{*:?,X) +■■■ + Ьп^(х)Цх,у,А) = О (63.9)
с начальными условиями (63.3).
III. Для ядра, зависящего от разности аргументов:
К(х,у) = К(х-у), (63.10)
уравнение (63.1) можно записать в виде
X
и(х) -X f К{х - y)u{y)dy = /(*). (63.11)
о
Интеграл в уравнении (63.11) представляет собой свертку
функций К(х) и и(х) (см. разд. «Свойства преобразования
Лапласа» части I)
х
К(х) * u(x) = f K(x- y)u{y)dy, (63.12)
естественно, при условии, что К(х) и и(х) можно
рассматривать как оригиналы. Этот факт оказывается полезным при
решении уравнения (63.11), которое иногда называют
уравнением Вольтерра типа свертки.
Пусть изображения К (ж), f(x) существуют и могут быть
найдены. Обозначим
К(х)^К(р), f(x)^f(p), и(х)^й(р). (63.13)
Тогда
X
/ К(х - y)u{y)dy^K{p)u(p),
о
и уравнение (63.11) в операторной форме примет вид
й(р) - ХК(р)й(р) = f(p)
63. Уравнение Вольтерра с ядрами специального вида 541
с решением
*<">" глщ- <6314>
Если к выражению (63.14) применить обратное
преобразование Лапласа, то
*« = lJw
определяет решение уравнения (63.11). Отметим, что из
выражения (63.14) непосредственно не вытекает возможность
применения обратного преобразования Лапласа. Однако из
тождественного выражения
Ф) = № + ГГЩ-jfiP) (63.15)
такая возможность очевидна. Примечательно, что выражение
д(р'л)-1-лед
можно рассматривать как изображение резольвенты, т.е.
R(x, А)-* Д(р, Л) = j-^щ- (63.16)
Это позволяет записать решение (63.11) в более привычном
виде
и{х) - f(x) + АД(ж, Л) * f(x) =
х
= f{x) +\JR(x-y, \)f(y)dy, (63.17)
О
где изображение резольвенты R(x — у,\) определено
выражением (63.16).
Подводя итог, коротко сформулируем полученные
результаты следующим утверждением:
Утверждение 63.1. Пусть К(х) u f(x) являются
оригиналами с изображениями (63.13). Тогда решение уравнения
542
Глава 9. Интегральные уравнения
(63.11) определяется обратным преобразованием Лапласа
изображения (63.14), т.е.
или выражением (63.17).
О Заметим, что если функции К(х) и f(x) непрерывны и
являются оригиналами с показателями роста $i и 52,
соответственно [|^С(ж)| ^ MieSlX, \f(x)\ ^ M2eS2X]. Тогда если
К(х)-&К(р) и /(ж)ч>/(р), то решение уравнения (63.11) с
учетом формулы Мелина (см. разд. «Преобразование Лапласа»
части I) можно представить в виде
а+»оо
где а > max ($i, 52).
Пример 63.2. Решить уравнение
X
и{х) - I {х - у)и(у) =
х2.
Решение. Имеем А = 1, К(х) = ж, f(x) = ж2. Найдем
изображения
К(х) = х^К(р) = -j, /(*) = я2-»/» = 3.
1 /(«) = »»-*/»= А
Первый способ. Воспользуемся формулой (63.14), тогда
2
<*>-?/('-?)-
Р(Р2-!)'
Разложив полученное выражение на простейшие дроби и
перейдя к оригиналу, находим
й(р) = Шгщ = 2Ыгт ~ lh2(chx -!) = «(*)• (63Л9)
63. Уравнение Вольтерра с ядрами специального вида 543
Второй способ. Воспользуемся формулой (63.16), тогда
й{р) = ^/(1~^) = f~i^shx = ад'
откуда, согласно (63.17), получим
о
в полном согласии с (63.19), а также с (63.6).
Пример 63.3. Решить уравнение
X
и(х) - - / (х - y)2u(y)dy = sin ж.
о
Решение. Перейдя к изображениям, имеем
X
If 2
и(х)-^й(р), sins-fr / (х - у)2и(у)с1у^—й{р).
р + 1 J p°
о
Решение операторного уравнения
Чр) - -зЧр)
р3 v } р2 + 1
имеет вид
U(P) = (р-1)(р2 + 1)(р2+р+1)-
После разложения на простейшие дроби
6(р-1) Цр2+1) 3(р2 + р+1)
возвращение к оригиналам дает решение
1 2
и(х) = -ех + 3(созж 4- sinх) - -e~xf2
лДх
cos
6 v ' 3 2
544
Глава 9. Интегральные уравнения
Пример 63.4. Найти решение уравнения
X
и(х) - / сЬ(ж - y)u(y)dy = shz. (63.20)
о
Решение. Обозначим и(х)-&й(р) и учтем, что
1 Р U 1
спа;-т>— , shz-r»
р2-1' ' р2-1
(см. разд. «Свойства преобразования Лапласа» части I). Тогда
преобразование Лапласа уравнения (63.20) дает
или
u(p) = 1 т-
Р Р - 1
Возвратившись к оригиналам, найдем (см. там же)
и(х) = ~Де sh~Yx-
Пример 63.5. Найти решение интегрального уравнения
X
и(х) - J Jx(x - y)u{y)dy = J0{x). (63.21)
о
Решение. С учетом соотношения (III. 15.11)
u(x)^u(p), Jn(x)^ (vHjgp)" (63.22)
yl+P2
находим
-, х У/Г + Р2-Р_/ ч 1
y/l+P2 y/jpTl
Следовательно,
й(р) — -<-i-u(x) = 1.
Р
64. Интегральные уравнения первого рода
545
64. Интегральные уравнения первого рода
Рассмотрим введенные ранее интегральные уравнения Фред-
гольма и Вольтерра первого рода
ь
/ K(x,y)u(y)dy = /(ж),
a
х
I K(x,y)u(y)dy = f(x),
a
строгое и систематическое изучение которых выходит за
рамки нашего курса. Однако, учитывая все возрастающее
значение этих уравнений во многих физических приложениях,
рассмотрим некоторые вопросы, связанные с нахождением их
решений.
Особенностью уравнений (64.1), (64.2), отличающей их от
рассмотренных ранее, является некорректность постановки
задачи (см. разд. «Постановка задач математической физики»).
Действительно, нетрудно видеть, что непрерывность функции
/(ж), вообще говоря, не гарантирует существования
непрерывного решения для сколь угодно «хорошего» ядра К(х,у). Для
примера рассмотрим уравнение
ь
НУ2 + ух + yx2)u(y)dy = ех. (64.3)
a
При любой непрерывной функции и(х) левая часть (64.3) после
интегрирования представляет собой полином
А + Вх + Сх2,
который ни при каких значениях коэффициентов Л, J5, С не
равен тождественно на [а, Ь] правой части уравнения (64.3) —
функции ех. Отсюда следует, что это уравнение в классе
интегрируемых на [а, Ь] функций решения не имеет.
Однако, если функцию ех на [а, Ь] аппроксимировать
некоторым квадратичным полиномом a + /Зх +7ж2> т^ вообще
говоря, существует некоторое решение уравнения (64.3). Таким
образом, незначительные изменения правой части уравнения
могут привести к существенным изменениям решения и(х),
(64.1)
(64.2)
546
Глава 9. Интегральные уравнения
вплоть до полного его отсутствия. Сказанное выше не
означает, что некорректно поставленные задачи не имеют смысла.
Дело в том, что такие задачи требуют специальных методов
решения в отличие от задач, поставленных корректно. Мы
ограничимся рассмотрением некоторых частных видов
уравнений (64.1), (64.2), допускающих решение рассмотренными
ранее методами.
64.1. Уравнения Вольтерра первого рода
Большинство задач, сводящихся к уравнениям
Вольтерра первого рода, являются в определенном смысле
«обратными» по отношению к задачам анализа физических объектов и
явлений. Примером «прямой» задачи анализа может служить
задача Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения. Если для тех же уравнений поставить задачу
определения правой части по известному решению, то получим один из
примеров «обратной» задачи, описываемой уравнением (64.2).
Рассмотрим некоторые виды уравнений (64.2).
I. Пусть 1£(ж,у), дК(х,у)/дх, f(x) и f(x) непрерывны при
а ^ у ^ х ^ 6, причем f(a) = 0. Дифференцирование
уравнения (64.2) по х дает
X
^-K(x,y)\u(y)dy = f'(x). (64.4)
a
Если К(х, х) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка
[а, 6], то уравнение (64.4) можно записать в виде
X
u{x) + I К{х, y)u{y)dy = f{x), (64.5)
a
где
К(х,у)=[1к{х,у)}/К(х,х), (б4б)
/» = f'(x)/K(x,x).
Таким образом, в рамках сделанных предположений
уравнение Вольтерра первого рода (64.2) можно свести к уравнению
Вольтерра второго рода с ядром и правой частью (64.6).
К(х,х)и(х) +
64. Интегральные уравнения первого рода
547
Если К(х, х) = О для некоторого х Е [а, 6], то повторное
дифференцирование (64.4) в предположении, что дК(х,у)/дх ф О,
а д2К(х,у)/дх2 и f"{x) существуют и непрерывны, дает
X
и(х) + / К (x,y)u(y)dy =f (ж),
а
где
^(»,») = [^(-,y)]/[^(-,y)|fj],
/W = /"(x)/[^(,,y)|J
И Т.Д.
Пример 64.1. Решить уравнение
J ex-yu(y)dy = x. (64.7)
о
Решение. Ядро и правая часть интегрального уравнения
(64.7) удовлетворяют указанным выше требованиям, и,
следовательно, дифференцированием по х оно может быть
преобразовано к виду
х
u(x)+ J ex~yu(y) = 1,
представляющему собой интегральное уравнение Вольтерра
второго рода типа свертки.
Применив преобразование Лапласа, получим
Р- 1 Р
откуда
-t \ р-1 1 1
р* р р*
Возвратившись к оригиналам, находим решение уравнения
(64.7)
Цр) = , <+ 1 - ж = и(х),
р р1
548
Глава 9. Интегральные уравнения
в справедливости которого нетрудно убедиться
непосредственной проверкой.
II. Пусть К(х) и f(x) являются оригиналами с
изображениями К(р) и f(p) соответственно.
♦ Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
X
JK(x-y)u(y)dy = f(x), (64.8)
О
ядро которого К(х — у) зависит лишь от разности х — у,
называется интегральным уравнением Вольтерра первого рода
типа свертки.
Применив в обеим частям (64.8) преобразование Лапласа и
воспользовавшись теоремой о свертке, получим
Цр)К(р) = /(р),
откуда
Ф) = Щр\«и(х)- (64-9)
Оригинал и(х) для функции й(р), определяемый равенством
(64.9), и будет искомым решением интегрального уравнения
(64.8).
Пример 64.2. Решить уравнение
cos(x — y)u(y)dy — sin ж. (64.10)
/•
Решение. Ядро cos (ж — у) и правая часть sin ж уравнения
являются оригиналами с изображениями
Р • 1
COSZ-r>—г -, S1I1X4>-
причем /(0) = sin 0 = 0. Операторное уравнение имеет вид
Отсюда
й(р) = -fs-1 = u(x).
р
Функция и(х) — 1 является решением уравнения (64.10).
64. Интегральные уравнения первого рода 549
Пример 64.3. Найти решение интегрального уравнения
X
\ J0(x - y)u(y)dy = sinz. (64.11)
о
Регыение. С учетом (63.20) и (63.22) найдем
7Fttu(p) = ?тг
Следовательно,
III. Уравнение Абеля
♦ Уравнение вида
a
называется уравнением Абеля.
Теорема 64.1. Функция
X
«(Ж) = Sin7T«_rf [ f(z)(x _ z)«-ldz /6413)
а
является решением уравнения (64.12).
Доказательство. Запишем (64.12) в виде
У (z-y)<* У JK >
а
Домножим его левую и правую части на (х — z)a_1 и
проинтегрируем погв пределах от а до х:
X Z X
Jdz(x- г)*"1 J -^^dy = j f(z)(x - z)a-xdz
a a a
550
Глава 9. Интегральные уравнения
или
X Z
I'dz [ г^И—rr~dy= [ f(x)(z - x)a~ldz.
J J {z-y)a{x-zy-<* y J JK д ;
a a a
Изменим в левой части порядок интегрирования
хх х
а у
В интеграле
X
dz
/рз
y)Q(x-z)
У
1-а
сделаем замену переменных z — у + (ж — у)£ и dz = (х — y)d(,.
Тогда
1
(ж - y)d(
I
[ (*
■у- (^ -Ж]1""'
о
С учетом соотношения [ж—у—(ж—у)С]1 а = (ж—у)1 а(1—С)1 а
получим
1 1
J = /c°(iV=/r(1"r4=g(1"a'a) =
о о
_ Г(1-а)Г(а) _ тг
Г(1 —а + а) sina7r
Здесь мы воспользовались определением бета-функции и
формулой дополнения для гамма-функции. В результате запишем
X X
( -A-u{y)dy = [ f(z)(x - z)a~ldz,
J sin an J
откуда
-м-^/л-х.-.)--'*.
64. Интегральные уравнения первого рода
551
что и требовалось доказать.
О Последнее подынтегральное выражение имеет
особенности, и его в общем случае нельзя дифференцировать под знаком
интеграла.
64.2. Уравнения Фредгольма первого рода
Выясним условия, при которых существует непрерывное
решение уравнения Фредгольма первого рода (64.1). Из (64.1)
следует, что функцию f(x) можно рассматривать как
истокообразно представимую через ядро If (ж, у). Согласно теореме
Гильберта-Шмидта, коэффициенты разложения Фурье /п и un
по системе собственных функций ядра К(х,у) связаны
соотношением Xnfn = un. Если для системы собственных функций
ядра К(х,у) выполнено условие полноты, то, согласно
неравенству Бесселя, из этого условия следует сходимость рядов
£"« и £а*/„2.
71 = 1 71 = 1
Однако непрерывность функции /(ж), обеспечивая сходимость
оо
ряда Yl fn-> не гарантирует, вообще говоря, сходимость ряда
п=1
оо
^2 tfifn- Таким образом, решение уравнения (64.1) может су-
п = 1
ществовать не для любой непрерывной функции /(ж), а лишь
оо
для такой, для которой сходится ряд Yl ^nfn-> T-e- коэффи-
71 = 1
циенты /п которой убывают достаточно быстро, поскольку
|АП| —> оо при п —> оо.
При выполнении этих условий решение уравнения (64.1)
находится в виде
оо
u(a) = £Afc/fctifc(a), (64.14)
fc=i
в чем можно убедиться непосредственной проверкой:
ь ь
/ K(x,y)^2\kfkuk(y)dy = ^2fk\k / K(x,y)uk(y)dy =
oo
552
Глава 9. Интегральные уравнения
Таким образом, справедлива
Теорема 64.2 (Пикара). Если К(х,у) - симметричное
ядро с полной ортонормированной системой собственных
функций ип(х) и характеристических чисел \п, а функция f(x)
такова, что ряд
оо
£^Д2 (64.15)
fc = l
из коэффициентов Фурье этой функции
ь
fk= f{x)uk(x)dx
а
сходится, то решение уравнения (64.1) существует,
единственно и определяется формулой (64.14).
Пример 64.4. Решить уравнение
1
К(х, y)u(y)cly = sin 2nx cos 27гж, (64.16)
где
/'
Kl*'y) = {,{l-v)t »<y<l. (64Л?)
Решение. В примере 59.2 была получена полная ортонорми-
рованная система функций ядра (64.17)
ип = \/2sin7rna;, n — 1,оо, (64.18)
с характеристическими числами
Ап = (7гп) , п = 1,оо.
Для исследования сходимости ряда (64.15) найдем
коэффициенты Фурье функции f(x) — sin 2x cos x по ортонормированной
системе функций (64.18). Для этого воспользуемся тождеством
S111 2ТГХ COS 7ГЖ = - Sin 37ГЖ Н Sin 7ГЖ,
2 2
64. Интегральные уравнения первого рода
553
с помощью которого правую часть (6.4.16) можно записать в
виде
sin 2nx cosnx = —T=(v2sin7rz) H r=(\/2sin37ra;), (64.19)
откуда, в свою очередь, следует, что отличны от нуля только
коэффициенты
Л"»Л ' {' = Ш ,б4'20)
Таким образом, для (64.15) с учетом (64.20) и
характеристических чисел Ai = 7г2 и Аз = (37г)2 имеем
Это означает, что ряд (64.15) сходится, и, следовательно, все
условия разрешимости исходного интегрального уравнения
выполнены. Обратившись к формуле (64.14), находим решение
уравнения
7Г2
u(x) = — [sin7rz + 27sin37rz).
Как и в случае уравнений Фредгольма второго рода, для
решения уравнений Фредгольма первого рода с разностным
ядром можно использовать преобразование Фурье.
Действительно, с учетом принятых выше обозначений для
разрешимого уравнения вида
/
находим
откуда
К(х - y)u(y)dy = f(x) (64.21)
ОО _
554
Глава 9. Интегральные уравнения
Пример 64.5. С помощью преобразования Фурье найти
решение интегрального уравнения
ОО
/a»+"(iyU)»*=6^ (64-23)
-оо
где b > a.
Регпение. Уравнение (64.23) - уравнение Фредгольма первого
рода с разностным ядром, в котором
а2 + ж2' 'v/ tf + x2'
С учетом соотношений
оо
/cos аж 7г
^Ть2" = ь'
ОО
/
sinaz . Л Л ,
-т—т^Лв = 0, а > 0, Ь > 0
(см. разд. «Несобственные интегралы от осциллирующих
функций» части I) найдем фурье-образы функций К(х) и f(x):
flu\ _ р _
а2 + ar I
м(ал = —==те v
/ * «гьМ
(2b2
\/ 2а2
-o)|w|e
Тогда
•Til/, il — ^__
С учетом результатов примера 61.3 получим
ab — а 1
«(*) = ^J4.u(w)
6 тг (Ь-а)2 + ж2'
65. Применение метода интегральных преобразований 555
65. Применение метода интегральных
преобразований при решении уравнений
в частных производных
♦ Пусть функция f(x) задана на интервале ]а, Ь[,
конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием
функции f(x) называется функция
ъ
F(u) = Vf(x) = / K(z, u>)f(z)dz, (65.1)
a
где К(х,ш) - ядро преобразования. Оператор, ставящий в
соответствие функции f(x) функцию F(u) по закону (65.1)
называется интегральным оператором.
Примеры интегральных преобразований:
1) преобразование Фурье
оо
Л"> = ЖI '"""'№'
— оо
ОО
— оо
2) преобразование Лапласа
оо
' /(Р)= Je-r*f(x)dx,
О
а+»оо
№ = ^ I f{P)epxdp;
Lm J
a—too
3) преобразование Мелина
оо
f(s) = Jf(x)x'-1dx,
О
<T+ioo
556
Глава 9. Интегральные уравнения
4) преобразование Ханкеля
оо
f(y) = / y/yxJv(xy)u(x)dx,
о
оо
u(x) = / Л/ху^(ху)/(у)с1у.
Метод интегральных преобразований оказывается
эффективным при решении некоторых классов уравнений в частных
производных. Проиллюстрируем возможности метода
интегральных преобразований на примере преобразования Лапласа.
В этом случае необходимо, чтобы независимая переменная, по
которой проводится преобразование, изменялась в интервале
от нуля до бесконечности.
Неизвестная функция и(х,у) может быть определена с
помощью однократного или двукратного преобразования
Лапласа. В первом случае проводят преобразование по одной
переменной, считая вторую переменную неизменной. Результатом
будет обыкновенное дифференциальное уравнение, которое
решается каким-либо неоператорным методом, а затем
обратным преобразованием Лапласа находится решение исходной
задачи.
Во втором случае в полученном посредством
преобразования Лапласа обыкновенном дифференциальном уравнении
проводят преобразование Лапласа по второй переменной
(интегрируют операторным методом). Затем, решив операторное
(алгебраическое) уравнение, с помощью двукратного
обратного преобразования Лапласа восстанавливают Цж, у).
Описанную схему можно применять и для уравнений в
частных производных с переменными коэффициентами, если
соответствующее операторное уравнение проще исходного.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 65.1. С помощью преобразования Лапласа найти
решение уравнения
д2и ~д2и , ,
~дР = дх~*' 0<ж</' 0<*<°°, (65.2)
м(з,0) = 0, дц(М) =Q^ M(^t)=0, u(0,t) = A.
С7Г
65. Применение метода интегральных преобразований 557
Решение. Применим к заданному уравнению, а также к
начальным и краевым условиям преобразования Лапласа
относительно переменной t
u(x,t)-&u(x,p), u(0,£)-f»u(0,p), u(Z,£)-f»u(Z,p).
Тогда для определения функции й(х,р) получили следующую
задачу:
р2«(х,р) = а2^2'р), й(0,р) = £, ч(1,р) = 0. (65.3)
Отсюда найдем
й(ж, р) = Сх ch — + С2 sh —.
a a
Из граничных условий следует, что
р' psh(p//a) '
Окончательно получим
А ( рх shlpx/a) ch(p//a) л
u(x,p) = — < ch : f =
р I a sh(pZ/a) J
_ j4sh(p[/ — x] /a)
psh(pZ/a)
(65.4)
Найдем оригинал функции (65.4). Воспользовавшись
соотношением (см. пример 36.20 разд. «Свойства преобразования
Лапласа» части I)
ОО
tap a 2 v-^ (—1) . как nkt
О Zi V"^ I — XI . TVUK 7YKZ .m _4
рА*П + *£ * ""Т" C°S—' <65'5>
fc = l
получим
J-ж 2Л ^ (~l)fc . nk(l - x) nkat
u(x,t) = A— \^i_^_sin—Ц ^-cos——. 65.6
fc=i
Пример 65.2. Решить смешанную задачу
ut = uxx, 0 < х < 1, t > 0, (65.7)
u\t=0 = A, ux\x=0 = /xi(t), Mx\x=i = M*)-
558
Глава 9. Интегральные уравнения
Решение. Проведем преобразование Лапласа по независимой
переменной £. Обозначим
u(x,t)-&u(z,p), Mi(*)-s>/ii(p), /*2(*)-2>£з(р).
Тогда
^хх(ж,<)-г)-йхх(ж,р), ^(ж,*)-г)-рй(ж,р) - Л
и
йхх - рй + Л = 0. (65.8)
Общее решение уравнения (65.8) имеет вид
й(хур) = С1(р)е-*^ + С2(р)ех^+-, (65.9)
где Ci(p) и Сг(р) — произвольные функции параметра р. Из
(65.9) найдем
йж{хур) = -C!(p)v£e-X^ + С2{р)у/ре*^.
Из граничных условий
й,(о,р) = [ - Ci(p) + c2(p)] vp = Ai(p).
й,(1,р) - [ - d(p)e-^ + С2(р)е^]^ = Д2(р)
найдем
с / ч Д1(р)е^-Д»(р) ^ / ч ^i(p)e-VP-/x2(p)
Тогда
-, ч Л /2i(p) ch[(l - z)y/jfl - fj2{p) сЦху/p)
"(*•*> = J ^ih^ • (65Л0)
Найдем оригинал функции (65.10). Поскольку (см. разд.
«Свойства преобразования Лапласа» части I)
y/pshby/p
k=i
65. Применение метода интегральных преобразований 559
то с учетом теоремы об умножении оригиналов получим
*
u(x,t) = А — / fj,i(t — т)х
о
х [ 1 + 2 ]T(-l)Vfc27r2r cos [(1 - x)nk] \dr+
^ k=i '
+ //X2(t-r)|l + 2^(-l)fce-fc2^rcos7rb|dr.(65.11)
{ { k=o >
Пример 65.3. С помощью преобразования Лапласа решить
уравнение
иу = uxx + u + ех + х; (65.12)
х > 0, у > 0; Ц0, у) = их (0, у) = 0.
Регыение. Проведем преобразование Лапласа по независимой
переменной х
u(x,y)-^u(p,y).
Тогда с учетом начальных условий получим
их{х, у)-*рй{р, у) - и(0, у) = рй(р, у);
ихх(х, t/)-s»p2u(p, у) - u*(0, t/) = p2ti(p, t/).
Аналогично
и>у(х,'у)^йу(р,у); ех-> ж-*»—.
р — 1 р*
Тогда уравнение (65.12) примет вид
%(Р» У) = Р2ЧР, У) ~ ЧР, У) + 7 + -о • (65.13)
р — 1 р*
Решения уравнения (65.13) должны быть изображениями, т.е.,
как минимум, удовлетворять условию
lim й(р,у) = 0. (65.14)
В результате приходим к линейному обыкновенному
дифференциальному уравнению первого порядка
s»(p, у) - Чр, у)(р2 +1) = —[- + ^'
560
Глава 9. Интегральные уравнения
решение которого ищем методом Бернулли:
ЦР,У) = W(p,y)V(p,y),
т.е.
W'V + WV - WV(p2 + 1) =
1
+
р-1 р~
(65.15)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной у.
Потребуем, чтобы функция V(p, у) удовлетворяла уравнению
V - (р2 + 1)V = О,
и, разделив переменные, получим
у- = (р2 + 1)Ф-
Тогда
V(p,y) = e^+1*.
Подставив V(p, у) в (65.15), получим
wr'e<p'+i)f = JL +1.
р-1
Разделив переменные, найдем
dW
= [-1т + 41е"(р2+1)у^
\-р— 1 Р1\
Следовательно,
e-(P2+l)v + С(у);
(р-1)(р» + 1) p2(p2 + l)J
/ е-(р2+1)у е-(р2+1)да \ , 3 „
»<»■ ») - ( - (р-цу + в " ЯРТВ + С<!">" +"*
W (P-1)(P2 + 1) W + l)
Из условия ограниченности решения (65.14) найдем
С (у) = 0.
65, Применение метода интегральных преобразований 561
Следовательно,
Чр>у) = --
1
(р-1)(р2 + 1) р2(р2 + 1)-
Разложим первую дробь на элементарные:
1 _ А Вр+С _
~(р-1)(р2 + 1) ~ р-1+ р2 + 1 ~
_ Ар2 + А + Вр2 + Су - Вр - С
(р-1)(ра-1)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р
А + В = 0
С-В = 0
А-С = -1,
(65.16)
получим
А = -В, С = В = -А, А + А = -1,
В = 1 А = -1 С = 1
2 2 2
Тогда
1
1 1 1р+1
(р-1)(р2 + 1) 2р-1 ' 2р2 + 1
Сделаем обратное преобразование Лапласа
-{р-1)\р2 + 1)«-ГХ+12СО*Х+12™Х-
Для второго слагаемого из (65.16) с учетом соотношений
Го***>
1
р2 + 1
«н- sin ж
по теореме об умножении оригиналов (см. разд. «Свойства
преобразования Лапласа» части I) найдем
~р2(р2 +1)
I (х — z) si
sin z dz = — x -f sin ж.
562
Глава 9. .Интегральные уравнения
Таким образом, решение исходной задачи имеет вид
/ х 1 х , 1 1 .
Цж, у) = —-е + - cos х — - sin x — ж.
Пример 65.4. С помощью преобразования Лапласа решить
смешанную задачу
Щ = uxx, t > О, 0 < х < 7г/2;
(65.17)
u(t,0) = e *, и(£, 7г/2) = 1, и(0,ж) = cos ж Н—ж.
7Г
Решение аналогично рассмотренным выше примерам и
имеет вид (см. рис. 59)
u(x,t) = e cosaH .
7Г
В заключение рассмотрим уравнение в частных
производных, допускающее решение с помощью интегрального
преобразования Фурье. Напомним, что для его применения
необходимо, чтобы независимая переменная, по которой проводится
преобразование Фурье, изменялась в пределах — оо, оо.
Пример 65.5. С помощью преобразования Фурье получить
формулу Даламбера (37.2) для решения задачи Коши
d2u(x,t) _ 02u(x,t)
dt2 - дх2 '
u(x,0) = <p(x),
t>o, хеш
ut(x,ti) = ф(х).
65, Применение метода интегральных преобразований 563
Решение. Проведем преобразование Фурье по переменной ж.
Обозначим
й(р, t) = Fx->pu(x, t), <р(р) = ^-^(z), <0(р) = Fx->pi/>(x).
Тогда функция u(p,t) удовлетворяет операторному уравнению
dt2
+ p2u(p,t) = 0 (65.18)
и дополнительным условиям и(р, 0) = у>(р), м«(р, 0) = *0(р)-
Общее решение уравнения (65.18) имеет вид
Ф(р)
u(p, t) = А(р) cos pt -f В(р) sin = у>(р) cospt H —- sinjtf,
Р
откуда получаем формулу для решения
u(x,t) = Fp_>xu(p,t) =
оо оо
= -^= J e~ixp<p(p) cos pt dp + -= j e-ixp?-^smptdp.
— oo —oo
Вычислим отдельно каждый интеграл в правой части этой
формулы. Первый интеграл вычисляется непосредственно:
оо оо
JL J е-<*Щр) cos pt dp = -±= J e-M*+*>$>(p)dp +
— OO —OO
oo
— oo
Второй интеграл обозначим через J(t), тогда 7(0) = 0 и
оо
^= у e-'xp^(p)cospidp =
л = ^ Уе ,xp^w*=-—V—-
Следовательно, для второго интеграла получим
I(t) = - j ф(х + r)dr + - j ф(х- r)dr -
564
Глава 9. Интегральные уравнения
x+t
- 2 / VK7?)^ +27 ^^dTf
X X — t
и окончательно
x-t
что совпадает с формулой Даламбера (37.2) при a = 1.
Задания для самоконтроля по курсу
«Уравнения математической физики»
Теоретические вопросы
1. Сформулировать основные понятия и. определения теории
дифференциальных уравнений в частных производных. Привести
примеры решений простейших дифференциальных уравнений в
частных производных.
2. Дать определение характеристической системы и доказать
теорему об общем решении линейного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка.
3. Поставить задачу Коши для линейного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка. Дать
определение характеристических линий и доказать теорему об
однозначной разрешимости задачи Коши.
4. Записать уравнение Гамильтона-Якоби. Выразить решение
произвольного линейного дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка через решение уравнения
Гамильтона-Якоби.
5. Записать уравнение Гамильтона. Поставить задачу Коши для
уравнения Гамильтона-Якоби. Привести алгоритм решения
задачи.
6. Сформулировать свойства полного интеграла уравнения
Гамильтона-Якоби и показать его связь с общим решением уравнения
Гамильтона-Якоби и первыми интегралами уравнения
Гамильтона.
7. Сформулировать основные понятия, определения для
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
Привести их классификацию.
8. Сформулировать алгоритм приведения дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка с двумя
независимыми переменными к каноническому виду.
9. Поставить задачу Коши для дифференциального уравнения в
частных производных второго порядка. Привести алгоритм
решения задачи методом характеристик.
10. Вывести одномерное волновое уравнение. На примере
поперечных или продольных колебаний стержней или электрических
колебаний в проводах (на выбор) сформулировать для него
возможные постановки начально-краевых задач.
11. Вывести двумерное (трехмерное) волновое уравнение и
сформулировать для него возможные постановки начально-краевых
задач на примере колебаний мембраны или твердого тела.
12. Вывести одномерное уравнение теплопроводности и
сформулировать для него возможные постановки начально-краевых
задач.
13. Вывести уравнение распространения тепла (диффузии) в
пространстве. Сформулировать возможные постановки начально-
краевых задач.
566
Задания для самоконтроля
14. Поставить возможные краевые задачи для уравнений
эллиптического типа. Дать физическую интерпретацию поставленной
задачи.
15. Дать понятие классических и обобщенных решений задач
математической физики. Дать определение корректно поставленной
задачи.
16. Провести редукцию начально-краевой задачи для уравнений
математической физики.
17. Показать связь начально-краевой задачи для однородного
уравнения (волнового или теплопроводности) с однородными
граничными условиями с задачей Штурма-Лиувилля.
18. Показать связь начально-краевой задачи для неоднородного
уравнения (волнового или теплопроводности) с однородными
граничными условиями с задачей Штурма-Лиувилля.
19. Показать связь начально-краевой задачи для однородного
уравнения с однородными начальными и неоднородными
граничными условиями с задачей Штурма-Лиувилля.
20. Записать решение краевых задач для уравнений
эллиптического типа через функцию Грина.
21. Вывести первую и вторую формулы Грина.
22. Получить фундаментальное решение уравнения Гельмгольца и
Лапласа (плоский или пространственный случай).
23. Сформулировать основные свойства гармонических функций.
Доказать любые два.
24. Дать понятие преобразования Кельвина и охарактеризовать
поведение гармонических функций на бесконечности.
25. Поставить первую и третью краевые задачи. Сформулировать
условия единственности и устойчивости их решения.
26. Привести схему метода разделения переменных (Фурье) для
краевых задач для уравнения Лапласа (декартова или полярная
система координат).
27. Привести схему метода разделения переменных (Фурье) для
краевых задач уравнения Лапласа (цилиндрическая или
сферическая система координат).
28. Вывести интеграл Пуассона или Дини.
29. Привести схему метода разделения переменных (Фурье) для
краевых задач уравнения Гельмгольца (система координат на
выбор). Сформулировать условия существования однозначного
решения.
30. Решить задачу Дирихле методом функций Грина.
31. Сформулировать один из методов построения функции Грина
задачи Дирихле.
32. Вывести формулу Пуассона задачи Дирихле в пространстве.
33. Определить функцию Грина (Неймана) задачи Неймана для
уравнения Лапласа и с ее помощью найти решение соответствующей
задачи.
34. Сформулировать один из методов построения функции Грина
задачи Неймана для уравнения Лапласа.
Теоретические вопросы
567
35. Решить двумерные краевые задачи для уравнения Лапласа
методами комплексного анализа.
36. Решить задачу Коши для одномерного однородного волнового
уравнения методом Даламбера.
37. Решить задачу Коши для одномерного неоднородного волнового
уравнения методом Даламбера. Сформулировать принцип Дюа-
меля.
38. Решить смешанную задачу для одномерного волнового
уравнения на полупрямой методом Даламбера (четного и нечетного
продожения на выбор).
39. Решить смешанную задачу для одномерного волнового
уравнения на конечном отрезке методом Даламбера.
40. Решить смешанную задачу для одномерного однородного
волнового уравнения на конечном отрезке методом Фурье. Дать
определение фундаментального решения задачи.
41. Решить смешанной задачи для одномерного неоднородного
волнового уравнения на конечном отрезке методом Фурье.
42. Сформулировать общую схему метода Фурье для одномерного
волнового уравнения.
43. Получить решение уравнения Даламбера в виде сферической
волны.
44. Поставить задачу Коши для уравнения Даламбера в
пространстве. Вывести формулу Кирхгофа.
45. Поставить задачу Коши для уравнения Даламбера на
плоскости. Вывести формулу Пуассона.
46. Сформулировать обобщенную задачу Коши для волнового
уравнения в пространстве. Найти ее фундаментальное решение.
47. Методом Фурье решить задачу о колебаниях мембран или
твердых тел (на выбор).
48. Решить задачу Коши для одномерного уравнения
теплопроводности методом Фурье.
49. Найти функцию Грина задачи Коши для одномерного уравнения
теплопроводности и доказать ее свойства.
50. Решить задачу Коши для одномерного уравнения
теплопроводности методом функций Грина.
51. Решить смешанную задачу для одномерного уравнения
теплопроводности методом функций Грина или методом Фурье (на
выбор).
52. Доказать принцип максимума и теорему о единственности
решения смешанной задачи для одномерного уравнения
теплопроводности на конечном отрезке.
53. Определить функцию Грина смешанной задачи для
одномерного уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Решить
задачу методом функций Грина или методом Фурье (на выбор).
54. Найти функцию Грина задачи Коши для уравнения
теплопроводности в пространстве.
55. Привести общую схему решения уравнения теплопроводности в
пространстве.
568
Задания для самоконтроля
56. Сформулировать основные понятия и определения теории
интегральных уравнений. Привести физические задачи, решение
которых можно получить с помощью интегральных уравнений.
57. Получить интегральное уравнение для резольвенты уравнения
Фредгольма методом определителей Фредгольма или методом
вариационного исчисления (на выбор).
58. Построить резольвенту интегрального уравнения Фредгольма с
помощью миноров и определителя Фредгольма или с помощью
итерированных ядер (ряд Неймана).
59. Решить интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным
ядром.
60. Дать определение характеристических чисел и собственных
функций уравнения Фредгольма. Сформулировать альтернативу
Фредгольма.
61. Доказать основные свойства характеристических чисел и
собственных функций интегральных уравнений с вырожденным ядром.
62. Доказать основные свойства характеристических чисел и
собственных функций интегральных уравнений с симметричным
ядром и нагруженным симметричным ядром.
63. Доказать теорему Гильберта-Шмидта и ее следствия.
64. Доказать теорему Стеклова.
65. Сформулировать условия существования и единственности
решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма.
66. Решить интегральное уравнение Фредгольма с разностным ядром.
67. Сформулировать условия существования и единственности
решения уравнения Вольтерра второго рода.
68. Решить уравнение Вольтерра второго рода с ядром
специального вида (на выбор).
69. Получить решение уравнения Вольтерра первого рода
(уравнение с разностным ядром или уравнение Абеля).
70. Доказать теорему Пикара.
71. Дать обзор применения метода интегральных преобразований
для решения некоторых задач математической физики.
Индивидуальные задания
569
Индивидуальные задания
Вариант № 1
1.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
xux — yuy + zuz = 0.
1.2. Найти решение задачи Коши
хих — yuy = 0, w|y=i = ж.
1.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 3uxx + Suxy + 4wyy = 0;
б) Auxx — 4uxy + Uyy — 10ux + 5wy = 0.
1.4. Поставить краевую задачу об остывании однородного шара
радиусом Ь с центром в начале координат, если он нагрет до
температуры wo, поверхность шара теплоизолирована, а в каждой точке
этого шара вследствие химической реакции поглощается
количество тепла, пропорциональное температуре и в этой точке.
1.5. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса Ь с
центром в начале координат, такую, что ди/дг\г=ъ = sin3 <р.
1.6. Цилиндр, радиус основания которого Ь и высота /i,
имеет температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную
нулю. Температура верхнего основания есть функция А(Ь —г2).
Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.
1.7. Решить задачу о колебаниях струны 0 < х < I с
закрепленными концами, если u\t=o = Asm^nx/l); ut\t=o = 0.
1.8. Определить поперечные колебания однородной
прямоугольной мембраны 0^ж^д;0^у^рс закрепленным краем для
случая, когда начальное отклонение мембраны равно sin(7rx/g) sin(7rt//p),
а начальная скорость равна нулю.
1.9. Дан тонкий стержень 0 < х < Z, боковая поверхность
которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x,t) в
стержне, если левый конец стержня теплоизолирован, правый
поддерживается при постоянной температуре W2, а начальная
температура равна Ах/1, где А = const.
1.10. В кубе 0 ^ ж, у, z ^ q происходит диффузия вещества,
частицы которого распадаются со скоростью, пропорциональной его
концентрации. Определить концентрацию вещества в этом кубе при
t > 0, если начальная концентрация в нем постоянна и равна г/о.
Концентрация вещества на границе поддерживается равной нулю.
1.11. Найти решение смешанной задачи
щ = ихх — 2и + х + 2fc; 0 < х < 1;
м|х=о = и\х=\ = t; u\t=o = sinTrx.
1.12. Найти решение задачи Коши:
570
Задания для самоконтроля
а) uxy + их = 0, u\y=x = Asinx, ux\y=x = 1;
б) utt = wxx + uyy + 2, w|t=0 = x, ut\t=o = y;
в) 4wt = uxx, u\t=o = sinxexp(—ж2).
1.13. Операционным методом решить уравнение в частных
производных (0 < ж, у < оо)
ё-£+"-я* "(o•!',=<,• ^=»"-
1.14. Доказать, что функции
- фундаментальные решения оператора Гельмгольца
*-&+»■•
1.15. Построить функцию Грина оператора Лапласа для
полупространства у > 0.
1.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в квадрате, если
u*(0,y) = ti(l,y) = w(x,l) = uy (ж, 2) = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
1.17. Найти распределение потенциала электростатического
поля внутри двугранного угла х > 0, у > 0, —оо < z < оо, при
условии, что его граница заряжена до потенциала wo = const.
1.18. Найти резольвенту и решить интегральное уравнение
X
<р{х) = 1 + х2 + J ±±?L.<p(t)dt.
0
1.19. Решить интегральное уравнение
w
<р(х) = А / cos2 (х — t)ip(t)dt + 1 + cos 4z.
о
1.20. Найти итерированное ядро Къ (ж, t) для уравнения Фред-
гольма с K(x,t) = ехр(|ж| + fc); a = —1; 6=1.
1.21. Найти все характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
w
<р(х) = Л I [sin х sin 4fc + sin 2x sin 3fc + sin 3x sin 2fc + sin 4x sin fc]<p(fc)dfc.
Индивидуальные задания
571
1.22. С помощью преобразования Лапласа решить интегральное
уравнение
X
(р(х) = cos ж + / tp(t)dt.
о
Вариант № 2
2.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хих — yuy + zuz = w.
2.2. Найти решение задачи Коши
их + (2ех - у)иу = 0, и\х=0 = у.
2.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) uxx + 36iixy + 243iiyy = 0;
б) Uxx — Suxy + 16wyy + 3ux — 12uy = 0.
2.4. Поставить краевую задачу об определении температуры
стержня 0 ^ х ^ I с теплоизолированной боковой поверхностью,
если на концах стержня поддерживается постоянный тепловой
поток.
2.5. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса Ъ и
такую, что (и — иг)\г=ъ = sin2 0.
2.6. Найти стационарную температуру внутренних точек
цилиндра ii(r, z) с радиусом основания Ь и высотой /i, если
температура верхнего и нижнего оснований равна нулю, а температура в
каждой точке боковой поверхности зависит только от расстояния
этой точки до нижнего основания (т.е. от z).
2.7. В полуполосе' 0 < х < Z, 0 < t решить смешанную задачу
utt = a2uxx; wx(0, t) = w(Z, t) = 0;
u(x,0) = 0; ut(t,0) = sin(27ra:/Z).
2.8. В однородной прямоугольной мембране 0^x^q;0^y^p
часть границы х = q, 0^у<риу=р, 0 ^. х < q свободна, а
остальная часть закреплена. Найти поперечные колебания
мембраны, вызванные начальным отклонением Аху, А = const.
2.9. Начальная температура однородного шара радиуса Ь равна
Т. Найти температуру шара при t > 0, если поверхность шара
поддерживается при постоянной температуре То.
2.10. В прямоугольнике 0 < ж < р, 0 <,у < q решить смешанную
задачу
щ = а2 (ихх + иуу); u\t=o = В 8т(пх/2р) cos(3iry/2q);
и\х=о = их\х=р = ii|y=o = u\y=q =0; t > 0; В = const.
572
Задания для самоконтроля
2.11. Решить смешанную задачу
ut — «xi — u = xt(2 — t) + 2 cos fc, 0 < ж < 7г;
wx|x=o = £ ; ux\x=n = t ; w|t=o = cos2a:.
2.12. Решить задачу Коши:
а) uxx — uyy — 2ux — 2uy = 4,
w(0,y) = -y, ux{0,y) =y-l, \x\ < oo;
б) utt = Awxx + 2xyz, u\t=o = ж2 + y2 - 2z2, ut\t=o = 1;
в) wt=wxx, w(a:,0) = жехр(—х ).
2.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
иу = uxx + u + 2 cos ж, 0 < ж < оо, 0 < у < оо,
Ц0,у) = ехр(-Зу), iix(0,y) = 0.
2.14. Доказать, что функция
е(х,у) = -г-н<1\кг),
где Щ ' (х) - функция Ханкеля, является фундаментальным
решением оператора L = дх + #2 + fc2 (г = у^ж2 + у2).
2.15. Найти решение задачи Дирихле (методом функции Грина)
Дм = 0, y>0; w|y=0 =x(l + x2).
2.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в круге радиуса а, если u\r=a = 0. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормирован-
ную систему собственных функций.
2.17. Вычислить потенциал простого слоя и(х,у) масс,
распределенных по окружности х2 + у2 = Ь2 с плотностью р=1.
2.18. Найти резольвенту и решить уравнение
х
<р(х) = ехр(ж + 2х) + 2 / ехр(х2 + t2)<p(t)dt.
о
2.19. Решить интегральное уравнение
/2х
(sinfc -И cos t)(p(t)dt+ 1 .
Р
о
2.20. Найти итерированное ядро Кг (ж, fc) для уравнения Фред-
гольма с iiT(a:, t) = ехр |jc — t\; a = 0; 6 = 1.
2.21. Найти все характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
Индивидуальные задания
573
<p(x) = \J[(x/t)2>5 + (t/x)2'5]<p(t)dt.
о
2.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
<р(х) = ехр х + 2 / <p(t) cos(a: — fc)dfc.
о
Вариант № 3
3.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
уих — xuy = 0.
3.2. Найти решение задачи Коши
хих — yuy + zuz = 0, u\x=i=y + z.
3.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду
а) 49uxx + 2Suxy + 3uyy = 0;
б) uxx — 12uxy + Збмуу + 2wx — 12i4y = 0.
3.4. Поставить краевую задачу о колебаниях круглой
однородной мембраны, закрепленной по контуру, в среде, сопротивление
которой пропорционально первой степени скорости. К
поверхности мембраны приложена внешняя сила плотностью /(г, <p,fc),
действующая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны.
Начальные скорости и начальные отклонения отсутствуют.
3.5. Найти функцию, гармоническую в круговом секторе
0 < г < 6, 0 < <р < а и такую, что w^(r, 0) = u<p(r,a) = 0, w(6, <p) =
= V(p, где V = const.
3.6. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы
и такую, что w|r-i = cos(2<p + 7г/3) sin2 0.
3.7. Решить задачу о колебаниях струны 0 < х < I с
закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю,
а начальное отклонение имеет форму ломаной , где (0,0), A(Z/2,/i),
В(1,0).
3.8. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной
мембраны 0 < х < р; 0 < у < д, закрепленной вдоль контура, если
и|е=0 = Аху(х -р)(у - q); ut\t=o =0, А = const.
3.9. На поверхности неограниченного кругового цилиндра с
радиусом основания Ъ поддерживается все время нулевая
температура. Найти распределение температуры внутри цилиндра в момент
времени t > 0, если u\t=o = -4Jo (a*J. г/6), где р^ - положительный
корень уравнения Jo(a*) = 0.
574
Задания для самоконтроля
3.10. В прямоугольнике 0 < х < q, 0 < у < р, fc > 0 решить
смешанную задачу
щ = a (uxx + Uyy) + Asmfax/q) cos(iry/2p);
u\x=0 = u\x=q = w|y=o = Wy|y=p = 0;
u\t=o =0; A = const.
3.11. Решить смешанную задачу
ut = uxx + 6w + 2fc(l — 3fc) — 6x + 2 cos ж cos 2ж,
0 < ж < тг/2; ux|x=0 = 1; ux|x=jr/2 = t2 + 7r/2; w|t=0 = ж.
3.12. Решить задачу Коши:
а) wxx 4- 2iixy — Змуу = 2,
ii|y=o = 0; wy|y=o = x + cos ж, \х\ < oo;
б) utt = wxx + Uyy + 6xyt, u\t=o=x2-y2, ut\t=o=xy;
в) wt = uxx, w|t=o = ехр(2ж — x ).
3.13. Используя интегральное преобразование Лапласа, решить
задачу
иу = iixx + u + cos ж, 0 < x < oo, 0 < у < oo,
u(0,y) = ехр(-Зу), t*«(0,y) = 0.
3.14. Доказать, что функция
*(*) = 2*оф(-Ф1)
является фундаментальным решением оператора L = д2 — k2.
3.15. Методом функции Грина решить задачу Дирихле
Aw = 0, z<0; u(x,y,0) = (1 + х2 + у2)_3/2.
3.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в круге радиуса а, если иг|г=а = 0. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормирован-
ную систему собственных функций.
3.17. Вычислить потенциал простого слоя и(х,у) масс,
распределенных по сфере х2 + у2 + z2 = 1 с плотностью р(х) = 1.
3.18. Найти резольвенту и решить уравнение
X
/ \ • . f 2 +cos ж ч
<р(:с) = expxsmx + / — (p(t)dt.
J 2 + cos fc
о
3.19. Решить интегральное уравнение-
Индивидуальные задания
575
(*) = A /si
<р(х) = А / sin(3a: + t)(p(t)dt + cos ж.
3.20. Найти итерированные ядра для уравнения Фредгольма с
ядром К(х, t) = ехр х cos t и a = 0, 6 = 7Г.
3.21. Найти все характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
1
2.2
-»/
<р(х) = А / (ж Г - 2/45)y>(fc)cfc.
о
3.22. С помощью интегрального преобразования Лапласа
решить уравнение
X
<р(х) = 1 + 2 / cos(s - t)(p(t)dt.
о
Вариант № 4
4.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
«х + yu = 0.
4.2. Найти решение задачи Коши
2л/хих — уиу = 0, u\x=i = yz.
4.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду
а) 4иХ9 + Зиху — иуу = 0;
б) 36uxx + 12uxy + uyy + 18wx + 3uy = 0.
4.4. Поставить краевую задачу о малых радиальных
колебаниях идеального однородного газа, заключенного в сферический сосуд
радиуса 6, если начальные скорости и начальные отклонения
заданы как функции от г. Граница непроницаема.
4.5. Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга
единичного радиуса уравнению Гельмгольца Аи + к2 и = 0, если w|r=i =
= 25 sin3 <p.
4.6. Найти стационарную температуру внутри однородного
изотропного шара радиуса 6, если на поверхности шара
поддерживается температура и\х=ь = cos2 0.
4.7. В полуполосе 0 < х < Z, 0 < t для уравнения utt = a2uxx
решить смешанную задачу
u(0, t) = ux (Z, t) = 0; и(х, 0) = ж,
ut(x,0) = sin(7ra:/2Z) + sin(37ra:/2Z).
576
Задания для самоконтроля
4.8. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круглой
мембраны радиуса Ь, закрепленной по краю, если
u\t=0 = А(г2-Ъ2), ut\t=o = 0.
4.9. Решить смешанную задачу
щ = uxx — 4w, u\t=o = x2 — жх;
0 < х < 7г; ti|x=o = u\x=ir = 0.
4.10. Дана тонкая квадратная пластинка 0<ж</,0<у</
с начальным распределением температуры u\t=o = /(ж,у). Края
пластинки все время удерживаются при нулевой температуре.
Найти температуру любой точки пластины в момент времени t > 0.
4.11. Решить смешанную задачу
щ = «XI + Щ 0 < х < 2; t > 0;
u\x=Q = 2fc; w|x=2 = 0; u\t=o = wt|t=0 = 0.
4.12. Решить задачу Коши:
а) uxy + yux + xuy + жуй = 0,
«|у=з* = 0, wx|y=3x = ехр(-5ж2), x < 1;
б) utt = 8Aw H-1 x , w|t=0 = у , wt|t=o = 2 ;
в) ut = 4wxx + fc -f exp fc; w|t=o = 2.
4.13. Методом преобразования Лапласа решить задачу
Щ = lixx, 0 < Ж < ОО, t > 0,
w|t=o=0; w|x=0 = —jz, ii(oo,fc) = 0.
4.14. Доказать, что функции
£(х,у) = -*-Н^(кг), Ё = (х,у) = *-Н<?\кг)
являются фундаментальным решением оператора L = дх-\-ду + к .
Здесь #о , I = 1,2, - функции Ханкеля, а г = уж2 + у2.
4.15. Методом функции Грина найти решение задачи Дирихле
Дм = 0, у < 0; м|у=0 = ——г.
1 + ж"
4.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в прямоугольнике, если u(a,y) = w(6,у) = wx(a:,0) = uy(x,l) = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
4.17. Найти потенциал двойного слоя и(х,у) масс,
распределенных по окружности х2 + у2 = 1 с плотностью ц = ж.
4.18. Найти резольвенту и решить интегральное уравнение
Индивидуальные задания
577
tp(x) = 1 - 2х - / ехр(ж2 - t2)<p(t)dt.
о
4.19. Решить интегральное уравнение
7Г
cos(2a: + t)(p(t)dt + sin ж.
4.20. Найти итерированные ядра для уравнения Фредгольма с
ядром К(х, t) = х exp t и a = 0, Ъ = 1.
4.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
2тг
<р(х) = \ [cos2 (ж + t) + l/2]<p(t)dt.
о
4.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(fi(x) = sha: — I ch(x — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 5
5.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хих — уиу = 0.
5.2. Найти решение задачи Коши
XUX - yUy + ZUZ = W, W|a:=i = t/ + Z.
5.3. Найти общее решение уравнения
а) 2Ъихх + 20иху + ЗиУу = 0;
б) иХх — 2 sin x uxy — cos ж Uyy — cos ж wy =0.
5.4. Однородный шар радиуса Ь с центром в начале координат
нагрет до температуры Т. Поставить краевую задачу об остывании
шара, когда в шаре имеются тепловые источники постоянной
мощности Q, а на его поверхности 5 происходит теплообмен с внешней
средой нулевой температуры.
5.5. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса Ъ и
такую, что wr|r=b = sin2 О,
5.6. Круговой цилиндр, радиус основания которого Д, а высота
/i, имеет температуру обеих оснований, равную нулю, а
температура боковой поверхности постоянна и равна Т. Найти стационарное
распределение температуры внутри цилиндра.
578
Задания для самоконтроля
5.7. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения
utt = 4uxx на отрезке 0<sc<l;fc>0, если
и(х,0) = х(х - 1), ut(x,0) = 0, u(0, t) = w(l, t) = 0.
5.8. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной
мембраны 0<ж<7г;0<у<7Г, закрепленной вдоль контура, если
u\t=o = 3 sin x sin 2t/, ut\t=o = 5 sin 3x sin 4t/.
5.9. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < Z, боковая
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение
температуры в стержне, если левый конец стержня поддерживается
при постоянной температуре Т, а на правый подается постоянный
тепловой поток Q и u\t=o = sm(birx/2l) + 2sin(37ra:/Z).
5.10. Решить смешанную задачу
ut = a2(uxx + uyy); u\t=o = /(ж,у), t > 0;
w|x=o = ux|x=p = w|y=0 = u|y=/ = 0; 0 < ж < p, 0 < у < q.
5.11. Решить смешанную задачу
uyv u
x
U,yy U, III I n
ut = uxx + — -; 0 < x < 1, |u|x=0 | < oo, u\t=o = 0;
i . Л. i «Мж) , 3Ji(3a:)
5.12. Решить задачу Коши:
а) xuxx — Uyy + ux/2 = 0, w|y=o = ж, wy|y=o=0, a: > 0;
б) utt = uxx + uyy + x3 - Зху2,
u\t=o = e*cosy, wt|t=o = ey sina:;
в) ut = «xx + 3fc ; u\t=o = sin ж.
5.13. Струна длиной l закреплена на концах. В момент
времени t = 0 она оттянута в точке х = с (0 < с < I) на расстояние,
равное единице, от оси . Затем струна отпущена без сообщения
ее точкам начальной скорости. Используя преобразование Лапласа,
определить отклонение u(x, t) точек струны для любого момента
времени.
5.14. Доказать, что функция
«-'>~3&-
.X .7Г
г г—
4fc 4
- фундаментальное решение оператора Шредингера Ls = idt + dx.
5.15. Методом функции Грина найти решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в круге х2 -\- у2 < 1, если на окружности
х2 + у2 = 1 функция равна sin 2<р.
5.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в прямоугольнике, если ux(2,y) = ux(5,y) =u(a:,0) = uy(x,2) = 0.
Индивидуальные задания
579
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
5.17. Показать, что потенциал и(х,у) масс, распределенных по
кругу х2 + у2 < 1 с плотностью ^ = ж, дается формулой
, ч Г -7Г1ПГ, Г > 1 А—
<**У) = \ тг(1-г2.)/2, r^l ' r№r=V*a+!/a-
5.18. Найти резольвенту и решить уравнение
X
<р(х) = х • 3х - I Зх-*<р(Ь)<1Ь.
о
5.19. Решить интегральное уравнение
<р(:с) = А / sin(a: — 2fc)<p(fc)dfc + cos 2x.
о
5.20. Найти итерированные ядра для уравнения Фредгольма с
ядром К(х, t) = х 4- sin fc и а = —7Г, 6 = 7Г.
5.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции уравнения
2тг
v(ic) = Л / [вт(я: + fc) + l/2]^(fc)A.
о
5.22. Используя преобразование Лапласа, решить уравнение
■г X
<p(z) = x- ex~'(p(t)dt.
о
Вариант № 6
6.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
Ux = liy.
6.2. Найти решение задачи Коши
ux + uy + 2wz = 0, w|«=i = уя.
6.3. Найти общее решение уравнения
а) UXX + 2Wa:y + Wyy — 3ux — 3uy = 0;
б) xuxx — yuyy + (и* — wy)/2 = 0, x > 0, у > 0.
580 Задания для самоконтроля
6.4. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях
струны, закрепленной на краях, в среде с сопротивлением,
пропорциональным первой степени скорости.
6.5. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в
прямоугольнике 0 < ж < р, 0 < у < д, если:
м(0, у) = A sm(wy/q), u(p, у) = 0,
и(ж,0) = В sin(ячс/р), u(x,q) = 0.
6.6. Найти стационарную температуру внутренних точек
полусферы радиуса 6, если сферическая поверхность
поддерживается при постоянной температуре Т, а основание полусферы - при
нулевой.
6.7. Решить задачу о колебаниях струны 0 < х < I с
закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю,
а начальное отклонение имеет форму параболы, осью симметрии
которой служит прямая х = 1/2, а вершиной - точка M(Z/2,/i).
6.8. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круглой
мембраны радиуса 6, закрепленной по краю, если u\t=o = AJ0 (ct°kr/R),
где с*2 - положительный корень уравнения Jo (а) = 0. Начальная
скорость равна нулю.
6.9. Решить смешанную задачу
Щ = ихх, 0 < х < 1; их\х=о = u\x=i = 0, u\t=o = х2 - 1.
6.10. Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса 6. Найти
распределение температуры внутри цилиндра в момент времени
t > 0, если поверхность цилиндра поддерживается при постоянной
температуре , а начальная температура внутри цилиндра равна
нулю.
6.11. Решить смешанную задачу
utt = ихх + их/х — w, 0 < х < 1;
м|х=о < оо, и\х=\ = cos2t-\-sin3t,
, Jo(s\/3) , " 3Jo(2xy/2)
tit=0 = 7=~i l*t t=0 = 7=—•
1 MV3) M2V2)
6.12. Решить задачу Кош и:
а) хихх + (х + у)иху + уиуу = 0,
и\у=1/х = х, их\у=1/х = 2х, х > 0;
б) utt =3Aii + 6(a;2 + t/2+z2),
1 222 1 2
u|t=o = x у z , Ut\t=o = xy ;
в) щ = uxx + exp(—fc)cos:c, ii|t=o = cos ж.
6.13. Используя интегральное преобразование Лапласа, решить
задачу
Индивидуальные задания
581
Uxx — Uy +U = X, 0 < Ж < OO, 0 < t/ < OO,
W(0,y) = t/, lia:(0,y) =0.
6.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора Клейна-
Гордона-Фока Lkg = О2 — a2&x — °2#у + Т™2 является функция
1 co8(m\/t2 — a~2\x\2)
*(*.0 = т^т^И - \Щ) X ■
6.15. Методом функции Грина найти решение уравнения
Лапласа в полукруге Е : {z : \z\ < 1, Imz > 0} при условии
U\ |z|=i = Sin y>, W|arg z=0 = 0, W|arg z=n = 0.
6.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в прямоугольнике, если и(0,у) = ux(2^y) = и(ж,1) = w(a:,2) = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
6.17. Найти потенциал двойного слоя масс, распределенных по
окружности х2 + у2 = 1 с плотностью ji = 1.
6.18. Найти резольвенту и решить уравнение
х
(р(х) = sin ж + 2 / ехр(ж — t)(p(t)dt.
о
6.19. Решить интегральное уравнение
7Г
к / sin(2a:
4>(t) = А / sin(2a: + t)(p(t)dt + тг - 2s.
о
6.20. Найти итерированные ядра для уравнения Фредгольма с
ядром К(х, t) = (х — t)2 и a = —1, 6 = 1 (п = 2,3).
6.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядра К{х, у) = Зх + ху — Ъх2у2 и при всех Л и а
решить уравнение
1
(р(х) = А / K(x,y)(p(y)dy + ax.
-1
6.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
<р(х) = х- (х- t)<p(t)dt.
582
Задания для самоконтроля
Вариант № 7
7.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(х + 2у)их - уиу = 0.
7.2. Найти решение задачи Коши
xux - yuy = 0, w|x=i = у .
7.3. Найти общее решение уравнения:
а) ихх + Suxy + 16wyy — ux — 4uy = 0;
б) x Uxx — у Uyy — 2yuy = 0.
7.4. Поставить краевую задачу об определении установившейся
(стационарной) концентрации неустойчивого газа в цилиндре
радиуса Ъ и высоты /*, если в цилиндре имеются источники газа
постоянной мощности Q, а скорость распада газа пропорциональна
его концентрации и. На основаниях цилиндра концентрация газа
поддерживается равной нулю, а боковая поверхность
газонепроницаема.
7.5. Найти функцию, гармоническую в кольце 1 < г < 2 и такую,
что w|r=i = 1 + cos2 <р, u\r=2 = sin2 (р.
7.6. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы
и такую, что u\r=\ = (sin0 + sin20)sin(<p + тг/6).
7.7. Для уравнения Utt = Uxx + cos t решить смешанную задачу
w(0, t) = м(тг, t) = 0, и(х, 0) = и*(ж, 0) = 0, 0 < х < 7Г.
7.8. Определить поперечные колебания однородной
прямоугольной мембраны О^ж^р; О^у^дс закрепленным краем, если
колебания вызваны непрерывно распределенной по мембране силой
с плотностью /(ж, у, t) = ехр(—t)sin(2iry/q).
7.9. В полуполосе 0 < х < Z, 0 < t решить смешанную задачу
Ut=auXxt wx(0, t) = w(Z,t) = 0, ii(a:,0) = A(l — ж), А = const.
7.10. В однородном шаре радиуса 6, начиная с момента t = 0,
действуют источники тепла постоянной плотности Q. Начальная
температура шара равна Т. Определить распределение
температуры в шаре при t > 0, если с поверхности шара происходит
теплоотдача потоком постоянной мощности q.
7.11. Решить смешанную задачу
щ = ихх + uxjx — 4и/х2 + tJ2(a\x); 0 < х < 1, |w|x=o I < оо;
w|»=i = u\t=o = ut\t=o = 0,
где a\ - положительный корень уравнения Л(«) = 0.
7.12. Решить задачу Коши:
Индивидуальные задания
583
а) ихх + 2(1 + 2х)иху + 4ж(1 + х)иуу + 2щ = О,
w|x=o = У, и*|*=о=2, |у| < оо;
б) utt = uxx + uyy + fcsiny; u\t=o = x2, ut\t=o = siny;
в) щ = uxx + expfcsina:; w|t=o=sina:.
7.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
щ = a2uxx; t > 0, х > 0, w(0, fc) = 0; w(a:,0) = щ = const.
7.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора Шредин-
является функция
e{x,y) = --e(t)—exp
7.15. Методом функции Грина найти решение задачи Дирихле
Ди = 0, z>0; u\z=0 = (1 + x2 + у2)"1/2.
7.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в прямоугольнике с границами х = а, х = 6, у = 0, х = 0,
если на границе функция обращается в нуль. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормиро-
ванную систему собственных функций.
7.17. Вычислить объемный потенциал Цж,у, z) для шара г < Ь
с плотностью р = г, г2 = х2 + у2 + z2.
7.18. Найти резольвенту и решить уравнение
х
(f(x) = ехрж + / ехр(ж — t)(p(t)dt.
о
7.19. Решить интегральное уравнение
1
(р(х) = Л / [5 + 4жу - Зж2 - Зу2 + 9x2y2]dy + ж.
-1
7.20. Найти для п = 2,3 итерированные ядра уравнения Фред-
гольма с ядром К(х, t) = sin(a: — t) и a = 0, 6 = 7г/2.
7.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения с
симметричным ядром
*(*,«) = {
-expf—fc)sh:c, 0 < х < t;
-ехр(—a:)sht, t < х < 1.
584
Задания для самоконтроля
7.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(р(х) = х + / sin(a: — t)<p(t)dt.
о
Вариант № 8
8.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хих + уиу + zuz = 0.
8.2. Найти решение задачи Коши
х2
хих + уиу + xyuz = 0, u\z=0 = —.
У2
8.3. Найти общее решение уравнения
а) ихх — 4иху + Аиуу + 3iix — 6иу = 0;
б) х ихх — 2a:t/iixy + у иуу + жи* + уиу = 0.
8.4. Поставить краевую задачу об определении температуры
стержня х = 0, х = I с теплоизолированной боковой поверхностью,
если на концах стержня происходит конвективный теплообмен со
средами заданной температуры.
8.5. Найти стационарное распределение температуры w(r, <p)
внутри бесконечного цилиндра радиуса Ь, если на его поверхности
поддерживается температура w(6, <p) = A sin <р.
8.6. Найти стационарную температуру внутренних точек
цилиндра u(r,z) с радиусом основания Ь и высотой /i, если основания
цилиндра теплоизолированы, а температура боковой поверхности
есть заданная функция от z.
8.7. Решить задачу о колебаниях однородной струны 0 < х < I
с закрепленными концами под действием.непрерывно
распределенной силы с плотностью p(X)t) = Apsmut, ш ф kwa/l (к = 1,оо).
Начальные условия нулевые.
8.8. В однородной прямоугольной мембране 0^.x^.p;0^y^.q
часть границы х = 0; 0 ^ у < q свободна, а остальная часть
закреплена. Найти поперечные колебания мембраны, вызванные
начальным отклонением ti(:c,y, 0) = co8(irx/2p)sm(iry/q), начальные
скорости отсутствуют.
8.9. В полуполосе 0 < х < Z, t > 0 решить смешанную задачу
utt = a2uxx; iix(0, t) = ux(l,t) = 0; и(ж,0) = и.
8.10. Для уравнения теплопроводности щ = а2Аи + /(ж, у, t)
решить смешанную задачу
w(0, у, t) = м*(р, у, t) = u(x, 0, t) = u(x, q, t) = 0; и(х, у, 0) = 0
Индивидуальные задания
585
в прямоугольнике 0<ж<р;0<у<^.
8.11. Решить смешанную задачу
ип = uxx + uxjx — 4u/x2; 0 < x < 1, |u|x=0| < <x>;
ti|x=l = 0, u\t=0 = Ut\t=Q = J2{a\x),
где a\ - fc-ый положительный корень уравнения Ji (a) = 0.
8.12. Решить задачу Коши
\ 2 2
а) х ихх — У Щу + 2t/wy = 0,
u\x=i = у, u*|*=i = у, у < 0;
б) utt = lOAw, w|t=0=0, wt|t=o = (3:c + 2t/ + 4z)2;
в) wt = uxx +sinfc; u\t=o = exp(—x ).
8.13. Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа,
определить температуру u(x, t) в полу бесконечном стержне (0 < х < оо)
при t > 0, если u(0, fc) = <5(fc), u(oo, fc) = 0, а начальная температура
стержня равна нулю.
8.14. Доказать, что функция
- фундаментальное решение волнового оператора Ьт> = д2 — а2#х.
8.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для
полупространства z > 0.
8.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в квадрате, если мх(0,у) = мх(1,у) = м(1,у) = м(:с, 1) =w(a:,2) = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
8.17. Найти потенциал и(х,у) для круга г < Ъ с плотностью
Р = г2, г = а/ж2 +у2.
8.18. Найти резольвенту и решить уравнение
X
<р(:с) = ж + / (t - z)y>(fc)<fc.
о
8.19. Решить интегральное уравнение
1
-1
1
<p{x) = \j{x2
8.20. Найти итерированные ядра K(x,t) = х — t при а = —1,
= 1.
586
Задания для самоконтроля
8.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения с
симметричным ядром
тг( а — I ~ s*n(x ~ 1*1™) sin(t — тг/n), 0 ^ х ^ t;
к (х> Ч ~ \ _ sin(t + ж/п) s\n(x _ ъ/п), t^x^l.
8.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(р(х) = х + I sin(a: — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 9
9.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(х — z)ux + (у — z)uy + 2zuz = 0.
9.2. Найти решение задачи Коши
хих — и = 0, u\x-i = sin у.
9.3. Найти общее решение уравнения:
a) uxx — 2uxy + uyy + 4ux — 4uy = 0;
d ( 2du\ 2d2u
6j dxV dx)-X A-*'
dy*
9.4. Сформулировать задачу о продольных колебаниях
однородного упругого стержня постоянного сечения 5 длины I при
заданных начальном отклонении и скорости, если концы стержня
закреплены упруго, т.е. испытывают сопротивление, пропорциональное их
отклонению.
9.5. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R и
такую, что ur\r=R = Acos2(p.
9.6. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы
и такую, что w|r=i = sin0(sin<p + sin0).
9.7. Решить задачу о колебаниях струны 0 < х < I с
закрепленными концами, если в начальном положении струна находится
в покое, а
Г Go,
I 0,
, w, jc€[a,/3];
щ(х,0) = { ^ 0<a</3<Z.
х $ [a,/3],
9.8. В однородной прямоугольной мембране О^ж^р; О^у^д
часть границы х = 0, 0^.y<q свободна, а остальная часть
закреплена. Найти поперечные колебания мембраны, вызванные
начальным распределением скоростей ш(:с,у, 0) = А(р — x)sm(iry/q).
Индивидуальные задания
587
9.9. В полуполосе 0 < х < Z, t > 0 решить смешанную задачу
ut=a2uXx— &Щ ux(0, t) = ux(l,t) = 0; u(:c,0) = sin(7r:c/2Z).
9.10. Определить температуру в однородном прямоугольном
бесконечном стержне 0 ^ х ^ р; 0 ^ у ^ </, —оо < 2 < оо, если
температура поверхности стержня поддерживается равной нулю.
Начальная температура стержня - произвольная функция /(ж, у).
9.11. Решить смешанную задачу
utt = uxx + wx/a: — 4u/x2 + cos tJ2(a|a:); 0 < ж < 1;
|w|x=o| < oo, «|»=i = «|t=o = «t|t=o = 0,
где a^ ' -fc-й положительный корень уравнения 32(a) = 0.
9.12. Решить задачу Коши:
а) a uxx — 2xyuxy — 3y wyy = 0,
w|x=i = У, tix|x=i=2, |y| < oo;
б) un = uxx + Uyy + fcsiny; u|t=o = я2, ut\t=o = siny;
в) щ = uxx + expt sin x; w|t=o=sin:c.
9.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
uy = uxx+u + ex; 0 < ж < оо, 0 < у < оо, u(0,y) = ux(0,y) = 0.
9.14. Доказать, что функция £(х) = 1пг/27г является
фундаментальным решением оператора Лапласа А = дх + ду, г = уж2 -|- у2.
Выяснить ее физический смысл.
9.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для
двугранного угла у > 0, z > 0.
9.16. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии частицы в двумерной потенциальной яме вида
"<->-{£.
г < а;
г > а.
9.17. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для
окружности радиуса Ь с постоянной плотностью ц = ц0.
9.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра с
ядром
*(*'fc)--2^TT + -^TT-
9.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = А / (2xt3 + bx2t2)<p(t)dt + 7xx4 + 3.
588
Задания для самоконтроля
' 9.20. Построить резольвенту для ядра К(х, t) = ехр(ж + t) при
a = 0, Ъ = 1.
9.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального (однородного) уравнения с
симметричным ядром
K(x,t)=\ sinxsin(t-l),
v ' ' \ sinfcsm(a: — 1),
9.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
—тг ^ х ^ t\
t < х < к.
tp(x) = 1 + х + / ехр(-2ж + 2t)(p(t)dt.
о
Вариант № 10
10.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
уих + хиу = х - у.
10.2. Найти решение задачи Коши
У«г + хуиу = х, u\x=0 = у .
10.3. Найти общее решение уравнения:
а) 4uxx + 4uxy + uyy + Sux + 4uy = 0;
б) (х - y)uxy + ux - uy = 0.
10.4. Поставить задачу об определении температуры в
бесконечном теплоизолированном стержне, по которому с момента t > 0
в положительном направлении со скоростью v начинает двигаться
точечный тепловой источник, дающий q единиц тепла в единицу
времени.
10.5. В круге радиуса Ь решить задачу Дирихле для уравнения
Пуассона
у2
Ли = "1' °lv^=> = T
^*2 + У2=Ь
10.6. Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана для
шара радиуса Д, если ur\r=R = A cos в. Найти соответствующее
решение.
10.7. Решить задачу о продольных колебаниях однородного
цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому
концу приложена сила Q = A smut, направление которой совпадает
с осью стержня (а; ф аж(2к + 1)/2Z, к = 0,оо).
10.8. В однородной прямоугольной мембране 0 ^ х ^ р;
0 ^ У ^ Я. часть границы х = 0, O^yi^q свободна, а остальная
Индивидуальные задания
589
часть закреплена. Найти поперечные колебания мембраны,
вызванные распределенной по мембране поперечной силой с плотностью
/(ж, у, t) = В(р - х) sm(ny/q) sin t.
10.9. В полуполосе 0 < х < Z, t > 0 решить смешанную задачу
щ = a2uxx\ wx(0, t) = ux(l,t) = 0; u(x,0) = Ах.
10.10. В однородном шаре радиуса Ь начиная с момента t = 0
действуют источники тепла постоянной мощности Q. Начальная
температура шара равна Т. Найти распределение температуры в
шаре при t > 0, если на его поверхности поддерживается
постоянная температура но.
10.11. Решить смешанную задачу
utt — Зщ = uxx + 2ux — Зх — t; 0 < x < 7г;
w|x=o = w|x=7r = 7rfc; w|t=0 = ехр(-ж), ut\t=o = x.
10.12. Решить задачу Коши:
а) uxx — uyy + 2ux + 2uy = 0,
u\y=0=x, Wy|y=0=0, \x\ < oo;
б) utt = 12Aw; u\t=o = x2 + y2 — 2z2, wt|t=o = 0;
в) wt = Suxx; u\t=o = exp(—3x2).
10.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
ихх — иу + a2u = ж2, 0 < ж < оо, 0 < у < оо,
ti(0,y)=w«(0,y)=0.
10.14. Доказать, что функция £(х) = 0(х)ехр(±ах) является
фундаментальным решением оператора Гельмгольца Lh = dx ± а.
10.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для октанта
х > 0, у > 0, г > 0.
10.16. Найти волновые функции стационарных состояний и
уровни энергии частицы в сферической бесконечно глубокой
потенциальной яме радиуса а.
10.17. Для оператора Лапласа вычислить потенциал простого
слоя и, распределенного с постоянной плотностью ^о на сфере
единичного радиуса.
10.18. Решить интегральное уравнение и построить его
резольвенту
X
(р(х) = X (х- t)(p(t)dt + ж2.
о
10.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = А / (2х4 + bxzt)<p(t)dt + х2 - х\
590
Задания для самоконтроля
10.20. Построить резольвенту для ядра K(x^t) = sin x sin t при
a = 0, b = 1.
10.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения Фредголь-
ма с симметричным ядром К(х, t) = 1 + xt + x2t2, — 1 ^ ж, t ^ 1.
10.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(р(х) = cos ж — / cos(a: — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 11
11.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
2хих + (у — х)иу = х .
11.2. Найти решение задачи Коши
хих - и = 0, и\х=1 = у.
11.3. Найти общее решение уравнения:
а)ихх — I0uxy + 25wyy -|- 2ux — 10uy = 0;
6)uxy + yux + a:wy + a:t/w = 0.
11.4. Поставить краевую задачу об остывании тонкого
однородного кольца радиуса Ь, на поверхности которого происходит
конвективный теплообмен со средой, имеющей заданную температуру.
Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца
пренебречь.
11.5. Найти стационарное распределение температуры внутри
бесконечного цилиндра радиуса 6, если на одной половине
поверхности цилиндра (0 ^ <р < 7г) поддерживается температура —Т, а на
другой половине (7г^<р<27г)- температура Т.
11.6. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г < 2
функцию, такую, что w|r=i = cos2 0, ur=2 = (cos2 0 + l)/8.
11.7. Решить задачу о свободных колебаниях однородной
струны длины Z, закрепленной на концах и колеблющейся в среде,
сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.
Начальные условия произвольны.
11.8. Решить задачу о свободных колебаниях однородной
круглой мембраны радиуса Ь, закрепленной по краю, если начальное
отклонение имеет форму параболоида вращения, начальная скорость
равна нулю.
11.9. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < Z, боковая
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение
температуры в стержне, если концы стержня имеют постоянную
температуру w(0,t) = w(Z,t) = t«i, а начальная температура задается
формулой w(a:,0) = Ax(l — ж), где А = const. Найти lim u(x,t).
Индивидуальные задания
591
11.10. Начальная температура шара 0 ^ г < Ь равна Т. Найти
температуру шара при t > 0, если внутрь шара через его
поверхность подается постоянный поток тепла мощности Q (считать шар
однородным).
11.11. Решить смешанную задачу
щ = ихх + 4их + х — At + 1 + ехр(—2х) cos(7r:c);
0 < х < 1, u\x=o = fc, 1«|ж=1 = 2fc; t«|t=o = 0.
11.12. Решить задачу Коши:
а) мху=0, м|у=х2=0, иу\у=х2=х, \х\<1;
б) utt = 3uxx + 3wyy + х2 + у2; w|c=o = ж2, wt|t=o = у2;
в) wt = wxx + uyy + exp fc; w|t=o = cos ж sin t/.
11.13. С помощью преобразования Лапласа найти
распределение температуры в однородном тонком полуограниченном стержне
0 < х < оо, когда начальная температура стержня равна нулю, а
на его левом краю поддерживается температура u0 = const.
11.14. Доказать, что функция
£(х) = -0(x)sinax
a
является фундаментальным решением оператора L = dx + a2.
11.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для шара
\х\ < 6.
11.16. Найти волновые функции двумерного изотропного
гармонического осциллятора
11.17. Найти распределение потенциала электростатического
поля внутри двугранного угла при условии, что его граница заряжена
до потенциала Vo = const, если 0 < <р < <ро, <Ро < я"/2, 0 ^ г < оо.
11.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение
X
4>(х) = \ / ех~1 <p(t)dt + х2.
о
11.19. Решить интегральное уравнение
1
х) = А Пх1/3 + t1/3)<p{t)dt - 1 + 6х2
V(
11.20. Построить резольвенту уравнения Фредгольма с ядром
К(х, t) = х exp t при a = — 1, b = 1.
592
Задания для самоконтроля
11.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядра К(х, t) и решить интегральное уравнение
(f(x) = А I (хcost+ sinxsmt)(p(t)dt +a+ bcosx; a, 6 = const.
11.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(р(х) = х-\ (х- t)(p(t)dt.
о
Вариант № 12 '
12.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хуих — х иу = ух,
12.2. Найти решение задачи Коши
о 2.2 | 2
хих — 2уиу = х + у , Щу=1 = х .
12.3. Найти общее решение уравнения:
а) ихх + 28иху + 147wyy = 0;
б) уихх + (х - у)иху - хиуу = 0, х > -у.
12.4. Сформулировать краевую задачу о малых продольных
колебаниях упругого однородного стержня переменного сечения
5 = S(x) длины I при произвольных начальных условиях, если
стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований
г и 6, г < 6, которые закреплены.
12.5. Найти решение уравнения Пуассона Aw = —Аху в круге
радиуса Ь с центром в начале координат, если и\г=ь = 0 и А = const.
12.6. Найти стационарное распределение температуры внутри
цилиндра с радиусом b и высотой /i, если к нижнему основанию
z = 0 подводится постоянный тепловой поток Q, верхнее основание
поддерживается при нулевой температуре, а на боковой
поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
12.7. Стержень длиной Z, один конец которого х = 0 закреплен,
находится в состоянии покоя. В момент времени t = 0 к его
свободному концу х = I приложена сила Q = const, действующая вдоль
стержня. Найти смещение и(х, t) стержня.
12.8. Решить первую смешанную задачу для волнового
уравнения utt = Aw в прямоугольнике 0<ж<5, 9<у<3, fc>0, если
ut=o = ху(Ъ - х)(3 - у),
ut\t=o = 0, и\х=0 = и\у=0 = и\х=5 = и\у=з = 0.
Индивидуальные задания
593
12.9. Дан тонкий однородный стержень, боковая поверхность
которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x,t)
в стержне, если концы стержня теплоизолированы, а начальная
температура задается формулой
( п\ / «о, 0 < ж < Z/2, , ,
w(*>°) = ( 0, 1/2<х<1, ^ = const.
12.10. Решить первую смешанную задачу для уравнения
теплопроводности щ = Aw в круге 0 ^ г < 7, t > 0, если и (г, 0) = 49 — г2,
и(7, t) = 0.
12.11. Решить смешанную задачу
щ = uxx +6u + z2(l - 6fc) - 2(fc + 3z)sin2:c;
0 < х < 1, ux\x=0 = 1, ux\x=„ = 2irt + 1; w|t=0 = я.
12.12. Решить задачу Коши:
а) уихх + ж(2у — 1)иху — 2х иуу — уих/х = 0,
w|y=0=a:2, iiy|y=o = 0, х > 0;
б) wtt = wx.x -|- ехрж; w|t=0 = sin ж, wt|t=o = x + sin ж;
в) lit = iuxx + fcc ; ii|t=o = a: .
12.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
uxx-uy+a2u = f(x), x>0, 2/>0, ii(0,y) = 0, ux (0, у) = 0.
12.14. Доказать, что функция
£(ж) = -0(ж) share
a
является фундаментальным решением оператора L = #2 — а2.
12.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для полу шара
\г\ < 6, z > 0.
12.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в прямоугольнике, если ti(0, t/) = tix(l,t/) = tiy(:c, l) = ti(:c,4) = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
12.17. С помощью потенциалов двойного и простого слоя найти
стационарную температуру точек полуплоскости у > 0, если на
границе у = 0 поддерживается заданная температура uq(x).
12.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
I ехр(х + t)(p(t)dt = ж.
о
12.19. Решить интегральное уравнение
594
Задания для самоконтроля
1
(р(х) = А / (xt + x2t2)<p(t)dt + 6ж2 + я4.
-1
12.20. Построить резольвенту уравнения Фредгольма с ядром
К(х, t) = (1 + ж)(1 - t) при а = -1, Ь = 1.
12.21. Исследовать уравнение
<р(х) = А 1 cos:c^(fc)dfc
о
на разрешимость при всех значениях параметра Л.
12.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(f(x) = ехр2ж + I exp(fc — x)(p(t)dt.
о
Вариант № 13
13.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хих + 2уиу = х у + и.
13.2. Найти решение задачи Коши
хих - и = 0, w|x=i = у.
13.3. Найти общее решение уравнения:
а) ихх — 6иху + 9иуу — 2ux + 6uy = 0;
б) x2uxx — y2uyy = 0.
13.4. Пренебрегая реакцией окружающей среды, поставить
краевую задачу о поперечных колебаниях однородной прямоугольной
мембраны 0<x<p;Q<y<qc закрепленным краем, если в
начальный момент времени t = 0 мембрана получает поперечный
сосредоточенный импульс / в точке (жо,уо), 0 < xq < р, 0 < у0 < 5,
а начальное положение произвольно.
13.5. Найти функцию, гармоническую в прямоугольнике 0 < х <р;
0 < у < q и такую, что мх(0,у) = u(p,y) = 0, u(z,0) = 0, wy(x,Z) =
Бх.
13.6.. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса R
и такую, что ur\r=R = sin(3<p + 7г/б) sin3 в.
13.7. Решить задачу о свободных колебаниях однородной
струны, один конец которой х = 0 закреплен, а другой х = I свободен,
если _
Цж,0) = sin — х, wt(x,0) = cos —х.
Индивидуальные задания
595
13.8. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной
мембраны 0 < х, у < р, закрепленной вдоль контура, если
, . . 7гх . жу ,
u\t=o = Asm — sin—; щ \t=o = 0.
Р Р
13.9. Решить смешанную задачу
щ=ихх—щ 0 < х < Z, u(0,fc) = u(l,t) = 0, u(x,0) = 1.
13.10. Начальная температура однородного бесконечного
прямоугольного стержня 0^х^р;0^у^д, —оо < z < оо является
произвольной функцией /(х,у). Определить температуру в
стержне при t > 0, если часть поверхности стержня х = 0,0<у<д
теплоизолирована, а остальная поддерживается при нулевой
температуре.
13.11. Решить смешанную задачу
utt = uxx + 6w + 2fc(l - 3fc) - 6x + 2 costcos2x; 0 < x < 7r/2;
tix|x=o = l, u|x=7r/2 = fc2 +7r/2, w|t=0=x.
13.12. Решить задачу Коши:
а) t/uxx - (x + y)uxy + xuyy = 0,
w|y=o = x , wy|y=o=0, x > 0;
б) utt = 9uxx + sinx; w|t=0 = 1, wt|t=o = 1;
в) Sut = uxx + uyy + 1; w|t=0 = exp[-(x - y)2].
13.13. С помощью интегрального преобразования Лапласа
решить задачу
ихх — uy -f u = sinx; 0 < x < оо, 0 < у < оо,
Ц0, у) = у; и(0, у) = их (0, у) = 0.
13.14. Доказать, что функция
xm_1
€(х) = 0(х)ехр(±ах)
является фундаментальным решением оператора L = (dx ^a)m,
771 = 2,00.
13.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для четверти
шара \г\ < 6, у > 0, z > 0.
13.16. Решить задачу Штурма-Лиувилля
— Дм = Aw, u\r=a = 0.
Записать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
596
Задания для самоконтроля
13.17. С помощью потенциалов двойного и простого слоя найти
стационарную температуру точек полуплоскости у > О, если на
границе у = 0 поддерживается заданный поток тепла duo/dn\y=o =
= u\(x). Источников тепла нет.
13.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром
K(x,t) = 2-(x-t) A = l.
13.19. Решить интегральное уравнение
2к
4>(х) = А / (cos х cos t + cos 2x cos 2t)(p(t)dt + cos 3#.
о
13.20. Построить резольвенту интегрального уравнения Фред-
гольма с ядром K(x,t) = x2t2 при a = —1, 6=1.
13.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения с
вырожденным ядром
1
<р(х) - A (xsht-tchx)<p(t)dt = 0.
-1
13.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
7
<р{х) = 1 - 2х - 4х2 + / [3 + 6(х - fc) - 4(х - *)2]y>(*)<fc.
Вариант № 14
14.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(х2 + y2)ux + 2xyuy + и2 = 0.
14.2. Найти решение задачи Коши
xux +yuy =u- xy, ii|x=2 = у2 + 1.
14.3. Найти общее решение уравнения:
а) 9ихх + 6iiry + tiyy — 12iix — 4iiy = 0;
б) x2uxx — y2uyy = 0 x ф 0, 2/ ^ 0.
14.4. Внутри однородного и изотропного тела V происходит
свободный теплообмен. Между телом и окружающей средой,
температура которой равна Ф(£), также происходит свободный
теплообмен. Какому уравнению и каким начальным и граничным условиям
Индивидуальные задания
597
удовлетворяет температура тела w(r*, fc), если в начальный момент
оно имело температуру /(г)?
14.5. В круговом секторе 0 < г < 6, 0 < (р < а найти
гармоническую функцию, удовлетворяющую краевым условиям w(r,0) =
= u(r,a) = 0, u(b,y>) = <р.
14.6. Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и
такую, что wr|r=i = sin(7r/4 — <p)sin0.
14.7. В полуполосе 0<х</, fc>0 для уравнения utt = a2uxx
решить смешанную задачу
7ГХ
Wx(0,fc) =u(l,t) =0; w(x,0) = cos—;
, . 37ГХ 57ГХ
wt(x,0) = cos —+cos—.
14.8. Решить задачу о колебаниях однородной круглой
мембраны радиуса 6, закрепленной по краю, если эти колебания вызваны
равномерно распределенным давлением р = pQ sin ut, приложенным
к одной стороне мембраны. Предполагается, что среда не оказывает
сопротивления и что ш ф аа°/6, где а° (п = 1, оо) - положительные
корни уравнения J0(a) = 0 (нет резонанса).
14.9. Решить смешанную задачу
ut=uxx; 0 < х < 1; их\х=0 = 1, u|«=i = 0, u|t=o = 0.
14.10. В шаре 0 ^ г ^ Ь найти решение w(r, t) следующей задачи:
ut = a2Au-0u; t > 0, /3 > 0, |м(т,£)|<оо,
ММ)=о, «М) = {2; °7f ;<*/£•
14.11. Решить смешанную задачу
и« — wXx — 9w = 4 sin2 x cos 3x — 9x2 — 2; 0 < ж < 7r;
WxU=o=0, u\x=„ = 27Г, w|t=o=^2+2.
14.12. Решить задачу Коши:
а) 3wxx — 4uxy + uyy — 3ux + iiy = 0,
u|y=0 = v>(x), uy|y=0 = t/>(z);
б) ute = a2 Aw + cos x sin x ez,
w|t=o = ж eyx , wt|t=o =sinxe,/T ;
в) щ = uxx + uyy + sin ж sin у sin 2, w|t=o = 1»
14.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
uy = uxx + u + ж; 0 < х < оо, 0 < у < оо,
u(0,t/) = 0; wx(0,y) =0.
598
Задания для самоконтроля
14.14. Найти фундаментальное решение оператора L = dl + 4dx.
14.15. Построить функцию Грина задачи Дирихле для восьмой
части шара \г\ < 6, х > 0, у > 0, z > 0.
14.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в кольце а ^ г ^ 6, если u\r=a = 0, иг\г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
14.17. Методом потенциалов найти стационарное распределение
температуры внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса Ь при
условии, что на границе поддерживается температура
и^ ^ = \0, тг/2 < *>< Зтг/2, щ = const'
14.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром К(х, t) = -2 + 3(х - *), А = 1.
14.19. Решить интегральное уравнение
(р(х) = А / (cos х cos t + 2 sin 2x sin 2fc)<p(fc)dfc + cos x.
о
14.20. Построить резольвенту интегрального уравнения Фред-
гольма с ядром К(х, t) = xt при a = — 1, b = 1.
14.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения с
вырожденным ядром
1
4>(х) - A (xcht-t2 shx)(p(t)dt = 0.
-i
14.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
(р(х) = ехрх — / ехр(х — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 15
15.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
2у4их — хуиу = ху/и? + 1.
15.2. Найти решение задачи Коши
хих - и = 0, и\х=1 = у + 1.
Индивидуальные задания
599
15.3. Найти общее решение уравнения:
а) 16uxx + Suxy + uyy — 16ux — 4uy = 0;
б) x2uxx + 2xyuxy — Sy2Uyy — 2xux = 0.
15.4. Доказать, что уравнение продольных колебаний
конического стержня имеет вид
дх
Г/ х\2диЛ 1 / х\2д2и ГЁ
где и есть перемещение сечения стержня с абсциссой ж, а h - высота
конуса.
15.5. Вне круга 0 ^ г < Ъ найти гармоническую функцию,
удовлетворяющую граничным условиям
wr(&, <р) = sin 2(p.
15.6. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса Ь
с центром в начале координат и такую, что
и\г=ь = sin2 0sin(2<p — 7г/4) + sin 0 sin <p.
15.7. В полуполосе 0 < x < Z, t > 0 для уравнения utt = a2uxx
решить смешанную задачу
ux(0,t) = ux(l,t) = 0; u(x,0) = x; ut(x,0) = l.
15.8. Решить первую смешанную задачу для волнового
уравнения utt = 25Дм в прямоугольнике
u\t=o = ху(4 - х)(2 - у), ut\t=o = 0,
W|x=0 = li|y=0 = U|x=4 = W|y = 2 = 0.
15.9. Дан тонкий однородный стержень длины I = 3,
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение
температуры Цж, t) в стержне, если a = 4, концы стержня поддерживаются
при нулевой температуре, а начальная температура равна
Цх,0)=|
х3/3, 0 < х < 3/2;
3-х, 3/2<х<3.
15.10. Решить первую смешанную задачу для уравнения
теплопроводности щ = ЗбДм в круге 0 ^ г < 7, t > 0, если
w(r,0) = 49-r2, ii(7,fc) =0.
15.11. Решить смешанную задачу
щ — ихх — и = xt(2 — t) — cos t; 0 < x < 7г;
wx
t2, wx|x=»r=fc2, .w|t=0 = cos2x.
600
Задания для самоконтроля
15.12. Решить задачу Коши:
а) uXx + 2uxy — 3uyy = 0, w(x,0)=3x2, uy(x,0) — 0;
б) utt = a2uxx + sinu;x, w|t=0 = 0, ut\t=o = 0;
в) 4wt = Au + sin22, w|t=o = cos2t/exp(—x~).
15.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
ихх — uy +a2u = cos ж; 0 < ж < оо, 0 < у < оо,
w(0,y) =0; wx(0,y) =0.
15.14. Найти фундаментальное решение оператора
L = dl - 2дх + 1.
15.15. Пользуясь методом отражений, построить функцию
Грина задачи Дирихле для части пространства, заключенного между
двумя параллельными плоскостями г = 0иг = 1.
15.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в кольце а ^ г ^ 6, если м|г=а = 0, и\г-ь = 0. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонорми-
рованную систему собственных функций.
15.17. Методом потенциалов найти стационарное распределение
температуры внутри и вне бесконечного цилиндра радиусом Ь при
условии, что на границе поддерживается температура и\г-ь = sin <р.
15.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром
г./ ,ч 3 + cosx
K(x,t) = 2—^ .
v ' ; 3 + cosfc
15.19. Решить интегральное уравнение
2к
(р(х) = А / (sin х sin t + 3 cos 2x sin 2t)(p(t)dt + sin x.
о
15.20. Построить резольвенту интегрального уравнения Фред-
гольма с ядром К(х, t) = sin x cos t + cos 2x sin 2t при a = 0, b = 2ir.
15.21. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции однородного интегрального уравнения с
вырожденным ядром
ж/А
4>(х) — А I sin2 x(f(t)dt = 0.
о
15.22. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение
X
/
<р(х) = sin ж + I J\(x — t)(p(t)dt.
Индивидуальные задания
601
Вариант № 16
16.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
х uux + у uuy = х + у.
16.2. Найти решение задачи Коши
tgxwx +yuy = u, w|y=x = x3.
16.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) ихх + 10иху + 25wyy + ux + 5wy = 0;
б) 75urx + 20uxy + uyy = 0.
16.4. Поставить краевую задачу о малых продольных
колебаниях однородного упругого стержня, один конец которого закреплен,
а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости.
Сопротивлением среды пренебречь.
16.5. Боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого
Ь и высота /i, покрыта непроницаемым для тепла чехлом.
Температура нижнего основания поддерживается равной нулю, а
температура верхнего основания есть функция А (г2 — 2г6). Найти
стационарную температуру внутренних точек цилиндра.
16.6. Внутри сферы радиуса Ь происходит безвихревое
потенциальное движение несжимаемой жидкости. Найти закон этого
движения (т.е. скорость в каждой точке внутри шара), если известно,
что проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности шара в
точках границы равна Vq sin 20. Указание: v = grad w, u - потенциал
скорости.
16.7. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным
отклонением
Г 0, |х| ^ с;
Цж,0) = < ж + с, — с < х ^ 0;
^ —х + с, 0 < х < с.
Построить профиль струны для моментов tu = fcc/4a, к =0,5.
16.8. Однородная круглая мембрана радиуса R с центром в
начале координат и закрепленным краем совершает поперечные
колебания в среде без сопротивления. Определить колебания мембраны,
вызванные постоянной начальной скоростью v точек мембраны.
16.9. Решить смешанную задачу
ut = 9uxx; u(x,0) = 8sin(37rx) + 6 — 2х;
w(0,fc) =6, w(4,fc) = -2.
16.10. Начальная температура в однородном конечном цилиндре
0 ^ г < 6, 0^у>< 27Г, 0 < z < I равна A(b2 — r2)z. Определить
602
Задания для самоконтроля
распределение температуры в этом цилиндре в любой момент
времени t > 0, если верхнее основание поддерживается при нулевой
температуре, нижнее теплоизолировано, а на боковой поверхности
происходит теплообмен с внешней средой нулевой температуры.
16.11. Найти решение смешанной задачи
щ = —uxx + 17sin4fc sin6x;
36
u(x, 0) = 21 sin 12x + 57Г - 3x, w(0, t) = 57Г, u(7r, t) = 27Г.
16.12. Решить задачу Коши:
а) ихх + 2 cos х uxy — sin2 x uyy — sin xuy =0,
u\y=sinx = f(x), uy\y=sinx = <p(x);
б) utt = a2Aw + xe cos(3t/ + 4z); u\t=o = xycosz, ut\t=o = yzex;
в) ut = ЗДм + e ; u\t=o = sin(x — у — z).
16.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу ■
ut = uxx; 0 < х < 1, t > 0,
u(x,0) = x2; w(0,fc) = 27, w(l,fc) = 2fc + 1.
16.14. Найти фундаментальное решение оператора
L=— 3— 2
dx2 dx
16.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Дм = 0; u\z=o = cos x cos у, г > 0.
16.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в кольце а ^ г ^ 6, если ггГ|Г=а = 0, гг|г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
16.17. Для оператора Лапласа вычислить потенциал для шара
|х| < Ь с плотностью р = /з(|х|).
16.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
<р(х) = х- ex-l<p(t)dt.
16.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = \ f (№ + Vi)<p(t)dt
+ х2.
Индивидуальные задания
603
16.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = 1 + (2х — l)(2fc — 1)
при a = 0, Ь = 1.
16.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
2к
4>(х) -А / sin х cos t(p(t)dt = 0.
о
16.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
4>(х) = ехр(-4х) - 6 / ch4(x - t)(p(t)dt.
о
Вариант № 17
17.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
yuux — xuuy = eu.
17.2. Найти решение задачи Коши
xux - yuy = u2(x - Зу), w|x=i = .
17.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) uxx + 6uxy + 9uyy + ux + 3uy = 0;
б) 3uxx + 4wXy + Щу = 0.
17.4. Поставить краевую задачу об определении температуры
стержня 0 ^ х ^ I с теплоизолированной боковой поверхностью,
если его начальная (при t = 0) температура равна (р(х), а концы
стержня теплоизолированы.
17.5. Найти стационарную температуру внутренних точек
цилиндра с радиусом основания Ъ и высотой /i, если температура
его нижнего основания равна нулю, боковая поверхность свободно
охлаждается в воздухе нулевой температуры, а температура
верхнего основания постоянна и равна г/0.
17.6. Внутри сферы радиуса Ъ происходит безвихревое
потенциальное движение несжимаемой жидкости. Найти закон этого
движения (т.е. скорость в каждой точке внутри шара), если известно,
что проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности шара
в точках границы равна wocosfl. Указание: поставить задачу для
потенциала скорости w. Тогда v = gradw.-
17.7. Решить задачу о колебаниях струны, закрепленной на
концах х = 0, х = Z, если в начальный момент времени центру струны
604
Задания для самоконтроля
сообщается ударный импульс величины Р. Начальное отклонение
равно нулю.
17.8. Однородная круглая мембрана радиуса Ъ с центром в
начале координат и закрепленным краем совершает поперечные
колебания в среде без сопротивления. Определить колебания мембраны,
вызванные начальным отклонением /(г) = А(Ь2 — г2).
17.9. Решить смешанную задачу
ut = 6uxx; w(x,0) = 8sin(47rx) + 3 — 4х;
w(0,fc) =3, w(2,fc) = -5.
17.10. Определить температуру внутри шара радиуса 6, если на
поверхности происходит теплообмен по закону Ньютона со средой,
имеющей нулевую температуру, a u\t=o = /(г).
17.11. Найти решение смешанной задачи
щ = —uxx + 37sin6fc sin4x;
16
w(x,0) = 9sin8x + 57Г — 4x, w(0, fc) = 57Г, u(7r, fc) = 7г.
17.12. Решить задачу Коши:
а) Uxx - 2uxy + 4еу = 0, w|x=0 = <р(у), ux\x=0 = ф(у);
б) utt = a2(uxx +uyy); u\t=o = ut\t=o = (x2 + t/2)2;
_ 2_ 2
в) ut = uxx + uyy + cos t; u\t=o = xye x y .
17.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
ut = a uxx; x > 0, t > 0, w(0,fc) = 0; w(x,0) = щ = const.
17.14. Найти фундаментальное решение оператора
17.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Дм = е~ sinxcosy; w|z=o = 0, z > 0.
17.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в кольце а ^ г ^ 6, если мг|г=а = 0, мг|г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
17.17. Для оператора Лапласа вычислить объемный потенциал
шара |х| < Ъ с плотностью р = р0 = const.
17.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
/ (р(Ь)е*-'(1Ь = х.
о
Индивидуальные задания
605
17.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = А (х- l)(p(t)dt + х.
о
17.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = х — shfc при — 1 <
ж < 1, -1 <*< 1.
17.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
2w
(р(х) — А / sinxsint(p(t)dt = 0.
о
17.22. С поомщью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
(р(х) = cos ж + / J\(x ■
t)(p(t)dt.
Вариант № 18
18.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(и — у)2их + хииу = ху.
18.2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
хиих + хииу = ху
и проходящую через заданную кривую х2 +у2 = 1, на которой и = 1.
18.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 9ихх + 6мху + иуу — 9их — Зиу = 0;
б) 147ихх + 28иху + иуу = 0.
18.4. Внутри однородного и изотропного тела V происходит
свободный теплообмен. Поверхность тела теплоизолирована. Какому
уравнению и каким граничным условиям удовлетворяет
температура u(x,y,z,t) точек этого тела.
18.5. Найти стационарную температуру w(r, z) внутренних
точек цилиндра с радиусом основания Ь и высотой /i, если его
основания теплоизолированы, а температура боковой поверхности есть
заданная функция от z.
18.6. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса Ь
и такую, что
606
Задания для самоконтроля
[u + Wr]|r=6 = 1 + COS2 0.
18.7. Неограниченной струне сообщена начальная скорость
.(*.o) = {J"
w) = i Г,г(ж + с)/2с' \хх
< с;
начальное отклонение w(:c,0) = 0. Построить профиль струны для
моментов tu = kc/4a.
18.8. Найти свободные колебания круглой мембраны радиуса Ь,
закрепленной вдоль контура, если
u\t=o=b{l-r2/b2), ш|*=о=0.
18.9. Решить смешанную задачу
щ = Ъихх\ и(х,0) = 19sin(37ra:);
u(0,fc) =0, u*(l/2,fc) = 0.
18.10. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра
0 ^ г ^ Ь, если его начальная температура равна и = мо(1 — г2 /Ь ),
а на поверхности поддерживается нулевая температура.
18.11. Найти решение смешанной задачи
щ = -ихх + 17sin2fc sin6a:;
4
u(:c,0) = 22sin8:c — 57Г + 4ж, u(0,fc) = —5тг, м(тг, t) = — 7г.
18.12. Решить задачу Коши:
а) «xi + 2 cos х иху — sin х иуу — sin xuy =0,
w|y=sinx = х + cos ж, wy|y=sinx = sin ж;
б) utt = а2Ащ u\t=o = ut\t=o = cos y/x2 + у2 + z2;
в) wt = 2Aw + fccosrc; w|t=o = cost/ cos2.
18.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
utt = а2ихх; 0 < х < Z, t > 0, и(ж,0) = j4sin -^,
i4 = const, u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, ut(x,0) = 0.
18.14. Найти фундаментальное решение оператора
18.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Дм = 0; u|z=o =0(x-y), z>0.
Индивидуальные задания
607
18.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в шаре радиуса а, если u\r=a = 0. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормирован-
ную систему собственных функций.
18.17. Для оператора Лапласа вычислить объемный потенциал
шара \х\ < Ь с плотностью р = е~'х'.
18.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
<р(х)= / <p(t)dt + ex.
о
18.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = \ J 2ех+'<р(Ь)ЛЬ + ех.
о
18.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = sin(a: -|-1) при 0 ^
х < 2тг, 0 ^ t ^ 2тг.
18.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
2*
(х) -А I cos(a:
4>(х) - А / cos(a: + t)<p{t)dt = 0.
18.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
(р(х) = х3 + / sin(a: — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 19
19.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хуих + (х — 2u)uy = yu.
19.2. Найти решение задачи Коши
yux - xyuy = 2xu, w|x+y=2 = -.
19.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) uxx — 2uxy + uyy + 2ux — 2uy = 0;
б) 27uxx + 12uxy + Uyy = 0.
608
Задания для самоконтроля
19.4. Поставить краевую задачу для определения малых
отклонений точек струны при t = 0, если струна натянута с силой Fo и
находится в прямолинейном положении равновесия, а ее концы
неподвижно закреплены. В момент t = 0 точкам струны сообщаются
начальные отклонения и скорости.
19.5. Найти стационарное распределение температуры внутри
бесконечного кругового цилиндра радиуса Ь, если на его
поверхности поддерживается температура Asm(p (A = const).
19.6. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса Ь
с центром в начале координат и такую, что и\г=ь = cos0.
19.7. Найти вынужденные колебания струны с закрепленными
концами х = 0, х = Z, находящейся под воздействием силы тяжести
при отсутствии начальных возбуждений.
19.8. Методом разделения переменных решить задачу
о Г 1 Э ( 2du\ 2м 1 Л ^ ^ , А Л
мг(Ь, fc)=0, u(r,0)=-4r, wt(r,0) = 0, А = const.
19.9. Решить смешанную задачу
щ = 3wxx; u(x,0) = 3sin(57r:c);
w(0,fc) =0, wx(l/2,fc) =0.
19.10. Найти распределение температуры в бесконечном
однородном круглом цилиндре радиуса с, если начальная температура
равна Аг , а поверхность цилиндра поддерживается при
постоянной температуре щ.
19.11. Найти решение смешанной задачи
щ = —Uxx + 37cos6fc sin5a:;
25
u(x,0) = 10 sin 10ж — 5тг + 4ж, w(0,fc) = —5тг, м(тг, fc) = —тг.
19.12. Решить задачу Коши:
а) еуиху — иуу + uy = 0, u|y=o = — х /2, uy|y=o =
б) utt = a2(uxx +Uyy) + (x2 +t/2)ef; w|t=o=wt|t=0
в) wt = 8wxx; w|t=o = exp(—x2 — Ax),
19.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
иу = uxx + u + А; 0 < х < oq, 0 < у < оо,
w(0,y) = 0; ux(0,t/) = 0.
19.14. Найти фундаментальное решение оператора
da:3 dx2
sin ж;
0;
Индивидуальные задания
609
19.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Ли = 2[х2 + у2 + (z + l)2]"1; u\z=0 = у(1 + х2 + у2)"1, z > 0.
19.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в шаре радиуса а, если ur\r=a = 0. Написать условие
ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормирован-
ную систему собственных функций.
19.17. Для оператора Лапласа вычислить объемный потенциал
шара \х\ < Ь с плотностью р = е~'х'.
19.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
о
19.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = A (x + t- 2xt)(p(t)dt + х + х2.
о
19.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = ех * при a = 0,
6=1.
19.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
<р(х)-\ (4bx2\nt-9t2)nx)(p(t)dt = 0.
19.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
(х)= Jo(s)+ J
<р(х) = Jo (ж) + / Ji(x - t)(p(t)dt.
Вариант № 20
20.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
У
уих + uuy = —.
х
20.2. Найти решение задачи Коши
uu
х + (и — х )иу + х = 0, и\у=х2 = 2х.
610
Задания для самоконтроля
20.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) uxx + 2uxy + uyy + bux + buy = 0;
б) 12uxx + Suxy + Uyy = 0.
20.4. Поставить краевую задачу об определении температуры
стержня 0 ^ х ^ I с теплоизолированной боковой поверхностью,
если на концах х = 0 и х = I стержня начиная с момента t = 0
поддерживаются тепловые потоки q(t) и Q(t) соответственно.
20.5. Цилиндр, радиус основания которого Ъ и высота /i, имеет
температуру нижнего основания, равную нулю. Температура
верхнего основания задана функцией г2 — 26 — Ь2. Боковая поверхность
охлаждается в воздухе нулевой температуры. Найти стационарную
температуру внутренних точек цилиндра.
20.6. Концентрация некоторого газа на границе сферического
сосуда радиуса Ь с центром в начале координат равна f(0).
Определить стационарное распределение концентрации данного газа
внутри этого сосуда.
20.7. Решить задачу utt = uxx + 4u + 2sin62:c, 0 < x < тг, t > 0,
u*|*=o = ux\x=n = u\t=o = ut\t=o = 0.
20.8. Найти колебания закрепленной вдоль контура однородной
круглой мембраны радиуса Ъ с центром в начале координат,
вызванные постоянной начальной скоростью vq точек мембраны.
20.9. Решить смешанную задачу
ut = 7гьхх\ u(x,0) = 12costt:c; w(0, t) = wx(7, t) = 0.
20.10. Найти распределение температуры в бесконечном
однородном круглом цилиндре радиуса Ь, если начальная температура
равна Ат , А = const, а на поверхности цилиндра происходит
теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру.
20.11. Найти решение смешанной задачи
щ = —Uxx + 26 cos 5fc sin4a:;
16
u(x,0) = 24 sin 16ж — 4тг + 5ж, u(0, fc) = —4тг, и(тг, fc) = тг.
20.12. Решить задачу Коши:
а) Ау2ихх + 2(1 - у2)иху - Uyy - 2 (2их
и\у=о = (р(х), иу\у=о = ф(х);
б) utt = a uxx + sina;fc, u\t=o = ut\t=o = 0;
в) 2щ = uxx -\-Uyy-, u\t=o = cos xy.
20.13. С помощью интегрального преобразования Лапласа
решить задачу
-иу)=0,
Индивидуальные задания
611
щ = uxx; 0 < х < тг/2, t > О,
w|t=0 = cosz + ^; w|x=o = e_t, w|x=w/2 = 1.
20.14. Найти фундаментальное решение оператора
20.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Аи = 0; и\у=о = 0, w|z=o = e"4xsin5t/, у > 0, z > 0.
20.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^ж^а, О^у^Ь, 0 ^ 2 ^ с, если
w|x=0 = и|х=а = w|y=o = и\у=Ъ = u\z=0 = u\z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
20.17. Для оператора А — к2 вычислить потенциал для шара
\х\ < R с плотностью р = ро = const.
20.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром K(x,t) = ехр(ж2 — t ).
20.19. Решить интегральное уравнение
(р(х) - А / (sin(a: + t)(p(t)dt = 1.
20.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = 4xt — х2 при a = 0,
6=1.
20.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
о-»/
1
2\
<р(х) - X (2xt - 4xJ)<p(t)dt = 0.
20.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
7 f
(р(х) = cos5a: — - / sh(4(a: — t))<p(t)dt.
о
612
Задания для самоконтроля
Вариант № 21
21.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
. 2 . . 2
sm иих + tgиuy = cos и.
21.2. Найти решение задачи Коши
(у - и)их + (и - х)иу = х - у, и\у=-х = -х.
21.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) ихх — 2иху + иуу + 6их — 6иу = 0;
б) Зихх + 32иху + 64мУу = 0.
21.4. Поставить краевую задачу о малых поперечных
колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня в среде с
сопротивлением, пропорциональным скорости, при наличии непрерывно
распределенной вынуждающей поперечной силы. Концы стержня
закреплены.
21.5. Найти стационарную температуру u(r,z) внутренних
точек цилиндра с радиусом основания Ь и высотой h, если
температура нижнего основания равна нулю, боковая поверхность покрыта
непроницаемым для тепла чехлом, а температура верхнего
основания есть функция от г.
21.6. Найти закон стационарного распределения температуры
внутри однородного шара радиуса Ь, если на поверхности шара
поддерживается температура uq sin2 в. Найти решение в форме
интеграла Пуассона.
21.7. Решить смешанную краевую задачу utt = a2uxx, 0 < х < Z,
ux(0,t) = ux(l,t) = 0; и(х,0) = ж; ut(x,0) = 0.
21.8. Решить задачу: utt = Aw, 0<х<7г, 0<у<7Г, если
и\х=о = и\х=„ = и\у=о = и\у=„ = 0, ut=o = 3sina:sin 2t/, ut\t=o = 0.
21.9. Решить смешанную задачу
ut = 4ижаг; ii(a:,0) = 18cos(3tt:c) + 18cos(4tt:c);
ux(0,t) = ux(6,t) =0.
21.10. Найти закон остывания бесконечного цилиндра радиуса
Ь, если температура в начальный момент равна щ = Jo(air/b),
где a J - первый положительный корень бесселевой функции Jo (a).
На поверхности цилиндра поддерживается все время температура,
равная нулю.
21.11. Найти решение смешанной задачи
Индивидуальные задания
613
utt = —uxx +3cos2fc sin5a:;
25
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, u(0, t) = u(ir, t) = 0.
21.12. Решить задачу Коши:
а) uxx — uxy — 2ux — 2uy = —4, w|y=o = —ж, wy|y=o = x — 1;
б) ш* = 5Ди; w|t=o=0, wt|t=o = (2z + t/ + z)2;
в) щ = 15uxx; w|t=o = exp(—3x2 — 2x).
21.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
щ = uxx; 0<х<1, t > 0, u(x,0) = 8in(wx/l).
21.14. Найти фундаментальное решение оператора
L- — - —
dxA dx2
21.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Аи = 0 у > 0, z > 0;
и\у=о = О, u\z=Q = у(1 + х2 + У2)~3/2.
21.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде 0 ^. х ^i a, О^у^Ь, 0^2^ с, если
U*|*=0 = u|x=a = w|y=o = и\у=ь = U\z=0 = u\z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
21.17. Для оператора Лапласа вычислить объемный потенциал
шара \х\ < Ъ с плотностью р = р(\х\).
21.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром
21.19. Решить интегральное уравнение
1
(x)-\J(2x-
<р(х)- A (2x-t)V(t)dt = x/6.
21.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = 1 + xt при a = 0,
6=1.
21.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
614
Задания для самоконтроля
<р(х) - А / (5sfc3 + 4x2t)(p(t)dt = 0.
21.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
(р(х) = х4 - a / sh(a(x - t))(p(t)dt.
Вариант № 22 '
22.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(х + u)ux + (у + u)uy =х + у.
22.2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
xux + (xu + y)uy = u
и проходящую через заданную кривую х + у = 2м, ху = 1.
22.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) uxx + 14wxy + 49wyy + 2ux + 14uy = 0;
б) uxx + 4wxy + 3wyy = 0.
22.4. Поставить краевую задачу о малых поперечных
колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня, один конец
которого закреплен, а к другому приложена поперечная сила,
меняющаяся со временем по заданному закону.
22.5. Найти гармоническую функцию внутри кольца a < г < Ь,
удовлетворяющую условиям u(a,(p) = 0, u(b,(p) = cos<p.
22.6. Найти функцию, удовлетворяющую внутри шара 0 ^ г <
< тг/10 уравнению Гельмгольца Дм + 25w = 0 и принимающую на
границе заданное значение wr|r=»r/io = cos0.
22.7. Решить смешанную задачу для волнового уравнения utt =
= «хх в полуполосе 0 < х < 3/2, 0 < t < oo, если
ti(sc,0) = sc(a;-3/2), ut(x,0) = 0, w(0,fc) = w(3/2,fc) = 0.
22.8. Решить первую смешанную задачу utt = 4Ди, если
Ш=о = ху(2 - ж)(4 - у), ut\t=o = 0,
W|x=0 = W|y = 0 = W|x=2 = li|y=4 = 0.
22.9. Решить смешанную задачу
Индивидуальные задания
615
щ = Suxx; u(x,Q) = 29sin(27r:c);
w(0,fc) = w(8,fc) =0.
22.10. Найти закон выравнивания заданного осесимметричного
начального распределения температуры u\t=o = г2 в бесконечном
цилиндре радиуса 6, боковая поверхность которого
теплоизолирована.
22.11. Найти решение смешанной задачи
щ = —uxx + 50е~ * sin4a:;
16
u(x, 0) = 0, w(0, t) = и(ж, t) = 0.
22.12. Решить задачу Коши:
а) 3uxx — 2uxy + uyy = 0,
ii|x=0=0, ii*|*=o = у + cost/, |ж| < оо;
б) utt = 13 An; u|t=0 = s2+ t/2+г2, iit|t=0=0;
в) tit = Au + cos(x-y + z)] u\t=o = exp[-(x + y - z)2].
22.13. С помощью интегрального преобразования Лапласа
решить задачу
ихх — -jsUtt = 0; 0 ^ х ^ 7Г, t > 0,
ti|t=o = Asina:; ut|t=o=0, ii|x=o = u\x-n = 0.
22.14. Доказать, что функция
2тгд/а^-|г|2
- фундаментальное решение оператора Даламбера
а 2 л2 о2
22.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Ди = 0; ti|y=0 = 0, u\z=0=0(y-\x\).
22.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^ж^а, О^у^б, 0 ^ z ^ с, если
u\x=o = Ux\x=a = u\y=o = U\y=b = li|x=0 = u\x=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
22.17. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу
Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга.
616
Задания для самоконтроля
22.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром K(x,t) = ех~*.
22.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) = \ (3xt + 5x2t2)(p(t)dt + х2 + х.
22.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = x + t+l при a = — 1,
6=1.
22.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
(р(х) - А / (ЬхЬг + 4x2t + 3xt)<p(t)dt = 0.
22.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
(f(x) = sin2a: / sh3(a: — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 23
23.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(хи + у)их + (х + иу)иу = 1 - и2.
23.2. Найти решение задачи Коши
у2их + уииу + и2 = 0, и\х=у = .
X
23.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) ихх + 12иху + 36иУу +их + 6иу = 0;
б) Зихх + 20iixy + 25iiyy = 0.
23.4. Показать, исходя из уравнении Максвелла, что
потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона
с правой частью, пропорциональной объемной плотности заряда
р(ж, у, z). Дать физическую интерпретацию граничных условий
первого и второго рода.
Индивидуальные задания
617
23.5. Найти решение уравнения Лапласа в круговом секторе
О < г < 1, 0 < (р < 7г/2, на границе которого u(l,y>) = 8sin7<p,
u(r,0) = г^(г,тг/2) =0.
23.6. Найти функцию, удовлетворяющую внутри шара 0 ^ г < 7Г
уравнению Гельмгольца Аи + 4и = 0 и принимающую на границе
заданное значение wr|r=w = cos0.
23.7. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
utt = 4ихх на отрезке 0 < х < 1/2, 0 < t < oo, если
и(х,0) = ж(ж - 1/2), ш(ж,0) = 0, u(0, t) = w(l/2, fc) = 0.
23.8. Решить первую смешанную задачу utt = 25Дм, если
Щ=о = ху(Ъ - х)(2 - у), ut\t=o = 0,
и\х=0 = и\у=0 = U\x=5 = и\у=2 = 0.
23.9. Решить смешанную задачу
ut = 4iixx\ и(ж,0) = 12sin(37ra:) + 5sin(47r:c);
u(0,fc) = w(6,fc) =0.
23.10. Определить температуру шара радиуса Ъ с центром в
начале координат, если на поверхности шара происходит теплообмен
с внешней средой, а начальная температура зависит только от
расстояния точки до центра шара.
23.11. Найти решение смешанной задачи
щ = -Mix +24sin5fc sin2a:;
4
и(х, 0) = ut(x, 0) = 0, ti(0, t) = i*(7T, t) = 0.
23.12. Решить задачу Коши:
а) иху -j- уих + хиу + хуи = 0, у < 1,
w|x=3y = 0, их\х=зу = ехр(-5у2);
б) м«=6Дм, w|t=o=0, ut|t=o = {2x + y + 2z)2;
в) ut = 9uxx, u\t=o = exp(—Зж + x).
23.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
ut = a2uxx; x > 0, t > 0, u(0,fc) = wo = const; ti(:c,0)=0.
23.14. Доказать, что фундаментальными решениями оператора
Гельмгольца Ьц = д2 /дх2 + д2 /ду2 + к2 являются функции
£(х,у) = -±H™(kr), £(x,y) = \н™(кг),
где Hq '(fcr), I = 1,2 — функции Ханкеля, а г = уж2 + у2.
618
Задания для самоконтроля
23.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Аи =—а; и\г=ъ = 0, г = л/х2 + у2 + г2, г < 6.
23.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^ж^а, О^у^б, О^г^с, если
w|x=0 = w|x=0 = uy\y=o = и\у=ь = u\z=o = и\2=с = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
23.17. Потенциал простого слоя масс, распределенных по
окружности х2+у2 = 1, вне замкнутого круга х +у ^1 дается формулой
«<*.»> = £(!+£)•
Найти плотность масс.
23.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром К(х, t) = (2 + cos x)/(2 + cos t),
23.19. Решить интегральное уравнение
1
<р(х)-\[
(4xt-x2)(p(t)dt = x.
23.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = sin x cos t при а = 0,
6 = 2тг.
23.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
х) - A (xciLt-tshx)<fi(t)dt = 0.
<р{
23.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
2(р(х) — I ip(t)(p(x — t)dt = smx.
о
Вариант № 24
24.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(у + z)ux + (z + х)иу + (х + y)uz = и.
Индивидуальные задания
619
24.2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
хих + uuy = у
и проходящую через заданную кривую у = 2w, х + 2у = и.
24.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) ихх + 4мху + 4иуу — их — 2иу = 0;
б) ихх + Змху + 2мУу = 0.
24.4. Показать, что потенциал стационарного магнитного
поля при отсутствии электрического тока удовлетворяет уравнению
Лапласа.
24.5. Решить задачу Дирихле Aw = 0 с граничными условиями
u(l,<p) = llcos3<p, u^(r,0) = u(r,7r)=0 в круговом секторе О^г < 1,
0 < <р < 7Г.
24.6. Решить задачу для уравнения Пуассона
Аи = xz, м|г=2 = 0, и|г=з = 0
в шаровом слое 2 < г < 3.
24.7. Решить смешанную задачу для волнового уравнения utt =
= 9игх на отрезке, если
u(0,fc) = -6, w(3,fc) =6, и(х,0) =3sin(37r:c)-6+4:c, ut{x,Q) = 0.
24.8. Решить первую смешанную задачу utt = 6Дм, 0 < г < 20,
0 < t < oo, если
"(r'°) = l[1_(i)T u'(r'°) = 0' "(20,t)=0.
24.9. Решить смешанную задачу
щ = 16ихх; 0 < х < 2, t > 0;
«•(«^-{j1-,, !5«Si; «(о,*)=«(2,*но.
24.10. Начальная температура в однородном цилиндре радиуса
Ь и высоты /i, г ^ 6, (0 ^ (р ^ 27Г, 0 ^ 2 ^ /i) равна А(Ь — г )z.
Определить распределение температуры в этом цилиндре в любой
момент времени t > 0, если боковая поверхность и нижнее
основание цилиндра поддерживаются при нулевой температуре, а верхнее
основание теплоизолировано.
24.11. Найти решение смешанной задачи
щ = ихх + 26e~5t sin ж;
и(х,0) = ut(x,0) =0, tx(0,t) =u(7r,fc) =0.
24.12. Решить задачу Коши:
620
Задания для самоконтроля
а) %лху + 2ux + uy + 2w = 1, 0 < ж, у < 1,
w|x+y=i=a:, wx|x+y=i=a:;
б) w« = 14Ди, ii|t=0 = x2 - 2y2 + z2, wt|t=o = 0;
в) щ = uxx +uyy, u\t=o = cos(x + y).
24.13. Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа,
решить задачу
иу = uxx + 4w + ех; 0 < ж < оо, 0 < у < оо,
ti(0,y) = 0; tix(0,y) = 0.
24.14. Доказать, что функция
£(ж, fc) = J_(9(afc - \x\)eb{W-at)/2a
- фундаментальное решение оператора
2= — - 2<*- + ъ—-ъ--
dt2 a дх2 Эх adt'
где a, b > 0. Указание: Воспользоваться формулой
a+ioo
jl | C*P=*W, «>o.
a —too
24.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Аи = -ег; и\г=ь =0, г = у/х2 +у2 + z2, r <Ь.
24.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^ж^а, О^у^б, 0 ^ 2 ^ с, если
w|x=0 = w|x=o = ti|y=0 = Uy\y=b = u\x=o = U\z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
24.17. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу
Дирихле для уравнения Неймана внутри и вне круга.
24.18. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра
с ядром K(x,t) = ch.x/cht,
24.19. Решить интегральное уравнение
1
Индивидуальные задания
621
24.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = sin ж — sinfc при
a = 0, b = 27Г.
24.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
Ф) = J
(3xt + bx2t2)(p(t)dt + х2 + 2х.
24.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
<й(х) =2 ¥>(*M* - t)dt - - shx.
о
Вариант № 25
25.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
xux + yuy + (z + ii)iiz'= жу.
25.2. Найти решение задачи Коши
(у + 2u2)ux — 2x2uuy = х2, Чу=*2 = х-
25.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 16uxx + Suxy + uyy — Sux — 2uy = 0;
б) $uxx + 16iixy + 16iiyy = 0.
25.4. Поставить краевую задачу о движении слоя вязкой
жидкости между двумя параллельными плоскостями, если одна из них
в момент t = 0 начинает двигаться параллельно другой с
заданной скоростью, имеющей постоянное направление. Действием силы
тяжести пренебречь.
25.5. Решить задачу Дирихле An = 0 с граничными условиями
ii(l, (p) = 19 cos 7(p в круге 0 ^ г < 1, 0 ^ <р < 2ж.
25.6. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона
Au = xz, ti|r=i/2 = 1, ii|r=i = 1
в шаровом слое 1/2 < г < 1.
25.7. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
Utt = I6uxx на отрезке, если
u(0,fc) = 3, ii(2,fc) = 7, ii(x,0) =3 + 2ж, iit(x,0) = 127rsin(3*:c).
622
Задания для самоконтроля
25.8. Решить первую смешанную задачу Utt = HAti, 0 < г < 15,
О < t < oo, если
«(r,0) = i
1- (^) ], ut(r,0)=u(15,t) = 0.
25.9. Решить смешанную задачу
Ш = 9uxx; О < х < 4, t > 0;
«c.°) = {f-/a«, \%1%% «<м=«<4,*) = о.
25.10. Дан однородный шар радиуса Ь с центром в начале
координат. Найти распределение температуры внутри шара, если
внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а
начальная температура зависит только от расстояния от центра
шара, т.е. u\t=o = /(г).
25.11. Найти решение смешанной задачи
1 _6t
щ = —uxx + 37е sin7a::
49
ii(x, 0) = 0, ii(0, t) = u(ir, t) = 0.
25.12. Решить задачу Коши:
а) xyuXy + xux - yuy - u = 2t/, 0 < x, у < oo,
ti|xy=i = 1 - У, щ\ху=\ = x - 1;
б) ii«=4Aii, ii|t=0=0, ut\t=o = (x +y - 2zf\
в) tit = Aii, u\t=o = cos xt/sin 2.
25.13. С помощью интегрального преобразования Лапласа
решить задачу
ut=a2uxx; х > 0, t>0, ii(0,t) = (p(t); u(x,0) = 0.
25.14. Доказать, что функция £(ж, t) = —0(fc)0(—x)eat+/9x —
фундаментальное решение оператора
L = тг~^ а- о—- + об,
dxdt дх dt
где Ь > 0. Указание: Воспользоваться формулой
a-fioo
Л [
2жг J
,рт
м / P-* = »W' a>0-
a —100
25.15. С помощью функции Грина найти решение задачи
Дирихле
Индивидуальные задания
623
Aii = 0; ii|x=0 = 0, ii|y=0 = 1, х > О, у > 0.
25.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^х^а, O^t/^6, O^z^Jc, если
ti|x=0 = ti|x=o = li|y=0 = Щ\у = Ъ = U\z=0 = li|z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
25.17. Найти потенциал в точке, лежащей на оси круглого диска
радиуса Д, если на нем распределен простой слой с плотностью
р = г = yjx2 + у2.
25.18. Найти резольвенту для интегрального уравнения Воль-
терра с ядром K(x,t) = а*""*, (а > 0).
25.19. Решить интегральное уравнение
<p(x)-J
2к
sin x cos t(p(t)dt = cos 2x.
о
2 j. _A2
25.20. Найти резольвенту для ядра К(х, t) = x t — xt при
25.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
it
V{x) = \j
(х sin t + cos x)(p(t)dt + 2ж + 1.
25.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
(р(х) = х5 - sh(x - fc)y>(fc)<fr.
о
Вариант № 26
26.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
(и - х)их + (и - у)иу - zuz = х +у.
26.2. Найти решение задачи Коши
(х — и)их + (у — и)иу = 2ti, li|y=*-2 = 1 — 2х.
26.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
624
Задания для самоконтроля
а) иху + иуу = 0;
б) ихх + 10иху + 25iiyy + 4их + 20иу = 0.
26.4. Поставить краевую задачу для определения силы и
напряжения переменного тока вдоль тонкого провода с непрерывно
распределенными по длине сопротивлением Д, емкостью С,
самоиндукцией L и утечкой (7, если один конец провода заземлен, а к
другому приложена ЭДС E(t). Начальные ток и напряжение равны
i(x,0) = f(x),V{x,0) = F{x).
26.5. Доказать, что функция и(х,у,з), гармоническая в области
V, ограниченной поверхностью 5, удовлетворяет соотношению
/К-//-в«
26.6. Найти стационарное распределение температуры внутри
бесконечного кругового цилиндра радиуса 6, если на поверхности
цилиндра поддерживается следующая постоянная температура:
нулевая в тех точках, где е < <р < 27Г, и равная 2iruo/e в тех точках,
где 0 < <р < е. Здесь е - весьма малое положительное число.
26.7. Провод длины Z, по которому течет переменный ток,
покрыт изоляцией, при которой утечка G = 0. Кроме того,
сопротивление R = 0. Начальный ток в проводе г(х,0) = 0, начальное
напряжение V(x,0) = E sin ' m+v?rar ? Где m _ заданное натуральное
число. Левый конец провода ж = 0 изолирован, а правый х = I
заземлен. Найти силу тока в каждой точке провода в любой момент
времени.
26.8. Найти поперечные колебания круглой мембраны с
закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным
распределением отклонений и скоростей, считая, что среда
оказывает сопротивление, пропорциональное скорости.
26.9. Решить смешанную задачу
ut = ихх + -и*, 0 < х < 1,
х
|ti(0,*)| <oo, ii(l,fc)=0, ii(x,0)= J0(a?x),
где a J - первый положительный корень уравнения Jo (a) = 0.
26.10. Найти температуру параллелепипеда 0<х <q, 0 < у <р,
0 < z < Z, если его начальная температура является произвольной
функцией ж, у, 2, а температура поверхности поддерживается
равной нулю.
26.11. Решить смешанную задачу
ut = ихх - 2их + х + 2fc, 0 < х < 1, t > 0,
ii(0, fc) = fc, ii(l,fc) = t, ii(x,0) = ex sin7rx.
26.12. Решить задачу Коши:
Индивидуальные задания
625
а) хихх + (х + y)uxy + yuyy = О,
u|y=i/* = х , ii*|y=i/x = 2ж ;
б) 4у2ихх + 2(1 - t/2)ii*y - liyy - У 2 (2цж - му) = О,
ii|y=o = ¥>(х), iiy|y=o = ф(х);
в) ut=3Ati + e2t, ii|t=o = sin(x — у — z).
26.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
иу = uxx + u + cos x, 0 < x < oo, 0 < у < oo,
Ц0,у) =е"3у, и*(0,у) =0.
26.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора
Шрёдингера Ls = i-щ + ^у является функция
2\/тг*
26.15. С помощью функции Грина решить краевую задачу
у"+У = х, у(0) = у(тг/2) = 0.
26.16. Решить задачу на собственные- значения оператора
Лапласа в параллелепипеде 0 ^ х ^ а, О^у^Ь, 0 ^ 2 ^ с, если
tl|ar=0 = ti|a.=e = ti|y=0 = 1*|у=Ь = UZ\X=0 = li|z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
26.17. Найти и(хху,х) - плотность диффундирующего
вещества в стационарном ^процессе при условии, что источник
вещества отсутствует и коэффициент диффузии D = const, для z > 0,
tix|z=0 = Uo = COnst.
26.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение
о
26.19. Решить интегральное уравнение
1
2
•m-h/S^*-1-"
26.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = sin(x — 2fc) при
a = 0, b = 27Г.
626
Задания для самоконтроля
26.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
о
26.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
tp(x) = sin ж + I (х — t)(p(t)dt.
о
Вариант № 27
27.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
уих — Ахиу = 0.
27.2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
3.22 3
ху их + х и иу = у и
и проходящую через заданную кривую х + и3 = 0, у = и2.
27.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 6ихх + Ъиху + иуу = 0;
б) ихх + 4иху + Аиуу + Зих + 6иу = 0.
27.4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях
тяжелой струны длины I относительно вертикального положения
равновесия, если ее верхний конец закреплен, а нижний свободен.
27.5. Показать, что если u(x,y,z) - гармоническая в области V,
ограниченной поверхностью 5, то
S
27.6. Найти распределение потенциала электростатического
поля ii(x,y) внутри прямоугольника 0 < ж < р, 0 < у < д, если
потенциал вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей на оси
Ох, равен Vo, а три другие заземлены. Предполагается, что внутри
прямоугольника нет электрических зарядов.
27.7. Провод длины Z, по которому течет переменный ток,
покрыт изоляцией, при которой утечка G = 0. Кроме того,
сопротивление R = 0. Начальный ток в проводе г(х,0) = 0, а начальное
напряжение V(x,0) = E sin ' "V^/'**» где га - заданное натуральное
Индивидуальные задания
627
число. Найти силу тока в каждой точке провода в любой момент
времени, если оба конца провода изолированы.
27.8. Найти уравнение колебаний в области, представляющей
собой клин, угол раствора которого равен 7г/2, если заданы
однородные граничные условия первого рода, а также начальная скорость
и отклонение.
27.9. Решить смешанную задачу
ut = 4uxx, 0 < х < Z, t > 0,
ii(0, t) = u(l, t) = iio, ti(x, 0) = 0.
27.10. Решить задачу об остывании толстой сферической
оболочки ri ^ г ^ го, на внешней и внутренней поверхностях которой
поддерживается температура, равная нулю. Начальная
температура оболочки равна u\t=o = /(г, <р,0).
27.11. Решить смешанную задачу
= иХх Л—Ux г + J\ (A3 х) sin fc, 0 < х < 1, t > 0,
х х2
|ii(0,fc)| < 00, ti(l,i) = 0, ii(x,0) = 2Ji(aJx),
где a J, - n-й положительный корень уравнения J\ (a) = 0.
27.12. Решить задачу Коши:
а) t/iix* + х(2у - l)iixy - 2x2uyy ux = 0,
х
u\y=o = x , iiy|y=o = l;
б) lit = 8Ali + t2X2, li|t=0=y2, iit|t=0=^2;
в) lit = uXx +Щу + sin fc sin ж sin у, ii|t=o = 1.
27.13. С помощью преобразования Лапласа решить смешанную
задачу
iixx litt = 0, 0 ^ х ^ Z, t > 0,
a
7ГХ
ii(x,0) = Asin—, iit(x,0) = 0, ii(0,fc) = ii(Z,fc) =0.
27.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора
Шрёдингера
7 *а , & л
Ls=^+2^A"
является функция
с (^ *\ i0(t) ( то \п*2 (.то 2 «гп\ _ 0„
где п - любое целое число.
27.15. С помощью функции Грина решить краевую задачу
628
Задания для самоконтроля
ху" + У = х, у(1) = у(1) = 0.
27.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в параллелепипеде О^х^а, O^t/^6, O^z^c, если
li|*=0 = U\x=a = li|y=0 = t*|y=6 = li|z=0 = liz|z=c = 0.
Написать условие ортогональности собственных функций задачи.
Найти ортонормированную систему собственных функций.
27.17. Найти и(ж,у,ж) - плотность диффундирующего
вещества в стационарном процессе при условии, что источник
вещества отсутствует и коэффициент диффузии постоянен, для z > 0,
u*|z=o = sign ж.
27.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение
ф) = еж* + fex*-'\(t)dt.
о
27.19. Решить интегральное уравнение
4>(х) Н / [cos(x + t) + cos(x — t)](p(t)dt = cos ж.
2тг J
0
27.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = х sin t + sin 2x при
a = —7Г, b = 7Г.
27.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения с вырожденным ядром
1
(р(х) = А(3х - 2) / t(p(t)dt.
27.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
X
¥>(*) = *+! [{x-t)2<p(t)dt.
о
Вариант № 28
28.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
уих + 4xuy = 4х — 2у.
28.2. Найти решение задачи Коши
хих - 2уиу = х2 + 4у2, ii|y=2 = х2.
Индивидуальные задания
629
28.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 3uxx + Suxy + 5wyy = 0;
б) 9uxx + 6uxy + uyy + 123iix + 4uy = 0.
28.4. Поставить краевую задачу о нагревании полу
ограниченного стержня, если конец стержня горит, причем фронт горения
распространяется с постоянной скоростью vo, а температура
горения <p(t) известна.
28.5. Установить, для каких функций д(х,у):
а) д(х,у) = у-А; б) д(х,у) = х2 + Ау + В;
в) д(х,у) = 2ху; г) д{х,у) = х2 - Ay2 +B
правильно поставлена вне круга радиуса Ь задача Неймана
Ди(ж,у) = 0, Ъ < г < оо, г = ^/х2 + у2,
бИг=ь=^Х,^'г=ь' М*'^' <0°*
28.6. Найти распределение потенциала электростатического
поля и(х,у) внутри коробки прямоугольного сечения —а < х < а,
—Ь < у < Ь, две противоположные грани которой ж = а и ж = — а
имеют потенциал Vo, а две другие у = —6, у = Ь заземлены.
28.7. В начальный момент времени напряжение во всех точках
провода длины I одинаково и равно Ео, а ток равен нулю.
Сопротивление Д, самоиндукция L, утечка за единицу времени G и емкость С
связаны соотношением R/L = G/C («линия без искажений»).
Найти напряжение V(x, t) в любой момент времени, если левый конец
провода заземлен, а правый изолирован.
28.8. Найти функцию ii(p, <p, fc), характеризующую колебания
круглой мембраны под действием импульса, сосредоточенного в ее
центре.
28.9. Решить смешанную задачу
2
щ = uxx Н—iix, 0 < х < 3, t > 0,
х
|ii(0, fc)| < оо, ii(3, fc) = 0, ii(x, 0) = fc.
28.10. Между двумя полыми цилиндрами бесконечной длины
находится вязкая жидкость. В момент времени t = 0 внешний цилиндр
начинает вращаться с угловой скоростью ш = const. Определить
скорость движения жидкости.
28.11. Решить в полуполосе 0 < х < 7г/2, t > 0 смешанную
задачу
ut = lixx + 6w + 2t(l — 3t) 4- 2 cos x cos 2x — 6x,
iix(0, t) = 1, ii(7r/2, fc) = t2 + 7г/2, и(ж, 0) = x.
630
Задания для самоконтроля
28.12. Решить задачу Коши:
а) уихх - (х + у)иху + хиуу = 0, ii|y=o = ж3, иу|у=0 = 0;
б) utt = ЗДи + 6fce sinycosz,
ii|t=0 = ех+у cos 2v2, wt|t=o =e y+4zsin5:c;
2 2
в) lit = Uxx + tiyy + cos fc, ii|t=o = #ye * y .
28.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
Uy = uxx + u + 3, a: > 0, у > 0, ti(0,y) = ux(0,y) = 0.
28.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора
д2 д д
L= — 2—-2--+4
dxdt дх dt
является функция €(x,t) = —0(fc)0(—ж)е2*х+^.
28.15. С помощью функции Грина решить краевую задачу
у" + 7Г2у = COS 7ГХ, у(0) = у(1), у'(0) = t/'(l).
28.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в шаровом слое а ^ г ^ 6, если u\r=a = 0, и\г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
28.17. Найти и(х,у,х) - плотность диффундирующего вещества
в стационарном процессе при условии, что источник вещества
отсутствует и коэффициент диффузии постоянен, для у > 0, z > 0,
—оо < х < оо, и(х, 0, z) = w(x, у, 0) = щ = const.
28.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
(р(х) = хех - / ех~'(р(Ь)(1Ь.
о
28.19. Решить интегральное уравнение
1
4>(х) — 7Г / (1 — х)sin2irt(p(t)dt = -(1 — х).
о
28.20. Найти резольвенту для ядра
K(x,t) = x(l-lt)
при a = 0, Ъ = 1.
28.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения
Индивидуальные задания
631
п/4
(f(x) = А / sin2 x(p(t)dt.
о
28.22. С поомщью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
W
(p(t)(p(x — t)dt.
Вариант № 29
29.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
2хих + (у — 2х)иу = 4х2.
29.2. Найти решение задачи Коши
. ХУ i 2 . .
29.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) 4ихх + 1Ъиху + 14иуу = 0;
б) 16ихх + Suxy + uyy + 12wx + 3wy = 0.
29.4. Неограниченный стержень с постоянным поперечным
сечением получен непосредственным соединением полу ограниченных
однородных стержней с различными коэффициентами
теплопроводности и температуропроводности. Поставить задачу об
определении температуры в этом стержне. Поверхность стержня считать
теплоизолированной.
29.5. Показать, что ограниченная гармоническая вне круга
\г\ = Ь функция и(х,у) представляется формулой
"(*>!/) = Х)
cxk cos ку> + 0k sin k(p
fc = 0
r = \z\, <p = arctg2, z = x + it/.
29.6. Найти стационарное распределение температуры w(a:,y) в
бесконечно длинном брусе квадратного сечения, три грани которого
поддерживаются при нулевой температуре, а на четвертой
поддерживается постоянная температура u(x,a) = щ.
29.7. Струна длиной I помещена в среду, которая оказывает
сопротивление, пропорциональное скорости движения. Найти закон
поперечных колебаний струны с граничными условиями первого
рода и произвольными начальными условиями.
632
Задания для самоконтроля
29.8. Найти функцию Цж, у, fc), характеризующую колебания
прямоугольной мембраны под действием импульса, сосредоточенного в
произвольной точке этой мембраны.
29.9. Решить смешанную задачу
2
щ = ихх Н—мх, 0 < х < 2, t > О,
х
|u(0,fc)|<oo, w(2,fc) = w0, u(s,0)=0.
29.10. Решить задачу об остывании бесконечной
цилиндрической трубы, на внешней и внутренней поверхностях которой
происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. В
начальный момент труба была равномерно нагретой.
29.11. Решить смешанную задачу
Ut — UXx — U = Xt(2 — t) + 2 COS fc, 0 < X < 7Г, t > 0,
ux(0, fc) = fc2, wr(7T,fc) = fc2, w(a:,0) = cos 2ж.
29.12. Решить задачу Коши:
х2
а) eyiixy - uyy + uy = 0, ii|y=o = ——, uy\y=o = - sin x;
б) utt=9Au, u\t=o = ut\t=o = (x2 +y2 + z2f\
в) ut = 2Au + fccosa:, u|t=o = cost/cosz.
29.13. Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа,
определить температуру и(х,у) в стержне при t > 0, если стержень
полубесконечный и w(oo, fc) = 0, w(0, fc) = <£(fc). Начальная температура
стержня равна нулю.
29.14. Доказать, что фундаментальным решением оператора
является функция
g(«,t) = g(at,~|a;|)J.(^V^r^).
29.15. С помощью функции Грина решить краевую задачу
t/"-t/=2shl, у(0) = у(1) = 0.
29.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в шаровом слое а ^ г ^ 6, если ur\r=a = 0, и\г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
29.17. Потенциал простого слоя масс, распределенных по
окружности х2+у2 = 1, вне замкнутого круга х +у ^ 1 дается формулой
Индивидуальные задания
633
«<..»> = £(!+£)•
Найти плотность масс.
29.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
ф) = 2*2+2* + J2'2-ti+\{t)dt.
О
29.19. Решить интегральное уравнение
1
**)-¥! *"*'*
(t)dt :
29.20. Найти резольвенту для ядра K(x,t) = a:sin(27rfc) при
a = 0, Ъ = 1.
27.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения
4>(х) = А / (xsht — tchx
)<p(t)dt.
27.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
/
Jo (ж — t)(p(t)dt = sin ж.
о
Вариант № 30
30.1. Найти общее решение уравнения в частных производных
первого порядка
хуих + (4ж — 2u)uy = t/w.
30.2. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
xux — yuy = u2(2x — Зу)
и проходящую через заданную кривую х = 1, уи + 1 = 0.
30.3. Найти общее решение уравнения, приведя его к
каноническому виду:
а) Зихх + 14иху + 8муу = 0;
б) 4ихх + 20iixy + 25uyy + 4ux + 10uy = 0.
30.4. Поставить задачу об обтекании неподвижного
бесконечного цилиндра, если на бесконечности скорость жидкости равна vo.
30.5. Найти условие, при соблюдении которого в круге х2 +у2 =
= г2 <Ь2 правильно поставлена задача Неймана
634
Задания для самоконтроля
Ati(rc,y)=0, 0^г<6, -£-
=ь = ^,у)|Г=ь;
а) д{х,у)=А; б) д(х,у) = 2х2 + А;
в) д(х,у) = 2ху; г) д{х,у) = Ау2 - В.
30.6. Определить собственные колебания мембраны, имеющей
форму кругового сектора г = у/х2 + у2, г ^ 6, 0 ^ ^> ^ ^>о, если его
граница закреплена.
30.7. Найти колебания струны с закрепленными краями,
помещенной в среду с сопротивлением, пропорциональным скорости
движения. Начальные скорости равны нулю, а первоначальное
отклонение задается выражением
, m Г Ах, 0<х< 1/2;
"(*'°) = 1 А(1-х), 1/2<х<1
30.8. Решить уравнение колебаний в области, представляющей
собой клин, радиуса 6, угол раствора которого равен тг/3, если
заданы однородные граничные условия второго рода, а также
начальные скорость и отклонение.
30.9. Решить смешанную задачу
ut =9(uxx + -ux\ 0 < ж < Z, fc>0,
|w(0,fc)| < oo, (ux +u)|x=i =0, u(s,0) = x2.
30.10. Между двумя полыми цилиндрами бесконечной длины
находится вязкая жидкость. В момент времени t = 0 внутренний
цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ш = — const.
Определить скорость движения жидкости.
30.11. Решить смешанную задачу
Utt=Uxx, 0 < X < 7Г, t > 0,
u(0,fc) = fc2, w(7r, fc) = fc2, и(ж,0) = sin ж, wt(a:,0)=0.
30.12. Решить задачу Коши
а) ихх + 2cosxuxy — sin2 жuyy — sinxuy = 0,
u\y=sinx = x + cos ж, iiy|y=sinx = sin ж;
б) wtt = 4Au + xe* cos(3t/ + 4г),
w|t=o = zt/cos2, ut\t=o = yzex;
в) 8ut = uxx + wyy + 1, w|t=o = e"(a?_y) .
30.13. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
uy = uxx + u + ex, x > 0, у > 0, .w(0,y) = ux(Q,y) = 0.
30.14. Найти фундаментальное решение оператора
Индивидуальные задания
635
L= — -2— + 1.
dx2 dx
30.15. С помощью функции Грина решить краевую задачу
ху" + У = х2, у(1) = у(тг/2) = 0.
30.16. Решить задачу на собственные значения оператора
Лапласа в шаровом слое а ^ г ^ 6, если u\r=a = 0, иг|г=ь = 0. Написать
условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ор-
тонормированную систему собственных функций.
30.17. Для оператора Лапласа вычислить объемный потенциал
шара х2 + у2 + z2 < Ъ2 с плотностью р = ехр(—^/ж2 + у2 + z2).
30.18. Методом дифференцирования решить интегральное
уравнение х
<р(х) = / <p(t)dt + е* + 1.
о
30.19. Показать, что для уравнения
X
<р(х) = f{x) + J К{х- t)<p(t)dt
о
все повторные ядра и резольвента также зависят от разности (x — t).
30.20. Доказать, что если ядра L(x, t) и М(ж, t) ортогональны, то
резольвента ядра К(х, t) = L(x, fc) + M(ж, t) равна сумме резольвент
ядер L(x,t) и M(a:,fc).
30.21. Найти характеристические числа и собственные функции
для однородного интегрального уравнения
1
|/(5
4>(х) - \(3х - 2) / (ЪхЬ3 + Ах2 + 3sfc)y>(fc)<fc = 0.
30.22. С помощью преобразования Лапласа решить
интегральное уравнение
fe2^-t)4>(t)dt = x2ex
Список литературы
1. Анго А. Математика для электро и радиоинженеров. - М.:
Наука, 1964. - 772 с.
2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической
физики. - М.: Наука, 1969. - 288 с.
3. Арсенин В.Н. Математическая физика. Основные уравнения и
специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 431 с.
4. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - М.: Наука,
1965. - 300 с.
5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра.
Ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1966. - 296 с.
6. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье.
- М.: Наука, 1967. - 300 с.
7. Белов В.В., Воробьев Е.М. Сборник задач по дополнительным
главам математической физики. - М.: Высшая школа, 1976. -
272 с.
8. Бицадзе А.В., Калинченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики. - М.: Наука, 1981. - 312 с.
9. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической
физике. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.
10. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по
математической физике. - М.: Наука, 1972. - 688 с.
11. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. - М.:
Изд-во МГУ, 1989. - 160 с.
12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.:
Наука, 1981. - 512 с.
13. Владимиров B.C. Сборник задач по уравнениям
математической физики. - М.: Наука, 1981. - 270 с.
14. Воробьев Е.М., Дубнов В.Л., Маслов В.П. Уравнения
математической физики. - М.: Из-во МИЭМ, 1973. - 136 с.
15. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов
и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
16. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в
частных производных. - Л.: ОНТИ-ГТТИ, 1934. - 360 с.
17. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. - М.: Высшая школа, 1980. -
366 с.
18. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы):
Ч. I. - М.: Высшая школа, 1980. - 280 с.
19. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М.
Математический анализ (специальные разделы): Ч. II. - М.: Высшая
школа, 1980. - 296 с.
20. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный
курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1976. - 400 с.
Список литературы
637
21. Комеч А.И. Практическое решение уравнений
математической физики, - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 156 с.
22. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные
уравнения математической физики, - М.: Физматгиз, 1962. -
712 с.
23. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1975. - 304
с.
24. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные
уравнения. - М.: Наука, 1976. - 216 с.
25. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир,
1964. - 832 с.
26. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -
М.: Наука, 1973. - 407 с.
27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука,
1987. - 248 с.
28. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа. - М.: Наука, 1981.
- 384 с.
29. Линейные уравнения математической физики. 3-е изд. / Под
ред. С.Г. Михлина. - М.: Наука, 1964. - 368 с.
30. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения
математической физики. - М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1996. - 368 с.
31. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных
производных. - М.: Изд-во РУДН, 1997. - 446 с.
32. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. - М.: Наука, 1983. - 424 с.
33. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968.
- 576 с.
34. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.
- М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.
35. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. - М.:
Атомиздат, 1972. - 400 с.
36. Ольсон Г. Динамические аналогии. - М.: ИЛ, 1947. - 196 с.
37. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической
физики. - М.: Наука, 1981. - 192 с.
38. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных.
- М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.
39. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. -
М.: Изд-во МГУ, 1984. - 136 с.
40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. - 800 с.
41. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. - 752 с.
42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1986. - 800 с.
43. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по
математической физике. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.
638
Список литературы
44. Смирнов В.М. Курс высшей математики. - Т. 4. - М.: Наука,
1953. - 812 с.
45. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.
- М.: Наука, 1975. - 128 с.
46. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука,
1966. - 444 с.
47. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа
в математической физике. - М.: Наука, 1988. - 333 с.
48. Терпугова Н.С. Методы математической физики. Ч. 1. - Томск:
Изд-во ТГУ, 1984. - 144 с; Ч. 2. - Томск: Изд-во ТГУ, 1985. -
172 с.
49. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г.
Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985. — 232 с.
50. Тихонов А.Н., Иванов М.М., Лаврентьев М.М. Некорректно
поставленные задачи // Дифференциальные уравнения с
частными производными. - М.: Наука, 1970. - С. 224-234.
51. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
52. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -
М.: Наука, 1980. - 352 с.
53. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики (типовые расчеты). - М.: Высшая школа,
1983. - 112 с.
Предметный указатель
задача
Дирихле, 121
Коши, 119
для уравнений Гамильтона-
Якоби, 21, 42
обобщенная, 128, 419
уравнение волновое, 78
уравнение
теплопроводности, 99
Неймана, 121
Штурма-Лиувилля, 116,
121, 129
краевая, 120
уравнение волновое, 79
уравнение
теплопроводности, 101
смешанная, 120
уравнение волновое, 79
уравнение
теплопроводности, 99
интеграл
Дини, 198
Пуассона
первой краевой задачи,
197
оператор
Гельмгольца, 127
Даламбера, 128
Лапласа, 127"
волновой, 128
теплопроводности, 127
поверхность
Ляпунова, 163
преобразования интегральные,
555
Лапласа, 555
Мелина, 555
Фурье, 555
Ханке ля, 556
принцип
Дюамеля, 434
максимума, 156, 459
639
пропагатор, 150
редукция, 170
решение
классическое, 125, 132
обобщенное, 125
общее, 4
фундаментальное, 125
ряд
Неймана, 484
Фурье, 131
система
Гамильтона, 20
уравнений
первый интеграл, 7
характеристическая, 7,
14, 15
собственные
значения, 121, 129
функции, 121, 129, 463
соотношения коммутационные,
109
теорема
Стеклова, 130, 520
Якоби, 44
о единственности, 300, 460
о среднем, 156
об экстремуме, 156
уравнение
Абеля, 549
Вольтерра, 464
Гамильтона-Якоби, 19
полный интеграл, 43
Гельмгольца, 114,117, 146
Даламбера, 114
Дирака, 111
. Клейна-Гордона, 111,118,
429
Пуассона, 115
Фредгольма, 462
Шрёдингера, 108,110, 116,
468
640
Предметный указатель
в частных производных
второго порядка, 55
дифференциальное, 3
задачи Коши, 9, 15
первого порядка, 5
поверхность Коши, 15
волновое одномерное, 78
гиперболического типа
вторая каноническая
форма, 59
первая каноническая
форма, 58
движения идеальной
жидкости, 94
диффузии, 103
интегральное, 462
линейное, 462
параметр, 463
ядро, 462
малых поперечных
колебаний струны, 77
параболического типа
каноническая форма, 60
переноса, 93, 107
телеграфное, 85
теплопроводности, 98,104,
105
эллиптического типа
каноническая форма, 59
условия
Дирихле, 120
Зоммерфельда, 117
Неймана, 120
Робина, 120
граничные, 78, 99,101,120
уравнение
теплопроводности, 106
формула
Грина, 145, 154
Даламбера, 290
Дини, 198
Дюамеля, 430, 434, 452
Кирхгофа, 388, 392
Пуассона, 396, 397, 452
функция
Грина
задачи Коши, 135,136,
425, 450
краевой задачи, 143
смешанной задачи, 135,
139, 345, 439
уравнения Гельмголь-
ца, 147
уравнения Лапласа, 152
источника, 143, 208
ядро итерированное, 483
Содержание
641
Содержание
Часть IV. Уравнения математической физики 3
Глава 1. Уравнения в частных производных
первого порядка 3
Введение 3
1. Линейные уравнения в частных производных
первого порядка 5
2. Задача Коши для линейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка 14
3. Уравнение Гамильтона-Якоби 19
3.1. Задача Коши для нестационарного уравнения
Гамильтона-Якоби 20
3.2. Решение задачи Коши с помощью лагранжевых
поверхностей* 36
3.3. Задача Коши для стационарного уравнения
Гамильтона-Якоби* 41
3.4. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби 43
Глава 2. Приведение уравнений второго порядка
к каноническому виду 55
4. Классификация уравнений второго порядка 55
5. Каноническая форма дифференциальных уравнений
второго порядка с двумя независимыми переменными 58
Глава 3. Уравнения с частными производными
в физических задачах 74
6. Линейная цепочка 74
7. Уравнения колебаний струны 75
8. Уравнение продольных колебаний струн и стержней 81
9. Уравнения электрических колебаний
в проводах (телеграфные уравнения) 84
10. Уравнение поперечных колебаний мембраны 87
11. Уравнения гидродинамики и акустики 92
12. Уравнение распространения тепла в стержне 97
13. Уравнение диффузии и теплопроводности
в пространстве 102
14. Уравнения переноса 106
15. Уравнения квантовой механики 108
16. Уравнения Максвелла 112
642
Содержание
17. Стационарные физические процессы
и уравнения эллиптического типа 113
17.1. Стационарное волновое уравнение 114
/17.2. Уравнения электростатики и магнитостатики . 115
17.3. Стационарное уравнение Шрёдингера 115
17.4. Рассеяние на неподвижной мишени
с потенциалом конечного радиуса действия ... 116
17.5. Скалярное поле 117
18. Постановка начальных и краевых задач
для уравнений математической физики 118
Глава 4. Задача Штурма-Лиувилля для уравнений
в частных производных 129
19. Постановка задачи 129
20. Задача Штурма-Лиувилля и начально-краевые задачи
для уравнений математической физики 131
20.1. Редукция задачи 131
20.2. Неоднородные начальные условия 133
20.3. Линейное неоднородное уравнение 137
20.4. Неоднородные граничные условия 140
21. Задача Штурма-Лиувилля и краевые задачи для
стационарных уравнений 142
Глава 5. Уравнения эллиптического типа 145
22. Формулы Грина 145
23. Фундаментальные решения уравнений Гельмгольца и
Лапласа 146
24. Гармонические функции 152
24.1. Гармонические функции и их свойства 152
24.2. Поведение гармонических функций в особых
точках и на бесконечности 158
24.3. Постановка, разрешимость и единственность
краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона . 162
25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 169
25.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа в
декартовой системе координат 169
25.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в
полярных координатах 176
(25.3. Разделение переменных в уравнении Лапласа в
цилиндрических координатах 186
25.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в
сферических координатах 192
26. Интегралы Пуассона и Дини 197
Содержание
643
27. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца 199
27.1. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в полярных координатах 199
27.2. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в декартовых координатах 202
27.3. Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца в сферических координатах .... 204
28. Метод функций Грина 207
28.1. Функция Грина задачи Дирихле 208
28.2. Методы построения функции Грина задачи
Дирихле 211
28.3. Формула Пуассона 216
28.4. Функция Грина задачи Неймана для уравнения
Лапласа 218
29. Плоско-параллельное течение идеальной жидкости.
Методы комплексного анализа для двумерных задач 224
29.1. Обтекание цилиндра 224
29.2. Обтекание плоской пластины 229
Глава 6. Элементы теории потенциалов 231
30. Основные понятия и определения ' 231
30.1. Точечный потенциал 236
30.2. Объемный потенциал 239
30.3. Потенциал простого слоя 240
30.4. Потенциал диполя и двойного слоя 241
30.5. Эквипотенциальные поверхности 244
31. Свойства объемного потенциала 246
32. Потенциал простого слоя 258
33. Потенциал двойного слоя и его свойства 265
34. Нормальная производная потенциала простого слоя 276
35. Логарифмический потенциал (плоский случай) 278
36. Применение теории потенциала
к решению краевых задач 280
Глава 7. Уравнения гиперболического типа 290
37. Задача Коши для одномерного однородного
волнового уравнения. Формула Даламбера 290
38. Теорема о единственности решения смешанной
задачи для одномерного волнового уравнения 300
39. Смешанная задача для одномерного однородного
волнового уравнения на полупрямой. Метод Даламбера302
39.1. Метод падающих и отраженных волн 302
39.2. Метод четного и нечетного продолжения .... 308
644
Содержгиже
40. Начально-краевые задачи для одномерного
неоднородного волнового уравнения 322
40.1. Задача Коши 322
40.2. Смешанная задача для полупрямой 329
41. Смешанная задача для одномерного однородного
волнового уравнения на конечном отрезке. Метод Да-
ламбера 331
42. Метод Фурье и смешанная задача для одномерного
волнового уравнения на конечном отрезке 339
42.1. Однородная смешанная задача с однородными
краевыми условиями первого рода 339
42.2. Фундаментальное решение смешанной задачи с
краевыми условиями первого рода 345
42.3. Неоднородная смешанная задача с
неоднородными краевыми условиями первого рода 348
42.4. Редукция неоднородных граничных условий ... 355
42.5. Метод Фурье для одномерного волнового
уравнения. Общая схема 358
43. Задачи, сводящиеся к одномерному волновому
уравнению 366
44. Сферические волны 385
45. Задача Коши для уравнения Даламбера
в пространстве 388
45.1. Метод усреднения и формула Кирхгофа 388
45.2. Метод спуска и формула Пуассона 395
46. Смешанная задача для волнового уравнения
в пространстве. Метод Фурье 399
47. Обобщенная задача Коши для одномерного волнового
уравнения 412
48. Обобщенная задача Коши в пространстве 419
Глава 8. Уравнения параболического типа 423
49. Задача Коши для одномерного уравнения
теплопроводности. Функция Грина задачи Коши 423
49.1. Задача Коши. Метод разделения переменных . . 423
49.2. Функция Грина задачи Коши 425
50. Смешанная задача для одномерного уравнения
теплопроводности на полупрямой 432
50.1. Однородная смешанная задача 432
50.2. Неоднородная смешанная задача 435
51. Смешанная задача для одномерного неоднородного
уравнения теплопроводности на отрезке 438
51.1. Однородная смешанная задача 438
51.2. Неоднородная смешанная задача 440
Содержание
645
52. Задача Коши для многомерного уравнения
теплопроводности. Функция Грина задачи Коши 450
53. Теорема единственности для одномерного
уравнения теплопроводности 459
Глава 9. Интегральные уравнения 462
54. Основные понятия и определения 462
55. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям 464
55.1. Задача Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений 464
55.2. Краевая задача для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка . 466
55.3. Задача обращения 468
55.4. Уравнение Шрёдингера 468
56. Резольвента уравнения Фредгольма
и метод определителей Фредгольма 470
57. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
с помощью итерированных ядер. Ряд Неймана 481
58. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами 490
59. Характеристические числа и собственные функции 492
59.1. Уравнения с вырожденным ядром 493
59.2. Уравнения с симметричным ядром 495
59.3. Уравнения с симметричным нагруженным ядром 511
60. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия 513
61. Неоднородное уравнение Фредгольма 522
61.1. Уравнение Фредгольма с симметричным ядром . 522
61.2. Уравнение Фредгольма с разностным ядром ... 529
62. Уравнение Вольтерра второго рода 532
63. Уравнение Вольтерра второго рода
с ядрами специального вида 537
64. Интегральные уравнения первого рода 545
64.1. Уравнения Вольтерра первого рода 546
64.2. Уравнения Фредгольма первого рода 551
65. Применение метода интегральных преобразований
при решении уравнений в частных производных 555
Задания для самоконтроля по курсу
«Уравнения математической физики» 565
Теоретические вопросы 565
Индивидуальные задания 569
Список литературы 636
Предметный указатель 641
Багров Владислав Гавриилович,
Белов Владимир Владимирович,
Задорожный Валерий Николаевич,
Трифонов Андрей Юрьевич
Методы математической физики
Уравнения математической физики
Учебное пособие
Научный редактор профессор, д.ф.-м.н. С/7. Гулько
Технический редактор В.Н. Романенко
Набор и верстка выполнены на компьютерной технике
в издательской системе TfeX - ВД^К
с использованием семейства шрифтов Computer Modern
ОГУП «Асиновская типография».
Заказ № 3132. Тираж 800.