Текст
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ ПОВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А.Шевченко
Под редакцией С. Н. Федина
Сборник задач по высшей математике
С контрольными работами
Ряды и интегралы
Векторный и комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей
Операционное исчисление
2 курс
Издание третье, исправленное
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2005
УДК 510.2(076)
ББК 74.262 Л82
Серийное оформление А. М. Драгового
Библиотека ЫТУСИ _
Лунгу, К. Н.
Л82 Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко; под ред. С. Н. Федина. — 3-е изд., испр. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 592 с.: ил. — (Высшее образование).
ISBN 5-8112-1496-0
Книга является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего несколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во П-IV семестрах технических вузов.
По сути, эта книга — удобный самоучитель, который позволит студенту быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии. Этому способствуют необходимые теоретические пояснения ко всем разделам сборника, детально разобранные типовые задачи, изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения, а также наличие контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов.
Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов для проведения семинарских занятий.
ББК 74.262
УДК 510.2(076)
ISBN 5-8112-1496-0
© Айрис-пресс, 2004, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................
Глава 1- РЯДЫ
§ 1 Понятие ряда. Ряды с положительными членами............
§ 2 Знакопеременные ряды...................................
§ 3- Степенные ряды........................................
§4	. Ряды Фурье............................................
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§	1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными....
§2	. Однородные дифференциальные уравнения.................
§3	. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли................
§4	. Уравнения в полных дифференциалах.....................
§5	. Уравнения Лагранжа и Клеро............................
Контрольная работа.........................................
§6.	Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков..
§	7. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка...
§	8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений......
Контрольная работа.........................................
5
7
21
32
42
52
64
68
74
78
80
82
94
113
124
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1	. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления........ 127
§	2. Замена переменных в двойном интеграле................. 143
§3	. Применения двойного интеграла......................... 153
§4	. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение.... 168
Контрольная работа......................................... 184
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§	1.	Криволинейный интеграл	первого	рода................... 187
§	2.	Криволинейный интеграл	второго	рода................... 200
§3	.	Поверхностный интеграл................................ 218
Контрольная работа......................................... 231
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня.
Векторные линии........................................... 235
§2	.	Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. 242
§	3.	Поток векторного поля................................... 247
4-	Циркуляция векторного поля............................... 257
S5.	Потенциальные и соленоидальные поля..................... 264
Глава б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ Элементы комбинаторики............................... 271
Случайные события. Действия над событиями........... 281
3
§ 3.	Вероятность случайного события.......................... 291
§ 4.	Условная вероятность.................................... 302
§5.	Формула полной вероятности. Формула Бейеса.............. 313
§ 6.	Схема испытаний Бернулли................................ 321
§ 7.	Приближенные формулы в схеме Бернулли................... 326
Контрольная работа........................................... 333
§8.	Дискретные случайные величины........................... 338
§ 9.	Непрерывные случайные величины.......................... 347
§ 10.	Числовые характеристики случайных	величин.............. 357
§ 11.	Важнейшие распределения случайных	величин.............. 370
§ 12.	Системы случайных величин.............................. 385
§ 13.	Функции случайных величин.............................. 410
§ 14.	Предельные теоремы теории вероятностей...............,... 428
Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1.	Основные элементарные функции комплексного переменного.. 439
§ 2.	Аналитические функции................................... 444
§ 3.	Интегрирование	функций комплексного переменного......... 453
§ 4.	Ряды Лорана. Изолированные особые точки................. 465
§ 5.	Вычеты................................................   477
Контрольная работа........................................... 484
Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1.	Оригинал изображения. Преобразование Лапласа.
Нахождение изображений................................. 487
§2.	Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению... 497
§ 3.	Приложения операционного исчисления................... 509
Контрольная работа......................................... 519
Ответы..................................................... 522
Приложения................................................. 589
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предисловие для студента
Привет! Тебе здорово повезло. Эта книга как раз то, что тебе нужно. Посуди сам:
•	это не просто задачник, а еще и самоучитель — по нему можно научиться решать задачи даже без преподавателя;
•	эта книга поможет тебе подготовиться не только к зачету, но и к экзамену — ты найдешь в ней не только необходимые определения и теоремы по каждой теме (и все это кратко, без утомительных комментариев), но и типичные задачки и вопросы, которые даются на экзамене;
•	ты найдешь здесь задачи любого уровня сложности — от простых до таких, которые удовлетворят даже самых продвинутых в твоей группе;
•	прочитав подробно разобранные примеры, ты без проблем разберешься с любым типом задач.
В общем, с этой книгой не пропадешь! Имей в виду, что у этого задачника есть еще и первый том. Удачи тебе на сессии!
Предисловие для преподавателя
Первая часть этой книги («Сборник задач по высшей математике. 1 курс») была очень хорошо принята читателями и к настоящему времени выдержала несколько переизданий. В данном сборнике задач, охватывающем традиционный курс высшей математики в объеме второго курса технического вуза, сохранены все принципиальные особенности первого тома.
Каждая новая тема предваряется необходимыми теоретическими пояснениями, включающими важнейшие определения и теоремы. Затем идет блок задач на эту тему, по объему и структуре соответствующий стандартному семинару по высшей математике: сначала подробно разбираются 1-2 типовые задачи на тот или иной прием, после чего предлагается 3-6 аналогичных задач на его закрепление. Затем точно так же осваивается другой стандартный навык при решении задач на данную тему и так далее. В конце каждого раздела помещен существенно больший по объему блок задач для самостоятельной работы студентов дома (именно отсюда преподаватель может брать задачи для домашних заданий). Кроме того, в особый пункт, завершающий любую изучаемую тему, включены задачи повышенной сложности и «качественные» вопросы, обычно предлагаемые на экзаменах по высшей математике. Дополнительное удобство Для преподавателей представляют контрольные работы в каждой главе книги.
Таким образом, данный сборник задач будет несомненно полезен преподавателям для проведения практических занятий (есть теория, есть разобранные Примеры, есть задания для семинара и на дом) и студентам для самостоятельной работы, в качестве самоучителя.
В сборнике свыше трех тысяч задач, и практически ко всем из них даны Ответы или подробные решения и указания.
5
Книга написана преподавателями нескольких различных московских вузов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. При этом главы 3, 4 и §§ 6-8 главы 2 написаны Лунгу К. Н.; главы 5 и 8 — Нориным В. П.; глава 6 и §§ 1-5 главы 2 — Письменным Д. Т.; главы 1 и 7 — Шевченко Ю. А.; Куланин Е. Д. написал § 4 главы 1.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу: 141103, Моск, обл., г. Щел-ково-3, а/я 140; или по адресам электронной почты: chislovo@yandex.ru или editor@airis.ru (обязательно указать тему: «Задачник»).
Авторы
Авторы и издательство благодарят преподавателя математики Пайкову Л. И. из Днепропетровска (Украина) за ценные замечания, которые были учтены в данном издании.
Принятые обозначения
определение
Q	начало решения задачи
Ф	конец решения задачи
N	множество натуральных чисел
Z	множество целых чисел
R	множество действительных	чисел
R2 действительная плоскость
R3	действительное трехмерное	пространство
С множество комплексных чисел U объединение множеств
Г) пересечение множеств
А С В А — подмножество множества В (А В) А С В А — подмножество множества В
V любой, для любого = тождественно равен sign(x) знак числа х
Глава 1. РЯДЫ
□
§1. ПОНЯТИЕ РЯДА. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда
Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)
ai, аг, аз,..., ап,...
Числовым рядом называется выражение вида
й1 + аг + аз + ... + ап + ...
оо
Сокращенно ряд обозначают следующим образом: ^2 0171  При этом числа
71 = 1
а1,аг,аз,... ,ап,... называются членами ряда, а число ап — общим членом ряда. Суммы вида
<Si~ai, 5г = oi + аг, - - •, Sn = ai + аг + аз + •.. + ап,...
называются частичными суммами ряда. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности {5П} его частичных сумм:
S = lim Sn.
71—ЮО
В этом случае указанный предел называется суммой ряда.
Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то числовой ряд на-71—ЮО
зывается расходящимся и суммы не имеет.
Простейшие свойства рядов. Необходимый признак сходимости
Теорема 1.1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится.
Таким образом, сходимость ряда не меняется при отбрасывании любого конечного числа его членов.
7
ОС
Теорема 1.2. Пусть ряд Лп сходится, и его сумма равна S. Тогда ряд
П = 1
ОС
53 аап = aai + аа2 + ... + аап + ..где а — произвольное число, также
71=1
сходится, причем его сумма равна aS.
оо	оо
Теорема 1.3. Пусть ряды 53 °™ и 53 сходятся, и их суммы, соответствен-п=1	П=1
оо
но, равны 51 и Тогда ряд 53 (°« + М = (°i + М + (аг + Ьг) + • • • также
71 = 1
сходится, причем его сумма равна 51 + 52.
Необходимый признак сходимости
О©
Если ряд 53 ап сходится, то общий член ряда ап стремится к нулю при п=1
п —> оо, т. е.:
lim ап = 0. п—>оо
о©
Таким образом, если lim ап / 0, то ряд 53 Лп расходится.
п->о°	71 = 1
Ряд a + aq+aq2 +... + aqn~1 +..., составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом а ф 0, называется геометрическим рядом. Если |g|	1, то геометрический ряд расходится, если
|g| < 1 — сходится (при этом его сумма 5 находится по формуле 5 =	—).
111 00 1
Ряд 1 + ^ + - + ...-Ь — + ..., или, что то же самое, 53 ™ > называется гар-23 п	п=1 п
11 1 моническим. Гармонический ряд расходится. Ряд 1 + — + — + ... 4—т + ..., 2Р Зр	пр
где р > 0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при р > 1 и расходится при 0 < р 1. Частным случаем ряда Дирихле (при р = 1) является гармонический ряд.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
1-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 53 а'п и 53	— ряды с положительными членами, причем ап Ьп
71 = 1	71=1
для всех номеров п, начиная с некоторого. Тогда: оо	оо
1) если ряд 53 Ъп СХОДИТСЯ, ТО СХОДИТСЯ И ряд 53 an'i
71=1	П=1
оо	оо
2) если ряд 53 ап расходится, то расходится и ряд 53 ^п-
П=1	71 = 1
8
2-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 52 °п и 52	— ряды с положительными членами, причем суще-
71=1	П = 1
ствует конечный и отличный от нуля предел
lim
п-чоо Ьп
ОО	оо
Тогда ряды 52 и 52 сходятся или расходятся одновременно. п=1	п=1
При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при п —> оо):
sin й ~ ‘в й ~ arcsin й ~ Mct8 й ~ In С1 + й) ~ Й-
Признак Даламбера
оо
Пусть 52 °п — ряд с положительными членами, и существует конечный п=1 предел
т Gn-f-l ,
Inn —— = I. п—>оо ип
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Признак Коши
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный п=1 предел lim = /• n—>оо
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Интегральный признак сходимости
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, для которого существует п=1
положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1, +оо) Функция f(x) такая, что /(n) = ап, n = 1,2,...
+оо
ОО	/»
Тогда ряд 52 ап и несобственный интеграл / /(ж) dx сходятся или рас-n=l	J
1
годятся одновременно.
9
1.1.1.	Для каждого ряда написать формулу частичной суммы 5П; найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо
сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:
а)	1 + 2 + 3 + .. .4-п + ...;
6)	+ •  • 4—. 1 . + ....
'12	2-3	3-4	пуп +1)
Q а) Так как ч^ены ряда 1 + 2 + 3 + ... + п + ... представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1, и разностью, равной 1, то по формуле для суммы первых п членов арифметической прогрессии получим:	1
Отсюда lim Sn = lim j?77 • п = lim J(ti + n2) = +oo. Следователь-n—>oc	n—>oo 2	n—>oo 2
но, ряд расходится. Таким образом Sn = —-— • ti; lim Sn = +oo; ряд 2	n—>oo
расходится.
б) Так как 1	=	-----7+г то
71(71+1) П 71+ Г
Отсюда lim Sn = lim (1----------т) = 1. Значит, ряд сходится, и его
сумма равна 1.
Окончательно: Sn = 1-----7-7; lim Sn = 1; ряд сходится.	•
71+1 п—>оо
Для каждого ряда в задачах 1.1.2-1.1.8:
1)	написать формулу частичной суммы Sn;
2)	найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо
3)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.6. е
71=1 ОО
1.1.7. Е
1.1.2.	1-1 + 1-1 + ... + (-1)п-1 + ...
1.1.3.	1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) + ...
1.1.4.	2-4 + 6- 8 + ... + (-l)n+1 - 2п + ...
1.1.5.	1 + 2 + 4 + ... + 2П-1 + ...
2	1
3 2П-1
1
(2ti — 1)(2т? + 1)
1.1.8.	In 2 + In ^ + In ?| + • • • + 1п (1 +	+ ....
2	3	\	/t/
10
1.1.9.	Найти предел при п —> сю общего члена ряда ап. Если lim ап
0, то, применяя необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится.
\ у-' n + 1	j-x	тг 4~ 2
\^12п+Г	\tiln(n + l)-
оо ~.2
Q а) Найдем предел общего члена ряда:
lim ап = lim 1 =
г—>оо	п—>оо Z72 + 1
Разделим числитель и знаменатель дроби на
п
1.	1 + п
= lim ---------—
n—>оо Oil.
Z + П
1 п

lim (2 +
значит, ряд расходится.
Итак, lim ап = у; ряд расходится, п—>оо	2
б) Так как при п —> оо имеем (тг + 2) —> оо нахождения предела lim ап воспользуемся правилом Лопиталя:
сю, то для
г х + 2 г (я+ 2)'	1	(	.
hm —------— = lim — -------—- = lim — -------= lim (т + 1) = оо.
X —>оо ln(a; + 1)	х —>оо (1П(Я + 1))'	X —>оо	i	X —>оо
(s + 1)
Отсюда следует, что lim ап = lim . ?	= оо 0, и ряд расходится.
п-юо п->оо 1п(тг + 1)
в) Найдем предел общего члена ряда:
г	г п2
hm ап = hm —--------=
п—>оо	п—>оо 77,15 + 2
Разделим числитель и знаменатель на п3.
9 о	1	lim
= lim z " ;”3 . = lim	" ч =2 = 0.
п->оо (пз + 2) : n3 n->oo1 + _L lim (1 + —)	1
Так как lim ап = 0, то данный ряд может сходиться, а может и расхо-п	п—>оо
ЛИТЬСЯ.
На самом деле, данный ряд, как будет показано ниже, расходится, однако, используя только необходимый признак сходимости, доказать этого нельзя.
Таким образом, lim ап = 0; ряд может сходиться или расходиться. п—>оо
11
В задачах 1.1.10-1.1.17 найти предел при тг —> оо общего члена ряда ап. Если lim ап 0 0, то, применяя необходимый признак сходимости, п—>оо
установить, оо
1.1.10.
что ряд расходится.
оо
1.1.12.
1.1.14.
71=1 оо
2п — 3‘
5П
1.1.13.
п=1 1(1 х
ОО	-I
Ssinn-
71=1 ОО
1.1.15.
п=1 Т
. П2 + 1
оо (_nn-l .п
п=1 оо
п
1.1.16.
п=1 т \	)
Применяя 1-й признак сравнения, 2 4- sin тг ряд Е —п—* п=1
1 г> . •	\ 1	2 4- sin тг
sj 1ак как smn —1, то 2 4- sinn 1, откуда
1.1.18.
n=l v 7
исследовать на сходимость
оо
расходится, значит, расходится и большей ряд 52 п=1
1	00 1
Ряд £ ± lb	It	•—I b
n=l
2 4- sin тг тг	w
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
arctg тг 4-1
п=1 тг g 1птг n=i \/тг
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. оо
1.1.19.
1.1.21.
ОО
1.1.20.	52
тг=1 оо
1.1.22.	52
п=1
2П
1.1.23.
оо
71=1 оо
П=1
\/тгб 4- 2тг — 2
71=1
неограниченно растут
1 V 1b-Г Л.
Э а) Числитель и знаменатель дроби
при тг —> оо. Скорость роста числителя (тг4-2) определяется слагаемым п, г. е. числитель «растет как тг» при тг —> оо. Более строго: lim = 1, что также можно записать в следующем виде: тг 4- 2 ~ тг, тг —> оо (т. е. последовательности п 4-2 и п эквивалентны при тг —> оо). Аналогично, скорость роста знаменателя (тг2 4-тг-Ь 1) определяется слагаемым тг2, т. е. зна-2	< г?	г тг2 4- тг 4-1	!
менатель «растет как т?» при тг —> оо. Более строго: hm ---------= 1,
п—>оо	72^
что также можно записать в виде: тг24-тг4-1 ~ тг2, тг —> оо (последова-
12
ТеДЬНОСТИ n2 + 72 + 1 И 722 эквивалентны при 72 -> оо).
„	(п 4- 2) ~ п п 1
Таким образом, —т---------------« ~ —г = —. В других обозначениях:
(?22 + 71 + 1) ~ 722 П2 П
v ( тг 4- 2	1\ г п2 4- 2тг
п-юо + тг + 1 ’ьу п->оо п + 1
(п2 4- 2п) : п2	1 4-1
lim —---------------- = lim -----z----— = 1.
п->°° (тг2 + 72 + 1) П2 п->ос 1 4- 1 4-
°о ।
Так как ряд Н расходится, то расходится и исходный ряд. п=1
ЛГ	Л	+2
б j Учитывая, что и числитель и знаменатель дроби	----не-
х/тг6 4- 2тг — 2
ограниченно растут при п -> оо, запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений:
Пу/п + 2	п^/п _ П2 _ 1
х/п6 4-271 - 2	х/пё тг3 J
(тг —> оо).
ОО 1
Так как ряд ~ сходится, то сходится и исходный ряд. n=1 72 2
в) Так как In П-^~ = In (1 + хй ~ 7 (тг -> оо), то =7= In —~ '	tv	у	г L j	I v	'	о /7^
111 00 1
~ 77= ’ = = —г (тг -> оо). Ряд	~Г сходится, значит, сходится и
„1	”=1тЛ
исходный ряд.	О
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.24.
1.1.26.
1.1.28.
1.1.30.
1.1.32.
1.1.34.
72 — 1
х/тг3 4- Зтг — 1
тг • sin -7-п2
1.1.25.
1.1.27.
1.1.29.
1.1.31.
1.1.33.
2 2~п
П^1 723 4- 72 - 1 оо 1
Е 1 -
п=1 хЛг2 4- 3
ОО	1
V"*	• 2	1
>, arcsin
00
Е п5 • tg3
П=1
2
оо
Е
П=1
13
ОО
б) ч
1.1.35. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Далам-бера: оо 5
а) S п=1 о
Q а) Преобразуем выражение Q^+1 ип
Qn+1 = (п + I)5 . п5 = (п + !)5 3n+1 _ 1 . Л	iy
®n	g(n+l) + l Зп+1	3 \
1	/	1	\	/	1 V
Так как — —>	0 при п	—>	оо, то	(1	+	— )	—> 0	и	(1	+	—	—> 0 при тг —>	оо.
9 L	\	9 и 9	*	if»/
Значит, г ап+1 1 .. (л 1 lim —— = тт lim 11 + 77 п—>ОО ип о п—>оо \ ,L
и исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
б) Поскольку
Qn+i = (?г + l)n+1 Пп = (тг + l)n+1 п\ = ап (тг + 1)! ' тг! тгп (тг + 1)!
= (тг + 1)га • (тг + 1)	l-2-З-...-п	= /тг + IV = Л , 1V
тгп ‘ 1 • 2 • 3 •... • тг • (тг + 1)	\ п )	\	’
то
lim ”+1- = lim fl + ^-j = e > 1 (2-й замечательный предел), п—>оо	п->оо \
и, значит, исходный ряд расходится.
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать ,.	ап+1 hm	. п->оо ип				
1.1.36.	оо Е	2П 2 '	1.1.37.	оо з 2-/ ОП •
	П=1	тг		П=1
1.1.38.	оо £ П=1	Зп тг!	1.1.39.	- (п!)2 п=1 (2тг)!‘
1.1.40.	оо £ П=1	тгп тг!2п’	1.1.41.	“ 1-4-...(Зп-2) „=1	п12п
	оо	1 • 3 • 5 •... • (2п - 1)		
1.1.42.	V			
	П=1	2 • 7 • 12 •... • (5тг - 3)		
1.1.43.
Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:
оо
О а) Учитывая, что
П=1
тг + 2 \3+п
2тг + 1 /
14
..	71 + 2	1	i.	/о	1 \	о
a hm о—ГТ	=	о	и	11111	(3 +	т	= 3, получим
п—>сю 2 71 + 1	2	п—>оо	\	п /
Исходный ряд сходится по признаку Коши. /---------------------------------^7	п2	1	п
б) Так как	\ п- (1 —	= пп (1 — n = пп • (1 —
'	V	V \	/ v /	\	IV ]	\	* /
—	/	1 \ п
то остается найти пределы lim пп и lim (1 — — ) .
п—>оо	п—>оо X '1 /
1	1	1
1)	Поскольку пп = е1п(пП)} где ln(nn) = + Inn, то по правилу Лопи-таля	।
lim = lim = lim f = О,
п—>ОО 'ь П—¥ОО (П)	п—>оо 1
- 11
откуда lim пп = lim е« пп = е° = 1. п—>оо	п—>оо
2)	Так как lim (1 + Ц) = е" (следствие из 2-го замечательного пре-
дела), то lim (1 — — ) = е~1. Отсюда
п—>оо \	’ь/
— (	1\п	1	( l\n -1	1
lim = lim пп • I 1 — — ) = lim пп - lim I 1 — — I = e =	< 1,
n—>oo	n—>oo	\	’*'/	n—>oo	n—>oo \	'l/	c
и, значит, исходный ряд сходится.
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать lim V^n-п—>оо v
1.1.44.
1.1.46.
1.1.48.
1.1.50.
00 1
Исследовать на сходимость ряд V —;—, применяя интеграль-71 In 71
ный признак. Указать первообразную для функции f(x)
а
Q Так как ап = ——, то f(x} =	—. Проверим применимость ин-
71 Ш 71	х In х
тегрального признака Коши. Очевидно, что функция f(x) непрерывна
и принимает только положительные значения на промежутке (2, +оо). Убедимся, что f(x) монотонно убывает на этом промежутке.
15
Пусть 2 < Xi < Х‘2. Тогда In^i < 1пх2 и xi lna?i < x-2 lna?2, откуда f(Xl) = —> —J— = Tilnrri ar2lna;2
Итак, функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке (2,+оо), значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости.
Найдем неопределенный интеграл / f(x) dx:
rdQnx) = l-d(}nlnx}=lnlnx + a
J X In X	J In X J
Первообразной для функции f(x) является, например, функция In In х.
м
Вычисляя несобственный интеграл J, получим 4-oo	M	2	-
]im J X In X Л/->4-оо J Х1ПХ 2
lim (In In x
M—>4-00 \
2
2
lim (In In Л/ — In In 2) = +oo. M-++CO
Так как несобственный интеграл
ОО 1
ряд £ —j—•
„_2 72 1П 72
4-oo f dx J x In x 2
расходится, то расходится и
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука
зать первообразную для функции f(x) и i
а
ОО 1
1.1.51. Е —*=•
п=2 /гут/г ОО
1.1.53. Г -----------
1.1.52.
ОО
n=l
оо
Г —
77 Р
П=1
0.
применяемые признаки. До-
Исследовать ряд на сходимость. Указать полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап; п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim п—>о<
4)	для признака Коши — lim Ч/ап,
П—>ОО	р
5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и f(x)dx.
а

2/г + 3 пЪ 3/2-2-
оо „2
1.1.56. Е
П—1 °
16
1.1.57.
1.1.59.
1.1.61.
1.1.63.
1.1.65.
1.1.67.
1.1.69.
1.1.58.
1.1.60.
1.1.62.
1.1.64.
1.1.66.
1.1.68.
1.1.70.
Дополнительные задачи
Для каждого ряда:
а)	написать формулу п-й частичной суммы Sn;
б)	найти предел lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п-^оо
в)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.71.
1.1.72.
1.1.73.
1.1.74.
1.1.75.
1.1.76.
£ 1 = 1 + 1 + ! + ... + 1 + ...
П=1
Е (—п) = — 1 — 2 — 3 —	— п — ...
П=1
£ (-1)"  (2п - 1) = -1 + 3 - 5 + 7 - ... + (-1)п • (2п - 1) + ... П=1
V 1	-1 4. 1 4- 1 4-	4-	1	4-
00 /г	1 \
12	+ (- 1)п • I) = 2 + 3 + 2 + 3 + ... + 2 + 3 + -..
2п +1 =	3	,	7	,	, 2п + 1
~!П2(п + 1)2 I2 • 22 З2 • 42 п2(п + 1)2
Найти предел общего члена ряда ап. Если lim ап ф 0, то, применяя п—нх>
необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится.
1.1.77.
1.1.79.
1.1.81.
00	1
Е COS—.
п=1	П
1.1.78.
1.1.80.
1.1.82.
оо
Ein
П=1
ЗТ2- 1
2п + 3
оо
Е arcctg
П=1
П + 1
п2 - 3
17
1.1.83.
£ 7=-n=l \/nl -I- 1
1.1.84.
n + 3
n=i 3n2 - 1
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
оо COS ( п j 1.1.85. е ; ’. 71=1 ~	~ 1п(п 4-1) 1-1.87. Е п ' 71=1	1Л-86- „SnV оо on-l 11-“-
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.89.	оо Е П=1	2 + 72 п2 - 3
1.1.91.	оо £	723 + ЗП2 - 2
	77=1	2п + 5 — 725
1.1.93.	оо Е 71=1	2 4- 3-^/tz 2п — 5
1.1.95.	оо £	i /72 + 2\ П1 п )'
	71=1	
1.1.97.	оо £	] 722 4- 4 72 Ш —		.
	71=1	п2 4-3
1.1.99.	оо Е 71=1	5П 2п + тг'
1.1.90.
1.1.92.
1.1.94.
1.1.96.
1.1.98.
2п4-3
„=13п-2' ОО	-
£  -
п=1 \/п4 + П2 — 1
"=1 \/n4 + Vrfl
ОО	1
£ arctg3 —.
n=l	vn
OO	rt
E»4-sin2^.
n=l
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать
lim п—>оо
fln+1
1.1.100.	оо Е	п7 п 
1.1.102. 1.1.104.	П=1 оо Е П=1 оо Е П=1 оо	52 id тг! ’ тг!Зп п" 2 • 5 • 8 ... • (Зп - 1)
1.1.106.	Е п=1	1 • 5 • 9 •... • (4п - 3)'
ряд на сходимость,
1.1.101. £
П=1
оо
1.1.103. £
П=1
оо
1.1.105. £
П=1
1 • 3 • 5 •... • (2тг - 1)
п2 -Зп
Исследовать lim 2/а^. п—>оо
применяя признак Коши. Указать
О° I /	1 \ п
1-1.107. E|l+i
п=1*	'	'
18
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука
зать первообразную для функции f(x) и J f(x)dx.
а
ос	1
1.1.114. У ------------±---------
п=2 (2тг “Ь 1) 1п(2тг -Ь 1)
СО	1
1.1.116. у----------±------.
n=2 п In тг(1п In тг)
1.1.113. Е п=2
СО	1
1.1.115. £	—1 — .
„-о п In п In In П f Ъ — А
В задачах 1.1.117-1.1.131 исследовать ряд на сходимость и указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim ;
n->oo un
4)	для признака Коши — lim Ц/а^;
n->oo	+оо
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и J f(x)dx.
а
g 2тг + 1
П=1 тг(тг + 2 ОО	/
00	/«2 I о
1.1.121. У In (	+
71=1
1.1.123. у cos
71=1 ОО (•
1.1.125. У
п=1 (тг!
оо
1.1.127. У —
71=1 (Зтг — 1) 1п(3тг — 1) 00	/	— Ч \ n+i
1ЛЛ29-•
1 1 iqi	^тг -И 1
1.1.131. У sin--—.
71=1	«
< П2 , 2тг + 1
Зтг + 2'
оо
1.1.118.	У
71=1
ОО
1.1.120.	У
71=2 оо
1.1.122.	У
71=1
ОО
1.1.124.	У
71=1
ОО
1.1.126.	У
71=1
ОО
1.1.128.	У 71=1
ОО
1.1.130.	у
3”
тг1п2 тг
2 + (-1)п тг
пп‘
2
V3
п=1 Зтг 'уДъ
19
2 п
Контрольные вопросы и более сложные задания
оо
1.1.132.	Можно ли утверждать, что ряд 52ап сходится, если liman = 0? п=1	п^°°
оо
1.1.133.	Является ли необходимым для сходимости ряда 52 ап условие:	n=1
a)	lim ап ^2; п—>оо
б)	не все члены ряда — числа ап — равны 2;
в)	lim ап 0; п—>оо
г)	не все члены ряда — числа an — равны 0 ?
1.1.134.	Верно ли, что
а)	если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены;
б)	если частичные суммы ряда ограничены, то ряд сходится ? 1.1.135. Существует ли ряд, который
а)	по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши —
расходится;
б)	по признаку Коши сходится, а по признаку Даламбера — расходится;
в)	по признаку Даламбера расходится, а по интегральному признаку — сходится ?
оо
1.1.136.	Что можно сказать о сходимости ряда 52 (°п + Ьп), если 71=1
ОО	ОО
а)	ряды 52 fln и 52 сходятся; п=1	п=1
оо	оо
б)	ряды 52 On И 52 &п расходятся;
П=1	П=1
оо	оо
в)	ряд 52 ап сходится, а ряд 52 расходится ? П=1	П=1
оо
1.1.137.	Из того, что ряд 52 (an + Ъп) сходится, следует ли, что
П=1 оо	оо
а)	оба ряда 52 ап и 52 Ьп сходятся; П=1	71=1
ос	оо
б)	оба ряда 52 ап и 52 расходятся; п=1	П=1
оо	оо
в)	один из рядов 52 ап и 52 сходится, а другой — расхо-п=1	П=1
дится ?	__________
о о тт	у/п2 +	— \/п2—п-1
1.1.138.	Исследовать на сходимость ряд > , -----------.
П=1 ГС рП„| 1.1.139. Исследовать на сходимость ряд 52 —ТГ-п=1 п
20
оо
1.1.140.	Исследовать на сходимость ряд £2 ап, где П=1
3fc-i
I 4fc-l ’ п -	1;
°п = ) оЛ-1
ИЦ-, п = 2к,
а) по признаку Даламбера; б) по признаку Коши.
1.1.141.	Привести пример двух рядов ’
fc = 1,2,...
оо
И Ьп, для которых ряд п=1
оо
П=1 оо
оо
52 (an + 6П) сходится, а ряд (ап - ъп) расходится. п=1	п=1
1.1.142.	Докажите, что lim -—- =0, исследовав на сходимость ряд ОО ПП	п->оо (п!)2
п=1 (п!)2'
(п!)п
1.1.143.	Вычислите предел: lim ------5-.
п—>00
§2. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Таким образом, знакочередующийся ряд — это ряд вида
оо
Oi ~ 02 + аз ~ Q-4 + • • • + (—1)п+1ап +   • = 'У ^(—1)п^1аП)	(2-1)
П=1
или
оо
—ai + а2 — Оз + ап +  • • + (~1)гаап + • •  —	^(~ 1)пап,	(2.2)
71=1
где все ап — положительные действительные числа (ап > 0, п = 1,2,...).
Признак Лейбница
Пусть дан знакочередующийся ряд (вида (2.1) или (2.2)). Если выполнены два условия:
1) ai > й2 > аз > • • • > ап > •   (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);
2) lim ап = 0 (общий член ряда стремится к нулю при п —> оо),
П—700 то ряд сходится.
Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является знакопеременным.
21
оо
Теорема 1.4. Пусть дан знакопеременный ряд Е ап, где ап — произволь-71=1	оо
ные числа (действительные или комплексные). Если ряд 52 1ап|» составлен-п=1 ОО
ный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд 52 ап также п=1
СХОДИТСЯ.
оо
В этом случае знакопеременный ряд 52 ап называется абсолютно сходящимся.	n=1
ОО	оо
Если же знакопеременный ряд 52 сходится, а ряд 52 lfln I расходится, оо	71=1	П=1
то данный ряд 52 ап называется условно сходящимся. П=1 оо	оо
Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда 52 ап к ряду 52 lflnl П=1	71 = 1
можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами, оо	оо
Из расходимости ряда 52 расходимость ряда 52 вообще говоря, п=1	оо	п=1
не следует. Однако, если, применяя к ряду 52 lflnl признак Даламбера (или 71=1
признак Коши), получаем предел lim ?+1 = I > 1 (или lim Ч/|ап| = I > 1), n—>оо I	I	n—>oo v
oo	oo
то в этом случае оба ряда — 52 |fln| и 52 ап — расходятся. 71=1	71 = 1
Пусть {ап} — последовательность комплексных чисел ап = Ьп + гсп, где оо
Ьп и сп — действительные числа для любого п = 1,2,... Ряд 52 ап (т-е- РЯД 71=1	ОО
Е(Ьп + »сп)) сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — Е оо	ос	оо	оо	п=1
и	52	> причем в этом случае	Е	an =	Е Ъп + i;	Е	Сп 
71 = 1	71=1	71 = 1	71=1
ОО	1
1.2.1. Исследовать на сходимость ряд Е (“ 1)п—~Р-------•
n=i	20г - 1
оо
1. Исследуем на сходимость ряд Е ап из абсолютных величин чле-п=1
нов данного ряда: оо	оо
= У—1—• пУ2^-1
оо 1	1
Сравним этот ряд с рядом 52 —7= • Так как 201-1 < 20г, то ——----->
п=1 20г	20i 1
1 00 1
> —— для всех п. Ряд Е —7= расходится, так как расходится ряд 20г	П=120г
00 1	00 1	1
Е (как ряд Дирихле Е ПРИ Р = к < 1)- Значит, по 1-му при-п=1 х/п	П=1 п	2
22
oo 1 знаку сравнения расходится и ряд 52 —7=-•
20г - 1
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.
а) Проверим, выполняется ли неравенство ап > ап+1 для абсолютных величин членов данного ряда:
1 1
— п Г~ 1 л /------Т — °п+1-
20г — 1 20ГТТ — 1
Данное неравенство эквивалентно неравенству 20г — 1 < 2у/п 4-1 — 1, которое верно для любого п = 1,2,... Значит, ап > an+i для всех номеров п = 1,2,...
б) Найдем предел общего члена ряда: lim ап = lim —-1---------------------= 0.
п->оо n-юо 20г + 1
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится. Однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно.	•
оо
1.2.2. Исследовать на сходимость ряд 52 -----—.
2п — in п оо
Q 1. Исследуем ряд 52 ап из абсолютных величин членов данного ряда: п=1
ОО	ОО	1	1	1	1
52	52 2п — In п 2^4 — In 2^6 — In 3 + • •
п=1	п=1
Применяя 2-й признак сравнения, сравним этот ряд с расходящимся
ОО 1
гармоническим рядом 52
п=1
Ит	—Ц :	= lim -----| # 0.
п—>оо \2п — Inn	/	п—>оо п  1П П 2
z п
сю
Следовательно, знакопостоянный ряд 52 ап расходится, а значит, ис-п=1
оо
ходный ряд J2 (— 1)пап не является абсолютно сходящимся. п=1
2.	Теперь выясним, является ли данный знакопеременный ряд сходящимся, используя признак Лейбница.
а)	Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для всех номеров п, начиная с некоторого:
2п — In п 2(п + 1) — ln(n + 1)
23
Запишем последовательность неравенств, эквивалентных данному: 2n — In п < 2(n + 1) — 1п(п + 1);
ln(n + 1) — Inn < 2(n + 1) — 2п;
1п^<2;
Так как 1 +	2 < е, то In 11 + т?) <1пе = 1<2 для любого п = 1,2
Значит, неравенство ап > ап+1 выполняется для всех п = 1,2,...
б)	Найдем предел общего члена ряда:
lim an = lim ----= lim -———
n—>oo	n—>oo Zn — 1ПП	n—>oo Zn — ш П
n
= lim -------— = § = 0.
п—>оо п   1П П Z Z П
выполнены
Итак, для данного знакочередующегося ряда ^2 т;---i—
п=1 2n — Inn
оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, этот ряд сходится. Из этого и из того, что ряд не является абсолютно сходящимся, окончательно следует, что ряд сходится условно.	*
оо
1.2.3. Исследовать на сходимость ряд 2 (“I)”'1оп-
та^ оо
Q Исследуем на сходимость ряд ап из абсолютных величин членов п=1
данного ряда, т. е. ряд:
п) ' 3‘
П=1 используя признак Даламбера. Для этого сначала преобразуем выраже-^п+1 ние :
Qn-n _ n + 1 . n _ n + 1 Зп On “ 3П+1 • 3« — п
Найдем предел этого выражения: lim = lim fl n—>OO Un	n—>oo \
3	3
оо
По признаку Даламбера отсюда следует, что ряд J2 Н7Г сходится, а зна-П=1
чит, исходный ряд сходится абсолютно.	•
оо	1
1.2.4. Исследовать на сходимость ряд £2 (~l)nsin —.
п=1	П
из модулей членов данного ряда, т. е. (так
оо
1
О Рассмотрим ряд sin п=1 тг
п=1 П
как 0 < -Ат < 1, и следовательно, sin -Ат > 0 для всех п = п2	тг
оо
24
Воспользуемся 2-м признаком сравнения, для чего сравним этот ряд с 00 1 1
рядом	“о • Обозначив i = — и учитывая, что t —> 0 при п -> оо,
П=1 тг	п2
имеем: lim ( sin Дг :	) = lim = 1 (1-й замечательный предел).
п—>оо у	ТГ J	t—>0 t
ОО 1	ОО 1
Так как ряд 52 “о сходится как ряд Дирихле 52 ~о ПРИ Р = 2 > 1, то п=1 п2	п=1 п
оо
сходится и ряд 52 sin —. Отсюда следует, что исходный ряд сходится п=1 П2
абсолютно.	•
1.2.5.	Исследовать на сходимость ряд
у, 1Г+11-4-7-...-(Зп-2)
& >	3 • 5  7 •...  (2n + 1)
ОО
Q Рассмотрим ряд 52 ап из абсолютных величин членов данного ряда, П=1
Т'е’РВД'	у. 1-4- 7-... (Зп- 2)
" 3  5  7-... • (2n + 1)
Для ответа на вопрос о сходимости полученного ряда применим при
знак Даламбера:
an+1 = 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2)(3(п + 1) - 2) 1 • 4  7 •... • (Зп - 2) = Зп + 1 ап 3 • 5 • 7 •... • (2п + 1)(2(п + 1) + 1) : 3 • 5 • 7 •... • (2п + 1) 2п + 3 ‘
Отсюда	2
lim52±L=lim3n±l=liini±i = |>L
п—>оо	п-too ATI -р о п—>оо О । о 2
Z ' П оо	оо
Но это значит, что ряд 52 ап расходится, т. е. ряд 52 (~l)n+lfln не явля-п=1	п=1
lim —— = п—>оо ип
= х > 1) позволяет сделать более сильное утверждение. Так как °2+1 >
> 1 для всех номеров п, начиная с некоторого, то ап 0 (п —> оо), и стало быть (так как не выполняется необходимый признак сходимости), оо
Исходный ряд 52 (—1)п+1ап расходится.	•
П=1
1*2.6. Исследовать на сходимость ряд 52 (—1)п W — • п=1	5п2 - 2
М Нетрудно показать, что для данного ряда не выполнен необходимый признак сходимости. В самом деле:
Г	Г "Ь 1 Г П2 1 _Z л
hm ап = lim —- = hm -------------------— = - / 0.
п—>оо п—>оо 5n2 — 2 п—>оо г____________2 э
°
। п ледовательно, ряд расходится.
25
Доказать, что ряд сходится условно:
1.2.7.	» (-1)"-1 n=l ln(n + 1)	1.2.8.	oo E 71=1	(-l)"(2n + l) n(n + 2)
1.2.9.	g (-1)" п=2 П In П\Лп In П	1.2.10.	OO E( n=l	— 1) n+1	1 2n — \/n
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.11.
1.2.13.
1.2.14.
1.2.12.
оо
Е (-1)"-1
71=1
_____________п!_____________
3 • 5 • 7 •... • (2n + 1)
Доказать, что ряд расходится:
1.2.15.	Е(-1)п-п.
п=1
1.2.16.	oo	Q . 7 . E(-i)n+г 1	• (4n — 1)
	n^i y 5-8-...	• (3n + 2)
1.2.17.	V* ( 1АпЗп2 — 1 n=f > 5 + 2n2‘	1.2.18.
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера— lim ; п—>оо ип
4)	для признака Коши — lim Ч/|ап|.
п—>оо
1.2.19.
1.2.21.
1.2.23.
1.2.25.
1.2.27.
1.2.20. Г (-1)ПоП—!• Зп-1
оо	-i
1.2.22. EC-ir-i^
1.2.24.
п=1	п2
1.2.26.	£(- 1)п1п2.
71=1
26
п
оо
1.2.28. Исследовать на сходимость ряд 52 9П • п=1 п ' *
оо
Q Применим к ряду 52 1ап| из абсолютных величин
П=1
ряда признак Даламбера:
членов данного
п • 2П
п2п
п
п
2
откуда
lim
Qn+i
lim — п—>oo \ Z
'10 2
п
2
2
Qn+i Птг
> 1 для всех номеров п, начиная с некоторого,
Следовательно, откуда lim ап 0, и значит, исходный ряд расходится.	•
п—>ОО
оо / п , зг- \ п
1.2.29. Исследовать на сходимость ряд 52 ( т------;-----) •
тг=1 \(2 +i)n + 1/ оо
Применим к ряду 52 1ап| из абсолютных величин членов данного п=1
ряда признак Коши. Сначала преобразуем выражение >/|ап|:
Л ,	\ п
п + Зг	\
п
п 4- Зг
п2 + З2
_ _ / п2 + 9	_
2 V 5п2 + 4п + 1
9
2 71
п2
Отсюда
9
lim п—>оо
= lim
п—>оо
оо
52 |пп| сходится, т. е. исходный ряд сходится абсо-п=1
Таким образом, ряд лютно.
1 00
А«2.30. Исследовать на сходимость ряд 52
п=1
Г 1
F = то РЯД’ п	х/п
гп
Jn
Q 1. Поскольку
гп
Jn
составленный из абсолют-
Л у/5 п
ОО 1
нЫх величин членов данного ряда, имеет вид 52 ~т=- Полученный ряд 71=1 МП
27
00 1 1
расходится как ряд Дирихле 52 “® ПРИ Р = о < 1- Значит, исходный п=1 п
ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Запишем члены данного ряда в алгебраической форме, т. е. в виде Ъц + icn:
i_____1_____i	, 1 , i__________1________i___. 1	I ...
1	72	73 y/4 V5	75	77 78
OO	oo
Составим два ряда 52 и 52 ^cn соответственно из действительных и п=1	п=1
мнимых частей членов последнего ряда:
оо
Так как добавление (и удаление) произвольного числа членов ряда, равных нулю, не влияет на его сходимость, получим два ряда:
оо
оо	оо
Для знакочередующихся рядов 52 (~ l)nbzn и 52 (”1)п-1сп выполняются
71=1	71 = 1
оба условия признака Лейбница, так как при всех п = 1,2,3,... справед-
ливы соотношения
= Ь' и lim Ъ' /Ь	V	*•'
lim —= О п->°° х/2п
:n+i = /	= = ' z	,	= сп и lim сп = О
72(n +1) - 1 72пП 72гГЛ ” П-.ОО п
ОО	оо
Значит, ряды 52 (—1)пЬп и 52 (—1)п-1сп сходятся, т. е. сходятся ряды 72 = 1	71=1
оо	оо	оо -п оо	оо
52 ьп и 52 с„. Отсюда следует, что ряд 52	= 12 Ъп + г 52 сп схо-
72 = 1	72=1	72 = 1 уИ	72 = 1	72=1
дится. Поскольку в пункте 1 задачи установлено, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся, значит, он сходится условно. •
28
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
I) для необходимого признака — lim ап;
для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3) для признака Даламбера— lim ;
'	n—>oo
1) для признака Коши — lim Ч/1ап1.
'*/	п->оо
1.2.31.
1.2.33.
1.2.35.
П=1
1.2.32.
1.2.34.
1.2.36.
1.2.37
cos п + i sin п
9 п
Дополнительные задачи
Доказать, что ряд сходится условно:
1.2.38.
1.2.40.
1.2.39. £ (-1)" 3 J
п=1 п V In п + 2
1.2.41. Г(~1)п+1 ™ + 3-.
n=i	п +4
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.42. 1.2.43.	оо £( п=1 оо Е( п=1	' _ 1 \ п	п 4~ 1	 ‘ ' 1 • 3 • 5 •... • (2п - 1)  -l)n+1tg^—.	1.2.44. Пу/П	ОО	/ £ (-1)пзп п=1	\п+ А
1.2.45.	оо Е( п=1	’	j п—1 cos Зп 2	
Доказать, что ряд расходится:
1.2.46.
1-2.48.
1.2.47.
1.2.49.
оо
£(-1)
П=1
п-1 п\
2п2
29
Исследовать ряд на сходимость:
1.2.50.
1.2.52.
1.2.54.
1.2.56.
1.2.58.
1.2.60.
1.2.62.
1.2.64.
1.2.66.
п+1 п + 2
2п + 5
оо Е' П=1	\п+1 Зп 1 7 п(п + 1)’
оо	(-1)”-1
Е п—1	п(2 4-Inn)3
оо Е'	
П=1	
оо Е	п(2 + г)п on
П=1	0
оо Е	п(1 + г)п on
П=1	о
оо	„П
Е	1 п •
П=1 оо	
Е П=1	П у/п + in
1.2.51.
1.2.53.
1.2.55.
1.2.57.
1.2.59.
1.2.61.
1.2.63.
1.2.65.,
°° (-1)"-+
„=1 (2п + 1) • 3" ’
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.2.67.
1.2.68.
1.2.69.
1.2.70.
1.2.71.
Верно ли, что
а)	если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно;
б)	если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно ?
оо п2 + п
Исследовать на сходимость ряд $2 (—1) 2	•
П=1
ОО	I
Исследовать на сходимость ряд ^2 (—1)п~г S 1П n=1	Vch2 n + 1
оо
Верно ли, что если знакопеременный ряд J2 (—1)п°п сходится, то ап —> 0 (п —> оо) монотонно?	n=1
Верно ли для знакопеременного ряда, что
а)	если последовательность ап монотонна, то ряд ^2 ап • (—1)п
сходится;	n=1
б)	если ап 0 (п —> оо), то ряд J2 (—1)п°п сходится; П=1	ОО
в)	если ап —> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд J2 (~ 1)п°п сходится
условно;
п=1
оо
г)	если ап —> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд J2 (_1)п°п сходится.	n=1
30
1.2.72.	Доказать для знакопеременных рядов следующие утверждения:
а)	ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — ряд из положительных членов и ряд из отрица-
тельных членов;
б)	если ряд сходится условно, то расходятся два ряда — ряд
1.2.73.
1.2.74.
1.2.75.
1-2.76.
1-2.77.
1*2.78.
из положительных членов и ряд из отрицательных членов;
в)	если один из двух рядов (с положительными членами и отрицательными членами) сходится, а другой — расходится, то исходный ряд расходится.
оо
Если ряд 52 ап сходится условно, что можно сказать о сходи-п=1
мости ряда из его положительных членов ?
Исследовать ряд на сходимость:
п — четное;
п — нечетное.
-Ц-, п = 2к-1-,
„Xil.ll.ll. Л _1,_1
в)1_3 + 3"^ + 5_^ + '"’ а2к~х ~ 2fc^l’ °2* “
1 , . 1 1 . 1 1 . . 1 1
Г) 3“1+7"5 + n"9+--'’ fl2fc-12 ~4^1’a2fc““?T^-
Д) -----7~~-1-7=^--7=^-Ь. • ч а2И-1 =	.	-,
у/2-1 у/2+1 л/3-1 s/3 + 1	v'F+l-l
оо
Доказать, что если ряд 52 ап сходится абсолютно, то ряд
оо 1	П=1
52 —п---Пп сходится абсолютно.
<	71
П=1
оо	оо
Доказать, что если ряды 52 ап и 12 Ь2 сходятся абсолютно,
00	п=1	п=1
ТО ряд 52 апЬп сходится абсолютно.
П=1
Доказать, что если ряд сходится абсолютно, то и ряд, полу
ченный из исходного с помощью произвольной перестановки его членов, также сходится абсолютно, причем к той же сумме, что и исходный ряд.
Теорема Римана. Доказать, что если ряд сходится условно, то существует такая перестановка его членов, что полученный ряд сходится к любому наперед заданному числу или расходится заданным образом (к +оо, к —оо или к оо).
31
§3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Выражение вида
ао + сцх + агх2 4-... 4- апхп + ...,	(3.1)
где ао, di,аг,...,ап,... — постоянные числа (действительные или комплексные), ах — переменная величина (также действительная или комплексная), называется степенным рядом. Числа ао, <21,аг,..., ап, • • • называются коэффициентами степенного ряда. Сокращенно степенной ряд обозначают так: 52 апхп.
п=0
Будем называть степенной ряд действительным (соответственно, комплексным) степенным рядом, если его коэффициенты — действительные (соответственно, комплексные) числа, а переменная х принимает действительные (соответственно, комплексные) значения.
Часто рассматривают степенные ряды более общего вида
оо
^2 ап(х — а)п — ао + ai(x — а) + й2(х — а)2 4-... 4- ап(х — а)п -I-...,	(3.2)
п=0
частным случаем которых при а = О являются обычные степенные ряды (3.1). С другой стороны, каждый степенной ряд вида (3.2) с помощью замены пере-ОО
менной у = х — а сводится к ряду 52 dnXn вида (3.1).
п=0
Придавая переменной х в степенном ряде конкретное числовое значение х = Xq, получим числовой ряд, который сходится или расходится. Множество всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
При х = 0 (соответственно, при х = а) всякий степенной ряд вида (3.1) (соответственно, вида (3.2)) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку.
ОО
Теорема 1.5 (Абеля). Если степенной ряд 52 о,пХп сходится в точке хо, то п=0
он абсолютно сходится в каждой точке х, цля которой |х| < |а?о|.
ОС
Следствие 1.1. Если степенной ряд 52 ап.хп расходится при некотором зна-п—О
чении х = то он расходится и при всех значениях х, для которых > |a?i |.
Интервалом сходимости действительного степенного ряда вида (3.1) (с°~ ответственно, вида (3.2)) называется такой интервал (—R,R) (соответственно, (ао — R, ао + R)), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой
32
точке, лежащей вне отрезка [—Я, Я] (соответственно, [а?о—R, хо+-R]), ряд расходится. На границах интервала сходимости, т. е. в точках х = ±R (соответственно, в точках х = xq ± R}, ряд может как сходиться, так и расходиться. Число # называется радиусом сходимости действительного степенного ряда.
В частности, R может равняться нулю — в этом случае область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, xq}, или +оо — в этом случае областью сходимости является вся числовая прямая (такой ряд называется еще всюду сходящимся}.
Кругом сходимости комплексного степенного ряда вида (3.1) (соответственно, вида (3.2)) называется такой открытый круг |х| < R (соответственно, |j —а| < Я), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне замкнутого круга |х| R (соответственно, вне замкнутого круга |я — а| R}, ряд расходится.
В граничных точках круга сходимости — т. е. на окружности |х| = R (соответственно, |х — а| = R} — ряд может как сходиться, так и расходиться. Число R называется радиусом сходимости комплексного степенного ряда. В частности, R может быть равно 0 — в этом случае вся область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, а), или +оо — в этом случае областью сходимости является вся комплексная плоскость С.
Интервал и круг сходимости ряда, как правило, определяют с помощью признака Даламбера или признака Коши, примененных к знакоположительному ряду
ОО	оо
|ап^п| (соответственно, |ап(я — а)п|), п=0	п=0
составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда.
Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда применяются так
же формулы:
R = lim
п—>оо
On Оп+1
lim у/Ы
в тех случаях, когда указанные пределы существуют.
оо <
1-3.1. Найти область сходимости ряда ' n=1
М Применим признак Даламбера. Поскольку
п—1
%+i
nl(x — 3)” 1
ТО
п\
(х - 3)п
(х - 3)п-1
2п+2
1 _ 1^-3|
2
|а; — 3|
2
Пт ^—>00
C6<»PH>.v
задач по высшей математике, 2 курс
= lim
п—>оо
33
+оо при х — 3 0, х 3, О при х - 3 = 0, х = 3.

2
(х + 1)п
72=1	ПП
Таким образом, ряд сходится (абсолютно) только при х = 3, в остальных точках числовой прямой ряд расходится.
оо 3«
1.3.2.	Найти область сходимости ряда —
О Воспользуемся признаком Коши:
|ж + 1| nm —-— • 3 « 1—i-rv-1	/л
lim Vl°n| = lim П—ЮО	n—ЮО
=	+ 1| lim „
•п —Ь rv-л	* »
при всех х € (—оо, +сю).
Следовательно, ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой (—оо,4-оо).	*
оо
1.3.3.	Найти область сходимости ряда хП-п—1
Q Применим признак Даламбера:
1
—— = lim |ж| = |ж|.
X п-юо
lim I	1 — ijm
г—Юо I	I n—Ю
(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши: lim V|an = lim Ч/|жп| = lim Ы = Ы.) Отсюда следует, что при п—ЮО	п—ЮО	п—>оо
|ж| < 1 (т. е. при х € (—1,1)) ряд сходится абсолютно, при |ж| > 1 расходится. Таким образом, интервал (—1,1) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т. е. в точках х ~ — 1 и ж = 1.
При х = — 1 получим знакочередующийся ряд
оо
П=1
Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости
При х = 1 получим ряд
оо
п=1
Этот ряд расходится по той же причине, так как
lim ап — lim 1 = 1^0. п—юо	п—юо
Итак, область сходимости данного ряда — интервал (—1,1). оо (х _ 2)n+1
1.3.4.	Найти область сходимости ряда ;---------Г-
п=1 Зп(п + 2)
34
1. Применим признак Даламбера. Учитывая, что
Оп+1 		(x-2)(n+r>+1 (х — 2)n+l
Пп пОлучим ,.	^п+1 hm а п->оо ип	Зп+1(п + 1 +2) ’ Зп(п + 2) = (х - 2)п+2	зп	п + 2	_	к ~	2| п + 2 (х - 2)n+1	Зп+1	и + 3	“	3 п + 3’ 	’ r 1® — 2| п + 2 	 1® — 2|	п + 2 		— 2| —	л	। q —	q	lim	। _ —	_ п—>оо	о	П + о	о	п—>оо П + о	о
Отсюда
<!•»-!<	< 1 •» -3 < г - 2 < 3 •» -1 < г < 5.
Итак, при т Е (—1,5) ряд сходится абсолютно, а при х [— 1,5] — расходится. Значит, (—1,5) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т. е. в точках х = — 1 и а; = 5.
2. При х = 5 получим ряд
Применяя 2-й признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим 00 1
рядом 52 п‘
П=1
lim ; Й) = lira = lim —Ц- = 3 / 0.
п—>оо \71 + Z	/	и—>оо П + Z п—>оо i । Z
П
°° 1
Поскольку ряд 52 п Расх°Дится> а полученный предел не равен нулю, п=0
ОО о
то ряд 52 —Го расходится.
3. При х = — 1 получим ряд
+ (-1 _ 2)п+1 = ~ (-зГ+1 = ~ (-1Г+..3п-н	”	з
Зп(п + 2)	^~'3"(п + 2)	3"(п + 2)	+'* > п + 2'
1	4	'	Г? = 1	'	'	П=1	4	'	П = 1
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд 52 — с°ставленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится (см. пункт 2).
Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя пРизнак Лейбница.
а)	Очевидно, неравенство
„ _ 3 .	3
п~ п + 2 > (п + 1) + 2	п+1
Вь1полнено для всех п = 1,2,...
35
б)	Кроме того, lim ап — lim ——~ = 0. п—>оо	п—>оо TL + Z
ОО	о
Итак, для знакочередующегося ряда 52 (—l)n+1——х выполнены оба п=о п + Z
условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, данный ряд сходится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда —-промежуток [—1,5).	•
°° (т + 5)п
1.3.5.	Найти область сходимости ряда 52 ------s—•
п=2 3n+1nhr п
Q 1. Применим признак Даламбера. Так как
(При вычислении последнего предела воспользовались равенствами
lim ln3-n = lim (—
п—>оо kr(n 4- 1)	n—>oo \m(n +
и, далее, правилом Лопиталя.) Найдем интервал сходимости
•—< 1 О -1 <	< 1 <=> —3 < ж 4- 5 < 3 <=> —8 < ж < —2.
О	<J
Итак, при х Е (—8, —2) ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда в точках х = — 8 и х = —2.
2. При х = — 8 получим ряд
“ (-8 + 5)" =	(-3)"	=	Зп = “ (-1)”
“<Зп+1п1п3п	~i3"+1nln3n	' Зп+1п1п3п “i3nln3n
71=2	71=2	71=2	71=2
Исследуем этот ряд на сходимость. Рассмотрим ряд, составленный и3 абсолютных величин членов данного ряда:
оо
У-1 .
п-2 Зп 1П3 71
36
Применим интегральный признак. Так как ап =--------—, то
Зп hr п
1
Зх In3 х
Очевидно, что f(x) монотонно убывает на промежутке [2, +оо), т. е.
Vn > х2 > 2	/(xi) =	1	<	1	= /(х2).
ЗЖ1 Ш Ж1 ЗЖ2 In Х2
Так как функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке [2, +оо), то для исследования данного ряда на сходимость можно применить интегральный признак.
Сначала найдем неопределенный интеграл
dx
Зх In3 х
In3 X
1 г d(ln ж) _ 1 = 3
3
бш X
Отсюда
Г dx
J ЗхIn3 x
At
2
м
lim
М—>4-оо J За? hr а:
4-oo
Так как несобственный интеграл / —— сходится, то сходится и ряд ' Зх In3 х
00	1	00	(—1)п
£ -----5, а значит, ряд ^2 -----5— сходится абсолютно.
п=2 Зп In3 п	п=2 Зп In3 п
3. При х = — 2 получим ряд
ОО / л । р* \ <п	ОО	ОО
р (-2 + 5)п = ул зп = у- 1 Т<Зп+1п1п3п	“<Зп+1п1п3п	~^Зтг1п3тг
=2	П=2	П—2
Этот ряд сходится абсолютно (см. пункт 2).
Таким образом, область сходимости исходного ряда — промежуток ('8,-2].	•
*•3.6. Найти круг сходимости комплексного степенного ряда
уч (2г)"+1(г + 3г)" (77 - 3«)"
37
Q Применим признак Коши:
lim yjo.nl = Um п—>оо	п—>оо
lim \z + 3i| • п—>оо
п + 1
|(2»)~ I Iv'z - Зг|
\z 4- Зг| • 2
\М)2 + (—З)2
\z 4- Зг| • 2 \z + Зг)
4	=	2
Найдем круг сходимости ряда:
< 1 <=> \z + Зг I < 2.
Итак, в круге \z 4- Зг[ < 2 степенной ряд сходится абсолютно.
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап; ?г—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера— lim ; n->OO “П
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;	+оо
П—>ОО	f
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и / f(x)dx.
а
В задачах 1.3.7-1.3.14 для определения интервала сходимости использовать признак Даламбера. В задачах 1.3.15-1.3.20 для определения интервала сходимости использовать признак Коши.
1.3.7.	оо £	X	1.3.8.	оо £	(д - 2)п~1
	П=1	п!		И—1	(п + 1)!
	оо			оо	
1.3.9.	Е	п\хп.	1.3.10.	Е'	(п + 2)!(д + 1)".
	П=1			71=1	
1.3.11.	оо Е	пхп.	1.3.12.	оо Е	(3 - ж)2п
	П=1			71=1	х/п
	оо	~,П		оо	
1.3.13.	Е П=1	X П ’	1.3.14.	п+1-	
	оо			оо	
1.3.15.	Е	Ппхп.	1.3.16.	Е	пп+1(х-3)п.
	П=1			71=1	
1.3.17.	оо Е П=1	хп	1.3.18.	оо Е 72=1	(х + 2)n+1 (п + 1)” '
1.3.19.	оо Е 71=1	f П + 1\П 2п \ п ) х ’	1.3.20.	оо Е 71=1	( 71	V* (Т _ О^пЧ-1. Un + lJ (	}
38
1.3.21.
1.3.23.
1.3.25.
1.3.27.
1.3.29.
1.3.31.
1.3.33.
1.3.35.
1.3.37.
оо Е 71 = 1	(х - 3)п 371+!	1.3.22.
ОО	~.2п2	
Е 71=1	X	 пп	1.3.24.
ОО Е 71=1	M+l\n 4w \ 71 /	1.3.26.
ОО Е 71 = 1	(х + 1)" nlnn	1.3.28.
ОО	(х + 1)п	1.3.30.
Е 71 = 1	2П-1 -п2'	
ОО Е	,r2n— 1 •1/	1.3.32.
		
71=1	4ппIn2 п	
ОО Е 71=1	12п + 1\п, . пт1 ( 2п 2 <Ж + 1’ •	1.3.34.
ОО	(2 - х)п	
Е		1.3.36.
71 = 1	2п+1(п4-2)п“1	
оо
Е
71 = 1
ОО Е 71=1
ОО
Е 71= 1
(х + 2)2п~1
3"	’
(2п)\(х 4- 7)n+1
D71 — 1
(2п4- 1)!
£(n + l)n(6-z)"+1 -2"-1 п=1
Найти круг сходимости ряда. Указать применяемые признаки.
1.3.38.	оо Е 71=1	n\(z	-i)n.
1.3.40.	ОО Е	(.г- 71	2i)n 71
	71=1		
	ОО		
1.3.42.	Е	Z		
	71=1	m	
1.3.39.
1.3.41.
Дополнительные задания
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До-полнителъно указать:
для необходимого признака — Пт ап; 71—>ОО %) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым допивается данный ряд;
3) для признака Даламбера — lim ™+1; . .	71—>ОО иП
U для признака Коши	— lim	,
71—>ОО	v	+	°°
' для интегрального признака — первообразную для f{x) и [ f(x) dx.
В	а
сдачах 1.3.43-1.3.46 для определения интервала сходимости исполь-°ватПъ признак Даламбера.
39
В задачах 1.3.47-1.3.49 для определения интервала сходимости исполь-зоватъ признак Коши.
1.3.43.	~ (х - 2)п	ОО	(Зг)5п Е о •	1.3.44. Е2т)_г п=1	71	п=1 ,°О „lzj.n+1	оо	on—lxpTi+2
1.3.45.	Е Yn_, .	1.3.46. £ 3 * . П=1 Z	П=1
1.3.47.	» 2п(2х + З)"-1	л „ ..	~ пп(х + 1)”+» 1	Пп	'	1.3.48.	2^	3 П=1	,Ь	П=1 оо „г?
1.3.49.	X	 пп * п=1 71
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.3.50.	Может ли интервал сходимости ряда Е°»®п быть таким: а)(-2;0);	б) (0;2); в) (-3,1);	г) (—оо;оо); Д) (-3;3). ОО
1.3.51.	Известно, что ряд ап(х — 3)п в точке х = 2 расходится. Что п=1 можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5;	б) х — 3,5; в) х = 4. оо
1.3.52.	Известно, что ряд ап(х — 3)п в точке х = 2 сходится абсо-п=1 лютно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5;	б) х = 3,5; в) х = 4. оо
1.3.53.	Известно, что ряд an(z — (1 4- г))п в точке z = i cxorwick n=l условно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: a) z — 1;	б) z = 0; \	1 + i B)z= 2 .
1.3.54.	Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение: а)	на обоих концах интервала сходимости ряд расходится; б)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — сходится абсолютно; в)	на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсолютно; г)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — расходится; д)	на одном конце интервала сходимости ряд сходиться абсолютно, а на другом — расходится.
40
oo z 1 \ n2
1.3.55. Найти область сходимости ряда 52 Ц+n) (я — l)n-n=l '	'
1.3.56. Степенный ряд сходится условно в точках z\ = 3 + 2i и = = — 1—г. Что можно сказать о сходимости ряда в других точках комплексной плоскости ?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Исследовать ряды на сходимость:
ОС	-1 а) Е n3tg2 -Е; п=1	П . fn + l\ в) 2^ 1 п Ь п—1	' оо	(-1)пп! Д\=1 2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’	ОС оо г) Е ,	, z, р п=2 П1ПП1П (1ПП) . ~ 2i + (- 1)пп е/ Е	2 п=1	П
°°л (2 — т)п
2. Найти область сходимости ряда >2 ----г-;—
п-1 п + 1
оо
3. Найти круг сходимости ряда 52 п=1
(z - 2i)n Зп
Вариант 2
1-	Исследовать ряды на сходимость:
1
(п + 1)1п(п + 1) ’ гп
п + 2'
Найти область сходимости ряда 52 (ж + 1)п
П=1	\ ЗП /
Надти круг сходимости ряда 52
п=1
(z + i)n
41
Вариант 3
1. Исследовать ряды на сходимость:
оо
Е П=1 оо Е 71=1
ОО Е тг=1
2n+1
п2 -5П’
_________1
(п + 2) 1п2(п + 2) ’
1
п(3 + г)” ’
оо /_ 1угхп
2.	Найти область сходимости ряда V ------
п=1 П + 2
сю ^2; — i)2n
3.	Найти круг сходимости ряда --------Т"Ч—
п-1 П + 1
Вариант 4
1. Исследовать ряды на сходимость:
б)
г)
е)
ОО Е п=1 оо
Е п=1
оо
Е
п=1
3 • 5 • 7 •... • (2п + 1) 2 • 5 • 8 •... • (Зп - 1) ’ __________1_________. (2п + 1)^/1п(2п + 1) ’ n(i + 1)п
3 + i
2.	Найти область сходимости ряда
оо
3.	Найти круг сходимости ряда
п=1
Е 0Ф)*3п-
(z + 2i)”+1 ^2
§4	. РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряды Фурье
Пусть функция /(х) — интегрируемая и периодическая с периодом 2тг. эффициентами Фурье функции /(х) называются числа ао, <21, «2, ..., ап,  •  bo, bi, b%,	, bn,  ., которые находятся по формулам
7Г
ао = Jdx,	(4-1)
— 7Г
7Г
ап =	f f(x) cosnxdx, (п = 1,2,...),	0-^
42
bn
sin nxdx, (n=l,2,.
(4-3)
Рядом Фурье функции f(x) называется ряд
ОО
+ У^(ап cos пх + Ьп sin пх).
71=1
Условия сходимости ряда Фурье
Ряд Фурье интегрируемой функцид f (х) может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции f(x), так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле.
Теорема 1.6 (Дирихле). Если функция f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке [—7г,7г] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [—тг, тг], то ряд Фурье функции f(x) сходится для любых х из [—тг, тг] и его сумма равна:
1)	f(x) Для всех точек непрерывности х из интервала (—7г,тг);
2)	^(/(#о — 0) + f(xo + 0)) для всех точек разрыва а?о;
3)	|(/(“ + 0) + /(7Г — 0)) При X = -7Г И X = 7Г.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) — четная функция (/(—х) = f(x), 'ix G [—тг, тг]). Тогда Ьп = 0 (п — 1,2,...), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:
а"cos пх<
П=1
= f(x)cosnxdx, (n = 0
(4.4)
где a0 = - J J(x)dx, an о
Аналогично нечетная функция f(x) (т. e. f(—x) = Vx G [—тг, тг]) разла-^ся в ряд Фурье по синусам:
/(ж) = bn sin nx, n=l
7Г
где bn = f(x)sinnxdx, (n =
о
(4-5)
43
Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке
Пусть /(а?) — периодическая с периодом 21 функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале (—1,1). Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид
ОО
.Г/ \ flo I ( П7ГХ . 1	• П7гх\
f(x) = — +> (an COS —---1- bn Sin —— ) ,
П = 1
где
/ ао = | f f(x) dx, -i
i	i
an = у f f(x) cos dx, bn = ~ f f(x) sin dx (n = l,2,...). I J	ь	• J	w
-I	-I
Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и косинусы
оо
Лч ао .	птгх
%) — 2 fln cos /ji » n=l
где i	i
ао = у Jf(x)dx, an = j jf(x)cas^~. dx (n = l,2,...). о	о
Нечетная функция f(x) разлагается в ряд Фурье по синусам
№) = £bnsin^,	(4.6)
71 = 1
где
i
b„ = jff(X)sin^dx (п = 1,2,...).	(4.7)
О
1.4.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 1, заданную на интервале (—7Г, тг).
ф Функция четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по косинусам, а коэффициенты ап можно найти по формулам (4.4):
тг
о
о
тг
[dx=r = 1-77 = 2, J 77 О П О тг о г	2
С = — / COS ПХ dx = тг=г sin пх о
= ^(sin7rn ~ sin°) = 7пг(° — 0) = 0.
7Т
О
44
ДОтак, flo = 2, an = 0 (n = 1,2,...). Таким образом, в данном случае ряд Фурье состоит из единственного ненулевого слагаемого, равного £2. = ^ = 1, и разложение имеет тривиальный вид: 1 = 1.	•
2	2
разложить в ряд Фурье данные функции, заданные на интервале (-7Г, тг).-
1.4.2.	f(x) = cos2 х.	1.4.3. f(x) = sin2 x.
1 4.4.	Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = <	’	< х <
I 1, 0 < х < 7Г.
Q Функция нечетная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по синусам. Находим коэффициенты Ъп по формулам (4.5):
7Г
7Г
Г	2 Iя
f sin nxdx = — == cos nx\
о	0
“	(cos ™ - cos o) = -	:
(°, = <	4
п = 2k,
о I»	1 к — 1,2,...
n = 2k — 1,	’ ’
Окончательно получаем
rt \	4 V sin(2A: — l)a; 4 | sina; , sin 3a; , sin 5a; ,	\
= 2fc-i	=Ц~Т + —з““ + —5~+ "’ •
k=l	\	/
Положим в этом равенстве x = . Тогда
i _ 4 (s^n 2 . sin Зтг2 . sin 5тг2 .	\_4Л_1,1_	\
тг I i	з	5	3-1-5	• • J ,
откуда = 1 - I + I - ... + (~1)*+1	1	4- ..., т.е. мы получили
Разложение в бесконечный ряд числа Впервые это разложение было открыто знаменитым немецким математиком и философом Лейбницем (1646-1716).	•
-	I 3 ____тг 0
1*4«5. Разложить в ряд Фурье функцию /(а;) = <	’	’
1—3, 0 < х < 7Г.
1*4.6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х.
Функция нечетная, поэтому ап = 0 (п = 0,1,2,...). Осталось определить коэффициенты Ъп по формуле (4.5), т.е.

= ^jxsinnxdx. о
45
Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрирования по частям. Положим и = х, dv = sinnxdx. Тогда du = dx, v = = J sin nxdx = — ^cosnir, откуда
7Г	7Г
/1	n	1 Г
x sin nxdx = ——xcosnx +	/ cosnxdx —
n	о	n J
о	о
= -i(7FCOS7rn - 0) + sinnx ° = -^(-l)n = ^(-l)n+1.
Окончательно получаем bn =	• ^(—l)n+1 = ^(—l)n+1, стало быть,
ff„x	<( —l)n+1 sinm; 9/sina: sin2a: . sin3a: sin4x ,	\
f{x) = x = 2^----n-----= 2	------— + —з--------. J.
n=l
Подставив значение x = в это равенство, придем к уже встречавшемуся нам в задаче 1.4.4 ряду Лейбница
тг	9/sin	2 sin7r	.	s^n 2	sin27r	.	A
2	О----2~	+	”3---------+	J’ ИЛИ
- = 1- -	+	-- ...	+	(-1)k+1	— -1-	•
4	3	+	5	1 J	2k - 1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—7г,7г):
1.4.7. f(x) = 1 - 2х.	1.4.8.	/(х) = |х-3.
{2	—тг х 0
—4, 0 < х < тг.
О Функция общего вида, поэтому коэффициенты Фурье находим по формулам (4.1)-(4.3):
46
О, _ 12
7ГП ’
п — 2k,
п = 2к — 1,
(* =1,2,...).
р итоге имеем
г/ \ оо Х-'4 г	1	12 sin(2fc — 1)ж
/(г) = "2" + У? bn sin na; = -1 - — ^2	2А: — 1
п=1	Л=1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные
на интервале (—тг, 7г)г
1.4.Ю.
1.4.11.
—тг < х < О, О < х < тг.
—тг < х < О, О < х < тг.
Разложить в ряд Фурье функции, заданные
на интервале [—7г;тг].-
1.4.12.
1.4.14.
1.4.15.
f(x) = х2.	1.4.13. f(x) = |ж|.
Используя разложение из задачи 1.4.12, вычислить сумму ряда
00	1
Е А-
п=1 ГГ
При помощи разложения из задачи 1.4.13, найти сумму ряда ОО	.
S (2fc - I)2 '
На интервале (—тг, тг) разложить в ряд Фурье следующие функции:
1.4.16. Дя) = 1 - ||х|.
1.4.17. /(ж) = sin аж (а — не целое число).
14.18.
№) =
—тг < х С О, О < х < тг.
1.4.19. С помощью разложения из задачи 1.4.18, найти сумму ряда 1 + — + — + ... Ч---------------1-....
З2 52	(2к -1)2
1*4.20. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, тг] функцию
{х, 0 < х <
ТГ .	2
ТГ — х, — X ТГ.
г\
^7 Продолжим функцию на отрезок [—тг, 0] нечетным образом (рис. 1). ОгДа полученная функция нечетная и ее ряд Фурье содержит только
47
Рис. 1
синусы. Найдем коэффициенты Ьп (п = 1,2,...):
7Г
sin nx dx
2	7Г
= — I х sin nx dx + — 11
0	IL
2
sin nx dx =
_ 2 / 7Г COS 2 sin nx 2 \ g ( COS nx * \ 2n n2 0 J	n
cog ^n n
2 sin vfn Al
7ГП2
о „„„ 2cosjn	cos
2cos7rn ,______2	. 2 cos тт_____2_
n n "г n n
—- sin nx 7ГП2
2sin^n 2sin^n
2 I” 9 7ГП	7ГП
4 sin ^n £t
9
7mz
(°,
= < 4(-l)fc+1
( 7f(2A7 — I)2 ’
n = 2fc,
n = 2k — 1.
.	4 “ (— l)fe+1 sin(2A; — l)z
Таким образом, f(x) = E 1------------Zolt \<2--------
71 fc=i (2k - 1)
При x = | имеем |	(1+^ + П+ ' +7$Г
, откуда еще
i ±	±	x	7Г2 A
раз находим, что сумма ряда 1 + — + —+... + —--—+... равна -т-. •
З2 52	(2к -1)2	о
1.4.21. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) следующие функции
a) f(x) =х;	б) f(x) = |
1.4.22. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] функцию г/ \ 7Г х = 4 - 2-
48
Рис. 2
Э Продолжим данную функцию на отрезок [—тг,О] четным образом (рис. 2). В результате получится четная функция, ряд Фурье которой состоит только из косинусов. Вычислим коэффициенты ап (п = 0,1,2,...) по формулам (4.4):
7Г	Д’
°0 = к dx = i “ f) ~ о	о
2 (ТГ „ х2 — I 7^ г
7Г I 4	4
я 2
0=*
— - — ) = О
4	4 /	’
пп — о
7Г
пх
7Г
о
7Г
2J о
sin пх 2п
* _ х sin пх о ™
7Г
7Г
= (sin тгп — sin 0) — (тг sin тгп — 0 • sin 0) — 2п	7171
0,
2
тгп2 ’
——(cosтгп - cosO) = —-тгп	тгп2
cos пт тгп2
7Г
О п = 2к, п = 2к — 1.
т
2
о
О
о
Итак, /(ж) =	^2 —-------- Положим в этой формуле х = 0. Тогда
fc=i (2fc — 1)
ТГ 9 00	1	11	-тг^
? = * £ (2fc - I)2 ’ 0ТКУДа *?! (2к - I)2 = 1 + З2 + б2 + ’'' = Т’ ЧТ° совпадает с найденным ранее значением для суммы этого ряда. • 1*4.23. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] следующие функции
а) /И =	б) /(®) =
в) /W = -я2;	г) /W =	+ з.
•4.24. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х на интервале (—3,3).
49
О Функция нечетная и поэтому разлагается в ряд Фурье по синусам (формулы (4.6)-(4.7)). В нашем случае f(x) = х, I = 3, следовательно,
з
Ъп = | [х sin dx =
О J о
и = х, dv = sin du = dx, v = f sin dx = — cos о	J 3	6 .
О	3	О
—	2 „	П7ГХ .2	П7ГТ ,	_	6	1 2 • 3	• П7ГЖ
-	7ГПХСО8 3 о + 7ГП/ 3 d	+ (7ГП)2	3	o'
= -skt-D" + ^sin™ - sin°) = ^(-1)n+1-/I f L
Итак,
я (-l)n+1 sin д/sin^ sin sin ^5^ f(x\ =	6	1__>_______3_ = 6 (___3_ _____3_	___3_ _
x тг	n	Ml 2^3
n=l	'
Разложить в ряд Фурье данные функции на указанных промежутках:
1.4.25.
1.4.27.
1.4.29.
f[x)=x, (-2,2).
f(x) = \x\, (-2,2). f(x)=x2, (-3,3).
1.4.26.
1.4.28.
1.4.30.
f(x) — x, 2’2)’
f(x) = |x|, (—4, 4У f(x) = x2,
Дополнительные задания
Разложить в ряд Фурье данные функции на интервале (—7г,тг).'
1.4.31.
1.4.33.
1.4.34.
1.4.35.
1.4.36.
1.4.37.
х I а, —тг < х < 0,
1.4.32. f(x) = < '
О, 0 < X < 7Г.
19, -тг < х < 0, f(X) = U А / /
15, 0 < х < тг.
f(x) =	|х|.
f(x) = cosax (а — не целое число).
/(1) = Л \
I - *) ’
t, ч	f 0, -тг < х < О,
Z(i) = <	„ , „
I X, 0 X < 7Г.
При помощи разложения из задачи 1.4.35 вычислите сумму ря-— .1.1. . 1 -+...
2
52
50
1.4*38.
Используя разложение задачи 1.4.36, найдите сумму ряда
1.4.39.
' З2 52	(2к - I)2
б) 1-| + |- | + |- ... (РЯД Лейбница).
Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
/(*) - 4
х, О О,
% < Т < 7Г.
разложить в ряд Фурье на интервале (—Ц1) следующие функции:
1.4.40. f(x) =
1.4.42. f(x) =
х.
т2.
1.4.41.
Более сложные
задания
1.4.43.
1.4.44.
1.4.45.
1.4.46.
1.4.47.
Разложить в ряд Фурье на интервале (—тг, тг) функцию /(т) =ех.
Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) функцию
а)	/(т) = ж2;
б)	/(х) = cos ат, где а — целое число.
Разложить в ряд Фурье по косинусам на интервале (0, тг) функцию /(т) = sin ат, где а — целое число.
Разложить функцию /(т) = т2 в ряд Фурье по синусам на отрезке 0,	.
Разложить в ряд Фурье на отрезке [0,3] функцию
0 х С 1;
1	< т < 2;
2	< т £ 3.
1.4.48.
ж,
f W = < 1, [з - т,
Разложить функцию /(ж) =
ех в ряд Фурье на интервале [—Z, I].
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЯ
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение
F(x,y,y)=n,	(1.1)
связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную) функцию у(х) и ее производную у'(х) называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (1.1) можно записать в виде у' = f(x,y), то говорят, что оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают в виде dy = f(x, у) dx или, более общо,
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = 0
(дифференциальная форма).
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция у = <р(х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = у?(х) в этом случае называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. 4=
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка (1.1), удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = уо, называется задачей Коши.
Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1.1), проходящую через точку Мо(хо,уо)-
Общим решением уравнения (1.1) называется такая функция
у = ^х,С),	(1.2)
где С — произвольная постоянная, что:
1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;
2) для любого допустимого начального условия у(хо) = уо найдется такое значение постоянной С = Со, что у?(хо, Со) = Уо-	&
В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения приходится записывать в неявном виде: Ф(ж, у, С) = 0. Тогда соотношение Ф(ж, у, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху.
52
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция
у = <^(х,Со),
улучаемая из общего решения (1.2) при конкретном значении постоянной
Частным интегралом уравнения (1.1) называется равенство Ф(а;, у, Со) = г 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С.
Теорема 2.11. Пусть в дифференциальном уравнении у1 = /(я, у) функция f(x,y) и ее частная производная fy(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху. Тогда для любой точки M(zo,?/o) G D существует и притом единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.
В каждой точке (то,3/о) € О число f(xo,yo) выражает угловой коэффициент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравнение у' = f(x, у) ставит в соответствие некоторое направление — геометрически его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем самым уравнение у1 = f(x,y), (х,у) € D определяет поле направлений на плоскости.
Множество точек (я, у) € D, в которых у1 = fc, где к — постоянная, или, что то же самое, f(x, у) = к (линия уровня функции f(x, у)), называется изоклиной дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т. е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие черточки) параллельны.
Придавая к близкие числовые значения, можно построить достаточную густую сеть изоклин, а с их помощью — приближенно нарисовать вид интегральных кривых, т.е. решений дифференциального уравнения. Этот метод, метод изоклин, или графический (геометрический) метод решения дифференциальных уравнений, особенно ценен в том случае, когда решение, общее или частное, уравнения не выражается в элементарных функциях — интеграл не берется.
Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются Условия теоремы существования и единственности решения.
Уравнение вида
Р1(х)  Qi(y)dx + Pi(x) • Qi(y)dy = 0	(1.3)
Называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
________________________
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравне-я первого порядка.
53
Уравнение (1.3) путем деления на произведение Qi(y) • Рг(^) приводится к уравнению с разделенными переменными
РЛХ) ,	л
dx + 7ГГ\ dy = 0 р2(х) Qi(y)
(коэффициент при dx зависит только от х, а при dy — только от у).
Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием:
f Pl^ я  f я п /	/ х dx + / х dy = С.
J Р2(х) J Qi (у)
Заметим, что уравнению (1.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Qi(y) • Рг(.т), т.е. получаемые из уравнения Qi(y) • ?2(х) = 0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (1.3).
Уравнение у' = fi(x) • /2 (у) сводится к уравнению (1.4). Для этого достаточно положить у = и разделить переменные. dx
(1-4)
л. 1.1. Показать, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения.
а)	у = (х + С)ех, у' - у = ех;
б)	у = —ху2 dx-dy = 0;
х
в)	х2 ~ху + у2 = С, (х- 2у)у' - 2х + 'у = 0.
а)	Находим производную данной функции: у' = ех + (ж+С)е®. Теперь подставим значения у и у' в заданное уравнение: e^+Oc+CJe®—(ж+С)е1 = — е . Получили тождество ех = ех. Следовательно, функция у = (х + С)ех является решением уравнения у1 — у = ех.
б)	Сначала находим dy: dy = ( —) dx = Дг dx. Подставив значения
(\ 2
2 \	л
—- ) dx-----dx = 0^
х2 J	X6
т. e. 0 = О. Значит, функция у = —	— действительно решение исходного
уравнения.	х
в)	Найдем производную неявной функции, для чего продифференци-руем обе части уравнения х2—ху+у2 = (7 по ат. 2х—у—ху'+2уу' = 0, откУ' да ?/ — 5----, х 2у. Подставим полученное выражение для у' в данное
,	У х	у — 2х	о
дифференциальное уравнение: (х — 2у) • ---2х + у = 0. Уравнение
2 у х
ооращается в тождество, т. е. функция х2 — ху + у2 = С является инт^ тралом исходного уравнения.
2.1.2.	Показать, что заданные функции являются решениями соот ветствующих дифференциальных уравнений:
а)	у = In cos х, у1 = — tgz;
54
б)	х2 + 2ху = С, (х + у) dx + xdy = 0;
в)	у = С • sin х, y'tgx-y = 0;
г)	у = Се~3х, у' + 3т/ = 0;
д)	у - х = Сеу, (х-у + 1)у' = 1;
е)	у = Сех\ dy — 3x2ydx = 0.
2.1.3.	Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции:
а)	у = , *—у' = Зт/2;
'	3(ж + 1)’
б)	v = (1 — е~~а),	+ bv — с = 0;
в)	у = 3 - е-*2, ху' + 2у = е'*2;
г)	х2 + t2 - 2t = С, х + t = 1.
at
2.1.4.	Решить задачу Коши:
а)	у' — sin5x, у (= 1; б) = 3, х = 1 при t = —1.
ф а) Проинтегрируем обе части уравнения:
У =
Теперь найдем частное решение уравнения. Подставив х = и у = 1 £
1 5тг
в найденное решение, получим искомое значение С: 1 = — - cos + С, *	a z
офкуда С = 1. Таким образом решением задачи Коши является функция у = — cos5a; + 1. а
б)	Интегрируя, находим: х = 3t + С, откуда, с учетом начального условия, имеем: 1 = 3 • (— 1) + С, С = 4. Искомое частное решение есть функция х = 3t + 4.	•
2.1.5.	Решить задачу Коши:
а)	у' = 2х + 1, ?/(2) = а; б) у' = е~3х, т/(0) = |.
2*1.6. Составить дифференциальное уравнение по заданному семей-
ству интегральных кривых: а) у = Сх3-,
б)	семейство парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью абсцисс.
а)	Продифференцировав по х равенство у = Сх3, получим: у' = ЗСх2. Кроме того, очевидно, С = Подставляя это выражение для С в х^
^енство у' = ЗСх2, получаем искомое дифференциальное уравнение:
о У 2	/ п
• ж, т. е. ху = Зу.
хА
б)	Заданное в условии семейство парабол определяется уравнением Сх. Отсюда 2у - у' = С. Исключив из равенств у2 = Сх и 2у • у1 = С ^Раметр С, получим дифференциальное уравнение 2хуг — у = 0.	•
55
2.1.7.	Изобразить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения:
а) У' = 3;	б) у' = 2 .
2.1.8.	Составить дифференциальные уравнения заданных семейств интегральных кривых:
а) ?/=£-;	б) х3 = С(х2 - у2).
2.1.9.	Составить дифференциальное уравнение:
а)	процесса изменения температуры тела в среде с температурой to, если скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды;
б)	процесса изменения численности населения страны, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его численности.
Q а) Обозначим через T(t) температуру тела в момент времени t. Ско-рость изменения температуры тела равна . Разность температур тела и среды равна Т — to- Тогда дифференциальное уравнение процесса со-гласно условию задачи будет таким:	= —к(Т — to) , где к > 0 —
коэффициент пропорциональности. Если Т — to > 0, то скорость изменения температуры отрицательна, т. е. что температура тела понижается; если Т — t0 < 0, то скорость положительна — тело нагревается.
б) Обозначим численность населения страны в момент времени t через N(t). Тогда дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения будет таким = kN, где к > 0 — коэффициент at
пропорциональности.	•
2.1.10.	Составить дифференциальное уравнение изменения скорости при замедленном прямолинейном движении тела массы то под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости (к — коэффициент пропорциональности). Использовать второй закон Ньютона.
2.1.11.	Составить дифференциальное уравнение изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад»), считая, что скорость распада радия прямо пропорциональна (коэффициент к > 0) его количеству в каждый момент времени.
2.1.12.	Дано дифференциальное уравнение у1 = х2. Построить поле направлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.
Q Имеем f(x,y) = х2, fy(x,y) = 0. Условия теоремы существования и единственности выполняются во всех точках плоскости Оху. Через каждую точку проходит единственная интегральная кривая и различные интегральные кривые не пересекаются.
56
Рис. 3
Рис. 4
При х = 0 и любом у 6 (—оо, +оо) имеем у1 = 0, т. е. во всех точках оси Оу поле горизонтально (рис. 3). При х = 1 и любом у 6 (—оо, +оо) имеем у1 = 1 (поле образует угол 45° с осью Ох), при х = 1 поле также образует с осью Ох угол 45°. Поле симметрично относительно оси Ох. Построим теперь интегральные кривые, которые в каждой точке касаются «поля». Полученные кривые напоминают кубические параболы (рис. 4). Точные х3	-
интегральные кривые имеют вид у = — + С.	•
О
Для следующих дифференциальных уравнений построить поле направлений и приближенным образом построить некоторые интегральные кривые
2«1.13. у1 = — х + у.	2.1.14. у1 = х — 1.
2*1.15. Решить уравнение (ж — ху2)dx + (у — yx2)dy = 0. Имеет ли оно особые решения?
Преобразовывая, запишем данное уравнение в виде (1.3):
х(1 - y2)dx + у(1 — x2)dy = 0.
Эт
т° уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части ^Равнения на (1 — г/2)(1 — х2). Получим уравнение с разделенными пе-
57
ременными
—*—- dx + 1-я2
~^dy = O. 1- у
Интегрируя обе части уравнения, имеем:
_lln|l-^|-lln|l-^| = -iln|C|, £л	£	Li
с^о
(произвольную постоянную здесь удобно записать именно так: — In |(7|)? т.е. (1 — я2)(1 — у2) = С, где (7^0; это возможно, так In |(7| может при
нимать любые действительные значения. Получили общий интеграл исходного уравнения. При делении на (1 — у2)(1 — я2) мы могли потерять
решения у = 1, у = — 1, я = 1, я = —1, но они содержатся в общем интеграле, если подставить дополнительное значение (7 = 0. Таким образом, особых решений данное уравнение не имеет.	ф
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.16.
2.1.17.
2.1.18.
2.1.20.
(1 + у) dx — (1 — я) dy = 0.
\/1 — т/2 dx + у\/1 — я2 dy = 0.
хуу1 = 1 — я2.	2.1.19.
е»(1 + ^) = 1.	2.1.21.
т/(1 + у) = xysinx. у' ~ ху2 = 0.
2.1.22.	Найти частное решение уравнения
ydx + ctgxdy = 0,	?/1 7г=-1.
з
Q Это уравнение имеет вид (1.3). Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:
\%xdx ± dy = 0, j tgxdx + j =\п\С1\, G # 0, откуда In |т/| — In | cosя| = In |(7i|, |т/| = |(7i собя|, т. e.
у =±(7i cos я, или у = С cos я (положили С = ±(7i).
Подставляя в найденное общее решение у = -1 и я = | (используем начальное условие), находим постоянную (7. А именно:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: у = —2 cos я.
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1.23.	2^ydx — dy = 0, 7/(0) = 1. 2.1.24. у1 = 8у/у, т/(0) = 4.
2.1.25.	у’ sin я - у In у = 0, у =1.
2.1.26.	(1 ± у2) dx ± (1 ± я2) dy = 0, 3/(1) = 2.
2.1.27.	Определить численность населения России через 20 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его на' личному количеству, и зная, что население России в 2000 гоДУ
58
составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен а%. (Вычислить при а = 2%, а = —1%.)
Q Обозначим численность населения России в момент времени t через дг zz N(t). Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (скорость «прироста» численности населения) имеет вид = kN, где к у о — коэффициент пропорциональности (см. задачу 2.1.9). Отсюда
Л dN ь&одрм, что —
dt
= к dt, откуда In |ЛГ| — In |С| = kt, т. е. In
= kt, т. е.,
учитывая, что N > 0, имеем N = Cekt — общее решение уравнения. Согласно условию задачи N — 145 при t = 0. Находим частное решение: 145 = CeQ, т. е. С = 145, N = 145efct. Найдем значение коэффициента
к зная, что в конце 2000 года, т. е. при t = 1, население России равно N = 145 +	• 145 млн человек: 145 +	• 145 = 145еА. Отсюда
ни	100	100
Jf = 1 + -^7-, т. е. к = In (1 + тхт;) • Равенство N = 145efcf теперь можно е 100	\	100/^
переписать так: N = 145 (1 +	• Таким образом через 20 лет числен-
ность населения составит:
при а = 2%: N = 145 • (1,О2)20 « 215 (млн человек); при а = —1%: N = 145 • (О,99)20 « 119 (млн человек).
2.1.28.	Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а за 3 секунды — 40 м?
2.1.29.	Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 100° до 80°. Через сколько минут температура тела понизится до 40°, если температура окружающей среды составляет 10°? (Ско
рость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, см. задачу 2.1.9.)
Дополнительные задачи
2.1.30.	В заданном семействе кривых найти линию, удовлетворяющую начальному условию:
а) у(1 - Сх) = 1, з/(2) = 1; б) у2 - ж2 = С, у(0) = 1.
•*•31. Убедиться, что заданная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:
/е®
— dx, ху' — у = хех;
б) 1п(4ж+8г/-1-5)+83/-4х = С, (x+2y+l)dx-(2x+4y+3)dy = 0.
•1’32. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, для которых отрезок любой касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. (Использовать геометрический смысл производной).
59
2.1.33.	Решить дифференциальное уравнение: dv
а) — = 2cosх;	б) sin?/7 = 1.
dx
2.1.34.	При каком значении С заданная функция является решением данного уравнения:
a) s = Ct + 4, s' = -1;	б) у = я3, у' = Сх2.
2.1.35.	Написать уравнение геометрического места точек (ж, у), являющихся точками максимума или минимума решений уравнения 2/' = Жу)-
2.1.36.	Как доказать, что ху+1п = С есть общий интеграл уравнения ж(1 + ху)у' = ?/(1 - ху)?
2.1.37.	Зная, что у = С In а: является общим решением уравнения
ху' In х = у,
найти интегральную кривую, проходящую через точку М(е, 1).
2.1.38.	Какая из функций:
у = ех, у = 2, у =	у = у/\п(х + 1)
является решением дифференциального уравнения
2.1.39.	Решить уравнения:
а) 2у' = 0;	б) у1 = х;
в) у’ = у.
2.1.40.	Какие из приведенных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными?
а) у1 = Зу - 1;	б) xdy + у dx = у2 dx
в) (1 - х2)у' + ху = 1;	г) ху' +з/ = cos у;
д) у' = (s + з/)2;	е) у' + х2у = еж;
ж) у' - ху2 = 2ху\	з) е-У (1 +=1; \ dx)
и) х2у' — 1 = cos 2у;	к) у = хеу .
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.41.	(у/ху + у/х)у' - у = 0.	2.1.42.	у' = Зх~у.
2.1.43.	У' = у-^-у х + 1	2.1.44.	ds + stgtdt = 0.
2.1.45.	^+е*=0.	2.1.46.	х + ху + у'(у -1- ху) = 0
2.1.47.	У1 + У = 5.	2.1.48.	v' — 4tv — 0.
2.1.49.	dy — у cos2 х dx = 0.	2.1.50.	.	. X — у . X + у' = sin	sin —у
2.1.51. (еж + l)eV + еж(1 + е») = 0. п ел _./ । згsinX _____
2.1.52. у + уёозу ~ и-
60
2 1.53. у' = cos(y — х). (Положить у — х = t.) 2.1.54. (ху + х) — = 1.
2.1-55.	6х dx — Gydy — 2х2у dy + Зтт/2 dx =		0.
2.1.56.	х2 dy + (у — a) dx = 0.	2.1.57.	у' tg х - у = а.
2.1.58-	у1 cos х — (у + 1) sin х = 0.	2.1.59.	у' — 2yctgx = ctgz.
2.1-60.	у-ху' = 1 +х2у'.	2.1.61.	dx _ dy
			x(y ~ 1) y(x + 2)'
	,= У^У_ У у/х + 1		
2.1-62.		2.1.63.	2x + 2xy2 + a/2 — x2y' = 0.
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1-64.
2.1.65.
2.1.66.
2.1.67.
2.1.68.
2.1.69.
2.1.70.
2.1.71.
2.1.72.
2.1.73.
2.1.74.
2.1.75.
2-1.76.
2’1-77.
х2 dy - у2 dx = 0, у = 1
1 +у2 = хуу', у(2) = 1.
(х + ху2) dx + (х2у — y)dy = 0, у(0) = 1.
у'(х2 - 2) = 2ху, у(2) = 2.
cos х sin ydy = cos у sin x dx, у (я) = тг.
у' = 1,5 tyy, У(-2) = 1.
у1 = 2Х+* + 2Х~У, у(0) = 0.
ху' -= °’ 1
у' sin х — (2у + 1) cos х = 0, у
(ех + 8) dy — уех dx = 0, т/(0) = 1.
Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой:
а)	в три раза больше углового коэффициента прямой, соединя
ющей эту же точку с началом координат;
б)	равен квадрату ординаты этой точки.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (4,1), для которой:
а)	отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам;
б)	отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс
делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Подкасательной кривой у = f(x) в точке М называется проекция АР на ось Ох отрезка AM касательной к этой кривой, где А точка пересечения касательной с осью Ох (рис. 5) Найти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину, равную 2.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), для которой площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, равна 1.
61
2.1.78.	Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее, длины ее отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой ее точке равна произведению координат точки касания.
2.1.79.	Скорость распада радия пропорциональна наличной его массе. Определить, через сколько лет от 1 кг радия останется 0,7 кг, если известно, что период полураспада радия (время, за которое масса радия уменьшается вдвое) равен 1590 лет.
2.1.80.	Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий за 4 часа утроилось. Найти зависимость количества бактерий от времени, если . при t = 0 их было а.
2.1.81.	Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя ее скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость лодки через две минуты после остановки двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
2.1.82.	Металлическая болванка, нагретая до 420°С, охлаждается в воздухе, температура которого 20°С. Через 15 минут после начала охлаждения температура детали понизилась до 120°С-Определить температуру болванки через 30 минут охлаждения, считая, что скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
2.1.83.	При брожении скорость прироста действующего фермента про порциональна его количеству. Через ti часов после начала брожения масса фермента составила mi г, а через t2 часов (^2 > ti) — m2 г (m2 > mi). Какова была первоначальная масса фермента?
2.1.84.	Вращающийся в жидкости диск замедляет свое движение поД действием силы трения, пропорциональной угловой скорости
62
вращения w. Известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 18 об/с, по истечении 45 с вращается со скоростью б об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск по истечении 90 с после начала замедления? В какой момент времени w будет равняться 1 об/с?
контрольные вопросы и более сложные задачи
2.1.85.	Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения yf = f(x) пересекаться?
2,1.86.	Можно ли множество всех решений уравнения у1 = у представить в виде:
а) у =	Сех\	б) ?/ = Стех + С2;
в) у =	\fCex',	г) у = sin С • еж;
д) У =	ех+с;	е) у = ± ех?
2.1.87.	В резервуаре находится 80 л раствора, содержащего 8 кг соли. Каждую минуту в него вливается 4 л воды и вытекает 4 л раствора, при этом концентрация соли поддерживается равномерной (путем перемешивания). Сколько соли останется в резервуаре через 40 минут?
2.1.88.	Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой v = Q,6\/2gh, где h — высота столба жидкости над отверстием, д — ускорение свободного падения (д « & 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из
а)	заполненного полусферического котла диаметра 2 м через круглое отверстие на дне 0,1 м;
б)	цилиндрического бака радиуса R = 0,5 м и высотой И = 2 м через круглое отверстие в дне радиуса г = 0,02 м.
2.1.89.	Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент тело имело скорость г>о = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала движения.
2’1.90. Судно водоизмещением 10000 тонн движется прямолинейно со скоростью 10 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости судна и равно 20000 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет судно после выключения двигателя, прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с?
^•1’91. Решить уравнение 2 ch у dx = (у/х + 1 + \/х — 1) dy.
•1.92. Решить уравнения:
а)	у1 = ysinx2;
б)	(2а; — у) dx + (4а; — 2у + 3) dy = 0 (положить 2а; — у = t);
ч . cos у — sin у — 1
в)	у = —-—
cos х — sin х + 1
63
г)	\Л - У2 dx 4- л/1 - х2 dy = 0, 7/(0) = 1;
д)	у’ = За: — 2т/ 4-1 (положить За: — у 4-1 = t); е) у' — cos(t/ — х).
§2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция /(ж, у) называется однородной функцией степени п, где п-целое, если при любом а имеет место тождество f(ax,ay) = anf(x,y).
В частности, функция f(x,y) — однородная нулевой степени, если f(ax, ay) = f(x,y).
Дифференциальное уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0	(2.1)
называется однородным, если Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одинаковой степени.
Уравнение (2.1) может быть приведено к виду
У = / (I) •	(2.2)
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной
У г т. е. у = их,
где и = и(х) — новая неизвестная функция (можно также применять подста-х \
новку - = и).
п	лг	/ ах + by 4- с
Замечание. Уравнение вида у =---------приводится к однородному
aix 4- biy 4- ci
с помощью замен х = и 4- а, у = и 4- 0, где а и 0 — числа, которые подбирают соответствующим образом (см. задачу 2.2.5). Этот же прием используется при решении уравнений вида у1 = f д ~4-С )
2.2.1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 2	2
а) (у2 + ху) dx - х2 dy = 0; б) у' = ——у(-1) = 1;
I	Х
в) ху' — у + хех =0.
Q а) Заданное уравнение имеет вид (2.1). Коэффициенты при dx и dy-т.е. Р(х, у) = у2+ху и Q(x, у) = —х2, являются однородными функциям^ одной и той же степени (второй). Действительно,
Р(ах, ау) = (ат/)2 4- (ах • ау) = а2(у2 4- ху) = а2Р(х, у),
64
Q(ax,<*y) = ~(ах)2 = а2(—я2) = a2Q(x,у), п = 2. Следовательно, данное уравнение однородное. Положим у = их. Тогда dy = х du 4- и dx, и данное уравнение принимает вид
(u2z2 4- х2и) dx — x2(xdu + u dx) = 0.
После упрощений получим:
и2 dx — х du = 0 или	= 0.
х иг
Интегрируя последнее уравнение, получим In |ж| 4-	= С. Вспоминая,
2/	«I/
qT0 и = —, находим общий интеграл исходного уравнения: In |ят| 4-	= С.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (2.2):
2 , 2dy n	dy у2 + ху	,	/у\2 у
у2 +ху - х* — = 0, т.е. — =---------—, или т/ = ( -	+-
у	dx	dx х2	х
Полагая у = их, находим далее у1 = и'х 4- и и т. д. (см. б)).
(у \ 2 у
— ) — —. Полагая
у = их, находим: у' = и'х 4- и. Подставим значения у и у' в данное уравнение: и'х + и = и2 — и. Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными: • х = и2 — 2и. Разделяя переменные и инте-dx
= ln|x| + lln|C1|,
= 1С11Л
и — 2 и
f du грируя, имеем: '
и — 2 и у-2х
У ~%х У
т.е.
т.е.
9 гч	/ Т ’
и2 - 2и	J
= ICT |ге2. Подставляя и = получаем vU
= ±С\х2, или = Сх2, где С = ±Ci. Теперь найдем
14-2
значение постоянной С, используя начальное условие: —j— = С • 1, т. е.
С = 3. Отсюда:	= Зя2, т. е. 7/(Зж2 — 1) = — 2х, откуда окончательно:
и — 2ж
У — -—— частное решение заданного уравнения. у У й) Преобразуем уравнение к виду (2.2): у'—%+ех = 0. Сделав подста-*£/
н°вку ~ = и, т. е. у = их, получим и'х+и—и+еи = 0, или ^4-^г = 0. Ин-*Х/	«X/
^грируя, имеем: J е~и du = — J т. е. — еи = — In |ж| — In |С|, С 0. От-С1°Да In|Са:| = е~и, т.е. — и = Inin|С7ж|, С 0. Учитывая, что и = V, по-лУчаем общее решение заданного уравнения у = —х In In |Са;|, С 0. •
уравнения:
2*2.2. у dx 4- (х 4- у) dy = 0.	2.2.3.
2-2.4. Ху' = 7/4-zsin^, у(1) =
^ник задач по высшей математике, 2 курс	65
, _ ху + у2 2х2 4- ху
2.2.5.	Привести дифференциальное уравнение (у + 2) dx - (2х + у + 6)dy = О к однородном}'.
Q Положив х = и + а, у = v + fly получаем
(v + fl + 2) du — (2ц + 2а + v + fl + 6) dv = О,
т. е. (ц + (fl + 2)) du — (2ц + v + (2а + fl + 6)) dv = 0. Подберем а и fl так, чтобы	Г /3 + 2 = 0,
12а + /3 + 6 = 0.
Решая систему, находим, а = —2, fl = —2. Тогда исходное уравнение принимает вид (2.1): v dv — (2ц + ц) dv = 0, т. е. является однородным, что и требовалось.	•
2.2.6.	Решить уравнение, сведя его к однородному:
(2х — 2)dy = (x + 2y — 3) dx.
2.2.7.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1,1), у которой подкасательная (см. задачу 2.1.76) равна сумме координат точки касания.
tga = —у—, т. е. у' = ° х -Ь У
ренциальное уравнение.
/	.	их
их + U — ---;--,
х + их
Интегрируя полученное уравнение, имеем *1/
Q На рис. 6 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к искомой кривой у = f(x) проведена в точке М(х,у). Так как по условию ВС = х + у, то из прямоугольного треугольника МСВ находим: У
———. Решим полученное однородное диффе-। У
Полагая у = их, откуда у1 = и'х + и, имеем и'х —	-----и. Отсюда х = п и , ил и
1 + ц	dx 1 + ц’
т. е.
ц2
1пМ - й = ~1пИ - 1пм,
С / 0, т. е. т; — In |Стц| или	= In [Cyl, С 0. Подставляя х = 1, у =
у
(по условию кривая проходит через точку А(1,1)), находим конкретно^
66
значение С: 1 = In ]С|, С = ±е. Таким образом, искомой кривой является линия, определяемая уравнением х = у In \еу\.	•
2 2.8- Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.
2 2.9- Найти кривую, проходящую через точку 4(1,1), у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
хуг = у + у/х2 + у2.	2.2.11.
у у = ху1 — хе х .	2.2.13.
у + 2у/ху У = х •	2.2.15.
X2 + у2 = 2хуу'.	2.2.17.
у'=^±».	2.2.19.
х-у	
.	У ху 4-xtg^- = у.	2.2.21.
(Зх2 - у2)у' = 2ху.	2.2.23.
ду _ У _ х
dx х У
ху' ~ 2/(ln 2/ — In х) = 0.
ss' — 2s + t = 0.
y/y(2y/x-y/y)dx+xdy = 0.
у' cos |	| cos ~ + 1 = 0.
- ^(1 + 1пт/ - Inx) = 0. dxx
y'-l = ex +|, 7/(1) = 0.
2.2.10.
2.2.12.
2.2.14.
2.2.16.
2.2.18.
2.2.20.
2.2.22.
2.2.24.
2.2.25.
2.2.26.
2.2.27.
2.2.28.
2.2.29.
2.2.30.
2.2.31.
2.2.32.
2.2.33.
2.2.34.
2-2.35.
2*2.36.
(2х3у — у4) dx + (2ху3 — х4) dy = 0. х dy = (х + у) dx, т/(1) = 0.
У2 + х2у' = хуу', 7/(1) = 1.
(у' ~ I) arctg £ = У (|) = °-
ху' - у = (х + 7/) In у(х2 + т/2) dx - х3 dy = 0. (ж2 + у2 + ху) dx — х2 dy = 0. x2yf + ху - х2 - у2 = 0, 7/(1) = 0. X2 - Зу2 + 2X7/7/' = 0, 7/(-2) = 2. У - ху' = 2(х + уу'), 7/(1) = 0. у' = |1п|, 7/(1) = е.
Найти кривую, проходящую через точку 4(1,0), если известно, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный; основанием его является отрезок касательной от точки касания до оси ординат.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.
67
2.2.37. Найти кривую, проходящую через точку А(3,0), если известно, х + у что угловой коэффициент касательной равен —-—.
2.2.38. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке которых равна среднему арифметическому координат точки касания.
Более сложные задачи
2.2.39.
2.2.40.
2.2.41.
2.2.42.
2.2.43.
Решить уравнение, сведя его к однородному:
х + у -2
Зх — у - 2
Зт — 4у — 2
Зж - 4 т/ - 3’
б) у' =
Решить уравнение х2(у' — х) = у2. (Сделать замену у = ит
Число т подобрать так, чтобы привести уравнение к однородному.)
Найти общий интеграл дифференциального уравнения: х)	.______
у = -	6)ху' = iV2x2 + у2 + у;
в) Зу' =	+ ю| + 10.
Задача о прожекторе. Найти форму зеркала, отражающего все
лучи, исходящие из одной точки, параллельно заданному направлению. (Рассмотреть сечение зеркала плоскостью Оху, источник лучей (света) поместить в начале координат, ось Ох направить параллельно отраженным лучам.)
При каких а и (3 уравнение у' = 2ха + Зу& приводится к однородному с помощью замены у = ит? (См. указание к задаче 2.2.40.)
§3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Дифференциальное уравнение вида г//+р(ж)г/ = ^(з;),	(3.1)
где р(х) и д(х) — непрерывные функции (в частности — постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.
Уравнение ж' +р(у)х = д(у)	(3.2)
является линейным относительно х и х'.
Если д(х) = 0, то уравнение (3.1) принимает вид у'+р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае д(х) 0 уравнение (3.1) называется линейным неоднородны^ уравнением.
68
решение уравнения (3.1) ищется в виде у = uv, где и = и(х) и v = v(x) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций / аПример, v(x)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (3.1). В обоих случаях они находятся из ^равнений с разделяющимися переменными (см. задачу 2.3.1 а)).
Кроме того, уравнение (3.1) можно решить методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)’, в этом случае его общее решение ищется н виде С(х)е~ fp(x}dx (см. задачу 2.3.1 а)).
Уравнение вида
у 4- р(х)у = д(х)уп, где п G R, п 0 0, п 0 1,
а р(я) и 9(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.
Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y~n+l. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
2.3.1. Решить дифференциальные уравнения:
а)у' + tg*-y = «h; б)у' = дЬ*;
х ~Г у
в) ху' — 4у = х2у/у.
Q а) Данное уравнение имеет вид (3.1) и, стало быть, является линейным. Здесь р(х) = tgz, д(х) = Решим уравнение двумя способами.
Метод Бернулли
Полагаем у = uv, где и = и(х), v = v(x) — некоторые функции от х, тогда у1 = u'v 4- uv'. Данное уравнение принимает вид:
u'v 4- uv' 4- tgzzw =
или
u'v 4- u(v' + vtgz) =	(3.3)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было Равно нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v' 4- v tg х = 0. Отсюда 4^ 4- v tg х = 0, т. е. dv	dx
ъ +tgxda; = 0, In |и| — ln|cosa:| = In |C|, C / 0, откуда v = Ccosx,
0. Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого ре-шения уравнения, то возьмем v = cosx (положили С = 1). Подставляя 25 cos ж в уравнение (3.3), получим второе дифференциальное уравне-ЙИе с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию и(х): u cosx =  -А—, т.е. du = —, и, следовательно и = tgz 4- С. Таким °бвя	C°S Х	cos2 х
1 азом, у = uv = (tg х 4- С) cos х или у = С cos х + sin х — общее решение °ДНого уравнения.
69
Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного урав-
нения у' + tgs • у = 0, т. е. = — tgs  у. Разделяя переменные, имеем dx
^- = -tgxdx, In |у| = In | coss| + In |С|, C^O,
т. e. у = C cos x. Общее решение заданного уравнения ищем в виде у = = С(х) cosx (букву С заменили неизвестной функцией С(х)). Подставляя у и у' = С(х) cosx — С(х) sin а; в данное уравнение, получим
С'(х) cosx — С(х) sin ж + tgxC(x) cosx = CqSX,
т. е.	।
С (х) cosx = cosj
(второе и третье слагаемые взаимно уничтожились). Отсюда
=	dC(l) = _^_. C(x) = tgx + C.
dx cos2 x	cos2 x
Следовательно, общее решение заданного уравнения есть
у = (tgs + С) cosx,
т. е. у = С cos х + sin s, как и в первом случае.
б) Данное уравнение не является линейным относительно у и у', но является таковым относительно х и х'. Учитывая, что у' — -^т, приведем х уравнение к виду (3.2):
/1 У	, х + у2	,1
У = —	, 2, т.е. х' =	 или х - у х = у.
х' х + у2	У	У
Решая методом Бернулли, полагаем х = uv, где и = и(у), v = v(y) — функции от у. Тогда х' = u'v + uv' и
u'v + uv' — ^uv = у,
ИЛИ	i
u'v + u(v' - ^v) = у.	(3.4)
J/
Решаем уравнение с разделяющимися переменными v' — ± v = 0: J/
57 = U’ т-е- = ТГ’ откуда ln|v| = ln|C?/|, С 0. CLy У	У
Выбирая одно из возможных решений (самое простое), имеем: v — У-Подставляя v = у в уравнение (3.4), получим и'у = у, т.е. у' = 1, и» значит, и = у + С. Следовательно, х = uv = (у + С)у = у2 + Су, т. е-х = у2 + Су — общее решение заданного уравнения; у = 0 — особое решение.
в) Уравнение приводится к виду (3.2), т.е. это уравнение Бернулли:
/ _ — у — Xy/у. Снова полагаем у = uv. Получаем уравнение У I
u'v + uv' — UV = X\/uV
или Л + u(v' — ^v) = xy/uv. Решаем первое уравнение v' — v = О, разделяя переменные:	= v^dx, т.е. 1п|ц| = 4In |z| + С. Выбирая про-
стейшее решение (при С = 0), находим v = а;4. Решаем второе уравнение /4	/— 2 du dx
с разделяющимися переменными: и х = Ху/и • х , т.е.	, отку-
да 2у/й = In |z| + In |С|, С 0. Таким образом, и = ^1п2|шС|, С 0, и, следовательно, у = uv = ^х41п2 |атб7|, где С 0, — общее решение заданного уравнения, у = 0 — особое решение.	•
Решить уравнения:
2.3.2.	у' — 2ху = ех2.	2.3.3.	ху1 + у — Зх2 = 0.
2.3.4.	у2 dx + (х + 2) dy = 0.	2.3.5.	(х + l)t/' - 2у = у2(х + I)5.
2.3.6. Найти кривую, проходящую через точку Р(1,0) и такую, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.
Рис. 7
Q Пусть АС — касательная к искомой кривой в точке М(х,у) (рис. 7). Согласно условию OB = х = ОА. Найдем ординату точки А, положив = 0 в уравнении касательной Y — у = у1 (X — т), где Y = О А. Имеем: У — у — —у'х, т.е. У = у — у'х. Таким образом, получили линейное Уравнение х = у — у'х, или у’ — ^у = —1. Положив у = uv, решим
•С
его методом Бернулли: u'v + uv' —	= —1, т.е. uv' + v (и' —	= —1.
JL>	'	/
Заходим и:	=0,	и = х. Находим v, подставляя и:
ах х	их
= —1, или v’ = —откуда v = — In lad + In IC'I, т. e. v = In § , где •L	iii
0. Итак, у = a;In , где C 0 — уравнение семейства интеграль-HbIX кривых. Выделим среди них одну кривую, проходящую через точку
71
P(l,0): 0 = I • In|C|, а значит, C = ±l. Следовательно, у = a;in —, т.е.
Fl
у = —т!п]т| — уравнение искомой кривой.	*
2.3.7.	Найти кривую, проходящую через точку 0(0,0), зная, что угло-
вой коэффициент в любой ее точке равен сумме координат этой точки.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.8.	у1 + 2у = Зе®.		2.3.9.	(1 + т2)у' + 2ту = Зт2.
2.3.10.	2(т + т/4)т/' - у = 0. о		2.3.11.	у2 dx + (ху — l)dy = 0.
2.3.12.	, , у 1 яУ + 2/ = у In х.		2.3.13.	7/' + 2ху = 2ху3.
2.3.14.	yf 4- у cos х = sin 2т.		2.3.15.	х^ + У = 4®3 
2.3.16.	у'е*2 - (те®2 - у2)у =	0.	2.3.17.	х3у2у' + %2у3 = 1-
2.3.18.	у'х3 sin у — ху' + 2у =	0.	2.3.19.	т/' - у = (т + ех.
2.3.20.	У* + Л Х 2 У “ 2- 1 - х*		2.3.21.	у'	= tg§. sin т ° 2
2.3.22.
2.3.23.
2.3.24.
2.3.25.
2.3.26.
2.3.27.
2.3.28.
2.3.29.
2.3.30.
2.3.31.
2.3.32.
2.3.33.
2.3.34.
2.3.35.
ху’ - у- х3 = 0, 7/(2) = 4.
у' sin а; — j/cost = 1, у
2у2 dx + (х + ev) dy = 0, у(е) = 1.
У' ~хУ= ~у2,2Л1)= -L х cos2 х у' + 2у cos2 х = 2ху/у. у dx + (4 In т/ — 2х — у) dy = 0. (у' + У)(х2 + 1) = е~х, 7/(0) = 1. s' — ssinJ = 2sin2£, s(0) = 1. (prf + r — ev = 0, r(a) = 2a. dx + (ху - 7/3) dy = 0, у(-1) = 0.
.7 . ^У _ o ‘2 4 /“з	_ 1
Пусть т/1 и т/2 — два различных решения уравнения у'+р(х)у = = д(х). При каком соотношении между постоянными С\ и С% функция у = CfT/i + С2У2 будет решением данного уравнения? Материальная точка массой т погружается с нулевой начальной скоростью в жидкость. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости погружения (коэффициент пропорциональности к). Найти зависимость скорости движения точки от времени.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), касательная к которой в произвольной ее точке отсекает на оси ординат отрезок, равный квадрату ординаты точки касания.
72
2.3.36.
Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением Я, коэффициентом индуктивности L и электродвижущей силой Е удовлетворяет дифференциальному уравнению
L + RI = Е.
at
Найти зависимость силы тока I = I(t) от времени, если: а) Е изменяется по закону Е = kt и 1(0) = 0 (L, R, к — постоянные), к — коэффициент пропорциональности;
б)	Е изменяется по закону Е = Asinujt и 1(0) = 0 (L, R, А, uj — постоянные).
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.3.37.	Найти общее решение уравнения у' + у<р'(ж) — <р(х)<р' (х) = 0, где (fix') — заданная функция.
2.3.38.	Решить уравнения:	х
а) ху' — хеу + 2 = 0;	б) у(х) = Jy(t) dt + х + 1.
о
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.39.	у' — 2ху = 1 — 2х2, у(0) = 2.
2.3.40.	ух' + 2х = —у(0) = тг.
cos'4 у
2.3.41.	у' cosy + sin у = х.
2.3.42.	dx + (2х + sin 2у — 2 cos2 у) dy = 0, у(— 1) = 0.
2.3.43.	(64т/3 - х)у' - 2у = 0.
2.3.44.	у' + ху = еху2, ?/(0) = 2.
2.3.45.	Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянна и равна 4.
2.3.46.	Кривая у = /(ж) проходит через точку 0(0,0). Найти ее уравнение, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси абсцисс лежит на параболе у2 = х.
Указание. Середина С отрезка нормали имеет координаты
(* + I УУ1, 
2.3.47.	Найти такие функции р(х) и д(х), чтобы решениями уравнения у' + р(х)у = д(х) являлись функции у = 1иу = х3 + 1.
2.3.48.	Можно ли решать уравнение у' = у с помощью подстановки у = UV?
2*3.49. Может ли решение уравнения у' = у (у 0) иметь точки минимума?
•3.50.	Для какой кривой касательная в каждой ее точке перпендикулярна радиус-вектору точки касания?
73
§4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Дифференциальное уравнение
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = O
(4.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(х, у) = ^dx + ^dy = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy.	(4.2)
/“f/т*	/“i'll	f
Уравнение (4.1) с учетом (4.2) можно записать в виде dU{x,y} = 0, поэтому его общий интеграл имеет вид
(7(х,у) = С.
Для того, чтобы уравнение (4.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
дР = dQ ду дх
Функция U(x, у) может быть найдена из системы уравнений
^ = P(i,y),
оу
либо по формуле
V
X
U(x,y)= jp(x, у) dx+ J х0	УО
(4.4)
где (%о,уо) — некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций Р(х,у), Q(x,y) и их частных производных.
Замечание. Если условие (4.3) не выполняется для уравнения (4.1), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию t(x, у) = t, называемую «интегрирующим множителем». Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если t = t(x) или t = t(y)-, в первом случае
дР 9Q С ду дх t(x) = Q х,
дР dQ ду дх причем выражение ----—----должно зависеть только от х; во втором случае
^6
9Q дР Г дх ду , t(«) = eJ Р
причем подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
74
2.4.1.	Решить уравнение ех +y+sin у+у' (ey +х+хcosy) = 0, у(1п2) = О. Q Запишем уравнение в дифференциальной форме
(ех + у + sin у) dx + (еу + х + х cos у) dy = 0.
Здесь Р(х, у) = ех +у + sin у, Q(x, у) = еу + х + х cos у. Проверим выполнение условия (4.3):
ЭР _. , 8Q	др _ 9Q
dy~1+COSy’ dx~1 + COSy’ Т'е' ду дх'
и, значит, условие (4.3) выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию U, используя равенства
517 х .	. • 9U у ।	।
= е + у + sin у и -77— = еу + х + xcosy.
дх	оу
Интегрируя первое равенство по х (считаем у постоянным), находим
U(x,y) = (ех + у + siny)dx = ех + ух + a: sin у + <р(у),
где ф(у) — произвольная дифференцируемая (по у) функция. Найдем 4>(у). Продифференцировав полученное равенство по у и учитывая второе равенство I -5— — еу + х + х cos у ), получаем
пт т
= х + х cos у + ф'(у) = еу + а? + ж cosy,
откуда <р'(у) = еу, т. е. ф(у) = еу + С\. Следовательно,
Общим интегралом является соотношение ех + ху + х sin у + еу + Ci — С2 или ех + ху + х sin у + еу = С, где С = С2 — С\. Найдем частный интеграл уравнения, для чего подставим начальное условие у = 0, х = In 2 в общий интеграл: 2 + 0 + 0 + 1 = С, откуда С = 3. Таким образом, е® + ху + ж sin у + еу = 3 — искомый частный интеграл.	•
2.4.2.	Решить уравнение ^dx + (Зу2 + In х) dy = 0.
(J В данном случае Р(х,у) =	Q(x,y) = Зу2 + 1пж, а	= |, jQ =
т«е.	Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах
оу ох
значит, имеет вид dU(ж, у) = 0, где	= Зу2 + In ж. Отсюда
ох оу
U(x,y) = j^dx, т.е. U(x,y) = у\пх + <р(у).
(Функцию U(ж, у) можно находить и из второго равенства, интегрируя его по у: U(х, у) = у (Зу2 + In х) dy + tp(x).) Тогда = (у In х + ф(у))'у = 1пт + </(у). Отсюда Зу2 + 1пж = 1пж + <р'(у), <//(у) = Зу2 и, стало быть,
75
<р(у) = У3+С\. Следовательно, U(ж,у) = у\пх+у3+С\, ау\пх+у3 = С — общий интеграл исходного уравнения.
Замечание. Найдем функцию U(x,y), используя формулу (4.4). Положим xq = 1, уо = 0, тогда точка (1,0) принадлежит области непрерывности D = {(а;,у): х > 0}. Имеем:
X	у
U(x,y) = j^dx + j(3y2 + \nl) dy,
1 о
откуда U(x,y) = у\пх + у3. Следовательно, у\пх + у3 = С — общий интеграл уравнения.	ф
Решить уравнения:
2.4.3.	(2ж - у) dx — х dy = 0.	2.4.4. е у dx + (2 - хе y)dy = 0.
2.4.5.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(еу + sin х) dx + cos х dy = 0.
ГХ О дР у dQ	.	дР
4J Здесь -7— = еу, -х— = — зшж, т.е. -7—	-х—, и, значит, уравнение не
ду дх	ду	дх
является уравнением в полных дифференциалах. Так как отношение
dQ дР
дх ду _ — sin а: — еу
Р еу + sin х
не зависит от х, то интегрирующий множитель может быть найден по формуле	_
t(y) —е^Р у
(см. замечание на с. 74):
t(y) = e^~1>>dy = е~у.
Умножая исходное уравнение на t = е у, получаем уравнение в полных дифференциалах:
(1 + е у sin х) dx + е у cos xdy = 0
(так как Ру = — е-у8ша? = е_у(—sina;) = Qx). Решаем его (без пояснений):
а)	= 1 + е~у sin х, = е~у cos х;
дх	ди
б)	U(x,y) = у (1 + е у sin х) dx = х — е у cos а; + (£>(?/);
в) = е~у cosa; + <р'(у), откуда е~у cosx + <р'(у) = e~ycosx, т.е.
г) U(x,y) = х — е~у cosx + Ci. Таким образом х — е~у cosx = С общий интеграл уравнения.
2.4.6.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(х2 — sin2 у) dx + х sin 2у dy = 0.
76
дополнительные задания
решить уравнения:
2.4.7.
2.4.8.
2.4.9.
2.4.10.
2.4.11-
2.4.12.
2.4.13.
2.4.14.
2.4.15.
2.4.16.
2.4.17.
2.4.18.
2.4.19.
2.4.20.
(За; — 5х2у2) dx + (Зу2 — х3у) dy = 0.
О
(х cos 2у — 3) dx — х2 sin 2у dy = 0.
(2х + уеху) dx + (1 + хеху) dy = 0, у(0) = 1.
(х2 + 2ху + 1) dx + (х2 + у2 — l)dy = 0.
sin(a; 4- у) dx 4- х cos(x + у) (dx -I- dy) = 0.
0.
За;2?/ + sin x = (cos у — x3)y'.
(3a;2 4- y2 + y) dx 4- (2xy + x + ey)dy = 0, y(0) = 0. (a;2 + 2xy) dx -I- (x2 - y2) dy = 0, ?/(l) = -1. (x-y)dx + (x + y)dy
О	о
xz + yz ^2a; - 1 - dx - (2y - i) dy = 0. (X \	7	\ X
2x + еУ jdx + (1 — dy = 0.
Z	\	z
sin cos | dx + Q cos | sin dy = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Решить уравнения:
2.4.21.	(sin у + ysinx + ) dx + (х cosy — cos а; 4- dy = 0. \	\	У/
2.4.22.	хеу2 dx 4- (x2yeyZ 4- tg2 у) dy = 0.
2.4.23.	(х ch у 4- sh х) dy 4- (у ch х 4- sh у) dx = 0.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида t = Цх) или t = t(y):
2.4.24.	у2 dx 4- xydy — dy = 0.
2.4.25.	(1 4- За;2 sin у) dx — xctgydy = 0.
2*4.26. Найти условия, при которых уравнение
Р(х, у) dx 4- Q(x, y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида t = f(x 4- у)-
2*4.27. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений:
а) х dx 4- у dy = 0;	б) х dy 4- у dx = 0.
77
2.4.28. Определить тип дифференциальных уравнений: а) (1 - х2)у' 4- ху - 3 = 0;
Д) У = ху' 4- у' in у;
ж) у'(х2 - 4) = 3;
и) х dx 4- (х 4- у) dy = 0;
л) у2 dx — (2ху + 3)dy = 0;
ч , 2хУ
н) У = —— х~ - у£
п) у' - 2у/у\пх = 0;
с) ху' — Зт/ 4- х*у2 = 0;
У) У’ = 7Х~У;
Х) ± = У+Х-
’ dx 1	’
ч) у’^у = у;
б) (у 4- ху2) dx — xdy = 0;
г) Зу'-2у=^;
У
е) 2х2 dx — (х2 4- у2) dy = 0;
з) 2х 4- Зх2у 4- (а;3 — Зу2)у' = 0;
к) у(х -y)dx = х2 dy;
м) л/17 — 4а; — 2х2 dy — dx = 0;
о) (а;3 4- у)х' 4- х - у = 0;
Р) х{у' ~У) = ех;
т) ху' = 2(у - у/ху);
ф) (у2 4- 2у 4- х2)у' 4- 2х = 0;
^У’=Ух-^
ш) dx 4- -----dy = 0;
У	У
я) dx = (sin у 4- 3 cos у 4- За;) dy.
§5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится решать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа
у = х<р(у) 4- ф(у')	(5-1)
и уравнение Клеро у = ху' + ф(у),	(5.2)
где т? и ф — известные функции от у .
Уравнение (5.1) интегрируется следующим образом: обозначая р = у , запишем уравнение в виде у = хр(р)+ф(р). Дифференцируя полученное уравнение по х, имеем
Р = у?(р) 4- (я/(р) 4-V>'(p))^,
откуда получим (р — <р(р))з^ = хр'(р) 4- Ф'(р) — линейное уравнение относи-dp
тельно х и . Если его решение будет х = ftp, С), то общее решение уравне-dp
ния (5.1) записывается в виде
х = /(р, С),
У = х<р(р) 4- ф(р) = f(p, С)ср(р) 4- ф(р).
Уравнение (5.1) может иметь особое решение, вида у = v?(po)a;4-V;(Po), гдеро — корень уравнения р = <р(р).
78
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при =: у . Его общее решение имеет вид у = Сх+тр^С), особое решение получается путем исключения параметра р из уравнений у = рх 4- V’(p) и х = —
2.5.1.	Решить уравнение: у =. ху1 — у'2.
Q Уравнение имеет вид (5.2), т. е. это уравнение Клеро. Положим у' = р. Тогда заданное уравнение принимает вид
у = рх-р2.	(5.3)
Продифференцировав его по ж, имеем: у' = р' х+р—2рр', т. е. р'(х—2р)+р = = р, или р'(х — 2р) — 0. Если р' = 0, то р = С и, значит, общее решение данного уравнения есть у = Сх — С2 (см. уравнение 5.3). Если х — 2р = 0, т,е. х — 2р, то получаем у = 2рр — р2, т.е. у = р2. Особое решение задан-
{X — тг	( х\
9 Исключая параметр р I р = — 1, находим У=Р-	V 2/
х2
особое решение уравнения в явном виде у =	.	•
Решить уравнения:
2.5.2.	у = ху' 4- у' - (у')2.	2.5.3. у = ху' - 3(?/)3.
2.5.4.	Решить уравнение Лагранжа: у = т(1 4- у') 4- (у')2.
Q Положим у' = р. Тогда имеем у = ж(1 4- р) 4- р2. Дифференцируя по ж, приходим к уравнению у' = (1 4-р) 4- хр' 4- 2рр', откуда (х 4- 2р)р' 4-1 = dp
— = —1. Отсюда х + 2р = — —, т.е. х 4- х — —2р — ах	ар
линейное относительно х и х' уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагая х = uv, получаем u'v 4- uv' + uv = —2р, т. е. u'v 4- u(v' 4- v) = —2р. Находим v, приравнивая скобку к нулю и разделяя переменные: v' 4- v = = 0,	= — v,	= —dp, In hl — — p + С. Выбираем простейшее решение:
dp	u
v = e~p. Тогда: u'e~p = —2p, т.е. и' = —2pep. Отсюда и = — 2 Jpepdp = = — 2(pep — ep)+C, и, значит, и = — 2pep+2ep+C. Следовательно, x = uv = = e~p(—2pep + 2ep 4- C) = 2 — 2p + Ce~p. Учитывая, что у = ж(1 +р) +р2, получим у = (2 — 2р + Се~₽)(1 4- р) 4- р2. Таким образом, общее решение Уравнения имеет вид (в параметрической форме)
Jх = 2 — 2р 4- Се~р, у = (2 - 2р 4- Се_р)(1 4- р) 4- р2;
особого решения нет.	•
Решить уравнения:
2.5.5.	у = х(у')2 4- (у')2.	2.5.6. у =
= 0, т. е. (х 4- 2р)
79
2.5.7.	Решить уравнение: уу/у' — 1 = 2 — у'.
Q Разрешим заданное уравнение относительно у, а затем положим у' =
= р, тогда получим
тт	# dy
Далее, так как у — -у-, то ах
откуда, после интегрирования, получим
Исключив параметр р из уравнения (5.5), находим —— - = х — С, т. е.
VP- 1
Р = 1+з—. Найденное выражение для р подставим в равенство (5.4):
— общее решение исходного уравнения.
Дополнительные задачи
Решить уравнения:
2.5.8.	р = 71 - р'2 + у'.
2.5.10.	2уу' - х(у'2 + 4)| = 0.
2.5.12.	у' + у-ху'2 = 0.
2.5.14.	ху' — р = 1пр'.
2.5.9.	у' = \п(ху' -у).
2.5.11. у = у'2еу.
2.5.13. у = ху' 4- у' + у/у1.
2.5.15. Построить интегральные кривые уравнения у = у'х 4—-У
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) х2 dy 4- у dx = 0, р(1) = е;	б) у' = -—.
1 4- у х
2.	Решить уравнение: у'(2х — у) = х + 2у.
3.	Решить уравнение: (х 4- у)у' — 1 = 0.
80
4	решить уравнение: (т/3 + cos a;) dx + (еу + Зжт/2) dy = 0.
5	За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через сКолько времени останется 1% от его первоначального количества, если скорость распада радия пропорциональна его количеству в рассматриваемый момент?
Вариант 2
1.	решить дифференциальные уравнения:
1 + н2
а) у2у' + 2я - 1 = 0;	б) у' = ----т/(0) = 1.
'	1 + аг
2.	Решить уравнение: ху' — у = 2у/х2 + у2.
3.	Решить уравнение: Зу' — 2у = х3у 2
4.	Решить уравнение: — с/
х + у2
У2
dy = 0.
5.	Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 30 м/с. За какое время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозами, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,3 его веса (д = = 10 м/с2)?
Вариант 3
1.	Решить дифференциальные уравнения:
a) ydx + ctgxdy = 0,	= -2; б) y'2x-v + З21"» = 0.
2.	Решить уравнение: ydx = (x — y/ху) dy.
3.	Решить уравнение: у'----= ех(х +
(1	Зу2 \	2у t
— Н---т ) dx = "4 dy?
хг	х /	х6
5. Тело массы т падает вертикально вниз под действием силы тяжести и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности к). Найти закон изменения скорости v падения тела, если в момент времени t = to v = t’o = 0.
Вариант 4
1.	Решить дифференциальные уравнения:
(1 + у2) dx — yfx dy = 0;	б) у' + у cos х = cos х, т/(0) = 2.
81
2.	Решить уравнение: 3>х2у' = у2 4- %ху + 4л:2.
3.	Решить уравнение: ху' + у = ху2.
4.	Решить уравнение: (sin 2х — 2 cos(x + у)) dx — 2 cos(x + у) dy = 0.
5.	Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при t = 0 v = vq.
Вариант 5
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) У1 + У + 7 = 0;	б) {^/ху + у/х) dy = ydx, y(G) = 1.
ху' ~ У У
2.	Решить уравнение: —-=.— = ctg — .
Jb
3.	Решить уравнение: ху' — х2 sins = у.
4.	Решить уравнение: (5т?/2 — ж3) dx + (5т2?/ — у) dy = 0.
5.	Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут понижается от 100° до 60°. Температура воздуха 20°. Через сколько времени от начала охлаждения температура хлеба будет 30°? (Указание: скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и среды.)
§6	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Теорема существования
и единственности
Уравнение
Г(х,у,у',у") = 0,	(6.1)
связывающее между собой /Независимую переменную, неизвестную функцию yfx), а также ее первые две производные y'fx') и у"(х), называется дифференциальным уравнением второго порядка.	<=
Если уравнение (6.1) можно записать в виде
у” = f(x,y,y'),	(6-2)
то говорят, что оно разрешено относительно второй производной. Мы будем иметь дело только с такими уравнениями.
Задача отыскания решения уравнения (6.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(хо') = уо, у'(хо') = у'о, где хо, уо, у'о — некоторые числа, называется задачей Коши.
82
решением уравнения (6.2) называется всякая функция у = <р(х), которая г н подстановке вместе суп у” в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = в этом случае называется интегральной кривой.
Общим решением уравнения (6.2) называется функция у — <p(x,Ci,C2), зависящая от двух произвольных постоянных Ci и С2 и такая, что:
1) она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях Ci и С2;
2) при любых допустимых начальных условиях
у(х0) = уо, у'(хо) = уо
(6-3)
можно подобрать такие значения С? и С° постоянных, что функция v = <р(х, С?, (?2) будет удовлетворять этим начальным условиям. *7
Любая функция у = <p(x,Ci, С®), получающаяся из общего решения уравнения (6.2) при конкретных значениях постоянных С\ и Сг, называется частным решением этого уравнения.
Для дифференциального уравнения второго порядка (6.2) имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме для уравнений первого порядка.
Теорема 2.2. Если функция f(x,y,y) и ее частные производные fyi.x^y^y1') и у, у') непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами (а?о, уо, Уо), то существует и притом единственное решение у = у(х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям у(хо) = Уо, /(яо) = у'о-
Общий интеграл Ф(я, у, Ci, С2) = 0 или общее решение у = уравнения (6.2) представляет собой семейство кривых, зависящих от двух произвольных постоянных Ci и С2- Задача Коши в таком случае состоит в определении интегральной кривой у = у(х), проходящей через данную точку (хо, уо) и имеющей данный угловой коэффициент уо касательной t (данное направление в данной точке (рис. 8)), т.е. у'(хо) = Уо = tga.
83
Понижение порядка дифференциальных уравнений
В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка.
Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка одного из изученных ранее типов.
Рассмотрим наиболее типичные случаи.
Уравнения вида у" = f(x)
Интегрированием обеих частей уравнения у" — /(ж) оно приводится к уравнению первого порядка
у' = J f(x)dx = F(x) + Ci.
Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного уравнения:
у = f (F(z) + Ci) dx + C2.
Дифференциальные уравнения F^x^y^y") = 0, явно не содержащие искомой функции у
Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой у' = р, у” = = р'. Другими словами, данное уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка
f у' = Р,
^(х,р,р') = 0.
Дифференциальные уравнения F^y^^y") =0, явно не содержащие независимой переменной х
Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой у' = = р = р(у) (формальное отсутствие аргумента х позволяет считать неизвестную функцию р функцией аргумента г/), откуда: у" — (р(у)У = р'(у) • у'(х) = = р' • Р-
Таким образом, уравнение F(yty ,у") = 0 равносильно системе
Г у' = Р,
[F(y,p,p-p') = 0.
Если функция F является однородной функцией степени к относительно переменных у, у' и у”, т.е. F(x,ty,ty' ,ty”) = tk • F(x,y,y',y"), то дифференциальное уравнение F(x,y,y',у,,У) = 0 допускает понижение порядка подстановкой
y = efp(x)dx^ где р(х) — новая неизвестная функция.
84
Интегрирование дифференциальных уравнений порядка выте второго
Приемы, описанные в предыдущем пункте, можно распространить на урав
нения более высоких порядков.
Общее решение простейшего дифференциального уравнения тг-го порядка
(п) = /(х) находится 71-кратным интегрированием функции f(x) и содержит
У
л произвольных постоянных.
Дифференциальное уравнение вида F(x, у^к\ ..., у^) = 0, не содер-
жащее в явном виде искомой функции у, допускает понижение порядка подстановкой у^ = р. Другими словами, данное уравнение равносильно системе
yW = Р,
Дифференциальное уравнение вида F(y, у', у",..., у^) = 0, не содержащее явно аргумент х, допускает понижение порядка на единицу подстановкой у1 = р = р(у). При этом (по правилу дифференцирования сложной функции):
н dp dp dy t n d / t \ dy z и . z
y = di = d^'di=p-p' v = d^(p-p)-^ = (pp+(p))p
и T. Д.
2.6.1.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" = —+ х — sin х.
1	+ х2
Q Интегрируя, получим
у' = [ ( —+ х - sin х ] dx = arctg х + %- -I- cos х + Ci.
J \ 1 + х2	J
Повторное интегрирование (J arctg х dx надо брать по частям: arctg х =
= и, du = —'—и = х, dx = du) приводит к ответу:
1	+ xz
у = J ^arctgz + ^- + cosa; + dx =
= х arctg х + i ln(l + x2) +	+ sin ж + Cix + 62-	•
и
Яайттш общие решения данных дифференциальных уравнений:
2.6.2.	у” = sin 4а; + 2а; — 3.
2.6.3.	у" = е5х + cos а; — 2а;3.
2.6.4.	у" = хех* + 3-®.
2.6.5.	у" = 4 cos4 х + 2 sin2 £ + у/х + 2.
85
2.6.6.	Найти частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданньш начальным условиям:
у” = (е2х + sin3a:)a:, з/(0) = 1, у'(0) = 1.
О Сначала находим общее решение. Интегрируя по частям, находим
у1 = /(е2® -I- sin За:)х dx =
х = и,	du = dx
(e2x 4- sin З.т) dx = dv, v = ±e2x — i cos 3x
= x f ^e2® - I cos 3aA - je2® 4-1 sin За; 4- Ci. (6.4) \2	3	/4 У
Повторное интегрирование по частям (проделайте нужные вычисления) приводит к общему решению:
у = х (je2x - sin Зх) - ~е2х -	cos За: + С\Х + С2.	(6.5)
\	’	*7	✓ ТХ	X I
В равенствах (6.4) и (6.5) подставим х = 0, у' = 1, у = 1, откуда получаем систему уравнений относительно неизвестных констант Ci и Со\
(.	1 .	_ 5
J 4	za J 4
Il	1r -ИЗ
I1 4 27 + °2’ I °2 108 ‘
Найденные значения постоянных подставляем в общее решение (6.5). Получаем искомое частное решение
уч =х Qe2® - j sin За:) - |е2® - ^cos3a:4- |а: 4- И|.	•
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2.6.7.	у”	= (х2 + 7х + 9)ех, у(0) = 1, у'(0) = 4.
2.6.8.	у"	- 2(2аг + 2х - 5) cos 2а: - 4(2х + 1) sin 2а:, у = 0,	т/'(0)	=	0.
2.6.9.	j/"	= 1 - А 4- 2cosx - xsinx, у(1) = 1, х/'(1) = 0-
2.6.10.	у"	= (4а:3 -I- 10а:2 4- 2а: -+- 2)е2® + 6 sin За: 4- 9х cos Зх,	у(0)	— 1.
3/(0)' = 1.
2.6.11.	Решить дифференциальное уравнение у" — у' ctgx = 2a:sina*. Найти также частное решение, если у = 1, у' = 0 при х =
Q Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию у, т. е. имеет вид F(x, у', у”) = 0. Положим у' — р, тогда у" = р'. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка р' — pctgx = 2х sin х — линейное относительно неизвестной функции р = р(х). Общее решение этого уравнения найдем подстановкой р = и • v, р' = u'v 4- uv'. Получаем:
,	I v' — vctgx = 0,
и v 4- uv — uv ctg х = 2х sin х О < ,
и v = 2х sin х.
86
Цз перв°го уравнения находим In |и| = In | sin х|, т. е. v = sin х. Подставляя 0о второе уравнение, получим и1 = 2х, откуда и = х2 4-Ci. Следовательно, ^uv — (х2 4-Ci) sin ж, т. е. у1 = (х2 4-Ci) sin х. Интегрируя это равенство, Зайдем общее решение исходного уравнения
у = —(х2 4- Ci) cosx 4- 2xsinx 4- 2 cosx 4- С2.
цодставляя в два последних равенства начальные условия х = у = 1, j^O, получаем V
/ 2	\ /о
о=(тб + с*Р? и
/2 2
7Г2
16
/2	% у2
2	2 ‘ 2
71"2	V2 /ТГ \
Найденные значения С\ = — и С2 = 1----4- 2J подставляем в
обшее решение. Отсюда искомое частное решение
„	.-17Г4-447/2	7Г2г>1	а
уч = 2хsinх 4-1--z—v2 - х — — — 2 cosx.	•
4 V 16 J
Следующие дифференциальные уравнения решить подстановкой у1 = р:
2.6.13.
2.6.15.
2.6.17.
2.6.19.
Уи ~ %у' = 2х3. х3у" 4- х2у' -1 = 0. ху" — у' — х2ех. y"tgx - у1 - 1 = 0.
2.6.12.
2.6.14.
2.6.16.
2.6.18.
2.6.20.
2.6.21.
у" 4- у' tg х — sin 2х = 0. ху"\пх ~ у'.
ху" 4- у' 4- х = 0.
= 0.
(1 4- х2)у" 4- 2ху' — х3
Найти общее решение дифференциального уравнения у" tg у = = 2(у'У. Найти также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ?/(1) =	у'(1) = —2.
Q Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргумента х, т. е. имеет вид F(y, у', у") = 0. Примем в качестве независимой переменной у и выполним замену у' = р = р(у). Тогда у" ~ р • р', а исходное уравнение принимает вид: р- p'tgy = 2р2. Если р = 0, то у' = 0, т.е. у = С. После сокращения на р 0 решим дифференциальное уравнение первого порядка p'tgy = 2р. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его стандартным образом:
Р	sin у у
т-е. ln|p| = 21n|sinp| 4- In [Cj|, Cj 0, откуда p = Cisin2p (заметим, Что найденное ранее решение р = 0 содержится в полученном выражении — достаточно положить С\ =0). Заменим р на у' и решим уравнение у' = Ci sin2 у, которое также является уравнением с разделяющимися переменными:	= Ci dx, или — ctgp = С\х 4- С^- Получили
sin2 у
°бщее решение исходного уравнения в неявном виде. Подставим в него
87
и в выражение для у' значения х = 1, у = -т и у1 = —2. Из равенства —2 = Ci sin2 j находим Ci = —4, а из равенства — ctg = Ci + Сг, учитывая, что Ci = —4, находим С2 = 3. Подставляя полученные значения констант в общее решение, которое запишем в виде у = arcctg(—Cix—С2), находим требуемое частное решение уч = arcctg(4j: — 3).	ф
2.6.22. Найти частное решение дифференциального уравнения
(iW = (WM
удовлетворяющее начальным условиям т/(0) = т/'(0) = 1.
О Подстановка у' = р = р(у) и у” = р-р' приводит данное уравнение к виду (1 + ру)р  р' = (1 + р2)р, откуда р = 0, т. е. у = С, или р' =	. Полученное дифференциальное уравнение не относится к
уравнениям первого порядка известного нам типа. Перепишем его в виде 1 ру	1
у1 = ---т-, учитывая, что р' = —. Получим линейное (относительно у
1 + р	У
и у') дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить подстановкой у = uv. Его общее решение имеет вид (найдите его самостоятельно)
У
+ р2 /
Теперь остается решить дифференциальное уравнение первого порядка
У =	+	+ С,),
\0 + (у')2	/
не разрешенное относительно производной у'. Но в общем виде решить его достаточно хлопотно. Однако, так как нам нужно найти частное решение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями для определения постоянной Ci, полагая в последнем равенстве у = 1 и у' = 1. Приходим к равенству
1 = 5/2(-1= + сД
\v2	)
из которого Ci = 0. Тем самым, нам достаточно решить уравнение у = у'. откуда у = Сех. Полагая здесь х = 0, у = 1, находим С = 1. Таким образом уч = ех — искомое частное решение.	•
Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений, а там, где указаны начальные условия, найти соответствующее частное решение:
2.6.23.	у"у3 = 1.	2.6.24.	уу" - (у')2 -1 = 0.
2.6.25.	1 + (г/')2 - 2У2/" = 0.	2.6.26.	2уу" - 3(у')2 = Ьуг.
2.6.27.	у" = У'(1 + (у')2).
2.6.28.	у" = y'lny', у(0) = 0, у'(0) = 1.
88
2.6.29.	У” + У'\/(У'У ~ 1 = О, 3/W = О, у’ (тг) = -1.
2*6.30. Зу'у" = 2у, р(0) = 3/'(0) = 1.
2^6.31. у” = 2у3, р(0) = 0, з/'(0) = 1.
2	6.32. Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка ху'(уу" - (р')2) = у{у')2 + Х*У3-
Q Перепишем уравнение в виде
ху'(уу” - (у')2) - у{у')2 ~ Х*У3 = О,
после чего обозначим через F(x, у, у', у") левую часть полученного равенства. Если заменить у, у', у" на ty, ty', ty", соответственно, то приходим к равенству
F(x,ty,ty',ty") = t3[xy'(yy" - (р')2) -у(у')2 - ж4р3] = t3F(x,y,y',y").
Это означает, что функция F — однородная (третьей степени, к = 3) и в таком случае соответствующее уравнение допускает понижение порядка подстановкой у = e^pda:, где р = р(х) — неизвестная функция от х. Отсюда у' = pefpdx, у" = (р‘ + p2)efpdx. После соответствующих замен и сокращения на e3fpdx 0 приходим к дифференциальному уравнению первого порядка относительно р
хр(р' + р2 - р2) = р2 + ж4, или р' =
(при этом мы теряем решение у = 0, которое потом надо добавить к ответу). Получили уравнение Бернулли, которое можно решить (предлагаем сделать это самостоятельно) подстановкой р = uv. Его общее решение имеет вид	t-----
р = x\Jx2 + Ci.
Поскольку у = efpdx, то находим сначала
Jpdx = J ху/х2 + Ci dx = |х/(ж2 + Ci)3 + С2,
а затем и общее решение исходного дифференциального уравнения (за вычетом частного решения у = 0)имеет вид
у = ез>/<12+С1)3+С2, ИЛИ у = Сз •	с3 > 0.
Учитывая, что при Сз = 0 как раз получается потерянное частное
решение у = 0, приходим к окончательному ответу: у = Сз • ез
С’з 0.	•
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.33.	х2уу" = (у — ху')2.	2.6.34. 2уу" — 3(р')2 = 4р2.
2.6.35.	Найти частное решение дифференциального уравнения третьего порядка у"' = 16 cos3 2х + ех — 1, удовлетворяющее начальным условиям р(0) = —1, р'(0) = — i р"(0) = 3.
У
89
Q Это простейшее дифференциальное уравнение решается трехкратным интегрированием правой части. Сначала понизим степень косинуса:
16 cos3 2х = 8(1 4- cos4a?) cos2a: = 8cos2a: 4- 4 • (2 cos 4я cos 2x) = = 8 cos 2x 4- 4 • (cos 2x 4- cos 6z) = 12 cos 2x 4- 4 cos 6x.
После первого интегрирования получаем
у” = 6 sin 2х 4- В sin 6ж 4- ех — х 4- Ci,	(6.6)
О
после второго
у' = —3 cos 2х - | cos 6х 4- ех -	4- С\ х 4- С-2,	(6.7)
а после третьего — общее решение
4	1	~ о.З
у = — х sin 2х — -=-7 sin 6ж 4~ е —х—F	-х—F	4~ Сз.	(6-8)
£	04	О	Z
Подставляя в (6.6)-(6.8) значения х = 0, у = — 1, у' = — у" = 3, У
получим соответственно: 3 = 14- Ci, — = — 3 — 4-1 4- Сг, — 1 = 1 4- Сз, откуда Ci = 2, С2 = 2, Сз = — 2. Подставляя эти значения в выражение для ?/, получаем требуемое частное решение
уч = — | sin 2х — i sin 6х 4- ех —	4- х2 4- 2х — 2.	•
Замечание. Произведения произвольных постоянных на конкретные числа также можно считать произвольными постоянными. Например, —	СлХ2
в (6.8) можно писать Cia:2 вместо —х—•
Решить следующие дифференциальные уравнения высших порядков, а там, где имеются начальные условия, найти соответствующие частные решения:
2.6.36.	yIV = cos2x.	2.6.37. у^ = еЬх.
2.6.38.	у'" = 6я2.	2.6.39. ут = 4 cos3 х - х.
2.6.40.	у'” = cos х cos 2х cos 5х.
2.6.41.	у"’ = х2 + Зх - 1, ?/(0) = 1, ?/'(0) = 2, у"(0) = 3.
2.6.42.	yv = sin у(0) = 2/'(0) = 1, у"(0) = 8, у"'(0) = 6, y,v(0) = -2.
2.6.43.	у'" = - 24---, у(0) = 0, у'(0) = 2, у"(0) =	.
(X 4- 2)5	О
2.6.44.	Решить дифференциальное уравнение четвертого порядка 2y,v = 3
Q Это уравнение имеет вид F(x, у'",yIV) = 0, поэтому его порядок можно снизить на три единицы при помощи замены у,н = р, yIV = р'. Приходим к уравнению 2р' = 3 ^/р. Рассмотрим два случая: 1) если р = О’
90
т.е. у"' = 0 то у = Ciх2 4- С2Х 4- Сз — не общее решение; 2) если р О,
2
= dx. Отсюда получаем рз = х 4- Ci, или у1"
2 &Р
3 W
то
= ±(я 4- ci)3/2.
Последовательные интегрирования дают
9	3
y" = ±f(x+Cl)2 +С2, D
л	I
у’ =	4“ Ci)2 4- Сг® 4- Сз,
ОО
у =	+ С1)1 + С2х2 + С3х + Ci.
иЮ
Таким образом, общее решение имеет вид
у = ±^ч/(^+С1)9+ С2Х2 + С3Х + Ci,
О10
к которому присоединим полученное ранее не общее решение у = Cix2 4-4- С%х 4- С3.	Ф
Решить данные дифференциальные уравнения высших порядков:
2.6.45.
2.6.47.
2.6.49.
2.6.51.
х*уш _|_ 2х3у" = 1.
у1” 4- у” tg х = sin 2х.
yIV - 2(у"' - 1) ctga? = 0.
2.6.46.
2.6.48.
2.6.50.
(1 4- х2)у"' 4- 2ху" = х3. x4yIV 4- 2х3у1" = 1. ху”' ~ у” — х2ех. Найти частное решение дифференциального уравнения
ху,И - у” + х2 - 2 = 0, удовлетворяющее начальным условиям ?/(1) = 2, у'(У) = — у"Щ -з-
Q Данное уравнение имеет вид F(x, у", у'") — 0, т. е. не содержит явно у и у'. Поэтому положим у” = р, у1" = р'. Получаем линейное относительно неизвестной функции р = р(х) уравнение
(о \
Ci — х — — Нам оста-«я/ у
ется решить простейшее дифференциальное уравнение у" = Cix — х2 — 2. Подставив из начальных условий х = 1, у” = — 3, находим Ci = 0. Инте-грируя получающееся равенство у” = —аг — 2, имеем у1 = ——— 2х 4- Сг-О
Снова подставляя начальные условия х = 1, у' = — -, находим С2 = 2. Значит, у1 = — — 2х 4- 2. Отсюда у = —	— х2 4- 2х 4- С^. Наконец,
Упитывая, что у(1) = 2, т. е. 2 = —^ — 14-24- Сз, получим Сз = и, следовательно, уч = —	- х2 4- 2х 4-•
«I	LZ	1Z
«•6.52. Решить дифференциальное уравнение у"(1 4- 2In?/') = 1.
91
Q В этом уравнении явно отсутствуют и аргумент ж, и искомая функция. Поэтому его можно отнести и к типу Е(р, у', у") = 0, а, значит, можно положить у1 = р = р(у), у" = р • р', и к типу F(x,y',y") = 0, а, значит, можно положить у' = р = р(ж), у” = р'.
1)	В первом случае приходим к уравнению рр'(1 4- 21np) = 1. Здесь , dP	х
р = -у-, а уравнение после разделения переменных может быть записано dy
в виде р(1 4- 21np) dp = dy. Отсюда Jр(1 4- 2Inр) dp = j dy, т.е. (после интегрирования по частям) р21пр = у 4- Ci, или (р')21пр' = у 4- С\. Получили уравнение, не разрешенное относительно у1 (и не разрешенное относительно у1'). Его проинтегрировать нельзя.
2)	Во втором случае приходим к уравнению р'(1 4- 21np) = 1. Здесь dp
р' = уравнение может быть записано в виде с/р(14-2 lnp) = dx. Отсюда ^(14-2Inр) dp = J dx, т. e. 2plnp—p = Ж4-С2, или 2p'lnp' — у' = х+С%. Это уравнение также нельзя проинтегрировать.
3)	Результаты предыдущих действий можно объединить и получить параметрическую форму общего решения исходного уравнения. Положим у' — t. Тогда
у 4- Ci = t2 In t, х 4- С2 = 2t In t — t
— общее решение данного уравнения в параметрической форме.
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.53.	(р")2 + (р'")2 = 1.	2.6.54.	у'у'" = 3(у")2.
2.6.55.	ху"' 4- у" = х + 1.	2.6.56.	(р")2 - 2р'р" + 3 = 0.
/ Л 2
2.6.57.	(у")2 - у'у'" = ( ^ ) .
2.6.58.	у'" = Зуу', у(0) = у'(0) = 1, у"(р) = |.
2.6.59.	у" + 2у"1пу' = 1, у(0) = 1, У'(0) = -1.
з
2.6.60.	у'"у2 - Зуу'у" + 2(У')3 + 1{уу" - (г/')2) =
Л	х£
92
Дополнительные задания
решить дифференциальные уравнения:
2.6.61.	(1 + х2)у” + (У)2 + 1 = 0.
у1
2.6.62.	ху” = у1 In .
2.6.63.	ху1” + у” = 1 + х.
2.6.64.	(1 + х2)у” - 2ху' = 0, ?/(0) = 0, ?/'(0) = 3.
2.6.65.	у”(1 + In ж) + ~ = 2 + In я, ?/(1) =	У(1) = 1.
2.6.66.	у" =	(1 + In	, »(1) =	у'(1) = 1-
2.6.67.	уу" + (у')2 - (/)3 In У = 0.
2.6.68.	у'" = (у")3.
2.6.69.	(х + 1)у” — (х + 2)у' 4- х + 2 = 0.
2.6.70.	Зу'у" = у + (у')3 + 1, у(0) = -2, у'(0) = 0.
2.6.71.	у2 + (у')2 - 2уу" = 0, у(0) = у'(0) = 1.
2.6.72.	2уу" - 3(у')2 = 4у2, у(0) = 1, у'(0) = 0.
2.6.73.	у' = х(у")2 + (у'')2.
Контрольные вопросы и более сложные задания
|б.74. Почему общее решение дифференциального уравнения второго i порядка содержит ровно две постоянные? Какую роль играют они в структуре общего решения?
75.	Могут ли через точку (гео, З/о) плоскости Оху проходить пять различных частных решений дифференциального уравнения третьего порядка? второго порядка?
ить дифференциальные уравнения:
76.	у"'(1 + (у')2) - Зу'(у")2 = 0.
77.	2уу" + (у")2 + (у')4 = 0.
78.	уу" + (у')2 = у2 lily-___
79.	уу" = (у')2 + у'\/у2 + (у')2-
30.	1 + (у')2 = 2уу", у(1) = у'(1) = 1.
31.	у' = ху" + у" - (у")2.
Хб.82. (я-1)у"' + 2у' =
J>6.83. х(у')2у" = (у')2 + |я4.
2-6.84. х/1 - х2у” + у/1 ~(у')2 = 0.
93
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные уравнения ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Предварительные сведения
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
у" + Р&)у 4- q(x)y = /(х),	(7.1)
где функции р(х), q{x) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [а, 6].
При этих условиях существует единственное решение уравнения (7.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у(х$) = уо, у'(хо) = у'о при хо £ [о, Ь].
Функция f(x) называется правой частью уравнения (7.1), а соответствующее уравнение называется также линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью. При f(x) = 0 приходим к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка (или уравнению без правой части)
у" + Р(х)у' 4- q(x)y = 0.	(7.2)
Линейно независимые функции
Функции ух(х) и у2(х) называются линейно независимыми на отрезке [а,Ь], если тождество
СхУ\(х) 4- С2?/2(®) = 0, хе [а, Ь],	(7.3)
имеет место тогда и только тогда, когда Ci = Сг = 0.
Если же существуют такие числа Сх и Сг, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для всех х е [а,6] имеет место тождество (7.3), то функции ух(х) и У2(х) называются линейно зависимыми на отрезке [а,Ь].
Данные определения равносильны следующим:
функции ух(х) и у2(®) называются линейно независимыми (зависимыми) на отрезке [а, Ь], если
У1(х)	. (У^х) _ Д _ г ы
——г	const I —— = const I , х е [а, о].
У2 (х)	\У2(х)	J
О линейной зависимости или независимости функций ух(х) и 7/2(2) можно судить по определителю
^[т/!, 7/2 ] =
У1 (Д
У1 (я)
7/2 (Д
У2(Д
который называется определителем Вронского (или просто вронскианом).
Теорема 2.3. Если 7/1(2) и 7/2(2) линейно зависимы на отрезке [а, Ь], то TV^t/i , 7/2] = 0 для всех х из [а, Ь].
94
Теорема 2.4. Если yi(x) и У2(х) линейно независимые на отрезке [а, 6] решения дифференциального уравнения (7.2), то определитель Вронского этих функций отличен от нуля во всех точках отрезка [а, 6].
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
Теорема 2.5. Общее решение уОо линейного однородного дифференциального уравнения (7.2) имеет вид
Уоо = С1У1(х) + С<2У2(х),
где yi(x), У?(х) — линейно независимые решения этого уравнения.
Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (7.2), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.2)).
В некоторых случаях удается тем или иным способом найти только одно частное решение у\(х). Тогда другое частное решение у2(х) можно найти по
формуле
У2 (х) = т/1(х) •
• ехр
dx
dx,
1
где хо Е [а, 6]. Оба решения yi(x) и т/г(®) при этом линейно независимы.
Теорема 2.6. Общее решение уон линейного неоднородного дифференциального уравнения (7.1) представляется в виде суммы
Уон = Уоо +?/ч,
гДе Уоо — общее решение соответствующего однородного уравнения (7.2), а Уч — некоторое частное решение неоднородного уравнения (7.1).
'Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) Вт°рого порядка с постоянными коэффициентами
у" + ру' + ЧУ = 0.	(7.4)
Тг
Ьадратное уравнение к2+pk + q = 0	(7.5)
взывается характеристическим уравнением для уравнения (7.4).
95
Для составления общего решения уоо дифференциального уравнения (7.4) необходимо найти корни к\ и к% соответствующего характеристического уравнения (7.5) и применить следующую теорему:
Теорема 2.7. Пусть fci и &2 — корни характеристического уравнения для уравнения (7.4). Тогда общее решение уравнения (7.4) находится по одной из следующих трех формул:
1)	Если ki и к2 — действительные и ki ф к2, то
Уоо =	+ С2е‘2';
2)	если к\ = к2, то
Уоо = ек'х(С! + C2z);
3)	если /С1,2 = а. ± /Зг — комплексно-сопряженные корни, то
Уоо = еах(С\ cosfix + Сг sin/Зх).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами
Поскольку общее решение уОо линейного однородного уравнения (7.4) легко находится по теореме 2.7, то в силу теоремы 2.6 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения
у" + РУ +УУ = №)	(7-6)
остается найти какое-нибудь одно его частное решение уч. В тех случаях, когда правая часть /(х) имеет специальный вид, частное решение уч неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного уравнения и сводится к следующим двум случаям.
Случай 1. /(х) = еаа:Рп(я;), где Рп(х) — многочлен степени п.
а)	Если а не является корнем уравнения (7.5), то частное решение т/ч можно искать в виде
Уч = eaxQn(x),
где Qn(x) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами.
б)	Если а — корень уравнения (7.5) кратности к, то частное решение уч можно искать в виде
Уч = xkeaxQn(x).
В частности, если f(x) = Рп(х), т. е. а = 0, то уч имеется в виде уч = Qn(x) (если а = 0 не является корнем характеристического уравнения) или в виде уч = хк  Qn(x) (если а = 0 — корень кратности к характеристического уравнения).
96
Случай 2. f(x) = еах[Рп(х) cos /Зх + Qm(x) sin/?®], где Pn(x) и Qm(x) — многочлены степени п и т, соответственно. Положим N = max(n,m).
а)	Если а ± (3i не являются корнями уравнения (7.5), то
уч = еах [Рдг (х) cos /Зх + Qn (х) sin /?®].
б)	Если а ± /?г — корни уравнения (7.5) кратности к, то
уч = xkeax[PN(x) cos/Зх + Qn(x) sin/?®].
В частности, если /(®) = a cos /Зх + b sin /?®, т. е. а = т = п = 0, то частное решение ищется в виде уч = A cos /Зх + В sin /?® (если числа ±/?г не являются корнями характеристического уравнения) или в виде уч = (A cos /Зх+В sin /?®)-х (если числа ±/?г — корни характеристического уравнения).
Теорема 2.8. Если уч± и уч2 — частные решения соответственно уравнений у” + РУ +qy = fi (х)
и
Уп +ру +qy = f2(x),
то функция уч = Уч1 + уч2 — частное решение уравнения
у" Ару A qy = Л(х) + /2(х).
Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения
В общем случае, в том числе тогда, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, не предусмотренный предыдущим пунктом, для отыскания частного решения используют метод вариации (т. е. изменения) произвольных постоянных (или метод Лагранжа). Суть его в следующем. Пусть т/1(х) и ?/г(х) — фундаментальная система решений однородного уравнения (7.4). Тогда частное решение можно представить в виде
у = Ci(x)yx +С2(х)у2,
где функции Ci (х) и С2 находятся из системы дифференциальных уравнений
Г С\У\ + С2У2 = О, (СМ + СШ = f(x).
Разумеется, метод вариации произвольных постоянных можно применять и в случае, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, рассмотренный в предыдущем пункте.
4 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
97
Уравнение Эйлера
Дифференциальное уравнение второго порядка вида
2 н .	/ .	п
х у + рху +qy = О
называется уравнением Эйлера.
Подстановкой у = е* оно сводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка (ах 4- Ь)2у 4- р(ах 4- Ь)у' 4- qy = О
приводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами подстановкой ах + b = е*.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка п 2
у^ ' + aiy J+azy' ' 4-... 4- an-iy 4- апу = f(x)
решаются аналогично уравнениям второго порядка, опираясь на соответствующие определения и теоремы. В частности:
1.	Система функций yi = yi(%), У2 — У2(х), ..., уп = Уп(х) называется линейно зависимой на отрезке [а,6], если существуют постоянные Ci, С2,  • , Сп, не все равные нулю такие, что имеет место тождество
Ciyi 4- С2У2 4-... 4- Спуп = 0, хе [а, 6].
Если же это тождество имеет место только при Ci = С2 = ... = Сп = 0, то данные функции линейно независимы на отрезке [а, Ь].
Вронскиан системы функций yi, у2, ..., уп имеет вид
		yi	У-2	• • •	Уп	
		f	t		t	
		У1	У2	• • .	Уп	
W(x) = W[yi,y2, 	• ,Уп] =		•			•
		•			•	
		(n—1)	(n-1)		(n —1)	
		У1	У2	. . .	Уп	
2.	Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению тг-го порядка
y(n)+aiy{n 1} 4- • • • + an-iy 4- апу = 0,	(7.7)
имеет вид
кп 4- aikn 1 ... 4- ап-\к 4- ап = 0.	(7.8)
98
Теоремы 2.3-2.6, сформулированные для уравнений второго порядка, также имеют место и при любом п > 2.
3.	Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами
у”' + Ру” + ЧУ + ту = У (ж)	(7.9)
состоит в следующем: общее решение уравнения (7.9) имеет вид
у = Ci(x)yi + Cz(x)y2 -I- Сз(х}уз,
где т/i, т/2, т/з — фундаментальная система решений однородного уравнения
У +ру + ЧУ + ту = О,
а функции Ст(т), Сг(т), Сз(т) — находятся из системы дифференциальных уравнений первого порядка
{Ciт/i -I- С'2у2 -I- С'зуз = О,
Ci7/i+C^+C^ = 0, С{у" + С2У2 + С'зу'з = f(x).
2.7.1.	Установить линейную зависимость или независимость данных пар функций на областях их определения.
a)	z, cos ж;	б) х, 2х;
в) tgz, Ctg.T.
Q а) Функции т/i (а:) = х и т/2 (ж) = cosx определены на всей прямой, т. е. при х € (—оо, +оо). Тождество С\х + С2 cos х = 0 имеет место только при Ci = С2 — 0. В самом деле, если предположить противное, т. е. что это тождество имеет место, например, при С2 / 0, то после его дифференци-рования получим новое тождество Ci — C^sinz = 0, откуда sin ж =
С2 х 6 (—оо,+оо), что неверно. Если же предположить, что С2 = 0, то получим Cix = 0, что также невозможно при С\ 0. Таким образом, тождество Cix 4- C^cosz = 0 имеет место только при Ci = С2 = 0, и, стало быть, функции х и cosx линейно независимы на действительной прямой.
Заметим, что С0$х const и СОдЖ const, т. е. функции х и cosrr Удовлетворяют и другому определению линейной независимости.
б)	Имеем — = 2 при х 0 (тождество можно доопределить по непрерывности И при X = 0), поэтому функции 7/1 = 2х И 7/2 = х — линейно ЗАВИСИМЫ.
в)	Ввиду периодичности функций 7/1 = tgx и 7/2 = ctgrr с периодом = тг достаточно установить их линейную независимость в интервале 1 € (0,тг) (х ± Имеем	= tg2z const х Е (О,тг),
\ Z 7	У2 Ctg X COS X
99
X 7^ 77.
2
Таким образом, функции tga; и ctga: линейно независимы в обла-
сти их определения I з: п • п 6 Z j. \	£л	/
Установить, какие из следующих пар функций линейно независимы, а какие — линейно зависимы:
2.7.2.	arcsina; и arccosa;.	2.7.3.	sin a;, sin 2а;.
2.7.4.	е®, е®2.	2.7.5.	1, X.
2.7.6.	sin х, sin2 х.	2.7.7.	sin х cos х, sin 2ar.
2.7.8.	1 — cos 2а:, sin2 х.	2.7.9.	1 + cos 2a;, cos2 x.
2.7.10.	Даны функции yi = ех, у2 = е~2х. Составить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид		
S/oo = Схех + С2е-2<
Q Заметим сначала, что данные функции линейно независимы на всей прямой, так как = е - = е3х const. Пусть у = С\ех + Сге-2* —
У2
общее решение некоторого ЛОДУ второго порядка. Тогда
у' = С±ех — 2(726 2х, у" = (71 е1 +4С2е~2х. ч
Разрешим эту систему относительно постоянных С\ и (72- Вычитая первое уравнение из второго, получаем 6(72 е-21 = у" — у'. Отсюда
с2 =	- у')е2х.
Теперь первое уравнение, домноженное на 2, прибавим ко второму:
2у'+ у" = М\ех.
Отсюда (7i = ^(2yf + у")е~х- Полученные выражения для (71 и (7г подставим в выражение для у:
г/ = |(2у' + г/") + |(у"-Л
т. е. у” + у* — 2у = 0. В итоге мы получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции yi = ех, у2 = е~2х.
Поскольку решения yi = ех и у2 = е~2х этого уравнения линейно независимы, то в силу теоремы 2.5 функция уоо = С\ех + С2^~2х — действительно его общее решение. Отсюда следует, что это и есть искомое дифференциальное уравнение.	•
100
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данные функции составляют фундаментальную систему решений, предварительно проверив, что данные функции линейно независимы:
2.7.11.	sina;, cosa;.	2.7.12.	е~х, ех.
2.7.13.	1, х.	2.7.14.	хех, ех.
2.7.15.	е2х, ех.	2.7.16.	е2х,	хе2х.
2.7.17.	sin2i, cos 2х.
2.7.18.	Найти общее решение уравнения 2у” — Зу' + у = 0.
Э Составим характеристическое уравнение: 2k2 — 3k + 1 = 0. По его 1
корням fci = 1 и = 2 составим общее решение данного однородного уравнения, согласно теореме 2.8:
Уоо =	+ (72^2	Ф
Найти общие решения уравнений:
2.7.19.	у”	-	Зу1 + бу = 0.	2.7.20.	2у" + Зу1 - 7у = 0.
2.7.21.	у”	+	4у'— Зу = 0.	2.7.22.	Зу” + у' - 2у = 0.
2.7.23.	у"	+	25у' = 0.	2.7.24.	4у" - 9у' = 0.
2.7.25.	Найти общее решение уравнения 4у" + 4у' + у = 0.
Характеристическое уравнение 4А:2 +4/г +1 = 0 имеет два одинаковых корня fci = А?2 = — к- В таком случае (см. теорему 2.8)
1 1
Уоо = Cie 2х + С2хе 2х,
1
или у00 = (Ci + С2х)е 2х.
Найти общие решения уравнений:
2.7.26.	у" - бу' + 9у = 0.	2.7.27. у” - 4у' 4- 4у = 0.
2.7.28.	4у" - 12у' + 9у = 0.	2.7.29. 9у" + 12?/' + 4у = 0.
2.7.30.	Найти общее решение уравнения 2у" + у' + 3у = 0.
Q Характеристическое уравнение 2fc2 + к + 3 = 0 имеет комплексные (комплексно-сопряженные) корни:
&1,2 —
- 1±\/23г
В этом случае общее решение уравнения имеет вид
Уоо —
'23	~ .
4— х + Сг sin
Найти общие решения уравнений:
2-7.31. у" + 4у = 0.	2.7.32. 4у" + 9у = 0.
2*7.33. у” + у1 + у = 0.	2.7.34. у” — у' + бу = 0.
101
2.7.35.	2у" ~ Зу1 + 5у = 0.	2.7.36. Зу” - Зу' + 2у = 0.
2.7.37.	Найти частное решение уравнения Зу"+7у'+4у = 0, удовлетво-2 ряющее заданным начальным условиям у(0) = 1, у'(0) = —
Q Характеристическое уравнение Зк2 + 7к+4 = 0 имеет корни kt = —1 и к>2 = — Следовательно, общее решение имеет вид уоо = С±е х-ЬС2е зх.
О
4	——
Находим г/ц0 = —С\ё~х — ^С2е зх. Подставляя в последних двух равен-2
ствах х = 0, у — 1, у1 = — получаем систему уравнений относительно С] и С^ '.
|С1+С2 = 1,	|Ci=2,
[—С1 —	= — х 1	= — 1.
V.	0	0	V
Найденные константы подставляем в выражение для общего решения. Получаем искомое частное решение
4
уч = 2е~х -е~зх.	•
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2.7.38.	у" - 4у' + Зу = 0, у(0) = 6, /(0) = 10.
2.7.39.	у" + 4у' = 0,2/(0) = 7, у'(0) = 8.
2.7.40.	у" - бу' + 9у = 0, з/(0) = 0, у'(0) = 2.
2.7.41.	4у" + 4у' + у = 0, у (0) = 2, у'(0) = 0.
2.7.42.	у" - 4у' + Зу = 0, у(0) = б, у'(0) = 10.
2.7.43.	Найти общее решение уравнения у"—7у' — 5хех, подбирая част-
ное решение методом неопределенных коэффициентов.
Ci Характеристическое уравнение к2 — 7к = 0 имеет два действительных корня ki = 0 и fc2 = 7, поэтому общее решение однородного уравнения у" — 7у' = 0 имеет вид у00 = Ст + ^е7®. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f(x) = Pi(x)ekx, где Pi(x) = 5х— многочлен первой степени, а к = 1 — не является корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение ищем в таком же виде: уч = (Ах + В)ех (Ах + В = Qi(x) — многочлен первой степени с неизвестными коэффициентами). Для определения коэффициентов А и В находим
у' = Аех + (Ах + В)ех = (А + Ах + В)ех, у" = (2А + Ах + В)ех, после чего подставляем выражения для уч, у'ч и у" в исходное дифференциальное уравнение:
(2А + Ах + В)ех - 7(А Р Ах + В)ех = 5хех.
После сокращения обеих частей на ех и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях х в левой и правой части полученного
102
равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных А
-6А = 5,
-5А - 6В = 0.
т° : 24 + В - 74 - 7В = 0, Т‘в‘
Отсюда 4 = В = а уч = f-^т +	) ех. Теперь в силу теоре-
о оо	\ о оо /
мы 2.6 общее решение исходного уравнения имеет вид
ех.	•
Уон
Найти общие решения уравнений, находя их частные решения методом неопределенных коэффициентов:
у" - Зу' + 2у = 10е-х.
у" - Зу1 + 2у = 2т3 - 30.
у" — бу' + 9т/ = 2т2 — т + 3.
у" - 2у' + 2у = 2т.
2уц ~ у' ~ У — 4те2х.
Найти общее решение уравнения у" + 6т/ + 9у = (т — 2)е-3х.
2.7.45.
2.7.47.
2.7.49.
2.7.44. 2.7.46.
2.7.48.
2.7.50.
Q Характеристическое уравнение к2 + 6к + 9 = 0 имеет корень к = — 3 кратности 2, откуда у00 = (С\ + &2х)е~3х. Правая часть исходного уравнения имеет вид Pi(x)eQX, где РДт) = т — 2— многочлен первой степени, а а = —3 — корень кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Уч = x2Qi(x)e~3x, т.е. уч = (4т + В)т2е~3х. Дальнейшие вычисления оформим следующим образом. Расположим уч, у'ч1 у”, в столбик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты исходного дифференциального уравнения, после чего составим систему уравнений относительно 4 и В, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х левой и правой частей полученного равенства (при этом е~3х можно сократить) 9 6
у = (Ат + jdx ]е
Уч = (34т2 + 2Вх — ЗАх3 — ЗВх2)е~3х
у” = (94т3 - 184т2 + 9Вх2 + 64т - 12Вт + 2В}е~3х
0 = 0 о = о
В приведенных выражениях одинаковыми линиями подчеркнуты подобные члены.
х3 : 9А- 184 + 94 = 0, т2 : 9В + 184 - 18В - 184 + 9В = 0, т1 : 12В+ 64-12В = 1, х° : 2В = -2.
6
Заметим, что получили систему из четырех уравнений с двумя неизвестными, при этом два уравнения тривиальны. Это признак правильности составления системы.
Таким образом, уч = (^т — 1) т2е-31, откуда общее решение
Уон = (Ci + С2т)е“3х + (^т - 1) т2е-3х.	•
103
Найти общие решения уравнений:
2.7.51.	у" + Зу1 — 4у = (х + 1)ех.
2.7.52.	у" -2у' + у = (х + 1)ех.
2.7.53.	у” + 2у' + у = (х + 3)е~х.
2.7.54.	2у" + 3у' + у = (1- 2х)е~х.
2.7.55.	у" + Зу1 + 2у = (1 - 4х)е~2х.
2.7.56.	у" + 4у' + 4у = (1 - 4ж)е-2®.
2.7.57.	Решить уравнение у” + Зу' + 2у = (2х + 3) sinх + cosх.
О Решая характеристическое уравнение к2+Зк+2 = 0, находим к± = — 1, къ = —2, откуда уоо = С\е~х + С2е~2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
уч = (Ах + В) sin х + (Сх + D) cos х.
Так как неизвестные многочлены Рдг(ж) = Ах + В и Qn(x) = Сх + D должны иметь степень N = max(m,n), где т = 1 — степень многочлена Р\ (х) = 2х + 3, п = 0 — степень многочлена <2о(ж) = 1 (см. случай 2 а на с. 97 при 7 = 0; мы специально поменяли местами Р(х) и Q(x), чтобы показать, что это не влияет на структуру уч). Далее
2 уч = (Аг + В) sin х + (Сх + D) cos х,
3 у'ч = A sin х + (Ах + В) cos х + С cos х — (Сх + D) sin х, 1 у" = 2А cos х — (Ах + В) sin х — 2С sin х — (Сх + D) cos х.
Теперь приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях соответствующего уравнения:
ж sin я: : sin ж : ж cos ж : cos ж :
2А - ЗС - А = 2,
2B + 3A-3D-B-2C = 3,
2С + ЗА - С = 0,
2D + ЗВ + ЗС + 2А - D = 1,
(А-ЗС = 2,
I ЗА + В - 2С - 3D = 3, < ЗА + С = 0,
ДА + ЗВ + ЗС + В = 1.
Из первого и третьего уравнений находим: А =
1	3
С = —=. Из второ-о	О
го и четвертого, с учетом полученных коэффициентов, имеем: В =
3 25*
21
25’
Таким образом,
Уон —
(|ж + cos ж + Cie Х + С2е 2х. \о 2а/
Решить уравнения:
2.7.58.	у" — 7у' -I- Gy = sin ж. 2.7.59.	2у” +	5уг = 29 cos ж.
2.7.60.	у" - 4у = е2х sin 2ж.	2.7.61.	у”	- 2у'	- 8у =	-8сов2ж.
2.7.62.	у" -I- 4у' + 4у = (2ж + 3) sin ж + cos ж.
2.7.63.	у" — 2у = 2ж(соз ж — sinzje®.
2.7.64.	Решить уравнение у” -I-16?/ — Зжэш4ж -I- соз4ж.
104
Q Корни характеристического уравнения &2+16 = 0 мнимые: fci,2 = ±4г. С другой стороны, правая часть неоднородного уравнения имеет вид у(а?) = еОх(Ро(я) соб4ж + Qi(x) sin 4ж). Значит, а ± /Зг = ±4г — корни характеристического уравнения, поэтому (см. случай 26, с. 97).
уч = х [(Аж + В) cos 4ж + (Сх + D) sin 4ж].
Имеем:
16 Уч =
О у'ч =
1 У” =
(Ах2 + Вх) cos 4х + (Сх2 + Dx) sin 4х,
(2Ах + В) cos 4х — 4(Аж2 + Вх) sin 4х + (2Сх 4- D) sin 4х + + 4(Сж2 + Dx) cos 4ж,
2Асоз4ж — 8(2Аж + В) зш4ж — 16(Аж2 + Вх) сов4ж +
+ 2С sin 4х + 8(2Сж + D) cos 4х — 16((7ж2 + Dx) sin 4х.
Отсюда
ж2соз4ж: 16А — 16А = О, жсоз4ж : 16В - 16В + 16С = О, соз4ж : 2А + 8D = 1, ж2зш4ж: 16(7 — 16(7 = 0, х sin 4х : 16В — 16А — 16В = 3, sin 4х : —8В + 2С = 0.
откуда А = В = С = 0, В = Таким образом,
у0„ = Ci соб4ж + С2 sin4x - ^х2 cos4z + sin4z.
С = 0, 2А + 8В = 1, -16А = 3, —8В + 2С = 0
Решить уравнения:
2.7.65. у” + 25г/ = cos 5ж.
2.7.67. у" + у = ж sin ж.
2.7.69. у” — 2у' + бу = ех cos 2ж.
2.7.66. у" + у = 2х cos х + sin х.
2.7.68. у” + 9у= |^зтЗж — жсозЗж
3 d
2.7.70. бу" - бу' + 5у = е5х sin |ж О
2.7.71.	Решить уравнение у" — 2у‘ + бу = хех cos 2ж + ж2 — ж + 2. Q Общее решение соответствующего однородного уравнения
у” -2у‘ + бу = 0
имеет вид (проверьте!) уоо = (<7i соз2ж + Сз зш2ж)еа:. Данное дифференциальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений:
у" — 2у' + бу = хех cos 2ж,
.у” - 2у' + бу = ж2 - ж + 2.
Частное решение первого уравнения находим в виде
г/ч1 = х[(Ах + В) cos 2ж + (Сх + В) sin 2ж]еЯ!, так как а ± /?г = 1 ± 2г — корень характеристического уравнения к2 - 2к + б = 0, к = 1 ± 2г.
105
Соответствующие вычисления, которые предлагаем выполнить самостоятельно, дают
уЧ1 = х cos 2х + ±х sin 2х ех.
Lio	о
Частное решение второго уравнения находим в виде
уч2 = Ах2 + Вх + С.
1	1 оо
Аналогично находим у^>2 ~ ^х2 — ^§х + у^. Общее решение исходного уравнения имеет вид уон = уоо + тм + уч2, т. е.
Уон = (C*i cos 2х + С*2 sin 2х)ех+
+ х cos 2х + sin 2аА ех + ^х2 — ^=х + \ 1о	о / о	12о
Решить уравнения (данные уравнения, согласно правым частям, предлагаем целесообразным образом представить в виде совокупности более простых):
2.7.72.	у" — 2у' + у = х2 — х + 3 + х cos х.
2.7.73.	у"	+	5т/'	+ бу = (х - 2)е-31 + х2 +	2х	- 3.
2.7.74.	у"	+	бу'	+ Ют/ = (х + 6) cos Зх — (18ж	+ 6) sin Зх + 2же-3;г cos х.
2.7.75.	у"	4-	9у	= е~2х(х - 2) + 14 + 63z2.
2.7.76.	у”	-	2у'	+ у = sin я: + ^ех - |е-а:.
-,2х
2.7.77.	Решить уравнение у" — у' = -
V1 — е2ж
Q Общее решение однородного уравнения у" — у' = 0 имеет вид т/оо =
= Ci + С2ех. Правая часть f(x) =	- неоднородного уравнения не
\/1 - е2х
позволяет найти частное решение уч методом подбора (или неопределенных коэффициентов), поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных:
Уч = С1(х)у! +С2(х)у2,
где yi = 1, у2 = ех — фундаментальная система решений однородного уравнения, а С1(ж) и С2(х) — решения системы дифференциальных уравнений
(С[У1+С2у? =0,	+
<	т е <
\с{у'1+а_у'2 = /(х),	' ’ |с;-о + с;-е* = -^=.
ех
Из второго уравнения находим =	откуда после интегри-
х/1 - е2ж
/ех
- dx = arcsin ех (константу интегрирования х/1 - е2х
106
полагаем равной нулю). Из первого уравнения системы получим С{ = е2х
—С2ех = —— -	—, т.е., интегрируя,
V1 — е21
Тем самым, частное решение имеет вид
уч = Ci (х) • 1 + С2(х)ех — \/1 — е2х + ех arcsine1,
а общее решение
Уон = Ci + Съх + х/1 — е2ж + ех arcsine*.	•
Решить уравнения, используя метод вариации постоянных:
у"-27/' + т/ = ^.
У” + 4т/ = —L. COS X у" — у1 = е2х\/^ — е2ж.
у” — 2у' — у = 6хех, удовле-
2.7.78. а"-У=~5Г27г	2.7.79.
2.7.80. у" - бу' + 9у = ^.	2.7.81.
2.7.82. у" + у + ctg2 х = 0.	2.7.83.
2.7.84.	у"-2у' + у =
х + 1
2.7.85.	Найти частное решение уравнения
творяющее заданным начальным условиям: т/(0) = 2,т/(0) = —5. Q Запишем уравнение без правой части у" — 2у' — у = 0. Его характеристическое уравнение имеет вид к2 — 2к — 1 = 0, откуда ki^ — 1 ± >/2, т. е. у00 = C\e(1~'S2)x + С2е(1+у^х. Частное решение неоднородного уравнения найдем методом подбора:
-1 уч = (Аж + В)ех
-2 у'ч — (Аж + В + А)ех
1 у” = (Аж + 2А + В)ех
х :
г°:
-А - 2А + А = 6,
-В-2В-2А + 2А +В = 0.
Следовательно, А = —3, В — 0 и уч = —Зхех. Отсюда
у0„ = С1е^~^х + C2e(1+'/2)l - Зхех. *
Полученное выражение продифференцируем, а затем в уоп и т/'н подставим ж = 0, у — 1, у' = 1 из начальных условий и из получающейся системы определим значения констант С\ и (?2. Имеем:
у'оа = (1 -	+ (1 +	- Зе1 - Зхе1,
а соответствующая система, о которой говорили выше, имеет вид:
{Ci + С2 = 2 (заменили ж = 0, уон — 2),
(1 — 4/2)61 + (1 + 4/2)62 — 3 = —5 (заменили ж = 0, yfw = —5).
Первое уравнение, домноженное на —(1 + 4/2), прибавим ко второму:
-24/2(71 = —4 - 2\/2, Ci =	j?4 =1 + \/2.
24/2
107
Далее С2 = 1 — Ci = 1 — \/2. Искомое частное решение имеет вид
у = (1 + V'2)e(1“'/2>1 + (1 - v'2)e(1+'/?)* - Зхех.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным на
чальным условиям:
2.7.86.	у" + у = 4я:е*, 2/(0) = —2, ^(0) = 0.
2.7.87.	у" 4- у =	4sin х, 2/(0) = 1, у'(0)	= 2.
2.7.88.	у" - 2у'	- Зу = eix, у(0) =	у'(0) =
2.7.89.	у" + 2у'	- Зу = 48А*, у(0)	=	1, у'(0) =
2.7.90.	у" + 4у'	+ 4у = 32же21, у(0)	=	-1, у'(0) = 1.
2.7.91.	у" - у = 2е* - х2, у(0) = 2, у'(0) = 1.
2.7.92.	у" + Зу' 4- 2у = 2 sin Зя: 4- 6 cos Зя:, 2/(0) = у1(0) = 0.
2.7.93.	у" + 9у = б cos Зя:, у(0) = 1,г/'(0) = 3.
2.7.94.	у" -у' = j-L, у(0) = 1, у'(0) = 2.
2.7.95.	4у" + у = ctg^, у(л) = 3, у'(я) = |.
2.7.96.	Найти общее решение уравнения Эйлера х2у” 4- 2ху' 4- у = 0. Q Положим х = е*, откуда t = In х. Тогда неизвестная функция у = у(х) становится сложной функцией аргумента t: у = у(е*). Следовательно,
dy
/ = dy = dt_ = dy -t
У dx dx dt ’ dt
„ = _d_ (dy -A =d_(dy -A dt = (#V -t _ -tdv\ -t =
y dx \dt ) dt\dt J dx \dt2	dt)
_ (d^y _ dy\ -21 \dt2 dt)e '
Исходное дифференциальное уравнение принимает вид
2( /о?у _ dy\ 2( t dy t kdt2 dt) + dt +У °’
T e	d?y dy	..	,
+ У = 0, или у +y +y = 0, at“ at
где у = y(t)- Общее решение полученного линейного уравнения с постоянными коэффициентами находим стандартным образом:
_1 /	v^3	х/З \
Уоо = е 2 I Ci cos -^-t 4- С2 sin -^-t I .
Остается вернуться к переменной х, используя замену t = In я:. ПолучаехМ
1 ( Vs	73	\	а
Уоо — —р I Ci cos In х 4- С2 sin In x ) .	•
yr \	2	/
108
решить уравнения:
2.7.97.	х2у" + 2ху' - бу = 0.	2.7.98. х2у" + Зху' + у = 0.
2.7.99.	ху" + у' = 0.
2.7.100.	Решить обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера
(Зх - 2}2у" - 2(3а; - 2)г/ + бу = 0.
Q dx dt
Положим За; — 2 = е*, откуда t = 1п(3а: — 2). Тогда х = ^(е* + 2),
=	4^ = Зе f. Далее
3 ах
y^y'ct'x =3е ^У'п
= (Зе'1?/;); • = 3(-е-‘ • у[ + e-f • ^2)3е^ = Эе'2^ - у').
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
9(z/«2 - y't) ~ ty't + 63/ = О, т. е. 9у" - 15г/ + бу = 0, у = y(t).
Корни соответствующего характеристического уравнения 9fc2 — 15fc + 6 = = 0, т. е. Зк2 — ок + 2 = 0 равны ki = 1,	> поэтому
О
Уоо(Ъ) = Cie + Сгез .
После замены t = 1п(3а; — 2) и преобразований получим окончательно
Уоо(х) = Сг(За; - 2) + С2 V(3a? - 2)2.
Решить уравнения:
2.7.101.	(2а; + I)2?/" - 2(2х + 1)у' + 4г/ = 0.
2.7.102.	х2у" + ху' + у = 0.	2.7.103. х2у" — ху' — Зг/ = 0.
2.7.104.	х2у" + 4ху' + 2г/ = 0.
Дополнительные задания
Доказать линейную независимость данных функций на их области определения, найти определитель Вронского:
2.7.105.	х, ех, е~х.	2.7.106. а;, хех, хе~х.
2.7.107.	arctga;, arctg2a;, arctgЗа;. 2.7.108. 1, х, х2, ..., хп.
2.7.109.	еА1Х, екгХ, екзХ (к^, к2, к% — различные действительные числа).
2.7.1Ю.	ех, е2х, е2х, ..., епх.
2-7.111. cos a;, cos 2а;, ..., cosna;, х G [0,2тт].
Доказать линейную зависимость данных функций и найти определитель Вронского:
2-7.112. 1, arcsina;, arccosa;, х Е [—1,1].
109
2.7.113.	тг, arctg2z, arcctg2z, x G (—00,4-00).
2.7.114.	sin2 x, cos2 x, cos 2a;, sin 2a;, x G (—oo, 4-oo).
2.7.115.	sin 3a, sin a, sin3 a, 1, a G (—oo,4-oo).
2.7.116.	cos a, cos3 a, cos 3a, 5, a G (—oo,+oo).
2.7.117.	Ina;, Ina;2, In2 a;, In3 a;, x G (0, 4-oo).
2.7.118.	ex, ex sin2 a;, ex cos2 a;, e 2x, x G (—oo,+oo).
Показать, что не существует линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данная система функций является фундаментальной:
2.7.119.	sin a;, sin 2а;.	2.7.120.	cosx, cos2а;.
2.7.121.	X 1	2.7.122.	х2 -
2.7.123.	ех, sin а;.	2.7.124.	ех, cosx.
2.7.125.	х, sin а;.	2.7.126.	х, cosx.
2.7.127.	2 х, х, sin а;.	2.7.128.	ех, е~х, cosx
2.7.129.	2 X, X, cosx.	2.7.130.	х, ех, sin а;.
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид:
2.7.131. е2х, е~2х, ех.
2.7.133.	cos 2а;, sin 2а;, е х.
2.7.135. ех, хех, х2ех, е3х.
2.7.132. 1, ех, е3ж.
2.7.134.	ех, хех, sin a;, cosx.
2.7.136.	ех, хех, sin За;, cos За;
Составить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами по данному общему решению:
2.7.137.	у = С\х + Чг.	2.7.138. у = Ci(x + 2) + ----
х	С С '	'
2.7.139.	у = С,х2 + С2х4 + Сз- 2.7.140. у =	+ 2х.
2.7.141.	г/ = С1+С2(х + 1)5+, С\9. (х +1)-
2.7.142.	у = (Ci cos In х 4- С2 sin In х)х 4- х In х.
2.7.143.	у = x(Ci + С2 Ina; + In2 х).
2.7.144.	у = С]Х 4- С2Х2 4-1 4- (х2 4- 2а;)Inх.
Решить уравнения:
2.7.145.	у" - 4у’ 4- 31/ = 0.	2.7.146.	у” 4- 4г/' 4- 291/ = 0.
2.7.147.	9у" 4- бу1 = 0.	2.7.148.	4уи 4- 12g/' 4- 9у = 0.
2.7.149.	5у” 4- у = 0.	2.7.150.	5у" 4- у' = 0.
2.7.151.	$/"' - 2у" - Зу' = 0.	2.7.152.	у"' 4- 4у” 4- 13г/' = 0.
2.7.153.	у"' 4- 21/" 4- у' = 0.	2.7.154.	ут 4- 2у" -y'-2y = G.
2.7.155.	yrv — 161/ = 0.	2.7.156.	УГУ 4- у = 0.
110
2.7.157.	2у'" + 9?/" + 17?/' + 14?/ = 0.
2.7.158.	yIV + ?/" = 0.
Решить уравнения, а там, где есть начальные условия, найти соответствующее частное решение:
2.7.159.	у” + у' = (х + ех - 2х - 2.
2.7.160.	у" + у'= (1 - 4х)е~2х.	2.7.161. ?/" + ?/' = Зе-2х sinх.
2.7.162.	уц + у' = (2х + 3) sin х + cos х.
2.7.163.	у” — 2у' + у = sina; + е~х.
2.7.164.	?/'" + ?/" = 12ж2.
2.7.165.	у"' - 5у" + 8?/' - 4у = е2х.
2.7.166.	у” - Зу' + 2у = (а;2 + а;)е3ж.
2.7.167.	у" — 2у' + Зу = е~х cos х.
2.7.168.	у” + у' = cos2 х + ех + х2.
2.7.169.	у" + 4у = х sin2 х.
2.7.170.	у" + 4у = х cos х.
2.7.171.	у" — 2у' + 10?/ = | cos3.t + 2sin3x.
2.7.172.	у” — Зу' 4- 2у = sina;sin2a;.
2.7.173.	у” — 4у' + Ьу = (4х + 22) sin За; — (28а; + 84) cos За;.
2.7.174.	у"	-	4у' +	5?/ = 2а;2еж, ?/(0) = 2, ?/'(0)	= 3.
2.7.175.	у"	-	бу' +	9у = х2 - х + 3, j/(0) =	з/(0) =
2.7.176.	у" + 4у = 4(sin 2х + cos 2а;), 2/(тг) = тг, ?/'(тг) = 2тг.
2.7.177.	у”	—	2у' +	2у = 4ех cosx, ?/(тг) = тте”-,	?/'(тг) = еп.
2.7.178.	у”	-	2у' +	10?/ = 10а;2 + 18а; + 6, ?/(0)	= 1, ?/' (0) = 3,2.
з
2.7.179.	4у" + 16?/' + 15?/ =	4е~2ж,	«/(0) = 3, ?/'(0) = -5,5.
2.7.180.	у"	-	2у' = еж(а;2 +	х	-	3),	?/(0) = 0, ?/'(0) = 2.
2.7.181.	?/"	+	?/ = ctga;.	2.7.182. у" + 2у' + у =
2.7.183.	у”	+	у =	2.7.184. у" -2у = 4х2ех\
2.7.185.	у"-6у = 4х2ех\	2.7.186. ?/" + ?/=---- 1------— •
*	"	cos 2а; у cos 2а;
Контрольные вопросы и более сложные задания
2.7.187.	Привести пример функций ?ц(а;) и ?/2(а;), которые линейно зависимы на одном отрезке и линейно независимы на другом.
2.7.188.	Доказать, что если два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеют экстремумы в одной и той же точке, то они линейно зависимы.
2.7.189.	Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты р и q уравнения у" + ру' + qy = 0, чтобы все его частные решения были ограниченными.
111
2.7.190.	Построить две дифференцируемые линейно независимые функции на отрезке [а, Ь], для которых их определитель Вронского равен нулю тождественно.
2.7.191.	На отрезке [а, д] построить три линейно независимые функции, для которых определитель Вронского равен нулю тождественно.
Доказать линейную зависимость функций на их области определения:
2.7.192.	sin4 х, cos4z, cos2z, 1.	2.7.193. cos4 x, cos4a;, cos2a;, 1.
2.7.194.	Ina;, Ina;2, Ina;3, In2a;, In3a;.
2.7.195.	sin a;, sin (x — ?), sin (x 4- ? ). \	47	\	47
2.7.196.	Зная фундаментальную систему решений е®, cos a:, sin а; линейного однородного уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 3, у'(0) = 4 и 2/"(0) = -1.
2.7.197.	Функции ех, е2®, е3х образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 6, у'(0) = 14, у”(0) = 36.
2.7.198.	Проверив, что yi = ех и у2 = х образуют фундаментальную систему решений уравнения у”-------------^~\У' “I-^~7У = найти
общее решение уравнения (х — 1)у” — ху' 4- у = (х — I)2.
2.7.199.	Проверив, что yi = cos х и у2 = х cos х образуют фундаментальную систему решений уравнения у” 4-2 tg х-у‘ 4- (2 tg2 а;4-1)«/ = О, найти общее решение уравнения ctg a;-2/z/ 4-2|/ 4- (2 tgz-bctga;)?/ = О = COS X.
2.7.200.	Найти общее решение уравнения 4yIV 4- 4у” 4- у = 0.
Найти общие решения уравнений:
2.7.201.	yv 4- 8ут 4- 16г/ = 0.	2.7.202. yv - 6yIV 4- 9ут = 0.
2.7.203.	yIV - 8у" 4- 16у = 0.	2.7.204. у" 4- 4у' 4- 4т/ = е~2х In а;.
2.7.205.	yVI - 2yv 4- 3yIV - 4у"'	4-	Зу” - 2у‘ 4- у = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным	усло-
виям:
2.7.206.	у'” -у' = —2х, 7/(0) = 0, </'(0) = 1, у” (9) = 2.
2.7.207.	y,v - у = 8ех, у(0) = -1, у'(0) = 0, у"(0) = 1, у"'(0) = 0.
2.7.208.	Найти интегральную кривую дифференциального уравнения у” — у = 0, касающуюся в точке 0(0,0) прямой у = х.
2.7.209.	Найти интегральную кривую уравнения у” — 4у' 4- Зу = 0, касающуюся в точке Мо(0,2) прямой у = х 4- 2.
112
Решить уравнения Эйлера:
2.7.210.	х2у" 4- ху1 — у = 0.	2.7.211. х2у”' — Зху" 4- 3j/' = 0.
2.7.212.	(ж 4- 2)2у" 4- 3(ж + 2)1/' - Зу = 0.
2.7.213.	х2у'" = 2у'.
§8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их переменные.
Нормальная система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида
’у'х = Л(*,3/1,2/2,...,2/п), ?/2 =/г(ж, 2/1, ?/2, - - , 2/п),
где х — независимая переменная, a yi(а?), 2/2(ж),..., уп(х) — неизвестные функции от х, называется нормальной системой.
Решить эту систему означает найти функции yi(x), У2(х),  • •, Уп(х), удовлетворяющие системе (8.1) и данным начальным условиям:
2/1 (яо) = 2/ю, ?/2(яо) = ?/2о, • • •, Уп(хо) — УпО-
Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка п (или меньше) относительно одной неизвестной функции, скажем g/i, при помощи следующего алгоритма, называемого метод исключения.
Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х:
У1 = (/i)i 4- (/1)^ • у{ 4- (/i)y2 • Й 4-... 4- (/i)in • Уп-
Производные у[, у2,..., у'п в правой части этого равенства заменим их выражениями из системы (8.1). Получим уравнение
у" = ^2(ж,2/1,1/2,...,2/п).
Это равенство дифференцируем по переменной х:
у" = (F2)'x + (F2)'yi • у[ 4- (Г2);2 • у2 4-... 4- (F2);n • Уп-
Производные у{, у2,..., у'п в правой части этого равенства заменим их выражениями, заданными системой (8.1). Получим еще одно уравнение
у" = Рз(х,у1,у2,...,уп).
113
Это уравнение дифференцируем по переменной х и так далее до тех пор, пока не придем к уравнению
?/}п) = Рп(х,у1,у2,...,Уп)-
Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединим в одну систему, к которой присоединим первое уравнение системы (8.1):
У1 = /1(хуу1,у2,.-.,Уп)
у” = Р2(х,у1,у2,...,уп),
< у'” = Рз(х,У1,У2,..-,Уп),	(8.2)
kt/Jn) = Рп(х,У1,У2,...,Уп).
Первые п — 1 уравнений системы (8.2) разрешим относительно переменных 2/2, 2/з} • •  > Уп, выражая их через переменные х и у±, а также производные y[t у"2/Sn-1)- Полученные выражения подставим в последнее уравнение системы (8.2). В итоге придем к дифференциальному уравнению порядка п относительно одной неизвестной функции у\.
Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение системы (8.1) или требуемое частное решение. Заметим, что порядок последнего уравнения может быть меньше, чем п, если при его получении были использованы не все уравнения системы (8.1).
Поиск интегрируемых комбинаций
Интегрирование системы (8.1) существенно облегчается, если эта система допускает интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений. Под интегрируемой комбинацией подразумевается дифференциальное уравнение, получаемое из уравнений системы (8.1) с помощью определенных преобразований, но уже легко интегрирующееся. Примером интегрируемой комбинацией является уравнение вида
d$(s, yi, у2,..., Уп) не-
возможно, что заменой переменных удастся получить дифференциальное уравнение известного типа, решение которого не представляет труда.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Для решения нормальной системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида
2/i = aii2/i + 0122/2 + ... + О1П2/п}
У2 = С121У1 + О.22У2 + . . . + й2пУп,	/о оч
уп = аП1 j/i + аП2у2 + ... + аппуп
114
удобно воспользоваться методами линейной алгебры, а конкретнее, методом собственных векторов.
Добавим, что общее решение однородной линейной системы представляет собой линейную комбинацию фундаментальной системы решений, а общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующего решения однородной системы и одного частного решения неоднородной системы.
2.8.1* Решить систему дифференциальных уравнений:
!х’ = —2х — 2у — 4z, у1 = — 2х + у — 2z, z' = 5х + 2у + 7z.
Q В данной системе x,y,z — неизвестные функции, а независимая переменная t — их аргумент.
Дифференцируем первое уравнение системы по t: х" = —2а/ - 2у' - 4z’.
Вместо у' и z1 подставим их выражения из второго и третьего уравнений системы. Получаем
х” = — 2х' — 2(—2х + у — 2z) — 4(5ж 4-22/4- 7z),
откуда
х" = — 2а/ — 16а: — 10у — 24z.
Полученное уравнение дифференцируем по t, а вместо у1 и z' опять подставим выражения из тех же уравнений системы
х'" = -2х" - 16а/ - 10?/' - 24г' =
= -2а/' - 16х' - 10(—2а: 4- у - 2z) - 24(5ж 4-21/4- 7z), х"' = —2х" - 16а/ - 100а: - 58а: - 148z.
Составим новую систему:
!х' = — 2х — 2у — 4z,
х" = — 2а/ — 16а: — 10г/ — 24г,	(8.4)
х,п = -2х” - 16а/ - 100а: - 58«/ - 148z.
Система состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравнений, полученных последовательным дифференцированием.
Из этой системы исключим неизвестные у и z. Для этого проще всего использовать первые два уравнения системы (8.4), из которых, после преобразований (рассматривая —6а/ 4- х" и —5а/ 4- х"), находим
f 2у = х" — 4а/ 4- 4х,
I 4z = —х" + Зх' - 6z	(8’5)
115
и эти выражения подставим в третье уравнение системы:
х'" = —2х" - 16а;' - 100а; - 29(а;" - 4xz + 4а;) - 37(-а;" 4- За? - вх).
После приведения подобных слагаемых получаем одно уравнение третьего порядка (однородное с постоянными коэффициентами) относительно неизвестной функции х = x(t):
х"' - вх" + Их -вх = 0.
Корнями его характеристического уравнения к3 — 6к2 4-11/? — 6 = 0 являются числа к\ = 1, к2 = 2, кз = 3. Следовательно, общее решение последнего уравнения имеет вид
хоо = Ciet 4- С*2С2< 4- Cse3i.
Теперь надо получить значение для уоо и zoo. Это легко сделать, имея в виду систему (8.5), содержащую 2у и 4z, выраженные через а;, х1 и х".
Поэтому сначала находим
x'oo = Ciet + 2C2e2t + 3C3e3t,
х”о =	+ 4С2в2( + 9C3e3f.
Остается сделать соответствующие подстановки:
у = ±(х" - 4х' + 4х) = | (Ge* + 4С2е2' + 9С3е31 - 4Cie‘ - 8С2е2'-- 12C3e3( + 4Cie‘ + 4С2е2‘ + 4С3е3'),
откуда	1	, 1	„
Уоо — ^Cie + -~С3е .
Аналогично, г0о = у (—х”о — 3a?J,o - 6а;оо) = —	— C2e2i — |Сзе3*. Окончательно,	z
Г а;оо = Cief 4- C2e2t 4- Сзе3\
Ьоо = |С1е‘4-|Сзе3‘,	•
[г0о = -С^ - C2e2t - |c3e3t.
{х1 4- у' — у = е*,
,	,	при данных начальных
2а; + у’ 4-22/ = cos t
Л 3	4
условиях to = О, х0 = -уу, Уо = уу.
О Сначала приводим систему к нормальному виду, т. е. к виду, разрешенному относительно производных
х1 = —Зу 4- cos t — ef, у' = 4у — cos 14- 2ef.
Далее действуем по схеме, примененной при решении предыдущего примера.
116
Первое уравнение дифференцируем по t, после чего вместо у' подставим выражение из второго уравнения новой системы
х" = —Зу' — sin t — е* = — 3(4?/ — cos t -I- 2e*) — sin t — ef, t. e.
x" = — 12y -I- 3 cos t — 7e* — sin t.
Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим систему
\х' = —Зу + cost — е*,
х" = — 12т/ + 3 cos t — 7е* — sin t,
из которой исключим у (первое уравнение, умноженное на (—4) прибавим ко второму):
х - 4х = — cos t — Зе — sin t.
Полученное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами решается стандартным способом подбора частного решения. А именно (в сокращенном изложении):
i" - 4х' = 0 =>
к2 — 4k = 0 => hi = 0,	= 4 => тоо = Ci -I- C2e4t;
О
-4 1
хч = Ае* -I- В cos t -I- С sin t	e* :
х'ч = Ae* - В sin t -I- C cos t => cos t: x" = Ae* - В cos t - C sin t sin t:
-ЗА = -3	3
-4C-B = -1 =» B = -i7 4B-C = -1 c— —
1T
3	5
Отсюда = e — p^ cos t -I- yy sin t. Окончательно,
zOH = xoo +x4 = Ci + C2e4t -I- e* - p^ cos t + p^ sin t.
Другую функцию уоп можно найти двумя способами.
а) Из второго уравнения системы (8.6) находим
у = —	(х" — 3 cos t + 7е* + sin t).
Подставляя сюда найденное выражения для т"н, находим уоп. б) Из первого уравнения нормальной системы имеем
у = |(—х' + cost - е*).
О
Отсюда, учитывая, что
х> = (G -I- C2e4f + е* - р^ cos t + р^ sin t)' = 4C2e4t + e* + py sin t + -^ cos t, получим
Уон —
—4C2e4t —	sin t — cos t -I- cos t — ef
т.е. yOH = ~^C2e4t О
1 .	4	о t
17 sin t + 17 cos t - %e
117
Таким образом, общее решение системы имеет вид
{хон =С1+ C2e4t + ef - р^ cos t +	sin t
Уш = -^C2e4i -	+ -^= cos t -	sin t.
О	О	Lt	11
3	4
pp У = p и < = 0. определим
Подставляя начальные условия х = константы Ci и С^:
3
3
Oi = -±,
I 3°2 3 + 17 17	1°2	2'
Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеют вид	<11	s
I х = - - ^e4t + ef - cos 14- sin t, <	9 v Л	1	®
1^1/ = |e4< -	+ p^ cos t - yp sin t.
Замечание. Далее будем заменять хон на xj yoti на у и т. д.
Решить данные системы дифференциальных уравнений:
2.8.3.
2.8.4.
1х' = у + 2, у' = Зх + 2, 2' — Зх + у. х' = Зх — 2у, у' = 2х — у,
х(0) = 1, 2/(0) = 2.
2.8.5.
2.8.7.
2.8.9.
х' + 5х + у = е*, у' — х — Зу — e2t.
J 4х' — у’ = sin t — Зх, lx' = cos/ — у.
(х' = х — 2у — 2,
У' = -х + у + 2,
2' = X — 2.
2.8.6.
2.8.8.
2.8.10.
х' = — X + у + 2, у' = X - у + 2, z1 = X + у — 2. х' = 2х + ?/, у' = Зх + 4?/.
х' = У, у’ = х +	+ e_f.
2.8.11.
Решить систему уравнений <
х' = ?/, У' = х.
Q Почленное сложение этих равенств приводит к интегрируемой ком-
<	»	»	+ У) 1
бинации: х + у — х + у, т. е. х у = Отсюда находим х + у = Cie4.
Аналогичную комбинацию получаем вычитанием уравнений исход-
ной системы
х' -у' = ~{х~у),
откуда
d(x - у)
х-у
= —dt,
т.е. х — у = С2е
118
Остается почленно сложить и вычесть полученные равенства:
_ Ci i С2 —t
Too — ~“Ь ~ в ’
Cl t С2 -t
У°° = Те ~2е •
|т' = у - z, у1 = Z — X, z1 = х — у.
Q Сложив почленно все три уравнения, получим интегральное выражение d{x + у + z) = 0, т. е. х + у + z = Ci.
Умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z и полученные результаты сложим почленно. Получим другую интегрируемую комбинацию
+	+	= °’ т-е- d^x2 +У2 + *2) ~ °’ откуда х2 + у2 + z2 = С2.
at at at
Эти два соотношения уже можно использовать для того, чтобы из исходной системы получить одно дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции. Но мы попробуем использовать только первое соотношение, из которого имеем z = Ci — х — у. Подставим это выражение для z в первые два уравнения:
х' = 2у — Ci + х, у1 = —2х -y + Ci.
Дифференцируя первое уравнение по t, подставим затем выражение для у' из второго уравнения: х" = 2у' + х' = —4х — 2у + 2С1 + х'.
А теперь из полученной системы
х1 = х + 2у - Ci, х" = х' - 4х ~2у + 2Ci
исключаем у — получим х" + Зх = Ci, откуда
х = С2 cos J3t + Сз sin \/3t + |Ci.
О
Из уравнения х1 = 2у — Ci + х находим у = ~(х‘ — х + Ci), т.е.
у = (у/ЗС3 — С2) cos y/3t - ± (ТЗС2 + Сз) sin \/3t + |Сь Наконец, z = Ci — х — у, т.е.
z — —- (\/ЗСз + С2) cos ^3t + 2 (v/3C2 — Сз) sin \/3t +
119
Решить системы уравнений:
dx 1 dt ~ У' dy _ 1 dt x' dx _ У2 dt x ’ dy _ x2 dt~ У ‘ dy z - 1 dx ~ z ' dz _	1
dx ~ у - x'
2/(0) = -1, z(0) = 1.
2.8.14.
(z ~ У)2' У
(z ~ у)2
{yf = -z,
z2 где у = y(t), z = z(t).
z1 =
У 1
Q Продифференцируем первое уравнение: у" = —z'. Подставив z' из z2
второго уравнения системы, получаем у — — ~гг- Поскольку из пер-вого уравнения (т/')2 ~ z2, приходим к уравнению относительно одной -fa/')2
функции: у” = —-—, или уу" + (у1)2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (уу1)1 = 0, откуда уу1 = Ci. Разделяя переменные, получим ydy = Ci dt, откуда ~ = C\t + С2, т.е. у = ±y2(Cit + С2). Функцию z находим из первого уравнения исходной системы:
С^1
Ъу/ЦС^ + Съ)
И окончательно,
'у = ±y2(Cit + C2), ±Cj
z = --,
к . 2л/C\t + С2
I х>
2.8.18. Решить систему <
О Данную систему решим матричным способом, используя собственные
= 2х + Зу, = 6х — у.
числа и собственные векторы матрицы правой части системы. Обозначим
2 3 \
6 -1)
через
А =
матрицу системы.
Составим характеристическое уравнение det(A — кЕ) = 0, т. е.
2-к	3
6	-1-к
Приходим к уравнению к2 — к — 20 = 0 с корнями ki = —4, к2 = 5.
120
Находим собственные векторы. При к = —4 имеем: 6Ci + ЗС2 = О, (С \ 2С ) ‘
При к = 5 имеем: -3Ci + ЗС2 = 0, Ci = 1, С2 = 1, собственный вектор /С2\ jjftieeT вид I I •
Составляем общее решение системы
1	1х = С1е~4х + С2е5х,
[у = -2С1е~4х + С2е5х. (х' = х + у, У1 = —х + У ~ z, zl = Зу + z.
Q Матрица системы имеет вид / 1	1 0 \
А= -1 1 -11. \ о з 1 /
Отсюда характеристическое уравнение
1-к	1	О
-1	1-к	-1
О 3	1-к
= 0
с характеристическими числами ki = 1, к2 = 1 + 2г, кз = 1 — 2г.
Собственный вектор, отвечающий собственному числу ki = 1, полу
чаем из системы
Я е.
’j
«а 6 К, вектор
-Сг - Сз = 0, зс2 = о,
представляет собой нормированный (единичный) вектор отвечающий
<г°бственному числу ki = 1 (хотя переходить к единичным векторам необязательно).
121
Собственному числу fc2 = 1 4- 2г отвечает комплексный собственный вектор, получаемый из системы
	
( —2iCi 4- C*2 = 0,	f C*i — 1, < -Ci - 2iC2 - Сз = 0, => < C2 = 2i, или	х/6 С2, С26й.
3C2 — 2гСз — 0	[Сз = 3 Аналогично для кз = 1 — 2г: имеем (" 2iCi + С*2 = 0,	Г Ci — 1, -С1 + 2гС*2 - Сз = 0, => < С*2 = —2г, или [	ЗС*2 — 2гС*з = 0	= 3	3 <х/б/ /JL \ \/б —2г г. Сз, C3eR. Vo 3 \7ё/
Общее решение системы можно записать в виде
Осталось покоординатно взять от правой части действительную часть:
х =	4- cos 24 4- -^-Сзе* cos24,
х/2 х/б	х/б
< у = sin 24 — sin 24, х/б	х/6
z = —^=Ciel 4- cos 24 4- -^=Сзв1 cos 24. х/б х/б	х/б
Решить системы уравнений (все функции аргумента t):
2.8.20.
2.8.22.
х' = х - у + Z, у1 = х + у - Z, z' = —у + 2г.
2.8.21.
dy
dt=xy'
dz , dy
Tt + H = z + xy-
122
Дополнительные задания
решить
2.8.23.
2.8.25.
системы уравнений:
(ty = 1 _ 1 dx
dz _	1
dx ~ У - х ’
2.8.24.
= sin х — 2у — 2,
= cosx + 4у + 2z.
2.8.26.
(ty = х_
dx У*'
dz _ х dx ~ Уг‘
'dx = х-У dt z -V
< dy = x-y dt z-t’
< dt
= x -y + 1.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.8.28. Есть ли разница в записи собственных векторов матрицы в щем виде или в нормированном виде?
Решить системы уравнений:
2.8.29.
2.8.31.
2.8.32.
2.8.34.
2-8.35.
ddt “ Зж у +
= -х 4- 5т/ - 2, dz „	, о
Id? =х~у + ^-(^ = 3х + 5у, I dt
dy	при
I-£ =-2s - 8».
к dt
2.8.30.
(dx _ Z/3 dt ~ х2 ’ ty _ ж3 dt у2
условии ж(0) = 2, у(0) =5.
= —2х - 4у + 1 + 4t,
*7	2.8.33.
ty = dt
=2x4-у -2z-t + 2, dt
dt
^ = x + y- z- t + l. dt
dt _ dx _ ty_ t2_x2_y2~ 2tx ~ 2ty'
+ ^2 + 2
' x1 = 3x + 4y + 22,
< y' = x 4- 4y + 2, k2z = 4x 4- ty 4- 52.
123
2.8.36.
t-dy = (tx + ty + 2x — t) dt, t-dx = (t — 2x) dt.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (1 + х2Уу" + 2ху' — 7т3.
2.	Решить задачу Коши:
у" • У3 = 4И - 0,25, »(0) = 4г У'(0) = ^.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" - Зу' + 2у = (4х + 9)е21.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + бу' + 13т/ = е~3х sin 2х.
5.	Найти решение задачи Коши:
у” + 4т/ = .4	у(^.\=2
у У sin2z’ у \4/	’ у \4/
6.	Решить систему дифференциальных уравнений х' = х + у + Зе*, у' = 2х — у + cos 2t.
Вариант 2
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения х^у" + х3 - у' = 10.
2.	Решить задачу Коши:
у"у3+4 = 0, г/(1) = 2, у"(1) = 2.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + Зу' + 2у = (1 - 2х)е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у” + 4j/' — 5т/ = 2z3e-21 sin Зя.
5.	Найти решение задачи Коши:
у"-3у' + 2у =	1	у(0) = 1 + 81п2, У' = 71п4.
3 + е х
6.	Решить систему дифференциальных уравнений
J х' = 2х + Зу — е*, у' = х — Зу — sin2Z.
124
вариант 3
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (х2 + 1) • у” + 2ху' = х(х2 + 1).
2.	решить задачу Коши:
у” =8 sin3?/cos?/, 3/(1) = ?, 3/'(1) = 1.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" — 2у’ — Зу = (8х + 4)е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" — Зу' — 9у = (2х + 1)е41 sin 5х.
5.	Найти решение задачи Коши:
Зх
у"-Ъу'=е _3д, 3/(0) =1п4, з/'(0) = 31п4 - 1.
3 + е
6.	Решить систему дифференциальных уравнений (х' = Зх — 2у + е~1, 1 у' = 5т + 6?/ — 3 sin t.
Вариант 4
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения х4у" + х3у' = 5.
2.	Решить задачу Коши:
у" = 50 sin3?/cos?/, г/(1) =	2/'(1) = 5.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 2у* — Зу = (т2 +2х — 3)ех.
4-	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4?/' + 8у = (х + 2)е~2х cos3t.
°- Найти решение задачи Коши:
y" + 3y' + 2y = -^-s< у(0)=0, г/'(0)=0.
Л
 Найти общее решение линейной системы дифференциальных уравнений
(у' + 2х — Зу — Зе2* = 0,
1 х1 + х + 4у + cos t = 0.
125
Вариант 5
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (1 + х2)у" + 2ху' = х3 + х.
2.	Решить задачу Коши:
у” = 16т/3, у(4) = 1, т/'(4) = 4.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - 4у' + 4у = (2а:2 - За: + 2)е2ж.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у” — 2у' + 5т/ = (2х — 3)еж cos 2а:.
5.	Найти решение задачи Коши:
У"-У = ТТ^’ И0) = 31пЗ, у'(0) = 21n3- 1. X “j
6.	Найти общее решение системы дифференциальных уравнений х' + у' + 2а: — За/ - е* = О, 2х' — Зу' + х — 2у + cos t = 0.
к
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
□
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Определение и геометрический смысл двойного интеграла
Пусть D — некоторая замкнутая область в плоскости Оху, на которой определена непрерывная функция двух переменных z = f(x,y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Dt (г = 1,п), площади которых обозначим соответственно через Теперь в каждой области Dt выберем произвольную точку Мг(хг,уг) (рис. 9), после чего составим сумму
п
1=1
которая называется интегральной суммой для функции f(x, у) в области D.
Рис. 9
Обозначим через d наибольший из диаметров областей Dt. Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элементарные области» Di (и, как следствие, стремление п к оо).
Если существует конечный предел интегральных сумм ап при d —> 0, не висящий от разбиения на области D7 и выбора точек Мг, то этот предел ^Ывается двойным интегралом функции f(x, у) по области D и обозначается
JJ f(x,y)dS или УУ f(x,y)dxdy.
D	D
127
В этом случае говорят, что функция /(х, у) интегрируема на области D. При этом функция f(x, у) называется подынтегральной функцией, а область D — областью интегрирования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема.
Теорема 3.1. Если f(x,y) 0 и непрерывна в области D, то интеграл
Jf(x, у) dS D
выражает объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху — поверхностью z = f[x,y), а с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 10).
В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.
В частности, если f(x,y) = 1, то f(x,y)dS равен площади области D:
Свойства
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.
128
1. Линейность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D,
го
УУ (а • /(х, у)±/3- д(х, у)) dxdy = Q jj f(x, у) dxdy + Р ' ff d(x, у) dxdy
D	D	D
(а н /3 — постоянные числа).
В частности,
У"У af(x, у) dxdy = а	f(x, У) dxdy,
D
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.
2.	Монотонность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D и всюду в этой области f(x, у) д(х, у), то
УУ f(x,y) dxdy УУ д(х, у) dxdy.
Таким образом, неравенства можно почленно интегрировать.
В частности, если т /(х, у) М, V(x, у) G D , то
т - S уу У(х, у) dxdy М • S, D
где S = S(D) — площадь области D. Данные неравенства называются оценкой интеграла. Еще одно следствие: если /(х, у) 0 на области D, то
УУ /(*, У) dxdy 0.
3.	Теорема о среднем значении. «
Теорема 3.2. Если функция /(ж, у) непрерывна на области D, то существует точка Мо(хо,уо) Е D такая, что
ff f(x,y)dxdy = f(xo,yo)-S, или	J J f(x,y)dxdy = f(x0,y0).
При этом значение У(хо,уо), т.е. число
ff f(x'y^dxdy'
называется интегральным средним значением функции f(x, у) в области D.
4.	Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух властей Dx и D? без общих внутренних точек, то
УУ f(x> У) dxdy = f(x, у) dxdy + f(x, у) dxdy.
D	Z?2
Сборник задач по высшей математике, 2 курс	129
5.	Для любой функции f(x,y), непрерывной на области, D имеет место
неравенство
ff f^x^y^dxdy JJ \f(x,y)\dxdy. D	D
Вычисление двойного интеграла
Предположим, что область D можно задать в виде системы неравенств:
а х Ь, yi(x) <у< у2(х).
Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая х = х0 (а < жо < 6) пересекает границу области D только в двух точках Mi и М2 (рис. 11), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода. Тогда
Ь	У 2 (а:)
Ц f(x,y)dxdy = j dx J f(x,y)dy.
D	a j/i(sc)
Puc. 11	Puc. 12
Если же область D (рис. 12) можно задать в виде системы неравенств:
с у d, xi(y) С х аг2(у),
то
f (я, у) dxdy =
D
d х2(у) fdv f с Х1(у)
f(x,y)dx.
Интегралы, стоящие в правых частях приведенных равенств, называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядков интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f(x, у), называется внутри ним, другой — внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком
130
дифференциала, принимается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа на-дево). Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям (см. рис. 13). При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство аддитивности (свойство 4).
Рис. 13
Рис. 14
3.1.1.	Оценить интеграл
<*
JJ(х 4- у - 5) dxdy, D
где область интегрирования D — это круг х2 4- у2 16.
Q Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции /(®, у) = х + у — 5 на круге х2 + у2 16 и применить оценку из свойства 2. Функция z = х + у принимает значение 0 на прямой х + у = 0. На прямых 1 + у = С, параллельных прямой х 4- у = 0, функция z принимает значение С. Следовательно, функция z = х 4- у (а значит, и функция f(x,y)) принимает на круге максимальное значение в точке М (2\/2, 2а/2) (см. Рис. 14) и минимальное значение — в точке N(—2\/2, — 2\/2). При этом и^еем f(M) = 4\/2 —5 и f(N) = —4\/2 —5. Поскольку площадь круга равна тг/?2 = Ютг, то согласно свойству 2 двойного интеграла (т = —4\/2 — 5 и М = 4^/2 - 5), получаем
— 16тг(4х/2 4- 5) (х + у — 5) dxdy С 16тг(4\/2 — 5).	•
D
131
3.1.2.	Оценить интеграл
У(4ж2 + у2 - 2) dxdy, D
где область интегрирования D — круг ж2 + у2 16.
Q Так как 4ж2 + у2 — 2	0, то оценка снизу 4ж2 + у2 — 2	—2, \/(ж, у) Е
G К2 очевидна. Поэтому можно принять т = — 2 = /(0,0), где f(x,y) = = 4ж2 + у2 — 2. Чтобы вычислить М = max f(x, у), воспользуемся пара-(®,у)е£>
метрическими уравнениями окружности: х = 4cost, у = 4sint, t G [0,2тг]. Тогда при любом t
/(4 cos t, 4 sin t) = 64 cos21 + 16 sin21 — 2 =
= 16(sin2 t + cos2 t) + 48 cos2 t — 2 = 48 cos21 + 14 62,
т. к. cos2t 1. Вместе с этим f(x,y) принимает значение M = 62 при t = 0, т.е. М = /(4,0) = 62. Отсюда, учитывая, что площадь S круга ж2 + у2 16 равна 16тг, получаем оценку
—32тг уу (4ж2 + у2 — 2) dxdy 992тг.	•
D
Оценить интегралы:
3.1.3.	f/(x + dxdy, гДе D — круг х2 + у2 4. D
л л у* । 2т/	1	2
3.1.4.	/ / cos —------dxdy, где D — эллипс %- + у2 < 1.
Я ж2+Зу2 + 2 У	3 у
3.1.5.	ff (х + ху — х2 — у2) dxdy, где D — прямоугольник 0 х 1, D
0 0^2.
3.1.6.	уу (ж2 — у2) dxdy, где D — круг ж2 + у2 2ж.
D
7 х2
3.1.7.	Вычислить повторный интеграл I = J dx J dy. о о
Q Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.
7	/ 2Ч 7	„ _
/=/<&(/)= /х2&=^=^3.	•
J \ о / J	ооо
о	о
3.1.8.
3 Зх
Вычислить повторный интеграл I = J dx J ^dy. 1 х
132
Q Множитель (он не зависит от у, поэтому может считаться постоянным для внутреннего интеграла) можно вынести за знак интеграла, т. е. перенести во внешний интеграл:
зз® з/2„х з	з
т f dx [ „1, f dx (У	1 Г dx й_2 л [ л хг
/ = J	~Х J	ydy = J	"Г (у х )	= 2,J	~х'8х =4J	xdx = 4'-2 i= 16-
1	X	1	'	'	1	1
Вычислить повторные интегралы:
3.1.9.
3.1.11.
3.1.13.
3.1.10.
3.1.12.
1 о
ех dx.
4	2
з 1
(х + 2у) dx.
3.1.14. Вычислить двойной интеграл I = [[ —-—- dxdy, где D — пря-JJ 1 + у2
D у
моугольник	O^y^l.
Q Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирова-
ния известны, поэтому
о>агсЧо=з •?=!*•
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга определенных интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.	*
3.1.15. Вычислить двойной интеграл I = [[ у dxdy  где & —
У (1 + z2 + y2)3/2
квадрат O^x^l, O^y^l.
Ф Данный двойной интеграл можно представить в виде повторного дву-Ыя способами:
или
Узуальное наблюдение показывает, что проще брать первый интеграл, Так как его внутренний интеграл легко сводится к табличному. Таким
133
образом, считаем первый интеграл:
1
2 о
Вычислить двойной интеграл по данной области D:
3.1.16. уxydxdy, где D: 0 х
2.
dxdy
d '
3.1.18.
У х +У
3.1.19.
// (X + 2J/)2’
х 2, х
х 3, 2
жуЗ.
2 ’
х
г с х dxdv
3.1.20.	Вычислить интеграл 1=1 —7-—где область D — парабо-JJ х2 + и2
лический сегмент, ограниченный параболой у = ±х2 и прямой У = х.
Q Изобразим область интегрирования D (рис. 15). Так как прямая у — х и парабола у = ^х2 пересекаются в точках 0(0,0) и А(2,2), то область (О х 2,
D определяется системой неравенств < _2
I t“2
х.
Рис. 15
134
Теперь вычислим искомый интеграл I:
dx был найден интегрированием по частям).
(интеграл J arctg|
Вычислить интегралы:
3.1.21.	/ / (4 — х2 — у2) dxdy, где область D ограничена линиями х = О,
3.1.22.
2
у = 0, х = 1, у = 1,5.
УУ (3 — х — у) dxdy, где D — круг х2 4- у2 D
3.1.23.	уу ху dxdy, где D — круг (х - I)2 4- (у -D
3.1.24.	уу у/х2 4- у2 dxdy, где D — круг ж2 4- у2 — 2ах 0.
D
3.1.25.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2	3—\/12+4х—х2
Q Учитывая пределы интегрирования, представим область D в виде системы неравенств
J — 2 х 6,
[3 - У12 + 4т - ж2 0^3 + -У12 4-4ж — ж2.
Графики функций yi = 3 — /12 4- 4ж — ж2 и у2 = 3 4- /12 4- 4т — ж2 представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю полуокружности окружности (у — З)2 = 12 4- 4т — ж2, или (ж — 2)2 4- (у — З)2 = 16. Таким образом, область интегрирования D — круг радиуса 4 с центром н точке (2,3) (рис. 16). Зададим этот круг другой системой неравенств.
спроектировать его на ось Оу, то получим отрезок [—1,7], откуда ^еем первое неравенство — 1 у С 7. Выразив далее х из уравнения °1сРУЖности, получим соответственно уравнения левой и правой полу-°^Ружностей Ж1 = 2 — -(/16 — {у — З)2 и х2 = 2 4- ^/16 — (?/ — З)2. Теперь
135
область D можно записать так:
f -1 К?,
*2 - ^/16 -(у- З)2 0^2 + у/16 - (у - З)2.
Таким образом, после замены порядка интегрирования исходный повторный интеграл можно записать в виде
Рис. 16
Рис. 17
у/2	у2/2
3.1.26.	Изменить порядок интегрирования J dy J f(x,y)dx.
-V2	у2—1
Q При разборе этого примера используем другой подход. Область интегрирования D задается системой неравенств
Геометрически это означает следующее: каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки отрезка [-\/2, -\/2] оси Оу, пересекает сначала (при движении слева направо) параболу х = у2 — 1 (назовем ее линией У2
входа в D), а затем параболу х = — (назовем ее линией выхода из D) см. рис. 17.
При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать область интегрирования D на другую ось (ось Ох) и обнаружить линии входа и выхода при движении снизу вверх вдоль вертикальных прямых-
136
У2
Параболы х = -их = у2- 1 пересекаются в точках В(1,— у/2) и Л
у2 (7(1, а/2) (действительно, приравнивая уравнения парабол, имеем -у =
у2 — 1 о у2 = 2 <=> у = ±\/2). Таким образом, проекция области D на ось Ох — отрезок [—1,1]. Из рисунка видно, что на участке х 6 [—1,0] точки входа и выхода расположены на ветвях одной параболы, а на участке х 6 [0,1] — на ветвях разных парабол. Сначала определим ветви /-	9 . у2
этих парабол, решая относительно у уравнения х = у* — 1 и я = — на соответствующих участках. Получаем: у = ±у/х + 1 и у = ±>/2х, х 0. Первое равенство соответствует дугам АС (знак «плюс») и АВ (знак «минус»), второе — дугам ОС и О В (рис. 17). Тем самым, область D разбивается на три отдельные области D\, Z?2 и D3, т. е. D = D1UD2UP3, где
ж 0,
0 x
0 х 1, V2x ^у \/х +
Исходный интеграл напишем в виде двойного 72	у2/2
-72	У2-1	D
и применяя свойство аддитивности двойного интеграла, запишем ответ
о
!
-1
1
D
2x
1
0
0 у/2х
Изменить порядок интегрирования:
3	3—у	1	2—у
3*1*27.	f dy J f(x,y)dx. 3.1.28. J dy J f(x,y)dx.
0	0	О у
0	3	3	3
3,1-	29. f dx f J(z,2/)dy + f dx f f(x^y)dy-—3	— x	0 x
О у/^—У2	^/2/2	\/l—y2
3-1.30. J dy J f(x,y)dx+ I dy у f(x, y) dx.
72/2 -у	О у
137
3.1.31.	Вычислить интегральное среднее значение функции z = 12 — — 2х — Зу в области О, ограниченной прямыми 12 — 2х — Зу = О, х = 0, у = 0.
Q Область D — треугольник О АВ, где 0(0,0), /1(6,0), В(0,4) — рис. 18.
Рис. 18
По определению интегральное среднее значение функции z(x,y) в области D равно z(x,y)dxdy, где S — площадь области D (свойство 3).	d
Площадь S вычисляем по формуле площади прямоугольного треугольника: S = н|ОА|  |ОВ| = 12. Остается вычислить интеграл по обла-2	2
сти D, которую можно задать неравенствами	— %х.
Имеем
= /1(12 - 2xfdx = -1(12 2Х}3 '= 48.
Уб	63-2 о
о
48
Таким образом, искомое интегральное среднее равно т. е. 4.
X
Вычислить интегральные средние значения данных функций в указанных областях:
3.1.32.	f(x,y) = 2х + у, D — треугольник О АВ с вершинами 0(0,0), /1(0,3), В(3,0).
3.1.33.	f(x,y) = х + бу, D — треугольник, ограниченный прямым11 у = х, у = Зх, х = 1.
138
3.1.34. f(x,y) = у/R2 - x2 - у2, D — круг x2 + у2 R2.
3.1-35. f(x,y) = x2y2, D — круг x2 + y2 ^R2
Дополнительные задания
Оценить интегралы:
3.1-36.
3.1-37.
3.1.38.
3.1.39.
Г Г . х + у+ 10
/ / sin —---------- dxdy.
J J	x2 + у2 + 5
x2+y2^4
УУ* xy(x + у) dxdy.
О^х^З
О^у^З
Уу* (ж2 + у2 - 2у/х2 + у2) dxdy.
О^.х^.2
0^у^2
У"у	(х2 + у2 — 4х — 4у + 10) dxdy.
(х-1)2+4(у-2)2^4
Определить знак данных интегралов:
3.1.40.
3.1.42.
Уу 1п(х2 + у2) dxdy. 3.1.41.
I®l+|y|^i
У"У	arcsin(z + у) dxdy.
O^x^l
У*у \/1 — х2 — у2 dxdy. х2+у2^4
Двойной
интеграл
УУ f(x,y)dxdy D
по заданной области представить в
виде повторного двумя способами. Сделать чертеж, области интегри-
рования:
3.1.43.	D ограничена линиями у = 0, х = 5, у = х.
3.1.44.	D — треугольник с вершинами в точках А(—1,— 1), В(1,3), С(2,-4).
3.1.45.	D — параллелограмм ABCD с вершинами А(—3,1), В(2,1), (7(6,4), £>(1,4).
^•1.46.	D — круг (х — 2)2 + (у — З)2	4.
3-1.47.	D ограничена линиями у = х2, х = у2.
3.1.48.	D ограничена линиями у = х3, х + у =	10, х — у = 4, у = 0.
Изменить порядок интегрирования:
3-1.49.
2	у/2х-х$
3.1.50. у dx f fdy.
1	2-х
139
	i	x2	e	In X
3.1.51.	/	1 fdy.	3.1.52. 1 dx	1 fdy.
	0	X3	1	0
	i	1-x2	27Г	sin x
3.1.53.	j	1 fdy.	3.1.54. fdx	1 fdy.
	-i	— y/l—x^	0	0
	4	12x	2a	\/4as
3.1.55.	fdx	f fdy.	3.1.56. ^x	f fdy.
-	0	3i2	0	y/2ax—x2
	1	3s	i	1-У
3.1.57.	/ dX	ffdy.	3.1.58. 1 dy	1 fdx.
	0	2x	0	—y/i—y2
	a	>/a^—x^	i	У2/2
3.1.59.	1 dx	J fdy.	3.1.60. 1 dy	1 fdx.
	0	„2	_2 a — x 2a	0	у/З-у2
	a	\/2ax—x2		
3.1.61.	1 da	'	1 fdy.		
	a/2	0		
Вычислить двойные интегралы:
3.1.62.	Ц х sin(x 4- у) dxdy, если Р:0^х^7г, 0^?/^ D
3.1.63.	ух2у cos(xy2) dxdy, если
D
3.1.64.	у(х3+у3) dxdy, где D ограничена линиями х—2у = 0, х—у = 0, D х = 4.
3.1.65.	[f------У-? dxdy, где D ограничена линиями х = 0, у = 0, х = 1,
(х + уГ
У = 1-
ЗЛ.бб. // у2 sin х dxdy, где D ограничена линиями х = 0, у = 0, х = тг, D у = 1 + cos ж.
3.1.67.	Ц у2 sin2 х dxdy, где D ограничена линиями х = — у = 0, D
X =7), У = 3 cos х.
3.1.68.	II (x + y3)dS.
l^x^.2 0«^2
3.1.69.	I I ^2 dxdy, где & ограничена линиями x = 2, у = x, у =
d y
140
3.1*70. yy xydxdy, где D — треугольник АВС с вершинами; А(0,0),
В(1,0),С(0,1).
3.1.71.	уу у dxdy, где D ограничена линиями у = 0, у = \/х, у 4- ж = 2. D
Цайти интегральное среднее значение данной функции f(x,y) в указанной области D:
3.1.72.	/(ж, у) = ех+у; D — квадрат 0^ж^1, О^т/^1.
3.1.73.	/(ж, у) = sin2 ж • sin2 у; D — квадрат О^ж^тг, О^у^тг.
3.1.74.	f(x,y) = ж2 4- 2у2 4- ху; область D ограничена линиями ж = 0, у = 0, ж 4- у = 1.
3.1.75.	/(ж, у) = сов(ж4-?/); область D ограничена линиями ж = 0, у = тг,
У = х.
Контрольные вопросы и более сложные задания
3.1.76.	Привести примеры функции f(x,y), для которой формула из теоремы о среднем значении верна для любой точки Mq из области D.
3.1.77.	Почему в определении двойного интеграла условие d —> 0 нельзя заменить условием п -> оо?
3.1.78.	Как можно с помощью двойного интеграла выразить объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), а снизу — поверхностью z = g(x,y), заданных на одной и той же области D? [Функции /(ж, у) и р(ж, у) непрерывны и /(ж, у) д(х, у) Ч(х,у) е D],
Изменить порядок интегрирования:
3.1.79.
3.1.80.
3*1.81.
3*1.82.
1 —®2—3
/ fdy.
о
cos у
У fdx.
-1
141
Представить в виде повторных двойной интеграл
f [	у) dxdy
D
если область D ограничена линиями:
3.1.83.
3.1.84.
3.1.85.
3.1.86.
у = -X2 + Зх, у = |ж.
у = 1 4- sin х, у = — 1, х = 0, х = 2тг.
х2 4- у2 = 2а2, х2 — ау (а> О).
х2 4- у2 = ах, х2 4- у2 = 2ах, у = О (а > О).
Вычислить интегралы:
3.1.87.	уу(ж 4- у) dxdy, D ограничена линиями х = 0, у = х2 4- 2х — 3, D 2у = Зх.
ЗЛ.^. JJ ху dxdy.
3.1.89.	(2х2у — ху2) dxdy.
O^x^l
3.1.90.
у^о Г Г У& Jj—$ dxdy, D ограничена линиями у — ±х, у = у/х, х = 1.
3.1.91.	{[ --
ч/а2 — ж2 — j/2
3.1.92.	(х2 4- у) dxdy, D ограничена линиями х — 2у = 0, 2х — у = О,
D ху = 2.
Оценить интегралы:
3.1.93.	JJ (х2 4- 4т/2 4-10) dxdy.
®2+у2^9
3.1.94.	уу (ж2 4- у2) dxdy. 3.1.95. 3|х|+4|у|^12
3.1.96.	уу (1 — х2 — у2) dxdy. (l-l)2 + (y-l)2^l
УУ (ж + У 4- ху) dxdy.
l^i^2
2^у^3
Почему данные двойные интегралы зависят от порядка интегрирования?
3.1.97.
Г Г f х5 2ж3\	,
JJ t’F?	у'
142
3.1.98.	f f X2 У 2 dxdy.
J J (хг+угУ
O^z^lk У 1
O^y^l
3.1.99.	Оценить сверху интеграл I = J J (x + xy — x2 — y2) dxdy.
§2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Рассмотрим двойной интеграл
fff(x, y) dxdy D
в прямоугольных координатах (х, у). Предположим, что переменные хну являются функциями двух переменных и и и, т. е. х = х(и, п), у = у(и, и), и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по и и v в некоторой замкнутой области G плоскости Оии. Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.
Тогда имеет место равенство
УУ f(x,y)dxdy = yy/[x(u,v),?/(u, v)] • | J(u, v)| dudv, где D	G
	дх	дх	
J = J(u, и) =	ди	ди		—
	ду	ду	
	ди	ди	
называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически | J(u, v)| dudv выражает элемент площади в области G, а |J(u, v)| — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.
Координаты (и, v) называются криволинейными координатами точки (ж>2/), поскольку уравнения x(u, v) = const и у(и,и) = const представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл
УУ f[x(u,u),y(u, и)] • \J(u,u)\dudu G
вызывается двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (г, 9?). Они связаны с прямоугольными ко-
143
ординатами формулами х = г cos 9?, у = г sin 9? (г 0, 0	9? < 2тг). Якобиан
преобразования в этом случае равен
J(r,9?) =
cos 9? sin <р
—г sin 9? г cos 9?
a dxdy = г drdip — элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам
Jff(xt у) dxdy = f(r cos 9?, г sin 9?) г drdip. D	G
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.
3.2.1. Вычислить двойной интеграл
JJ(2ж + у) dxdy ’	D
по области Р, ограниченной прямыми у = 2х — 3, у = 2х + 5, у = —х + 7, у = — х - 1.
Q Область D — параллелограмм АВС К (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде у — 2х = —3, у — 2х = 5, у+х=7иу+х=— 1, перейдем к новым координатам, для чего обозначим
и = у — 2т,
V = у -I- X,
откуда
, v 3^3’ и . 2у 3^3'
Имеем
	дх	дх		1	1	
	ди	dv		3	3	_ 1
	ду	ду		1	2	з:
	ди	dv		3	3	
т.е. |J| =
3'
В новой системе координат (u, v) область G ограничена
прямыми и = —3, и = 5, v = — 1, v = 7, т. е. представляет собой прямо
угольник (рис. 196), а подынтегральная функция равна
Л I	Г) f	\
2ж + у — 2 д’ Н- )
и . 4
3 + 3
144
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник А\В\С\К\, вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник AiB\C\K\ в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J < 0. Переходим к BbinncneHHHMf
JJ (2х+у) dxdy = JJ	| dudv =
ABCK
-3
Л1В1С1К1
* = | Д(-7и + 98)-(и + 2)]^ =
-3
3.2.2. Вычислить
J J xydxdy, D
где D — область, ограниченная кривыми у2 = 4х, у2 = 9ж, ху = 1, ху = 5.
Q Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.
Введем новые переменные и и v при помощи равенств у2 = их, ху = v. Выразим отсюда переменные х и у через и и v: х = V у = 1/йй.
V CL	▼
145
У
Находим якобиан полученного преобразования
у2 откуда, с учетом того, что х > 0 на области D, а значит, и = — > О,
имеем |J(u, v)| =
Таким образом, исходный интеграл в плоскости Оии имеет вид
G	G
Граница области G описывается линиями и = 4 (так как одна из формул преобразования имеет вид у2 = их, то линии у2 = 4х в плоскости Оху соответствует линия и = 4 в плоскости Оии), и = 9, и = 1, и = Ъ (рис. 20 6).
Поэтому область G имеет вид 4 и 9, 1 и 5 (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется
намного проще:
9	5
1 = 5 //%dudv = з J fvdv IlnuL'Tli= 81п 2' G	4	1
двойные интегра-
3.2.3.
Выбирая подходящие замены переменных, вычислить лы, заданные в прямоугольных координатах:
JJ(у~~х) dxdy, где D ограничена линиями у = — ^#+5, у = т+1,
3.2.4.
7/ = Я-3,2/
JJ dxdy, где D — параллелограмм со сторонами на прямых D
у — х, у = х + 3, у = -2х + l,j/ = —2х + 5.
146
3.2.5-
3.2-6-
3.2-7.
у/xydxdy, где D ограничена кривыми у2 = ах, у2 = Ьх, D
ху = р, ху = q (0 < а < Ь, 0 < р < q).
JJ(х + у) dxdy, где D ограничена прямыми х + у = 4, х + у = 12 D
и параболой у2 = 2х.
Вычислить интеграл
I =	у/4а2 — х2 — у2 dxdy,
где D — круг x2 + у2 2ax.
Q Строим круг x2+y2. 2ax радиуса а с центром в точке (a, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной у (т.е. f(x,—y) = = У (^7 3/)) > а область интегрирования симметрична относительно оси Ох. Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить:
JJу/4a2 — x2 — у2 dxdy.
D/2
Рис. 21
Переходим к полярным координатам х = rcostp, у = rsincp. Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств О С тр г 2a cos 9?, подынтегральная функция примет вид \/4а2 — г2; a dxdy = г drd<p. Таким образом,
2а cos
0
— г2 • г dr =
7г/2 2a cost/?
0	0
147
7Г/2
3	з 
cos2 ср) 2 — (4а2) 2 dp =
О
л-/2	3
= — | f [(4а2 sin2 р) 2 - 8а3] dip = | О J	о
о
7Г (2
J(8а3 — 8а3 sin3 р) dp = о

тг/2
у\1 — cos2 р) d(cosp) о
— 16 з /тг _
“ за U ЗГ
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
3.2.8.	у/х2 4- у2 dxdy. 3.2.9. jj у/1 — х2 — у2 dxdy.
х2+у2^а2	х2+у2^1
3.2.10.	// sin \/х2 + у2 dxdy.
п2^х2+у2^4п2
a Va?—x2
3.2.11.	Вычислить повторный интеграл I = J dx j ех2+у2 dy. о о
О Сначала преобразуем повторный интеграл в двойной:
I = [[ ех2+у2 dxdy, где Р: Р Х	а'------_
Л/	[0 у	va2 -х2.
Рис. 22
Область интегрирования представляет собой четверть круга (рис. 22 а), поэтому удобно перейти к полярным координатам (г, р). Полярную систему координат изобразим также в виде прямоугольной (рис. 22 б). Тогда область G в системе координат Огр определяется системой неравенств
[О г а, т. е. G — прямоугольник. Учтем также, что подынтегральная функция имеет вид er2(cos <p+sin2 <р) _ ег2 Следовательно,
er г dr =
148 .
^числить интегралы, переходя к полярным координатам:
3.2.12.
3.2.13.
3.2.14.
3.2.15.
3.2.16.
а у/а2-у2
j dy J у/a2 — у2 — х2 dx.
О /-------2
уау-у2
\/х2 + у2 — 9dxdy, D — кольцо, ограниченное окружностя-D
ми х2 + у2 = 9 и х2 + у2 = 25.
a у/аЗ-у2
У dy у у/а2 — х2 — у2 dx.
о о
УУ*(ж2 4- у2) dxdy, где область D ограничена окружностями D
х2 +у2 = ах, х2 + у2 = 2ах и осью Ох (у 0).
Вычислить

УУ х у/х2 +у2 dxdy, D
где D — область, ограниченная лемнискатой
(х2 + у2)2 = а2(х2 — у2), х^О.
Рис. 23
Q Заменяя х на rcosp, а у г simp, получим на уравнение лемнискаты (рис. 23) в полярных координатах г = ay/cos2p (cos2tp 0 при ~4	Подынтегральная функция равна r2costp. В силу сим-
метрии лемнискаты относительно оси Ох и четности подынтегральной Функции относительно переменной у можно записать:
7Г	_______ 7Г
4	a-v/cos 2</>	4
УУ г2 cosp-r drdp = 2 у cos pdp J г3 dr = ±a4 J cos2 2tp-cos pdp = p	ooo
2
7Г	7Г
4 4	4 4
у f (1 — 2 sin2 ip)2 d(sin p) = I (1 — 4 sin2 p 4- 4 sin4 ip) d(sin ip) = ь J	J
0	0
149
Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам:
3.2.17.	JJ у/а2 — х2 — у2 dxdy, сдё D — полукруг х2 4- у2
а \/в2—ж2
3.2.18.	f dx f \
о о
3.2.19.	JJ у/о? — х2 — у2 dxdy, где D ограничена лемнискатой
2 ~у\ х^о.
3.2.20.	[f \/1 — ~ dxdy, где D — внутренность эллипса
JJ V а2 Ь2
ж2
а2 Ь2
В следующих двойных интегралах расставить пределы интегрирования, применяя прямоугольные и полярные системы координат:
3.2.21.	f(x,y) dxdy, где D ограничена окружностями х2 4- у2 =• 4х, D
х2 4- у2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х.
3.2.22.	JJ f(x, у) dxdy, где D ограничена прямыми ?/ = О, х = 1, у = х.
Дополнительные задания
Вычислить двойные интегралы:
3.2.23.
3.2.24.
3.2.25.
3.2.26.
JJ(х2 4- у2) dxdy, где D ограничена кривыми у = х, х 4- у = 2а, D х = 0.
JJ \/ху — у2 dxdy, где D — трапеция с вершинами >1(1,1),
В(5,1), С(10,2),/<(2,2).
JJ ху dxdy, где D ограничена кривыми х 4- у = 2, х2 4- у2 = 2у D (х > 0).
JJ(х 4- 2у) dxdy, где D ограничена кривыми у = х2, у = у/х. D
150
Данные интегралы вычислить, переходя к полярным координатам:
3.2.27.
3.2.28.
3.2.29.
3.2.30.
3.2.31.
3.2.32.
3.2.33.
3.2.34.
JJ i/9 — я2 — у2 dxdy, где D ограничена кривыми у = х, у = D
= х/Зх, х2 + у2 = 9.
JJ(х2 +у2) dxdy, где D ограничена окружностью х2 +у2 = 2Rx. D
JJ dxdy, где D ограничена линией (х2 + у2)2 = 2ах3. D
JJ у/R2 — х2 — у2 dxdy, где D — круг х2 + у2 Rx. D
JJ у dxdy, где D — полукруг (х — а)2 + у2 а2, у 0.
D
JJ(x2 + У2) dxdy, где D — круг х2 + (у + 2)2 С 4. D
JJ arctg dxdy, где D — четверть круга х2 + у2 С 1, х О, D
у 0.
JJ dxdy, где D ограничена лемнискатой (х2 + у2)2 = 2а2ху.
Контрольные вопросы и более сложные задания
3.2.35.	Что выражает знак якобиана преобразования координат?
3.2.36.	Почему при преобразовании координат в двойном интеграле необходима взаимная однозначность этого преобразования?
3.2.37.	Почему функции х = x(u,v), у = y(u,v) используемые при замене переменных в двойном интеграле должны быть дифференцируемыми (при (и, v) G (7)?
3.2.38.	Можно ли выполнить такое преобразование, чтобы соответствующим интегралом вычислить длину кривой?
3.2.39.	При составлении повторного интеграла получилась запись
х За:2
J dx J f(x,y)dy. а	2х—у
Какой области D может соответствовать этот интеграл?
В данных двойных интегралах перейти к полярным координатам и рас-ставитй пределы интегрирования:
3.2.40.	JJ f(x,y) dxdy, D — круг х2 + у2 ах. D
151
3.2.41.	JJ f(x, у) dxdy, область D — общая часть кругов х2 4- у2 ах, D
3.2.42.	JJ f(x,y) dxdy, область D ограничена прямыми у = —х, у = х,
В данных интегралах произвести указанную замену переменных и расставить пределы интегрирования:
3.2.43.
3.2.44.
3.2.45.
3.2.46.
О, а > 0), если и = х, v =
У
х ’
J dx j f(x, у) dy, если и = х + у, v = x — у. о о
JJ f(x, у) dxdy, где D — область, ограниченная кривой
/	1	\ 2
(я2 +	= х2у,
если х = г cos у>, у = \/3r sin t/>.
J J j(x, у) dxdy, где D ограничена параболами у = ах2, у = Ьу2 D
и гиперболами ху — р, ху = q, если у = их2, ху = v (0 < а < Ь,
3.2.47.	Преобразовать с помощью подстановок х = ar cos у?, у = br sin у?
интеграл
J J \ a2 b J D
где D — лежащая в первой четверти часть эллиптического
кольца
а2 Ь2
^4.
Перейти к полярным координатам (г, у>) и расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в данных интегралах:
1 1 1
3.2.48.	J dx J f(x,y)dy.	3.2.49. J dx J f(x,y)dy.
oo	о	1—x
2	ху/З
3.2.50. J dx J f(\/x2 +£/2) dy. 0	x
152
2.51 • В двойном интеграле
Ц f(x,y)dxdy, D
где область D ограничена кривыми \/х+у/у — \/а, х = 0, у = О, сделать замену переменных х = u cos4 v, у = и sin4 v. Интеграл
3.2.52.
3.2.53.
привести к повторному.
Вычислить	/
х2 3	У2	х	У
где D ограничена кривой — + — = - + -. а	У	ti к
Вычислить	г г
II dxdy,
3.2.54.
где D ограничена кривыми Вычислить
Vt+4yi=1>i=0>»=°-

sin ({р + у ) - г
dr d<p,
где D — прямоугольник 0^г^1,0^<р^2тг.
§3. ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д.
Вычисление геометрических величин
1. Если D — ограниченная область плоскости Оху, то ее площадь S вы-
числяется по формуле
S = S(D) = II dxdy.
2. Пусть z = f(x, у) — неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области D. Если V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу — областью D, а сбоку — соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен
= If f(x’ У) dxdy.
3. Пусть V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу — Поверхностью z = д(х,у), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость
153
Оху служит область О, в которой функции f(x,y) и д(х,у} непрерывны (и f(x, у) д(х) y))t то объем этого тела равен
V = УУ(f(x> У) ~ д(я, У)) dxdy.
D
4. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y\ (х,р) € D, где функция f(x,y), а также ее мастные производные первого порядка, непрерывны в области D. Тогда ее площадь S вычисляется по формуле
•S’ = УД/1 4- Л2(ж, у)+ fy2 (х\ у) dxdy.
D
Приняты также обозначения: f'x(x,у) — р, f'v(x,y) = q. В таком случае,
S —	+ р2 + q2 dxdy.
D
Вычисление физических и механических величин
Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность распределения масс р(х,у) непрерывную в D. Тогда масса m = m(D) этой пластины вычисляется по формуле
m
(физический смысл двойного интеграла).
Моменты инерции Jx, Jy и Jo плоской материальной пластины D с поверхностной плотностью р(х,у) относительно координатных осей Ох, Оу и начала координат 0(0,0) соответственно вычисляются по формулам:
Jx = JJy2p(x, у) dxdy, Jv = jjx2p(x, у) dxdy-D	D
Jo = Jx + Jy = yyU2 + y2)p(x, у) dxdy. D
В случае однородной пластины (р = 1) эти формулы принимают более простой вид:
Jx = dxdy,
у = JJx2dxdy, Jo = //(х2 + у2) dxdy. D	D
Координаты центра тяжести материальной пластйны D с плотностью р(х,у) вычисляются по формулам
_ Mv _ Мх
Хс тп у Vе m 1
154
где
= J J xp(x, у) dxdy, Mx = J J yp(x, y) dxdy — D	D
статические моменты пластины D относительно осей Ох и Оу соответственно, jji — ее масса.
В случае однородной пластины соответственно имеем:
УУу dxdy
_ D_______
JIdxdy ’ Ус JJdxdy D	D
х dxdy
D Хс —
3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2х и
Q Имеем S = JJ dxdy. Направление
, или порядок, интегрирования вы-
берем так, как указано на чертеже (рис. 24).
Рис. 24
У = х.
D
Сначала определим координаты точки А:
I у2 — 2х
<	=> х2 = 2х => Xi = 0, yi = 0 и Х2 = 2, у2 = 2.
Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,
3.3.2.	Вычислить площадь параболического сегмента АОВ, ограниченного дугой ВО А параболы у = ах2 и отрезком В А, соединяющим точки В(—1,2) и А(1,2).
155
Q Ясно, что уравнение параболы имеет вид у = 2х2 (?/(—1) = у(1) = 2). Фигура D, площадь которой надо вычислить, ограничена снизу параболой у = 2х2, а сверху — прямой у = 2. Следовательно,
121	/ з
S = УУ dxdy = J dx у dy = 2у(2 — 2х2) dx = 4(ж —
D	-1	2х2	о	'
8 о- 3'
3.3.3.	Вычислить площадь петли кривой
(х^_ , У^_\2 = 2ху
\а2 b2J с2'
Q Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кривой и расположенную в первой четверти (х 0, у 0). Воспользуемся обобщенными полярными координатами: х = а • г cos у = b  г sin <р. В таком случае, якобиан преобразования равен дх дх dr др
_ a cos tp —ar sin р ~ bsinp br cosp
= а • b • г.
dr dp
Кривая в полярных координатах имеет вид
, 9	2	9 . о	2abr2 sin рcos р
(г2 cos2 р +г2 sin2 р)2 =----,
с2
9 9 abr2 • 2 sin р cos р	y/ab г. п о
т.е. (rz) = -------z------, откуда г = —7—vsin2<^. Внутренность пе-
с2
тли, т.е. область интегрирования D в прямоугольных координатах, за-
дается неравенством
(е2 < 2хУ \а2	Ъ2) " с2 ‘
В полярных координатах соответствующая область интегрирования G
определяется неравенством 0 г л/sin2р, при этом sin2<z> 0, т.е. Cz
0 р . Таким образом,
S = уу dxdy = уу abr drdp =
D	G
я	г~-—к—
2	-J-VSinZy
7Г
r2 -^Vsin2^ 2 о
о
О
0 7T	7Г
2	2
_ ab f ab •	_ a?b2 f
-y J ^sin2^=—J о	о
156
Р^чшлитпъ площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.4-
3.3.5-
3.3.6-
3.3.7-
3.3.8-
3.3.9.
з.з.ю.
3.3.11.
3.3.12-
х = 0, у = |ж, у = 4 - (х - I)2.
ху = 4, х 4- у — 5 = 0.
\/х + \/У = ж 4- ?/ = а.
ж2 + у2 = ах, у2 = 2ах, х = 2а, у 0.
у2 = Юж 4- 25, у2 = —6ж 4- 9.
ж2 4- у2 = 2ж, ж2 4- у2 = 4ж, у = х, у = 0.
(х2 4- у2) = 2аж3, а > 0.
ж2 4- у2 4- 2у = 0, у = -1, у = -х.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
(4ж — 7g/ 4- 8)2 4- (Зж 4- 8g/ — 9)2 = 64.
Q Вычисления по формуле
неприемлемы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замен/ переменных по формулам
4ж — 7у 4- 8 = и
Зж 4- 8у - 9 = v,
откуда
ж = ^(8и 4- 7и 4-1)
Оо
у = -=^(-Зи 4- 4v 4- 60).
53
При этом = А = 7	=
ди 53 dv 53 ди
3 ^У = _4.
53’ dv 53’
В плоскости координат (и, v) соответствующая линия имеет вид и2 4- v2 — = 64, г. е представляет собой окружность, а область G — круг u24-v2	64
с площадью S(G) = 64тг. Используя соответствующие формулы, получаем
S = // dxdy = JJ Jdudv = JJ± dudv = ±S(G) = ^.	•
D	G	G
^лчи(лить площади фигур, ограниченных кривыми:
3 3 It (ж4-?/-1)2	(ж-?/4-3)2
3.3.	U. ------z-----4-------g-----= 1.
з з (2х 4- Зу - 5)2 (Зж - 2у 4-1)2
16	25
0*’5.1й. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1 4- cos<p), г = acos<p, (a > 0).
157
Рис. 25
Q Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах
5 = Цг drdp.
G
Первая функция г = а(1 4- cos^) определена при р 6 [—тг,тг], а вто-Г 7Г 7Г
рая г = acosp — при р € —	, так как при прочих значениях р
получается г < 0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис. 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить. Имеем
7Г 7Г
7Г
2
a(14-cosv>)	я
[ г dr + 2 I 7Г 2
a cos <р
7Г 2
= а2 / о
7Г
7Г
2
7Г
" 2
I (1 4- 2 cos
-О
7Г
7Г
7Г
= о2
7Г
2
7Г
2
7Г
dp
О 2 = -ттга .
4
о
о
= а
2
LO
7Г
2
3.3.16.
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
4 + 9 /	4	9 '
3.3.17.	(y-x)2+xz = 1.
3.3.18.	х3 + 2/3 = 2ху, х 0, у 0.
158
„ ч 19. x2 + у2 = 2ах, х2 + у2 = 2Ъх, у = 0, у = х, О < а <Ь.
А 4. У2 - 1
3.3.20.	? +
3.3.21.	ху = а2, ху = Ь2, у = т, у = п (а > Ь; т > п).
3	3-22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у = у/х, у = 2>/х, х + z = 4, z = 0.
Q Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье,т.е. х -h z = 4 — уравнение наклонной плоскости, а уравнение z = О — плоскость Оху. Соответствующее тело изображено на рис. 26; сверху его ограничивает поверхность z = 4 — х.
Рис. 26
Рис. 27
Объем тела вычислим по формуле
УУ (4 - х) dxdy, D
где область D изображена на рис. 27. Имеем
3.3.23.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0, z = 2 -у,у = х2.
Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 28. В си-симметрии тела (клина) относительно плоскости Oyz, вычислим объем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовлетворяют системе уравнений у = х2 а у = 2, откуда А(\/2,2), В(—^/2,2).
159
Рис. 28
Следовател ьно,
2	5
V = уу (2 - у) dxdy = 2 J (2 - у) dy j D	ОО
у 2
dx = 2 J (2 - y)y/yt о
(9 3	9 5
2
Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:
3.3.24.
3.3.25.
3.3.26.
3.3.27.
3.3.28.
3.3.29.
3.3.30.
3.3.31.
z =	0, z =	3 — х2 — у2.
х =	0, у =	0, z = 0, у = 4, z + х2 + у2	=	1.
1 =	о;У =	о,2 = о,| + | + ^ = 1.
х =	0, у =	0, z = 0, х — у2 + z2, у +	z	=	1.
az — у2, х2 +у2 = г2, z = 0.
z = х2 + у2, у = х2, у = 1, z = 0.
х + у + z = а, Зх + у = а, За; + 2у = 2а, у = 0, z = 0.
т2	г2	h
+ j = 11 У = ах’ У = °> 2 = °-
а2	ст	а
Вычислить площадь поверхности сферы х2 + у2 + z2 — В?.
3.3.32.
О Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэтому ограничимся вычислением площади поверхности той ее части, что расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем по-верхность верхней полусферы явно, т.е. в виде z = \JR2 — х2 — у2, и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:	1
160
Переходя к полярным координатам х = г cos р, у = г sin 9?, найдем иско-муЮ площадь (заметим, что здесь мы имеем дело со сходящимся несобственным интегралом)	д R
? = 8 /7 . R  гdrdtp = 8R (dtp f , Tdr. =
7Г
= 8R-p 2 (-y/R? - r2) 0
R
= 4тг/?2. о
3.З.ЗЗ.	Вычислить площадь S части поверхности параболоида z = ту, принадлежащей цилиндру х2 + у2 R2.
Q Поскольку z’x =у, z’y = х, + z2 + z2 — ^1 + т2 + у2, то, переходя к полярным координатам, имеем:
5 == jj у/1 + х2 + у2 dxdy = jj ry/1 + г2 drdip = x2+y2^R2	r^R
2л- .R	3
= Jdvyv/i+75-|d(i + r2) = ^[(i + fl2)2 -1]. • 0	0
3.3.34.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + У2 = R2, заключенной между плоскостями z = 0 и z — рх, р > 0.
Поверхность цилиндра не может быть записана явной формулой z = = z(x, у), поэтому формула
S = Jf}/1 + ZX + zy2 dxdy
D
^применима. Выразим в таком случае поверхность цилиндра (рис. 29) явно в виде у = ±\/R?' — х2 и воспользуемся формулой
s = JJyJ1 + у'х2 + у? dxdz,
D
D — область, ограниченная прямыми z = px, z = 0, x = R (рис. 30) в Носкости Oxz. Имея в виду знак ± перед радикалом, вычислим площадь
®5®орник задач по высшей математике, 2 курс
161
половины поверхности, т.е. описываемой уравнением z = результат удвоим. Имеем
> 9,
Ух =
£_______ у'
5------о ’
/2 _ z
х2
R2 - х2
Следовательно,
3.3.35.
3.3.36.
3.3.37.
3.3.38.
3.3.39.
3.3.40.
R
Г dx
рх
*	0 ’
R
= 2pR [- —х— j yjR2- X2
Найти площадь части поверхности z2 4- (я cos а 4- j/sina) = г2, содержащейся в первом октанте.
х У z
Найти площадь части плоскости — 4- - 4- - = 1, заключенной u о с
между координатными плоскостями.
Найти площадь части поверхности параболоида у2 4- z2 = 4ах, отсекаемой цилиндром у2 = ах и плоскостью х = За.
Найти площадь части поверхности параболоида 2z = х2 4- J/2, «вырезанного» цилиндром (х2 4- у2)2 = х2 — у2.
Вычислить площадь той части конуса х2 4- у2 — z2 = 0, которая лежит над плоскостью z = 0 и отсечена плоскостью
*=Af+1)-
Вычислить площадь части поверхности гиперболического параболоида 2z = х2 — у2, «вырезанной» плоскостями х — у = ±1,
dx = -2рЯ(->/Я2 - х2) = 2pR2. • о
О
3.3.41.
Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке М(х,у) равна р(х,у) = ку/х2 4- у2, где к > 0 — фиксированное число.
Q Переходя от декартовых координат к полярным, имеем
т = уур(х, у) dxdy =	к\/х2 + у2 dxdy =
D	x2+y2^R2	Z R
= 4к jd>p fr2dr =	•
о о
3.3.42.	Найти массу круглой пластины D (х2 + у2 С 1) с поверхностной плотностью р(х, у) = 3 — х — у.
Q Имеем:
162
x2 dx
x2 dx — 2
Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно началу координат отрезку. Поэтому, делая подстановку х = sin t, получим
1
-1
7Г	7Г
2	  2
У \/1 — sin21 cos t dt = 6 J cos2 tdt =
7Г	7Г
2	2
7Г 2
= 3 У*(1 + cos dt = Зтг.
_ — 2
3.3.43.	Найти моменты инерции квадратной пластины 0 х а, О С у С а относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом к.
Q Вычисления производим по соответствующим формулам этого параграфа учитывая, что р(х, у) = ху:
О, О,
1)	Jx = JJ ку у2 dxdy = к Jdx Jysdy = О О
а	а
2)	Jy = JJ ку • х2 dxdy = к Jх2 dx Jу dy = О^х^а	О	О
3)	Jo = Jx + Jy =
Найти массу пластины D с поверхностной плотностью р(х,у):
3.3.44.	D:	0	С	х	1,	0	у	2;	р(х, у)	=	ху.
3*3.45.	D:	0	<	х <	1,	0 <	у	< 1;	р(х, у)	=	х .
,	1 + У
^•3.46.	D:	0	х	1,	0	у	2;	р(х,у)	=	х2уеху.
3*3.47.	D	ограничена кривыми	х2+у2	=	ах, х2+у2 = 2ах, у = 0 (у > 0);
р(х,у) =х2 +у2.
'3.48. D ограничена лемнискатой (х2 4- у2)2 = а2(х2 — у2), (а;	0);
р(х,у) = ху/х2 +у2.
163
3.3.49.	D задана неравенствами х 0, у О, х+у	1, р(х,у) = е^+^)а
3.3.50.	D ограничена кривыми х2 = ау, х2 + у2 = 2а2, у = 0 (х > о, а > 0), р(х,у) = к.
3.3.51.	Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной параболой ау = х2 и прямой х + у = 2а, если плотность пластины постоянна и равна ро-
Q Сделаем чертеж (рис. 31). Находим абсциссы точек А и В пересе-х2
чения прямой х + у = 2а и параболы у = —. Из системы уравнений СХ»
х + у = 2а
<	2 находим а?1 = — 2а и х% = а.
__
Рис. 31
1)	Масса пластины D равна
а
т = m(D) ~ Цро dxdy = ро J dx
D	—2а
2)	Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей
а
Мх = ро Цу dxdy - ро I dx
D	—2а
dx = ^роа3-о
164
a	2a—x
Uy-Po ffx dxdy = Po f xdx J dy = D	—2a
a r (	x2 \	9 3
= р0 I I 2a — x —— j xdx = —^ap0.
—2a V	Z
3)	Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам _ _а =Мх = 8
Хс ~ т 2’ Ус т 5
Ответ: Мо(-~, |а).	•
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями: 3.3.52. у = х2, у = 0, х = 4.	3.3.53. у2 = ах, у = х.
3.3.54. хЛ + уЛ = Rz, у = 0.	3.3.55. хз+уз=аз.
Дополнительные задания
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
3.3.56.
3.3.58.
3.3.60.
3.3.61.
3.3.62.
3.3.63.
у = х2 + 4х, у = х + 4.	3.3.57. а2у2 = х2(а2 — х2).
9	7/2
- 77 = 1, х = 2а.	3.3.59. х2 = 2ру, у2 = 2рх.
а о
у/х + 1/У = y/d, —а^х^а.
(х — а)2 +у2 = а2, х2 + (у - а)2 = а2.
х2 + у2 = R2, х2 + у2 — 2Ry — 0, х = 0.
(х - 2у + З)2 + (3z + 4у - I)2 = 100.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.3.64.	z = 4х2 + 2у2 + 1, z = 1, х + у = 3, х = 0, у = 0.
3.3.65.	z=^| + ^,z = c.
„	ох (г
3.3.66.	Зх - 2у = 0, 8х - у = 0, 2х + Зт/ - 13 = 0, 2х + Зт/ - 26 = 0, 17х + 16т/ — 13>2 = 0, z = 0.
3.3.67.	6х — 9у + 5z = 0, Зх — 2у = 0, 4х — у = 0, х + у — 5 = 0, z = 0.
3.3.68.	z = 4 — х2, у = 5, у = 0, z = 0.
3.3.69.	z = а2 — х2, х + у = а, у = 2х, у = 0, z = 0.
3.3.70.	4 + g + 4 = l. а~ tr cz
3.3.71.	Плоская пластина D представляет треугольник АВС с вершинами А(1,1), В(2,2), (7(3,1). Плотность распределения масс в каждой точке равна ординате этой точки. Определить а) массу пластины;
165
б)	статические моменты пластины относительно координатных осей;
в)	координаты центра тяжести пластины.
3.3.72.	Найти массу пластины, ограниченной кривыми у = х2, у = если ее плотность равна р(х,у) = х + 2у.
3.3.73.	Найти моменты инерции треугольника АВС с вершинами А(0,1), В(1,2), (7(2,1) относительно координатных осей и начала координат, если плотность треугольника постоянна и равна С.
3.3.74.	Найти центр тяжести квадрата 0^х^2,0^т/^2с плотностью р(х, у) = х + у.
3.3.75.	Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = R2, заключенной между плоскостями z = тх и z — пх (т > п > 0).
3.3.76.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = ах, вырезанной из него сферой х2 + у2 + z2 = а2.
3.3.77.	Вычислить площадь части поверхности шара х2 + у2 + z2 = о2 х2 У2 вырезанной поверхностью —- Ч—- = 1.
а2 Ь
3.3.78.	Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos <р).
3.3.79.	Найти массу круглой пластины радиуса R, если плотность ее пропорциональна квадрату расстоянйя точки от центра и равна а на краю пластины.
3.3.80.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos</?) 0 <р тг и полярной осью.
3.3.81.	Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной кривыми у = х и у2 = ах.
3.3.82.	Найти массу прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, если его плотность равна расстоянию точки от катета Ь.
3.3.83.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой у = sin а; и прямой О А, проходящей через начало’координат и вершину А (^,1) синусоиды (х 0).
3.3.84.	Вычислить моменты инерции относительно координатных осей треугольника с вершинами в точках А(2,2), В(0,2), (7(2,0)-
Контрольные вопросы и более сложные задания
Найти площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.85.	X2 = ау, х2 = by, у2 = ах, у2 = flx, а <Ь, а < fl.
3.3.86.	у2 = ах, у2 = bx, ху = а, ху = fl (0 < а < Ь, 0 < а < fl).
166
3.3.87.	Найти площадь фигуры, ограниченной прямой rcos$p = 1 и окружностью г = 2 (фигура не содержит полюса).
3.3-88.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1—cos </?) и г = а (вне кардиоиды).
3.3.89.	Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного параболой +	= т; ~~ т и осью Ох.
\и о/ и о
вычислить объем тел, ограниченных поверхностями:
3.3.90.	2az = х2 + у2, х2 + у2 + z2 = За2 (внутри параболоида).
3.3.91.	х2 + у2 = 2ах, х2 Л-у2 = z2, z = 0.
3,3.92.	В каком отношении гиперболоид х2 + у2 — z2 — а2 делит объем
шара х2 + у2 + z2 За2?
3.3.93.	2az = х2 + у2, х2 + у2 — z2 — d2, z = 0.
3.3.94.	Найти объем тела, заключенного между конусом
2(х2 + у2) - z2 = 0
и гиперболоидом х2 + у2 — z2 = —а2.
3.3.95.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2-\-у2 — 2ах, содержащейся между плоскостью Оху и конусом
х2 + у2 — z2 = 0.
3.3.96.	Найти площадь части конуса z = у/х2 + у2, «вырезанной» цилиндром (ж2 -I- у2)2 = а(х2 — у2).
3.3.97.	Вычислить площадь части поверхности параболоида х2 -I- z2 = = 2ах, содержащейся между цилиндром у = ах и плоскостью х = а.
3.3.98.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми х -I- у = 1, х + 2у = 2, у = 0, относительно координатных осей.
3.3.99.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой т = а(1 + cos 99), относительно осей Ох, Оу и относительно полюса.
3.3.100.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной эллипсом	_	9
^ + ^ = 1
а2 Ь2 ’ относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.
3.3.101.	Найти момент инерции области, ограниченной лемнискатой
г2 = a2 cos 2<р, относительно полюса.
^•3.102. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.
167
§4. тройной интеграл, свойства, ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕНЕНИЕ Определение тройного интеграла
Определение тройного интеграла аналогично определению двойного интеграла. Пусть в пространственной области V G К3 определена и непрерывна функция трех переменных и = f(x,y,z). Разбиение области V на п произвольных областей Avi, Av2, Avn с объемами Avi, Лиг, Avn и выбор в каждой области Av, произвольной точки Mi позволяют строить интегральную сумму вида п
ТПп = £/(ад)Д»<.
1=1
Тогда существует предел интегральных сумм тпп при условии стремления к нулю наибольшего из диаметров областей А14. Этот предел, не зависящий от способа разбиения области V на области ДЦ и выбора точек Mi, называется тройным интегралом и обозначается символом
v
dv
/[IУ' dxdydZ‘ v
и
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла (линейность, аддитивность, оценка интеграла, свойство среднего).
I
Вычисление тройного интеграла
Предположим, что функция трех переменных f(x,y,z) определена и непрерывна в пространственной области V, которая ограничена сверху поверхностью z = Z2(x,y), а снизу — поверхностью z = zi(x, у), где функции zi(x,у) и Z2 (х, у) определены и непрерывны в области D G Оху (рис. 32). Тогда вычисление тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево) вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные х и у считаются при этом константами) и двойного интеграла от того, что получится, по области D.
В частности, если область V представляет собой прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами а^х^Ь, c^y^d, m^z^n,^0 тройной интеграл сводится к трем определенным интегралам:
Естественно, можно выбирать другой порядок интегрирования.
168
Рис. 32
Рис. 33
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты г, <р, z (рис. 33) представляют собой обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами а?, у, z формулами
x = rcQStp, y = rsincp, z = z.
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле
/// dxdydz = JJJ К
г cos <р, г sin <р, z)r drdtpdz.
В частности, если положить в этом равенстве f(x,y,z) = 1, то получим формулу для объема тела в цилиндрических координатах:
V = JJJ rdrdtpdz.
Сферические координаты
Сферические координаты г, в, <р связаны с прямоугольными координатами *» У, z при помощи формул (рис. 34)
х = г sin ср cos в, < у = г sin tp sin 0,
z = r cos tp.
169
Рис. 34
В общем случае переменные г, в, р изменяются в пределах г € [0,+оо), <р g G [0, тг], 6 Е [0; 2тг). Формула перехода к сферическим координатам имеет вид
УУУ/(я, У, z) dxdydz = fff f(r
sin p cos 6, r sin p sin в, r cos 3)r sin p drdOdp.
Положив f(x,y,z) = 1, получим формулу для объема тела в сферических координатах:
v = fffr^ sin ¥> drdOdp.
Приложения тройного интеграла
1.	Объем и тела V находится по формуле:
v = dxdydz.
2.	Масса m тела V с данной плотностью p(x,y,z), где функция p(x,y,z) непрерывна, вычисляется по формуле
m = ууур(х, у, z) dxdydz.
3.	Статические моменты Мху, Mxz, Myz тела V относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны
Мху = fffzp(x,y,z) dxdydz, Mxz = fffyp(x,y,z) dxdydz,
V	V
Myz = jjjxp(x, у, z) dxdydz,
где р = р(х, у, z) — плотность тела V.
170
4.	Координаты центра тяжести тела V с массой тп определяются по формулам
Мху Zc ~ тп
____ Myz	_ MXz Xc ~ m ' Ус ~~ m ’
или, более подробно:
Xc = jjfxp(x, y, z) dxdydz, yc =
Йг Щур(х,у,г) dxdydz, v
Zc =	f jjzp(x, у, z) dxdydz.
В частности, если р = ро (тело однородно), эти формулы упрощаются: Хс = v jjfx dxdydz, ус = J у dxdydz, zc = ± fj^z dxdydz,
где v — объем тела V.
5.	Моменты инерции тела V с плотностью р(х, у, z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
Jxy = jjjz2p(x,y,z)dv, Jyz = jj^x2p(x,y,z)dv,
V	V
Jxz = jjjy2p(x,y,z)dv.
Моменты инерции Jx, Jy и Jz тела V относительно координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно находятся по формулам
Jx = JJJ(y2 + z2}p(x'y'z}dv> Jy =	+ z^x,y,z)dv,
V	V
Jz = ffp + y2)p(x,y,z)dv.
Вычислить тройной интеграл
УУУ x2yz dxdydz,
где V — область, ограниченная плоскостями х = 0, у = 0, z = О, х + у + z = 1.
Область V (рис. 35) достаточно просто устроена, поэтому данный тРойной интеграл можно вычислить, используя произвольный порядок Интегрирования. Традиционно проектируют область V на плоскость Оху, Принимая полученную проекцию в качестве области D (на рис. D — треугольник АО В). Прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу V Ннух точках. Аппликата первой точки равна нулю (точка входа лежит
171
Рис. 35
на плоскости Оху, т. е. z — 0), аппликата второй точки равна z = 1 — х — у (поскольку точка выхода из области V лежит на плоскости z = 1 — х — у). Таким образом,
1-х-у
x2ydxdy j zdz = i уу х2у(1 — х — у)2 dxdy.
v	D	о	D
Двойной интеграл приводим к повторному известным уже способом, поэтому детали опускаем.
J = уУу x2yz dxdydz — jj
1	1-х
J = j У x2 dx у y(l-x-y)2dy = о 0 1	1-x
= ^fx2dx j y(l + x2+y2-2x-2y + 2xy)dy = ... =	•
о о
Вычислить следующие тройные интегралы в прямоугольных координа
тах:
3.4.2.
3.4.3.
3.4.4.
3.4.5.
3.4.6.
dxdydz, где V — куб, ограниченный плоскостями v
х = 0, х — 1, у = 0, у = 1, z = 0, z — 1.
УУУ(1 — y)xz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = О,
УУУ x2y2zdxdydz, где V — параллелепипед, ограниченный v
плоскостями х = 1, х — 3, у = 0, у — 2, z = 2, z = 5.
УУУ----, где у ограничена координатными плос-
костями и плоскостью х 4- у 4- z — 1.
УУУxdxdxdz, где V ограничена цилиндром х2 -Ру2 — 1 и плос-v
костями z = 0 и z = 3.
172
3-4.7.
3.4.8.
JJJ xyz dxdxdz, где V ограничена координатными плоскостя-v
ми, сферой х2 + у2 + z2 = 1 и расположена в первом октанте.
Вычислить тройной интеграл
///(я2 + ^2)dxdydZ^
если V ограничена плоскостью z = 2 и параболоидом 2г = = х2 + у2.
Рис. 36
Q Область V ограничена сверху плоскостью z = 2, а снизу параболо-х2 И- у2
идом z = —-— (рис. 36). Переходим к цилиндрическим координатам х = г cos у = г sin у?, z = z. При этом подынтегральная функция преобразуется к виду х2 + у2 = г2 cos2 у? + г2 sin2 ip = г2. Таким образом,
2я 2	2
«7 ~ ///(я2 у2}dxdydz ~/ff r3(^r(^^z = Jdp J г3 dr Jdz = v	v	о о
2
преходя к цилиндрическим координатам, вычислить данные тройные ^тегралы:
3*4.9. JJJ dxdydz, где V — ограничена сферой х2 + у2 + z2 = 2Rz, v
конусом х2 + у2 = z2 и содержит точку (0,0,7?).
173
2	\/2x —x2	a
3.4.10.	J dx у dy f zy/x2 + y2 dz, преобразовав сначала к тройно-о оо му интегралу.
2г у/2гх-х*	у/±т2-х2-у2
3.4.11.	у dx у dy у dz, приведя сначала к тройному О	х/— 2гх —х2	О
интегралу.
3.4.12.	Вычислить повторный интеграл
1	\/1—я2
У dx у dy о о
у/1 — Х2 — у2
У (х2 + у2 + z2) dz. о
Q Преобразуем повторный интеграл в тройной fff (я2 + У2 + z2) dxdydz,
для чего, исследуя пределы интегрирования в повторном интеграле, восстановим область интегрирования V. Она ограничена снизу плоскостью z = 0, т.е. плоскостью Оху, а сверху — поверхностью z — л/1 — х2 — у2, т. е. верхней частью сферы х2 + у2 + z2 = 1. Область D лежит в плоскости Оху и ограничена снизу прямой у = 0 (осью Ох) и сверху линией у = у/1 — х2, т.е. верхней полуокружностью х2 + у2 = 1. Наконец, проекция D на ось Ох — это отрезок [0,1]. По названным поверхностям построим чертеж области V (рис. 37), а по соответствующим линиям — область D (рис. 38).
Рис. 37	Рис. 38
Исходя из вида подынтегральной функции и вида области интегрирования, делаем вывод о целесообразности перехода к сферическим координатам: х = г sin ср cos 0, у = г sin <р sin 0, z = г cos ср. При этом dxdydz = = г2 sin ср drdcpdO, 0 г 1, 0 ср 5,0^0^ Подынтегральная
174
функция равна х2 + у2 + z2 = г2 (sin2 <р cos2 6 + sin2 ip sin2 0 + cos2 <p) = r2(sin2 <p + cos2 <p) = г2. Таким образом,
7Г	7Г
2	2	1
УУУ+ У2 + z2) dxdydz = Jsm<pd0 jd<p f г4 dr
о оо
7Г	7Г	1
2	2	1	5	1	7Г
COS</2 -<р	-~Г	= -г.
0	О	О	о	1U
ху
Вычислить повторные интегралы: 1	х	2(х2+у2)
3.4.13.	у dx	fdy у	dz.
О х2 х2+у2
а	у/а2-х2	\/х2+у2	&
3.4.15.	[ dx [	dy	у	dz. 3.4.16. f
х2 + У2	О
а \/ а2—р2
I dz-р
а—х
\/а2—х2
О О
3.4.18. Вычислить объем тела ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 22 и поверхностью параболоида — х2 + у2.
Q Тело V расположено над плоскостью Оху между полусферой z% = = 5/22 — х2 — у2 и параболоидом zj = ^(х2 + у2) (рис. 39).
Рис. 39
О
О
1
1 — х
*+у
О
О
О
О
2
а
Объем v тела V вычислим по формуле
v
= УУУ dxdydz.
175
Из симметрии тела V относительно плоскостей Оху и Оуz заключаем, что удобно перейти к цилиндрическим координатам х = г cos tp, у = = rsinijP, z = z и вычислить объем четвертой части V, а результат умножить на 4.
22
v = 4 JJJ г drdtpdz = 4 J J r drdtp fc
X	D	2i
4
= 4 J J r drdtp ( \/22 — r2 — D	'	'
— г2 \ г2 —— ) г drdtp.
Jz /
Для дальнейших вычислений надо найти область D — проекцию на плоскость Оху пространственной области V. Для этого решим систему
Г х2 + у2 + z2 = 22, х2 + у2 = 9z
=> z2 + 9z = 22 => z = 2, z = —11.
Подставляя z = 2 (z = —11 не подходит, т. к. z 0) во второе уравнение системы, найдем, что сфера и параболоид пересекаются в плоскости z — 2 по окружности х2 + у2 = 18. Следовательно, область D это четверть круга х2 + у2 18 (х ^р 0, у 0), или, в полярных координатах: 0 г \/18, 0 tp Таким образом,
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.19.	z = х2 + у2, z = 2(х2 + у2), у = х, у = х2.
3.4.20.	z = у/х‘2 + у2, 3z = х2 4- у2.
3.4.21.	4az = 16 — х2 — у2, z — 4 — х — у, х = 0, у = 0, z = 0.
о А 99 х2 . У2 . Z2 _ л X2 . У2
3.4.22.	— + — + — _ 1, - + -_г.
3.4.23.	Вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат при условии, что его плотность постоянна и равна р$.
Q Сделаем сначала рисунок (рис. 40).
Воспользуемся формулами
хс = ffj х dxdydz, Ус = fff У dxdydz, zc = | JJJ z dxdydz,
176
Рис. 40
9 оз
Где у =. —----объем полушара.
Подынтегральные функции х и у в числителях первых двух дробей нечетные, а область интегрирования V симметрична относительно соответствующих плоскостей у = 0 и х = 0. Поэтому хс = ус = 0. К этому же выводу приходим, исходя из определения хс и ус и симметрии тела относительно координатных плоскостей Oyz и Oxz. Остается вычислить JJJ zdxdydz.
Для этого переходим к сферическим координатам так же, как в примере 3.4.12. Получаем
/ff Z dxdydz = /// Г C0S Sin =
V 7Г 2
2тг R
JdO- J r3 dr = о о
cos2(y£> 2 о
27Г
TrR4
4	= ЗЯ
О7ГЯ3 8  3
Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом 4х = у2 + z2 и плоскостью х = 2. Вычислить координаты центра тяжести тела, конусом	о
9	16	25
И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 5.
Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом z = х2 + у2, плоскостью х + у натными плоскостями.
Следовательно, жс = 0, ?/с = 0, zc = fff z	=
3.4.24.
3.4.25.
3.4.26.
ограниченного
ограниченного
ограниченного = 5 и коорди-
4
о
о
и
4 о
4 
177
3.4.27.	Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного ЭЛЛИПСОИДОМ	п 9
Ж2 , F , 22 = 1
64 49 36
и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 (х 0, у О, z 0).
3.4.28.	Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра радиуса 4 и высоты 6 относительно диаметра сечения, проходящего через центр симметрии цилиндра; плотность цилиндра постоянна и равна pQ.
Рис. jl
Q Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, как обозначено на рис. 41: ось цилиндра расположена на оси Oz, среднее сечение цилиндра лежит в плоскости Оху. Тогда задача сводится к вычислению Jx — момента инерции цилиндра относительно оси Ох. Используем формулу Jx = ///(У2 + *2)Po dv, v
где V — цилиндр: х2 -Ру2 16, —3 z 3. Перейдем к цилиндрическим координатам: х = г cos р, у = г sin <£, z — z, dxdydz = r drdpdz, 0 p 2тг, 0 r 4, — 3 z 3. Отсюда у2 + z2 — r2 sin2 p + z2 и, стало быть,
2тг 3	4
Jx — Pq f dp fdzf s*n2 + ^2)r —
0	-3	0
= Pq
4
0
= Pq
2л-	3
fdp f (64 sin2 p + 8z2) dz = p0
о -3
cos 2p)z + ~-
178
2тг
= 48pQ У [4(1 - cos 2р) + 3] dp = 48ро о
sin2yA |27Г
—5—	= 672ротг.
2	/1о
Попробуйте взять интеграл в другом порядке:
2тт 4	3
PQ
г2 sin2 ср + z2) dz.
0	0	-3
3.4.29.	Вычислить момент инерции прямого цилиндра, высота которого равна Н и радиус основания R, относительно оси, содержащей диаметр основания цилиндра.
3.4.30.	Найти момент инерции круглого конуса, высота которого равна Н, а радиус основания R, относительно диаметра основания.
3.4.31.	Найти моменты инерции относительно координатных плоско-2С У Z
стей тела, ограниченного плоскостями tt + -7 + z-,£ = 0, ?/ = 0, 3 4а
2 = 0.
3.4.32.	Вычислить объем v и массу т тела V, ограниченного конусом х2 + у2 = z2 и плоскостью z = l, если его плотность p(x,y,z) пропорциональна координате z с коэффициентом пропорциональности к, к > 0.
Рис. 42
U Требуемые величины вычислим в цилиндрических координатах: х = = г cos у = rsinp, z = z, dxdydz = rdrdpdz, 0 p 2тг, 0 z 1, 0 r 1 (рис. 42):
2тг i i
D = JJJdxdydz = jdp Jr dr Jdz = p v	о о r
_ 7Г.
o- 3’
2 я	1	1
71 = k J dp Jr dr J z dz = к oo r
179
3.4.33.	Вычислить массу прямоугольного параллелепипеда 0 х а, O$Cz^c, если плотность в точке (х, у, z) пропорциональна сумме координат этой точки.
3.4.34.	Определить массу шара радиуса Я, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от центра плотность равна двум.
3.4.35.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = h и «.2 . „,2 _ _2 X + у = Z ,
если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
3.4.36.	Найти массу сферического слоя между сферами £24-?/24-z2 = а2 и х2 4- у2 4- z2 = 4а2, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.
Дополнительные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.37.
3.4.38.
3.4.39.
3.4.40.
3.4.41.
3.4.42.
3.4.43.
3.4.44.
3.4.45.
3.4.46.
3.4.47.
3.4.48.
z = х 4- у, z = ху, х 4- у = 1, X = 0, у = 0.
х2 4- z2 = а2, х 4- у = ±а, х — у = ±а.
az = х2 4- у2, z = \Jx2 4-у2, а > 0.
(ж2 4- у2 4- z2)2 = 2az, х2 + у2 = z2.
х = 0, у = 0, z = 0, 2х — Зу — 12 = 0, 2z = у2.
х2 4- у2 = R2, z = z = 0 (z 0).
а2
z = 4-y2,y = ^-,z = 0.
z = ^ - х2 - у2, z = yx/a;2 4-у2.
Z =
z = ^/64 — x2 ~ y2, x2 4- y2 60, z = 1.
X2 4- у2 = У, x2 4- y2 = 4y, z = y/x2 4- y2, z = Q.
x2 +y2 = 18, x = \/3y, z = yp, x = 0, z = 0.
Вычислить повторные интегралы:
у/з у'з-ж2 \Х4-а;2_У2
3.4.49.	Jdx J dy J dz.
о о z2 + y2 3 2	>/4^1^	2
3.4.50.	jdz	J dy J (z2+y2)dx.
-2	-74^ г2 + у2
2
180
Вычислить тройные интегралы:
3.4.53.	УУУz\Jx2 + у2 dxdydz, где область V задана неравенствами
3.4.54.	fffxyz2 dxdydz, где V лежит в I-м октанте и ограничена еди-v
ничной сферой х2 + у2 + z2 = 1 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0.
3.4.55.	JJj2y2exy dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 1, v
у = х, z = 0, z — 1.
3.4.56.	///х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 1, у = О,
v
у = Юж, z = 0 и параболоидом z = ху.
3.4.57.	jjfx2zsin(xyz) dxdydz, где V ограничена плоскостями х = О, v
X = 2, у = О, у = 7Г Z = 0, 2 = 1.
3.4.58.	jjf 8y2zexyz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = —1, v
х = 0, у = 0, у = 2, z = 0, z = 1.
3.4.59.	fff(x + У + z) dxdydz, где V задана неравенствами 0 х а,
3.4.60.	УУУрsin#dpdtpdd, где V задана неравенствами 0
3.4.61.	у х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 0, z = О,
3.4.62.	([(----dxdydz--у ограничена плоскостями z = О,
fl -4- £ -4-	4-
г = в(1-|-|),г = 0,» = 0. \ О 4 /
181
Вычислить массы однородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.63.	х2 4- у2 4- 4г2 = 1.
3.4.64.	х + у + z = а, х 4- у + z = 2а, х 4- у = z, х 4- у = 2г.
3.4.65.	у2 = 4а2 — Заж, у2 = ах, z = ±Д.
3.4.66.	^ + 4=2|,ж = а. b с" и
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.67.	Плоскостями х = 0, у = 0, г = 0, 2х 4- Зу — 12 — 0 и цилиндром г=£
2 '
3.4.68.	Плоскостями г = О, х4- г = 6 и цилиндрами г = у/х и г = 2у/х. х2 4~ у2
3.4.69.	Сферой х2 4- у2 4- z2 = За2 и параболоидом г = —— (над ним).
3.4.70.	Сферой х2 4-у2 4- г2 = -R2 и конусом ztga =	4- у2, tga > О
(над конусом).
Найти моменты инерции однородных тел с данной массой М:
3.4.71.	Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь, с относительно каждого из ребер и относительно своего центра тяжести.
3.4.72.	Шара радиуса R относительно прямой, касательной к шару.
3.4.73.	Эллипсоида
2? + ^ + ^ = 1
а2 Ь2 <?
относительно каждой из трех своих осей.
3.4.74.	Найти статические моменты относительно координатных плоскостей и координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом г = 3 — х2 — у2 и плоскостью г = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.75.	Плоскостями ж=0, х 4- ?/ = 2, х — у = 2и цилиндрами г=1п(а;4-2) и г = 1п(6 — х).
3.4.76.	Плоскостью г = х 4- у и параболоидом г = х2 4- у2.
3.4.77.	Плоскостью 2х 4- z — 2 и параболоидом (х — I)2 + у2 = z.
3.4.78.	(х2 4- у2 4- г2)2 = а2(х2 + у2 - г2).
3.4.79.	(ж2 4- у2 4- г2)3 = Зху.
3.4.80.	Сферой х2 4- у2 4- г2 = 4 и параболоидом х2 4- у2 = Зг.
3.4.81.	(а;2 4- у2 4- z2)2 = axyz.
182
вычислить тройные интегралы:
3.4.82.
3.4.83.
3.4.84.
3.4.85.
3.4.86.
3.4.87.
3.4.88.
3.4.89.
3.4.90.
УУУ?/2(еху — е ху) dxdydz, V ограничена поверхностями х = О, v
у = —2, у = 4х, z = 0, z — 2.
fffo2 + г2) dxdydz, V ограничена плоскостями х = 0, у = О, v
z = 0, х + у = 1, z = x + y.
Щxy2z^ dxdydz, V ограничена
JJJ \рА qz г )	а b с
dxdydz
1 4- \/(х2 + у2 + г2)3
V: х2 4- у2 4- z2 1.
(ж2 + у2 4- z2)2 = а?х.
(х2 4- у2 4- г2)2 = а2г4.
(х2 4- у2 4- г2)3 = а2(х2 4- у2}2-
(z2 4- у2)2 4- г4 = а3г.
Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тел, ограниченных поверхностями:
3-4-91- J + а + | = г (а>°,ь>о,оо).
3.4.92.	4 + Тг+4 = 1’4 + П' = й(а>0)-
а2 Ъ2 с2 a2 b2 и
3.4.93.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями у = ^х2, z = 0, z = 4(6 — у)
а2	b
(а > О, Ъ> 0, h> 0).
3.4.94.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями z = А;(у2 — х2), z — 0, у = ±о.
а2
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
О . пк х2	у2	Z2
3.4.95.	4- ~2 = ~, z = с.
а2	Ъ	с2
3.4.96.	х2 4- у2 — z, х 4- у = а, х = 0, у = 0, z = 0.
3.4.97.	Найти момент инерции части параболоида у2 4- z2 = 2сх, отсеченной плоскостью х = с, относительно оси Ох (массу принимать, равной единице).
183
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Изменить порядок интегрирования
1 я—arcsinj/ f(x, у) dx.
О arcsin у
2.	Найти массу треугольника О АВ, если <9(0,0), 4(1, —1), В(1,1), а плотность равна р(ж, у) = л/ж2 — у2.
3.	Найти объем тела, ограниченного плоскостью Оху, цилиндром х2 + у2 = 4х и сферой х2 + у2 + z2 = 16 (внутреннего по отношению к цилиндру).
4.	Найти площадь поверхности z = расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
5.	Вычислить тройной интеграл
Mxdv'
V
где V — область, ограниченная поверхностями х = 1, у = 0, у = 10а?, z — 0, z = ху.
Вариант 2
1.	Вычислить двойной интеграл
X2.
D 1
если область D ограничена линиями у = 0, у = ~у/а2 -(Л
2.	Вычислить интеграл
JJr2 sin ip ‘ г dr dip, D
где область D ограничена линиями г = R, г = 2Hsint^.
3.	Вычислить массу плоской фигуры, ограниченной лемнискатой (ж2 + у2')2 = а2(х2 — у2), если ее плотность равна р(х,у) = х\/х2 + у2.
4.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного
прямыми х + у = 2, 2х + у = 4, х = 0, относительно координатных осей.
5.	Вычислить тройной интеграл
JJ[xy2exyz dxdydz, v
где V — тело, ограниченное поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3,
z = 1, z = 5.
184
Вариант 3
1.	Вычислить интеграл
если область D ограничена лемнискатой г2 = a2 cos 2<р и лучами = О, 7Г
</>= 4‘
2.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
а а
О
У2
2а
2а 2а
у2
2а
у2
О у2 2а
а
0 а
3.	Найти массу пластины D: (ж — З)2 + у2 1, х 3, если ее плотность в точке (х,у) равна |т/|.
4.	Вычислить тройной интеграл
УУУу2 х cos xyz dxdydz,
если D — тело, ограниченное поверхностями z = 1, х = 2, у = 1, у = 3, z = 1, z = 4.
5.	Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0, z = О, х + у + z = 1, если плотность в точке (х, у, z) равна
Вариант 4
1.	Вычислить интеграл
если D имеет вид О
2.	Вычислить площадь части поверхности сферы х2 + у2 + z2 = 81, заключенную между плоскостями у — — 5 и у = 5.
3.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
Вычислить тройной интеграл
4 ’
185
•C У z
если тело V ограничено поверхностями z = 0,i/ = 0, 2 = 0и- + ~ + - = 1.
5. Вычислить тройной интеграл
fff63(l + 2y/y)dv,
где тело V ограничено поверхностями у = х, у = 0, ж = 1, г = О, z — ху.
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА Определение криволинейного интеграла первого рода
Пусть в каждой точке гладкой кривой L = АВ в плоскости Оху задана непрерывная функция двух переменных /(.т, у). Произвольно разобьем кривую Ь на п частей точками А = Mo, Mi, М2,..., Мп = В. Затем на каждой из
полученных частей	выберем любую точку Мг{хг,уг} и составим сумму
71
Sn — уг)АЦ, i=i
где ДГ = Мг-1Мг — длина дуги	Полученная сумма называется ин-
тегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг Л/г -1Л^г (таким образом, d = = тахД/г)- Если при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn (не i
зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек М,), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, у} по кривой L и обозначается
jf(x,y)dl или J f(x,y)dl.
L	АВ
Можно доказать, что если функция f(x, у) непрерывна, то криволинейный интеграл
У”/(1', у) dl L
существует. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойствам определенного интеграла (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличие:
x,y)dl= у f(x,y)dl,
АВ	ВА
т. е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
187
1.	Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией у = = у(х), х G [а, 6], то
ь
/ f(x,y)dl = / f(x, ?/(т)) 0 + (?/(х))2 dx, L	а
при этом выражение dl = у/1 + (?/'(т))2 dx называется дифференциалом длины дуги.
2.	Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде х = x(t), у = y(t), где z(f), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке [а,/?], то
/з	_______________
jf(x,y)dl = y/(x(t),?/(t))^/(i'(t))2 + (y'(t))2dt. L	a
Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: х = x(t), у = y(t), z = z(t), t G [a, /3]. В этом случае, если f(x,y,z) — непрерывная функция вдоль кривой L, то
0 jf(x,y,z)dl =
L	а
3.	Если плоская кривая L задана полярным уравнением г = r(ip), G [о, /3], то
0
х, у) dl = jf(r cos г sin ip) \/r2 + r2 dip.
L	a
y(t), z(t)]y/(x'(ty)2 + (?/'(C)2 + (z'(t))2dt.
Приложения криволинейного интеграла первого рода
1.	Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл
Jdl
L
равен длине S кривой L, т. е.
Уdl = S.
L
2.	Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z = f(x, у) 0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Oz и заключенной между L и поверхностью z = f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
S = J f(x,y)dl.
L
188
3.	Если L = АВ — материальная кривая с плотностью, равной р = p(a?,j/), то масса этой кривой вычисляется по формуле
т =
У р(х, у) dl АВ
{физический смысл криволинейного интеграла первого рода}.
4.	Статические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны
Мх = / yp(x,y}dl, Му = / xp(x,y}dl, L	L
( ч	н г	Му	Мх
где р\х,у) — плотность распределения кривой L, а хс = ус = координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5.	Интегралы
Л = jy2p(x,y}dl, L
Jo = j(x2 + у2)р(х, у) dl L
выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью р(х, у} относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.
4.1.1.	Вычислить криволинейный интеграл
f У М’
О
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (2,2) и (8,4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой у = \/2х. Имеем
у'
1 л/2ж’
dl = у/1 + (у')2 dx = Jl + ±dx.
Следовательно, данный интеграл равен
dx —
= 1 [VT+2xdx= |  |(1 + 2х)3/2 8= i(17\/17-5v/5). •
I J	Z О	2 0
2
4.1.2.	Вычислить криволинейный интеграл f(х2 + у3) dl, L
где L — контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), 0(0,0) (рис. 43).
189
Q Поскольку
j\x2+y3)dl = j\x2+y3)dl+ j\x2 + y3)dl+ j(x2 +y3)dl, L	AB	BO	OA
то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА\
Рис. 43
1)	(АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у = 1 — я, то + (,УГ)2 dx = \/2dx. Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
1
J(х2 + у3) dl = j\x2 + (1 — ж)3] V2 dx =
АВ	О
4	) o-V {3 + 4j 12 '
2)	(ВО): рассуждая аналогично, находим х — 0, 0 у 1, dl = dy, откуда	г
f (ж2 + У3) dl = Jy3dy= во	о
3)	(ОА): у = 0, 0 х 1, dl = dx.
i
f (x2 + У3) dl = fx2 dx = i
OA	0
4)	Окончательно
[(x2+y3}dl=rA + 1 । l_7<2 + 7_7(^ + 1)	,
J{X +y )ai 12 -I- 4 + 3	12	12
L
4.1.3.	Вычислить криволинейный интеграл J\/x2 + у2 dl,
L
где L — окружность x2 4- у2 = ax (a > 0).
190
—	• Следовательно,
Q Введем полярные координаты х = т cos у = г sin </?. Тогда, поскольку х2 + у2 = г2, уравнение окружности примет вид г2 = ar cost/?, т.е. г a cos </?, а дифференциал дуги
dl = у/г2 + г'2 dtp = \Ja2 cos2 92 + a2 sin2 <pdp = adp.
При этом G
2
JVx2 + У2 dl = a J a cos 92 dip = 2a2.	•
L	_1L
2
4.1.4.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными
У(5z — 2\/х2 + у2) dl, L
где L — дуга кривой, заданной параметрически х = tcost, у = tsint, z = t, 0 t тг.
Q Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:
5г — 2\/х2 + у2 = 5t — 2^/t2(cos2 t + sin2 t) = 3t.
Теперь выразим через t дифференциал dl'.
dl = у/ (xf)2 + (у’)2 + (z')2 dt = у/ (cost — tsint)2 + (sint + tcost)2 + Idt =
cos2 —2t sin tcost + t2sin21) + (sin2t + 2t sin tcost + t2cos21) + Idt =
= (cos21 + sin21) +12 (sin21 + cos21) + 1 = \/2 +12 dt.
Таким образом,
J(5г - 2\/x2 + y2) dl = 7з(т/2 +t2 dt =	\/2 + t2d(2 +12) =
L	0	0
= (2 +12)3/2 \= У(2 + тг2)3 - 2>/2. •
Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:
4.1.5.	Jxydl, где L — контур квадрата |ж| + |з/| = а. L
4*1.6. f - ---	, где L — отрезок О А и 0(0,0), А(1,2).
/ у/х2 + у2 + 4 1j *
191
4.1.7.	/—j—, где L ~ отрезок АВ, А(2,4), В(1,3).
J х I у
L
4.1.8.	f, где L — отрезок MN, М(0, —2), 2V(4,0). J % У
L
4.1.9.	уy2dl, L — дуга циклоиды х — a(t — sint), у = д(1 — cost), L 0 t 2тг.
4.1.10.	j\x2 +у2 + z2) dl, L — дуга цепной линии х = acost, у = asint, L
z ~ bt, 0 t 2тг.
4.1.11.	j\х + у) dl, L — правый лепесток лемнискаты т2 = a2 cos2<p.
L
4.1.12.	у(х2 + у2)п dl, L — окружность х2 + у2 = а2. L
С	х2	У1
4.1.13.	/ ху dl, L — четверть эллипса — + — = 1, х 0, у 0.
J	а2	Ь2
L
4.1.14.	Jydl, L — дуга параболы у2 = 2рх, отсеченная параболой L х2 = 2ру.
4.1.15.	Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра х2 + у2 = R2, ограниченной снизу плоскостью Оху, а
2
сверху поверхностью f (х, у) = R +
Q Искомая площадь вычисляется по формуле
L	'
где L — окружность х2 + у2 = R2. Поверхность цилиндра и поверхность т2
f(x,y) = R + — симметричны относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у 0, х 0, т. е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем
192
Получили определенный интеграл, который берем подстановкой х = TZsin</2, откуда
dx = R cos dp, 0 р , у Я2 — х2 = R cos р.
£
fR2 + (Rsinp)2	} 2	2 . 2
5 = 4/ ---=----------- R cos pdp = 4 I (R2 + R2 sin2 p) dp =
J	R cos p	J
о	0
7Г
= 4Я2 у fl + 1 ~ c2°s2y) dip = ЗтгЯ2. • o'	7
4.1.16.	Найти массу четверти эллипса
£+£ = 1 а2 &
расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом к.
Q Поскольку р(х, у) = ку, имеем
L
L — четверть эллипса
х2 У2
^ + ^ = 1, о о, о о. а ст
Переходим к параметрическим координатам эллипса х = a cost, у = = bsint. Напомним, что с = у/а2 — Ь2 — фокусное расстояние эллипса, а — эксцентриситет эллипса. Находим
dl = у/(я/)2 + (?/)2 dt = у/a2 sin2t + b2 cos21 dt =
= л/а2(1 — cos2 t) + b2 cos21 = yjd2 — (a2 — b2) cos21 dt =
— e2 cos2 tdt.
Переходим к вычислению массы
7Г 2
ш = kab J sin ty/1 — £2 cos2 t dt = о
7Г 2
Jд/l — (ecos£)2 d(£ cos t). о
воспользуемся формулой
2 du =	— и2 + arcsin и),
7 Обо
Рник задач по высшей математике. 2 курс
193
где и = £ cos t. Получаем
kab 1
2 l
cos2 t + arcsin(e cos t) _	kab '
~	2e L
7Г
2
0
arcsine .
Учитывая, что е —
\/a2 — b2 a
ka2b i
b
= -, получим окончательно
a2 — b2 + arcsin ——
m = t, 2\/a2 - 62
4.1.17. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды х = a(t — sint), у = a(l — cost), 0 t 2тг.
тл’	Мх
Имеем хс = ус = где
m— J dl, My = J xdl, Mx = Jydl. L	L	L
Находим x', у' и dl по отдельности: x' = a(l — cost), y' = asint,
cos t + cos2 t) + a2 sin2 tdt =
= ал/1 — 2cost + (cos2 t + sin2 t) = a\/2(l — cost) =
= a\/2  2 sin2 = 2a sin V	£	£
Следовательно,
m=J
L
2тг
[ sin ^rdt = —4a cos
J 2	2 о
о
2тг
= 8a.
Puc. 44
m =	£
Из рис. 44 видно, что циклоида симметрична относительно прямой х = тга, поэтому хс = тга. Таким образом, Му можно не вычислять, хотя,
учитывая равенство
Му Хс ~ ГП ’
194
можно предположить, что Му = 8тга2. Предлагаем самостоятельно получить этот результат. Вычислим теперь Мх:
= 4а
27Г
/а(1 — cos t) • 2а sin dt = 2а2 «/ о
2тг
/2sin4 о
a sin dt =
2тг	2п
fsin3 dt = —8а2 f (1 — cos2 d (cos J	&	J \	Li J	\	Li J
о	0
= —8а2 (cos x — | cos3 \ Z О	L /
2’= ^a2. о 3
Окончательно получаем:
m = 8a, Mx = ^a2, My = 8тга2, хс — ла, ус = ^а.	•
О	о
4.1.18.	Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой у = “ch§
от точки А(0, а) до точки B(b,h).
4.1.19.	Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды
х — a(t — sin t), j/= a(l — cost), 0 t тг.
4.1.20.	Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти окружности х2 +?/2 = а2, х 0, у 0. Плотность распределения масс дуги постоянна и равна к.
Q Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы у = х первого координатного угла. Отсюда заключаем, что Jx и Jy одинаковы, т. е.
Переходя к параметрическим уравнениям окружности х = a cost, у = = a sint, 0 t откуда dl = adt, получаем
7Г	7Г
.	2	„2	.	тг
/ о.2 я; _ „з fr.^^.i._a /	jj. _ а° Л . sm2t\ 2 _ 7га0
lx dl — a I cos t dt — / (1 + cos 2t) dt — -x- 11 + —zr— I — —-—.
J	J	2 J	'	2 \	2 / о 4
L	о	0
Таким образом Jx = Jy = Jq = Jx + Jy =	®
4.1.21.	Вычислить массу четверти эллипса х = 5cosi, у = 4sint, расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность р равна у.
4.1.22.	Найти массу контура эллипса
^ + ^ = 1
а2 Ь2 ’
если его линейная плотность в каждой точке М{х,у} равна |?/|.
195
4.1.23.	Найти массу первого витка винтовой линии х = a cost, у = = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-вектору этой точки.
4.1.24.	Найти момент инерции относительно оси Oz первого витка винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt.
Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, а сверху поверхностью z = f(x,y), при условии, что известна направляющая L этой цилиндрической поверхности:
4.1.25.	f(x,y) = \/2х — 4х2, у2 = 2х.
4.1.26.	f(x,y) = х2 Л-у2 = R2.
4.1.27.	f(x, у) = 2 — у/х,у2 =	- I)3.
4.1.28.	f(x,y) = х, у = (ж е [0,4]).
о
4.1.29.	Вычислить массу контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых х = 0, х = 4, у = 0, у = 2, если р(х, у) = ху.
4.1.30.	Вычислить массу дуги параболы у2 = 2х, заключенной между точками (9(0,0) и 4(1, х/2), если р(х,у) = ху.
С помощью криволинейного интеграла I рода вычислить длины заданных дуг:
4.1.31.
4.1.33.
4.1.34.
ау2 = х3, 0 х 5а.	4.1.32.
/Э Д'	Д*
У =	+е“а), 0 х 4.
£
у = 1 - In cos я;, 0 z .
г = a sin
з
3‘
С помощью криволинейного интеграла I рода найти координаты центра
тяжести кривых:
4.1.35.
4.1.37.
4.1.38.
у2 = ах3 — х4.	4.1.36.
2	2	2
хз + уз = аз, у 0.
Дополнительные задания
Вычислить данные интегралы I рода:
4.1.39.	Jy/x2 + у2 dl, где L задана уравнениями х = a(cos£ + isint), L
у = a(sint — tcosi), 0 t 2тг. /JI
——---------, где L — первый виток винтовой линии
х2 + у2 + z2
L
х = a cos t, у = a sin t, z = bt, 0 2тг.
196
4.1.41.	J{x + z)dl, где L — дуга пространственной кривой, заданной L
3t2 я
параметрически х = t, у = —=, z = t , 0 t 1.
2
4.1.42.	Найти длину дуги конической винтовой линии х = ae*cost, у = aet sin t, z = ael, заключенной между точками 0(0,0,0) и Л(а, 0, а).
4.1.43.	Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 4- cos</?).
4.1.44.	Найти декартовы координаты центра тяжести дуги логарифмической спирали г = ае^ от до </?2 = тг-
4.1.45.	Вычислить	г
/ |я + y\dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), 0(0,1).
4.1.46.	Вычислить интеграл J\/2y2 4- z2 dl, если L — окружность
L
(х2 4- у2 4- z2 = а2, [я = у.
4.1.47.	Вычислить площадь боковой поверхности параболического цилиндра у = х2, ограниченного плоскостями z = 0, z = 2я, я = О, я = 1.
4.1.48.	Вычислить массу кривой я = 1п(1 4-12), у = 2 arctgt — t на участке от t = 0 до t = 1, если ее линейная плотность равна р(я,?/) = е~ху.
4.1.49.	Вычислить массу четвертой части эллипса
я2 V2
^ + ^ = 1, х^0, у^О,
если линейная плотность р(х, у) = ху.
4.1.50.	Вычислить массу всей цепной линии у = ^(еа 4-е а), если ее £
линейная плотность р(х,у) =
л 1	У
4.1.51.	Вычислить	г
J(x-y) dl,
L
где L: я2 4- у2, = ах.
4’1.52. Вычислить с /--------------
/ Я'у/я2 - у2 dl,
L
где L — линия, заданная уравнением (я2 4-?/2)2 = а2(я2 — у2), я 0 (половина лемнискаты).
197
4.1.53.	Вычислить	/• у
/ arctg £ dl,
L
где L — часть спирали Архимеда г = 2^9, заключенная внутри
круга радиуса R с центром в начале координат.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.1.54.	Вычислить	г 1	4
/(хз + уз) dl,
L 2	2	2
где L — дуга астроиды хз + уз = аз, лежащая в первой четверти.
4.1.55.	Вычислить	г
J \y\dl, L
где L — дуга лемнискаты (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2), х 0.
4.1.56.	Вычислить	г ------
JVx2 + У2 dl, L
где L — полуокружность х2 + у2 = ах, у 0.
4.1.57.	Найти длину пространственной кривой • х , 4 — х у = arcsm —, z = In -----------------------
17	4’	4+ х
4.1.58.
4.1.59.
4.1.60.
от точки 0(0,0,0) до точки А(2,3,4).
Вычислить	г
I zdl,
L
где L — коническая винтовая линия х = t cos t, у = t sin t, z — t, 0 t 7Г.
Найти массу дуги параболы у2 = 2рх, заключенной между (р \
н, р I, если ее линейная плотность рав-/
на р(х,у) = у.
at2	at?
Найти массу дуги кривой х = at, у = z = заключен-Z	о
ной между точками 0(0,0,0) и Al а, 1, если ее линейная \ Z О /
4.1.61.
ПЛОТНОСТЬ ] Вычислить
L
где L — четверть окружности х2 + у2 + z z 0, лежащая в первом октанте.
2	2 2?^-
х +у =
198
Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на магнитную массу m с силой	.
г mJ sm a dl
* ~	-г2	’
г
где J — ток, dl — элемент длины проводника, г — расстояние от элемента тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока. Эта сила F направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса, направление силы определяется по правилу буравчика.
Опираясь на закон Био-Савара, решить следующие задачи:
4.1.62.	Найти силу, с которой ток J в бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, находящуюся от проводника на расстоянии а.
4.1.63.	По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток J. С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в центре квадрата?
4.1.64.	С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восстановленном в центре круга на расстоянии h от этого круга?
4.1.65.	С какой силой ток J, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в фокусе эллипса?
4.1.66.	С какой силой ток J, текущий по бесконечному параболическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до Р равно к-
Вычислить площадь цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, сверху данной поверхностью z — f(x,y), при условии, что направляющая задана кривой L:
4.1.67.	f(x,y) = ху, L — четверть эллипса
^ + ^ = 1 а2 62
лежащая в первой четверти (х 0, у 0).
4*1.68. f(x,y) = у, L — участок параболы
у2 = 2рх
от начала координат до точки (жо, уо)-
4-1.69. f(x,y) = х2 + у2, L — прямолинейный отрезок, соединяющий точки А(а,а) и В(Ь, Ь).
199
4.1.70.	f(x,y) = ye~x, L — участок кривой я = 1п(1 + £2), у = 2 arctg f — t + 3, заданной параметрически, между точками, соответствующими t = 0 и t = 1.
4.1.71.	f(x,y) = ?~, L — дуга параболы у = 2х, лежащая между точками (1, а/2) и (2,2).
4.1.72.	/(ж, у) = 2/3, L — арка циклоиды
х = a(t — sinf), у = а(1 — cost), 0 t 2тг.
§2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть L = АВ — гладкая кривая, а Р(х, у) — некоторая функция, определенная в точках кривой L. Разобьем кривую L на п произвольных частей точками А = Mo, Mi, М?,..., Мп = В. Далее на каждой из полученных дуг	выберем произвольную точку Мг(хг,уг), после чего составим про-
изведение Р(хг,уг) Дхг значения функции Р(х,у) в точке Мг на проекцию Axi = Xi+i — Xi этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, получим сумму п
Sn,® = У^Р(Ёг,&)ДЖг,
г=0
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р(х,у) по координате х.
Пусть теперь d — наибольшая из длин дуг	Если функция Р(х,у)
непрерывна в точках кривой L, то при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn,x, не зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек Mi. Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате х и обозначается
, у) dx.
L
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по координате у, который обозначается
, У) dy,
L
где Q(x, у) — непрерывная функция.
Сумма криволинейных интегралов
x,y)dx и jQ(x,y)dy
L	L
200
называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается f P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
L
Криволинейные интегралы второго рода называются также криволинейными интегралами по координатам.
Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,
У Р(х, у) dx -I- Q(x, y)dy = - У P(z, у) dx -I- Q(z, у) dy,
BA	AB
т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Предположим, что кривая L задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией у = у(х), х 6 [а, 6]. Тогда
ь
У Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = У[P(z, y(z)) -I- Q(x, y(x))y (z)] dx.
L	a
Если L задается параметрическими функциями x = z(t), у = y(t), t G [a, /3], TO
/з
JP(x, y) dx + Q(x, y)dy= I[p(x(t), t/(0)z(t) + Q(x(t), y(t))y\t)] dt. L	a
Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргументы (х, у, z) функций Р, Q, R для краткости опускаем):
/?
f Pdx + Qdy + Rdz = f(P • x'(t) -I- Q • у (t) + R • z (i)) dt,
L	a
где (x, y, z), x = z(t), у = y(t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой L.
Приложения криволинейного интеграла второго рода
Интеграл
У Pdx + Qdy
L
м°жно представить в виде скалярного произведения векторов F = Pi + Qj и = idx +jdy:
jpdx + Qdy= ^F(x,y)-ds.
L	L
201
В таком случае
L
выражает работу переменной силы F = Pi+Qj при перемещении материальной точки М = М(х, у) вдоль кривой L = АВ от точки А до точки В.
При А = В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:
В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L = dD (&D — обозначение границы области D), а в области D и на ее границе dD функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема 4.1. Пусть Аи В — произвольные точки области D, АтВ и АпВ — два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 45). Тогда следующие условия равносильны: . &Q дР ( г ч г аГ = ау (условие г₽инэ)-
2.	J Pdx + Qdy = f Pdx + Qdy (криволинейный интеграл не зависит АтВ	АпВ
от пути интегрирования).
3.	у Pdx + Qdy = 0 (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
АпВтА
4.	Pdx + Qdy = dU (выражение Pdx + Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U = U(x,y)).
Рис. 45
В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (хо,уо) и (xi,t/i) из области .D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона
202
Лейбница
(а=1>У1)
(а=О»Уо)
Р dx + Q dy = U(x,
У)
(х1,У1)
= U(xi,yi) - U(x0,y0), (хо,Уо)
где U(x, у) — некоторая первообразная для Pdx + Qdy.
С другой стороны, первообразная U(x,y) выражения Pdx + Qdy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла
(s,y)
U(x,y) = j Pdx + Qdy.
(а=0,Уо)
В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(x,y), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу
fPdx + Qdy = fj(jg- dxdy.
9D	D
Здесь предполагается, что обход границы 9D области D в криволинейном интеграле
^Pdx + Qdy
QD
совершается в положительном направлении, т. е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S = S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода:
S =	(jixdy — у dx
QD
(эта формула получается из формулы Грина с Р = — ^у, Q =
4.2.1.	Даны функции Р(х, у) = 8х + Ау + 2, Q(x, у) = 8у + 2 и точки
Л(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
J(8.т + Ау + 2) dx + (Зу + 2) dy, L
где:
1)	L — отрезок О А;
2)	L — ломаная ОБА;
3)	L — ломаная ОСА;
4)	L — парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5)	проверить выполнимость условия Грина.
203
Q Пути интегрирования, соответствующие п.п. 1)-4), изображены на рис. 46.
Рис. 46
1) Отрезок О А может быть записан в виде: у = 2х, х £ [0,3]. Тогда dy = 2 dx и
з
J Pdx + Qdy = у[(8т + 4 • 2х + 2) dx + (8 • 2х + 2) • 2 dx] = оа	о
з
J(48# + 6) dx = (24т2 + 6т) о
з
= 234. о
2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОБ и В А. Тогда:
а)	ОВ-. здесь у = 0, 0 т 3, т. е. dy = 0, откуда
з
У (8т + 4у + 2) dx + (8у + 2)dy = j(8т + 2) dx = (4т2 + 2т) ов	о
з
= 42.
о
б)	В А: х = 3, 0 у 6, т. е. dx = 0, и
6
J (8т + Ау + 2) dx + (8 г/ + 2) dy = J(8y + 2)dy = (Ay2 + 2y)
BA	0
6
= 156.
0
Таким образом,
j (8т + Ay + 2) dx + (8y + 2)dy = 42 + 156 = 198. OBA
3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
204
а)	ОС: x = 0, (т. е. dx = О), О у 6, откуда
6
У (8ж + 4у + 2) dx + (8у + 2)dy = f(8у + 2)dy — 156. ос	о
б)	С А: О х 3, у = 6, dy = О, следовательно,
з
У (8а; + Ау + 2) dx + (8у + 2) dy = J(8х + 26) dx = 114. са	о
Окончательно
(8а; + Ау + 2) dx + (8j/ + 2) dy =
114 +156 = 270.
ОСА
4) Подставив координаты точки .4(3; 6) в равенство у = ах2 найдем 2х2	4
уравнение данной параболы у = —х—. При этом 0^x^3ndy= -^xdx, о	о
откуда (путь О А по параболе обозначим О А)
j (8а; + Ау + 2) dx + (8у + 2) dy
dx +
(^+2) Iх &
3	к я
—	f (64 з , 8„2 . 32, 9\ > _ /164 , 8 я , 16 2 , 9Л _ 999
—	J I g х 4- ^а;	3	/ dx — g х 4“ да; 4~	4~ 2а;j — 222.
о
5) Имеем
^ = ^-(8:c + 4j/ + 2) = 4,	= $-(йу + 2) = 0,
ду оу	ох ох
т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.	•
4.2.2.	Даны функции Р{х,у) = у + 3, Q{x,y) = 8х + 7у + 6 и точки А(9,4), В(9,0), С(0,4). Вычислить криволинейный интеграл
J(y + 3) dx + (8а; + 7у + 6) dy, L
где:
1)	L — отрезок ОА\
2)	L — ломаная ОБА,
3)	L — ломаная ОСА\
4)L — парабола, соединяющая точки 0(0,0) и Л(9,4) и симметричная относительно оси Оу.
5)	Проверить выполнение условия Грина.
205
4.2.3.	Вычислить
У(4т/ + 4) dx + (Зя: + Зу + 4) dy L
по разным путям, соединяющим точки 0(0,0), А(2,6), В(2,0), 0(0,6):
1)	L =
2)	L = OCA-
3)	L = ОБА;
4)	L — дуга 65 параболы у = ^я:2.
4.2.4.	Вычислить интеграл
j2ху dx — х2 dy, L
взятый вдоль различных путей, соединяющих точки 0(0,0), А(2,1),В(2,0), 0(0,1):
1)	L — отрезок О А;
2)	L — парабола с осью симметрии Оу, проходящая через О и А;
3)	L — парабола, проходящая через О и А с осью симметрии Ох-,
4)	L — ломаная ОБА;
5)	L — ломаная ОСА.
4.2.5.	Вычислить интеграл
.	jу2 dx + х2 dy,
L	х2	У2
где L — верхняя половина эллипса + — = 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки.	°	°
ф Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х = a cost, у = bsint, t е [О,тг], т.е. dx = —asintdt, dy = bcostdt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от тг до 0), получаем
о
jу2 dx + х2 dy = j\~b2 sin21 • a sin t + a2 cos21 • b cos t) dt = L	n
7Г	7Г
= уabi2 sin21 • sin tdt — Ja2bcos21 • cos tdt = о	о
7Г	7Г
= —ab2 j\l — cos21) d(cos t) — ab2 j\l — sin21) d(sint) = о	о
= -ab2 (cost -	’-a2b (sint -	’= ±ab2. •
\	3 J о \	3 j о 3
206
Вычислить
4.2.6.
4.2.7.
4.2.8.
4.2.9.
х2 dy — у2 dx I 1 ’ ХЗ + уз
где L — дуга кривой х = R cos3t, у = R sin3пробегаемая от точки А(7?, 0) к В(0, R).
Вычислить	г
где L — дуга синусоиды у = sin х от точки (0,0) до точки (тг, 0).
Вычислить	с
L х У где L — отрезок прямой — + -г = 1 от точки А(а, 0) до точки 5(0,6).
Вычислить
j(x2 - у2) dx + (ж2 + у2) dy L
вдоль эллипса —- Ч—- = 1, пробегаемого в положительном а2 Ь2
направлении (против часовой стрелки).
4.2.10.	Вычислить
У yz dx + xz dy + xy dz
L
по дуге винтовой линии x = a cos у = a sin t, z = bt при изменении t от 0 до 2тг.
Q Сначала найдем дифференциалы переменных: dx = —a sin t dt, dy = = a cos tdt, dz = bdt. Выразим подынтегральное выражение через t, сводя исходный интеграл к определенному:
27Г
f yzdx + xz dy + xydz = j (—a2bt sin2 t + a2bt cos2 t + ba2 sin t cos t) dt = L	о
27Г
= a2b У (zcos2f + dt = о
(„2л-	x
f.sm2t 7Г_1	cos2t =0 *
2 о 2 J	4 о J
о	7
4.2.11.	Вычислить	r
xdy — у dx,
L
где линия L — задана уравнениями a; = 2\/5cos3t, ?/ = 4\/58т3£, te [0,2тг].
207
4.2.12.	Вычислить	? п __
j(x2+y2)3dx L
вдоль окружности х2 4- у2 =5, пробегаемой в положительнее направлении.
4.2.13.	Вычислить
У(я2 — 2ху2 + 3) dx 4- (у2 — 2х2у + 3)dy, L
где L — дуга параболы у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и Л(2,8).
4.2.14.	Вычислить />
I ydx + zdy + xdz,
L
где L — виток винтовой линии х = a cost, у = а sint, z = bt, О t 2тг, пробегаемый в направлении убывания параметра.
4.2.15.	Показать, что интеграл
(10,10)
У (х 4- у) dx 4- (х - у) dy
(о,о)
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и вычислить его.
Q Проверим условие Грина. Положим Р = х + у, Q = х — у. Тогда
э<э _ эр , дх ду ’
и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки 0(0,0) и В(10,10). Отрезок ОБ можно задать так: у = х, х € [0,10]. При этом dy = dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу
(10,10)	ю
I (х + y)dx + (х — y)dy = j\x + x)dx = x2
(0,0)	о
10
= 100. о
Проверить, что данные криволинейные интегралы не зависят от пути интегрирования и вычислить их:
(i.i)
4.2.16.	у (Зх2 — Зу) dx 4- (Зу2 — Зх) dy.
(о,о)
(2,0)
4.2.17.	у (Зх2 4-бху2) dz 4-(6х2у 4-4у3) dy.
(и)
208
2,3
4.2.18-	У (ж3 — Зху2 + 2) dx — (Зх2у - у2) dy.
(о.о)
4.2.19.	Вычислить криволинейный интеграл
j\x + 1) dx + xyz dy + y2z dz,
L
где L — отрезок, соединяющий точку (7(2,3, —1) с точкой Г>(3,-2,0).
Q Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:
x-2_?/-3_z + l 1	-5	1 ’
Отсюда х = 2 +1, у = 3 — 5t, z = -1 +1, t € [0,1]. Далее, находим dx = dt, dy — —5 dt, dz = dt, подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:
J = у [(3 +t) dt - 5(2 + t)(3 - 5t)(-l +t) dt + (3 - 5t)2(-l +t) dt] = о	i
= ^(24 - 25t - 45t2 + 50t3) dt = 9. •
о
4.2.20.	Вычислить криволинейный интеграл
L
вдоль кривой L = CD, соединяющей точки (7(4,0) и Р(0,2), если:
1)	CD — отрезок прямой;
2)	CD — парабола, симметричная относительно оси Ох\
3)	CD — парабола, симметричная относительно оси Оу,
4)	CD — дуга эллипса с центром в начале координат.
Вычислить простейшим образом данные интегралы от полных дифференциалов:
4.2.21.
4.2.23.
(2,3)
J xdy + у dx.
(-1,2)
(1,1)
J (х + y)(dx + dy).
(0,0)
4.2.22.
4.2.24.
209
4.2.25. Проверить, является ли выражение
(Зя2?/ + i") dx + { я3 -	) dy
v	у 7	\ У J
полным дифференциалом некоторой функции £7(я, у) и если да, то найти эту функцию.
Q Обозначим Р = Зя2?/ 4- Q = я3 — Тогда у	У
дР=%т2_1_	= Чт2 - ±
ду	у^'дх	у^'
Таким образом, условие Грина (	= -х— ) имеет место при у 0.
\ оу oxJ
Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), которая может быть найдена как криволинейный
интеграл
f (Зх2у + dx + ( я3 -	) dy,
J \ У/ у у/
(хо,уо)
где (хо,уо) — произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не лежащая на оси Ох (так как уо 0). Положим (яо, у о) = (0,1), а в качестве пути интегрирования выберем путь L = АВС, изображенный на рис. 47. Тогда сокращенно можно написать
АВС АВ ВС
(*>у)
U(x,y)= у = (®о,Уо)
Рис. 47
Имеем: 1) (АВ): у = 1, т. е. dy = 0 и
210
2) (ВС): х— фиксировано, следовательно, dx = 0, откуда
3) Таким образом, U(x, у) = х3 4- х 4- х3у 4-	— х3 — х = х3у 4-
Проверка показывает, что действительно,
dU = d (х3у 4- ~) = (Зх2у +77) dx 4- (х3 - ~ ) dy.
\ у /	\	У J	\	7
Найдя первообразные данных подынтегральных выражений вычислить криволинейные интегралы:
4.2.26.
4.2.27.
4.2.28.
4.2.29.
(з,о)
J (х4 + 4ху3) dx + (6х2у2 — 5у4) dy.
(-2,-1)
(0,-1)
xdy — у dx - у)2
(У ± *)•
г \х 4- 2?/) dx -[-уdy
J	(х 4- у)2
(1,1)	1	у
(х + у± 0).
dy.
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых:
4.2.30. J(y — z) dx 4- (z — x) dy + (x — y) dz, где L — виток винтовой L линии x = a cos t, у = a sin t, z — bt, 0 t 2tt.
4.2.31.	<£у dx 4- zdy 4- xdz, где L — окружность, заданная формулами
L
x = Rcoscncost, у = _Rcosasm£, z = Rsina (a = const).
Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов (предварительно найдя первообразную):
4.2.32.
(6,4,8)
У х dx 4- у dy — z dz. 4.2.33.
(1,о,-з)
(а,6,с)
j yzdx 4- xzdy 4- ху dz.
(1,1,1)
211
(3,4,5) Л . Л . А
4 2 34	[ xdx + ydy + zdz
(0,1,0)	+ У2 + *
4.2.35.	С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл
У%/х2 + у2 dx + у [ху + In (я + у/х2 + 2/2)] dy
L
в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника ABCD (рис. 48), где 4(1,1), В(7,1), 0(7,4), Г(1,4).
Рис. 48
Q Имеем Р = \/х2 + у2, Q = у(ху + In (а: + \Лг2 + у2)), откуда
Таким образом, в силу формулы Грина данный криволинейный интеграл равен двойному интегралу от у2 по прямоугольнику ABCD, т.е.
/ао \	74
$ Pdx + Qdy = jj ( -q-j dxdy =	y2 dxdy = jdx jy2 dy =
L	ABCD 4	7	ABCD	1	1
=/.^4=7.^=147. •
13 1	3
4.2.36.	Применяя формулу Грина, вычислить
У 2(^2 + у2) dx + (х + у)2 dy,
L
212
где L — контур ДАВС, пробегаемый в положительном направлении, и А(1,1), В(2,2), <7(1,3). Полученный результат проверить непосредственным вычислением криволинейного интеграла.
Найти функции по данным полным дифференциалам:
4.2.37.	dU = х2 dx + у2 dy.
4.2.38.	dU = 4(х2 - y2)(xdx - ydy).
4.2.39.	du=^ + 2y)dX + ydy (* 4- у)2
г	x2 4- \/x2 + у2
4.2.40.	dU — ----- dx---------------dy.
Уу/х2 + у2 y2y/x2 + у2
4.2.41.	dU = (+ яА dx + ( -—У—- - у2} dy. \(у-х)2	) \(у-хг J
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
/xdy + ydx	Т	.	.
---т--7—, где L — окружность (х — 1)“ 4- (у — 1) = 1, про-х2 4- у
бегаемая против хода часовой стрелки.
f	2	У2
4.2.43.	<р(ху 4- у 4- х) dx 4- (ух — у + х) dy, L — эллипс ^4-^ = 1.
/	а2	b
Li
4.2.44.	^(ху 4-х 4-у) dx 4- (ху 4-х — у) dy, L — окружность х2 4- у2 = ах.
L
4.2.45.	<1>(2х 4- Зу) dx 4- (Зх — 4у) dy, где L состоит из дуги параболы L
у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и А(2,4), и отрезка прямой, соединяющей эти точки.
4.2.46.	<1>(х4 4- 4ху3) dx 4- (6х2у2 — 5у4) dy, где L — дуга верхней по-L
х2 У2	f г~
ловины гиперболы — — — = 1 от точки А(—a, у 26) до точки
В(а, у/2Ь) и отрезка прямой, соединяющей эти точки.
4.2.47.	Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного интеграла.
Рк ►-»	х2 У2
nJ Запишем эллипс — 4—= 1 в параметрической форме х = a cost, аг b
У — bsint, 0 t 2тг, после чего воспользуемся формулой для площади
213
области D
2тг
5=^ J>xdy — у dx = | [(a cos t • b cos t + b sin t • a sin t) dt = J	£ J
9D	0	2л-
= i fabdt = 7ra^)- • 0	'
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
4.2.48.	Астроидой х = a cos3t, у = а sin3t.
4.2.49.	Кардиоидой х = a(2cost — cos2i), у = a(2sint — sin2t).
4.2.50.	Петлей декартова листа х3 + у3 — Заху = 0 (а > 0).
4.2.51.	Кривой (ж + у)3 = аху.
4.2.52.	Петлей (х + у)4 = х2у.
4.2.53.	Лемнискатой Бернулли (т2 + у2)2 = 2а2(х2 — у2).
4.2.54.	Петлей линии (у/х + Уу)12 = ху.
4.2.55.	Вычислить работу силового поля F = yi — tj при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса ^ + ^ = 1 а2 Ь2
из точки С (а, 0) в точку В(—а, 0).
Q Работа А силового поля F = Pi + Qj при перемещении материальной точки М вдоль линии СВ равна
У Р dx + Q dy.
св
Запишем дугу эллипса СВ в параметрической форме: х = a cost, у = = bsint, t € [0, тг]. Тогда dx = —asintdt, dy = bcostdt и
7Г	7Г
А= Jydx — xdy = j\~ab sin21 — ab cos21) dt = —ab Jdt = irab. • св	о	о
4.2.56.	Дана переменная сила F = —yi + (Зу — 8т )j. Вычислить работу этой силы при перемещении материальной точки вдоль контура прямоугольника с вершинами А(9,4), В(— 9,4), С(—9, — 4), т-4).
4.2.57.	Найти работу силы F = —yi + (Зу — 8x)j при перемещении материальной точки вдоль эллипса
*! + ^ = 1
81	16
4.2.58.	Найти работу силы F = —4yi+ (4у—3t)j при перемещении мате-
риальной точки вдоль прямоугольника с вершинами А(2, —6), B(2,6),C(-2,6),D(-2,-6).
4.2.59.	Найти работу силы F = —4yi + (4у — 3t)j вдоль эллипса
4	36
214
Дополнительные задания
4.2.60*	Даны точки А(2,2), В(2,0), (7(0,2). Вычислить
У(2х + 3) dx + (х + 7у 4-1) dy, L
где
a) L = OA;	б) L = OBA-
в) L = OC;	г) L = OCA;
д) L — парабола, симметричная оси Оу и соединяющая точки О и А.
4.2.61.	Даны точки А(9,0,0), В(9,4,0), (7(9,9,9). Вычислить
j dx + (3z + 8) dy + (7z 4- 6) dz, L
где
a) L = AC-,	6) L = OABC.
4.2.62.	Даны точки A(—2, —2), B(—2,0), (7(0, —2). Вычислить
j\y + 4)dx + (3x + 3y) dy, L
где
a) L = OA;	6) L = OCA;
в) L = OBA-,	r) L — дуга параболы О A.
4.2.63.	Даны точки А(2,0,0), В(2,2,0), (7(2,2,2). Вычислить
У 4dx + (4z + 3) dy + (Зх 4- 4) dz, L
где
a) L = AC-	6) L = OBC.
4.2.64.	Вычислить J (3x2y + y)dx + (x — 2y2) dy, где ABC — контур ABC
треугольника ABC с вершинами A(0,0), B(l,0), (7(0,1).
4.2.65.	Вычислить
I у dx — xdy,
L
x2 У2
где L — эллипс —- 4—z- = 1, пробегаемый в положительном a2 b
направлении.
4.2.66.	Вычислить
Г х dx______У dy
J X2 + у2 X2 4- у2
по окружности с центром в начале координат.
215
4.2.67.
Вычислить
/ydx + xdy x2 + у2
L
4.2.68.
4.2.69.
по отрезку прямой у = х от точки х = 1 до точки х = 2. Вычислить	Л
xdy — ydx .
L
3at 3at2
по петле декартова листа x =----, у =---7.
1 +13	1 +t3
Вычислить	л
xdy — ydx,
L
где L — арка циклоиды x = a(t — sint), у = a(l — cost), 0 t 27Г.
Найти функции no их полным дифференциалам:
4.2.70.	dU = у dx + х dy.
4.2.71.	dU = (cosx + За:2?/) dx + (x3 — y2) dy.
4.2.72.	dU = x - dx + У dy. y/x2 + y2 \/x2 + y2
4.2.73.	= (2a: + у + z) dx + (x + 2y + z) dy 4- (x + у + 2z) dz.
4.2.74.	dU = (3a:2 + 2y2 4- 3z) dx + (4xy + 2y - z}dy + (За: - у - 2) dz.
4.2.75.	dU = (2xyz — 3y2z + Sxy2 + 2) dx 4- (x2z — 6xyz + Sx2y + 1) d?/+
+(x2y — 3xy2 + 3) dz.
4.2.76.	dU= 1^-4) dz+( 1-4) dy+(±-^] dz. \U x2 /	у2 /	Z2 J
4.2.77.	Вычислить работу силы F = xyi + (x + y)y при перемещении точки из начала координат в точку Л(1,1): а) по прямой;
б)	по параболе у = х2. '
4.2.78.	В каждой точке эллипса х = a cost, у = 6 sint приложена сила
F = -a:i - yj.
а)	Вычислить работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первой четверти.
б)	Вычислить работу, если точка обходит весь эллипс.
Найти работу данного силового поля F при перемещении материальной точки вдоль отрезка АВ, если известны координаты концов отрезка:
4.2.79.	F = (х4 + 4xy3)i + (6а:2?/2 - 5?/2)j, Л(-2, -1), В(3,0).
4.2.80.	F= * .2i- , У .21Л(0,-1),В(1,0).
(х - у)2 (х - у)2
4.2.81.	F=^±M+—j, А(1,1), В(3,1).
(х + уУ (х4-у)2
216
4.2.82.	F = ( - JL + у ) i +	+ X I j, 4(0,0), B(l, 1).
/	\v^2+2/2	/
4.2.83.	F = (3a:2?/ - ?/3)i + (a:3 - 3a?2/2)j, A(0,0), B(l, 1).
4.2.84.	F= (^/-^=)i+(^- + ^=)j,4(l,4),B(9,l).
\	3Vi4/	\2V Vх J
4.2.85.	F =------------— i-------------—j, 4(1,1), B(2,2).
(x2 + y2) (arctg I) (x2 + y2) (arctg jj
4.2.86.	F =4(2,1), B(l, 7). ~Ь У Xt ”1“ У
4.2.87.	F = (y3 - 6x?/2)i + (За:?/2 - 6 a:2?/ + 8?/3)j, A(0,0), B(l, 1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить криволинейные интегралы II рода:
4.2.88.
/У
dx — arctg dy, где От А — дуга параболы у = х2, а •С
ОтАпО
ОпА — отрезок прямой у = х.
(2,3)
(3,-4)
4.2.89.
4.2.90.
4.2.91.
(-1.2)
(1,2) Л Л
г у dx — xdy
(ОД)
(6,8)
(2Д)
X2
4.2.92.
4.2.93.
о
У У
~2 cos X Jj
У \ . , ( . у , У
~ ) dx + ism ~ + - cos •1/ /	\	*1/ «с
4.2.94.
Доказать, что если /(и) — непрерывная функция, то
для любого гладкого контура L.
Найти первообразную функцию по данному дифференциалу:
4.2.95.	+
х2 + у2
4.2.96.	=	+
х2 sin2	х sin
4.2.97.	dz = -—-[-ydx + xdy]. (я - У)
(1') V^2 + y2
L
217
4.2.98.	Вычислить
J(у2 — z2) dx + 2yzdy — x2 dz,
L
где L — кривая x = t, у = t2, z = t3, 0 t 1, пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
4.2.99.	Вычислить
У(У2 — ^2) dx + (г2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, L
где L — контур, который ограничивает часть сферы x2 + y2+z2 = l, х^О, у^О, z^O,
пробегаемый так, что внешняя сторона сферы остается слева.
4.2.100.	Доказать, что для криволинейного интеграла II рода справедлива оценка
jP(x,y)dx + Q(x,y)dy ^LM,
L
где L — длина кривой L, а
М = шах у/Р2(х,у) + Q2(x,y).
(х,у)еь
4.2.101.	Оценить интеграл
/у dx — xdy (х2 + ху + у2)2 ’ £j
где L — окружность х2 + у2 = R2. Доказать, что при R —> +оо данный интеграл стремится к нулю.
§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть f(x, у, z) — функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части Si,..., Sn с площадями Д<71,..., Дсгп и диаметрами di,..., dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi,yi,Zi), составим сумму
п
Zf^.yz.Zi) • Д(Т£, t=l
которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, у, z).
Если при d —> 0 (где d = max di) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора
218
точек Мг, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода
л обозначается
У[ f(x,y,z)
S
da.
Если функция f(x, у, z) непрерывна, то интеграл
ff f(x, у, z) S
da
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т. д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z = = z(x, у), причем z(x, у) непрерывна вместе со своими частными производными z'T = z'x(x,y) и z'y = z'y(x, у), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:
fff(x,y>z}da =
S	D
[j /(^у,г(х,у))у/1 + (г'х}2 + (z'y)2 dxdy.
Если поверхность S задана параметрически в виде х = х(и, и), у = у(и, v), z = z(u, v), где х, у, z — непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости Ouv, то
[ff(x,y>z)da
= ffflx(u> v),y(u,v),z(u,v)]\/FiH
G
F2 dudv,
где
p —	-1- (н _	4- (I (dz\2
\du) \duJ \du) ’	\dv) \dv) \dv) ’
p_ dx dx . dy dy dz dz du dv du dv du dv
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Пусть S — гладкая материальная поверхность с плотностью р = p(x,y,z).
Тогда с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности плоскостей
относительно координатных
Мху = JJzpda, Myz = JJxpda, s	s
2) координаты центра тяжести поверхности
Zc ~~ т ’
_ MyZ	_ Mxz
с т ’	~~ т
Mxz =	у pda-,
s
где т = J s
219
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат
IJ (У2 + z2)pda, s
= jj(x2 + z2)pda, Jz= jj(x2+y2)pda, s	s
fj(x2 + y2 + z2)pda. s
Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода
Площадь поверхности S можно найти по формуле
da = пл.5.
s
Если р(х, у, z) — поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса т находится так:
т
s
da.
Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция К(х,?/, z), и пусть в каждой точке М поверхности определено положительное направление нормали п(М) (п(М) — непрерывная вектор-функция) .
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью п и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части Si,..., Sn с диаметрами di,..., dn. Обозначим через ДР1,..., ДРП площади соответствующих проекций частей Si,..., Sn на плоскость Оху, а через d — максимум из чисел di,..., dn. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Мг(Хг,Уг, Zi), СОСТЭВИМ Сумму
п y^R(xt,yt,Zj)^Pt, г=1
которая называется интегральной суммой второго рода для функции R(x,y,z). Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности R(x, у, z)) при d —> 0, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Мг, называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x, у, z) по поверхности S и обозначается
УУR(x, у, z) dxdy. s+
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
УУ P(x,y,z)dydz и уу R(x,y,z)dxdz
S+	Q+
220
от непрерывных функций Р(х, у, z) и Q(x, у, z). Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
JJ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy. s+
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление z = z(x, у), (х, у) 6 G D С Оху. Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D
JУR(x, у, z) dxdy = ууR(x, у, z(x, у)) dxdy.
Если выбрана противоположная сторона S поверхности S, то
УУ R(x, у, z) dxdy = - ууR(x, у, z(x, у)) dxdy.
S~	D
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
УУP(x,y,z)dydz и j^Q(x,y,z) dxdz.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Если а, /8, 7 — углы, образованные соответственно с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz, единичной нормалью п к выбранной стороне S+ поверхности S, то связь поверхностных интегралов первого и второго рода выражается следующим равенством
УУ Р dydz + Q dxdz + R dxdy = JJ(R cos Q + Q cos fl + R cos 7) da.
s+	S
Поскольку n = {cos a, cos fl, cos7}, то поверхностный интеграл первого рода в правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме
//F.nda,
S
где F = {F, Q, R} — векторное поле, определенное на S.
Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, протекающей через поверхность S. Тогда интеграл
//Fnda
S
можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протекающее в единицу времени через поверхность S в положительном направлении,
221
т. е. вдоль п. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность S.
4.3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
[[———
JJ (1 + я + z)3’ о
где а — часть плоскости х + у + z = 1, заключенная в первом октанте.
Q Поверхность ст можно выразить явно: z = 1 — х — у, (ж, у) Е D, где область D — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у = 0 и х+у = 1 (рис. 49). При этом da = ^/1 + (z^.)2 + (zp2 dxdy = y/3dxdy. Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен l + # + z = l + a; + (l — х — у) = 2 — у):
Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
4.3.2.
4.3.3.
где а — часть плоскости х + у + z — 1 при
условии х 0, у ff(z + 2х + |»)
0, о о.
da, где а — часть плоскости 6x+4y+3z =
И,
а
лежащая в I октанте.
222
4.3*4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
а
где а — сфера х* 2 4- у2 4- z2 = R2.
Q В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности а и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии х 0, у 0, z 0 (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы х = Rsin рcos0, у = Bsin^sin^, z = Rcosp, учитывая, что и = в, v = р. Тогда
= (-R sin р sin О)2 4- (R sin р cos 0)2 4- 0 = R2 sin2 р, г_ (дх\2 (9у\2 , (dz\2 _
Ь ~ I ~ЕГ~ I *" I п- I "г I о- I ~
\dvJ \OVJ \ovJ
= (Bcos<£cos0)2 4- (R cos p sin в)2 4- (-R sin p)2 = R2, p _ дхдх^.^^У.дг^дг _ du dv du dv du dv
= (-R sin p sin 6) (R cos p cos 0) 4- (R sin p cos 6) (R cos p sin 6) = 0,
,/EG-F2 = R2 sin v,
а область интегрирования — четверть круга х2 4- у2 R2 (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
R2 sin2 (jpcos2 в 4- R2 sin2 99 sin2 в	В2, 0 р 0^0^^.
£ £
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию f(x,y) = х2 + у2. На сфере х2 4- у2 4- z2 = В2 имеем f(x,y) = В2 — z2 = = В2 — В2 cos2 р = В2(1 — cos2 р). Таким образом данный интеграл равен
7Г 7Г
2	2
8 JВ2(1 — cos2 р) • В2 sinpdddp = — 8В4 jdp j(1 — cos2 р) dfcosp) = в	оо
= —8В4 •	(cose/?
4.3.5. Вычислить поверхностный интеграл
cos3 р
2= 1л4 О О
а
где а — сфера х2 4- у2 4- z2 — R2 способом выделения однозначной ветви поверхности интегрирования (сферы). Этот пример
223
совпадает с примером 4.3.4, но его следует решить иным способом.
4.3.6.
Вычислить
УУ >/z2 + y2ds, s
4.3.7.
х2 У	z2
где S— боковая поверхность конуса	—у = 0(0 z Ь).
а2 b	с
Вычислить площадь той части параболоида вращения ау = = х2 4- z2, которая находится в первом октанте и ограничена
плоскостью у = 2а (а > 0).
z
Рис. 50
О Способ 1. Поверхность, площадь которой будем вычислять, предста-х2 4" z2
вим в виде у = ——, т. е. как функцию переменных х и z. Следовательно, соответствующая формула для площади примет вид
S = УУ а/1 + (Й)24-(у02 dxdz,
D
где область D — проекция поверхности на плоскость Oxz (рис. 50). Параболоид ау = х2 4- z2 пересекается плоскостью у = 2а по окружности х2 4- z2 — 2с? радиуса а\[2. Следовательно, D — четверть круга х2 4- z2 2а2 (х 0, z 0). Определим подынтегральную функцию. Имеем у'г = %,у'г = %,
l + foi)2 + fo')2 = l + ^ + ^ а а
а2 4- 4(ж2 4- z2)
Таким образом,
S = уу^/а2 4- 4(а:2 4- z2) dxdz.
D
Переходя к полярным координатам, получаем
2 ах/2 _____________ тг	п /9
S = j уd<p у л/а2 4-4r2rdr = |-^ 2-^(а2 4-4г2)3/2	= Цтга2.
о о
224
Способ 2. Поверхность параболоида представим в виде z = \/ау — х2, т. е. как функцию переменных х и у. В этом случае соответствующая формула имеет вид
s = f[y/l + (z'xy + (zWdxdy,
Di
где Di — проекция поверхности на плоскость Оху. Область Di ограничена осью Оу, параболой х = у/dy и прямой у = 2а. Определим подынтегральную функцию. Имеем
/ ______х	I _ a	-j . / / \2 .	\2 _ ^ау + °2
\/ау — х2 Яу/ау — х2	4(ау — ж2)
Таким образом
S = i [f^^-dxdy = 1	7^= =
= 1	 arcsin | • f  (a2 + 46ai;)3/2 2“= Ц™2. •
2 J	\/аУ 0	2 2 о о 12
о	v
4.3.8.	Найти площадь части параболоида 4z = х2 -I- у2, отсекаемой цилиндром у2 = z и плоскостью z = 3.
4.3.9.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
^z dxdy + у dxdz + х dydz, a
где а — верхняя сторона плоскости x + y + z = 1, ограниченной координатными плоскостями.
Q Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя а на разные координатные плоскости (см. рис. 51).
Вычислим
jj z dxdy. a
Выражая явно z через хну, сведем этот интеграл к двойному интегралу по ДОАВ. Подставляя z = 1 — х — у в подынтегральную функцию и учитывая, что:	— х, получаем
1—х
j(l—x — y)dy = о
Убедитесь, что остальные интегралы
уdxdz и
jj х dydz
приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен
3.1=1	•
6 б 2’	•
Вычислить следующие интегралы второго рода:
4.3.10.	ffyz dydz + xz dxdz 4- xy dxdy, где a — внешняя сторона тетра-<7
эдра, ограниченного плоскостями х 4- у -I- z = а, х = 0, у = О, 2 = 0
4.3.11.	jjzdxdy, тд,е S — внешняя сторона эллипсоида
5	ж2 У2 z2
п" ' Tq" i о (Г О~ С*
4.3.12.	ff3"2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy, где a — внешняя сторона поверх-<7
ности верхней полусферы х2 4- у2 4- z2 = а2.
4.3.13.	jjx3 dydz 4- у3 dxdz + z3 dxdy, где a — внешняя сторона сферы (7
х2 + У2 + z2 — а2.
4.3.14.	jj(x — у) dxdy + (z — х) dxdz + (у — z) dydz, где а — внешняя (7
сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2 (0 z < h).
4.3.15.	Найти поток векторного поля F(ir,y,z) = iri 4- у] + zk через часть поверхности эллипсоида
а2 Ь2 с2 лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.
226
Q Искомый поток равен
х cos а + у cos fl + z cos 7) do.
Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода
JJ х dydz + JJ у dxdz + jj z dxdy, Dl	D2	D3
где Di, D2, D3 — проекции эллипсоида на соответствующие координатные плоскости.
Рассмотрим, например, r г
d3
где z можно выразить через х и у из уравнения эллипсоида, D3 — внутренность четверти эллипса
ж2 , У^_
а2 Ь2
х 0,
0.
Очевидно, что
D3 равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна | • ^тгаЬс. Аналогичные интерпретации можно дать и другим интегралам, О 0 поэтому исходный интеграл I рода, т.е. поток векторного поля, равен 3.1 4то6с=2Г^£.	•
4.3.16.	Найти поток вектора F = a?2i—?/2j+z2k через поверхность тела, ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 37?2, плоскостью Оху и однополостным гиперболоидом х2 + у2 — z2 = В?.
Q Имеем
Уур1 • n do = jJ^2'2 cos a ~ У2 cos & + z<2 cos~ CT	CT
x2 cos a do — jу у2 cos fl do + jJz2 cos 7 do.
На плоскости Oxz и Oyz поверхность о проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же поверхность о симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
УУ#2 cos ado = J/у2 cos fl do = 0. CT	<T
А теперь вычислим	.
z2 cos 7 do.
CT
Поверхность о состоит из трех частей (см. рис. 52):
227
Рис. 52
а)	сегмент сферы z = \/3R2 — х2 — у2, для которого cos7 > 0 (внешняя нормаль образует с Oz острый угол); проекция этого сегмента на Оху есть круг х2 + у2 2R2 (сегмент сферы х2 + у2 + z2 — 3R2 пересекается с гиперболоидом х2 + у2 — z2 = 7?2 по линии
х2 + у2 + z2 = 3R2	(х2 +у2 = 2R2
х2 + у2 - z2 = R2 z = R
окружность радиуса y/2R);
б)	сегмент параболоида проектируется на Оху в кольцо R2 х2+у2 < 27?2, z = х2 + у2 — R2 (из уравнения гиперболоида);
в)	наконец, третья часть — это круг х2 + у2 С R2, на котором z = 0. Поэтому
JJf • n da = У[z2 cos 7 da =
<т	<т
=	(3R2-х2—y2)dxdy — Ц (x2+y2-R2)dxdy =
x2+y2^2R2	R2^x2+y2^2R2
4.3.17.
4.3.18.
Предлагаем самостоятельно вычислить эти интегралы.	•
Найти поток вектора F = x2i + y2j + z2k через поверхность тела — у/х2 -h у2 z Н в направлении внешней нормали, л
Найти поток вектора F = 2rri — yj через часть поверхности цилиндра х2 4- у2 = R2, х 0, у 0, 0 z Н в направлении
внешней нормали.
4.3.19.	Найти поток вектора F = ж21 — ?/2j + г2к через часть сферы х2 + у2 + z2 = R2, х 0, у 0, z 0 в направлении внешней
нормали.
228
4.3.20.	Найти поток вектора F = ап 4- yj — 2zk через поверхность куба И Ы \z\ а в направлении внешней нормали.
4.3.21.	Найти массу полусферы х2 4- у2 4- z2 = Д2, z 0 радиуса R с поверхностной плотностью, равной \/х2 4- у2.
Q Имеем	,г .
m = 11 \/xz 4- у2 dcr,
аг
где	____________
z = х/R? —х2 — у2,
2 — _______Л,______
\/R2 — X2 — у2
(проверьте!). Следовательно,
г г х/х2 + у2 m= I R /-	----dxdy.
JJ JR2 -х2 -v2
Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем 9 , ,	2тг R	„ „
J^^ = R [dv f—^=dr = ^.	•
JR2 - г2 [ I JR2- r2 2
Найти массу поверхности куба 0^®^l,0^?/^l,0^z^l, если поверхностная плотность в каждой ее точке M(x,y,z) равна р(х, y,z) = х + у + z.
Найти массу поверхности куба	0	1, O^z^l,
если поверхностная плотность в каждой ее точке (х, у, z) равна p(x,y,z) = xyz.
Определить координаты центра тяжести однородной параболической оболочки az = х2 4- у2 (0 z а).
Найти момент инерции части боковой поверхности конуса z = — \/х2 + у2 (0 z h) относительно оси Oz.
Вычислить	г г
4.3.22.
4.3.23.
4.3.24.
4.3.25.
4.3.26.
т
где а —часть параболоида z = х2 4- у2, которая вырезана цилиндром (х2 4- у2) = х2 — у2.
Дополнительные задания
4.3.27.	Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x + y + z = а, х	0, у 0, z О относительно координатных
плоскостей.
4.3.28.	Вычислить момент инерции относительно Ох сферической оболочки х2 4- у2 4- z2 = Я2 (ж 0).
4*3.29. Вычислить моменты инерции однородной конической оболочки X2 . у2 Z2 л	ТА	к X У z — b
+	—7 — 0 (0 О о) относительно прямой - = - = ——.
а2 а2	1 U U
229
4.3.30.	Найти координаты центра тяжести однородной поверхности z — \/а2 — х2 - у2 (х 0, у 0, х + у < а).
4.3.31.	Найти полярный момент инерции 10 поверхности куба |я| а, \у\ С а, \z\ С а.
4.3.32.	Найти моменты инерции треугольной пластины х + у + z = 1 (х 0, у 0, z 0) относительно координатных плоскостей.
4.3.33.	Найти полярный момент инерции полной поверхности цилиндра х2 Л~у2 — R2, О С z Н.
4.3.34.	Вычислить площадь той части параболоида 2az = х2 + у2, которая ограничена плоскостями у = 0, z = 0, z = z = xtga, i	. тг
cl — фиксировано, 0 < a < %-
4.3.35.	Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 +?/2 +z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 + у2 = ау.
4.3.36.	Вычислить площадь той части поверхности сферы x2+y2+z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 + у2 = 62, b < а.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.3.37.
4.3.38.
4.3.39.
4.3.40.
4.3.41.
4.3.42.
Найти площадь поверхности z = —, расположенной внутри (X
цилиндра х2 + у2 = а2.
Найти	г г
где а — часть поверхности 2az = х2 + z2 (а > 0), вырезанная конусом z = \/х2 + ?/2.
Найти	г г
где а — верхняя половина сферы х2 + у2 + z2 = а2.
Найти	гл -
где а — граница тела, заданного неравенствами \/х2 + ?/2 ^2^1.
Вычислить	г г
где а — часть поверхности геликоида х = it cost», у = usinv, z = ц (0 и а, 0 v 2тг).
Вычислить	г с „
где а — часть поверхности конуса
х = г cos ср sin а, у т sin tp sin а, z = г cos а
(OsCr^a, OsC(£)<C 2тг), a — постоянная (0 < a <
\	2^
230
4.3.43. Вычислить f
I (ху + yz + xz) do,
<T
где о — часть конической поверхности z — у/х2 + у2, вырезанная поверхностью х2 + у2 = 2ах.
4.3.44. Вычислить
УУ^2 dydz + у2 dzdx + z2 dxdy, s
где S— внешняя сторона сферы (x — a)2 + (y — b)2 + (z—c)2 = R2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Вычислить	2
L
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (1, \/2) и (2,2).
2. Вычислить	.
I (4т/ + 4) dx + (Зх + Зу + 4) dy,
L
где L — контур треугольника х = 0, у = 0, 2х + Зу = б, и результат проверить при помощи формулы Грина.
1 Вычислить
Г Вычислить поверхностный интеграл первого рода ffx2dS,
S
у*
гДе S — боковая поверхность конуса — -|—- = —,0^z^h. а2 а2 с2
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
УУ y2dxdz,
<т
7 — внутренняя сторона полусферы х2 + у2.+ z2 = R2, у ^0.
231
Вариант 2
1.	Вычислить	г
I (х + у) dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами Л(1,—1), В(—3, —1), С(—3,2).
2.	Вычислить массу дуги четверти эллипса
^ + ^ = 1
а2 Ъ2 ’ расположенный в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна абсцисса этой точке, с коэффициентом т.
3.	Вычислить
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
/Pds’ S
где S — боковая поверхность конуса 4(д:2 + у2) = z2, 0 z 2.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода JJz3dxdy, а
о — внешняя поверхность плоскости х + у + z = 10, расположенная в первом октанте (х 0, у 0, z 0).
Вариант 3
1.	Вычислить	г
I (х2 + у2} dl, L
L — окружность (х + а)2 + у2 = а2, а > 0.
2.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода j\x + 1) dx + xyz dy + y2z dz, L
где L — отрезок, соединяющий точку M(2, —1,3) с точкой .У(7,4,11).
232
3.	Вычислить
(6,4)
f (бх2 Ч---) dx +	+ Зу2) dy.
J \ х + yj \ х + у & ) »
(1Д)
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
ffz3dS, S
где S — верхняя часть полусферы х2 + у2 + z2 = R2, z 0.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода
JJz4dxdy, о
а — внутренняя сторона поверхности полусферы х2 + у2 + z2 = R2, z 0.
Вариант 4
1. Вычислить
j\x2 + у2 - z) (И, L
L — дуга цепной линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt, 0 t 7Г.
2.	При помощи криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми х = 8 cos3 t, у = 8 sin3 t, 0 t 2тг.
3.	Вычислить
(з,з)	________ __________________________ '
У	+ Зу2 + dx + \ 9уу/х2 + Зу2 - dy.
(1.1)	v у 7
4.	Вычислить площадь той части параболоида вращения z = —а(х2 + у2), которая находится в пятом октанте (х 0, у 0, z 0) и ограничена плоскостью z = —2а (а < 0).
°- Вычислить поверхностный интеграл второго рода
а-
где о- — внешняя сторона плоскости 2х + Зу + 4z = 12, расположены в Первом октанте (ж 0, у 0, z 0).
233
Вариант 5
1. Вычислить интеграл
J(x~ y)dl, L
L — левый лепесток лемнискаты г = a-</cos 2<р, а > 0.
2.	Вычислить работу силового поля F = (ж + у + 2)i + (8ж + 7у + 6)j по контуру треугольника, стороны которого лежат на прямых ж = 0, у ~ 0. Зж + 2у = 6, и результат проверить при помощи формулы Грина.
3.	Вычислить
+ Юж2?/) dx +
+ Юж2у I dy.
(0,4=)
V w
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
S
где S — нижняя часть полусферы ж2 + у2 + z2 = R2, z <С 0.
5.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ст
где а — внутренняя сторона конической поверхности ж2 + у2 = z2, расположены в первом октанте (ж 0, у 0,0 z h).
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В этой главе все рассматриваемые функции будут предполагаться дифференцируемыми достаточное число раз.
§1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ
Скалярное поле
Функция U(t) = U(x,y,z), где г = x-i + y- j + z- k — радиус-вектор произвольной точки пространства R3, называется скалярным полем.
Скалярное поле можно рассматривать как обыкновенную функцию U = — U(x, у, z) трех переменных.
Наряду с определенными выше скалярными полями рассматривают также плоские скалярные поля, т. е. функции U = U(г) = U(x, у), где г = х • i 4- у • j — радиус-вектор произвольной точки плоскости.
Поверхностью уровня скалярного поля U = U(x,y,z) называется множество точек пространства R3, удовлетворяющих уравнению U(x, y, z) = с, где с — произвольная постоянная.
Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U = U(x,y).
Понятие поверхности уровня и линии уровня скалярного поля тождественны понятиям, соответственно, поверхности уровня функции U = U(x, у, z) трех переменных и линии уровня функции U = U(x,y) двух переменных.
Векторное поле
Вектор-функция F(r) = Р(х, y,z) • i + Q(x, y,z) -j + R(x, y,z) • k называется векторным полем.
Вектор-функция F(r) = P(x, y) • i 4- Q(x, y) • j, где r = x • i 4- у • j, называется Плоским векторным Полем.
Линии г(£) = (ж(<), ?/(£), z(£)), касательные к которым в каждой их точке совпадают с направлением векторного поля F(F, Q, R), называются векторными линиями этого ПОЛЯ.
Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля.
235
Векторные линии векторного поля F(F, Q, R) могут быть найдены из системы дифференциальных уравнений:
'f = Р(х,»,г),
' тт = Q(x, у, г), at ^ = R(x,y,z) at
или из системы, записанной в симметрической форме:
dx _ dy _ dz Р ~ Q R
Векторные линии поля называют также силовыми линиями или линиями тока.
Г радиент
Градиентом скалярного поля U = C7(a?,y,z) называется векторное поле gradl/=^i + ^-j+^k = Uii + £7;.j + Uik.	4=
дх ду dz	*
Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля U показывает направление наибольшего роста функции U = U(x,y,z).
Величиной градиента называют скалярное поле
Igrad Г| = y/fUtf + (Г')2 + (С/')2.
5.1.1. Найти величину и направление градиента скалярного поля U = = х2 — у2 + yz — х в точке А(1,0, —1).
Q Находим частные производные функции 17:
U'=2x-1, U' = -2y + z, U'=y.
Таким образом, grad U = (2х — 1) • i + (—2у + z) • j + у • к. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим:
grad 17(A) = i—j = (1,—1,0).
Величина градиента при этом будет
|grad U(A) | = У12 + (-1)2 + О2 = 72.	•
Найти градиент скалярного поля U(x,y,z):
5.1.2. U = xyz.
5.1.4. U = exy — yz2.
5.1.3.	U = х2 + у2 — z2.
5.1.5.	U = 1п(а;2 + у2 + z2).
236
Найти градиент скалярного поля U(x,y,z) в точке A(xq, уо, zq):
5.1.6.	U = Зя2 — ху3 + xz — г2, Л(1,2,3).
5.1.7.	U = zsin(x — y), А
5.1.8.	U =	4(2,0,1).
5.1.9.	U = arctg(z + 2у + z2), Л(1,1,0).
5.1.10.	В каких точках градиент скалярного поля U = ху + 2z — z2: а) коллинеарен вектору а(1, —1,2);
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	перпендикулярен плоскости 2х + у + z = 1?
Э Вычислим градиент поля: gradCZ = у -i + ж - j + (2 - 2z) k = (у,х, 2 - 2z). а) Для ответа на этот вопрос напишем условие коллинеарности векторов grad U и а:
У = а: = 2 — 2z х_ = У_ = z-1 1-1	2—11	-1 ’
Это уравнение прямой, проходящей через точку Мо(0,0,1) с направляющим вектором /(-1,1,-1).
б)	i(l, 0,0) — направляющий вектор оси Ох. Условием перпендикулярности векторов grad U и а является равенство нулю их скалярного произведения: grad U • i = 0 <=> у = 0. Уравнение у = 0 задает плоскость Oxz. Во всех точках этой плоскости grad U перпендикулярен оси Ох.
в)	Поскольку grad U перпендикулярен плоскости 2x+y+z = 1, то он коллинеарен ее нормальному вектору п(2,1,1), т. е. должны выполняться равенства	у *	_ 2	у 2
2	1	12	4	-1 '
Следовательно, gradt/ перпендикулярен исходной плоскости в точках прямой, проходящей через точку Мо(0,0,1) с направляющим вектором «(2,4,— 1).	•
5.1.11.	В каких точках плоскости R2 градиент плоского скалярного поля U = ±х2 — х + ^у2 перпендикулярен радиусу-вектору г = s-i + 3/-j?
5.1.12.	Найти угол между градиентами поля U =	—- в точках
у2 + z2
Л(3,0,1) и В(1,-1,0).
5.1.13.	В каких точках градиент скалярного поля
U = г2	(г = х • i + у • j + z • к, г = |г|) :
а)	параллелен оси Ох;
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	параллелен плоскости х — у + z = 3;
г)	перпендикулярен плоскости х — Зт/ + 2z — 1 = 0;
д)	равен 0;
е)	имеет величину, равную 4?
237
5.1.14.	Найти линии уровня плоских скалярных полей:
a)	U = ху;
б)	U = г2, где г = х -i + y • j, г = |г|;
в)	U = arcsin(a; + у).
5.1.15.	Найти поверхности уровня скалярных полей:
a)	U = г, где г = х • i + у • j + z • к и г = |г|;
б)	U = х2 + у2;
х	х2 + у2
в)	и = arctg-----—.
z
5.1.16.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = f(r), где г = = z-i + y-j + z • к и г = |г|, функция f(t) определена для всех t 0 и:
а)	/(0 — монотонна;
б)	f(t) — не монотонна.
5.1.17.	Найти векторные линии векторного поля F(P, Q,/?):
a)	F(3,l,2);
б)	F(y,x,z);
в)	F(z - у,х - z,y - х).
Q а) Составим нормальную систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные линии поля:
' dx _ dt
dz . dt
Ее решениями будут прямые линии, задаваемые в параметрической форме системой уравнений:
Г х — 3t 4-
< у = t -h з/о, [z = 2t + zq, (o?o, Уоч to — произвольные постоянные). Таким образом, векторными линиями будут прямые с направляющим вектором £(3,1,2).
б)	В этом случае можно поступить так же, как в пункте а), составив систему линейных однородных дифференциальных уравнений и решив ее (см. § 7, глава 2). Однако векторные линии находятся проще с помощью метода составления интегрируемых комбинаций. Проиллюстрируем его в этом (и в следующем) пункте.
Запишем уравнения векторных линий в виде системы
dx _ dy _ dz У ~ х ~ z •
Равенство	образует первую интегрируемую комбинацию. Это
у •L
уравнение легко решается методом разделения переменных: xdx = ydy,
238
откуда х2 = у2 + С\. Для получения еще одной интегрируемой комбинации используют обычно известное свойство пропорции:
dl   d2 _ G3   kidi + k2d2 + k3d3 bi	b2 b3	kibi + k2b2 + k3b3 ’
причем множители кг подбирают так, чтобы в числителе образовался дифференциал знаменателя или чтобы в знаменателе получался нуль, а в числителе — полный дифференциал. В нашем случае, складывая числители и знаменатели первых двух дробей (здесь ki = к3 = 1, к3 = 0), получим следующую интегрируемую комбинацию
d(x + у) = dz Xiy Z ’
Интегрируя данное равенство, получаем х + у = C2Z. Таким образом, векторные линии задаются системой
(я2 - У2 = Ci,
|/ + У = C2z,
т. е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров х2—у2 = = Ci с плоскостямих+у- C2Z = 0.
в)	Запишем, как и в пункте б), уравнения векторных линий поля в симметрической форме:
dx _ dy _ dz z — у x — z у — x
Составим первую интегрируемую комбинацию:
dx _ dy _ dz _____________dx + dy + dz_____= d(a; + ?/ + z)
z-y ~ x — z y-x~ (z-y} + (x- z) + (y-x}	0
Чтобы последнее отношение равнялось предыдущим, необходимо, чтобы выполнялось d(x + у + z) = 0, т. е. х + у + z = С. Вторая интегрируемая комбинация может быть получена следующим образом:
dx _ dy _ dz _
z — у ~ х — z у — х
xdx + ydy + zdz	d^+y2 + z^
x(z - у) + y(x - z) + z(y - x)	0
Следовательно, d (^(®2 + У2 + z2)j = 0? т. e. а;2+?/2+г2 = R2. Таким образом, векторные линии получаются как пересечение плоскостей x+y+z — = С со сферами х2 + у2 + z2 = R2 и, следовательно, являются окружно-
х У z
стями с центрами на прямой у = у = у и расположенные в плоскостях, отсекающих на осях координат равные отрезки.	•
239
Найти векторные линии плоских векторных полей:
5.1.18.	F = х • i + у • j.	5.1.19. F = ?/i + a;*j.
5.1.20.	V = (y,-x).
Найти векторные линии пространственных векторных полей:
5.1.21.	F = a- i + 6- j + c-k, где а, Ь, с — константы.
5.1.22.	F = (у + z) • i + (ж + z) • j + (х + у)  к.
5.1.23.	F(—у, х, а), где а — константа.
5.1.24.	Доказать, что grad (u-v) = и - grad v + v • grad и.
Q По определению градиента скалярного поля имеем:
grad (и  v) = ((w)i, (uv)y, (ии),г).
Используя правило дифференцирования произведения функций, а также правила сложения векторов и умножения их на число в координатной форме, получаем:
5.1.25.
grad (w • v) = (uxv + uvx, u'yv + uv'y, uzv + uv’z) = = (uxv,uyv,uzv) + (uv'xiuv'y,uvz) = v  (u'x,u'y,uz) + и  (vx,v'y,vz) =
= и • grad v + v  grad u.
Докажите свойства градиента скалярного поля:
a)	grad (U + С) = grad U, где С — константа;
б)	grad (С • U) = С • grad L7, где С — константа;
в)	grad = -i-(v • grad и — и • grad v). и чг
Докажите равенство grad (у?(и)) = <p'(u) • grad-u.
Найти grad (и • ^(w)).
тт	,	\ 9f , df ,
Доказать, что grad /(и, v) = -x— • grad и + — • grad v.
Ou	ov
5.1.26.
5.1.27.
5.1.28.
В следующих задачах r = a;-i + ?/-j + z- k иг = |r |.
5.1.29.	Вычислить grad г.	___________
Q Найдем длину вектора г: г = |г| = у/х2 4- т/2 + z2. Далее находим частные производные функции г:
х	—г-;—2	г» у	гг,—т~;—2	г ’
у/Х2 + у2 + Z2	уж2 + у2 + Z2
/ _ _____Z______ _ z^
у/х2 +у2 + Z2 Г
Следовательно, градиентом скалярного поля г будет векторное поле
gradr = (7,7,^) = ^(x,y,z) = £.
5.1.30.	Доказать, что gradr2 = 2г.
240
5.1.31.	Найти grad/(г).
fe.1.32. Найти grad (с • г), где с — фиксированный вектор.
5.1.33.	Найти производную поля U = г в направлении вектора г.
известно, производная по направлению единичного вектора I = grad U-t.
Q Как пгт функции U = U(x, у, z) может быть найдена по формуле: isl
Находим градиент скалярного поля L7: grad U = grad г = - (см. зада-
чу 5.1.29). Единичным вектором, а т* т* вектор г, будет вектор £= — = -. |г|
имеющим то же направление, что и Тогда
^ = gradt/./=E J = ^(r.r) = 4 = l. ot	' ' г	г
5.1.34.	Найти производную поля U = | в направлении градиента скалярного поля v = г.
Дополнительные задания
5.1.35.	Найти поверхности уровня скалярного поля
5.1.36.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = ех +у .
5.1.37.	Показать, что для скалярного поля U = х2 + у2 + z2 векторные поля grad U и grad | grad L7| коллинеарны.
5.1.38.	Найти угол между градиентами скалярных полей U = xyz и V = yz + zx + ху в точке Л/о(1, —1,2).
5.1.39.	В каких точках пространства градиенты скалярных полей U = = х2 + у2 4- z2 и V = х2 — у2 4- z2 перпендикулярны?
5.1.40.	Найти поверхности уровня скалярного поля |grad U\, где скалярное поле U задано равенством U = ху 4- yz 4- zx.
5.1.41.	Доказать, что линии уровня плоских скалярных полей U = ху и V = х2 — у2 перпендикулярны в каждой точке плоскости, кроме начала координат.
5.1.42.	Найти векторные линии поля F = yz • i 4- xz • j 4- ху • k.
5.1.43.	Найти векторные линии поля F = г, где r = a;-i4-y-j4-z-k.
5.1.44.	Найти г х gradr, где г = |r|. ar = a;-i4-3/-j4-z-k.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.1.45.	Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же набором поверхностей уровня?
5.1.46.	Верно ли, что если поверхности уровня у скалярных полей U и V одинаковы, то эти поля удовлетворяют условию
U — V = const ?
241
5.1.47.	Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пересекаться?
5.1.48.	Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набор векторных линий?
5.1.49.	Привести пример двух пространственных скалярных полей, у которых поверхности уровня ортогональны в каждой точке пространства.
5.1.50.	Вдоль каких линий градиент скалярного поля U = ху 4- уz + zx сохраняет свое направление?
5.1.51.	Найти силовые линии векторного поля
F(nz — ly, lx — mz, ту — пх).
5.1.52.	Найти производную скалярного поля U в направлении градиента скалярного поля V.
5.1.53.	Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U и векторными линиями grad U.
5.1.54.	Верно ли, что если линия, уравнение которой х2 + у2 = 1, является линией уровня некоторого скалярного поля U, то линия х2 + у2 = 2 тоже является линией уровня того же скалярного поля?
§2. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
Дивергенция и ротор
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(P, Q,R) называется скалярное поле, определяемое равенством
divF =	= Р* + Q'„ +
Ротором векторного поля F(P, Q, Р) называется векторное поле, определяемое следующим образом:
rot F =
ЗЯ _ dP_dR dQ_ дР\ _ (р> _ р> _	_ р>
ду dz' dz дх' дх ду) 1 у 4z' 2 х'Чх у
Для удобства запоминания ротора принята формальная запись:
rot F —
д дх Р
ду dz
Q Р
где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной этой функции.
242
физический смысл ротора2 : если вектор-функция v является полем скоро-
стей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгновенную угловую скорость w этого вращения: w = ^rot v-
ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.
Оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона или оператор V (набла) определяется формулой
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координа-д д д .
тами д$' dy' dz'
VU =
д д rL\TT=W..cW..dUk dx'dy'dz) дх dy* dz
VF =
д_ д_ д\ (Р п ps^dP.dQ.dR дх'ду’дг) {,Ч,)~дхдудг'
VxF=	х(Р,(?,Я) =
\дх dy dzJ
i	j	k
д_	д_	д_
дх	dy	dz
Р	Q	R
Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:
VI/ = grad U, V • F = div F, V х F = rot F.
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа (обозначаемый V2 = V • V или А) определяется фор-
мулой
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям определяется равенствами:
2П = ( &_ а2 .	„ д2и д2Ц д2
\дх2 dy2 dz2) дх2 dy2 dz2
AF = V2F = V2(Pi + Qj + Як) = (V2P)i + (V2Q)j + (V2P)k.
Скалярное поле U(x,y, z) называется гармоническим, если Al/ = 0.
2O физическом смысле дивергенции будет сказано в следующем параграфе.
243
5.2.1.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = ху2 • i - yz • j + z2 • k.
Q По определению, divF = P^ + Qy + R'z. В нашем случае P = ху2, Q = — yz, R = z2. Отсюда находим P' = у2, Q'y — —z, R'z = 2z. Следовательно, divF = y2 — z + 2z = y2 + z.
Вычислим ротор поля F:
= (p' - о + (p; -	+ (Qi - р> =
= (0 + y)i + (0 - 0)j + (0 - 2xy)k = (y, 0, -2xy). •
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
5.2.2.	F = с, где с — постоянный вектор.
5.2.3.	F = г, где r = a;-i + ?/-j + Z'k.
5.2.4.	Y(yz ,xz,xy).
5.2.5.	F Q(t/2 + 22), |(z2 + a;2), j(z2 + y2)^.
5.2.6.	F = x2y • i + y2z  j + z2x • k.
5.2.7.	Вычислить дивергенцию и ротор градиента скалярного поля U = U(x,y,z).
5.2.8.	Вычислить div где r(x,y, z) и г = |г|.
Q ^ = y- i+ y- j + |-k. Найдем
р, = (х}> = r-x-г^ =
х {г)х г2	2
р _ ____—_____	2
_ Г — х(у/х2 + у2 + Z2YX _ у/х2 + у2 + Z2) _ г — у- _ г2 _ х2
~	^2	~	^2	—	^2	~	^3
Аналогично находим
о> = (У\	= г2~У2	и	о/ =	(zx>	= г2-z2
V/y г3	И	Rz	'r z г3 ‘
Следовательно,
div у =
г2 — х2 г3
г2 — у2 г3
г2 — z2 _ Зг2 — г2 _ 2
гз — гз ~ г'
5.2.9.	Вычислить div (г • г).
5.2.10.	Вычислить div(/(r) • г).
5.2.11.	Доказать равенство div(/ • F) = grad f  F + f • divF.
Q Пусть F = P • i + Q • j + R • k. Тогда / •F = /- P- i + /Q-j + /- P- kH
div(/ • F) = (/P)i + (fQYy + (/P)t = (Л • P + f • P') + (4 • Q + f • Qp+ + (/;-p + /-pi) = (/'- p + /;-Q + /;-p) + /-(p; + Qi+Pi).
244
В первой скобке стоит скалярное произведение градиента скалярного поля / на вектор F, а во второй — дивергенция векторного поля F. Таким образом, div(/ • F) = grad f • F + f • div F.	•
5,2.12.	Доказать свойства линейности дивергенции:
a)	div(Fi + F2) = divFi + divFa;
6)	div (с • F) = с • div F, где с — константа.
5.2.13.	Доказать равенство: div((7 -с) = gradU-с, где с — постоянный вектор.
5.2.14.	Вычислить div(U gradV).
5.2.15.	Доказать равенство div(Fi х F2) = F2 • rot Fi — Fi • rotF2-
5.2.16.	Доказать свойства линейности ротора:
a)	rot (Fi + F2) = rot Fi + rot F2;
6)	rot (c • F) = c • rot F, где c — произвольная постоянная.
5.2.17.	Доказать, что rot (/ • F) = f • rot F + grad f x F.
Э Пусть F = P-i + Q- j + Я- к. Тогда f • F = f • P • i + f -Q • j + f • Як.
Найдем rot (/ • F):
rot (/ • F) =
d dx fP
j d dy fQ
к d dz fR
= WRYy ~ UQYt] - ЛСЖ - tfPYz\ + WJQYX - (fPYy] =
= i[f'yR + fR'y-f'zQ- fQ’z] - j[/iR + fRx ~ f'zP ~ fPz]+
+ k[f'Q + fQ'x - fyP - fPy] =	- Qz) - Ж - P’z) + k(Q; - P')]+
+ WJyR - f'zQ)	fzP) + WXQ - f'yP)] =
к d dz R
= f • rot F + grad f x F. •
5.2.18.	Доказать, что div(rotF) = 0.
5.2.19.	Вычислить ротор векторного поля F = r-с, где с — постоянный вектор, аг — модуль радиуса-вектора г.
5.2.20.	Для векторного поля F(xy, yz, zx) вычислить rot (rot F).
5.2.21.	Найти grad (div F), если F(xyz2,xy - z,zx2).
5.2.22.	Записать с помощью оператора набла V векторные поля:
a) grad (div F);	б) rot (grad U).
а)	Дивергенция векторного поля F с помощью оператора V записывается так: V • F. Градиент скалярного поля U через оператор V выражается следующим образом: VL7. Следовательно,
grad (div F) = V(divF) = V(V • F).
б)	Ротор векторного поля F с использованием оператора V записывается следующим образом: V х F. Следовательно,
rot (grad U) = V х (grad U) = V x (V(7).	•
245
5.2.23.	Записать с помощью оператора Гамильтона следующие выражения:
a) div(gradtZ);	б) div(rotF);
в) rot (rot F);	г) rot (grad (div F)).
5.2.24.	Доказать следующие равенства:
а) V х (VC7) = 0;	б) V • (V х F) = 0;
в) V • (VC7) = V2U = AL7.
5.2.25.	Доказать свойства линейности оператора Гамильтона:
a)	V(C1L71 + C2U2) = Ci • VL71 + С2 • VL72;
б)	V • (GFx + C2F2) = Ci(V • FJ + C2(V • F2);
в)	V x (GFj +C2F2) =G(Vx F0 + C2(V x F2), где C15 C2 — произвольные постоянные, Ui, U2 — скалярные поля, a Fj, F2 — векторные поля.
5.2.26.	Доказать равенства (U, V — скалярные поля, F, Fi и F2 — векторные поля):
a)	V(t/ • V) = UW + VVU;
б)	V(t/ • F) = t/(V • F) + (Vt/) • F;
в)	V(Fi x F2) = F2 • (V x Fj) + Fi • (V x F2);
г)	V x (UF) = U(y x F) + (VU) x F.
Дополнительные задания
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
5.2.27.	F = ?/-i + z-j + a:-k.
5.2.28.	F = ху • i + yz • j + zx • k.
5.2.29.	F = (a;3 + y2 + z) • i + (y3 + z2 + x) • j + (z3 + x2 + y) • k.
5.2.30.	F=^-i+^-j + ^-k.
5.2.31.	Найти угол между роторами векторных полей Fi(x2y,y2z, z2x) и F2(z,x,y) в точке Л/о(1,1,1).
5.2.32.	Найти длину ротора векторного поля F(a; — z2,yz,x2 + у2) в точке М(1,2,-1).
5.2.33.	В каких точках пространства ротор векторного поля
F(y2 + z2,z2 +х2,х2 +у2)
перпендикулярен оси Ох?
5.2.34.	В каких точках пространства ротор векторного поля F(x2y,y2z,z2x)
перпендикулярен плоскости х + у + z = 2?
5.2.35.	В каких точках пространства роторы векторных полей
F1(xy,yz,zx) и F2(z,x,y)
коллинеарны?
246
В следующих задачах r = a?-i + ?/-j + z- k иг = | г |:
5.2.36.	Вычислить div(c х г), где с — постоянный вектор.
5.2.37.	Вычислить divb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.38.	Вычислить divr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.39.	Вычислить rot (с х г), где с — постоянный вектор.
5.2.40.	Вычислить rotr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.41.	Вычислить rotb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.42.	Доказать свойства оператора Лапласа:
a)	A(Cit7i + C2U2) =	+ C2&U2,
б)	• U2) = th • Д£72 + 2(V*7i) • (VZ72) + U2 • At7i.
Контрольные вопросы и более сложные задания
В следующих задачах r = x- i + j/-j + z- k и г = | г |:
5.2.43.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = /(г) • с, где с — постоянный вектор.
к
5.2.44.	Доказать, что если div(/(r) • г) = О, то /(г) = —.
г6
5.2.45.	Вычислить div (grad/(г)). Какова должна быть функция f(r), чтобы div(grad/(r)) = 0.
5.2.46.	Вычислить rot [с х /(г) • г], где с — постоянный вектор.
5.2.47.	Доказать равенство: grad (divF) = V2F + V х (V х F).
5.2.48.	Доказать равенство: rot (rotF) = V(V • F) — V2F.
5.2.49.	Векторное поле F задано равенством: F = c-ln г, где г — модуль радиуса-вектора точки. Найти VF, V х F и V2F.
§ 3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть в области Q С R3 задано некоторое векторное поле F = Pi + Qj + Pk, где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) — непрерывно дифференцируемые в области Q функции. Пусть S С П — гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью n(cosa,cos/?, cos 7) к этой поверхности.
Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной нормали п называют поверхностный интеграл первого рода:
П =	• ndS = cos а + Qcos/3 + К cos 7) dS.	(31)
s	s
Если обозначить через Fn проекцию вектора F на направление вектора п, то, учитывая, что имеет место равенство F • n = |F| • |n| cos 9? = |F| • cos ip = Fn (где ip — угол между векторами F и п), формулу для вычисления потока можно записать в форме, которая не зависит от выбора системы координат:
• dS.
247
Поверхностный интеграл первого рода в формуле (3.1) связан с поверхностным интегралом второго рода равенством:
П = cos Q + Q cos @ + R cos 7) dS = УУP dydz + Q dzdx + R dxdxy, (3.2)
S	(S,n)
которое дает еще один способ вычисления потока.
Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S равен общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени.
Используя понятие потока, можно понять физический смысл потока (см. также задачу 5.3.39). Дивергенция векторного поля F в точке М есть предел отношения потока поля через сферу 5 достаточно малого радиуса, окружающую точку М, к объему V шара, ограниченного этой сферой, при стремлении диаметра d шара к нулю: div F = lini Fn  dS
s
Формула Гаусса-Остроградского
Теорема 5.1 (Остроградский). Пусть 5 — замкнутая гладкая ориентируемая поверхность, являющаяся границей тела V и n(cosa,cos/3, cos7) — единичная внешняя нормаль к S. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно дифференцируемо на S и в V. Тогда
jJ(Pcosa + Qcos/3 + Rcosy'jdS =	+
s	vx
(з.з)
Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (3.3), представляет собой дивергенцию векторного поля F, интеграл, стоящий слева, представляет собой поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали. Поэтому формула (3.3) может быть переписана в виде:
divFdV.
Если использовать оператор Гамильтона, то формула Гаусса-Остроградского (3.3) может быть записана в следующей форме:
IfFnds=ffIVFdv-S	V
Формулу Гаусса-Остроградского часто применяют для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность S. Однако следует иметь в виду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле было непрерывно дифференцируемым внутри поверхности S. Это условие всегда
248
будет выполнено, если область Q, в которой рассматривается поверхность S, пространственно односвязная:
Область П С R3 называется пространственно односвязной, если из того, что замкнутая поверхность S лежит в Q, следует, что тело V, границей которого является поверхность S, тоже лежит в П.
х 4- у — z = 0, располо-п образует острый угол
= х2 4- у2, удовлетвори-
5.3.1.	Вычислить поток векторного поля F(F, Q, R) через поверхность
S в сторону, определяемую вектором единичной нормали п к поверхности S, если:
a)	F(4, —5,2), a S — часть плоскости х 4- 2у 4- Зг = б, расположенная в октанте х 0, у 0, z 0, п образует острый угол с осью Oz\
б)	F(0, ?/, 0), S — часть плоскости 1 — женная в октанте х 0, у 0, z 0, а с осью Oz’,
В) F(l,l,z), S — часть параболоида z
ющая условию z 1, а п — внешняя нормаль к параболоиду. Q а) Хорошо известно, что нормальным вектором к плоскости является вектор, координаты которого суть коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. В нашем случае — это вектор т(1,2,3). Поскольку т • F = 1-44-2 - (—5) 4-3• 2 = 0, то нормаль m к плоскости, (а, значит, и единичная нормаль п к этой плоскости) перпендикулярна векторному полю. Но тогда
JjFadS= fj0dS = 0.
S ' s
б)	Вычислим поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла II рода (формула (3.2))
П = JJ Р dydz 4- Q dzdx 4- Rdxdxy = J J у dzdx (S,n)	(S,n)
(в нашем случае P = R = 0, Q = у). Для вычисления последнего интеграла изобразим на чертеже поверхность S (рис. 53) и ее проекцию Dxz на плоскость Oxz (рис. 54)
Нормаль п к плоскости 1 — х + у — z = 0, образующая острый угол с осью Oz, образует тупой угол с осью Оу (это очевидно из чертежа; однако несложно показать, что нужную сторону поверхности S задает единичная
(1 1 1 \
—------—= ); здесь cos7 > 0, a cos/? < 0, следовательно,
Уз Уз Уз/
п образует острый угол с осью Oz и тупой — с осью Оу). Поэтому при сведении поверхностного интеграла к двойному по области Dxz перед
249
Рис. 53
Рис. 54
двойным интегралом необходимо поставить знак минус:
П = jj у dzdx = — jj(z + х — 1) dxdz (S,n)	Dxz
1—x
j (z + x — l)dz = 0
в)	Изобразим поверхность S вместе с требуемой в условии задачи нормалью на рис. 55.
Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль п (т. к. она — внешняя нормаль) образует тупой угол с осью Oz. Также ясно, что она образует острый угол с осью Ох в тех точках, где х 0 и тупой — в тех, где х < 0. Аналогично, п образует острый (тупой) угол с осью Оу в точках, где выполняется неравенство у > 0 (у < 0). Для вычисления потока векторного поля напишем интеграл II рода:
П = jj Р dydz + Q dzdx + R dxdy = jj dydz + dzdx + z dxdy = (5,n)	(S,n)
= jj dydz + jj dzdx + jj z dxdy.
(S,n)	(S,n)	(S,n)
Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления интеграла
jdydz
(S4n)
250
разобьем поверхность S на две части: Si и S? плоскостью Ozy (Si отвечает той части параболоида, где х 0). Необходимость разбиения продиктована, как уже отмечалось выше, тем фактором, что нормаль п на Si образует острый угол с осью Ох (т.е. cos а > 0), а на S2 — тупой. Проекцией и Si и S2 на плоскость Ozy является одна и та же область Dzy, показанная на рис. 56. Следовательно,
(S,n)
(Si,и)
(S2,n)
Рис. 55
Рис. 56
Знак минус перед вторым двойным интегралом поставлен постольку, поскольку на S2 нормаль образует тупой угол с осью Ох (или, что то же самое, cos а < 0). Из соображений симметрии понятно, что и
Jf dzdx = 0.
(S,n)
Осталось вычислить	? ?
zdxdy.
(S.n)
Как отмечено выше, cos 7 < 0. Поэтому имеем:
ff z dxdy = — Ц (х2 + у2) dxdy,
(S,n)
гДе Dxy — проекция поверхности S на плоскость хОу (она изображена На рис. 57). Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:
2тг
251
Рис. 57
Таким образом, поток векторного поля равен — •	•
Вычислить поток векторного поля F(P,Q,R) через поверхность S в сторону, определяемую нормалью п к поверхности S, если:
5.3.2.	F(2, —1,1), S — квадрат: 0 ж 1, 0 у 1, 2 = 1, нормаль
п направлена вверх.
5.3.3.	F(—у,х, z), S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, заключенная ме-
жду плоскостями z = 0 и z = 1, п — внешняя нормаль.
5.3.4.	F(x,y,0), S — часть плоскости у + z = 1, расположенная в
первом октанте между плоскостями ж = 0иж = 1,п образует острый угол с осью Оу.
5.3.5.	F(x, у, z), S — полусфера х2 + у2 + z2 = R?, расположенная в полупространстве z 0, л образует острый угол с осью Oz.
5.3.6.	F(y — z,z — х,х — у), S — часть конуса z2 = х2 + у2, заключенная
между плоскостями z = 0nz = 2,n образует тупой угол с осью Oz.
5.3.7.	F(l, 0,0), S — поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями ж + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0.
5.3.8.	F(xy, yz, xz), S — часть сферы x2+y2+z2 = R?, расположенная в первом октанте, л — внешняя нормаль к сфере.
5.3.9.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского вычислить поток векторного F поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали:
a)	F = х2 • i + у2 • j + z2 • k, S — поверхность куба 0 х а, O^y^Cl, O^Z^CXj
б)	F(x(z — у),у(х — z), z(y — х)), S — произвольная замкнутая поверхность.
Q а) Вычислим дивергенцию поля:
div F = (х2)'х + (у2)' + (z2n = 2(х + у + z).
Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, вычислим поток
252
векторного поля:
П = JJF • n dS =	div F dV = 2 JJJ(X + у + z) dxdydz =
SV	V
a a a
= 2 Jdx jdy f(x + у + z)dz 0	0	0
Промежуточные вычисления, в силу их очевидности, опущены, б) Пусть V — тело, ограниченное поверхностью S. Тогда
П= /TTdivFdV.
= За4.
Но
divF = [ж(г — у)]^. + [у(ж — г)]^ + [г(?/—	= (z - у) + (х- z) + (у - х) = 0.
Следовательно, и поток равен 0.	•
5.3.10.	Доказать, что поток постоянного векторного поля F = с через любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.11.	Докажите, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, что поток радиуса-вектора г через любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью.
В задачах 5.3.12-5.3. Ц вычислить поток векторного поля F через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если:
5.3.12.	F(x,z,y), S — полная поверхность цилиндра х2 4- у2 = R2,
z = 0, z ~ Н.
5.3.13.	F = xz • i 4- у2 • j 4- х ♦ k, S — полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями х 4- у = 1, х = 0, у = 0, z = 0, z = 1.
5.3.14.	F = (у2 — z) • i 4- ху • j — (у 4- х) • k, S — полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = О, у = 0, z = 0.
5.3.15.	Используя задачу 5.3.11, найти поток радиуса-вектора г через полную поверхность пирамиды ABCD с вершинами в точках А(—1,0,0), В(1,1,0), 67(1,-1,0), 19(0,2,3).
5.3.16.	Найти поток градиента скалярного поля U = х2 4- у2 4- z2 через поверхность уровня U = 1 этого скалярного поля в направлении внешней нормали.
5.3.17.	Найти поток ротора векторного поля F(yz,zx,xy) через сферу ж2 4- у2 4- z2 = 4 в направлении внешней нормали.
5.3.18.	Найти поток векторного поля F(x — 1,у 4- 3, z) через боковую поверхность конуса z2 = х2 4- у2, заключенную между плоско-. стями 2 = 0и2 = 1в направлении внешней нормали.
Q Рассмотрим тело V, границей которого служит коническая поверхность z2 = х2 4- у2 (Si) и плоскость 2 = 1 (S2) (см. рис. 58).
253
Рис. 58
На поверхности S = Si U S2, являющейся объединением поверхностей Si и S-2, возьмем внешнюю нормаль п. Поток П через поверхность S складывается из потоков П1 и П2 через поверхности Si и S2 соответственно. Следовательно, интересующий нас поток может быть найден как разность потоков: П1 = П — По- Поток П может быть найден по формуле Г аусса-Остроградского:
ffF-ndS = fffdivFdV = SfffdV.
SV	V
Последний интеграл представляет собой объем тела V. Тело представляет собой конус с высотой h = 1 и радиусом основания R = 1. По известной из элементарной математики формуле, его объем равен ^7гЛ2Л — ^7г. Отсюда П = 3 • ^7г = тг. Поток П2 (через плоскость z = 1) может быть вычислен довольно просто. Внешней единичной нормалью к плоскости является вектор п(0,0,1). Поэтому
S-2
St
Поскольку z = 1 на S2, а элемент площади (dS) равен элементу площади ее проекции на плоскость Оху (dxdy), то последний интеграл сводится к двойному:
// dxdy, Dxy
где Dxy — круг с центром в начале координат и радиуса 1. Этот интеграл выражает площадь этого круга, которая равна тг. Следовательно, искомый поток через коническую поверхность равен П1=П — П2 = тг — % = = 0.	•
254
ffaiimu поток векторного поля F через незамкнутую поверхность S в направлении нормали п, используя формулу Гаусса-Остроградского:
5.3.19.	F(l, 2,3), S — боковая поверхность конуса, осью которого служит ось Oz, вершина находится в точке M(h,0,0), а основание — круг радиуса R, лежащий в плоскости Оху.
5.3.20.	F(x3,т/3,0), S — верхняя часть сферы х2 4- у2 4- z2 = 1, распо-
ложенная выше плоскости Оху, п образует острый угол с осью Oz.
5.3.21.	F(2a?, — у, z), S — боковая поверхность цилиндра х2 4- у2 = R2,
расположенного между плоскостями z = 0 и z — Н, п — внешняя нормаль.
5.3.22.	F = z\ 4- yk, S — часть поверхности параболического цилиндра z = 1 — х2, отсеченная плоскостями т/ = 0, ?/ = l,z = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Oz.
5.3.23.	F = (у — l)i + j — yk, S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, расположенная между плоскостями z = Qvix + y + z = 5, п — внешняя нормаль.
5.3.24.	Найти поток градиента скалярного поля U — х2 + yz через часть сферы х2 4- у2 4- z2 — R2, у 0 в направлении единичной нормали, образующей острый угол с осью Оу.
Дополнительные задания
Вычислить поток векторного поля F через поверхность S в сторону, определяемую единичной нормалью п к поверхности S:
5.3.25.	F = ай — zj 4- ?/2k, S — прямоугольник: 0^ж^2, нормаль п направлена вверх.
5.3.26.	F = x2i — 2.n/j 4- zk, S — сфера: (x — I)2 + (y — 2)2 + (z — 3)2 = 9, n — внешняя нормаль.
5.3.27.	F = (1 — yz)i 4- (1 4- xz)j 4- 2(x 4- y)k, S — часть параболоида z — x2 4- у2, заключенная между плоскостями z = 0, z = 1, n — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz.
5.3.28.	F = zi 4- (1 — z)j 4- xyk, S — часть плоскости x 4- у = 1, ограниченная плоскостями z = 0, z = 1, х = 0, у = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Ох.
5.3.29.	F(0,0, z), S — часть конуса z2 = х2 4- у2, заключенная между
плоскостями z = 0, z = 1, п — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz.
5.3.30.	F(x2,y2,z2), S — боковая поверхность цилиндра, заключенная
между плоскостями z = 0, z = 2, п — внешняя нормаль.
5.3.31.	Найти поток радиуса-вектора г через боковую поверхность пирамиды, вершина которой находится в точке А(4,5,3), а
255
основанием служит четырехугольник с вершинами В(0,0,0), С(1,1,0), Z?(3,-1,0), Е(2,-2,0).
5.3.32.	Найти поток векторного поля F(yz, x+2yz, z2 — z) через поверх-
ность параллелепипеда, построенного на векторах ОА, ОВ и ОС, где 0(0,0,0), А(1,-2,1), В(3,2,1), С(1,0,-1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.3.33.	Показать, что поток градиента скалярного поля С7, являющегося гармонической функцией (т. е. удовлетворяющей уравнению ДО = 0) через любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.34.	Показать, что поток grad (с • г), где г — радиус-вектор, а с — фиксированный вектор, через произвольную замкнутую поверхность равен 0.
5.3.35.	Найти поток поля с х г через поверхность сферы x2+y2+z2=R2 в направлении внешней нормали.
5.3.36.	Отрезок кривой z = y/у, лежащий в плоскости Ozy между точками 0(0,0,0) и А(0,1,1), вращаясь вокруг оси Oz образует поверхность S. Найти поток векторного поля F(y,x,z — 1) через поверхность S в направлении внешней нормали.
5.3.37.	Найти поток векторного поля F(x3,t/3,2:3) через сферу: а) х2 4- у2 + z2 = R2', б) х2 — х + у2 + z2 = 0 в направлении внешней нормали. • / ~з у^ уЗ \
5.3.38.	Найти поток векторного поля F I —г, —2 ’ —2 ) через поверх-\3а Зо Зс у
ность эллипсоида
— -к — -к — = 1 а2 Ь2 с2 ~
в направлении внешней нормали.
5.3.39.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского доказать формулу:
divFW = lmo \k\JlF'adS
S£
где Ve — шар с центром в точке М, a S£ — ограничивающая его сфера, | V£ | — объем этого шара. Используя этот факт показать, что дивергенция не зависит от выбора прямоугольной системы координат.
5.3.40.	Пусть U — дважды непрерывно дифференцируемое скалярное поле в пространственно односвязной области Q. Пусть тело Г П7т
вместе со своей границей S лежит в Q, а --производная
256
5.3.41.
поля U в направлении внешней нормали к поверхности S. Доказать, что
///AL7 dV = Уу	dS (теорема Гаусса).
v	s
Пусть U, V — дважды непрерывно дифференцируемые скалярные поля в пространственно односвязной области Q. Пусть Нт т	нт Z
тело V вместе со своей границей S лежит в (1, а и —--
on дп
производные полей U и V в направлении внешней нормали к поверхности S.	что:
а> //<dS=dv+Ши S	V	V
§4. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть F = Pi + Qj + Pk — векторное поле, заданное в некоторой области Q С R3, и функции P(x,y,z), Q(x,ytz), R(x,y,z) — непрерывно дифференцируемы в области Q. Пусть L — гладкая кривая, расположенная в области Q.
Криволинейный интеграл
У F dr = у Р dx + Q dy + Rdz L	L
(4.1)
называется работой векторного поля F вдоль кривой L.
В случае, если L — замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4.1) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.
Таким образом, циркуляция поля F равна:
У F • dr = у Pdx + Qdy + R dz.
L	L
В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, его циркуляция вдоль загнутой кривой L задается интегралом:
Ц = (bPdx + Q dy.
Сборник задач по высшей математике. 2 kvdc
257
Формула Стокса
Теорема 5.2 (Стокс). Пусть S — гладкая ориентируемая поверхность, a L — замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности S. Пусть n(cosa,cos/3,cos7) — единичная нормаль к поверхности S, задающая одну из ее сторон. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно дифференцируемо на S и L. Тогда
Р dx+Q dy+R dz=
_ff\(dR	0Q\ fdP	dR\	0P\
~JJ[\dv	dz)	+\dz	dx)ms,3{dx	dv)	7\dS~
s
Ж OR 0Q\ (ЭР dR\ j j ,(dQ дР\ , . (л Wy-lrz) dydzR-dTte) dzdx+\^~^)dxdv’ (4-2)
(S.n)
причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора п оно происходит против часовой стрелки.
Левый интеграл в формуле (4.2) представляет собой циркуляцию векторного поля F вдоль контура L, а правый — поток ротора этого поля через поверхность S. Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:
• dr = JJrotFndS = Jj\rot F)n dS, l	s	s
т. e. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность S равен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в положительном направлении). Используя оператор Гамильтона, формулу Стокса можно записать в виде:
^Fdr = xF)-ndS. L	S
В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, формула Стокса принимает вид формулы Грина:
fpdx + Qdy = ff(g-^ dxdy.
L
Формулу Стокса часто применяют для вычисления циркуляции векторного поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить формулу Стокса к контуру L С Q, необходимо, чтобы нашлась поверхность S, целиком лежащая в П, границей которой был бы контур L.
Область Q, обладающая таким свойством, называется поверхностно односвязной областью. Более точно, область Q С R3 называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L С Q найдется поверхность S С Q, границей которого является контур L.
258
5,4.1» Найти работу плоского векторного поля F(P, Q) вдоль кривой L:
a)	F(x2,yx), L — часть параболы у = х2, концевыми точками которой служат точки А(0,0) и В(2,4);
б)	F(y,x), L — арка циклоиды х = t — sini, у = 1 — cosi, 0 t 2тг.
Q а) Вычислим работу поля, применяя формулу (4.1):
А = j х2 dx + ух dy
L
(т. к. поле плоское, то R = 0). Поскольку вдоль кривой L переменные связаны равенством у = х2, то dy = 2xdx, и криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:
22	2
А = [х2 dx + х2 • х • 2xdx = f(х2 + 2z4) dx = f	•
J	J	\3	5 / о 15
о	о
б) Находим dx = (1 — cos t) dt и dy = sin t dt. Тогда
27Г
0
27Г
/ Г1 — 2 cos t + cos2 t +1 sin t —
0
27Г
[1 — 2 cos Л-cos 2t +1 sin t] dt = о
2 sin t + ± sin 2t — t cos t + sin t
27Г
5.4.2.	Найти работу векторного поля F(.t, у, z) вдоль линии L, являющейся пересечением параболического цилиндра z = у2 с плоскостью z + х = 1 от точки А(0,1,1) до точки В(1,0,0).
О Зададим линию L параметрически: положив у = t, получим z = t2, а х = 1 — z — 1 — t2. Тогда dx = —2tdt, dy = dt, dz = 2tdt. Точке A соответствует значение параметра t = 1, а точке В — значение t = 0. Таким образом,
Рdx 4- Q dy + Rdz = /(1 — t2) • (—2t)dt + tdt + t2 • 2tdt =
Найти работу плоского векторного поля F = Pi + Qj вдоль кривой L:
5.4.3.	F = — ^i+ ^j, L — часть окружности х2 + у2 = R2, лежащая в I четверти и пробегаемая против часовой стрелки.
259
5.4.4.	F = —ari+yj, L задана параметрически уравнениями x = у cos t,
у = у/sin t, 0 t
5.4.5.	F = 3?/i + xj, L — ломаная ABC, где 4(0,0), B(l, 1), C(2,4).
Найти работу пространственного векторного поля F(P,Q,R) вдоль кривой L:
5.4.6.	Г(ж, 2у, —z), L — отрезок АВ прямой, задаваемой уравнениями = I = где Ж1>0,-1), В(3,1,-2).
5.4.7.	F(x,y, 1), L — первый виток винтовой линии, заданной параметрически уравнениями х = Я cost, у = Я sint, z = at, 0 t 2тг.
5.4.8.	F(z, 1,2у), L — часть окружности х = cost, у = sint, z = 1, t\ = 0, t2 =
5.4.9.	Найти работу градиента скалярного поля U = xyz вдоль отрезка прямой АВ, где 4(1,2,3), 3(3, —2,3).
5.4.10.	Найти работу ротора векторного поля F(y,z,x) вдоль конической спирали х = tcost, у = t sin t, z = t, 0 t 2тг.
5.4.11.	Найти циркуляцию плоского векторного поля F(P, Q) по замкнутой кривой L в положительном направлении: a) F(—у,х), L — окружность, задаваемая уравнением
х2 + (у + I)2 = R2-,
б) F(2j/, х), L — контур треугольника АВС, где 4(0,0), 3(1,0), С(1,1).
а)	Запишем параметрические уравнения окружности: х = Я cost, у = Яsint — 1, 0 t 2тг. Находим dx = —Rsintdt, dy = Rcostdt. Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
2я
2тГ
J (R2 — R sin t) dt = (R2t 4- R cos t) 0
= 2тг32.
0
б)	Первый способ.
Контур L есть объединение отрезков 43, ВС и С А. Поэтому циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
U=/Fdr= [Fdr+ fFdr+ lF-dr.
L	AB	ВС	CA
Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка 43 имеем у = 0 и, стало быть, dy = 0. Следовательно,
J F • dr = J 2у dx + xdy = 0.
АВ	АВ
260
Вдоль отрезка ВС имеем х = 1 и dx = 0. Поэтому
1
Зх2 °_
2 1
3
2’
вс вс	о
Наконец, вдоль отрезка С А имеем у = х и dy = dx. Следовательно,
о
J F dr = J 2ydx + xdy = j&z dx = CA	CA	1
Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц =
2	.2
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:
L	D
где областью D является треугольник АВС. В нашем случае Р = 2у,
Q = х. Следовательно, -77— = 1, а = 2. Тогда циркуляция поля F дх	ду
вдоль L равна
1 х
1
X
о о
О
1
Jxdx = х о
2 '-.I
2 о 2‘
5.4.12.
5.4.13.
5.4.14.
5.4.15.
5.4.16.
Найти циркуляцию плоского векторного поля F(p, Q) вдоль кривой L (направление обхода — положительное):
F(y2,2xy), L — произвольный замкнутый контур.
F(y, —х), L — окружность х2 + у2 = R2.
F(y, —ж), L — окружность (х — I)2 + (у + I)2 = R2-
F(2x — ху2, —2ху), L — ломаная АВА, где Л(0,0), В(1,1), кривая АВ — кусок параболы у = х2, а В А — отрезок прямой. F(xy, 1), L — граница квадрата	О^т/^1.
Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля F = —ай + zj + yk вдоль эллипса L, получающегося пересечением цилиндра х2 + у2 = 1 с плоскостью х + у + z = 1 (при взгляде с положительного направления оси Oz обход контура L совершается против часовой стрелки).
s} Первый способ.
Запишем параметрические уравнения эллипса: х = cost, у = sin£, z = == 1 — cos t — sin t. При изменении параметра t от 0 до 2тг получаем требу
261
емое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию:
Ц = <f)F  dr = $Р dx 4- Q dy 4- Rdz = j> —x dx + xdy + ydz = L	L	L
2tt	2tt
= J [(— cost)  (— sint) 4- cost • cost 4- sint(sint — cost)] dt = J dt = 2тг. о	о
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве поверхности S, ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости х 4-4- у 4- z = 1, лежащей внутри цилиндра х2 4- у2 = 1. Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной нормалью будет вектор n ( ~^z, -у=,	. По формуле Стокса имеем:
\'v 3 \ 3 \/3/
rot F • n dS =
L

S
'J
S
Вычисление последнего интеграла сведем к вычислению двойного интеграла по области Dxy, являющейся проекцией поверхности S на плоскость Оху. Этой областью будет круг х2 4- у2 1. Поскольку dS = dxdy r-
— -----г = \/3dxdy, то окончательно получаем:
cos 7
S

Dxy
Найти циркуляцию векторного поля F(P,Q,R) вдоль замкнутого контура L:
5.4.18.	F(z2, у2, z2), L — окружность, параметрические уравнения ко-
торой: х = cost, у = sint, z = 1, направление обхода — в сторону увеличения параметра t.
5.4.19.	F(y 4- z,z 4- х,х 4- у), L — окружность, получающаяся пересечением сферы х2 4- у2 + z2 = R2 и плоскости х 4- у 4- z = О, направление обхода— против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oz.
5.4.20.	F(z — у, у — z, z — х), L — контур треугольника АВС, А(1,0, 0). В(1,1,0),С(1,0,1).
262
5.4.21.	f(—Л-,, VH-O),
\ x + у X + y~ J
a)	L — окружность: x = cost, у = sini, z = h; направление обхода — в сторону увеличения параметра;
б)	L — окружность: х = cosi+2, у = sini+2, z = h\ направление обхода — в сторону увеличения параметра.
5.4.22.	F(z - 2у - z, х - z,y + х), L — контур треугольника АВС, где А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
5.4.23.	Найти поток ротора векторного поля Y(y,z,x) через поверхность параболоида z = 4 — х2 — у2, расположенную выше плоскости Оху в направлении нормали, у которой cos 7 > 0.
Q При решении данной задачи имеет смысл воспользоваться теоремой Стокса, поскольку вычисление потока, проведенное непосредственно, сложнее, нежели вычисление циркуляции по границе поверхности. Границей параболоида является окружность L, лежащая в плоскости хОу, параметрические уравнения которой: х = 2cosi, у = 2 sini, z = 0. Таким образом,
2я	2я
У 2sint(—2sini) dt = -4 J ^(l-cos2i) dt = -2 (t - | sin2i о	0
2я
= —47Г. 0
Замечание. Если в аналогичных задачах вычисление циркуляции затруднительно, то можно вновь воспользоваться теоремой Стокса, рассмотрев другую, более простую поверхность, которую ограничивает данный контур. В нашем случае — это мог быть круг в плоскости Оху: х2 + у2 4.	•
5.4.24.	Найти поток ротора векторного поля Y(xz2,y2z,z + у) через часть поверхности конуса (z — I)2 = х2 + у2, расположенную между плоскостями z = 0hz = 1b направлении внешней нормали.
5.4.25.	Найти поток ротора векторного поля F(z, х, у) через часть сферы х2 + у2 + z2 = 1 (z 0) в направлении внешней нормали.
5.4.26.	Тело вращается с постоянной угловой скоростью щ вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности единичного радиуса, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость, в которой лежит окружность, перпендикулярна оси Oz, в направлении оси вращения.
Дополнительные задания
5-4.27. Найти циркуляцию векторного поля F = г/i-l-2zj вдоль ломаной АВС, где А(1,1), В(4,2), С(0,4).
263
5.4.28.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у, х) вдоль кардиоиды х = 2 cos Л — cos2i, у = 2 sin t — sin2i в сторону увеличения параметра.
5.4.29.	Показать, что циркуляция радиуса-вектора г вдоль любого замкнутого контура равна 0.
5.4.30.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у, z,l)
а)	вдоль окружности (х — З)2 + у2 = 1, z = 1;
б)	вдоль окружности х2 + z2 = 1, у = 0.
5.4.31.	Показать, что циркуляция постоянного векторного поля F = с вдоль любой гладкой замкнутой линии L равна 0.
5.4.32.	Найти циркуляцию векторного поля F(z,2,1) вдоль ломаной АВС, где А( 1,3,2), В(0,0,1), С(-1, -1,1).
5.4.33.	Найти циркуляцию векторного поля
F = (z + 2х - 3j/)i + (х + у - 2z)j + т/k
вдоль контура треугольника АВС, где А(2,0,0), В(0,3,0), С(0,0,1).
5.4.34.	Найти циркуляцию градиента скалярного поля U = x3y2z вдоль эллипса: х2 + у2 = 1, х + z = 3.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.4.35.	Привести примеры области Q:
а)	являющейся пространственно односвязной, но не поверхностно односвязной;
б)	являющейся поверхностно односвязной, но не пространственно односвязной;
в)	не являющейся ни поверхностно, ни пространственно односвязной.
5.4.36.	Верно ли, что если в области Q ротор векторного поля F равен 0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкнутому контуру L, расположенному в Q равна 0?
5.4.37.	Верно ли, что потоки ротора векторного поля F через две разные поверхности Si и S2, имеющие одну и ту же границу L совпадают?
§5.	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т. е. F = grad (7 = VC7.
В случае, если поле F(P, Q,R) потенциально, выполняются равенства
p_dU n-QU р-^-дх' W ду ' dz'
264
что равносильно тому, что выражение Р dx + Q dy 4- R dz = dU является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y,z). Эта функция называется потенциалом векторного поля F.
Теорема 5.33. Пусть область Q поверхностно односвязна и функции Р, Q, R — непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное поле F(P, Q, R) потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
OQ = dP dR = dQ_ dP = dR дх ду ’ ду dz' dz дх
Приведенная теорема фактически утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т. е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл
УPdx + Qdy 4- Rdz АВ
не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области П (в предположении, естественно, что П— поверхностно односвязная), а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
^F-dr = 0. L
Если поле F потенциально, то его потенциал U может быть найден путем решения системы уравнений с частными производными:
U'x =Р, U'y = Q, U'z = R.
Также можно найти потенциал U непосредственным интегрированием по некоторому пути МоМ:
U= J Pdx 4- Qdy + Rdz.
MqM
При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь МоМ выбирают в виде ломаной М0М1М2М, вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:
U = J P(x,yo,zo)dx + J Q(x,y,zo)dy+ J R(x,y,z)dz, Л/q	М\ М2	М2 М
3Терема о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля.
265
где каждый из интегралов — суть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные (индексированные и неин-дексированные) играют роль констант.
Если потенциал векторного поля F известен, то
Pdx + Qdy + Rdz = dU = U(B) - U(A).
AB
AB
Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т. е. F = rot А = V х А. Поле А называется векторным потенциалом поля F.
Теорема 5.44. Пусть область Q пространственно односвязна и координаты Р, Q, R векторного поля непрерывно дифференцируемы в П. Тогда векторное поле F(P, Q, R) соленоидально в том и только в том случае, когда
divF = |P + ^ + ™ О
дх ду dz
в каждой точке области П.
Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
5.5.1.	Показать, что поле F(2x + yz)i + xzj + (ху + 2z)k потенциально и найти его потенциал.
Q Покажем, что rotF = 0.
rot F = (Ry - Q')i + (P’z - Я')j + (Qi - p;)k =
= (x - z)i + (y - y)j + (z - z)k = 0.
Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал U(x,y,z) поля F двумя разными способами.
I способ. Составим систему уравнений с частными производными:
Г U'x = 2х + yz,
S Uy = xz, [(7' = ху + 2z.
Интегрируя первое уравнение по х, получаем:
U = J(2х + yz) dx = х2 + xyz + <р(у, z)
(здесь роль константы интегрирования играет любая функция <р(у, z), ибо ее частная производная по х равна нулю). Далее, дифференцируя
4Теорема о необходимом и достаточном условии соленоидальности поля.
266
пОдученную функцию U по переменной у и используя второе равенство системы, получаем уравнение xz + ip'y(y, z) = xz, откуда <py(y, z) = 0. Интегрируя полученное уравнение по переменной у, получим 99(2/, z) = ^(z). Подставляя найденное значение функции <p(y,z) в функцию 17, приходим к равенству: U = х2 + xyz + <p(y,z) = х2 + xyz + 'Ф(г). Наконец, дифференцируя функцию U по переменной z и используя последнее равенство системы, получаем: ху + ^'(z) = ху + 2z, откуда ^'(z) = 2z, т. е.
= z2 + С. Таким образом, приходим к окончательному виду потенциала: U = х2 + xyz + z2 + С.
II способ. Вычислим потенциал непосредственным интегрированием, фиксируя точку Mq(xq, уо, zq), рассмотрим произвольную точку M(x,y,z). Тогда
U(x,y, z) = U(M) = У Pdx + Qdy + Rdz.
мом
Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной MqMiM^M , где отрезок MqMi параллелен оси Ох, отрезок М-^Мъ — оси Оу, а отрезок М%М — оси Oz. Вдоль MqMi имеем у = у0 и z = zq, а, следовательно, dy = dz = 0, вдоль М1М2 уже х — постоянно и z = zq, откуда dx = dz = 0, а вдоль М2М обе переменные, х и у — постоянны, а, значит, dx = dy = 0. Тогда
го
= (я2 + Уо zox)
+xyz0 +(xyz + z2)
Xo	yo
= (z2 + yoZox -Xq- yQZQXo) + (xyzQ - xyozo) + (xyz + z2 - xyz0 - Zq) = = X2 + xyz + z2 — (Xq + XoyoZo + Zq) = x2 + xyz + z2 + C. <
Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
5.5.2.	F = г.	5.5.3.	F = zi -Ь ух] -Ь zyk.
5.5.4.	F(x2,—у2,xz).	5.5.5.	F = xyi — zj + xk.
5.5.6.	F = ?/2(l — z)i + 2z?/(l — z)j — (xy2 — 3z2)k.
Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
5.5.7.	F = x2i + ?/2j 4- z2k. 5.5.8. F = yzi +xz] + yxk.
5.5.9.	F(z — 2x,z — 2y,x + y).
5.5.10.	F(y2z3,2xyz3 + z2,3xy2z2 + 2yz + 1).
5.5.11.	Показать, что плоское поле
F(2£c?/3 + 2xysin(x2y),3x2y2 + x2 sin(x2y))
потенциально, и найти его потенциал.
267
5.5.12.	Не используя теорему 5.3 показать, что ротор потенциального поля равен нулю.
5.5.13.	Непосредственным вычислением показать, что циркуляция гладкого потенциального поля F вдоль любой замкнутой кривой L равна 0.
5.5.14.	Найти циркуляцию векторного поля F(yz2, xz2,2xyz) вдоль эллипса: х2 + у2 = 4, х + 2у + Зг = 6.
5.5.15.	Найти циркуляцию векторного поля F(3x2y2z, 2x3yz, х3у2) вдоль контура АВС, где А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
5.5.16.	Вычислить работу силового поля F(yz,xz,yx) вдоль одного витка винтовой линии х = cost, у = sini, z = t (0 t 2тг).
Q При t = 0 получим начальную точку кривой Mi (1,0,0), при t = 2тг — конечную точку Мг(1,0,27г). Так как векторное поле потенциально (см. задачу 5.5.8), то работа силового поля не зависит от формы пути. Поэтому выберем в качестве пути Mi М2 прямолинейный отрезок. Вдоль него х = 1, у = 0, dx = dy = 0, и, следовательно, работа 2тг
А = J yzdx + xzdy + yxdz= J Odz = 0.
Mi М2	о
Другим способом работу можно было бы найти как разность потенциалов в точках М2 и Mi. Для этого находим сначала потенциал U = xyz (см. задачу 5.5.8). Тогда А = U(Mz) — U(Mi) = 1- 0-2тг — 1-0-0 = 0. • 5.5.17. Вычислить работу векторного поля F(z3 — y3,—3xy2,3xz2) от точки А(1,1,1) до точки В(2,0,1).
5.5.18.	Вычислить работу векторного поля F(y + 2xz2,x — 2y,2x2z) вдоль полуокружности большого радиуса сферы
(1 + ж)2 + у2 + z2 = 1 от точки А(—1,1,0) до точки В(—1, —1,0).
Является ли векторное поле F соленоидальным?
5.5.19.	F(xy, — у — х, z — zy). 5.5.20. F(x2yz, 2xyz, — z2(xy + x)). 5.5.21.	F = (y2 + z2)i - (xy + z3)j + (y2 + zx)k.
5.5.22.	F = (x2yz — x3)i + yx3j -I- (x2z — y)k.
5.5.23.	Является ли пространственное векторное поле г х с (где с — постоянный ненулевой вектор): а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.24.	Является ли пространственное векторное поле F = ^ • г: а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.25.	Вычислить поток векторного поля F(rcx/2 — z, — ху + z, zx — zj/2) через поверхность эллипсоида
х2 .У2  z2 _ -I
а2 Ь2 с2 в направлении внешней нормали.
268
Дополнительные задания
Являются ли следующие поля потенциальными?
5.5.26.	F = (yz2 - l)i 4- xz2\ 4- 2rn/zk.
5.5.27.	F = (x2 + у - z)i 4- (xy - xz)j 4- x2zk.
5.5.28.	F = cos(2j/ 4- 3z)i — 2g/sin(2j/ 4- 3z)j 4- 3z sin(2y 4- 3z)k.
5.5.29.	Показать, что векторное поле
F(yz(2x + у + z),xz(x + 2у + z),xy(x 4- у 4- 2z)) потенциально, и найти его потенциал.
5.5.30.	Показать, что векторное поле
F = (бж?/ - 2z)i 4- (Зж2 - 2z)j 4- (1 - 2?/)k потенциально, и найти его потенциал.
Являются ли следующие поля соленоидальными?
5.5.31.	F = (х2 -yz + 2)i - 2z?/j 4- (ух3 - l)k.
5.5.32.	F(xy — yz 4- xz)i 4- (yz - xz + xy)j 4- (xz - xy 4- ?/z)k.
5.5.33.	F(x2y, y2z - y2x, xy - yz2).
Вычислить работу векторного поля F от точки А до точки В:
5.5.34.	F(3z2,2у, 1), А(1,2, -1), В(0,1,1).
5.5.35.	FQ/2 4- 2xz, z2 4- 2ху, х2 4- 2?/z), А(0,0,0), В(1, —1,1).
5.5.36.	F = г  г, где г — радиус-вектор точки, аг = |г|, А(0,0,0), В(6,2,3).
5.5.37.	F = 4г2 • г, где г — радиус-вектор точки и г = |г|, А(0,3,4), В(3,4,0).
5.5.38.	Показать, что если векторные поля Fi, F2 потенциальны и с — число, то Fx 4-F2 ис-Fj — также потенциальные векторные поля.
5.5.39.	Показать, что если векторные поля Fi и F2 соленоидальны, то ci • Fi 4- с2 • F2 — соленоидальное векторное поле (ci и С2 — некоторые константы).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.5.40.	Привести пример векторного поля:
а)	потенциального и соленоидальнего;
б)	потенциального, но не соленоидального;
в)	не потенциального, но соленоидального;
г)	не потенциального и не соленоидального.
5.5.41.	Показать, что потенциал U потенциального и соленоидального поля F удовлетворяет уравнению Лапласа: ДС7 = 0.
269
5.5.42.	Показать, что если векторное поле F = /(г)-г, где г = #i+2/j+zk и г — |г|, соленоидально, то /(г) = Д-.
т
5.5.43.	Будет ли пространственное поле F=r-(cxr), где r=xi+yj+zk. г=|г| ис — постоянный вектор, соленоидальным?
5.5.44.	Показать, что пространственное поле F = /(г) • г, где т(х, у, z) и г = |г|, потенциально и найти его потенциал.
5.5.45.	Показать, что если векторное поле F потенциально, то векторное поле с х F (где с — постоянный вектор) является соленоидальным. Верно ли обратное?
5.5.46.	Верно ли, что векторное произведение потенциальных полей потенциально?
5.5.47.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей соленоидально?
5.5.48.	Показать, что векторное произведение потенциальных полей —
соленоидальное векторное поле.
5.5.49.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей — потенциальное векторное поле?
Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
□
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика, т. е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил — правила умножения и правила сложения.
Теорема 6.1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать тц способами, а второй объект (элемент Ь) — пг способами, то оба объекта (а и Ь) в указанном порядке можно выбрать щ • пг способами.
Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.
Теорема 6.2. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать Hi способами, а объект b можно выбрать п-2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или Ь) можно выбрать т + П2 способами.
Это правило распространяется на любое конечное число объектов.
Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
Схема выбора без возвращений
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.
Размещением из п элементов по к элементов (0 к п) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее к элементов.
Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по к обозначаются символом А* и вычисляется по формуле
A*=n(n-l)(rc-2)...(n-fc + l) =  п!	(1.1)
(п — к)'.
еде n! = 1 • 2 • 3... п, причем 1! = 1, 0! = 1.
271
Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по тг элементов.
Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из тг элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и вычисляется по формуле
Рп = Апп = п\	(1.2)
Сочетанием из п элементов по к (0 к п) называется любое подмножество данного множества, которое содержит к элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т. е. отличаются только составом элементов). Число сочетаний из п элементов по к обозначается символом и вычисляется по формуле
rk _ n(n-l)(n-2)...(n-fc + l) _ ni _ А^_ kl	kl(n-k)l кГ [ }
Для чисел Сп (они называются биномиальными коэффициентами} справедливы следующие тождества:
Скп = Сп~к (правило симметрии)у
С^ + С1п + ... + С^=2п,
Ск = Сп-i + Сп-i (правило Паскаля),
Сп = Сп = 1.
Схема выбора с возвращением
Если при упорядоченной выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по к обозна-—к
чается символом Ап и вычисляется по формуле
4 = пк.	(1.4)
Если при выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т. е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п _____________________________________к
элементов по к обозначается символом Сп и вычисляется по формуле
г-Л ___ (~lk
'-уп — '-yn4-k —1-
(1-5)
Пусть в множестве из п элементов есть к различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется ni раз, 2-й — т раз^ ..., к-й — Пк раз,
272
причем тп 4-П2 4-.. -+пк = п. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из п элементов обозначается символом Pn(m, пг,..., п*.) и вычисляется по формуле
Pn(ni,n2,...,nfc) = ——(1.6)
П\ \  П21 ... П/е'
Итоговая сводка формул приведена в следующей таблице.
Таблица 1
(1-я строка — без повторений, 2-я строка — с повторениями)
	Размещения	Перестановки	Сочетания
1	дк = п! п (п-ку.	Рп = п\	sjk _	nl п к1(п-ку.
2	А^=пк	Рп(П1,П2,...,Пк)=	 ” 711:1 П2. . . . • 7Ц.: (ni + П2 + . . . + 7lfc = п)	'-'п	'-'n+k—1
6.1.1.	Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если:
а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Q а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, ... не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (например, цифру 5), вторую цифру можно также выбрать четырьмя способами (второй цифрой может быть любая из оставшихся 0, 2, 3, 7). Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 4 • 4 • 3 = 48 способов расстановки цифр, т. е. искомых трехзначных чисел будет 48 (вот некоторые из них: 509, 237, 530, 702, ...).
б) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначные числа можно составить 4 • 5 • 5 = 100 способами (вот некоторые из них: 222, 200,332,...).	•
6.1.2.	Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?
О По правилу умножения трехзначных чисел можно составить 5 • 4 • 3 = = 60 способами, а четырехзначных — 5 • 4 • 3 • 2 = 120 способами, столько же пятизначных чисел (5 • 4 • 3 • 2 • 1). По правилу сложения, всего можно составить 60 4- 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех попарно различных цифр.	О
6.1.3.	Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?
273
6.1.4.	В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?
6.1.5.	Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?
6.1.6.	В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?
6.1.7.	Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С — пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через В?
6.1.8.	Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
6.1.9.	Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего их 6. Однако число размещений можно подсчитать и по формуле (1-1): Ао = 3 • 2 = 6 или A3 =	3!	— § — 6.	•
3	3	(3-2)!	1
6.1.10.	Сколькими способами 3 награды (за I, II, III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?
Q Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников соревнований из 10
можно
лз _	10!	_ 7!-8-9-10 _79Л
Дю-(10_3)!-	7,	-720
способами, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования.
Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду (за I место) 9; на вторую — 8; на третью — 7; число различных способов распределения наград равно 10-9-8 = = 720.	•
6.1.11.	Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны?
6.1.12.	Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов?
6.1.13.	Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты 800 х 400 х 200 х 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах?
6.1.14.	Составить различные перестановки из элементов множества А= {5;8;9}.
274
По формуле (1.2) число перестановок из 3-х элементов равно Рз = = 3! = 1-2-3 = 6. Составляем их: (5,8,9); (5,9,8); (8,9,5); (8,5,9); (9,5,8); (9,8,5).	•
6.1.15.	Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а)	в произвольном порядке;
б)	так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке);
в)	так, чтобы I, II, III тома не стояли рядом (в любом порядке). Q а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов: Р10 = 10! = 3628800.
б)	Мысленно связав I, V и IX тома или положив в один пакет, получим 8 «книг», т. е. 7 книг и 1 связку (или пакет) книг. Их можно расставить на полке Р% = 8! способами. Каждому из этих способов расстановки соответствуют Рз = 3! способов расстановки книг, находящихся в связке (I, V и IX тома по-прежнему стоят рядом, но в ином порядке). Согласно правилу умножения, число возможных расстановок 10 книг на полке так, чтобы 3 определенные книги (I, V и IX тома) стояли рядом, равно Р8 • Р3 = 8! • 3! = 40320 • 6 = 241920.
в)	Искомое число способов расстановки книг, с учетом пунктов а) и б), равно Рю - Р8 • Рз = 3628800 - 241920 = 3386880.	•
6.1.16.	В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?
6.1.17.	Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?
6.1.18.	Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове:
а) СОЛНЦЕ;	* б) ТЕАТР;
в) ЛИЛИ;	г) SOS?
6.1.19.	Сколькими способами можно упорядочить множество А = = {8,9,10,11,..., 15} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
6.1.20.	Составить различные сочетания по два из элементов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно составить следующие три сочетания по два элемента: {3,4}; {3,5}; {4,5}. Их число можно подсчитать и по формуле (1.3): Сз =	(или так: Cj =
ci = а = з).
6.1.21.	Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?
= 3; или так:
275
Q Так как для Владимира важен только состав гостей (порядок роли не играет), то число способов выбора троих гостей из 7 можно найти по формуле сочетаний (1.3): С? = ?	| = 35.	•
6.1.22.	В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики;
б)	6 гвоздик одного цвета;
в)	4 красных и 3 розовых гвоздики?
Q а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно Ciq способами. По формуле (1.3) находим: C^q = Ц = 560.
б)	Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно Сд = 84 способами, а 6 гвоздик розового цвета С? = 7 способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно Сд + С? = 84 -I- 7 = = 91 способом.
в)	Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно Сд способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно С? способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения
=	^ = !Нто1гШ^10сп“обаМИ- *
6.1.23.	Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные (по количеству предметов) группы?
6.1.24.	Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шахматистов участвовало в соревновании?
6.1.25.	Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут: а) одни девушки;	б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?
6.1.26.	Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы (выбор одной группы однозначно определяет вторую)?
6.1.27.	Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других — по 3 и еще один — 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?
6.1.28.	В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?
6.1.29.	Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента.
Q Размещения с повторениями по два элемента таковы: (2,2); (2,4); (2,5); (4,4); (4,5); (4,2); (5,5); (5,2); (5,4).
276
Их число можно вычислить и по формуле (1.4):
A3 = З2 = 9.
Сочетания с повторениями по два элемента таковы (в отличие от размещений здесь порядок элементов в выборке не имеет значения, т.е., например, пары (2,4) и (4,2) не различаются): {2,2}; {2,4}; {2,5}; {4,4}; {4,5}; {5,5}.
Их число можно вычислить и по формуле (1.5):
7^2 _ z^2	_ z^2 _ 4'3 _ z?	а
— <-'3+2-1 —	— О.	W
6.1*30.	В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами можно составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов?
Q Поскольку порядок расположения тортов в наборе не играет роли, то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7 элементов по 3 в каждом. По формуле (1.5) имеем С7 = Сд =	= 84
(см. также задачу 6.1.6).
Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число возможных наборов равно С3 = Сд = у—| =36.	•
6.1.31.	Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?
Q Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-й включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-м этаже вышел один пассажир, на 3-м — один, а трое вышли на 5-м этаже) или 9-9-9-9-Э или 4-O-6-7-9, и т. д.
Общее число выходов пассажиров, по формуле (1.4), равно
Ag = 85 = 32 768.
Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го — тоже 8, и для 3-го — 8, и для 4-го — 8, и для 5-го — 8. Всего получается 8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 85 вариантов выхода 5-ти пассажиров.	•
6.1.32.	Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Q Вообще из трех букв можно составить Р3 = 3! = 6 различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных «слов»
277
из букв слова АГА можно составить столько: — =	= 3. Впрочем, от-
вет можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных слов будет тоже три.
Пользуясь формулой (1.6), этот результат можно получить сразу: Рз(2,1) = 2Ш = 3.
По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь п = 11, п\ = 1, п-2 = 4 (4 буквы S), ??з = 4 (4 буквы I), 714 = 2, поэтому
РИ4Д9А- 11!	5-6-7-8-9- 10-11 _	А
Рц(1,4,4,2) = 1!4!4Т2, =-----1.24.2-------- 34650-	•
6.1.33.	Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?
6.1.34.	Сколькими способами можно распределить б разных книг между 3 школьниками?
6.1.35.	В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинаковых открытки? 4 разных открытки?
6.1.36.	Сколько различных букетов по 5 цветков в каждом можно составить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов?
6.1.37.	У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида — другого и 4 вида — третьего. В течение девяти дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?
6.1.38.	Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ?
Дополнительные задания
6.1.39.	Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными?
6.1.40.	Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова
а) ЛЕТО;	б) ШАЛУН?
6.1.41.	Сколько существует шестизначных чисел, у которых на четных местах стоят четные цифры?
6.1.42.	20 студентов обмениваются фотокарточками. Сколько фото-
карточек понадобилось для этого?
6.1.43.	Каждого из б студентов можно направить для прохождения практики на одно из трех предприятий. Сколькими различными способами это можно осуществить?
278
6.1.44.	Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2, 3, 4 если:
а)	цифры не могут повторяться;
б)	цифры могут повториться;
в)	числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г)	число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться).
6.1.45.	4 пианиста, 5 скрипачей и б баянистов участвуют в конкурсе.
Сколькими способами жюри может отобрать по три победителя в каждой номинации?
6.1.46.	Сколькими способами можно составить трехцветный (три вертикальные полосы) полосатый флаг, если имеется материал красного, желтого, зеленого и черного цветов, причем известно, что одна из полос должна быть зеленой?
6.1.47.	В классе изучается 7 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 5 различных предметов?
6.1.48.	Сколькими способами можно рассадить вокруг круглого стола б мальчиков и б девочек, если каждая девочка должна сидеть между двумя мальчиками?
6.1.49.	Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы 2-й и 4-й вагоны шли через один?
6.1.50.	Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?
6.1.51.	Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать б человек так, чтобы среди них было не менее 2-х женщин. Сколькими способами это можно сделать?
6.1.52.	Сколькими способами можно распределить 36 игральных карт поровну между четырьмя игроками?
6.1.53.	Сколько различных комбинаций из б карт содержат 3 дамы, 2 короля и 1 туз?
6.1.54.	Из группы в 12 человек надо выбрать 2 человека для выполнения одной работы и 3 — для другой. Сколькими способами это можно сделать?
6.1.55.	Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, б (без повторений)?
6.1.56.	В футбольной команде имеется 13 полевых игроков и 2 вратаря. Сколькими способами можно выбрать играющий состав, состоящий из 10 игроков и 1-го вратаря?
6.1.57.	Сколькими способами можно распределить б билетов в театр по трем группам первокурсников?
6.1.58.	В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности нажать 4 кнопки из имеющихся 12. Некто, не зная кода, стал наудачу набирать различные комбинации из 4-х цифр. Какое
279
наибольшее число попыток ему надо осуществить, чтобы дверь открылась?
6.1.59.	В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней:
а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных?
6.1.60.	12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырех-
местный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.1.61.	Сколькими способами можно переставить буквы слова ЗОЛОТО так, чтобы буквы О не стояли подряд?
6.1.62.	На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 — для женщин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место работы трое мужчин и две женщины?
6.1.63.	Сколькими способами можно разбить на две группы 6 мальчиков? На две группы по 3 мальчика в каждой?
6.1.64.	В четырехзначном числе пропущены (не видны) две цифры. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры?
6.1.65.	Сколькими возможными способами 3 незнакомых человека могут разместиться в 8 вагонах электрички?
6.1.66.	В азбуке Морзе используются два знака: точка и тире. Каждый символ (например, буква) кодируется определенной последовательностью этих знаков (например, Е=-,А = -—,Э = -- ~). Какое число разных символов можно закодировать не более чем четырьмя знаками азбуки?
6.1.67.	Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, строятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом?
6.1.68.	20 студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было сде-
лано рукопожатий?
6.1.69.	Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если 3 руководителя лаборатории (заведующий, его заместитель и главный инженер) одновременно уезжать не должны?
6.1.70.	Сколько прямых линий можно провести'через 7 точек, из которых лишь 3 лежат на одной прямой?
6.1.71.	Группа туристов в количестве 9 человек намеревается пойти в поход в ближайшее воскресенье. Сколько существует вари
280
антов прихода (некоторые могут не явиться) этих туристов к месту отправления?
6.1.72.	7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три па-
кета по 5 фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать?
6,1.73.	В шахматной встрече двух команд по 6 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
6.1.74.	Сколько чисел меньших, чем 1000000, можно написать с помощью цифр 8 и 9.
§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита А, В, (7,....
Событие называется достоверным) если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через Q.
Событие называется невозможным) если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через 0.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.
События Ai, Аг,..., Ап называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.
События А1,Аг,...,Ап образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные «шансы»).
Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (т. е. или А, или В, или оба вместе).
Произведением событий А и В называется событие С = А  В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т. е. и А и В вместе).
Разностью событий А и В называется событием С = А—В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.
281
Событие А влечет событие В (или: А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записывают это так: А С В.
Если АС В и В С А, то события А и В называются равными’, обозначается это следующим образом: А = В.
Противоположным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями
Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество Q = {w} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ш -— элементарными событиями (или «элементами», «точками»).
Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Q, если оно конечно или счетно.
Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Q, называются благоприятствующими событию А.
Множество Q называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдет.
Пустое множество 0 называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.
Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее — подмножествами пространства Q.
Сумма (или обзединение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А+В или A U В) — это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А к В.
Произведение (или пересечение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А • В или А Г) В) — это множество, которое состоит из элементов, общих для событий АпВ.
Разность событий А С Q и В С Q (обозначается А — В или А \ В) — это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.
Пр отивоположным событию А С Q называется событие А = Q \ А; множество А называют также дополнением множества А.
Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А С В.
282
По определению 0 С А для любого А.
События А и В называются несовместными, если их произведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е. А • В = 0.
Несколько событий Ai, Аг,..., Ап образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно не п
совместны, т. е. Аг = Q и Ai • А3 = 0 (г ± j).
г=1
Полную группу, в частности, образуют события А и А (А+А = Q, А-А = 0). Операции над событиями (множествалми) обладают следующими свойствами:
1.	А + В = В + А, А • В = В А (переместительное);
2.	(А + В)-С = А-С+В-С, А-В+С = (А + С)-(В + С) (распределительное);
3.	(А 4- В) 4- С = А 4- (В 4- С), (А • В) • С = А • (В • С) (сочетательное);
4.	А 4- А = А, А • А = А;
5.	А 4- П = П, А • Q = А;
6.	А 4- А = Q, А • А = 0;
7.	0 = Q, Q = 0, А = А;
8.	А-В = А В; _______ _ _
9.	А + В = А - В и А - В = А + В (законы де Моргана).
6.2.1.	В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется:
1)	составить пространство элементарных событий для данного опыта;
2)	указать элементарные события (исходы), благоприятствующие событиям: А = {появление шара с нечетным номером}, В = {появление шара с четным номером}, С = {появление шара с номером большим, чем 3}, D — {появление шара с номером меньшим, чем 7};
3)	пояснить, что означают события В, С’,
4)	указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны, а какие нет;
5)	указать, какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет;
6)	привести примеры невозможного и достоверного событий;
7)	привести пример другого пространства элементарных событий в данном опыте.
Э 1) Пространство элементарных событий можно записать в виде Q = = {wj}, где Wi — появление шара с номером г, где i = 1,2,..., 12. Появление г-го шара можно обозначить и так: Шг, шш, и т.д. Поэтому можно записать:
Q = {Ш^Шг,... ,Ш12} = {wi,^2, • • • ,^12} = HihMiis!-• •
283
2)	Рассмотрим события А, В, С и D как подмножества пространства Q. Элементарные события, входящие в эти подмножества и являются благоприятствующими указанным событиям: А = {cui, о?з, 0,5,	, cuii},
В={а?2) ^4,(^6) ^8)^10 5^12}, C={o>4,Cd5, . . . ,6^12}, D = {^’1, О>2) ^3,   • ,^б}-
3)	Событие В означает, что событие В не происходит, т. е.
В = {и?1,о>з,..., сип}, откуда ясно, что В = А.
Событие С является противоположным событию С, поэтому С = = {о>1, О>2, ^3 } •
4)	События А и В несовместны; события А и С, так же, как А и Л, В и С и другие — совместны.
5)	События Ли В образуют полную группу; в результате опыта произойдет только одно из них: или А или В. Другие пары событий (А и С, В и D и т.д.) не образуют полную группу. Так, появление шара с номером 3 означает наступление двух событий: и А и D.
6)	Событие Е\ = {появление шара с номером 13} — является невозможным событием, а событие Е% = {появление шара с номером п
12} — достоверное, т. е. Е-2 = Q.
7)	Если в данном опыте нас интересует лишь то, что извлеченный шар имеет четный или нечетный номер, то можно считать Q = {cui,cu2j, где — появление шара с нечетным номером, о>2 — с четным.
Другим возможным пространством для описания данного опыта может быть такое Q = {cuj., и>2, сиз, и?4}, где ^1 — появление шара с номером от 1 до 9 включительно, си2, сиз, CU4 — появление шара с номером 10, 11,12 соответственно. Примером неправильно выбранного пространства может служить Q = {cui, CU2}, где — появление шара с номером меньшим, чем 10, а о>2 — большем, чем 6. События и о>2 не являются элементарными, так как в результате опыта эти исходы могут наступить одновременно.	•
6.2.2.	Указать пространства элементарных событий для следующих опытов (испытаний):
а)	подбрасывание двух игральных костей;
б)	стрельба по мишени до первого попадания;
в)	наблюдение за временем безотказной работы прибора.
Q а) Согласно правилу умножения (см. § 1 настоящей главы) число исходов в данном опыте равно 6 • 6 = 36. Изобразим пространство эле-
ментарных исходов (событий) в виде матрицы				
	^11	^12	О>13	. . .	
	^21	^22	CJ23 • • •	О>26
Q =	•	•	•	•
	•	•		•
	^61	^62	^63	• • •	^66;
где ujij означает, что на первой игральной кости выпало i очков, а на второй j (г, j = 1,6).
284
б)	В данном случае пространство Q теоретически бесконечно, но счетно. Обозначая знаком «+» попадание в цель при соответствующем выстреле, а знаком «—» — промах, получим такое пространство элементарных событий:
Q = {+, —Ь,----Ь,-------Ь,--------h•• •}•
Здесь, например, событие-------1- означает, что первые три выстрела
были промахами, а на четвертый произошло попадание.
Можно записать ПЭС и так:
Q = {1,01,001,0001,...},
где 1 означает попадание в цель, 0 — промах.
в)	Здесь также исходов опыта (наблюдения) бесконечно много, при этом множество Q несчетное: Q = {t: 0 С t < оо}, где t — время безотказной работы прибора. Понятно, что в качестве результата наблюдения может появиться любое число t 0.	•
6.2.3.	Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий, указать элементарные события, благоприятствующие событиям: Ai — выпало четное число очков; Аг — выпало не менее 4 очков; Аз — выпало более 6 очков.
6.2.4.	Построить пространство Q для следующих испытаний:
а)	проводится одна игра в шахматы;
б)	трижды подбрасывается монета;
в)	подсчитывается число студентов группы, сдавших экзамены по теории вероятностей.
6.2.5.	Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными:
a)	Ai = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, Аг = {на кухне};
б)	Аз = {попадание при одном выстреле}, Ад = {промах};
в)	А5 = {выпадение герба при бросании монеты}, Ав = {выпадение решки};
г)	Ач = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, Ag = = {два попадания}?
6.2.6.	Образуют ли полную группу следующие события:
а)	A3 и Ад из задачи 6.2.5;
б)	Ач и Ag из задачи 6.2.5;
в)	Во = {ни одного попадания при трех выстрелах по мишени}, Bi = {одно попадание}, Вг = {два попадания}, В3 = {три попадания};
г)	Ci = {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех магазинов}, С2 = {не купит ни в одном магазине}?
6.2.7.	Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель},
285
событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают события:
а)	А +_В;	б) А • В;
в) А В?
Q Составим пространство элементарных событий данного опыта: Q = = {woo,tdio,cuoi,cun}, где cjoo означает: первый стрелок промахнулся и второй промахнулся; адо — первый попал, второй промахнулся и т.д. Тогда А = {(1-й стрелок попал, 2-й не попал) или (1-й стрелок попал, 2-й тоже попал)} = {сию,сиц}, В = {woi,wn}.
а) Событие Л + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал в цель. Событие (множество) А + В состоит из элементарных исходов, каждый из которых входит или в множество А, или в множество В, или в оба эти множества, т.е. А + В = {сию, cl?qi , сиц }.
б)	Событие А • В состоит в том, что оба стрелка попали в цель. Оно состоит из элементарных событий, каждое из которых входит и в множество Л, и в множество В. Следовательно, Л • В = {сиц}.
в)	Событие Л • В состоит в том, что первый стрелок попал в цель, а второй — нет. Оно состоит из тех элементарных событий, каждое из которых входит и в множество Л, и в множество В = {сиоо5^ю}5 т.е. Л • В = {wio}.	Ф
6.2.8.	Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие Аг = {первый студент решил задачу}, Л2 = {второй студент решил задачу}, Л3 = {третий студент решил задачу}. Выразить через события Ai (г = 1,2,3) следующие события:
1)	Л = {все студенты решили задачу};
2)	В = {задачу решил только первый студент};
3)	С = {задачу решил хотя бы один студент};
4)	D = {задачу решил только один студент}.
о 1) Осуществление события Л означает, что произошли события Лх, Л2 и Лз одновременно, т.е. имеем произведение событий: Л = А\ • Л2 • Л3.
2)	В этом случае событие Л! произошло, а события Л2 и Лз не произошли, т. е. произошли события Л 2 и Л3. Следовательно, В = Aj • Л 2 - Лз-
3)	Событие С означает, что произошло или событие Л1, или событие Л2, или событие Лз, или любые два из них, или все вместе, т.е. имеем сумму событий: С = Ат + Л2 + Л3.
4)	Задачу решит только первый студент (Лх  Л 2 • Лз), или только второй студент (Л1 • Л2  Лз), или только третий студент (Лх • Лг  Лз), т. е. имеем сумму событий D = Лх • Л2 • Лз + Лх • Л2 • Лз + Лх • Лг • A3. Ф 6.2.9. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события Л = {выбрана красная роза}, В = {выбрана желтая роза}, С = {выбрана белая роза}. Что означают события:
286
a) A;	6) A + B;
в) AC;	г) A + B;
д) A + В;	e) AB + C?
6.2.Ю. В задаче 6.2.8 найти выражения для следующих событий: а) Е = {с задачей не справился ни один из студентов}; б) F = {задачу решило не более двух студентов}.
6.2.11.	В задаче 6.2.1 выяснить, что означают следующие события: а) А + В;	б) А • D;
в) С-D;	г) А • В - С;
д) А  D;	е) А  В.
6.2.12.	Пусть А, В, С — три произвольных события. Выразить через А, В, С и их отрицания следующие события: а) произошло только событие С; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.
6.2.13.	Событие С влечет событие D. Что представляют собой события: а)С + В,	б) CD,
в) С — D,	г) D • С?
6.2.14.	Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {экзамен сдан на отлично}. В чем состоят события: а) А - В;	б) А^В;
в) А-В?
6.2.15.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 59. Событие А{ = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события В и В через события А/.
Рис. 59
Рис. 60
6.2.16.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 60. Событие Ai = {элемент с номером г вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить события В и В через события А;. .
287
6.2.17.	Упростить выражение А + А • В.
Q А + А В = 4-Q + АВ = 4 • (Q + В) = А(В + Q) =4-0 = 4, т.е. 4 + АВ = 4. Использованы свойства 5, 2, 1 операций над событиями, ф 6.2.18. Пусть 4, В и С — случайные события. Доказать, что
4(В - С) = А • В - 4 • С.
Q Пусть произвольный исход (элементарное событие) опыта uj £ € 4(В — С). Тогда qj€4hqj€ (В — С), т.е. ш £ 4, w Е В. но ш С. Следовательно, uj € АВ и ш $ АС, т. е. ш G АВ — АС. Таким образом, любой исход события 4(В — С) является исходом события АВ — АС, т. е. А(В—С) С АВ—АС. Аналогично доказывается, что АВ—АС С 4(В—С). Отсюда следует 4(В — С) = 4 • В — 4 • С (события 4(В — С) и АВ — АС состоят из одних и тех же элементарных событий ш).	*
6.2.19.	Доказать, что 4+В = А-}-АВ, где 4 и В — случайные события.
Привести геометрическую интерпретацию событий.
Q Используя свойства операций над событиями, получаем:
4 + B = 4Q + B«Q = 4Q + В(4 + 4) = 4 - Q + В  4 + В • А =
Изображая пространство Q прямоугольником, элементарные события (исходы) — точками этого прямоугольника, а события — его подмножествами (такая интерпретация множеств носит название диаграмм Эйлера-Венна), получим рисунки, изображенные на рис. 61.
4+В	= ' А+АВ
Рис. 61
6.2.20.	Упростить выражение (4 + В) • (4 + В) • (4 + В).
6.2.21.	Доказать, что события 4, 4-В, А + В образуют полную группу-
6.2.22.	Упростить выражения:
а) 4(В - 4В);	б) АВ + АС + ВС + В;
в) 4 + АВ + 4 + В.
6.2.23.	Доказать справедливость законов де Моргана:
а) ~А + В = А-В:	б) АВ = 4 + В.
6.2.24.	Упростить выражения: АВ, А + В, 4 + В + С, если известно, что 4 С В.
288
g.2.25. Установить, какие из следующих соотношений правильны: а) А 4- В = ~АТВ-,	б) А4-В4-С = А • В  С;
в) (А + В) — С = А + (В — С).
6.2.26.	Совместны ли события А и А 4- В?
6.2.27.	Справедливы ли и в каком случае равенства а) А • В = А;	б) А 4- В = А?
Дополнительные задания
0.2.28. Построить пространство Q для следующих испытаний: а) монета бросается до первого появления герба или до тех пор, пока решка выпадет три раза подряд;
б)	подбрасывается игральная кость, а затем монета.
0.2.29. В урне находится 10 одинаковых шаров, занумерованных числами 0,1,2,..., 9. Из нее извлекаются по одному 4 шара. После каждого извлечения вынутый шар возвращается обратно. Описать пространство Q для этого эксперимента и найти число его элементов.
6.2.30.	Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно наудачу выбирают две. Составить пространство элементарных событий для этого опыта, если его элементами служат: а) двузначные числа, образованные извлеченными карточками;
б) суммы номеров, извлеченных карточек.
6.2.31.	Назвать противоположные события для следующих событий: а) А = {выигрыш 1-го игрока в шахматной партии};
б)	В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти выстрелах};
в)	С = {произошло три попадания при трех выстрелах};
г)	D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах};
д)	Е = {в семейной паре муж старше жены}.
6.2.32.	Упростить выражения:
а) (X + Y)Y + Х(ХУ); б) (X - ZX) 4- (У - ZY) 4- Z.
6.2.33.	Доказать тождество:
а) А - В = А • В; _	б) А - В = А - АВ-
в) А 4- В = А • В 4- АВ 4- АВ.
6.2.34.	Показать, что:
а)	АВ = А => А С В;
б)	А С В => А 4- В = В, АВ = А.
6.2.35.	Упростить выражение:
а)	(А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В);
б)	А • В;	в) (А 4- В)(В 4- С)(С 4- А).
'О Сборник задач по высшей математике. 2 kvdc	289
6.2.36.	Доказать, что:
a)	АВ + В = В- А; __________
б)	В = А, если А-В = 0иА-В = 0.
6.2.37.	Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме, приведенной на рисунке 62. Пусть событие At = {включен выключатель с номером i }, i = 1,2,..., 5.
а)	Для схемы рис. 62 а' записать через А, событие А = {ток идет};	_
б)	для схемы рис. 62 б записать через А$ события А и А.
Рис. 62
6.2.38.	Пусть А, В, С — случайные события, причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
6.2.39.	Из колоды игральных карт (всего их 36) извлекают одну. Составить не менее двух пространств элементарных событий для данного опыта.
6.2.40.	Сколько событий можно составить для пространства
Q = {wi,w2,w3}?
6.2.41.	Подбрасываются 3 монеты. Сколько имеется равновозможных исходов данного опыта? Составить события, образующие полную группу. Привести примеры событий, не образующих полную группу. Указать подмножества множества Q, соответствующие событиям: А — выпало не более одной решки; В — выпало ровно два герба.
6.2.42.	Известно, что события Ai и А2 произошли, а событие Аз не произошло. Произошли ли события: a) Ai • А2 + Аз;	б) Ai + А2А3;
в)	Ai • А2 • Аз ?
6.2.43. Каков смысл равенств:
а) А • В • С = А;	б) А + В + С = А?
290
0,2.44. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 63. Пусть события Ai, i = 1,2,3,4,5, состоят в том, что одноименные элементы работают безотказно в течение времени Т. Событие В = {схема работает безотказно в течение времени Т}. Выразить события ВиВ через события Аг.
Рис. 63
Рис. 64
6.2.45.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 64. Событие Аг — элемент под номером i выходит из строя, i = 1,2,3,4,5. Событие В — разрыв цепи. Выразить событие В через события Ai.
6.2.46.	Доказать, что А • В +'С = (А + С)  (В + С), где А, В, С — случайные события.
6.2.47.	Найти случайное событие X из равенства:
а) А • X — А 4- X',	б) А 4- А -Ь А 4- X — С.
6.2.48.	Справедливы ли следующие равенства:
а) А 4- А = А;	б) А • А = А;
в) А + В = АВ?
6.2.49.	При каком условии справедливо равенство (А 4- В) — В = А?
6.2.50.	Доказать, что (А 4- В) — В = А — В.
6.2.51.	Показать, что если В С А, то (А — В) 4- В = А.
6.2.52.	Доказать, что А— В = 0^АСВ.
§3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
Классическое определение вероятности
Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.
Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементар-нЫА1и исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.
291
Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благо-приятствующих этому событию, к общему числу п случаев.
PW = %.
Такое определение вероятности называется классическим.
Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 Р(А) 1; Р(0) = 0; P(Q) = 1; Р(А) = 1 - Р(А); Р(Д + В) = Р(А) + Р(В), если А В = 0.
Геометрическое определение вероятности
Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие «геометрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть пространство элементарных событий Q представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Q.
Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Q, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле
»(A)=S О L)
где S(A) и S(Q) площади областей А и Q соответственно.
Случай, когда Q представляет собой отрезок или трехмерную область, рассматривается аналогично.
Аксиоматическое определение вероятности
Пусть Q — множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию Л (А — подмножество множества Q) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):
Р(А) > 0;	(3.1)
Р(П) = 1;	(3.2)
аксиома сложения: Р I Ak	= £Р(Л*)’	(33)
X к / к
если Аг • Aj = 0 (г j), т. е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
292
Из аксиом (3.1)—(3-3) вытекают основные свойства вероятности:
1.	Р(0) = 0, т. е. вероятность невозможного события равна нулю.
2.	Р(А) + Р(А) = 1.
3.	О Р(А) 1 для любого события А.
4.	Р(А) Р(В), если А С В.
5.	52	= 1, если 52 А, = Q и А, • Aj = 0, г j.
г=1	1=1
Если множество Q состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. Р(д>1) = Р{шг) = ... = Р{и}п) = то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности
Р(А) =
где т — число случаев (элементов) си,, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п — число элементов множества Q (число всех исходов опыта).
6.3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся
только цветом.
1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.
2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.
О 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Q = {Б1,Б2,Бз,Б4,Б5,Ч1,Ч2,Чз,Ч4,}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б1, Бг, Бз, Б4, Б5}.
Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классиче
скому определению вероятности Р(А)
т _ 5
п 9’
2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б1,Ч1), (Б2,Б3), (Б3,Б2), (Ч4,Бб) и т.д. Число всех случаев равно п = Ад =
= 9 • 8 = 72.
а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по-
явление двух белых шаров}, являются (61,62), (61,63), (63,65), (63, Б1) и т.д. Число таких случаев равно т = А? = о • 4 = 20. Поэтому Р(В) = т _ 20 _ _5_ п 72 “ 18’
б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {по-
явление хотя бы одного черного шара}, являются (Bi,4i), (Bi,42), (Б1,Ч3), (Чз.БО, (Ч,,Ч2), (Чз,Ч4) и т.д. Число таких случаев равно
771 = А| — Al = 72 — 20 = 52 (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров —	ЕН -1 О
судет черным. Отсюда Р(С) = — = —. Этот же результат можно полу-72	18
чить иначе, т.к. С = В, то Р(С) = Р(В) = 1 - Р(В) = 1 - А = Ц. • 18	18
293
6.3.2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов;
в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Q Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся в наличии равно п = Cf2 = 220.
а)	Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно Cf способами; 3 красных из имеющихся 4 можно выбрать Cf способами; 3 зеленых из 3 зеленых — Сз способами.
По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствующих событию А = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно m = Cl + Cl + С1 = 15. Отсюда Р(А) = % =
б)	Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Число т исходов, благоприятствующих наступлению события В, по правилу умножения равно т —	= 5  4 • 3 = 60. Поэтому Р(А) =
_ т _ 60 _ 3 “ п ~ 220 ~ 1Г
в)	Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих и 1 зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно Cf способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых —	способами. Отсюда
по правилу умножения имеем: т —	= 30. Поэтому Р(С) =	=
= 30 = _з_	е
220	22'
6.3.3.	Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:
а)	получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
б)	получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.
Q а) Из шести данных букв можно составить п = Л| = 120 трехбуквенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т. д.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т. е. т — 1. Поэтому вероятность появления слова ЛОМ (событие Л) равна Р(Л) = ^ =
б) Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число'равно числу перестановок из 6 букв, т. е. п = Pq = 6!. Очевидно, что т = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В) равна Р(В) = — = — =	•
6.3.4.	Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а)	сумма выпавших очков не превосходит 7;
б)	на обеих костях выпадет одинаковое число очков;
294
в)	произведение выпавших очков делится на 4;
г)	хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.
6,3,5.	Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?
6.3.6.	Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется наудачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово «АНАНАС»?
6.3.7.	Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В, будут сидеть рядом?
6.3.8.	Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 Человек. Найти вероятность того, что:
а)	А и В стоят рядом;
б)	между А и В стоят два человека.
6.3.9.	На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?
6.3.10.	Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность событий: А = {все извлеченные карты пиковой масти}, В = {среди этих четырех карт окажется хотя бы один король}?
6.3.11.	Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает:
а) 3 вопроса;	б) 2 вопроса;
в) 1 вопрос.
6.3.12.	Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они:
а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон № 3;
в) разместятся в разных вагонах?
6.3.13.	12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в го-
стинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер?
6.3.14.	На отрезок АВ длины а наудачу нанесена точка С. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем
Q Расположим отрезок АВ на числовой оси Ох так, как это изображено На рисунке 65.
Пусть х — координата случайной точки С. Тогда пространство Q элементарных событий можно записать в виде Q = {я : 0 х а}. Яс-н°, что исходов опыта (нанесение точки С на отрезок АВ) бесчисленное Множество и все они равновозможны.
295
Рис. 65
Разобьем отрезок АВ на 6 равных отрезков. Очевидно, что условие «меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем (событие
А) будет выполнено, если точка С попадет на отрезок MN =	~ .
Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А (на рисунке 65 она заштрихована), является отрезок MN, а множеству всех исходов опыта соответствует отрезок АВ. Отсюда
4а
р( л\ =	_ _6_ _ 2
Ав а з*
6.3.15.	Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?
Q Обозначим через х момент времени, когда начинается выход на опасный участок шоссе, а через у — момент времени начала обстрела этого участка шоссе. Ясно, что 0 х 60, 0 у 60.
Будем рассматривать х и у как декартовы координаты на плоскости. Тогда элементарные исходы в данном опыте (он состоит в фиксации времени начала действий обеих сторон), изобразятся точками (ж, у) квадрата со стороной Т = 60, т. е. Q = {(ж,у) : 0 х 60, 0 у 60}.
Интересующее нас событие А = {удастся избежать налета} наступит тогда и только тогда, когда налет начнется спустя пять (или больше) минут после выхода на опасный участок либо начнется за десять (и более) минут до начала преодоления участка шоссе, т. е. должно выполняться одно из условий
У - х > 5, х - у > 10.
Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область D, заштрихованную на рисунке 66.
Площадь области D равна S(D) =	• 50 • 50 -Ь • 55 • 55 = 2762,5;
площадь квадрата Q равна S(Q) = 60  60 = 3600.
Тогда искомая вероятность равна
РМ)-^-^ = 221-077	•
k ' S(Q) “ 3600	288	’
296
Рис. 66
Рис. 67
6.3.16.	Какова вероятность того, что корни уравнения х2 +рх + q = О
будут действительными, если коэффициенты р и q уравнения выбираются наудачу из отрезка [0,1]?
Q Будем рассматривать множество всех возможных пар чисел (р, q) как координаты точек единичного квадрата с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) (см. рис. 67). Поэтому Q = {(р, q) : 0 р 1, 0 q 1}.
Корни уравнения действительны, если выполняется неравенство р2 — 4g 0, т. е. q ^р2. Отсюда ясно, что множество точек квадрата, благоприятствующих событию А = {корни уравнения действительны}, есть область D (на рисунке 67 область D заштрихована):
D = {(р, q) : q |р2, 0 р < 1, 0 < q 1} .
Искомая вероятность равна
/^dp
_ g(-D) - °4	_ Р3 1	•
' ’ S(Q) 1	12 о 12'
6.3.17.	В некоторой точке С линии АВ длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше /?
6.3.18.	В круг радиуса г наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника?
6.3.19.	На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = = 6 см, случайно падает монета радиуса г = 2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.
6.3.20.	На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам я2 Зр Зх.
6*3.21. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и
297
равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между мо-ментами поступления сигналов менее 0,15 ч. Найти вероят-ность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
6.3.22.	Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно пройдет через заграждение?
6.3.23.	В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.
6.3.24.	Опираясь на аксиомы теории вероятностей, доказать следующие утверждения:
а)	Р(0) = 0;	б) Р(А) = 1 - Р(А).
а) Так как 0 4- Q = Q, то Р(0 + Q) = P(Q). По аксиоме (3.3):
Р(0 + Q) = Р(0) + P(Q),
т. к. 0 • Q = 0. Итак, Р(0) + P(Q) = Р(П), откуда Р(0) = 0.
б)	Так как А + А = ОиА-А = 0, то по аксиомам (3.2)-(3.3):
Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = P(Q) = 1.
Отсюда Р(А) = 1 — Р(А).	*
6.3.25.	Доказать, что Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
Q Так как А+В = А+(В —А) и В = (В —А)+АВ, причем А-(В—А) = 0 и (В — А) • АВ = 0, то по аксиоме сложения (3.3) находим: Р(А + В) = = Р(А) + Р(В - А) и Р(В) = Р(В - А) + Р(АВ), откуда Р(В - А) = = Р(В) - Р(АВ). Следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). • 6.3.26. Доказать, что для любых событий А и В выполнено неравенство Р(А + В) Р(А) + Р(В).
6.3.27.	Доказать, что для любых событий А, В и С
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + P(Q-
- Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
6.3.28.	Пусть Р(А) = Р(В) = Доказать, что Р(АВ) = Р(А  В). 6.3.29. Доказать, что если А D В, то Р(А — В) = Р(А) — Р(В').
Дополнительные задания
6.3.30.	Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньше 0,6 хотя бы один раз выпало 6 очков?
6.3.31.	Из последовательности чисел 1,2,3,4,..., 600 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое больше 126?
298
6.3.32.	В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности следующих событий:
а)	выигрыш выпадет на все 5 билетов;
б)	выигрыш выпадет хотя бы на 1 билет;
в)	выигрыш выпадет на 2 билета.
6.3.33.	Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один — в другую?
6.3.34.	В ящике 20 деталей, 4 из них — нестандартные. Какова вероятность того, что среди б наугад взятых деталей нестандартных не окажется?
6.3.35.	Железнодорожный состав из 9 вагонов и вагона-ресторана формируется произвольным образом. Какова вероятность того, что:
а)	вагон № 7 и вагон-ресторан расположены рядом;
б)	между вагоном № 7 и вагоном-рестораном окажется 5 вагонов?
6.3.36.	Две однотипные радиостанции имеют 8 фиксированных одинаковых частот. Какова вероятность того, что при независимом и произвольном выборе частот они окажутся настроенными на: а) одну частоту;	б) разные частоты?
6.3.37.	Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились:
а)	в разные дни года (в году 365 дней);
б)	в один день года;	в) 8 марта;
г)	в разные месяцы года;	д) в сентябре;
е) в разные дни сентября.
6.3.38.	Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?
6.3.39.	Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото — 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно: а) 2 номера;	б) 6 номеров.
6.3.40.	Какова вероятность того, что произвольно взятое трехзначное число делится на 3?
6.3.41.	Натуральные числа от 1 до п расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 5, 6, 7 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
6.3.42.	На 9 одинаковых карточках написаны буквы Е, Е, Р, Р, С, С, Я, Г, И. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово РЕГРЕССИЯ?
299
6.3.43.	В «Словаре русского языка» С. И. Ожегова 900 страниц. Какова вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 13?
6.3.44.	В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут:
а) 5 юношей;	б) 2 юноши и 3 девушки?
6.3.45.	В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета?
6.3.46.	Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в город С, если в наличие имеется 5 мест в город А, 8 — в город В и 7 — в город С?
6.3.47.	10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три
пакета с равным количеством фруктов. Найти вероятности событий:
6.3.48.
6.3.49.
6.3.50.
6.3.51.
6.3.52.
6.3.53.
а)	в каждом пакёте по 1 груше;
б)	в случайном выбранном пакете нет груш.
Из колоды в 36 карт вынимают наудачу 4 карты. Найти вероятности событий: А = {все карты — дамы}, В = {две карты из четырех — шестерки}. Решить задачу для схемы выбора: а) без возвращения;	б) с возвращением.
На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?
Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше ^?
Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.0Q. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?
Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова ве
роятность того, что их сумма заключена между
1 и 1?
4
На паркет, составленный из правильных треугольников со сто
роной а, случайно падает монета радиуса г. Найти вероятность
того, что монета целиком окажется внутри одного из треуголь
ников.
6.3.54.	Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.
300
6.3.55.	Задача-шутка.
На дне глубокого сосуда Лежат спокойно п шаров, Поочередно их оттуда Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно, Они таскают т минут И, взявши шар, его обратно В сосуд немедленно кладут.
Ввиду условия такого
Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул к?
В.П. Скитович, 1946 г.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.3.56.	12 предметов произвольно расставляют по трем комнатам. Ка-
кова вероятность того, что в первой комнате окажется 2 предмета, во второй — 3, а в третьей — 7?
6.3.57.	Из множества чисел {1,2,3, ..., п} наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что второе число больше первого, если выбор осуществляется с возвращением?
6.3.58.	п шаров произвольно' раскладываются по п гнездам. Какова вероятность того, что одно гнездо окажется пустым?
6.3.59.	Некто написал на листке четырехзначное число и предложил отгадать его. Какова вероятность угадывания числа с первой попытки?
6.3.60.	Бросается 10 монет. Найти вероятность того, что на 4 монетах выпадет герб.
6.3.61.	Какова вероятность появления герба не менее одного раза при двукратном бросании монеты?
6.3.62.	Числа 1,2,3..., п расставлены в случайном порядке. Какова вероятность того, что числа 4, 5, 6 расположены в порядке возрастания, но необязательно рядом?
6.3.63.	Из 5 видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Найти вероятность того, что все отобранные открытки будут разными.
6.3.64.	Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1) наудачу выбирается точка М(х,у). Найти вероятность события Л = {(т,у) : х + т/2	а2, а > 0}.
6*3.65. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Моменты времени прихода обоих пароходов независимы и равновозможны в течение данных суток. Найти вероятность того,
301
6.3.66.
6.3.67.
6.3.68.
6.3.69.
что одному из пароходов придется ожидать освобождения прщ чала, если время стоянки первого парохода — 1 час, а второго — 2 часа.
Задача Бюффона. Игла длины I бросается на плоскость, разграфленную параллельными прямыми на полосы шириной L. Все положения центра иглы и все ее направления одинаково вероятны. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки Л, В и С. Найти вероятность того, что треугольник АВС — остроугольный.
Какой толщины должна быть монета радиуса 7?, чтобы вероятность падения на ребро была равна
Расстояние от пункта Л до пункта В пешеход проходит за 20 минут, а автобус — за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из Л в В. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?
§4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Правило умножения вероятностей
Пусть А и В — некоторые события, причем Р(В) > 0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А | В)) называется вероятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле
Р(А | В) =
Р(АВ)
Р(В) ’
Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А:

Из этих формул следует
Теорема б.З (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условииччто первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А) • Р(В | А) или Р(АВ) = Р(В) • Р(А | В).
Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения вероятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа
302
событий. А именно, в случае п событий имеем
Р(А1-А2 -..-А„) = P(Ai)-P(A2 I А1) Р(А3 I А1А2)-... Р(Ап | AiA2-..
Независимые события
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В.
В этом случае условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А, т. е. выполняется равенство
Р(А | В) = Р(А).
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба события при этом называются независимыми.
Таким образом два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид:
Р(АВ) = Р(А)  Р(В).
Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.
События Ai,A2, ...,АП называются независимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий.
В случае п независимых событий имеем
P(Ai • А2 • А3 •... • А„) = P(Ai) • Р(А2) •... • Р(Ап).
События Ai,A2, ...,Ап называются попарно-независимыми, если любые два события Аг и А3 (г j) из этого набора независимы.
Независимые события Ai, А2,..., Ап являются попарно-независимыми. Обратное, вообще говоря, неверно.
Вероятность суммы совместных событий
Теорема 6.4. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения, т.е.
Р(А + Р) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Для трех событий А, В и С имеем:
Р(А 4- В + С) = Р(А) 4- Р(В) 4- Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) 4- Р(АВС).
303
В случае трех и большего числа событий для нахождения • вероятности суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события S, а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 — P(S).
6.4.1.	Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало 2 очка при условии, что сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6.
Q Решим задачу двумя способами.
1.	Пусть событие А = {на первой кости выпало 2 очка}, событие В = {сумма очков, выпавших на двух костях, меньше б}. Событие В состоит из 10 элементарных событий:
В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}.
Событие А, определяемое условием В (это значит, что исходы, благоприятствующие событию А, отбираются среди исходов, составляющих событие В), состоит из трех элементарных исходов опыта: (2,1), (2,2), (2,3). о
Поэтому искомая вероятность равна Р(А | В) = у^.
2.	Пространство элементарных событий состоит из 36 элементов: Q =
= {(1,1), (1,2),..., (6,6)}. Для вычисления вероятности Р(А | В) вос-Р(АВ)
пользуемся формулой Р(А | В) =	. Так как
А = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)},
В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)},
то АВ = {(2,1), (2,2), (2,3)}.
А	1Л
По классическому определению вероятности Р(А) = Р(В) =
OU	оО
Р(АВ) = А. Поэтому
Г(А | В) =
Р(АВ)	Ж _ 3
Р(В)	10	10 
36
6.4.2.	Из стандартного набора домино (28 штук) берется наудачу одна
кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем (т. е. будет иметь вид 1-1, 4-4 и т.д.), если известно, что сумма очков на ней — четное число?
6.4.3.	Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной выпадет 5 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с нечетным числом очков? с четным числом очков?
6.4.4.	Вероятность попадания в цель равна 0,3, а вероятность ее уничтожения равна 0,05. Найти вероятность того, что при попадании в цель она будет уничтожена.
304
6.4*5.	В произвольном порядке выписываются 2 буквы И и 2 буквы С. Найти вероятность того, что обе буквы С стоят рядом, при условии, что последняя по порядку буква есть буква И.
6.4.6.	Известно, что события А и В независимы. Доказать, что события А и В так же независимы.
Q По условию, Р(А | В) = Р(А). А так как Р(А | В) + Р(А | В) = 1, то р(А | В) = 1 - Р(А | В) = 1 - Р(А) = Р(А). Итак, Р(А | В) = Р(А), т. е. события А и В — независимы.	•
6.4.7.	В урне находится 4 шара: красный, синий, черный и трехцветный (красно-сине-черный) шар. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события: К = {извлеченный шар имеет красный цвет), С = {извлеченный шар имеет синий цвет}, Ч = {извлеченный шар имеет черный цвет}.
Q Множество возможных исходов опыта таково: Q = {К; С; Ч; КСЧ}, где буква К означает, что извлечен шар красного цвета, и т. д.
Очевидно, что Р(К) = | = Р(С) = Р(Ч) =
Событиям К • С, К  Ч, С • Ч благоприятствует лишь один исход — это шар КСЧ (имеет все 3 цвета). Значит, Р(К • С) =	= Р(К) • Р(С),
Р(К • Ч) = 1 = 1 • 1 = Р(К) • Р(Ч) и Р(С • Ч) = 1 = Р(С) • Р(Ч). Следовательно, события КиС, КиЧ, СиЧ независимы. Тем не менее, события К, С и Ч не являются независимыми в совокупности. Действи-тельно, Р(К  С • Ч) = 1, а Р(К)  Р(С) • Р(Ч) = | | | т.е. Р(К • С • Ч) / Р(К) • Р(С) • Р(Ч).	•
6.4.8.	Брошены три игральные кости. Событие А = {на 1-й и 2-й кости выпало одинаковое число очков}, событие В = {на 2-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}, событие С = {на 1-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}. Будут ли события А, В и С: а) попарно независимы;
б)	независимы в совокупности?
6.4.9.	Из колоды в 36 карт вытаскивается наудачу одна. Зависимы ли события А = {вытащен валет} и В = {вытащена карта черной масти}?
6.4.10.	Доказать, что если события А и В независимы, то события В и А, А и В также независимы.
6.4.11.	В урне находится а белых и b черных шаров, причем а > 2 и b > 2. Из нее извлекаются два шара по схеме выбора с возвращением. Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, А2 = = {второй шар — белый}. Найти P(Ai), PfAa), P(Ai * А2), P(Ai | A2) и P(A2 I Ai). Выяснить: являются ли события Ai и А2 независимыми? совместными?
305
6.4.12.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки:
а) без возвращения;	б) с возвращением.
Q Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, событие А2 = {второй шар — белый}. Тогда событие А = {оба шара белые} наступит, если осуществится и событие Ai, и событие Аг, т. е. А = Ai • Аг.
а)	События Ai и А-2 зависимы, т. к. наступление события Ai влияет на вероятность события А-2 (шаров в урне останется 6, из них только 3 белых). Поэтому
Р(Л) = Р(А, • Д2) = Р(А,) • Р(А2 I А,) = | |
б)	Если после первого извлечения шар возвращается в урну, то события Ai и А2 — независимы, откуда
Р(А) = Р(А, • А2) = Р(Л)  Р(А2) = |. | = 1|.	•
6.4.13.	Задачу 6.3.6 решить другим способом, используя правило умножения вероятностей для п событий.
Q Рассмотрим следующие события: А = {получится слово АНАНАС}, Aj = {первой, выбранной наудачу буквой, будет буква А}, Аг = {второй — Н}, Аз = {третьей — А}, А4 = {четвертой — Н}, А5 = {пятой — A}, Ag = {шестой — С}. Тогда А = Ai • А2 • A3  А4 • А5 • Ag. Применяя правило умножения вероятностей, имеем
Р(А) = Р(А! • А2 - А3 • А4 • А5 • А6) = Р(Л) • Р(А2 | А4) - Р(А3 | АМ2)х
х Р(А4 | А1А2А3) • Р(Аб | А1А2А3А4) • P(Ag | А1А2А3А.4А5) =
= 322111=2, е 6 ' 5 ’ 4 ‘ 3 ‘ 2 ‘ 1	60'
6.4.14.	Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты (без возврата). Какова вероятность того, что среди них не будет ни одной шестерки?
6.4.15.	Среди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Какова вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными?
6.4.16.	Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?
6.4.17.	Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй — 0,4, третий — 0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
6.4.18.	В ящике содержатся 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что он окажется либо черным, либо зеленым.
306
Пусть событие А = {извлеченный шар окажется черным}, В = {извлеченный шар окажется зеленым}. Тогда событие С = {извлеченный шар окажется либо черным, либо зеленым} представляет собой сумму несовместных событий А и В , т.е. С = А + В. Поэтому
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) =	= 0,55.
Вероятность извлечения черного или зеленого шара можно было бы найти без использования теоремы сложения вероятностей; ведь имеется 11 равновозможных, благоприятных событию С исходов: Р(С) = ^.)	•
6.4.19.	Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена. А если стрелки сделают по два выстрела?
Q Пусть событие Ai = {попадание в мишень первым стрелком при г-м выстреле}, событие В± = {попадание в мишень вторым стрелком при г-м выстреле}, г = 1,2; событие С — {мишень поражена}.
Сначала решим задачу для случая, когда стрелки делают по одному выстрелу.
Первое решение.
По условию P(Ai) = Р(А2) = 0,7, P(Bi) = Р(Вг) = 0,8.
Событие С = Ai + Bi состоит в том, что при одном залпе мишень будет поражена хотя бы одним стрелком.
Так как события Ai и Bi совместны, то
Р(С) = P(Ai + Bi) = P(Ai) + P(Bi) - P(Ai • Bi).
События Ai и Bi — независимы, поэтому P(Ai  Bi) = P(Ai) • P(Bi), откуда
P(C) = P(Ai) + P(Bi) - Р(Аг) • P(Bi) = 0,7 + 0,8 - 0,7 • 0,8 = 0,94.
Второе решение.
Поражение цели (С) означает, что: в нее попал первый стрелок, а второй промазал (Ai • Bi); или попал второй стрелок, а первый промазал (Aj -Bi); или попали оба стрелка (Ai • Bi). Тогда
С = Ai + Bi = Ai Bi + Ai Bi + A1B1.
По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем
Р(С) = P(AiBi) + P(AiBi) + P(AiBi) = 0,7-0,2 + 0,3-0,8 + 0,7-0,8 = 0,94.
Третье решение.
Найдем вероятность события С, противоположного событию С. Очевидно, что С = Ai + Bi = Ai • Bi = {оба стрелка промахнулись}. Так как события Ai и Bi независимы, то Р(С) = Р(А • Bi) = P(Ai) • P(Bi) = = 0,3 • 0,2 = 0,06. Следовательно, Р(С) = 1 — Р(С) = 1 — 0,06 = 0,94.
307
Если стрелки делают по два выстрела в мишень, то событию С благоприятствует 15 исходов данного опыта (стрельба по мишеням) из 16 возможных исходов. Такими исходами являются, например, следующие: А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2 и т. д. Поэтому проще найти вероятность противоположного события С — {все четыре выстрела —-промах}. Имеем Р(С) = Р(А1А2ВхВ2) = Pfa) • Р(А2)	• Р(В2) =
= 0,3-0,3-0,2-0,2 = 0,0036. Следовательно, Р(С) = 1-Р(С) = 1-0,0036 = = 0,9964.	•
6.4.20.	Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?
Q Партия бракуется, если среди 7 изделий бракованных будет не менее трех; не бракуется — если среди 7 изделий бракованных ноль, одно или два.
Пусть событие Ао = {среди 7 изделий нет бракованных}, событие Ai = {среди 7 изделий есть одно бракованное}, событие А2 = {среди 7 изделий — два бракованных}. Тогда событие А = {партия изделий принимается} можно представить в виде А = Ао + Ai + А2. И так как события Ао, Ai, А2 несовместны, то
Р(А) = Р(А0 + Ai + А2) = Р(А0) + Р(Ах) + Р(А2).
Найдем вероятность Р(Ао), используя классическое определение вероятности. Отобрать 7 деталей из 100 можно п = С{00 способами. Событию Ао благоприятствует т = Сд0 • С?о = Сд0 случаев. Следовательно, С7
Р(Ао) =	° . Аналогично находим, что
Ощо
10 ' ^90 ^100
^10 • ^90 Сц)0
10 ^90
Сц)0
р(Л1) =
С100
С° • С7 Таким образом, Р(А) = 10——— -О\оо
Следовательно, вероятность того, что партия изделий будет забракована, равна Р(А) = 1 — Р(А) = 1 — 0,98 = 0,02.	•
6.4.21.	Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти
вероятность того, что правильно ответят:
а) оба студента;	б) только первый студент;
в) только один из них;	г) хотя бы один из студентов.
6.4.22.	В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами или оба — девушками.
308
6.4-23.	Монета бросается до первого появления герба. Какова вероятность того, что понадобится четное число бросков?
6.4.24.	При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз?
6.4.25.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 68. Элементы с номерами 1, 2, 3 могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,10; 0,15; 0.20. Какова вероятность разрыва цепи?
я
Рис. 68
6.4.26.	Устройство состоит из
а)	пяти последовательно включенных элементов;
б)	пяти параллельно включенных элементов.
Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,80. Определить вероятность безотказной работы всего устройства, полагая, что отказы отдельных элементов независимы.
6.4.27.	Какова вероятность того, что наудачу написанную дробь m,n 6 {1,2,3,..., 100}
а) можно сократить на 2; б) нельзя сократить на 6?
6.4.28.	Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания при одном выстреле?
Дополнительные задания
6.4.29.	В урне содержится 3 белых и 4 черных шара. Из нее последовательно вынимаются два шара. Обозначая события Ai = {первый шар белый}, А2 = {второй шар белый}, В = {хотя бы один из вынутых шаров белый}, вычислить условные вероятности: Р(А. | Л2), F(Ai | В).
6.4.30.	Бросают две игральные кости. Известно, что выпала сумма очков, равная 7. Какова вероятность того, что выпало 1 и 6?
6.4.31.	Пусть Р(А | В) > Р(В | А), Р(А) 0, Р(В) 0. Верно ли, что Р(А) > Р(В)?
6.4.32.	Один раз подбрасывается игральная кость. Событие А = {выпадение нечетного числа очков}, событие В = {выпадение четного числа очков}, событие С = {выпадение менее 4 очков}. Вычислить вероятности Р(А | В), Р(А | С).
309
6.4.33.	Пятизначное число образовано при помощи перестановки цифр 2, 2, 2, 5, 5. Все размещения равновозможны. Найти вероятность того, что обе пятерки стоят рядом при условии, что полученное число четное.
6.4.34.	Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса. из одного билета или на один опрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
6.4.35.	В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, и 6 человек — только на финском. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят на одном языке?
6.4.36.	В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого?
6.4.37.	Р