/
Автор: Левин В.И. Гросберг Ю.И.
Теги: математика математическая физика дифференциальные уравнения
Год: 1951
Текст
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
В. И. ЛЕВИН и Ю. И. ГРОСБЕРГ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1951 ЛЕНИНГРАД
11-5-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................. И
Введение ............................................. 15
Глава I. Постановка некоторых основных задач мате-
матической физики........................... 17
§ 1. Колебания струны.............................. 17
Одномерное волновое уравнение (17). Начальные и крае-
вые условия (22).
§ 2. Колебания мембраны............................... 24
Двумерное волновое уравнение (24). Начальные и крае-
вые условия (29).
§ 3. Уравнения гидродинамики и задачи акустики....... 30
Местная и материальная производная (31). Уравнение не-
разрывности (32). Уравнение Эйлера (34). Трехмерное
волновое уравнение (37). Начальные и краевые условия
задач акустики (40). Двумерная и одномерная задачи (42).
§ 4. Телеграфное уравнение и связанные с ним задачи. Урав-
нение электромагнитных колебаний.................... 43
Телеграфное уравнение (43). Начальные и краевые усло-
вия (46). Уравнение электромагнитных колебаний (47).
§ 5. Задачи теплопроводности........................... 48
Уравнение теплопроводности (49). Начальное условие (50).
Краевое условие (51). Линейная задача теплопровод-
ности (53). Плоская задача (56).
§ 6. Основные задачи теории потенциала................. 57
Уравнения Пуассона и Лапласа (57). Первая (внутренняя
и внешняя) краевая задача (58). Вторая (внутренняя
и внешняя) краевая задача (59). Третья краевая за-
дача (60).
§ 7. Классификация дифференциальных уравнений математи-
ческой физики.......................................... 61
Линейные уравнения (61). Принцип наложения (62). Эллип-
тические, гиперболические и параболические уравне-
ния (64).
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Классификация и вопросы корректности задач матема-
тической физики....................................... 68
Задача Коши, краевая и смешанная задачи (69). Коррект-
ность постановки (70). Доказательство единственности
решения в одномерном случае (72). Интеграл энергии (76).
Однородные и неоднородные условия (78). Задачи рас-
пространения и задачи излучения (80). Сведение одних
задач к другим (81).
Глава II. Теория потенциала........................... 84
§ 9. Криволинейные координаты....................... 84
Коэффициенты Ляме (88). Градиент в криволинейных
координатах (91). Вихрь в криволинейных координа-
тах (92). Расходимость в криволинейных координатах (93).
Оператор Лапласа в криволинейных координатах (94).
Оператор Лапласа в цилиндрических и сферических коор-
динатах (94). Эллиптические координаты (95). Опера-
тор Лапласа в эллиптических координатах (102).
§ 10. Вспомогательные формулы из теории поля..........102
Трехмерные формулы (103). Двумерные формулы (106).
§ И. Потенциал объемно-распределенных масс или зарядов . 108
Дифференцируемость потенциала объемно-распределен-
ных масс во внешних точках (109). Поведение на бесконеч-
ности (110). Потенциал однородного шара (112). Непре-
рывность потенциала объемно-распределенных масс и его
частных производных первого порядка во всем простран-
стве (116). Значения оператора Лапласа от потенциала
в точках массы, уравнение Пуассона (121).
§ 12. Характеристические свойства потенциала объемно-рас-
пределенных масс или зарядов. Потенциал однородного
эллипсоида ...........................................126
Характеристические свойства потенциала объемно-рас-
пределенных масс (126). Потенциал однородного эллип-
соида во внутренних и внешних точках (128). Теорема
Ньютона о притяжении эллипсоидальной полости (134).
Потенциал однородного вытянутого эллипсоида враще-
ния (134). Потенциал однородного сплюснутого эллип-
соида вращения (136).
§ 13. Потенциалы простого и двойного слоя.............137
Дифференцируемость потенциала простого слоя во внеш-
них точках (137). Поведение на бесконечности (137).
Потенциал однородной сферической оболочки (138). Потен-
циал однородного круглого диска (140). Поверхности
Ляпунова (142). Существование прямого значения и не-
прерывность во всем пространстве потенциала простого
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
слоя (142). Потенциал диполя и двойного слоя (145).
Дифференцируемость потенциала двойного слоя во внеш-
них точках и поведение на бесконечности (148). 1 еометри-
ческое толкование потенциала двойного слоя постоянной
плотности моментов (150), Существование прямого
значения потенциала двойного слоя (154). Разрыв потен-
циала двойного слоя при пересечении слоя (155). Разрыв
нормальной производной потенциала простого слоя при
пересечении слоя (157). Потенциал двойного слоя на
замкнутой поверхности с постоянной плотностью мо-
ментов (162). Потенциал двойного слоя, распределенного
по круглому диску с постоянной плотностью момен-
тов (163).
§ 14. Единственность решения краевых задач теории потен-
циала. Приложения к электростатике................. 164
Доказательство единственности решения краевых за-
дач (164). Электростатическое поле проводящего
эллипсоида (167). Плотность распределения зарядов
на проводящей поверхности и, в частности, эллип-
соиде (169). Полный заряд и емкость проводящего эллип-
соида (172). Электростатическое поле проводящих эл-
липсоидов вращения (172).
§ 15. Логарифмические потенциалы.....................173
Логарифмический потенциал точки и его толкование (173).
Логарифмический потенциал области, его дифференци-
руемость во внешних точках и поведение на бесконеч-
ности (176). Значения оператора Лапласа от логарифми-
ческого потенциала области во внутренних точках,
двумерное уравнение Пуассона (178). Характеристиче-
ские свойства логарифмического потенциала области (178).
Логарифмический потенциал круга с постоянной плот-
ностью обложения (180). Логарифмический потенциал
эллиптической области с постоянной плотностью обложе-
ния (182). Логарифмический потенциал простого слоя, его
дифференцируемость во внешних точках и поведение на
бесконечности (188). Логарифмический потенциал диполя
и двойного слоя (189). Геометрический смысл логариф-
мического потенциала двойного слоя с постоянной плот-
ностью обложения моментами (191). Поведение логарифми-
ческого потенциала двойного слоя на бесконечности (192).
Разрыв Логарифмического потенциала двойного слоя при
пересечении слоя (193). Разрыв нормальной производной
логарифмического потенциала простого слоя при пере-
сечении слоя (193). Логарифмический потенциал про-
стого слоя отрезка с постоянной плотностью обложе-
ния (193). Логарифмический потенциал двойного слоя
отрезка с постоянной плотностью обложения момен-
тами (194). Единственность решения двумерных краевых
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
задач теории потенциала (195). Плоско-параллельное
электростатическое поле проводящего эллипса (198).
Плотность обложения зарядами проводящего эллипса (200).
§ 16. Решение краевых задач теории потенциала для шара
и полупространства, круга и полуплоскости..............202
Формулы для решения трехмерных краевых задач теории
потенциала. Функция влияния (202). Первая внутренняя
краевая задача для шара (205). Функция влияния для
шара (206). Интеграл Пуассона для сферы (208). Доказа-
тельство выполнения краевого условия (209). Первая
внешняя краевая задача для шара (211). Первая крае-
вая задача для полупространства (212). Вторая внутрен-
няя краевая задача для шара (215). Вторая внешняя
задача для шара (218). Вторая краевая задача для полу-
пространства (219). Формулы решения двумерных крае-
вых задач теории потенциала. Двумерная функция влия-
ния (220). Связь с теорией функций комплексного пере-
менного (222). Первая внутренняя краевая задача для
круга (223). Первая внешняя краевая задача для круга
(224). Первая краевая задача для полуплоскости (225).
Вторая внутренняя краевая задача для круга (226). Вто-
рая внешняя краевая задача для круга (227). Вторая
краевая задача для полуплоскости (228).
Глава III. Волновое уравнение в неограниченной об-
ласти. Метод характеристик........................230
§17. Фронт волны. Характеристики....................231
Вид уравнения (231). Фронт волны (232). Поверхность
разрыва вторых некасательных производных. Характе-
ристики (232). Скорость движения волнового фронта (236).
§ 18. Волны..........................................238
Волны проходящие и стоячие (239). Плоские, сфериче-
ские, цилиндрические волны (239). Качественное опи-
сание процесса, определяемого волной (240). Нахо-
ждение ($х)-волн; волны с дисперсией и без диспер-
сии (242). Волны на струне (243). Волны для уравнения
д2Н 2 Л п
~др~~а дх*— си = 0 (244). Плоские волны для волно-
вого уравнения (245). Сферические волны для волнового
уравнения без дисперсии (245). Цилиндрические волны
для волнового уравнения без дисперсии (246).
§ 19. Решение задачи Коши для волнового уравнения без
дисперсии..............................................249
Метод наложения волн (249). Решение задачи Коши для
уравнения свободных колебаний струны (250). Решение
задачи Коши для трехмерного однородного волнового
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
уравнения в случае центральной симметрии (254). Реше-
ние задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
без дисперсии. Усреднение по сфере (257). Решение за-
дачи Коши для двумерного волнового уравнения без
дисперсии. Метод спуска (260). Анализ решения двумер-
ного и трехмерного волнового уравнения (262).
§ 20. Метод Римана.....................................268
Общая формулировка задачи Коши (268). Ее решение ме-
тодом Римана (269). Функция Римана (272). Анализ реше-
ния (273). Отыскание функции Римана (275). Решение
задачи Коши (276). Влияние дисперсионного члена на по-
ведение решения (278). Решение телеграфного уравнения
для бесконечной линии (280). Задача об излучении равно-
мерно движущимся точечным источником (287).
§ 21. Лучи. Бихарактеристики...........................291
Бихарактеристики (292). Лучи (292). Изменение скачка
вдоль бихарактеристики (294). Нахождение всех биха-
рактеристик и лучей (295). Закон преломления света (298).
§ 22. Обобщение метода Римана на случай пространства
двух и трех измерений..................................299
Общая формулировка задачи Коши в многомерном слу-
чае (299). Обобщенная функция Римана (301). Обобщение
метода Римана (301). Построение обобщенных функций
Римана (307). Анализ решения (312). Формула Кирх-
гофа (313).
Глава IV. Задачи о собственных функциях.................315
§ 23. Колебание ограниченной струны. Постановка задачи о
собственных функциях.................................315
Колебания ограниченной струны (315). Разыскание стоя-
чих волн (316). Наложение стоячих волн (320). Общая
постановка задачи (321). Собственные значения и собствен-
ные функции (324). Формулировка основных вопро-
сов (325).
§ 24. Простейшие свойства собственных значений и собст-
венных функций.......................................325
Линейность совокупности собственных функций, соответ-
ствующих данному собственному значению (326). Нор-
мировка (326). Кратность собственных значений (327).
Функционал К [и, и] (328). Его симметрия (330).
Ортогональность собственных функций (331). Связь между
собственным значением и значением функционала К [и, и}
(332). Оценка собственных значений снизу. Исследование
их знака (333).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Ортонормированные системы. Сходимость в среднем . 334
Ортонормированные системы (334). Коэффициенты Фурье.
Ряды Фурье (336). Квадратичная погрешность (337). Наи-
лучшее приближение функциями ортонормированной си-
стемы (337). Определение замкнутости системы по Стек-
лову. Условия замкнутости (340). Построение замкнутых
ортонормированных систем в прямоугольнике (342) Про-
цесс ортогонализации (344). Многочлены Чебышева (345).
Коэффициенты и ряды Фурье по ортогональной си-
стеме (347). Формулировка основных теорем В. А. Стек-
лова (349). Почленная дифференцируемость рядов Фурье
(350).
§ 26. Собственные функции некоторых одномерных задач . 351
Схема решения одномерной задачи, когда уравнение
интегрируется в конечном виде (351). Примеры, при-
водящие к тригонометрическим функциям (353). Асимпто-
тическое поведение собственных значений (359). Задача
с условием периодичности (361). Примеры, приводящие
к цилиндрическим функциям (363).
§ 27. Многочлены Лежандра и присоединенные функции
Лежандра..............................................370
Многочлены Лежандра как собственные функции (371).
Полнота системы многочленов Лежандра (373). Простей-
шие свойства многочленов Лежандра (374). Корни много-
членов Лежандра (375). Нормы многочленов Лежан-
дра (376). Рекуррентная формула (378). Интегральное
представление (379). Производящая функция (380). При-
соединенные функции Лежандра (382). Многочлены и функ-
ции Лежандра от cos t (386).
§ 28. Собственные функции оператора Лапласа для некото-
рых двумерных и трехмерных областей...................387
Способ разделения переменных (387). Решение задачи
о собственных значениях для прямоугольника (390).
Асимптотическое поведение собственных значений (393).
Узлы собственных функций (397). Решение задачи‘для
прямоугольного равнобедренного треугольника (400).
Решение задачи для круга (403). Решение задачи для
цилиндра (407).
§ 29. Сферические и щдровые функции...................408
Решение задачи для сферы разделением переменных (410).
Сферические функции (412). Простейшие свойства сфери-
ческих функций (412). Формула вычитания (414). Ряды
Фурье по сферическим функциям (415). Узлы и классифи-
кация сферических функций (416). Шаровые функции,
внутренние и внешние (417). Внутренние шаровые функ-
ции как однородные гармонические многочлены (419).
Собственные функции оператора Лапласа для шара (424).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава V. Решение задач математической физики мето-
дом собственных функций...........................428
§ 30. Метод собственных функций.....................428
Постановка и классификация задач (428). Схема примене-
ния метода собственных функций (429). Усиление схо-
димости рядов (435). Другие методы решения неодно-
родных задач (436).
§ 31. Колебания ограниченной струны и другие одномерные
задачи.................................................437
Свободные колебания струны с закрепленными кон-
цами (437). Колебания струны с одним подвижным кон-
цом (443). Колебания газа в трубке (446). Сграниченная
телеграфная линия (448). Теплопроводность в ограничен-
ном стержне (451).
§ 32. Решение методом собственных функций двумерных
краевых и смешанных задач..............................455
Стационарное распределение температуры в бесконечной
призме прямоугольного сечения (455). Электростатиче-
ское поле внутри бесконечной прямоугольной призмы
с проводящими гранями (459). Электростатическое поле
внутри бесконечного круглого цилиндра (465). Колебания
прямоугольной мембраны с закрепленным краем (473).
Колебания круглой мембраны с закрепленным краем (477).
§ 33. Применение метода собственных функций к решению
краевых и смешанных задач для трехмерных областей.
Разложение по шаровым функциям.........................481
Стационарное распределение температуры в цилиндре
(481). Электростатическое поле внутри шара (первая
краевая задача) (486). Разложение гармонической функ-
ции в шаре по шаровым функциям (491). Электростати-
ческое поле внутри сферы, составленной из двух изоли-
рованных проводящих полусфер (494). Сбтекание шара
безвихревым стационарным потоком (496). Потенциал за-
ряженной окружности (497). Электростатическое поле за-
ряда, индуцированного на сфере точечным зарядом (499).
Колебания газа внутри сферы (501).
§ 34. Метод собственных функций в случае сплошного спектра 507
Спектр (507). Интеграл Фурье (509). Интеграл Фурье
четных и нечетных функций (510). Примеры представле-
ния функций интегралом Фурье (513). Схема примене-
ния интегральных формул Фурье в математической
физике (517).
§ 35. Уравнение теплопроводности в бесконечном простран-
стве и другие задачи в бесконечных областях...........520
Одномерное уравнение теплопроводности на всей оси
(520). Теплопроводность в бесконечном стержне (527).
Теплопроводность в бесконечном трехмерном простран-
стве (530). Полубесконечная телеграфная линия (534).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Добавление. Основные сведения из теории цилиндри-
ческих функций ..................................540
§ 1. Гамма-функция..................................540
Определение (540). Функциональное уравнение (541).
Частные значения (541). Асимптотическое поведение (544).
§ 2. Цилиндрические функции первого, второго и третьего
рода............................................ 545
Уравнение цилиндрических функций, его интегрирование
с помощью рядов (545). Цилиндрические функции пер- .
вого рода (548). Цилиндрические функции второго рода
(549). Цилиндрические функции третьего рода (550).
§ 3. Некоторые рекуррентные соотношения между цилин-
дрическими функциями. Цилиндрические функции порядка,
равного целому числу с половиной ......................552
Выражения производной цилиндрической функции через
функции смежных порядков (552). Соотношения между
цилиндрическими функциями трех последовательных по-
рядков (553). Выражения цилиндрических функций по-
рядка, равного целому числу с половиной через элемен-
тарные функции (555).
§ 4. Интегральные представления и асимптотические выра-
жения для цилиндрических функций.......................556
Производящая функция (556). Интегральное представле-
ние функций первого рода (558). Асимптотическое выра-
жение функции первого рода нулевого порядка (559).
Асимптотические выражения других цилиндрических
функций (563). Корни цилиндрических функций (564).
§ 5. Цилиндрические функции от мнимого аргумента . . . 565
Алфавитный указатель..........................568
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга предназначается для студентов и
аспирантов высших технических учебных заведений, а также
для инженеров, встречающихся в своей практической работе
с простейшими дифференциальными уравнениями математи-
ческой физики.
При выборе материала для этой книги авторы стреми-
лись включить в нее наиболее часто встречающиеся на прак-
тике типы дифференциальных уравнений и изложить
основные, наиболее распространенные методы их ре-
шения. Выбор материала ограничивался также тем, что
авторы не предполагали у читателя математических знаний,
выходящих за рамки обычного курса втуза *)• В частности,
мы не предполагали знакомства с теорией функций комплекс-
ного переменного и поэтому были лишены возможности из-
ложить весьма широко применяемый в настоящее время опе-
раторный метод решения задач математической физики * 2).
Отсутствие этого метода в настоящей книге повлекло за
собой, между прочим, то, что мы сравнительно мало оста-
навливаемся на уравнении теплопроводности и телеграфном
уравнении, так как наиболее важные задачи, связанные с этими
Уравнениями, решаются операторным методом значительно
легче, чем методами, развитыми здесь.
3) В тех немногих случаях, когда все же приходится исполь-
зовать некоторые сведения, выходящие за пределы этого объема,
Делаются ссылки на соответствующую литературу.
2) В настоящей серии этому методу были посвящены уже две
книги: М. И. Конторович, Операционное исчисление и не-
стационарные явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1949 и
Л- И. Лурье, Операционное исчисление, Гостехиздат, 1950.
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учитывая все изложенные соображения, авторы включили
в книгу только линейные уравнения в частных производных
второго порядка, в основном с постоянными коэффициен-
тами. Из многочисленных методов решения задач, связанных
с этими уравнениями, в книгу вошли только следующие:
метод функций влияния для решения краевых задач теории
потенциала (глава II), метод характеристик (глава III) и метод
собственных функций (главы IV, V). Размеры книги не дали
авторам возможности изложить приближенные методы реше-
ния задач математической физики *)•
Три основных метода, о которых была речь выше, неза-
висимы между собой. Порядок их изложения, принятый в на-
стоящей книге, является произвольным, поэтому при чтении
можно главы II, III и IV—V переставлять в любом порядке.
Назначение книги определило и характер изложения.
Авторы считали своей основной задачей научить читателя
сознательному применению метода. Математические доказа-
тельства приводятся лишь постольку, поскольку они необ-
ходимы для понимания метода и границ его приложимости * 2).
Поэтому многие трудные положения мы разъясняли на при-
мерах, а окончательный результат формулировали без дока-
зательства. Так, например, мы поступили в отношении теоремы
существования и полноты системы собственных функций.
Необходимо добавить следующее замечание о характере
изложения с точки зрения математической строгости. Как
правило, мы без специальных обоснований дифференцируем
интегралы по параметру, меняем порядок интегрирования
и т. д. Законность этих и подобных операций может быть,
конечно, каждый раз строго доказана при некоторых огра-
ничительных предположениях относительно функций, над
которыми производятся операции, свойств областей и т. д.
*) С этими методами можно познакомиться, например, по книгам:
Панов Д. Ю., Справочник по численному решению дифферен-
циальный уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1950, или
Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы
высшего анализа, Гостехиздат, 1949.
2) Читателю, глубже интересующемуся математической теорией
уравнений с частными производными, мы рекомендуем следующие
книги: И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными
производными, Гостехиздат, 1950 и С. Л. Соболев, Уравнения
математической физики, 2-е издание, Гостехиздат, 1950.
ПРЕДИСЛОВИЕ
13
Сплошь и рядом эти ограничения физически представляются
весьма естественными, и в таких случаях мы их даже не
оговариваем. В частности, все поверхности и функции, о
характере которых в тексте нет специальных оговорок, пред-
полагаются достаточно гладкими.
Настоящая книга возникла из лекций, читанных проф.
Н. И. Ахиезером и авторами на протяжении ряда лет в Москов-
ском Ордена Ленина Энергетическом институте им. В. М. Моло-
това. Стеклографированный конспект части лекций проф.
Н. И. Ахиезера и В. И. Левина был использован авторами
этой книги при написании глав I, III, V и Добавления. Гла-
вы I, II и Добавление написаны в основном В. И. Левиным,
главы III, IV и V — в основном Ю. И. Гросбергом. Однако
окончательная обработка значительной части материала была
произведена авторами совместно.
Авторы приносят свою глубокую благодарность проф.
Н. И. Ахиезеру, советы которого помогли им не только при
выработке стиля лекций, положенных в основу этой книги,
но и при непосредственной работе над ней.
Авторы считают своим приятным долгом выразить также
свою искреннюю благодарность проф. И. М. Гельфанду, по
предложению которого в книгу введен целый ряд существен-
ных изменений, и редактору книги — доц. 3. Я. Шапиро, кото-
рая тщательной работой над рукописью во многом способ-
ствовала ее улучшению.
ВВЕДЕНИЕ
Любое физическое явление, даже самое простое, обуслов-
ливается столь большим числом взаимных связей с другими
явлениями и объектами, что изучение его с помощью мето-
дов современного математического анализа не представляется
возможным без предварительного упрощения. Это упрощение
состоит в абстрагировании от второстепенных для данного
явления связей и в замене, точных закономерностей в остаю-
щихся связях (которые даже не всегда известны) их прибли-
женными, но более простыми выражениями. В связи с раз-
витием наших физических знаний и связанным с ним совер-
шенствованием математического аппарата мы получаем воз-
можность включать в рассмотрение все большее число связей
данного явления и все более точные закономерности этих
связей и получать, таким образом, более полные и точные
описания изучаемых явлений, как того требуют запросы раз-
вивающейся техники.
Так как все физические явления происходят в простран-
стве и во времени, то функциональные зависимости, описы-
вающие их, содержат функции от нескольких переменных,
например: трех пространственных координат и времени.
Одним из элементов указанного выше абстрагирования ярляется
предположение непрерывности и дифференцируемости этих
функций, в результате чего простые закономерности в малом,
доставляемые физическими соображениями, приводят нас
к дифференциальным и интегральным уравнениям.
Наряду с этими дифференциальными уравнениями физи-
ческая постановка задачи приводит нас еще к некоторым
дополнительным условиям, которым должны удовлетворять
искомые функции.
В первом приближении истинную функциональную зави-
симость между двумя величинами обычно заменяют прямой
пропорциональностью (или линейной функцией). Это приводит
16
ВВЕДЕНИЕ
к линейным дифференциальным уравнениям, которые поэтому
играют особо важную роль в математической физике. Пода-
вляющее большинство физических и технических задач, ста-
вившихся до последних десятилетий, допускало описанную
выше линеаризацию. Однако развитие техники за последние деся-
тилетия и связанное с ним увеличение пределов изменения рас-
сматриваемых величин, а также требование повышенной точ-
ности привели к тому, что во многих случаях предположение
прямой пропорциональности, т. е. линейности, оказалось недо-
пустимым. Таким образом, возникли нелинейные уравнения, тео-
рия которых еще мало развита. Следует, однако, отметить, что
линейные уравнения, несмотря на все возрастающее значение
нелинейных, продолжают и сегодня играть очень важную роль.
Чрезвычайно важно, что дифференциальные уравнения,
к которым приводит огромное большинство возникающих
в физике задач, так же как и упомянутые дополнительные
условия, принадлежат к небольшому числу типов, так что
многие физически совершенно разнородные явления описы-
ваются одной и той же математической схемой.
Общая теория дифференциальных уравнений в частных
производных изучает вопросы существования и свойства ре-
шений наиболее общих классов таких уравнений и является
весьма сложной дисциплиной, в развитии которой существен-
ную роль сыграли глубокие исследования наших отечествен-
ных математиков (С. В. Ковалевской, С. Н. Бернштейна,
И. Г. Петровского, С. Л. Соболева и др.). Математическая
физика, с другой стороны, ставит перед собой задачу со-
вершенно иного характера. Ее интересуют только те кон-
кретные уравнения, которые часто встречаются в физических
приложениях, и только те их решения, которые удовлетворяют
типичным для физических приложений дополнительным усло-
виям. Математическая физика, начало которой было положено
в трудах Л. Эйлера, в настоящее время представляет собой
весьма разветвленную отрасль математических наук, с боль-
шим богатством конкретных результатов. Многие основополож-
ные ее достижения принадлежат русским и советским мате-
матикам: М. В. Остроградскому, А. М. Ляпунову, В. А. Стек-
лову, А. Н. Крылову, И. Г. Петровскому, С. Л. Соболеву,
А. Н. Тихонову и др.
ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В настоящей главе выводятся некоторые основные дифферен-
циальные уравнения математической физики и формулируются со-
ответствующие им задачи. Параграфы 7 и 8 посвящены вопросам
классификации уравнений и задач. В них весьма кратко затраги-
ваются многие важные вопросы теории, подробному изложению
которых в этой книге нет места, но без знакомства с которыми
невозможно полное понимание основных фактов, относящихся к диф-
ференциальным уравнениям математической физики.
§ 1. Колебания струны
Так называемая идеальная струна есть результат абстра-
гирования. Мы отвлекаемся от двух измерений физической
струны (которыми можно пренебречь по сравнению с третьим—
ее длиной) и считаем ее абсолютно гибкой, т. е. не оказы-
вающей никакого сопротивления изменению ее формы, не
связанному с изменением ее длины, а работающей только
на растяжение. Пусть струна имеет длину /ив прямолиней-
ном положении покоя занимает отрезок (0, /) оси х. Будем
считать, что к концахМ струны приложены вдоль оси х силы
натяжения Т, равные по величине, но противоположные по
направлению, и что концы струны закреплены.
Относительно рассматриваемых колебаний мы делаем сле-
дующие упрощающие предположения. Во-первых, мы считаем,
ЧТО все точки струны движутся перпендикулярно оси х
в одной плоскости колебания *), проходящей, конечно, через
г) Последнее предположение несущественно, так как можно
Рассматривать проекции пространственно колеблющейся струны на
Две взаимно перпендикулярные плоскости.
18
§ 1. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
ось х\ в этой плоскости мы введем прямоугольные коорди-
наты х и и, где и — отклонение точки струны от ее поло-
жения равновесия. Таким образом, закон колебания струны
задается некоторой функцией и = и(х\ f), где t — время, про-
текшее с некоторого начального момента. Эта функция и (х; /)
и является искомой. Во-вторых, мы предполагаем, что рас-
сматриваемые колебания настолько малыу что увеличе-
нием длины струны в любой момент можно пренебречь.
Так как длина струны в момент t равна
i i
о о
О
то пренебрежение ее удлинением означает, что величиной
можно пренебречь по сравнению с единицей. Это допущение
символически записывается так:
(Л«!-
Из него можно вывести два важных следствия. Разрежем
мысленно струну в момент t в точке с абсциссой хп 0<^Хх< /.
Вследствие идеальной гибкости струны воздействие одного
конца на другой может быть заменено силой натяжения Т19
действующей в точке разреза по касательной к рассматри-
ваемому отрезку струны. По сделанному предположению
любой отрезок струны сохраняет свою длину в течение всего
колебания, и, следовательно, величина силы натяжения всегда
равна Т: Т\ = Т. Обозначим, далее, через а = а(х; f) угол на-
клона касательной в точке с абсциссой х к струне в момент
времени t с положительным направлением оси х, так что
tga = -|~. При этом будем считать а заключенным между
---и у, так что cosa>0. Так как
cos а = (1 + tg2 а) “=1—...
ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
19
И
sin а — tg а • cos а
ди
дх
1 ( V*
2 \ дх )
то, по нашему предположению, cos а может считаться рав-
’ . ди
ным единице, a sin а — равным
Введем теперь в рассмотрение линейную плотность струны
р = р (х) О (которая может меняться вдоль струны), так
что масса отрезка (хь х^ струны равна:
J р (х) dx, 0 < х2 <7.
a?i
Предположим, далее, что на струну в плоскости колебания
параллельно оси и действуют силы, которые могут меняться
вдоль струны и со временем. Обозначим плотность распре-
деления этих сил, отнесенную к единице массы струны, через
g (х; f), так что равнодействующая сил, действующих в мо-
мент t на отрезок (х2, х2) струны, равна
J р (х) £(х; t) dx = а-,),
а?»
В частности, если единственной силой, действующей на струну,
является ее вес, то g(x;Z) = — g (где g— ускорение силы
тяжести).
Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для
этой цели возьмем в произвольный момент времени t произ-
вольный участок струны между точками х — хг и х = х2,
О < Xj < х2 < /, мысленно освободим его от связи с осталь-
ными частями струны и рассмотрим силы, действующие на
него (фиг. 1). По предыдущему, силы воздействия отбро-
шенных частей струны равны по величине Т и направлены
вдоль касательных к струне в точках x = xt и х = х2 от
рассматриваемого участка к отброшенным. Разлагая эти силы
на составляющие по осям координат, получим:
Xt = — Т cos аь Kj = — Tsin
Х% — ТCOS ®2, ^2 :Sin
20
§ 1. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
(на фиг. оц > 0 и а2 < 0). Кроме этих сил и силы х^,
на рассматриваемый участок струны никакие другие внешние
силы не действуют. Отметим, что так как по нашим пред-
посылкам 00804=1, cosa2=l и P(xltx2) перпендикулярна
к оси х, то составляющая по оси х равнодействующей этих
сил равна нулю. Что касается составляющей по оси ординат
равнодействующей сил натяжения, то, так как в силу наших
предпосылок
/ди \ . (ди\
s,na2 = h7j > sinai==wJ
\ их /x=ax<i \ их /x—.Xi
она равна
Замечая теперь, что
( ди \ f диХ _ д^и .
найдем для Y выражение
Д?2
У=Т ( ^dx.
J д*2
Эта сила и Р(^,^2) должны в любой момент времени t
уравновешиваться силами инерции, действующими на рас-
ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
21
сматриваемый отрезок струны, равнодействующая которых
равна
Таким образом, мы получаем равенство
х.2 х9
J р(х) •S’dx= J {+р(х)^(х; }dx
XL хк
ИЛИ
т ~р w £(х>V}dx = °-
Далее, так как и х2 произвольны в интервале (0, /),
то из этого последнего равенства следует, что подинтеграль-
ное выражение должно само равняться нулю в любой точке
струны. В этом можно убедиться следующим образом. Разде-
лив это равенство на х2— х19 применим к его левой части
теорему о среднем из интегрального исчисления. Тогда мы
найдем, что
д2и
дх2
p(x)g(x;M =0,
fx = Z
где $ — некоторая точка в интервале (х19 х2). Заставляя теперь
этот интервал стягиваться к произвольной точке струны и
замечая, что при этом и $ будет стремиться к этой же точке,
мы заключим, что для любого t
pW'S’~T'S —Р(х)^х;^ = 0
в любой точке струны (если выражение, стоящее в левой части,
непрерывно !)). Это и есть искомое уравнение колебаний.
J) Мы допускаем для р (х) и g (х; t) конечное число точек раз-
рыва первого рода. В дальнейшем мы таких оговорок больше делать
не будем.
22 § 1. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Наиболее простым и важным является случай однородной
струны, в котором о постоянно. Полагая
мы можем записать уравнение малых колебаний однородной
струны в виде
(1-1)
где а2 — положительная постоянная.
Уравнение (1.1) называется одномерным волновым урав-
нением.
Ясно, однако, что когда изучается определенное колеба-
ние струны, которое должно описываться некоторой опре-
деленной функцией и(х;/), уравнения (1.1) для определения
этой функции недостаточно. К нему должны быть добавлены
некоторые дополнительные условия, которые в данном случае
легко формулируются.
В самом деле, уже из динамики точки известно, что для
определения движения точки нужно знать ее начальное поло-
жение и начальную скорость. Допустим, что мы рассматри-
ваем колебание струны с момента t ~ 0, который примем за
начальный. Тогда для каждой точки струны х (O^x^Z)
мы должны в этот момент задать ее начальное отклонение,
т. е. w|f=s=0, и начальную скорость, т. е. . Таким
образом, мы имеем следующие два начальных условия:
<L = FW- (1-2)
где начальные функции f (х) и F (х) должны быть заданы
для всех х в интервале (О, Z). Кроме того, в силу неподвиж-
ности концов струны и ее непрерывности функция /(х)
должна удовлетворять условиям1): f (0) = /(Z) = 0.
х) Распределение начальных скоростей точек струны не обязано
быть непрерывным. Поэтому, хотя F(0) и Л (Z) следует, конечно,
считать равными нулю, lim F (х) и lim F(x) могут быть отлич-
ать 4- о а? -> г — О
ными от нуля.
НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
23
Далее, так как концы струны закреплены, то их откло-
нения w|aj==o и u\x^i должны быть равны нулю для всех
/^>0. Мы имеем, следовательно, еще краевое условие*.
U |а?==о — U 1^=2 — 0. (1.3)
Итак, математическая задача, к которой мы пришли
в результате рассмотрения процесса малых колебаний одно-
родной струны, закрепленной на концах, состоит в следую-
щем: найти такое решение уравнения (1.1), которое удо-
влетворяло бы начальным условиям (1.2) и краевому
условию (1.3).
Из самой постановки задачи еще не следует, что (1.1), (1.2)
и (1.3) достаточны для однозначного определения функции и (х; t)
для и /^0, так как, хотя по физическим сообра-
жениям такая функция должна существовать и быть един-
ственной, мы могли при формулировке математической задачи
в процессе абстрагирования упустить факторы, существенно
влияющие на ход колебаний. Однако ниже мы увидим, что
полученная математическая задача действительно не допускает
более одного решения, и затем это решение фактически по-
строим.
Здесь” необходимо остановиться на следующем вопросе.
Основной предпосылкой наших рассмотрений было усло-
вие (^)8<C1. Между тем мы никаких условий малости
на /(х) и Д(х) не налагаем и, таким образом, как бы решаем
задачу в условиях, заведомо исключенных при ее постановке.
Для устранения этого противоречия мы будем иметь в виду,
что решение задачи (1.1—3) может рассматриваться как пра-
вильно описывающее реальное колебание струны только тогда,
когда /(х), F(x) и g(x; f) заменены на е/(х), eF(x) и
zg (*’> О, где е > 0 достаточно мало; при этом и и (х; t)
заменится, как нетрудно видеть, на еи(х; t), так что соответ-
ствующим выбором е можно добиться выполнения уело-
ВИЯ®8 С.
Добавим еще два замечания.
Можно рассматривать колебания полу бесконечной или бес-
конечной струны, когда один или оба конца находятся бес-
конечно далеко. Оба эти случая являются идеализ’ацией слу-
24 § 2. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
чая очень длинной струны, причем первый из них соответствует
рассмотрению точек, сравнительно близких от одного из
концов струны, а второй — рассмотрению точек, располо-
женных далеко от обоих концов. В первом из этих случаев
в качестве краевого условия остается требование и|д.=о = О,
а во втором случае краевое условие вообще отсутствует.
Начальные функции /(х) и F (х) должны быть, конечно,
в этих случаях заданы, соответственно, для всех 0<^х<оо
или для всех х (— оо < х < оо).
В некоторых случаях можно считать g(x;/)==0. Тогда
мы имеем дело со свободными колебаниями струны. Физи-
чески свободное колебание можно считать реализованным,
когда в уравнении (1.1) правой частью можно пренебречь по
сравнению с левой на основании того же масштаба малости,
/ ди \2
который соответствует предпосылке (-^) !•
§ 2. Колебания мембраны
При рассмотрении мембраны мы отвлекаемся от одного
ее измерения (толщины) и считаем ее абсолютно гибкой, т. е.
не оказывающей никакого
сопротивления изгибанию, не
связанному с изменением ее
площади. Пусть в плоском
положении покоя мембрана
занимает некоторую область
(D) плоскости х, у, огра-
ниченную кусочно-гладкой
замкнутой кривой (L). Будем
считать, что край мембраны
(L) закреплен и что она натянута силами, распределенными
вдоль (L) нормально * 2) к (L) и лежащими в плоскости х, у.
Плотность распределения этих сил по длине дуги (L) будем
считать постоянной и равной 2) Т. Заметим, что так распре-
деленные силы натяжения уравновешивают друг друга, ибо
если через п = cos а • i -j- sin а • j обозначить единичный век-
х) Исключая возможные угловые точки, в которых плотность
распределения сил натяжения можно принять равной нулю.
2) См. предыдущую сноску.
ДВУМЕРНОе ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
25
тор внешней нормали к (L), то их равнодействующая будет
равна
(j) Tn dL = Т (j) п dL = 0.
(Ь) (L)
Это следует (фиг. 2) из того, что составляющие вектора
§ndL
(£)
по осям х и у суть, соответственно,
cosa • dL =
§ dy~Q и
(Ь)
sin а . dL = — $ dx = 0.
(£) (Ь)
Мы будем рассматривать такие колебания мембраны, при
которых каждая ее точка движется перпендикулярно к пло-
скости х, у параллельно оси и, которая вместе с осями х
и у составляет прямоугольную систему координат в про-
странстве. Закон колебания мембраны задается, таким образом,
некоторой функцией и = и (х, у\ /). Далее, мы предполагаем,
что колебания настолько малы, что увеличением площади
мембраны в любой момент ее колебания можно пренебречь.
Так как площадь мембраны в момент t равна
(Р)
(D)
где D — площадь области (Z)), то наше предположение будет
выполнено, если принять следующие условия малости:
в!«*.
Отсюда вытекает, что если мы рассмотрим произвольную
часть мембраны (d), ограниченную в состоянии покоя кривой (/),
то она всегда будет сохранять свою площадь. В любой мо-
мент t она будет представлять собой кусок кривой поверхности,
ограниченной пространственной кривой (/'), проектирующейся
26
§ 2. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
в (/). Если мы в этот момент освободим рассматриваемую
часть мембраны от ее связи с остатком мембраны, то воз-
действие на нее отброшенной части может быть заменено
силами натяжения, распределенными по ее краю (/') с по-
стоянной плотностью Т и направленными нормально к (/')
в касательной плоскости к мембране.
Найдем равнодействующую этих сил натяжения и ее проек-
ции. Пусть Af(x, j/, и) — точка на (/')• Обозначим через $
единичный вектор, касательный к (/'), и через п — единичный
вектор нормали к мембране в точке М (фиг. 3), причем на-
правление 5 пусть соответствует положительному обходу (/'),
Фиг. 3.
а п образует острый угол с ’ положительным направление^м
оси и. Тогда вектором направления силы натяжения в точке М
будет векторное произведение [$, п], а стало быть, равно-
действующая всех сил натяжения, приложенных к (/'), равна
(П
Так как уравнение мембраны в момент t есть и = и(х,у\ f),
то в силу принятых условий малости
ди . ди
ди V I (
,дх ) “Г \ ду )
Далее, если х = х(Г), у=у(1) суть параметрические урав-
нения кривой (/), где I — длина ее дуги, отсчитываемая от
ДВУМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
27
некоторой точки, то
с — i 4- г I du k —
S~.dl * + dl dl R ~~
dx ; -L. / i ( dx i dy\ ь
+ 4TJ^~\dx dl "+ dy dl)R
(dx\* । / dy\* -
гДе ~77" 4~ -yr =1, a следовательно,
\ dl J 1 \ dl J
Таким образом,
i J k
dx dy da dx । du dy
[S, я] = ~dT dl dx dl 1 dy dl —
du __ du 1
dx dy 1
= - ]^+ du du dx\ , dx dy dl)
— {f1 + ( da \21 J dy\ i I dl ’ dx dy dl ‘
du dy
dx dl
du dx \
lyir)
rj /dw\2 , (du \2 -
Но если -г— 1 и (-г— <d 1
\ dx J \dy }
то, очевидно, и
ди ди -
дх ду
и поэтому мы можем считать, что
Ге г dx / I ( ди dy да dX\h
is, WJ_ dl i dl dl dy dl)R-
Стало быть, составляющие Xf У, Z по осям координат равно-
действующей сил натяжения
Т (j) [s, п} dl'
(h
28
§ 2. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
равны, соответственно,
J al J dl ’
(»') (?')
4(
(П
du dy
dx dl
du dx\
dy dl )
dl'.
Обозначим, далее, через y
так что
угол между векторами $ и
k,
и
cos 7 = (s, k)
du dx . du dy
dx dl i~Tty~dT
sin y
du dx . du dy V
dx dl ’ dy dl )
ио условиям малости. Отсюда мы заключаем, что dl' —
= = dl, и, стало быть, в формулах для X, Y, Z мы
можем заменить dl' на dl и путь интегрирования (/') на ({).
Тогда мы найдем, что
x=T№d‘=T§ d> =°'
(О (О
Y=— dx = O,
(?) (?)
z = Т £ («1 - %- dl = Т <£ dy - dx -
J \дх dl ду dl ) J дх dy
(О (D
т» f {д2и I д2и\ , ,
= 7J J te+ ^)dxdy
по формуле Остроградского на плоскости. Таким образом,
равнодействующая рассматриваемых сил натяжения по вели-
чине и знаку равна
7 т f f (д?и । д2н \ ,
Z — ? ,1 J ( дх1 ду^ ) dxdy
(d)
и направлена параллельно оси и.
Пусть р == р (х, У) 0 — поверхностная плотность мем-
браны, так что масса ее части (rf) равна
f J Р (х> У) dx dy.
\d)
НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
29
Предположим, далее, что на мембрану параллельно оси и
действуют силы с плотностью распределения, отнесенной
к единице массы мембраны, равной g(x, у\ f), так что их
равнодействующая на часть мембраны (d)
р w = / J*р (х> g (х’у> ® dx dy'
(d)
Силы Z и должны в любой момент времени уравно-
вешиваться силами инерции, действующими на часть мем-
браны (у/), равнодействующая которых равна
Г f / ч д2и , .
| \ ?(x,y)-^dxdy.
W
Таким образом, мы получаем равенство
f f ( z ч д2и — (д2и . д2и \ z ч z Л 1 , п
I I \?^x>y^^-T\-^^--^)-r^x,y)g{x,y-,t)\dxdy==Q,
\d)
из которого в силу произвольности области (d) внутри (£))
следует, что в каждой точке (£)) в любой момент времени t
?<х,у)^ — Т(•!§- + 0-) — р(х,у)g(х, у-f) = 0.
Мы получили уравнение колебаний мембраны,
В случае однородной мембраны р = const, и, полагая
Т „ .
— = а2, мы можем записать уравнение малых колебании
однородной мембраны в виде
д2и д2и . д2и\ z
dt2 а \дх2 “Ь ду2J — g-У’ (2‘
Уравнение (2.1) называется двумерным волновым уравнением.
К нему следует добавить начальные условия
<t^f(x,y), 4г| =?(х,у), (2.2)
гДе начальное отклонение—/(х, у) и начальная скорость —
у) заданы в области (D). К постановке задачи принад-
лежит еще краевое условие
(2-3)
30 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
означающее, что во всех точках (L) и должно обращаться
в нуль. На границе (L) области (D) f(x, у) также должно
обращаться в нуль вследствие закрепленности края мем-
браны 9-
Задача состоит, стало быть, в нахождении такого ре-
шения уравнения (2.1), которое удовлетворяло бы началь-
ным условиям (2.2) и краевому условию (2.3).
Можно рассматривать также колебания мембраны, прости-
рающейся в бесконечность, и даже неограниченной мембраны,
занимающей всю плоскость х, у.
В случае g (х, у\ f) а 0 мы имеем свободные колебания
мембраны.
§ 3. Уравнения гидродинамики и задачи акустики
Рассмотрим поток жидкости или газа в пространстве, и
обозначим через = t) вектор скорости частицы жидко-
сти, находящейся в момент t в точке пространства с ра-
диус-вектором r — xi-\-yj-^zk (векторный аргумент г заме-
няет, конечно, три скалярных аргумента х, у, z). Пусть
где vx, vy, vz являются, следовательно, функциями от х, у,
z и t. Проследим движение этой частицы до и после мо-
мента t и запишем уравнение ее траектории в параметрической
форме г = г(/), или х = х (/), y=j/(/), z = z(t).
Если поле скоростей v в потоке известно, то задача
нахождения траекторий частиц жидкости сводится к интегри-
рованию системы трех обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка. Действительно, так как р = г(/),
то г известен как функция от г и t: r — v(r\ /), или
^ = Vx(X,y, z-,t\
^ = Vy(X,y, Z-f),
= z-,f).
г) См. сноску на стр. 22.
МЕСТНАЯ И МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
•31
Рассмотрим произвольную дифференцируемую функ-
цию (г; t) в потоке. Если рассматривать г и t (т. е. х, у,
z п t) как независимые переменные, то равна скорости
изменения функции со временем при постоянном г, т. е.
в определенной точке пространства. Поэтому частную произ-
водную называют также местной (локальной) производ-
ной. С другой стороны, если вместо г подставить в
вектор-функцию г (0 из уравнения траектории частицы жидко-
сти, проходящей через точку г в момент /, то {г (/); /}
превратится в функцию одного переменного t и ее полная
производная по этому аргументу будет равна (по известному
правилу дифференцирования сложной функции):
dt dt дх' ду dz dt
где
/гл д . д . д
(я, V) = ^ —--7Г- +
х J х дх ' У ду 1 z dz
Это выражение дает скорость изменения ф со временем при
условии, что изменения значений ф наблюдаются не в непо-
движной точке пространства (как в случае местной произ-
водной), а в точке, движущейся вместе с частицей жидкости
в потоке. Поэтому выражение
называется материальной (субстанциональной) производной.
Материальная производная отличается от местной допол-
нительным слагаемым (конвективным членом) (ф, V) ф, кото-
рое учитывает перенос точки потоком.
Обозначим через р = р (г; /) 0 плотность жидкости или
газа в точке г в момент t. Для дальнейшего очень важно
отметить, что р может зависеть от /, как это во всяком слу-
чае имеет место при акустических колебаниях (быстрых про-
дольных колебаниях газа). Таким образом, масса жидкости,
заключенной в момент t в некотором объеме (V) внутри
потока, равна
j-j-Jpfrvw
(И
32 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
В силу закона сохранения массы между р и я должна
существовать определенная связь, которая может быть легко
найдена. Действительно, скорость изменения массы, заклю-
ченной в фиксированном объеме (У), со временем равна
(П (F)
С другой стороны, она же должна равняться потоку массы,
отнесенному к единице времени, через поверхность (5) внутрь
объема (V), который она ограничивает. Обозначим через
tn = г,о вектор потока массы и предположим, что (S) — глад-
кая замкнутая поверхность. Тогда искомый поток массы
через (S) внутрь (V) равен
— mndS = — pvn dS,
(S) (S)
где mn и суть, соответственно, проекции векторов т и v
на направление внешней нормали к (S). Но, по формуле
Остроградского,
^mndS = j* J J* tivmdV= J У div (pv)dV,
(S) (V) (V)
так что должно иметь место равенство
(V) (F)
ИЛИ
[ f =
’ (К)
В силу произвольности объема (И) в потоке мы должны
иметь, следовательно, в каждой точке потока в любой момент
времени равенство
2e.-l-div((w)=o,
которое называется уравнением неразрывности.
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
33
(3-1)
Этому уравнению можно придать другую форму. Так как
div (р®) = (V, pv = (Vp, v) + Р (V, v) — (я, V) р -ф- р div v,
то
|£._|_div(pv)=^-+(v, V)p4-p div® = ^.-f-pdiv®,
где первое слагаемое в последнем выражении представляет
собой материальную производную. Таким образом, уравнение
неразрывности может быть записано в виде
^- + pdivi> = 0.
Заметим, что это уравнение может быть также получено на
основании другого рассуждения. Вместо того чтобы рассматривать
изменение массы в неподвижном объеме (V), мы можем предста-
вить себе, что объем (V) движется с потоком так, что он продол-
жает содержать в себе ту и только ту жидкость, которая была
в нем в момент t. Такой объем мы будем называть жидким
объемом. Жидкий объем будет, вообще говоря, при своем движении
в потоке деформироваться, т. е. его форма будет зависеть от t,
что мы отметим записью (И) = (ИД Но масса, содержащаяся
в жидком объеме (ИД
Ц/ Нп 0«и,
не должна, по определению (ИД изменяться со временем, так что
А Л „V-°.
<^>
Для вычисления этой производной рассмотрим массу, содер-
жащуюся в жидком объеме (И#+дД где ЬЛ мало. Эта масса равна
f J /₽(П^ + ДО^,
где Г1 = Введем в этом интеграле новые перемен-
ные х, у, z с помощью соотношений
dx
х + Дх = х + — Д/+ ... =х + »а,(х,з',г;/)Д/4- ....
Л = > + = У + Д< + • • • = У + vy (х,у, z\ t) Lt + ..
*1 = z + Lz — z + Lt 4- ... = z -|- ve (x,y, z; t) Lt -|- ....
34 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
^м+...
ду
^дг+-
ДЬд<+...
ду
-^д;+...
дг 1
dvv
-гг4,+ -
dz
где опущенные в каждой формуле члены имеют высший порядок
малости относительно ДЛ Областью интегрирования в новых пере-
менных будет вновь (ИД а функциональный определитель
д (хуур zQ
д (х, у, z)
1 , Ах I
1 + М + . . .
дх
dvy
= -Ль|--
дх 1
>Д^+...
дх 1
= 1 + div©- Д^+ •••»
где отброшенные члены
тельно Д/. Стало быть,
Шр(г,;/ + Д0йИ1 =
- .
= J* J* § р (г; f ДО (I + div © • Д/ -f-...) rf V
1
имеют высший порядок малости относи-
и
(^4-д#)
| |р(г;/МИ
p(r;/+AQ —р(г,0 dV +
М
+ р(ги + д0 div©-diz+ ...,
J<v() •
откуда, переходя к пределу Д/-> 0, найдем, что
(>р (Г,) (Vt)
Приравнивая это выражение нулю и учитывая, что объем
произволен, мы вновь найдем (3.1).
Перейдем теперь к выводу уравнения движения идеаль-
ной жидкости, которое носит название уравнения Эйлера,
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
35
Выделим опять в потоке некоторый объем (V), ограниченный
гладкой замкнутой поверхностью (S), и представим себе всю
жидкость, находящуюся в момент t вне (S), удаленной из
потока. Тогда ее воздействие на оставшуюся в (V) жидкость
может быть заменено силами, распределенными по (S). Под
идеальной жидкостью понимают такую жидкость (или газ),
для которой эти силы можно считать нормальными к (S)1).
В силу известных опытных фактов эти силы направлены
внутрь (S), т. е. являются силами давления, причем плот-
юность распределения их величины р = р (г; f) зависит только
не считая, конечно, зависимости от времени) от точки при-
ложения г, но не зависит от направления нормали к (S)
в этой точке (закон Паскаля). Таким образом, равнодействую-
щая сил давления, приложенных к (S) в момент t равна
— р (г; Z) п dS,
(S)
где п — единичный вектор внешней нормали к (S).
Допустим, далее, что на жидкость действуют силы G (г; /),
отнесенные к единице массы, так что равнодействующая этих
сил в объеме (V) равна
/ f fp(r;t)G(r-t)dV.
(V)
Учитывая, что равнодействующая сил инерции, действую-
щих на жидкость в (IZ), равна
(V) (V)
мы получаем следующее векторное равенство:
(У) * (S) " (У) ’
Т. е. в идеальных жидкостях касательной к (S) составляю-
щей этих сил можно пренебречь. В противном случае жидкость
называется вязкой.
36 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
Преобразуем первый интеграл в правой части в объемный.
Так как
где
in = cos a, jn = cos(3, A,„ = cos-f
суть проекции ортов /, j, k на направление внешней нор-
мали п к (S), то по формуле Остроградского имеем:
div (pl)dV = J | J d£dV.
(И)
Аналогично,
J‘ J' ,f I.(J’T.111'-
(S) (V) (S) (F)
Следовательно,
dV =
(8)
(3-2)
(У)
= I J j gradp -dV.
(П
Подставляя это выражение в найденное выше векторное
уравнение, получим соотношение
f J I {p^ + gradp-pG|rfK= О,
' (У)'
из которого в силу произвольности (У) следует, что
P^ + gradp—pG = O,
или
^=-lgradp + G.
Это и есть уравнение Эйлера в векторной форме.
(3.3)
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
37
(3.3')
Не представляет труда записать три скалярных уравне-
ния, которые равносильны векторному уравнению Эйлера.
Пусть
G = 0^4-0^ 4-G^.
Тогда
dt р дх ' dt р ду ‘ У
_ 1 j G
dt р dz г z'
Следует иметь в виду, что в левых частях этих уравнений
стоят материальные производные.
Итак, для пяти неизвестных скалярных функций, харак-
теризующих движение идеальной жидкости, а именно: vy,
vZ9 р и р, мы имеем всего четыре скалярных уравнения (3.1)
и (3.3')- Необходимое пятое уравнение должно являться вы-
ражением какого-либо еще неучтенного свойства рассматри-
ваемой жидкости. В качестве такового возьмем свойство
баротропности
(3.4)
по которому давление в каждой точке жидкости является
функцией только от плотности в этой же точке в тот
же момент1).
Уравнения гидродинамики идеальной баротропной жидко-
сти, очевидно, нелинейны. Однако в некоторых весьма важ-
ных случаях они могут быть сведены к линейным в резуль-
тате ряда упрощающих предположений.
Рассмотрим малые колебания газа, при которых мы можем
положить
Р = Ро(1+м)> (3.5)
где и —и (г, f), так называемое уплотнение*), является малой
величиной, которой можно пренебречь по сравнению с еди-
]) Так, например, для несжимаемых однородных жидкостей р =
= const.; для газа при постоянной температуре р = Ср, где С —
некоторая постоянная; при быстрых колебаниях газа, когда процесс
может считаться адиабатическим, р = Ср1, где С — некоторая по-
стоянная, а 7— отношение теплоемкостей (для атмосферного воз-
духа 7 = 1,408).
2) Отрицательное уплотнение означает, конечно, разрежение.
38 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
ницей1); постоянная р0 обозначает некоторую среднюю плот-
ность газа. Предположим, далее, что и grad и является малым
ди ди ди
вектором, т. е. что суть малые величины,
которыми можно пренебречь по сравнению с единицей.
Предположим, наконец, что такими же малыми величинами
являются: вектор ф, т. е. vx, vy, vz, и его частные произ-
водные первого порядка по х, у, z.
Первым следствием из этих условий малости является то,
что материальные производные от плотности и вектора ско-
рости можно считать равными местным производным:
г/р __ др do _ до
dt ~~ dt ’ dt ~ dt '
Действительно, членами, учитывающими перенос точки в по-
токе,
др . др . др / ди . _ ди . ди\
фх ~- -4- Vy-f- Ч- vz -3- = р0 3- + 'Ру + Ч? з-
х дх 1 У ду 1 * dz ги\хдх‘ у ду 1 * dz J
и
до . до . до
'°xdxJr'Vydy’JrVz dz
можно в рассматриваемых условиях пренебречь как величи-
нами высшего порядка малости.
Линеаризированное уравнение неразрывности принимает
теперь следующий вид: — pdivo, или
ди । .. л
-37 -4- div ф — О,
at
О Здесь нужно сделать следующее замечание о линеаризации
уравнений путем пренебрежения малыми величинами. При этом про-
цессе в каждом уравнении следует оставлять члены низшего по-
рядка малости, отбрасывая члены высших порядков» Так, например,
в принятых условиях малости уравнение (3.5) сведется просто к со-
отношению р == р0. Однако из этогоне следует, что и в других урав-
нениях можно полагать р равным ро> так как в этих уравнениях
члены, не являющиеся малыми величинами, могут взаимно уничто-
жаться, и в этом случае данные уравнения будут представлять со-
бой соотношения между малыми величинами (одного и того же по-
рядка малости). К таким уравнениям как раз и относятся выведен-
ные дальше в тексте линеаризированные уравнение неразрывности
и уравнение Эйлера.
ТРЕХМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
39
так как^ = Ро^, а
р div v = р0 div V 4~Ро и div v,
причем последним слагаемым можно пренебречь.
Уравнение Эйлера упрощается следующим образом. В пер-
вую очередь
57 =- jgrad/(P)4-O,
где
у grad / (р) = grad р = р0 grad и;
далее, предполагая функцию /(р) дважды дифференцируемой,
имеем:
rm=/4P)| +„=Щ+„,
Р Р |w®0 р0 1
где в некоторой точке между 0 и и. Следова-
тельно, при наших предположениях малости линеаризированное
уравнение Эйлера примет вид
= —/(Po)grad« + G.
Образуя дивергенцию обеих частей этого векторного равен-
ства и учитывая, что
л dv д д2и
divdi=di6ivv==-dfi
(по линеаризированному уравнению неразрывности), найдем
соотношение
=7' (Ро)dlv grad а — div G =/'( р0) Да — div G,
где
,. , А д*и . д2и . д2и
div grad и = ки — „ + з—«+ з-а
s dx2 1 dy2 1 dz2
— так называемый лапласиан и. Так как с возрастанием плот-
ности давление, очевидно, также должно возрастать, то /' (р0)
Должно быть положительным числом:
Г(Ро) = «2-
40 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
Полагая, наконец,
— divG = g(x, у, z\ t),
мы можем переписать полученное уравнение в виде
д2и а/д2и . д2и । д2и\ , А
— а2 (т-s + = К (*, З', О- (3.6)
dz2 \дх2 1 ду2 ’ dz^J ь \ \ /
Уравнение (3.6) называется трехмерным волновым уравне-
нием.
Если и — и (х, у, z\ t) означает, как в нашем случае,
уплотнение при малых колебаниях газа, то (3.6) называется
также уравнением акустики. Заметим, что тогда как в урав-
нениях колебаний струны и мембраны (§§ 1 и 2) искомая
функция и являлась отклонением точек колеблющегося кон-
тинуума от их положения покоя, в уравнении акустики и
имеет совершенно другой физический смысл.
Перейдем к рассмотрению начальных и краевых условий
задач акустики. Пусть жидкость или газ занимают в про-
странстве объем (V). В начальный момент t = 0 должно быть
задано уплотнение в каждой точке (V):
« |«=0 ,
и распределение скоростей:
v |i=o •
Это дает начальные условия в виде
«|«=о=/(х, у, z)
И
Tt L = —div ® k=o = F(x> у> (3-7)
где /(x, y, z) и F(x, y, z) заданы в (V).
Что касается краевых условий, то мы рассмотрим два
важнейших случая. Пусть (S) — гладкая поверхность, огра-
ничивающая (V). Можно представить себе, 4jo на некото-
рых ее частях (SJ поддерживается заданное давление /?1 =
= pi (х, у, z-, /), достаточно мало отличающееся от pQ =
=/(р0). Пусть ему соответствует по уравнению баротроп-
ности плотность pj(x, у у z\ t) такая, что р1=/(р1). Тогда
на (Si) мы должны иметь:
«==£1 —1 =®(х, у, г; /),
НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧ АКУСТИКИ
41
где функция <р задана в точках (SJ. Другие части (5), кото-
рые мы обозначим через (S2), могут представлять собой не-
подвижную стенку1), вдоль которой, стало быть, нормаль-
ная производная скорости должна быть равна нулю: vn = Q.
Но vn = (v, п), где п — единичный вектор нормали к (S2),
и, следовательно,
dvn_(dv \
dt~\dt’ пГ
Подставляя сюда выражение для из линеаризированного
уравнения Эйлера, получим соотношение
~ 7' (Ро) ferad «, п) + Оп = - а2 + Gn,
где Gn — проекция G на вектор нормали п. Так как вдоль
неподвижной стенки vn = 0 для всех времен, то и = О,
и мы находим, что на (S2)
Таким образом, краевое условие имеет следующий вид:
«1(8,) = <Р {х, у, z-, t), (3.8а)
^|к=Ф(х,Лг;0, (3.86)
т. е. заданными на границе области являются либо само и
либо Отметим, что если р1=р0, т. е. pj = р0, то ср = О,
и тогда условие (3.8а) принимает особенно простой вид:
фх) = °-
Аналогично, если отсутствуют силы G: G — 0, то условие
(3.86) принимает простой вид:
*) Нетрудно вывести также краевое условие, соответствующее
Пенке, движущейся по заданному закону.
42 § 3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАДАЧИ АКУСТИКИ
Математическая задача акустики состоит, стало быть,
в том, чтобы найти функцию и== и(х, у, z-f t), которая
удовлетворяла бы уравнению (3.6), начальным условиям (3.7)
и краевому условию (3.8а — б). Зная и, легко найти и поле
скоростей V. Действительно, по линеаризированному уравне-
нию Эйлера находим а так как ф|#==0 должно быть за-
дано, то v находится простым интегрированием. Как было
показано в начале этого параграфа, мы можем, зная поле ско-
ростей, найти и траектории частиц жидкости или газа.
В том случае, когда можно считать, что уплотнение и не
зависит от z, т. е. когда состояние газа в плоскости х, у
повторяется во всех параллельных плоскостях, уравнение (3.5)
(в котором g не должно зависеть от г) полностью совпадает
с уравнением колебаний мембраны (2.1). Такая задача назы-
вается двумерной задачей акустики. Начальные условия (3.7)
принимают вид (2.2). Поверхность (S) превращается в данном
случае в бесконечную цилиндрическую поверхность с обра-
зующими, параллельными оси z, а краевое условие относится
к направляющей этой цилиндрической поверхности в плоско-
сти х, у. В частности, если (5) — неподвижная стенка, то
краевое условие для задачи двумерного колебания бесконеч-
ного столба газа внутри (S) (в случае отсутствия сил О)
будет иметь вид:
=0.
дп [(£)
где (L) — направляющая (5).
Если уплотнение и и g не зависят ни от г, ни от у, то
мы имеем одномерную задачу (в этом случае в каждый мо-
мент времени и постоянно во всех плоскостях х = const.).
Уравнение (3.6) в этом случае совпадает с уравнением коле-
баний струны (1.1), начальные условия принимают вид (1.2),
а краевое условие относится к двум плоскостям, перпенди-
кулярным оси х. Так, например, если х = 0 и x = Z—не-
подвижные стенки, то краевое условие для задачи одномер-
ного колебания газа между этими двумя стенками (в случае
отсутствия сил О) будет иметь вид:
ди 1 __ди_\ _____q
ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
43
§ 4. Телеграфное уравнение и связанные с ним задачи.
Уравнение электромагнитных колебаний
Представим себе электрическую линию (тонкий проводник),
расположенную вдоль оси х. Ее распределенные постоянные
обозначим через /?, L, С и G, где R — сопротивление, L —
самоиндукция, С—емкость и G — коэффициент утечки, отне-
сенные к единице длины линии. Электрическое состояние линии
предполагается вполне определенным двумя величинами — на-
пряжением v (разностью потенциалов по отношению к земле)
и током /, которые зависят только от абсциссы сечения ли-
нии х и времени /, (х;/), Z = Z (х, t). Нетрудно уста-
новить те два дифференциальных уравнения, которым эти
функции должны удовлетворять.
Рассмотрим отрезок линии между сечениями х = xt и
х = х2. Падение напряжения v (х2; f) — v (xf, t) на этом отрезке
складывается из двух величин:
,Tj, х~,
— R [ i(х- I) dx и — L [ dl {xd't dx,
xL xt
т. е. из разностей потенциалов, обусловленных, соответственно,
активным сопротивлением и самоиндукцией. Так как, с другой
стороны,
® (х2; 0 — v (хр t) = J dx,
то имеет место равенство
J(sj + «' + L5?> = 1’'
Я?!
из которого, в силу произвольности Xj и х2, следует, что
g + (4.1)
Обозначим, далее, через e(t) заряд отрезка (хр х^ линии
в момент t. Скорость его изменения е' (f) складывается из
44 § 4. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
двух величин: отнесенной к единице времени утечки заряда
— G j* f (х; /) dx,
и отнесенного к единице времени количества электричества,
идущего на заряжение рассматриваемого отрезка линии,
J ot
Таким образом,
е' (I) = — | (gv + С dx.
Но, с другой стороны, e'(f) есть, очевидно,
i (х2‘> 0 —1 (xi’> 0 = [ ~1 ~dx >
так что имеет место равенство
J(^+Ov + C^)«x = 0,
или
ё+°"+с^ = о-
Из двух уравнений (4.1) и (4.2) нетрудно исключить лю- *
бую из неизвестных функций v и z. Например, дифференцируя
уравнение (4.2) по t, найдем соотношение
(} —4-С—= 0
dtdx^udt*bdP ’
а дифференцируя (4.1) по x, получим, что
d2v д_/? di I т дЧ — о
dx*'!* dx~TL dxdt~V’
ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
45
откуда
д2/ d2i
dt дх dxdt
1 d2v
1 дЪ R di
L дх2 L дх
R ( п г дх)\ 1 d2v . RG . RC dv
---Ld72~T{-~ °V-Cltr- Т^+“Г1'+-£-^
в силу самого уравнения (4.2). Подставляя это выражение
д2/
Для "дГдх В пРедыдУи^ее равенство, найдем следующее уравне-
ние для
d2v RC + LG dv >RG 1 d2v __
LC dt'LC'0 LCdx2~^'
Это уравнение называется телеграфным уравнением. Его
можно привести к более простому виду. Введем новую не-
известную функцию
(4.3)
и = e)Jv,
. RC + LG „
где Х===—2ZC—‘ Тогда
-у = е~ии, = е~}Л( — ки +
’ dt \ 1 dtr
&V + СИ I д2и\ и
— — №и— 2Х 4- -з— , — ==^-^ —
dt2 \ dt 1 dt*) дх2 дх2
и, следовательно, уравнение для и будет иметь следующий
вид:
d2U к
_ — &и — л2 — = О,
д/2 дх2 ’
(4.4)
где
^__(RC-LG)2
~ LC' 4L2C2
Уравнение (4.4) отличается от одномерного волнового
уравнения (1.1) при g = 0 только наличием в левой части
гак называемого дисперсионного члена —№и. Когда между
постоянными линии имеет место соотношение
L ~~ С 9
b = Q и уравнение (4.4) полностью совпадает с (1.1) при
£ = 0. При выполнении указанного соотношения между по-
стоянными мы имеем так называемую линию без искажения:).
J) Обоснование этих наименований выяснится в § 20.
46
§ 4. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
Рассмотрим конечную линию протяженностью от х = О
до х = 1, начало которой (х==0) в момент /=0 включается
на переменное напряжение V (t). Допустим, что в начальный
момент t = 0 распределения напряжения и тока вдоль линии
суть
^lt=o = ^oW> 'lf=o = /oW-
Из уравнения (4.2) при / = О найдем, что
dv I G । 1 di I G z x 1 ./ z x
dt lz=0 — ~C — СЦ=0 CV°^~C Z°(
так как = 4(х). Замечая, далее, что «|i_0 = ®|i=0
и = ’ мы получаем в дополнение
к уравнению (4.4) следующие начальные условии:
U\t^O^Vo(X)=f(x),
|y|f = o==^oW ——1/о(х)= (4.5)
/?С— LG z х 1 / ч 0/4
2LC С ’
где /(х) и F(x) заданы в интервале (0, /).
Если в момент t = 0 линия была разомкнута, то т/0 (х) s О,
/О(х) = 0 и, стало быть, /|х) = 0, F(x)==O.
Краевые условия должны состоять здесь из условий, отно-
сящихся к началу линии х = 0 и ее концу х = /. При х = О
мы имеем:
“ 1®= о = e>tv U = V W- (4.6а)
Условие на конце линии зависит от ее нагрузки. Ограничимся
здесь рассмотрением двух простейших случаев короткозамкну-
той и открытой на конце линии. Если линия короткозамкнута,
то р|Д7=г = 0, т. е.
"la,ei = O- (4.66')
Если же конец х — 1 открыт, то i\ —
di I
— =0, откуда по (4.1) следует, что
^1 =0.
dx L=z
О и, следовательно,
dv | л
— —О, т. е.
dx L»!
(4.66")
УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
47
Рассмотренная нами задача состоит, таким образом, в инте-
грировании, уравнения (4.4) при начальных условиях (4.5)
и краевом условии (4.6а) и (4.66х) или (4.66").
Аналогичную задачу можно поставить для полубесконечной
(«длинной») линии, простирающейся от х = 0 до бесконеч-
ности. В этом случае краевое условие будет состоять из (4.6а).
В случае линии, бесконечной в обе стороны, краевое условие
вообще отпадает.
Если из уравнений (4.1) и (4.2) исключить V, то для i
мы получим уравнение вида (4.3), так что и=е}4 будет
также удовлетворять уравнению (4.4). Не представляет труда
сформулировать соответствующие начальные и (в простейших
случаях) краевые условия.
Уравнение (4.4), как было указано выше, является одномер-
ным волновым уравнением с дисперсионным членом. Трехмер-
ное (как и двумерное) волновое уравнение с дисперсионным
членом также принадлежит к числу основных уравнений мате-
матической физики. Оно описывает, в частности, электро-
магнитные колебания в неподвижной среде при отсутствии
пространственных зарядов, и является простым следствием
из уравнений Максвелла.
Покажем это. С этой целью в уравнениях Максвелла
. 17
го‘£=-^’
rot И = 4тсуЕ +
dE
dt
div (е£) — 4кр, div (р//) = О
(4.7)
положим плотность электрических зарядов р = 0 и примем,
что диэлектрическая постоянная е, магнитная проницаемость у.
и удельная проводимость 7 суть постоянные. В этих предпо-
ложениях не представляет труда исключить из уравнений (4.7)
вектор магнитной напряженности Н и получить уравнение для
вектора электрической напряженности Е. С этой целью обра-
зуем роторы обеих частей первого уравнения Максвелла и
приравняем их друг другу:
rot rot Е = — р rot = — и ^7 rot Я,
r dt r dt 9
откуда в силу второго уравнения Максвелла следует соотно-
шение
г. ... д(л к । дЕ\ л дЕ
rot rot Е =-----н + 8 Tt ) - - 4kR .
48
§ 5. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Но так как
rot rot Е = grad div Е — ДЕ,
а по нашим предположениям, в силу третьего уравнения Макс-
велла div Е = 0, то полученное выше соотношение принимает
вид:
д2Е , л дЕ А1? А
!xs + — =0-
Если обозначить через Ех, Еу) Ег проекции вектора Е на
оси координат, то каждая из этих проекций как функция
от х, у, z и t удовлетворяет, следовательно, уравнению
электромагнитных колебаний
д2Е , . дЕ п
Преобразуем это уравнение введением новой искомой функ-
ции и — еиЕ, где X = —. Так как
8
— — e->t(___Х« 4-—— — e-)Jtfxa«_______2Х — 4-—
dt е \ ™ f- д( у, df — е \ки £Kdt~V dti)<
а Д£ = е~и Lu, то наше уравнение примет вид:
^_/)2и__а9Ди==0) (4.8)
где й2 = ^, = Уравнение (4.8) и является трехмер-
ным волновым уравнением с дисперсионным членом — Ь2и.
На формулировке задач математической физики, которые свя-
заны с ним, мы останавливаться не будем.
§ 5. Задачи теплопроводности
Обозначим через р == р (г) плотность вещества, через
с = с (/*) — удельную теплоемкость и через и = и (г; /) — тем-
пературу. Первые две величины, являющиеся, вообще говоря,
функциями точки, мы предполагаем не зависящими от времени.
Экспериментально установленный факт, что при разных тем-
пературах в различных точках тела имеет место переход те-
плоты от частей с более высокой температурой к частям с менее
высокой температурой, может быть облечен в следующую
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
49
точную форму: количество теплоты, отнесенное к единице
времени, проходящее через некоторую площадку в выбранную
от площадки сторону, равно потоку через эту площадку
в указанную сторону вектора Q — — k grad и, где k — k (г) —
некоторая положительная величина, зависящая от вещества и
называемая коэффициентом внутренней теплопроводности.
Для однородного вещества k постоянно.
Если мы выделим некоторый элемент в рассматриваемом
теле, то приращение количества теплоты в нем происходит
за счет притока теплоты извне вследствие теплопроводности,
а также за счет действия тепловых источников, которые могут
находиться в данном элементе. Плотность этих тепловых
источников обозначим через 0=0 (г; /); это означает, что
количество теплоты, отнесенное к единице времени, которое
порождается этими источниками в объеме (V), равно
[ [ Jo(r; t)dV.
' (Ю
Если количество теплоты в рассматриваемом элементе изме-
нится, то изменится и температура в каждой точке элемента.
Это и дает возможность составить уравнение.
Пусть выбранный элемент (V) есть часть тела, ограничен-
ная кусочно-гладкой поверхностью (S). В момент t в нем
содержится количество теплоты
Г f Гс w м (r; ^dv-
Скорость изменения во времени этого количества теплоты
/ I fc(r)p(r)^-dy
(V)"
составляется из действия источников
(И
и отнесенного к единице времени количества теплоты
Qn (л 0
(S)
50
§ 5. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
которое попадает внутрь элемента вследствие теплопровод-
ности. В этом выражении Qn(r; /) обозначает проекцию век-
тора Q = Q(r; t) на внутреннюю нормаль к (5).
Таким образом, мы должны иметь равенство
J' J = f рХИ.
(П (S) (V)
Но по теореме Остроградского
$QndS = — J J у div QdV — f f f div(Agrad u)dV.
(8) (V) J (V)
Следовательно,
J | — div (A grad rz)—o|rfH = 0,
J (V) J
а так как (V) — произвольная область, то отсюда следует,
что
ди
ср д? — div (k grad и) = G
в любой внутренней точке тела. Наиболее важным является
тот случай, когда с, р и k постоянны. Тогда полученное
уравнение принимает особенно простой вид, а именно:
ср ~ — k kii — G
Г OL
или
—aaAzz==g(x, у, z; f), (5.1)
где а’ = и У> г> 0 = ^0 (П 0-
сг Lr
В отличие от волнового уравнения уравнение теплопро-
водности (5.1) содержит только первую производную по вре-
мени. Соответственно этому мы и имеем только одно началь-
ное условие
Ч-о ==/(*, У, Z)- (5.2)
задающее распределение температуры в начальный мо-
мент t = 0.
КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ
51
Если тело не занимает всего пространства, то на границе
тела (S) должно выполняться некоторое краевое условие,
также вытекающее из физических соображений. Возьмем ка-
кую-нибудь часть (S') границы тела (S). Во всех точках (S')
проведем внутренние нормали к (S) и на них отложим по
отрезку одной и той же, достаточно малой, длины 8. Концы
этих отрезков будут лежать на некоторой поверхности (Sx)
внутри тела, которая вместе с (S') и отрезками нормалей
ограничивает некоторую область
в направлении к (S') за счет
внутренней теплопроводности
проходит количество теплоты
(отнесенное к единице времени),
равное
dS,
(<)
ди *
где обозначает производную
по направлению нормали от (S )
к (Si). Это количество теплоты, вместе с отнесенным к еди-
(Vs) (фиг. 4). Через (Si)
нице времени количеством теплоты, порождаемым источниками
в объеме (Vs), должно равняться сумме отнесенных к единице
времени количеств теплоты, которые выходят через (S') во
внешнюю среду (вследствие так называемой внешней тепло-
проводности) и через боковую поверхность (Vs) внутрь тела,
и того количества теплоты, которое идет на повышение тем-
пературы объема тела (Vs). Последние два количества, а также
количество теплоты, порождаемое источниками в (Vs), стре-
мятся, очевидно, к нулю при 8 0. Что же касается внеш-
ней теплопроводности, то за ее счет по известному закону
охлаждения во внешнюю среду через (S') выходит (отнесен-
ное к единице времени) количество теплоты, равное
| | h(u — U)dS,
<s')
где называется коэффициентом вне [иней теплопро
52
§ 5. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
водности, a U есть температура внешней среды в рассматри-
ваемой точке границы тела. Величины h и U могут зависеть
от точки границы (S), a U может, кроме того, зависеть
от времени.
Таким образом, переходя к пределу при О, мы полу-
чаем соотношение
[ I k^dS — ( h(u-U)dS,
'(S') '(S;)
ди
где обозначает производную в направлении внутренней
нормали к (S). В силу произвольности (5х) мы получаем сле-
дующее краевое условие для уравнения теплопроводности'.
на (S) k^ = h(u — U). (5.3)
В частности, если на границе тела имеется теплоизоля-
ция, то h = 0 и краевое условие принимает вид:
Другим предельным случаем является следующий. Разделим
условие (5.3) на h и устремим h к бесконечности. Тогда мы
получим условие:
и |(3) = и (х, у, г; 0,
означающее, что на границе тела задано распределение темпе-
ратуры самого тела.
Математическая задача состоит, стало быть, в том, чтобы
найти такое решение уравнения (5.1), которое удовлетво-
ряло бы начальному условию (5.2) и краевому условию (5.3).
Наряду с поставленной выше трехмерной задачей тепло-
проводности можно рассматривать также двумерные и одно-
мерные задачи.
Двумерная задача теплопроводности
dt а \dx* дуН §(~Х’ У’ >
«|,=0=/(^ У),
на (S) k^=h(u — U)
ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 53
относится к распределению температуры и = и (х, у\ /) в бес-
конечном цилиндрическом теле, параллельном оси г, сечение
плоскостью х, у которого имеет своей границей замкнутую
кривую (S). Вдоль каждой прямой, параллельной оси г,
внутри этого цилиндрического тела температура имеет одно
и то же значение (изменяющееся, вообще говоря, со временем).
Одномерная задача теплопроводности
ди 9 о7 и z ..
i}’
u\t!=0=f(x),
*Й| — h(u — U)\ , — h{u — U)\ >)
°x la?=0 1^0 °x L’-I Ы
относится к распределению температуры и — и (х; f) в про-
странстве между двумя плоскостями х = 0 и х = /(/> 0),
причем в любой точке плоскости, перпендикулярной оси х
и лежащей между двумя указанными граничными плоскостями,
температура имеет одно и то же значение (изменяющееся,
вообще говоря, со временем).
Можно рассматривать и другие задачи теплопроводности,
в которых температура зависит только от одной или двух
пространственных координат и от времени. В отличие от одно-
мерной и двумерной задач мы будем эти задачи называть
линейной и плоской.
Линейная задача теплопроводности состоит в следующем.
Рассмотрим тело, имеющее форму настолько тонкого (прямого
или изогнутого) стержня, что температуру во всех точках
каждого его поперечного сеченияеможно считать одинаковой
(она может, конечно, изменяться от сечения к сечению, и
в каждом сечении со временем) и что температуру U внеш-
ней среды можно считать одинаковой во всех точках пери-
метра каждого поперечного сечения. Эти предположения
позволяют свести число пространственных координат к одной,
п о , да I ди\ ди I д«|
J) В данном случае -т—I = -z—I , а —
dx|a,==o dn\a,==j
гак как направление внутренней нормали относительно части про-
странства, заключенной между плоскостями х = 0 и x = Z>0, со-
впадает в точке х = 0 с направлением оси х, а в точке х = I
противоположно ему.
54
§ 5. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
а именно длине дуги средней линии стержня, отсчитываемой
от некоторой фиксированной точки (обозначим эту коорди-
нату через х), а также включить краевое условие, относя-
щееся к боковой поверхности стержня, в само дифферен-
циальное уравнение.
Для вывода этого дифференциального уравнения обозна-
чим через q — q (х) площадь поперечного сечения стержня,
а через р = р (х) — периметр. Возьмем два сечения х = хг
и х —х2 нашего стержня и рассмотрим часть стержня, за-
ключенную между ними. Скорость изменения со временем
заключающегося в этой части количества теплоты
а?2
Г /j
J
а?!
должна составляться из следующих слагаемых:
(qk^) ~(qk^-} ^(^-(qk^dx,
\ V дк)х .1 дх\ч дх)
X,
— j* hp (и — U) dx,
Xi
J qG dx,
Xi
где первое выражение есть* отнесенное к единице времени
количество теплоты, входящее в рассматриваемую часть
стержня через сечения х=^х1 и х = х2 за счет внутренней
теплопроводности, второе — отнесенное к единице времени
количество теплоты, входящее через боковую поверхность
стержня вследствие внешней теплопроводности, и третье-—
отнесенное к единице времени количество теплоты, поро-
ждаемое источниками в рассматриваемой части стержня.
Таким образом,
^2
.({w^+hp(u-u)-^qk^-qG}dx^.
а?!
ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
55
В силу произвольности хг и отсюда следует, что в любой
внутренней точке стержня
cpq^ + hp(u-U)-±(qk£) = qQ.
Если с, р, k, h9 q и р постоянны, то это уравнение прини-
мает простой вид:
^. + b4u_U)_a^ = g(x. t), (5.4)
где а2 = —, й2 = и g (х; f) = — О (х; /).
ср 9 cpq О \ / Ср \ > /
Линейное уравнение теплопроводности (5.4) отличается
как мы видим, от одномерного только наличием члена
b\u — U) i).
Начальное и краевое условия для линейной задачи остаются
теми же, что и для одномерной:
« Uo =ЛД
k^-\ — h(u — U)\ , — k^-\ ==й(«—U)| >
^1®=о 4 k=o ^1ж=1 4 l®-i
если стержень простирается от х = 0 до х = /. Здесь под
t/|a.==0 и следует понимать температуры (зависящие,
вообще говоря, от времени), при которых поддерживаются
Фиг. 5.
торцевые сечения стержня (фиг. 5), тогда как U в уравне-
нии (5.4) означает температуру внешней среды, граничащей
с боковой поверхностью стержня.
Специальный интерес представляет случай замкнутого
стержня, т. е. тонкого кольца. Если длина его средней ли-
нии равна /, то начальная функция /(х) должна удовлетво-
J) Поэтому одномерное уравнение теплопроводности часто назы-
вают уравнением теплопроводности для стержня, имея в виду стер-
жень, боковая поверхность которого теплоизолирована.
56
§ 5. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
рять условию f(x~\- I) = /(х). Краевое условие как таковое
здесь отпадает и заменяется требованием периодичности:
и(х-|-/; Z) = z/(x; t); ux(x-]-l; f) — ux(x\ /)
для всех значений х и t.
Для постановки плоской задачи теплопроводности рас-
смотрим тело, имеющее форму тонкой пластинки, срединную
поверхность которой можно считать плоской, а толщину на-
столько малой, что температуру можно считать одинаковой
во всех точках каждого перпендикуляра к ней. Пусть средин-
ная плоскость пластинки занимает область (D) плоскости х, у,
ограниченную замкнутой кривой (£). Тогда мы можем огра-
ничиться только двумя пространственными координатами х
и у и, аналогично предыдущему случаю линейной задачи,
включить краевое условие, относящееся к ее поверхностям,
в само уравнение. Обозначим через 8 = 8 (х, у) толщину пла-
стинки, а через U+ и U— — температуры внешней среды над
и под пластинкой. Рассуждения, аналогичные проведенным
выше !), приведут нас к следующему уравнению:
срЗ + h (2и — U+ — U-) — /- (8й ~ (зй = 30,
г dt 1 v r J дх\ дх J ду\ ду) ’
или, если с, р, k, h и 8 постоянны, к уравнению
ди . , о / Z7+ + U- \ 0 / д2и . д^и \ , А
где «2 = 77 > = и (х> У> = 7^ ° (х’ -у; Началь-
ное и краевое условия имеют тот же вид, что и в двумер-
ной задаче:
Ч=о=/(х’ у)>
на (L) k^ = h{u-U),
где под U следует понимать температуру, при которой под-
держивается край пластинки.
*) Вместо формулы Ньютона-Лейбница, которая применялась
в линейном случае для преобразования выражения отнесенного
к единице времени количества теплоты, выходящего через сечения
стержня, в данном случае нужно применить для преобразования
соответствующего выражения формулу Остроградского на плоскости.
УРАВНЁНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
57
§ 6. Основные задачи теории потенциала
Рассмотрим стационарное электрическое (электростатиче-
ское) поле, т. е. поле, в котором ничего не изменяется с те-
чением времени. Тогда в уравнениях Максвелла (4.7)
дЕ дН
dt dt
Из первого уравнения (4.7) мы находим, что rot£==0, откуда
следует, что Е = — grad я, где и — так называемый потен-
циал поля *). Считая, что диэлектрическая постоянная 8=1,
из третьего уравнения Максвелла находим, что
— div (grad и) = — Azz = 4 гр
или
Lu — — 4гр.
(6.1)
Соотношение (-6.1) называется уравнением Пуассона.
Предположим, что плотность зарядов р = р (х, у, г) отлична
от нуля в некоторой области (V) пространства и равна нулю
вне (У). Тогда потенциал и должен удовлетворять в (V)
уравнению Пуассона (6.1), а вне (V)—уравнению Лапласа
Lu = 0.
(6.2)
Таким образом, возникает задача нахождения функции
и = и(х, у, г), удовлетворяющей уравнению Пуассона (6.1)
в (V) и уравнению Лапласа (6.2) вне (У). Кроме того, функ-
ция и должна удовлетворять еще некоторым условиям на
бесконечности. В § 11 мы покажем, что эти условия должны
состоять в следующем * 2):
z/—> 0 при г = У х2у2z2 —> оо,
и для достаточно большого г
(6.3)
г21 grad и | < С,
где С—некоторая постоянная.
-1) Из соотношения rot Е = 0 по формуле Стокса следует, что
(J (Е, dr) — 0 для любого контура (С), т. е. что (£, dr) = Ех dx +
+ Eydy + Ez dz есть полный дифференциал du некоторой функции
и (х, у, г). Произвольная постоянная определяется из условия ра-
венства функции нулю на бесконечности.
2) Эти условия обеспечивают единственность решения задачи.
58 § 6. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Теория потенциала, которой посвящена глава II, изучает
свойства решений уравнений Лапласа и Пуассона, а также
краевые задачи, связанные с ними. Перейдем к постановке
основных краевых задач.
Пусть дано несколько проводников в виде пепересекаю-
щихся гладких замкнутых поверхностей (5Х), (х = 1, 2, ..$),
каждая из которых заряжена до некоторого потенциала ях.
В части пространства (Ve), внешней по отношению ко всем
поверхностям (5Х), возникает электростатическое поле, потен-
циал которого должен удовлетворять в (Ve) уравнению Лапласа
(предполагается отсутствие зарядов вне (Sx)) и на каждой
поверхности (5Х) принимать соответствующее значение их.
Кроме того, на искомый потенциал накладывается условие (6.3)
на бесконечности.
В электростатическом поле проводники (Sx) являются экви-
потенциальными поверхностями, так что граничные значения
потенциала ях суть постоянные. Нетрудно дать пример физи-
ческой постановки вопроса, приводящей к аналогичной задаче
с произвольными граничными значениями и7(х, у, z).
Рассмотрим в (Ve) стационарное температурное поле и до-
пустим, что каждая точка поверхности (5Х) поддерживается при
определенной, неизменной во времени температуре wx (х, у, г).
Тогда температура и (х, у, z) должна при отсутствии источ-
ников удовлетворять в (Ve) уравнению Лапласа (см. (5.1)) и
принимать на (5Х) заданные граничные значения ях(х, yt z).
Кроме того, на и следует наложить условие (6.3).
Математическая задача, к которой приводятся последние
два физических примера, называется первой (внешней) краевой
задачей, или внешней задачей Дирихле. Она состоит, стало
быть, в отыскании функции и=и(х, у, г), удовлетво-
ряющей вне гладких замкнутых поверхностей (Sx) урав-
нению Лапласа Lu = 0, краевому условию
M|(Sx) = “x(X> У> (х=1, 2, .... .9)
и условию (6.3) на бесконечности.
Если мы имеем конечную область (УД ограниченную по-
верхностями (5Х), х = 1, 2, ..., s и гладкой замкнутой по-
верхностью (So), содержащей все (5Х), то возникает первая
(внутренняя) краевая задача, или внутренняя задача
Дирихле, состоящая в отыскании функции и== и (х, у, z),
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
59
удовлетворяющей в (V\) уравнению Лапласа и краевому
условию
ик%) = м«(х’ у’ г) (а = °, h •••> 5)-
Примером физической реализации этой задачи может также
служить стационарное температурное поле в (VJ с предписан-
ной на граничных поверхностях температурой.
Рассмотрим теперь стационарный поток идеальной несжи-
маемой жидкости. Из уравнения неразрывности (3.1) следует,
что div v — 0. Если ф = grad и, то и1), так называемый потен-
циал скоростей, должен удовлетворять уравнению Лапласа
div grad и — Ди = 0. Если жидкость заполняет все простран-
ство вне нескольких неподвижных препятствий в виде гладких
замкнутых поверхностей (5Х) (х = 1, 2, $), которые она
обтекает без отрыва, то в каждой точке (Sx) мы имеем
условие tfn = 0, где фп— проекция скорости я на нормаль
к (Sx). Но фп—^. и, следовательно, -|^=0 на (Sx). Воз-
никает задача: найти функцию и, удовлетворяющую вне (Sz)
уравнению Лапласа и краевому условию: на (Sx) =
= 0 (х== 1, 2, ..., s). Кроме того, на искомую функцию и
следует наложить некоторые условия на бесконечности2).
К той же математической задаче приводит рассмотрение
стационарного температурного поля вне теплоизолирующих
поверхностей (Sx) (см. § 5). Эта задача является частным
случаем второй (внешней) краевой задачи, которая состоит
в отыскании функции и = и (х, у, г), удовлетворяющей
вне (Sx) уравнению Лапласа, краевому условию
| = и'х(х, у, г) (х = 1, 2, ..., $)
°п *(8Х)
и условию (6.3) на бесконечности. Здесь и*(х, у, z} является
функцией, заданной на (Sx).
Если функция и должна удовлетворять уравнению Лапласа
в конечной области (V^, причем на граничных поверхностях (Sa)
(a = 0, 1, $), из которых (So) содержит все остальные,
*) Как известно, существование функции и, такой, что я = grad и
равносильно равенству rot® = 0, т. е. отсутствию вихрей в потоке.
2) Подробнее об этом см. в § 33.
60 § 6. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
предписаны значения и^ {х, у, г) нормальной производной ,
то мы имеем внутренний случай второй краевой задачи.
Он возникает, например, при рассмотрении стационарного
температурного поля в (У) с теплоизолирующими граничными
поверхностями (в этом случае все z/a =. 0).
Под третьей краевой задачей понимают задачу отыска-
ния функции и = и{х, у, г), удовлетворяющей уравнению
Лапласа в (Уе) {внешний случай) или {V^ {внутренний
случай) при краевом условии, состоящем в том, что на
каждой граничной поверхности заданы значения
, ди .
k-z----hu.
on
В случае внешней задачи на функцию и следует наложить
еще условие (6.3) на бесконечности.
Третья краевая задача возникает в стационарном темпера-
турном поле, если на граничных поверхностях коэффициент
внешней теплопроводности h конечен и отличен от нуля.
В этом случае k — hu = — hU (см. (5.3)), где U — темпе-
ратура внешней среды в точках граничных поверхностей.
Первая и вторая краевые задачи теории потенциала
являются, очевидно, частными случаями третьей.
Приведенные выше трехмерные задачи теории потенциала
легко переносятся, конечно, и на двумерный случай. Суще-
ственным отличием двумерного случая от трехмерного являются
лишь условия на бесконечности, которые нужно наложить при
формулировке внешних задач. Задача, связанная с двумерным
уравнением Пуассона, состоит в нахождении функции
и = и (х, у), удовлетворяющей в некоторой области {£>) пло-
скости х, у двумерному уравнению Пуассона
Az/ = — (х, у)
(см. § 15), вне этой области — двумерному уравнению Лапласа
и условию на бесконечности:
и* = и — Af In у->0 при г -= У х24~У2 {
где М и С > 0 — некоторые постоянные.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЕ
61
Краевые задачи теории потенциала для двумерного случая
формулируются совершенно аналогично трехмерному слу-
чаю. Вместо поверхностей (6\) мы имеем замкнутые не-
пересекающиеся кривые (Z,z) и вместо условия (6.3)— усло-
вие (6.4).
§ 7. Классификация дифференциальных уравнений
математической физики
Как мы видели в предыдущих параграфах, дифференциаль-
ные уравнения разобранных нами задач математической физики
имеют между собой много общего: все эти уравнения линейны
(т. е. неизвестная функция и ее производные входят в урав-
нение линейно—в первой степени —и отсутствуют произведения
неизвестной функции и производных друг на друга) и все
они второго порядка. Оказывается, что эти свойства являются
общими для уравнений весьма обширного класса задач мате-
матической физики. Мы в этой книге и будем заниматься
только такими задачами, т. е. только линейными уравнениями
второго порядка.
Линейность уравнений является следствием и математи-
ческим отражением широко применяемого в физике метода
линеаризации, заключающегося в следующем. При изучении
явлений, в которых наблюдаемые величины изменяются в срав-
нительно небольших пределах (например, в пределах приме-
нимости закона Гука в теории упругости) или когда иссле-
дования ведутся со сравнительно небольшой точностью, ока-
зывается возможным истинные (и часто неизвестные) функцио-
нальные соотношения, выражающие соответствующие законы
природы, заменить первыми членами их разложений в степенной
ряд, т. е. линейными соотношениями (чем, например, закон
Гука и является). Поэтому линейные уравнения всегда возникают
в качестве первых приближений к истинным законам природы.
Современное развитие физических и технических наук ставит
перед математикой чрезвычайно важную проблему создания
методов изучения нелинейных задач. Однако, линейные
задачи и методы их решения все же сохраняют еще весьма
важное значение в физике и технике.
Самое общее линейное дифференциальное уравнение с част-
ными производными второго порядка для функции двух
62 § 7. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
независимых переменных имеет вид:
д?и . о д2и . д2и . , ди .
+ bJ^-\-Ctt = g(x, Л (7-1)
где ап, я12, а22, Ьи Ь2, с — известные коэффициенты, которые
могут зависеть от х и у, a g(x, у)— правая часть. Если
g(x, д/)=0, то уравнение (7.1) называется однородным,
в противном случае — неоднородным.
Левая часть уравнения (7.1) представляет собой так назы-
ваемый линейный оператор от и. Если ввести для него
обозначение Е[и], то (7.1) запишется в виде
= (7.2)
где
Т г , д2и . о д'и । д^и .
£[и]==ап^5 +2а12^7^-+ «22^2 +
+ ":й+»»$+£“- (7-3’
В случае большего числа независимых переменных в операторе
добавятся новые члены, которые легко дописать. Характерное
свойство линейного оператора L [и] выражается следующим
очевидным тождеством:
7-[С1«1 + с2м2+ ••• +СА1 =
= q L [zzj + c2Z. ... -\-cnL[un], (7.4)
где uif u2f ..., un — произвольные дважды дифференцируемые
функции, а с2, ..., сп — постоянные числа.
Из тождества (7.4) следует основная в теории линейных
уравнений теорема, называемая обычно принцип наложения.
Если функции и2, ..., ип являются решениями
однородного линейного уравнения
£[«]== О, (7.5)
то при любых постоянных сп с2, ..., сп результат нало-
жения этих решений
а = С1«1 + с2«2+ •••
также является решением уравнения (7.5).
ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ
63
Действительно, по тождеству (7.4)
п
L [и] = 2 ск^ [^Zf] >
к = 1
НО
L[uk]=Q (fe=l, 2, п),
и поэтому L [а] = 0.
Заметим еще, что принцип наложения остается справед-
ливым и в том случае, когда частных решений ик имеется
бесконечно много, а функция и представляется как ряд по ик:
оо
и = ^скик, (7.6)
к = 1
или даже когда частные решения и* зависят от непрерывно
изменяющегося параметра х, а и представляется как интеграл
по этому параметру:
и — J* с^и7 cfa, (7.7)
где с7 — произвольная функция от х. В этих случаях, однако,
функция и будет решением уравнения (7.5) только, если
ряд (7.6) или интеграл (7.7) сходятся так, что их производ-
ные, содержащиеся в операторе (7.3), могут быть получе-
ны дифференцированием под знаком суммы, соответственно,
интеграла.
Наряду с этими, общими для всех выведенных нами
уравнений, свойствами (линейность и второй порядок) следует
отметить, что имеется и существенное различие между ними.
Выпишем, например, двумерное уравнение Лапласа, уравнение
свободных колебаний струны и одномерное однородное урав-
нение теплопроводности:
д*и
дх-
д*и
dt*
ди
dt
г^. = 0
т ду”- U>
о д2и п
а- = 0,
дх* 1
а2 -у-= 0.
дх*
Мы замечаем, что в первом из этих уравнений обе вторые
частные производные входят в левую часть с одинаковыми
64 § 7. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
знаками, во втором — с противоположными знаками, а в третье
вторая производная по одной из переменных вовсе не входит.
Эти различия между уравнениями являются, как мы выясним,
весьма глубокими.
Л. Эйлер показал, что любое линейное дифференциаль-
ное уравнение (7.2) второго порядка с двумя независимыми
переменными может быть заменой переменных приведено
(в существенном) к одному из рассмотренных только что
трех типов. При этом тип уравнения определяется только
коэффициентами при производных второго порядка. Именно:
если
011022 0JL2 > О,
то введением новых независимых переменных $, уравнение
может быть приведено к виду
т г , д2и I д2и , q ди - а ди . z_
+ Pi' д- + Рз dr, Т Iй — s- (7-8)
В этом случае уравнение называется эллиптическим. Наи-
более простым эллиптическим уравнением является уравнение
Лапласа
Если
0Ц022-----------------------012 < О,
то уравнение может быть приведено к виду
г г । 0 ди । п ди , .
£[0] — + + 7^ —£ (7-9)
и называется гиперболическим. Простейшим примером является
одномерное волновое уравнение.
Если, наконец,
0Ц022---0J2 = О,
то уравнение приводится к виду
+ + = (7-10)
и называется параболическим. Простейшим примером является
одномерное уравнение теплопроводности, •
ЭЛЛИПТИЧ., ГИПЕРБОЛИЧ. И ПАРАБОЛИЧ. УРАВНЕНИЯ 65
При этом важно отметить, что, ни^ при каких заменах
переменных тип уравнения не меняется.
Если коэффициенты уравнения суть функции от х и у,
то и выражение
--^12
может быть функцией от х и у. Поэтому оно может иметь
разные знаки в различных областях плоскости х, у. Соответ-
ственно, уравнение может оказаться эллиптическим в одной
области плоскости, гиперболическим — в другой и параболи-
ческим на их границе. Такие уравнения называются уравне-
ниями смешанного типа. Например, уравнение
№
дх2
д2Н п
у т-т = 0
л ду2
— эллиптическое в верхней полуплоскости, гиперболическое—
в нижней полуплоскости и параболическое — на оси х.
Однако мы будем в большинстве случаев иметь дело
с уравнениями с постоянными коэффициентами. Такие уравне-
ния принадлежат к одному типу во всей плоскости. Кроме
того, для таких уравнений возможны еще дальнейшие упро-
щения. Именно, заменяя, подобно тому как это было сделано
в § 4 для телеграфного уравнения, неизвестную функцию и
другой неизвестной функцией U по формуле
u = Ue~^~K\
мы можем подобрать числа Xj и Х2 так, чтобы уничтожить
в эллиптическом и гиперболическом уравнениях члены с про-
изводными первого порядка, а в параболическом — член с пер-
вой производной по одной из независимых переменных, на-
пример по 5, и член с самой функцией.
Таким образом, любое уравнение (7.2) с постоянными
коэффициентами может быть, учитывая предыдущее замеча-
ние и формулы (7.8), (7.9), (7.10), приведено к одному из
следующих трех типов:
д2и । д2и .
д? +си — g’
д2и__д2и
д$2 dtf
д2и
д& дх\
- си = g,
ди
— = g‘
66 § 7. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
сл^чаях^^когда число, независимых переменных больше
двух, сама классификация и задача упрощения уравнений
становится более сложной. В этих случаях лишь для данных
значений независимых переменных можно подобрать такую
замену переменных, чтобы коэффициенты при смешанных
производных превращались при этих значениях независимых
переменных в нули, а коэффициенты при остальных произ-
водных второго порядка равнялись либо zt 1, либо 0. При этом
оказывается, что количество коэффициентов 0, -ф- 1 и — 1
не зависит от выбранной замены переменных, а лишь от
свойств уравнения. Если все коэффициенты при вторых произ-
водных после такой замены щмеют один и тот же знак, то
уравнение называется эллиптическим; если один из них отли-
чается знаком от всех остальных, то уравнение называется
гиперболическим, и, наконец, если один из коэффициентов
равен нулю, а остальные — одного знака, то уравнение пара-
болическое. В случае постоянных коэффициентов уравнения
его тип один и тот же во всем пространстве и заменою не-
зависимых переменных уравнение можно привести к простому
виду, называемому каноническим. В случае трех переменных
эллиптическое уравнение приводится к виду
д2и . д2и . д2и ।
гиперболическое — к виду:
д2а д2и д2и .
7^2 ~ ~' Я? "I" си —
и параболическое — к виду
да г2и д2и
~"д& ~~g‘
Аналогичные виды уравнений получаются при четырех и боль-
шем числе переменных.
Приведем еще критерий, позволяющий определить эллип-
тический характер уравнения в случае трех независимых
переменных, не приводя его к каноническому виду. Для того
чтобы уравнение
7 г 1 д2и , д2и । д2и . о д2и . о д2и .
i [“] ™ «и дхь + «22 dyt 4“ «83 аг2 + 2«12 5^7 2«23 дудг +
। г» d2u । t ди I , ди . , ди , п
-4— ч--1“ Ьл —1— Ьп ч—г Ьа ч—|- си — g (7.11)
1 dzdx 1 1 дх • 2 ду 1 d dz 1 v 7
ЭЛЛИПТИЧ., ГИПЕРБОЛИЧ. И ПАРАБОЛИЧ. УРАВНЕНИЯ 67
было эллиптическим, необходимо и достаточно, чтобы для
любых значений величин pv р& не равных одновременно
нулю, выполнялось неравенство х)
#пр1 “h а^рл Ч" йззРз 4“ 2ai2pip2 Ч~ ЪаяРьРь Ч" 2«з1/?зР1 > 0.
Оператор L [и\ (7.3) называется эллиптическим, гипер-
болическим или параболическим в зависимости от того,
к какому из этих трех типов принадлежит соответ-
ствующее уравнение (7.2).
В физических задачах уравнения эллиптического типа воз-
никают в большинстве случаев в связи с изучением стацио-
нарных явлений; все независимые переменные являются про-
странственными координатами. Например, как мы знаем,
эллиптическими оказываются уравнения стационарного темпе-
ратурного поля, электростатического поля, стационарного
безвихревого поля скоростей в несжимаемой жидкости и т. д.
В приведенных примерах мы имеем дело просто с уравне-
нием Лапласа. Однако аналогичные явления в анизотропных
средах могут приводить к более общим эллиптическим урав-
нениям вида (7.11). Кроме того, если среда неоднородна, то
коэффициенты оказываются переменными.
Гиперболические и параболические уравнения возникают боль-
шей частью при изуч*ении процессов, протекающих во времени,
причем переменной, играющей особую роль в уравнении, является
время 2 3 *). Таким образом, обычно эти уравнения имеют вид 8)
2) Если для всех значений р\, р%, р% выполняется обратное не-
равенство, то уравнение также будет эллиптическим. Аналогичные
критерии существуют и для любого большего числа независимых
переменных.
2) Заметим, однако, что в некоторых задачах гиперболические
уравнения могут возникнуть и иначе. Так, например, уравнения,
описывающие стационарные малые возмущения в потоке, скорость
которого v вдали от области возмущения постоянна и весьма
велика, оказываются эллиптическими лишь при условии, что ско-
рость о меньше скорости звука. При сверхзвуковых скоростях
уравнения становятся гиперболическими, причем особую роль в них
играет пространственная координата, направленная вдоль скорости
невозмущенного потока. Эти вопросы относятся к газовой динамике
и нами рассматриваться не будут.
3) Эллиптические уравнения также заключены в (7.12) (при
а = ^=0/
68
§ 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
где£[я]— эллиптический оператор, в котором независи-
мыми переменными являются пространственные координаты,
а а равно 0 или 1. Если а = 0 (и fl #= 0), то уравнение
параболическое, если а = 1—гиперболическое. Такой именно
вид имеют, например, уравнение теплопроводности (а = 0)
и волновое уравнение (а = 1). В этих уравнениях коэффи-
циенты являются в случае однородных сред постоянными,
а главная часть оператора L [я] (члены со старшими произ-
водными) представляет собой в случае изотропных сред
оператор Лапласа (левую часть уравнения Лапласа). Однако,
если речь идет о тех же процессах в неоднородных средах,
то коэффициенты будут переменными, а если среда анизо-
тропна, то вместо оператора Лапласа возникает эллиптиче-
ский оператор более общего вида.
Во всех этих рассмотрениях и в дальнейшем мы считаем,
что коэффициенты не зависят от времени.
§ 8. Классификация и вопросы корректности задач
математической физики
Как уже указывалось, математическая физика не ставит
перед собой задачи найти общее решение данного диффе-
ренциального уравнения. Ее задачей является отыскание част-
ных решений, которые удовлетворяют тем или иным допол-
нительным условиям. Перейдем теперь к рассмотрению и
классификации этих дополнительных условий и связанных
с ними задач.
Дополнительные условия разделяются на начальные и
краевые. Начальные условия, как мы видели, состоят в за-
дании при t = 0 значений искомой функции и или и и .
Если рассматривать t как еще одну пространственную коор-
динату (в дополнение к координатам х, или х, у, или х, у, г),
то условие /—0 определяет прямую — ось х (в плоскости
х, /), плоскость х, у (в пространстве х, у, t) или гипер-
плоскость х, у, z (в четырехмерном пространстве х, д/, е, /).
Начальные условия означают тогда задание самой функции и
или функции и и ее производной на этой прямой,
плоскости или гиперплоскости.
ЗАДАЧА КОШИ, КРАЕВАЯ И СМЕШАННАЯ ЗАДАЧИ 69
Чисто краевые условия1) задаются на замкнутой границе
рассматриваемой области (2) пространства. С такими крае-
выми условиями мы встречались в стационарных задачах,
в которых не было иных переменных, кроме пространствен-
ных координат.
Наконец, встречаются задачи, в которых наряду с крае-
выми условиями на границе области (2) (которая может быть
отрезком прямой, плоской или пространственной областью)
задавались также начальные условия внутри ее. Если снова
рассматривать t как дополнительную пространственную коор-
динату (например, третью в двумерном случае), то совокуп-
ность точек, пространственные координаты которых лежат
внутри (2), a t > 0, представляет собой, например, в про-
странстве х, у, t цилиндр, ограниченный с одной стороны пло-
скостью /=0 и простирающийся в бесконечность в другую
сторону. Краевые условия следует трактовать как задаваемые
на боковой поверхности этого цилиндра, а начальные — на
его основании.
В соответствии с этим задачи математической физики
можно разделить на следующие три основных типа:
1° Задача Коши, в которой задаются только начальные
условия, т. е. условия на прямой, плоскости или гиперплос-
кости / = 0 (в зависимости от того, входят ли в уравнение
2, 3 или 4 независимых переменных), а область, в которой
ищется решение, есть одно из полупространств, на которое
все пространство независимых переменных делится прямой,
плоскостью или гиперплоскостью t — 0.
2° Краевая задача, в которой задаются краевые условия
на всей границе области пространства всех независимых
переменных, а решение ищется внутри этой области. Область
может простираться и в бесконечность, и в этом случае
бесконечно удаленная точка должна рассматриваться как часть
границы области, и условие на бесконечности является со-
ставной частью краевых условий.
3° Смешанная задача, в которой краевое условие за-
дается на боковой поверхности полубесконечного цилиндра,
а начальные —на его основании.
х) Краевые/условия часто называются также граничными,
70
§ 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
В простейших задачах, разобранных в предыдущих пара-
графах, физические соображения безошибочно подсказывают,
какие дополнительные условия следует поставить в той или
иной задаче. Однако в более сложных случаях положение
может быть не столь очевидным, и естественно возникает
вопрос, какие условия можно произвольно задавать. В этой
связи вводится понятие о корректной постановке задач
математической физики.
Решение каждой правильно поставленной физической
задачи должно описывать определенный единственный про-
цесс. Поэтому условия задачи должны обеспечивать существо-
вание и единственность ее решения. Нельзя, например, в за-
даче о колебаниях струны произвольно задать при t = 0
искомую функцию и, ее первую и вторую производные по t.
Решение такой задачи не будет, вообще говоря, существовать,
ибо значение второй производной при t = 0 определяется уже
полностью заданием при £ = 0 самой функции и ее первой
производной и может не совпасть с заданным произвольно
значением. Нельзя также в этой задаче ограничиться заданием
при / = 0 только самой функции, так как в этом случае
задача будет иметь бесконечное множество решений, соответ-
ди
ствующих различным начальным значениям .
Однако не менее важна еще другая сторона вопроса. Вхо-
дящие в условия задачи (начальные или краевые) задаваемые
функции в физических задачах определяются, как правило,
из эксперимента и, во всяком случае, могут считаться лишь
приближенно известными. Полученное при этих данных реше-
ние задачи может представлять физический интерес лишь
в том случае, если есть уверенность, что это решение мало
отличается от того решения, которое получилось бы при более
точных данных. Таким образом, важно, чтобы малые изме-
нения данных задачи вызывали бы лишь малые изменения
в ее решении во всей области, в которой эти решения рас-
сматриваются. Такое свойство задачи и ее решения называется
устойчивостью (относительно начальных или краевых данных).
Итак, задача математической физики считается поста-
вленной корректно, если решение задачи, удовлетворяю-
щее всем ее условиям, существует, единственно и устой-
чиво относительно начальных и краевых данных.
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ
71
Исследование корректности задач математической физики
представляет собой важнейшую и притом весьма трудную за-
дачу теории. Мы остановимся лишь на некоторых моментах
этой теории.
Обратим в первую очередь внимание на то, что в разо-
бранных ранее примерах можно установить следующую законо-
мерность: краевые задачи ставились для уравнений эллипти-
ческого типа, а задача Коши и смешанные задачи—для уравне-
ний гиперболического и параболического типов. Оказывается,
что это не случайно, а тесно связано с вопросами кор-
ректности.
Можно построить пример задачи Коши для эллипти-
ческого уравнения, которая имеет, и притом единственное,
решение, оказывающееся неустойчивым *)• Этот пример пока-
зывает, что задача Коши для уравнений эллиптического типа
не корректна и ставиться не должна. В физических задачах
она возникнуть не может. Можно также показать, что, на-
оборот, для уравнений гиперболическсго и параболического
типа не корректна краевая задача.
1 Исходя из сказанного, мы будем рассматривать для урав-
нений вида (7.12) только следующие задачи:
1. При а = [3 = 0, т. е. для уравнения эллиптического
типа, краевую задачу для области (2), если граница области и
задаваемые на ней функции удовлетворяют некоторым есте-
ственным условиям гладкости. Область (2) может совпадать
со всем пространством. Тогда краевые условия заменяются
условием на бесконечности.
2. При а = 0, [Э=£0, т. е. для уравнения параболического
типа, смешанную задачу, в которой краевые условия задаются
на границе области (2) пространства х, или х, у9 или х, у9 z,
а начальное условие состоит в задании и при f=0.
3. При a т. е. для уравнения гиперболического типа,
а) смешанную задачу, в которой краевые условия задаются
на границах области (2) в пространстве х, или х, у, или
х, у, z, а начальные условия состоят в задании при /=0 зна-
ди
чений и и тт,
dt ’
*) См. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с част*
ными производными, Гостехиздат, 1950, стр. 81,
72 § 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
б) задачу Коши, в которой областью (2) является все
пространство, а начальные условия состоят в задании при
, л ди
значений и и -ч-.
ot
Задача Коши может быть несколько обобщена. Можно
начальные условия задавать на некоторых кривых плоскости
ху /, или поверхностях пространства х, у, t, или, наконец, ги-
перповерхностях пространства х, у, z, t. Каковы должны быть
эти кривые и в чем должны состоять задаваемые на них
условия, будет рассмотрено в главе III.
Корректны ли эти задачи? Для многих из них коррект-
ность автоматически'обнаруживается в процессе их решения
в последующих главах этой книги. Но многие методы мате-
матической физики (некоторые из них мы будем рассматривать)
основываются на заранее доказанной корректности задачи.
Например, в главе V мы будем разбирать процесс построения
решения, но доказать, что этот процесс приводит к решению,
мы сумеем лишь в предположении, что заранее установлено
его существование и наличие у него некоторых свойств.
Такие доказательства существования решений весьма сложны,
и на них мы вовсе не будем останавливаться. Мы примем
без доказательства, что при естественных предположениях
о гладкости задаваемых функций решения разбираемых нами
задач существуют. Точно так же мы примем без доказатель-
ства факт устойчивости этих решений. Впрочем, в ряде
задач, для которых решение получается в сравнительно про-
стом замкнутом виде, его устойчивость может быть легко
проверена.
Остановимся несколько более подробно на вопросе един-
ственности решений. Этот вопрос имеет очень большую
практическую важность, так как сплошь и рядом решения
подбираются, и только уверенность в единственности решения
оправдывает этот прием.
В качестве примера доказательства единственности ре-
шения рассмотрим одномерный случай. Пусть уравнение
имеет вид
д2и , о ди Г д2и । . ди f 1 /а
Те +^Тй-[алз + (’Е + "1 = ^<х;
где а, р, а, b и с —функции от х, непрерывные и ограни-
ченные ддя X} < х<х2; пусть, кроме того, а>0, «^>0,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ 73
а если а = 0, то Р > 0. Далее,, пусть на концах интервала
(Хр -**2) заДаны краевые условия
Х1 Й + L= А = К Й + № L, S
где kj О, л2 0, и начальные условия
«I =Л(х), Й-l =/,(х)
|f=o J1 v 7 dt |f=o J 2 7
(последнее только при az£0). He ограничивая общности
наших рассмотрений, можно предположить, что
и1 0,
Действительно, если бы это было не так, то, делая замену
переменной
и, = Ue^ (‘с~"
где х0— произвольная точка внутри рассматриваемого интер-
вала, мы не изменили бы ни типа уравнения, ни типа краевых и
начальных условий, а постоянными $ и т) могли бы распоря-
диться так, чтобы предположенные неравенства выполнялись.
Более того, мы можем, также не ограничивая общности,
предположить, что
b — а ,
ибо, если бы это было не так, то, умножая уравнение на
отчего тип уравнения не изменится, мы нашли бы для новых
соответствующих коэффициентов нужное соотношение
а[ == (aM)f = { е а da?}' = е $ а dx JL — Mb = bv
Принимая это во внимание, перепишем уравнение в виде
д2и 1 ь ди д I ди \
дхО-
74
§ 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
Допустим теперь, что имеются два решения и сформу-
лированной задачи. Обозначим через v их разность,
v~u1 — и2.
Очевидно, что функция v удовлетворяет уравнению
0 dv d ( dv \ „ /о 1 ч
а Тл+Рт: — я 5“ ? — ^ = 0, (8.1)
dt2 1 r dt дх ( дх j ’ 4 7
краевым условиям
Ф4.,-° (8-2)
и начальным условиям
v 77^-0“° (последнее только при az/=0). (8.3)
Умножим обе части уравнения (8.1) на и проинтегри-
руем полученное соотношение по х в пределах *от xt до л2:
а?.,
f Г dfy dv dv dv d f dv ,
J l d/2 dt dt dt dt\ dx/j
a?x
“-.te’*- <8-4)
a?x
Последнее слагаемое в левой части (8.4) проинтегрируем
по частям:
dv d
dt * дх
_____dv dv
a dx * dt
f dv d?v ,
J dx dxdt f
после чего (8.4) примет вид
a?8
d2v dv dv . dv d2v
a dt2 dt CV dt + adx dx dt
(8.5)
dx dt dx •’ r\dtj
a?x
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
75
Внеинтегральные члены в этом равенстве могут быть легко
упрощены на основании краевых условий (8.2). Если в одном
из этих условий X — 0, то это условие сводится к v — 0 при
всех t. Поэтому на таком конце = 0 и соответствующий
внеинтегральный член выпадает. Если же то, подста-
/о г\
вляя в (8.5) вместо значения на конце интервала его вы-
ражение через v, полученное из (8.2), преобразуем (8.5)
к виду
dv d2v dv .
dv d2v "|
dx dxdt J
X.
(8.6)
Ho
dv d2v 1 d (dv\? dv
’didfl~2'2di\.di)’ V di
dv d2v == J_ _d_ /dtA2
dx dx dt = 2 dt \dx/
Поэтому равенство (8.6) преобразуется дальше к виду
и обозначая через E(t) выражение
76
§ 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРР1КТНОСТИ
получим
<8-7»
На основании начальных условий (8.3) £(0) = 0. Из
и (8.7) следует, что
л= О, ^<о,
J г \ dt) ’ dt ’
т. е. что функция E(t) не возрастает с возрастанием Z, и,
следовательно Е (/) 0 при t > 0. С другой стороны, так
как а, —с, а, —неотрицательны, то Е(/)^>0. Сле-
Л1 Л2
довательно E(f) = 0, а так как все слагаемые под знаком
интеграла в £*(/) неотрицательны, то каждое из них должно
быть равно нулю. Вместе с тем также и А ==0. Отсюда ^=0,
так как и а^-|^2==0, и — 0- Если сф 0, то мы
л л п dv л
уже имеем, что v = 0, если же с = 0, то из ч- = 0 и эО,
J ’ ox ot
с учетом того, что v |^=0 = 0, также следует, что v = 0. Но это
означает, что их == и2, т. е. что двух различных решений
задача иметь не может.
Величина £(/), называемая обычно интегралом энергии, и
соотношение (8.7) имеют простое физическое толкование, кото-
рое легче всего проследить в задаче о колебаниях струны
с закрепленными концами х1 = 0 и л*2 = /. Рассмотрим сво-
бодные колебания и, обозначив через v отклонения точек стру-
ны от их положения равновесия, будем иметь уравнение (см. § 1)
d2v ^d2v п
В этом случае, очевидно,
г i
£(z) = y J Р (d?) + dx
о о
dE
и Л = 0. Соотношение (8.7) дает, следовательно, -^-=0,
т, е, £= const. Первый интеграл в выражении для E(t) ра-
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
77
вен, как легко видеть, кинетической энергии струны в момент
времени /. Чтобы выяснить физический смысл второго инте-
грала, рассмотрим элемент струны dx и подсчитаем его потен-
циальную энергию в момент времени А Она, очевидно, равна
T(ds — dx), где ds — длина элемента dx в этот момент,
Следовательно, потенциальная энергия нашего элемента равна
с точностью до величин, которыми мы можем пренебречь.
Таким образом,
i
1 f / dv \2 .
2 Jт te)dx
О
равен потенциальной энергии всей струны в момент времени /,
и полученное нами выше равенство выражает закон сохра-
нения энергии в процессе колебания струны.
С этой точки зрения присутствие в уравнении члена
с (р > 0) свидетельствует о наличии в системе неконсер-
вативных сил (например, сил трения). Величина А дает работу
этих сил, отнесенную к единице времени. Соотношение (8.7)
показывает тогда, что энергия системы, расходуясь на пре-
одоление этих сил, может только уменьшаться.
Аналогичную энергетическую интерпретацию выведенных
соотношений можно дать и в случае задачи теплопро-
водности.
Приведенное доказательство единственности решения мо-
жет быть обобщено и на многомерные смешанные задачи.
В случае параболического уравнения из этого доказательства
можно, устремляя х1-+ — оо и х2—получить также
единственность решения задачи для бесконечной области. Для
этого надо к начальным условиям добавить на бесконечности
условие, обеспечивающее выпадение при предельном переходе
78 § 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
в (8.5) внеинтегральных слагаемых. Например, можно потре-
бовать, чтобы
при х->±оо. В случае гиперболических уравнений един-
ственность решения задачи Коши будет доказана в главе III.
Исследование на единственность краевой задачи для эллипти-
ческих уравнений проводится частично в главе II, частично
в главе V.
Перейдем теперь к классификации задач математической
физики с несколько иной точки зрения.
Все начальные и краевые условия, которые мы рассма-
тривали, записываются в виде равенств, в левых частях ко-
торых стоят линейные операторы от искомой функции zz,
а в правой части — заданные функции. Если эта правая часть
равна нулю, то условие называется однородным.
Легко видеть, что для однородных дополнительных усло-
вий, так же как для однородных уравнений, имеет место
принцип наложения: если несколько функций иь и2, ..., ип
удовлетворяют такому условию, то ему удовлетворяет и
результат их наложения с любыми постоянными коэффи-
циентами:
« = С1И1 + еаа9+...
Рассмотрение разобранных выше физических задач пока-
зывает, что операторы, стоящие в левых частях диффе-
ренциальных уравнений, зависят от внутренних физических
свойств исследуемого объекта, в то время как функции, стоя-
щие в правых частях и нарушающие однородность уравнения,
являются выражениями внешних воздействий на исследуе-
мый объект и могут произвольно задаваться. Они могут
поэтому рассматриваться как причины, вызывающие данное
явление или процесс. Например, правые части в уравнениях
колебаний являются плотностями внешних сил (или величи-
нами, с ними связанными), распределенными по колеблюще-
муся объекту.
Аналогичный смысл имеют и правые части в краевых и
начальных условиях. Например, правая часть в краевом усло-
вии смешанной задачи теплопроводности является заданной
ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫе УСЛОВИЯ
79
температурой внешней среды, которая влияет на теплообмен
в самом теле. Правые части в начальных условиях механиче-
ских задач (колебаний струны, мембраны и т. д.) являются
начальными деформациями или начальными импульсами, кото-
рые созданы внешними причинами и вызывают дальнейшие
колебания системы.
Таким образом, неоднородность задачи, т. е. произволь-
ные внешние воздействия, могут быть трех родов.
Во-первых, неоднородность самого уравнения, означающая
воздействие внешних факторов на всю систему в течение
всего процесса.
Во-вторых, неоднородность в краевых условиях, означаю-
щая воздействие внешних факторов на границу системы
в течение всего процесса.
В-третьих, неоднородность в начальных условиях, озна-
чающая начальную «деформацию» в случае параболического
уравнения и начальные «деформации» и «импульсы» в слу-
чае гиперболического уравнения (в краевых задачах этот вид
неоднородности, конечно, не может возникнуть).
Нетрудно видеть, что решение задачи, обладающей не-
однородностями двух или всех трех видов, может быть
представлено в виде наложения решений задач, обладаю-
щих каждая только одним видом неоднородности. Дей-
ствительно, пусть дано уравнение
где L[u]—эллиптический оператор, краевое условие на гра-
нице (£) области (2) пространства х, у, z\
А [и] = ср (Q; /),
где А \и] — оператор, заданный на (S), a Q — точка (L) *),
и начальные условия:
“1.-.=/. И-
где Р — точка (2).
!) См., например, формулу (5.3), где Л [w] имеет вид k — hu.
80 § 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
Обозначим через и19 и3, решения следующих задач:
= 0, Д[й1]=0, «1|,„0=/1(Р), -^-1 =0,
lf=o
LJM2]=0, Д[«2] = о, «2|л=о = о, -^?[=о=Л(^
£,[«»! = 0, A[«8] = ?(Q;0, «81#=о = О, ^-| =0,
\t =0
LM = g{P',t), A[«J = O, «Л=о = О, ^-|^ = 0,
а через и сумму этих решений.
и — ui 4“ и2 4“ из 4~ uv
Тогда ввиду линейности всех операторов 'будем, очевидно,
иметь:
Lilu\ = L, [«,] + Ц [«2J + £j («81 + £i [«<] = g (Р-, 0,
Л [а] = Л [«,] 4- А [«2] + А [и8] 4- Л [«J = <? (Q; /),
U |л=0 = «1 |/=,0+ «2 lf = 0+ “3 lf = o + ИЛ=0 = Л (Р)>
ди I _ ди} I , du2 I J_ ди3 | , dut I _ f лр-.
dt Uo- dt |^0-1- dt |л==0 ' dt |л= + dt
t. e. и будет решением поставленной задачи.
Это свойство наложения решений линейных задач является
отражением физического факта, состоящего в независимости
явлений, вызванных разными причинами, — факта, являюще-
гося характерной особенностью линейных процессов.
Из перечисленных только что четырех задач первые две,
в которых уравнения и краевые условия однородны, описы-
вают явления свободного распространения возмущений (или
деформаций), созданных в начальный момент времени.
Поэтому такие задачи называются иногда задачами распро-
странения (первая — начальных деформаций, вторая — на-
чальных импульсов). Третья задача, в которой уравнение и
ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ
81
начальные условия однородны, а краевое условие неодно-
родно, описывает явления, протекающие под постоянным
воздействием факторов, влияющих на границу объекта.
Поэтому мы назовехМ ее задачей излучения с границы об-
ласти. Наконец, последнюю задачу, в которой неоднородно
уравнение, а все дополнительные условия однородны, мы
назовехМ задачей излучения изнутри области.
Для параболических и эллиптических уравнений сохра-
няется аналогичная классификация задач с той лишь разни-
цей, что в параболическом случае нет задачи о распростра-
нении начальных импульсов, а в эллиптическом — нет вовсе
задач распространения.
Чрезвычайно важно, наконец, отметить, что решение
одних из перечисленных выше четырех задач может быть
сведено к решению других.
Пусть требуется решить задачу об излучении с границы
области. Часто бывает нетрудно найти в области (Q) какую-
нибудь дважды дифференцируемую функцию удовле-
творяющую краевым условиям этой задачи
А [Я] = «(<?;/).
Введем тогда вместо и новую искомую функцию v по формуле
v = и — Н.
Очевидно, что для v мы будем иметь следующую задачу:
L\v} = L[u\ —L[H\ = — L{H], А[г>] = 0,
। и I dv I дН I
®Uo- сД=0- й|#=0’
а так как L[H], H\tss0 и | известны, то мы имеем
задачу распространения и излучения из области.
Пусть теперь требуется решить задачу излучения из
области, и предположим, что мы умеем решать соответствую-
щую задачу распространения начальных импульсов (в гипер-
болическом случае) или начальных возмущений (в параболи-
82 § 8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ
ческом случае). Обозначим через О (Р; /, т) функцию, удовле-
творяющую условиям
« -да- + J';i| Affl = o.
если а ф 0, и условиям
Р^-_£(9) = °, А[0] = О,
если а = 0, (3^=0. Рассмотрим теперь следующий интеграл:
t
и= (8.8)
7 = 0
и покажем, что он является решением задачи излучения из
/г гг ди д*и
области. Для этого вычислим и :
= 6 (Р; 0, 0 + J '-1 dx,
7 = 0
dzu 0O(P;O,Z) . дЦР;{ — т, т) | . f (Р; t-т, т) ,
_ =--------------1--------------J -----------------------dZt
7 = 0
Если теперь а^:0, то
t
ди f 00 (Р; t ~ т, т)
-dt = J —Н/—
7=0
7=0
Если же <х = 0, то
t 0
Тезе О
СВЕДЕНИЕ ОДНИХ ЗАДАЧ К ДРУГИМ
83
таким образом и |^=0 = 0, а при а ф 0 и — | — 0. Далее,
очевидно, что
t
А [«] = J Л [0] dz = О
7 = 0
И
t
L[u] = J L [0] dz.
т = 0
Наконец, находим, что
д2и . 0 ди т . .
“ д& “Ь Р dt i ~
t
т = 0
Таким образом, и является решением поставленной задачи
излучения из области.
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Настоящая глава посвящена изложению элементов теории по-
тенциала. Для ньютоновых потенциалов основные доказательства
проводятся довольно подробно, но в отношении логарифмических
потенциалов мы ограничиваемся в большинстве случаев формули-
ровкой результатов, ссылаясь на соответствующие доказательства
в трехмерном случае. Подробнее обсуждается физическое толкова-
ние логарифмических потенциалов.
Доказательствам более тонких свойств потенциалов, как, напри-
мер, непрерывности потенциала объемно-распределенных масс или
зарядов и его частных производных первого порядка, разрывности
его вторых производных, непрерывности потенциала простого слоя
и разрывности его нормальной производной и так далее, предпосы-
лаются простые примеры, иллюстрирующие эти положения. Сами
доказательства при первом чтении могут быть опущены.
В качестве дальнейших примеров вычисления конкретных по-
тенциалов приводятся потенциалы однородного эллипсоида, заря-
женного проводника в форме эллипсоида, логарифмические потен-
циалы эллиптической области с постоянной плотностью обложения,
проводящего эллипса и их частных случаев.
Первые два параграфа (9 и 10) излагают вспомогательный ма-
териал — теорию криволинейных и, в частности, эллиптических
координат и некоторые формулы из теории поля, играющие суще-
ственную роль при изучении потенциалов. Они используются в основ-
ном только в более сложных вопросах и при первом чтении могут
быть пропущены.
§ 9. Криволинейные координаты
Пусть задана система трех (однозначных) функций от
трех переменных каждая,
Х1 = (И1> «2> “в),
Х2 = ?2(«1, «2, Ив),
*8 — <Р8(“1> «2> Ив)>
обладающая следующими свойствами:
(9-1)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
85
а) функции (fa (/=1,2,3) непрерывны и имеют не-
прерывные частные производные до второго порядка
включительно в некоторой области Ти изменения перемен-
ных (и1? zz2, ZZg),
б) функциональный определитель этой системы отличен
от нуля,
(Xj, Х2, Xg) I Q j \
d(Hi, n2,u3r h
в) различным системам значений uu u2, u3 из области Tu
соответствуют различные системы значений х19 х2, х3.
Будем рассматривать х19 х2 и х3 как декартовы коорди-
наты точки пространства в некоторой системе координат.
Тогда каждой системе значений u2i и3 из области Ти со-
ответствует определенная точка М в пространстве (с коор-
динатами хр х2, х3). Когда система и19 и29 и3 пробегает всю
область Ти9 точка М пробегает некоторую область Тх в про-
странстве хь х2, х3. Каждой точке М из области Тх соот-
ветствует одна и в силу условия в) только одна тройка чисел
и19 и2> из из области Ти, найти которую можно, решая
уравнения (9.1) относительно ul9 и.2, и3. Таким образом, мы
можем считать числа и{9 и2, и3 координатами точки М нашего
пространства. Определенная ими система координат называется
криволинейной в силу причин, которые сейчас выяснятся.
Рассмотрим совокупность точек, координата которых иг
имеет данное фиксированное значение с. Очевидно, что эта
совокупность будет состоять из точек Л4, для которых
Х1 = ?1 (С> и2>
*2 = <?2 (с, «2, «з)>
* *8 = <?8 (С> «2, мз)-
*) Напомним, что функциональным определителем системы функ-
ций Xi = <fi (Ир и2, Из). = <f2 (zzp и2, и3), х3 = <р3 (Ир и2, назы-
вается определитель из частных производных
дх^ дх^ дх\
dui ди2 ди3
д (xt> х?, х3) дх2 дх2 дх2
д («], и2, диу ди2 ди3
дх3 дх3 дх3
ди± ди2 ди3
86
§ 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Эта система уравнений определяет в пространстве поверх-
ность (заданную параметрически, причем параметрами являются
и2 и zz3), которая называется координатной поверхностью
для координаты и^ или их-поверхностью. Если придавать с
различные допустимые значения (такие, чтобы система чисел
с, zz2, zz3 оставалась в Tw), то получится семейство коорди-
натных поверхностей, зависящее от одного параметра с. Отме-
тим, что никакие две поверхности этого семейства не пере-
секаются в области Тх (ибо
координатам хи х2, х3 точки
пересечения соответствовали бы
две разные системы чисел яД
Совершенно аналогично опре-
деляются координатные поверх-
ности для координат и2 и и3,
причем имеется однопараме-
трическое семейство тех и
других.
Каждая пара координат-
ных поверхностей из двух раз-
ных семейств пересекается по
некоторой линии, уравнения-
ми которой служат уравне-
ния (9.1) при постоянных зна-
чениях двух из координат
Ui — именно тех, пересечением координатных поверхностей
которых является рассматриваемая линия. Вдоль этой ли-
нии, следовательно, изменяется только третья коорди-
ната эта линия называется координатной линией соот-
ветствующей координаты. В случае декартовых координат,
например, координатными поверхностями являются плоскости,
параллельные координатным плоскостям, а координатными
линиями — прямые, параллельные осям координат. Тот факт,
что в рассматриваемом общем случае координатными линиями
являются кривые линии, и дает основание для названия нашей
системы криволинейной (см. фиг. 6, на которой изобра-
жены координатные поверхности и линии, проходящие через
точку /И). Конкретную систему обычно называют по одной
из систем ее координатных поверхностей (цилиндрическая,
сферическая и другие системы координат).
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
87
Каждая тройка координатных поверхностей uY= uQp и2—
иъ=и® пересекается в одной и только одной точке области Тх—
это и есть точка с координатами zzj, Наоборот, через
каждую точку области Тх проходит по одной координатной
поверхности из каждого из трех семейств. Числа zzj, zz®,
соответствующие этим поверхностям, и суть криволинейные
координаты точки М. Через каждую точку области Тх про-
ходят три координатные линии.
Систему координат мы будем называть ортогональной,
если в каждой точке координатные линии, проходящие через
эту точку, попарно пересекаются под прямыми углами. Легко
видеть, что это условие эквивалентно следующему: в каждой
точке и для каждой координаты проходящая через эту точку
координатная линия перпендикулярна к проходящей через
эту же точку координатной поверхности. Легко написать
аналитическое условие ортогональности системы координат.
Действительно, так как параметрические уравнения коорди-
натной линии для щ получаются, если в системе (9.1) счи-
тать только и- переменным, а остальные две величины и
постоянными, то направляющими коэффициентами касательной
к этой линии будут
дхА дх2 дх?)
дщ 7 дщ 7 дщ *
Поэтому условие ортогональности координатных линий для
щ и Uj в данной точке будет иметь вид:
дх>[ дх\ . дх2 дх<> . дх3 дх3 q
дщ duj * дщ duj дщ duj 7
а условиями ортогональности системы координат будут со-
отношения:
4^14 р + 4^3 ^3 = о (/, j = 1,2, 3, /4А (9.2)
дщ duj 1 дщ dtij 1 дщ duj v J 7 7 7 v 7
В дальнейшем рассматриваются только ортогональные системы
координат.
Так как координатная линия для задана уравнениями
в параметрической форме, то для дифференциала ее дуги
88
§ 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
мы имеем следующее выражение:
Коэффициенты при du{ в выражении этих дифференциалов
(Z = 1, 2, 3) играют особо важную роль в теории криволи-
нейных координат. Мы обозначим их через ; они назы-
ваются коэффициентами Ляме (соответствующих коорди-
нат). Таким образом,
== du^9
£(/. ==т/(/=1,2,3). (9.3)
аъ V удщ) 1 \дщ) 1 \dUiJ v ’ 7 v 7
Обозначим через eUi единичный вектор касательной к коор-
динатной линии и{, направленный в сторону возрастания и{.
Этот вектор задан в каждой точке Тх и, вообще говоря,
меняется от точки к точке. Векторы еи^ ёи2, образуют
в каждой точке триэдр. Условимся нумеровать криволиней-
ные координаты в таком порядке, чтобы этот триэдр был
ориентирован как основной триэдр векторов декартовой
системы.
Рассмотрим два простейших примера криволинейных орто-
гональных координат.
1° Цилиндрические координаты:
v -- г cos ср,
у = г sin ф,
z = z
(вместо х2, А'3 мы пишем теперь х, у, z. а вместо их,
и2, и3 — г, <р, г).
Координатные поверхности', для г — круговой цилиндр
вокруг оси z радиуса г; для ф— полуплоскость, имеющая
ось z своей границей и образующая с плоскостью x9z угол ср;
для z — плоскость, перпендикулярная оси z и отстоящая от
начала координат на расстоянии г.
Координатные линии-, для г — полупрямая, начинающаяся
на оси z и перпендикулярная этой оси; для ф— окружность,
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛЯМЕ
89
лежащая в плоскости, перпендикулярной оси г, и имеющая
свой центр на оси г; для z—прямая, параллельная оси г.
Координатные орты: ег перпендикулярен оси z и лежит
с ней в одной плоскости, причем направлен от оси z\
перпендикулярен к пло-
скости, проходящей через
данную точку и ось г, и
направлен в сторону крат-
чайшего вращения от оси х
к оси у; ez параллелен оси
z и направлен в сторону
возрастания г. Правильный
порядок следования коор-
динат, например: г, ср, z
(см. фиг. 7).
Далее, имеем следующие геометрически очевидные фор-
мулы:
dsr = dr, dSy = rd®, dsz — dz.
Отсюда находим коэффициенты Ляме:
Lr=l, L^ = r, Lz=l,
которые можно, конечно, вычислить и по формулам (9.3).
2Э Сферические координаты:
х = г sin 9 cos ср,
y = r sin & sin ср,
г = г cosO.
Координатные поверхности: для г — сфера радиуса г
с центром в начале координат; для & — конус, образованный
вращением полупрямой, исходящей из начала координат и
образующей с положительным направлением оси z угол &
вокруг оси z; для ср — полуплоскость, имеющая ось z своей
границей и образующая с плоскостью x,z угол ср.
Координатные линии: для г—полупрямая, исходящая из
начала координат; для & — большой круг в пересечении сферы
с центром в начале координат и полуплоскости, ограниченной
осью z (каждый такой большой круг состоит из двух коор-
динатных линий, соответствующих различным значениям ср —
90
§ 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
меридианов; для ср— окружность с центром на оси г, лежа-
щая в плоскости, перпендикулярной этой оси (фиг. 8).
Координатные орты*. ег — орт радиус-вектора; лежит
в плоскости, проходящей через ось z, перпендикулярен
к радиус-вектору и образует с
них положениях, прямой) угол;
Фиг. 8.
осью z тупой (или, в Край-
ер— тот же, что и в цилин-
дрической системе. Правиль-
ный порядок следования ко-
ординат, например: г, 0, ср.
Так как
dsr = dr,
ds§ = rd$,
dsy — r sin ft rfcp,
то коэффициенты Ляме*.
Ц = г,
Ц? = rsin 8.
Пусть теперь в области
пространства, где введена
криволинейная система координат, задано поле — скалярное или
векторное. Функция поля, будучи функцией точки этой
области, может рассматриваться как функция трех перемен-
ных их, и2, и3. Кроме того, если речь идет о векторном
поле, то вектор, заданный в каждой точке поля, можно раз-
ложить по векторам триэдра криволинейных координат в соот-
ветствующей точке. Если вектор поля обозначить через F,
то его проекции на направления этих ортов мы будем обо-
значать через F1? F2, F3. Таким образом, имеет место ра-
венство 1):
Отметим, что вектор F и орты elt е2, е3 в этом равен-
стве рассматриваются в одной и той же точке пространства.
Таким образом, в противоположность декартовой системе,
при смещении точки меняются не только числа но и
векторы е4.
!) Для краткости мы будем в дальнейшем писать вместо
ГРАДИЕНТ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 91
Нашей основной задачей в настоящем параграфе является
выражение основных дифференциальных операций вектор-
ного анализа в криволинейных координатах, т. е. вывод
формул, по которым эти операции производятся, если все
переменные величины заданы как функции криволинейных
координат и все векторы разложены по ортам координат-
ного триэдра (своего в каждой точке)1 2).
Начнем с grade?, где = н2, w3). В простейшем
случае, когда <? равна одной из координат,
<? = Uh
поверхность уровня этой функции является просто коорди-
натной поверхностью и grad ср перпендикулярен этой поверх-
ности. Стало быть, grad щ параллелен вектору и нужно
лишь найти проекцию grad uL на направление eh которая, как
известно, равна производной по этому направлению, т. е.
по дуге sp.
Поэтому
grad«< = -^- (Z=l, 2, 3). (9.4)
Эта формула является основной для дальнейших вычислений.
Теперь градиент произвольной дифференцируемой функ-
ции может быть найден по правилу нахождения градиента
сложной функции:
3 3
grad«(«р «2, = (9-5)
2=1 2=1
Пусть, далее, дано векторное поле F, причем F задан
разложением по ортам координатного триэдра:
Э По поводу основных понятий и фактов векторного анализа
см., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II,
издание десятое, стереотипное, Гостехиздат, 1950, гл. IV.
2) Для краткости мы будем в дальнейшем писать Ц вместо L(4,
92 § 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
где Ft- и являются функциями от и19 и3. Будем искать
вихрь вектора F, т. е. rotF, пользуясь правилом вычисления
вихря от суммы и произведения. Преобразовав предвари-
тельно формулу разложения F при помощи формул (9.4)
3
2 ^Agrad и{,
.'=1
находим
з
rot F= [V, F] == [V, 2 grad ui\ —
4=1
8 3
= 2 rot grad ^ + 2 [grad^L,), grad nJ.
4=1 4=1
Но первая сумма тождественно равна нулю ввиду того, что
rot grad и == 0.
Для вычисления второй суммы вновь обратимся к форму-
лам (9.4) и примем во внимание, что поскольку орты вза-
имно ортогональны и образуют тройку такой же ориентации,
что и Z, /, й, векторы, разложенные по этим ортам, век-
торно перемножаются по обычным правилам. Поэтому
01 03 01 0'2 03
rot F= d (PM д (Г1Л) d dtii du2 dus "Г d (F^) d (F2L2) d (FM дил du2 du$ 1 T
7~ 0 Fl 0 0 -7-0
01 02 e3
+ d(FsL3) d (F9LS) d(FsL3) дщ du2 dw3 = 0i d^(FsLs)~- r2 •+
0 0 T
+i я-, (ад -
~ i я; } = жг, (-
-4- е.2 Л, (/V-s)] +
ВИХРЬ И РАСХОДИМОСТЬ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 93
Полученное равенство можно записать в виде такого симво-
лического определителя:
rot/?— Л1£22.3
^1е1 ^3^3
L 1 dui L ± L 3 duz
L.F,
При этом следует иметь в виду, что операторы дифферен-
цирования, стоящие во второй строке, действуют только на
элементы третьей строки. Поэтому при раскрытии этого
определителя нужно писать «сомножители» каждого «произ-
ведения» в порядке следования строк. По этой же причине
нельзя выносить за знак определителя общий сомножитель
из Z-ro столбца.
Перейдем к вычислению расходимости. Для этой цели
заметим, что
ег = [е2, е8] = L2Ls [grad и2, grad rz3]. (9.6)
Из этого равенства круговой перестановкой индексов полу-
чаются два аналогичных равенства. Принимая во внимание
эти равенства, вектор F можно представить следующим
образом:
= [grad и2, grad и8] F^L^Ll [grad и3, grad «J +
+ [grad «1, grad «J-
Применяя теперь правило вычисления расходимости от суммы
и от произведения, найдем, что
div F= (grad (F^L^ [grad «а, grad и8]) +
+ (grad (FgZ^Li) [grad и8, grad и,]) -f-
4-(grad (FSL1L2)[grad «i, grad div [gradu2, grad«8]+
+ FaZ^div [grad«8) grad wj F8L1L2div [grad «j,grad«2].
Вычислим отдельно дивергенцию векторного произведения
градиентов, снова применяя правило вычисления дивергенции
94 § 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
от произведения,
div [grad w2, grad /г3] =
= rot grad z/2 • grad — rot grad zz3 • grad z/2 = 0,
ибо rot grad h = 0. Точно так же равны нулю последние два
слагаемых в правой части полученного выражения для div F.
Таким образом, в этой формуле остаются только первые три
слагаемых. Заменим в каждом из них векторное произведение
градиентов по формуле (9.6) и grad (F^Z^.) по формуле (9.5).
Тогда получим
+ es(^LSL1) е +
+ Т,ег (Ш-,1 , е,) +
+да {гЛ +
‘77. ’ Д
или окончательно
div f - Д, {Д +Д < ^.>+4, о.?)
Выведем, наконец, выражение для оператора Лапласа
в криволинейных координатах. Для этого вместо Fp F2, F3
подставим в формулу (9.7) проекции вектора gradx, из (9.5),
где v = v(ub и%, и3). Таким образом,
Sv = div grad v =
____1 ( d /L2L3 dv \ । d (L3Lt . d /L}L2 dv\\ я
Lx dzz2\ й dzz2/ * dz/3\ £3 du3)]'
Выпишем оператор Лапласа в цилиндрических и сфериче-
ских координатах. Так как в цилиндрических координа-
тах г, ср, z
—— 1, L>^ — г —— 1,
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В ЦИЛИНДРИЧ. И СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ 95
то по (9.8)
. 1 д / dv\ . 1 dnv , d2v
v г dr v dr) ‘ ^?2 ' dz2 ’
В сферических координатах г, «>, ?
Lr = 1, Ц — г, = г sin
(9.9)
и, следовательно,
=
____L_J_
г2 dr \ dr J • r2 sin ft dft
' . n dv\ . 1 d~v
Sln' d») + r'-’sinW?2’
(9.10)
Помимо цилиндрических и сферических координат весьма
важную роль играют еще так называемые эллиптические
координаты. Рассмотрим в про-
странстве х, у, z систему по-
верхностей, определенную урав-
нением
_______________[_
a2 -f- id । b2 -f- со *
+ <9-=D
где a, b, c — заданные числа,
причем a > b > c > 0, aw —
параметр. Вид поверхности
(9.11) зависит от величины па-
раметра со, а именно, если
а) > — с2, то эта поверхность
является трехосным эллипсои- Фиг. 9.
дом*, если — с2 > о) > — Ь2, то
она является однополостным гиперболоидом, действительные
оси которого совпадают с осями х и у, а мнимая — с осью г;
наконец, если — Ь2 > со >—а2, то она является двуполост-
ным гиперболоидом, действительная ось которого совпадает
с осью х. Все эти поверхности являются софокусными (см.
фиг. 9). При — а2 > а) уравнение (9.11) определяет мнимое
место точек.
Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку М
с координатами х, у, г. Выясним, можно ли через эту точку
провести поверхность семейства (9.11), и если можно, то
96 § 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
сколько. С этой целью подставим в левую часть уравне-
ния (9.11) вместо текущих координат х, у, z координаты
точки Л4, и рассмотрим ее как функцию от ок
г, = f (ш) = ----h то—i--r — •
* 747 a~ 4“t0 c*- co
Отметим следующие очевидные соотношения:
при 0) - > — а2 справа,
при 0) - > — Ь2 слева,
при 0) - > — Ь2 справа,
при 0) - >— с2 слева,
при 0) - > —с2 справа,
при 0) - > ztco
/(<“)-> + со,
f (о/ -> — оо,
/(о>) ->--С-О,
/(со)-^-4-0°
/(«>)—>0.
Поэтому при достаточно малом е > О,
/(-^ + е)>1, /(-^-е)<1, >/(-^4-е)>1,
f( —с2 —е)<1, /( — 62-f-e)> 1, (9.12)
а при достаточно большом ш0> 0, /(cd0) < 1. Так как функ-
ция /(а), очевидно, непрерывна в замкнутых интервалах
[ — а24“е, —Ь2—еЬ I— —°2 — £], [— с2 + г, ш0],
то из неравенств (9.12) следует, что в каждом из этих трех
интервалов функция /(со) по крайней мере по одному разу
принимает значение 1. Но уравнение / (со)—1 = 0 после при-
ведения к общему знаменателю становится уравнением третьей
степени относительно со и поэтому не может иметь более
трех корней. Таким образом, при любых х, у, г, отличных
от нуля, в каждом из интервалов
( — а2, — £>*); ( — £>*, — с2); ( — с2, -ф-оо)
имеется точно по одному корню уравнения / (а>) = 1 (фиг. 10).
Обозначим эти корни, соответственно, через v, jjl, X:
— а2 < v < — № < |л < — с2 < X.
Величины X, |i, v называются эллиптическими координатами
точки М. Каждому из корней X, |i, v соответствует одна из
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
97
поверхностей системы (9.11), проходящая через точку
/И (х, у, г). Уравнения этих координатных поверхностей суть:
X2 , у2 . Z2
а2 4- К “Г Ь2+'^с2+Х
*2 । У2 । z2
a2 -f- р- * b2 4- * с2 4- у-
х2 . у2 . z2
а2 + ^ ‘ Ь2 + м ’ с2 4-м
(9.13)
Первая из них является эллипсоидом, вторая — однополост-
ным гиперболоидом, а третья — двуполостным гиперболои-
дом (см. фиг. 9).
Не представляет труда разрешить уравнения (9.13) отно-
сительно х2, у2, г2. С этой целью мы поступим следующим
образом (можно было бы,-конечно, решать ее как линейную
систему). Левая часть уравнения f (qj)—1=0, будучи при-
ведена к общему знаменателю, примет вид:
/((») — 1 = --------______________
J > w)(ft2 4-U))(c24-U>) ’
где Р8 (<о) — многочлен третьей степени относительно со с стар-
шим коэффициентом, равным — 1, имеющий своими корнями
X, р, V. Следовательно,
р3(ш) = — (<» — А) (<» — р.) (<о — v),
98
§ 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
и
f (.л\___1 —_____ (а> —л) (ш—р.)(ш —
7 W 1 «ж + (<о +
_ х"- у* . г2
«2 + <о * б2 -f*о> ' & Н"°>
(9-14)
Из этого тождества относительно ш легко найти выражения
х2, У\ & через X, ц, v. Действительно, умножим обе части
(9.14) на ш-|-а2 и положим затем ш = — а2. Тогда мы най-
дем, что
2_ (a2 + k)(a2 + P)(a2 + v)
~~ — а2) (с^ — а'г)
(9.15а)
Аналогично, умножая (9.14) на и на w-j-c2 и полагая
затем, соответственно, ш = — 62 и ш = — с2, находим две
аналогичные формулы:
„2 (*2 + W+l*)(ft2 + <)
,2 _ (с2 + Х)(С2 + |л)(? + 4
(а2—с2) (й2— с2)
(9.156)
(9.15в)
Эти соотношения можно рассматривать как формулы перехода
от эллиптических координат к декартовым.
Формулы (9.15а—в) показывают, что наряду с точкой
/И (х, у, z) ту же систему эллиптических координат X, |х, v
имеют точки, симметричные с М относительно координатных
плоскостей декартовой системы. Эти же формулы позволяют
определить, какие значения эллиптических координат соответ-
ствуют точкам Л4, лежащим в координатных плоскостях, т. е.
точкам, у которых по крайней мере одна декартова коорди-
ната равна нулю. Так, при лг = О из (9.15а) следует, что
v = — а2, так как остальные два множителя в числителе не
могут обращаться в нуль. При у = 0 из формулы (9.156)
следует, что либо v = — Z>2, либо ц = — #2, так как #2-|-Х
в нуль обратиться не может. Не представляет труда проверить,
что если v = — Ь2, т. е.
<а _ (<*2 + X) (а2 + |л) (а2 - Ъ2) _ (а2 + X) (а2 + ц)
— (б*—а2)(с2 —а*) “ с2 —а2
А (С2+Х) (С2+И)(С2_^) _ _ (С2 + Х)(С2 + И)
«2— с2
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
99
то
X2 Z2
—Ь2 Z>2—b
а если = — Л2, т. е.
v2 __ _ (^ + Л) (^+>) ,2 _ _ (<* + *) (С2 ~Н)
х — с2 —а2 9 — а2 —с2
то
х2 *2 / 1
Л2 — /?2 &2 —С2^Е
Наконец, при 2* = 0 из формулы (9.15в) следует, что либо
|i =s= — с2, либо К = — с2. Если |i = — с2, т. е.
vo_ (£1+W±2) v2_ (*2 + W2 + />
Л “ /,2__д2 ’ — я2 —Z>2
то
Й2_С2“ ’
а если X = — с2, т. е
v2____(аЗ + ^Ж + У) „2 _ _ (j±+lW + v)
— z>2—а2 '> У ~ аГ—ЬЪ
то
х* I < 1
д2 — ^2 ^2 — ^2 \
Таким образом, точки плоскости у, z характеризуются соот-
ношением v — — а2, точки плоскости г, х, лежащие внутри
полостей гиперболы
х2 z2 1
^2_С2“ 1
(имеющей фокусы главных сечений поверхностей (9.13) своими
вершинами), характеризуются соотношением v = — £2, а точки
этой же плоскости, лежащие между ветвями указанной гипер-
болы—соотношением ji = — Ь2\ наконец, точки плоскости х, у,
лежащие вне эллипса
___L Л-^1
С2” Ь2 — С2
(имеющего фокусы главных сечений поверхностей (9.13) своими
вершинами), характеризуются соотношением |л =» — с2, а точки
100 § 9< КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
этой же плоскости, лежащие внутри указанного эллипса —
соотношением Х =— с2 (фиг. 11).
Докажем, что система эллиптических координат ортого-
нальна, и найдем соответствующие коэффициенты Ляме. Как
мы видели, для этой цели нужно вычислить девять частных
У г
Фиг. И.
производных 7 первого порядка Jot^x, у z по X, [i, v. Чтобы
найти -gy, возьмем логарифмические производные по X от
обеих частей равенства (9.15а):
2 дх 1 „ дх 1 х
хдЬ~а* + Ь> ИЛИ 0Х = 2а2 + Г
Аналогично вычисляются остальные производные. Результаты
можно записать в виде таблицы, в каждой клетке которой при-
ведена частная производная от функции, указанной в заголовке
столбца по переменной, указанной в заголовке строки.
X У Z
X 1 X 2 1 У 2 &24-Х 1 Z 2 с2 + Х
р 1 X 2 а24-н- 1 У 2 &2 + н 1 Z 2 с2 + р.
1 X 2 а2-Н 1 У 2 1 Z 2 c2 + v
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
101
Условия ортогональности (9.2) теперь легко проверяются.
Например, для координатных линий Кир:
дх дх . ду ду . dz dz____ 1 i х2 , у2 .
дк др. ЭХ дц д\ др ~' 4 ( (а24-Х) (я24-|л)Ч~(624-Х) (624-р)
। z’ ) 1 /х2(Х4-а2—ц—а2) ( уЦх±ьъ—р—Ь2) !
-i-(c2+x)(c2+iX)/-4(X-il) )(а2 + Х)(а2 + ц)Т’(^Ч-Х)(&а + И) Ч
, z2 (X 4-с2 — р — с2) 1 1 ( х2 I уъ | ?2 _
' (с2 + X) (с2 + р) J 4(Х — р) I а* 4- рЧ~&2 4- Р ' с4 + Р
______£______У1______= —
а2±\ ь2 + \ с2 + ч 4(Х —р)*1 '
и аналогично
дх дх . I д* о
др dv ’ dp. dv * др Tn ™ ’
дх дх । dj^ д^ . дгг dg_а
dv дХ ’ д* дХ ’ дТ
Переходим к вычислению коэффициентов Ляме. По (9.3)
,2___fdx\2 । (ду\2 I /д*\2__1 J х2 , у1 . । z2 )
' kdXj MdXj “4 t(a2+X)2+(^2 + X)2 ' (сНЦ2Г
______L — Г х2 । у2 [ z2 ______________11 _
4 дю [ а2 + ад « Ь2 -|- оз с2 -f- со ]ш=х
__д Г (<о — X) (со — р) (ш — I
Т [ (а24- ш) (^2 + <о) (с2 4- ш)]ц>=х ’
причем при последнем преобразовании мы воспользовались
тождеством (9.14). Следовательно,
7 3 — JL / Г/п — П А (ш--р)((Р —») I
Х } дш (л24-а>)(£24-<о)(с2 + ш)
(щ _ р.) (ш _ у) |
Г (^ + ®)(&2 4(o)(C2 4w)
или, замечая, что производная в первом слагаемом конечна
при со » X, получим:
7 2__(X—р)(Х —у)
к 4 (а24-Х)(^24-Х)(с24-Х)’
102 § 10. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Остальные коэффициенты вычисляются аналогично, так что
окончательно
/ —1 лГ
х 2 V (л2 +W2 +W2 + x)’
I =1Г ~ v) 0х — А) _ 1 , Г (и —(* —i*) jч
2 V (а^(Ь^)(с^Г2У Н^+^)(^+|О(^) h
L — JL л/~ о —A) (v —р.)
V 2 Г (tf2+v)(£2 + v)(c2 + v) *
Имея эти выражения для коэффициентов Ляме, можно выра-
зить в эллиптических координатах все дифференциальные опе-
рации векторного анализа. В частности, приведем соответ-
ствующее выражение для оператора Лапласа (см. (9.8)):
I9-16»
где v = v('k, ji, v).
В некоторых приложениях применяются предельные случаи
эллиптических координат: Ь = с (координаты вытянутого эллип-
соида вращения) и b = а (координаты сплюснутого эллипсоида
вращения), на которых мы здесь не будем останавливаться.
§ 10. Вспомогательные формулы из теории поля
Пусть и и v— две произвольные функции, обладающие
непрерывными частными производными до второго порядка
включительно. Условимся для дальнейшего в следующих обо-
значениях. Точку с координатами х, у, z будем обозначать
через А, точку с координатами 5, т], £— через Р, расстояние
между ними — через
гАР= Г(*-?)24^-<+(*-У2-
!) Эта запись коэффициента Lu. предпочтительнее, так как
([л — м)(х — р)>0 и —(а«+[л)(&8-|-|Г)(с2 + ^)>0-
ТРЕХМЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ
103
Вместо того чтобы писать и = и (х, у, z), мы будем писать и (Л).
Точно так же р(Р) обозначает, что аргументами функции р
являются 5, т), С, а (Л, Р)— функция от х, у, Z, 5, 7], С,
и т. д. Дифференциалы объема, площади поверхности и так
далее в точке Р мы будем обозначать через rfVp, dSp и т. д.
Символы дифференциальных операторов от функций А и Р
мы будем снабжать индексами А или Р в зависимости от того,
производится ли’дифференцирование по х, у, z или т;, С;
так, например,
д ____d2u i d2u . d2u
aU~~ dx2' dy2' dz29
а
ди . . ди . . ди
ГТ (dU\
и т. д. Далее, символ обозначает производную в не-
котором направлении п, определенном в точке Р (например,
нормали к поверхности, проходящей через Р):
(ди\ du . du о । ди
Т" L = -4^COSa Ч--Т- COS 3 +*37 cosy,
\dnjp dz 1 д^ r 1 dC *’
t
где cos a, cos^, cos 7 — направляющие косинусы и.
В математической физике важную роль играют некоторые
простые следствия из известной формулы Остроградского.
Запишем ее для векторного поля и (Р) gradp ф:
( ( f diVp («gradpф) dVp = $ (и (Р) gradp v, п) dSp,
' ,(Ю j (8>
где (V)—некоторая конечная область пространства, ограничен-
ная гладкой поверхностью (S) (или несколькими такими по-
верхностями), а п — единичный вектор внешней нормали к (S).
Но, с одной стороны,
(и (Р) gradp v, п) == и (Р) , 0 п р• дп-
а с другой стороны,
divp (и gradp v) = (gradp и, gradp «») -f- « (P) bpv.
104 § 10. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Таким образом,
J | J (gradp gradp v) d Vp -ф* f f f u (^) dVp =
(V) J (V) J
<1ОЛ>
(8)
Поменяем в формуле (10.1) и и v местами и полученную
формулу вычтем из (10.1). Тогда мы получим следующую
формулу:
J I {и (Р) hpv — v (Р) Др^} d Vp =
(П J
11ад
(S)
Если граница области (S) состоит из нескольких замкнутых
поверхностей, то каждая из них даст в правой части (10.2)
слагаемое того же вида, что и (S).
Пусть теперь А — любая точка, лежащая внутри (У).
Опишем вокруг А сферу (S8) настолько малого радиуса 8,
что она целиком помещается в (V), обозначим через (1У8)
часть области (У), состоящую из точек, лежащих вне (5Д
и применим формулу (10.2) к области (1У8) и функции
при произвольной функции и. Так как (1У8) не содержит
точки Л, то v непрерывна и любое число раз дифференцируема
в (1У8). По формуле (9.10), примененной к сферическим
координатам с началбм в точке А: гАр, &, ф, имеем:
1 d2v
rAP sin3 ’
ТРЕХМЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ
105
а так как v зависит только от глр, то
/ д -1А
= = г^Р-^) = 0. (10.3)
\ ГАР/ ГАР дГАР\ АР J
Стало быть, по (10.2) получим, учитывая, что граница
области (W$) состоит из поверхности (или поверхностей)
(S) и сферы (S8),
Но на (58) и если ввести упомянутые выше сфери-
ческие координаты с началом в точке А, то
=______д__
дп дгАР*
причем знак минус обусловливается тем, что п как вектор
нормали, внешней по отношению к (IFS), направлен к точке Л,
т. е. в направлении, обратном возрастанию гАР\ следователь-
но, на (S5)
Таким образом,
= 4тш (Р) —> Аки (Д),
106 § 10. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ
при 8 -> 0. Это следует из теоремы о среднем, примененной
к последнему интегралу по (J>), причем Р обозначает неко-
торую точку на (S5), стремящуюся, конечно, к точке А при
8->0. Далее,
(1г) dSp=^4^(d^-\ -»0
№rAPWP ^njp
при 8->0. Переходя, следовательно, в формуле (10.4) к пре-
делу 8->0, найдем, что для любой точки А внутри (V)
— (?) —«(*>)
' 4it Я rAP \dnjp v '
(S)
dSp —
dn Ip
(10,5)
Заметим, что последний интеграл, распространенный по (V),
является несобственным интегралом, такжак переменная точка Р,
изменяясь в области (V), может совпасть с точкой А, и
в этой точке подинтегральная функция становится бесконеч-
ной. Однако из наших рассмотрений следует, что этот несоб-
ственный интеграл существует, так как существует предел
при 8 правой части формулы (10.4)5 Ниже (в § 11) пове-
дение таких несобственных интегралов будет изучено гораздо
подробнее.
Если вместо формулы Остроградского в пространстве
использовать формулу Остроградскбго на плоскости, то легко
вывести аналогичными рассуждениями соответствующие (10.1),
(10.2) и (10.5) двумерные формулы.
Обозначая через (О) некоторую ^область плоскости х, у,
ограниченную гладкой замкнутой кривой (£) (или несколь-
кими такими кривыми), мы получим для произвольных функ-
ций и и v, обладающих непрерывными частными производ-
ными до второго порядка включительно, следующие формулы:
(Я)
u(P)bpvdDp = & dLp (10.6)
ДВУМЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ
107
и
| |{«(Р)Ар® — v(P)&pu} dDp =
<d>
д ..
где — оператор дифференцирования в направлении внеш-
н П /7\ А д2 I
ней нормали к (£), а ДР=—.
Для вывода двумерного аналога формулы (10.5) применим
формулу (10.7) к области (Е8), получающейся из (D) удале-
нием круга достаточно малого радиуса В с центром во вну-
тренней точке Д, принадлежащей (D), и к функции
при произвольной функции и. По формуле (9.9) § 9, при-
мененной к цилиндрическим координатам с началом в точке
Л • ''ар, ?, имеем:
А 1 д / dv \ . 1 d2v . d~v
PV~7ap ^ap\AP~^Tp) "Ир dzi ’
а так как v зависит только от г^р, то
Apv = Apfln -Ц - -±- J- I г АР -V ) = 0. (10.8)
\ г ЛР J ГАР вГАР ' ОгАР !
Стало быть, по (10.7) получим:
__ ( | Ьри • In —— dDp -----
.! rAP
(Kf)
( / d fin —J—4) \ 1
\dLp +
J v 7\ dn Ip rAP \dn!P\
(D
<• ( Id(ln —!— ,
+(f) “<₽> сИ ?-ln~P-(U (10-9’
108 §11. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
где (С9) обозначает окружность радиуса 8 с центром в точке Л,
входящую в состав границы области (£\). Учитывая, что на
(Q) гАр = 8 и
(д(1п——dfln—5-Л
\ ГАР/ . \ ГАР/ в_1_
\ дп I** дгАР ^р==5” 8 ’
предельным переходом при 8 —> 0 найдем, что
/ д 6п -у—) \
<£ и (Р) I > u(P)dLp-*2vu(A)
J \ ОН / Р v
(С8) * (Ь)
и
(f 1П -L. (^i\ d£p->0,
J rAp \dnjp 0 J \dn/p
(Ct) r (L)
так что имеет место следующая формула:
dLp ~if f SpU •ln 7“ dD-
'<•»)
(10.10)
Наши рассмотрения показывают, между прочим, что несоб-
ственный интеграл, распространенный по (D), стоящий в пра-
вой части формулы (10.10), существует.
§ 11. Потенциал объемно-распределенных масс
или зарядов
Как мы видели в § 10 (см. формулу (10.3)), функция
С
ГАР'
где С — постоянная, является как функция от Р решением
уравнения Лапласа ДРн = 0. Очевидно, что она является
таковым и как функция от А:
= °-
\ГАР/ \ГАР/
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА ВО ВНЕШНИХ ТОЧКАХ 109
Физически --- представляет собой ньютонов потенциал ма-
ГАР
термальной точки массы С (в системе единиц, в которой
постоянная всемирного тяготения равна l)t или кулонов по-
тенциал~точечного заряда д (если диэлектрическую постоян-
ную считать равной 1), помещенных в точке Р. Значение
соответствующего потенциала берется в точке А.
Пусть (У) — некоторая конечная область пространства,
ограниченная кусочно-гладкой замкнутой поверхностью (5).
Пусть в (V) задана функция р(Р), которую мы предполагаем
непрерывной и ограниченной в (V). Тогда1)
(11Л)
называется потенииалом масс, распределенных
по объему (V) с плотностью р. Конечно, и (А) может трак-
товаться также как кулонов потенциал объемно-распре-
деленных зарядов2 * * * * *).
Во всех точках А вне (У) функция и (А) из (11.1) непре-
рывна и любое число раз дифференцируема по х, у, z под
знаком интеграла8). В частндсти,
grad А | ( Г р (Р) grad А (—) d VP —
" АР
= - f f fP(P)^dVP, (11.2)
'(V
*) Интеграл (11.1) (как и (13.1) § 13) является результатом не-
прерывного наложения (см (7.7)) решения —?— уравнения Лапласа,
г АР
зависящего от параметров т), С; р (Р) играет роль коэффициентов,
зависящих от тех же непрерывно изменяющихся параметров 5, т], С.
2) Заметим, что в случае кусочно-непрерывной плотности р (Р)
объем (И) распадается на конечное число объемов, внутри каждого
из которых р (Р) непрерывна и ограничена. В этом случае соответ-
ствующий потенциал представится в виде конечной суммы потен-
циалов типа (11.1).
8) Это следует из известных теорем об интегралах, зависящих.
от параметров; см-> например, Т. М. Фихтенгольц/ Курс'ди^
ференциЗЭООТаи интегрального исчисления, т.п, гл. XIV, § 1, Гос-
техиздат, 1949.
110 § 11. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
где гар — (х — Далее,
Дл«= [ f f p(P)AA(_L-)rfVp = 0,
*(П *
так как A^f----^ = 0.
\ГАР/
Таким образом, потенциал и (4) масс или зарядов, рас-
пределенных по объему (V), удовлетворяет уравнению
Лапласа во всех точках
рЛ вне (V).
Рассмотрим поведение
потенциала и (А), когда
/ »'р |**^*ч\ точка/1 удаляется в бес-
/ ..-.j----------------д конечность. Для этого
опишем вокруг начала ко-
ординат сферу настолько
У>7- большого радиуса г0,
чтобы область (V) цели-
ком помещалась в ней.
Обозначим через
Фиг. 12.
г — ]/х2-)->у24”<г'2
расстояние точки А от начала; тогда для достаточно боль-
ших г мы будем, очевидно, иметь неравенства (фиг. 12):
rJTr0>rAP> Г — Г^
или
11 ______1
f' + f'o ''ар<г“г0
Допустим сначала, что р(^)>0 в (V). Тогда
ИЛИ
p(P)dVp<ru(A)<
ПОВЕДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
111
Устремляя в этих неравенствах г к оо и учитывая, что
г0 — фиксированное число, найдем соотношение
lim га
г->оо
(11.3)
(F)
т. е. всей массе, распределенной в объеме \
Если р (Р) меняет знак вДР)^7т° введем две неотрица-
тельные плотности pt(P) и р2(Р), полагая
р (Р) J р если р (р) > °>
Р1 } ( 0, если Р (Р) < О,
о / ~Р(р)> если Ptp)<°>
2 | 0, если р (Р) >• 0.
Тогда в любой точке Р: p(P)=pj(P)— р8(Р) и, следова-
тельно,
« И) = «1 И) — «г (Л)>
где
(Г) (У) v
Но соотношение (11.3) имеет, по доказанному, место для
иг(А) и яа(Д), так что
lim ги1 (Д) == f f f
r->oo J J J rAP
(Ю
Ншл«2(Д)= f f
r->oo J J J rAP
(П
а стало быть, и в общем случае
lim ги (Л) = lim ги{ (Д) — lim nz2 (Д) =
Г->00 Г->ОО r->oo
e J / J P* (P) dVp ~ J / JP*(p>dVp = J / J ?(P) dVP.
(П (У) (У) j
*) Это возможно при электростатическом толковании потен-
циала. Для масс всегда р>0.
112 §11. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
Таким образом, на очень большом расстоянии от начала,
или, что то же самое, от области (I/), мы имеем прибли-
женное равенство
(11-30
Другими словами, на бесконечности потенциал.^объемно-
распределенных масс^ {или зарядов} введет себя как потен-
уаал машрмальнюй точки {или точечного заряда), распо-
ложенной в начале^ координат, причем сосредоточенная
там масса {или~ заряЗ^ равна вай_._марр^2^^^^Р^УЗ»
распределенной в (И.
В частности,'и {А)^-> 0 при г->оо.
Далее, по (11.2) имеем:
|gradA«|<f f ( f
Следовательно, например, для всех /*>2г0
/•’|gradx«|<(~7-)a f f f|p(P)|rfVP<4'|‘ f [|P(P)|rfVp.
\ W J (V)
Это означает, что для частных производных первого
порядка потенциала объемно-распределенных масс {или
зарядов) имеют место оценки
ди I
дх I
С
г* 9
[ди С \ди\. С
I ду j г2 ’ I dz I г2 ’
(И.4)
где С—некоторая постоянная.
Прежде чем перейти к более сложному вопросу — изуче-
нию поведения потенциала и (Д) и его производных во вну-
тренних точках области (V) в общем случае, рассмотрим
простой пример.
Пример. Потенциал однородного шара. Пусть(У)—
шар радиуса R с центром в начале координат и р = const.
Тогда, переходя к сферическим координатам р, ? и 9, где
$ = рsin 0 cos <f>, т] а=р sin О sin<p, C = pcos&,
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ШАРА
113
будем иметь
те 2п R
/ Г f f Р2 sin 0 dp dv db
“(4,=PJ J J—ir—-
0=0 'i = 0^ = 0
Так как в силу центральной симметрии и (А) будет зависеть
только^ от расстояния г — Ух2 ~гУ2 + -г3 точки А от начала
координат (центра шараХ^ в качестве точки Л "можно взять*
точку с координатами х = 0, у = 0, z = /*, и тогда
гАр = У"?2 -f- т|2 -j- (С — г)2 = У р2 — 2rp cos Н -f- г2, *
где под корнем должно пониматься его арифметическое зна-
чение. Следовательно,
те 2те R
f f f
J J J Уp2 — 2rp cos $ 4- r2
Интегрируя сначала no ft, получим:
f Sinftdft 1 ,/-»--?;----JT-:—si8-’
J Ур2— 2rp cos Я + r2 Pr !&=«o
^—{p+r—
Таким образом, если точка А лежит вне (V), т. е. г>/?,
то р < г (так как 0 р R), и
f _ sin»rf{> = _L[р+г„(г_р)} »2,
J /p2 — 2<pCOs0 + r2 J>r^^ Г" Г’
а
2гс R
и(А) = %- J j pVdpd'? =у ^8Р-
<р==о
4
где М = -д-гс/?8р — масса шара. Мы видим, что приближенное
равенство (11.3') в случае однородного шара превращается
в точное во всех внешних точках. Зто означает, что во всех
114 §И. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
внешних точках потенциал однородного шара давен по-
тенциалу материальной точки той же массы, помещенной
в его центре.
Так как
то легко видеть, что выполняются и неравенства (11.4).
Если же точка А лежит внутри (V), т. е. если r<R, то
для 0 г:
ТС
Г_________sin fldfr______
' Yp*— 2rpcos&-f-/-2
±{р + г- (r-p)}=|,
а для г < р < R-
ТС
f sinftd&w l/i , 2
J Yp^ — 2rpcos&-|-r2 Pr Р
Следовательно:
2тс г R I
и (Л) — р j | j ~ dp -f- J 2p dp} d<? —
<p==o p=0 p~r
Обозначая через и (г) значение потенциала однородного
шара радиуса R и массы М в точках, находящихся на рас-
стоянии г от его центра, будем, стало быть, иметь:
«(г) =
М о
—, если г > R,
}’ если r<R-
График этой функции изображен на фиг. 13.
Нетрудно видеть, что и (/*) и ее первая производная и’ (г)
непрерывна для всех (если положить' u(R) = -~- и
«'(/?) =— 7^)» т* е< чт0 Функция zz и ее частные произвол-
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ШАРА
115
ные первого порядка по х, у и г непрерывны во всем про-
странстве. Действительно, и (г) и и' (г), очевидно, непрерывны
для г > R и г < /?; но
lim и (г)— lim zz (г) = —- >
r-+R- о о К
И
z
lim и (r) = lim и (г) = — —.
r->R— 0 г->7? + 0
Однако вторая производная я" (г) претерпевает разрыв
в точке r~^R (т. е. при пересечении границы масс):
lim и"(г)= —
г->В-0 к
а
Мы знаем, что и (г) должно удовлетворять вне (V), т. е
для г > R, уравнению Лапласа, и это, очевидно, выполняется
в рассматриваемом примере. Подсчитаем теперь Д^и внутри (1Z),
т. е. для r<R- Для этого воспользуемся формулой (9.10) и
учтем, что =?= = 0. Мы найдем, что
0^ Слт
А 1 d
ли г* dr
М d (2r*\ ЗМ .
ZRr'drVR?)^ R»^ 4я?-
J) Напомним, что через lim и (г) (соответственно lim и (г))
обозначается lim и (г) при г <R (соответственно при г > R).
г-+к
116 § И. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
Обнаруженные нами на этом простом примере факты,
а именно, что потенциал однородного шара _и его первые
производные непрерывны во всем пространстве (в частности,
внутри масс и при пересечении их границы), но что его вто-
рые производные претерпевают разрыв при пересечении границы
масс, причем внутри масс потенциал удовлетворяет уравнению
Пуассона \Аи = — 4гср, имеют место и для потенциалов ко-
нечных тел произвольной формы и переменной ограниченной
плотности. Конец настоящего параграфа посвящен доказатель-
ству этого предложения.
Рассмотрим в первую очередь поведение потенциала и (А)
в общем случае во внутренних точках области (V). Если
точка А лежит внутри (V), то интеграл, (11.1) становится,
как уже отмечалось в аналогичном случае в предыдущем
параграфе, несобственным, так как подинтегральная функция
обращается в точке А в бесконечность. Мы покажем, однако,
что и (А) внутри (У) существует и является не только не-
прерывной функцией %от А, но что внутри (У) существуют
частные производные первого порядка от и (А) по х, у, z,
которые сами непрерывны внутри (V) и могут быть получены
дифференцированием под знаком интеграла в (11.1). Более
того, непрерывность потенциала и (А) и его частных произ-
водных первого порядка, т. е. вектора grad^zz, сохраняется
и при переходе точки А через (S), Таким образом, утвер-
ждается, что zz(A) и grad^zz непрерывны во всем про-
странстве и что gxbAAU всюду представим формулой
gradA«==- [ | fp(P)-^rfHP. (11.2)
J J rAP
Для доказательства этого важного свойства потенциала
объемно-распределенных масс или зарядов рассмотрим вектор-
ное поле
— f f fp(P)^dVP, (Ц.5)
J (V) J rAP
где A — произвольная точка пространства. Если А лежит
вне (У), то F(А), как мы знаем из (11.2), совпадает с grad^tf.
Пусть теперь А — точка внутри (V) или на (S). Тогда инте-
грал (11.5) становится несобственным. Покажем, что он
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА И ЕГО ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 117
существует. С этой целью перейдем к сферическим коорди-
натам с началом в точке Л, так что точка Р будет иметь
координаты rAP, ft, ср, где
$ — х = г ар sin ft cos ср,
—у — Гар sin ft sin cp,
t— z = r^pcosft,
a
d Vp = Гар sin ft dfAP dft d?.
Окружим точку А сферой (S8) достаточно малого радиуса 3
и обозначим через (178) часть (V), содержащую точки, внеш-
ние по отношению к (5$). Имеет место равенство
f f fp(P)-^ = f f fp(P)-^-sin&rfr4pd&dT-
Гар AP
= j f J P (P) глр sin &
V5)
где Гдр — единичный вектор в направлении г ар,
г\р = sin ft cos I -|- s*n ® 8*п 4“ cos W’*
Последний интеграл, очевидно, остается конечным при 8 -> О,
так что
F(A) = -lim f f fp(P)^dFp =
Гар
Гар sin & drApdb dy
действительно существует. Так как в последнем интеграле
подинтегральная функция непрерывна вне зависимости от
того, лежит ли точка А внутри (V), на (S), или вне (V),
то F(A) является непрерывным векторным полем во всем
пространстве. • ~
118 §И. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
Установим теперь, что
F(A) — gt&6Au
не только вне (V), но во всем пространстве. Для этой цели
нам нужно предварительно провести некоторые вспомогатель-
ные построения и оценки. Проведем через А прямую произ-
вольного направления и вокруг нее как оси— круговой цилиндр
вырежет из (И), обозначим через (Z8), а остаток (V)—через (У8),
так, что (И) = (V8) + (Z8) (фиг. 14). Обозначим, далее, через рт
наибольшее значение |р(Р)| в (V). Тогда
J f J Р(р)^л(т^)аур
J \rAP>
Введем в области (Z8) цилиндрические координаты г', У
с началом в точке А и направлением оси z, совпадающим
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА И ЕГО ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 119
с осью (Zj) так, что
гар
a dVp — r'dr'dy'dz'.
Тогда, независимо от положения точки А в пространстве,
f f
J/ r'ip
Г f f r’dr’di’dz'
J J J r's + *2
W
2n 8 c
<р'=»0 Г^О а’ = — оо
и, следовательно,
< 2«2pm3.
Эта оценка нам сейчас же понадобится.
Возьмем теперь наряду с точкой Л, лежащей в (V) или
на (5), еще произвольную точку Ло и обозначим через (L)
прямолинейный отрезок, направленный от Ло к Л. Перемен-
ную точку на (£) обозначим через Q. Взяв прямую ЛЛ0 за
ось цилиндрической области (Z8), образуем
| F(Q).drQ= f j [ ( | p(P)grade(-^)dnp.drQ
(i) (£) i ' (V/
f ( f f f , ч /1
(Ь)
dVF-drQ\ +
I p(P)grad drA-
В первом из этих интегралов точка А лежит всегда вне (V$),
так что порядок интегрирований может быть изменен,
f f f
' (V
^2^5,
120 § П. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
в результате чего получим:
Что касается второго интеграла, то, применяя найденную выше
оценку, мы можем утверждать, что
где гАА— расстояние между точками До и Д.
Таким образом, мы имеем соотношение
f(p)!7b-^W+'«' <1Ь6)
(Ь) (h) 1 АР А*р>
где
IЛ | <
Замечая, что левая часть формулы (11.6) не зависит от 8, и
переходя в правой части к пределу 8—>0, найдем, что
— а(4) —н(Д0),
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА И ЕГО ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 121
Отсюда мы заключаем, что *)
F(4) = gradAw,
т. е. что формула (11.2) действительно остается в силе и
в точках А, лежащих в (V) или на (S). Но выше было дока-
зано, что вектор F(A) непрерывен во всем пространстве;
ди ди ди *
следовательно, непрерывны и а, стало быть, и
сам потенциал я(Д) масс или зарядов, распределенных по
объему (V) с непрерывной и ограниченной плотностью.
Рассмотрим еще вторые частные производные потен-
циала и (А). При этом мы предположим, что плотность р(Р)
имеет в (V) непрерывные и ограниченные частные производ-
ные первого порядка 2). В первую очередь преобразуем выра-
жение для gradx и, Так как
ТО
grad л. и = J [ J Р (р) &radA (;“) dVp ==
(h
= —( [ [ Р (Р) g^dp
' (h ' л
Опишем вокруг точки А, лежащей внутри (V), сферу (S8)
настолько малого радиуса 8, чтобы она целиком лежала
*) Для этого достаточно выбрать направление АА0 поочередно
параллельным каждой из трех осей координат. Так, если
F=Fxi + Fyj+F,k
и Aq имеет координаты х& у0, zQ, то, полагая у = yQf z » z§, найдем
что
а?
J Fx dx — U (х, zu) — и (х0, у0, zQ),
ди А „ ди ди
откуда Fx = . Аналогично докажем, что Fy = и Fz = —=^ ,
а это и означает, что F = grad и.
2) Можно предполагать их только кусочно-непрерывными. См.
сноску на стр. 109.
122 §11. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
в (V), и обозначим через (IFg) часть области (V), состоящую
из точек, лежащих вне (S5). Тогда, очевидно,
gradA// = — lim I f I p(P) gradp dVP.
5->0eJ J J VAP/
(^)
Воспользуемся теперь формулой
p(P)gradp = gradp(-£-) — -i- gradp p,
VAP7 \rAP' rAP
в силу которой
f f
(V
dVP =
[ I ( gradpИр— ( I [ -i-gradp?dVP.
' J J VAP' J J J rAP
(WS)
Но первый интеграл в правой части последнего равенства
преобразуется по формуле (3.2), выведенной в § 3, в поверх-
ностный интеграл от — п, распространенный по границе
ГАР
области (178), которая состоит из (S) — границы области (V)
и (S8). Стало быть,
Wsradrte)rfVr “ “г<“р+§
(И^) (S) (S8)
tip dSP,
где пр означает единичный вектор внешней нормали относи
тельно объема (1Г8). Далее, на (S5): глр = 8, так что
<S5)
(Sf)
где рт попрежнему обозначает наибольшее значение | р (Р) |
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА ОТ ПОТЕНЦИАЛА В ТОЧКАХ МАССЫ 123
в (И), Устремляя теперь о к 0, найдем, что *)
gradAa= | | ^-gradppdyp —(11.7)
f (V) ’ (ь’>
Первый из интегралов в формуле (11.7) — несобственный,
но каждая из его составляющих по осям координат пред-
ставляет собой потенциал объемно-распределенных масс с не-
прерывной и ограниченной плотностью ~ или Стало
быть, по доказанному выше свойству таких потенциалов, эти
составляющие являются непрерывными функциями от А с не-
прерывными же частными производными первого порядка,
которые могут быть получены дифференцированием под зна-
ком интеграла. Таким образом * 2),
dM f f^gradPPrfVP= f [ f diVA ?radP p)
' m " ' (V)"
= | ( | grad4(A).gradpP</yp =
' (V) '
= — ( [ f НрЩ • b,radP? dVP =
' (V)
w
где, как выше было определено, (IFS) является областью,
ограниченной поверхностью (5) и сферой (S5) достаточно ма-
лого радиуса 8 с центром в точке А.
2) Нетрудно показать, что формула (11.7) остается в силе и для
точек Л, лежащих вне (V) и на (5). Особенно простой вид эта
формула принимает для однородного тела, т. е. при р == const. Тогда
gradpp = 0 и
gradA и = — $ ttpdSp.
(S) Ар
2) Здесь используется формула
divA(/(H)F(P)) = gradzl/.F(P).
124 § П. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНО "РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС
Воспользуемся теперь следующей формулой:
(^) • gradp р = divp (р gradp (А )) - р (Р) Др (J-).
Так как точка А не принадлежит к (1Г8), то в этой области
Таким образом,
f f fgradpgradppdVp.=
“ I divp(p gradp ))dVp^
= §P(P)gradp Ш .rtpdSp+gp(P)gradp(JL)
(Sg) (8)
tip dSp,
по формуле Остроградского, примененной к области (1Г8). Но
С другой стороны, на (55): /'лр = 8, и если ввести сфериче-
ские координаты с началом в центре (Ss)— точке Д, то
(Так как п — единичный вектор нормали, внеш-
иЛ АР
ней по отношению к (1Г8), т. е. направлен к точке Л). Кроме
того, на (S8):
дп
Следовательно, при 8->0
§ Р (₽) \ lPdSP = § Р dSP 4ltP
(в») Щ
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
125
по теореме о среднем. Стало быть,
dM f
' (Ъ "
= “"mJ f fgradr(,jb)gradrWVr =
(*8)'
= — 4тгр(Л) — §р(Р)
(8)
Из (11.7) теперь находим, что
так что окончательно мы получаем соотношение
Длй — —4кр(Д),
справедливое в любой точке внутри (V). Таким образом, по*
тенциал объемно-распределенных масс или зарядов удо-
влетворяет в каждой внутренней точке объема, по кото-
рому они распределены, уравнению Пуассона.
126
§ 12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Требование существования и непрерывности первых ча-
стных производных, которое мы' наложили на плотность р (Р)
при выводе этого результата, может быть ослаблено !).
Таким образом, мы видим, что при переходе через гра-
ницу (S) масс или зарядов \&и претерпевает, вообще го-
воря, разрыв, так как вне (V) ДА^==0, а в (V) Ддя =
=— 4кр(Д). То же самое имеет место и для отдельных ча-
стных произв<й@5ГПш^^ потенциала объемно'-
распределейных масс или "зарядов * 2).
§ 12. Характеристические свойства потенциала
объемно-распределенных масс или зарядов.
Потенциал однородного эллипсоида
В предыдущем параграфе были установлены следующие
свойства потенциала объемно-распределенных масс или
зарядов:
1° и (А) и gradAu непрерывны во всем пространстве.
2° ЛАи существует и равен нулю вне некоторой конеч-
ной области (V), ограниченной кусочно-гладкой поверхно-
стью (S) (или несколькими такими поверхностями3)); внутри
(К) Дл и также существует, непрерывен и имеет непрерывные
ограниченные частные производные первого порядка 4).
Обозначим----— через р(Д).
3° и (Д) -> 0 при г = ]/х2 У2 4~-г2 -> оо и г21 grad^a | < С,
где С—некоторая постоянная.
*) Однако, как показал И. И. Привалов, одной непрерывности р (Р)
недостаточно. Достаточным является, например, так называемое
условие Гельдера: для всех Pi и Р2 из (V)
|р(Р1)-р(Р2)|<Сг£л,
где С>0 и а > 0 — некоторые постоянные.
2) См., например, Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского
потенциала, Гостехиздат, 1946, стр. 86—87.
8) Легко видеть, что все формулы предыдущего параграфа
остаются в силе, если под (S) понимать всю совокупность поверх-
ностей, ограничивающих (V). См. примечание в тексте к формуле
4) Эти условия могут быть, как уже отмечалось, ослаблены.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА
127
Докажем теперь, что если некоторая функция и (А)
обладает этими тремя свойствами^ то
С этой целью применим формулу (10.5) к шару (Кв)
с центром в точке А настолько большого радиуса /?, чтобы
область (V) целиком содержалась в нем. Пусть границей (Кн)
является сфера (Sr). Тогда
ДРи
-/-dVP.
rAP
&R)
В силу свойства 2°
жй) (П
и, стало быть,
(П
(")<121>
(8д/ А
Но на (5в):
1__1 \ 'лр / =_L-
гАР R ’ дп R2’
кроме того, в силу свойства 3°,
| дп | lgrad “ । < /?2
128 § 12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Следовательно,
' |д J-f’i) _„(₽)
4тс 1 Эи гАР дп /р v ’ \ дп /р]
(Sr) “
< S I ® , I + 4^ й I “ И I “s- <
<$r) (,sR)
< "№ 6 dsp + max I “ (p) I = ^- + max Iu (p) I -* 0
Pm(Sr) * Рна(8й)
при R -> oo, так как, в силу первой части свойства 3°,
max | и (Р) I -> О
Р на (SR)
при R->oo. Замечая, что в формуле (12.1) от R зависит
только интеграл, распространенный по (5#), и устремляя R
к оо, из этой формулы находим, что
иг.^
(7)
что и требовалось доказать.
Таким образом, свойства 1°, 2Э и Зэ являются харак-
теристическими для потенциалов объемно-распределен-
ных масэ или зарядов (для определенного класса плот-
ностей р).
- Заметим, между
2° и 3° следует,
но что
прочим, что из выполнения условий 1э,
что не только я(4)->0 при г->оо,
lim га(Л)= Г f Гp(P)dVP.
">о° (V)
Применим теперь эти характеристические свойства к рас-
смотрению потенциала однородного эллипсоида. Полуоси
эллипсоида обозначим через а, Ь, с, причем предположим, что
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
129
Область пространства, занимаемую этим эллипсоидом, будем
обозначать через (Е); она определяется неравенством
Так как плотность р постоянна, то искомый потенциал может
быть записан в виде
а (Л) = р J
L. j ГАР
Прямое вычисление этого интеграла (точнее, его преобра-
зование в одинарный определенный интеграл) возможно, но
связано с серьезными трудностями *). Мы ограничимся здесь
проверкой результата с помощью характеристических свойств
потенциала.
Введем в рассмотрение функцию от Л и параметра оз,
*-2 у2 *2
/(Л; <о) = -^------Н-а-т—+-Л
Уравнение
/(Л; ш)=1
является, стало быть, уравнением однопараметрического се-
мейства софокусных эллипсоидов (S (ш)), причем (S (0)) --
граница области (Е). Очевидно, что через каждую точку А
вне (Е) проходит один и только один эллипсоид (S (К)), так
что каждой точке А вне (£) соответствует одно вполне опре-
деленное положительное значение к, являющееся одной из
эллиптических координат точки А (см. § 9). Положим, далее,
Q (ш) = /(а2 + «) Ш)(С2 + (О).
Тогда потенциал однородного эллипсоида (Е) во внут-
ренних точках равен
со
и (Л) = кайср | —(/(О, (12.2а)
О
х) Существует несколько способов прямого вычисления искомого
потенциала; все они в той или иной мере связаны с введением
эллиптических координат (см. § 9). См., например, Л. Н. Сретен-
ский, Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат, 1946,
стр. 99—117.
130 § 12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
а во внешних точках равен
7 1-/64»
и (Д) = ъаЬср J —Q~(a)) dm, (12.26)
X
где X — наибольшая эллиптическая координата точки А1).
Для доказательства этого предложения мы должны про-
верить выполнение функцией и (А) трех характеристических
свойств. Очевидно, что потенциал и (А) непрерывен во всем
пространстве. Далее, внутри (Е)
со
gradAa = — nabcp J gradz/(Д; ш) dm,
о
что является в этой области непрерывным векторным полем.
Вне (Е)
оо
gradAa = — ъаЬср J grad^/ (Д; <о) dm —
X
_ grad/,
где, конечно, Х = Х(Д). Но, по определению,
/(Д; А)=1,
так что вне (£)
ОО
gradA u = —iwtf 'cp J gradA/(Д; m)dm.
Таким образом, и gtadA и является непрерывным во всем
пространстве. Свойство 1°, следовательно, выполняется.
*) Отметим, что, как это следует из (12.2а), во внутренних точ-
ках однородного эллипсоида потенциал имеет вид
Cq + ci*2 + + сз*2,
где Cq, Cj, с2> св — постоянные.
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОЮ ЭЛЛИПСОИДА 131
Вычислим теперь Дл« вне и внутри (Е). Вне (Е)
ЬАи = divA (grad^a) =
СО
= - каЬц J divA(gradA/(H; <o))d<o +
к
+Mbcp wrsradz/(A> x)‘grad<x-
Ho
div4 (gradA/(X; «)) = Д/(Д; ш) = 2=
= 4-£-lnQ(o>) = 4
rfw v 7 Q (ю) ’
так что первое слагаемое в полученном выражении для &Аи
оо
— Mbcp J -^у divz(gradA/(i4; <o))rfa> =
X
X
Перейдем к вычислению второго слагаемого. Подставляя
Х = к(А) в /(А; X), получим тождество /{А; Х(А)} = 1,
откуда
grad4 / (Д; X) -f-grad/ = 0;
но
df х2 у2 z2
дХ — (а2 4- X)2 + X)2 — (с2 + Х)2 ~
=—4|ега(1А/(Д; x)f,
так что
. grad^/^jX)
gradAX-4 |grad4/(X;X)|i!.
Следовательно,
grad4 /(Д; X) • grad4 X = 4,
132 § 12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
и второе слагаемое в выражении для Дди вне (£)
оЬgrad4f(А>’gradA Х = ’
так что действительно Дди = 0 вне (£).
Внутри (£)
СО
Дд « = div4 (grad^ и) = — nabcp Дд/ (Л; ®) dm.
О
Но, как мы видели,
»)=ч^.
так что внутри (£)
ДЛ«-----4^Р / ^) *° = ~ W = “ 4irp,
О
т. е. выполняется и свойство 2°.
Заметим, что свойство 2е может быть также проверено
при помощи формулы (9.16); для этого в выражения (12.2а)
и (12.26) следует вместо х2, у2 и z2 в /(Л; о>) подставить
их выражения (9.15а—в) через эллиптические координаты.
Что касается свойства 3°, то для его проверки восполь-
зуемся тем, что эллиптическая координата X точки Л, нахо-
дящейся на расстоянии г от начала, удовлетворяет .неравен-
ствам:
откуда следует, что при г -> оо X -> оо, и наоборот. Стало
быть,
оо
и (4) = nabcp J w) da -» о
при г—>оо. Далее, вне (£)
оо
^IgradxwKira^cp (а9 + Х) j ^у| gradz/(4; о>) | dm.
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
133
Но ________________________________
I gradx / (Д; а>) | = 2 у + (с2 _|_ ш)2 <
< 2 l/~ г2 < 2
V (с2 -|- со)2 С2 -f- (О
И
1 , J
Q (со) '"х У (с2 -j- <о)3 ’
так что
3 оо
г2 | grad.4 и | < 2тга£ср (a2 -f- X)3 ———5 =
X (C2 + <d)~
3
4 t /я2 + Ц2 4 аЧэ
— -^vabcp + J <"з1:72’Р>
т. е. г21 gracLi и | ограничено, и проверка закончена.
Отметим, что в центре эллипсоида — начале координат О:
/(О; ш) = 0
и потенциал
оо ср
J* rfco 2гса£ср f da
QW - J Г
о о V
где
® = arcsin ]fa2 — с3j.
Полагая
, 1/ я2 — Ь2
k —У а2 —с2 '
имеем
«(O) = -^^L=F(®; k),
v 7 V а2—с2 ‘ ’
где F(b; k) — эллиптический интеграл первого рода1).
х) См., например, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений, Гостехиздат, 1948, стр. 81 и след.
134
§12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Из приведенных выражений для потенциала однородного
эллипсоида (12.2а,б) следует одна замечательная теорема
Ньютона.
Рассмотрим однородное тело, ограниченное двумя по-
добными и подобно расположенными эллипсоидами:
х2 , у2 . z2 1 х2 । у2 । z2 1
а2~Г72 + с2— 1 И ^«2+ ^2+^2“ 1 (0 < Я < 1)-
Значение потенциала в точках внутренней полости этого
тела по (12.2а) будет:
a2 -j- со Ь2 4- а) с2 -р ш
У (а2 4~ <«>) (^2 4“ ш) "Р ш)
о
— nabcp
х2 У2 z2
q2a% 4" 72^2 4~ ш Я^ ~Ь ш
У (7*>а2 .J. ш) (^2 _|_ ш) (72С2 +
do>.
Заменяя в последнем интеграле переменную ш на найдем
что
оо
а(Д) = тс(1— q^abc? (
О
т. е. потенциал сохраняет во всех точках внутренней полости
постоянное значение. В этих точках, следовательно,
gradj. и = О,
т. е. рассматриваемое тело не оказывает притяжения на
точки внутренней полости.
Для эллипсоидов вращения, для которых средняя полу-
ось b совпадает с с или с а, потенциал может быть
выражен через элементарные функции. Если, например,
д = с (вытянутый эллипсоид вращения), внутри (Е) имеем
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ
135
(полагая д2-|-ш = 52 и а2 — с2 = з2а2):
“ _ х2 _ Уг+^
, 9 ( а2 оу с2 4- со day
и (А) = vac2? I ------------------== =
О
2° х2 +«2
„ , I S2 3!-е2Д2
= 2кас2р ------5---5-5----ds =
г J S2 — е?д2
— 2iMC2p 14111 ---4(т1пТ^~ — ®)А;2 —
г (2ед I — е еЗдЗ \ 2 1 — г )
2^дЗ (1—е2 2"1п 1“;)~
__ Q /1 2\ ( 1 1 “Н ®-1 / 1 j 1 Ч" ® \ Q
== 2к (1 —е2)р { — In -г-1 *- х- 75- In 5—-ех2—
v 7 ‘ ( 2е 1 — е е3 \ 2 1 — е /
В частности, переходя к пределу при г -> 0, найдем по-
тенциал в точках однородного шара радиуса а с центром
в начале координат'.
и (А) — 2ттр(д2— -|-х2— ^у2—у г2) ~ 2«р(а2 — у г2),
что, конечно, совпадает с результатом, полученным выше не-
посредственным вычислением (см. стр. 114). Вне (£)
? _ х2 _ У2 + х*
2 I а2+<о с2 +ш
и (А) = Tzac2o I --Цт------—------7- =
“ х2 з>2 + гг
О 2 I S2 —е2а2
= 2"ac2pJ ----------------ds =
УаЧ7^ ____
= 2к (1 — 82) Р ( 4п ^fl2+x + aa _
v 'r|2e уттр-ед
__ X (J_ 1 п /^ + >• -j- ед ед \ 2_____
е3\2 j/"^ _|_ X _ ед /Я2_|_Х/
1 ( Ш Уа* + \ 1 /^р + ед V
2e8^(1_e2)a2 + X 2 +*))>
136 §12. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
где X есть положительный корень уравнения
Х2 , >2 + ‘-2_1
д2 + 1 I С2+Х — Ъ
В частности, переходя к пределу при е->0, найдем, что
к -> х2 4~>2+& — а2 = г2 — а2
и
/ л\ о (й3 1 Я3 о 1 а3 / О I оЛ 4 о 1
и (Д) -> 2тгр х2 — -д (у2+г2)} = yitflSp . _.
Этот результат был также получен выше непосредствен-
ным вычислением.
Приведем аналогичные формулы в случае b = а (сплюс-
нутый эллипсоид вращения). В этом случае внутри (£)
«(4) =
= 2к (1 + е2) р arctg « — (arctg е — (х2 +_у2) —
— ^(8 — arctg е)г2|,
а вне (Е)
в (Л) = 2к(1 + s’) Р arctg -
- »(мс,в +Л ~
~у(?Йг-агс1е7Йт)4
где а1 — с2 = е2с2 и X является положительным корнем
уравнения
х2+-У2 I 1
а2-|-Х "»" с2+Х~" 1е
В пределе при s -> 0 мы вновь получаем выражения для по-
тенциала однородного шара.
ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ ВО ВНЕШНИХ ТОЧКАХ 137
§ 13. Потенциалы простого и двойного слоя
Пусть (S) — конечная гладкая поверхность, на которой
задана непрерывная ограниченная функция р(Р). Тогда1)
И(Д)= f (13.1)
J ♦/ гАР
(S)
является ньютоновым потенциалом масс, или кулоновым по-
тенциалом зарядов, распределенных на (S) с поверхностной
плотностью р. Потенциал и (Д) принято называть потенциалом
простого слоя, а поверхность (S) — несущей поверхностью
слоя2). Если несущая поверхность не замкнута, то мы будем
предполагать, что она ограничена кусочно-гладкой кривой.
В точках А, не лежащих на (S), потенциал (13.1) явля-
ется, очевидно, непрерывной функцией от А, любое число
раз дифференцируемой по х, у, z под знаком интеграла.
В частности,
gradAa = J f p(P)grad^(—j dSP = — [ fp(P)_^f dSP
(S) \ГАР/ '(g) ГАр
И
дли= f Jp(/w(y-W = o,
’(S) Ap
т. e. потенциал простого слоя удовлетворяет уравнению
Лапласа во всех точках пространства, не лежащих на
несущей поверхности слоя.
Исследуем поведение потенциала простого слоя на беско-
нечности. Так же, как в случае объемно-распределенных
масс или зарядов, легко доказывается, что
lim ги (И) = f fp(P)d5P = /W, (13.2)
V->oo *
*) См. сноску1) на стр. 109.
2) Потенциал простого слоя с кусочно-гладкой несущей поверх-
ностью и кусочно-непрерывной плотностью представим в виде суммы
конечного числа потенциалов с гладкими несущими поверхностями
и непрерывными плотностями.
138 § 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
т. е. всей массе (или заряду), распределенной по (S), а так-
же что
г9 | grad А «| < [ | р (Р) | rfSp < 4 [ 11 р (Р) | dSp,
'(8) (S)
где (см. § 11) г0 — радиус сферы с центром вначале, содер-
жащей всю несущую поверхность внутри себя, и г > 2г0.
Таким образом, на бесконечности потенциал простого
слоя ведет себя как потенциал материальной точки (или
точечного заряда), расположенной в начале координат^
причем сосредоточенная там масса (или заряд) равна
всей массе (или заряду), распределенной по (S). Далее, для
частных производных первого порядка потенциала про-
стого слоя имеют место, как и для потенциала объемно-
распределенных масс или зарядов, неравенства
I дх I г2 ’ I ду I г2 ’ I dz I г2 ’
где С—некоторая постоянная.
Более сложным является вопрос о поведении потенциала
простого слоя и его первых производных в точках самого
слоя. Для первой ориентации в этом вопросе рассмотрим два
простых примера.
Пример 1. Потенциал однородной сфериче-
ской оболочки. Рассмотрим потенциал однородного тела
плотности Pi = const., ограниченного двумя концентрическими
сферами радиусов R и /? + ДУ? > R с центром в начале коор-
динат. Потенциал такого тела будет, очевидно, равен раз-
ности потенциалов двух однородных шаров радиусов R-\-&R
и R, которые мы обозначим, соответственно, через и^+^(г)
и up (г), где г — расстояние от их общего центра (начала
координат). По полученным выше результатам (см. § 11,
пример)
^в + дв(г) =
У гс (R + Д/?)3 Р1 • у, если r>R + Д/?,
4 к (/?+Д/?)2 Р1(з, если r<R + ДР,
ПОТЕНЦИАЛ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
139
И
UR (Г) =
4^-4
если r>R,
если r<R.
Следовательно, потенциал рассматриваемого нами тела будет
равен
«в+дв (<) —«в (/•) =
4 К (3/?2 ДЯ _J_ 3/? Д/?2 _|_ Д^З) Р1.1,
если г> ДА?,
2тг (2R &.R АЯ2) Pj, если г <_R.
Перейдем теперь к пределу при ДА? —> О и одновременно
Р1—>сотак, что произведение Д/? • pt стремится к некоторому
конечному пределу р. В пределе мы получим интересующий
нас потенциал однородной сферы (простого слоя) плотности р:
4tcR2p . -i- = ~, если г > R,
“(r) = l Г м Г
4ir/?p = -g-, если r < R,
где M = 4itR*p — вся масса, распределенная по сфере.
Из приведенных выражений для и (г) мы видим, что и (г)
непрерывна для всех г>*0, т. е. как функция от х, у и z
непрерывна во всем пространстве ^если положить и (/?) = ,
но что и' (г) претерпевает разрыв в точке г = /?, т. е. на
поверхности сферы (фиг. 15). Действительно,
lim и' (г) = О,
r-*R —о
lim и'(г) = —-^. = —4лр.
г->7? + 0
140 § 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
Так как означает дифференцирование в направлении нор-
мали к сфере, то полученный нами результат показывает, что
при пересечении простого слоя нормальная производная по-
тенциала терпит разрыв. Если при этом слой пересекается
в направлении дифференцирования,
т. е. в направлении возрастаю-
i щих г, то скачок нормальной
\ производной равен
\ lim и'(г)— lim «'(/•) = —4кр.
R . \
Отметим, что при пересечении
< сферы разрыв претерпевают произ-
0 —--------водные потенциала не только по
2*1 нормали, но и во всех остальных
R направлениях, кроме направления,
-Я / касательного к поверхности. В этом
/ направлении (перпендику лярн о м
/ к лучу из начала координат) произ-
/ водная потенциала равна нулю как
Г вне сферы, так и внутри ее.
/ Пример 2. Потенциал
однородного круглого
Фиг. 16. диска. Рассмотрим потенциал
простого слоя, распределенного
с постоянной плотностью р по кругу (Кв): 52~|-т]2—/?2<10,
С = 0. Вычислим значения этого потенциала на оси г; они
равны
2п R
ff dUij f f pdpdy
PJ J Уб2 + У + J •' Ур2 + г2
(KB) F ~ <p=0 р=о r
2л (У/?а + г2 ?) P, еслиг<0,
= 2Яр{/^ + г2-|г|} =
2л Rp,
если г=0,
2л (]/ /?2 + г2 — z) р, если г>0.
График этой функции (состоящий из двух дуг гипербол),
изображен на фиг. 16. Очевидно, что и (г) непрерывна для
ПОТЕНЦИАЛ КРУГЛОГО ДИСКА
141
всех z и, в частности, при z = 0, причем
« (0) = 2я/?р = 2,
где М — я/?2р — вся масса слоя. Но нормальная производ-
ная ur (z) претерпевает разрыв при пересечении слоя, так как
и! (z) I = 2тг (-------------к* 1^ о.
т. е.
lim «' (z) = 2кр,
я —0
а
а' (z) I = 2тс ( г — р,
т. е.
lim u'(z) = — 2тср.
я -> 4- о
Мы видим, что и в этом примере скачок нормальной производ-
ной потенциала простого слоя при пересечении слоя в на-
правлении дифференцирования равен
lim и' (z) — lim и' (z) = — 4тср.
з->4-о о
Непрерывность потенциала простого слоя во всем про-
странстве и разрыв его нормальной производной при пересечении
слоя, установленные нами в рассмотренных примерах, являются
общими свойствами потенциалов простого слоя. Перейдем
к доказательству этого факта.
Для проведения такого доказательства на несущую поверх-
ность (S) слоя нужно наложить дополнительные условия, так
как одной гладкости поверхности (S), т. е. только существо-
вания в каждой ее точке определенной касательной плоскости,
оказывается недостаточно. Наиболее удобными и весьма об-
щими условиями, которые достаточно наложить на (S) для.
возможности более тонкого изучения потенциала простого
слоя, а также и потенциала двойного слоя (см. ниже), являются
142
§13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
так называемые условия Ляпунова х). Поверхности, которые
им удовлетворяют, называются поверхностями Ляпунова.
Условия Ляпунова состоят в следующем:
1. В каждой точке поверхности существует определенная
касательная плоскость, или, другими словами, определенная
нормаль.
2. Острый угол трр между нормалями к поверхности
в двух любых ее точках Рх и Р2 удовлетворяет неравенству
TPiPs < £грхря’
где гр р — расстояние между точками Рх и Р2, а С>0 и а > О—
некоторые постоянные.
3. Существует такое число D, что сфера (Sd) радиуса D
с центром в любой точке поверхности вырезает из этой по-
верхности такой участок, что любая прямая, параллельная
нормали к поверхности в центре сферы, пересекается с этим
участком не более чем в одной точке.
Нетрудно показать, что, например, поверхности ограничен-
ной кривизны являются поверхностями Ляпунова.,
Допустим теперь, что несущая поверхность простого слоя
является поверхностью Ляпунова, и докажем, что потенциал
существует в точках самого слоя (т. е. сходится инте-
грал (13.1), когда точка А лежит на (S)) и является не-
прерывной функцией во всем пространстве.
Пусть точка А лежит на несущей поверхности (S) или
на ее границе. Проведем в А нормаль к (S) и опишем вокруг
этой нормали, как оси, круговой цилиндр (Z8) достаточно
малого радиуса 8. Цилиндр (Z8) вырежет на поверхности (S)
некоторую часть, которую мы обозначим через (S§). Осталь-
ную часть (S) мы обозначим через (Sa). В силу третьего
условия Ляпунова, 8 можно выбрать настолько малым, чтобы
*) См. А. М. Ляпунов, Работы по теории потенциала, 1949,
стр. 73. Один из крупнейших математиков конца прошлого и начала
настоящего столетия, А. М. Ляпунов (1857—1918) много сделал для
математического обоснования сложных вопросов теории потенциала.
Заметим, что не все три условия Ляпунова требуются при рассмо-
трении каждого вопроса, связанного с потенциалом простого (или
двойного) слоя. Но мы на этих более тонких различиях остана-
вливаться не будем
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
143
(Sg) пересекалась с любой прямой, параллельной нормали
к (S) в точке Л, не более чем в одной точке. В силу вто-
рого условия выбором 8 можно добиться также и того, чтобы
для угла у между нор-
малями к (S) в точке А
и в любой точке Р на (Sg)
выполнялось неравенство:
1 о
cos 7 . Возьмем те-
перь (фиг. 17) любую
точку В внутри (Z8)
(в частности, В может ле-
жать и на (Sg)), и оценим
интеграл
f [ dSp
J J rBP
(%>
Фиг. 17.
Для этой цели проведем через В плоскость, перпендикуляр-
ную оси (Z8), и ортогонально спроектируем точки Р
с (Sg) на эту плоскость. Пусть проекцией точки Р будет
точка Q. Тогда
rBP>rBQ И ^p = ^.<2dSQ.
Стало быть,
f f dSp < 2 [ [ dSQ
J J rBP J J rBQ ’
(Sg)
где (K8) — круг, получающийся в сечении (Z8) рассматриваемой
плоскостью. Но
25 2я
о о
*) Этот интеграл можно оценить точнее, но это несущественно
для нашей цели. Он не превосходит 2кЪ, так как при изменении
положения точки В в (/<§) его наибольшее значение достигается
тогда, когда В совпадает с центром (Afg).
144 § 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
и, следовательно,
J J rBP
(S8)
независимо от положения точки В внутри (Z8).
Отсюда следует, что несобственный интеграл
J / ГАР
(S8)
сходится (и притом абсолютно), так как если рт — наиболь-
шее значение |р(Р)| на (S), то, по предыдущей оценке,
Г f
J J ГAP J J ГАР
(S8) (s8)
Представим теперь значение потенциала простого слоя
в точке слоя А в виде
и(А) = ^8(Л) + «8И),
где
(*8)
МЛ) = ^dSP, М
J / ГАР
(S8)
Оба эти выражения существуют, так как второе из них
является собственным интегралом, а первое — сходящимся
несобственным. Таким образом, так называемое прямое зна-
чение потенциала простого слоя существует во всех
точках слоя.
Для доказательства непрерывности и (Л) во всем про-
странстве достаточно, очевидно, показать его непрерывность
в точках слоя. Пусть Л — точка на (S) и — точка в (Z8).
Образуем разность
и (4j) — и (А) = {«8 (Aj) — м'5 (А)} 4- {as (At) — as (А)}.
По приведенной выше оценке
I «8 (А) I < 8*рот8 И I a'8 (А) I < 8itpOT8,
ПОТЕНЦИАЛ ДИПОЛЯ
145
так что
I u'i (Л1) — и,,(А) | < 16zpmo < 1 г,
если выбрать о<-^—, где е>0 — любое заданное число.
32тсрш
Выбрав такое 8, заметим, что так как потенциал и% (А) заве-
домо непрерывен в точке А (как не лежащей на несущей по-
верхности слоя (Ss))> т0 для всех точек А, достаточно
близких к А, должно выполняться неравенство
|«5 (А)— И? (Л)|<у£.
Таким образом, мы находим, что для всех точек Аг из до-
статочно малой окрестности точки А
I и (Л^ — и (Л) К I «6 (Д) — «5 (Л) I +1 и?, (Л;) — Ui (Л) | < 8,
где е > 0 произвольно, т. е. что потенциал простого слоя
непрерывен во всех точках слоя, а следовательно. и во
^сем пространстве.
Перейдем к рассмотре-
нию потенциала двойного
слоя. Для этого напомним
сначала определение диполя.
Пусть даны два равных по
величине, но противополож-
ных по знаку электриче-
ских заряда -[-е и —е,
находящихся на расстоянии
h друг от друга (фиг. 18). Прямую, проходящую через
них, снабдим направлением от отрицательного заряда к поло-
жительному. Это будет ось диполя. Обозначим через i\ и г2
расстояния от произвольной точки А до зарядов -[-е и —е,
и запишем значение потенциала этих двух зарядов иь(А)
в виде
и T(r^ri)
Ч (Л) = ' (- - -) = eh-----—------.
Пусть, далее, Р — точка, лежащая посередине между заря-
дами, и Орл — угол между осью/z, проходящей через заряды,
146
§13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
и направлением РА. Перейдем теперь к пределу при 0 так,
что заряды устремляются в точку Р вдоль соединяющей их
прямой, причем одновременно £->оотак, что произведение eh
стремится к некоторому конечному пределу у, называемому
Очевидно, что при этом г/—>гдр, г2 -> г ар,
а так как
А — г{ = 2/гглр cos Ора ,
то
1 2r«pcos0p4
T(ra-rj^ , r„—_^C0S6p,t.
f * 1
Таким образом, при указанном предельном переходе
0
«7, И) “> V
Выражение
е
и (Л) = у
называется потенциалом диполя момента у, расположен-
ного в точке Р и имеющего своей осью ориентированную
прямую п.
Потенциалу диполя может быть придан другой вид. Обо-
значив через п единичный вектор в направлении оси диполя п,
заметим, что
Следовательно, мы имеем также
Из этого представления потенциала диполя легко вывести,
что он удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках А,
отличных от Р. Действительно,
ДАя = уДл
= 0,
ПОТЕНЦИАЛ двойного слоя
147
так как дифференцирования по А и по Р независимы, и их
порядок можно переставить.
Для определения потенциала двойного слоя, возьмем
некоторую поверхность Ляпунова (S), которая будет его не-
сущей поверхностью, и на ней зададим непрерывную функ-
цию v(P)— плотность моментов двойного слоя. Относи-
тельно (S) предположим еще, что она является ориея/ш/руг-
мой поверхностью. Это означает, что если в некоторой
точке"Р на (51) выбрано положительное направление нор-
мали пр, и точка Р переносится по (S) вдоль произвольной
замкнутой кривой, причем направление п при этом изме-
няется непрерывно, то при возвращении в исходную точку
направление нормали совпадает с исходным. На ориентируе-
мой поверхности можно в каждой точке определить положи-
тельное направление нормали так, что единичный вектор п
этого направления будет непрерывным на ней. В дальнейшем
мы будем предполагать, что такое положительное направле-
ние нормали выбрано.
Проведем теперь следующее построение. На нормали
в каждой точке Р поверхности (5) отложим в обе стороны
от Р отрезки длины где h — достаточно малая вели-
чина. В концах этих отрезков поместим заряды v (Р) так,
что направление от отрицательного заряда к положительному
совпадает с направлением положительной нормали. Таким
образом, мы получим два простых слоя с поверхностными
плотностями -v(P), лежащие на близком расстоянии по
обе стороны от (S). В пределе при h -» 0 мы получим двой-
ной слой на несущей поверхности (5) с плотностью мо-
ментов v (Р), потенциал которого ])
Л/ 1 \\
«(.4)= | f v(P)^^dSp== [ f v(P)\-^/pdSP.(l3.3)
(S) r-lP ‘(S)
i) Здесь необходимо еще обосновать предельный переход под
знаком интеграла, что может быть легко сделано.
148
§ 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
Здесь Орл обозначает угол между единичными вектором нор-
мали пр и направлением РА (фиг. 19).
Этот потенциал является, очевидно, непрерывной функ-
цией от А во всех точках, не лежащих на несущей поверх-
ности (S), и в таких точках и (А) можно любое число раз
дифференцировать по х, у, z под знаком интеграла. В част-
ности,
С С , /cos 0Р4 \
gtadAu — v(/5)gradA(—
W
и
с М'А'Я
ДА« =| | vСР) Дх dSP = О,
так что потенциал двойного слоя удовлетворяет уравне-
нию Лапласа во всех точках, не лежащих на несущей
поверхности.
Нетрудно установить поведение потенциала двойного слоя
на бесконечности. Из первого представления (13.3) выте-
кает, что
|«(4)|< f f Р(Р)|^,
%) гар
а следовательно, для г>2г0, где г0 — радиус сферы с цент-
ром в начале, содержащей всю несущую поверхность (5)
внутри себя,
^1«И)1<(т^70)2 [ [ |v(P)|dSp<4 [ Jlv^IrfSp,
° ‘(S)
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПОВЕДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 149
т. е.
г2| zz (Л) | < С,
где С—некоторая постоянная.
Для выяснения поведения grad^zz на бесконечности вос-
пользуемся приведенной выше формулой для него. Так как
/cos OpЛ \ 1 / 1 \
gradj —5— — -j- gradA (cos 0РЛ) + cos 9рл grad л — =
\ rAP ) ГАР \ГАР/
1 Г др
— -у- gradj. (cos Орд) — 2 cos 0РЛ -т- ,
г'ар гар
то
/cos Op j \ 1 2
gradj, —----- < — | gradj. (cos bPA) | + — .
\ rAP J rAP rAP
Ho 9
sin Opj 1
gradA (cos НРЛ) | = ——- < — ,
rAP rAP
гак что окончательно
Следовательно, для г > 2г0
/-3|grad4«|<3/-3 f [|v(P)|^f<24 | ( |v(P)|dS,
’k Гар V)
J) Так как gradA (cosOPA) = — sin 0рл gradj4 6РЛ, то
I gradA (cos 0pA) | = sin |£га^л ®PA 1 *
Ho |gradA0_p^ ] равен производной 0рл в направлении, перпендику-
лярном к лучу РА и лежащем в одной плоскости с нормалью пР
(направлении наискорейшего возрастания 0рЛ). Обозначая через s
длину дуги окружности с центром в Pt проходящую через А и
отсчитываемую от ее пересечения с нормалью пР, мы будем иметь,
что 0р3 =----, так что
РА ГАР
МрА 1
I gradJ I = -7- = -7—
as гАР
150
§ 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
или
г31 grad/, и I < С,
где С—некоторая постоянная.
Таким образом, потенциал двойного слоя убывает на
, * С
бесконечности не медленнее, чем , а его первые част-
. С
ные производные — не медленнее, чем .
Заметим, в частности, что для потенциала двойного слоя
lim ги (Л) = 0,
Г~>СО
что и следовало ожидать, так как общий заряд двойного
слоя равен нулю.
Прежде чем перейти к изучению поведения потенциала
двойного слоя в точках самого слоя, необходимо рассмотреть
один важный частный слу-
чай, а именно тот, когда
плотность моментов
слоя постоянна. Пусть
v= const. Тогда
f fcosOpj
«(Д)=у —^dSp.
(S’)' Гар
Этот интеграл имеет
простой геометрический
смысл. Действительно,
предположим, что поверх-
ность (S), несущая слой,
пересекается с любым лу-
чом, исходящим из рас-
сматриваемой точки А (не лежащей на (S)), не более чем в одной
точке. Проведем вокруг А сферу радиуса 1 (фиг. 20) и рас-
смотрим центральную проекцию поверхности (5)"на.эту еди-
ничную сферу. Обозначив проекцию точки Р через Q, а диф-
ференциал площади единичной сферы через cIgq, мы будем
иметь соотношение
IcosOpJ
d<3Q =---3----
ГАР
dSP.
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ МОМЕНТОВ
151
Так как в силу наложенного на (S) условия cos не может
менять знака, когда Р изменяется на (S), то для всех поло-
жений точки Р либо
ГАР
либо
, cos 0РА ,
------------------------------------dSp,
ГАР
а следовательно,
V I [ = | ( J5(j==rtva,
'(<?) ГаР '(a)'"
где (a) — проекция (5) на рассматриваемую единичную сферу
и о — площадь (а) х). Знак правой части совпадает со знаком
cosOpa, т.е. зависит, в конечном счете, от выбора положи-
тельного направления нормали,
Рассмотрим теперь особо важный случай замкнутой не-
сущей поверхности (S). Если точка А лежит внутри (S) и
каждый луч, исходящий из Л, пересекает (S) только в одной
точке, или имеет с (S) один общий отрезок, то а = 4ъ, т. е.
§COS 9рд
—^-dSP = 4w, (13.4)
(S) ГАР
если в качестве положительной выбрана внутренняя нормаль
(что мы в дальнейшем будем предполагать), ибо тогда в рас-
сматриваемом случае cos брл. 0.
Этот результат остается в силе и в том случае, когда
существуют лучи из Л, пересекающие (S) более чем в одной
точке * 2). В самом деле, так как поверхность (S) замкнута,
то любой луч, исходящий из внутренней точки Л, должен
пересекать ее в нечетном числе точек; обозначим его 2А —1.
]) Величина о-начиняется телесным углом, под которым поверх-
ность (S) видна из точки Л.
2) Для облегчения изложения мы отбрасываем возможность при-
надлежности целого отрезка луча поверхности (S), но и в этом
случае рассуждение остается в силе с незначительными изме-
нениями.
152 § 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
При этом, как легко усмотреть, cos0pj\>0 в^-j-l точке
выхода луча изнутри (S) наружу и cosOp^^O в k точках
входа луча внутрь (S) (k 0). Обозначим ту часть поверх-
ности (S), которая состоит из всех первых точек пересече-
ния лучей из А с (S) через (SJ, часть, состоящую из вторых
точек пересечения — через (S2), и т. д. Если точка, движу-
щаяся по лучу из Л, пересекает поверхность (S) во второй
раз, то она при этом входит опять внутрь (S) и, стало быть,
должна обязательно пересечь (S) по крайней мере еще один
раз. Это означает, что каждой точке (S2) соответствует одна
точка (S3), и наоборот, откуда следует, что
GSJ ГаР (83) Гар
обличаются только знаком, а их сумма равна нулю. То же
можно сказать относительно (S4) и (S6), ... , (S2fc) и (S27< + i)-
Следовательно,
(*/ ГАР
Поверхность (5J, вообще говоря, не замкнута. Однако ее
можно дополнить до некоторой замкнутой поверхности (S*)
частями конических поверхностей с вершиной в А. Так как
на этих конических поверхностях cos6pa = 0, то
f Г cosOpA cos6pA
—5----= О —5-----------dSp •
X) Г^Р (¥) rAP
Ho (S::) уже удовлетворяет условию, при котором фор-
мула (13.4) доказана, и, следовательно, она справедлива для
любых замкнутых поверхностей (S).
Таким образом, потенциал двойного слоя постоянной
плотности моментов v, распределенного по замкнутой
поверхности, имеет внутри этой поверхности постоян-
ное значение 4~v {если положительной считать внутрен-
нюю ноумаль}.
~ Пусть теперь А лежит вне (5). Тогда любой луч из А,
если он вообще пересекает (S), должен пересекать ее в чет-
ном числе 2k точек, причем cos6р4^0 в нечетных точках
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ МОМЕНТОВ
153
пересечения и cos Орд 0 в четных. Поверхность (5) может
быть разбита на части (SJ, (S2), , (^^j), состоя-
щие, соответственно, из первых, вторых и так далее точек
пересечения лучей из А с (S). Очевидно/ что здесь каждой
точке (SJ соответствует точка (S2), и наоборот, т. е.
W 'is.i
отличаются только знаком, а их сумма равна нулю. То же
можно сказать относительно (S3) и (S4), ., (52й:-1) и (5ЗА).
Следовательно,
SCOS От» л
---(13.5)
(8) ГАР
т. е. потенциал двойного слоя постоянной плотности
моментов, распределенного по замкнутой поверхности,
равен нулю во всех точках, лежащих вне этой поверх-
ности.
Если, наконец, точка А лежит на самом слое, то луч,
исходящий из А во внешность поверхности (S), должен пере-
секаться с ней (если он ее вообще пересекает) в четном
числе точек, причем cos Орд О во всех нечетных точках
пересечения и cos Орд 0 во всех четных (как в случае луча,
исходящего из внешней точки). Следовательно, привзнос этих
лучей в интеграл
(8) ' АР
равен пулю. Лучи, исходящие из А внутрь поверхности (5),
пересекают ее нечетное число раз, причем cos Орд ;> 0 в не-
четных точках пересечения и cos Орд 0 в четных (как в слу-
чае луча, исходящего из внутренней точки). Эти лучи запол-
няют полупространство по одну сторону от касательной
плоскости к (S) в точке А, так что
§COS0PA о ziqr.
—------aSp = 2~v , (13.6)
GS) rAP
154
§ 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И двойного слоя
т. е. потенциал двойного слоя постоянной плотности
моментов v, распределенного по замкнутой поверхности,
во всех точках слоя равен 2~v.
Приступая теперь к изучению поведения потенциала двой-
ного слоя в точках слоя в общем случае, убедимся в первую
очередь в том, что существует прямое значение потенциала
в точках слоя, т. е. интеграл
cos 0p4
ЧР)—i^-dSP,
(S) гар
где А лежит на (S). Действительно, этот несобственный инте-
грал сходится, и притом абсолютно, так как, обозначив
через vm наибольшее значение | v (Р) | на (S), мы имеем оценку
|“ | |v(P)| L^M.dSP<4^.vHt,
(S) Гар
где k — наибольшее число пересечений луча из А с (S).
Далее покажем, что в тех точках А слоя, в которых
v (Д) == 0, потенциал двойного слоя непрерывен. Как при
доказательстве непрерывности потенциала простого слоя, про-
ведем в точке А нормаль к (S), вокруг нее опишем круго-
вой цилиндр (Z§) достаточно малого радиуса 8, обозначим
через (S§) часть поверхности (5), которая окажется вну-
три (Z^), и через (S§) — остальную часть (S). Обозначим,
далее, через наибольшее значение | v (Р) | на (So). В силу
непрерывности v (Р) и предположения, что v (Д) = О,
7]о -> 0 при 6 —> 0.
Положим
и (Д) = и\{А)^-иь(А),
где
, (* С cos 9рд
и«(4)== I v(P)—-У-dSp,
' /•-’ ГАР
п
Ui\
(S )
—3-----dSP'
ГАР
РАЗРЫВ ПОТЕНЦИАЛА двойного слоя 155
причем z/g (Д)— функция, непрерывная в точке А (как не
принадлежащей (5g)). Чго касается (Д), то в любой точке В,
лежащей внутри (Zg),
/ . f f I COSбрд I
| zz5 (в) I < iqg I —2-----dSp 4A'ir • Vjg,
ь г rBP
<%>
где k' — наибольшее число пересечений луча из В с (Sg).
Пусть теперь Д{ — произвольная точка из (Zg). Тогда
| и (AJ — и (А) КI Из (А1) — и'г (А) Ц-1 «6 (Ах) —11‘ (А) |.
Но
I «з(А1) К 4k’~v^ и |«з(А)К4А'к7]з,
а следовательно,
| z/g (Д1) — zzg (Д) | 8k ътр„
т. е. при достаточно малом о мы будем иметь
I и[ (Aj) — «3 (А) I < 1 г,
где ®>0 — произвольное число. Далее, для всех точек Др
достаточно близких к Д, мы будем иметь в силу непрерыв-
ности z/g (Д) неравенство
| 4 (А,) — 4 (А) | < уе,
гак что
| и (А]) — и (А) |<е
для всех точек Д1 из достаточно малой окрестности точки Д,
что и означает непрерывность и (Д) в этой точке слоя.
Теперь мы в состоянии выяснить поведение потенциала
двойного слоя в любой точке слоя. Если поверхность (S),
несущая слой, незамкнутая, то дополним ее произвольной
поверхностью (S') до замкнутой поверхности (S") так, чтобы
(S") являлась поверхностью Ляпунова (это, конечно, всегда
возможно, если (S) — поверхность Ляпунова). При этом всегда
можно добиться и того, чтобы выбранное на (S) положи-
тельное направление нормали оказалось для (S") внутренним.
156
§13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
Кроме того, доопределим произвольным образом функцию
v(P) на (S') так, чтобы на всей поверхности (S") v(P) была
непрерывной. Тогда, если В — произвольная точка, не лежа-
щая на (S"), а А — точка слоя, то
f f cos 0pn a* cos 0ро _
«(/?)= । v(P)—/s-dsP^ a v(P)__™-dsP-
Гвр W) ГвР
С C cos Орд ср ч cos Opp
— v(P)—= Й V(4)__
'(s-) ГвР $) rBP
§cosОрд I ( cos Орд
{>,(/>) — v(4)}_| v(p)__^.dSp,
(8") Гвр '(S') ГвР
т. e.
= § C0S.^ dSp4-{/(Д), (13.7)
(S") rBP
где
§cos Opp ( । cos Opp
{V(P)_v(X)] /BdSp— | v(P) —— dSp.
(S") Гвр "(S') Гвр
Потенциал Ц(В) непрерывен в точке А, так как первое
тенциалом двойного слоя с плотностью
>йся в нуль в точке Л, а второе — по-
тенциалом двойного слоя, несущая
поверхность которого не содержит
* ~ точки Л.
По результатам, относящимся
к потенциалу двойного слоя замкну-
той поверхности с постоянной плот-
ностью моментов, из соотношения
(13.7) следует, что прямое значение
потенциала двойного слоя
й0(Л) = 2лу(Л)+67(Л).
через и+ (Л) предел, к которому стре-
точка В± стремится к Л со стороны
положительных нормалей, т. е. изнутри (S"), и через и_ (Л) —
'предел и (В__) при стремлении точки В_ к Л с проти-
воположной стороны поверхности (S) (фиг. 21). Тогда,
слагаемое
моментов,
является
A(s)
в.
'А
Фиг. 21.
Обозначим теперь
мится и (ВлА. когда
ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
157
по (13.р, Н|_(Д)=:4яу(Д)-|- U(A) и (Д) = ЩА), т. е.
«+ И) == «о (4) + (А), I
и_(4) = «0(4) — 2™(Д). j (13,
Если сама поверхность (S) замкнута, то и в этом слу-
чае формулы (13.8) остаются, очевидно, в силе, так как
при выводе будет отсутствовать только интеграл по поверх-
ности (S').
Заметим, что непрерывность потенциала в точках слоя,
в которых плотность моментов равна нулю, является след-
ствием соотношений (13.8), при выводе которых она
использовалась.
Таким образом, потенциал двойного слоя при пересечении
слоя претерпевает разрыв, причем величина скачка при
пересечении в направлении положительной нормали через
точку А слоя равна
и^(А) — и_ (Д) = 4^(Л),
а прямое значение потенциала в точке А
«о И) = 4 +
Вернемся теперь к рассмотрению потенциала простого
слоя. Как мы видели, он является непрерывной функцией
во всем пространстве, в том числе и в точках самого слоя.
Однако, как мы сейчас покажем, его частные производные
при пересечении слоя претерпевают разрыв. Это их свойство
тесно связано с поведением потенциала двойного слоя
в окрестности слоя.
Пусть А — точка поверхности Ляпунова, несущей простой
слой непрерывной плотности р (Р). Обозначим через пА поло-
жительное направление нормали к (S) в точке А (в случае
замкнутости (S) за это направление выберем направление
внутренней нормали), возьмем произвольную точку В на этой
нормали, не лежащую на (5), и образуем нормальную произ-
водную • Если направление от А к В совпадает с на-
правлением пА, то точку В будем обозначать через В^.,
158 § 13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
в противном случае — через В_. Нас будут интересовать
пределы
Нт (ди_\ и lim (ди \
п+^А\ дпА )Bjr В_^А\ дпА
которые мы будем, соответственно, обозначать через
{ dU \ гтл л ,»
и () • Точки В± и В _ предполагаются стремящимися
к А вдоль нормали к (S) в А. Прямое значение нормальной
производной в точке А обозначим через !). Так как
«(В) = [ [
^-dSP
rBP
можно дифференцировать по координатам точки В под зна-
ком интеграла, то
д
(Я)
д"л
dSp.
Но, если пА обозначает единичный вектор нормали в точ-
ке Л, то
_ ("А' Грд) = — cos
г ВР ГВР
где грв = РВ и typB — угол между пА и направлением РВ.
Следовательно,
/ ди \ р cos 'К. ,
М. = - J .1 " (₽) - К (S) - / (В),
л) Мы не останавливаемся здесь на доказательстве существо-
вания этого прямого значения. См., например, Л. Н. Сретен-
ский, Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат, 1946,
стр. 47—48.
ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
159
где
СОЗфпд
?(Р)—~dSP,
•гвр
(Т?)
(* COS ф п д
^(В) = Р(Р)—~^dSp
1J ГВР
(Т7)
и (Ts) — часть поверхности (5), лежащей вне сферы доста-
точно малого радиуса 8 с центром в Л, a (7>J— часть (S),
заключенная в этой сфере.
Функция VS(B) непрерывна в точке Л, так как эта точка
не принадлежит (Т8).
Для выяснения поведения Vs (В) при приближении точки В
к А вдоль нормали преобразуем интеграл по (^) следую-
щим образом:
/ С I* ^РЛ
V,(B) = р(Р)_L5.d5p-|- •
•' ГВР
(%)
+ f
J ГВР
(Т?)
где Ьрв — угол между положительным направлением нормали
к (5) в точке Р и направлением РВ. Докажем, что второе
слагаемое в правой части последнего равенства является функ-
цией от В, непрерывной в точке А. Действительно,
I cos Црв—COS 0/>в | = 21 sin + Opp) sin (tyPB — 6pB) | <
< 21 sin -i (i^pb — ()рв) | |фрв—Opp | 7pa ,
где чрА — угол между нормалями nA и пр к (S) в точках А
и Р (фиг. 22). Последнее неравенство является выражением
того факта, что плоский угол трехгранного угла не может
превосходить абсолютной величины разности двух других
плоских углов. Стало быть,
I cos ^рр cos | Чра < Сг*ар ~ С^г*вр>
160
§13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
где ft->l при ВА. Выберем В настолько близким к Л,
что ft <2, и получим тогда, что
dSp
1 *' А ГВР * '
(Т.)
где рт — наибольшее значение | р (Р) j на (S), а (5о) — часть (S),
вырезаемая цилиндром (Z5) радиуса 8 с осью п 4. Последний
интеграл может быть оценен тем же методом, который при-
менялся выше при доказательстве непрерывности самого по-
тенциала в точках слоя (см. фиг. 14). Мы получим оценку
П^< I'f7f# = ^r,
ГВР 0 о
РАЗРЫВ НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
161
откуда
С с COS ФрП — COS брд I
Р (Р)-------------РВ dSp < 4кСр^ (28)(
’ Гвр I
Так как эта оценка справедлива в достаточно малой окрест-
ности точки Л, то отсюда следует, что рассматриваемый
интеграл является функцией от В, непрерывной в точке А х).
Таким образом,
/ ди \ f f cos брд
‘ BP
где V (В)— функция, непрерывная в точке А. Но первое
слагаемое в правой части является потенциалом двойного
слоя, поведение которого в точках слоя нам известно. Стало
быть, мы получим следующие соотношения:
(^)д=-2’'Р(Л)+К(Л)’ л+
или
Таким образом, нормальная производная потенциала
простого слоя претерпевает разрыв при пересечении слоя,
!) Аналогичное заключение применялось нами уже два раза:
при доказательстве непрерывности потенциала простого слоя в точ-
ках несущей поверхности и при доказательстве непрерывности
потенциала двойного слоя в точках слоя с нулевой плотностью
моментов (см. стр. 144 и 154).
162
§13. ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО и двойного слоя
причем величина скачка при пересечении слоя в точке А
в направлении дифференцирования равна
(13.9)
а прямое значение нормальной производной в точке А
Заметим, что в точках слоя, в которых плотность равна
нулю, нормальная производная потенциала простого слоя
непрерывна.
Аналогично нормальным производным простого слоя опре-
деляются нормальные производные двойного слоя. Приведем
без вывода относящийся к ним основной факт: нормальная
производная потенциала двойного слоя остается непре-
рывной при пересечении слоя. В сочетании с тем фактом,
что сам потенциал двойного слоя претерпевает разрыв при
пересечении слоя, это надо понимать так, что кривая зави-
симости потенциала от расстояния по нормали к несущей
поверхности в точке А имеет в этой точке разрыв, но левая
и правая касательные к этой кривой в точке ее разрыва
параллельны.
Для иллюстрации поведения потенциала двойного слоя и
его нормальных производных при пересечении слоя, рассмо-
трим два примера.
Пример 3. Потенциал двойного слоя на зам-
кнутой поверхности с постоянной плотностью
моментов. Пусть (S) — произвольная замкнутая поверхность
Ляпунова и v = l. По доказанному выше (см. стр. 152—154)
потенциал такого двойного слоя
М(Л) =
4к внутри (S),
2тс на (S),
О вне (S).
Проведем в любой точке (S) нормаль и будем отсчиты-
вать расстояние п вдоль нее от (S) — положительное во вне
(5), и отрицательное — внутрь. Тогда график и как функции
ПРИМЕРЫ
163
от п будет иметь вид, изображенный на фиг. 23. Мы видим,
что, действительно, левая и правая касательные в точке
разрыва параллельны, так как левая и правая производные
равны нулю.
№
Внутр. (S) Внешн.(З)
Фиг. 23.
Пример 4. Потенциал двойного слоя, рас-
пределенного по круглому диску с постоянной
плотностью моментов. Рассмотрим круг (Яр):
£2 ^2 — /^2 о, С == 0, и'положим v = 1. Подсчитаем значе-
ния потенциала такого двойного слоя на оси z. Так как
в данном случае
n z
cos Орд = -—,
ГАР
ТО
или, переходя в плоскости $, т] к полярным координатам р,
2л В
и (z) = Z
pdpd\r = ^z
(/>24-z2)’/»
V# + z« J
если z < О,
если z > 0.
Так как при z = 0 cos 0РА = 0, то и (0) = 0. Далее,
lim я(г) = — 2к, lim и (г) == 2к.
—0 «->4-0
164 § 14. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Однако
v (/?2 + (г2)8/а ’
как для г<0, так и для <г>0, так что
lim и' (z) = lim и' (z) = — ~г,
-О «->+0
т. е. левая и правая касательные к графику и (г), изображен
ному на фиг.'24, в точке его разрыва z — Ъ параллельны;
§ 14. Единственность решения краевых задач теории
потенциала. Приложения к электростатике
Рассмотрим гладкую замкнутую поверхность (S) (после-
дующие рассмотрения применимы и к системе таких .непере-
секающихся поверхностей), и обозначим через (V^) внутрен-
ность, а через (Ve) внешность (S). Покажем, что третья
краевая задача теории потенциала (см. § 6), т. е. задача
определения функции и, удовлетворяющей в (/<) (внутрен-
няя задача) или в (1/е) (внешняя задача) уравнению Лапласа
&и~0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
165
и краевому условию:
на (S): — hu = u0(x9 у, z),
не может иметь более одного решения, если под -^пони-
мается оператор дифференцирования в направлении вну-
тренней к области нормали и произведение kh 0. Это
утверждение справедливо, однако, со следующими двумя
оговорками, а именно: в случае внешней задачи надо тре-
бовать еще выполнения условий (6.3) на бесконечности,
и при h = Q (вторая краевая задача) в случае внутренней
задачи решение определено только с точностью до по-
стоянного слагаемого *).
Отметим, что таким образом решается и вопрос об одно-
значности решений первой и второй краевых задач, являю-
щихся частными случаями третьей задачи (первая — при k = 0,
вторая — при h — 0).
Допустим, что иг и и2— два решения поставленной за-
дачи. Тогда функция
v = — и2
удовлетворяет уравнению Лапласа * 2) Д-v — 0 и краевому усло-
вию: на (S) k — hv — Q, и в случае внешней задачи —
условию (6.3) на бесконечности.
Начнем с внутренней задачи. Применим к области (V{)
формулу (10.1), положив в ней u = v. Учитывая, что Дя==0,
найдем, что
f [ [ | gradpv|3 rfVp dSP.
J) Кроме того, в случае h == 0 (вторая краевая задача) необхо-
димым (и достаточным) условием существования решения является
равенство
S-^-dS-O.
К
(S)
Необходимость этого условия следует из формулы (10.2) при vsi.
Э Нетрудно видеть, что приведенное утверждение и его дока-
зательство остаются в силе и тогда, когда щ и z/2 СУТЬ решения
неоднородного уравнения Лапласа йи = g (уравнения Пуассона).
166 § 14. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Если k = 0 или h = 0, то правая, а, следовательно, и левая
часть по краевому условию равна нулю.
Если же k ф 0, то из краевого условия для v следует,
что
f [ J |gradpi/|a<ZVP = — $±v>(P)dSP.
’ (Г.> (S)
Так как левая часть этого равенства неотрицательна, а пра-
вая— неположительна (в силу условия на знаки h и А), то
обе должны быть равны нулю. Таким образом, всюду в (IQ
должно иметь место равенство
grad v = О,
т. е. v = const. Если h ф 0, то из краевого условия следует,
что 17 = 0. Если й = 0, то v может иметь произвольное по-
стоянное значение.
В случае внешней задачи применим формулу (10.1)
к области (Wr) — части области (/е), ограниченной (S) и
сферой (Sr) достаточно большого радиуса г с центром в на-
чале координат, содержащей (S) внутри себя. Тогда мы полу-
чим, что
Но на (Sr) в силу условий (6.3)
так что
I | < 4 §1 v (Р) I dSP = 4*С| *(?) I о
'•V (8Г)
ПОЛЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
167
приг—>оо(Р обозначает некоторую точку на (Sr)). Стало
быть, устремляя в формуле (14.1) г к оо, находим, что
J [ f |gradptF|3dl/p = f®(P)(g)pdSp = §^^(P)dSp,
(Ve) (S) (S)
откуда, как и в случае внутренней задачи, следует, что в(Ив)
grad 77 === О,
т. е. = const. Условие на бесконечности показывает, что
17 = 0.
Перейдем к некоторым электростатическим приложе-
ниям. Пусть гладкая замкнутая поверхность (5) является
проводником, заряженным на потенциал zz0. Таким образом,
при отсутствии других зарядов в пространстве потенциал и
электростатического поля этого проводника должен быть ре-
шением задачи Дирихле для поверхности (S) при постоянном
граничном значении.
Внутри (5) всем условиям задачи удовлетворяет постоян-
ная функция и = и0, так как она, как всякая постоянная,
удовлетворяет уравнению Лапласа и принимает на (5) задан-
ное значение. Следовательно, по теореме единственности она и
является искомым электростатическим потенциалом внутри (5).
Пример. Электростатическое поле проводя-
щего эллипсоида. Рассмотрим в качестве примера про-
водящую поверхность, имеющую форму эллипсоида
х2 у2 z2
^2“ + Т2’+"^2’ —
который мы обозначим через (5(0)) (см. § 12), причем пред-
положим, что
Покажем, что функция
“(Л)=-т/та-’ |14-2’
где
Q («) = У(а2 + <о) (Z>2 + ш) (с2 + ш),
СО
(14.3)
J Q(°>) 7
168 § 14. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
а X — наибольшая эллиптическая координата точки Л (см. § 9),
лежащей вне эллипсоида (5(0)), является решением соответ-
ствующей внешней задачи Дирихле при граничном значении
и = w0. При этом, в силу единственности решения, функ-
ция (14.2) является электростатическим потенциалом заряжен-
ного проводящего эллипсоида во внешнем пространстве.
В первую очередь заметим, что, как функция от эллипти-
ческих координат, и (А) зависит только от X: и = и(к). По
формуле (9.16) найдем тогда, что
л Q (X) d ( du}
. /(X —р.) (k — v) di ( М dX | ~
4_______<?(х) = о
4 У(х - р) (X — ч) dl I J )
т. е. и (X) удовлетворяет уравнению Лапласа в (Ув). Оче-
видно, что w(X) удовлетворяет краевому условию
U 1(8(0)) ~ zzlx=-o“ ио*
Наконец, исследуем поведение и (Л) на бесконечности. Так
как
с2 X г2 а2 4- X,
где r2 — x2-\-y2-]-z2, то
оо со
“о f <*<“ / ,,(Л\ f dw
J J 1 J Q(®)'
r-—c2 P—a3
Далее,
A JL
(^2 4» ш)2 < Q (w) < (a2 4“ w)3;
следовательно,
co
Г C?a>
2
Уг2 + ««—c« ’
CO 00
J <?(“>) J . Уr2-f-c«—as ’
(С» + <Л)3
ПОЛЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
169
откуда
____.........._ < ги(Л)< 2ипГ
}Уг^а‘‘-сг V J/r2 + c2 —fl2'
Переходя в этих неравенствах к пределу при г->оо, на-
ходим, что
lim ги(А) — . (14.4)
Далее, по формуле (9.5),
grad4 и = grad и (X) = £ е, = - ,
а так как
_J_ У(Х-и)(Х-у)
х 2 ' (?(Х)
ТО
grad и (А) = — —°
е\ ___
У(Х-Ю(Х-^)
Но эллиптические координаты удовлетворяют неравенствам
(см. § 9) — с2, v< — с2, откуда следует, что
|grad«(X)|< /С2 + х — у° а2_|_Х — (а2_с2)
2ц0 1 С_
J Г2_ (а2__с8) \Г2
для всех достаточно больших г. Таким образом, потенциал
(14.2) удовлетворяет условиям (6.3) на бесконечности и, сле-
довательно, является решением рассматриваемой внешней за-
дачи Дирихле.
Сделаем теперь следующее общее замечание. Пусть и (Л) —
электростатический потенциал заряженного проводника (S).
Положим
где (см. (13.9))
дм\
170 § 14. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
— пределы производной от и по направлению внешней нор-
мали при приближении к точке А поверхности (5) извне и
изнутри ее. Так как внутри (5) и = uQ = const., то
&} =°
И
Нетрудно видеть, что р(Д) является плотностью распре-
деления зарядов на (5), порождающих данный потенциал и (Д):
J" Г АР
Это следует из единственности решения внешней второй крае-
вой задачи, удовлетворяющего условиям (6.3) на бесконечности.
Исходя из этого, найдем плотность распределения заря-
дов на проводящем эллипсоиде (5(0)), заряженном на потен-
циал и$. По (14.5)
со
„Ml- ——f_±LI
н w 4л dn j J J Q (ш) j ’
где в силу ортогональности эллиптических координат
д_ _ А — 12. = 9. Q(k) А
дп^ ds\ Lxd\ /(Х —!»•)(* —^
Стало быть,
р (Д) = ....1 . . = =
2nJ /(X-n)(X-v) (S(0))
_ Up________1______I _ Up 1
2kJ /(X-|.)(X-^)L=o 2nJ/^‘
Для того чтобы выразить }xv в декартовых координатах, заме-
тим, что поверхность (5(0)) (X —0) имеет параметрические
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ
171
уравнения (см. (9.15а — в))
, a2(q* + iQ(a2 + v)
_ (С2—&2)(а2—С2) >
„2 62(*2 + ^)(*2 + ^)
2_ С2 (С2 4-р.) (С2 V)
(с2 —Й2)(С2—*2) ’
Рассмотрим на (S (0)) выражение
X 4- = (а* + |*Ж + ч) I (^+Р)(*г + У) ,
а4Г b4 Т С4 аЧ (а2 _ b2) (й2 _ с?) Т 42 (fc2 _ С2) (62 _ й2) "Г
+ С2(с2_а2) (с2_*2) — а0 + а1Р + aav 4- авР-
При этом
а0— (Я2_*2)(Я2_С2) + (/,2_c2)(ft2_a2) +
С2
+ (с2_й2)(с2_/,2)
_ 1 1 1 I
“1 = “9 — (а2 _ 62) (Я2 _ С2) "Г (1,2 _ С2) (&2 _ а2) "Г
. 1
I (с2 — а2)(с2—1,Я)
И
_ 1 , 1 ,
“З — в2 (в2 — &2) (й!2 — С2) “Г &2 (&2 — С2) (62 — в2) “Г
, 1 _ 1
4~ с2(с2 —а2)(с2 —ft2) — a2t)2c2-
Таким образом, имеем:
Этот результат означает, что плотность распределения
зарядов на проводящем эллипсоиде пропорциональна рас-
172
§14. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
стоянию от центра эллипсоида до касательной плоскости
к нему в данной точке. Действительно, расстояние от начала
координат до касательной плоскости
I УУ > 1 __п
в точке А с координатами х, у, z к (5 (0)) (X, Y, Z озна-
чают текущие координаты точки в касательной плоскости)
равно
1
Полный заряд рассматриваемого эллипсоида равен
(S (0)) (S (0))
как это может быть получено непосредственным вычислением,
а также из формул (13.2) и (14.4).
2
Емкость эллипсоида (5(0)) равна у, где J—инте-
грал (14.3).
Для эллипсоидов вращения потенциал и (4) выражается
через элементарные функции. Так, для Ь — с (вытянутый
эллипсоид вращения)
где а* — с2 — г2а2, а
оо
и (Л) = — (-----------........ =
J •' (с» + ш) Уа«+<о
щ Vfl2 4~ х 4~
= 1 in Vg2 + ^ + £g _ V’fl2 + X-~eg
J ьа У cP + X — еа 0 jn 1 + £
1 — £
где X есть положительный, корень уравнения
*2_____। У2 + ** 1
а2 + * ' г24-Х ‘
ПОЛЕ ЭЛЛИПСОИДОВ ВРАЩЕНИЯ
173
Для Ь — а (сплюснутый эллипсоид вращения)
, 2 *
J=-arctg г,
где а2— = a
и(Л)==±0 f--------=
v ’ J J (Д2 + <») /са + ®
к
Но 2 . вс
= — — arctg = uQ
J ZC 6 /С2 + Х 0
х sc
arctg -
arctg е
где А есть положительный корень уравнения
X2+j/2
а2 + к ’ с2 -|-
Оба эти случая в пределе при е 0 (а = b = с) дают
для сферы радиуса а
н(Д)==-^
где М ~ uQa— полный заряд сферы (ср. пример 1 § 13).
§ 15. Логарифмические потенциалы
Перейдем к рассмотрению двумерного случая, в котором
все потенциалы зависят от двух переменных. В § 10 (фор-
мула (10.8)) было установлено, что если А и Р— точки пло-
скости х, у: А(х, у), Р($, т]), то
СЧп —,
ГАР
где С — постоянная, является, как функция от А (или от Р),
решением двумерного уравнения Лапласа:
Д, In —5— — ДрIn —— == 0.
А ГАР Р ГАр
174
§16. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Для выяснения физического смысла этого решения рас-
смотрим материальную (или заряженную) линию постоянной
линейной плотности длины 2/ (— параллельную
оси z и проходящую через точку Р (фиг. 25). Ее потенциал
в точке А
а сила притяжения
г
Fi и)=«=-4р I
2 л rAQ
Так как rAQ = rAp + rpQ, то
2 л 2 Л А®
1 f ГаР яг
-ур
2 Д rAQ
в силу симметрии материальной линии относительно плоско-
сти х, у. Таким образом,
1 С ГРА 1
FA -prAP I {г^р+^1, ”Р — утТтт;’
— 4
где Гра — единичный вектор, направленный от А к Р.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ТОЧКИ
175
Следовательно, при Z—>оо,
г,(л)-р^ = гИ).
Векторное поле F(4) является градиентом функции pln—l~,
ГАР
^AA(^\n-^ = F(A).
Эта функция р In —называется логарифмическим потен-
ГАР
циалом точки Р с обложением массой (или зарядом) р.
Можно получить логарифмический потенциал р In —— и
ГАР
предельным переходом непосредственно из потенциала конеч-
ной линии. Для этого нужно потребовать обращения этого
потенциала в нуль не на бесконечности (как это принимается
в пространственном случае и выполняется для иг(А))9 а на
окружности с центром в Р конечного радиуса, например,
равного 1. Тогда мы получим вместо иг(А) потенциал
«(1о)(Д) = 2.р1п
+ I" +1
VAp+r-i
I /1 + /3-м
-pin-—==— =
2 /1+/3— I
i (Vdp+/2+/)(/i+/a-/)
= 2 P n (/^p+/2-/)(Vl + /3 + /)’
для которого
lim «10)(Д) = p In ——.
l-»oo ' AP
Действительно, умножая числитель и знаменатель выражения
для на V г\р + ?—1 и V1+/2—А мы найдем, что
и{°\д)=р1п
Гар{ Vi 4-
и, стало быть, Ит и® (А) —pin——.
’ 1->оо гар
176
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Пусть (D) — некоторая конечная область плоскости, огра-
ниченная кусочно-гладкой замкнутой кривой (£). Пусть в (D)
задана непрерывная функция р(Р) — плотность обложения
области (D). Тогда
«(Д)= [ Jp^ln^dDp
(15.1)
называется логарифмическим потенциалом области с плот-
ностью обложения р. Потенциал и (А) обладает тем свой-
ством, что его градиент приближенно равен силе ньютонова
(или кулонова) притяжения в точке Д, лежащей в плоскости х,у,
цилиндра плотности -~р (постоянной вдоль каждой прямой’
параллельной оси г), восставленного на области (D) и сим-
метричного относительно плоскости х, у1). Точнее, gradAw
равен пределу этой силы, когда высота цилиндра стремится
к бесконечности.
Во всех точках А плоскости, не принадлежащих (£>),
и (А) является непрерывной функцией от А, любое число
раз дифференцируемой по х и у под знаком интеграла.
В частности,
gradA« г=« ( ( р (Р) grad^ In ~ dDp ==
= dDp, (15.2)
(D) ГАР
где rAP~ (x — + — *))/• Далее,
т. e. логарифмический потенциал области удовлетворяет
i) Под цилиндром, восставленным на области D плоскости х, yt
мы понимаем тело, ограниченное двумя плоскостями, параллельными
плоскости х, у, и поверхностью, которая образована движением
прямой, параллельной оси г вдоль границы области D.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ОБЛАСТИ
177
уравнению Лапласа во всех^ точках, не принадлежа-
щих этой области.
Рассмотрим поведение логарифмического потенциала области
на бесконечности. Пусть г = )/x2-f-у*— расстояние точки А
от начала координат и
M = ffp(P)dDp
(В)
— полное обложение об-
ласти (D). Образуем
функцию
и* (А) = и (А)—М In у=
T~dDP.
ГАР
(В)
Так как при удалении [точки
1, то
In------> 0 и, следовательно,
ГАР
А в бесконечность ----
ГАР
и* (А) -> 0 при г -> оо. Далее,
gradAn*= ( fp(P)|-L —=
W lr гар>
(В) (В)
Но [г^рГ0 — гг\р\=гор (фиг. 26), откуда следует, что
r2|gradA«*|< [ [|p(^)|rop“^Dp<
(в/
где С—некоторая постоянная. Таким образом, логарифми-
ческий потенциал области представим в виде суммы
логарифмического потенциала точки, помещенной в начале
координат с обложением, равным обложению всей области,
178 § 15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
и некоторой функции, которая ведет себя на бесконеч-
ности, как потенциал объемно-распределенных масс, т. е.
я(Л) = Л11п~4~(Л), г$е u*(A)~+Q при г->оо и
r2[ gradA и* | < С, где С—некоторая постоянная. В част-
ности, при удалении точки А в бесконечность абсолют-
ная величина логарифмического потенциала области рас-
тет как In г.
Аналогично тому, как это было сделано в § 11 для по-
тенциала объемно-распределенных масс, можно доказать, что
логарифмический потенциал области и его частные про-
изводные первого порядка непрерывны на всей плоскости,
причем формула (15.2) остается в силе и для точек А,
принадлежащих (£)).
Что касается частных производных второго порядка лога-
рифмического потенциала области, то они претерпевают разрыв
при переходе точки А извне области (£)) внутрь ее. Именно,
при некоторых дополнительных предположениях относительно
плотности обложения р(Р)!), можно показать, что внутри
области (D) логарифмический потенциал удовлетворяет
двумерному уравнению Пуассона
= — 2лр (Л),
так что лапласиан логарифмического потенциала равный
нулю вне (D), претерпевает разрыв при переходе точки А
через границу области (D).
Покажем теперь, что следующие свойства являются ха-
рактеристическими для логарифмического потенциала
области:
1Э и(А) и grad^zz непрерывны на всей плоскости.
2° &Аи существует и равен нулю вне некоторой конеч-
ной области (D), ограниченной кусочно-гладкой кривой (L),
а внутри (£)) &Аи непрерывен и имеет непрерывные про-
й aU z .ч
изводные первого порядка. Обозначим — через р (А).
О Достаточно предположить существование и непрерывность
производных первого порядка от р.
ХАРАКТЕРИСТИЧ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧ. ПОТЕНЦИАЛА 179
З3 Если
О’)
dJ)p
и и* (А) —и (А)— М In-i-, где г = Ух2-[-у2, то zz*(X)->0
при г со и г21 gradA и* | < С, где С — некоторая постоянная.
Мы уже видели, что всякий логарифмический потенциал
области обладает этими свойствами (если ограничиться плот-
ностями обложения, удовлетворяющими наложенному усло-
вию). Допустим теперь, что некоторая функция и (Л) обла-
дает свойствами 1°—3°, и докажем, что она является
логарифмическим потенциалом области (D) с плотностью
обложения р (Р).
Для этого применим формулу (10.10) к кругу (Рр), с цен-
тром в начале координат, настолько большого радиуса Р, что
р) целиком содержится в (К^. Обозначая через (£в) гра-
ницу (РЕ) и пользуясь свойством 2°, найдем, что
&ри • In —— dDp =
rAP
(уя)
=я $ {>" i -©г + 5 “ <р)}dLr + f J f <p)
(ья) w
In -LdDp.
rAP
Ho
'©a+©(p)='”H(sa-£}+
+ s {“• (p) + «In 1} - !п 1 +1 «. (P).
/ Iди* I C \
откуда в силу свойства 3° (так как I I < I grad я* | <
"”îР+ ©<р>1 < % " * + ©"'”• (р) !
180
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
т. е.
(ья) с
< p-ln/? + max |«*(Р)|-*0
“ (lR)
при /?—>оо. Таким образом, переходя к пределу при R->oo,
мы действительно находим, что
и (А) = р(Р)1п ArfDp.
w
Пример 1. Логарифмический потенциал
круга с постоянной плотностью обложения.
Рассмотрим круг (Kr): 52Н-т;2 — R2 0, и положим р =
= const. Искомый потенциал
«(А) = р [ J In^.dDp,
___________(’gB) АР
где гАР==У(х — 5)2 + (у — т])2. Так как, в силу симметрии
задачи, и (Д) будет зависеть только от расстояния г точки А
до центра круга — начала координат, то и = и (г) и в каче-
стве точки А можно взять точку, для которой х = г, у = 0.
Тогда, вводя вместо $ и т] полярные координаты р и ср, бу-
дем иметь:
2к R
«(г) = р I In—у-г—- ---------• р dpdy.
J У р'г— 2rp cos '-f + r2
<P = 0 =0
Для вычисления этого интеграла положим С = £
и заметим, что
In — = In i = — Re In (C—r) = — Re In (r-- Q.
r АР Ь rl
Если точка А лежит вне (Kr\ to р = |С|<СЯ<г и
оо
In (г — 9 = In г + In ( 1 — In Г — ]£ 1 (£)” =
п~1
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ КРУГА
181
т. е.
№1
откуда
2л R
J J Itiyi- • pd/Jd<p = it/?2ln—•.
ср=0^=О
Стало быть, вне (Кв)
u(4) = 7r/?2plnl=Mln-i,
где 2И = гс/?2р — полное обложение (Kr).
Если же точка А лежит внутри (Кв), то для р = | С | <
< г < /?, как и в предыдущем случае,
оо
1 1 1 1 । V 1 (Р\п
In---= In—н У— —) cos лф,
гАр г 1 ЬЛ п\г)
П«1
а для г < р = | С | < /?
1п(С-г) = 1пС+1п(1—0 =
П = 1
И
оо
In —= In — V — (—Y* cos ny.
Г AP p~ П\р J r
n=l
Следовательно, для г < R
2л R
f f in —• p dp d<? =
J J гар
0 = 0 J? = 0
2л Г 2k R
Г Г 1 Г Г 1
— In-----------‘pdpd<o-\- In----------pdpd't —
J J rAP J ,! rAP
ф=0р=0 <p = o^ = r
= №ln я | /?2ln — r2ln — 7r2} =
= тс#2 (-g- — In r) — -i №,
182
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
т. е. внутри (Кв)
и (Л) = М11 — In R -± .
График функции и (г) представлен на фиг. 27.
Нетрудно видеть, что и (г) является непрерывной функ-
цией от г, имеющей непрерывную первую производную. Для
г R имеем Д/и = 0. Проверим еще, что полученный лога-
рифмический потенциал удовлетворяет двумерному уравнению
Пуассона для г < /?. Действительно, по формуле (9.9) имеем:
А .. 1 d I d fl . D 1 /г\2Й
= -2$—йу.
Пример 2. Логарифмический потенциал
эллиптической области с постоянной плот-
ностью обложе-
ния. В качестве вто-
рого примера на вы-
числение логариф-
мического потенциала
области рассмотрим ло-
гарифмический потен- * (Е)
циал эллипса
И v2
(Е): _ 1 о
с постоянной плот-
ностью обложения р.
Этот потенциал мы по-
лучим предельным переходом из потенциала однородного
эллипсоида, данного в § 12 ^его можно также получить и
непосредственным вычислением интеграла р
(Е)
В приведенных в § 12 выражениях для этого потенциала
будем считать с большой полуосью, заменим р на ~-р и
ЛОГАРИФМИЧ. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧ. ОБЛАСТИ
183
положим z = 0. Тогда для внутренних точек эллипса (Е)
получим следующее выражение для потенциала эллипсоида
(см. (12.2а и б)):
,______£___________£
а2 + а
«е И) 7 ™Ьс9
о
_____________________ da,
У(&. + а) (*з + 0) (с2 + 0)
a
л х • > у -
grad^ ис = — ъаЬсо I Т. , 1 --=^~ ds,
J /(а2 + °)(&2 + о)(с2 + О
о
а вне (Е):
«с (л) =
“ 1____________>’2
1 , а’ + а
к nabc?
2 J /(«2+а) (*2+’)(<*+’)
X
d<3,
ОО
grad^ ие = — каЬср J
х
^ + а^^ + а
У(а2 + о)(^ + а)(с2+с) ’
где X — положительный корень уравнения
^±21 = 1
В пределе при с сю эллипсоид переходит в бесконечный
эллиптический цилиндр1), восставленный на (^параллельно
оси z. Хотя ис (Л) стремится при этом в любой точке к бес-
конечности (как это следует и из рассмотрений, приведенных
нами в начале настоящего параграфа), grad^ tic стремится
J) Нужно еще, строго говоря, показать, что предел силы при-
тяжения такого эллипсоида совпадает с пределом силы притя-
жения симметричного цилиндра, восставленного на сечении эл-
липсоида в плоскости х, у. Этого доказательства мы проводить
не будем.
184 § 15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
к конечному пределу, а именно: для точек А, лежащих вну-
три (Е), к
gradj. и — — vabp
+ + & +
/(а2 + «)(^ + а)
da——r.abp (yxi-j-fiyf),
где
со
Г rfa _ 2
] 1 1 а(а + Ь) ’
О (д2 С) 2 (£,2 ст) а
ОО
? da _ 2
J 1 L ~~b (а+ b) 9
о (а2 + о)3 (^ + а)а
а в точках А, лежащих вне (£), к
£ х . .У ,
етасТ^ я == — кайр I —/ ' da =
J У> + *)(*2 + о)
к
= — vabp {а (X) xi + 0 (X)j/},
где
f-----y—I
J (а2 + а)3(&2 + о)3
2 у^+х- -f^ + x
(а2 — 62) /62
Следовательно, внутри (Е)
«(Л) = С- J abp (ах^ + 0/) = С-J+£),
а вне (Е)
и (Л) = С— J (gradp«, drp),
ЛОГАРИФМИЧ. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧ. ОБЛАСТИ
185
где (Е)— путь, ведущий от начала к точке Л, а С—неко-
торая постоянная (равная значению и (Л) в начале коорди-
нат). В качестве (Е)
выберем путь, состоя-
щий из отрезка ON
оси 5 и дуги (Г) = NA
эллипса А = const.,
проходящего через точ-
ку Л (фиг. 28). Точка N
имеет координаты 1; = У a2 -f- X и ц = 0; обозначим через М вер-
шину эллипса (а, 0). Тогда для внешних точек Л будем иметь:
*И)= __
= С— — ъаЬр j* а (т) !• бЙ — nabp а (А) $ d$ 4“ ? (X) у) dvj.
е=а (Г)
Ha MN , т- е- 't — t2 — а2 и
* (4 = 1 - ,
а на NA а (А) и р (А) постоянны. Следовательно,
«И) = с-^т~Р- Л2-(«2-*2У)я-
= с - f Pm а -
a b cP — b* cP — b*\ x 7
- -*аЬм (/«Ф-V +-7^= =
а- — Ь^ ~ r i /у уй2_|_Х у
= C+S- TV+W+X) -
— -^5(г rtPP— ( ;х2 4- 4-
4- Гр2-(а2-^)^,
186
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
а так как
Уа2-Н
[ у ^_(а2_г>2) Д ]/(а2-(-Х)(^+Х) —
а
1 , О2—62 . /«2+1+ /бПД
~ 2 аЬ-----— 1П-------^ГЬ------
то окончательно
и (А) = С—
—(/«Ч7^—К^Ч7^ ( —^= ч- -г^-= 1 —
О2 — 62 ' ' “Г V П'У‘|<а2_|_Х' V 62 Ц-X )
_^р!„_Е«!±1±/Н+1.
г а 4 6
Остается определить постоянную С. Для этого исследуем
поведение полученного потенциала на бесконечности. Если
г2 = х24~.У2, то
о24-Х>г2 > £24-к,
и, следовательно,
г2 л2
/а^Н /^4Х
У2 г'
У6НД У&24>. ’
а
y^qpi— /frrzp / Х2 . у2 \ =
а5 —62 \ У^4Х “f" /&Г4Т/
х2 У2
_ Уа»'-ук + /&2~+Х
— 1<а2414 У&24Х
д«2 ^-2
заключено между 2 (a2~Jp'j и 2 (Ь^ 4 X) ' ^акиы образом,
lim (/аЧ7^ — /^Ч7*) ( ---=
1 .
= т^аор.
ЛОГАРИФМИЧ. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧ. ОБЛАСТИ
187
Образуем теперь
и* (4) = и (Д) — ъаЬр In у =
=С-----(УаЧ7 (В)* + /£* + *) ( + "4=) -
02 —£2 'Г I I Г Yb2 + )J
, 1 V а? 4~ “I- V № -{-
— nabp In--------7—г-г?—1— •
г г (а + Ь)
Учитывая, что выражение под знаком логарифма стремится
2
при г -> оо к , найдем, что
1 2
lim и* (4) = С— -н ъаЬр — nabp In —г-т •
Г->оо 2 а I
Но для логарифмического потенциала этот предел должен
быть равен нулю, откуда мы получаем1)
Таким образом, мы имеем внутри (Е)
и (4) = vabp - in р + £),
v ' г\2 2 / я + &\а 1 &/’
а вне (Е)
х* У11
/ЛЧ . /1 1 « + А Уа» + х+ у&г+т
v ’ *\2 2 ) v Уя2 + Х+ У^4-Х
, . Уа» + X + У424-К
-^abp In----•
Нетрудно проверить, что полученная функция обладает
перечисленными выше тремя характеристическими свойствами.
2) Этот же результат можно, конечно, получить и непосред-
ственным вычислением интеграла
с - /.[
(В)
188 § 15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
В частности, для круга b = а и X = х2 + ,у2 — а2 == г2— а2,
так что логарифмический потенциал круга радиуса а по-
стоянной плотности обложения р равен внутри круга
и (Д) — ка2р — In aj — — vpr2,
а вне круга
и (Д) — ка2р In у ,
т. е. равен логарифмическому потенциалу точки, помещен-
ной в центре круга с обложением, равным обложению
всего круга. Эти результаты совпадают, конечно, с получен-
ными в примере 1.
Наряду с логарифмическим потенциалом области, являю-
щимся, как мы видели, аналогом потенциала объемно-распре-
деленных масс или зарядов, можно рассматривать также лога-
рифмические потенциалы простого и двойного слоя.
Пусть в плоскости х, у дана гладкая кривая (А) (замкнутая
или незамкнутая), и на ней непрерывная функция р(Р). Тогда
выражение
и(А)= ( р(Р) (15.3)
(1)
называется логарифмическим потенциалом простого слоя.
Кривая (£) называется несущей линией слоя, а р (Р)— его плот-
ностью обложения. Как и при физическом толковании логариф-
мического потенциала области, мы можем в данном случае
рассматривать gradA и как предел силы притяжения в точке
А, лежащей в плоскости г = 0, от простого слоя, распреде-
ленного с плотностью ур, не зависящей от г, по боковой
поверхности цилиндра высоты 2/, восставленного на (А) пер-
пендикулярно к плоскости х, у и симметричного относительно
нее. Предел рассматривается при /~>оо. СаАм потенциал про-
стого слоя этого цилиндра стремится при этом к бесконеч-
ности, но его градиент стремится к конечному пределу.
В точках Д, не лежащих на (А), потенциал (15.3) является
непрерывной функцией от Д, любое число раз дифферен-
ПОТЕНЦИАЛ ДИПОЛЯ
189
цируемой по х и у под знаком интеграла. В частности,
Г др
gradA и = — р(Р)т~ dLp
£> лр
И
Дл“ = f р (р) Да (ln dLp = 0.
(£)
Нетрудно проверить, что на бесконечности логарифми-
ческий потенциал простого слоя ведет себя так же, как
и логарифмический потенциал области, т. е. удовлетворяет
условию (6.4):
и(Д)=Л11пу + «* (А),
где
Af = Jp(P)dLp
(Ь>
и zz'-(X)->0 при г==
=/х2 -J- у1 ~>оо, а также
|grada «*|<
Если на несущую ли-
нию слоя (L) наложить не-
которые дополнительные условия, аналогичные условиям Ляпу-
нова (см. § 13), или, например, потребовать существования и
непрерывности кривизны, то можно показать, что логарифми-
ческий потенциал непрерывен при пересечении слоя, т. е.
непрерывен во всей плоскости.
Несколько подробнее необходимо остановиться на лога-
рифмическом потенциале диполя и двойного слоя. Рассмо-
трим логарифмический потенциал двух точек Рх и Р2 с рав-
ными по величине, но противоположными по знаку заря-
дами dzp, расположенными друг от друга на расстоянии h
(фиг. 29):
“h (A) = pln-i- — pin-—.
190
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Переходя к пределу при h -> 0 и р —> оо так, что произведе-
ние Zzo~>v, найдем, что
In
«й (-4) -> «(Л) = v lim •
A>0 п
Но, обозначая через Р середину отрезка PJ\ и через брд
угол между
направлениями Р^Р^ и РА, имеем
Г1 = ГАР + 7 + krAP C0S
= ГАР + Т — krAP C0S 9^’
откуда
cos Bp, №
1 + r h +------------—
rAP 4гД
Л2
2
in—‘ = |in----------
гар, 2 , cos0pa
rAP ^rAP
COsflp 4 , .
—---- h-\-
rAP
COS Bp4
rAP
1
где опущены члены второго и высшего порядков малости
относительно h. Следовательно,
COS 9 п л
= (15.4)
Это выражение является логарифмическим потенциалом
диполя, находящегося в точке Р, с осью п, совпадающей
с направлением РХР^ и моментом у.
Нетрудно видеть, что grad^rz для и (А) из (15.4) является
пределом при I —> оо силы притяжения в точке А, лежащей в
плоскости г = 0, одинаково ориентированных диполей по-
стоянной плотности моментов v, распределенных по отрезку пря-
мой — I С “И, восставленной в точке Р перпендикулярно
к плоскости z == 0.
Выражение (15.4) может быть также записано в виде
I д An \
И(л)=ил_^ ,
4 7 \ дп /р
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ
191
откуда, в частности, следует, что
Лл« = >{Д[Аа(1п^)]}р»°
во всех точках А, отличных от Р.
Выражение
f cos 6Р л f Г д Л 1 \1 лг
И(Д)=| v(P)—^dLP=* I v(P)[^(Inrpj\ndLp' (15.5)
(L) AF (f)
где (L) — гладкая кривая с непрерывной кривизной, a v (Р) —
функция, непрерывная на (£), называется логарифмическим
потенциалом двойного слоя, распределенного по несущей
линии (£) с плотностью обложения моментами v (Р). Его
физическое толкование, аналогичное толкованиям рассмо-
тренных выше логарифмических потенциалов, может быть
легко дано.
В случае v = const, интеграл (15,5) имеет простой геоме-
трический смысл, а именно:
(* COS Орл
v —:-----dLp — ± vrp,
J Г АР
(Ь)
где ср — угол, под которым хорда кривой (L) видна из точки
А (фиг. 30). Знак зависит от выбора направления нормали
192
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
к (£). В частности, если (£)—замкнутая кривая, то для точек
А, лежащих вне (£):
Г cos 0Pj
v I S ' ^LP = 0,
w AP
а для точек А, лежащих внутри (£):
г» COS 0рд
v у dLp = zt 2kv,
(b)
причем положительный знак имеет место, если нормаль на-
правлена внутрь (£), а отрицательный — в случае противопо-
ложного направления нормали, так как в первом случае брд—
острый угол, а во втором—тупой. Доказательство этих резуль-
татов почти ничем не отличается от доказательства соответ-
ствующих результатов в пространственном случае (см. § 13).
Легко установить поведение логарифмического потенциала
двойного слоя (15.5) на бесконечности. Во-первых, при доста-
точно больших г==У‘х2-1~у2
1«И)|От f
I ч /I т j r г
т
где vm — наибольшее значение | v (Р) | на (£) и С > 0 —
некоторая постоянная. Что же касается градиента логариф-
мического потенциала двойного слоя (15.5), то
|gradA «|< Я.
Действительно, так как
Icos О
grad А-—:
РА
:-5- gradxcosOpA -j- cosQpa
ГАР
. 1
gradA — ,
rAP
ТО
sin 0p a
grad cos Орд —---------- и
rAP
. 1
grad-
er
1
r 2
rAP
I gtadA C°S I < Sltl6PA + |cos9PA| < 2
I Г*Р I rAP rAP
2l
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ СЛОЯ
193
и
f dLP С
| grad4 а | < 2 vm -j— < 75
(i) ГлР
для достаточно больших г.
Как в § 13 для ньютонова потенциала двойного слоя, до-
казывается, что логарифмический потенциал двойного слоя
(15.5) непрерывен во всех точках Л, не лежащих на (£), и
в этих точках неограниченное число раз дифференцируем по
х и у под знаком интеграла, но что при пересечении слоя
в направлении положительной нормали он претерпевает разрыв
со скачком 2ку(Д), где у(Д)— плотность обложения в точке
пересечения слоя. Точнее, если обозначить через и0 (Д) прямое
значение *) логарифмического потенциала двойного слоя в точке
слоя А, а через и+ (Д) и (4)—пределы и (В) при стрем-
лении точки В к А со стороны положительной и, соответ-
ственно, отрицательной нормали, то
и+(Д) = «о(А) + ™(Т),
«_(А) = «0(А) —itv(A)
(ср. (13.8)).
Поведение нормальных производных логарифмических по-
тенциалов простого и двойного слоя также аналогично пове-
дению соответствующих производных ньютоновых потенциа-
лов. Именно, нормальная производная логарифмического
потенциала простого слоя претерпевает при пересечении слоя
в точке А в направлении положительной нормали разрыв со
скачком —2кр (Д),
=----2ир(А)
(ср. (13.9)), а нормальная производная логарифмического
потенциала двойного слоя остается при пересечении слоя не-
прерывной.
Примерз. Логарифмический потенциал про-
стого слоя отрезка с постоянной плотностью
*) Существование которого доказывается аналогично случаю
ньютонова потенциала двойного слоя (см. § 13).
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
обложения. В качестве несущего отрезка слоя возьмем
отрезок (— а, а) оси абсцисс. Так как р = const., то
а
и (Д) == р f In r 1 — tZ; —
J_a V^-x^+y^
a
=-lP f
a
И
a
du________________ f у di
dy~ P J (5 — xp+y* •
—a
Полагая $ — x — yx, найдем, что
a—x
У
ди__ f dx
dy— P J ’
— a—x
У
так что при —л<х<а
оо
..ди f dx
lim т— = — р -у , г = — pit,
v++<>dy J + 1 к ’
v ‘ —оо
И
— 00
.. ди f dx
Л-.5 = -Р j ?+T = f"-
оо
Пример 4. Логарифмический потенциал двой-
ного слоя отрезка с постоянной плотностью
обложения моментами. Для того же отрезка имеем:
а а
„ Г cos6РЛ ,, f d;
и (Д) — v ------- оК = vy =
1~-а ГАР iJ-arAP
a
f de t e—xi5”0
= v | arctg g — arctg j = v<p,
ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ ОТРЕЗКА
195
где ср — угол, под которым отрезок (—а, а) виден из точки А,
причем, если оси диполей ориентированы как ось у, знак
плюс имеет место при
у > 0 и знак минус —
при у < 0 (фиг. 31).
Эквипотенциальные ли-
нии и (Д) = const,
в поле этого двойного
слоя суть дуги окруж-
ностей, проходящих
через его концы Фиг. 31.
(—а, 0) и (а, 0). Если
точка А приближается к слою —а<х<а со стороны по-
ложительных у, то ср -> тг, а если она приближается со сто-
роны отрицательных j/, то ср-> — к. С другой стороны,
ди ( х + Д 1_______________। х — а 1 I
ду~~' I J5” J | + "l” У2 ] | (-Г —ay J “
( х — а______х + а \
--V|(x_a)2+j,2 (х + й)2+у
(1 1 I 2а»
—у Z-------------у . — -----—
[х — а х-f-а I х2 — а2
при у -> z±z 0.
Таким образом, на этих примерах мы видим подтвержде-
ние сформулированных выше общих положений относительно
поведения логарифмических потенциалов простого и двойного
слоя и их нормальных производных.
Подобно тому, как это было сделано в § 14, можно,
исходя из формулы (10.5), доказать, что двумерные краевые
задачи теории потенциала имеют не более одного реше-
ния ]). Для внутренних задач доказательство ведется совер-
шенно аналогично трехмерному случаю. Проведем доказатель-
ство для внешних задач.
Пусть и} и — два решения третьей краевой задачи:
ДАя = 0 вне (£),
А — hu == и^ (х, у) на (L),
Э С очевидной оговоркой в случае внутренней второй краевой
задачи (см. § 14).
196
§ 15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
где означает производную в направлении внутренней
нормали, а произведение и для достаточно больших г
и = Mln — -f-я*,
С
где я *-> О при г->оо и | grad^w* | < (условие (6.4)).
Положим v = u^—uv и применим формулу (10.6) к области (Dr),
ограниченной кривой (£) и окружностью (Ст?) радиуса R,
содержащей (£) внутри себя.
Функцию и в этой формуле положим равной v. Так как
в (Dr) Д^=0 и на (L) ft——й^ = 0, то при ft^hO
,f .f {Ш+(г?У}dD? - - R <₽>'2 dL? -
(Dr) (L)
V(P)(^\ dLP, (15.6)
(OR) " P
если же ft — 0 (первая краевая задача), то первый интеграл
в правой части (15.6) вообще отсутствует. Далее, по условию
на бесконечности,
и± = М In ~ -|" я!, и2 = М In у 4- ^2,
так что v = u%— Ui и при r->oo, а | grad v | < ~.
Таким образом,
| (£ v dL I <2 2тс• max I v | • I I <
J (М (С } 1 lor
(Or) ( R)
. 2кС । . п
< —max I v -> 0 при г->сю.
* (Or)
Следовательно, правая часть равенства (15.6) стремится при
R оо к неположительному пределу, а левая неотрицательна.
Это возможно только в том случае, когда обе части равны
нулю. Отсюда мы заключаем, что ™ = 0 и = 0, т. е. что
t» = const. Но, в силу условия, на бесконечности V —> 0 и, сле-
довательно, 77 = 0, т. е. и2^иР
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
197
Первая и вторая краевые задачи, как уже отмечалось,
содержатся в третьей как частные случаи. Нужно отметить,
что проведенное доказательство показывает лишь, что внешняя
краевая задача не может иметь двух разных решений, имею-
щих на бесконечности одинаковую главную часть М In .
В отличие от трехмерного случая единственность решения
двумерных внешних краевых задач теории потенциала обес-
печивается, помимо указанного условия (6.4), еще одним
условием на бесконечности, так называемым условием ре-
гулярности, а именно: u-^U при г-»оо, где U—неко-
торая постоянная, и | grad^zz | < — для всех достаточно
больших г *)• Действительно, при этом условии v 0 при
г—>оо и | gradjLti | < у, так что второе слагаемое в пра-
вой части формулы (15.6) стремится к нулю при
I rflpl <2я/?шахЫ Igrad^ |<2яСтахЫ->0.
*4) ^дп'Р 1 (ОД
Конец доказательства протекает так же, как и в первом
случае.
Следует, однако, иметь в виду, что в краевых, задачах,
решения которых (по физическим или иным соображениям)
должны представляться логарифмическими потенциалами про-
стого слоя (например, в задачах, связанных с плоско-парал-
лельными электростатическими полями), на бесконечности
должно выполняться условие (6.4).
Приведем некоторые приложения к плоско-параллельным
электростатическим полям.
Если (£) — замкнутый проводящий контур в плоскости
х, у, заряженный на потенциал uQ, то внутри (£) электроста-
тический потенциал и (Д) = uQ = const. Если и (Д) вне (£)
известно, то плотность обложения зарядами контура (£) будет
равна
2) Можно показать, что требуемая оценка grad^zz является
следствием существования предела и при г->оо.
198
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
где — производная по направлению внешней нормали
к (£)”
Пример 5. Плоек о-параллельное электроста-
тическое поле проводящего эллипса. Рассмотрим
заряженный на потенциал эллипс (Е):
S+S-1 <«>»><»
Для определения потенциала вне (Е) введем эллиптические
координаты на плоскости Лир, где Лир — корни уравнения
х2 . у2 __ .j
а2 -|-ш ' № 4“ ш ’
причем — а2 < р < — Л. Тогда вне (Е)
х
и (Д) = С f -7=±= 4- и0.
Для того чтобы убедиться в том, что эта функция является
решением (как мы знаем, единственным при данном полном
обложении зарядами эллипса (Е)) внешней задачи Дирихле
для эллипса (Е) при постоянных граничных значениях и0,
нужно проверить, во-первых, что Ддя = 0 для всех точек А
вне (Е), т. е. для Л > 0, во-вторых, что и (Д) удовлетворяет
условиям (6.4) на бесконечности, и, в-третьих, что на (Е)
и = и^. Последнее очевидно, так как на (Е) Л = 0. Из вто-
рого условия определяется постоянная С. Действительно,
х
J /(а’ + ш) (ft2+=Sj“‘
= 1п|® 1^-4- /(a2-WG’2 + ‘*o}l =
I * ) 1ц)==0
= ------- (а + ^----------= Х +
2
'+гТ-+/0+?Х'-4’)
+1п (а + &)2 —ln *+1п (а_|_£)2+а G),
2
ПОЛЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСА
199
где а (X) = О при г -> оо. Но №-|- А <
<r9<a2-f-X, т. е. г2 — а2<Х<г2 — Ь2, и, следовательно,
х
f da> — = 2Inr + 2 In -4-f- +p(r),
где p(r)->0 при г—>oo, как Таким образом, для боль-
и (А) = - 2С1п1 + 2С In -jL- + «o + ср (г).
Для того чтобы выполнялось указанное условие на беско-
нечности, мы должны положить
Будем считать, что J) a -f- Ь ф 2. Тогда
г— “о
и
к
и (Д) = и0------.. .rf<1> -= . (15.7)
21п^-у J Г(я2 + «>)(6’ + «>)
Отметим, что полное обложение эллипса
—2С =—.
In—тт
a -f- b
Остается проверить, что функция (15.7) удовлетворяет
уравнению Лапласа. Для этого приведем без вывода (который
может быть легко воспроизведен по образцу рассуждений § 9)
некоторые формулы из общей теории криволинейных орто-
гональных координат на плоскости.
а) Это ограничение связано с нормировкой логарифмического
потенциала In -5- , при которой он обращается в нуль на окруж-
ГАР
ности единичного радиуса с центром в точке Р (см. стр. 175).
200
§15. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Если х = <р1(и1, и2) и у = «2(«1, «2), т0 dsu,— Lu.du.,,
dsu— L^du^, где коэффициенты Ляме
Обозначая через eUl и ещ единичные векторы касательных
к соответствующим координатным линиям, будем иметь:
grad ч = + =- а- еи. + й- е.,,
и если а — aUieUi-\-аи2еи,,
Далее,
л _ 1 / д (L* a’\u_ д (L^ ?L\\
Для эллиптических координат на плоскости
г___Li/"j __________~1/~-
2 V Q(X)’ н-— 2 Г — Q(p.)>
где
Q (w) = (a2 -J- °0) (д2 +
и, следовательно,
а. л Vе—Q <*) Q (и) f d QGT ди\ f
azz —4 х_р, iMF см дх; +
» д А/ ди\\
дЛг q(X)
Если и, как в нашем случае, зависит только от одной коор-
динаты X, то уравнение Лапласа превращается в
и очевидно, что функция (15.7) ему удовлетворяет.
Вычислим плотность обложения зарядами проводящего
эллипса (£):
_____1_ ди_ I ______1 1 |
Р И, - 2п ds, |х=0 ~ 2к L, dK |k=0 =
__ 1 2ab_____ц0 1_____________________
2n/-ii2In—аЬ
а + b г " а-\-Ь
ПЛОТНОСТЬ ОБЛОЖЕНИЯ ЗАРЯДАМИ
201
Но для эллиптических координат на плоскости
'(^ + *)(a2 + i4 « ( 2 + ХЖ + и)
— «2—^ > У — ь2 — а2
так что при л = О
х2____________________а2 4- р. у2 ___ Ь2 4- Iх
"а2' — а2 — Ь2 9 "b2 ““ Ь2 — а2
и
a4' b4 ycfi—tfl'lfl — a?)'
I / 1 __Г 1 \ ___ Р1
Т- ^«2(а2—Z>2j "Г *2(ft2_a2); Р ^2 >
откуда на (£)
2 Г х2 v2 *
2пдМп —— V -^т + ~г
а 4- b V а4 Ь4
Эта формула показывает, что плотность обложения
зарядами на проводящем эллипсе прямо пропорциональна
—, что равно расстоянию от центра эллипса до
if H-J-Z
у а4 ' Ь4
касательной к нему в той точке, в которой эта плот-
ность определяется.
Для проводящей окружности радиуса R ф 1J) получаем,
полагая а — Ь = /?:
я^+у2—-В2
«о f d<o
R о
и
«о
2|4
/?2
ml
«о—т
1П-£-
р(4)
Ир
2л/?1п-1’
т. е. плотность обложения постоянна.
х) См. сноску на стр. 199.
202 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
§ 16. Решение краевых задач теории потенциала
для шара и полупространства, круга и полуплоскости
Пусть (V) — некоторая область пространства, ограниченная
гладкой замкнутой поверхностью (S). Рассмотрим первую
внутреннюю краевую задачу для (5): найти такую функ-
цию и (Л), которая удовлетворяла бы внутри (V) уравнению
Лапласа = O и принимала бы на (S) заданные граничные
значения /(Р).
Допустим, что решение этой задачи существует (и
тогда, как мы знаем, единственно). Применяя для него фор-
мулу (10.4), найдем, что для любой точки А внутри (S)
de.»
(S)
В этой формуле под знаком интеграла в правой части входят
значения и(Р) и на (5). Первое из них дано: и(Р)
на (S) равно f(P), но второе, , неизвестно. Однако
/дв\
оказывается возможным исключить неизвестные значения -ч-
\Qn / р
на (S) следующим образом. Применим формулу (10.2) (по-
делив обе ее части предварительно на 4тг) к области (V) при
произвольной пока функции v, удовлетворяющей в (10 урав-
нению Лапласа:
О - i ’ (₽) (к V “ (₽) (£)„ } (1б-2>
(8) Г
Вычитая равенство (16.2) из (16.1), получим:
/д(—'Л
(16-3)
ФУНКЦИЯ влияния
203
Допустим теперь, что нам удалось для каждой точки А
из (V) найти такую функцию что на (5)
ГАР
Такая функция должна, очевидно, зависеть от точек А и Р
(т. е. шести аргументов: х, у, z и $, т), С):
v=H(A; Р),
и обладать следующими свойствами:
1) Др//= 0 для всех точек Р в (V) при любом фи-
ксированном положении точки А в (У),
2) Н(А\ Р) = —для всех точекРна (S). Таким образом,
ГАР
она должна быть решением первой краевой задачи для поверх-
ности (S) при специальных граничных значениях —(Д фи-
ГАР
ксировано в (У), Р пробегает (S)). Если такая функция И
найдена, то, полагая
О(Д; Р) = Я(Л; Р)------(16.4)
ГАР
из (16.3) получим, что
(S)
/<Ю\ /СЧ
если (J существует и непрерывна на (о).
Отметим, что даже если функция О(Д; Р), так называе-
мая функция влияния области (У}3 найдена, то функция (16.5),
'построенная для заданных граничных значений /(Р), еще,
вообще говоря, не обязана быть решением задачи, так как
формула (16.5) выведена в предположении существования
решения и (Я), нами нигде не доказанном. Для того чтобы
убедиться в том, что функция и(А) из (16.5) действи-
тельно представляет собой искомое решение, нужно про-
верить, действительно ли u(A)-->f (Ро), когда точка А
стремится изнутри (S) к произвольной точке Ро на (S)
(то, что функция и (А) удовлетворяет в (У) уравнению Лапласа,
204 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
следует, очевидно, из ее построения). Эту проверку мы
в общем случае опускаем.
Соответствующая внешняя задача может быть решена в этом
смысле (т. е. при условии, что функция О (Л; Р) найдена и
полученное решение проверено) совершенно аналогичным обра-
зом с тем лишь дополнением, что нужно требовать выполне-
ния условия (6.3) на бесконечности.
Формула (16.3) может быть использована и для решения
второй краевой задачи. Для этого функция v — H(Л; Р),
удовлетворяющая в (V) уравнению Лапласа, должна быть
найдена так, чтобы на (S)
= С = const.
Значение С не может быть взято произвольно, так как инте-
грированием предыдущего равенства по (S) найдем, что
§(Н- § (тй/*= С£И =cs-
(S) (S) (S)
где S— площадь поверхности (S). Но по формуле (10.2)
при и = 1
(S)
а по формуле (10.4) при zz == 1
так что С == —. Положим
о
О(Д; Р) = Н{А', Р)----L
ГАР
ПЕРВАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
205
Это — так называемая функция влияния для второй краевой
задачи. Так как на (S)
/ dG \ 4к
\ дп )р S 9
мы получим формулу
= P)F(P)dSp +-j$u(P)dSp =
(S) (8)
= — -57 § ° (Л; P)F (р) dSP + const.,
(8)
относительно которой справедливы те же замечания, что и
относительно формулы (16.5) *)• В этой формуле F(P) обо-
ди
значает заданные на (S) значения причем, как это сле-
дует из формулы (10.2), при t>=l
(S) (S)
Намеченный выше путь решения первой и второй краевых
з^дач* 2) связан с большими и, вообще говоря, непреодолимыми
трудностями, если речь идет об эффективном построении
решения. Однако в простейших случаях, когда (S) предста-
вляет собой сферу или плоскость (а (V), стало быть, шар
или полупространство), решение соответствующих краевых
задач может быть получено этим методом в сравнительно
простом виде.
Первая внутренняя краевая задача для шара.
Обозначим через (S#) сферу радиуса R с центром в начале
координат. Ищется такая функция и (Л), которая удовлетво-
ряет внутри (5д) уравнению Лапласа = 0 и на (S#)
принимает заданные значения f (P)=f (О, Ф), где 0 и Ф —
сферические координаты на (£#).
*) Как уже отмечалось (см. стр. 165), вторая внутренняя краевая
задача имеет бесчисленное множество решений, отличающихся друг
от друга на постоянную.
2) Третьей краевой задачи мы касаться не будем.
206 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Как мы доказали выше, если такая функция существует,
то она представляется в виде интеграла (16.5), для образо-
вания которого нужно определить функцию О (А; Р). Зай-
мемся теперь отысканием этой функции. С этой целью обо-
значим через Л* точку,
лежащую на продолжении
радиуса ОА сферы (5Й)
на расстоянии г* = — от
/ \ / ее Центра, где
/ V г___________
I 0 I r = Vx2-]-y2-{-z2 <R
\ J —расстояние rAQ. Пусть
Р— произвольная точка
на (S^). Проведем се-
Фиг. 32. чение сферы (Sp) пло-
скостью ОЛРЛ*, которое
изображено на фиг. 32, и выведем соотношение между глр
г R
и г^р. Так как — = —, то треугольники О АР и ОРА*
подобны, откуда мы заключаем, что
гар___ ГА*Р
R — г* ’
т. е.
г* 1 Р 1
— = —— или —----------— = 0. (16.6)
А*Р r АР rrA*P г АР
Теперь нетрудно видеть, что искомая функция влияния
О(Л;Р) = 4^-----------J-. (16.7)
г гЛ»Р гАр
Для этого нужно по (16.4) только показать, что
обладает сформулированными на стр. 203 двумя свойствами.
Свойство 2) имеется в силу (16.6); что касается свойства 1),
ПЕРВАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА 207
то так как точка А находится внутри (Sr), точка А* лежит
7? 1
вне (Sr) и, следовательно, функция---------непрерывна и
г ГА*Р
любое число раз дифференцируема по Р для любой точки А,
отличной от начала координат, причем, очевидно,
Таким образом, для функции (16.7) справедлива формула
(16.5). Так как на (Sb)
I дО \ _дО I
\дп)Р~ д? |р=й’
где р = '|Дг-ф-т]‘2-|-С2, то
/<ЭО\ R 1 дгл»Р 1 <Эглр|
\дп)р г гА*р др р=в гЛр др |р=>й
Обозначая через 7 угол между радиусами ОА и ОР (см.
фиг. 32), имеем:
гл,р = }/р2 — 2pr* cos 7 Ц- г*2, гАР — /р2 — 2pr cos 7 -ф- г8,
откуда находим, что
5гл*р I R — г* cos 7 дгАР R — г cos 7
д? 1р=Ж га*р ’ др р==й гАР ’
где Р обозначает точку на (Sb). Стало быть, на (Sb)
/ dG \ R R — г* cos 7 , 7? — г соз 7
\ дп )Р ггл*р гА*р rsAP
р
или, учитывая, что в этой формуле по (16.6) Г/,»Р = — ГАР
dG \ =._Р_ R r C°S^ । R — г cos 7 1 У?2 —г2
дп )р^ г _£з , г» = R г\р '
^3 ГАР
208 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Таким образом, формула (16.5) принимает в данном слу-
чае вид:
и (Л) = f (Р) dSp«), (16.8)
47t7?S) r^P
или, вводя сферические координаты г, Я, ср точки Д,
и = 4?R S -----------------ф) dS?>
(5л) (/?’ —2/?rcosT + r2)2
где 7 — угол между направлениями Я, ср и О, Ф:
cos y = sin ft sin 9 cos (ср — Ф) -ф- cos & cos 9
и dSp = R? sin 0 d9 ЙФ.
Устремляя в формуле (16.8) (или (16.8')) г к 0, находим,
что в центре сферы
и (°- 0> = 4^ § А0’ ф) dSp’ (16-9)
(Sr)
т. е. значение гармонической функции (так называются
функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа) в центре
сфере. Применяя,
кции zz=l, нахо-
сферы равно ее среонему
далее, формулу (16.8) (или
дим, что
значению
(16.8')) к
tS 'лг
—г2
з
dSP=\. (16.10)
(Sb)(/?2 -2#r COS т+г2) 2
Из всех этих рассуждений, как мы видели, еще не сле-
дует, что функция й(Д), представленная интегралом (16.8)
при данных граничных значениях f (Р), является решением
соответствующей краевой задачи, так как эта формула была
выведена в предположении, что решение существует. Однако
’) Правая часть формулы (16.8) (или (16.8')) называется инте-
гралом Пуассона для сферы.
ПЕРВАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
209
в данном конкретном случае нетрудно показать, что интеграл
(16.8) (или, что то же самое, (16.8х)) действительно пред-
ставляет собой решение первой краевой задачи для сферы (Sr)
ти непрерывных граничных значениях f.
В самом деле, в первую очередь отметим, что из вывода
Формулы (16.8) очевидно, что и удовлетворяет уравнению
Лапласа. Это также легко проверяется с помощью фор-
мулы (9.10).
Остается доказать, что и(А) f(PQ), когда Л—>Р0, где
PQ— произвольная точка сферы (Sr). С этой целью умно-
жим равенство (16.10) на f(PQ) и вычтем его из (16.8).
Тогда мы получим, что
и (Д) -/ (Ро) = -1- $ {f(P)dSp. (16.11)
гар
Обозначим через (%) часть поверхности (5д) (содержащую Ро),
отсекаемую от (Sr) плоскостью, перпендикулярной к ра-
диусу OPQ и отстоящей от Ро на расстоянии 8 (см. фиг. 33,
на которой изображено сечение (5j?) плоскостью, проходя-
щей через центр и точку Ро). В силу непрерывности f(P)
величину 8 можно выбрать настолько малой, что для всех Р
на (о0)
|/(Р)-/(Р0)|<^,
210 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
где е>0 — произвольно заданное число. Тогда
I 1 f f 7?2 —
I 4к/? J J r\p
(<ъ)
S
(*о)
= 7 (16л2)
4я/?(8£) АР 2
в силу (16.10). Выбрав и зафиксировав таким образом 8,
рассмотрим теперь интеграл по остатку сферы (5#): (5д)—(о0),
л л^|/(р)-^р«’1‘'^
J J г др
и предположим, что точка А, стремящаяся к Ро изнутри (Sr),
находится в такой близости от PQ, что ее расстояние до
касательной
Тогда, как
точки Р на
плоскости к (S#) в точке Ро меньше 8' < о.
легко видеть (см. фиг. 33), для произвольной
($в)-(°о)
•ар>8-3',
откуда
I/ ^rlp<p’-Ap.)l^
(Sfi)-W
Z?2 —r2
(«в)
v 1 (Sjr)
Ho R— r<8z, а следовательно, R?— r2<2/?6z, t. e.
J'/ ^l/(p)-/<p«))^ <
(8_/(^о)1<-2, (16.13)
ПЕРВАЯ ВНЕШНЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
211
если 3' выбрано достаточно малым. В силу (16.12) и (16.13)
из (16.11) теперь находим, что
|«(Л)-/(Р0)|<е,
если точка А достаточно близка к Ро, откуда следует, что
й(Л)->/(Р0) при Л->Р0.
Таким образом, формула (16.8) (а также (16.8')) дает
решение первой внутренней краевой задачи для сферы (Sr)
при непрерывных граничных значениях f(P). Если f(P)
кусочно-непрерывна на (Sjg), то при приближении точки А
к точке линии разрыва f(P) на (Sr), и (А), как можно пока-
зать, не стремится к определенному значению.
Первая внешняя краевая задача для шара.
Нетрудно подобным же образом показать, что решение пер-
вой внешней задачи дается формулой
(Sr) л‘
(16.14)
или, подробней,
и (г, &, <р) =
(SR)^_2RrcosT+r»)2
•(16.14')
причем в данном случае г > /?, так как точка А лежит вне (Sr).
Это решение удовлетворяет также условию (6.3) § 6 на
бесконечности.
Полагая в (16.14х) и = ~, найдем, что
г /с
-------
(Sfi) (Я’_ 2/?rcosT + ^)3
212 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
А •;• гл
или, учитывая, что г = г<К,
_ r* РР 7?2-~Г*2
“ 4к/? Я _£
<8я) (#2— 2Rr* cos т + Г*2) 2
dSP,
что, очевидно, вновь дает соотношение (16.10).
Первая краевая задача для полупростран-
ства. Ищется функция и (Л), удовлетворяющая в верхнем
полупространстве z > 0 уравнению Лапласа и принимающая
на плоскости г = 0 заданные значения /(х, у). Кроме того,
и (Л) должна удовлетворять условию (6.3) на бесконечности }).
Нетрудно проверить, что для рассматриваемого полупро-
странства
0(Л; Р) = -±------—,
ГА*Р ГАР
где Л* — точка, симметричная с точкой Л полупространства
z > 0 относительно плоскости z = 0. Далее, так как
гАр=
гАЯ:р=у (х - е)2+О—vj Н- {Z+
мы имеем на плоскости £ = 0
/ dO\ _ ас | _________2г__________
\ дп )р ОС |г=о и 9
{(к-е)2 + О'-^)2+г2}а
а следовательно,
M(/i)==irJ ^dSi>> о6-15)
(П) АГ
х) Предполагается, что f (г, у) также удовлетворяет ьтому
условию.
ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
213
где (П) обозначает всю плоскость С = 0: — сю < $ < оо,
— оо < V| < оо, или
и (х, у, г) = ~ I*--------------------(16.15')
— оо { ( г — 5)2 -4- (у--Tj)2 -|- Z*} 2
Так как и (Д), представленное этим интегралом, заведомо
удовлетворяет уравнению Лапласа в полупространстве г>0,
то остается доказать, что //|г=0= f (х, у) *).
Предположим, что /(Р) непрерывна во всей плоскости (II).
Вычислим сперва интеграл (16.15') при /(Р)=1:
z Г Г dSp г Г Г____________________(tidy______________
л J ГдР J J -i
(Н) АР -схэ __ у2 4- (у — Т|)2 4- /2} 2
__z f f dz d^ _________________
2^ J J A ~~
—
re
oo 2 oo
__ z f , f W 4- cos т dt __________________ z f d'f] ________ч
~ 2z J ari J jT” ““ к J rf + z* b
т=--| (rf + z^ 2
где при внутреннем интегрировании произведена подстановка
5 = ]/Y|24-2'2tgT. Пусть теперь Д—>Р0, или х~>$0, у->т]0,
z -> -j" О* В силу только что доказанного равенства
(16.16)
(П) АР
где (П) попрежнему обозначает плоскость z = 0. Разобьем (П)
на две части: круг (Kq) радиуса 8 с центром в Ро и его
внешность (П) — (к0). Тогда, вследствие непрерывности /(Р),
величину 8 можно выбрать настолько малой, что
I/(P)- /(Ро)| <
х) Нетрудно проверяется также выполнение условия на беско-
нечности, если ему удовлетворяет f (х, у).
214 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
для всех Р из (/Q. При таком выборе
е z
~2~2^
е
= У
(П)
(16.17)
Зафиксировав таким образом 8, возьмем о' <3 и будем
считать, что точка А уже настолько близка к Ро, что она
находится внутри полушара радиуса 8' с центром в точке PQ.
Тогда
(П)—(BTJ
ГАР 1
< /О
dSp
ГАР
а
(И)-fro)
dSP
гз
ГАР
| I dldy
J J W-xr + Oq- jO2} ’
(II)-(O
причем x2-f-_y2<^ 8'2, £2-p--г]2'.> 82. Следовательно, вводя по-
лярные координаты р, а с полюсом в точке (х, у), будем
иметь:
р Г didy , р Г р dp da ' 2л
Il £ <" I ,| P* Ъ — Ъ1’
(nj-fr,) {(f — x)n- -p (r) — j»)S} 3 a=Oj> = 8-8’
и учитывая, что по предположению z < 8', найдем оценку
(П)-(Ъ
<-К^тах|/(Р)-/(Р0)|<|, (16.18)
•ели 8' достаточно мало.
Из (16.16) в силу (16.17) и (16.18) находим, что
1«(Л)-/(Р0)|<8,
ВТОРАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
215
если точка А достаточно близка к Ро, что и означает стре-
мление и(А) к f (Ро) при А -> Ро.
Таким образом, формула (16.15) (или (16.15х)) действи-
тельно дает решение первой краевой задачи для полупро-
странства, если функция f непрерывна во всей плоскости
и удовлетворяет условию (6,3).
Вторая внутренняя краевая задача для шара.
Ищется функция и (й), удовлетворяющая внутри (Sr) — сферы
радиуса R с центром в начале координат — уравнению Лап-
ласа, и такая, что на (Sr)
(М=/,(Р)='Г(в’ф)’
где 0 и Ф — сферические координаты на (Sr). При этом мы
предполагаем, что F (Р) непрерывна на (Sr). Как мы
видели в начале настоящего параграфа, для того чтобы задача
имела решение, необходимо выполнение условия
§F(P)dSP = 0. (16.19)
(ял)
Вместо того чтобы решать эту задачу с помощью функ-
ции О(Л; Р), определение которой в данном случае затруд-
нительно, мы можем, используя то обстоятельство, что (Sr)
является сферой, свести задачу к уже решенной первой крае-
вой задаче для шара.
Пусть U (А) — решение первой внутренней краевой задачи
для (Sr) при граничных значениях Р(Р):
<sb) ГАР
(см. формулу (16.8)). Отметим, что в силу соотношений (16.19)
и (16.9)
£7(0, &, <р) = 0,
а так как U по крайней мере дважды дифференцируема
по г, то
.. U(r,b, ср)
lim —> 7
Г->0 г
216 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
существует и конечен. Следовательно, интеграл
г
щР, 1), ?)^н-с
о
(16.20)
существует. Покажем, что функция (16.20) является реше-
нием поставленной второй краевой задачи.
Действительно, на (Sb)1)
Проверим, что внутри (Sb) функция и (А) удовлетворяет
уравнению Лапласа. Для этого образуем ио формуле (9.10)
л г2 дг
1 д*и =
г2sin2!} ду1
д
г2 sin Я ЭЯ
г
о
1
sin2 Я
Но, так как (rU) I = U I = 0,
дг' 71г=о |г=о ’
4(г{/)== гр£(ри)^ (
дг4 7 J г др2 г 7 р ] др V др J Р
6 о
и, следовательно,
г
R f
Ал« = - -j | P&BUdP,
о
где под знаком интеграла дифференцирование производится
по координатам точки В(р, Я, <р), Следовательно,
так как ДБ{/=0, то и Д^^ = 0 в (Sb).
Формуле (16.20) можно придать другой вид, если выпол-
нить интегрирование по р. С этой целью, используя соог-
1) Следует учесть, что во второй внутренней краевой задаче ~
означает дифференцирование по направлению внутренней нормали.
ВТОРАЯ ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
217
ношение (16.19), перепишем формулу (16.20) в виде
р = 0 (Яв) лр
после чего мы можем изменить порядок интегрирования и
получить следующее выражение:
(чв) р~0 ВР
где
гвр — 2^Р cos 1 + Р2-
Внутренний интеграл в правой части (16.21) легко вычисляется.
Замечая, что
дгВР p—Rcos^
~др 7^ ’
т. е.
г др
р2 _ <2Rp cos 7 + Я2 + (р2 — /?2) р2 __ R1
= ГВР Ч---------
ГВР
ГВР
а следовательно,
218 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Что касается последнего интеграла, то он элементарно вычи-
сляется:
f(j—44-= f-у—dp- -------------------
'I 'вр .! p Vfp — 2/?рсом + г! R
"j * _______________________________
= “ 7ln P (v -cos f + ^(y)2 - 2 7cos f+0
= — In (/? —p cos 7 4* VR? — 2Rp cos 7+p2).
Отсюда
r
П1 1 | dp_ 1 , R—r cosy \-YR2-2Rr cosf+r2
r3p Rfp - Я a 2R
p=0
и
f{^
J 1 rBP
= 0
1 \dp
R J P
2 1 7? — r cos у + y^/?2 — 27?r cos 7 + r2
rAP 27?
2
/? ’
Подставляя это выражение в формулу (16.21), найдем, вновь
учитывая соотношение (16.19), что
й(Л) =
-if{
(sn)
2
rAP
1 . R — r cosy 4- rJpi
- in ------------2ft AP } F (P) dSp 4- C.
(16.22)
Эта формула и дает окончательное решение второй вну-
тренней краевой задачи для шара.
Вторая внешняя краевая задача для шара.
Функцию и (Д), удовлетворяющую вне сферы (5д) уравне-
ВТОРАЯ ВНЕШНЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
219
нию Лапласа и на (5д) условию1) = F(P\ причем
имеет место равенство (16.19), можно найти тем же методом,
что и решение (16.22) соответствующей внутренней задачи.
Действительно, пусть U (Л) — решение первой внешней крае-
вой задачи с граничными значениями F (Р):
(S*) АР
Тогда, как легко проверить, функция
оо
u(A) = -R J U(В)&,
р^г
где попрежнему точка В имеет координаты р, Я, является
решением поставленной второй внешней краевой задачи. После
выкладок, подобных проведенным выше (за тем исключением,
что перемену порядка интегрирования можно в данном слу-
чае произвести без предварительного вычитания под зна-
ком двойного интеграла), этому решению можно придать
следующий окончательный вид:
„ (Л) = ’ К (-А. In ?^>+^и(Р)йг.
v 7 toll | rAP R г (1—cosy) f v
(Sb)
Вторая краевая задача для полупростран-
ства. Формально функцией влияния полупространства г> О
для второй краевой задачи будет:
0(4; Р) = --!------Д-,
ГА*Р ГАР
причем на плоскости С = О
=0 и 0(4; Р)==-------— =
W/p ' гАР
=__________2____________
“ V(x-5)2 + (^--«])2 + ^'
г) Здесь дифференцирование по направлению внутренней нор-
220 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Образуем функцию *)
И(Л) = _1 f f (16.23)
' 2п J J У\х— £)2Н-(У — iq)2 + z3
— оо
и предположим, что этот интеграл сходится и что и (А)
может быть дважды продифференцирована по *х, у, z под
знаком интеграла. Это заведомо будет иметь место, если
Т|) отлична от нуля только в конечной области (D)
плоскости vj и непрерывна в этой области. Тогда,
очевидно,
Да// = 0
и
со
____________Ti)__________________
3
{(X - + (у - 3
dt d*f[.
Когда точка Л->Р0, где Ро (;0, т)0, 0) — любая точка плос-
кости 5, т], т. е. когда х->|0, уг-^-j-O, то, как это
было доказано в связи с первой краевой задачей для полу-
пространства (стр. 213),
т. е. при выполнении указанных выше условий на функ-
цию F, функция и(А) из (16.23) действительно является
решением второй краевой задачи для полупространства.
Перейдем теперь к рассмотрению двумерных краевых за-
дач теории потенциала. Пусть (L) — гладкая замкнутая
кривая в плоскости х, у, ограничивающая область (Z)). По-
ставим для нее первую внутреннюю краевую задачу: найти
такую функцию и (Л) = и (х, у), которая удовлетворяла бы
в (Z)) двумерному уравнению Лапласа и на (L) принимала
заданные граничные значения: u\(L) =f(P).
*) Чтобы получить из общего представления решения второй
краевой задачи, данного для внутреннего случая в начале настоя-
щего параграфа, такое же представление для внешнего случая,
нужно отбросить постоянное слагаемое и поменять знак.
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
221
Допустим, что решение этой задачи существует.
Применяя к нему формулу (10.10), найдем, что для любой
точки А внутри (Z,)
По формуле же (10.7) имеем:
(Ь)
откуда
и = 2«
- In —I \
>-— ) и(Р) —
дп /р 4 7
Полагая v — Н (Л; Р), определим теперь функции G —
= G (Л; Р) равенством
О(Д; Р)=Я(Д; Р)-11Д-,
ГАР
где
1) Др/7 = 0 для всех Р в (D) при любом фиксирован-
ном положении точки А в (D),
2) Н (Л; Р) = In -i- для всех точек Р на (L).
ГАР
Если функция Н удовлетворяет этим двум условиям, то
G (Л; Р) называется функцией влияния для плоской области (D).
Допустим, что существует и непрерывна на (L). Тогда по
(16.23) находим, что
<16'251
(Ь)
Для доказательства того, что эта функция дает при за-
данных граничных значениях f(P) решение задачи, нужно,
как и в рассмотренном выше трехмерном случае, проверить
222 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
выполнение ею краевого условия: //(Д)-->когда Д —>Р0,
где Ро— произвольная точка на (А).
Отвлекаясь несколько в сторону, отметим, что функция
С(Д; Р) тесно связана с функцией си от комплексного пере-
менного С = осуществляющей конформное отображе-
ние !) области (D) плоскости 5, т] на единичный круг в пло-
скости oj —Пусть о) = о)(У—регулярная в (D) функ-
ция, отображающая (D) на единичный круг |со|<;1 так, что
оо (г) = 0, где z = х -ф- 1у (точка Д). Тогда
С(Д; Р) == In | о) (Q | = Re In со (Q,
а
Н{А- Р) = 1п№| =Reln£&.
Действительно, в силу того, что со (г) — 0, функция
С — z
регулярна в (D), и поэтому ее действительная часть Н
является в (£)) гармонической функцией, т. е. удовлетворяет
уравнению Лапласа. Далее, на (L) | со (С) | = 1 и, следовательно,
Вернемся к рассмотрению краевых задач. Формула (16.24)
приводит также к соответствующему представлению решения
второй краевой задачи: найти в (D) функцию и (Д), удовле-
творяющую уравнению Лапласа и краевому условию
=Р(Р),
дп |(Ь) v ’
причем, как это следует из формулы (10.7) при usl, должно
выполняться соотношение:
(j)F(P)c/LP = O.
(Ь)
*) См., например, Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, Функции
комплексного переменного и некоторые их приложения, Гостех-
издат, 1949, гл. II.
ДВУМЕРНАЯ ФУНКЦИЯ влияния
223
Действительно, определим функцию v = H(A\ Р) так,
чтобы Др Н~ 0 в (О), а на (Л)
где
О (А; Р) = Н(А- Р) — 1п-^-.
' АР
Вследствие соотношений
dfln —
(16.26)
dLP=Q, ф I ' I dLp = — 2n
J \дп)р г J \ дп р
т (L)
(см. (10.10) при #==1), постоянная С должна удовлетворять
соотношению 2л = С£, где L— длина (£). Следовательно,
г_ 2л
с— £.
Из (16.24) теперь находим, что
(Ь) (Ь)
= _ Л (j) о (А- Р) F (Р) dLp -f- const.
V)
И в этом случае после того как функция О найдена,
нужно еще проверить, действительно ли формула (16.26)
дает решение задачи.
Первая внутренняя краевая задача для
круга. Пусть (Ср)— окружность радиуса R с центром
в начале координат. Если А точка внутри (Ср), Л*—точка,
симметричная с А относительно (Ср), так что гг* = /?2,
где г = гло = V+ У2 < Я, а — гахо, то, как нетрудно
проверить (используя соотношение (16.6)), в данном случае
G(A- Р) = 1п —-------in———.
5 7 ггл»р ГАр
Полагая р = ]/$2vS имеем на (С^^):
(dJh =_________________R . 1 I
U/р ' др \nPR rrA*P др |pc=p‘t’rAp |рз=д;
224 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАД44 ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
НО
ГАР = Ур2 — 2orcosf + r2, rA.p = V р2 — 2pr* cos f г*2,
где *j- — угол между радиусами О А и ОР. Следовательно,
учитывая вновь соотношение (16.6), на (Сд) имеем:
/дО\ _____R — r* cos 7 /? — г cos 7_ 1 /?2 — г2
\дп)Р~ r*A*p г2ар — R г*АР
Таким образом, по (16.25)
= (16.27)
(<7В) АР
или, вводя полярные координаты А (г, <р), Р (R, Ф) и пола-
гая / (Р) = Д(Ф), в более подробной записи,
2п
о
Проверка того, что для и(А) из (16.27) имеет место
необходимое соотношение: и (Д) -+f(PQ) , когда А -»Ро,
где Ро — произвольная точка на (Сд) с полярными коорди-
натами R, <р0, т. е. что —>/i (<Ро)> когда r-+R— 0 и?->?0,
проводится так же, как и в пространственном случае.
Формула (16.27) (или (16.27х)) дает, таким образом,
окончательное решение задачи.
Отметим, что имеют место формулы, аналогичные (16.9)
и (16.10):
“(М’=я? ет
(Од) (Од) ЛР
Первая внешняя краевая задача для круга.
Функция и (Д), удовлетворяющая уравнению Лапласа вне (Сд)
и принимающая на (Сд) граничные значения / (Р) = (Ф),
имеет вид:
U^A)==^R -Т—/(Р) (ILp, (16.28)
WR) AV
’) Правая часть формулы (16.27) (или (16.27')) называется инте-
гралом Пуассона для окружности.
ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРУГА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
225
или, подробнее,
т)=Ё.[я.-г^^+^‘(ф’,'ф- (18-28'>
6
Следует обратить внимание на то, что функция (16.28)
регулярна на бесконечности, т. е. стремится при г-+оо
к определенному пределу, вообще говоря отличному от нуля,
и, таким образом, условию (6.4) на бесконечности не удовле-
творяет1). В частности, при /(Р)= 1 мы получаем и(А)~ 1.
1п7
С другой стороны, и (Д) = —г- является решением той же
,пя
краевой задачи, но уже удовлетворяющим условию (6.4)
(таких решений, как мы знаем, более одного быть не может).
Первая краевая задача для полуплоскости.
Рассмотрим полуплоскость у > 0 и будем искать в ней функ-
цию и (Д), удовлетворяющую уравнению Лапласа и, кроме
того, краевому условию и | ^=0 ==/(%). В данном случае
ОМ; Р) = 1п—----In —,
ГА*Р ГАР
где Д* — точка, симметричная с точкой А
Далее, на оси $
&га*р дгАР
_____dul ____ дт) _ dig
\дп)Р~ д?Ц=0~"'>7 Т1_о— гар
относительно оси х.
__ 2У
(х-6)2+у2
и, стало быть,
со
и (х v)1— — ( --------
У) я J (х — £)2 + у2
(16.29)
Нетрудно проверить, что при некоторых предположениях
относительно /(х) (например, непрерывность и ограничен-
ность на всей оси), функция (16.29) действительно дает
решение рассматриваемой задачи. То, что и(х,
*) См. стр. 197.
226 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
когда х -> £0 и у —> 4" доказывается так же, как в соответ-
ствующем пространственном случае.
Вторая внутренняя краевая задача для круга.
Задача состоит в нахождении функции и (А), удовлетворяющей
внутри окружности (Ср) радиуса R с центром в начале ко-
ординат уравнению Лапласа, а на (Ср) — краевому условию
^1 = Р(Р),
дп I (cB) v
причем
(f F(P)dLp = Q. (16.30)
Wr)
Проверим, что в принятых нами выше обозначениях
функция
О(А; Р) = Н(А\ Р) — In — = — Inf— -М —In —
rAP \ Г гА*Р/ rАР
Д*— точка, симметричная с А относительно (Ср)) удовле-
творяет условиям, достаточным для справедливости формулы
(16.26). Действительно, так как точка Д* лежит вне (Ср),
внутри (Ср)
ДР/У = О,
(а на (Ср) (см. фиг. 32)
dG_dG_ I _ д । I ! д .
^~^1Р=В~^ Л*?1р=В + ^ ЛР
__ R— г* cos 7 ।_____R— г cos у _____
R>- — 2Rr* cos 7 -f- г*2 ’ 7?2 — 2Rr cos 7 + r2
n R*
R-----cos 7 n -
__ r j R — r cos 7 ___ 1
~ 9 о 1 № /?2-~2/?ГЕБ?7+72 R *
R- — % — cosT+
Так как, кроме того, на (Св) (см. (16.6))
R 1
гар’
то для любой точки Р на (Сд)
0(4; Р) = — In-^- — In — = — 21nP4-21nr.p,
rAP rAP
ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРУГА
227
и по (16.26)
и(А) = — [21пглр — 2In/?] F(P)dLp-[-const. ==
(Сд)
= — T f InrAP •/?(/э)^р+const. (16.31)
(Or)
(в силу (16.30)), или, подробнее,
и (г, ®) =
2>с
= — R (in У R* — 2/?r cos (Ф — <?)-[- га • /=•, + const.,
(16.31')
где Г1(Ф) = Г(Р), если точка Р имеет полярные коорди-
наты /?, Ф.
Легко проверяется, что функция (16.31) (или (16.31х))
удовлетворяет внутри (5#), т. е. при г < R, уравнению Лап-
ласа. Далее,
2>с
^ = _ £ f________г-/?С01(ф~<Р)_______F, (Ф)«/Ф =
дг к J /?- — 2/?гсоз(Ф — <f)+r2 ir ;
о
2 тс
“ ~ W*) - Ri - (Ф)} <№ =
о
2п
= 2^.1 /?2 - 2/?Лоз (Ф — <?) + r2F1 (ФИФ
о
в силу (16.30). Сравнение полученного выражения с (16.27х)
показывает, что когда r->R— 0 и ^*1 (?о)>
т. е. что выполняется краевое условие задачи.
Формула (16.31) (или (16.31х)) дает, следовательно, ре-
шение поставленной задачи.
Вторая внешняя краевая задача для круга.
Решение этой задачи, как нетрудно видеть, будет отличаться
228 § 16. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
от решения соответствующей внутренней задачи только знаком:
« И) = 7 1П ГАР F (Р) dLp, (1б 32)
(Ср)
ИЛИ
2я
и {г, ?) = * [ In /я2—2/?гсоз(Ф-<р)4-АГ1 (Ф) </Ф. (16.32')
6
Это решение удовлетворяет на бесконечности условию (6.4).
Действительно,
«И) = Н{1пГт+1пг}
(°R>
«_1 in 1. £ F (Р) dLp-Y 1 £ In • F(P)dLP^
(Or) (Cr)
—«Af in — 4-«* (A),
где
7И = —1 ^F(P)tZLp==O
в силу (16.30), и
«* —> 0 при г —> оо,
а | grad2 «*|<
Так как М = 0, то решение второй краевой задачи, пред-
ставленное формулой (16.32), стремится к нулю при г—>оо.
Если к этому решению прибавить произвольную постоянную
величину Z7, то также получится решение задачи, удовлетво-
ряющее на бесконечности условию регулярности (см. стр. 197).
Оно будет единственным решением, стремящимся к пределу L7,
когда г -> оо.
Вторая краевая задача для полуплоскости.
Если граничные значения нормальной производной F($) таковы,
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ
229
что функция
оо
= % f F(5)ln{(x-^+^}dS
— оо
существует и может быть дважды продифференцирована
под знаком интеграла !), то эта функция является решением
второй краевой задачи для полуплоскости у > 0. Действи-
тельно, в указанных предпосылках очевидно, что
Да и = 0.
Далее,
У_ Г
ду~К J (Х^^2+у2и^
—оо
так что -> F (80), когда х -> $0, у -> -ф- 0 (см. первую крае-
вую задачу для полуплоскости).
*) Это, во всяком случае, будет иметь место, если 5(8) отлична
от нуля только в конечном отрезке оси 8 и непрерывна
на этом отрезке.
ГЛАВА III
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ
ОБЛАСТИ. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
В этой главе будут рассматриваться гиперболические уравне-
ния вида
д*и . а ди г г . .
+ dt
где L\u\—эллиптический оператор в неограниченном пространстве
одного, двух или трех измерений. Как указывалось в главе I,
к таким уравнениям приводятся задачи, связанные с распростране-
нием колебаний, например задача о колебаниях струны, мембраны,
газа, электромагнитных колебаниях и т. д. Характерной особен-
ностью процессов, описываемых такими уравнениями, является, как
будет показано, конечная скорость их распространения.
В § 17 будут изучены некоторые общие свойства гиперболи-
ческих уравнений. Будет выяснено, каким образом перемещается
в пространстве граница области возмущения (волновой фронт).
В связи с этим будет введено основное для всего дальнейшего
понятие характеристики.
В § 18 будет изучен важный класс частных решений уравне-
ния— так называемые волны.
В § 19 при помощи наложения волн будет решена задача Коши
для волновых уравнений в некоторых частных случаях. В этом же
параграфе будет изложен метод усреднения по сфере, дающий воз-
можность свести задачу Коши для трехмерного волнового уравне-
ния без дисперсии к этим частным случаям и решить ее.
Далее методом спуска решается задача Коши для двумерного
волнового уравнения.
§ 20 посвящен методу Римана решения задачи Коши в одно-
мерном случае. В качестве его приложений рассматривается реше-
ние телеграфного уравнения и задача об излучении движущимся
источником.
§§ 21 и 22 носят характер дополнения. В первом из них прово-
дится анализ распространения отдельных возмущений, находя-
щихся на волновом фронте, и вводится понятие о лучах. Второй
посвящен обобщению метода Римана на двумерное и трехмерное
пространство и решению трехмерного волнового уравнения с дис-
персией.
ВИД УРАВНЕНИЯ
231
§ 17. Фронт волны. Характеристики
В этом параграфе мы будем для конкретности и простоты
рассматривать в основном двумерные задачи. При этом будут
указываться все изменения, которые надлежит внести в слу-
чаях одного и трех измерений.
Рассматриваются процессы, описываемые уравнениями вида
□zz = O, (17.1)
где
. __д2и । 0 ди Г д2« , о д'и .
dt- 1 r dt [ 11 дх2 ’
д2и . ди । » ди । "1 /1 <7 г>\
+ а22^г + + + см|- (17-2)
Все коэффициенты этого уравнения — непрерывные функции
от х и у и
0, О, #и^22 > ^12*
Совокупность членов, содержащих производные по усло-
вимся обозначать через М [и]:
(17-3)
а совокупность членов, содержащих искомую функцию и и ее
производные по пространственным координатам, — через L [а]:
т , ._ д^и . о д2и .
М«1 = 0Ц 5^2 + 2«12 4-
. д2и . , ди . , ди .
+ ^22^2+^ дх^~^ду 1 CU*
Иногда мы будем выделять отдельно члены, содержащие
производные второго порядка, и обозначать их совокупность
через ZA2) [//], а совокупность членов с первыми производ-
ными— через /Л1) [я],
л<,)|“1=“«Й + 2“12И5 + ''>’|7"' I (]75)
лс>М = «,g + »2g. J
(17.6)
232 § 17. фронт волны, характеристики
Таким образом,
L [zz] = Л(2) [и} -f- [«] + си,
□« = М \u\-L\u\.
В одномерном случае оператор L\u\ имеет форму
L[ul =a2^4-Z>^4-c«. (17.7)
1 J дх2 ‘ дх 1 v ,
В трехмерном случае в операторе L [к] добавляются члены
с производными по г.
Состояние покоя характеризуется равенством и = 0. В воз-
мущенном состоянии и ф 0. Предположим, что в начальный
момент времени и ф 0 только в ограниченной части пло-
скости. Пусть, далее, в некоторый момент времени t—x
возмущение охватило область (DT) плоскости с границей (Ст).
Эта кривая называется фронтом волны. В трехмерном слу-
чае фронтом волны будет поверхность, в одномерном —•
точка.
Функция
и = и(х, у, f) (17.8)
при данном значении t = т тождественно равна нулю вне
области (Ох). Поэтому вдоль фронта волны (С-) эта функ-
ция (при постоянном /=т) либо сама разрывна, либо имеет
разрыв производных какого-либо порядка. При изменении
времени t фронт волны перемещается, и, следовательно, мы
имеем однопараметрическое семейство кривых (С^), зависящих
от t, как от параметра. Уравнение этого семейства удобно
записывать в виде, разрешенном относительно t,
/ = а)(х, у). (17.9)
Если теперь толковать I как третью пространственную коор-
динату, то уравнение (17.9) будет определять поверхность (S)
в пространстве х, у, t. Проекция на плоскость х, у сече-
ния этой поверхности плоскостью t = т дает фронт волны
в момент т (фиг. 34).
Функция (17.8) тождественно равна нулю по одну из
сторон (5), и, следовательно, она сама или какая-нибудь ее
нормальная к (5) производная терпит разрыв при переходе
через (S).
ФРОНТ волны
233
удовле-
случая,
а также
(S), не-
С другой стороны, функция (17.8) является решением
уравнения (17.1). Выясним, каким условиям должна
творять такая поверхность (S).
Ограничимся рассмотрением наиболее простого
когда сама функция и и ее первые производные,
вторые производные в направлениях, касательных к
прерывны на (S), а вторые производные в направлении, нор-
мальном к (S), а значит, и в любом направлении, не каса-
тельном к (S), терпят раз-
рыв первого рода при
переходе через эту по-
верхность *).
Введем теперь вместо
переменных х, у, t новые
переменные (j, tj, а по
формулам
I
У
%
Фиг. 34.
О = / —CD (лг, JZ). (17.10)
Заметим, что координат-
ная поверхность o=const.
получается из (S)(a = 0)
параллельным переносом х
вдоль оси t.
Целесообразность вве-
дения обозначений $ и т)
вместо х и у объясняется тем,
д д
[, что символы ч- , в старых пе-
дх оу
ременных означают дифференцирование при постоянном/, тогда
как ~ и Д в новых переменных означают дифференциро-
вание в направлениях, касательных к поверхности (5), а
д
— в направлении, не касательном к ней.
Преобразуем данное дифференциальное уравнение к но-
вым переменным. Для этого будем считать переменные х,
й) Если разрыв терпят производные порядка выше второго, то
результаты и доказательства будут аналогичны проведенным в те-
ксте. Случай, когда разрывна сама функция, или ее первая произ-
водная, более сложен.
234 § 17. фронт волны, характеристики
у, / независимыми, а переменные £, ?|, о в силу (17.10) —
функциями от них. Вычислим производные от и ПО X, у, t)
считая, что функция и задана через $, ц, о:
ди___ди ди • ди______ди ди ' ди_____ди
дх д; да ’ ду дг\ да dt да ’
д2и___д2и о д2и г f д2п п/2 ди
дх2 ~ д« z as да ' да2 ® да ®а'® ’
д2и __ д2и д2и • д2и / । д2и j / ди "
дх ду = д; д?) дс да д/) да ‘ да2 да ’
д2и д2и Q д2и г . д2и /2 ди " д2и_________________д2и
ду4 = дт)2 dvj да • да2 да ’ dt2 да2
Таким образом (см. (17.3))
^[«J =g + (17.11)
и (см. (17.4))
г г 1 д2и । п д?и । д2и п д2« , / । п ,./ч
L [«] = ЙИ aF + 2а12^| + а22 д?“ 2 дП’с («11<“£В+а12Ш2/) —
— 2 drfda (а12Ша: 4“ й22шу) "Г а^2 + 2я1аа>«в>у+
+ й28“у) - у“ + i(1) [о>]} + ^ + Л-си. (17.12)
Уравнение (17.1) примет, следовательно, вид:
^2 {1 — + 2«12a)£Ba)2/4-«22a)/]} 2 ^^{а1\^хЛ~ал^у) 4~
+ 2^(а12ш; + а22<о;)+^{^)[ш] + W] +PJ-
( д2и . п д2и । д2и । , ди . ди . , 1 Л
— {йи 4- 2йп +a22 + ъч + Ьи} == °-
(17.13)
Так как, согласно сказанному выше, и тождественно
равно нулю по одну сторону от (S) и непрерывно на (S)
вместе со всеми своими производными до второго порядка
д2и
включительно, кроме , то
____ди____ди___ди____д2и___ д2и ____д2и___ д2и ___ д2и ___~
U di dri да di2 di дт] drj2 di да дт) да
ХАРАКТЕРИСТИКИ
235
на (5). Учитывая, что предел при приближении к любой
точке (S) с одной стороны равен нулю, и обозначая предел
этой величины при приближении к этой же точке с другой
стороны через — скачок на (S)j , из соотноше-
ния (17.13) найдем, что в точках (S) должно выполняться
равенство
[ЯцСО# -j- 2#j2<0a5(0y -|- 1] = О,
или
“р 2fli2(Da.<o^ -}- “ !• (17.14)
Это и есть искомое условие на функцию <а. Поверх-
ность (S), задаваемая уравнением (17.9), где функция
<о(х, у) удовлетворяет уравнению (17.14), называется
характеристической поверхностью, или, короче, характе-
ристикой уравнения (17.1). Только на характеристиках воз-
можен разрыв первого рода вторых (или более высоких) нор-
мальных производных решения и при условии непрерывности
первых и касательных вторых производных1).
Как мы увидим в дальнейшем, характеристики в основ-
ном определяют поведение решения уравнения (17.1), а зна-
ние их облегчает нахождение решений этого уравнения.
Все сказанное остается справедливым и для одномерного
и трехмерного случаев с очевидными изменениями в соответ-
ствующих формулах.
В одномерном случае характеристическое условие (17.14)
запишется в виде
а характеристики будут линиями в плоскости х, t. В трех-
мерном случае характеристики представляют собой трех-
мерные многообразия в пространстве четырех измере-
ний х, у, z, L
Уравнение (17.5) является обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением первого порядка. Через каждую точку
х) Если функция со удовлетворяет условию (17.14), то тому же
условию, очевидно, удовлетворяет функция <о + С, и поэтому все
поверхности t = (х, у) + С являются характеристиками.
236
§17. ФРОНТ ВОЛНЫ. ХАРАКТЕРИСТИКИ
плоскости х, t проходят две его интегральные кривые
(характеристики), имеющие в этой точке угловые коэффи-
циенты ± . Пусть их уравнения будут:
/=о)1(х), / = а)2(х). (17.16)
Эти уравнения описывают движение фронта волны по оси х
(фиг. 35). В этом смысле говорят, что фронт распро-
страняется по характеристи-
кам.
Например, если а постоянно,
общим решением уравнения
(17.15) будет:
t=±^ + C. (17.17)
/р Характеристики представляют
* собой в этом случае два семей-
ства параллельных прямых,
с угловыми коэффициентами
Соотношение (17.15) дает возможность сразу определить
скорость движения фронта волны, т. е. скорость распро-
странения возмущения,
dx 1
dt
— zzztz,
(17.18)
Таким образом, обнаруживается физический смысл коэффи-
циента а.
В двумерном случае уравнение (17.14) является диффе-
ренциальным уравнением в частных производных первого по-
рядка. Его решение определяется заданием начальной кривой.
Этой начальной кривой может служить фронт волны (Со)
при / = 0, уравнение которого пусть будет:
? (* *, .у) = 0.
Найдя решение уравнения (17.14), удовлетворяющее усло-
вию
оо (х, у) = 0 при <р (х, у) = О,
СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
237
мы получим по формуле (17.9) уравнение поверхности, про-
ходящей через (Со). Линия уровня t — const, этой поверх-
ности дает, как уже говори-
лось, фронт волны (Q) в мо-
мент времени /.Ив этом
случае мы можем сказать,
что фронт волны распростра-
няется по характеристике
(см. фиг. 34).
Пусть, например, ап —
— а^ = а^ и а12 = 0, т. е.
оператор № есть двумер-
ный оператор Лапласа. Фи-
зически этот случай соот-
ветствует изотропной среде.
Уравнение (17.14) сведется к
+ = (17-19)
Пусть, кроме того, а — const, (среда однородная). Если фронт
волны при /=0 является окружностью
(х—х0)2 4- о —л»)2=Л
то, как нетрудно проверить,
<° = =t7 [/(* —*о)а + 0'—л)2 — d
является решением (17.19), обращающимся в нуль на этой
окружности. Конические поверхности
(х - х0)2 + (у -Л)2 = at? (17.20)
являются в рассматриваемом простом случае характери-
стиками, по которым распространяется фронт (см. фиг. 36).
Выясним, с какой скоростью движется фронт волны
в двумерном случае. При этом мы в первую очередь должны
определить, что понимается под скоростью движения линии
по плоскости в данной точке Р линии. Проведем нормаль
к линии в этой точке. При своем дальнейшем движении
линия будет пересекать эту нормаль в некоторой, движу-
щейся по нормали, точке Р', lim мы будем называть
д*->о
238
§18. волны
скоростью движения линии в данной точке Р (фиг. 37).
Обозначая через ds расстояние, отсчитываемое по нормали
в точке Р от линии (СД до
линии (С^дД будем иметь
ds 1 1
i'°lc= dt ~ dt~ ~
ds п
(последнее ввиду того, что
градиент направлен по нор-
Фиг. 37. мали к линии уровня, каковой
является (С*)).
В рассмотренном выше случае изотропной среды
| grad <п | = 4-
(17.22)
Поэтому скорость движения фронта волны в этом случае
|я| = а. (17.23)
Совершенно аналогичная картина получается - в трехмер-
ном случае. Формула (17.23) показывает, что в изотропном
случае фронт волны движется независимо от его формы
со скоростью "а. Таким образом, коэффициент а имеет в этом
случае то же физическое значение, что и в одномерном
случае.
§ 18. Волны
В этом параграфе мы будем в основном рассматривать
трехмерные пространства. Пусть задано однопараметрическое
семейство непересекающихся поверхностей (Sx), покрывающее
все пространство (в двумерном случае — семейство линий,
в одномерном случае — семейство точек, т. е. вся прямая).
Уравнение этого семейства можно, разрешив его относительно
параметра X, написать в виде
-V (х, у, г) — X. (18.1)
ВОЛНЫ ПРОХОДЯЩИЕ И СТОЯЧИЕ 239
В двумерном случае функция v будет зависеть от двух пере-
менных, в одномерном можно положить
ti(x) = x. (18.2)
Обобщая интуитивное представление о волновом процессе,
будем называть (Sx)-волной решение уравнения (17.1), имею-
щее следующий вид:
и (х, у, г; Z) = Ф fv) F [w (tf) — /J, (18.3)
где Ф, F и — функции одного переменного, причем Ф не
равна тождественно нулю, F не постоянна, a w либо тожде-
ственно равна нулю, либо монотонна.
При этом, если w = 0, то волна называется стоячей^ если
w 0 — проходящей.
Если Ф постоянна, волна называется неискаженной.
Если, например, семейство (SJ есть семейство взаимно
параллельных плоскостей, то, обозначая через а, р, т напра-
вляющие косинусы нормали к плоскостям этого семейства,
мы сможем уравнение его записать в форме
ах 4“ Pj' “F
Решение вида
и = Ф (ах -J- Pj' + Т?) F № (а* ~Ь Р.У + 7Z) — fl
будет, следовательно, называться плоской волной.
Если (Sx) — семейство концентрических сфер, то (18.1)
запишется в виде
г = ]/х2 -ф-у2 4“ Z2 = к
и решение вида
и = Ф (r) F [w (г) — t\
называется сферической волной.
Если (5\)— семейство соосных цилиндров в пространстве
(или концентрических кругов в плоскости), то
= ]/х2 4- у2 = а
и решение вида
= (ri) —fl
240
§18. волны
называется цилиндрической волной в пространстве, или кру-
говой волной в плоскости.
В одномерном случае волной будет называться реше-
ние вида
а = ф(х)Г[^(х) — /]. (18.4)
Чтобы качественно описать процесс, определяемый реше-
нием (18.3) при w ^0, рассмотрим какую-нибудь поверхность
семейства (Sx), уравнение которой
v (х, у, z) =
Во всех точках этой поверхности
« = Ф O-i)F G-i)—4,
т. е. процесс протекает на всей этой поверхности одинаково.
Функция F, описывающая изменение и во времени на поверх-
ности (Sx), называется законом колебания. Величина w(-o) —
являющаяся аргументом функции F, называется фазой.
Рассмотрим две поверхности семейства (Sj: = и
v — и два момента времени tx и /2 такие, что /2— =
= w(X2) — w(^i). Очевидно, что F принимает на (SxJ при
t — ti то же значение, что на (Sx8) при / = /2. Таким обра-
зом, графики F как функции временй t в точках этих двух
поверхностей отличаются друг от друга сдвигом по оси t на
величину w(X2) — w(XJ, так называемый сдвиг фаз. Графики
функции и в точках этих поверхностей отличаются, кроме
того, еще растяжением или сжатием по оси ординат в отно-
шении Ф(Х2) к Ф(Х2) (фиг. 38).
С другой стороны, можно считать, что за время /2 — tr
фаза w(X)— /, а вместе с ней и значение функции F, пере-
несена с поверхности (5xJ на поверхность (Sx2). В этом смысле
можно считать, что поверхность равной фазы движется
в пространстве, пробегая семейство (Sx). Эга движущаяся
поверхность называется фазовой поверхностью. Закон ее дви-
жения определяется соотношением
w (^) — t — const. (18.5)
Скорость перемещения фазовой поверхности, которая может
быть вычислена так же, как на стр. 238, равна
| grad w (v) | I w' | | grad v | *
КАЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА
241
В случае стоячей волны (w ==? 0), т. е. решения вида
и = Ф (у) F (/),
фазовые поверхности неподвижны. Графики функции и в точ-
ках различных поверхностей (Sx) отличаются только растя-
жением или сжатием по оси ординат (изменение амплитуды),
но не сдвигом фаз.
С другой стороны, распределения величины и в простран-
стве в различные моменты времени подобны и на каждой
поверхности (Sx) в данный момент времени одинаковы. Если
при некотором Хо
Ф(М = 0,
то и все время равно нулю на поверхности (*$х0). Такая по-
верхность называется узлом. Если же при некотором л
функция Ф (к) имеет максимум или минимум, то на поверх-
ности (S~) и все время имеет максимум или минимум. Такая
поверхность называется пучностью.
242
§18. волны
В двумерном случае вместо фазовых поверхностей будем
иметь фазовые линии. Узлы и пучности будут на линиях.
В одномерном случае будем иметь фазовые точки, узлы и
пучности будут в точках.
Чтобы найти (SJ-волны, допускаемые данным дифферен-
циальным уравнением (17.1), нужно подставить в него (18.3).
В результате, как нетрудно видеть, получится соотношение
АФР" + (ВФ' 4- СФ)F' + (ЭФ" 4- £Ф' + ОФ) F= 0, (18.7)
где Л, В, С, D, Е, О — выражения, зависящие от w и
коэффициентов уравнения. Они будут функциями от коорди-
нат х, у, z. Для того чтобы можно было рассматривать
(5к)-волны, необходимо, чтобы эти выражения (которые легко
подсчитать в каждом конкретном случае) представлялись бы
как функции одного переменного v *)• В одномерном случае,
где v — x и других координат нет, это требование, конечно,
всегда выполняется.
Мы не будем в общем виде находить все выражения Л,
В, ..., G. Отметим лишь, что, как легко усмотреть,
А = 1 — + «зз^? + 2а13«4«4 +
+ -j- 2a3i‘We'Wx}.
Так как функция F зависит от t, а коэффициенты при F,
F' и F" в (18.7) от t не зависят, то могут представиться
лишь два случая.
Iе Все три коэффициента равны нулю:
Л = 0, (18.8)
вф'4-сф = о, )
£>Ф"-|-ЕФ' + аФ = о. j
(18.9)
4 Легко видеть, что это условие эквивалентно следующему:
коэффициенты уравнения, которое получается из (17.1) заменой
координат х> yt z на криволинейные, из которых одна есть v, и
отбрасыванием членов с производными по другим координатам,
должны зависеть только от v. Поэтому, например, в случае уравне-
ния — а? Ди = 0 можно взять в качестве (SJ семейство концегь
трических сфер, но нельзя взять семейство круговых конусов с общей
осью и вершиной.
ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ И БЕЗ ДИСПЕРСИИ
243
Первое из этих равенств совпадает с характеристическим
условием (17.14) (для трехмерного случая). Следовательно,
t = (я) С будет характеристикой. Второе и третье равен-
ства представляют тогда два уравнения для функции Ф.
Таким образом, рассматриваемый случай может иметь
место только тогда, когда уравнения (18.9) имеют общее,
отличное от нуля, решение. Функция F в этом случае со-
вершенно произвольна.
Итак, в случае 1° имеются (S^-волны с произвольной
формой колебания. Фазовые поверхности этих волн дви-
жутся, как и фронт волны, по характеристикам. Фазо-
вая скорость определяется по (17.21), и не зависит от
формы колебаний. Такие волны называются волнами без
дисперсии.
2° (18.7) является дифференциальным уравнением для функ-
ции F с постоянными коэффициентами, т. е.
р — [w — gaw (t‘) . g-at
где a— произвольное число. Наибольший интерес предста-
вляет случай чисто мнимого а, а = ik. Обозначая в этом слу-
чае Ф(я)е<ЛмНО через 4?\(tf), получим, что
u^W^e-w. (18.10)
Подставляя это выражение в (17.1), получим уравнение (содер-
жащее параметр k), из него определим функцию ФЛ(^),
которая будет, вообще говоря, комплексно-значной. Модуль
этой функции даст нам Ф (v), а ее аргумент будет равен kw.
Функция w(^) зависит, таким образом, от k.
Итак, в случае 2° имеются только (S^-волны с гармо-
нической формой колебания, и их фазовые скорости зави-
сят от частоты колебания. Такие волны называются вол-
нами с дисперсией.
Рассмотрим несколько важных примеров. Начнем с одно-
мерной задачи.
Пример 1. Волны на струне. Дано уравнение
д/2 дх2 4 7
Уравнениями характеристик будут (см. стр. 235):
/ = (18.12)
244 § 18. волны
Следовательно, если существуют волны без дисперсии, то они
должны иметь вид:
«,==‘&a(x)F2g + /). (18.13)
Подставляя эти выражения в (18.11), получим:
ФГ' — «21 Ф"Г4- 2Ф'Г • - 4- ФГ" • -,1 £=
[_ 1 а 1 a2 J
== — а-РФ" — 2я ФТ' == О
и, ввиду произвольности функции F,
2аФ' — О, Ф" — 0.
Эти уравнения имеют общее решение Ф == const. Таким
образом’, мы получаем для каждой характеристики неиска-
женную волну с произвольной формой колебания, распростра-
няющуюся со скоростью а или — а:
и^Ф)’ u^=F^+t)- (18.14)
Пример 2. Волны для уравнения
д2и о д~и п /1 о 1
дР- а~ дх2 си — ®- (18.15)
Характеристики определяются, как и в предыдущехМ примере,
уравнениями (18,12). Ищем снова волны вида (18.13). Под-
становка выражений (18.13) в уравнение (18.15) при про-
извольном F приводит к системе
ф' = 0, сРФ" сФ — 0.
Эта система при с ф 0 не имеет общего решения, отличного
от нуля. Следовательно, при с ф 0 волн без дисперсии для
этого уравнения не существует.
Будем теперь искать волну вида
и==Ф(х)е~«
Подстановка этого выражения в (19.15) приводит к ура-
внению
<721Г/ + (^ + c)V = 0,
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
245
решениями которого будут функции
Ч?! (х) == е а х ? Чг2 (х) е 1
Стало быть, если 1+-Д“>0,
1 к1
(18.16)
Мы имеем, таким образом, две проходящие волны, распро-
страняющиеся со скоростями
а
Так как фазовая скорость оказывается зависящей от частоты,
то эти волны являются волнами с дисперсией. Как мы
видим, дисперсия вызвана наличием в уравнении (18.17)
члена си, и при с = 0 она исчезает. Поэтому член си
называется дисперсионным (см. стр. 45).
Примерз. Плоские волны для волнового
уравнения. Не ограничивая общности наших рассмотре-
ний, можно направить ось х перпендикулярно фазовым
плоскостям. Тогда v = x и и не будет зависеть от у и z.
Волновое уравнение примет вид:
&и 9 &и
дР а дх2
си = 0.
(18.15)
Это уравнение было разобрано в примерах 1 (при с = 0)
и 2 (при с=£0). На основании сказанного там, можно сде-
лать следующие выводы: волновое уравнение без диспер-
сии допускает плоские волны во всех направлениях с про-
извольной формой колебания и скоростью распростране-
ния а. Волновое уравнение с дисперсионным членом дает
дисперсию плоских волн; в этом случае возможны только
гармонические плоские волны и их фазовая скорость зави-
сит от частоты.
Пример 4. Сферические волны для волно-
вого уравнения без дисперсии. Введем сфериче-
ские координаты, приняв за полюс центр фазовых сфер.
246
§18. волны
Тогда, замечая, что сферические волны не зависят от
угловых координат, приведем волновое уравнение к виду
(см. (9.9)):
—а2у? — 2-^ = 0. (18.17)
dt2 dr2 г dr ' '
Рассматривая это уравнение как одномерное, убедимся,
что его характеристики определяются уравнениями
/=-4-С, t = — -А-С.
а 1 ’ а 1
Поэтому будем искать волны вида
а1 = ф(г)г(£ — ij, «2 = Ф(г)г(£ + ^.
Подставляя эти выражения в (18.17), получим соотношение
а2 |ф"Г + --Ф'Р' + у ФГ'] = °>
а для того чтобы это равенство было справедливо при
произвольной функции F, необходимо выполнение условий
ф'-4-1ф = о, ф"+-ф' = о.
1 г ’ 1 г
Эти два уравнения имеют общее решение
и, таким образом, волновое уравнение без дисперсионного
члена допускает сферические волны с центром в любой
точке и с произвольной формой колебания. Волны эти
распространяются со скоростью а и имеют вид:
Волна Ui называется расходящейся, а волна и% — сходящейся.
Пример 5. Цилиндрические волны для вол-
нового уравнения без дисперсии. Введем цилин-
дрические координаты, приняв за ось z ось фазовых цилин-
дров. Тогда, замечая, что цилиндрическая волна не будет
СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
247
зависеть от угловой координаты и zt приведем волновое
уравнение к виду
д'и .д2и а? ди п
dt2 drl dt\
(18.19)
Если рассматривать это уравнение в плоскости^,/, то урав-
нение характеристик будет t±^= const. Поэтому волны
без дисперсии надо искать в виде
Подстановка этих выражений в (18.19) даст:
а2 [ - Ф'Р' + Ф"Р 4- — ФГ + - ФТ] = 0.
[ а 1 1 ai\ < j J
Отсюда ввиду произвольности функции F получаются урав-
нения:
2Ф' + ~Ф = 0, Ф"4- —ф' = 0.
1 Г1 1 Г!
с
Из первого уравнения Ф = —=. Эта функция удовлетворяет
V г
второму уравнению только при С=0, т. е. когда Ф = 0.
Следовательно, цилиндрических волн без дисперсии рассма-
триваемое уравнение не имеет.
Будем поэтому искать волны с дисперсией в виде
и = ^(гх)е-м.
Подставляя это выражение в (18.19), найдем:
Мы получили уравнение цилиндрических функций нулевого
порядка !). Фундаментальная система его решений может быть
записана либо в виде
0 См. добавление в конце книги, стр. 545 и 550.
248
§ 18. волны
либо в виде
Функции Jo и Nq при положительных значениях аргумента
вещественны, а функции и Н®— комплексные (и ком-
плексно сопряженные). Поэтому мы находим для нашего
уравнения стоячие волны
и проходящие волны
(18.21)
Нетрудно подсчитать, что фазовые скорости этих волн бу-
дут равны:
При kr1 0, т. е. либо при больших частотах, либо в точках,
достаточно далеких от оси, можно применить асимптотические
формулы для цилиндрических функций *). Тогда мы получим
следующее приближенное выражение проходящих волн
(18.22)
Фазовые скорости этих волн при krt 0 приближенно
равны а9 т. е. фазовой скорости волн без дисперсии.
!) См. добавление.
МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ВОЛН
249
§ 19. Решение задачи Коши для волнового уравнения
без дисперсии
Как уже говорилось, каждая волна, допускаемая дифферен-
циальным уравнением (17.1), является частным решениехМ этого
уравнения, т. е. описывает один из возможных процессов,
характеризуемых уравнением (17.1). Такой волновой процесс
имеет место лишь при специальных начальных условиях.
Так, например, если в трехмерном пространстве задано
волновое уравнение и начальные условия, обладающие централь-
ной симметрией, имеют вид:
«I =/(г); = — — £-{rf (г)],
где/(r)— произвольная функция, то решением уравнения,
удовлетворяющим этому условию, будет, очевидно, расходя-
щаяся сферическая волна
и (г —at) f (г —at]
г
Однако сумма или вообще линейная комбинация нескольких
волн также является решением, и в ряде случаев можно таким
методом наложения волн получить решение, удовлетворяю-
щее начальным условиям определенного типа, а иногда даже
решение, могущее удовлетворить любым начальным условиям,
т. е. общее решение.
Рассмотрим сначала применение метода волн к интегриро-
ванию одномерного уравнения.
В одномерном случае характеристическое условие имеет
вид (17.15) и допускает два однопараметрических семейства
характеристик
/ = coj (х) 4~ С, t = ох2 (х) 4~ С,
у которых
1 dx 1 dx
~ == — = -7Т = — а,
(Dj dt dt
соответственно. Если для данного уравнения выполнены усло-
вия существования волн без дисперсии (см. (18.9)), то оно
имеет частные решения видов
«1 = Ф1 (*) F1 ["1 (*) — Ф «2 = Ф2 (*) F2 КС*) — Л,
250 § 19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
где 4?! и Ф2— вполне определенные функции, a F1 и F2
произвольны. Эти решения представляют собой волны, рас-
пространяющиеся со скоростями а и — а. Налагая их, полу-
чим решение
» = Ф1 (х) [а>1 (х) — /] 4- Ф2 (х) F2 [Ш2 (х) — /],
содержащее две произвольные функции F1 и F2 от одного
переменного каждая. Выбирая надлежащим образом эти
функции, можно удовлетворить произвольным начальным
условиям. В этом смысле можно сказать, что найденное таким
способом решение является общим.
Таким образом, любое решение представляется в этом
случае как результат наложения двух волн, движущихся
навстречу друг другу с одинаковой скоростью.
Решение задачиКоши для уравнения свобод-
ных колебаний струны. Используя найденные ранее
волны, мы можем, таким образом, утверждать, что общее
решение уравнения (18.11) имеет вид:
« = ^(-7 -') + ^2 (-£-+(19.1)
Разберем подробнее решение уравнения (18.11), которое,
как известно, является уравнением колебания струны (бес-
конечной в обе стороны, поскольку мы не накладываем ни-
каких краевых условий) или колебания газа в тонкой трубке
(также бесконечной). Мы должны определить в (19.1) функ-
ции Fx и F2 так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
где <р(х) и <|>(х)— функции, заданные на всей оси. Эти усло-
вия приводят к следующим уравнениям:
F. (т)+^ (-?)=•₽«. - (т)+(т) = * «•
Дифференцируя первое из них по х, получаем:
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
251
откуда, в сочетании со вторым уравнением, находим, что
И*));
Следовательно,
а?
О
х
'’•(tH’W+s / с*
о
причем СХ~УС2 = 0 в силу первого из начальных условий.
Таким образом,
“=Чг—')+^(т+')=
x-\-at
= |{<p(x_a/) + <p(x + a0}+_L | (19.2)
х—at
Полученное выражение является решением поставленной задачи.
Для его исследования рассмотрим отдельно два случая.
Во-первых предположим, что ^(х)е==0, т. е., что началь-
ные импульсы отсутствуют и что ср (х) отлична от нуля только
в некотором конечном интервале х' < х < х". В этом случае
и = -£- {? (X — at)-\-4>(x + at)}
будет в каждой точке, х отлично от нуля только в течение ко-
нечного промежутка времени. Действительно, и ф 0, только
если выполняется хотя бы одно из неравенств х' < х — at<Zx"
J П х'—X ^х"—х х—х" ^х — х'
и х <хч-я/<х , или ------</<-------и-----<^<--------.
1 ’ а а а а
Отсюда следует, что если х^х', то для таких/, для
которых —< t < Х у-* , а если х х", то для таких /,
для которых - .Еслиже, наконец, х'<х<х",
то и ф 0 для таких /, для которых 0<У < шах ,х .
252
§19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Форма решения в рассматриваемом случае показывает, что
начальная деформация ф(х) раздваивается на две волны,
имеющие каждая форму ф (х) и распространяющиеся вправо
х^х'
и влево со скоростью а. До момента / = —— эти две волны
частично налагаются друг на друга, а затем расходятся в обе
стороны без искажения (фиг. 39). Для х<Сх' и xi>x" вся
Фиг. 39.
волна проходит через точку х за промежуток времени, рав-
хг/ ____ хг
ный —-—. После прохождения волны точки струны воз-
вращаются в положение покоя, т. е. так называемая остаточ-
ная деформация в рассматриваемом случае отсутствует.
Теперь предположим, что <р(х)=0, т. е. что отсутствует
начальная деформация и что ф(х) отлично от нуля только
в конечном интервале х' < х < х". В этом случае
x + at
“=4 .[
х—at
Рассмотрим поведение фиксированной точки х. Если х<^х\
то и = 0 до момента /= —--------, когда верхний предел инте-
грирования, возрастая, становится равным х'. Для всех после-
дующих моментов времени /> Х -~Х- отклонение и уже не
будет больше равно нулю. Оно будет изменяться до момента
и'______х
t —-------? когда верхний предел интегрирования примет
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
253
значение х", а после этого момента будет иметь стационарное
значение
“ст=27,1
/ X — х"
Если х^х", то аналогично и — 0 до момента / —-------------
а
и будет далее изменяться до момента t= ——— , после ко-
торого оно примет стационарное значение zz0T. Если, наконец,
х' < х < х", то ифО для всех t > 0, причем и изменяется
от момента / = 0 до момента /=тах (——— —--------------—Y
\ а а )
а затем примет стационарное значение zz0T. Если же рас-
сматривать форму струны в некоторый фиксированный момент
времени, то и будет отлично от нуля для таких х, для кото-
рых интервал (х — at, x-\-at) содержит хотя бы часть ин-
тервала (х', х"), т. е. для которых x^-at> х' их— at< х",
или х>х' — at и х < х" at. Такие х заполняют интервал
(xz— at, х" -f- at), причем, если /> ——, то для х"— at-^,
^x^x'-\-at значение и = uQr (фиг. 40) (на этой фигуре
Фиг. 40.
принято (х) = ф0 = const, для х' < х < х" и, следовательно,
rZ(5T=^ • (*/z —х'))- Таким образом по истечении доста-
точно большого промежутка времени каждая точка струны
переместится и получит стационарное отклонение иот. В этом
случае мы имеем, следовательно, остаточную деформацию w0T.
254 § 19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Если функции ср (х) и (х) не обращаются в нуль вне
некоторого интервала, т. е. если мы имеем начальную дефор-
мацию всей струны и начальные импульсы, распределенные
по всей струне (или хотя бы то или другое), то каждая
точка струны, начав колебаться, уже никогда не прекратит
своего движения.
Все сказанное по поводу задачи о колебании струны
может быть применено также и к трехмерному волновому
уравнению (например, к задаче акустики), если начальные
условия постоянны на каждой плоскости, перпендикулярной
некоторой фиксированной прямой. Не ограничивая общности,
можно принять эту прямую за ось х. Тогда начальные усло-
вия не будут зависеть от у и г и, естественно, что реше-
ние и будет также зависеть только от х. Следовательно,
задача сводится к разобранной только что одномерной задаче.
Решение задачи Коши для трехмерного
однородного волнового уравнения в случае
центральной симметрии. В качестве следующего
примера применения метода волн рассмотрим снова волновое
уравнение в трехмерном пространстве с произвольными на-
чальными условиями, обладающими центральной симметрией.
Приняв центр симметрии за начало координат, мы можем
эти условия записать в виде
«|/=.=?W; = Ш (19.3)
где ср (г) и ф(г) — функции, заданные для всех г>0, т. е.
на полуоси. Введем сферические координаты. Решение я,
очевидно, не будет зависеть от угловых координат и по-
этому задача сводится к уравнению (18.17). Согласно (18.18),
общим решением этого уравнения будет:
и —--------------------э и
где Fx и Г2 — произвольные функции одного переменного,
из которых вторая должна быть задана на положительной
полуоси(~ + ^>0), а первая — на всей оси (ибо — t мо-
жет принимать любые значения). Чтобы решить нашу задачу,
СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
255
нужно определить эти две функции. Подстановка (19.4)
в (19.3) дает для их определения два уравнения:
ЯМ£|+/ОН(г)’
Умножая эти уравнения на г и дифференцируя первое из
них, мы найдем:
2F'1 (7) == а [г<? —
2/?2 (£) = а №
Отсюда
г
(т) = 7 r<p — J rfP+ С»
О
г
f2 (7) = 7 г<? + 27 J (?) dp + с2
о
и, ввиду первого начального условия, ^4-^ = 0.
Обозначая аргумент функций Ft и F2 через получим:
Fl (Э = 4(а?) -i/рф(р)dp4- С\ (6 > 0), (19.5)
О
/72(5) = 4^?(«0 + if^(p)rfp-C1 tf>0). (19.6)
О
Таким образом, мы определили функции F1 и F2 для
положительных значений аргумента. Так как аргумент F2
не принимает отрицательных значений, то остается опреде-
лить Ft на отрицательной полуоси. Для этого заметим, что
если с? и ф ограничены при г = 0, то и и должно оставаться
ограниченным при всех />0 и г = 0. Из (19.4) следует,
что это возможно лишь, если
^(-^) + ^(О = о
при любых t > 0.
256 § 19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Следовательно, при Е < О
—сЛ
Ъ (0 = — ^2( — ?) = 7 (— <£) “ 27 J (4 (р)
О
или
а$
/Д (0 = 4 - A. J рф (- р) dp + С, де < О). (19.7)
6
Формулы (19.5) и (19.7), дающие выражение функ-
ции Fj(E) при различных знаках Е, можно объединить в одну:
(0 = 7 («;) -i|Р-р (р) dp + сР (19.8)
О
если доопределить функции <р и ф на отрицательной полу-
оси условием
?(5) = ?(-е); ф(е) = <р(-5),
т. е. так, чтобы они стали четными.
Подставляя значение Ft и F2 из (19.8) и (19.6) в (19.4),
получим решение нашей задачи в виде следующей формулы:
„ _ (г—др?(г —+ (г4-я0 ।
2г
г 4- at
+ •2^7 J Р'ИрМР- (19.9)
г— at
Чтобы вычислить значение и в центре, нужно в фор-
муле (19.9) сделать предельный переход при г~*О. Раскры-
вая неопределенность и принимая во внимание четность
функций <р и ф, получим:
и (0, t)=ah' (at) -|- <? (at) + /ф (at) = [/ср (а/)] /ф (at). (19.10)
Анализ решения, аналогичный тому, который был приведен
на стр. 251—253, в применении к задаче о колебании струны
может быть проведен и для рассматриваемой задачи. Выводы
относительно характера поведения решения будут аналогичны,
УСРЕДНЕНИЕ ПО СФЕРЕ
257
с той' лишь разницей, что если начальные импульсы сосре-
доточены только в ограниченной части пространства ра-
диуса /?, то = ( рф (р) dp = 0 вследствие четности
—к
функции ^(р). Таким образом, в этом случае ни начальные
деформации ни начальные импульсы не вызывают оста-
точных явлений. Мы еще вернемся к этому вопросу.
Решение задачи Коши для трехмерного
волнового уравнения без дисперсии. Задача
Коши для трехмерного волнового уравнения без дисперсии
при произвольных начальных условиях может быть сведена
к разобранному только что случаю задачи с центральной
симметрией при помощи так называемого усреднения по
сфере.
Пусть в пространстве трех измерений задана функ-
ция g(x, y,z). Рассмотрим фиксированную точку (х0, у^ z^
и сферу (Sr) радиуса г с центром в этой точке. Функцию
от Уо. и г
£ О; х0, у0, г0) = j* J dsr = Mr [g]
(\)
называют усреднением функции g по сфере Sr. Считая
точку х0, yQ> z0 фиксированной, можно рассматривать g*
как функцию точек пространства, равную Mr[gj в точках
сферы (Sr). Эта функция обладает центральной симметрией
относительно центра (х0, д/0, zQ). Заметим, что, так как
dsr = г2 dv, где di— элемент площади поверхности единич-
ной сферы (S) концентрической с (Sr), то
s* ('•; х& л- == &V tel = f J gr = м, [&.],
'(*)
где gr — значение функции g в соответствующей точке
(sr)= ^гС1- °. = °. <?)•
Легко видеть, что
Мо f£] = lim Mr [g] = g (x0, y0, z0),
r->0
если функция g непрерывна в точке (х0, yQ< z0).
258
§19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Покажем, что
ДМГ [g] = М,. [Д^], (19.11)
где Д — оператор Лапласа.
Для доказательства проинтегрируем выражение г2Мг[Д^]
по г от 0 до г. Обозначая для удобства переменную инте-
грирования через р, получим:
г г
J Р2 Мр [Ag] dp = ~ J d? I* J Ag- d.Sp --
О » (Я)
Г
= f | fdivgrad^dw,
(V '
где (Vr) — шар радиуса г с центром в точке (х0, у0, г0).
Последний интеграл преобразуем по теореме Остроград-
ского. Получаем:
г
JР2Мр [Д«]dp = ± | | (grad ff)п dsr = ± f Jdsr =
О I (S,.i
=- /-2МД ] = Г2М] | 1 =
L^J ЧА д'/J
= г2-^(М1 [^]) = г2-^МгИ.
Итак,
г
I р2М? [A^dp = r2-^M,.H.
6
Дифференцируя это равенство по г и принимая во внима-
ние, что, ввиду центральной симметрии функции Мг [#],
AMj£] = -^--^(/-2-^M,.[g]), мы получим (19.11).
Рассмотрим теперь в пространстве х, у, z волновое
уравнение
^._Й2ДИ = О (19.12)
ТРЕХМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
259
и начальные условия
u\f^Q==^(x,y,z), 4г1,_0=='^х’ у>
где и ’V — функции, заданные во всем пространстве.
Усредняя обе части уравнения (19.12) по сфере радиуса г
с центром в произвольной фиксированной точке (х0, у$, г0),
мы получим ввиду (19.11)
^2-Мг[а]— я2ДМ,.[«] = 0
[и (аг, у, г; /)] зависит от / и очевидно, что Mr [w] =
Mr L dt* ]/ ‘
Усредняя по той же сфере начальные условия, мы
получим:
Мг [«] |^0 = М,. [<р]; ± Мг [а] |<=0 = Мг [Ф].
Итак, для функции Мг [zz] получилось волновое уравне-
ние и начальное условие с центральной симметрией. Поэтому
мы можем воспользоваться результатами стр. 256 и по фор-
муле (19.10) найдем:
« (x(t, v0. г0) = Мо [«] = — {Mat [ср]) + /мв, [.•/] =
~ ~3t 4SW J ,f ® ds<4 “Ь J ,f ds“f (19-13)
(s<tf) (s^)
При помощи метода, изложенного в § 8 (см. фор-
мулу (8.8)), мы можем теперь найти решение неоднородного
трехмерного волнового уравнения
—«2Ди=/(х, j/, г;/) (19.14)
। d/z I л
при начальных условиях — = 0.
~ °
« (ХО. л» го1 0 = f (^—’) Ма(г_т) [/(х, у, z\т)] dz =
6
t
=та .1 тта J | Ж л
0 (8. а-.})
260
§19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Сделаем в этом интеграле замену переменного, поло-
жив a(t—i) — r. Тогда получим:
at
«(*0-л. о =[ v f
О ’(>V
(19.15)
где (Va^ — шар радиуса at с центром в (х0, yQ, г0), а г, как
всегда, обозначает расстояние от переменной точки интегри-
рования (х, y,z) до центра шара.
Это выражение совпадает с ньютоновым потенциалом
f
масс, распределенных в шаре радиуса at с плотностью —
зависящей от времени t (см. стр. 109). Однако для вычисле-
ния и в точке (х0, уц> г0) в момент времени t следует брать
в точке (х, у, z\ отстоящей на расстоянии г от точки (х0, у0, г0),
. г
плотность, вычисленную для момента временив------, т. е.
с упреждением, необходимым для того, чтобы влияние точки
(х, у, z\ распространяясь со скоростью а, прошло расстоя-
ние г, т. е. достигло точки (х0, _у0, г0). Иначе говоря, влияние
каждой точки (х, у> z) сказывается с запаздыванием —. По-
этому выражение (19.15) называют запаздывающим потен-
циалом.
Складывая правые части формул (19.13) и (19.15), мы
получим в соответствии со сказанным в § 8 решение задачи
Коши для неоднородного уравнения (19.14) с неоднород-
ными начальными условиями:
И (ХО, Уо> 0 = 77 {iMat [<р]} + Mat [ф] +
1
—-------------^-dv. (19.16)
К анализу этого решения мы вернемся несколько позже.
Решение задачи Коши для двумерного вол-
нового уравнения без дисперсии. Двумерные
ДВУМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
261
задачи можно рассматривать как’частный случай трехмерных,
если считать все входящие в задачу функции от х, у (и t)
функциями, заданными в пространстве |х, у, z, но не зави-
сящими ог координаты z. Такой метод получения решений
двумерных задач из решений трехмерных называется мето-
дом спуска. Применим этот метод к двумерному волновому
уравнению без дисперсии:
д2и 0А д2и I д2и\ А
-^5- — я2Дя = -™— а9 ч-r4--Д-2 =/(х, у;/).
oft oft \дх2 1 ду2 /
Будем рассматривать это уравнение как трехмерное, в ко-
тором искомая функция и правая часть зависят только от
двух пространственных координат х и у. Функции <р и из
начальных условий: а\ = <р(х, у), ^-1 = ^(х, у), так-
1*=о i£=o
же не зависят от z. Решение (19.16) применимо к этому
случаю, но оно может быть преобразовано. Центр сферы (Sat)
лежит в точке (х0, yQ, 0) плоскости х, у. Ее уравнение имеет
вид (х — *о)24“Су—.У0)2 -г2 = a?ft. Так как элемент пло-
щади поверхности этой сферы
_____da _____at da_ at da
5“~|cos(/7z)| ““ |z| ~ ya2t2_r2 ’
где da — элемент площади на плоскости х, у, а г2 = (х — х0)2 +
4~Су—-У0)2> то интеграл по каждой из ее половин, соответ-
ствующих z > 0 и z < 0, можно преобразовать в двукратный
интеграл по кругу (Daf): (х — *о)24~Су—Jo)2^^2 Таким
образом, например (ввиду независимости ср от z),
Следовательно,
V at ~ГУ
и аналогично
Г1
262
§19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Интеграл от f по сфере (5а(т_^) также можно преобразовать
в интеграл по кругу и потому
t
7=т J У’ =
0 (5а«-г))
1L I f
Чтобы упростить это выражение, рассмотрим пространство х,
у, t и в нем прямой круговой
конус (Д) с вершиной в точке
(х0, д/0, /) (фиг. 41). Очевидно,
t
Фиг. 41.
d<>.;
(Д)
где через dy обозначен элемент
объема в пространстве х, у, t.
Таким образом, решение задачи Коши для двумерного
волнового уравнения на основании (19.16) имеет вид:
U (*0- Уб I) — 2ка dt .1 ,1 ъ/дз’^ >
U>aJ V at -Г1
1 f f. ф (-v. -V)
2м.J т/ з/2_ 2
W«t> V at 1
1 f f f fix, у, Т)ф
V^t—f-r*'
(19.17)
Анализ решения двумерного и трехмерного
волнового уравнения. Обратим теперь внимание на
существенную разницу в характере решения в двумерном и
трехмерном случаях. В двумерном случае в формулах, дающих
решения, зависящие от начальных условий, в точке х = 5,
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
263
у = т] в момент i = т фигурируют интегралы от функций
9 и по кругу радиуса ах (с центром в точке В, tj).
В трехмерном же случае в аналогичных формулах фигури-
руют интегралы не по шару радиуса ах, как можно
было ожидать по аналогии, а лишь по сфере радиуса ах.
Таким образом, в двумерном случае состояние в точке $, tj
в момент времени т зависит от начальных условий во
всех точках, находящихся от
Ё, т] на расстоянии, меныпем
или равном ах, В трехмерном
же случае это состояние зави-
сит лишь от начальных усло-
вий в точках, находящихся от
г|, С на расстоянии, точно
равном ах. Другими словами,
в двумерном случае началь-
ное состояние в точке Q (х, у)
влияет на состояние в точках Р(с, т]), находящихся от Q на
расстоянии
г в любой момент времени т>—; в трехмерном
же случае — лишь в момент времени т — ~ (фиг. 42). В обоих
случаях влияние начального состояния в точке Q (сигнала,
посланного из Q) скажется в точке Р через время
(т. е. сигнал распространяется со скоростью а), но в дву-
мерном случае это влияние будет сохраняться в дальнейшем,
будет иметь место остаточное возмущение и при передаче
последующих сигналов будет происходить их искажение;
в трехмерном же случае остаточных возмущений нет и сиг-
налы передаются раздельно, без искажений.
Эта разница хорошо знакома каждому: звук, произнесен-
ный на некотором расстоянии от нашего уха, достигает его
(при отсутствии эхо) лишь один раз и не вызывает никаких
остаточных слуховых ощущений, но камень, брошенный
в воду (тут наблюдаются колебания двумерной поверхности
воды), вызывает целую последовательность концентрических
расширяющихся волн.
Чтобы математическая суть этого различия стала еще
очевиднее, рассмотрим пример начального возмущения, со-
264
§19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
средоточенного в весьма малой окрестности некоторой точки Q
(фиг. 43). Пусть, например, начальное отклонение отсут-
ствует: <р = 0, а начальная скорость ф равна нулю всюду, кроме
Фиг. 43.
из Р, как из центра, круг
кр) га радиуса s с цент-
ром в начале координат
(в трехмерном случае ша-
ра радиуса е), где она
равна а. Поставим себе
задачу изучить процесс
в точке Р, находящейся
от 0 на расстоянии г.
Для этого нам нужно
в соответствии с форму-
лами (19.17) в двумерном
случае или (19.16) в трех-
мерном случае провести
или сферу радиуса ат. При
Г'— s
т <—-— в этом круге (или на сфере) ф = 0 и потому по фор-
мулам (19.16) и (19.17) а==0.
В трехмерном случае при
/*+г г 1 Л
т >—j— на сфере также ф = О
и и = 0. Следовательно, лишь
при
г —- е . г-|-~ £
а а
и будет в точке Р отлично фиг
от нуля. Таким образом, волна
пройдет через точку Р за время — и не оставит никаких
Г — е Г 4- е
остаточных возмущений. В момент времени —• < т <
часть сферы радиуса ат, в которой ф ф 0, представляет собой
сферический сегмент (фиг. 44). Обозначим его площадь
через St-
2п 6
~ J J о2х2 sin 0 d0 d® = 2чта2т2(1 — cos о),
о о
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
265
где е2 = г2 4- а2т2— 2/mcos8, т. е. cos о = - "Ь g -~2——
1 ’ 2гах
Таким образом,
Е==^1[е2_(йт_ Г)2].
Следовательно, при £. < т < -г-+£ ,
г а а 9
м [ф] = — <Ф2-(<»-/•)*]
от 171 4itaW 4 гаг
И
« = *Ma^]=JLH£2-(aT-/-)2],
Таким образом, график изменения и в точке Р в зависимости
от времени t будет выглядеть, как показано на фиг. 45.
В двумерном случае при т > внутри круга радиуса ах
6 отлично от нуля только в малом круге (38) радиуса е.
Поэтому по формуле (19.17) мы имеем:
и ~ 2м J J у aW — r2 dS'
Ввиду малости s можно заменить этот интеграл значением
подинтегральной функции в центре кружка (точке О), умно-
женным на площадь кружка. Таким образом,
ае2
U ~-------- .,
2а Y— г*
266
§ 19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
График изменения и в точке Р в зависимости от времени t
в двумерном случае показан на фиг. 46. Сравнение графиков
на фиг. 45 и 46 наглядно поясняет разницу между характе-
ром явлений в двумерном и трехмерном случаях.
Остаточные возмущения, которые в двумерном случае
имеют место при начальных возмущениях, сосредоточенных
в окрестности точки Q, объясняются тем, что это начальное
возмущение можно (как это делается в методе спуска) трак-
товать как сосредоточенное в бесконечном цилиндре с осью,
параллельной оси z и проходящей через точку Q. Естественно,
Л’-£
а а а
Фиг. 46.
что точка, находящаяся
в плоскости х, у, при
любом t > 0 будет по-
лучать возмущение от
достаточно далеких по
высоте z частей этого
цилиндра, и таким об-
разом возмущение в ней
будет постоянно под-
держиваться.
Формулы (19.16)
и (19.17) показывают,
что аналогичная раз-
ница имеется для распространения явления, вызванного внеш-
ней силой. В формуле (19.17) фигурирует интеграл по
объему конуса (А) и, следовательно, внешняя сила в точке Q,
действующая в момент времени /, оказывает влияние на со-
стояние в точке Р во все моменты времени + Фор-
мула (19.16) показывает, что внешняя сила, действующая
в точке Q в момент /, оказывает влияние на состояние
в точке Р лишь в момент времени т =
Напомним, что, как это говорилось на стр. 253, в одно-
мерном случае при отсутствии дисперсии начальное отклонение
не вызывало остаточных возмущений, но начальные скорости
оставляли остаточное возмущение.
Отмеченное выше принципиальное различие*между пове-
дением решения в двумерном и трехмерном случаях тесно
связано с различиями между этими случаями, отмеченными
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
267
и
Фиг. 47.
для
сила
от-
воз-
в § 18. Как там было указано, в трехмерном случае цен-
трально-симметричные (т. е.
няются без дисперсии, в то
время как цилиндрические
волны (т. е. центрально-
симметричные волны в дву-
мерном случае) обладают
дисперсией.
Рассмотрим еще реше-
ние трехмерной задачи
случая, когда внешняя
и начальные импульсы
сутствуют, а начальное
мущение равно нулю всю-
ду, кроме малого шара ра-
диуса е,
нее, точку
г > е, мы,
сферические) волны распростра-
t
О
Рассматривая, как и ра-
центра шара на расстоянии
оно равно
находящуюся
же как и ранее, убедимся, что и — 0 при
г — s . . .г+ £
----<Z<—1— так же,
а---а ’
как и на стр. 265, ока-
жется
Ма<(?]
где
Р,
так
zz0.
от
Фиг. 48.
[ь- —(а/ —г)2]
А г at
и по формуле (19.16)
= -^-£ [г2 —(а/ —/-)2] =
4га dt 1 v 7 J
= -•
График функции zz(r; Z)
при фиксированном г > г
представлен на фиг. 47. Если рассматривать поведение функции
при фиксированном t = т, то для т > ~ и для таких г, для
которых ал~е < г < ат -|~ е, мы будем иметь а==^^1—
а для остальных г и = 0 (фиг. 48). Нетрудно построить
268
§ 20. МЕТОД РИМАНА
также графики функции и (г; f) при фиксированном г в и
при фиксированном t .
Если трактовать трехмерное волновое уравнение как урав-
нение акустики (см. § 3), то график на фиг. 47 показывает,
что при внезапном возникновении в момент t = 0 уплотне-
ния б'о внутри сферы радиуса е с центром в начале коорди-
нат, оно распространяется следующим образом: на концен-
трической сфере радиуса г в момент г & * уплотнение внезапно
подскакивает от нуля до величины , затем линейно убы-
$ое Г 4- s
вает во времени до разряжения — в момент —-— , когда
оно вновь подскакивает до нуля и затем остается равным
нулю. Величина скачка уплотнения убывает обратно пропор-
ционально расстоянию от начала координат1).
§ 20. Метод Римана
Как уже говорилось, зная характеристики дифференциаль-
ного уравнения, можно не только произвести качественный
анализ описываемых им явлений, — это было сделано в пре-
дыдущих параграфах,—но и дать общий метод решения
задачи Коши.
Простейшим в этом отношении является одномерный слу-
чай. Метод решения задачи Коши для этого случая, который
мы сейчас изложим, был предложен Риманом. При этом мы
ограничимся случаем, когда уравнение имеет вид
г—. д2и 9д2и ,,
□ — а d^ — cu==2f(x> Ъ (20.D
где а и с — постоянные.
Пусть в плоскости х, / (фиг. 49) задана кривая (С), обла-
дающая следующими свойствами:
1) она делит плоскость на две части (одна из них лежит
выше, другая ниже (С));
*) В действительности, скачкообразные начальные условия физи-
чески не реализуемы; скачок на границе области сглажен. Поэтому
и скачки на графиках 47 и 48 будут сглажены.
ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ КОШИ
269
2) какова бы ни была точка Р ($, т), лежащая в верхней
(относительно (С)) полуплоскости, каждая характеристика,
проходящая через Р, пересекает (С) в одной и только одной
точке, лежащей ниже Р. Смысл и необходимость этого по-
следнего условия будут ясны из дальнейшего.
Пусть на кривой (С) заданы две функции и
Задача Коши состоит в следующем:
Найти в верхней (относительно (С)) полуплоскости
функцию и (х; /), которая
«)
(20.1);
б) удовлетворяла бы на (С)
начальным условиям
^ = 4', (20.2)
д . .
где означает дифференци-
рование по нормали к (С), на-
правленной в сторону верхней
полуплоскости.
По поводу этих начальных
удовлетворяла бы в этой полуплоскости уравнению
условий сделаем следующее
замечание. Первое из условий (20.2) дает возможность найти
производную по касательной к (С). Имея же в точках (С)
OS
производные по двум направлениям (касательной и нормали),
мы можем найти производную по любому другому направле-
нию. Поэтому условия (20.2) задают вдоль (С) производные
от и по любому направлению. Обратно, вместо второго усло-
вия (20.2) можно задать вдоль (С) производную по любому
направлению, не касательному к (С). Вместе с первым из
условий (20.2) это определит также и производную по нор-
мали.
Предположим, что поставленная задача имеет решение.
Обозначим его через и и покажем, как найти значение функ-
ции и в любой точке верхней полуплоскости. Для этой цели
возьмем в верхней полуплоскости произвольную точку Р($, т)
и проведем через нее обе характеристики
(/,); / —Т==1(Х—0, О — -^(Х— 5)
270
§ 20. МЕТОД РИМАНА
до их пересечения (в точках tQ1 и Q2) с кривой (С) (см.
фиг. 49). Полученный треугольник обозначим через (Л) и рас-
смотрим интеграл
/== JJpoQw — «□•»] ds, (20.3)
(A)
где v — пока произвольная функция.
Выражение под знаком интеграла преобразуется, как легко
видеть, следующим образом:
г—, г-, д Г ди
dv ди 1
и-----I
дх дх J
Подставляя это выражение в (20.3\ найдем, что
/ f f I d Г du I о д Г dv , ди 1) . ,оп
/ = { 37 37---U 37 -Г °2 3“ I й 3---3“ (^0-4)
J J ld/[ dt d/J ’ dxl дх дх ] j v
(А)
Последний интеграл при помощи теоремы Остроградского
может быть заменен интегралом по границе (S) области (Д):
г f Г ди дгН . . dv dul
/ = — ги -чу — и -57 \dx 4- а2 \и 5----v ч- \ dt =
J д/ dt L dx dx
(Ч
= f I и [ dx а2 &JL б?/1 — v [ ~ dx а2 у- dt\ I =
J I [ dt 1 dx J [Э/ dx J)
---Л+4 + 4»
(20.5)
где
т>
t - f ( ^dv . . Q dv , Л Гдп , । о du H
Л = { и к- dx - a2 -—dt\ — tn dx 4- a- 3- dt\},
1 J I I dt 1 dx dz * dx j
Qi
p
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РИМАНА
271
При этом
adt=dx на (/^
и
adt=—dx на (/2).
Учитывая эти соотношения, запишем интегралы по характе-
ристикам (/j) и (/2) в следующем виде:
р
/ С ( |dv ,, . dv , 1 Г ди <. । ди , ] 1
Ql
р
= a udv — v du,
ft
р
т fl Г dv ,, । dv < 1 । fdu <. . du , *1)
19==a \ { — н -ту dtH-’s— dx 4- v -v? dt-\- 3— dx > =
2 J I dt 1 dx J 1 I d^ 1 dx J J
Q,
p
— a I —udv-{-vdu.
ft
Таким образом, дифференциальные операции в квадратных скоб-
ках под знаком этих интегралов по характеристикам оказались
полными дифференциалами.
Интегрируя вторые слагаемые обоих интегралов по частям,
дальше найдем
р
= а | — (uv)p -f- + 2 |* udv
Q,
p
(uv)P — (uv)q9 — 2 J и dv j.
Q.
272
§ 20. МЕТОД РИМАНА
Подставляя эти значения интегралов по характеристикам
в (20.5), получим после простых преобразований:
2а (vu)P = a 4~ a (vu)q<2 —
Q*
— I 1 +я2
J 1 Ld/ * dx J I dt 1 dx H 1
Qi
« » » » Qi Ч2
+ | □ и ds — j | zzC v ds — 2a | и dv—2a udv. (20.6)
‘(Д) < . ’(Д)’ p >
Заметим, что в первые три слагаемых выражения правой
чя£ти этой формулы входят значения функции и и ее первых
производных на (С), где они известны. В четвертое слагае-
мое входит zz, □ а эта величина известна в силу (20.1).
Остаются последние три слагаемых. Чтобы от них избавиться,
наложим на функцию v следующие ограничения:
а) □ v == 6,
6)v—l на характеристиках, проходящих через точку
Р(^, т).
ТакихМ образом, функция v должна зависеть от коорди-
нат 5, т точки Р как от параметров. Функцию v (х, /, т)
при любых $, т, удовлетворяющую условиям а), б), называют
функцией Римана дифференциального оператора □ и.
Заметим, что функция Римана зависит только от диффе-
ренциального оператора □ zz, но не зависит ни от правой
части уравнения (20.2), ни от кривой (С), ни от заданных на
ней начальных условий.
Если в (20.6) подразумевать под v функцию Римана, то
вдоль характеристик я==1, zfo = 0 и эта формула примет
вид.
,f <20-7)
(A)
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
273
Это и есть искомое выражение для решения задачи Коши.
Мы предполагали, что решение нашей задачи существует,
и нашли его выражение (20.7). Однако можно показать (мы
опускаем это доказательство), что функция (20.7) действи-
тельно удовлетворяет уравнению (20.1) и начальным усло-
виям ^(20.2). Таким путем можно доказать существование
решения задачи Коши (если предварительно построена
функция Римана).
Из формулы (20.7) можно сделать еще ряд важных
выводов:
1) решение поставленной задачи Коши единственно, ибо
из предположения, что и есть решение, с необходимостью
следует его представление в ви-
де (20.7);
2) значение функции и в точ-
ке^Р зависит только от началь-
ных условий на дуге QjQ2 кри-
вой (С) между характеристиками,
проведенными через Р, и от зна-
чений внешней силы f в точках
треугольника (Д) (см. фиг. 49);
3) начальное условие в неко-
торой точке Q кривой (С) или
значение внешней силы в некото-
рой точке Qj верхней полуплоскости влияют на решение
только в точках, лежащих в верхнем углу между характе-
ристиками, проведенными через данную точку Q или Qj
(фиг. 50).
Формула (20.7) принимает особенно простой вид, когда
(как это большей частью бывает) кривой (С) является сама
ось х, т. е. когда начальные условия имеют вид:
м|^0 = Нх); = (20.8)
В этом случае абсциссы точек Qj и Q2 будут:
%! = 5 — ах и х2 = 5 4- ах
и формула (20.7) даст:
« = «1+«2-н8.
(20.9)
274
§ 20. МЕТОД РИМАНА
где
,,.(t;,)=^-> + >W__L Т НХ)-5^^, (20,0)
X/ ХСс* ./ U Ь
Ь—а~
ЕД-а?
а2($; j ’J' (х)v (х> tydx, (20.11)
Е—ат
= §f(x> t)v(x, f)d3. (20.12)
W
Функция иг является решением задачи распространения
начальной деформации <р(х), функция — решением задачи
распространения начальной скорости, функция — реше-
нием задачи излучения.
Выясним теперь значение ограничений, наложенных на
кривую (С), на которой задаются начальные условия.
Если бы какая-либо характеристика пересекала (С)
в двух точках Р и Q, то, применив формулу (20.7)
к точке Р, мы получили бы связь между значениями и
в точках Р и Q, лежащих на (С). Формула (20.7) и вывод
. Л- ди
ее остались бы справедливыми, но функции и и нельзя
было бы задавать на (С) произвольно.
Если бы характеристика, проходящая через точку Р($, т),
не лежащую на (С), пересекала бы кривую (С) «выше»
точки Р (т. е. для Q мы имели бы /> т), то в формулу (20.7),
определяющую значение и в момент времени т, входили бы
0Н 2 4 ТЛ
значения и или в момент времени г>т. Иначе говоря,
следствие (состояние в точке Р) предшествовало, бы во вре-
мени причине (состоянию в Q), что физически невозможно.
Вот почему мы требуем, чтобы каждая характеристика пере-
секала (С) в точке Q, лежащей ниже Р. Если в рассмат-
риваемом уравнении переменная t означает не время, а дру-
гую физическую величину, то это ограничение естественно
отпадает.
ОТЫСКАНИЕ ФУНКЦИИ РИМАНА
275
Для отыскания функции Римана поступим следующим
образом. Рассмотрим функцию
(20.13)
которая, очевидно, равна нулю вдоль обеих характеристик,
проходящих через точку Р(5, т) и вещественна в треуголь-
нике (Д). Будем искать v в виде функции от г,
я = Ф(г). (20.14)
При этом условие б) (стр. 272) дает:
Ф(0) = 1. (20.15)
Чтобы применить условие а) (стр. 272), найдем производ-
ные функции v (см. (20.14)) по t и х:
= Ф"/^У-Uф'= ф" «-'У _ф'(*-Е)2
dfl \dt) ' dfl z”- aW ’
д± = ф'7^Т -|- Ф' — = Ф" (х~е)2- Ф'
дх” 1 \дх) 1 дх* * М 4 aW
□ « = $’--------------И*'--------г—------^Ф =
= Ф" + - Ф' — сФ.
1 Z
Поэтому условие а), которому должна удовлетворять функ-
ция Римана, приводит к обыкновенному дифференциальному
уравнению для функции Ф:
Ф" _ь1ф'_сф = 0.
1 Z
Это — уравнение цилиндрических функций нулевого по-
рядка1). Его решением, удовлетворяющим начальному усло-
вию (20.15), является
Ф (г) = Jo (z V~c) = /0 (г ]/7).
Ч См. Добавление в конце книги.
276
§ 20. МЕТОД РИМАНА
Поэтому функция Римана рассматриваемого оператора
будет иметь вид:
= 4/ (20-16)
Подставляя это выражение для v в формулу (20.7) и учи-
тывая, что
g = - Л (г У^~е) 1^=7^ = - (z =
= Л (г V~с) V~c х-=± = - Л (г /7) У с х-=±;
Ъ = 4 (*/“) = К (г]/7) =
= -J^ V~c) у—<У-=^ = Д (г У с )\' ~с 1),
получаем:
<?2
и(5; *) = +Та I V0 (г у7) dx + а2ёdt\ -
Qx
— «AILLslyy [(/—i)dx — (X—$;Л]|ч-
+ 2И \iyzyc)fdS (20.17)
*(Д)’
при г > 0 и
___ Qx
+ Л] 4- jx {z у~с) [(/_ Т) dx-(x-l) <//]} +
+ \jQyV~)f.ds (20.18)
. (Д)
i) j'== — cm. Добавление стр. 553 и 566.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
277
при с < 0. При этом z определено формулой (20.13). В част-
ности, если начальные условия задаются при / = 0, то
иъ т)=.?(£-<»)+?(£+<«)
f J /0(/^ds <20-19)
М)
при с > 0 и
—ах) + ч>(; + ах)
— —— о (х) dx -4-
Н + ат_____________
+ Та J +
£ — ах
/ f Jo(/"-ф2-(-тЛ)№ t)ds (20-2°)
(А)'
при с < 0.
В случае волнового уравнения без дисперсии, т. е. когда
с = 0, формулы эти значительно упрощаются. Так как
Jo(O) =/о(О) = 1, то в этом случае мы имеем:
v == 1
(20.21)
что можно было усмотреть непосредственно из усло-
вий, определяющих функцию Римана). Решение задачи Коши
278
§ 20. МЕТОД РИМАНА
будет иметь вид:
/t. _\ uQ^llQi । 1 ( fdu , . «ди ,Л ।
«(£; О — 2 "ЬЧа J +
441'//*, (20.22)
‘ (А)
а если начальные условия заданы при t = 0, то
и (£; г) = ?(S-^).+ <p(e4-ax) +
s + qt
4-1 J <p(x)dx4-l f jfds. (20.23)
5—аг (Д)
При / = 0 эта формула совпадает с полученной нами в пре-
дыдущем параграфе другим способом формулой (19.2) (с за-
меной х на $ и t на т).
Чтобы проанализировать влияние члена си в операторе
на поведение решения, рассмотрим решение задачи распро-
странения начальной деформации, отличной от нуля только
X
Фиг. 51.
на отрезке (— е, е), где е — малое положительное число.
Пусть, например, график функции <р(х) имеет вид, пред-
ставленный на фиг. 51.
Решение будет:
если с = 0;
и . т) =Л ~~~дх) + ? (^ +
2
г?, У’4/
г‘ 4„ /<’-44
ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИОННОГО ЧЛЕНА
279
если
*0;
с> 0;
_л _ ? (; — at) + У G + at) __
т)— 2
c-J-ат
т2
2а J
£— ат
=—- <р (х) dx,
>2 • v f
если
$ = 50>s. Во
покой, пока
при т >
-j- £ „ 2s
до , равный —, и не оставляет ника-
явлений.
£<0.
Будем наблюдать за точкой с абсциссой
всех случаях мы обнаружим в этой точке
т < В первом случае (т. е. при с=±=0)
также будет наблюдаться покой. Возмущение, распространяясь
со скоростью а, наблюдается в точке £0 лишь в промежуток
f е о.
времени от --
ких остаточных
Если с '
то при т> мы получим:
УС X
"2а“
(/ 4”-'-^)
у--с,
«(£«; ’) =-----| ------------, _ ,г„,
<р(х)б/х (б?<0).
Если з считать весьма малым (по сравнению с ат— Ео) и
предположить, что то эти выражения могут быть при-
ближенно заменены более простыми
г r'
'ст
2
с
— со
|а2
А (с<0),
2
с
280
§ 20. МЕТОД РИМАНА
где
А = J о (х) dx.
Таким образом, достигнув за время ;п а £ точки £0, возму-
щение оставляет в этой точке остаточное явление, т. е.
«ф0 при всех т >Сп~ * • При т — можно воспользо-
ваться известным асимптотическим выражением для цилин-
дрических функций1) и получить:
д($0;
2а у 2кт
при с > 0 и
4 __
/t Ч — V— сА ( лг----------- 3 \
«(50; ------=^cos(t]/ — с — yd
а у 2nz \ /
при С<0.
Таким образом, остаточный эффект при с < 0 асимптоти-
чески представляет собой затухающее по закону гар-
моническое колебание с частотой ]/ — с, а при с > 0 воз-
растает по показательному закону.
Пример 1. Решение телеграфного уравне-
ния для бесконечной линии. Как известно из § 4
(см. формулу (4.3)), уравнение для напряжения v вдоль линии
имеет вид:
Й+<с/?+GL~) Ji - Й+R = о-
QD I
Подстановкой ъ = гдеЛ =—~~—, оно приводится
Lt
к виду
д2и о д2и ,2 Л
дР~а
(20.24)
х) См, Добавление стр. 562 и 566,
РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ
281
где
1 , CR — GL
а = - , b =-------
VCL 2CL
В соответствии с (4.5) начальные условия для функции и
имеют вид:
d«| CR — GL 1 dzn . 1 <11й .[(20.25)
dt\t^ = ^CL-^—C^bv0-crX=^^ |
где v0(x) и iQ(x) — напряжение и ток вдоль линии в началь-
ный момент времени.
Решение задачи Коши для телеграфного уравнения может
быть получено по формуле (20.19) подстановкой в нее ?(х)
и б (х) из (20.25) и с = ЬХ Интегрируя по частям член,
dif\
содержащий получим:
с_>.тРй(^ — ЯТ) + УО(С+ДТ) j
гп(; дх) —/0(;4-дг)
2дзс J
ах
2аС
(х-е)2\
=—-l0(x)dx. (20.26)
Как было указано на стр. 47, для тока i получается
такое же уравнение, как для v, и начальные условия, ана-
логичные (20.25). Предоставляем читателю получить это урав-
282
§ 20. МЕТОД РИМАНА
нение и начальные условия и, проинтегрировав его при помощи
формулы (20.19), получить следующий результат:
£+ ат
4-^ f
Г 2а J
В—ат
^9—<*х +
I . - Хт Vn (5 — ат) — УП (; + at)
। 2aL
рр-ххЧ’'
- Чк- (*-<) > (xzX -t>0(x)^. (20.27)
В случае линии без искажения, т. е. когда CR — LG и
b = 0, уравнение (20.24) окажется волновым уравнением
без дисперсии, а решения примут вид:
v т) = g-^ + +
е-Хг h о - ^77 <1+•) , (20.28)
/($. T)_c-xJo(e-ат)+ <(£ +at) ।
+ е-,-. . (2о.29)
Если, например, начальный ток и начальное напряжение
равны нулю всюду, кроме s-окрестности начала коорди-
I I ~ s
нат, где они неотрицательны, то при — г/ = 0 и
<о==/ = 0. При т. е, з случае линии]/: искажением,
РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ
283
или асимптотически при т -> оо и CR> GL> т. е. b > О,
а?С ]/ 2л Ьт, - т
Zo (х) dx
284
§ 20. МЕТОД РИМАНА
e*>-
I го(*И* +
y2nbt2bz J
а при CR < GL, т. е. b < О,
„ ч |6| ( f*
Ф($; ^(-===—— ®0(x)rfx +
I У 2п | о I т Z | b I т «7
Ч-Е
ьн f )
Я-----/=_.. /0 (х) dx г,
а?С y2itlblt t _J 0 )
4-е
се1 ь - Г )
Н-----г.... v0(x)dx\.
1 a’Z /2л|&|--т _J ov 7 ,
„л , ... CR±GL — \CR — QL\ G n R
Ho A — |Z>|=--------2CZ--------L ='с при ^>° и —
при b < 0 и поэтому окончательно
е с y/b ( f
";т)=т^Л,!2 /
— 8
-J- Е
+-Д-ро(х)^,}
— S I
г(£: т)^ГТ^7~Tb~ f *о(х)ах +
— э
4-е
(CR > GL),
РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ
285
или
е L' ]/\b\(
т у 2гст:
•n0(x) dx-\-
1
e
a?C
__л __
е /I b |
• (CR<GL).
У2r.z 2а 1 2 J dX +
5 f I
ГГГ J v0(x)dx}
Таким образом, начальное возмущение как напряжения,
так и тока, сосредоточенное вблизи начала координат (сиг-
нал, посланный из начала координат), распространяясь со
скоростью а= , оставляет остаточное возмущение,
асимптотически убывающее до 0 при т -> оо. При посылке
последующих сигналов они будут накладываться на эти оста-
точные явления, что будет вызывать искажение.
В случае линии без искажения мы получаем прит >
по (20.28) и (20.29) v = i = 0. Таким образом, остаточных
явлений нет, а следовательно, нет и искажения последую-
щих сигналов. Отсюда и название: линия без искажения.
Пусть теперь при b > 0 начальный ток и начальное на-
пряжение постоянны вдоль линии (tf0 = const., iQ= const.).
Из физических соображений ясно, что и напряжение и ток
останутся постоянными вдоль линии при любом фиксирован-
ном / = т>0. Поэтому из (4.1) и (4.2) получаем:
'at 'at
откуда
(20.30)
286
§ 20. МЕТОД РИМАНА
С другой стороны, по формулам (20.26) и (20.27) для
точки 5 = 0 при т=1 получим:
а
1 —
X2
Z(l) = ioe-X
— а
а2
1 — —
а2
4>
x2 \ , I
-=-) dxi.
a* / I
Подставляя сюда значения t>(l) и z(l) из (20.30), вводя
новую переменную интегрирования t = — и принимая во вни-
мание четность подинтегральных функций, мы получим:
1
b
о
f +/0(fr/1 -/2)1 dtz=
J L У J
-О-Ц1
= e o'1 _1=eb_j(
1
ь
’о
f ГЛ(» /1-.
•’ L /1-/’
/0(£/1—/2) dt =
~V-+X
— е L —\z=e~b — 1.
Из этих равенств без труда находим:
п
I Ц (Ьcos « f '.(t rr^F) dl = cb»=l
i • ‘
« (20.31)
2 1
J /0 (b cos ®) cos <р = I* 10(ьУ 1 — fi) dl = .
0 0
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИМСЯ источником
287
Мы вывели, таким образом, формулы для вычисления двух
часто встречающихся в приложениях интегралов, содержащих
цилиндрические функции. Эти формулы могут быть выведены
конечно и непосредственно.
Пример 2. Задача об излучении равномерно
движущимся точечным источником. Пусть в тон-
кой трубе, заполненной газом, при / = 0 газ неподвижен.
При I > 0 действует источник колебаний (например,
звуковых), занимающий лишь
2s и движущийся со скоростью
будет описываться уравне-
нием
малый промежуток
k. Колебание газа в
длины
трубке
dfl дх2 J1
при начальных условиях
и I = I = 0. Взяв
за начало координат поло-
жение центра источника при
t = 0, мы убедимся, что
/(х; /) = 0 вне полосы между
прямыми x-\-e = kt и x — e = kt (фиг. 52), а для точек х, t
из этой полосы /(х; /) = F(/), где F(/)— заданная функция,
характеризующая источник в различные моменты времени.
Мы можем применить для решения нашей задачи фор-
мулу (20.23). В соответствии с этой формулой получим:
(D)
где (£))— часть полосы, заключенная внутри треугольника (А).
Ввиду малой ширины 2е полосы (£)), можно интеграл по (D)
приближенно вычислить так:
*“2
(1>)
где и т2 координаты t точек пересечения прямой х = kt
с границами треугольника (А) (см. фиг. 52).
288
§ 20. МЕТОД РИМАНА
Если £ < — ят, то прямая не пересекает треугольника:
в точке наблюдается покой. Чтобы найти и т2 для других
Фиг. 54.
положений точки Р(Е, т), придется отдельно рассмотреть слу-
чай k < а (источник движется с дозвуковой скоростью) и &>а
(сверхзвуковая скорость источника).
В первом случае (фиг. 53) при $ > аг прямая не пересе-
кает треугольника и и == 0 (звук не достиг еще точки 5).
к<а
Фиг. 55.
При кг < $ < аг (фиг. 54) (точка £ находится впереди источ-
ника, но звук уже ее достиг) = 0, а т2 есть ордината
точки пересечения прямой x = kt с характеристикой х — 8 =
= a(t — т). Решая эти два уравнения, находим т2 = —
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИМСЯ источником
289
При — at^\<ikt (фиг. 55) (источник звука прошел мимо
точки $ и находится впереди ее) Tj — 0, а т2 есть ордината
точки пересечения прямой х = kt с характеристикой х — ? =
= — a(t— т). Решая эти уравнения, найдем т2 = у •
Таким образом, при дозвуковых скоростях решение
имеет вид:
т)
О
О-+-Л
о
(— ах < 5 < kx)
а—к
7 /
О
(kt < $ < at)
(at< £).
При сверхзвуковых скоростях (фиг. 56) и = 0, когда 5 > кх.
При — ордината точек пересечения прямых
Фиг. 56.
x = kt и х — —т), а т2— прямых x=kt и х — £ =
= — а(1— т). Таким образом, в этом случае тх = и
290
§ 20. МЕТОД РИМАНА
т„ = . Наконец, при
— а “у- к
== • Таким образом,
— ах < $ < ат, хг — 0 и т2 =
О
ат-И
а + к
i f F^dt
6
(— ах < $ < ах)
и (5; т) =
ат+Е
а + к
ах—£
а—к
F(t)dt
(ах < 5 < kx)
(kx<_ $)
Пусть, например, источник совершает гармонические коле-
бания с частотой со: F (/) = A cos со/. Тогда в дозвуковом слу-
чае мы имеем:
(
и ($; т) = •
О
Аг . az 4-
— Sin <0---—
аш
Аг .
— sin co----t
аш а — k
О
a-f-Z?
az — $
(В < ах)
(— ах < $ < kx)
(&t < £ < ах)
(ах < S).
Таким образом, наблюдатель, находясь в точке $ > О,
6 е
начинает воспринимать звук с момента у и до момента —
(т. е. пока источник движется к нему) слышит звук частотой
со , т. е. более высокого тона, чем звук, издаваемый
источником. С момента же — (когда источник удаляется от
наблюдателя) воспринимаемый звук имеет частоту со g j-,
т. е. более низкий тон. Явление это хорошо известно из фи-
зики под названием эффекта Допплера.
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИМСЯ источником
291
При сверхзвуковых скоростях наблюдатель не слышит
приближающегося к нему источника звука (и = 0 при т<~).
После того как источник пройдет мимо наблюдателя, он
воспринимает наложение двух звуков разных частот:
Ле Г . ат + |
а = — sin со „ ,---г
aw L а + я
ах — £
sin со------
а — k
Можно сказать, что наблюдатель слышит теперь одновременно
как звук, произведенный источником еще в стадии прибли-
жения к наблюдателю, так и звук, произведенный уже уда-
ляющимся источником. Заметим еще, что при сверхзвуковых
скоростях движения источника возникают также другие явле-
ния, не описываемые волновым уравнением, на которых мы
тут останавливаться не будем.
§ 21. Лучи. Бихарактеристики
Выясним теперь, какая существует связь между размерами
скачка второй некасательной производной от решения в различ-
ных точках характеристической поверхности (S), уравнение
которой / = ш(лг, у). Для этой цели воспользуемся уравне-
нием (17.13),в котором в явной форме выделены производные
по касательным к (S) направлениям.
На основании характеристического уравнения (17.14)
первый член в этом равенстве выпадает и уравнение прини-
мает форму
- 2 { («п Ч+«12 <9 да- + («13 < + «22 <9 } -
“ £ { £(2) ™ + £<1) Н + ? } + § + 2«19 +
+ а22^+&157+^2^ + С“ = 0 (21.1)
Выражение
+ -да («Л + <W>V)
ди
можно трактовать как производную от вдоль некоторой
кривой, лежащей на поверхности (S).
292
§ 21. ЛУЧИ. БИХАРАКТЕРИСТИКИ
Определение. Бихарактеристикой называется кри-
вая пространства х, у, t, лежащая на характеристической
поверхности S, определенной уравнением /=со(х,
// образующая в каждой своей точке с направлениями
осей х и у углы, косинусы которых пропорциональны
величинам
«!!<%+«12<% И йП%+а2зЧ-
Обозначим через т касательный вектор к бихарактери-
стике. Тогда по определению
cos (х, т) = W(аио>; 4- а13^);
cos(>, п:) = Л'(«1л< + «2304)- (21.2)
Cos(/j т) определим из условия перпендикулярности век-
тора к нормальному вектору характеристической поверх-
ности (S), который имеет составляющие a/,, о/,— 1:
+ а12ШР + <й12<+ Я22Ш?1 — C0S (Z> т) == °>
откуда ввиду (17.14)
cos (/, т) = А/. (21.3)
Представим уравнение бихарактеристик в форме х = х (^);
y=-y(t). Из (21.2) и (21.3) следует:
=аню® + а1з<0^ $=ai2% + a2aV (2k4>
Мы получим, таким образом, систему двух дифференциаль-
ных уравнений с двумя неизвестными функциями х и у.
Проинтегрировав эту систему и учитывая, что t = ш (х, у) С,
мы получим однопараметрическую систему бихарактеристик,
лежащих на данной характеристике. Через каждую точку
характеристики проходит одна бихарактеристика. Бихаракте-
ристики покрывают всю характеристику или, другими сло-
вами, характеристика состоит из бихарактеристик.
Проекция бихарактеристики на плоскость х, у назы-
вается лучом. Так как бихарактеристика связана с опреде-
ленной характеристикой, то и луч связан с определенной
характеристикой, т. е. с определенным движущимся фронтом
волны. Дифференциальные уравнения бихарактеристик (21.4)
являются также уравнениями лучей, с той лишь разницей,
ЛУЧИ
293
что в случае бихарактеристики t означает третью про-
странственную координату точек этой кривой, а в случае
луча t является параметром на плоской кривой. Этот
параметр имеет простое геометрическое значение. Он равен
апликате той точки бихарактеристики (лежащей на характе-
ристике), которая проектируется на данную точку луча,
т. е. тому значению времени /, при котором движущийся
фронт волны достигает данной точки луча (ср. стр. 232).
Уравнения (21.4) можно, таким образом, трактовать ' как
уравнения движения точки фронта волны вдоль луча.
Из формулы (21.4) легко найти скорость продвижения
волнового фронта вдоль луча или лучевую скорость
= V + а12Шр3+ («13% + Я22ШР3- (21 • 5)
Пользуясь уравнением фронта волны: ^=ш(х, у) (см. (17.9))
и формулой (21.4), можно найти также угол а между лучом,
проходящим через точку фронта волны, и нормалью к фронту
в этой точке:
cos а =
___й11мгР Ц- Ч~ Д22№У= РНОР
+ а12°4)2 + <Я12°^ + а12<08/)21 %-
В частности, в случае изотропной среды, когда
#11 = ^22 Я2, #12 =
г»луч = а = т>пор, cos а = 1,
т. е. в изотропной среде лучи в любой точке перпенди-
кулярны к фронту волны.
В переменных 5, т], а бихарактеристики, лежащие на
характеристке (S), с уравнением /=<о(х, v)4~C, опреде-
ляются уравнениями
а = С; + -dT=«i3%+a22V
В этих уравнениях t играет роль параметра на кривой.
294
§21. ЛУЧИ. БИХАРАКТЕРИСТИКИ
Чтобы выяснить физическое значение бихарактеристик и
лучей, вернемся к уравнению (21.1). Теперь это уравнение
может быть переписано так:
о д2и л ди , д2и ( о д2и , д2и f
1 Ifit ~ А lh "г яи 2<?12 ТГЭч Й29 дт? "г"
. , ди , , ди , п
+ + — °>
где
Д = £(2) [(oJ-J-KDM-f-p.
Продифференцируем это равенство по а:
— 2^?4-Д-^4-Н = 0. (21.6)
dtd^ 1 да* 1
Через Н здесь обозначена совокупность слагаемых, содер-
жащих дифференцирование по а менее двух раз. Пусть
теперь (S), как и в § 17, означает характеристику, отделяю-
щую часть пространства, в которой я = 0, от той части,
где Как и в § 17, находим, что на (S) равны нулю и
и все частные производные от //, в которых дифференциро-
вание по а фигурирует менее двух раз. Переходя в (21.6)
к пределу, приближаясь к (S) с одной или с другой стороны
и обозначая попрежнему через ji скачок производной при
переходе через (S), мы найдем:
— 2^Г + лн = °-
Интегрируя это уравнение вдоль бихарактеристики, получим:
(21-7)
Эта формула дает закон изменения скачка [i вдоль бихарак-
теристики. В частности, если скачок второй некасательной
производной равен нулю (или, наоборот, отличен от нуля)
в одной из точек бихарактеристики, то он равен нулю
(соответственно, отличен от нуля) вдоль всей этой кривой.
В этом смысле говорят, что разрыв второй некасательной
производной распространяется по бихарактеристике.
Другими словами, если в некоторой точке Ро волнового
фронта, соответствующего моменту tQ, скачок второй
некасательной производной равен {или не равен) нулю, то
ИЗМЕНЕНИЕ СКАЧКА ВДОЛЬ БИХАРАКТЕРИСТИКИ
295
при любом t в точке Pt волнового фронта, соответствую-
щего моменту t, лежащей на луче, проходящем через Ро,
этот скачок также равен {соответственно, не равен)
нулю.
Можно дать следующую оптическую интерпретацию этого
результата: если на пути волнового фронта поставлен экран
с щелью, то впереди экрана волновой фронт будет продви-
гаться только По лучу, проходящему через щель.
Вернемся, однако, к задаче нахождения бихарактеристик
и лучей. Дифференциальные уравнения (21.4) определяют
в пространстве х,у, t однопараметрическое семейство бихарак-
теристик, лежащих на заданной характеристике, определяемой
уравнением t=<n(x, у), или однопараметрическое семейство
лучей, связанных с заданным движущимся волновым фронтом.
Однако, поскольку характеристика часто бывает неизвестна
заранее, мы укажем способ нахождения всех возможных
бихарактеристик, или всех возможных лучей. Для этого за-
метим, что величины и а/, входящие в уравнения (21.4),
вдоль бихарактеристики являются функциями от t (заданными
через х и у).*Напомним, что эти величины имеют простое
геометрическое значение — они являются составляющими нор-
мального вектора к фронту волны, проходящему через дан-
ную точку луча. Обозначим эти величины через р и q
Р = ^ =
Будем рассматривать их вдоль бихарактеристики как неиз-
вестные функции от t, При этом
4£ = ф" 1L- 11= — Л. ф’ О.
dt хх dt ’ ®У dt 1 dt *У dt * УУ dt'
Подставляя сюда выражение и из (21.4), получим:
$ = + «12+ % [«12% + «22 %] =
=4 [ “И 7Г + 2«12 К®? + ] =
= 4 -h Ki%2 + 2«1з“Х + а^у} ~
___L Г dgit <2 I 2 да' । ш'21.
2 Эх ® ‘ дх « v‘ дх У I ’
да22
296
§ 21. ЛУЧИ. БИХАРАКТЕРИСТИКИ
dSt “ ["11 < + а^'у} + V ["12< + «22“>;i =
= 4- Г « 4— (o’2) + 2а... -Д- (о/ со') —|— а (со'2) 1 =
2 L 11 ду v v 7 * 12 ду v ж у’ 22 ду v у 7 J
= т ^7 [«и%2 + 2а12<0>^ + азЛ21 —
Отсюда ввиду (17.14)
>-ЧНг',а+2тпг'’’+тйМ <21-8>
и аналогично
^=_lf^ii p4^.2d-^-pq-t^q^. (21.9)
dt 2 L ду r 1 ду г 1 ду J v 7
Если присоединить сюда два уравнения, получающиеся из
(21.4)
^ = «п/>+«12<7. (21.Ю)
^=«12р+«22<7. (21.11)
то мы получим систему четырех дифференциальных уравне-
ний относительно четырех неизвестных функций от /: х, у, р, q.
Будучи проинтегрирована, эта система уравнений дает трех-
параметрическое семейство лучей и в каждой точке каждого
луча составляющую вектора, нормального к фронту волны,
связанному с этим лучом.
Более того, проинтегрировав эту систему уравнений,
т. е. найдя все бихарактеристики, мы сможем найти и самые
характеристики. Для этого заметим, что, как легко видеть,
каждая однопараметрическая система бихарактеристик обра-
зует характеристику. В частности, если дан фронт волны
при f=0 (т. е. кривая в плоскости х,у), то координаты
точек этой кривой вместе с составляющими р и q нормаль-
ного вектора к этой кривой нормированными условием
алР8 + 2а18р?-|-ам73= 1, (21.12)
могут быть в каждой точке кривой взяты за начальные усло-
вия. Если при этих начальных условиях проинтегрировать
НАХОЖДЕНИЕ БИХАРАКТЕРИСТИК И ЛУЧЕЙ
2.97
систему (21.8) — (21.11), то мы для каждой точки фронта
волны получим проходящую через нее бихарактеристику.
Это семейство бихарактеристик и образует характеристическую
поверхность, по которой распространяется данный волновой
фронт. Другими словами, проведя через каждую точку фронта
волны в плоскости а*, у луч и отметив на каждом таком луче
точку, соответствующую определенному значению f==/0, мы
получим фронт волны при / = £0. На этом основано известное
из оптики правило Гюйгенса.
Заметим еще, что задача интегрирования системы (21.8)—
(21.11) значительно упрощается тем, что заранее известен
один интеграл этой системы, а именно (21.12).
Все выведенные соотношения существенно упрощаются
в изотропном случае, когда = — а2; д12 = 0. В этом
случае соотношение (21.12) принимает вид:
а система (21.8) — (21.11) •—вид:
« Тг(Р2 + ?2)=-----~7Г, (21.13)
dt 1 4 7 а дх ’ v 7
S=~a ? (Р9+?2) = - —5^» (21.14)
dt ду 1 * 7 а ду9 v 7
~ = (21.15)
= (21.16)
Как мы уже говорили, в этом случае лучи являются
ортогональными траекториями семейства фронтов волны, а
скорость распространения не зависит от формы фронта и
равна а.
Другой важный частный случай — однородная, хотя и
не обязательно изотропная среда. В этом случае коэффи-
циенты аи, а]2, а22— постоянные величины. Поэтому урав-
нения (21.8) и (21.9) дают:
dt dt ~
298
§21. ЛУЧИ. БИХАРАКТЕРИСТИКИ
Таким образом, вдоль луча
р = const; q = const.
Из (21.10), (21.11) поэтому следует:
х — х0 «(ацр + y—y0=(a12p-\-a^q)(t—t0).
Таким образом, в однородной среде все лучи прямолинейны.
В случае однородной изотропной среды лучи являются
прямолинейными ортогональными траекториями движущегося
фронта волны. Их параме-
У трические уравнения с пара-
у t метром t имеют вид:
а' °2 х — xQ = a2p(t— tQ),
y—y0 = ^q^—^
-------- ---------l-a x а уравнения бихарактери-
стик — вид:
s' ' W ——/
а?р d?q °*
фиг> 57^ Найдем угол 7 между биха-
рактеристикой и соответ-
ствующим лучом. Так как в силу (21.12) а2(р24-?2) = 1>
то мы получим
sin^ = 7rT^J ctg1f = a.
Здесь, как было указано, у — угол, образованный бихарак-
теристикой и плоскостью х,у. Таким образом, в однородной
изотропной среде все бихарактеристики наклонены к плоскости
х,у под одним и тем же углом 7 = arcctga, а все характе-
ристики являются поверхностями, образованными движением
прямой, наклоненной к плоскости х9у под таким углом.
В частности, характеристикой является всякий прямой круго-
вой конус с углом -у между образующей и плоскостью х, у:
(х — х0)2 4- (у —уоу = а2 (/—/0)2.
В качестве примера применения выведенных соотноше-
ний рассмотрим задачу о преломлении луча на границе
двух однородных изотропных сред. Пусть (фиг. 57) (/) —
прямая, разграничивающая обе среды. Пусть О — точка паде-
ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
299
ния луча на линию раздела. Примем ее за начало координат,
ось х направим перпендикулярно к линии раздела, а ось
V •— по этой линии. Пусть величина а равна в первой
среде и а2 во второй. Представим себе, что вдоль линии
раздела имеется тонкий слой, в котором величина а непре-
рывно и гладко переходит от ах к я2. При этом = 0. Внутри
каждой из сред —>=0. Поэтому из (21.14) получаем:
? = <7о-
Из (21.13) получаем, что впервой среде р=рхи во второй
среде р = р2. Из (21.12) следует, что
Так как среда изотропна, то лучи перпендикулярны к фронту
волны. Поэтому р и q являются проекциями направляющего
вектора луча на оси х и у. Если теперь обозначим через
фх угол, образуемый падающим лучом с осью х (угол падения),
а через <р2— угол, образуемый этой осью с преломленным
лучом (угол преломления), то получим:
sin срх = ;==- = <70«i» sin =
Отсюда
Sin ___£1
sin <р2
Это есть хорошо известный из элементарной физики закон
преломления света.
§ 22. Обобщение метода Римана на случай
пространства двух и трех измерений
Задача Коши в пространстве двух (или трех) измерений
ставится так. Дана двумерная поверхность (S) в трехмерном
пространстве х, у, t (трехмерная гиперповерхность в четырех-
мерном пространстве х, у, 2, /), удовлетворяющая следующим
условиям:
1) она делит пространство на две части — верхнюю
(т. е. состоящую из точек х, у, I, у которых t больше,
чем у точек многообразия (S) с теми же х, у) и нижнюю;
300
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
2) для каждой точки P(!j, т) из верхнего полупро-
странства каждая бихарактеристика, проходящая через эту
точку, пересекает (S) в одной и только одной точке Q, лежа-*
щей ниже Р (т. е. имеющей меньшую координату /) (фиг. 58).
На поверхности (S) заданы две функции ср и ф.
Задача Коши состоит в том, чтобы найти в верхнем по-
лупространстве функцию и[(х, y*9t)9 (u(x9y9z; t))9 удовлетво-
ряющую заданному диф-
ференциальному уравне-
нию и удовлетворяющую
на (S) начальным условиям
и
(S) Jfl =ф, (22.1)
д-> |(S) Y’ v
t/
д ж
где означает диф-
ференцирование по нор-
мали к (5), направленной
в сторону верхнего полу-
х пространства.
Фиг. 58. Как и в одномерном
случае, можно убедиться, что условия (22.1) позволяют легко
определить в точках (5) производную от и по любому на-
правлению и что второе из этих условий можно заменить
заданием на (S) производной по любому направлению, не
касательному к (5) и направленному в сторону верхнего
полупространства.
Для конкретности мы в дальнейшем ограничимся случаем
однородной изотропной среды, т. е. уравнением с постоян-
ными коэффициентами вида
□ и = д^ — a*bu — cti=f, (22.2)
где
+ 5 (двУмеРный случай);
s S +1? + Й (трехмерный случай)
(22.3)
ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ РИМАНА
301
Назовем обобщенной функцией Римана оператора □ и
функцию -и, удовлетворяющую следующим условиям:
а) она зависит как от параметров от координат точки
PG, *1, *) (Р(1 ,), С, г));
б) при любой постоянной точке Р она удовлетворяет одно-
родному дифференциальному уравнению
□ ? = 0; (22.4)
в) вдоль всех бихарактеристик, проходящих через точку Р,
17 = 0; (22.5)
г) вдоль прямой, параллельной оси проходящей через
точку Р, она имеет характеристическую особенность, т. е.
чэ =— alnr-j-w (22.6)
в двумерном случае и
= (22.7)
в трехмерном случае. Здесь г означает расстояние от точки
до названной прямой (т. е. г = |Л(х — $)2 + (^— ц)2 в дву-
мерном случае и r = V(x — £)2--[-Су — — Q2 в трех-
мерном), w — непрерывная и дифференцируемая при г = 0
функция, а а — конечная величина, не тождественно равная
нулю и могущая зависеть от t.
Для простоты проведем дальнейшие выкладки для двумер-
ного случая. Как мы знаем из предыдущего параграфа, для
уравнения (22.2) все бихарактеристики — прямые линии, оди-
наково наклоненные к плоскости х,у. В частности (см. стр. 298)
все бихарактеристики, проходящие через точку ($, т], т), обра-
зуют прямой круговой конус (см. фиг. 58) с уравнением
(х—$)2+О'—^i)9=«2 (г—т)2,
являющийся характеристикой. Обозначим часть поверхности
этого конуса, находящуюся между точкой Р и поверх-
ностью (S), через (Гр), а часть (S), вырезанную конусом (Гр),
через (Sp). Обозначим далее через (Й>) часть поверхности
цилиндра (х—$)2Ч~(> — т})2 = е2, заключенную между кону-
сом (Гр) и поверхностью (S) и через (Гр) и (5р) части (Гр)
и (5р), находящиеся вне этого цилиндра.
302
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
Рассмотрим теперь трехмерную область (Дв), заключенную
между поверхностями (Гр), (Sp) и (Ер) (см. фиг. 58), и
интеграл
Л = f j* j* (f □ и — и □ »)
‘ (д.)
где и — решение рассматриваемой задачи Коши, a v— об-
общенная функция Римана.
Подинтегральное выражение может быть, как и в одно-
мерной задаче, преобразовано следующим образом:
_ __ д Г ди ди! ।
Подставив это выражение в Je, мы сможем применить тео-
рему Остроградского и преобразовать интеграл по (Дв) в инте-
грал по поверхности (£), состоящей из (Гр), (Sp) и (Ер):
+5 [°2 (“ 5 - ’ ©]} =/ J {[’ г? - “ аг] “s (’ '>+
(Sp
+ а* [“ Й “ v Й] C0SM+a2 [« cos Ы } <*s+
+ J J {bfr““f?]cos(v’/) + a2[“S-t’^]cos(v^) +
(Гр)
J {^№_a|»jcos(v>0+
+ a2[“ Й ~ cos <v>*)+a2 [a 0 ~ cos ds=
= Л + Л + 4 (22.8)
ОБОБЩЕНИЕ МВТОДА РИМАНА
308
Здесь v означает направление нормали к поверхности £
в пространстве х, у, t, направленной внутрь (Де).
Интегралы по (5р), (Гр), (2р) в формуле (22.8) обозна-
ченные соответственно через Jv J3 рассмотрим каждый
в отдельности:
J (bs-as]cos(v’^+«2[«^-^u]cos(v’x)+
(2р)
4~a2[zz # ^lcos(v,у) ds.
L ду dyj ' z
Ha (Sp) нормаль v направлена по радиусу цилиндра и
перпендикулярна к оси t. Поэтому
cos (v, f) — 0;
cos(v, х) = cos(r,x);
005(7,3/) = cos (г, у),
где г—направление радиуса вектора в плоскости х,у, исхо-
дящего из точки В, т]. Обозначая через (Zt) окружность,
являющуюся направляющей цилиндра, и через dl — диффе-
ренциал дуги на ней, преобразуем интеграл 73 так:
= J dl^(ud£-Vd£)dt,
(У
где Tj координата t пересечения образующей цилиндра (Sp)
с (SP), а т2 — с (Гр).
Ввиду условия г), которому удовлетворяет обобщенная
функция Римана с/, мы имеем:
1 1 ।
С! = а1п-----Н w:
г 1 ’
dv _______а . dw
dr г dr *
304
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
где w и — непрерывные функции. Поэтому
J3 = а2 f dl | Г — — zz и -j- а In г \dt.
3 J J I r 1 dr 1 dr dr]
(M
Так как на (Sp) г = e, а длина окружности /в равна 2ке, то
при е -> 0 интеграл от всех слагаемых, кроме первого, будет
стремиться к нулю, и мы получим:
limJ3 = — 2тш2 f аи ($, tj; /) dt, (22.9)
•-> о J
To
где т0 — координата t точки пересечения (S) с осью ко-
нуса (Гр).
Перейдем теперь к интегралу
Ji=/ J {b й -и й] c°s +а9 [й й -v й]cos (v> х)+
(ij>)
+ «2[“ cos (v, у) | ds.
Но по свойству в), которому удовлетворяет функция v9 ^ = 0
на (Гр) и поэтому
А= J J « [— ^cos(v,0+a9^cos(v,x)4-aa^cos(v,^)ps.
(ip)
Если уравнение (Гр) записано в форме
*=<о(х, у),
то, как известно,
cos (v, t} =-т=2=; cos (v, x) = —— _ .p. _—;
/p2 + <72 + i Fp2 + ?2 + i
COS (v, v) = • - g ,
V>+?2+i
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ₽>ИМАНА
305
^0) Э<1> г , z-n \
где P = ^ и q = -^. Но так как (Гр)—характеристика урав-
нения (21.2), то (см.
(17.19))
1
а2
Р
и, следовательно,
а
cos (v,/)
COS (У, Х)== ;COS(y,J/) = ——= .
/1-Н2 V У И л2
Подставляя эти значения в (J2), получим
г a i‘ f Гдг/ . 9 dv . 9 dt/Т ,
V1 + я2 J J Ldz dx dy]
(Гр)
По формулам (21.15), (21.16) вдоль бихарактеристики
9 dx о dy
a2P=df’
поэтому
а
dv <
J J “Tt '
(Гр)
где ^обозначает дифференцирование вдоль бихарактеристики.
Так как на бихарактеристике v — 0, то и = 0, и по-
этому окончательно
dii
dx
(22.10)
J2 = 0.
Перейдем к третьему интегралу Jt:
!?о71= J J
(Яр)
4-fl2[Wg-vg]coS(v,j/)}^. (22.11)
В этот интеграл входят значения функции и и ее первых
частных производных на (S), т. е. величины, задаваемые
начальными условиями (22.1). Следовательно (если обобщен-
ная функция Римана v известна), интеграл Jr может счи-
таться известной величиной.
306
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
С другой стороны, ввиду того, что
□ «=/; D^O,
lim J, также может считаться известной величиной
• -*• о
lim Jt = J J J vf dp.
J (1) J
(22.12)
Переходя в (22.8) к пределу при е -> 0 и подставляя вместо
входящих в формулу интегралов их выражения (22.9) —(22.12),
получим:
- / П = J’ ,f {[- т, - ° я ] “s <’• ч+
(А) (Яр)
, «I dv ди 1 ( х I о Г д111
-4-а2 \и ч-----*у ч- cos (V, х) + а1 \и 3-----v ч- cos
1 L дх дхJ v 1 L ду ду J
ds—
— 2ка2 j а (/) и (5, iq; t) dt,
откуда
г
J a(W, = J |^_a^jcos(v, 0 +
ч (SP)
+ а2 [“ — v cos (v, х) + а2 [а — vcos (v,j/)| d$+
+ 7JJ'J <22-13>
(A)
Так как правая часть этого равенства состоит из извест-
ных величин, то равенство это представляет собой инте-
гральное уравнение относительно искомой функции и(^, 'Т);/),
рассматриваемой как функция одного переменного /. Решение
этого уравнения является задачей более простой, нежели
исходная задача Коши.
Для трехмерного случая рассуждения и выкладки ведутся
аналогичным образом. Однако следует учесть, что при вы-
числениях интеграла по (S|>) нужно будет интегрировать не
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
307
по окружности радиуса е, длина которой 2ке, а по поверх-
ности сферы радиуса е, площадь которой 4ке2. Поэтому
в окончательном результате, кроме очевидных изменений по
сравнению с двумерным случаем, нужно еще коэффициенты
1 1 тл
— перед интегралами заменить на . Итак, для трехмер-
ного случая решение задачи дается формулой
j «(/)*($, Y], С; f) dt = -±_, J J J - a^| cos(v, t) +
ъ (SP)
+ fl2 [(“ Й ~ v Й) cos (v’ + (« % V cos (v,y) +
+ (“Й-г'Й)СО5^г)]}^ + 4^,1 J7 <22Л4)
(Д)
Из условий, определяющих обобщенную функцию Римана,
(см. стр. 301) следует, что они не нарушаются при умно-
жении функции v на постоянную. При этом, конечно, и
функция а умножится на эту же постоянную. Из формул
(22.13) и (22.14) видно, что постоянный множитель в функ-
циях v и а сокращается. Таким образом, постоянный мно-
житель в функции Римана следует считать несущественным
и выбирать его можно произвольно.
Покажем теперь, как для трехмерного случая фактически
построить обобщенную функцию Римана. Мы построим две
такие функции и получим, таким образом, из (22.14) два
интегральных уравнения, что облегчит их решение.
Обобщенная функция Римана v должна удовлетворять
уравнению — а2Д^— ^ = 0 и равняться нулю на «гипер-
поверхности четырехмерного конуса» (Гр)
(Л _ 5)2 + (у _ ^2 _ Q2 = й2 (f _ т)2.
Так как этот конус симметричен, то естественно ввести в про-
странство х, у, z сферические координаты с центром в точке
($, т], С) и предположить, что функция не будет зависеть
от 0 и ср. Тогда уравнение для v запишется в виде
g_a2^_2^_ct, = 0, (22.15)
dt2 dr2 г dr ’ v 7
308 § 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
Уравнение (Гр) в новых координатах, очевидно, будет
r = a(z— /). (22.16)
Введем в уравнении (22.15) вместо г и t новые перемен-
ные 7 = у и В — (т — /)2 — Эти переменные при-
нимают постоянные значения на (Гр), а именно: 7 == а и 8 = 0.
Поэтому естественно искать выражение v через 7 и 8. Будем
искать v в следующих видах:
V1 = Ф1 (I) (8); -1) (7) ^2 (8),
т. е. в виде
^ = (т-^^ФЛ.(7)^(6) (fe = l, 2). (22.17)
При этом
dy__ г _______ Т . д2Т_ 2г ____ 2у . ду____ 1 , д2у__п е
dt ~ (у — t)2 — dt2 “(т - ty —(т — /)2 ; d~r~~^~f ~дг*-‘>
до т — / д2о г2
dt о ’ dt2 ~
г_ф д2о b — ty-
dr а49 dr2 а ‘о3
Поэтому
= (г-О'-’Фл (I) ’Г* (3) (£)Чм‘~Ч (7) Ч^)®2-
_ 2 (^ — 1) (т — /),£-3ф;;(7) ад g-
- 2 (k - 1) (т - t)j!-4>k (Т) Ф. (3) | +
+ 2 (X - t)k-’ф; (Т) (3)gg + (т - (г) (8) g +
+(т_^-’ФИт)Ф'.(8)д=
+ Фь(7) (8) - 2 (k - 2) (т - /),г-8 7Ф* (Т) Ч\(8) +
+JI [2 (/г-п- ** w(8);
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ РИМАНА 309
= (X - t)k~l { Ф* (I) Фд (8) ~ + Фд- (7) 44 (8) £} =
= (* - О*-’ { Фл- (Т) (8) - Фд- (7) (§)} i
$=(т - (т) ,,г*(8) ®У+2Ф*(8) S й+
+ Фд- (7) Ф* (8) ©* + Ф* (7) Ф\ (8) + Фд. (7) Ф'л (8) } =
в (Т _ =ф" (l) (S) _ 2 (г-/)*"2 Фд (7) W,; (3) -
- О - Ой~дафд (7) ^(8) - (t - t)k+1 ± Фд (7) (3).
Подставляя все это в (22.15), получим после приведения
подобных членов и сокращения на (т — t)k~^\
Чгд (8) { (72 - а2) Фк (7) - 2 [ (fe - 2) 7 | Фд (7)} -|-
+ 4 - О2 Ф* (7) { ф£ (8) + Ф* (8) - сфд (8)} - 0.
Это равенство, очевидно, будет справедливо, если каждая
из фигурных скобок будет равна нулю. Таким образом, мы
получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
для функций 5\(8) и Фа; (7) соответственно:
Ф;(8) + ^^ФЦ8)-СФ-д(3) = О, |
Г -=_^| - } (22Л8)
(Т2 _ а2} Ф- (1) __ 2 [(fe - 1) 7 - 2-JL j ФА (7) = о. j
Первое из этих уравнений заменой неизвестной функции
Фд (8) = -приводится к виду
7.7. (о) Г Ь2 1
z;(8) + -v -|у+ф. = 0- (22.19)
Это уравнение цилиндрических функций £-го порядка. Так как
на поверхности (Гр), где 8 = 0, vk — (t — О*-1 Фд(7)Фд (8)
310
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
должно равняться нулю, то ф должно быть ограничено при
Поэтому в качестве решения уравнения (22,19) берем
и, таким образом, получаем:
(8)
(/с8)» ‘
В уравнении (22.18) нужно отдельно рассмотреть случаи
/г = 1 и fe = 2. В первом случае
// О г 1
*1>1(7)4-уФ1(т) = 0 и -^(1) = !+^
При k = 2
Разделяя переменные и интегрируя, мы найдем
= и фа(7)=^ + 1 + С2’).
Заметим теперь, что на (Гр), где f — а, 8 = 0, v должно
равняться нулю. Так как при 8 = 0 конечно, то должно
быть Фд.(а) = О. Поэтому
А , ч 1 1 А , . . •; . 1 2 (т — а)2
f а ’ ' а2 т а ~ а«т
Окончательно получаем:
_ 1 Г /" а (х —Г) —rU/ft (У С (х — /)2 — "а? )
Vk г [V a(t— 0 + d (/c)ft
(k=l, 2).
(22.20)
Мы строили функции v/c так, чтобы они удовлетворяли
условиям а), б) и в) (см. стр. 301). Легко, однако, проверить,
*) В обоих случаях произвольный множитель, ввиду его не-
существенности, выбираем так, как будет удобно для дальнейшего.
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ РИМАНА 311
что они удовлетворяют также условию г). При этом вели-
чина а из формулы (22.7) будет:
= lim rvk = —4 [фТ (? - 4]; (k = 1, 2). (22.21)
о ( у с )№
Подставляя найденное значение vk и ак в (22.14), мы
получим, как уже говорилось, в правых частях извест-
ные величины. Для сокращения обозначим результат под-
становки в правую часть формулы (22.14) вместо v
функций vk из (22.20) через Uk (й=1,2), Таким обра-
зом (22.14) даст:
/ и($, 7], С; 4 4[ИС (т-0] dt = {Vc^Uk {k = 1, 2). (22.22)
т0
Для решения этих уравнений продифференцируем первое
из них по т:
у с | и (£, V], С; t) 1[ [Ус (-с — /)] dt Д-
+ и (5, т), С; 4 4 [/с (г- /)] = Vc .
Но так как 4 (0) = 0 и 4 = у 4~Ь у 4 0» т0
^г=4.[ «а7),.C;4Z0n/F4-4+
то
+ 4 ,f ^;t)l2[V7^-f)]dt,
что вместе со вторым уравнением (22.22) даст:
[ «(5. ч С; 04 [Vc (z-t)]dt =2^-сщ.
г) См. Добавление, стр. 566.
312
§ 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
Вторичное дифференцирование, принимая во внимание
4>(°)=:1> k — Ц, даст:
«ft |<=т+
4- V c / «(£, 7h C-t)!, []/7 (т —/)J = 2 ^-с<£
я, следовательно, принимая снова во внимание первое из
уравнений (22.22),
« ft -ЧЛ; -) = 2 cUv (22.23)
Нужно иметь в виду, что при дифференцировании выра-
жений иг и t/2 по х следует принимать во внимание зави-
симость от т как под-
интегральных функций,
так и области интегри-
рования. Для этого
нужно воспользоваться
общими правилами диф-
ференцирования много-
мерных интегралов по
области, зависящей от
параметра *).
Так же как и в одно-
мерном случае, из фор-
мулы (22.23) можно
сделать ряд важных
выводов:
1) решение задачи
Коши единственно;
2) решение в точке
Р зависит только от
начальных условий в части поверхности S, вырезаемой кону-
сом (Гр), и от правой части уравнения только в точках про-
странства х, у, zf t, лежащих внутри этого конуса (см. фиг. 59,
где изображен двумерный случай);
*) См. Г у р с а, Курс математического анализа, ч. I, ГТТИ, 1933,
стр. 351.
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
313
3) начальные условия в точке поверхности влияют
только на решение в точках, лежащих внутри верхнего
полуконуса, проведенного из Значение правой части
в точке Qo верхнего полупространства влияет только на ре-
шение в точках, лежащих в верхнем полуконусе с вершиной
в точке Q2.
В частности, при с = 0, т. е. для уравнения без диспер-
сии, все результаты значительно упрощаются. В этом случае
принимая во внимание что
Л (х) |
х 1ш=о 2 ’
из (22.20) и (22.21) получаем,
1 Гт — t 1 1 т — t
= ----т]>
и (22.23) дает просто
г ч о д2^
и (Е, т), С; т) = 2 —-
дт2
Вторая функция U2 теперь не нужна. В этом случае про-
дЧ^ А. ™
изводную можно фактически вычислить. Мы не будем
здесь проводить соответствующих преобразований и выпишем
лишь окончательный результат:
Здесь (2Р) означает проекцию на пространство х, у, z пере-
сечения гиперповерхности (S) с конусом (Гр), п — внешняя
нормаль к этой поверхности в трехмерном пространстве х, у, г,
(£>)— трехмерная область, заключенная внутри (£), а г, как
всегда, расстояние от переменной точки (х, у, z) до
точки ($, т), С). Второе и третье слагаемые, очевидно, можно
трактовать как потенциалы простого и двойного слоя,
314 § 22. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА РИМАНА
расположенного на (£р) с плотностями обложения и и
дп
Однако в этих плотностях значения функций берутся не
в момент времени т, для которого вычисляется и (S, т], С),
а на - единиц времени раньше, т. е. с таким упреждением,
которое необходимо для того, чтобы возмущение из точки
(х, у, z) достигло точки (£, Q. Поэтому (ср. стр. 260) эти
два слагаемых называются запаздывающими потенциалами
простого и двойного слоя. Последнее слагаемое — это запаз-
дывающий потенциал масс, объемно-распределенных по
области (D). Формула (22.24), принадлежащая Кирхгофу,
является обобщением формулы (10.5), дающей представление
решения уравнения Пуассона в виде суммы трех потенциалов.
Действительно, если и и правая часть уравнения f не зависят
от /, то волновое уравнение переходит в уравнение Пуассона,
а формула (22.24) переходит в (10.5), ибо первое слагаемое
при этом пропадает.
Формула Кирхгофа (22.24) дает несколько больше, чем
решение задачи Коши. Если (£))— произвольная ограниченная
область в трехмерном пространстве х, у, z, a (S) — ее гра-
ница, то формула (22.24) дает возможность вычислить и
в произвольной точке ($, т], С) внутри (£>) при достаточно
большом т (т > г™ах •, где rmax — наибольшее расстояние от
точки (5, т], С) до (£)) через значение и, и на (S)
в «упрежденные» моменты времени. Формула Кирхгофа является
наиболее полным математическим выражением известного
в физике принципа Гюйгенса. Она играет важную роль в ма-
тематической оптике и в некоторых разделах теории колебаний
трехмерных сред. Само собой разумеется, что формула (19.16)
является частным случаем формулы Кирхгофа и получается
из нее, если в качестве области (£>) взять шар радиуса ах
с центром в точке (5, т], Q.
ГЛАВА IV
ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
Одним из наиболее часто применяемых методов математической
физики является метод отыскания решений в виде рядов по неко-
торым функциям, тесно связанным с рассматриваемой задачей,—так
называемым собственным функциям. Физически в наиболее простых
случаях этот способ соответствует наложению стоячих волн.
В старых учебниках этот метод часто называли методом Фурье.
Это название исторически совершенно не обосновано, так как от-
дельные применения метода собственных функций восходят еще
к Эйлеру, а общая его формулировка была впервые дана
М. В. Остроградским. Строгое обоснование метода было впервые
получено В. А. Стекловым.
В настоящей главе излагаются основы этого метода. В § 23
метод показан на простейшем примере, затем формулируется общая
постановка задачи и основные вопросы, без разрешения которых
нельзя безошибочно пользоваться методом собственных функций.
В § 24 излагаются простейшие свойства собственных функций,
в частности выясняется, что собственные функции образуют так
называемую ортогональную систему. В § 25 рассматривается задача
представления функций рядами по ортогональной системе. Про-
стейшим примером таких рядов являются хорошо известные триго-
нометрические ряды. В конце этого параграфа формулируются
ответы на основные вопросы, поставленные в § 23. §§ 26—29 со-
держат разбор наиболее часто встречающихся систем собственных
функций (которые будут применены при решении задач в следую-
щей главе). В частности в этих параграфах изложена теория неко-
торых специальных функций, часто применяющихся в математи-
ческой физике.
§ 23. Колебание ограниченной струны.
Постановка задачи о собственных функциях
Рассмотрим однородную струну длины Z, концы которой
закреплены и на которую не действуют никакие внешние
силы. Выберем начало координат в одном из концов струны,
а ось х направим по струне. Как мы знаем из § 1, функция
и (х; Z), описывающая свободные малые колебания такой
316 § 23. КОЛЕБАНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
струны, удовлетворяет однородному дифференциальному
уравнению
S—«2й=° (2з-о
dt2 дх2 v '
и однородным краевым условиям
и (0; /) = 0; и (I; /)=-0. (23.2)
Каждое конкретное движение струны определяется, кроме
уравнения (23.1) и краевых условий (23.2), еще некоторыми
начальными условиями.
Мы для начала изучим простейшие возможные движения
рассматриваемой струны—так называемые стоячие волны.
В соответствии с § 18 стоячей волной называется такое
движение, при котором формы струны в различные моменты
времени подобны между собой. Как было показано на стр. 241,
стоячая волна задается функцией, имеющей вид:
и(х; /) = <¥(/) Г(/), (23.3)
где функция Т(/), зависящая только от времени/, называется
законом колебания и описывает характер движения отдель-
ных точек струны, а функция X(я), зависящая только от
координаты х, описывает форму струны в различные моменты
времени, одинаковую с точностью до множителя Т(0.
Посмотрим, какие стоячие волны возможны у струны
с закрепленными концами. Прежде всего, очевидно, что
функция ЛГ(х) должна удовлетворять условиям (23.2) закре-
пления на концах, откуда
(0) = 0; -¥(/) = 0. (23.4)
Кроме того, Х(х) и Т(/) должны удовлетворять неко-
торым уравнениям, вытекающим из уравнения (23.1). Чтобы
получить эти уравнения, подставим в (23.1) выражение и
из (23.3) и получим:
Х(х) Т" (t) = a2T(f)X" (х).
Разделив обе части этого равенства на fl2AT(x) T(t), получим
77/ (0 __ X" (х)
а2!'^ Х(х)*
РАЗЫСКАНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН
317
Так как левая часть этого равенства зависит только от
а правая часть от t не зависит, то эта левая часть, а значит,
и правая равны одной и той же постоянной. Обозначим эту
постоянную через — X.
Т" (О х
a*T(t) Х(х)
откуда
(23.5)
АГ// + АХ=О. (23.6)
Это и есть искомые уравнения для Т и X, которые легко
могут быть решены.
Общий интеграл уравнения (23.6) имеет вид:
Х(х) = Схе + .
Для определения постоянных используем условия (23.4).
Первое из них дает А’(О) = Сг -|- = 0, откуда С{ — —С2 и
X(х) = Cj (Z"Xr — е~У(23.7)
Второе условие (23.4) даст тогда:
е~2^) = 0.
Так как (иначе Х(х) = 0 и и = Х-Т = 0, т. е.
решение описывало бы состояние покоя струны), то
и ~ —I
е —е
и е211 “-х=1. Отсюда, как известно, следует
2// —X = 2irm (п = 1, 2, 3, ...)
(решение п = 0 и X = О отпадает, так при X = О уравнение
(23.6) имеет общий интеграл вида Л'=С1х-|-С2 и этим
решением невозможно удовлетворить условиям (23.4) при
Х^О).
Итак, постоянная X может принимать только значения
тг2
Z = («-=1,2,3,...). (23.8)
318 § 23. КОЛЕБАНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
Все эти значения положительны и, подставляя их в (23.7),
получим:
V г \ г г —гу пх1 п • ппх
Хп(х) = С1[е 1 —е 1 ] = 2iCxs\n — .
Чтобы Хп(х) было вещественным, нужно, чтобы С\ было
чисто мнимым, и мы можем обозначить 2iCt через С. Тогда
Arn(x) = Csin^ (п = 1, 2, 3, ...).
Заметим еще, что постоянный множитель в выражении для Хп
может быть выбран произвольно, так как форму волны мы
определяем с точностью до коэффициента подобия, который
изменяется во времени и может быть включен в функцию T(t).
Итак, мы приходим к окончательному выводу, что
V струны с закрепленными концами возможны только
стоячие волны следующей формы (фиг. 60):
^n(x) = sin^. (23.9)
Теперь найдем функции Tn(t), соответствующие форме
волны Хп(х). Для этого подставим в (23.5) значение Аге
из (23.8):
Т" + ^-л97'„ = 0.
РАЗЫСКАНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН
319
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Тп (/) = Вп sin -J- t + C„cos -у t = Ап sin[—j-t 4- ©„^,
где Вп и Сп или Ап и — произвольные постоянные.
Теперь мы можем написать окончательное выражение для
всех возможных стоячих волн:
z . /кап , . \ . ттх
“п = Ап sin Z + ?п) Sin — =
( гу • кап , . кап Д . кпх (23 10)
— \Вп S1H — /4- Сп COS— SIH —
(№1,2,3, ...).
Таким образом, п-я стоячая волна описывает такое дви-
жение струны^ при котором каждая ее точка совершает
гармоническое колебание с одинаковой для всех точек часто-
той Амплитуды этих колебаний изменяются от точки
к точке и равны Ап | sin (Ап произвольно). В точках,
где sin^y = 0, т. е. в точках х==/~- (k = 0, 1, 2, ...),
амплитуды колебаний равны нулю. Это—узлы стоячей волны;
п-я волна имеет п—1 таких узлов ;(не считая концов
струны). В точках, в которых |sin^^| = l, ип имеет мак-
симальную амплитуду колебания Ап. Это — пучности стоя-
чей волны.
Так как свободные колебания рассматриваемой струны
однозначно определяются ее начальной формой и |^==0 и на-
ди I
чальными скоростями ее точек ^4 , то очевидно, что стоя-
чая волна возникает тогда и только тогда, когда начальное
отклонение и начальная скорость имеют вид:
I ~ . кпх ди I е. . кпх
и\ = D sin —7-; 5- = Е sin .
It=o 1 dt Uo 1
Этой стоячей волной будет:
и (х; t) = (— Е sin у- t -j- D cos —у t \ sin —j-.
320 § 23. КОЛЕБАНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
Заметим теперь, что так как и уравнение (23.1) и крае-
вые условия (23.2) однородны, то на основании сказанного
на стр. 62 сумма нескольких решений, например нескольких
различных стоячих волн, также является решением уравне-
ния (23.1), удовлетворяющим условиям (23.2). Движение,
описываемое такими решениями, очевидно, возникает, если
и If=o = Dt sin 4 О2 sin 4 ... 4 О, sin «,
=E1Siti^4£,sin^4 . .. 4^.Sin^. (23.11)
Эти соображения остаются в силе и в том случае, когда
конечные суммы в (23.11) заменяются бесконечными рядами,
если только сходимость получающихся рядов стоячих волн
обеспечивает применимость принципа наложения.
Однако, из теории рядов Фурье известно, что любую
функцию, заданную на интервале (0, Z) и удовлетворяющую
некоторым условиям, можно разложить в ряд Фурье по функ-
циям (23.9). Если теперь предположить, что функции <р(х) и
^>(х), -задающие начальное положение струны и ее началь-
ную скорость, удовлетворяют условиям разложимости в ряд
Фурье, и осуществить это разложение, то начальные условия
запишутся в виде
и Ь=о = <?(*) = 2 Z)”siu ’
П —1
где
j i
~ 2 Г , ч . ппх , с. 2 f . z ч . ппх ,
Dn^~i\ ?(*)sin — dx, En = -j- | -4%)sin dx,
0 0
а решение будет иметь вид бесконечного ряда стоячих волн:
со
, .ч V[ / г • nant . гч па nt] . ппх
и (х, 0 = Еп Sln — 4- Dn COS —] sin -r .
n=l
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
321
Перенесем теперь изложенные при решении разобранной
задачи соображения на более общий случай смешанной за-
дачи для однородных уравнений и однородных краевых
условий.
Пусть дана ограниченная область (D) в пространстве
одного, двух или трех измерений.
Через Р мы обозначим произвольную точку из области (D)
и через и(Р)— функцию от координат этой точки. Рассмот-
рим линейный дифференциальный оператор от функции и
вида
L [и] = div р grad и — qu, (23.12)
где р(Р) и q(P)— функции, непрерывные внутри (D) и на
ее границе (2). Сверх того, мы будем предполагать, что
Р(Р)>0
внутри и на границе области (D).
Если задача одномерна, то область (D) сводится к интер-
валу {а, Ь) оси х. В этом случае под операторами grad и
d
div следует понимать —, а следовательно,
“• (2злз)
На границе (2) области (£)) будем рассматривать одно-
родные краевые условия вида
Л[я]=0, (23.14)
где
Л[«]=р^ — ?«, (23.15)
ИЛИ
А[и]==и. (23.16)
В первом случае мы будем говорить о краевых условиях
типа Д, во втором случае — о краевых условиях типа Б,
В (23.15) ( означает непрерывную и неотрицательную функ-
цию, заданную на (2), а п — направление внутренней нор-
мали к (£).
322
§ 23. КОЛЕБАНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
В одномерном случае граница области состоит из двух
концов интервала а и b и под производной следует по-
нимать в точке а и — в точке Ь. Задание функции f
сводится тогда к заданию двух неотрицательных чисел
и а оператор Л [zz] к
а [«] = Р (а) (а);
^} = -p{b)d-^-Uu{b). (23.17)
Отметим, что краевые условия типа Б можно рассма-
тривать как предельный случай краевых условий типа А
при 7 —> оо.
Для одномерных задач мы будем иногда рассматривать
краевые условия иного типа, так называемые условия пе-
риодичности^ задаваемые двумя равенствами:
и (а) — и (£), р (а) и' (а) = р (Ь) и' (б), (23.18)
Эти краевые условия также однородны, но их существенное
отличие от (23.14) состоит в том, что в каждое из равенств
(23.18) входят обе точки а и Ь.
Мы будем рассматривать следующую задачу:
Найти функцию точки Р области (D) и времени t,
д овлетворяющую:
а) в (D) дифференциальному уравнению
= (23.19)
где р (Р) — неотрицательная непрерывная в области (D) функ-
ция, а а и р — две неотрицательные постоянные (не равные
нулю одновременно);
б) в точках границы области (D) краевому условию
Л [zz] ===== 0; (23.20)
в) начальным условиям в (О)
«I Й =^(Р), (23.21)
|Z«==0 01 t=o
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
323
где 9 и ф — заданные в (D) функции точки (если в уравне-
нии (23.19) а = О, то второе условие (23.21) отсутствует).
Функция р (Р) называется весовой функцией данной задачи
или просто весом.
Задачи с операторами, краевыми условиями и весовой
функцией описанных типов будем называть правильными.
Однако в одномерном случае иногда встречаются задачи
с особенностями на концах интервала. Эти особенности могут
состоять либо в том, что функция р (х) или р(х) обращается
в нуль на концах интервала, либо в том, что q (х) на кон-
цах интервала бесконечно возрастает. При этом уравнение
(23.19) имеет разрывные на концах интервала коэффициенты.
В этом случае нельзя задавать произвольные краевые условия.
Не имея ни возможности, ни надобности рассматривать подоб-
ного рода задачи с особенностями в более или менее общей
форме, мы ограничимся классом задач, который заключает
в себе могущие нам встретиться случаи и для которого
исследования проводятся сравнительно легко. Именно, мы бу-
дем предполагать, что в задачах с особенностями на концах
интервала функции /?(х), q (х) и р (х) таковы, что (х—а)2
и j- (х — а)2 разлагаются в степенной ряд в окрестности
точки а, а (х — д)2 и ---(х — £)2— в окрестности точки b
и, кроме того, что
lim ~ (х —• а)2 == lim — (х — Ь)2 = О,
х+ъР (23.22)
lim — (х—а)2=Д;>0; lim — (х—£)2 = В 0.
х^аР х-^ьР
При этом, если А > 0 или В > 0, то на соответствующем
конце интервала будем рассматривать краевое условие вида
и = 0, если же А = 0 или В = 0, то условия вида р =0х).
По аналогии с методом, изложенным ранее, будем искать
стоячие волны, допускаемые уравнением (23.20) и краевыми
1) Заметим, что для операторов рассматриваемого вида эти крае-
вые условия эквивалентны требованию ограниченности функции и на
концах интервала,
324 § 23. КОЛЕБАНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
условиями (23.21). Обозначая форму волны через Л (Р),
а закон колебания через Т (/), будем искать решение в виде
и(Р- f) = X(P)T(t).
Подставляя это в (23.19) и (23.20), получим после разделе-
ния переменных
= (23.23)
во всех точках (D) и
Л [АГ] == 0 (23.24)
во всех точках границы (£). Так как левая часть равенства
(23.23) зависит только от времени /, а правая от t не зави-
сит, то тождество возможно лишь, если обе части постоянны.
Обозначая эту постоянную через — X, получим:
а Г + рГ 4- кТ = 0, ; (23.25)
L [Л] 4- ХрХ = 0. (23.26)
Итак, форма стоячей волны должна удовлетворять урав-
нению (23.26), содержащему параметр Л, и краевому усло-
вию (23.24). Как мы видели, в случае струны решения X,
удовлетворяющие краевым условиям, возможны не при всех
значениях Л.
Значения параметра X, при которых существуют не
тождественно равные нулю решения уравнения (23.26),
удовлетворяющие краевым условиям (23.24), называются
собственными значениями, а соответствующие им реше-
ния X — собственными функциями. Если существует соб-
ственное значение X и собственная функция X, то, интегрируя
уравнение (23.25) при соответствующем X, мы найдем функ-
цию Т (t) и, умножая ее на X (Р), найдем стоячую волну.
Явление, описываемое этой стоячей волной, очевидно, реали-
зуется, если начальные условия — функции <р(Р) и ф(Р) из
(23.21)—пропорциональны Х(Ру Если существует несколько
собственных функций X (Р), то можно найти несколько стоя-
чих волн, а значит, найти решение в случаях, когда началь-
ные условия <р(Р) и ’^(Р) представимы как линейные комби-
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
325
нации форм этих волн. Если собственных функций так
«много», что любую функцию, заданную в области (/^(удовле-
творяющую некоторым естественным условиям гладкости),
можно разложить в ряд по этим собственным функциям, то
можно будет находить решение для любых начальных усло-
вий в виде ряда по сответствующим стоячим волнам, точно
так, как мы это делали в случае струны.
Итак, разработка намеченного здесь метода так называе-
мого метода собственных функций, упирается в решение
следующих вопросов:
а) Существуют собственные значения?
б) Сколько существует собственных функций?
в) Можно ли достаточно широкий класс функций пред-
ставлять рядами по этим собственным функциям?
г) Будут ли соответствующие ряды стоячих волн
сходиться достаточно хорошо, чтобы был применим прин-
цип наложения?
Важную роль играет также вопрос о знаке собственных
значений, с которым связан характер решения поставленной
задачи. Так, например, при р = 0 положительным Л будут
соответствовать периодические колебания, отрицательным
л — апериодические движения по показательному закону.
В гл. V мы увидим, что знание достаточного количества
собственных функций позволяет решить не только те задачи,
о которых только что была речь, но также и многие другие.
В ближайших параграфах мы займемся систематическим
изучением собственных значений и собственных функций
уравнения (23.26),
§ 24. Простейшие свойства собственных значений
и собственных функций
В этом параграфе мы установим ряд простейших свойств
собственных значений (в предположении, что эти собственные
значения существуют) и соответствующих им собственных
функций для уравнения (23.26).
1. Если существует собственное значение Ло, то соот-
ветствующая ему собственная функция uQ непрерывна
вместе со своими производными до второго порядка
в области (/)).
326 § 24. СВОЙСТВА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВ. ФУНКЦИЙ
Это свойство следует из общих теорем теории диффе-
ренциальных уравнений, если принять во внимание, что uQ
является решением уравнения
L [и] + Хор« = 0. (24.1)
2. Если существует собственное значение Хо и соот-
ветствующая ему собственная функция и0, то при любой
постоянной С функция CuQ также является собственной
функцией^ соответствующей тому же собственному зна-
чению Хо.
3. Если существует собственное значение л0 и ему со-
ответствуют две (или несколько) Собственных функции,
иг и и2) то их сумма снова есть собственная функция,
соответствующая тому же собственному значению.
Доказательства этих двух свойств следуют непосредственно
из того, что собственные функции, соответствующие Хо,
удовлетворяют однородному дифференциальному уравне-
нию (24.1) и однородным краевым условиям. В связи со
свойством 2 может быть сделано следующее замечание. Так
как собственные функции определяются с точностью до
постоянного множителя, то целесообразно ввести соглашение
о выборе этого множителя. Часто бывает удобно выбрать
этот множитель так, чтобы удовлетворялось соотношение
fp«o2^ = lJ). (24.2)
(i)
Очевидно, что это всегда возможно. Действительно, так как
собственная функция не тождественно равна нулю и р > 0, то
I pz/orf|i>0, поэтому, если | ри^йуф], то достаточно
(П) (D)
1
умножить uQ на постоянную , где
— [р«оф, (24.3)
(Ь)
чтобы получить собственную функцию, удовлетворяющую
условию (24.2).
Ч Здесь и в дальнейшем интеграл по области (D) произволь-
ного числа измерений обозначается одним знаком J, а элемент
длины, площади или объема этой области обозначается dp.
ЛИНЕЙНОСТЬ СОВОКУПНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 327
Число определяемое формулой (24.3), называют
нормой функции uQ, а множитель -------нормирующим мно-
жителем.
Функцию, удовлетворяющую условию (24.2), называют
нормированной с весом р.
Пример. Область (О) — интервал р = 1,
//0 = sin kx\ нормирующий множитель ~ = / ——---------=
J sin2 kx dx
1 0
—и нормированная функция будет:
У к
sin kx
В этом и следующих параграфах мы будем предполагать
(если не оговорено противное), что все рассматриваемые
собственные функции нормированы с весом р.
В связи со свойством 3 можно сделать следующее заме-
чание. Так как линейная комбинация из нескольких собствен-
ных функций, соответствующих собственному значению Хо,
всегда является собственной функцией, соответствующей тому
же собственному значению, то существенно новой следует
считать такую собственную функцию, соответствующую тому
же Хо, которая линейно-независима от ранее известных соб-
ственных функций. Поэтому вводится следующее определение:
количество линейно-независимых собственных функций,
соответствующих данному собственному значению Хо,
называется его кратностью. Если кратность Хо равна 1,
•то собственное значение Хо называется простым. Если крат-
ность Хо больше 1, то кратным.
Как мы увидим в дальнейшем, во всех рассматриваемых
нами задачах каждое собственное значение имеет конечную
кратность. Если k — кратность собственного значения Хо и ир
и2, ..., ик — линейно-независимые собственные функции, ему
соответствующие, то всякая другая собственная функция,
соответствующая Хо, представима в. форме
к
и= ^CiUi,
328 § 24. СВОЙСТВА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ и собств. функций
так как в противном случае она была бы линейно-независима
от ии и2, ...» ик и кратность а0 была бы больше k.
Для изучения дальнейших свойств собственных функций
нам нужно ввести некоторые важные вспомогательные фор-
мулы. Пусть и и v — две функции, заданные в (£>). Рас-
смотрим J L[u]vd^. Этот интеграл является величиной,
(D)
зависящей от функций и и v. Такие величины называют
функционалами от и и v. Обозначим наш функционал
через—К {и, v]:
K[u,v] = — [ L[u]vdy.. (24.4)
(•»)
Функционал К, очевидно, линеен относительно каждого из
своих функциональных аргументов, т. е.
К + с2«2, Vl = CjKfUj, v] -j- C^K[U2, Р],
К[и, c1v1 -J- — ciK[u, гл,] с2К [и, я2].
Функционал от двух функций, линейный относительно каждой
из этих функций, называется билинейным функционалом,
К[и, я], где К[иу v]— билинейный функционал, называется
квадратичным функционалом.
Интеграл К[и, можно представить в другой форме,
удобной для дальнейшего. При этом надо отдельно рассмот-
реть случаи различного числа измерений.
Начнем с одномерного случая. Пусть и и v — функции,
имеющие в (Z)) и на ее границе непрерывные производные:
и — второго порядка, a v— первого порядка. Рассмотрим
интеграл
ъ
= ( L\u\vdx =
а
Ъ ?
в“.| .1 4{x)uvdx.
а а.
ФУНКЦИОНАЛ К [и, -v]
329
Преобразуя первый из интегралов правой части этого равен-
ства интегрированием по частям, получим:
ь
К[и, v] = — L [и] vdx =
а
Ъ
= J \pu'vr quv\dx— p(b)u' (b)v(b)-\-
+р (я) и' (a) v (а). (24.5)
Внеинтегральные слагаемые, очевидно, являются суммой вы-
ражений -f” Р v по обеим точкам границы интервала, если,
d d
как мы уже это делали, под -т- понимать -г- в точке а и
J an dx
d a
— —в точке о.
dx
Для вывода аналогичной формулы в случае многомерной
области следует повторить рассуждение, проведенное в § 10
для вывода формулы (10.1). Мы получим тогда
К[и, v\ — — [ L[u\vdp~
(Ь)
= ( [р grad и • grad v -р quv] dp
+ \ pd£ vd°’ (24-6)
откуда (10.1) получается как частный случай при р = 1, q = 0.
Очевидно, формулы (24.5) и (24.6) являются совершенно
аналогичными.
Если функции и и V удовлетворяют краевым условиям,
то в этих формулах возможны значительные упрощения.
В случае краевых условий типа А мы можем заменить р^
через уи (в одномерном случае р(а) через fait(a) и
р (b) через — и (£)) . В случае краевых условий типа Б
330 § 24. СВОЙСТВА СОБСТВ. ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВ. ФУНКЦИЙ
интегралы по контуру в (24.6) или внеинтегральные слагае-
мые в (24.5) оказываются равными нулю. В случае краевых
условий типа периодичности внеинтегральные слагаемые
в (24.5) взаимно уничтожаются. Таким образом, функционал К
для каждого из разбираемых случаев принимает вид, ука-
занный в таблице 1.
Таблица 1
К [и» v]
X. Число X. измерений Тип краевых X. условий Х^ Одно Два или три
А ъ | [pu'v' 4- qav] dx-f- а +b« («)»(«) + + Ть“ О’) v (b) [p grad a • grad v 4- (Л) 4- quv] dp -(-• 4uvd<s (b
Б ъ [purvr + quv]dx a J [p grad и • grad ^4- (i>) 4- quv] dp
Периодичность b | [pu'vf -\-quv]dx a
Из этой таблицы, между прочим, видно, что полученные
выражения для К[и, симметричны относительно и и ъ.
Поэтому, если обе эти функции дважды дифференцируемы
и обе удовлетворяют краевым условиям, то
К [и, v} = K\v, «],
)24.7)
СИММЕТРИЯ ФУНКЦИОНАЛА
331
или в развернутом виде
f L [и] v = f L\v]ud^. (24.8)
(D) (D)
Эта симметрия функционала К [и, -и] является свойством
рассматриваемых операторов и краевых условий. Свойство
это называют самосопряженностью задачи. Все рассма-
триваемые в этой главе задачи самосопряженны.
Заметим еще, что если функции и и v дважды дифферен-
цируемы, но необязательно удовлетворяют краевым условиям,
то, написав формулы, получающиеся из (24.5) или (24.6)
заменой и на v, и вычитая их из (24.5) и (24.6), мы придем
к симметричным формулам такого вида (ср. формулу (10.2)).
ъ
j* {L[u}v—-L [-v] и} dx =
а
— P (•*) \ц' (x) v (x)— u(x)v (x)] (24.9)
‘a
в одномерном случае и
[ {L[u]v — L[v}u}dp = [ p[«^— (24.9')
(i) (j)
в многомерном.
Определение. Говорят, что две функции, заданные
в области (D\ ортогональны с весом р, если они удовле-
творяют соотношению:
f р (Р) «J (Р) и2 (Р) dp = 0. (24.10)
(Л)
4. Две собственные функции иг и и2, соответствующие
различным собственным значениям и Х2, ортогональны
между собой в области (D) с весом р.
Доказательство. По определению собственных функ-
ций и собственных значений справедливы тождества
A [zzj 4" Pui — 0; L [w2] 4" Х2 = 0 (24.11)
332 § 24. СВОЙСТВА СОБСТВ. значений и СОБСТВ. функций
и, кроме того, и zz2 удовлетворяют краевым условиям
задачи. Ввиду этого последнего обстоятельства к их и и2
применима формула (24.8)
j* Liu^u^dp— j* L [z/2] ux dp = 0.
(i>) (/>)
Заменяя в этой формуле L [zzj и L[u2] их выражениями,
полученными из (24.11), найдем:
(Х2 — XJ J* риг и2 du = О,
(£>)
откуда ввиду X2z^X1 получается (24.10).
В этой связи сделаем следующее замечание. Если собствен-
ное значение Хо Л-й кратности, то существует /г соответ-
ствующих ему собственных функций, нормированных и попарно
ортогональных между собой в области (Z)) с весом р.
Это можно доказать, применяя к системе k линейно-
независимых собственных функций соответствующих Хо про-
цесс ортогонализации, который будет подробно описан в § 25
(см. стр. 345)
5. Если нормированная собственная функция uQ соот-
ветствует собственному значению Хо, то
К\и& я0] = Хо. (24.12)
Доказательство. По определению собственной функ-
ции L [zz0] = — Хо pzz0. Заменив в интеграле
К [ «0, «о! = — f L ["ol «о
(О)
L [z/0] его выражением, получим:
К [м0, «0] = zo f р«о «о rf!x-
О)
Так как и0 нормировано, то последний интеграл равен еди-
нице. Равенство (24.12) доказано.
Опираясь на это свойство, можно получить оценки снизу
для собственных значений и, в частности, исследовать
их знак.
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
333
Так как всегда р > 0 и то из рассмотрения таб-
лицы I (стр. 330) легко заключить, что
К [и, и}^
т
(24.13)
и если
, Я
функция -у ограничена снизу числом /п, то
К [и, ^] > J qu? dp т J р^2 d^.
Р) (Т))
(24.14)
Для нормированных собственных функций отсюда получается
X — К [и, и\ т.
(24.15)
Неравенство (24.15) дает простую оценку снизу собствен-
ных значений. В частности, если функция q неотри-
цательна, то (так как р>0) все собственные значения
неотрицательны. Если функция q ограничена снизу поло-
жительным числом, то все собственные значения поло-
жительны.
Изложенный результат можно еще усилить. Из той же
таблицы I легко усмотреть, что неравенство (24.13) может
обратиться в равенство лишь при zz == const, и (в случае
условий типа Л) у = 0 или (в одномерном случае) = уь = 0.
Для функции и — const, неравенство (24.14) может перейти
в равенство лишь при у = const. В случае краевых условий
типа Б постоянных собственных функций быть не может, так
как постоянная функция, удовлетворяющая такому краевому
условию, есть тождественный нуль.
Из сказанного следует: за исключением случая, когда
= /n = const, и краевые условия имеют вид Pj~ = ® или
условий периодичности, мы имеем л > т. В частности, за
исключением перечисленных случаев, если q 0, то все
собственные значения положительны. В указанных исключи-
тельных случаях, т. е. когда у = т = const., а краевые усло-
dzz п
вия имеют вид р -^- = 0 или являются условиями периодич-
334
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
ности, уравнение имеет вид:
div [р grad и} —р(т— к) и = 0.
Очевидно, л =/п-—есть наименьшее собственное значение
Р
и zz = const.—соответствующая собственная функция.
§ 25. Ортонормированные системы. Сходимость в среднем
В этом параграфе мы будем рассматривать ограниченную
область (D) и заданную в ней весовую функцию р (Р), не-
прерывную и неотрицательную в (D) и на ее границе и строго
положительную внутри (£)).
Относительно всех остальных функций («, f и т. д.), которые
будут в этом параграфе рассматриваться, будем всегда предпола-
гать, если не оговорено ничего другого, что они обладают следую-
щими свойствами:
1) функции заданы в области (D) и непрерывны там;
2) интеграл по области (D) от квадрата функции, умноженного
на вес,
Г p/W< + o°
(Я)
(этот интеграл может быть несобственным, если функция f беско-
нечно возрастает при приближении к границе (£>)).
Важно отметить, что функции, удовлетворяющие этим двум
условиям, обладают также следующими свойствами:
а) если fi и /2 — две функции рассматриваемого типа, то
I Л/гР Ф абсолютно сходится. В частности, интеграл I fi • 1 • р dp- =
Р) ф)
= j /1Р^ абсолютно сходится;
(i)
б) если fi и /2— Две функции рассматриваемого типа, то ctfi~\-
+с2/2 также принадлежит к рассматриваемому типу, каковы бы
ни были постоянные Ci и с2.
В дальнейшем мы будем пользоваться интегралами от /р;
/1«У2р; (cifi + с2/2)2 Р по области (D). Как следует из сказанного,
если функции fi и /2 принадлежат к рассматриваемым типам,
интегралы эти абсолютно сходятся. Поэтому мы будем с такими
интегралами обращаться по всем правилам интегрального исчисле-
ния, не оговаривая законность этого каждый раз особо.
Определение. Конечная или бесконечная система
функций
> #2» ^3’ • ’ * ’ • • • > • 1)
0РТ0Н0РМИР0ВАННЫЕ СИСТЕМЫ
335
заданных в области (D), называется ортонормированной
системой с весом р, если\
а) все функции ип нормированы с весом р;
б) любые две функции иг и uk ортогональны
между собой с весом р.
Эти два свойства могут быть записаны следующей одной
формулой:
f [0,
= . . (25.2)
(Л) I 1, t — К.
Пример. Область (D) — интервал (0, тг). Вес р=1,
, Г 2“ .
ип=у — sin/zx.
Имеем:
тс я
J sin kx sin ix dx = 0 (1фк) и | sin2 Ajxdx =~.
о 6
Таким образом, эта система ортонормирована с весом р = 1
на интервале (0, к).
Если вес равен единице, то обычно говорят, что система
ортонормирована (не указывая веса).
Пусть дана ортонормированная с весом р система (25.1)
и функция /, заданная в (D), представима в виде линейной
комбинации конечного числа функций этой системы:
/= 2 «А- (25.3)
2 = 1
Найдем коэффициенты ак этой линейной комбинации. Для
этой цели умножим обе части (25.3) на pzzft и проинтегри-
руем по области (Z)):
п
f 2 J (25.4)
(Ь) 1=1 (Р)
Но на основании (25.2) все слагаемые последней суммы
оказываются равными нулю, кроме слагаемого с номером i — k,
336
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
а это слагаемое равно ак. Таким образом,
jMprfp (£=1,2,3,...). (25.5)
CD)
Сказанное здесь остается в силе и в случае, когда функ-
ОО
ция f представима в виде бесконечного ряда 2 aiui по
i = l
функциям иъ если только ряд этот можно почленно инте-
грировать1).
Определение. Выражение ак = J* fukzdy. назы-
(D)
бается коэффициентом Фурье функции f по системе {яЛ}.
со
Ряд 2 aiub У которого коэффициентами аг служат
t 1
коэффициенты Фурье функции f, называется рядом Фурье
этой функции по ортонормированной системе
Таким образом: если функция f, заданная в области (Z)),
со
представлена в виде ряда 2 aiui2)> где ии2, .. .,ип, .. .—
ортонормированная система функций, то этот ряд
является рядом Фурье функции /.
В качестве важного следствия укажем следующее: функции
ортонормированной системы линейно-независимы между
собой. Для доказательства предположим, что коэффициенты c-t
п
подобраны так, что 2 ciui — О* Тогда по только что сформу-
?=i
лированной теореме ct являются коэффициентами Фурье нуля
и потому, как видно из формулы (25.5), все равны нулю,
а это и означает, что функции zz2, ...,ип линейно-не-
зависимы.
В различных вопросах важную роль играет следующая
проблема. Дана функция f в области (Z)), вообще говоря
х) Об условиях, при которых допустимо почленное интегриро-
вание функционального ряда см. Г. М. Фихтенгольц, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Гостехиздат,
1948, стр. 457—460.
3) Который можно почленно интегрировать.
НАИЛУЧШЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
337
не представимая в виде линейной комбинации конечного
числа функций Требуется при фиксированном п ПОДО-
ГА
брать числа с{ так, чтобы функция 2 ciut наилучшим обра-
г = 1
зом приближенно представляла функцию /, и найти погреш-
ность этого приближенного представления. Для того чтобы
эта задача стала вполне определенной, нужно еще установить,
чтб принимать за меру погрешности при приближении од-
ной функции с помощью другой. Для наших целей наи-
более подходящей является так называемая квадратичная
погрешность.
Определение. Квадратичной погрешностью с весом р
при замене функции f другой функцией ъ называется выра-
жение
8 = ?]2Р^- (25.6)
Таким образом, мы приходим к задаче: подобрать коэф-
п
фициенты Ci в сумме 2 ciui так> чтобы выражение
i = l
• п
8n=fl/-2Wp^ (25.7)
(А
было наименьшим возможным, и вычислить для этих зна-
чений с{.
Для решения этой задачи преобразуем интеграл в (25.7),
открывая скобки в подинтегральном выражении и интегрируя
почленно,
п п
[Л-2 2 Cifu{^ 2
i = l i, fc=l
CiCkU.iUk] р dp =
п п
= f /2Р — 2 2 Ci f /afp rfp + . 2 CiCk f UiUtf dp-
(D) *-1 (I)) *’ ft-1 (J9)
На основании (25.2) все интегралы в последней сумме
равны нулю, кроме тех, у которых i = ky а эти последние
338
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
равны 1. Согласно (25.5) интегралы в первой сумме являются
коэффициентами Фурье /, которые попрежнему будем обо-
значать через ак. Поэтому предыдущая формула может быть
переписана так:
= f /р — 2 Ё ciai + 2
(Л) <==1 i = 1
= f А + Ё lc'i — 2<W-
(i>) i-i
Под знаком последней суммы дополним выражение до пол-
ного квадрата, прибавив и отняв а2. Получим:
В этом выражении от коэффициентов ci зависит только
последняя сумма, и так как все слагаемые этой суммы не-
отрицательны, то 3* будет наименьшим, когда все слагаемые
последней суммы превратятся в нули, т. е. при ct = аг и
C^U^ — OL^U^,
1^1 i — 1
Итак, наилучшее в смысле квадратичной погрешности
с весом р приближение функции f линейной комбинацией
функций U} ортонормированной системы получается, если
коэффициенты линейной комбинации равны коэффициентам
Фурье функции f по системе и^
Погрешность этого приближения определяется по фор-
муле
(25.8)
Так как выражение всегда неотрицательно, то из (25.8)
мы получаем весьма важное неравенство
п
Js ai < f /2Р
(25.9)
(D)
НАИЛУЧШЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 339
Неравенство (25.9) может перейти в равенство в том
случае, когда квадратичная погрешность равна нулю, т. е.
когда
f [f— S <w2р= о.
Так как подинтегральная функция непрерывна и неотрица-
тельна, то это означает, что
п
aiui-
i = l
В качестве следствия из неравенства (25.9) отметим
следующее:
если ортонормированная система функций {яп} беско-
оо
нечна, то ряд 2 av составленный из квадратов коэффи-
г =1
циентов Фурье любой функции f, сходится.
Действительно, неравенство (25.9) показывает, что моно-
тонно - возрастающая (неубывающая) последовательность ча-
оо
стичных сумм ряда 2 а* ограничена сверху величиной
Следовательно, этот ряд сходится.
j* А
с®)
Переходя теперь в (25.9) к пределу при п -> оо, мы
получим неравенство
оо
(25.10)
обычно называемое неравенством Бесселя. Оно показывает
что сумма квадратов коэффициентов Фурье функции / не
превосходит интеграла от квадрата этой функции, умножен-
ного на вес.
Из (25.8) видно, что квадратичная погрешность пред-
ставления функции /z-м многочленом Фурье убывает с воз-
растанием п. Поэтому естественно поставить вопрос о том,
можно ли сделать эту погрешность сколь угодно малой,
взяв п достаточно большим, т. е. будет ли 8П стремиться
к нулю при п оо.
340 § 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Если функция f может быть представлена как предел равно-
мерно сходящейся последовательности многочленов по функциям unt
то для нее оп->0. Пусть, действительно,
п
f = Нт У cinui
П -> ОО
в смысле равномерной сходимости. Тогда, каково бы ни было е,
для достаточно больших п во всей области будет справедливо не-
равенство
(10
и, следовательно, а ля таких п
Переходя в (25.8) к пределу при я->оо, убедимся, что
условие 8п~>0 эквивалентно требованию, чтобы в неравен-
стве Бесселя имел место знак равенства:
(25.11)
(D)
Если средняя квадратичная погрешность представления
оо
функции /z-й частичной суммой ряда 2 ?/с стремится к нулю
к=1
при то говорят, что ряд этот сходится в среднем
оо
к функции / или что функция f разложена в ряд 2
к^1 ‘
в смысле сходимости в среднем. Таким образом, равен-
ство (25.11) является необходимым и достаточным условием
разложимости функции f в свой ряд Фурье в смысле сходи-
мости в среднем.
Определение. Следуя В. А. Стеклову, ортонорми-
рованную систему {zz/J называют замкнутой в области (D),
если любую функцию f, для которой сходится J* /2р dp,
(D)
можно сколь угодно точно (в смысле квадратичной погреш-
ности) представить линейной комбинацией функций этой
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ
341
системы* 1), или, другими словами, если каждая функция /
может быть разложена в сходящийся в среднем ряд Фурье по
функциям данной системы. Из вышесказанного следует, что тре-
бование замкнутости ортонормированной системы эквива-
лентно требованию, чтобы для любой функции f выпол-
нялось равенство (25.11). Поэтому равенство (25.11), следуя
опять-таки В. А. Стеклову, называют условием замкнутости.
Легко видеть, что если ортонормированная с весом
система {ик} замкнута, то она полна, т. е. к ней нельзя
прибавить ни одной (не тождественно равной нулю) функции
так, чтобы система осталась ортонормированной. Действи-
тельно, если к системе можно было бы добавить функцию и,
то и, будучи ортогональной, с весом р ко всем ик имела бы
все коэффициенты Фурье равными нулю
ak— J ммйр rf|x = 0.
Р)
Так как система {ик\ замкнута, то по (25.11)
00
j ZZ2pz/p.= 2 я£ = 0,
(Р) 7f==1
откуда (так как р>0 внутри области (£>)) zz==O.
Это обстоятельство глубже вскрывает суть понятия замкну-
тости. Произвольную функцию / можно сколько угодно точно
представить линейной комбинацией функций системы, лишь
если в этой системе достаточно много функций. Если систе-
ма не полна, т. е. если ее можно пополнить, то она не за-
мкнута — не'всякую функцию можно представить рядом по этой
системе.
Пример. Система функций sin kx\ ортонормиро-
вана на интервале (0, 2тс). Она на этом интервале не полна,
ибо функция cos пх ортогональна ко всем sin Av. Поэтому
1) Можно показать, что если это условие выполнено для любой
непрерывной в (D) функции, то оно выполнено и для любой функ-
ции /, для которой I /2р d\L сходится, т. е. система замкнута.
(i)
342
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
не всякую функцию можно в интервале (0,2п:) представить
рядом Фурье по sin&x (это можно сделать только для не-
четной функции).
Приведем один удобный способ построения замкнутых
ортонормированных систем в
случае нескольких переменных.
Пусть и и v — ортогональные
криволинейные координаты
в плоскости х,у, a LH и Lv,
как всегда, обозначают коэф-
фициенты Ляме этих коорди-
нат. Таким образом, элемент
площади в координатах и, v
будет dfp = LULV du dv. Если
система функций {<^ (я)}
(/= 1, 2, 3, ...) ортонормиро-
вана на интервале
с весом pM(w) и при каждом
/= 1, 2, 3, ... система ф^(^)
ортонормирована на интервале с <d с весом pv (т?),
то система функций двух переменных
= (25.12)
ортонормирована в координатном четырехугольнике (£>):
а < и < Ь\с d с весом р (и, v) = Pg/»).. (фиг. 61).
Действительно,
J* Jj’j/.k'nP =
(D)
Ь d
= [du I (и) $ (v) (и) ф* (®) dv
a c
b d
= f fi («) <?fc («) Pu («) du J 6} (v) (v) pt, (v) dv =
(I c
0 iky
__ d
" -у-*».
J I 1> l = k, J = 11,
ПОСТРОЕНИЕ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ
343
или окончательно
/I 0, или j ф п,
-/«Z.-P-'l*- j i = k и 7 = „,
(Г) 7
а это и значит, что система ортонормирована.
Далее, если системы и {<$} замкнуты, то си-
стема {/^-} также замкнута.
Для доказательства рассмотрим произвольную функ-
цию/(я, v) в координатном четырехугольнике а < и < Ь,
c<v<id. Обозначим через а^ коэффициент Фурье функ-
ции / по системе {у^} и через коэффициент Фурье
этой функции при постоянном v по системе ф, {и)
ь
aiJ= ( f7tj?dV-> = ff(u, ^ъ(и)ри(и)4и.
(b) a
Преобразуем выражение для а^ следующим образом:
а ь
аЧ = I dv | v) ?< (“) $ (,°) —'7)p;,(V' ДА dv =
с a
d b
= f $ (®) Pt, (») dv f f(u’ («) Pu («) du =
c a
d
=- f b{(v)$(v)pv (y) dv.
c
Таким образом, а^ есть у-й коэффициент Фурье функции
по системе Поскольку система {%(«)} замкнута, для
функции f(u, v) при фиксированном v справедливо равен-
ство (25.11), согласно которому
со
f/3(«, v)pu(u)du= 2^(«О-
Умножая обе части этого равенства на pv(v) и интегрируя
по v от с до d, получим (можно показать, что ряд справа
344
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
допускает почленное интегрирование):
d b
( /2Р = J Р„ (v) dv J /2 (и, V) р„ (и) du =
^D) с а
со
= 2 f bi(v)pv(v)dv.
г = 1 J
с
С другой стороны, поскольку системы {^j(ti)} полны при
любом Z, мы можем применить равенство (25.11) к функ-
оо
ции (т?) и получить I b] (t>) pv (v) dv=
и
оо оо
J7W= S S a’v.
Таким образом, для произвольной функции / в области (D)
и системы {-faj} выполнены условия замкнутости, что и
требовалось доказать.
Рассмотрим теперь еще один вопрос.
Дана система {tij линейно-независимых, но, вообще говоря,
не ортогональных функций в области (D) и вес р. Можно ли
заменить систему ортонормированной системой [и{] функций
с тем же весом р так, чтобы любую функцию, представи-
мую в виде многочлена по функциям {tij, можно было бы
представить в виде многочлена по функциям {«J и, наобо-
рот, т. е., чтобы совокупность функций, представимых в виде
многочленов по функциям системы, не изменилась. Оказы-
вается, что сделать это всегда возможно. Процесс построе-
ния системы {«J, который мы сейчас изложим, называется
процессом ортогонализации.
Начнем с того, что заменим функцию нормированной
функцией = (Pi — нормирующий множитель для tij.
Предположим, что нам уже удалось заменить первые k
функций tip ti2, ..., vk функциями uv и2, ..., ик, ортогональ-
ными между собой и нормированными. Обозначим через *
коэффициенты Фурье функции ciz.+1 по системе {«<} *и
ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ
345
к
через разность между ил+1 и суммой ^ik,iui-
lk,i = fvK+iuipd^ G'=l> 2,..., k);
(D)
к
^+1 = ^+1— 2тм“г
i = l
Так как линейно не зависит от иъ и2, ..., ик, то ад/г+1^£0,
и, обозначая через p^z/zO нормирующий множитель функ-
ции wfr+1, мы убедимся, что функцию vk+1 можно заменить
функцией
к
«fc+l = Pi-+lWft+l = Pft+l'Ofc+l— 2 «».<«<»
г = 1
где ак i — yk $к+1- Легко проверить, что и ортогонально
ко всем (/ — I, 2, ...,k)t
к
f «*+ = ₽k+1 |\+iujP dy. — 2 Тл, i f W dy. =
(7j L(i>> 1=1 (D)
= ₽к+1Им~
Очевидно, всякая функция, представимая в виде линейной
комбинации vr, ^2, .. . ,^л+1, представима также в виде линей-
ной комбинации и1, и2, ..uk+li и наоборот. Заметим, что
нет необходимости вычислять отдельно т, . и 8Т < Можно
к
сразу искать ик+1 в форме —2 ал, iui и опре-
делять akti и рА.+1 из условий нормированное™ и ортого-
нальности к иъ д2, ..., ик.
Этот процесс ортогонализации можно, например, приме-
нить для получения ортонормированной системы собственных
функций, соответствующих одному и тому же собственному
значению (ср. стр. 332).
Пример. Пусть система {^} есть система степеней х:
1, х2, .. .,хА, ..., область (D) — интервал (—1, Ц-1),
346 § 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
1
а «вес» р = —г—---. Согласно изложенной схеме находим
/1— х2
J_______ 1
3 1<тс
dx
/I —х2
и полагаем я0 —. Ищем теперь в форме — 0 |-
у тс
+ и подберем коэффициенты так, чтобы была орто-
гональна к uQ и нормирована. Это приведет к равенствам:
-1 —1
1 1
f и? - • = f (а? „ + 2а, „В. х Заха) =
J J 1,0 1,оГ1 Г1 у1“А:а
—1 —1
Г 2 Г 2
откуда а1>0 —0, = 1/ и — у — х. Ищем теперь
и* в форме = а2, о + «2, i^'+ ?2х2 и определим коэффи-
циенты так, чтобы и% была нормирована и ортогональна
к uQ и их. Это приведет к равенствам:
1 _
| «0«2 Т7== = Р2-^Ч- “2,0 /тс == 0,
J у 1 — х2 2
—1
f и2, dx = — к -[- (яа -4- 23 а„ л — -4- птс — 1.
I 2 -уГ। _^>2 *2 g • ' 3, 1 I *2 2, 0; 2 * 3,0
Отсюда
«Л 1 = о, «2, 0 = — j/"4 > ?2 = 2 ]/"4 ’
«2 = )/^4(2х3-1).
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА
347
Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко.
Получающиеся, таким образом, многочлены лишь постоян-
ным множителем отличаются от многочленов Чебышева Тп(х) =
= cos п arccos х. Действительно, если положить х = cos ©,
то окажется:
cos <р = у cos arccos х = 2 у 7\ (х),
и2 = cos2 ? — 1) = “ cos —
Г 2 Г 2
у — cos 2 arccos х = 22 у (*).
Легко показать, что вообще
«п = 2» У^Тп(х).
Сделаем, наконец, следующее замечание. Хотя в теоре-
тических исследованиях удобнее считать функции ортогональ-
ной системы нормированными, однако в конкретных случаях
нет необходимости производить такую нормировку. Например,
система функций {sin&x} ортогональна на интервале (0, тс).
Система | j/"sin kx | — ортонормирована на этом интервале.
Однако удобнее пользоваться функциями sin^x, нежели
,/"2 \ .
у — SlHtfX.
Пусть система {z/J ортогональна с весом р в области (£>),
причем все uri не равны тождественно нулю. Обозначйм
нормы функций через Тогда
f л ( 0, / =# h
(2>) I
(25.13)
Функции = образуют ортонормированную систему.
Коэффициенты Фурье функции / по системе {«J будут
348
§ 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
вычисляться по формулам
«<= j = | /и<р^>
(Ь) (Ь)
а ряд Фурье имеет вид:
2
Коэффициенты этого последнего ряда будем называть
коэффициентами Фурье по системе {zzj и обозначать а(\
ai 1 f ,
ai~ Ni~~ A^J fa#d¥-
(D)
Ряд
2 <*a->
(25.14)
(25.15)
который только формой записи отличается от ряда Фурье
по ортонормированной системе {zzj, будем называть
рядом Фурье по системе {zzj. Очевидно, все факты, уста-
новленные в этом параграфе относительно рядов Фурье по
ортонормированным системам, остаются в силе для рядов
Фурье по ортогональным системам. В частности, квадратич-
ная погрешность представления функции / суммой Фурье
п
определяется по формуле
8?, = Г/W—2 Ъ = J fpdy.— 2 ед. (25.16)
(D) 4 = 1 (Р) i==1
Неравенство Бесселя принимает вид:
2^4 < J
<П)
Ортогональная система {zzj называется замкнутой, если орто-
нормирования система {zzj замкнута. Условие замкнутости
ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В. А. СТЕКЛОВА
349
(25.11) принимает вид:
f А d\i = 2 N'ldt (25.17)
(i>) <=1
Все, что говорилось относительно сходимости рядов
Фурье по замкнутым ортонормированным системам, остается
в силе для рядов Фурье по замкнутым ортогональным
системам.
Теперь мы можем вернуться к вопросам, поставленным
в конце § 23. Если существуют собственные значения, то
соответствующие (нормированные) собственные функции
образуют ортонормированную систему. Несколько неопре-
деленно поставленный в § 23 вопрос о количестве собствен-
ных функций сводится теперь к вопросу о том, будет ли эта
система собственных функций замкнута. Исследование во-
проса о существовании собственных значений, о полноте
системы собственных функций и о характере сходимости
рядов Фурье представляет значительные трудности и выходит
за пределы настоящей книги х). Мы здесь ограничимся форму-
лировкой соответствующих результатов.
Для операторов L [и] и краевых условий описанных на
стр. 321—322 типов существует замкнутая ортонор мир о ван-
ная последовательность собственных функций ип. Последо-
вательность собственных значений может быть перенуме-
рована в порядке возрастания, причем в ряду А2, ...,
\п, ... каждое собственное значение будет встречаться
столько раз, какова его кратность. При этом оказы-
вается, что Отсюда, между прочим, следует,
что среди собственных значений есть наименьшее что
каждое собственное значение имеет конечную кратность
и что отрицательных собственных значений может быть
только конечное число. Какова бы ни была кусочно-непре-
рывная и кусочно-дифференцируемая в (D) функция f, ее
ряд Фурье по функциям ип сходится в каждой точке
области. При этом в каждой точке непрерывности функ-
ции f ее ряд Фурье сходится к значению f в этой точке.
Если функция f, сверх того, непрерывна во всей области
J) Исследование это было (для одномерного случая) впервые
проведено В. А. Стекловым.
350 § 25. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
(£)) и на ее границе и удовлетворяет краевым условиям
задачи* то ее ряд Фурье сходится равномерно в (£>)х).
Если функция / удовлетворяет краевым условиям и
имеет вторые производные такие, что у L[f] удовлетво-
ряет условиям разложимости в ряд Фурье, то оператор L
почленно применим к ряду Фурье функции /. Действительно,
L [/] можно представить в виде ряда
ы/j=2
7>=®1
где Q — коэффициент Фурье функции £-££1;
Р
сб (Ь)
так как f и ик удовлетворяют краевым условиям, то приме-
нима формула (24.8) и
Ск = j* L[Uk\fdp.
(D)
Но так как L [zzj = — ^к9ик> то
Ск = — f fUkP dp = — \ка1(,
(i>)
где через ак обозначен коэффициент Фурье функции /. Сле-
оо
довательно, / = 2 акик- Итак,
Ц 2 акЧ] = L [/] = 2 скР“к = 2 — ЧЛкРЧ — 2
к = 1 к = 1 к = 1 & = 1
что и требовалось доказать.
Легко также доказать, что если функция f зависит*
не только от точек Р области (D)* но и от параметра t
J) См., например, С. Л. Соболев, Уравнения математической
физики, 2-е издание, Гостехиздат, 1950, лекции XXIV—XXVII.
ПОЧЛЕННАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
351
причем для всех значений t из интервала Функ-
ции f и удовлетворяют условиям разложимости в ряд
Фурье по координатам точка Р (см. стр. 349), то ряд
Фурье функции f можно почленно дифференцировать по
t в этом интервале (в ряде Фурье будут зависеть от t
только коэффициенты ак). Для доказательства этого утвер-
ждения обозначим через ак коэффициенты Фурье функции /,
а через bk коэффициенты Фурье функции
оо ®о
2^(0 «к=/; = (25Д8)
7с = 1
w l (25.19)
bk = J dt Uk‘ J
(D) (D)
Сравнивая формулы (25.19), мы видим, что bk(f) — ~ak(t).
оо
Подставляя это значение в (25.18), получим >
A=i
а это показывает, что ряд Фурье функции f может быть
почленно продифференцирован по t.
Совершенно очевидно, что наше утверждение остается
справедливым и для двукратного дифференцирования по t,
если функция / обладает второй производной по t, удовле-
творяющей тем же условиям.
§ 26. Собственные функции некоторых
одномерных задач
Одномерная задача решается особенно просто в том
случае, когда уравнение
£[а]4-Хря = О (26.1)
может быть проинтегрировано при любом значении X в
конечном виде. Рассмотрим задачу с краевыми условиями
вида А или Б,
352 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Пусть общее решение уравнения (26.1), зависящее от л как
от параметра, будет:
и = (х, к) (xt к),
где <vi и v2— два линейно-независимых частных решения.
Используя краевое условие в точке а, найдем соотношение
между и е2 и таким образом найдем решение
u = cw(x, А), (26.2)
удовлетворяющее краевому условию в точке а.
Теперь используем краевое условие в точке Ь. Так как
(ибо в противном случае « = 0), мы получим в слу-
чае краевых условий типа А
Х)==0, (26.3)
а в случае краевых условий типа Б
w(b, Х) = 0. (26.4)
Уравнения (26.3) или (26.4) служат для определения
значений А, при которых могут быть удовлетворены оба
краевые условия, т. е. собственных значений. Так как задача
имеет бесконечно возрастающую последовательность соб-
ственных значений, то уравнения эти должны иметь бесконечно
возрастающую последовательность корней. Корни эти могут
быть найдены в первом приближении графически, а затем
любой из них может быть вычислен сколь угодно точно
одним из известных способов приближенного решения урав-
нений. При этом для практических вычислений первостепенное
значение имеет наличие достаточно хороших таблиц для
вычисления функций w.
Имея собственные значения Хм, мы можем найти собствен-
ные функции ип, подставляя Хп в (26.2),
ип—п>(х, Х„). (26.5)
Вычислим норму собственной функции ип*.
Nn = у J w2 (х, Хп) р dx.
а
СХЕМА РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ 353
Для этого воспользуемся формулой (24.9), применив ее
к функциям ullt = fw (х, Хп) и w(x, X). Мы получим:
ь
J{£[w(x, Aj]^(x, X)— £[w(x, X)]w(x, Xn)}^x =
a
b
= p(x){w'x(x, kn)w(x, a) — w(x, kn)w'x(x, X)} | .
. a
Так как функция w(x, X) при любом X удовлетворяет урав-
нению (26.1) и краевому условию в точке а, то эта фор-
мула приведется к виду
ь /
J (х, Хя) те» (х, X) dx = р (£)---------х-_ ------------? .
а
В этой последней формуле совершим предельный переход
при X —> Х№. В правой части придется при этом воспользо-
ваться правилом раскрытия неопределенности. В результате
получим:
ь
Nn == J рте»2 (х, лп) dx =
а
= Нт р (&) л) те»(Р, Xw)
X ->
п •
= Р (0 « (А *„) Ч (А Л„) — те»;, (Ь, \п) те» (Ь, у}. (26.6)
Так как \п есть корень уравнения (26.3) или (26.4), то
в конкретных задачах последняя формула может быть еще
упрощена. Рассмотрим теперь ряд важных примеров.
Пример 1. Интервал (О, Z). Оператор L[u\ — u".
Краевые условия я (0) = — Вес р — 1.
Уравнение имеет вид:
и"4-Хя = 0. (26.7)
Соответствующий квадратичный функционал
i
К[и, и] = J uf2dx.
о
354 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Очевидно, для любой и ф const. К [и, и]>0 и потому (см.
стр. 333) все собственные значения положительны.
Уравнение (26.7) может быть проинтегрировано в элемен-
тарных функциях при любом X, и так как X > 0, то
и = Cjsinj/Xx -|- cos ]/Тх. Из первого краевого условия
получим С2 = 0, откуда
w — sinjAx. (26.8)
Второе краевое условие дает теперь уравнение для опреде-
ления собственных значений X
sinyrr/=O.
Решая это уравнение, получаем ]/XnZ = тсн (п =« 1, 2, 3, ...) и
Хл & . (26.9)
Соответствующие собственные функции получаем из (26.8):
= (26.10)
Подсчитаем норму этих функций
Nn = j sin2 dx = jAJ. (26.11)
Нормирующий множитель будет, очевидно, равен а
следовательно, нормированные собственные функции
~ • КПХ
"* = у Tsltl —• (26л2)
Ряд Фурье по функциям (26.Ю) — это обыкновенный
ряд Фурье по синусам кратных дуг, и полнота этой системы
доказывается в теории тригонометрических рядов г).
*) Впервые полнота системы тригонометрических функций была
доказана А. М. Ляпуновым.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
355
Пример 2. Интервал (О, Z). Оператор L [и] = и". Крае-
вые условия и' (а) — аи (а) = и' (b) -j- (Ь) — 0, где а О,
Р 0. Вес р = 1.
Уравнение имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче,
квадратичный функционал — вид:
I
К и} — J ц'2 dx 4- «я2 (a) -j- р«2 (6).
а
Из рассмотрения этого квадратичного функционала следует,
что все собственные значения положительны, за исключением
случая а = р = 0, когда наименьшее собственное значение
равно Нулю. Общее решение уравнения (при Az/=O) имеет
тот же вид, что и в предыдущей задаче, и первое краевое
условие дает Сх — ас2 == 0. Поэтому Сг = и решение,
ух
удовлетворяющее первому краевому условию, имеет вид:
(26.13)
Поэтому
w (/, X) = С |у= sin уТ/-р cos ]А/];
«4(Z, X) = С [a cos ]/П—]/Xsin]/x7]
и второе краевое условие дает:
(а + р) cos ]А/ + (^ — уТ) sin VXI = 0.
Этому уравнению относительно можно, если а4~?:^:0»
придать вид: ctg / X/ = -L-^— . (26.14) Ух(а-Н) V 7
Из общей теории следует, что уравнение это имеет бес-
численное множество корней. В этом, впрочем, легко
356 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
убедиться непосредственно. Построим графики левой и пра-
вой частей уравнения (26.14), как функций от У к
(фиг. 62). Абсциссы точек пересечения этих кривых дадут
искомые значения ]/л. Как видно из чертежа, каждая ветвь
котангенсоиды пересекает один раз график функции
га а J- ? L УМ
следовательно, в каждом интервале
((fc-l)i, kf)
имеется один и только один корень уравнения. Поэтому
(26.15)
Из этих неравенств видно, что >оо при /г->оо.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
357
Если теперь а = р = О, то вместо уравнения (26.14) по-
лучаем sin 0 и корнями его будут величины
4 , ..., > • • • Но так как ПРИ « — р = 0 нуль также
является собственным значением, то мы имеем для этого
случая
= («=1,2,...). (26.16)
Формулы (26.9) и (26.16) означают, что в неравенствах
(26.15) левое переходит в равенство при а = р = О, т. е.
краевых условиях и' (0) — и' (0 = 0, а правое — при краевых
условиях и (0) = и (/) = 0.
Чтобы найти собственные функции, введем обозначения
?= arctg -у , так что
ta-S. (26.17)
Тогда формуле (26.13) можно придать вид (выбирая под-
ходящее С):
w(x, X) = sin (УГг + «J.
Поэтому собственные функции задачи будут:
zzn = w(x, Xn)«sin(/X„x + ?w), (26.18)
где через <рЛ обозначено <рх .
Нормы этих функций подсчитаем при помощи фор-
мулы (26.6).
Положим Y4- = Фп- Тогда
-^^ = /Мо8фя;
= cos Ф (—£-+*&»)-. COS Ф -(М__—
дх тп (2 дК J ?п -Ьа, ^xJ2/xn
дХд\ = 25Ш ’Ь» '(!+ 2 ут;
358 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Подставляя все это в (26.6), найдем:
—sin tp cos = — (l --—--— —.
21% 2 V a3 + XJ 2V\n 1 + ctg2
Но так как функция un удовлетворяет краевому условию
_ о
в точке I, то У Xn cos фя-|~ ₽ sin 'i'n=0> откуда ctg ^n=--,
V
и окончательно
1 Г/_1_ («з+*»)(«+₽) ]
2 L (»2+м (?’+*») г
(26.19)
В случае а — р = О, как мы уже видели, Xj == 0 и соот-
X а ,/Т
ветствующая нормированная собственная функция и1 = у у
Остальные собственные функции можно найти по формулам
(26.16)—(26.18). Мы получим:
те
?п —*2
«. _ !|п + • ] = см
дг2 = JL
/Vn= 2 *
(26.20)
Из формул примера 2 в пределе при а —> оо получается
решение такой задачи (которую, конечно, можно решить и
непосредственно):
Интервал (0, Z), оператор L [и] — и"9 .краевые условия
я(0) = 0; и' (/)-|-Зя (Z) = 0 (где Р^>0), вес р=1. Из
(26.14) при а->0 получается уравнение для определения
собственных значений этой задачи ctg ]/XZ = или
(при 3#:0) _
/ *
tg//X =
(26.21)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 359
График для приближенного решения этого уравнения пред-
ставлен на фиг. 63. Для расположения корней получаются
следующие оценки:
$(«-4)2<а»<^"2- <26-22>
При р = О получаем ctg / = О,
(26.23)
Собственные функции получаются из формул (26.17) и
(26.18) :<?п = 0 и
ип = sin (26.24)
Норма этой функции получается
из (26.19)
"•“H'+dhd- (26-25)
В частности, при р = О
ип = sin----j-----; (26.26)
7^ = 4- (26.27)
Аналогичным
вых условий
образом можно рассмотреть случай крае-
o' (0) — ш (0) = 0; и (Z) = 0.
Из формул (26.21), (26.24) и (26.25) можно предельным
переходом при р -> оо получить решение задачи примера 1.
Рассмотрим теперь подробнее поведение собственных
значений разобранных задач. Из формул (26.15) и (26.22)
заключаем, что при п О
т. е. что
lim
П-> со
„2 — р •
(26.28)
360 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Соотношение (26.28) показывает, что собственные значе-
ния возрастают как квадрат номера и при больших значе-
ниях п распределение собственных значений почти не зави-
сят от краевых условий, но зависит от длины интервала I.
В более полных курсах доказывается, что аналогичная формула
имеет место для собственных значений любой одномерной
задачи рассматриваемого нами типа, а именно:
lim
П -> ОО
(26.29)
Для разобранных выше задач легко получить и более точ-
ную оценку поведения X при п оо. Для этого преобра-
зуем уравнение (23.14) следующим образом:
Хг — а8 ,—
(а + ^) = Ctg 7~ К (” ~ 1 )Ь (26,30)
Заметим теперь, что, в силу (26.15), 0 < ]Лх„/—тс (л— 1) < тс.
Более того, при п достаточно большом (когда Хп > ар) ле-
вая часть уравнения (26.30), а с ней и ctg []/XnZ— тс(п — 1)]
положительны. Следовательно, 0< ]/Xn Z — тс (п — 1)<
Поэтому (26.30) можно преобразовать еще так:
УМ-к(и-1) = arctg
Умножим это равенство на У\п1-^-к(п—1), получим:
Хга Р-,Р (« -1 у- = [РХ14- к (я - 1)] arctg -^-”-(а-+х Ю',
откуда, принимая во внимание, что выражение под знаком
arc tg стремится к нулю при п —> оо и, следовательно, при
предельном переходе можно arc tg заменить углом, а также
что, в силу (26.28), lim 73 — Z, получим:
П -> оо У
lim [XnZ2 —тс2(я —I)2] =
Я -> ОО
= lim f 14-71 (га.~ ° 1(а- = 2/ (а 4- j?),
„->0,1 У~кп J
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 361
т. е. при п достаточно большом
. п2(/г —I)2 , _ <* + ?
ЛП ~ /2 2 / •
Для задачи с краевьпм условием и (а) == 0, исходя из
уравнения (23.21) и неравенств (26.22), аналогичным образом
найдем;
) ( 1 \2 ! 2 0
~ р \п 2 / + I
Пример 3. Интервал (0, /). Оператор L[u\ — u".
Краевые условия— периодичность', и (0) = и (Z); и' (0) = и' (Z),
Вес р = 1.
Квадратичный функционал
г
К[и, «] = ( м'Мх>0.
о
Все собственные значения положительны, кроме Хо==О. Соот-
ветствующая собственная функция uQ = const. Обычно пола-
гают и0 = ^. Тогда Nq = -|-]/Z.
Общее решение уравнения и" -f- ки = 0 мы уже встре-
чали в предыдущих примерах:
и — С1 sin C2cos ]/Хх. (26.31)
Подставляя эту функцию в краевые условия, получим:
С2 = sin ]/Л I -|- С9 cos V A Z,
cr У к = (Ci cos Vxi — С2 sin ]/TZ) У к,
или (при Л ф 0)
С\ sin /XZ+ С2 (cos УМ— 1) = 0,
Ci(cos УМ— 1)4- С2 sin УМ= 0.
Эта однородная система линейных уравнений относительно
Сг и С2 имеет решение, отличное от 0, только если ее
362 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
определитель равен нулю. Поэтому
sin УXZ cos ]/XZ — 1
cos уТ/—1 sin]/ U
Это и есть уравнение, из которого надо определить собст-
венное значение X. Раскрывая определитель, приведем это
уравнение к виду sin2]/XZ -|- (cos2]/XZ — I)2 = 0 или
2 — 2cos]/XZ = 0 и окончательно cos]/XZ= 1. Отсюда
]/XZ=2rcn и собственные значения определяются формулой
> 4я2л2
Л — “Z2— ‘
(26.32)
Подставляя эти значения в уравнения для и С2, мы убе-
ждаемся, что эти уравнения превращаются в тождества при
любых Ct и С2. Следовательно, каждому собственному зна-
чению соответствуют две линейно-независимые собственные
. , 2клх 2кпх „
функции sin —у— и cos —. Легко проверить, что они
между собой ортогональны. Все положительные собственные
значения данной задачи имеют кратность 2. Поэтому нуме-
рацию собственных функций установим так:
«2*-1 = sin
2nkx
I
2~kx
#2* = COS-у-
или
. тс(л4-1)х
sin —*—, п — нечетное,
телх
cos-у—, п — четное.
(26.33)
Так как каждое собственное значение следует считать
дважды, то соответствующая нумерация собственных значе-
4К2#2
ний будет: Х2к_1 = 'к2к = —или
^(п + 1)2
Р
ТС2Л2
п — нечетное,
п— четное.
(26.34)
ЗАДАЧА С УСЛОВИЕМ ПЕРИОДИЧНОСТИ
363
Очевидно тут, как и в предыдущих примерах, lim — —
П->ООП 1
Норма собственных функций (26.33) вычисляется непосред-
ственно:
Ряд Фурье по функциям этой системы — это обыкновен-
ный, рассматриваемый в анализе, ряд Фурье.
Пример 4. Интервал (О, I). Оператор (хи)-----— и.
Мы рассмотрим два типа краевых условий в точке х — 1:
a) xu'-4-₽zz|m=? = 0 (Р>0)
или
б) «(/) = о.
Краевое условие в точке х = 0 будет зависеть от v,
а именно:
и (0) = 0 при v > 0
и
lim хи(х) — Ъ при v = 0.
Вес р==х.
Эта задача имеет в точке х=0 особенность описанного
на стр. 323 типа. В соответствии со сказанным там, краевое
условие в этой точке эквивалентно требованию ограничен-
ности функции и : | lim и | < оо.
X -> о
Уравнение задачи имеет вид:
(*«')'+(**-у)
и — 0.
(26.35)
364 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Соответствующий квадратичный функционал в случае а)
i
К [и, я]= р«9(0
о
и в случае б)
i
К [к, и] =
6
Очевидно, /С> 0 при ифО и все собственные значения
задачи положительны (исключение составляет лишь случай,
когда v = p===O; в этом случае первое собственное значе-
ние X! = 0 и соответствующая ему собственная функция
постоянна). Ввиду этого мы можем обозначить X через рЛ
Уравнение (26.35) примет вид хи”и' =
или
При pzjfcO это есть уравнение цилиндрических функций
у-го порядка. Его общее решение имеет вид:
« = (н*) + ОЛ (М ’)•
Краевое условие в точке О показывает, что Са = 0 и реше-
ние, удовлетворяющее этому краевому условию, имеет, сле-
довательно, вид:
W(x, X) = J, (рх) = J,(/Xx). (26.36)
Из второго краевого условия мы теперь получаем в слу-
чае а)
р/Л(и/) + ₽Л(р/) = о'
или в случае б)
4W=o.
*) См. Добавление в конце книги.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 365
Обозначая 1у а = х; Х==-^-, перепишем эти уравнения
в виде
а) xj' (х) == ~ РЛ (*),
б) Л(х) = 0. (26.37)
Так как задача имеет бесконечную последовательность соб-
ственных значений, то каждое из уравнений (26.37) имеет
бесконечно возрастающую последовательность корней, кото-
рые мы обозначим (в порядке возрастания) х^ (п = 1,2,3 ...)*)•
Собственные значения нашей задачи могут быть теперь запи-
саны в форме
)* 2
(26.38)
В частном случае v = р = 0, как уже говорилось, kj = О,
а остальные собственные значения определяются по формуле
= (26.39)
где х« — корни уравнения Jo(x) = O или, принимая во вни-
мание, что/1 = —
J1(x) = 0. (26.40)
Пользуясь асимптотическими формулами для цилиндри-
ческих функций 2), уравнения (26.37) и (26.40) для опреде-
ления корней с большими номерами можно заменить такими
уравнениями:
\ •/ Ги Я \ А I * Я \
а) х • sin ( х — v -g--j- ) = Р cos (х — v ---,
( гс гс \ л
б) coslx — v ----------) = 0.
9 Для некоторых значений v и р имеются таблицы первых
нескольких корней х” См., например, Л. А. Люстерник,
И. Я. А куш с кий и В. А. Дит кин. Таблицы бесселевых функ-
ций, Гостехиздат, 1949.
2) Ср. Добавление, стр. 563.
366 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Для корней этих уравнений справедлива асимптотическая
формула (26.28), откуда получаются асимптотические фор-
мулы для собственных значений нашей задачи
Эти асимптотические формулы соответствуют формуле (26.29),
ибо
I _____ I _____
.IV j' / ^dx=‘-
о о
Имея собственные значения, мы можем по (26.36) опре-
делить собственные функции
(26.41)
Норму этих функций определим при помощи формулы (26.6)
(l*=«]/X; ш(х, X) определяется из формулы (26.36)):
Заменяя Л из уравнения цилиндрических функций, получим:
d^w 1 / . \ 1 / , х
"TV? в 2^ — 27 —
2* р.2х2 )= 2"0 {л2л2 (!*•*)•
Подставляя все это в (26.6), найдем:
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
367
Принимая во внимание, что ъп являются корнями уравне-
ний (26.37) или (26.40), мы можем последнее соотношение
упростить, подставляя в него значения при краевых
условиях luf (/) 4“ flu (I) = 0 или значения J* (х^) при краевых
условиях и (/) = 0. Получим
<26-42)
если lu' (Z) —prz (Z) = 0 и
Д/;=у=г|/(хА)|, если «(/) = 0. (26.43)
В частном случае v = 3 = 0 первая собственная функция
постоянна: иг == 1 и ^4=-^=-, а при п > 1
М» = И (4-01. (26.44)
Пример 5. Интервал (0, /). Оператор L [«] == (хРи')' —
— J (/4-1) и Краевые условия в точке х = 1 рас-
смотрим двух типов'.
a) 7>0
или
б) и (/) = 0.
Краевое условие в точке х = 0 будет зависеть от J,
а именно:
и (0) = 0 при j > 0
и
lim х2и' — 0 при J = 0.
я?-»о
Вес р = х2.
Эта задача также имеет в точке х = 0 особенность, удо-
влетворяющую условиям стр.323; следовательно, краевое усло-
вие в точке х=0 и здесь равносильно требованию: | lim и |<оо.
Я?->0
368 § 26. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Уравнение задачи имеет вид:
(хЧ'У—j (/ + 1) и \х2а = 0. (26.45)
Соответствующий квадратичный функционал
I
а) К[и,и]= J [х2и'2ф j (у -ф-1) и2} dx -f-yw2 (/);
о
1
б) К [и, и} = J [xV24- j (J + 1) и2] dx.
о
Очевидно К > 0 при и ф 0, за исключением случая у = у = О,
когда он может равняться нулю при и — const. Следовательно,
собственные значения или все положительны, или X* = О
(при j = 7 = 0).
Чтобы свести эту задачу к уже изученной ранее, введем
в (26.45) вместо и неизвестную функцию у = иУх. Оче-
видно, при этом
-.1
и = х 2 v;
j _1 _L
и' — —-^х 2ф;
1 - *-
Х2и' = — £- X2 V 4“ Х* V )
1 _£ 1 1
(х2иу — —j-x 2 Ф-фх2 ф'ф-х2 ф,т\
L [и] = х7 |xv" Д-v' — (j2+/ + j)т] =
= х7[(хО'— (у + уУу]-
L [«] -|-Хх2« — х2 jof®')' — G + у)т
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Д69
Таким образом, мы получим для v уравнение
/. , IV
U+ 2) v
(xv'Y-----------J- kxv = 0.
Краевые условия в точке х — I после преобразования примут
вид:
а) + = 0
ИЛИ
б) т>(/) = 0.
В точке х = 0 из ограниченности и получается р(0) = О1).
Таким образом, мы свели задачу к той, которая была решена
1 y 1
в примере 4, причем v=/-|~'2 и I---------• Поэтому в со-
ответствии с формулами (26.37) и (26.38) собственные зна-
J4-—
(х а)3 J4-1
чения нашей задачи будут * где 2 — л’й
корень уравнения: а) х/' (х) -4- (х) = 0; б) J (х) = О,
i
(%а- У Т
а в случае 7=7 = 0, X* = 0 и kJn — \ , где х^ — /z-й
корень уравнения xj'x (х) = (х) или2) tgx = x.
т т
9 Заранее не очевидно, что из v (0) = 0 следуют краевые усло-
вия для и. Однако легко проверить, что функции uJa, которые мы
сейчас найдем, действительно удовлетворяют этим условиям.
/ 2"
2) Так как (см. Добавление § 3) (х) = 1/ — sin х и, следо-
Д. F 7СХ
2
вательно,
W=l/ -------- COS X — 1/ ---Sinx.
’ V 7СХ 2х Г кх
а
370
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
Собственные функции задачи будут при j > 0 или > О
§ 27. Многочлены Лежандра и присоединенные
функции Лежандра
Рассмотрим следующую задачу о собственных значениях.
Интервал (— 1, 1). Оператор L [zz] = [ (1 — х2) и']Вес
р = 1. Краевые условия (1—х*)иг |ж=_1 = (1—х2) и' |я,=1 = 0.
На концах интервала мы имеем особенности, удовлетво-
ряющие условиям стр. 323, и, следовательно, краевые усло-
вия равносильны требованию ограниченности функции и.
Квадратичный функционал имеет вид:
1
/<[«,«]= J(l— x-ju'^dx.
—1
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 371
Функционал этот не может принимать отрицательных зна-
чений. При постоянном и К [и, w]=0, поэтому наименьшее
собственное значение, которое мы обозначим Хо, равно нулю
и соответствующая собственная функция постоянна. Таким
образом,
Хо = 0; Uq — 1; Nq — -у= .
Уравнение, соответствующее нашей задаче, имеет вид:
[(1 — х2)а']'+^ = 0. (27.1)
Общее решение этого уравнения (при X ф 0) не выражается
через известные нам функции. Здесь, следовательно, непри-
меним тот общий прием, которым мы решали предыдущие
задачи. Поэтому найдем сначала те значения X, при которых
уравнение (27.1) допускает решение в форме многочлена.
Такие значения X (если они найдутся), очевидно, будут соб-
ственными значениями, а соответствующие многочленные
решения — собственными функциями, ибо многочлены оче-
видным образом удовлетворяют краевым условиям.
Итак, пусть многочлен n-й степени и=рп (я) = хп -f-
будет решением (27.1).
Вычислим L[pnC*j].
«' =/>;(*) = их”-1 + ..(1 — х*)р’п(х) = - пх"+1 + . .
Mpn(x)l = Ю —*2)<Г ==•—«(«+1)*”+ •••>
где многоточия заменяют слагаемые, содержащие х в степени,
более низкой, чем степень написанного слагаемого. Подста-
вляя L[pn] и рп в (27.1), мы получим [—п(пф 1) + М хп +
0. Так как это равенство должно выполняться тож-
дественно, то коэффициенты при всех степенях х в левой
части, в том числе и коэффициент при хп, должны быть равны
нулю. Таким образом, —п(п-|-1)-|-Х = 0 и окончательно
Хп = «(п+1), (п = 0, 1,2,3, ...). (27.2)
Эта формула дает те значения X, при которых решения
могут иметь форму многочленов. Мы видим, что таких зна-
чений имеется бесконечное множество.
372
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
Найдем теперь соответствующие решения уравнения
[(1— №)//]' +//(//+ 1) zz = 0, (27.3)
имеющие форму многочленов а-й степени.
Обозначим через v многочлен (2л-й степени), определяе-
мо
мый равенством = и. Подставляя в (27.3) вместо и
dnv
получим уравнение для v
[(1 —x2)^(n+D]'4“ «(«4- l)^(n) = 0.
Левую часть этого уравнения преобразуем следующим
образом:
[(1 — х2) -{-п(н + 1) =
= (1 —х2)о(п+-2) — 2xv<-n+V -|“ п (п + 1)^("} “
= (1 —x2)v(n+® — 2х(«4“ l)^4*1) — fl (л 4" 1)^(л) 4“
4“2flxci(n+-1) 4-2fl(fl4- 1) v^n) ==
= {(1 — X2) ^ + 2> 4- (fl 4- 1) (1 — X2)'v^ -4
+ 0Ц1)л(1_д.2),/^(„)} +
-|- 2n {x,»(n+1) + (« + 1) x't»(n) }•
На основании известной формулы Лейбница мы можем
выражения в фигурных скобках записать так:
(1 — х2) v<” +2> + (я + 1) (1 — х2)' -ф-
4- (1 —X^'v^n) — [(1 —х2) ©']('» + !>,
х^(п + 1) (л4~ 1)хМп) =
и, таким образом, уравнение для v привести к следую-
щему виду:
((1 _ Х2) V' + 2nxv] = 0. (27.4)
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА КАК СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 373
Это последнее уравнение будет подавно удовлетворено, если
v будет удовлетворять уравнению (1 — х2) v' 4~ 2nxv = О
(интегрируя это последнее, мы найдем, конечно, только частное
решение уравнения (27.4), но мы и ищем для v только частное
решение, имеющее вид многочлена степени 2п). Разделяя пере-
менные и интегрируя, мы получим In v=. In с-j-я In (1—х2),
откуда ^ = c(l— х2)п. Это и есть искомый многочлен сте-
пени 2п. Отсюда получаем решение уравнения (27.3) в форме
Фиг. 64.
W==C~^-(1—х2)”. В качестве постоянной С обычно берут
. Получающийся при этом многочлен носит название мно-
гочлена Лежандрй п-го порядка и обозначается обычно Рп(х).
Таким образом,
= (« = 0,1,2,...), (27.5)
и эти многочлены Лежандра являются собственными функ-
циями рассматриваемой задачи, соответствующими собствен-
ным значениям (27.2). Графики многочленов Лежандра первых
шести порядков изображены на фиг. 64.
Докажем теперь, что найденные нами собственные значе-
ния и собственные функции исчерпывают всю совокупность
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
собственных значений и собственных функций задачи. Для
этого заметим, что в систему (27.5) входят многочлены всех
степеней. Поэтому любой многочлен л-й степени Qn(x) можно
представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра
п
порядков от нуля до п\ Qn(x)—^ скРк(х). С другой сто-
к=0
роны, в силу известной теоремы Вейерштрасса!), любую не-
прерывную на интервале (—1, 1) функцию можно равномерно
приблизить многочленом Qn (х) со сколь угодно большой
точностью. Следовательно, для любого е можно найти линей-
ную комбинацию многочленов Лежандра, так чтобы
п
/(*)—
£
/2 ’
Но тогда средняя квадратичная погрешность представления
п
f(x) выражением 2 будет меньше е. Иначе говоря,
^=о
так как / (х) произвольная непрерывная функция, система
многочленов Лежандра замкнута, а значит, и полна
(ср. стр. 341). Если бы теперь наша задача имела собствен-
ную функцию, отличную от (27.5), то она должна была бы
быть ортогональной ко всем Рп (х), что невозможно ввиду
полноты системы {Рп(х)}. Следовательно, совокупность
многочленов Лежандра исчерпывает все собственные функции,
а значит, числа (27.2) исчерпывают всю совокупность соб-
ственных значений нашей задачи.
Многочлены Лежандра имеют многочисленные применения
в различных вопросах математической физики, поэтому мы
сейчас отметим некоторые их основные свойства:
1) п-й многочлен Лежандра есть функция той же чет-
ности, что п:
ЛЛ-х)=(-1)"Р„(х). (27.6)
Доказательство следует непосредственно из (27.5), если за-
метить, что (х2—1)—функция четная, а каждое дифферен-
цирование меняет ее четность.
г) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциаль-
ного и интегрального исчисления, т. Ill, Гостехиздат, 1949, стр. 700е
СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
375
2)
^2п-1(0) = 0; P2J0) = (-l)»g^gL. (27.7)
Первая из этих формул сразу следует из (27.6). Для дока-
зательства второй заметим, что значение многочлена в точке О
есть его свободный член. Так как при ^-кратном дифферен-
цировании степень каждого члена понижается на п единиц,
то свободный член Р2п(х) получается при дифференциро-
вании члена, содержащего многочлена (х2—1)2^. Этот
(2д \
п j х2п =
= (—х<2п- Дифференцируя его 2п раз и умножая
на 22п (2"л)19 мы и ПОЛУЧИМ вторую из формул (27.7).
3)
Р№(1)=1; Р„(-1)==(_1)п (27.8)
Для доказательства первой из этих формул перепишем
(27.5) следующим образом:
А» (*) = 2^! К* ~ 1 )п (* + 1)"]
и применим формулу Лейбница
где многоточия заменяют члены, содержащие (х—1) в сте-
пенях от 1 до п. Подставляя сюда х=1, мы и полу-
чим (27.8), так как все слагаемые, кроме первого, превратятся
в нули. Вторая из формул (27.8) получается из первой при
помощи (27.6).
4) Все п корней п-го многочлена Лежандра различны
между собой и лежат на интервале (—1, 1).
Доказательство основано на повторном применении из-
вестной из анализа теоремы о корнях производной.
Многочлен v = (x2—1)* имеет по я-кратному корню
в точках — 1 и 1. Его первая производная имеет в точках — 1
376
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
и 1 корни п—1-й кратности и, так как она является много-
членом 2п— 1-й степени, то, кроме того, имеет еще один
корень. По теореме о корнях производной этот корень хО)
должен лежать между корнями многочлена (х2— 1)», т. е.
— 1 < хО) < 1. Вторая производная t/' имеет в точках — 1
и 1 корни п— 2-й кратности и как многочлен 2п— 2-й
степени должна иметь еще два корня х^> и х<4 Применяя
опять теорему о корнях производной к v', мы убеждаемся,
что — 1 < х^2) < x<j) < х<р < 1. Аналогичным образом убе-
димся, что У", кроме корней п — 3-й кратности в точках
— 1 и 1, имеет еще 3 корня х^\ х(23>, х<3) и при этом
— 1 < х® < х<2> < х<3) < х<2> < х^ < 1.
Повторяя эти рассуждения п раз, мы докажем высказанное
утверждение о распределении корней многочленов Лежандра.
5) Система многочленов {Рп(х){ есть полная ортого-
нальная система с весом 1.
Ортогональность системы с весом 1 есть следствие того,
что эта система есть система собственных функций рассма-
триваемой задачи. Ее полнота была доказана на стр. 374.
6) Норма функции Рп определяется формулой
1
= J Рп (X) dx = . (27.9)
—1
Для доказательства этой формулы перепишем интеграл та-
ким образом:
1
= 22п (л!)2 J dx^ dx^^ ^}ndx
—i
и применим формулу интегрирования по частям:
1 йГ"(х2 —1)" ^’"1(х2—1)^ |1
“ 22" (п!)2 dxn ’ dxn~l |а;=х— 1
______1 f (х2_____________1)" (х2— l)ndx =
22" (n!)2 J dx"+^ dx*-^ Ч
----------L__ f (х2_________1 > - (х2__1 > dx
22"(n’)2 J dx^^x dxn~^'X ' •
—1
НОРМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
377
Внеинтегральное слагаемое пропадает, так как производные
от (х2—1)” порядка меньше п равны нулю в точках — 1
и 1. Полученное выражение снова интегрируем по частям и
повторяем этот процесс п раз. Получим:
Mi = 22П (л !)2 j* (*2 I)”’ I)** ^Х.
— 1
Но, очевидно,
И
М = [ (*2 - 1)" dx =
—1
= j (* - 1)” (Х + 1)" dX-
—1
Снова интегрируя по частям, получим:
д/? s-з ( (2^)! f (х_1 \п (х -4- 1 +111 _,
2Vn 22^!(п + 1)!Г } { ' 1-1
1
— п (х — I)*-1 (x-f- i) n+2dxj =
—i
=_________________f (x_______(x4-1?*1 dx
22n(n__i)!(n+i)!J И И-Г1) ax
—i
и повторяя этот процесс снова п раз, найдем:
1
= ij(x + 1)2”^ =
—1
1 1 9
22» (2п + 1) + 1 )2rt+1 -1 — 2л 4-Т ’
что и требовалось доказать.
378 § 27. многочлены лежандра
7) Многочлены Лежандра трех последовательных поряд-
ков связаны между собой рекуррентной формулой
(«4- ОЛг+1 (*) —(2л 4-Т)хРп(х) + tlPn-i (%) = О
(я > 0). (27.10)
Для доказательства рассмотрим функцию хРп (х) при п > 0.
Как всякую функцию ее можно разложить в ряд Фурье по
функциям системы (27.5)
xPn(x) = 2 акРк(х),
7с = О
где коэффициенты Фурье ак вычисляются по формуле
1 1
[xPn(x)Pk(x)dx==¥±l [xPn(x)Pk(x)dx. (27.11)
к -1 -1
С другой стороны, хРп(х) есть многочлен л4“1’й сте‘
пени и потому разлагается в сумму многочленов Лежандра
степеней от 0 до м-|-1- Следовательно, в ряде члены
с & > /г —1 выпадают и потому ак = 0 при Но
интеграл в (27.11), через который выражается ак, симметри-
чен относительно k и п, поэтому ак = 0 при п> 1,
т. е. при А<п—1. При k = n подинтегральное выраже-
ние в (27.11) ‘ хР^(х) есть нечетная функция и по-
этому ап = 0. Итак, ак отлично от нуля только при
k — n—1 и k = п -f-1 и наш ряд состоит только из двух
членов:
хРп (х) = ап_ }Рп ~1 (х) яп+1Ри-| 1 (х).
Это равенство является тождеством относительно х. Полагая
в нем х= 1, мы на основании (27.7) получим: ап__1-^~ап^1 — 1.
Приравнивая коэффициенты при xw+! в обеих частях того же
равенства, мы найдем:
(2м)! (2я + 2)!
2п(п!)2 un+i 2n+i[(n + l)!]2‘
~ п4-1 . п Т1
Отсюда ап + {— । и an-i 1 an+i “ 2n -f- 1 ’ од“
ставляя эти значения ап_г и ая+1, мы и получим (27.10).
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
379
Легко подсчитать, что Ро (х) = 1 и Рг (х) = х. Формула
(27.10) дает возможность найти Рп(х) для п == 2, 3, ...
(см. графу III в таблице на стр. 420).
8) Для многочленов Лежандра справедливо интеграль-
ное представление'.
1 f 1
= ± I [х + (х6 * * 9—I)2 (27.12)
О
Для доказательства обозначим правую часть равенства
через Yn (х) и подинтегральное выражение через Zn. Таким
образом
1 лу 1
Z == х-{- (х2— I)2 cos ср, = — (х2— I)2 sin о,
(WZ л —
~д^ = — О2 cost? = х —Z.
Убедимся теперь, что Уп(х) удовлетворяет рекуррентному
соотношению (27.10). Отсюда и из очевидных равенств:
(х) = 1 = PQ (х), Yx (х) = х = Р{ (х) будет следовать ра-
венство Yn (х) = Рп (х) для всех п.
(п + 1) Kn+1 (X) - (2я + 1) У„ (х) + (х) ==
тс
= 1 ( — 2xZ+lJ4-Z”[Z— x]}<Z<? =
о
тс
= 1 ({—«Z’*'"1[(x2 —l)sin2^] +Zre[Z — x]}d® =
0
= _1 fLz”-1 +zn5?J d<? = —-[zn^ | Г=о.
kJ ( / 1 ctyj ‘ к |_ dy J |o
9)|Pn(x)[<l при — 1<х<1.
Действительно, при этих условиях 1 —х2< 1 и поэтому
1 г ±
IРп(*)I<7 j |х4-/(1—X2)2 COS»|"fifo==
6
тс к
= ~ J* ]/х2 -f- (1 — х2) cos2 ф dy ~ dy = 1.
о о
380
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
10) Функция • ----------- является производящей
у 1 — 2г х + г2
функцией для многочленов Лежандра, т. е. эти много-
члены являются коэффициентами ее разложения по степе-
ням г
оо
, = У г»Рп (х). (27.13)
/1-2гж + г2
Для доказательства рассмотрим ряд в правой части фор-
мулы (27.13) и обозначим его сумму через Ф(г, х):
со
Ф(г, х)=^г»Рй(х). (27.14)
п = о
Так как при — 1 <1 х 1 | Рп (х) | 1, то | Рп (х) гп | <
< |г Iя и ряд (27.14) равномерно сходится при — 1 1
и |г |С 1—8 < 1. Продифференцируем (27.14) по г:
оо со
2«rn-ip„(x) = P1(x)+ 2(«+1)r”Pn+iW. (27.15)
п=1 П=1
Заменяя Pn+i(x) по формуле (27.10), найдем:
оо со
^ = Р1(х)4- 2(2«+1)хРя(х)г"- (х) г» =
п=1 п—1
со оо
= ^2яхР„(х)г«4-х+ ^хР„(х)гя —
п=1 П = 1
оо со
— 2 («+о рп (*) /”,+i=2хг 2пРп гп'~
п==0 п==1
оо оо оо
+х2рп(*)'”*—г<2 2/tP»^rn"1—г 2Ря^гп-
п=0 П=1 n = 0
оо со
=«= (2хг — г2) 2 пРп О) гП~1 + (х — О 2 Рп гП'
п=1 п-»0
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
381
иди ввиду (27.14) и (27.15)
= (Чхг — г1 2 *) + (х — г) Ф.
Мы получили, таким образом, дифференциальное уравнение
дФ
для функции Ф от г. Разделяя в нем переменные -ф- =
==з 1 и интегрируя, получим In Ф = In с —
— 2- In (1 — 2г х 4- г2), откуда Ф = . .-=. Постоян-
2 4 17 J УТ-2гх+г2
ную с определим из очевидного равенства Ф(0, х)=1,
откуда с = 1, и окончательно Ф (г, х) — --^==Л====^, что
J v } /1 — 2г х + г2
и требовалось доказать.
Если |г| > 1, то можно обозначить 2 через гР Тогда
|г1|< 1 и мы получим:
1 = _т ri________=
/1 — 2гх + г2 У l—2r1x+r'f
оо оо
= ^2 #М*) = 2т^Г (И>1). (27.16)
п=0 п==0
k Формулу (27.13) можно также трактовать как разложе-
ние функции от х в ряд по многочленам Лежандра. Ряд этот
сходится равномерно по х на интервале (—1,1). Такой
ряд, как мы знаем, является рядом Фурье разлагаемой функ-
ции и поэтому его коэффициенты равны коэффициентам
Фурье. Это дает нам полезное интегральное соотношение
f рп(х) _______
J ]/Т — 2rx-f-r2
—1
2гп
2п ф-1
(|г|< 1). (27.17)
Наконец, из (27.13) и (27.16) выведем еще два важных
разложения в ряд. Для этого продифференцируем (27.13) по г:
382
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
Умножив это на 2 г и сложив результат с (27.13), получим:
оо
,1 J,~r' - S Р" + '>ðл W' <|г|<1). (27.18)
' ' ' п==0
Аналогичным образом из (27.16) получим:
-----— = у 2Л±1 Р (х) (| ГI > 1). (27.19)
(1—2rx-f-r’)% r«+1 4 ' V ’
Эти разложения впоследствии будут нами использованы.
Присоединенные функции Лежандра. Разбе-
рем следующую задачу. Интервал (— 1, 1). Оператор
k^u
L к[и] = [(1 —х2) и']'— Краевые условия и( — 1) =
— и(1) = 0. Вес р = 1 (& = 1, 2, 3, . ..). Здесь мы снова
имеем особенности на концах интервала, а краевые условия
равносильны требованию ограниченности функции и на всем
интервале.
Соответствующий квадратичный функционал имеет форму
1
К[и, а] = J [(1 — x^)u's-\-~^ui]dx'
Очевидно, К [и, я]>0, и все собственные значения поло-
жительны.
Соответствующее уравнение имеет вид:
[(1 _Х2) и'} _ _Л_ и + = о. (27.20)
Задача, рассмотренная в предыдущем примере и приведшая
нас к многочленам Лежандра, может рассматриваться как
частный случай настоящей задачи при & = 0. Мы покажем,
что решение нашей задачи может быть сведено к предыду-
щей. Для этой цели введем в (27.20) новую неизвестную
функцию я, связанную с и формулой
к
« = (1—Х9)8^).
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
383
Выразим производные от и через v и подставим в (27.20)
к к j
и' — (1—x2)3i/ft+1)— kx(\—х2)3 crW;
А+1 JL
(1 — х2) и' = (1 — х2)2 — kx (1 — x2)3 •»№);
4+1
[(1—Х2)«Т = (1—X2)3 гД+2) —
ft
— 2(А? + 1)х(1— х2)2 »(*+!) —
к _ft
—k (1 — х2)3 + &2х2 (1 — х2)2 <№;
А+1 *
= *2)а о№+2> —2(&+1)х(1 —х2)3 ©(*+1)-
к к__
_X2)2 — А:2х2(1—X2)2- 4-
Т-1 Т +1
+ &2(1— х2)3 ] = (1— х2) <А*-1-2) —
к
— 2 (_k 1) х (1—х2)3 —
к
— Й(&4-1)(1—X2)3 =
к
=(1— х2)2 [(1 — х2)«/*+2)4-
4-(к4- 1)(1 — х2У ©№+04-(1—x2)"©W] =
*
= (1 — 1(1—*2)<1,
и уравнение (27.20) примет вид (после сокращения на
(1-^2)V):
^([(1-^®Т4-^} = о.
Выражение в фигурных скобках есть левая часть уравне-
ния (27.1). Поэтому, если взять к = п(п-\-1) и v — Pn(x),
384
§ 27. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА
то мы получим решения уравнения (27.20)
к
^П,йМ = (1—^1 2)а dxkP^ (n>k)- (27-21)
(Если п < &, то и будет тождественным нулем и, следова-
тельно, интереса представлять не будет.) Функции (27.21)
очевидным образом удовлетворяют краевым условиям нашей
задачи. Они являются, следовательно, ее собственными
функциями, а числа
kn = n(n+l) (л = й, fe-f-l,...) (27.22)
— собственными значениями. Так же, как и в предыдущей
задаче, можно убедиться, что система Рп,к(х) (при фикси-
рованном k) полна и, следовательно, она исчерпывает всю
систему собственных функций, а (27.22) — всю систему
собственных значений нашей задачи.
Функции называются присоединенными функциями
Лежандра. При k — 0 присоединенная функция Лежандра
сводится к многочлену Лежандра. Присоединенные функции
Лежандра для нескольких значений п и k приведены
в графе IV таблицы на стр. 420.
Вычислим норму функции Рп,к(х).
1 1
—1 —1
Для вычисления этого интеграла выведем рекуррентную
формулу. С этой целью применим формулу интегрирования
по частям:
1
Nn,i = f (1 - (*) nf) dx =
—1
1
- f -x^pW(x)]dx =
—1
1
==_ J(l_x2)»-ip(i-l)(x)((l -X2)^ + D(X)~
—1
— 2zx/W (x)]</r.
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 385
Обозначим выражение в квадратных скобках под знаком
последнего интеграла через Н и преобразуем его при помощи
формулы Лейбница
Н = (1 - X2) Р'< + » (х) + i (1 - X2)' Р% (X) +
+(1 - х*)" Р^ (х) + I (I- 1) (X) =
= [(1 - х2) Р'п (х))(0 + / (Z -1) (х) =
- ^ {[(1 - х2) р; (х)]'+1 (i -1) рп (х)}.
Но на основании уравнения для многочленов Лежандра (27.3),
которому удовлетворяет Рп(х),
[(1 - X2) Р'п (X)]' = - л (п + 1) Рп (X),
поэтому
н= [п(п + i)Pn(x)-i(i- 1)Р„(х)] =
==-(n + 0(fl-i+ 1)Р^-1)(х),
и, подставляя это в соответствующий интеграл, получим:
= (п + 0 (« - /+ 1) / (1 - X2)4-1 [?(<-» (х)]2 dx =
Последовательно w применяя эту рекуррентную формулу
при i = kt k — 1, k — 2,..., 1, получим:
...(я+1)(й_й4-1)(и_^4-2)...(«—1)«<0 =
_(” + *)! да
— (п — й)! ».о-
2
Но так как на основании (27.9) 0 = ’ то
№ ?_______(п + *)!. (27.23)
™п.к — 2n + l (n-k)\' v 7
386 § 27. многочлены лежандра
Многочлены и функции Лежандра от cos/.
К предыдущим задачам сводится следующая:
Интервал (0, к). Оператор Lk [и] = ~ si n t ~ j — .
Краевые условия sin _ = sin = 0 при & == 0 и
zz (0) = и (тг) = О, при & > 0, что равносильно требованию
ограниченности функции и. Вес р = sin t (& = 0, 1, 2, ...).
Эта задача может быть приведена к предыдущей заменой
переменного
x = cos/. (27.24)
Эта замена преобразует интервал 0 t к в интервал
— а оператор — в оператор —1—
Поэтому уравнение нашей задачи
d Г . jdul k2 , . . , п
— sin t —----— „ + A sin tu = 0
dt L dt J sin t tt 1
преобразуется (после сокращения на J/ l — х2) в уравнение
%- [(1— х2)г ]~ т-^-2« + Х« = 0,
'dxj 1— х 1 ’
а краевые условия — в
(1—х2)^| =(1—х2)^| =0 при 6 = 0,
v ' dx\x=-i v 'dx|a?==i F *
u(—l) = zz(l) = O при &>0.
На основании полученных результатов мы можем теперь
заключить, что собственными значениями нашей задачи
будут числа
Хп = /г(/г + 1) (л = й, й-f-l, ...), (27.25)
а собственными функциями —
«Л,л = Рпл (COS f) — (cos t). (27.26)
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫЙ
387
Нормы этих собственных функций могут быть вычислены по
формулам (27.9) и (27.23)х).
Заметим, что собственные функции этой задачи ортого-
нальны между собой с весом sin t. Эго можно установить
также, если в интеграле, &ьгр^'кающем ортогональность
функций системы (27.5) и (27.21), сделать замену пере-
менной (27.24).
§ 28. Собственные функции оператора Лапласа
для некоторых двумерных и трехмерных областей
Начнем с изложения способа сведения задачи о собствен-
ных значениях для многомерных областей к задачам для
областей меньшего числа измерений.
Способ этот, называемый разделением переменных, при-
меним, если можно выбрать такую систему координат, чтобы
выполнялись следующие три условия:
1° Область (Z)) в этих координатах представляет собой
координатный четырехугольник в двумерном случае или
координатный цилиндр в трехмерном случае* 2).
2Э Уравнение, записанное в этих координатах, может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из кото-
рых— в двумерном случае — каждое содержит только опе-
ратор дифференцирования по одной переменной и коэффи-
циенты, зависящие только от этой же переменной. В трех-
мерном случае одно слагаемое должно содержать операторы
дифференцирования по двум переменным и коэффициенты,
зависящие только от этих двух переменных, а второе — только
третью переменную.
*) Укажем, что для Рп ^(cosf), как и для Рп^(х), имеются много-
численные таблицы. См., например, Е. Янке и Ф. Эмде, Таблицы
функций с формулами и кривыми, Гостехиздат, 1948 или Б. И. Се-
гал и К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы,
Изд-во АН СССР, 1948.
2) Под координатным четырехугольником мы понимаем область,
ограниченную четырьмя дугами координатных линий, т. е. опре-
деляемую неравенствами <&. где и ни— коорди-
наты. Нод координатным цилиндром мы понимаем область, ограни-
ченную двумя частями координатных поверхностей и = const, (осно-
вания цилиндра) и поверхностью, состоящей из дуг координатных
u-линий, заключенных между ними (образующие цилиндра), т. е.
область, определяемую неравенствами а<и<Ь, F(v, w)<^c.
388 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
3° Краевые условия в этих координатах должны содер-
жать операторы, коэффициенты которых постоянны вдоль
каждой стороны координатного четырехугольника в двумер-
ном случае или в трехмерном случае — на основаниях
координатного цилиндра и вдоль каждой его образующей.
Существо метода и роль перечисленных трёх условий
хорошо выясняются на простом примере, которым мы тут
и ограничимся.
Пусть область (D) в двумерном пространстве является
прямоугольником со сторонами, параллельными осям коор-
У
b -----
О к ат
динат и равными, соответ-
ствено, а и Ь. Будем считать,
что начало координат нахо-
дится в левом нижнем углу
прямоугольника (фиг 65).
В этой области рассмотрим
оператор L [я], представимый
в виде
L[a]=PiO)Le,[«] +
+ p2(x)Lu[a], (28.1)
Фиг. 65. где Lx [и] — дифференциаль-
ный оператор вида (23.13),
заданный на отрезке (0, а) оси аг, a — такой же
оператор, заданный на отрезке (О, Ь) оси рх (у) и (х)
достаточно «хорошие» функции, заданные на отрезках
(О, Ь) и (0, а)').
В этой же области рассмотрим весовую функцию вида
р(х, ^) = р2(х)р'О), (28.2)
где р(у) — функция, заданная на отрезке (О, Ь) оси у.
Кроме того, заданы однородные краевые условия, содержа-
щие операторы с коэффициентами, постоянными вдоль каждой
из сторон прямоугольника.
Способ разделения переменных состоит в том, что ищут
решение в виде произведения двух функций v(x) и w (у),
l) Pi О') и Р2 (•*) должны быть таковы, чтобы одномерные
уравнения, которые получатся в результате разделения переменных,
удовлетворяли условиям § 23 (см. стр. 321).
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
389
зависящих каждая от одного переменного
zz (х, y) = v(x)w(y). (28.3)
Подставим (28.3) в уравнение нашей задачи
Z.[zz] + Xpzz = O. (28.4)
Получим:
о»(У) р, о) [V] + V (х) р2 (X) Ly [w] 4-
+ ХР2 (х) р Су) V (х) а» О) = О,
или, деля на v (х) w (у)рг (х)р2 (х),
М+х?Су) ^(.У) _ Lx [у]
А Си) СУ) P^x)v(x)
Так как левая часть этого равенства зависит только
от у, а правая от у не зависит, то равенство воможно лишь
в том случае, если каждая из его частей постоянна. Обозна-
чая левую часть равенства через щ получим:
Lx М + М>2 (*) ” (•*) = °» (28«5)
Ly [w] — [ipi (у) w (у)+х~Су) w Су) = °- (28-6)
Краевые условия ввиду их однородности и постоянства
вдоль каждой из сторон прямоугольника дадут, очевидно,
краевые условия для функции v на концах интервала (0, а)
и функции w на концах интервала (0, £). Таким образом, мы
получаем задачу о собственных значениях для функции v
с оператором Lx[v] и весом р.2(х). Предположим, что эта
задача решена. Обозначим через ее собственные значения
и через vk собственные функции. Подставляя в уравне-
ние (28.6). мы получаем задачи о собственных значениях
для функции w с операторами Ly [w] — ^крг (у) w fy) и весом
?(у) (^==1,2, ...).
Предположим, что и эти задачи решены при любом k.
Пусть kkii — z-e собственное значение задачи при
a wk,i — соответствующая собственная функция. Система
функций vk образует замкнутую ортонормированную с ве-
сом р2 (х) систему на интервале (0, а). Системы * при
390 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
любом fe=l, 2,... суть замкнутые ортонормированные
системы с весом р (у) на интервале (0, Ь). На основании
(28.3) функции
«* i(x, y) = v»(x)wfc<(y)
(28.7)
являются собственными функциями данной задачи, соответ-
ствующими собственным значениям Но, по доказанному
в § 25, стр. 343, эта система замкнута, следовательно, она
исчерпывает совокупность всех линейно-независимых соб-
ственных функций нашей задачи, а система Хк, — совокуп-
ность всех собственных значений.
В дальнейшем мы на ряде примеров проследим приме-
нение этого метода.
Заметим еще, что если собственные функции vk и i
не нормированы и Nr и Nk, t означают их нормы, то нормы
функций uki i = vk- <wkt t также легко подсчитать:
Ж i
J J ajc<i(>dxdy —
(D)
а Ъ
= f vlp2dx - Jpdy — Nk Nk.i
0 0
(28.8)
Рассмотрим теперь задачи о собственных значениях для
оператора Лапласа L[u\ = Д//, веса р = 1 и ряда двумерных
и трехмерных областей простейшей структуры с различ-
ными краевыми условиями.
Пример 1. Область (Dyпрямоугольник со сторонами
длины а и b (начало координат расположим в левом нижнем
углу и оси направим по сторонам прямоугольника, так что
уравнения его сторон будут х = 0, х = а, у = 0, у = Ь).
Краевые условия
(28-9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 391
где а, р, и 8 — неотрицательные постоянные. Очевидно, эти
краевые условия можно записать в форме — <зя = 0, где <з —
функция, определяемая условиями
а, х = О
В, х = а
В, у = Ь.
Уравнение задачи будет иметь вид:
Д« + Л« = О или g + g + = (28.10)
Мы находимся в условиях, когда применим метод разделения
переменных, поэтому будем искать решение в виде и(х, у) =
= v (x)w(y). Из (28.9) мы ролучим для функции v и w
краевые условия
o^~av =^+Н =0’ (28Л1)
==^-|-8w| =0. (28.12)
dy 1 l^o dy^ \у^ь k °*
Подставляя u, = <im в (28.10) и разделяя переменные, получим:
Из .этого уравнения видно, что каждое из слагаемых должно
быть постоянным. Обозначая эти постоянные через — и — v,
получим для v и w задачи о собственных значениях с уравнениями
У' + = 0, (28.13)
w" -|-vw = 0 (28.14)
и краевыми условиями (28.11) и (28.12), соответственно.
При этом
X = Fl4-v. (28.15)
Эти задачи были решены в § 26 (см. пример 2). Со-
гласно (26.14) собственные значения и определяются
как корни уравнений
= = (28.16)
392 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
а собственные функции по (26.17), (26.18)
(*) = sin 4- ?*). . n
O') = sin (y~ty -J- «!»<),
где
<P* = arctg
(28.18)
<p4 = arctg
Таким образом, по (28.15) мы получим
Чл — Hfc + (28.19)
а собственные функции задачи будут:
«л. i{x, у) = sin(/^x + «ft) • sin (У V+ <!><). (28.20)
Нормы этих функций найдем при помощи формул (28.8) и
(26.19)
Nl . = - L 4- (а₽ + (а + ₽) 1 у
У Га I (18 + (1 + ») 1 f28 211
xLh(77WTV)I' (28,21)
Решение задачи, отличающейся от разобранной тем, что на
одной или нескольких сторонах краевые условия (28.9)
заменяются условиями и = 0, можно получить или предель-
ным переходом из найденных решений, когда соответствующий
коэффициент а, р, 7 или 8 стремится к бесконечности,
или непосредственно. Разберем, в частности, случай, когда
на всей границе и = 0. Воспользовавшись решением при-
мера 1 § 26, получим и v4 = -&2 , откуда на осно-
вании (28.15)
= (28.22)
Собственные функции будут
«*. < = sin^sin^, (28.23)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
393
а их нормы
л7з аЪ
М1С. 4= -4 •
(28.23')
В другом крайнем случае, когда краевое условие имеет
вид = 0, т. е. когда а = В = т = 8 = 0, можно восполь-
on ’
зоваться, изменив немного нумерацию, результатами, приведен-
ными на стр. 358. Одно собственное значение (обозначим
его ^о-о) будет равно 0, а для остальных собственных значе-
ний мы получим:
Рте aii 2,...)
и
+ к (М=0, 1, 2,...). (28.24)
Собственные функции будут такие:
1 4 ft = i=0
1 -н- COS 2 а i =0, k = 1, 2, ...
1 iny 2C0S~T k*X COS COS a (28.25) й = 0, i=l, 2,... i,fc = l, 2,...
Их нормы
Т5 к = ‘ = °
- 25 *=О, < = 1,2,... .
8 /=0,*= 1,2, .. . (28.26)
gb
4
*,/=1,2,...
Мы получили в разобранных задачах систему собственных
значений, занумерованных двумя индексами. Для исследования
характера возрастания собственных значений их следует рас-
положить и занумеровать ъ порядке их возрастания, соответ-
ствующим образом нумеруя и собственные функции. Поступим
394 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
для этого следующим образом. Сопоставим числам
точки Ckti плоскости Е, т] (фиг. 66), считая k и i координа-
тами точки. Таким образом, каждой точке с целочисленными
координатами в первом квадранте плоскости Е, т) соответствует
собственное значение X. и наоборот. Остановимся теперь
подробнее на нумерации^собственных значений (28.22) задачи
—ill. г-. . , U-4-4-1-^ е.
> / 2345678 \ 9 /О П
п , . 10-V2 10+V2
а~2-,Ь=1 '
А^Ю ’ В-5 = =
Фиг. 66.
с краевыми условиями и = 0. Формула (28.22) показывает,
что точка лежит на эллипсе с полуосями А = ,
J к
В — Llffi***. Отсюда правило: чтобы найти собственное зна
чение, соответствующее целочисленной точке (&, Z), нужно
провести через эту точку эллипс с полуосями А и В, про-
порциональными а и и затем воспользоваться формулой
X _ AW __
Если несколько целочисленных точек попадают на один
эллипс, то соответствующие А равны и мы имеем кратное
собственное значение.
Чтобы перенумеровать все сообственные значения в по-
рядке возрастания, нужно, очевидно, перенумеровать все
целочисленные точки, лежащие в первом квадранте, в порядке
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 395
возрастания полуоси проходящего через них эллипса (подоб-
£2 Т12
ного эллипсу —1). Эта геометрическая картина дает
возможность найти асимптотический закон возрастания соб-
ственных значений в зависимости от номера. Рассмотрим
некоторое собственное значение и соответствующую ему
точку С на плоскости 5, г]. Проведем через нее эллипс
с полуосями В = /Номер п собственного
значения равен числу собственных значений, меньших X и,
быть может, некоторых равных ему, т. е. числу целочислен-
ных точек, лежащих внутри эллипса и, быть может, некоторых
лежащих на нем. Чтобы оценить это число, построим вокруг
каждой целочисленной точки, лежащей внутри первой чет-
верти эллипса и на дуге эллипса, ограничивающей эту первую
четверть, как вокруг центра, квадрат со стороной, равной
единице. Площадь каждого такого квадрата равна единице,
а площадь всей фигуры, состоящей из этих квадратов, равна
их числу п. Если к этой фигуре добавить полосу шириной ~
вдоль осей координат, площадь которой (Л-|-В)-~- — то
получим фигуру, которая (как легко видеть) покрывает четверть
« V2
эллипса, подобного данному, с малой полуосью В----------
у 2
и умещается в четверти эллипса с малой полуосью В 4- •
Большие полуоси этих эллипсов равны, соответственно,
А — — -у и А + у -у, а площади их четвертей
тс/. a /2\/ nab / 1 У2\2
4 И b 2 )\Ь 2 / 4 U * 2 / ’
« / л , а /2\/ , <2\ T.ab(V\n 1 <2\2
Сопоставляя все сказанное, мы получим такие неравенства:
„+1(«+ £5 ' <
4 \ тс b 2 / 1 2 v 1 7 тс • 4
У 2\® (28.27)
4 \ тс 1 р 2 / 7
396 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
Деля эти неравенства на Ап и переходя к пределу при /г->оо,
> .. п ab
а значит, и кп —> сю, получим lim — == — или
lim (28.28)
где S(D) — ab — площадь области (D).
Для задачи с краевыми условиями ~ — 0, собственные
значения которых даются формулами (28.24), можно про-
вести аналогичные рассуждения. Разница будет заключаться
лишь в том, что собственным значениям будут соответство-
вать также целочисленные точки, лежащие на осях коорди-
^44 ~ ^45 ~ ~ к
Фиг. 67.
нат 5 и т] (фиг. 67). Поэтому полосы шириной надо будет
не прибавлять, а отнимать, и вместо неравенств (28.27) мы
получим:
+ (28.29)
Как легко видеть, предельное соотношение (28.28) останется
при этом неизменным.
УЗЛЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
397
Можно показать, что асимптотическая формула (28.28)
справедлива при любых краевых условиях и для любой дву-
мерной области (D) площади 5(D). Мы не будем приводить
этого доказательства.
Обратим внимание на разницу между формулами (26.28)
и (28.28). В одномерном случае собственные значения возра-
стают как квадрат номера п, в двумерном — как первая сте-
пень п. Аналогичным образом можно показать, что в трех-
£
мерном случае собственные значения возрастают как пъ и
справедлива формула р—------------
з
(28.30)______________
»->оо «
где V(B) — объем области (£)).
Вернемся теперь к изучению собственных III
функций разобранной задачи с краевым уело- и32
вием и = 0 и выясним вопрос о расположении фиг
узловых линий этих собственных функций.
Это даст наглядное представление о характере соответствую-
щих стоячих волн. (Заметим, что на границе области соб-
ственные функции равны нулю в силу краевых условий.
Речь, таким образом, идет об отыскании узловых линий,
лежащих внутри области.)
В случае простых собственных значений { (например,
при несоизмеримых сторонах прямоугольника а и b все соб-
ственные значения, очевидно, простые) все собственные функ-
ции задаются формулой (28.23) и могут быть равны нулю
там и только там, где равен нулю один из сомножителей,
т. е. при
sin^- = 0: х — ^а (р = 1,2, — 1),
или
sitiz-^ = O: y — -jb (<7= 1, 2, ..i—1).
Следовательно, узлы представляют собой сеть, состоящгю
из k — 1 вертикальной прямой и I— 1 горизонтальной прямой
(фиг. 68).
398 § 28, СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
В случае кратных собственных значений собственные
функции будут представляться линейной комбинацией функ-
ций (2 .23), соответствующих одинаковым \kf и узлы их
будут зависеть от коэффициентов этой линейной комбинации.
Разберем для конкретности подробно несколько первых соб-
ственных значений для квадратной области со стороной
а = b = к. Формула (28.22) дает в этом случае i = k? -|- Z2,
оС=0
Ц*(Мс{и2 + $1П0Си3
Фиг. 69.
а формула (28.23) — ukii = sin kx • sin ly. Нумеруя собствен-
ные значения в порядке возрастания, получим:
Xj = j = 2; Х2 = Х3 = Хъ 2 == Х2, j = 5; Х4 = А2> 2 = 8;
^6= ^1, з = ^з,1= Ю» ^7 ~ ^8 ~ ^2, з ~ ^з, 2 == 18;
Х9 = А10 = А1# 4 = Х4 t = 17.
Соответствующие собственные функции будут:
w1 = sinx • sinj>; tf2==sinx • sin 2y; w3 = sin2x • sinj/;
tf4 = sin2x • sin2y; w6 = sin x • sin 3y; uQ = sin 3x • sinj/;
u7 = sin 2x • sin 3y; u8 = sin 3x • sin 2y;
u8 = sin x • sin 4y; u1Q = sin 4x • sin
Собственная функция, соответствующая первому собствен-
ному значению, не имеет узлов внутри области. Для дву-
кратного собственного значения Х2 == Х3 = 5 имеется одно-
параметрическое семейство собственных функций
Аи2 + Ви8 — A sin х • sin 2у -j- В sin 2х • sinj^
УЗЛЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
399
Фиг. 70.
U2,2
и узлы их зависят от соотношения между А и В. На чер-
теже показаны эти узлы для различных соотношений между
А и В (фиг. 69) (мы положили 4 = cosa, В = sin а).
Следующему однократному собственному значению Х4 = 8
соответствует собственная функция zz4 = sin 2х • sin 2у. Ее
узлами будут линии х — и у = у (фиг. 70).
Двукратному собственному значению Хб=Х6 —
= 10 соответствует однопараметрическое се-
мейство собственных функций
А-ф- Вив = A sin х • sin Зу -ф- В sin Зх • sin j,
узлы этих функций при различных соотношениях
между А и В показаны на фиг. 71 (?4=cosa,
В = sin a).
Для последующих собственных значений картина узловых
линий будет еще более сложной. Линии эти известны под
названием хладниевых фигур. В курсах физики описывается
экспериментальный способ их получения.
Картина узловых линий собственных функций дает, между
прочим, возможность найти некоторые собственные значения
400 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
и собственные функции оператора Ди при краевых условиях
и = 0 для более сложных областей.
Рассмотрим люб>ю область, ограниченную на одном из
чертежей узловыми линиями (например, заштрихованною
область на фиг 71). Функция, для которой составлен этот
чертеж, в данном случае и = sinx • sin Здл —sin Зх • sin у,
равна нулю на границах этой области и удовлетворяет урав-
нению (28.10) при К ==10. Следовательно, и является соб-
ственной функцией для этой
области при собственном зна-
чении Х=10. Более того,
можно показать, что для этой
задачи Х= 10 есть наименьшее
собственное значение. Это сле-
дует из одной общей теоремы,
согласно которой при краевых
условиях вида и = 0 все собст-
венные функции, кроме первой,
«г имеют узлы внутри области.
В некоторых случаях та-
ким способом можно решить
задачу о собственных значениях до конца. Для примера раз-
берем область (Dj), имеющую форму равнобедренного прямо-
угольного треугольника с катетом а. Дополним этот тре-
угольник до квадрата (D) (фиг. 72) и решим для этого квад-
рата задачу о собственных значениях с краевыми условиями
я = 0. Пусть uiilt — соответствующие собственные функции,
определяемые (28.23), и к — собственные значения, опре-
деляемые (28.22) при Ь = а.
Из рассмотрения чертежей фиг. 69 и 71 видно, что функ-
ции ulf 2 — я2, Г» ui, з — w8, 1 Равны нулю на границе нашего
треугольника, а значит, являются собственными функциями
для него. Числа Х==5, Х=10 являются соответствующими
собственными значениями. Очевидно, то же заключение верно
при любых не равных между собой i и k для функций
, kmc , 1ъу . ir.x . kny
V*, i = ик, (— uit к == sin — .sln — SHI — . Sln -f
(6=1, 2, / = *+1, k 4- 2, ...)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 401
и собственных значений
Ч< = Т2(*2 + ^) (А = 1>2, .&Н-2, ...)•
Убедимся теперь в том, что этим исчерпываются все
собственные значения задачи и для этого докажем полноту
системы функций vkt г в треугольнике. Как мы знаем, си-
стема ukt i полна в квадрате. Заменяя пару функций ukf t
и к, соответствующих одному. и тому же собственному
значению А*, к, парой функций
= Ч(*<о
и
™к, <=«»,< + “<, к (^<0.
мы получаем вновь систему, полную в квадрате. Нетрудно
проверить, что функции vki t и ортогональны между
собой в (D) и подсчитать, что нормы их будут Д^ = ~.
2
Их нормы в (DJ будут A/A.>i = —. Функции очевид-
но, являются симметричными относительно х и у:
'®к,Лх,У)=='®ы(У, х),
а функции vkf { кососимметричны, т. е.
Vk,i(x,y) = — vk,i(y, х).
Рассмотрим теперь произвольную функцию / (х, у), за-
данную в треугольнике (DJ, и обозначим через aki ее
коэффициент Фурье по функциям системы vkf {
ak>'^i J f f-Vk.idxdy.
Доопределим теперь функцию / во второй половине квадрата
так, чтобы она стала кососимметричной, т. е. введем функ-
цию F{x, у), определяемую такими условиями:
[ КХ>У), *>У,
F(x> У) — | _f(yt х), х <у.
402 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
Найдем коэффициенты Фурье этой функции по ортого1
нальной в квадрате системе vkt i (k < /), <wkf г (k Z):
bK, i = f f dx> y)dxdy =
'(D)
=4 [ f ft*, У) vkt f (x, y) dx dy = ak> {
\d,)
= f f F^X’ W*> * dX аУ = 0 ’)•
\P)
Так как система vkt if wkj t полна в квадрате, то для
функции F(x, у) справедливо условие замкнутости (25.17)
.1 /^dxdy=^{ 2 S с*’,}=т 2 а*3’
(7?) к, г’=1 Zc, i == 1 Zr, i = 1
Zc < г к < i к
э J j* F2 dx dy = 2 P J f2 dx dy и, следовательно,
W) \dv)
оо
f*dxdy = ^ 2 «w,
’(А) к, i = l
к <i
т. e. справедливо условие замкнутости для системы (vk
в треугольной области, а это и значит, что система полна.
Итак, для нашей треугольной области собственные зна-
чения будут
г2
4i = ~2(^+^) (28.31)
(*=1, 2, ...; / = £-|-1, £-|-2, ...),
собственные функции —
vk, i = sin — sin — sin — sin (28.32)
(£=1, 2, ...; / = £4- 1, £4.2, ...)
*) При вычислении этих коэффициентов мы воспользовались тем
очевидным фактом, что интеграл по квадрату от кососимметричной
функции равен нулю, а интеграл от симметричной функции—удвоен-
ному интегралу по треугольнику.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГА
403
и их нормы
i — 2 •
(28.33)
Точно тем же приемом, который был только что приме-
нен для решения задачи о собственных значениях для дву-
мерного оператора Лапласа в прямоугольнике, можно решить
задачу для трехмерного оператора Лапласа в параллелепи-
педе, если коэффициенты операторов, входящих в краевые
условия, постоянны на каждой из его граней. Предоста-
вляем читателю в качестве упражнения выписать собственные
значения, собственные функции и их нормы для этой задачи.
Пример 2. Область (D)— круг радиуса R (начало
координат расположим в центре этого круга). Краевое усло-
вие — уи = О на границе, где постоянно.
Для решения этой задачи введем полярные координа-
ты г и ср
х — г cos ср; j/ = rsincp.
т-т д
Производная где п — внутренняя нормаль к окружности
П д п
в новых переменных, имеет вид — -^г, а оператор Лапласа—
1 д ди . 1 д2и гг „
вид 7?Поэтому уравнение нашей задачи
будет
1 д ди . 1 д2и . > А
— -у- Г + -А -ч-T + KU = О
г дг дг 1 г2 д<р2 1
или, после умножения на г (что необходимо, чтобы привести
уравнение к самосопряженному виду),
д ди । 1 д2и . , л /АО
~дг г дг “Ь г +1га ~~ °' (28.34)
В новых координатах область определяется неравенствами
О < г С 7?; О ср < 2к. Поэтому центр круга г = 0 и два
совпадающих радиуса <р = 0, <р = 2к следует рассматривать
как отрезки границы области, которые вместе с окружностью
404 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
г = Ц образуют координатный четырехугольник (фиг. 73).
Таким образом, к краевому условию
> + ^|г_в = 0, (28.35)
получающемуся из заданного условия на границе круга, до-
бавляются еще условия на искусственно введенных элементах
границы области:
«Ц = “Ц-
ди I ____ ди 1
1ср = 0 »<p==s2ic
(получается из условия непрерыв-
ности и ^дифференцируемости и
вдоль радиуса^ <р = 0) и
| lim и | < оо. (28.37)
(28.36)
ции в центре круга,
вание ограниченности
Это последнее условие следует из
требования непрерывности функ-
Из дальнейшего выяснится, что требо-
решения в центре круга обеспечивает
уже его непрерывность и гладкость.
Применим теперь в новых переменных г и <р метод разде-
ления переменных. Будем искать функцию и в виде
и (х, у) = v (г) w (<р). (28.38)
Подставляя это в (28.34) и разделяя переменные, получаем:
г (гу'У +
v
wff
W
Обозначая левую часть, которая должна быть постоян-
ной, через j*, получим:
w" -j- pt w = 0,
(28.39)
(л/)' —jr 4“ ^r<v — °* (28.40)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГА
405
Из (28.36) получаем краевые условия для функции w на
концах интервала (0, 2z)
w (0) — w (2ir), w'(0) = w'(2ir), (28.41)
т. e. условия периодичности.
Задача с уравнением (28.39) и краевыми условиями (28.41)
была решена в примере 3 § 26. Согласно (26.34) ее соб-
ственные значения равны
Но = °; P'2fc-i = lJ'2fc=*2 (Л = 1, 2, ...). (28.42)
Все они, кроме первого, имеют кратность два. Соответ-
ствующие собственные функции равны
WO (<?) = !, (28.43)
®y2l:-l(?) = sinft?» TO2fc(?) = cos£<p (А== 1, 2, . . .),
а их нормы
N'°= Vi; =(28-44)
Подставляя значение у. из (28.42) в (28.40), получим урав-
нение для v(f):
. №
(rv ) — — т/-}- Krv = 0. (28.45)
Краевое условие для функции v на правом конце интер-
вала (0, R) следует сразу из (28.35):
+ = (28-46)
что можно записать в виде^.
^' + т^1г=й = 0. (28.47)
Из (28.37) следует:
| lim ^(г)| < оо. (28.48)
г-> о
Итак, мы получаем для v задачу о собственных значе-
ниях с уравнением (28.45) и краевыми условиями (28.47) и
406 § 28. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
(28.48). Эта задача решена в примере 4 § 26. На основании
(26.38) собственные значения определяются по формулам
(х?)2 = = (28.49)
к где х^ есть Z-й корень уравнения xJ*(x) = — (28.50)
Собственные функции этой задачи определяются фор-
мулами (26.41), а их нормы — (26.42). Таким образом, рас-
сматриваемая задача для круга имеет собственное значение
(28.49), а собственные функции ее будут:
Vo, t = jo (х? -0 (Z = 1, 2, ...),
Vjk, i —
(£=1,2.........i=l,2,...).
)
(28.51)
Нормы их определяются так:
(28.52)
(fc=l, 2, ..., Z=l, 2, ...).
Для той же области при краевых условиях вида и = 0
решение ведется таким же образом, но для определения
и Nn> г нужно будет воспользоваться формулами (26.376)
и (26.43). Таким образом, собственные значения будут (28.49),
где х? определяется из уравнения
Jft(^) = 0, (28-53)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА
собственные функции имеют вид (29.51), а нормы их
А/j, i = R - | Jo (х?) |,
(28.54)
Полезно
исчерпывает
заметить, что совокупность функций JQ
407
все собственные функции задачи, не зависящие
от ср.
Узлы собственных функций, как нетрудно видеть, будут
представлять собой сеть радиусов, проведенных под углами
друг к другу, и окружностей радиусов
r = R-^ (у= 1, 2, 3, ..., i — 1).
Пример 3. Область (D)—прямой круговой цилиндр
радиуса R и высоты Н. (Не ограничивая общности, можно
расположить начало координат в центре одного из основа-
ний и ось z направить по оси цилиндра.) Краевые условия
= 0 на боковой поверхности цилиндра*, ~—аи |г==0 =
= + !г==я= 0, где а, 0 и у — неотрицательные
постоянные.
Полагая u==v(x, y)w(z) и разделяя переменные, мы по-
лучим для v задачу с уравнением = 0, областью—
кругом радиуса R и краевыми условием — ^Rv = 0
на окружности круга. Для w получим задачу с уравнением
w"-|-vw = 0, областью — отрезком (О, Н) и краевыми усло-
виями w'— aw |г==0 = w' 4" L==_et При этом X = |i“|“v-
Каждая из этих задач уже решена нами. Поэтому собствен-
ные значения для цилиндра будут:
(у*)2
^2k— 1, i,j = ^2к, i,J — ~^2 Ь (28.55)
где х*— Z-й корень уравнения (28.50), a Vj—/-й корень урав-
нения (26.14).
408
§ 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
Собственные функции, соответствующие этим собственным
значениям, будут:
«0, Л j = 4 Jo (*? -£) sin 4-
•Л / = 1, 2, ...),
U-iJc—l, i,j = Jjt 4") Sin(J/ -|~ fy)
«2fc, i,j = Jk (*« -4) C0S k'? Sitl ( К+ %) >
(k, i, j=l, 2,
где <J>j=arctg —.
Нормы этих функций будут:
Mfc—1, i,3 = itj =
(28.57)
< О 2
Предоставляем читателю выписать собственные значения
и собственные функции для случая, когда на одном или на
обоих основаниях или на боковой поверхности цилиндра
краевое условие имеет вид и — 0.
§ 29. Сферические и шаровые функции
Разберем задачу о собственных значениях оператора
Лапласа на поверхности сферы единичного радиуса. Так
как сфера является замкнутой поверхностью, то она не имеет
границ. Роль краевых условий для этой задачи играет
требование непрерывности и дифференцируемости решения
на сф)вре.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 409
Оператор Лапласа на поверхности единичной сферы сле-
дует понимать как значение на этой сфере трехмерного
оператора Лапласа, примененного к функции, не зависящей
от расстояния точки до центра
сферы.
Выбрав начало координат
в центре сферы, введем сфери-
ческие координаты на ее поверх-
ности 0 и ср:
х = sin 6 cos
у — sin 0 cos
z = cos 0.
В новых координатах об-
ласть определяется неравенствами
О^б^тс. Поэтому северный и южный полюсы
6 = 0 и 6 = тс и совпадающие меридианы <р = 0 и ф = 2тс
следует рассматривать как отрезки границы (фиг. 74). Усло-
вия непрерывности и дифференцируемости функции и на сфере
приве1ут к следующим краевым условиям на этих искус-
ственно введенных элементах границы области:
1®=о
ди I _________ди I
= 1<р = 2я
(29.1)
(получается из условия непрерывности и дифференцируемости
на меридиане ср = О),
| lim и I < оо,
о-»о
| lim и \ < оо
9 -» тс
(29.2)
(29.3)
(получаются из условия непрерывности и в полюсах).
Оператор ки в сферических координатах принимает вид
а1 д . (.ди . 1 д2и
U ~ sin 0 dO Sltl 00 + sin2 0 dtp2
(напомним, что мы применяем его на поверхности сферы,
где г— 1, к функции и, не зависящей от г), а уравнение
задачи Ди -1- \и — 0 — вид
1 д . п ди . 1 д2и . г п
sin О a© sln 9 d0 + Sin2 0 572+X“ —°-
410 § 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
Чтобы привести это уравнение к самосопряженному виду,
умножим его на sinO. Окончательно получим:
sin 6^4" sin 0 и == 0. (29.4)
дО (90 1 sin Од?2 1 4 7
В новых координатах к этой задаче может быть применен метод
разделения переменных. Подставляя в (29.4) w = -y(6)w (ср) и
разделяя переменные, получим:
Обозначая левую часть, которая должна быть постоянна,
через |х, получим:
w" “ 0, (29.5)
^sin0^-^ot’ + XsinOt' = o- <296>
Для функции w (29.1) дает краевые условия на концах
интервала (0, 2r): w(0)=w(2tc), w'(0)~ тх/'(2тг) (условия
периодичности). Задача с уравнением (29.5) и краевыми усло-
виями такого вида решена в примере 3 § 26. Собственные
значения этой задачи суть
Ао = О; = = (6 = 1, 2, ...), (29.7)
а собственные функции —
1
= (29.8)
w2fe-i== sinA<p, w2ft = cosZrp (6 = 1, 2, ...)
и нормы их —
Н0 = ]/~у; = = (29.9)
Подставляя в (29.6) значение = &2, получим:
^sinO^— v Ц-X sin 0© = 0. (29.10)
аи «О sin U 1 4 7
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
411
Краевые условия для функции v на концах интервала мы полу-
чаем из (29.2) и (29.3):
| lim v | < оо, (29.11)
е->о
I limn | < оо. (29.12)
0-> тс
Задача с уравнением (29.10) и краевыми условиями (29.11)
и (29.12) рассмотрена в § 27. В соответствии с (27.25) мы
получаем собственные значения '
(п = 0, 1, 2, ...; k^n) (29:13)
и в соответствии с (27.26) — собственные функции
П = рп, к (cos 0) (/z = 0, 1, 2, ...; &О); (29.14)
нормы их даются формулами (27.23).
Сопоставляя все изложенное, мы видим, что все собствен-
ные значения разбираемой задачи даются формулой (29.13)
Все они имеют вид:
Хп = п(„4-1), (29.15)
причем каждое число встречается в (29.13) п Ц-1 раз
(при k^ri). Так как каждому из чисел (29.13) соответ-
ствует одна функция пп> к — Рп> к (cos 9) и при А = 0 одна,
а при £>0 две функции то собственное значение (29.15)
разбираемой задачи имеет кратность 2л-|“1- Собственные
функции, соответствующие этим собственным значениям, будут:
r„,o = y^n(c°sf0 (я = 0, 1, ...),
Yn, 2к-1 = РП. к (C0S ()) sin
Yn, 2k = Рп, к (C0S °) COsfeP
(я=1, 2, ...) (29.16)
(6=1, 2, ..., я),
а их нормы
Nn, О — у 2п + 1 ’ I
V _______д/ ______д/~ (n ~1~ I
2fc-l ^П,2к у (2я4-1)(Л — £)Г J
(29.17)
412
§ 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
На основании изложенного на стр. 390 заключаем, что
система (29.16) есть полная ортогональная система на поверх-
ности сферы (D) пространства х, у, z с весом 1. Любая
собственная функция Кп, соответствующая собственному зна-
чению Хп, может быть представлена в виде линейной комби-
нации 2л ~f“ 1 функций w:
2П + 1
Уп = cni^n, т “ (cos
w=0
п
+ у (Ак cos k<? 4- Вк sin kv) Рп> к (cos 0). (29.18)
Л«=1
Собственные функции разбираемой задачи, соответ-
ствующие п-му собственному значению, называются сфе-
рическими функциями п-го порядка. Функции (29.16) назы-
ваются основными сферическими функциями п-го порядка.
Произвольная сферическая функция п-го порядка может
быть представлена в виде линейной комбинации основных
сферических функций п-го порядка. Заметим еще, что, по-
скольку функции (29.16) взаимно ортогональны, коэффи-
циенты в (29.18) являются коэффициентами Фурье функции Yn
и, следовательно,
. (2л + 1) (п— k)l С Г __ _ .
^к 2^ | | J Уп^п, к (cos cos
(4 = 0, 1, 2, ..., л),
В* = + f f Ynpn, к (cos 9) sin
(4 = 1, 2, ..., /z).
(29.19)
Укажем некоторые основные свойства сферических
функций.
1. Из (29.16) видно, что среди всех сферических функ-
ций многочлен Лежандра от cos 9 является единственной
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 413
»
функцией, не зависящей от координаты ср, т. е, обладаю-
щей осевой симметрией.
2. Свойство функции Y быть сферической функцией
п-го порядка не зависит от выбора сферической системы
координат. Это, очевидно, следует из того, что Yn есть реше-
ние уравнения KYn-\-n (/z-f-1) Y= 0, которое не зависит от
выбора на сфере сферических координат. (Свойство функции
быть основной сферической, очевидно, зависит от выбора
сферических координат, т. е. от расположения полюсов и на-
чального меридиана на сфере.)
3. Коэффициент у Ао при Рп (cos 0) в разложении (29.18)
сферической функции Yn равен значению этой функции
в точке 9 = 0, т. е. в северном полюсе
±Ло=Г„(О, ?). (29.20)
Это сразу следует из (29.18), если подставить туда 0 = 0 и
принять во внимание, что Pn(l) = 1, Рп, Л(1) = 0 (&>0).
4. Если 7—угол между радиусами, направленными
в точку с координатами 9, ср ив точку с координатами 9Р срр
то для любой сферической функции п-го порядка спра-
ведливо тождество
Ф) = ^ f f (29.21)
где интегрирование по сфере производится по переменным 9Р ф
при фиксированных 9, ср.
Для доказательства примем точку с координатами 9, ср за
«северный полюс» на сфере. Угол у будет тогда широтой
точки 9П срр Функция Yn относительно новых координат
является также сферической функцией /z-го порядка. Со-
гласно (29.19) интеграл в правой части доказываемой фор-
мулы есть коэффициент в разложении функции Yn по
основным функциям относительно новой системы координат,
но по (29.20) этот коэффициент должен равняться значению Yn
в северном полюсе, т. е. Yn (9, ср), что и требовалось
доказать.
414 § 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
5. Рп (cos 7) = Рп (cos 6) Рп (cos +
+ 2 2 (ТГПО! рп. к (COS 6) рп, к (cos 01) cos k (29-22)
/i=l
где у означает угол между радиусами, направленными
в точки 0, ср и Oj,
Доказательство. Согласно свойству 2 Рп (cos 7), если
ее рассматривать как функцию Op <pj при фиксированных 0, ср,
является сферической функцией п-го порядка. Поэтому она
может быть представлена как сумма вида (29.18):
Рп (cos т) = 4 Лорп (cos 01) +
+ У (Л£ cos sin A<Pj) Рп> к (cos 6i), (29.23)
коэффициенты которой в соответствии с (29.19) выражаются
формулами
= [^«(cosi) У„,о(01>
fa)
Л* = /Рп<cos Yn> do’
(О)
о _(2л + 1)(л —£)! f f п , „ ..
Рк 2л (п | Л)! J J Рп(C®S Т) 8Л-1 (01> ?1)
W
Интегралы эти могут быть вычислены при помощи (29.21),
в результате чего получается:
»о = 4У„.о(6, <р) = 2Рп(cos6),
Ак = 2 Yni 2к (0, <?) = 2 Рп> к (cos 0) cos Л?(
В* = 2 Г”’ s* -1(0’ = 2 (-Jrt!Р». * <cos °) sin
Подставляя это в (29.23), мы и получаем (29.22).
ФОРМУЛА ВЫЧИТАНИЯ
415
Формула (29.22) является формулой вычитания для
многочленов Лежандра, она соответствует в двумерном слу-
чае формуле cos п (<р — cpj) = cos пу cos п,^1sin я? sin flcpj.
Интересный частный случай ее получаем при п=\. Так как
Pt (cos 0) = cos 0, Plt i (cos 9) = sin 6,
to (29.22) дает:
cos у = cos 6 cos 0x -j- sin 0 sin 0j cos (<p — cpj. (29.24)
Это — известная формула сферической тригонометрии. Ее
нетрудно вывести чисто геометрическим путем.
6. Всякую функцию, заданную на сфере, можно пред-
ставить (в смысле сходимости в среднем, а если она доста-
точно гладка, то и в смысле равномерной сходимости) в виде
ряда Фурье по основным сферическим функциям:
оо
/=2НЛ«>0Р«(СО5°) +
n — Q
П
+ 2 Мп, k cos k<? + Вп> к sin Af<p] Рп> к (cos 0)|, (29.25)
7с = 1
где
л (2/г+1)(п-^)1 ( п
Ап, 7с 2тс (я । k)\ J I * Р п> (cos 6) COS А<р d<3
(6 = 0, 1, 2, .ла),
п (2/? + 1)(п — k)\ f _
Вп> к = —2Г(п"+&)! J Рп> к (Cos °) sin k(? d°
Ф)
(6=1, 2, 3, ..И).
Это следует из того, что система основных сферических
функций есть полная ортонормированная на сфере система.
В частности, если функция, заданная на сфере, обладает осе-
вой симметрией относительно полярной оси (т, е. если она
416 § 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
не зависит от <р), то она разлагается в ряд Фурье только по
многочленам Лежандра от cosO.
оо
/(°)=|2Л»,оЛ»(СО5 0).
П = 0
Действительно, коэффициенты при всех остальных чле-
нах ряда (29.25):
Л«>к = 2^(1+ 7)^' J *(C0S °)Sin9 d9 J C0S d<f = °’
б 0
ic 2ic
Bn, к = ~2t(n + Z)|ft)l J f'Pn> *(C0S 9)Sin9 J Sin = °-
o b
7. Узлы основных сферических функций. Так как при
k > 0 основная сферическая функция представляется в виде
Yn, = Рп, к (cos 0) cos k<o, Yn> 2к-1 = Рп,к (cos 9) sin k<f,
то она может равняться нулю там и только там, где равен
нулю один из сомножителей. Первый сомножитель Рп> к (cos 0),
как известно из § 27, равен нулю при
п — k значениях cos 6, лежащих между
— 1 и 1, т. е. при п — k значениях 0,
лежащих между 0 и it, а также при 0,
равном 0 и к. Второй сомножитель cos ky
илц sin Аср равен нулю при 2k значениях
37-М 4* или /4"(/=0, 1, 2,..., 2k—1),
лежащих между 0 и 2тс. Таким образом,
Ylo.i2^pio,e^os^)cos6^ узлы функций ГП>2Ь предста-
вляют собой 2k меридианов (пересекаю-
Фиг. 75. щихся в полюсах) и п — k параллелей
на сфере. Если k < л, то эти узлы делят
сферу на 2k (n—k—1) сферических прямоугольников и 4k тре-
угольников (с вершинами в полюсах) (фиг. 75). Поэтому функ-
ции Yn т при т < 2п— 1 называются тессеральными сфера-
УЗЛЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
417
ческами функциями. Если k—п, то Ynt ^п=Рп, п (cos6) cos nep =
= 75^ sin" 0 cos /г»; Ynt 2„_ t= sin” 0 sin n<p. Узлы пред-
ставляют собой 2п меридианов и делят сферу на 2п сек-
торов (фиг. 76). Поэтому функции 2n = ~~ sin^ 0 cos пер,
Ynt2n_x = sin7* 0 sin пер называются векториальными сфе-
рическими функциями. Наконец, прий = О функция Уп>0
^6,12 Р66 (COS 9) COS 6 (f
Фиг. 76.
ft)
Фиг. 77.
имеет вид -^-Pn(cos6). Она равна нулю при п значе-
ниях 0, лежащих между 0 и к. Узлами являются п парал-
лелей, и они делят сферу на п-{-1 зон (фиг. 77). Поэтому
сферические-функции Pn(cos0), т. е. многочлены Лежандра
от cos0, называют зональными сферическими функциями.
Другие сферические функции, представляющие собой ли-
нейные комбинации основных, т. е. зональных, тессеральных
и секториальных сферических функций, имеют узлы более
сложной природы.
В связи с понятием сферических функций введем еще
тесно связанное с ним понятие шаровой функции.
Шаровой функцией n-vo порядка называется функция,
удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри (внутренняя
шаровая функция) или вне (внешняя шаровая функция) сферы
единичного радиуса, а на поверхности этой сферы рае-
ная какой-нибудьсф^рической функции п-го порядка (вслуТ
"чае внешних сферических функций требуется также их регу-
лярность на бесконечности).
418 § 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
Согласно этому определению шаровая функция л-го по-
рядка является решением краевой задачи для уравнения Лап-
ласа внутри или вне сферы. Такое решение, как мы знаем,
однозначно определяется краевым условием. Следовательно,
для каждой сферической функции л-го порядка существует
“только одна соответствующая ей шаровая функция. Поэтому
существует линейно-независимых шаровых функций
л-го порядка/и все другие шаровые функции этого порядка
представляются как линейные комбинации основных.
Попробуем искать шаровые функции п-го порядка в виде
ип = vn (г) Кп, где Yn — сферическая функция, которой ип
должна равняться на сфере. Тогда Фп(1) = 1. ип, по опре-
делению, должна удовлетворять уравнению Лапласа Lun = 0.
Запишем это уравнение в сферических координатах:
ГЧ 1 Ц sin о 1 = о.
дг дг 1 sin 6 (00 06 1 sin 6 0cp> J
Подставляя сюда значение un = vnYnt найдем:
у d г2 dVn 4- -Vn- J_- sin 6 I___1
ndr dr ' sin 6 (00 00 ‘ sin 6 0<?2 j
Но так как Yn есть решение уравнения (29.4) при X, равном
то мы получаем:
или
+ /I (« + 1)^ = 0. (29.27)
Это — обыкновенное дифференциальное уравнение для опре-
деления функции <ип. Решение уравнений такого типа нужно
искать в форме фп = г*. Подставляя эту функцию в уравне-
ние, получаем:
г’ {а(а— 1) 4-2а — п(п-\- 1)} = 0.
Это значит, что должно выполняться равенство
а2 + а — п (п 1) = 0.
Отсюда ах = п, а2 =— (л4“1), и мы находим два частных
решения уравнения (29.27): ч?* =г», Общее ре-
шение уравнения (29.27) будет ^п — с1гПЛ~с2'^1*
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
419
Так как внутренняя шаровая функция должна быть не-
прерывна в начале координат, а внешняя — регулярна на
бесконечности, то ясно, что решение, соответствующее вну-
тренней функции, не должно содержать , а решение, соот-
ветствующее внешней, гп. Так как *уп(1)=1, то оконча-
тельно получаем: для внутренней шаровой функции vn — rny
для внешней — vn = ^£+i- Итак, внутренние шаровые функ-
ции имеют вид:
" = (29.28)
а внешние — "
(29.29)
где Yn — та сферическая функция, которой рассматриваемая
шаровая функция должна равняться на сфере.
Выясним теперь, как выражаются внутренние шаровые
функции в декартовых координатах, и начнем с основных
шаровых функций. Их можно записать так:
a(nhk-i = rnYn> у,-, = rnPn, к (cos 9) sin йэ =
= rftsinft 0 sin k's> rn~ kPn> (cos 0),
u(n,2k = rn Yn> = rnPn, k (cos 6) cos k<o =
= rftsinfc 9 cos k<o rn~kPn^ (cos 9),
4? о = rnYn> 0 = -| (cos 9).
(29.30)
Как известно, cos&cp и sin&cp можно представить в виде
однородного многочлена й-й степени от cos ср и sin ср. Поэтому
произведение первых трех сомножителей в первых двух фор-
мулах (29.30) можно представить в виде суммы членов вида
а^гк sin* 0 cos^cp sin*-«ftp = (г sin 6 cos ср)/ (г sin 6 sin cp)*-J
или, на основании формул перехода от декартовых коорди-
нат к сферическим в виде суммы членов вида а^хЗуЬ-З, т. е.
в виде однородного многочлена &-й степени от х и у. Так
как, с другой стороны, P^(cosO) есть многочлен степени
420 § 29. сфжричкски! и шаровые функции
ТАБЛИЦА СФЕРИЧЕСКИХ И ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ 421
Таблица II
п k ^п, к (х) Рп, к (cos 0)
m Un, m (r> ?) m (X. у, x)
0 0 1 1 1
0 1 I
1 0 X
X cos 0 0 r cos 0 z
1 1 (1-х2)т sin 0
L2_ | rsin 0 cos cp 1 X
12 | r sin 0 sin cp 1 У
2 0 2^-1 2 2 2 2 cos2 6 -± = l(3cos20 -t- 1)
0 ,/3 ,0 1\ r (y COS2 0 —— j x2—1(x24-j2)
1 Зх 1 Зх(1—х2) 3 3 cos 0 sin 0 = у sin 2®
1 3r2 cos 0 sin 0 cos cp 3zx
2 3r2 cos 0 sin 0 sin <p 3zy
2 3 3(1—х2) 3 sin2 0 =-|-(1 — cos 20)
3 3r2 sin2 0 (cos2 cp — sin2 cp) 3(x2 —>2)
4 6r2 sin2 0 sin cp cos cp 6xy
3 0 СП w 1 ю| СО и кг|сл 1 Ю| со * 5 3 |~ cos3 0 у cos 0 = 1 z z 1 = 1(5 cos 30 4-3 cos 0) i 8
0 r3 (y cos8 0 — — cos 0^
1 15 , 3 2 2 X I ЬО| со । V “р COS2 0 — jy sin 0 = = -1 (sin 0 5 sin 30) 0
1 r3 1 у cos2 0 — sin 0 cosep F Я ”1 6x!-l(x24->2) X
2 гз cos2 0 — f) sin 0 sin cp Г 3 1 6x2—1(х24->2ф
2^ । 3 15х 15х (1 — х2) 15 15 cos 0 sin2 0 = -j-(cos 0 — cos30) 1 -
1 3 4 15r3 cos 0 sin2 0 (cos2 cp — sin2 cp) 15z (x2—j/2)
30r3 cos 0 sin2 0 sin cp cos cp 30xxj
15 8 15(1—х2)3 * 15 15sin3 0 = -^ (3 sin 0 — sin 30) i . 5 15r3 sin3 0 (cos3 cp — 3 cos cp sin2 cp) 15x3 — 45xj/2
6 15r8 sin3 0 (3 cos2 cp sin cp — sin3 cp) 45x2_y — 15.У3
422
§ 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
п k Рп, к W Рп, к (cos 6)
4 0 35 . 15 ,, 3 _х4__хЧ__ 35 4 15 3 _л4__х!!+_ COS4 6 - COS2 0 + ~ = 8 4 8 = “Д’ (35 cos 40 4- 20 cos 20 4~ 9) 64
1 35 - 15 -2 х*—2 х /35 . 15 \ , \ 2 Х 2 ХГ' .- .4 1 Х(1-х2)2 cos8 9 —_ cos в) sin 0 = = A (2 sin 20 -f-7 sin 49)
2 105 , 15 х* 2 2 /105 , 15\ , X (1-Х2) /105 „„ 15\ . ,n ( -77- COS2 0 — -ft-) sin2 9 = \ Z Z } = 22(3_j_4cos 26 — 7cos46)
3 105х 3 105х(1—х?)2 105 cos 0 sin8 0 = 1 = (2 sin 20 —sin 40)! О
4 105 105 (1 — х2)2 105 sin4 0 = 10^ = "U~(3 — 4 cos 26 + cos 40) о
л— k от cos 0 и той же четности, что л— k, то произведе-
ние последних двух членов (29.30) представится как сумма
слагаемых вида
Ь{гп~к cos«-ft-a< 6 = bi (г cos 0)»-ь-в<г2* _
= (x2+.J>2+*2)*,
т. е. в виде однородного многочлена от х, у, z степени
л — k. Таким образом, функция ип>т представится как произ-
ведение однородного многочлена степени k на однородный
многочлен степени л — k, т. е. в виде однородного много-
члена л-й степени. Любая шаровая функция л-го по-
ОДНОРОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
423
Продолжение табл. II
т Un. т (г, 0, <р) Un, m (^ У>
0 г4 cos4 0 — cos2 0 4- z* — 3z*(xt+yZ) + + |(*2+j2)2
1 . /35 „ д Л : д Г4 1-7Г cos3 6—cos 0 1 sin 6 cos ср 10z8-^ (x* + y?) z X
2 ./35 пд 15 Л . о . г4 (у cos3 0 - cos 0J sin 0 sm ср lOz’-y (x*+y*)z У
3 г4 f-н- cos20—sin20 (cos2cp—sin2cp) \ £ £ J 1 1 45г2- y(x2+y2) (x2—у2)
4 . /105 «Д 15\ . 2 о o . r4 ( "2“ cos2 6 —jJ sin2 0 2 sin cp cos cp 1 R 2 45г»—y(x»+j/2) xy
5 I05r4 cos 0 sin3 0 (cos3 cp — 3cos cp sin2 cp) 105z(x3 — 3xj/2)
6 105r4 cos 0 sin3 0 (3 cos2cp sin cp — sin3 cp) 105-sr (3x2_y—y3)
7 105r4 sin40 (cos4cp—-6 cos2f sin2cp+sin4cp) 105 (x4—
8 420r4 sin4 0 (cos3 cp sin cp — coscp sin3 cp) 420xy (x2—y2)
рядка (внутренняя) как линейная комбинация функций йп\т
также представляется однородным многочленом л-й степени
от х, у, z.
С другой стороны, легко подсчитать, что произвольный
однородный многочлен л-й степени, удовлетворяющий урав-
нению Лапласа, содержит не более 2п Ц-1 произвольных
коэффициентов и, следовательно, может существовать не
более 2л 1 таких линейно-независимых многочленов.
Таким образом, получаем следующее утверждение.
Класс внутренних шаровых функций Лапласа п-го
порядка совпадает с классом однородных многочленов п-й
степени от декартовых координат^ удовлетворяющих урав-
нению Лапласа.
424
§ 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
В таблице II на стр. 420, в графах 7 и 8, выписаны
основные внутренние шаровые функции нескольких первых
порядков.
В качестве приложения сферических функций решим за-
дачу о собственных значениях оператора Лапласа. для
шара радиуса R (начало координат располагаем в центре
. г,. ди Л
шара). Краевое условие: — ^u = Q на поверхности шара,
где 7 — неотрицательная постоянная.
Введем сферические координаты. В новых координатах
область определяется неравенствами 0 <7 0 <19 тс,
О ср < 2тс. Поэтому центр шара г = 0, радиусы 9 == 0 и
9 = тс и совпадающие меридиональные полуплоскости ср = 0
и ср = 2 тс следует считать частями границы области. Область,
таким образой, можно рассматривать как координатный ци-
линдр с основаниями г = 0 и r = R.
К краевому условию
57 + Ч.в = ° <29'31>
(получающемуся из заданного условия на поверхности шара)
следует добавить условия на искусственно введенных частях
границы:
| lim и |< оо; г-»о (29.32)
I lim и 0->О |<оо; |lima 6 -> я 1 < °°; (29.33)
4=0 =« 1 . дп | 1<р = 2к‘> д4 = 0 ди I (29.34)
Записав оператор Лапласа в сферических координатах,
мы придадим уравнению = 0 нашей задачи вид
I д 2 ди . 1 д . п ди । 1 д^и ।
г2 дг Г дг ’ г2 sin 0 06 Sin дб • г2 sin2 0 дф U
Для приведения этого уравнения к самосопряженному виду
умножим его на величину г2 sin 9:
. л д » ди . д . ди ,
sin 9 — r2-^- J- — sin 9 -зи- -4-
дг дг 1 дб дб 1
+^2sin9«==Q- (29.35)
sin 0 ду* 1 х 7
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ШАРА
425
Применим метод разделения переменных. Положим
и = у (0, ф) w(r). Подставляя это в уравнение и разделяя
переменные, получим
d / . fl dv\ । 1 d?v
(r2wfY ____________fd<? \1П ° 30 ) ‘ sin 6 dcp2
w sin 0•v
Обозначая левую часть через ja, найдем:
dir(sin 9 + (29-36)
{r^w'Y — p.w -j- Zr2w = 0. (29.37)
Краевые условия (29.33), (29.34) дадут краевые условия
(29.1), (29.2) и (29.3) для функции V. Задача с уравнением
(29.36) и такими краевыми условиями равносильна задаче
на сфере. Согласно полученному нами для сферы результату
л-е собственное значение = п(п 1) имеет кратность
2/z 1 и ортогональной системой собственных функций
является система сферических функций Ynk (n=0, 1, 2,...;
А = 0, 1, 2, ..., 2л).
Уравнение (29.37) после подстановки рп = п(я-|“1) при-
нимает вид:
(r2w')' — л (л 4~ 1)w — О-
Краевое условие (29.31) дает rW + /?27w|r==:E== 0. Краевое
условие (29.32) приводит к требованию ограниченности функ-
ции w в окрестности точки г = 0. Задача с таким уравне-
нием и такими краевыми условиями была решена в § 26.
Выписывая полученные там собственные функции и принимая
во внимание, что a = мы получим следующий резуль-
тат: собственные значения рассматриваемой задачи (каждое
2/г—J- 1-й кратности) даются формулами
/ । 1 \2
G”
= —П2 (« = о,1,2, 3, « = 1,2,3, ...), (29.38)
где х^— /n-й корень уравнения
< (х)+ (/?•(-у) <(х) = 0, (29.39)
426
§ 29. СФЕРИЧЕСКИЕ И ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
Ir f п~
а собственные функции равны —r=J
n, ft’ т* е*
п, О
l(x™+a£)₽”(cos9)’
ит,п}2к-1
=• Vr (Хт+ТЙ Р».*(C0S 6) Sin
2
ит,п,2к — j,
= Т7<+1 (Xm+?i) Рп,К (C0S 6)COS k<?
(6=1,2.....п) (29.40)
(л = О, 1, 2, ...; т— 1, 2, 3, ...).
Нормы этих функций даются формулами:
Nm> п> 0—
те
2(2п4-1)
Мп, п, 2Л-1 Мп, п, 2fc
2 4 '
1x2
я (л-М)!
(2п -Ь 1) (п — &)!
, (29.41)
(w = 0, 1, 2. ...; k = 1, 2, ..n; m — 1, 2, 3, ...).
Задача, отличающаяся от разобранной тем, что краевое усло-
вие задается в виде « = 0 на поверхности шара, имеет ана-
логичное решение с той разницей, что для определения вели-
чин х* имеем уравнение
Л (х) = 0,
(29.42)
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ШАРА
427
а нормы собственных функций определяются формулами:
лия,о=я|-/1+1 (хот )/" 2(2«+1) (29-43)
(п = 0, 1, 2, т=\, 2, 3, ...);
— = (2П + 1НП —*)!
2
(и= 1, 2, 3, ...; £ = 1, 2, ..., п; т = 1, 2, 3, ...).
Заметим еще, что совокупность собственных функций, не за-
висящих от ср (обладающих осевой симметрией), исчерпывается
функциями
Л+л (см 8) <29-44>
(л = 0, 1, 2, т=1, 2, 3, ...),
причем каждому собственному значению (29.38) соответствует
одна и только одна такая функция.
Совокупность собственных функций, симметричных отно-
сительно центра, т. е. не зависящих ни от 0, ни от ср, будет:
(п=1, 2, 3, ...).
Такие собственные функции соответствуют собственным зна-
v*mJ 3
нениям aWj0= Уравнение для определения xw может
быть записано в виде: tgх = при краевых условиях
1 — аТ
ди л
—70 = 0 и sinx = 0 при краевых условиях zz = O.
ГЛАВА V
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
МЕТОДОМ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В § 23 предыдущей главы метод собственных функций был при-
менен к простейшей задаче с однородным уравнением и однородным
краевым условием. Однако этот метод может быть применен к ши-
рокому классу смешанных задач для ограниченной области и крае-
вых задач. В § 30 излагается перечень задач, к которым применим
метод собственных функций, и общие схемы его применения.
§§ 31—33 содержат ряд задач математической физики, решенных
методом собственных функций. § 34 посвящен краткому изложению
обобщения метода собственных функций на случай так называемого
сплошного спектра. Это обобщение приводит к интегралу Фурье.
В § 35 этот метод применяется к решению задач теплопроводности
в бесконечном пространстве одного и трех измерений и телеграф-
ного уравнения для полубесконечной линии.
§ 30. Метод собственных функций .
В настоящем параграфе мы будем рассматривать задачи
математической физики, которые могут быть объединены
в следующую общую схему.
Рассматриваются:
1) Дифференциальное уравнение
(30-1)
где L[u\—эллиптический оператор описанного в § 23 вида,
заданный в области (£>) пространства одного, двух или трех
измерений, Р — точка области (£>), р(Р) — функция, задан-
ная в (£>). Через (Д) обозначим интервал оси t, а именно:
(0, оо), если а^>0, и (0, Т), если а < 0. Коэффициенты аир
функции от t заданные и не меняющие знака на (Д). Правая
часть уравнения (30.1): — функция, определенная для
точек Р из (£>) и значений t из (Д).
ПОСТАНОВКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ
429
2) Краевое условие на границе (£) области (£>):
(30.2)
где функция х (Р; t) задана для точек Р на (S) и значений t
из (А). Оператор А [zz] описанного в § 23 вида задан на (S),
его вид и коэффициенты не зависят от t.
3) При а < 0 краевые условия
Л2[«1|г=1. = ^(Р); (30.3)
при а = 0 начальное условие
4=о=?(р) (30-4)
и при а > 0 начальные условия
«и=т 4Н=0=*(р)’ (30-5)
где функции ?(Р) и ^(Р) заданы и непрерывны в (Z)).
Aj [zz] и Л2 [zz]— одномерные операторы по переменному i
с постоянными коэффициентами описанного в § 23 вида, за-
данные в (О).
Описанная схема включает в себя следующие задачи:
а) При а>0 уравнение (30.1) является гиперболическим,
задача является смешанной с краевым условием (30.2) и на-
чальными условиями (30.5).
б) При а = 0, Р>0 уравнение (30.1) — параболическое,
и мы имеем для него такую же смешанную задачу, но с одним
начальным условием (30.4).
в) При а = р=О мы имеем краевую задачу для области (О)
с краевым условием (30.2) на ее границе.
г) При а<0 уравнение (30.1) является эллиптическим.
Этот случай может представиться, когда t обозначает одну
из пространственных координат, а область (О) — менее чем
трехмерна. Область (О) и интервал (А) определяют (если об-
ласть (£>) двумерна), цилиндр (2) с образующими, парал-
лельными оси t, и основаниями в плоскостях /=0 и t=T
2) Применение метода собственных функций к задачам с неодн.
краевыми условиями было впервые проведено Г. А. Гринбергом
(см. его книгу «Избранные вопросы математ. теории эл. и магн.
явлений». Изд-во АН СССР, 1948).
430 § 30. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
или (если (D) одномерна) прямоугольник (2). Для этого эллип-
тического уравнения мы имеем краевую задачу в области (2)
с краевыми условиями (30.2) на боковой поверхности ци-
линдра (2) (или боковых сторонах прямоугольника (2)) и
(30.3) на его основаниях.
Можно доказать, что при естественных предположениях
относительно гладкости правых частей уравнения, краевого
и начальных условий задачи эти корректны и, в частности,
имеют единственное решение, за исключением некоторых
случаев, которые будут отмечены ниже.
Предположим, что мы умеем решить задачу о собствен-
ных функциях для области (£>), оператора L[v], веса р и
краевого условия А [-о] = 0; обозначим через ХЛ (Л=1, 2, ...)
собственные значения и через — (нормированные) соб-
ственные функции. Заметим, что для получения этой задачи
следует в данном дифференциальном уравнении (30.1) сово-
купность всех членов с производными по времени заменить
членом —Хи, а правые части уравнения и краевого усло-
вия (30.2) заменить нулями.
Допустим, что и (Р-> t) является решением одной из пере-
численных выше задач. Разложим это решение в ряд Фурье
по функциям {х^}. Коэффициенты этого разложения будут,
очевидно, функциями от t, и мы обозначим их через wk(t),
так что
u{P-t)= (30.6)
к=1
И
™к (0 = J «(Р; *) Ок (Р) Р (Р) dp. (30.7)
(Л)
Для нахождения коэффициентов wk(t) умножим уравне-
ние (30.1) на vk (Р) р (Р) и проинтегрируем полученное ра-
венство по области (£>):
f J 1 О f . f Т Г 7 J
а J + ? I -faVkPdp— | L[u]vkdp =
(Ь) (Р) (Z>)
— J (30.8)
CD)
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
431
Рассмотрим каждый из этих интегралов в отдельности. Пер-
вые два из них легко выражаются через <wk;
(i)) (b)
(b)
К третьему интегралу применим формулу (24.9) и найдем, что
J L[u] vkd? — J J
(O) (-0) (X)
в случае краевого условия типа А, т. е. когда А [я] =
да
==-ч----тя, и
дп 4 ’
f L[u]vkdp = J L[vk]udp-\- f {-^A[mJ —-^-A
(С) (В) (X) 1
в случае краевого условия типа Б, т. е. когда Л [а] = и.
Но Фк, как собственная функция, удовлетворяет однородному
краевому условию A == 0 и уравнению L 4- = О,
а функция и удовлетворяет краевому условию (30.2). Поэтому
vkd^ = — uvkpdp. — vk^d<s
(D) (D) (X)
в случае краевого условия типа А и
j* L[u]vkdfi. = — кк j* uvkpdn-j- J*
(i) (Р) (X)
в случае краевого условия типа Б. Обозначим для сокраще-
ния письма последние слагаемые через Xk(t),
— в случае краевого условия
Ж типа А,
агл(О = * 1
f dvk ,
в слУчае краевого условия
<й типа Б.
432
§ 30. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Тогда мы будем иметь:
J L (a] vk du. = — Kkwk (0 — Хк (f).
т
Интеграл в правой части формулы (30.8) есть коэффициент
Фурье функции Л Обозначим его через ак (f):
ak(t) = f (30.10)
(0)
Принимая все это во внимание, мы можем записать те-
перь равенство (30.8) в виде
«Ч + К+АЛ = % (о + *к (0. (30.11)
Мы получили, таким образом, обыкновенное дифферен-
циальное уравнение для k-eo коэффициента Фурье <wk иско-
мой функции и. Это дифференциальное уравнение является
следствием исходного дифференциального уравнения в частных
производных (30.1) и краевого условия (30.2). Рассмотрим,
как в каждом из четырех случаев, объединяемых нашей
схемой, удовлетворить добавочным условиям задачи.
Случаи а) и б). Если а > 0, или а = 0 и р > 0, т. е.
в случае смешанной задачи, начальные условия (30.4) и
(30.5) дают начальные условия для wk. Действительно,
«Ъ (0) = j и (Р; 0)vkpdp = J <?vkp dp = bk (30.12)
(Z>) (D)
И
= | °~ p*P dV- = ck> (30.13)
(i>) (P)
где через bk обозначены коэффициенты Фурье функции ср,
а через ск — функции ф (если а > 0). При а>0 уравне-
ние (30.11) второго порядка; оно и два начальных усло-
вия (30.12) и (30.13) определяют единственное решение.
При а = 0, Р > 0 уравнение (30.11) первого порядка и
одного условия (30.12) достаточно для однозначного опре-
деления
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
433
Случай в) При а = р = О уравнение (30.11) не является
дифференциальным, и поэтому, естественно, нет более ни-
каких добавочных условий. Остановимся подробнее на иссле-
довании уравнения (30.11) в этом случае. Если ни одно ХА.
не равно нулю, то это уравнение, очевидно, разрешимо при
любом k и
«Ъ =4 («*+**). (30.14)
Чс
Коэффициенты оказываются постоянными, и ряд (30.6)
дает искомое решение. Если же одно из ХА., например, Xj — О,
то уравнение (30.11) может иметь решение при &=±=)
только при условии, что
аз 4“ Хз = 0.
Если это условие выполнено, то Wj произвольно, и потому
ряд (30.6) дает бесчисленное множество решений, отличаю-
щихся друг от друга на собственные функции, соответствую-
щие нулевым собственным значениям.
Таким образом, краевая задача оказывается корректной
не всегда. Именно, она корректна, если нуль не является
собственным значением оператора L[a] при рассматриваемом
краевом условии и весе. В противном случае, т. е. если
какое-нибудь Ху = О, краевая задача имеет решения, и при-
том бесчисленное множество, лишь для таких правых частей
уравнения (30.1) и краевого условия (30.2), при которых
4~ Ъ= о.
В применении к оператору £р/] = Дя отсюда можно
сделать следующие выводы. Как мы знаем, оператор &и
имеет нулевое собственное значение только при краевом
dzz n D
условии = 0. В этОхМ последнем случае соответствующая
собственная функция постоянна. Поэтому краевая задача
для оператора Лапласа корректна для любых краевых усло-
вий, кроме = 0 на границе. Следовательно, за исключе-
нием этого случая, ее единственное решение при любой
правой части уравнения Ди =/ и краевого условия (30.2)
434
§ 30. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
может быть записано в форме ряда:
со
и— (afc “Ь
& = 1
где vk— собственные функции задачи, ак определяются фор-
мулой (30.10) и Хк — формулой (30.9). В случае краевого
условия
ди
дп
задача не корректна. Она разрешима только, если функции /
и х удовлетворяют соотношению
Ф + /х^ = 0. (30.15)
(D) (S)
В этом случае решение определяется формулой
оо
и ~ Vk (йк с*
к=1 *
где vk— собственные функции задачи, отличные от посто-
янной, а с — произвольная постоянная. Эта особенность за-
du п
дачи с краевым условием / для уравнения Лапласа
нам уже известна из § 16 (ср. стр. 165).
Случай г) При а<0 уравнение (30.11) рассматривается
на интервале (0, Т), и на концах этого интервала из (30.3)
получаются краевые условия для Действительно,
о = ]*«(₽; 0о =
= J Л11 »лР dp = J <f>vkp dp = bk,
(i)} <==0 (Р)
Да [w] = f Л2 [a] vkp dp = f dp == ck.
W (D)
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
435
Таким образом, для п>к мы имеем краевую задачу на интер-
вале (0, Т). Для ее исследования удобно представить первы*
’ d*W . л dw 1
два слагаемых к + ₽ ^7 в Ф°Рме
~ . d du\
L^~~Tt\p dt)’
предусмотренной в § 23. Для этого достаточно, очевидно,
умножить (30.11) на
~ 1 f 7 &
— p — — eJ *
‘ а
и положить
f 1л
р == е' *
Тогда уравнение примет вид
£ [а] —• Х*ра = — р (ак Хк).
На основании сказанного по поводу задачи в) мы можем
теперь заметить, что задача отыскания wk однозначно раз-
решима для всех k при любых ак, Хк9 Ьк и ск, если нуль
не является собственным значением для оператора L [w] -f-
или, что то же самое, ни одно — \к не является собственным
значением для оператора Л [w] при весе р и краевых усло-
виях Aj [w] |^==0 = А2 [w] = 0. При соблюдении этого
условия рассматриваемая задача корректна.'
Заметим еще, что, как следует из сказанного на стр. 333,
все собственные значения оператора L неотрицательны, и
наименьшее собственное значение может равняться нулю
только в том случае, когда
Al [w] = Л9 [w] ==^.
Мы видели, что метод собственных функций дает реше-
ние в виде ряда, и возникает вопрос относительно быстроты
его сходимости. Если краевое условие (30.2) неоднородно
(Х^О), то ряд (30.6), представляющий решение, будет плохо
сходиться вблизи границы. Это яснее всего видно на
436 § 30. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
примере краевого условия типа Б) (и = % на границе). В этом
случае все собственные функции vk, а значит, и все члены
ряда равны нулю на контуре, между тем как функция и
на контуре равна / (/ 0)х).
Чтобы применить получающиеся ряды для практических
вычислений, нужно еще усилить их сходимость* 2).
Таким образом, в случае неоднородной задачи нельзя
применять оператор L [я] почленно к ряду (30.6). Это можно
делать, как говорилось на стр. 350, в случае, если и удо-
влетворяет однородным краевым условиям. В этом последнем
случае £-й член ряда можно рассматривать как решение за-
дачи с ^W^(P) в правой части уравнения (30.1). Нало-
жение таких правых частей дает в сумме / и вызывает на-
ложение решений. При неоднородных краевых условиях
такая простая трактовка ряда (30.6) невозможна.
Поэтому задачи с неоднородными краевыми условиями
иногда целесообразно решать другими методами. Схему не-
которых из них мы сейчас изложим.
Чисто краевые задачи. Здесь можно применить
еще следующие два метода.
1° Выбрать систему координат так, чтобы область (Z))
превратилась в прямоугольник или параллелепипед. Расще-
пить задачу на несколько задач так, чтобы в каждой из них
неоднородность краевого условия сохранилась только на
одной паре противоположных сторон или граней. Затем
к каждой из этих задач применить метод решения задачи в)
настоящего параграфа (если это окажется возможным).
2Э Найти какую-нибудь дважды дифференцируемую в (D)
функцию uQ, удовлетворяющую краевому условию, и ввести
новую искомую функцию и, положив u = uQ-\- и. Для и по-
лучается аналогичная краевая задача, но уже с однородным
краевым условием (и с другой правой частью уравнения).
Э Если рассматривать ряд в отдельных точках, то ясно, что
в точках границы области его сумма равна нулю, но в любой
внутренней точке Р, сколь угодно близкой к точке 0 границы,
сумма ряда равна и (Р) и при Р->0 стремится к х (6) 3= 0.
2) Основы метода усиления сходимости рядов Фурье были
разработаны академиком А. Н. Крыловым. Для ознакомления с ними
отсылаем читателя к книге: Л. В. Канторович и В. И. Крылов,
Приближенные методы высшего анализа, гл. I, § 5, Гостехиздат, 1949.
ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ 437
Смешанные задачи. Здесь имеются следующие
возможности.
1° Так же, как в методе 2Э решения чисто краевых за-
дач, описанном выше* найти какую-нибудь функцию rz0,
удовлетворяющую краевому условию. Сделать замену u=uQ-}-u.
Для функции ~й получится однородное краевое условие и
измененные правые части уравнения и начальных условий.
2° Решить предварительно краевую задачу, которая по-
лучается, если отбросить в уравнении члены с производной
по времени и начальные условия. Решение этой задачи обо-
значить через и0 и применить предыдущий метод. Этот ме-
тод применим, если решение и0, которое будет зависеть
от t как параметра, когда х и / зависят от /, дважды диф-
ференцируемо по /.
§ 31. Колебания ограниченной струны
и другие одномерные задачи
Задача 1. Задача о малых свободных колебаниях
однородной струны с закрепленными концами была уже
нами рассмотрена в § 23. Ее решение послужило нам про-
образом для составления общей схемы применения метода
собственных функций. Вернемся теперь к задаче о струне
и изучим более детально решение этой задачи не только
для свободных, но и для вынужденных колебаний.
Функция и(х\ f), описывающая колебания струны длины I
с закрепленными концами, удовлетворяет (см. § 1) уравнению
dt2 а дх*—^Х) (31.1)
где /(х; f)— плотность внешней силы, краевьпм условиям
«U = «1^ = 0 (31.2)
и начальным условиям
“I ='И-«). (31.3)
км
Соответствующая задача о собственных значениях имеет
। „ _
уравнение -f- л« == 0. Для такого уравнения и краевых
438
§31. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
условий (31.2) задача о собственных значениях была решена
в примере 1 § 26. Собственные значения, собственные функ-
ции и их нормы в соответствии с формулами (26.9), (26.10),
(26.11) будут:
г 1x2 Q • Л71* v ,/~2~
Хп = 72и> ^„ = 5111-у-; ААп=у —•
Найдем коэффициенты Фурье по системе sin^~ правых
частей уравнения (31.1) и начальных условий (31.3)
i
| /(*; /)sin^dx,
о
I
г 2 С , \ . ппх ,
ип = у (x) sin -у- dx,
о
i
(х) sin dx,
о
(31.4)
и будем искать решение нашей задачи в виде ряда Фурье
// = 2®w(0sin^, (31.5)
Пяв1
где wn (/) — коэффициент Фурье решения:
i
®п (О=т /м (*; Оsin dx' (з 1.6)
6
Умножим (31.1) на ysin—р и проинтегрируем от 0 до 1\
I I
2 Г № . пъх . 2 9 Г . пкх , ,л
I j ’5/5 s,n / I а ) дх2 Sin Z (/). (31.7)
6 ’о
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
439
Второй из этих интегралов преобразуем двукратным интегри-
рованием по частям. В силу (31.2) получим:
i
о О
и (31.7) перепишется так:
£ f
/ .
д2и . пкх . 2п2т:2
Т—9 Sin -1-dx =--------
дх2 I
. плх , Л2К2
и sin — dx =-------p-wn,
d2wn . п2к2а2 , ч
dt2 I2 — anW
(31.8)
Из (31.3) для wn получаются начальные условия:
i г
®’п(°) = 4,[ а(х> °) sin = f <Р(*)sinn— dx = bn,
0 0
I I
dwn (0) 2 f du (x\ 0) . nnx , 2 f , z . nnx ,
—= - J dt sin -y-dx = T J «Kxjsin-pz/x^^
0 0 (31.9)
Интегрируя уравнение (31.8) при условиях (31.9), найдем
все и по (31.5) решение нашей задачи. Напомним еще
раз, что каждое отдельное слагаемое (31.5) является стоячей
волной на нашей струне.
Разберем несколько конкретных примеров.
1. / (х; t} = ф (х) = 0, т. е. задача о свободных колебаниях
струны, вызванных только начальной деформацией.
Уравнение (31.8) будет иметь вид
общее решение этого уравнения <wn = Cw cos -у-1 -ф- Cn sin y- /;
начальное условие <wn (0) = bn дает C'n — bn, a (0) = 0
дает Cn = 0. Итак, = bn cos t и
oo
и (x; t)= 2>Ьп cos ~ sin -y-.
n=l
Ho
. nnx nnat 1 Г . пк . . a< . пк . А1
sin—j-cos—у- = y I sin-y (x-J~ ~rsin — (x — at) ,
440
§31. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
поэтому
«(*; 0=4{ 2 z’»sin’T(x~'aZ)}-
n^l
S. , n~x
0nsin—,
7J = 1
представляющий на интервале (О, I) функцию ср(х), сходится
на всей оси и сумма его есть нечетная периодическая функ-
ция с периодом 2Z, совпадающая на половине периода (0, Z)
с ср(х). Для построения этой функции надо продолжить ср(х)
нечетным образом на (—Z, 0) и потом с интервала (—Z, Z)
периодически на всю ось. Если эту функцию обозначить
через (х), то решению и (л*; /) можно придать форму
и (х; /) = -— {ср* (х(*— «/)}. (31.10)
Предоставляем читателю непосредственно убедиться в том,
что это решение удовлетворяет всем условиям задачи. Его
можно также получить из (19.2). Оно показывает, что ограни-
ченная струна колеблется как участок (О, Z) неограниченной
струны, начальная форма которой дается функцией ср* (х).
Допустим, что
О < l-—- т. е. О < х — at < Z < х 4- at < 2Z.
Тогда отклонение и (х; Z) точки х струны в момент времени t от
ее положения покоя составляется из уср*(х— at)=~ ср (х—at)—
действие прямой волны, перенесшей в точку х половину
начального отклонения в точке = х — at, и ср* (х 4“ лО —
действие обратной волны, перенесшей в точку х половину
начального отклонения в точке х = х 4- at, лежащей вне рас-
сматриваемого участка струны (О, Z). При этом
ср* (х 4~ flZ) = — ср* (— х — at) =
= — ср* (2Z — х — at) — — — х — at) —— у (х2),
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
441
где xa=2Z—х. Действие обратной волны, таким образом,
сводится к действию прямой волны, взятому с обратным зна-
ком. Эта волна перенесла в точку х взятое с обратным зна-
ком начальное отклонение точки х2 (симметричной с точкой х
относительно конца струны /). Таким образом, обратная волна
является отражением с изменением знака прямой волны от
конца струны х = Z. Аналогично прямая волна для дальнейших
промежутков времени может рассматриваться как
отражение с изменением знака обратной волны от конца
струны х — 0. Таким образом, колебания ограниченной струны
в этом случае являются наложением расходящихся и сходя-
щихся полуволн, непрерывно отражающихся от концов струны
с изменением знака.
2. ф (х) = (х) = 0; /(х; t) = F(x) sin со/, т. е. колебания
струны, вынуждаемые синусоидальной силой с плотностью
амплитуды F (х).
Обозначим через ап коэффициент Фурье функции F(x)
г
ап = -2- J* F (х) sin —*dx.
о
Очевидно, ak (/) = ak sin со/, и уравнение (31.8) принимает вид
= an sin a)/,
(31.11)
а начальные условия вид = w(0) = 0. Общее решение
этого уравнения, как известно, надо искать в форме
v nnat . * . nr.at . .
— Cncos -------1- Cnsin —----1~ An sin co/
Подставляя в (31.11), найдем:
a^n^n2, — а)2!2 ’
начальные условия дадут Сп = 0; С„ =
образом,
Таким
пъа
ГГЛ\ (^"IlF
wn (О — д2д2л2 — ш2/2
со/ . jvrtat
-----Sin-----у—
пъа I
442
§31. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
И
и (х; /) =
ОО гчл
Sanl2 Г . , ш/ . nrcaf] . mix
-? « 9П-575 sin<&t------sin-у- sin—у-. (31.12)
Я2Л27С2 — 0)2/2 I П7СД I ] /V /
п—А.
Если же <о = при каком-нибудь п = k, т. е. если <о
кратно основной собственной частоте струны то соответ-
ствующее Wj, надо искать в форме юк (I) — Ск cos <о/ -|~
4~C^sina^-j-B^/coso)/. При этом оказывается Вк ——
мк — [sin 0)/ 0)/COSO)/].
В этом случае говорят, что внешняя сила находится в резо-
нансе с &-й частотой струны.
3. <р(х) = О; /(х; /) = 0;
Ш) =
О,
Ш)>о,
О,
х < х0 — 8,
xQ— 8<х<х0-]-8,
*>•*() + &>
ат0 + 6
причем J* (х) dx = А. Задача описывает свободные колеба-
fl?0 8
ния струны, возникшие под влиянием начального импульса Л,
сосредоточенного вблизи точки х0 (8 считаем весьма малым).
Очевидно, в этом случае ап = Ьп — О
I Д/q -р 8
Cn=yj ty(x)sm^¥-dx = y [ 'b(x)sin-^dx —
О Xq—8
<z?q"P 8
2 , nni f . / ч . 2A . nnZ
’» —Sin-y у Sin—,
«j—8
СТРУНА С ПОДВИЖНЫМ концом
443
где 5 — точка на интервале (х0—6, следовательно отстоя-
щая от х0 на расстоянии меньше 8. Поэтому ввиду малости 8
можно положить ~ A sin —у—0. Решение уравнения (31.8)
при ап = 0 с начальными условиями wn (0) = О,
• 2А . /7КХ0
w„(0) = cre=— sin-yA
очевидно, будет:
/л 2А . mzat . ппхп
wn(t) =----sin—г—sin—
nv7 nna I I
Решение задачи представится в виде ряда
со
/ . а 2А VI 1 . птсхп . nitat . nitx
"(x;^ = ^irsin-rJis,n-T-sin—• <31-13)
п=1
Задача 2. Перейдем к задаче с неоднородными крае-
выми условиями. Рассмотрим колебания струны, находив-
шейся в покое при / = О, правый конец которой при / >0
вынужден двигаться по закону и(1\ /) = ^(£), в то время
как левый конец ее закреплен. Никаких сил, распределенных
по длине струны, нет.
Собственные значения и собственные функции здесь те же,
что и в предыдущей задаче, и решение ищем попрежнему
в виде (31.5). Без изменения остается также формула (31.7),
однако преобразование интеграла
i
f д2и . ппх ,
| ^2 SIH — dX
О
будет происходить несколько иначе. Именно,
г
2 С д2и . тех ,
I J d№sin / dx~
О
I
2пя П7СХ
«=-----p-ZZCOS-y-
0
I
2лтс f ди ппх ,
—Тёг — cOS-j-rf^»
Z2 J дх I
о
I
2п2к2 f . пкх ,
- —-р | и sin —р ах~*
б
пМ
/2
444
§31. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
и поэтому уравнение для <wn будет иметь вид
<4
п2к2а2
—ё~и'п
"(-ОШ
Начальные условия будут (0) — <wn (0) = 0.
Пусть для конкретности у (/) = Д sin со/. Как и на стр. 441,
получим, если ,
2ппа2А
a2n^2 — <х>212
(— l)n sin со/
со/
кка
sin
nr.at 1
—г~|
и
и (х; t) =
оо
г» о л п(— 1Р Г • Z (о/ . Л7Ш/~] . ГГКХ /О1 1 ..
=-2Ka2X^W^LSinwZ~^Sin~JSln~- (3 }
п=1
Если же одна из собственных частот, например £-я, резонирует
с вынужденным колебанием конца струны (т. е. если со = —у j,
то соответствующее слагаемое ряда (31.14) будет:
(/)sin-^^ — (— 1)^+1 у A [sin со/— <ot cos со/] sin-^y-.
Совершенно очевидно, что ряд (31.14) сходится гораздо
хуже, чем например (31.12). Действительно, в (31.12) в числи-
теле коэффициентов стоит величина ап> бесконечно малая
при я->оо, в то время как в (31.14) в этом числителе имеется
множитель п.
Чтобы получить решение в виде лучше сходящегося ряда
в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа,
д2и
отбросим сначала в уравнении член с и решим задачу
— а2‘Т^==^’ (Z) = Д sin со/; zz1(O)=O.
Очевидно, ее решением
теперь решение нашей
будет = Д у sin со/. Будем искать
задачи в виде и = их + и2. Для и2
СТРУНА с подвижным концом
445
получим уравнение
д2и2 о д2и<> л 9 х . .
— а2 = Лоо2 — sin (о/,
dt2 дх- I
краевые условия и2 (0) == (/) — 0 и начальные условия
I л ди21 л х
= 0, “37* =— Лоз—.
2 k=o ’ dt k=o I
Это — задача 1, решенная нами только что. Легко подсчитать,
что
I
~ 2 f я 0 х . пкх . z 1 x-npi 2Л^2
ап^~г \ Лоз2—sin —--dx~ (—1) b ,
п I J / I v 7 K72 ’
о
I
2 f . x . nitx , z 2Аш
"» = ~T.I — = (-!)« — ,
о
и уравнение для wn(i) будет в соответствии с (31.8)
" . п"к?а2 . 1ЧП + 1 2Лш2 . ,
Н----— wn = (— 1) — sm O)Z,
а начальные условия в соответствии с (31.9)
wn(0) = 0,
^(0) = (-1)«^.
Отсюда находим (при со -ф. :
< хп 2Л<о/ Г . пт^а , о/ . .1
^п(0=(-1) ^-2К2 щ2/2 Sin — / - - Sin О)/ |
И
w2(x; f) =
__ (-1)W ml , Л . nitX
“ L Г 51П — “ SIH 0)/ SIH —
n=l J
446 § 31. ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Окончательное решение нашей задачи будет:
и (х; /) = А sin со/ 4~
00
t г» л 1 Г • ППй 1 ml • » ~| • TlftX /л « « г-\
4-2Лш/ У —«7, asm—-r-t------------sin со/ sin—-г-. (31.15)
1 naaM — <d2/2 [ I nn J / v '
n=»l
Легко видеть, что ряд (31.15) сходится значительно быстрее,
чем (31.14).
Задача 3. Разберем теперь задачу о свободных колеба-
ниях газа в закрытой тонкой трубке. Математическая
схема этой задачи (см. § 3) отличается от предыдущей только
краевыми условиями, которые теперь имеют вид
ди I _____ди I
дх |ж=о дх |ж=г
Напомним, что в этой задаче функция и означает уплот-
нение газа. Задача о собственных значениях при таких крае-
вых условиях решена в примере 2 § 26. В соответствии
с (26.16) и (26.20) собственные значения, собственные функ-
ции и их нормы будут (мы изменяем немного нумерацию
собственных значений по сравнению с § 26):
(« = 0, 1, 2, ...),
1 АГ 1 1/7
— 2 9 М) — 2*’
ппх
«„«COS-y-
(л=1, 2, 3, ...).
Поэтому
I
А 2 f / ч них .
ап~®\ Ьп = ~\ ср (х) cos —у dx;
о
i
cn = Y J Ф(*')cosdx (п = 0, 1, 2, ...).
о
КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ТРУВКВ 447
решение и будем искать в форме
OQ
«(х; 0 = у дао (0 + w^cos ~,
П=1
где -
®я(0=у j ucos^y-dx (л = О, 1, 2, ...).
О
Как и в задаче 1, для коэффициентов wn получим урав-
нение (31.8) и начальные условия (31.9).
Остановимся опять на простом конкретном примере коле-
баний, вызванных только начальным уплотнением (Ф (х) = 0).
Как и на стр. 439, получим cos ^у^, и поэтому
оо
/ А 1 A I V? А ПМ* ПКХ
а(х;^) = —+ ^mcos-j-cos-j-.
Так как
л mtat__mix 1 [ лтс(х-|-а/) . mt(x —
COS ~y~ COS ~y = у COS ---у-1 — -f- COS у——L ,
TO
u(x; t) =
oo 00
= у {4 ^o+bn cos + a/) + 4 Л>+ У^п cos y (x—at)\.
n=l
oo
Сумма ряда 7g--f- bn cos есть функция четная и перио-
?1=1
дическая, получающаяся четным продолжением заданной на
(О, Z) функции ср (х) на интервал (— Z, 0) и последующим
периодическим продолжением с интервала (— Z, Z) на всю
ось. Обозначим эту функцию <р** (х). Тогда
и(х; t) = у {<р** (х4~я0 + <?** (* — aZ)}. (31.16)
Сравнивая это решение и (31.10), мы замечаем, что они от-
личаются только характером продолжения функции <р(х) на
448
§31. ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
интервал (— Z, 0): нечетное продолжение для закрепленных
концов струны и четное — для газа в закрытой трубке.
Повторяя рассуждения стр. 440, мы убедимся, что ко-
лебания газа можно рассматривать как результат нало-
жения прямых и обратных полуволн, отражающихся ог кон-
цов трубы, однако здесь отражение происходит без изменения
знака.
Задача 4. Рассмотрим ограниченную телеграфную ли-
лию длины I с распределенными постоянными С, L, R, G.
Начало координат поместим в ее левом конце. Правый конец
линии заземлен, а левый в момент Z = 0 включен на задан-
ную э. д. с. V, При /=0в линии ни тока ни напряжения
нет. Как известно (см. § 4), напряжение и в такой линии
удовлетворяет уравнению
где для краткости введены обозначения а2 = CL, р =--,
у2 = RG\ начальным условиям
и(х;0) = ^Щ^ = 0 (31.18)
и краевым условиям
и (/; 0 = 0; а(0;/) = V. (31.19)
Уравнение соответствующей задачи о собственных значе-
ниях имеет вид v" — -f- \v = 0, а краевые условия — вид
v (0) = v (Z) = 0. Эта задача о собственных значениях сво-
дится к задаче, решенной в примере 1 § 28, если обозначить
X — у2 через р. Поэтому рп = и, следовательно, =
9 . л2я2 . пкх > Т , /~Т
= 1 + —. а '»n = sin— и Nn = y у.
Ищем решение в виде ряда Фурье:
со
= (31.20)
п = 1
ОГРАНИЧЕННАЯ ТЕЛЕГРАФНАЯ ЛЙНИЯ
449
где
I
(/) = у j U (х; /) sin dx, (31.21)
о
Умножая (31.17) на ~ sin ц интегрируя по х в преде-
лах от О до /, получим:
i
9d2wn . dwn (9 2 f д2и . ппх , А
а + + ^sin—rfx = °-
о
Преобразуя последний интеграл двукратным интегрированием
по частям и принимая во внимание (31.19), получим:
i i
2 Г д2и . ппх , 2пк ппх Р 2л2п2 f . пкх ,
-у у Sin—— dx=--------у ZZ COS—7—-----т~,— Я Sin —j—dx=z
I J дх3 I I2 I |o I3 J I
о 0
Следовательно, для wn получается уравнение
a®w;4.2K + (l’ + ?y)«'n = ^Vz (31.22)
с начальными условиями wn (0) = wn (0) = 0. Интегрируя его,
находим wn и по (31.20) — решение и нашей задачи.
Для конкретности рассмотрим случай V = const.
Характеристическое уравнение для (31.22) имеет вид
a2r2-|-2pr-|-(-r9 + ^f) = 0. Его корни г1)3 = —
, В I (R । О\
где и
_ 1 / 4^2 _ 1 л/~4^ 7R (j\2i)
Wn ~ 2 V Pafl “Г* a2 a4 2 К PCL \L c) ‘
R G
-1) Если у — = 0, т. e. линия «без искажения» (см. стр. 45), то
кл _ Tin
ycL-
450
§ 31. ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЙ ЗАДАЧИ
Очевидно, общее решение уравнения (31.22) будет:
(0 = (С'п cos /+ с'п sin wnt) е~* 4- -2-^2^ V.
Начальные условия дают:
г’ __ 2пп л_____________2ппк v
П~~ П2К2 + 1^2 V> +
откуда
юп (0 = "^' 2^2 2 I1 — e-u(cos sin V.
n v 7 Л2тс2 -f- I \ n 1 °bj * / J
Таким образом, решение нашей задачи дается рядом
и (х; /) =
оо
2/гл: L .ff , I К . Д) . пг.х
— V Zi-o-v-t-Fq-vV—cos 0)^-4-----------sin соЛ/ }sin——
n2rc2 4“ /212 I \ п шп п Jj I
п—л
V1 2лк . ппх
п=1
ОО
tr w 'V 2лл / . , к . Д . ппх /П1 гпч
- Ve~M 2j nw + p-f (cos ш,/ + — sin J sin —. (31.23)
n=l
о м ( VLCI I R G l\
Заметим, что для первых значений n\n<Z —
частоты <оп могут оказаться мнимыми. Тогда, очевидно, мни-
мым будет и sin о)пА Обозначая <оп для таких п через /$п, будем
иметь
и
cosa)n/ = ch
sin ^nt ___sh ^nt
^n, —
w (t) =______fi__________e->Vch /4- X
n[ J n2K2_f_Z2Y2 I1 6 ^СПЧПГ-+-Л Д.
Таким образом, соответствующие слагаемые ряда (31.23) будут
иметь вид
^+^2 V - e-X\chU+ X Sin -J-.
Теплопроводность в ограниченнохМ стержне
451
Задача 5. Теплопроводность в ограниченном стержне.
Рассмотрим однородный цилиндрический стержень длины /,
один конец х = 0 которого поддерживается при темпера-
туре Uo — xft), а другой, х = Z, охлаждается по закону Нью-
тона. Температуру внешней среды положим равной нулю.
Температура и (х; /) в сечении х стержня в момент времени t
удовлетворяет уравнению (см. § 5)
^_аз^£|^и==0 (31.24)
dt дх2 ’ 4 7
где а2 = -^, й2 = -^. Предположим, что начальная темпе-
ратура в стержне равнялась ср (х), где ср (х) — заданная функ-
ция от х. Тогда мы имеем начальное условие
= (31.25)
и краевые условия
Соответствующая задача о собственных значениях будет
Ь2
иметь уравнение У' — —-у-|-^'у = 0 и краевые условия
и I =0; |С“ 4-7^1 = 0, где т = Эта задача за-
I я? = 0 [ иХ * 1 к
Ь2
меной X — = р2 сводится к частному случаю задачи, решен-
ной в примере 2 § 26. Согласно полученным там результатам
собственные функции задачи будут:
. КГ> 1 ®n=sinp.,lx; — где р.п определяется из уравнения tgzl* = —-1 При больших п (см. 26.28) (31-27) р (31.28) и
452 § 31. ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Будем искать решение нашей задачи в виде ряда
Ч — 2 wn (О sin Н» х> (31.29)
2i = l
где
i
wn(t) — -±7 I и (x;t) sin ?nxdx. (31.30)
п %
Умножим (31.24) на — sin|xwx и проинтегрируем от 0 до/.
При этом на основании (31.26) и (31.28)
i
J Й sin Hn х dx = { — и № (7 sin Рп1 + Ип cos /] +
I
+ Hn 7. — J « sin }ХП х dx } = ^ Х (0 — (7),
и поэтому для определения мы получаем дифферен-
циальное уравнение
4+ № + «3 н3) (0, (31.31)
2Vn
а из (31.30) и (31.25) — начальное условие
i
wn(0) = 7k I <?(*)sinp„xdx = ^. (31.32)
no
Для конкретности предположим, что х(0 = = const.,
а <р(х) = 0. Тогда Ьп—0. Общее решение уравнения (31.31)
будет:
w =С
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ
453
Начальное условие дает Сп — -т-, поэтому окон-
чи (&"+«>„)
чательно
9 2 9
w —TJ “'**>» Г1 ___ -(Ь'+а .
Wn~UoN^^+b^ [1 J
. , л г*-, 2£Д)
При больших п и £> 0 мы имеем топ = -т-^~ —-
По (31.29) получим решение нашей задачи в виде
U = Uo У ...,;-аЛ"-----[1 —еЧЬ*+а2&(] sin р„х. (31.33)
л^(*Ч+»г)
Этот ряд медленно сходится. Чтобы получить решение
в виде быстрее сходящегося ряда, применим способ, изложен-
ный в конце § 30. Отбросим сначала в уравнении член с про-
изводной по t и решим получающуюся краевую задачу
a8g —Л = 0, (31.34)
ш(О) = С7о; о/(/)-Н<о (/) = 0. (31.35)
ь ъ
— х X
Общее решение для <о имеет вид (о=Аеа -{-Be а .
Краевые условия дают:
Л4-В=(70,
JL i ____L i Л i _______L i
~[Ае а —Be а -j-Ве а ]==0,
или
4+-5=t70,
Аеа — В (Ь — уа) е а =0.
Отсюда находим:
(b-^a)e а (b + ia)ea .
bqh— Z+ aysh— b ch — l+av sh ~ I
a a a 1 a
454 §31. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
и, следовательно,
6ch4' (/_Х) + Я?8Ь-у (1~х)
ш (X) =------5--------------------------и0. (31.36)
b ch — I + ay sh — I
Теперь будем искать решение нашей задачи в виде я = <о 4" й •
Для и получаем уравнение (31.24) с однородными краевыми
условиями
и| =0, Г~Н«1 =° (31.37)
|а;=о [дх 1 1 J®.! ' ’
и начальным условием
и | <=о = — <в (х). (31.38)
Найдем коэффициент Фурье функции <о (х) по функциям
(31.27)
г
^п=—; I <° Wsin !*»•*<**•
« о
Применяя дважды формулы интегрирования по частям
и принимая во внимание (31.34), (31.35) и (31.28), мы
получим:
bn~ N3
n
w (x) COS X | a/ (x) sin p,n X p
Ип р.‘и w
I
-J- p
_________l_r
s^l-
sin х dx =
(Z)sin \knl
’ m (Ocos-x,,
rn
I
<o(0) b* f / 4 . •
—77Г--------2-ПТз- <>(*) sin p„xdx =
a o’
Ц> & ?
«4 n’
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ
455
откуда
А ____ _________________
п-(«Ч + &2)л^’
(31.39)
Теперь будем искать и в виде ряда и = 2 wn s‘n I1» х.
п = 1
Для получится уравнение wn (Ь* + ^Hn) ww = 0 с на-
чальным условием wn (0) = — bn. Его решение будет
wn =------а и поэтому
п (*2^ + *Ж
ОО • л л
и —
2, 2 2^+b^si пИпх.
n^*& + ^Nn
Таким образом, решение нашей задачи запишется в форме
*ch т (/—х)+атsh т(/~^
и — и<) ь I
. £ch—Z —£ZY sh — I
а * а
/ е~(“ И”+ Ь }t sin V-nX. (31.40)
Ип
2
П — 1
Легко видеть, что ряд (31.40) сходится значительно быстрее,
чем (31.33).
При £ = 0, т. е. если боковые стенки теплоизолированы,
решение упрощается и принимает вид
со
«=Ц> (1-------пит) (31.41)
' — 11n V п
§ 32. Решение методом собственных функций двумерных
краевых и смешанных задач
Задача 1. Определить стационарное распределение
температуры в бесконечной однородной призме прямоуголь-
ного сечения. Вдоль линии (Z), проходящей внутри призмы
параллельно ее ребрам, равномерно распределены источники
тепла с плотностью Q. Температура внешнего пространства
456 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
принимается равной нулю. Коэффициент внешней теплопро-
Фиг. 78.
сматриваемой призме обозначим
водности постоянен на
стенках призмы.
Направим ось z по
одному из ребер призмы,
а оси х и у по ее граням.
Обозначим через а и b
размеры поперечного се-
чения призмы, а через х0
и у0—координаты ли-
у нии (/) (фиг. 78). Чтобы
* решить эту задачу имею-
щимися у нас методами,
будем считать источники
тепла распределенными
в бесконечной призме по-
перечного сечения (а)
с малым диаметром 8, со-
держащей прямую (Z).
Плотность распределения
источников тепла в рас-
через q (х, j). При этом
q (х, j) = 0 вне (а) и J J q (х,у) dx dy=Q. Очевидно, темпе-
ратура и призмы одинаково распределена в любом попе-
речном сечении, т. е. и не зависит от z. Мы имеем, таким
образом, двумерную задачу.
Как известно (см. § 5), температура а в рассматриваемой
призме удовлетворяет уравнению
Д« = —| (32.1)
и краевым условиям
Я-Т« = 0. (32.2)
h
гДе Т =
Соответствующая задача о собственных значениях с урав-
нением —о и краевым условием (32.2) была решена
в примере 1 § 28. В соответствии со сказанным там собствен-
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ПРИЗМЕ 457
ными значениями будут числа п = ут -|- vn, где и
vn — корни уравнения
= -£==X = ctg^. (32.3)
Собственные функции будут:
Vm, п = Sin (х + ?„,) sin (у У\ -L- фя);
©m = arctg <Ьп = arctg -J-. (32.4)
rwi уп
Nm,„ - у /I a р+
Вычислим коэффициенты Фурье cm,n функции q по си-
стеме цто,й:
(-т, п== г о„ т г oZ 1 X
д + ~2 , P+-FT---------
L T2+tiw JL t^+^J
X | | q(x, у) sin (хУ^п У <om) sin (у У^ у 6n)dxdy =
'(У
f „ , 2f | fz, , 2т |A
I ‘ 72 + i4nJ L + T2 + '*n J
X | J q (x, y) sin (x У^ + <?m) sin (у У^ -j- ф„) dx dy =
{ei.4Q x
X sMl6^ + ?Jsin(7j/vw-Hn), (32.5)
где ($, vj) — точка, лежащая в (а). Ввиду малости площадки (о)
можно считать
X sin У о V Гт + ®«,) sin (Уф 4- УУ
(32.6)
458 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Теперь будем искать решение нашей задачи в виде ряда
ПО фуНКЦИЯМ Vm,n»
и (х, у) — 2 П Sin (х V4- ?„,) sin (у Vvn 4- ф„), (32.7)
т, п=1
где п— коэффициенты Фурье и(х, у):
4
п —
(В)
Для определения коэффициента умножим (32.1) на
Га—vm,n и проинтегрируем по прямоугольнику (D):
mt п
Д uvmi ndxdy =
п dx dy — k ст,
Интеграл в левой части этого равенства преобразуем по
формуле (10.2). Принимая во внимание (32.2), получим:
[ | Ди v,a-п dx аУ = f f и • „ dx dy =
= — I I и • vWt n dx dy = n^m, n*
™т, n
Таким образом, Xm, n^m, n = j ст> n и
г 2y 1Г 2т
,(^+,n)p+_r_p+_^J
X sin (x0 Уъ» 4 <?,rt) sin (Уо Фп).
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ПРИЗМЕ 459
Решение нашей задачи запишется в виде
и ==.
(32.9)
4Q sin (Л)1 + sin sin sin h .
fc (p. 4-v ) [a-J-——1 [dH———1
По поводу этого ряда надо сделать следующее замечание,
которое будет относиться ко всем решениям, получаемым
в этом и следующем парагра-
фах. В соответствии с изло-
женным в § 25 следовало
бы расположить собственные
функции в порядке возра-
стания отвечающих им соб-
ственных значений, и в этом
порядке суммировать ряд.
Однако можно доказать, что
сумма такого ряда Фурье не
зависит от порядка слагае-
мых. В частности, можно
занумеровать собственные
функции, как это всегда де-
лается при применении ме-
тода разделения переменных,
двумя индексами и образо-
вать из них двойной ряд,
в котором суммирование
производится сначала по
одному индексу, а потом полученные суммы суммируются по
другому индексу. Можно также просуммировать по обоим
индексам от 0 до k и потом переходить к пределу при k —> оо.
Задача 2. Определить электростатическое поле
внутри прямоугольной бесконечной призмы, каждая грань
которой является проводящим электродом, а друг от
друга эти грани изолированы. Потенциалы граней обозна-
чим соответственно через иг, и2, и3 и и±.
Систему координат расположим так же, как и в преды-
дущей задаче (фиг. 79).
460 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Как и в предыдущей задаче, очевидно, что потенциал
поля и не зависит от z. Этот потенциал, как мы знаем
(см. § 6), удовлетворяет уравнению Лапласа
Дя = 0 (32.10)
и краевым условиям
и |я?=о — я l^—o == и\х==(1 = и\у - ь = (32.11)
Соответствующая задача о собственных значениях будет:
А® 4- ко = 0; v |„в0 = v |у=о = v |®=0 = v |у=ь = 0.
Ее решение содержится в примере 1 § 28. Собственные
значения равны
, _л2/п- , т&п2
п — ?
а собственные функции и их нормы
. птх . лгу кт Vab /ог>
tFwn = sin—sin-^-, Nm>n = (32.12)
Ищем решение в виде ряда Фурье:
оо
S. тлпх . ппу
^m.nSin — SHl-yS
m, я=«1
где
4 Г Г . тпх . /гл у , ,
™т,п=-^ I | “Sin — stn-^dxdy.
'(»)
Умножив (32.10) на — sin sin интегрируя по пря-
моугольнику (D) и применяя формулу (10.2), получаем:
0 = — f [ Ди «sin sin ^-~-dxdy =
= Tb f I «’A[sin^sin^]^^-b
(D)
. 4 f д Г • mr.x . пку}
H—г u -%- sin--sin — dl,
1 ab J дп J я b J
(0)
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПРЙЗМЕ
461
где (С) — контур прямоугольника (D). Так как
А Г . тт.х . ппу! Гт2п2 . п2п21 . пглх . плу
A sin--------- sin —~ = — —г + sin-----sin ,
[ a 6 J [ д2 1 J а b ’
то первый интеграл дает
[ /п2л2 । п2л2 Т
L~^~ ' “Т2”J п'
второй же интеграл разбивается на четыре интеграла по
каждой стороне прямоугольника. При этом на стороне х = О
д д „ ~ n д а д
= — на стороне у = 0 , на х — а т~ = —
дп дх9 г дп ду9 дп дх
и, наконец, нау = £ — =— Jy' Таким образом, получаем:
ъ
4 (т~ f . пл у , .
- = -ОТ—тм| { v «1 яп -/ ЛУ +
ab[— + “Н' о
а Ь
। пл f . тпх , тп z f . пл у ,
+ ти\) s*n —dx---------^(-О из | sin-y-<y —
6 б
а
— -у (- I)'* «4 J Sin — dx J =
+ [1 + (- l)”i + 1] [«2 + (-1)« и “J } =
462 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Решение нашей задачи будет иметь вид
и —
со
= 2 „м I (g (1 Н-1)"*Ч [»,+(-!)«*»,] +
+ g [1 + (-!)-+!] [«2+(-l)n+i «J } sin sin (32.13)
И в этой задаче получается плохо сходящийся ряд. Это
связано с тем, что краевые условия неоднородны. Другой
способ решения, схематически изложенный на стр. 436, заклю-
чается в следующем: расщепим задачу на две:
первая:
дх2 ' ду2
о;
a*L=o=«i; «*к=о=«3; «*1г/=о=«*!//= ь=о;
вторая:
$2^#* । д2и**
“дл2" +
a**l®=o=a**U=a = °; «**L,=o = «2; «**1з/=б = «<•
Очевидно, и = zz*-j- и** будет удовлетворять всем усло-
виям нашей задачи.
Первая из этих задач имеет однородные краевые условия
на концах интервала (0, Ь) оси у, Поэто^му рассмотрим
соответствующую задачу о собственных значениях для этого
интервала
+ = '»"!:|»=о = г'*12/=й = О-
Собственные функции этой задачи (см. пример 1 § 26) бу-
дут sin^-~, их нормы Ищем решение и* в форме ряда
со &
«* = (х) sin w*(x)=-y | «|:sin^p' dy,
?i=l о
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПРИЗМЕ
463
Умножая (32.10) на -?-sin^~ и интегрируя по у от 0 до Ьу
получим:
ь ь
2 f д2и* . пну . I 2 f d2u* . пну
it irv sin dy + -г тт sin —г dy = 0.
b J дх2 b 1 b J ду2 b л
о о
Преобразуя второй интеграл двукратным интегрированием по
частям и принимая во внимание краевые условия, найдем:
ь ъ
2 f д2и* . пну . nW 2 f А . пну , nW *
т -yv sin dy =------------ту “г и sin ~~dy —---------тх-Мп-
b ,1 ду2 b b~ b J b s Ь2
о о'
ь
п « 2 f д2и* . пну , d2 *
С другой стороны, у I -^2 sin -~dy = —2wn и, таким обра-
6
%
зом, для получается уравнение
a w,tl п тс г..
ж,;1 = 0. (32.14)
Кроме того, для wn(x) получаются краевые условия на кон-
цах интервала (0, а) оси х:
ъ
sin n-^dy=2^[i-(-i)«],
б
ъ
(а) = ~ l а3 sin dy = [I(- 1)«].
6
(32.15)
Общее решение уравнения (32.14) имеет вид w^(x) =
ппх пкх
ъ ь и краевые условия дают
пка пка _
С[е ~ + С,е~~ = g [1 - (- 1)«],
464 § 32. решение двумерных краевых и смешанных задач
откуда
с;=1[1-(-1)ч
<- и-)
пка
Uj — utg &
. пка
sh —г-
b
пка
иге ь —и->
, пка 9
sh—
и
9
=^[1- (- 1)"]
. пп(а — х) , , пт.х
M1sh---5__---' -f. Из Sh —
, пка
ЛТ
(32.16)
Таким образом,
“vf [!-(-!)”]
п=1
. лл (а —х) , , ллх
U1 sh--Ц------+ и3 sh -т-
1 b ' 6 b . пку
------------------------sin .
f пка b
n sh —t~
6 (32.17)
Точно так же найдём:
и**
со
=42[i-(-i)'“]
Ш«1
. тк(Ь—у) , , /плу
sh-------=^- 4- и л sh —-
а * * а ткх
---------------:--------sin---.
. ткЬ а
(32.18)
Решение поставленной задачи получится в форме суммы
двух рядов
. пл (а — х) . , ллх
«1 sh —+ а3 sh -у
-----------------------sin
. ппа
п sh—т-
b
пк у
со
Н=1
со
Ш = 1
. тк (Ь—у) , . тку
и2 sh —sh
\ ткЬ
т sh -
а
. ткх
sin---.
а
(32.19)
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПРИЗМЕ
465
Совершенно очевидно, что эти ряды сходятся гораздо
быстрее, чем ряд (32.13), так как при я—>оо
, пп (а — х) .ппх
sh —-------- пкх sh -7-
b --ь
----------~ е 6 , -------
, ппа , ппа
sh-y— sh-7—
b b
пп (a — x)
b
и при 0 < х < а эти величины, а вместе с ними и коэф-
фициенты первого ряда очень быстро убывают. Точно так
же быстро убывают коэффициенты второго ряда.
Если коэффициенты
, пп (а — х) , , ппх
ill sh —+ и3 sh -у-
, ппа
sh~r
• fl А «
разложить в ряд по sin -у- и коэффициенты второго ря-
да— в ряд по sinто формула (32.19) приведется
к виду (32.13).
Задача 3. Определить электростатическое поле вну-
три бесконечного круглого цилиндра радиуса R. Потенциал
стенки цилиндра задан и постоянен вдоль каждой образующей
цилиндра.
Направим ось г вдоль оси цилиндра. Очевидно, потенциал и
не будет зависеть от г, и мы имеем снова плоскую задачу.
Обозначим круг, полученный в сечении цилиндра плоскостью
х, у, через (О), а контур его через (С). Потенциал и удо-
влетворяет уравнению
Дя = 0 (32.20)
и краевому условию
«|(О=/, (32.21)
где /—заданная функция на окружности (С).
Введем полярные координаты г и ср. Область (О) будет
координатньпм четырехугольником в переменных г, <р. Урав-
нение примет вид
д Эи Э2и_________
Г дгГ дг ’ дер2
466 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
На двух
условия
сторонах четырехугольника будем иметь краевые
. । ди I ди I
«|ф==о-«к=2Я; ^|ф=0 —^|т=3в
Кроме того, вблизи начала координат, т. е. вблизи г = 0,
функция и должна оставаться ограниченной.
Так как на концах интервала (0, 2тг) оси ср краевые усло-
вия однородны, а при г = /? неоднородны, то имеет смысл
задачу о собственных значениях ставить для переменного
Соответствующее уравнение и краевые условия будут
d*v . . Л ч dv(0) dv(2K)
—-СХ^ = 0; ^(0) = iF (2тг); ~ —
Собственные функции такой задачи были найдены в при-
мере 3 § 26. В соответствии со сказанным на стр. 362
Vo (?) = 4 ’ = cos п(?> -1 = sin «?;
^0 = }^
Разложим теперь заданную функцию f—значение потен-
циала на окружности — в ряд Фурье по ^(?)- Очевидно,
это будет обыкновенный ряд Фурье
оо
/(?)== 7 Н- 2 [а2"-1 sin + а2« cos я?];
И = 1
Зя
«8П = 4 f/(?)cos/l<?dcf (я = 0, 1, 2, ...);
*0
2я
яа.г-1=4 J /(<p)sinn?fif? (я=1, 2, ...),
б
(32.22)
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ЦИЛИНДРЕ
467
и будем искать решение нашей задачи также в виде ряда
Фурье
оо
Ч (г, ®) = 4 wo + S 1 (r) sin «? + (О COS «?];
п = 1
2к
1 Г .
= Y tfcosflcptty
о
2 л
If. .
^2n- 1 = — « SIH П<$ d<£>
б
(« = 0, 1, 2, . .);
\ (32.23)
(л=1, 2, 3, ...).
Чтобы найти wk (й = 2п или k = 2п — 1), умножим урав-
нение (32.20) на — cos/2? или наsin я? и проинтегрируем
от 0 до 2it. После обычных преобразований интегрированием
по частям получим:
= 0 (k — 2nt k = 2n— 1)
dr\ dr / K v 7
или
.2rfME+r^s_/z2 0
dr2 1 dr K
и краевое условие wk (/?) = ак. Кроме того, так как при
г = 0 и должна оставаться ограниченной, то ограниченными
при г = 0 должны быть и ч£)к. Уравнение для wk при nz/zO
является уравнением Эйлера. Ищем его решение в виде г*.
Подставляя это в уравнение и сокращая на га, находим оп-
ределяющее уравнение для а: а (а — 1) —а — гр = 0, откуда
at = п, а9 = — п.
Итак общее решение уравнения будет wA = Схгп-\- С2г~п
(й = 2я, k = 2п — 1). Условие ограниченности wA при г = 0
сразу дает С2 == 0, а краевое условие при г — R дает С1 — ^.
Таким образом,
W2n-\\r) -- a2n-l \
(n= 1, 2, ...). I (32.24)
468 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
При п = 0 уравнение для w0 сводится к^г^^==0.
Отсюда г^^ = С2 и w0 = Ci-j-^*2 Л Условие ограничен-
ности w0 при г = 0 дает С2=0, а граничное условие при
r — R дает Сг = а0. Таким образом, = а0. Решение нашей
задачи имеет, следовательно, вид
оо
« =у+ 2(«2n-isin«? + aa»cos«?)(^-)’*- (32.25)
п = 1
Пусть для конкретности потенциал одной половины окруж-
ности (0 < <? < тс) равен и0, а другой 0 (два электрода
в виде полуцилиндров, изолированных друг от друга). Тогда
те те
а0==~ | du = u0; = f cos/гз> = 0;
о о
те
«2n-i = 7 J = + 1)П+’1
б
и
__ 1 . 2кр V sin (2^ — И ? / г \2т~1
“•2И0"т' —2т — 1 \д)
?и = 1
(32.26)
Формулу (32.25) можно привести к другому виду. Для
этого подставим в нее вместо коэффициентов ак их значения.
Обозначая переменную интегрирования буквой получаем:
2те оо 2те
) f d''‘ + ir S[sln,v? J f sin+
6 n = l 0
4-COS П'-р
2те
J /(ф)cos(£)’’•
0
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ЦИЛИНДРЕ
469
(г \п / г\п
] sin пер и Нт) cos пер можно
внести под знаки интегралов, поэтому
2л: оо 2гс
«('•> ?) = i +т S,[ (й”cos п —
6 П = 1 6
оо
При г < R ряд ^0” cos/г (<р— очевидно> сходится
п=1
равномерно по ф. Поэтому можно изменить поряцок интегри-
рования по и суммирования по п:
%* 00 *
“(г>^=тJ /^{4+2(йПсозя(ф_?)И (32,27)
О П = 1
Получившийся в фигурных скобках ряд легко просум-
мировать. Для этого заметим, что по известной формуле
Эйлера cosn(tp— ер) = Re т)], где Re^ означает веще-
ственную часть комплексного числа z\ поэтому
оо оо
Т + 2 G9”cos я (?—^=4+ 2 (й” Re е<” (’-,w =
п = 1 п — 1
П=1
В фигурной скобке стоит сумма бесконечной геометри-
ческой прогрессии с первым членом и знаменателем, рав-
ным Поэтому
оо 4)
у + Т (й" cos л (<Р —<J») = Re у + -5----------- =
1 ? лг (ф~ф)
n^i 1 —
_ _1_ ре R + rei (W) _ 1 р (Я + ] [/? — ге~* _
2 К R — + « 2 Хе(/? — — re-HW)j
_1р Я2 + 27?rz sin (? — })— r2 _ 1 /?2—г2
2 Kefl2 —2Ягсоз('.р-ф) + г2 2 7?2— /?rcos(<p ^) + /-2‘
470 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Подставляя это в (32.27), получим:
2тс
“(Г, Т) - i J7 W T+7S
о
Мы, таким образом, снова нашли решение краевой задачи
теории потенциала для круга в виде интеграла Пуассона,
который был выведен другим способом в § 16 (ср. (16.28')).
Заметим, что любая функция, гармоническая (т. е. удо-
влетворяющая уравнению Лапласа) внутри круга радиуса R
и непрерывная вплоть до его границы, может рассматри-
ваться как решение краевой задачи, в которой в качестве
граничной функции f взято значение и на окружности.
Следовательно, формула (32.25) дает разложение любой
такой функции в ряд по простейшим гармоническим функ-
циям rncos пер и rnshn^. Эти функции называют круговыми
функциями.
Не представляет труда решить такую же задачу, как та,
которая только что была разобрана, для внешности круга.
Теперь попробуем решить нашу задачу другим способом.
Рассмотрим систему собственных функций оператора Дс
в круге (D) с краевым условием = 0. В примере 2 § 28
показано, что эти собственные функции и их нормы равны:
^27)1-1, п — Ля sin
г ( т Г \
^2т, п ^тп \^п ) COS m<f
(«= 1, 2, 3, ...),
0 = 1, 2, 3, ...),
п п — у 2 । Ь
где хп—я-й корень уравнения Jvl (х) = 0, а соответствую-
ще > ) (%”)2
щее собственное значение равно к21)1 п — Чт, п = “5Г •
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ЦИЛИНДРЕ
471
Будем искать решение нашей задачи в виде ряда Фурье
по функциям этой системы
«= 2 «Ч п>
&==0, П = 1
где
п ~ Туз f f (A = 0, 1, 2, ...; n = 1, 2, . . • ).
Для определения коэффициентов п умножим (32.20)
на —vk,n и проинтегрируем по (D). Применяя формулу
п
(10.2), получим:
0=4~J
^>n(D)
2k
, 1 f dvk,n > R f xdvb n
+ Tr2~ J u dn h.nWjc.n I f -r^-
Nk.n^ l\nJ dr
r~R^‘
T=slt
Но
I %0 ,
» r / Ox.
|г=Я “ 2/? J°
= -b-/»(«») sin zn<p;
У=з Д Z\
= -FT <4 (x?) COS m®,
Г = д л\
<4,n
dr
fo2OT-i
dr
^v2m
dr
и, следовательно,
2
W0, n 0 j'
’Vo
2к
2Др
-1, п
Jm\?n J
2re
kxV I f Sin =------:
\%n J Q
2k
^2т, п —
472 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
где а0, а2т — коэффициенты Фурье функции f по
системе -i-, sin cos/n<p. Поэтому решением разбираемой
задачи будет функция
V «о
<46
П=1L Л «\
и =
2j(a2m-isinmx +
w==l
4-a^cos/nx)—rv- .
Jm vn / J
Сравнивая это с (32.25), мы получим:
(32.29)
(32.30)
(£\т______о V т \ п
Мы нашли, таким образом, разложение функции по
ортогональной с весом г системе Jm (см. пРимеР 4 § 26).
Нормы функций этой системы равны -^= | j'm |. Коэф-
фициенты такого разложения должны быть коэффициентами
Фурье,
откуда получается следующее соотношение:
R
*от+24(С)
(32.31)
о
или
lb
(С) (т = 0,1,2, ...)• (32.32)
о
Это полезное соотношение легко установить и непосред-
ственно, исходя из известных формул дифференцирования цилин-
дрических функций (см. Добавление, стр. 553).
Теперь рассмотрим некоторые смешанные двумерные за-
дачи.
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
473
Задача 4. Изучить колебания прямоугольной мембраны
со сторонами р и q с закрепленным краем.
Систему координат располагаем, как показано на фиг. 80.
Функция и, описывающая колебания такой мембраны,
удовлетворяет уравнению (см. § 2)
^-a*bu = F(x, у), (32.33)
где F плотность внешней силы, краевым условиям
Соответствующая прямоугольнику и краевым условиям
(32.34) система собственных функций будет:
. тпх . пъу
п = Sin---Sin .
р q
Найдем коэффициенты Фурье функций F, Д, /2 по функциям
этой системы:
4 f f „ . тпх . лку . .
ат,п = — | | F sin — sm dxdy,
’(D)
l 4 f f , . rnr.x . nny < *
\ pisltl~rsinV dxdy'
4 f f z . mnx . nny . .
Cm,n = Tq\ \f^ — sm^dxdy,
\T)}
474 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
и будем искать решение задачи в виде ряда Фурье по этим
же функциям:
оо
Vi . ткх . пку
и= л ,“4nsin —sin Y’
m, n=l
где
4 f I . m*x . mty . .
™m,n=Vq \ J “Sin — sin dxdy.
Xn]
(32.36)
(32.37)
Умножая (32.33) на sin sin и интегрируя по прямо-
угольнику (Z)), мы найдем после
уравнение для ww>n(Q
обычных преобразований
п
п О"т> п
(32.38)
и начальные условия ^И!)П|,=0 = дИ)(Я; ^§^|i=0== с™,п-
Определив отсюда и подставив его в (32.31), мы
получим искомое решение.
Напомним, что каждое слагаемое в (32.31) представляет
собой стоячую волну.
Разберем пример.
Свободное колебание мембраны под влиянием одной
только начальной деформации*. F — 0; =
В этом случае ат,п = ст,п — в уравнение (32.38) сведется
” । 2 2 ГI U2,1 м гт
к = Ег° общее решение имеет
вид
Л , / т2 , л2 > I D . • -ж /*т2 I л2 .
^wi,n Ат,пСО8 aiCy Н~ ^2 Н~ Sin у ^2*4 ‘^2^*
Начальные условия дают BWjn = 0; /lw>n = dw>n. Таким
образом,
и= Е ^„cosair’j/'^+^sin^sin^. (32.39)
ш, п==1
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
475
Мы видим, что частотами, соответствующими каждой стоячей
, Гт? . и2
волне, являются числа ^Wtn = у Если оди-
наковы при двух различных парах tn и л, мы имеем две стоячие
волны с одинаковой частотой. Их сумма также дает стоячую
волну с той же частотой.
Пусть для конкретности начальная деформация будет
изображена на фиг. 81. Центр мембраны смещен на величину h
и в каждом» треугольнике между стороной мембраны и ее
центром мембрана плоска. Для вычисления Ьпьп перенесем
начало координат в центр мембраны и изменим масштабы по
осям х и у так, чтобы прямоугольник (D) превратился
в квадрат со стороной тг. Иначе говоря, произведем
замену переменных
х 2 > ’
У 2 * к
При этом
п = ~ J pl (Х> Sin “Г Sitl V dx dy =
(Я)
= J j /, sin /и (y + Q sin n + 7]^ d; d-fj.
(Di)
Если m или n четно, то sin (m -f- или sin у +
m n
преобразуется в (—I)2 sin/w? или (—I)2 sinzz-q, а так как
функция очевидно, четная функция как от i, так и от ц,
476 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
то п = 0. Остается рассмотреть случай нечетных т и /?.
^-^27-! = ^ [ + l)fl X
(РО
X Sin [nJ — J + (27 — !) *1] drl =
== — к?—' j* |*/1cos(2A—1) £cos (2/ —
(d'> •
Очевидно, последний интеграл равен учетверенному ин-
тегралу по части (£>2-{-£)3) области Dlf лежащей в первом
I7!
(DJ
Фиг. 82.
квадранте (фиг.г82), или, так как функция Д симметрична
относительно $ и т),
=^2 (—1)&Ъ { g^ j-\-gj, к },
где
= j* J Л cos (2Й — 0 ?cos (2/ — 1) т] dri.
(Л)
Но в пределах (О2) ^==^^1 — поэтому
я
т е
gkf j = h j* ^1 — cos (2k — 1) I cos (2j — 1) v| dr| =
6 6
= 272ГЩ f (1 — II) [ sin 2 (£ 4- / — 1Я H- sin 2 С/ — *) S]
b
= 4(* + j— — v A-’’ к = 4(2ft— 1)« •
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
477
Отсюда
Sh
(&=#./); ^2fc-l,2fc-l — к2(2^ — 1)2 •
Колебание мембраны при рассматриваемой начальной дефор-
мации будет описываться формулой
« = §S(2fell)2'CO8OT(^-1)]/'^+^X
li 1
4Z . (2£—1)7СХ . (7k— 1)тсу /on
X Sin ------sin ----- • (32.40)
Задача 5. Колебание круглой мембраны радиуса R
с закрепленным краем. Эта задача решается так же,
как и предыдущая, с той лишь разницей, что для круга
мы будем иметь систему собственных функций (см. § 28,
пример 2)
г ( т г \ .
^2т- Ь п у'П SIH /ПФ,
‘®2т,п
COS /ИФ,
Мм -1, n — ^2w, n
— |Po(Xn)|,
соответствующих собственным значениям X2wt_j n = ^n =
(x™)2 ’
= —, где — корень уравнения Jm (x) = 0. Поэтому
n __________________2____
2w’n
b 2
2m’n ^44 «
_ 2
c2m,n ij' , m
m П (•»)
(m = 0, 1, 2, ..n = 1, 2, ...);
= ^44 («г J .1'F1"C4' i)si"dr'
478 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ь*т~ 1’п ~ я/?2 (4 (х~)]3 / (*" к)sln т<? ds;
(т = 1, 2, ..л = 1, 2, ...).
Будем искать и в форме
и = S {"2 п (Хп д>“) ~Ь
п=о
оо
+ S [^m-i.nCOsin/ra? + w2m, n(0coswo]-0}. (32.41)
Wl=l
щ>т. п (0 — яЛ>3 (хш))3 J J « Jm -0 COS /иср </з
(т = 0, 1, 2, ...);
(тп= 1, 2, 3, .. .).
Для Wfr, п получаем уравнение
ад», П (0 + а2 п (0 = aj<, п
(32.43)
(k = 2т — 1; k = 2т)
и начальное условие Wfc, п (0) = п; w^w(0) = f^n.
Если внешняя сила отсутствует, то ?г=0 и поэтому
xwl
= А1{ cos а Bks\na-^t (k = 2m—1, k = 2m).
аът
Таким образом, числа —являются частотами собствен-
ных колебаний мембраны.
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
479
Заметим теперь, что если начальная деформация, началь-
ная скорость и внешняя сила обладают центральной симмет-
рией (т. е. не зависят от ср), то при k > 0 a*, ni п, Ckt п
оказываются равными нулю. Поэтому равны нулю и все
при £>0, а ряд (32.41) сводится к
оо
и=4S w°>п •
»=0
(32.44)
Этот результат можно было предвидеть, поскольку в этом
случае решение и естественно не зависит от ср.
Рассмотрим снова два конкретных примера.
1. Начальная деформация и внешняя сила отсутствуют.
Начальная скорость /2 сосредоточена в окрестности точки г0, ср0
и имеет суммарный импульс С. Тогда п = п = 0 и
с2т,п— Dlr j' COS/Шр0 (/П — 0, 1, 2, . . .),
1Ут /1
с2т-1,п ~ р2 г И , ««SЛ»(х» ,И?0 (ОТ = 1, 2, . .
Уравнение (32.43) будет однородным. Его общее решение
а^п а*п
в этом случае имеет вид п ~ Аъ, п cos f 4“ п sin *
(k — 2m—1; k = 2m), а начальные условия дадут:
А*’п = 0, В2от_ 1>п == ——Jm sin от?0;
„ 267 Т / 7П Гл \
Вй,”,“^[4Ю1з*:4(Хп
Поэтому
2С , ( т г0\ . • . '
/?)sinzM<PoSm R t
(nt — 1, 2, 3, ...);
_______ 26? r / m rn\ . i
W2m,n ~ (4 (xn)]3x,"‘Jm )cos "l?0 sin (
(m = 0, 1, 2, ...),
480 § 32. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
и по (32.41) решением задачи будет
_ 2С yJ 1 . аЛ
-'ШФ13 sin*
7, ---L-z;->-5-----COS tn (<5 Фл) Sin—н- t
£4 ът \J бЛ]3 V' ‘°7 R
(32.45)
2. Отсутствуют начальная деформация и начальная ско-
рость. Внешняя сила синусоидальна с постоянной плот-
ностью амплитуды: /1=/2 = 0, F = Л sin со Л
При этом Ьк,п = ск,п = О. Внешняя сила обладает цен-
тральной симметрией. Поэтому при А>0 а^п = 0. Вычис-
лим aOf п:
2А sin cot f f г ( о r \ л
°0' ’ - rfHUSP JJ ° T' *) “
4A sin
*2 к (<)ia
0
Заменяя последний интеграл по формуле (32.31), получаем:
_______________________ 4А sin ш/
а°’п~ /> f /ЛЛ •
Vo
Уравнение (32.43) принимает вид
4А
(*п)
sin со/.
Общее решение этого уравнения, если со 7^ — (внешняя
сила не резонирует ни с одной собственной частотой мем-
браны), будет:
t I/
w0>n = C?Jcos -^/-f-C^sin ~p-t —
4А
О
sin со/.
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
481
Начальные условия дадут Сп=0; С'п~
4Л/?а>
Поэтому
и решение задачи запишется так:
§ 33. Применение метода собственных функций к решению
краевых и смешанных задач для трехмерных областей.
Разложение по шаровым функциям
Задача 1. Найти стационарное распределение тем-
пературы в однородном цилиндре радиуса R и вы-
соты Н.
Коэффициент внешней теплопроводности на одном из
оснований цилиндра равен а на боковой поверхности й2,
где — постоянны. Второе основание поддерживается
при температуре Uo. Температура внешней среды равна нулю.
Внутри цилиндра источники тепла отсутствуют.
482 /§ 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Выберем систему координат, как указано на чертеже
(фиг. 83). Температура и внутри цилиндра определяется
(см. § 5) уравнением
Да = О
Фиг. 83.
и краевыми условиями
W |г=о “ UQ,
ди . о I л
—I— 3^ — О,
dz 1 г ]z = H ’
л—г == О,
дг 1 1 ’
где (3 = , 7 = . Собственные
(33.1)
(33.2)
функ-
ции и собственные значения оператора
Лапласа в цилиндре при краевых условиях
— О мы найдем
r=R
trb=o = O; Н-я = 0;
из решения задачи 3 § 28 [(28.55), (28.56), (28.57)] предель-
ным переходом при а—> оо. Получим:
к
где xw и vn — /n-й и /г-й корни уравнений
*J'k (х) = — у/?Jk (х), соответственно, tg Н У v = —
СТАЦ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ЦИЛИНДРЕ
483
Соответствующее собственное значение
(%п У2
> __ у _'У'т) .
1, т, п — ^2к, т, п — “yjio j- vn*
Ищем U в виде
- S Р^Ц’^)+
т,п—1
оо
+ 2 Л ft) (W-l. т. п Sin k<? +
л=1
+ ^>2к, rn, П cos /г®)> sin /чЛг;
(33.3)
^2к, т, п —
° [/ft(xw)J 1+ к 2 2 I
L JL Р +\.
X j j j uJ* (4^Jcosfe<psin|/v^{i;
J (D)
W'Xk—1, m, n—
^2[4(*bi2
J J J Ujk £) sin k<f sin/vnz
J <D}
Для определения n умножаем (33.1) на —Vi, m,n,
m, n
интегрируем по объему цилиндра и применяем формулу (10.2).
Получим:
о =-j-^—
Jvi, mt n
Vi, m, г1д« d? — — ub.Vi, m, n dp -4-
+/-
1Nitw, n * v *-
mt n 3- I
dnl
484 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Последний интеграл по полной поверхности цилиндра
разбивается естественно на три интеграла. Интегралы по боко-
вой поверхности и по верхнему основанию оказываются рав-
ными нулю ввиду (33.2). Если еще принять во внимание, что
Д®;, т,п = — U, т, nVi, т, п, ТО ПОЛуЧИМ:
т, п
1
т,п — ” Т?2
S’, т, п (ej
dz
da,
г—о
где через (Si) обозначено нижнее основание цилиндра.
Отсюда видно, что при i >0 п = 0,
_ U 3 Ч f f °’w,n“2x0;x ’J J 0, tn, n o, tn, n j __ R - fJOI > A72 J u ’ л0, w, n/v0, m, n q T t 0 r\ ( Xwi "d ) — \ /к / ^}fdr. \ K /
Последний интеграл вычисляем на основании тождеств
lxj'o (х)] = — XJo (х) и х^ J'o (х^) = — 7 RJo (х^) И получаем:
W т,п —‘
8^0 ЛЛ(4)
4^(4)]’ я3?2' L (4)2J L, p L . (xD2 , ' /?9 +"”
Мп
(4)4(4) L (4)2J ^2 + \ W 1 L /?2 ”1
Отсюда
ОО
СТАЦ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ЦИЛИНДРЕ
485
Мы имеем здесь случай, когда ряд для решения весьма плохо
сходится вблизи нижнего основания.
Другой способ решения получим, если запишем уравне-
ние (32.1) в виде
— 4-Д
^2 V
и — О,
(33.6)
где Да,, yti — двумерный оператор Лапласа, и будем искать
решение в виде суммы ряда Фурье
ОО
и= 2 Wi, т (г) Vi, т (х, у)
i—О, т = 1
(33.7)
по собственным функциям двумерного оператора Лапласа
dv . I п
с краевым условием у = О.
Эти собственные функции (см. пример 2 § 28) будут:
а соответствующие собственные значения
~ ~ (zw)2
' т *
1, т — т — ~/^2 >
где v-m — корень уравнения x/fc (х) = — yRJk (х). Умножая (32.6)
на —±—V{,m, интегрируя по кругу (Е2) после обычных пре-
Ni,m
образований находим уравнение для wit т (г):
т ~ ~
i№i, w= 0 (33.8)
486 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
и краевые условия
wt, m(0) = ^- [ I
Nf, т (SJ
Из этого видно, чго при I > 0, w2>w = 0. При Z = 0
имеем
^0, т (0) =
=______2£/р
kWoOp И
~ ^(4)K4)’+*V] ‘
Поэтому, как и на стр. 453—454,
®»0, т (z) =
Wyfj-I
Ш) K<)2+*¥]
%0 х°
4 ch (Н-z) + ₽/? sh (Я - z)
_ -
4ch-^//+^sh-g-//
и решение и представится в форме ряда
оо j (ц г )
VI 'ох »» р /
х° х°
4 ch (Н- z) + ₽р sh (Н - z)
X------—~0-----------?-------. (33.9)
^ch-^H+ZRsh^-H
/\ л\
Нетрудно обнаружить, что ряд (33.9) сходится значи-
тельно быстрее, чем (33.5).
Задача 2. Найти функцию, удовлетворяющую внутри
тара радиуса R уравнению Лапласа и принимающую на
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
487
шаре заданное значение f (например, определить электро-
статическое поле внутри шара, если потенциал на его поверх-
ности задан).
Расположив начало координат в центре сферы и введя
сферические координаты, приведем уравнение Лапласа к виду
д f 9ди\ > 1 \ д f . лди\ । 1 д2и] п /оо
ТТН2 “Г -г-п За S1H 6 4- -т—й = 0. (33.10)
дг \ дг / 1 sin 0 \ дО / 1 sm 0 4 7
При г = const, функция и задана на сфере радиуса г, по-
этому ее можно разложить по сферическим функциям в ряд,
коэффициенты которого зависят от г:
\ оо
И = 2 {у "Wn, ° Рп (cos 0) 4-
П = 0
оо
4~ 2 t®'n> 2fc~1 sin й® 4" afc cos А!®] Рп, к (cos 0)}. (33.11)
fc=i
^п, 2к —
2к к
= ~^(лf («Pn,fc(cos6)sin6cosfc®d6d<p,
О 6
2к-1 =
(33.12)
2л л
= + &)!*" J J uPn' к (C0S Sin ° Sin d(?-
О б
Определим сначала коэффициенты wn 0. Умножим (33.10)
2/z I 1 *
на —t-Pn(cosO)sinO и проинтегрируем по 6 от 0 до к и
по ср от 0 до 2it:
2* л
d <>dwn,o । 2« + ! f . Ид/. .ди\п , ft4 ,ft .
Trr + — J .1 dfl (Sin MP"(C0S 0Ив +
0 0
л 2л
2^|-1 f Pn(cos O)d& Г 0 (33.13)
2n J sm 9 J df2 T 47
о о
488 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Преобразуем первый интеграл по 0 интегрированием по
частям:
к
J ^(Sin6fSPn(COS9)d6:=
о
6
= {- и sin 6 |’ и [sin 0 —”] 4/6 } =
0 о
тс
f d Г . л dPn(y,GS 0)]
= J Ms,n9T—r°
о
или ввиду того, что Pn(cos0) удовлетворяет уравнению
[sin О l = — п (п 4-1) Рп (cos 6) sin 9,
2тс тс
2те J J дб Sin 9 Ж ?п (C0S =
о о
2тс к
=—п (п 4~ 1)2п^1 ( [ «Pw(cos9)sin0d6=—/z(B-|-l)wn>o.
b b
2тс
С другой стороны,
d ,dw„ л
Ггг -~d7--------------rt(»4-l)w»,o=O,
или
r2wn. О + 2гЧ, 0 — п (п + 1) ^>П, 0 = °- (33> 14)
Общее решение этого уравнения будет wn,o = Cnr”4-y^7r-
[ |^4/<р = О. Поэтому (33.13) дает
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШАРА
489
Краевое условие для 0 (г) при г —R имеет вид 0 (R) = ап, 0,
где ап> о — коэффициент Фурье в разложении f по сферическим
функциям
0 —
2тс «
2П2~- [ / • Рп (cos 9) sin 6 d§ dv.
b о
(33.15)
Кроме того, и, а значит и wnt вблизи г = 0 должны
оставаться ограниченными. Поэтому Сп = 0 и Сп — •
Итак,
2п к
= (^)” J J fpn (cos 6) sin О d<i d<?. (33.16)
О о
Зная эти коэффициенты, мы можем найти значение и
в точках положительной полуоси z (т. е. при 0 = 0). Действи-
тельно, так как Рп (cos 0) = 1 и при k > 0 Рп,ъ (cos 0) = О,
то из (33.11) получаем:
оо
(33.17)
Пусть теперь требуется вычислить и в произвольной
точке г, 0, ®. Проведем из центра через эту точку луч и
примем его за ось zx новой системы координат. Тогда
по (33.17), (33.15)
(33.18)
2к п
.( ,f/(6!’ ^(costfsinOjdO^, (33.19)
О о
490 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
где f — угол между лучами, направленными в точку г, 6, ср
и переменную точку Этот угол является широтой
в нашей новой системе координат.
Подставляя в (33.19) вместо Рп (cos 7) его выражение из
(29.22), получим:
2ге к
Vo = P»(cos0)^-^ ( J fpn(cos9j)Sindcpj-l-
b b
n
+ 2 2 Pn, k (cos 0) [cos fc® ("+Ы X
n=l
2re re
x/[ fPn, ft(cos01)sin61cos&®i6f6jd'?14-
0 0
2re re
+sin fe? (2n2^+[ J fPn, HcosOJsinOiSinAwjdliid®!^
0 0
n
= a„,0P„(cos9)4-2 5 l««, 2k COS k®
+ Ял, 2&-1 sin &cp] Pntk (cos 6), (33.20)
где ani — коэффициенты Фурье разложения функции f по основ-
ным сферическим функциям
ап,2к
= (T+^j .1 J ^Рп> * (cos 6)sin 0 Cos k<? dii d<?’
'go
an,n-l =
(33.21)
2re re
ft(cos °)sin 6 sin k'^ ® Аъ
7o 0
РАЗЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ШАРОВЫМ 491
Подставляя теперь в (33.18) найденное значение Ьп, 0, по-
лучим формулу
оо п
а (г, 6, ®)= 2||a„j0Pn(cos6)+ 2[an>2)i_1sitiA!» +
я=0 к—1
+ ап> 2к cos й®] Рп> к (cos 9) J (J)", (33.22)
которая дает решение поставленной задачи. Заметим, что
слагаемые этой суммы являются основными внутренними ша-
ровыми функциями.
Точно так же можно решить задачу нахождения гармони-
ческой функции (т. е. функции, удовлетворяющей уравне-
нию Лапласа) вне сферы радиуса R, принимающей на сфере
заданное значение / и ведущей себя на бесконечности как
потенциал Ньютона. Решение будет даваться рядом
оо п
и (г, 0, ®) = 2 { i а». О Рп <C0S °) + S 2fc-1 Sin +
71 = 0 Л = 1*
+ «п, cos *?) Pn, к (cos 0) | (y)”+1, (33.23)
где anti определяются формулами (33.21), т. e. рядом по
внешним шаровым функциям.
Наши результаты можно сформулировать так: гармониче-
ская внутри тара радиуса R функция и, непрерывная
вплоть до его поверхности, может быть разложена в ряд
по основным шаровым внутренним функциям. Коэффициен-
тами этого разложения являются коэффициенты Фурье
значения разлагаемой функции на поверхности шара, раз-
деленные на Rn. Можно доказать, что этот ряд сходится
внутри шара (шар сходимости) радиуса, равного расстоянию
от начала координат до ближайшей особой точки функции.
Точно так же гармоническая вне сферы функция и,
ведущая себя на бесконечности как потенциал Ньютона
и непрерывная вплоть до поверхности сферы, может
быть разложена в ряд по основным внешним шаровым
функциям. Коэффициентами этого разложения являются
коэффициенты Фурье разложения значений функции
492 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
на сфере в ряд по основным сферическим функциям,
умноженные на Rn{A.
Примерами таких разложений могут служить разложения
производящей функции многочленов Лежандра. Подставляя
в (27.13) и (27.16) x = cosy и вместо г, мы получим,
к
разделив на R,
оо
+ (33.24)
со
. ----1--------= y2gi-/> (cos-г) (r>R). (33.25)
У>2_2/?rcosT4-r2 4r»+‘ \) V \ )
’ n = 0
Но, как нетрудно видеть (фиг. 84), VR2—2Rrcos^-}-r2=^rv
где rt— расстояние от точки P(R, 0, <р) до точки А (г, <pt),
Фиг. 84.
а -(— угол между лучами, направленными в эти точки. Как
известно (см. §11, стр. 109),
— является значением в точке А
'1
ньютоновского потенциала точечного заряда, расположенного
в точке Р. Формула (33.24) дает, таким образом, разложение
в ряд по шаровым функциям внутри шара, а формула (33.25) —
вне шара, потенциала точки, находящейся на поверхности
РАЗЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ШАРОВЫМ 493
шара радиуса /?. Формулы (27.18) и (27.19) дают после
р
подстановки х = cos 7 и — вместо г.
/?2 —Г2 2?2 —Г2
г» ~~ [7?2 — 2/?rcosy + r2]s/s
ОО
= 2(2n + l)^-P„(cos7) (г<Я), (33.26)
п=о
Г2 —У?2 Г2—/?2
г® [/?2 —2/?гсозт4-г2]3/2“
00
= ^С^+О-Дг^^П) (г>«). (33.27)
21== О
Эти разложения можно использовать, чтобы придать другую
форму решению (33.22) внутренней задачи. Для этой цели
подставим в (33.18) значения Ьп^ из (33.19):
оо 2тс *
«(G в. У) =* 1 ,[ J/(^)”^n(cosi)sin01</91d<p1.
п = О 0 0
Меняя порядок интегрирования и суммирования, перепишем
эту формулу так:
и (г, 0, ф) =
00
j ,(4^2л+1)(£)"р« (cos 7)jsin91£?61tZ<p1,
о 0 21 = 0
или на основании (33.26)
2я к
ц (г, 0, ?) = у- f Г / ——--------------------------57- sin 0J rfOj d'^ =
4тс J J [/?2 — 2Rr cosy 4- r2] /s 1 1
о 0
2к к
R (* (* R2________r2
tP^-sine4°4?i> (33.28)
0 0 1
где — расстояние от точки (г, 0, ср) до переменной точки
494 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
поверхности сферы, по которой производится интегрирование,
а 7 — угол между лучами, направленными в эти точки.
Аналогичным образом для решения внешней задачи мы
получим формулу
2тс тс
и (г, 0, ф) = -Д | j f---------f-~^2------- sin f) d^,d<o,
4rt ь б i/?2—2;?rcos'f+r21%
2тс tc
R f f ,r2 —«2 . й ,n .
= 4re J J
0 b 1
(33.29)
Формулы (33.28), (33.29), так называемые интегралы Пуас-
сона, дающие решение внешней и внутренней краевой задачи
для сферы, были другим способом выведены в § 16 (см.
формулу (16.8) и (16.14)).
Применим теперь полученные результаты к решению не-
скольких конкретных примеров.
1. Найти электростатическое поле внутри сферы
радиуса R, составленной из двух изолированных друг
от друга проводящих полусфер, заряженных до потен-
циалов их и и2.
Плоскость х,у расположим в плоскости раздела полусфер.
Тогда заданный на сфере потенциал и равен их при О<0
и z/2 при ~ < 0 < тс. Вводя вместо искомого потенциала
новую функцию и по формуле и = и— и2, мы получим для
и все то же уравнение Лапласа и краевое условие u = f
на сфере, где
Z/1 и%
О
Найдем коэффициенты Фурье функции / по сферическим
функциям. Так как f симметрично относительно оси z (не
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ СФЕРЫ
495
зависит от ср), то при k > 0 все tzn#fr==O и остается вычи-
слить ап, 0:
2п к
ап, о = 2п^1 [ | 7Рп (cos 9) sin 0 d0 d<o =
О о
тс
7
= (2«4*O(ai— и2) j Рп (cos 0) sin 0d0 —
о
i
= (2п 4-1) («! — ua) J Рп (х) dx.
О
Для вычисления последнего интеграла подставим в него
вместо Рп(х) его значение из (27.5):
1
/ ч 2п 4-1 1 dn / о 1 ,
ап, о ~ (а1 2п • п\ j ~dx™ 1) dx =
о
= 22^!1/x»-i(x2-1)Wi («1~иа)-
о
Но п — 1-я производная от (х2—1)п содержит множитель
(х2—1) и поэтому при х=1 равна 0. Следовательно,
__ 2п -j-1 dn~i , п 1 ч I , ч
ап, о 2T4i\ dx™-1 (Х 1) (U1 а^'
Значение многочлена в точке 0 равно его свободному
члену. Свободный член многочлена ^хП_1(х2—1)п получается
п — 1-кратным дифференцированием того слагаемого из
(х2—1)п, которое содержит xn~!. Так как (х2—1)те содер-
жит только четные степени х, то при четном п (нечетное п—1)
свободный член в Д (х2—1)те, а значит, и ant 0 равны
496 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
нулю. При нечетном п в разложении (х9—1)« имеется сла-
п~Н1
гаемое / п \(—1) 2 х™-1 и, следовательно,
I п — 1 I
\ 2 /
а -(-(2«+1)(«-1)! , и .
"’° ( 2»/П — 1\1/п + 1\рИ1“2)-
U М 2 /
Таким образом,
zv л. /V < 1Am-i (4/72 — 1) (2m — 2)! , ч
а2т, о а2т-1, 0 3 ( 0 __l)!//?!
и искомый потенциал представится в виде ряда
и = wa~j-zz = z/2-{~
со
2. Обтекание шара безвихревым стационарным пото-
ком несжимаемой жидкости, который вдали от шара
имеет постоянную скорость
Направим ось z параллельно вектору и начало коор-
динат расположим в центре шара. Как известно (см. § 6,
стр. 59), безвихревой поток несжимаемой жидкости характе-
ризуется потенциалом скоростей и, удовлетворяющим уравне-
нию Лапласа А// = 0. Скорость потока v = grad и. Так как при
обтекании шара на его поверхности скорость частиц жидкости
направлена по касательной к шару, то на этой поверхности
= 0. Однако непосредственно применить для отыскания
потенциала разложение вида (33.23) нельзя, так как и на
бесконечности ведет себя не как ньютонов потенциал (гра-
диент его стремится не к нулю, а к я0). Поэтому введем
новую функцию и = и — | \z (| I z — потенциал скоростей
равномерного потока); А// — 0, а на поверхности сферы
ди
дг
=- I *ol Й = -1 *0 I c°s 9 = -1 I Pl (cos °)- (33-30)
r—R иг
ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПОТОКОМ
497
Кроме того, и ведет себя на бесконечности как ньютонов
потенциал, поэтому можно искать решение в форме ряда (33.23).
Ввиду наличия в потоке осевой симметрии все ап, к при
k > 0 равны нулю. Для определения коэффициентов ant 0
подставим (33.23) в (33.30). Получим:
оо
— I 1 (cos 0).
откуда а0> 0 = 0, ап> 0 — 0 (// > 1), ait 0 = R | ®0| и окончательно
« = I *о 17^1 (cos 6) = I I § cos 6 = | v01 (у-)3 г,
«==« + 1®0|г = 1®0|^|§-’+ 1]-
3. Найти потенциал окружности радиуса R, равномерно
заряженной с плотностью заряда р.
Расположим кольцо в плоскости х,у и начало координат
поместим в его центре. Введем сферические координаты. Как
мы знаем из главы II, искомый потенциал в точке (г, 6, ср) равен
2л
и (г, 0, ср) = р/?
о
где гг—расстояние точки (г, 0, ср) до переменной точки
, <р^ на кольце. Нетрудно подсчитать, что rt =
= У7?2— 2Rr sin 6 cos (ср — cpt) г2 и поэтому
2л
и (г, 0, ф) = pR Г — - — -----.
J YR2 — 2Rr sin О cos (p— <f>i)+r2
(33.31)
Этот интеграл при произвольном 0 — эллиптический и
через элементарные функции не выражается. Но при 0 = 0
или 0 = (т. е. в точках оси кольца)
2л
и (г, о, <?) = и (г, л, ф) = pR f (33.32)
498 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Чтобы найти потенциал в других точках без применения эллип-
тических интегралов, поступим следующим образом. Потен-
циал я, как известно, удовлетворяет уравнению Лапласа во
всех точках, кроме точек окружности (С). Так как он, оче-
видно, обладает осевой симметрией, то внутри сферы ради-
уса R он может быть представлен рядом
и (г, О, ?) = 2 (£)" Рп (cos 0) (г <
П=>0
а вне ее — рядом
«О', е> (т)”*1 (cos °)
п=о
(г>®,
где коэффициенты аП) 0 подлежат определению. В частности,
в точках оси z при 0 = 0, г < R мы получаем:
00
«(^о.?)=2 V®”- (33-33)
n = Q
Но в этих точках и выражается формулой (33.32). Правую
часть ее можно разложить при г < R в степенной ряд:
и (г, 0, ?) = 2яр £ (- 1)* 2^7 ИТ • <33-34)
Сравнивая (33.33) и (33.34), получаем ^2ft-1>0 = 0,
а2к, 0 = 4кр ( l)fc 2*L (£|)2
и, таким образом,
«(6 0, <Р) = 2irp (— 1)* P2ft (cos В) (г < Я),
А'=0
«в, <р)=4-тгр 2 (— 1)* ат*1 р*к (c°s °)
к=0
ПОТЕНЦИАЛ ОКРУЖНОСТИ
499Г
4. Найти электростатическое поле, образованное за-
рядом е, расположенным на расстоянии а от центра
проводящего тара радиуса R (а > R), а также плотность
индуцированных на поверхности этого шара зарядов.
Расположим (см. фиг. 85) начало координат в центре шара
и ось z направим через точку Р, в которой расположен
заряд. Введем сферические координаты.
Потенциал и поля можно представить в виде суммы двух
потенциалов и = их Ц- где ui — потенциал заряда е, рас-
положенного в точке Р, а и2 — потенциал зарядов, инду-
цированных на поверхности шара.
Согласно (33.24) и (33.25) их внутри
сферы радиуса а может быть пред-
ставлен рядом
оо
“i = 22^-Pn(cosO), (33.35)
/i=0
а вне ее — рядом
00
“i = e27Srpn(cose). (33.36)
п=о
Что касается и2, то (ввиду осевой симметрии поля) он
может быть представлен внутри сферы радиуса R рядом
оо
^2= 2
а вне ее — рядом
“« = Z i ап,о(у)4^ Р” <C0S
п—0
(33.37)
(33.38)
где коэффициенты ап>0 подлежат определению. Но внутри
шара радиуса R суммарный потенциал « = «14-«а постоя-
нен (и = С) (шар проводящий). Поэтому из (33.35) и (33.37)
мы получаем 1й)1>0 = -е±- (я > 0); 1Я0)0=С—
500 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
где С пока остается неопределенным. Подставляя эти коэф-
фициенты в (33.38), мы найдем вне шара радиуса /?.
Поэтому в слое между сферами радиусов R и a (R < г < а)
мы имеем:
оо
и = [(с- £) 4 + у] + е X Р” "1 —, (33.39)
Л=1
а вне сферы радиуса а
ОО
M = + + <33-40)
П = 1
е7?
Отсюда получается lim (tir) = CR-----------[-е. Но из § 12,
Г->00 а
стр. 128, известно, что этот предел равен суммарному за-
ряду е, имеющемуся в поле. Поэтому
а
(33.41)
Таким образом, потенциал поля найден.
Чтобы найти плотность индуцированных зарядов, образую-
щих на поверхности шара простой слой, вычислим нормаль-
ную производную потенциала на сфере радиуса R по фор-
мулам (33.39), т. е. внешнюю нормальную производную
ди
дп
.30
= s 2 (2n + 0 Srr pn (cos 0).
n — \
Так как потенциал внутри шара постоянен, то внутренняя
нормальная производная на сфере равна нулю. В § 13 было
установлено, что плотность простого слоя равна разделенному
на —4тг скачку нормальной производной потенциала;
ЭЛЕКТРОСТАТ. ПОЛЕ ЗАРЯДА, ИНДУЦИР. НА СФЕРЕ 501
следовательно, искомая плотность р зарядов на сфере будет:
оо
P = -iS(2«+1)^1^(c°se))
и==1
или на основании (33.27)
_____________ Iе е л2 —
Р *" 4iw/? ~ 4л/? (/?2 —2я/? cosfl + a2)3/= '
Задача 3. Колебания газа внутри сферы с твердыми
стенками. Радиус сферы равен R.
Расположим начало координат в центре сферы и введем
сферические координаты.
Как известно из § 3, уплотнение и газа удовлетворяет
уравнению
—а2Ди = 0. (33.42)
На поверхности сферы скорость частиц газа ф направлена
по касательной к сфере, а так как (см. § 3)
4^-a2 grad м = 0,
то
ди 1
дг 'г=Я
= 0.
(33.43)
Кроме того, при / = 0 задано распределение уплотнений и
и скоростей ф^ а так как (см. стр. 40) 4“ div ф — 0, то
начальное условие имеет вид
“!<-»=< (33.44)
где /9=----div г» |f=0.
Соответствующая этой задаче задача о собственных зна-
чениях с уравнением Д«-[-Х« = О и краевым условием (33.43)
502 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
на поверхности сферы была решена в § 29 (в нашем случае
коэффициент «у равен нулю).
В соответствии с полученными там результатами собствен-
ными функциями будут:
^о,о,о = Ъ
иш, п, 0 — 2 у- Jn+ 1. 2 —) Рп (cos 6)
(n = 0, 1, 2, ..т= 1, 2, 3, ...),
Чт,п,2к-1 =^= J+1 ^»,ft(cos 9) sin fcp,
(33.45)
“т,п,2ft = 77=44-1 (х« ^W,fc(cos6)cos^
у Л '•"Г о ' *Х '
(я = 0, 1,2, /я = 1,2......... k = \,2,...\
Их нормы равны
%, 0.0 = /
(я = 0, 1, 2, ..т — 1, 2, 3, ...),
М», п, 2ft-1= Nm, п, 2ft —
D ।, t »+4\г, Г п(«+^)! г. _ я(«+о
= Л!|4+1ДХ™ Л |/ (2я4-1)(я-й)1 Л«+|\3
(n =;0, 1,. 2, ; т = 1, 2, .3, ... k = 1, 2, . ...
КОЛЕБАНИЯ ГАЗА ВНУТРИ СФЕРЫ
503
а соответствующие собственные значения (каждое кратности
2л1)
/ . 1 \2
^о,о== 0, ^2 (33.47)
(т — 1, 2, ..л = 0, 1, 2, ...),
где xw 2 —/л-й корень уравнения
Ч+1(х)_4/я+1(х)=0' <33-48)
Вычислим коэффициенты Фурье функций f1 и /2 по функ-
циям системы (33.45)
i = f f f fdp,
n,{ J J
co,o,o = 7^—f f | I I divMH =
2V 0,0,0 J J iV 0,0,0 J J
=______1
N°’°’q (X)
и будем искать решение нашей задачи в форме ряда Фурье
(33.49)
(33.50)
оо оо 2п
й=<ге,о>.о,оЧ“2 2 2 (33.51)
т = 1 и=0 ft=0
где
WTO, П, i (0 = ту----f f f a um,n,i d^. (33.52)
n, i J
Для определения умножим (33.42) на —---------------uWtn,i
n, i
и проинтегрируем по шэру (D). Получим:
.......
504 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Применяя к последнему интегралу формулу (10.2) и при-
fl г е\
нимая во внимание, что на сфере = 0, получим:
dt2
^772 111^ nf ъ dy* —' 0)
N™> n.iJ j
или, так как &ит> n,i = —' XWi
, i
d%w (% )
u n, г I u /
dt* ‘ /?2
Отсюда
W 0,0 = A), 0, 0 ^4" A, 0, 0»
a’ a +
n, i — A hi, n, i COS J t
n, i n, ii
^wQt 0, 0 q
dt-
Ww,nti = Q (W>0).
, 1
v n n 4- —
HA^sin^x/ 4. (33.53)
Из (33.49), (33.50) получаем начальные условия для
^т, п, i (О»
^т, п, i (0) — bm i1lt i;
dww, n, i (0)
dt
Ст, п, it (33.54)
откуда
д’ _____ l л" n л" ^Cm, n, i
n, i — n, i9 ^0, 0, 0 = 4), 0, 0 = v, n> i =-----—
п+т
a*W
И
W о, о = bot о, о»
• a f
n, i — n, I COS v>m J t -j~
D n П4- —
4 p cWt n,i sin 77 x 2 Л (33.55)
a*in
КОЛЕБАНИЯ ГАЗА ВНУТРИ СФЕРЫ
505
Следовательно, решение нашей задачи дается рядом
и — о, о +
+ уу j 2* ?п (C°S S w’ 2*"“1 S*n
w==lw=0 k—1
+bm, n.M COS &?] Рп, к (cosb)} Jn+J^m+r£)C0S £ X»»+T/+
CO co
2 2{fT!p.<-4+
m — l n=>Q
г 2 (c»«.«.ал-lSinfe<p +
A-=l
. a ”+|
+ с}и,»,2ЛСО8Аф]Ри,й(СО8 0) }• Л. + 1ДХ«» Rj „+_L
(33.56)
Заметим, что если начальные условия обладают осевой
симметрией (т. е. Д и /2 не зависят от ср), то все Ьт, п, г
и ^т, n.i при f>0 оказываются равными нулю. Если налицо
центральная симметрия, то равны нулю все Ьт, п, й Ст,п,ь
при i >0, п > 0, и ряд (33.56) сводится к
« = *0, о, о + ^4^ 2 Ьт, о, 0<£ (х,2и cos-£ хД 14-
У т — 1 -
1
506 § 33. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
2
— sinx, к
лх
U = ^0, о, о
7? Y sin
2л
m=i
W.o COS (х 2
х2
т
R
Ст, о, о sin (х2
аъ2
2
Величины х^ определяются из
при п — 0 можно придать вид
уравнения (33.48), которому
tgx = x.
(33.58)
Пусть для конкретности tfo = O; /i = 50^l —Тогда
Д = 0, cW} пf1( = 0 для всех значений индексов; bWi Л = О
при п > 0 и ’
b — —•
^о, о, о — 4 >
Следовательно, решение и будет иметь вид
-12 1 1
т\ . / “2 * \ at\
+ (-1) sin(WjC0SVm^“?
СПЕКТР
507
§ 34. Метод собственных функций в случае
сплошного спектра
Как мы видели из примеров, разобранных в предыдущих
параграфах, в задачах о колебаниях собственные значения
оказываются пропорциональными квадратам собственных частот
колебательной системы. Совокупность всех собственных зна-
чений называют спектром задачи.
Спектр удобно изображать графически, нанося на ось со
(мы начинаем с одномерной задачи) значения соп = ]/Хм. Каждой
точке спектра соответствует своя собственная функция. Поэтому
в ряде Фурье суммирование производится по точкам спектра.
В настоящем параграфе мы рассмотрим явления, которые
могут возникнуть, если длина основного интервала I беско-
нечно возрастает, причем ограничимся случаем оператора
L\u\ = u" и веса р = 1. Из формулы (26.15) видно, что при
больших номерах п точки спектра располагаются на примерно
одинаковых расстояниях друг от друга, равных у. Следова-
тельно, при I -» оо эти точки сгущаются, стремясь в пределе
заполнить всю положительную полуось ш. Поэтому следует
ожидать, что ряд Фурье по отдельным собственным функ-
циям, соответствующим отдельным точкам спектра, в пре-
деле должен перейти в интеграл по функциям, зависящим от
непрерывно меняющегося параметра ш.
Пусть /(х) задана на положительной полуоси х. Рассмо-
трим интервал (О, Z) этой оси и ортогональную на нем си-
стему собственных функций (26.18)
sin(<Bnx + <p„)
с нормами
Числа о>„ = ]/Хп определяются из уравнения
(см. (26.14)), а
где
. (<о) = arctg У
508 § 34. случай сплошного спектра
(см. (26.17)), так что
sin ф (оо) = —=^=-, cos ф (со) = —--.
У -f- a2 j/ <о2 -у
Напомним, что все функции этой системы удовлетворяют
краевым условиям:
I л du . 0 | л
------аи\ =0, -з—три = 0.
&х !я?=о &х
На интервале (0, /) функция /(х) (если она удовлетворяет
некоторым весьма общим требованиям) может быть предста-
влена рядом Фурье
/ (X) = 2 «»sin (<о„х 4-<ря), (34.1)
?1 = 1
где г
“п ==--------, й , A? ,-R;' '• I /(•*) sin [v + ф К)]dx- (34-2)
(°Ф + <>„) (« + Р) $
(а“* -|- ш2) (р2 + ш2)
Полагая теперь у = Доо, введем еще следующее обозначение:
I) =
i
= Т ------(ар/ю2)(а + Ё)- J/ (*) sin [шх + <р (ш)] dx. (34.3)
1 + (а2 -j, q)2) (fjj2 ш2) О
Тогда (34.1) перепишется в виде
со
/(х) = 2 Рч (“га> 0 sin [шпх 4- <р («>„)] Дш. (34.4)
п=1
Нанесем на оси о, начиная от точки О, интервалы длины
Дю = у. Из (26.15) видно, что число лежит в n-м интер-
вале Да)п и сумма (34.4) имеет вид интегральной суммы для
интервала (0, оо) оси w и функции /)sin [оох-]-?(<*>)]•
Чтобы от этой суммы перейти к интегралу, нужно совершить
предельный переход при Доо—> 0, т. е. при Z—>оо, а это и
есть интересующий нас предельный переход. Трудность осу-
ществления этого предельного перехода заключается в том,
что интервал интегрирования в данном случае бесконечен и
один из сомножителей подинтегральной функции, а именно
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
509
Fa(y), Г), сам зависит от / как параметра. Тем не менее, как
можно доказать, этот предельный переход от суммы к инте-
гралу с одновременным переходом к пределу в функции
Fa(w, I) законен, если выполняются некоторые предположения,
о которых речь будет итти ниже. Таким образом, мы будем
иметь соотношение
оо
/ (х) = ( Fx (ш) sin [a>x + ф (a>)J =
о
I с / \ a sin сох + ш cos их , /о л
= И«(“)--------7==^------(34.5)
•' у а*5 -4- и<*
О к I
где
• оо
Fa (со) =» lim Fa (со, I) — — f/(x) sin [сох ср (со)] dx =
Z->oo " J
ОО
=2f/(X)asin^±Mos^^. (34.6)
Функция /^(оо) называется спектральной функцией функ-
ции /(х), а интеграл (34.5) — интегралом Фурье по функциям
sin [шаг -f- ср(оо)].
Обычно вместо строгого обоснования предельного пере-
хода, описанного выше, доказывают непосредственно спра-
ведливость формул Фурье (31.5) и (34.6). Таким образом,
устанавливается теорема: Если функция f(x) на каждом
конечном интервале удовлетворяет условиям разложимости
в ряд Фурье и, сверх того, абсолютно интегрируема на
полуоси (0, оо), то интеграл Фурье ее сходится при лю-
бом х>0 к функции f(x). Если f(x) непрерывна и удовле-
творяет краевому условию
то интеграл (34.5) сходится равномерно1).
х) Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и инте-
грального исчисления, т. III Гостехиздат, 1949. стр. 631—640. Док-во
интегр. формулы Фурье непосредственным предельным переходом
опубликовано недавно в книге Б. М. Левитана, Разложение по
собственным функциям, Гостехиздат, 1950.
51G § 34. случай сплошного спектра
Чаще всего интегральную формулу Фурье приходится при-
менять при а = 0 и а = оо. При этом, / \ тс <?(«>) = - и ср (ш) = о, и мы получаем косинус-интеграл Фурье соответственно,
00 / (х) = J Fo (ш) cos <ох d<a, 0 ОО (34.7)
Рс (ш) = ~ / (х) cos шх dx, 0 и синус-интеграл Фурье (34.8)
ОО / (х) = J F8 (<d) sin (dx (/<d, 0 oo (34.9)
Fs (<o) = 4 (x) sin шх dx. 0 (34.10)
Пусть дана четная функция /(х), определенная на всей
оси. Тогда формула (34.7), выведенная для х > 0, оказывается
верной для всех х, ибо обе ее части суть четные функции.
Аналогично, если на всей оси задана нечетная функция, то
формула (34.9) справедлива для всех х.
Пусть теперь /(х)— произвольная функция, заданная на
всей оси (и удовлетворяющая условиям сформулированной
выше теоремы). Обозначим через /j(x) и /2(х) следующие
две функции:
AW =4 {/(*)+/(-*)},
/9(*)=4{/(*)-/(-*)}.
ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
511
Очевидно, что Л(х) — четная, /2(х)— нечетная функция, и
/(х)=Л(х)+/2(х).
В соответствии с только что сказанным для всех х спра-
ведливы равенства:
оо
/1 (*) = J ?е (®) cos
о
ОО
/2 (Х) = J ^8 (°°) sin
О
И
оо
/ (х) = J {Fc (со) cos оох (°°) s^n <»*} (34.11)
о
где
00
Fc(®) = J/x (*)cos °>х dx =
о
оо оо
COS а>х dx§ f (— х) COS <0Х dx
0 0
оо —оо
cos (ox dx — J / (х) cos (ox rfxj j
о
о
ОО 00
' = 7 [ j* f (х)^аюх^х— J/(—x)sin®x
о о
ОО —-ОО
= -i- |*/ (х) sin <ох dx — J f (х) sin wx dx
b о
512
§ 34. СЛУЧАЙ СПЛОШНОГО СПЕКТРА
или окончательно
со
— оо
cos шх dx,
Fs (ш) = JL (х) sin шх dx.
(34.12)
Формулы (34.11) и (34.12) дают интегральное предста-
вление Фурье функции / (х), заданной на всей оси. Заметим,
что /^(ш)— четная функция от ш, a F8(w)—нечетная. Эти
формулы иногда записывают еще в другой форме. Для
этого введем комплексную функцию
оо
F (ш) = -1 {Гс (ш) - IFв (оо)} = ± (х) e-^dx.
—оо
Тогда (34.11) можно будет записать в виде
со
П иоа? । -tex tex о- texп
F„ (<о) -----4- Fr (<о) ----] dv ~
О
оо оо
=4 [ J J «-^{г0(®)+^8(®)</®]=
о о
со —оо
=4[f e<™{Fc(v)-lFg(v)}dv-J e,u)a,{Fc(<o)-ZFe(a>)}da>] =
О о
ОО
= j* F (<o) eiwx dv
Итак,
f(x)= J F(v)eiu,xdv, (34.13)
oo
jf^e-^dx. (34.14)
ПРИМЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ 513
Формулы, приведенные в этом параграфе, можно толко-
вать как разложение произвольной функции по простым
гармоникам с непрерывным спектром частот.
Полезно иметь в виду, что для четных и нечетных
функций, заданных на всей оси, формулы представления
Фурье сводятся к (34.7), (34.8) или (34.9),“(34.10) и что
если функция задана только на полуоси, то она может быть
представлена различными интегралами Фурье (при различных а).
Рассмотрим несколько примеров.
1° Представим функцию
fix) = е
(-p + iq)x
где р > 0, на полуоси интегралом Фурье вида (34.9). Спек-
тральная функция
со
F(<b) = — f e("/'+!?)a’sinwxdx==
7 7C J
0
co
= -L f e{-p i*?)® _ e-1'",!C) dx =
rd J ' 7
0
co
= JL Г Li-p+Utf+uoi»_________
ttl J ' I ~
0
=J_I__________I_______________1_____1=
W LP —'(? + ») ?—<(? — ") I
__ 2o> (p2 — g8 -I- w2) Ц- 2tpq
К (p2 — #2 “H w2)2 + 4j02^2 ’
Итак, для x > О,
co
A f (р^—я^+^+^ря
~ Я (p* —q2 +<»*)* +4р^
0
co sin cox flfoo.
514 § 34. случай сплошного спектра
Отделяя действительную и мнимую части, получим для х>0:
— ©•В 2 [ -О)2 . .
е ** cos qx = - J “ S1” mX (34 •15)
b
oo
e-px sin qx = J {p2_q2^r^4p^sin°>x(34• 16)
b
Подобным же образом по (34.7) получим, чтц для х > О
е " рх cos qx = — f .-2 р ? 2cos ®х (34.17)
я J (р2— + <°2)2 + 4p2q* ’ 4 7
о
оо
е~рх sinqx = — [ , 2 2 » cos®х(34.18)
r * J (Р2— Q2 +w2) + 4p2q2 v 7
Легко изменить эти формулы так, чтобы они были пригодны
при любом х. Так, например, формулы (34.16) и (34.18)
следует записать так:
sin qx = Г — ш - sin <охdco, (34.16х)
~ J (р2—q~ + w2)2 + 4/??^2 ’ 4 7
о
со
e“/'l'rlsin9|x| = [ 2 р^2j?,Лп> cosюхrf(0- (34.18')
4 1 * 7i J (р^—q^-f--j-4p^qz v '
о
2° Пусть /(х) равна 1 при 0 < х < х0 и равна О
при х > х0. Представим ее в виде интеграла Фурье. Со-
гласно формуле (34.6)
Я?о
2 f
Fa (со) = — sin [сох -f- ср (<о)] dx =
о
= — {C0S ? (®) — cos [«>х0 4- <Р («>)]}.
ПРИМЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
515
Но
. s ш , ч a *z\ <•>
tg?(«>) = -, соз?(<ь) = у==, S!n®(«)«^==.
Поэтому
„ z х 2 а (1 — crs (oxn) -|- to sin <dx0
* а W if я । Ч ‘
теш у ad 4*
Следовательно, по (34.5)
оо
ч 2 Г а (1—COS а)Х0)+а) Sin.cDXn , r . z ч_ .
/(*)=- -----------^-VT—Я---------°-sin[®x+»(«>)]rfx=
к J co у а2 4- со2
О
оо
2 Г а (1 со8 <oXq)4-<» sin gjn (DX440 cos сох] dx.
те J а> (а2 4" с°2)
О
(34.19)
3° Пусть f(x) задана на всей оси, равна 1 при |х| <х0
и равна 0 при |х|>х0. Представим ее интегралом Фурье.
Так как f(x)— функция четная, то можно воспользоваться
формулами (34.7), (34.8). Найдем, что
Я?)
„, х 2 f , 2 sin о)Х0
F (ш) = — I cos <ox dx =-----------------------,
v 7 те J те w ,
о
и, следовательно, для всех x
оо
sin (DXft COS O)X ,
---------у----------d<o.
CD
0
Ж-1
(34.20)
Переходим к двумерной задаче. Рассмотрим оператор Ди
в бесконечной области О^х, с краевыми условиями
ди
Их
аи| =0,
1л?«=о ’
ди
Пу
''I,-.-"'
516 § 34, СЛУЧАЙ СПЛОШНОГО СПЕКТРА
Беря за основу систему собственных функций для прямо-
угольника, разобранную в примере 1 § 28, мы можем произ-
вольную функцию в этом прямоугольнике представить двойным
рядом Фурье (ср. стр. 459). Увеличивая теперь неограни-
ченно стороны а и b прямоугольника, мы точно так же, как
на стр. 508—509, придем к представлению произвольной
функции /(х, у), заданной в квадранте х^>0, у^>0 и абсо-
лютно интегрируемой в нем, двойным интегралом Фурье:
f(x,y) = (34.21)
ОО оо
= ( (“1» “a)sln [<М+<Р« (°>i)Isln К.У -HtW] • d<°i d<°2>
О о
где cog) — спектральная функция, вычисляемая по
формуле
Fу= (34.22)
оо оо
= J J fix, у) sin <Р« ((Oj)] sin [<o2j -f- <pT (<u2)] dx dy.
0 0
Если функция f (x, у) задана во всей плоскости, то, подобно
тому как это было сделано на стр. 509 для одномерного
случая, мы получим двойной интеграл Фурье в комплексной
форме:
f(x, у) = J J* «а) ? d^ dv3, (34.23)
—00
00
F(“i, “а) = 4^2-J fa, у) е~{dxdy. (34.24)
—оо
Точно так же могут быть выведены трехмерные инте-
гралы Фурье для представления функций от трех перемен-
ных, заданных во всем пространстве, или в одном (или
нескольких) октантах.
Отметим еще, что для некоторых других операторов
(например, для оператора (хи)-----— и при весе х, связан-
ного с цилиндрическими функциями) при стремлении длины ин-
тервала I к бесконечности спектр также сгущается и становится
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛ
517
сплошным и также могут быть выведены интегральные
представления функций, заданных на всей оси или на
полуоси.
Покажем теперь в общих чертах схему применения инте-
гральных формул Фурье в математической физике.
Пусть дано уравнение
д&и 1 л ди I п д2и _* /п л
(34-25)
начальные условия при /=0 на полупрямой х>0 и крае-
вое условие
—----8#| =х(0-
дх Ь=о /ш 7
Мы предполагаем, что правая часть уравнения и функции,
входящие в начальные условия, удовлетворяют условиям пред-
ставимости в виде интеграла Фурье. В частности, они должны
достаточно быстро убывать при х->оо. В случае гиперболиче-
ского уравнения отсюда уже следует (так как такое уравнение
описывает процесс, распространяющийся с конечной скоростью),
что при любом постоянном t решение задачи и (х, t) также убы-
вает при х -> оо и представимо интегралом Фурье. Если а = О,
Р>0, т. е. в случае параболического уравнения, то, чтобы
сделать задачу корректной, следует, как уже указывалось
на стр. 77, еще наложить некоторые условия на поведение
функции при х -> оо. В качестве таких условий обычно
берутся требования и -> 0 и -> 0 при х -> оо так, чтобы
функция и(х; t) и ее производные были абсолютно интегри-
руемы при каждом фиксированном t.
Итак, при каждом t искомое решение можно представить
в виде интеграла Фурье. При этом естественно в качестве
величины а, фигурирующей в интеграле Фурье, взять коэф-
фициент 8 из краевого условия задачи (если краевое условие
имеет вид u\XzsQ = y{t)9 то берем синус-интеграл Фурье).
Чтобы найти решение по формуле (34.5), нужно найти
спектральную функцию /3’(<о; t) (зависящую от t как от пара-
метра). Для этого умножим уравнение (34.25) на
2
—sin [wx +
518
§ 34. СЛУЧАЙ СПЛОШНОГО СПЕКТРА
и проинтегрируем его от 0 до оо:
СО ОО
а 4 J "Жsin 1<вх+<“>1dx + ? 4 f sin 1дах + *Р» (®)1dx +
0 b
CO oo
+ 7-7} «sin [o>jc<ps(a>)J dx — a2-^- f |psin [cox-j-%(®)Jdx=
6 0
00
=4 Jfsin i“x+hidx- <34 •26)
&
Но на основании (34.6)
co 00
7 J -77г sin [<»x + ?8 («>)] dx => [4 Г и sin [<»x+<p8 (“)1 ^1=
0 6
_ d*F(<»,t)
dt* '
co 00
~ |* —r sin [cox-j-?$(«&)] dx = J* sin [<ox -j- % (<*))] ^1 =
b о
_dF(a), t)
dt ’
Четвертый интеграл дважды проинтегрируем по частям:
41 тйsin 1<ох+dx
6
= 7 { 77 sin [“« + % (ш)1 — “и cos 1юх + Фе (“)1} |“ —
оо
2 f
— со2 • — и sin [а)х + (<°)] dx. .
о
Но при х->оо и и стремятся к нулю. Кроме того,
ОХ
tg.?8(<°) = V.
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛ
519
а при х = 0
-£-=«“ + х('У
Поэтому
оо
~ J йsin 1<ох+?8 dx=
О
=I {Lo c°s ~ Lo sin w} -w2F w=
= - - sin <?s (®) x (0 — o»2F(o>) = — - —f=== X (0~^F(<°)
тс я у (i) +
(если краевое условие было uxZ=^ — 7(t) и применялся синус-
интеграл Фурье, то
оо
— f sin dx = — (о 7 (f) — <o2F (w)).
л J Эх2 тс А v 7 4 77
о
Обозначая еще спектральную функцию правой части уравне-
ния через Ф*(М), мы получим из (34.26) такое обыкновен-
ное дифференциальное уравнение для функции F((d, /):
« + ₽ 77 + +aW = ф* * V>- (34 •27)
dt2 dt л у -у oJ
Так же как в § 30, из начальных условий получим началь-
ные условия для функции Г. Найдя из (34.27) и этих на-
чальных условий F(<o, f), мы по (34.5) получим решение
нашей задачи.
Аналогичным образом можно решать задачи на всей оси,
или во всем пространстве двух или трех измерений. В этом
случае при интегрировании по частям все проинтегрирован-
ные слагаемые выпадают. С ледует заметить, что если уравне-
ние и краевое условие однородны, то подинтегральная функ-
ция в интеграле Фурье является частным решением дифферен-
циального уравнения — стоячей волной, а сам интеграл есть
результат наложения таких стоячих волн.
В следующем параграфе мы проиллюстрируем примене-
ние этой схемы на ряде задач.
520 § 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В БЕСКОНЕЧН. ПРОСТРАНСТВЕ
§ 35. Уравнение теплопроводности в бесконечном
пространстве и другие задачи в бесконечных областях
Задача 1. Одномерное уравнение теплопроводности
(см. § 5)
ди Qd2u z /о-
^i — a = (35.1)
где а2 = -^, a k, с и р — постоянные, описывает процесс
распространения теплоты в однородном веществе, заполняю-
щем все пространство, при котором в каждый момент вре-
мени температура имеет в любой плоскости х = const. одно
и то же значение и(х; /). Источники теплоты, расположен-
ные в пространстве, имеют плотность g(x; f) также одина-
ковую в любой плоскости х = const. Начальное условие
= 0 =/(х), (35.2)
где /(х) задана на всей оси х, дает начальное распределение
температуры, постоянной в каждой плоскости, перпендику-
лярной оси х.
Мы предполагаем, что функции /(х) и g(x\ t) убывают
при х -> оо так, что они абсолютно интегрируемы на всей
оси х. Наложим на искомое решение еще одно — физически
совершенно естественное— условие, а именно, потребуем,
чтобы при х-^оой и^ стремились к нулю, так, чтобы и,
ОХ
ди д2и ,
dF и 5^2 были абсолютно интегрируемы на всей оси х (при
любом постоянном /). Это условие играет роль краевого
условия. Без него, как показал А. Н. Тихонов, задача (в отли-
чие от задачи Коши для гиперболического уравнения) может
иметь не единственное решение.
На основании изложенного, решение и (х; t) при любом t
можно представить интегралом Фурье:
со
и (х; /) = J F (ш; t) е™х (35.3)
— 00
где
со
F (ф; /) = f и (х; /) dx. (35.4)
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ВСЕЙ ОСИ 521
Чтобы найти спектральную функцию F (х; умножим (35.1) на
и проинтегрируем по всей оси. Тогда
_L fdX______________L ( —
2k J dt e aX 2k J dx*e aX
— co —oo
oo
= 2^ (35.5)
— 00
Ho
oo oo
_L t)±
— oo —oo
(последнее получается двукратным интегрированием по частям
с использованием условия и -> 0, -> 0 при х -> оо).
Обозначая спектральную функцию правой части уравнения
через 0(ш;/)
оо
G (ш; t) = ± I* g (х\ 0 е*™ dx, (35.6)
—оо
мы приведем (35.5) к виду
(35.7)
Кроме того, из (35.4) и (35.2) получается начальное условие
для F, а именно:
оо
F(ш; 0) = ± j f (х) dx == Ф (со), (35.8)
— 00
где Ч? (<о) — спектральная функция / (х).
Решением уравнения (35.7), удовлетворяющим условию
(35.8), будет:
t
F(<o; t) = V(<й)е~а'^ + f 0(в>; т)dt« (35.9)
522 § 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ в бесконечн. пространстве
Таким образом, решение нашей задачи по формуле (35.3)
будет иметь вид
и
t
e-awt |*G(<o; т)^“а2и)2^-т)^т|^Ъж^(о==
6
== ut (х; и2(х; /), (35.10)
где
“1
e-aW fa
(35.11)
является решением задачи распространения, т. е. задачи,
в которой отсутствуют источники теплоты (g ==* G — 0), а
со t
«2(х; t)— J* ( f О (а>; т) е
— со 0
— решением задачи излучения: начальная температура равна
нулю во всем пространстве (/=Чг = 0).
Формулы (35.11) и (35.12) могут быть упрощены. Нач-
нем с первой из них. Подставим в (35.11) вместо Ф (<о) его
значение из (35.8), заменив предварительно в этой последней
формуле переменную интегрирования х буквой $ (поскольку
в (35.11) х означает определенное число):
eiWKdm (35.12)
0~a№t
e-aW+iu>(x-l) _
x—Z 12____(«;—£)-
aolTj ia4 dm dt =
e
(де-S)2
4a9£
де—Е 12
2OvrJ dmdt =
1
2™ yi
(а—1у
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ВСЕЙ ОСИ
523
Но, как известно,
оо
J* е-^ d*f[ =
— 00
Поэтому окончательно
zz (х; f) —----1—z
2а
(га— £>а
е dt
(35 Л 3)
Выясним физический смысл этого решения. Для этого рас-
смотрим случай, когда
«к-о =/(-*0 =
С, а<х<р,
О, х < а или р
х.
Тогда температура в момент времени t будет согласно (35.13)
(мы будем ее обозначать через Uat р (х; /))
$ (т____£12
Ua>?(x;t) = -^=fe—^ di.
2а у nt J
а
Таким образом, р (х; t) дает распределение температуры
при условии, что в момент t— 0 температура в слое а<х<р
внезапно подскакивает от нуля до значения С, т. е. если
в этом слое в момент / = 0 действовали мгновенные источ-
ники, дающие на единицу площади сечения, перпендикуляр-
ного к оси х, количество теплоты,
А = ср (Р — a) С.
Подставим в Ua, р (х; I)
ср (Р —а) ’
и перейдем к пределу р -> а. Тогда, полагая
1
---l—=e ^U.(x\tY
2aVnt
524 § 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ в бесконечн. пространстве
будем иметь:
$
л [* л
lim Uai р (х; /) = lim т Щ (х; = — Ua (х; t),
3->а н р->аСР1Р ~а) J Ср
а
т. е. функция 9
(X—а)а
— U (х- t} = — 1__ е ia4
с? ’ ) с? 2а У nt
дает распределение температуры, которое вызывается дей-
ствием в момент /=0в плоскости х = а мгновенных источ-
ников теплоты, пройзводящих на единицу площади сечения,
перпендикулярного оси х, количество теплоты А. Графики
А
функций — Ua (х; t) при фиксированном а как функции от
ср
х в отдельные следующие друг за другом моменты времени
О < tt < t2 < /3 <... представлены на фиг. 86. Площадь
под каждой из этих кривых,
ОО
— оо
что соответствует постоянному количеству теплоты Л, содер-
жащемуся в каждый момент времени в неограниченном ци-
линдре, параллельном оси х, с площадью поперечного сече-
ния, равной единице.
1) Нетрудно проверить, что эта функция является решением
уравнения (35.1) при g = 0.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ВСЕЙ ОСИ
625
Вид функции ил(х\ t} показывает, что теплота рас-
пространяется мгновенно, т. е. с бесконечной скоростью
(в отличие от волновых процессов, которые распространяются
с конечной скоростью), так как температура в любой плос-
кости х = const, оказывается отличной от нуля для сколь
угодно малых />0. В каждой плоскости х = const.ф а тем-
пература возрастает со временем до некоторого максимума,
а затем начинает убывать, асимптотически стремясь к нулю.
Максимальную температуру в плоскости х — const, легко найти
как наибольшее значение — (7в (х; /) при фиксированных х
и а. Она достигается в момент, когда
ЛТТ I fa *^)2 1 / 'О
--I 1 _(а~*2 g-------------
т. е. в момент t= и Равна
А
ср У 2пе | а — х|
Теперь можно дать физическое толкование и формуле
(35.13). Начальной температуре /($) в бесконечно тонком слое
£<x<!i + d5 соответствуют мгновенные источники теплоты,
для которых A — cpf^}d^ Вызванное ими распределение
температуры будет по предыдущему иметь вид
^Udx;f)=f(T)Udx;t)dl.
При начальной температуре /($) на всей оси распределение
температуры должно, следовательно, иметь вид
и =
оо ОО
Р©^(х; /)Л = 5-Л= ]/©
— оо —оо
(д?-е)а
е
dt.
Можно непосредственно проверить, что (35.13) дает искомое
решение и удовлетворяет уравнению (35 1), поскольку оно
является наложением решений/(;) (х; /). Убедимся в том,
что оно удовлетворяет начальному условию. Так как,
526* § 35, УРАВНv ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В БЕСКОНЕЧН. ПРОСТРАНСТВЕ
£— X 1
полагая «а =---— и т =-------, мы можем записать наше
2а V t 2а V t
решение в виде
1Т*
— УТ
и первые два слагаемых в последнем выражении для и стре-
мятся к нулю при > О, т. е. т->оо, то
и |л=о =
0 У т
“ р {/1 +*- * + Р (*+-9
-УТ 0
0 оо
=/(х-0)4= f + f e-^da =
V* J Vn J
—oo 0
= 4 {/ (X + 0)+Д(х- 0)} =/ (x).
Фигурировавшая в наших рассмотрениях функция Ua$(x; t)
связана с одной специальной функцией, играющей важную
роль во многих вопросах теории вероятностей. Эту функ-
цию («функцию ошибок») принято обозначать так:
Ф(С)=-^= f e-*dz.
У К J
О
Ее график представлен на фиг. 87. При С->-|-оо Ф(С)->1,
а при — оо Ф(С)-> — 1. Очевидно также, чтоФ(—С) =
= — Ф(£). Для этой функции существуют весьма точные
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ВСЕЙ ОСИ 527 '
таблицы1), и поэтому удобно полученное нами решение вы-
разить через эгу функцию следующим образом:
’’ v ’ 2 1 \2а Vt) \2а /7J
Перейдем теперь к формуле (35.12), дающей решение за-
дачи излучения. Внося в (35.12) значение G из (35.6) (изме-
нив предварительно в (35.6) обозначение переменной инте-
грирования х на С), получим:
оо t оо
«2 (х; /) = i J eiu>x J e-°!uj2 О J g (С; т) dr, dx d<o =
—оо 0 —оо
t оо оо
= J J g (С; Т) J e-aW-T)+«<»(®-Q d<s> dZ dx,
О —оо —оо
и далее, точно так же как при выводе (35.13), найдем, что
# ОО _ (я?—С)2
«2(*; 0=^ fv=$=4 f <35-14)
Уравнение теплопроводности в однородном стержне при
температуре внешней среды U
ди 9д2и ,о ,.. ч
dt-ad^-^(u-u)=g
х) См., например, Б. И. Сегал и К. А. Семендяев, Пяти-
значные математические таблицы, Изд-во АН СССР, 1948.
628 § 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В БЕСКОНЕЧН, ПРОСТРАНСТВЕ
приводится к разобранному только что подстановкой
zz = ,
где £/0 — температура внешнего пространства на бесконеч-
ности (см. § 5). При этом для новой искомой функции v
получается уравнение
- a2S - +ь* <и~ "о)1 еЬЧ
и начальное условие
v |#=о = и b=о — Uo = / (х) — Uo.
В соответствии с (35.10), (35.13) и (35.14) и принимая во
внимание, что
оо _ Q8
Ге
мы получим
ОО
р—ЬН р
и (х; 0 = Uo(1 -е-^)+ Г /(О е & +
2U у Kt J
—оо
_ъч 1 со ъч-
¥^-Гг= f v= f ^ + b*(U- U0)]e ia^>dl.
2a у n J у t — т J
о —co
Пусть, например, температура внешнего пространства по-
стоянна, U = Uo, и источники теплоты отсутствуют. Тогда
оо (#—:)-
—ЪЧ f 4аЧ
«(x;0 = t7o(l-e-™) + ^-F= J dC.
' —оо
Из этой формулы видно, что температура в каждой точке
стержня при t —> оо стремится к температуре внешней
среды UQ.
В качестве второго примера рассмотрим задачу излуче-
ния из сосредоточенного источника. Полагая температуру
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ ,529
внешнего пространства U постоянной, а начальную
температуру стержня равной нулю, /=0, и
g(x; /) =
О,
А
c?-2iq ’
где q — площадь сечения стержня, перейдем к пределу г-► 0.
Тогда мы будем иметь источники теплоты, распределенные
в сечении х==0 стержня и производящие в единицу времени
количество теплоты, равное А. В этом случае решением
будет:
4а--г dx
u = U0(l — ^) + ----------
0V 7 2а Vn
Исходя из этой формулы, найдем асимптотическое значение
температуры в сечении х стержня. Она будет равна
__ 72 _
__ гг , А 1 1* ° dx
ас ° "Ь cpq 2а V? J /Ч *
о
Вводя новую переменную интегрирования подстановкой t =
= ^2, получим:
оо
uac=u0-Y^-b^y= j е
о
Ъ . , О° / b |я|\2
17 I 1 а 4 f ' ) г
==с70Ч--—т------е da.
° c;jqb а Yn J
о
d<3 —
Последний интеграл может быть вычислен. Пусть - * =
= Х>0 и а — у==а). Тогда при а, изменяющемся от 0
до оо, оо монотонно возрастает от —оо до -j-oc. Далее,
а = у (ш -j- ]/ da =
со
l/u>«4-4X
530 .§ 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ^ БЕСКОНЕЧН. ПРОСТРАНСТВЕ
Следовательно,
вследствие нечетности подинтегральной функции. Таким
образом,
А —77 И a
иае = ^о+ 2срд. аЬ е = ио + 2 Vqpkit е
Задача 2. Рассмотрим задачу теплопроводности в трех-
мерном пространстве. Температура и в трехмерном про-
странстве удовлетворяет уравнению
= g(x, у, г; /) (35.15)
и начальному условию
a|f=so=/(x, у, z). (35.16)
Как и в одномерном случае, ищем решение в виде инте-
грала Фурье
Г Г Ге-/ + + , г /ок т-ч
и = г(ш1, 0е (35.17)
—со
где
F(®1)<u2,<i>8;0 =
1 I* f f . л +
= (2^)8 I J J “)е dxdydz. (35.18)
—00
Теплопроводность в трехмерйОм пространстве 531
Умножим (35.15) на
(2к)зе
и проинтегрируем по всему пространству (точнее говоря, по
сфере радиуса который затем устремим в бесконечность).
При этом
оо
—оо
И
оо
(S? .(.1'ге = о
—оо
— спектральная функция правой части уравнения. Что
касается
j J ( Д« е~*^*+w+**)dxdy dz,
то к нему мы применим формулу (10.2). При этом интеграл
по поверхности сферы радиуса при даст нуль,
так как и и в точках этой сферы достаточно быстро
стремятся к нулю. Поэтому
-L J J j’ А и • е~{ dx dy dz =
- J у | u . ^e-iM^^dxdydz^
= — (М1 + “2 + ®з) Л
и для F, как функции от /, получается дифференциальное
уравнение
ду + а2 (<“! + “’ +“«И—° (35.19)
532 § 35. УРАВН. ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ в веСконечн. пространстве
и начальное условие
(35.20)
где Ф — спектральная функция начального распределения
температуры,
оо
f [ [ fe~i{w^v^dxdydz.
J J J
Отсюда
t
f’ = W_“2^U>^+<U’^+ J (35.21)
о
И
U — U1 + a2>
где
«1 =
OO
sb J* J* j*4?*£*~a3 ^з2) du^du^d^ (35.22)
— 00
— решение задачи распространения, a
«2 = (35.23)
t oo
f f f Ое~~а^+ + т)+Ии)1Ж+<°5!/+шз«)
0 — oo
— решение задачи излучения.
Повторяя с соответствующими изменениями выкладки, ко-
торые были проведены в одномерном случае, мы найдем:
р ~ («?-Е)24-(у-7»24Ч*-:у2
— оо
(35.24)
Эта функция является наложением решений
. . (я-6)24-(у-С)2
± е-------------------№----------,
ср (2л У к/)3
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 533
представляющих распределение температуры, вызванное дей-
ствием в момент t = 0 в точке х == 5, j/ = 7], £ = С мгно-
венного источника, производящего количество теплоты,
равное Л.
Далее,
t оо
ЛИ Р(Е' С;’,х
О —со
(а?-е)2+гу-т^4.(е-^
X* dZ I —^= • (35.25)
I (// — т)3
Если g не зависит от /, то решение можно преобразовать.
В этом случае
-Н?/ —Т))2 + (г~У ]
4а2(<“т)
Полагая
где
г
---~ — “>
2а Yt— т
г= К(х-$)2 + ^-т1)а + (г-СЛ
имеем:
4а
г
2aV t
dz
j* е—"* du ==
и подставляя это выражение в полученный результат, на-
ходим, что
534 § 35. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
Если
Ь 4
ср .__ТС£3
в шаре радиуса г с центром в начале координат и равно
нулю вне этого шара (А—постоянная), то в пределе при
s •—> 0 мы имеем в начале координат точечный источник
теплоты мощности А (количество теплоты, излучаемое источ-
ником в единицу времени), и решение примет вид
_ А \2а VI/
k 4тсг
где г = Ух2-|- У2 Ц-^2 Таким образом, в каждой точке про-
странства, отстоящей от точечного источника на расстоянии
г > 0, температура и2 монотонно возрастает со временем и
стремится при /-> оо к величине
А
U(i0 4itrk
К этой асимптотической температуре и2 стремится тем быстрее,
чем меньше г.
Точно так же можно решить двумерную задачу тепло-
проводности.
Задача 3. Рассмотрим полубесконечную телеграфную
линаЮу конец которой х = 0 в момент t = 0 включается
на заданную электродвижущую силу Мы пред-
полагаем, что при t = 0 ни тока, ни напряжения в линии нет.
Как мы знаем (см. § 4 и § 31, стр. 448), напряжение и
в линии удовлетворяет уравнению
“9 SS+12й - Й=°’ (35-26)
где
a = Y~CL, р = i = VRG,
начальным условиям
и краевому условию
а\х=о — (35.28)
' ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ТЕЛЕГРАФНАЯ ЛИНИЯ
535
Взяв собственные функции, удовлетворяющие условию
= 0, т. е. sin сох, ищем решение в виде
со
и (х; t) = J F(<o; /) sin сох dm, (35.29)
о
где
со
F((o; i)=~ я(х; Z)sincoxJx. (35.30)
о
2
Для нахождения F умножим (35.26) на — sin сох и про-
интегрируем по х от 0 до оо. Тогда мы получим соот-
ношение
со оо
п 2 Г д2и . . . 2 Г ди . , ,
а3 — sin сох dx Ч- 23 — -х-sin ахах+
те J dt2 1 г те J dt 1
о о
оо оо
9 i * 9 (* №11
4-72— я sin (ox Jx------4-^sin(oxrfx = 0. (35.31)
1 ‘ те J те J дх2 х '
о о
Последний интеграл преобразуем интегрированием по частям
и, принимая во внимание (35.28), найдем, что
2 f д2и . , 2 Гди . 1°°
— ч-ь sin (ox dx = — -s- sin (ox — ти cos тх —
те J дх2 те [дх ]0
о
2<о2 Г . 2о) jj А
------ и sin (OX dx = — UQ—m*F(m; t)9
о
Поэтому из (35.31) получается следующее уравнение для F:
«2 + ^Tt + + “2F = Т ио- <35-32)
Кроме того, из (35.30) и (35.27) получаются начальные
условия
f (ю; 0) = = 0. (35.33)
536
§ 35. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
Пусть для конкретности
Uq = A sin kt
(синусоидальная э. д. с.). Корни характеристического урав-
нения
а2г2_|_2рг + (724-(о2) = 0
для уравнения (35.32) равны
г2 “ —
где
к=1=31И+£1
а* 2 [ L ‘ С J
Поэтому общее решение уравнения (35.32) надо искать
в виде
F(со; /) = е-™ [Cj cos od0/-C2 sin Bx cos^/Ц- ^2 s^n
Подставляя это выражение в (35.32), найдем, что
__ 43Ь>Л
к {И2 + <°2 — aW + 4>2/г2} ’
q ___ 2 [у2 -р со2 — а2#2] а>Л
^2 = + — а^2]2 + 432’Л2} ’
Начальные условия дают возможность определить С1 и С2:
г _ _о ________________________________________
— K{[72_|_(JJ2__a^2j2_^4^2}’
а
ь2
__1С1-Иг=« 2L-^ + aW
С2 — Шо яа)() ’ [72 _р ш2 — a2£‘2j2 _р 4^да *
Поэтому
Р z л_____ 2о)/4 у.
Г W *“ Я {[72 + Ц)2 — а3^2]2 + 4£2£2} X
X ke-lt J2j? cos соо/(^2 — ч2 — a>24~ a2^2)s^n шс/| —
—23fe cos kt-j- (ч2 -|- со2 — а2А2) sin &А,
ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ТЕЛЕГРАФНАЯ ЛИНИЯ
537
и решение нашей задачи будет иметь вид
«(х, о =
'У 4bk cos <ou/-+- — [2 —v2—<о3-|-а3А21 sin u>4
у ______________“о I ai___________1____1 usinowdo) —
A J [Т3 + а>3 — а2Л3]2-|-4р3Й3
0
oo
2Л^ „ д/ f 2^<o sin cox du !
— — COS« J jT2 ш2 _ e2*3J 3 + 4p%3
0
, 2Л . A. f 72-|-oj2 — a2/?2 . , zqk ocn
+ Tsinkt J f^+U-aa^a+j^3“sindw' (35-35)
0
Первое слагаемое (35.35) содержит множитель e-lt и
потому при достаточно больших t бупеч сколь угодно мало.
Остальные два слагаемых при постоянном k являются гармо-
ническими колебаниями с частотой, равной частоте внешней
силы. Эти слагаемые описывают установившийся режим
в линии. Сосредоточим поэтому свое внимание на этих сла-
гаемых. Положим:
со
d '______ 2 f 2^со sin шх .
Ф1 “ 7 J [Т2+о)2_ ^2] 4. 4^2" ““J
О
л\ / \ 2 f 72 +0)2 — *2£2 . л
Ф2 (*) — J [т2+(й2_да]2+4^2 Ш S1H d^'
О
Эти интегралы можно привести к интегралам (34.16) и
(34.15), если найти р и q так, чтобы
pq = рА; — q2 = 72 — а2&2,
откуда, как нетрудно видеть,
у + у2)2 4- 4fe2 -- а2?2) 4~ 72 — а2^2
т/" V(a2k2 4- у2)2 4- 4Z?2(р2— 72 + «2*2
538
§ 35. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
При этих обозначениях на основании (34.16) и (34.15)
Ф1(х)==е-^л?81п^х; Ф2(х) = е-Рх cos qx
и установившийся режим в нашей задаче будет:
и(х-, /) = Ae-Pxs\n{kt — qx).
Это решение является волной (см. § 18). Фазовая ско-
k
рость равна —, и она, очевидно, зависит от частоты k. Это
указывает на наличие дисперсии.
Более простой вид решения мы получим, если 0 — ау
(линия без искажения). Тогда р = 7, q = аА, и при установив-
шемся режиме
и = Ае~ Y^sin k(t—ах).
Фазовая скорость равна— — она не зависит от частоты.
Также не зависит от частоты коэффициент затухания ?. Именно
поэтому будет отсутствовать искажение при наложении несколь-
ких синусоидальных сигналов, посылаемых из точки х = 0.
Этому обстоятельству рассматриваемая линия и обязана своим
названием.
В этом случае легко рассчитать и переходный режим.
Действительно, из (35.34) видно, что теперь <о0 = у, X =-2- и
™ k Г В2 1
п /» 23£ cos -I— 2 — у2 — со2 -j- a2#2 sin
£ I On I а I • f
— ------------F-o-7-^-5--acw>----------2----- W Sit! (ОХ =
к J [у2 4- — a2&2]2 4- 4S-&2
0
2 p cos 4- kv. [y2—w2 4- sin ~ t
— -------------—7——------- -------------------sin <ox dw —
iz J (YJ 4" 0)2 — aJ#2j2 4“ 4а*#2р
0
= — ( p-7-—.. -л vr^fsincofx-]-—^-j-sinojfx—
тс J [y2-|-w2—a2A?2]244a2^2T21 \ 1 а/ 1 \ a/j 1
0
. if ka (y2 — <o2 4~ а2#2] Г / / X / I ИЪ
----r 9 Г"9 ? cos co x----—cos co x4— aw.
J [y24-w2—a2^]244a2&2Y2 L \ a' \ a
0
ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ТЕЛЕГРАФНАЯ ЛИНИЯ 539
Первый интеграл сводится к двум интегралам вида (34.16'),
а второй к двум — вида (34.18'). Таким образом,
1 -Lt
и==-^Ае а { е ' а ' sin k (ах 4“^) 4"
- L——I — L--I
4~ е ’ a'sin£(ax—04"^ ' а ' sin k | ах — /| —
— е 7 а) sin k (ах + 0)4“ Ae~~'iX sin & (Z — ах) =
= Ae~ v^sin^(f — ах)4~
4" 4"^ 7 f* а 11 [sin & | ax — 11 4" sin k (ax — /)].
Иначе говоря,
{0, t < ax,
Ae~v^sin k (t— ax), t > ax.
Эта формула еше раз подтверждает, что напряжение,
включенное при /=0, распространяется со скоростью — „
При t==ax наступает установившийся режим.
ДОБАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Гамма-функция
В теории цилиндрических функций, а также в ряде других
важных вопросов математического анализа и математической
физики существенную роль играет так называемая гамма-
функция, определяемая для всех действительных значений
р>0 (а также и для всех комплексных значений с положи-
тельной действительной частью) следующим образом:
со
Г(р) = J xP-1e~a)dx.
о
Из этого определения легко выводится основное свойство
гамма-функции. Интегрированием по частям находим, что
Г(p-f-l) = j* хре~х dx=—х₽е"®|-|-р J xp~v е~х dx=pV (р).
О 0 0
Так как Г(1)=1, тоГ(2)=1 • 1=1!, Г(3)=2Г (2)=2 • 1=2!
и, вообще,
Г(«4-1) = «!
для всех « = 0, 1, 2,... Отметим, что под 0! мы, таким
ГАММА-ФУНКЦИЯ
541
образом, уславливаемся понимать Г(1)=1. Легко выводится
еще значение
Следовательно, для n==0, 1, 2, ...
| Z'' '‘ 21' ('2 J "
= ..3.5.^-.)
С помощью полученного выше функционального уравне-
ния гамма-функции
Г(р+1) = рГ(р)
можно определить ее и для отрицательных значений аргу-
мента р (и даже для всех комплексных значений р). Для
этого заметим, что
Г(р)=^Г(р+-1)
и что когда р принадлежит интервалу (— 1, 0), то p-f” 1 при-
надлежит интервалу (0, 1), так что правая часть последнего
соотношения определена по предыдущему. Например,
Определив таким образом гамма-функцию на интервале (—1, 0),
мы можем подобным же образом/Определить ее значения на
интервале (—2, —1). Например/мы найдем, что
Продолжая это рассуждение, мы шаг за шагом распространим
542
Добавлений
определение гамма-функции на любые отрицательные значения
аргумента. В частности, для я—1, 2,
1’(-"+4)=--гтг(-”+4)=
“«+ 2
г[-« + («4-1)1
Далее, из функционального уравнения мы находим, что
НшрГ(р) = Г (1)=1,
р-> о
т. е. что для малых р
Аналогично, если т—положительное целое число, иг — 1,2,...,
то
(p + ,„)r(p) = ^t+_2±lL_iy
и, следовательно,
lim (р 4- т) Г (р) = -Цй- ’
— т
т. е. для /?, близких к —
т\ р -\-т'
ГАММА-ФУНКЦИЯ
543
Можно показать, что Г(р)фО ни при каком р. Иначе
говоря, функция будет непрерывной для всех значений р,
если положить
1 =о (/// = 0,1,2,...).
Г(—т) v > » , /
Очевидно, что в силу функционального уравнения доста-
точно знать значения гамма-функции для всех значений аргу-
мента в каком-либо интервале длины единица. Существуют
весьма точные таблицы гамма-функцииJ).
Фиг. 88.
Минимум Г(р) для р > 0 достигается при р = 1,461 и
равен 0,8855. Графики Г(р) и приведены на фиг. 88.
2) См., например, Б. И. Сегал и К. А. Семендяев, Пяти-
значные математические таблицы, Изд. АН СССР, 1948, стр. 353.—393.
544
ДОБАВЛЕНИЕ
Весьма важной является оценка значений Г (р 4-1) Для
больших значений р. Полагая
О)
х = реуР,
имеем
J хре х dx —
о
1-0 z— Vp Ш
- г — ре * + —
2 J е ур dm
—са
= р р
-егЙ + ^
I ^Pd»),
откуда
ID
со ( < , w У » ] , Ш
lim + г/11+тге
Р -> оо р -J- “ Р -> ОО J
р ^е~Р —°о
Но
lim [р 1 1 Ч--—
р + <Л I Vp
Не останавливаясь на обосновании законности предельного
перехода под знаком несобственного интеграла, мы полу-
чаем, что
ОО ц)2
lim Г (£311), — I е 2 = ]Л2к,
р °0 _п J
р е р —09
или
r(p+l)=l/27rpp^^[l+8(p)h
где е(р)->0 при р->оо. Эта так называемая асимпто пи-
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
545
ческая формула записывается еще так: при больших р
или
In Г (р 4-1)« (р + у) 1пр — р + у In 2ir.
Например, для In 20! мы по этой формуле получаем
In 20!« 20,5 In 20 — 20 -4- -J- In 2« = 18,384....
А
тогда как фактически In 20! = 18,386...
§ 2. Цилиндрические функции первого, второго
и третьего рода
Рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное
уравненйе второго порядка:
У + |У+(1 -5)^ = 0,
где р — любое положительное число или нуль. Это уравнение
называется уравнением цилиндрических функций с индексом р
(или порядка р) *). Как мы видели, к нему приводятся многие
задачи математической физики и его решения (называемые ци-
линдрическими функциями) принадлежат к числу наиболее
важных трансцендентных функций.
Будем искать решение этого уравнения в виде бесконеч-
ного ряда
j/ = x«(a04-alx4-aaxa4- ...) = ^апхп-\
п₽0
где показатель а и коэффициенты ап подлежат определению.
J) Уравнением цилиндрических функций называют также
уравнение •
которое приводится к данному подстановкой
хг = kx.
546
ДОБАВЛЕНИЕ
Так как
у" — ~S (я-|-а)(л + а—1) апх’1+0[~2 —
= а (а — 1) ЯоХ’-2 (1 а) -J-
+ 2 (OT4-2-|-a)(w4-l+<x)aw+2x»»+«
m==o
-|-У= 2(n-|-a)a;ix’»+«-2 =
п»О
= a<z0x’-2 4- (1 + a) fl-i*»-1 + 2 (w + 2 + а) а™+2хт+*
т=0
^=2 атхт+*
?п = О
И
оо
— = —р2 2 апХп+а~2 =
п—о
^ — р^х'-Ъ—р'-а^-'—р* 2а«»+2^’п+а.
т^о
то уравнение принимает вид
(а2 — р2)а0хв-24-{(1+ а)2—р2}а1х®~1+ 2 а'тх”‘+а = О,
т=0
где
<={(/И + 2 + а)2—P2}«m+2+«m (m = °- 2» •••)'
Оно будет выполняться, если мы положим
а2—р2 = 0, ^ = 0, «^ = 0 (^ = 0, 1, 2, ...),
т. е.
a = ztp
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
547
и
«то+2 = —,—, о?\а -a (m = 0, 1, 2, ...).
(in 4- 2 + а)2—р2 4 ’ '
Так как мы положили ах = 0, то из последнего рекуррент-
ного соотношения для коэффициентов следует, что все
коэффициенты с нечетными номерами будут равны нулю:
^2fc+i = 0 (k = 0, 1, 2, .. .)•
Что же касается коэффициентов с четными номерами, то
п _________ао _____________ао___________ао
2 (2 т а)2— р2 4 +4а “ 4(1 +а)’
п _________а2______________а2
* (4 + а)2__р2 16 +8а ”
__ .___________Др_______
~ 8 (2-{-а) — 4 • 8 • (1 + я) (2-|-а)
и, вообще,
я2А- = ( — 1)А 4.8.. .4* (1+а) (2 + в).. .(* + а) (А = 1 > 2’ • • •)>
что легко может быть проверено индукцией. Замечая, что
4 • 8.. .46 = 22ftA! и (1 + а) (2 + а) . • (fe + «) = ’
мы можем записать а2к в виде
п ____(___л\к Др Г (а + 1)
V Ч 22едГ(А» + а+1)-
Коэффициент а0 остается произвольным. Таким образом, мы
имеем формальное решение уравнения цилиндрических функ-
ций в виде
/ X \2&
оо )
йоГ(а-|-1)х“ (—О* &Г(6 + а+1)’
Лг=0
где ъ — ±р. Однако, легко проверить, что этот ряд схо-
дится для всех значений х и, следовательно, действительно
представляет собой решение рассматриваемого дифференциаль-
ного уравнения.
548
ДОБАВЛЕНИЕ
Если ПОЛОЖИТЬ
_ 1
а0— 2«Г(а4-1) ’
то это решение принимает вид
оо /Х\»+«
Л (•*)== ( — 1)* Л|Г(Л4-а+1) •
fc==O
Функция Ja(x) называется цилиндрической функцией пер-
вого рода порядка а1)» Так как а имеет два значения ztp,
то мы имеем для каждого положительного индекса р два
решения, Jp(x) и J_p (х), уравнения цилиндрических функций.
Нетрудно видеть, что если р — не целое число, то Jp(x) и
J_p(x) линейно-независимы. Это следует, напрймер, из того,
что для малых х
(£)“
° "Р" х-*°‘
а
(уР
ИЛИ -00 ПРИ *->0.
И А (— Р +
Следовательно, в этом случае
у — C\Jp 00 Ч" 00
является общим решением уравнения цилиндрических функ-
ций с индексом р.
Однако, если р — целое число, то Jp (х) и J~p (х) линейно-
зависимы. Действительно, при р = 0 мы имеем только одну
функцию J0(x),
А) Эти функции были впервые введены и простейшие их свой-
ства были изучены Л. Эйлером. Часто встречающееся название
этих функций «функции Бесселя» исторически не оправдано.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 549
а при р = т, /п = 1, 2, .
оо ~
J~m(Х)= 2(—1)*й!Г(& —от-]-1) ~ 2<~ «+0’
ЫО Zc=m
так как ъ-rt—-—ттг = ° для й = 0, 1, .... т — 1. Отсюда,
1 (к — т +1) ’ ’
полагая k — m — k', имеем
оо /ху*'+т
J-m (*) = 2 +W (F+ от) !Г (А' 4- 1)=
Й = 0
со /£\2* + >»
= (“О’” 2Г(£4-от+ 1)6! == ( ~ О’" Jm (к).
&=о
Для того чтобы найти общее решение уравнения цилин-
дрических функций с целым индексом /п = 0, 1, 2, не-
обходимо найти второе, линейно-независимое от Jm (х) частное
решение. Такое решение можно получить следующим обра-
зом. Функция
лг / ч 4(х)оозртг — J_p(x)
AL (х) = —----;-------— ,
7 Sinj3Z
как линейная комбинация решений, является также решением
уравнения цилиндрических функций с индексом р. Ее предел
. .. .. . . .. JpMcospn— J-p(x)
Nm(x) = hm Np(x)= Inn . =
p->m biiipu
к cos mn
= 7 {dF |pam—O’” J-P (x)|p=m }
также является решением уравнения цилиндрических функций
с индексом т. Функция Nm(x) называется цилиндрической
функцией второго рода порядка т. Ее выражение в раз-
вернутом виде весьма громоздко. Приведем для примера
550
ДОБАВЛЕНИЕ
функцию
w0 (*)=4 Jo (*) оп * -н)—
-42<->)-0+|+-.+|)Ж
'J = l
где 7 — так называемая постоянная Эйлера:
7= lim fl 4--|+ ... +----In (я + I)') = 0,5772 ...
Из выражений для цилиндрических функций второго рода
видно, что они не ограничены при х -> 0, а следовательно,
Nm(x) и Jm(x) линейно-независимы. Таким образом, в слу-
чае целого индекса /п общим решением уравнения цилиндри-
ческих функций будет
У — (х) 4~ (X)-
Эта функция является, конечно, общим решением уравнения
цилиндрических функций и при не целом т.
Отметим, что цилиндрические функции первого и второго
рода имеют, вообще говоря, действительные значения только
при х > 0. Лишь функции первого рода целого порядка
имеют действительные значения для всех действительных х.
При этом функции четного порядка являются четными функ-
циями от х, а функции нечетного порядка — нечетными.
Важную роль играют также цилиндрические функции
третьего рода. Они являются комплексно-значными функ-
циями и определяются соотношениями:
(*)=jp +)+iNP (*)> rfp (*)=jp w - iNP (*)>
или, что для не целого р то же самое, соотношениями
ПР — Zsinpn ’
u(2) /.д e^Jp (х) (х)
пр W--------•
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
551
Очевидно, что
(х) = ерк‘Н$\х), (х) == е-^%2,(х).
При действительных значениях х функции (х) иНр> (х)
имеют комплексно-сопряженные значения:
Н^(х) = Нр\х).
Для цилиндрических функций всех родов и многих по-
рядков существуют весьма точные таблицы J).
Графики функций порядков 0 и 1 функций первого и
второго рода изображены на фиг. 89 и 90.
J) См., например, Б. И. Сегали К. А. С е м е ндя ев, Пяти-
значные математические таблицы, Изд-во АН СССР, 1948; Л. А. Л ю-
стерник, И. Я. Акушский и др., Таблицы бесселевых функ-
ций, Гостехиздат, 1949; Е. Янке и Ф. Эм де, Таблицы функций
с формулами и кривыми, Гостехиздат, 1949.
552
ДОБАВЛЕНИЕ
§ 3. Некоторые рекуррентные соотношения между
цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции
порядка, равного целому числу с половиной
Из разложения
оо /х\^+р
JP^)~ + 1)
л=о
мы находим, что
/Х\2Л—1
“ у, %)
dx хр й!Г(й+р4-1)
? (й_1)!Г(А+р + 1)
оо (Х\™ + 1
= — у (—lU'-i-i—--------------=
2Р к£0 *'! Г (*'+/>+2)
со /£\»+>+‘
= _ _L У ( ...1U V 2 '__________ =
7 Л!Г{* + (р +1) 4-1> хр
Следовательно,
^+1(х),
хр Р xp+i ~ хр
ИЛИ
Jp (*) = ^с^Р ---Л> +1 (*)'
Аналогично этой первой формуле дифференцирования вы-
водится вторая:
4 (>:) = -£• 4 (X) Н-4-^х).
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЦИЛИНДР. ФУНКЦИЯМИ 553
Действительно,
— 2р 2( 0 ki г {к +р 4-1}
Л=сО
ОО /x_\2ft + 2p-l
= 2PS(—1) k\V(k-\-p) ~
к=0
СО /Х_\^+1>-1
= х» 2<—О* Й1 Г {А + (р — 1) + 1} = XPjp.i (х),
• Л=0
откуда
•^4 (х) + рх? ~XJp (х) == XеJp „ J (х),
что и дает вторую формулу дифференцирования.
Отметим, что из выведенных соотношений при р = 0 сле-
дует, что
J1(x) = -J_1(x) = -/0(x).
Это, между прочим, означает, что экстремумы J0(x) совпа-
дают с корнями (х) (см. фиг. 89).
Вычитая из второй формулы дифференцирования первую,
найдем, что
/рм (х)-----7“/р(х) —/р-i (•*)•
В частности,
•4 (х) = 4 Л (X) - Jo (X) = - 4 /о (X) - Jo (X),
»v А
A О) 7 А (х) Л 00 — Jo (•*) “ Jq (я)
И Т. Д.
С другой стороны, складывая две формулы дифференци-
рования, получим третью формулу
Jp 00 = 2” {/р-i О) ~~~ Jp+\ О)} •
Функции второго рода удовлетворяют аналогичным соотно-
шениям. Действительно, из
4(х) = -Ур+1(х) + 4/Дх)
554
ДОБАВЛЕНИЕ
заменой р на —р следует, что
2? (х) — 4-1 (х) — J—p (х).
Но в силу полученного выше рекуррентного соотношения
(х) = J-p(x} J-p-i (*)>
так что
J—р (*) —J—p—i (х) ~~ J—р (х).
Отсюда мы заключаем, что
аг' / ч j'p W cos ~ j-p
N (х) = —--------:------------=
’ 8Ш/?л
I - ^р+1 (х) + j 4 (х) } cospre — | J_p_i (х) +^-J-p (х) |
sin рп
_ (х) cos (р +1) n—J_ p-ilx) P_Jp (X) cosp n —J _p(x)
sin(p4-l)7c 'x sinprc
= -A^+1(x) + |^(x).
Точно так же
?4(х) = ^)_1(х)-^Л^(х)
и, следовательно,
М,+1 W =
Очевидно, что аналогичные соотношения имеют место и
для функций третьего рода. Например,
41)Г (х) = - 1W+7
///' (х) = H'JLr (х) - (х)
^+1 (X) = (X) - //Д! (X)
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЦИЛИНДР. ФУНКЦИЯМИ 555
и т. д. В частности,
N, (х) = - N_! (х) = - No (х),
У/) (х) = — (х) = — HP' (х),
М2) (х) = - Н(^ (х) = - М2Х (х).
В случае, когда р = + » где т — любое целое число,
все цилиндрические функции являются элементарными. Дей-
ствительно, пусть сначала р = — Тогда
/ v X 4
1
л
2(“”'
к~о
k\г
к — Ъ
M\2fc
й ы
*tJ2*)!
Л122*
й=0
2
--- COS X.
izx
о 1
Если же р — -^, то
3^+4
а
2("1)ft
fc=0
Х\2Л+1
л=о
л_______\±1_____
м (2* + 2)!
! (£+ 1)!22»+з
х2Л+1
!*_________
(2*4-1)!
sin х.
556
ДОБАВЛЕНИЕ
Отсюда по рекуррентному соотношению мы находим, что
л (х) = -^Л (х) — J ! (х) = 1/"^ — cosxj,
2 3 2 ' '
J_ з (X) = -J_ 1 (x)-J±(x) = -А /sinх +
2 3 3 I
и т. д. Кроме того,
n_1 <*)=л <*)= sln х'
2 2
A4_ (х) = — J_ 1 (х) = — тЛ •” cos х,
2 2
так что
1 (х) = 1/'~ (cos х—1 sin х) = 1Лeto,
2
«I ’ (X) = ]/" A (Sitl х _ i cos х) = | уСГ
И т. д.
§ 4. Интегральные представления и асимптотические
выражения для цилиндрических функций
Рассмотрим ряд
оо
F(C;x)= 2 J„(x)C~
П=8 —ОО
где х имеет любое действительное значение, а С — комплекс-
ная переменная. Допустим, что этот ряд сходится в некото-
ром кольце
1-е<|С|<14-в-
Тогда
ОО
Пс= — 00
но так как
^п(х) { Л>-1 (*) (Х).Ь
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
557
то
п=—oo n=—oo
t. e.
^=£(‘+-р)' '"'MC— т)+'”с.
F= OT
где C=C(x).
Для определения C(x) образуем
OO
g= 2 /,wr.
7? = —oo
Так как
•А» (я) s= ~2 { «Аа-1 (•*•) *А»+1 (*) }»
ТО
57 “Т 2 J*-^xV'n ~2 2 ‘^+t(x)'’w =
п=~ ОО П —— 90
= у 2 4(*)^+,-т 2
№ — 00 Пя= —ОО
С другой стороны,
= С (х) + С(х)|(с -{) Л Л) =
= сЧх)Л(с-^44(с-т)/7(':; х)-
558
ДОБАВЛЕНИЕ
Отсюда следует, что С'(х) = 0, т. е. что С(х) = С= const.
Однако при х = 0
0)=J0(0)+2 4(0)С«+ 2 4(0Н»=
П = 1
оо
= Л>(0) + 2 {Jn(0)с»+J-n(0)С-*};
П~1
но Jo(O)=l, Jn(0) = 0 и J_w(0) = (—l)V„(0) = 0 ДЛЯ
п — 1, 2, ... Следовательно, F(C; 0)=1 и С=1. Таким
образом,
F(C; х) = ^а v J
Мы видим, что
Лорана х) функции
наш исходный ряд является рядом
Л С 4),
имеющей при любых действительных х только две особые
точки: С = 0 и С = оо.
Из теории функций комплексного переменного известно,
что ряд Лорана такой функции сходится для всех значений С,
отличных от 0 и оо. Функция F(C; х) называется произво-
дящей функцией цилиндрических функций целого порядка.
Полагая С = найдем, что
e^eins-. у Jn(x)einb,
—ОО
откуда
тс к
Лг(х) = ’^‘ ^eix,Biate~infdro =-2-J cos {хsin® — n'f}dy,
—тс —TC
!) См., например, Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, Функции
комплексного переменного и некоторые их приложения, Гос-
техиздат, 1949,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
559
так как мнимая часть
те
j sin {х sin ср — ti'p} dy — О
—те
вследствие нечетности подинтегральной функции. Отсюда по-
лучаем:
те
jn (х) = ~ cos {х sin ср — nep} dep
о
вследствие четности подинтегральной функции. Полученное
выражение называется интегралом Бесселя.
В частности,
те
те 2
if 2 f
J0(x) = — cos {xsincpjdcp = — cos {xsin cp} dep,
b о
a
те
•A (*) = T j cos sin ? — ?} d? =
o
те
те 2
if 2 f
= — I sin {xsin?} sin cpdcp == — sin {xsin cp} sinep dy.
b b
Выведем отсюда приближенные значения J0(x) и Jt(x)
для больших положительных значений х. Полагая
£2
sin co = 1------------,
• г 7
имеем: V х
к у X f cos(x — •<! i/i-£ г 2х
560
довлвленив
Нетрудно видеть, что
По теореме Коши из теории аналитических функций
< = 0,
где (£) — контур, состоящий из отрезка (0, У~х) оси 5, дуги
(С) окружности С = V х 0 , и отрезка (fe) пря-
мой, соединяющей конец этой дуги ]/ х е 4 с началом коор-
динат (см. фиг. 91). Это соотношение имеет место в силу
того, что подинтегральная функция регулярна внутри и на
контуре (£). При х -> оо интеграл по (С) стремится к нулю,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
561
так как
к к
4”
I [ — е dZ < V2x f е-®вЬ2»< у2х Гё~х ' Л =
(Ь>/'-Л- S 1
к
= — /2х[ — е «1 * =-4=--U(l—е-®).
4х 1 J »=» 2 У 2 Y х 7
i К
Следовательно, полагая на (4) = 4, х, имеем:
что при х -> оо стремится к
со
= у]/ 1Г.
О
Таким образом,
562
ДОБАВЛЕНИЕ
где гг (х) -> 0 и г2 (х) -> О при х -> оо, и мы получаем, что
Л) (х)= "у__(cos * + sin х -j- г (х)),
где
г (х) = (х) COS X 4“ /*2 CY) sin х -> О
при х->оо. Иначе говоря, с точностью до величин высшего
порядка малости, J0(x) ПРИ больших х равно
tW <сю '+sin х>=(х - т)
что можно записать так:
Jo(x)«]/’^cos(x-^.
Аналогично,
те
2 Г
(х) = — sin {xsin ср} sin ср rfcp =
о
V~x
sin
п У л Следовательно, Jt (х) asi { sin х 1* — 14 7 Я У X 1 j , 0 г и по предыдущему Ji(x)^y 77 sin (х ===• 1 ПК. Ji/i х) г 2х Vx COS(«) f Sin ($2) ,e , rfg—COSX ——’ til /. ? j 2x r 2x я \ _ Г 2 ( « я \ “Т)=У 7?C0S(x-2-T>
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
563
Из рекуррентного соотношения
мы видим, что для больших значений х
Jp+i 0*0 ~ Jp -1 (я),
так что, например,
scos(x^t) =
= l/rIc°s(x_2A_i),
J/^ JLcos(x — y — -£.) =
= l/" —cosfx — 3-^----2.Y
Г тех \ 2 4 J
Легко видеть, что вообще
г / \ -W /“ 2 f 7t 7t \
— COS^X — Пу — т/
Эта асимптотическая формула справедлива и для нецелых д.
Приведем без доказательства соответствующие асимптоти-
ческие формулы для функций второго и третьего рода:
Nn (X)« Sin (х-П у - у),
Эти результаты показывают, что для достаточно больших
564
ДОБАВЛЕНИЕ
х функции Jn (х) и Nn (х) представляют собой колебания,
амплитуда которых затухает обратно пропорционально Ух,
а период приближенно равен 2тс. Отсюда следует, что функ-
ции Jn(x) и Nn(x) имеют бесчисленное множество простых
корней, что особо важно в связи с другими свойствами
этих функций (см. § 26).
Из асимптотических формул для самих цилиндрических
функций легко получить асимптотические выражения для их
корней. Так, корни функции Jn(x) могут быть прибли-
женно найдены из соотношения
где номер k — достаточно большое целое число.
Получаем, что
Для корней функции Nn(x) из соотношения
получаем, что
Таким образом, для больших k
хЛ)Нх("Г!га1Г-
Корни цилиндрических функций первого и второго рода
вычислены с большой точностью.
Так, например, 21,2126, а выведенное нами асим-
птотическое выражение дает
4-6 11 = 21,206.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА
565
§ Б. Цилиндрические функции от мнимого аргумента
Полагая в уравнении цилиндрических функций х = %,
найдем, что оно принимает вид
_^у_____। p2\v — n
или, заменяя $ на х,
y',-Y^y,-^ + ^)y = Q.
Этому уравнению удовлетворяет, очевидно, функция Jp (lx).
Функцию
i~p Jp (ix)
обозначают через 1р(х), так что
оо
4>(x)= 2 М Г(*+/>+1) •
й = 0
Функция 1р (х) является, таким образом, монотонно воз-
растающей функцией от х при х > 0. В частности,
оо /±\27г
Jo(X)= (£|)2
является решением уравнения
У" + ^У' — J =
Если п — целое число, то функции 1п (х) и /_п (х) линейно-
зависимы, так как/я(х)=/_п (х). В качестве второго, линейно-
независимого от 1п (х), решения соответствующего дифферен-
циального уравнения обычно выбирают функцию Кп(х), опре-
деленную следующим образом. Для нецелого р положим
ЛГ =
Р ' ' 2 slnpit
Тогда
/Сп(х) = Пт Кр(х).
р п
566
ДОБАВЛЕНИЕ
Эти функции также табулированы. Графики /0(х) и А'о(х)
представлены на фиг. 92, 93.
Из формул дифференцирования и рекуррентных формул для
Jn(x) получаются соответствующие формулы для функций 1п (х)
4(*) = у4(х) + /я+1(х)---------74(х)Ч-/„_1(х) =
в ~2 1 (^) ”1“ Ан-1 >
4i+i (х)= —2—/л(х)4"
Аналогичные формулы справедливы для Кп (х).
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА 567
Приведем еще без доказательства асимптотические фор-
мулы для 1п (х) и Кп (х):
Отсюда, в частности, следует, что 1п(х) и Кп(х) действи-
тельно линейно-независимы, так что общим решением уравне-
ния
V — 1п (х) -|- С2Кп (х).
является
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Баротропность 37
Бернштейн С. Н. 16
Бесселя интеграл 559
— неравенство 339, 348
— функции, см. Цилиндриче-
ские функции
Бихарактеристика 292, 296,
301, 305
Вес 323, 327, 331
Вихрь в криволинейных коор-
динатах 92
Влияния функций 203, 205,
206, 221
Волна 239
— без дисперсии 243
— круговая 240
— неискаженная 239
— плоская 239, ’245
— проходящая 239
— расходящаяся 246
— с дисперсией 243, 245
— стоячая 235, 316, 318—320
— сферическая 239, 245
— сходящаяся 246
— цилиндрическая 240, 246
Волновое уравнение 68
----двумерное 29, 230—262
----, анализ решения 262—
267
----одномерное 22, 42, 64,
250, 268
----трехмерное 40, 245, 246,
254—260, 300—314
--------, анализ решения 262—
268
--------с дисперсионным чле-
ном 45, 47, 48, 278
Волны на струне 243
Гамма-функция 540, 543
-----, асимптотическая фор-
мула 544
Гармоническая функция в ша-
ре, разложение по шаровым
функциям 491
Градиент в криволинейных ко-
ординатах 91
Гринберг Г. А. 429
Гюйгенса правило 297
— принцип 314
Двойной интеграл Фурье 516
-------в комплексной фор-
ме 516
Диполь 145, 146, 190
Дирихле задача, см. Краевая
задача первая
Дисперсионный член 45, 245
-----, влияние на поведение
решения 278
Допплера эффект 290
Единственность решения сме-
шанных задач 72
-----краевых задач 164—167
----- многомерной задачи Ко-
ши 312
----- одномерной задачи Ко-
ши 273
Емкость проводящего эллипсо-
ида 172
Жидкий объем 33
Жидкость вязкая 35
— идеальная 35
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
569
Задача акустики двумерная 42
-----, начальные и краевые
условия 40—42
-----одномерная 42
— излучения изнутри области
81
-----, сведение к задаче рас-
пространения 81
-----с границы области 81
— Коши 69, 72
-----, анализ решения 312
-----, общая формулировка
269, 299, 300
-----, решение для двумер-
ного волнового уравнения
без дисперсии 260
-----, — для трехмерного вол-
нового уравнения без дис-
персии 257, 259
-----, — для однородного трех-
мерного волнового уравнения
в случае центральной сим-
метрии 254
-----, — Для уравнения сво-
бодных колебаний струны
250
-----, — методом Римана 272—
278
-----, — обобщенным методом
спуска 302—312
— краевая, см. Краевая зада-
ча
— об излучении равномерно
движущимся источником 287
— о преломлении на границе
двух однородных изотроп-
ных сред 298
— о собственных значениях
430
---------- оператора Лапла-
са, см. Собственные функ-
ции
— правильная 323
— распространения 80
—, решение методом собствен-
ных функций 321—325, 429—
432, 437
— смешанная 69
— теплопроводности двумер-
ная 52
Задача теплопроводности ли-
нейная 53, 527
-----одномерная 53, 520
----- плоская 56
-----трехмерная 49, 530
----- корректность поста-
новки 70
Закон преломления света 299
Замкнутость ортонормирован-
ной системы 341
--------собственных функций
349
— системы многочленов Ле-
жандра 374
Запаздывающий потенциал, см.
Потенциал запаздывающий
Заряд полный проводящего
эллипсоида 172
Излучение из сосредоточен-
ного источника 528
Интеграл Бесселя 559
— Пуассона для окружности
224, 470
-----для сферы 208, 494
— Фурье 509
-----в комплексной форме
512
-----четных и нечетных функ-
ций 510
— энергии 77
Интегральная формула Фурье
509, 510
•-------, схема применения в
математической физике 517
Квадратичная погрешность 337
Ковалевская С. В. 16
Колебание газа внутри сферы
501
----- в трубке 446
— мембраны 24, 25
----- круглой с закрепленным
краем 477
----- прямоугольной с закре-
пленным краем 473
----- свободное 30
— струны 17, 21
— — бесконечной 23
570
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Колебание струны, вынуждае-
мое синусоидальной силой
441
-----, начальные и краевые
условия 22, 23
----- полубесконечной 23
----- свободное 24
--------с закрепленными кон-
цами 315, 439
-----с одним подвижным кон-
цом 443
Конвективный член 31
Координатная линия 86, 88, 89
— поверхность 86, 88, 89
Координатные орты 89, 90
Координатный цилиндр 387
— четырехугольник 387
Координаты сферические 89
— цилиндрические 88
— эллиптические 95, 96
Корни многочленов Лежандра
375
— цилиндрических функций 564
Коши задача, см. Задача Коши
Коэффициент внешней тепло-
проводности 52
— внутренней теплопроводно-
сти 49
— Фурье по ортогональной си-
стеме 348
-----по ортонормированной си-
стеме 336
Коэффициенты Ляме 88—90,
101
Краевая задача 69
-----вторая (внешняя) 58, 60
-------- (внутренняя) 60
----- для круга вторая (внеш-
няя) 227
— — __ — — (внутренняя)
226, 227
----------первая (внешняя)
224, 470
— — — — — (внутренняя)
223, 224, 470
-----для полуплоскости вто-
рая 228
--------первая 225
-----для полупространства
вторая 219, 220
Краевая задача для полупро-
странства первая 212, 214
-----для шара вторая (внеш-
няя) 218, 219
— — — — — (внутренняя)
214, 215, 218
-----------первая (внешняя)
211, 491
— — — — — (внутренняя)
205, 209, 211, 481—491
-----первая (внешняя) 58, 60
-------- (внутренняя) 58, 60
----- теории потенциала дву-
мерная 195, 197, 220
— — — — , единственность
решения 164, 195, 197
-----------трехмерная 202
----- третья 60
Краевые условия типа А и Б
321, 322
Кратность собственного значе-
ния 327
Криволинейная система коор-
динат 85, 86
Круговые функции 470
Крылов А. Н. 16
Кулонов потенциал объемно-
распределенных зарядов 109,
ПО, 116, 125, 126
Лапласа оператор 39, 94, 95,
102, 126, 237, 390, 424
-----на поверхности сферы
408, 409
— уравнение 57, 64, НО, 137,
146, 148, 165, 177, 202
Левитан Б. М. 509
Лежандра многочлены 373—
382, 386, 412, 415, 417
— присоединенные функции
382—384
Линеаризация уравнений 38,
61
Линейное уравнение второго
порядка 61, 62
-----неоднородное 62
----- однородное 62
Линейные задачи, свойство на-
ложения решений 80
Линейный оператор 62
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
571
Линейный оператор гиперболи-
ческий 67
----- параболический 67
-----эллиптический 67
Линия без искажения 45, 285,
449, 538
Логарифмический потенциал
двойного слоя 191
----------- отрезка с постоян-
ной плотностью обложения
194
—----------1 поведение на бес-
конечности 192
-----------1 разрыв при пере-
сечении слоя 193
----- диполя 190
----- круга с постоянной плот-
ностью обложения 180, 188
----области 176, 178
--------, поведение на беско-
нечности 177
-------- , характеристические
свойства 178
-----простого слоя 188
-----Z-----отрезка с постоян-
ной плотностью обложения
193
-----------, поведение на бес-
конечности 189
-----------, разрыв нормаль-
ной производной при пересе-
чении слоя 193
----- точки 175
-----эллиптической области с
постоянной плотностью обло-
жения 182
Луч 292, 293, 295
—, физическое значение 294
Ляме коэффициенты 88—90,
100, 101
Ляпунов А. М. 16, 142
Ляпунова поверхность 142
— условия 142
Мембрана 24
—, колебания, см. Колебания
мембраны
Метод линеаризации 61
— наложения волн 249
Метод разделения переменных
387, 388, 391, 4'04, 410, 425
— Римана 272, 278
----, обобщение 301, 306
— собственных функций 325
-------, схема применения 428
— спуска 261
— усреднения по сфере 257
Многочлены Лежандра см.
Лежандра многочлены
----, интегральное представ-
ление 379
----, основные свойства 374—
382
----, рекуррентная формула
378
----t формула вычитания 415
— Чебышева 347
Момент диполя 146
Наложение стоячих волн 320
Наложения принцип 62
Неоднородность задач матема-
тической физики 79
Неравенство Бесселя 339, 348
Несущая линия слоя 188
— поверхность слоя 137
Норма многочлена Лежандра
376
— функции 326
Нормальная производная по-
тенциала простого слоя 157,
161, 162
Нормирующий множитель 327
Ньютона теорема о притяже-
нии эллипсоидальной поло-
сти 134
Ньютонов потенциал объемно-
распределенных масс 109,
ПО, 116, 125, 126
Обтекание шара безвихревым
стационарным потоком
496
Оператор Лапласа в криволи-
нейных координатах 94
----в сферических координа-
тах 95
572
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оператор Лапласа в цилиндри-
ческих координатах 94
-----в эллиптических коор-
динатах 102
Ориентируемая поверхность 147
Ортогонализации процесс 344,
345
Ортогональная система зам-
кнутая 349
Ортонормированная система 335
-----замкнутая 340
-----, построение в че-
тырехугольнике 342
----- полная 341
Остроградский М. В. 16, 103,
315
Остроградского формула 103,
106
-----, следствия 104—108
Ось диполя 145
Плоско-параллельное электро-
статическое поле проводя-
щего эллипса 198
Петровский И. Г. 16
Плотность зарядов, индуциро-
ванных на сфере 501
— линейная струны 19
— моментов двойного слоя
147
— обложения зарядами прово-
дящего эллипса 200, 201
----- области 176
-----слоя 188
— распределения зарядов на
проводящем эллипсоиде 170,
171
Поверхность Ляпунова 142
-- разрыва вторых некасатель-
ных производных 232, 233
— фазовая 240
— характеристическая, см. Ха-
рактеристика
Потенциал двойного слоя 147,
148
--------на замкнутой поверх-
ности с постоянной плотно-
стью моментов 162
--------, поведение в точке
слоя 154
Потенциал двойного слоя, по-
ведение на бесконечности 148,
150
-------- постоянной плотности
моментов 152—154
--------, разрыв при пересе-
чении слоя 157
--------, распределенного по
круглому диску с постоян-
ной плотностью моментов
163
--------, случай замкнутой не-
сущей поверхности 151
--------1 — постоянной плот-
ности моментов слоя 150
--------, существование пря-
мого значения 154, 156
— диполя 146
— запаздывающий 260, 314
— заряженного кольца 497
— логарифмический, см. Лога-
рифмический потенциал
— объемно - распределенных
масс (зарядов), поведение
на бесконечности ПО, 112
-------------- , характеристи-
ческие свойства 125, 126, 128
— однородного вытянутого эл-
липсоида вращения 134
— — круглого диска 140
-----сплюснутого эллипсоида
вращения 136
-----шара 112, 114, 135, 136
----- эллипсоида 129, 130
— однородной сферической обо-
лочки 138
— поля 57
— простого слоя 137, 141
--------, дифференцируемость
во внешних точках 137
--------, непрерывность 144,
145
--------, поведение на беско-
нечности 138
--------, разрыв нормальной
производной при пересече-
нии слоя 157, 161
--------, существование пря-
мого значения 144
— скоростей 59
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
573
Приближение наилучшее функ-
циями ортонормированной си-
стемы 338
Привалов И. И. 126
Присоединенные функции Ле-
жандра 382, 384
Производная материальная
(субстанциональная) 31
— местная (локальная) 31
— цилиндрической функции
552, 566
Производящая функция для
многочленов Лежандра 380
--------цилиндрических функ-
ций 558
-----, разложение по много-
членам Лежандра 381
Пуассона двумерное уравнение
178
Пуассона интеграл см. Инте-
грал Пуассона
— уравнение 57, 125
Пучность 241
Расходимость (дивергенция) в
криволинейных координатах
93
Риман 268
Римана метод 268—280
-----, обобщение 301—307
— обобщенная функция 301,
307
— функция 272, 275, 276
Ряд Фурье двойной 459
— — по ортогональной систе-
ме 348
-----по ортонормированной си-
стеме 336, 348
-----по основным сферическим
функциям 415
-----по собственным функ-
циям, сходимость 349
-----, почленная дифференци-
руемость 351
Самосопряженность задачи 331
Сдвиг фаз 240
(Sx)-волна 239, 242, 243
Соболев С. Л. 16
Собственная функция 324, 326,
331
Собственное значение 324, 326
-----, асимптотический закон
возрастания 359, 360, 395—
397
----- кратное 327
— — , оценка снизу 333
----- простое 327
-----, связь со значением
функционала 332
-----, существование 349
Собственные функции операто-
ра Лапласа для прямоуголь-
ника 390
----------для прямоуголь-
ного равнобедренного тре-
угольника 400
----------для круга 403
----------дЛЯ сферы 408
----------для цилиндра 407
----------для шара 420
-----, расположение узловых
линий 397, 399
-----, полнота системы 349
Спектральная функция 509
Спектр задачи 506
Стационарное распределение
температуры в бесконечной
призме прямоугольного сече-
ния 455
-------- в цилиндре 481
Стеклов В. А. 16, 315, 340,
349
Струна идеальная 17
Сферическая функция 412, 418
----- зональная 417
----- секториальная 417
-----тессеральная 417
Сферические функции основ-
ные 412, 416
-----,— свойства 413
Сходимость в среднем 340
Телеграфная линия ограничен-
ная 448
----- полубесконечная 534
Телеграфное уравнение 45
-----, начальные и краевые
условия 46
574
АЛФАВИТНЫЙ. УКАЗАТЕЛЬ
Телеграфное уравнение, реше-
ние для бесконечной линии
280
Телесный угол 151
Теплопроводность в бесконеч-
ном стержне 526
— внешняя 51
— в ограниченном стержне
21451
— в трехмерном пространстве
530
Тихонов А. Н. 16, 520
Узел 241, 319
Узлы основных сферических
функций 416
— собственных функций для
прямоугольника 397
Уплотнение 37
Уравнение акустики 40
-----, интегрирование с по-
мощью рядов 546
— гиперболическое 64, 66, 67
— колебаний мембраны 29
-----струны 21
— Лапласа 57, 64
— неразрывности 32, 33, 38
----- линеаризированное 38
— параболическое 64, 66, 67
— Пуассона 57, 125
-----двумерное 178
— смешанного типа 65
— теплопроводности 68
-----для стержня 55
-----линейное 55
-----, начальное и краевые
условия 50, 52
-----одномерное 53, 55, 64,
520
— цилиндрических функций
247, 275, 364, 545
— Эйлера 34, 36
----- линеаризированное 39
— электромагнитных колеба-
ний 48
— эллиптическое 64, 66, 67
Уравнения Максвелла 47
Условие замкнутости 341, 349
Условия краевые (граничные)
Условия Ляпунова 142
— начальные 68, 69
— ортогональности системы
координат 87
Усреднение функции по сфере
257
Устойчивость решения 70
Фаза 240
Фронт волны 232, 292, 297
-----, скорость движения 236—
238
Функции Лежандра от cos t
386
-----присоединенные 382—
385
Функционал 328, 331
— билинейный 328
— квадратичный 328
Функциональное уравнение гам-
ма-функции 541
Функциональный определитель
85
Функция весовая, см. Вес
— влияния 203
----- для второй краевой за-
дачи 205
-----для плоской области 221
-----для шара 206
— гармоническая 208
— нормированная 327
— ошибок 526
— Римана 272, 275, 276
-----обобщенная 301, 307
— цилиндрическая второго ро-
да 549, 550
-----первого рода 548, 550
-----третьего рода 550
Фурье интеграл 509, 510,
512
----- двойной 516
— интегральная формула 509,
510
— коэффициент 336, 348
— ряд 336, 348, 351, 415
Характеристика 235, 292, 296,
297
Хладниевы фигуры 399
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 575
Цилиндрическая функция вто-
рого рода 549, 550
-----первого рода 548, 550
-----третьего рода 550
Цилиндрические функции, асим-
птотические представления
559, 562, 563
-----от мнимого аргумента
565
— — порядка, равного целому
числу с половиной 555
-----, рекуррентные соотно-
шения 552, 554, 566
Чебышева многочлены 347
Шаровая функция 417, 418
-----внешняя 419
----- внутренняя 419—423
Эйлер Л. 16, 64
Эйлера уравнение 34, 36, 39
Электростатическое поле вну-
три бесконечного круглого
цилиндра 465
------- прямоугольной беско-
нечной призмы с проводя-
щими гранями 459
-------сферы, составленной
из изолированных проводя-
щих полусфер 494
-------шара 487
-----заряда, индуцированного
на сфере точечным зарядом
499
-----проводящего эллипсоида
167
Редактор 3. Я» Шапиро.
Техн, редактор Н. Я» Мурашова.
* * *
Подписано к печати 12/11 1951 г.
Бумага 84Х1081/32. 9,0 бум. л.
29,52 печ. л. 30,78 уч.-изд. л.
41 703 тип. зн. в печ. л. Т-01416. Тираж
5300. Цена книги 18 р. 53 к. Перепл. 2 р.
Заказ № 2114
$ * $
4-я типография им. Евг. Соколовой
Главполиграфиздата при Совете Мини-
стров СССР. Ленинград,
Измайловский пр., 29.
” &Й.&ЛИОТ i-'KA ИНЖЕНЕРА
В.И.ЛЕВИН и H 'РОСБЕк
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ