СБОРНИК
ЗАДАЧ ПОВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А.Шевченко
Под редакцией С. Н. Федина
Сборник задач по высшей математике
С контрольными работами
Ряды и интегралы
Векторный и комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей
Операционное исчисление
2 курс
Издание третье, исправленное
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2005
УДК 510.2(076)
ББК 74.262 Л82
Серийное оформление А. М. Драгового
Библиотека ЫТУСИ _
Лунгу, К. Н.
Л82 Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко; под ред. С. Н. Федина. — 3-е изд., испр. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 592 с.: ил. — (Высшее образование).
ISBN 5-8112-1496-0
Книга является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего несколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во П-IV семестрах технических вузов.
По сути, эта книга — удобный самоучитель, который позволит студенту быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии. Этому способствуют необходимые теоретические пояснения ко всем разделам сборника, детально разобранные типовые задачи, изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения, а также наличие контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов.
Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов для проведения семинарских занятий.
ББК 74.262
УДК 510.2(076)
ISBN 5-8112-1496-0
© Айрис-пресс, 2004, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................
Глава 1- РЯДЫ
§ 1 Понятие ряда. Ряды с положительными членами............
§ 2 Знакопеременные ряды...................................
§ 3- Степенные ряды........................................
§4	. Ряды Фурье............................................
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§	1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными....
§2	. Однородные дифференциальные уравнения.................
§3	. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли................
§4	. Уравнения в полных дифференциалах.....................
§5	. Уравнения Лагранжа и Клеро............................
Контрольная работа.........................................
§6.	Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков..
§	7. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка...
§	8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений......
Контрольная работа.........................................
5
7
21
32
42
52
64
68
74
78
80
82
94
113
124
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1	. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления........ 127
§	2. Замена переменных в двойном интеграле................. 143
§3	. Применения двойного интеграла......................... 153
§4	. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение.... 168
Контрольная работа......................................... 184
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§	1.	Криволинейный интеграл	первого	рода................... 187
§	2.	Криволинейный интеграл	второго	рода................... 200
§3	.	Поверхностный интеграл................................ 218
Контрольная работа......................................... 231
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня.
Векторные линии........................................... 235
§2	.	Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. 242
§	3.	Поток векторного поля................................... 247
4-	Циркуляция векторного поля............................... 257
S5.	Потенциальные и соленоидальные поля..................... 264
Глава б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ Элементы комбинаторики............................... 271
Случайные события. Действия над событиями........... 281
3
§ 3.	Вероятность случайного события.......................... 291
§ 4.	Условная вероятность.................................... 302
§5.	Формула полной вероятности. Формула Бейеса.............. 313
§ 6.	Схема испытаний Бернулли................................ 321
§ 7.	Приближенные формулы в схеме Бернулли................... 326
Контрольная работа........................................... 333
§8.	Дискретные случайные величины........................... 338
§ 9.	Непрерывные случайные величины.......................... 347
§ 10.	Числовые характеристики случайных	величин.............. 357
§ 11.	Важнейшие распределения случайных	величин.............. 370
§ 12.	Системы случайных величин.............................. 385
§ 13.	Функции случайных величин.............................. 410
§ 14.	Предельные теоремы теории вероятностей...............,... 428
Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1.	Основные элементарные функции комплексного переменного.. 439
§ 2.	Аналитические функции................................... 444
§ 3.	Интегрирование	функций комплексного переменного......... 453
§ 4.	Ряды Лорана. Изолированные особые точки................. 465
§ 5.	Вычеты................................................   477
Контрольная работа........................................... 484
Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1.	Оригинал изображения. Преобразование Лапласа.
Нахождение изображений................................. 487
§2.	Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению... 497
§ 3.	Приложения операционного исчисления................... 509
Контрольная работа......................................... 519
Ответы..................................................... 522
Приложения................................................. 589
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предисловие для студента
Привет! Тебе здорово повезло. Эта книга как раз то, что тебе нужно. Посуди сам:
•	это не просто задачник, а еще и самоучитель — по нему можно научиться решать задачи даже без преподавателя;
•	эта книга поможет тебе подготовиться не только к зачету, но и к экзамену — ты найдешь в ней не только необходимые определения и теоремы по каждой теме (и все это кратко, без утомительных комментариев), но и типичные задачки и вопросы, которые даются на экзамене;
•	ты найдешь здесь задачи любого уровня сложности — от простых до таких, которые удовлетворят даже самых продвинутых в твоей группе;
•	прочитав подробно разобранные примеры, ты без проблем разберешься с любым типом задач.
В общем, с этой книгой не пропадешь! Имей в виду, что у этого задачника есть еще и первый том. Удачи тебе на сессии!
Предисловие для преподавателя
Первая часть этой книги («Сборник задач по высшей математике. 1 курс») была очень хорошо принята читателями и к настоящему времени выдержала несколько переизданий. В данном сборнике задач, охватывающем традиционный курс высшей математики в объеме второго курса технического вуза, сохранены все принципиальные особенности первого тома.
Каждая новая тема предваряется необходимыми теоретическими пояснениями, включающими важнейшие определения и теоремы. Затем идет блок задач на эту тему, по объему и структуре соответствующий стандартному семинару по высшей математике: сначала подробно разбираются 1-2 типовые задачи на тот или иной прием, после чего предлагается 3-6 аналогичных задач на его закрепление. Затем точно так же осваивается другой стандартный навык при решении задач на данную тему и так далее. В конце каждого раздела помещен существенно больший по объему блок задач для самостоятельной работы студентов дома (именно отсюда преподаватель может брать задачи для домашних заданий). Кроме того, в особый пункт, завершающий любую изучаемую тему, включены задачи повышенной сложности и «качественные» вопросы, обычно предлагаемые на экзаменах по высшей математике. Дополнительное удобство Для преподавателей представляют контрольные работы в каждой главе книги.
Таким образом, данный сборник задач будет несомненно полезен преподавателям для проведения практических занятий (есть теория, есть разобранные Примеры, есть задания для семинара и на дом) и студентам для самостоятельной работы, в качестве самоучителя.
В сборнике свыше трех тысяч задач, и практически ко всем из них даны Ответы или подробные решения и указания.
5
Книга написана преподавателями нескольких различных московских вузов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. При этом главы 3, 4 и §§ 6-8 главы 2 написаны Лунгу К. Н.; главы 5 и 8 — Нориным В. П.; глава 6 и §§ 1-5 главы 2 — Письменным Д. Т.; главы 1 и 7 — Шевченко Ю. А.; Куланин Е. Д. написал § 4 главы 1.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу: 141103, Моск, обл., г. Щел-ково-3, а/я 140; или по адресам электронной почты: chislovo@yandex.ru или editor@airis.ru (обязательно указать тему: «Задачник»).
Авторы
Авторы и издательство благодарят преподавателя математики Пайкову Л. И. из Днепропетровска (Украина) за ценные замечания, которые были учтены в данном издании.
Принятые обозначения
определение
Q	начало решения задачи
Ф	конец решения задачи
N	множество натуральных чисел
Z	множество целых чисел
R	множество действительных	чисел
R2 действительная плоскость
R3	действительное трехмерное	пространство
С множество комплексных чисел U объединение множеств
Г) пересечение множеств
А С В А — подмножество множества В (А В) А С В А — подмножество множества В
V любой, для любого = тождественно равен sign(x) знак числа х
Глава 1. РЯДЫ
□
§1. ПОНЯТИЕ РЯДА. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда
Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)
ai, аг, аз,..., ап,...
Числовым рядом называется выражение вида
й1 + аг + аз + ... + ап + ...
оо
Сокращенно ряд обозначают следующим образом: ^2 0171  При этом числа
71 = 1
а1,аг,аз,... ,ап,... называются членами ряда, а число ап — общим членом ряда. Суммы вида
<Si~ai, 5г = oi + аг, - - •, Sn = ai + аг + аз + •.. + ап,...
называются частичными суммами ряда. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности {5П} его частичных сумм:
S = lim Sn.
71—ЮО
В этом случае указанный предел называется суммой ряда.
Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то числовой ряд на-71—ЮО
зывается расходящимся и суммы не имеет.
Простейшие свойства рядов. Необходимый признак сходимости
Теорема 1.1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится.
Таким образом, сходимость ряда не меняется при отбрасывании любого конечного числа его членов.
7
ОС
Теорема 1.2. Пусть ряд Лп сходится, и его сумма равна S. Тогда ряд
П = 1
ОС
53 аап = aai + аа2 + ... + аап + ..где а — произвольное число, также
71=1
сходится, причем его сумма равна aS.
оо	оо
Теорема 1.3. Пусть ряды 53 °™ и 53 сходятся, и их суммы, соответствен-п=1	П=1
оо
но, равны 51 и Тогда ряд 53 (°« + М = (°i + М + (аг + Ьг) + • • • также
71 = 1
сходится, причем его сумма равна 51 + 52.
Необходимый признак сходимости
О©
Если ряд 53 ап сходится, то общий член ряда ап стремится к нулю при п=1
п —> оо, т. е.:
lim ап = 0. п—>оо
о©
Таким образом, если lim ап / 0, то ряд 53 Лп расходится.
п->о°	71 = 1
Ряд a + aq+aq2 +... + aqn~1 +..., составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом а ф 0, называется геометрическим рядом. Если |g|	1, то геометрический ряд расходится, если
|g| < 1 — сходится (при этом его сумма 5 находится по формуле 5 =	—).
111 00 1
Ряд 1 + ^ + - + ...-Ь — + ..., или, что то же самое, 53 ™ > называется гар-23 п	п=1 п
11 1 моническим. Гармонический ряд расходится. Ряд 1 + — + — + ... 4—т + ..., 2Р Зр	пр
где р > 0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при р > 1 и расходится при 0 < р 1. Частным случаем ряда Дирихле (при р = 1) является гармонический ряд.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
1-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 53 а'п и 53	— ряды с положительными членами, причем ап Ьп
71 = 1	71=1
для всех номеров п, начиная с некоторого. Тогда: оо	оо
1) если ряд 53 Ъп СХОДИТСЯ, ТО СХОДИТСЯ И ряд 53 an'i
71=1	П=1
оо	оо
2) если ряд 53 ап расходится, то расходится и ряд 53 ^п-
П=1	71 = 1
8
2-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 52 °п и 52	— ряды с положительными членами, причем суще-
71=1	П = 1
ствует конечный и отличный от нуля предел
lim
п-чоо Ьп
ОО	оо
Тогда ряды 52 и 52 сходятся или расходятся одновременно. п=1	п=1
При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при п —> оо):
sin й ~ ‘в й ~ arcsin й ~ Mct8 й ~ In С1 + й) ~ Й-
Признак Даламбера
оо
Пусть 52 °п — ряд с положительными членами, и существует конечный п=1 предел
т Gn-f-l ,
Inn —— = I. п—>оо ип
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Признак Коши
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный п=1 предел lim = /• n—>оо
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Интегральный признак сходимости
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, для которого существует п=1
положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1, +оо) Функция f(x) такая, что /(n) = ап, n = 1,2,...
+оо
ОО	/»
Тогда ряд 52 ап и несобственный интеграл / /(ж) dx сходятся или рас-n=l	J
1
годятся одновременно.
9
1.1.1.	Для каждого ряда написать формулу частичной суммы 5П; найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо
сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:
а)	1 + 2 + 3 + .. .4-п + ...;
6)	+ •  • 4—. 1 . + ....
'12	2-3	3-4	пуп +1)
Q а) Так как ч^ены ряда 1 + 2 + 3 + ... + п + ... представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1, и разностью, равной 1, то по формуле для суммы первых п членов арифметической прогрессии получим:	1
Отсюда lim Sn = lim j?77 • п = lim J(ti + n2) = +oo. Следователь-n—>oc	n—>oo 2	n—>oo 2
но, ряд расходится. Таким образом Sn = —-— • ti; lim Sn = +oo; ряд 2	n—>oo
расходится.
б) Так как 1	=	-----7+г то
71(71+1) П 71+ Г
Отсюда lim Sn = lim (1----------т) = 1. Значит, ряд сходится, и его
сумма равна 1.
Окончательно: Sn = 1-----7-7; lim Sn = 1; ряд сходится.	•
71+1 п—>оо
Для каждого ряда в задачах 1.1.2-1.1.8:
1)	написать формулу частичной суммы Sn;
2)	найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо
3)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.6. е
71=1 ОО
1.1.7. Е
1.1.2.	1-1 + 1-1 + ... + (-1)п-1 + ...
1.1.3.	1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) + ...
1.1.4.	2-4 + 6- 8 + ... + (-l)n+1 - 2п + ...
1.1.5.	1 + 2 + 4 + ... + 2П-1 + ...
2	1
3 2П-1
1
(2ti — 1)(2т? + 1)
1.1.8.	In 2 + In ^ + In ?| + • • • + 1п (1 +	+ ....
2	3	\	/t/
10
1.1.9.	Найти предел при п —> сю общего члена ряда ап. Если lim ап
0, то, применяя необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится.
\ у-' n + 1	j-x	тг 4~ 2
\^12п+Г	\tiln(n + l)-
оо ~.2
Q а) Найдем предел общего члена ряда:
lim ап = lim 1 =
г—>оо	п—>оо Z72 + 1
Разделим числитель и знаменатель дроби на
п
1.	1 + п
= lim ---------—
n—>оо Oil.
Z + П
1 п

lim (2 +
значит, ряд расходится.
Итак, lim ап = у; ряд расходится, п—>оо	2
б) Так как при п —> оо имеем (тг + 2) —> оо нахождения предела lim ап воспользуемся правилом Лопиталя:
сю, то для
г х + 2 г (я+ 2)'	1	(	.
hm —------— = lim — -------—- = lim — -------= lim (т + 1) = оо.
X —>оо ln(a; + 1)	х —>оо (1П(Я + 1))'	X —>оо	i	X —>оо
(s + 1)
Отсюда следует, что lim ап = lim . ?	= оо 0, и ряд расходится.
п-юо п->оо 1п(тг + 1)
в) Найдем предел общего члена ряда:
г	г п2
hm ап = hm —--------=
п—>оо	п—>оо 77,15 + 2
Разделим числитель и знаменатель на п3.
9 о	1	lim
= lim z " ;”3 . = lim	" ч =2 = 0.
п->оо (пз + 2) : n3 n->oo1 + _L lim (1 + —)	1
Так как lim ап = 0, то данный ряд может сходиться, а может и расхо-п	п—>оо
ЛИТЬСЯ.
На самом деле, данный ряд, как будет показано ниже, расходится, однако, используя только необходимый признак сходимости, доказать этого нельзя.
Таким образом, lim ап = 0; ряд может сходиться или расходиться. п—>оо
11
В задачах 1.1.10-1.1.17 найти предел при тг —> оо общего члена ряда ап. Если lim ап 0 0, то, применяя необходимый признак сходимости, п—>оо
установить, оо
1.1.10.
что ряд расходится.
оо
1.1.12.
1.1.14.
71=1 оо
2п — 3‘
5П
1.1.13.
п=1 1(1 х
ОО	-I
Ssinn-
71=1 ОО
1.1.15.
п=1 Т
. П2 + 1
оо (_nn-l .п
п=1 оо
п
1.1.16.
п=1 т \	)
Применяя 1-й признак сравнения, 2 4- sin тг ряд Е —п—* п=1
1 г> . •	\ 1	2 4- sin тг
sj 1ак как smn —1, то 2 4- sinn 1, откуда
1.1.18.
n=l v 7
исследовать на сходимость
оо
расходится, значит, расходится и большей ряд 52 п=1
1	00 1
Ряд £ ± lb	It	•—I b
n=l
2 4- sin тг тг	w
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
arctg тг 4-1
п=1 тг g 1птг n=i \/тг
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. оо
1.1.19.
1.1.21.
ОО
1.1.20.	52
тг=1 оо
1.1.22.	52
п=1
2П
1.1.23.
оо
71=1 оо
П=1
\/тгб 4- 2тг — 2
71=1
неограниченно растут
1 V 1b-Г Л.
Э а) Числитель и знаменатель дроби
при тг —> оо. Скорость роста числителя (тг4-2) определяется слагаемым п, г. е. числитель «растет как тг» при тг —> оо. Более строго: lim = 1, что также можно записать в следующем виде: тг 4- 2 ~ тг, тг —> оо (т. е. последовательности п 4-2 и п эквивалентны при тг —> оо). Аналогично, скорость роста знаменателя (тг2 4-тг-Ь 1) определяется слагаемым тг2, т. е. зна-2	< г?	г тг2 4- тг 4-1	!
менатель «растет как т?» при тг —> оо. Более строго: hm ---------= 1,
п—>оо	72^
что также можно записать в виде: тг24-тг4-1 ~ тг2, тг —> оо (последова-
12
ТеДЬНОСТИ n2 + 72 + 1 И 722 эквивалентны при 72 -> оо).
„	(п 4- 2) ~ п п 1
Таким образом, —т---------------« ~ —г = —. В других обозначениях:
(?22 + 71 + 1) ~ 722 П2 П
v ( тг 4- 2	1\ г п2 4- 2тг
п-юо + тг + 1 ’ьу п->оо п + 1
(п2 4- 2п) : п2	1 4-1
lim —---------------- = lim -----z----— = 1.
п->°° (тг2 + 72 + 1) П2 п->ос 1 4- 1 4-
°о ।
Так как ряд Н расходится, то расходится и исходный ряд. п=1
ЛГ	Л	+2
б j Учитывая, что и числитель и знаменатель дроби	----не-
х/тг6 4- 2тг — 2
ограниченно растут при п -> оо, запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений:
Пу/п + 2	п^/п _ П2 _ 1
х/п6 4-271 - 2	х/пё тг3 J
(тг —> оо).
ОО 1
Так как ряд ~ сходится, то сходится и исходный ряд. n=1 72 2
в) Так как In П-^~ = In (1 + хй ~ 7 (тг -> оо), то =7= In —~ '	tv	у	г L j	I v	'	о /7^
111 00 1
~ 77= ’ = = —г (тг -> оо). Ряд	~Г сходится, значит, сходится и
„1	”=1тЛ
исходный ряд.	О
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.24.
1.1.26.
1.1.28.
1.1.30.
1.1.32.
1.1.34.
72 — 1
х/тг3 4- Зтг — 1
тг • sin -7-п2
1.1.25.
1.1.27.
1.1.29.
1.1.31.
1.1.33.
2 2~п
П^1 723 4- 72 - 1 оо 1
Е 1 -
п=1 хЛг2 4- 3
ОО	1
V"*	• 2	1
>, arcsin
00
Е п5 • tg3
П=1
2
оо
Е
П=1
13
ОО
б) ч
1.1.35. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Далам-бера: оо 5
а) S п=1 о
Q а) Преобразуем выражение Q^+1 ип
Qn+1 = (п + I)5 . п5 = (п + !)5 3n+1 _ 1 . Л	iy
®n	g(n+l) + l Зп+1	3 \
1	/	1	\	/	1 V
Так как — —>	0 при п	—>	оо, то	(1	+	— )	—> 0	и	(1	+	—	—> 0 при тг —>	оо.
9 L	\	9 и 9	*	if»/
Значит, г ап+1 1 .. (л 1 lim —— = тт lim 11 + 77 п—>ОО ип о п—>оо \ ,L
и исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
б) Поскольку
Qn+i = (?г + l)n+1 Пп = (тг + l)n+1 п\ = ап (тг + 1)! ' тг! тгп (тг + 1)!
= (тг + 1)га • (тг + 1)	l-2-З-...-п	= /тг + IV = Л , 1V
тгп ‘ 1 • 2 • 3 •... • тг • (тг + 1)	\ п )	\	’
то
lim ”+1- = lim fl + ^-j = e > 1 (2-й замечательный предел), п—>оо	п->оо \
и, значит, исходный ряд расходится.
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать ,.	ап+1 hm	. п->оо ип				
1.1.36.	оо Е	2П 2 '	1.1.37.	оо з 2-/ ОП •
	П=1	тг		П=1
1.1.38.	оо £ П=1	Зп тг!	1.1.39.	- (п!)2 п=1 (2тг)!‘
1.1.40.	оо £ П=1	тгп тг!2п’	1.1.41.	“ 1-4-...(Зп-2) „=1	п12п
	оо	1 • 3 • 5 •... • (2п - 1)		
1.1.42.	V			
	П=1	2 • 7 • 12 •... • (5тг - 3)		
1.1.43.
Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:
оо
О а) Учитывая, что
П=1
тг + 2 \3+п
2тг + 1 /
14
..	71 + 2	1	i.	/о	1 \	о
a hm о—ГТ	=	о	и	11111	(3 +	т	= 3, получим
п—>сю 2 71 + 1	2	п—>оо	\	п /
Исходный ряд сходится по признаку Коши. /---------------------------------^7	п2	1	п
б) Так как	\ п- (1 —	= пп (1 — n = пп • (1 —
'	V	V \	/ v /	\	IV ]	\	* /
—	/	1 \ п
то остается найти пределы lim пп и lim (1 — — ) .
п—>оо	п—>оо X '1 /
1	1	1
1)	Поскольку пп = е1п(пП)} где ln(nn) = + Inn, то по правилу Лопи-таля	।
lim = lim = lim f = О,
п—>ОО 'ь П—¥ОО (П)	п—>оо 1
- 11
откуда lim пп = lim е« пп = е° = 1. п—>оо	п—>оо
2)	Так как lim (1 + Ц) = е" (следствие из 2-го замечательного пре-
дела), то lim (1 — — ) = е~1. Отсюда
п—>оо \	’ь/
— (	1\п	1	( l\n -1	1
lim = lim пп • I 1 — — ) = lim пп - lim I 1 — — I = e =	< 1,
n—>oo	n—>oo	\	’*'/	n—>oo	n—>oo \	'l/	c
и, значит, исходный ряд сходится.
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать lim V^n-п—>оо v
1.1.44.
1.1.46.
1.1.48.
1.1.50.
00 1
Исследовать на сходимость ряд V —;—, применяя интеграль-71 In 71
ный признак. Указать первообразную для функции f(x)
а
Q Так как ап = ——, то f(x} =	—. Проверим применимость ин-
71 Ш 71	х In х
тегрального признака Коши. Очевидно, что функция f(x) непрерывна
и принимает только положительные значения на промежутке (2, +оо). Убедимся, что f(x) монотонно убывает на этом промежутке.
15
Пусть 2 < Xi < Х‘2. Тогда In^i < 1пх2 и xi lna?i < x-2 lna?2, откуда f(Xl) = —> —J— = Tilnrri ar2lna;2
Итак, функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке (2,+оо), значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости.
Найдем неопределенный интеграл / f(x) dx:
rdQnx) = l-d(}nlnx}=lnlnx + a
J X In X	J In X J
Первообразной для функции f(x) является, например, функция In In х.
м
Вычисляя несобственный интеграл J, получим 4-oo	M	2	-
]im J X In X Л/->4-оо J Х1ПХ 2
lim (In In x
M—>4-00 \
2
2
lim (In In Л/ — In In 2) = +oo. M-++CO
Так как несобственный интеграл
ОО 1
ряд £ —j—•
„_2 72 1П 72
4-oo f dx J x In x 2
расходится, то расходится и
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука
зать первообразную для функции f(x) и i
а
ОО 1
1.1.51. Е —*=•
п=2 /гут/г ОО
1.1.53. Г -----------
1.1.52.
ОО
n=l
оо
Г —
77 Р
П=1
0.
применяемые признаки. До-
Исследовать ряд на сходимость. Указать полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап; п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim п—>о<
4)	для признака Коши — lim Ч/ап,
П—>ОО	р
5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и f(x)dx.
а

2/г + 3 пЪ 3/2-2-
оо „2
1.1.56. Е
П—1 °
16
1.1.57.
1.1.59.
1.1.61.
1.1.63.
1.1.65.
1.1.67.
1.1.69.
1.1.58.
1.1.60.
1.1.62.
1.1.64.
1.1.66.
1.1.68.
1.1.70.
Дополнительные задачи
Для каждого ряда:
а)	написать формулу п-й частичной суммы Sn;
б)	найти предел lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п-^оо
в)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.71.
1.1.72.
1.1.73.
1.1.74.
1.1.75.
1.1.76.
£ 1 = 1 + 1 + ! + ... + 1 + ...
П=1
Е (—п) = — 1 — 2 — 3 —	— п — ...
П=1
£ (-1)"  (2п - 1) = -1 + 3 - 5 + 7 - ... + (-1)п • (2п - 1) + ... П=1
V 1	-1 4. 1 4- 1 4-	4-	1	4-
00 /г	1 \
12	+ (- 1)п • I) = 2 + 3 + 2 + 3 + ... + 2 + 3 + -..
2п +1 =	3	,	7	,	, 2п + 1
~!П2(п + 1)2 I2 • 22 З2 • 42 п2(п + 1)2
Найти предел общего члена ряда ап. Если lim ап ф 0, то, применяя п—нх>
необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится.
1.1.77.
1.1.79.
1.1.81.
00	1
Е COS—.
п=1	П
1.1.78.
1.1.80.
1.1.82.
оо
Ein
П=1
ЗТ2- 1
2п + 3
оо
Е arcctg
П=1
П + 1
п2 - 3
17
1.1.83.
£ 7=-n=l \/nl -I- 1
1.1.84.
n + 3
n=i 3n2 - 1
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
оо COS ( п j 1.1.85. е ; ’. 71=1 ~	~ 1п(п 4-1) 1-1.87. Е п ' 71=1	1Л-86- „SnV оо on-l 11-“-
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.89.	оо Е П=1	2 + 72 п2 - 3
1.1.91.	оо £	723 + ЗП2 - 2
	77=1	2п + 5 — 725
1.1.93.	оо Е 71=1	2 4- 3-^/tz 2п — 5
1.1.95.	оо £	i /72 + 2\ П1 п )'
	71=1	
1.1.97.	оо £	] 722 4- 4 72 Ш —		.
	71=1	п2 4-3
1.1.99.	оо Е 71=1	5П 2п + тг'
1.1.90.
1.1.92.
1.1.94.
1.1.96.
1.1.98.
2п4-3
„=13п-2' ОО	-
£  -
п=1 \/п4 + П2 — 1
"=1 \/n4 + Vrfl
ОО	1
£ arctg3 —.
n=l	vn
OO	rt
E»4-sin2^.
n=l
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать
lim п—>оо
fln+1
1.1.100.	оо Е	п7 п 
1.1.102. 1.1.104.	П=1 оо Е П=1 оо Е П=1 оо	52 id тг! ’ тг!Зп п" 2 • 5 • 8 ... • (Зп - 1)
1.1.106.	Е п=1	1 • 5 • 9 •... • (4п - 3)'
ряд на сходимость,
1.1.101. £
П=1
оо
1.1.103. £
П=1
оо
1.1.105. £
П=1
1 • 3 • 5 •... • (2тг - 1)
п2 -Зп
Исследовать lim 2/а^. п—>оо
применяя признак Коши. Указать
О° I /	1 \ п
1-1.107. E|l+i
п=1*	'	'
18
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука
зать первообразную для функции f(x) и J f(x)dx.
а
ос	1
1.1.114. У ------------±---------
п=2 (2тг “Ь 1) 1п(2тг -Ь 1)
СО	1
1.1.116. у----------±------.
n=2 п In тг(1п In тг)
1.1.113. Е п=2
СО	1
1.1.115. £	—1 — .
„-о п In п In In П f Ъ — А
В задачах 1.1.117-1.1.131 исследовать ряд на сходимость и указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim ;
n->oo un
4)	для признака Коши — lim Ц/а^;
n->oo	+оо
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и J f(x)dx.
а
g 2тг + 1
П=1 тг(тг + 2 ОО	/
00	/«2 I о
1.1.121. У In (	+
71=1
1.1.123. у cos
71=1 ОО (•
1.1.125. У
п=1 (тг!
оо
1.1.127. У —
71=1 (Зтг — 1) 1п(3тг — 1) 00	/	— Ч \ n+i
1ЛЛ29-•
1 1 iqi	^тг -И 1
1.1.131. У sin--—.
71=1	«
< П2 , 2тг + 1
Зтг + 2'
оо
1.1.118.	У
71=1
ОО
1.1.120.	У
71=2 оо
1.1.122.	У
71=1
ОО
1.1.124.	У
71=1
ОО
1.1.126.	У
71=1
ОО
1.1.128.	У 71=1
ОО
1.1.130.	у
3”
тг1п2 тг
2 + (-1)п тг
пп‘
2
V3
п=1 Зтг 'уДъ
19
2 п
Контрольные вопросы и более сложные задания
оо
1.1.132.	Можно ли утверждать, что ряд 52ап сходится, если liman = 0? п=1	п^°°
оо
1.1.133.	Является ли необходимым для сходимости ряда 52 ап условие:	n=1
a)	lim ап ^2; п—>оо
б)	не все члены ряда — числа ап — равны 2;
в)	lim ап 0; п—>оо
г)	не все члены ряда — числа an — равны 0 ?
1.1.134.	Верно ли, что
а)	если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены;
б)	если частичные суммы ряда ограничены, то ряд сходится ? 1.1.135. Существует ли ряд, который
а)	по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши —
расходится;
б)	по признаку Коши сходится, а по признаку Даламбера — расходится;
в)	по признаку Даламбера расходится, а по интегральному признаку — сходится ?
оо
1.1.136.	Что можно сказать о сходимости ряда 52 (°п + Ьп), если 71=1
ОО	ОО
а)	ряды 52 fln и 52 сходятся; п=1	п=1
оо	оо
б)	ряды 52 On И 52 &п расходятся;
П=1	П=1
оо	оо
в)	ряд 52 ап сходится, а ряд 52 расходится ? П=1	П=1
оо
1.1.137.	Из того, что ряд 52 (an + Ъп) сходится, следует ли, что
П=1 оо	оо
а)	оба ряда 52 ап и 52 Ьп сходятся; П=1	71=1
ос	оо
б)	оба ряда 52 ап и 52 расходятся; п=1	П=1
оо	оо
в)	один из рядов 52 ап и 52 сходится, а другой — расхо-п=1	П=1
дится ?	__________
о о тт	у/п2 +	— \/п2—п-1
1.1.138.	Исследовать на сходимость ряд > , -----------.
П=1 ГС рП„| 1.1.139. Исследовать на сходимость ряд 52 —ТГ-п=1 п
20
оо
1.1.140.	Исследовать на сходимость ряд £2 ап, где П=1
3fc-i
I 4fc-l ’ п -	1;
°п = ) оЛ-1
ИЦ-, п = 2к,
а) по признаку Даламбера; б) по признаку Коши.
1.1.141.	Привести пример двух рядов ’
fc = 1,2,...
оо
И Ьп, для которых ряд п=1
оо
П=1 оо
оо
52 (an + 6П) сходится, а ряд (ап - ъп) расходится. п=1	п=1
1.1.142.	Докажите, что lim -—- =0, исследовав на сходимость ряд ОО ПП	п->оо (п!)2
п=1 (п!)2'
(п!)п
1.1.143.	Вычислите предел: lim ------5-.
п—>00
§2. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Таким образом, знакочередующийся ряд — это ряд вида
оо
Oi ~ 02 + аз ~ Q-4 + • • • + (—1)п+1ап +   • = 'У ^(—1)п^1аП)	(2-1)
П=1
или
оо
—ai + а2 — Оз + ап +  • • + (~1)гаап + • •  —	^(~ 1)пап,	(2.2)
71=1
где все ап — положительные действительные числа (ап > 0, п = 1,2,...).
Признак Лейбница
Пусть дан знакочередующийся ряд (вида (2.1) или (2.2)). Если выполнены два условия:
1) ai > й2 > аз > • • • > ап > •   (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);
2) lim ап = 0 (общий член ряда стремится к нулю при п —> оо),
П—700 то ряд сходится.
Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является знакопеременным.
21
оо
Теорема 1.4. Пусть дан знакопеременный ряд Е ап, где ап — произволь-71=1	оо
ные числа (действительные или комплексные). Если ряд 52 1ап|» составлен-п=1 ОО
ный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд 52 ап также п=1
СХОДИТСЯ.
оо
В этом случае знакопеременный ряд 52 ап называется абсолютно сходящимся.	n=1
ОО	оо
Если же знакопеременный ряд 52 сходится, а ряд 52 lfln I расходится, оо	71=1	П=1
то данный ряд 52 ап называется условно сходящимся. П=1 оо	оо
Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда 52 ап к ряду 52 lflnl П=1	71 = 1
можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами, оо	оо
Из расходимости ряда 52 расходимость ряда 52 вообще говоря, п=1	оо	п=1
не следует. Однако, если, применяя к ряду 52 lflnl признак Даламбера (или 71=1
признак Коши), получаем предел lim ?+1 = I > 1 (или lim Ч/|ап| = I > 1), n—>оо I	I	n—>oo v
oo	oo
то в этом случае оба ряда — 52 |fln| и 52 ап — расходятся. 71=1	71 = 1
Пусть {ап} — последовательность комплексных чисел ап = Ьп + гсп, где оо
Ьп и сп — действительные числа для любого п = 1,2,... Ряд 52 ап (т-е- РЯД 71=1	ОО
Е(Ьп + »сп)) сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — Е оо	ос	оо	оо	п=1
и	52	> причем в этом случае	Е	an =	Е Ъп + i;	Е	Сп 
71 = 1	71=1	71 = 1	71=1
ОО	1
1.2.1. Исследовать на сходимость ряд Е (“ 1)п—~Р-------•
n=i	20г - 1
оо
1. Исследуем на сходимость ряд Е ап из абсолютных величин чле-п=1
нов данного ряда: оо	оо
= У—1—• пУ2^-1
оо 1	1
Сравним этот ряд с рядом 52 —7= • Так как 201-1 < 20г, то ——----->
п=1 20г	20i 1
1 00 1
> —— для всех п. Ряд Е —7= расходится, так как расходится ряд 20г	П=120г
00 1	00 1	1
Е (как ряд Дирихле Е ПРИ Р = к < 1)- Значит, по 1-му при-п=1 х/п	П=1 п	2
22
oo 1 знаку сравнения расходится и ряд 52 —7=-•
20г - 1
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.
а) Проверим, выполняется ли неравенство ап > ап+1 для абсолютных величин членов данного ряда:
1 1
— п Г~ 1 л /------Т — °п+1-
20г — 1 20ГТТ — 1
Данное неравенство эквивалентно неравенству 20г — 1 < 2у/п 4-1 — 1, которое верно для любого п = 1,2,... Значит, ап > an+i для всех номеров п = 1,2,...
б) Найдем предел общего члена ряда: lim ап = lim —-1---------------------= 0.
п->оо n-юо 20г + 1
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится. Однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно.	•
оо
1.2.2. Исследовать на сходимость ряд 52 -----—.
2п — in п оо
Q 1. Исследуем ряд 52 ап из абсолютных величин членов данного ряда: п=1
ОО	ОО	1	1	1	1
52	52 2п — In п 2^4 — In 2^6 — In 3 + • •
п=1	п=1
Применяя 2-й признак сравнения, сравним этот ряд с расходящимся
ОО 1
гармоническим рядом 52
п=1
Ит	—Ц :	= lim -----| # 0.
п—>оо \2п — Inn	/	п—>оо п  1П П 2
z п
сю
Следовательно, знакопостоянный ряд 52 ап расходится, а значит, ис-п=1
оо
ходный ряд J2 (— 1)пап не является абсолютно сходящимся. п=1
2.	Теперь выясним, является ли данный знакопеременный ряд сходящимся, используя признак Лейбница.
а)	Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для всех номеров п, начиная с некоторого:
2п — In п 2(п + 1) — ln(n + 1)
23
Запишем последовательность неравенств, эквивалентных данному: 2n — In п < 2(n + 1) — 1п(п + 1);
ln(n + 1) — Inn < 2(n + 1) — 2п;
1п^<2;
Так как 1 +	2 < е, то In 11 + т?) <1пе = 1<2 для любого п = 1,2
Значит, неравенство ап > ап+1 выполняется для всех п = 1,2,...
б)	Найдем предел общего члена ряда:
lim an = lim ----= lim -———
n—>oo	n—>oo Zn — 1ПП	n—>oo Zn — ш П
n
= lim -------— = § = 0.
п—>оо п   1П П Z Z П
выполнены
Итак, для данного знакочередующегося ряда ^2 т;---i—
п=1 2n — Inn
оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, этот ряд сходится. Из этого и из того, что ряд не является абсолютно сходящимся, окончательно следует, что ряд сходится условно.	*
оо
1.2.3. Исследовать на сходимость ряд 2 (“I)”'1оп-
та^ оо
Q Исследуем на сходимость ряд ап из абсолютных величин членов п=1
данного ряда, т. е. ряд:
п) ' 3‘
П=1 используя признак Даламбера. Для этого сначала преобразуем выраже-^п+1 ние :
Qn-n _ n + 1 . n _ n + 1 Зп On “ 3П+1 • 3« — п
Найдем предел этого выражения: lim = lim fl n—>OO Un	n—>oo \
3	3
оо
По признаку Даламбера отсюда следует, что ряд J2 Н7Г сходится, а зна-П=1
чит, исходный ряд сходится абсолютно.	•
оо	1
1.2.4. Исследовать на сходимость ряд £2 (~l)nsin —.
п=1	П
из модулей членов данного ряда, т. е. (так
оо
1
О Рассмотрим ряд sin п=1 тг
п=1 П
как 0 < -Ат < 1, и следовательно, sin -Ат > 0 для всех п = п2	тг
оо
24
Воспользуемся 2-м признаком сравнения, для чего сравним этот ряд с 00 1 1
рядом	“о • Обозначив i = — и учитывая, что t —> 0 при п -> оо,
П=1 тг	п2
имеем: lim ( sin Дг :	) = lim = 1 (1-й замечательный предел).
п—>оо у	ТГ J	t—>0 t
ОО 1	ОО 1
Так как ряд 52 “о сходится как ряд Дирихле 52 ~о ПРИ Р = 2 > 1, то п=1 п2	п=1 п
оо
сходится и ряд 52 sin —. Отсюда следует, что исходный ряд сходится п=1 П2
абсолютно.	•
1.2.5.	Исследовать на сходимость ряд
у, 1Г+11-4-7-...-(Зп-2)
& >	3 • 5  7 •...  (2n + 1)
ОО
Q Рассмотрим ряд 52 ап из абсолютных величин членов данного ряда, П=1
Т'е’РВД'	у. 1-4- 7-... (Зп- 2)
" 3  5  7-... • (2n + 1)
Для ответа на вопрос о сходимости полученного ряда применим при
знак Даламбера:
an+1 = 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2)(3(п + 1) - 2) 1 • 4  7 •... • (Зп - 2) = Зп + 1 ап 3 • 5 • 7 •... • (2п + 1)(2(п + 1) + 1) : 3 • 5 • 7 •... • (2п + 1) 2п + 3 ‘
Отсюда	2
lim52±L=lim3n±l=liini±i = |>L
п—>оо	п-too ATI -р о п—>оо О । о 2
Z ' П оо	оо
Но это значит, что ряд 52 ап расходится, т. е. ряд 52 (~l)n+lfln не явля-п=1	п=1
lim —— = п—>оо ип
= х > 1) позволяет сделать более сильное утверждение. Так как °2+1 >
> 1 для всех номеров п, начиная с некоторого, то ап 0 (п —> оо), и стало быть (так как не выполняется необходимый признак сходимости), оо
Исходный ряд 52 (—1)п+1ап расходится.	•
П=1
1*2.6. Исследовать на сходимость ряд 52 (—1)п W — • п=1	5п2 - 2
М Нетрудно показать, что для данного ряда не выполнен необходимый признак сходимости. В самом деле:
Г	Г "Ь 1 Г П2 1 _Z л
hm ап = lim —- = hm -------------------— = - / 0.
п—>оо п—>оо 5n2 — 2 п—>оо г____________2 э
°
। п ледовательно, ряд расходится.
25
Доказать, что ряд сходится условно:
1.2.7.	» (-1)"-1 n=l ln(n + 1)	1.2.8.	oo E 71=1	(-l)"(2n + l) n(n + 2)
1.2.9.	g (-1)" п=2 П In П\Лп In П	1.2.10.	OO E( n=l	— 1) n+1	1 2n — \/n
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.11.
1.2.13.
1.2.14.
1.2.12.
оо
Е (-1)"-1
71=1
_____________п!_____________
3 • 5 • 7 •... • (2n + 1)
Доказать, что ряд расходится:
1.2.15.	Е(-1)п-п.
п=1
1.2.16.	oo	Q . 7 . E(-i)n+г 1	• (4n — 1)
	n^i y 5-8-...	• (3n + 2)
1.2.17.	V* ( 1АпЗп2 — 1 n=f > 5 + 2n2‘	1.2.18.
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера— lim ; п—>оо ип
4)	для признака Коши — lim Ч/|ап|.
п—>оо
1.2.19.
1.2.21.
1.2.23.
1.2.25.
1.2.27.
1.2.20. Г (-1)ПоП—!• Зп-1
оо	-i
1.2.22. EC-ir-i^
1.2.24.
п=1	п2
1.2.26.	£(- 1)п1п2.
71=1
26
п
оо
1.2.28. Исследовать на сходимость ряд 52 9П • п=1 п ' *
оо
Q Применим к ряду 52 1ап| из абсолютных величин
П=1
ряда признак Даламбера:
членов данного
п • 2П
п2п
п
п
2
откуда
lim
Qn+i
lim — п—>oo \ Z
'10 2
п
2
2
Qn+i Птг
> 1 для всех номеров п, начиная с некоторого,
Следовательно, откуда lim ап 0, и значит, исходный ряд расходится.	•
п—>ОО
оо / п , зг- \ п
1.2.29. Исследовать на сходимость ряд 52 ( т------;-----) •
тг=1 \(2 +i)n + 1/ оо
Применим к ряду 52 1ап| из абсолютных величин членов данного п=1
ряда признак Коши. Сначала преобразуем выражение >/|ап|:
Л ,	\ п
п + Зг	\
п
п 4- Зг
п2 + З2
_ _ / п2 + 9	_
2 V 5п2 + 4п + 1
9
2 71
п2
Отсюда
9
lim п—>оо
= lim
п—>оо
оо
52 |пп| сходится, т. е. исходный ряд сходится абсо-п=1
Таким образом, ряд лютно.
1 00
А«2.30. Исследовать на сходимость ряд 52
п=1
Г 1
F = то РЯД’ п	х/п
гп
Jn
Q 1. Поскольку
гп
Jn
составленный из абсолют-
Л у/5 п
ОО 1
нЫх величин членов данного ряда, имеет вид 52 ~т=- Полученный ряд 71=1 МП
27
00 1 1
расходится как ряд Дирихле 52 “® ПРИ Р = о < 1- Значит, исходный п=1 п
ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Запишем члены данного ряда в алгебраической форме, т. е. в виде Ъц + icn:
i_____1_____i	, 1 , i__________1________i___. 1	I ...
1	72	73 y/4 V5	75	77 78
OO	oo
Составим два ряда 52 и 52 ^cn соответственно из действительных и п=1	п=1
мнимых частей членов последнего ряда:
оо
Так как добавление (и удаление) произвольного числа членов ряда, равных нулю, не влияет на его сходимость, получим два ряда:
оо
оо	оо
Для знакочередующихся рядов 52 (~ l)nbzn и 52 (”1)п-1сп выполняются
71=1	71 = 1
оба условия признака Лейбница, так как при всех п = 1,2,3,... справед-
ливы соотношения
= Ь' и lim Ъ' /Ь	V	*•'
lim —= О п->°° х/2п
:n+i = /	= = ' z	,	= сп и lim сп = О
72(n +1) - 1 72пП 72гГЛ ” П-.ОО п
ОО	оо
Значит, ряды 52 (—1)пЬп и 52 (—1)п-1сп сходятся, т. е. сходятся ряды 72 = 1	71=1
оо	оо	оо -п оо	оо
52 ьп и 52 с„. Отсюда следует, что ряд 52	= 12 Ъп + г 52 сп схо-
72 = 1	72=1	72 = 1 уИ	72 = 1	72=1
дится. Поскольку в пункте 1 задачи установлено, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся, значит, он сходится условно. •
28
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
I) для необходимого признака — lim ап;
для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3) для признака Даламбера— lim ;
'	n—>oo
1) для признака Коши — lim Ч/1ап1.
'*/	п->оо
1.2.31.
1.2.33.
1.2.35.
П=1
1.2.32.
1.2.34.
1.2.36.
1.2.37
cos п + i sin п
9 п
Дополнительные задачи
Доказать, что ряд сходится условно:
1.2.38.
1.2.40.
1.2.39. £ (-1)" 3 J
п=1 п V In п + 2
1.2.41. Г(~1)п+1 ™ + 3-.
n=i	п +4
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.42. 1.2.43.	оо £( п=1 оо Е( п=1	' _ 1 \ п	п 4~ 1	 ‘ ' 1 • 3 • 5 •... • (2п - 1)  -l)n+1tg^—.	1.2.44. Пу/П	ОО	/ £ (-1)пзп п=1	\п+ А
1.2.45.	оо Е( п=1	’	j п—1 cos Зп 2	
Доказать, что ряд расходится:
1.2.46.
1-2.48.
1.2.47.
1.2.49.
оо
£(-1)
П=1
п-1 п\
2п2
29
Исследовать ряд на сходимость:
1.2.50.
1.2.52.
1.2.54.
1.2.56.
1.2.58.
1.2.60.
1.2.62.
1.2.64.
1.2.66.
п+1 п + 2
2п + 5
оо Е' П=1	\п+1 Зп 1 7 п(п + 1)’
оо	(-1)”-1
Е п—1	п(2 4-Inn)3
оо Е'	
П=1	
оо Е	п(2 + г)п on
П=1	0
оо Е	п(1 + г)п on
П=1	о
оо	„П
Е	1 п •
П=1 оо	
Е П=1	П у/п + in
1.2.51.
1.2.53.
1.2.55.
1.2.57.
1.2.59.
1.2.61.
1.2.63.
1.2.65.,
°° (-1)"-+
„=1 (2п + 1) • 3" ’
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.2.67.
1.2.68.
1.2.69.
1.2.70.
1.2.71.
Верно ли, что
а)	если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно;
б)	если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно ?
оо п2 + п
Исследовать на сходимость ряд $2 (—1) 2	•
П=1
ОО	I
Исследовать на сходимость ряд ^2 (—1)п~г S 1П n=1	Vch2 n + 1
оо
Верно ли, что если знакопеременный ряд J2 (—1)п°п сходится, то ап —> 0 (п —> оо) монотонно?	n=1
Верно ли для знакопеременного ряда, что
а)	если последовательность ап монотонна, то ряд ^2 ап • (—1)п
сходится;	n=1
б)	если ап 0 (п —> оо), то ряд J2 (—1)п°п сходится; П=1	ОО
в)	если ап —> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд J2 (~ 1)п°п сходится
условно;
п=1
оо
г)	если ап —> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд J2 (_1)п°п сходится.	n=1
30
1.2.72.	Доказать для знакопеременных рядов следующие утверждения:
а)	ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — ряд из положительных членов и ряд из отрица-
тельных членов;
б)	если ряд сходится условно, то расходятся два ряда — ряд
1.2.73.
1.2.74.
1.2.75.
1-2.76.
1-2.77.
1*2.78.
из положительных членов и ряд из отрицательных членов;
в)	если один из двух рядов (с положительными членами и отрицательными членами) сходится, а другой — расходится, то исходный ряд расходится.
оо
Если ряд 52 ап сходится условно, что можно сказать о сходи-п=1
мости ряда из его положительных членов ?
Исследовать ряд на сходимость:
п — четное;
п — нечетное.
-Ц-, п = 2к-1-,
„Xil.ll.ll. Л _1,_1
в)1_3 + 3"^ + 5_^ + '"’ а2к~х ~ 2fc^l’ °2* “
1 , . 1 1 . 1 1 . . 1 1
Г) 3“1+7"5 + n"9+--'’ fl2fc-12 ~4^1’a2fc““?T^-
Д) -----7~~-1-7=^--7=^-Ь. • ч а2И-1 =	.	-,
у/2-1 у/2+1 л/3-1 s/3 + 1	v'F+l-l
оо
Доказать, что если ряд 52 ап сходится абсолютно, то ряд
оо 1	П=1
52 —п---Пп сходится абсолютно.
<	71
П=1
оо	оо
Доказать, что если ряды 52 ап и 12 Ь2 сходятся абсолютно,
00	п=1	п=1
ТО ряд 52 апЬп сходится абсолютно.
П=1
Доказать, что если ряд сходится абсолютно, то и ряд, полу
ченный из исходного с помощью произвольной перестановки его членов, также сходится абсолютно, причем к той же сумме, что и исходный ряд.
Теорема Римана. Доказать, что если ряд сходится условно, то существует такая перестановка его членов, что полученный ряд сходится к любому наперед заданному числу или расходится заданным образом (к +оо, к —оо или к оо).
31
§3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Выражение вида
ао + сцх + агх2 4-... 4- апхп + ...,	(3.1)
где ао, di,аг,...,ап,... — постоянные числа (действительные или комплексные), ах — переменная величина (также действительная или комплексная), называется степенным рядом. Числа ао, <21,аг,..., ап, • • • называются коэффициентами степенного ряда. Сокращенно степенной ряд обозначают так: 52 апхп.
п=0
Будем называть степенной ряд действительным (соответственно, комплексным) степенным рядом, если его коэффициенты — действительные (соответственно, комплексные) числа, а переменная х принимает действительные (соответственно, комплексные) значения.
Часто рассматривают степенные ряды более общего вида
оо
^2 ап(х — а)п — ао + ai(x — а) + й2(х — а)2 4-... 4- ап(х — а)п -I-...,	(3.2)
п=0
частным случаем которых при а = О являются обычные степенные ряды (3.1). С другой стороны, каждый степенной ряд вида (3.2) с помощью замены пере-ОО
менной у = х — а сводится к ряду 52 dnXn вида (3.1).
п=0
Придавая переменной х в степенном ряде конкретное числовое значение х = Xq, получим числовой ряд, который сходится или расходится. Множество всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
При х = 0 (соответственно, при х = а) всякий степенной ряд вида (3.1) (соответственно, вида (3.2)) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку.
ОО
Теорема 1.5 (Абеля). Если степенной ряд 52 о,пХп сходится в точке хо, то п=0
он абсолютно сходится в каждой точке х, цля которой |х| < |а?о|.
ОС
Следствие 1.1. Если степенной ряд 52 ап.хп расходится при некотором зна-п—О
чении х = то он расходится и при всех значениях х, для которых > |a?i |.
Интервалом сходимости действительного степенного ряда вида (3.1) (с°~ ответственно, вида (3.2)) называется такой интервал (—R,R) (соответственно, (ао — R, ао + R)), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой
32
точке, лежащей вне отрезка [—Я, Я] (соответственно, [а?о—R, хо+-R]), ряд расходится. На границах интервала сходимости, т. е. в точках х = ±R (соответственно, в точках х = xq ± R}, ряд может как сходиться, так и расходиться. Число # называется радиусом сходимости действительного степенного ряда.
В частности, R может равняться нулю — в этом случае область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, xq}, или +оо — в этом случае областью сходимости является вся числовая прямая (такой ряд называется еще всюду сходящимся}.
Кругом сходимости комплексного степенного ряда вида (3.1) (соответственно, вида (3.2)) называется такой открытый круг |х| < R (соответственно, |j —а| < Я), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне замкнутого круга |х| R (соответственно, вне замкнутого круга |я — а| R}, ряд расходится.
В граничных точках круга сходимости — т. е. на окружности |х| = R (соответственно, |х — а| = R} — ряд может как сходиться, так и расходиться. Число R называется радиусом сходимости комплексного степенного ряда. В частности, R может быть равно 0 — в этом случае вся область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, а), или +оо — в этом случае областью сходимости является вся комплексная плоскость С.
Интервал и круг сходимости ряда, как правило, определяют с помощью признака Даламбера или признака Коши, примененных к знакоположительному ряду
ОО	оо
|ап^п| (соответственно, |ап(я — а)п|), п=0	п=0
составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда.
Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда применяются так
же формулы:
R = lim
п—>оо
On Оп+1
lim у/Ы
в тех случаях, когда указанные пределы существуют.
оо <
1-3.1. Найти область сходимости ряда ' n=1
М Применим признак Даламбера. Поскольку
п—1
%+i
nl(x — 3)” 1
ТО
п\
(х - 3)п
(х - 3)п-1
2п+2
1 _ 1^-3|
2
|а; — 3|
2
Пт ^—>00
C6<»PH>.v
задач по высшей математике, 2 курс
= lim
п—>оо
33
+оо при х — 3 0, х 3, О при х - 3 = 0, х = 3.

2
(х + 1)п
72=1	ПП
Таким образом, ряд сходится (абсолютно) только при х = 3, в остальных точках числовой прямой ряд расходится.
оо 3«
1.3.2.	Найти область сходимости ряда —
О Воспользуемся признаком Коши:
|ж + 1| nm —-— • 3 « 1—i-rv-1	/л
lim Vl°n| = lim П—ЮО	n—ЮО
=	+ 1| lim „
•п —Ь rv-л	* »
при всех х € (—оо, +сю).
Следовательно, ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой (—оо,4-оо).	*
оо
1.3.3.	Найти область сходимости ряда хП-п—1
Q Применим признак Даламбера:
1
—— = lim |ж| = |ж|.
X п-юо
lim I	1 — ijm
г—Юо I	I n—Ю
(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши: lim V|an = lim Ч/|жп| = lim Ы = Ы.) Отсюда следует, что при п—ЮО	п—ЮО	п—>оо
|ж| < 1 (т. е. при х € (—1,1)) ряд сходится абсолютно, при |ж| > 1 расходится. Таким образом, интервал (—1,1) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т. е. в точках х ~ — 1 и ж = 1.
При х = — 1 получим знакочередующийся ряд
оо
П=1
Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости
При х = 1 получим ряд
оо
п=1
Этот ряд расходится по той же причине, так как
lim ап — lim 1 = 1^0. п—юо	п—юо
Итак, область сходимости данного ряда — интервал (—1,1). оо (х _ 2)n+1
1.3.4.	Найти область сходимости ряда ;---------Г-
п=1 Зп(п + 2)
34
1. Применим признак Даламбера. Учитывая, что
Оп+1 		(x-2)(n+r>+1 (х — 2)n+l
Пп пОлучим ,.	^п+1 hm а п->оо ип	Зп+1(п + 1 +2) ’ Зп(п + 2) = (х - 2)п+2	зп	п + 2	_	к ~	2| п + 2 (х - 2)n+1	Зп+1	и + 3	“	3 п + 3’ 	’ r 1® — 2| п + 2 	 1® — 2|	п + 2 		— 2| —	л	। q —	q	lim	। _ —	_ п—>оо	о	П + о	о	п—>оо П + о	о
Отсюда
<!•»-!<	< 1 •» -3 < г - 2 < 3 •» -1 < г < 5.
Итак, при т Е (—1,5) ряд сходится абсолютно, а при х [— 1,5] — расходится. Значит, (—1,5) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т. е. в точках х = — 1 и а; = 5.
2. При х = 5 получим ряд
Применяя 2-й признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим 00 1
рядом 52 п‘
П=1
lim ; Й) = lira = lim —Ц- = 3 / 0.
п—>оо \71 + Z	/	и—>оо П + Z п—>оо i । Z
П
°° 1
Поскольку ряд 52 п Расх°Дится> а полученный предел не равен нулю, п=0
ОО о
то ряд 52 —Го расходится.
3. При х = — 1 получим ряд
+ (-1 _ 2)п+1 = ~ (-зГ+1 = ~ (-1Г+..3п-н	”	з
Зп(п + 2)	^~'3"(п + 2)	3"(п + 2)	+'* > п + 2'
1	4	'	Г? = 1	'	'	П=1	4	'	П = 1
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд 52 — с°ставленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится (см. пункт 2).
Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя пРизнак Лейбница.
а)	Очевидно, неравенство
„ _ 3 .	3
п~ п + 2 > (п + 1) + 2	п+1
Вь1полнено для всех п = 1,2,...
35
б)	Кроме того, lim ап — lim ——~ = 0. п—>оо	п—>оо TL + Z
ОО	о
Итак, для знакочередующегося ряда 52 (—l)n+1——х выполнены оба п=о п + Z
условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, данный ряд сходится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда —-промежуток [—1,5).	•
°° (т + 5)п
1.3.5.	Найти область сходимости ряда 52 ------s—•
п=2 3n+1nhr п
Q 1. Применим признак Даламбера. Так как
(При вычислении последнего предела воспользовались равенствами
lim ln3-n = lim (—
п—>оо kr(n 4- 1)	n—>oo \m(n +
и, далее, правилом Лопиталя.) Найдем интервал сходимости
•—< 1 О -1 <	< 1 <=> —3 < ж 4- 5 < 3 <=> —8 < ж < —2.
О	<J
Итак, при х Е (—8, —2) ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда в точках х = — 8 и х = —2.
2. При х = — 8 получим ряд
“ (-8 + 5)" =	(-3)"	=	Зп = “ (-1)”
“<Зп+1п1п3п	~i3"+1nln3n	' Зп+1п1п3п “i3nln3n
71=2	71=2	71=2	71=2
Исследуем этот ряд на сходимость. Рассмотрим ряд, составленный и3 абсолютных величин членов данного ряда:
оо
У-1 .
п-2 Зп 1П3 71
36
Применим интегральный признак. Так как ап =--------—, то
Зп hr п
1
Зх In3 х
Очевидно, что f(x) монотонно убывает на промежутке [2, +оо), т. е.
Vn > х2 > 2	/(xi) =	1	<	1	= /(х2).
ЗЖ1 Ш Ж1 ЗЖ2 In Х2
Так как функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке [2, +оо), то для исследования данного ряда на сходимость можно применить интегральный признак.
Сначала найдем неопределенный интеграл
dx
Зх In3 х
In3 X
1 г d(ln ж) _ 1 = 3
3
бш X
Отсюда
Г dx
J ЗхIn3 x
At
2
м
lim
М—>4-оо J За? hr а:
4-oo
Так как несобственный интеграл / —— сходится, то сходится и ряд ' Зх In3 х
00	1	00	(—1)п
£ -----5, а значит, ряд ^2 -----5— сходится абсолютно.
п=2 Зп In3 п	п=2 Зп In3 п
3. При х = — 2 получим ряд
ОО / л । р* \ <п	ОО	ОО
р (-2 + 5)п = ул зп = у- 1 Т<Зп+1п1п3п	“<Зп+1п1п3п	~^Зтг1п3тг
=2	П=2	П—2
Этот ряд сходится абсолютно (см. пункт 2).
Таким образом, область сходимости исходного ряда — промежуток ('8,-2].	•
*•3.6. Найти круг сходимости комплексного степенного ряда
уч (2г)"+1(г + 3г)" (77 - 3«)"
37
Q Применим признак Коши:
lim yjo.nl = Um п—>оо	п—>оо
lim \z + 3i| • п—>оо
п + 1
|(2»)~ I Iv'z - Зг|
\z 4- Зг| • 2
\М)2 + (—З)2
\z 4- Зг| • 2 \z + Зг)
4	=	2
Найдем круг сходимости ряда:
< 1 <=> \z + Зг I < 2.
Итак, в круге \z 4- Зг[ < 2 степенной ряд сходится абсолютно.
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап; ?г—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера— lim ; n->OO “П
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;	+оо
П—>ОО	f
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и / f(x)dx.
а
В задачах 1.3.7-1.3.14 для определения интервала сходимости использовать признак Даламбера. В задачах 1.3.15-1.3.20 для определения интервала сходимости использовать признак Коши.
1.3.7.	оо £	X	1.3.8.	оо £	(д - 2)п~1
	П=1	п!		И—1	(п + 1)!
	оо			оо	
1.3.9.	Е	п\хп.	1.3.10.	Е'	(п + 2)!(д + 1)".
	П=1			71=1	
1.3.11.	оо Е	пхп.	1.3.12.	оо Е	(3 - ж)2п
	П=1			71=1	х/п
	оо	~,П		оо	
1.3.13.	Е П=1	X П ’	1.3.14.	п+1-	
	оо			оо	
1.3.15.	Е	Ппхп.	1.3.16.	Е	пп+1(х-3)п.
	П=1			71=1	
1.3.17.	оо Е П=1	хп	1.3.18.	оо Е 72=1	(х + 2)n+1 (п + 1)” '
1.3.19.	оо Е 71=1	f П + 1\П 2п \ п ) х ’	1.3.20.	оо Е 71=1	( 71	V* (Т _ О^пЧ-1. Un + lJ (	}
38
1.3.21.
1.3.23.
1.3.25.
1.3.27.
1.3.29.
1.3.31.
1.3.33.
1.3.35.
1.3.37.
оо Е 71 = 1	(х - 3)п 371+!	1.3.22.
ОО	~.2п2	
Е 71=1	X	 пп	1.3.24.
ОО Е 71=1	M+l\n 4w \ 71 /	1.3.26.
ОО Е 71 = 1	(х + 1)" nlnn	1.3.28.
ОО	(х + 1)п	1.3.30.
Е 71 = 1	2П-1 -п2'	
ОО Е	,r2n— 1 •1/	1.3.32.
		
71=1	4ппIn2 п	
ОО Е 71=1	12п + 1\п, . пт1 ( 2п 2 <Ж + 1’ •	1.3.34.
ОО	(2 - х)п	
Е		1.3.36.
71 = 1	2п+1(п4-2)п“1	
оо
Е
71 = 1
ОО Е 71=1
ОО
Е 71= 1
(х + 2)2п~1
3"	’
(2п)\(х 4- 7)n+1
D71 — 1
(2п4- 1)!
£(n + l)n(6-z)"+1 -2"-1 п=1
Найти круг сходимости ряда. Указать применяемые признаки.
1.3.38.	оо Е 71=1	n\(z	-i)n.
1.3.40.	ОО Е	(.г- 71	2i)n 71
	71=1		
	ОО		
1.3.42.	Е	Z		
	71=1	m	
1.3.39.
1.3.41.
Дополнительные задания
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До-полнителъно указать:
для необходимого признака — Пт ап; 71—>ОО %) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым допивается данный ряд;
3) для признака Даламбера — lim ™+1; . .	71—>ОО иП
U для признака Коши	— lim	,
71—>ОО	v	+	°°
' для интегрального признака — первообразную для f{x) и [ f(x) dx.
В	а
сдачах 1.3.43-1.3.46 для определения интервала сходимости исполь-°ватПъ признак Даламбера.
39
В задачах 1.3.47-1.3.49 для определения интервала сходимости исполь-зоватъ признак Коши.
1.3.43.	~ (х - 2)п	ОО	(Зг)5п Е о •	1.3.44. Е2т)_г п=1	71	п=1 ,°О „lzj.n+1	оо	on—lxpTi+2
1.3.45.	Е Yn_, .	1.3.46. £ 3 * . П=1 Z	П=1
1.3.47.	» 2п(2х + З)"-1	л „ ..	~ пп(х + 1)”+» 1	Пп	'	1.3.48.	2^	3 П=1	,Ь	П=1 оо „г?
1.3.49.	X	 пп * п=1 71
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.3.50.	Может ли интервал сходимости ряда Е°»®п быть таким: а)(-2;0);	б) (0;2); в) (-3,1);	г) (—оо;оо); Д) (-3;3). ОО
1.3.51.	Известно, что ряд ап(х — 3)п в точке х = 2 расходится. Что п=1 можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5;	б) х — 3,5; в) х = 4. оо
1.3.52.	Известно, что ряд ап(х — 3)п в точке х = 2 сходится абсо-п=1 лютно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5;	б) х = 3,5; в) х = 4. оо
1.3.53.	Известно, что ряд an(z — (1 4- г))п в точке z = i cxorwick n=l условно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: a) z — 1;	б) z = 0; \	1 + i B)z= 2 .
1.3.54.	Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение: а)	на обоих концах интервала сходимости ряд расходится; б)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — сходится абсолютно; в)	на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсолютно; г)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — расходится; д)	на одном конце интервала сходимости ряд сходиться абсолютно, а на другом — расходится.
40
oo z 1 \ n2
1.3.55. Найти область сходимости ряда 52 Ц+n) (я — l)n-n=l '	'
1.3.56. Степенный ряд сходится условно в точках z\ = 3 + 2i и = = — 1—г. Что можно сказать о сходимости ряда в других точках комплексной плоскости ?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Исследовать ряды на сходимость:
ОС	-1 а) Е n3tg2 -Е; п=1	П . fn + l\ в) 2^ 1 п Ь п—1	' оо	(-1)пп! Д\=1 2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’	ОС оо г) Е ,	, z, р п=2 П1ПП1П (1ПП) . ~ 2i + (- 1)пп е/ Е	2 п=1	П
°°л (2 — т)п
2. Найти область сходимости ряда >2 ----г-;—
п-1 п + 1
оо
3. Найти круг сходимости ряда 52 п=1
(z - 2i)n Зп
Вариант 2
1-	Исследовать ряды на сходимость:
1
(п + 1)1п(п + 1) ’ гп
п + 2'
Найти область сходимости ряда 52 (ж + 1)п
П=1	\ ЗП /
Надти круг сходимости ряда 52
п=1
(z + i)n
41
Вариант 3
1. Исследовать ряды на сходимость:
оо
Е П=1 оо Е 71=1
ОО Е тг=1
2n+1
п2 -5П’
_________1
(п + 2) 1п2(п + 2) ’
1
п(3 + г)” ’
оо /_ 1угхп
2.	Найти область сходимости ряда V ------
п=1 П + 2
сю ^2; — i)2n
3.	Найти круг сходимости ряда --------Т"Ч—
п-1 П + 1
Вариант 4
1. Исследовать ряды на сходимость:
б)
г)
е)
ОО Е п=1 оо
Е п=1
оо
Е
п=1
3 • 5 • 7 •... • (2п + 1) 2 • 5 • 8 •... • (Зп - 1) ’ __________1_________. (2п + 1)^/1п(2п + 1) ’ n(i + 1)п
3 + i
2.	Найти область сходимости ряда
оо
3.	Найти круг сходимости ряда
п=1
Е 0Ф)*3п-
(z + 2i)”+1 ^2
§4	. РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряды Фурье
Пусть функция /(х) — интегрируемая и периодическая с периодом 2тг. эффициентами Фурье функции /(х) называются числа ао, <21, «2, ..., ап,  •  bo, bi, b%,	, bn,  ., которые находятся по формулам
7Г
ао = Jdx,	(4-1)
— 7Г
7Г
ап =	f f(x) cosnxdx, (п = 1,2,...),	0-^
42
bn
sin nxdx, (n=l,2,.
(4-3)
Рядом Фурье функции f(x) называется ряд
ОО
+ У^(ап cos пх + Ьп sin пх).
71=1
Условия сходимости ряда Фурье
Ряд Фурье интегрируемой функцид f (х) может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции f(x), так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле.
Теорема 1.6 (Дирихле). Если функция f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке [—7г,7г] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [—тг, тг], то ряд Фурье функции f(x) сходится для любых х из [—тг, тг] и его сумма равна:
1)	f(x) Для всех точек непрерывности х из интервала (—7г,тг);
2)	^(/(#о — 0) + f(xo + 0)) для всех точек разрыва а?о;
3)	|(/(“ + 0) + /(7Г — 0)) При X = -7Г И X = 7Г.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) — четная функция (/(—х) = f(x), 'ix G [—тг, тг]). Тогда Ьп = 0 (п — 1,2,...), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:
а"cos пх<
П=1
= f(x)cosnxdx, (n = 0
(4.4)
где a0 = - J J(x)dx, an о
Аналогично нечетная функция f(x) (т. e. f(—x) = Vx G [—тг, тг]) разла-^ся в ряд Фурье по синусам:
/(ж) = bn sin nx, n=l
7Г
где bn = f(x)sinnxdx, (n =
о
(4-5)
43
Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке
Пусть /(а?) — периодическая с периодом 21 функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале (—1,1). Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид
ОО
.Г/ \ flo I ( П7ГХ . 1	• П7гх\
f(x) = — +> (an COS —---1- bn Sin —— ) ,
П = 1
где
/ ао = | f f(x) dx, -i
i	i
an = у f f(x) cos dx, bn = ~ f f(x) sin dx (n = l,2,...). I J	ь	• J	w
-I	-I
Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и косинусы
оо
Лч ао .	птгх
%) — 2 fln cos /ji » n=l
где i	i
ао = у Jf(x)dx, an = j jf(x)cas^~. dx (n = l,2,...). о	о
Нечетная функция f(x) разлагается в ряд Фурье по синусам
№) = £bnsin^,	(4.6)
71 = 1
где
i
b„ = jff(X)sin^dx (п = 1,2,...).	(4.7)
О
1.4.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 1, заданную на интервале (—7Г, тг).
ф Функция четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по косинусам, а коэффициенты ап можно найти по формулам (4.4):
тг
о
о
тг
[dx=r = 1-77 = 2, J 77 О П О тг о г	2
С = — / COS ПХ dx = тг=г sin пх о
= ^(sin7rn ~ sin°) = 7пг(° — 0) = 0.
7Т
О
44
ДОтак, flo = 2, an = 0 (n = 1,2,...). Таким образом, в данном случае ряд Фурье состоит из единственного ненулевого слагаемого, равного £2. = ^ = 1, и разложение имеет тривиальный вид: 1 = 1.	•
2	2
разложить в ряд Фурье данные функции, заданные на интервале (-7Г, тг).-
1.4.2.	f(x) = cos2 х.	1.4.3. f(x) = sin2 x.
1 4.4.	Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = <	’	< х <
I 1, 0 < х < 7Г.
Q Функция нечетная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по синусам. Находим коэффициенты Ъп по формулам (4.5):
7Г
7Г
Г	2 Iя
f sin nxdx = — == cos nx\
о	0
“	(cos ™ - cos o) = -	:
(°, = <	4
п = 2k,
о I»	1 к — 1,2,...
n = 2k — 1,	’ ’
Окончательно получаем
rt \	4 V sin(2A: — l)a; 4 | sina; , sin 3a; , sin 5a; ,	\
= 2fc-i	=Ц~Т + —з““ + —5~+ "’ •
k=l	\	/
Положим в этом равенстве x = . Тогда
i _ 4 (s^n 2 . sin Зтг2 . sin 5тг2 .	\_4Л_1,1_	\
тг I i	з	5	3-1-5	• • J ,
откуда = 1 - I + I - ... + (~1)*+1	1	4- ..., т.е. мы получили
Разложение в бесконечный ряд числа Впервые это разложение было открыто знаменитым немецким математиком и философом Лейбницем (1646-1716).	•
-	I 3 ____тг 0
1*4«5. Разложить в ряд Фурье функцию /(а;) = <	’	’
1—3, 0 < х < 7Г.
1*4.6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х.
Функция нечетная, поэтому ап = 0 (п = 0,1,2,...). Осталось определить коэффициенты Ъп по формуле (4.5), т.е.

= ^jxsinnxdx. о
45
Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрирования по частям. Положим и = х, dv = sinnxdx. Тогда du = dx, v = = J sin nxdx = — ^cosnir, откуда
7Г	7Г
/1	n	1 Г
x sin nxdx = ——xcosnx +	/ cosnxdx —
n	о	n J
о	о
= -i(7FCOS7rn - 0) + sinnx ° = -^(-l)n = ^(-l)n+1.
Окончательно получаем bn =	• ^(—l)n+1 = ^(—l)n+1, стало быть,
ff„x	<( —l)n+1 sinm; 9/sina: sin2a: . sin3a: sin4x ,	\
f{x) = x = 2^----n-----= 2	------— + —з--------. J.
n=l
Подставив значение x = в это равенство, придем к уже встречавшемуся нам в задаче 1.4.4 ряду Лейбница
тг	9/sin	2 sin7r	.	s^n 2	sin27r	.	A
2	О----2~	+	”3---------+	J’ ИЛИ
- = 1- -	+	-- ...	+	(-1)k+1	— -1-	•
4	3	+	5	1 J	2k - 1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—7г,7г):
1.4.7. f(x) = 1 - 2х.	1.4.8.	/(х) = |х-3.
{2	—тг х 0
—4, 0 < х < тг.
О Функция общего вида, поэтому коэффициенты Фурье находим по формулам (4.1)-(4.3):
46
О, _ 12
7ГП ’
п — 2k,
п = 2к — 1,
(* =1,2,...).
р итоге имеем
г/ \ оо Х-'4 г	1	12 sin(2fc — 1)ж
/(г) = "2" + У? bn sin na; = -1 - — ^2	2А: — 1
п=1	Л=1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные
на интервале (—тг, 7г)г
1.4.Ю.
1.4.11.
—тг < х < О, О < х < тг.
—тг < х < О, О < х < тг.
Разложить в ряд Фурье функции, заданные
на интервале [—7г;тг].-
1.4.12.
1.4.14.
1.4.15.
f(x) = х2.	1.4.13. f(x) = |ж|.
Используя разложение из задачи 1.4.12, вычислить сумму ряда
00	1
Е А-
п=1 ГГ
При помощи разложения из задачи 1.4.13, найти сумму ряда ОО	.
S (2fc - I)2 '
На интервале (—тг, тг) разложить в ряд Фурье следующие функции:
1.4.16. Дя) = 1 - ||х|.
1.4.17. /(ж) = sin аж (а — не целое число).
14.18.
№) =
—тг < х С О, О < х < тг.
1.4.19. С помощью разложения из задачи 1.4.18, найти сумму ряда 1 + — + — + ... Ч---------------1-....
З2 52	(2к -1)2
1*4.20. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, тг] функцию
{х, 0 < х <
ТГ .	2
ТГ — х, — X ТГ.
г\
^7 Продолжим функцию на отрезок [—тг, 0] нечетным образом (рис. 1). ОгДа полученная функция нечетная и ее ряд Фурье содержит только
47
Рис. 1
синусы. Найдем коэффициенты Ьп (п = 1,2,...):
7Г
sin nx dx
2	7Г
= — I х sin nx dx + — 11
0	IL
2
sin nx dx =
_ 2 / 7Г COS 2 sin nx 2 \ g ( COS nx * \ 2n n2 0 J	n
cog ^n n
2 sin vfn Al
7ГП2
о „„„ 2cosjn	cos
2cos7rn ,______2	. 2 cos тт_____2_
n n "г n n
—- sin nx 7ГП2
2sin^n 2sin^n
2 I” 9 7ГП	7ГП
4 sin ^n £t
9
7mz
(°,
= < 4(-l)fc+1
( 7f(2A7 — I)2 ’
n = 2fc,
n = 2k — 1.
.	4 “ (— l)fe+1 sin(2A; — l)z
Таким образом, f(x) = E 1------------Zolt \<2--------
71 fc=i (2k - 1)
При x = | имеем |	(1+^ + П+ ' +7$Г
, откуда еще
i ±	±	x	7Г2 A
раз находим, что сумма ряда 1 + — + —+... + —--—+... равна -т-. •
З2 52	(2к -1)2	о
1.4.21. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) следующие функции
a) f(x) =х;	б) f(x) = |
1.4.22. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] функцию г/ \ 7Г х = 4 - 2-
48
Рис. 2
Э Продолжим данную функцию на отрезок [—тг,О] четным образом (рис. 2). В результате получится четная функция, ряд Фурье которой состоит только из косинусов. Вычислим коэффициенты ап (п = 0,1,2,...) по формулам (4.4):
7Г	Д’
°0 = к dx = i “ f) ~ о	о
2 (ТГ „ х2 — I 7^ г
7Г I 4	4
я 2
0=*
— - — ) = О
4	4 /	’
пп — о
7Г
пх
7Г
о
7Г
2J о
sin пх 2п
* _ х sin пх о ™
7Г
7Г
= (sin тгп — sin 0) — (тг sin тгп — 0 • sin 0) — 2п	7171
0,
2
тгп2 ’
——(cosтгп - cosO) = —-тгп	тгп2
cos пт тгп2
7Г
О п = 2к, п = 2к — 1.
т
2
о
О
о
Итак, /(ж) =	^2 —-------- Положим в этой формуле х = 0. Тогда
fc=i (2fc — 1)
ТГ 9 00	1	11	-тг^
? = * £ (2fc - I)2 ’ 0ТКУДа *?! (2к - I)2 = 1 + З2 + б2 + ’'' = Т’ ЧТ° совпадает с найденным ранее значением для суммы этого ряда. • 1*4.23. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] следующие функции
а) /И =	б) /(®) =
в) /W = -я2;	г) /W =	+ з.
•4.24. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х на интервале (—3,3).
49
О Функция нечетная и поэтому разлагается в ряд Фурье по синусам (формулы (4.6)-(4.7)). В нашем случае f(x) = х, I = 3, следовательно,
з
Ъп = | [х sin dx =
О J о
и = х, dv = sin du = dx, v = f sin dx = — cos о	J 3	6 .
О	3	О
—	2 „	П7ГХ .2	П7ГТ ,	_	6	1 2 • 3	• П7ГЖ
-	7ГПХСО8 3 о + 7ГП/ 3 d	+ (7ГП)2	3	o'
= -skt-D" + ^sin™ - sin°) = ^(-1)n+1-/I f L
Итак,
я (-l)n+1 sin д/sin^ sin sin ^5^ f(x\ =	6	1__>_______3_ = 6 (___3_ _____3_	___3_ _
x тг	n	Ml 2^3
n=l	'
Разложить в ряд Фурье данные функции на указанных промежутках:
1.4.25.
1.4.27.
1.4.29.
f[x)=x, (-2,2).
f(x) = \x\, (-2,2). f(x)=x2, (-3,3).
1.4.26.
1.4.28.
1.4.30.
f(x) — x, 2’2)’
f(x) = |x|, (—4, 4У f(x) = x2,
Дополнительные задания
Разложить в ряд Фурье данные функции на интервале (—7г,тг).'
1.4.31.
1.4.33.
1.4.34.
1.4.35.
1.4.36.
1.4.37.
х I а, —тг < х < 0,
1.4.32. f(x) = < '
О, 0 < X < 7Г.
19, -тг < х < 0, f(X) = U А / /
15, 0 < х < тг.
f(x) =	|х|.
f(x) = cosax (а — не целое число).
/(1) = Л \
I - *) ’
t, ч	f 0, -тг < х < О,
Z(i) = <	„ , „
I X, 0 X < 7Г.
При помощи разложения из задачи 1.4.35 вычислите сумму ря-— .1.1. . 1 -+...
2
52
50
1.4*38.
Используя разложение задачи 1.4.36, найдите сумму ряда
1.4.39.
' З2 52	(2к - I)2
б) 1-| + |- | + |- ... (РЯД Лейбница).
Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
/(*) - 4
х, О О,
% < Т < 7Г.
разложить в ряд Фурье на интервале (—Ц1) следующие функции:
1.4.40. f(x) =
1.4.42. f(x) =
х.
т2.
1.4.41.
Более сложные
задания
1.4.43.
1.4.44.
1.4.45.
1.4.46.
1.4.47.
Разложить в ряд Фурье на интервале (—тг, тг) функцию /(т) =ех.
Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) функцию
а)	/(т) = ж2;
б)	/(х) = cos ат, где а — целое число.
Разложить в ряд Фурье по косинусам на интервале (0, тг) функцию /(т) = sin ат, где а — целое число.
Разложить функцию /(т) = т2 в ряд Фурье по синусам на отрезке 0,	.
Разложить в ряд Фурье на отрезке [0,3] функцию
0 х С 1;
1	< т < 2;
2	< т £ 3.
1.4.48.
ж,
f W = < 1, [з - т,
Разложить функцию /(ж) =
ех в ряд Фурье на интервале [—Z, I].
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЯ
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение
F(x,y,y)=n,	(1.1)
связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную) функцию у(х) и ее производную у'(х) называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (1.1) можно записать в виде у' = f(x,y), то говорят, что оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают в виде dy = f(x, у) dx или, более общо,
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = 0
(дифференциальная форма).
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция у = <р(х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = у?(х) в этом случае называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. 4=
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка (1.1), удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = уо, называется задачей Коши.
Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения (1.1), проходящую через точку Мо(хо,уо)-
Общим решением уравнения (1.1) называется такая функция
у = ^х,С),	(1.2)
где С — произвольная постоянная, что:
1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;
2) для любого допустимого начального условия у(хо) = уо найдется такое значение постоянной С = Со, что у?(хо, Со) = Уо-	&
В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения приходится записывать в неявном виде: Ф(ж, у, С) = 0. Тогда соотношение Ф(ж, у, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху.
52
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция
у = <^(х,Со),
улучаемая из общего решения (1.2) при конкретном значении постоянной
Частным интегралом уравнения (1.1) называется равенство Ф(а;, у, Со) = г 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С.
Теорема 2.11. Пусть в дифференциальном уравнении у1 = /(я, у) функция f(x,y) и ее частная производная fy(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху. Тогда для любой точки M(zo,?/o) G D существует и притом единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.
В каждой точке (то,3/о) € О число f(xo,yo) выражает угловой коэффициент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравнение у' = f(x, у) ставит в соответствие некоторое направление — геометрически его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем самым уравнение у1 = f(x,y), (х,у) € D определяет поле направлений на плоскости.
Множество точек (я, у) € D, в которых у1 = fc, где к — постоянная, или, что то же самое, f(x, у) = к (линия уровня функции f(x, у)), называется изоклиной дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т. е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие черточки) параллельны.
Придавая к близкие числовые значения, можно построить достаточную густую сеть изоклин, а с их помощью — приближенно нарисовать вид интегральных кривых, т.е. решений дифференциального уравнения. Этот метод, метод изоклин, или графический (геометрический) метод решения дифференциальных уравнений, особенно ценен в том случае, когда решение, общее или частное, уравнения не выражается в элементарных функциях — интеграл не берется.
Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются Условия теоремы существования и единственности решения.
Уравнение вида
Р1(х)  Qi(y)dx + Pi(x) • Qi(y)dy = 0	(1.3)
Называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
________________________
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравне-я первого порядка.
53
Уравнение (1.3) путем деления на произведение Qi(y) • Рг(^) приводится к уравнению с разделенными переменными
РЛХ) ,	л
dx + 7ГГ\ dy = 0 р2(х) Qi(y)
(коэффициент при dx зависит только от х, а при dy — только от у).
Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием:
f Pl^ я  f я п /	/ х dx + / х dy = С.
J Р2(х) J Qi (у)
Заметим, что уравнению (1.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Qi(y) • Рг(.т), т.е. получаемые из уравнения Qi(y) • ?2(х) = 0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (1.3).
Уравнение у' = fi(x) • /2 (у) сводится к уравнению (1.4). Для этого достаточно положить у = и разделить переменные. dx
(1-4)
л. 1.1. Показать, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения.
а)	у = (х + С)ех, у' - у = ех;
б)	у = —ху2 dx-dy = 0;
х
в)	х2 ~ху + у2 = С, (х- 2у)у' - 2х + 'у = 0.
а)	Находим производную данной функции: у' = ех + (ж+С)е®. Теперь подставим значения у и у' в заданное уравнение: e^+Oc+CJe®—(ж+С)е1 = — е . Получили тождество ех = ех. Следовательно, функция у = (х + С)ех является решением уравнения у1 — у = ех.
б)	Сначала находим dy: dy = ( —) dx = Дг dx. Подставив значения
(\ 2
2 \	л
—- ) dx-----dx = 0^
х2 J	X6
т. e. 0 = О. Значит, функция у = —	— действительно решение исходного
уравнения.	х
в)	Найдем производную неявной функции, для чего продифференци-руем обе части уравнения х2—ху+у2 = (7 по ат. 2х—у—ху'+2уу' = 0, откУ' да ?/ — 5----, х 2у. Подставим полученное выражение для у' в данное
,	У х	у — 2х	о
дифференциальное уравнение: (х — 2у) • ---2х + у = 0. Уравнение
2 у х
ооращается в тождество, т. е. функция х2 — ху + у2 = С является инт^ тралом исходного уравнения.
2.1.2.	Показать, что заданные функции являются решениями соот ветствующих дифференциальных уравнений:
а)	у = In cos х, у1 = — tgz;
54
б)	х2 + 2ху = С, (х + у) dx + xdy = 0;
в)	у = С • sin х, y'tgx-y = 0;
г)	у = Се~3х, у' + 3т/ = 0;
д)	у - х = Сеу, (х-у + 1)у' = 1;
е)	у = Сех\ dy — 3x2ydx = 0.
2.1.3.	Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции:
а)	у = , *—у' = Зт/2;
'	3(ж + 1)’
б)	v = (1 — е~~а),	+ bv — с = 0;
в)	у = 3 - е-*2, ху' + 2у = е'*2;
г)	х2 + t2 - 2t = С, х + t = 1.
at
2.1.4.	Решить задачу Коши:
а)	у' — sin5x, у (= 1; б) = 3, х = 1 при t = —1.
ф а) Проинтегрируем обе части уравнения:
У =
Теперь найдем частное решение уравнения. Подставив х = и у = 1 £
1 5тг
в найденное решение, получим искомое значение С: 1 = — - cos + С, *	a z
офкуда С = 1. Таким образом решением задачи Коши является функция у = — cos5a; + 1. а
б)	Интегрируя, находим: х = 3t + С, откуда, с учетом начального условия, имеем: 1 = 3 • (— 1) + С, С = 4. Искомое частное решение есть функция х = 3t + 4.	•
2.1.5.	Решить задачу Коши:
а)	у' = 2х + 1, ?/(2) = а; б) у' = е~3х, т/(0) = |.
2*1.6. Составить дифференциальное уравнение по заданному семей-
ству интегральных кривых: а) у = Сх3-,
б)	семейство парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью абсцисс.
а)	Продифференцировав по х равенство у = Сх3, получим: у' = ЗСх2. Кроме того, очевидно, С = Подставляя это выражение для С в х^
^енство у' = ЗСх2, получаем искомое дифференциальное уравнение:
о У 2	/ п
• ж, т. е. ху = Зу.
хА
б)	Заданное в условии семейство парабол определяется уравнением Сх. Отсюда 2у - у' = С. Исключив из равенств у2 = Сх и 2у • у1 = С ^Раметр С, получим дифференциальное уравнение 2хуг — у = 0.	•
55
2.1.7.	Изобразить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения:
а) У' = 3;	б) у' = 2 .
2.1.8.	Составить дифференциальные уравнения заданных семейств интегральных кривых:
а) ?/=£-;	б) х3 = С(х2 - у2).
2.1.9.	Составить дифференциальное уравнение:
а)	процесса изменения температуры тела в среде с температурой to, если скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды;
б)	процесса изменения численности населения страны, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его численности.
Q а) Обозначим через T(t) температуру тела в момент времени t. Ско-рость изменения температуры тела равна . Разность температур тела и среды равна Т — to- Тогда дифференциальное уравнение процесса со-гласно условию задачи будет таким:	= —к(Т — to) , где к > 0 —
коэффициент пропорциональности. Если Т — to > 0, то скорость изменения температуры отрицательна, т. е. что температура тела понижается; если Т — t0 < 0, то скорость положительна — тело нагревается.
б) Обозначим численность населения страны в момент времени t через N(t). Тогда дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения будет таким = kN, где к > 0 — коэффициент at
пропорциональности.	•
2.1.10.	Составить дифференциальное уравнение изменения скорости при замедленном прямолинейном движении тела массы то под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости (к — коэффициент пропорциональности). Использовать второй закон Ньютона.
2.1.11.	Составить дифференциальное уравнение изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад»), считая, что скорость распада радия прямо пропорциональна (коэффициент к > 0) его количеству в каждый момент времени.
2.1.12.	Дано дифференциальное уравнение у1 = х2. Построить поле направлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.
Q Имеем f(x,y) = х2, fy(x,y) = 0. Условия теоремы существования и единственности выполняются во всех точках плоскости Оху. Через каждую точку проходит единственная интегральная кривая и различные интегральные кривые не пересекаются.
56
Рис. 3
Рис. 4
При х = 0 и любом у 6 (—оо, +оо) имеем у1 = 0, т. е. во всех точках оси Оу поле горизонтально (рис. 3). При х = 1 и любом у 6 (—оо, +оо) имеем у1 = 1 (поле образует угол 45° с осью Ох), при х = 1 поле также образует с осью Ох угол 45°. Поле симметрично относительно оси Ох. Построим теперь интегральные кривые, которые в каждой точке касаются «поля». Полученные кривые напоминают кубические параболы (рис. 4). Точные х3	-
интегральные кривые имеют вид у = — + С.	•
О
Для следующих дифференциальных уравнений построить поле направлений и приближенным образом построить некоторые интегральные кривые
2«1.13. у1 = — х + у.	2.1.14. у1 = х — 1.
2*1.15. Решить уравнение (ж — ху2)dx + (у — yx2)dy = 0. Имеет ли оно особые решения?
Преобразовывая, запишем данное уравнение в виде (1.3):
х(1 - y2)dx + у(1 — x2)dy = 0.
Эт
т° уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части ^Равнения на (1 — г/2)(1 — х2). Получим уравнение с разделенными пе-
57
ременными
—*—- dx + 1-я2
~^dy = O. 1- у
Интегрируя обе части уравнения, имеем:
_lln|l-^|-lln|l-^| = -iln|C|, £л	£	Li
с^о
(произвольную постоянную здесь удобно записать именно так: — In |(7|)? т.е. (1 — я2)(1 — у2) = С, где (7^0; это возможно, так In |(7| может при
нимать любые действительные значения. Получили общий интеграл исходного уравнения. При делении на (1 — у2)(1 — я2) мы могли потерять
решения у = 1, у = — 1, я = 1, я = —1, но они содержатся в общем интеграле, если подставить дополнительное значение (7 = 0. Таким образом, особых решений данное уравнение не имеет.	ф
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.16.
2.1.17.
2.1.18.
2.1.20.
(1 + у) dx — (1 — я) dy = 0.
\/1 — т/2 dx + у\/1 — я2 dy = 0.
хуу1 = 1 — я2.	2.1.19.
е»(1 + ^) = 1.	2.1.21.
т/(1 + у) = xysinx. у' ~ ху2 = 0.
2.1.22.	Найти частное решение уравнения
ydx + ctgxdy = 0,	?/1 7г=-1.
з
Q Это уравнение имеет вид (1.3). Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:
\%xdx ± dy = 0, j tgxdx + j =\п\С1\, G # 0, откуда In |т/| — In | cosя| = In |(7i|, |т/| = |(7i собя|, т. e.
у =±(7i cos я, или у = С cos я (положили С = ±(7i).
Подставляя в найденное общее решение у = -1 и я = | (используем начальное условие), находим постоянную (7. А именно:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: у = —2 cos я.
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1.23.	2^ydx — dy = 0, 7/(0) = 1. 2.1.24. у1 = 8у/у, т/(0) = 4.
2.1.25.	у’ sin я - у In у = 0, у =1.
2.1.26.	(1 ± у2) dx ± (1 ± я2) dy = 0, 3/(1) = 2.
2.1.27.	Определить численность населения России через 20 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его на' личному количеству, и зная, что население России в 2000 гоДУ
58
составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен а%. (Вычислить при а = 2%, а = —1%.)
Q Обозначим численность населения России в момент времени t через дг zz N(t). Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (скорость «прироста» численности населения) имеет вид = kN, где к у о — коэффициент пропорциональности (см. задачу 2.1.9). Отсюда
Л dN ь&одрм, что —
dt
= к dt, откуда In |ЛГ| — In |С| = kt, т. е. In
= kt, т. е.,
учитывая, что N > 0, имеем N = Cekt — общее решение уравнения. Согласно условию задачи N — 145 при t = 0. Находим частное решение: 145 = CeQ, т. е. С = 145, N = 145efct. Найдем значение коэффициента
к зная, что в конце 2000 года, т. е. при t = 1, население России равно N = 145 +	• 145 млн человек: 145 +	• 145 = 145еА. Отсюда
ни	100	100
Jf = 1 + -^7-, т. е. к = In (1 + тхт;) • Равенство N = 145efcf теперь можно е 100	\	100/^
переписать так: N = 145 (1 +	• Таким образом через 20 лет числен-
ность населения составит:
при а = 2%: N = 145 • (1,О2)20 « 215 (млн человек); при а = —1%: N = 145 • (О,99)20 « 119 (млн человек).
2.1.28.	Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а за 3 секунды — 40 м?
2.1.29.	Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 100° до 80°. Через сколько минут температура тела понизится до 40°, если температура окружающей среды составляет 10°? (Ско
рость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, см. задачу 2.1.9.)
Дополнительные задачи
2.1.30.	В заданном семействе кривых найти линию, удовлетворяющую начальному условию:
а) у(1 - Сх) = 1, з/(2) = 1; б) у2 - ж2 = С, у(0) = 1.
•*•31. Убедиться, что заданная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:
/е®
— dx, ху' — у = хех;
б) 1п(4ж+8г/-1-5)+83/-4х = С, (x+2y+l)dx-(2x+4y+3)dy = 0.
•1’32. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, для которых отрезок любой касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. (Использовать геометрический смысл производной).
59
2.1.33.	Решить дифференциальное уравнение: dv
а) — = 2cosх;	б) sin?/7 = 1.
dx
2.1.34.	При каком значении С заданная функция является решением данного уравнения:
a) s = Ct + 4, s' = -1;	б) у = я3, у' = Сх2.
2.1.35.	Написать уравнение геометрического места точек (ж, у), являющихся точками максимума или минимума решений уравнения 2/' = Жу)-
2.1.36.	Как доказать, что ху+1п = С есть общий интеграл уравнения ж(1 + ху)у' = ?/(1 - ху)?
2.1.37.	Зная, что у = С In а: является общим решением уравнения
ху' In х = у,
найти интегральную кривую, проходящую через точку М(е, 1).
2.1.38.	Какая из функций:
у = ех, у = 2, у =	у = у/\п(х + 1)
является решением дифференциального уравнения
2.1.39.	Решить уравнения:
а) 2у' = 0;	б) у1 = х;
в) у’ = у.
2.1.40.	Какие из приведенных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными?
а) у1 = Зу - 1;	б) xdy + у dx = у2 dx
в) (1 - х2)у' + ху = 1;	г) ху' +з/ = cos у;
д) у' = (s + з/)2;	е) у' + х2у = еж;
ж) у' - ху2 = 2ху\	з) е-У (1 +=1; \ dx)
и) х2у' — 1 = cos 2у;	к) у = хеу .
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.41.	(у/ху + у/х)у' - у = 0.	2.1.42.	у' = Зх~у.
2.1.43.	У' = у-^-у х + 1	2.1.44.	ds + stgtdt = 0.
2.1.45.	^+е*=0.	2.1.46.	х + ху + у'(у -1- ху) = 0
2.1.47.	У1 + У = 5.	2.1.48.	v' — 4tv — 0.
2.1.49.	dy — у cos2 х dx = 0.	2.1.50.	.	. X — у . X + у' = sin	sin —у
2.1.51. (еж + l)eV + еж(1 + е») = 0. п ел _./ । згsinX _____
2.1.52. у + уёозу ~ и-
60
2 1.53. у' = cos(y — х). (Положить у — х = t.) 2.1.54. (ху + х) — = 1.
2.1-55.	6х dx — Gydy — 2х2у dy + Зтт/2 dx =		0.
2.1.56.	х2 dy + (у — a) dx = 0.	2.1.57.	у' tg х - у = а.
2.1.58-	у1 cos х — (у + 1) sin х = 0.	2.1.59.	у' — 2yctgx = ctgz.
2.1-60.	у-ху' = 1 +х2у'.	2.1.61.	dx _ dy
			x(y ~ 1) y(x + 2)'
	,= У^У_ У у/х + 1		
2.1-62.		2.1.63.	2x + 2xy2 + a/2 — x2y' = 0.
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1-64.
2.1.65.
2.1.66.
2.1.67.
2.1.68.
2.1.69.
2.1.70.
2.1.71.
2.1.72.
2.1.73.
2.1.74.
2.1.75.
2-1.76.
2’1-77.
х2 dy - у2 dx = 0, у = 1
1 +у2 = хуу', у(2) = 1.
(х + ху2) dx + (х2у — y)dy = 0, у(0) = 1.
у'(х2 - 2) = 2ху, у(2) = 2.
cos х sin ydy = cos у sin x dx, у (я) = тг.
у' = 1,5 tyy, У(-2) = 1.
у1 = 2Х+* + 2Х~У, у(0) = 0.
ху' -= °’ 1
у' sin х — (2у + 1) cos х = 0, у
(ех + 8) dy — уех dx = 0, т/(0) = 1.
Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой:
а)	в три раза больше углового коэффициента прямой, соединя
ющей эту же точку с началом координат;
б)	равен квадрату ординаты этой точки.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (4,1), для которой:
а)	отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам;
б)	отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс
делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Подкасательной кривой у = f(x) в точке М называется проекция АР на ось Ох отрезка AM касательной к этой кривой, где А точка пересечения касательной с осью Ох (рис. 5) Найти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину, равную 2.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), для которой площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, равна 1.
61
2.1.78.	Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее, длины ее отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой ее точке равна произведению координат точки касания.
2.1.79.	Скорость распада радия пропорциональна наличной его массе. Определить, через сколько лет от 1 кг радия останется 0,7 кг, если известно, что период полураспада радия (время, за которое масса радия уменьшается вдвое) равен 1590 лет.
2.1.80.	Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий за 4 часа утроилось. Найти зависимость количества бактерий от времени, если . при t = 0 их было а.
2.1.81.	Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя ее скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость лодки через две минуты после остановки двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
2.1.82.	Металлическая болванка, нагретая до 420°С, охлаждается в воздухе, температура которого 20°С. Через 15 минут после начала охлаждения температура детали понизилась до 120°С-Определить температуру болванки через 30 минут охлаждения, считая, что скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.
2.1.83.	При брожении скорость прироста действующего фермента про порциональна его количеству. Через ti часов после начала брожения масса фермента составила mi г, а через t2 часов (^2 > ti) — m2 г (m2 > mi). Какова была первоначальная масса фермента?
2.1.84.	Вращающийся в жидкости диск замедляет свое движение поД действием силы трения, пропорциональной угловой скорости
62
вращения w. Известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 18 об/с, по истечении 45 с вращается со скоростью б об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск по истечении 90 с после начала замедления? В какой момент времени w будет равняться 1 об/с?
контрольные вопросы и более сложные задачи
2.1.85.	Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения yf = f(x) пересекаться?
2,1.86.	Можно ли множество всех решений уравнения у1 = у представить в виде:
а) у =	Сех\	б) ?/ = Стех + С2;
в) у =	\fCex',	г) у = sin С • еж;
д) У =	ех+с;	е) у = ± ех?
2.1.87.	В резервуаре находится 80 л раствора, содержащего 8 кг соли. Каждую минуту в него вливается 4 л воды и вытекает 4 л раствора, при этом концентрация соли поддерживается равномерной (путем перемешивания). Сколько соли останется в резервуаре через 40 минут?
2.1.88.	Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой v = Q,6\/2gh, где h — высота столба жидкости над отверстием, д — ускорение свободного падения (д « & 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из
а)	заполненного полусферического котла диаметра 2 м через круглое отверстие на дне 0,1 м;
б)	цилиндрического бака радиуса R = 0,5 м и высотой И = 2 м через круглое отверстие в дне радиуса г = 0,02 м.
2.1.89.	Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент тело имело скорость г>о = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала движения.
2’1.90. Судно водоизмещением 10000 тонн движется прямолинейно со скоростью 10 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости судна и равно 20000 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет судно после выключения двигателя, прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с?
^•1’91. Решить уравнение 2 ch у dx = (у/х + 1 + \/х — 1) dy.
•1.92. Решить уравнения:
а)	у1 = ysinx2;
б)	(2а; — у) dx + (4а; — 2у + 3) dy = 0 (положить 2а; — у = t);
ч . cos у — sin у — 1
в)	у = —-—
cos х — sin х + 1
63
г)	\Л - У2 dx 4- л/1 - х2 dy = 0, 7/(0) = 1;
д)	у’ = За: — 2т/ 4-1 (положить За: — у 4-1 = t); е) у' — cos(t/ — х).
§2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция /(ж, у) называется однородной функцией степени п, где п-целое, если при любом а имеет место тождество f(ax,ay) = anf(x,y).
В частности, функция f(x,y) — однородная нулевой степени, если f(ax, ay) = f(x,y).
Дифференциальное уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0	(2.1)
называется однородным, если Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одинаковой степени.
Уравнение (2.1) может быть приведено к виду
У = / (I) •	(2.2)
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной
У г т. е. у = их,
где и = и(х) — новая неизвестная функция (можно также применять подста-х \
новку - = и).
п	лг	/ ах + by 4- с
Замечание. Уравнение вида у =---------приводится к однородному
aix 4- biy 4- ci
с помощью замен х = и 4- а, у = и 4- 0, где а и 0 — числа, которые подбирают соответствующим образом (см. задачу 2.2.5). Этот же прием используется при решении уравнений вида у1 = f д ~4-С )
2.2.1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 2	2
а) (у2 + ху) dx - х2 dy = 0; б) у' = ——у(-1) = 1;
I	Х
в) ху' — у + хех =0.
Q а) Заданное уравнение имеет вид (2.1). Коэффициенты при dx и dy-т.е. Р(х, у) = у2+ху и Q(x, у) = —х2, являются однородными функциям^ одной и той же степени (второй). Действительно,
Р(ах, ау) = (ат/)2 4- (ах • ау) = а2(у2 4- ху) = а2Р(х, у),
64
Q(ax,<*y) = ~(ах)2 = а2(—я2) = a2Q(x,у), п = 2. Следовательно, данное уравнение однородное. Положим у = их. Тогда dy = х du 4- и dx, и данное уравнение принимает вид
(u2z2 4- х2и) dx — x2(xdu + u dx) = 0.
После упрощений получим:
и2 dx — х du = 0 или	= 0.
х иг
Интегрируя последнее уравнение, получим In |ж| 4-	= С. Вспоминая,
2/	«I/
qT0 и = —, находим общий интеграл исходного уравнения: In |ят| 4-	= С.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (2.2):
2 , 2dy n	dy у2 + ху	,	/у\2 у
у2 +ху - х* — = 0, т.е. — =---------—, или т/ = ( -	+-
у	dx	dx х2	х
Полагая у = их, находим далее у1 = и'х 4- и и т. д. (см. б)).
(у \ 2 у
— ) — —. Полагая
у = их, находим: у' = и'х 4- и. Подставим значения у и у' в данное уравнение: и'х + и = и2 — и. Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными: • х = и2 — 2и. Разделяя переменные и инте-dx
= ln|x| + lln|C1|,
= 1С11Л
и — 2 и
f du грируя, имеем: '
и — 2 и у-2х
У ~%х У
т.е.
т.е.
9 гч	/ Т ’
и2 - 2и	J
= ICT |ге2. Подставляя и = получаем vU
= ±С\х2, или = Сх2, где С = ±Ci. Теперь найдем
14-2
значение постоянной С, используя начальное условие: —j— = С • 1, т. е.
С = 3. Отсюда:	= Зя2, т. е. 7/(Зж2 — 1) = — 2х, откуда окончательно:
и — 2ж
У — -—— частное решение заданного уравнения. у У й) Преобразуем уравнение к виду (2.2): у'—%+ех = 0. Сделав подста-*£/
н°вку ~ = и, т. е. у = их, получим и'х+и—и+еи = 0, или ^4-^г = 0. Ин-*Х/	«X/
^грируя, имеем: J е~и du = — J т. е. — еи = — In |ж| — In |С|, С 0. От-С1°Да In|Са:| = е~и, т.е. — и = Inin|С7ж|, С 0. Учитывая, что и = V, по-лУчаем общее решение заданного уравнения у = —х In In |Са;|, С 0. •
уравнения:
2*2.2. у dx 4- (х 4- у) dy = 0.	2.2.3.
2-2.4. Ху' = 7/4-zsin^, у(1) =
^ник задач по высшей математике, 2 курс	65
, _ ху + у2 2х2 4- ху
2.2.5.	Привести дифференциальное уравнение (у + 2) dx - (2х + у + 6)dy = О к однородном}'.
Q Положив х = и + а, у = v + fly получаем
(v + fl + 2) du — (2ц + 2а + v + fl + 6) dv = О,
т. е. (ц + (fl + 2)) du — (2ц + v + (2а + fl + 6)) dv = 0. Подберем а и fl так, чтобы	Г /3 + 2 = 0,
12а + /3 + 6 = 0.
Решая систему, находим, а = —2, fl = —2. Тогда исходное уравнение принимает вид (2.1): v dv — (2ц + ц) dv = 0, т. е. является однородным, что и требовалось.	•
2.2.6.	Решить уравнение, сведя его к однородному:
(2х — 2)dy = (x + 2y — 3) dx.
2.2.7.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1,1), у которой подкасательная (см. задачу 2.1.76) равна сумме координат точки касания.
tga = —у—, т. е. у' = ° х -Ь У
ренциальное уравнение.
/	.	их
их + U — ---;--,
х + их
Интегрируя полученное уравнение, имеем *1/
Q На рис. 6 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к искомой кривой у = f(x) проведена в точке М(х,у). Так как по условию ВС = х + у, то из прямоугольного треугольника МСВ находим: У
———. Решим полученное однородное диффе-। У
Полагая у = их, откуда у1 = и'х + и, имеем и'х —	-----и. Отсюда х = п и , ил и
1 + ц	dx 1 + ц’
т. е.
ц2
1пМ - й = ~1пИ - 1пм,
С / 0, т. е. т; — In |Стц| или	= In [Cyl, С 0. Подставляя х = 1, у =
у
(по условию кривая проходит через точку А(1,1)), находим конкретно^
66
значение С: 1 = In ]С|, С = ±е. Таким образом, искомой кривой является линия, определяемая уравнением х = у In \еу\.	•
2 2.8- Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.
2 2.9- Найти кривую, проходящую через точку 4(1,1), у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
хуг = у + у/х2 + у2.	2.2.11.
у у = ху1 — хе х .	2.2.13.
у + 2у/ху У = х •	2.2.15.
X2 + у2 = 2хуу'.	2.2.17.
у'=^±».	2.2.19.
х-у	
.	У ху 4-xtg^- = у.	2.2.21.
(Зх2 - у2)у' = 2ху.	2.2.23.
ду _ У _ х
dx х У
ху' ~ 2/(ln 2/ — In х) = 0.
ss' — 2s + t = 0.
y/y(2y/x-y/y)dx+xdy = 0.
у' cos |	| cos ~ + 1 = 0.
- ^(1 + 1пт/ - Inx) = 0. dxx
y'-l = ex +|, 7/(1) = 0.
2.2.10.
2.2.12.
2.2.14.
2.2.16.
2.2.18.
2.2.20.
2.2.22.
2.2.24.
2.2.25.
2.2.26.
2.2.27.
2.2.28.
2.2.29.
2.2.30.
2.2.31.
2.2.32.
2.2.33.
2.2.34.
2-2.35.
2*2.36.
(2х3у — у4) dx + (2ху3 — х4) dy = 0. х dy = (х + у) dx, т/(1) = 0.
У2 + х2у' = хуу', 7/(1) = 1.
(у' ~ I) arctg £ = У (|) = °-
ху' - у = (х + 7/) In у(х2 + т/2) dx - х3 dy = 0. (ж2 + у2 + ху) dx — х2 dy = 0. x2yf + ху - х2 - у2 = 0, 7/(1) = 0. X2 - Зу2 + 2X7/7/' = 0, 7/(-2) = 2. У - ху' = 2(х + уу'), 7/(1) = 0. у' = |1п|, 7/(1) = е.
Найти кривую, проходящую через точку 4(1,0), если известно, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный; основанием его является отрезок касательной от точки касания до оси ординат.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.
67
2.2.37. Найти кривую, проходящую через точку А(3,0), если известно, х + у что угловой коэффициент касательной равен —-—.
2.2.38. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке которых равна среднему арифметическому координат точки касания.
Более сложные задачи
2.2.39.
2.2.40.
2.2.41.
2.2.42.
2.2.43.
Решить уравнение, сведя его к однородному:
х + у -2
Зх — у - 2
Зт — 4у — 2
Зж - 4 т/ - 3’
б) у' =
Решить уравнение х2(у' — х) = у2. (Сделать замену у = ит
Число т подобрать так, чтобы привести уравнение к однородному.)
Найти общий интеграл дифференциального уравнения: х)	.______
у = -	6)ху' = iV2x2 + у2 + у;
в) Зу' =	+ ю| + 10.
Задача о прожекторе. Найти форму зеркала, отражающего все
лучи, исходящие из одной точки, параллельно заданному направлению. (Рассмотреть сечение зеркала плоскостью Оху, источник лучей (света) поместить в начале координат, ось Ох направить параллельно отраженным лучам.)
При каких а и (3 уравнение у' = 2ха + Зу& приводится к однородному с помощью замены у = ит? (См. указание к задаче 2.2.40.)
§3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Дифференциальное уравнение вида г//+р(ж)г/ = ^(з;),	(3.1)
где р(х) и д(х) — непрерывные функции (в частности — постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.
Уравнение ж' +р(у)х = д(у)	(3.2)
является линейным относительно х и х'.
Если д(х) = 0, то уравнение (3.1) принимает вид у'+р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае д(х) 0 уравнение (3.1) называется линейным неоднородны^ уравнением.
68
решение уравнения (3.1) ищется в виде у = uv, где и = и(х) и v = v(x) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций / аПример, v(x)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (3.1). В обоих случаях они находятся из ^равнений с разделяющимися переменными (см. задачу 2.3.1 а)).
Кроме того, уравнение (3.1) можно решить методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)’, в этом случае его общее решение ищется н виде С(х)е~ fp(x}dx (см. задачу 2.3.1 а)).
Уравнение вида
у 4- р(х)у = д(х)уп, где п G R, п 0 0, п 0 1,
а р(я) и 9(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.
Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y~n+l. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
2.3.1. Решить дифференциальные уравнения:
а)у' + tg*-y = «h; б)у' = дЬ*;
х ~Г у
в) ху' — 4у = х2у/у.
Q а) Данное уравнение имеет вид (3.1) и, стало быть, является линейным. Здесь р(х) = tgz, д(х) = Решим уравнение двумя способами.
Метод Бернулли
Полагаем у = uv, где и = и(х), v = v(x) — некоторые функции от х, тогда у1 = u'v 4- uv'. Данное уравнение принимает вид:
u'v 4- uv' 4- tgzzw =
или
u'v 4- u(v' + vtgz) =	(3.3)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было Равно нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v' 4- v tg х = 0. Отсюда 4^ 4- v tg х = 0, т. е. dv	dx
ъ +tgxda; = 0, In |и| — ln|cosa:| = In |C|, C / 0, откуда v = Ccosx,
0. Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого ре-шения уравнения, то возьмем v = cosx (положили С = 1). Подставляя 25 cos ж в уравнение (3.3), получим второе дифференциальное уравне-ЙИе с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию и(х): u cosx =  -А—, т.е. du = —, и, следовательно и = tgz 4- С. Таким °бвя	C°S Х	cos2 х
1 азом, у = uv = (tg х 4- С) cos х или у = С cos х + sin х — общее решение °ДНого уравнения.
69
Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного урав-
нения у' + tgs • у = 0, т. е. = — tgs  у. Разделяя переменные, имеем dx
^- = -tgxdx, In |у| = In | coss| + In |С|, C^O,
т. e. у = C cos x. Общее решение заданного уравнения ищем в виде у = = С(х) cosx (букву С заменили неизвестной функцией С(х)). Подставляя у и у' = С(х) cosx — С(х) sin а; в данное уравнение, получим
С'(х) cosx — С(х) sin ж + tgxC(x) cosx = CqSX,
т. е.	।
С (х) cosx = cosj
(второе и третье слагаемые взаимно уничтожились). Отсюда
=	dC(l) = _^_. C(x) = tgx + C.
dx cos2 x	cos2 x
Следовательно, общее решение заданного уравнения есть
у = (tgs + С) cosx,
т. е. у = С cos х + sin s, как и в первом случае.
б) Данное уравнение не является линейным относительно у и у', но является таковым относительно х и х'. Учитывая, что у' — -^т, приведем х уравнение к виду (3.2):
/1 У	, х + у2	,1
У = —	, 2, т.е. х' =	 или х - у х = у.
х' х + у2	У	У
Решая методом Бернулли, полагаем х = uv, где и = и(у), v = v(y) — функции от у. Тогда х' = u'v + uv' и
u'v + uv' — ^uv = у,
ИЛИ	i
u'v + u(v' - ^v) = у.	(3.4)
J/
Решаем уравнение с разделяющимися переменными v' — ± v = 0: J/
57 = U’ т-е- = ТГ’ откуда ln|v| = ln|C?/|, С 0. CLy У	У
Выбирая одно из возможных решений (самое простое), имеем: v — У-Подставляя v = у в уравнение (3.4), получим и'у = у, т.е. у' = 1, и» значит, и = у + С. Следовательно, х = uv = (у + С)у = у2 + Су, т. е-х = у2 + Су — общее решение заданного уравнения; у = 0 — особое решение.
в) Уравнение приводится к виду (3.2), т.е. это уравнение Бернулли:
/ _ — у — Xy/у. Снова полагаем у = uv. Получаем уравнение У I
u'v + uv' — UV = X\/uV
или Л + u(v' — ^v) = xy/uv. Решаем первое уравнение v' — v = О, разделяя переменные:	= v^dx, т.е. 1п|ц| = 4In |z| + С. Выбирая про-
стейшее решение (при С = 0), находим v = а;4. Решаем второе уравнение /4	/— 2 du dx
с разделяющимися переменными: и х = Ху/и • х , т.е.	, отку-
да 2у/й = In |z| + In |С|, С 0. Таким образом, и = ^1п2|шС|, С 0, и, следовательно, у = uv = ^х41п2 |атб7|, где С 0, — общее решение заданного уравнения, у = 0 — особое решение.	•
Решить уравнения:
2.3.2.	у' — 2ху = ех2.	2.3.3.	ху1 + у — Зх2 = 0.
2.3.4.	у2 dx + (х + 2) dy = 0.	2.3.5.	(х + l)t/' - 2у = у2(х + I)5.
2.3.6. Найти кривую, проходящую через точку Р(1,0) и такую, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.
Рис. 7
Q Пусть АС — касательная к искомой кривой в точке М(х,у) (рис. 7). Согласно условию OB = х = ОА. Найдем ординату точки А, положив = 0 в уравнении касательной Y — у = у1 (X — т), где Y = О А. Имеем: У — у — —у'х, т.е. У = у — у'х. Таким образом, получили линейное Уравнение х = у — у'х, или у’ — ^у = —1. Положив у = uv, решим
•С
его методом Бернулли: u'v + uv' —	= —1, т.е. uv' + v (и' —	= —1.
JL>	'	/
Заходим и:	=0,	и = х. Находим v, подставляя и:
ах х	их
= —1, или v’ = —откуда v = — In lad + In IC'I, т. e. v = In § , где •L	iii
0. Итак, у = a;In , где C 0 — уравнение семейства интеграль-HbIX кривых. Выделим среди них одну кривую, проходящую через точку
71
P(l,0): 0 = I • In|C|, а значит, C = ±l. Следовательно, у = a;in —, т.е.
Fl
у = —т!п]т| — уравнение искомой кривой.	*
2.3.7.	Найти кривую, проходящую через точку 0(0,0), зная, что угло-
вой коэффициент в любой ее точке равен сумме координат этой точки.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.8.	у1 + 2у = Зе®.		2.3.9.	(1 + т2)у' + 2ту = Зт2.
2.3.10.	2(т + т/4)т/' - у = 0. о		2.3.11.	у2 dx + (ху — l)dy = 0.
2.3.12.	, , у 1 яУ + 2/ = у In х.		2.3.13.	7/' + 2ху = 2ху3.
2.3.14.	yf 4- у cos х = sin 2т.		2.3.15.	х^ + У = 4®3 
2.3.16.	у'е*2 - (те®2 - у2)у =	0.	2.3.17.	х3у2у' + %2у3 = 1-
2.3.18.	у'х3 sin у — ху' + 2у =	0.	2.3.19.	т/' - у = (т + ех.
2.3.20.	У* + Л Х 2 У “ 2- 1 - х*		2.3.21.	у'	= tg§. sin т ° 2
2.3.22.
2.3.23.
2.3.24.
2.3.25.
2.3.26.
2.3.27.
2.3.28.
2.3.29.
2.3.30.
2.3.31.
2.3.32.
2.3.33.
2.3.34.
2.3.35.
ху’ - у- х3 = 0, 7/(2) = 4.
у' sin а; — j/cost = 1, у
2у2 dx + (х + ev) dy = 0, у(е) = 1.
У' ~хУ= ~у2,2Л1)= -L х cos2 х у' + 2у cos2 х = 2ху/у. у dx + (4 In т/ — 2х — у) dy = 0. (у' + У)(х2 + 1) = е~х, 7/(0) = 1. s' — ssinJ = 2sin2£, s(0) = 1. (prf + r — ev = 0, r(a) = 2a. dx + (ху - 7/3) dy = 0, у(-1) = 0.
.7 . ^У _ o ‘2 4 /“з	_ 1
Пусть т/1 и т/2 — два различных решения уравнения у'+р(х)у = = д(х). При каком соотношении между постоянными С\ и С% функция у = CfT/i + С2У2 будет решением данного уравнения? Материальная точка массой т погружается с нулевой начальной скоростью в жидкость. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости погружения (коэффициент пропорциональности к). Найти зависимость скорости движения точки от времени.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), касательная к которой в произвольной ее точке отсекает на оси ординат отрезок, равный квадрату ординаты точки касания.
72
2.3.36.
Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением Я, коэффициентом индуктивности L и электродвижущей силой Е удовлетворяет дифференциальному уравнению
L + RI = Е.
at
Найти зависимость силы тока I = I(t) от времени, если: а) Е изменяется по закону Е = kt и 1(0) = 0 (L, R, к — постоянные), к — коэффициент пропорциональности;
б)	Е изменяется по закону Е = Asinujt и 1(0) = 0 (L, R, А, uj — постоянные).
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.3.37.	Найти общее решение уравнения у' + у<р'(ж) — <р(х)<р' (х) = 0, где (fix') — заданная функция.
2.3.38.	Решить уравнения:	х
а) ху' — хеу + 2 = 0;	б) у(х) = Jy(t) dt + х + 1.
о
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.39.	у' — 2ху = 1 — 2х2, у(0) = 2.
2.3.40.	ух' + 2х = —у(0) = тг.
cos'4 у
2.3.41.	у' cosy + sin у = х.
2.3.42.	dx + (2х + sin 2у — 2 cos2 у) dy = 0, у(— 1) = 0.
2.3.43.	(64т/3 - х)у' - 2у = 0.
2.3.44.	у' + ху = еху2, ?/(0) = 2.
2.3.45.	Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянна и равна 4.
2.3.46.	Кривая у = /(ж) проходит через точку 0(0,0). Найти ее уравнение, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси абсцисс лежит на параболе у2 = х.
Указание. Середина С отрезка нормали имеет координаты
(* + I УУ1, 
2.3.47.	Найти такие функции р(х) и д(х), чтобы решениями уравнения у' + р(х)у = д(х) являлись функции у = 1иу = х3 + 1.
2.3.48.	Можно ли решать уравнение у' = у с помощью подстановки у = UV?
2*3.49. Может ли решение уравнения у' = у (у 0) иметь точки минимума?
•3.50.	Для какой кривой касательная в каждой ее точке перпендикулярна радиус-вектору точки касания?
73
§4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Дифференциальное уравнение
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = O
(4.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(х, у) = ^dx + ^dy = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy.	(4.2)
/“f/т*	/“i'll	f
Уравнение (4.1) с учетом (4.2) можно записать в виде dU{x,y} = 0, поэтому его общий интеграл имеет вид
(7(х,у) = С.
Для того, чтобы уравнение (4.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
дР = dQ ду дх
Функция U(x, у) может быть найдена из системы уравнений
^ = P(i,y),
оу
либо по формуле
V
X
U(x,y)= jp(x, у) dx+ J х0	УО
(4.4)
где (%о,уо) — некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций Р(х,у), Q(x,y) и их частных производных.
Замечание. Если условие (4.3) не выполняется для уравнения (4.1), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию t(x, у) = t, называемую «интегрирующим множителем». Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если t = t(x) или t = t(y)-, в первом случае
дР 9Q С ду дх t(x) = Q х,
дР dQ ду дх причем выражение ----—----должно зависеть только от х; во втором случае
^6
9Q дР Г дх ду , t(«) = eJ Р
причем подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
74
2.4.1.	Решить уравнение ех +y+sin у+у' (ey +х+хcosy) = 0, у(1п2) = О. Q Запишем уравнение в дифференциальной форме
(ех + у + sin у) dx + (еу + х + х cos у) dy = 0.
Здесь Р(х, у) = ех +у + sin у, Q(x, у) = еу + х + х cos у. Проверим выполнение условия (4.3):
ЭР _. , 8Q	др _ 9Q
dy~1+COSy’ dx~1 + COSy’ Т'е' ду дх'
и, значит, условие (4.3) выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию U, используя равенства
517 х .	. • 9U у ।	।
= е + у + sin у и -77— = еу + х + xcosy.
дх	оу
Интегрируя первое равенство по х (считаем у постоянным), находим
U(x,y) = (ех + у + siny)dx = ех + ух + a: sin у + <р(у),
где ф(у) — произвольная дифференцируемая (по у) функция. Найдем 4>(у). Продифференцировав полученное равенство по у и учитывая второе равенство I -5— — еу + х + х cos у ), получаем
пт т
= х + х cos у + ф'(у) = еу + а? + ж cosy,
откуда <р'(у) = еу, т. е. ф(у) = еу + С\. Следовательно,
Общим интегралом является соотношение ех + ху + х sin у + еу + Ci — С2 или ех + ху + х sin у + еу = С, где С = С2 — С\. Найдем частный интеграл уравнения, для чего подставим начальное условие у = 0, х = In 2 в общий интеграл: 2 + 0 + 0 + 1 = С, откуда С = 3. Таким образом, е® + ху + ж sin у + еу = 3 — искомый частный интеграл.	•
2.4.2.	Решить уравнение ^dx + (Зу2 + In х) dy = 0.
(J В данном случае Р(х,у) =	Q(x,y) = Зу2 + 1пж, а	= |, jQ =
т«е.	Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах
оу ох
значит, имеет вид dU(ж, у) = 0, где	= Зу2 + In ж. Отсюда
ох оу
U(x,y) = j^dx, т.е. U(x,y) = у\пх + <р(у).
(Функцию U(ж, у) можно находить и из второго равенства, интегрируя его по у: U(х, у) = у (Зу2 + In х) dy + tp(x).) Тогда = (у In х + ф(у))'у = 1пт + </(у). Отсюда Зу2 + 1пж = 1пж + <р'(у), <//(у) = Зу2 и, стало быть,
75
<р(у) = У3+С\. Следовательно, U(ж,у) = у\пх+у3+С\, ау\пх+у3 = С — общий интеграл исходного уравнения.
Замечание. Найдем функцию U(x,y), используя формулу (4.4). Положим xq = 1, уо = 0, тогда точка (1,0) принадлежит области непрерывности D = {(а;,у): х > 0}. Имеем:
X	у
U(x,y) = j^dx + j(3y2 + \nl) dy,
1 о
откуда U(x,y) = у\пх + у3. Следовательно, у\пх + у3 = С — общий интеграл уравнения.	ф
Решить уравнения:
2.4.3.	(2ж - у) dx — х dy = 0.	2.4.4. е у dx + (2 - хе y)dy = 0.
2.4.5.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(еу + sin х) dx + cos х dy = 0.
ГХ О дР у dQ	.	дР
4J Здесь -7— = еу, -х— = — зшж, т.е. -7—	-х—, и, значит, уравнение не
ду дх	ду	дх
является уравнением в полных дифференциалах. Так как отношение
dQ дР
дх ду _ — sin а: — еу
Р еу + sin х
не зависит от х, то интегрирующий множитель может быть найден по формуле	_
t(y) —е^Р у
(см. замечание на с. 74):
t(y) = e^~1>>dy = е~у.
Умножая исходное уравнение на t = е у, получаем уравнение в полных дифференциалах:
(1 + е у sin х) dx + е у cos xdy = 0
(так как Ру = — е-у8ша? = е_у(—sina;) = Qx). Решаем его (без пояснений):
а)	= 1 + е~у sin х, = е~у cos х;
дх	ди
б)	U(x,y) = у (1 + е у sin х) dx = х — е у cos а; + (£>(?/);
в) = е~у cosa; + <р'(у), откуда е~у cosx + <р'(у) = e~ycosx, т.е.
г) U(x,y) = х — е~у cosx + Ci. Таким образом х — е~у cosx = С общий интеграл уравнения.
2.4.6.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(х2 — sin2 у) dx + х sin 2у dy = 0.
76
дополнительные задания
решить уравнения:
2.4.7.
2.4.8.
2.4.9.
2.4.10.
2.4.11-
2.4.12.
2.4.13.
2.4.14.
2.4.15.
2.4.16.
2.4.17.
2.4.18.
2.4.19.
2.4.20.
(За; — 5х2у2) dx + (Зу2 — х3у) dy = 0.
О
(х cos 2у — 3) dx — х2 sin 2у dy = 0.
(2х + уеху) dx + (1 + хеху) dy = 0, у(0) = 1.
(х2 + 2ху + 1) dx + (х2 + у2 — l)dy = 0.
sin(a; 4- у) dx 4- х cos(x + у) (dx -I- dy) = 0.
0.
За;2?/ + sin x = (cos у — x3)y'.
(3a;2 4- y2 + y) dx 4- (2xy + x + ey)dy = 0, y(0) = 0. (a;2 + 2xy) dx -I- (x2 - y2) dy = 0, ?/(l) = -1. (x-y)dx + (x + y)dy
О	о
xz + yz ^2a; - 1 - dx - (2y - i) dy = 0. (X \	7	\ X
2x + еУ jdx + (1 — dy = 0.
Z	\	z
sin cos | dx + Q cos | sin dy = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Решить уравнения:
2.4.21.	(sin у + ysinx + ) dx + (х cosy — cos а; 4- dy = 0. \	\	У/
2.4.22.	хеу2 dx 4- (x2yeyZ 4- tg2 у) dy = 0.
2.4.23.	(х ch у 4- sh х) dy 4- (у ch х 4- sh у) dx = 0.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида t = Цх) или t = t(y):
2.4.24.	у2 dx 4- xydy — dy = 0.
2.4.25.	(1 4- За;2 sin у) dx — xctgydy = 0.
2*4.26. Найти условия, при которых уравнение
Р(х, у) dx 4- Q(x, y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида t = f(x 4- у)-
2*4.27. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений:
а) х dx 4- у dy = 0;	б) х dy 4- у dx = 0.
77
2.4.28. Определить тип дифференциальных уравнений: а) (1 - х2)у' 4- ху - 3 = 0;
Д) У = ху' 4- у' in у;
ж) у'(х2 - 4) = 3;
и) х dx 4- (х 4- у) dy = 0;
л) у2 dx — (2ху + 3)dy = 0;
ч , 2хУ
н) У = —— х~ - у£
п) у' - 2у/у\пх = 0;
с) ху' — Зт/ 4- х*у2 = 0;
У) У’ = 7Х~У;
Х) ± = У+Х-
’ dx 1	’
ч) у’^у = у;
б) (у 4- ху2) dx — xdy = 0;
г) Зу'-2у=^;
У
е) 2х2 dx — (х2 4- у2) dy = 0;
з) 2х 4- Зх2у 4- (а;3 — Зу2)у' = 0;
к) у(х -y)dx = х2 dy;
м) л/17 — 4а; — 2х2 dy — dx = 0;
о) (а;3 4- у)х' 4- х - у = 0;
Р) х{у' ~У) = ех;
т) ху' = 2(у - у/ху);
ф) (у2 4- 2у 4- х2)у' 4- 2х = 0;
^У’=Ух-^
ш) dx 4- -----dy = 0;
У	У
я) dx = (sin у 4- 3 cos у 4- За;) dy.
§5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится решать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа
у = х<р(у) 4- ф(у')	(5-1)
и уравнение Клеро у = ху' + ф(у),	(5.2)
где т? и ф — известные функции от у .
Уравнение (5.1) интегрируется следующим образом: обозначая р = у , запишем уравнение в виде у = хр(р)+ф(р). Дифференцируя полученное уравнение по х, имеем
Р = у?(р) 4- (я/(р) 4-V>'(p))^,
откуда получим (р — <р(р))з^ = хр'(р) 4- Ф'(р) — линейное уравнение относи-dp
тельно х и . Если его решение будет х = ftp, С), то общее решение уравне-dp
ния (5.1) записывается в виде
х = /(р, С),
У = х<р(р) 4- ф(р) = f(p, С)ср(р) 4- ф(р).
Уравнение (5.1) может иметь особое решение, вида у = v?(po)a;4-V;(Po), гдеро — корень уравнения р = <р(р).
78
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при =: у . Его общее решение имеет вид у = Сх+тр^С), особое решение получается путем исключения параметра р из уравнений у = рх 4- V’(p) и х = —
2.5.1.	Решить уравнение: у =. ху1 — у'2.
Q Уравнение имеет вид (5.2), т. е. это уравнение Клеро. Положим у' = р. Тогда заданное уравнение принимает вид
у = рх-р2.	(5.3)
Продифференцировав его по ж, имеем: у' = р' х+р—2рр', т. е. р'(х—2р)+р = = р, или р'(х — 2р) — 0. Если р' = 0, то р = С и, значит, общее решение данного уравнения есть у = Сх — С2 (см. уравнение 5.3). Если х — 2р = 0, т,е. х — 2р, то получаем у = 2рр — р2, т.е. у = р2. Особое решение задан-
{X — тг	( х\
9 Исключая параметр р I р = — 1, находим У=Р-	V 2/
х2
особое решение уравнения в явном виде у =	.	•
Решить уравнения:
2.5.2.	у = ху' 4- у' - (у')2.	2.5.3. у = ху' - 3(?/)3.
2.5.4.	Решить уравнение Лагранжа: у = т(1 4- у') 4- (у')2.
Q Положим у' = р. Тогда имеем у = ж(1 4- р) 4- р2. Дифференцируя по ж, приходим к уравнению у' = (1 4-р) 4- хр' 4- 2рр', откуда (х 4- 2р)р' 4-1 = dp
— = —1. Отсюда х + 2р = — —, т.е. х 4- х — —2р — ах	ар
линейное относительно х и х' уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагая х = uv, получаем u'v 4- uv' + uv = —2р, т. е. u'v 4- u(v' 4- v) = —2р. Находим v, приравнивая скобку к нулю и разделяя переменные: v' 4- v = = 0,	= — v,	= —dp, In hl — — p + С. Выбираем простейшее решение:
dp	u
v = e~p. Тогда: u'e~p = —2p, т.е. и' = —2pep. Отсюда и = — 2 Jpepdp = = — 2(pep — ep)+C, и, значит, и = — 2pep+2ep+C. Следовательно, x = uv = = e~p(—2pep + 2ep 4- C) = 2 — 2p + Ce~p. Учитывая, что у = ж(1 +р) +р2, получим у = (2 — 2р + Се~₽)(1 4- р) 4- р2. Таким образом, общее решение Уравнения имеет вид (в параметрической форме)
Jх = 2 — 2р 4- Се~р, у = (2 - 2р 4- Се_р)(1 4- р) 4- р2;
особого решения нет.	•
Решить уравнения:
2.5.5.	у = х(у')2 4- (у')2.	2.5.6. у =
= 0, т. е. (х 4- 2р)
79
2.5.7.	Решить уравнение: уу/у' — 1 = 2 — у'.
Q Разрешим заданное уравнение относительно у, а затем положим у' =
= р, тогда получим
тт	# dy
Далее, так как у — -у-, то ах
откуда, после интегрирования, получим
Исключив параметр р из уравнения (5.5), находим —— - = х — С, т. е.
VP- 1
Р = 1+з—. Найденное выражение для р подставим в равенство (5.4):
— общее решение исходного уравнения.
Дополнительные задачи
Решить уравнения:
2.5.8.	р = 71 - р'2 + у'.
2.5.10.	2уу' - х(у'2 + 4)| = 0.
2.5.12.	у' + у-ху'2 = 0.
2.5.14.	ху' — р = 1пр'.
2.5.9.	у' = \п(ху' -у).
2.5.11. у = у'2еу.
2.5.13. у = ху' 4- у' + у/у1.
2.5.15. Построить интегральные кривые уравнения у = у'х 4—-У
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) х2 dy 4- у dx = 0, р(1) = е;	б) у' = -—.
1 4- у х
2.	Решить уравнение: у'(2х — у) = х + 2у.
3.	Решить уравнение: (х 4- у)у' — 1 = 0.
80
4	решить уравнение: (т/3 + cos a;) dx + (еу + Зжт/2) dy = 0.
5	За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через сКолько времени останется 1% от его первоначального количества, если скорость распада радия пропорциональна его количеству в рассматриваемый момент?
Вариант 2
1.	решить дифференциальные уравнения:
1 + н2
а) у2у' + 2я - 1 = 0;	б) у' = ----т/(0) = 1.
'	1 + аг
2.	Решить уравнение: ху' — у = 2у/х2 + у2.
3.	Решить уравнение: Зу' — 2у = х3у 2
4.	Решить уравнение: — с/
х + у2
У2
dy = 0.
5.	Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 30 м/с. За какое время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозами, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,3 его веса (д = = 10 м/с2)?
Вариант 3
1.	Решить дифференциальные уравнения:
a) ydx + ctgxdy = 0,	= -2; б) y'2x-v + З21"» = 0.
2.	Решить уравнение: ydx = (x — y/ху) dy.
3.	Решить уравнение: у'----= ех(х +
(1	Зу2 \	2у t
— Н---т ) dx = "4 dy?
хг	х /	х6
5. Тело массы т падает вертикально вниз под действием силы тяжести и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности к). Найти закон изменения скорости v падения тела, если в момент времени t = to v = t’o = 0.
Вариант 4
1.	Решить дифференциальные уравнения:
(1 + у2) dx — yfx dy = 0;	б) у' + у cos х = cos х, т/(0) = 2.
81
2.	Решить уравнение: 3>х2у' = у2 4- %ху + 4л:2.
3.	Решить уравнение: ху' + у = ху2.
4.	Решить уравнение: (sin 2х — 2 cos(x + у)) dx — 2 cos(x + у) dy = 0.
5.	Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при t = 0 v = vq.
Вариант 5
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) У1 + У + 7 = 0;	б) {^/ху + у/х) dy = ydx, y(G) = 1.
ху' ~ У У
2.	Решить уравнение: —-=.— = ctg — .
Jb
3.	Решить уравнение: ху' — х2 sins = у.
4.	Решить уравнение: (5т?/2 — ж3) dx + (5т2?/ — у) dy = 0.
5.	Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут понижается от 100° до 60°. Температура воздуха 20°. Через сколько времени от начала охлаждения температура хлеба будет 30°? (Указание: скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и среды.)
§6	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Теорема существования
и единственности
Уравнение
Г(х,у,у',у") = 0,	(6.1)
связывающее между собой /Независимую переменную, неизвестную функцию yfx), а также ее первые две производные y'fx') и у"(х), называется дифференциальным уравнением второго порядка.	<=
Если уравнение (6.1) можно записать в виде
у” = f(x,y,y'),	(6-2)
то говорят, что оно разрешено относительно второй производной. Мы будем иметь дело только с такими уравнениями.
Задача отыскания решения уравнения (6.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(хо') = уо, у'(хо') = у'о, где хо, уо, у'о — некоторые числа, называется задачей Коши.
82
решением уравнения (6.2) называется всякая функция у = <р(х), которая г н подстановке вместе суп у” в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = в этом случае называется интегральной кривой.
Общим решением уравнения (6.2) называется функция у — <p(x,Ci,C2), зависящая от двух произвольных постоянных Ci и С2 и такая, что:
1) она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях Ci и С2;
2) при любых допустимых начальных условиях
у(х0) = уо, у'(хо) = уо
(6-3)
можно подобрать такие значения С? и С° постоянных, что функция v = <р(х, С?, (?2) будет удовлетворять этим начальным условиям. *7
Любая функция у = <p(x,Ci, С®), получающаяся из общего решения уравнения (6.2) при конкретных значениях постоянных С\ и Сг, называется частным решением этого уравнения.
Для дифференциального уравнения второго порядка (6.2) имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме для уравнений первого порядка.
Теорема 2.2. Если функция f(x,y,y) и ее частные производные fyi.x^y^y1') и у, у') непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами (а?о, уо, Уо), то существует и притом единственное решение у = у(х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям у(хо) = Уо, /(яо) = у'о-
Общий интеграл Ф(я, у, Ci, С2) = 0 или общее решение у = уравнения (6.2) представляет собой семейство кривых, зависящих от двух произвольных постоянных Ci и С2- Задача Коши в таком случае состоит в определении интегральной кривой у = у(х), проходящей через данную точку (хо, уо) и имеющей данный угловой коэффициент уо касательной t (данное направление в данной точке (рис. 8)), т.е. у'(хо) = Уо = tga.
83
Понижение порядка дифференциальных уравнений
В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка.
Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка одного из изученных ранее типов.
Рассмотрим наиболее типичные случаи.
Уравнения вида у" = f(x)
Интегрированием обеих частей уравнения у" — /(ж) оно приводится к уравнению первого порядка
у' = J f(x)dx = F(x) + Ci.
Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного уравнения:
у = f (F(z) + Ci) dx + C2.
Дифференциальные уравнения F^x^y^y") = 0, явно не содержащие искомой функции у
Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой у' = р, у” = = р'. Другими словами, данное уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка
f у' = Р,
^(х,р,р') = 0.
Дифференциальные уравнения F^y^^y") =0, явно не содержащие независимой переменной х
Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой у' = = р = р(у) (формальное отсутствие аргумента х позволяет считать неизвестную функцию р функцией аргумента г/), откуда: у" — (р(у)У = р'(у) • у'(х) = = р' • Р-
Таким образом, уравнение F(yty ,у") = 0 равносильно системе
Г у' = Р,
[F(y,p,p-p') = 0.
Если функция F является однородной функцией степени к относительно переменных у, у' и у”, т.е. F(x,ty,ty' ,ty”) = tk • F(x,y,y',y"), то дифференциальное уравнение F(x,y,y',у,,У) = 0 допускает понижение порядка подстановкой
y = efp(x)dx^ где р(х) — новая неизвестная функция.
84
Интегрирование дифференциальных уравнений порядка выте второго
Приемы, описанные в предыдущем пункте, можно распространить на урав
нения более высоких порядков.
Общее решение простейшего дифференциального уравнения тг-го порядка
(п) = /(х) находится 71-кратным интегрированием функции f(x) и содержит
У
л произвольных постоянных.
Дифференциальное уравнение вида F(x, у^к\ ..., у^) = 0, не содер-
жащее в явном виде искомой функции у, допускает понижение порядка подстановкой у^ = р. Другими словами, данное уравнение равносильно системе
yW = Р,
Дифференциальное уравнение вида F(y, у', у",..., у^) = 0, не содержащее явно аргумент х, допускает понижение порядка на единицу подстановкой у1 = р = р(у). При этом (по правилу дифференцирования сложной функции):
н dp dp dy t n d / t \ dy z и . z
y = di = d^'di=p-p' v = d^(p-p)-^ = (pp+(p))p
и T. Д.
2.6.1.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" = —+ х — sin х.
1	+ х2
Q Интегрируя, получим
у' = [ ( —+ х - sin х ] dx = arctg х + %- -I- cos х + Ci.
J \ 1 + х2	J
Повторное интегрирование (J arctg х dx надо брать по частям: arctg х =
= и, du = —'—и = х, dx = du) приводит к ответу:
1	+ xz
у = J ^arctgz + ^- + cosa; + dx =
= х arctg х + i ln(l + x2) +	+ sin ж + Cix + 62-	•
и
Яайттш общие решения данных дифференциальных уравнений:
2.6.2.	у” = sin 4а; + 2а; — 3.
2.6.3.	у" = е5х + cos а; — 2а;3.
2.6.4.	у" = хех* + 3-®.
2.6.5.	у" = 4 cos4 х + 2 sin2 £ + у/х + 2.
85
2.6.6.	Найти частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданньш начальным условиям:
у” = (е2х + sin3a:)a:, з/(0) = 1, у'(0) = 1.
О Сначала находим общее решение. Интегрируя по частям, находим
у1 = /(е2® -I- sin За:)х dx =
х = и,	du = dx
(e2x 4- sin З.т) dx = dv, v = ±e2x — i cos 3x
= x f ^e2® - I cos 3aA - je2® 4-1 sin За; 4- Ci. (6.4) \2	3	/4 У
Повторное интегрирование по частям (проделайте нужные вычисления) приводит к общему решению:
у = х (je2x - sin Зх) - ~е2х -	cos За: + С\Х + С2.	(6.5)
\	’	*7	✓ ТХ	X I
В равенствах (6.4) и (6.5) подставим х = 0, у' = 1, у = 1, откуда получаем систему уравнений относительно неизвестных констант Ci и Со\
(.	1 .	_ 5
J 4	za J 4
Il	1r -ИЗ
I1 4 27 + °2’ I °2 108 ‘
Найденные значения постоянных подставляем в общее решение (6.5). Получаем искомое частное решение
уч =х Qe2® - j sin За:) - |е2® - ^cos3a:4- |а: 4- И|.	•
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2.6.7.	у”	= (х2 + 7х + 9)ех, у(0) = 1, у'(0) = 4.
2.6.8.	у"	- 2(2аг + 2х - 5) cos 2а: - 4(2х + 1) sin 2а:, у = 0,	т/'(0)	=	0.
2.6.9.	j/"	= 1 - А 4- 2cosx - xsinx, у(1) = 1, х/'(1) = 0-
2.6.10.	у"	= (4а:3 -I- 10а:2 4- 2а: -+- 2)е2® + 6 sin За: 4- 9х cos Зх,	у(0)	— 1.
3/(0)' = 1.
2.6.11.	Решить дифференциальное уравнение у" — у' ctgx = 2a:sina*. Найти также частное решение, если у = 1, у' = 0 при х =
Q Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию у, т. е. имеет вид F(x, у', у”) = 0. Положим у' — р, тогда у" = р'. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка р' — pctgx = 2х sin х — линейное относительно неизвестной функции р = р(х). Общее решение этого уравнения найдем подстановкой р = и • v, р' = u'v 4- uv'. Получаем:
,	I v' — vctgx = 0,
и v 4- uv — uv ctg х = 2х sin х О < ,
и v = 2х sin х.
86
Цз перв°го уравнения находим In |и| = In | sin х|, т. е. v = sin х. Подставляя 0о второе уравнение, получим и1 = 2х, откуда и = х2 4-Ci. Следовательно, ^uv — (х2 4-Ci) sin ж, т. е. у1 = (х2 4-Ci) sin х. Интегрируя это равенство, Зайдем общее решение исходного уравнения
у = —(х2 4- Ci) cosx 4- 2xsinx 4- 2 cosx 4- С2.
цодставляя в два последних равенства начальные условия х = у = 1, j^O, получаем V
/ 2	\ /о
о=(тб + с*Р? и
/2 2
7Г2
16
/2	% у2
2	2 ‘ 2
71"2	V2 /ТГ \
Найденные значения С\ = — и С2 = 1----4- 2J подставляем в
обшее решение. Отсюда искомое частное решение
„	.-17Г4-447/2	7Г2г>1	а
уч = 2хsinх 4-1--z—v2 - х — — — 2 cosx.	•
4 V 16 J
Следующие дифференциальные уравнения решить подстановкой у1 = р:
2.6.13.
2.6.15.
2.6.17.
2.6.19.
Уи ~ %у' = 2х3. х3у" 4- х2у' -1 = 0. ху" — у' — х2ех. y"tgx - у1 - 1 = 0.
2.6.12.
2.6.14.
2.6.16.
2.6.18.
2.6.20.
2.6.21.
у" 4- у' tg х — sin 2х = 0. ху"\пх ~ у'.
ху" 4- у' 4- х = 0.
= 0.
(1 4- х2)у" 4- 2ху' — х3
Найти общее решение дифференциального уравнения у" tg у = = 2(у'У. Найти также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ?/(1) =	у'(1) = —2.
Q Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргумента х, т. е. имеет вид F(y, у', у") = 0. Примем в качестве независимой переменной у и выполним замену у' = р = р(у). Тогда у" ~ р • р', а исходное уравнение принимает вид: р- p'tgy = 2р2. Если р = 0, то у' = 0, т.е. у = С. После сокращения на р 0 решим дифференциальное уравнение первого порядка p'tgy = 2р. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его стандартным образом:
Р	sin у у
т-е. ln|p| = 21n|sinp| 4- In [Cj|, Cj 0, откуда p = Cisin2p (заметим, Что найденное ранее решение р = 0 содержится в полученном выражении — достаточно положить С\ =0). Заменим р на у' и решим уравнение у' = Ci sin2 у, которое также является уравнением с разделяющимися переменными:	= Ci dx, или — ctgp = С\х 4- С^- Получили
sin2 у
°бщее решение исходного уравнения в неявном виде. Подставим в него
87
и в выражение для у' значения х = 1, у = -т и у1 = —2. Из равенства —2 = Ci sin2 j находим Ci = —4, а из равенства — ctg = Ci + Сг, учитывая, что Ci = —4, находим С2 = 3. Подставляя полученные значения констант в общее решение, которое запишем в виде у = arcctg(—Cix—С2), находим требуемое частное решение уч = arcctg(4j: — 3).	ф
2.6.22. Найти частное решение дифференциального уравнения
(iW = (WM
удовлетворяющее начальным условиям т/(0) = т/'(0) = 1.
О Подстановка у' = р = р(у) и у” = р-р' приводит данное уравнение к виду (1 + ру)р  р' = (1 + р2)р, откуда р = 0, т. е. у = С, или р' =	. Полученное дифференциальное уравнение не относится к
уравнениям первого порядка известного нам типа. Перепишем его в виде 1 ру	1
у1 = ---т-, учитывая, что р' = —. Получим линейное (относительно у
1 + р	У
и у') дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить подстановкой у = uv. Его общее решение имеет вид (найдите его самостоятельно)
У
+ р2 /
Теперь остается решить дифференциальное уравнение первого порядка
У =	+	+ С,),
\0 + (у')2	/
не разрешенное относительно производной у'. Но в общем виде решить его достаточно хлопотно. Однако, так как нам нужно найти частное решение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями для определения постоянной Ci, полагая в последнем равенстве у = 1 и у' = 1. Приходим к равенству
1 = 5/2(-1= + сД
\v2	)
из которого Ci = 0. Тем самым, нам достаточно решить уравнение у = у'. откуда у = Сех. Полагая здесь х = 0, у = 1, находим С = 1. Таким образом уч = ех — искомое частное решение.	•
Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений, а там, где указаны начальные условия, найти соответствующее частное решение:
2.6.23.	у"у3 = 1.	2.6.24.	уу" - (у')2 -1 = 0.
2.6.25.	1 + (г/')2 - 2У2/" = 0.	2.6.26.	2уу" - 3(у')2 = Ьуг.
2.6.27.	у" = У'(1 + (у')2).
2.6.28.	у" = y'lny', у(0) = 0, у'(0) = 1.
88
2.6.29.	У” + У'\/(У'У ~ 1 = О, 3/W = О, у’ (тг) = -1.
2*6.30. Зу'у" = 2у, р(0) = 3/'(0) = 1.
2^6.31. у” = 2у3, р(0) = 0, з/'(0) = 1.
2	6.32. Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка ху'(уу" - (р')2) = у{у')2 + Х*У3-
Q Перепишем уравнение в виде
ху'(уу” - (у')2) - у{у')2 ~ Х*У3 = О,
после чего обозначим через F(x, у, у', у") левую часть полученного равенства. Если заменить у, у', у" на ty, ty', ty", соответственно, то приходим к равенству
F(x,ty,ty',ty") = t3[xy'(yy" - (р')2) -у(у')2 - ж4р3] = t3F(x,y,y',y").
Это означает, что функция F — однородная (третьей степени, к = 3) и в таком случае соответствующее уравнение допускает понижение порядка подстановкой у = e^pda:, где р = р(х) — неизвестная функция от х. Отсюда у' = pefpdx, у" = (р‘ + p2)efpdx. После соответствующих замен и сокращения на e3fpdx 0 приходим к дифференциальному уравнению первого порядка относительно р
хр(р' + р2 - р2) = р2 + ж4, или р' =
(при этом мы теряем решение у = 0, которое потом надо добавить к ответу). Получили уравнение Бернулли, которое можно решить (предлагаем сделать это самостоятельно) подстановкой р = uv. Его общее решение имеет вид	t-----
р = x\Jx2 + Ci.
Поскольку у = efpdx, то находим сначала
Jpdx = J ху/х2 + Ci dx = |х/(ж2 + Ci)3 + С2,
а затем и общее решение исходного дифференциального уравнения (за вычетом частного решения у = 0)имеет вид
у = ез>/<12+С1)3+С2, ИЛИ у = Сз •	с3 > 0.
Учитывая, что при Сз = 0 как раз получается потерянное частное
решение у = 0, приходим к окончательному ответу: у = Сз • ез
С’з 0.	•
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.33.	х2уу" = (у — ху')2.	2.6.34. 2уу" — 3(р')2 = 4р2.
2.6.35.	Найти частное решение дифференциального уравнения третьего порядка у"' = 16 cos3 2х + ех — 1, удовлетворяющее начальным условиям р(0) = —1, р'(0) = — i р"(0) = 3.
У
89
Q Это простейшее дифференциальное уравнение решается трехкратным интегрированием правой части. Сначала понизим степень косинуса:
16 cos3 2х = 8(1 4- cos4a?) cos2a: = 8cos2a: 4- 4 • (2 cos 4я cos 2x) = = 8 cos 2x 4- 4 • (cos 2x 4- cos 6z) = 12 cos 2x 4- 4 cos 6x.
После первого интегрирования получаем
у” = 6 sin 2х 4- В sin 6ж 4- ех — х 4- Ci,	(6.6)
О
после второго
у' = —3 cos 2х - | cos 6х 4- ех -	4- С\ х 4- С-2,	(6.7)
а после третьего — общее решение
4	1	~ о.З
у = — х sin 2х — -=-7 sin 6ж 4~ е —х—F	-х—F	4~ Сз.	(6-8)
£	04	О	Z
Подставляя в (6.6)-(6.8) значения х = 0, у = — 1, у' = — у" = 3, У
получим соответственно: 3 = 14- Ci, — = — 3 — 4-1 4- Сг, — 1 = 1 4- Сз, откуда Ci = 2, С2 = 2, Сз = — 2. Подставляя эти значения в выражение для ?/, получаем требуемое частное решение
уч = — | sin 2х — i sin 6х 4- ех —	4- х2 4- 2х — 2.	•
Замечание. Произведения произвольных постоянных на конкретные числа также можно считать произвольными постоянными. Например, —	СлХ2
в (6.8) можно писать Cia:2 вместо —х—•
Решить следующие дифференциальные уравнения высших порядков, а там, где имеются начальные условия, найти соответствующие частные решения:
2.6.36.	yIV = cos2x.	2.6.37. у^ = еЬх.
2.6.38.	у'" = 6я2.	2.6.39. ут = 4 cos3 х - х.
2.6.40.	у'” = cos х cos 2х cos 5х.
2.6.41.	у"’ = х2 + Зх - 1, ?/(0) = 1, ?/'(0) = 2, у"(0) = 3.
2.6.42.	yv = sin у(0) = 2/'(0) = 1, у"(0) = 8, у"'(0) = 6, y,v(0) = -2.
2.6.43.	у'" = - 24---, у(0) = 0, у'(0) = 2, у"(0) =	.
(X 4- 2)5	О
2.6.44.	Решить дифференциальное уравнение четвертого порядка 2y,v = 3
Q Это уравнение имеет вид F(x, у'",yIV) = 0, поэтому его порядок можно снизить на три единицы при помощи замены у,н = р, yIV = р'. Приходим к уравнению 2р' = 3 ^/р. Рассмотрим два случая: 1) если р = О’
90
т.е. у"' = 0 то у = Ciх2 4- С2Х 4- Сз — не общее решение; 2) если р О,
2
= dx. Отсюда получаем рз = х 4- Ci, или у1"
2 &Р
3 W
то
= ±(я 4- ci)3/2.
Последовательные интегрирования дают
9	3
y" = ±f(x+Cl)2 +С2, D
л	I
у’ =	4“ Ci)2 4- Сг® 4- Сз,
ОО
у =	+ С1)1 + С2х2 + С3х + Ci.
иЮ
Таким образом, общее решение имеет вид
у = ±^ч/(^+С1)9+ С2Х2 + С3Х + Ci,
О10
к которому присоединим полученное ранее не общее решение у = Cix2 4-4- С%х 4- С3.	Ф
Решить данные дифференциальные уравнения высших порядков:
2.6.45.
2.6.47.
2.6.49.
2.6.51.
х*уш _|_ 2х3у" = 1.
у1” 4- у” tg х = sin 2х.
yIV - 2(у"' - 1) ctga? = 0.
2.6.46.
2.6.48.
2.6.50.
(1 4- х2)у"' 4- 2ху" = х3. x4yIV 4- 2х3у1" = 1. ху”' ~ у” — х2ех. Найти частное решение дифференциального уравнения
ху,И - у” + х2 - 2 = 0, удовлетворяющее начальным условиям ?/(1) = 2, у'(У) = — у"Щ -з-
Q Данное уравнение имеет вид F(x, у", у'") — 0, т. е. не содержит явно у и у'. Поэтому положим у” = р, у1" = р'. Получаем линейное относительно неизвестной функции р = р(х) уравнение
(о \
Ci — х — — Нам оста-«я/ у
ется решить простейшее дифференциальное уравнение у" = Cix — х2 — 2. Подставив из начальных условий х = 1, у” = — 3, находим Ci = 0. Инте-грируя получающееся равенство у” = —аг — 2, имеем у1 = ——— 2х 4- Сг-О
Снова подставляя начальные условия х = 1, у' = — -, находим С2 = 2. Значит, у1 = — — 2х 4- 2. Отсюда у = —	— х2 4- 2х 4- С^. Наконец,
Упитывая, что у(1) = 2, т. е. 2 = —^ — 14-24- Сз, получим Сз = и, следовательно, уч = —	- х2 4- 2х 4-•
«I	LZ	1Z
«•6.52. Решить дифференциальное уравнение у"(1 4- 2In?/') = 1.
91
Q В этом уравнении явно отсутствуют и аргумент ж, и искомая функция. Поэтому его можно отнести и к типу Е(р, у', у") = 0, а, значит, можно положить у1 = р = р(у), у" = р • р', и к типу F(x,y',y") = 0, а, значит, можно положить у' = р = р(ж), у” = р'.
1)	В первом случае приходим к уравнению рр'(1 4- 21np) = 1. Здесь , dP	х
р = -у-, а уравнение после разделения переменных может быть записано dy
в виде р(1 4- 21np) dp = dy. Отсюда Jр(1 4- 2Inр) dp = j dy, т.е. (после интегрирования по частям) р21пр = у 4- Ci, или (р')21пр' = у 4- С\. Получили уравнение, не разрешенное относительно у1 (и не разрешенное относительно у1'). Его проинтегрировать нельзя.
2)	Во втором случае приходим к уравнению р'(1 4- 21np) = 1. Здесь dp
р' = уравнение может быть записано в виде с/р(14-2 lnp) = dx. Отсюда ^(14-2Inр) dp = J dx, т. e. 2plnp—p = Ж4-С2, или 2p'lnp' — у' = х+С%. Это уравнение также нельзя проинтегрировать.
3)	Результаты предыдущих действий можно объединить и получить параметрическую форму общего решения исходного уравнения. Положим у' — t. Тогда
у 4- Ci = t2 In t, х 4- С2 = 2t In t — t
— общее решение данного уравнения в параметрической форме.
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.53.	(р")2 + (р'")2 = 1.	2.6.54.	у'у'" = 3(у")2.
2.6.55.	ху"' 4- у" = х + 1.	2.6.56.	(р")2 - 2р'р" + 3 = 0.
/ Л 2
2.6.57.	(у")2 - у'у'" = ( ^ ) .
2.6.58.	у'" = Зуу', у(0) = у'(0) = 1, у"(р) = |.
2.6.59.	у" + 2у"1пу' = 1, у(0) = 1, У'(0) = -1.
з
2.6.60.	у'"у2 - Зуу'у" + 2(У')3 + 1{уу" - (г/')2) =
Л	х£
92
Дополнительные задания
решить дифференциальные уравнения:
2.6.61.	(1 + х2)у” + (У)2 + 1 = 0.
у1
2.6.62.	ху” = у1 In .
2.6.63.	ху1” + у” = 1 + х.
2.6.64.	(1 + х2)у” - 2ху' = 0, ?/(0) = 0, ?/'(0) = 3.
2.6.65.	у”(1 + In ж) + ~ = 2 + In я, ?/(1) =	У(1) = 1.
2.6.66.	у" =	(1 + In	, »(1) =	у'(1) = 1-
2.6.67.	уу" + (у')2 - (/)3 In У = 0.
2.6.68.	у'" = (у")3.
2.6.69.	(х + 1)у” — (х + 2)у' 4- х + 2 = 0.
2.6.70.	Зу'у" = у + (у')3 + 1, у(0) = -2, у'(0) = 0.
2.6.71.	у2 + (у')2 - 2уу" = 0, у(0) = у'(0) = 1.
2.6.72.	2уу" - 3(у')2 = 4у2, у(0) = 1, у'(0) = 0.
2.6.73.	у' = х(у")2 + (у'')2.
Контрольные вопросы и более сложные задания
|б.74. Почему общее решение дифференциального уравнения второго i порядка содержит ровно две постоянные? Какую роль играют они в структуре общего решения?
75.	Могут ли через точку (гео, З/о) плоскости Оху проходить пять различных частных решений дифференциального уравнения третьего порядка? второго порядка?
ить дифференциальные уравнения:
76.	у"'(1 + (у')2) - Зу'(у")2 = 0.
77.	2уу" + (у")2 + (у')4 = 0.
78.	уу" + (у')2 = у2 lily-___
79.	уу" = (у')2 + у'\/у2 + (у')2-
30.	1 + (у')2 = 2уу", у(1) = у'(1) = 1.
31.	у' = ху" + у" - (у")2.
Хб.82. (я-1)у"' + 2у' =
J>6.83. х(у')2у" = (у')2 + |я4.
2-6.84. х/1 - х2у” + у/1 ~(у')2 = 0.
93
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные уравнения ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Предварительные сведения
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
у" + Р&)у 4- q(x)y = /(х),	(7.1)
где функции р(х), q{x) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [а, 6].
При этих условиях существует единственное решение уравнения (7.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у(х$) = уо, у'(хо) = у'о при хо £ [о, Ь].
Функция f(x) называется правой частью уравнения (7.1), а соответствующее уравнение называется также линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью. При f(x) = 0 приходим к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка (или уравнению без правой части)
у" + Р(х)у' 4- q(x)y = 0.	(7.2)
Линейно независимые функции
Функции ух(х) и у2(х) называются линейно независимыми на отрезке [а,Ь], если тождество
СхУ\(х) 4- С2?/2(®) = 0, хе [а, Ь],	(7.3)
имеет место тогда и только тогда, когда Ci = Сг = 0.
Если же существуют такие числа Сх и Сг, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для всех х е [а,6] имеет место тождество (7.3), то функции ух(х) и У2(х) называются линейно зависимыми на отрезке [а,Ь].
Данные определения равносильны следующим:
функции ух(х) и у2(®) называются линейно независимыми (зависимыми) на отрезке [а, Ь], если
У1(х)	. (У^х) _ Д _ г ы
——г	const I —— = const I , х е [а, о].
У2 (х)	\У2(х)	J
О линейной зависимости или независимости функций ух(х) и 7/2(2) можно судить по определителю
^[т/!, 7/2 ] =
У1 (Д
У1 (я)
7/2 (Д
У2(Д
который называется определителем Вронского (или просто вронскианом).
Теорема 2.3. Если 7/1(2) и 7/2(2) линейно зависимы на отрезке [а, Ь], то TV^t/i , 7/2] = 0 для всех х из [а, Ь].
94
Теорема 2.4. Если yi(x) и У2(х) линейно независимые на отрезке [а, 6] решения дифференциального уравнения (7.2), то определитель Вронского этих функций отличен от нуля во всех точках отрезка [а, 6].
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
Теорема 2.5. Общее решение уОо линейного однородного дифференциального уравнения (7.2) имеет вид
Уоо = С1У1(х) + С<2У2(х),
где yi(x), У?(х) — линейно независимые решения этого уравнения.
Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (7.2), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.2)).
В некоторых случаях удается тем или иным способом найти только одно частное решение у\(х). Тогда другое частное решение у2(х) можно найти по
формуле
У2 (х) = т/1(х) •
• ехр
dx
dx,
1
где хо Е [а, 6]. Оба решения yi(x) и т/г(®) при этом линейно независимы.
Теорема 2.6. Общее решение уон линейного неоднородного дифференциального уравнения (7.1) представляется в виде суммы
Уон = Уоо +?/ч,
гДе Уоо — общее решение соответствующего однородного уравнения (7.2), а Уч — некоторое частное решение неоднородного уравнения (7.1).
'Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) Вт°рого порядка с постоянными коэффициентами
у" + ру' + ЧУ = 0.	(7.4)
Тг
Ьадратное уравнение к2+pk + q = 0	(7.5)
взывается характеристическим уравнением для уравнения (7.4).
95
Для составления общего решения уоо дифференциального уравнения (7.4) необходимо найти корни к\ и к% соответствующего характеристического уравнения (7.5) и применить следующую теорему:
Теорема 2.7. Пусть fci и &2 — корни характеристического уравнения для уравнения (7.4). Тогда общее решение уравнения (7.4) находится по одной из следующих трех формул:
1)	Если ki и к2 — действительные и ki ф к2, то
Уоо =	+ С2е‘2';
2)	если к\ = к2, то
Уоо = ек'х(С! + C2z);
3)	если /С1,2 = а. ± /Зг — комплексно-сопряженные корни, то
Уоо = еах(С\ cosfix + Сг sin/Зх).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами
Поскольку общее решение уОо линейного однородного уравнения (7.4) легко находится по теореме 2.7, то в силу теоремы 2.6 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения
у" + РУ +УУ = №)	(7-6)
остается найти какое-нибудь одно его частное решение уч. В тех случаях, когда правая часть /(х) имеет специальный вид, частное решение уч неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного уравнения и сводится к следующим двум случаям.
Случай 1. /(х) = еаа:Рп(я;), где Рп(х) — многочлен степени п.
а)	Если а не является корнем уравнения (7.5), то частное решение т/ч можно искать в виде
Уч = eaxQn(x),
где Qn(x) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами.
б)	Если а — корень уравнения (7.5) кратности к, то частное решение уч можно искать в виде
Уч = xkeaxQn(x).
В частности, если f(x) = Рп(х), т. е. а = 0, то уч имеется в виде уч = Qn(x) (если а = 0 не является корнем характеристического уравнения) или в виде уч = хк  Qn(x) (если а = 0 — корень кратности к характеристического уравнения).
96
Случай 2. f(x) = еах[Рп(х) cos /Зх + Qm(x) sin/?®], где Pn(x) и Qm(x) — многочлены степени п и т, соответственно. Положим N = max(n,m).
а)	Если а ± (3i не являются корнями уравнения (7.5), то
уч = еах [Рдг (х) cos /Зх + Qn (х) sin /?®].
б)	Если а ± /?г — корни уравнения (7.5) кратности к, то
уч = xkeax[PN(x) cos/Зх + Qn(x) sin/?®].
В частности, если /(®) = a cos /Зх + b sin /?®, т. е. а = т = п = 0, то частное решение ищется в виде уч = A cos /Зх + В sin /?® (если числа ±/?г не являются корнями характеристического уравнения) или в виде уч = (A cos /Зх+В sin /?®)-х (если числа ±/?г — корни характеристического уравнения).
Теорема 2.8. Если уч± и уч2 — частные решения соответственно уравнений у” + РУ +qy = fi (х)
и
Уп +ру +qy = f2(x),
то функция уч = Уч1 + уч2 — частное решение уравнения
у" Ару A qy = Л(х) + /2(х).
Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения
В общем случае, в том числе тогда, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, не предусмотренный предыдущим пунктом, для отыскания частного решения используют метод вариации (т. е. изменения) произвольных постоянных (или метод Лагранжа). Суть его в следующем. Пусть т/1(х) и ?/г(х) — фундаментальная система решений однородного уравнения (7.4). Тогда частное решение можно представить в виде
у = Ci(x)yx +С2(х)у2,
где функции Ci (х) и С2 находятся из системы дифференциальных уравнений
Г С\У\ + С2У2 = О, (СМ + СШ = f(x).
Разумеется, метод вариации произвольных постоянных можно применять и в случае, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, рассмотренный в предыдущем пункте.
4 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
97
Уравнение Эйлера
Дифференциальное уравнение второго порядка вида
2 н .	/ .	п
х у + рху +qy = О
называется уравнением Эйлера.
Подстановкой у = е* оно сводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка (ах 4- Ь)2у 4- р(ах 4- Ь)у' 4- qy = О
приводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами подстановкой ах + b = е*.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка п 2
у^ ' + aiy J+azy' ' 4-... 4- an-iy 4- апу = f(x)
решаются аналогично уравнениям второго порядка, опираясь на соответствующие определения и теоремы. В частности:
1.	Система функций yi = yi(%), У2 — У2(х), ..., уп = Уп(х) называется линейно зависимой на отрезке [а,6], если существуют постоянные Ci, С2,  • , Сп, не все равные нулю такие, что имеет место тождество
Ciyi 4- С2У2 4-... 4- Спуп = 0, хе [а, 6].
Если же это тождество имеет место только при Ci = С2 = ... = Сп = 0, то данные функции линейно независимы на отрезке [а, Ь].
Вронскиан системы функций yi, у2, ..., уп имеет вид
		yi	У-2	• • •	Уп	
		f	t		t	
		У1	У2	• • .	Уп	
W(x) = W[yi,y2, 	• ,Уп] =		•			•
		•			•	
		(n—1)	(n-1)		(n —1)	
		У1	У2	. . .	Уп	
2.	Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению тг-го порядка
y(n)+aiy{n 1} 4- • • • + an-iy 4- апу = 0,	(7.7)
имеет вид
кп 4- aikn 1 ... 4- ап-\к 4- ап = 0.	(7.8)
98
Теоремы 2.3-2.6, сформулированные для уравнений второго порядка, также имеют место и при любом п > 2.
3.	Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами
у”' + Ру” + ЧУ + ту = У (ж)	(7.9)
состоит в следующем: общее решение уравнения (7.9) имеет вид
у = Ci(x)yi + Cz(x)y2 -I- Сз(х}уз,
где т/i, т/2, т/з — фундаментальная система решений однородного уравнения
У +ру + ЧУ + ту = О,
а функции Ст(т), Сг(т), Сз(т) — находятся из системы дифференциальных уравнений первого порядка
{Ciт/i -I- С'2у2 -I- С'зуз = О,
Ci7/i+C^+C^ = 0, С{у" + С2У2 + С'зу'з = f(x).
2.7.1.	Установить линейную зависимость или независимость данных пар функций на областях их определения.
a)	z, cos ж;	б) х, 2х;
в) tgz, Ctg.T.
Q а) Функции т/i (а:) = х и т/2 (ж) = cosx определены на всей прямой, т. е. при х € (—оо, +оо). Тождество С\х + С2 cos х = 0 имеет место только при Ci = С2 — 0. В самом деле, если предположить противное, т. е. что это тождество имеет место, например, при С2 / 0, то после его дифференци-рования получим новое тождество Ci — C^sinz = 0, откуда sin ж =
С2 х 6 (—оо,+оо), что неверно. Если же предположить, что С2 = 0, то получим Cix = 0, что также невозможно при С\ 0. Таким образом, тождество Cix 4- C^cosz = 0 имеет место только при Ci = С2 = 0, и, стало быть, функции х и cosx линейно независимы на действительной прямой.
Заметим, что С0$х const и СОдЖ const, т. е. функции х и cosrr Удовлетворяют и другому определению линейной независимости.
б)	Имеем — = 2 при х 0 (тождество можно доопределить по непрерывности И при X = 0), поэтому функции 7/1 = 2х И 7/2 = х — линейно ЗАВИСИМЫ.
в)	Ввиду периодичности функций 7/1 = tgx и 7/2 = ctgrr с периодом = тг достаточно установить их линейную независимость в интервале 1 € (0,тг) (х ± Имеем	= tg2z const х Е (О,тг),
\ Z 7	У2 Ctg X COS X
99
X 7^ 77.
2
Таким образом, функции tga; и ctga: линейно независимы в обла-
сти их определения I з: п • п 6 Z j. \	£л	/
Установить, какие из следующих пар функций линейно независимы, а какие — линейно зависимы:
2.7.2.	arcsina; и arccosa;.	2.7.3.	sin a;, sin 2а;.
2.7.4.	е®, е®2.	2.7.5.	1, X.
2.7.6.	sin х, sin2 х.	2.7.7.	sin х cos х, sin 2ar.
2.7.8.	1 — cos 2а:, sin2 х.	2.7.9.	1 + cos 2a;, cos2 x.
2.7.10.	Даны функции yi = ех, у2 = е~2х. Составить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид		
S/oo = Схех + С2е-2<
Q Заметим сначала, что данные функции линейно независимы на всей прямой, так как = е - = е3х const. Пусть у = С\ех + Сге-2* —
У2
общее решение некоторого ЛОДУ второго порядка. Тогда
у' = С±ех — 2(726 2х, у" = (71 е1 +4С2е~2х. ч
Разрешим эту систему относительно постоянных С\ и (72- Вычитая первое уравнение из второго, получаем 6(72 е-21 = у" — у'. Отсюда
с2 =	- у')е2х.
Теперь первое уравнение, домноженное на 2, прибавим ко второму:
2у'+ у" = М\ех.
Отсюда (7i = ^(2yf + у")е~х- Полученные выражения для (71 и (7г подставим в выражение для у:
г/ = |(2у' + г/") + |(у"-Л
т. е. у” + у* — 2у = 0. В итоге мы получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции yi = ех, у2 = е~2х.
Поскольку решения yi = ех и у2 = е~2х этого уравнения линейно независимы, то в силу теоремы 2.5 функция уоо = С\ех + С2^~2х — действительно его общее решение. Отсюда следует, что это и есть искомое дифференциальное уравнение.	•
100
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данные функции составляют фундаментальную систему решений, предварительно проверив, что данные функции линейно независимы:
2.7.11.	sina;, cosa;.	2.7.12.	е~х, ех.
2.7.13.	1, х.	2.7.14.	хех, ех.
2.7.15.	е2х, ех.	2.7.16.	е2х,	хе2х.
2.7.17.	sin2i, cos 2х.
2.7.18.	Найти общее решение уравнения 2у” — Зу' + у = 0.
Э Составим характеристическое уравнение: 2k2 — 3k + 1 = 0. По его 1
корням fci = 1 и = 2 составим общее решение данного однородного уравнения, согласно теореме 2.8:
Уоо =	+ (72^2	Ф
Найти общие решения уравнений:
2.7.19.	у”	-	Зу1 + бу = 0.	2.7.20.	2у" + Зу1 - 7у = 0.
2.7.21.	у”	+	4у'— Зу = 0.	2.7.22.	Зу” + у' - 2у = 0.
2.7.23.	у"	+	25у' = 0.	2.7.24.	4у" - 9у' = 0.
2.7.25.	Найти общее решение уравнения 4у" + 4у' + у = 0.
Характеристическое уравнение 4А:2 +4/г +1 = 0 имеет два одинаковых корня fci = А?2 = — к- В таком случае (см. теорему 2.8)
1 1
Уоо = Cie 2х + С2хе 2х,
1
или у00 = (Ci + С2х)е 2х.
Найти общие решения уравнений:
2.7.26.	у" - бу' + 9у = 0.	2.7.27. у” - 4у' 4- 4у = 0.
2.7.28.	4у" - 12у' + 9у = 0.	2.7.29. 9у" + 12?/' + 4у = 0.
2.7.30.	Найти общее решение уравнения 2у" + у' + 3у = 0.
Q Характеристическое уравнение 2fc2 + к + 3 = 0 имеет комплексные (комплексно-сопряженные) корни:
&1,2 —
- 1±\/23г
В этом случае общее решение уравнения имеет вид
Уоо —
'23	~ .
4— х + Сг sin
Найти общие решения уравнений:
2-7.31. у" + 4у = 0.	2.7.32. 4у" + 9у = 0.
2*7.33. у” + у1 + у = 0.	2.7.34. у” — у' + бу = 0.
101
2.7.35.	2у" ~ Зу1 + 5у = 0.	2.7.36. Зу” - Зу' + 2у = 0.
2.7.37.	Найти частное решение уравнения Зу"+7у'+4у = 0, удовлетво-2 ряющее заданным начальным условиям у(0) = 1, у'(0) = —
Q Характеристическое уравнение Зк2 + 7к+4 = 0 имеет корни kt = —1 и к>2 = — Следовательно, общее решение имеет вид уоо = С±е х-ЬС2е зх.
О
4	——
Находим г/ц0 = —С\ё~х — ^С2е зх. Подставляя в последних двух равен-2
ствах х = 0, у — 1, у1 = — получаем систему уравнений относительно С] и С^ '.
|С1+С2 = 1,	|Ci=2,
[—С1 —	= — х 1	= — 1.
V.	0	0	V
Найденные константы подставляем в выражение для общего решения. Получаем искомое частное решение
4
уч = 2е~х -е~зх.	•
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2.7.38.	у" - 4у' + Зу = 0, у(0) = 6, /(0) = 10.
2.7.39.	у" + 4у' = 0,2/(0) = 7, у'(0) = 8.
2.7.40.	у" - бу' + 9у = 0, з/(0) = 0, у'(0) = 2.
2.7.41.	4у" + 4у' + у = 0, у (0) = 2, у'(0) = 0.
2.7.42.	у" - 4у' + Зу = 0, у(0) = б, у'(0) = 10.
2.7.43.	Найти общее решение уравнения у"—7у' — 5хех, подбирая част-
ное решение методом неопределенных коэффициентов.
Ci Характеристическое уравнение к2 — 7к = 0 имеет два действительных корня ki = 0 и fc2 = 7, поэтому общее решение однородного уравнения у" — 7у' = 0 имеет вид у00 = Ст + ^е7®. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f(x) = Pi(x)ekx, где Pi(x) = 5х— многочлен первой степени, а к = 1 — не является корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение ищем в таком же виде: уч = (Ах + В)ех (Ах + В = Qi(x) — многочлен первой степени с неизвестными коэффициентами). Для определения коэффициентов А и В находим
у' = Аех + (Ах + В)ех = (А + Ах + В)ех, у" = (2А + Ах + В)ех, после чего подставляем выражения для уч, у'ч и у" в исходное дифференциальное уравнение:
(2А + Ах + В)ех - 7(А Р Ах + В)ех = 5хех.
После сокращения обеих частей на ех и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях х в левой и правой части полученного
102
равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных А
-6А = 5,
-5А - 6В = 0.
т° : 24 + В - 74 - 7В = 0, Т‘в‘
Отсюда 4 = В = а уч = f-^т +	) ех. Теперь в силу теоре-
о оо	\ о оо /
мы 2.6 общее решение исходного уравнения имеет вид
ех.	•
Уон
Найти общие решения уравнений, находя их частные решения методом неопределенных коэффициентов:
у" - Зу' + 2у = 10е-х.
у" - Зу1 + 2у = 2т3 - 30.
у" — бу' + 9т/ = 2т2 — т + 3.
у" - 2у' + 2у = 2т.
2уц ~ у' ~ У — 4те2х.
Найти общее решение уравнения у" + 6т/ + 9у = (т — 2)е-3х.
2.7.45.
2.7.47.
2.7.49.
2.7.44. 2.7.46.
2.7.48.
2.7.50.
Q Характеристическое уравнение к2 + 6к + 9 = 0 имеет корень к = — 3 кратности 2, откуда у00 = (С\ + &2х)е~3х. Правая часть исходного уравнения имеет вид Pi(x)eQX, где РДт) = т — 2— многочлен первой степени, а а = —3 — корень кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Уч = x2Qi(x)e~3x, т.е. уч = (4т + В)т2е~3х. Дальнейшие вычисления оформим следующим образом. Расположим уч, у'ч1 у”, в столбик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты исходного дифференциального уравнения, после чего составим систему уравнений относительно 4 и В, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х левой и правой частей полученного равенства (при этом е~3х можно сократить) 9 6
у = (Ат + jdx ]е
Уч = (34т2 + 2Вх — ЗАх3 — ЗВх2)е~3х
у” = (94т3 - 184т2 + 9Вх2 + 64т - 12Вт + 2В}е~3х
0 = 0 о = о
В приведенных выражениях одинаковыми линиями подчеркнуты подобные члены.
х3 : 9А- 184 + 94 = 0, т2 : 9В + 184 - 18В - 184 + 9В = 0, т1 : 12В+ 64-12В = 1, х° : 2В = -2.
6
Заметим, что получили систему из четырех уравнений с двумя неизвестными, при этом два уравнения тривиальны. Это признак правильности составления системы.
Таким образом, уч = (^т — 1) т2е-31, откуда общее решение
Уон = (Ci + С2т)е“3х + (^т - 1) т2е-3х.	•
103
Найти общие решения уравнений:
2.7.51.	у" + Зу1 — 4у = (х + 1)ех.
2.7.52.	у" -2у' + у = (х + 1)ех.
2.7.53.	у” + 2у' + у = (х + 3)е~х.
2.7.54.	2у" + 3у' + у = (1- 2х)е~х.
2.7.55.	у" + Зу1 + 2у = (1 - 4х)е~2х.
2.7.56.	у" + 4у' + 4у = (1 - 4ж)е-2®.
2.7.57.	Решить уравнение у” + Зу' + 2у = (2х + 3) sinх + cosх.
О Решая характеристическое уравнение к2+Зк+2 = 0, находим к± = — 1, къ = —2, откуда уоо = С\е~х + С2е~2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
уч = (Ах + В) sin х + (Сх + D) cos х.
Так как неизвестные многочлены Рдг(ж) = Ах + В и Qn(x) = Сх + D должны иметь степень N = max(m,n), где т = 1 — степень многочлена Р\ (х) = 2х + 3, п = 0 — степень многочлена <2о(ж) = 1 (см. случай 2 а на с. 97 при 7 = 0; мы специально поменяли местами Р(х) и Q(x), чтобы показать, что это не влияет на структуру уч). Далее
2 уч = (Аг + В) sin х + (Сх + D) cos х,
3 у'ч = A sin х + (Ах + В) cos х + С cos х — (Сх + D) sin х, 1 у" = 2А cos х — (Ах + В) sin х — 2С sin х — (Сх + D) cos х.
Теперь приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях соответствующего уравнения:
ж sin я: : sin ж : ж cos ж : cos ж :
2А - ЗС - А = 2,
2B + 3A-3D-B-2C = 3,
2С + ЗА - С = 0,
2D + ЗВ + ЗС + 2А - D = 1,
(А-ЗС = 2,
I ЗА + В - 2С - 3D = 3, < ЗА + С = 0,
ДА + ЗВ + ЗС + В = 1.
Из первого и третьего уравнений находим: А =
1	3
С = —=. Из второ-о	О
го и четвертого, с учетом полученных коэффициентов, имеем: В =
3 25*
21
25’
Таким образом,
Уон —
(|ж + cos ж + Cie Х + С2е 2х. \о 2а/
Решить уравнения:
2.7.58.	у" — 7у' -I- Gy = sin ж. 2.7.59.	2у” +	5уг = 29 cos ж.
2.7.60.	у" - 4у = е2х sin 2ж.	2.7.61.	у”	- 2у'	- 8у =	-8сов2ж.
2.7.62.	у" -I- 4у' + 4у = (2ж + 3) sin ж + cos ж.
2.7.63.	у" — 2у = 2ж(соз ж — sinzje®.
2.7.64.	Решить уравнение у” -I-16?/ — Зжэш4ж -I- соз4ж.
104
Q Корни характеристического уравнения &2+16 = 0 мнимые: fci,2 = ±4г. С другой стороны, правая часть неоднородного уравнения имеет вид у(а?) = еОх(Ро(я) соб4ж + Qi(x) sin 4ж). Значит, а ± /Зг = ±4г — корни характеристического уравнения, поэтому (см. случай 26, с. 97).
уч = х [(Аж + В) cos 4ж + (Сх + D) sin 4ж].
Имеем:
16 Уч =
О у'ч =
1 У” =
(Ах2 + Вх) cos 4х + (Сх2 + Dx) sin 4х,
(2Ах + В) cos 4х — 4(Аж2 + Вх) sin 4х + (2Сх 4- D) sin 4х + + 4(Сж2 + Dx) cos 4ж,
2Асоз4ж — 8(2Аж + В) зш4ж — 16(Аж2 + Вх) сов4ж +
+ 2С sin 4х + 8(2Сж + D) cos 4х — 16((7ж2 + Dx) sin 4х.
Отсюда
ж2соз4ж: 16А — 16А = О, жсоз4ж : 16В - 16В + 16С = О, соз4ж : 2А + 8D = 1, ж2зш4ж: 16(7 — 16(7 = 0, х sin 4х : 16В — 16А — 16В = 3, sin 4х : —8В + 2С = 0.
откуда А = В = С = 0, В = Таким образом,
у0„ = Ci соб4ж + С2 sin4x - ^х2 cos4z + sin4z.
С = 0, 2А + 8В = 1, -16А = 3, —8В + 2С = 0
Решить уравнения:
2.7.65. у” + 25г/ = cos 5ж.
2.7.67. у" + у = ж sin ж.
2.7.69. у” — 2у' + бу = ех cos 2ж.
2.7.66. у" + у = 2х cos х + sin х.
2.7.68. у” + 9у= |^зтЗж — жсозЗж
3 d
2.7.70. бу" - бу' + 5у = е5х sin |ж О
2.7.71.	Решить уравнение у" — 2у‘ + бу = хех cos 2ж + ж2 — ж + 2. Q Общее решение соответствующего однородного уравнения
у” -2у‘ + бу = 0
имеет вид (проверьте!) уоо = (<7i соз2ж + Сз зш2ж)еа:. Данное дифференциальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений:
у" — 2у' + бу = хех cos 2ж,
.у” - 2у' + бу = ж2 - ж + 2.
Частное решение первого уравнения находим в виде
г/ч1 = х[(Ах + В) cos 2ж + (Сх + В) sin 2ж]еЯ!, так как а ± /?г = 1 ± 2г — корень характеристического уравнения к2 - 2к + б = 0, к = 1 ± 2г.
105
Соответствующие вычисления, которые предлагаем выполнить самостоятельно, дают
уЧ1 = х cos 2х + ±х sin 2х ех.
Lio	о
Частное решение второго уравнения находим в виде
уч2 = Ах2 + Вх + С.
1	1 оо
Аналогично находим у^>2 ~ ^х2 — ^§х + у^. Общее решение исходного уравнения имеет вид уон = уоо + тм + уч2, т. е.
Уон = (C*i cos 2х + С*2 sin 2х)ех+
+ х cos 2х + sin 2аА ех + ^х2 — ^=х + \ 1о	о / о	12о
Решить уравнения (данные уравнения, согласно правым частям, предлагаем целесообразным образом представить в виде совокупности более простых):
2.7.72.	у" — 2у' + у = х2 — х + 3 + х cos х.
2.7.73.	у"	+	5т/'	+ бу = (х - 2)е-31 + х2 +	2х	- 3.
2.7.74.	у"	+	бу'	+ Ют/ = (х + 6) cos Зх — (18ж	+ 6) sin Зх + 2же-3;г cos х.
2.7.75.	у"	4-	9у	= е~2х(х - 2) + 14 + 63z2.
2.7.76.	у”	-	2у'	+ у = sin я: + ^ех - |е-а:.
-,2х
2.7.77.	Решить уравнение у" — у' = -
V1 — е2ж
Q Общее решение однородного уравнения у" — у' = 0 имеет вид т/оо =
= Ci + С2ех. Правая часть f(x) =	- неоднородного уравнения не
\/1 - е2х
позволяет найти частное решение уч методом подбора (или неопределенных коэффициентов), поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных:
Уч = С1(х)у! +С2(х)у2,
где yi = 1, у2 = ех — фундаментальная система решений однородного уравнения, а С1(ж) и С2(х) — решения системы дифференциальных уравнений
(С[У1+С2у? =0,	+
<	т е <
\с{у'1+а_у'2 = /(х),	' ’ |с;-о + с;-е* = -^=.
ех
Из второго уравнения находим =	откуда после интегри-
х/1 - е2ж
/ех
- dx = arcsin ех (константу интегрирования х/1 - е2х
106
полагаем равной нулю). Из первого уравнения системы получим С{ = е2х
—С2ех = —— -	—, т.е., интегрируя,
V1 — е21
Тем самым, частное решение имеет вид
уч = Ci (х) • 1 + С2(х)ех — \/1 — е2х + ех arcsine1,
а общее решение
Уон = Ci + Съх + х/1 — е2ж + ех arcsine*.	•
Решить уравнения, используя метод вариации постоянных:
у"-27/' + т/ = ^.
У” + 4т/ = —L. COS X у" — у1 = е2х\/^ — е2ж.
у” — 2у' — у = 6хех, удовле-
2.7.78. а"-У=~5Г27г	2.7.79.
2.7.80. у" - бу' + 9у = ^.	2.7.81.
2.7.82. у" + у + ctg2 х = 0.	2.7.83.
2.7.84.	у"-2у' + у =
х + 1
2.7.85.	Найти частное решение уравнения
творяющее заданным начальным условиям: т/(0) = 2,т/(0) = —5. Q Запишем уравнение без правой части у" — 2у' — у = 0. Его характеристическое уравнение имеет вид к2 — 2к — 1 = 0, откуда ki^ — 1 ± >/2, т. е. у00 = C\e(1~'S2)x + С2е(1+у^х. Частное решение неоднородного уравнения найдем методом подбора:
-1 уч = (Аж + В)ех
-2 у'ч — (Аж + В + А)ех
1 у” = (Аж + 2А + В)ех
х :
г°:
-А - 2А + А = 6,
-В-2В-2А + 2А +В = 0.
Следовательно, А = —3, В — 0 и уч = —Зхех. Отсюда
у0„ = С1е^~^х + C2e(1+'/2)l - Зхех. *
Полученное выражение продифференцируем, а затем в уоп и т/'н подставим ж = 0, у — 1, у' = 1 из начальных условий и из получающейся системы определим значения констант С\ и (?2. Имеем:
у'оа = (1 -	+ (1 +	- Зе1 - Зхе1,
а соответствующая система, о которой говорили выше, имеет вид:
{Ci + С2 = 2 (заменили ж = 0, уон — 2),
(1 — 4/2)61 + (1 + 4/2)62 — 3 = —5 (заменили ж = 0, yfw = —5).
Первое уравнение, домноженное на —(1 + 4/2), прибавим ко второму:
-24/2(71 = —4 - 2\/2, Ci =	j?4 =1 + \/2.
24/2
107
Далее С2 = 1 — Ci = 1 — \/2. Искомое частное решение имеет вид
у = (1 + V'2)e(1“'/2>1 + (1 - v'2)e(1+'/?)* - Зхех.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным на
чальным условиям:
2.7.86.	у" + у = 4я:е*, 2/(0) = —2, ^(0) = 0.
2.7.87.	у" 4- у =	4sin х, 2/(0) = 1, у'(0)	= 2.
2.7.88.	у" - 2у'	- Зу = eix, у(0) =	у'(0) =
2.7.89.	у" + 2у'	- Зу = 48А*, у(0)	=	1, у'(0) =
2.7.90.	у" + 4у'	+ 4у = 32же21, у(0)	=	-1, у'(0) = 1.
2.7.91.	у" - у = 2е* - х2, у(0) = 2, у'(0) = 1.
2.7.92.	у" + Зу' 4- 2у = 2 sin Зя: 4- 6 cos Зя:, 2/(0) = у1(0) = 0.
2.7.93.	у" + 9у = б cos Зя:, у(0) = 1,г/'(0) = 3.
2.7.94.	у" -у' = j-L, у(0) = 1, у'(0) = 2.
2.7.95.	4у" + у = ctg^, у(л) = 3, у'(я) = |.
2.7.96.	Найти общее решение уравнения Эйлера х2у” 4- 2ху' 4- у = 0. Q Положим х = е*, откуда t = In х. Тогда неизвестная функция у = у(х) становится сложной функцией аргумента t: у = у(е*). Следовательно,
dy
/ = dy = dt_ = dy -t
У dx dx dt ’ dt
„ = _d_ (dy -A =d_(dy -A dt = (#V -t _ -tdv\ -t =
y dx \dt ) dt\dt J dx \dt2	dt)
_ (d^y _ dy\ -21 \dt2 dt)e '
Исходное дифференциальное уравнение принимает вид
2( /о?у _ dy\ 2( t dy t kdt2 dt) + dt +У °’
T e	d?y dy	..	,
+ У = 0, или у +y +y = 0, at“ at
где у = y(t)- Общее решение полученного линейного уравнения с постоянными коэффициентами находим стандартным образом:
_1 /	v^3	х/З \
Уоо = е 2 I Ci cos -^-t 4- С2 sin -^-t I .
Остается вернуться к переменной х, используя замену t = In я:. ПолучаехМ
1 ( Vs	73	\	а
Уоо — —р I Ci cos In х 4- С2 sin In x ) .	•
yr \	2	/
108
решить уравнения:
2.7.97.	х2у" + 2ху' - бу = 0.	2.7.98. х2у" + Зху' + у = 0.
2.7.99.	ху" + у' = 0.
2.7.100.	Решить обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера
(Зх - 2}2у" - 2(3а; - 2)г/ + бу = 0.
Q dx dt
Положим За; — 2 = е*, откуда t = 1п(3а: — 2). Тогда х = ^(е* + 2),
=	4^ = Зе f. Далее
3 ах
y^y'ct'x =3е ^У'п
= (Зе'1?/;); • = 3(-е-‘ • у[ + e-f • ^2)3е^ = Эе'2^ - у').
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
9(z/«2 - y't) ~ ty't + 63/ = О, т. е. 9у" - 15г/ + бу = 0, у = y(t).
Корни соответствующего характеристического уравнения 9fc2 — 15fc + 6 = = 0, т. е. Зк2 — ок + 2 = 0 равны ki = 1,	> поэтому
О
Уоо(Ъ) = Cie + Сгез .
После замены t = 1п(3а; — 2) и преобразований получим окончательно
Уоо(х) = Сг(За; - 2) + С2 V(3a? - 2)2.
Решить уравнения:
2.7.101.	(2а; + I)2?/" - 2(2х + 1)у' + 4г/ = 0.
2.7.102.	х2у" + ху' + у = 0.	2.7.103. х2у" — ху' — Зг/ = 0.
2.7.104.	х2у" + 4ху' + 2г/ = 0.
Дополнительные задания
Доказать линейную независимость данных функций на их области определения, найти определитель Вронского:
2.7.105.	х, ех, е~х.	2.7.106. а;, хех, хе~х.
2.7.107.	arctga;, arctg2a;, arctgЗа;. 2.7.108. 1, х, х2, ..., хп.
2.7.109.	еА1Х, екгХ, екзХ (к^, к2, к% — различные действительные числа).
2.7.1Ю.	ех, е2х, е2х, ..., епх.
2-7.111. cos a;, cos 2а;, ..., cosna;, х G [0,2тт].
Доказать линейную зависимость данных функций и найти определитель Вронского:
2-7.112. 1, arcsina;, arccosa;, х Е [—1,1].
109
2.7.113.	тг, arctg2z, arcctg2z, x G (—00,4-00).
2.7.114.	sin2 x, cos2 x, cos 2a;, sin 2a;, x G (—oo, 4-oo).
2.7.115.	sin 3a, sin a, sin3 a, 1, a G (—oo,4-oo).
2.7.116.	cos a, cos3 a, cos 3a, 5, a G (—oo,+oo).
2.7.117.	Ina;, Ina;2, In2 a;, In3 a;, x G (0, 4-oo).
2.7.118.	ex, ex sin2 a;, ex cos2 a;, e 2x, x G (—oo,+oo).
Показать, что не существует линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данная система функций является фундаментальной:
2.7.119.	sin a;, sin 2а;.	2.7.120.	cosx, cos2а;.
2.7.121.	X 1	2.7.122.	х2 -
2.7.123.	ех, sin а;.	2.7.124.	ех, cosx.
2.7.125.	х, sin а;.	2.7.126.	х, cosx.
2.7.127.	2 х, х, sin а;.	2.7.128.	ех, е~х, cosx
2.7.129.	2 X, X, cosx.	2.7.130.	х, ех, sin а;.
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид:
2.7.131. е2х, е~2х, ех.
2.7.133.	cos 2а;, sin 2а;, е х.
2.7.135. ех, хех, х2ех, е3х.
2.7.132. 1, ех, е3ж.
2.7.134.	ех, хех, sin a;, cosx.
2.7.136.	ех, хех, sin За;, cos За;
Составить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами по данному общему решению:
2.7.137.	у = С\х + Чг.	2.7.138. у = Ci(x + 2) + ----
х	С С '	'
2.7.139.	у = С,х2 + С2х4 + Сз- 2.7.140. у =	+ 2х.
2.7.141.	г/ = С1+С2(х + 1)5+, С\9. (х +1)-
2.7.142.	у = (Ci cos In х 4- С2 sin In х)х 4- х In х.
2.7.143.	у = x(Ci + С2 Ina; + In2 х).
2.7.144.	у = С]Х 4- С2Х2 4-1 4- (х2 4- 2а;)Inх.
Решить уравнения:
2.7.145.	у" - 4у’ 4- 31/ = 0.	2.7.146.	у” 4- 4г/' 4- 291/ = 0.
2.7.147.	9у" 4- бу1 = 0.	2.7.148.	4уи 4- 12g/' 4- 9у = 0.
2.7.149.	5у” 4- у = 0.	2.7.150.	5у" 4- у' = 0.
2.7.151.	$/"' - 2у" - Зу' = 0.	2.7.152.	у"' 4- 4у” 4- 13г/' = 0.
2.7.153.	у"' 4- 21/" 4- у' = 0.	2.7.154.	ут 4- 2у" -y'-2y = G.
2.7.155.	yrv — 161/ = 0.	2.7.156.	УГУ 4- у = 0.
110
2.7.157.	2у'" + 9?/" + 17?/' + 14?/ = 0.
2.7.158.	yIV + ?/" = 0.
Решить уравнения, а там, где есть начальные условия, найти соответствующее частное решение:
2.7.159.	у” + у' = (х + ех - 2х - 2.
2.7.160.	у" + у'= (1 - 4х)е~2х.	2.7.161. ?/" + ?/' = Зе-2х sinх.
2.7.162.	уц + у' = (2х + 3) sin х + cos х.
2.7.163.	у” — 2у' + у = sina; + е~х.
2.7.164.	?/'" + ?/" = 12ж2.
2.7.165.	у"' - 5у" + 8?/' - 4у = е2х.
2.7.166.	у” - Зу' + 2у = (а;2 + а;)е3ж.
2.7.167.	у" — 2у' + Зу = е~х cos х.
2.7.168.	у” + у' = cos2 х + ех + х2.
2.7.169.	у" + 4у = х sin2 х.
2.7.170.	у" + 4у = х cos х.
2.7.171.	у" — 2у' + 10?/ = | cos3.t + 2sin3x.
2.7.172.	у” — Зу' 4- 2у = sina;sin2a;.
2.7.173.	у” — 4у' + Ьу = (4х + 22) sin За; — (28а; + 84) cos За;.
2.7.174.	у"	-	4у' +	5?/ = 2а;2еж, ?/(0) = 2, ?/'(0)	= 3.
2.7.175.	у"	-	бу' +	9у = х2 - х + 3, j/(0) =	з/(0) =
2.7.176.	у" + 4у = 4(sin 2х + cos 2а;), 2/(тг) = тг, ?/'(тг) = 2тг.
2.7.177.	у”	—	2у' +	2у = 4ех cosx, ?/(тг) = тте”-,	?/'(тг) = еп.
2.7.178.	у”	-	2у' +	10?/ = 10а;2 + 18а; + 6, ?/(0)	= 1, ?/' (0) = 3,2.
з
2.7.179.	4у" + 16?/' + 15?/ =	4е~2ж,	«/(0) = 3, ?/'(0) = -5,5.
2.7.180.	у"	-	2у' = еж(а;2 +	х	-	3),	?/(0) = 0, ?/'(0) = 2.
2.7.181.	?/"	+	?/ = ctga;.	2.7.182. у" + 2у' + у =
2.7.183.	у”	+	у =	2.7.184. у" -2у = 4х2ех\
2.7.185.	у"-6у = 4х2ех\	2.7.186. ?/" + ?/=---- 1------— •
*	"	cos 2а; у cos 2а;
Контрольные вопросы и более сложные задания
2.7.187.	Привести пример функций ?ц(а;) и ?/2(а;), которые линейно зависимы на одном отрезке и линейно независимы на другом.
2.7.188.	Доказать, что если два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеют экстремумы в одной и той же точке, то они линейно зависимы.
2.7.189.	Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты р и q уравнения у" + ру' + qy = 0, чтобы все его частные решения были ограниченными.
111
2.7.190.	Построить две дифференцируемые линейно независимые функции на отрезке [а, Ь], для которых их определитель Вронского равен нулю тождественно.
2.7.191.	На отрезке [а, д] построить три линейно независимые функции, для которых определитель Вронского равен нулю тождественно.
Доказать линейную зависимость функций на их области определения:
2.7.192.	sin4 х, cos4z, cos2z, 1.	2.7.193. cos4 x, cos4a;, cos2a;, 1.
2.7.194.	Ina;, Ina;2, Ina;3, In2a;, In3a;.
2.7.195.	sin a;, sin (x — ?), sin (x 4- ? ). \	47	\	47
2.7.196.	Зная фундаментальную систему решений е®, cos a:, sin а; линейного однородного уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 3, у'(0) = 4 и 2/"(0) = -1.
2.7.197.	Функции ех, е2®, е3х образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 6, у'(0) = 14, у”(0) = 36.
2.7.198.	Проверив, что yi = ех и у2 = х образуют фундаментальную систему решений уравнения у”-------------^~\У' “I-^~7У = найти
общее решение уравнения (х — 1)у” — ху' 4- у = (х — I)2.
2.7.199.	Проверив, что yi = cos х и у2 = х cos х образуют фундаментальную систему решений уравнения у” 4-2 tg х-у‘ 4- (2 tg2 а;4-1)«/ = О, найти общее решение уравнения ctg a;-2/z/ 4-2|/ 4- (2 tgz-bctga;)?/ = О = COS X.
2.7.200.	Найти общее решение уравнения 4yIV 4- 4у” 4- у = 0.
Найти общие решения уравнений:
2.7.201.	yv 4- 8ут 4- 16г/ = 0.	2.7.202. yv - 6yIV 4- 9ут = 0.
2.7.203.	yIV - 8у" 4- 16у = 0.	2.7.204. у" 4- 4у' 4- 4т/ = е~2х In а;.
2.7.205.	yVI - 2yv 4- 3yIV - 4у"'	4-	Зу” - 2у‘ 4- у = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным	усло-
виям:
2.7.206.	у'” -у' = —2х, 7/(0) = 0, </'(0) = 1, у” (9) = 2.
2.7.207.	y,v - у = 8ех, у(0) = -1, у'(0) = 0, у"(0) = 1, у"'(0) = 0.
2.7.208.	Найти интегральную кривую дифференциального уравнения у” — у = 0, касающуюся в точке 0(0,0) прямой у = х.
2.7.209.	Найти интегральную кривую уравнения у” — 4у' 4- Зу = 0, касающуюся в точке Мо(0,2) прямой у = х 4- 2.
112
Решить уравнения Эйлера:
2.7.210.	х2у" 4- ху1 — у = 0.	2.7.211. х2у”' — Зху" 4- 3j/' = 0.
2.7.212.	(ж 4- 2)2у" 4- 3(ж + 2)1/' - Зу = 0.
2.7.213.	х2у'" = 2у'.
§8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их переменные.
Нормальная система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида
’у'х = Л(*,3/1,2/2,...,2/п), ?/2 =/г(ж, 2/1, ?/2, - - , 2/п),
где х — независимая переменная, a yi(а?), 2/2(ж),..., уп(х) — неизвестные функции от х, называется нормальной системой.
Решить эту систему означает найти функции yi(x), У2(х),  • •, Уп(х), удовлетворяющие системе (8.1) и данным начальным условиям:
2/1 (яо) = 2/ю, ?/2(яо) = ?/2о, • • •, Уп(хо) — УпО-
Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка п (или меньше) относительно одной неизвестной функции, скажем g/i, при помощи следующего алгоритма, называемого метод исключения.
Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х:
У1 = (/i)i 4- (/1)^ • у{ 4- (/i)y2 • Й 4-... 4- (/i)in • Уп-
Производные у[, у2,..., у'п в правой части этого равенства заменим их выражениями из системы (8.1). Получим уравнение
у" = ^2(ж,2/1,1/2,...,2/п).
Это равенство дифференцируем по переменной х:
у" = (F2)'x + (F2)'yi • у[ 4- (Г2);2 • у2 4-... 4- (F2);n • Уп-
Производные у{, у2,..., у'п в правой части этого равенства заменим их выражениями, заданными системой (8.1). Получим еще одно уравнение
у" = Рз(х,у1,у2,...,уп).
113
Это уравнение дифференцируем по переменной х и так далее до тех пор, пока не придем к уравнению
?/}п) = Рп(х,у1,у2,...,Уп)-
Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединим в одну систему, к которой присоединим первое уравнение системы (8.1):
У1 = /1(хуу1,у2,.-.,Уп)
у” = Р2(х,у1,у2,...,уп),
< у'” = Рз(х,У1,У2,..-,Уп),	(8.2)
kt/Jn) = Рп(х,У1,У2,...,Уп).
Первые п — 1 уравнений системы (8.2) разрешим относительно переменных 2/2, 2/з} • •  > Уп, выражая их через переменные х и у±, а также производные y[t у"2/Sn-1)- Полученные выражения подставим в последнее уравнение системы (8.2). В итоге придем к дифференциальному уравнению порядка п относительно одной неизвестной функции у\.
Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение системы (8.1) или требуемое частное решение. Заметим, что порядок последнего уравнения может быть меньше, чем п, если при его получении были использованы не все уравнения системы (8.1).
Поиск интегрируемых комбинаций
Интегрирование системы (8.1) существенно облегчается, если эта система допускает интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений. Под интегрируемой комбинацией подразумевается дифференциальное уравнение, получаемое из уравнений системы (8.1) с помощью определенных преобразований, но уже легко интегрирующееся. Примером интегрируемой комбинацией является уравнение вида
d$(s, yi, у2,..., Уп) не-
возможно, что заменой переменных удастся получить дифференциальное уравнение известного типа, решение которого не представляет труда.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Для решения нормальной системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида
2/i = aii2/i + 0122/2 + ... + О1П2/п}
У2 = С121У1 + О.22У2 + . . . + й2пУп,	/о оч
уп = аП1 j/i + аП2у2 + ... + аппуп
114
удобно воспользоваться методами линейной алгебры, а конкретнее, методом собственных векторов.
Добавим, что общее решение однородной линейной системы представляет собой линейную комбинацию фундаментальной системы решений, а общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующего решения однородной системы и одного частного решения неоднородной системы.
2.8.1* Решить систему дифференциальных уравнений:
!х’ = —2х — 2у — 4z, у1 = — 2х + у — 2z, z' = 5х + 2у + 7z.
Q В данной системе x,y,z — неизвестные функции, а независимая переменная t — их аргумент.
Дифференцируем первое уравнение системы по t: х" = —2а/ - 2у' - 4z’.
Вместо у' и z1 подставим их выражения из второго и третьего уравнений системы. Получаем
х” = — 2х' — 2(—2х + у — 2z) — 4(5ж 4-22/4- 7z),
откуда
х" = — 2а/ — 16а: — 10у — 24z.
Полученное уравнение дифференцируем по t, а вместо у1 и z' опять подставим выражения из тех же уравнений системы
х'" = -2х" - 16а/ - 10?/' - 24г' =
= -2а/' - 16х' - 10(—2а: 4- у - 2z) - 24(5ж 4-21/4- 7z), х"' = —2х" - 16а/ - 100а: - 58а: - 148z.
Составим новую систему:
!х' = — 2х — 2у — 4z,
х" = — 2а/ — 16а: — 10г/ — 24г,	(8.4)
х,п = -2х” - 16а/ - 100а: - 58«/ - 148z.
Система состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравнений, полученных последовательным дифференцированием.
Из этой системы исключим неизвестные у и z. Для этого проще всего использовать первые два уравнения системы (8.4), из которых, после преобразований (рассматривая —6а/ 4- х" и —5а/ 4- х"), находим
f 2у = х" — 4а/ 4- 4х,
I 4z = —х" + Зх' - 6z	(8’5)
115
и эти выражения подставим в третье уравнение системы:
х'" = —2х" - 16а;' - 100а; - 29(а;" - 4xz + 4а;) - 37(-а;" 4- За? - вх).
После приведения подобных слагаемых получаем одно уравнение третьего порядка (однородное с постоянными коэффициентами) относительно неизвестной функции х = x(t):
х"' - вх" + Их -вх = 0.
Корнями его характеристического уравнения к3 — 6к2 4-11/? — 6 = 0 являются числа к\ = 1, к2 = 2, кз = 3. Следовательно, общее решение последнего уравнения имеет вид
хоо = Ciet 4- С*2С2< 4- Cse3i.
Теперь надо получить значение для уоо и zoo. Это легко сделать, имея в виду систему (8.5), содержащую 2у и 4z, выраженные через а;, х1 и х".
Поэтому сначала находим
x'oo = Ciet + 2C2e2t + 3C3e3t,
х”о =	+ 4С2в2( + 9C3e3f.
Остается сделать соответствующие подстановки:
у = ±(х" - 4х' + 4х) = | (Ge* + 4С2е2' + 9С3е31 - 4Cie‘ - 8С2е2'-- 12C3e3( + 4Cie‘ + 4С2е2‘ + 4С3е3'),
откуда	1	, 1	„
Уоо — ^Cie + -~С3е .
Аналогично, г0о = у (—х”о — 3a?J,o - 6а;оо) = —	— C2e2i — |Сзе3*. Окончательно,	z
Г а;оо = Cief 4- C2e2t 4- Сзе3\
Ьоо = |С1е‘4-|Сзе3‘,	•
[г0о = -С^ - C2e2t - |c3e3t.
{х1 4- у' — у = е*,
,	,	при данных начальных
2а; + у’ 4-22/ = cos t
Л 3	4
условиях to = О, х0 = -уу, Уо = уу.
О Сначала приводим систему к нормальному виду, т. е. к виду, разрешенному относительно производных
х1 = —Зу 4- cos t — ef, у' = 4у — cos 14- 2ef.
Далее действуем по схеме, примененной при решении предыдущего примера.
116
Первое уравнение дифференцируем по t, после чего вместо у' подставим выражение из второго уравнения новой системы
х" = —Зу' — sin t — е* = — 3(4?/ — cos t -I- 2e*) — sin t — ef, t. e.
x" = — 12y -I- 3 cos t — 7e* — sin t.
Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим систему
\х' = —Зу + cost — е*,
х" = — 12т/ + 3 cos t — 7е* — sin t,
из которой исключим у (первое уравнение, умноженное на (—4) прибавим ко второму):
х - 4х = — cos t — Зе — sin t.
Полученное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами решается стандартным способом подбора частного решения. А именно (в сокращенном изложении):
i" - 4х' = 0 =>
к2 — 4k = 0 => hi = 0,	= 4 => тоо = Ci -I- C2e4t;
О
-4 1
хч = Ае* -I- В cos t -I- С sin t	e* :
х'ч = Ae* - В sin t -I- C cos t => cos t: x" = Ae* - В cos t - C sin t sin t:
-ЗА = -3	3
-4C-B = -1 =» B = -i7 4B-C = -1 c— —
1T
3	5
Отсюда = e — p^ cos t -I- yy sin t. Окончательно,
zOH = xoo +x4 = Ci + C2e4t -I- e* - p^ cos t + p^ sin t.
Другую функцию уоп можно найти двумя способами.
а) Из второго уравнения системы (8.6) находим
у = —	(х" — 3 cos t + 7е* + sin t).
Подставляя сюда найденное выражения для т"н, находим уоп. б) Из первого уравнения нормальной системы имеем
у = |(—х' + cost - е*).
О
Отсюда, учитывая, что
х> = (G -I- C2e4f + е* - р^ cos t + р^ sin t)' = 4C2e4t + e* + py sin t + -^ cos t, получим
Уон —
—4C2e4t —	sin t — cos t -I- cos t — ef
т.е. yOH = ~^C2e4t О
1 .	4	о t
17 sin t + 17 cos t - %e
117
Таким образом, общее решение системы имеет вид
{хон =С1+ C2e4t + ef - р^ cos t +	sin t
Уш = -^C2e4i -	+ -^= cos t -	sin t.
О	О	Lt	11
3	4
pp У = p и < = 0. определим
Подставляя начальные условия х = константы Ci и С^:
3
3
Oi = -±,
I 3°2 3 + 17 17	1°2	2'
Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеют вид	<11	s
I х = - - ^e4t + ef - cos 14- sin t, <	9 v Л	1	®
1^1/ = |e4< -	+ p^ cos t - yp sin t.
Замечание. Далее будем заменять хон на xj yoti на у и т. д.
Решить данные системы дифференциальных уравнений:
2.8.3.
2.8.4.
1х' = у + 2, у' = Зх + 2, 2' — Зх + у. х' = Зх — 2у, у' = 2х — у,
х(0) = 1, 2/(0) = 2.
2.8.5.
2.8.7.
2.8.9.
х' + 5х + у = е*, у' — х — Зу — e2t.
J 4х' — у’ = sin t — Зх, lx' = cos/ — у.
(х' = х — 2у — 2,
У' = -х + у + 2,
2' = X — 2.
2.8.6.
2.8.8.
2.8.10.
х' = — X + у + 2, у' = X - у + 2, z1 = X + у — 2. х' = 2х + ?/, у' = Зх + 4?/.
х' = У, у’ = х +	+ e_f.
2.8.11.
Решить систему уравнений <
х' = ?/, У' = х.
Q Почленное сложение этих равенств приводит к интегрируемой ком-
<	»	»	+ У) 1
бинации: х + у — х + у, т. е. х у = Отсюда находим х + у = Cie4.
Аналогичную комбинацию получаем вычитанием уравнений исход-
ной системы
х' -у' = ~{х~у),
откуда
d(x - у)
х-у
= —dt,
т.е. х — у = С2е
118
Остается почленно сложить и вычесть полученные равенства:
_ Ci i С2 —t
Too — ~“Ь ~ в ’
Cl t С2 -t
У°° = Те ~2е •
|т' = у - z, у1 = Z — X, z1 = х — у.
Q Сложив почленно все три уравнения, получим интегральное выражение d{x + у + z) = 0, т. е. х + у + z = Ci.
Умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z и полученные результаты сложим почленно. Получим другую интегрируемую комбинацию
+	+	= °’ т-е- d^x2 +У2 + *2) ~ °’ откуда х2 + у2 + z2 = С2.
at at at
Эти два соотношения уже можно использовать для того, чтобы из исходной системы получить одно дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции. Но мы попробуем использовать только первое соотношение, из которого имеем z = Ci — х — у. Подставим это выражение для z в первые два уравнения:
х' = 2у — Ci + х, у1 = —2х -y + Ci.
Дифференцируя первое уравнение по t, подставим затем выражение для у' из второго уравнения: х" = 2у' + х' = —4х — 2у + 2С1 + х'.
А теперь из полученной системы
х1 = х + 2у - Ci, х" = х' - 4х ~2у + 2Ci
исключаем у — получим х" + Зх = Ci, откуда
х = С2 cos J3t + Сз sin \/3t + |Ci.
О
Из уравнения х1 = 2у — Ci + х находим у = ~(х‘ — х + Ci), т.е.
у = (у/ЗС3 — С2) cos y/3t - ± (ТЗС2 + Сз) sin \/3t + |Сь Наконец, z = Ci — х — у, т.е.
z — —- (\/ЗСз + С2) cos ^3t + 2 (v/3C2 — Сз) sin \/3t +
119
Решить системы уравнений:
dx 1 dt ~ У' dy _ 1 dt x' dx _ У2 dt x ’ dy _ x2 dt~ У ‘ dy z - 1 dx ~ z ' dz _	1
dx ~ у - x'
2/(0) = -1, z(0) = 1.
2.8.14.
(z ~ У)2' У
(z ~ у)2
{yf = -z,
z2 где у = y(t), z = z(t).
z1 =
У 1
Q Продифференцируем первое уравнение: у" = —z'. Подставив z' из z2
второго уравнения системы, получаем у — — ~гг- Поскольку из пер-вого уравнения (т/')2 ~ z2, приходим к уравнению относительно одной -fa/')2
функции: у” = —-—, или уу" + (у1)2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (уу1)1 = 0, откуда уу1 = Ci. Разделяя переменные, получим ydy = Ci dt, откуда ~ = C\t + С2, т.е. у = ±y2(Cit + С2). Функцию z находим из первого уравнения исходной системы:
С^1
Ъу/ЦС^ + Съ)
И окончательно,
'у = ±y2(Cit + C2), ±Cj
z = --,
к . 2л/C\t + С2
I х>
2.8.18. Решить систему <
О Данную систему решим матричным способом, используя собственные
= 2х + Зу, = 6х — у.
числа и собственные векторы матрицы правой части системы. Обозначим
2 3 \
6 -1)
через
А =
матрицу системы.
Составим характеристическое уравнение det(A — кЕ) = 0, т. е.
2-к	3
6	-1-к
Приходим к уравнению к2 — к — 20 = 0 с корнями ki = —4, к2 = 5.
120
Находим собственные векторы. При к = —4 имеем: 6Ci + ЗС2 = О, (С \ 2С ) ‘
При к = 5 имеем: -3Ci + ЗС2 = 0, Ci = 1, С2 = 1, собственный вектор /С2\ jjftieeT вид I I •
Составляем общее решение системы
1	1х = С1е~4х + С2е5х,
[у = -2С1е~4х + С2е5х. (х' = х + у, У1 = —х + У ~ z, zl = Зу + z.
Q Матрица системы имеет вид / 1	1 0 \
А= -1 1 -11. \ о з 1 /
Отсюда характеристическое уравнение
1-к	1	О
-1	1-к	-1
О 3	1-к
= 0
с характеристическими числами ki = 1, к2 = 1 + 2г, кз = 1 — 2г.
Собственный вектор, отвечающий собственному числу ki = 1, полу
чаем из системы
Я е.
’j
«а 6 К, вектор
-Сг - Сз = 0, зс2 = о,
представляет собой нормированный (единичный) вектор отвечающий
<г°бственному числу ki = 1 (хотя переходить к единичным векторам необязательно).
121
Собственному числу fc2 = 1 4- 2г отвечает комплексный собственный вектор, получаемый из системы
	
( —2iCi 4- C*2 = 0,	f C*i — 1, < -Ci - 2iC2 - Сз = 0, => < C2 = 2i, или	х/6 С2, С26й.
3C2 — 2гСз — 0	[Сз = 3 Аналогично для кз = 1 — 2г: имеем (" 2iCi + С*2 = 0,	Г Ci — 1, -С1 + 2гС*2 - Сз = 0, => < С*2 = —2г, или [	ЗС*2 — 2гС*з = 0	= 3	3 <х/б/ /JL \ \/б —2г г. Сз, C3eR. Vo 3 \7ё/
Общее решение системы можно записать в виде
Осталось покоординатно взять от правой части действительную часть:
х =	4- cos 24 4- -^-Сзе* cos24,
х/2 х/б	х/б
< у = sin 24 — sin 24, х/б	х/6
z = —^=Ciel 4- cos 24 4- -^=Сзв1 cos 24. х/б х/б	х/б
Решить системы уравнений (все функции аргумента t):
2.8.20.
2.8.22.
х' = х - у + Z, у1 = х + у - Z, z' = —у + 2г.
2.8.21.
dy
dt=xy'
dz , dy
Tt + H = z + xy-
122
Дополнительные задания
решить
2.8.23.
2.8.25.
системы уравнений:
(ty = 1 _ 1 dx
dz _	1
dx ~ У - х ’
2.8.24.
= sin х — 2у — 2,
= cosx + 4у + 2z.
2.8.26.
(ty = х_
dx У*'
dz _ х dx ~ Уг‘
'dx = х-У dt z -V
< dy = x-y dt z-t’
< dt
= x -y + 1.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.8.28. Есть ли разница в записи собственных векторов матрицы в щем виде или в нормированном виде?
Решить системы уравнений:
2.8.29.
2.8.31.
2.8.32.
2.8.34.
2-8.35.
ddt “ Зж у +
= -х 4- 5т/ - 2, dz „	, о
Id? =х~у + ^-(^ = 3х + 5у, I dt
dy	при
I-£ =-2s - 8».
к dt
2.8.30.
(dx _ Z/3 dt ~ х2 ’ ty _ ж3 dt у2
условии ж(0) = 2, у(0) =5.
= —2х - 4у + 1 + 4t,
*7	2.8.33.
ty = dt
=2x4-у -2z-t + 2, dt
dt
^ = x + y- z- t + l. dt
dt _ dx _ ty_ t2_x2_y2~ 2tx ~ 2ty'
+ ^2 + 2
' x1 = 3x + 4y + 22,
< y' = x 4- 4y + 2, k2z = 4x 4- ty 4- 52.
123
2.8.36.
t-dy = (tx + ty + 2x — t) dt, t-dx = (t — 2x) dt.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (1 + х2Уу" + 2ху' — 7т3.
2.	Решить задачу Коши:
у" • У3 = 4И - 0,25, »(0) = 4г У'(0) = ^.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" - Зу' + 2у = (4х + 9)е21.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + бу' + 13т/ = е~3х sin 2х.
5.	Найти решение задачи Коши:
у” + 4т/ = .4	у(^.\=2
у У sin2z’ у \4/	’ у \4/
6.	Решить систему дифференциальных уравнений х' = х + у + Зе*, у' = 2х — у + cos 2t.
Вариант 2
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения х^у" + х3 - у' = 10.
2.	Решить задачу Коши:
у"у3+4 = 0, г/(1) = 2, у"(1) = 2.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + Зу' + 2у = (1 - 2х)е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у” + 4j/' — 5т/ = 2z3e-21 sin Зя.
5.	Найти решение задачи Коши:
у"-3у' + 2у =	1	у(0) = 1 + 81п2, У' = 71п4.
3 + е х
6.	Решить систему дифференциальных уравнений
J х' = 2х + Зу — е*, у' = х — Зу — sin2Z.
124
вариант 3
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (х2 + 1) • у” + 2ху' = х(х2 + 1).
2.	решить задачу Коши:
у” =8 sin3?/cos?/, 3/(1) = ?, 3/'(1) = 1.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" — 2у’ — Зу = (8х + 4)е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" — Зу' — 9у = (2х + 1)е41 sin 5х.
5.	Найти решение задачи Коши:
Зх
у"-Ъу'=е _3д, 3/(0) =1п4, з/'(0) = 31п4 - 1.
3 + е
6.	Решить систему дифференциальных уравнений (х' = Зх — 2у + е~1, 1 у' = 5т + 6?/ — 3 sin t.
Вариант 4
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения х4у" + х3у' = 5.
2.	Решить задачу Коши:
у" = 50 sin3?/cos?/, г/(1) =	2/'(1) = 5.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 2у* — Зу = (т2 +2х — 3)ех.
4-	Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4?/' + 8у = (х + 2)е~2х cos3t.
°- Найти решение задачи Коши:
y" + 3y' + 2y = -^-s< у(0)=0, г/'(0)=0.
Л
 Найти общее решение линейной системы дифференциальных уравнений
(у' + 2х — Зу — Зе2* = 0,
1 х1 + х + 4у + cos t = 0.
125
Вариант 5
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения (1 + х2)у" + 2ху' = х3 + х.
2.	Решить задачу Коши:
у” = 16т/3, у(4) = 1, т/'(4) = 4.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - 4у' + 4у = (2а:2 - За: + 2)е2ж.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения у” — 2у' + 5т/ = (2х — 3)еж cos 2а:.
5.	Найти решение задачи Коши:
У"-У = ТТ^’ И0) = 31пЗ, у'(0) = 21n3- 1. X “j
6.	Найти общее решение системы дифференциальных уравнений х' + у' + 2а: — За/ - е* = О, 2х' — Зу' + х — 2у + cos t = 0.
к
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
□
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Определение и геометрический смысл двойного интеграла
Пусть D — некоторая замкнутая область в плоскости Оху, на которой определена непрерывная функция двух переменных z = f(x,y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Dt (г = 1,п), площади которых обозначим соответственно через Теперь в каждой области Dt выберем произвольную точку Мг(хг,уг) (рис. 9), после чего составим сумму
п
1=1
которая называется интегральной суммой для функции f(x, у) в области D.
Рис. 9
Обозначим через d наибольший из диаметров областей Dt. Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элементарные области» Di (и, как следствие, стремление п к оо).
Если существует конечный предел интегральных сумм ап при d —> 0, не висящий от разбиения на области D7 и выбора точек Мг, то этот предел ^Ывается двойным интегралом функции f(x, у) по области D и обозначается
JJ f(x,y)dS или УУ f(x,y)dxdy.
D	D
127
В этом случае говорят, что функция /(х, у) интегрируема на области D. При этом функция f(x, у) называется подынтегральной функцией, а область D — областью интегрирования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема.
Теорема 3.1. Если f(x,y) 0 и непрерывна в области D, то интеграл
Jf(x, у) dS D
выражает объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху — поверхностью z = f[x,y), а с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 10).
В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.
В частности, если f(x,y) = 1, то f(x,y)dS равен площади области D:
Свойства
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.
128
1. Линейность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D,
го
УУ (а • /(х, у)±/3- д(х, у)) dxdy = Q jj f(x, у) dxdy + Р ' ff d(x, у) dxdy
D	D	D
(а н /3 — постоянные числа).
В частности,
У"У af(x, у) dxdy = а	f(x, У) dxdy,
D
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.
2.	Монотонность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D и всюду в этой области f(x, у) д(х, у), то
УУ f(x,y) dxdy УУ д(х, у) dxdy.
Таким образом, неравенства можно почленно интегрировать.
В частности, если т /(х, у) М, V(x, у) G D , то
т - S уу У(х, у) dxdy М • S, D
где S = S(D) — площадь области D. Данные неравенства называются оценкой интеграла. Еще одно следствие: если /(х, у) 0 на области D, то
УУ /(*, У) dxdy 0.
3.	Теорема о среднем значении. «
Теорема 3.2. Если функция /(ж, у) непрерывна на области D, то существует точка Мо(хо,уо) Е D такая, что
ff f(x,y)dxdy = f(xo,yo)-S, или	J J f(x,y)dxdy = f(x0,y0).
При этом значение У(хо,уо), т.е. число
ff f(x'y^dxdy'
называется интегральным средним значением функции f(x, у) в области D.
4.	Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух властей Dx и D? без общих внутренних точек, то
УУ f(x> У) dxdy = f(x, у) dxdy + f(x, у) dxdy.
D	Z?2
Сборник задач по высшей математике, 2 курс	129
5.	Для любой функции f(x,y), непрерывной на области, D имеет место
неравенство
ff f^x^y^dxdy JJ \f(x,y)\dxdy. D	D
Вычисление двойного интеграла
Предположим, что область D можно задать в виде системы неравенств:
а х Ь, yi(x) <у< у2(х).
Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая х = х0 (а < жо < 6) пересекает границу области D только в двух точках Mi и М2 (рис. 11), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода. Тогда
Ь	У 2 (а:)
Ц f(x,y)dxdy = j dx J f(x,y)dy.
D	a j/i(sc)
Puc. 11	Puc. 12
Если же область D (рис. 12) можно задать в виде системы неравенств:
с у d, xi(y) С х аг2(у),
то
f (я, у) dxdy =
D
d х2(у) fdv f с Х1(у)
f(x,y)dx.
Интегралы, стоящие в правых частях приведенных равенств, называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядков интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f(x, у), называется внутри ним, другой — внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком
130
дифференциала, принимается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа на-дево). Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям (см. рис. 13). При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство аддитивности (свойство 4).
Рис. 13
Рис. 14
3.1.1.	Оценить интеграл
<*
JJ(х 4- у - 5) dxdy, D
где область интегрирования D — это круг х2 4- у2 16.
Q Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции /(®, у) = х + у — 5 на круге х2 + у2 16 и применить оценку из свойства 2. Функция z = х + у принимает значение 0 на прямой х + у = 0. На прямых 1 + у = С, параллельных прямой х 4- у = 0, функция z принимает значение С. Следовательно, функция z = х 4- у (а значит, и функция f(x,y)) принимает на круге максимальное значение в точке М (2\/2, 2а/2) (см. Рис. 14) и минимальное значение — в точке N(—2\/2, — 2\/2). При этом и^еем f(M) = 4\/2 —5 и f(N) = —4\/2 —5. Поскольку площадь круга равна тг/?2 = Ютг, то согласно свойству 2 двойного интеграла (т = —4\/2 — 5 и М = 4^/2 - 5), получаем
— 16тг(4х/2 4- 5) (х + у — 5) dxdy С 16тг(4\/2 — 5).	•
D
131
3.1.2.	Оценить интеграл
У(4ж2 + у2 - 2) dxdy, D
где область интегрирования D — круг ж2 + у2 16.
Q Так как 4ж2 + у2 — 2	0, то оценка снизу 4ж2 + у2 — 2	—2, \/(ж, у) Е
G К2 очевидна. Поэтому можно принять т = — 2 = /(0,0), где f(x,y) = = 4ж2 + у2 — 2. Чтобы вычислить М = max f(x, у), воспользуемся пара-(®,у)е£>
метрическими уравнениями окружности: х = 4cost, у = 4sint, t G [0,2тг]. Тогда при любом t
/(4 cos t, 4 sin t) = 64 cos21 + 16 sin21 — 2 =
= 16(sin2 t + cos2 t) + 48 cos2 t — 2 = 48 cos21 + 14 62,
т. к. cos2t 1. Вместе с этим f(x,y) принимает значение M = 62 при t = 0, т.е. М = /(4,0) = 62. Отсюда, учитывая, что площадь S круга ж2 + у2 16 равна 16тг, получаем оценку
—32тг уу (4ж2 + у2 — 2) dxdy 992тг.	•
D
Оценить интегралы:
3.1.3.	f/(x + dxdy, гДе D — круг х2 + у2 4. D
л л у* । 2т/	1	2
3.1.4.	/ / cos —------dxdy, где D — эллипс %- + у2 < 1.
Я ж2+Зу2 + 2 У	3 у
3.1.5.	ff (х + ху — х2 — у2) dxdy, где D — прямоугольник 0 х 1, D
0 0^2.
3.1.6.	уу (ж2 — у2) dxdy, где D — круг ж2 + у2 2ж.
D
7 х2
3.1.7.	Вычислить повторный интеграл I = J dx J dy. о о
Q Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.
7	/ 2Ч 7	„ _
/=/<&(/)= /х2&=^=^3.	•
J \ о / J	ооо
о	о
3.1.8.
3 Зх
Вычислить повторный интеграл I = J dx J ^dy. 1 х
132
Q Множитель (он не зависит от у, поэтому может считаться постоянным для внутреннего интеграла) можно вынести за знак интеграла, т. е. перенести во внешний интеграл:
зз® з/2„х з	з
т f dx [ „1, f dx (У	1 Г dx й_2 л [ л хг
/ = J	~Х J	ydy = J	"Г (у х )	= 2,J	~х'8х =4J	xdx = 4'-2 i= 16-
1	X	1	'	'	1	1
Вычислить повторные интегралы:
3.1.9.
3.1.11.
3.1.13.
3.1.10.
3.1.12.
1 о
ех dx.
4	2
з 1
(х + 2у) dx.
3.1.14. Вычислить двойной интеграл I = [[ —-—- dxdy, где D — пря-JJ 1 + у2
D у
моугольник	O^y^l.
Q Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирова-
ния известны, поэтому
о>агсЧо=з •?=!*•
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга определенных интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.	*
3.1.15. Вычислить двойной интеграл I = [[ у dxdy  где & —
У (1 + z2 + y2)3/2
квадрат O^x^l, O^y^l.
Ф Данный двойной интеграл можно представить в виде повторного дву-Ыя способами:
или
Узуальное наблюдение показывает, что проще брать первый интеграл, Так как его внутренний интеграл легко сводится к табличному. Таким
133
образом, считаем первый интеграл:
1
2 о
Вычислить двойной интеграл по данной области D:
3.1.16. уxydxdy, где D: 0 х
2.
dxdy
d '
3.1.18.
У х +У
3.1.19.
// (X + 2J/)2’
х 2, х
х 3, 2
жуЗ.
2 ’
х
г с х dxdv
3.1.20.	Вычислить интеграл 1=1 —7-—где область D — парабо-JJ х2 + и2
лический сегмент, ограниченный параболой у = ±х2 и прямой У = х.
Q Изобразим область интегрирования D (рис. 15). Так как прямая у — х и парабола у = ^х2 пересекаются в точках 0(0,0) и А(2,2), то область (О х 2,
D определяется системой неравенств < _2
I t“2
х.
Рис. 15
134
Теперь вычислим искомый интеграл I:
dx был найден интегрированием по частям).
(интеграл J arctg|
Вычислить интегралы:
3.1.21.	/ / (4 — х2 — у2) dxdy, где область D ограничена линиями х = О,
3.1.22.
2
у = 0, х = 1, у = 1,5.
УУ (3 — х — у) dxdy, где D — круг х2 4- у2 D
3.1.23.	уу ху dxdy, где D — круг (х - I)2 4- (у -D
3.1.24.	уу у/х2 4- у2 dxdy, где D — круг ж2 4- у2 — 2ах 0.
D
3.1.25.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2	3—\/12+4х—х2
Q Учитывая пределы интегрирования, представим область D в виде системы неравенств
J — 2 х 6,
[3 - У12 + 4т - ж2 0^3 + -У12 4-4ж — ж2.
Графики функций yi = 3 — /12 4- 4ж — ж2 и у2 = 3 4- /12 4- 4т — ж2 представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю полуокружности окружности (у — З)2 = 12 4- 4т — ж2, или (ж — 2)2 4- (у — З)2 = 16. Таким образом, область интегрирования D — круг радиуса 4 с центром н точке (2,3) (рис. 16). Зададим этот круг другой системой неравенств.
спроектировать его на ось Оу, то получим отрезок [—1,7], откуда ^еем первое неравенство — 1 у С 7. Выразив далее х из уравнения °1сРУЖности, получим соответственно уравнения левой и правой полу-°^Ружностей Ж1 = 2 — -(/16 — {у — З)2 и х2 = 2 4- ^/16 — (?/ — З)2. Теперь
135
область D можно записать так:
f -1 К?,
*2 - ^/16 -(у- З)2 0^2 + у/16 - (у - З)2.
Таким образом, после замены порядка интегрирования исходный повторный интеграл можно записать в виде
Рис. 16
Рис. 17
у/2	у2/2
3.1.26.	Изменить порядок интегрирования J dy J f(x,y)dx.
-V2	у2—1
Q При разборе этого примера используем другой подход. Область интегрирования D задается системой неравенств
Геометрически это означает следующее: каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки отрезка [-\/2, -\/2] оси Оу, пересекает сначала (при движении слева направо) параболу х = у2 — 1 (назовем ее линией У2
входа в D), а затем параболу х = — (назовем ее линией выхода из D) см. рис. 17.
При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать область интегрирования D на другую ось (ось Ох) и обнаружить линии входа и выхода при движении снизу вверх вдоль вертикальных прямых-
136
У2
Параболы х = -их = у2- 1 пересекаются в точках В(1,— у/2) и Л
у2 (7(1, а/2) (действительно, приравнивая уравнения парабол, имеем -у =
у2 — 1 о у2 = 2 <=> у = ±\/2). Таким образом, проекция области D на ось Ох — отрезок [—1,1]. Из рисунка видно, что на участке х 6 [—1,0] точки входа и выхода расположены на ветвях одной параболы, а на участке х 6 [0,1] — на ветвях разных парабол. Сначала определим ветви /-	9 . у2
этих парабол, решая относительно у уравнения х = у* — 1 и я = — на соответствующих участках. Получаем: у = ±у/х + 1 и у = ±>/2х, х 0. Первое равенство соответствует дугам АС (знак «плюс») и АВ (знак «минус»), второе — дугам ОС и О В (рис. 17). Тем самым, область D разбивается на три отдельные области D\, Z?2 и D3, т. е. D = D1UD2UP3, где
ж 0,
0 x
0 х 1, V2x ^у \/х +
Исходный интеграл напишем в виде двойного 72	у2/2
-72	У2-1	D
и применяя свойство аддитивности двойного интеграла, запишем ответ
о
!
-1
1
D
2x
1
0
0 у/2х
Изменить порядок интегрирования:
3	3—у	1	2—у
3*1*27.	f dy J f(x,y)dx. 3.1.28. J dy J f(x,y)dx.
0	0	О у
0	3	3	3
3,1-	29. f dx f J(z,2/)dy + f dx f f(x^y)dy-—3	— x	0 x
О у/^—У2	^/2/2	\/l—y2
3-1.30. J dy J f(x,y)dx+ I dy у f(x, y) dx.
72/2 -у	О у
137
3.1.31.	Вычислить интегральное среднее значение функции z = 12 — — 2х — Зу в области О, ограниченной прямыми 12 — 2х — Зу = О, х = 0, у = 0.
Q Область D — треугольник О АВ, где 0(0,0), /1(6,0), В(0,4) — рис. 18.
Рис. 18
По определению интегральное среднее значение функции z(x,y) в области D равно z(x,y)dxdy, где S — площадь области D (свойство 3).	d
Площадь S вычисляем по формуле площади прямоугольного треугольника: S = н|ОА|  |ОВ| = 12. Остается вычислить интеграл по обла-2	2
сти D, которую можно задать неравенствами	— %х.
Имеем
= /1(12 - 2xfdx = -1(12 2Х}3 '= 48.
Уб	63-2 о
о
48
Таким образом, искомое интегральное среднее равно т. е. 4.
X
Вычислить интегральные средние значения данных функций в указанных областях:
3.1.32.	f(x,y) = 2х + у, D — треугольник О АВ с вершинами 0(0,0), /1(0,3), В(3,0).
3.1.33.	f(x,y) = х + бу, D — треугольник, ограниченный прямым11 у = х, у = Зх, х = 1.
138
3.1.34. f(x,y) = у/R2 - x2 - у2, D — круг x2 + у2 R2.
3.1-35. f(x,y) = x2y2, D — круг x2 + y2 ^R2
Дополнительные задания
Оценить интегралы:
3.1-36.
3.1-37.
3.1.38.
3.1.39.
Г Г . х + у+ 10
/ / sin —---------- dxdy.
J J	x2 + у2 + 5
x2+y2^4
УУ* xy(x + у) dxdy.
О^х^З
О^у^З
Уу* (ж2 + у2 - 2у/х2 + у2) dxdy.
О^.х^.2
0^у^2
У"у	(х2 + у2 — 4х — 4у + 10) dxdy.
(х-1)2+4(у-2)2^4
Определить знак данных интегралов:
3.1.40.
3.1.42.
Уу 1п(х2 + у2) dxdy. 3.1.41.
I®l+|y|^i
У"У	arcsin(z + у) dxdy.
O^x^l
У*у \/1 — х2 — у2 dxdy. х2+у2^4
Двойной
интеграл
УУ f(x,y)dxdy D
по заданной области представить в
виде повторного двумя способами. Сделать чертеж, области интегри-
рования:
3.1.43.	D ограничена линиями у = 0, х = 5, у = х.
3.1.44.	D — треугольник с вершинами в точках А(—1,— 1), В(1,3), С(2,-4).
3.1.45.	D — параллелограмм ABCD с вершинами А(—3,1), В(2,1), (7(6,4), £>(1,4).
^•1.46.	D — круг (х — 2)2 + (у — З)2	4.
3-1.47.	D ограничена линиями у = х2, х = у2.
3.1.48.	D ограничена линиями у = х3, х + у =	10, х — у = 4, у = 0.
Изменить порядок интегрирования:
3-1.49.
2	у/2х-х$
3.1.50. у dx f fdy.
1	2-х
139
	i	x2	e	In X
3.1.51.	/	1 fdy.	3.1.52. 1 dx	1 fdy.
	0	X3	1	0
	i	1-x2	27Г	sin x
3.1.53.	j	1 fdy.	3.1.54. fdx	1 fdy.
	-i	— y/l—x^	0	0
	4	12x	2a	\/4as
3.1.55.	fdx	f fdy.	3.1.56. ^x	f fdy.
-	0	3i2	0	y/2ax—x2
	1	3s	i	1-У
3.1.57.	/ dX	ffdy.	3.1.58. 1 dy	1 fdx.
	0	2x	0	—y/i—y2
	a	>/a^—x^	i	У2/2
3.1.59.	1 dx	J fdy.	3.1.60. 1 dy	1 fdx.
	0	„2	_2 a — x 2a	0	у/З-у2
	a	\/2ax—x2		
3.1.61.	1 da	'	1 fdy.		
	a/2	0		
Вычислить двойные интегралы:
3.1.62.	Ц х sin(x 4- у) dxdy, если Р:0^х^7г, 0^?/^ D
3.1.63.	ух2у cos(xy2) dxdy, если
D
3.1.64.	у(х3+у3) dxdy, где D ограничена линиями х—2у = 0, х—у = 0, D х = 4.
3.1.65.	[f------У-? dxdy, где D ограничена линиями х = 0, у = 0, х = 1,
(х + уГ
У = 1-
ЗЛ.бб. // у2 sin х dxdy, где D ограничена линиями х = 0, у = 0, х = тг, D у = 1 + cos ж.
3.1.67.	Ц у2 sin2 х dxdy, где D ограничена линиями х = — у = 0, D
X =7), У = 3 cos х.
3.1.68.	II (x + y3)dS.
l^x^.2 0«^2
3.1.69.	I I ^2 dxdy, где & ограничена линиями x = 2, у = x, у =
d y
140
3.1*70. yy xydxdy, где D — треугольник АВС с вершинами; А(0,0),
В(1,0),С(0,1).
3.1.71.	уу у dxdy, где D ограничена линиями у = 0, у = \/х, у 4- ж = 2. D
Цайти интегральное среднее значение данной функции f(x,y) в указанной области D:
3.1.72.	/(ж, у) = ех+у; D — квадрат 0^ж^1, О^т/^1.
3.1.73.	/(ж, у) = sin2 ж • sin2 у; D — квадрат О^ж^тг, О^у^тг.
3.1.74.	f(x,y) = ж2 4- 2у2 4- ху; область D ограничена линиями ж = 0, у = 0, ж 4- у = 1.
3.1.75.	/(ж, у) = сов(ж4-?/); область D ограничена линиями ж = 0, у = тг,
У = х.
Контрольные вопросы и более сложные задания
3.1.76.	Привести примеры функции f(x,y), для которой формула из теоремы о среднем значении верна для любой точки Mq из области D.
3.1.77.	Почему в определении двойного интеграла условие d —> 0 нельзя заменить условием п -> оо?
3.1.78.	Как можно с помощью двойного интеграла выразить объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), а снизу — поверхностью z = g(x,y), заданных на одной и той же области D? [Функции /(ж, у) и р(ж, у) непрерывны и /(ж, у) д(х, у) Ч(х,у) е D],
Изменить порядок интегрирования:
3.1.79.
3.1.80.
3*1.81.
3*1.82.
1 —®2—3
/ fdy.
о
cos у
У fdx.
-1
141
Представить в виде повторных двойной интеграл
f [	у) dxdy
D
если область D ограничена линиями:
3.1.83.
3.1.84.
3.1.85.
3.1.86.
у = -X2 + Зх, у = |ж.
у = 1 4- sin х, у = — 1, х = 0, х = 2тг.
х2 4- у2 = 2а2, х2 — ау (а> О).
х2 4- у2 = ах, х2 4- у2 = 2ах, у = О (а > О).
Вычислить интегралы:
3.1.87.	уу(ж 4- у) dxdy, D ограничена линиями х = 0, у = х2 4- 2х — 3, D 2у = Зх.
ЗЛ.^. JJ ху dxdy.
3.1.89.	(2х2у — ху2) dxdy.
O^x^l
3.1.90.
у^о Г Г У& Jj—$ dxdy, D ограничена линиями у — ±х, у = у/х, х = 1.
3.1.91.	{[ --
ч/а2 — ж2 — j/2
3.1.92.	(х2 4- у) dxdy, D ограничена линиями х — 2у = 0, 2х — у = О,
D ху = 2.
Оценить интегралы:
3.1.93.	JJ (х2 4- 4т/2 4-10) dxdy.
®2+у2^9
3.1.94.	уу (ж2 4- у2) dxdy. 3.1.95. 3|х|+4|у|^12
3.1.96.	уу (1 — х2 — у2) dxdy. (l-l)2 + (y-l)2^l
УУ (ж + У 4- ху) dxdy.
l^i^2
2^у^3
Почему данные двойные интегралы зависят от порядка интегрирования?
3.1.97.
Г Г f х5 2ж3\	,
JJ t’F?	у'
142
3.1.98.	f f X2 У 2 dxdy.
J J (хг+угУ
O^z^lk У 1
O^y^l
3.1.99.	Оценить сверху интеграл I = J J (x + xy — x2 — y2) dxdy.
§2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Рассмотрим двойной интеграл
fff(x, y) dxdy D
в прямоугольных координатах (х, у). Предположим, что переменные хну являются функциями двух переменных и и и, т. е. х = х(и, п), у = у(и, и), и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по и и v в некоторой замкнутой области G плоскости Оии. Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.
Тогда имеет место равенство
УУ f(x,y)dxdy = yy/[x(u,v),?/(u, v)] • | J(u, v)| dudv, где D	G
	дх	дх	
J = J(u, и) =	ди	ди		—
	ду	ду	
	ди	ди	
называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически | J(u, v)| dudv выражает элемент площади в области G, а |J(u, v)| — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.
Координаты (и, v) называются криволинейными координатами точки (ж>2/), поскольку уравнения x(u, v) = const и у(и,и) = const представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл
УУ f[x(u,u),y(u, и)] • \J(u,u)\dudu G
вызывается двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (г, 9?). Они связаны с прямоугольными ко-
143
ординатами формулами х = г cos 9?, у = г sin 9? (г 0, 0	9? < 2тг). Якобиан
преобразования в этом случае равен
J(r,9?) =
cos 9? sin <р
—г sin 9? г cos 9?
a dxdy = г drdip — элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам
Jff(xt у) dxdy = f(r cos 9?, г sin 9?) г drdip. D	G
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.
3.2.1. Вычислить двойной интеграл
JJ(2ж + у) dxdy ’	D
по области Р, ограниченной прямыми у = 2х — 3, у = 2х + 5, у = —х + 7, у = — х - 1.
Q Область D — параллелограмм АВС К (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде у — 2х = —3, у — 2х = 5, у+х=7иу+х=— 1, перейдем к новым координатам, для чего обозначим
и = у — 2т,
V = у -I- X,
откуда
, v 3^3’ и . 2у 3^3'
Имеем
	дх	дх		1	1	
	ди	dv		3	3	_ 1
	ду	ду		1	2	з:
	ди	dv		3	3	
т.е. |J| =
3'
В новой системе координат (u, v) область G ограничена
прямыми и = —3, и = 5, v = — 1, v = 7, т. е. представляет собой прямо
угольник (рис. 196), а подынтегральная функция равна
Л I	Г) f	\
2ж + у — 2 д’ Н- )
и . 4
3 + 3
144
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник А\В\С\К\, вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник AiB\C\K\ в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J < 0. Переходим к BbinncneHHHMf
JJ (2х+у) dxdy = JJ	| dudv =
ABCK
-3
Л1В1С1К1
* = | Д(-7и + 98)-(и + 2)]^ =
-3
3.2.2. Вычислить
J J xydxdy, D
где D — область, ограниченная кривыми у2 = 4х, у2 = 9ж, ху = 1, ху = 5.
Q Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.
Введем новые переменные и и v при помощи равенств у2 = их, ху = v. Выразим отсюда переменные х и у через и и v: х = V у = 1/йй.
V CL	▼
145
У
Находим якобиан полученного преобразования
у2 откуда, с учетом того, что х > 0 на области D, а значит, и = — > О,
имеем |J(u, v)| =
Таким образом, исходный интеграл в плоскости Оии имеет вид
G	G
Граница области G описывается линиями и = 4 (так как одна из формул преобразования имеет вид у2 = их, то линии у2 = 4х в плоскости Оху соответствует линия и = 4 в плоскости Оии), и = 9, и = 1, и = Ъ (рис. 20 6).
Поэтому область G имеет вид 4 и 9, 1 и 5 (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется
намного проще:
9	5
1 = 5 //%dudv = з J fvdv IlnuL'Tli= 81п 2' G	4	1
двойные интегра-
3.2.3.
Выбирая подходящие замены переменных, вычислить лы, заданные в прямоугольных координатах:
JJ(у~~х) dxdy, где D ограничена линиями у = — ^#+5, у = т+1,
3.2.4.
7/ = Я-3,2/
JJ dxdy, где D — параллелограмм со сторонами на прямых D
у — х, у = х + 3, у = -2х + l,j/ = —2х + 5.
146
3.2.5-
3.2-6-
3.2-7.
у/xydxdy, где D ограничена кривыми у2 = ах, у2 = Ьх, D
ху = р, ху = q (0 < а < Ь, 0 < р < q).
JJ(х + у) dxdy, где D ограничена прямыми х + у = 4, х + у = 12 D
и параболой у2 = 2х.
Вычислить интеграл
I =	у/4а2 — х2 — у2 dxdy,
где D — круг x2 + у2 2ax.
Q Строим круг x2+y2. 2ax радиуса а с центром в точке (a, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной у (т.е. f(x,—y) = = У (^7 3/)) > а область интегрирования симметрична относительно оси Ох. Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить:
JJу/4a2 — x2 — у2 dxdy.
D/2
Рис. 21
Переходим к полярным координатам х = rcostp, у = rsincp. Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств О С тр г 2a cos 9?, подынтегральная функция примет вид \/4а2 — г2; a dxdy = г drd<p. Таким образом,
2а cos
0
— г2 • г dr =
7г/2 2a cost/?
0	0
147
7Г/2
3	з 
cos2 ср) 2 — (4а2) 2 dp =
О
л-/2	3
= — | f [(4а2 sin2 р) 2 - 8а3] dip = | О J	о
о
7Г (2
J(8а3 — 8а3 sin3 р) dp = о

тг/2
у\1 — cos2 р) d(cosp) о
— 16 з /тг _
“ за U ЗГ
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
3.2.8.	у/х2 4- у2 dxdy. 3.2.9. jj у/1 — х2 — у2 dxdy.
х2+у2^а2	х2+у2^1
3.2.10.	// sin \/х2 + у2 dxdy.
п2^х2+у2^4п2
a Va?—x2
3.2.11.	Вычислить повторный интеграл I = J dx j ех2+у2 dy. о о
О Сначала преобразуем повторный интеграл в двойной:
I = [[ ех2+у2 dxdy, где Р: Р Х	а'------_
Л/	[0 у	va2 -х2.
Рис. 22
Область интегрирования представляет собой четверть круга (рис. 22 а), поэтому удобно перейти к полярным координатам (г, р). Полярную систему координат изобразим также в виде прямоугольной (рис. 22 б). Тогда область G в системе координат Огр определяется системой неравенств
[О г а, т. е. G — прямоугольник. Учтем также, что подынтегральная функция имеет вид er2(cos <p+sin2 <р) _ ег2 Следовательно,
er г dr =
148 .
^числить интегралы, переходя к полярным координатам:
3.2.12.
3.2.13.
3.2.14.
3.2.15.
3.2.16.
а у/а2-у2
j dy J у/a2 — у2 — х2 dx.
О /-------2
уау-у2
\/х2 + у2 — 9dxdy, D — кольцо, ограниченное окружностя-D
ми х2 + у2 = 9 и х2 + у2 = 25.
a у/аЗ-у2
У dy у у/а2 — х2 — у2 dx.
о о
УУ*(ж2 4- у2) dxdy, где область D ограничена окружностями D
х2 +у2 = ах, х2 + у2 = 2ах и осью Ох (у 0).
Вычислить

УУ х у/х2 +у2 dxdy, D
где D — область, ограниченная лемнискатой
(х2 + у2)2 = а2(х2 — у2), х^О.
Рис. 23
Q Заменяя х на rcosp, а у г simp, получим на уравнение лемнискаты (рис. 23) в полярных координатах г = ay/cos2p (cos2tp 0 при ~4	Подынтегральная функция равна r2costp. В силу сим-
метрии лемнискаты относительно оси Ох и четности подынтегральной Функции относительно переменной у можно записать:
7Г	_______ 7Г
4	a-v/cos 2</>	4
УУ г2 cosp-r drdp = 2 у cos pdp J г3 dr = ±a4 J cos2 2tp-cos pdp = p	ooo
2
7Г	7Г
4 4	4 4
у f (1 — 2 sin2 ip)2 d(sin p) = I (1 — 4 sin2 p 4- 4 sin4 ip) d(sin ip) = ь J	J
0	0
149
Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам:
3.2.17.	JJ у/а2 — х2 — у2 dxdy, сдё D — полукруг х2 4- у2
а \/в2—ж2
3.2.18.	f dx f \
о о
3.2.19.	JJ у/о? — х2 — у2 dxdy, где D ограничена лемнискатой
2 ~у\ х^о.
3.2.20.	[f \/1 — ~ dxdy, где D — внутренность эллипса
JJ V а2 Ь2
ж2
а2 Ь2
В следующих двойных интегралах расставить пределы интегрирования, применяя прямоугольные и полярные системы координат:
3.2.21.	f(x,y) dxdy, где D ограничена окружностями х2 4- у2 =• 4х, D
х2 4- у2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х.
3.2.22.	JJ f(x, у) dxdy, где D ограничена прямыми ?/ = О, х = 1, у = х.
Дополнительные задания
Вычислить двойные интегралы:
3.2.23.
3.2.24.
3.2.25.
3.2.26.
JJ(х2 4- у2) dxdy, где D ограничена кривыми у = х, х 4- у = 2а, D х = 0.
JJ \/ху — у2 dxdy, где D — трапеция с вершинами >1(1,1),
В(5,1), С(10,2),/<(2,2).
JJ ху dxdy, где D ограничена кривыми х 4- у = 2, х2 4- у2 = 2у D (х > 0).
JJ(х 4- 2у) dxdy, где D ограничена кривыми у = х2, у = у/х. D
150
Данные интегралы вычислить, переходя к полярным координатам:
3.2.27.
3.2.28.
3.2.29.
3.2.30.
3.2.31.
3.2.32.
3.2.33.
3.2.34.
JJ i/9 — я2 — у2 dxdy, где D ограничена кривыми у = х, у = D
= х/Зх, х2 + у2 = 9.
JJ(х2 +у2) dxdy, где D ограничена окружностью х2 +у2 = 2Rx. D
JJ dxdy, где D ограничена линией (х2 + у2)2 = 2ах3. D
JJ у/R2 — х2 — у2 dxdy, где D — круг х2 + у2 Rx. D
JJ у dxdy, где D — полукруг (х — а)2 + у2 а2, у 0.
D
JJ(x2 + У2) dxdy, где D — круг х2 + (у + 2)2 С 4. D
JJ arctg dxdy, где D — четверть круга х2 + у2 С 1, х О, D
у 0.
JJ dxdy, где D ограничена лемнискатой (х2 + у2)2 = 2а2ху.
Контрольные вопросы и более сложные задания
3.2.35.	Что выражает знак якобиана преобразования координат?
3.2.36.	Почему при преобразовании координат в двойном интеграле необходима взаимная однозначность этого преобразования?
3.2.37.	Почему функции х = x(u,v), у = y(u,v) используемые при замене переменных в двойном интеграле должны быть дифференцируемыми (при (и, v) G (7)?
3.2.38.	Можно ли выполнить такое преобразование, чтобы соответствующим интегралом вычислить длину кривой?
3.2.39.	При составлении повторного интеграла получилась запись
х За:2
J dx J f(x,y)dy. а	2х—у
Какой области D может соответствовать этот интеграл?
В данных двойных интегралах перейти к полярным координатам и рас-ставитй пределы интегрирования:
3.2.40.	JJ f(x,y) dxdy, D — круг х2 + у2 ах. D
151
3.2.41.	JJ f(x, у) dxdy, область D — общая часть кругов х2 4- у2 ах, D
3.2.42.	JJ f(x,y) dxdy, область D ограничена прямыми у = —х, у = х,
В данных интегралах произвести указанную замену переменных и расставить пределы интегрирования:
3.2.43.
3.2.44.
3.2.45.
3.2.46.
О, а > 0), если и = х, v =
У
х ’
J dx j f(x, у) dy, если и = х + у, v = x — у. о о
JJ f(x, у) dxdy, где D — область, ограниченная кривой
/	1	\ 2
(я2 +	= х2у,
если х = г cos у>, у = \/3r sin t/>.
J J j(x, у) dxdy, где D ограничена параболами у = ах2, у = Ьу2 D
и гиперболами ху — р, ху = q, если у = их2, ху = v (0 < а < Ь,
3.2.47.	Преобразовать с помощью подстановок х = ar cos у?, у = br sin у?
интеграл
J J \ a2 b J D
где D — лежащая в первой четверти часть эллиптического
кольца
а2 Ь2
^4.
Перейти к полярным координатам (г, у>) и расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в данных интегралах:
1 1 1
3.2.48.	J dx J f(x,y)dy.	3.2.49. J dx J f(x,y)dy.
oo	о	1—x
2	ху/З
3.2.50. J dx J f(\/x2 +£/2) dy. 0	x
152
2.51 • В двойном интеграле
Ц f(x,y)dxdy, D
где область D ограничена кривыми \/х+у/у — \/а, х = 0, у = О, сделать замену переменных х = u cos4 v, у = и sin4 v. Интеграл
3.2.52.
3.2.53.
привести к повторному.
Вычислить	/
х2 3	У2	х	У
где D ограничена кривой — + — = - + -. а	У	ti к
Вычислить	г г
II dxdy,
3.2.54.
где D ограничена кривыми Вычислить
Vt+4yi=1>i=0>»=°-

sin ({р + у ) - г
dr d<p,
где D — прямоугольник 0^г^1,0^<р^2тг.
§3. ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д.
Вычисление геометрических величин
1. Если D — ограниченная область плоскости Оху, то ее площадь S вы-
числяется по формуле
S = S(D) = II dxdy.
2. Пусть z = f(x, у) — неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области D. Если V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу — областью D, а сбоку — соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен
= If f(x’ У) dxdy.
3. Пусть V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу — Поверхностью z = д(х,у), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость
153
Оху служит область О, в которой функции f(x,y) и д(х,у} непрерывны (и f(x, у) д(х) y))t то объем этого тела равен
V = УУ(f(x> У) ~ д(я, У)) dxdy.
D
4. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y\ (х,р) € D, где функция f(x,y), а также ее мастные производные первого порядка, непрерывны в области D. Тогда ее площадь S вычисляется по формуле
•S’ = УД/1 4- Л2(ж, у)+ fy2 (х\ у) dxdy.
D
Приняты также обозначения: f'x(x,у) — р, f'v(x,y) = q. В таком случае,
S —	+ р2 + q2 dxdy.
D
Вычисление физических и механических величин
Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность распределения масс р(х,у) непрерывную в D. Тогда масса m = m(D) этой пластины вычисляется по формуле
m
(физический смысл двойного интеграла).
Моменты инерции Jx, Jy и Jo плоской материальной пластины D с поверхностной плотностью р(х,у) относительно координатных осей Ох, Оу и начала координат 0(0,0) соответственно вычисляются по формулам:
Jx = JJy2p(x, у) dxdy, Jv = jjx2p(x, у) dxdy-D	D
Jo = Jx + Jy = yyU2 + y2)p(x, у) dxdy. D
В случае однородной пластины (р = 1) эти формулы принимают более простой вид:
Jx = dxdy,
у = JJx2dxdy, Jo = //(х2 + у2) dxdy. D	D
Координаты центра тяжести материальной пластйны D с плотностью р(х,у) вычисляются по формулам
_ Mv _ Мх
Хс тп у Vе m 1
154
где
= J J xp(x, у) dxdy, Mx = J J yp(x, y) dxdy — D	D
статические моменты пластины D относительно осей Ох и Оу соответственно, jji — ее масса.
В случае однородной пластины соответственно имеем:
УУу dxdy
_ D_______
JIdxdy ’ Ус JJdxdy D	D
х dxdy
D Хс —
3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2х и
Q Имеем S = JJ dxdy. Направление
, или порядок, интегрирования вы-
берем так, как указано на чертеже (рис. 24).
Рис. 24
У = х.
D
Сначала определим координаты точки А:
I у2 — 2х
<	=> х2 = 2х => Xi = 0, yi = 0 и Х2 = 2, у2 = 2.
Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,
3.3.2.	Вычислить площадь параболического сегмента АОВ, ограниченного дугой ВО А параболы у = ах2 и отрезком В А, соединяющим точки В(—1,2) и А(1,2).
155
Q Ясно, что уравнение параболы имеет вид у = 2х2 (?/(—1) = у(1) = 2). Фигура D, площадь которой надо вычислить, ограничена снизу параболой у = 2х2, а сверху — прямой у = 2. Следовательно,
121	/ з
S = УУ dxdy = J dx у dy = 2у(2 — 2х2) dx = 4(ж —
D	-1	2х2	о	'
8 о- 3'
3.3.3.	Вычислить площадь петли кривой
(х^_ , У^_\2 = 2ху
\а2 b2J с2'
Q Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кривой и расположенную в первой четверти (х 0, у 0). Воспользуемся обобщенными полярными координатами: х = а • г cos у = b  г sin <р. В таком случае, якобиан преобразования равен дх дх dr др
_ a cos tp —ar sin р ~ bsinp br cosp
= а • b • г.
dr dp
Кривая в полярных координатах имеет вид
, 9	2	9 . о	2abr2 sin рcos р
(г2 cos2 р +г2 sin2 р)2 =----,
с2
9 9 abr2 • 2 sin р cos р	y/ab г. п о
т.е. (rz) = -------z------, откуда г = —7—vsin2<^. Внутренность пе-
с2
тли, т.е. область интегрирования D в прямоугольных координатах, за-
дается неравенством
(е2 < 2хУ \а2	Ъ2) " с2 ‘
В полярных координатах соответствующая область интегрирования G
определяется неравенством 0 г л/sin2р, при этом sin2<z> 0, т.е. Cz
0 р . Таким образом,
S = уу dxdy = уу abr drdp =
D	G
я	г~-—к—
2	-J-VSinZy
7Г
r2 -^Vsin2^ 2 о
о
О
0 7T	7Г
2	2
_ ab f ab •	_ a?b2 f
-y J ^sin2^=—J о	о
156
Р^чшлитпъ площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.4-
3.3.5-
3.3.6-
3.3.7-
3.3.8-
3.3.9.
з.з.ю.
3.3.11.
3.3.12-
х = 0, у = |ж, у = 4 - (х - I)2.
ху = 4, х 4- у — 5 = 0.
\/х + \/У = ж 4- ?/ = а.
ж2 + у2 = ах, у2 = 2ах, х = 2а, у 0.
у2 = Юж 4- 25, у2 = —6ж 4- 9.
ж2 4- у2 = 2ж, ж2 4- у2 = 4ж, у = х, у = 0.
(х2 4- у2) = 2аж3, а > 0.
ж2 4- у2 4- 2у = 0, у = -1, у = -х.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
(4ж — 7g/ 4- 8)2 4- (Зж 4- 8g/ — 9)2 = 64.
Q Вычисления по формуле
неприемлемы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замен/ переменных по формулам
4ж — 7у 4- 8 = и
Зж 4- 8у - 9 = v,
откуда
ж = ^(8и 4- 7и 4-1)
Оо
у = -=^(-Зи 4- 4v 4- 60).
53
При этом = А = 7	=
ди 53 dv 53 ди
3 ^У = _4.
53’ dv 53’
В плоскости координат (и, v) соответствующая линия имеет вид и2 4- v2 — = 64, г. е представляет собой окружность, а область G — круг u24-v2	64
с площадью S(G) = 64тг. Используя соответствующие формулы, получаем
S = // dxdy = JJ Jdudv = JJ± dudv = ±S(G) = ^.	•
D	G	G
^лчи(лить площади фигур, ограниченных кривыми:
3 3 It (ж4-?/-1)2	(ж-?/4-3)2
3.3.	U. ------z-----4-------g-----= 1.
з з (2х 4- Зу - 5)2 (Зж - 2у 4-1)2
16	25
0*’5.1й. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1 4- cos<p), г = acos<p, (a > 0).
157
Рис. 25
Q Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах
5 = Цг drdp.
G
Первая функция г = а(1 4- cos^) определена при р 6 [—тг,тг], а вто-Г 7Г 7Г
рая г = acosp — при р € —	, так как при прочих значениях р
получается г < 0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис. 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить. Имеем
7Г 7Г
7Г
2
a(14-cosv>)	я
[ г dr + 2 I 7Г 2
a cos <р
7Г 2
= а2 / о
7Г
7Г
2
7Г
" 2
I (1 4- 2 cos
-О
7Г
7Г
7Г
= о2
7Г
2
7Г
2
7Г
dp
О 2 = -ттга .
4
о
о
= а
2
LO
7Г
2
3.3.16.
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
4 + 9 /	4	9 '
3.3.17.	(y-x)2+xz = 1.
3.3.18.	х3 + 2/3 = 2ху, х 0, у 0.
158
„ ч 19. x2 + у2 = 2ах, х2 + у2 = 2Ъх, у = 0, у = х, О < а <Ь.
А 4. У2 - 1
3.3.20.	? +
3.3.21.	ху = а2, ху = Ь2, у = т, у = п (а > Ь; т > п).
3	3-22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у = у/х, у = 2>/х, х + z = 4, z = 0.
Q Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье,т.е. х -h z = 4 — уравнение наклонной плоскости, а уравнение z = О — плоскость Оху. Соответствующее тело изображено на рис. 26; сверху его ограничивает поверхность z = 4 — х.
Рис. 26
Рис. 27
Объем тела вычислим по формуле
УУ (4 - х) dxdy, D
где область D изображена на рис. 27. Имеем
3.3.23.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0, z = 2 -у,у = х2.
Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 28. В си-симметрии тела (клина) относительно плоскости Oyz, вычислим объем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовлетворяют системе уравнений у = х2 а у = 2, откуда А(\/2,2), В(—^/2,2).
159
Рис. 28
Следовател ьно,
2	5
V = уу (2 - у) dxdy = 2 J (2 - у) dy j D	ОО
у 2
dx = 2 J (2 - y)y/yt о
(9 3	9 5
2
Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:
3.3.24.
3.3.25.
3.3.26.
3.3.27.
3.3.28.
3.3.29.
3.3.30.
3.3.31.
z =	0, z =	3 — х2 — у2.
х =	0, у =	0, z = 0, у = 4, z + х2 + у2	=	1.
1 =	о;У =	о,2 = о,| + | + ^ = 1.
х =	0, у =	0, z = 0, х — у2 + z2, у +	z	=	1.
az — у2, х2 +у2 = г2, z = 0.
z = х2 + у2, у = х2, у = 1, z = 0.
х + у + z = а, Зх + у = а, За; + 2у = 2а, у = 0, z = 0.
т2	г2	h
+ j = 11 У = ах’ У = °> 2 = °-
а2	ст	а
Вычислить площадь поверхности сферы х2 + у2 + z2 — В?.
3.3.32.
О Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэтому ограничимся вычислением площади поверхности той ее части, что расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем по-верхность верхней полусферы явно, т.е. в виде z = \JR2 — х2 — у2, и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:	1
160
Переходя к полярным координатам х = г cos р, у = г sin 9?, найдем иско-муЮ площадь (заметим, что здесь мы имеем дело со сходящимся несобственным интегралом)	д R
? = 8 /7 . R  гdrdtp = 8R (dtp f , Tdr. =
7Г
= 8R-p 2 (-y/R? - r2) 0
R
= 4тг/?2. о
3.З.ЗЗ.	Вычислить площадь S части поверхности параболоида z = ту, принадлежащей цилиндру х2 + у2 R2.
Q Поскольку z’x =у, z’y = х, + z2 + z2 — ^1 + т2 + у2, то, переходя к полярным координатам, имеем:
5 == jj у/1 + х2 + у2 dxdy = jj ry/1 + г2 drdip = x2+y2^R2	r^R
2л- .R	3
= Jdvyv/i+75-|d(i + r2) = ^[(i + fl2)2 -1]. • 0	0
3.3.34.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + У2 = R2, заключенной между плоскостями z = 0 и z — рх, р > 0.
Поверхность цилиндра не может быть записана явной формулой z = = z(x, у), поэтому формула
S = Jf}/1 + ZX + zy2 dxdy
D
^применима. Выразим в таком случае поверхность цилиндра (рис. 29) явно в виде у = ±\/R?' — х2 и воспользуемся формулой
s = JJyJ1 + у'х2 + у? dxdz,
D
D — область, ограниченная прямыми z = px, z = 0, x = R (рис. 30) в Носкости Oxz. Имея в виду знак ± перед радикалом, вычислим площадь
®5®орник задач по высшей математике, 2 курс
161
половины поверхности, т.е. описываемой уравнением z = результат удвоим. Имеем
> 9,
Ух =
£_______ у'
5------о ’
/2 _ z
х2
R2 - х2
Следовательно,
3.3.35.
3.3.36.
3.3.37.
3.3.38.
3.3.39.
3.3.40.
R
Г dx
рх
*	0 ’
R
= 2pR [- —х— j yjR2- X2
Найти площадь части поверхности z2 4- (я cos а 4- j/sina) = г2, содержащейся в первом октанте.
х У z
Найти площадь части плоскости — 4- - 4- - = 1, заключенной u о с
между координатными плоскостями.
Найти площадь части поверхности параболоида у2 4- z2 = 4ах, отсекаемой цилиндром у2 = ах и плоскостью х = За.
Найти площадь части поверхности параболоида 2z = х2 4- J/2, «вырезанного» цилиндром (х2 4- у2)2 = х2 — у2.
Вычислить площадь той части конуса х2 4- у2 — z2 = 0, которая лежит над плоскостью z = 0 и отсечена плоскостью
*=Af+1)-
Вычислить площадь части поверхности гиперболического параболоида 2z = х2 — у2, «вырезанной» плоскостями х — у = ±1,
dx = -2рЯ(->/Я2 - х2) = 2pR2. • о
О
3.3.41.
Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке М(х,у) равна р(х,у) = ку/х2 4- у2, где к > 0 — фиксированное число.
Q Переходя от декартовых координат к полярным, имеем
т = уур(х, у) dxdy =	к\/х2 + у2 dxdy =
D	x2+y2^R2	Z R
= 4к jd>p fr2dr =	•
о о
3.3.42.	Найти массу круглой пластины D (х2 + у2 С 1) с поверхностной плотностью р(х, у) = 3 — х — у.
Q Имеем:
162
x2 dx
x2 dx — 2
Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно началу координат отрезку. Поэтому, делая подстановку х = sin t, получим
1
-1
7Г	7Г
2	  2
У \/1 — sin21 cos t dt = 6 J cos2 tdt =
7Г	7Г
2	2
7Г 2
= 3 У*(1 + cos dt = Зтг.
_ — 2
3.3.43.	Найти моменты инерции квадратной пластины 0 х а, О С у С а относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом к.
Q Вычисления производим по соответствующим формулам этого параграфа учитывая, что р(х, у) = ху:
О, О,
1)	Jx = JJ ку у2 dxdy = к Jdx Jysdy = О О
а	а
2)	Jy = JJ ку • х2 dxdy = к Jх2 dx Jу dy = О^х^а	О	О
3)	Jo = Jx + Jy =
Найти массу пластины D с поверхностной плотностью р(х,у):
3.3.44.	D:	0	С	х	1,	0	у	2;	р(х, у)	=	ху.
3*3.45.	D:	0	<	х <	1,	0 <	у	< 1;	р(х, у)	=	х .
,	1 + У
^•3.46.	D:	0	х	1,	0	у	2;	р(х,у)	=	х2уеху.
3*3.47.	D	ограничена кривыми	х2+у2	=	ах, х2+у2 = 2ах, у = 0 (у > 0);
р(х,у) =х2 +у2.
'3.48. D ограничена лемнискатой (х2 4- у2)2 = а2(х2 — у2), (а;	0);
р(х,у) = ху/х2 +у2.
163
3.3.49.	D задана неравенствами х 0, у О, х+у	1, р(х,у) = е^+^)а
3.3.50.	D ограничена кривыми х2 = ау, х2 + у2 = 2а2, у = 0 (х > о, а > 0), р(х,у) = к.
3.3.51.	Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной параболой ау = х2 и прямой х + у = 2а, если плотность пластины постоянна и равна ро-
Q Сделаем чертеж (рис. 31). Находим абсциссы точек А и В пересе-х2
чения прямой х + у = 2а и параболы у = —. Из системы уравнений СХ»
х + у = 2а
<	2 находим а?1 = — 2а и х% = а.
__
Рис. 31
1)	Масса пластины D равна
а
т = m(D) ~ Цро dxdy = ро J dx
D	—2а
2)	Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей
а
Мх = ро Цу dxdy - ро I dx
D	—2а
dx = ^роа3-о
164
a	2a—x
Uy-Po ffx dxdy = Po f xdx J dy = D	—2a
a r (	x2 \	9 3
= р0 I I 2a — x —— j xdx = —^ap0.
—2a V	Z
3)	Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам _ _а =Мх = 8
Хс ~ т 2’ Ус т 5
Ответ: Мо(-~, |а).	•
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями: 3.3.52. у = х2, у = 0, х = 4.	3.3.53. у2 = ах, у = х.
3.3.54. хЛ + уЛ = Rz, у = 0.	3.3.55. хз+уз=аз.
Дополнительные задания
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
3.3.56.
3.3.58.
3.3.60.
3.3.61.
3.3.62.
3.3.63.
у = х2 + 4х, у = х + 4.	3.3.57. а2у2 = х2(а2 — х2).
9	7/2
- 77 = 1, х = 2а.	3.3.59. х2 = 2ру, у2 = 2рх.
а о
у/х + 1/У = y/d, —а^х^а.
(х — а)2 +у2 = а2, х2 + (у - а)2 = а2.
х2 + у2 = R2, х2 + у2 — 2Ry — 0, х = 0.
(х - 2у + З)2 + (3z + 4у - I)2 = 100.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.3.64.	z = 4х2 + 2у2 + 1, z = 1, х + у = 3, х = 0, у = 0.
3.3.65.	z=^| + ^,z = c.
„	ох (г
3.3.66.	Зх - 2у = 0, 8х - у = 0, 2х + Зт/ - 13 = 0, 2х + Зт/ - 26 = 0, 17х + 16т/ — 13>2 = 0, z = 0.
3.3.67.	6х — 9у + 5z = 0, Зх — 2у = 0, 4х — у = 0, х + у — 5 = 0, z = 0.
3.3.68.	z = 4 — х2, у = 5, у = 0, z = 0.
3.3.69.	z = а2 — х2, х + у = а, у = 2х, у = 0, z = 0.
3.3.70.	4 + g + 4 = l. а~ tr cz
3.3.71.	Плоская пластина D представляет треугольник АВС с вершинами А(1,1), В(2,2), (7(3,1). Плотность распределения масс в каждой точке равна ординате этой точки. Определить а) массу пластины;
165
б)	статические моменты пластины относительно координатных осей;
в)	координаты центра тяжести пластины.
3.3.72.	Найти массу пластины, ограниченной кривыми у = х2, у = если ее плотность равна р(х,у) = х + 2у.
3.3.73.	Найти моменты инерции треугольника АВС с вершинами А(0,1), В(1,2), (7(2,1) относительно координатных осей и начала координат, если плотность треугольника постоянна и равна С.
3.3.74.	Найти центр тяжести квадрата 0^х^2,0^т/^2с плотностью р(х, у) = х + у.
3.3.75.	Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = R2, заключенной между плоскостями z = тх и z — пх (т > п > 0).
3.3.76.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = ах, вырезанной из него сферой х2 + у2 + z2 = а2.
3.3.77.	Вычислить площадь части поверхности шара х2 + у2 + z2 = о2 х2 У2 вырезанной поверхностью —- Ч—- = 1.
а2 Ь
3.3.78.	Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos <р).
3.3.79.	Найти массу круглой пластины радиуса R, если плотность ее пропорциональна квадрату расстоянйя точки от центра и равна а на краю пластины.
3.3.80.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos</?) 0 <р тг и полярной осью.
3.3.81.	Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной кривыми у = х и у2 = ах.
3.3.82.	Найти массу прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, если его плотность равна расстоянию точки от катета Ь.
3.3.83.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой у = sin а; и прямой О А, проходящей через начало’координат и вершину А (^,1) синусоиды (х 0).
3.3.84.	Вычислить моменты инерции относительно координатных осей треугольника с вершинами в точках А(2,2), В(0,2), (7(2,0)-
Контрольные вопросы и более сложные задания
Найти площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.85.	X2 = ау, х2 = by, у2 = ах, у2 = flx, а <Ь, а < fl.
3.3.86.	у2 = ах, у2 = bx, ху = а, ху = fl (0 < а < Ь, 0 < а < fl).
166
3.3.87.	Найти площадь фигуры, ограниченной прямой rcos$p = 1 и окружностью г = 2 (фигура не содержит полюса).
3.3-88.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1—cos </?) и г = а (вне кардиоиды).
3.3.89.	Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного параболой +	= т; ~~ т и осью Ох.
\и о/ и о
вычислить объем тел, ограниченных поверхностями:
3.3.90.	2az = х2 + у2, х2 + у2 + z2 = За2 (внутри параболоида).
3.3.91.	х2 + у2 = 2ах, х2 Л-у2 = z2, z = 0.
3,3.92.	В каком отношении гиперболоид х2 + у2 — z2 — а2 делит объем
шара х2 + у2 + z2 За2?
3.3.93.	2az = х2 + у2, х2 + у2 — z2 — d2, z = 0.
3.3.94.	Найти объем тела, заключенного между конусом
2(х2 + у2) - z2 = 0
и гиперболоидом х2 + у2 — z2 = —а2.
3.3.95.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2-\-у2 — 2ах, содержащейся между плоскостью Оху и конусом
х2 + у2 — z2 = 0.
3.3.96.	Найти площадь части конуса z = у/х2 + у2, «вырезанной» цилиндром (ж2 -I- у2)2 = а(х2 — у2).
3.3.97.	Вычислить площадь части поверхности параболоида х2 -I- z2 = = 2ах, содержащейся между цилиндром у = ах и плоскостью х = а.
3.3.98.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми х -I- у = 1, х + 2у = 2, у = 0, относительно координатных осей.
3.3.99.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой т = а(1 + cos 99), относительно осей Ох, Оу и относительно полюса.
3.3.100.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной эллипсом	_	9
^ + ^ = 1
а2 Ь2 ’ относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.
3.3.101.	Найти момент инерции области, ограниченной лемнискатой
г2 = a2 cos 2<р, относительно полюса.
^•3.102. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.
167
§4. тройной интеграл, свойства, ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕНЕНИЕ Определение тройного интеграла
Определение тройного интеграла аналогично определению двойного интеграла. Пусть в пространственной области V G К3 определена и непрерывна функция трех переменных и = f(x,y,z). Разбиение области V на п произвольных областей Avi, Av2, Avn с объемами Avi, Лиг, Avn и выбор в каждой области Av, произвольной точки Mi позволяют строить интегральную сумму вида п
ТПп = £/(ад)Д»<.
1=1
Тогда существует предел интегральных сумм тпп при условии стремления к нулю наибольшего из диаметров областей А14. Этот предел, не зависящий от способа разбиения области V на области ДЦ и выбора точек Mi, называется тройным интегралом и обозначается символом
v
dv
/[IУ' dxdydZ‘ v
и
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла (линейность, аддитивность, оценка интеграла, свойство среднего).
I
Вычисление тройного интеграла
Предположим, что функция трех переменных f(x,y,z) определена и непрерывна в пространственной области V, которая ограничена сверху поверхностью z = Z2(x,y), а снизу — поверхностью z = zi(x, у), где функции zi(x,у) и Z2 (х, у) определены и непрерывны в области D G Оху (рис. 32). Тогда вычисление тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево) вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные х и у считаются при этом константами) и двойного интеграла от того, что получится, по области D.
В частности, если область V представляет собой прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами а^х^Ь, c^y^d, m^z^n,^0 тройной интеграл сводится к трем определенным интегралам:
Естественно, можно выбирать другой порядок интегрирования.
168
Рис. 32
Рис. 33
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты г, <р, z (рис. 33) представляют собой обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами а?, у, z формулами
x = rcQStp, y = rsincp, z = z.
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле
/// dxdydz = JJJ К
г cos <р, г sin <р, z)r drdtpdz.
В частности, если положить в этом равенстве f(x,y,z) = 1, то получим формулу для объема тела в цилиндрических координатах:
V = JJJ rdrdtpdz.
Сферические координаты
Сферические координаты г, в, <р связаны с прямоугольными координатами *» У, z при помощи формул (рис. 34)
х = г sin ср cos в, < у = г sin tp sin 0,
z = r cos tp.
169
Рис. 34
В общем случае переменные г, в, р изменяются в пределах г € [0,+оо), <р g G [0, тг], 6 Е [0; 2тг). Формула перехода к сферическим координатам имеет вид
УУУ/(я, У, z) dxdydz = fff f(r
sin p cos 6, r sin p sin в, r cos 3)r sin p drdOdp.
Положив f(x,y,z) = 1, получим формулу для объема тела в сферических координатах:
v = fffr^ sin ¥> drdOdp.
Приложения тройного интеграла
1.	Объем и тела V находится по формуле:
v = dxdydz.
2.	Масса m тела V с данной плотностью p(x,y,z), где функция p(x,y,z) непрерывна, вычисляется по формуле
m = ууур(х, у, z) dxdydz.
3.	Статические моменты Мху, Mxz, Myz тела V относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны
Мху = fffzp(x,y,z) dxdydz, Mxz = fffyp(x,y,z) dxdydz,
V	V
Myz = jjjxp(x, у, z) dxdydz,
где р = р(х, у, z) — плотность тела V.
170
4.	Координаты центра тяжести тела V с массой тп определяются по формулам
Мху Zc ~ тп
____ Myz	_ MXz Xc ~ m ' Ус ~~ m ’
или, более подробно:
Xc = jjfxp(x, y, z) dxdydz, yc =
Йг Щур(х,у,г) dxdydz, v
Zc =	f jjzp(x, у, z) dxdydz.
В частности, если р = ро (тело однородно), эти формулы упрощаются: Хс = v jjfx dxdydz, ус = J у dxdydz, zc = ± fj^z dxdydz,
где v — объем тела V.
5.	Моменты инерции тела V с плотностью р(х, у, z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
Jxy = jjjz2p(x,y,z)dv, Jyz = jj^x2p(x,y,z)dv,
V	V
Jxz = jjjy2p(x,y,z)dv.
Моменты инерции Jx, Jy и Jz тела V относительно координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно находятся по формулам
Jx = JJJ(y2 + z2}p(x'y'z}dv> Jy =	+ z^x,y,z)dv,
V	V
Jz = ffp + y2)p(x,y,z)dv.
Вычислить тройной интеграл
УУУ x2yz dxdydz,
где V — область, ограниченная плоскостями х = 0, у = 0, z = О, х + у + z = 1.
Область V (рис. 35) достаточно просто устроена, поэтому данный тРойной интеграл можно вычислить, используя произвольный порядок Интегрирования. Традиционно проектируют область V на плоскость Оху, Принимая полученную проекцию в качестве области D (на рис. D — треугольник АО В). Прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу V Ннух точках. Аппликата первой точки равна нулю (точка входа лежит
171
Рис. 35
на плоскости Оху, т. е. z — 0), аппликата второй точки равна z = 1 — х — у (поскольку точка выхода из области V лежит на плоскости z = 1 — х — у). Таким образом,
1-х-у
x2ydxdy j zdz = i уу х2у(1 — х — у)2 dxdy.
v	D	о	D
Двойной интеграл приводим к повторному известным уже способом, поэтому детали опускаем.
J = уУу x2yz dxdydz — jj
1	1-х
J = j У x2 dx у y(l-x-y)2dy = о 0 1	1-x
= ^fx2dx j y(l + x2+y2-2x-2y + 2xy)dy = ... =	•
о о
Вычислить следующие тройные интегралы в прямоугольных координа
тах:
3.4.2.
3.4.3.
3.4.4.
3.4.5.
3.4.6.
dxdydz, где V — куб, ограниченный плоскостями v
х = 0, х — 1, у = 0, у = 1, z = 0, z — 1.
УУУ(1 — y)xz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = О,
УУУ x2y2zdxdydz, где V — параллелепипед, ограниченный v
плоскостями х = 1, х — 3, у = 0, у — 2, z = 2, z = 5.
УУУ----, где у ограничена координатными плос-
костями и плоскостью х 4- у 4- z — 1.
УУУxdxdxdz, где V ограничена цилиндром х2 -Ру2 — 1 и плос-v
костями z = 0 и z = 3.
172
3-4.7.
3.4.8.
JJJ xyz dxdxdz, где V ограничена координатными плоскостя-v
ми, сферой х2 + у2 + z2 = 1 и расположена в первом октанте.
Вычислить тройной интеграл
///(я2 + ^2)dxdydZ^
если V ограничена плоскостью z = 2 и параболоидом 2г = = х2 + у2.
Рис. 36
Q Область V ограничена сверху плоскостью z = 2, а снизу параболо-х2 И- у2
идом z = —-— (рис. 36). Переходим к цилиндрическим координатам х = г cos у = г sin у?, z = z. При этом подынтегральная функция преобразуется к виду х2 + у2 = г2 cos2 у? + г2 sin2 ip = г2. Таким образом,
2я 2	2
«7 ~ ///(я2 у2}dxdydz ~/ff r3(^r(^^z = Jdp J г3 dr Jdz = v	v	о о
2
преходя к цилиндрическим координатам, вычислить данные тройные ^тегралы:
3*4.9. JJJ dxdydz, где V — ограничена сферой х2 + у2 + z2 = 2Rz, v
конусом х2 + у2 = z2 и содержит точку (0,0,7?).
173
2	\/2x —x2	a
3.4.10.	J dx у dy f zy/x2 + y2 dz, преобразовав сначала к тройно-о оо му интегралу.
2г у/2гх-х*	у/±т2-х2-у2
3.4.11.	у dx у dy у dz, приведя сначала к тройному О	х/— 2гх —х2	О
интегралу.
3.4.12.	Вычислить повторный интеграл
1	\/1—я2
У dx у dy о о
у/1 — Х2 — у2
У (х2 + у2 + z2) dz. о
Q Преобразуем повторный интеграл в тройной fff (я2 + У2 + z2) dxdydz,
для чего, исследуя пределы интегрирования в повторном интеграле, восстановим область интегрирования V. Она ограничена снизу плоскостью z = 0, т.е. плоскостью Оху, а сверху — поверхностью z — л/1 — х2 — у2, т. е. верхней частью сферы х2 + у2 + z2 = 1. Область D лежит в плоскости Оху и ограничена снизу прямой у = 0 (осью Ох) и сверху линией у = у/1 — х2, т.е. верхней полуокружностью х2 + у2 = 1. Наконец, проекция D на ось Ох — это отрезок [0,1]. По названным поверхностям построим чертеж области V (рис. 37), а по соответствующим линиям — область D (рис. 38).
Рис. 37	Рис. 38
Исходя из вида подынтегральной функции и вида области интегрирования, делаем вывод о целесообразности перехода к сферическим координатам: х = г sin ср cos 0, у = г sin <р sin 0, z = г cos ср. При этом dxdydz = = г2 sin ср drdcpdO, 0 г 1, 0 ср 5,0^0^ Подынтегральная
174
функция равна х2 + у2 + z2 = г2 (sin2 <р cos2 6 + sin2 ip sin2 0 + cos2 <p) = r2(sin2 <p + cos2 <p) = г2. Таким образом,
7Г	7Г
2	2	1
УУУ+ У2 + z2) dxdydz = Jsm<pd0 jd<p f г4 dr
о оо
7Г	7Г	1
2	2	1	5	1	7Г
COS</2 -<р	-~Г	= -г.
0	О	О	о	1U
ху
Вычислить повторные интегралы: 1	х	2(х2+у2)
3.4.13.	у dx	fdy у	dz.
О х2 х2+у2
а	у/а2-х2	\/х2+у2	&
3.4.15.	[ dx [	dy	у	dz. 3.4.16. f
х2 + У2	О
а \/ а2—р2
I dz-р
а—х
\/а2—х2
О О
3.4.18. Вычислить объем тела ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 22 и поверхностью параболоида — х2 + у2.
Q Тело V расположено над плоскостью Оху между полусферой z% = = 5/22 — х2 — у2 и параболоидом zj = ^(х2 + у2) (рис. 39).
Рис. 39
О
О
1
1 — х
*+у
О
О
О
О
2
а
Объем v тела V вычислим по формуле
v
= УУУ dxdydz.
175
Из симметрии тела V относительно плоскостей Оху и Оуz заключаем, что удобно перейти к цилиндрическим координатам х = г cos tp, у = = rsinijP, z = z и вычислить объем четвертой части V, а результат умножить на 4.
22
v = 4 JJJ г drdtpdz = 4 J J r drdtp fc
X	D	2i
4
= 4 J J r drdtp ( \/22 — r2 — D	'	'
— г2 \ г2 —— ) г drdtp.
Jz /
Для дальнейших вычислений надо найти область D — проекцию на плоскость Оху пространственной области V. Для этого решим систему
Г х2 + у2 + z2 = 22, х2 + у2 = 9z
=> z2 + 9z = 22 => z = 2, z = —11.
Подставляя z = 2 (z = —11 не подходит, т. к. z 0) во второе уравнение системы, найдем, что сфера и параболоид пересекаются в плоскости z — 2 по окружности х2 + у2 = 18. Следовательно, область D это четверть круга х2 + у2 18 (х ^р 0, у 0), или, в полярных координатах: 0 г \/18, 0 tp Таким образом,
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.19.	z = х2 + у2, z = 2(х2 + у2), у = х, у = х2.
3.4.20.	z = у/х‘2 + у2, 3z = х2 4- у2.
3.4.21.	4az = 16 — х2 — у2, z — 4 — х — у, х = 0, у = 0, z = 0.
о А 99 х2 . У2 . Z2 _ л X2 . У2
3.4.22.	— + — + — _ 1, - + -_г.
3.4.23.	Вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат при условии, что его плотность постоянна и равна р$.
Q Сделаем сначала рисунок (рис. 40).
Воспользуемся формулами
хс = ffj х dxdydz, Ус = fff У dxdydz, zc = | JJJ z dxdydz,
176
Рис. 40
9 оз
Где у =. —----объем полушара.
Подынтегральные функции х и у в числителях первых двух дробей нечетные, а область интегрирования V симметрична относительно соответствующих плоскостей у = 0 и х = 0. Поэтому хс = ус = 0. К этому же выводу приходим, исходя из определения хс и ус и симметрии тела относительно координатных плоскостей Oyz и Oxz. Остается вычислить JJJ zdxdydz.
Для этого переходим к сферическим координатам так же, как в примере 3.4.12. Получаем
/ff Z dxdydz = /// Г C0S Sin =
V 7Г 2
2тг R
JdO- J r3 dr = о о
cos2(y£> 2 о
27Г
TrR4
4	= ЗЯ
О7ГЯ3 8  3
Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом 4х = у2 + z2 и плоскостью х = 2. Вычислить координаты центра тяжести тела, конусом	о
9	16	25
И ПЛОСКОСТЬЮ Z = 5.
Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом z = х2 + у2, плоскостью х + у натными плоскостями.
Следовательно, жс = 0, ?/с = 0, zc = fff z	=
3.4.24.
3.4.25.
3.4.26.
ограниченного
ограниченного
ограниченного = 5 и коорди-
4
о
о
и
4 о
4 
177
3.4.27.	Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного ЭЛЛИПСОИДОМ	п 9
Ж2 , F , 22 = 1
64 49 36
и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 (х 0, у О, z 0).
3.4.28.	Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра радиуса 4 и высоты 6 относительно диаметра сечения, проходящего через центр симметрии цилиндра; плотность цилиндра постоянна и равна pQ.
Рис. jl
Q Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, как обозначено на рис. 41: ось цилиндра расположена на оси Oz, среднее сечение цилиндра лежит в плоскости Оху. Тогда задача сводится к вычислению Jx — момента инерции цилиндра относительно оси Ох. Используем формулу Jx = ///(У2 + *2)Po dv, v
где V — цилиндр: х2 -Ру2 16, —3 z 3. Перейдем к цилиндрическим координатам: х = г cos р, у = г sin <£, z — z, dxdydz = r drdpdz, 0 p 2тг, 0 r 4, — 3 z 3. Отсюда у2 + z2 — r2 sin2 p + z2 и, стало быть,
2тг 3	4
Jx — Pq f dp fdzf s*n2 + ^2)r —
0	-3	0
= Pq
4
0
= Pq
2л-	3
fdp f (64 sin2 p + 8z2) dz = p0
о -3
cos 2p)z + ~-
178
2тг
= 48pQ У [4(1 - cos 2р) + 3] dp = 48ро о
sin2yA |27Г
—5—	= 672ротг.
2	/1о
Попробуйте взять интеграл в другом порядке:
2тт 4	3
PQ
г2 sin2 ср + z2) dz.
0	0	-3
3.4.29.	Вычислить момент инерции прямого цилиндра, высота которого равна Н и радиус основания R, относительно оси, содержащей диаметр основания цилиндра.
3.4.30.	Найти момент инерции круглого конуса, высота которого равна Н, а радиус основания R, относительно диаметра основания.
3.4.31.	Найти моменты инерции относительно координатных плоско-2С У Z
стей тела, ограниченного плоскостями tt + -7 + z-,£ = 0, ?/ = 0, 3 4а
2 = 0.
3.4.32.	Вычислить объем v и массу т тела V, ограниченного конусом х2 + у2 = z2 и плоскостью z = l, если его плотность p(x,y,z) пропорциональна координате z с коэффициентом пропорциональности к, к > 0.
Рис. 42
U Требуемые величины вычислим в цилиндрических координатах: х = = г cos у = rsinp, z = z, dxdydz = rdrdpdz, 0 p 2тг, 0 z 1, 0 r 1 (рис. 42):
2тг i i
D = JJJdxdydz = jdp Jr dr Jdz = p v	о о r
_ 7Г.
o- 3’
2 я	1	1
71 = k J dp Jr dr J z dz = к oo r
179
3.4.33.	Вычислить массу прямоугольного параллелепипеда 0 х а, O$Cz^c, если плотность в точке (х, у, z) пропорциональна сумме координат этой точки.
3.4.34.	Определить массу шара радиуса Я, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от центра плотность равна двум.
3.4.35.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = h и «.2 . „,2 _ _2 X + у = Z ,
если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
3.4.36.	Найти массу сферического слоя между сферами £24-?/24-z2 = а2 и х2 4- у2 4- z2 = 4а2, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.
Дополнительные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.37.
3.4.38.
3.4.39.
3.4.40.
3.4.41.
3.4.42.
3.4.43.
3.4.44.
3.4.45.
3.4.46.
3.4.47.
3.4.48.
z = х 4- у, z = ху, х 4- у = 1, X = 0, у = 0.
х2 4- z2 = а2, х 4- у = ±а, х — у = ±а.
az = х2 4- у2, z = \Jx2 4-у2, а > 0.
(ж2 4- у2 4- z2)2 = 2az, х2 + у2 = z2.
х = 0, у = 0, z = 0, 2х — Зу — 12 = 0, 2z = у2.
х2 4- у2 = R2, z = z = 0 (z 0).
а2
z = 4-y2,y = ^-,z = 0.
z = ^ - х2 - у2, z = yx/a;2 4-у2.
Z =
z = ^/64 — x2 ~ y2, x2 4- y2 60, z = 1.
X2 4- у2 = У, x2 4- y2 = 4y, z = y/x2 4- y2, z = Q.
x2 +y2 = 18, x = \/3y, z = yp, x = 0, z = 0.
Вычислить повторные интегралы:
у/з у'з-ж2 \Х4-а;2_У2
3.4.49.	Jdx J dy J dz.
о о z2 + y2 3 2	>/4^1^	2
3.4.50.	jdz	J dy J (z2+y2)dx.
-2	-74^ г2 + у2
2
180
Вычислить тройные интегралы:
3.4.53.	УУУz\Jx2 + у2 dxdydz, где область V задана неравенствами
3.4.54.	fffxyz2 dxdydz, где V лежит в I-м октанте и ограничена еди-v
ничной сферой х2 + у2 + z2 = 1 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0.
3.4.55.	JJj2y2exy dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 1, v
у = х, z = 0, z — 1.
3.4.56.	///х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 1, у = О,
v
у = Юж, z = 0 и параболоидом z = ху.
3.4.57.	jjfx2zsin(xyz) dxdydz, где V ограничена плоскостями х = О, v
X = 2, у = О, у = 7Г Z = 0, 2 = 1.
3.4.58.	jjf 8y2zexyz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = —1, v
х = 0, у = 0, у = 2, z = 0, z = 1.
3.4.59.	fff(x + У + z) dxdydz, где V задана неравенствами 0 х а,
3.4.60.	УУУрsin#dpdtpdd, где V задана неравенствами 0
3.4.61.	у х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 0, z = О,
3.4.62.	([(----dxdydz--у ограничена плоскостями z = О,
fl -4- £ -4-	4-
г = в(1-|-|),г = 0,» = 0. \ О 4 /
181
Вычислить массы однородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.63.	х2 4- у2 4- 4г2 = 1.
3.4.64.	х + у + z = а, х 4- у + z = 2а, х 4- у = z, х 4- у = 2г.
3.4.65.	у2 = 4а2 — Заж, у2 = ах, z = ±Д.
3.4.66.	^ + 4=2|,ж = а. b с" и
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.67.	Плоскостями х = 0, у = 0, г = 0, 2х 4- Зу — 12 — 0 и цилиндром г=£
2 '
3.4.68.	Плоскостями г = О, х4- г = 6 и цилиндрами г = у/х и г = 2у/х. х2 4~ у2
3.4.69.	Сферой х2 4- у2 4- z2 = За2 и параболоидом г = —— (над ним).
3.4.70.	Сферой х2 4-у2 4- г2 = -R2 и конусом ztga =	4- у2, tga > О
(над конусом).
Найти моменты инерции однородных тел с данной массой М:
3.4.71.	Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь, с относительно каждого из ребер и относительно своего центра тяжести.
3.4.72.	Шара радиуса R относительно прямой, касательной к шару.
3.4.73.	Эллипсоида
2? + ^ + ^ = 1
а2 Ь2 <?
относительно каждой из трех своих осей.
3.4.74.	Найти статические моменты относительно координатных плоскостей и координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом г = 3 — х2 — у2 и плоскостью г = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.75.	Плоскостями ж=0, х 4- ?/ = 2, х — у = 2и цилиндрами г=1п(а;4-2) и г = 1п(6 — х).
3.4.76.	Плоскостью г = х 4- у и параболоидом г = х2 4- у2.
3.4.77.	Плоскостью 2х 4- z — 2 и параболоидом (х — I)2 + у2 = z.
3.4.78.	(х2 4- у2 4- г2)2 = а2(х2 + у2 - г2).
3.4.79.	(ж2 4- у2 4- г2)3 = Зху.
3.4.80.	Сферой х2 4- у2 4- г2 = 4 и параболоидом х2 4- у2 = Зг.
3.4.81.	(а;2 4- у2 4- z2)2 = axyz.
182
вычислить тройные интегралы:
3.4.82.
3.4.83.
3.4.84.
3.4.85.
3.4.86.
3.4.87.
3.4.88.
3.4.89.
3.4.90.
УУУ?/2(еху — е ху) dxdydz, V ограничена поверхностями х = О, v
у = —2, у = 4х, z = 0, z — 2.
fffo2 + г2) dxdydz, V ограничена плоскостями х = 0, у = О, v
z = 0, х + у = 1, z = x + y.
Щxy2z^ dxdydz, V ограничена
JJJ \рА qz г )	а b с
dxdydz
1 4- \/(х2 + у2 + г2)3
V: х2 4- у2 4- z2 1.
(ж2 + у2 4- z2)2 = а?х.
(х2 4- у2 4- г2)2 = а2г4.
(х2 4- у2 4- г2)3 = а2(х2 4- у2}2-
(z2 4- у2)2 4- г4 = а3г.
Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тел, ограниченных поверхностями:
3-4-91- J + а + | = г (а>°,ь>о,оо).
3.4.92.	4 + Тг+4 = 1’4 + П' = й(а>0)-
а2 Ъ2 с2 a2 b2 и
3.4.93.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями у = ^х2, z = 0, z = 4(6 — у)
а2	b
(а > О, Ъ> 0, h> 0).
3.4.94.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями z = А;(у2 — х2), z — 0, у = ±о.
а2
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:
О . пк х2	у2	Z2
3.4.95.	4- ~2 = ~, z = с.
а2	Ъ	с2
3.4.96.	х2 4- у2 — z, х 4- у = а, х = 0, у = 0, z = 0.
3.4.97.	Найти момент инерции части параболоида у2 4- z2 = 2сх, отсеченной плоскостью х = с, относительно оси Ох (массу принимать, равной единице).
183
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Изменить порядок интегрирования
1 я—arcsinj/ f(x, у) dx.
О arcsin у
2.	Найти массу треугольника О АВ, если <9(0,0), 4(1, —1), В(1,1), а плотность равна р(ж, у) = л/ж2 — у2.
3.	Найти объем тела, ограниченного плоскостью Оху, цилиндром х2 + у2 = 4х и сферой х2 + у2 + z2 = 16 (внутреннего по отношению к цилиндру).
4.	Найти площадь поверхности z = расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
5.	Вычислить тройной интеграл
Mxdv'
V
где V — область, ограниченная поверхностями х = 1, у = 0, у = 10а?, z — 0, z = ху.
Вариант 2
1.	Вычислить двойной интеграл
X2.
D 1
если область D ограничена линиями у = 0, у = ~у/а2 -(Л
2.	Вычислить интеграл
JJr2 sin ip ‘ г dr dip, D
где область D ограничена линиями г = R, г = 2Hsint^.
3.	Вычислить массу плоской фигуры, ограниченной лемнискатой (ж2 + у2')2 = а2(х2 — у2), если ее плотность равна р(х,у) = х\/х2 + у2.
4.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного
прямыми х + у = 2, 2х + у = 4, х = 0, относительно координатных осей.
5.	Вычислить тройной интеграл
JJ[xy2exyz dxdydz, v
где V — тело, ограниченное поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3,
z = 1, z = 5.
184
Вариант 3
1.	Вычислить интеграл
если область D ограничена лемнискатой г2 = a2 cos 2<р и лучами = О, 7Г
</>= 4‘
2.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
а а
О
У2
2а
2а 2а
у2
2а
у2
О у2 2а
а
0 а
3.	Найти массу пластины D: (ж — З)2 + у2 1, х 3, если ее плотность в точке (х,у) равна |т/|.
4.	Вычислить тройной интеграл
УУУу2 х cos xyz dxdydz,
если D — тело, ограниченное поверхностями z = 1, х = 2, у = 1, у = 3, z = 1, z = 4.
5.	Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0, z = О, х + у + z = 1, если плотность в точке (х, у, z) равна
Вариант 4
1.	Вычислить интеграл
если D имеет вид О
2.	Вычислить площадь части поверхности сферы х2 + у2 + z2 = 81, заключенную между плоскостями у — — 5 и у = 5.
3.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
Вычислить тройной интеграл
4 ’
185
•C У z
если тело V ограничено поверхностями z = 0,i/ = 0, 2 = 0и- + ~ + - = 1.
5. Вычислить тройной интеграл
fff63(l + 2y/y)dv,
где тело V ограничено поверхностями у = х, у = 0, ж = 1, г = О, z — ху.
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА Определение криволинейного интеграла первого рода
Пусть в каждой точке гладкой кривой L = АВ в плоскости Оху задана непрерывная функция двух переменных /(.т, у). Произвольно разобьем кривую Ь на п частей точками А = Mo, Mi, М2,..., Мп = В. Затем на каждой из
полученных частей	выберем любую точку Мг{хг,уг} и составим сумму
71
Sn — уг)АЦ, i=i
где ДГ = Мг-1Мг — длина дуги	Полученная сумма называется ин-
тегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг Л/г -1Л^г (таким образом, d = = тахД/г)- Если при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn (не i
зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек М,), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, у} по кривой L и обозначается
jf(x,y)dl или J f(x,y)dl.
L	АВ
Можно доказать, что если функция f(x, у) непрерывна, то криволинейный интеграл
У”/(1', у) dl L
существует. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойствам определенного интеграла (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличие:
x,y)dl= у f(x,y)dl,
АВ	ВА
т. е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
187
1.	Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией у = = у(х), х G [а, 6], то
ь
/ f(x,y)dl = / f(x, ?/(т)) 0 + (?/(х))2 dx, L	а
при этом выражение dl = у/1 + (?/'(т))2 dx называется дифференциалом длины дуги.
2.	Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде х = x(t), у = y(t), где z(f), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке [а,/?], то
/з	_______________
jf(x,y)dl = y/(x(t),?/(t))^/(i'(t))2 + (y'(t))2dt. L	a
Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: х = x(t), у = y(t), z = z(t), t G [a, /3]. В этом случае, если f(x,y,z) — непрерывная функция вдоль кривой L, то
0 jf(x,y,z)dl =
L	а
3.	Если плоская кривая L задана полярным уравнением г = r(ip), G [о, /3], то
0
х, у) dl = jf(r cos г sin ip) \/r2 + r2 dip.
L	a
y(t), z(t)]y/(x'(ty)2 + (?/'(C)2 + (z'(t))2dt.
Приложения криволинейного интеграла первого рода
1.	Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл
Jdl
L
равен длине S кривой L, т. е.
Уdl = S.
L
2.	Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z = f(x, у) 0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Oz и заключенной между L и поверхностью z = f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
S = J f(x,y)dl.
L
188
3.	Если L = АВ — материальная кривая с плотностью, равной р = p(a?,j/), то масса этой кривой вычисляется по формуле
т =
У р(х, у) dl АВ
{физический смысл криволинейного интеграла первого рода}.
4.	Статические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны
Мх = / yp(x,y}dl, Му = / xp(x,y}dl, L	L
( ч	н г	Му	Мх
где р\х,у) — плотность распределения кривой L, а хс = ус = координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5.	Интегралы
Л = jy2p(x,y}dl, L
Jo = j(x2 + у2)р(х, у) dl L
выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью р(х, у} относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.
4.1.1.	Вычислить криволинейный интеграл
f У М’
О
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (2,2) и (8,4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой у = \/2х. Имеем
у'
1 л/2ж’
dl = у/1 + (у')2 dx = Jl + ±dx.
Следовательно, данный интеграл равен
dx —
= 1 [VT+2xdx= |  |(1 + 2х)3/2 8= i(17\/17-5v/5). •
I J	Z О	2 0
2
4.1.2.	Вычислить криволинейный интеграл f(х2 + у3) dl, L
где L — контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), 0(0,0) (рис. 43).
189
Q Поскольку
j\x2+y3)dl = j\x2+y3)dl+ j\x2 + y3)dl+ j(x2 +y3)dl, L	AB	BO	OA
то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА\
Рис. 43
1)	(АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у = 1 — я, то + (,УГ)2 dx = \/2dx. Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
1
J(х2 + у3) dl = j\x2 + (1 — ж)3] V2 dx =
АВ	О
4	) o-V {3 + 4j 12 '
2)	(ВО): рассуждая аналогично, находим х — 0, 0 у 1, dl = dy, откуда	г
f (ж2 + У3) dl = Jy3dy= во	о
3)	(ОА): у = 0, 0 х 1, dl = dx.
i
f (x2 + У3) dl = fx2 dx = i
OA	0
4)	Окончательно
[(x2+y3}dl=rA + 1 । l_7<2 + 7_7(^ + 1)	,
J{X +y )ai 12 -I- 4 + 3	12	12
L
4.1.3.	Вычислить криволинейный интеграл J\/x2 + у2 dl,
L
где L — окружность x2 4- у2 = ax (a > 0).
190
—	• Следовательно,
Q Введем полярные координаты х = т cos у = г sin </?. Тогда, поскольку х2 + у2 = г2, уравнение окружности примет вид г2 = ar cost/?, т.е. г a cos </?, а дифференциал дуги
dl = у/г2 + г'2 dtp = \Ja2 cos2 92 + a2 sin2 <pdp = adp.
При этом G
2
JVx2 + У2 dl = a J a cos 92 dip = 2a2.	•
L	_1L
2
4.1.4.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными
У(5z — 2\/х2 + у2) dl, L
где L — дуга кривой, заданной параметрически х = tcost, у = tsint, z = t, 0 t тг.
Q Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:
5г — 2\/х2 + у2 = 5t — 2^/t2(cos2 t + sin2 t) = 3t.
Теперь выразим через t дифференциал dl'.
dl = у/ (xf)2 + (у’)2 + (z')2 dt = у/ (cost — tsint)2 + (sint + tcost)2 + Idt =
cos2 —2t sin tcost + t2sin21) + (sin2t + 2t sin tcost + t2cos21) + Idt =
= (cos21 + sin21) +12 (sin21 + cos21) + 1 = \/2 +12 dt.
Таким образом,
J(5г - 2\/x2 + y2) dl = 7з(т/2 +t2 dt =	\/2 + t2d(2 +12) =
L	0	0
= (2 +12)3/2 \= У(2 + тг2)3 - 2>/2. •
Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:
4.1.5.	Jxydl, где L — контур квадрата |ж| + |з/| = а. L
4*1.6. f - ---	, где L — отрезок О А и 0(0,0), А(1,2).
/ у/х2 + у2 + 4 1j *
191
4.1.7.	/—j—, где L ~ отрезок АВ, А(2,4), В(1,3).
J х I у
L
4.1.8.	f, где L — отрезок MN, М(0, —2), 2V(4,0). J % У
L
4.1.9.	уy2dl, L — дуга циклоиды х — a(t — sint), у = д(1 — cost), L 0 t 2тг.
4.1.10.	j\x2 +у2 + z2) dl, L — дуга цепной линии х = acost, у = asint, L
z ~ bt, 0 t 2тг.
4.1.11.	j\х + у) dl, L — правый лепесток лемнискаты т2 = a2 cos2<p.
L
4.1.12.	у(х2 + у2)п dl, L — окружность х2 + у2 = а2. L
С	х2	У1
4.1.13.	/ ху dl, L — четверть эллипса — + — = 1, х 0, у 0.
J	а2	Ь2
L
4.1.14.	Jydl, L — дуга параболы у2 = 2рх, отсеченная параболой L х2 = 2ру.
4.1.15.	Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра х2 + у2 = R2, ограниченной снизу плоскостью Оху, а
2
сверху поверхностью f (х, у) = R +
Q Искомая площадь вычисляется по формуле
L	'
где L — окружность х2 + у2 = R2. Поверхность цилиндра и поверхность т2
f(x,y) = R + — симметричны относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у 0, х 0, т. е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем
192
Получили определенный интеграл, который берем подстановкой х = TZsin</2, откуда
dx = R cos dp, 0 р , у Я2 — х2 = R cos р.
£
fR2 + (Rsinp)2	} 2	2 . 2
5 = 4/ ---=----------- R cos pdp = 4 I (R2 + R2 sin2 p) dp =
J	R cos p	J
о	0
7Г
= 4Я2 у fl + 1 ~ c2°s2y) dip = ЗтгЯ2. • o'	7
4.1.16.	Найти массу четверти эллипса
£+£ = 1 а2 &
расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом к.
Q Поскольку р(х, у) = ку, имеем
L
L — четверть эллипса
х2 У2
^ + ^ = 1, о о, о о. а ст
Переходим к параметрическим координатам эллипса х = a cost, у = = bsint. Напомним, что с = у/а2 — Ь2 — фокусное расстояние эллипса, а — эксцентриситет эллипса. Находим
dl = у/(я/)2 + (?/)2 dt = у/a2 sin2t + b2 cos21 dt =
= л/а2(1 — cos2 t) + b2 cos21 = yjd2 — (a2 — b2) cos21 dt =
— e2 cos2 tdt.
Переходим к вычислению массы
7Г 2
ш = kab J sin ty/1 — £2 cos2 t dt = о
7Г 2
Jд/l — (ecos£)2 d(£ cos t). о
воспользуемся формулой
2 du =	— и2 + arcsin и),
7 Обо
Рник задач по высшей математике. 2 курс
193
где и = £ cos t. Получаем
kab 1
2 l
cos2 t + arcsin(e cos t) _	kab '
~	2e L
7Г
2
0
arcsine .
Учитывая, что е —
\/a2 — b2 a
ka2b i
b
= -, получим окончательно
a2 — b2 + arcsin ——
m = t, 2\/a2 - 62
4.1.17. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды х = a(t — sint), у = a(l — cost), 0 t 2тг.
тл’	Мх
Имеем хс = ус = где
m— J dl, My = J xdl, Mx = Jydl. L	L	L
Находим x', у' и dl по отдельности: x' = a(l — cost), y' = asint,
cos t + cos2 t) + a2 sin2 tdt =
= ал/1 — 2cost + (cos2 t + sin2 t) = a\/2(l — cost) =
= a\/2  2 sin2 = 2a sin V	£	£
Следовательно,
m=J
L
2тг
[ sin ^rdt = —4a cos
J 2	2 о
о
2тг
= 8a.
Puc. 44
m =	£
Из рис. 44 видно, что циклоида симметрична относительно прямой х = тга, поэтому хс = тга. Таким образом, Му можно не вычислять, хотя,
учитывая равенство
Му Хс ~ ГП ’
194
можно предположить, что Му = 8тга2. Предлагаем самостоятельно получить этот результат. Вычислим теперь Мх:
= 4а
27Г
/а(1 — cos t) • 2а sin dt = 2а2 «/ о
2тг
/2sin4 о
a sin dt =
2тг	2п
fsin3 dt = —8а2 f (1 — cos2 d (cos J	&	J \	Li J	\	Li J
о	0
= —8а2 (cos x — | cos3 \ Z О	L /
2’= ^a2. о 3
Окончательно получаем:
m = 8a, Mx = ^a2, My = 8тга2, хс — ла, ус = ^а.	•
О	о
4.1.18.	Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой у = “ch§
от точки А(0, а) до точки B(b,h).
4.1.19.	Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды
х — a(t — sin t), j/= a(l — cost), 0 t тг.
4.1.20.	Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти окружности х2 +?/2 = а2, х 0, у 0. Плотность распределения масс дуги постоянна и равна к.
Q Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы у = х первого координатного угла. Отсюда заключаем, что Jx и Jy одинаковы, т. е.
Переходя к параметрическим уравнениям окружности х = a cost, у = = a sint, 0 t откуда dl = adt, получаем
7Г	7Г
.	2	„2	.	тг
/ о.2 я; _ „з fr.^^.i._a /	jj. _ а° Л . sm2t\ 2 _ 7га0
lx dl — a I cos t dt — / (1 + cos 2t) dt — -x- 11 + —zr— I — —-—.
J	J	2 J	'	2 \	2 / о 4
L	о	0
Таким образом Jx = Jy = Jq = Jx + Jy =	®
4.1.21.	Вычислить массу четверти эллипса х = 5cosi, у = 4sint, расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность р равна у.
4.1.22.	Найти массу контура эллипса
^ + ^ = 1
а2 Ь2 ’
если его линейная плотность в каждой точке М{х,у} равна |?/|.
195
4.1.23.	Найти массу первого витка винтовой линии х = a cost, у = = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-вектору этой точки.
4.1.24.	Найти момент инерции относительно оси Oz первого витка винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt.
Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, а сверху поверхностью z = f(x,y), при условии, что известна направляющая L этой цилиндрической поверхности:
4.1.25.	f(x,y) = \/2х — 4х2, у2 = 2х.
4.1.26.	f(x,y) = х2 Л-у2 = R2.
4.1.27.	f(x, у) = 2 — у/х,у2 =	- I)3.
4.1.28.	f(x,y) = х, у = (ж е [0,4]).
о
4.1.29.	Вычислить массу контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых х = 0, х = 4, у = 0, у = 2, если р(х, у) = ху.
4.1.30.	Вычислить массу дуги параболы у2 = 2х, заключенной между точками (9(0,0) и 4(1, х/2), если р(х,у) = ху.
С помощью криволинейного интеграла I рода вычислить длины заданных дуг:
4.1.31.
4.1.33.
4.1.34.
ау2 = х3, 0 х 5а.	4.1.32.
/Э Д'	Д*
У =	+е“а), 0 х 4.
£
у = 1 - In cos я;, 0 z .
г = a sin
з
3‘
С помощью криволинейного интеграла I рода найти координаты центра
тяжести кривых:
4.1.35.
4.1.37.
4.1.38.
у2 = ах3 — х4.	4.1.36.
2	2	2
хз + уз = аз, у 0.
Дополнительные задания
Вычислить данные интегралы I рода:
4.1.39.	Jy/x2 + у2 dl, где L задана уравнениями х = a(cos£ + isint), L
у = a(sint — tcosi), 0 t 2тг. /JI
——---------, где L — первый виток винтовой линии
х2 + у2 + z2
L
х = a cos t, у = a sin t, z = bt, 0 2тг.
196
4.1.41.	J{x + z)dl, где L — дуга пространственной кривой, заданной L
3t2 я
параметрически х = t, у = —=, z = t , 0 t 1.
2
4.1.42.	Найти длину дуги конической винтовой линии х = ae*cost, у = aet sin t, z = ael, заключенной между точками 0(0,0,0) и Л(а, 0, а).
4.1.43.	Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 4- cos</?).
4.1.44.	Найти декартовы координаты центра тяжести дуги логарифмической спирали г = ае^ от до </?2 = тг-
4.1.45.	Вычислить	г
/ |я + y\dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), 0(0,1).
4.1.46.	Вычислить интеграл J\/2y2 4- z2 dl, если L — окружность
L
(х2 4- у2 4- z2 = а2, [я = у.
4.1.47.	Вычислить площадь боковой поверхности параболического цилиндра у = х2, ограниченного плоскостями z = 0, z = 2я, я = О, я = 1.
4.1.48.	Вычислить массу кривой я = 1п(1 4-12), у = 2 arctgt — t на участке от t = 0 до t = 1, если ее линейная плотность равна р(я,?/) = е~ху.
4.1.49.	Вычислить массу четвертой части эллипса
я2 V2
^ + ^ = 1, х^0, у^О,
если линейная плотность р(х, у) = ху.
4.1.50.	Вычислить массу всей цепной линии у = ^(еа 4-е а), если ее £
линейная плотность р(х,у) =
л 1	У
4.1.51.	Вычислить	г
J(x-y) dl,
L
где L: я2 4- у2, = ах.
4’1.52. Вычислить с /--------------
/ Я'у/я2 - у2 dl,
L
где L — линия, заданная уравнением (я2 4-?/2)2 = а2(я2 — у2), я 0 (половина лемнискаты).
197
4.1.53.	Вычислить	/• у
/ arctg £ dl,
L
где L — часть спирали Архимеда г = 2^9, заключенная внутри
круга радиуса R с центром в начале координат.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.1.54.	Вычислить	г 1	4
/(хз + уз) dl,
L 2	2	2
где L — дуга астроиды хз + уз = аз, лежащая в первой четверти.
4.1.55.	Вычислить	г
J \y\dl, L
где L — дуга лемнискаты (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2), х 0.
4.1.56.	Вычислить	г ------
JVx2 + У2 dl, L
где L — полуокружность х2 + у2 = ах, у 0.
4.1.57.	Найти длину пространственной кривой • х , 4 — х у = arcsm —, z = In -----------------------
17	4’	4+ х
4.1.58.
4.1.59.
4.1.60.
от точки 0(0,0,0) до точки А(2,3,4).
Вычислить	г
I zdl,
L
где L — коническая винтовая линия х = t cos t, у = t sin t, z — t, 0 t 7Г.
Найти массу дуги параболы у2 = 2рх, заключенной между (р \
н, р I, если ее линейная плотность рав-/
на р(х,у) = у.
at2	at?
Найти массу дуги кривой х = at, у = z = заключен-Z	о
ной между точками 0(0,0,0) и Al а, 1, если ее линейная \ Z О /
4.1.61.
ПЛОТНОСТЬ ] Вычислить
L
где L — четверть окружности х2 + у2 + z z 0, лежащая в первом октанте.
2	2 2?^-
х +у =
198
Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на магнитную массу m с силой	.
г mJ sm a dl
* ~	-г2	’
г
где J — ток, dl — элемент длины проводника, г — расстояние от элемента тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока. Эта сила F направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса, направление силы определяется по правилу буравчика.
Опираясь на закон Био-Савара, решить следующие задачи:
4.1.62.	Найти силу, с которой ток J в бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, находящуюся от проводника на расстоянии а.
4.1.63.	По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток J. С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в центре квадрата?
4.1.64.	С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восстановленном в центре круга на расстоянии h от этого круга?
4.1.65.	С какой силой ток J, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в фокусе эллипса?
4.1.66.	С какой силой ток J, текущий по бесконечному параболическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до Р равно к-
Вычислить площадь цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, сверху данной поверхностью z — f(x,y), при условии, что направляющая задана кривой L:
4.1.67.	f(x,y) = ху, L — четверть эллипса
^ + ^ = 1 а2 62
лежащая в первой четверти (х 0, у 0).
4*1.68. f(x,y) = у, L — участок параболы
у2 = 2рх
от начала координат до точки (жо, уо)-
4-1.69. f(x,y) = х2 + у2, L — прямолинейный отрезок, соединяющий точки А(а,а) и В(Ь, Ь).
199
4.1.70.	f(x,y) = ye~x, L — участок кривой я = 1п(1 + £2), у = 2 arctg f — t + 3, заданной параметрически, между точками, соответствующими t = 0 и t = 1.
4.1.71.	f(x,y) = ?~, L — дуга параболы у = 2х, лежащая между точками (1, а/2) и (2,2).
4.1.72.	/(ж, у) = 2/3, L — арка циклоиды
х = a(t — sinf), у = а(1 — cost), 0 t 2тг.
§2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть L = АВ — гладкая кривая, а Р(х, у) — некоторая функция, определенная в точках кривой L. Разобьем кривую L на п произвольных частей точками А = Mo, Mi, М?,..., Мп = В. Далее на каждой из полученных дуг	выберем произвольную точку Мг(хг,уг), после чего составим про-
изведение Р(хг,уг) Дхг значения функции Р(х,у) в точке Мг на проекцию Axi = Xi+i — Xi этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, получим сумму п
Sn,® = У^Р(Ёг,&)ДЖг,
г=0
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р(х,у) по координате х.
Пусть теперь d — наибольшая из длин дуг	Если функция Р(х,у)
непрерывна в точках кривой L, то при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn,x, не зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек Mi. Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате х и обозначается
, у) dx.
L
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по координате у, который обозначается
, У) dy,
L
где Q(x, у) — непрерывная функция.
Сумма криволинейных интегралов
x,y)dx и jQ(x,y)dy
L	L
200
называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается f P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
L
Криволинейные интегралы второго рода называются также криволинейными интегралами по координатам.
Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,
У Р(х, у) dx -I- Q(x, y)dy = - У P(z, у) dx -I- Q(z, у) dy,
BA	AB
т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Предположим, что кривая L задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией у = у(х), х 6 [а, 6]. Тогда
ь
У Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = У[P(z, y(z)) -I- Q(x, y(x))y (z)] dx.
L	a
Если L задается параметрическими функциями x = z(t), у = y(t), t G [a, /3], TO
/з
JP(x, y) dx + Q(x, y)dy= I[p(x(t), t/(0)z(t) + Q(x(t), y(t))y\t)] dt. L	a
Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргументы (х, у, z) функций Р, Q, R для краткости опускаем):
/?
f Pdx + Qdy + Rdz = f(P • x'(t) -I- Q • у (t) + R • z (i)) dt,
L	a
где (x, y, z), x = z(t), у = y(t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой L.
Приложения криволинейного интеграла второго рода
Интеграл
У Pdx + Qdy
L
м°жно представить в виде скалярного произведения векторов F = Pi + Qj и = idx +jdy:
jpdx + Qdy= ^F(x,y)-ds.
L	L
201
В таком случае
L
выражает работу переменной силы F = Pi+Qj при перемещении материальной точки М = М(х, у) вдоль кривой L = АВ от точки А до точки В.
При А = В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:
В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L = dD (&D — обозначение границы области D), а в области D и на ее границе dD функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема 4.1. Пусть Аи В — произвольные точки области D, АтВ и АпВ — два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 45). Тогда следующие условия равносильны: . &Q дР ( г ч г аГ = ау (условие г₽инэ)-
2.	J Pdx + Qdy = f Pdx + Qdy (криволинейный интеграл не зависит АтВ	АпВ
от пути интегрирования).
3.	у Pdx + Qdy = 0 (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
АпВтА
4.	Pdx + Qdy = dU (выражение Pdx + Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U = U(x,y)).
Рис. 45
В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (хо,уо) и (xi,t/i) из области .D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона
202
Лейбница
(а=1>У1)
(а=О»Уо)
Р dx + Q dy = U(x,
У)
(х1,У1)
= U(xi,yi) - U(x0,y0), (хо,Уо)
где U(x, у) — некоторая первообразная для Pdx + Qdy.
С другой стороны, первообразная U(x,y) выражения Pdx + Qdy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла
(s,y)
U(x,y) = j Pdx + Qdy.
(а=0,Уо)
В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(x,y), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу
fPdx + Qdy = fj(jg- dxdy.
9D	D
Здесь предполагается, что обход границы 9D области D в криволинейном интеграле
^Pdx + Qdy
QD
совершается в положительном направлении, т. е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S = S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода:
S =	(jixdy — у dx
QD
(эта формула получается из формулы Грина с Р = — ^у, Q =
4.2.1.	Даны функции Р(х, у) = 8х + Ау + 2, Q(x, у) = 8у + 2 и точки
Л(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
J(8.т + Ау + 2) dx + (Зу + 2) dy, L
где:
1)	L — отрезок О А;
2)	L — ломаная ОБА;
3)	L — ломаная ОСА;
4)	L — парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5)	проверить выполнимость условия Грина.
203
Q Пути интегрирования, соответствующие п.п. 1)-4), изображены на рис. 46.
Рис. 46
1) Отрезок О А может быть записан в виде: у = 2х, х £ [0,3]. Тогда dy = 2 dx и
з
J Pdx + Qdy = у[(8т + 4 • 2х + 2) dx + (8 • 2х + 2) • 2 dx] = оа	о
з
J(48# + 6) dx = (24т2 + 6т) о
з
= 234. о
2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОБ и В А. Тогда:
а)	ОВ-. здесь у = 0, 0 т 3, т. е. dy = 0, откуда
з
У (8т + 4у + 2) dx + (8у + 2)dy = j(8т + 2) dx = (4т2 + 2т) ов	о
з
= 42.
о
б)	В А: х = 3, 0 у 6, т. е. dx = 0, и
6
J (8т + Ау + 2) dx + (8 г/ + 2) dy = J(8y + 2)dy = (Ay2 + 2y)
BA	0
6
= 156.
0
Таким образом,
j (8т + Ay + 2) dx + (8y + 2)dy = 42 + 156 = 198. OBA
3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
204
а)	ОС: x = 0, (т. е. dx = О), О у 6, откуда
6
У (8ж + 4у + 2) dx + (8у + 2)dy = f(8у + 2)dy — 156. ос	о
б)	С А: О х 3, у = 6, dy = О, следовательно,
з
У (8а; + Ау + 2) dx + (8у + 2) dy = J(8х + 26) dx = 114. са	о
Окончательно
(8а; + Ау + 2) dx + (8j/ + 2) dy =
114 +156 = 270.
ОСА
4) Подставив координаты точки .4(3; 6) в равенство у = ах2 найдем 2х2	4
уравнение данной параболы у = —х—. При этом 0^x^3ndy= -^xdx, о	о
откуда (путь О А по параболе обозначим О А)
j (8а; + Ау + 2) dx + (8у + 2) dy
dx +
(^+2) Iх &
3	к я
—	f (64 з , 8„2 . 32, 9\ > _ /164 , 8 я , 16 2 , 9Л _ 999
—	J I g х 4- ^а;	3	/ dx — g х 4“ да; 4~	4~ 2а;j — 222.
о
5) Имеем
^ = ^-(8:c + 4j/ + 2) = 4,	= $-(йу + 2) = 0,
ду оу	ох ох
т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.	•
4.2.2.	Даны функции Р{х,у) = у + 3, Q{x,y) = 8х + 7у + 6 и точки А(9,4), В(9,0), С(0,4). Вычислить криволинейный интеграл
J(y + 3) dx + (8а; + 7у + 6) dy, L
где:
1)	L — отрезок ОА\
2)	L — ломаная ОБА,
3)	L — ломаная ОСА\
4)L — парабола, соединяющая точки 0(0,0) и Л(9,4) и симметричная относительно оси Оу.
5)	Проверить выполнение условия Грина.
205
4.2.3.	Вычислить
У(4т/ + 4) dx + (Зя: + Зу + 4) dy L
по разным путям, соединяющим точки 0(0,0), А(2,6), В(2,0), 0(0,6):
1)	L =
2)	L = OCA-
3)	L = ОБА;
4)	L — дуга 65 параболы у = ^я:2.
4.2.4.	Вычислить интеграл
j2ху dx — х2 dy, L
взятый вдоль различных путей, соединяющих точки 0(0,0), А(2,1),В(2,0), 0(0,1):
1)	L — отрезок О А;
2)	L — парабола с осью симметрии Оу, проходящая через О и А;
3)	L — парабола, проходящая через О и А с осью симметрии Ох-,
4)	L — ломаная ОБА;
5)	L — ломаная ОСА.
4.2.5.	Вычислить интеграл
.	jу2 dx + х2 dy,
L	х2	У2
где L — верхняя половина эллипса + — = 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки.	°	°
ф Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х = a cost, у = bsint, t е [О,тг], т.е. dx = —asintdt, dy = bcostdt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от тг до 0), получаем
о
jу2 dx + х2 dy = j\~b2 sin21 • a sin t + a2 cos21 • b cos t) dt = L	n
7Г	7Г
= уabi2 sin21 • sin tdt — Ja2bcos21 • cos tdt = о	о
7Г	7Г
= —ab2 j\l — cos21) d(cos t) — ab2 j\l — sin21) d(sint) = о	о
= -ab2 (cost -	’-a2b (sint -	’= ±ab2. •
\	3 J о \	3 j о 3
206
Вычислить
4.2.6.
4.2.7.
4.2.8.
4.2.9.
х2 dy — у2 dx I 1 ’ ХЗ + уз
где L — дуга кривой х = R cos3t, у = R sin3пробегаемая от точки А(7?, 0) к В(0, R).
Вычислить	г
где L — дуга синусоиды у = sin х от точки (0,0) до точки (тг, 0).
Вычислить	с
L х У где L — отрезок прямой — + -г = 1 от точки А(а, 0) до точки 5(0,6).
Вычислить
j(x2 - у2) dx + (ж2 + у2) dy L
вдоль эллипса —- Ч—- = 1, пробегаемого в положительном а2 Ь2
направлении (против часовой стрелки).
4.2.10.	Вычислить
У yz dx + xz dy + xy dz
L
по дуге винтовой линии x = a cos у = a sin t, z = bt при изменении t от 0 до 2тг.
Q Сначала найдем дифференциалы переменных: dx = —a sin t dt, dy = = a cos tdt, dz = bdt. Выразим подынтегральное выражение через t, сводя исходный интеграл к определенному:
27Г
f yzdx + xz dy + xydz = j (—a2bt sin2 t + a2bt cos2 t + ba2 sin t cos t) dt = L	о
27Г
= a2b У (zcos2f + dt = о
(„2л-	x
f.sm2t 7Г_1	cos2t =0 *
2 о 2 J	4 о J
о	7
4.2.11.	Вычислить	r
xdy — у dx,
L
где линия L — задана уравнениями a; = 2\/5cos3t, ?/ = 4\/58т3£, te [0,2тг].
207
4.2.12.	Вычислить	? п __
j(x2+y2)3dx L
вдоль окружности х2 4- у2 =5, пробегаемой в положительнее направлении.
4.2.13.	Вычислить
У(я2 — 2ху2 + 3) dx 4- (у2 — 2х2у + 3)dy, L
где L — дуга параболы у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и Л(2,8).
4.2.14.	Вычислить />
I ydx + zdy + xdz,
L
где L — виток винтовой линии х = a cost, у = а sint, z = bt, О t 2тг, пробегаемый в направлении убывания параметра.
4.2.15.	Показать, что интеграл
(10,10)
У (х 4- у) dx 4- (х - у) dy
(о,о)
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и вычислить его.
Q Проверим условие Грина. Положим Р = х + у, Q = х — у. Тогда
э<э _ эр , дх ду ’
и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки 0(0,0) и В(10,10). Отрезок ОБ можно задать так: у = х, х € [0,10]. При этом dy = dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу
(10,10)	ю
I (х + y)dx + (х — y)dy = j\x + x)dx = x2
(0,0)	о
10
= 100. о
Проверить, что данные криволинейные интегралы не зависят от пути интегрирования и вычислить их:
(i.i)
4.2.16.	у (Зх2 — Зу) dx 4- (Зу2 — Зх) dy.
(о,о)
(2,0)
4.2.17.	у (Зх2 4-бху2) dz 4-(6х2у 4-4у3) dy.
(и)
208
2,3
4.2.18-	У (ж3 — Зху2 + 2) dx — (Зх2у - у2) dy.
(о.о)
4.2.19.	Вычислить криволинейный интеграл
j\x + 1) dx + xyz dy + y2z dz,
L
где L — отрезок, соединяющий точку (7(2,3, —1) с точкой Г>(3,-2,0).
Q Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:
x-2_?/-3_z + l 1	-5	1 ’
Отсюда х = 2 +1, у = 3 — 5t, z = -1 +1, t € [0,1]. Далее, находим dx = dt, dy — —5 dt, dz = dt, подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:
J = у [(3 +t) dt - 5(2 + t)(3 - 5t)(-l +t) dt + (3 - 5t)2(-l +t) dt] = о	i
= ^(24 - 25t - 45t2 + 50t3) dt = 9. •
о
4.2.20.	Вычислить криволинейный интеграл
L
вдоль кривой L = CD, соединяющей точки (7(4,0) и Р(0,2), если:
1)	CD — отрезок прямой;
2)	CD — парабола, симметричная относительно оси Ох\
3)	CD — парабола, симметричная относительно оси Оу,
4)	CD — дуга эллипса с центром в начале координат.
Вычислить простейшим образом данные интегралы от полных дифференциалов:
4.2.21.
4.2.23.
(2,3)
J xdy + у dx.
(-1,2)
(1,1)
J (х + y)(dx + dy).
(0,0)
4.2.22.
4.2.24.
209
4.2.25. Проверить, является ли выражение
(Зя2?/ + i") dx + { я3 -	) dy
v	у 7	\ У J
полным дифференциалом некоторой функции £7(я, у) и если да, то найти эту функцию.
Q Обозначим Р = Зя2?/ 4- Q = я3 — Тогда у	У
дР=%т2_1_	= Чт2 - ±
ду	у^'дх	у^'
Таким образом, условие Грина (	= -х— ) имеет место при у 0.
\ оу oxJ
Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), которая может быть найдена как криволинейный
интеграл
f (Зх2у + dx + ( я3 -	) dy,
J \ У/ у у/
(хо,уо)
где (хо,уо) — произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не лежащая на оси Ох (так как уо 0). Положим (яо, у о) = (0,1), а в качестве пути интегрирования выберем путь L = АВС, изображенный на рис. 47. Тогда сокращенно можно написать
АВС АВ ВС
(*>у)
U(x,y)= у = (®о,Уо)
Рис. 47
Имеем: 1) (АВ): у = 1, т. е. dy = 0 и
210
2) (ВС): х— фиксировано, следовательно, dx = 0, откуда
3) Таким образом, U(x, у) = х3 4- х 4- х3у 4-	— х3 — х = х3у 4-
Проверка показывает, что действительно,
dU = d (х3у 4- ~) = (Зх2у +77) dx 4- (х3 - ~ ) dy.
\ у /	\	У J	\	7
Найдя первообразные данных подынтегральных выражений вычислить криволинейные интегралы:
4.2.26.
4.2.27.
4.2.28.
4.2.29.
(з,о)
J (х4 + 4ху3) dx + (6х2у2 — 5у4) dy.
(-2,-1)
(0,-1)
xdy — у dx - у)2
(У ± *)•
г \х 4- 2?/) dx -[-уdy
J	(х 4- у)2
(1,1)	1	у
(х + у± 0).
dy.
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых:
4.2.30. J(y — z) dx 4- (z — x) dy + (x — y) dz, где L — виток винтовой L линии x = a cos t, у = a sin t, z — bt, 0 t 2tt.
4.2.31.	<£у dx 4- zdy 4- xdz, где L — окружность, заданная формулами
L
x = Rcoscncost, у = _Rcosasm£, z = Rsina (a = const).
Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов (предварительно найдя первообразную):
4.2.32.
(6,4,8)
У х dx 4- у dy — z dz. 4.2.33.
(1,о,-з)
(а,6,с)
j yzdx 4- xzdy 4- ху dz.
(1,1,1)
211
(3,4,5) Л . Л . А
4 2 34	[ xdx + ydy + zdz
(0,1,0)	+ У2 + *
4.2.35.	С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл
У%/х2 + у2 dx + у [ху + In (я + у/х2 + 2/2)] dy
L
в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника ABCD (рис. 48), где 4(1,1), В(7,1), 0(7,4), Г(1,4).
Рис. 48
Q Имеем Р = \/х2 + у2, Q = у(ху + In (а: + \Лг2 + у2)), откуда
Таким образом, в силу формулы Грина данный криволинейный интеграл равен двойному интегралу от у2 по прямоугольнику ABCD, т.е.
/ао \	74
$ Pdx + Qdy = jj ( -q-j dxdy =	y2 dxdy = jdx jy2 dy =
L	ABCD 4	7	ABCD	1	1
=/.^4=7.^=147. •
13 1	3
4.2.36.	Применяя формулу Грина, вычислить
У 2(^2 + у2) dx + (х + у)2 dy,
L
212
где L — контур ДАВС, пробегаемый в положительном направлении, и А(1,1), В(2,2), <7(1,3). Полученный результат проверить непосредственным вычислением криволинейного интеграла.
Найти функции по данным полным дифференциалам:
4.2.37.	dU = х2 dx + у2 dy.
4.2.38.	dU = 4(х2 - y2)(xdx - ydy).
4.2.39.	du=^ + 2y)dX + ydy (* 4- у)2
г	x2 4- \/x2 + у2
4.2.40.	dU — ----- dx---------------dy.
Уу/х2 + у2 y2y/x2 + у2
4.2.41.	dU = (+ яА dx + ( -—У—- - у2} dy. \(у-х)2	) \(у-хг J
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
/xdy + ydx	Т	.	.
---т--7—, где L — окружность (х — 1)“ 4- (у — 1) = 1, про-х2 4- у
бегаемая против хода часовой стрелки.
f	2	У2
4.2.43.	<р(ху 4- у 4- х) dx 4- (ух — у + х) dy, L — эллипс ^4-^ = 1.
/	а2	b
Li
4.2.44.	^(ху 4-х 4-у) dx 4- (ху 4-х — у) dy, L — окружность х2 4- у2 = ах.
L
4.2.45.	<1>(2х 4- Зу) dx 4- (Зх — 4у) dy, где L состоит из дуги параболы L
у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и А(2,4), и отрезка прямой, соединяющей эти точки.
4.2.46.	<1>(х4 4- 4ху3) dx 4- (6х2у2 — 5у4) dy, где L — дуга верхней по-L
х2 У2	f г~
ловины гиперболы — — — = 1 от точки А(—a, у 26) до точки
В(а, у/2Ь) и отрезка прямой, соединяющей эти точки.
4.2.47.	Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного интеграла.
Рк ►-»	х2 У2
nJ Запишем эллипс — 4—= 1 в параметрической форме х = a cost, аг b
У — bsint, 0 t 2тг, после чего воспользуемся формулой для площади
213
области D
2тг
5=^ J>xdy — у dx = | [(a cos t • b cos t + b sin t • a sin t) dt = J	£ J
9D	0	2л-
= i fabdt = 7ra^)- • 0	'
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
4.2.48.	Астроидой х = a cos3t, у = а sin3t.
4.2.49.	Кардиоидой х = a(2cost — cos2i), у = a(2sint — sin2t).
4.2.50.	Петлей декартова листа х3 + у3 — Заху = 0 (а > 0).
4.2.51.	Кривой (ж + у)3 = аху.
4.2.52.	Петлей (х + у)4 = х2у.
4.2.53.	Лемнискатой Бернулли (т2 + у2)2 = 2а2(х2 — у2).
4.2.54.	Петлей линии (у/х + Уу)12 = ху.
4.2.55.	Вычислить работу силового поля F = yi — tj при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса ^ + ^ = 1 а2 Ь2
из точки С (а, 0) в точку В(—а, 0).
Q Работа А силового поля F = Pi + Qj при перемещении материальной точки М вдоль линии СВ равна
У Р dx + Q dy.
св
Запишем дугу эллипса СВ в параметрической форме: х = a cost, у = = bsint, t € [0, тг]. Тогда dx = —asintdt, dy = bcostdt и
7Г	7Г
А= Jydx — xdy = j\~ab sin21 — ab cos21) dt = —ab Jdt = irab. • св	о	о
4.2.56.	Дана переменная сила F = —yi + (Зу — 8т )j. Вычислить работу этой силы при перемещении материальной точки вдоль контура прямоугольника с вершинами А(9,4), В(— 9,4), С(—9, — 4), т-4).
4.2.57.	Найти работу силы F = —yi + (Зу — 8x)j при перемещении материальной точки вдоль эллипса
*! + ^ = 1
81	16
4.2.58.	Найти работу силы F = —4yi+ (4у—3t)j при перемещении мате-
риальной точки вдоль прямоугольника с вершинами А(2, —6), B(2,6),C(-2,6),D(-2,-6).
4.2.59.	Найти работу силы F = —4yi + (4у — 3t)j вдоль эллипса
4	36
214
Дополнительные задания
4.2.60*	Даны точки А(2,2), В(2,0), (7(0,2). Вычислить
У(2х + 3) dx + (х + 7у 4-1) dy, L
где
a) L = OA;	б) L = OBA-
в) L = OC;	г) L = OCA;
д) L — парабола, симметричная оси Оу и соединяющая точки О и А.
4.2.61.	Даны точки А(9,0,0), В(9,4,0), (7(9,9,9). Вычислить
j dx + (3z + 8) dy + (7z 4- 6) dz, L
где
a) L = AC-,	6) L = OABC.
4.2.62.	Даны точки A(—2, —2), B(—2,0), (7(0, —2). Вычислить
j\y + 4)dx + (3x + 3y) dy, L
где
a) L = OA;	6) L = OCA;
в) L = OBA-,	r) L — дуга параболы О A.
4.2.63.	Даны точки А(2,0,0), В(2,2,0), (7(2,2,2). Вычислить
У 4dx + (4z + 3) dy + (Зх 4- 4) dz, L
где
a) L = AC-	6) L = OBC.
4.2.64.	Вычислить J (3x2y + y)dx + (x — 2y2) dy, где ABC — контур ABC
треугольника ABC с вершинами A(0,0), B(l,0), (7(0,1).
4.2.65.	Вычислить
I у dx — xdy,
L
x2 У2
где L — эллипс —- 4—z- = 1, пробегаемый в положительном a2 b
направлении.
4.2.66.	Вычислить
Г х dx______У dy
J X2 + у2 X2 4- у2
по окружности с центром в начале координат.
215
4.2.67.
Вычислить
/ydx + xdy x2 + у2
L
4.2.68.
4.2.69.
по отрезку прямой у = х от точки х = 1 до точки х = 2. Вычислить	Л
xdy — ydx .
L
3at 3at2
по петле декартова листа x =----, у =---7.
1 +13	1 +t3
Вычислить	л
xdy — ydx,
L
где L — арка циклоиды x = a(t — sint), у = a(l — cost), 0 t 27Г.
Найти функции no их полным дифференциалам:
4.2.70.	dU = у dx + х dy.
4.2.71.	dU = (cosx + За:2?/) dx + (x3 — y2) dy.
4.2.72.	dU = x - dx + У dy. y/x2 + y2 \/x2 + y2
4.2.73.	= (2a: + у + z) dx + (x + 2y + z) dy 4- (x + у + 2z) dz.
4.2.74.	dU = (3a:2 + 2y2 4- 3z) dx + (4xy + 2y - z}dy + (За: - у - 2) dz.
4.2.75.	dU = (2xyz — 3y2z + Sxy2 + 2) dx 4- (x2z — 6xyz + Sx2y + 1) d?/+
+(x2y — 3xy2 + 3) dz.
4.2.76.	dU= 1^-4) dz+( 1-4) dy+(±-^] dz. \U x2 /	у2 /	Z2 J
4.2.77.	Вычислить работу силы F = xyi + (x + y)y при перемещении точки из начала координат в точку Л(1,1): а) по прямой;
б)	по параболе у = х2. '
4.2.78.	В каждой точке эллипса х = a cost, у = 6 sint приложена сила
F = -a:i - yj.
а)	Вычислить работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первой четверти.
б)	Вычислить работу, если точка обходит весь эллипс.
Найти работу данного силового поля F при перемещении материальной точки вдоль отрезка АВ, если известны координаты концов отрезка:
4.2.79.	F = (х4 + 4xy3)i + (6а:2?/2 - 5?/2)j, Л(-2, -1), В(3,0).
4.2.80.	F= * .2i- , У .21Л(0,-1),В(1,0).
(х - у)2 (х - у)2
4.2.81.	F=^±M+—j, А(1,1), В(3,1).
(х + уУ (х4-у)2
216
4.2.82.	F = ( - JL + у ) i +	+ X I j, 4(0,0), B(l, 1).
/	\v^2+2/2	/
4.2.83.	F = (3a:2?/ - ?/3)i + (a:3 - 3a?2/2)j, A(0,0), B(l, 1).
4.2.84.	F= (^/-^=)i+(^- + ^=)j,4(l,4),B(9,l).
\	3Vi4/	\2V Vх J
4.2.85.	F =------------— i-------------—j, 4(1,1), B(2,2).
(x2 + y2) (arctg I) (x2 + y2) (arctg jj
4.2.86.	F =4(2,1), B(l, 7). ~Ь У Xt ”1“ У
4.2.87.	F = (y3 - 6x?/2)i + (За:?/2 - 6 a:2?/ + 8?/3)j, A(0,0), B(l, 1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить криволинейные интегралы II рода:
4.2.88.
/У
dx — arctg dy, где От А — дуга параболы у = х2, а •С
ОтАпО
ОпА — отрезок прямой у = х.
(2,3)
(3,-4)
4.2.89.
4.2.90.
4.2.91.
(-1.2)
(1,2) Л Л
г у dx — xdy
(ОД)
(6,8)
(2Д)
X2
4.2.92.
4.2.93.
о
У У
~2 cos X Jj
У \ . , ( . у , У
~ ) dx + ism ~ + - cos •1/ /	\	*1/ «с
4.2.94.
Доказать, что если /(и) — непрерывная функция, то
для любого гладкого контура L.
Найти первообразную функцию по данному дифференциалу:
4.2.95.	+
х2 + у2
4.2.96.	=	+
х2 sin2	х sin
4.2.97.	dz = -—-[-ydx + xdy]. (я - У)
(1') V^2 + y2
L
217
4.2.98.	Вычислить
J(у2 — z2) dx + 2yzdy — x2 dz,
L
где L — кривая x = t, у = t2, z = t3, 0 t 1, пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
4.2.99.	Вычислить
У(У2 — ^2) dx + (г2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, L
где L — контур, который ограничивает часть сферы x2 + y2+z2 = l, х^О, у^О, z^O,
пробегаемый так, что внешняя сторона сферы остается слева.
4.2.100.	Доказать, что для криволинейного интеграла II рода справедлива оценка
jP(x,y)dx + Q(x,y)dy ^LM,
L
где L — длина кривой L, а
М = шах у/Р2(х,у) + Q2(x,y).
(х,у)еь
4.2.101.	Оценить интеграл
/у dx — xdy (х2 + ху + у2)2 ’ £j
где L — окружность х2 + у2 = R2. Доказать, что при R —> +оо данный интеграл стремится к нулю.
§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть f(x, у, z) — функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части Si,..., Sn с площадями Д<71,..., Дсгп и диаметрами di,..., dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi,yi,Zi), составим сумму
п
Zf^.yz.Zi) • Д(Т£, t=l
которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, у, z).
Если при d —> 0 (где d = max di) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора
218
точек Мг, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода
л обозначается
У[ f(x,y,z)
S
da.
Если функция f(x, у, z) непрерывна, то интеграл
ff f(x, у, z) S
da
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т. д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z = = z(x, у), причем z(x, у) непрерывна вместе со своими частными производными z'T = z'x(x,y) и z'y = z'y(x, у), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:
fff(x,y>z}da =
S	D
[j /(^у,г(х,у))у/1 + (г'х}2 + (z'y)2 dxdy.
Если поверхность S задана параметрически в виде х = х(и, и), у = у(и, v), z = z(u, v), где х, у, z — непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости Ouv, то
[ff(x,y>z)da
= ffflx(u> v),y(u,v),z(u,v)]\/FiH
G
F2 dudv,
где
p —	-1- (н _	4- (I (dz\2
\du) \duJ \du) ’	\dv) \dv) \dv) ’
p_ dx dx . dy dy dz dz du dv du dv du dv
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Пусть S — гладкая материальная поверхность с плотностью р = p(x,y,z).
Тогда с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности плоскостей
относительно координатных
Мху = JJzpda, Myz = JJxpda, s	s
2) координаты центра тяжести поверхности
Zc ~~ т ’
_ MyZ	_ Mxz
с т ’	~~ т
Mxz =	у pda-,
s
где т = J s
219
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат
IJ (У2 + z2)pda, s
= jj(x2 + z2)pda, Jz= jj(x2+y2)pda, s	s
fj(x2 + y2 + z2)pda. s
Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода
Площадь поверхности S можно найти по формуле
da = пл.5.
s
Если р(х, у, z) — поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса т находится так:
т
s
da.
Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция К(х,?/, z), и пусть в каждой точке М поверхности определено положительное направление нормали п(М) (п(М) — непрерывная вектор-функция) .
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью п и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части Si,..., Sn с диаметрами di,..., dn. Обозначим через ДР1,..., ДРП площади соответствующих проекций частей Si,..., Sn на плоскость Оху, а через d — максимум из чисел di,..., dn. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Мг(Хг,Уг, Zi), СОСТЭВИМ Сумму
п y^R(xt,yt,Zj)^Pt, г=1
которая называется интегральной суммой второго рода для функции R(x,y,z). Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности R(x, у, z)) при d —> 0, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Мг, называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x, у, z) по поверхности S и обозначается
УУR(x, у, z) dxdy. s+
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
УУ P(x,y,z)dydz и уу R(x,y,z)dxdz
S+	Q+
220
от непрерывных функций Р(х, у, z) и Q(x, у, z). Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
JJ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy. s+
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление z = z(x, у), (х, у) 6 G D С Оху. Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D
JУR(x, у, z) dxdy = ууR(x, у, z(x, у)) dxdy.
Если выбрана противоположная сторона S поверхности S, то
УУ R(x, у, z) dxdy = - ууR(x, у, z(x, у)) dxdy.
S~	D
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
УУP(x,y,z)dydz и j^Q(x,y,z) dxdz.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Если а, /8, 7 — углы, образованные соответственно с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz, единичной нормалью п к выбранной стороне S+ поверхности S, то связь поверхностных интегралов первого и второго рода выражается следующим равенством
УУ Р dydz + Q dxdz + R dxdy = JJ(R cos Q + Q cos fl + R cos 7) da.
s+	S
Поскольку n = {cos a, cos fl, cos7}, то поверхностный интеграл первого рода в правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме
//F.nda,
S
где F = {F, Q, R} — векторное поле, определенное на S.
Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, протекающей через поверхность S. Тогда интеграл
//Fnda
S
можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протекающее в единицу времени через поверхность S в положительном направлении,
221
т. е. вдоль п. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность S.
4.3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
[[———
JJ (1 + я + z)3’ о
где а — часть плоскости х + у + z = 1, заключенная в первом октанте.
Q Поверхность ст можно выразить явно: z = 1 — х — у, (ж, у) Е D, где область D — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у = 0 и х+у = 1 (рис. 49). При этом da = ^/1 + (z^.)2 + (zp2 dxdy = y/3dxdy. Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен l + # + z = l + a; + (l — х — у) = 2 — у):
Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
4.3.2.
4.3.3.
где а — часть плоскости х + у + z — 1 при
условии х 0, у ff(z + 2х + |»)
0, о о.
da, где а — часть плоскости 6x+4y+3z =
И,
а
лежащая в I октанте.
222
4.3*4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
а
где а — сфера х* 2 4- у2 4- z2 = R2.
Q В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности а и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии х 0, у 0, z 0 (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы х = Rsin рcos0, у = Bsin^sin^, z = Rcosp, учитывая, что и = в, v = р. Тогда
= (-R sin р sin О)2 4- (R sin р cos 0)2 4- 0 = R2 sin2 р, г_ (дх\2 (9у\2 , (dz\2 _
Ь ~ I ~ЕГ~ I *" I п- I "г I о- I ~
\dvJ \OVJ \ovJ
= (Bcos<£cos0)2 4- (R cos p sin в)2 4- (-R sin p)2 = R2, p _ дхдх^.^^У.дг^дг _ du dv du dv du dv
= (-R sin p sin 6) (R cos p cos 0) 4- (R sin p cos 6) (R cos p sin 6) = 0,
,/EG-F2 = R2 sin v,
а область интегрирования — четверть круга х2 4- у2 R2 (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
R2 sin2 (jpcos2 в 4- R2 sin2 99 sin2 в	В2, 0 р 0^0^^.
£ £
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию f(x,y) = х2 + у2. На сфере х2 4- у2 4- z2 = В2 имеем f(x,y) = В2 — z2 = = В2 — В2 cos2 р = В2(1 — cos2 р). Таким образом данный интеграл равен
7Г 7Г
2	2
8 JВ2(1 — cos2 р) • В2 sinpdddp = — 8В4 jdp j(1 — cos2 р) dfcosp) = в	оо
= —8В4 •	(cose/?
4.3.5. Вычислить поверхностный интеграл
cos3 р
2= 1л4 О О
а
где а — сфера х2 4- у2 4- z2 — R2 способом выделения однозначной ветви поверхности интегрирования (сферы). Этот пример
223
совпадает с примером 4.3.4, но его следует решить иным способом.
4.3.6.
Вычислить
УУ >/z2 + y2ds, s
4.3.7.
х2 У	z2
где S— боковая поверхность конуса	—у = 0(0 z Ь).
а2 b	с
Вычислить площадь той части параболоида вращения ау = = х2 4- z2, которая находится в первом октанте и ограничена
плоскостью у = 2а (а > 0).
z
Рис. 50
О Способ 1. Поверхность, площадь которой будем вычислять, предста-х2 4" z2
вим в виде у = ——, т. е. как функцию переменных х и z. Следовательно, соответствующая формула для площади примет вид
S = УУ а/1 + (Й)24-(у02 dxdz,
D
где область D — проекция поверхности на плоскость Oxz (рис. 50). Параболоид ау = х2 4- z2 пересекается плоскостью у = 2а по окружности х2 4- z2 — 2с? радиуса а\[2. Следовательно, D — четверть круга х2 4- z2 2а2 (х 0, z 0). Определим подынтегральную функцию. Имеем у'г = %,у'г = %,
l + foi)2 + fo')2 = l + ^ + ^ а а
а2 4- 4(ж2 4- z2)
Таким образом,
S = уу^/а2 4- 4(а:2 4- z2) dxdz.
D
Переходя к полярным координатам, получаем
2 ах/2 _____________ тг	п /9
S = j уd<p у л/а2 4-4r2rdr = |-^ 2-^(а2 4-4г2)3/2	= Цтга2.
о о
224
Способ 2. Поверхность параболоида представим в виде z = \/ау — х2, т. е. как функцию переменных х и у. В этом случае соответствующая формула имеет вид
s = f[y/l + (z'xy + (zWdxdy,
Di
где Di — проекция поверхности на плоскость Оху. Область Di ограничена осью Оу, параболой х = у/dy и прямой у = 2а. Определим подынтегральную функцию. Имеем
/ ______х	I _ a	-j . / / \2 .	\2 _ ^ау + °2
\/ау — х2 Яу/ау — х2	4(ау — ж2)
Таким образом
S = i [f^^-dxdy = 1	7^= =
= 1	 arcsin | • f  (a2 + 46ai;)3/2 2“= Ц™2. •
2 J	\/аУ 0	2 2 о о 12
о	v
4.3.8.	Найти площадь части параболоида 4z = х2 -I- у2, отсекаемой цилиндром у2 = z и плоскостью z = 3.
4.3.9.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
^z dxdy + у dxdz + х dydz, a
где а — верхняя сторона плоскости x + y + z = 1, ограниченной координатными плоскостями.
Q Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя а на разные координатные плоскости (см. рис. 51).
Вычислим
jj z dxdy. a
Выражая явно z через хну, сведем этот интеграл к двойному интегралу по ДОАВ. Подставляя z = 1 — х — у в подынтегральную функцию и учитывая, что:	— х, получаем
1—х
j(l—x — y)dy = о
Убедитесь, что остальные интегралы
уdxdz и
jj х dydz
приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен
3.1=1	•
6 б 2’	•
Вычислить следующие интегралы второго рода:
4.3.10.	ffyz dydz + xz dxdz 4- xy dxdy, где a — внешняя сторона тетра-<7
эдра, ограниченного плоскостями х 4- у -I- z = а, х = 0, у = О, 2 = 0
4.3.11.	jjzdxdy, тд,е S — внешняя сторона эллипсоида
5	ж2 У2 z2
п" ' Tq" i о (Г О~ С*
4.3.12.	ff3"2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy, где a — внешняя сторона поверх-<7
ности верхней полусферы х2 4- у2 4- z2 = а2.
4.3.13.	jjx3 dydz 4- у3 dxdz + z3 dxdy, где a — внешняя сторона сферы (7
х2 + У2 + z2 — а2.
4.3.14.	jj(x — у) dxdy + (z — х) dxdz + (у — z) dydz, где а — внешняя (7
сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2 (0 z < h).
4.3.15.	Найти поток векторного поля F(ir,y,z) = iri 4- у] + zk через часть поверхности эллипсоида
а2 Ь2 с2 лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.
226
Q Искомый поток равен
х cos а + у cos fl + z cos 7) do.
Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода
JJ х dydz + JJ у dxdz + jj z dxdy, Dl	D2	D3
где Di, D2, D3 — проекции эллипсоида на соответствующие координатные плоскости.
Рассмотрим, например, r г
d3
где z можно выразить через х и у из уравнения эллипсоида, D3 — внутренность четверти эллипса
ж2 , У^_
а2 Ь2
х 0,
0.
Очевидно, что
D3 равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна | • ^тгаЬс. Аналогичные интерпретации можно дать и другим интегралам, О 0 поэтому исходный интеграл I рода, т.е. поток векторного поля, равен 3.1 4то6с=2Г^£.	•
4.3.16.	Найти поток вектора F = a?2i—?/2j+z2k через поверхность тела, ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 37?2, плоскостью Оху и однополостным гиперболоидом х2 + у2 — z2 = В?.
Q Имеем
Уур1 • n do = jJ^2'2 cos a ~ У2 cos & + z<2 cos~ CT	CT
x2 cos a do — jу у2 cos fl do + jJz2 cos 7 do.
На плоскости Oxz и Oyz поверхность о проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же поверхность о симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
УУ#2 cos ado = J/у2 cos fl do = 0. CT	<T
А теперь вычислим	.
z2 cos 7 do.
CT
Поверхность о состоит из трех частей (см. рис. 52):
227
Рис. 52
а)	сегмент сферы z = \/3R2 — х2 — у2, для которого cos7 > 0 (внешняя нормаль образует с Oz острый угол); проекция этого сегмента на Оху есть круг х2 + у2 2R2 (сегмент сферы х2 + у2 + z2 — 3R2 пересекается с гиперболоидом х2 + у2 — z2 = 7?2 по линии
х2 + у2 + z2 = 3R2	(х2 +у2 = 2R2
х2 + у2 - z2 = R2 z = R
окружность радиуса y/2R);
б)	сегмент параболоида проектируется на Оху в кольцо R2 х2+у2 < 27?2, z = х2 + у2 — R2 (из уравнения гиперболоида);
в)	наконец, третья часть — это круг х2 + у2 С R2, на котором z = 0. Поэтому
JJf • n da = У[z2 cos 7 da =
<т	<т
=	(3R2-х2—y2)dxdy — Ц (x2+y2-R2)dxdy =
x2+y2^2R2	R2^x2+y2^2R2
4.3.17.
4.3.18.
Предлагаем самостоятельно вычислить эти интегралы.	•
Найти поток вектора F = x2i + y2j + z2k через поверхность тела — у/х2 -h у2 z Н в направлении внешней нормали, л
Найти поток вектора F = 2rri — yj через часть поверхности цилиндра х2 4- у2 = R2, х 0, у 0, 0 z Н в направлении
внешней нормали.
4.3.19.	Найти поток вектора F = ж21 — ?/2j + г2к через часть сферы х2 + у2 + z2 = R2, х 0, у 0, z 0 в направлении внешней
нормали.
228
4.3.20.	Найти поток вектора F = ап 4- yj — 2zk через поверхность куба И Ы \z\ а в направлении внешней нормали.
4.3.21.	Найти массу полусферы х2 4- у2 4- z2 = Д2, z 0 радиуса R с поверхностной плотностью, равной \/х2 4- у2.
Q Имеем	,г .
m = 11 \/xz 4- у2 dcr,
аг
где	____________
z = х/R? —х2 — у2,
2 — _______Л,______
\/R2 — X2 — у2
(проверьте!). Следовательно,
г г х/х2 + у2 m= I R /-	----dxdy.
JJ JR2 -х2 -v2
Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем 9 , ,	2тг R	„ „
J^^ = R [dv f—^=dr = ^.	•
JR2 - г2 [ I JR2- r2 2
Найти массу поверхности куба 0^®^l,0^?/^l,0^z^l, если поверхностная плотность в каждой ее точке M(x,y,z) равна р(х, y,z) = х + у + z.
Найти массу поверхности куба	0	1, O^z^l,
если поверхностная плотность в каждой ее точке (х, у, z) равна p(x,y,z) = xyz.
Определить координаты центра тяжести однородной параболической оболочки az = х2 4- у2 (0 z а).
Найти момент инерции части боковой поверхности конуса z = — \/х2 + у2 (0 z h) относительно оси Oz.
Вычислить	г г
4.3.22.
4.3.23.
4.3.24.
4.3.25.
4.3.26.
т
где а —часть параболоида z = х2 4- у2, которая вырезана цилиндром (х2 4- у2) = х2 — у2.
Дополнительные задания
4.3.27.	Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x + y + z = а, х	0, у 0, z О относительно координатных
плоскостей.
4.3.28.	Вычислить момент инерции относительно Ох сферической оболочки х2 4- у2 4- z2 = Я2 (ж 0).
4*3.29. Вычислить моменты инерции однородной конической оболочки X2 . у2 Z2 л	ТА	к X У z — b
+	—7 — 0 (0 О о) относительно прямой - = - = ——.
а2 а2	1 U U
229
4.3.30.	Найти координаты центра тяжести однородной поверхности z — \/а2 — х2 - у2 (х 0, у 0, х + у < а).
4.3.31.	Найти полярный момент инерции 10 поверхности куба |я| а, \у\ С а, \z\ С а.
4.3.32.	Найти моменты инерции треугольной пластины х + у + z = 1 (х 0, у 0, z 0) относительно координатных плоскостей.
4.3.33.	Найти полярный момент инерции полной поверхности цилиндра х2 Л~у2 — R2, О С z Н.
4.3.34.	Вычислить площадь той части параболоида 2az = х2 + у2, которая ограничена плоскостями у = 0, z = 0, z = z = xtga, i	. тг
cl — фиксировано, 0 < a < %-
4.3.35.	Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 +?/2 +z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 + у2 = ау.
4.3.36.	Вычислить площадь той части поверхности сферы x2+y2+z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 + у2 = 62, b < а.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.3.37.
4.3.38.
4.3.39.
4.3.40.
4.3.41.
4.3.42.
Найти площадь поверхности z = —, расположенной внутри (X
цилиндра х2 + у2 = а2.
Найти	г г
где а — часть поверхности 2az = х2 + z2 (а > 0), вырезанная конусом z = \/х2 + ?/2.
Найти	г г
где а — верхняя половина сферы х2 + у2 + z2 = а2.
Найти	гл -
где а — граница тела, заданного неравенствами \/х2 + ?/2 ^2^1.
Вычислить	г г
где а — часть поверхности геликоида х = it cost», у = usinv, z = ц (0 и а, 0 v 2тг).
Вычислить	г с „
где а — часть поверхности конуса
х = г cos ср sin а, у т sin tp sin а, z = г cos а
(OsCr^a, OsC(£)<C 2тг), a — постоянная (0 < a <
\	2^
230
4.3.43. Вычислить f
I (ху + yz + xz) do,
<T
где о — часть конической поверхности z — у/х2 + у2, вырезанная поверхностью х2 + у2 = 2ах.
4.3.44. Вычислить
УУ^2 dydz + у2 dzdx + z2 dxdy, s
где S— внешняя сторона сферы (x — a)2 + (y — b)2 + (z—c)2 = R2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Вычислить	2
L
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (1, \/2) и (2,2).
2. Вычислить	.
I (4т/ + 4) dx + (Зх + Зу + 4) dy,
L
где L — контур треугольника х = 0, у = 0, 2х + Зу = б, и результат проверить при помощи формулы Грина.
1 Вычислить
Г Вычислить поверхностный интеграл первого рода ffx2dS,
S
у*
гДе S — боковая поверхность конуса — -|—- = —,0^z^h. а2 а2 с2
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
УУ y2dxdz,
<т
7 — внутренняя сторона полусферы х2 + у2.+ z2 = R2, у ^0.
231
Вариант 2
1.	Вычислить	г
I (х + у) dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами Л(1,—1), В(—3, —1), С(—3,2).
2.	Вычислить массу дуги четверти эллипса
^ + ^ = 1
а2 Ъ2 ’ расположенный в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна абсцисса этой точке, с коэффициентом т.
3.	Вычислить
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
/Pds’ S
где S — боковая поверхность конуса 4(д:2 + у2) = z2, 0 z 2.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода JJz3dxdy, а
о — внешняя поверхность плоскости х + у + z = 10, расположенная в первом октанте (х 0, у 0, z 0).
Вариант 3
1.	Вычислить	г
I (х2 + у2} dl, L
L — окружность (х + а)2 + у2 = а2, а > 0.
2.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода j\x + 1) dx + xyz dy + y2z dz, L
где L — отрезок, соединяющий точку M(2, —1,3) с точкой .У(7,4,11).
232
3.	Вычислить
(6,4)
f (бх2 Ч---) dx +	+ Зу2) dy.
J \ х + yj \ х + у & ) »
(1Д)
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
ffz3dS, S
где S — верхняя часть полусферы х2 + у2 + z2 = R2, z 0.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода
JJz4dxdy, о
а — внутренняя сторона поверхности полусферы х2 + у2 + z2 = R2, z 0.
Вариант 4
1. Вычислить
j\x2 + у2 - z) (И, L
L — дуга цепной линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt, 0 t 7Г.
2.	При помощи криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми х = 8 cos3 t, у = 8 sin3 t, 0 t 2тг.
3.	Вычислить
(з,з)	________ __________________________ '
У	+ Зу2 + dx + \ 9уу/х2 + Зу2 - dy.
(1.1)	v у 7
4.	Вычислить площадь той части параболоида вращения z = —а(х2 + у2), которая находится в пятом октанте (х 0, у 0, z 0) и ограничена плоскостью z = —2а (а < 0).
°- Вычислить поверхностный интеграл второго рода
а-
где о- — внешняя сторона плоскости 2х + Зу + 4z = 12, расположены в Первом октанте (ж 0, у 0, z 0).
233
Вариант 5
1. Вычислить интеграл
J(x~ y)dl, L
L — левый лепесток лемнискаты г = a-</cos 2<р, а > 0.
2.	Вычислить работу силового поля F = (ж + у + 2)i + (8ж + 7у + 6)j по контуру треугольника, стороны которого лежат на прямых ж = 0, у ~ 0. Зж + 2у = 6, и результат проверить при помощи формулы Грина.
3.	Вычислить
+ Юж2?/) dx +
+ Юж2у I dy.
(0,4=)
V w
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
S
где S — нижняя часть полусферы ж2 + у2 + z2 = R2, z <С 0.
5.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
ст
где а — внутренняя сторона конической поверхности ж2 + у2 = z2, расположены в первом октанте (ж 0, у 0,0 z h).
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В этой главе все рассматриваемые функции будут предполагаться дифференцируемыми достаточное число раз.
§1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ
Скалярное поле
Функция U(t) = U(x,y,z), где г = x-i + y- j + z- k — радиус-вектор произвольной точки пространства R3, называется скалярным полем.
Скалярное поле можно рассматривать как обыкновенную функцию U = — U(x, у, z) трех переменных.
Наряду с определенными выше скалярными полями рассматривают также плоские скалярные поля, т. е. функции U = U(г) = U(x, у), где г = х • i 4- у • j — радиус-вектор произвольной точки плоскости.
Поверхностью уровня скалярного поля U = U(x,y,z) называется множество точек пространства R3, удовлетворяющих уравнению U(x, y, z) = с, где с — произвольная постоянная.
Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U = U(x,y).
Понятие поверхности уровня и линии уровня скалярного поля тождественны понятиям, соответственно, поверхности уровня функции U = U(x, у, z) трех переменных и линии уровня функции U = U(x,y) двух переменных.
Векторное поле
Вектор-функция F(r) = Р(х, y,z) • i + Q(x, y,z) -j + R(x, y,z) • k называется векторным полем.
Вектор-функция F(r) = P(x, y) • i 4- Q(x, y) • j, где r = x • i 4- у • j, называется Плоским векторным Полем.
Линии г(£) = (ж(<), ?/(£), z(£)), касательные к которым в каждой их точке совпадают с направлением векторного поля F(F, Q, R), называются векторными линиями этого ПОЛЯ.
Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля.
235
Векторные линии векторного поля F(F, Q, R) могут быть найдены из системы дифференциальных уравнений:
'f = Р(х,»,г),
' тт = Q(x, у, г), at ^ = R(x,y,z) at
или из системы, записанной в симметрической форме:
dx _ dy _ dz Р ~ Q R
Векторные линии поля называют также силовыми линиями или линиями тока.
Г радиент
Градиентом скалярного поля U = C7(a?,y,z) называется векторное поле gradl/=^i + ^-j+^k = Uii + £7;.j + Uik.	4=
дх ду dz	*
Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля U показывает направление наибольшего роста функции U = U(x,y,z).
Величиной градиента называют скалярное поле
Igrad Г| = y/fUtf + (Г')2 + (С/')2.
5.1.1. Найти величину и направление градиента скалярного поля U = = х2 — у2 + yz — х в точке А(1,0, —1).
Q Находим частные производные функции 17:
U'=2x-1, U' = -2y + z, U'=y.
Таким образом, grad U = (2х — 1) • i + (—2у + z) • j + у • к. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим:
grad 17(A) = i—j = (1,—1,0).
Величина градиента при этом будет
|grad U(A) | = У12 + (-1)2 + О2 = 72.	•
Найти градиент скалярного поля U(x,y,z):
5.1.2. U = xyz.
5.1.4. U = exy — yz2.
5.1.3.	U = х2 + у2 — z2.
5.1.5.	U = 1п(а;2 + у2 + z2).
236
Найти градиент скалярного поля U(x,y,z) в точке A(xq, уо, zq):
5.1.6.	U = Зя2 — ху3 + xz — г2, Л(1,2,3).
5.1.7.	U = zsin(x — y), А
5.1.8.	U =	4(2,0,1).
5.1.9.	U = arctg(z + 2у + z2), Л(1,1,0).
5.1.10.	В каких точках градиент скалярного поля U = ху + 2z — z2: а) коллинеарен вектору а(1, —1,2);
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	перпендикулярен плоскости 2х + у + z = 1?
Э Вычислим градиент поля: gradCZ = у -i + ж - j + (2 - 2z) k = (у,х, 2 - 2z). а) Для ответа на этот вопрос напишем условие коллинеарности векторов grad U и а:
У = а: = 2 — 2z х_ = У_ = z-1 1-1	2—11	-1 ’
Это уравнение прямой, проходящей через точку Мо(0,0,1) с направляющим вектором /(-1,1,-1).
б)	i(l, 0,0) — направляющий вектор оси Ох. Условием перпендикулярности векторов grad U и а является равенство нулю их скалярного произведения: grad U • i = 0 <=> у = 0. Уравнение у = 0 задает плоскость Oxz. Во всех точках этой плоскости grad U перпендикулярен оси Ох.
в)	Поскольку grad U перпендикулярен плоскости 2x+y+z = 1, то он коллинеарен ее нормальному вектору п(2,1,1), т. е. должны выполняться равенства	у *	_ 2	у 2
2	1	12	4	-1 '
Следовательно, gradt/ перпендикулярен исходной плоскости в точках прямой, проходящей через точку Мо(0,0,1) с направляющим вектором «(2,4,— 1).	•
5.1.11.	В каких точках плоскости R2 градиент плоского скалярного поля U = ±х2 — х + ^у2 перпендикулярен радиусу-вектору г = s-i + 3/-j?
5.1.12.	Найти угол между градиентами поля U =	—- в точках
у2 + z2
Л(3,0,1) и В(1,-1,0).
5.1.13.	В каких точках градиент скалярного поля
U = г2	(г = х • i + у • j + z • к, г = |г|) :
а)	параллелен оси Ох;
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	параллелен плоскости х — у + z = 3;
г)	перпендикулярен плоскости х — Зт/ + 2z — 1 = 0;
д)	равен 0;
е)	имеет величину, равную 4?
237
5.1.14.	Найти линии уровня плоских скалярных полей:
a)	U = ху;
б)	U = г2, где г = х -i + y • j, г = |г|;
в)	U = arcsin(a; + у).
5.1.15.	Найти поверхности уровня скалярных полей:
a)	U = г, где г = х • i + у • j + z • к и г = |г|;
б)	U = х2 + у2;
х	х2 + у2
в)	и = arctg-----—.
z
5.1.16.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = f(r), где г = = z-i + y-j + z • к и г = |г|, функция f(t) определена для всех t 0 и:
а)	/(0 — монотонна;
б)	f(t) — не монотонна.
5.1.17.	Найти векторные линии векторного поля F(P, Q,/?):
a)	F(3,l,2);
б)	F(y,x,z);
в)	F(z - у,х - z,y - х).
Q а) Составим нормальную систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные линии поля:
' dx _ dt
dz . dt
Ее решениями будут прямые линии, задаваемые в параметрической форме системой уравнений:
Г х — 3t 4-
< у = t -h з/о, [z = 2t + zq, (o?o, Уоч to — произвольные постоянные). Таким образом, векторными линиями будут прямые с направляющим вектором £(3,1,2).
б)	В этом случае можно поступить так же, как в пункте а), составив систему линейных однородных дифференциальных уравнений и решив ее (см. § 7, глава 2). Однако векторные линии находятся проще с помощью метода составления интегрируемых комбинаций. Проиллюстрируем его в этом (и в следующем) пункте.
Запишем уравнения векторных линий в виде системы
dx _ dy _ dz У ~ х ~ z •
Равенство	образует первую интегрируемую комбинацию. Это
у •L
уравнение легко решается методом разделения переменных: xdx = ydy,
238
откуда х2 = у2 + С\. Для получения еще одной интегрируемой комбинации используют обычно известное свойство пропорции:
dl   d2 _ G3   kidi + k2d2 + k3d3 bi	b2 b3	kibi + k2b2 + k3b3 ’
причем множители кг подбирают так, чтобы в числителе образовался дифференциал знаменателя или чтобы в знаменателе получался нуль, а в числителе — полный дифференциал. В нашем случае, складывая числители и знаменатели первых двух дробей (здесь ki = к3 = 1, к3 = 0), получим следующую интегрируемую комбинацию
d(x + у) = dz Xiy Z ’
Интегрируя данное равенство, получаем х + у = C2Z. Таким образом, векторные линии задаются системой
(я2 - У2 = Ci,
|/ + У = C2z,
т. е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров х2—у2 = = Ci с плоскостямих+у- C2Z = 0.
в)	Запишем, как и в пункте б), уравнения векторных линий поля в симметрической форме:
dx _ dy _ dz z — у x — z у — x
Составим первую интегрируемую комбинацию:
dx _ dy _ dz _____________dx + dy + dz_____= d(a; + ?/ + z)
z-y ~ x — z y-x~ (z-y} + (x- z) + (y-x}	0
Чтобы последнее отношение равнялось предыдущим, необходимо, чтобы выполнялось d(x + у + z) = 0, т. е. х + у + z = С. Вторая интегрируемая комбинация может быть получена следующим образом:
dx _ dy _ dz _
z — у ~ х — z у — х
xdx + ydy + zdz	d^+y2 + z^
x(z - у) + y(x - z) + z(y - x)	0
Следовательно, d (^(®2 + У2 + z2)j = 0? т. e. а;2+?/2+г2 = R2. Таким образом, векторные линии получаются как пересечение плоскостей x+y+z — = С со сферами х2 + у2 + z2 = R2 и, следовательно, являются окружно-
х У z
стями с центрами на прямой у = у = у и расположенные в плоскостях, отсекающих на осях координат равные отрезки.	•
239
Найти векторные линии плоских векторных полей:
5.1.18.	F = х • i + у • j.	5.1.19. F = ?/i + a;*j.
5.1.20.	V = (y,-x).
Найти векторные линии пространственных векторных полей:
5.1.21.	F = a- i + 6- j + c-k, где а, Ь, с — константы.
5.1.22.	F = (у + z) • i + (ж + z) • j + (х + у)  к.
5.1.23.	F(—у, х, а), где а — константа.
5.1.24.	Доказать, что grad (u-v) = и - grad v + v • grad и.
Q По определению градиента скалярного поля имеем:
grad (и  v) = ((w)i, (uv)y, (ии),г).
Используя правило дифференцирования произведения функций, а также правила сложения векторов и умножения их на число в координатной форме, получаем:
5.1.25.
grad (w • v) = (uxv + uvx, u'yv + uv'y, uzv + uv’z) = = (uxv,uyv,uzv) + (uv'xiuv'y,uvz) = v  (u'x,u'y,uz) + и  (vx,v'y,vz) =
= и • grad v + v  grad u.
Докажите свойства градиента скалярного поля:
a)	grad (U + С) = grad U, где С — константа;
б)	grad (С • U) = С • grad L7, где С — константа;
в)	grad = -i-(v • grad и — и • grad v). и чг
Докажите равенство grad (у?(и)) = <p'(u) • grad-u.
Найти grad (и • ^(w)).
тт	,	\ 9f , df ,
Доказать, что grad /(и, v) = -x— • grad и + — • grad v.
Ou	ov
5.1.26.
5.1.27.
5.1.28.
В следующих задачах r = a;-i + ?/-j + z- k иг = |r |.
5.1.29.	Вычислить grad г.	___________
Q Найдем длину вектора г: г = |г| = у/х2 4- т/2 + z2. Далее находим частные производные функции г:
х	—г-;—2	г» у	гг,—т~;—2	г ’
у/Х2 + у2 + Z2	уж2 + у2 + Z2
/ _ _____Z______ _ z^
у/х2 +у2 + Z2 Г
Следовательно, градиентом скалярного поля г будет векторное поле
gradr = (7,7,^) = ^(x,y,z) = £.
5.1.30.	Доказать, что gradr2 = 2г.
240
5.1.31.	Найти grad/(г).
fe.1.32. Найти grad (с • г), где с — фиксированный вектор.
5.1.33.	Найти производную поля U = г в направлении вектора г.
известно, производная по направлению единичного вектора I = grad U-t.
Q Как пгт функции U = U(x, у, z) может быть найдена по формуле: isl
Находим градиент скалярного поля L7: grad U = grad г = - (см. зада-
чу 5.1.29). Единичным вектором, а т* т* вектор г, будет вектор £= — = -. |г|
имеющим то же направление, что и Тогда
^ = gradt/./=E J = ^(r.r) = 4 = l. ot	' ' г	г
5.1.34.	Найти производную поля U = | в направлении градиента скалярного поля v = г.
Дополнительные задания
5.1.35.	Найти поверхности уровня скалярного поля
5.1.36.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = ех +у .
5.1.37.	Показать, что для скалярного поля U = х2 + у2 + z2 векторные поля grad U и grad | grad L7| коллинеарны.
5.1.38.	Найти угол между градиентами скалярных полей U = xyz и V = yz + zx + ху в точке Л/о(1, —1,2).
5.1.39.	В каких точках пространства градиенты скалярных полей U = = х2 + у2 4- z2 и V = х2 — у2 4- z2 перпендикулярны?
5.1.40.	Найти поверхности уровня скалярного поля |grad U\, где скалярное поле U задано равенством U = ху 4- yz 4- zx.
5.1.41.	Доказать, что линии уровня плоских скалярных полей U = ху и V = х2 — у2 перпендикулярны в каждой точке плоскости, кроме начала координат.
5.1.42.	Найти векторные линии поля F = yz • i 4- xz • j 4- ху • k.
5.1.43.	Найти векторные линии поля F = г, где r = a;-i4-y-j4-z-k.
5.1.44.	Найти г х gradr, где г = |r|. ar = a;-i4-3/-j4-z-k.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.1.45.	Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же набором поверхностей уровня?
5.1.46.	Верно ли, что если поверхности уровня у скалярных полей U и V одинаковы, то эти поля удовлетворяют условию
U — V = const ?
241
5.1.47.	Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пересекаться?
5.1.48.	Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набор векторных линий?
5.1.49.	Привести пример двух пространственных скалярных полей, у которых поверхности уровня ортогональны в каждой точке пространства.
5.1.50.	Вдоль каких линий градиент скалярного поля U = ху 4- уz + zx сохраняет свое направление?
5.1.51.	Найти силовые линии векторного поля
F(nz — ly, lx — mz, ту — пх).
5.1.52.	Найти производную скалярного поля U в направлении градиента скалярного поля V.
5.1.53.	Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U и векторными линиями grad U.
5.1.54.	Верно ли, что если линия, уравнение которой х2 + у2 = 1, является линией уровня некоторого скалярного поля U, то линия х2 + у2 = 2 тоже является линией уровня того же скалярного поля?
§2. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
Дивергенция и ротор
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(P, Q,R) называется скалярное поле, определяемое равенством
divF =	= Р* + Q'„ +
Ротором векторного поля F(P, Q, Р) называется векторное поле, определяемое следующим образом:
rot F =
ЗЯ _ dP_dR dQ_ дР\ _ (р> _ р> _	_ р>
ду dz' dz дх' дх ду) 1 у 4z' 2 х'Чх у
Для удобства запоминания ротора принята формальная запись:
rot F —
д дх Р
ду dz
Q Р
где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной этой функции.
242
физический смысл ротора2 : если вектор-функция v является полем скоро-
стей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгновенную угловую скорость w этого вращения: w = ^rot v-
ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.
Оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона или оператор V (набла) определяется формулой
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координа-д д д .
тами д$' dy' dz'
VU =
д д rL\TT=W..cW..dUk dx'dy'dz) дх dy* dz
VF =
д_ д_ д\ (Р п ps^dP.dQ.dR дх'ду’дг) {,Ч,)~дхдудг'
VxF=	х(Р,(?,Я) =
\дх dy dzJ
i	j	k
д_	д_	д_
дх	dy	dz
Р	Q	R
Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:
VI/ = grad U, V • F = div F, V х F = rot F.
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа (обозначаемый V2 = V • V или А) определяется фор-
мулой
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям определяется равенствами:
2П = ( &_ а2 .	„ д2и д2Ц д2
\дх2 dy2 dz2) дх2 dy2 dz2
AF = V2F = V2(Pi + Qj + Як) = (V2P)i + (V2Q)j + (V2P)k.
Скалярное поле U(x,y, z) называется гармоническим, если Al/ = 0.
2O физическом смысле дивергенции будет сказано в следующем параграфе.
243
5.2.1.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = ху2 • i - yz • j + z2 • k.
Q По определению, divF = P^ + Qy + R'z. В нашем случае P = ху2, Q = — yz, R = z2. Отсюда находим P' = у2, Q'y — —z, R'z = 2z. Следовательно, divF = y2 — z + 2z = y2 + z.
Вычислим ротор поля F:
= (p' - о + (p; -	+ (Qi - р> =
= (0 + y)i + (0 - 0)j + (0 - 2xy)k = (y, 0, -2xy). •
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
5.2.2.	F = с, где с — постоянный вектор.
5.2.3.	F = г, где r = a;-i + ?/-j + Z'k.
5.2.4.	Y(yz ,xz,xy).
5.2.5.	F Q(t/2 + 22), |(z2 + a;2), j(z2 + y2)^.
5.2.6.	F = x2y • i + y2z  j + z2x • k.
5.2.7.	Вычислить дивергенцию и ротор градиента скалярного поля U = U(x,y,z).
5.2.8.	Вычислить div где r(x,y, z) и г = |г|.
Q ^ = y- i+ y- j + |-k. Найдем
р, = (х}> = r-x-г^ =
х {г)х г2	2
р _ ____—_____	2
_ Г — х(у/х2 + у2 + Z2YX _ у/х2 + у2 + Z2) _ г — у- _ г2 _ х2
~	^2	~	^2	—	^2	~	^3
Аналогично находим
о> = (У\	= г2~У2	и	о/ =	(zx>	= г2-z2
V/y г3	И	Rz	'r z г3 ‘
Следовательно,
div у =
г2 — х2 г3
г2 — у2 г3
г2 — z2 _ Зг2 — г2 _ 2
гз — гз ~ г'
5.2.9.	Вычислить div (г • г).
5.2.10.	Вычислить div(/(r) • г).
5.2.11.	Доказать равенство div(/ • F) = grad f  F + f • divF.
Q Пусть F = P • i + Q • j + R • k. Тогда / •F = /- P- i + /Q-j + /- P- kH
div(/ • F) = (/P)i + (fQYy + (/P)t = (Л • P + f • P') + (4 • Q + f • Qp+ + (/;-p + /-pi) = (/'- p + /;-Q + /;-p) + /-(p; + Qi+Pi).
244
В первой скобке стоит скалярное произведение градиента скалярного поля / на вектор F, а во второй — дивергенция векторного поля F. Таким образом, div(/ • F) = grad f • F + f • div F.	•
5,2.12.	Доказать свойства линейности дивергенции:
a)	div(Fi + F2) = divFi + divFa;
6)	div (с • F) = с • div F, где с — константа.
5.2.13.	Доказать равенство: div((7 -с) = gradU-с, где с — постоянный вектор.
5.2.14.	Вычислить div(U gradV).
5.2.15.	Доказать равенство div(Fi х F2) = F2 • rot Fi — Fi • rotF2-
5.2.16.	Доказать свойства линейности ротора:
a)	rot (Fi + F2) = rot Fi + rot F2;
6)	rot (c • F) = c • rot F, где c — произвольная постоянная.
5.2.17.	Доказать, что rot (/ • F) = f • rot F + grad f x F.
Э Пусть F = P-i + Q- j + Я- к. Тогда f • F = f • P • i + f -Q • j + f • Як.
Найдем rot (/ • F):
rot (/ • F) =
d dx fP
j d dy fQ
к d dz fR
= WRYy ~ UQYt] - ЛСЖ - tfPYz\ + WJQYX - (fPYy] =
= i[f'yR + fR'y-f'zQ- fQ’z] - j[/iR + fRx ~ f'zP ~ fPz]+
+ k[f'Q + fQ'x - fyP - fPy] =	- Qz) - Ж - P’z) + k(Q; - P')]+
+ WJyR - f'zQ)	fzP) + WXQ - f'yP)] =
к d dz R
= f • rot F + grad f x F. •
5.2.18.	Доказать, что div(rotF) = 0.
5.2.19.	Вычислить ротор векторного поля F = r-с, где с — постоянный вектор, аг — модуль радиуса-вектора г.
5.2.20.	Для векторного поля F(xy, yz, zx) вычислить rot (rot F).
5.2.21.	Найти grad (div F), если F(xyz2,xy - z,zx2).
5.2.22.	Записать с помощью оператора набла V векторные поля:
a) grad (div F);	б) rot (grad U).
а)	Дивергенция векторного поля F с помощью оператора V записывается так: V • F. Градиент скалярного поля U через оператор V выражается следующим образом: VL7. Следовательно,
grad (div F) = V(divF) = V(V • F).
б)	Ротор векторного поля F с использованием оператора V записывается следующим образом: V х F. Следовательно,
rot (grad U) = V х (grad U) = V x (V(7).	•
245
5.2.23.	Записать с помощью оператора Гамильтона следующие выражения:
a) div(gradtZ);	б) div(rotF);
в) rot (rot F);	г) rot (grad (div F)).
5.2.24.	Доказать следующие равенства:
а) V х (VC7) = 0;	б) V • (V х F) = 0;
в) V • (VC7) = V2U = AL7.
5.2.25.	Доказать свойства линейности оператора Гамильтона:
a)	V(C1L71 + C2U2) = Ci • VL71 + С2 • VL72;
б)	V • (GFx + C2F2) = Ci(V • FJ + C2(V • F2);
в)	V x (GFj +C2F2) =G(Vx F0 + C2(V x F2), где C15 C2 — произвольные постоянные, Ui, U2 — скалярные поля, a Fj, F2 — векторные поля.
5.2.26.	Доказать равенства (U, V — скалярные поля, F, Fi и F2 — векторные поля):
a)	V(t/ • V) = UW + VVU;
б)	V(t/ • F) = t/(V • F) + (Vt/) • F;
в)	V(Fi x F2) = F2 • (V x Fj) + Fi • (V x F2);
г)	V x (UF) = U(y x F) + (VU) x F.
Дополнительные задания
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
5.2.27.	F = ?/-i + z-j + a:-k.
5.2.28.	F = ху • i + yz • j + zx • k.
5.2.29.	F = (a;3 + y2 + z) • i + (y3 + z2 + x) • j + (z3 + x2 + y) • k.
5.2.30.	F=^-i+^-j + ^-k.
5.2.31.	Найти угол между роторами векторных полей Fi(x2y,y2z, z2x) и F2(z,x,y) в точке Л/о(1,1,1).
5.2.32.	Найти длину ротора векторного поля F(a; — z2,yz,x2 + у2) в точке М(1,2,-1).
5.2.33.	В каких точках пространства ротор векторного поля
F(y2 + z2,z2 +х2,х2 +у2)
перпендикулярен оси Ох?
5.2.34.	В каких точках пространства ротор векторного поля F(x2y,y2z,z2x)
перпендикулярен плоскости х + у + z = 2?
5.2.35.	В каких точках пространства роторы векторных полей
F1(xy,yz,zx) и F2(z,x,y)
коллинеарны?
246
В следующих задачах r = a?-i + ?/-j + z- k иг = | г |:
5.2.36.	Вычислить div(c х г), где с — постоянный вектор.
5.2.37.	Вычислить divb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.38.	Вычислить divr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.39.	Вычислить rot (с х г), где с — постоянный вектор.
5.2.40.	Вычислить rotr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.41.	Вычислить rotb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.42.	Доказать свойства оператора Лапласа:
a)	A(Cit7i + C2U2) =	+ C2&U2,
б)	• U2) = th • Д£72 + 2(V*7i) • (VZ72) + U2 • At7i.
Контрольные вопросы и более сложные задания
В следующих задачах r = x- i + j/-j + z- k и г = | г |:
5.2.43.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = /(г) • с, где с — постоянный вектор.
к
5.2.44.	Доказать, что если div(/(r) • г) = О, то /(г) = —.
г6
5.2.45.	Вычислить div (grad/(г)). Какова должна быть функция f(r), чтобы div(grad/(r)) = 0.
5.2.46.	Вычислить rot [с х /(г) • г], где с — постоянный вектор.
5.2.47.	Доказать равенство: grad (divF) = V2F + V х (V х F).
5.2.48.	Доказать равенство: rot (rotF) = V(V • F) — V2F.
5.2.49.	Векторное поле F задано равенством: F = c-ln г, где г — модуль радиуса-вектора точки. Найти VF, V х F и V2F.
§ 3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть в области Q С R3 задано некоторое векторное поле F = Pi + Qj + Pk, где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) — непрерывно дифференцируемые в области Q функции. Пусть S С П — гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью n(cosa,cos/?, cos 7) к этой поверхности.
Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной нормали п называют поверхностный интеграл первого рода:
П =	• ndS = cos а + Qcos/3 + К cos 7) dS.	(31)
s	s
Если обозначить через Fn проекцию вектора F на направление вектора п, то, учитывая, что имеет место равенство F • n = |F| • |n| cos 9? = |F| • cos ip = Fn (где ip — угол между векторами F и п), формулу для вычисления потока можно записать в форме, которая не зависит от выбора системы координат:
• dS.
247
Поверхностный интеграл первого рода в формуле (3.1) связан с поверхностным интегралом второго рода равенством:
П = cos Q + Q cos @ + R cos 7) dS = УУP dydz + Q dzdx + R dxdxy, (3.2)
S	(S,n)
которое дает еще один способ вычисления потока.
Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S равен общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени.
Используя понятие потока, можно понять физический смысл потока (см. также задачу 5.3.39). Дивергенция векторного поля F в точке М есть предел отношения потока поля через сферу 5 достаточно малого радиуса, окружающую точку М, к объему V шара, ограниченного этой сферой, при стремлении диаметра d шара к нулю: div F = lini Fn  dS
s
Формула Гаусса-Остроградского
Теорема 5.1 (Остроградский). Пусть 5 — замкнутая гладкая ориентируемая поверхность, являющаяся границей тела V и n(cosa,cos/3, cos7) — единичная внешняя нормаль к S. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно дифференцируемо на S и в V. Тогда
jJ(Pcosa + Qcos/3 + Rcosy'jdS =	+
s	vx
(з.з)
Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (3.3), представляет собой дивергенцию векторного поля F, интеграл, стоящий слева, представляет собой поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали. Поэтому формула (3.3) может быть переписана в виде:
divFdV.
Если использовать оператор Гамильтона, то формула Гаусса-Остроградского (3.3) может быть записана в следующей форме:
IfFnds=ffIVFdv-S	V
Формулу Гаусса-Остроградского часто применяют для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность S. Однако следует иметь в виду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле было непрерывно дифференцируемым внутри поверхности S. Это условие всегда
248
будет выполнено, если область Q, в которой рассматривается поверхность S, пространственно односвязная:
Область П С R3 называется пространственно односвязной, если из того, что замкнутая поверхность S лежит в Q, следует, что тело V, границей которого является поверхность S, тоже лежит в П.
х 4- у — z = 0, располо-п образует острый угол
= х2 4- у2, удовлетвори-
5.3.1.	Вычислить поток векторного поля F(F, Q, R) через поверхность
S в сторону, определяемую вектором единичной нормали п к поверхности S, если:
a)	F(4, —5,2), a S — часть плоскости х 4- 2у 4- Зг = б, расположенная в октанте х 0, у 0, z 0, п образует острый угол с осью Oz\
б)	F(0, ?/, 0), S — часть плоскости 1 — женная в октанте х 0, у 0, z 0, а с осью Oz’,
В) F(l,l,z), S — часть параболоида z
ющая условию z 1, а п — внешняя нормаль к параболоиду. Q а) Хорошо известно, что нормальным вектором к плоскости является вектор, координаты которого суть коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. В нашем случае — это вектор т(1,2,3). Поскольку т • F = 1-44-2 - (—5) 4-3• 2 = 0, то нормаль m к плоскости, (а, значит, и единичная нормаль п к этой плоскости) перпендикулярна векторному полю. Но тогда
JjFadS= fj0dS = 0.
S ' s
б)	Вычислим поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла II рода (формула (3.2))
П = JJ Р dydz 4- Q dzdx 4- Rdxdxy = J J у dzdx (S,n)	(S,n)
(в нашем случае P = R = 0, Q = у). Для вычисления последнего интеграла изобразим на чертеже поверхность S (рис. 53) и ее проекцию Dxz на плоскость Oxz (рис. 54)
Нормаль п к плоскости 1 — х + у — z = 0, образующая острый угол с осью Oz, образует тупой угол с осью Оу (это очевидно из чертежа; однако несложно показать, что нужную сторону поверхности S задает единичная
(1 1 1 \
—------—= ); здесь cos7 > 0, a cos/? < 0, следовательно,
Уз Уз Уз/
п образует острый угол с осью Oz и тупой — с осью Оу). Поэтому при сведении поверхностного интеграла к двойному по области Dxz перед
249
Рис. 53
Рис. 54
двойным интегралом необходимо поставить знак минус:
П = jj у dzdx = — jj(z + х — 1) dxdz (S,n)	Dxz
1—x
j (z + x — l)dz = 0
в)	Изобразим поверхность S вместе с требуемой в условии задачи нормалью на рис. 55.
Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль п (т. к. она — внешняя нормаль) образует тупой угол с осью Oz. Также ясно, что она образует острый угол с осью Ох в тех точках, где х 0 и тупой — в тех, где х < 0. Аналогично, п образует острый (тупой) угол с осью Оу в точках, где выполняется неравенство у > 0 (у < 0). Для вычисления потока векторного поля напишем интеграл II рода:
П = jj Р dydz + Q dzdx + R dxdy = jj dydz + dzdx + z dxdy = (5,n)	(S,n)
= jj dydz + jj dzdx + jj z dxdy.
(S,n)	(S,n)	(S,n)
Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления интеграла
jdydz
(S4n)
250
разобьем поверхность S на две части: Si и S? плоскостью Ozy (Si отвечает той части параболоида, где х 0). Необходимость разбиения продиктована, как уже отмечалось выше, тем фактором, что нормаль п на Si образует острый угол с осью Ох (т.е. cos а > 0), а на S2 — тупой. Проекцией и Si и S2 на плоскость Ozy является одна и та же область Dzy, показанная на рис. 56. Следовательно,
(S,n)
(Si,и)
(S2,n)
Рис. 55
Рис. 56
Знак минус перед вторым двойным интегралом поставлен постольку, поскольку на S2 нормаль образует тупой угол с осью Ох (или, что то же самое, cos а < 0). Из соображений симметрии понятно, что и
Jf dzdx = 0.
(S,n)
Осталось вычислить	? ?
zdxdy.
(S.n)
Как отмечено выше, cos 7 < 0. Поэтому имеем:
ff z dxdy = — Ц (х2 + у2) dxdy,
(S,n)
гДе Dxy — проекция поверхности S на плоскость хОу (она изображена На рис. 57). Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:
2тг
251
Рис. 57
Таким образом, поток векторного поля равен — •	•
Вычислить поток векторного поля F(P,Q,R) через поверхность S в сторону, определяемую нормалью п к поверхности S, если:
5.3.2.	F(2, —1,1), S — квадрат: 0 ж 1, 0 у 1, 2 = 1, нормаль
п направлена вверх.
5.3.3.	F(—у,х, z), S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, заключенная ме-
жду плоскостями z = 0 и z = 1, п — внешняя нормаль.
5.3.4.	F(x,y,0), S — часть плоскости у + z = 1, расположенная в
первом октанте между плоскостями ж = 0иж = 1,п образует острый угол с осью Оу.
5.3.5.	F(x, у, z), S — полусфера х2 + у2 + z2 = R?, расположенная в полупространстве z 0, л образует острый угол с осью Oz.
5.3.6.	F(y — z,z — х,х — у), S — часть конуса z2 = х2 + у2, заключенная
между плоскостями z = 0nz = 2,n образует тупой угол с осью Oz.
5.3.7.	F(l, 0,0), S — поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями ж + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0.
5.3.8.	F(xy, yz, xz), S — часть сферы x2+y2+z2 = R?, расположенная в первом октанте, л — внешняя нормаль к сфере.
5.3.9.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского вычислить поток векторного F поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали:
a)	F = х2 • i + у2 • j + z2 • k, S — поверхность куба 0 х а, O^y^Cl, O^Z^CXj
б)	F(x(z — у),у(х — z), z(y — х)), S — произвольная замкнутая поверхность.
Q а) Вычислим дивергенцию поля:
div F = (х2)'х + (у2)' + (z2n = 2(х + у + z).
Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, вычислим поток
252
векторного поля:
П = JJF • n dS =	div F dV = 2 JJJ(X + у + z) dxdydz =
SV	V
a a a
= 2 Jdx jdy f(x + у + z)dz 0	0	0
Промежуточные вычисления, в силу их очевидности, опущены, б) Пусть V — тело, ограниченное поверхностью S. Тогда
П= /TTdivFdV.
= За4.
Но
divF = [ж(г — у)]^. + [у(ж — г)]^ + [г(?/—	= (z - у) + (х- z) + (у - х) = 0.
Следовательно, и поток равен 0.	•
5.3.10.	Доказать, что поток постоянного векторного поля F = с через любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.11.	Докажите, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, что поток радиуса-вектора г через любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью.
В задачах 5.3.12-5.3. Ц вычислить поток векторного поля F через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если:
5.3.12.	F(x,z,y), S — полная поверхность цилиндра х2 4- у2 = R2,
z = 0, z ~ Н.
5.3.13.	F = xz • i 4- у2 • j 4- х ♦ k, S — полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями х 4- у = 1, х = 0, у = 0, z = 0, z = 1.
5.3.14.	F = (у2 — z) • i 4- ху • j — (у 4- х) • k, S — полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = О, у = 0, z = 0.
5.3.15.	Используя задачу 5.3.11, найти поток радиуса-вектора г через полную поверхность пирамиды ABCD с вершинами в точках А(—1,0,0), В(1,1,0), 67(1,-1,0), 19(0,2,3).
5.3.16.	Найти поток градиента скалярного поля U = х2 4- у2 4- z2 через поверхность уровня U = 1 этого скалярного поля в направлении внешней нормали.
5.3.17.	Найти поток ротора векторного поля F(yz,zx,xy) через сферу ж2 4- у2 4- z2 = 4 в направлении внешней нормали.
5.3.18.	Найти поток векторного поля F(x — 1,у 4- 3, z) через боковую поверхность конуса z2 = х2 4- у2, заключенную между плоско-. стями 2 = 0и2 = 1в направлении внешней нормали.
Q Рассмотрим тело V, границей которого служит коническая поверхность z2 = х2 4- у2 (Si) и плоскость 2 = 1 (S2) (см. рис. 58).
253
Рис. 58
На поверхности S = Si U S2, являющейся объединением поверхностей Si и S-2, возьмем внешнюю нормаль п. Поток П через поверхность S складывается из потоков П1 и П2 через поверхности Si и S2 соответственно. Следовательно, интересующий нас поток может быть найден как разность потоков: П1 = П — По- Поток П может быть найден по формуле Г аусса-Остроградского:
ffF-ndS = fffdivFdV = SfffdV.
SV	V
Последний интеграл представляет собой объем тела V. Тело представляет собой конус с высотой h = 1 и радиусом основания R = 1. По известной из элементарной математики формуле, его объем равен ^7гЛ2Л — ^7г. Отсюда П = 3 • ^7г = тг. Поток П2 (через плоскость z = 1) может быть вычислен довольно просто. Внешней единичной нормалью к плоскости является вектор п(0,0,1). Поэтому
S-2
St
Поскольку z = 1 на S2, а элемент площади (dS) равен элементу площади ее проекции на плоскость Оху (dxdy), то последний интеграл сводится к двойному:
// dxdy, Dxy
где Dxy — круг с центром в начале координат и радиуса 1. Этот интеграл выражает площадь этого круга, которая равна тг. Следовательно, искомый поток через коническую поверхность равен П1=П — П2 = тг — % = = 0.	•
254
ffaiimu поток векторного поля F через незамкнутую поверхность S в направлении нормали п, используя формулу Гаусса-Остроградского:
5.3.19.	F(l, 2,3), S — боковая поверхность конуса, осью которого служит ось Oz, вершина находится в точке M(h,0,0), а основание — круг радиуса R, лежащий в плоскости Оху.
5.3.20.	F(x3,т/3,0), S — верхняя часть сферы х2 4- у2 4- z2 = 1, распо-
ложенная выше плоскости Оху, п образует острый угол с осью Oz.
5.3.21.	F(2a?, — у, z), S — боковая поверхность цилиндра х2 4- у2 = R2,
расположенного между плоскостями z = 0 и z — Н, п — внешняя нормаль.
5.3.22.	F = z\ 4- yk, S — часть поверхности параболического цилиндра z = 1 — х2, отсеченная плоскостями т/ = 0, ?/ = l,z = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Oz.
5.3.23.	F = (у — l)i + j — yk, S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, расположенная между плоскостями z = Qvix + y + z = 5, п — внешняя нормаль.
5.3.24.	Найти поток градиента скалярного поля U — х2 + yz через часть сферы х2 4- у2 4- z2 — R2, у 0 в направлении единичной нормали, образующей острый угол с осью Оу.
Дополнительные задания
Вычислить поток векторного поля F через поверхность S в сторону, определяемую единичной нормалью п к поверхности S:
5.3.25.	F = ай — zj 4- ?/2k, S — прямоугольник: 0^ж^2, нормаль п направлена вверх.
5.3.26.	F = x2i — 2.n/j 4- zk, S — сфера: (x — I)2 + (y — 2)2 + (z — 3)2 = 9, n — внешняя нормаль.
5.3.27.	F = (1 — yz)i 4- (1 4- xz)j 4- 2(x 4- y)k, S — часть параболоида z — x2 4- у2, заключенная между плоскостями z = 0, z = 1, n — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz.
5.3.28.	F = zi 4- (1 — z)j 4- xyk, S — часть плоскости x 4- у = 1, ограниченная плоскостями z = 0, z = 1, х = 0, у = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Ох.
5.3.29.	F(0,0, z), S — часть конуса z2 = х2 4- у2, заключенная между
плоскостями z = 0, z = 1, п — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz.
5.3.30.	F(x2,y2,z2), S — боковая поверхность цилиндра, заключенная
между плоскостями z = 0, z = 2, п — внешняя нормаль.
5.3.31.	Найти поток радиуса-вектора г через боковую поверхность пирамиды, вершина которой находится в точке А(4,5,3), а
255
основанием служит четырехугольник с вершинами В(0,0,0), С(1,1,0), Z?(3,-1,0), Е(2,-2,0).
5.3.32.	Найти поток векторного поля F(yz, x+2yz, z2 — z) через поверх-
ность параллелепипеда, построенного на векторах ОА, ОВ и ОС, где 0(0,0,0), А(1,-2,1), В(3,2,1), С(1,0,-1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.3.33.	Показать, что поток градиента скалярного поля С7, являющегося гармонической функцией (т. е. удовлетворяющей уравнению ДО = 0) через любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.34.	Показать, что поток grad (с • г), где г — радиус-вектор, а с — фиксированный вектор, через произвольную замкнутую поверхность равен 0.
5.3.35.	Найти поток поля с х г через поверхность сферы x2+y2+z2=R2 в направлении внешней нормали.
5.3.36.	Отрезок кривой z = y/у, лежащий в плоскости Ozy между точками 0(0,0,0) и А(0,1,1), вращаясь вокруг оси Oz образует поверхность S. Найти поток векторного поля F(y,x,z — 1) через поверхность S в направлении внешней нормали.
5.3.37.	Найти поток векторного поля F(x3,t/3,2:3) через сферу: а) х2 4- у2 + z2 = R2', б) х2 — х + у2 + z2 = 0 в направлении внешней нормали. • / ~з у^ уЗ \
5.3.38.	Найти поток векторного поля F I —г, —2 ’ —2 ) через поверх-\3а Зо Зс у
ность эллипсоида
— -к — -к — = 1 а2 Ь2 с2 ~
в направлении внешней нормали.
5.3.39.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского доказать формулу:
divFW = lmo \k\JlF'adS
S£
где Ve — шар с центром в точке М, a S£ — ограничивающая его сфера, | V£ | — объем этого шара. Используя этот факт показать, что дивергенция не зависит от выбора прямоугольной системы координат.
5.3.40.	Пусть U — дважды непрерывно дифференцируемое скалярное поле в пространственно односвязной области Q. Пусть тело Г П7т
вместе со своей границей S лежит в Q, а --производная
256
5.3.41.
поля U в направлении внешней нормали к поверхности S. Доказать, что
///AL7 dV = Уу	dS (теорема Гаусса).
v	s
Пусть U, V — дважды непрерывно дифференцируемые скалярные поля в пространственно односвязной области Q. Пусть Нт т	нт Z
тело V вместе со своей границей S лежит в (1, а и —--
on дп
производные полей U и V в направлении внешней нормали к поверхности S.	что:
а> //<dS=dv+Ши S	V	V
§4. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть F = Pi + Qj + Pk — векторное поле, заданное в некоторой области Q С R3, и функции P(x,y,z), Q(x,ytz), R(x,y,z) — непрерывно дифференцируемы в области Q. Пусть L — гладкая кривая, расположенная в области Q.
Криволинейный интеграл
У F dr = у Р dx + Q dy + Rdz L	L
(4.1)
называется работой векторного поля F вдоль кривой L.
В случае, если L — замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4.1) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.
Таким образом, циркуляция поля F равна:
У F • dr = у Pdx + Qdy + R dz.
L	L
В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, его циркуляция вдоль загнутой кривой L задается интегралом:
Ц = (bPdx + Q dy.
Сборник задач по высшей математике. 2 kvdc
257
Формула Стокса
Теорема 5.2 (Стокс). Пусть S — гладкая ориентируемая поверхность, a L — замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности S. Пусть n(cosa,cos/3,cos7) — единичная нормаль к поверхности S, задающая одну из ее сторон. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно дифференцируемо на S и L. Тогда
Р dx+Q dy+R dz=
_ff\(dR	0Q\ fdP	dR\	0P\
~JJ[\dv	dz)	+\dz	dx)ms,3{dx	dv)	7\dS~
s
Ж OR 0Q\ (ЭР dR\ j j ,(dQ дР\ , . (л Wy-lrz) dydzR-dTte) dzdx+\^~^)dxdv’ (4-2)
(S.n)
причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора п оно происходит против часовой стрелки.
Левый интеграл в формуле (4.2) представляет собой циркуляцию векторного поля F вдоль контура L, а правый — поток ротора этого поля через поверхность S. Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:
• dr = JJrotFndS = Jj\rot F)n dS, l	s	s
т. e. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность S равен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в положительном направлении). Используя оператор Гамильтона, формулу Стокса можно записать в виде:
^Fdr = xF)-ndS. L	S
В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, формула Стокса принимает вид формулы Грина:
fpdx + Qdy = ff(g-^ dxdy.
L
Формулу Стокса часто применяют для вычисления циркуляции векторного поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить формулу Стокса к контуру L С Q, необходимо, чтобы нашлась поверхность S, целиком лежащая в П, границей которой был бы контур L.
Область Q, обладающая таким свойством, называется поверхностно односвязной областью. Более точно, область Q С R3 называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L С Q найдется поверхность S С Q, границей которого является контур L.
258
5,4.1» Найти работу плоского векторного поля F(P, Q) вдоль кривой L:
a)	F(x2,yx), L — часть параболы у = х2, концевыми точками которой служат точки А(0,0) и В(2,4);
б)	F(y,x), L — арка циклоиды х = t — sini, у = 1 — cosi, 0 t 2тг.
Q а) Вычислим работу поля, применяя формулу (4.1):
А = j х2 dx + ух dy
L
(т. к. поле плоское, то R = 0). Поскольку вдоль кривой L переменные связаны равенством у = х2, то dy = 2xdx, и криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:
22	2
А = [х2 dx + х2 • х • 2xdx = f(х2 + 2z4) dx = f	•
J	J	\3	5 / о 15
о	о
б) Находим dx = (1 — cos t) dt и dy = sin t dt. Тогда
27Г
0
27Г
/ Г1 — 2 cos t + cos2 t +1 sin t —
0
27Г
[1 — 2 cos Л-cos 2t +1 sin t] dt = о
2 sin t + ± sin 2t — t cos t + sin t
27Г
5.4.2.	Найти работу векторного поля F(.t, у, z) вдоль линии L, являющейся пересечением параболического цилиндра z = у2 с плоскостью z + х = 1 от точки А(0,1,1) до точки В(1,0,0).
О Зададим линию L параметрически: положив у = t, получим z = t2, а х = 1 — z — 1 — t2. Тогда dx = —2tdt, dy = dt, dz = 2tdt. Точке A соответствует значение параметра t = 1, а точке В — значение t = 0. Таким образом,
Рdx 4- Q dy + Rdz = /(1 — t2) • (—2t)dt + tdt + t2 • 2tdt =
Найти работу плоского векторного поля F = Pi + Qj вдоль кривой L:
5.4.3.	F = — ^i+ ^j, L — часть окружности х2 + у2 = R2, лежащая в I четверти и пробегаемая против часовой стрелки.
259
5.4.4.	F = —ari+yj, L задана параметрически уравнениями x = у cos t,
у = у/sin t, 0 t
5.4.5.	F = 3?/i + xj, L — ломаная ABC, где 4(0,0), B(l, 1), C(2,4).
Найти работу пространственного векторного поля F(P,Q,R) вдоль кривой L:
5.4.6.	Г(ж, 2у, —z), L — отрезок АВ прямой, задаваемой уравнениями = I = где Ж1>0,-1), В(3,1,-2).
5.4.7.	F(x,y, 1), L — первый виток винтовой линии, заданной параметрически уравнениями х = Я cost, у = Я sint, z = at, 0 t 2тг.
5.4.8.	F(z, 1,2у), L — часть окружности х = cost, у = sint, z = 1, t\ = 0, t2 =
5.4.9.	Найти работу градиента скалярного поля U = xyz вдоль отрезка прямой АВ, где 4(1,2,3), 3(3, —2,3).
5.4.10.	Найти работу ротора векторного поля F(y,z,x) вдоль конической спирали х = tcost, у = t sin t, z = t, 0 t 2тг.
5.4.11.	Найти циркуляцию плоского векторного поля F(P, Q) по замкнутой кривой L в положительном направлении: a) F(—у,х), L — окружность, задаваемая уравнением
х2 + (у + I)2 = R2-,
б) F(2j/, х), L — контур треугольника АВС, где 4(0,0), 3(1,0), С(1,1).
а)	Запишем параметрические уравнения окружности: х = Я cost, у = Яsint — 1, 0 t 2тг. Находим dx = —Rsintdt, dy = Rcostdt. Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
2я
2тГ
J (R2 — R sin t) dt = (R2t 4- R cos t) 0
= 2тг32.
0
б)	Первый способ.
Контур L есть объединение отрезков 43, ВС и С А. Поэтому циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
U=/Fdr= [Fdr+ fFdr+ lF-dr.
L	AB	ВС	CA
Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка 43 имеем у = 0 и, стало быть, dy = 0. Следовательно,
J F • dr = J 2у dx + xdy = 0.
АВ	АВ
260
Вдоль отрезка ВС имеем х = 1 и dx = 0. Поэтому
1
Зх2 °_
2 1
3
2’
вс вс	о
Наконец, вдоль отрезка С А имеем у = х и dy = dx. Следовательно,
о
J F dr = J 2ydx + xdy = j&z dx = CA	CA	1
Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц =
2	.2
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:
L	D
где областью D является треугольник АВС. В нашем случае Р = 2у,
Q = х. Следовательно, -77— = 1, а = 2. Тогда циркуляция поля F дх	ду
вдоль L равна
1 х
1
X
о о
О
1
Jxdx = х о
2 '-.I
2 о 2‘
5.4.12.
5.4.13.
5.4.14.
5.4.15.
5.4.16.
Найти циркуляцию плоского векторного поля F(p, Q) вдоль кривой L (направление обхода — положительное):
F(y2,2xy), L — произвольный замкнутый контур.
F(y, —х), L — окружность х2 + у2 = R2.
F(y, —ж), L — окружность (х — I)2 + (у + I)2 = R2-
F(2x — ху2, —2ху), L — ломаная АВА, где Л(0,0), В(1,1), кривая АВ — кусок параболы у = х2, а В А — отрезок прямой. F(xy, 1), L — граница квадрата	О^т/^1.
Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля F = —ай + zj + yk вдоль эллипса L, получающегося пересечением цилиндра х2 + у2 = 1 с плоскостью х + у + z = 1 (при взгляде с положительного направления оси Oz обход контура L совершается против часовой стрелки).
s} Первый способ.
Запишем параметрические уравнения эллипса: х = cost, у = sin£, z = == 1 — cos t — sin t. При изменении параметра t от 0 до 2тг получаем требу
261
емое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию:
Ц = <f)F  dr = $Р dx 4- Q dy 4- Rdz = j> —x dx + xdy + ydz = L	L	L
2tt	2tt
= J [(— cost)  (— sint) 4- cost • cost 4- sint(sint — cost)] dt = J dt = 2тг. о	о
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве поверхности S, ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости х 4-4- у 4- z = 1, лежащей внутри цилиндра х2 4- у2 = 1. Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной нормалью будет вектор n ( ~^z, -у=,	. По формуле Стокса имеем:
\'v 3 \ 3 \/3/
rot F • n dS =
L

S
'J
S
Вычисление последнего интеграла сведем к вычислению двойного интеграла по области Dxy, являющейся проекцией поверхности S на плоскость Оху. Этой областью будет круг х2 4- у2 1. Поскольку dS = dxdy r-
— -----г = \/3dxdy, то окончательно получаем:
cos 7
S

Dxy
Найти циркуляцию векторного поля F(P,Q,R) вдоль замкнутого контура L:
5.4.18.	F(z2, у2, z2), L — окружность, параметрические уравнения ко-
торой: х = cost, у = sint, z = 1, направление обхода — в сторону увеличения параметра t.
5.4.19.	F(y 4- z,z 4- х,х 4- у), L — окружность, получающаяся пересечением сферы х2 4- у2 + z2 = R2 и плоскости х 4- у 4- z = О, направление обхода— против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oz.
5.4.20.	F(z — у, у — z, z — х), L — контур треугольника АВС, А(1,0, 0). В(1,1,0),С(1,0,1).
262
5.4.21.	f(—Л-,, VH-O),
\ x + у X + y~ J
a)	L — окружность: x = cost, у = sini, z = h; направление обхода — в сторону увеличения параметра;
б)	L — окружность: х = cosi+2, у = sini+2, z = h\ направление обхода — в сторону увеличения параметра.
5.4.22.	F(z - 2у - z, х - z,y + х), L — контур треугольника АВС, где А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
5.4.23.	Найти поток ротора векторного поля Y(y,z,x) через поверхность параболоида z = 4 — х2 — у2, расположенную выше плоскости Оху в направлении нормали, у которой cos 7 > 0.
Q При решении данной задачи имеет смысл воспользоваться теоремой Стокса, поскольку вычисление потока, проведенное непосредственно, сложнее, нежели вычисление циркуляции по границе поверхности. Границей параболоида является окружность L, лежащая в плоскости хОу, параметрические уравнения которой: х = 2cosi, у = 2 sini, z = 0. Таким образом,
2я	2я
У 2sint(—2sini) dt = -4 J ^(l-cos2i) dt = -2 (t - | sin2i о	0
2я
= —47Г. 0
Замечание. Если в аналогичных задачах вычисление циркуляции затруднительно, то можно вновь воспользоваться теоремой Стокса, рассмотрев другую, более простую поверхность, которую ограничивает данный контур. В нашем случае — это мог быть круг в плоскости Оху: х2 + у2 4.	•
5.4.24.	Найти поток ротора векторного поля Y(xz2,y2z,z + у) через часть поверхности конуса (z — I)2 = х2 + у2, расположенную между плоскостями z = 0hz = 1b направлении внешней нормали.
5.4.25.	Найти поток ротора векторного поля F(z, х, у) через часть сферы х2 + у2 + z2 = 1 (z 0) в направлении внешней нормали.
5.4.26.	Тело вращается с постоянной угловой скоростью щ вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности единичного радиуса, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость, в которой лежит окружность, перпендикулярна оси Oz, в направлении оси вращения.
Дополнительные задания
5-4.27. Найти циркуляцию векторного поля F = г/i-l-2zj вдоль ломаной АВС, где А(1,1), В(4,2), С(0,4).
263
5.4.28.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у, х) вдоль кардиоиды х = 2 cos Л — cos2i, у = 2 sin t — sin2i в сторону увеличения параметра.
5.4.29.	Показать, что циркуляция радиуса-вектора г вдоль любого замкнутого контура равна 0.
5.4.30.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у, z,l)
а)	вдоль окружности (х — З)2 + у2 = 1, z = 1;
б)	вдоль окружности х2 + z2 = 1, у = 0.
5.4.31.	Показать, что циркуляция постоянного векторного поля F = с вдоль любой гладкой замкнутой линии L равна 0.
5.4.32.	Найти циркуляцию векторного поля F(z,2,1) вдоль ломаной АВС, где А( 1,3,2), В(0,0,1), С(-1, -1,1).
5.4.33.	Найти циркуляцию векторного поля
F = (z + 2х - 3j/)i + (х + у - 2z)j + т/k
вдоль контура треугольника АВС, где А(2,0,0), В(0,3,0), С(0,0,1).
5.4.34.	Найти циркуляцию градиента скалярного поля U = x3y2z вдоль эллипса: х2 + у2 = 1, х + z = 3.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.4.35.	Привести примеры области Q:
а)	являющейся пространственно односвязной, но не поверхностно односвязной;
б)	являющейся поверхностно односвязной, но не пространственно односвязной;
в)	не являющейся ни поверхностно, ни пространственно односвязной.
5.4.36.	Верно ли, что если в области Q ротор векторного поля F равен 0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкнутому контуру L, расположенному в Q равна 0?
5.4.37.	Верно ли, что потоки ротора векторного поля F через две разные поверхности Si и S2, имеющие одну и ту же границу L совпадают?
§5.	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т. е. F = grad (7 = VC7.
В случае, если поле F(P, Q,R) потенциально, выполняются равенства
p_dU n-QU р-^-дх' W ду ' dz'
264
что равносильно тому, что выражение Р dx + Q dy 4- R dz = dU является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y,z). Эта функция называется потенциалом векторного поля F.
Теорема 5.33. Пусть область Q поверхностно односвязна и функции Р, Q, R — непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное поле F(P, Q, R) потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
OQ = dP dR = dQ_ dP = dR дх ду ’ ду dz' dz дх
Приведенная теорема фактически утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т. е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл
УPdx + Qdy 4- Rdz АВ
не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области П (в предположении, естественно, что П— поверхностно односвязная), а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
^F-dr = 0. L
Если поле F потенциально, то его потенциал U может быть найден путем решения системы уравнений с частными производными:
U'x =Р, U'y = Q, U'z = R.
Также можно найти потенциал U непосредственным интегрированием по некоторому пути МоМ:
U= J Pdx 4- Qdy + Rdz.
MqM
При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь МоМ выбирают в виде ломаной М0М1М2М, вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:
U = J P(x,yo,zo)dx + J Q(x,y,zo)dy+ J R(x,y,z)dz, Л/q	М\ М2	М2 М
3Терема о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля.
265
где каждый из интегралов — суть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные (индексированные и неин-дексированные) играют роль констант.
Если потенциал векторного поля F известен, то
Pdx + Qdy + Rdz = dU = U(B) - U(A).
AB
AB
Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т. е. F = rot А = V х А. Поле А называется векторным потенциалом поля F.
Теорема 5.44. Пусть область Q пространственно односвязна и координаты Р, Q, R векторного поля непрерывно дифференцируемы в П. Тогда векторное поле F(P, Q, R) соленоидально в том и только в том случае, когда
divF = |P + ^ + ™ О
дх ду dz
в каждой точке области П.
Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
5.5.1.	Показать, что поле F(2x + yz)i + xzj + (ху + 2z)k потенциально и найти его потенциал.
Q Покажем, что rotF = 0.
rot F = (Ry - Q')i + (P’z - Я')j + (Qi - p;)k =
= (x - z)i + (y - y)j + (z - z)k = 0.
Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал U(x,y,z) поля F двумя разными способами.
I способ. Составим систему уравнений с частными производными:
Г U'x = 2х + yz,
S Uy = xz, [(7' = ху + 2z.
Интегрируя первое уравнение по х, получаем:
U = J(2х + yz) dx = х2 + xyz + <р(у, z)
(здесь роль константы интегрирования играет любая функция <р(у, z), ибо ее частная производная по х равна нулю). Далее, дифференцируя
4Теорема о необходимом и достаточном условии соленоидальности поля.
266
пОдученную функцию U по переменной у и используя второе равенство системы, получаем уравнение xz + ip'y(y, z) = xz, откуда <py(y, z) = 0. Интегрируя полученное уравнение по переменной у, получим 99(2/, z) = ^(z). Подставляя найденное значение функции <p(y,z) в функцию 17, приходим к равенству: U = х2 + xyz + <p(y,z) = х2 + xyz + 'Ф(г). Наконец, дифференцируя функцию U по переменной z и используя последнее равенство системы, получаем: ху + ^'(z) = ху + 2z, откуда ^'(z) = 2z, т. е.
= z2 + С. Таким образом, приходим к окончательному виду потенциала: U = х2 + xyz + z2 + С.
II способ. Вычислим потенциал непосредственным интегрированием, фиксируя точку Mq(xq, уо, zq), рассмотрим произвольную точку M(x,y,z). Тогда
U(x,y, z) = U(M) = У Pdx + Qdy + Rdz.
мом
Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной MqMiM^M , где отрезок MqMi параллелен оси Ох, отрезок М-^Мъ — оси Оу, а отрезок М%М — оси Oz. Вдоль MqMi имеем у = у0 и z = zq, а, следовательно, dy = dz = 0, вдоль М1М2 уже х — постоянно и z = zq, откуда dx = dz = 0, а вдоль М2М обе переменные, х и у — постоянны, а, значит, dx = dy = 0. Тогда
го
= (я2 + Уо zox)
+xyz0 +(xyz + z2)
Xo	yo
= (z2 + yoZox -Xq- yQZQXo) + (xyzQ - xyozo) + (xyz + z2 - xyz0 - Zq) = = X2 + xyz + z2 — (Xq + XoyoZo + Zq) = x2 + xyz + z2 + C. <
Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
5.5.2.	F = г.	5.5.3.	F = zi -Ь ух] -Ь zyk.
5.5.4.	F(x2,—у2,xz).	5.5.5.	F = xyi — zj + xk.
5.5.6.	F = ?/2(l — z)i + 2z?/(l — z)j — (xy2 — 3z2)k.
Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
5.5.7.	F = x2i + ?/2j 4- z2k. 5.5.8. F = yzi +xz] + yxk.
5.5.9.	F(z — 2x,z — 2y,x + y).
5.5.10.	F(y2z3,2xyz3 + z2,3xy2z2 + 2yz + 1).
5.5.11.	Показать, что плоское поле
F(2£c?/3 + 2xysin(x2y),3x2y2 + x2 sin(x2y))
потенциально, и найти его потенциал.
267
5.5.12.	Не используя теорему 5.3 показать, что ротор потенциального поля равен нулю.
5.5.13.	Непосредственным вычислением показать, что циркуляция гладкого потенциального поля F вдоль любой замкнутой кривой L равна 0.
5.5.14.	Найти циркуляцию векторного поля F(yz2, xz2,2xyz) вдоль эллипса: х2 + у2 = 4, х + 2у + Зг = 6.
5.5.15.	Найти циркуляцию векторного поля F(3x2y2z, 2x3yz, х3у2) вдоль контура АВС, где А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
5.5.16.	Вычислить работу силового поля F(yz,xz,yx) вдоль одного витка винтовой линии х = cost, у = sini, z = t (0 t 2тг).
Q При t = 0 получим начальную точку кривой Mi (1,0,0), при t = 2тг — конечную точку Мг(1,0,27г). Так как векторное поле потенциально (см. задачу 5.5.8), то работа силового поля не зависит от формы пути. Поэтому выберем в качестве пути Mi М2 прямолинейный отрезок. Вдоль него х = 1, у = 0, dx = dy = 0, и, следовательно, работа 2тг
А = J yzdx + xzdy + yxdz= J Odz = 0.
Mi М2	о
Другим способом работу можно было бы найти как разность потенциалов в точках М2 и Mi. Для этого находим сначала потенциал U = xyz (см. задачу 5.5.8). Тогда А = U(Mz) — U(Mi) = 1- 0-2тг — 1-0-0 = 0. • 5.5.17. Вычислить работу векторного поля F(z3 — y3,—3xy2,3xz2) от точки А(1,1,1) до точки В(2,0,1).
5.5.18.	Вычислить работу векторного поля F(y + 2xz2,x — 2y,2x2z) вдоль полуокружности большого радиуса сферы
(1 + ж)2 + у2 + z2 = 1 от точки А(—1,1,0) до точки В(—1, —1,0).
Является ли векторное поле F соленоидальным?
5.5.19.	F(xy, — у — х, z — zy). 5.5.20. F(x2yz, 2xyz, — z2(xy + x)). 5.5.21.	F = (y2 + z2)i - (xy + z3)j + (y2 + zx)k.
5.5.22.	F = (x2yz — x3)i + yx3j -I- (x2z — y)k.
5.5.23.	Является ли пространственное векторное поле г х с (где с — постоянный ненулевой вектор): а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.24.	Является ли пространственное векторное поле F = ^ • г: а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.25.	Вычислить поток векторного поля F(rcx/2 — z, — ху + z, zx — zj/2) через поверхность эллипсоида
х2 .У2  z2 _ -I
а2 Ь2 с2 в направлении внешней нормали.
268
Дополнительные задания
Являются ли следующие поля потенциальными?
5.5.26.	F = (yz2 - l)i 4- xz2\ 4- 2rn/zk.
5.5.27.	F = (x2 + у - z)i 4- (xy - xz)j 4- x2zk.
5.5.28.	F = cos(2j/ 4- 3z)i — 2g/sin(2j/ 4- 3z)j 4- 3z sin(2y 4- 3z)k.
5.5.29.	Показать, что векторное поле
F(yz(2x + у + z),xz(x + 2у + z),xy(x 4- у 4- 2z)) потенциально, и найти его потенциал.
5.5.30.	Показать, что векторное поле
F = (бж?/ - 2z)i 4- (Зж2 - 2z)j 4- (1 - 2?/)k потенциально, и найти его потенциал.
Являются ли следующие поля соленоидальными?
5.5.31.	F = (х2 -yz + 2)i - 2z?/j 4- (ух3 - l)k.
5.5.32.	F(xy — yz 4- xz)i 4- (yz - xz + xy)j 4- (xz - xy 4- ?/z)k.
5.5.33.	F(x2y, y2z - y2x, xy - yz2).
Вычислить работу векторного поля F от точки А до точки В:
5.5.34.	F(3z2,2у, 1), А(1,2, -1), В(0,1,1).
5.5.35.	FQ/2 4- 2xz, z2 4- 2ху, х2 4- 2?/z), А(0,0,0), В(1, —1,1).
5.5.36.	F = г  г, где г — радиус-вектор точки, аг = |г|, А(0,0,0), В(6,2,3).
5.5.37.	F = 4г2 • г, где г — радиус-вектор точки и г = |г|, А(0,3,4), В(3,4,0).
5.5.38.	Показать, что если векторные поля Fi, F2 потенциальны и с — число, то Fx 4-F2 ис-Fj — также потенциальные векторные поля.
5.5.39.	Показать, что если векторные поля Fi и F2 соленоидальны, то ci • Fi 4- с2 • F2 — соленоидальное векторное поле (ci и С2 — некоторые константы).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.5.40.	Привести пример векторного поля:
а)	потенциального и соленоидальнего;
б)	потенциального, но не соленоидального;
в)	не потенциального, но соленоидального;
г)	не потенциального и не соленоидального.
5.5.41.	Показать, что потенциал U потенциального и соленоидального поля F удовлетворяет уравнению Лапласа: ДС7 = 0.
269
5.5.42.	Показать, что если векторное поле F = /(г)-г, где г = #i+2/j+zk и г — |г|, соленоидально, то /(г) = Д-.
т
5.5.43.	Будет ли пространственное поле F=r-(cxr), где r=xi+yj+zk. г=|г| ис — постоянный вектор, соленоидальным?
5.5.44.	Показать, что пространственное поле F = /(г) • г, где т(х, у, z) и г = |г|, потенциально и найти его потенциал.
5.5.45.	Показать, что если векторное поле F потенциально, то векторное поле с х F (где с — постоянный вектор) является соленоидальным. Верно ли обратное?
5.5.46.	Верно ли, что векторное произведение потенциальных полей потенциально?
5.5.47.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей соленоидально?
5.5.48.	Показать, что векторное произведение потенциальных полей —
соленоидальное векторное поле.
5.5.49.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей — потенциальное векторное поле?
Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
□
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика, т. е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил — правила умножения и правила сложения.
Теорема 6.1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать тц способами, а второй объект (элемент Ь) — пг способами, то оба объекта (а и Ь) в указанном порядке можно выбрать щ • пг способами.
Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.
Теорема 6.2. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать Hi способами, а объект b можно выбрать п-2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или Ь) можно выбрать т + П2 способами.
Это правило распространяется на любое конечное число объектов.
Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
Схема выбора без возвращений
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.
Размещением из п элементов по к элементов (0 к п) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее к элементов.
Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по к обозначаются символом А* и вычисляется по формуле
A*=n(n-l)(rc-2)...(n-fc + l) =  п!	(1.1)
(п — к)'.
еде n! = 1 • 2 • 3... п, причем 1! = 1, 0! = 1.
271
Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по тг элементов.
Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из тг элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и вычисляется по формуле
Рп = Апп = п\	(1.2)
Сочетанием из п элементов по к (0 к п) называется любое подмножество данного множества, которое содержит к элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т. е. отличаются только составом элементов). Число сочетаний из п элементов по к обозначается символом и вычисляется по формуле
rk _ n(n-l)(n-2)...(n-fc + l) _ ni _ А^_ kl	kl(n-k)l кГ [ }
Для чисел Сп (они называются биномиальными коэффициентами} справедливы следующие тождества:
Скп = Сп~к (правило симметрии)у
С^ + С1п + ... + С^=2п,
Ск = Сп-i + Сп-i (правило Паскаля),
Сп = Сп = 1.
Схема выбора с возвращением
Если при упорядоченной выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по к обозна-—к
чается символом Ап и вычисляется по формуле
4 = пк.	(1.4)
Если при выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т. е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п _____________________________________к
элементов по к обозначается символом Сп и вычисляется по формуле
г-Л ___ (~lk
'-уп — '-yn4-k —1-
(1-5)
Пусть в множестве из п элементов есть к различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется ni раз, 2-й — т раз^ ..., к-й — Пк раз,
272
причем тп 4-П2 4-.. -+пк = п. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из п элементов обозначается символом Pn(m, пг,..., п*.) и вычисляется по формуле
Pn(ni,n2,...,nfc) = ——(1.6)
П\ \  П21 ... П/е'
Итоговая сводка формул приведена в следующей таблице.
Таблица 1
(1-я строка — без повторений, 2-я строка — с повторениями)
	Размещения	Перестановки	Сочетания
1	дк = п! п (п-ку.	Рп = п\	sjk _	nl п к1(п-ку.
2	А^=пк	Рп(П1,П2,...,Пк)=	 ” 711:1 П2. . . . • 7Ц.: (ni + П2 + . . . + 7lfc = п)	'-'п	'-'n+k—1
6.1.1.	Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если:
а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Q а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, ... не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (например, цифру 5), вторую цифру можно также выбрать четырьмя способами (второй цифрой может быть любая из оставшихся 0, 2, 3, 7). Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 4 • 4 • 3 = 48 способов расстановки цифр, т. е. искомых трехзначных чисел будет 48 (вот некоторые из них: 509, 237, 530, 702, ...).
б) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначные числа можно составить 4 • 5 • 5 = 100 способами (вот некоторые из них: 222, 200,332,...).	•
6.1.2.	Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?
О По правилу умножения трехзначных чисел можно составить 5 • 4 • 3 = = 60 способами, а четырехзначных — 5 • 4 • 3 • 2 = 120 способами, столько же пятизначных чисел (5 • 4 • 3 • 2 • 1). По правилу сложения, всего можно составить 60 4- 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех попарно различных цифр.	О
6.1.3.	Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?
273
6.1.4.	В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?
6.1.5.	Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?
6.1.6.	В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?
6.1.7.	Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С — пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через В?
6.1.8.	Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
6.1.9.	Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего их 6. Однако число размещений можно подсчитать и по формуле (1-1): Ао = 3 • 2 = 6 или A3 =	3!	— § — 6.	•
3	3	(3-2)!	1
6.1.10.	Сколькими способами 3 награды (за I, II, III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?
Q Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников соревнований из 10
можно
лз _	10!	_ 7!-8-9-10 _79Л
Дю-(10_3)!-	7,	-720
способами, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования.
Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду (за I место) 9; на вторую — 8; на третью — 7; число различных способов распределения наград равно 10-9-8 = = 720.	•
6.1.11.	Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны?
6.1.12.	Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов?
6.1.13.	Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты 800 х 400 х 200 х 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах?
6.1.14.	Составить различные перестановки из элементов множества А= {5;8;9}.
274
По формуле (1.2) число перестановок из 3-х элементов равно Рз = = 3! = 1-2-3 = 6. Составляем их: (5,8,9); (5,9,8); (8,9,5); (8,5,9); (9,5,8); (9,8,5).	•
6.1.15.	Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а)	в произвольном порядке;
б)	так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке);
в)	так, чтобы I, II, III тома не стояли рядом (в любом порядке). Q а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов: Р10 = 10! = 3628800.
б)	Мысленно связав I, V и IX тома или положив в один пакет, получим 8 «книг», т. е. 7 книг и 1 связку (или пакет) книг. Их можно расставить на полке Р% = 8! способами. Каждому из этих способов расстановки соответствуют Рз = 3! способов расстановки книг, находящихся в связке (I, V и IX тома по-прежнему стоят рядом, но в ином порядке). Согласно правилу умножения, число возможных расстановок 10 книг на полке так, чтобы 3 определенные книги (I, V и IX тома) стояли рядом, равно Р8 • Р3 = 8! • 3! = 40320 • 6 = 241920.
в)	Искомое число способов расстановки книг, с учетом пунктов а) и б), равно Рю - Р8 • Рз = 3628800 - 241920 = 3386880.	•
6.1.16.	В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?
6.1.17.	Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?
6.1.18.	Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове:
а) СОЛНЦЕ;	* б) ТЕАТР;
в) ЛИЛИ;	г) SOS?
6.1.19.	Сколькими способами можно упорядочить множество А = = {8,9,10,11,..., 15} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
6.1.20.	Составить различные сочетания по два из элементов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно составить следующие три сочетания по два элемента: {3,4}; {3,5}; {4,5}. Их число можно подсчитать и по формуле (1.3): Сз =	(или так: Cj =
ci = а = з).
6.1.21.	Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?
= 3; или так:
275
Q Так как для Владимира важен только состав гостей (порядок роли не играет), то число способов выбора троих гостей из 7 можно найти по формуле сочетаний (1.3): С? = ?	| = 35.	•
6.1.22.	В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики;
б)	6 гвоздик одного цвета;
в)	4 красных и 3 розовых гвоздики?
Q а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно Ciq способами. По формуле (1.3) находим: C^q = Ц = 560.
б)	Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно Сд = 84 способами, а 6 гвоздик розового цвета С? = 7 способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно Сд + С? = 84 -I- 7 = = 91 способом.
в)	Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно Сд способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно С? способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения
=	^ = !Нто1гШ^10сп“обаМИ- *
6.1.23.	Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные (по количеству предметов) группы?
6.1.24.	Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шахматистов участвовало в соревновании?
6.1.25.	Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут: а) одни девушки;	б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?
6.1.26.	Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы (выбор одной группы однозначно определяет вторую)?
6.1.27.	Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других — по 3 и еще один — 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?
6.1.28.	В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?
6.1.29.	Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента.
Q Размещения с повторениями по два элемента таковы: (2,2); (2,4); (2,5); (4,4); (4,5); (4,2); (5,5); (5,2); (5,4).
276
Их число можно вычислить и по формуле (1.4):
A3 = З2 = 9.
Сочетания с повторениями по два элемента таковы (в отличие от размещений здесь порядок элементов в выборке не имеет значения, т.е., например, пары (2,4) и (4,2) не различаются): {2,2}; {2,4}; {2,5}; {4,4}; {4,5}; {5,5}.
Их число можно вычислить и по формуле (1.5):
7^2 _ z^2	_ z^2 _ 4'3 _ z?	а
— <-'3+2-1 —	— О.	W
6.1*30.	В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами можно составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов?
Q Поскольку порядок расположения тортов в наборе не играет роли, то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7 элементов по 3 в каждом. По формуле (1.5) имеем С7 = Сд =	= 84
(см. также задачу 6.1.6).
Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число возможных наборов равно С3 = Сд = у—| =36.	•
6.1.31.	Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?
Q Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-й включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-м этаже вышел один пассажир, на 3-м — один, а трое вышли на 5-м этаже) или 9-9-9-9-Э или 4-O-6-7-9, и т. д.
Общее число выходов пассажиров, по формуле (1.4), равно
Ag = 85 = 32 768.
Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го — тоже 8, и для 3-го — 8, и для 4-го — 8, и для 5-го — 8. Всего получается 8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 85 вариантов выхода 5-ти пассажиров.	•
6.1.32.	Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Q Вообще из трех букв можно составить Р3 = 3! = 6 различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных «слов»
277
из букв слова АГА можно составить столько: — =	= 3. Впрочем, от-
вет можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных слов будет тоже три.
Пользуясь формулой (1.6), этот результат можно получить сразу: Рз(2,1) = 2Ш = 3.
По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь п = 11, п\ = 1, п-2 = 4 (4 буквы S), ??з = 4 (4 буквы I), 714 = 2, поэтому
РИ4Д9А- 11!	5-6-7-8-9- 10-11 _	А
Рц(1,4,4,2) = 1!4!4Т2, =-----1.24.2-------- 34650-	•
6.1.33.	Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?
6.1.34.	Сколькими способами можно распределить б разных книг между 3 школьниками?
6.1.35.	В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинаковых открытки? 4 разных открытки?
6.1.36.	Сколько различных букетов по 5 цветков в каждом можно составить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов?
6.1.37.	У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида — другого и 4 вида — третьего. В течение девяти дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?
6.1.38.	Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ?
Дополнительные задания
6.1.39.	Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными?
6.1.40.	Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова
а) ЛЕТО;	б) ШАЛУН?
6.1.41.	Сколько существует шестизначных чисел, у которых на четных местах стоят четные цифры?
6.1.42.	20 студентов обмениваются фотокарточками. Сколько фото-
карточек понадобилось для этого?
6.1.43.	Каждого из б студентов можно направить для прохождения практики на одно из трех предприятий. Сколькими различными способами это можно осуществить?
278
6.1.44.	Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2, 3, 4 если:
а)	цифры не могут повторяться;
б)	цифры могут повториться;
в)	числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г)	число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться).
6.1.45.	4 пианиста, 5 скрипачей и б баянистов участвуют в конкурсе.
Сколькими способами жюри может отобрать по три победителя в каждой номинации?
6.1.46.	Сколькими способами можно составить трехцветный (три вертикальные полосы) полосатый флаг, если имеется материал красного, желтого, зеленого и черного цветов, причем известно, что одна из полос должна быть зеленой?
6.1.47.	В классе изучается 7 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 5 различных предметов?
6.1.48.	Сколькими способами можно рассадить вокруг круглого стола б мальчиков и б девочек, если каждая девочка должна сидеть между двумя мальчиками?
6.1.49.	Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы 2-й и 4-й вагоны шли через один?
6.1.50.	Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?
6.1.51.	Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать б человек так, чтобы среди них было не менее 2-х женщин. Сколькими способами это можно сделать?
6.1.52.	Сколькими способами можно распределить 36 игральных карт поровну между четырьмя игроками?
6.1.53.	Сколько различных комбинаций из б карт содержат 3 дамы, 2 короля и 1 туз?
6.1.54.	Из группы в 12 человек надо выбрать 2 человека для выполнения одной работы и 3 — для другой. Сколькими способами это можно сделать?
6.1.55.	Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, б (без повторений)?
6.1.56.	В футбольной команде имеется 13 полевых игроков и 2 вратаря. Сколькими способами можно выбрать играющий состав, состоящий из 10 игроков и 1-го вратаря?
6.1.57.	Сколькими способами можно распределить б билетов в театр по трем группам первокурсников?
6.1.58.	В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности нажать 4 кнопки из имеющихся 12. Некто, не зная кода, стал наудачу набирать различные комбинации из 4-х цифр. Какое
279
наибольшее число попыток ему надо осуществить, чтобы дверь открылась?
6.1.59.	В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней:
а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных?
6.1.60.	12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырех-
местный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.1.61.	Сколькими способами можно переставить буквы слова ЗОЛОТО так, чтобы буквы О не стояли подряд?
6.1.62.	На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 — для женщин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место работы трое мужчин и две женщины?
6.1.63.	Сколькими способами можно разбить на две группы 6 мальчиков? На две группы по 3 мальчика в каждой?
6.1.64.	В четырехзначном числе пропущены (не видны) две цифры. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры?
6.1.65.	Сколькими возможными способами 3 незнакомых человека могут разместиться в 8 вагонах электрички?
6.1.66.	В азбуке Морзе используются два знака: точка и тире. Каждый символ (например, буква) кодируется определенной последовательностью этих знаков (например, Е=-,А = -—,Э = -- ~). Какое число разных символов можно закодировать не более чем четырьмя знаками азбуки?
6.1.67.	Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, строятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом?
6.1.68.	20 студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было сде-
лано рукопожатий?
6.1.69.	Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если 3 руководителя лаборатории (заведующий, его заместитель и главный инженер) одновременно уезжать не должны?
6.1.70.	Сколько прямых линий можно провести'через 7 точек, из которых лишь 3 лежат на одной прямой?
6.1.71.	Группа туристов в количестве 9 человек намеревается пойти в поход в ближайшее воскресенье. Сколько существует вари
280
антов прихода (некоторые могут не явиться) этих туристов к месту отправления?
6.1.72.	7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три па-
кета по 5 фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать?
6,1.73.	В шахматной встрече двух команд по 6 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
6.1.74.	Сколько чисел меньших, чем 1000000, можно написать с помощью цифр 8 и 9.
§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита А, В, (7,....
Событие называется достоверным) если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через Q.
Событие называется невозможным) если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через 0.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.
События Ai, Аг,..., Ап называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.
События А1,Аг,...,Ап образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные «шансы»).
Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (т. е. или А, или В, или оба вместе).
Произведением событий А и В называется событие С = А  В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т. е. и А и В вместе).
Разностью событий А и В называется событием С = А—В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.
281
Событие А влечет событие В (или: А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записывают это так: А С В.
Если АС В и В С А, то события А и В называются равными’, обозначается это следующим образом: А = В.
Противоположным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями
Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество Q = {w} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ш -— элементарными событиями (или «элементами», «точками»).
Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Q, если оно конечно или счетно.
Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Q, называются благоприятствующими событию А.
Множество Q называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдет.
Пустое множество 0 называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.
Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее — подмножествами пространства Q.
Сумма (или обзединение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А+В или A U В) — это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А к В.
Произведение (или пересечение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А • В или А Г) В) — это множество, которое состоит из элементов, общих для событий АпВ.
Разность событий А С Q и В С Q (обозначается А — В или А \ В) — это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.
Пр отивоположным событию А С Q называется событие А = Q \ А; множество А называют также дополнением множества А.
Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А С В.
282
По определению 0 С А для любого А.
События А и В называются несовместными, если их произведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е. А • В = 0.
Несколько событий Ai, Аг,..., Ап образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно не п
совместны, т. е. Аг = Q и Ai • А3 = 0 (г ± j).
г=1
Полную группу, в частности, образуют события А и А (А+А = Q, А-А = 0). Операции над событиями (множествалми) обладают следующими свойствами:
1.	А + В = В + А, А • В = В А (переместительное);
2.	(А + В)-С = А-С+В-С, А-В+С = (А + С)-(В + С) (распределительное);
3.	(А 4- В) 4- С = А 4- (В 4- С), (А • В) • С = А • (В • С) (сочетательное);
4.	А 4- А = А, А • А = А;
5.	А 4- П = П, А • Q = А;
6.	А 4- А = Q, А • А = 0;
7.	0 = Q, Q = 0, А = А;
8.	А-В = А В; _______ _ _
9.	А + В = А - В и А - В = А + В (законы де Моргана).
6.2.1.	В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется:
1)	составить пространство элементарных событий для данного опыта;
2)	указать элементарные события (исходы), благоприятствующие событиям: А = {появление шара с нечетным номером}, В = {появление шара с четным номером}, С = {появление шара с номером большим, чем 3}, D — {появление шара с номером меньшим, чем 7};
3)	пояснить, что означают события В, С’,
4)	указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны, а какие нет;
5)	указать, какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет;
6)	привести примеры невозможного и достоверного событий;
7)	привести пример другого пространства элементарных событий в данном опыте.
Э 1) Пространство элементарных событий можно записать в виде Q = = {wj}, где Wi — появление шара с номером г, где i = 1,2,..., 12. Появление г-го шара можно обозначить и так: Шг, шш, и т.д. Поэтому можно записать:
Q = {Ш^Шг,... ,Ш12} = {wi,^2, • • • ,^12} = HihMiis!-• •
283
2)	Рассмотрим события А, В, С и D как подмножества пространства Q. Элементарные события, входящие в эти подмножества и являются благоприятствующими указанным событиям: А = {cui, о?з, 0,5,	, cuii},
В={а?2) ^4,(^6) ^8)^10 5^12}, C={o>4,Cd5, . . . ,6^12}, D = {^’1, О>2) ^3,   • ,^б}-
3)	Событие В означает, что событие В не происходит, т. е.
В = {и?1,о>з,..., сип}, откуда ясно, что В = А.
Событие С является противоположным событию С, поэтому С = = {о>1, О>2, ^3 } •
4)	События А и В несовместны; события А и С, так же, как А и Л, В и С и другие — совместны.
5)	События Ли В образуют полную группу; в результате опыта произойдет только одно из них: или А или В. Другие пары событий (А и С, В и D и т.д.) не образуют полную группу. Так, появление шара с номером 3 означает наступление двух событий: и А и D.
6)	Событие Е\ = {появление шара с номером 13} — является невозможным событием, а событие Е% = {появление шара с номером п
12} — достоверное, т. е. Е-2 = Q.
7)	Если в данном опыте нас интересует лишь то, что извлеченный шар имеет четный или нечетный номер, то можно считать Q = {cui,cu2j, где — появление шара с нечетным номером, о>2 — с четным.
Другим возможным пространством для описания данного опыта может быть такое Q = {cuj., и>2, сиз, и?4}, где ^1 — появление шара с номером от 1 до 9 включительно, си2, сиз, CU4 — появление шара с номером 10, 11,12 соответственно. Примером неправильно выбранного пространства может служить Q = {cui, CU2}, где — появление шара с номером меньшим, чем 10, а о>2 — большем, чем 6. События и о>2 не являются элементарными, так как в результате опыта эти исходы могут наступить одновременно.	•
6.2.2.	Указать пространства элементарных событий для следующих опытов (испытаний):
а)	подбрасывание двух игральных костей;
б)	стрельба по мишени до первого попадания;
в)	наблюдение за временем безотказной работы прибора.
Q а) Согласно правилу умножения (см. § 1 настоящей главы) число исходов в данном опыте равно 6 • 6 = 36. Изобразим пространство эле-
ментарных исходов (событий) в виде матрицы				
	^11	^12	О>13	. . .	
	^21	^22	CJ23 • • •	О>26
Q =	•	•	•	•
	•	•		•
	^61	^62	^63	• • •	^66;
где ujij означает, что на первой игральной кости выпало i очков, а на второй j (г, j = 1,6).
284
б)	В данном случае пространство Q теоретически бесконечно, но счетно. Обозначая знаком «+» попадание в цель при соответствующем выстреле, а знаком «—» — промах, получим такое пространство элементарных событий:
Q = {+, —Ь,----Ь,-------Ь,--------h•• •}•
Здесь, например, событие-------1- означает, что первые три выстрела
были промахами, а на четвертый произошло попадание.
Можно записать ПЭС и так:
Q = {1,01,001,0001,...},
где 1 означает попадание в цель, 0 — промах.
в)	Здесь также исходов опыта (наблюдения) бесконечно много, при этом множество Q несчетное: Q = {t: 0 С t < оо}, где t — время безотказной работы прибора. Понятно, что в качестве результата наблюдения может появиться любое число t 0.	•
6.2.3.	Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий, указать элементарные события, благоприятствующие событиям: Ai — выпало четное число очков; Аг — выпало не менее 4 очков; Аз — выпало более 6 очков.
6.2.4.	Построить пространство Q для следующих испытаний:
а)	проводится одна игра в шахматы;
б)	трижды подбрасывается монета;
в)	подсчитывается число студентов группы, сдавших экзамены по теории вероятностей.
6.2.5.	Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными:
a)	Ai = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, Аг = {на кухне};
б)	Аз = {попадание при одном выстреле}, Ад = {промах};
в)	А5 = {выпадение герба при бросании монеты}, Ав = {выпадение решки};
г)	Ач = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, Ag = = {два попадания}?
6.2.6.	Образуют ли полную группу следующие события:
а)	A3 и Ад из задачи 6.2.5;
б)	Ач и Ag из задачи 6.2.5;
в)	Во = {ни одного попадания при трех выстрелах по мишени}, Bi = {одно попадание}, Вг = {два попадания}, В3 = {три попадания};
г)	Ci = {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех магазинов}, С2 = {не купит ни в одном магазине}?
6.2.7.	Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель},
285
событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают события:
а)	А +_В;	б) А • В;
в) А В?
Q Составим пространство элементарных событий данного опыта: Q = = {woo,tdio,cuoi,cun}, где cjoo означает: первый стрелок промахнулся и второй промахнулся; адо — первый попал, второй промахнулся и т.д. Тогда А = {(1-й стрелок попал, 2-й не попал) или (1-й стрелок попал, 2-й тоже попал)} = {сию,сиц}, В = {woi,wn}.
а) Событие Л + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал в цель. Событие (множество) А + В состоит из элементарных исходов, каждый из которых входит или в множество А, или в множество В, или в оба эти множества, т.е. А + В = {сию, cl?qi , сиц }.
б)	Событие А • В состоит в том, что оба стрелка попали в цель. Оно состоит из элементарных событий, каждое из которых входит и в множество Л, и в множество В. Следовательно, Л • В = {сиц}.
в)	Событие Л • В состоит в том, что первый стрелок попал в цель, а второй — нет. Оно состоит из тех элементарных событий, каждое из которых входит и в множество Л, и в множество В = {сиоо5^ю}5 т.е. Л • В = {wio}.	Ф
6.2.8.	Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие Аг = {первый студент решил задачу}, Л2 = {второй студент решил задачу}, Л3 = {третий студент решил задачу}. Выразить через события Ai (г = 1,2,3) следующие события:
1)	Л = {все студенты решили задачу};
2)	В = {задачу решил только первый студент};
3)	С = {задачу решил хотя бы один студент};
4)	D = {задачу решил только один студент}.
о 1) Осуществление события Л означает, что произошли события Лх, Л2 и Лз одновременно, т.е. имеем произведение событий: Л = А\ • Л2 • Л3.
2)	В этом случае событие Л! произошло, а события Л2 и Лз не произошли, т. е. произошли события Л 2 и Л3. Следовательно, В = Aj • Л 2 - Лз-
3)	Событие С означает, что произошло или событие Л1, или событие Л2, или событие Лз, или любые два из них, или все вместе, т.е. имеем сумму событий: С = Ат + Л2 + Л3.
4)	Задачу решит только первый студент (Лх  Л 2 • Лз), или только второй студент (Л1 • Л2  Лз), или только третий студент (Лх • Лг  Лз), т. е. имеем сумму событий D = Лх • Л2 • Лз + Лх • Л2 • Лз + Лх • Лг • A3. Ф 6.2.9. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события Л = {выбрана красная роза}, В = {выбрана желтая роза}, С = {выбрана белая роза}. Что означают события:
286
a) A;	6) A + B;
в) AC;	г) A + B;
д) A + В;	e) AB + C?
6.2.Ю. В задаче 6.2.8 найти выражения для следующих событий: а) Е = {с задачей не справился ни один из студентов}; б) F = {задачу решило не более двух студентов}.
6.2.11.	В задаче 6.2.1 выяснить, что означают следующие события: а) А + В;	б) А • D;
в) С-D;	г) А • В - С;
д) А  D;	е) А  В.
6.2.12.	Пусть А, В, С — три произвольных события. Выразить через А, В, С и их отрицания следующие события: а) произошло только событие С; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.
6.2.13.	Событие С влечет событие D. Что представляют собой события: а)С + В,	б) CD,
в) С — D,	г) D • С?
6.2.14.	Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {экзамен сдан на отлично}. В чем состоят события: а) А - В;	б) А^В;
в) А-В?
6.2.15.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 59. Событие А{ = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события В и В через события А/.
Рис. 59
Рис. 60
6.2.16.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 60. Событие Ai = {элемент с номером г вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить события В и В через события А;. .
287
6.2.17.	Упростить выражение А + А • В.
Q А + А В = 4-Q + АВ = 4 • (Q + В) = А(В + Q) =4-0 = 4, т.е. 4 + АВ = 4. Использованы свойства 5, 2, 1 операций над событиями, ф 6.2.18. Пусть 4, В и С — случайные события. Доказать, что
4(В - С) = А • В - 4 • С.
Q Пусть произвольный исход (элементарное событие) опыта uj £ € 4(В — С). Тогда qj€4hqj€ (В — С), т.е. ш £ 4, w Е В. но ш С. Следовательно, uj € АВ и ш $ АС, т. е. ш G АВ — АС. Таким образом, любой исход события 4(В — С) является исходом события АВ — АС, т. е. А(В—С) С АВ—АС. Аналогично доказывается, что АВ—АС С 4(В—С). Отсюда следует 4(В — С) = 4 • В — 4 • С (события 4(В — С) и АВ — АС состоят из одних и тех же элементарных событий ш).	*
6.2.19.	Доказать, что 4+В = А-}-АВ, где 4 и В — случайные события.
Привести геометрическую интерпретацию событий.
Q Используя свойства операций над событиями, получаем:
4 + B = 4Q + B«Q = 4Q + В(4 + 4) = 4 - Q + В  4 + В • А =
Изображая пространство Q прямоугольником, элементарные события (исходы) — точками этого прямоугольника, а события — его подмножествами (такая интерпретация множеств носит название диаграмм Эйлера-Венна), получим рисунки, изображенные на рис. 61.
4+В	= ' А+АВ
Рис. 61
6.2.20.	Упростить выражение (4 + В) • (4 + В) • (4 + В).
6.2.21.	Доказать, что события 4, 4-В, А + В образуют полную группу-
6.2.22.	Упростить выражения:
а) 4(В - 4В);	б) АВ + АС + ВС + В;
в) 4 + АВ + 4 + В.
6.2.23.	Доказать справедливость законов де Моргана:
а) ~А + В = А-В:	б) АВ = 4 + В.
6.2.24.	Упростить выражения: АВ, А + В, 4 + В + С, если известно, что 4 С В.
288
g.2.25. Установить, какие из следующих соотношений правильны: а) А 4- В = ~АТВ-,	б) А4-В4-С = А • В  С;
в) (А + В) — С = А + (В — С).
6.2.26.	Совместны ли события А и А 4- В?
6.2.27.	Справедливы ли и в каком случае равенства а) А • В = А;	б) А 4- В = А?
Дополнительные задания
0.2.28. Построить пространство Q для следующих испытаний: а) монета бросается до первого появления герба или до тех пор, пока решка выпадет три раза подряд;
б)	подбрасывается игральная кость, а затем монета.
0.2.29. В урне находится 10 одинаковых шаров, занумерованных числами 0,1,2,..., 9. Из нее извлекаются по одному 4 шара. После каждого извлечения вынутый шар возвращается обратно. Описать пространство Q для этого эксперимента и найти число его элементов.
6.2.30.	Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно наудачу выбирают две. Составить пространство элементарных событий для этого опыта, если его элементами служат: а) двузначные числа, образованные извлеченными карточками;
б) суммы номеров, извлеченных карточек.
6.2.31.	Назвать противоположные события для следующих событий: а) А = {выигрыш 1-го игрока в шахматной партии};
б)	В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти выстрелах};
в)	С = {произошло три попадания при трех выстрелах};
г)	D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах};
д)	Е = {в семейной паре муж старше жены}.
6.2.32.	Упростить выражения:
а) (X + Y)Y + Х(ХУ); б) (X - ZX) 4- (У - ZY) 4- Z.
6.2.33.	Доказать тождество:
а) А - В = А • В; _	б) А - В = А - АВ-
в) А 4- В = А • В 4- АВ 4- АВ.
6.2.34.	Показать, что:
а)	АВ = А => А С В;
б)	А С В => А 4- В = В, АВ = А.
6.2.35.	Упростить выражение:
а)	(А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В);
б)	А • В;	в) (А 4- В)(В 4- С)(С 4- А).
'О Сборник задач по высшей математике. 2 kvdc	289
6.2.36.	Доказать, что:
a)	АВ + В = В- А; __________
б)	В = А, если А-В = 0иА-В = 0.
6.2.37.	Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме, приведенной на рисунке 62. Пусть событие At = {включен выключатель с номером i }, i = 1,2,..., 5.
а)	Для схемы рис. 62 а' записать через А, событие А = {ток идет};	_
б)	для схемы рис. 62 б записать через А$ события А и А.
Рис. 62
6.2.38.	Пусть А, В, С — случайные события, причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
6.2.39.	Из колоды игральных карт (всего их 36) извлекают одну. Составить не менее двух пространств элементарных событий для данного опыта.
6.2.40.	Сколько событий можно составить для пространства
Q = {wi,w2,w3}?
6.2.41.	Подбрасываются 3 монеты. Сколько имеется равновозможных исходов данного опыта? Составить события, образующие полную группу. Привести примеры событий, не образующих полную группу. Указать подмножества множества Q, соответствующие событиям: А — выпало не более одной решки; В — выпало ровно два герба.
6.2.42.	Известно, что события Ai и А2 произошли, а событие Аз не произошло. Произошли ли события: a) Ai • А2 + Аз;	б) Ai + А2А3;
в)	Ai • А2 • Аз ?
6.2.43. Каков смысл равенств:
а) А • В • С = А;	б) А + В + С = А?
290
0,2.44. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 63. Пусть события Ai, i = 1,2,3,4,5, состоят в том, что одноименные элементы работают безотказно в течение времени Т. Событие В = {схема работает безотказно в течение времени Т}. Выразить события ВиВ через события Аг.
Рис. 63
Рис. 64
6.2.45.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 64. Событие Аг — элемент под номером i выходит из строя, i = 1,2,3,4,5. Событие В — разрыв цепи. Выразить событие В через события Ai.
6.2.46.	Доказать, что А • В +'С = (А + С)  (В + С), где А, В, С — случайные события.
6.2.47.	Найти случайное событие X из равенства:
а) А • X — А 4- X',	б) А 4- А -Ь А 4- X — С.
6.2.48.	Справедливы ли следующие равенства:
а) А 4- А = А;	б) А • А = А;
в) А + В = АВ?
6.2.49.	При каком условии справедливо равенство (А 4- В) — В = А?
6.2.50.	Доказать, что (А 4- В) — В = А — В.
6.2.51.	Показать, что если В С А, то (А — В) 4- В = А.
6.2.52.	Доказать, что А— В = 0^АСВ.
§3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
Классическое определение вероятности
Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.
Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементар-нЫА1и исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.
291
Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благо-приятствующих этому событию, к общему числу п случаев.
PW = %.
Такое определение вероятности называется классическим.
Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 Р(А) 1; Р(0) = 0; P(Q) = 1; Р(А) = 1 - Р(А); Р(Д + В) = Р(А) + Р(В), если А В = 0.
Геометрическое определение вероятности
Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие «геометрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть пространство элементарных событий Q представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Q.
Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Q, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле
»(A)=S О L)
где S(A) и S(Q) площади областей А и Q соответственно.
Случай, когда Q представляет собой отрезок или трехмерную область, рассматривается аналогично.
Аксиоматическое определение вероятности
Пусть Q — множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию Л (А — подмножество множества Q) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):
Р(А) > 0;	(3.1)
Р(П) = 1;	(3.2)
аксиома сложения: Р I Ak	= £Р(Л*)’	(33)
X к / к
если Аг • Aj = 0 (г j), т. е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
292
Из аксиом (3.1)—(3-3) вытекают основные свойства вероятности:
1.	Р(0) = 0, т. е. вероятность невозможного события равна нулю.
2.	Р(А) + Р(А) = 1.
3.	О Р(А) 1 для любого события А.
4.	Р(А) Р(В), если А С В.
5.	52	= 1, если 52 А, = Q и А, • Aj = 0, г j.
г=1	1=1
Если множество Q состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. Р(д>1) = Р{шг) = ... = Р{и}п) = то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности
Р(А) =
где т — число случаев (элементов) си,, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п — число элементов множества Q (число всех исходов опыта).
6.3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся
только цветом.
1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.
2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.
О 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Q = {Б1,Б2,Бз,Б4,Б5,Ч1,Ч2,Чз,Ч4,}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б1, Бг, Бз, Б4, Б5}.
Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классиче
скому определению вероятности Р(А)
т _ 5
п 9’
2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б1,Ч1), (Б2,Б3), (Б3,Б2), (Ч4,Бб) и т.д. Число всех случаев равно п = Ад =
= 9 • 8 = 72.
а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по-
явление двух белых шаров}, являются (61,62), (61,63), (63,65), (63, Б1) и т.д. Число таких случаев равно т = А? = о • 4 = 20. Поэтому Р(В) = т _ 20 _ _5_ п 72 “ 18’
б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {по-
явление хотя бы одного черного шара}, являются (Bi,4i), (Bi,42), (Б1,Ч3), (Чз.БО, (Ч,,Ч2), (Чз,Ч4) и т.д. Число таких случаев равно
771 = А| — Al = 72 — 20 = 52 (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров —	ЕН -1 О
судет черным. Отсюда Р(С) = — = —. Этот же результат можно полу-72	18
чить иначе, т.к. С = В, то Р(С) = Р(В) = 1 - Р(В) = 1 - А = Ц. • 18	18
293
6.3.2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов;
в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Q Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся в наличии равно п = Cf2 = 220.
а)	Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно Cf способами; 3 красных из имеющихся 4 можно выбрать Cf способами; 3 зеленых из 3 зеленых — Сз способами.
По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствующих событию А = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно m = Cl + Cl + С1 = 15. Отсюда Р(А) = % =
б)	Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Число т исходов, благоприятствующих наступлению события В, по правилу умножения равно т —	= 5  4 • 3 = 60. Поэтому Р(А) =
_ т _ 60 _ 3 “ п ~ 220 ~ 1Г
в)	Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих и 1 зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно Cf способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых —	способами. Отсюда
по правилу умножения имеем: т —	= 30. Поэтому Р(С) =	=
= 30 = _з_	е
220	22'
6.3.3.	Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:
а)	получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
б)	получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.
Q а) Из шести данных букв можно составить п = Л| = 120 трехбуквенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т. д.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т. е. т — 1. Поэтому вероятность появления слова ЛОМ (событие Л) равна Р(Л) = ^ =
б) Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число'равно числу перестановок из 6 букв, т. е. п = Pq = 6!. Очевидно, что т = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В) равна Р(В) = — = — =	•
6.3.4.	Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а)	сумма выпавших очков не превосходит 7;
б)	на обеих костях выпадет одинаковое число очков;
294
в)	произведение выпавших очков делится на 4;
г)	хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.
6,3,5.	Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?
6.3.6.	Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется наудачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово «АНАНАС»?
6.3.7.	Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В, будут сидеть рядом?
6.3.8.	Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 Человек. Найти вероятность того, что:
а)	А и В стоят рядом;
б)	между А и В стоят два человека.
6.3.9.	На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?
6.3.10.	Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность событий: А = {все извлеченные карты пиковой масти}, В = {среди этих четырех карт окажется хотя бы один король}?
6.3.11.	Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает:
а) 3 вопроса;	б) 2 вопроса;
в) 1 вопрос.
6.3.12.	Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они:
а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон № 3;
в) разместятся в разных вагонах?
6.3.13.	12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в го-
стинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер?
6.3.14.	На отрезок АВ длины а наудачу нанесена точка С. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем
Q Расположим отрезок АВ на числовой оси Ох так, как это изображено На рисунке 65.
Пусть х — координата случайной точки С. Тогда пространство Q элементарных событий можно записать в виде Q = {я : 0 х а}. Яс-н°, что исходов опыта (нанесение точки С на отрезок АВ) бесчисленное Множество и все они равновозможны.
295
Рис. 65
Разобьем отрезок АВ на 6 равных отрезков. Очевидно, что условие «меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем (событие
А) будет выполнено, если точка С попадет на отрезок MN =	~ .
Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А (на рисунке 65 она заштрихована), является отрезок MN, а множеству всех исходов опыта соответствует отрезок АВ. Отсюда
4а
р( л\ =	_ _6_ _ 2
Ав а з*
6.3.15.	Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?
Q Обозначим через х момент времени, когда начинается выход на опасный участок шоссе, а через у — момент времени начала обстрела этого участка шоссе. Ясно, что 0 х 60, 0 у 60.
Будем рассматривать х и у как декартовы координаты на плоскости. Тогда элементарные исходы в данном опыте (он состоит в фиксации времени начала действий обеих сторон), изобразятся точками (ж, у) квадрата со стороной Т = 60, т. е. Q = {(ж,у) : 0 х 60, 0 у 60}.
Интересующее нас событие А = {удастся избежать налета} наступит тогда и только тогда, когда налет начнется спустя пять (или больше) минут после выхода на опасный участок либо начнется за десять (и более) минут до начала преодоления участка шоссе, т. е. должно выполняться одно из условий
У - х > 5, х - у > 10.
Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область D, заштрихованную на рисунке 66.
Площадь области D равна S(D) =	• 50 • 50 -Ь • 55 • 55 = 2762,5;
площадь квадрата Q равна S(Q) = 60  60 = 3600.
Тогда искомая вероятность равна
РМ)-^-^ = 221-077	•
k ' S(Q) “ 3600	288	’
296
Рис. 66
Рис. 67
6.3.16.	Какова вероятность того, что корни уравнения х2 +рх + q = О
будут действительными, если коэффициенты р и q уравнения выбираются наудачу из отрезка [0,1]?
Q Будем рассматривать множество всех возможных пар чисел (р, q) как координаты точек единичного квадрата с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) (см. рис. 67). Поэтому Q = {(р, q) : 0 р 1, 0 q 1}.
Корни уравнения действительны, если выполняется неравенство р2 — 4g 0, т. е. q ^р2. Отсюда ясно, что множество точек квадрата, благоприятствующих событию А = {корни уравнения действительны}, есть область D (на рисунке 67 область D заштрихована):
D = {(р, q) : q |р2, 0 р < 1, 0 < q 1} .
Искомая вероятность равна
/^dp
_ g(-D) - °4	_ Р3 1	•
' ’ S(Q) 1	12 о 12'
6.3.17.	В некоторой точке С линии АВ длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше /?
6.3.18.	В круг радиуса г наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника?
6.3.19.	На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = = 6 см, случайно падает монета радиуса г = 2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.
6.3.20.	На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам я2 Зр Зх.
6*3.21. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и
297
равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между мо-ментами поступления сигналов менее 0,15 ч. Найти вероят-ность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
6.3.22.	Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно пройдет через заграждение?
6.3.23.	В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.
6.3.24.	Опираясь на аксиомы теории вероятностей, доказать следующие утверждения:
а)	Р(0) = 0;	б) Р(А) = 1 - Р(А).
а) Так как 0 4- Q = Q, то Р(0 + Q) = P(Q). По аксиоме (3.3):
Р(0 + Q) = Р(0) + P(Q),
т. к. 0 • Q = 0. Итак, Р(0) + P(Q) = Р(П), откуда Р(0) = 0.
б)	Так как А + А = ОиА-А = 0, то по аксиомам (3.2)-(3.3):
Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = P(Q) = 1.
Отсюда Р(А) = 1 — Р(А).	*
6.3.25.	Доказать, что Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
Q Так как А+В = А+(В —А) и В = (В —А)+АВ, причем А-(В—А) = 0 и (В — А) • АВ = 0, то по аксиоме сложения (3.3) находим: Р(А + В) = = Р(А) + Р(В - А) и Р(В) = Р(В - А) + Р(АВ), откуда Р(В - А) = = Р(В) - Р(АВ). Следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). • 6.3.26. Доказать, что для любых событий А и В выполнено неравенство Р(А + В) Р(А) + Р(В).
6.3.27.	Доказать, что для любых событий А, В и С
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + P(Q-
- Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
6.3.28.	Пусть Р(А) = Р(В) = Доказать, что Р(АВ) = Р(А  В). 6.3.29. Доказать, что если А D В, то Р(А — В) = Р(А) — Р(В').
Дополнительные задания
6.3.30.	Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньше 0,6 хотя бы один раз выпало 6 очков?
6.3.31.	Из последовательности чисел 1,2,3,4,..., 600 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое больше 126?
298
6.3.32.	В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности следующих событий:
а)	выигрыш выпадет на все 5 билетов;
б)	выигрыш выпадет хотя бы на 1 билет;
в)	выигрыш выпадет на 2 билета.
6.3.33.	Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один — в другую?
6.3.34.	В ящике 20 деталей, 4 из них — нестандартные. Какова вероятность того, что среди б наугад взятых деталей нестандартных не окажется?
6.3.35.	Железнодорожный состав из 9 вагонов и вагона-ресторана формируется произвольным образом. Какова вероятность того, что:
а)	вагон № 7 и вагон-ресторан расположены рядом;
б)	между вагоном № 7 и вагоном-рестораном окажется 5 вагонов?
6.3.36.	Две однотипные радиостанции имеют 8 фиксированных одинаковых частот. Какова вероятность того, что при независимом и произвольном выборе частот они окажутся настроенными на: а) одну частоту;	б) разные частоты?
6.3.37.	Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились:
а)	в разные дни года (в году 365 дней);
б)	в один день года;	в) 8 марта;
г)	в разные месяцы года;	д) в сентябре;
е) в разные дни сентября.
6.3.38.	Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?
6.3.39.	Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото — 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно: а) 2 номера;	б) 6 номеров.
6.3.40.	Какова вероятность того, что произвольно взятое трехзначное число делится на 3?
6.3.41.	Натуральные числа от 1 до п расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 5, 6, 7 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
6.3.42.	На 9 одинаковых карточках написаны буквы Е, Е, Р, Р, С, С, Я, Г, И. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово РЕГРЕССИЯ?
299
6.3.43.	В «Словаре русского языка» С. И. Ожегова 900 страниц. Какова вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 13?
6.3.44.	В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут:
а) 5 юношей;	б) 2 юноши и 3 девушки?
6.3.45.	В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета?
6.3.46.	Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в город С, если в наличие имеется 5 мест в город А, 8 — в город В и 7 — в город С?
6.3.47.	10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три
пакета с равным количеством фруктов. Найти вероятности событий:
6.3.48.
6.3.49.
6.3.50.
6.3.51.
6.3.52.
6.3.53.
а)	в каждом пакёте по 1 груше;
б)	в случайном выбранном пакете нет груш.
Из колоды в 36 карт вынимают наудачу 4 карты. Найти вероятности событий: А = {все карты — дамы}, В = {две карты из четырех — шестерки}. Решить задачу для схемы выбора: а) без возвращения;	б) с возвращением.
На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?
Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше ^?
Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.0Q. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?
Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова ве
роятность того, что их сумма заключена между
1 и 1?
4
На паркет, составленный из правильных треугольников со сто
роной а, случайно падает монета радиуса г. Найти вероятность
того, что монета целиком окажется внутри одного из треуголь
ников.
6.3.54.	Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.
300
6.3.55.	Задача-шутка.
На дне глубокого сосуда Лежат спокойно п шаров, Поочередно их оттуда Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно, Они таскают т минут И, взявши шар, его обратно В сосуд немедленно кладут.
Ввиду условия такого
Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул к?
В.П. Скитович, 1946 г.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.3.56.	12 предметов произвольно расставляют по трем комнатам. Ка-
кова вероятность того, что в первой комнате окажется 2 предмета, во второй — 3, а в третьей — 7?
6.3.57.	Из множества чисел {1,2,3, ..., п} наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что второе число больше первого, если выбор осуществляется с возвращением?
6.3.58.	п шаров произвольно' раскладываются по п гнездам. Какова вероятность того, что одно гнездо окажется пустым?
6.3.59.	Некто написал на листке четырехзначное число и предложил отгадать его. Какова вероятность угадывания числа с первой попытки?
6.3.60.	Бросается 10 монет. Найти вероятность того, что на 4 монетах выпадет герб.
6.3.61.	Какова вероятность появления герба не менее одного раза при двукратном бросании монеты?
6.3.62.	Числа 1,2,3..., п расставлены в случайном порядке. Какова вероятность того, что числа 4, 5, 6 расположены в порядке возрастания, но необязательно рядом?
6.3.63.	Из 5 видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Найти вероятность того, что все отобранные открытки будут разными.
6.3.64.	Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1) наудачу выбирается точка М(х,у). Найти вероятность события Л = {(т,у) : х + т/2	а2, а > 0}.
6*3.65. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Моменты времени прихода обоих пароходов независимы и равновозможны в течение данных суток. Найти вероятность того,
301
6.3.66.
6.3.67.
6.3.68.
6.3.69.
что одному из пароходов придется ожидать освобождения прщ чала, если время стоянки первого парохода — 1 час, а второго — 2 часа.
Задача Бюффона. Игла длины I бросается на плоскость, разграфленную параллельными прямыми на полосы шириной L. Все положения центра иглы и все ее направления одинаково вероятны. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки Л, В и С. Найти вероятность того, что треугольник АВС — остроугольный.
Какой толщины должна быть монета радиуса 7?, чтобы вероятность падения на ребро была равна
Расстояние от пункта Л до пункта В пешеход проходит за 20 минут, а автобус — за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из Л в В. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?
§4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Правило умножения вероятностей
Пусть А и В — некоторые события, причем Р(В) > 0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А | В)) называется вероятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле
Р(А | В) =
Р(АВ)
Р(В) ’
Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А:

Из этих формул следует
Теорема б.З (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условииччто первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А) • Р(В | А) или Р(АВ) = Р(В) • Р(А | В).
Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения вероятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа
302
событий. А именно, в случае п событий имеем
Р(А1-А2 -..-А„) = P(Ai)-P(A2 I А1) Р(А3 I А1А2)-... Р(Ап | AiA2-..
Независимые события
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В.
В этом случае условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А, т. е. выполняется равенство
Р(А | В) = Р(А).
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба события при этом называются независимыми.
Таким образом два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид:
Р(АВ) = Р(А)  Р(В).
Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.
События Ai,A2, ...,АП называются независимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий.
В случае п независимых событий имеем
P(Ai • А2 • А3 •... • А„) = P(Ai) • Р(А2) •... • Р(Ап).
События Ai,A2, ...,Ап называются попарно-независимыми, если любые два события Аг и А3 (г j) из этого набора независимы.
Независимые события Ai, А2,..., Ап являются попарно-независимыми. Обратное, вообще говоря, неверно.
Вероятность суммы совместных событий
Теорема 6.4. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения, т.е.
Р(А + Р) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Для трех событий А, В и С имеем:
Р(А 4- В + С) = Р(А) 4- Р(В) 4- Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) 4- Р(АВС).
303
В случае трех и большего числа событий для нахождения • вероятности суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события S, а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 — P(S).
6.4.1.	Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало 2 очка при условии, что сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6.
Q Решим задачу двумя способами.
1.	Пусть событие А = {на первой кости выпало 2 очка}, событие В = {сумма очков, выпавших на двух костях, меньше б}. Событие В состоит из 10 элементарных событий:
В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}.
Событие А, определяемое условием В (это значит, что исходы, благоприятствующие событию А, отбираются среди исходов, составляющих событие В), состоит из трех элементарных исходов опыта: (2,1), (2,2), (2,3). о
Поэтому искомая вероятность равна Р(А | В) = у^.
2.	Пространство элементарных событий состоит из 36 элементов: Q =
= {(1,1), (1,2),..., (6,6)}. Для вычисления вероятности Р(А | В) вос-Р(АВ)
пользуемся формулой Р(А | В) =	. Так как
А = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)},
В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)},
то АВ = {(2,1), (2,2), (2,3)}.
А	1Л
По классическому определению вероятности Р(А) = Р(В) =
OU	оО
Р(АВ) = А. Поэтому
Г(А | В) =
Р(АВ)	Ж _ 3
Р(В)	10	10 
36
6.4.2.	Из стандартного набора домино (28 штук) берется наудачу одна
кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем (т. е. будет иметь вид 1-1, 4-4 и т.д.), если известно, что сумма очков на ней — четное число?
6.4.3.	Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной выпадет 5 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с нечетным числом очков? с четным числом очков?
6.4.4.	Вероятность попадания в цель равна 0,3, а вероятность ее уничтожения равна 0,05. Найти вероятность того, что при попадании в цель она будет уничтожена.
304
6.4*5.	В произвольном порядке выписываются 2 буквы И и 2 буквы С. Найти вероятность того, что обе буквы С стоят рядом, при условии, что последняя по порядку буква есть буква И.
6.4.6.	Известно, что события А и В независимы. Доказать, что события А и В так же независимы.
Q По условию, Р(А | В) = Р(А). А так как Р(А | В) + Р(А | В) = 1, то р(А | В) = 1 - Р(А | В) = 1 - Р(А) = Р(А). Итак, Р(А | В) = Р(А), т. е. события А и В — независимы.	•
6.4.7.	В урне находится 4 шара: красный, синий, черный и трехцветный (красно-сине-черный) шар. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события: К = {извлеченный шар имеет красный цвет), С = {извлеченный шар имеет синий цвет}, Ч = {извлеченный шар имеет черный цвет}.
Q Множество возможных исходов опыта таково: Q = {К; С; Ч; КСЧ}, где буква К означает, что извлечен шар красного цвета, и т. д.
Очевидно, что Р(К) = | = Р(С) = Р(Ч) =
Событиям К • С, К  Ч, С • Ч благоприятствует лишь один исход — это шар КСЧ (имеет все 3 цвета). Значит, Р(К • С) =	= Р(К) • Р(С),
Р(К • Ч) = 1 = 1 • 1 = Р(К) • Р(Ч) и Р(С • Ч) = 1 = Р(С) • Р(Ч). Следовательно, события КиС, КиЧ, СиЧ независимы. Тем не менее, события К, С и Ч не являются независимыми в совокупности. Действи-тельно, Р(К  С • Ч) = 1, а Р(К)  Р(С) • Р(Ч) = | | | т.е. Р(К • С • Ч) / Р(К) • Р(С) • Р(Ч).	•
6.4.8.	Брошены три игральные кости. Событие А = {на 1-й и 2-й кости выпало одинаковое число очков}, событие В = {на 2-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}, событие С = {на 1-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}. Будут ли события А, В и С: а) попарно независимы;
б)	независимы в совокупности?
6.4.9.	Из колоды в 36 карт вытаскивается наудачу одна. Зависимы ли события А = {вытащен валет} и В = {вытащена карта черной масти}?
6.4.10.	Доказать, что если события А и В независимы, то события В и А, А и В также независимы.
6.4.11.	В урне находится а белых и b черных шаров, причем а > 2 и b > 2. Из нее извлекаются два шара по схеме выбора с возвращением. Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, А2 = = {второй шар — белый}. Найти P(Ai), PfAa), P(Ai * А2), P(Ai | A2) и P(A2 I Ai). Выяснить: являются ли события Ai и А2 независимыми? совместными?
305
6.4.12.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки:
а) без возвращения;	б) с возвращением.
Q Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, событие А2 = {второй шар — белый}. Тогда событие А = {оба шара белые} наступит, если осуществится и событие Ai, и событие Аг, т. е. А = Ai • Аг.
а)	События Ai и А-2 зависимы, т. к. наступление события Ai влияет на вероятность события А-2 (шаров в урне останется 6, из них только 3 белых). Поэтому
Р(Л) = Р(А, • Д2) = Р(А,) • Р(А2 I А,) = | |
б)	Если после первого извлечения шар возвращается в урну, то события Ai и А2 — независимы, откуда
Р(А) = Р(А, • А2) = Р(Л)  Р(А2) = |. | = 1|.	•
6.4.13.	Задачу 6.3.6 решить другим способом, используя правило умножения вероятностей для п событий.
Q Рассмотрим следующие события: А = {получится слово АНАНАС}, Aj = {первой, выбранной наудачу буквой, будет буква А}, Аг = {второй — Н}, Аз = {третьей — А}, А4 = {четвертой — Н}, А5 = {пятой — A}, Ag = {шестой — С}. Тогда А = Ai • А2 • A3  А4 • А5 • Ag. Применяя правило умножения вероятностей, имеем
Р(А) = Р(А! • А2 - А3 • А4 • А5 • А6) = Р(Л) • Р(А2 | А4) - Р(А3 | АМ2)х
х Р(А4 | А1А2А3) • Р(Аб | А1А2А3А4) • P(Ag | А1А2А3А.4А5) =
= 322111=2, е 6 ' 5 ’ 4 ‘ 3 ‘ 2 ‘ 1	60'
6.4.14.	Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты (без возврата). Какова вероятность того, что среди них не будет ни одной шестерки?
6.4.15.	Среди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Какова вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными?
6.4.16.	Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?
6.4.17.	Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй — 0,4, третий — 0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
6.4.18.	В ящике содержатся 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что он окажется либо черным, либо зеленым.
306
Пусть событие А = {извлеченный шар окажется черным}, В = {извлеченный шар окажется зеленым}. Тогда событие С = {извлеченный шар окажется либо черным, либо зеленым} представляет собой сумму несовместных событий А и В , т.е. С = А + В. Поэтому
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) =	= 0,55.
Вероятность извлечения черного или зеленого шара можно было бы найти без использования теоремы сложения вероятностей; ведь имеется 11 равновозможных, благоприятных событию С исходов: Р(С) = ^.)	•
6.4.19.	Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена. А если стрелки сделают по два выстрела?
Q Пусть событие Ai = {попадание в мишень первым стрелком при г-м выстреле}, событие В± = {попадание в мишень вторым стрелком при г-м выстреле}, г = 1,2; событие С — {мишень поражена}.
Сначала решим задачу для случая, когда стрелки делают по одному выстрелу.
Первое решение.
По условию P(Ai) = Р(А2) = 0,7, P(Bi) = Р(Вг) = 0,8.
Событие С = Ai + Bi состоит в том, что при одном залпе мишень будет поражена хотя бы одним стрелком.
Так как события Ai и Bi совместны, то
Р(С) = P(Ai + Bi) = P(Ai) + P(Bi) - P(Ai • Bi).
События Ai и Bi — независимы, поэтому P(Ai  Bi) = P(Ai) • P(Bi), откуда
P(C) = P(Ai) + P(Bi) - Р(Аг) • P(Bi) = 0,7 + 0,8 - 0,7 • 0,8 = 0,94.
Второе решение.
Поражение цели (С) означает, что: в нее попал первый стрелок, а второй промазал (Ai • Bi); или попал второй стрелок, а первый промазал (Aj -Bi); или попали оба стрелка (Ai • Bi). Тогда
С = Ai + Bi = Ai Bi + Ai Bi + A1B1.
По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем
Р(С) = P(AiBi) + P(AiBi) + P(AiBi) = 0,7-0,2 + 0,3-0,8 + 0,7-0,8 = 0,94.
Третье решение.
Найдем вероятность события С, противоположного событию С. Очевидно, что С = Ai + Bi = Ai • Bi = {оба стрелка промахнулись}. Так как события Ai и Bi независимы, то Р(С) = Р(А • Bi) = P(Ai) • P(Bi) = = 0,3 • 0,2 = 0,06. Следовательно, Р(С) = 1 — Р(С) = 1 — 0,06 = 0,94.
307
Если стрелки делают по два выстрела в мишень, то событию С благоприятствует 15 исходов данного опыта (стрельба по мишеням) из 16 возможных исходов. Такими исходами являются, например, следующие: А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2 и т. д. Поэтому проще найти вероятность противоположного события С — {все четыре выстрела —-промах}. Имеем Р(С) = Р(А1А2ВхВ2) = Pfa) • Р(А2)	• Р(В2) =
= 0,3-0,3-0,2-0,2 = 0,0036. Следовательно, Р(С) = 1-Р(С) = 1-0,0036 = = 0,9964.	•
6.4.20.	Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?
Q Партия бракуется, если среди 7 изделий бракованных будет не менее трех; не бракуется — если среди 7 изделий бракованных ноль, одно или два.
Пусть событие Ао = {среди 7 изделий нет бракованных}, событие Ai = {среди 7 изделий есть одно бракованное}, событие А2 = {среди 7 изделий — два бракованных}. Тогда событие А = {партия изделий принимается} можно представить в виде А = Ао + Ai + А2. И так как события Ао, Ai, А2 несовместны, то
Р(А) = Р(А0 + Ai + А2) = Р(А0) + Р(Ах) + Р(А2).
Найдем вероятность Р(Ао), используя классическое определение вероятности. Отобрать 7 деталей из 100 можно п = С{00 способами. Событию Ао благоприятствует т = Сд0 • С?о = Сд0 случаев. Следовательно, С7
Р(Ао) =	° . Аналогично находим, что
Ощо
10 ' ^90 ^100
^10 • ^90 Сц)0
10 ^90
Сц)0
р(Л1) =
С100
С° • С7 Таким образом, Р(А) = 10——— -О\оо
Следовательно, вероятность того, что партия изделий будет забракована, равна Р(А) = 1 — Р(А) = 1 — 0,98 = 0,02.	•
6.4.21.	Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти
вероятность того, что правильно ответят:
а) оба студента;	б) только первый студент;
в) только один из них;	г) хотя бы один из студентов.
6.4.22.	В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами или оба — девушками.
308
6.4-23.	Монета бросается до первого появления герба. Какова вероятность того, что понадобится четное число бросков?
6.4.24.	При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз?
6.4.25.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 68. Элементы с номерами 1, 2, 3 могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,10; 0,15; 0.20. Какова вероятность разрыва цепи?
я
Рис. 68
6.4.26.	Устройство состоит из
а)	пяти последовательно включенных элементов;
б)	пяти параллельно включенных элементов.
Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,80. Определить вероятность безотказной работы всего устройства, полагая, что отказы отдельных элементов независимы.
6.4.27.	Какова вероятность того, что наудачу написанную дробь m,n 6 {1,2,3,..., 100}
а) можно сократить на 2; б) нельзя сократить на 6?
6.4.28.	Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания при одном выстреле?
Дополнительные задания
6.4.29.	В урне содержится 3 белых и 4 черных шара. Из нее последовательно вынимаются два шара. Обозначая события Ai = {первый шар белый}, А2 = {второй шар белый}, В = {хотя бы один из вынутых шаров белый}, вычислить условные вероятности: Р(А. | Л2), F(Ai | В).
6.4.30.	Бросают две игральные кости. Известно, что выпала сумма очков, равная 7. Какова вероятность того, что выпало 1 и 6?
6.4.31.	Пусть Р(А | В) > Р(В | А), Р(А) 0, Р(В) 0. Верно ли, что Р(А) > Р(В)?
6.4.32.	Один раз подбрасывается игральная кость. Событие А = {выпадение нечетного числа очков}, событие В = {выпадение четного числа очков}, событие С = {выпадение менее 4 очков}. Вычислить вероятности Р(А | В), Р(А | С).
309
6.4.33.	Пятизначное число образовано при помощи перестановки цифр 2, 2, 2, 5, 5. Все размещения равновозможны. Найти вероятность того, что обе пятерки стоят рядом при условии, что полученное число четное.
6.4.34.	Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса. из одного билета или на один опрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
6.4.35.	В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, и 6 человек — только на финском. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят на одном языке?
6.4.36.	В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого?
6.4.37.	Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,9, второй — 0,8, третий — 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания;
б)	хотя бы один станок потребует внимания;
в)	только третий станок потребует внимания рабочего.
6.4.38.	Для приема партии готовых изделий применяют выборочный контроль. Для этого берут наугад 3 изделия. Если среди них окажется:
а)	хотя бы одно бракованное;
б)	более одного бракованное, то бракуется вся партия.
Вычислить в обоих случаях вероятность того, что при таком способе контроля партия, состоящая из 46 стандартных изделий и 4 бракованных, будет принята.
6.4.39.	Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса;	б) более двух вопросов;
в) менее пяти вопросов.
6.4.40.	Электрическая цепь (рис. 62 а) состоит из 4 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени — независимые события, имеющие вероятности qi = 0,1; q? = 0,2; q$ = 0,3; qt = 0,4. Найти вероятность разрыва цепи.
6.4.41.	Электрическая цепь состоит из 5 элементов:
а) рис. 63;	б) рис. 64.
310
Найти вероятность разрыва цепи, предполагая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятности отказов элементов соответственно равны: qi = 0,1; <7*2 — 0,15; <73 = 0,15;	=
= 0,15; q*> = 0,2.
6.4.42.	Два игрока поочередно бросают:
а) монету;	б) игральную кость.
Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб (в случае а), шестерка (в случае б). Найти вероятность выигрыша первого игрока.
6.4.43.	Из набора цифр от 0 до 9, написанных по одной на 10 одинаковых картонках, извлекаются по одной 4 цифры и ставятся в ряд. Какова вероятность того, что получившееся число: а) 1957;	б) 2003?
Рассмотреть два случая выборки: без возвращения и с возвращением.
6.4.44.	Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,35. Найти вероятность попадания при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,75.
6.4.45.	Работа некоторого устройства прекратилась из-за выхода из строя одного из четырех блоков. Производится последовательная замена наудачу взятого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать (новые блоки не заменяются). Какова вероятность того, что придется заменить: а) один блок;	б) два блока;
в) четыре блока?
6.4.46.	При автоматическом изготовлении болтов допускается в среднем 3% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для контроля 5 болтов не окажется а) ни одного бракованного; б) один бракованный?
6.4.47.	Четверть билетов лотереи — выигрышные. Сколько билетов надо приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, быть уверенным, что выиграет хотя бы один билет?
6.4.48.	Стрелок производит выстрел по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что по мишени будет произведено: а) 7 выстрелов;	б) не более 7 выстрелов?
6.4.49.	Из букв А, А, И, Л, М, Н разрезной азбуки выбирают наудачу по одной и ставят в ряд. Найти вероятность того, что получится слово:
а) МИНА;	б) НАЛИМ;
в) МАЛИНА?
311
6.4.50.	Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине равна 0,2. Что вероятнее — найдет он искомую вещь или нет?
6.4.51.	Найти вероятность того, что заказанный (в данный промежуток времени) междугородный разговор не состоится, если вероятность занятости всех каналов связи в этот промежуток равна 0,7, а вероятность отсутствия вызываемого лица равна 0,4.
6.4.52.	Студент может добраться до института или автобусом, который ходит через каждые 20 мин, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Найти вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших 5 мин?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.4.53.	Доказать свойства условных вероятностей:
а)	Р(П | В) = 1;
б)	Р(А | В) = 1 - Р(А | В);
в)	Р(А + С | В) = Р(А | В) + Р(С | В)_- Р(АС | В).
6.4.54.	Верно ли равенство Р(А | В) + Р(А | В) = 1?
6.4.55.	В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки — независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что:
а)	оба ребенка — мальчики;
б)	оба ребенка — мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.
6.4.56.	Зависимы ли:
а)	несовместные события;
б)	события, образующие полную группу?
6.4.57.	Известно, что АВ = 0, Р(А) > 0, Р(В) > 0. Доказать, что события А и В зависимы.
6.4.58.	Каждую из 5 палок разламывают произвольно на две части — короткую и длинную. Из полученных обломков наудачу образуют 5 «новых» палок. Какова вероятность того, что: а) обломки объединены в том виде, в каком они были первоначально;
б)	все длинные палки соединены с короткими?
6.4.59.	Брошены белая и черная игральные кости. Какова вероятность того, что на белой кости выпадет больше очков, чем на черной?
6.4.60.	Абонент забыл последнюю цифру телефона и набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 5 мест?
312
g.4.61. Известно, что
Р(А | В) = Р(А | В).
Доказать, что события А и В независимы.
6.4<62.	Подброшены 3 монеты. Определить зависимы или не зависимы события А и В, если: А = {выпадение решки на первой монете}; В = {выпадение хотя бы одной решки}.
6.4.63.	Для повышения надежности р данного прибора он дублируется несколькими такими же приборами так, чтобы полученная система работала (она работает, если работает хотя бы один из приборов). Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до заданной вероятности pi?
6.4.64.	В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают (без возвращения) по одному шару. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
6.4.65.	Электрическая цепь состоит из 5 элементов (рис. 69), выход из строя которых в заданный промежуток времени — независимые в совокупности события, имеющие соответственно вероятности qi (г = 1,2,3,4,5). Найти вероятность разрыва цепи.
1 1 Нг-Г~3
Г~2~Д-Ч~-4
<3
Рис. 69
§5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА
Теорема 6.5. Пусть событие А может произойти только с одним из событий Я1, Я2, • - •, Нп, образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е. Нг • Hj = 0, i / j и 52 Яг = Q-г=1
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
п
Р(А) = £Р(Я,)Р(А|Н,).	(5.1)
г=1
При этом события Н1,Я2,...,НП обычно называют гипотезами, а числа Р(Нг) — вероятностями гипотез.
313
Теорема 6.6. Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез P(Hi),... ,Р(НП) должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности P(Hi | А),..., Р(НП | Л), которые вычисляются по формуле Бейеса:
Р(Н, I Л) =
Р(Н,)  Р(А I Н,) Р(Л)
(г = 1,2,..., тг), где вероятность Р(А) вычисляется по формуле (5.1).
6.5.1.	45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м
заводе, 15% — на 2-м, остальные — на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0,84, 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.
Q Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок работы}, а гипотезы Hi = {телевизор изготовлен на 1-м заводе}, Н2 = {телевизор изготовлен на 2-м заводе}, Н3 = {телевизор изготовлен на 3-м заводе}.
События Я1, Н2, Н3 образуют полную группу несовместных событий, при этом: P(Hi) = 0,45; Р(Н2) = 0,15; Р(Нз) = 0,40. (Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться единице: £ P(HJ = 0,45 + 0,15 + 0,40 = 1). i=i
По условию Р(А I Hr) = 0,96, Р(А | Н2) = 0,84, Р(А | Н3) = 0,90. Отсюда по формуле полной вероятности имеем
Р(А) = Р(Яг) • Р(Л | Hr) + Р(Л2) • Р(Л | Н2) + Р(Я3) • Р(А I Н3) = = 0,45 • 0,96 + 0,15 • 0,84 + 0,40 • 0,90 = 0,918.	•
6.5.2.	Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.
Q Пусть событие А = {сигнал будет принят}. Рассмотрим четыре гипотезы: Hi = {первый приемник работает, второй — нет}; Н2 = {второй приемник работает, первый — нет}; Н3 = {оба приемника работают}, Н4 = {оба приемника не работают}. Событие А может произойти только с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая
314
следующие события: €\ = {первый приемник работает), С2 = {второй приемник работает). Тогда:
Р(Ях) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(С2) = 0,9  0,1 = 0,09;
Р(Я2) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(С2) = 0,1 - 0,9 = 0,09;
Р(Я3) = P(£i • С2) = P(Ci)  Р(С2) = 0,9 • 0,9 = 0,81;
Р(Я4) = Р(Сх  С2) = Р(С1) • Р(С2) = 0,1 - 0,1 = 0,01.
4
(Контроль: £ Р(Я<) = 0,09 + 0,09 + 0,81 4- 0,01 = 1.) г=1
Условные вероятности Р(А | Hi) соответственно равны: Р(А | Hi) = = 0,8; Р(А | Я2) = 0,8; Р(А | Я3) = 0,84-0,8-0,8-0,8 = 0,96; Р(А | Я4) = 0.
Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероятность Р(А) = 0,09 • 0,8 4- 0,09 • 0,8 4- 0,81 • 0,96 4- 0,01 • 0 = 0,9216.	•
6.5.3.	Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 белых и 4 черных шара, во 2-й — 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
6.5.4.	Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?
6.5.5.	На рисунке 70 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт В?
6-5.6. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м — 0,7, 3-м — 0,8. При одном попадании в мишень вероятность пора
315
жения цели равна 0,2, при двух — равна 0,6, при трех — цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.
6.5.7.	Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.
6.5.8.	Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3.
Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.
Q Пусть событие А = {устройство отказало}. До опыта, т. е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы:
Но = {откажут все три элемента};
Hi = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й — не откажет};
Н% = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й — не откажет};
Яз = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й — не откажет};
Н4 = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};
Н$ = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й, 3-й};
Hq = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};
Н? = {все элементы, будут работать}.
Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:
Р(Н0) = 0,2 • 0,4 • 0,3 = 0,024;
Р(Я1) = 0,2 • 0,4  0,7 = 0,056;
Р(Я2) = 0,2 • 0,3 • 0,6 = 0,036;
Р(Я3) = 0,4 • 0,3 • 0,8 = 0,096;
Р(Я4) = 0,2 • 0,6 • 0,7 = 0,084;
Р(Я5) = 0,4 • 0,8 • 0,7 = 0,224;
Р(Я6) = 0,3 • 0,8 • 0,6 = 0,144;
Р(Я7) = 0,8  0,6 • 0,7 = 0,336.
7
(Контроль:	= 0,024 4- 0,056 4-... 4- 0,336 = 1.)
г=0
Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах Я4, Я5, Яб, Я7 и достоверно при гипотезах Яо, Я1, Я2, Я3, найдем условные вероятности событий Р(Л [ Hi):
Р(А | Яо) = 1, Р(А | ЯО = 1, Р(Д | Я2) = 1, Р(Д | Я3) = 1,
Р(А | Я4) = 0, Р(А | Я5) = 0, Р(Д | Но) = 0, Р(Д | Я7) = 0.
Найдем вероятность гипотезы Ну при условии, что событие А произошло (т.е. Р(Ну | .4)) по формуле Бейеса. Для этого предварительно
316
найдем вероятность события А по формуле (5.1)
7
г=0
= 0,024 • 1 + 0,056 • 1 + 0,036 • 1 + 0,096 -1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,212.
Отсюда
Р(Н I Д'! - р(я1)-р(л1 Я1) _ 0,056-1 _ 56 _ 14 ~02fi4 е Р(Я1 1 А> ~------Щ)-------" “ОТ - 212 - 53 ~ °’264- •
6.5.9.	Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина,	б) женщина.
Q Пусть событие А = {выбранный человек оказался дальтоником}. Тогда в качестве гипотез примем события Hi = {выбранный человек — мужчина} и Я2 = {выбранный человек — женщина}. Очевидно,
Hi+H2 = Q, Я1-Н2 = 0 и Р(Я1) = Р(Я2) = 0,5.
Для нахождения искомых вероятностей, т. е. условных вероятностей Р(Я1 | А) и Р(Н2 | А), воспользуемся формулой Бейеса. Сначала по формуле полной вероятности найдем Р(А): т. к. по условию Р(А | Я1) = 0,05 и Р(А | Я2) = 0,0025, то Р(А) = 0,5 • 0,05 + 0,5 • 0,0025 = 0,02625. Следовательно:
6.5.10.
0,02625	21’
Р, „ ,	 Р(А I Я2)	0,5 • 0,0025	1
б) Р(Н2 | А) =------------------- 002g25	= jj.
Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез (т. е. апостери-20	1	а
орных вероятностей) также равна единице (21 + 21 = !)•	•
Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.
В условиях задачи 6.5.7 взятое изделие прошло упрощенный контроль. Найти вероятность того, что оно стандартное. А если изделие дважды прошло упрощенный контроль?
В условиях задачи 6.5.5 туристы пришли в пункт В. Какова вероятность того, что они пошли по дороге № 3?
В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й — 30, 3-й — 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, а среди изделий
6.5.12.
6.5.13.
317
2-го — 80%, 3-го — 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это изделие выпущено 1-м заводом?
6.5.14.	Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из необработанных семян — 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно пораженное, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?
Дополнительные задания
6.5.15.	В студенческой группе 70% — юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал а) юноше?	б) девушке?
6.5.16.	Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?
6.5.17.	В урну, содержащую 100 шаров, опущен красный шар, после чего из нее наудачу вынимают шар. 1) Какова вероятность того, что он красный? 2) Известно, что из урны вынут красный шар. Какова вероятность того, что в ней содержалось 44 красных шара?
(Все предположения о первоначальном количестве красных шаров в урне равновозможны.)
6.5.18.	Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна 0,3, а на остальной части — 0,8. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет пролив.
6.5.19.	На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25% брака, 2-й — 0,40%, 3-й — 0,60%. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го — 1500 и с 3-го — 1300 деталей?
6.5.20.	В урне находится а шаров, из них b — белых. Из нее вытащили наудачу сначала один шар, а затем — другой. Шары не возвращаются. Какова вероятность того, что второй шар — белый?
318
6.5.21.	Две электрические цепи содержат соответственно 3 и 4 элемента (рис. 71). Выход из строя этих элементов — независимые события, имеющие вероятности pi = 0,1, р2 = 0,2, рз = 0,3 (1-я цепь); р4 = ръ = р6 = р7 = 0,4 (2-я цепь). Наудачу выбирается одна цепь. Какова вероятность того, что она работает?
Рис. 71
6.5.22.	В 1-й урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во 2-й — 4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
6.5.23.	Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех ракет соответственно равна 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Найти вероятность поражения корабля.
6.5.24.	В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут вытянуты два новых мяча.
6.5.25.	В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
6.5.26.	На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 — только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью pi; если только помехи — с вероятностью р2. Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал?
319
6.5.27.	Из 1000 ламп 100 принадлежит 1-й партии, 250 — 2-й и остальные — 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й — 5%, в 3-й — 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа — бракованная?
6.5.28.	В условиях задачи 6.5.18 корабль прошел благополучно пролив. Какова вероятность того, что он прошел в левой части пролива?
6.5.29.	В условиях задачи 6.5.21 электрическая цепь работает. Какова вероятность того, что выбрана 1-я цепь?
6.5.30.	В условиях'задачи 6.5.23 корабль был поражен. Какова вероятность того, что он был поражен попаданием трех ракет?
6.5.31.	В условиях задачи 6.5.25 купленный телевизор не потребован ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?
Контрольные вопросы и более сложные задачи
6.5.32.	Из полного набора домино (28 костей) наудачу берутся две кости. Какова вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой по правилам домино (рис. 72)?
Рис. 72
6.5.33.	Сообщение может передаваться по одному из 10 каналов связи; из них 4 канала находятся в отличном состоянии, 3 — в хорошем, 2 — в посредственном и 1 — в плохом. Вероятности правильной передачи сообщения для разного вида каналов равны соответственно 0,6; 0,4; 0,2; 0,1.
Какова вероятность того, что хотя бы один раз сообщение будет передано, если оно передается по одному и тому же каналу (выбранному наудачу): а) один раз;	б) два раза?
6.5.34.	На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, белого и черного. Какова вероятность того, что слоны будут пробивать друг друга?
6.5.35.	Вероятность отказа прибора при воздействии на него только вибрации равна 0,1, а только перегрева — 0,05; вероятность отказа при воздействии вибрации и перегрева равна 0,2. При эксплуатации прибора вероятность возникновения перегрева равна 0,2, вероятность возникновения вибрации равна 0,3. Перегрев и ^вибрация возникают независимо. Найти вероятность отказа прибора.
320
6.5.36.	Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров — лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?
6.5.37.	Из множества чисел {1,2,3,...,99,100} последовательно (без возвращения) извлекают два числа. Какова вероятность того, что первое число больше второго:
а) на 20;	б) не менее чем на 20?
6.5.38.	В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекаются 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые.
6.5.39.	Имеются три урны с белыми и черными шарами. Известно, что отношение числа белых шаров к числу черных равно ci, С2, Сз для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу выбирается урна и из нее вытаскивается шар. Какова вероятность того, что он белый?
§6. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ
Формула Бернулли
Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти противоположное событие А (такой исход называют неудачей) с вероятностью Р(А) = q = 1 — р (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно т раз, находится по формуле Бернулли
Рп(т) = С™ • рт • qn~m, т = 0,1,2,..., п.
Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях, Удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:
а)	менее т раз — равна Рп(0) + Рп(1) + • •  + Рп(т — 1);
6)	более т раз — равна Рп(т + 1) + Рп(т + 2) + ... + Рп(п);
в)	хотя бы один раз — равна Рп(т 1) = 1 — qn', г) не менее т\ раз и не более m2 раз — равна
ГП2
Pn(mi т m2) = Рп(mi) + Рп(mi + 1) + ... + Pn(m2) = 57 Рп(т).
m=mi
Число то (0 то п) называется наивероятнейшим числом наступлений события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если
* I Сборник задач по высшей математике, 2 курс
321
Рп (то) Рп (т) для всех т = 0,1, 2,..., п. Если вероятность р и q отличны от нуля, то число то определятся из двойного неравенства
пр — q С то С пр + р.
Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления события Л равнарг (числа р», вообще говоря, разные), то вероятность Рп(т) того, что в этой серии испытаний событие А наступит т раз, равна коэффициенту при m-й степени (т. е. при z™) многочлена
У’п(-г) = (qi + piz)(tf2 + P2z) • ... • (qn +pn • z).
Функция tpn(z) при этом называется производящей функцией.
Полиномиальное распределение
Пусть теперь каждое из п испытаний может иметь только к исходов событий Ai, А2,..., Ак с соответствующими вероятностями р1,рг,    ,Pk (ясно, что к
52 Pi = 1)- Тогда вероятность того, что в этих опытах событие Ai появится тщ г=1
раз, событие Аг — m2 раз,..., событие А к — тк раз (mid- m2 + ... + тк = п) равна
....• • •  •
Эта формула задает полиномиальное распределение вероятностей (название объясняется тем, что выражение для Рп (mi,m2,..., m*.) является общим членом полинома (pi + рг 4-... + pfe)n). Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального распределения при к = 2, рг = 1 — pi = qi-
6.6.1., Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность то-
го, что шестерка выпадет:
а) два раза;	б) не более восьми раз;
в) хотя бы один раз.
Q Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два
исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна т.е. р = Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли. Для нахождения искомых вероятностей применим формулу Бернулли.
1	15
а)	Здесь п = 10, т = 2, р = ~ q = 1 — ~ Отсюда
/	6	6
л /1\2	/г\10—2	-j /к\8
До(2) = С?о • (|) (|)	=45 4 (|) Й°Ж
б)	Искомая вероятность равна
Рю(0) + -Р1о(1) + Рю(2) + Рю(3) + Рю(4) + Рю(5) + Рю(6) + Рю(7) +Рю(8)-
322
Однако в этом случае проще найти вероятность противоположного события — шестерка выпадет более 8 раз, т. е. выпадет 9 или 10 раз. Имеем: Ло(9) + Р.о(Ю) =С?0 (I)9 (|) +. (1)10 (|)°= 10. -L +1. -L = Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более восьми раз, равна 1 - (Рю(9) + Р,0(Ю)) = 1 - Д.
/5\10
в)	Искомая вероятность равна Рю(т 1) = 1 —	. Ее можно
найти и так (что, конечно, гораздо сложнее): Рщ(1) + Рю(2) +... + Рю(Ю) /1\° /с\Ю	/е\Ю
или 1 - Р1о(О) = 1 - Cfo • (1)	(§) =1-(|) •	•
6.6.2.	Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.
Q Наивероятнейшее число то всхожих семян находим из условия пр — q ^ т0 пр + р.
Поскольку п = 240, р = 0,7 и q = 0,3, то 240 • 0,7 — 0,3 то 240  0,7 + 0,7, т. е. 167,7 то 168,7. Отсюда следует, что то = 168.	•
6.6.3.	Прибор состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятности отказов элементов за время t различны и соответственно равны: Pi = 0,1, р2 = 0,2, рз = 0,3. Найти вероятности того, что за время t откажут: а) все элементы;	б) два элемента;
в) один элемент;	г) ноль элементов.
Q Так как р± = 0,1, Р2 = 0,2, рз = 0,3, то вероятности того, что элементы не откажут, соответственно равны: qA = 0,9, q2 = 0,8, q$ = 0,7. Составим производящую функцию:
<p3(z) = (0,9+0,lz)(0,8+0,2z)(0,7+0,3z) = 0,006z3+0,092z2+0,398z + 0,504.
Отсюда следует, что:
а)	Р3(3) = 0,006;
б)	Р3(2) = 0,092;
в)	Р3(1) = 0,398;
г)	Р3(0) = 0,504.	•
6.6.4.	По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попаданий в мишень, где п = 0,1,2,3.
6.6.5.	Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?
6.6.6.	Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.
323
6.6.7.	В ящике находится 70% стандартных и 30% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что-из 5 взятых наудачу деталей не более одной окажется нестандартными.
6.6.8.	Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попаданий в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части при попадании в корабль относятся как семь к трем.
6.6.9.	В семье б детей. Найти вероятность того, что в данной семье не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5.
6.6.10.	В помещении б электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти:
а)	вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки;
б)	наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.
Дополнительные задания
6.6.11.	Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти: а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее 4 элементов;
б)	наивероятнейшее число то отказавших элементов;
в)	вероятность Р^то).
6.6.12.	Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,86. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят: а) 4 раза;	б) не менее 4 раз.
6.6.13.	Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
а)	одну из двух партий или две из четырех;
б)	не менее двух из трех партий или не менее четырех из восьми?
6.6.14.	Вероятность события А в одном испытании равна 0,1. Какое минимальное число испытаний достаточно провести, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,95, событие А наступило хотя бы один раз?
6.6.15.	Десять человек пришли на избирательный участок и случайным образом отдали свои голоса за одного из пяти кандидатов в президенты. Какова вероятность того, что за первого по списку кандидата проголосовало 3 человека?
324
6.6.16.	В урне 8 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимаются с возвращением 12 шаров. Найти вероятность того, что белых шаров будет вынуто: а) 1;
б)	не менее 10 белых шаров?
6.6.17.	Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 0,125. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из пяти.
6.6.18.	Отмечено, что в городе D в среднем 10% заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:
а)	ни одна пара не разведется;
б)	разведутся 2 пары?
6.6.19.	Из четырех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для 1-го орудия равна 0,8, 2-го — 0,7, 3-го — 0,6, 4-го — 0,5. Найти вероятность того, что в цель попадут: а) два орудия;	б) три орудия;
в) четыре орудия.
6.6.20.	Вероятность выхода на линию каждого из 18 автобусов равна 0,9. Какова вероятность нормальной работы автобазы в течение дня, если для этого необходимо иметь на линии не менее 15 автобусов?
6.6.21.	В электричку из 4 вагонов садятся наудачу 8 пассажиров. Какова вероятность того, что в каждый вагон вошло по 2 человека?
6.6.22.	На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,19 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,11 — мелкий выигрыш и с вероятностью 0,70 билет может оказаться без выигрыша. Куплено 15 билетов. Найти вероятность получения трех крупных выигрышей и одного мелкого.
в.6.23. В равносторонний треугольник со стороной, равной а, вписан круг. Внутри треугольника независимо друг от друга наудачу выбираются 5 точек. Найти вероятность того, что 3 из них окажутся внутри круга.
6.6.24.	Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений шестерки было равно 5?
6.6.25.	Считая, что в среднем 15% открывающихся малых предприятий становятся в течение года банкротами, найти вероятность того, что из 10 новых малых предприятий за это время банкротами станут: а) одно предприятие;	б) более трех предприятий.
6.6.26.	Проводятся испытания по схеме Бернулли. Вероятность успеха в одном испытании равна р. Найти вероятность события А = {все тп успехов в п испытаниях появятся подряд}.
325
6.6.27.	Монета бросается
а) 2 раза;	б) 4 раза.
Какова вероятность выпадения одного герба в случае а), двух гербов в случае б)?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.6.28.	Задача Банаха. Некий курящий носит с собой две коробки спичек. Всякий раз, когда необходима спичка, он выбирает наугад одну из коробок. В какой-то момент одна из коробок окажется пустой. Какова вероятность того, что в этот момент в другой коробке окажется т спичек (т = 0,1,2,... , п; п — число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок)?
6.6.29.	В задаче на схему Бернулли найти значение р, при котором вероятность Р3(2) достигает максимума, и вычислить этот максимум.
6.6.30.	По мишени, состоящей из «яблочка» и двух колец, произведено 5 выстрелов. Вероятность попадания в яблочко равна 0,2, в 1-е кольцо — 0,3, во 2-е — 0,5. Найти вероятность того, что будут два попадания во второе кольцо, два в первое кольцо и одно — в «яблочко».
6.6.31.	Игральную кость подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того. что 5 раз выпадут одинаковые числа?
§7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями. Поэтому при больших п вместо нее, как правило, используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
Везде далее речь идет о серии п независимых испытаний по схеме Бернулли, Рп(т) означает вероятность т успехов в этой серии.
Формула Пуассона
Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причем их произведение а = пр не мало и не велико (обычно достаточно условий р < 0,1; npq < 10), то вероятность Fn(m) можно приближенно найти по формуле Пуассона
Рп(т) « -q f .
326
Локальная формула Муавра-Лапласа
Теорема 6.7. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятности р и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий п > 100, npq > 20), то вероятность РДтп) можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа
Рп(т) « —^=-р(х),
2 т — пр , .	1	_
где х = —,	<р(х) = , е 2 — функция Гаусса.
Таблица значений функции (£>(х) приводится в приложениях.
Интегральная формула Муавра-Лапласа
Теорема 6.8. В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность Pn(mi С ш С пгг) того, что число успехов т заключено между mi и тг, можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа
Pn(mi < т т2) = Фо(^г) - Фо(х1),
где
mi — пр	т,г — пр
3-1	.	1 Хг .	,
ynpg	yjrvpq
1 f
Фо(т) = _______ е 2 dt — функция Лапласа.
-\/27Г J о
Таблица значений функции Ф(я)о приводится в приложениях.
6.7.1. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».
О По условию п = 1000, т = 9, р = 0,007. Поскольку п — достаточно велико, р — мало (npq < 7), то для вычисления Рюоо(9) можно использовать формулу Пуассона. Имеем a = [пр] — 1000 • 0,007 = 7, откуда Лооо(9) »	« 0,1014.	•
У •
6.7,2. Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий поврежденных при транспорти
327
ровке, составляет в среднем 0,05%. Найти вероятность того, что на базу поступит:
а)	не более 3 поврежденных изделий;
б)	хотя бы 2 поврежденных.
Q Для нахождения искомых вероятностей применим формулу Пуассона. Имеем п = 12 000, р = 0,0005, а = 12000 • 0,0005 = 6.
а)	В этом случае имеем
^120оо(0	3) — Pi2ooo(0) + Pi2ooo(l) + Р12ооо(2) + Р12ооо(3) ~
6° • е 6 . 61 • е 6 . 62 - е 6 . 63 • е 6
0!	1!	2!	3!
= е"6(1+6 + 18 + 36) = 0,151.
б)	Искомая вероятность Pi2ooo(m 2) = Pi2ooo(2) + Pi2ooo(3) + ... ...+Pi 2ооо(12 000) вычисляется довольно громоздко, поэтому найдем вероятность противоположного события: поступило менее 2-х поврежденных деталей:
Pi2ooo(0 т 1) — Pi2ooo(0) 4" Р12ооо(1) ~ е 6 + бе 6 — 0,0174.
Следовательно, Pi2ooo(m > 2) = 1 — 0,0174 = 0,9826.	•
6.7.3.	Вероятность выхода из строя одного элемента устройства, в течение t часов работы, равна 0,002. Какова вероятность того, что за время t из 1500 независимо работающих элементов выйдет из строя: а) 4 элемента;	б) не более 2 элементов?
6.7.4.	Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе будет допущено: а) 6 ошибок;	б) хотя бы одна ошибка.
6.7.5.	Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:
а)	четверо родилось 23 февраля;
б)	двое родилось 1 марта;
в)	никто не родился 22 июня? (Считать, что в году 365 дней.) 6.7.6. Некачественные изделия составляют 2% всей продукции цеха.
Какова вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изделий окажется:
а)	не более’5 некачественных изделий;
б)	два или три некачественных изделия.
6.7.7.	Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т. е. с отклонением от стандарта), постоянна и равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных?
Q По условию задачи п = 1000, т = 40, р = 0,05, q = 0,95. Теоретически можно использовать формулу Бернулли, тогда
Fiooo(40) = CfJoo • (О,О5)40 • (О,95)960.
328
Однако полученное выражение слишком громоздко, поэтому удобнее применить локальную формулу Муавра-Лапласа (п • р • q = 1000 • 0,05 х х0,95 = 47,5 > 20). Так как
= \/47^ « 6,892, т - пр = 40 - 1000 • 0,05 = 40 - 50 = -10, то
х =	= 6^ и -1,45, <р(х) = ^(-1,45) = у(1,45) « 0,1394
(значение функции <р(х) находим по таблице). Следовательно, 1	0 13Q4
= w> = °’02-	•
6.7.8.	Используя условие задачи 6.7.7, выяснить, сколько небракованных изделий следует ожидать с вероятностью 0,042.
Q Имеем: п = 1000, р = 0,95 (вероятность стандартного изделия), q = = 0,05; требуется найти т. Снова используем локальную формулу Муавра-Лапласа. Так как y/npq = \/1000 • 0,95 • 0,05 « 6,892, то
ЛоооМ ~	‘	= °’042’
Отсюда находим <р(х) = 6,892 • 0,042 « 0,289.
По таблице значений функции находим х и ±0,80. Учитывая, т - пр т - 1000 • 0,95 т - 950	т - 950
что х ~ ^npq ~	6,892	“	6,892 ’ пол>'чаем 6,892	“
= ±0,80. Отсюда т = 950 ± 5,51, т.е. т = 955 или т = 945 (т — целое число, поэтому округляем).	•
6.7.9.	Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2.
Приборы испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120?
6.7.10.	Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз?
6.7.11.	Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.
6.7.12.	В городе N из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют такие телевизоры?
6.7.13.	Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230 раз.
Q По условию п = 300, р = 0,75, q = 0,25, тг = 210, m2 = 230. Для нахождения вероятности Рзоо(2Ю т 230) воспользуемся интегральной ^формулой Муавра-Лапласа.
329
Имеем: пр = 300  0,75 = 225, y/npq = ^/300 • 0,75 • 0,25 = 7,5. Тогда
mi — пр
Я1 = —
y/npq Следовательно,
210 - 225 q т2 - пр 230 - 225 __ п
>7	^2	/--- --- *7 FT	U,O7,
7,0	y/npq	7,5
Рзоо(210 т 230) = Ф0(я2) - ФоЫ = Фо(0,67) - Фо(-2) =
= Фо(0,67) + Фо(2) = 0,2486 + 0,4772 = 0,7258.	•
6.7.14.	Сколько раз надо подбросить симметричную монету, чтобы с вероятностью 0,90 частота появления герба отличалась от (вероятности выпадения герба) не более чем на 0,01 ?
Q Пусть произведено п испытаний (бросаний монеты). Тогда, согласно
0,01. Отсюда следует, что -0,01	0,01, т.е.
условию задачи, число т выпадений герба должно удовлетворять неравенству
т 1 п 2
0,49	0,51, и, значит, 0,49н т 0,51п.
Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа. Имеем:
р = 0,5, q = 0,5, mi = 0,49n, т2 = 0,51н, пр — 0,5п. Тогда, по усло
вию задачи, Рп(0,49н т <С 0,51н) = 0,90, т.е.
= 0,90,
откуда Фо(0,02 • у/п) + Фо(0,02 • у/п) = 0,90, или Фо(О,О2 • у/п) = 0,45. Используя таблицу значений функции Лапласа, получаем 0,02 • у/п = 1,65. Отсюда следует, что у/п = 82,5, т. е. п = 6807.
Таким образом, нужно подбросить монету около 7000 раз.
Замечание. Задачу можно было решить проще, используя формулу «вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в п независимых испытаниях не более чем на число е > 0»
т
Тогда
< е) 2Ф0 (е •	•
п Р
= 0,90,
откуда Фо(0,02х/п) = 0,45, т.е. 0,02i/n « 1,65 и, следовательно, п « 7000.
6.7.15.	Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,7. Найти вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующим неравенствам:
а) 83 т 93;	б) т 70.
330
6.7.16.	Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.
6.7.17.	Замечено, что в среднем 80% посаженных семян всхожи. Сколько нужно посадить семян, чтобы с вероятностью 0,90 можно было бы ожидать, что не менее 100 посаженных семян взойдут?
6.7.18.	Используя условие задачи 6.7.11, найти вероятность того, что число проросших семян будет лежать в промежутке [450; 520].
Дополнительные задания
6.7.19.	Прибор содержит 1000 элементов, каждый из которых за время t может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью 0,002. Какова вероятность выхода из строя за время t прибора, если это происходит при отказе хотя бы одного из элементов?
6.7.20.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,005. Какова вероятность попадания в цель не менее трех раз, если число выстрелов равно 800?
6.7.21.	Посеяли 1000 семян. Вероятность не прорасти для каждого семени равна 0,002. Найти вероятность того, что: а) не прорастет 10 семян; б) все семена прорастут.
6.7.22.	Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 150 рублей. Вероятность пожара (в одном доме) в течение года равна 0,005, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 12000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компания понесет убыток?
6.7.23.	Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных книг.
6.7.24.	Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что: а) стрелок попадет 56 раз;
б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.
6.7.25.	Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется доброкачественных.
6.7.26.	Используя условие задачи 6.7.11, найти вероятность того, что из 700 посаженных семян число проросших будет заключено между 460 и 510.
331
6.7.27.	Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей девочек: а) будет 300;
б) будет больше, чем мальчиков.
6.7.28.	Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят: а) 150 студентов;	б) не менее 100 студентов;
в)	не более 150 студентов?
6.7.29.	Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближенные границы, в которых число т выпадений единицы будет заключено с вероятностью 0,997.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.7.30.	Известно, что левши в среднем составляют 1% населения. Используя формулы Бернулли, Пуассона и локальную формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что среди 100 человек окажется пятеро левшей.
6.7.31.	Максимальный выигрыш в игре «Спортлото 6 х 49» можно получить, угадав 6 из 49 номеров. В очередном розыгрыше участвуют 10 млн карточек. Какова вероятность того, что хотя бы на одной картинке будут зачеркнуты 6 выигрышных номеров?
6.7.32.	Равна ли сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по формуле Пуассона, единице? Ответ объяснить.
6.7.33.	Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы среди них с вероятностью, не меньшей 0,95, цифра 2 появилась хотя бы один раз?
6.7.34.	144 служащих предприятия обедают в одном из двух кафе, при-
чем выбор ими кафе одинаково вероятен. Владелец одного из кафе желает, чтобы с вероятностью 0,95 все пришедшие служащие смогли одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его кафе?
6.7.35.	В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4 : 3. Из нее извлекается шар, фиксируется цвет и возвращается в урну. Чему равно минимальное число п извлечений, при котором с вероятностью 0,9545 можно ожидать, что отклонение относительной частоты появления белого шара от вероятности его появления в одном опыте не превышает, по модулю, величины 0,05?
6.7.36.	• Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Было произведено 600 выстрелов. Найти:
332
а)	границы, в которых с вероятностью 0,9948 будет заключено число попаданий в цель;
б)	число выстрелов, которые надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью 0,9948 ожидать, что отклонение относительной частоты от вероятности попадания при одном выстреле будет меньше по модулю величины 0,05.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	12 студентов случайным образом рассаживаются на 12 первых местах одного ряда партера. Какова вероятность, что студенты М и Н будут сидеть рядом?
2.	Батарея, состоящая из 10 орудий, ведет огонь по 15 кораблям неприятеля. Найти вероятность того, что все орудия стреляют: а) по одной цели; б) по разным целям (выбор цели случаен и не зависит от других).
3.	В ящике находятся 20 лампочек, среди которых 3 перегоревшие. Найти вероятность того, что 10 лампочек, взятых наудачу из ящика, будут гореть.
4.	На АТС могут поступать вызовы трех типов. Вероятности поступления вызовов 1-го, 2-го и 3-го типа соответственно равны 0,2; 0,3; 0,5. Поступило три вызова. Какова вероятность того, что а) все они разных типов;
б)	среди них нет вызова 2-го типа?
5.	На елочный базар поступают елки с трех лесхозов, причем 1-й лесхоз поставил 50% елок, 2-Й — 30%, 3-й — 20%. Среди елок 1-го лесхоза 10% голубых, 2-го — 20%, 3-го — 30%. Куплена одна елка. Она оказалась голубой. Какова вероятность, что она поставлена 2-м лесхозом?
6.	Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,004. Какова вероятность того, что из 750 проверяемых изделий более трех изделий не выдержат испытания?
Найти вероятность отказа схемы (рис. 73), предполагая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятность отказа каждого элемента равна q.
Вариант 2
К 9 туристов наудачу рассаживаются по 12 вагонам электрички. Найти вероятность того, что все они окажутся: а) в одном вагоне; б) во втором вагоне; в) в разных вагонах.
333
Рис. 73
2.	В автопарке 20 экскурсионных автобусов двух марок: 12 и 8 соответственно. Вероятность выезда на экскурсию автобусов каждой марки одна и та же. Какова вероятность того, что после выезда на экскурсию 16 автобусов, в автопарке остались автобусы: а) первой марки; б) одной марки; в) разных марок.
3.	С вероятностью 0,4 посланное сообщение принимается при одной передаче. Сколько надо сделать передач, чтобы с вероятностью не менее 0,9 она была принята хотя бы один раз?
4.	В одной коробке находится 4 красных, 5 зеленых и 3 черных карандаша, а в другой — 3 красных и 2 черных. Из первой коробки взяты три карандаша, а из второй -— два. Какова вероятность того, что все вытащенные карандаши одного цвета?
5.	Из 1000 ламп 590 принадлежит 1-й партии, 200 — 2-й, остальные — 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й — 5%, в 3-й — 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что она бракованная?
6.	Проведено 8 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании двух монет. Найти вероятность того, что а) в трех испытаниях из восьми появится по 2 герба;
б)	не менее двух раз выпадет 2 герба.
7.	Найти вероятность безотказной работы схемы (рис. 74), предполагая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятность отказа каждого элемента равна q.
Рис. 74
334
Вариант 3
1	В семизначном телефонном номере стерлись три последние цифры. Найти вероятность того, что стерлись: а) одинаковые цифры; б) разные цифры.
2.	На устройство поступают 2 сигнала, причем поступление каждого сигнала, в течение часа, равновозможно.
Устройство срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 10 минут. Найти вероятность того, что устройство сработает.
3.	В урне находится 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна Сколько в урне белых шаров?
4.	Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а телеграммы — 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность того, что дойдет: а) только телеграмма; б) хотя бы одно из отправлений?
5.	В пункте проката имеется 8 новых и 10 подержанных (т.е. хотя бы раз использованных) автомобилей. 3 машины взяли наудачу в прокат и спустя некоторое время вернули. После этого вновь наудачу взяли в прокат два автомобиля. Какова вероятность того, что оба автомобиля новые?
6.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах цель будет поражена: а) 2 раза; б) не менее 2 раз; в) не будет поражена ни разу.
7.	Найти вероятность отказа схемы (рис. 75), предполагая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятности qt отказов элементов соответственно 0,1; 0,2; 0,05; 0,2; 0,1.
Рис. 75
вариант 4
Два приятеля В и С решили, что за билетами в кино пойдет тот, у кого выпадет меньшее число очков при бросании игральной кости. Какова вероятность того, что за билетами пойдет: а) С; б) проигравший; в) выигравший?
335
2.	В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) нет дефектных; б) 3 дефектных.
3.	Вероятность того, что в результате 5 независимых опытов событие Д (предполагается, что она одна и та же во всех опытах) произойдет хотя бы один раз, равна 0,99757. Определить вероятность появления события при одном опыте.
4.	В мастерской три станка. Они требуют наладки в течение смены с вероятностями 0,05; 0,1; 0,3 соответственно. Какова вероятность того, что в течение смены потребуется наладить: а) все станки; б) только один станок.
5.	В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй 5 белых и 2 черных. Из первой урны переложили во вторую три шара, затем из второй урны извлечен один шар. Какова вероятность того, что он белый?
6.	По каналу связи передаются 7 сообщений, каждое из которых, независимо от других, может быть искажено с вероятностью 0,15. Найти вероятность того, что будет правильно принято не менее двух сообщений.
7.	Найти вероятность безотказной работы схемы (рис. 76), считая что отказы отдельных элементов независимы. Вероятность отказа элемента с номером i равна qi.
Рис. 76
Вариант 5
1.	В ящике лежат 9 кубиков с номерами от 1 до 9. Последовательно извлекаются три кубика. Найти вероятность того, что появятся кубики: а) с номерами 2, 5, 9; б) с номерами 5, 2, 9; в) с номерами 4, 5, 4.
2.	52 игральные карты раздаются 4 игрокам. Найти вероятность того, что: а) все тузы будут у одного игрока; б) каждый игрок получил один туз.
3.	Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятности попаданий в цель соответственно равны 0,6; 0,85; 0,7. Какова вероятность попадания в цель: а) только второго стрелка; б) хотя бы одного стрелка?
336
4.	В мешке смешаны нити, среди которых 30% красных, 60% синих, а остальные белые. Какова вероятность того, что три вынутые наудачу нити будут одного цвета?
5.	На склад с оружием совершают налет четыре самолета. Вероятность поражения самолета системой ПВО равна 0,8. При прорыве к самолетов атакуемый объект будет уничтожен с вероятностью рк- Найти вероятность уничтожения склада.
6.	Найти вероятность того, что в серии из 9 подбрасываний игральной кости 5 очков выпадет менее трех раз.
7.	Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется пригодным без доводки, равна 0,97. Контролер проверяет 400 изделий. Если среди них окажется 16 или более нуждающихся в доводке, вся партия возвращается на доработку. Найти вероятность того, что партия изделий будет принята.
Вариант 6
1.	В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что случайная точка, брошенная в круг, не попадет в квадрат.
2.	В цветочном ларьке продаются 8 аспарагусов и 5 гераний. Какова вероятность того, что среди 5 проданных растений: а) 2 аспарагуса; б) все герани?
3.	В ящике 6 белых и 30 черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный?
4.	Вероятность дозвониться с первой попытки в Справочное бюро вокзала равна 0,4. Какова вероятность того, что: а) удастся дозвониться при втором звонке; б) придется звонить не более трех раз?
5.	Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что третье орудие попало, если вероятности попадания в цель 1-м, 2-м и 3-м орудиями соответственно равны 0,5; 0,3; 0,4.
6.	Сообщение содержит 500 символов. Вероятность искажения символа при передаче постоянна и равна р. Если хотя бы один символ искажен, то сообщение будет принято неверно. При каких значениях р вероятность того, что сообщение будет успешно передано, окажется равной 0,95?
7.	Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число то появлений числа очков, кратного трем. Найти вероятность Рхб(пго) ?
337
§8. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Понятие случайной величины. Функция распределения
Понятие случайной величины — одно из важнейших в теории вероятностей. При этом под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины (кратко: с. в.) обозначают большими латинскими буквами X,Y,..., а принимаемые ими значения — малыми буквами ц, х%,..., У1, У2>-
Используя теоретико-множественную трактовку, можно дать более строгое определение:
Случайная величина X есть числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Q.
Таким образом, с. в. X каждому элементарному событию о? ставит в соответствие действительное число А”(си), т.е. X = Х(си), си € Q.
Для того, чтобы получить полное представление о данной случайной величине, недостаточно знать, какие значения она принимает -— важно еще знать, насколько часто они принимаются этой величиной («выпадают») в результате испытаний. Дня этой цели используют понятие закона распределения.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А С Q (в частности, вероятности того, что данная с. в. примет конкретное значение или попадет в заданный интервал), называется законом распределения случайной величины (или короче: распределением). Если для с. в. X задан закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону.
Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения является функция распределения.
Функцией распределения с. в. X называется функция Fx(x) (коротко F(.t)), которая для любого числа х € R равна вероятности события {X < ж}, т.е F(z) = Р{Х < ж}.	'
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.	О F(x) 1;
2.	F(x) — неубывающая функция, т.е. F(x2)	F(a?i), если х% > Xi;
3.	F(-oo) = 0, F(+oo) = 1;
4.	F(x) непрерывна слева в любой точке х, т. е. F(x — 0) = F(ar), ж G R;
5.	Р{а^Х <b} = F(b) - F(a).
Дискретные случайные величины
Если множество возможных значений с. в. X конечно или счетно (это значит, что его элементы могут быть перенумерованы натуральными числами), т.е. дискретно, то с. в. X называется дискретной (коротко: д.с.в. А”). Если же множество значений с. в. X заполняет (непрерывно) конечный или бесконеч-
338
цый промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется непрерывной (коротко: н. с. в. А'’).
О непрерывных случайных величинах пойдет речь в следующем параграфе.
Закон распределения д. с. в. X удобно задавать с помощью следующей таб-
лицы	_________________________
хг	Х1	Х2	. . .		• . .
Рг	Pl	Р2	• . .	Рп	• . .
называемой рядом распределения. При этом возможные значения xi, а?2, • •  с. в. X в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности р, = Р{Х = Xi } (5> = 1)-г
Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения (рис. 77).
Рис. 77
Функция распределения д. с. в. имеет вид
= Е А,
Xi <х
где суммирование ведется по всем индексам г, для которых xt < х.
Операции над дискретными случайными величинами
Суммой (соответственно, разностью или произведением} д. с. в. X, принимающей значения xt с вероятностями рг = Р{Х = тг}, г = 1,2,..., и и д. с. в. Y, принимающей значения у3 с вероятностями qj = P{Y = у3 }, j = 1,2,..., т называется д. с. в., принимающая все значения вида хг+у3 (соответственно, xt — у3 или хг • у3) с вероятностями pl3 = Р{{ А = хг} • {У = у3 }} = _Р{АГ = тг, Y = у3 }. Обозначение: X + Y (соответственно, X — Y или X • У).
Произведением д. с. в. X на число с называется д. с. в. сА, принимающая значения с • хг с вероятностями рг = Р{А = хг}.
Квадратом (соответственно, m-ой степенью) д. с. в. X называется д. с. в., принимающая значения х^ (соответственно, ж™) с вероятностями рг = Р{Х = хг}. Обозначение: А2 (соответственно, Ат).
339
Дискретные с. в. X и Y называются независимыми, если независимы события {X = a?i} и {Y = Уз} при любых г = 1,2,3,...,п, j = 1,2,..., тп.
6.8.1.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения д. с. в. X — числа извлеченных шаров.
Q Возможными значениями с. в. X являются числа a?i = 1, а?2 = 2, а?з = = 3, а?4 = 4. Значение хз = 3, например, означает, что первый и второй шары были черными, а третий — белый.
Соответствующие им вероятности pi, рг5 Рз> Р4 найдем, воспользовавшись правилом умножения вероятностей:
pi = Р{Х = 1} = Р{1-й шар белый} = у,
Р2 = Р{Х = 2} = Р{1-й шар черный, 2-й — белый} =
„ _ pry-91 - 3 2 4__4_	7 b 7
рз Р{Х	3}	7	б 5	35>
__р г у_л 1_3	2 1	4__ 1
Pi - Р{Х - 4} - 7  6  5 • 4 - 35.
Таким образом, ряд распределения с. в. X имеет вид
37»	1	2	3	4
Pi	4 7	2 7	4 35	1 35
Контроль: £pi = ^ + ? + A + X = l. j—1			*50 ОО
Многоугольник распределения с. в. X представлен на рис. 78.
Рис. 78
6.8.2.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлеклй три шара. Найти:
а)	ряд распределения д. с. в. Y — числа извлеченных белых шаров;
340
б)	вероятность события А = {извлечено не менее 2-х белых шаров}.
Q а) Случайная величина У может принять следующие значения: уо = = О, У1 — 1,г/2 = 2,?/з = 3. Соответствующие им значения pi найдем, исходя из классического определения вероятности:
Ро = Р{у = 0} = | = ± Р1=Р{у = 1} = ^ = 1|,
P2 = p{y = 2} = ^ = £, й=р{г=3} = ^ = 1.
Отсюда ряд распределения с. в. Y имеет вид
Уг	0	1	2	3
Рг	1 35	12 35	18 35	4 35
Контроль:	=	+ Й + И + А =
_q оо оо оо оо
б) Найдем искомую вероятность, используя ряд распределения с. в.
6.8.3.	Монета подбрасывается 5 раз. Построить многоугольник распределения д. с. в. Z — числа выпадений герба.
6.8.4.	Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд распределения с. в. X — числа попаданий в цель.
6.8.5.	Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0,98. Построить ряд распределения с. в. — числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата. Найти вероятность того, что будет опущено 5 монет. Решить ту же задачу при условии, что в наличии всего 3 монеты.
6.8.6.	Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе равна 0,7.
6.8.7.	Дискретная с. в. X задана рядом распределения
хг	-2	1	2	3
Pi	0,08	0,40	0,32	0,2
Найти:
а)	функцию распределения F(x)\
б)	вероятности событий А = {X < 2}, В = {1 X < 3}, С = {1 < X 3};
в)	построить график функции F(x).
Q а) По определению функции распределения находим:
если х —2, то F(x) = Р{Х < ж} = 0;
если —2 < х < 1, то F(x) = Р{Х < ж} = Р{Х = -2} = 0,08;
341
если 1 < х 2, то F(x) = Р{Х = -2} 4- Р{Х = 1} = 0,08 + 0,40 = 0,48; если 2 < х 3, то F(x) = Р{Х = -2} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} = = 0,08 4- 0,40 4- 0,32 = 0,80;
если 3 < х, то F(x) = Р{Х = -2} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} + Р{Х = 3} = = 0,08 4- 0,40 4- 0,32 4- 0,2 = 1.
	'о, 0,08,	если х —2,	
		если	- 2 < х 1,
Итак, F(x) = <	0,48,	если	1 < х 2,
	0,80,	если	сб' V/ н V см
	Л’	если	3 < х.
б)	Сначала найдем искомые вероятности непосредственно:
Р(А) = Р{Х < 2} = Р{Х = -2} 4- Р{Х = 1} = 0,08 4- 0,40 = 0,48;
Р(В) = Р{1 < х < 3} = 0,40 4- 0,32 = 0,72;
Р(С) = Р{1 < х 3} = 0,32 4- 0,2 = 0,52.
Эти же вероятности можно найти, используя формулы
F(x) = P{X<x} и Р{а^Х <b} = F(b)-F(a).
Тогда
Р(А) = Р{Х < 2} = F(2) = 0,48;
Р(В) = Р{1 О < 3} = F(3) - F(l) = 0,80 - 0,08 = 0,72;
Р(С) = Р{1 < X 3} = Р{1 О < 3} - Р{АГ = 1} + Р{Х = 3} = = F(3) - F(l) - 0,40 4- 0,2 = 0,72 - 0,2 = 0,52.
в)	График функции F(x) изображен на рис. 79.
6.8.8.	Найти функцию распределения случайной величины X, закон распределения которой получен при решении задачи 6.8.1.
342
Q Найдем F(ar), используя формулу F(x) = Pi (чт0 быстрее приво-хг<х
дит к цели, чем использование определения F(x)). Тогда
6.8.9.	В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения и функцию распределения числа перворазрядников среди выбранных.
6.8.10.	Задана функция распределения с. в. X. Найти ряд распределения, а также вероятности: Р{Х = 1}, Р{1 < X 8}.
	0,	при X	0,
a) F(x) = <	0,3,	при 0 <	х 1,
	Л	при 1 <	ж,
	'о,	X 1,	
	0,2,	1 < х ;	U,
б) F(x) = <	0,35,	3 < х г	£6,
	0,8,	6 < х ;	£8,
	Л	8 < х.	
6.8.11. Дискретная с. в. X задана рядом распределения
Xi	1,1	1,4	1,7	2,0	2,3
Pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1
6.8.12.
6.8.13.
Построить многоугольник распределения, график функции распределения, найти вероятности
Р{А > 1,4}, Р{1,4$ 1^2,3}.
Подбрасывают две монеты. Найти функцию распределения с. в.
X — числа выпадений герба.
Задано распределение д. с. в. X
Xi	-2	-1	1	2	3
Pi	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10
Построить ряд распределения случайных величин:
а)	У = 2Х;	б)
а) Возможные значения с. в. Y таковы:
3/1 = 2 • (-2) =-4,	у-2 - 2  (-1) = -2,	?/з = 2,	т/4 = 4,	2/5=6.
343
Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих значений с. в. X (например, Р{У = -4} = Р{Х = —2} = 0,20 и т. д.). Таким
образом
Vi	-4	-2	2	4	6
Pi	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10
б)	Значения с. в. Z таковы: z\ = (—2)2 = 4, Z2 = (—I)2 = 1, z% = I2 = = 1, Z4 = 22 = 4, z$ = 32 = 9. При этом
P{Z = 4} = P{X2 = 4} = P{X = -2} + P{X = 2} = 0,20 + 0,15 = 0,35
и т.д. Поэтому ряд распределения с. в. Z имеет вид
Zi	1	4	9
Pi	0,55	0,35	0,10
6.8.14. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
Xi	1	2	3
Pi	0,3	0,5	0,2
yi	-2	-1
Pi	0,4	0,6
Найти закон распределения случайных величин a) Z = X + Y;	б) W = X • Y.
Q а) Найдем возможные значения Zij = Xi + у—1 = 1 + (—2), 0 = = 1 + (-1), 0 = 2 + (-2), 1 = 2 + (-1), 1 = 3+ (-2), 2 = 3 + (-1), т.е. случайная величина Z принимает значения z^ = — 1, z% = 0, z3 = 1 и Z4 = 2. Находим вероятности этих значений:
Р1 = P{Z = -1} = Р{Х = 1, Y = -2} = Р{Х = 1} • P{Y = -2} =
= 0,3 • 0,4 = 0,12;
Р2 = P{Z = 0} = Р{Х = 1,У = -1} + Р{Х = 2, У = -2} =
= 0,3 • 0,6 + 0,5 • 0,4 = 0,38;
Рз = P{Z = 1} = Р{Х = 2, Y = -1} + Р{Х = 3, У = -2} =
= 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,4 = 0,38;
р4 = P{Z = 2} = Р{Х = 3, У = -1} = 0,2 • 0,6 = 0,12.
Напомним, что запись вида Р{Х = 3, У = —1} означает вероятность наступления двух независимых событий {X = 3} и {У = —1}, т.е.
Р{Х = 3, У = -1} = Р{{Х = 3} • {У = -1}} = Р{Х = 3} • P{Y = -1}.
При нахождении вероятности р3 = P{Z = 1} и pg мы воспользовались правилом сложения несовместных событий.
В итоге получаем закон распределения с. в. Z = X + У:
Zi	-1	0	1	2
Pi	0,12	0,38	0,38	0,12
4
Контроль: 2 Pi — 1-»=i
344
б) Аналогично находим (проверьте!) ряд распределения с. в. ТУ =
Wi	-6	-4	-3	-2	-1
Pi	0,08	0,20	0,12	0,42	0,18
5
Контроль: Pi = 1-1=1
6.8.15. Задано распределение дискретной с. в. X
Xi	-3	-1	0	1	3	5
Pi	0,05	0,20	0,25	0,30	0,15	0,05
Найти распределение с. в.:
a) Y = |Х|;	б) Z = X3 + 1.
6.8.16.	Дискретная с. в. X имеет ряд распределения
Xi	0	ТГ 4	ТГ 2	Зтг 4	ТГ	5тг 4	Зтг 2
Pi	1 16	1 8	3 16	1 4	3 16	1 8	1 16
Построить:
а)	ряд распределения с. в. У = sin	;
б)	график функции распределения с. в. У.
6.8.17.	Построить ряд распределения для случайных величин
Z = X + Y и W = XY, если X и У — независимые случайные величины, заданные рядами распределения
Xi	0	1
Pi	0,3	0,7
Уз	2	3
Рз	0,4	0,6
Найти условную вероятность события {Z < 4} при условии, что {Z > 2}.
6.8.18.	Распределение д. с. в. X задано формулой Р{Х = к} = С • к, где к = 2,3,4,5,6. Найти:
а) значение <7;	б) Р{|Х — 4| < 1}.
Дополнительные задания
6.8.19.
6.8.20.
6.8.21.
Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения: а) суммы выпавших очков; б) разности выпавших очков. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,4. Построить ряд распределения числа биб
лиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре библиотеки.
Автомобиль на пути к месту назначения встретит 5 светофоров,
каждый из которых пропустит его с вероятностью
|. Постро-
ить ряд распределения числа светофоров, пройденных маши-
ной до первой остановки или до прибытия к месту назначения.
345
6.8.22.
6.8.23.
6.8.24.
6.8.25.
6.8.26.
6.8.27.
6.8.28.
6.8.29.
У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Построить многоугольник этого распределения.
АТС обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение 3 минут на АТС поступит вызов, равна 0,002. Построить ряд распределения с. в. X, равной числу вызовов, поступивших на АТС в течение 3 минут. Найти вероятность того, что за это время поступит более трех вызовов.
В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.
Используя условие задачи 6.8.4, найти функцию распределения с. в. и построить ее график.
Используя условие задачи 6.8.6, найти функцию распределения с. в. и построить ее график.
Используя условие задачи 6.8.22, найти функцию распределения с. в. и построить ее график.
Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения и функцию распределения д. с. в. X — числа выпадений четно
го числа очков.
X и Y — независимые дискретные случайные величины, заданные таблицами распределения
Xi	1	2	3
Pi	0,3	0,2	0,5
Уг	2	4
Рг	0,6	0,4
6.8.30.
Найти:
а)	ряд распределения с. в. Z = X • Y;
б)	Р{Х + У >5};
в)	Р{(Х + Y > 5) I (X = 2)}.
Заданы распределения двух независимых случайных величин
X и Y:
Xi	0	1	2
Pi	0,2	0,4	0,4
Pi	2	3	4
Pi	0,3	0,3	0,4
Найти:
а)	функцию распределения с. в-. X;
б)	ряд распределения случайных величин Z = X 4- Y, W =
в) Р{|Х - У| 2};
г) построить многоугольники распределения с. в. Z и W.
6.8.31.
Найти функцию распределения с. в.
TZ • 7Г V	хг
Y = sin -^л, где с. в. Л —
число очков, выпадающее при бросании игральной кости.
346
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.8.32.	Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании повторяются до двух успехов. Построить ряд распределения числа проведенных испытаний. Найти вероятность того, что в первых N испытаниях число успехов меньше 2.
6.8.33.	Пользуясь условием задачи 6.8.29, построить ряд распределения с. в. Z = mm{JV, У}.
6.8.34.	Какая из нижеприведенных последовательностей является распределением вероятностей некоторой дискретной случайной величины?
ап = '7'L'iV bn =Рп '(1- Р)'\ 0 < р < 1;
п(п -I-1)
6.8.35.
Дискретная с. в. X принимает целочисленные значения Xi = 1, х-2 = 2, жз — 3, ... . Известно, что рп = Р{Х = п} = —— -.
п2 + Зп + 2
Найти:
6.8.36.
а)	значение параметра с;
б)	вероятность события D = {X = 5}.
Может ли функция F(x) быть функцией распределения неко-
торой с. в., если: a) F(x) = е~х-, в) F(x) — 1 - е,т;
д) F(z) = 0,5 4-	- arctg(z);
б) F(x) = ех;
г) F(x) = 1 - е х;
6.8.37.
6.8.38.
6.8.39.
Можно ли утверждать, что событие С является невозможным, если Р(С) = 0?
Совпадают ли законы распределения дискретных случайных величин X -I- X и 2 • X?
Дискретная с. в. X принимает натуральные значения, причем значение п с вероятностью Построить ряд распределения вероятностей для с. в. Y = sin .
§9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В предыдущем параграфе было введено понятие непрерывной случайной величины (н. с. в.). Можно дать другое, более строгое, определение н. с. в., используя понятие функции распределения.
347
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распре
деления F(x) непрерывна на всей числовой оси.
В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: Р{Х = с} = О, Vc 6 R. Поэтому для н. с. в. X имеем:
Р{а X < b} = Р{а < X < b} = Р{а < X О} = Р{а X О} = F(t>) - F(o).
Помимо функции распределения для непрерывных случайных величин, существует еще один удобный способ задания закона распределения — плотность вероятности.
Пусть функция распределения F(x) данной н. с. в. X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Тогда производная f(x) ее функции распределения называется плотностью распределения непрерывной с. в. X (или «плотностью вероятности», или просто «плотностью»):
/(*) = F'{x).	«=
Наряду с обозначением f(x) для плотности распределения используется также обозначение р(х) (т.е. р(ж) = F'(x)).
Свойства плотности распределения:
1.	/(я)	0 (свойство неотрицательности);
ОО
2.	J f(x)dx = 1 (свойство нормированности); — ОО
b
3.	Р{а X ^b} = f/(я) dx’, а
4.	F(x) = у f(t)dt\
5.	lim f(x) = 0.
X—>±оо
График плотности распределения /(ж) называется кривой распределения.
6.9.1.	Задана функция распределения н.с.в. X
[°, F(x) = <ф-3)2,
I1’
при х < 3, при 3 х 5, при 5 < х.
Найти:
а)	коэффициент С\
348
б)	плотность распределения /(ж) с. в. X и построить графики функций F(x) и f(x);
в)	Р{Хе [3,4)}-
Q а) Так как с. в. X — непрерывна, то F(x) должна быть непрерывной функцией в любой точке, в частности, и при х = 5. Так как F(5) = 1, то
С • (5 — З)2 = 1, откуда С = Таким образом,
(О,	при х	< 3,
— З)2,	при 3	х	5,
1,	при 5	< х.
б) Плотность распределения f(x) = F'(x) выражается формулой:
(О,	при х < 3,
|(ж-3), при 3 х 5, О,	при 5 < х.
Графики функций F(x) и f(x) представлены на рис. 80 и рис. 81.
Рис. 80	Рис. 81
ь
в) Используя формулу Р{а X b} = J f(x) dx, находим, что а
4
Р{Х 6 [3,4)]} = Р{3 X < 4} = yi(x - 3)dx = 1
3
Или, иначе Р{3^ X < 4} = F(4) - F(S) = | -0=	•
6.9.2.	При каких значения параметров к и Ъ функция
(0, х —1, кх 4- b, -1 < х 2, 1,	2 <х
может быть функцией распределения некоторой непрерывной с. в. X? Найти вероятность того, что с. в. X примет значение, заключенное в промежутке (—2,3; 1,5). Построить график плотности распределения этой случайной величины.
349
6.9.3.	Задана функция распределения н. с. в. X 10,	х	< —7Г,
a(cosx + c), — тг х 0, 1,	0	< х.
Найти: а) значения постоянных о и с; б) /(ж); 7Г 3’
6.9.4.	Случайная величина X задана функцией распределения
7Г11 р (у _ тг 1 2 J J ’ 2 I - 2003/
в) Р1 {х е
10,	х	А,
— 1,	А	< х	В,
1,	В	< х.
Найти: значения А и В, плотность распределения н.с. в. X, вероятность события С = {X G (3; 5)}.
6.9.5. При каком значении параметра С функция
(С Х>1	'
Дх) = {х4’	" ’
[^0, х < 1
может быть плотностью распределения некоторой непрерывной с. в. X? Найти Р{1 < X < 5}.
Q Очевидно, что f(x) > 0 при С > 0, lim /(х) = 0. Используя свой-OQ	X —>±оо
ство нормированности ( J f(x)dx = 1), найдем значение параметра С:
—оо
оо	1	оо
—оо
—со
1
jх~4dx = 1
- • lim Дг О 6-400
т.е. ^- = 1, отсюда С = 3. Таким образом, функция
/Л Х>1
№) = Ь4’ " ’
(О, х < 1
6 _ _С
1 3

является плотностью распределения некоторой с. в. X. Найдем искомую вероятность, используя формулу
350
X
6.9*6. Непрерывная с. в. X имеет плотность распределения вероятностей	. 3
f(x) = I
(О, х < 1.
Найти функцию распределения вероятностей F(x); построить графики f(x) и
Q Используем формулу
х
При х G (—сю, 1) имеем:
—оо
X
[ 0 • dt = 0.
— оо
При х G [1, +оо) промежуток интегрирования разбивается на два: 1	х
Ut = J t4 1
X
t3
1
—оо
Х _ 1
1 ~ X3
Рис. 83
Рис.
82
Таким образом,
0,
х
X
Графики функций рис. 82 и рис. 83.
I ^3’
/(ш) и F(x) представлены соответственно на
351
6.9.7.	Непрерывная случайная величина X распределена «по закону прямоугольного треугольника» на интервале (0,4); на рис. 84 изображена плотность распределения этой с. в. Найти:
а)	значение уо', б) аналитическое выражение для плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить график F(x).
Q а) Так как площадь S фигуры, ограниченной сверху кривой распределения (т.е. графиком функции /(ж)), а снизу — осью Ох, равна 1, то 1 1
s = S^AOB = 2  4 ' Уо = i- Отсюда у0 =
б)	Уравнение прямой АВ найдем как уравнение прямой, проходящей через точки A f0;	и В(4; 0)): у = —	+ i Аналитическое выражение
\ 2 /	о 2
для плотности распределения с. в. X таково:
/(*) =
х G [0,4], х [0,4].
Рис. 84
Теперь найдем функцию распределения F(x): X , если х G (—оо,0), то F(x) = J 0dt = 0;
— оо
если х G [0,4], то
О	х
F(x)= fodt +	(-±t2 + |)
J	J \ о	\ IO Z /
—oo	0
x
0
X2  X, 16	2’
если x G (4, +oo), to
о	4
F(x)= J Odt +	+
— oo	0
= 0 +
£
16
4
0
+ 0 = -l + 0 + 2-0=l.
352
Таким образом, '
О, х2 16
1,
График функции F(x) изображен на рис. 85.
Рис. 85
6.9.8.	1 Дана плотность распределения с. в. X: [ 0,	при х < 0, f(x) = < Ь • х, при 0 С х < 5,8, [б,	при 5,8 < х. Определить постоянную Ь, найти функцию распределения F(x) и построить ее график, вычислить вероятность того, что с. в. X примет значение, удовлетворяющее условию: а) X < 3,3;	б) 3,3 < X < 7,8.
6.9.9.	Плотность вероятности с. в. X имеет вид f(x) =			, х G Ж. ех + е~х Найти значение параметра а, функцию распределения F(x).
6.9.10.	Случайная величина X имеет плотность распределения ( С , Ы < 2, /(ж) = < \/4 - х2 (О,	|z|>2. Найти: а)	значение параметра с;	V б)	функцию распределения F{x}\
6.9.11.	в) Р{1 < X < 5}. Задана плотность распределения н.с. в. X: (О,	х < 1, /(а:) = < 2х — 2, 1 < х 2, 1 0,	2 < х.
'2 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
353
Что вероятнее: попадание случайной величины в интервал (1,6; 1,8) или в (1,9; 2,6)?
6.9.12. Задана плотность распределения н. с. в. X:
х < —А, —А х < О, О С х < А, А х.
6.9.13.
Найти A, F(x), Р{—2 <Х < 1}.
График плотности распределения н.с. в. X имеет вид, изображенный на рис. 86. Записать аналитическое выражение для плотности распределения /(т).
Рис. 86
Рис. 87
Дополнительные задания
6.9.14.	Случайная величина X задана функцией распределения
3х, при х О,
1, при х > 0.
Найти:
а)	плотность /(т);
б)	вероятность того, что с. в. X в результате опыта примет значение в интервале (—1,1).
6.9.15.	На рис. 87 задан график функции распределения с. в. X. Найти аналитическое выражение для:
a) F(x);	б) f(x).
Построить график плотности распределения с. в. X.
6.9.16.	Функция распределения н.с. в. X задана выражением
[°,
F(x) = < а • sin (х + тЙ + Ь, I \ о/
1,
354
6.9.17.
Найти:
а) коэффициенты а, Ь;	б) плотность /(ж);
В)Р{О^Х<|}.
Построить график функции f(x).
Задана функция
О, F(x) = < а • х2
х О,
О < х 1, 1 < х.
6.9.18.
6.9.19.
6.9.20.
Определить:
а)	при каком значении а функция F(x) будет функцией распределения некоторой с. в. X;
б)	плотность вероятности с. в. Х\ f i	o'»
в)	вероятность события Р = <—
Функция распределения с. в. X имеет вид F(x) = а + 6 • arctg , х Е К. Найти:
а)	значение параметров а и 6;
б)	плотность вероятности.
Функция распределения н. с. в. X— времени безотказной рабо-_ х_
ты некоторого прибора — равна F(x) = 1 — е Т} х 0. Найти Р{Х > Т}, т.е. вероятность безотказной работы прибора за время, большее Т.
Дана функция
6.9.21.
... I А • х • е х, х ^0,
f№ = 1 А	А
10,	х < 0.
При каком значении параметра А эта функция является плотностью распределения некоторой н. с.в. X? Найти F(x).
Задана плотность вероятности случайной величины X:
х < —4,
—4	х < 0,
0 С х < 4, 4 х.
Найти A, F(x), Р{-1 < X < 5}.
6.9.22.
Плотность вероятности н. с. в. X имеет вид
х < —А, —А х < 0, 0 х < 2А, 2А^х.
Найти A, F(x), Р{—0,5 < X < 2}.
355
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.9.23.	Задана некоторая функция
(О,	я^-1,
Г(х) = < | • (ж + I)3, -1 < х < 1, (1,	1 < х.
Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины X? Чему равна вероятность события
А = {0 < X < 1}?
6.9.24.	Значения с. в. X находятся в промежутке	Может ли
функция распределения F(x) равняться на этом участке: a) sin а;;	б) х2;
в) 1,1;	г) cos ж;
д) v?
6.9.25.	Непрерывная с. в. X задана функцией распределения Г°,
F(x) = < а • sin (ж -	+ Ь, < х
I	Зтг
[с,	4 < ж-
Найти:
а)	значения а, Ь, с;
б)	плотность /(ж) распределения с. в. X. Построить графики функций F(x) и /(я).
6.9.26.	Функция распределения н.с. в. X, равная !0,	х < 1,
ах2 + Ьх + с, 1 < х < 2, 1,	2 < х.
Функция F(x) = ах2 + Ьх + с при х = 2 имеет максимум. Найти: а) параметры а, Ь, с;
б)	вероятности событий А = {X > 3}, В = {1 X < 3}, Е = {X € (-1;1,5)}.
6.9.27.	Непрерывная с. в. X распределена по закону Лапласа: f(x) = А  е“л’1а:1,где А > 0.
Найти коэффициент А и функцию распределения F(x). Построить графики f(x) и F(x).
6.9.28.	Непрерывная с. в. X задана функцией распределения
Найти Р{1,8 < X < 2,8}, f(x); построить графики F(x) и f(x)-
356
6.9.29.	Случайная величина X подчиняется закону Гаусса:
1	(а; + 2)2
Найти функцию распределения F(x), построить графики функций f(x) и F(x).
6.9.30.	При каком значении параметра А функция
f (х) =	’	’
|А-(1-|х|), И<1
является плотностью распределения некоторой н.с.в. X? Построить график fx(x). Найти функцию распределения этой с. в. Найти	г 1
§10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН г
При решении многих задач теории вероятности вовсе необязательно знать закон распределения данной случайной величины, полностью ее описывающей. Зачастую достаточно иметь под рукой лишь несколько числовых характеристик этой случайной величины, т. е. числовых параметров, характеризующих наиболее важные черты ее закона распределения. Важнейшими среди них являются характеристики положения (математическое ожидание, медиана и т. д.) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратическое отклонение и др.).
Математическим ожиданием (или средним значением) М(Х) (или MX) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений Xi на их соответствующие вероятности:
М(Х) = Y^xiPi.
Если д.с. в. X принимает конечное число значений xi,X2,... ,хп, то ее математическое ожидание находится по формуле

1=1
Если же д. с. в. X принимает счетное число значений, то
М(Х) = £>,₽,;
При этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится.
357
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности /(ж) находится по формуле
dx.
При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части
ОО
формулы абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл J |х|/(х) dx\ — оо
Свойства математического ожидания
1.	М(С) = С, где С = const;
2.	М(СХ) = С • М(X);
3.	М(Х ± У) = М(Х) ± М(У),(правило сложения математических ожиданий);
4.	М(Х • У) — М(Х) • M(Y), если X и У — независимые случайные величины (правило умножения математических ожиданий).
Обозначим математическое ожидание с. в. X через а.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения с. в. от ее математического ожидания а:
D(X) = М(Х - а)2.	<=
Сразу из определения вытекает часто используемая формула
D(X) = М(Х)2 ~ а2-
Если X — дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле
D(X) =^(хг - а)2 рг, т.е. Р(Х) = У^х2 -рг - а2 i=i	г=1
в случае конечного числа значений, принимаемых с. в. X, и по формуле
ОО
= 52 (х* -°)2а
г=1
оо
(т. е. D(X) = 52 х^Рг ~ °2) в случае счетного числа значений.
i=i
Если X — непрерывная случайная величина с плотностью fix'), то
£>(Х) = j\x — а)2 • f(x)dx, или £>(Х) = J х2 • f(x) dx — а2.
— ОО	—оо
358
Свойства дисперсии
1.	D(C) = 0, где С = const;
2.	D(CX) = С2  D(X)-
3.	D(X ±У) = D(X) + £)(У), если X и Y — независимые случайные величины (правило сложения дисперсий);
4.	D(X + С) = D(X).
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется число <т(Х), определяемое равенством <т(Х) = y/D(X).
Величина сг(Х) неотрицательна и имеет ту же размерность, что и с. в. X.
=$ Начальным моментом порядка к (к = 0,1,2,...) случайной величины X называется число а&, определяемое по формуле
аь = М(Хк), т.е. сц = 5?х£ ' Pi,
если X — д. с. в., и
если X — н. с. в.
ОО
а к = f хк ' f(x)dx, — OQ
Центральным моментом порядка к с. в. X называется число рк, определяемое по формуле
рк=М(Х-а)к, т.е. р,к —	- а? ' Рг,
i
если X — д. с. в., и
ОС
I (х — а)к • /(х) dx,
Vk =
если X — н. с. в.
Коэффициент асимметрии («скошенности»), или, короче, асимметрия
с. в. X есть величина
л = -^-. а3(Х)
Коэффициент эксцесса с. в. X, есть величина
(«островершинности»), или, проще, эксцесс
а4(Х)
-3.
Мода д. с.в. X — есть ее наиболее вероятное значение Mq(X). Мода н. с. в. X с плотностью /(х) есть то ее значение Mq(X), при котором функция /(х) достигает максимума.
Медиана случайной величины X (обозначение Ме(Х)) — есть такое ее значение хр, для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. X меньше хр или больше хр, т. е.
Р{Х < Ip) = Р{Х > Яр} = 1
359
Квантилью уровня р с. в. X называется число хр, удовлетворяющее уравнению Р{Х < хр} = р.
Таким образом, хр является решением уравнения F(xp) = р. В частности, Хо,5 = Ме(Х).
6.10.1.	Задан закон распределения д. с. в. Х\
Xi	-2	-1	0	1	2	3
Pi	0,1	0,2	0,25	0,15	0,1	0,2
Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X, —2Х, X'2.
О Сначала найдем математические ожидания данных величин. Исполь-п
зуя формулу М(Х) = xiPit находим
1=1
6
М(Х) = xiPi = -2 • 0,1 - 1 • 0,2 + 0 • 0,25 + 1 • 0,15 + 2 • 0,1 + 3 • 0,2 = 0,55. г=1
Для нахождения М(—2Х) воспользуемся свойством математического ожидания: М(СХ) = С-М(Х). Имеем: М(-2Х) = -2-М(Х) = -2-0,55 = =-1,1-
Закон распределения с. в. X2 запишем в виде таблицы распределения:
Xi	0	1	4	9
Pi	0,25	0,35	0,2	0,2
Тогда, М(Х2) = 0 • 0,25 + 1 • 0,35 + 4 • 0,2 + 9 • 0,2 = 2,95.
Найдем дисперсии указанный случайных величин. Непосредственно по определению дисперсии имеем:
Г(Х) = ^(х;-М(Х))2-к =
1=1
= (-2 - 0,55)2 • 0,1 + (-1 - 0,55)2 • 0,2 + (0 - 0,55)2 • 0,25+
+ (1 - 0,55)2 • 0,15 + (2 - 0,55)2 • 0,1 + (3 - 0,55)2 • 0,22 = 2,6475.
Эту же величину можно найти проще, используя формулу
D(X) = М(Х2) - (MX)2.
Действительно, М(Х2) = 2,95, (М(Х))2 = 0,552 = 0,3025. Следовательно,
О(Х) = 2,95 - 0,3025 = 2,6475. Далее,
£>(-2Х) = (—2)2Л(Х) = 4 • 2,6475 = 10,59;
£>(Х2) = (0 - 2,95)2  0,25 + (1 - 2,95)2 • 0,35 + (4 - 2,95)2 • 0,2+
+ (9 - 2,95)2 • 0,2 = 11,0475.
360
Поскольку ряд распределения д. с. в. X4 имеет вид
xi	0	1	16	81
Pi	0,25	0,35	0,2	0,2
то D(X2) можно найти проще:
D(X2) = М(X4) - (MX2)2 = О2 • 0,25 +12 • 0,35 + 42 • 0,2 + 92 • 0,2 - (2,95)2 = = 19,75 - 8,7025 = 11,0475.	•
6.10.2.	Брошены 10 игральных костей. Найти М(Х), D(X) и е(Х), где с. в. X — сумма очков, выпавших на всех игральных костях.
Q Обозначим через Xi (г = 1,2,...,10) число очков, выпавших на г-й кости. Тогда X = Х^ + Х2 + Х$ + ... + Хю. Случайные величины Х\, Х2, • • • 5 Хю имеют одинаковые законы распределения, поэтому M(Xi) = = М(Х2) = ... = М(Х10) и P(Xi) = D(X2) = ... = D(Xio). И так как с. в. Xi (i = 1,2,..., 10) независимы, то
М(Х) = М(Xi + Х2 + ... + Хю) = M(Xi). + М(Х2) + ... + М(Хю) =
= 10-M(Xi),
D(X) = D(X1+X2 + ...+X10) = D(X1)+D(X2) + .. .+D(X10) = lO-P(Xi).
Закон распределения с. в. Xi имеет вид
®l,i	1	2	3	4	5	6
Pi	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6
Поэтому, учитывая, что
п
Г(Х) = ЩХ)2 - (М(Х))2 = -Pi - (MX)2, i=l
имеем
Г)/ у \	/ -i 2 1 । о2 1 । о2 1 ।	। z?2 1 \	[7\   91	49   35
D^)-^! -g+2 -g+3 -g+... + б	- T - T " 12’
Стало быть, М(Х) = 10 • M(Xi) = 10 •	= 35, D(X) = 10 • D(Xx) =
лл ___
= 10' || = ^ = 29|, *(Х) = 5/Ж) =	«5,4-	•
6.10.3.	Закон распределения д. с.в. X задан таблицей распределения
Xi	1	2	3	4
Pi	1 8	1 4	1 3	c
Найти с, М(Х), Р(Х), <т(Х), Р{Х < 3}.
361
6.10.4.	Функция распределения д. с. в. X имеет вид
	0, х i	£0,	
	0,2, 0<	С х $	U,
F(z) = <	0,6, 1 <	С X $	:2,
	0,9, 2<	С х $	:з,
	[1,	3<	С X.	
Найти М(Х), М(Х2), D(X), а(Х).
6.10.5.	Независимо испытываются на надежность 3 прибора. Вероятности выхода из строя каждого прибора одинаковы и равны 0,6. Найти М(Х) и сг(Х), где с. в. X — число вышедших из строя приборов.
6.10.6.	Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадают при бросании двух игральных костей.
6.10.7.	Случайные величины X и У независимы, причем D(X) = 2 и Р(У) = 6. Найти P(Z), если Z = 12 • X - ЗУ + 2.
Q На основании свойств дисперсии (1-4) получаем:
P(Z) = Р(12Х - ЗУ 4- 2) = 144 • Р(Х) 4- 9 • Р(У) =
= 144 • 2 4- 9 • 6 = 342.	•
6.10.8.	Математическое ожидание и дисперсия с.в. А соответственно 7	35
равны - и уз • Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 4Х — 1.
Q Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:
М(4Х - 1) = М(4Х) + Л/(-1) = 4М(Х) - 1 = 4 • £ - 1 = 13;
О(4Х - 1) = 16 • £>(Х) = 16 • т| = Ж	•
Хл о
6.10.9.	Независимые случайные величины X и У заданы таблицами распределения вероятностей
	10	20
Pi	0,2	0,8
Уг	30	40	50
Pi	0,5	0,3	0,2
Найти D(X 4- У) двумя способами: 1) составив предварительно таблицу распределения с.в. Z = X 4- У; 2) используя правило сложения дисперсий.
6.10.10.	Найти М(Х) и сг(Х) для случайной величины
г=1
где Xi (i = 1,2,... ,n) — независимые дискретные случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а 9
и одну и ту же дисперсию сг.
362
0,10.11. Вероятность появления события А в каждом независимом испытании одинакова и равна р. Найти эту вероятность, если для д. с. в. X = {число появлений события А в 5 испытаниях} дисперсия равна D(X) = 1,25.
6.10.12.	Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «5», равна 0,2, на «4» — 0,4. Определить вероятности получения им оценок «3» и «2», если известно, что М(Х) = 3,7, где д. с. в. X — оценка, полученная студентом на экзамене.
6.10.13.	Дан ряд распределения с. в. X:
	1	2	3	4
Pi	0,1	0,2	0,3	0,4
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
6.10.14.	Плотность вероятности с. в. X задается формулой
f(x)=	ж6[°’2]’
[О,	ж £[0,2].
Найти ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, асимметрию и
эксцесс. Q Найдем математическое ожидание: оо	0	2 М(X) = J х • /(ж) dx = у х -Odx 4- Jx • (ж - —оо	—оо	0 2	/4 = ^- /(z3-6z2 + 9x)<fo= ^Л^--2ж3 + 9-5 0	4 Теперь отыщем дисперсию: О(Х) = f(x - ЩХ))2  /(ж) dx = —ОО 2	9	2 =	~и-3)2</х = ^Дх2 0	0 2	'	9 = Й' fl(x ~ п) _ 3)] 0 2 3 /Г 4 , 2304 2 . 729	96 з , 54 2 = 26 Л* + 169 1 + 169 13* + 13* 0 - 3_ (£ , 768 з , 729, _ 24 л , 18 з _ 26 \ 5 + 169	169	13 + 13	+оо З)2 dx 4- J х -Odx = 2 r2\ 2 Q l) 0 = ц “ °’692' k+if)2 dx = 2592 \	_ 169 ) d ~ 129§2:2^ ~ 0 259 169 * у о ’
363
(Иначе:
ос	2	2
£>(%)= fx2-f(x)dx-(M(X))2 = fx2--^(x-3)2dx-^ = — оо	О
2
- JL f(qA — fvyS I Qj.24	_ ( _9\ - _3_ | s£ _ r? X_I Q S_| ~ 26 / Ж bx+\)x)dx ^13J -26l5 b 4 + 9 з I
0	7
2	81
о 169 -
3 /32 _ 94	, 9 Л _ 81 _ 3 -32	81 _ 48	81 _	219 n 9.Q ч
26 \ 5	)	169 “26-5	169	65	169	845	~	}
Отсюда найдем среднеквадратическое отклонение:
<х(Х) = y/D(X) = \/0,259 и 0,509.
Наконец, вычислим асимметрию:
А = Щ = _1_ ст3 (0,509)3
 Кх 13 ) ‘26	3^dx~
О
2
1	3 Г/_5 105 _4 , 3870 „3	60750 „2 . 32805 „ 656П
0Д32 2б/\ "ТЗ1 +-ЖХ ~~2197Х + ^197 х ~ 2197 J dx =
О
3	1 (х^ _ 105s5 , 3870s4 _ 60750s3	32805s2 _ 6561s\ 2
26 0,132 \ 6	13 • 5	169 • 4	2197 • 3	2197 • 2	2197 ) о
% 0,634.
и эксцесс:
2	4
E = - 3 W 0^67 ' JlX ~	^•(I-3)2‘fe-3 =
0
- A . 1 . /Се _ 114-S , 4815.4 _ 95580-3 .
26 0,067 J\ 13	+ 169	2197 +
0
I 973215 2 _ 380538	59049\ > _ 3 ~ _0 ,45	e
+ 28561	28561 + 28561/ d 4 ~ U,54d‘
6.10.15.	Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X:
[°,
/W = s | • х, (о,
при s < 0,
при 0 х < 4, при 4 х.
6.10.16.
Найти М(Х), D(X) и а(Х).
Плотность распределения с. в. X
/(а?) = <
s 0, (Л > 0), s < 0.
Найти М(X), Р(Х), а(Х).
364
6.10*17.	Случайная величина X принимает положительные значения, имеет плотность вероятностей f(x) = —ах2 -Ь 2ах. Найти значение параметра а и математическое ожидание с. в. X.
6.10.18.	Плотность вероятностей случайной величины X равна
( 1
f (ж) = < 7гх/100 — я:2 |о,
при — 10 < х < 10,
при |ж|	10.
Найти М(Х), D(X), а(Х).
6.10.19.	Плотность распределения с. в. X задана в виде
^sinz
/(®) = 2
при 0 X < 7Г, при 0 < X И X 7Г.
Найти М(Х) и D(X).
6.10.20.	Найти моду, медиану, математическое ожидание и квантиль уровня 0,75 случайной величины с плотностью вероятности
8х  е 4x2, при х 0, 0,	при х < 0.
Q Найдем точку максимума функции f(x):
f'(x) = 8е 4x2 + 8х • е 4х (—&г) = 8е 4х2(1 — 8я2);
отсюда f'(x) = 0 при х = —— . Точка х = —— является точкой макси-2у2	2у2
мума функции f(x) (так как, если х < то ff(x) > 0, а если х > 2у2	2у2
то f'(x) < 0). Следовательно, мода Mq(X) =	« 0,35.
2у2
Медиана Ме(Х) = xi определяется как значение случайной величины, которое делит площадь фигуры, ограниченной графиком функции /(ат), на две равные части. Поэтому
J8x • е 4т dx = 1 (или: J 8х • е 4х dx = ^), 0
откуда ®i
- je~4x2 d(-4x2) = т.е. -е"4*2^^, о
и> следовательно, е-4*2 = Отсюда находим:
я?! = МеХ = |Ип2 0,42.
365
Находим математическое ожидание с. в. X:
ОО	0	+<50
М (X) = J х • f(x) dx = у х 'Odx + J х • 8.т2  е-4х dx =
—оо	—оо	О
М
= 8 lim fx • х2  е-4а: dx =
М—^+оо J О
по частям: и = x2,du = 2xdx, dv = х • е-4х dx, v = — Je~41 о
• x2
= -| lim (е"4Л/2 - 1) = -1(0- 1) = 7 = 0,25.
4 M ^+00	} 4V ’	4
Найдем функцию распределения с. в. X. Предварительно заметим, что если х < 0, то
0.
—oo
—oo
Если же x 0, то x
X
(8t • е"4<2 dt = -e~4t2
—00	о
, х 0.
= —e о
-4т2
—оо
т. е. F(x) = 1 — е-4*2
Квантиль #0,75 находим из равенства ^(2:0,75) = 0,75. Имеем:
1 - е~412-^ = 0,75.
Отсюда находим, что Жо,75 = ±л/1п4«0,59.
Кривая распределения (с. в. X распределена по закону Релея) представлена на рис. 88.	•
6.10.21. Случайная величина имеет плотность распределения вида
№) = I •О>° я х 4- а2
(распределена по закону Коши). Найти моду, медиану и квантили порядка р = 0,25; 0,5; 0,75.
6.10.22. Случайная величина X задана функцией распределения
[°, F(X) = J ± . (Хз _ 8)>
и,
Найти: М(Х), М0(Х), Ме(Х).
х 2,
2 < х 3, х > 3.
0
x
X
X
366
6.10.23.	Плотность распределения с. в. X имеет вид |я2, хё[0;2], О, я£[0;2].
Найти моду, медиану, математическое ожидание и квантиль порядка 0,25.
Дополнительные задания
6.10.24.	Найти закон распределения дискретной с. в. X, зная, что: она принимает два значения xi и .т2 (#1 < ж2) и, кроме того, Р(х-[) = = 0,4; М(Х) = 2,6; D(X) = 8,64.
6.10.25.	Используя условие задачи 6.8.3, найти математическое ожидание и дисперсию с. в. Z.
6.10.26.	Используя условие задачи 6.8.5, найти среднее значение числа опусканий монет в автомат.
6.10.27.	Используя условие задачи 6.8.9, найти М(Х), Р(Х) и сг(Х), где X — число перворазрядников среди двух выбранных наугад спортсменов.
6.10.28.	Используя условие задачи 6.8.10, найти:
а)	М(Х) и М(Х2) для функции из условия задачи 6.8.10 а;
б)	D(X} и бг(А’) для функции из условия задачи 6.8.10 б.
6.10.29.	Используя условие задачи 6.8.11, найти М(Х), М(Х2), D^X), D(X2)-
6.10.30.	Используя условие задачи 6.8.16, найти М(Х) и М(У).
6.10.31.	Используя условие задачи 6.8.17, найти Af(Z), M(W), D(X), D(W).
367
6.10.32.	Производится два независимых выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна. Найти дисперсию с. в. X — числа попаданий, если М(X) = 1,6.
6.10.33.	Человек находится в начале прямоугольной системы координат. Он подбрасывает монету. При появлении герба делает шаг направо, при появлении решки — шаг налево (длина шага равна одной единице масштаба). Пусть X — абсцисса положения человека после трех бросаний. Найти Л/(Х) и D(X}.
6.10.34.	Используя условие задачи 6.10.13, найти асимметрию и эксцесс с. в. X.
6.10.35.	Случайная величина X задана плотностью распределения
10 - 2х
при 2 х <С 5, в остальных случаях.
Вычислить: М(Х), начальные моменты второго и третьего порядка, D(X).
6.10.36.	Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X задана формулой
/у +
0,	хг^[-1;2].
Найти: параметр 7, М(Х) и D(X).
6.10.37.	Случайная величина X задана плотностью распределения
ffaA _ < 7Г * S^n *С’ Х (О,	я£[О;тг].
Найти М(Х) и D(X).
6.10.38.	Используя условие задачи 6.9.6, найти М(Х), D(X) и сг(Х).
6.10.39.	Используя условие задачи 6.9.11, найти:
а) М(Х);	б) Р(Х);
в) ст(Х).
6.10.40.	Используя условие задачи 6.9.14, найти:
а) М(Х);	б) Р(Х);
в) моду с.в. X.
6.10.41.	Используя условие задачи 6.9.20, найти:
а) М(Х);	б) £>(Х);
в) <т(Х).
6.10.42.	Используя условие задачи 6.9.27, найти:
а)	М(Х);	б) М0(Х);
в)	Ме(Х);
г)	£о,5 (квантиль порядка р = 0,5).
6.10.43.	Используя условие задачи 6.9.30, найти математическое ожидание и моду с. в. X.
368
6.10.44.	Случайная величина X задана плотностью распределения
ГОД, при х £ [ОДО], f (х) = <
(^0, при х [0; 10].
Найти: М(X), D(X), Ме(Х), квантиль порядка р = 0,25, р = = 0,50 и р = 0,75.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.10.45.	Используя условие задачи 6.8.22, найти среднее число попыток
открыть дверь.
6.10.46.	Используя условие задачи 6.8.24, найти математическое ожидание, дисперсию, моду и коэффициент асимметрии случайной величины X — числа дефектных изделий в выборке.
6.10.47.	Используя условие задачи 6.8.29, найти математическое ожидание, дисперсию, центральный момент четвертого порядка, коэффициент эксцесса случайной величины Z.
6.10.48.	Используя условие задачи 6.8.32, найти математическое ожидание числа проведенных испытаний.
6.10.49.	Случайная величина X принимает значение т с вероятностью Рп(т) = С™ • рт • qn~m (т = 0,1,2,...,п; р 4- g = 1). Найти М(Х) и Р(Х).
6.10.50.	X и Y — независимые случайные величины. Доказать, что D(XY) = D(X)  D(Y) + (М(У))2 • D(X) 4- (М(Х))2 • D(Y).
6.10.51.	Доказать, что т М(X) <С М, где X — дискретная случайная величина, т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения с. в. X.
6.10.52.	Показать, что дисперсия числа успехов при однократном проведении испытания не превосходит 0,25.
6.10.53.	Выразить центральные моменты второго, третьего и четвертого
порядков через начальные моменты.
6.10.54.	Непрерывная с. в. X имеет плотность распределения вероятностей вида
1 |ж о|
/(ж) =	<7 , где о > 0, a G R.
Найти М(Х) и D(X).
6.10.55.	Плотность распределения вероятностей с. в. X задана в виде
/И = <
И < 1,
kl 1.
Найти А, М(Х) и П(Х).
6.10.56.	Используя условие задачи 6.9.28, найти математическое ожидание, начальные и центральные моменты первого и второго порядков с. в. X.
369
6.10.57.	Задана плотность распределения с. в. X:
х < О, О х < А, А х < 2А, 2А х.
Найти А, М(Х) и D(X).
6.10.58.	Что можно сказать о математическом ожидании с. в. X, заданной плотностью распределения
а
тг(х2 + а2) ’
х е R?
§11.	ВАЖНЕЙШИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Важнейшие дискретные распределения
1.	Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения: 0,1,2,..., п с соответствующими вероятностями:
Рт = Р{Х = т} = С™ рт-qn~m, где 0 < р < 1, q = 1 - р, т = 0,1,2,... ,п.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X, имеющей биномиальное распределение, находятся по формулам:
Af(X) = пр, D(X) = npq.
Из формулы Бернулли следует, что с. в. X — число появлений события А в серии из п независимых испытаний (Р(А) = р) — распределена по биномиальному закону.
2.	Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона (или распределена по закону Пуассона), если она принимает счетное число значений: 0,1,2,..., т..., с соответствующими вероятностями
рт = Р{Х = т] = -——, где 771 = 0,1,2,...; а = пр. т'.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X, имеющей распределение Пуассона, находятся по формулам:
М(Х) = a, D(X) = а.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального, если число опытов п устремляется к бесконечности, а вероятность события р стремится к нулю, причем их произведение пр = а остается постоянным. При этих условиях (т.е. п—Юс, р—>0, пр=<7=const) вероятность P{X=m} = C™pTnqn~m, где q = 1 — р, находимая по формуле Бернулли, стремится к вероятности
370
2.—7—> находимой по закону Пуассона. Поэтому распределение Пуассона пг!
приближенно заменяет биномиальное распределение в случае, когда число опытов велико, а вероятность события А в каждом из них мала. С этим связано еще одно название распределение Пуассона — закон редких событий.
3.	Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает счетное число значений: 1, 2,..., т,... с соответствующими вероятностями:
pm—P{X = m} = qn~rp, где т = 1,2,..., О < р < 1, q = 1 - р.
Для с. в. X, имеющей геометрическое распределение
М(Х) = 1 £>(%) = 4-
р	р2
Случайную величину, распределенную по геометрическому закону, можно интерпретировать как число т опытов (испытаний), проведенных по схеме Бернулли до первого положительного исхода.
Важнейшие непрерывные распределения
4.	Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [а; Ь], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:
, при хЕ [а, Ь], Ь~
О, при х £ [а, Ь].
Тот факт, что с. в. X распределена равномерно, записывают коротко так:
X
К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те с. в., о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [а, Ь] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т. д.
Функция распределения F(x) для равномерно распределенной с. в. X имеет вид
	[°,	при	х i	$ а,	
F(x) = <	х — а Ь — а’	при	а <	С х $	zb,
	11-	при	Ь <	; х.	
Числовые характеристики равномерного распределения:
М(Х) = D(X) = (Ь~^ .
£	X
371
/(х) = <
Л*) =
5.	Непрерывная случайная величина X имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
А • е~Хх, при х О,
О,	при х < О,
где А > 0 — параметр данного распределения.
Функция распределения с. в. X, распределенной по показательному закону, находится по формуле .
1 — е~А а:, при х О,
О,	при х < 0.
Важнейшие числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:
М(Х) = 1 D(X) = i а(Х) = 1.
А	А	А
6.	Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (говорят также, что она распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид
(д — а)2
f(x) = ---• е" 2а2- .
а • v2tt
График функции /(а?) называется кривой Гаусса (рис. 89).
Рис. 89
Тот факт, что с. в. X распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: X ~ ЛГ(а,ст).
Параметры аист представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение с. в. X, т. е.
а = М(Х), а = ст(Х).
Отсюда D(X) — ст2.
372
Если а = 0 и j = 1, т.е. с.в. X ~ 2V(O,1), то соответствующее нормальное распределение называется стандартным. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид
Ф(х) =
и обладает (помимо обычных свойств функции распределения) свойством
Ф(ж) + Ф(—х) = 1, х G R.
В более общем случае (X ~ N(a, сг)) функция распределения нормального закона выражается формулой
л (* - а)2
F(x) = ^= fe~ =	= 0,5 + Фо(^),
— ОО
где функция
Фо (я) = Ljz  /е-^" dt i
— называется функцией Лапласа (иногда функцией Лапласа называют функцию
-2= fe~t2dt).
V7T J
О
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Фо(—я) — — Фо(®), т.е. функция Фо(я) — нечетная. Отсюда, в частности, следует, что Фо(0) = 0;
2) Ф0(+оо) = 0,5.
Таблицу значений функции Лапласа можно найти в приложении 2.
Связь функции Ф(ж) с функцией Лапласа Фо (я) выражается формулой
Ф(ж) = 0,5 + Фо(я)«
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (а, /?) определяется формулой
Р{а < X < /3} = Ф I \ - Ф	" Фо •
Вероятность попадания с. в. X ~ N(a,a) в интервал (а — е, а + е), симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле
Р{а - е < X < а + г} = Р{|X - а| < е} = 2Ф0 (f) = 2Ф (|) - 1.
В частности, Р{|Х — а| < Зег} % 0,9973, т.е. практически достоверно, что с. в. X ~ N(a, сг) принимает свои значения в промежутке (а — Зег, а 4- Зег). Это утверждение называется «правилом трех сигм».
373
6.11.1.	20% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждаются
в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 150 изделий. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X — числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.
Q В данном случае мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли, поэтому с.в. X имеет биномиальное распределение. Используя формулы М(X) = пр и D(X) = npq, находим (при п = 150, р = 0,2, q = 0,8)
М(X) = 150  0,2 = 30, D(X) = 150 • 0,2 • 0,8 = 24. ’	•
6.11.2.	Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.
6.11.3.	Проводятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равна р. Пусть X — число появлений события А в этом опыте. Найти £>(ХГ), если известно, что М(Х) = 2,1.
6.11.4.	Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель?
6.11.5.	Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии. Найти вероятность того, что в партии есть хотя бы одно бракованное изделие.
Q Число опытов (п = 10000) достаточно велико, а вероятность (р = = 0,002) «успеха» в каждом из них мала, поэтому можно считать, что случайная величина X — число бракованных изделий — распределена по закону Пуассона: ее возможные значения 0,1,2,..., 10000, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле
пт„ — а
Pm = P{X = m} = S-^-. ft V»
По формуле а = пр определяем параметр а и математическое ожидание с.в. X:
М(Х) =а = 10000 • 0,002 = 20.
Дисперсия числа бракованных изделий равна
D(X) = npq = 10000 • 0,002 • 0,998 = 19,96,
т.е. М(Х) « £>(Х). Полагая М(Х) = D(X) = 20, находим приближенно искомую вероятность события А = {в партии содержится хотя бы одно бракованное изделие}:
90° . р-20
Р(А) = 1 - F(A) = 1 - Рюооо(О) = 1 - 20 of- =
= 1 - е~20 = 1 - 2,06 • 10"9 « 1.	•
374
6.11.6.	Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром а = 0,324. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.
6.11.7.	В магазин отправлены 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти:
а)	среднее число разбитых бутылок;
б)	вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
6.11.8.	Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов; найти вероятность того, что будет искажено не более 3-х символов.
6.11.9.	Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X — числа произведенных выстрелов, считая, что: а) стрелять можно неограниченное число раз;
в) в наличии есть всего 5 патронов.
Q а) Случайная величина X имеет геометрическое распределение, ее ряд распределения имеет вид
	1	2	3	 - .
Pi	Р	QP	2 Q P	. - .
Числовые характеристики этого распределения: Л/(А”) = D(X) = Р	р2
Следовательно, зная, что р = 0,2 и q = 0,8, имеем:
1	0 8
ад = ^ = 5; ед-м
б)	Ряд распределения с. в. X имеет вид
Xi	1	2	3	4	5
Pi	p	qp	q2p	Q3P	Q4
Поэтому, М(Х) = 1 ♦ р + 2 • др 4- 3 • q2p + 4 • q3p + 5g4; при р = 0,2 и q = 0,8 имеем М(Х) = 0,2 + 0,32 + 0,384 + 0,4096 + 2,048 = 3,3616, т.е. М(Х) = 3,3616; Далее
D(X) = М(Х)2-(М(Х))2 = l-p + 4-gp + 9-g2p+16-g3p + 25g4-(M(X))2;
при р = 0,2 и q = 0,8 получим
П(Х) = 0,2+0,64+1,152 +1,6384+10,24 — (3,3616)2 и 13,8704-11,3 = 2,57, т.е. D(X) = 2,57.	•
375
6.11.10.	Игрок покупает лотерейные билеты до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,1. Найти М(X), где с. в. X — число купленных билетов, если игрок может купить:
а)	только четыре билета;
б)	неограниченное (пусть теоретически) число билетов.
6.11.11.	Вероятность производства нестандартной детали равна 0,05. Контролер проверяет партию деталей, беря по одной до первого появления нестандартной детали, но не более 3 штук. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных стандартных деталей.
6.11.12.	Игральная кость подбрасывается до первого появления пяти очков. Какова вероятность того, что первое выпадение пятерки произойдет при пятом подбрасывании игральной кости?
6.11.13.	Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [а,Ъ], т.е. X ~ Я [а, 5]. Найти вероятность попадания с.в. X на отрезок [а, Я, целиком содержащийся внутри отрезка [а, Ь].
Q Воспользуемся известной формулой
/3 P{a^X^0} = ff(x)dx,
а
где плотность вероятности с. в. X ~ Я[а, 5] имеет вид
f(x) = < b - а
х € [а, 6], х [а, Ь].
10,
Следовательно,
Р{ааСЛ = ^е[о,Ж= М- dx = 5-1- • X 0 =	-
Jb—a b—a а Ъ—а а
т.е. окончательно Р{Х 6 [а,/3]} = ——	•
6.11.14.	Плотность вероятности непрерывной случайной величины X имеет вид
0,25 • А,
0,
X 6 [0,4], х t [0,4].
Найти A, F(x), М(Х), D(X), ц(Х), Р{Х е [0; 1,1]}.
Q Коэффициент А найдем, используя следующее свойство плотности
вероятности
оо
У f(x) dx = 1.
— оо
376
Имеем	qq	0	4	оо
J f(x) dx = у Odx 4- Jo,25Adx + j Odx = 1, —oo	—oo	0	4
t. e. 0,25Ae|q = 1. Отсюда следует, что A = 1. Итак,
1
/w = <
4’
О,
xE [0,4], a: £ [0,4],
и, значит, случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0,4],
Функция распределения для с. в. X ~ 7?[0,4] имеет вид
г°, ] f U,
х 0,
0 < х 4,
4 < х.
Числовые характеристики этого распределения таковы:
D(X) =
'(Ь-a)2'
12
2	2’
_ 42 _ 4
12	3’
а(Х) = [л/О(Х)' =
Вероятность попадания с. в. X в пользуя формулу Р{Х € [а, /?]} = .
о — а
Р{Х е [0; 1,1]} =	= ^ = 0,275.
6.11.15.	Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время
3	3
промежуток [0; 1,1] находим, ис-/3 — Q
(см. задачу 6.11.13). Отсюда
ожидания звонка есть непрерывная с. в. X, имеющая равномерное распределение на отрезке [19,20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час 22 минут до 19 час 46 минут.
6.11.16.	Случайная величина X, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики М(Х) — 2, D(X} — 3. Найти Р(х}.
6.11.17.	Про с. в. X известно, что X ~ 7?[4,7]. Найти:
а) /(х);	б) М(Х) и <т(Х);
в) Р{Хе (6;6,81)}.
6.11.18.	Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид, указанный на рис. 90. Найти аналитические выражения для F(x), /(я), М(Х) и D(X).
6.11.19.	Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение. Найти вероятность попадания с. в. X в интервал (о, 6), где а 0.
377
F(x)
—2 -1 О
Рис. 90
Q Воспользовавшись формулой
3
Р{аЦХЦ0} = ff(x)dx,
находим:
Р{а < X < Ь} = / Ле"Л1 dx = -е~Хх
= —е~хь + е~Ха
т. е. Р{Х € (а, 6)} = е Ха — е хь.
Этот же результат можно получить, используя формулу
Р{а < X < b} = F(b) - F(d).
Так как F(x) = 1 — е Хх, х 0, то
Р{а < X < 6} = (1 - е“Л6) - (1 - е“Ло) = е~Ха - е~хь
6.11.20.	Время Т выхода из строя радиостанции подчинено показатель-
ному закону распределения с плотностью
0,2 • е °’2*, при t 0,
Найти: функцию распределения Fj’(t); математическое ожидание и дисперсию случайной величины Т; вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до о час. работы.
6.11.21.	С. в. X распределена по показательному закону с параметром
А = 0,4. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т.е. f(x) и F(rr)), сг(Х), а также вероятность, попадания значений с. в. X в интервал (0,25; 5).
6.11.22. С. в. X, которая равна длительности работы элемента, имеет
плотность распределения /(/) ~ 0,003е-о,ооз/, t 0. Найти: среднее время работы элемента; вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
378
6.11.23.	Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является с. в. X, распределенной по показательному закону.
6.11.24.	Определить закон распределения случайной величины X, если ее плотность вероятности имеет вид
f(x) = А • е-’-2+2а’+1.
Найти:
а) М(Х);	б) <г(Х);
в)	значение коэффициента А; г) М(Х2);
д) Р{1<Х<3}.
О Сравнив данную функцию	-——гг
fix) = A-e-’2+2*+1 = A-e-t*-1)’*2 = А-е2-е~^2 = А • е2 • е 2' Ш
С ПЛОТНОСТЬЮ	7 Лх2
1	У*
f(x)= ---\= е~ 2а2
а • \j2-k нормального распределения, заключаем, что с.в. X имеет нормальное
распределение.
а)	Очевидно, М(Х) = 1.
б)	<г(Х) =
в)	Значение коэффициента А найдем из равенства А-е2 = ------Ц=,
а • х/2тг
— ~ 0,71. Отсюда 2
е2 • 4= • \/2 • 0г е2-0г’ л/2
Следовательно, плотность вероятности с. в. X имеет вид (х-1)2
1 vm2 /(х) = ~—— -е2 е	,
е • V тг
т. е.
(д - I)2
~	/	\ 2
2  ( — |
• е
/М = -р л/2 Ясно, что X ~ N 11; -4= ). \ V27 г) М(Х2) найдем, используя формулу D(X) = М(Х2) — (М(Х))2. В нашем случае М(Х) = 1, D(X) — (ст(Х))2 — Поэтому £
ЩХ2) = D(X) + (М(Х))2 = 1 + 1 = 2 £	и
379
д) Используя формулу
0 — а\ л. I а — а ~а~ )
находим, что
= Фо(2,82) - Ф(0) = 0,4976 - 0 = 0,4976.
Значение Фо(2,82) найдено по таблице значений функции *	,2
(см. приложение 2 в конце книги).	•
6.11.25.	Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром а = 20 мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Q Воспользуемся формулой Р{|Л" — а| < е} = 2Фо (^). В нашем случае о = 20, е = 25, поэтому
25} = 2Ф0
6.11.26.	Пусть X ~ N(5;0,5). Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях с. в. X хотя бы в одном из них X примет значение в интервале (2; 4).
6.11.27.	Плотность вероятностей с. в. X имеет вид
о 2	4	, 1
f(x) = с-е~2х ~зх+з.
Найти: с, М(Х), D(X), F(x),	< X < j}.
6.11.28.	Известно, что X ~ N(50,(t), Р{Л" 6 (40;60)} = 0,7888. Найти Г>(Х).
6.11.29.	Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: X ~ N(175;10). Найти: плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.
Дополнительные задания
6.11.30.	Контрольная работа по теории вероятности состоит из 6 задач.
Вероятность решить правильно каждую задачу для данного
380
студента равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию с. в. X — числа правильно решенных задач.
6.11.31.	Стрельба по мишени ведется до второго попадания. Найти М(Х), где с. в. X — число попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25.
6.11.32.	Известно, что: среднее число попаданий в мишень в серии из п выстрелов равно 192; вероятность попадания при каждом выстреле равна р; п(А') = 8, где с. в. X — число попаданий. Найти п и р.
6.11.33.	В боевой операции участвуют 30 самолетов. Вероятность гибели самолета в результате обстрела противником равна Найти М(Х) и сг(А'), где с. в. X — число сбитых самолетов.
6.11.34.	Успеваемость студентов I курса составляет 80%. Найти математическое ожидание и дисперсию числа успевающих студентов среди 50 наудачу отобранных первокурсников.
6.11.35.	Используя условие задачи 6.6.4, найти М(Х) и п(Х), где с. в. X — число попаданий в мишень.
6.11.36.	Используя условие задачи 6.6.12, найти среднее число приемов радиосигнала.
6.11.37.	Используя условие задачи 6.7.19, найти М(Х) и п(А'), где с. в. X — число электроэлементов, вышедших из строя.
6.11.38.	Используя условие задачи 6.7.21, найти среднее число семян, которые не прорастут.
6.11.39.	Используя условие задачи 6.7.23, найти:
а)	М(Х) и D{X), где с. в. X — число книг сброшюрованных неправильно;
б)	вероятность того, что тираж содержит 10 бракованных книг.
6.11.40.	Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 180. Какова вероятность события:
а)	А = {за 2 секунды на АТС не поступит ни одного вызова};
б)	В = {за 2 секунды на АТС поступит менее 2-х вызовов}?
6.11.41.	Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что первое попадание в цель произойдет при четвертом выстреле?
6.11.42.	Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Надежность каждого из приборов равна 0,8. Каждый следующий прибор испытывается лишь в случае, когда предыдущий оказался надежным. Составить закон распределения д. с. в. X — числа испытанных приборов. Найти М(Х).
6.11.43.	Студент знает 30 из 40 вопросов. Экзаменатор задает вопросы студенту до тех пор, пока обнаружит незнание вопроса. Найти вероятность того, что число заданных вопросов больше двух.
381
6.11.44.	Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1. Найти: а) М(Х), D(X) и сг(Х), где с. в. X — число сделанных выстрелов;
б)	вероятность того, что потребуется сделать не более трех выстрелов.
6.11.45.	Автобусы данного маршрута идут с интервалом 30 мин. Пассажир подходит к автобусной остановке в произвольный момент времени. Время ожидания автобуса есть непрерывная случайная величина X, имеющая равномерное распределение. Найти: плотность вероятности; функцию распределения; математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; вероятность появления пассажира не ранее чем через 17 минут после ухода предыдущего автобуса, но не позднее чем за одну минуту до отхода следующего автобуса.
6.11.46.	Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых непрерывных случайных величин X и Y с равномерными законами распределения:
Х~Н[0;1], У~В[1;3].
6.11.47.	Известно, что непрерывная случайная величина X имеет плотность вероятности
0,375, хЕ (а - а + V О	О /
4. 4\ 3,G+ 3/ ‘
0,
Найти М(Х) и Р(Х).
6.11.48.	Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Полагая, что ошибка округления распределена по равномерному закону в промежутке от 0 до 0,1, найти:
а)	вероятность того, что ошибка округления более 0,03;
б)	вероятность того, что ошибка округления меньше 0,02;
в)	среднее значение ошибки.
6.11.49.	Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, а именно,
I \ а —
при х 0, при х < 0.
/(ж) = о,
б) М(Х) и Р(Х).
Найти:
а) значение параметра Л;
Построить график функции распределения F(x). Найти вероятность того, что с. в. X примет значение, меньшее, чем М(Х)-
382
6.11.50.	Найти математическое ожидание с. в. X, распределенной по показательному закону, если ее функция распределения имеет вид
1 — е 51, при х О, = <
О,	при х < 0.
Найти Р{\X - М(Х)\ < За(Х)}.
6.11.51.	90% лампочек перегорают после 800 часов работы. Найти вероятность того, что лампочка перегорит в промежутке от 100 до 200 часов работы (с. в. Т — время безотказной работы лампочки).
6.11.52.	Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение со средним значением для 1-го элемента 20 часов, 2-го — 25 часов. Найти вероятность того, что за промежуток времени длительностью 10 часов: а) оба элемента будут работать;
б)	откажет только один элемент;
в)	хотя бы один элемент откажет.
6.11.53.	Известно, что время ремонта телевизоров есть с. в. Т, распределенная по показательному закону; при этом среднее время ремонта телевизора составляет две недели. Найти: а) Г>(Т) и <7(Т);
б) вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется менее десяти дней.
6.11.54.	Известно, что X ~ N(а, а), а максимальное значение плотности вероятности равно —^=. Найти D(X).
3 • v7tf
6.11.55.	X — нормально распределенная с. в., причем М(Х) = 6,2 и <т(Х) = 4,4. Найти Р{|Х - М(Х)\ < 5,7}.
6.11.56.	Ошибка измерения подчинена нормальному закону с параметрами а = 50 дм и ст = 10 дм. Найти вероятность того, что измеренное значение будет отклоняться от истинного не более чем на-20 дм.
6.11.57.	Установлено, что с. в. X ~ N(a,a), Р{Х > 20} = 0,02, Р{Х < 10} = 0,31.
Найти М(Х) и D(X).
6.11.58.	Срок безотказной работы телевизора представляет собой с. в. X ~ 7V(12; 3). Найти вероятность того, что телевизор проработает а) не менее 15 лет;	б) от 6 до 9 лет;
в) от 9 до 15 лет.
6*11.59. Отклонение размера детали от стандарта представляет собой с. в. X, распределенную нормально, с математическим ожиданием М (X) = 4 и со среднеквадратическим отклонением
383
a = 0,2. Найти процент деталей, отклоняющихся от М{X) по модулю не более чем на 0,05.
6.11.60.	Деталь изготавливается на станке с систематической ошибкой 3, среднеквадратической ошибкой 4 и считается годной, если ее отклонение от номинала менее 12. Найти вероятность того, что три наудачу взятые детали из пяти будут годными.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.11.61.	Случайная величина X распределена по биномиальному закону. Найти:
а)	начальные моменты до 4-го порядка включительно;
б)	центральные моменты до 4-го порядка включительно;
в)	асимметрию (Л = и эксцесс (Е =	— 3) случайной
а*
величины X.
6.11.62.
6.11.63.
6.11.64.
Найти математическое ожидание и дисперсию относительной па
частоты — в п независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р.
Доказать рекуррентную формулу для биномиальных вероят-
ностей
Рп(т + 1) = | • 2^  Р„(т).
Доказать, что сумма двух независимых случайных величин,
распределенных по закону Пуассона с параметрами ai и а?,
также распределена по закону Пуассона с параметром
а — Qi + 02-
6.11.65.	Какая из величин в законе Пуассона больше: математическое ожидание, число независимых испытаний или дисперсия?
6.11.66.	Вероятность брака партии деталей равна 0,2. Сколько в среднем нужно проверить деталей до первого обнаружения брака?
6.11.67.	Доказать, что вероятности pi отдельных значений д. с. в. X, имеющей геометрическое распределение, удовлетворяют усло-
6.11.68.
6.11.69.
6.11.70.
ВИЮ	оо
Е+ = L г=1
Известно, что непрерывная случайная величина X ~ R[a, 5]. Найти четвертый центральный момент и эксцесс этой случайной величины.
С. в. X имеет показательное распределение. Найти:
а)	центральные моменты третьего и четвертого порядков;
б)	асимметрию и эксцесс.
Доказать, что функция
f1_е~л®
F(I)= о,
х О,

384
где Л > 0, является функцией распределения некоторой случайной величины X. Построить ее график при Л = 2.
6.11	«71. Во сколько раз уменьшится максимальное значение ординаты кривой Гаусса, если дисперсия случайной величины увеличить в 16 раз?
6.11	«72. Вычислить центральные моменты второго, третьего и четвертого порядков случайной величины, распределенной по нормальному закону.
6.11.73.	Чему равны мода и медиана с. в. X ~ N(a, ст)?
6.11.74.	Найти функцию распределения Г(ж) с.в. X ~ N(a,a). Учесть, что:	оо 2	>—
г *	\/2тг
dt =
J о
6.11.75.	Известно, что: с. в. X ~ Х(1;ст), Р{Х < 2} = 0,99. Найти:
а) а;	б) М(Х2).
6.11.76.	Случайная величина X распределена по закону Х(а, ст). Найти Р{#1 X жг}, где Ж1 и Х2 — абсциссы точек перегиба соответствующей кривой Гаусса.
6.11.77.	В нормально распределенной совокупности 15% значений X меньше 12 и 40% значений X больше 16,2. Найти среднее значение и среднеквадратичное отклонение для данного распределения.
6.11.78.	Случайная величина X распределена нормально, ее плотность вероятности имеет вид
т (х + 2)2 f(x) = -*=е—
у8тг
Найти математическое ожидание с. в. У = ЗХ — 1, зная, что У ~ДГ(а,ст).
§12. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Функция распределения системы случайных величин
Во многих практических задачах результат опыта описывается не одной, а двумя (или более) случайными величинами X и У. В этом случае говорят о системе двух случайных величин (X, У) (или двумерной случайной величине
Геометрически систему двух случайных величин (X, У) можно интерпретировать как случайную точку на плоскости.
На двумерные случайные величины практически без изменений переносятся основные понятия для одномерных случайных величин, в частности закон распределения, функция распределения, плотность распределения и т. д.
Закон распределения системы (X, У) двух дискретных случайных величин в случае конечного числа значений можно задать формулой
рг} - Р{Х = Xi,Y = у3}, i = l,...,n, j = l,...,zn
Сборник задач по высшей математике, 2 курс	385
или с помощью таблицы с двойным входом:
Х\У	У1	У2		Ут
Х1	Рп	Р12	. . .	Plm
Х2	Р21	Р22		Р2т
-			- в	•
Хп	Рп1	Рп2	. . .	Рпт
п тп
где 12 12 Рч = 1-
t=i j=i
Важнейшей из исчерпывающих характеристик (законов распределения) системы случайных величин является функция распределения.
Функцией распределения (иначе: интегральной функцией) системы с. в. (X, У) называется функция F(x,y), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий {X < х} и {У < у}, т.е. F(x,y) — Р{Х < х, Y < у] (событие {X < х, У < у} означает произведение событий {X < т} и {У < т/}).
Геометрически каждое значение функции F(x, у) означает вероятность попадания случайной точки (X, У) в заштрихованной прямой угол Rx,y (квадрант) с вершиной в точке (х,у) (рис. 91).
Рис. 91
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник D со сторонами, параллельными координатным осям, находится по формуле:
P{xi X О2, yi Y < у2) = F(x2,y2) - F(xi,y2) ~ F(x2,yi) + F(xi,yi).
Свойства двумерной функции распределения
2.	F(x,j/) — не убывает по каждому из своих аргументов (при фиксированном другом аргументе):
F(x2,y) F(xi,y) при х2 > хг,
F(x,y2) > F(x,yi) при ?/2 > з/i-
3.	F(x,y) непрерывна слева по каждому из своих аргументов;
386
4.	F(x, —оо) = F(—oo,y) = F(—оо, —оо) = 0, где, например, F(x, —оо) означает lim F(x, j/);
j/-> —оо
5.	F(-|-oo,-l-oo) = 1;
6.	F(x,+oo) = Fi(x) = Fx(x), F(+oo,t/) = F2(y) = FY(y), где Fi(x) и F2(y) — функции распределения с.в. X и Y соответственно.
Значение F(x, у) функции распределения в случае системы {X, Y) двух дискретных с. в. находится суммированием всех вероятностей pij с индексом i,j, для которых Xi < х, у3 < т/, т. е.
F(x,y) = 52 52 Pij-
х, <Х у} <у
Плотность распределения системы случайных величин
В случае системы непрерывных случайных величин (X, Y) ее закон распределения удобно задавать с помощью плотности распределения.
Плотностью распределения вероятностей (или просто плотностью) системы (X, У) двух непрерывных случайных величин называется вторая смешанная производная ее функции распределения, т. е.
d2F(x,y) ..
охоу
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей
1- №,*/) 0;
+оо +оо
J J f(x,y)dxdy =
3. Р{(Х,У) е D} = Jff(x,y)dxdy, где D — произвольная область;
у
4. F(x,y) =
J f&,y)dy = /i(x) = /х(х), J f(x,y)dx = f2(y) = fY(y). — сю	— оо
Независимые случайные величины
Случайные величины X и У называются независимыми, если независимыми являются события {X < х} и {У < у} для любых действительных чисел х и У- В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Сразу из определения независимости с. в. X и У вытекает следующее равенство, которое можно положить в основу равносильного определения:
F(x,?/) = Fi(x)  F2(y).
387
В случае системы двух дискретных случайных величин (X, Y) необходимым и достаточным условием их независимости является равенство
Р{Х = xitY = yj} = Р{Х = Xi} • P{Y = yj},
выполняющееся для любых i = 1,...,п, j = 1,... ,т.
Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных с. в. X и У, образующих систему (X, Y), является равенство
f&,y) = /1(я) • Му)-
Условные законы распределения
Условным законом распределения одной из с. в., входящих в систему (X, 1"), называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая с. в. приняла определенное значение (или попала в некий интервал).
В частности, в случае системы двух дискретных случайных величин (X, У) Условным законом распределения с. в. У при Условии X = Xi называется совокупность вероятностей
Р{У = yj IX = к} =
Р{Х = ач, Y = у}]
P{X = Xi}
3 =	i =
Аналогично определяется условный закон распределения дискретной с. в. X при условии У = yj.
Условная плотность непрерывной с. в. У при -условии X = х (обозначение f(y I ®)) определяется равенством
f(y I	r^e Л(ж) /
Л(ж)
Аналогично,
f(x ( у) = где /2(у) ± 0. Л (у)
Теорема умножения плотностей распределения:
№,У) = /1(ж) • /(у | х) = /2(у) • /(ж | у).
Математическое ожидание и дисперсия системы случайных величин
Математическим ожиданием двумерной с. в. (X, У) называется совокупность двух м.о. М(Х) и М(У) (т.е. упорядоченная пара (М(Х), М(У))), определяемых равенствами:
71 ТП	71 ТП
мw = 52 52и = 52 52 у^> i=l j=l	i=l j=l
388
если X и Y — дискретные с. в.;
и
если X и У — непрерывные с. в.
Математическое ожидание с. в. <р(Х, У), являющейся функцией компонент X и У двумерной с.в. (X, У), находится аналогично по формулам:
ОО оо
М(<£>(Х, У)) = J J ср(х, у) • /(х,?/) dxdy для непрерывного случая;
—оо —оо
п т
М (9?(Х, У)) =	Уа) ’ Pij Для дискретного случая.
г=1j=l
Дисперсия системы с. в. (X, У):
°(х) = 52	~ а^2р^ и -°(у) = 52 52^' “ av)2PiJ»
i=l j = l	i=l j=l
если (X, У) — система дискретных случайных величин (ах = М(Х),ау = =
ОО ОО	оо оо
Р(Х) = J j\x - ax)2f(x,y)dxdy = J J x2 f(x,y)dxdy - a2
—co —co	—oo —co
И oo oo	oo oo
D{Y) = j j\y-ay)2f(x,y)dxdy= J J y2 f(x,y)dxdy - a2y,
— oo —oo	—oo —oo
если (X, У) — система непрерывных случайных величин.
Пусть (X, У) — система дискретных случайных величин. Условное математическое ожидание дискретной с. в. У при условии X = Xi определяется равенством: • т
М(у I X = Xi) = М(У I Xi) = ^2yjp(yj | Xi),
j=i
где
Р(.Уз I ъ) = p{Y = yj\X = Xi}.
Аналогично
n
M(X I У = yj) = M(X I yj) = 52Xi • p{xi I yj).
г=1
Пусть теперь (X, У) — система непрерывных случайных величин. В этом случае условное математическое ожидание с. в. У при условии X = х определяется равенством:
ОО
М(У I х) = / у- f(y\x) dy.
— ОО
389
Аналогично
М(Х | у) =	х- f(x\ у) dx.
Корреляционный момент и коэффициент корреляции
Для характеристики связи между величинами X и У служит корреляционный момент Kxy (иначе: ковариация cov(X, У)), который для дискретных с. в. вычисляется по формуле
п т
Kxy —	^(^« ах} • (у3 ау)  pij;
г=1 3=1
а для непрерывных — по формуле
оо оо
Kxy = / I (х - ах)(у - av)f(x,y')dxdy.
— оо —оо
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле
Kxy = М(ХУ) - М(Х) • М(У).
Если с.в.Х uY независимы, то Kxy — 0 (cov(X, У) = 0). Таким образом, если Kxy 0, то с.в.Х uY зависимы; в этом случае случайные величины называют коррелированными. В случае Kxy — 0, с. в. X и У называют некоррелированными.
Коэффициент корреляции rxY двух с. в. X uY есть безразмерная величина, определяемая равенством
где ах и ау — среднеквадратические отклонения соответственно величин X и У.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и У.
Свойства коэффициента корреляции
1.	—1 txy 1;
2.	Если X и У — независимые с. в., то rxY = 0;
3.	Если с. в. X и У связаны линейной зависимостью У = аХ + Ь, а 0, то |гху| = 1;
4.	Если |гху| = 1, то с. в. X и У связаны линейной функциональной зависимостью.
390
6.12.1.	Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины
X\Y	1	2	3
1	0,16	0,12	0,08
2	0,28	0,11	0,25
Найти:
а)	законы распределения случайных величин X и Y;
б)	функцию распределения системы с.в. (X,У).
ф а) Случайная величина X принимает два значения: a?i = 1 и Х2 = 2. Вероятности этих значений соответственно равны: pi = [рц +pi2 +Р13] = = 0,16 + 0,12 4- 0,08 = 0,36, Р2 = 0,28 + 0,11 4- 0,25 = 0,64. Следовательно, закон распределения с. в. X (т. е. безусловный закон распределения компоненты X) можно представить в виде
Т i	1	2
Pi	0,36	0,64
Аналогично получаем безусловный закон распределения компоненты Y:
Vi	1	2	3
Pi	0,44	0,23	0,33
б) В соответствии с формулой F(x, у) =	12 Pij получаем:
Ц<Х У)<У
если х 1 и у 1, то F(x,y) = Р{Х < т, Y < у] = 0, так как события {X < х} и {У < у} в этом случае являются невозможными.
Аналогично получаем:
если х 1 и 1 < у, то F(x, у) = 0;
если 1<т^2и?/^1, то F(x, у) = 0;
если Ю^2и1<?/^2, то Р(т, у) = Р{Х = 1, У = 1} = 0,16;
если 1<х^2и2<?/^3, то
Г(т, у) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 1, У = 2} = 0,16 + 0,12 = 0,28;
если 1 < х 2 и 3 < т/, то
F(x,y) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 1, У = 2} + Р{Х = 1, У = 3} =
= 0,16 + 0,12 + 0,08 = 0,36;
если 2 < х и у 1, то Р(т, у) = 0;
если 2<хи1<у^2, то
F(x, у) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 2, У = 1} = 0,16 + 0,28 = 0,44;
если 2<хи2<у^3, то
F(z,i,)=P{X = l, У = 1} + Р{Х = 2, У = 1} + Р{Х = 1, Y = 2}+
+ Р{Х = 2, У = 2} = 0,16 + 0,28 + 0,12 + 0,11 = 0,67;
если 2<тиЗ<у, то F(x, у) = 0,16 + 0,28 + 0,12 + 0,11 + 0,08 + 0,25 = 1.
391
Таким образом, функция распределения данной системы дискретных случайных величин имеет вид
при	У 1	1 < У 2	СО V/ V см	СО Л «г
X 1	0	0	0	0
1 < X <Z 2	0	0,16	0,28	0,36
2 < х	0	0,44	0,67	1
6.12.2.	Закон распределения системы дискретных случайных величин
задан таблицей
Х\У	1	2	3	4
1	0,10	0,15	0,04	0,06
2	0,12	0,08	0,05	0,04
3	0,03	0,02	0,11	Y)
Найти:
а)	значение числа D;
б)	безусловные законы распределения случайных величин X и Y-
в)	вероятности событий {X = 1, Y 2} и {X = У}.
6.12.3.	Двумерная случайная величина (X, У) задана законом распре-
Х\У	0	1
0	0,12	0,18
1	0,28	0,42
Найти:
а)	функцию распределения д. с. в. X;
б)	функцию распределения двумерной с. в. (X, У);
в)	вероятность события {X У}.
6.12.4.	По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна 0,75. Пусть с. в. X — число попаданий; с. в. У — число промахов. Составить таблицу совместного распределения вероятностей случайных величин X и У. Описать функцию распределения F(x, у) системы с.в. (X, У).
6.12.5.	Используя условие задачи 6.12.1, установить, зависимы или нет компоненты X и У.
Q Условие независимости с. в. X и У в дискретном случае имеет вид: Р{Х — Xi, У = yj} = Р{Х = Xi} • P{Y = yj} для любых г = 1,2,... ,п и j = 1,2,... }т. Проверяем: пусть xi = 1 и у± = 1. По условию
Р{Х = 1, У = 1} = 0,16,
а Р{Х = 1} = 0,36, Р{У = 1} = 0,44 (эти вероятности найдены в ходе решения задачи 6.12.1). Поскольку
Р{Х = 1, У = 1} = 0,16 / 0,36  0,44 = Р{Х = 1} • P{Y = 1},
то отсюда заключаем: компоненты системы (X, У) зависимы.	•
392
6.12.6.	Задано распределение двумерной случайной величины (X, Y)
Х\У	1	1,5	2
1	1 12	1 24	1 24
2	1 12	1 24	1 24
2,5	1 3	1 6	1 6
6.12.7.
6.12.8.
Найти одномерные распределения компонент системы. Установить, зависимы ли компоненты X и У. Найти Р{Х + Y 3,5}. Используя условие задачи 6.12.2, установить, зависимы или нет случайные величины X и Y.
Заданы законы распределения двух независимых друг от друга случайных величин X и Y:
Xi	8	9	10
Pi	0,1	0,3	0,6
Vi	8	9	10
Pi	0,2	0,3	0,5
Описать функцию распределения F(x, у) и вычислить ее значение в точке (9,2; 8,5).
6.12.9.	Закон распределения системы дискретных случайных величин (X, Y) задан таблицей
Х\У	—2	-1	0	1
-1	1 16	2 16	3 16	1 16
0	2 16	3 16	1 16	0
1	0	1 16	0	2 16
Найти:
а)	безусловные законы распределения случайных величин X и У;
б)	условный закон распределения с. в. У при X = 0;
в)	проверить независимость случайных величин X и У.
О а) Случайная величина X принимает значения ari = — 1, Х2 = 0, а?з = 1, вероятности которых находим суммированием вероятностей соответственно в первой, второй и третьей строках таблицы:
Р1 16 + 16 + 16 + 16	16’ Р2 16’ Рз 16'
Суммируя вероятности в первом, втором, третьем и четвертом столбцах таблицах, находим вероятности соответствующих значений с. в. У.
Таким образом, безусловные законы распределения X и У имеют
вид:
Xi	-1	0	1
Pi	7 16	6 16	3 16
Pi	-2	-1	0	1
Pi	3 16	6 16	4 16	3 16
393
б) Вероятности значений с. в. Y при X = 0 найдем с помощью фор-
мулы	, psy = v \ X = я ) = Р^Х ~Xi'Y ~ 1	Уз 1А	,J	Р{Х = Xi}
Так как	Р{Х = °) = 16 + 16 + 16 = 16’
то	2 P{y = -2|X = 0} = f = | = 1 16 3 Р{У = —1 | X = 0} =-у- = 1 = 1 16 1 Р{У = 0|Х = 0} = ^ = 1, 16 Р{У = 1|Х = 0} = £ = 0. 16
Таким образом, условный закон распределения с. в. Y при X = 0 имеет вид
yi	-2	-1	0	1
Рх=о	1 3	1 2	1 6	0
в) Так как безусловный и условный законы распределения с. в. Y не совпадают, то случайные величины X и Y зависимы. (В этом можно было бы убедиться и «старым способом»:
Р{Х = -1,Г = -2}=^^ ^=Р{Х=-1} Р{Г = -2}.) •
6.12.10.	Используя условие задачи 6.12.9, найти условный закон рас-
пределения:
а) с. в. Y при X = —1;	б) с. в. X при Y = —2;
в) с. в. X при Y = 0.
6.12.11.	Задана система дискретных случайных величин (X, У):
Х\У	10	20	30
50	0,15	0,30	0,15
100	0,10	0,05	0,25
Найти:
а)	условный закон распределения с. в. Y при условии, что X = = 100;
б)	условный закон распределения с. в. X при условии, что Y = = 20.
Являются ли независимыми величины X и У?
394
6.12.12.	Используя условие задачи 6.12.1, найти:
а)	математические ожидания М(Х) и Л/(У);
б)	дисперсии D(X) и £)(У);
в)	среднеквадратические отклонения <т(Х) и <т(У).
Q а) Используя формулы для вычисления математического ожидания, приведенные в начале параграфа, находим М(Х) и M(Y):
М(Х) = xipn 4- Я1Р12 + Я1Р13 + Х2Р21 + Х2Р22 + Я3Р23 = = 1 • 0,16 + 1  0,12 4- 1  0,08 4- 2 • 0,28 4- 2 • 0,11 4- 2 • 0,25 = 1,64,
т.е. ах = М(Х) = 1,64. Аналогично
М(У) = 1 • 0,16 4-1 • 0,28 4- 2 • 0,12 + 2 • 0,11 4- 3 • 0,08 4- 3  0,25 = 1,89,
т.е. Лу = М(Х) = 1,89.
Отметим, что, найдя безусловные законы распределения случайных величин X и У (в задаче 6.12.1 они найдены), можно найти указанные числовые характеристики, используя «старые формулы»:
М(Х) = 1  0,36 4- 2 • 0,64 = 1,64; М (У) = 1 • 0,44 + 2  0,23 4- 3 • 0,33 = 1,89.
б)	Находим дисперсии D(X) и £)(У):
= (1 - 1,64)2  0,16 + (1 - 1,64)2  0,12 + (1 - 1,64)2 • 0,08+ + (2 - 1,64)2 • 0,28 + (2 - 1,64)2 • 0,11 + (2 - 1,64)2  0,25 =
= 0,4096 • 0,36 + 0,1296 • 0,64 = 0,2304, т. е. D(X) = 0,2304.
Аналогично
£>(У) = (1 - 1,98)2 • 0,16 + (1 - 1,89)2 • 0,28 + (2 - 1,89)2 • 0,12+
+ (2 - 1,89)2 - 0,11 + (3 - 1,89)2  0,08 + (3 - 1,89)2 • 0,25 =
= 0,7921 • 0,44 + 0,0121 • 0,23 + 1,2321 • 0,33 = 0,7579.
Найдем D(X) иначе, используя безусловный закон распределения с.в. Х-. D(X) = [М(Х2) - (М(Х))2] = 1  0,36 + 22 • 0,64 - (1,64)2 = 0,2304. Точно так же
D(Y) = [М (У2) - (М(У))2] = I2 • 0,44 + 22 • 0,23 + З2 • 0,33 - (1,89)2 =
= 4,33-3,5721 = 0,7579. -
в)	Теперь уже легко найти а(Х) = y/D(X) = >/0,2304 = 0,48 и а (У) = = v/0^7579 « 0,87.	•
6.12.13.	Используя условие задачи 6.12.3, найти М(Х), M(Y), D(X), D(Y), а(Х) и <т(У).
6.12.14.	Используя условие задачи 6.12.6, найти М(Y), D(Y), а(У).
395
6.12.15.	Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан таблицей
X\Y	-2	0	2
0,2	0,03	0,05	0,12
0,6	0,15	0,30	0,35
Найти условное математическое ожидание М(Х | Y = 2).
Q Для нахождения искомой величины воспользуемся формулой
п
М(Х I Y = yj) = -p(xi I yj), где pfa | yj) = P{X = Xi\Y = yj}.
Найдем сначала условный закон распределения компоненты X при условии, что Y = 2.
Так как P{Y = 2} = 0,12 4- 0,35 = 0,47, то условный закон распределения с. в. X при Y = 2 имеет вид
P&i | уз) =	Хг	0,2	0,6	(См. решение задачи 6.12.9.
	Ру=2	0,12 0,47	0,35 0,47	
Стало быть,
М(Х | Y = 2) =	| уз) + х2р(х2 | 2/з)] =
-П2	°>12	. п r 35	= 0,024 + 0,21	0,234	234
’	0,47	’ 0,47	0,47	0,47	470
т.е. окончательно М(Х | Y = 2) « 0,498.
6.12.16.	Используя условие задачи 6.12.15, найти:
а) М(Х);	б) М(Х | Y = 0);
в) М(У);	г) M(Y | X = 0,2).
6.13.17.	Используя условие задачи 6.12.10, найти
0,498,
M(Y\X = -1), M(X\Y = —2), М(Х|У = 0).
6.12.18.	Используя условие задачи 6.12.1, найти корреляционный момент Kxy (ковариацию) и коэффициент корреляции гху-
Q Математические ожидания компонент уже найдены: ах = М(Х) = = 1,64; ау = M(Y) = 1,89 (см. задачу 6.12.12).
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение компонент также известны: D(X) = 0,2304; D(Y) = 0,7579; сг(Х) = 0,48; сг(У) = 0,87 (задача 6.12.12).
Найдем корреляционный момент Kxy-
Kxy
п 7П
~~ ax)(yj ~ ay)Pij
г=1 j=l
= (1 —1,64)(1—1,89)-0,16+(1—1,64)(2—1,89)-0,12+(1 —1,64)(3—1,89)-0,08+
+ (2 —1,64)(1 —1,89)-0,28+(2 —1,64)(2 —1,89)-0,11 + (2 —1,64)(3—1,89)-0,25 =
= -0,64 • (-0,0404) + 0,36 • 0,0404 = 0,0404.
396
Теперь найдем Kxy иначе, используя формулу
КХу = M(XY) - М(Х) • М(У) :
КХу =11- 0,16 + 1 • 2 • 0,12 + 1 • 3 • 0,08 + 2 • 1 • 0,28+
+ 2 • 2  0,11 + 2 • 3 • 0,25 - 1,64 • 1,89 = 3,16 - 3,0996 = 0,0404.
Как видно, второй способ проще.
Находим коэффициент корреляции.
гху =
КХу _ 0,0404
<т(Х) • <т(У) “ 0,48 • 0,87
« 0,096732,
т. е. тху « 0,1.	•
6.12.19.	Используя условие задачи 6.12.3, найти КХу и гХу-
6.12.20.	Используя условие задачи 6.12.9, найти основные характеристики М(Х), M(Y), D(X), D(Y), Kxy, тХу данной системы случайных вличин (X, У).
6.12.21.	Совместное распределение случайных величин X и У задано плотностью распределения вероятностей
Л®, 2/) =
с *(2/
0,
(х,у) е D, (х,у) $ D,
где область D = {(ж,у) : 0 х 1, 0 у 1} . Найти:
а)	коэффициент с;
б)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
в)	вероятности попадания случайной точки (А", У) в область
D1 = {(^, 2/) : 0,7 х 3, 0 у 0,3};
г)	совместную функцию распределения F(x,y).
Рис. 92
Q Области D и Di изображены на рис. 92.
а)	Коэффициент с найдем из условия нормировки:
оо оо
f(x,y)dxdy = 1.
—оо —оо
397
Имеем
ОО оо
1 1
о
— оо —оо
О
1
= С /I
О
1 = С / _ Д2
2 о 2 \	2
'_с
о 4’
откуда — 1, т.е. с = 4.
б)	Находим плотности распределения компонент X и Y:
ОО	1	о
—оо
О
т.е.
fx(x) = <
оо
О,
1
х2
2
' = 2у,
О
О
—оо
т. е.
fY(y) = ?	а L~’ J’
[0,	и [0,1].
в)	Для нахождения вероятности попадания случайной точки (ЛГ, У) в область Di воспользуемся формулой
Р{(Х,У) е £>} = у) dxdy.
D
Тогда
1	0,3
3	0,3
Pi 1
0,7	0
0,7
у2 0,3
Т о
I т2
= 2 • 0,09 • X - V \
0,7
1	0
1
= 0,18 1 - ± \ «
= 0,0081. /
г)	Для нахождения совместной функции распределения воспользуемся формулой
х У
— оо —оо
где хну — любые действительные числа.
398
Рассмотрим возможные положения точки (х, у) на плоскости:
1)	если точка (х,у) расположена во II четверти (я < 0, у > 0), либо в Ш (х < 0, у < 0), либо в IV четверти (х > 0, у < 0), то F(x, у) = 0, так как там всюду f(x,y) = 0;
2)	если точка (ж, у) расположена в I четверти, то она находится либо: (а) внутри области D (на рис. 92 это точка Mi); (б) справа от области D, причем у 1 (точка М2); (в) справа от области Л, причем у > 1 (точка Мз); (г) над областью Л, причем х 1 (точка М4).
В случае (а) имеем
В случае (б) получаем
х	/	2 \
= 2у2 [х - -у ) = ху2(2 - х); о \ z /
о
В случае (в) имеем
1
у 1
г	1
/(1 — и) du = 4 • ~ •
J	£
о
v2 у
2 о
= у2',
1
1(1 — и) du = 4 • ~ • £
о о
И, наконец, в случае (г):
X	1
Л(х,т/) =4	-
о
Таким образом,
л 1 (	и2
4 2\	2
у2 1
2 о
= 2(х-^ О \	2
О
X
0,
Х7/2(2-х),
х < 0, у < 0 или х < 0, у > 0 или х > 0, у < 0,
0 у
0 х
х > 1
результаты, полученные при решении задачи
6.12.22. Используя
6.12.21, найти:
а)	частные функции распределения случайных величин, входящих в систему с. в. (X, Y);
б)	вероятность попадания случайной точки в прямоугольник Л1 с вершинами в точках (0,7;0), (0,7;0,3), (3;0,3), (3;0) (рис. 92).
399
Q а) Так как
AW = frW =
to: при x 0 имеем
Fi(x) = J fi(x)dx —oo
при 0 < x 1 получаем 0	x
Fi(x) = fodx + J2(
—oo	0
при 1 < x получаем о	i
Fi(x) = Jodx + ^2(1
—oo	0
Таким образом, (°, Fi (ж) = < 2x — x
I1’
Аналогично находим, что [°, Ыу) = S у2,
б)	Используя формулу P{xi < X ^х2, yi < У ^у2} = F(x2,
х), х е [о, 1],
X [0,1],
J Odx = 0, —оо
— x)dx + 0 du = 1.
х 0,
, 0 < х 1,
1 < х.
У^О,
0 <3/0,
1 <У-
y2)-F(x1,y2)~F(<x2,y1) + F(x1,yi),
находим искомую вероятность:
Р{0,7^Х^З, 0<$У <^0,3} =
= F(3; 0,3) - F(0,7; 0,3) - F(3; 0) + F(0,7; 0) =
= (0,3)2 - (2 • 0,7 • 0,32 - 0,72 • 0,32) - 02 + (2 • 0,7 • 0 - 0,72  0) =
= 0,09 - 0,126 + 0,0441 = 0,0081.
Получим такой же ответ, как и в задаче 6.12.21.	•
6.12.23.	Задана плотность совместного распределения системы непрерывных с. в. (А", У):
f(x,y) = <
с-ху,
0,
если (х, у) 6 D, если (х,у) $ D,
4D0
где D = {(х,у) : х 0, у О, х + у 1}. Найти:
а)	коэффициент с;
б)	плотности распределения отдельных компонент X nY] в) функции распределения отдельных компонент,
г)	вероятность события А = {X > ^, Y 1}.
6.12.24.	Двумерная случайная величина (X, У) имеет плотность распределения вероятностей
f(x,y) = —-------------, х е R, у е К.
(I +ж2) (3 + у2) \ О	/
Найти:
а)	значение величины с;
б)	функцию распределения F(x, у);
в)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
г)	вероятность события А = {X < 1, У < \/3}.
6.12.25.	Используя условие задачи 6.12.21, проверить, зависимы ли случайные величины X и У.
Q Проверим, выполняется ли условие независимости двух непрерывных случайных величин X и У: f(x,y) = fi(x)  /2(2/)-
В ходе решения задачи были получены следующие результаты:
1)	с = 4 и, значит, плотность распределения вероятностей f(x,y) име-
ет вид
4т/(1 - ж), О,
при 0 х 1, 0 у 1,
в остальных случаях;
2) плотности распределения отдельных компонент X и У имеют вид
при 0 х 1, в остальных случаях.
/2(2/) = <
при 0 у 1,
в остальных случаях.
Как видим, равенство f(x,y) = fi(x')-f2(y) выполняется. Следовательно, случайные величины X и У независимы. В этом же можно убедиться, проверив выполнение равенства F(x,y) = Fi(x)  /2(3/).	•
6.12.26.	Используя условие задачи 6.12.23, выяснить, являются ли случайные величины X и У независимыми.
6.12.27.	Используя условие задачи 6.12.24, показать, что случайные величины X и У независимы.
6.12.28.	Независимые случайные величины X и Y имеют соответствен-
но плотности:
при х
при х
fM) =
при у О, при у < 0.
401
Найти:
а) плотность распределения двумерной случайной величины
б) функцию распределения Fxy(x,y)-
6.12.29. Используя условие задачи 6.12.21, найти условные плотности отдельных компонент X и Y.
Q Для нахождения условной плотности распределения f(x | у) восполь-
зуемся формулой f(x I у) = при всех у 6 [0,1]. Так как
/2(2/)
41/(1 — я), О С я О,
1, 0 ^7/^1,
в остальных случаях ,
a
/2(2/) = <
22/, О,
00^1,
в остальных случаях,
то
2(1- я), О О,
z 1, U у 1, в остальных случаях.
Аналогично находим
О,
00^1, ОО
в остальных случаях.
Отметим, что безусловные плотности распределения компонент X и Y равны соответствующим условным плотностям. Это доказывает, что случайные величины X и Y независимы.	•
6.12.30. Используя условие задачи 6.12.23, найти условные плотности
6.12.31. Двумерная с. в. (X, Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области D (Д.АВС)., т.е.
если
О, если
Координаты вершин треуголь-
где S — площадь области D.
ника АВС таковы: А(—1; 1), 22(1; 1), С(0;0). Найти плотности распределения компонент X и У, условные плотности распределения с. в. X и Y. Являются ли с. в. ХиУ независимыми?
6.12.32. Используя условие задачи 6.12.21, найти:
а) М(Х), M(Y);	б) Р(Х), D(Y).
О а) Используя формулу
оо оо
— оо —оо
402
и учитывая, что вне области D имеем f(x,y) = 0, находим математическое ожидание компоненты X:
М(	1 1 X) = jjх • 4у(1 — х) dxdy = 4 jя(1 — х) dx jydy = D	0	0 = 4 . 1 . f(X _	d 2 (1 = 2  1 = i 4 2 Гх Х )ах-^ \ 2	з J 0	б 3* о	х
Анал	□гично находим М(У):
М(	У) = jjy у) dxdy = jjy  4?/( 1 — х) dxdy = D	D
= 4 1 0 Отмег	1	1	1	3 1	/	9\ 1 f(l-x)dx [y2 dy = 4 f(l-x)dx-Kr	=	= J	J	О 0	*^ \	£ J Q •Л £ О 0	0	z гим, что M(X) и M(Y) можно так же найти, используя формулы: оо	оо • М(Х) = fx-f!(x)dx, M(Y)= fyf2(y)dy. —ОО	—оо
А им«	jhho: М(Х) = fx  2(1 — x)dx = 2	' = 2-1 = 1; J	\ Z	о / 0	Oo 0	7 1	3 1 M(Y) = fy2ydy = 2-Kr =|- J	о 0	<5 0
6) из СЛ(	Для нахождения дисперсии с. в. X можно воспользоваться одной эдующих формул оо оо D(X) = j j{х - ах)2  f(x, у) dxdy, —оо —оо D(X) = j j х2  f(x, у) dxdy - (ax)2; —oo —oo D(X) = j(x - ax)2 • fi(x) dx = j X2 • j\(x)dx - (ax)2. —oo	—oo
Здесь	ax = M(X). Найдем D(X), используя первую формулу:
403
1
= 4 Д1 — х)	(х2 -	^х +	dx • (	)	=
J	\	о У/ \	2 оJ
о
1
= 2 [ (х2 —	4- i — х3 4- |z2 - dx =
J \ о У	о У /
о
5 vL_l - l-zjA 1=9f5_J_.l_l\_L 3 '3	9 2	9	4 J о \9	18	9	4/	18‘
Теперь найдем D(X) другим способом, используя третью формулу:
£>(%) =
Г ОО
ж2 • /1 (х) dx - а2
*—00
f х2 • 2(1 — х) dx —	=
J	\ о /
о
	3	4 у о 9	6 9	18'
Отсюда видно, что второй способ оказался проще. Находим этим способом Р(У):
оо	1	2
D(Y)= J у2 • f2(y) dy - (ау)2 = Jy2 -2ydy- = —оо	О
9 ^.1_4 = 1_4 = _1_
4 о 9	2	9	18‘
6.12.33.	Используя условие задачи 6.12.21, найти корреляционный момент Kxy (или: cov(X, У)) и коэффициент корреляции гху-
Q Корреляционный момент с. в. X и У можно найти, используя фор-
МУЛЫ	оо оо
Kxy = J J(х - ах)(у - ay)f(x,y) dxdy — оо —оо
ИЛИ	оо оо
Kxy = J J ху- f(x, у) dxdy - ахау.
—оо —оо
Здесь ах = М(Х), ау = М(У). Воспользуемся второй формулой.
_ д 1 /д2 _	1 _ 2 _ 4 1 _ 2 _ г,
3^2 З/о 9 З'б 9 ~
Отсюда и
_ j^xy п rXY -	--Tin = °-
сг(Х)  <т(У)
Этого следовало ожидать, ведь X и У — независимые случайные вели-
чины! (См. решение задачи 6.12.25.)	•
404
6.12.34.	Используя условие задачи 6.12.31, найти:
а)	математические ожидания М(Х) и М(У);
б)	дисперсии D(X) и D(Y);
в)	коэффициент корреляции txy-
6.12.35.	Используя условие задачи 6.12.23, найти:
а) М(Х) и М(У);	б) Р(Х) и Р(У);
b)cov(X, У);	г)гХу-
6.12.36.	Плотность совместного распределения случайных величин X и У задана формулой
J0,25(1 - ху3), при -10^1, -10^1, f&,y) =
О,	в остальных случаях.
Найти:
а)	коэффициент корреляции с. в. X и У;
б)	безусловные и условные плотности распределения с. в. X и У;
в)	условное математическое ожидание M(Y | X = х).
6.12.37.	Случайные величины X и У независимы, имеют плотности распределения соответственно
Л(ж)= о,
х °,	- ( . J Л2е А2У, 3/^0,
х < 0,	10, у < 0.
а) плотность совместного распределения f(x,y)\
в) значения М(Х) и M(Y).
Дополнительные задания
6.12.38.	По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8, при втором 0,9. Случайная величина X — число попаданий при первом выстреле, У — число попаданий при втором выстреле. Найти: а) закон распределения системы случайных величин (X,У); б) безусловные законы распределения отдельных компонент X и У и их функции распределения;
в) функцию распределения Fxv(x,y).
6.12.39.	Функция распределения системы дискретных с. в. (X, У) имеет вид
при	/Л X	V/ V 1	Л чг /Л оо	8 < у
х — 2	0	0	0	0
—2 < х 3	0	1 12	1 4	7 12
3 < х	0	1 4	7 12	1
405
Найти таблицу распределения случайного вектора (Аг, У); ряд распределения с. в. У; вероятность события {X > У}.
6.12.40.	Симметричную монету подбрасывают 3 раза. Пусть с. в. X — количество гербов, выпавших в первом и втором испытаниях, с. в. У — количество гербов, выпавших во втором и третьем испытаниях. Найти: совместное распределение с. в. X и У; вероятность события {X У}.
6.12.41.	Задано распределение двумерной случайной величины (X, У)
	1	2	3
1	1 12	1 6	1 4
2	1 12	1 6	1 4
Установить, зависимы ли компоненты X и У. Найти Р{ХУ > 2}.
6.12.42.	Используя условие задачи 6.12.6, найти:
а)	условный закон распределения с. в. У при X = 2,5;
б)	F(A' = Xi I Y = 2};	в) Р{у/Х2 + Y2 л/2}-
6.12.43.	Система случайных величин (X, У) задана таблицей распреде-
ЛДУ	-1	0	1
0	0,1	0,2	0,1
1	0,1	0,3	0,2
Найти:
а)	безусловный закон распределения с. в. У;
б)	закон распределения с. в. У при условии, что X = 0;
в)	вероятность события {X = 0, У 0}.
6.12.44.	Среди 10 лотерейных билетов есть 2 выигрышных. Сначала девушка вытягивает один билет, затем один билет вытягивает юноша. Описать закон распределения системы случайных величин (X, У), где X — число выигрышных билетов у девушки, У — у юноши. Найти:
а) F{_¥ > Y};	б) P{Y = yi | X = 1}.
6.12.45.	Используя условие задачи 6.12.6, найти М(Х), Р(Х), о/Х).
6.12.46.	Используя условие задачи 6.12.11, найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X и У.
6.12.47.	Используя условие задачи 6.12.6, найти г%у.
6.12.48.	Используя условие задачи 6.12.11, найти Хху, гху.
6.12.49.	Двумерная случайная величина задана таблицей распределения
Х\У	4	5	6	7
1	0,08	0,10	0,10	0,03
2	0,08	0,14	0,16	0,05
3	0,04	0,06	0,14	
406
Найти величину D, одномерные распределения составляющих; проверить независимость случайных величин X и У; вычислить М(X), М(У), D(X), D(Y), а(Х), а(У), cov (X, У) = КХУ, Г%у.
Система случайных величин (Хг, У) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y) =
с • sin (х + у),
О,
в области D, вне области JD,
где D = {(я,у) : х 0, х С а) коэффициент с;
б) плотности распределения отдельных компонент X и У;
в) вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми т = О, х = ^, у = 0, у = ^. Система непрерывных с.в. (X,У) равномерно распределена (т.е. f(x,y) = с = const) внутри эллипса 9т2 + I63/2	144,
вне эллипса /(г, у) = 0. Найти:
а)	совместную плотность f(x,y)\
б)	плотности компонент X и У (т.е. /1(я?) и /2(3/));
в)	вероятность события А = { — 1 X 1, 0 < У < 1}.
Дана плотность распределения вероятностей двумерной с. в.
о, у
Найти:
Xl J
/(®,2/) =
с-е~х~у, <
(О,
z 0, 7/^0, х < 0, у < 0.
Найти:
а)	параметр с;
б)	функцию распределения вероятностей F(z,2/);
в)	вероятности событий: А = {X <0, У < 2}, В = {0 X 1,
Двумерная случайная величина (X, У) имеет плотность распределения вероятностей
f(x,y) =
с,
0,
в области D, вне области D,
где D = {(х,у) : у 0, х + у 1, 2у — х 2}. Найти а) величину с ;
б)	плотность распределения случайной величины X;
в)	функцию распределения Fx(x) = Р{Х < z};
г)	вероятность события {X 0}.
407
6.12.54.	Плотность распределения вероятностей системы случайных величин (X, У) имеет вид
х е [0,1], У е [0,1], в остальных случаях.
Найти
a) fx(x) и fY(y);	б) Р{Х + У < 1}.
Являются ли с. в. X и У независимыми?
6.12.55.	Двумерная с. в. (X, У) задана плотностью совместного распределения
(с-ху4, (x,y)eD,
ч0,	(z,?/)£D,
где D область на плоскости Оху, определяемая системой неравенств: {у > —1, х > 0, у < —ж3}. Найти безусловное и условное распределения составляющей X. Убедиться, что с. в. X и У зависимы.
6.12.56.	Используя условие задачи 6.12.51, найти условные плотности f(x | у) и f(y | х) компонент X и У двумерной случайной величины (X, У).
6.12.57.	Задана плотность
/(х, у) = |е-(’2+^»+8!<2)
совместного распределения двумерной с. в. (X, У). Найти безусловные и условные плотности распределения случайных величин X и У; выяснить являются ли с. в. X и У независимыми (известно, что
J е~и* du = у/тг). —оо
6.12.58.	Используя условие задачи 6.12.50, найти:
а) М(Х), M(Y);	б) Р(Х), Г>(У);
в) cov(Ar, У), т.е. KXY; г) rXY.
6.12.59.	Задана плотность совместного распределения системы двух с. в. (Х,У)
90д72?/2, (x,y)eD, 0,	(x,y)£D,
где D = {(х,у) : |я?| + |f/| < 1, у < 0}. Найти: а) коэффициент корреляции гху, б)	в) f(y | х).
408
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.12.60.	Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей
	-2	0	4
0	0,15	0,05	0
10	0,10	0,20	0,10
20	0,05	0,10	0,25
Составить функцию распределения Fx,y(x, у)- Найти условный закон распределения с. в. Y при X = 20. Выяснить, зависимы ли случайные величины X и Y.
6.12.61.	В урне содержится 5 белых и 3 черных шара. Из нее извлекают 2 шара без возвращения. Пусть с. в. X — число белых шаров в выборке, с. в. У — число черных шаров в выборке. Составить закон совместного распределения случайного вектора (X, У). Найти:
а) Р{Х > 2, Y = 1};	б) £>(Х) и Р(У);
в) коэффициент корреляции гху-
6.12.62.	Задана система случайных величин (X, У). Известно, что: М(Х) = 1, М(Г) = -2, D(X) = 4, D(Y)=2, rXY = ^.
Найти:
а) М(2Х + У);	б) Р(Х - ЗУ).
6.12.63.	Случайные величины X и У связаны зависимостью У = —X +1. Показать, что гху = — 1-
6.12.64.	Дана плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, У)
С • COS X cos
0,
У,
= <
в области £>, вне области Z),
(б;	, у 6 (О; ^) }• Найти:
где D = j(ж,у) : хе
а)	функцию распределения Fxy(x,y);
б)	плотность fx(x);
в)	вероятность события А = {У < 2Х}.
6.12.65.	Функция распределения двумерной случайной величины имеет вид
Fxv(x,y) •=
1 - е~х - е~у + е~х~у,
0,
х 0, у 0, х < 0, у < 0.
Найти:
а)	двумерную плотность вероятности системы (X,У);
б)	вероятность события А = {X < 1,У < 1}?
409
6.12.66.	Функция распределения системы (X, Y) непрерывных с. в. задана в виде
{О,	х < О или у < О,
0,5(sinar + sin 2/ - sin(z 4- у)),	О у
1,	X > 2 и у - 2.
Найти:
а)	Р{(Х,У) 6 Р}, где
б)	Уху (ат, j/).
6.12.67.	Двумерный случайный вектор (X, У) равномерно распределен (У(ат, у) = с) в области D = {(х,у) : |ат| 4- |j/| <С 1} (вне области f(x,y) = 0). Найти: a) fxY (х,у)‘,	б) Ух (ат) и fY(y)-
Зависимы ли случайные величины X и У?	>
6.12.68.	Задана функция f(x,y) = К • е~(ах2+Ьх+сУ2). Каким условиям должны удовлетворять числа о, b и с для того, чтобы эта функция могла бы быть плотностью распределения вероятностей?
6.12.69.	Пусть случайные величины X и У независимы и нормально распределены: X ~ Х(0; 1) и У ~ Х(0; 1). Найти: а) совместную плотность распределения Ухг(ат, ?/);
б)	Р{(Х,У) е D}, где D =	: 2 «С y/^+у* < 3}.
6.12.70.	Непрерывная с. в. Х~Я[—2;4], а непрерывная с.в. Y~N(—1;2). Известно, что гху=—0,5. Найти M(XY).
6.12.71.	Задана непрерывная с. в. X с плотностью распределения вероятностей Ух (ат) = А  е~х . Известно, что другая с.в. У связана со с.в. X равенством Y = X2. Чему равен коэффициент корреляции с. в. X и У? Какой вывод следует из полученного результата?
§13. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Функции одной случайной величины
Пусть рассматриваются две случайные величины X и У, связанные функциональной зависимостью
У = V(X).
410
Если X — дискретная с. в., закон распределения которой определяется формулой рг = Р{Х = Xi}, г = 1,2,3,..., то с. в. Y также дискретна, а ее закон распределения выражается формулой pi = Р{У = yt}, i = 1,2,3,..., где yi = <р(хг), Р{У = Уг} = Р{Х = Хг}.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. Y определяются соответственно равенствами
А/(У) = М(у>(Х)) =	= 52^(z,)pi
i	i
И
Г>(У) = IW)) =	~ av?Pi =	~ av}2Pi,
i	i
где ay = М(У).
Если X — непрерывная с. в. с плотностью распределения f(x) и если у = <р(х} — дифференцируемая и монотонная функция, то плотность распределения д(у) с. в. У = <р{Х} выражается формулой
у{у) = fWM • 1^'(з/)1,
где ф(у) = Ф ^У) = х — функция, обратная функции у = <р(х) (эта функция существует в силу монотонности <^(Х)).
Если функция у = <р{х} немонотонная, то числовая прямая разбивается на п промежутков монотонности и обратная функция ^ч(у) находится на каждом из них; плотность распределения д(у) с. в. У = <р(Х} определяется в этом случае по формуле п
д(у) =
г=1
Для нахождения математического ожидания и дисперсии с. в. У = <р(Х} необязательно находить закон ее распределения; можно воспользоваться формулами
М(У) = M(tp(x)} = J (р(х) • f(x)dx, — со оо
Г)(У) = D((p(x)) = J(<p(x) - ay)2f(x) dx.
— CO
Функции двух случайных величин
Пусть рассматривается система двух случайных величин (X, У). Если каждой паре (х, у) возможных значений с. в. X и У соответствует одно возможное значение z = <p(xt у) (находимое по определенному закону) с. в. Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У:
Z = ip(X,Y).
411
Для функции двух (и более) аргументов удобнее сначала находить ее функцию распределения G(z), а затем — плотность распределения g(z):
g{z) = G'(z).
Если (X, У) — система дискретных с. в., то
G(z) = P{Z < z] =	£	J>4);
если (X, У) — система непрерывных с. в., то
<?(*) = P{Z <z} = J Jf(x, у) dxdy, dx
где f(x,y) — плотность распределения системы (X, У);
Dz = {(*, У) : <p(x,y) < z}.
Важное для практики значение имеет задача определения закона распределения суммы двух случайных величин: Z = X 4- У.
Функция распределения с. в. Z может быть найдена по формуле
Gz(z) =
ОО . Z — X fyf dy) —оо —оо
dx,
где f(x,y) — плотность распределения системы (X, У). Плотность распределения суммы двух случайных величин выражается формулой
ОО
g(z) = j f(x,z-x)dx — ОО
оо
(или: g(z) = J f(z - у, у) dy). — ОО
Особенно важен случай, когда случайные величины X и У независимы. Тогда f(x,y) = fi(x)f2(y) и
ОО	ОО
g(z)=	J fx(x)f2(z-x)dx	(или:р(2)	= j fi(z	-	y)f2(y) dy),
— oo	—oo
где fi(x) и f2(y) — плотности распределения	с. в. X и У	соответственно. Если
возможные значения аргументов неотрицательны, то д(х) находим по формуле
Z
9<z) = j fi(x)f2(z-x)dx.
о
Последнюю формулу называют формулой свертки или формулой композиции двух распределений, а функцию g(z) — сверткой функций fx(x) и f2(y)'i закон распределения суммы Z = X 4- У двух независимых с. в. называют композицией (сверткой) законов распределения слагаемых.
412
6.13.1.	Дискретная с. в. X задана своим рядом распределения
Xi	-2	-1	0	1	2	3	4
Pi	0,05	0,10	0,15	0,25	0,15	0,20	0,10
Найти:
а)	распределение с. в. У = —3JC2 + 1;
б)	закон распределения с. в. Г = cos — 1, а также М(Т) и D(T).
Q а) Случайная величина Y принимает следующие значения: у\ = = —3(—2)2 + 1 = -11, у2 = —3(—I)2 + 1 = —2, уз = 1, J/4 = —2 • 1 + 1 = -2, Уз = -3 • 4 + 1 = -11, у6 = -3 • З2 + 1 = -26, уг = -3 • 42 + 1 = -47. Вероятности, этих значений такие же, как и у с.в. X, т.е. pi = 0,05, р2 = 0,10 и т. д. Закон распределения с. в. Y можно записать в виде
Vi	-11	—2	1	-2	-11	-26	-47
Pi	0,05	0,10	0,15	0,25	0,15	0,20	0,10
или (учитывая, что Р{У = —11} =pi +ps =0,05 + 0,15 = 0,20, Р{У = — 2} = = 0,10 + 0,25 = 0,35) в более компактном виде
Vi	-47	-26	-11	-2	1
Pi	0,10	0,20	0,20	0,35	0,15
б) Аналогично получаем закон распределения с. в. Т = cos
&
ti	-2	-1	0
Pi	0,20	0,55	0,25
3	\
проверка:	Pi = 1 ).
2=1	'
Находим математическое ожидание и дисперсию:
М(Т) = —2 • 0,20 + (-1)  0,55 + 0 • 0,25 = -0,95;
D(T) = [М(Т2)-(М(Т))2] = (—2)2-0,20+(—1)2-0,55+02-0,25—(—0,95)2 =
= 1,35 - 0,9025 = 0,4475.	•
6.13.2.	Дискретная с. в. X задана законом распределения
Xi	0	7Г 6	7Г 4	7Г 3	7Г 2	7Г
Pi	0,15	0,15	0,25	0,30	0,10	0,05
Найти:
а)	закон распределения с. в. У = 4 sin2 Х\
б)	М(У), Р(У), <т(У).
6.13.3.	Дискретная с. в. X задана таблицей распределения
Xi	-4	0	4	6
Pi	0,1	0,4	0,3	0,2
413
Найти:
а)	законы распределения с. в. У = ^|Х|, Z = X — М(Х);
б)	М(У), Р(У), а(У), M(Z), D(Z).
6.13.4.	Плотность распределения вероятностей непрерывной с. в. X имеет вид
/(^) = — £ *
—ОО < X < оо.
Найти плотность распределения с. в. У = X2.
Q Отметим, что заданная н. с. в. X распределена по нормальному закону: X ~ 7V(0; 2). Решим задачу двумя способами:
1)	предварительно найдя функцию распределения G(y) с. в. У, а затем, воспользовавшись равенством д(у) = G'(y), и искомую плотность распределения д(у) с. в. У;
2)	используя формулу д(у) = f^y))  |^'(?/)|•
Способ 1. Возможные значения случайных величин X и У связаны зависимостью у = х2. Так как с. в. У не принимает отрицательных значений, то G(y) = P{Y < у} = 0 для ?/^0. Пусть у > 0. Тогда
т.е.
G(y) = Р{У < у] = Р{Х2 < у} = Р{|Х| < y/у} =
о
при у > 0,
при 1/^0.
Отсюда
(i	_ (Уу)2	( 1	_ у 1
8	(y/у) , _ j ^/2^	2v^’
0,	I0’
т. е.
_у
е 8 , при у > 0,
при у 0.
Замечание. Выражение для функции распределения с. в. У можно
записать иначе:
G(y) = P{Y <y} = ... = P{-y/y<X<Jy} =
= Р{Х < y/у} - Р{Х < -y/у} = Р{Х <^у}- Р{Х < -y/у} =
= Fx(y/u) - Fx(~\/y)-
414
Дифференцируя полученное равенство по уу получаем
д{у) = G'Y(y) =
=	+ F'x(-jy)  -±- =	+ Л(-л^)) =
^х/У	&х/У ^х/У
1	/	1	(v^/)2	1	(~>/^)2 \	1	_ У
= ——	• —-— е 8	-I--i— е 8 I	= —7----е 8 ,
2х/У \2л/2тг	2\Z2tF ) ^хДу^
т. е. такой же результат
(	1 _у
I —•—е 8, у > о> д{у) = \2х^
[о,	у 0.
Способ 2. В интервале (—оо; оо) функция у = х2 не монотонна. Разобьем этот интервал на два интервала (—оо;0) и (0; оо), в которых функция у = х2 монотонна. На интервале (—оо; 0) обратная функция к функции у = х2 есть Xi = ф1(у) = -~х/у, на интервале (0;оо) имеем х? = = ^Му) — х/У- Искомую плотность распределения найдем, используя равенство
д(у) = fx(iMy))  W(2/)l + fxW^to)) • l'02(l/)l-
Так как
Так как Итак,
у = х2,х
6.13.5.
0, поэтому д(у) = 0 при у 0.
I -7= е 8 > У > 0,
д(у) = <
[о,	2/^0.
Непрерывная случайная величина X имеет
пределение на отрезке [1;3] I т.е. f(x) = 2’
0, Найти плотность распределения функции:
равномерное распри х G [Г, 3], \ при х [1; 3] )
Q а) Функция у = 2х на отрезке возможных значений с. в. X монотонна. Поэтому обратная ей функция х = ф(у) = ^у существует и также монотонна на отрезке [2; 6] (так как 1 ат 3, то2^?/ = 2гг^6). Используя формулу д(у) = /(ф(уУ) - \ф' (2/)|, получаем:
д(у) =
при 2 у 6, при у $ [2; 6].
415
Как видим, н. с. в. Y имеет также равномерное распределение, т. е.
б)	Функция у = х2 тоже монотонна на отрезке [1; 3] и поэтому имеет обратную функцию х = ip (у) = y/у, которая также монотонна на отрезке [1;9]. Отсюда х' = ip'(у) = —^=, |^'(?/)| = и, следовательно,
6.13.6.
6.13.7.
6.13.8.
6.13.9.
9,
в(у) = \ 2 2^у
(о,
Известно, что плотность распределения с. в. X имеет вид f cost, х € (0; тМ , /(*>=1 ЛА
„„	I0’
Найти:	v	\ z /
а) плотность распределения с. в. У = Х2\ б) числовые характеристики М(У) и D(Y).
Непрерывная с. в. X (0 < х < оо) имеет плотность распределения вероятностей f(x) и функцию распределения вероятностей F(x). Для с. в. У = 1пХ найти плотность распределения вероятностей д(у) и функцию распределения вероятностей G(y). Случайная величина X имеет плотность распределения
fM = f3x2 ’ же[0;1], л ’ (о, ^[0;1].
Найти плотность распределения с. в. У = |Х — 2|.
Задана плотность распределения н. с. в. X: ( е~х fx(l) = I
х О, х < 0.
6.13.10.
6.13.11.
Найти Fy(y) и fy(y), если Y = е х.
Случайная величина имеет плотность распределения ( х — 2	_
/х(ат) = <	2
|0,
Найти:
а)	плотность распределения ду(у);
б)	математическое ожидание M(Y) и дисперсию D(Y) с. в. Y, которая представляет собой площадь круга радиуса X.
Случайная величина X имеет плотность распределения
при х G [1; 2], при х [1; 2].
= 0;
416
Другая с. в. У связана с X функциональной зависимостью У = = 2Х3+1. Найти математическое ожидание и дисперсию с. в. У: а) не находя плотности ду (у);
б)	найдя предварительно плотность ду(у)-
6.13.12.	Совместное распределение д. с. в. X и У задано таблицей
	0	4	9
1	0,20	0,15	0,10
4	0,30	0,20	0,05
Описать закон распределения с. в. Z = X — y/Y.
Q Запишем законы распределения составляющих X и У:
Xi	1	4
Pi	0,45	0,55
Уг	0	4	9
Pi	0,50	0,35	0,15
Закон распределения с. в. \/У имеет вид
у/yi	0	2	3
Pi	0,50	0,35	0,15
Случайная величина Z = X — \/У принимает значения zi = 1 — 0 = 1, z2 = 1 - 2 = -1, z3 = 1 - 3 = -2, z4 = 4 - 0 = 4, z5 = 4 - 2 = 2, Ze = 4 — 3 = 1. Вероятности этих значений таковы:
P{Z = 1} = P{Z = Z1} + P{Z = z6} =
= P{X = 1, ч/У = 0} + P{X = 4, x/Y = 3} =
= P{X = 1, У = 0} + P{X = 4, У = 9} = 0,20 + 0,05 = 0,25;
P{Z = -1} = P{X = 1, у/Y = 2} = P{X = 1, У = 4} = 0,15;
P{Z = -2} = P{X = 1, У = 9} = 0,10;
P{Z = 4} = P{X = 4, У = 0} = 0,30;
P{Z = 2} = P{X = 4, У = 4} = 0,20.
Таким образом, закон распределения с. в. Z = X — y/Y имеет вид
%i	-2	-1	1	2	4
Pi	0,10	0,15	0,25	0,20	0,30
6.13.13.	Используя условие задачи 6.13.12, описать закон распределения с. в.:
a) Zi = X+У;	б) Z2 = \X- У|;
в) Z3 = у/Х2 + Y2.
6.13.14.	X и У — независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же геометрическому закону с параметром р = 0,7 (р — вероятность успеха в одном испытании). Описать закон распределения с. в. Z = X + У•
'4 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
417
6.13.15.	Совместное распределение с. в. X и Y задано плотностью распределения вероятностей
f(x у) = /Х + У' ПрИ Х Е t°’ У G '°’ ’	10, в противном случае.
Найти:
а)	функцию распределения вероятностей с. в. Z = X + У;
б)	плотность распределения fz(z).
Q a) Fz(z) = Fx+y(2) = Р{Х+У < z} =	dxdy, где область Dz
dz
есть множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют неравенству х+у < z, где z — произвольное число (на рис. 93 область Dz есть часть квадрата (О^я?^1,О^г/^1), лежащая ниже прямой у = —х + z). При z О, очевидно, F(z) = 0 (вне квадрата f(x,y) = 0). Если 0 < z 1 (область Dz заштрихована на рис. 93), то
Рис. 93
Рис. 94
Если 1 < z 2 (см. рис. 94), то
F(z) = ^.х + у) dxdy -D,
[ dx (ху + ~
dx
z-l
418
О
о
dx =
i
z — 1
_ z2 - z z3 — 3z2 + 3z — 2	2z2 — z3 z3 — 3z2 + 3z - 2 _
2	+	3	+	2	6
= ~2г3 +,б2? - 2 = l(-*3 + Зг2 - I)-О	о
Наконец, если z > 2, то
1 1
D
Таким образом,
О, Z3 3’
Z'
при
при
z О, О < z
з
3“
при
при
z > 2.
о
о
2
Z
б) Находим fz(z), используя равенство fz(z) = ^и(г):
°, fz{z) = < Z2,
I —z2 + 2z,
при z 0 или z > 2, при 0 < z	1,
при 1 < z	2.
оо
Можно убедиться, что J fz(z) dz = 1. —оо
6.13.16.	Используя условие задачи 6.13.15, найти F^(z) и Z = X - Y.
6.13.17.	Используя условие задачи 6.13.15, найти Fz(z) и Z = X • Y.
fz(z), где
fz(z), где
6.13.18.	Случайные величины X и Y независимы и имеют равномерное распределение: X ~ Я[0; 1], Y ~ _R[—1;2]. Найти плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
Q Найдем закон распределения суммы независимых с. в. двумя способами.
Способ 1. Сначала найдем функцию распределения с. в. Z = X + Y.
Система двух с. в. (X, Y) равномерно распределена в прямоугольнике
ABCD (см. рис. 95), поэтому
Fz(z) = P{Z < z} = Р{Х + Y < z} = уjf(x, у) dxdy =
dz	Dz
ljfi(x)f2(y) dxdy,
419
где область Dz — часть этого прямоугольника, лежащая ниже прямой х + у = z, т. е. у = —х + z; f(x, у) — плотность распределения двумерной с. в. (Аг, У); fatx) = fx(x) и f2(y) = fy(y) — плотности распределения вероятностей случайных величин X и У соответственно. По условию
Л(®) =
1,
О,
х е [0; 1], х $ [0; 1],
fl
и /2(2/) = < 3’ [о,
У е [—1;2], yt [-1;2].
Так как с. в. X и У независимы, то f(x,y) = fi(x)f2(y) = 1 • прямоугольнике ABCD (вне его f(x,y) = 0).
в
Рис. 95
Следовательно,
Fz(z) =	= dxdy = |SD.
Dz	Dz
(здесь Sdz — площадь области Dz\ Отсюда имеем:
1)	если z — 1, то F(z) — 0;
2)	если -1 < z 0, toF(z) =	1 = | • |(z + l)(z + 1) =
L о	J и Z	О
поскольку в этом случае область Dz — прямоугольный треугольник с катетами z + 1 и z + 1 (на рис. 95 область Dz заштрихована).
420
Площадь области Dz можно, конечно, найти с помощью интеграла (хотя этот способ более громоздкий):
_ 2z2 + 4z + 2 - z2 - 2z - 1 _ z2 + 2z + 1 _ (* + l)2
2	2	“	2	'
3)	если 0 < z 2, to F(z) = i • -—+ -• 1 =	, так как
область Dz в этом случае представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями z + 1 и z (проверьте!); ее высота равна 1.
4)	если 2 < z 3, то
F(z) = ^(Soabcd-S^csf) = | (1 • 3 - |(1 - (z - 2)) • (1 - (z - 2))) = = j(3-i(3-z)i 2) =l-|(3-z2).
Или, иначе, используя интегралы:
dx
^(sz-6 + z-z2 + 2z-± +	2) + 1 - z + 2
0 \
i (~z2 + 5z —Z +	o2) ) = |(-2z2 + 10z-7 + z2-4z + 4) =
3 у	2	2 J о
= |(-z2 + 6z - 3) = -|(z2 - 6z + 9 - 6) = 1 - j(z - 3)2;
5) если 3 < z, то F(z) = xSd2 = ^Sqabcd = « - 3 = 1. Таким образом 0	0	0
421
Отсюда
z —1, z > 3,
z 4- 1
/z(z) = F'(z) = ! 3
Способ 2. Найдем плотность распределения с.в. Z = X+Y, используя формулу свертки:
fz(z) = / fi(x)f2(z - х) dx.
Функции под знаком интеграла отличны от нуля лишь в случае
Решение системы зависит от значения z.
Если z < — 1, система (13.1) несовместна; отрезки [0; 1] и [z — 2; z 4-1] не пересекаются (см. геометрическую иллюстрацию на рис. 96). Следовательно, в этом случае f2(z — х) =0 и, значит, /(z) = 0. —----------------------------- ---------——-----------------—
z~2
z—2
Рис. 96
Рис. 97
Если — 1 < z 0, система (13.1) эквивалентна неравенству 0 х z 4-1 (рис. 97). Поэтому
fsdx~ 3
о
Если 0 < z 2, система (13.1) эквивалентна неравенству 0 х 1 (рис. 98). Поэтому
/W- f}dx- з'
z~2 z-bl
Рис. 98
2 + 1

0	1
422
Если 2 < z 3, система (13.1) эквивалентна неравенству z —2 х 1
(рис. 99). Поэтому
1
f(z)= f\dx = Ul-z + 2) = l-l
J о	о	о
z-2
Рис. 100
Рис. 99
Если 3 < z, система (13.1) несовместна, так как отрезки [z — 2; z 4-1] и [0; 1] не пересекаются (рис. 100); т. е. f2(z — х) = 0 и f(z) = 0.
Итак, как и в первом случае, 0, х —1, х > 3, z -Ь 1	1 . п
2 ,	1 ,2 0,
о <z $2, 1-1 2 < z 3.
О
6.13.19. Найти плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0; 2].
6.13.20. Найти закон распределения суммы Z двух независимых случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону: X ~ W(0; 1), У ~ N(0; 1). Найти M(Z) и D(Z).
6.13.21. Случайные величины X и У независимы и распределены по
показательному закону:
0,2е-°-2 * 4», ОО,
0, у < 0.
о
{1	_ 1
le 41, х 0,	, , .
4	Л (2/) =
0, х < 0, Найти композицию этих законов.
Плотность распределения с. в. Z = X+Y найдем, используя формулу
g(z) = / /1 (*) • /2(2 - х) dx.
о
Имеем
Z	Z
g(z) = J0,25е“°’25:г • 0,2е-°’2(г-х) dx = 0,05е"°’22 Je'0’25l+0’20x dx = о	о
= 0,Обе-0,22 f е-°-05х dx = -е о
0,2z _	0,05а;
= e-0,2z • (1 - е
0,05z
0
423
6.13.22.	Найти законы распределения с.в. Z = X + Y, где X и Y — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0; 1]
и»
х е [0; 1], х t [0; 1],
/у (у) =
У € [0; 1],
У t [0; 1]
6.13.23.	Известно, что с.в. X распределена по показательному закону
fx(x) = <
0,Зе-°’3х,
0,
х 0,
х < 0,
а с.в. У ~ /?[0;2] и не зависит от X. Найти плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
Дополнительные задания
6.13.24.	Случайный вектор (X, Y) распределен по закону, заданному таблицей
Х\У	—2	-1	0	1
-1	0,02	0,16	0,24	0,03
0	0,05	0,15	0,10	0,06
2	0,03	0,09	0,06	0,01
Найти:
а)	законы распределения с.в. X и Y;
б)	законы распределения с. в. Z = —5Х + 2 и W = |У3 — 1|;
в)	математические ожидания и дисперсии случайных величин Z и W.
6.13.25.	Дискретная с. в. X задана своим рядом распределения
Xi	-2	-1	0	2	7
Рг	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1
Найти дисперсию с.в. Y = у/Х + 2.
6.13.26.	Непрерывная с.в. X распределена равномерно в интервале Найти:
а)	плотность распределения с. в. У = sinX;
б)	числовые характеристики М(У) и Р(У).
6.13.27.	Случайная величина X распределена по закону Коши
№) =
7Г(1 + Ж2) ’
х € R.
Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины:
б)	У = х3.
424
6.13.28.
6.13.29.
6.13.30.
6.13.31.
6.13.32.
6.13.33.
6.13.34.
6.13.35.
Случайная величина X имеет плотность распределения
Найти плотность распределения вероятностей д(у) случайной величины:
a) Y = 6Х 4- 3;	б) Y = |Х|;
в) Y = е-л2.
Пусть f(x) — плотность распределения н. с. в. X, х € (—оо, оо). Найти плотность распределения д(у) случайной величины У, если:
a) Y = -X;	б) Y = X + 10;
в) У = X2;	г) У = arctgX.
Пусть F{x) — функция распределения н. с.в. X. Выразить через нее функцию распределения F(y) случайной величины У, если:
а) У = 2X4-3;	б) У = е-х;
в)	Y = X3.
Случайная величина X имеет плотность распределения
V 2тг
Найти плотность распределения вероятностей д(у) случайной величины У, если:
a) Y = X;	б) Y = |Х - 1|;
в) Y = ЗХ + 1.
Известно, что н. с. в. X ~ Я[0,2]. Найти функцию распределения и плотность распределения случайных величин
У = -2X4-4, Z = |X-1|.	।
Найти M(Y) и D(Y).
Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух стрелков (X и У соответственно), таковы:
Xi	8	9	10
Pi	0,1	0,3	0,6
Vi	8	9	10
Pi	0,2	0,3	0,5
Описать закон распределения суммы очков, выбиваемых этими стрелками.
Используя условие задачи 6.13.15, найти Fr(t) и /тВД, где
Совместное распределение с. в. X и У задано плотностью распределения вероятностей
если 0 х 1,	тг,
в противном случае.
Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z = X 4- У.
425
6.13.36.	Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены по закону 7V(0,1). Найти распределение с. в. Z = X1 + У2.
6.13.37.	Используя условие задачи 6.13.18, найти функцию и плотность распределения вероятностей с.в. Z —
Рис. 101
6.13.38.	Случайная точка (X, Y) распределена равномерно в квадра-
те со стороной 1 (рис. 101). Найти закон распределения с.в.
S = XY.
fxvfay) = *
1, 0 х 1, 0 у 1;
0, в противном случае.
6.13.39.	Найти функцию распределения и плотность распределения ве-
роятностей с.в. Z = тах{Х, У}, где X и Y — непрерывные, независимые, равномерно распределенные на отрезке [0,1] случайные величины.
6.13.40.	Заданы плотности распределения вероятностей двух независимых с. в. X и У:
I, v е[1,2], о, У «<[1,2].
Найти плотность распределения суммы Z = X + Y.
6.13.41.	Время Ti, в течение которого клиент ожидает обслуживания, и
само время обслуживания — две независимые непрерывные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметрами Ai и Аг ^4 Ai соответственно. Найти плотность распределения вероятностей общего времени Т = Т\ + Тг, проведенного клиентом в системе массового обслуживания.
6.13.42.	Независимые случайные величины X и У распределены по од-
ному и тому же:
а)	показательному закону с параметром А = 0,1;
б)	равномерному закону в интервале (0,1).
Найти M(Z), где Z = X + У.
426
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.13.43.	Известно, что с. в. X ~ Х(а, ст). Показать, что с. в. У, связанная со с. в. X линейной функциональной зависимостью У = кХ + Ъ (k,b е К), также распределена по нормальному закону. Чему равны М(У) и а(У)?
6.13.44.	Известно, что с. в. X ~ Я[—1,2]. Найти плотность распределения с. в. У = |Х|. (Найти /х(ж) в интервале (—1; 1), а затем в интервале (1; 2).)
6.13.45.	Пусть F(x) — функция распределения непрерывной случайной величины X. Найти функции распределения случайных величин У = 16Х2 — 9, Z = е~зх, выразив их через функцию распределения с. в. X.
6.13.46.	Случайная величина X имеет показательное распределение с плотностью
/(ж) =
О,
0.
Будет ли иметь показательное распределение с. в. У = X + 1? Найти функцию плотности распределения случайных величин У = 2ех + 6, Z = X2.
6.13.47.	Будут ли независимы с. в. X и У, если их совместное распределение f(x,y) является равномерным:
а)	в области D = {(х,у) :	0	1 - я};
б)	в области F = {(х,у) : 0 С х С 1, 0 С у С 2}?
6.13.48.	Используя условие задачи 6.13.35, найти Fz(z) и fz(z), где Z=
6.13.49.	Известно, что X и У — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение: X ~ 7V(0; 1), У ~ 2V(0; 1). Найти распределение с. в. Z = \/Х'2 + У2.
6.13.50.	Найти плотность распределения суммы двух равномерно распределенных на отрезке [—1; 1] независимых случайных величин X и У. Чему равна Fx+y(z)?
6.13.51.	Студент при поездке в институт пользуется метро и троллейбусом. Поезд метро приходится ожидать не более 3 минут, а ожидание троллейбуса не более 8 минут. Считается время ожидания поезда в метро и троллейбуса непрерывными с. в. X и У, распределенными равномерно соответственно в промежутках [0; 3] и [0; 8], найти плотность распределения вероятностей общего времени ожидания Z — X + У.
427
§ 14. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Во многих задачах теории вероятностей изучаются случайные величины, являющиеся суммами большого числа других случайных величин, т. е. зависящие от большого числа случайных факторов. Определенные свойства таких случайных величин описываются совокупностью так называемых предельных теорем, которые, в свою очередь, разбиваются на две группы теорем — «закон больших чисел» и «центральная предельная теорема».
Группа теорем, называемых «законом больших чисел», устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат может быть предсказан с достаточной точностью. Другая группа теорем, называемая «центральной предельной теоремой», устанавливает, что при достаточно общих и естественных условиях закон распределения суммы большого числа случайных величин близок к нормальному.
Неравенство Чебышева и закон больших чисел
Теорема 6.9 (Неравенство Маркова). Если с. в. X принимает неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого е > 0 имеет место неравенство:

Это неравенство, очевидно, равносильно следующему
Р{Х <е}^1-
М(Х)
Е
Теорема 6.10 (Неравенство Чебышева). Если с. в. X имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого е > 0 имеет место неравенство
Р{|Х - М(Х)| е} < е2
Неравенство Чебышева можно заменить равносильным
Р{|Х-М(Х)|<£}>1-^.
(14.1)
Неравенства Маркова и Чебышева можно использовать для оценки вероятностей событий, связанных со случайной величиной, распределение которой неизвестно.
428
Если с. в. X = т имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием М(X) = а = пр и дисперсией D(X) = npq, неравенство Чебышева имеет вид
P{|m - np| < е} 1 -
Для относительной частоты события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, неравенство Чебышева принимает вид
1 _ 21
1 ' П£
(14-2)
Основной формой «закона больших чисел» считается
Теорема 6.11 (Чебышев). Если случайные величины Х\, Х2,..., Хп, .. независимы и существует такое число с > 0, что D(Xt) с (г = 1,2,3,...), то для любого е > 0 выполняется неравенство	z
<4 > i-A- (14.3) г=1	г=1	}
Из неравенства (14.3) следует предельное равенство
1 = 1 1=1
Теорема Чебышева показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин как угодно мало отличается (с вероятностью близкой к 1) от среднего арифметического их математических ожиданий.
Следствие 6.1. Если с.в. Xi, Х2,..., Хп,... независимы и одинаково распределены, с математическим ожиданием а и дисперсией а2, то для любого е>0
Следствие 6.2 (Теорема Бернулли). Если в условиях схемы Бернулли вероятность наступления события А в одном опыте равна р, число наступлений этого события при п независимых испытаниях равно т, то для любого е > 0
lim P{|S-p|<£} = l.
п—>ОО k ’ /ь 1 J
429
Центральная предельная теорема
Сформулируем центральную предельную теорему для случая одинаково распределенных слагаемых.
Теорема 6.12. Пусть независимые с. в. Xi, Х2, Х3,..., Хп,... одинаково распределены с математическим ожиданием а и дисперсией ст2. Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы Zn этих случайных
величин	£ А.-па „   г=1	\t = l	/   г=1 	 t	 	 .— /	/ п	\	СГу/П \ D ( Е At У \г=1	/
стремится случайной	при п —> оо к функции распределения стандартной нормальной величины: г t2 Fzn (ж) = P{Zn < а?}	> Ф(ж) =    I е 2 dt. п->о°	у2тг J — оо
Из центральной предельной теоремы, в частности, следует, что при больших п сумма Sn = Ai + Х2 + . •. + Хп приближенно распределена по нормальному закону:	'
Sn ~ N(na, у/па}.
Напомним, что:
1. С.в. А называется центрированной и нормированной (т.е. стандартной), если М(А) = 0 и £>(А) = 1.
2. Функция Лапласа f t2
Ф(х) = I е~ 2 dt у2тг J — ОО
связана с нормированной функцией Лапласа
Фо(ж) =
® #2
-5— e-2dt
равенством
Ф(ж) = | + Фо(ж). Li
Из теоремы 6.12 также следует, что при достаточно больших п (уже при п > 10) выполняется соотношение
P{q < Sn
< /?} ^ Фо
/?-М(5п)\
a(sn) 7
— Фо
a-M(Sn)\
<?(Sn) )
(14.4)
Частным случаем центральной предельной теоремы являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
430
6.14.1.	Дискретная с.в. X задана рядом распределения
	0	2	6	10
Pi	0,2	0,3	0,4	0,1
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х -М(Х)\ < 5.
Q Найдем сначала математическое ожидание и дисперсию с. в. X:
М(Х) = 0 • 0,2 + 2 • 0,3 + 6 • 0,4 + 10  0,1 = 4;
D(X) = О2 • 0,2 + 22 • 0,3 + 62 • 0,4 + 102 • 0,1 - 42 = 25,6 - 16 = 9,6.
Согласно формуле (14.1), получаем следующую оценку вероятности:
Р{ IX — 41 <5} ^1-^ = 1- 0,384 = 0,616.	•
5'
6.14.2.	Средний срок службы прибора 10 лет. Используя неравенство Маркова, оценить вероятность того, что данный прибор не прослужит более 15 лет.
6.14.3.	Дискретная с. в. X задана законом распределения:
	1	2	3	4	5
Pi	0,10	0,15	0,30	0,25	0,20
Найти вероятность события А = {|Х — М(А")| < 1,5}. Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.
6.14.4.	Непрерывная с. в. X ~ /2(2,8). Найти вероятность события А = {3,5 < X < 6,5}; оценить вероятность события А, используя неравенство Чебышева.
Q Случайная величина X имеет плотность распределения
/(х) =
ж 6 (2,8), xt (2,8).
Используя формулу
Р{а <Х <
/3
/3} = f f(x)dx, а
находим вероятность события А. Имеем:
6,5
Р(А)= f 1^ = 1.^ = | = |, т.е. Р(А) = 0,5.
3,5
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X таковы:
ltf(YX — Г° + _ 8 + 2 _ -	— Г (^ — а)2 1 _ 36 _ о
М(А)-	—-5, 2>(А) —	-^-3.
431
Так как
А = {3,5 < X < 6,5} = {-1,5 < X - 5 < 1,5} = {|Х - 5| < 1,5},
то, используя неравенство Чебышева (14.1), получаем (здесь е = 1,5) искомую оценку:
Р(А) = Р{ |Х - 5| < 1,5} 1 -	= -1.
1,5" о
Получили неинтересную (грубую) оценку; вероятность любого события всегда неотрицательна!	Ф
6.14.5.	Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что с. в. X отклонится от своего математического ожидания М (X) менее, чем на: а) <т;	б) 3<т;
в) 9сг, где а = y/D(X) — среднее квадратическое отклонение с.в. X.
6.14.6.	X — непрерывная с. в. с плотностью распределения
f(x) =	х е R.
Найти:
а)	Р{|Х| < 2};
б)	оценку вероятности события {|Х| < 2}, используя неравенство Чебышева.
6.14.7.	Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оценить вероятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших будет заключено в пределах от 300 до 380.
6.14.8.	Устройство состоит из 400 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них за время Т равна 0,01. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что модуль разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется не менее 5.
6.14.9.	Число дождливых дней в году для данной местности является с.в. X с М(Х) = 100. Оценить вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 140 дождливых дней.
6.14.10.	Парикмахерская обслуживает в среднем 120 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в данной парикмахерской будет обслужено: а) не менее 150 клиентов; б) менее 160 клиентов.
6.14.11.	Оценить вероятность того, что при 15000 подбрасываниях монеты относительная частота появления герба отклонится от вероятности появления герба при одном подбрасывании по модулю меньше, чем на 0,01.
432
Q Рассматриваемые испытания удовлетворяют схеме Бернулли. Воспользуемся неравенством (14.2). Имеем р = q = п = 15000, в = 0,01, поэтому
т _ 1
15000	2
1.1 -----—--------т » 0,83, 15000 0.012
т.е. Р 0,83.	•
6.14.12.	Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероятность отклонения относительной частоты выпадения 6 очков от вероятности этого события (по модулю) на величину, меньшую, чем 0,02.
6.14.13.	В урне находится 20 белых и 80 черных шаров. Из нее извлекают, с возвращением, 40 шаров. Оценить вероятность того, что количество белых шаров в выборке заключено между 4 и 12.
6.14.14.	В автопарке 200 автомобилей. Каждый из них за время эксплуатации t может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью 0,04. Оценить вероятность того, что доля надежных автомобилей отличается по модулю от вероятности безотказной работы любого из них не более чем на 0,1.
6.14.15.	Игральная кость подбрасывается 400 раз. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое числа выпавших очков отклонится от математического ожидания числа очков, выпавших при однократном подбрасывании кости, по модулю меньше, чем на 0,1.
Q Обозначим через Xi(i = 1,2,...,400) — число очков, выпавших на грани кости в г-м испытании.Эти случайные величины независимы; име-ют одно и то же математическое ожидание, равное (см. задачу 6.10.2) и £
35
ограниченные в совокупности дисперсии, равные (см. задачу 6.10.2). Поэтому к данной последовательности случайных величин JVi, JV2, -. -... 5X400 применим закон больших чисел (теорема Чебышева).
Искомую оценку получим, используя неравенство (14.3), где п = 400, с = D(X,) = M(Xi) = 1,е = 0,1: Д.
Л	400	400
400 52 Xi ~ 400 52	< °Д k =
k	i=l	г=1	7
z	400
=	400 52 Xi ~ 2 С 0,1 > 1 " 12 • 400 - 0,01 = 48 ~ °’271’
k	i=l	'
6.14.16.	Дисперсия каждой из 2000 независимых с.в. не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих с. в. от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,04.
433
6.14.17.	Применима ли к последовательности независимых с. в. Xi, Х2, Х3,... теорема Чебышева, если закон распределения каждой из
C. B. An
	—па	0	па
Pi	0,25	0,5	0,25
, пде а
1,2,3,...) имеет вид:
б)
%n,i	—п 1	п 1
Pi	0,5	0,5
0;
•Еп,г	-П0’1	П0’1
Pi	0,5	0,5
6.14.18.	Сколько раз нужно измерить длину детали, истинное значение которой а, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от а по модулю меньше, чем на 1, если дисперсия каждого измерения меньше 16?
6.14.19.	На отрезке 0; случайным образом выбраны 162 числа, т.е. рассматриваются 162 независимых и равномерно распределенных случайных величин Х15 Хз, Хз, ..., Х162- Найти вероятность того, что их сумма заключена между 22 и 26.
Q Пусть Xi + Хз + Х3 + ... + Х162 = 5162- Случайные величины независимы, одинаково распределены с математическим ожиданием М(Х{) — Га + 61	1	_______Л	Г(6-а)21
= тхк- Условия цент-
L 2 J 8	~	[ 12 j
ральной предельной теоремы соблюдены, поэтому случайная величина 5162 приближенно распределена по нормальному закону с плотностью
(s — M(S162))2
(s) « —----------z= e	2 •°2(5162) .
Итак, 5i62 ~ N (162 •
162  и Tq9 )• Так как V л У^ /
162	\	162
4=1
162
i=l
162
1 1Л9	81
gl62 = T
4=1	7 i=l
то, применяя формулу (14.4), получим
1 .162 = —
192	32 ’
« ФО(6,26) - Ф(1,91) « 0,5 - 0,4719 = 0,0281.
Итак, с вероятностью, приблизительно равной 0,03, можно утверждать, что сумма 162 случайных чисел, выбранных на отрезке 0;	, заключена
между 22 и 26.	Ф
434
6.14.20.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что число попаданий в цель будет больше 52, если он произвел 84 выстрела.
6.14.21.	Складываются 300 независимых случайных величин Xi, Х2,..  .. .,А’зоо, равномерно распределенных на отрезке [0;0,4]. Найти:
300
а)	приближенное выражение плотности с. в. Y = ^2
б)	вероятность события А = {56 < Y < 65}.	*=1
6.14.22.	Напряжения на выходах 40 каналов радиотехнического устройства есть независимые с.в. с математическими ожиданиями, равными 5 В и дисперсиями, равными 10 В. Найти вероятность того, что напряжение на выходе устройства, суммирующего напряжения каналов:
а)	будет находиться в пределах от 140 В до 200 В;
б)	превысит 180 В.
6.14.23.	При статистическом отчете складывается 900 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 0,001. Предполагается, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (—0,5 • 10~3; 0,5 • 10-3). Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью, не меньшей, чем 0,996, будет находиться суммарная ошибка.
Дополнительные задания
6.14.24.	Игральная кость подбрасывается 120 раз. Оценить вероятность того, что:
а)	число появлений 6 очков будет не меньше 30;
б)	6 очков появится от 12 до 28 раз.
6.14.25.	Монета подбрасывается 100 раз. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число выпавших гербов будет находиться в пределах от 40 до 60. Найти вероятность этого же события с помощью интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6.14.26.	Случайная величина. X задана функцией распределения
(0,	при х С 1,
(х — I)2, при 1 < х 2, 1,	при 2 < х.
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность события А = ||АГ — М(А')| <
6.14.27.	Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 20 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см.
Найти р||Аг-М(АГ)| < И. X J	L	£ J
435
Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали находится в пределах от 19,6 до 20,4 см.
6.14.28.	Известно, что: X и Y — неотрицательные независимые случайные величины; М(Х) = 2, M(Y) = 7. Оценить вероятность событий А = {X + Y < 16}, В = {ХУ < 42}.
6.14.29.	Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Оценить вероятность того, что при посеве 4000 семян:
а)	отклонение числа взошедших семян (с.в. X) от М(Х) не превзойдет по модулю 100;
б)	отклонение доли взошедших семян от вероятности всхожести любого из них не превзойдет по модулю 0,03.
6.14.30.	Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 800 новорожденных детей мальчиков будет от 370 до 430 включительно. Считать вероятность рождения мальчика равной 0,5.
6.14.31.	Сколько раз надо подбросить монету, чтобы вероятность отклонения относительной частоты появления герба от вероятности его появления при одном подбрасывании на величину, меньшую 0,1, была: а) больше 0,90;	б) больше 0,98?
6.14.32.	Известно, что с.в. X имеет плотность распределения
(х2е~х х>0
0, х < 0.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность события А = {X € (0; 6)}.
6.14.33.	Дисперсия каждой из независимых с.в. Х$, означающей
6.14.34.
6.14.35.
6.14.36.
продолжительность горения электролампочки, не превышает 30 часов. Сколько лампочек надо взять для испытаний, чтобы вероятность того, что отклонение средней продолжительности горения лампочки от среднего арифметического их математических ожиданий меньше (по модулю) одного часа, была не меньше 0,90?
Удовлетворяет ли последовательность Xi, Х2,..., Хп,... независимых с. в., имеющих плотность fxt(x) =--* 2x2 ’ законУ
больших чисел?	(1 + ж )
Вероятность искажения одного сигнала равна 0,02. Пользуясь центральной предельной теоремой, найти вероятность того, что из 1000 переданных сигналов будет искажено: а) больше 22;	б) меньше 40.
Поезд состоит из 49 вагонов. Вес вагона — случайная величина X, для которой М(Х) = 60 т, <т(Х) = 7 т. Локомотив может везти поезд, если масса последнего не превосходит 3000 т.
436
В противном случае подцепляют дополнительный локомотив. Какова вероятность того, что этого делать не придется?
6.14.37.	Игральная кость подбрасывается 360 раз. Найти вероятность того, что суммарное число очков будет находиться в пределах от 1200 до 1298 (т. е. Р{1200 < S3eo С 1298}).
6.14.38.	Приживаются в среднем 70% от числа посаженных саженцев. Сколько нужно посадить саженцев, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, ожидать, что отклонение числа прижившихся саженцев от математического ожидания не превышает по модулю 40? Решить задачу с помощью неравенства Чебышева.
6.14.39.	Пусть ХЪХ2,... ,Х100 — последовательность независимых стандартных случайных величин (т.е. Х{ ~ 7V(0; 1)). Используя центральную предельную теорему, найти вероятность того, что с. в. Sioo = X? + Х$ + ... + Xf00 примет значение больше, чем 125,8.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.14.40.	Оценить вероятность того, что с. в. X отклонится от своего математического ожидания 7И(Х) менее чем на Зсг(Х). Указать эти вероятности для с. в. X, имеющей: а) показательное распределение;
б)	равномерное распределение;
в)	нормальное распределение.
6.14.41.	Игральная кость подбрасывается 100 раз. Оценить вероятность того, что суммарное число очков (с.в. X): а) будет не менее 400;
б) отклонится от математического ожидания М(Х) меньше, чем на 25.
6.14.42.	Общая стоимость всех букетов в цветочном киоске составляет 18000 руб. Вероятность того, что стоимость взятого наугад букета не превышает 300 рублей, равна 0,7. Что можно сказать о количестве букетов в киоске?
6.14.43.	Вероятность выхода из строя элемента радиотехнического устройства за время Т равна 0,1. Оценить вероятность того, что за время Т из 100 элементов выйдет из строя менее 20.
6.14.44.	Применима ли к последовательности независимых с. в. Xi,... . •  , Хп,..., где
Xi ~ R(a,b),
теорема Чебышева?
437
6.14.45.	Доказать теорему Маркова:
Пусть Xi,Х-2,...,Хп — последовательность независимых с. в., для которых
п
lim 4 52 £*№) = °-
n—>оо 77/	'
t=l
Тогда для любого е > О
6.14.46.	Найти
lim а—>оо т=0
где а — целое положительное число.
6.14.47.	Известно, что случайные величины Xi,%2> • • • имеют равномерное распределение соответственно на промежутках (0; 1), (0; 2),..., (0; п). Как будет меняться с. в.
i=i
при увеличении п?
Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть D — некоторое подмножество комплексной плоскости С. Комплексной функцией f(z) с областью определения D называется отображение, которое каждой точке z Е D ставит в соответствие комплексное число w = f(z).
Если z = х + iy, w = и + w, то можно записать /(г) в виде
f(z) = и(х,у) + iv(x,y),
где и(х,у) = Ref(z) — действительная часть f(z), v(x,y) = Im/(z) — мнимая часть f(z).
Укажем некоторые элементарные функции комплексного переменного:
e’2 = cos z + г sin z, z ezz — e~lz sm?=	2i	, ,	e2 — e~z shz=	2	,	G IR (формула Эйлера), eiz+e~tz	M cosz=	2	,	(1.1) ,	e + e chz= 2	’
In 2 = In |z| + г arg г (arg z G (—тг, тг]), Ln z = In |z| + i Arg z = In |z| + i arg z + i • 2nk = lnz + i- 2тгк (fc € Z).
Заметим, что Ln z — многозначная функция, которая каждому числу z О ставит в соответствие бесконечное множество значений {Lnz}.
7.1.1. Для данной функции /(д) — и(х,у) + iv(x,y), где z = х + iy, найти действительную часть и(х,у) и мнимую часть v(x,y): а) /(*) = z2;	б) /(z) =
в) f(z) = е2;	г) f(z) = sinz.
Q a) z2 = (x+iy)2 = x2 + 2x-iy + (iy)2 = x2 +i-2xy — y2 = (x2 — y2) + i-2xy, т.е. u(x,y) = x2 - y2\ v(x,y) = 2xy.
6)	i =	1	=	1	= x + iy = x + iy = x +
* x + iy x — iy (x — iy)(x + iy) x2 + y2 x2 + y2
+»• 2 , 2. t.e. u(x,y) = —x v(x,y) = —y
x + y	x + у	xz + yz
в)	ez = ex+ly = ex • eiy = ex ' (cos у + i sin y) = ex cos у + i • ex sin у, t. e. u(a?5 y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y.
439
ч . е — е гг г) sin Z =------—------
2г
е~г
гх-у
-- 2^	*1/ Т Ь 0111 «1> )   С--Л> ) “Г b 0111^ Л>)) )     2	-   С ) т \\	— е	еу -Ь е
+isinx(e_y+ey)) = г cosx--------------l-sinx---------= sinxch2/+icosxsh2/,
т.е. и(х,у) = sinхch?/; v(x,y) = cos?/sh?/.	Ф
Для данных функций найти их действительную часть и(х, у) и мнимую часть и(х,у):
7.1 «2«	Z.	7.1.3»	iz.
7.1.4.	(г)2-	7.1.5.	z2 — 2z + i.
7.1.6.	Z3.	7.1.7.	Re z + i Im z.
7.1.8.	Z + Z.	7.1.9.	1 + i
			z — i
7.1.10.	1	7.1.11.	-I-
7.1.12.	ег.	7.1.13.	e iz.
7.1.14.	shz.	7.1.15.	sin(2z).
7.1.16.	cos г.	7.1.17.	ilnz.
7.1.18.	ln(z2).	7.1.19.	sh(z + i).
7.1.20.	Для данной функции f(z), где z —		гегч>, найти |/(z)| и Arg/(z):
	a) /(z) = z2;	б) /(г) =	
	в) /(«) = ez.		
Q а) Имеем z2 = (relv>)2 = г2 • е1'2^. Так как |ег$£>| = 1 для любого действительного <р, a Arg(et¥’) = ip + 2тгАг, k G Z, то
|z2| = г2, Arg(z2) = 2<р + 2тгАт,
к е z.
б) Так как 1	= |
z Teiv Те~1<? г
ег<р, то
| =	Аг&(|) = <Р + 27Г^
к G Z.
в) Поскольку ez = ex+iy = ех • егу = ercos<fi • e2rsin^? то
|е2| =егсов^
Arg(e2) = г sin с/9 + 2?rfc, к G Z.
Для данных функций f(z) найти |/(z)| и Axgf(z):
7.1.21.	г.	7Л-22- Д-
7.1.23.	z3.	7.1.24. zn.
7.1.25.	z"5.
7.1.26.	Определить функцию f(z), где z — х + iy, если Re/(z) = х и Im/(z) = -?/.
ф Так как z = х + iy, a z = х — гу, то z + z = 2х, z — z = Улу, откуда
Z + Z
х =
2 ’
z — z .z — z
у = -1Г = -г—
(1-2)
440
Следовательно, f(z) = x — iy = —z — i • z z- =	z 2 = z. Итак,
7.1.27.	Определить функцию f(z), где z = х+iy, если Re f(z) — ex cos у и Im/(z) = ex sin y.
Q Имеем:
/(z) = ex cosy 4- iexsin2/ = eI(cos?/ 4- г siny) = ex • егу = ех+гу = ez.
Другой способ: воспользуемся равенствами (1.2) и (1.1). Тогда
~V
f(z) = ex cos у + г - exsiny = e 2 cos — z + z / 1 / . z — z .z — z
= e 2 ( a (el 2t +е-г
=	2 [e 2 +e~2 +e
X	\
2t
1 / .z - z Ti(e 2i -e
. z — z
Sm 2г
. z — z ~г 2i
— z	z — г \ -I z + z
2 ~e 2 ) = 2е 2
z — z
• 2e 2 =e2.
Определить функцию f(z), где z = х + гу, по заданным Ке/(г) = и(х, у) и Imf(z) = v(x,y):
7.1.28.
7.1.30.
и = —?/, V = X.
X
u = m~^ v =
7.1.32.
У
2 + У2' и = ch у cos т, v = — sh у sin х.
Найти значение функции z —
О Имеем:
7.1.29. и = х2 — у2, и = 2ху.
А в точке 3 4- 2г. £
= 3 - 2г -
3 - 2г
= 3 - 2г -
2
_2_\ = 36 _ • 24
13/	13	13’
7.1.33.	Вычислить значение z5 в точке
у/2	.у/2
z°~ 2 + г 2 '
Записать ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Q Так как вычисление значения
/Л , .\/2\5
( 2 +г 2 )
непосредственно в алгебраической форме довольно трудоемко, запишем
. 7Г
число Zq в показательной форме: zq = 1 • ег4 (см. рис. 102); отсюда следует, что
Zq = (1 • ег 4 ) = е1 4 = cos 4- г sin = \	/	4	4
/2	. v2
2 г 2 “ 2°’
441
Рис. 102
7.1.34.	Вычислить sin(7r + г).
Q Пользуясь формулами (1.1), получим
sin(7r + г) = i(ei(,r+i) - е"^’) = ^(e~1+i,r - е1"”) =
;^(е-1ег7Г — е1е-г7Г) = ^7(e-1(cos7r + гзттг) — e1(cos(-7r) + isin(—тг))) = 2i'	' 2л	'
= 1(е-1.(-1 + 0)-е1(-1 + 0)) = |е1-~е~1 =-ishl. • & It	I	£
Вычислить значения функции f(z) в точках zi} z%- В задачах 7.1.37-7.1.38 ответ записать в показательной, тригонометрической и алгебраической формах.
7.1.35.	f(z) = z2 — 2z + i, z\ ~ — 2 + 3г, z2 = 4 — 3г.
7.1.36.	f(z)= i — 2г, Zi = 1 — i, z2 =	'
z	z
7.1.37.	Z(z)= А, г1 =2 + 2г, г2 = 2е‘5.
H
7.1.38.	/(z) = z7, zj = | - z2 = 1/2 (cos^ +isin|).
7.1.39.	f(z) — ez, zi = 1 + г, Z2 = In 2 - Югтг.
7.1.40.	/(z) = chz, zi = ^г, 22 = 1пЗ + г^.
7.1.41.	/(z) = 1п(гг), zi = —1, 22 = 1-
7.1.42.	/(z) = cos z, zi = 2тг — г, 2г = 2ттг.
Дополнительные задания
Для данных функций f(z), где z = х + iy, найти их действительную часть и(х,у) и мнимую часть и(х,у):
7.1.43.	гг2.
7.1.45.	Re(z2) + г1ш((г)2).
7.1.47.	z-|z-l|.
7.1.44. (z)3 + 2г — 1.
7.1.46. ^Ц. г — г
7.1.48. icos(z-i).
442
7.1.49. sh(iz2).
7.1.51. tgz.
7.1.50. e1/2.
Для данных функций f(z), где z = гег*, найти |/(z)| и Arg/(z).-7.1.52. az, где a GR	7.1.53. z • peie, где p, 0 G R
7.1.54.	Цг, где n G N. zn
Определить функцию f(z), где z = x 4- iy, no заданным Ref(z) = u(x,y) и Im/(z) = v(x,y):
7.1.55.
7.1.56.
7.1.57.
= x2 _ y2 =___________________
“	(a.-2 + y2)2’ 2xy-
u = x3 — Зя?/2, v = у3 — Зя2?/.
x2 + У2 + 1 х2 4- у2 -и ~ Х -2 I „,2	’ V ~ У —2 I „,2
Вычислить значение функции f(z) в точке zq:
7.1.58.
7.1.59.
7.1.60.
7.1.61.
7.1.62.
= го = -2 + г.
/(z) = (z)2  Imz, zq = 1 — 2г.
/w = Л’ z°= 1 -
f(z) = 2isin2iz, zq = —1.
f(z) = sh(z + i), zq = 2 — i.
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.1.63.	Могут ли у двух различных функций комплексного переменного быть
а)	различные действительные части и одинаковые мнимые части;
б)	одинаковые действительные части и различные мнимые части;
в)	одинаковые действительные части и одинаковые мнимые части;
г)	различные действительные части и различные мнимые части?
7.1.64.	Верно ли, что е~ 0 при любом z G С?
7.1.65.	Решить уравнение sin z = 0.
7.1.66.	Существуют ли такие точки z G С, что | cosz| > 1?
7.1.67.	Верно ли, что функция sinz не ограничена на С?
7.1.68.	Найти все такие точки z G С, в которых значения функции ez чисто мнимые.
443
7.1.69.	Возможно ли однозначно задать функцию f(z), если известно, что
а)	l/WI = kl> Re/(z) = Rez (при Rez > 0);
б)	Arg/(z) = Argz, Re/(z) = Rez (при Rez > 0)?
§2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть функция /(г) определена в некоторой окрестности точки zq комплексной плоскости.
Производной /Z(zo) функции /(z) в точке zq называется предел
/(zo + Az) - y(z0) lim ДгчО
Az
если он существует и конечен.
Если существует производная f'fzo), то функция /(z) называется дифференцируемой в точке zq.	4=
Множество D точек расширенной комплексной плоскости С U {оо} называется областью, если
1) множество D открыто, т. е. для каждой точки, принадлежащей D, существует окрестность этой точки, принадлежащая Z);
2) множество D связно, т. е. любые две точки из D можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат D.
Функция /(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Функция /(z) называется аналитической в точке zq, если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки zq.
Теорема 7.1. Для того, чтобы функция /(z) = и(х, у) + iv(x, у) (z = х + iy) была дифференцируема в точке zq = xq + iyo, достаточно, чтобы 1) частные производные
ди(х,у)	ди(х,у)	dv(x,y)	ду(х,у)
дх ’ ду 1 дх ’ ду
существовали и были непрерывны в некоторой окрестности точки (хо,уо) (как функции двух действительных переменных х и у\,
2) в точке (a?o,J/o) были выполнены условия Коши-Римана du(x,y) = dv(x,y)	ди(х, у) _ dv(x,y)
дх	ду ' ду	дх	'
Заметим, что условия Коши-Римана являются необходимыми для дифференцирования функции /(z) в точке Zo = Хо + гуо.
444
В полярных координатах (г, у?) условия Коши-Римана записываются следующим образом:
ди(г,	_ 1 dv(r, tp) dv(r, <р)	1 ди(г, <р)
dr г dtp	’ dr	r dtp
Если существует производная f'(z), то ее можно записать одним из следующих способов:
ди .	_ dv _ ^ди _ ди _ ди _ dv ,  dv
дх дх ду ду дх 1 ду ду	1 дх
Л*
или
г/ f ч т (ди .  dv \	1 ( dv -ди\
/(*)=*(^+г^> = Ц^_г^Л
Для производных от функций комплексного переменного имеют место правила, аналогичные соответствующим правилам для производных от функций действительного переменного. А именно: если в точке z существуют производные f’(z) и </(z), то существуют и производные (С • /(г)) , (f(z) ± g(z)) > (/(г)' 5(z)) >	> причем выполняются следующие равенства:
(С-f(z))' =С где С е С, (/(*) ± sK*))' = f'(z) ± g\z), (f(z)  д(^)' = f'(z) • g(z) + f(z)  g'(z\
f(z)\_f,^-g^-f(z)-g>^
g(z)J	g2(z)
(при g(z) ф 0).
Если функция /(z) — аналитическая в области D, то ее действительная часть и{хлу) и мнимая часть и{хлу) являются функциями, гармоническими в D. Это значит, что у каждой из функций и{хуу) и v(x,y) существуют непрерывные в D частные производные 2-го порядка, и для каждой из них верно уравнение Лапласа
Л д2и . д2и п a d2v . d2v n	\ z- n
Au= —+ —=°, Av= —+ —=0 V(x,yjeD, dx dy	dx dy
где A — оператор Лапласа (см. с. 243). Если функция и(х, у) (функция v(x, у)) является гармонической в некоторой области D (вообще говоря, односвязной5), то существует аналитическая в D функция f(z) с действительной частью и(х,у) (соответственно, с мнимой частью v(x,y)), определяемая с точностью до постоянного слагаемого.
7.2.1.	Найти точки, в которых существует производная функции ег, и вычислить эту производную.
5То есть ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией. Области, описываемые в приводимых далее задачах, являются односвязными.
445
Q Так как (см. задачу 7.1.1 в) ez = ех cosy + i • ех sinт/, то
и(х, у) = ех cosy, и(х,у) = ех siny.
тт »	ди ди ди ди
Найдем частные производные =—,	тг- и выясним, в окрестно-
дх ду дх ду
стях каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках
плоскости выполняются условия Коши-Римана (2.1):
(е1 cos у) = excos?/,	(е1 sin у) = ех cosy,
дх дх' '	ду ду' ’
d'LL d'i)
т. е. = тЛ для любых действительных х и у, и эти частные производил ду
ные непрерывны во всей плоскости R2; кроме того, = ^~(еХ cosy)= ~exsiny, = -^-(e®sin?/)= exsin?/, ду ду	дх дх' '
т. е. — = — для любых действительных х и у, и эти частные произ-ду дх
водные непрерывны во всей плоскости R2.
Так как условия Коши-Римана (2.1) выполняются для любой пары действительных чисел (х, у), и частные производные	су-
дх ду дх ду ществуют и непрерывны в окрестности любой точки (х,у), то производная f'(z) существует в любой точке z = x + iy комплексной плоскости С.
Найдем эту производную:
f'(z) = ^ +	— ех cosy 4- i • ех sin у = ex(cosy 4- i sin у) = ez.
дх дх
Итак, f'(z) = (ez)' = ez (yz £ С).	•
7.2.2.	Указать область дифференцируемости функции f(z) = z и вычислить производную.
Q Так как z = х — iy, то и(х, у) = х, и(х, у) — —у и
ди _ дх _ I ди _ д(___У) _ 1
дх дх 1 ду ду
для любых действительных х и у. Следовательно, тг- = 1 # — 1 = ~, дх	ду
и первое из двух условий Коши-Римана (2.1) не выполняется ни для какой пары действительных чисел (х,у). Значит, функция f(z) = z не дифференцируема ни в какой точке z £ С.	•
7.2.3.	Найти точки, в которых существует производная функции j, и вычислить эту производную.
Q Способ 1. Так как
f( 1 = 1=	1	= х ~iy = х ~iy
z x + iy (х + iy)(x — iy) x2+y2'
446
Найдем частные производные	и выясним, в окрестно-
дх ду дх оу
стях каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках
выполняются условия Коши-Римана (2.1):
т. е.	для любой пары действительных чисел (х, у}, если х2 + у2 7^
ох оу
7^ 0. Эти частные производные существуют и непрерывны в окрестности каждой точки плоскости R2, за исключением точки (0,0). Далее,
т.е.	для любой пары действительных чисел (а;,?/), если
оу ох
х2+у2 7^ 0. Эти частйые производные существуют и непрерывны в окрестности каждой точки из IR2, за исключением точки (0,0).
Так как условия Коши-Римана (2.1) выполняются для любой пары действительных чисел (х,у), кроме пары (0,0), и частные производные ди ди ди ди	»
существуют и непрерывны в окрестности любой точки
из IR2 \ {(0,0)}, то производная f'(z) существует в любой точке z = х + iy комплексной плоскости С, за исключением точки z = 0.
447
Найдем эту производную:
’( ) = 9и + -дц = V2 ~х'2 + •	_ у2 -х2 + i- 2ху _
1 ’ дх+дх (х2 + у2У (х2 + у2)2	(х2+у2)2
у2 — х2 + г • 2ятт/ _	— (х2 — у2 — i  2ху) __ i _	1
(х + iy)2(x — iy)2 (х + iy)2(x2 — у2 — г- 2ху) (х + iy)2 z2
Итак, /'(z) = |	Vz е С, z 0.
\ 1 z~
Как видно из решения, нахождение производной таким способом не вполне очевидно. В данном примере более целесообразно вычисление производной в полярных координатах.
Способ 2. Так как
— р • е~г(р = ^(cos</> — г sin </?) = | cos </> + г sin , 7* €>
z
то
ди dr
cos р
- sin p = — sin p. / r“
u(r, p) = cos p, v(r, p) = - sin p.
Найдем частные производные и dr dr
^cos*’’ d~r = d^
Вычисление частных производных и —, а также проверку усло-
вий Коши-Римана (2.2) предоставляем читателю.
Найдем производную функции /(z) =
^(cos</> - i sine/?) =-------— • е-г^ =-------——~ — --Д-.
ZT	relip • г	reltp • гег(р z2
Получили тот же результат, что и при решении первым способом. • 7.2.4. Указать область дифференцируемости функции f(z) = zn (п € N) и найти f'(z).
Так как
/(z) = zn — (retv>)n = rnetnv> = rn(cosn<p + zsinne^),
то
u(r, <p) = rn cos np, v(r, <p) = rn sin np.
it a	du dv du dv
Найдем частные производные —, —,	и выясним, где они су-
дг дг др др
ществуют и непрерывны, а также в каких точках выполняются условия
Коши-Римана (2.2):
(тп cos пр) = пгп 1 cos пр,	(гп sin пр) = nrn cos пр,
448
т е.	для любой пары чисел (г, <р), г > 0: эти частные произ-
дг г др
водные существуют и непрерывны в любой точке (г, р) при г > 0. Далее, ~~ = -^-(rn sinner») = nrn-1 sinner, = ~^~(гп cos пр) = —nrn sin пр, dr дгу '	др дру
т.е.	для любой пары чисел (г,р), г > 0; эти частные произ-
дт г др
водные существуют и непрерывны в любой точке (г, р) при г > 0.
Так как условия Коши-Римана (2.2) выполняются для любой пары f f	с\\	ди ди ди ди
чисел (г,р) (при г > 0) и частные производные	суще-
ствуют и непрерывны в окрестности каждой точки (г, р) (при г > 0), то производная f'(z) существует в любой точке z = гег(р комплексной плоскости С (за исключением, может быть, точки z — 0).
Найдем эту производную:
f'(z) = (zn)' = у (тт +	— -~^(пгп 1 cos тир + inrn 1 sin тир) =
v v 7 z \дт дг/ гег(рх
_ nr—(cosтир + isinnp) — nr”-1 •	= nrn~r • ег^п~^ =
e*4>
— п  (rellp)n 1 = nzn-1.
Итак, f(z) = (zn)' = nzn~A Vz G C (2	0). Проверку условий Коши-
Римана (2.1) в точке z = 0 и вычисление производной функции в этой точке предоставляем читателю.	•
Для данной функции f(z) указать точки, в которых существует производная f'(z), и найти производную в этих точках:
7.2.5.	f{z) = iz.	7.2.6.	f(z) = z + 2i.
7.2.7.	f(z) = iz2 — 3z +1.	7.2.8.	f(z) = zRez. -g
7.2.9.	f(z) = z6-	7.2.10.	/(^) = 4-
7.2.11.	f(z) = \n(z2).	7.2.12.	f(z) = Ln(z2).
7.2.13.	f(z) = chz.	7.2.14.	f(z) = sinz.
7.2.15.	f(z) = sin(z + 2i).	7.2.16.	f(z) = cos(iz).
7.2.17. Найти множество точек, в которых функция и(х,у) = 2ху — 3 удовлетворяет условию Ди = 0. Определить, существует ли аналитическая в некоторой области D функция f(z) (z=x+iy), для которой 1ш/ = и. Если такая функция /(z) существует, то найти ее.
Q 1. Найдем частные производные:
^ = 2у, ^ = 2х, ох оу
д2и _ q д2и
дх2 ’ ду2
*5 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
449
Следовательно,
дх2 ду2
для любой пары действительных чисел х и у, т.е. функция v(x,y) является гармонической во всей плоскости R2. Значит, существует такая аналитическая во всей комплексной плоскости С функция f(z), что
2. Найдем действительную часть и(х,у). Первое из условий Коши-
Римана (2.1) дает равенство	= 2х. из которого возможно опре-
ох оу
делить функцию и(х, у) с точностью до слагаемого <р(у) — функции, зависящей только от у и не зависящей от х, — следующим образом:
и
Так как по второму из условий (2.1) выполняется равенство ~ = = -2у, то
ди(х,у) _ $
т. е.
Из последнего равенства имеем:
где С = const, С G R. Значит, и(х, у) = х2 — у2 + С, откуда окончательно
/С?) = f(x + iy) = u(x, у) + w(x, у) = (x2 - у2 + С) + i(2xy - 3) =
= (х2 — у2 + i- 2ху) С — Зг = (х 4- iy)2 4- С — Зг = z2 + С — Зг.	•
7.2.18. Найти множество точек, в которых функция и(х, у) = ех cosy удовлетворяет условию Ди = 0. Определить, существует ли аналитическая в некоторой области D функция f(z) (z=x+w), для которой Re / = и. Если такая функция f(z) существует, то найти ее.
Q 1. Найдем частные производные:
(е* cos у) = еХ cos у,	(«х cos у) =-е* sin у,
О ~ я?(е’мв1') = excosy, = ^-(-e’cosj/) = -e*cosy.
дх2 ох	ду2 оу
Следовательно,
Ди =	= ех cos у - ех cos у = 0 V(ar, у) е Ж2.
ох~ ду
450
Таким образом, функция и(х,у) гармоническая в плоскости С, и значит, существует такая аналитическая в С функция f(z), что f(z) = f(x+iy) = = и(х,у) + iv(x,y).
2. Найдем мнимую часть ц(х,у). Первое из условий Коши-Римана ди ди
(2.1) дает равенство тг = уг = excosy1 откуда возможно определить ох оу
функцию v(x,y) с точностью до слагаемого <р(х) — функции, зависящей только от а: и не зависящей от у, — следующим образом:
V
Так как по второму из условий (2.1) имеем
B = “§ = “(“eIsin2/)=eIsin!'’
то
тг (е1 sin у + <р(х)) = ех sin у, U JU
-г~(ех sin?/) + ^-(</?(х)) = ех sin?/ + (р'(х) = ех sin?/.
CyJb
Следовательно, <//(х) = 0, откуда </>(?/) = С, где С G R. Значит, v(x,y) = = ех sin у + С, и
/(z) = f(x + iy) = и(х, у) + iv(x, у) = ех cos у + i(ex sin у + С) =
= ех (cos у + i sin у) + iC = ez + iC. •
7.2.19. Выяснить, будет ли скалярное поле и(х,у) = СОуХ гармоническим (см. с. 243). Существует ли аналитическая в некоторой области D функция /(z) (z = х + w), для которой 1ш/ = и? Если такая функция /(z) существует, то найти ее.
О Найдем частные производные: dv. = _д_ (cosx\ _ sinx дх дх х У / У д2и __ _cosx дх2
Следовательно,
Дг, = &L +	=
дх2 ду2
cosx
У2
д2и _ 2cosx
д?/2	?/3
У
2 COSX COSX/о
—з- = —)•
У У
Отсюда видно, что = 0 при у = ±\/2 или при х = + тг/с, к е Z, у 0.
Множество всех точек, в которых Аи = 0, не образует никакой области в R2, и значит, не существует никакой аналитической функции /(z) = /(х + iy) с мнимой частью ц(х, у).	•
COSX У
451
Найти множество точек, в которых функция и(х,у) (илии(х,у)) является гармонической. Выяснить, существует ли аналитическая в некоторой области D функция f(z) (z = z + iy), для которой R&f = u (соответственно Im/ = и). Если такая функция f(z) существует, то найти ее.
7.2.20.	= X.	7.2.21.	v(x,y) =y2 ~ x2 -2.
7.2.22.	v(x,y) = -1.	7.2.23.	v(x, y) = 3zt/2 — z3 + 7y.
7.2.24.	u(z,?/) = cosy ch x.	7.2.25.	u(z,y) = ex ch?/.
7.2.26.	v(x,y)-	. x2 + y2	7.2.27.	v(x,y) = — cos2zsh2?/+3z
7.2.28.	u(x,y) = ln(z2 +y2).	7.2.29.	v(x, y) = arctg + 2y.
Дополнительные задания
Для данной функции f(z) указать точки, в которых существует производная f’(z), и найти производную в этих точках:
7.2.30.
7.2.32.
7.2.34.
f(z) = Imz.
f(z) = In(zz).
J(z) = e3z.
7.2.31.	f(z)	=
7.2.33.	f(z)	=
7.2.35.	f(z)	= ishz.
7.2.36.	Доказать, что не существует аналитической на всей плоскости С функции, для которой функция х2 — у являлась бы мнимой частью.
Найти множество точек, в которых функция и(х,у) является гармонической. Найти аналитическую на этом множестве функцию f(z) = — f(x + iy), для которой функция и(х,у) будет являться действительной частью. Указать соответствующую мнимую часть v(x,y).
7.2.37.
7.2.39.
7.2.40.
и(х,у) = у + X2 - у2 + 1. 7.2.38.
«(*,у) = -	,V- -	+ х2- у2.
2(х- + у2) 2	2
/	\ У -х
и(х,у) = 72 , ~2\2'
+ у2)2
и(х,у) = е ycosx — х.
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.2.41.	Может ли функция быть дифференцируемой в точке zq и не быть аналитической в этой точке?
7.2.42.	Может ли функция быть аналитической только в одной точке?
7.2.43.	Может ли функция, аналитическая в области, быть:
а)	суммой двух функций, не аналитических в этой области;
452
б)	произведением двух функций, не аналитических в этой области;
в)	частным двух функцйй, не аналитических в этой области;
г)	суммой аналитической и не аналитической в этой области функций;
д)	произведением ненулевой аналитической и не аналитической в этой области функций?
7.2.44.	Верно ли, что функция f(z) аналитическая в области D, если Ref(z) и Im f(z) — функции, гармонические в этой области?
7.2.45.	Что можно сказать о двух аналитических в односвязной области функциях, если их действительные части: а) совпадают,
б)	отличаются на постоянное слагаемое;
в)	отличаются на постоянный множитель?
7.2.46.	Доказать, что для дифференцируемой функции /(<?):
а) £(Re/(z)) =	б) £(Im/(z)) =
7.2.47.	Доказать, что уравнение Лапласа может быть записано в следующей форме:	&
dzdz О’
§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая I, на которой определена функция f(z). Разобьем эту кривую на п частей (z/c-i, zk) точками £о, зт,..., zn, пронумерованными в направлении от 2о — начальной точки кривой I, до zn — конечной точки I, и на каждой части выберем какую-нибудь точку ск (к= 1,2,..., п). Интегралом от функции f(z) по кривой I называется предел:
lim	- zk-i) = [f(z)dz,	(3.1)
maxlzfc-Zfc.iHO*—'	J
если этот предел существует и не зависит от выбора промежуточных точек zk и ск.
Если функция /(х) непрерывна на кривой то интеграл (3.1) существует.
Если z = х 4- гу и f(z) = и(х>у) 4- iv(x,y), то
jf(z)dz = j\u(x,y) + iv(x,y)) d(x + iy) = j\u(x,y) + iv(x,y))(dx 4- idy) = i	i	i
j\u(x, y) dx - v(x, y) dy) 4- i j\y(x, y) dx 4- u(x, y) dy), (3.2) i	i
453
т. е. интеграл (3.1) может быть записан в виде суммы двух криволинейных интегралов 2-го рода.
Если кривая I задана уравнением у = у(х) или парой параметрических уравнений у = y(t), х = x(t), то в формулах (3.2) можно записать
dy = dy(x) = у'(х) dx
или, соответственно,
dx = dx(t) = х' (t) dt, dy = dy(t) = у (t) dt.
Довольно часто в качестве параметра t выбирается угол ip = arg z.
Функция F(z) называется первообразной функции f(z) в области D, если F(z) дифференцируема в этой области, и Ff(z) = f(z) Vz G D.
Теорема 7.2. Пусть функция f(z) аналитическая водносвязной области D, а I — некоторая кривая (с начальной точкой z\ и конечной точкой Z2), целиком лежащая в 2?. Тогда
1)	существует первообразная F(z) для f(z) в D, и для интеграла / f(z)dz верна формула Ньютона-Лейбница:	г
Гf(z) dz = F(z2) - f’(xi),	(3.3)
I
т. e. этот интеграл не зависит от вида кривой I, а зависит от начальной и конечной точек z\ и Z2\
2)	если I — замкнутая кривая, то верна теорема Коши:
j>f(z) dz = О	(3.4)
(через ^обозначается интеграл по замкнутой кривой Г);
i
3)	если точка zq лежит внутри замкнутой кривой I, то верна интегральная формула Коши:	„ ч
/ S4 <“>
I и
= ” = (3-6)
(обход кривой I совершается против часовой стрелки).
7.3.1.	Вычислить интеграл J = J Im zdz, где I:
I
а)	отрезок прямой от точки 0 до точки 1 4- 2г;
б)	дуга параболы у = 2х2 от точки 0 до точки 1 + 2?.
454
Q а) Так как I — отрезок прямой у = 2х (рис. 103) и Im z = у, то
о
о
2 1
Рис. 103
Рис. 104
б) Так как для всех точек I имеем у = 2х2, то (рис. 104)
1 1
J = Jy d(x + iy) = J2x2 d(x + i • 2x2) = J2x2 (dx + 2i d(x2)) = l	о	0
1 1 1
= J2x2(dx + 2i • 2x dx) = 2 Jx2 dx + Si Jx3 dx — о	oo
T3 1	t4 1	9	.9
= 2-^- + 8i-^- = f (1 - 0) + 2i(l - 0) = 4 + 2i.
3 0	4 о	3	3
Этот пример показывает, что если I — кривая в области D с начальной точкой Zi и конечной точкой Z2, a f(z) не аналитическая функция в D, то интеграл	„
Jf(z)dz, i
вообще говоря, зависит не только от точек z± и Z2, а также и от вида кривой I.	•
7.3.2. Вычислить интеграл
J = j\iz + z2) dz,
где I — часть окружности |z| = 2, arg г G ^,тг .
Q Так как для всех точек I выполняется равенство г = |z| — 2 (рис. 105), то
z = re^ = 2e% z = 2e~^, z2 = (2e^)2 = 4е{^,
455
7Г
dz = d(2et<|p) = 2iet'fi dip, <p = argz G ?,7r .
2
Отсюда получаем:
я
= J(i-2e~^ я
2
я
я
я
2
я
я
я
я
e3t(|P
Зг
2
2
я 2
я 2
2
= -4бг-£)+1(езйг
Рис. 105
Рис. 106
7.3.3. Вычислить интеграл
J = j sin z dz, i
где I — отрезок прямой от точки 0 до точки тг + гтг.
Q Так как всюду на I имеем у = х (рис. 106), a sin z=sin х ch у+i cos x sh у (см. задачу 7.1.1), то
I
я
/ (sin х ch х + i cos x
О
я
У(sin x ch x — cos x sh x) dx+ о
я
О
где
я
я
f cosxshxdx.
о	о
Применяя дважды формулу интегрирования по частям и учитывая, что d(sina;) = cosardar, d(cosar) = — sinxdx, d(shx) = ch a; da;, d(char) = shardar, найдем Ji и J2:
456
Я
Ji = J sin x d(sh x) = о
sin x sh x
Я
0
Я
— Jshx d(sin x) о
Я	Я
= sin тг sh тг — sin 0 sh 0 — J sh x cos xdx = 0 — J cos x d(ch x) о	0
cos x ch x
я я -
о J о
— (cos тг ch 7Г — cos 0 ch 0)4-
Я
Я
f sin x ch x dx =
0
0
откуда 2Ji = сЬтг 4-1, следовательно, Ji = ^(сЬтг 4-1). Аналогично получаем
я
cos х ch х
я
Я />
о
0 J О
я
= cos тг ch тг — cos 0 ch 0 4~ J ch х sin xdx = — ch тг — 1 + j о	о
я
= — ch тг — 1 4- sin х sh х
я
о
я
— J shxd(sinz) = о
я
= — ch тг — 1 4- (sin тг sh тг
о
откуда 2J2 = -(сЬтг + 1), т.е. Л = -^(сЬтг + 1) = - Ji.
Итак,
J = f sin zdz = (Ji — J2) 4- г(Л 4- J2) = 2Ji 4- i • 0 = сЬтг 4-1. i
7.3.4.	Вычислить интеграл
J = jzk dz, 1
где:
a)	I — окружность |z| = 1, arg г G [0,2тг] (точка z совершает полный оборот по окружности |z| = 1);
б)	I — окружность |z| = 1, argz G [0,4тг] (точка z совершает два полных оборота по окружности |z| = 1).
Q Так как для всех точек I выполняется равенство т = | z | = 1 (рис. 107), ТО	Z = те^ = ei,f, zk = eikv, dz = d(eiv) = ieiv dtp.
457
Рис. 107
а) Вычислим интеграл при = argz G [0,2тг]:
2тг [eikvie
О
’	27Г
27Г
йр
о
_i(fc+l)<p 2л-
i^------гг
О
2тг
= 2ттг, при к 4-1 = 0, т. е. к = — 1; о
(её(Л+1).2тг _ ег(А+1)-О) = 0? ПрИ fc + 1	0.
Итак,
I в частности,
J zk dz = О (при к	— 1),
I
Z10
, .	, 7bodz = 0-
J z j Z j Z III	III
б) Вычислим интеграл при <р = argz G [0,4тг]:
4тг
4я
о
( 4тг
О
= г<р
4я
= 4тгг, при к = о
Pi(k+l)<p 4к --------г
(ег(к+1)-4я _ et(fc+l)-O) _ Q, ПрИ
Таким образом, для такой кривой I получим
J= 4тгг (в случае к = —1) и Jzk dz = 0 (при к —1).
458
7.3.5.	Используя аналитичность подынтегральной функции, вычислить интеграл	.
I sinzdz,
i
где I — отрезок прямой от точки О до точки тг + гтг.
Q Функция sin z — аналитическая на всей комплексной плоскости С, а функция (—cosz), очевидно, является первообразной для sin z в С, следовательно,
я+гя
(— cos z) = — (cos(tt + гтг) — cos 0) = о
[т. к. cos(x + гу) = cos х ch у — i sin х sh ?/]
= — (cos7rch7r — isin7rsh7r — 1) = — (— ch тг — 1) = ch 7Г + 1
(сравните с задачей 7.3.3).
7.3.6.	Вычислить интеграл
f z2dz jz + i i
по замкнутой кривой I, используя формулы (3.4), (3.5) или (3.6) (обход кривой осуществляется против часовой стрелки).
а)И = j;	б) I- \z + *1 = i-
Q а) Так как функция
zl
z + i
аналитична на всей комплексной плоскости С, кроме точки —г, которая не лежит внутри окружности |z| = и на этой окружности, то по теореме Коши (3.4) получим:
/ ^=0.
J z + г
б)	Так как функция /(z) = z2 аналитична на всей комплексной плоскости С, и точка zq = —г лежит внутри окружности \z + г| = 1, то по интегральной формуле Коши (3.5) получим:
1 Г 72
/(го = -’) = 2^ / 7TidZ’
откуда
jdz = 2ттг • /(zq = —г) = 2тгг • (—г)2 = 2ттг • (—1) = —2ттг. • |z4-i| = l
7.3.7.	Вычислить интеграл
/ dz,
/(z + 2)3z
459
по замкнутой кривой I, используя формулы (3.4)-(3.6) (обход кривой осуществляется против часовой стрелки).
О а) Так как подынтегральная функция    —— аналитична на всей 4“ 2) z
комплексной плоскости С, за исключением точек (—2) и 0, которые не лежат внутри окружности \z — 2| = 1 и на этой окружности, то по теореме Коши получим:
J (z + 2)3z	°'
|z-2|=l
б) Так как функция /(z) = -—аналитическая на всей комплекс-
ной плоскости С, за исключением точки (—2), которая не лежит внутри окружности |z| = 1 и на этой окружности, а точка zq = 0 лежит внутри этой окружности, то по интегральной формуле Коши получим:
откуда
в) Так как функция f(z) = аналитична на всей комплексной плоскости С, за исключением нулевой точки, которая не лежит внутри окружности \z + 2| = 1 и на этой окружности, а точка zq = — 2 лежит внутри этой окружности, то по формуле (3.6) получим:
откуда
тгг
4 ’
Вычислить интегралы:
7.3.8.	jRezdz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки I
Z2 = i.
460
7.3.9.	ylmzdz, где:
i
a)	I — отрезок прямой от точки z\ = 2 до точки Zz = 3;
б)	I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки Zz = 1 + г;
в)	I — дуга параболы у = х2 от точки zi = 0 до точки zz = 1 + г.
7.3.10.	J(z + z) dz, где:
i
a)	I — отрезок прямой от точки z^ = 0 до точки zz = — 1 + г;
б)	I — дуга параболы у = х2 от точки zi =0 до точки zz = —1 + г.
7.3.11.	у*|z| dz, где:
I
а)	I — дуга окружности |z| = 1 от точки zi = 1 до точки Z2 = -1;
б)	I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки zz = —1;
в)	I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки zz = 2 — 2г.
7.3.12.	угде I — дуга окружности |z| = 2 от точки z± — 2 до точки I Zz = 2e2iri.
7.3.13.	J\z\2dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки I zz = \/2е*4 .
7.3.14.	J(z2 — z) dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки I zz = г.
7.3.15.	J(2i — z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки I zz = 1 + г.
7.3.16.	JRe(z2 — z) dz, где I — дуга параболы у = 2х2 от точки zi = 0 I до точки zz = 1 + 2г.
7.3.17.	у*(iz2 + 2z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки I zz = 1 + г.
7.3.18.	j(z2 — Згг) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки I z2 = i-
7.3.19.	J(z3 — 1) dz, где I — отрезок прямой от точки z^ = 0 до точки I Zz = 1 + г.
7.3.20.	у*(iz3 + 3) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки I zz = г.
461
7.3.21.	Z Jег dz, где 1 — отрезок прямой от точки Zi = i до точки Z2 = 1 = 1 + г. Z
7.3.22.	Уег dz, где 1 — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки z2= £ Z
7.3.23.	Уsinzdz, где 1 — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки 1 Z2 = г.
7.3.24.	Уchzdz, где 1 — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки 1 Z2 = тг — тгг.
Используя аналитичность подынтегральной функции, вычислить интегралы:
7.3.25.	у(iz3 4- 3) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки I
Z2 = i (см. также задачу 7.3.20).
7.3.26.	Jch zdz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки I
z^ = тг — тгг (см. также задачу 7.3.24).
/*	х2 У2
7.3.27.	/ z3 dz, где I — часть эллипса у + т = 1 от точки zi = 2г до
I
точки Z2 = — 3 (обход осуществляется против часовой стрелки).
Дополнительные задания
Вычислить интегралы:
7.3.28.	l(z — z) dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = до точки
I
Z2 = 27Г.
7.3.29.	у\z| dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки Z2 = I
— 3 + 2г.
7.3.30.	уz\z\ dz, где I — дуга окружности |z| = 1 от точки zi = 1 до I
точки Z2 = е2яг.
7.3.31.	J\z\2dz, где I — отрезок прямой от точки z^ = 0 до точки I
Z2 = \/3 + г.
462
7.3.32.	у(гг2 4- z) dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = i до точки i z2 = 1.
7.3.33.	J Re г-1ш(г2) dz, где I — дуга параболы у = 2.r3 от точки z\ = 0 i до точки z2 = 1 4- 2г.
7.3.34.	Jlmzdz, где 1 — дуга окружности |г| = 3 от точки z\ = 3 до 1 точки z2 = Зе27Г*.
7.3.35.	Jez dz, где 1 — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки i z2 — тг 4- 7гг.
7.3.36.	УRe(sin z) cos z dz, где I — отрезок прямой от точки z± = (тг—г) 1 до точки z2 = ~(тг 4~ г). £
7.3.37.	jz sin 2г dz, где 1 — отрезок прямой от точки zi = 3 до точки i z2 = 1 4- i (функция zsin 2г аналитична в С).
Вычислить интегралы по замкнутой кривой, используя формулы (3.4), (3.5) или (3.6) (обход кривой осуществляется против часовой стрелки).
/sinz-sin(z — 1) , ---------;—Ц-------dz. г(г — 1) 1*1=2
7.3.39.	/ 2sinz2 dz.
J (Z2 + 7Г2)2
a) I: |г| = 1;	б) I: \z — тгг| = 1;
в) I: \z 4- 7гг| = 1.
/т^з-
I
a)(:|2| = l;	б) I: \z - 1| = 1;
в) 1-. \z + 1| = 1.
£
7.3.41.	<£—^dz.
i
a) I: \z\ = 1;	6) I: |Z| = 2.
£
7.3.42.	<£^^-dz.
J Z — 7Г I
a) I: \z - 7г| = 1;	б) I: |г| = 1.
463
7.3.43.
7.3.44.
/ z dz
a) Z: kl =
/sin z dz
I
7.3.45.
a) I: |z| = 1; f sin z dz
a) I: |z| = 1;
7.3.46.
X dz
f zI 2-l
a) I: k-l| = l;
в) I- kl =
/ dz
J k2 +1)3 
a) I: \z — г| = 1;
в) 1. kl = ±
/ dz
f (z + l)3(z-l)2' a) I: k-l| = l;
B) I- kl =
X
б) I: |z| =2.
6) I- k-1| = I-
6) i-. k-i| = |-
X
б) I: |z + l| = 1;
б) I: \z + г| = 1;
б) l: |z + l| = 1;
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.3.49.
7.3.50.
7.3.51.
Пусть li — дуга некоторой кривой I с начальной точкой zi и конечной точкой Z2, а /2 — дуга той же кривой с начальной точкой Z2 и конечной точкой zi (множества точек на и I2 совпадают). Что можно сказать об интегралах
Jj[z)dz и уд;
/1	I2
Что можно сказать об интеграле
I
где I — отрезок на мнимой оси, а функция f(z) непрерывна на этом отрезке?
Если	г
I
464
следует ли из этого, что f(z) — аналитическая функция внутри замкнутой кривой I ?
7.3.52.	Доказать равенство:
Уaf(z) dz = а f	dz.
i	i
7.3.53.	Вычислить J cig zdz.
|z| = l
7.3.54.	Верно ли, что для любой функции /(z) и любой кривой I выполняется неравенство:
а)/|/(г)ИОО;	б) J f\z) dz > О?
I	I
7.3.55.	Верно ли равенство
f(fi(z) + f2(z)}2 dz = f fi(z)dz + 2 jf\(z)f2(z) dz + ff2(z)dz?
§4. РЯДЫ ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Рядом Лорана называется ряд вида
52 c„(z-zo)n =   + , С~к . +  + С ' +co+ci(z-zo)+- • .+c„(z-zo)n+. • •, „=^оо	(* - г°)	z ~ г°
(4-1)
где zq — фиксированная точка комплексной плцскости С, а сп (коэффициенты ряда Лорана) — заданные комплексные числа.
Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов: ряда
-1
5? cn(z — z0)n = п=—оо
C-i	С-2
z — Zo (z — Zq)2
С—n
(г - го)"
(4-2)
и ряда
+оо
Cn(z - Zo)n = Со + Ci(z - Zq) + C2(z - Zq)2 + .. . + Cn(z - Zo)n + ....	(4.3)
nxO
Ряд Лорана называется сходящимся в некоторой точке z Е С, если в этой точке сходятся оба этих ряда (т. е. ряды (4.2) и (4.3)), при этом сумма ряда (4.1) по определению равна сумме двух слагаемых — суммы ряда (4.2) и суммы ряда (4.3).
465
Теорема 7.3 (Лоран). Если функция /(г) аналитична в кольце 0 г < < |г — zqI < R, то в этом кольце она представима сходящимся рядом Лорана
4-ос
/(*) = 52 Cn(z-Z0)n,
п= —ОО
причем это представление единственно; коэффициенты сп однозначным образом определяются равенствами
1 Г f(z}dz
. C' = Wi J	r<P<R,n = 0,±l,±2,...
|z-z0|=p
Иногда ряд Лорана, сходящийся к функции f(z) в некотором кольце 0 г < |z — zo| < R, называется рядом Лорана для f(z) в точке zq.
Если функция /(г) аналитична в круге \z — zq\ < R, то разложение f(z) в ряд Лорана в этом круге представляет собой разложение f(z) в ряд, называемый рядом Тейлора — в этом разложении отсутствуют слагаемые, содержащие отрицательные степени (г — го):
4-оо
f(z) = У7сп(г - го)п = с0'+ сДг - г0) + с2(г - г0)2 + ... +cn(z - z0)n -I-...
71=0
Пусть однозначная функция f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки го оо (т.е. в некотором кольце 0 < |г — го| < й), но не аналитична в точке го- В этом случае точка го называется изолированной особой точкой (однозначного характера) для функции f(z).
Аналогично, бесконечно удаленная точка (обозначается значком оо) называется изолированной особой точкой для функции f(z), если /(г) — однозначная аналитическая функция в некотором кольце г < |г — го| < 4-оо (го — некоторая точка плоскости С).
Далее в этом параграфе будем рассматривать только однозначные функции.
Главной частью ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки (конечной или бесконечной) называется сумма всех тех и только тех членов ряда Лорана, которые стремятся к бесконечности при стремлении г к особой точке (т.е. ряд (4.2) в случае г© оо). Правильной частью ряда Лорана называется сумма всех остальных членов ряда (т.е. ряд (4.3) в случае го оо).
Таким образом:
1) в окрестности особой точки го оо:
— 1	4-оо
f(z) = сп (г - г0)п + ср + 52 сп (г - г0)п;
п= —оо	п=1
главная часть	правильная часть
466
2) в окрестности бесконечно удаленной особой точки оо:
— I	+оо
f(z) = 57 Cn(z-z0)n + co + 57cn(z- z0)n; п= —оо	n=l
правильная часть	главная часть
(zo — некоторая точка плоскости С).
Изолированная особая точка zq (конечная или бесконечная) функции f(z) называется
1)	устранимой особой точкой, если существует конечный предел lim f(z\,
Z-i-ZQ
2)	полюсом, если lim f(z) = оо;
3)	существенно особой точкой, если предел lim f(z) не существует.
Z-»Z0
Изолированная особая точка (конечная или бесконечная) является устранимой особой точкой для функции f(z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции /(г) в окрестности особой точки равна нулю (т. е. равны нулю все коэффициенты сп главной части), т.е.:
1) для особой точки zo 7^ оо:
4-оо
/(г) = 52сДг “ 2о)п = со + ci(z - zo) + c2('z - z0)2 + • •.;
n=0
2) для бесконечно удаленной особой точки оо:
о
/(*) = 52 Cn(z " 2°)п = с° + 7^77 +
Z — Zq n=—оо
С-2
(zq — некоторая точка плоскости С).
Изолированная особая точка zo является устранимой особой точкой для функции /(г) в том и только в том случае, когда эта функция аналитическая и ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки zo (т.е. в некотором кольце 0 < |z — zo| < R)-
Изолированная особая точка является полюсом функции /(z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности этой точки содержит конечное (отличное от нуля) число ненулевых членов, т.е.:
1) для особой точки zo оо:
4-оо
Л\	С—тп	С—m-|-l	С— 1	\ г	\п
+	^--0 £ ( о) ’
2) для бесконечно удаленной особой точки оо:
-1
f(z) = 57 Cn(z - Zo)n + Со 4-Ci(z - zo) + • • .Cm-l(z - Zo)”1-1 + Cm(z — Zo)m n=—oo
(zo — некоторая точка плоскости С).
467
Число т (наибольшая из степеней слагаемых в главной части ряда Лорана) называется порядком полюса.
Точка zq ф оо является полюсом m-го порядка (или порядка т) функции /(z) тогда и только тогда, когда функция /(г) представима в виде частного
(Z — Zq)
где функция (p[z) аналитична в точке zo, <p(zo) ф 0.
Если точка zq — полюс порядка т функции то zq— нуль кратности т функции . Кроме того, точка zq— полюс порядка т функции f(z), если lim (z — z0)Tn/(z) = С ф 0.
Бесконечно удаленная точка оо является полюсом m-го порядка функции /(z) тогда и только тогда, когда функция /(г) представима в виде произведения
/(*) = y>(z}(z - z0)m,
где функция <p(z) аналитична в бесконечно удаленной точке оо, 92(00)	0.
Изолированная особая точка zq является существенно особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки zq содержит бесконечное число ненулевых членов с отрицательными степенями (z — zo) (для особой точки zq оо) или с положительными степенями (г — zq) (для бесконечно удаленной точки оо).
7.4.1.	Найти разложение функции sinz в ряд Лорана
а)	в особой точке zq = 0; б) в особой точке оо.
Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
Q а) Воспользуемся известным разложением функции
sin* = E7T-^*2n+1
S <* 2 *" + i)!
в ряд (Тейлора) в области 0	|z| < +оо, т.е. во всей комплексной плос-
кости С:
4т sin z = z2
1
Z главная часть
_	_3	~5	~	(-1)п	„	,
.3!	5!	7!	(2п +1)!
- V  Z 71=0 4	'
правильная часть
Область сходимости ряда — вся комплексная плоскость С за исключением точки z = 0, т.е. кольцо 0 < |z| < +оо.
468
б)	Для разложения в ряд Лорана в бесконечно удаленной точки сделаем замену t = и будем искать разложение в точке to =
откуда
sin z =
Z*
правильная часть
±	1.1	1_ I (-!)"	1
' 3!'t 5!'t3 "	(2n + l)l ’ t2"-1’
Z,	,	= V' (~1 2 *)” 2n-l
3! 5! v 7!	^0(2n+l)!
главная часть
Область сходимости ряда— кольцо 0 < |>г| < 4-оо.
Как видим, в случае, когда разложение в ряд Лорана по степеням z сходится в кольце 0 < |z| < 4-оо, оно является одновременно разложением и в точке zq = 0, и в точке оо.	Ф
7.4.2.	Найти разложение функции — в ряд Лорана по степеням о — z
(z — 1) в окрестности точки zq = 1. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
О Сначала выделим выражение (z — 1) в знаменателе дроби
3-2‘
3 —г
z — 1X 2 2 ) Теперь воспользуемся разложением дроби оо 1 ____________________________ \ 4
Z — 1 ‘
2
1 — z п=0
(4.4)
в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = z в той области, где z — «мало» (т.е. в открытом круге q = |z| < 1).
В силу вышесказанного, дробь
1
z — 1 2
представима в виде ряда Лорана, сходящегося в области, где |д| =
z -1
2
«мало», т. е. в открытом круге Отсюда
< 1, или \z — 1| < 2.
1	_ 1	1	_ 1 Л . z -1 /г - l\n X _
3-z	2‘т г-1	2\ + 2	2 )
2
1 . г-1 .	. С*-1)" . у? (*-1)°
2	2.2 -г ... -г 2n+1 -I- • • •	2п+1
v	71=0
правильная часть Область сходимости — открытый круг |z — 1| < 2.
469
7.4.3.	Найти разложение функции —-------- в ряд Лорана в особой
z(3 — z)
точке zq = 0. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
Ci Предварительно представим данную дробь в виде суммы двух простейших дробей
2	= A В
z(S-z) z 3-z’
Найдем числа Л и В:
2	_ Л(3 — z) + Bz
z(3 — z) z(3 — z) ’
следовательно, 0 • z + 2 = (В — A)z + ЗЛ, откуда
Итак,
0 = В-Л, ’ 2 = ЗЛ,
т. е. Л = В = |. О
2	2/3	2/3
?(3-г)	2	3-z'
Так как дробь уже представлена в виде суммы (состоящей из одного слагаемого) членов вида cnzn, то остается найти разложение дро-2/3
би . Для этого воспользуемся разложением (4.4) (в круге |z| < 1) и и Z
получим:
2/3
3 — z
__= _2_ z\ 3-3
3/
2
2
з2 з3 з4
Этот ряд (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) сходится при |д| =
Теперь запишем ряд Лорана для исходной дроби:
оо У -^-Zn.
3П+2
z
3
«у
1, т.е.в открытом круге < 1, или Jz| < 3. О
2
2 з2 з3 з4
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < |z| < 3. Первое слагаемое, 2/3
—7-, является главной частью ряда, оставшаяся часть ряда — правиль-
«О	_
ной.	•
2
Найти разложение функции —-------т в ряд Лорана в окрестно-
z(3 — z)
сти бесконечно удаленной точки. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
470
2
Q Мы уже знаем (задача 7.4.3), что —-—
-—Ь т;---• Запишем
z 3 - г
разложение функции ------ в бесконечно убывающую геометрическую
о — г
прогрессию в области, в которой г — «велико», т. е. — «мало»:
2	/ о \ п—1	\
3-2
2 Зг
3 z
2 •Зп~2 гп
2 2 2-3 3* г2 г3
Этот ряд сходится при - < 1, т.е. в области |z| :
Теперь запишем разложение в ряд Лорана для исходной дроби:
2•Зп~2 _ гп
2_
Зг
3.
23
оо
-2
п—2 _ 1 _ X л _ 2 _ п 2,п	/ отг+2
п=2	п=—оо
Область сходимости этого ряда — кольцо |z| > 3.
2 2-3
2	3
z z
2•Зп~2
гп
2	2
_	2
Найти разложение функции в ряд Лорана в точке zq по степеням г — zq. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
7.4.5.	~ cos z,
	a) zq = 0;	6)	Zo = 00.
7.4.6.	zsinz,		
7.4.7.	a) z0 = 0; i ez +1,	6)	Zo = 00.
7.4.8.	a) z0 = -1; Зг +4 е z + 1 ,	6)	Zo = oo.
7.4.9.	a) z0 = -1; sin(2 + z),	6)	Zo = oo.
7.4.10. 7.4.11.	a) z0 = 0; 3z + 10	_ q COS	_ , Zq — 3. Z -Г O 2 z-Г	6)	Zo = 00.
a) zo = 1;	б) z0 = оо.'
a) 20 = -г;	6) Zo = oo.
7.4.13.	-*-r, zq = 1. z — 1	a a	z + 2z	d '4‘ ’	(2-l)2,2°-1-
471
7.4.15.
7.4.16.
7.4.17.
7.4.19.
7.4.20.
1 г -1
2
z 4- i ’
a) z0 = 0;
z2
7^1’ z° ~ -1‘
2 — 2
(z-l)(z + 2)’
a)	z0 = 1;
(z —l)(z + 2)’ Z0 = Г
6)	Zq = 00.
>7 A to 2 4“ 2	-1
7.4.18.	-----Zq — 1.
2 — 0
6) 20 = -2.
и z ~~ 2	_
'• (z — l)(z + 2)’—
7.4.22.
и определить их тип,
Найти все особые точки функции для полюса найти его порядок.
О Особыми точками функции ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ 21 = 2 и 22 = оо.
Способ 1.
а)	Так как lim (2 — 2) = 0, то lim —= оо, значит, точка 21 = 2 '	z->24	'	z—>2 2-2
является полюсом.
Определим порядок этого полюса, для чего найдем предел
lim /(2) • (2 — 2)1 = lim -—= lim 1 = 10 0.
z->2 v	'	z—>2 2 — 2 z—>2	'
Значит, порядок полюса равен 1.
б)	Так как lim —^-77 = 0, то точка 22 = оо является устранимой z—>оо 2 — 2
особой точкой.
Способ 2.
Разложим функцию /(2) = —Цг в ряд Лорана по степеням (2 — 2):
2	~ 1 ’ (2 ~ 2)-1 — это и есть разложение (состоящее из одного слагаемого) в ряд Лорана по степеням (2 — 2), сходящееся в области О < |2 — 2| < 4-оо.
а)	Так как это разложение содержит конечное число слагаемых (а именно, одно слагаемое) с отрицательными степенями (2 — 2), то точка 21 = 2 является полюсом. Так как наибольшая степень слагаемых вида
1 \п 2-2/
в разложении равна 1, то порядок полюса равен 1.
б)	Поскольку разложение функции в ряд Лорана по степеням (2 — 2), сходящееся в окрестности точки 22 = оо, не содержит положительных степеней вида (z — 2)п, то точка 22 является устранимой особой точкой.	•
7.4.23. Найти все особые точки функции
2 4- 2 (22 - 4)(z - 2)2 и определить их тип, для полюса найти его порядок.
472
Q Так как z ~Ь 2	_ z 4~ 2	__ z 4- 2
(z2—4)(z —2)2 “ (z + 2)(z — 2)(z — 2)2 “ (z + 2)(z-2)3’
TO ОСОбыМИ ТОЧКаМИ фуНКЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ Z1 = —2, Z2 =2, Z3 = оо. а) Поскольку существует конечный предел
lim -----£_+_?---- — пт ------1— =-------1-- = —	0 оо,
*-►(-2) (z + 2)(z-2)3	z->(-2) (z - 2)3	(—2 — 2)3	64^
то точка zi = — 2 является устранимой особой точкой.
б) Так как lim (z — 2) = 0, то z->(-2)
*-*•2 (z + 2)(z - 2)3	г->2 (z - 2)3
Следовательно, точка Z2 = 2 является полюсом.
Определим порядок этого полюса. Очевидно,
lim/(г) • (г - 2)3 = lim -—Ц-? • (г - 2)3 = lim 1 = 1 / 0.
z—>2	z—>2 (% — 2)'3	z—>2
Таким образом, точка Z2 = 2 является полюсом 3-го порядка, в) В силу того, что
lim
------ = lim 	-_ 2)3-^->оо	_ 2)3
точка Z3 = оо является устранимой особой точкой.
7.4.24. Найти все особые точки функции sin
для полюса найти его порядок.
Q Особыми ТОЧКаМИ фуНКЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ Z1 = 2 И Z2 = оо.
Способ 1.
а)	Так как lim(z — 2) = 0, то lim ——~ = оо, и значит, z->2	z—>2 Z — 2
= 0,
и определить их тип,
lim z —>2
sin
1 \ z —2/
не существует. Отсюда следует, что точка zi = 2 является существенно
собой точкой.
б)	Поскольку lim
= 0, то
lim (sin —Цг) = О, z—>оо \	Z — 2 /
следовательно, точка = оо является устранимой особой точкой.
Способ 2.
Разложим функцию /(z) = sin —в ряд Лорана по степеням (z—2):
sin -J_ = _J_1_______1—+1_______I—+..	_______I____+
z-2	z-2 3! (z-2)3 5! (z-2)5	(2n+l)l (z - 2)2n+1
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < |z — 2| < +оо.
473
а)	Полученное разложение, сходящееся в проколотой окрестности точки zi = 2, содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (z — 2), поэтому точка z± является существенно особой точкой.
б)	Так как это разложение, сходящееся в окрестности точки Z2 — оо, не содержит слагаемых с положительными степенями (z — 2), то точка Z2 является устранимой особой точкой.	•
7.4.25. Найти все особые точки функции CqSZ и определить их тип, для полюса найти его порядок.
Q Особыми точками функции являются все точки, в которых cos z = О, т. е. точки zk =	4- тгк (к = 0, ±1, ±2,...), и точка z = оо.
а)	Так как lim cos z = 0, то
z-^zk=2 +тгЛ
lim £Qg z oo, к 0, ±1, ±2,..., значит, каждая точка zk =	4- тгк является полюсом.
Определим порядок каждого полюса. Найдем предел
т 1
lim
= lim
t—>0
z — ( ту 4- тгк cosz
= lim
7Г
2
7Г
2
7Г
2
lim -Д
t
t
00 (fc = 0, ±1, ±2,...).
Следовательно, каждая из точек zk = 4-7rfc (к = 0, ±1, ±2,...) является полюсом 1-го порядка.
б)	Точка z = оо является предельной для последовательности полюсов — точек гк =	4- тгк, следовательно, z — оо не является изолированной особой точкой.	•
Найти все особые точки функции f(z) и определить их тип, для полюса найти его порядок.
7.4.26.	f(z)	_ z2 — 4 z-2 '	7.4.27.	/(*) =
7.4.28.	/(z)	= 1	7.4.29.	/w =
		z 4- г		
7.4.30.	/(г)	-Sh 21 ,• z* - 1	7.4.31.	/w =
7.4.32.	/(*)	_ Z sinz’	7.4.33.	/w=
7.4.34.	/(*)	z - 2	1 = i	2 cosz- 1 4-z2	z	7.4.35.	/(*) =
1 ez.
1^£.(2« + 3)
\  1
(z2 — 4)2 hz-Г
z2 4- 4
z — 2г' z
474
7.4.36.	f(z) =
7.4.38.	f(z) = ez~i.
Дополнительные задания
Найти разложение функции f(z) в ряд Лорана в точке zq по степеням z — zq. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
7.4.39.	f(z) = \ez,
Z
a) Zq — 0,	б) Zq = ОО.
1
7.4.40.	f(z) = zez -i, z0 = i.
7.4.41.	f(z) = (z + 2)2 sin	г° = -2-
{z 4- z)
7.4.42.	Дг) = |±^,
a) Zq = 2,	6) Zq = OO.
7.4.43.	f(z) = /~ 2г , zo = -2i.
(z 4- 2г)д
7.4.44.	f(z) = г2++132-, 20 = i.
7-4’45-	= (g-l)^ + 2)	=
7-4-46- /(г) = (Г^ЙТ2)’г0="
Найти все особые точки функции f(z), определить их тип, для полюса найти его порядок.
7.4.47.
7.4.49.
7.4.51.
f(z) = cos -f(z) = tgz.
7.4.48.
7.4.50.
7.4.52.
2 + i
(z - i)2(z 4- 3)5
У W = e z
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.4.53.	Может ли разложение некоторой функции в ряд Лорана содержать:
а)	конечное число слагаемых с отрицательными степенями - Zq)}
б)	конечное число слагаемых с положительными степенями (Z - Zq)',
475
в)	бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (z - zo);
г)	бесконечное число слагаемых с положительными степенями (z - Zo) ?
7.4.54.	Пусть zo 0 оо — изолированная особая точка функции f(z). Определить тип этой особой точки, если разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности zo содержит:
а)	конечное число слагаемых с положительными степенями (z — zo) и конечное (0 0) число слагаемых с отрицательными степенями (z — zo);
б)	бесконечное число слагаемых с положительными степенями (z — zo) и бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (z — zo);
в)	только бесконечное число слагаемых с положительными степенями (z — zo).
7.4.55.	Пусть сп (п = 0, ±1,±2,...) — коэффициенты разложения в ряд Лорана функции
+оо
/(*) = 12 Cn(z-Z0)n.
п=—оо
Найти коэффициенты с'п разложения в ряд Лорана функции: a) (z - z0)f(z);	б) (z - z0)3f(z);
в)
z — Zo
г) ---1	(m — натуральное число).
(z Zo)
7.4.56.	Найти множество точек, в которых сходится ряд Лорана:
в) £ 2nzn. п=—оо
7.4.57.	Указать тип особой точки zq для функции /(2) + g(z), если точка zo является:
а)	устранимой особой точкой для f(z) и устранимой особой точкой для g(z);
б)	устранимой особой точкой для /(z) и полюсом для g(z);
в)	устранимой особой точкой для f(z) и существенно особой точкой для g(z);
г)	полюсом для /(z) и существенно особой точкой для g(z);
д)	полюсом n-го порядка для /(z) и полюсом m-го порядка для g(z).
7.4.58.	Может ли точка Zo быть особой точкой указанных типов для данных функций:
а)	полюсом для f(z) и полюсом для (z — zo)f(z);
476
7.4.59.
7.4.60.
7.4.61.
б)	полюсом для f{z) и устранимой особой точкой
для (z - z0)f(z);
в)	полюсом для f{z) и существенно особой точкой
ДЛЯ (z - Z0)/(z);
г)	существенно особой точкой для f(z) и существенно особой точкой для (z — z0)f(z);
д)	устранимой особой точкой для f(z) и устранимой особой точкой для 1	/(г);
Z Zq
е)	устранимой особой точкой для /(z) и полюсом
дая
Z Zq
ж) устранимой особой точкой для f(z) и существенно особой точкой для —-—f(z)?
z — Zq
Пусть точка Zq является полюсом к-го порядка для функции
f(z). Указать тип особой точки z0 для функции:
в)	*) 7—1 .№)
Z	(z- Zq)5
Определить тип особой точки z0 = 0 для функции — в
Определить тип особой точки z0 = х для функции
1 sinz'
COSZ
z —
7.4.62.	Пусть zq — изолированная особая точка функции f(z). Доказать, что если /(z) ограничена в окрестности точки zq, то zq — устранимая особая точка для f(z).
7.4.63.	Пусть zq — изолированная особая точка функции f(z). Доказать, что если
(т — натуральное число) в некоторой окрестности точки zq, то zq — либо устранимая особая точка, либо полюс для функции /(z).
7.4.64.	Доказать, что функция аналитическая во всей конечной комплексной плоскости и имеющая в точке Zq = оо полюс порядка п, является многочленом степени п.
§5. ВЫЧЕТЫ
Пусть функция /(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности U конечной точки zo. Вычетом функции f(z) в точке zo называется число
?oS/(z)=-hffMdZ=^i / dZ'
7	|z-2ol=P
477
где 7 — некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в U и содержащий внутри точку zo, a \z — zo| = Р — окружность с центром в точке zq достаточно малого радиуса р, целиком лежащая в U. Обход контура 7 и окружности производится против часовой стрелки.
Значения обоих приведенных интегралов при указанных условиях совпадают.
Если функция f (z) разложена в ряд Лорана в окрестности точки zq:
f(z) = . . .+ ----у +• • • + ---+ ------— +co+ci(z — zo)  • +Cn(z — zo')n . . . ,
{z - ZqY (z - zo)2 z - z°
(5.1) to res /(z) = c-i.
«0
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности U бесконечно удаленной точки сю. Вычетом функции f(z) в точке сю называется число
res f(z) = i ff(z) dz = f f(z)dz, 00	Z7TI J	Z7TI J
т	1*1=0
где 7 — некоторый замкнутый контур, a |z| = р — окружность достаточно большого радиуса, целиком лежащая в U. Обход контура и окружности производится по часовой стрелке.	'
Значения обоих приведенных интегралов при указанных условиях совпадают.
Если разложение (5.1) сходится в некоторой окрестности точки сю, то
res/(z) =-c-i.
ОО
Теорема 7.4. Если функция /(г) аналитична на всей комплексной плоскости
С, за исключением изолированных особых точек zi,Z2,... zn, то
п
res/(z) = - Vres/(z). ОО	Zb
fc=l
Если функция /(z) аналитична в точке zo или если zo — устранимая особая точка для f(z), то
res /(z) = 0.
zo
Теорема 7.5. Если точка zo — полюс k-го порядка (к >
1)
для функции
то
res /(z) = zq
1 dk~1 [/(z)(z - zo)fc] (fc —l)!*“o dzk-'
478
Если zq — полюс 1-го порядка для функции f(z), то
res f(z) = lim |7(z)(z - z0)], CO	Z->Z0
а если еще известно, что функция f(z) представима в виде f(z) = —где ^(г)
функции <p(z) и 'ф(г) — аналитические в точке zo, V’(zo) = 0, i//(zq)	0, то
res/(z) = ~0
y(zo)
Часто при вычислении интегралов от функций комплексного переменного применяют следующую теорему.
Теорема 7.6 (Основная теорема о вычетах). Пусть функция f(z) — аналитическая в односвязной области D за исключением некоторых изолированных особых точек; I — простая замкнутая кривая, целиком лежащая в Z? и не проходящая через особые точки функции f(z). Тогда
и
где zi, Z2, ..., Zk — особые точки функции f(z), находящиеся внутри I.
7.5.1.	Найти вычеты функции f(z\ = ---------------------------£±_1----
(z + 2i)2(z- 1)
во всех особых точках и определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
Q Особыми точками функции f(z), очевидно, являются следующие точки:
—2г — полюс 2-го порядка, 1 — полюс 1-го порядка. Найдем вычет в точке —2г:
resf(z) = lim [f(z)(z - (-2г))2]' = lim
—2г	z—>—2г	J	z—> —2г
(z + l)(z + 2г)2 ' (z + 2i)2(z - 1).
479
упрощая это выражение, получим
2 _	2(3 + 4г)	_ 6 +8г = 6 +8г
3 —4г (3 - 4г)(3 + 4г)	9+16	25
Итак, res/(г) =
Найдем вычет в точке 1, записав функцию f(z) в виде z +1
=	= ^z^l 1 ГДе = °’	= 1	°’
V’(z) Z — 1
тогда
2
res/(z) =
г=1
г=1 (z + 2г)2
=	2	=	2	= 6 + 8г
(1 + 2г)2	—3 + 4г’	25
z=l
2
Найдем вычет в бесконечно удаленной точке:
r^/(z) = -(resJ(z) + res/(z)) = -(^^-^^)=O.	•
7.5.2.	Найти вычеты функции /(z) = S1^z во всех особых точках, определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z = 0. Так как существует конечный предел
lim /(z) = lim = 1 (1-й замечательный предел), 2—*
то 0 — устранимая особая точка и, значит, res f(z) = 0.
Отсюда в силу теоремы 7.4 получим
res/(z) = — res/(z) = 0. оо	О
7.5.3.	Найти вычеты функции
/СО =
во всех особых точках, определить их тип, найти вычет конечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z Так как
в бес-
“ 2’
lim /(z) I z -г->2 L
Е\2' 27
= lim
(2г
&
cosz / тг\2 _ 1. cosz_n z-h2
480
то не является существенно особой точкой или полюсом порядка выше 1-го и, стало быть, может быть либо устранимой особой точкой, либо полюсом 1-го порядка. Найдем предел
lim [/(z) (z -
~ < IL \ Z / ‘^2
cosz
lim
(2Z-7T)2
= lim «яг z->% 2(2z —я)
неопределенность вида 0, воспользуемся правилом Лопиталя
(cos z)1
= lim ---------------
’Ч (2(2z —я))
V — Sin Z
= hm —— =
^zl 4 2
sm 2 _ _1
4	4'
Отсюда следует,
что точка является полюсом
1-го порядка и
res f(z) — lim тг	, ZL
2	2-4 2
/(*) (г - f)] =
Следовательно,	1
resf(z) = — resf(z) =-г.	•
oo 7 zl	4
2
7.5.4.	Найти вычеты функции /(z) = z4e« во всех особых точках, определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z = 0. Определим тип этой особой точки с помощью разложения в ряд Лорана
по степеням z:
1	00
/(z) = Z4ez = Z4 •	4" = г“ + г3 +	+ ^z + 4! + 5fl + ^^ + -"
n=0
Данный ряд сходится в кольце 0 < |z| < оо и содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z. Следовательно, точка 0 — существенно особая точка функции f(z). Коэффициент c_i при равен 5! = 120’ значит’
Т/(г) = Т2б-
Так как полученный ряд сходится в окрестности бесконечно удаленной точки, и С-1 = то
res/(z) = - res/(z) = -	•
Найти вычеты данных функций во всех особых точках и определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
7.5.5.	f(z) = ^-2.	7.5.6.	/« = 44-
7.5.7.	/(z) = *£+^.	7.5.8.	/(z) = -^±1
16 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
481
7.5.9.
7.5.11.
7.5.13.
7.5.15.
7.5.17.
7.5.19.
7.5.21.
/(*) =
/w = ж> = /(*) = /(*) = /W =
(2iz - I)2'
z — 1
(z + l)(z - 2i)' cos г
z2(3z — тг)
1
z3(z2 — 9)2
sin z
z2
1
COS Z‘
1
ег .
7.5.10.
7.5.12.
7.5.14.
7.5.16.
7.5.18.
7.5.20.
7.5.22.
№) =
/(*) = 7W =
Ж =
chz
(г -1)3 •
_______z_______
(z + 3г) (z + 2)2
1
~3 _ «5 /V	&
cosz
z-
Z 2
1 — cos z
sinz
/(z) = zcos
7.5.23.	Используя основную теорему о вычетах, вычислить интеграл /1	1
g 2 з> где I — окружность |z| =
Q Особыми точками функции f(z) = —------- = —------------
z& - z6 z3(z - l)(z + 1)
ются точки 0, —1,1. Из них внутри кривой I (внутри окружности |z| очевидно, находится только точка zi = 0. Значит,
явля-
<j>f(z) dz = 2т • res f(z).
Точка zi = 0 является полюсом 3-го порядка. Найдем вычет в этой
точке:
res/(z) = i lim(/(z) • (z - О)3)" = lirn 0	z! z—>0	Z z—>0
Итак,	,	1
ф _ z _ = 2ггг  res —---- = 2m • (—1) = — 2m.	•
J z5 - z3	о z5 - z3
i
7.5.24.	Используя основную теорему о вычетах, вычислить интеграл dz, где I — окружность |z| = 3.
J (z + zi)2(z - 1)
z -I-1
Q Функция /(z) = ----------------- аналитическая во всей комплексной
(z + «)2(z- 1)
плоскости за исключением точек zi = —2г и z2 = 1, которые лежат внутри окружности |z| = 3. Значит,
(l)f(z) dz = 2т I res f(z) + res /(z) I .
J	\Z1	z2 /
i
482
Так как
Z/ \	£( \	“1“ 8? Z7 \ г/ \	6 “I- 8 2
res/(z) = res/(z) =	, res/(z) = res/(z) =--------
(см. задачу 7.5.1), то
Г T . -ш------n dz = 2™ (г?	+ r?s № ) =
J (z + ZlY(z — 1)	\-2г	1	/
9 /6 + 8г	6 + 8г\ п	л
= 2эт 25---------25/ = °'	*
Вычислить интегралы по заданному контуру I, используя основную те
орему о вычетах:
7.5.25.
б) /: |z + 2| = 1;
7.5.26.
Дополнительные задания
Найти вычеты данных функций во всех особых точках, определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
7.5.27.
7.5.29.
7.5.31.
7.5.33.
7.5.35.
/и =
sin 2z
z —
z sin 2z
(z + тгг)3 e~2z
/(г) = ctg2 z.
7.5.28.
7.5.30.
7.5.32.
7.5.34.
7.5.36.
/w =
/w =
/« =
/w =
/(*) =
cos3z (2z + 7г)2'
cos3z
(z + 2)5'
1
(1-Z2)3’
ez - 1
z3 '
z3 sin
At

Вычислить интегралы no заданному контуру l, используя основную
теорему о вычетах:
7.5.37.
7.5.38.
/ dz
J z(z + 2)3’
а)	/: И = 1;
С________dz_______
j (z + I)3(z — I)2 ’ a) /: |z + 1| = 1;
в) I: |z| = 3.
б)	1-. |z| =3.
б)	I: |z- 1| = 1;
483
7.5.39.
l a)Z:|z —2| = 1;	6) Z: |z| = 1.
7.5.40.	<f)Z4ez dz, I: \z\ = 2. i
Контрольные вопросы и более сложные задачи
7.5.41.	Может ли у функции /(г) в изолированной особой точке: а) быть вычет (ровно один); б) не быть ни одного вычета; в) быть более одного вычета?
7.5.42.	Пусть res f(z) = 0. Верно ли, что Z0
$ f(z) dz = 0 |z—z0|=K
для любого R > 0?
7.5.43.	Пусть res f(z) = 0. Верно ли, что точка zq не является полюсом Z0 1-го порядка функции f(z)?
7.5.44.	Доказать, что res(/ + g)(z) = res/(z) + res^(z), если все три вычета существуют.
7.5.45.	Доказать, что если /(z) — нечетная функция, то res/(г) = zo
= — res f(z), если хотя бы один из вычетов существует. -Zo
7.5.46.	Вычислить	z
res----------х-.
° chz-1-%-Li
7.5.47.	Вычислить вычеты функции
У (z) = cos z • ch z •  -- " z— J k 7	z4(z4 + 1)
во всех особых точках и в бесконечно удалецной точке оо.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Найти значение функции f(z) = cos3z в точке ^г. Указать точки, в которых существует производная f'(z).
2. Определить, может ли функция еу sin х+х быть действительной частью аналитической функции /(г) ? Если да, то найти f(z).
3. Вычислить ^Re(z1 2 3) dz, где I — дуга параболы у = 2х2 от точки z\ = О I
до точки z2 = 1 + 2г.
484
4. Найти разложение функции ----в ряд Лорана в точке Zq = 1. Ука-
Z — о
зать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5. Найти все особые точки функции —— sin------7, определить их тип,
z + 1 z — 1
для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке.
Вариант 2
Zl
1.	Найти значение функции /(z) = ch г в точке 2 + тгг. Указать точки, в которых существует производная f'(z).
2.	Определить, может ли функция cos a; shy — 2у быть мнимой частью аналитической функции f(z)? Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить <j)(2z + 1)2 dz, где I — дуга окружности |г| = 1 от точки 1
= 1 = ег0 до точки 22 = —1 = ег>7Г.
Найти разложение функции cos(z — 1) в ряд Лорана в точке Zq = 0.
Указать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5. Найти все особые точки функции
Z -2^Те2 + 1> Z - 1
определить их тип, для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке.
Вариант 3
2
1.	Найти значение функции f(z) = - в точке 1 — г. Указать точки, в которых существует производная f'(z).
2.	Определить, может ли функция e~xcosy + 2х быть действительной частью аналитической функции f(z)2 Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить <l>\z\dz, где I — отрезок прямой от точки Zi = 0 до точки I
= 3-2i.
Z2
4.
2
Найти разложение функции -----7 в ряд Лорана в точке zq = 2. Ука-
зать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5. Найти все особые точки функции cos определить их тип, для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке.
485
Вариант 4
1.	Найти значение функции /(z) = shiz в точке — г. Указать точки, в которых существует производная f'(z).
2.	Определить, может ли функция cosy ch х — у быть мнимой частью аналитической функции /(z) ? Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить	Czdz
f—
I
где I — дуга окружности |z| = 1 от точки zi = 1 = ег'° до точки Z2 = — i = = е<-5).
4.	Найти разложение функции sin(2 — z) в ряд Лорана в точке zq = 0. Указать главную и правильную части рада и область его сходимости.
5.	Найти все особые точки функции
sh определить их тип, для
полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в
бесконечно удаленной точке.
Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
□
§1. ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Оригинал и преобразование Лапласа
Комплекснозначная функция /(t) действительного переменного называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1.	f(t) = 0 для всех t < 0;
2.	f(t) — абсолютно интегрируема6 на любом отрезке [0, а] положительной полуоси;
3.	существуют действительные числа М > 0, to 0 и s такие, что |/(t)| < < Mest при всех t > to 0.
Простейшим оригиналом является функция Хевисайда, определяемая следующим образом:
, .	0, при t < 0,
1, при t U.
Если функция ip(t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то функция f(t) = <р(£) • x(t) удовлетворяет и условию 1, т.е. является оригиналом. Ради упрощения записи в дальнейшем, за небольшим исключением, будем писать f(t) вместо f(t) -х(0:
Пусть f(t) — оригинал, а р = a + ifi — комплексное число. Изображением оригинала /(f) называется функция F(p), определяемая равенством:
ОО
F(p) = ffme-^dt.
О
Функция F(p) называется также преобразованием Лапласа от функции f(t).
Можно показать, что несобственный интеграл в определении изображения сходится для значений р, удовлетворяющих условию Rep > s, а определяемая им функция F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep > s.
Тот факт, что функция F(p) является изображением оригинала f(t), обозначают так: /(£) F(p) или F(p) = L{/(t)}.
Разным оригиналам соответствуют разные изображения, точнее имеет место следующая
Теорема 8.1 (единственности изображения). Если оригиналы f(t) и g(t) непрерывны и имеют одинаковое изображение F(p), то эти функции совпадают.
6Точнее: интеграл должен существовать хотя бы в несобственном смысле.
487
Свойства преобразования Лапласа
В дальнейшем всюду, если не оговорено противное, /(t) обозначает некий оригинал. Изображение оригинала обозначается той же буквой, только заглавной, например: /(t) -н> F(p), ^г(^) -t* Сг(р) и т. д. Важнейшие свойства преобразования Лапласа отражены в следующих восьми теоремах.
Теорема 8.2 (свойство линейности). Для произвольных комплексных постоянных а и /3 справедливо соотношение: a-f(t) + fl-g(t) aF(p) + /3G(p).
Теорема 8.3 (подобия). Для любого действительного г > 0 справедливо со-1	/р\
отношение: /(г • t) = -  F ( 1.
Теорема 8.4 (смещения). Для любого комплексного числа ро имеет место соотношение: ePot  f(t) -+> F(p — ро)-
Теорему смещения (изображения) называют иногда теоремой сдвига (изображения) .
Теорема 8.5 (запаздывания). Для любого действительного положительного числа г имеет место соотношение: f(t — г) -+> е~рг  F(p).
Теорему запаздывания (оригинала) реже называют теоремой смещения или сдвига оригинала.
Следует отметить, что при применении теоремы запаздывания нужно помнить, что по нашему соглашению под функцией-оригиналом f(t) понимается функция f(t)  поэтому под функцией f(t — т) следует понимать функцию f(t — г) • x(t — г), а не f(t — г) • х(1)- При использовании этой теоремы уместно не использовать сокращенную запись для оригинала и приписывать функцию Хевисайда в качестве сомножителя. Теорему запаздывания часто используют для нахождения изображений периодических функций.
Теорема 8.6 (о дифференцировании оригинала). Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и f(t) F(p), то
/'(«) pF(p) - /(0), /"(«)-» p2F(p)-p/(0)-/(0),
/(п)(«) pnF(p) - р"-1 /(0) - р"-2/'(0) - ... - р/п~2)(0) - /(п-1)(0);
при этом под/<А)(0) понимается lim /^fe\t), к = 1,2,... , п — 1.
488
Эти формулы заметно упрощаются, если /(0) = /'(0) = ... = /(п ^(О) = 0. В этом случае:
f(t) -4 pF(p), /"(i) -4 p2F(p), ..., Г (t) + рп F(p).
Теорема 8.7 (о дифференцировании изображения). Если f(t) -4 F(p) то
—tf(t) -н F'(p). В более общем случае: (—l)ntn/(t) -4 F^n^(p).
1	2	п!
Из этой теоремы, в частности, получаем: t -4 —, t2 -4	tn -4 —
р	р	рп+
Теорема 8.8 (об интегрировании оригинала). Если /(£) -4 F(p), то о
Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала демонстрируют тот факт, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся соответственно к операциям умножения и деления на р их изображений.
В заключение приведем таблицу изображений некоторых основных функций (ниже подразумевается, что а и fi — комплексные числа, п — натуральное):
№		F(P)	№	/(*)	F(p)
I	1	1 p	VII	eat sin fit	0
					(p-a)2+fi2
II	eai	1 p — a	VIII	eQt cos fit	(?-<*) (p-a)2+/32
III	tn	n! pn+l	IX	t  sin fit	Zpfi (.P2+P2)2
IV	tneat	n\	X	t • cos fit	p2-fi2
		(p - Q)n+1			(p2+fi2)2
V	sin fit	V	XI	sh fit	
		P2+V2			_2 q2 P ~ fi
VI	cos fit	P	XII	ch fit	P
		P2+V2			2 a2 P ~ fi
489
8.1.1. Проверить, какие из следующих функций являются оригиналами, а какие — нет.
a) f(t) = 2e3t • cos2t • x(t);	6) f(t) = | • x(t);
'О, t<0, о
в) f(t) = e* • x(t);	r) /(t) = 1, 0 t < 2,
t^2.
Q а) Условие 1 в определении оригинала, очевидно, выполнено. Далее, при t 0 функция f(t) — непрерывна, а следовательно и абсолютно интегрируема на любом отрезке [0, а]. Значит, условие 2 также выполняется. Наконец, |2e3t cos2t| 2е3<, и в качестве констант М и з в условии 3 определения оригинала можно выбрать любое М > 2 и з = 3. Следовательно, f(t) является оригиналом.
б)	/(t) не является оригиналом, поскольку интеграл
а №
,	О
расходится, а следовательно, не выполнено условие 2 определения оригинала.
в)	/(t) не является оригиналом, поскольку неравенство е1 < Mest не может выполняться ни при каких з для всех t > 0, т. к.
2 lim ——т = lim	= оо.
t—>оо Mest	«-к» М
Отсюда следует, что для любого з выполнено неравенство е*2 > Mest, начиная с некоторого значения t (иными словами, функция е растет быстрее любой функции Mest).
г)	Условие 1, очевидно, выполнено. При t 0 функция непрерывна всюду, кроме точки t = 1, в которой она имеет разрыв 1-го рода. Следовательно, f(t) — интегрируема на любом отрезке [0,а]. Т.к. |/(^)| ef, то и условие 3 тоже выполнено. Следовательно, /(£) — оригинал. •
Проверить являются ли оригиналами следующие функции:
8.1.2.	/(«) = з‘ • х(«).	8.1.3.	Ж = t3
8.1.4.	Ж = -xW-	8.1.5.	f(t) = e-f2  x(t).
8.1.6.	л*>-	8.1.7.	f(t) =lnt-xW-
8.1.8.	Ж = tgt-xW-	8.1.9.	f(t) = e<2+‘)‘. X(t -1)
8.1.10.	f(t) = sint - x(t + 1).	8.1.11.	
8.1.12.	f(t) = eii2 -xW-	8.1.13.	
В дальнейшем вместо f(t) -xW мы, как правило, будем просто писать /И-
490
8.1*14. Найти изображение функции f(t) = е<3+*)*, используя преобразование Лапласа.
Q f(t) является оригиналом. Так как |e^3+^f | < Me3t для М > 1, то изображение F(p) этой функции будет определено и аналитично в полуплоскости Rep > 3. Далее, находим
F(p) = Je(3+i>‘e~pt dt = Je-Cp-3-1)'dt = 0	0
= — lim --------g_(p—3—_ ------1----.
k—hx> p — (3 + i)	о p — (3 4- i)
Явно используя преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:
8.1.15. 8.1.17.	f(t)	= 2. = cos 4t.
8.1.19.		= 'i, te[o,i], \o, t^[0,l].
8.1.21.		= e‘ -x(t- !)•
8.1.16.
8.1.18.
8.1.20.
/(*) = в2<.
/W = t.
(г,
1, о,
te [о, 1], г с (1,2], ^[0,2].
8.1.22. Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:
а) /(С = 2 +13 + t cos2f; б) f(t) = 3*;
в) f(t) =cos2t;	г) f(t) = sin2tcos3Z;
д) /(t) = e‘+5.
Q а) По таблице находим:
2 A
1 -H. 1 (I), t3 -» 4 = 4 (щ)' fcos2t	(X).
p	p p	(p + 4)z
Следовательно, по свойству линейности (теорема 1) преобразования Лапласа получим: 2 4-t3 4-1 cos 2t = 2 • 1 4-t3 4-1 cos 2t -tb § 4-	4—.
p p (p 4- 4)2 б) Поскольку 3f = е<1п3, to 3f -H> -- (II).
в)	Используя известную тригонометрическую формулу понижения степени, имеем:
cos21 =
14- cos 2t 1 1	1	9
---------= 2 '1 + 2 cos 2^'
2 P p2 +4
образования Лапласа получаем: cos21 ^p + 2(p2 4)
T. к. 1 i (I), a cos 2t
(VI), то по свойству линейности пре-P
491
г)	Преобразуем оригинал f(t): sin2tcos3t = ^(sin5t — sint). Тогда, используя формулу V таблицы и свойство линейности преобразования 1/5	1 \
Лапласа, получаем: sin 2t cos 3t -rt- -5-7-z-).
2 \P2 + 5 p + 1)
д)	T. к. e4+5 = e5e4 и e4 -H> —^-7 (II), to e4+5 = e°—^-7.	•
’	p—1'	p—1
Используя таблицу изображений, найти изображения оригиналов:
8.1.23.	f(t) = Зе-4 + е4 cos3t.	8.1.24.	f(t) = 4sh 2t — t2.
8.1.25.	/(t) = te2t — sin3t	8.1.26.	fW = ^ +1-
8.1.27.	f(t) = te4-1 + t2e4-2.	8.1.28.	f(t) = sin3 t.
8.1.29.	f(t) = cos£cos3L	8.1.30.	f(t) = sin 4t sin 2t - t sin t.
8.1.31.	/(t) = e4 cos21.		
8.1.32. Используя теорему изображения, найти изображение оригинала f(t) = е34 ch t.
Q По формуле XII таблицы изображений имеем: ch t	. Отсюда
по теореме смещения (ро = 3) получаем:	р — 1
е34 ch t -о
р-з
(р-з)2-Г
Найти изображения оригиналов, используя теорему смещения:
8.1.33.	f(t) = te24cos3t	8.1.34.	/(t) = e4sh2t.
8.1.35.	flt) = e^cos2t.	8.1.36.	f(t) = te-4sin2t
8.1.37.	Найти изображение функции g(t) = cos(t — 2)x(t — 2).
Q Рассмотрим функцию f(t) = cost  xW- Тогда
p(t) = f(t - 2) = cos(t - 2)  x(t - 2).
P
Для оригинала f(t) имеем: f(t) ------- (VI). Тогда по теореме запаз-
p2 + 1
дывания оригинала получим: g(t) = f(t — 2) -н> e~2p •	.	•
p2 + 1
Найти изображение следующих функций:
8.1.38.	(t - З)3 • x(t - 3).	8.1.39. е24“4 • х(^ - 2).
8.1.40.	ch(2t - 1) • х - j)-
8.1.41.	(t - sin(3Z - я) • x (t -	•
8.1.42.	Найти изображения функций, заданных графически:
а)	график функции f(t) приведен на рис. 108;
б)	график функции f(t) приведен на рис. 109.
Q а) Изображение функции f(t) можно, конечно, найти непосредственно, применив преобразование Лапласа. Однако проще представить ее в
492

/(t)
t
Puc. 108
Puc. 109
виде /(t) = x(t) — x(* — 1). По таблице x(t) i (I). Отсюда по тео-— p
реме запаздывания оригинала имеем y(t — 1)	~~p~- Следовательно,
/W |
б) Представим функцию /(t) в виде:
f{t) = t • xW - (t - 1) • x(t - 1) - x(t - 2).
По таблице находим g(t) = t-xW Л- (HI) и x(0 Jj - Далее, согласно p2	P
теореме запаздывания оригинала, получаем:
—р	о—2р
S(t - 1) = (t - 1) • x(t - 1)и x(t-2)-H
Окончательно имеем: f(t)	— е „ .	•
р2 р2 р
Найти изображения оригиналов, заданных графически:
8.1.43.	График функции f(t) приведен на рис. 110.
Рис. 110
Рис. 111
8.1.44.
8.1.45.
График функции f(t) приведен на рис. 111.
/и = <
рис. 112.
sin 2,
0,
t е [0, тг], _ .	.	...
График функции f{t) приведен на t [0,7Г].
493
Рис. 112	Рис. 113
8.1.46.	График функции f(t) приведен на рис. 113.
оо
8.1.47.	Найти изображение функции, заданной рядом: %(* ~ п)-п=0
8.1.48.	Найти изображение периодической функции f(t) = {t} (здесь {t} — дробная часть числа t).
Ci Функция f(t) — периодическая с периодом Т = 1. На отрезке [0,1] она задается равенством f(t) = t. Рассмотрим функцию
/*, *€[0,1], 0, t£[0,l].
Ее можно записать также в виде (p(t) = t • x(t) — (t — l)y(t — 1) — %(t — 1). Тогда ее изображением будет функция Ф(р) =	Функция
f(t) может быть представлена в виде ряда оо
/и =
п=0
а ее изображением (по теореме запаздывания оригинала) будет функция оо
F(p) = 12 е~рп ‘ Ф(р)- Полученный ряд представляет собой бесконечно п=0
убывающую (при р > 0) геометрическую прогрессию; и потому
Найти изображения периодических функций:
8.1.49.	f(t) = | sin t|.
8.1.50.	Функция f(t) задана графиком, который приведен на рис. 114.
8.1.51.	Функция f(t) задана графиком, который приведен на рис. 115.
8.1.52.	Найти изображение функции f(t) = t2 sint.
Q По таблице изображений имеем:
sint —.
р2 + 1
494
Рис. 1Ц
Рис. 115
Отсюда по теореме о дифференцировании изображения получим:
t2 sin t -r> ( —- ] .
\p2 + 1/
Находим
/ 1 V _	— 2p / 1 Vх _ / — 2p V _ 6p2 — 2
\p2 + l/ (p2 +1)2	\p2 + l/ \(p2 + l)2/	(p2 + I)3
za	2	•	6p2 — 2
Окончательно, r • sin t	.
(p2 4-1)3
Найти изображения функций, используя теорему о дифференцировании изображения:
8.1.53.	f(t) =t2cos2t	8.1.54.	f(t) = t3sint.
8.1.55.	f(t) = tsh3t.	8.1.56.	f(t) = tch2t.
8.1.57.	f(t) = te* sint.
1 — e4
8.1.58.	Найти изображение функции f(t) = —-—.
V
Q По таблице изображений найдем изображение функции
<p(t) = 1 — е4 -т»
1 1
Р р-1'
Тогда по теореме об интегрировании изображения имеем:
Найти изображения следующих оригиналов:
8.1.59.	f(t) =	8.1.60.	f(t) = 1
8.1.61.	/(О = — ~	8.1.62. f(t) = cos3t ~cost
t	t
495
8.1.63.	t Найти изображение функции f(t) = / reT dr.
о
Q Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако проще в данном случае воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем:	Тогда
(Р ~ 1)
по теореме об интегрировании оригинала получим:
	t Jте dr -Л _ 1^2 р	_ ^2 •	•
Не вычисляя интегралы, найти изображения следующих функций:
8.1.64.	t	t jrsinZrdT.	8.1.65. jrcosSTdr.
8.1.66.	0	0 t	t Jr2e2TdT.	8.1.67. Jrcos2rdT.
8.1.68.	0	0 t JreT sin 2т dr. 0
Дополнительные задания
В следующих задачах найти изображения оригиналов:
8.1.69.	f(t) = 77 ~ tt-	8.1.70. f(t) = sin2tcos4t.
8.1.71. 8.1.73. 8.1.75. 8.1.77.	f(t) = te2t cosSt.	8.1.72.	f(t)	= e-tsin2t f W = tx(t ~ I)-	8-1.74.	f(t)	= sin(2t - 4)X(t - 2). f(t) = Z2cost	8.1.76.	f(t)	= t2 sh2t. f(t) = t3#.	8.1.78.	f(t)	= sin3*~814/ V
8.1.79.	t f(t) —e ~e2t	8.1.80. f(t) = jrsin22rdT. 0
8.1.81.	t	t f(t) = jr3eTdT.	8.1.82. f(t) = Jте3т cos 4т dr. 0	0 fl, te[o, i],
8.1.83.	Io, t^[0,2].
Найти изображения периодических функций:
8.1.84.	f(t) = | cos t|.	8.1.85. f(t) = arcsin(sinZ).
496
oo
8.1.86.	f(t)= £ (-1)" • x(t - n).
n=0
8.1.87.	f(t) — периодическая функция с периодом Т = 1 и на промежутке [0,1) заданная равенством /(£) — t2.
Более сложные задачи
8.1.88.	Может ли функция F(p) = Л быть изображением некоторо-о	sin О
го оригинала;
8.1.89.	Если f(t) — оригинал, то будет ли оригиналом функция: t
О
8.1.90.	Если /(£) и g(t) — оригиналы, то является ли оригиналом функция f(t)g(ty?
8.1.91.	Показать, что если /(Z) — периодическая функция, являющаяся оригиналом, то ее изображение F(p) определено в полуплоскости Rep > 0.
8.1.92.	Доказать, что если F(p), то
S
-„)* F(p)-f f(t)e~pt dt.
0
§2. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
Сверткой функций /(t) и g(t) (обозначение /(£)♦<?(£)) называется функция
~ т) dr.
о
Операция свертывания функций обладает свойством коммутативности:
t	t
/(t) * g(t) = g(t) * f(t), т.е. Jf(r)g(t - r)dr = Jg(r)f(t - r) dr.
о	о
Теорема 8.10 (об умножении изображений, или теорема о свертке).
Пусть f(t) и g(t) — оригиналы, a F(p) и G(p), соответственно, их изображения. Тогда f(t) ♦ g(t) -т» Г(р)  G(p).
Таким образом, изображение свертки двух оригиналов есть произведение их изображений.
497
Отыскание оригиналов по изображениям
Для нахождения оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.
<5(р)
Первый состоит в том, что изображение —— представляется в виде сум-Л(р)
мы элементарных дробей, являющихся изображениями простых оригиналов. После чего, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Далласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.
Второй способ состоит в том, что дробь представляется в виде произведения дробей, являющихся изображениями некоторых функций, после чего применяется теорема о свертке.
Третий способ основан на следующей теореме (приведем ее в несколько ослабленном варианте):
Теорема 8.11 (о разложении* 7). Пусть функция F(p) = представляет л(р)
собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках рь, где к = 1,2,..., п. Тогда оригиналом для нее служит функция
/(О = res (F(p) -ept) ’ Рк Рк
где сумма берется по всем полюсам.
8.2.1. Найти оригиналы следующих изображений:
a) f(p) = 4;	б) F(p) = ттгтй - г-А;
р	(р+1)	(р-1)
в) F(p) = 2- Атч >	г) F(p) = А,~\о;
р — 6р + 13	р + 4р + 29
д) F(p) =	е~” ,.
’ W (р - 2)3
2!	2
Q а) По таблице изображений имеем: t2 -77 = —г. Поэтому, преобра-
Р Р 7	7 2
зуя F(p), получим - = Отсюда по свойству линейности преобра-pd	* рА
7	7 2	7
зования Лапласа находим оригинал для F(p): — = ~ рл	£ pd	2
б)	Преобразуем F(p) таким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:
4________3	=	.	3!	_ 3 .	1
 (р +1)4	(р-1)2	3! (р + I)4 (р — I)2 *
7 Зачастую эту теорему называют также второй теоремой разложения (поскольку есть еще и первая теорема разложения).
498
О|	1
Функция ----- является изображением оригинала e-t -t3, а ---z- —
(р + I)4	(р - I)2
изображением оригинала е* • t. Таким образом, окончательно имеем:
F(p) je"‘ • t3 - Зе' • t. О
в)	Преобразуем дробь, выделив полный квадрат в знаменателе:
с,/ \ _	4	_	4	_	4	_ 2	2
{Р р2-6р+13 (р —3)2+4 (р —3)2 + 22 (р —3)2 + 22
Последняя дробь является изображением функции e3fsin2t. Тогда по свойству линейности преобразования Лапласа получаем
----------+- 2е3* sin 2t. (р-3)2+4
г)	Действуем аналогично пункту в):
F(n} =	3Р~1	= Зр- 1
р2+4р + 29 (р + 2)2 + 25
Покажем, что последняя дробь есть линейная комбинация изображений функций e~2t sin5t и e~2t cos5t. Действительно,
Зр- 1	_	3(р	+	2) -7	_	3(р + 2)______7	_
(р + 2)2 + 25 “	(р +	2)2 + 25	“	(р +	2)2 + 25	(р + 2)2	+ 25	“
=	3	—р +	2	7	5
(р + 2)2	+ 25	5	(р +	2)2 + 25'
Следовательно, согласно таблице изображений и свойству линейности преобразования Лапласа, находим оригинал:
F(p) = 3 • -—Р --------- 3e~2t cos5i — ?e~2t sin 5t
(p + 2)2+25	5 (p + 2)2+ 25	5
д)	По таблице изображений находим сначала оригинал f(t) для функции---------—А именно:
(.—-ь	_
--------= - • —-— -е- -e2tt2 = f(t} (р-2У---2 (р-2)3 • 2
Применив теорему запаздывания оригинала, имеем:
-+^-3 f(t - 1) =	- l)2x(t - 1).
(п — 2V
(напоминаем, что под функцией ^e2tt2 мы понимаем функцию |e2‘t2X(t)).
499
Найти оригиналы для следующих изображений:
8.2.2.	Ftp)	= з + А + _^_ p p3 p +1	8.2.3.	F(p) =
8.2.4.	F(p)	3p+ 1 2 n'	8.2.5.	F(p) =
8.2.6.	F(p)	p2 + 9 = p	8.2.7.	F(p) =
8.2.8.	F(p)	p2 + 2p + 2 = 3e~P p + 3’	8.2.9.	F(P) =
8.2.10.	F(p)	=	4e~3p p2 + 6p + 10	8.2.11.	F(p) =
8.2.12.
е-Р + е~2р
4_________8
(р + 3)5 (р —4)4
5р —3
р2 —4
3 — 4р
, Найти оригиналы следующих изображений:
a) = ттп; б)F^ = р(р+1)	р(р-1)(р +1)
В) F(P) =	;	г) F(p) = -2-Ь
(р - 1г	(р + 1)
Q а) В этом случае можно поступить так же, как в решении задачи
8.2.1. пункт в), а именно:
2
2	=	2
Р(Р + 1) Р2 + Р
Отсюда по таблице изображений получаем:
L -L
9	1 С 2 — Р 2	*
—2 ? +- 4е"2 sh £ = 4е"2  -—— = 2 - 2е“*.
р(р+1)	*	L
Однако можно найти оригинал и по-другому. Сначала представим 2
дробь —------ в виде суммы простейших дробей
Р(Р + 1)
2	= А В
Р(Р + 1) р р + 1 ’
Затем с помощью стандартной процедуры находим коэффициенты А и В: имеем равенство 2 = А(р + 1) + Вр, которое справедливо для всех значений р. Полагая р = —1 и р = 0, получаем два соотношения 2 = —В и 2 = А, из которых находим А = 2, В = — 2. Отсюда
2	= 2 2
Р(Р + 1) р Р ~ 1
п
Теперь по таблице изображений находим: —---г 2 — 2e-i.
р(р + 1)
б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей
1	= А В Ср + Р
р(р —1)(р2 + 1) Р р-1 р2 +1
500
Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители обеих дробей, получаем равенство:
1 = А(р - 1)(р2 4- 1) 4- Вр(р2 4- 1) 4- (Ср 4- D\p(p - 1).
Подставляя подходящие значения р, приходим к системе:
р = 0	: 1 = -А
р = 1	: 1 = 2В
р = -1 : 1 = -4А - 2В - 2С + 2D
р = 2	: 1 = 5А + ЮВ + 4С + 2D
Вместо полученных уравнений можно составить другие уравнения, приравнивая, например, коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в обеих частях равенства. Так, сравнение коэффициентов при р3 приводит к равенству: 0 = А 4- В 4- С, что дает возможность получить более простую систему уравнений:
'А = -1,
t 2В = 1,
А 4- В 4- С — 0, k-4A-2B-2C + 2L> = l,
откуда А = —1, В = jy, С = D = —Таким образом,
1	= _1	1 . 1	1 Р-1 =
р(р — 1)(р2 4-1)	&	2 р — 1	2 р2 -|-1
= _1	1	1	1 Р 1	1
Р + 2 р-1+2‘р2 + 1	2 ’р2 + 1-
Следовательно,
1
Р(Р- 1)(Р2 4-1)
—1 4- ie* 4- J cost — тг sint.
в) Запишем F(p) в виде:
Р =	(Р ~ 1) +1	=	1	1	=	1	1	2
(р-з)3	(р-1)3	(р-i)2	(р-1)3	(р-i)2	2(р-1)3’
По таблице изображений находим: -—-—-	te* l 4- xt2e*.
(р-1)3	2
г) Представим F(p) в виде линейной комбинации дробей
1 Р	2р	р2 - 1
р24-1’ р24-1’	(р2 4- I)2 ’ (р2 + I)2 ’
являющихся изображениями функций sint, cost, tsint, tcost соответственно. Таким образом, ищем разложение дроби в виде:
1	= A Bp 2Ср D(p2 - 1)
(р2 4- I)2 р2 4- 1 р2 4- 1	(р2 4- I)2	(р2 4- I)2
501
Используя приемы, изложенные выше, находим
А = |, В = С = 0, Г> = -|.
Следовательно, 2	1
7 2 -I \9 = о ~2	7	о 7 2 -I \2	о	sift л	ftos t
(р24-1)2	2 р2	+!	2(р2 + 1)2	2	2
По заданным изображениям найти оригиналы:
8.2.13.	F(p)	—	p4- 2
			p
8.2.15.	F(p)	=	2p+l P2 -P’
8.2.17.	F(P)		2p3 4- p2 4- 2p — 1
		—	
			p -1
8.2.19.	F(p)		p3 4- p2 — 1
			p4 -p3 9
			
8.2.21.	F(p)		p
			(p + 3)4
8.2.23.	F(p)		1
			
			(p-l)2(p + 2)
8.2.25.	F(p)	—	p2 - p + 1 (p2 -1)2 •
8.2.27.	F(p)	—	(p +1)2 (p2 + l)2’
8.2.29.	F(p)	=	(2P2 — 5)e 3p p4 — 5p2 + 4
fi О 1Л	—		3p — 4
• ЛЛ • JL	A Xis) 		*
		(p-l)(p-2)
8.2.16.	F(p) =	2-p
		(p -1)2'
8.2.18.	F(p) =	6p2 — p — 6 p3 — p2 — 6p
8.2.20.	F(p) =	3p2 — 2p 4- 5 p3 — 2p2 4- 5p
8.2.22.	F(p) =	p3 4- 2p2 4- 4p 4- 2 p4 + 5p2 4- 4
8.2.24.	F(p) =	p2 — 2p — 1
		p3 — 3p2 4- 3p - 1 2p3 — p2 4- 4p — 4
8.2.26.	F(p) =	
		p4 — 8p2 4-16
8.2.28.	F(p) =	2p3 - 2p2 - 2 (p2-2p + 2)2
8.2.30.	F(p) =	p2e p (P + 2)6’
8.2.31.	Найти свертку функций f(t) и g(t)n ее изображение:
a)	f(t) = е\ g(t) = t\	б) f(t) = cost, g(t) = e2t.
Q а) Первый способ.
Найдем по таблице изображения функций:
1
Р-1’
t "^4
1
р2
Тогда по теореме о свертке получаем:
е* * £ -н-
1 1 = 1
Р — 1 р2 р2(р - 1)
Итак, изображение свертки нами найдено. Теперь найдем саму свертку.
Для этого методом неопределенных коэффициентов представим дробь
1
Р2(Р- 1)
в виде:
1 = 1___________1 _ 1
р2(р - 1) р - 1 Р р2
е
502
Наконец, по таблице изображений находим свертку функций е* и t: е* *t -г» е* — 1 — t.
Второй способ.
Вычислим свертку функций, пользуясь определением:
t
е* * t = JeT(t — г) dr.
о
Интегрируем по частям:
Следовательно, е* *t = е* — t — 1. Теперь по таблице изображений находим изображение свертки:
е* * t
1 _ 1 = 1
Р2 Р Р2(Р~1)
б)	В этом случае проще использовать первый способ из пункта а), поскольку при непосредственном вычислении свертки потребуется двукратное интегрирование по частям. Поэтому найдем сначала изображение свертки. Имеем: f(t) = cost -г» 2 и g(t) = e2t у ~ 2* Тогда
/<»«<<>«	- (ТТЗДГч
Последняя дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей. Опуская технические детали, получаем:
-2Ю. 1	2
Р _	5 ,	5 = 2 Р 1	1	2 1
(р2 + 1) (р — 2)	р2 + 1 р — 2	5р2-|-1 5р2 + 1	5 р — 2
По таблице изображений находим теперь саму свертку:
cost * е2* = —cost + | sint + ^e2t.	•
обо
Найти свертку функций, используя определение:
8.2.32.	f (t) = 1, g(t) = 2.
8.2.34. f(t) = sint, g(t) = cost.
8.2.36.	/(t) = cost, g(t) = t.
8.2.33. f(t) = 1, g(t) = t.
8.2.35. f(t) = el, g(t) = e2t
503
Найти изображение сверток функций, пользуясь теоремой о свертке:
8.2.37.	/(t) = sint, g(t) = sin2t. 8.2.38.	/(t) = e3*, g(t) = t2.
8.2.39.	= cost, g(t) = t3.	8.2.40.	f(t) = sht, g(t) = cht.
В следующих задачах найти свертку функций f(t) и g(t) и ее изображение:
/(t) = e3*, g(t) = e5t. f(t) = t2, g(t) = cos2t. f(t) = sint, g(t) = sint.
8.2.42.
8.2.44.
8.2.46.
8.2.41.
8.2.43.
8.2.45.
8.2.47.
8.2.48.
8.2.49.
8.2.50.
/(t) = l,p(t)=e‘.
/(t) = e4, g(t) = sint.
/(t) = t, g(t) =tel.
/(t) = p(0 = tsint.
Найти свертку функций x(t) и x(t — 1).
Пусть /(t) = е*х(0- Найти свертку функций /(t — 1) и /(t — 2). Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения
F(p) = пз-(р +1)2
Q Представим F(p) в виде произведения
Р
F(p) =
1 P
Функции —---- и —----являются изображениями функций sin t и cos t
p2 + 1 p2 + 1
соответственно. По теореме о свертке имеем:
Р
——— е- sm t * cos t.
t^ + l)2
Осталось найти свертку функций sin t и cos t:
t sin t * cos t = J о
t
= ~ (г sin t - cos(2t - t \	Z
Таким образом,
о
f	1	/	i	I	\	I
=	к	I t Sin	t —	к COS t	+	jr	cos 11	=	к t sin t.
0	2	\	2	2л	/	2
p
р
Заметим, что оригинал для —------- можно было найти иначе, восполь-
(Р2 + I)2
зовавшись таблицей изображений.	Ф
Найти оригиналы изображений, пользуясь теоремой о свертке: р2
8.2.52.	F(p) = , Л  , 
8.2.51.	F(p)= —«?
(P + 4)2
8.2.53.
?-2p + 2)2'
8.2.54.	F(p) =--------±------
(p2 + l)(p2+9)
504
8.2.55.	Вычислить интегралы: t	i
a) Jе*~х sin х dx;	б) Je1~xxdx;
о	о
t
в) уе~х cos х dx. о
Q а) Интеграл	*
У е*~х sin х dx о
представляет собой свертку функций sin t и е4. Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция
Г(р) = _1_____=	______________М
W P2 + 1P-1	2^р-1 р2 + 1	p2+J'
Оригиналом этого изображения служит функция
f(t) = | (е* — cos t — sin i) .
Следовательно,
t
[el~x sin x dx =	(e4 — cos t — sin t) .
J	£
0
б) Рассмотрим'функцию
= ye4 Xxdx.
о
функций t и е1. Имеем
. = 1_______1 _ X
-	1 р — 1 р р2
—	<т- е4 — 1 — t.
Р
—	1 — t. Поскольку
1
то Je1~xxdx = е — 2. о
t
1 cos xdx = е-< уе4-® cos х dx. о
/(t) =
Она представляет собой свертку t *е* О — р2Р~
По таблице находим:
1___1
р-1 Р
Таким образом, f(t) = t * е4 = е4
i
У ex~xxdx = /(1), о
в) Преобразуем интеграл: t	t
Уе~х cos х dx = e~f • е4 Je о	о
505
Очевидно,
V
Уel~x cos х dx = cos t * e*.
о
P 1
Его изображением будет функция —-----------7. Тогда по теореме сме-
р2 + 1 Р ~ 1
щения изображения имеем:
t
e~4 x cosxdx
0
= 1 [1 +____I____
2 I? (p+l)2 + l Оригиналом последнего выражения служит функция (1 + е-4 sin t - е-4 cos t) .
Следовательно,
t
е~4 Jet x cos dx = (1 + e-4 sin t — e-4 cos t) , 0
откуда окончательно получаем: t
fe~x 0
4 sin t — е 4 cos t).
Вычислить интегралы:
t	t
8.2.56. jfsinT • sin(£ — r)dr. 8.2.57. j\t — x)2 cos2xdx.
о	0
тг	,r
2	7Г	Г
8.2.58. [smx-e2~xdx.	8.2.59. J z(tt - x) sin(7r - x) dx.
0	0
8.2.60. С помощью теоремы о разложении найти оригиналы следующих изображений:
> ™	‘> - (Дт?
) ™
Q а) Функция F(p) имеет полюсы первого порядка: pi = 1 и р2 = — 1.
Тогда по теореме о разложении оригиналом для F(p) служит функция /(£) = res F(p) • ept + res F(p) • ept. Вычислим вычеты: p=i	p=-i
rpc ___Si_______
p=! (p- l)(p+l)
f,pt
tps -------—-------
p=_! (p- l)(p+ 1)
e 4
2 ’
506
Следовательно, f(t) = (е* — е *) = sht
б) Функция '	р
F(j?)	7^2	\2 ’
(Р~ I)2 • (Р+ 1)
поэтому значения pi = 1 и Р2 = — 1 являются полюсами второго порядка функции F(p). Находим вычеты функции F(p)  ept-
eptP r d Г pept 1 te* res —-------- = lim — ----------- =
p=i (p2 — I)2	p-*1 dp |_(p+ I)2 J 4
eptP = H d [ Pept 1 =
p=-i (p2 - I)2	p-*-i dp [(p - 1)2]	4 •
Следовательно, F(p) +- f(t) = — —— = -в) Функция
£
F(p) =-----11----------------------
р(р2 +4) р(р - 2г) (р + 2г)
имеет полюсы первого порядка pi = 0, Рг = 2г, рз = —2г. Тогда
res F(p) • ept — lim e₽ — p=0	p->l
res F(p) ‘ ept = lim e — p=2i	p—*2'
res F(p) • ept = lim
p=—2i	p—¥—\
Следовательно,
p2 + 4	4 ’
= -^(cos2t 4-isin2t), о	о
eP --- = -|е-2г/ = — ^(cos2t — isin2t).
) — 2г) о	о
- — ^(cos2t + isin2t) — ^(cos2t - isin2t) =
_ 1	1	1/1	_ sin2 t
— a	a cos 2c — Л (1 cos	_
4	4	4V	2
С помощью теоремы о разложении найти оригиналы следующих изображений:
8.2.61.
F(p) =
8.2.62.
F(p) =
8.2.63.
(p- l)(p-2)(p-3)‘
______p + 2______
(p+ l)(p-2)(p2 +4)’
<771?-	"2Л4- ™
8.2.65.
8.2.66.
F(p) =
(p2 -p)(p2 - 5p + 6) P
p4 - 1'
507
Дополнительные задачи
Hatlmu оригиналы следующих изображений:
8.2.67.	5+ 3. +	Р		Q 9 ДО	-р2 + Зр - 3
	Р р4 р2 + 2р + 5	o.Z.Oo.	(р —1)2(р-2)
Я 9 RQ	р2 + 4р - 1	fi О 7П	—р4 + р3 — Зр2 — 1
		1 Ue	
	(р2 +1)2		(р2 + 1)2Р2
8.2.71.	4р3 - 2р2 + р - 2	8.2.72.	2е~3р
	р3(р2 + 1)		р4 - 1
8.2.73.	Зр2 — 6р + 7	8.2.74.	(е->’ + 2е-2>’).
	(р2 - 2р + 5)2 р		р2 +1v
8.2.75.	е~2		
	р(р-3)		
Найти свертку следующих функций:
8.2.76.
8.2.78.
8.2.80.
8.2.81.
8.2.82.
/(*) = g(t) = t. fit) = e*, g(t) = e*. f it) = t2, dlt) = te*.
8.2.77. f(t) = 3, g(t) = e*.
8.2.79. /(i) = sin3t, g(t) = sin2t.
Найти свертку функций t • x(t) и (i — l)x(i — !)•
Найти свертку функций
sin (t - x (t - и sin (t - x (t -	•
\ O/x О /	\ О /	\ О /
Контрольные вопросы и более сложные задания
8.2.83.	Доказать, что если на отрезке [0, io] оригиналы /(i) и g(t) равны нулю, то свертка /(i) * g(t) равна нулю на отрезке [0,2io].
8.2.84.	Верно ли, что если /(i) * g(t) = 0, то:
а)	одна из функций тождественно равна нулю;
б)	в каждой точке одна из функций обращается в нуль?
8.2.85.	Доказать свойство коммутативности свертки:
/(i)*tf(i) =g(t)*f(t).
8.2.86.	Можно ли по свертке однозначно восстановить свертываемые функции?
8.2.87.	Зная, что 1 * /(i) = sini, найти функцию /(i).
8.2.88.	Найти оригинал изображения
6р2 — 2
(р2 + I)3 ’
8.2.89.	Найти оригинал изображения
F(p) =----------------.
(р? + 1)(1-е-^)
508
§3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений
Методы операционного исчисления удобно применять при решении некоторых дифференциальных уравнений.
Пусть задано дифференциальное уравнение (например, 2-го порядка) с постоянными коэффициентами: aox”(t) + aix'(t) + a2x(t) = f(t), где ao, ai, a.2 = const. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: ж(0) = xi, а/(0) = Х2. Используя операционное исчисление, это решение находят следующим образом. Предположим, что правая часть данного уравнения является оригиналом. Тогда и решение x(t) этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, также будет оригиналом. Пусть x(t) -я Х(р). Используя теорему о дифференцировании оригинала, находим изображения производных, входящих в уравнение. В нашем случае: x'(t) рХ(р) — а;(0) и x”(t) р2Х(р) — рж(О) — х'(0). Далее, находим изображение функции f(t) -я Г(р)- Наконец, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа, получаем операторное уравнение:
а0 (р2Х(р) -ря(0) - z'(0)) +ai (рХ(р) - х(0)) + а2Х(р) = -F(p).
Операторное уравнение (другое название — изображающее уравнение) является линейным уравнением относительно неизвестной функции Х(р). Решая его, находим Х(р) и, наконец, по Х(р) восстанавливаем оригинал x(t).
Иногда методы операционного исчисления позволяют найти решение линейного уравнения с переменными коэффициентами. Это возможно, например, в случае, если функции ao(t), ai(t), а2(<) — многочлены, обычно не старше первой степени. Однако нахождение решения в этом случае сложнее, поскольку бывает затруднительно восстанавливать оригинал по найденному изображению (см. пример 3.42).
Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестная функция x(t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения тоже могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, т. е. соответственно уравнения
t	t
Jk(t — r)x(r)dr = f(t) и x(t) = f(t) + Jk(t — r)x(r) dr. о	о
Пусть, например, дано интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
t
x(t) = f(t) +	— r)x(r)dT.
о
509
В этом случае интеграл представляет собой свертку функций k(t) и x(t). Предполагая, что x(t) -н> Х(р), k(t) Ф(р) и f(t) F(p), применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и теоремой о свертке, получим операторное уравнение:
Х(р) = F(p) -I- Ф(р)А'(р),
откуда находится неизвестная функция Х(р), а затем и соответствующий ей оригинал.
Аналогично решаются уравнения Вольтерра первого рода:
t
J k(t — т)а;(т)с/т = f(t).
о
8.3.1.	Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а)	х' — х = 1, х(0) = —1;
б)	х" - 2х' + 2x = 2t — 2, z(0) = яг'(О) = 0;
в)	хт — х" = 4е24, х(0) = 1, ат'(О) = 2, z"(0) = 4.
Q а) Пусть функция x(t) имеет изображение Х(р), т.е. x(t) Х(р). Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим изображение x'(t): z'(t) -т> рХ(р) — z(0) = рХ(р) + 1.
Изображением функции 1 является Таким образом, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к операторному уравнению вида: рХ(р) + 1 — Х(р) = 1. Отсюда находим Х(р) = — Следовательно, f(t) = — 1.
б)	Пусть x(t) -я Х(р). По теореме о дифференцировании оригинала получаем изображения производных функции x(t):
x\t) -т» рХ(р) — z(0) = рХ(р), xH(t) -т» р2Х(р) — рх(0) — z'(0) = р2Х(р).
Так как
2 _ 2 = 2(! ~р) р2 Р р2
то приходим к операторному уравнению
р2Х(р) - 2рХ(р) + 2Х(р) =
р
из которого находим изображение Х(р) частного решения дифференциального уравнения:
Х(П} =	2(1 ~Р)
p2(p2—2pF2)
510
Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций (см. § 2 этой главы):
2(1 ~р)	= 1 _	1	= X _	1
р2(р2 — 2р 4- 2) Р р2 — 2р 4- 2 р2 (р — I)2 4-1
Следовательно, Х(р) -н- t — sin t-e*.
в)	Пусть x(t) -г> Х(р). Тогда
x"(t) = р2Х(р) — рх(0) — х'(0) = р2Х(р) — р — 2,
x"'(t) = р3Х(р) — р2х(0) — рз/(0) — я"(0) = р3Х(р) — р2 — 2р — 4.
Изображением правой части уравнения будет функций--Отсюда
р — 2
получаем операторное уравнение
р3Х(р) - р2 - 2р - 4 - р2Х(р) 4- р + 2 =	.
р z
Решив его относительно функции Х(р), получим Х(р) = ---- и, следо-
р — 2
вательно, x(t) = e2t.	•
8.3.2.	Найти общее решение уравнения х" — 2х' 4- х = е*.
Q Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть
х(0) = ci и а/(0) = С2- Пусть теперь x(t) -н- Х(р). Тогда x'(t) pX(p)-ci и х”^) р2Х(р) — cip — С2-
р-1*
Так как е* ------, то соответствующее операторное уравнение имеет
вид р Х(р) - С1Р - с2 - 2рХ (р) 4- 2С1 4- X (р) =
Находим отсюда Х(р):
। ^2 ~ С] ।1 Р-1	(р-1)2	(Р-1)3
Следовательно, решением дифференциального функция	1
x(t) = cie4 4-	4- xt2e*
уравнения будет
Средствами операторного исчисления решить линейные (однородные и неоднородные) дифференциальные уравнения (всюду х = x(t)):
8.3.3.	х' + 3z = 0, z(0)	= 2.
8.3.4.	х' - 4z = 1 - 4t,	х(0) = 1.
8.3.5.	х' 4- х = 2 cos t, з;(0) = 0.
8.3.6.	х" + 4х' - 5х = 0,	z(0) = 3,	z'(0)	=	-3.
8.3.7.	х" - вх' + 9х = 0,	z(0) = 1,	z'(0)	=	2.
511
8.3.8.	х" +	4х = 0, ж(О) = 1, х1 (0) = б.
8.3.9.	х" 4-х' -2х = 1, х(О) = О, х'(О) = -2.
8.3.10.	х" —	Зх1 + Юх = 9sint — 3cost, х(0) = 0, х'(0) = —2.
8.3.11.	х" -	4х' 4- 4х = 4t, z(0) = 4, z'(0) = 7.
8.3.12.	х" +	2x' +	x = t + 2, х(0) = 0, z'(0)	= 2.
8.3.13.	х" -2x' +	5x	= l-t, ж(0) = х'(0) = 0.
8.3.14.	х" -	2х' 4-	2х	= 1, я(0) = ш'(0) = 0.
8.3.15.	х" —	х' = е*,	х(0) = х'(0) = 4.
8.3.16.	х" +	х = 1, х(0) = -1,х'(0) = 0.
8.3.17.	x"—x = sint,	х(0) = —1, х’(0) = 0.
8.3.18.	х" - х = 2 sh t, z(0) = 0, z'(0) = 1-
8.3.19.	х" +	2х' + х =	t, z(0) = z'(0) = 0.
8.3.20.	х" 4-	2т' 4- Юх	= sin3t 4- 6cos3t, х(0) = z'(0) = 1.
8.3.21.	х"' + х" = 0, z(0) =	2, z'(0) = z"(0) = 1.
8.3.22.	х"1 + х' = 0, т(0) =	1, т'(0) = 2, х"(0) = 3.
8.3.23.	х"’ - Зх" 4- Зх’ - х = 0, z(0) = 1, z'(0) = z"(0) = 0.
8.3.24.	xIV - х” = 0, х(0) = х'(0) = х"(0) = 0, z"'(0) = 2.
8.3.25.	хт -х" = —2efsint,	х(0) = 1, т'(0) = 1, z"(0) = 2.
8.3.26.	хт -х1 = cos t, т(0)	= z'(0} = z"(0) = 0.
8.3.27.	хт 4- 2т" - Зх’ = 4е‘, ж(0) = х'(0) = х"(0) = 0.
8.3.28.	xIV - х = i3, z(0) = 3, z'(0) = 1, z"(0) = 3, z"'(0) = 1.
8.3.29.	xIV — 2x" 4- x = 4isint — 8cost, z(0) — 1, x'(O) = 2, x"(0) = 1, z"'(0) = 4.
8.3.30.	xIV - x" = 1, z(0) = x'(0) = x"(0) = x"'(0) = 0.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
8.3.31. z"-z = 0.
8.3.33. х" 4-х1 ~2х = Зе1.
8.3.35. х,п + х' = 2.
8.3.32. х" 4- 2х' 4- х = 1.
8.3.34. х" - 2xf + 5х = 5t2 +1
8.3.36. Решить задачу Коши
х” 4-х - f(t), z(0) = z'(0) = 0,
где /(t) задана графически (рис. 116).
Э Пусть x(t) X(p). Тогда x"(t)	р2Х(р). Найдем изображение
функции f(t). Это можно сделать, или применив преобразование Лапласа к оригиналу f(t), или воспользовавшись теоремой запаздывания оригинала.
Применим второй вариант. Функция /(t) может быть записана в виде:
f(t) = x(t) - 2x(i - 1) + x(t - 2).
Тогда
I	_ 2e~p . e~2p p p + p '
512
Рис. 116

t
Рис. 117
Запишем теперь операторное уравнение:
2	у/ \ । y( \	1 — 2е р 4- е 2р
р Х(р)+Х(р) =----------------.
Находим из него неизвестное изображение Х(р):
Y( . _ 1 - 2е~р + е~2р Р(Р + 1)
Методом неопределенных коэффициентов (или же используя теорему 1	*
о свертке) находим разложение дроби ——------ в сумму дробей
р(р +1)
1 _ р
р р* + 1'
Следовательно,
Еще раз используя теорему запаздывания, находим искомый оригинал
f(t) изображения Х(р):
/(О = (1 — cosi)x(0 — 2(1 — cos(i — 1))х(^ — 1) + (1 — cos(i — 2))x(i — 2). •
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
8.3.37.	х1 + х = x(t — 1), я(0) = 0.
8.3.38.	х" — х' = /(£), z(0) = х'(0), функция /(£) задана графиком (рис. 117).
8.3.39.	х” 4- х1 =	я(0) — 1j а/(0) — функция f(t) задана
графиком (рис. 118).
8.3.40.	z"+4z = f(t), z(0) = z'(0) = 0, функция f(t) задана графиком (рис. 119).
8.3.41.	х" — х = /(f), я(0) = я'(0) = 0, функция f{t) задана графиком (рис. 120).
17 Сборник задач по высшей математике, 2 курс	513
Рис. 118	Рис. 119
8.3.42.	Найти решение задачи Коши tx” 4- tx' — х = 0,	я(0) = О,
ат'(О) = 1-
Q Пусть x(t) -г> Х(р). Тогда
х'И рХ(р),
a:"(t) = р2Х(р) - х'(0) = ргХ{р) - 1.
Далее, по теореме о дифференцировании изображения находим изображения функций tx'(t) и tx,,(t')‘
tx'(t) -£b>X(p)) = -Х(р) -рХ'(р), ар
tx"(t) (р2Х(р) - 1) = —2рХ(р) - р2Х'(р).
U> Z-/
Следовательно, операторное уравнение примет вид:
-2рХ(р) - р2Х'(р) - Х(р) —рХ'(р) - Х(р) = О,
(р2+р)Х'(р) + 2(р + 1)Х(р) = 0,
рХ'(р) + 2Х(р) = 0.
В данном случае операторное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение. Однако порядок его ниже, чем порядок исходного уравнения. Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя обе части полученного равенства, имеем:
=	откуда InX = — 21np + In С, т.е. Х(р) = ^.
X Р	р“
или
откуда
514
Оригиналом для этой функции служит функция z(t) = С • t. Используя начальное условие x'(G) = 1, находим С = 1. Окончательно имеем z(t) = t.	•
Найти частные решения дифференциальных уравнений средствами операционного исчисления:
8.3.43.	tx"	-	Зх’ = 0, ж(0) = 2, х'(0) = 0.
8.3.44.	tx"	+	2х' = 0, z(0) = 1, ^(0) = 0.
8.3.45.	tx"	+	tx' + х = 0, а;(0) = 0, z'(0) =	1.
8.3.46.	Решить систему линейных уравнений
х' + у = 2е*, у' + х = 2е*,
z(0) = ?/(0) = 1.
Q Пусть x(t) Х(р) и y(t) Y(p). Учитывая, что ег -г>
, полу-
чаем операторную (или изображающую) систему линейных относительно
функций X (р) и Y (р) уравнений
рХ(р) - 1 + У(р) = рУ(р) - 1 + Х(р) =
(рХ(р) + У(р) = %±±
|х(р)+рУ(р) = £±2.
Решая эту систему, получим X (р) = Y (р) ний находим теперь x(t) = е* и y(t) = eL.
-----. По таблице изображе-Р- 1
Решить системы уравнений:
8.3.47.
8.3.48.
8.3.49.
8.3.50.
8.3.51.
8.3.52.
х' + у = 0,
У* + х = 0,
х(0) = 1, 2/(0) = -1.
х' — Зх — 4у = 0, у' — 4х + Зу = 0, х1 + х - у = 2, у' + х + у = 2t,
z(0) = ?/(0) = 1.
х(0) = 0, 7/(0) = -1
х' + у + z = 0, у' + х + z = 0, z' + х + у = 0,
я(0) = 1, 2/(0) = 0, z(0) = -l.
X1 + у = i, у1 + z = t2 + 1,	я(0) = 1, ?/(0) = z(0) = 0.
Р + х = 2t + 1,
2у-г = °)	г(0) = о, z'(0) = г/(0) = 1.
у' + X - х - у = е1,
515
8.3.53.
I 2x" — x' + 9x — y" — y' — 3y = 0, [2z" + x' + 7x - у" + у' - by = 0, = y'W = 0.
x(0) = z'(0) = 1, 2/(0) =
8.3.54.	Решить интегральные уравнения:
t	t
a)	Jet~Tx(r) dr = t',	6) x(t) — J(t — t)x(t) dr = sini.
о	о
Q а) Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет собой свертку функций е4 и x(t). Пусть x(t) -т> Х(р). Тогда по теореме о свертке получим изображение интеграла
t
Jе*~тх(т) dr = е4 * x(t) -т> —Lx(₽)•
о	V
Составим теперь операторное уравнение:
= откуда Х(р) =	|
р — I	р2 р р2
Следовательно, x(t) = 1 — t.
б)	Пусть x(t) Х(р). По таблице изображений находим t о 4г и sinf-т» .
р2	р2 +1
По теореме о свертке получим изображение интеграла: t
f(t — т)я(т) dr = t * x(t) 4rA'(p).
J	p2
о	и
Составляем операторное уравнение
Х(р) - ±Х(р) = -jl-. р2	р2 +1
Решая его относительно функции А(р), находим
= р2 = 1 ( 1 + 1 А (р2 — 1)(р2 + 1)	2 \р2 — 1	р2_|_^у
Находя оригинал для функции Х(р), получаем решение исходного интегрального уравнения x(t) = (sh t + sin t).	•
Решить интегральные уравнения:
8.3.55.
8.3.56.
t
Jе*~Тх(т) dr = sin t.
о
t
^cos r • x(t — r)dr = sin t. о
516
8.3.57.	t jcos(t — т)г(т) dr = t2. 0
8.3.58.	t уe2(t-u)_ ^2gt 0
8.3.59.	t y*(t — т)г(т) dr — x(t) — — cos t. 0
8.3.60.	t x(t) = ^е1~Тх(г) dr + cost. 0
8.3.61.	t y*(t — т)2г(т) dr — 2гВД + 2e4 = 0. 0
8.3.62.	t x(t) — 2 y*[(t — it) — sin(t — it)] x(u) du = t. 0
8.3.63.	t j(l — 2(t — т))г(т) dr — x(t) = 2 (1 + t — e4 0
8.3.64.	t г(t) = 1 + i /(t — u)3x(u) du. 0
8.3.65.	t y*sh(t - т)г(т) dr + x(t) = t. 0
8.3.66.	t	t jx(u) du + y*(t — u)x(u) du + x(t) = t. 0	0
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения средствами операционного исчисления:
8.3.67.	х"	+ Зг' = е4,	г(0) = 0, г'(0) = -1.
8.3.68.	г"	- 4г' + х =	1 - 2е4, г(0) = 2, г'(0) = 1.
8.3.69.	г"	+ 2г' + г =	t2, г(0) = 1, г'(0) = 0.
8.3.70.	г"	+ г = cost,	г(0) = -1, г'(0) = 1.
8.3.71.	г'"-г' + 3г = 12 +	3sint - 2 cost,	г(0)	=	4, г'(0)	= 1, г"(0) = 0.
8.3.72.	г" + г = 1, г(0) =	-1, г'(0) = 0.
8.3.73.	г" - г' = te4, г(0)	= г'(0) = 0.
8.3.74.	г'" - 2г" + г' = 4,	г(0) = 1, г'(0)	=	2,	г"(0) =	-2.
8.3.75.	г'" + г' = е24, г(0) = г'(0) = г"(0) = 0.
8.3.76.	xIV - г = 1, г(0) = 0, г'(0) = 3, г"(0) = -1, г'"(0) = 1.
8.3.77.	г'" + г = 1, г(0) = г'(0) = г"(0) = 0.
517
8.3.78.	х' — х = f(t), rr(O) = 0, функция f(t) задана графиком (см. рис. 121).
Найти общие решения дифференциальных уравнений средствами опера
ционного исчисления:
8.3.79.	х" - 4х' = t.	8.3.80. х” + 2х’ + х = t2 + 5t + 4.
8.3.81.	a:" + a: = 2cost	8.3.82. х"' — х” = е*.
8.3.83.	xIV — Sx" + 16а: = cost.
Решить интегральные и интегро-дифференциальные уравнения: t	t
8.3.84.	J ch(t — u)x(u) du = shi. 8.3.85. Jehu • x(t — u)du = t.
о	о
t
8.3.86.	fx(r)x(t — r)dr = sin t —	cos t.
J	L	L
0 t
8.3.87.	x(t) — t = f(t — t)2x(t) dr. о t
8.3.88.	Jcos(t — u)x(u) du — x(t) + 1 + t = 0. о t
8.3.89.	2x(t) — 2 = Jsin2(£ — t)z(t) dr. о t
8.3.90.	x’(t) + J x(r)dT = 1, ®(0) = 0. о t
8.3.91.	x'(t) + J(t — t)x(t) dr = 1 + t, a;(0) = 0. о
Решить системы дифференциальных уравнений:
8.3.92.
х1 — 2а: + у = 3 — 2t, у' + х + 2у = 4 + t,
а:(0) = 0, 7/(0) = 2.
518
8.3.93.
8.3.94.
8.3.95.
8.3.96.
8.3.97.
х1 + х — у = sin t, у1 + 2z = sin t,
z(0) = 0, 2/(0) = 1.
x" + У1 — % = 4 — t2, x' — 2y + 2x = 2t2,
z(0) = -1, 2z(0) = 0, 2/(0) = -1.
x' - у 4- z = 0, y' - z - x = -1, z' -x + y = 1,
z(0) = 1, 2/(0) = 2, z(0) = 1.
x' = 2x — у 4- z, y'=x + z,	2(0) = 2/(0) = 1, z(0) = 0.
z' = —З2 4- у — 2z, 2' + у 4- z = 2e* 4- 3,
y' 4- x 4- z = 2e* 4- 2, 2(0) = 1, p(0) = 3, z(0) = 1. z' 4- 2 + у = 2e* 4-1,
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
a) f(t) = t cos2 t;	6) f(t) = - ~	.
2.	Найти изображение периодической функции с периодом Т = 1, заданной на отрезке [0,1] равенством f(t) = 1 — t.
3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
a) F(p) = -3 Р +/	;	б) Г(р) = 	.
р’}4-4р24-5р	(р-1)(р4-4)
4.	Решить дифференциальное уравнение х" 4- х' — 22 = е*, 2(0) = 1, 2'(0) = 0.
 2 г
5.	Решить интегральное уравнение x(t) = у 4- /(t — т)е~^т~^х(т) dr.
о
Вариант 2
1. Найти изображения следующих оригиналов:
\	*2 • Qi	£ / jA COS 3^ cost
a) /(i) = Г sin2t;	6) f(t) =----------.
2. Найти свертку и ее изображение для функций /(t) = t2, g(t) = sint.
519
3. Найти оригиналы по следующим изображениям:
a)	F(p) =
р4 — 4р2 + 4 ’
б)	F(p) =
е~Р + е~2р р2 4- 6р 4-10
Р
4. Решить систему дифференциальных уравнений
х' 4- х — у = 0, у1 4- х 4- у = 0,
Х0) = 2/(0) = 0.
t
5. Решить интегральное уравнение x(t) = shf — Jch(t — т)х(т) dr. о
Вариант 3
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
а)	/W = * ch4t;
б)	функция /(£) задана графически (рис. 122).
2.	Найти свертку и ее изображение для функций /(t) = e2t, g(t) = cos2t
3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
а) б)
4.	Решить дифференциальное уравнение х" 4- 4я = е*, ж(0) = x'(fi) = 0.
t
5.	Решить интегральное уравнение x(t) — t=l sin(t — и) • х(и) du.
Рис. 122
Рис. 123
Вариант 4
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
a)	f(t) = t sin2 3f;
б)	функция /(t) задана графически (рис. 123).
2.	Найти свертку и ее изображение для функций f(t) = cosf, g(t) — cos3t
520
4 ’
3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
а) F(P) =	6) F(P) = 2 +Г1~1Ч
(Р - 2)	р2 - 4р + 13
4.	Решить систему дифференциальных уравнений х' — Зу = 0,
х(о) = 3/(0) = 0.
5.	Решить интегральное уравнение
е* Ux(u)du = te2t.
о
ОТВЕТЫ
Глава 1. Ряды
§ 1.	Понятие ряда. Ряды с положительными членами
1.1.2.	Sn = 0 — при четном n; Sn = 1 — при нечетном n; lim Sn не п—>оо
существует; ряд расходится. 1.1.3. Sn = п1 2; lim Sn = +оо; ряд расходится. п—>оо
1.1.4.	Sn = {2к + 2 при п = 2к + 1; — 2к при п = 2fc}; lim Sn = оо; ряд п—>оо
расходится. 1.1.5. Sn = 2п — 1; lim Sn = +оо; ряд расходится, п—>оо
1.1.6.	Sn = I fl - lim Sn = I; ряд сходится, о \	2 / п—>ос	о
1.1.7.	Sn = | fl - п \ .г); lim Sn = ряд сходится. 1.1.8. Sn = ln(n + 1);
lim Sn = +oo; ряд расходится. 1.1.10. lim an = Д; ряд расходится, n—>oo	n—>oo	Z
1.1.11.	lim an = 0. 1.1.12. lim an = oo; ряд расходится. 1.1.13. lim an = 5; 71—>OO	71—>OO	71—>OO	Z
ряд расходится. 1.1.14. lim an = 0. 1.1.15. lim an = 00; ряд расходится. n->oo	n—>00
1.1.16.	lim an не существует; ряд расходится. 1.1.17. lim ап = е3; ряд п—>оо	п—>оо
2	/5\п
расходится. 1.1.19. Сходится; ---—. 1.1.20. Расходится; (-) .
п2
1.1.21. Расходится; -Д=. 1.1.22. Сходится; -Д-. 1.1.24. Расходится; \/n	п
1	п
1.1.25. Сходится;---1.1.26. Расходится; —. 1.1.27. Расходится;
п2
1.1.28. Расходится; -Др. 1.1.29. Сходится; -Др. 1.1.30. Сходится;
1 тг
1 п'
__	х
П2	Пб
11	8
1.1.31.	Расходится; —. 1.1.32. Сходится; ——. 1.1.33. Расходится; —. /г	о	fit
712
(о\п	1
- I ,1.1.36. Расходится; 2. 1.1.37. Сходится; -. 5/	-.	3
1	е
1.1.38.	Сходится; 0. 1.1.39. Сходится; 1.1.40. Расходится; -. X	ш
3	2
1.1.41.	Расходится; -. 1.1.42. Сходится; -. 1.1.44. Расходится; е. z	о
1.1.45.	Сходится; 1.1.46.
. 1.1.47. Сходится;
3	/—
1.1.48.	Сходится; 0. 1.1.49. Расходится; -. 1.1.51. Расходится; 2vlni; +00.
1.1.52.	Расходится; 1п1п(з?+ 1); +оо. 1.1.53. Сходится;-
1п(з?+1) In 2
1	1	хр'г
1.1.54. При р > 1 сходится; —--р-1; -—При р < 1 расходится; *	;
522
4-оо. При g = 1 расходится; In х\ 4-оо. 1.1.55. Расходится; необходимый признак; 1.1.56. Сходится; признак Даламбера; -z. 1.1.57. Расходится; 1-й
0	О
п 1 признак сравнения; ,1.1.58. Расходится; 2-й признак сравнения; —р.
пЗ
1.1.59. Сходится; признак Коши; 1.1.60. Сходится; 2-й признак сравнения;
О
1	3
—. 1.1.61. Расходится; необходимый признак; е . 1.1.62. Расходится; п3
о 2	о
интегральный признак; ^(1пж)3; 4-оо. 1.1.63. Сходится; признак Коши; £	JL 20
1.1.64.	Расходится; 2-й признак сравнения; 1.1.65. Сходится; 2-й признак
сравнения; ——. 1.1.66. Расходится; необходимый признак; +оо. О
П2 з 1.1.67. Расходится; признак Даламбера; —. 1.1.68. Расходится; 1-й признак V 5 1	3
сравнения; —. 1.1.69. Расходится; признак Коши; 1.1.70. Расходится;
признак Даламбера; 3. 1.1.71. Sn = п\ lim Sn = 4-оо; ряд расходится.
1 4~ 7Т
1.1.72.	Sn =---- п\ lim Sn = —оо; ряд расходится. 1.1.73. Sn = (— 1)п • п;
2	п—юо
5 /	1 \	5
lim Sn = оо; ряд расходится. 1.1.74. 5П = 7 11 — тг I; lim Sn = 7; ряд
п—ЮО	4 \	5 / 71—ЮО	4
сходится. 1.1.75. Sn = {5А: при п = 2к\ 5к 4- 2 при п = 2к 4- 1}; lim Sn = 4-оо;
71—ЮО
ряд расходится, 1.1.76. Sn = 1-------—,; lim Sn = 1; ряд сходится.
= 1 3
= 1; ряд расходится. 1.1.80. lim ап = ^-; ряд расходится.
71—ЮО	2
не существует; ряд расходится. 1.1.82. lim ап = 0.
71—ЮО
lim ап = 2; ряд расходится. 1.1.84. lim ап = 0. 1.1.85. Расходится; i—юо	п—юо
11	1	(2\п
х—. 1.1.86. Сходится; —. 1.1.87. Расходится; тг. 1.1.88. Сходится; т . 2п	3	11	\о/
12	1
1.1.89. Расходится; —. 1.1.90. Расходится; -. 1.1.91. Сходится;-
11	&	п1
13	1
1.1.92. Сходится; —. 1.1.93. Расходится; ——. 1.1.94. Расходится; —. п	2 yTi
2	11
1.1.95. Расходится; —. 1.1.96. Расходится; —. 1.1.97. Расходится; —. I v	IV	IV
1.1.98. Сходится; 1.1.99. Расходится; . 1.1.100. Сходится;
п2	^2/	У5
О
1*1.101. Расходится; -. 1.1.102. Сходится; 0. 1.1.103. Расходится; 4-оо. о	о
1*1.104. Расходится; 1.1.105. Расходится; 4-оо. 1.1.106. Сходится; е	4
1*1.107. Расходится; 1.1.108. Сходится; 1.1.109. Сходится; j-j. 2	3	У
1*1.110. Сходится; 0. 1.1.111. Сходится;	1.1.112. Сходится; 7.
е	3
1.1.77.
1.1.79.
1.1.81.
1.1.83.
lim а
lim а
lim а
3
; ряд расходится. 1.1.78. lim ап = In -; ряд расходится.
71—ЮО	2
- - -- --	ТГ__________________
71—ЮО	2
523
1.1.113.	Расходится; In2 х\ +оо. 1.1.114. Расходится; i lnln(2a; + 1); +оо.
1.1.115.	Расходится; Inlnlnx; -+-оо. 1.1.116. Сходится; — -——; ;—. In In х in In 2
о
1.1.117.	Расходится; 2-й признак сравнения; —. 1.1.118. Сходится; признак Л £
Даламбера; 0. 1.1.119. Сходится; признак Коши; 1.1.120. Сходится; О
интегральный признак; —. 1.1.121. Сходится; 2-й признак
In х In 2 3	1
сравнения; —. 1.1.122. Расходится; 1-й признак сравнения; —. п2	п
2
1.1.123.	Расходится; необходимый признак; cos 1.1.124. Сходится;
О 27 признак Коши; 0. 1.1.125. Расходится; признак Даламбера; —. О
1.1.126.	Расходится; признак Даламбера; 1.1.127. Расходится; О
2 интегральный признак; - lnln(3rr — 1); +оо. 1.1.128. Расходится;
О
5 необходимый признак; 2. 1.1.129. Расходится; признак Коши;
О
1.1.130.	Расходится; 2-й признак сравнения; 1.1.131. Сходится; 2-й 2
признак сравнения; —. 1.1.132. Нет. 1.1.133. а) Да; б) да; в) нет, г) нет. п2
1.1.134.	а) Да; б) нет. 1.1.135. а) Нет; б) нет; в) нет. 1.1.136. а) Сходится.
б)	может сходиться, а может расходится; в) расходится. 1.1.137. а) Нет;
б)	нет; в) нет. 1.1.138. Расходится; 2-й признак сравнения;
1.1.139.	Расходится; * > 1. 1.1.140. а) Признак Даламбера не t*n	'
Q
применим, б) Сходится; -. 1.1.141. ап = —Ьп = 2 + (—1)п. 1.1.142. Признак
оо (П|)п
Даламбера; 0. 1.1.143. 0. Указание. Исследовать ряд 52 — п=1 п
п2
§ 2.	Знакопеременные ряды
1	2
1.2.7.	1-й признак сравнения; ——1.2.8. 2-й признак сравнения; —. п + 1	11
1.2.9.	Интегральный признак; 2\/lnInn; -boo. 1.2.10. 2-й признак сравнения;
у-. 1.2.11. 2-й признак сравнения; 1.2.12. Признак Даламбера; 0.
2П	л
1.2.13.	Интегральный признак: —	1.2.14. Признак Даламбера;
In n In 2	2
1.2.15.	Необходимый признак; +оо. 1.2.16. Признак Даламбера;
О
3	е
1.2.17.	Необходимый признак; -. 1.2.18. Признак Коши; 1.2.19. Сходится Lt	Lt
абсолютно; 2-й признак сравнения; 1.2.20. Расходится; необходимый
признак; 1. 1.2.21. Расходится; признак Даламбера; +оо. 1.2.22. Сходится
условно; 2-й признак сравнения; —. 1.2.23. Сходится абсолютно; признак
524
Коши; In 2. 1.2.24. Сходится абсолютно; 1-й признак сравнения; —. п
1.2.25.	Сходится условно; интегральный признак; 2\/1пп; +оо.
1.2.26.	Расходится; необходимый признак; In 2. 1.2.27. Сходится абсолютно; признак Даламбера; 1.2.31. Расходится; необходимый признак;
|2 + t| ч/б
1.2.32.	Сходится абсолютно; признак Коши; —т— =	1.2.33. Сходится
м	О
=	1.2.34. Сходится условно; 2-й
V 5
признак сравнения; 1.2.35. Сходится абсолютно; признак Коши; \рп
абсолютно; признак Даламбера;
2	2	13 — г] Ло
-—- = -. 1.2.36. Расходится; признак Коши; —-— = —. 1.2.37. Сходится |3г|	3	2	2
абсолютно; 2-й признак сравнения; Дт. 1.2.38. 2-й признак сравнения; п	уп
3	—
1.2.39. Интегральный признак; (Inn+ 2)3. 1.2.40. 1-й признак сравнения;
£
1.2.41. 2-й признак сравнения; 1.2.42. Признак Даламбера; 4. у/п	п	2
1	3
1.2.43. 2-й признак сходимости; —1.2.44. Признак Коши; -. 1.2.45. 1-й 3	С
П2
признак сравнения; 1.2.46. Необходимый признак; +оо. 1.2.47. Признак £
Даламбера; +оо. 1.2.48. Признак Коши; е2. 1.2.49. Необходимый признак;
In i 1.2.50. Расходится; необходимый признак; 1.2.51. Сходится
абсолютно; признак Даламбера; 1.2.52. Сходится абсолютно; 2-й признак
О
. 1.2.53. Расходится; признак Коши; +оо. 1.2.54. Сходится
сравнения;
3
условно; 2-й признак сравнения; —. 1.2.55. Сходится абсолютно; 1-й признак
сравнения; 1.2.56. Сходится абсолютно; интегральный признак;
(2 +Inn)-2 1
--------	;	1.2.57. Расходится; необходимый признак; +оо. 2-------------о
1.2.58. Сходится условно; 1-й признак; 1.2.59. Сходится абсолютно,
признак Коши; 1.2.60. Расходится; признак Даламбера; -—
О	о	о
1.2.61. Сходится условно; 2-й признак сравнения; 1.2.62. Сходится
|1 + г| у/2
абсолютно; признак Даламбера; —-— =	1.2.63. Сходится абсолютно;
О	U
2-й признак сравнения; -Д-. 1.2.64. Сходится условно; 2-й признак о
П2
сравнения; 1.2.65. Сходится абсолютно; признак Коши; f. 71	о
1.2.66. Расходится; необходимый признак; 4. 1.2.67. а) Нет, б) да.
%
525
1.2.68. Сходится абсолютно; признак Даламбера; 1.2.69. Расходится; £
необходимый признак; |an| = 1- 1.2.70. Нет. 1.2.71. а) Нет; б) нет; в) нет;
г) да. 1.2.73. Расходится (см. задачу 1.2.726). 1.2.74. а) Расходится.
б) Сходится абсолютно, в) Расходится, г) Сходится условно, д) Сходится
условно. 1.2.75. Указание. 1	2. 1.2.76. Указание. 2апЬп + Ь„.
§ 3. Степенные ряды
1.3.7. (—оо, Ч-оо); 0. 1.3.8. ( —оо,+оо); 0. 1.3.9. {0}; Ч-оо при х 0.
1.3.10. {—1}; Ч-оо при х —1. 1.3.11. (—1,1); |х|. При х = — 1 ряд расходится; необходимый признак; Ч-оо. При х = 1 ряд расходится; необходимый признак; Ч-оо. 1.3.12. (2,4); (3 — ж)2. При х = 2 и х = 4 ряд расходится; 2-й признак сравнения; -^=. 1.3.13. [—1,1); |ж|. При х = —1 ряд сходится условно; 2-й у/п
признак сравнения; признак Лейбница. При х = 1 ряд расходится; 2-й
признак сравнения; 1.3.14. (—1,1]; |х|. При х = — 1 ряд расходится; 2-й
признак сравнения; При х = 1 ряд сходится условно; 2-й признак
сравнения; признак Лейбница. 1.3.15. {0}; 0 при х = 0; Ч-оо при х 0.
1.3.16. {3}; 0 при х = 3; Ч-оо при х 3. 1.3.17. (—оо, Ч-оо); 0 при
х 6 (—оо, Ч-оо). 1.3.18. (—оо, Ч-оо); 0 при х 6 (—оо, Ч-оо). 1.3.19. (—1,1); х2.
При х = — 1 и при х = 1 ряд расходится; необходимый признак; е. (х — 2)2
1.3.20. (2 — \/2,2 + \/2); ------. При х = 2 — у/2 и при х = 2 Ч- V2 ряд
£
расходится; необходимый признак; х/2е. 1.3.21. (0,6); признак Даламбера;
Jx ~ з|
—5—. При г = 0 ряд расходится; необходимый признак; lim ап не
3	п—»оо
существует. При х = 6 ряд расходится; необходимый признак;
1
3’
1.3.22.
Г_1 1\
L 2’ 2/
2
; признак Даламбера; 2|гг|. При х = — - ряд сходится условно;
2-й признак сравнения; -77=; признак Лейбница. При х = ряд расходится; уп	*
2-й признак сравнения; —^4=. 1.3.23. [—1,1]; признак Коши; 0 при |з?|	1; Ч-оо
уп
при |ж| > 1. При х = ±1 ряд сходится абсолютно; признак Коши; 0.
1.3.24.	[1,3]; признак Даламбера; [ж — 2[2. При х = 1 и при х = 3 ряд сходится условно; 2-й признак сравнения; Jj; признак Лейбница. 1.3.25. ( — 1,1);
признак Коши; |г| . При х = ±1 ряд расходится; необходимый признак; е.
1.3.26.	(1,3); признак Даламбера; (2 — х)2. При х — 1 и при х = 3 ряд
расходится; 2-й признак сравнения; 1.3.27. [—2,0); признак Даламбера;
[ж Ч- 1[. При х = —2 ряд сходится условно; интегральный признак; In In ж; Ч-оо; признак Лейбница. При х = 0 ряд расходится; интегральный признак; In In г;
Ч-оо. 1.3.28. (—1,1]; признак Даламбера; |гс|. При х = — 1 ряд расходится; 2-й
526
признак сравнения; —. При х = 1 ряд сходится условно; 2-й признак
сравнения; —; признак Лейбница. 1.3.29. [—3,1]; признак Даламбера; —-—
При х = — 3 и при х = 1 ряд сходится абсолютно; 2-й признак сравнения; . п
1.3.30.	[—1, 1]; признак Даламбера; 0 при х Е [—1,1]; 4-оо; при |ж| > 1. При
х = ±1 ряд сходится абсолютно; 1-й признак сравнения; 1.3.31. [—2,2];
2
признак Даламбера; . При х = ±2 ряд сходится абсолютно, интегральный
—р—; —р—. 1.3.32. (—2 — л/З, —2 4- л/3); признак Даламбера;
2 In от 2 In х
признак;
|яг 4- 2|2
--------. При х = — 2 — уЗ и при х = — 2 4- уЗ ряд расходится; необходимый О
признак; Т~^=- 1.3.33. (—2,0); признак Коши; |ж 4- 11. При х = — 2 ряд УЗ
расходится; необходимый признак; lim ап не существует. При х = 0 ряд п—юо
расходится; необходимый признак; \/ё. 1.3.34. { — 7}; признак Даламбера; 4-оо при х —7. 1.3.35. (—оо, 4-оо); признак Коши; 0 при всех х Е (—оо, 4-оо).
1.3.36.	(—оо, 4-оо); признак Даламбера; 0 при всех х Е (—оо, 4-оо). 1.3.37. {6}; признак Коши; 0 при х = 6; 4-оо при х 6. 1.3,38. {г}; признак Даламбера; 4-оо при z г. 1.3.39. [г 4- 2г[ < 1; признак Даламбера; [г 4- 2г[2. 1.3.40. С;
признак Коши; 0 при всех z 6 С. 1.3.41. |г — г| < 3; признак Коши; —-—.
О
1.3.42.	|z| < 1; признак Даламбера; |г|. 1.3.43. [1,3]; [ж — 2|. При х = 1 и при
х = 3 ряд сходится абсолютно; 2-й признак сравнения; -Д-. 1.3.44. — тг	L 3 37
33 * 5)х)5. При х = — ряд сходится условно, 2-й признак сравнения; признак 3	п
Лейбница. При х = ряд расходится; 2-й признак сравнения; 1.3.45. {0};
О при х = 0; 4-оо при х 0. 1.3.46. (—оо, 4-оо); 0 при всех х Е (—оо, 4-оо). 1.3.47. (—оо,4-оо); 0 при всех х Е (—оо, 4-оо). 1.3.48. {—1}; 0 при х = —1; 4-оо при х —1. 1.3.49. [—1,1]; 0 при |ж|	1; 4-оо при |ж| > 1. При х = ±1 ряд
сходится абсолютно; признак Коши; 0. 1.3.50. а) Нет, б) нет, в) нет; г) да; д) да. 1.3.51. а) Расходится, б) Ничего, в) Ничего. 1.3.52. а) Ничего. 6) Сходится абсолютно, в) Ничего. 1.3.53. а) Ничего, б) Расходится.
в) Сходится абсолютно. 1.3.54. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.
1.3.55. (1 —	1 4- При х = 1 ± ряд расходится; необходимый признак;
1.3.56. В каждой точке интервала (zi;z2) ряд сходится абсолютно. В уе
точках прямой (zijz?) за исключением отрезка [гигг] ряд расходится. О сходимости в остальных точках ничего сказать нельзя.
527
§ 4. Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке
11	11	19 °C sin(2fc — l)s
1.4.2. |	| cos 2s. 1.4.3. |	| cos 2s. 1.4.5. -И £ - к
Z Z	Z i	п fc=i 2Л — 1
1.4.7. 1 + 4 |	4.4.8. -3 + £ (-irlsin.^.
1-4.10. ! - % £	1-4.11. -| + У £
fe = l	z/c — 1	z fe=1 z/c — 1
1.4.12.
1.4.15.
n=l
7Г2 3
7Г2
1.4.16. 1 -
О
n cos nx 14-13 тг _ 4	cos(2k — l)x
n2  ’ ' * 2 7Г {2k _ 1)2 00 cos(2k — l)x
6 '
1.4.18.
2 sin тга f sinar 7Г
_	о oo
7Г   Z Y''
4 " " fcti
n k^x (2k - I)2
2 sin 2x . 3 sin 3a? _ A
1 — a2 22 — a2 32 -a2
cos(2k — l)x £2 1 ,	-я2
+ E l(-l) Sinns. 1.4.19.
n=l	°
°°> sin 2nx 2n
(2k - l)2
1.4.21. a) 2 £ (-!)"+'SUUS; 6) £ n=l
1.4.23. a) + t £ z fe=l
-t
1.4.25.
(2k - l)2
00	2
-4 £(-l)"^2;r) 3+^-
n=l	n	b
4 00 (~l)n+1sin^
7Г 2-^ n=l
n=l cos(2fc — l)s	ti- 2 cos(2fc — l)s
’	+ 4	(2fc — l)2
OO (____cos nx
n2
Л 1	(—l)n+1 sin2n7FX
. 1.4.26. ± £ 4
7Г
71=1
1
n
(2k — 1)tts cos
n
9	1	1 cos4(2A? — 1)тга?
-----------. 1.4.28. - - — У k '
(2k - I)2--8	7г2 fcti
19 oo (-ircos^
1.4.29. 6 + Ц E ---------—
71 n=l	П
8 2° sin(2fc - l)s	a + 6	2(a - b) °°
1.4.31. 7 - ®	1.4.32.	- K— -- £
fc=i 2k -1	2	*	&
1 4 33 — £ cos(2fc — l)a? j 4 34 2sinтга / J_ . acosx _ ’ *	‘ *4=1	(2fc-l)2 ’ ’ ’	’	\2a i_a2
1 л oe 8a (cosx , cos3s , cos5s ,	\
1Л-35- +—+
Г4.36. ? - j £ COS(2fc ~ V1
4 v (2k - I)2
2 00
1.4.27. 1 - 4 £ 7Г fc=l
(2k - l)2
31 14 30 1 + 2 у (-Dncos2^ * 6	7Г2 n=l
n2
sin(2k — l)x 2k — 1
a cos 2x .
22 - a2
52	.
OO
+ E(-D n=l
n sin nx n
OO	•	nJ OO
5) j. 1.4.39. 2	1.4.40. Ц
n=l	71=]
. 1.4.37.	1.4.38. a)
О	о
(—l)nsin
П
(2k - 1)7FX cos------	—
1.4.41. L -	£ —----------l—
2 Д (2fc - I)2
9J2 Al °°
. 1.4.42.	+ 4 £
7Г n=l
(—l)n cos
n2
528
v	ОС	ОО
1.4.43.	1 + 2 £ (-1)п • с^-пх. + 2 £ (-1)п-г • nfnnx
п=1	п + 1	п=1	п + 1
1.4.44. а) | £ (-1)"+1
n—1
4 00
6) cos ax = — — 52 fc —— 1
Л 00 <- 
cos ax = — — 52 V ""	7 ПРИ нечетном a.
" a2 - (2fc)2 V 4a cos(2k — l)x 1.4.45. sin az = — У? —----------если a — четное;
'* fe=i a2 — (2k — I)2
sin ax = ~ + — 52 f °S	9 j если a — нечетное.
/,a k=i a2 - (2k)2
1 ~ Z(-l)n-l (-l)n\ .
1.4.46. - 52 (----Y~3-------) Sin27l7rrE.
" n=l \	7F2n3	2n J
2птг Icos^.
COS2^	oo
75—-H+2* E(-l)"-1 I + П 7Г	n=l
sin пх\
(2к — 1) sin(2fc — l)x ----------------------- при четном a,
a2 - (2k — I)2 P
2k sin 2kx
9	Q °°
1.4.47. - 4 £
°	7Г п=1
7Г2П3
1 — COS —У __________о
2 Tl
ОО
1.4.48. shZ у + 2J £(-!)"•
„ „• ТККХ " п sm ——
V
>2 ,	2
I + П 7Г
1
I
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными
2.1.3.	а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 2.1.5. а) у = х2 4- х — 1; б) у = 1 — у е 3® О
2.1.7.	а) у = За? 4- С\ б) у = 2 In |ж| 4- С. 2.1.8. а) ху' 4- у = 0;
б) 2хуу’ = Зу2 - х2. 2.1.10. v' =
-^лг2. 2.1.11.	= -кт.
то	dt
2.1.16.	(1 - я)(1 4- у) = С. 2.1.17. д/l - у2 = arcsins + С.
2.1.18.	х2 + у2 = 1пСх2. 2.1.19. у + In|i/| = sin х — х cos x 4- С.
2.1.20.	у = ln(l + Се~х). 2.1.21. у =------2.1.23. у = (ж + I)2.
С 4-
2.1.24.	у = (4х + 2)2. 2.1.25. у = 1. 2.1.26. f = -3. 2.1.28. 200 м. 1 — ху
2.1.29.	» 66 мин. 2.1.30. а) у = —4; б) у2 - х2 = 1. 2.1.32. у' = х +1	Л
2.1.33.	а) у = 2 sin х + С’, б) у = f + 2тгк J х + С, к € Z. 2.1.34. а) С = —1; \ Ai	f
б)	С = 3. 2.1.35. f(x,y) =0. 2.1.37. у = In х. 2.1.41. 2^/у + In |у| - 2у/х = С, у = 0. 2.1.42. у = log3(C + 3х). 2.1.43. у = -1 + С(х + 1). 2.1.44. s = С cost. „2
2.1.45.	- е~У(У + 1) = С. 2.1.46. х + у = 1п(С(ж + 1)(у + 1)), у = -1.
£
9	2х + sin 2х
2.1.47.	у = 5 4- Се~х. 2.1.48. v = Ce2t . 2.1.49. у = Се 4
529
2.1.50.	In tg = C - 2sin £ 2.1.51. (1 + er)(l + ey) = C. rx I	Z
2.1.52.	?/sin у — x cosx 4- cos?/ + sin x = C. 2.1.53. ctg Д = x + C. li
a/(3 + *2)3	1
2.1.54.	у = Ce '2 - 1. 2.1.55. —----= C. 2.1.56. y = a + Ce? .
2 + y2
2.1.57.	у = C sin ar -a. 2.1.58. у =	- 1. 2.1.59. у = Csin2i -
2.1.60.	y= 1+C^-f- 2.1.61. y-ar + C = lnar2 + ln|y|.
•C “v A
2.1.62.	4x/m + -4“ = С, у = 1. 2.1.63. 2л/2 - x2 - arctgj/ = C. In2?/
2.1.64.	у = -*-r. 2.1.65. ar2 - 2y2 = 2. 2.1.66. 1 + y2 = —. x + 1	1 — x2
2.1.67.	у = x2 - 2. 2.1.68. у = x, у = 2г - х. 2.1.69. у2 = (х + З)3.
2.1.70.	2х — arctg2y = 1 -	2.1.71. а/ = In яг. 2.1.72. 2у + 1 = 4sin2 х.
2.1.73.	у = £±2. 2.1.74. а) у = 2х3; б) у = -	16	2.1.75. а) у = j;
У	loo; — оо	х
_	HL	О	О
б)	у/х = 2у. 2.1.76. у = Се2.2.1.77. у = или у = о х	а 4“ х
п	1
2.1.78.	у = С + In |аг2 - 1|. 2.1.79. « 817 лет. 2.1.80. 7V = а - 34 .
t - fi
2.1.81.	0,2 км/час. 2.1.82. 45°С. 2.1.83. х = тх •	<2 ~Z1 г.
2.1.84.	2 об/с; « 118 с. 2.1.87. л 1,08 кг. 2.1.88. а) « 35 с; б) и 11 мин.
(Подсчитав количество жидкости, вытекшей из сосуда за время At двумя
способами, получим уравнение: — S(h) dh = н(Л) dt • 5, где S — площадь
отверстия, S(ti) — площадь поперечного сечения сосуда, h — уровень
15 жидкости, v(h) — скорость ее истечения, t — время.) 2.1.89. — м/с.
2.1.90.	200; v =	-----. 2.1.91. у = Intg (с + |\/(ar + I)3 - | у/^Г-
Д* + 0,1	\	3	3
I)3 ,
х^1. 2.1.92. а) у = CeJ'sinx2dx; б) 5х + 10?/ + С = 31п |10аг - 5у + 6|;
в) tg| = С (tg^ + 1) (1 - tg £); г) у - 1, у = -1, яг^/! - ?/2 + ?/У1 - а:2 = 1; Z	\	£	/ \	и /
д) 4у — 6х + 1 = Се 2х; е) ctg = х + С, у — х = 2тгк, к 6 Z. £
§	2. Однородные дифференциальные уравнения
„	о у
2.2.2.	у2 + 2ху = С. 2.2.3. у2ех = Сх. 2.2.4. у = 2xarctgx.
2.2.6.	у= 1 + ^iln|C(ar-l)|, С 0. 2.2.8. х + ?/1п Су = 0.
2.2.9.	(х - I)2 + у2 = 1. 2.2.10. у= - -L. 2.2.11. !/2 = 2x2ln§.
2.2.12.	е"х + In Саг = 0. 2.2.13. у = хеСх+х. 2.2*.14. у = х In2 Сх.
2.2.15.	—4т = 1пС(з - t). 2.2.16. х2 - у2 = Саг. 2.2.17. у = a:In2
530
2.2.18.	arctg = 1пСл/х2 +т/2. 2.2.19. sin | + Inx = C. 2.2.20. ж sin = C.
2.2.21.	у = xeCx. 2.2.22. y2 - x2 = Cy3. 2.2.23. ex = 2 — x
2.2.24.	x3 + y3 = Cxy. 2.2.25. у = x In x. 2.2.26. у = x In ey.
X2
2.2.27.	1п2Ух2 + г/2 = | arctg 2.2.28. In = Cx. 2.2.29. хе2У2 = C.
2.2.30.	у = xtg(lnCx). 2.2.31. у = x -	. 2.2.32. у = -x.
In ex
2.2.33.	ln(x2 + y2) + arctg | = 0. 2.2.34. у = ex. 2.2.35. у + y/x2 + y2 = 1.
2.2.36.	у = 2x — xlnx. 2.2.37. у = xln^. 2.2.38. (x - y)2 = Cy. О
2a; - 2
2.2.39.	a) x — у + C = In |3x — 4y + 11; б) (у — x)e У ~ x = С, у = x.
2.2.40.	x2 = (x2 — y) In Ся, у = x2. 2.2.41. a) Cx = ip
б) у + \j2x? + у2 = Cx5] в) = (jx 2.2.42. у2 = 2Cx + С2, кривые У + OX
(сечения) — параболы, поверхность зеркала — параболоид вращения.
2.2.43. а - Р = сф.
§ 3. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли
2.3.2. у = (х + С)ех\ 2.3.3. у = х2 +	2.3.4. х = СеУ - 2, у = 0.
JU
2.3.5. у = 4 + 1)	2.3.7. у = ех - х - 1. 2.3.8. у = Се~2х + ех.
И С-(х + 1)7
2.3.9. у =	2.3.10. х = у4+ Су2, у = 0. 2.3.11. х = ln»t? У = °-
х + 1	У
2	1
2.3.12.	у = ------------. 2.3.13. у =	 -	, у = 0.
у In х + Сх + 1	у у/Се2х2 + 1
2.3.14.	у = Ce~sinx + 2sinх - 2. 2.3.15. у = х3 +	2.3.16. у2(2х + С) = е®2,
У = о. 2.3.17. у = '/Зхх+С. 2.3.18. х2 =	, у = 0.
х	С — cos у
2.3.19.	г/ = ег(С' + 1пх+^-). 2.3.20. у =	- х2(2 arcsin х + С).
2.3.21.	у = (x + C)tg^. 2.3.22. у = | х3. 2.3.23. у = 2sinx - cosx.
2.3.24.	х = еу. 2.3.25. у =	2.3.26. у = (С + * tgx + In cosyV =
х2 — 3	\	х	/
2.3.27.	х = Су2 + In у2 — у + 1, у = 0. 2.3.28. у = е-а?(1 + arctgx).
14	е^ 4- 2/>2 — ра
2.3.29.	у = 4 - 4cost + e1-cos*. 2.3.30. r=
2.3.31.	х = у2 - 2 + е~ 2 . 2.3.32. у = V	,
X \	14	/
/- ч 4
У=\(3	) • 2.3.33. С1 + С2 = 1. 2.3.34. v = ^(1 - е~ т *).
х \	14	/	«
531
2.3.35. у =	 — гипербола. 2.3.36. а) I =	+ Ц ( е“L* - 1) ;
2х ~ 1	' R R2 \	)
А (	1\
б) I = —-------—- I R sin u>t — wL cos u>t + wLe L ),
r2+u2l2\	j
2.3.37. у = Ce~v^ 4- <p(x) — 1. 2.3.38. a) ey =	, обозначить ey — z\
x + Cx
б) у = 2ex — 1, продифференцировать, сделать проверку => С = 2.
2.3.39.	у = х 4- 2ех . 2.3.40. х = (tg у 4- ~ In | cos t/Q .
2.3.41.	sin?/ = Се~х 4- х — 1, подстановка sin?/ = z. 2.3.42. х = cos2 у — 2е~2у.
2.3.43.	х = ~у3 4- у = 0. 2.3.44. у = 2е~х. 2.3.45. ху = 4 4- Су2.
7 у/у
2.3.46.	у2 = 4х 4- 4(1 - е1). 2.3.47.	2.3.49. Нет. 2.3.50. х2 4- у2 = Я2.
JL
§ 4.	Уравнения в полных дифференциалах
2.4.3.	х2 — ху = С. 2.4.4. е~ух 4-2?/ = С. 2.4.6. х2 4- sin2 у = Сх, t(x) = Дг. х
2.4.7.	| х2 - | х3?/2 4- у3 = С. 2.4.8. cos 2у - Зх = С. 2.4.9. х2 + у + еху = 2.
2.4.10.	\/х2 + у2 4- ху = 4. 2.4.11. х3 4- у3 4- Зх2?/ 4- Зх — 3?/ = С.
2.4.12.	xsin(x 4- у) = С. 2.4.13. х3 4- х3 In у — у2 = С.
2.4.14.	х3у — cos х — siny = С. 2.4.15. х3 4- ху2 + ху + еу =1.
2.4.16.	х3 4- Зх2?/ - у3 4-1 = 0. 2.4.17. 11п(х2 4- у2) ~ arctg | = С.
2.4.18.	х2 - х 4- ~ - у2 = С. 2.4.19. х2 4- уеУ = С. JL
2.4.20.	sin — cos ~ 4-х —	— С. 2.4.21. xsin?/ — у cosx 4- Inxy = С.
£ У У
2	2
2.4.22.	— еу 4- tg у — у = С. 2.4.23. у sh х 4- х sh у = С. 2.4.24. ху — In у = С,
dQ дР
t(y) ~ 77- 2.4.25.	—|- х3 = С, t = -Д—. 2.4.26.	должно быть
У	sin?/	’sin?/	P — Q
функцией от х 4- у. 2.4.27. а) х2 4- у2 = С', б) ху = С, т. к. d(xy) = 0.
§ 5.	Уравнения Лагранжа и Клеро
2
2.5.2.	у = Сх 4- С — С2, у = (—-—J . 2.5.3. у = Сх — ЗС3, особое решение 3	, 1__ ч 9	т2 - С2
9у±2х2 =0. 2.5.5. у= (v/xTT+C) , у = 0. 2.5.6. у = -	- .
2С
2.5.8.	Ь = 1ПР	+ С’ 2.5.9. у = Сх - у = xlnx - х.
2.5.10.	у = Сх2 + 1,S = ±2х. 2.5.11 J1 (^1)е’ + С’ у = 0.
С	I у = р ер,
532
{у — хр2 -р, р-In p 4-С 2.5.13. у = Сх 4- С 4- >/С, у =---------——-.
х = 4(1+ 1)
2.5.14.	у = Сх — In С, у = Inx 4- 1. 2.5.15. у = Сх 4- 4;, у2 = 4х.
О
§	6. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков
2.6.2. у =	1	т3 16sm4*+ 3	^- + С1х + С2-и
2.6.3. у =	—е5а: - cosx - —	х$ 4- Cix 4- С2.
2.6.4. у =	1	 з~д 2уе <&+1п2з	4- Cix 4- С2.
2.6.5. у= |х2 -	~	+ cosx 4-	+ 2)5 + Схх 4- С2.
2.6.7.	у = (х2 4- Зх 4-1)6* 4- Cix 4- С2, уч = (х2 4- Зх 4- 1)е®.
2.6.8.	у = (х2 4- х — 2) cos 2х 4- Cix + С2, уч = (х2 4- х — 2) cos 2х — х 4- 2.
2.6.9.	у = (х 4- 3) In х 4- х sin х 4- Ci х 4- С2,
уч = (х 4- 3) In х 4- х sin х — (4 4- sin 1 4- cos l)x 4-5 4- cos 1.
2.6.10.	у = (x3 4- x2 — 2x 4- l)e21 — x cos 3x 4- Cix 4- C2,
y4 = (x3 4- x2 — 2x 4- l)e2:c — x cos 3x 4- 2x. 2.6.12. у =	4- Cix3 4- C2.
5
2.6.13.	у = C\(x 4-1)2 4- x 4- C2. 2.6.14. у = £ 4- Ci Inx 4- C2.
JL
2.6.15.	у = Ci sinx — x — | sin2x 4- C2. 2.6.16. у = (x — l)e® 4- Cix2 4- C2. Lt
2.6.17.	Cix(lnx — 1) 4- C2. 2.6.18. у = —x — Ci cosx 4- C2.
2	-r3
2.6.19.	у = - y + Ci inx 4- C2. 2.6.20. у =	| + Ci arctgx 4- C2.
I x 4~ C2 x 4~ C2
2.6.23.	Ciy2 - 1 = (Cix 4- C2)2. 2.6.24. у = e Ci 4-e"
2.6.25.	(x - Ci)2 = 4C2(y - C2). 2.6.26. pcos2(x 4- Ci) = C2.
2.6.27.	у = ±arcsinel+C1 4- C2 и у ~ C. 2.6.28. у = x.
2.6.29. у
. 2.6.30. у =
з
. 2.6.31. у =
x
1-х'
2.6.33.	у = C2xe x . 2.6.34. у  cos2(x 4- Ci) = C2.
2.6.36.	у = cos 2x 4- Cix3 4- C2x2 4- Сзх 4- Ct.
16
2.6.37.	у =	+ Cix8 4- C2x7 4-... 4- C8x 4- C9.
b
2.6.38.	77?x^ 4- Cix2 4- C2x 4- Сз.
2.6.39. y =
2.6.40. у =
siyi + 3sina. _ 21 + Cia.2 + C2X + Cz Li (	Lt^.
1/1	1	1	\
— — (4=7 sin8x 4- 7777 sin 6x 4- | sin4x 4- sin 2x) 4- Cix2 4- C2x 4- Сз.
oz \o4	27	о	/
533
2-6-41-*' = й + т - Й + с'х' + 6721 + = £ + т - т + Iх2 + 21 + L 2.6.42. г/ = —32cos + Cix4 4- С2х3 4- С3Х2 + С4Х + 05, X
j/4 — —32cos — + х3 + х + 33. 2.6.43. у —----------— + Схх2 + С2х + Сз,
2	(х + 2)2
с‘ = -И2 = ?’Сз = Г
2.6.45. у = ^х4 — |х2 + Сх(х arctg х - |1п(1 + х2)) + С2х + Сз-
2.6.46.	—Сх In И - ^ + С2х 4- Сз-
2.6.47.	у = — | In |х| — Ci(xln |х| — 1) + С2х2 + Сзх + Сд. X
2.6.48.	X2	1 у = —Ci cosх 4- С2х —— + cos 2х 4- Сз-
2.6.49.	у = Схх3 4- С2х + Сз + (х — 2)ех.
2.6.50.	у = дCi sin 2х + (1 + 2Сх)х3 + С2х2 + Сзх + Сд.
2.6.53.	у = - sin(x + Ci) + С2х + Сз- 2.6.54. х = Сху2 + С2у + Сз-
2.6.55.	у =	+ 6х2) + Cixln |х| 4- С2х + Сз. ( х + Ci = | In |t| + ~
2.6.56.	{	?	3 4‘ t = y  |у + С2- jt + —,
2.6.57.	у = С2 ( хеС1Х — -^-еС1Х ) + Сз- Указание. Положить у = e^pdx. \	Ci у
2.6.58.	4 о й ко Iх = l+i(21nt - 1)	„ у = 	т. 2.6.59. <	о	t = у . {х — 2)2	|^ = t2lnt,
2.6.60.	/1 2	\ lipin x+Cl In 1 + С2 1	fntlx у = Сзе '	/ . Указание. Положить у = eJP .
2.6.61.	у = (1 4- Cf) In |х 4- Ci| - Схх + С2. 2.6.62. у = (Схх + Ci2)e^+1 4- С2.
2.6.63.	У=^ + +Схх1п\х\ + С2х + Сз- 2.6.64. у = х3+Зх.
2.6.65.	у = |ж2. 2.6.66. у = |х2. 2.6.67. х = Сху2 - ylny + с2.
2.6.68.	у = 1(С1 - 2sr)3/2 + С2х 4- Сз. 2.6.69. у = (Схех 4- 1)х + С2. О
2.6.70.	x = -hy + 2)2/3. 2.6.71. у = ех. 2.6.72. у = 2	COS X
2.6.73.	(С2 | 1 | х)2 л	з у =			Ь	+ 1)2 + С2, особое решение у — С. о
2.6.76. х2 + у2 + Cix + С2у + Сз = 0. 2.6.77. 2(Ciy - 1)3/2 = ЗСгЯ + С2.
2.6.78. Iny = Ciex + С2е~х. 2.6.79. х = С\ + In
.2.6.80. у= 1(14- т2).
у + 02	2
2	1
2.6.81.	у = Ci^r- 4- (Ci — Cl)x + С2, особое решение у = — (х 4- I)2 + С.
2.6.82.	у = ^х In |х| + Ci In |sr — 1| + С2х + Сз-£
534
2.6.83.	у = |(х 4- 1)7/3 - |Ci(x 4- С1)4/3 4- С2.
2.6.84.	у = С2 — х/1 — С‘2х2 4- ~х\/1 — х2 4- arcsin х. Z	L	Lt
§	7. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
2.7.2.	Независимы. 2.7.3. Независимы. 2.7.4. Независимы.
2.7.5.	Независимы. 2.7.6. Независимы. 2.7.7. Зависимы. 2.7.8. Зависимы.
2.7.9.	Зависимы. 2.7.11. у" 4- у = 0. 2.7.12. у" - у = 0. 2.7.13. у” = 0.
2.7.14.	у" -2у' +у = 0. 2.7.15. у" - Зу' 4- 2у = 0. 2.7.16. у” - 4у' 4- 4у = 0.
2.7.17.	у” 4- 4у = 0. 2.7.19. уоо = Схе2х 4- С2е3а:. 2.7.20. уОо = Сгех 4- С2е“5
2
2.7.21.	j/оо = Cie("2+77)x 4-С2е("2”'/7)х. 2.7.22. у^ = Схе~х 4- С2еЗх.
9
2.7.23.	i/оо = Ci+C2e~25x. 2.7.24. уоо = Ci + С2е*х.
2.7.26.	т/oo = (Ci 4- С2х)е3х. 2.7.27. уоо = {Ci 4- С2х)е2х.
2.7.28.	т/oo = (Ci 4- С2х)е2х. 2.7.29. уоо = (Ci 4- С2х)е~зх. ч	ч
2.7.31.	2/оо = Сх cos 2х 4- С2 sin 2х. 2.7.32. уоо = Ci cos ^х 4- С2 sin ^х. Z	Z
(х/З	х/З \ - —
Ci cos -С—х 4- С2 sin ^-х I е 2 .
2	2 J
(К	£ \ х
Ci cos ±х 4- С2 sin ~х ) е 2 . Z	Li /
(\/зТ %/з1 \ -Ci cos	х 4- С2 sin —^~х 1 е4 х.
2.7.36.	i/оо = ^Ci cos + С2 sin х^ еТбх. 2.7.38. уч = 4ех 4- 2е3х.
2.7.39.	2/ч = 9 - 2е“4х. 2.7.40. уч = 2хе3х. 2.7.41. уч = (2 + х)е"К
2.7.42.	уч = 4ех + 2е3х. 2.7.44. уон = С1ех 4- С2е2х 4- |е"х.
2.7.45.	i/он = (Ci + СЗДе3’ + %х2 +	+ 11.
2.7.46.	y„„ = Ctex + C2e2x + z3 + %x2 + 2±x -Z	Z	a
2.7.47.	2/oh = {Ci cosx 4- C2 sinx)ex 4- x 4- 1. 2.7.48. yw = Ciex 4- C2e~5x - |. О
2.7.49.	2/он = Cxex 4- C2e~?x 4- (~x - e2x.
2.7.51.	2/oh = Ciex 4- C2e-4x 4- (^x2 4- ^x) ex.
2.7.52.	«/oh = {Ci + C2x)ex 4- Qx3 4- |x2) ex.
2.7.53.	yOK = (Ci + C2x 4- |x3 4- |x2) ex.
2.7.54.	j/он = Cie~x + C2e~% 4- (x2 4- 3x)e"x.
2.7.55.	j/он = Cie~x 4- C2e~2x 4- (2x2 4- 3x)e“2x.
2.7.56.	уон = {Ci 4- C2x)e~2x 4- (-|x3 4- jx2) e"2x.
535
2.7.58.	уоп = Cie6x + Сге1 + sinx + cosx. Указание. уч = Asinx + В cosx _5
2.7.59.	уон = Ci + С2е 21 + 5 sin х — 2 cos х. Указание. уч = A sin х + В cos х.
2.7.60.	уоп = Cie~2x + С2е2х - sin2x + cosx) е2х.
Указание. уч = е21 (Asin 2х + В cos 2х).
2.7.61.	уон = Cie~2x + С2е4х + | cos 2х + | sin 2х . О	и
Указание. уч = A cos 2х + В sin 2х.
2.7.62.	уон = (Ci + С2х)е~2х + f^x + ^) sinx - f^x + т|^) cosx. \Z0 AZO/	\Z0 AZO/
2.7.63.	уон = Cie '^2x + C2e'^2x + (xsinx + cosx)ex.
Указание. y4 = [(Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x)]e®.
i
2.7.65.	yOH = Ci cos 5x + C2 sin 5x + y^xsin 5x.
Указание. y4 = [A cos 5x + В sin 5x]x. 2.7.66. уОн = Ci cos x + C2 sin x + ~x2 sin x z
Указание. y4= [(Ax + B) cosx + (Cx + D) sinx]x.
x2	X
2.7.67.	уон = Ci cos x + C2 sin x —cos x + — sin x.
13	1 2
2.7.68.	yOH = Ci cos 3x + C2 sin 3x — —x cos 3x — —x sin 3x.
i Z	AZ
2.7.69.	уон = (Ci cos 2x + C2 sin 2x)ex + ^ex sin 2x. °	4
Указание. y4 = x(Acos 2x + В sin 2x)ex.
/	4	.	4 \ 2 i 2	4
2.7.70.	yOH	=	(Ci	cos ^x +	C2	sin	^x ) e5x — ±xe$x cos ^x.
\	5	5/0	5
2.7.72.	уон	=	(Ci	+ C2x)ex	+	x2	+ 3x + 7 — | cosx —	^(x + 1) sinx.
Z	Z
2.7.73.	уон = Cie~2x + С2е-Зг + jx2 + ^x -	+ x (-|x + 1) e"3*.
0 io lUo \ z /
2.7.74.	yOH = (Ci cosx + C2 sinx)e-3a: + xcos3x + i(xcosx + x2 sinx)e~3x £
2.7.75.	уон = Ci cos 3x + C2 sin Зх + (±х - £) e~3x + 7x2. \ lo 54/
2.7.76.	уон = (Ci + C2x)ex + | cosx + ^xV - ±e~x. ,
2.7.78.	уон = Ciex + C2e~x + ±ex In	- ln(e* - 1)).
2.7.79.	уон = Ciex + C2xex + x(ln |x| - l)ex.
2.7.80.	yOH = Cie3x + C2xe3x — xe3x + xe3x In |x|.
2.7.81.	yOH = Ci cos2x + C2sin2x — cos2xln | cosx| + (x — i tgx) sin 2x. \ z /
2.7.82.
Л*
Уон = Ci cos x + C2 sin x + cos x In tg — z
+ 2.
2.7.83.	y0H =Ci+ C2ex + ^(eVl - e2* + arcsin ex) - 17(1 - e2a= )3.
2.7.84.	уон = (Ci + C2x}ex + ex(x arctgx - In y/x2- + 1). 2.7.86. у = (2x - 2)ex.
2.7.87.	у = cosx + 4sinx - 2xcosx. 2.7.88. у = 2e-a: +3e3a: + |e4a:.
5
2.7.89.	у = e~3x + (4x3 - 3x2 + |x) ex. 2.7.90. у = xe~2x + (2x - l)e2a:. \	z /
536
2.7.91.	у = хех + х2 + 2. 2.7.92. у = ^~2х + sin Зя - cos Зя.
2.7.93.	у = cos Зя + (я + 1) sin Зя.
2.7.94.	у = (1 + ех) ln(l + е1) + ет(3 - In 2 - я) - (я + 2 + In 2).
X
x
x
2.7.95.
у = 3cos | 4- 3sin + 4sin % • In tg % . L	£	£	L
2.7.97. у = Cix2 + С2я“3.
2
2
2
2.7.98.	y=% + С2Щ^. 2.7.99. у = Ci + C2 In я. -2.7.101. у = С1(2я + 1) + С2(2я + 1) 1п(2я + 1).
2.7.102.	у = Ci cos In я + С2 sin In я. 2.7.103. у =	+ С2я3.
•С
С*1	С*2
2.7.104.	у = — 4—-. 2.7.107. Указание. Использовать идею предыдущего
•С» я
примера. Если Ci arctg я 4- С2 arctg 2я 4- Сз arctg Зя = 0, то
ft	*1С	ЗС
----4------------ 4-----2__ =Q 2.7.108. Указание. Если многочлен степени п
1 + х2 1 + 4х2	1 4- 9х2
ао 4- а1Я 4-... 4- апхп = 0 имеет более чем п 4-1 корень, то
ао = ai = ... = ап == 0. 2.7.109. Указание. Если предполагать, что aieklX 4- a2ek2X 4- a^e*31 = 0, где, например, ai 7^ 0, то
1 + 02е^-к^ + 03е(кз-к'>г = 0 № = 0з = кг - h # 0, к3 - ki * 0), а после дифференцирования (fc2 — к^^2е^к2~к^х 4- (кз — ki)^3^k3~kl^x = 0.
Ясно, что если предполагать /32 = /Зз = 0, то из предыдущего равенства получили бы 1=0. Поэтому можно сказать, например, /32 0 0. А тогда из последнего равенства после деления на (к2 — ki)/32e^k2~kl^x получим 1 4- уе^х = 0, а после дифференцирования получим ySeSx = 0, что невозможно, иначе из предыдущего опять следует 1 = 0. 2.7.110. Указание. Использовать идею предыдущего примера, полагая ех = t.
2.7.111.	Указание. Тригонометрический многочлен степени п
ai cos я 4- а2 cos 2я 4-... 4- ап cos пх = 0 имеет на [0,2тг] не более чем 2п корней. 2.7.112. arcsinx 4- arccosx —	= 0. 2.7.113. arctg 2х 4- arcctg2x —	= 0.
£i	£i
2.7.114.	cos2 я — sin2 я — cos 2я 4- 0 • sin 2я = 0.
2.7.115.	sin За — 3 sin а 4- 4 sin3 а 4- 0 • 1 = 0.
2.7.116.	3 cos а — 4 cos3 а 4- cos За 4- 0 • 5 = 0.
2.7.118. ех sin2 х 4- ех cos2 я — ех 4- 0 • е 21 = 0. 2.7.119. Указание. Составим
дифференциальное уравнение второго порядка с общим решением у = Ci sin я 4- С2 sin 2х. Для этого из системы
Ci cos х 4- 2С2 cos 2я = у'
—Ci sin х — 4С2 sin 2х — у"
2 sin 2я соз2я
sin я 4* COST
находим
Ci =
2у' sin 2я 4- у" cos 2я	_
2 cos я sin 2я — sin х cos 2х ’
у' sin я 4- у” cos я 2(2 cos я sin 2я — sin я cos 2т)
Подставляя эти значения в выражение для у, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными
537
с2
коэффициентами. 2.7.121. Указание. Пусть у = Cix + -общее решение
однородного дифференциального уравнения второго порядка. Тогда
I	Н 2С2	x~f £ У	/ | ХУ тт
у = Ci----7, у =——. Отсюда С2 = —, Ci = г/ 4-—г—. После
аг	аг	2	2
подстановки в общее решение получаем искомое уравнение х2у" + ху' — у = О с переменными коэффициентами (это уравнение Эйлера).
2.7.131. Указание. Пусть у = Cie2x + С2е~3х + Сзех — общее решение искомого Л ОДУ с постоянными коэффициентами. Решая систему
{2С1в2х - ЗС2е-3х + С3ех = у', 4C162x 4- 9С2е"3х + С3ех = у", eCie235 - 27С2е-3х + С3ех = у"'
методом Крамера, находим Д =
	/ У	-Зе-3х
Д1 =	н У	9е~3х
	ш У	-27е~3х
	2е2х	у' ех
д2 =	4е2х	у" ех
	8е2х	Ут ех
	2е2х	-Зе~3х
Дз =	4е2х	9е-3х
	8е2х	—27е-3х
ех ех ех
—Зе~3х 9е~3х —27е-3х
ех ех ех
= -120,
= -3e-2l(-12j/' + &у" +4у"'),
= 2е3ЦЗу' -2у" + у'"),
У1 у" У1"
и подставим их в выражение для у, приходим к
= 6ех(—30г/ + Ьу" + бу'"). Найдем отсюда
значения Ci, С2 и С3
дифференциальному уравнению у" — 7у' 4- бу = 0. 2.7.132. у1" — 4у" 4- Зу1 — 0. 2.7.133. у'" + у" 4- 4у' + 4у = 0. 2.7.134. yIV - 2у‘" + 2у" -2у' +у = 0.
2.7.135.	yIV - бу" 4- 12у" - 10у' + Зу = 0.
2.7.136.	yIV - 2у" + 10?/" - 18г/ + 9у = 0. 2.7.137. х2у" + ху' -у = 0.
2.7.138.	(х + 2)2у" + 3(а? + 2}у' -Зу = б. 2.7.139. х2у" - Зху” + Зу' = 0.
2.7.140.	х2у" + 4ху' +2у = 12а?. 2.7.141. (ж 4- 1) V' - 12?/' = 0.
2.7.142.	х2у" — ху + 2у = х In х. 2.7.143. х2у" — ху1 + у = 2х.
2.7.144.	х2 у" - 2ху 4-2у = х2 4- 2а? + 2. 2.7.145. уоо = С\ех + С2е3х.
2
Уоо = (Ci cos 5а? + С2 sin 5а?)е х. 2.7.147. уоо = Ci + С2е 3 х. з
Уоо = (Oi + C2x)e~zx. 2.7.149. уоо = Ci cos 4- C2sin -±~. уЬ	v5
Уоо = С1 + С2е 5.2.7.151. уоо — С\ + С2е х + С3е3х.
уоо = Ci + (С2 cos За? + Сз sin За?)е-2х. Указание. Характеристическое + 13fc = 0 имеет три корня fci = 0, к2 = 2 — Зг и к3 = 2 + Зг-+ С2е~х+С3ех.
2.7.155.	уоо = Cie2x 4- С2е~2х 4- Сз cos 2о? 4- С4 sin 2а?. 2.7.156. уоо = у/2 /	-/2	х/2 \	/	\/2	\/2 \
= е 2 х I Ci cos -~-х 4- С2 sin -^-а?) 4- е 2 х I Сз cos —а? 4- С4 sin 1.
2.7.146.
2.7.148.
2.7.150.
2.7.152.
уравнение к3 + 4к2
2.7.153. уоо = Ci+ (С2 4- С3х)е~х. 2.7.154. уоо = Схе~2х
2х 4- С2е~2х
су X
538
Указание. Характеристическое уравнение к4 4- 1 = 0 имеет четыре корня к = У=4= Ve^ = e 4 fc = 0,1,2,3. к, =е4г =	+
Зтг ./о	./о	5тг ./о	./о	7тг -/о	./о
к2 = е~4~г =	+ ^г, к3 = еТ‘ =	к4 = е^г =	- ^i.
Линейно независимыми решениями исходного однородного уравнения . >/2	у/2	+^х	у/2
являются е 2 х cos ^~х и е 2 х sin ^~xi а их линейная комбинация с произвольными постоянными составляет общее решение уравнения.
_5 х/зТ	731
2.7.157.	уоо = С\е х + бге 4х cos - -д—х + Сзе 4х sin —х. Указание. Составим характеристическое уравнение 2к3 + 9fc2 + 17fc -I- 14 = 0. Один корень fci = —2: —16 + 36 — 34 + 14 = 0 (обнаруживается подбором). Поскольку
2к3 + 9fc2 -I- 17fc -I-14 = (fc + 2)(2fc2 + 5fc + 7), то другие корни: fci,2 =--
Частные независимые решения соответствующего однородного
_	_ 5 уз!
дифференциального уравнения имеют вид yi = е х, у? = е 4 х cos X— х,
5	х/31
уз = е 4 х sin X— х. 2.7.158. уоо = Ci + 62Х + Ci cos х + 62 sin х.
Указание. Характеристическое уравнение к4 + к2 = 0 имеет корни fci,2 = 0 и кз = г, к4 = —г. Поэтому фундаментальной системой решений однородного
уравнения являются функции yi = 1, у2 = х, уз = cosx, у4 = sinx.
2.7.159.	уон = Ci + С2в~х + |хех - х2.
Li
2.7.160.	уон = Ci + С2в~х - (2х + е~2х.
2.7.161.	уон = 6'1+ С2е~х + cosx + sinx) е~2х.
2.7.162.	уон = Ci + С2в~х — (х + 3) cos х — (х — 1) sin х.
2.7.163.	уон = (61 + 62х)ех + | cosx + |е“х.
2.7.164.	уон = 61 + 62х + С3е~х + х4 - 4х3 + 12х2.
2.7.165.	уо„ = Ciex + (62 + Сзх)е2х + |х2е2х.
2.7.166. уон = 61вх + 6ге2х + Г^х2 — х + 1) е3х.
X Lt	/
2.7.167.	Уон = ex(6i cos \/2x + 62 sin y/T.x') + ^-(5cosx — 4sinx).
2.7.168.	Уон = ~ - x2 +	+ |ex + sin 2x - cos 2x + 61 + 6ге_х.
2.7.169.	Уон = ^x —	cos 2x — ^x2 sin 2x + 61 cos 2x + 62 sin 2x. 0	32	lb
2.7.170.	Уон = cos X + 4x2 sin X + 61 cos x + 62 sin X. 4	4
2.7.171.	Уон =	cos 3x + 61 ex cos Зх + 626х sin 3x. 0
2.7.172.	Уон = 9n cos X	sin X +	cos 3x +	sin 3x + 61 ex + 62e2x. zU	ZU	zou	zbu
2.7.173. уон = (2х + 6)sin3x + (х + 5)cos3x + 6ie2xcosx + бгв2®sinx.
2.7.174. у = (cosx — 2sinx)e2x + (x + l)2ex.
539
2
2.7.175.	у = (1 - 3z)e3t + %- + £ + У Z ( о
2.7.176.	у = 2ttcos2x 4- sin2х + x(svn.2x — cos2х).
2.7.177.	у = —(ttcosx 4- (тг + 1 — 2x)sinx)ea:.
2.7.178.	ех (0,16 cos Зя? 4- 0,28 sin Зя?) 4- я?2 4- 2,2я? 4- 0,84. 3 б
2.7.179.	у = (1 +х)е~2х + 2е~2х. 2.7.180. у = ех(ех - х2 - х + 1) - 2.
2.7.181.	уон = Ci cos я? 4- С2зшя? 4- sin я? In |tg |.
2.7.182.	уон = (Ci 4- С2х)е~х 4- хе~х In |я?|.
2.7.183.	уон = Ci cosx 4- C2sins? — я? cos я? 4-sin я? In | sin я?|.
2.7.184.	уон = С1е^х + С2е~^х+ех\ 2.7.185. уОн = Cie^x+С2е~^х+хех*.
2.7.186.	уон = Ci sin я? 4- С2 cosx — л/cos 2х. 2.7.187. yi = х, у2 = |я?|.
2.7.188.	Указание. Использовать определитель Вронского.
2.7.189.	р2 - 4у < 0. 2.7.190. /1 (я?) = (5Ш Х> 0 х 7Г’ (0, тг < я? 2тг;
0 Я?	7Г,
тг < я?	2тг;
[а, Ь] = [0,2тг].
2.7.191. Л(я?) =
sin3 7ГЯ?, 0,
— 7Г Я? —1,
—1 < я? тг;
Л (а?) =
0,
cos2 ^х,
1 |ф,
— 1 < я? < 1;
I П	—тг < т 1
/з(з?)=Г’ П2 ,	" М = [—тг, —1] U [—1,1] U [1, тг].
I (я? — 1) , 1 < я? тг;
2.7.192.	cos 4я? — 4 cos 2я? 4- 3 — 8 sin4 я? = 0.
2.7.193.	соз4я? + 4cos2x 4-3 — 8cos4 я? = 0.
2.7.194.	—5 In я? 4- In я?2 4- In я?3 4- 0 • In2 я? 4- 0 • In3 я? = 0, я? > 0.
2.7.195.	sin (х — 51 4" sin (х + т! — х/2 sin я? = 0. ч 4/	\	47
2.7.196.	уч = ех 4- 2 cos х 4-3sin я?. 2.7.197. у = ех +2е2х 4- Зе3*.
2.7.198.	уон = Cie® 4- С2х - х2 - 1. 2.7.199. у = Cl cos я? 4- С2х cos я? — sin я? cos я?.
2.7.200.	у = (Ci 4- С2я?) cos 4- (С3 4- С4х) sin л/2	V2
2.7.201.	у = С\ 4- С2 cos 2я? 4- Сз sin 2я? 4- х(С4 cos 2я? 4- С5 sin 2я?).
2.7.202.	у — Сг 4- С2х 4- Сзя?2 4- е3а:(С4 4- Сэя?).
2.7.203.	у = (Ci 4- С2х)е2х 4- (Сз 4- С4х)е~2х.
2.7.204.	у= (С14-С2я? + |я?21пя?- |я?2) е~2х. \	м	*	/
2.7.205.	у = (Ci 4- С2я?)еа: 4- (Сз 4- С4я?) cos я? 4- (Сэ 4- Сея?) sin я?.
2.7.206.	у= -е~х)-1-х2. 2.7.207. у = cos я? 4- 2 sin я? 4- е~х - Зех 4- 2хех.
2.7.208.	у =	- е"1). 2.7.209. у = ^ех - |е3х. 2.7.210. у = Cix 4-
2	2	2
2.7.211. у = Ci 4- С2я?2 4- Сзя?4. 2.7.212. у =

2.7.213. у = Ci 4-С2 In я? 4-Сзх3.
540
§ 8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений
1х = —С2е-21 + |'Сзе3‘, j, = Cie"* + С2е;21 + Сзе31, z — —С\е t 4- С2& 2* 4- Сзе^.
2.8.4.
х —	(2C*i 4- С2 4" 2С2в(),
У — е*(С1 4- Сг£);
x=Cle^1+^t+C2e(-1-^t+^et+le2t,
11 о
!/=(-4+x/l5)Cie(-1+v^)t-(4-V<i5)C2e(-1-'/r5)t-^-e<-^e2<. 11 о
2.8.8.
{x = Cie‘ + C,e-2t, y = Cie‘ + C3e-2t, z = Cie‘-(C2 + C3)e“2t.
2.8.7.
x00 = C\e 1 У oo ~ Cie
+ C2e~3t, 4- 3C2e~3*
4- cosf.
x — Cie4 4" Сге54, у = — Cie4 4- ЗСге5*.
x — Ci 4" ЗСге2*,
2.8.9. у = -2C2e2i 4- Сзе~*
^z — Ci 4" C2C2t — 2C3e t.
{x — Cie1 4" C2& t 4" 4t(e* — e 4),
у = Cie* - С2е~* + |(e4 - e’4) + |(e4 + е~ь). Ai	L
2.8.13.
Cix2 — 2t 4- C2, г/2 = Ci(2t 4- C2).
2.8.14.
(Ci +C2- x)2
2(C2 - x) (Ci - C2 + x)2
2(C2 - x)
2.8.15.
x2 = Cie2t + C2e 2t, ‘y2 = C,e21 - Cie-21.
x = Cie* + C2e ( 4- Сз cost 4- C4 sin t, % ly = Cie^~, у = Cie* + С2в~* — Cscost — Cisini.	| z _ c2ex.
{x — C\e2t 4- Сге* 4- Cste*, -	(у _ x । __^_e-Cix
у = C2el 4- C3(t - 2)el,	2.8.23.	С1Сг
z = Cie2t 4- C3(i - 1)е*.	U = C2ec^x.
У Ъ	or or; h = Ci+C2z + 2sinz,
2.0.20. <
Zyi _ Зд.2 _	1^ = —2Ci — C2^2x 4-1) — 3 sin x — 2 cos a?.
x — In |C3(Cit 4" Сг)!,
2.8.26. < у — ln|C3(Ci£ 4" Сг)| — Ci,
2.8.27.
z — (Ci 4" l)t 4" C2-
z-2y = Ci,
2y/z - x - y + y = C2.
541
x — Cict + C^e^, У = C3e2t + ^C2e9t, z = -Cie1 - 2C3e2t - yC2e9t.
x = Ci et + C2 sin t + Сз cos t,
2.8.34. { у = t — Cief + C2 cos t — C3 sin t, z = 1 + C2 sin t + C3 cos t.
x-3t+ t2'
У = Ge' - | <J
2.8.33.
2.8.36.
t2'
2.8.35.
У = C2x, x2 + y2 = Cix — t2.
Глава 3. Кратные интегралы
§ 1. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления
3.1.3. (-2v/2+ 1)4тг < I < (2 >/2 + 1)4я. 3.1.4. —лл/З < J < я>/3.
3.1.5. -8 < I <	3.1.6. -% <1 < 4я. 3.1.9. | Va?. 3.1.10. |. 3.1.11. 4|.
Указание. При вычислениях внутреннего интеграла переменную внешнего интеграла надо считать фиксированной (постоянной):
2
’= [ (I + 2») dV = 4i 3112‘ 1п 53- 3113- 50-4'
0 J X о /	о	24
о
3.1.16. 1. 3.1.17. 1п|. 3.1.18. £. 3.1.19. 11пЦ. 3.1.21.	3.1.22. Зя.
3	6	2	65	8
3	3-х
3.1.23. я. 3.1.24. у а3. 3.1.27. j dx j fdy. о о
3.1.28.
3.1.30.
V2/2	х	1	л/1-®2
f dx f fdy+ J dx J fdy. 3.1.32. 3. 3.1.33. 12|.
0	x/2/2	-^/17^2
3.1.34.	3.1.35. 0. 3.1.36. -4я < I < 4я. 3.1.37. О < I < 486.
О
3.1.38. 4 < I < 8(5 — 2\/2). 3.1.39. 4я < I < 22я. 3.1.40. Отрицательный.
542
3.1.41. Отрицательный. 3.1.42. Положительный.
3.1.43.
0	0 .Оу
— х — 2
3.1.45.
4у + 2
4	3
fdy У fdx. 3.1.46.
1 5у — 14 3
О
4
5
-7x4-10
—х —2
3.1.49.
1 х
3.1.47. fdx Jf dy =
О х2
3.1.48.
2— \/бу — у2 — 5
3.1.50.
3.1.51.
3.1.53.
3.1.54.
тг —arcsin у
3.1.55.
3.1.56.
у2 4а
3.1.57
О у/З	2 у/З
3.1.59.
. 3.1.58.
1/2
3.1.60.
3.1.61.
а
fdx. 3.1.62. тг - 2. 3.1.63.
7Г
16’
543
3.1.64.	3.1.65. 0,5. 3.1.66.	3.1.67. 2,4. 3.1.68. 7. 3.1.69. 2,25.
5	3
3.1.70.	3.1.71. р-. 3.1.72. (е — I)2. 3.1.73. 0,25. 3.1.74.	3.1.75. —1
у/2 yJb-Ty2	1	2--У21/-у2
3.1.79.	j dy у fdx. 3.1.80. f dy	J f dx.
-V2	0
3.1.81.
-y
3.1.83.
3 - x/9 - 4t/
о
14-sin x
f !dy
-1
0 2тг
3.1.85.
3.1.87.	3.1.88.	3.1.89.	3.1.90. Щ. 3.1.91.	3.1.92.
1 о	о	2t	48 и	2	о
3.1.93. 407Г < I < 1847Г. 3.1.94. 138,24 < I < 384. 3.1.95. 5 < I < 12.
3.1.96. —2(\/2 + 1)тг < I < 2(y/2 — 1)тг. 3.1.97. Подынтегральная функция не непрерывна при у = 0. 3.1.98. Подынтегральная функция не непрерывна в точке (0,0). 3.1.99. I < |.
О
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
3.2.3. —8. 3.2.4. 12. 3.2.5. ^(д3/2	Указание. Использовать
формулы перехода к криволинейным координатам у2 = их, ху — и, т. е.-
544
/ 2 \ 1/d	।	j
x = ( ~	, у = (iw)1/3, |J| = — —, |J(u,u)| = —. Новая область
\ и* J	4jU
интегрирования G — прямоугольник, а исходный интеграл свести к Ь q
повторному J /4г fy/vdv. 3.2.6. 543т|. 3.2.8. |тга3. 3.2.9. |тг. о J 11 J	15	о	3
а р
3.2.10. -67Г2. 3.2.12. ?а3. 3.2.13. ^7г. 3.2.14. £а3. 3.2.15. ^тга4.
9	3	6	64
3.2.17. ?а3. 3.2.18. £а3. 3.2.19. (£ -	~ 10а3. 3.2.20. %irab.
3	6	\6	9 J	3
Указание. Перейти к обобщенным полярным (эллиптическим) координатам
х = ar cos 9?, у = br sin 92. При этом J = abr. arctg 2	8 cos <р
3.2.21.	J dtp J f(r cos <p, r sin 9?) r dr.
к/4	4cos<p
тг/4 l/cos^J
3.2.22.	[dtp [ /(r cos 9?, r sin 9?) r dr. 3.2.23. |a4. 3.2.24. J	J	о	У
о	о
3.2.25.	0,25. 3.2.26. 0,45. 3.2.27. 0,75тг. 3.2.28. l,5mR4. 3.2.29. 0,625тгп2. 2 Z	-3	2
3.2.30.	(тг — 77). 3.2.31. fr- 3.2.32. 24тг. 3.2.33.	3.2.34. a2.
3 \	3/	12	16
3.2.40.
n/2 acosv’
I dtp I f (r cos 92, r sin 9?) r dr.
a
3.2.41.
-tt/2 b
arctg Q bsin<p
7Г
2
cos 9?, г sin
a cos <p
I f (r cos <p,r sin <p)r dr.
0
0
, b arctg -
0
3.2.42.
37Г 4
cosec <p	Ь
/ /(rcos9?, r sin 9?) г dr. 3.2.43. г
/3
3.2.44. |
0
2	2-u
Cj f £ fu + v u — v
,du Jf{~2
1	u-2
0	2+v
Г j f , fu + v и — v
1	2-v
fj f л /U + V U — V
dv J f (~2
L-i
3.2.45
2
— V
0
0
cos 9?, \/3r sin 9?) r dr.
3.2.46.
p
tt/2 4
dv. 3.2.47. ab
R2 — r2) r dr.
= 1 2
4
a
1
u + v и — v ~2
2
2
a
0
ь
q
2
2
0
0
0
18 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
545
3.2.48.
3.2.49.
о
1
тг/4 sec v?	тг/2 cosec V5
J /(г cos ip, r sin 99) r dr +	J /(r cos y>,r sin y>)r dr =
О	тг/4	0
. 1 2 arcsin — rdr /	/(r cos <p,r sin <p) dtp.
тг/2
о
тг/2
, г sm
о
1
1 arccos —
1
cos tp, г sin ip)rdr =
0	1
—7= cosec 72
i
7Г .	1
^+arccos
1
г 72
2 sec ip
1	7Г
—p-	-г—	arccos
/2	4
тг/2
2
4
3.2.50.
— arccos г
о
2
тг/4 0 тг/2	a	/ 2	\
3.2.51. 4 [sin3 v cos3 vdv f uf(u cos4 и, и sin4 v) du. 3.2.52.	( ^7 + ^7 J •
J	J	\h2 k2 J
о	0
3.2.53.	3.2.54. ^7г.
§ 3. Применение двойного интеграла
3
3.3.4.	3.3.5.	- 81n2. 3.3.6.	3.3.7.	3.:
О	Z	О	О	Z
3.3.9.	?7Г +	3.3.10.	3.3.11. к + ? 3.3.13. S = Зтг.
4	8	8	2	4
ri_+p-J.=^ p = u+|v-l,	208
Указание. I х_^ + г <	| J| = 3. 3.3.14. —тг.
(----3---=v, \y = u--v + 2,
3.3.16.	6. 3.3.17. | + ?. 3.3.18.	3.3.19.	- a2}. 3.3.20. тгаЬ.
2	4	3	4
3.3.21.	(a2 -62)ln^. 3.3.24.	3.3.26.	3.3.27.	3.3.28.
z n	2	6	6	4a
3.3.29.	3.3.30.	3.3.31.	3.3.35. -— -----.
105	18	3	smacosa
3.3.36.	^Va2b2 +a2c2 +b2c2. 3.3.37.	3.3.38. у -
Указание. Переход к полярным координатам приводит к интегралу
7Г 4	ycos 2<р
[dtp [ \/1 +r2rdr =	3.3.39. тгу^.
J J	У
о
О
Я	\/2	2\/2
3.3.40.	| arctg V + 4-О	Z о
1 + ? 1пз\ 3.3.42. Зтг. 3.3.44. 1. 3.3.45 4	/
тг
12’
546
3.3.46. 2. 3.3.47. ^тга4. 3.3.48. ^^а4. 3.3.49. L 64	15	2
Указание. Использовать замену переменных х = u(l — v), у = uv.
Y 3.3.54. Мо (б, /	X ОТГ /
2	/
77г(3тг — 2). 3.3.52. Мо(3;4,8). 3.3.53. Мо (^,£
12	\ о 2
3.3.50.
3.3.56.	3.3.57. ia2. 3.3.58. ab[2y/3 - ln(2 + >/3)1.
315тг/	6	3	J
2-1). 3.3.62.
Ai	J	Ai	\ 0	Ai J
3.3.55. Мо (б,
3.3.59. ip2. 3.3.60.	3.3.61. а2
о	5
3.3.63. 107Г. 3.3.64. 45. 3.3.65.	3.3.66. 49^. 3.3.67. 7,5. 3.3.68.
2	24	3
3.3.69. ^а4. 3.3.70. |тгабс. 3.3.71. а) б) |, П; в) хс = 2, ус = П.
3.3.72.	3.3.73. gc,	3.3.74. т = 8, Мх = М„ =
хс = ус = 1 3.3.75. 4(т - п)Я2. 3.3.76. 4а2. 3.3.77. 8а2 arcsin б	а
3.3.78. хс = |а, ус = 0. 3.3.79. |тгаЛ2. 3.3.80. Мх = |а3, Му = |тга3.
б	2	ио
3.3.81. хс = 1а, ус =	3.3.82.	3.3.83. М„ = £, М, = 1 -
О	А»	О	At^X
3.3.84. Jx = 4, Jy = 4. 3.3.85.	- а)(/3 - а). 3.3.86. |(/3 - а) In
о	3	а
3.3.87.	- л/З. 3.3.88. ^а2(8- тг). 3.3.89. Указание. Заменить
О	4	J. At
g + ^=Uj£-^=v. 3.3.90.	(6\/3 - 5). 3.3.91. ^a3. 3.3.92.	2
u b u b	3	9	2
3.3.93.	3.3.94. |тга3(\/2 - 1). 3.3.95. 8а2. 3.3*96. a2\/2.
О	о
3.3.97. |тга2(3\/3- 1). 3.3.98. Jx = Jy =	3.3.99. Jx = Цтга4,
О	Л. А	Л. At	ijAi
г __ 49__4 т __ 35	4 о п inn т __ тгаЬ т ___ тга b т _ тгаЬ/
Jy — 327142 ’ *7° — 16 7^ 3.3.100. Jx —	, Jy —	, Jo — 4 °
3.3.101.	3.3.102.
О	3
2
§ 4. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение
3.4.13.	3.4.14. X.
о /	ои	24
3.4.2.	3.4.3.	3.4.4. 242^. 3.4.5. £ In (2 -	3-4-6- 0- 3-4-7-
2	144	3	2	\	8/	48
3.4.9.	7гЛ3. 3.4.10. |а2. 3.4.11. |г3 (тг -У	о \
тга3	(37г — 4)а3	тга3	3	8
3.4.15.	3.4.16. --------- . 3.4.17.	3.4.19. ± 3.4.20. £(3тг - 4).
6	12	4	35	3
3.4.21.	4,5а2тг. 3.4.22. ^(З-л/5). 3.4.24. Мо (|,0,о\ 3.4.25. Мо (б,О, ^Y
3.4.26.	Мо (2,2, ^Y 3.4.27. Мо (з, 7Y 3.4.29. (ЗЯ2 + 4Я2).
3.4.30.	^^(2Я2 4- ЗЯ2). 3.4.31. 1ху = 25; Iyz = 9; Ixz = 16.
3.4.33.	^^(а + 6 + с). 3.4.34. 162тг. 3.4.35.	3.4.36. |(3\/3 - 1).
At	*Х	О
547
3.4.37.	3.4.38. |(3тг-4)а2. 3.4.39.	3.4.40.	3.4.41. 16.
Z4	о	ио
3.4.42.	3.4.43. 12^. 3.4.44. Зтг. 3.4.45. 5тг. 3.4.46. 276тг. 3.4.47. 28.
15а3	21
3.4.48.	18. 3.4.49. ^тг. 3.4.50. ^тг. 3.4.51. ^-ivah. 3.4.52. Алл/Л7. 24	3	15	21
3.4.53.	|а2. 3.4.54.	3.4.55. е - 2. 3.4.56. 10. 3.4.57. 2. 3.4.58. 5 - е~4.
У	105
3.4.59.	|ас5(а + Ы-с). 3.4.60. тг. 3.4.61.	3.4.62. 2. 3.4.63.
Z	о	о
3.4.64.	3.4.65. ^а2Л. 3.4.66. тгаЬс. 3.4.67. Мо (|,
864	9	\5 5 5/
3.4.68.	Mo (	v ) 3-4.69. Мо (о,О, ||(6-Д + 5)).
\ 7 О 7 /	\оЗ	/
3.4.70. Мо (0,0, jfl(l + cosa)l 3.4.71. ^(52+с2), ^(а2 + с2), ^(а2 + 52), \ о	/	О	о	О
у£(а2 + Ь2 + с2). 3.4.72. ^МR2. 3.4.73. ^-(Ь2 + с2), ^(а2 + с2), ^(а2 + Ь2).
1Z	О	ООО
3.4.74. Mxz = Myz=Q,MXy = ^,m=^l JWo(0,0,1). 3.4.75. 4(4 - 31п3). Ai	Ai
%. 3.4.77. J. 3.4.78.	3.4.79.	3.4.80. ^тг, ^тг. 3.4.81. £-.
о	Z	4</2	"	о z	оои
е2 — е~2 —2. 3.4.83.	3.4.84.	3.4.85. f4 +
15	364	15	\р2 q2 т2)
|1п2. 3.4.87. |тга3. 3.4.88. ^-тга3. 3.4.89. ^тга3. 3.4.90. о	о	10о	о
= ^7га6с3, Jxz = ^7гаЬ3с, Jyz = ^7га3Ьс.
—<	U	О
=	(15тг - 16), 4. = ^(105тг - 92),
AtAilJ	luiU
х. - -ттггСЮбтг - 272). 3.4.93. ^abh ( v +	3.4.94. ^ha4.
101 и	<Z1	\ О о /	10
3.4.76.
3.4.82.
3.4.86.
3.4.91.	Jxy - -
А»
3.4.92.	Jху
т 2аЬ3с
3.4.95.	Mo (0,0,7c). 3.4.96. Mo (ja.ja, ^a2). 3.4.97. — tf— c3. \4/	\55	3U/	65
Глава 4. Криволинейные и поверхностные интегралы
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода
4.1.5. 0. 4.1.6. In ^+~- 4.1.7.	4.1.8. v/51n2. 4.1.9. ^а3.
2	2	2	15
4.1.10. ^Va2 +Ь2(3а2 +4Л2). 4.1.11. а2\/2. 4.1.12. 2тга2п+1. О
4.1.13. аЬ^а +£Ь + Ь \ 4.1.14. ^-(5д/5 - 1). 4.1.18. х0 = b -
3(a + b)	3 v '	V h + a
__ h । аЪ л i i n m _____________ 4a _____ 4a .	»*. q . 50	3
yo — ту	“Ь у—------— •	4.1.19. Xo — q	, yo q	• 4.1.21. 8 4~ _	arcsin _ .
2	2\/h2	- a2	3	3	3	5
(Л	./п2 _ A2 \
b + - a — arcsin	.
Va2 - b2	a J
548
4.1.23.	у/a2 + Ь2 (тгу/а2 + 4тгЬ2 + In 27гЬ +	+
у	2о	“I
4.1.24.	2тт2у/а2+Ъ2. 4.1.25. £. 4.1.26. Я2. 4.1.27.	4.1.28. |^(10х/10 - 1).
4.1.29.	24. 4.1.30. |(3%/3 - 1). 4.1.31.	4.1.32. |тга. 4.1.33. J(ea -е“а).
4.1.34.	1п(1 + у[2\ 4.1.35. f^,0 \ о
4.1.36.
О, 4.1.37 о /
4.1.38.	( 0, а- —Iе----М. 4.1.39. ^Г(1 +4тг2)2 -11.
\	4е(е2 - 1) /	3 r	J
4.1.40.	2 arctg 4.1.41. Д-(56\/7 — 1). 4.1.42. ау/3. 4.1.43. f^,oY
4.1.44.	хс = -|-е2,Г + f, ус = ^е2К ~2f • 4.1.45. 1 + у/2. 4.1.46. 2тга2. еп -е?	& е” -е2
4.1.47.	1(78-1). 4.1.48. % -	. 4.1.49.	4.1.50.
4.1.51.	4.1.52. —	4.1.53.	[(Я2 + 4)3/2 — 8]. 4.1.54. al.
4.1.55.	а2(2 - \/2). 4.1.56. а2. 4.1.57. 6. 4.1.58. |[(тг2 + 2)1 -2\/2|.
О
4.1.59. р2(2у/2 - 1). 4.1.60. §
О
(373 - 1) + | In ? + 2^1.4.1.61.
4.1.62.
4.1.65.
4.1.63. 8т^^. 4.1.64. 27rmJ^ ПрИ я = ^^2.
(h2 + Я2)3'2
2тгдг Ja , где а и & — полуоси эллипса. 4.1.66. 27r^/.
4.1.67. а^а2 + аЪ-ЬЬ2 указание S= fx.	dx
3 a + b	J а	a\ a2 — x2
о	’
4-1.68. i(7(p2+«g)3-p3). 4.1.69. ^(Ь3-а3). 4.1.70.	- |ln2 + ^.
Off	О	IO Z
4.1.71. ^(5x/5-3\/3). 4.1.72. ^a2. о	15
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода
4.2.2. 1) 269; 2) 395; 3) 143; 4) 311; 5) не выполняется. 4.2.3. 1) 128;
2) 134; 3) 122; 4) 126. 4.2.4. 1)	2) 0; 3)	4) -4; 5) 4.
4.2.6. ЗД ^7Г. 4.2.7. тг. 4.2.8.	4.2.9. 7г(а2 - Ь2). 4.2.11. ЗОтг.
lv
4.2.12. 250тг\/5. 4.2.13.	4.2.14. жЛ 4.2.16. -1. 4.2.17. 3. 4.2.18. -37.
и
4.2.20	.1) ^;2) 10; 3) -10; 4) Указание. 2) х = 4 - у2\ О	О
. 4.2.21. 8. 4.2.22. 12.
549
3) у = 2 — i®2; 4) х — 4cos£, у = 2sint, t G [о, o	L 2
4.2.23.	2. 4.2.24.	4.2.26. 62. 4.2.27. 1. 4.2.28. | +1п2. 4.2.29. 56.
2	4
4.2.30.	2тга(а + 6). 4.2.31. -7rR2cosa. 4.2.32. -2. 4.2.33. abc- 1. 4.2.34. 5\/2.
4.2.36.	4.2.37. Х • 4.2.38. (ж2 - у2)2. 4.2.39. In |ж + у\-------%—.
3	3	х '	1	4/1 х + у
\/х2 + у2 +1	,	У 'Г2 У3
4.2.40.		--. 4.2.41. In х - у + —— + %--—• 4.2.42. 0. 4.2.43. 0.
У	1	х - у 2	3
4.2.44.	4.2.45. -4. 4.2.46.	4.2.48. |тга2. 4.2.49. бтга2.
8	5	о
4.2.50.	^а2. Указание. Положить у = tx. 4.2.51. %?. 4.2.52. 77777. 4.2.53. 2а2. 2	"60	210
Указание. Положить у = xtgi. 4.2.54. Указание. Положить у = xt2. 4.2.56. 1008. 4.2.57. 252тг. 4.2.58. 48. 4.2.59. 12тг. 4.2.60. а) 28; б) 30; в) 16; г) 26; д) 28|. 4.2.61. а) 814,5; б) 702. 4.2.62. а) б) 2; в) 10;
г) -19|. 4.2.63. а) 28; б) 22. 4.2.64. 0. 4.2.65. 2тгаЬ. 4.2.66. 0. 4.2.67. In2.
4.2.68.	За2. 4.2.69. -бтга2. 4.2.70. U = ху + С.
4.2.71.	U	=	х3у — ^у3 + sin я + С. 4.2.72. U = у/х2 + у2 +	С.
4.2.73.	U	=	х2 + у2 + z2 + ху + xz + yz + С.
4.2.74.	U	=	х3 + 2ху2 + 3xz + у2 — yz — 2z + С.
4.2.75.	U	=	x2yz - 3xy2z + 4х V + 2х + у + 3z + С.	4.2.76.	U=% + % + £+C.
У Z X
4.2.77.	a) j; б) Ц. 4.2.78. а) ~ ; б) 0. 4.2.79. 62. 4.2.80. 1.
4.2.81.	| + In 2. 4.2.82. 1 + х/2. 4.2.83. 0. 4.2.84. 73^?. 4.2.85. 0.
4	3
4.2.86. In 10. 4.2.87. 0. 4.2.88. 1 - ?. 4.2.89. 8. 4.2.90. 12. 4.2.91. - j. 4	2
4.2.92. 9. 4.2.93. тг + 1. 4.2.95. 1п(х2 + у2) + С. 4.2.96. Intg + С.
4.2.97. 2Х + Зу- + С. 4.2.98.	4.2.99. -4.
х - у	35
§ 3. Поверхностный интеграл
2тга2х/а2 + Ь2
________________Ц^тг. 4.3.10. 0. о________У
%abc. 4.3.12.	4.3.13. ^тга5. 4.3.14. 0. 4.3.16. ^тгЛ4.
3	2	5	2
7гДо2Я. 4.3.18. ~2~. 4.3.19.	4.3.20. 0. 4.3.22. 9. 4.3.23.
3	4	8	4
^^/г4. 4.3.26. j -	4.3.27.
Z	У J.Z
4.3.2.
4.3.11.
4.3.17.
4.3.24.
4.3.28.
. 4.3.19.
а3 2л/3
—-----------а. 4.3.25.
10(5%/5 — 1)
4	.	тга (За2 -Ь 2Ь2)\/а2 + Ь2	п
|тгЛ4. 4.3.29. —. 4.3.30. хс = ус =
3	12	2^2
12
Гс = %(у/2 + 1). 4.3.31. 40а2. 4.3.32.	4.3.33. тгЯ (л(Я + Н)2 + |к3).
550
2
4.3.34. ^(2\/2 - 1). 4.3.35. 2а2(тг - 2). 4.3.36. 4атг(а - Va2 - Ь2). о
4.3.37. ^^(2\/2 - 1). 4.3.38. ZZL^L. 4.3.39. 0. 4.3.40. J(1 + у/2). О	L	L
4.3.41. 7г2(а\/1 + а2 + In а + \/1 + а2). 4.3.42. |а4 sin2 а cos2 а. 4.3.43. -4^JQ
10
4.3.44. ^7гТ?3(а + Ъ + с). О
Глава 5. Теория поля
§ 1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
5.1.5.
5.1.2. {yz, xz, ху). 5.1.3. (2x,2y,—2z). 5.1.4. (уеху ,хеху — z2 ,—2yz).
г , 22 ,--2> 2 ,	, 2* .2 ,	. .2) ' 5-1в- О. -12, -5)
5.1.7.

. 5.1.11. В точках
(1 \ -	1	1
x — - j + y2 = -. 5.1.12.	= arccos 5.1.13. а) На оси Ox\
*•'	4	v5
б)	на плоскости yOz\ в) на плоскости х — у + z = 0; г) в точках прямой, проходящей через начало координат с направляющим вектором £(1,—3,2);
д) в точке 65(0,0,0); е) в точках сферы х2 + у2 + z2 = 4.
к
5.1.14.	а) Равнобочные гиперболы у = —, кроме того, объединение двух координатных осей, образующих отдельную линию уровня; б) окружности х2 + у2 = R2-, в) прямые х + у = С, причем |С|	1.
5.1.15.	а) Концентрические сферы с центром в начале координат; б) ось Oz и круговые цилиндры с осью симметрии— осью аппликат; в) ось Oz без
я;2 у2
точки 0(0,0, 0) и круговые конусы =^-4—- = z2 без точек 0(0,0,0).
с с2
5.1.16.	а) Сферы х2 + у2 + z2 = Я2; б) поверхность уровня — это объединение сфер х2 + у2 + z2 = R2, х2 + у2 + z2 = R2,   • > где {Лг} — множество корней уравнения f(t) = с при фиксированном с. 5.1.18. у = Сх.
5.1.19.	х2 — у2 = С. 5.1.20. х2 + у2 = С. 5.1.21. Прямые с направляющим
вектором /(а,Ь, с). 5.1.22. Прямые, получающиеся при пересечении плоскостей х — у = Ci(y — z) с плоскостями х — у = C2(z — х).
Указание. Интегрируемые комбинации имеют вид:
<1(х - у) = d(y - z) у-х ~ z — y
d{z — х)
=----—----. 5.1.23. Винтовые линии, параметрические
•Е Z
х = Ci cos t + С2 sin i,
< у = Ci sin t — C2 cos i, Указание. Составьте и решите z = at + Сз-
уравнения которых
нормальную систему дифференциальных уравнений.
5.1.27. (и • <р'(и) + <р(и)) • gratin. 5.1.31. f(r) •	5.1.32. с.
551
5.1.34. —• = — 4г. Указание. Используйте задачу 5.1.31. 5.1.35. Эллипсоиды dt г2
2	U2	*2	о
—- 4----- 4--- = 1 (t > 0) и точка 0(0,0,0). 5.1.36. Цилиндры х2 4- у2 = R2.
ta	tb	tc
5.1.38. arccos —^=. 5.1.39. В точках, лежащих на конусе х2 = у2 4- г2. За/10
5.1.40. Сферы х2 4- у2 4- z2 = R2. 5.1.41. Указание. Рассмотрите градиенты
этих полей. 5.1.42. Линии пересечения гиперболических цилиндров:
х2 — у2 = ci и х2 — z2 = С2- 5.1.43. Прямые, общие уравнения которых:
г
< Х	5.1.44. 0. 5.1.45. Да. Например, если U = V 4- С. 5.1.46. Нет.
У = C2Z.
Например, у полей U = х2 4- у2 4- z2 и V = ^/а?2 4- ?/2 4- z2 один и тот же набор поверхностей уровня. 5.1.47. Нет. 5.1.48. Да. Например, если Fi = С • F2, где С — константа. 5.1.49. Например, U = x + y + znV = х + у — 2z. 5.1.50. Вдоль лучей, исходящих из начала координат. 5.1.51. Пересечение плоскостей тх 4- пу 4- lz = С\ со сферами х2 4- у2 4- z2 = С2 •
Указание. Интегрируемыми комбинациями являются mdx 4- ndy 4- Idz = 0 и
х dx 4- у dy 4- z dz = 0. 5.1.52. ;-Ц—- • grad U • grad V. 5.1.53. Они
I grad V |
перпендикулярны в точках их пересечения. 5.1.54. Нет.
§ 2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
5.2.2.	divF = 0, rotF = 0. 5.2.3. divF = 3, rotF = 0. 5.2.4. divF = О, rot F = 0. 5.2.5. div F = 0, rot F = (y — z)i 4- (z — x)j 4- (x — y)k.
5.2.6.	div F = 2(xy + yz 4- xy), rot F = — y2 • i — z2 • j — x2 • k.
5.2.7.	div grad U = U”x + U”y + U”z = AU, rot grad U = 0. 5.2.9. 4r.
5.2.10.	3/(r) 4- t • f'(r). 5.2.14. div(U • grad V) = grad U • grad V 4- U • AV.
5.2.19.	|(r x c). 5.2.20. (-1, -1, -1). 5.2.21. (2x + 1, z2,2yz).
5.2.23.	a) V-(VU);6) V • (V x F); в) V x (V x F); г) Vx(V(V-F)).
5.2.24.	Указание. Воспользуйтесь результатами задач 5.2.7 и 5.2.18.
5.2.25.	Указание. Сравните с задачами 5.1.25, 5.2.12, 5.2.16.
5.2.26.	Указание. Сравните с уже доказанными свойствами градиента скалярного пбля и дивергенции и ротора векторного поля. 5.2.27. divF = О, rot F = — i — j — k. 5.2.28. div F = x 4- у 4- z, rot F = — у • i — z • j — x • k.
5.2.29.	divF = 3(x2 4- y2 4- z2), rot F = (1 - 2z) • i + (1 - 2z) • j - (1 - 2y) • k.
5.2.30.	div F = -	4- Ц ,
\z у z /
rot F = -^(y - z)  i + А(г - x) • j - ^(x - y) • k. 5.2.31. я. 5.2.32. 2.
5.2.33.	На плоскости z = y. 5.2.34. Вдоль прямых, проходящих через начало координат, с направляющими векторами (1,1,1), (1, —1,1), (1,1, —1) и (1, —1, —1). 5.2.35. Вдоль прямой, проходящей через начало координат, с направляющим вектором Z(l, 1,1). 5.2.36. 0. 5.2.37. а • Ь. 5.2.38. 4г • а.
/7(г)
5.2.39.	2с. 5.2.40. а х г. 5.2.41. а х Ь. 5.2.43. divF =	• (г с),
552
rotF = —-—(г x с). 5.2.44. Указание. Воспользуйтесь задачей 5.2.10.
5.2.45.	/"(г) + | • /'(г); /(г) = Os - %.
У7 (г)	1
5.2.46.	2/(г) • с 4---—[с • (г • г) — г(с • г)]. 5.2.49. VF = —(г • с);
г
V х F = ±(г х с); V2F = ДгС.
г	г
§ 3. Поток векторного поля
5.3.2.	1. 5.3.3. 0. 5.3.4.	5.3.5. 2тгК3. 5.3.6. 0. 5.3.7. 0. 5.3.8.
5.3.12.	тг/?2Н. 5.3.13. -L 5.3.14.	5.3.15. 2. 5.3.16. 8я. 5.3.17. 0.
12	24
5.3.19.	— ЗтгК2. 5.3.20. Указание. При вычислении тройного интеграла 5
перейти к сферическим координатам. 5.3.21. irR2H. 5.3.22. —1. 5.3.23. 0.
5.3.24.	^7гК3. 5.3.25.	5.3.26. Збя. 5.3.27. 0. Указание. Показать, что
О	о
F-n = 0. 5.3.28. \/2. 5.3.29.	5.3.30. 0. 5.3.31. 12. 5.3.32. -12. 5.3.35. 0
О
5.3.36.	5.3.37. a) ^~R2-, б) Указание. Воспользоваться формулой
5	5	5
Гаусса-Остроградского. 5.3.38. 0,8тга6с. Указание. Воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского; перейти к эллиптическим координатам, лг г
5.3.40.	Указание. Воспользуйтесь равенством -7— = grad U • п и формулой on
Гаусса-Остроградского. 5.3.41. Указание. Воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского и задачей 5.2.11.
§ 4. Циркуляция векторного поля
5.4.3.	тг. 5.4.4. 1. 5.4.5. 24. 5.4.6.	5.4.7. 2яа. 5.4.8. 0. 5.4.9. -24.
5.4.10.	4тг. 5.4.12. 0. 5.4.13. -2тгК2. 5.4.14. -2nR2. 5.4.15. -^г. 5.4.16.
5.4.18.	0. 5.4.19. 0. 5.4.20.	5.4.21. а) 2тг; б) 0. 5.4.22.	5.4.24. 0.
Указание. Вычисление потока свести к вычислению потока через круг х2 4- у2 1, расположенный в плоскости хОу. 5.4.25. я. 5.4.26. 2wir.
5.4.27.	5. 5.4.28. 12тг. 5.4.30. а) 2тг или —2я в зависимости от направления; ч/б	чц
б)	0. 5.4.32.	5.4.33.	5.4.34. 0. Указание. Воспользуйтесь
&
задачей 5.2.7 5.4.35. а) Внутренность тора; б) шар без внутренней точки;
в)	внутренность тора без внутренней точки. 5.4.36. Нет, это верно, только если Q — поверхностно односвязная область (см. задачу 5.4.21 а).
5.4.37. Нет, они могут отличаться знаком, даже если поле F непрерывно дифференцируемо.
553
§ 5. Потенциальные и соленоидальные поля
5.5.2.	Да. 5.5.3. Нет. 5.5.4. Нет. 5.5.5. Нет. 5.5.6. Да.
5.5.7.	U = |(х3 + у3 + г3) + С. 5.5.8. U = xyz + С.
5.5.9.	U = zx -Ь уz — х2 — у2 4- С. 5.5.10. U = xy2z3 + yz2 + z + С.
5.5.11.	U = х^у3 — cos(x2?/) + С. 5.5.13. Указание. Воспользуйтесь задачей 5.5.12 и теоремой Стокса. 5.5.14. 0. 5.5.15. 0. 5.5.17. 8. 5.5.18. 2.
5.5.19.	Да. 5.5.20. Да. 5.5.21. Да. 5.5.22. Нет. 5.5.23. а) Нет; б) да. 5.5.24. а) Да; б) нет. 5.5.25. 0. 5.5.26. Да. 5.5.27. Нет. 5.5.28. Нет.
5.5.29.	U = x^yz + xy2z + xyz2 + С. 5.5.30. U = Зх2?/ — 2yz — х2 + z.
5.5.31.	Да. 5.5.32. Нет. 5.5.33. Да. 5.5.34. -2. 5.5.35. 1. 5.5.36.
5.5.37.	0. 5.5.40. a) F(l, 1,1) = grad (х 4- у + z) = rot (z, х, у); б) F(x, у, z); ч
в) F(z,x,j/);r) F(x, 2,0). 5.5.43. Да. 5.5.44. U= jf(r)rdr. го
Указание. Воспользуйтесь задачей 5.1.31 и получите уравнение U' = г • /(г). 5.5.45. Обратное не верно, с(1,0, —1), F(z,x,y\, F— не потенциально, но с х F = xi — (z 4- y)j 4- xk — соленоидально. 5.5.46. Нет; этому условию не удовлетворяют поля Fi = ги F2(l,1,1). 5.5.47. Нет; этому условию не удовлетворяют поля Fi(l, 1,1) и F2(z,x,y). 5.5.49. Нет, рассмотрите F1(2,x,?/),F2(1,1,1).
Глава 6. Теория вероятностей
§ 1. Элементы комбинаторики
6.1.3. 3360. 6.1.4. 372. 6.1.5. 216. 6.1.6. 84. 6.1.7. 12. 6.1.8. 34. 6.1.11. 27 216 6.1.12. 60. 6.1.13. 32 760. 6.1.16. 5040; 210. 6.1.17. 48; 72. 6.1.18. а) 720;
б) 60; в) 6; г) 3. 6.1.19. 576. 6.1.23. 35. 6.1.24. 8. 6.1.25. а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792. 6.1.26. 255. 6.1.27. 25 225 200. 6.1.28. 1260. 6.1.33. 512. 6.1.34. 729. 6.1.35. 126; 6; 15. 6.1.36. 56. 6.1.37. 1260. 6.1.38. 420; 210. 6.1.39. 6561. 6.1.40. а) 24; б) 60. 6.1.41. 112 500. 6.1.42. 380. 6.1.43. 729. 6.1.44. а) 48; б) 100; в) 60; г) 12. 6.1.45. 172 800. 6.1.46. 18. 6.1.47. 2520.
6.1.48. 1036 800. 6.1.49. 70 560. 6.1.50. 125. 6.1.51. 371. 6.1.52.
(9!)4
6.1.53. 96. 6.1.54. 7920. 6Л.55. 240. 6.1.56. 572. 6.1.57. 729. 6.1.58. 11880. 6.1.59. а) 7; б) 462. 6.1.60. 277 200. 6.1.61. 96. 6.1.62. 12 348. 6.1.63. 62; 20. 6.1.64. 570. 6.1.65. 512. 6.1.66. 30. 6.1.67. 28 800. 6.1.68. 190. 6.1.69. 15 368.
15’
6.1.70. 19. 6.1.71. 512. 6.1.72. Q 1О‘—-. 6.1.73. 46 080. 6.1.74. 126. 29  З3 • 53
3 2. Случайные события. Действия над событиями
5.2.3. Q = {1,2, 3, 4, 5,6}; Ai = {2,4, 6); А2 = {4, 5,6}; А3 = {0}.
5.2.4. a) Q = {П,Н,В}; б) Q = {ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РРР, РРГ, РГР, РГГ};
554
в) Q = {п : 0 п N, п Е Z}, N — число студентов в группе.
6.2.5.	Несовместимые: Аз и А4, As и Ав; совместимые: Ai и А2, А? и Ав.
6.2.6.	а) Да; б) нет; в) да; г) да. 6.2.9. а) Желтая или белая роза;
б)	красная или желтая роза; в) 0; г) белая роза; д) любой цветок; е) белая роза. 6.2.10. a) Ai • А2 • A3; б)
Ai • А2- А3+А1 • Аг-Аз+Ai • Аг-Аз+Ai • Аг-Аз+Ai • А2-А3+А1 • А2-Аз+Aj-А2-Аз = = Ai + Аг + A3 = Ai + Аг + A3 — AiА2Аз = Ai • Аг • Аз-
6.2.11.	а) А + В = {1,2,3,4,5,...,12} = Q; б) A D= {1,3,5};
в)	С - В = {1,2,3,4,5,6}; г) А^В - С = {1,2,3};
д) А • D = {1, 2,3,4,5,6,8,10,12}; е) А • В = 0. 6.2.12. а) АВС; б) АВС;
в) А + В + С; г) АВ + АС + ВС = АВС + АВС + АВС + АВС;
д) АВС + АВС + АВС; е) АВС; ж) АВС = А + В + С = АВС + АВС + + АВС + АВС + АВС + АВС + АВС = А + В + С - АВС. 6.2.13. а) В; б) С; в) 0; г) 0. 6.2.14. а) {3,4}; б) {2, 5}; в) {5}. 6.2.15. В = Ai + А2 + А3;
В = Ai • А2 • Аз. 6.2.16. В = Ai • А2 • А3; В = Ai + А2 + А3. 6.2.20. А • В.
6.2.21. А + А • В + А + В = ... = Q; А • АВ = 0; А • (А + В) = 0;
А • В • (А + В) = 0. 6.2.22. а) 0; б) А + В; в) Q. 6.2.24. А; В; В + С.
6.2.25. а) неверно; б) верно; в) неверно. 6.2.26. нет. 6.2.27. а) да, если А = 0, В = Q; б) нет. 6.2.28. a) Q = {Г, РГ, РРГ, РРР};
б) Q — {1, 2, 3, 4, 5, 6, Р, Г}. 6.2.29. Q = {(«i,«г,«з,«4)}, где аг принимает любое значение из множества {0,1,2,..., 9}; пространство Q содержит А10 = 104 = 1000 элементов.
6.2.30. a) Q = {12,13,14, 23,24,34, 21, 31,41,32,42,43}; б) Q = {3,4,5,6,7}.
6.2.31. а) невыигрыш; б) все промахи; в) хотя бы один промах; г) более двух попаданий; д) не старше. 6.2.32. a) Y; б) X + Y 4- Z. 6.2.35. а) 0; б) А + В; в) АВ + АС + ВС. 6.2.37. а) А = Ai - А3 + А2 • А4;
б) А — Ai(A2 + Аз) + (А4 + А5), А = (Ai + Аг Аз) • А4 • А5.
6.2.39. Qi = {6, 7, ..., 10, В, Д, К, Т}, П2 = {П, Ч, Т, Б}, Q3 = {К, К}, Q2 = {cui,lu2}.  -, где В — валет, Д — дама,...; П — пики, Ч — черви,...; К — картинка; — красной масти, lu2 — черной масти. 6.2.40. 8 (0 Е Q).
6.2.41. 8; А = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ}; В = {ГГР, ГРГ, РГГ}. 6.2.42. а) Нет;
б)	да; в) нет. 6.2.43. а) А С В - С; б) В С А, С С А.
6.2.44.	В = Ai • (А2 + Аз + А4) • А5; В = Ai + А2АзА4 + А5.
6.2.45.	В = (Ai + А4) • Аз • (А2 + А5). 6.2.47. а) X = А; б) X = С.
6.2.48.	а) верно, если А = Q; б) верно, если А = 0; в) А = В. 6.2.49. АВ = 0.
§ 3. Вероятность случайного события
6.3.4.	а) А; б) А в) А; г) Ц. 6.3.5. 1  1(Г’. 6.3.6. А. 6.3.7. |.
6.3.8.	а) 1; б) А 6.3.9. |. 6.3.10. а 0,21  10-2; ss 0,39. 6.3.11. а) к 0,41;
б)	» 0,44; в) » 0,14. 6.3.12. а) А; б) -А; в) 6.3.13. А 6.3.17. 1 - }.
04 O1Z oz	Ob	L
555
6.3.18.	« 0,41. 6.3.19. J. 6.3.20. J. 6.3.21. « 0,1. 6.3.22. 0,6. 6.3.23. « 0,37. 9	о
6.3.30.	6. 6.3.31. « 0,33. 6.3.32. a) « 0,0002; б) « 0,69; в) « 0,21. 6.3.33.
6.3.34.	«0,21. 6.3.35. а) б) 6.3.36. а) 0,125; б) 0,875.
д о qiy X 365!, гг\ 1	\	1	\ л. \	1	\	30!
’	З6530• 335! ’	36529’	З6530’	1230’	З6530‘
6.3.38.	« 0,94. 6.3.39. а) « 0,13; б) « 0. 6.3.40.	6.3.41.	—-.
3	n(n — 1)
6.3.42.	6.3.43. « 0,077. 6.3.44. а) « 0,02; б) « 0,35. 6.3.45.
д Q AR 21 д о лiy 49 .	26 Я О ЛЯ 1	992	1	128
6.3.46.	190. 6.3.4 .	) 1140,	б) 95. 6.3.48.	а) 58905>	19635>	б) б5б1 ’	2187’
6.3.49.	0,64. 6.3.50. « 0,6. 6.3.51.	6.3.52.	6.3.53. 0 при г
16	32	6
(1 -	при 0 < г <	6.3.54. 1 6.3.56. « 0,015. 6.3.57.
\ а J	6	4	2-п
6.3.58.	6.3.59. «0,0001. 6.3.60. «0,2. 6.3.61.	6.3.62.
2 • пп	4	6
1^^-, при 0 < а 1;
\/а2 — 1 + а2 (— arccos , при 1 < а \/2; у 4	U / х	г
1, при а > \/2.
6-3.65.	6.3.66. -Ц?. 6.3.67. 0,25. 6.3.68.	6.3.69. 0,6.
1152	7гЬ	2
§ 4. Условная вероятность
6.4.2. рт. 6.4.3.	0. 6.4.4. |. 6.4.5. |. 6.4.8. а) да; б) нет. 6.4.9. нет.
6.4.10. Указание. Использовать формулы А = АВ + АВ;
А = А(В + В) = АВ + АВ. 6.4.11. Р(А>) = Р(А2) = Р(А2 | Ai) = -ут, а + о
/ \ 2
Р(Л1 • А?) = ( —1 } Р(Л1 | Аг) = —зависимы, совместимы.
6.4.14. « 0,69. 6.4.15. jYg. 6.4.16. « 0,11. 6.4.17. 0,79. 6.4.21. а) 0,48;
б) 0,32; в) 0,44; г) 0,92. 6.4.22.	6.4.23. |. 6.4.24. 0,999. 6.4.25. 0,127.
6.4.26. а) « 0,33; б) « 1. 6.4.27. а) 0,25; б) 0,9744. 6.4.28. 0,5. 6.4.29. |; |.
О о
6.4.30. |. 6.4.31. да. 6.4.32. 0; |. 6.4.33. |. 6.4.34. « 0,98. 6.4.35. « 0,47.
6.4.36. « 0,43. 6.4.37. а) 0,375; б) 0,46; в) 0,18. 6.4.38. а) « 0,77; б) « 0,99.
6.4.39. а) « 0,19; б) « 0,56; в) « 0,70. 6.4.40. 0,1924. 6.4.41. а) « 0,28;
б) « 0,011. 6.4.42. а) |; б) jp 6.4.43. Без возвращения: а) , б) 0; с возвращением: а) 10-4, б) 10-4. 6.4.44. 0,8. 6.4.45. а) р б) р в) р
556
6.4.46. a) « 0,86; б) » 0,13. 6.4.47. n 9. 6.4.48. a) 6)
128
127
128'
6.4.49. a) б) в) -j-. 6.4.50. He найдет. 6.4.51. 0,82. 6.4.52. 0,625. loU oOU oOU
6.4.54. He всегда. 6.4.55. a) |;6)	6.4.56. а) да; б) да. 6.4.58. а) тДт;
4 и	У40
б) 6.4.59. тДг. 6.4.60. 0,5. 6.4.62. Зависимы. 6.4.63. п
ЬЗ	12	lg(l — р)
п 6.4.64. -. 6.4.65. 1 - (р5(1 - gi?2)(l - 9з?4) +9s(piP3 +Р2Р4 - Р1Р2?зР4)). D
§	5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
6.5.3.	||. 6.5.4. Pi = 0,8 = Р2. 6.5.5.	6.5.6. 0,6448. 6.5.7. 0,915. 6.5.10.
7 (J	48	7
6.5.11.	« 0,997; и 0,9998. 6.5.12. 0,48. 6.5.13. Л- 6.5.14. 0,108; £ « 0,44.
305	11	9
6.5.15.	а) « 0,54; б) « 0,46. 6.5.16. |. 6.5.17. « 0,5; и 0,009. 1О	Ли	(
6.5.18.	0,3. 6.5.19. -Л^-. 6.5.20. |. 6.5.21. 0,8402. 6.5.22.	6.5.23. 0,334.
12 000	и	84
6.5.24.	0.16. 6.5.25. 0,946. 6.5.26. 0,7pi +0,Зр2. 6.5.27. 0,0445.
6.5.28.	Л « 0,53. 6.5.29. « 0,59. 6.5.30. и 0,230. 6.5.31. Первая. 6.5.32.
15	18
6.5.33.	а) 0,41; б) 0,619. 6.5.34.	6.5.35. 0,043. 6.5.36.	«0,817.
ОО	OU
6.5.37.	а) б) Jf. 6.5.38. » 0,07. 6.5.39. (4-^— + zr-^— +	’ 1-
495	55	\ 1 + ci 1 + С2 1 + сз / 3
§ 6. Схема испытаний Бернулли
6.6.4.	0,027; 0,189; 0,441; 0,343. 6.6.5. « 0,055. 6.6.6. 7. 6.6.7. « 0,528.
6.6.8.	» 0,64. 6.6.9. ||. 6.6.10. а) « 0,324; б) 4. 6.6.11. а) « 0,007; б) 1;
в) « 0,41. 6.6.12. а) » 0,383; б) « 0,853. 6.6.13. а) одну из двух; б) не менее
четырех из восьми. 6.6.14. 29. 6.6.15.
0,20. 6.6.16. а) -ут; б) З11
«0,181.
6.6.17.	« 0,121. 6.6.18. а) « 0,430; б) « 0,149. 6.6.19. а) « 0,32; б) « 0,394;
в) « 0,168. 6.6.20. « 0,902. 6.6.21. « 0,038. 6.6.22.
6.6.24.	29 п 35. 6.6.25. а) « 0,35; б) « 0,05.
« 0,08. 6.6.23. « 0,35.
6.6.26.	(n-m + 1)	6.6.27. а) 6) |. 6.6.28.	• С?„_т
£
6.6.29.	|;	6.6.30. 0,135. 6.6.31. «0,001.
о У
§	7. Приближенные формулы в схеме Бернулли
6.7.3. а) « 0,168; б) « 0,423 (е-3 « 0,0498). 6.7.4. а) « 0,162; б) « 0,998 (е~6 « 0,0025). 6.7.5. а) « 0,09; б) « 0,270; в) е-2 « 0,135. 6.7.6. а) « 0,784; б) « 0,342 (е-4 « 0,0183). 6.7.9. 10 из 80. 6.7.10. « 0,016. 6.7.11. « 0,023.
6.7.12. « 0,056. 6.7.15. а) « 0,002; б) « 0,5. 6.7.16. « 0,91. 6.7.17. 133.
557
6.7.18. w 0,993. 6.7.19. я 0,865. 6.7.20. » 0,762. 6.7.21. a) « 3,8  10~5;
6) » 0,865. 6.7.22. » 0,012 (e-3 » 0,0498). 6.7.23. л 0,95. 6.7.24. a) w 0,097;
6) » 0,76. 6.7.25. « 0,001. 6.7.26. « 0,944. 6.7.27. a) w 0,025; 6) w 0,206.
6.7.28. a) « 0,019; 6) « 1; в) и 0,938. 6.7.29. 15 m 45. 6.7.30. » 0,0029; » 0,0031; « 0,00012. 6.7.31. « 0,503. 6.7.32. да. 6.7.33. n 29. 6.7.34. 82.
6.7.35. 392. 6.7.36. a) 207 m 273; 6) 753.
§ 8. Дискретные случайные величины
	0	1
Рг	0,3	0,7
; 0,7 и 0;
Хг	1	3	6	8
Рг	0,2	0,15	0,45	0,2
0,2 и 0,8.
	'0, х 1,1,
	0,1, 1,1	1,4,
	0,3, 1,4 < х < 1,7,
6.8.11. Г(ж) = <	’ ’	’	4 ” 0,7 и 0,9.
	0,6, 1,7 < х 2,0,
	0,9, 2,0 < х <С 2,3,
	Л 2,3 <х;
	'0,	х 0,						
6.8.12. F(x) = <	0,25,	0 < х s	*	6.8.15. а) ^2,	Уг	0	1	3	5
	0,75,	1 < х i		Рг	0,25	0,50	0,20	0,05
k lj 2 < х.
6.8.17
Zz	2	3	4
Рг	0,12	0,46	0,42
	0	2	3
Рг	0,30	0,28	0,42
558.
0,08 0,22 0,34 0,24 0,12 559
о оо
ND ОО

II
ND >—1 О Н л л л /л Н н н о /Л /Л jsD J-1
о 00 ND
II
о о о СП о  О
ND I—1 О Н л л л /л н н н о /Л /Л
ND И-1
о 00 ND
1?
II
2-1 ~q|w -mind -<Цн-> о
-Ч	;	ND	I—	он
Л	'	Л	Л	Л /Л
н	н	н	н о
/Л	/Л	/Л
JW	ND	J-1
л	л	л	л	/л
н	Н	н	н	о
/Л /Л /Л " CD	ND	1-*
6.8.31. FY(y) = <
6.8.32.
*
О,
1
3’ 2
3’
3^1	2	3	4	5	• • •	N	. • .
Рг	„2 Р	2р2д	Зр q	4p2q3	. . .	(TV - l)p2qN~2	. . .
qN + NpqN~1. 6.8.33.	Zi	1	2	3	6.8.34. Все, кроме bn
	Pi	0,3	0,5	0,2	
6.8.35. а) с = 2; б) 6.8.36. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет. X
6.8.37. Нет. 6.8.38. Нет. 6.8.39.
Уг	0	y/2 2	1
Рг	1 24fc	1 22fc-i	1 24fc-2
, где к = 1,2,3,...
§ 9. Непрерывные случайные величины
6.9.2. к = j, Ь = 1; |. 6.9.3. а) а = 1 с = 1; о о О
б) №) = ( 2Sina:’ О,
a; G [—7г,0];
в остальных случаях;
в) Pi = Р2 = 0.
6.9.4. А = 4, В = 16; Р(С) » 0,118. 6.9.8. b =
10, х < 0,
0 о < 5,8, a) ss 0,324; 6) ss 0,676. 6.9.9. а = о41
1,	5,8 я;
F(x) =	arctg е®, х G R. 6.9.10. а)
560
X
6.9.13.	f(x) = -
0,
0,5a? + 0,5, a? — 3
6 ’
0,
31 In 3, 0,
0,
0,125a?,
6.9.15.	F(a?) = 0,5,
6.9.14.	a) f(x) = <
при x	U,	2
л	Q'
при a? >	0;	о
6.9.16.	a) a = 1, b = 0;
0,5a? — 2,
6) f(x) = <
cos
0,
~ c /	7Г- 7Г
6 \ 6’3.
T 4 (-- 'LL
* V 6 ’ 3 J
в) p = 0,5. 6.9.17. a) 1; в)
6.9.18. a) a = b =	6) f(x) = ---- x e R. 6.9.19. |. 6.9.20. A = 1,
£	7г(4 + a?2)	e
F(a?) =
0, 1 — e
6.9.21. A = A;
0, 3
F (x) = 5 О
5
a? < —4,
3a?2
80 ’
—
20	’
P=J-.
P 16
6.9.22. F(a?) = <
0, 1 5
a?2 4 ’ a?2
5 ‘ 4 ’
s 2
'	--F’
A<x;
p =	6.9.23. Нет. 6.9.24. а) Да;
oU
— X
0
б)	нет; в) нет; г) нет; д) да. 6.9.25. а)а=~,5=~,с=1;
— cos (х — a? G Г— — * — тг]
б)/(а?)=Ъ к 4/’ L 4’4 J’	6.9.26. а) а = -1, b = 4,
[0,	в остальных случаях.
с = -3; б) Р(А) = 0, Р(В) = 1, Р(Е) = 2. 6.9.27. А = ад=/°’5еАШ’
{ ) (1-°’5е-Аа:
(°’
/(^) = За?5 - 2а?
6.9.28. р» 0,816;
а?
19 Сборник задач по высшей математике, 2 курс
561
з
15
f 1	(* + 2> i /х + 2\
6.9.29. F(x) = I -~=  e~ 18 dt = | + Фо (), где J ЗУ2тг	2	\ 3 /
— OO
Фо(ж) =
f z-
e~ 2 dz. 6.9.30. A = 1; F(x) = < о
a? -1,
-1 < x 0,
0 < x 1,
1 < x;
3
P~4‘
§ 10. Числовые характеристики случайных величин
6.10.3.	6.10.4. 1,3; 2,5; 0,81; 0,9. 6.10.5. 1,8; 0,675.
24 24 О/О 24 б
6.10.6. 7. 6.10.9. 77. 6.10.10. а; 6.10.11. 0,5. 6.10.12. Р{Х = 3} = 0,3; уп
Р{Х = 2} = 0,1. 6.10.13. ai = 3; а2 = 10; аз = 35,4; а4 = 130; /zi = 0; ft2 = 1;
мз = -0,6; /24 = 2,2. 6.10.15. |; |;	6.10.16. |;	6.10.17.	1.
6.10.18. 0; 50; 5\/2. 6.10.19.	- 2. 6.10.21. 0; 0; я0)25 = -а; х0>5 = 0;
Ю,75 = а. 6.10.22. М(Х) =	« 2,57; М0(Х) = 3; Ме(Х) =	« 2,60.
। О	у
6.10.23. 2;
V4; |; V2. 6.10.24.	Xi	-1	5	6.10.25. 2,5; 1,25.
	Рг	0,4	0,6	
6.10.26. 1^;	6.10.27. 0,75; 0,4375; к 0,66. 6.10.28. а) 0,7 и 0,21;
б) 6,0475 и и 2,46. 6.10.29. 1,73; 3,109; 0,1161; « 1,353
. 6.10.30. ^тг; ^-±2. 4	О
6.10.31. 3,3; 1,82; 0,45; 1,5876. 6.10.32. 0,32. 6.10.33.
хг	-3	-1	1	3
Рг	1 8	3 8	3 8	1 8
М(Л') = 0; D(X) = 3. 6.10.34. А = -0,6; Е = -0,8. 6.10.35. ai = М(Х) = 3, а2 = М(Х2) = аз = М(Х3) = D(X) = |. 6.10.36. 7 = 2;
6.Ю.37.	£ - |. 6.10.38.	6.10.39. а) |; б) ±; в)
6.10.40. а) б) в) 0. 6.10.41. а) 2; б) 2; в) ^2. 6.10.42. а) 0; б) 0;
б) 0; г) 0. 6.10.43. 0; 0. 6.10.44. 5;	5; 2,5; 5; 7,5. 6.10.45. 4. 6.10.46. 0,601;
О
9 «0,432; 0; «0,724. 6.10.47. 6,16; 11,3344; 292,69; -0,722. 6.10.48.
6.10.49. пр; npq. 6.10.53. р? = а2 — а2; рз = аз — 3aia2 + 2ai;
д4 = а4 - 4а!а3 + 6а?а2 - За?. 6.10.54. М(Х) = a; D(X) = 2ст2. 6.10.55. |; 0;
562
|. 6.10.56. М(Х) ft 1,88; а2 » 3,55; pi = 0; р2 = 0,02. 6.10.57. А = у;
М(Х) = D(X) = ft 3,40. 6.10.58. Не существует, if	О А	1
§ 11. Важнейшие распределения случайных величин
6.11.2.	2; 1,8. 6.11.3. 0,63. 6.11.4. 200. 6.11.6. 0,324; 0,569. 6.11.7. 2; я 0,323.
6.11.8.	4; » 0,433; е"4 и 0,0183. 6.11.10. а) М(X) = 3,439; б) М(Х) = 10.
6.11.11.	2,8525; и 0,225. 6.11.12. » 0,08. 6.11.15. 0,4. Го, х
6.11.16.	F(x) = ] £±1, -
6.11.17. а) /(х) = /3 ’ ХЕ [4,7^’ [0, х^[4,7];
б) 5,5;
’ 1
; в) 0,27. 6.11.18. /(ж) = 8’
10,
G [ 2, 6],	=	=
х ^[-2, 6];	3
6.11.21. F(x) = <
6.11.20.	F(i) = 1 - e-0,2t; М(Т) = 5; D(T) = 25; » 0,451.
О	х 0	к	1
1’_е-о,4. х>0.	=	«0,77. 6.11.22. 33з|;
0,30. 6.11.23. « 0,95. 6.11.26. ft 0,067. 6.11.27. C ft 0,4578; M(X) =
О
> (2т + р = 0,4772. 6.11.28. 64.
-г — 1 7^4
); р = 0,029. 6.11.30. 4,2; 1,26. 6.11.31. 8.
6.11.32. 288; |. 6.11.33. 2; « 1,37. 6.11.34. 40; 8. 6.11.35. 2,1; а 0,79.
6.11.36. 4,3. 6.11.37. 2; » 1,41. 6.11.38. 2. 6.11.39. а) 2; 2; б) ft 3,8  10-5.
6.11.40. а) » 2,5 • 10—3; б) и 0,017. 6.11.41. 0,0384. 6.11.42. 3,3616.
6.11.43.	6.11.44. а) 10, 90, « 9,49; б) 0,271.
м
6.11.45. f{x) = <{ 30 0
при яе[0;30], г {X) =
при х [0; 30];
0, х 30’
30 < а?;
М(Х) = 15; D(X) = 75; р = 0,4. 6.11.46. M(XY) = 1; D(XY) =	6.11.47. а;
У
6.11.48. а) 0,4; б) 0,4; в) 0,05. 6.11.49. А = 4; М(Х) = 0,25;
D(X) = 0,0625; р ft 0,632. 6.11.50. М(Х) = 0,2; р ft 0,98.
6.11.51. р = 0,1084 и 0,19 (Л = 0,0029). 6.11.52. а) и 0,4065; б) и 0,4637;
в) ft 0,5935. 6.11.53. а) 196 и 14; б) ft 0,51. 6.11.54. 31,5. 6.11.55. к 0,805.
6.11.56. » 0,954. 6.11.57. М(Х) ft 12; D(X) ft 16. 6.11.58. а) и 0,159;
б) я 0,136; в) ft 0,683. 6.11.59. и 19,7%. 6.11.60. 7,2 • 10"5.
6.11.61. А = Е =	6.11.62. М
y/npq	npq
6.11.66. М(Х) = 5. 6.11.68. /Z4 =	; Е(Х) = -1,2. 6.11.69. а) /х3 = А;
80	А3
563
_ pq п 
Д4 = JL; б) Л(Х) = 2; Е(Х) = 6. 6.11.71. 4. 6.11.72.	= а2; д3 = 0;
А
А«4 = За4. 6.11.73. а, а. 6.11.74. F(x) = 0,5 + Фо
6.11.75. а) а к 0,4292; б) 1,1842. 6.11.76. р = 0,6826. 6.11.77. а = 15,39, а =3,26. 6.11.78. —7.
§ 12. Системы случайных величин
6.12.2. а) 0,2; б)
х.	1	2	3
Рг	0,35	0,29	0,36
Уг	1	2	3	4
Рг	0,25	0,25	0,20	0,30
°,
в) 0,25; 0,29. 6.12.3. a) F(z) = < 0,3
и,
х 0, О < х 1 < х.
в) 0,72.
при	У 0	о < у 1	1 < у
х 0	0	0	0
0 < х 1	0	0	0,25
1 < X	0	0,75	1
6.12.6.
Xi	1	2	2,5
Рг	1 6	1 6	2 3
Pi	1	1,5	2	5 ; независимы; -. 6.12.7. Зависимы. О
Рг	1 2	1 4	1 4	
X\Y	8	9	10
8	0,02	0,03	0,05
9	0,06	0,09	0,15
10	0,12	0,18	0,30
		Х\У		2/^8		8 < у 9			9 < у 10 '			Ю < у				
		х 8		0		0			0			0				
F(x,y) = <		8 < х 9		0		0,02			0,05			0,10			; 0,08.	
		9 < х	10	0		0,08			0,20			0,40				
		10 < х		0		0,20			0,50			1				
		Уг		1		-1	0	1			Xi		1	0	1		
6.12.10. а	)	Рх=-1	1 7		2 7	3 7	1 7	;б)		Ру=-2	1 3		2 3	0		
Хг	-1	0	1
Рх=о	3 4	1 4	0
Уг	10	20	30
Рх=100	1 4	1 8	5 8
564
б)
а?»	50	100
Ру=20	6 7	1 7
; они зависимы. 6.12.13. 0,7; 0,6; 0,21; 0,24; ~ 0,46;
11. 6.12.16. а) 0,52; б) в) 0,58; г) 0,9. ОО
1.	9.9.
4’ 16’ 16’
12а?(1 — а?)2, °’ 0, За?4 — 8а?3 4- 6а?2,
и 0,49. 6.12.14. if; i|; 8 64	8
6.12.17.	- j; 6.12.19. 0; 0. 6.12.20. -
7'2^ ~ 0,15. 6.12.23. а) с = 24; б) Л(а?) = < । 00
255. _7_.
256’ 64’ a? G [0,1], а?^ [0,1]. ’
Л (г/) = <
О, г2(?/) = < 3j/4 - 8?/3 + 6i/2, Л
12у(1 — у)2, ?/е[0,1],
Л	НМ
6.12.24. а) с = Jj;
5
16
; в) /i(z) =-------
7Г\/3
ж;
fa(y) =	г) I- 6.12.26. Зависимы.
7г(3 + чг\ о
12e“(3l+4i,), а?>0,
0,	а? < О,
“31)(1 -е“4*), а?>0,
6.12.28. &)f(x,y) = <
б) F(x,y) = <
0,
Г 2у
6.12.30. f{y | а?) = < (1 - а?)2’
2х оо,
в остальных случаях;
f(x I у) = t1 _ у) о,
остальных случаях.
в
1 4-а?,
6.12.31. /Да?) = Л -х, (о.
ЛЫ = S I Uj
X
f(y I я) = <
4-х’
1
0 < х
1 — а?’ (О,
f(x I у) = < 2?/’ 0,
а? —1, а? 1;
зависимы. 6.12.34. а) 0;	6) |; i; в) 0. 6.12.35. с = 24; а) б) X; i;
О О 16	о о zo zo
в) г) 6.12.36. а) тХу = -0,2; б) /,(х) =	f2(v) =
f(x I у) = |(1 - ХУ3) = f(y I я); в) M(Y I X = а?) = -|а?.
565
6.12.37. а) *
AiA2e“Aia:-A21'
О,
б)
1
М(У) = у-. 6.12.38. а)
X\Y	0	1
0	0,02	0,18
1	0,08	0,72
;б)
; в) М(Х)
Xi	0	1
Рг	0,2	0,8
О,
Уг	0	1
Рг	0,1	0,9
|О, х О, ; F(x) = < 0,2, 0 < х
11, к
1,
в) F(x,y) = <
при	2/^0	0 < у 1	1 < у
i 0	0	0	0
0 < х 1	0	0,02	0,20
1 < X	0	0,10	1
6.12.39.
6.12.40.
6.12.42.
6.12.43.
X\Y	-4		1		8	
-2	1 12		1 6		1 3	
3	1 6		1 6		1 12	
						
Х\У	0	1		2		
0	1 8	1 8		0		
1	1 8	2 8		1 8		
2	0	1 8		1 8		
2’
6.12.41. Независимы;
Уг	-4	1	8
Рг	1 4	1 3	5 12
Уг	1	1,5	2
Рх=2,5	1 2	1 4	1 4
Уг	-1	0	1
Рг	0,2	0,5	0,3
6.12.44.	АДУ	0	1
	0	28 45	8 45
	1	8 45	1 45
2
3‘
Уг	-1	0	1
Рх=о	0,25	0,50	0,25
; в) 0,75.
а) &б) I’ I-6-12-45-
13. 11. л/п
6 ’ 36 ’ 6
6.12.46. М(Х) = 70, М(У) = 21,5; D(X) = 600, Р(У) = 62,75; а(Х) ~ 24,5, а(У) и 7,92. 6.12.47. 0. 6.12.48. Kxy = 45; rXY « 0,23. 6.12.49. D = 0,02; зависимы; М(Х) = 1,95; M(Y) = 5,4; D(X) = 0,5675; D(Y) = 0,84;
а(Х) и 0,75; a(Y) я 0,92; Kxy = 0,08; rXY « 0,12. 6.12.50. а) с = |;
1	1	3 — х/З
б) /1(ж) = -(sini + cosx), f2(y) = -(sini/ + cos i/); в) —-— л 0,32.
6.12.51. a) f(x,y) = <
12тг’
0,
внутри эллипса, вне эллипса;
6)/1(х) = |^'/16-х2’
IG [-4,4], х t [-4,4];
/г (г/) = < 9тг
л/9 - У2, 2/е[—3,3], о,	2/£[-3,3];
566
в) Р(А) =	6.12.52. а) с = 1;
б) F(x,y) =
Г(1-е-*)(1-е-*), [°,
х 0, у О, х < О, у < О;
в) Р(А) = О; Р(В) « 0,2.
6.12.53. а) с =
—2 < х О,
О < х 1, х —2, х > 1;
х —2,
в) Fx(x) =
(О,
(х + 2)2
1 - |(1 - *)2, О
1л
-2 < х О, г\ 1
’ 3’
О < х 1,
1 < х;
6.12.54. a) f^x) = fx(x) = (о,
1
2’
х G [0,1], гг£ [0,1]. ’
ЛЫ = /у(»)=Р+2’	; б) |. Нет. 6.12.55. с = у;
(О,	3	3
/1(х) =	- т15), 0 $ х < 1; /2(у) =	з/^2, у е [-1,01;
ю	о
{	2
2^-з
О,
bD’ 6.12.56. f(x | у) = j___________ , у е (-3; 3);
вне D.	8у/9 - у2
2
х е (-4;4). 6.12.57. Л(х) =	; /2(у) = -^е"4*2;
у2тг	\ЛГ
f(y | х) — ——, ЗУ16 - х2
f(y I *) = ^е~^-4ху'8у2- f(x | у) = -Le-^-^iz-V
V7T	уТГ
6.12.58. а) М(Х) = М(У) = б) D(X) = D(Y) = ^(тг2 + 8тг - 32);
в) Kxy = 87Г~ ^ ~	~ -0,05;. г) -8^ ~-16 ~	« -0,25. 6.12.59. а) гХу = О
16	я2 + 8тг - 32
(Л/(Х) = 0,Л/(У)=:-^);
{30о?2(ж + I)3,
—30ж2(х — I)3
О,
^G(-l;0),
х G (0; 1),
в остальных случаях;
(х + I)3 ’ в) f(y I z) = < Зу (х-1)3’
— 1 < х < 0, — 1 < у < 0;
О < х < 1, — 1 < у < О, вне области D.
567
6.12.60. F(x,y) :
при	см 1 V/ 5»	-2 < у 0	0 < у 4	4 < у ।
х 10	0	0	0	0
0 < х 10	0	0,15	0,20	0,20
10 < х 20	0	0,25	0,50	0,60
20 < х	0	0,30	0,65	1
Уг	-2	0	4
Рх=2О	1 8	1 4	5 8
; величины X и Y зависимы.
6.12.61.
X\Y	0	1	2
0	0	0	3 28
1	0	15 28	0
2	5 14	0	0
; а) 0; 6) D(X) = Г(У) = в) rXY = -1. X X «
6.12.62. а) 0; б) 16. 6.12.63. гХу =
Р{Х)
D(X)
6.12.64.	a) F(x,y) =
б) /х(х) = <
cosx,
О,
'о,
sin х sin у,
sinx, sin г/, 1,
х 0, у О,
В) р = 5 а 0,72.
О
6.12.65.	a) f(x,y) = <
е~х~у
О,
о, О О, < 0, у < 0;
б) р = F(l,l) «0,40.
6.12.66.	а) ^;б) f(x,y)=<
0,5 sin (х + у),
О,
х 6 [°’ f ] ’у 610, i] ’
в остальных случаях.
6.12.67.	a) f(x,y) = <
2’
О,
(х, у) G D, &,у) £ D\
{1 +х, 1-х, О,
—1 < х < О,
О < х < 1, х > 1, х < —1;
х е (°’ f ’
* t (о, f) ;
1
х
х
-1 < у < О,
О < у < 1, у < -1, у > 1;
fy{y) = 1 - У> Л
X и Y зависимы. 6.12.68. а > 0, с > О, b —
любое. 6.12.69. a) f(x,y) = -£-е	2	; б) е 2 — е 4,5 « 0,12.
2тг
6.12.70. -1 - у/З. 6.12.71. т = 0.
568
§ 13. Функции случайных величин
6.13.2. а)
6.13.3. а)
Vi	0	1		2		3		4		; б) 1,95; и 1,65; % 1,28.		
Pi	0,20	0,15		0,25		0,30		0,10				
Уг	0	2	3		5	Z	-6		-2	2	4	; 6) 1,4; 1,44; 1,2; 0;
Рг	0,4	0,4	0,2			рг	0,1		0,4	0,3	0,2	
ICOS y/у	/	7Г2 \
Г) г- ’ У I 0, . I ,	2 _ о
°- vt (0; ^-1 ;
D(Y) = 20 - 2тг2. 6.13.7. д(у) = /(е^е»; G(y) = F(ev)
6.13.8. д(у) =
W-y)\
О,
2/ с [1,2], У [1,2].
(°’
6.13.9. Fy{y) = < у,
1л
У 0, о < у 1, I <У,
fy (у) =		1, 0 < у 1, 0, в остальных случаях.																
6.13.10. а) д(у) = <						y/у — 2^/тг , у G [4tt; 16tt],	34	412тг2 4?r7^	б) 3 тг; 45 . 0,	у £ [4тг; 16тг];												
6.13.11. М(			f Y) = 8,5; D(Y) =	д(.у) = | fc-l) ZO	0 \ Z J														, У 6 [3; 17].	
6.13.13. а)			zu		1		4		5		8			10		13	J	
			Pi		0,20		0,30		0,15		0,20			0,10		0,05		
б) в)	32t	0		1		3		4		5			8					
	Рг	0,20		0,20		0,15		0,30		0,05			0,10		5			
	Zzi	1		4		717		4\/2		782			797					
	Рг	0,20		0,30		0,15		0,20		0,10			0,05					
6.13.14.		Zi		2		3				• . •		m						• • •
		Рг		0,72		2 • 0,72 • 0,3						(m - 1)  0,72 • 0,3m~2						. . .
6.13.16. Fz(z) =
z -1, -1 < Z < О,
О < z 1, 1 < z\
I 0,	2^—1 ИЛИ z	>1,	'o,
fz(z) =<14-2, -1 < z 0,	6.13.17. Fz(z} = <	2z — z2
(1—2, 0 < Z 1.		Л
2^0,
О < z 1, 1 < z\
fz(z) = <
О, 2(1 - г),
2^0 ИЛИ 2^1, О < z < 1.
569
,2
10, U i-b
2, 4.
6.13.20.
(°,
6.13.22.	Fz(z} =	2 ’
1 "	2	’
u, [°,
6.13.23.	fz(z) = { 0,5 • (1 - e"0’32 [o,5 • (e0,6 - l)e-0,3z, 2<
z
Указание. f(z) = JО,Зе-о’3х - /2(2 — x)dx, < о
(2-z)
fz(z) =
0,
2-z,
z.
6.13.24.	a)
Хг	-1	0	2
Pi	0,45	0,36	0,19
Уг	-2	-1	0	1
Pi	0,1	0,4	0,4	0,1
6)
Zx	-8	2	7
Pi	0,19	0,36	0,45
Wi	0	1	2	9
Pi	0,1	0,4	0,4	0,1
; в) M(Z) = 2,35;
D(Z) « 30,13; M(W) = 2,1; D(W) = 5,69.6.13.25. M(X) » 1,42; D(Y) w 0,78. 1 7’
6.13.26.	a) g(y) = < тгУ1 — у I о,
G)M(Y) = Q-t D(Y) = ±
Lt
6.13.27.	a) Fy(l/) = 1 - 1 arctg (1 - ?/); fY(y) = —-------------5-;
2	*	- тг(1 + (1 - ^)2)
6)	FY(y) = ~ arctg з/£; fY(y) =-------------------4-; (Fx(x) = | 4
37г(?/3 +?/3)
6.13.28.	a) g(y) =
< бтг’
lo,
у E [3 — Зтг; 3 4- Зтг], в остальных случаях;
{2
л ’ О,
У G (е 4 ?1), тг2 у$(е Т,1).
6.13.29.	а) д(у) = f(-y), у Е К; б) д(у) = f(y - 10), у Е К;
в) 9(у) =	• (/(\/2/) + /(-\^/)), У > 0;
Щу
{sec2?/-/(tg?/),	 3
о,	v
б) FY(y) = 1 - Fx(- In у), у > 0; в) FY(y) - Fx( tyy)-
1
6.13.31. a) 9(y) = -^=e ^2,y^ 0;
2
1
570
(у + 1)2 (у -1)2 \
2	+ е 2 I , у > О,
2/^0;
1 (у -1)2	(1 и 6 [0 41
в)р(?/) = ^=е"	50	,y6R. 6.13.32./У(у) = М’ У L ’ Ь
(0,	</£[0,4],
10, \У' 1,
2/^0,
о < у < 4, 4 < у;
М(У) = 2; D(Y) =
/г(г) = о
г 6 [0,1], * £ [о, 1];
о,
Fz{z) = < 2,
Z О,
О < z 1, Указание. Fz(z) и fz(z) можно найти так: z > 1.
Способ 1. Fz(z) = P{Z < z] = Р{|Х — 1| < z] = Р{1 — z < X < z 4-1}; если l+z
z С 0, то Fz(z) = 0; если 0 < z 1, то Fz(z) = J ~dt = z; если z > 1, то
1 —z
О	2	14-z	j 0,
Fz(z) = J 0dt 4- У~dt 4- J Odt = 1. Итак, Fz(z) = < z, i-г о 2	,	11,
z ^0, 0 < z
2 > 1;
1,
fo,
fz(z) = Fz(z) = 1,
1Д
z 0,
0 < z 1, z > 1.
Способ 2.
Fz(z) = P[Z < z} = P{1 - z < X < z 4-1} = P{X < г 4-1} - P{X < 1 - z
= Fx (I4-2) — Fx (1 — z)
j 0, x 0,
= <7^, 0<ж^2, Поэтому
1
(1,	2 < x.
z 0,
0 < z 1, и дифференцируя Pz(z), 1 < z;
находим fz(z).
Способ 3. Найдем сначала fz(z). Имеем: a?i =^>1(2) = 14-z, 0 z 1 и xi = ^2(2) = 1 — 2, 0 z 1; |s'i| = |а?г| = 1; поэтому
571
fz(z) =
 2
.1=1
1
2
1 +	=	0 0^1, т.е.
Li
z G [0,1],
„	, следовательно,
* t [0,1];
Fz(z) =
6.13.33.
Xi + у,	16	17	18	19	20
Pi	0,02	0,09	0,26	0,33	0,30
6.13.34. FT{t) =
fr(t) =
О < z 1,
6.13.35. fz(z) =
6.13.36. fz(z) =
0, ie-h
2е ’
0, __1_ 6z’
6.13.37. Fz(z) = <
6 ’
1 —— 3z’
в остальных случаях.
6.13.38. FXy(S) = S(1 -InS); fxv(S) = -lnS,0 < S < 1.
6.13.39. Fz(z) = F{max{X,y] < z} = F{X < z, Y < z], т. e. чтобы
максимальная из величин X, Y была меньше z, необходимо, чтобы каждая из
[ z2) них была меньше z. Fz(z) = । q
Z е [0,1],	I 2z,
^[0,1]; /г(г) = 1о,
z 6 [0,1], z [0,1].
6.13.40. fz(z) =
О, г2 — 2z
8	’
2z-3
8 ’
Г I	J2.
2
8
(о,
Z
Указание, /(z) = J  fz(z — х) dx, ]3_2<x<z — 1’ о
5
z.
572
6.13.41. /t(z) = -
О, Ai Аг
k Ai — Аг
z 0, z > 0.
z	z
Указание. f(z) = [Aie-A1* ♦ Аге-*2^-1) dx, 5	Z
0
6.13.42. a) M(Z) = 20. Указание. f(z) =
e-O,lz
z > 0, 2^0;
’ Zi
6.13.43. М(У) = ка 4- Ь; а(У) = |fc|a. 6.13.44. fY(y) =
{z, 0 < z 1,
2 — z, 1 < z 2, О, в остальных случаях.
0О<1;
1 < V < 2;
о, у < о, у > 2.
6.13.45. Fy (у) = <
z > О, 2^0.
6.13.46. fY(y)= G/-6)2’
fz = <
О,
z > О, 2^0.
6.13.47. а) Нет, б) да.
10,
1-2L
2г’
2^0, О < Z 7Г, 7Г < 2;
2	О,
О	2	7Г,
7Г < 2.
Г ——
6.13.49. fz(z) =< z е 2 (°,
2 > 0’ (распределение Рэлея); z^O,
Z 1 - е~ 2 ,
О,
6.13.50. /(2) =
z 2,2 > 2, -2 < 2 О, О < 2 < 2;
10, |(* + 2)2.
2-1(2-г)2, О
1,
2	—2,
-2 < 2 О, О < 2	2,
2 < 2.
573
О,
6.13.51. fz(z) = <
z
24’
1
8’
11 — z
24 ’
z 0, z > 11,
0 < z 3,
3 < z < 8,
8 < z < 11.
§ 14. Предельные теоремы теории вероятностей
6.14.2.	р |. 6.14.3. 0,7; р 0,33. 6.14.5. а) р 0; б) р | и 0,89; О	У
В) Р >	» 0,99. 6.14.6. а) р = 1 - е~б; б) р >	6.14.7. р >	» 0,97.
о!	io	1OUU
6.14.8.	р 0,1584. 6.14.9. р 6.14.10. а) р 0,8; б) р 0,25.
6.14.12.	р 0,71. 6.14.13. Р ~ 0>6- 6.14.14. р 0,9808. 6.14.16. р > |.
6.14.17.	а) нет; б) да; в) нет. 6.14.18. п 320. 6.14.20. р ~ 0,9474. 1 (у - 60)2
6.14.21.	fY(у) «----Ч=е~ 8	; Р(А) « 0,971. 6.14.22. а) р ~ 0,499;
2 • х/2тг
б) р « 0,841. 6.14.23. (-0,0251; 0,0251). 6.14.24. а) Р{Х 30}	|;
б) Р{|Х - 201 < 8}	0,74. 6.14.25. р 0,75; Р{|Х - 50| < 10} » 0,954.
6.14.26. р > 7~-р = ||. 6.14.27. р > ||. 6.14.28. Р(А) > Р(В) |. У OU	хи	хи	о
6.14.29. а) р 0,936; б) р 6.14.30. р 6.14.31. а) п 250; 45	У
б) п 1250. 6.14.32. Р{0 < X < 6}	|. 6.14.33. п 300. 6.14.34. Да.
6.14.35. а) р « 0,326; б) р « 1. 6.14.36. р а 0,89. 6.14.37. р а 0,847.
6.14.38. п < 761. 6.14.39. р а 0,034. 6.14.40. р > |; а) и 0,982; б) 1;
в) а 0,997. 6.14.41. а) Р{Х 400} < j; б) Р{|X - 350| < 25} >
6.14.42. п 200. 6.14.43. р 0,5. 6.14.44. Да. 6.14.46. 0,5.
6.14.47. Неограниченно возрастает.
Глава 7. Теория функций комплексного переменного
§ 1.	Основные элементарные функции комплексного переменного
7.1.2. и = х, v = у. 7.1.3. и = —у, v = х. 7.1.4. и = х2 — у2, v = — 2ху.
7.1.5. и = х2 — у2 — 2х, v = 2ху — 2у + 1. 7.1.6. и = х3 — За;?/2, v = За:2 х 4- у — 1
и = х, v = у. 7.1.8. и = 2х, v = 0. 7.1.9. и = —------
х^у-!)2'
7ЛЛ0’ V = tf + y2)2' V = (х'+уУ
7.1.7.
х - у + 1
v =	----------
X + (у - 1)
у-у3-
574
7.1.11.	и = х----------, v = у 4—------. 7.1.12. и = e/cosiy, v = —e^sinw.
X2 + у2	х2 4- у2
7.1.13.	и = еу cosa:, v = —еу sinx. 7.1.14. и = sharcosy, v = charsin у.
7.1.15.	и = sin2хch2у, v = — cos2xsh2y. 7.1.16. и = cosarchy, v — — sinarsiny. 1w
arctg -	при x > 0,
•*'	У
sign (г/) • тг 4- arctg — при x < 0, sign(y) • |	при x = 0,
v = ln(ai2 4- y2). 7.1.18. и = ln(a:2 4- y2), v = 2 arg z (см. ответ предыдущей £
задачи). 7.1.19. и = sha:cos(?/ 4- 1), v = cha:sin(y 4- 1)- 7.1.21. |/(z)| = г,
Argf(z) = p + 2кк, к E Z. 7.1.22. |f(z)| = 1, Argf(z) = tp + 2тгк, к EZ.
7.1.23.	|/(z)| = r3, Arg f(z) = fy + 2тгк, kEZ. 7.1.24. |f(z)| = rn,
Arg f(z) = тир + 2тгк} к EZ. 7.1.25. |/(z)| = Цг, Arg f(z) = —fy 4- 2тгЛг, к E Z. rb
7.1.28.	f(z) = iz. 7.1.29. /(2) = z2. 7.1.30. f(z) =
7.1.31.	/(2) = cosz = chiz. 7.1.35. /(21) = f(z2) = — 1 — 17г.
7.1.36.	/(21) = 0,5 - 2,5г, /(z2) = 0.
. тг	./о	х/2
7.1.37.	/(21) = ег4 = cos 2 4- г sin - = — 4- г^-, /(22) = е‘2 - cos 4- г sin = г. Z	Z
• тт	1	\/Ч
7.1.38.	/(21) = е“‘з = cos(-^)4-isin(-^)= | 4- г^-, и	О Zi
/(22) = 2e-t? = 2 (cos у — г sin у) = д/2 4- «л/2.
\	4	4 /
7.1.39.	/(21) = е • cos 1 — г • е • sin 1, /(22) = 2. 7.1.40. /(21) = 0, /(22) = г^.
О
7.1.41.	/(zi) = -г^ /(z2) =	7.1.42. /(г,) = ch 1, /(z2) = сЬ2тт.
z	z
7.1.43.	и = —2xy, v = x2 — у2. 7.1.44. и = x — Зху2 — 1, v = — Зх2у 4- у3 4- 2.
7.1.45. и = x2 — у2, v = — 2ху. 7.1.46. и =
х(х+ 1) 4- у(г/~ 1) х2 + (г/ - I)2
ж - у + 1 х2 + (.У ~ 1)2‘
7.1.47.	и = ху/(х - I)2 4-1/2, v = уу/(х — I)2 4- у2-
7.1.48.	и = — sinarsh(y 4-1), v = cosarch(t/ 4- 1).
7.1.49.	и = — sh(2ary) • cos(ar2 — t/2), v = ch(2ary) sin(a:2 — j/2).
7.1.50.	и = e®2 + У2 cos - v = — e®2 + У2 sin -	—-.
x2 + y2	x2 4- y2
7.1.51.	и = sm2s f v = —nSh2y	. 7.1.52. |/(z)| = ar,
ch 2y 4- cos 2x ch 2y 4- cos 2x	v 7
Arg /(2) = p + 27rfc, к E Z. 7.1.53. | f(z)| = pr, Arg /(2) = ip 4- 6 4- 2тг/с, к E Z.
7.1.54.	|/(2)| = -4, Arg/(2) = -тцр4-27Г&, к E Z. 7.1.55. /(2) = -1 r	Z2
7.1.56.	/(2) = (2)3. 7.1.57. /(2) = j 4- z. 7.1.58. 0,4 - 0,2i. 7.1.59. 6 - 8г.
7.1.60.	7.1.61. 2sh2. 7.1.62. cos2sh2 4- tsin2ch2. 7.1.63. а) Да; б) да;
575
в) нет, г) да. 7.1.64. Да. 7.1.65. z — тгк, к Е Z. 7.1.66. Да, например, z — г In 2. 7.1.67. Да. Рассмотреть lim sin(ij/). 7.1.68. Im z =	4- 7rfc, к E Z.
7.1.69.	а) Нет (/(г) = z и /(z) = z); б) да (/(z) = z).
§ 2. Аналитические функции
7.2.5.	f'(z) не существует Vz E C. 7.2.6. f'(z) = 1, Vzr 6 C.
7.2.7.	f(z) = 2iz — 3, Vz 6 C. 7.2.8. f'(z) = 0, при z = 0; f'(z) не существует при z ± 0. 7.2.9. /'(z) = 6z5, Vz E C. 7.2.10. /'(z) = Vz ± 0. z
7.2.11.	f(z) = j, Vz / 0. 7.2.12. /(z) = Vz ± 0. 7.2.13. /'(z) = shz, Vz E C. 7.2.14. f'(z) = 0, при z =	4- 7rfc, к E N; f(z) не существует в
z
остальных точках. 7.2.15. f(z) = cos(z4-2i), Vz E C. 7.2.16. f(z) = — tsin(tz), Vz E C. 7.2.20. An = 0, V(ar,^) E R2; v(x, у) = у + C; f(z) = z 4- г’С, С E R.
7.2.21.	Ar = 0, V(r,j/) 6 R2; u(x,y) = 2xy 4- C; /(z) = — iz2 — 2i 4- С, С E R.
7.2.22.	Ar 0, V(a;,?/) 6 R2; аналитической функции /(z) = f(x 4- iy) не существует. 7.2.23. Ar = 0, V(x, у) E R2; u(x, y) = 3x2y — y3 4- 7x 4- C; /(z) = — iz3 4- 7z 4- С, С E R. 7.2.24. Au = 0, V(x,y) E R2; r = shz sin у 4- C; f(z) = chz 4- iC, C 6 R. 7.2.25. Au 0, V(ar, у) E R2; аналитической функции У(г) = f{x 4- iy) не существует. 7.2.26. Ar = 0, V(x,?/) GR2\ {(0,0)};
u =	* , +C; /(z) = |+C, CeR. 7.2.27. At> = 0, V(x,») 6R2;
x2 + у	2
u = — sin 2x ch 2y — 3y; f(z) = — sin 2z 4- 3iz 4- С, С E R. 7.2.28. Au = 0, V(ar, у) E R2 \ {(0,0)}; r = 2 arctg | 4- C; f(z) = ln(z2) 4- iC, С E R.
7.2.29.	Ar = 0, V(ar, у) E R2 (у / 0); и = ln(ar2 4- y2) + 2x + C;
f(z) = — ln(«z) 4- 2z 4- С, С E R. 7.2.30. f'(z) не существует Vz E C.
7.2.31.	f'(z) не существует Vz E C. 7.2.32. f'(z) —	0- 7.2.33. f'(z) не
существует Vz E C. 7.2.34. f{z) = Зе3г, Vz 6 C. 7.2.35. f'(z) = 0 при
z = г 1	4- 7Г& j , (A: E Z); f'(z) не существует в остальных точках.
7.2.37.	Au = 0, V(a?,?/) Е R2; v(x, у) = 2ху — х + С\ f(z) = z2 — iz+ 1 +iC, С E R. 7.2.38. Au = 0, V(x,y) E R2; v(x,y) = e~v sin x — у 4- C;
f{z) = elz - z 4- iC, С E R. 7.2.39. Au = 0, V(r, у) E R2 \ {(0,0)};
v(x’ V) = 2X 2' + 2xv + C;f(z) = -^- + z2 + iC, C e R. 7.2.40. Au = 0, 2(x2+y2)	2z
V(x,y) 6 R2 \ {(0,0)}; »(x,y) = 22ХУ + С; /(г) =	+ iC, C 6 R
+ y )	Zz
7.2.41.	Да. 7.2.42. Нет. 7.2.43. а) да; б) да; в) да; г) нет, д) нет. 7.2.44. Нет. 7.2.45. a) fi = fa+ Ci-, 6) fi = f2 + C + Di; в) Д = Cf2 4- Di (C, D E R).
576
§ 3. Интегрирование функций комплексного переменного
7.3.8. 0. 7.3.9. а) 0; б) 0,5(1 + г); в) | + |г. 7.3.10. а) 1 - г; б) 1 - |г. о Z	О
7.3.11. а) -2; б) 0; в) 2\/2(1 - г). 7.3.12. 2ттг. 7.3.13. |(1 + г). 7.3.14. 0	О
7.3.15. —2 + г. 7.3.16.	- Зг. 7.3.17.	7.3.18.	+ |г.
0U	0	0	«5 о
7.3.19. -2 - г. 7.3.20. -З + Зг.
7.3.21. cos 1 4- sin 1 — е • sin 1 4- i(sin 1 — cos 1 4- e • cos 1). 7.3.22. 1 —	4- i.
7.3.23. i(l-shl). 7.3.24. -sh?r. 7.3.27.	7.3.28. 0. 7.3.29. ~^(3 + 2г).
7.3.30. 0. 7.3.31. ^(л/3 + г). 7.3.32. | 4- U. 7.3.33. j 4- 3г. 7.3.34. -9тт. 0	0	0	1
7.3.35. — (e* 4-1)г. 7.3.36. i(sin 2 ch 2 — 2 cos 2 ch 2 — 2 sin 2sh 2 — sin 6 4- 6 cos 6) 4-
4- ^(cos2sh2 — 2 cos2 ch2 4- 2 sin 2sh 2). 7.3.38. 0. 7.3.40. a) —2ттг; б) —тгг;
в) -тгг. 7.3.41. а) 0; б) -2ггг. 7.3.42. а) -2ггг; б) 0. 7.3.43. а) 0; б) 2гтг.
7.3.44. а) 0; б) 0. 7.3.45. а) 0; б) 0. 7.3.46. а) тгг; б) -тгг; в) 0. 7.3.47. а) |тт; О
о	3	3
б) “7г; в) 0. 7.3.48. а) -тгг; б) — -тгг; в) 0. 7.3.49. Интегралы существуют о	а	о
или не существуют одновременно
jf(z)dz. 7.3.50. Значение
12
интеграла — чисто мнимое число или 0. 7.3.51. Нет. 7.3.53. 2тгг.
7.3.54. а) нет. б) нет. 7.3.55. Да.
§ 4. Ряды Лорана. Изолированные особые точки
п
z2n-1, 0 < |z| < 4-оо (весь ряд есть
1 -v	+<эс
Г4-5-а) Ь^ + ^---- = £ (2п)!^
главная часть); 6)l-X + ^- ... = g
есть правильная часть). 7.4.6. a) z2 — тгг 4- 77 — ... = 57 7—-——z2n
3!	5!	П=1 (2п - 1)!
О < |z| < 4-00 (весь ряд есть правильная часть);
2 Z4 , Z6
6) Z ~ 3! + 5! "
п
z2n-x
+оо (весь ряд
-------0 < |z| < 4-оо (весь ряд есть главная
(2п — 1)!
1 1
71 '	। 1\2
п
1____
I 1 \п
правильная часть,
1
2!
0	1
1 ---- 4-... -— главная
1 .	1	.	1	1
б) 1 + Z + 1 + 9I '	. 1\2
“ГО© -1
п=0
0	1
Г —L-too (-п)!
1
577
О < 12 + 1| < +оо (весь ряд есть правильная часть).
0 е3
=	7--77(z + 1)п> 0 < \z + 1| < +оо (весь ряд есть правильная часть);
п= —оо ( ^)-
б) е3
0 е3
= 53 7------т;(z + l)n,0<|z + l|< +оо (весь ряд есть правильная часть).
71= —ОО (	^)-
7.4.9.	a) sin2 + cos2  z - ^z2 - ^pz3 + ... + — ^П-
(—l)ncos2
+ (2n + 1)!
+°°	(— 1У1 sin 2
+ ... = 52 Ckz\ (C2n -	n = 0,1,2,...;
fc=0	\zn)-
(—l)ncos2
—------—, n = 0,1, 2,...), 0 < |z| < +oo (весь ряд есть правильная
sin 2 2	cos 2 з
2! Z 3! Z
(~l)wsin2 2n (2п)!	’2
(—l)n cos 2
*2"+1 + ...= £ Ckz\ (C2n = ( 1^”2, n = 0,1,2,..  k=0	(2n)!
&2П + 1
(—l)ncos2
, n = 0,1,2,...), 0
< +oo (весь ряд есть правильная
M
часть). 7.4.10. cos3 + sin3 • —Ц -	------—- -	----+ ...
’	2+3	2! (z + З)2	3! (г + З)3
(—l)Ttcos3	1	(—l)nsin3 i	= +~ с 1
(2п)! (z + 3)2п	(271 + 1)! (z + 3)2n+1	”	* (z + 3)*
_	(—l)ncos3	„	(—l)nsin3
(<?2n "	(2п)!	’ П ' °’2’2’ ’ ‘ " C2n+1 “ (2п + 1)! ’ П ” °’15 2’ • ’
0 < \z + 3| < +oo (весь ряд есть правильная часть). 7.4.11. а)
2	<
-—- (весь ряд
есть главная часть); б) Р~
(весь ряд есть правильная часть).
7.4.12.	а) 3 + (весь ряд есть главная часть); б) %* (весь ряд есть (z + i.y	(z + iy
правильная часть). 7.4.13. 1 +	. 7.4.14.	+ -—+
(весь ряд есть
главная часть). 7.4.15. При 0 \z — 1| < 1:
о	+°°
1 - (z - 1) + (z - I)2 - ... + (-l)n(z - l)n + ... =	(-l)n(z - l)n (весь ряд
n=0
есть правильная часть), при 1 < |z — 1| < +оо: 111	+о° (-l)n-1	-1
+	=S=7F= Е (-*) (*-1)"-
z	(z — 1) (z — 1)	п=1 (Z 1)	n= —оо
7.4.16. а) При 0	|z| < 1: —2г + 2z + 2iz2 —
- 2гп+1 zn + .
= E(-2)zn+1zn n=0
578
(весь ряд есть правильная часть), при 1 < |z| < +оо:
2 _ 2г _ _2_ .	.
*	^2	zn
-1 (—1)п-1 • 2
= Е ---------------гп; б) при 1 < |*| < +оо-
2 _ 2г _ _2_ ,	,	= +оо (-П^-г-Г-1 =
z Z2 Z3	Zn	n=l	Zn
-i (—1)п-1 • 2
= E ------------- %п (весь ряд есть правильная часть). 7.4.17. При
п=—оо г
О \z + 1| < 2:
-М(2+1)-^(г+1)2—-^т<г+1)п— =-|+|(г+1)+п5^т-гп
(весь ряд есть правильная часть); при 2 < \z 41| < +оо:
(г + 1) + ^_+ 2 +...+ У’ +...= z+1 (г + 1)2 (г + 1)"
-1	1
= (г + 1)+ £ ~^п-(г + 1)п + (г + 1). 7.4.18. При 0 < |г — 1| <2: П=—ОО 2
 =-5+^ 2	22	2	2 +	z п=1 2 +
(весь ряд есть правильная часть); при 2 < \z — 1| < 4оо:
1 4	5	4-	5 2	4-	4- 5'2П~1 -I-	= 1 4- У5, 5‘2П~г =
(2-1)2	"	(*-1)п	п=1 (г~1)п
= £	1)" + 1- 7.4.19. а) При 0 < \z - 1| < 3:
п= —оо 2
1,_1_ + 4_А+ + 4:±11)п.
3 ^ — 19 з3	Зп+2
(г - 1)п + •
1	1	+оо4.(_пп
= -о • —Г + Е -+2 (z - 1)П; при 3 < |г - 1| < 4-оо: °	1	п=0 О
1 _	4	4 3	.	. (-If-1-^-2
г-1	(г-1)2	(г-1)3	(г - 1)”
1
2-1
4~ (-1)"-1 -4-Зп-2 п?2 (г - 1)п
-2 4-(—l)n-1
оп+2 п= —оо	О

б) При 0 < \z + 2| < 3:
о ' ~T~<) “’“о-'—з (^ 4- 2) 4- • •. Ч—\ 2 (z 4 2)п 4- • • • — тт • —“тг + Е	(г 4- 2)
3 z + 2	9 з3	Зп+2 7	3 z 4 2	п=0 з«+2'
Зп~2
(г 4 2)"
1 4оо	пп —2	—2 -j
= IT2+ S - (ГГ2Г = пЬ+2Г+(г+2) г-4-20-При
0$М<1:|4ф + р + ...+
(весь ряд есть правильная часть);
579
при 1 < |z| < 2:
1 _ J__ J_
Z Ji z z
1	g + g til. z".
2	4	2n+1	о +1
n= —oo	n=0
при 2 < |z| <+oo: ± + 4 + i + ... + (2"-1-l).i + ...= E (2"-‘- 1)  ^ = Z Z Z	Z	n-2	z
7.4.21. При 0 < |z + l| < 1:
|-||(z + l) + ||(z + l)2 + ... + (^+4(-l)")|(z + l)’’ + ...=
+°° 1 /	1	\
= F - I —— + (-1)” -4 )
nM2n+1 ’ )
 (z + l)n, (весь ряд есть правильная часть); при
1 (*+1)2
+ • —~r +	о “I-^“2 + 1) + • • • Н-~tt(z 1)П + • • • —
3 z + 1	3-2	3 • 22	3 • 2 +1
= Е |	Е г-^йт(г + 1)”;щ>и
71 = —ОО	71=0 3 ’ 2
2 < |z + 1| < +оо:
-2-
71—1 __ пП—1
п-1
7.4.26. 2 — устранимая особая точка; оо — полюс 1-го порядка. 7.4.27. 2г —
устранимая особая точка; оо — полюс 1-го порядка. 7.4.28. —г — полюс 1-го
порядка; оо — устранимая особая точка. 7.4.29. 1 — полюс 1-го порядка;
—2 — полюс 2-го порядка; оо — устранимая особая точка. 7.4.30. 1 —
существенно особая точка; —1 — существенно особая точка; оо — устранимая особая точка. 7.4.31. О — существенно особая точка; оо — устранимая особая
точка. 7.4.32. О — устранимая особая точка; кк — полюс 1-го порядка, (fc = ±1, ±2,...); оо — неизолированная особая точка. 7.4.33. О — полюс 3-го порядка; оо — существенно особая точка; Указание. Рассмотреть две последовательности точек {г^ = 2?rfc, к = 1,2,...} и
{z^ = тг + 2тгА:, к = 1,2,..7.4.34. г — полюс 1-го порядка; —г — полюс 1-го порядка; 0 — существенно особая точка; оо — устранимая особая точка. 7.4.35. 2 — полюс 2-го порядка; —2 — полюс 2-го порядка; 1 — существенно
особая точка; оо — устранимая особая точка. 7.4.36. О — устранимая особая
точка; оо — существенно особая точка. 7.4.37. —1 — существенно особая точка; — 1 — полюс 1-го порядка, (к = 0, ±1, ±2,...); оо — полюс 4-го 7Г/С
порядка. 7.4.38. О — существенно особая точка; оо — существенно особая
580
точка. 7.4.39. а) При 0 < |z| < -Foo:
7.4.40. При 0 < |z — г| < -Foo:
+ (--------F — • —-----F 4- ( — +	--------F ( — -F г^  —--F
" ^\(тг + 1)! nlj (z + г) V3!^2’/ (г_,)2^<2!^7 z-г
7.4.41. При 0 < \z -F 2| < -Foo:
.	_ • cos 1 * -------_________* sin 1 •	_______
"’(2n + l)! (z + 2)4n	(2n)! (z + 2)4n~2
+ 77 -COS 1---------- -F 77 -sin 1----—- — i -sin 1-------—- -Feos 1 -Fsin 1 •
5! (z + 2)8 4! (z + 2)6 2! (z + 2)2
4-oo
k=l
---------- + cos 1 + sin 1 • (z + 2)2, (z + 2)fc
(Сдп —
cos 1, 71 = 1, 2, .
; Сап-2 =
n = 0,1,2,...). 7.4.42. а) При 0 < \z — 21 < +oo: 1 + + б) при
z — 2
0 < \z — 2| < +oo: 1 +
2 + 2i z — 2 '
7.4.43. При 0 < |z + 2г| < +oo:
1____________4i
(z + 2г)2 (z + 2г)3
7.4.44. При 0 < |z — г| < 1:
(2 + Зг) - (2 + Зг)(г - г) + (2 + Зг)(г - г)2 + ... + (—1)~(2 + 3t)(z - г)п + .
4-оо
= 53 (-1)п(2 + Зг)(г - г)п; при 1 < |z - г| < -Foo: п=0
2 +За _ 2 + Зг 2 + Зг (-1)” ‘(2 + За) = +г> (-1)" 1 (2 + За) г-i (2-г)2	(z-г)3	(г - а)"	+”'	(z-if
-1
= 53 (—l)n-1(2 + Зг)(г — г)п (весь ряд есть главная часть). 7.4.45. При п=—ОО
2 < |г| <+оо: ... + 1(1 + (-1)"2"-1) • i + ... +	=
о	Z	z Z Z
4-0° I	,	-2 -а /	(-1)п\
= Е l(l + (-l)" -2’*-,)-lz"= Е 1. (1 + 1-Е- г" (весь ряд есть п=2 °	п=—оо “	\	2	/
главная часть). 7.4.46. При 0 \z — г| < у2
1 (_4____1_\	1 [	4	1
3 U + 2	г-1)	3 I (i+ 2)2	(j _ ^2
(г - г)+
581
1
1 /	4
3 \(i + 2)3
1____
1 \3
71=0
(весь ряд есть главная часть); при v 2 |z — г| < v5
(-!)"(*-I)"-1	1	(i-1)2	1________1____1	1
3	(z-i)”	3	(г-i)3	(z-i)2	3	z-i
^ (-!)"(»-I)-1 i	(-1)"
Ь 3	(*-0n ,^„з (i + 2f+1
n= —OO
3(i - l)n+1

при v5 < |z — i| < 4-oo:
•  .+|[4(-1)"-1(<+2)’-1+(-1)”(.-1)’-1]гЛ=+. • .-(3+0-J-5+-i7 = з	(z - г)	(z - г) z -г
= £ |[4 ' (-1)"-1 («• + 2)"-1 + (-!)”(.- - I)”-1]  Т-Л= = n=l	v 7
= V 1 Г-i-(-1)"-1	(-1)" 1
n^3 (i + 2)"+1 0-l)"+1
7.4.47. —2 — полюс 1-го порядка; oo — устранимая особая точка. 7.4.48. г — полюс 2-го порядка; —3 — полюс 3-го порядка. 7.4.49. 2 — существенно особая точка; оо — существенно особая точка. 7.4.50. оо — существенно особая точка. 7.4.51.	+ як — полюс 1-го порядка (к = 0, ±1, ±2,...); оо —
неизолированная особая точка. 7.4.52. О — устранимая особая точка; як — полюс 1-го порядка (к = 0, ±1, ±2,...); оо — неизолированная особая точка.
7.4.53. а) да; б) да; в) да; г) да. 7.4.54. а) полюс; б) существенно особая точка; в) устранимая особая точка. 7.4.55. a) сп = сп-г, б) с'п = сп-з;
в) c'n = Cn+i; г) с'п = сп+т. 7.4.56. а) 1 < |z| < 3; б) |z| = 1; в) 0.
7.4.57. а) устранимая особая точка; б) полюс; в) существенно особая точка; г) существенно особая точка; д) полюс порядка max(n;m). 7.4.58. а) да;
б) да; в) нет; г) да; д) да; е) да; ж) нет. 7.4.59. а) полюс (к — 1)-го порядка
582
при к 1, устранимая особая точка при к = 1; б) полюс (к — 3)-го порядка при к > 3, устранимая особая точка при к 3; в) полюс (к 4- 1)-го порядка; г) полюс (к 4- 5)-го порядка. 7.4.60. Устранимая особая точка.
7.4.61. Устранимая особая точка. 7.4.62. Указание. Рассмотреть функцию (z — zo)f(z). 7.4.63. Указание. Рассмотреть функцию (z — zo)m+1 • f(z).
7.4.64. Указание. Рассмотреть разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки zq = оо.
§ 5. Вычеты
7.5.5. 2 — полюс 1-го порядка, res/(z) = 3; res/(z) = —3. 7.5.6. ггг — полюс
2	оо
1-го порядка, Tesf(z) = —1; res/(z) = 1. 7.5.7.	— полюс 1-го порядка,
7Г1	ОО	2
resf(z) = — (ch 4- 3res f(z) = (ch ^4-3). 7.5.8. —i — полюс 2-го 1	2 \	2	/ оо	2 \	2	/
2
порядка, res/(z) = —2г; res/(z) = 2г. 7.5.9. — — полюс 2-го порядка, — i	оо	2
res/(z) = — г = ^(tsin 1 — cos 1); res/(z) = ^e 1 = ^(cos 1 — isin 1). t	2 z	oo	z z
~2
7.5.10.
7.5.11.
1	w—» ^“4	* .'“4 ^4	W  .'“4	^—9 TV vr	V*	\	__
-a.	ixwiiw	и л. w	*ivz	д\и> U* ,	J t <* t - л
—1 — полюс 1-го порядка, res/(г) =
1 — полюс 3-го порядка, res/(z) = chi; res/(z) = — chi.
’	1 оо	2
2	2 —4г о.
----— = —=—; 2г — полюс 1-го
1 -Ь 2г о
\ 2г — 1 порядка, res /(z) =
2г	1 ZI
порядка, res /(z) =
res /(z) =
res/(z) =
3 4- 4»
—-—; res/(z) = — 1. 7.5.12. —3г — полюс 1-ro 5 oo
36 4- 15г п	п
„ = —-тт—; —2 — полюс 2-го порядка, (Зг 4- 2)2	169 ’
36 4- 15г	,, ч п ~ е 1 о л	п
——тт—; res/(z) = 0. 7.5.13. О — полюс 2-го порядка, 1ЬУ ос
3 7Г	3
-г?; у- — полюс 1-го порядка, res/(z) = res/(z) = —-.
7Г2 О	2L	ОО	2?Г
о
res/(z)
7.5.15.
res /(z) о
7.5.16.
7.5.14. О — полюс 3-го порядка, res f(z) = 1; 1 — полюс 1-го порядка,
1	1
= —т; —1 — полюс 1-го порядка, res/(z) = -; res jf(z) = —1.
2	—1	2 оо
2
О — полюс 3-го порядка, res/(z) =	3 — полюс 2-го порядка,
=	-3 — полюс 2-го порядка, res/(z) = -yjgi res/(z) = 0.
— устранимая особая точка, res/(z) = res f(z) = 0. 7.5.17. О —
2	2L	оо
2
полюс 1-го порядка, res/(z) = 1; res/(z) = —1. 7.5.18. О — полюс 2-го О	оо
порядка, res/(z) = res f(z) = 0. 7.5.19.	4- 2тгк — полюсы 1-го порядка,
О	оо	2
res /(z) = — 1 (fc G Z); — 4- 2irk — полюсы 1-го порядка, res /(z) = 1
ту+271-fc	2	-^+2тг/е
(k E Z); oo — неизолированная особая точка. 7.5.20. О — устранимая особая
583
точка, res /(z) = 0; тгк — полюсы 1-го порядка,
тгк, к — четное,	ч	„
оо — неизолированная особая
—тгк, к — нечетное,
res f (z) = < тгк
точка. 7.5.21. О — существенно особая точка, res/(z) = 1; res/(z) = —1. О	оо
7.5.22. О — существенно особая точка, res/(z) = — res/(z) = О	2 оо	2
7.5.25. а) б) в) 0. 7.5.26.	7.5.27.	— полюс 1-го порядка,
О	О	L	L
res/(z) = sin(7ri) = г sh тг; res/(z) = —ish7r. 7.5.28. — 77 — полюс 2-го порядка, я.	оо	2
2* 3	3
res /(z) = — res/(z) =	7.5.29. — тгг — полюс 3-го порядка,
я	4 оо	4
“ 2
res f(z) = 2 cos(27ri) — 2тгг sin(2;rz) = 2ch2?r — 2?rsh 2тг;
— тг£
res/(z) = 27rsh27r — 2сЬ2тг. 7.5.30. —2 — полюс 5-го порядка,
ОО 27	27
res/(z) = cos 6; resj(z) = — cos 6. 7.5.31. О — полюс 2-го порядка, — 2	о	оо	О
resf(z) = —гтг—; 4г — полюс 1-го порядка, resf(z) = — тхе-8*; О	16	41	16
4- 8г — 1). 7.5.32. 1 — полюс 3-го порядка, res/(z) =
res/(z) — 0. 7.5.33. 1 — полюс п-го
10 оо
16 res/(z) = ^(е-8г оо	10
— 1 — полюс 3-го порядка, res/(z) = —
\ Г1» 'п — 2, порядка, res /(z) = <
1	0, п = 3,4, о,...;
1	1
порядка, res/(z) = -; res/(z) = —7.5.35. kir — полюсы 2-го порядка, О	2 оо	2
res/(z) = res/(z) = 0 (к € Z). 7.5.36. О — существенно особая точка, ктг	оо
res/(z) = —2. 7.5.34. О — полюс 2-го О©
res/(г) = r«/(z) = 0. 7.5.37. а) б) 0. 7.5.38. а) 6) -М; в) 0.
7.5.39. а) 0; б) 0. 7.5.40.	7.5.41. а) да; б) нет; в) нет. 7.5.42. Нет.
7.5.43. Да. 7.5.46.	7.5.47. res/(z) = res f(z) = 0;
□	0	оо
2fe+ 1
res/(z) =—у (cos у2 + ch у2), где Zfc = е 4 к = 0,1,2,3.
Глава 8. Операционное исчисление
§ 1. Оригинал изображения. Преобразование Лапласа. Нахождение изображений
8.1.2. Да. 8.1.3. Да. 8.1.4. Да. 8.1.5. Да. 8.1.6. Нет. 8.1.7. Да. 8.1.8. Нет.
8.1.9. Да. 8.1.10. Нет. 8.1.11. Да. 8.1.12. Да. 8.1.13. Нет. 8.1.15. |.
8.1.16. —Ц. 8.1.17. -Р— . 8.1.18.	8.1.19. 1
р-2	р2 + 16	р2	р р
584
8.1.20. Дт - 4уе~р - £е~2р. 8.1.21. е
Р Р Р 8 р2 — 4 1
8.1.24
4- 8.1.25. Р
1
(р - 2)2
i-р
—Г. 8.1.23.
р- 1
- —. 8.1.26
3
1
р-1
8.1.27.
2
е(р- I)2
8.1.29. i
Р
е2(р-1)3
Р
. 8.1.28.
. 8.1.30. i
6
(p2 + l)(p2 + 9)
P P
P2 + 36.
2р
L 1 \2 
8.1.31.
p2~2p + 3 8л.зз.
(P - 1)(P2 - 2p + 5)
(p — 2)2 — 9 [(P - 2)2 + 9]2
. 8.1.34
2
8.1.35.
8.1.39.
-----------------. 8.1.36.
(Р ~ 4)[(Р - 4) + 4] _р р~2р	пе 2
—8.1.40.	---
Р - 2	р2 - 4
А- (1 -е-₽)2. 8.1.45. Ц р	р
у. 8.1.38.
6е~3р Р4
8.1.44.
8.1.49.
8.1.53.
8.1.57.
8.1.62.
. 8.1.41.
бре Зр	1 ,	_
-4------8.1.43. £ (2 - е~р
(р2 + 9)2	р к
е~р - е~2р
-----/-----. 8.1.47
р 1 - е~р . 8.1.51.	—-------•
. 8.1.46.
1
р(1 - ер)'
1	1-4- /о“Р7Г
р2 + 1 1 - е“р7Г 8‘1,50,
(Р + 4)3
~ 2—8.1.59. J - arctgp. 8.1.60. In VP 8.1.61. In—
(p2 —2p + 2)2	2	61	P	p-2
24р(р2 — 1)	6р
—8.1.55.	, F о. 8.1.56.
(р2 + I)4	(Р2 - 9)2
(р2 - 4)2 ’

Р2
„2
. 8.1.64.
4
8.1.65
р2 — 9	2
F . 8.1.66. -----------—
Р(Р - 2)3
р(р2+9)2
8.1.67. |
8.1.69.
8.1.71.
1 , Р2 ~4 Р3 р(р2+4)2. _3___________2
-bin 5 (р + 1пЗ)2 (р—2)2 —9 —-----8.1.72.
[(Р - 2)2 + 9]2
. 8.1.68.
. 8.1.70.
8.1.73
8.1.77.
е’Р Л + Б • 8Л-74-\Р р 1
6
8.1.80. Дг 2р3
8.1.83.
8.1.85.
4р — 4
3
1
(р-1)2+ 36
2₽-2р
. 8.1.75.
2р3 ~ 6р	12р2 + 16
(р2 + 1)3’ ’ ’ ’ (Р2 - 4)3‘
/	1	* 8Л*78* arctgp - arctg 8.1.79. In £—
(р- In 4)4	3	р-1
Р2 ~ 16	8 г 81	3! о , р2 - 6р - 7
2(р2 + 16)2
3!
-.8.1.82. --
p(p2-6p+25)2
1
. 8.1.84.
Р2
37Г	7Г
e np -2e2p + 2e2p-l р2(е2,гр - 1)
1
7Г
2е2р
е*р-1
8.1.86.
ep
p(ep - 1)
8.1.87.
2ep - 2 - 2p - p2 p3(ep - 1)
585
8.1.88.	Нет, т. к. F(p) имеет полюсы в точках р = тгп, п € Z и, следовательно не может быть аналитической в полуплоскости Rep > s для всех s.
8.1.89.	1) да; 2) необязательно. 8.1.90. Не обязательно; например,
/(t) = g(t) = -jz — оригиналы, a f(t)g(t) = т — нет.
§ 2. Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению
8.2.2.	3+ к*2 + 7е“‘. 8.2.3. |e-3tt4 - ^е4^3. 8.2.4. 3cos3t + sin3t. 2	6	3	3
8.2.5.	5ch2t — | sh 2t. 8.2.6. e-t(cost - sint). 8.2.7. e~2t Z
•y- sin 2t — 4 cos 2t Z
8.2.8.	3e-3(t-1)x(i - 1)- 8.2.9. (t - l)e2‘“2X(t - 1) + (t - 2)e2<-4X(t - 2).
8.2.10.	4e9-3t sin(t - 3)X(t - 3).
8.2.11.	e5-5< Icos2(t- 1) - |sin2(t- 1)1 x(t - 1) -Z	J
_3e2°-5t rc0S2(Z — 4) - | sin2(t - 4)1 X(t — 4). 8.2.13. t + t2. 8.2.14. e* +2e2t. L	Z	.
8.2.15.	3ef - 1. 8.2.16. te‘ - t. 8.2.17. ef + e~* + sint. 8.2.18. 1 + 2e~2t + 3e3<.
8.2.19.	|t2 + t+ e‘. 8.2.20. 1 + e* sin2t + 2e* cos2t.
8.2.21.	te~3t - 3t2e“3< + |t3e-3t. 8.2.22. cost + sin2t.
8.2.23.	^(e~2t - e* + 3tef). 8.2.24. e‘(l - t2). 8.2.25. |tef + |te-t.
8.2.26.	e2t + te2t + e~2t - 2te~2t. 8.2.27. t sin t + sin t.
8.2.28.	ef(sint + 2cost + 3tcost). 8.2.29. sh(t - 3) + | sh(2t - 6) x(t - 3).
8.2.30.	j(t - l)2e2-2t [3 - 4(t - 1) + (t - l)2] X(t - 1)- 8.2.32. 2t. 8.2.33. |t2.
О	Zi
8.2.34.	tsint. 8.2.35. e2< - e'. 8.2.36. 1 - cost. 8.2.37. —----.
(p2 + l)(p2 + 4)
8.2.38.	———8.2.39.	----. 8.2.40. —--------. 8.2.41. e* - 1;
p4 - 3p3	p3(p2 + 1)	p4 - 2p2 + 1
-yi-. 8.2.42. | (e6t - e3‘); ---1----. 8.2.43. 1 (e‘ - cost - sint);
p -p	2	(p-3)(p-5)	2
-------Ц------. 8.2.44. у (1 + 2t - 2t2 - cos2t - sin2t); ~ \ . (p-l)(p2 + l)-4^	7 ’p5 + 4p3
8.2.45.	2 + t - 2ef + te'; 1	.. 8.2.46. ± sint - ^tcost; —
p(p-l)	2	2	(p2 +1)2
8.2.47.	2 - 2 cos t - t sin t; -. 8.2.48. (t - 1 )X(t - 1).
p(p2 + l)2
8.2.49.	(t - 3)et-3X(t - 3). 8.2.51. sin 2t - jt cos 2t. 8.2.52.	(sin t +1 cos t)
10	о	2
8.2.53.	ie4(sint — tcost). 8.2.54. ^-(3sint — sin3t). 8.2.56. ^(sint — tcost).
8.2.57.	| (1 + 2t - 2t2 - cos 2t sin 2t). 8.2.58. | (Л - 1). 8.2.59. 4.
8.2.61.	ie* - e2t + ie3t. 8.2.62. |e2t - ^e-t - cos 2t - | sin 2t. 2	2	6	15	10	5
586
8.2.63.	hsin t. 8.2.64. Л (e“2< + 3e2‘ - 4ef). 8.2.65. | (4e3' - 9e2* + 6e* - 1).
2	12	o'	/
8.2.66.	^(sht —cost). 8.2.67. 5 + |t3 + e-* cos 2t - |e~fsin2t. 8.2.68. tel -e2t. &	L	£
8.2.69.	t(cost + 2sint). 8.2.70. tcos t — t. 8.2.71. t — t2 + 3sin t.
8.2.72.	[sh(t — 3) — sin(t — 3)]x(t — 3). 8.2.73. e*(tcos 2t + sin 2t).
8.2.74.	cos(t - 1) • *(t - 1) + cos(t - 2)*(t - 2). 8.2.75. | О
e3(t- 2>
- 1
8.2.76.	|t3. 8.2.77. 3(e* - 1). 8.2.78. tef. 8.2.79. |(sin2t - sin3t). о	0
8.2.80.	6 + 4t + t2 - 6e* + 2tef. 8.2.81. |(t - I)3 • x(t - 1).
8.2.82.
( - Л	2тг\
I sin 11----— I
\	\	о /
1
2
(t - cos (t - vB  x 6 - ¥)• 8-2-84- a) чет; X 0 /	\	0 / /	\	0 /
б) нет. 8.2.86. Нет. Например, 1 * t2 = 2t * t. 8.2.87. cost. 8.2.88. t2 sint.
8.2.89. /(t) = <
sint, 0,
2ктг < t С (2A: + 1)тг, в остальных случаях.
Указание. Представить дробь
----—в виде геометрической прогрессии.
§ 3. Приложения операционного исчисления
8.3.3.	2е-3'. 8.3.4. e4f + t. 8.3.5. sin t + cos t - e-t. 8.3.6. 2e* + e~5f.
8.3.7.	e3t - ie3t. 8.3.8. 3 sin 2t + cos 2t. 8.3.9. e~2f -	8.3.10. e2t - e5t + sin t.
8.3.11.	3e2* + t+ 1. 8.3.12. te“f +t. 8.3.13. Л - |t - ^ef cos2t + sin2t. ZO 0 zo	ZO
8.3.14.	| (1 - e‘cost 4-etsini). 8.3.15. te* + 3e‘ + 1. 8.3.16. 1 - 2cost.
8.3.17.	-|e* -	- |sint. 8.3.18. tcht. 8.3.19. te~‘ + 2e-f + t - 2.
4	4	2
8.3.20.	e-t cos 3t — e~f sin 3t + sin 3t. 8.3.21. 1 + 2t + e-t.
8.3.22.	4 + 2sint - 3cost. 8.3.23. e‘ - te* + |t2e*. 8.3.24. e* - e-i - 2t.
8.3.25.	1 + ef sin t. 8.3.26.	- £ sin t. 8.3.27. te* + | -	- Ле-3*.
4	4	2	3	4	12
8.3.28.	Зе* - 2sint - t3. 8.3.29. ef + ie-t +tsint. 8.3.30. chi - |t2 - 1.
8.3.31.	cjef + C2e“*. 8.3.32. cie~* + C2te-f + 1. 8.3.33. cie* + c-2e~2t + te*.
8.3.34.	ef (ci cos t + a sin t) + t2 + t. 8.3.35. ci + C2 sin t + сз cos t + 2t.
8.3.37.	x(t - 1) - e‘-‘x(« - 1).
8.3.38.	(e‘ - 1 -12) X(t) - (е‘-‘ - 1 - (t - I)2) x(t - 1).
8.3.39.	x(«) + x(t - 1) - cos(t - l)x(t - 1). 8.3.40. 1 (t - | sin 2f) x(t) -
- (2t - 2 - sin(2t - 2))x(« - 1) + (t - 2 - 1 sin(2t - 4)) x(t ~ 2) 
8.3.41.	(sh t - t)x(t) - (sh(t - 1) -1 + 1 )x(t - 1). 8.3.43. 2 +14. 8.3.44. 1.
8.3.45.	te~‘. 8.3.47. x(t) = e‘, y(t) = -e‘. 8.3.48. x(t) = £e51 - ie’5‘, 0	0
y(t) = |e5/ + |e“5t. 8.3.49. x(t) = t, y(t) = t - 1. 8.3.50. x(t) = e*, y(t) = 0, и О
587
z(t) = -e4. 8.3.51. x(t) = 1, y(t) = t, z(t) = t2. 8.3.52. x(t) = te4, y(t) = e4. 8.3.53. x(t) = i (e4 4- 2 cos 2t 4- sin 2t), y(t) = (el — cos 2t — sin 2t\.
8.3.55.	x(t) — cost — sint. 8.3.56. x(t) = 1. 8.3.57. x(t) = 2t 4- ^t3. О
8.3.58.	x(t) = 2te* p 5te‘ e4. 8.3.64. x(t) = ^(chx 4- cosx). 8.3.65. x(t) = x — ^x3. z
8.3.66.	x(t) = sin ^t. 8.3.67. x(<) = |e4 4- Ae~34 -\/3	4	12
8.3.68.	x(t) = e4 4-1. 8.3.69. x(t) = t2 - 4t 4- 6 - 5e-4 - te-4
8.3.70.	x(t) = -jtsint — cost 4- sint. 8.3.71. x(t) = 4 4- sint. z
8.3.72.	x(t) = 1 - 2cost. 8.3.73. x(t) = e4 - te4 4- ^e4 - 1.
8.3.74.	x(t) = 4t 4- 3 - 2e4. 8.3.75. x(t) = | cos t — | sin t 4-О	U
8.3.60. x(t) =
8.3.61. x(t) =
8.3.63. x(t) =
4- t2e4. 8.3.59. x(t) = ^(cost 4- chi).
4- 1 cost 4- 7 sint.
5 о
2 -------—e 2 • sm
. 8.3.62. x(t) = | sh t 4- -Ц= sin(t\/2). 3	3\/2
1 ~3 6" ’
2 3’
J_p2t _ 1
10	2‘
1 e-t _ 2 | co„ у/З
3	3	2 L
8.3.76.	x(t) = cost 4- sint 4- e4 — e 4 — 1. 8.3.77. x(t) = 1 —
8.3.78.	x(t) = t 4- (t - l)x(t - 1). 8.3.79. x(t) = о 4- c2e44 - |t2 - -Ц. o 10
8.3.80.	x(t) = Cie-4 4- C2te-4 4-12 4-1. 8.3.81. x(t) = ci sint 4- c2 cost 4- tsint.
8.3.82.	x(t) = ci 4- c2t 4- сзе4 4- te4.
8.3.83.	x(t) = (ci 4- c2t)e24 4- (c3 4- c4t)e“24 4- cos t. 8.3.84. x(t) = 1. Zo
8.3.85.	x(t) = 1 -	8.3.86. x(t) = ±sint.
1 /	t л/з	t	\
y-t4-v/3e 2 sin I. X	L 1
8.3.87. x(t) = |
О
t
8.3.88. x(t) = 2 + t - e2
9 A \/3
8.3.90. x(t) = sint. 8.3.91. x(t) = ^e2 sin -^-t. 8.3.92. x(t) = t, y(t) = 2. x/з i
8.3.93. x(t) = sint, y(t) = cost. 8.3.94. x(t) = t2 — 1, ?/(t) = t — 1.
8.3.95. x(t) = e4, y(t) = e4 4-1, z(t) = 1. 8.3.96. x(t) = 2 - e-4, y(t) = 2- e'*, z(t) = 2e“4 - 2. 8.3.97. x(t) = e4, y{t) = 2e4 4-1, J?(t) = 2 - e4.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1 _х
Приложение 1. Значение функции <р(х) = _е 2 .
V 2тг
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Сотые доли х									
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3721	3605	3588	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3411	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	ЗОН	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1827	1804	1781	1759	1736
1,3	1714	1692	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1540	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1181	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0941	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
				Десятые доли			X			
2,	0540	0440	0355	0283	0224	0175	0136	0104	0079	0060
3,	0044	0033	0024	0017	0012	0009	0006	0004	0030	0020
589
	Приложение 2. Значение <					функции Фо (ж) z			= 1	X	2 = [е~~2 dt. то	
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	
				Сотые доли			X				
0,0	0,0000	0040	0080	0112	0160	0199	0239	0279	0319	0359	
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0754	
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141	
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517	
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879	
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224	
0,6	2258	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2518	2549	
0,7	2580	2612	2642	2673	2704	2734	2764	2794	2823	2852	
0,8	2881	2910	2939	2967	2996	3023	3051	3079	3106	3133	
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389	
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3553	3577	3599	3621	
1,1	3643	3665	3686	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830	
1,2	3849	3869	3888	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015	
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177	
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319	
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4430	4441	
1,6	4452	4463	4474	4485	4495	4505	4515	4525	4535	4545	
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633	
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4700	4706	
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4762	4767	
	Десятые доли х										
2,	4773	4821	4861	4893	4918	4938	4953	4965	4974	4981	
з,	4987	4990	4993	4995	4997	4998	4998	4999	4999	50008	
По вопросам оптовых закупок обращаться: тел./факс: (095) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru Адрес: Москва, пр. Мира, 106
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья, в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел.: 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной и развивающей литературы. По всем вопросам обращаться по тел.: (095) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Лунгу Константин Никитович Норин Владимир Павлович Письменный Дмитрий Трофимович Шевченко Юрий Алексеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 2 курс
Издание третье, исправленное
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий Художественный редактор А. М. Драговой Иллюстрации Н. Г. Рысьева, А. Ю. Терская Технический редактор С. С. Коломеец Верстка Е. Г. Иванов Корректор 3. А. Тихонова
Подписано в печать 11.07.05. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Печ. л. 37. Усл.-печ. л. 37. Тираж 5000 экз. Заказ № 1696.
ООО «Издательство “Айрис-пресс”» 113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР».
* 170040, г. Тверь, пр. 50 лет Октября, 46.
£