Конспект лекций по высшей математике. Полный курс - Письменный Д.Т.

Автор: Письменный Д.Т.
Теги: анализ алгебра учебные пособия и учебники по математике математика высшая математика
ISBN: 5-8112-1093-0
Год: 2005
Похожие
Конспект лекций по высшей математике
Конспект лекций по высшей математике. Часть 2
Конспект лекций по высшей математике. Часть 1
Конспект лекций по высшей математике
Текст
                    Дмитрий Письменный
Конспект
лекций_______
по высшей
математике
Полный курс
Издание третье
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2005
УДК 517+512(075.8)
ББК 22.1я73
П34
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление А. М. Драговой
Письменный Д. Т.
П34 Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. —
3-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 608 с.: ил. — (Высшее
образование).
ISBN 5-8112-1093-0
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов
высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую
математику.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса выс-
шей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геомет-
рия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студен-
тами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы,
необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криво-
линейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, эле-
менты теории поля и теории функций комплексного переменного, основы
операционного исчисления).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается
рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступ-
ном, по возможности строгом языке.
Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подго-
товиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
ББК 22.1я73
УДК 517+512(075.8)
ISBN 5-8112-1093-0
©Айрис-пресс, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 15
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1.	Матрицы..........................................  16
1.1.	Основные понятия...........................    16
1.2.	Действия над матрицами...................      17
§ 2.	Определители.....................................  20
2.1.	Основные понятия.............................. 20
2.2.	Свойства определителей........................ 22
§ 3.	Невырожденные матрицы..........  ................. 24
3.1.	Основные понятия.............................. 24
3.2.	Обратная матрица.............................. 25
3.3.	Ранг матрицы...............................    27
§ 4.	Системы линейных уравнений......................   29
4.1.	Основные понятия.............................. 29
4.2.	Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли........................   30
4.3.	Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера.................................... 32
4.4.	Решение систем линейных уравнений методом Гаусса ..	34
4.5.	Системы линейных однородных	уравнений......... 37
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§5.	Векторы........................................... 39
5.1.	Основные понятия.............................. 39
5.2.	Линейные операции над	векторами..............  40
5.3.	Проекция вектора на ось....................    42
5.4.	Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы.............. 44
5.5.	Действия над векторами, заданными проекциями.	45
§ 6.	Скалярное произведение векторов и его свойства.... 47
6.1.	Определение скалярного произведения........... 47
6.2.	Свойства скалярного произведения.............. 48
6.3.	Выражение скалярного произведения
через координаты................................... 49
6.4.	Некоторые приложения скалярного произведения.	50
§ 7.	Векторное произведение векторов и его свойства.... 51
7.1.	Определение векторного произведения........... 51
3
7.2.	Свойства векторного произведения................ 52
7.3.	Выражение векторного произведения
через координаты..................................  53
7.4.	Некоторые приложения векторного произведения..	54
§ 8.	Смешанное произведение векторов .................... 55
8.1.	Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл........................... 55
8.2.	Свойства смешанного произведения................ 55
8.3.	Выражение смешанного произведения
через координаты...................................,..	56
8.4.	Некоторые приложения смешанного произведения..	57
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 9.	Система координат на плоскости...................... 58
9.1.	Основные понятия................................ 58
9.2.	Основные приложения метода координат
на плоскости......................................  60
9.3.	Преобразование системы координат................ 61
§ 10.	Линии на плоскости................................  64
10.1.	Основные понятия............................    64
10.2.	Уравнения прямой на плоскости................   68
10.3.	Прямая линия на плоскости. Основные задачи.....	73
§11.	Линии второго порядка на плоскости.................. 74
11.1.	Основные понятия............................... 74
11.2.	Окружность....................................  75
11.3.	Эллипс......................................... 76
11.4.	Гипербола...................................... 79
11.5.	Парабола.  ..................................   84
11.6.	Общее уравнение линий второго порядка.......... 86
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§12.	Уравнения поверхности и линии в пространстве........ 90
12.1.	Основные понятия..............................  90
12.2.	Уравнения плоскости в пространстве............. 92
12.3.	Плоскость. Основные задачи..................... 96
12.4.	Уравнения прямой в пространстве................ 98
12.5.	Прямая линия в пространстве. Основные задачи. 101
12.6.	Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи....................................103
12.7.	Цилиндрические поверхности.................... 104
4
12.8.	Поверхности вращения. Конические поверхности.. 106
12.9.	Канонические уравнения поверхностей
второго порядка.................................... 109
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 13.	Множества. Действительные числа.................. 116
13.1.	Основные понятия............................. 116
13.2.	Числовые множества.
Множество действительных чисел..................... 117
13.3.	Числовые промежутки. Окрестность точки....... 119
§ 14.	Функция.......................................... 120
14.1.	Понятие функции.............................. 120
14.2.	Числовые функции. График функции.
Способы задания функций............................ 120
14.3.	Основные характеристики функции.............. 122
14.4.	Обратная функция..........................    123
14.5.	Сложная функция.............................  124
14.6.	Основные элементарные функции и их графики.... 124
§15.	Последовательности......’........................ 127
15.1.	Числовая последовательность.................  127
15.2.	Предел числовой последовательности........... 128
15.3.	Предельный переход в неравенствах............ 130
15.4.	Предел монотонной ограниченной последовательности.
Число е. Натуральные логарифмы................. 130
§16.	Предел функции................................    132
16.1.	Предел функции в точке....1.................  132
16.2.	Односторонние пределы........................ 134
16.3.	Предел функции при х -> оо.................   135
16.4.	Бесконечно большая функция (б.б.ф.).........  135
§ 17.	Бесконечно малые функции (б.м.ф.) ............... 136
17.1.	Определения и основные теоремы..............  136
17.2.	Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией........................ 140
17.3.	Основные теоремы о пределах................   141
17.4.	Признаки существования пределов.............  144
17.5.	Первый замечательный предел.................. 145
17.6.	Второй замечательный предел.................. 146
§ 18.	Эквивалентные бесконечно малые функции........... 148
18.1.	Сравнение бесконечно малых функций........... 148
18.2.	Эквивалентные бесконечно малые
и основные теоремы о них........................... 149
5
18.3.	Применение эквивалентных бесконечно
малых функций.....................................  151
§ 19.	Непрерывность функций...........................  153
19.1.	Непрерывность функции в	точке................ 153
19.2.	Непрерывность функции в интервале
и на отрезке....................................... 155
19.3.	Точки разрыва функции и	их	классификация..... 155
19.4.	Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций................. 158
19.5.	Свойства функций, непрерывных на отрезке..... 159
§ 20.	Производная функции.............................. 161
20.1.	Задачи, приводящие к понятию производной..... 161
20.2.	Определение производной; ее механический
и геометрический смысл. Уравнение касательной
и нормали к кривой...........................   164
20.3.	Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции...........................................  166
20.4.	Производная суммы, разности, произведения
и частного функций................................. 167
20.5.	Производная сложной и обратной функций....... 169
20.6.	Производные основных элементарных функций..... 171
20.7.	Гиперболические функции и их производные..... 175
20.8.	Таблица производных.......................... 177
§21.	Дифференцирование неявных и параметрически заданных
функций................................................ 179
21.1.	Неявно заданная функция...................... 179
21.2.	Функция, заданная параметрически............. 180
§22.	Логарифмическое дифференцирование................. 181
§ 23.	Производные высших порядков....................   182
23.1.	Производные высших порядков
явно заданной функции.............................  182
23.2.	Механический смысл производной второго порядка .... 183
23.3.	Производные высших порядков
неявно заданной функции...........................  183
23.4.	Производные высших порядков от функций, заданных
параметрически..................................... 184
§ 24.	Дифференциал функции............................. 185
24.1.	Понятие дифференциала функции................ 185
24.2.	Геометрический смысл дифференциала функции.... 186
24.3.	Основные теоремы о дифференциалах............ 187
24.4.	Таблица дифференциалов....................... 188
6
24.5.	Применение дифференциала
к приближенным вычислениям....................... 189
24.6.	Дифференциалы высших порядков.............. 190
§ 25.	Исследование функций при помощи производных.... 192
25.1.	Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях... 192
25.2.	Правила Лопиталя........................... 196
25.3.	Возрастание и убывание функций............. 200
25.4.	Максимум и минимум функций................. 202
25.5.	Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке....................................... 205
25.6.	Выпуклость графика функции. Точки	перегиба... 207
25.7.	Асимптоты графика функции.................. 209
25.8.	Общая схема исследования функции
и построения графика..........................    211
§ 26.	Формула Тейлора................................ 213
26.1.	Формула Тейлора для многочлена............. 214
26.2.	Формула Тейлора для произвольной функции... 215
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 27.	Понятие и представления комплексных чисел...... 218
27.1.	Основные понятия..........................  218
27.2.	Геометрическое изображение комплексных чисел. 218
27.3.	Формы записи комплексных чисел............. 219
§ 28.	Действия над комплексными числами.............. 221
28.1.	Сложение комплексных чисел................. 221
28.2.	Вычитание комплексных чисел...............  221
28.3.	Умножение комплексных чисел...............  222
28.4.	Деление комплексных чисел................   223
28.5.	Извлечение корней из комплексных чисел..... 224
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 29.	Неопределенный интеграл.......................  226
29.1.	Понятие неопределенного интеграла.......... 226
29.2.	Свойства неопределенного интеграла......... 227
29.3.	Таблица основных неопределенных интегралов... 230
§ 30.	Основные методы интегрирования................. 232
30.1.	Метод непосредственного интегрирования....  232
30.2.	Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)............................. 234
30.3.	Метод интегрирования по частям............. 236
§31.	Интегрирование рациональных функций............ 237
31.1.	Понятия о рациональных функциях............ 237
7
31.2.	Интегрирование простейших рациональных дробей. 244
31.3.	Интегрирование рациональных дробей..........  246
§32.	Интегрирование тригонометрических функций........ 248
32.1.	Универсальная тригонометрическая подстановка.. 248
32.2.	Интегралы типа J sinm х • cosn х dx........   249
32.3.	Использование тригонометрических преобразований.... 250
§ 33.	Интегрирование иррациональных функций ........... 251
33.1.	Квадратичные иррациональности................ 251
33.2.	Дробно-линейная подстановка..............     253
33.3.	Тригонометрическая подстановка............... 254
33.4.	Интегралы типа J R(x^ \/ах2 4- for 4- с) dx.. 255
33.5.	Интегрирование дифференциального бинома ..... 255
§ 34.	«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы...........  256
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 35.	Определенный интеграл как предел интегральной суммы ... 259
§ 36.	Геометрический и физический смысл определенного
интеграла.............................................. 261
§ 37.	Формула Ньютона-Лейбница.......................   263
§ 38.	Основные свойства определенного интеграла........ 265
§ 39.	Вычисления определенного интеграла.............   269
39.1.	Формула Ньютона-Лейбница..................... 269
39.2.	Интегрирование подстановкой (заменой переменной) ... 269
39.3.	Интегрирование по частям..................... 271
39.4.	Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах...........................  272
§ 40.	Несобственные интегралы.......................... 273
40.1.	Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода).................... 273
40.2.	Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл II рода)................... 276
§41.	Геометрические и физические приложения определенного
интеграла............................................   278
41.1.	Схемы применения определенного интеграла..... 278
41.2.	Вычисление площадей плоских фигур...........  279
41.3.	Вычисление длины дуги плоской кривой......... 283
41.4.	Вычисление объема тела.....................   287
41.5.	Вычисление площади поверхности вращения...... 289
41.6.	Механические приложения определенного интеграла... 291
§ 42.	Приближенное вычисление определенного интеграла... 298
42.1.	Формула прямоугольников...................... 298
8
42.2.	Формула трапеций.........................  299
42.3.	Формула парабол (Симпсона)................ 300
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 43.	Функции двух переменных......................  304
43.1.	Основные понятия.......................... 304
43.2.	Предел функции............................ 305
43.3.	Непрерывность функции двух переменных..... 306
43.4.	Свойства функций, непрерывных
в ограниченной замкнутой области................ 307
§ 44.	Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных.................     1........ 308
44.1.	Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование............ 308
44.2.	Частные производные высших порядков.....   310
44.3.	Дифференцируемость и полный дифференциал
функции......................................... 311
44.4.	Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям..................................... 312
44.5.	Дифференциалы высших порядков............. 313
44.6.	Производная сложной функции. Полная производная .. 314
44.7.	Инвариантность формы полного дифференциала..... 316
44.8.	Дифференцирование неявной функции......... 317
§ 45.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 318
§ 46.	Экстремум функции двух переменных............. 320
46.1.	Основные понятия.......................... 320
46.2.	Необходимые и достаточные условия экстремума. 321
46.3.	Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области............................. 323
Глава X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 47.	Общие сведения о дифференциальных уравнениях.. 325
47.1.	Основные понятия.......................    325
47.2.	Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям...................................... 325
§ 48.	Дифференциальные уравнения первого порядка.... 327
48.1.	Основные понятия.........................  327
48.2.	Уравнения с разделяющимися переменными.... 330
48.3.	Однородные дифференциальные уравнения..... 332
48.4.	Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли. 334
48.5.	Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель.......................   338
9
48.6.	Уравнения Лагранжа и Клеро...............    342
§ 49.	Дифференциальные уравнения высших порядков...... 344
49.1.	Основные понятия............................ 344
49.2.	Уравнения, допускающие понижение порядка.... 346
49.3.	Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков.......................................... 349
49.4.	Линейные однородные ДУ второго	порядка...... 350
49.5.	Линейные однородные ДУ n-го порядка......... 353
§ 50.	Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами.......................................  354
50.1.	Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами.................. 354
50.2.	Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами...................... 357
§51.	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛИДУ)...........;.................................... 358
51.1.	Структура общего решения ЛИДУ второго порядка.... 358
51.2.	Метод вариации произвольных постоянных...... 360
51.3.	Интегрирование ЛИДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида..........................    362
51.4.	Интегрирование ЛИДУ n-го порядка (п > 2)
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида...............................   365
§ 52.	Системы дифференциальных уравнений.............. 367
52.1.	Основные понятия..........................   367
52.2.	Интегрирование нормальных систем............ 369
52.3.	Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами.................................... 372
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 53.	Двойной интеграл...............................  378
53.1.	Основные понятия и определения.............. 378
53.2.	Геометрический и физический смысл двойного
интеграла.....................................     379
53.3.	Основные свойства двойного интеграла.......  381
53.4.	Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах.......................... 382
53.5.	Вычисление двойного интеграла
в полярных координатах............................ 386
53.6.	Приложения двойного интеграла............... 388
§ 54.	Тройной интеграл..............................   391
10
54.1.	Основные понятия............................. 391
54.2.	Вычисление тройного интеграла
в декартовых координатах.......................... 392
54.3.	Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах....................................... 395
54.4.	Некоторые приложения тройного интеграла ..... 398
Глава XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 55.	Криволинейный интеграл I рода.................... 402
55.1.	Основные понятия............................  402
55.2.	Вычисление криволинейного интеграла I рода..	404
' 55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла
I рода.........................................  405
§56.	Криволинейный интеграл II рода................... 407
56.1.	Основные понятия...........................   407
56.2.	Вычисление криволинейного интеграла II рода. 410
56.3.	Формула Остроградского-Грина...............   412
56.4.	Условия независимости криволинейного интеграла
II рода от пути интегрирования.................... 414
56.5.	Некоторые приложения криволинейного интеграла
II рода..............;............................ 418
§57.	Поверхностный интеграл I рода..................   420
57.1.	Основные понятия  ..........................  420
57.2.	Вычисление поверхностного интеграла I рода... 422
57.3.	Некоторые приложения поверхностного интеграла
I рода.........................................    425
§ 58.	Поверхностный интеграл II рода.................   427
58.1.	Основные понятия............................. 427
58.2.	Вычисление поверхностного интеграла II рода.. 429
58.3.	Формула Остроградского-Гаусса ;.............. 431
58.4.	Формула Стокса............................    433
58.5.	Некоторые приложения поверхностного интеграла
II рода........................................... 437
Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 59.	Числовые ряды.................................... 438
59.1.	Основные понятия.........................     438
59.2.	Ряд геометрической прогрессии ..............  441
59.3.	Необходимый признак сходимости числового ряда.
Гармонйческий ряд................................. 442
11
§ 60.	Достаточные признаки сходимости
знакопостоянных рядов................................. 444
60.1.	Признаки сравнения рядов...................  444
60.2.	Признак Даламбера.........................   446
60.3.	Радикальный признак Коши.................... 448
60.4.	Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд.................. 449
§61.	Знакочередующиеся и знакопеременные ряды........ 451
61.1.	Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.... 451
61.2.	Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов......................... 453
61.3.	Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов............... 454
Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 62.	Функциональные ряды............................. 457
62.1.	Основные понятия............................ 457
§ 63.	Сходимость степенных рядов.....................  458
63.1.	Теорема Н. Абеля............................ 458
63.2.	Интервал и радиус сходимости степенного ряда.. 459
63.3.	Свойства степенных рядов.................... 462
§ 64.	Разложение функций в степенные ряды............. 463
64.1.	Ряды Тейлора и Маклорена..................   463
64.2.	Разложение некоторых элементарных функций
в ряд Тейлора (Маклорена)...................   465
§ 65.	Некоторые приложения степенных рядов............ 471
65.1.	Приближенное вычисление значений функции.... 471
65.2.	Приближенное вычисление определенных интегралов .. 473
65.3. Приближенное решение дифференциальных
уравнений..................................    475
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 66.	Ряды Фурье...................................... 478
66.1.	Периодические функции. Периодические процессы. 478
66.2.	Тригонометрический ряд Фурье................ 480
§ 67.	Разложение в ряд Фурье 2тг-периодических функций.. 483
67.1.	Теорема Дирихле...........................   483
67.2.	Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486
67.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного
периода....................................... 487
67.4.	Представление непериодической функции
рядом Фурье.................................   489
12
67.5.	Комплексная форма ряда Фурье................ 491
§ 68.	Интеграл Фурье.................................  493
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 69.	Основные понятия теории поля.................... 499
§ 70.	Скалярное поле.................................  501
70.1.	Поверхности и линии уровня.................. 501
70.2.	Производная по направлению................   502
70.3.	Градиент скалярного поля и его свойства..... 504
§ 71.	Векторное поле.................................  506
71.1.	Векторные линии поля.....................    506
71.2.	Поток поля.................................  507
71.3.	Дивергенция поля. Формула Остроградского-Таусса ... 510
71.4.	Циркуляция поля..................,.......... 513
71.5.	Ротор поля. Формула Стокса.................. 515
§ 72.	Оператор Гамильтона............................. 518
72.1.	Векторные дифференциальные операции
первого порядка................................   518
72.2.	Векторные дифференциальные операции
второго порядка    ............................   519
§ 73.	Некоторые свойства основных классов векторных полей .... 520
73.1.	Соленоидальное поле......................... 520
73.2.	Потенциальное поле...... t.................  521
73.3.	Гармоническое поле.......................... 524
Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 74.	Функции комплексного переменного................ 525
74.1.	Основные понятия............................ 525
74.2.	Предел и непрерывность функции комплексного
переменного.....................................  526
74.3.	Основные элементарные функции комплексного
переменного...................................... 527
74.4.	Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера............ 532
74.5.	Аналитическая функция. Дифференциал........  535
74.6.	Геометрический смысл модуля и аргумента
производной. Понятие о конформном отображении. 538
§75.	Интегрирование функции комплексного переменного.. 540
75.1.	Определение, свойства и правила вычисления
интеграла........................................ 540
13
75.2.	Теорема Коши. Первообразная и неопределенный
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.............. 544
75.3.	Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.... 547
§ 76.	Ряды в комплексной плоскости.................   551
76.1.	Числовые ряды............................   551
76.2.	Степенные ряды...........................   553
76.3.	Ряд Тейлора...............................  555
76.4.	Нули аналитической функции................. 558
76.5.	Ряд Лорана................................. 558
76.6.	Классификация особых точек. Связь между нулем
и полюсом функции..............................  563
§ 77.	Вычет функции.................................. 567
77.1.	Понятие вычета и основная теорема о вычетах. 567
77.2.	Вычисление вычетов. Применение вычетов
в вычислении интегралов......................... 568
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78.	Преобразование Лапласа......................... 572
78.1.	Оригиналы и их изображения...............   572
78.2.	Свойства преобразования Лапласа............ 576
78.3.	Таблица оригиналов и изображений........... 588
§ 79.	Обратное преобразование Лапласа................ 590
79.1.	Теоремы разложения......................... 590
79.2.	Формула Римана-Меллина...................   593
§ 80.	Операционный метод решения линейных
дифференциальных уравнений и их систем............... 594
Приложения..........................................  599
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студен-
тов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для
всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую
математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в
основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во-
просов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз-
делам курса высшей математики и дополнительным главам, необхо-
димым при изучении специальных курсов. Изложение теоретическо-
го материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого
количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности
строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самосто-
ятельного изучения соответствующего материала, является базой для
подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда
он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропу-
щены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учеб-
никам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах
или много фактического материала, который следует изучить за огра-
ниченное количество недель, дней.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и препода-
вателям, а использование данного пособия будет способствовать более
глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных
дисциплин.
Список обозначений:
Q • — начало и конец решения примера или задачи;
□  — начало и конец доказательства;
£5|	— важные определения;
|©|	— «обратите особое внимание!»
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕИНОИ АЛГЕБРЫ
Лекции 1-3 I
§1.	МАТРИЦЫ
1.1.	Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая
т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Ма-
трица записывается в виде
/	Оц	«12	•••	«1п
_	а21	«22	• • •	«2п
\	«ml	«m2	• • •	«тп	/
или, сокращенно, А — (а^), где I = 1,т (т. е. i = 1, 2,3,..., т) — номер
строки, j = 1, п (т. е. J = 1, 2,3,..., п) — номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера тхп и пишут Атхп. Чи-
сла «ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемен-
ты, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную
диагональ.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т. е.
А = В, если aij = bij, где i = 1, т, j = 1, п.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей
п-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго-
нали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Пример
1.1.
— единичная
1
О
О
матрица 3-го порядка.
^3x3 —
Е,
— единичная
матрица n-го порядка.
О
1
О
О
О
1
1
О
16
g Квадратная матрица называется треугольной, если все элемен-
ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О. Имеет вид
/о о ...	О \
о о ...	о
\ О О ... О 7
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1
в арифметике.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответствен-
но). Их вид:
ет
&2
А =
, в = (Ь1 ь2 ... ьп).

состоящая из одного числа, отождествля-
Матрица размера 1x1,
ется с этим числом, т. е. (5)i xi есть 5.
|ф| Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб-
цом с тем же номером, называется матрицей транспонирован-
ной к данной. Обозначается АТ.
(1 2\	/1 3\	/1\
. I, то Ат= I 1, если A— I I, то Ат = (1 0).
О т: /	\ U /
Транспонированная матрица обладает следующим свойством:
(Ат)т = А.
1.2.	Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинако-
вых размеров.
Суммой двух матриц A.J12х— (cl^j) и Втх'п — называется
матрица CmXn — (о?) такая, что Cij — aij + bjj (г = l,m, j = l,n).
Пример 1,2.
( 2 -3 0 \	( 3	3 -1 \
4	5 6 / Д - 2 — 5	4 у
5 0 -1 \
2 0 10 J •
Аналогично определяется разность матриц.
17
Умножение на число
Произведением матрицы Атхп — (aij) на число к называется ма-
трица ВтХп — (bij) такая, что Ь^ = к •	j — 1?п)-
Пример 1.3.
Л / 0 -1 2 \	Л7_/0—2 4А
Л\3	4 ^J’k~2’A'k (б 8 10 У'
Матрица —А = (—1) - А называется противоположной матрице А.
Разность матриц А — В можно определить так: А — В = А 4- (—В).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла-
дают следующими свойствами:
1.	А + В = В + А;
2.	А + (В 4- С) - (А 4- В) + С;
3.	А + О = А;
4.	А-А —О;
5.	1 • А = А;
6.	а • (А 4- В) = аА 4- аВ;
7.	(а 4- /3) • А = аА 4- /ЗА;
8.	а • (/ЗА) = (ct/3) • А,
где А, В, С — матрицы, а и /3 — числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц являются:
•	перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
•	умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от
нуля;
•	прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же чи-
сло.
р$| Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из
них получается из другой с помощью элементарных преобразова-
ний. Записывается А ~ В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят под-
ряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую
матрицу называют канонической, например
/1 0 0 0\
0 10 0
0 0 10’
\о о о о/
18
Пример 1.4‘ Привести к каноническому виду матрицу
2 3 1	2\
02—11].
4 0 5	1/
Q Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем
, -----\	5 /	\	/I* -з ♦ I к
2	3	1	2\	р/ 1	3	2	2\	/1	3	2	2\
0	2	—1	1	~ 11 -1	2	0	1	~	0	5	2	3	~
4	0	5	1/	5	0	4	1/	\0	-15	-6	—9/
/1	0	0	0\	/1	о	о	0\
~1 О	5	2	3	~ г 0	1	1	1	~
\0 -15 -6 —9/	£\0	-3	-3	-3/
: 5	: 2	: 3
Произведение матриц
/1	0	0	0\	/1	0	0	0’
~р	1	1	1 ~	I 0	1	о	о
\о	о	о	о/	\о	о	о	о
|-1|.г
Операция умножения двух матриц вводится только для случая,
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы.
Произведением матрицы Атхп = (aij) на матрицу ВпХр = (bjk)
называется матрица СШХр = (сгй) такая, что
^ik — Он * &1к 4“ 0^2 *	4~ * * ' 4“ О"1пЬпк) ГДе i — 1, 772, к — 1, р,
т. е. элемент г-й строки и к-го столбца матрицы произведения С равен
сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соответству-
ющие элементы к-го столбца матрицы В.
Получение элемента схематично изображается так:
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения
АВ и В А всегда существуют. Легко показать, что А • Е — Е • А = Л, где
А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.
/	„	„ \	бцХ
Пример 1.5. ( 11	12	13) х /х
«22	«23/2x3	bj2;sx!
ацЬ11 4- <212^21 4- ^13^31 &11612 4- <112622 4- ^13632^
«216ц + 022621 4- O23631 021612 4- O22622 4- O23632/2x2
19
/1 2 1\	(1 3 \
Пример 1.6. А = ( „ л , В =	). Тогда произведение
\ О 1 U /	\ 1 Z /
А- В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпада-
ет с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение
В х А, которое считают следующим образом:
1 3\ /1 2 1\ _ /1 + 9 2 + 3 1 + 0\_/10 5 1\
1 2J ДЗ 1 0) ~ V + б 2 + 2 1 + Оу 7 4 1J
Матрицы А п В называются перестановочными, если АВ — В А.
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А • (В • С) = (А - В) • С;	3. (А + В) • С = АС + ВС;
2. А • (В + С) = АВ + АС;	4. а(АВ) = (аА)В,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют
смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
1. (А + В)Т = Ат + Вт;	2. (АВ)Т = Вт • Ат.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1. Основные понятия
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А
(или |А|, или Д), называемое ее определителем, следующим образом:
1. п = 1. А = (ai); det А — ах.
2.	п — 2. А = |	( «п	«12	; det А =	«и	«12	— «11	• G22 — «12 * «21	
		\ «21	«22		«21	«22			
		/ «и	«12	«1з\		«11	«12	«13	
3.	п = 3, А =	1 «21	«22	«23 ; det А —		«21	«22	«23	
		\«31	«32			«31	«32	«33	
— «11«22«33 + «12«23«31 + «21«32«13 ~ «31«22«13 — «21«12«33 “ «32«23«Ы-
Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.
Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N являет-
ся довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны
методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких
порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов
20
основан на свойстве разложения определителя по элементам некото-
рого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители
невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно
определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 2.1. Найти определители матриц
2 -3\
5	6/
cos а
— sin а
sin а
cos а
и
Q Решение:
= 2 • 6 - 5 • (-3) = 12 - (-15) = 27;
COSO!
— since
since
cos се
= cos2 се + sin2 се = 1.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться
правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно
записать так:
(основания
равнобедренных
треугольников
параллельны
главной
диагонали)
(основания
треугольников
параллельны
побочной
диагонали)
Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы
5
3
б
А =
—2	1
1	—4
О -3
Ci Решение:
det А =
= 5• 1 • (—3) + (—2) • (—4)-6 + 3-0• 1 — б-1 • 1 — 3-(—2) • (—3) — 0• (—4)-5 =
= —15 + 48 — 6 — 18 = 48 — 39 = 9.	•
21
2.2. Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие опре-
делителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на опре-
де лите лях 3-го порядка.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель
не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
Иными словами,
«11	«12	_	«11	«21
«21	«22	«12	«22
«11	«12	«13		«11	«21	«31
«21	«22	«23		«12	«22	«32
«31	«32	«33		«13	«23	«33
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами опре-
делителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов опреде-
литель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два Одинаковых ряда, равен
нулю.
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда опре-
делителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда
пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда,
то такой определитель равен нулю.
□ Действительно,
«11	«12	«13		«11	«12	«13		
к • Ап	к • €212	к • П13	— к •	«11	«12	«13	= *•0 = 0.	
«31	«32	«33		«31	«32	«33		
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя пред-
ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть
разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
«11	«12	«13 + Ь		«11	«12	«13		«И «12 Ь
«21	«22	«23 + с	—	«21	«22	«23	4-	«21	«22 С
«31	«32	«33 4- d		«31	«32	«33		«31	«32 d
Свойство 6 («Элементарные преобразования определителя»).
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на лю-
бое число.
Пример 2.3. Доказать, что
«11	«12	«13		«11	«12	«13 4" к • П12
«21	«22	«23	—	«21	«22	«23 4" к • 0-22
«31	«32	«33		«31	«32	«зз 4- к • 0-32
22
Ci Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим
«11	«12	«13 4- к • ai2				
«21	«22	«23 4" к • 022				
«31	«32	«зз 4- к • а$2				
	«11	«12	«13			«11	«12	«12	
—	«21	«22	«23		+ к 	«21	«22	«22	= А + к -0 = А. •
	«31	«32	«33			«31	«32	«32	
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора
и алгебраического дополнения.
|ф| Минором некоторого элемента определителя n-го порядка на-
зывается определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых нахо-
дится выбранный элемент. Обозначается тгд.
Так, если
Oil G12
«21	«22
«31	«32
«13
«23
«33
ТО
«22
«32
«23
«33
/«32 =
«11	«13
«21	«23
Ши =
g Алгебраическим дополнением элемента определителя на-
зывается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j —
четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозна-
чается Aij: Aij = (—l)z+j • mij.
Так, Ац = 4-шц, Аз2 = -m32.
Свойство 1 («Разложение определителя по элементам некоторого
ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого
ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере
определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
Д =
; «11	«12	«13 ]	
«21	«22	«23	— «11 • Аи 4“ «12 ’ А12 4- «13 * А1з
«31	«32	«33	
□ В самом деле, имеем
«11 • Ап 4- «12 • А12 4- «1з • А1з —
— «11 •
«22
«32
«23
«33
+ «12 •
«21	«23
«31	«33
4-«13 ’
«21	«22
«31	«32
— «ц(«22«33 — «23«32) — «12(«21«33 “ «23«31) 4" «1з(«21«32 ~ «22«31) =
— «11«22«33 — «11«23«32 — «12«21«33 4“ «12«23«314*
4~ «13«21«32 — «13«22«31 — Д- ।
23
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей вы-
соких порядков.
Пример 2,4- Вычислите определитель матрицы
/	3	5	7	8\
-1	7	0	1
0	5	3	2 ‘
\	1	-1	7	4/
Q Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд,
где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз-
ложении будут равны нулю.
3 ; 5	7	8
-1; 7 о 1
0 15 3 2
1 ; —1 7 4
	7 0 1		5	7 8		5	7 8		5 7 8
= 3-	5	3 2	+ 1-	5 3 2	+ 0-	7 0 1	-1 -	7 0 1
	-17 4		-17 4		-17 4		5 3 2
= 3 • (7 • 3 • 4 4- (-1) • 0 • 2 + 5 • 7 • 1 - (-1) -3-1-7-7-2-5-0-4)+
+ (5 • 3 • 4 + (-1) • 7 • 2 + 5 • 7 • 8 - (-1) -3-8-5-7-4-5-7-2)-
— (5- 0- 2 + 7-1-5+ 7- 3- 8 — 5-0-8 — 3-1-5 — 7-7-2) = 122.	•
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда оп-
ределителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен-
тов параллельного ряда равна нулю.
Так, например, ацЛ21 + «12^22 + «1зА2з = 0.
§3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ
3.1.	Основные понятия
Пусть А — квадратная матрица n-го порядка
/ац	<212	•••	«1п\
_	<221	^22	• • •	а2п
\®nl	&п2	• • •	&пп/
|ф| Квадратная матрица А называется невыро^/сденной, если опре-
делитель Д = det А не равен нулю: Д = det А 0. В противном
случае (Д = 0) матрица А называется вырсхнсденной.
24
g Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
/Ац А21 ... Ani^
д* _ А12 А22 • • • АП2
\A-in А2п • • • А пп /
где Ау — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А
(оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента
определителя).
Матрица А-1
условие
называется обратной матрице А, если выполняется
А- А"1 - А-1 • А = Е,	(3.1)
где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Ма-
трица А"1 имеет те же размеры, что и матрица А.
3.2.	Обратная матрица
Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
□ Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
А =
«11
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
причем det А	0.
Составим союзную матрицу
/ Ац А21
А* = I А12 А22
\ Ai3 А23
Аз1\
А32 I
А33/
и найдем произведение матриц А и А*:
	/ «11	«12	«1з\	/ Ац	А21	А31
А- А* =	1 «21	«22	«23 1	 1 Ai2	А22	А32
	\«31	«32	«33/	\А1з	А23	А33
(«11 Ац + «12А12 + «13А13
«21 Ац + «22А12 + «23А13
«31 Ац -4- «32А12 4- «33А13
«11А31 + «12А32 4- «13А33
«21А31 + «22А32 + «23А33
«31А31 4- «32А32 4- «33А33
/det А 0	0 \	/1 0 0\
— I 0	det А О I	= det А • I 0	1	О I	= det А • Е.
\ 0	0	detA/	\0	0	1/
т. е.
A-A* = detA-E.	(3.2)
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).
25
1 /Ац А21 АзЛ
А-1 = -j.• I А12 А22 Аз2 I .
к Л23 л„
Аналогично убеждаемся, что
А* • A = detA-E.	(3.3)
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
4*	4*
А • ----- = Е и ------ А = Е.
det A	det А
Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
А*	1	(Ап Ли А3Л
А-1 = -г--., т. е. А-1 = --...— • I An А22 А32 .	
det A	det А I л	л	л /
\А1з Л23	А33/
Отметим свойства обратной матрицы:
1.	det (А-1) = -7 1 л ;
v J det А ’
2.	(А- В)-1 = В-1 -А-1;
3.	(А-1)т = (Ат)-1.
( 2
Пример 3.1. Найти А-1, если А — (
Решение: 1) Находим det A: det А =
3\
1J *
= 2 + 3 = 5^ 0.
2) Находим А*: Ац — 1, A2i — —3, А^2 — —(—1) — 1, А22 = 2,
л* Л
поэтому А* = I 1 I.
/1	 о\	/1	—— \
.3) Находим А-1: А-1 = | I	) = ( 5	5 I.
5 I 1	2/	\ I	2/
\	/	\5	5/
Проверка:
Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует ма-
трица, обратная данной:
Л —2 2\
А= А 3 0 .
\2	1	1/
26
Q Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем
определитель матрицы А:
ДА =
—2 2
3 О
1 1
= 3 - 0 4- 2А - 12 - 0 + 2А = 4А - 9.
Если 4А — 9 0, т. е. А / р то ДА / 0, т. е. матрица А невырожденная,
имеет обратную.	•
Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В,
если
/1	1	1\	/	3	-3	1 \
А =	1	2	3	, В =	I -3	5	-2	.
\1	3	6/	\	1	—2	1 /
Ci Решение: Найдем произведение матриц А п В:
/1 1	1\	/ 3	-3	1	\
АВ=|12	3|	|—3	5	-2 I	=
\1 3	6/	\ 1	—2	1 у
/3-34-1	—3 + 5 — 2	1 - 2 + 1\
=3-6+3 -3 + 10-6 1 — 4 + 3 1
\3 - 9 + 6 —3 + 15 — 12 1-6 + 6/
/1 0 0\
0 1 0 = Е.
\0 0 1 /
Аналогично В • А — Е.
для В.
Следовательно, матрица А является обратной
3.3. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера т х п.
	/;ац	<212!	«13	«1п ’
	[021	<222 J	«23	«2п
А =	«31	«32	«33	• •	«Зп
	\Ощ1	«m2	«m3	«тп /
Выделим в ней к строк и к столбцов (к min(m;n)). Из элемен-
тов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим
определитель к-го порядка. Все такие определители называются ми-
норами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го
порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить	штук,
где =
п\
к\(п - к)\
— число сочетаний из п элементов по &.)
1
А
2
27
|ф] Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от
нуля, называется рангом матрицы. Обозначается г, г (А) или
rang А.
Очевидно, что 0 г min(m; п), где min(m; п) — меньшее из чисел
тип.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется
базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример 3.4. Найти ранг матрицы:
/2	0	4	0\
А =	3	0	6	0	1.
\1	0	—3	О/
Q Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го
порядка, отличный от нуля
3 б
1 -3
= —15	0. Значит, г (А) = 2.
Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
Отметим свойства ранга матрицы:
1.	При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2.	Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не
изменится.
3.	Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
матрицы (см. с. 18).
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа-
гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример 3.5. Найти ранг матрицы
/2	3	1	2\
А= I 0	2	-1	1	,
\4	0	5	1/
используя результаты примера 1.4.
Решение: В примере 1.4 показано, что
/1	0	0	0\
А-	О	1	О	0	,
\0	О	о	о/
то есть	/1 О О 0\
А ~	V)	1	0	0/	’
Таким образом, ранг матрицы А равен г (А) = 2.
28
§4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
4.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т
уравнений и п неизвестных, называется система вида
«11^1 + «12^2 + * * • + а±пХп — Ь1?
«21^1 + «22^2 + ’ ’ • + &2пхп = &2,
к Ят1х1 4" (Lm2x2 4~ ’ * * 4“ ^тпхп — ^т?
где числа i — l,r«, j = 1,п называются коэффициентами системы,
числа Ь{ — свободными членами. Подлежат нахождению числа хп.
g Такую систему удобно записывать в компактной матричной
форме	________
АХ = В.
Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной
матрицей:
А =
«21
«12
«22
«2п
\«ml «m2
В =
/жА
Х2
[ЬД
b2
вектор-столбец из неизвестных Xj
— вектор-столбец из свободных членов bi
\^m /
Произведение матриц А Х определено, так как в матрице А столб-
цов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица А системы,
дополненная столбцом свободных членов
«11	«12 • • •	«1п
«21	«22 • • •	«2п	^2
\«ml	«m2 • • •	«тп Ьт у
Решением системы называется п значений неизвестных х± =Ci, Х2=С2,
., хп — сп, при подстановке которых все уравнения системы обраща-
ются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в
29
виде матрицы-столбца
/ ч
С2
с= . .
\сп/
|ф[ Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного
решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного
решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным
решением системы^ Совокупность всех частных решений называется
общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или не-
совместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если
они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы
эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением
другой, и наоборот.
ЦЦ Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементар-
ных преобразованиях системы при условии, что преобразования
выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все сво-
бодные члены равны нулю:
an^i + 012^2 Н---И = О,
< .............................
4~ аш2^2 4~ * * * Ч- атпхп — 0.
Однородная система всегда совместна, так как х± — х% = - - - = хп — 0
является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальным.
4.2.	Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не-
известными
а11х1 4" ^12^2 4- • ' • + (LlnXn = bl,
<	<121^1 4- O,22x2 4- • ' • 4- &2пхп —
<	0>т1х1 4- О"т2х2 4~ • • * 4“ CLmnXn = Ьт.
30
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает
теорема Кронекера-Капелли.
Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен
рангу основной матрицы.
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной си-
стемы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-
ных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест-
ных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения произвольной системы
линейных уравнений
1.	Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если
г (А) ф А), то система несовместна.
2.	Если г (А) = г( А) — г, система совместна. Найти какой-либо ба-
зисный минор порядка г (напоминание: минор, порядок которого опре-
деляет ранг матрицы, называется базисным). Взять г уравнений, из
коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные урав-
нения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в ба-
зисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные
п — г неизвестных называют свободными и переносят в правые части
уравнений.
3.	Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу-
чено общее решение системы.
4.	Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по-
лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра-
зом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
Пример 4.1. Исследовать на совместность систему
х 4- у = 1,
Зх 4- Зу — —2.
31
Q Решение:
л=(1 Г), r(4) = 1,
\ О О 1
л = (з 3 Д)- ’'W = 2 (Д = |з ДН-
Таким образом, г (А) / г(Л), следовательно, система несовместна. •
Пример 4.2Решить систему
ЯД - 2^2 + ^3 + #4 = 1,
< Xi — 2x2 4- жз — х± — —1,
— 2x2 4- хз 4- Зя?4 = 3.
Q Решение: г(А) = г( А) = 2. Берем два первых уравнения:
хг - 2х2 4-;^з Т^4[ = 1,
Х1 — 2x2 4-^з_“	— “1-
1
-1
= -2/0,
х3 4- Х4 =	1 — X! 4- 2X2,
х3 — Х4 = — 1 — Xi 4- 2x2.
Д1 -
1 - хг4- 2X2
-1 - X! 4- 2X2
= 2xi — 4х2,
д2 =
1	1-Ж14-2ж2
1 — 1 — Xi 4- 2x2
= -2.
Следовательно, хз = — х± 4- 2x2, #4
= 1 — общее решение. Положив,
1
1
например, х± = 0, Х2 = 0, получаем одно из частных решений: х± = 0,
Х2 = 0, Хз — 0, Х‘4 = 1.	•
4.3.	Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными
аих1 4- &12#2 4- • • • 4- ainxn = &1?
< «21^1 4- ^22^2 4- • • • 4- &2пхп = ^2,
4- ^п2*^2 4- * * ’ 4- CLfinXn — Ьп
или в матричной форме А • X = В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель
этой матрицы
ац ... ain
Х= ... ;..........
(2-721	• • • ^ПП
32
называется определителем системы. Если определитель системы от-
личен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае А 0.
Умножив обе части уравнения А • X = В слева на матрицу А-1,
получим А-1 • А • X = А-1 • В. Поскольку А-1 * А = Е-и Е • X — X, то
(4А)
X = А-1 В.
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матрич-
ным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
(Х1\
^2
V™ /
то есть
/хЛ
х2
\Хп/
Отсюда следует, что
/ Ац А21 ... АПЛ
1 А12 А22 • • • АП2
А .......................
\А1П А2п
Ann /
АЛ
&2
Vn/
/ Ац&1 4- A21b2 4- • • • 4- Ап1Ьп \
А
Aj2bi 4- А22Ъ2 4- • • • 4- Ап2Ьп
А
Aindi 4- А2пЪ2 4--.4- АппЬп
\	А	/
Т _ Ац&1 4- А2хЪ2 4- • • • 4- Ап1Ъ^
Х1~	А
х — А1П&1 + А2пЬ2 4---1- АппЪп
хп-	д
Но Ац61 4- А2162 4- • • • 4- Ап\Ъп есть разложение определителя
	Ь1	П12	• •	«1п
Ai =		«22	• •	«2п
		«п2	«пп
по элементам первого столбца. Определитель Ai получается из опре-
делителя А путем замены первого столбца коэффициентов столбцом
из свободных членов.
ТТ	А1
Итак, xi —
Аналогично: х2 — Д2-, где А2 получен из А путем замены второго
Aq
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х?, — -А-,...
-А.	Л •
‘	’Хп - Д •
2 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
33
Формулы
(4-2)
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неиз-
вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено
матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Пример Решить систему
2x1 — Т‘2 = О,
Xi 4- Зх2 = 7.
Ci Решение: Д =
1 о
Значит, Xi — у = 1, Х2 =
0
7
= 7^0, Д1 =
= 2.
4.4. Решение систем линейных уравнений методом
Г аусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше-
ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя-
щий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
ОцХ1 + 012X2 + • • • + О1ПХП — bl,
021X1 + О22Х2 + • • • 4- O2n^n — Ьъ,	, .
<0777,1X1 4- 0777,2X2 4”	4~ 077777X77, — ^777 -
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер-
вом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в част-
ности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
оцХ1 4- 012X2 4- • • • 4- aikXk 4- • • • 4- ainxn — bi,
О22Х2 4- • • • 4- a^k^k 4- • • • 4- O2n^n — ^2,
С^кк^к 4“ ' * * 4” 0^77X77 — bk,
где к n, ац 0, i = 1, Ar. Коэффициенты ац называются главными
элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе-
ние неизвестных из этой ступенчатой системы.
34
Опишем метод Гаусса подробнее.
Прямой ход.
Будем считать, что элемент ац / О (если ац = 0, то первым в
системе запишем уравненйе, в котором коэффициент при отличен
от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х± во всех урав-
нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си-
стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на — и
ац
сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе
части первого уравнения на — и сложим с третьим уравнением си-
ац
стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
(ацЖ1 + а12х2 4- • • • + а1пхп =
а$х2 +------------h а$хп = Ъ%\
0WT . .. . „(1)т _/,(!)
ат2*^2 ।	HmnXn — ит .
Здесь а^р,	— 2,т) —новые значения коэффициентов и правых
частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом а^2	0, ис-
ключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и
второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду по-
явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 — 0, их отбрасывают.
Если же появится уравнение вида 0 = b^ a bi 0, то это свидетель-
ствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенча-
той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет
бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си-#
стемы выражаем первое неизвестное хь через остальные неизвестные
(яцн-ь..., хп). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав-
нение системы и выражаем Xk-i через (хк+i., хп)\ затем находим
Xk-2, • • •, X}. Придавая свободным неизвестным (xk+i,. • •, хп) произ-
вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь-
ной, т. е. к. = п, то исходная система имеет единственное решение. Из
последнего уравнения находим хп, из предпоследнего уравнения
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
(хп — 2 , . . . , Х± ).
2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши-
ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над
35
ее строками. Удобно, чтобы коэффициент ац был равен 1 (уравнения
переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ац 7^ 1).
Пример 4-4- Решить систему методом Гаусса:
r2xi — Х2 4- Зхз — 5x4 = 1,
xi — Х2 — 5хз	= 2,
3xi — 2x2 — %хз — 6x4 — 3,
7х\ — 5x2 — 9хз — 10x4 = 8.
Q Решение: В результате элементарных преобразований над расши-
ренной матрицей системы
/2	-1	3	-5	Л		Л	-1	-5	0	2\
1	-1	-5	0	2		2	-1	3	-5	1
3	—2	—2	-5	3		3	—2	—2	-5	3
V	-5	-9	-10	У		V	-5	-9	-10	8/
Л	-1 -5	0	2 \		/1	-1	-5	0	2 \
0	1	13	-5 -3		0	1	13	-5	-3
0	1	13	-5 -3		0	0	0	0	0
\0	2	26	-10 -б/		<0	0	0	0	0/
исходная система свелась к ступенчатой:
xi - Х2 — 5хз — 2,
Х2 4- 13хз — 5x4 = —3.
Поэтому общее решение системы: Х2 = 6x4 — 13хз — 3; xi = 6x4 — 8x3 — 1.
Если положить, например, хз = 0, Х4 = 0, то найдем одно из частных
решений этой системы хг = — 1, Х2 = —3, Хз = 0, Х4 — 0.	•
Пример 4-5- Решить систему методом Гаусса:
xi 4- х2 4- х3 = 3,
2xi 4- 3x2 4- 2хз = 7,
3xi 4- х2 4- х3 = 5,
k5xi — х2 - х3 = 3.
Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками
расширенной матрицы системы:
Л 1	1 3\	Л 1 1	3	Л	1 1	3\	/1	1 1 3\
2 3	2 7	0 1	0	1	0	1 0	1	0	1 0 1
3 1	1 5	0 —2 —2	-4	0	1 1	2	0	0 1 1
V -1	-1 3/	-6 -6	-12^	\о	1 1	У	\о	0 0 0/
36
Полученная матрица соответствует системе
4- х2 4- жз = 3,
< х2 = 1,
х3 = 1.
Осуществляя обратный ход, находим хз = 1, х2 = 1, Xi = 1.
4.5. Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
anXi 4- ^12^2 4- • • • 4- ainXn — О?
62-21^1 4“ &22^2 4" • • • 4" 0,2пХп — О?
iflmlXl 4“^m2*^2 4~	4"OimnXn — 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна (г(А) = г( Д)),
она имеет нулевое (тривиальное) решение х± = х2 — • • • — хп = 0.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше-
ния?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основ-
ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. г < п.
□ Необходимость.
Так ка^ ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид-
но, г п. Пусть г = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен
от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет
единственное решение: Xi =	= О, Д; = О, Д ф 0. Значит, других, кро-
ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,
то г < п.
Достаточность.
Пусть г < п. Тогда однородная система, будучи совместной, явля-
ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше-
ний, т. е. имеет и ненулевые решения.	
Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неиз-
вестными
anXi 4- &12^2 4“ • • • 4- ainxn — О,
< ....................................
4“ ап2Х2 4*  ’ * 4“ 0,ппХп — О’
37
Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система п линейных урав-
нений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и до-
статочно, чтобы ее определитель Д был равен нулю, т. е. Д = 0.
□ Если система имеет ненулевые решения, то Д = 0. Ибо при Д 0
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Д = 0,
то ранг г основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
г < п. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых)
решений.	
Пример 4-6- Решить систему
хг - 2x2 + 4ж3 = 0,
2^1 — 3^2 +	= 0.
Q Решение:
л Л -2 4
А ~ (.2 —3 5
г(А) = 2 А =
1 —2
2 -3
= 10 0, п = 3.
Так как г < п, то система имеет бесчисленное множество решений.
Найдем их	,
- 2x2 — ~4жз,
2a;i — 3x2 = —5хз.
Д1
-4ж3
-5ж3
-2
-3
— 2тз, Д2 =
1 - 4ж3
2	— 5а?з
= Зхз. Стало быть, х^ =
=	= 2.т3, Х2 —	— Зтз — общее решение.
Положив хз — 0, получаем одно частное решение: х\ — 0, Х2 — 0,
хз — 0. Положив жз = 1, получаем второе частное решение: х± — 2,
^2 = 3, хз = 1 и т. д.	•
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ
Лекции 4-6
§5	. ВЕКТОРЫ
5.1.	Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным
значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин
являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя-
ются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие
величины называют векторными. Векторная величина геометрически
изображается с помощью вектора.
g Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре-
зок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если А — начало вектора, а В — его конец, то вектор обозначается
символом АВ или а. Вектор В А (у него начало в точке В, а конец в
точке А) называется противоположным вектору АВ. Вектор, про-
тивоположный вектору а, обозначается —а.
Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо-
значается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле-
вым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным век-
тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо-
го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а
и обозначается а0.
pg| Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых; записывают а || Ь.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или
противоположно.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
|ф| Два вектора а и b называются равными (а — Ь), если они колли-
неарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следу-
ет, что вектор можно переносить параллельно
самому себе, а начало вектора помещать в лю-
бую точку О пространства.
На рисунке 1 векторы образуют прямо-
угольник. Справедливо равенство b = d, но а /
Ф с. Векторы а и с — противоположные, а — — с.
b
а	с
d
Рис. 1
39
Равные векторы называют также свободными.
|ф[ Три вектора в пространстве называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли-
неарны, то такие векторы компланарны.
5.2.	Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции
сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на
число.
Пусть а и Ь — два произвольных вектора. Возьмем произволь-
ную точку О и построим вектор О А = а. От точки А отложим вектор
АВ = Ь. Вектор ОБ, соединяющий начало первого вектора с концом
второго, называется суммой векторов а и Ь: ОБ — а 4- b (см. рис. 2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно построить также по правилу паралле-
лограмма (см. рис. 3).
На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.
Рис. 4
40
Под разностью векторов а и b понимается вектор с = а — b такой,
что b 4- с = а (см. рис. 5).
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и
&, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Ь, а
другая — разностью (см. рис. 6).
Рис. 6
Можно вычитать векторы по правилу: а — Ъ — а + {—Ь)у т. е. вычи-
тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо-
ложным вектору 6.
g Произведением вектора а на скаляр {число) А называется
вектор А • а (или а • А), который имеет длину |А| • |а|, коллинеарен
вектору а, имеет направление вектора а, если А > 0 и противоположное
направление, если А < 0. Например, если дан вектор —то векторы
За и —2а будут иметь вид . За . . — и ..-----
Из определения произведения вектора на число следуют свойства
этого произведения:
1)	если b = А • а, то b || а. Наоборот, если b || а, (а 0), то при
некотором А верно равенство Ь — Аа;
2)	всегда а = |а| • а0, т. е. каждый вектор равен произведению его
модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свой-
ствами:
1.	а + b — b 4- а,
2.	(а 4- Ь) 4- с = а 4- (6 4- с),
3.	Ai • (А2 • а) — Ai • А2 • а,
4.	(Ai 4- А2) • а — Ai • а 4" А2 • а,
5.	А • (а 4~ Ь) — А • а 4~ А • Ь.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных
операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: сла-
41
гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за
скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
5.3.	Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось /, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось I называется основание Mi перпенди-
куляра 7ИМ1, опущенного из точки на ось.
Точка Mi есть точка пересечения оси I с плоскостью, проходящей
через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка М лежит на оси Z, то проекция точки М на ось совпа-
дает с М.
Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через Ai
и Bi проекции на ось I соответственно начала А и конца В вектора АВ
и рассмотрим вектор AiBi.
Проекцией вектора АВ на ось I называется положительное число
|Л1 Bi |, если вектор AiBi и ось I одинаково направлены и отрицатель-
ное число — |AiBi |, если вектор AiBi и ось I противоположно направле-
ны (см. рис. 8). Если точки Ai и Bi совпадают (AiBi = 0), то проекция
вектора АВ равна 0.
Проекция вектора АВ на ось I обозначается так: пр^ АВ. Если
АВ = 0 или АВ ± /, то npj АВ = 0.
Угол р между вектором а и осью I (или угол между двумя векто-
рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 0 р я.
42
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора а на ось I равна произведению мо-
дуля вектора а на косинус угла 99 между вектором и осью, т. е. npz а =
.= |а| • cos 99.
□ Если р =	то npz а =
= 4-|ai| = |а| • cos 99.
Если р >	(99	я), то npz а =
= — |ai| = — |а| • cos(?r — 99) = |а| • cos 99
(см. рис. 10).
Если р — то npz а = 0 = |а| cos 99.
Рис. 10
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель-
на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,
если этот угол — прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны
между собой.
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту
же ось равна сумме их проекций на эту ось.
□ Пусть, например, d = d+b+c. Имеем npz d = + |di| = +|ai|4-|^i| — |ci|,
t. e. npz(a + b + с) — npz a + npz b 4- npz с (см. рис. 11).	
Свойство 3. При умножении вектора а на число А его проекция на
ось также умножается на это число, т. е.
пр( (А • а) = А • прг а.
Q При Л > 0 имеем npz(A-a) = |Аа| • cos 99 =
(свойство 1)
= А • |а| • cos 99 = А • npz а.
При А < 0: прДА-а) = |Аа| -cos(7r — 99) =
= —А • |а\ • (— cos 99) = А • а • cos 99 = А • npz а.
Свойство справедливо, очевидно, и при А =
= 0.	
Рис. 11
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со-
ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
43
5.4.	Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век-
торы (орты), обозначаемые г, j, к соответственно (см. рис. 12).
Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на-
чало с началом координат: а — ОМ.
Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через
конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско-
стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим Соответ-
ственно через 7И1, М2 и М%. Получим прямоугольный параллелепи-
пед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда прж а —
— |OMi|, пр^а = |ОМ2|, пр2 а = |ОМз|. По определению суммы не-
скольких векторов находим а = ОМi 4- M±N 4- NM.
А так как M±N = ОМ2, NM = ОМ%, то
а = <Ж1+ОМ2+ОМз.	(5.1)
Но
0М1 = \бМ1\^1, ОМ2 = \ОМ2\-], ОМ3 = \ОМ3\-к.	(5.2)
Обозначим проекции вектора а = ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен-
но через ах, ау и az, т. е. |OM| = ах, |ОТИ2| = ау, |ОМ3| = az. Тогда из
равенств (5.1) и (5.2) получаем
(5-3)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называ-
ется разложением вектора по ортам координатных осей.
а = ах • i 4- ау • j 4- az • k.
44
Числа аж, a^, az называются координатами вектора а, т. е. коор-
динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные
оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви-
де^ а — (аж, 1 Zz)-
Равенство b = (bx;by;bz) означает, что b = Ьх • i 4- by• j 4- bz • k.
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду-
ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного
параллелепипеда можно написать |О7И|2 = |О7И1|2 4- |<ЭМ2|2 4- |ОМз|2,
те
^2=а2+а2+а2.	(5.4)
Отсюда
ах + а1 + az>
у	& '
g т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы
квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора ас осями Ох, Оу и Oz соответственно равны
а, /3, у. По свойству проекции вектора на ось, имеем
ах = |а| • cos ск, ау = |а| • cos/3, az = |a| • cos 7.
(5-5)
Или, что то же самое,
ау	az
cosa = —, COS/3 = ~77, cos 7— —.
|a|	|a|	|a|
Числа cos ct, cos/3, cos 7 называются направляющими косинусами век-
тора а.
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
|d|2 = |а|2 • cos2 ск 4- |а|2 • cos2 /3 4-1а|2 • cos2 7.
Сократив на [а|2	0, получим соотношение
cos2 ск 4- cos2 /3 4- cos2 7 = 1,
££| т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулево-
го вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора ё являются
числа cos ск, cos/3, cos 7, т. е. ё = (cos ск; cos/3; cos 7).
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо-
дуль и направление, т. е. сам вектор.
5.5.	Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а — (аж; ay;az) и b = (bx;by;bz) заданы своими про-
екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое
а — ах • i 4- ау • j 4- az • к, b = bx  i 4- by • j 4- bz - к.
45
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству-
ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно
записать:
1.	а ± b — (ах ± bx)i 4- (ау =Ь by)j 4- (az ± bz)k, или кратко а ±Ь =
= (ax±bx]ay±by\az±bz). То есть при сложении (вычитании) векторов
их одноименные координаты складываются (вычитаются).
2.	Ха = Хах -i+Xay-j+XaZ'k или короче Ха = (Хах; Хау; Xaz). То есть
при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются
на этот скаляр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который мож-
но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что
два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются ра-
венства: ах = ЬХ1
ау -- бу,
ах — Ьх,
— Ьу,
az — bz.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов а и 6, заданных своими
координатами.
Так как а || 6, то можно записать а = А-6, где А — некоторое число.
То есть
ах • i 4- ау • j'4- az • k = X(bx - i + by - j + bz - k) = Xbx • i 4- Xby • j 4- Xbz • k.
Отсюда
dy —1 Xby, az — XbZ)
az x	ax ay az
— = X или —- =	= —.
bz	bx	by	bz
ах — ХЬ:
2^. — х аУ — у
Ьх Ьу
g Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональ-
ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-
т. е.
нальные координаты, коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко-
ординат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называют-
ся координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М, обозначается г, т. е. ОМ — г. Следовательно, координаты
точки — это координаты ее радиус-вектора
r — (x\y\z) или r = x-i + y-j + Z’k.
Координаты точки М записываются в виде M(x\y\z).
46
Координаты вектора
Найдем координаты вектора а — АВ, если известны координаты
точек A(xi;yi; zi) и £?(я;2; у?; 22) • Имеем (см. рис. 13):
АВ = ОВ - О А = (ж2 • i + У2 • j +.z2 • к) - (ад • i + yr • j +	• к) —
= (,X2 - Ж1)г + (t/2 - У1)7 + {.z-2 - z^k.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству-
ющих координат его конца и начала: АВ — (ж2 — Х\', т/2 — 3/1; z2 — zi).
§6	. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
6.1.	Определение скалярного произведения
|ф| Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b на-
зывается число, равное произведению длин этих векторов на ко-
синус угла между ними.
Обозначается ab, а • b (или (а, 6)). Итак, по определению,
а • b = |а| • |6| • cos ср,
(6.1)
где 9? = (а, Ь).
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как |а| cos 72 = пр^а,
(см. рис. 14), а |Ь| cos = пр^б, то получаем:
ab = |а| • пр£ b = \Ь\ • пр& а,
(6-2)
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из
них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер-
вым вектором.
47
6.2.	Свойства скалярного произведения
1.	Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
ab = Ьа.
□ ab = |а| • |6| -cos(a, 6), а Ьа = |6| • |а| -cos(6, а). И так как |а| • |6| — \Ь\ • |а|,
как произведение чисел и cos(a, b) = cos (6, а), то аЬ = Ьа.	
2.	Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от-
носительно скалярного множителя: (Ла) • Ь — А(а6).
□ (Аа)6 = \Ъ\ • пр& Ха = А • \Ь\ • пр& а = А(аЬ).	И
3.	Скалярное произведение обладает распределительным свойст-
вом: а(Ь 4- с) = ab + ас.
□ а(Ь + с) = |5| • прг(Ь + с) = |а|  (пр5 b + npff с) = |а| nps Ь + |й| • прг с =
= ab 4- ас.	
4.	Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а2 = |а|2.
Q а2 = а • а = |а| • |а| cos0 = |п| • |й| = |а|2.	
о	т2 -2 г2
В частности: г — j —к — 1.
Если вектор а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь ко-
рень. то получим не первоначальный вектор, а его модуль |а|, т. е.
7? = |а| (лЛ? а).
Пример 6.1. Найти длину вектора с = За—46, если |а| = 2, |Ь| = 3,
(ft) = I-
Q Решение:
|с| = х/Н2 = (За — 46)2 = 9а2 — 24а6 4- 1662 =
= ^9 • 4 — 24  2 • 3 • ^ + 16 • 9 = \/108 = 6л/3. •
5.	Если векторы а и 6 (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то
их скалярное произведение равно нулю, т. е. если а ± 6, то ab — 0.
Справедливо и обратное утверждение: если ab = 0 и а 0	6, то а ± 6.
□ Так как (р = (а, 6) = ту, то cose/? = cos ту — 0. Следовательно,
а • 6 = |а| • |6| • 0 = 0. Если же а • 6 = 0 и |а|	0, |6| =4 0, то cos(a, 6) — 0.
Отсюда р) — (а, 6) = 90°, т. е. а ± 6. В частности:
i‘j=j'k = k‘i = O.	
48
6.3,	Выражение скалярного произведения
через координаты
Пусть заданы два вектора
а = axi 4- ayj 4- azk и b = bxi 4- byj 4- bzk.
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно-
гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве-
дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов г, j,
—	axbxiz	4~ ахЬуг]	4-	axbzik	4~
4-	aybxji	4~ aybyjj	4-	aybzjk	4~
4-	azbxki	4- azbykj	4-	azbzkk	=
— ftxbx - + 0 0 + О 4- °"y^y 4-04-04-04-
t. e.
d * b — с^хЬх 4~ ayby 4~ &zbz‘
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их
одноименных координат.
Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан-
ного координатами вершин А(—4;—4;4), В{—3; 2; 2), <7(2; 5; 1),
77(3; —2; 2), взаимно перпендикулярны.
О Решение: Составим вектора АС и BZ), лежащие на диагоналях дан-
ного четырехугольника. Имеем: АС = (6; 9; —3) и BD — (6; —4; 0). Най-
дем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC ± BD. Диагонали четырехугольника ABCD
взаимно перпендикулярны.	•
49
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла между ненулевыми векторами а = (ax;ay;az)
иЬ = (bx;by;bz):
cl * b	cixbx + ciyby + azbz
COS(fi=— T. e. COSC£ =   - .............- -~~~== . 
lal • \b\	^a2+a2+a2- yjb2 + b2 + b2
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а
и Ь:	_
CL _!_ Ь —F CLХЬх I CLyby I CLzbz — 0.
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто-
ром 6, может осуществляться по формуле
_____ Q ‘ Ь /	— CL ‘ Ь \	__ CLX Ьх | CLy Ьу | CLz Ьz
^ъа = -^Г (nPff6=T?r)’ те- пРьа=--------------/
M V lal 7	Jbl +&4 + &z
у	У
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло-
жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей
угол <р с перемещением АВ — S (см. рис. 15).
Из физики известно, что работа си-
лы F при перемещении S равна
А = F • S' • cos <р т. е. А = F • S.
;	Таким образом, работа постоянной силы
yf §	при прямолинейном перемещении ее точ-
ки приложения равна скалярному произ-
Рис. 15	ведению вектора силы на вектор переме-
щения.
Пример 6.3. Вычислить работу, произведенную силой F=(3; 2; 4),
если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения
А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена
сила F?
Q Решение: Находим S = АВ — (2, —2,1). Стало быть,
A = FS = 32 + 2- (—2) +4-1 = 6 (ед. работы).
—	-	F • S
Угол между F и S находим по формуле cos</? — р=-—-=-, т. е.
КI ‘ Pl
6	6	2	2
V9 + 4 + 16 • V4 + 4 + 1	ч/29 -З	у/29	\/29
50
§7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
7.1.	Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора а, b и с, взятые в указанном порядке,
образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший
поворот от первого вектора а ко второму вектору Ь виден совершаю-
щимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
правая тройка,
левая тройка
Рис. 16
Векторным произведением вектора а на вектор Ъ называемся
вектор с, который:
1)	перпендикулярен векторам а и Ь, т. е. с 1 а и с! 6;
2)	имеет длину, численно равную площади параллелограмма, по-
строенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
|с| = |а| • \b\ siny?, где = (а,Ь);
3)	векторы а, b и с образуют правую тройку.
Рис. 17
Рис. 18
Векторное произведение обозначается а х b или [а, Ь].
Из определения векторного произведения непосредственно вытека-
ют следующие соотношения между ортами i, j и к (см. рис. 18):
i х j = к, j х к = i, к х i — j.
Докажем, например, что i х j — к.
51
□ 1) к ± i, к ± j;
2)	|£| = 1, но \i х j\ = |г| • |Д • sin90° = 1;
3)	векторы г, j и к образуют правую тройку (см. рис. 16).
7.2. Свойства векторного произведения
1.	При перестановке сомножителей
векторное произведение меняет знак, т. е.
а х Ь — —(6 х а) (см. рис. 19).
Q| Векторы а х b и b х а коллинеарны, име-
ют одинаковые модули (площадь паралле-
лограмма остается неизменной), но проти-
воположно направлены (тройки а, Ь, а х Ь
и a,b,b х а противоположной ориентации).
Стало быть, а х b = — (Ь х а).	
2.	Векторное произведение обладает
сочетательным свойством относительно
скалярного множителя, т. е. А(а х 6) =
= (Ла) х b = а х (А6).
Q Пусть А > 0. Вектор А(ах Ь) перпендикулярен векторам а и Ъ. Вектор
(Аа) х Ь также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, Ха лежат
в одной плоскости). Значит, векторы А(а х Ь) и (Аа) х b коллинеарны.
Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
|А(а х 6)| = А|а х Ь\ — А|а| • \Ь\ • sin(a, 6)
и	_	_
|(Аа) х Ь\ = |Аа| • |Ь| • sin(An, 6) = А|а| • |Ь| sin(a, 6).
Поэтому А (а х 6) — Ха х Ь. Аналогично доказывается при А < 0.	
3.	Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только то-
гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.
а || b <=> а х b = 0.
Q Если а || 5, то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда |а х Ь\ =
= |а| • \Ь\ • sin(a, b) = 0. Значит, а х b = 0.
Если же а х b = 0, то |а| • \b\ sin 99 = 0. Но тогда ср = 0° или р = 180°,
т. е. а || Ь.	
|@| В частности, i х i = j х j — к х к = 0.
4.	Векторное произведение обладает распределительным свойст-
вом:
(а + Ц х с = а х с + И с.
Примем без доказательства.
52
7.3.	Выражение векторного произведения
через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто-
ров г, j и к:
Чтобы не ошибиться со
знаком, удобно пользо-
ваться схемой:
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со-
впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век-
тору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а = axi + ayj 4- azk и b = bxi 4- byj + bzk.
Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как
многочлены (согласно свойств векторного произведения):
а х b = (axi 4- ayj 4- azk) х (bxi 4- byj 4- bzk) =
— O'xbx^i x 0 “b a>xby(i x J) 4~ G'xbzfj' x k^ 4- dybx(^j x t)4* ayby(j x j)4~
4- aybz(J x k) 4- azbx(k x г) 4- azby(k x j) 4- azbz(k xk) =
= 0 4- axbyk - axbzj - aybxk 4-0 4- aybzi 4- azbxj - azbyi 4- 0 =
— (^2/^2 dzbyji (^Q'xbz ^zbx)j (axby aybx)k —
Q>z ~ ^x
y 2 —
by bz bx
CLZ ~ । G>x
bz bx by
t. e.
&x
bx
ay t.
by
(7-1)
Полученную формулу можно записать еще короче:
а х b =	г	j	к 0>Х	®>у	&Z bx	by	bz	
(7-2)
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде-
лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2)
легко запоминается.
53
7.4.	Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Если а || Ь, то а х b — 0 (и наоборот), т. е.
	i j	к			
а х b =	(^х Ъх by	az bz	= 0 <=	. * II Sb Q 1-0 II ft	=> a || b.
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b
|а х Ь\ = |а| • |6| sine/?, т. е. Snap — х Ь\. И, значит, = 1|а х 6|.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F — АВ и пусть О — некоторая
точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О
называется вектор М, который проходит через точку О и:
1)	перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2)	численно равен произведению силы на плечо
\М\ = \F\ • ON = \F\ • \f\ • sin= \F\ • |OA| sin(X<W
3)	образует правую тройку с векторами О А и АВ.
Стало быть, М = О А х F.
Рис. 21
Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско-
ростью ш вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера
v = й х г, где г = ОМ, где О — некоторая неподвижная точка оси
(см. рис. 21).
54
§8	. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1.	Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следу-
ющим образом: (о х 6) • с. Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе-
ние называется в екторно-скалярным, или смешанным, произведением
трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое
число.
Выясним геометрический смысл вы-
ражения (ох Ь)-с. Построим параллелепи-
пед, ребрами которого являются векторы
а, Ъ, с и вектор d = а х b (см. рис. 22).
Имеем: (а х 6) • с = d • с — \d\ • пр^с,
\d\ = |а x b\ = S, где S — площадь парал-
лелограмма, построенного на векторах а
и b, пр^с = Н для правой тройки век-
торов и пр^с = — Н для левой, где Н —
высота параллелепипеда. Получаем:
(а х 6) • с = S • (±Д), т. е. (а х 6) • с =
= ±V, где V — объем параллелепипеда,
образованного векторами а, b и с.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ-
ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна-
ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком
«минус», если они образуют левую тройку.
8.2.	Свойства смешанного произведения
1.	Смешанное произведение не меняется при циклической переста-
новке его сомножителей, т. е. (а х Ь) • с = (Ь х с) • а = (с х а) • Ь.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле-
пипеда, ни ориентация его ребер.
2.	Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна-
ков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х Ъ) • с = а • (6 х с).
Действительно, (а х 6) • с = ±V и а • (Ь х с) = (Ь х с) • а = ±V. Знак
в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки
векторов а, Ь, с и b, с, а — одной ориентации.
55
Следовательно, (а х Ь) • с = а(Ь х с). Это позволяет записывать сме-
шанное произведение векторов (а х Ъ)с в виде abc без знаков векторного,
скалярного умножения.
3.	Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест
любых двух векторов-сомножителей, т. е. abc = —acb, abc — —bac. abc =
= —cba.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке
сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения
знак.
4.	Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю
тогда и только тогда, когда они компланарны.
Q Если abc = 0, то а, 6, с — компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле-
пипед с объемом V 7^ 0. Но так как abc = то получили бы, что
abc ф 0. Это противоречит условию: абс = 0.
Обратно, пусть векторы а, 6, с — компланарны. Тогда вектор d =
= a xb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а,
5, с, и, следовательно, d ± с. Поэтому d • с — 0, т. е. abc = 0.	
8.3.	Выражение смешанного произведения
через координаты
Пусть заданы векторы а = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk,
c — cxi + cyj 4- czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы-
ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
j к
ау , az
by bz
а
(cxi + cyj + czk) =
ay az
by bz Cx
az
bz
Cy +
(Jjx CLy
bx . by
cz.
(8-1)
Полученную формулу можно записать короче:
abc =
&х
Ьх
Сх
ay a z
by bz
Cy cz
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение
определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре-
тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
56
8.4.	Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а, Ъ и с основано на
следующих соображениях. Если abc > 0, то а, Ъ, с — правая тройка;
если abc < 0, то а, Ь, с - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их сме-
шанное произведение равно нулю (а ф О, b 0, с 0):
&У G>z
bx by bz
Сх Су. Cz
abc = 0 <=>
— 0 векторы а, 6, с компланарны.
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на
векторах а, b и с вычисляется как V — |аЬс|, а объем треугольной
пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = 1 \abc\.
Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3),
В(0; —1; 1), С (2; 5; 2) и Z?(3; 0; —2). Найти объем пирамиды.
Q Решение: Находим векторы а, 6, с:
а = АВ = (-1; -3; -2), b = АС = (1; 3; -1), с = AD = (2; -2; -5).
Находим abc'.
-1
abc =	1
-3
3
—2
—2
-1
-5
= -1 • (—17) + 3 • (-3) - 2 • (-8) = 17 — 9 +16 = 24.
2
Следовательно, V —	• 24 = 4.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Лекции 7-9
§9	. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
9.1.	Основные понятия
|ф| Под системой координат на плоскости понимают способ, по-
зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является прямоугольная (декартова) система ко-
ординат.
Прямоугольная система координат за-
дается двумя взаимно перпендикулярными
прямыми — осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и за-
дан единичный (масштабный) отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинако-
вой для обеих осей. Эти оси называют ося-
ми координат, точку их пересечения О —
началом координат. Одну из осей называ-
ют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью
ординат (осью Оу) (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на-
правленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направлен-
ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области —
четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают i и j (|г| — |j| = 1, i ± j).
Систему координат обозначают Оху (или Oij), а плоскость, в ко-
торой расположена система координат, называют координатной плос-
костью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ
называется радиусом-вектором точки М.
Координатами точки М в системе координат Оху (Oij) на-
зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ = (х;у), то
координаты точки М записывают так: М(х; у), число х называется аб-
сциссой точки М, у — ординатой точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен-
ная точка М плоскости, и наоборот.
58
Другой практически важной системой координат является поляр-
ная система координат. Полярная система координат задается точкой
(9, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и еди-
ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение
точки М определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О
и углом р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов
ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)
(см. рис. 24).
g Числа г и р называются полярными координатами точки М,
пишут М (г;</?), при этом г называют полярным радиусом, р —
полярным углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
р ограничить промежутком (—тг; тг] (или 0 р < 2тг), а полярный
радиус — [0; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел г и р, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координа-
тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,
а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — пря-
моугольные координаты точки М, а г и р — ее полярные координаты.
Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М
выражаются через полярные координаты точки следующим образом:
!х = г  cos р,
у — г • sin р.
Полярные же координаты точки М выражаются через ее декарто-
вы координаты (тот же рисунок) такими формулами:
| tg(/7 -
Определяя величину р, следует установить (по знакам х и у) че-
тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что — 7Г < р 7Г.
59
Пример 9.1. Дана точка М(—1; —л/3). Найти полярные коорди-
наты точки М.
Q Решение: Находим г и (р:
_ д/з
г = д/З + 1 = 2, tg 99 = —j- = v3.
Отсюда 99 = — 4- тш, n 6 Z. Но так как точка М лежит в 3-й четверти,
о
то n = -1 и ^? = Т _	_ 2т Итак, полярные координаты точки М
о	о
есть г '= 2, 99 = — т. е. М^2; —•
о	\	О /
9.2.	Основные приложения метода координат
на плоскости
Расстояние между двумя точками
Требуется найти расстояние d между точками A(xi;yi) и В(а?2; Уъ)
плоскости Оху.
Q Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора АВ =
= (х2 - Х^у2 - 7/1), т. е.
d=\AB\ = У(ж2 - Я1)2 + (т/2 - 7/1)2.
Деление отрезка в данном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, сое-
диняющий точки A(xi;yi) и В(х2]у2) в за-
данном отношении А > 0, т. е. найти коорди-
наты точки М(х,у) отрезка АВ такой, что
= А (см. рис. 26).
Q Решение: Введем в рассмотрение векто-
ры AM и МВ. Точка М делит отрезок АВ
в отношении А, если
AM = А-МВ.	(9.1)
Но AM = (х — Xi; у — 1/1), т. е. AM — (х — xi)i 4- (у — y^)j и МВ =
— (х2 — х; у2 - у), т. е. МВ = (х2 - x)i 4- (у2 - y)j- Уравнение (9.1)
принимает вид
(ж - xr)i 4- (у - 3/i)J = Ч%2 - х)г 4- А(т/2 ~ у)в
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
х — Xi = Ах2 — Ах, т. е.
Ж1 4- Аж2
х — —;---;—
(9-2)
60
И	\	\	2/1 + ^2/2	„х
У - У1 = ЛУ2 - лу, т. е. у =		(9.3)
1 -г Л
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в дан-
ном отношении. В частности, при А = 1, т. е. если AM = МВ, то они
примут вид х — 371	372, у — V1 ^2-. В этом случае точка М(х;у)
является серединой отрезка АВ.	9
Замечание: Если А = 0, то это означает, что точки А и М совпа-
дают, если А < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что
точка М делит отрезок АВ внешним образом (А — 1, т. к. в противном
случае 4М = —1, т. е. AM + МВ = 0, т. е. АВ = 0).
J МВ ’	’	7
Площадь треугольника
Требуется найти площадь треугольни-
ка АВС с вершинами A(xi;?/i), В(х2;у2),
С(х3',уз).
Q Решение: Опустим из вершин А, В, С
перпендикуляры АА]_, В Bi, СС± на ось Ох
(см. рис. 27). Очевидно, что
SaBC = SaA^ByB + Sb-lBCCx — SayACCx-
Поэтому
£ £ £
= |(x2yi - хгуг + Х2у2 - Х1У2 + х3у2 - х2у2 + х3у3-
- Х2у3 - ХзУ1 + Ж12/1 - х3у3 + Х12/з) =
= ^(®з(г/2 - 2/1) -Х1(у2 -У1) - х2(у3 -2/1) +a:i(2/3 ~У1)) =
= ^((y2-y1)(x3-x1)-(y3-y1)(x2-x1)) = i Хз у" 2-У1
т. е.
Sa =
х3 - х±
Уз ~У1
х2 - Хг
У 2 -У1
Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим
S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если
же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3.	Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую назы-
вается преобразованием системы координат.
61
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной си-
стемы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зави-
симость между координатами произвольной точки плоскости в разных
системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.
Под параллельным переносом осей координат понимают переход от си-
стемы координат Оху к новой системе , при котором меняется
положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются
неизменными.
Рис. 28
Пусть начало новой системы координат точка О\ имеет коорди-
наты (х^уо) в старой системе координат Оху, т. е. Oi(xo;yo). Обозна-
чим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через
(х',у), а в новой системе OiXiyi через (x';yf) (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы
ОМ = xi + yj, OOi = %oi + yoj, OiM = x'i -b y1 j.
Так как ОМ = OOi + OiM, то xi + yj = x^i + yoj -F x'i + yfj, t. e.
x • i + у • j = (x0 + x') • i + (yo + у')  j.
Следовательно,
x — xo + x',
У = yo+ y'-
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х
и у по известным новым х' й у' и наоборот.
Поворот осей координат
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование
координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол,
а начало координат и масштаб остаются неизменными.
62
Пусть новая система OiXiyi получена поворотом системы Оху на
угол а (см. рис. 29).
Пусть М — произвольная точка плоскости, (ж; у) — ее координаты
в старой системе и (х';у') — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и
полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в
обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны а + р
и 99, где р — полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным
имеем
{х = г • cos(a + (р),	I х = г cos р • cos а — г sin р • sin а,
/	\ и. \	.	.
у = г • sm(a + 99),	I у — г cos 99 • sina + г sinc^ • cosa.
Но rcosp — х1 и г sin р — у'. Поэтому
{х = х1 cos а — у1 sin а,
у = х1 sin а + у1 cos а.
|ф| Полученные формулы называются формулами поворота осей.
Они позволяют определять старые координаты (ж; у) произвольной
точки М через новые координаты (х'^у1) этой же точки 7И, и наоборот.
Рис. 29
Рис. 30
Если новая система координат OiXiyi получена из старой Оху пу-
тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом
осей на угол а (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной систе-
мы 01 ху легко получить формулы
{х — х' • cos а — у1 • sin а + хо,
у — х' • sin а + у1 • cos а + уо~
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее
новые координаты х' и у‘.
63
§10	. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
10.1.	Основные понятия
 Линия на плоскости часто задается как множество точек, обла-
дающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоско-
сти, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О
(центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять
положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а
положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е.
равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется та-
кое уравнение F(x\y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетво-
ряют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют коор-
динаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими ко-
ординатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли-
нии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка A(xq; уо) на данной
линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построе-
ниям) , удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии
в выбранной системе координат.
Пример 10.1. Лежат ли точки К(—2; 1) и L(l; 1) на линии
2х 4- у 4- 3 — 0?
Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К,
получим 2 • (—2) 4-14-3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной
линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2 ♦ 1 4-1 4- 3 / 0.	•
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных
уравнениями Fi(x;y) = 0 и ^(я;?/) = 0, сводится к отысканию точек,
координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сво-
дится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Г^1(а:;3/) = 0,
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пе-
ресекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в поляр-
ной системе координат.
64
Уравнение F(r;(p) = 0 называется уравнением данной линии в по-
лярной системе координат, если координаты любой тонки, лежащей
на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
х = x(t),
У = y(t),
(10.1)
где х и у — координаты произвольной точки М(х‘ у), лежащей на дан-
ной линии, a t — переменная, называемая параметром] параметр t
определяет положение точки (ж; у) на плоскости.
Например, если х — t + 1, у = t2, то значению параметра t — 2
соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х — 2 + 1 — 3, у = 22 = 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещает-
ся, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется
параметрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнени-
ями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению
вида F(x] у) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исклю-
(ж — f,
’ путем подстанов-
ку = t ,
ки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х2-, или
у — х2 — 0, т. е. вида F(x-,y) = 0. Однако, заметим, такой переход не
всегда целесообразен и не всегда возможен.
Линию на плоскости можно задать век-
торным уравнением г = f(f), где t — ска-
лярный переменный параметр. Каждому
значению to соответствует определенный
вектор г0 = г(£о) плоскости. При изменении
параметра t конец вектора г = f(t) опишет
некоторую линию (см. рис. 31).
Векторному уравнению линии f = f(t)
в системе координат Оху соответствуют
два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси ко-
ординат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравне-
ния.
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии име-
ют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то
указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия —
траекторией точки, параметр t при этом есть время.
Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравне-
ние вида F(x] у) = 0.
•’ Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
65
Всякому уравнению вида F(x; у) — 0 соответствует, вообще говоря,
некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением
(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю-
чения. Так, уравнению (х — 2)2 + (у — З)2 = 0 соответствует не линия,
а точка (2; 3); уравнению х2 -Г у2 -Ь 5 = 0 на плоскости не соответствует
никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные
задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее урав-
нение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и ука-
заны их уравнения.
г = 2R • cos (р
г = 2R • sin р
Рис. 32. Окружность радиуса R
Рис. 33. Лемниската
Бернулли
Уравнение в прямоугольных коорди-
натах: (х2 + у2)2 — а2(т2 — у2) — 0,
а > 0; в полярных координатах:
г = а • \/cos 2р.
Рис. 34. Трехлепестковая
роза
В полярных координатах ее уравне-
ние имеет вид г — а • cos Зр, где а > 0.
66
Рис. 35. Улитка Паскаля
Уравнение в полярных координатах имеет вид г — b + a cosip.
Рис. 36. Полукубическая
парабола
Уравнение кривой у2 = х3 или
Рис. 37. Астроида
Уравнение в прямоугольных коорди-
2	2	2
натах: тз -\-у з = аз ; параметрические
уравнения:
х = а • cos3 t,
у = а  sin3 t.
Рис. 38. Кардиоида
Уравнение в полярных координатах
имеет вид г — а(1 + cos<^), где а > 0.
Кардиоида — частный случай улитки
Паскаля (а — 6).
Рис. 39. Спираль Архимеда
Уравнение кривой в полярных коор-
динатах г = aip, где а > 0 — постоян-
ное.
67
Рис. 40. Циклоида
{х = a(t — sin t),
где a > 0. Ци-
y =	— cos t),
клоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катя-
щаяся без скольжения по неподвижной прямой.
10.2.	Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания
прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные ви-
ды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не парал-
лельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки
7V (0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой
(см. рис. 41).
Под углом а (0 а < тг) наклона
прямой понимается наименьший угол,
на который нужно повернуть вокруг
точки пересечения прямой и оси Ох
против часовой стрелки ось Ох до ее
совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную
точку М(х\у) (см. рис. 41), Проведем
через точку N ось Nx', параллельную
оси Ох и одинаково с ней направлен-
ную. Угол между осью Nx' и прямой равен а. В системе Nx'y точка
М имеет координаты х и у — Ь. Из определения тангенса угла следует
равенство tg о = У % , т. е. у = tg а • х + Ь. Введем обозначение tg а = к,
получаем уравнение
у — кх + 6,
(10-2)
которому удовлетворяют координаты любой точки М(хцу) прямой.
Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне
данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.
|ф[ Число к — tga называется угловым коэффициентом прямой,
а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффи-
циентом.
Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следо-
вательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у — кх.
68
Если прямая параллельна оси Ох, то а = 0, следовательно, к =
— tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у — Ъ.
Если прямая параллельна оси Оу, то а =. уравнение (10.2) те-
ряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент к — tga = tg ~ не
существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
х = а, ,	(10.3)
где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что
уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем
виде
Ах 4- By + С = 0,	(10.4)
где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю
одновременно.
Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Воз-
можны два случая.
Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах 4- С — 0, причем
С
А 0, т. е. х = - j. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу
и проходящей через точку ^;0).
4 Л*
Если В ф 0, то из уравнения (10.4) получаем у —	Это
есть уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tg а = — д.
Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называ-
ется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
О
1)	если А = 0, то уравнение приводится к виду у = —^. Это есть
уравнение прямой, параллельной оси Ох;
2)	если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;
3)	если С =у0, то получаем Ах4-By = 0. Уравнению удовлетворяют
координаты точки 0(0; 0), прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении
Пусть прямая проходит через точку М{х^,уо) и ее направление
характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой
можно записать в виде у = кх 4- Ь, где b — пока неизвестная величина.
Так как прямая проходит через точку М(хо;уо), то координаты точки
удовлетворяют уравнению прямой: у о = кхо 4- Ь. Отсюда b = т/0 — кх^.
69
Подставляя значение b в уравнение у = кх + Ь, получим искомое урав-
нение прямой у — кх + уо — кх$, т. е.
у - уо = к(х - х0).
(10.5)
Уравнение (10.5) с различными значениями к называют также
уравнениями пучка прямых с центром в точке M{xq\ у$). Из этого пуч-
ка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки M\(x\\yi) и М2(я^;2/2)- Урав-
нение прямой, проходящей через точку Mi, имеет вид
у - У1 = к(х - яд),
(10.6)
где к — пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку М2 (яд; 3/2), то координаты
этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): У2—У1 = к(х2—х±).
Отсюда находим к =	. Подставляя найденное значение к в урав-
нение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки Mi
и М2:
(Ю.7)
У ~У1 _ X -X!
У2-У1 яд - яд ’
Предполагается, что в этом уравнении х± яд, У1 У2-
Если Х2 = яд, то прямая, проходящая через точки М1(зд;?д) и
М2(^25^/2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х±.
Если У2 — У1, то уравнение прямой может быть записано в виде
у = ух, прямая Mi М2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке Mi(a;0), а ось Оу — в
точке М2(0; 6) (см. рис. 42). В этом случае уравнение (ГО.7) примет вид
у — 0	х — а	Гж у	~
-	= -- те	—к - — 1
6-0-------------0 —а’	’ ’ а b
Это уравнение называется уравнением
прямой в отрезках, так как числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает пря-
мая на осях координат.
70
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Мо(хо;уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору п — (А; В).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим
вектор MqM = (х — xq] у — уо) (см. рис. 43). Поскольку векторы п
и MqM перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
п • М^М = 0, то есть
А(х - xq) + В(у - уо) = 0.
(10.8)
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через за-
данную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор п — (А] В), перпендикулярный прямой, называется нор-
мальным вектором этой прямой.
Уравнение (10.8) можно переписать в виде
Ах + By + С = 0,	(10.9)
где АиВ — координаты нормального вектора, С = —Axq — By о — сво-
бодный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой
(см. (10.4)).
Полярное уравнение прямой
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение
можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой
и угол а между полярной осью ОР и осью I, проходящей через полюс
О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).
Для любой точки 7И(г; на данной прямой имеем:
npz ОМ — р.
71
С другой стороны,
npz ОМ — \0М| • cos(ce — <р) — г • cos(<p — а).
Следовательно,
(10.10)
Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных ко-
ординатах.
г cos((/> — а) = р.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием р и а (см. рис. 45). Рассмо-
трим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систе-
му, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно
записать в виде
г • cos(<£> — а) — р — 0, ' т. е. г • cos ср cos a -I- г sine/? sin а —р = 0.
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные коорди-
наты, имеем: r cos<^ = х, г sin ip = у. Следовательно, уравнение (10.10)
прямой в прямоугольной системе коордийат примет вид
х • cos си -h у • sin а — р — 0.	(10.11)
Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.
Рис. 45
Покажем, как привести уравнение
(10.4) прямой к виду (10.11).
Умножим все члены уравнения
(10.4) на некоторый множитель А 0.
Получим ХАх -h ХВу -F ХС = 0. Это
уравнение должно обратиться в урав-
нение (10.11). Следовательно, должны
выполняться равенства: ХА = cos се,
ХВ = sin се, ХС = —р. Из первых двух
равенств находим
А2 А2 + Х2В2 = cos2 се + sin2 се, т. е. А =	=L=.
Va2 + в2
Множитель А называется нормирующим множителем. Согласно тре-
тьему равенству ХС = —р знак нормирующего множителя противопо-
ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример 10.2. Привести уравнение —За; + Ау + 15 = 0 к нормаль-
ному виду.
Q Решение: Находим нормирующий множитель А = —== =
= — 1. Умножая данное уравнение на А, получим искомое нормальное
уравнение прямой: ^х — ^у — 3 = 0.	•
а а
72
10.3.	Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые L± и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффи-
циентами у = к±х 4-61 и у — к2х 4- &2 (см. рис. 46).
Требуется найти угол на который
надо повернуть в положительном напра-
влении прямую L\ вокруг точки их пере-
сечения до совпадения с прямой L2.
Q Решение: Имеем «2 = <£ + (теорема
о внешнем угле треугольника) или </? =
= а2 ~ CEi. Если 9? ту, то
tg<? = tg(«2 - Ql) =
tg a2 ~ tg Cti
1 + tgai -tga2
Ho tg ОЦ =	, tg O!2 =	, поэтому

k2 - k±
1 + ki • k2'
(10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учиты-
вая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть
I ь _ L. I
формулы (10.12) берется по модулю, т. е. tg^ = |1-р^—к Г
Если прямые Li и L2 параллельны, то 99 = 0 и tg 99 = 0. Из форму-
лы (10.12) следует к2 — к± = 0, т. е. к2 = А^. И обратно, если прямые
Li и L2 таковы, что — к2, то tg 92 = 0, т. е. прямые параллельны.
Следовательно, условием параллельности двух прямых является ра-
венство их угловых коэффициентов: к± = к2.
|@| Если прямые Li и L2 перпендикулярны, то (/? = Следовательно,
ctg</? = 1j — — 0. Отсюда 1 4- fci • fc2 = 0, т. е. к± • к2 = —1
к2
(или к2 — — -i-). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом,
условием перпендикулярности прямых является равенство к±’к2 ~ — 1.
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая L уравнением Ах 4- By 4- С — 0 и точка
Мо(жо;?/о) (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки Мо до
прямой L.
73
Q Решение: Расстояние d от точки Mq до прямой L равно модулю про-
екции вектора MiATq, где М-^х^уг) — произвольная точка прямой L,
С = — Axi — Byi. Поэтому
на найравление нормального вектора
п — (А-, В). Следовательно,
7	1 гттг । МгМо • п
d = | прд MiМд\ - ------- =
|П|
-	К^0 - Х^А + (у° ~	-
VA2 + в2
-	I^o + вУо ~ Axi ~ ВУ11
>/А2 + В2
Так как точка Mi (х\; yi) принадлежит
прямой L, то Axi + Byi + С = 0, т. е.
_ |Агр + Вуд + С|
VA2 + В2
(10.13)
что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки Мо(2; —1) до прямой
Зх 4- ^у — 22 = 0.
Решение: По формуле (10.13) получаем
d = |3-2 + 4-(-1)-22| = 20 = 4
ч/Т+16	5
§ 11.	ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА плоскости
11.1.	Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени от-
носительно текущих координат
Ах2 4- 2Вху 4-' Су2 + 2Dx 4- 2Еу 4- F - 0.	(11.1)
Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней ме-
ре одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называ-
ются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено,
что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, ги-
перболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению,
изучим свойства перечисленных кривых.
74
11.2.	Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напо-
мним, что окруж.ностъю радиуса R с центром в точке М$ назы-
вается множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию
MqM = R. Пусть точка Мо в пря-
моугольной системе координат
Оху имеет координаты х$, у^. а
М(х;у) — произвольная точка
окружности (см. рис. 48).
Тогда из условия MqM — R по-
лучаем уравнение
У(ж - а?о)2 + (?/ - Уо)2 = R,
то есть
(х - х0)2 + (у - Уо)2 = R2 (11-2)
Уравнению (11.2) удовлетворя-
ют координаты любой точки
М(х]у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружно-
сти.
В частности, полагая х$ — 0 и у о =0, получим уравнение окруж-
ности с центром в начале координат х2 4- у2 — R2.
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований
примет вид х2 4- у2 — 2а?о^ — 2у$у + Хц + уц — R2 = 0. При сравнении этого
уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко
заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при х2 и у2 равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих коор-
динат.
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значе-
ния В = 0 и А = С 7^ 0, получим
Ах2 4- Ау2 4- 2Dx + 2Ey + F = 0.	(11.3)
Преобразуем это уравнение:
9	9	D	Е	F	„
х2 + у2 + 2—х	+	2— у	+	—	= 0,
Л	Л	Л
т. е.
,	, 2D D2 , Е Е2 F
Х +Г + ~АХ + ^+у +21у + ~^+А
D* 1 2
А2
Е2
= 0,
А2
75
т. е.
/	D'\2 (	Е\2 Е2 D2 F
Vе + а) + V + Aj ~ Л2 + А2 А'
(U-4)
Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при усло-
7^2 ту2 гр	/ Г) zp\
вии	— -j > 0. Ее центр находится в точке Сд	а
радиус	_____________
_ Е2  D2 F
r = \^ + a^~a-
772	т}2	771
Если же ~2 +	— л- = 0, то уравнение (11.3) имеет вид
ЛАЛ
D\2	/ Ex2 „
х+л) А«+л) =°-
Ему удовлетворяют координаты единственной точки Oi -4-; — j:• В
этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой
радиус).
тт>2 т~\2 гр
Если	~ А < 0, то уравнение (11.4), а следовательно,
и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так
как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не
отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
11.3.	Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плос-
кости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая,
чем расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы через Fi и F^,
расстояние между ними через 2с, а
сумму расстояний от произвольной
точки эллипса до фокусов — через 2а
(см. рис. 49). По определению 2а > 2с,
т. е. а > с.
Для вывода уравнения эллипса
выберем систему координат Оху так,
чтобы фокусы и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпа-
дало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие
координаты: Fi(—с; 0) и F2(c;0).
76
Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно
определению эллипса, MF± 4- MF2 — 2а, т. е.
д/(я 4- с)2 + у2 + у/{х — с)2 4- у2 = 2а.	(11-5)
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим
образом:
У(ж 4- с)2 4- у2 — 2а- У(ж - с)2 4- у2,
х2 4- 2сх 4- с2 4- у2 — 4а2 — 4а • у/(х — с)2 4- у2 4- х2 — 2сх 4- с2 4- у2,
ау/(х — с)2 4- у2 = а2 — ст,
а2х2 — 2а2 сх 4- а2с2 4- а2у2 = а4 — 2а2сх 4- с2х2,
(а2 — с2)х2 4- а2у2 = а2(а2 — с2).
Так как а > с, то а2 — с2 > 0. Положим
(11.6)
Тогда последнее уравнение примет вид Ь2х2 4- а2у2 = а2Ъ2 или
2	2	? 2
а — с — о .
у/ = 1
а2 Ъ2
(П.7)
|ф[ Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному
уравнению. Оно называется каноническим уравнением эл-
липса.
Эллипс — кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравне-
нием.
1.	Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, по-
этому если точка (ж; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадле-
жат точки (т; — у), (—х;у/ (—т; — у). Отсюда следует, что эллипс сим-
метричен относительно осей Ох
и Оу, а также относительно точ-
ки 0(0; 0), которую называют цен-
тром эллипса.
2.	Найдем точки пересечения
эллипса с осями координат. По-
ложив у = 0, находим две точки
Ai(a;0) и Л.2(—а;0), в которых ось
Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) х = 0,
находим точки пересечения эллипса с осью Оу\ Bi(0;6) и #2(0; — Ъ).
Точки Ai, Л.2, Bi, В2 называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 и
ВАр-Ь)
В2(0;-&)
Рис. 50
77
BiBz, а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно большой и
малой осями эллипса. Числа а и b называются соответственно большой
и малой полуосями эллипса.
3.	Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части
не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства
а

или -а^х ^аи -Ь^у Следовательно, все точки эллипса лежат
внутри прямоугольника, образованного прямыми х = у = ±6.
2
4.	В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и
ь2
равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого дру-
гое будет уменьшаться, т. е. если |ж| возрастает, то \у\ уменьшается и
наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на
рис. 50 (овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения . При b ~ а эллипс превра-
щается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид х2+у2 =
= а2. В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются от-
ношением -.
а
pfrj Отношение половины расстояния между фокусами к большой
полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и
обозначается буквой е («эпсилон»):
(11.8)
причем 0 < е < 1, так как 0 < с < а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде
\/ а2 — Ь2	I а2 — Ъ2 Г / 2
£	-- . /	- . / 1	(~)	5
а у а у \а/
s с
£ =
а
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу-
дет менее сплющенным; если положить в — 0, то эллипс превращается
в окружность.
Пусть М(х-у) — произвольная точка эллипса с фокусами F± и
F2 (см. рис. 51). Длины отрезков F±M = г± и F2M = г-> называются
фокальными радиусами точки М. Очевидно,
Г1 + г2 = 2а.
78
Имеют место формулы
Г1 = а 4- ех и г2 = а — ех.
g Прямые х = называются директрисами эллипса. Значение
директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема 11.1. Если г — расстояние от произвольной точки эллипса
до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответ-
ствующей этому фокусу директрисы, то отношение ~ есть постоянная
величина, равная эксцентриситету эллипса: ~ = е.
Из равенства (11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравне-
ние (11.7) определяет эллипс, большая ось которого 26 лежит на оси
Оу, а малая ось 2а — на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса
находятся в точках Ei(0; с) и F2(0: — с), где с = \/52 — а2.
11.4.	Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой называется множе-
ство всех точек плоскости, мо-
дуль разности расстояний от ка-
ждой из которых до двух данных то-
чек этой плоскости, называемых фо-
кусами, есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фо-
кусами.
Рис. 53
79
Обозначим фокусы через F± и В2, расстояние между ними через 2с,
а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов
через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху
так, чтобы фокусы F\ и F2 лежали на оси Ох, а начало координат
совпало с серединой отрезка FiF2 (см. рис. 53). Тогда фокусы будут
иметь координаты 77i(—с; 0) и F2(c;0).
££| Пусть М{х;у) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно
определению гиперболы |MFj — MF2| = 2а или МF± — МF% — ±2а,
т. е. у/{х + с)2 + у2 — у/{х — с)2 -Ь у2 = ±2а. После упрощений, как это
было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое
уравнение гиперболы
а2 Ь2
(11.9)
где
Ь2 = с2-а2.	(11.10)
Гипербола есть линия второго порядка.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравне-
нием.
1.	Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Сле-
довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу,
а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром ги-
перболы.
2.	Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Поло-
жив у — 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гипербо-
лы с осью Ox-. Ai(a;0) и Л2(—а;0). Положив х = 0 в (11.9), получаем
у2 = —Ъ2, чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не
пересекает.
р$[ Точки Ai(a;0) и Л2(—а;0) называются вершинами гиперболы, а
отрезок AiA2 — 2а — действительной осью, отрезок ОА± —
— ОА2 — а — действительной полуосью гиперболы.
р5[ Отрезок В1В2 (В\В2 — 2Ъ), соединяющий точки ВДО; Ъ) и В2(0; —Ъ)
называется мнимой осью, число Ъ — мнимой полуосью. Пря-
моугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоуголь-
ником гиперболы.	2
3.	Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше
2	О'
единицы, т. е. что ^2	1 или |ж| а. Это означает, что точки гипербо-
лы расположены справа от прямой х = а {правая ветвь гиперболы) и
слева от прямой х = — а {левая ветвь гиперболы).
80
4.	Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |ж| возрастает,
I I	ГА	1/^
то и \у\ возрастает. Это следует из того, что разность	сохраняет
постоянное значение, равное единице.
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную
на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).
Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, ес-
ли расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю
при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала ко-
ординат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты:
прямая L является асимптотой для кривой К.
2	^2
Покажем, что гипербола	= 1 имеет две асимптоты:
а о
Ь	Ь
у — -х и у = --Х.
а	а
(11-11)
Так как прямые (11.11) и гипербола (11-9) симметричны относительно
координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки ука-
занных линий, которые расположены в первой четверти.
Возьмем на прямой у = точку N имеющей ту же абсциссу х,
что и точка М(х; у) на гиперболе у = ~Vx2 — а2 (см. рис. 56), и найдем
разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы:
MN = -х — -у/х2 — а2 = ~(х — \/ х2 — а2) —
а а	а
__ Ъ (х — у/х2 — а2)(х 4- \/х2 — a2) b а2 _ ab
о	х + \/х2 — а2	о х + \/х2 — а2 х + \/х2 — а2
81
Рис. 55
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается;
числитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка
MN стремится к нулю. Так как MN больше расстояния d от точки М
до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = ±—х
ЦЦ При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить
основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести пря-
мые, проходящие через противоположные вершины этого прямоуголь-
ника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины Ai и гиперболы.
Уравнение равносторонней гиперболы,
асимптотами которой служат оси координат
|ф| Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси
равны (а = Ь). Ее каноническое уравнение
х2 — у2 = а2.	(11-12)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у — х и у — — х
и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат
Ох1 у' (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат
82
на угол а = — Используем формулы поворота осей координат (их
вывод показан на с. 63):
х = х1 cos а — у1 sin а,
у — х' sin а 4- у' cos а.
Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):
/.	/ тг\ .	/ ТГ \ \2

— у1 sin
) — [х1 sin^— — j 4- у' cos
,\2	2	7	/	®
') = а , х - у = —, или у = —
2	х'
1
2
где к = у-.
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу
к
являются асимптотами, будет иметь вид у = —.
Дополнительные сведения о гиперболе
|ф| Эксцентриситетом гиперболы (11.9). называется отношение
расстояния между фокусами к величине действительной оси ги-
перболы, обозначается е:	----
с
Е = -
а
Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы боль-
ше единицы: е > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы.
г2 2
Действительно, из равенства (11.10) следует, что = % — 1, т. е.
1
- = \/е2 — 1 и е —
а
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем
меньше отношение ~ ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основ-
ной прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен у/2. Действи-
тельно,
\/а2 4- а2
а
с
е — -
а
Фокальные радиусы = д/(ж 4- с)2 4- у2 и 7*2 = у/(х ~ СУ2 + У2 для
точек правой ветви гиперболы имеют вид п = ex 4- а и Г2 = ех — а, а
для левой — ri = — {ех 4- а) и г 2 = — {ех — а).
Прямые х = называются директрисами гиперболы. Так как
для гиперболы е > 1, то < а. Это значит, что правая директриса
расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая —
между центром и левой вершиной.
83
Директрисы гиперболы имеют то же свойство — е, что и дирек-
трисы эллипса.
v2 т2
Кривая, определяемая уравнением	= 1, также есть гипер-
бола, действительная ось 26 которой расположена на оси Оу, а мнимая
ось 2а — на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.
Рис. 59
2	?.2	2	2
Очевидно, что гиперболы	= 1 и	= 1 имеют общие
a о	о а
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
11.5. Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из
которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и
данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до
директрисы называется параметром параболы и обозначается через р
(р > 0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху
так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно дирек-
трисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О рас-
положим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В
выбранной системе фокус F имеет координаты ; о), а уравнение ди-
ректрисы имеет вид х — — или х +	= 0.
84
Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку
М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно
определению параболы MF - MN. По формуле расстояния между
двумя точками находим:
+ у2, a =	+ (.У~у12-
у \	Zi /	у \ Z /
Следовательно, __________:________ 
+ у2 - \ (х + 2) •
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
2	2
х2 - рх 4-	+ у2 = х2 + рх +
(11.13)
Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Па-
у2 — 2рх.
Рис. 61
Рис. 60
Исследование форм параболы по ее уравнению
1.	В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, зна-
чит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью
симметрии параболы.
2.	Так как р > 0, то из (11.13) следует, что х 0. Следовательно,
парабола расположена справа от оси Оу.
3.	При х = 0 имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через
начало координат.
4.	При неограниченном возрастании х модуль у также неограничен-
но возрастает. Парабола у2 — 2рх имеет вид (форму), изображенный
на рисунке 61. Точка <9(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок
FM = г называется фокальным радиусом точки М.
85
Уравнения у2 = — 2рх. х2 = 2ру, х2 = —2ру (р > 0) также опреде-
ляют параболы, они изображены на рисунке 62.
Рис. 62
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена у = Ах2 +
+ Вх + С, где А 0, В и С любые действительные числа, представляет
собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
11.6. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии,
параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке Oi(#o;?/o)5
оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и
полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса О±
начало новой системы координат Oix'y', оси которой Oixf и Ору’ па-
раллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними напра-
вленны (см. рис. 63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
/2	/2
х у
----h — = 1
а2 Ь2
Так как xf = х — х^, у' = х — уо (формулы параллельного переноса, см.
с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в
ВИДе	. (х-жр)2 fa-t/o)2
4	а2	Ь2
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром
в точке О1(ж0;т/о) и полуосями а и b (см. рис. 64):
(ж - Жр)2 _ (у - Уо)2 =
а2	Ь2
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответ-
ствующие уравнения.
86
(у - J/o)2 = 2р(ж - Хо)
(х - х0)2 = -2р(р - уо)
Рис. 65
Уравнение Ах2 4- Су2 4- 2Dx 4- 2Еу 4- F = О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружно-
сти (х — жо)2 4- (у — у о)2 — R2 после преобразований (раскрыть скобки,
перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные чле-
ны, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с
помощью единого уравнения вида
Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О,	(П-14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет од-
ну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго по-
рядка? Ответ дает следующая теорема.
87
Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность
(при А = С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при
А С < 0), либо параболу (при АС — 0). При этом возможны случаи
вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эл-
липс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,
для параболы — в пару параллельных прямых.
Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением 4ж2 4- 5у2 4- 20а; — 301/ 4-10 — 0.
Q Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А-С = 4-5 >
> 0). Действительно, проделаем следующие преобразования:
4(я2 + 5х + ^) + 5(?/2 - бу + 9) - 25 - 45 + 10 = 0,
/	5 \2
4(я + |)2 + 5(т/ - З)2 = 60,	+	= L
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в О± 3^ и
полуосями а — у/15 нЬ- л/12.	•
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением ж2 4- Юж — 2у 4-11 = 0.
Q Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Дей-
ствительно,
ж2 4- Юж 4- 25 - 2у 4-11 — 25 = 0,
(ж 4- 5)2 = 21/4- 14, (ж 4- 5)2 = 2(1/ 4- 7).
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
ОД—5; —7) и р = 1.	•
Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением 4ж2 — у2 4- 8ж — Sy — 12 = 0 (А • С = — 4 < 0).
Q Решение: Преобразуем уравнение:
4(ж2 4- 2ж 4-1) - (у2 4- 8т/ 4-16) — 4 4-16 — 12 = 0,
4(ж 4- I)2 - (у + 4)2 = 0,
(2(ж 4-1) 4- (у + 4)) • (2(ж + 1) - (1/ 4- 4)) - 0,
(2ж 4- у 4- 6)(2ж — у — 2) = 0.
88
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х 4- у 4- 6 — О
и 2х - у - 2 = 0.	•
Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неиз-
вестными:	о	о	z
Ах2 4- 2Вху 4- Су2 4- 2Dx + 2Еу 4- F = 0.	(11.15)
Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением
координат (В 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол
а, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением
координат отсутствовал.
Используя формулы поворота осей (с. 63)
х = х' cos а — у' sin а, у = х' sin а 4- у1 cos а,
выразим старые координаты через новые:
А(х’ cos а — у1 sin а)2 4- 2В(х1 cos а — у‘ sin а) (х1 sin а 4- у’ cos а)4-
4- С(х' sin а 4- у’ cos о;)2 4- 2D(x' cos а — у' sin а)4-
4- 2Е(х' sin а 4- у1 cos а) 4- F — 0.
Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х' • у1 обратился в
нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство
—2 A cos a sin а 4- 2B(cos2 а — sin2 а) 4- 2С sin a cos а = 0,
Т*е*	(С-A) sin 2а+ 2В cos 2а = 0,	(11.16)
т. е.
2В cos 2а = (А — С) sin 2а.
Отсюда
tg2a=——.	(11.17)
л — о
Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий
условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).
Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на
плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следу-
ющие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом
случае cos2a = 0 (см. (11.16)), тогда 2a = 90°, т. е. a = 45°. Итак, при
А = С систему координат следует повернуть на 45°.
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Лекции 10-12
§12. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
12.1.	Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать
как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо
условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке Oi есть гео-
метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки Oi
на расстоянии R.
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволя-
ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про-
странства и тройками чисел ж, у и z — их координатами. Свойство,
общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя-
зывающего координаты всех точек поверхности.
|ф[ Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе
координат Oxyz называется такое уравнение F(x,y,z) — 0 с тремя
переменными ж, у и г, которому удовлетворяют координаты каждой
точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то-
чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении
поверхности называются текущими координатами точек поверх-
ности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических
свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для
того, чтобы узнать, лежит ли точка М^х^уг; zi) на данной поверхно-
сти, достаточно подставить координаты точки Mi в уравнение поверх-
ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав-
нению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не
лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке Oi (ж0; у о; zq).
Согласно определению сферы расстояние любой ее точки M(x;y;z) от
центра Oi(жо; У о] ^о) равно радиусу R, т. е. О±М — R. Но О±М — |OiМ|,
где OiМ = (х — xq \ у — т/о; z — го). Следовательно,
Vх(а; - а?о)2 + (у - у0)2 + (г - z0)2 = R
90
или
(х - Хо)2 + (у - Уо)2 + (z - z0)2 = R2.
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты
любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на
данной сфере.
Если центр сферы О\ совпадает с началом координат, то уравнение
сферы принимает вид ж2 4- у2 + z2 — R2.
Если же дано уравнение вида F(x\ у; z) = 0, то оно, вообще говоря,
определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях
уравнение F(x\ у; г) = 0 может определять не поверхность, а точку, ли-
нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят,
«поверхность вырождается».
Так, уравнению 2х2 4- у2 4- z2 4- 1 — 0 не удовлетворяют никакие
действительные значения ж, ?у, z. Уравнению 0 • х2 4- у2 + z2 — 0 удовле-
творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения
следует: у — О, z = О, ах — любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать ^геометрически и
аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав-
нение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x; у; z) = 0. Исследовать форму поверхности,
определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе-
чения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место
точек, общих двум поверхностям.
Если Fi(x;y;z) = 0 и F2(x; у; z) = 0 — уравнения двух поверхно-
стей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удо-
влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
(fl(W) = 0,	(121)
\F2(x;y;z) = 0.
Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в
( у — 0,
пространстве. Например, < есть уравнения оси Ох.
I z — 0
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию дви-
жения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным урав-
нением
f = r(t)	(12.2)
91
или параметрическими уравнениями
х = x(t),
* У =
— z(t)
проекций вектора (12.2) на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют
вид
х = Rcost,
у — R sin t,
z —
Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци-
линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М
описывает винтовую линию (см. рис. 68).
12.2.	Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про-
странстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них
соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой
Mq(xq; У о] zq) и вектором п = (А; В, С), перпендикулярным этой плос-
кости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней
произвольную точку М(х-у; z) и составим вектор
М$М - (х - х0\у - уо; z - г0).
92
А(х - хо) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0.
При любом расположении точки М на плоскости Q векторы п и
MqM взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение
равно нулю: п • М$М = 0, т. е.
(12-3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению
(12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравне-
нию не удовлетворяют (для них п • MqM 0).
|5>| Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, прохо-
дящей через данную точку Мо(#о; У о] ^о) перпендикулярно
вектору п = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих
координат х, у и z. Вектор п = (Л; В; С) называется нормальным
вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные
значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей
через точку Мд. Совокупность плоскостей, проходящих через данную
точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнени-
ем связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными
х, у И Z'.
Ax + By + Cz + D = Q.	(12.4)
93
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не
равен нулю, например В 0, перепишем уравнение (12.4) в виде
А(х - 0) + В
(
\У+в)
+ C(z - 0) = 0.
(12-5)
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав-
нения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным
вектором п — (А; В; С), проходящей через точку Mi (б; —	0^.
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz не-
которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравне-
нием плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1.	Если D — 0, то оно принимает вид Ах 4- By 4- Cz = 0. Этому
уравнению удовлетворяет точка 0(0; 0;0). Следовательно, в этом слу-
чае плоскость проходит через начало координат.
2.	Если С — 0, то имеем уравнение Ах 4- By 4-0 = 0. Нормальный
вектор п = (А;В;0) перпендикулярен ochOz. Следовательно, плос-
кость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси От/, А = 0 —
параллельна оси Ох.
3.	Если С — D = 0, то плоскость проходит через 0(0; 0;0) парал-
лельно оси Oz, т. е. плоскость Ах 4- By = 0 проходит через ось Oz.
Аналогично, уравнениям By 4- Cz = 0 и Ах 4- Сz = 0 отвечают плоско-
сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4.	Если А — В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz 4-0 = 0,
т. е. z = — Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично,
уравнениям Ах 4- О = 0 и By 4-0 = 0 отвечают плоскости, соответ-
ственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.
5.	Если А = В — D — 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е.
z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение
плоскости Oxz; х = 0 — уравнение плоскости Oyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют
единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей
через три данные точки МЦяд; i/i; zj, М2(х2; Уз; г2) и М3(х3; у3; z3), не
лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим
векторы МГМ = (х -хг; у -yr; z- zj, М±М2 = (ж2 - х±; у2 -yi; z2 - zj,
= (ж3 — Ж1;?/з — yi;z% — zi). Эти векторы лежат на плоскости Q,
следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно-
сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем
94
М1М • МгМ2 • M1M3 = 0, т. e.
x-xr у -yi z- zr
X2 - Xi y2- У1 z2 - Zi
Хз - Xi y3- yi z3 - Zi
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно
отрезки а, b и с, т. е. проходит через три точки А(а;0;0), В(0;6;0) и
<7(0; 0; с) (см. рис. 70).
Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем
х — а у z
—а b 0
—а 0 с
= 0.
Раскрыв определитель, имеем bcx — abc 4- abz 4- асу = 0, т. е. Ьсх 4- асу 4-
|ф| Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрез-
ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единично-
го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного
на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра
(см. рис. 71).
95
г • е — р — 0.
х cos а 4- у cos /3 4- z cos 7 — р = 0.
Пусть О К = р, a ct, /3, у — углы, образованные единичным век-
тором ё с осями Ох, Оу и Oz. Тогда ё = (cos a; cos /3; cos 7). Возьмем
на плоскости произвольную точку M(x;y‘,z) и соединим ее с началом
координат. Образуем вектор г — ОМ = (х;у- z).
При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-
вектора г на направление вектора ё всегда равно р: прё г — р, т. е.
(12.8)
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости
в векторной форме. Зная координаты векторов г и ё, уравнение (12.8)
перепишем в виде
(12-9)
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плос-
кости в координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к
нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения
прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4)
на нормирующий множитель А — -----/ •	, где знак берется
± а/42 + В2 + С2
противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плос-
кости.
12.3.	Плоскость. Основные задачи
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости Qi и Q2’.
Aix 4- В^у 4- Ciz 4- D\ — 0,
А%х 4- В2у 4- C^z 4-	— 0.
р5| Под углом между плоскостями Qi и Q2 понимается один из
двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол ср между нормальными векторами ni = (Ах; B^Ci) и n2 =
= (А^В^Съ) плоскостей Qi и Q2 равен одному из этих углов (см.
рис. 72). Поэтому coscp =	‘	। или
А1А.2 4~ В1В2 4- (71 (?2
COS (р —  — —   ......======== .
УА2 + В2 + С2  УА2 + В2 + С2
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости Qi и Q2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то та-
ковы же их нормали, т. е. ni ± П2 (и наоборот). Но тогда п± • п2 = 0,
96
Рис. 72
Рис. 73
т. е. А1А2 4- В1В2 + С1С2 = 0. Полученное равенство есть условие пер-
пендикулярности двух плоскостей Q\ и
Если плоскости Qi и Qz параллельны (см. рис. 73, б), то будут
параллельны и их нормали п± и Й2 (и наоборот). Но тогда, как известно,
АВС
координаты векторов пропорциональны: -Д- —	Это и есть
Л-2	±>2 О2
условие параллельности двух плоскостей Qi и Qz.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка Mq(xq; уо \ го) и плоскость Q своим уравнением
Ах 4- By + Cz 4- D = 0. Расстояние d от точки Mq до плоскости Q
находится по формуле
_ |Аа;о 4- Ву$ 4- Сzq 4- В|
VA2 + В2 4-
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от
точки Мо(хо] уо) до прямой Ах 4- By 4- С — 0 (см. с. 73).
Расстояние d от точки Мо до плоскости Q равно модулю проек-
ции вектора где Mi(xi; ух\ zQ — произвольная точка плоскости
Q, на направление нормального вектора п = (А; В; С) (см. рис. 74).
Следовательно,
MjMo-n _ \(x0-xl)A+(y0-y1)B + (z0-z1)C\ _
d=\ пряМхМо| =
VA2+B2+C2
_ [Axo + Byo + Czp-Axi-Byi-Czi]
VA2+B2+C2
А так как точка Mi(xi;yi;zi) принадлежит плоскости Q, то
Axi + Byi + Czi + D = 0, т. e. D = —Axi — By\ — Cz^.
Поэтому d —	+	. Отметим, что если плоскость Q
\/А2 + В2 + С2
задана уравнением х cos а 4- ?/ cos /? 4- г cos 7 — р — 0, то расстояние от
4 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
97
точки Mq(xq; у о; zq) до плоскости Q может быть найдено по формуле
d — \xq cos а 4- т/о cos /3 4- zq cos 7 — р\.
Рис. 75
Рис. 74
12.4.	Уравнения прямой в пространстве
Векторное уравнение прямой
|ф| Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать
какую-либо точку Мо на прямой и вектор S, параллельный этой
прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.
Пусть прямая L задана ее точкой Мд(жд; т/g; ^о) и направляющим векто-
ром S — (т, щр). Возьмем на прямой L произвольную точку М(х\ у; z).
Обозначим радиус-векторы точек Mq и М соответственно через fg и г.
Очевидно, что три вектора fg, г и М$М связаны соотношением
f = fQ + M^M.	(12.10)
Вектор MqM, лежащий на прямой L, параллелен направляюще-
му вектору S, поэтому MqM = tS, где t — скалярный множитель,
называемый параметром, может принимать различные значения в за-
висимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75).
Уравнение (12.10) можно записать в виде
(12.11)
g Полученное уравнение называется векторным уравнением
прямой.
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что f = (x;y;z), г о = (яд; т/0; z0), tS = (tm;tn;tp), уравне-
ние (12.11) можно записать в виде
яг 4- yj + zk — (х0 4- tm)i 4- (у о 4- tri)j 4- (z0 4- tp)k.
г — Гд 4- tS.
98
Отсюда следуют равенства:
х = хр 4- mt,
< У = Уо + nt,
— Zp 4-pt.
(12.12)
X - Хр _ у -yp _ z- Zp
m n p
Они называются параметрическими уравнениями прямой в простран-
стве.
Канонические уравнения прямой
Пусть S = (т;п;р) — направляющий вектор прямой L
и Мр(х0; yp;zp) — точка, лежащая на этой прямой. Вектор МрМ, соеди-
няющий точку Мр с произвольной точкой М(х', у; z) прямой L, паралле-
лен вектору S. Поэтому координаты вектора МрМ—(х—хр; у—у0; z—zp)
и вектора S = (m;n;p) пропорциональны:
(12.13)
Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями
прямой в пространстве.
Замечания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу
из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t.
Из уравнений (12.12) находим
X ~ Хр _ У ~Уо _ Z — Zp _
т п р
2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13)
означает обращение в нуль соответствующего числителя.
Например, уравнения -	-	-1.' задают прямую, про-
о	Zt	U
ходящую через точку Мо(2; —4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция
вектора S на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит
в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z — 1 = 0.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки
Пусть прямая L проходит через точки ; у±; z±) и Мэ(х2^2', 22).
В качестве направляющего вектора S можно взять вектор М1ТИ2 =
= (я2 — ; У2 — yi; Z2 — z\), т. е. S = М2 (см. рис. 76). Следовательно,
т = Х2 — xi, п = у2 — У1ч р = ^2 — ^1- Поскольку прямая проходит
через точку Mi(#i; тц; zi), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения
прямой L имеют вид
(12.14)
X — Xi	= У-У1	Z — Z1
X2 ~ Xr	У2 - У1	22 - Zi ’
99
Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходя-
Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух
непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
4- В^у 4- C\z 4- D\ — О,
А%х 4- В2У 4-	4~ D2 — 0.
(12.15)
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плос-
кости не параллельны (координаты векторов п\ = (A^B^Ci) и П2 =
— (А2; В2',С2) не пропорциональны), то система (12.15) определяет пря-
мую L как геометрическое место точек пространства, координаты ко-
торых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77).
Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим урав-
нениям (12.13). Координаты точки Мо на прямой L получаем из систе-
мы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значе-
ние (например, z — 0).
Так как прямая L перпендикулярна векторам и П2, то за напра-
вляющий вектор S прямой L можно принять векторное произведение
X П2‘
S = щ х П2 =
i j к
А, В, С,
А2 В2 С2
Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв
две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).
100
Пример 12.1. Написать канонические уравнения прямой L, за-
данной уравнениями
х + у — z 4-1 = О,
2х — у — Зг + 5 — 0.
I х 4- у — —1,
Q Решение: Положим z — 0 и решим систему <	Находим
I 2х — у — —5.
точку Mi (—2; 1; 0) Е L. Положим у = 0 и решим систему < Х
\2x — 3z — —b.
Находим вторую точку Af2(2;0;3) прямой L. Записываем уравнение
прямой L, проходящей через точки Mi и М2:
х + 2 _ у — 1 _	ж
4	-1 = 3’
12.5.	Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности прямых
Пусть прямые Li и L2 заданы уравнениями
ж - Ж1 _ у-yi _ z- Zi
mi	ni	pi
11 X-X2 _ У ~У2 _ Z- Z2
m2 «2 P2
Под углом между этими прямыми по-
нимают угол между направляющими
векторами Si = .(mi5ni5Pi) ий-
= (m2;n2;p2) (см. рис. 78). Поэтому,
по известной формуле для косинуса
cos = I f Х| ' fc I или
Р1| • Рг|
между векторами, получаем
_ mim2 4- nin2 + Р1Р2_________
+ nJ 4- Pi • у/тп% 4-	4- р2
(12.16)
Для нахождения острого угла между прямыми Li и L2 числитель пра-
вой части формулы (12.16) следует взять по модулю.
Если прямые Li и L% перпендикулярны, то в этом и только в этом
случае имеем cost/? = 0. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен
нулю, т. е. mim2 4- nin2 4- Р1Р2 — 0.
101
Если прямые Li и L2 параллельны, то параллельны их направля-
ющие векторы Si и §2- Следовательно, координаты этих векторов про-
ТП1	Pi
порциональны, т. е. —- = — =
m2 п2 Р2
Пример 12.2. Найти угол между прямыми
z + 2
£ = ~ 2
2	-1
2х + у — z — 1 = 0,
2х — у + Зх + 5 = 0.
Q Решение: Очевидно, Si = (2; —1; 3), a S2 — rh ХП2, где п± = (2; 1; —1),
п2 = (2; —1; 3). Отсюда следует, что S2 = (2; —8; —4). Так как Si • S2 =
= 4 -h 8 — 12 — 0, то р = 90°.	•
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
Пусть прямые Li и Т2 заданы каноническими уравнениями
Рис. 79
Тогда
X-Xi _ У ~У1 _ Z — Zi
mi	Hi	pi
и
X - X! _ У ~У2 _ Z - Z2
ГП2 П2 Р2
Их направляющие векторы соответст-
венно Si = (mi;ni;pi) и S2 = (m2;n2;p2)
(см. рис. 79).
Прямая Li проходит через точку
Mi (яд; 7/1; zi), радиус-вектор которой
обозначим через п; прямая Т2 проходит
через точку М2(гг2; т/2; г2), радиус-вектор которой обозначим через г2.
г2 - Г1 =	= (х2 -Х1;у2- yi',z2 - zi).
Прямые Li и L2 лежат в одной плоскости, если векторы Si, S2 и
Mi М2 = Г2—Г1 компланарны. Условием компланарности векторов явля-
ется равенство нулю их смешанного произведения: (f2 — fi)SiS2 = 0,
т. е.
Х2 ~ Xi	У2 ~У1	Z2 ~ Zi
mi	П1	• Pl
т2	п2	Р2
При выполнении этого условия прямые Li и Т2 лежат в одной плос-
кости, то есть либо пересекаются, если S2 7^ ASi, либо параллельны,
если Si || S2.
102
12.6.	Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость Q задана уравнением Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0, а
прямая L уравнениями	n^° —	.
g Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух
смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плос-
кость. Обозначим через ср угол между плоскостью Q и прямой L, а
через в — угол между векторами п = (А; В; С) и S = (тщщр) (см.
рис. 80). Тогда cos# = —. Найдем синус угла ср, считая
sin ср = sin(^ — #) = cos#. И так как sin ср Рр 0, получаем
\Ат 4- Вп 4- Ср\
Sin Ср —	.... --------.-.г	.
у/А2 4- В2 4- С2 • у^т2 4- п2 4- р2
(12.17)
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы п и S пер-
пендикулярны (см. рис. 81), а потому S • п = 0, т. е.
Ат 4- Вп 4- Ср — 0
Р0 является условием параллельности прямой и плоскости.
Рис. 82
Рис. 80
Рис. 81
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы п и S
параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства
А _ В _ С
т п р
являются условиями перпендикулярности прямой и плоско-
сти.
103
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности
прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
X - Xq _ у -Уо _ Z — Zq	(
т п Р
(12.18)
1
с плоскостью
(12.19)
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0.
Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще все-
го это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом
виде:	z
х = xq 4- mt,
\ У = Уо + nt,
jz — Zo+pt.
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (12.19),
получаем уравнение A(a?o 4- mt) + В (уо + nt) 4- C(zo 4- pt) 4- D — 0 или
t(Am 4- Bn 4- Ср) 4- {Axq 4- Byo + Czq 4- D) = 0.	(12.20)
Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Ат 4- Вп 4- Ср 0,
то дз равенства (12.20) находим значение t:
_ Axq 4- By о -f- Сzq 4- D
Ат + Вп 4- Ср
Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения пря-
мой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда Ат 4- Вп 4- Ср = 0 (L || Q):
а)	если F = Axq 4- Вуо 4- Сzq 4- D 0, то прямая L параллель-
на плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не
имеет, так как имеет вид 0 • t 4- F — 0, где F 0);
б)	если Аго 4- #2/о 4- Czq 4- D = 0, то уравнение (12.20) имеет вид
t • 0 4- 0 = 0; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой
является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: пря-
мая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение
равенств	z
j Ат 4- Вп 4- Ср — 0,
Axq 4“ Ву$ 4" СZq 4~ D = 0
К| является условием принадлежности прямой плоскости.
12.7.	Цилиндрические поверхности
|ф| Поверхность, образованная движением прямой L, которая переме-
щается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пере-
секая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической
104
поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется на-
правляющей цилиндра, а прямая L — его образующей (см. рис. 83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляю-
щие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие
параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия JC, уравнение ко-
торой
F(x;y)=0.	(12.21)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направля-
ющей К.
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого парал-
лельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z.
Рис. 83	Рис. 84
□ Возьмем на цилиндре любую точку М(х-,у; z) (см. рис. 84). Она ле-
жит на какой-то образующей. Пусть N — точка пересечения этой обра-
зующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой
К и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).
Но точка' М имеет такие же абсциссу х и ординату т/, что и точка N.
Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки
М(ж; у, г), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка
цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра. 
Теперь ясно, что F(x’, z) = 0 есть уравнение цилиндра с образую-
щими, параллельными оси Оу, a F(y, z) — 0 — с образующими, парал-
лельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием напра-
вляющей. Если направляющей служит эллипс
в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверх-
ность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).
105
р5| Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой
цилиндр, его уравнение х2 + у2 — R2. Уравнение х2 = 2pz опреде-
ляет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравне-
ние	2	2
_ У_ _ 1
2	7 2 ~ 1
а о
К| определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см.
рис. 87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго поряд-
. ка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относи-
тельно текущих координат х, у и z. .
12.8.	Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой
вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вра-
щения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения
этой кривой запишутся в виде
/Шг)=°’	(12.22)
I х = 0.
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L во-
круг оси Oz.
Возьмем на поверхности произвольную точку M(x',y;z) (см.
рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси
Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответ-
ственно через 01 и N. Обозначим координаты точки N через (0; у\; z\).
Отрезки 01М и O\N являются радиусами одной и той же окружности.
Поэтому 01М = 01N. Но О±М = у/х2 + у2, O±N = \у±\. Следователь-
но, |t/i| = у/х2 + у2 или т/i = ±^/ж2 + у2. Кроме того, очевидно, z\ — z.,
106
Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетво-
ряют уравнению (12.22). Стало быть, F(yi;zx) = 0. Исключая вспомо-
гательные координаты ух и zx точки IV, приходим к уравнению
F(±v^+y2; г) = 0.	(12.23)
Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему
удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удо-
влетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заме-
ной у на 4=^/х'2 4- 2/2, координата z сохраняется.
Понятно, что ёсли кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то
уравнение поверхности вращения имеет вид
F(y\ ±\/х2 4- г2) = 0;
если кривая лежит в плоскости Оху (z = 0) и ее уравнение F(x; у) = 0,
то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой
вокруг оси Ох, есть F(x; ±^/у2 4- z2) = 0.
pgj Так, например, вращая прямую у — z вокруг оси Oz (см. рис. 89),
получим поверхность вращения (ее уравнение + У2 ~ z или
х2 4- у2 = г2). Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими че-
рез данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L
(не проходящую через Р), называется конической поверхностью
или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса,
точка Р — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, назы-
вается образующей.
107
Рис. 89
Пусть направляющая L задана уравнениями
Fi(x;y;z) = О,
F2(x;y,z) = О,
(12.24)
а точка Р(жо; Уо- го) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М(х\ у; z) (см.
рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет на-
правляющую L в некоторой точке N(xi; у^, zi). Координаты точки N
удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:
(жх; 3/1; 2Г1) = 0,
; з/1; ^i) = 0.
(12.25)
(12.26)
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N,
имеют вид
X - Хр _ у - Уо _ Z ~ Zq
- Х0 У1 ~ УО ?! ~ Z0 ’
Исключая ^1,2/1 и z\ из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение
конической поверхности, связывающее текущие координаты ж, у и z.
Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
2 у2
0(0; 0; 0),если направляющей служит эллипс 4- ут — 1, лежащий в
а о
плоскости z — с.
Q Решение: Пусть M(x;y;z) — любая точка конуса. Канонические
уравнения образующих, проходящих через точки (0; 0; 0) и точку
(^i; 2/i;^i) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут — —	=
У1
108
= —. Исключим Ж1, т/i и z\ из этих уравнений и уравнения
2	2
Ц + §- = 1	(12.27)
а Ъ
(точка (^i;лежит на эллипсе), z± ~ с. Имеем: — = -,
с У1 с
Отсюда Xi = с - j и ?/1 =с-|. Подставляя значения и 2/1 в уравнение
эллипса (12.27), получим
2	2	2	2	2	2	2
С • X	С 'У _	X	у _ Z
~2	2	2 72 ~ 1 ИЛИ — +	— “у •
z ' a	z 'b	а	о с
Это и есть искомое уравнение конуса.	•
12.9.	Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. по-
верхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат яв-
ляется алгебраическим уравнением второй степени) будем определять
ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод
сечений: исследование вида поверхности будем производить при помо-
щи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными
плоскостями или плоскостями, им параллельными.
Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
х2 у2 z2
---Ь -—I--
а2 Ь2 с2
(12.28)
Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельны-
ми плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z — h, где h — любое
число.
Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями
(4 + й = 1-4,
а2 Ь2 с2
z — h.
Исследуем уравнения (12.29):
2	л.2
а)	Если \h\ > с, с > 0, то ^2+^2 <0- Точек пересечения поверх-
ности (12.28) с плоскостями z = h не существует.
(12.29)
109
б)	Если \h\ = с, т. е. h = ±с, то -I-	= 0. Линия пересече-
ния (12.29) вырождается в две точки (0; 0; с) и (0; 0; —с). Плоскости z = с
и z — —с касаются данной поверхности.
в)	Если \h\ < с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:
Как видно, линия пересечения есть
эллипс с полуосями (см. рис. 91)
При этом чем меньше |Д|, тем больше полуоси и bi. При h = 0 они до-
стигают своих наибольших значений: = a, bi = b. Уравнения (12.29)
примут вид
(4 + ^ = 1,
< а Ъ
h = 0.
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх-
ности (12.28) плоскостями х = h и у — h.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-
верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх-
ность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, b и с называются
полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы-
вается трехосным] если какие-либо две полуоси равны, трехосный
эллипсоид превращается в эллипсоид вращения] если а = b = с,
то *— в сферу х2 + у2 + z2 = а2.	’
Однополостный гиперболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
(12.30)
Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z — Л, получим линию пе-
ресечения, уравнения которой имеют вид
110
Как видно, этой линией является эллипс с полуосями
/ ь2	7
ai =	1 + и &i=&4/l +
V с	у
Полуоси di и bi достигают своего наименьше-
го значения при h — 0: ai — a, bi = b. При
возрастании |Л| полуоси эллипса будут увели-
чиваться.
Если пересекать поверхность (12.30) плос-
костями х = h или у — h, то в сечении полу-
чим гиперболы. Найдем, например, линию пере-
сечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz,
уравнение которой х — 0. Эта линия пересече-
ния описывается уравнениями
(z2
Ь2
х — 0.
Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).
g Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая
уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся
трубки. Поверхность (12.30) называется однополостным гипербо-
лоидом.
Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида
(12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.
Двухполостный гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением
9	2	9
+ К	-	= -1.	(12.31)
а2 Ь2	с2	v ’
Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере-
сечения определяется уравнениями
la2 b2 <?	’	(12.32)
z — h.
к
Отсюда следует, что:
а)	если \h\ < с, то плоскости z — h не пересекают поверхности;
б)	если |/1| = с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности
соответственно в точках (0; 0; с) и (0; 0; —с).
в)	если \h\ > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так
2	2
Х^	V
	1	-- = 1
< а2(^ - 1)-------------62(^ - 1)
z — h.
111
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро-
стом \h\.
Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz
(х = 0) и Oxz (у = 0), получим в сечении гиперболы, уравнения кото-
рых соответственно имеют вид
v2 %2
У.____z_ — _ 1
Ъ2	с2 ~ 1
2	2
и	=
а с
|ф[ У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод се-
чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе-
мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей,
имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31)
называется двухполостным гиперболоидом.
Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
^ + ^ = 2г,
Р Q
(12.33)
где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В
сечении получим линию, уравнения которой есть
Если h < 0, то плоскости z — h поверхности не пересекают; если h = 0,
то плоскость z — 0 касается поверхности в точке (0; 0; 0); если h > 0,
112
то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид
(	2	„,2
_Т_ + Л— = 1
2ph 2qh ’
z — h.
Его полуоси возрастают с ростом h.
g При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями
Oxz и Oyz получатся соответственно параболы z = и z —
Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет
вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверх-
ность (12.33) называется эллиптическим параболоидом.
Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением
х2
Р
У2
— = 2г,
Q
(12.34)
где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z — h.
Получим кривую
.2	^2
< 2ph 2qh ~~
z = h,
которая при всех значениях h 0 является гиперболой. При h > 0 ее
действительные оси параллельны оси Ох; при h < 0 — параллельны
2	2
оси Оу; при h = 0 линия пересечения	= 0 распадается на
пару пересекающихся прямых	= 0 и	= 0. При
пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz
(у = Ji), будут получаться параболы
'2 _	, h?\
У = h,
ветви которых направлены вверх. При у = 0 в сечении получается
парабола
х2 = 2pz,
У = 0
с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.
Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х — h, получим пара-
(7 2 \
z ~ 2^р ветви которых направлены вниз.
Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:
она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется
гиперболическим параболоидом.
113
Рис. 96
Рис. 95
Конус второго порядка
Исследуем уравнение поверхности
2	2	2
X у Z
---1- -----------= О
2 ' 7 2	2
а о с
(12.35)
Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z — h. Линия пересечения
2	?.2 г2
^2* 4"	~ ~2*5 z ~ h. При h — 0 она вырождается в точку (0; 0; 0). При
h 0 в сечении будем получать эллипсы
э	2
хл	7/
------1- —— = 1
g2fe2-62Д2
с2	с2
z — h.
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании \h\.
Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х — 0). Получится
ЛИНИЯ	/22
< Ь2 с2
х — О,
распадающаяся на две пересекающиеся прямые
У	z	У \ Z	Г\
		= О и - 4- - = 0.
b--с--о с
При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию
а с
= О,
114
также распадающуюся на две пересекающиеся прямые
х z	х z
------— О и - + - = 0.
ас-----ас
g Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется кону-
сом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96.
|ф| Поверхности, составленные из прямых линий, называются линей-
чатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, ко-
нические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гипербо-
лический параболоид.
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Лекции 13-22 I
§13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1. Основные понятия
|ф| Понятие множества является одним из основных неопределяемых
понятий математики. Под множеством понимают совокупность
(собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по
какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин-
ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне-
ния х2 + 2х + 2 = 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элемен-
тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин-
ского алфавита А, В,..., X, У,..., а их элементы — малыми буквами
а, Ь,..., х, у,...
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х Е Х\
запись х 6 X или х X означает, что элемент х не принадлежит мно-
жеству X.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу-
стым, обозначается символом 0.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко-
торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой-
ство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А — {1,3,15} означает, что множество А состоит
из трех чисел 1, 3 и 15; запись А = {х : 0 х 2} означает, что
множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)
чисел, удовлетворяющих неравенству 0 х 2.
[ф| Множество А называется подмножеством множества В, если
каждый элемент множества А является элементом множества В.
Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или
В D А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут
А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие
из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств А и В называется множе-
ство, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо-
значают AUB (или А4-В). Кратко можно записать AUВ = {х : хЕА
или х Е В}.
116
g Пересечением (или произведением) множеств А п В называется
множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад-
лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно-
жеств обозначают АПВ (или АВ). Кратко можно записать АС\В = {х :
х е А и х € В}.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко-
торые простейшие логические символы:
а => /3 — означает «из предложения а следует предложение /3»;
(х <=> /3 — «предложения а и /3 равносильны», т. е. из а следует
{3 и из f3 следует а;
V — означает «для любого», «для всякого»;
3 — «существует», «найдется»;
: — «имеет место», «такое что»;
— «соответствие».
Например: 1) запись \/х Е А : а означает: «для всякого элемента
х Е А имеет место предложение се»;
2) (х € A U В) <=> (х Е А или х 6 В); эта запись определяет
объединение множеств А и В.
13.2.	Числовые множества.
Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N = {1; 2; 3; ...; п; ...} — множество натуральных чисел;
Zo = {0; 1; 2; ... ;.п; ...} — множество целых неотрицательных чи-
сел;
Z = {0; ±1; ±2; ...; ±п; ... } — множество целых чисел;
Q =	: m Е Z, n Е — множество рациональных чисел.
R — множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
NcZqCZcQcR
Множество К. содержит рациональные и иррациональные числа. Вся-
кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью
или бесконечной периодической дробью. Так, 1 = 0,5 (= 0,500...),
£
= 0,333 ... — рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ-
ются иррациональными.
Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого
равен числу 2.
□ Допустим, что существует рациональное число, представленное не-
сократимой дробью —, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
—	=2, т. е. ш — 2п.
' \ п J
Отсюда следует, что т2 (а значит, и т) — четное число, т. е. т = 2к.
Подставив т = 2к в равенство т2 — 2п2, получим 4fc2 = 2п2, т. е.
2к2 — п2. Отсюда следует, что число п — четное, т. е. п — 21. Но то-
гда дробь — — сократима. Это противоречит допущению, что —
Ztl	П
дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи-
сла, квадрат которого равен числу 2.	
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической
дробью. Так, у/2 = 1,4142356..., тг = 3,1415926... — иррациональные
числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе-
ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать
В = {.т : х — а, • • • }? где а аг £ {0,	9}.
Множество В действительных чисел облагает следующими свой-
ствами.
1.	Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел а и Ъ имеет
место одно из двух соотношений а < Ь либо b < а.
2.	Множество В плотное: между любыми двумя различными чи-
слами а и b содержится бесконечное множество действительных чисел
х. т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь.
Так, если а < 6, то одним из них является число
2а<а + Ь
и а + Ь<2Ь
а + Ь
а<~Т~
3.	Множество В непрерывное. Пусть множество В разбито на два
непустых класса Аи В таких, что каждое действительное число содер-
жится только в одном классе и для каждой пары чисел а 6 А и b G В
выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще-
ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а с b
a G A, Vb G В). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи-
сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В
нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда
в классе А нет наибольшего).
118
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач-
ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно-
жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е R
соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на-
оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)
действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят
«точка».,
13.3.	Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть а и b — действительные числа, причем а < Ь.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже-
ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а; Ь] = {х : а х Ь} — отрезок (сегмент, замкнутый промежу-
ток);
(а; Ь) = {х : а < х < Ь} — интервал (открытый промежуток);
[а; Ь) = {ж : а х < 6};
(а; 6] = {х : а < х Ь} — полуоткрытые интервалы (или полуот-
крытые отрезки);
(—оо; Ь] = {х : х &};	[а, +оо) = {х : х а};
(—оо; Ь) = {х : х < 6};	(а, +оо) = {х : х > а};
(—оо,оо) — {ж : —оо < х < +оо} = R — бесконечные интервалы
(промежутки).
Числа а и b называются соответственно левым и правым концами
этих промежутков. Символы — оо и 4-оо не числа, это символическое
обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от
начала 0 влево и вправо.
Пусть xq — любое действительное число (точка на числовой пря-
мой). Окрестностью точки xq называется любой интервал (а; Ь),
содержащий точку xq. В частности, интервал (xq — £,xq 4- е), где £ > О,
называется £-окрестностью точки xq. Число xq называется цент-
ром, а число £ — радиусом.
Рис. 97
Если х Е (xq — e; xq 4- г), то выполняется неравенство xq — г < х <
< £о4-£, или, что тоже, |х—#o| < £• Выполнение последнего неравенства
означает попадание точки х в 6-окрестность точки xq (см. рис. 97).
119
§14. ФУНКЦИЯ
14.1.	Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие
функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя-
зи) между элементами двух множеств.
|ф[ Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие /, ко-
торое каждому элементу х Е X сопоставляет один и только'один
элемент у е Y, называется функцией и записывается у = f(x), х € X
или / : X —> У. Говорят еще, что функция / отображает множество
X на множество У.
Рис.. 98
Например, соответствия f и д, изображенные на рисунке 98 а и б,
являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не
каждому элементу х Е X соответствует элемент у Е У. В случае г не
соблюдается условие однозначности.
Множество X называется областью определения функции f и обо-
значается D(f). Множество всех у Е У называется множеством зна-
чений функции f и обозначается E(f).
14.2.	Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
Пусть задана функция f : X —> У.
Если элементами множеств X и У являются действительные числа
(т. е. X С R и У С R), то функцию f называют числовой функ-
цией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,
для краткости будем именовать их просто функциями и записывать
V = f(x).
Переменная х называется при этом аргументом или независимой
переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). От-
120
носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ-
циональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от
х пишут в виде у — у(х\ не вводя новой буквы (/) для обозначения
зависимости.
Частное значение функции f(x) при х = а записывают так: /(а).
Например, если f(x) = 2х2 — 3, то /(0) = —3, /(2) = 5.
Графиком функции у = f(x) на-
зывается множество всех точек плос-
кости Оху, для каждой из которых
х является значением аргумента, а
у — соответствующим значением
функции.
Например, графиком функции
у — \/1 — ж2 является верхняя полу-
окружность радиуса R = 1 с центром
в 0(0; 0) (см. рис. 99).
Чтобы задать функцию у = необходимо указать правило,
позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана-
литический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или не-
скольких формул или уравнений.
Например'.
1)5 = тгЯ2;
2) У =
( х2 +1
1 х — 4
при х < 2,
при х 2;
3) у2 - 4ж = 0.
Если область определения функции у = f(x) не указана, то пред-
полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента,
при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью
определения функции у — vl — х2 является отрезок [—1; 1].
Аналитический способ задания функции является наиболее совер-
шенным, так как к нему приложены методы математического анализа,
позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x)-
Графический способ: задается график функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими
приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции
у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосред-
ственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность,
недостатком — его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений ар-
гумента и соответствующих значений функции. Например, известные
121
таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические
таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений
функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
14.3.	Основные характеристики функции
1.	Функция у = fix'), определенная на множестве 7?, называется
четной, если Ух Е D выполняются условия —х Е D и f(—x) —
= f(x); нечетной, если Ух Е D выполняются условия — х Е D и
/(-*) = —/(а:).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а не-
четной — относительно начала координат.
Например, у — х2, у =	У — In |ят| — четные функции; а
у = sin х, у = х3 — нечетные функции; у• = х — 1, у = у/х — функции
общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
g 2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть
A С D. Если для любых значений х±, х^ Е Di аргументов из
неравенства х± < Х2 вытекает неравенство: f(xi) < /(#2)? то функция
называется возрастающей на множе-
У"	стве Di; /(ад)	/(ад), то функция на-
S зывается неубывающей на множестве
!	7?i; /(^i) > /(ад), то функция назы-
/|	! вается убывающей на множестве D±,
'	\	[	[	/(a?i)	/(а?2), то функция называется
|	I	|	невозрастающей на множестве D±.
—Е—_—1---------1----1—— Например, функция, заданная гра-
фиком (см. рис. 100), убывает на интер-
Рис. 100	вале (—2; 1), не убывает на интервале
(1; 5), возрастает на интервале (3; 5).
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие
функции на множестве называются монотонными на этом
множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.
Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервала-
ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна
на (—2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).
|ф| 3. Функцию у — f(x), определенную на множестве D, называют
ограниченной на этом множестве, если существует такое число
М > 0, что для всех х Е D выполняется неравенство |/(а:)| М (ко-
роткая запись: у = х Е D, называется ограниченной на D, если
ЭМ > 0 : Ух Е D => . |/(а;)|	^)- Отсюда следует, что график
ограниченной функции лежит между прямыми у = —М и у = М (см.
рис. 101).
122
g 4. Функция у = f(x), определенная на множестве Л, называется
периодической на этом множестве, если существует такое число
Т > 0, что при каждом х е D значение (х 4- Т) е D и /(ж + Т) — /(ж).
При этом число Т называется периодом функции. Если Т — период
функции, то ее периодами будут также числа m • Т, где m — ±1; ±2,...
Так, для у = sin х периодами будут числа ±2тг; ±4тг; ±6тг,... Основной
период (наименьший положительный) — это период Т = 2тг. Вообще
обычно за основной период берут наименьшее положительное число Г,
удовлетворяющее равенству f(x 4- Т) =
Рис. 101	Рис. 102
14.4.	Обратная функция
Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и мно-
жеством значений Е. Если каждому значению у 6 Е соответствует
единственное значение х £ 2?, то определена функция х — с обла-
стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая
функция (/?(?/) называется обратной к функции f(x) и записывается в
следующем виде: х = <р(у) = /-1(?/). Про функции у — f(x) и х — ср(у)
говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
х ~ обратную к функции у — f(x), достаточно решить уравнение
/(ж) — у относительно х (если это возможно).
Примеры:
1.	Для функции у — 2х обратной функцией является функция
х = iy:
2.	Для функции у = ж2, х 6 [0; 1], обратной функцией является
х ~ у/У, заметим, что для функции у — ж2, заданной на отрезке [—1; 1],
обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-
чения х (так, если у — i, то Xi = i, Х2 = — Jp.
123
ЦП Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x)
имеет обратную тогда и только тогда, когда функция /(ж) задает
взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда
следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат-
ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ-
ция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у = f(x)
и обратная ей х = </?(?/) изображают-
ся одной и той же кривой, т. е. графи-
ки их совпадают. Если же условить-
ся, что, как обычно, независимую пе-
ременную (т. е. аргумент) обозначить
через х, а зависимую переменную че-
рез у, то функция обратная функции
У — запишется в виде у = <р(х).
g Это означает, что точка М± (хц; у о)
кривой у = f(x) становится точ-
кой TI^Q/oJ^o) кривой у = Но
точки Mi и М2 симметричны относительно прямой у = х (см. рис. 103).
Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) ну =
симметричны относительно биссектрисы первого и третье-
го координатных углов.
14.5.	Сложная функция
[ф[ Пусть функция у — f(u) определена на множестве Р, а функция
и — <р(х) на множестве Z?i, причем для Vx Е Di соответствующее
значение и =	€ D. Тогда на множестве Di определена функция
и — /(^(я)), которая называется сложной функцией от х (или су-
перпозицией заданных функций, или функцией от функций).
Переменную и = ф(х) называют промежуточным аргументом
сложной функции.
Например, функция у = sin2x естр суперпозиция двух функций
у — sinit и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме-
жуточных аргументов.
14.6.	Основные элементарные функции и их графики
Основными элементарными функциями называют следующие
функции.
1)	Показательная функция у = ах, а > 0, а 1. На рис. 104 пока-
заны графики показательных функций, соответствующие различным
основаниям степени.
124
Рис. 104
2)	Степенная функция у — ха, a G R. Примеры графиков сте-
пенных функций, соответствующих различным показателям степени,
предоставлены на рис. 105.
125
3)	Логарифмическая функция у = logaa;, а > 0, а 1; Графики
логарифмических функций, соответствующие различным основаниям,
показаны на рис. 106.
4)	Тригонометрические функции у = sin ж, у — cos ж, у — tgx, у =
— ctg X’ Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный
на рис. 107.
5)	Обратные тригонометрические функции у = arcsine, у =
= arccos#, у = arctgrr, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики
обратных тригонометрических функций.
|ф[ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных
элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи-
сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де-
ления) и операций взятия функции от функции, называется элемен-
тарной функцией. Примерами элементарных функций могут слу-
жить функции
y_3cosV^; у = arcsinl _ tg^ ; 7/ = lg(2 + z3).
х 8х2 4-3
126
Примерами неэлементарных функций могут служить функции
если х О,
если х > 0;
^.5	~»7	1
—— +	—------—	+ • • • + (-1)"----------------+...
3! • 3	5!-5	7!-7	\ ; (2п +	1)!	• (2n + 1)
§15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.1. Числовая последовательность
£5] Под числовой последовательностью xi, Х2, хз,..., хп,... по-
нимается функция --------------
(15-1)
заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последователь-
= /(«),
ность обозначается в виде {яп} или хп, п Е N. Число х± называет-
ся первым членом (элементом) последовательности, х% — вторым,...,
хп — общим или п-м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего чле-
на. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательно-
сти по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последо-
вательности. Так, равенства
1	п — 1
vn - и1 2 + 1,	zn-(-l)n-n,	уп--^ ип-------, п е N
п	п
127
задают соответственно последовательности
vn = {2,5,10,... ,п2 + 1,...};	zn = {—1,2, —3,4,...,	1)” • п,...};
rill 1	)	( 1 2 3 4 5	п —1	1
уп - V’2’3’4’’”’n’"’J’ Un ~ 1°’2’3’4’5’6’	’ п ’"Г
Последовательность {жп} называется ограниченной, если суще-
ствует такое число М > 0, что для любого п 6 N выполняется
неравенство
|жп| М.
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Легко видеть, что последовательности уп и ип ограничены, a vn и zn —
неограничены.
Последовательность {хп} называется возрастающей (неубыва-
ющей), если для любого п выполняется неравенство ап+1 > «п
(an+i ап). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая)
последовательность.
Все эти последовательности называются монотонными после-
довательностями. Последовательности vn, уп и ип монотонные, а
zn — не монотонная.
Если все элементы последовательности {жп} равны одному и тому
же числу с, то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей — рекур-
рентный способ. В нем задается начальный элемент х\ (первый
член последовательности) и правило определения n-го элемента по
(п - 1)-му:
Хп = J{Xn-l)-
Таким образом, х% = f(xi), х% = /(#2) и т. д. При таком способе за-
дания последовательности для определения 100-го члена надо сначала
посчитать все 99 предыдущих.
15.2. Предел числовой последовательности
Можно заметить, что члены последовательности ип неограниченно
приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последователь-
ность ип, п Е N стремится к пределу 1.
Число а называется пределом последовательности {жп}, если
для любого положительного числа г найдется такое натуральное
число N, что при всех п > N выполняется неравенство
\хп - а| < е.	(15.2)
В этом случае пишут lim хп = lim хп — а или хп —> а и говорят, что
п—>оо
последовательность {хп} (или переменная хп, пробегающая последо-
вательность Х1,Х2,х%,...) имеет предел, равный числу а (или хп стре-
мится к а). Говорят также, что последовательность {хп} сходится к а.
128
Коротко определение предела можно записать так:
(Vs > 0 BN : Vn > N => \xn — a| < s) <=> lim xn — a.
П—ЮО
Пример 15.1. Доказать, что lim ——1 = 1.
n—>оо П
Q Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь-
ности хп = П п £ N, если Vs > 0 найдется натуральное число N,
такое, что для всех п > N выполняется неравенство — 1 < s,
I	I
т. е. ~ < 8. Оно справедливо для всех п > i, т. е. для всех п > N — Щ,
где Щ — целая часть числа ~ (целая часть числа ж, обозначаемая [ж],
есть наибольшее целое число, не превосходящее ж; так [3] = 3, [5,2] — 5).
Если е > 1, то в качестве N можно взять 111 4-1.
LsJ
Итак, Vs > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказы-
вает, что lim = 1.	•
п—>оо П
о
Заметим, что число N зависит от 8. Так, если s = то
если е — 0,01, то
= [100] = 100.
Поэтому иногда записывают N — N(e).
Выясним геометрический смысл определения предела последова-
тельности.
Неравенство (15.2) равносильно неравенствам — 8 < хп — а < 8 или
а — 8 < хп < а 4- 8, которые показывают, что элемент хп находится в
s-окрестности точки а.
—(—1--И111НМ11 I I ।—)—
а—е а а+е
Рис. 109
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последова-
тельности {хп}, если для любой s-окрестности точки а найдется нату-
ральное число N, что все значения хп, для которых п > N, попадут в
^-окрестность точки а (см. рис. 109).
5 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
129
Ясно, что чем меньше е, тем больше число 7V, ню в любом слу-
чае внутри 6-окрестности точки а находится бесконечное число членов
последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.
[@| Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет
только один предел. Последовательность, не имеющая предела,
называется расходящейся. Таковой является, например, последова-
тельность vn (см. с. 128).
Постоянная последовательность хп = с, п G N имеет предел, рав-
ный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для Ve > 0 при всех нату-
ральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем. |жп — с| = |с — с| =
= 0 < е.
15.3. Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим последовательности {жп}, {Уп} и {zn}.
Теорема 15.1. Если lim хп = a, lim уп = b и, начиная с некоторого
п—>оо	п—>оо
номера, выполняется неравенство хп уП1 то а Ь.
□ Допустим, что а > Ь. Из равенств lim хп — а и lim уп = b следует,
п—>оо	п—>оо
что для любого е > 0 найдется такое натуральное число 7V(e), что при
всех п > N(e) будут выполняться неравенства \хп — а| < е и \уп — Ь\ < е,
т. е. а — е < хп <a + evtb — в <уп < b + е. Возьмем е — Тогда:
хп > а - е — а -	т. е. хп > иуп<Ь + е = Ь +
£	£	*	Z	А	&
т. е. уп < Отсюда следует, что хп > уп. Это противоречит условию
хп Уп- Следовательно, а Ь.	
Теорема 15.2. Если lim хп = a, lim уп = а и справедливо нера-
п—>оо	п—>оо
венство хп zn уп (начиная с некоторого номера), то lim zn — а.
(Примем без доказательства.)
15.4. Предел монотонной ограниченной
последовательности. Число е. Натуральные
логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без
доказательства признак существования предела последовательности.
130
Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по-
следовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим по-
/	1 \п
следовательность хп = (1 4- —	, n Е N.
\ nJ
По формуле бинома Ньютона
z	7 \ 71	71 Л/ 71 1 7 П(П 1) „ О ?2
(а 4- Ь)п = а 4- - • а 1 • b 4-	• ап 2 • Ь2 4- ...
n(n-l)(n-2)...(n-(n-l))
1-2-3..........п	' ’
Полагая а = 1, b = получим
Л	1\",	,2 1	। n(n-l) 1	п(п- 1)(п —2)	_1
к	п)	Гп 1-2 ' п2 1-2-3	' п3
п(п — 1)(п — 2)... (n — (п — 1))	1
+	1-2-3.п	пп
= 1 + 1+Г2(1“^) + 14^(1“Й(1“^)+---
1 Л 1 Vl	(1 п -
+ 1 • 2 • 3.п\ п)\ nJ х п /
или
(15.3)
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных
слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении
1	/	1 \ /	2 \
п число — убывает, поэтому величины 1—— , 1 —— , ... возрастают.
пJ 1	х nJ х пJ г
Поэтому последовательность {яп} = { (14-^ } — возрастающая, при
этом	z чп
(1 + 1) >2.	(15.4)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части
равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим нера-
венство
Л 1\п	.	1	1	1
(1 + й) <1 + 1 + Г^ + П2Л + '"+ 1-2-3.......п
131
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в
знаменателях дробей, числом 2:
/	1\п	/11	1 \
(1+n) <1+(1+2 + ? + "' + F:T)-
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про-
грессии:
Поэтому	, ч п
(1 + 1) <1 + 2 = 3.	(1-5.5)
Итак, последовательность ограничена, при этом для Vn 6 N выполня-
ются неравенства (15.4) и (15.5):
2< (1 + Ч" < 3.
\ nJ
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь-
ность хп = (1 + ± J , п 6 N, имеет предел, обозначаемый обычно бук-
вой е:	/	1 \«
lim (14— ) = е.	(15.6)
п—>OQ \	nJ
Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его
приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045...). Число
е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по осно-
ванию е называется натуральным логарифмом и обозначается 1пх, т. е.
1пж = loge х.
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами.
По определению логарифма имеем х = einx. Прологарифмируем обе
части равенства по основанию 10:
1gх — lg(elnж), т. е. 1gх = Inх • lgе.
Пользуясь десятичными логарифмами, находим 1g е « 0,4343. Значит,
1g х « 0,4343 • In х. Из этой формулы следует, что In ж «	т- е-
In ж « 2,30261g х. Полученные формулы дают связь между натураль-
ными и десятичными логарифмами.
§16	. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
16.1.	Предел функции в точке
Пусть функция у — /(ж) определена в некоторой окрестности
точки хо, кроме, быть может, самой точки xq.
132
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения пре-
дела функции в точке,
g Определение 1 (на «языке последовательностей», или по
Гейне). Число А называется пределом функции у = f(x) в точ-
ке хо (или при х —> жо), если для любой последовательности допусти-
мых значений аргумента хп, п е N (хп хо), сходящейся к хо (т. е.
lim хп — xq), последовательность соответствующих значений функ-
п—>оо
ции f(xn), п е N, сходится к числу А (т. е. lim f(xn) = А),
п—>оо
В этом случае пишут lim f(x) = А или f(x) —> А при х —> хо-
X—YXq
Геометрический смысл предела функции: lim f(x) — А означает, что
X—
для всех точек х, достаточно близких к точке #о, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
g Определение 2 (на «языке £-5», или по Коши). Число А на-
зывается пределом функции в точке хо (или при х —> xq), если
для любого положительного е найдется такое положительное число 6,
что для всех х хо, удовлетворяющих неравенству |ж — жо| < 5, вы-
полняется неравенство |У (гг) — А| < е:
Записывают lim f(x) — А. Это определение коротко можно запи-
X—
сать так:
> О 35 > 0 \/х : |ж —ж0|-< ^ х Ф х‘о => |/(гг) — А| <	Ф=>
или 0 < |х — жо| < 3
lim f(x) ~ А.
X—^-Xq
Геометрический смысл предела функции: А = lim f(x), если для
X—+XQ
любой г-окрестности точки А найдется такая 5-окрестность точки xq,
что для всех х хо из этой 5-окрестности соответствующие значения
функции f(x) лежат в е-окрестности точки А. Иными словами, точки
графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2е, ограни-
ченной прямыми у — А е, у — А — е (см. рис. 110). Очевидно, что
величина 5 зависит от выбора е, поэтому пишут 5 = 5(e).
Пример 16.1. Доказать, что 1пп(2т — 1) — 5.
Решение: Возьмем произвольное е > 0, найдем 5 = 5(e) > 0 такое,
что для всех х, удовлетворяющих неравенству \х — 3| < 5, выполняется
неравенство |(2ж —1) —5| < е, т. е. |т — 3| < Взяв 5 = видим, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству \х — 3| < 5^= выполняется
неравенство |(2ж — 1) — 5| < е. Следовательно, lim(2x — 1) = 5.	•
133
Пример 16.2. Доказать, что, если f(x) = с, то lim с = с.
Q Решение: Для Vc > 0 можно взять V<5 > 0. Тогда при |ж — жо| < <5,
X ф Хо имеем \f(x) - с| = |с - с| = 0 < е. Следовательно, lim с — с. •
X—
16.2.	Односторонние пределы
В определении предела функции lim f(x) = А считается, что х
X—AXq
стремится к xq любым способом: оставаясь меныпим, чем х$ (слева
от ^о), большим, чем х$ (справа от то), или колеблясь около точки х$.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо суще-
ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия
односторонних пределов. .
Число Ai называется пределом функции у = f(x) слева в точке
xq, если для любого число е > 0 существует число 6 = 5(e)- > 0
такое, что при х G (^о — фжо), выполняется неравенство |/(rr) — Ai| <
< е. Предел слева записывают так: lim /(ж) = Ai или коротко:
X—^XQ—O
f(xo — 0) = Ai (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с
помощью символов:
> 0 Ч<5 — 6(e) Ух € (хо;хо 4- <5) => \f(x) — Л2| < е) <=>
<=> lim /(ж)—Л2.
я—>жо+О
Коротко предел справа обозначают f(xo 4-0) — А2.
134
pCl Пределы функции слева и справа называются односторонними
пределами. Очевидно, если существует lim f(x) = А, то существу-
х—>«о
ют и оба односторонних предела, причем А = А± = А2.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде-
ла /(жо — 0) и /(гго+О) и они равны, то существует предел А = lim f(x)
X—>Xq
и А = f(xo - 0).
Если же Ai 4 Аг, то lim f(x) не существует.
X—>Хо
16.3.	Предел функции при х —> сю
g Пусть функция у — f(x) определена в промежутке (—оо; оо). Число
А называется пределом функции f(x) при х -> оо, если для
любого положительного числам существует такое число М — М(е) > 0,
что при всех ж, удовлетворяющих неравенству |ж| > М выполняется
неравенство |/(ж) — А| < с. Коротко это определение можно записать
так:___________________________________________________________
> 0 ЭМ > 0 \/х: Ы >М => |/(ж) — А|	lim f(x) — A.
\	/	х—>оо
Если х —> 4-ос, то пишут А = lim /(#), если х —> —оо, то — А =
х—>4-оо
= lim f{x). Геометрический смысл этого определения таков: для
х—> — оо
Ve > О ЭМ > 0, что при х € (—оо; — М) или х G (М: 4-оо) соответ-
ствующие значения функции f(x) попадают в е-окрестность точки А,
т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2s, ограниченной прямыми
у = A + t и = А- с (см. рис. 112).
16.4.	Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х xq,
если для любого числа М > 0 существует число 6 = 6(М) > 0, что
для всех ж, удовлетворяющих неравенству 0 < |ж—хо| < 8, выполняется
135
неравенство |/(ж)| > М. Записывают lim /(ж) = оо или f(x) —> оо при
Х—^-Хо
х Хо- Коротко:
(\/М > О ЕМ > 0 \/х : |ж — £о| < <^ х хо => |/(#)| >	<=>
<=> lim f(x) — оо.
х—>Жо
Например, функция у —  1 есть б.б.ф. при х —> 2.
Если f{x) стремится к бесконечности при х —> хо и принимает
лишь положительные значения, то пишут lim /(х) = +оо; если лишь
X—>жо
отрицательные значения, то lim f(x) — — оо.
х—>Жо
Функция у — f(x), заданная на всей числовой прямой, называется
бесконечно большой при х —> оо, если для любого числа М > О
найдется такое число N — N(M) > 0, что при всех х, удовлетворяющих
неравенству |ж| > N, выполняется неравенство |/(ж) | > М. Коротко:
fvM > О 3N > 0 \/х : Ы > N => \f(x)\ > мУ <=> lim /(ж) = оо.
\	/	х—>оо
Например, у — 2х есть б.б.ф. при х —> оо.
Отметим, что если аргумент ж, стремясь к бесконечности, принима-
ет лишь натуральные значения, т. е. х € N, то соответствующая б.б.ф.
становится бесконечно большой последовательностью. Например, по-
следовательность ип = п2 + 1, п G N, является бесконечно большой
последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки xq
является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение
неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (НагГример,
у = х sin х.)
Однако, если lim f(x) = А, где А — конечное число, то функция
X—>Жо
f(x) ограничена в окрестности точки хо-
Действительно, из определения предела функции следует, что при
х -» хо выполняется условие |/(ж) — А| < е. Следовательно, А — е <
< /(ж) < А + б при х е (хо — е; хо + е), а это и означает, что функция
f(x) ограничена.
§17	. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)
17.1.	Определения и основные теоремы
lim f(x) — 0.
X—¥Xq
Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х хо,
(17-1)
136
По определению предела функции равенство (17.1) означает: для лю-
бого числа е > 0 найдется число 5 > 0 такое, что для всех ж, удо-
влетворяющих неравенству 0 < |яг — Хо| < <5, выполняется неравенство
|/(ж)|<е.
Аналогично определяется б.м.ф. при х —> жо 4- О, х —> хо — О,
х —> 4-оо, х —> —оо: во всех этих случаях f(x) —> 0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими
буквами а, /? и т. д.
Примерами б.м.ф. служат функции у — х2 при х у = х — 2
при х —> 2; у = sin ж при х —> тгА;, к G Z.
Другой пример: хп = 1, n Е N, — бесконечно малая последова-
тельность.
Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
малых функций есть бесконечно малая функция.
□ Пусть а(х) и /?(ж) — две б.м. функции при х —> хо- Это значит,
что lim а(х) = 0, т. е. для любого е > 0, а значит, и > 0 найдет-
X—>Жо	А
ся число (51 > 0 такое, что для всех ж, удовлетворяющих неравенству
О < \х — жо| < <51, выполняется неравенство
р
< 2	(17-2)
и lim Р(х) — 0, т. е.
X—
(v| > 0 3<52 > 0 Уж : 0< |ж-ж0| < <52) => |/?(ж)| < |.	(17.3)
Пусть 6 — наименьшее из чисел Ji и fa- Тогда для всех ж, удовле-
творяющих неравенству 0 < |ж — а?о| < <5, выполняются оба неравен-
ства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение
|а(ж) + /?(ж)|	|а(ж)| + |/3(ж)| < | + | = е.
Таким образом,
Vs > 0 3(5 > 0 Ух : 0 < \х — х0| < (5 ==> |а(ж) 4- /?(х)| < в.
Это значит, что lim (а(х) 4- /?(#)) = 0, т. е. а(х) 4- /3(х} — б.м.ф. при
х—>Жо
X Ж0.	
Аналогично проводится доказательство для любого конечного чи-
сла б.м. функций.
Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно
малую функцию есть функция бесконечно малая.
137
□ Пусть функция f(x) ограничена при х —> х0. Тогда существует такое
число М > 0, что
М
(17-4)
для всех х из Ji-окрестности точки xq. И пусть а(х) — б.м.ф. при
х хо. Тогда для любого е > 0, а значит, и > 0 найдется та-
кое число 62 > 0, что при всех ж, удовлетворяющих неравенству 0 <
< \х — #о| < <$2, выполняется неравенство
£
м'
(17-5)
Обозначим через 5 наименьшее из чисел 51 и $2- Тогда для всех
ж, удовлетворяющих неравенству 0 < |х — #о| < 6, выполняются оба
неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |/(ж)-а(х)| = |/(ш)|-|а(ж)| <
<	• М — е. А это означает, что произведение f(x) • а(х) при х —> хо
есть бесконечно малая функция.	
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы
(17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно
малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция беско-
нечно малая.
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на
функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско-
нечно малая.
□	Пусть lim а (ж) = 0, a lim /(ж) = а / 0. Функция может быть
X —>Жо	х—>Жо	J \Х)
представлена в виде произведения б.м.ф. а(х) на ограниченную функ-
цию у^. Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное y^j =
= <*(#) • у^у есть функция бесконечно малая.
Покажем, что функция уууу ограниченная. Возьмем е < |а|. То-
гда, на основании определения предела, найдется 5 > 0, что для всех
ж, удовлетворяющих неравенству 0 < \х — жо| < ф выполняется нера-
венство |/(ж) — а| < е. А так как 8 > |/(ж) — а\ = |а — /(ж)|	|а| — |/(ж)|,
138
то |а| —	< £, т. е. |/(я)| > |а| — е > 0. Следовательно,
/W |/(ж)| < |а| -е
т. е. функция — ограниченная.
функция f{x) — бесконечно большая, то
Теорема 17.4. Если функция а(х) — бесконечно малая (а 0 0), то
функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если
"Ц- — бесконечно малая.
х)
□	Пусть а(х) есть б.м.ф. при х -> xq, т. е. lim а(х) = 0. Тогда
Х-Ь-Xq
(\/е >0 35 > 0 Ух : 0 < |ж — #о| <	==> 1а(х‘)1
т. е. -I-;- > 1, т. е.  } V > М, где М = -. А это означает, что функ-
ция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное
утверждение.	
Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда
х —> xq. но они справедливы и для случая, когда х —> оо.
Пример 17.1. Показать, что функция
/(*) = (ж - I)2  sin3 —
х — 1
при х —> 1 является бесконечно малой.
Ci Решение: Так как lim (х — I)2 = 0, то функция ip(x) — (х — I)2 есть
х—>1
бесконечно малая при х -> 1. Функция д(х) = sin3 jj-p х / 1, ограни-
чена sin3 —L- <1.
I х — 11
Функция fix) = (х — I)2 • sin3 ~представляет собой произведе-
ние ограниченной функции (д(х)) на бесконечно малую (</?(т)). Значит,
f(x) — бесконечно малая при х -> 1.	•
139
17.2.	Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция f(x) имеем предел, равный А, то ее
можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции
а(х), т. е. если lim /(ж) — А, то f(x) = А 4- а(х).
х—УХо
□ Пусть lim f(x) = А. Следовательно,
X—+XQ
(Уе > 0 35 > 0 Ух : 0 < |х — #о| < <$) => |/(я) — А| < £,
т. е. |/(ж) — А — 0| < е. Это означает, что функция f(x) — А имеет
предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через
а(х): f(x) — А = а(х). Отсюда /(ж) — А 4- а(х).	
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию f(x) можно представить
в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а(х), то число
А является пределом функции /(ж), т. е. если f(x) = А 4- а(х), то
lim f(x) = А.
х—
Q Пусть f(x) = А+а(х), где а(х) — б.м.ф. при х —> а?о, т. е. lim а(х) =
X—>Xq
= 0. Тогда
(Уе > 0 35 > 0 Ух : 0 < |ж — #о| <	=> lQ(^)| < £•
А так как по условию f(x) — А 4- а (ж), то а (х) = f(x) — А. Получаем
^Уг > 0 35 > 0 Ух : 0 < |х — жо| <	=> |/(ж) — А| < £.
А это и означает, что lim f(x) = А.	
X—>Жо
Пример 17.2. Доказать, что lim (5 4- х) = 7.
х—>2
О Решение: Функцию 5 4- х можно представить в виде суммы числа 7
и б.м.ф. х — 2 (при х —> 2), т. е. выполнено равенство 54-ж = 74-(а7 — 2).
Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim (5 4- х) = 7.	•
ж->2
140
17.3.	Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда
х —> хо и х —> оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,
что пределы lim /(ж), lim ip(x) существуют.
X—VXQ	X—
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов:
lim (/(ж) ± ^(гг)) = lim f(x) ± lim <р(х).
X—^Xq	X-^XO	X—>XQ
□ Пусть lim f(x) = A, lim p(x) = В. Тогда по теореме 17.5 о свя-
X—¥Xq	X—>Жо
зи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать f(x) — А 4- а(х) и
<^(ж) = В 4- /3(х). Следовательно, /(ж) 4- ip(x) = А 4- В 4- (а(х) 4- /3(ж)).
Здесь а(х) 4- /3(х) — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (/(ж)4-^(ж)) = Л4-В,
X—>Жо
т. е.
lim (/(а;) 4-</>(#)) — lim f(x) + lim ^(#)-	
Х-+ХО	X—ж—>Жо
В случае разности функций доказательство аналогично.
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно-
го числа функций.
Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при
х —> Xq.
Q Пусть lim f(x) = Аи lim f(x) — В. По теореме 17.7 имеем:
X—+XQ	X—+XQ
О = lim (/(ж) — f(x)) = lim f(x) — lim f (x) — A — В.
X—>Xq	X—^Xq	x—>XQ
Отсюда A — В = 0, т. e. A = B.
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведе-
нию их пределов:
lim (/(я) •	= lim f(x) • lim <р(х).
X—^Xq	Х—^Хо	X—>Жо
141
□ Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых
пояснений. Так как lim f(x) — A, lim = В, то
х—>Жо	X—^Xq
f(x) = А 4- о(х), <р(х) = В 4- /3(я),
где а(х) и /?(ж) б.м.ф. Следовательно,
/(х) • <р(х) = (А 4- а(х)) • (В +
т. е.
/(ж) • ip(x) = АВ -F (А • /?(я) 4- В • а(х) 4- а(х)(3(х)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
lim /(ж) • <р(х) — А • В,
X—+XQ
т. е.
lim (f(x)kp(x)) — lim /(ж) lim </?(ж). r	
X-+XQ	х—>Xq	X-+XQ
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого ко-
нечного числа функций.
Следствие 17.4. предела:	Постоянный множитель можно выносить за знак lim C‘f(x)—C‘ lim f(x). X—^Xo	X—>Xq
□ lim (с-/(ж)) = lim с- lim f(x) = c- lim f(x).
X—^Xq	X—^Xq X—^Xq	X—>Жо
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен
той же степени предела: lim (/(ж))п = ( lim f(x)] . В частности,
х—>Жо	\ж—>Жо	/
lim хп = Xq , п G N.
X—>Жо
□ Пт(/(ж))" = lim (/(ж) • /(ж) •...  f(x)) = lim /(ж)•... • lim /(ж) =
X—^Xo	-T—>j?nv	X—>Жо	X—>Жо
п сомножителей
= (lim/w)n	
\ж—»Жо	/
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на
предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f(r\	lim	/	X
lim лт =	( lim °)-
х-^хо чАх)	lim tp\X) \X-^XQ	/
X—>Xq
142
Д Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
lim f(x) = А и lim tp(x) = В О
X—>XQ	х—¥XQ
следуют соотношения f(x) = А + а(х) и <р(х) = В + /3(х). Тогда
f'(x) _ А 4- а (я) _ А ( А + а(х) А\ _ А В • а(х) — А • /3(х)
~ В + /3(х) ~ В + \В + fi(x) ~В)~В+ В2 +В /3(х) ’
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функ-
цию, имеющую отличный от нуля предел.
п г /(#)	А г f(x)	
Поэтому hm ^4-4 = т. е. hm "Ц-4 = г —т-у.	
x-r+xo pyXJ В1	х—^\xj lim ip\X)
X—^Xq
Рассмотрим пример.
Пример 17,3. Вычислить lim (Зя2 — 2я 4- 7).
ж—>-1
Д Решение:
lim (Зя2 — 2я + 7) = lim Зя2 — lim 2я 4- lim 7 =
х—>1	х—>1	х—>1 х—>1
/х2
— 3( lim я) — 2 lim я 4- 7 = 3 • 1 — 2 4- 7 = 8. •
\ж—>1 /	х—>1
Пример 17. А. Вычислить lim х ~	.
х->2 я2 - бя + 8
Д Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.
предел знаменателя, при я —> 2, равен 0. Кроме того, предел числи-
теля равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность
вида 2. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби
на множители, затем сократим дробь на я — 2	0 (я —> 2, но я / 2):
„ я2 4-14я — 32 v (я-2)(я4-1б)
hm —   -------— = lim —---------— —
х-^2 Я2 — бя 4-8	Х-Ч-2 (я — 2)(я — 4)
_lim» + 16 Ь<1 + 16)_^+16_ 9 ,
ж->2 я —4 lim (я —4)	2 — 4
х^2
Пример 17.5. Вычислить lim ^х9 +
И н	4я2 4- 2я 4- 5
Д Решение: Здесь мы имеем щело с неопределенностью вида Для
нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель
143
о
на х.
.. 2х2	+ Зж + 1	..	2+^	+	^	Дг^(2+-+^)	1
lim —---——- = lim	 --5------------— —-——— -.
ж->оо 4<г2	4- 2х 4- 5	ж-9оо	4 4-	-	4-	-%	1Ш1 /4	2	2
х	х	х—>СЮ	XX
9	1
Функция 2 4-	4- есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
lim (2 4- — 4- Д) = 2; lim (4 4-----h = 4.
ж->оо \ X X '	ж—>оо \ X X '
17.4.	Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например,
функция у — sin х при х -> оо предела не имеет. Во многих вопросах
анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде-
ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования
предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функ-
ция f(x) заключена между двумя функциями tp(x) и д(х), стремящи-
мися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому
пределу, т. е. если
lim — A, lim д(х) = А,	(17.6)
X—>Жо	Х~>Xq
<44	д(х),	(17.7)
ТО
lim /(ж) = А.
х—>Xq
□ Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е > 0 существуют две
окрестности и д'2 точки то, в одной из которых выполняется нера-
венство — А| < е, т. е.
-£ < д>(х) - А < е,	(17.8)
а в другой |д(ж) — А| < е, т. е.
-е < д(х) - А < е.	(17.9)
Пусть 8 — меньшее из чисел Ji и 8%. Тогда в J-окрестности точки х$
выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что
(^(ж) - А /(х) - А д(х) - А.	- (17.10)
144
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют не-
равенства —е < f(x) — А < е или |/(ж) — Л| < е.
Мы доказали, что
Vs > 0 35 > 0 \fx : 0 < |ж — жо| <	=> |/(ж) — Л| < s,
то есть lim /(ж) = А.	
X—
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух мили-
ционеров». Роль «милиционеров» играют функции у(х) и р(ж), функ-
ция f(x) «следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция
f(x) монотонна и ограничена при х < xq или при х > хо, то суще-
ствует соответственно ее левый предел lim f(x) — J(xq — 0) или
х—>жо— О
ее правый предел lim /(ж) = f(xQ +0).
Ж-4-Жо+О
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность хП1
п € N, имеет предел.
17.5. Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри-
ческие функции, часто используют предел
ЩИ)
££| называемый первым замечательным пределом. Читается:
предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда
аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
Q Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ че-
рез х (см. рис. 113). Пусть 0 < х < На рисунке \АМ | — sin ж, дуга
МВ численно равна центральному углу ж, |ВС| — tgrr. Очевидно, име-
ем S/\MOB < ^сектора мов < S&cob- На основании соответствующих
формул геометрии получаем sin х < ^х < -^tgx. Разделим неравен-
ства на isinrr > 0, получим 1 <	< —-— или cos х <	< Г.
2	’ J	sm х	cos х	х
145
Рис. 113
Из равенств (17.12) и (17.13)
Так как lim cos я = 1 и lim 1 = 1, то
ж—>0	х—>0
по признаку (о пределе промежуточ-
ной функции) существования пределов
lim =	(17.12)
х —>0 X
(ж>0)
Пусть теперь х < 0. Имеем =
—	? Где _ж > о. Поэтому
lim
х—>0
(ж<0)
sin х
х
(17.13)
вытекает равенство (17.11).
Пример 17.6. Найти lim
х-^о 2х
Q Решение: Имеем неопределенность вида 2. Теорема о пределе дроби
неприменима. Обозначим Зх = t; тогда при х —> 0 и t —> 0, поэтому
sin За; sint .. 3 sint 3 sint • 3 ,	3
lim . — lim —т- — hm -  --------= - lim----= - • 1 = -.	•
*-»o 2x t-»o 2 • | t-+o 2 t 2 t-+o t 2	2
Пример 17.7. Найти lim
ж->0 X
Q Решение:
tg£ .. SHIT 1	81ПЖ
hm----- = hm------------— hm-------
ж->0 x z-»o x cosx ж—»o x
lim 1	-i
X->0	_ -£ J" 4
lim cos x	1
x—>0
17.6. Второй замечательный предел
/	1 \П
Как известно, предел числовой последовательности хп == (14- — 1 ,
\ и/
п Е N, имеет предел, равный е (см. (15.6)):
lim fl + —) = е.	(17.14)
п->оо \ п/
Докажем, что к числу е стремится и функция хп — Гц-i") при х оо
/	1 \ X
lim (14— ) — е.
z—>сю \	X/
(17.15)
146
1. Пусть х —> -hoc. Каждое значение х заключено между двумя
положительными целыми числами: п х < п + 1, где п = [ж] — это
целая часть х. Отсюда следует—Ц. < —	, 14 Ц- < 1+ — < 1+ —,
J	n + 1 х	п" п + 1 х п
поэтому
(1 +
п+1
Если х —> +оо, то п -+ оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем:
/ 1 \п
lim (14--------- )
n-»oo \	п + 1 /
lim (1 +
п—>оо
..1. ^п+1
п+1 /
lim (1 4—тт)
n^oV п+1'
— е,
е
1
/ 1\^+1
lim (14— )
п—>оо \	П /
/	1V /	1\
lim (14— ) • lim ( .14— ) = е • 1 = е,
п—>оо \	nJ	п—>оо \	nJ
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пре-
делов	/И*
lim (14—/ —	(17.16)
х—>+оо X	xJ
2. Пусть х -+ — оо. Сделаем подстановку —ж = тогда
/	1 \ х	/	1 \ — t	✓ t	/	1 \ t
lim (1 + -)	= lim (1----)	= lim (--------)	= lim (14-------)	=
x—> — оо \ x J	t—>+qo \	t J t—>+oc \ t — 1 J t—>+oo \	f, — 1 J
( IV-1 / IV
= lim (14---------)	• lim (14---—- ) = e • 1 — e. (17.17)
i->+oo\ t — 1/	t->+oo\ t— 1/
Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить i = а (а -+ 0 при х —> оо), оно
запишется в виде
lim (1 + а) « — е.
а-»0
(17.18)
|ф| Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечатель-
ным пределом. Они широко используются при вычислении пре-
делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная
функция с основанием е. Функция у = ех называется экспоненци-
альной, употребляется также обозначение ех = ехр(ж).
Пример 17.8. Найти lim fl + -) .
х—>00 \	X J
Q Решение: Обозначим х — 2t, очевидно, t -+ 00 при х -+ оо. Имеем
/	2\х	(	IV*
lim (14— ) = lim (14— ) =
х—>00 \	xJ	£—>00 \	tJ
( IV ( IV
= lim (14— I • lim (14— ) — e - e — e2.
t—>00 \	t, J t—^00 \	t J
147
§18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
ФУНКЦИИ
18.1.	Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть
функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се-
бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль-
шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка-
кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть а = а(х) и /3 — (3(х) есть б.м.ф. при х —> то, т. е. lim а(х) —
X —>Жо
— О и lim /3(т) = 0.
X-^-Xq
1.	Если lim = Л 0 (А 6 I). то а и называются бесконечно
X—Р
малыми одного порядка.
2.	Если lim А = 0, то а называется бесконечно малой более высо-
X—>Жо р
кого порядка, чем /3.
3.	Если lim § = оо, то а называется бесконечно малой более низ-
X—>Жо Р
кого порядка, чем /3.
4.	Если lim § не существует, то а и {3 называются несравнимыми
х—>Жо Р
бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х —> ±оо,
х -> Xq ± 0.
Пример 18.1. Сравнить порядок функций а = Зя:2 и /3 = 14т2
при X —> оо.
Ci Решение: При х —> 0 это б.м.ф. одного порядка, так как
1-	а	г Зя2	з
lira — = lim--у — — Ф 0.
ж—>0 /3	х—>0 14т2	14
Говорят, что б.м.ф. а и /3 одного порядка стремятся к нулю с примерно
одинаковой скоростью.	*
Пример 18.2. Являются ли функции а = Зт4 и /3 = 7 т б.м.ф.
одного порядка при т -> 0?
148
Q Решение: При х —> 0 функция а есть б.м.ф. более высокого порядка,
о 4	о 3
чем /3, так как lim % = lim = lim = 0. В этом случае б.м.ф. а
ж—>0 7х х->0 7	
стремится к нулю быстрее, чем /3.	•
Пример 18.3. Сравнить порядок функций а — tg х и (3 — х2 при
Q Решение: Так как
,. о	tg#	8ШЖ 1
hm — — lim —— — lim--------------------
Ж-»О p ж->0 X2 Ж-4-0 X COS X
1
— — 00,
X
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем (3.
Пример 18.4- Можно ли сравнить функции а — х • sin 1 и (3 — х
при х —> О?
Q Решение: Функции а = х • sin 1 и (3 = х при х —> 0 являются не-
х • sin -	1
сравнимыми б.м.ф., так как предел lim М- = lim----— = lim sin — не
х —>0 р	х—>0	х	х—>0	X
существует.	•
18.2.	Эквивалентные бесконечно малые и основные
теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль
играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
К] Если lim § = 1, то а и /3 называются эквивалентными беско-
I—J	X—>жо Р
нечно малыми (при х —> xq)\ это обозначается так: а ~ /3.
Например, sin ж ~ х при х —> 0, т. к. lim S111 - — 1; tg# ~ х при
х —>0 X
ж —> 0, т. к. lim = 1.
х—>0 X
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной
ей бесконечно малой.
Q Пусть а ~ а1 и /3 ~ /3' при х —> хо- Тогда
lim = lim f	= lim • lim • lim = 1 • 1 • lim
Р х^-хоур (У.1 р' J X-^-Xq а X—>Xq р х-ч-хо (3'	х~^х0 р'
149
т. е. lim % — lim %.
X-^Xq P	X—>Жо P
Очевидно также, что lim % — lim % = lim %.
X—^Xq P X—^Xq P X-+XQ P
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ-
ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из
них.
□ Пусть а ~ [3 при х -> xq. Тогда
г а~@ Г Л	1 г	1	1 л
lim -----= hm (1------) = 1 — hm — = 1 — 1 = 0,
X-+XQ (У. ж—\ СИ/	ж—>Жо a
аналогично lim —-$ =0.	И
X-+XQ P
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и
/3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или /?, то а и /3 —
эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как lim ——— = 0, то lim (1 — — ) = 0, т. е.
х—>жо СИ	х—>жо X	СИ /
1 — lim = 0. Отсюда lim — = 1, т. е. си ~ (3. Аналогично, если
х—>жо СИ	х—СИ
lim -- х.@ = 0, то си ~ /3.
X—>Жо Р
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций
разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
□ Докажем теорему для двух функций. Пусть си —> 0, /? —> 0 при
х —> хо, причем си — б.м.ф. высшего порядка, чем /3, т. е. lim ~ = 0.
X—>Жо Р
Тогда
lim —р- = lim Г + 1) = lim ^ + 1 = 0 + 1 = 1.
х—>ж0 р	X—>жо \ Р	/	X—>ж0 Р
Следовательно, си 4- /3 ~ (3 при х —> хо-	И
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется
главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасывани-
ем бесконечно малых высшего порядка.
Пример 18.5. Найти предел lim Л 2х •
ж->о sm2rr
150
Q Решение: lim —.ф J-	= lim
x-+o sm2x x-+o sm2z
Зх + 7x2 ~ Зх и sin 2x ~ 2x при x —> 0.
.. Зт 4
lim 2^ — § ’ ПОСКОЛЬКУ
18.3.	Применение эквивалентных бесконечно малых
функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида ~ часто бывают полез-
ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и
другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из-
вестно, sin х ~ х при х -> 0, tgx ~ х при х —> 0. Приведем еще примеры
эквивалентных б.м.ф.
Пример 18.6. Покажем, что 1 — cos ж ~ при х —> 0.
Q Решение: 11,„	= 11,„	= 11ш
ж->0	ж->0	ж->0	§
2	2	(|_и))	2
sin |
х
2
= 11 = 1.
Пример 18.7. Найдем lim forcsm х
ж-Л) X
Ci Решение: Обозначим arcsine = t. Тогда х = sint и t —> 0 при х —> 0.
Поэтому
• arcsine .. t	1
hm-------= hm-------= hm - =
ж->о x t-+o sini t-+o ^2-^
Следовательно, arcsine ~ x при x —> 0.
н-
Пример 18.8. Покажем, что vT 4- x — 1 ~ при x -> 0.
Ci Решение: Так как
д/1 + Ж - 1	(V1 + х - 1) (д/1 + Ж + 1)
hm ----------= hm ---------—==----------- —
2	2 ' (v^l + X + 1)
Г х = г 2	= 2 = 1
|(УГ+^+1) .™уГ+^+1 2
ТО \/1 + х — 1 при т —> 0.	• •
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые исполь-
зуются при вычислении пределов:
151
1.	sin x ~ x при x -> 0;
2.	tg# ~ x (x -> 0);
3.	arcsine ~ x (x —> 0);
4.	arctgT ~ x (x —> 0);
2
5.	1 — cost ~ (t —> 0);
6.	ex — 1 ~ x (x 0);
7.	ax — 1 ~ x • Ina (t —> 0);
8.	ln(l + t) ~ x (t -> 0);
9.	loga(l 4- x) - x • loga e (t -» 0);
10.	(1 4- x)k — 1 ~ к • x7 к > 0 (т —> 0);
в частности, \/1 + % — 1 ~
Пример 18.9. Найти lim Д&.
ж->о sm3x
Q Решение: Так как tg2T ~ 2т, sin Зх ~ Зт при т —> 0, то
r tg2T
hm —-
ж->0 shi3t
, 2т 2
hm — = -.
ж->о Зт 3
Пример 18.10. Найти lim x(el/x — 1).
х—>оо
Решение: Обозначим 1 = t, из т —> оо следует t —> 0. Поэтому
lim т(е1/ж — 1) = lim -(е* — 1) = lim - • t = lim 1 =• 1.
ж->ос v	t-»0 t 	t-+0 t t-+O'
tt	10 11 л »	i-	arcsin(r — 1)
Пример 18.11. Наити hm —9--------s--/.
X-+1 т - 5т 4- 4
Q Решение: Так как arcsinfr — 1) ~ (т — 1) при т —> 1, то
arcsm(T — 1)	(х - 1)	1	1
hm------------- —	---- _ _
ж^1 x2 — 5т 4- 4	ж->1 (т — 1)(т — 4)	ж->1 т — 4	3
Приближенные вычисления
Если а ~ /3, то, отбрасывая в равенстве а — /3 4-
+ (а — /3) бесконечно малую более высокого порядка,
т. е. а — /?, получим приближенное равенство а « /3.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые
через другие. Приведенные выше важнейшие эквива-
лентности служат источником ряда приближенных
формул.
Приведенные формулы справедливы при малых
т, и они тем точнее, чем меньше т.
Например, графики функций у = tgxny = XB
окрестности точки 0 практически не различимы (см.
рис. 114), а, кривая у = sinT в окрестности точки 0
Рис. 114.
tgx~.T (х—>0)
152
сливается с прямой у — х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллю-
стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го-
ворилось выше.
Рис. 116. 1п(1+х)~х (ж—>0)
Рис. 115. sin х « х (х —> 0)
Пример 18.12. Найти приближенное значение для In 1,032.
Ci Решение: In 1,032 = ln(l 4- 0,032) « 0,032 Для сравнения результата
по таблице логарифмов находим, что In 1,032 = 0,031498 ...	•
§19	. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
19.1.	Непрерывность функции в точке
Пусть функция у — f(x). определена в точке Хо и в некоторой
окрестности этой точки. Функция у — f(x) называется непрерывной
в точке хо, если существует предел функции в этой точке и он равен
значению функции в этой точке, т. е.
(19-1)
lim f(x) = f(x0).
Х—^Хо
153
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1)	функция /(ж) определена в точке xq и в ее окрестности;
2)	функция f(x) имеет предел при х —> xq\
3)	предел функции в точке х$ равен значению функции в этой
точке, т. е. выполняется равенство (19.1).
Так как lim х — xq, то равенство (19.1) можно записать в виде
X—
lim f(x) = f( lim x) = f(x0).	(19-2)
X—^Xo	X—tXQ
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции
f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию
f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение xq.
тт	т sin Ж lim S1” Х	—.	1
Например, lim е * — ex~*Q = е. В первом равенстве функция
х—>0
и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ-
ции ех.
Пример 19.1. Вычислить А = lim	.
ж—>0	X
Q Решение:
1п(1 + ж)	1	1
hm------------= hm — • ln(l + ж) = hm ln(l + x)x =
x—>0	x	ж—>0 X	x—>0
— In ( hm (1 -h x) i ) = In e = 1.
\ж—>0	/
Отметим, что ln(l + x) ~ x при x —> 0.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи-
раясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция y=f(x) опре-
делена в некотором интервале
(а;Ь). Возьмем произвольную точ-
ку жоб(а;6). Для любого хе(а;Ь)
разность х — xq называется прира-
щением аргумента х в точке xq
и обозначается Аж («дельта ж»):
Дж=ж —жо- Отсюда ж=жо + Аж.
Разность соответствующих
значений функций /(ж) —/(жо) на-
зывается приращением функции
f(x) в точке xq и обозначается А?/
(или А/ или А/(ж0)): Ат/ = /(ж)-/(ж0) или Д?/=/(жо +Дж)-/(ж0) (см.
рис. 119).
Очевидно, приращения Аж и А?/ могут быть как положительными,
так и отрицательными числами.
154
lim А?/ = 0.
Дж—>0
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия
х —> жо и ж — хо —> 0 одинаковы, тр равенство (19.1) принимает вид
lim (/(ж) - /(ж0)) - 0 или
(19.3)
g Полученное равенство (19.3) является еще одним определением не-
прерывности функции в точке: функция у = f(x) называется не-
прерывной в точке xq , если она определена в точке хо и ее окрестно-
сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще-
нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое
(равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin х.
Q Решение: Функция у = sin х определена при всех х Е К.
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Дт/:
а	• / а \ • Л ( Аж\ . Аж
А?/ = sin (ж + Дж) — smж = 2 cos I ж -I—— I • sin .
Тогда lim Ay — lim 2 cos (ж 4- Аг) • sin = 0, так как произ-
ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3), функция у — sin ж непрерывна в точ-
ке ж.	’	•
Аналогично доказывается, что функция у — cos ж также непре-
рывна.
19.2.	Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у = /(ж) называется непрерывной в интервале (а, 6), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция у = f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь], если
она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке ж = а непрерывна спра-
ва (т. е. lim /(ж) = /(а)), а в точке ж = b непрерывна слева (т. е.
\	ж—/	\
xlimo/W = /(6)).
19.3.	Точки разрыва функции и их классификация
|с5| Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют-
ся точками разрыва этой функции. Если ж = жо — точка
разрыва функции у — f(x\ то в ней не выполняется по крайней ме-
155
ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а
именно:
1.	Функция определена в окрестности точки xq, но не определена
в самой точке xq.
Например, функция у = —Цг не определена в точке xq = 2 (см.
X Zi
рис. 120).
2.	Функция определена в точке xq и ее окрестности, но не суще-
ствует предела f(x) при х xq.
Например, функция
х — 1, если — 1 х < 2,
2 — х, если 2 х 5,
определена в точке xq = 2 (/(2) = 0), однако в точке xq = 2 имеет
разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х —> 2:
л*) =
lim fix) = 1, a lim fix) = 0.
->2—о J v	.	x-^2+oJ v 7
3.	Функция определена в точ-
ке xq и ее окрестности, существу-
ет lim /(ж), но этот предел не ра-
х—>Жо
вен значению функции в точке xq:
lim /(ж) 0 /(ж0).
X—+XQ
Например, функция (см.
рис. 122)
f х ? если х ± 0;
р(я) = < х
[2, если х = 0.
Здесь xq — 0 — точка разрыва:
lim д(х) = lim — - = 1,
z—>0	х—>0 х
а sM - р(0) = 2.
156
g Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво-
го и второго родд. Точка разрыва xq называется точкой разрыва
первого рода функции у — если в этой точке существуют конеч-
ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim f(x) — Ai и lim f(x) = A%. При этом:
x——О	x—^жо+0
а) если Ai = A-2, то точка xq называется точкой устранимого раз-
рыва; б) если Ai А2, то точка xq называется точкой конечного раз-
рыва. Величину |Ai — A2I называют скачком функции в точке разрыва
первого рода.
g Точка разрыва xq называется точкой, разрыва второго рода
функции у — f(x), если по крайней мере один из односторонних
пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1.	Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).
у = 7^2, xq — 2 — точка разрыва второго рода.
2.	Для функции
{х — 1, если — 1 х < 2,
2 — ж, если 2 х 5,
xq — 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен
|1-0| = 1.
3.	Для функции
( при х 0,
9^ = 1 *
[ 2 при х — 0
xq — 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив
у{х} — 1 (вместо у(х) — 2) при х — 0, разрыв устранится, функция
станет непрерывной.
_0|
Пример 19.3. Дана функция f(x) — —у-. Найти точки разры-
ва, выяснить их тип.
Ci Решение: Функция /(ж) определена и непрерывна на всей числовой
{1 при х > 3, ~
Следова-
— 1 при х < 3.
тельно, lim f(x) = 1, a lim f(x) — —1. Поэтому в точке х — 3
ж 3 0	31 О
функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке
равен 1 — (—1) — 2.	•
157
19.4.	Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из
соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных
функций есть функция непрерывная (для частного за исключением
тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
□ Пусть функция /(ж) и <р(х) непрерывны на некотором множестве
X и хо — любое значение из этого множества. Докажем, например,
непрерывность произведения F(x) = f(x) • <р(х). Применяя теорему о
пределе произведения, получим:
lim F(x) = lim (/(ж)-</?(ж)) = lim /(ж)- lim tp(x) = f(xo)-^(xo)=F(xo).
x—>жо	ж—>a?o	х —>жо	x—^xq
Итак, lim F(x) = F(xo), что и доказывает непрерывность функ-
Ж О
ции f(x) • <р(х) в точке хо-	И
Теорема 19.2. Пусть функции и = </?(#) непрерывна в точке хо, а
функция у = f(u) непрерывна в точке ио = (р(хо). Тогда сложная
функция /(</?(#)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в
точке xq.
□ В силу непрерывности функции и = </?(#), lim </>(#) =
х—>Жо
т. е. при х -4 хо имеем и -4- uq. Поэтому вследствие непрерывности
функции у = f(u) имеем:
lim	= lim f(u) = f(u0) = f(<p(x0)).
X—+XO	U—^Uq
Это и доказывает, что сложная функция у = /((/>(#)) непрерывна
в точке xq.	’	
Теорема 19.3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотон-
на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у — <р(х) также непрерывна и
монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без доказатель-
ства).
158
Так, например, функция tgx = siria; , в силу теоремы 19.1, есть
COS X
функция непрерывная для всех значений ж, кроме тех, для которых
cos х = 0, т. е. кроме значений х — ~ + тгп, п G Z.
Функции arcsine, arctgz, arccosrr, arcctgx, в силу теоремы 19.3, не-
прерывны при всех значениях ж, при которых эти функции определены,
g Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны при всех значениях х, для которых они опре-
делены.
g Как известно, элементарной называется такая функция, которую
можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф-
метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от
функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных
выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерыв-
на в каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить
пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример 19. 4- Найти lim 2ctga\
Q Решение: Функция 2ctga: непрерывна в точке х = поэтому
lim 2ctg* = 2ctg? -21 = 2.	•
19.5.	Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез-
ке, то она достигает, на этом отрезке своего наибольшего и наимень-
шего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на
отрезке [а; &], принимает свое наибольшее значение М в точке яд, а
наименьшее т — в точке х%. Для любого х G [а; Ь] имеет место нера-
венство т f(x) М.
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра-
ничена на этом отрезке.
159
Рис. 123
Рис. 124
Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у — f(x) непре-
рывна на отрезке [а;Ь] и принимает на его концах неравные значения
f(a) = А и /(6) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме-
жуточные значения между А и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).
Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка
с внутри этого отрезка такая, что /(с) = С. Прямая у — С пересечет
график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у — f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
[а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция /(ж)
обращается в нуль: /(с) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ-
ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось
Ох (см. рис. 125).
Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половин-
ного деления», который используется для нахождения корня уравне-
ния /(ж) = 0.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер-
ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна
не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; 6), либо функция на отрезке [а; Ь]
имеет разрыв.
Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график
разрывной функции не пересекает ось Ох.
160
Рис. 125
Рис. 126
Пример 19.5. Определить с точностью до е = 0,00001 корень
уравнения е2ж+1 4- х2 — 5 = 0, принадлежащий отрезку [0; 1], применив
метод половинного деления.
Q Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).
Шаг 1. Вычисляем (/? — f(a) п гр = f(b), где а =. 0, b = 1.
Шаг 2. Вычисляем х = Q \
Шаг 3. Вычисляем у = Если /(ж) = 0, то х — корень уравне-
ния.
Шаг 4. При f(x) 0 если ?/•(/?< 0, то полагаем Ь = х, гр = у, иначе
полагаем а — х, = у.
Шаг 5. Если b — а — 8 < 0 то задача решена. В качестве искомого
корня (с заданной точностью г) принимается величина х = -- - . Ина-
че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к
шагу 2.
В результате произведенных действий получим: х = 0,29589.	•
§20	. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
20.1.	Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических
понятий. Производная широко используется при решении целого ряда
задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении
скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав-
номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ-
ствует определенное расстояние ОМ — S до некоторой фиксированной
точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).
6 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
161
о
I
М Mi
S(t)
бД+Af) d
Это равенство называют законом движения точки. Требуется най-
ти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени t
точка занимает положение М, то в момент
времени t + At (At — приращение времени)
точка займет положение Mi, где ОМ± =
= S + AS (AS — приращение расстояния)
(см. рис. 127). Таким образом, перемеще-
ние точки М за время At будет AS =
= S(t + AT)-S(t).
А 9
Отношение выражает среднюю скорость движения точки за
время At:
Рис. 127
AS
ср- " At ’
Средняя скорость зависит от значения At: чем меньше At, тем
точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный
момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про-
межутка времени At называется скоростью движения точки в данный
момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость
через V, получим
V — hm ——, или V — hm ----------------------
At->0 At	Af-Ш	At
Касательная к кривой
(20.1)
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой £ две точки М и Mi (см. рис. 128).
Прямую MMi, проходящую через эти точки, называют секущей.
Пусть точка Mi, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно прибли-
жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре-
мится к некоторому предельному положению МТ.
Касательной к данной кривой в данной точке М называ-
ется предельное положение МТ секущей MMi, проходящей через
точку М, когда вторая точка пересечения Mi неограниченно прибли-
жается по кривой к точке Mi.
-Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею-
щий в точке М(х;у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой
коэффициент k = tga, где а — угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку Mi графика с абсцис-
сой х 4- Ах секущую (см. рис. 129). Обозначим через ср — угол между
секущей MMi и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент
секущей равен
Ду /(ж + Аж) - /(ж)
fcceK = tg^= —=------—---------.
162
Рис. 128
Рис. 129
При Аж -> 0 в силу непрерывности функции приращение А?/ тоже
стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по
кривой к точке М, а секущая ММ^. поворачиваясь около точки М,
переходит в касательную. Угол ср —> а, т. е. lim tp — а.
Дж—>0
Следовательно, lim tgc^^tga.
Дж—>0
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
_	I-	7.	f(X + Аж) “ fM
к — tg а — hm tg 99 =	hm	——= hm -----------7-------.	(20.2)
ДжчО	Дж-40	Аж Дж-40	Аж
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и
множества других задач. Можно показать, что:
- если Q = Q(t) — количество электричества, проходящего через
поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент
времени t равна
г r AQ r Q(t + A^)-Q(t)
I = hm —— = hm ----------;-------;	(20.3)
Д£->0 А£ Д£-40	Д£
- если N = N(t) — количество вещества, вступающего в химиче-
скорость химической реакции в момент
скую реакцию за время t, то
времени t равна
lim W + Ag-W) (20 4)
д*->о Af
- если т = т(ж) — масса неоднородного стержня между точками
0(0; 0) и М(ж;0), то линейная плотность стержня в точке х есть
л. Ат л. т(х + Аж) — т(ж)
S = hm —— = hm	----
Дж-40 АЖ Дж-40
AN
V = lim —
Д£—40
Аж
(20.5)
Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най-
ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
V = S'; tga = ?y'; I = Q’t- V = N't- S = m'x
(читается «V равно S штрих по Ь>, «тангенс а равен у штрих по ж»
и т. д.).
163
20.2.	Определение производной; ее механический
и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция у = f(x) определена на некотором интервале (а; 6).
Проделаем следующие операции:
-	аргументу х е (а; Ь) дадим приращение Дж: х 4- Дж € (а; 6);
-	найдем соответствующее приращение функции: Д1/ — /(ж 4 Дж) —
-/(я);	•
-	составим отношение приращения функции к приращению аргу-
мента:
Дж
-	найдем предел этого отношения при Дж -> 0: Иш
Если этот предел существует, то его называют производной функ-
ции /(ж) и обозначают одним из символов	у'; у'х.
|ф| Производной функции у = f(x) в точке жо называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
/	r f(x0 4 Дж) - /(ж0)	.	/(ж) - /(ж0)
у — hm —--------— ------—- или f (ж0) = hm
Дж->0	Дж	X—^XQ X — Жо
Производная функции /(ж) есть некоторая функция /'(ж), произ-
веденная из данной функции.
Функция у — f(x), имеющая производную в каждой точке интерва-
ла (a;fr), называется дифференцируемой в этом интервале; опе-
рация нахождения производной функции называется дифференциро-
ванием.
Значение производной функции у = f(x) в точке ж = жо обознача-
ется одним из символов: /'(жо), у'\ _ или т/'(жо).
Пример 20Л. Найти производную функций у — С, С — const.
Q Решение:
-	Значению ж даем приращение Дж;
-	находим приращение функции Ду: Ду = /(ж 4- Дж) — /(ж) =
= С-С = 0;
Ду о п
-	значит, -г-^- =	= 0;
Дж Дж ’
-	следовательно, у1 = lim = lim 0 = 0, т. е. (с)' = 0.	•
Дж-Я) Дж	Дж—>о	v 7
164
Пример 20.2. Найти производную функции у — ж2.
Q Решение:
-	Аргументу х даем приращение Дж;
-	находим Д?у: Дт/ = (х 4- Дж)2 — ж2 = 2ж • Дж 4- (Дж)2;
Д?/ Дг/ 2ж • Дж 4-(Дж)2 о . л
-	составляем отношение д^: д^ =-------Дх----— = 2ж 4- Дж;
-	находим предел этого отношения:
А?/
lim -— = lim (2ж 4- Дж) = 2ж.
Дж—>о Дж	Дж—>о
Таким образом, (ж2)7 — 2ж.
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено
V = lim
Д£->0 Д£
Это равенство перепишем в виде V = т. е. скорость прямоли-
нейного движения материальной точки в момент времени t есть про-
изводная от пути S по времени t. В этом заключается механический
смысл производной.
Обобщая, можно сказать, что если функция у — f(x) описывает
какой-либо физический процесс, то производная у' есть ско-
рость протекания этого процесса. В этом состоит физический
смысл производной.
|@| В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи-
циент касательной k — tg а — lim . Это равенство перепишем
Дж—>о ^Дж
в виде /'(ж) — tg се = к, т. е. производная f'(x) в точке х рав-
на угловому коэффициенту касательной к графику функции
у = f(x) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается
геометрический смысл производной.
|ф| Если точка касания М имеет координаты
(жо;?/о) (см. рис. 130), то угловой коэффи-
циент касательной есть k = f(xo). Пользуясь
уравнением прямой, проходящей через задан-
ную точку в заданном направлении
(у—у о = &(ж—жо)), можно записать уравнение
касательной: у — уо = /'(жо) • (ж — жо).
Прямая, перпендикулярная касательной в
точке касания, называется нормалью к
кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко-
эффициент
, _____________1___________1
норм' kKac. f(xoy
165
Поэтому уравнение нормали имеет вид у — уо
(если f'(x0) 0 0).
/'(х0)
 (х - х0)
20.3.	Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке,
то она непрерывна в ней.
Ц Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х.
Следовательно, существует предел lim = /'(ж).
Дж—>0 £±х
Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно
малой функции, имеем = f'(x) + где а —> 0 при Дж -> 0, то есть
Ау — f(x) ' ^х + а ' ^х-
Переходя к пределу, при Дж —> 0, получаем lim Д?/ = 0. А это и
Дж—>0
означает, что функция у — f(x) непрерывна в точке ж.	
Обратная теорема неверна: непрерывная
функция может не иметь производной. Приме-
ром такой функции является функция
!ж, если ж 0,
—ж, если ж < 0.
Изображенная на рисунке 131 функция не-
прерывна в точке ж = 0, но не дифференцируема
в ней.
Действительно, в
&У = /(0 + Дж)-/(0) = /(Дж) = |Дж|
Дж	Дж	Дж Дж
1, если Дж > 0,
-1, если Дж < 0.
Отсюда следует, что д^т0 не существует, т. е. функция у — |ж|
не имеет производной в точке ж = 0, график функции не имеет каса-
тельной в точке <9(0; 0).
Щ Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции у = |ж|
в точке ж = 0: lim	= — 1, lim — 1. В таких случаях
Дж—>0—0 Дж	Дж—>04-0 Дж
говорят, что функция имеет односторонние производные (или «про-
изводные слева и справа»), и обозначают соответственно fL(x) и Д(ж).
166
Если Д(ж) / /!(#), т0 производная в точке не существует. Не
существует производной и в точках разрыва функции.
2.	Производная у' — f'(x) непрерывной функции у — f(x) сама не
обязательно является непрерывной.
g Если функция у — f(x) имеет непрерывную производную у' = f(x)
в некотором интервале (а; 6), то функция называется гладкой.
20.4.	Производная суммы, разности, произведения
и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определе-
нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ-
ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции и = и(х) и v =.v(x) - две дифференцируемые в
некотором интервале (а; Ь) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна
сумме (разности) производных этих функций: (и ± и)' = и1 ± и'.
□ Обозначим у — и ± и. По определению производной и основным
теоремам о пределах получаем:
, _ (и(х 4- Дж) ± и(х 4- Дж)) — (и(х) ± г(ж)) _
Дж-4-0	Дж
/и(х 4- Дж) — и(х)	v(x 4- Дж) — г(ж) \ _
= д™о^ Д^ “	Д^ —) =
]• Д^ ..	Д17 f j
= hm -— ± lim -— — и ± и ,
Дх->0 Ах Дж—>0 Дж
т. е. (и ± и)' = и' ± и'.
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ-
ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве-
дение первого сомножителя на производную второго: (zz-v)u'v+v'u.
167
□ Пусть у = uv. Тогда
.	,	Дт/	,	и(х 4- Дж)  v(x 4- Дж) — и(х) • v{x)
у = hm —— — hm ---------------т-------------=
Дж->0 Дж Дж->0	Дж
(и(х) 4- Дгл) • (Ф(ж) 4- Ди) — г/(ж) • v(x) _
= дД^
_	• v(x) • и(х) 4- 1/(ж) • Дг> 4- г(ж) • Дг/ 4- Ди • Ди — и(х) • г>(ж) _
Дж—>0	Дж
/ z ч Дг/	, ч Дг	л ДгА
= lim v(x) • ---h и(х) • --1- Дг; • -— =
Дж—>о \ * v 7 Дж	v 7 Дж Дж у
/ X I-	/ х	Д^	д'.
= и(х) • lim --h и(х) • lim —-h lim /\v • lim —— =
Дж—>0 Дж	ДжчО Дж	Дж—>0	Дж—>0 Дж
= и' • v 4- и • vf 4- 0 • и1 — и1 • v 4- и • vr,
т. е. (и • v)' = и1 • v 4- и • v1.	
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не-
прерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и
v = и (ж) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Av 0
и Ди -> 0 при Дж —> 0.
Можно показать, что:
а) (с • и)' = с • гф где с = const;
б) (и • v • w)' = и' • v • w 4- и • v' • w 4- и • v • w'.
Теорема 20.4. Производная частного двух функций , если v(x)
0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна-
менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про-
изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-
нателя: (v 0.
\vj v2
□ Пусть 2/ = ~- Тогда
и(ж +Дж)   и(ж)	'и(ж) + Д'14 и(ж)
рт ^(Ж + Дж) ~ у(ж) _ 1т г(ж)+Дц ~ у(ж) _
Дж—>0	Дж	Дж—>0	Дж
— lim ‘	‘	~	~ U(X^ *
Дж->о	Дж • (г’(ж) 4- Д^)^(ж)
168
у-Au-и-Av	v •	- и •
hm —1 ---------— hm  —--------
Дж->о Аж • (у2 + v • Av) Дж—»о v2 4- v • Av
у'у-уу'
v2 + v • lim Av	v2
Дж—>0
(q \ I	f '
- ) — - с : У , где с = const.
V/	V
20.5.	Производная сложной и обратной функций
Пусть у = /(v) и и — ц>(х), тогда у = f(<p(x)) — сложная функция
с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.
Теорема 20.5. Если функция и = <р(х) имеет производную и'х в точке
х, а функция у = f(u) имеет производную -у'и в соответствующей точке
и = <р(х), то сложная функция у = f(ip(x)) имеет производную у'х в
точке х, которая находится по формуле у'х = у'и • их.
Q По условию д11т0 ^7 “ У и- Отсюда, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции, имеем — у'и + а или
— Уи ’ Аи 4- а • Av,	(20.6)
где а —> 0 при Av —> 0.
Функция v = </>(ж) имеет производную в точке х: lim = их,
Дж—>0 £±Х
поэтому 	.
Av — их ’ Аж 4- /3 • Аж, где /3 —> 0 при Аж —> 0.
Подставив значение Av в равенство (20.6), получим
Ат/ = у'и(у!х • Аж + /3 • Аж) 4- а(у!х • Аж 4- (3 • Аж),
т. е.	, , ,
Ат/ = уи • их • Аж + уи • /3 • Аж 4- их • а • Аж 4- а • /3 • Аж.
Разделив полученное равенство на Аж и перейдя к пределу при Аж —> 0,
получим у'х = у'и • и'х.	
169
Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ-
водную данной функции по промежуточному аргументу
умножить на производную промежуточного аргумента по
независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не-
сколько. Так, если у — f(u), и = v = g(x), то yfx = у'и • v!v • v'x.
Пусть у — f(x) и х = </?(?/) — взаимно обратные функции.
СТВОМ <р (у) =
Теорема 20.6. Если функция у = f(x) строго монотонна на интер-
вале (а; 6) и имеет неравную нулю производную f'{x) в произвольной
точке этого интервала, то обратная ей функция х — р(у) также име-
ет производную в соответствующей точке, определяемую равен-
_ X
Ух'
ИЛИ Ху
□ Рассмотрим обратную функцию х = р(у)- Дадим аргументу у при-
ращение Ау 0. Ему соответствует приращение Дж обратной функции,
причем Дж 0 в силу строгой монотонности функции у = /(ж). Поэто-
му можно записать	Л .
Гр	(а”)
Если Д?/ -» 0, то в силу непрерывности обратной функции прира-
щение Дж —> 0. И так как ^lim^ — Д(ж) 0, т0 из (20.7) следуют
равенства lim	х— = -777-7, т. е. <p'(v) = 77777 •	
д^о Д1/ lim by j\x\	/'(*)
Дж->0 Дж
Таким образом, производная обратной функции равна
обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
Ух
1	dy	1
— или
d.	dx
у	dy
Пример 20.3. Найти производную функции у — log| tgж4.
Ci Решение: Данная функция является сложной. Ее можно предста-
вить в виде цепочки «простых» функций: у — и3, где и = log2 z, где
z — tgQ, где Q — х4. По правилу дифференцирования сложной функ-
ции {у’х = Уи • u'z  Zq-Qx) получаем:
у' = 3 • logo tg ж4 -----
626	1ёж4-1п2
___i____4х3
COS Ж
170
Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обрат-
ной функции, найти производную ух для функции у = \/х — 1.
Q Решение: Обратная функция х — ?/3 Ч-1 имеет производную х'у — Зт/2.
Следовательно,
, =	= 1 = х 1	е
Ух х'у Зг/2 3 • 3У(Г=Л7'
20.6.	Производные основных элементарных функций
Степенная функция у = хп, п Е N
Дадим аргументу х приращение Дж., Функция у — хп получит при-
ращение Д?у = (ж + Дж)п — хп. По формуле бинома Ньютона имеем
Дт/ = ^хп + п • жп-1 • Дж + П^П-^.-"--жп~2 • Дж2 4-h (Дж)п^ - хп =
= п • жп-1  Дж 4- ^^ж^2Дж2 4-----1- (Дж)п.
Тогда
Дт/ п • жп-1  Дж 4- ^Цр^-жп-2Дж2 4- • 4- (Дж)п
Дж	Дж
= п • жпЧ 4-	4----1_ (Дж)п-1.
Находим предел составленного отношения при Дж —> 0:
lim — lim (п-хп~1+ ^П'(п — 1)-жп-2Дж4-----|-(Дж)п-1>) = п-жп-1.
Дж-»о Дж Дж->о\	2	/
Таким образом,	,	.
(жп)' = п-хп~1.
Например, (ж3)' = Зж2, (ж2)' = 2ж, ж' = 1.
Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула произ-
водной степенной функции справедлива при любом п Е R (а не только
натуральном).
Показательная функция у = ах, а> 0, а^1
Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу
ж приращение Дж, находим приращение функции Д1/: Д?/ = еж+Дж_ех _
= еж(еЛж — 1). Стало быть, = е -ел и
\	Л	’ Дя Дж
Д^/	лДж — 1	лДж — 1	Д гр
lim = lim ех-^~-------- - ех • lim —--- = ех  lim —- = ех Л = ех.
Дж-»оДж Дж—>0	Дж	Дж-4-0 Дж	Дж-4-ОДж
171
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью
ех — 1 ~ х при х —> 0.
Итак, у' = ех, т. е.	z ч,
У	(еж) = е .
Теперь рассмотрим функцию у — ах, х € R. Так как ах = ех1па,
то по формуле производной сложной функции находим:
(ахУ = (ех1паУ = ех1па • (ж-Ina)' - еж1па - Ina = ах - Ina.
Таким образом, (ахУ = ах Ina.
Пример 20.5. Найти производную функции у — 7ж2_4ж.
Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и
формулу производной показательной функции, находим
у, = (7z2-4zy = Г2-4Ж . 1п 7 . (ж2 _ 4ху = 7х2-4Ж . 1п 7 . (2ж - 4).	•
Логарифмическая функция у = logax, а > 0, а / 1
Найдем сначала производную функции у = 1п х.
Для нее
Ду = 1п(а; + Да;) — Ina; = In(^) = 1п(1 + ^)
Дж	Дж	Дж	Дж
Переходя к пределу при Дж —> 0 и воспользовавшись эквивалент-
ностью Inf 1 +	~ Дт при Дж —> 0, получаем:
\ ж 7 ж	\
Ду	1п(1 +	^11
hm —— = lim ---------—-— = hm = hm - = - ,
Дж->0 Дж Дж-ч-0 Дж	Дж—>0 Дж	Дж^О Ж Ж
т. е. у' = или (In ж)' = 1.
Теперь рассмотрим функцию у = loga ж.
Так как log„ ж = то
oa	In а ’
(logaхУ =	= -Т  (Ina;)' = -Т - 1.
\ In a J	In а	In а ж
Таким образом, (loga ж)' = —|.
ж * in a
Пример 20.6. Найти производную функции у = 1п(ж4 — 2ж2 + 6).
О Решение: у’ = —1 2	• (а:4 - 2а;2 + 6)' = 44a;3		•
ж - 2ж +6	ж - 2ж + 6
Производную логарифмической функции у — loga ж можно найти
иначе. Так как обратной для нее функцией является ж = ау, то по
формуле производной обратной функции имеем:
(°ga^) (ауу a!/.lna x.lna-
172
Тригонометрические функции у = sin ж, у = cos ж, у = tgx, у = ctgx
Для функции у — sin ж имеем:
Д?/ _ зш(ж + Дж) - sin х _ 2 sin соэ(ж 4-	_ sin / Дж\
Дж	Дж \	Дж	у 2 у
Переходя к пределу при Дж —> 0 и воспользовавшись первым за-
мечательным пределом ^lim^	=	получаем
&у 1. sin
hm -— = lim —	cos
Дж->0 Дж Дж->0
т. е. у' = cos ж или (sin ж)' = cos ж.
Найдем производную функции y=cosx, воспользовавшись форму-
лой производной сложной функции:
• cos ж,
=cos
— — sin ж,
т. е. (со8ж)' = — sin ж.
Для нахождения производных функций ?/=tgx и ?/=с^ж восполь-
зуемся формулой производной частного:
, ЛшжУ (sin ж)' соэж — 8Шж(сО8ж)' cos2 ж-hsin2 ж 1
(tg ж) — I I	2	2	2 ’
у cos ж J	cos2 ж	cos2 ж	cos2 ж
т. е. (tg ж)'=  У ~.
cos х
Проделав аналогичные операции, получим формулу
(с1ёж) =-----•
sm ж
Этот результат можно получить иначе:
1
•2
1
sin2 х
(ctgz)' =
COS2(?r — x)
Пример 20.7. Найти производную функции у = соз2ж.
Q Решение: (соз2ж)' = — зш2ж • (2ж)' = —2зш2ж.	•
Обратные тригонометрические функции у = arcsine, у = arccosx,
у = arctgx, у = arcctgx
Пусть у = агсзшж. Обратная ей функция имеет вид ж — sin?/,
у е [” 2 *’ 2"] ’ интеРвале (“"2 ’ 2") веРно Равенств0 х' — СО$У / 0.
По правилу дифференцирования обратных функций
z	1	1	1	1
(агсзшж) — —----— —-----— —===== = -===,
(М cos?/ д/1 _ Sin2 у Vl-x2
173
где перед корнем взят знак плюс, так как cosy > 0 при у €
Итак, (arcsinx)' = —.
у/1 - X2
Аналогично получаем, что (arccosrr)' =-----, Эту формулу
V 1 — я2
можно получить проще: так как arccosя 4- arcsine = ту, т. е. arccosя =
- arcsina то (™Г -	- а^пА -
— Ту — dlLblllX, 1О ^сПССОЬЯ/ — I уу — dlvollll I —-/   =.
Z	\ 2	V1 — X2
Найдем производную функции у = arctg#.
Она является обратной к функции х — tg?/, где у 6
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, по-
лучаем, что
/	х/	1	1	2	1	1
(arete:ж) = --------— — —,— = cos у —-------------------у— = -------у.
(tg?/)'	1 + tg2?/	1 + ж2
Итак, (arctg^)' — -	2 .
Функции aretgre и arcctgrr связаны отношением
7Г	7Г
aretgx 4- arcctga: = —, т. е. arcctgx = — — aretgrr.
Дифференцируя это равенство, находим
— arctg.r 1 = — (aretgr)' = —
1
т. е. (arcctg#)' = — -—L-^-.
Пример 20.8. Найти производные функций: 1) у — arccos х2; 2) у =
= x-arctgx:) 3) ?/ = (14-5я —Зя3)4; 4) ?/= arccos Уя: 5) у = log|(3 4- 2~х).
Q Решение: 1) (arccosя2)' =------=== • (я2)' =---------;...--....;
а/1 - (ж2)2	а/1^	.
я
2)	(я • агс^я)/ = я' • arctg^ + я • (aretg j:)' = arctg.T Ч-у;
14-я
3)	((1 4- 5я — Зя3)4)' = 4(1 4- 5я — Зя3)3 • (5 — 9я2);
4)	(arccos у^Х =----.	 -1=;
л/1 - (v^)2
5)	Ы(3 + 2-^)У = 31og2(3 + 2-)-	1	-2-*-ln2-(-l). •
(3 4-2 ж)1пЗ
174
Замечание: Найдем производную степенной функции у = ха с лю-
бым показателем а £ В. В этом случае функция рассматривается для
х > 0.
Можно записать ха = еа'1пж. pj0 правилу дифференцирования
сложной функции находим
(хаУ = (еа'1пхУ = ealnx -(a-lnx)' =а- еаЛпх • - = а • — = а • ха~\
X	X
т. е. (хаУ = а • ха~г.
Формула остается справедливой и для х < 0, если функция у — ха
существует:	.
(х^-х-1
О
при всех х 0.
2	1
Пример 20.9. Показать, что функция у =	4- тгЦ- 4- С удовле-
2х
творяет уравнению х3 • у' + 1 = х4.
О Решение: Находим уг:
у' = У^х+У (-2)аГ3 + 0,
т. е. у' = х-Подставляем значение у' в данное уравнение:
х3 • (х —4-1 = ж4, т. е. .т4 — 1 4-1 = ж4, 0 = 0.
\ х6 /
Функция удовлетворяет данному уравнению.
20.7. Гиперболические функции и их производные
В математике, механике, электротехнике и некоторых других дис-
циплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следу-
ющими формулами:
.,,,,	.	рх__р~х
га sh х = -—----------гиперболический синус;
Ж I ZJ-Х
ch х — -—— — гиперболический косинус («цепная линия»);
О» рХ ___ р Х	.	Г‘1) Т Р^ I р Х
th х —	г и cth х —	— гиперболиче-
ские е -he	shrr е — е
ский тангенс и котангенс, где е — неперово число.
На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ-
ций.
Между гиперболическими функциями существуют следующие ос-
новные зависимости:
175
Рис. 133
Рис. 134
Рис. 135
ch2 х — sh2 х — 1;
sh(x ± у) — sh х • ch у ± ch х • sh у\
ch(z ± у) = ch х • ch у ± sh х • sh у\
v	1 ± th х- th у1
sh 2х = 2 sh х • ch x; ch 2x = ch2 x 4- sh2 x.
Все эти формулы вытекают из определения гиперболических
функций.
Например,
ch2 х — sh2 х =
ех + е~ж\2
2 J
= у(е2х + 2 + е 2х - е2х + 2 - е 2х) = | • 4 = 1.
4	4
176
Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см.
рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см.
рис. 136).
Рис. 136. Параметрические
уравнения х = cos t и у —
= sin t определяют окружность
х2 4- у2 = 1, причем О А = cost,
AM = sin t
Рис. 137. Параметрические уравнения
х = chi и — shi определяют гипер-
болу х2 — у2 = 1, причем О А = chi,
AM = shi
Найдем производные гиперболических функций:
(sh#)' =	у—) =	— — chir, т- е- (shir)' = chx;
(chх)' — ......—У = -—=2^— = shir, т. е. (chх)’ = shir;
(thirY = fshir V = (shir)7 ch ir - shir (ch ir)' = ch2 ir - sh2
1	7 \chir/	ch2 ir	ch2 x
= -Д—, т. е. (thrr)' = -Д—;
СП X	СП X
/„th _ ( ch.-r V _ sh2 х - ch2 х _ _
} - ^sh J - sh2x -
—4—, т. е. (cth xY = —Д—
sh2 х	sh2 x
20.8.	Таблица производных
Выведенные правила дифференцирования, формулы производных
основных элементарных функций запишем в виде таблицы.
На практике чаще всего приходится находить производные от
сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул
дифференцирования аргумент «ж» заменен на промежуточный аргу-
мент «it».
Правила дифференцирования
1.	(ц ± v)1 — uf ± 1/;
2.	(16 • v)' = u’v + uv', в частности, (с1б)' = с • 1б';
177
3.	f-) =	в частности, f-) — —
\v J v	\vj , v
4-	Ух = Уи • uxiесли у = и = ^);
5-	Ух = если У = /И и х =
ху
Формулы дифференцирования
1.	(с)' = 0;
2.	(иа)'. = а • иа~1 • и\ в частности, (у/йу = 2^и ' U'"
3.	(аиУ — аи • 1па • и1, в частности, (еиУ = еи • и'\
4.	(logn иУ — —4— * в частности, (1пи)' = 1 -д':
\ оа / и . In а ’	v 7	и
5. (sin и)1 = cos и • и']
7. (tgzz)' = —К— • и']
cos и
9. (arcsinzz)' = —т=^= • и1'
и2
11. (arctgu)' = - +	‘ ^5
13. (shu)' = chu • и'-
15. (thtz)' = —1— • и1;
ch и
6. (cos и)1 = — sin и • и';
8. (ctgu)' = - . \ -и';
sm2 и
10. (arccosw)' =------7=1= • и':
д/1 —г/2
12. (arcctgiz)' = — --1—2- • и1]
14. (chiz)' = sh л • и']
16. (cthw)' =------1— • и'.
v	sh2 и
Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе-
ренцирования и формулы производных основных элементарных функ-
ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.
Пример 20.10. Найти производную функции у — х4 — Зж3 4- 2х — 1.
Решение:
у1^ (гс4 - Зж3 + 2х - 1)' = (ж4)' - (Зя3)' + (2я)' - (1)' =
= 4я3 - З(я3)' + 2(я)' - 0 = 4я3 - 9т2 +2.	•
Надо стараться обходиться без лишних записей.
Пример 20.11. Найти производную функции у =
tg X
Ci Решение:
/2£*\' = 2 (ж3)'• tga: — а:3 • (tga:)' = Зж2 • tga: - ж3 •	*
\tgx/	(tgz)2	О^ж)2
Производная найдена. В процессе решения использованы правила
2, 3 и формулы 2, 7.
Пример 20.12. Найти производную функции у = cos(ln12 2я).
178
Q Решение: Коротко: у' = — sin(ln12 2х) • 12 In11 2х •	• 2.
Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле-
дующим образом: у = cos и, и — £12, t — In г, z — 2х. Производную
сложной функции найдем по правилу у'х — у'и • u't • t'z • zx (здесь проме-
жуточных аргументов три):
у'х = — sin и • 12 • t11 • i • 2,
т. е.	1
у' - - sin £12 • 12 • (In г)11 • — • 2,
х	2х
т. е.	1
Ух — — sin(ln г)12 • 12 • In11 z • —,
т. е.	1
ух — — sin(ln12 2х) • 12 • In11 2х • —.
Окончательно	.
ух — —12 • sin(ln12 2ж) • In11 2х • —.	•
§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ
1/1 ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
21.1. Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у = разрешенным относи-
тельно т/, то функция задана в явном виде (явная функция).
р$| Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения Е(ж; у) — 0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у — f(x) можно записать как
неявно заданную уравнением f(x) — у — 0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от-
носительно у (например, у + 2х + cosy — 1 = 0 или 2У — х + у = 0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахо-
ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав-
нение относительно у: достаточно продифференцировать это
уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х,
и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и
функцию у.
Пример 21.1. Найти производную функции т/, заданную уравне-
нием ж3 4- у3 — Зху = 0.
179
Q Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен-
ство ж3 4- у3 — Зху = 0. Из полученного соотношения
Зж2 + 3 • у2 • у' - 3(1 • у + х - у1) — 0
2
2 f t	9	/ V — X
следует, что у*у — ху — у — ж , т. е. у =	•
21.2. Функция, заданная параметрически
(21-1)
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па-
раметрически в виде двух уравнений
!х = ж(£),
y = y(t),
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную ух, считая, что функции (21.1) имеют произ-
водные и что функция х = x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу
дифференцирования обратной функции
t'x = 4-	-	(21-2)
xt
Функцию у = f(x)^ определяемую параметрическими уравнения-
ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у — y(t), где
t = <р(х).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: ух =
= У'г*х-
С учетом равенства (21.2) получаем
/ , 1
У- = yt
xt
т е' у'х =
xt
Полученная формула позволяет находить производную ух от
функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави-
симости у от х.
Г
Пример 21.2. Пусть <	’ Найти?/'
h/ = i-
т. е.
Q Решение: Имеем xft = 3f2, y't = 2t. Следовательно, yx =
OL
у’х = ir
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у
от х.
Действительно, t = ух. Тогда у = ух2. Отсюда ух = т. е.
О У X
у зг
180
§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан-
ную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат про-
дифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим диф-
ференцированием.
Пример 22.1. Найти производную функции
(ж2 + 2) • V(x - I)3 • ех
(х + 5)3
Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен-
цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло-
гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
Inт/ = 1п(ж2 4- 2) 4- 11п(ж — 1) 4- х - 31п(ж 4- 5).
Дифференцируем это равенство по х:
1	,	1 о 3	1 '	, о 1
у'У~х2+2'2х+4'х-1+	3 я: + 5
Выражаем у':
t ( 2х 3	3 \
У ~ У С2 + 2 + 4(ж - 1) + “ ж + 5/ ’
т. е.
, _ (ж2 + 2) • У(ж - I)3  ех / 2ж 3	_ 3 \
У	(х + 5)3	\ж2 + 2	4(ж — 1) х + 5 J
|@| Существуют функции, производные которых находят лишь лога-
рифмическим дифференцированием. К их числу относится так на-
зываемая степенно-показательная функция у = uv, где и = и(х)
nv = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про-
изводную этой функции:
т. е.
In 7/ = V • In W,
1 , , . 1 ,
— - у — v • In и 4- v • - - и ,
У	и
у — у \ и1 Лпи + и ’ — • и\,
\	- и )
у1 — uv ( V1 • In ТА 4- и • — • и'
\	и
или
(г£г)/ = uv • In и • v' 4- и • uv 1  и1.
(22.1)
181
Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ-
ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока-
зательной функции, при условии и — const, и производной степенной
функции, при условии V — const.
Пример 22.2. Найти производную функции у = (sin2#)a;2+1.
Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:
yf = (sin2£r):z:2+1 • lnsin2:r • 2х + (х2 4- 1)(8ш2х)ж • cos2rr • 2.	•
Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за-
помнить суть логарифмического дифференцирования.
§23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23.1. Производные высших порядков явно заданной
функции
Производная у' = функции у = f(x) есть также функция от
х и называется производной первого порядка.
Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ-
ется производной второго порядка и обозначается у"
Гили f"(x),
\	ах
Итак, у" = (у')'.
dx \dx) dx J у J
Производная от производной второго порядка, если она существу-
ет, называется производной третьего порядка и обозначается уш (или
/"'(*), &’•••)•Итак’у>"= (у"у-
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется про-
изводная от производной (п — 1) порядка:
у(п) =
Производные порядка выше первого называются производными
высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна-
чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или у^ — про-
изводная пятого порядка).
Пример 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у =
= sin х.
182
Q Решение:
у1 — (sin x)' = cos x = sin ( x 4- — 1,
у" — (у'У = (cos ж)' = — sin ж = sin ( x 4-	• 2 ),
y'" = (— sin x)' ~ — cos x = sin ( x 4-	• 3 J,
У™
= sin х = sin f x 4- — ' 4 ),
yW = sin yx 4-	• 13y .	•
23-2. Механический смысл производной второго
порядка
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону
S = /(t). Как уже известно, производная S't равна скорости точки в
данный момент времени: S't — V.
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть ве-
личина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S" = а.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент
t + At — скорость равна V 4- AV, т. е. за промежуток времени At ско-
рость изменилась на величину AV.
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за
время At. Предел этого отношения при At —> 0 называется ускорением
точки М в данный момент t n обозначается буквой a: Jim^ = а,
т. е. V — а.
Но V = S't. Поэтому а =	, т. е. а = S"
23.3. Производные высших порядков неявно заданной
функции
Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения
^(ж;т/) =0.
Продифференцировав это уравнение по ж и разрешив полученное
уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер-
вую производную). Продифференцировав по х первую производную,
получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и
183
у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ-
водной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и
дальше) порядка.
Пример 23.2. Найти у"', если х2 + у2 = 1.
Ci Решение: Дифференцируем уравнение х2 + у2 1 = 0 по х: 2х +
4- 2у • у1 = 0. Отсюда у1 — Далее имеем: у‘
„	= у2+ Х2
У	9	ч
У	у6
,,,	-1-Зу2-у‘	3
тельно, у —------------= —
У6 У4
1 • у — X • у'
—------»------т е
У
— Д (так как х2 + у2 — 1), следова-
У6
' х\	Зх
< у)	у5'
23.4. Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически
Пусть функция у = f(x) задана параметрическими уравнениями
{х = #(t),
У = y(t)-
Как известно, первая производная у'х находится по формуле
^ = 4-	(23Л)
xt
Найдем вторую производную от функции заданной параметриче-
ски.
Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
_ (О
x't ’
Ухх
т. е.
„„ =Ш±
Ухх	/
(23.2)
Аналогично получаем
г/ ххх
!xx)t IV _______ (Уххх)1
/	> Ухххх ~	/
xt	xt
I х — cos t
Пример 23.3. Найти вторую производную функции <	’
I у = sin t.
Ci Решение: По формуле (23.1)
. (sint)i cost
у' = -----(1 =--------— = - ctg t.
(cost) t	— sint
184
Тогда по формуле (23.2)
U = (-ctg^ =	=____1
хх (cost)J -sint sin3f’
Заметим, что найти у"х можно по преобразованной формуле (23.2):
» = (О = ($1 =
Ухх A x't	(xtf
запоминать которую вряд ли стоит.
§24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
24.1.	Понятие дифференциала функции
Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про-
изводную	— ff(x) 0- Тогда, по теоремё о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции, можно записать = /'(^О Та,
где о —> О при Дж -> 0, или Д?/ = f'(x) • Ах + а • Дж.
Таким образом, приращение функции Д?/ представляет собой сум-
му двух слагаемых ff(x) • Дж и а • Дж, являющихся бесконечно малыми
при Дж —> 0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ-
ция одного порядка с Дж, так как Д^1ПО	= ff(x) Ф 0, а второе
слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,
чем Дж:	. д
lim —---— lim а — 0.
Дж—>0 Дж	Дж—>0
Поэтому первое слагаемое f'(x) • Дж называют главной частью
приращения функции Д?/.
|ф| Дифференциалом функции у = f(x) в точке ж называется глав-
ная часть ее приращения, равная произведению производной функ-
ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):
dy = f(x) • Дж.	(24.1)
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого
порядка. Найдем дифференциал независимой переменной ж, т. е. диф-
ференциал функции у = X.
Так как у' — ж' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy — dx —
~ Дж, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению
этой переменной: dx — Ах.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
(24.2)
dy = f'(x)dx,
185
Щ иными словами, дифференциал функции равен произведению
производной этой функции на дифференциал независимой
переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство = /Чж)- Теперь обозна-
чение производной
dy
dx
можно рассматривать как отношение дифферен-
циалов dy и dx.
Пример 24-1. Найти дифференциал функции
/(ж) = Зх2 — sin(l + 2ж).
Ci Решение: По формуле dy — f'(x) dx находим
dy = (Зж2 — sin(l + 2ж))' dx = (бж — 2 cos(l 4- 2х)) dx.
Пример 24-2. Найти дифференциал функции
у — 1п(1 4- е10:Е) 4- \А2 + 1-
Вычислить dy при х = 0, dx = 0,1.
(^.Решение:
/----- / 1	О* \
dy = (1п(1 + е10*) + \/ж2 + 1)' dx = (—— +	dx.
XJ-"TC	у X т 1 z
Подставив х — 0 и dx = 0,1, получим
dy\ х=0> = (^+0)0,1 = 0,5.
d®=o,i z
24.2.	Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл
дифференциала.
Для этого проведем к графику
функции у — f(x) в точке М(х’,у) ка-
сательную МТ и рассмотрим ордина-
ту этой касательной для точки х 4- Дж
(см. рис. 138). На рисунке |АМ| — Дж,
|AMi| = Д?/. Из прямоугольного тре-
угольника МАВ имеем:
\АВ\
tga = ——, т. е. |АВ| — t g се  Дж.
Но, согласно геометрическому
смыслу производной, tga = По-
этому АВ — f'(x) • Дж.
186
|^| Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем
dy = АВ, т. е. дифференциал функции у — f(x) в точке х ра-
вен приращению ординаты касательной к графику функции
в этой точке, когда х получит приращение Ах.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3.	Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя
связь дифференциала и производной функции (dy = f'(x)dx) и соот-
ветствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у = с равна нулю, то диф-
ференциал постоянной величины равен нулю: dy = c,dx = Q-dx = O.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
d(u + v) = du + dv,
d(uv) = v  du + и - dv,
/u\ v du — udv ,	, _
d - =-------2-- v/0.
\ v /	vz
□ Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен-
циала имеем:
d(uv) — (uv)'dx — (u'v + uv')dx = v • и'dx 4- и • v'dx = v du + и dv. 
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе-
нию производной этой функции по промежуточному аргументу на
дифференциал этого промежуточного аргумента.
Q Пусть у = f(u) и и — \р(х) две дифференцируемые функции, образу-
ющие сложную функцию у — f(ip(x)). По теореме о производной слож-
ной функции можно написать
Ух=Уи'^
Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y^dx—y^u^dx.
Но у’х dx — dy м и'х dx = du. Следовательно, последнее равенство можно
переписать так:
dy = у'и • du.	
187
Сравнивая формулы dy — ух • dx и dy — у'и • du, видим, что пер-
вый дифференциал функции у — f(x) определяется одной и той же
формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой
переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не-
изменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy — ух • dx по внешнему виду совпадает с формулой
dy — у'и • du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой
формуле х — независимая переменная, следовательно, dx =• Дж, во
второй формуле и есть функция от ж, поэтому, вообще говоря, du
Да.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф-
ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу
дифференциалов.
Например, d(cosa) = (cosu)'u • du = — sin а • du.
24.4.	Таблица дифференциалов
1.	d(u zb v) — du ± dv;
2.	d(u • v) = vdu + и dv, в частности, d(cu) = c • du;
3.	d( u\ = vdu-udv в частности .d( cA = _ сф
\v) v2	\vj v2
4.	dy = yx dx, если у = f(x);
5.	dy = y'u - du, если у = f(u), и = </?(ж);
6.	de = 0;
7.	d(ua} = a • ua~r • du;
8.	d(au) = au • Ina • du,' в частности, d(eu) = eu • du;
9.	d(logaa) = ^~4na B частности> d(lnu) = ~ • du;
1
1 + a2
10.	d(sina) = cos и du;
11.	(/(cos u) — — sin a da;
12.	d(tga) = —К—du;
cos2 и
13.	d(ctg a) =---Д>— du;
sin2 и
14.	d(arcsina) = —du;
Vl - v?
15.	d(arccosa) —----7—— du;
а/1-u2
16.	d(arctga) =
du;
17.	d(arcctga) — — j-jl—du;
18.	d(sha) = ch a da;
19.	d(cha) = shada;
20.	d(th a) = —Д— du;
ch a
21.	d(ctha) =----Д— da.
7 sh2 a
188
24.5.	Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Как уже известно, приращение Дт/ функции у — f(x) в точке те
можно представить в виде Д?/ = f'(x) • Дж 4- а • Дж, где а —> 0 при
Дж —> 0, или Д?/ — dy 4- а • Дж. Отбрасывая бесконечно малую а • Дж
более высокого порядка, чем Дж, получаем приближенное равенство
&У * dy,	(24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше Дж.
ЦЦ Это равенство позволяет с большой точностью вычи-
слить приближенно приращение любой дифференцируе-
мой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира-
щение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычи-
слительной практике.
Пример 24 • 3. Найти приближенное значение приращения функ-
ции у = ж3 — 2ж 4- 1 при ж’= 2 и Дж = 0,001.
Q Решение: Применяем формулу (24.3): Д?у « dy — (ж3 — 2ж + 1)/- Дж =
— (Зж2 — 2) • Дж.
dy\ х=2	= (3 • 4 - 2) • 0,001 = 10 • 0,001 = 0,01.
Дж=0,001
Итак, Д?/ « 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен-
циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Дт/:
Дт/ = ((ж 4- Дж)3 — 2(ж 4- Дж) + 1) — (ж3 — 2ж 4-1) =
= ж3 4- Зж2 • Дж 4- Зж • (Дж)2 4- (Дж)3 — 2ж — 2 • Дж 4-1 — ж34-2ж — 1 —
= Дж(3ж2 4- Зж • Дж 4- (Дж)2 — 2);
Дт/| х=2	= 0,001(3 • 4 4- 3 • 2 • 0,001 4- 0,0012 - 2) = 0,010006.
Лх=0,001
Абсолютная погрешность приближения равна
| Дт/ - dy\ = |0,010006 - 0,011 = 0,000006.	•
Подставляя в равенство (24.3) значения Д?/ и dy, получим
/(ж 4-Дж) -/(ж)	/7(ж) • Дж
(24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных зна-
чений функций.
f(x 4- Дж) « /(ж) 4- f'(x) • Дж.
Пример 24.4. Вычислить приближенно arctgl,05.
189
Q Решение: Рассмотрим функцию f(x) = arctg ж. По формуле (24.4)
имеем:	'
arctg(x 4- Дж) « arctg ж 4- (arctg ж) • Аж,
т. е.	Дж
arctg(£ 4- Дж) « arctg ж 4-	.
Так как ж 4- Аж = 1,05, то при ж = 1 и Дж — 0,05 получаем:
0 05 тг
arctg 1,05 « arctg 1 4-	— — 4- 0,025 « 0,810.	•
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не
превышает величины М • (Дж)2, где М — наибольшее значение |/"(ж)|
на сегменте [ж; ж 4- Дж] (см. с. 196).
Пример 24-5. Какой путь пройдет тело при свободном падении
на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения
,2
тела Н = 9^—, дл = 1,6 м/с2.
Ci Решение: Требуется найти 77(10,04). Воспользуемся приближенной
формулой (АК « dH)
H(t 4- At) « H(t) 4- #'(t) • At.
При t = 10 с и At = dt = 0,04 с, H'(t) — g^t, находим
Я(10,04) « 1,6 210° + 1,6  10  0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м).	•
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т =
= 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно
кинетическую энергию тела ^Ек —	; Ек(10,02) « 1004 (Дж)).
24.6.	Дифференциалы высших порядков
Пусть у = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент ж —
независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = /Дж) dx
есть также функция ж; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у = f(x) называется
ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и
обозначается d2y или 72/(ж).
Итак, по определению d2y = d(dy). Найдем выражение второго
дифференциала функции у =
Так как dx = Дж не зависит от ж, то при дифференцировании
считаем dx постоянным:
d2y — d(dy) = (/(/'(ж) dx) = (/Дж) dx)' • dx = f"(x) dx • dx = /Дж)(с?ж)2,
190
d2y — f"(x) dx2.	(24.5)
Здесь dx2 обозначает (dx)2.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по-
рядка:
d3y = d(d2y) = d(f"(x) dx2) = f"'(x)(dx)3.
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от
дифференциала (п — 1)-го порядка: dny — d(dn~1y) = f(n\x)(dx)n.
Отсюда находим, что f(n\x) =
dny
dxn
В частности, при n = 1, 2, 3
соответственно получаем:
т. e. пройзводную функции можно рассматривать как отношение ее
дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени
дифференциала независимой переменной.
|©| Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы толь-
ко, если х — независимая переменная. Если же функцию у = f(x),
где х — функция от какой-то другой независимой переменной,
то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством
инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем
это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u • v) =
— v du + и dv), получаем:
d2y = d(f'(x) dx) — d(f(x)) dx + f'(x) • d(dx) — f"(x) d x  dx + f'(x) • d2x,
d2y = f"(x) dx2 + f'(x) • d2x.	(24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае
сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя-
ется: появляется второе слагаемое f(x) • d2x.
Ясно, что если х — независимая переменная, то
d2x = d(dx) = d(l • dx) — dx • d(l) = dx • 0 = 0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
Пример 24,6, Найти (Ру, если у = е3х и х — независимая пере-
менная.
Q Решение: Так как у' = Зе3х, у" = 9е3ж, то по формуле (24.5) имеем
d2y = 9е3ж dx2.	•
Пример 24.1. Найти (Ру, если у — х2 и х ±= £3Ч-1 nt — незави-
симая переменная.
191
Q Решение: Используем формулу (24.6): так как
у1 = 2ж, у" = 2, dx = 3t2 dt, d2x — 6tdt2,
то
d2y = 2dx2 4- 2ж • Gtdt2 = 2(3t2 dt)2 + 2(t3 4- l)6f dt2 =
= 18f4 dt2 + 12£4 dt2 4- 12*dt2 = (30£4 4- 12t) dt2.
Другое решение: у ~ ж2, x — t3 4- 1. Следовательно, у = (t3 4- I)2.
Тогда по формуле (24.5)
d2y — yU'dt2,
T’e‘	d2y = (30i4 + 12t)dt2.	•
§25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНЫХ
25.1.	Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при-
кладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема на интервале (а; 6) и на концах отрезка при-
нимает одинаковые значения /(а) = /(6), то найдется хотя бы одна
точка с € (а; Ь), в которой производная /'(ж) обращается в нуль, т. е.
/'(с) = 0.
□ Так как функция /(ж) непрерывна на отрезке [а; 6], то она достигает
на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответ-
ственно, Мит. Если М = т, то функция /(ж) постоянна на [а; Ь] и,
следовательно, ее производная /'(ж) = 0 в любой точке отрезка [а; Ь].
Если М т, то функция достигает хотя бы одно из значений М
или т во внутренней точке с интервала (а; 6), так как /(а) = f(b)-
Пусть, например, функция принимает значение М в точке ж —
= с 6 (а; Ь), т. е. /(с) = М. Тогда для всех ж Е (а; 6) выполняется
соотношение
/(с)	f(x).	(25.1)
Найдем производную /'(ж) в точке ж = с:
/'(с)= lim /(с + Аа:) -/(с)
V 7 Дж^О
Дж
192
В силу условия (25.1) верно неравенство /(с -h Дж) — f (с)	0. Если
Дж > 0 (т. е. Дж —> 0 справа от точки ж = с), то
/(с +	~ /(с) 0 и ПОЭТОМУ /'(с) °-
Если Дж < 0, то
№ +	> о и /(„) > о.
Дж	J 47
Таким образом, f'(c) = 0.
В случае, когда /(с) = ш, доказательство аналогичное.	
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
у = f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллель-
на оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
Теорема 25.2 (Коши). Если функции /(ж) и <^(ж) непрерывны на
отрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; 6), причем у/(ж)	0
для ж 6 (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с е (а;6) такая, что
.	/(6)-/(а)	/'(с)
выполняется равенство —=4-4- = "Чу-г.
<р(6)-^(а)	^'(с)
Ц Отметим, что (р(Ь) — ip(d) / 0, так как в противном случае по теореме
Ролля нашлась бы точка с, такая, что <//(с) = 0, чего не может быть по
условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(a;) = /(я) - /(а) -	~
Ч>(Ь) - <PW
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от-
резке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; 6), так как является
7 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
193
линейной комбинацией функций /(ж) и у’(ж); на концах отрезка она
принимает одинаковые значения F(a) = F(6) = 0.
На основании теоремы Ролля найдется точка х = с € (а; Ь) такая,
что F'(c) = 0. Но F'(x) = /'(ж) —	следовательно,
Г'(с) = /'(с) -
f(b) - /(а)
<^(5) - 99(a)
9?'(с) = 0.
Отсюда следует
/'(с) =
f(b) - /(а)
</?(£) - </>(а)
/'(С)	/(0 - /(а)
99'(с)	9?(Ь) - 99(a) ’
99'(с)
И
Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция /(i) непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема на интервале (а; 6), то найдется хотя бы одна
точка с Е (а; 6) такая, что выполняется равенство
/(6) - /(а) = /'(с)(&- а).
(25.2)
Q Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный
случай теоремы Коши. Действительно, положив = ж, находим
92(6) — </>(а) = b — а, 99'(х) — 1, <р'(с) — 1.
тт	i	” /(а)	/7е)
Подставляя эти значения в формулу	J ~ ^(с) ’ полУча"
ем Ж 2	= f'(c) или /(6) - /(а) = f'{c)(b -а).	•
[@| Полученную формулу называют формулой Лагранжа или
формулой о конечном приращении : приращение дифференци-
руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно-
женному на значение производной функции в некоторой внутренней
точке этого отрезка.
Теорема Лагранжа имеет про-
стой геометрический смысл. Запи-
шем формулу (25.2) в виде
/ /7 гл	f(b) — f(a)
где а<с<Ь. Отношение	...
о — а
есть угловой коэффициент секущей
АВ, а величина ff(c) — угловой ко-
эффициент касательной к кривой в
точке с абсциссой х = с.
194
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:
на графике функции у — найдется точка С(с;/(с)) (см. рис. 142),
в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото-
ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Q Пусть f'(x) = 0 для Ух Е Возьмем произвольные х± и я; 2 из
(а; Ь) и пусть яд < Х2. Тогда по теореме Лагранжа Яс Е (яд; яд) такая,
что /(#2) — / (яд) = ff(c)(x2 — яд). Но по условию /'(ж) = 0, стало быть,
/'(с) = 0, где яд < с < Х2. Поэтому Дшеем f(x2) — f(xi) — 0, т. е.
f(x2) = /(яд). А так как яд и яд — произвольные точки из интервала
(а;&), то Ух Е (а;Ь) имеем /(я;) = с.	
Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на
некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян-
ное слагаемое.
□ Пусть /{(ж) = f^(x) при х е (а;6). Тогда (fi(x) - /2(х)У = f[(x) -
— f^(x) = 0. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция fi(x) —
— /2(я;) есть постоянная, т. е. fi(x) — /2(я;) = С для Ух Е (а; 6). И
Пример 25,1. Доказать, что arcsinx+arccos# = ?у, где х Е [—1; 1].
Ci Решение: Пусть /(я;) = агсэтя; 4- агссоэя;. Тогда Ух Е (—1; 1) имеем
f'(x) = —j=A= -j-----; 0. Отсюда следует, что /(я;) = С, т. е.
V 1 — х2 у 1 — х2
агсзтя; + агссоэя; = С. Положив х = 0, находим 0 4- ту = С, т. е. С = ту-
Поэтому arcsin х 4- arccos я; = ^. Это равенство выполняется и при
х — ±1 (проверьте!).	•
Аналогично доказывается, что arctgj? 4- arcctga; — ?у.
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему
Лагранжа к отрезку [я;; я; 4- Дя;] (Дя; > 0), будем иметь
/(я; -4- Дя;) - /(я;) = /'(с)Дя;.	(25.3)
Каждое число с Е (я;; х 4- Дя;) можно записать в виде с — х 4- $Дя;,
где 0 < 0 < 1 (действительно, х < с < х 4- Дя; => 0 < с — х < Дя; =>
=> 0 <	< 1’ положим Сд/' ~ с = ж + ^Дя;). Формула (25.3)
примет вид
/(я; 4- Дя;) — /(я;) = / (х 4- 0Дя;)Дя;,
где 0 < в < 1.
195
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли-
женного равенства Д?/ « dy. Сделаем это, считая, что функция f(x)
имеет непрерывную вторую производную f"(x):
Ay - dy - (f(x -F Ах) - /(ж)) - f(x)Ax = f(c)Ax - /'(ж)Дж -
= (/'(с) “	= /"(ci)(c “ ж)дя,
где ci 6 (ж; с) (рис. 143).
Итак, Ay — dy = /"(ci)(c — х)Ах. Пусть М — max |/"(х)|. Так
[ж;ж+Дж]
как |с — х\ < Ах,	М, то получаем оценку |Д1/ — dy\	М|Дж|2.
Xq С X
X
Рис. 143
Рис. 144
25-2. Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида q и , к0“
торый основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида 2). Пусть функции f(x) и р(х) непрерывны и дифференци-
руемы в окрестности точки xq и обращаются в нуль в этой точке:
/(^о) — ^(жо) = 0- Пусть ip'(x) ф 0 в окрестности точки xq. Если
f^(x)	f(x)	f'(x}
существует предел lim = /, то lim J ) I = lim - Д ; = I.
x-txo <p \X)	X-^XQ tp\X) x^-xo (p (x)
Q Применим к функциям f(x) и p(x) теорему Коши для отрезка [#о;
гр /(ж) - /(ж0)	/'(с)
лежащего в окрестности точки xq. тогда	= ^7(с) ’ где С
лежит между xq и х (рис. 144). Учитывая, что /(^о) — ^(^о) —
П°ЛУЧаеМ	Ж=Л£)
При х —> xq, величина с также стремится к перейдем в равен-
стве (25.4) к пределу:
lim =„ю т
х-^х0 (р^х) с-^хо 9?'(с)
196
Так как lim — I, то lim = I. Поэтому lim ДД- — I. 
х—>Я?О ф \Х)	C—^Xq tp \С)	Х-УХо
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух
бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по-
следний существует.
Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции f{x)
и <р(х) не определены при х = то, но lim /(т) = 0 и lim <р(х) = 0.
X—>Жо	х—>Жо
Достаточно положить /(то) = lim f(x) — 0 и ip(xo) = lim (р(х) = 0.
X~+Xq	X—^Xq
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х —> оо. Дей-
ствительно, положив х — 1, получим
.. /И /(|)
hm —— = hm —-f-
х—>оо <р\Х)	г—>0 ip(±)

— lim------— — lim-------------—
= lim
x—>oo
3. Если производные f'(x) и ip'(x) удовлетворяют тем же условиям,
что и функции f(x) и <р(т), тёорему 25.4 можно применить еще раз:
lim ....<- = lim
lim
и т. д.
Пример 25.2. Найти lim
г	х -4-1 ТШТ
х — 1
Ci Решение: lim —-----
х->1 re In ж
01	Г
- = hm -—  — = lim  ------------
0J ж-и (т1пт)' ж—>i In т 4-1
Пример 25.3. Найти lim -—ТР^бт
ж->о 2т
Ci Решение:
,	1 — cos бт
hm ----—-----
ж-»о 2х2
0 6sm6rr 0	3	6 cos6т
- = hm —-------= - — - hm------------
0J	х—>о 4т |_0J	2 ж->о 1
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
0
-. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопреде-
оо
ленности вида —.
оо
197
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида §)•	'
Пусть функции /(ж) и <р(х) непрерывны и дифференцируемы в окрест-
ности точки xq (кроме, может быть, точки хо), в этой окрестности
lim f(x) = lim </?(ж) = оо, <р'(х)	0. Если существует предел
х —>жо	х —>а?о
Г f'(X)	Г f(x) Г f'(x)
hm f) (, то hm -4-4 = hm -7-—4.
X—>Xq kp \X)	X—>Жо	X—^Xq (p \X)
Пример 25.4- Найти lim .
^->5 tg аж
Q Решение:
lim
ж—> —
ж—2
tg Зж
tg 5ж
оо ..	3 • cos2 5х 3	14- cos Юж 0
— — Нт ------5----— - hm -------------— = -
00	cos Зж • 5	5	1 4“ cosбж 0
3 .. —10 sin Юж .. sm Юж
- hm  ——-— = hm  —-
5	— бзтбж	sm бж
0	..	10 cos Юж 5
- = hm —------—— =
0	бсоэбж 3
2-й способ:
.. tg-Зж оо	ж - 5 = t
hm —— = —	. ± 2 п	—
tg5ж [ooj [ t -» U
tg(|7r + 3i) ctg3t	..  tg5t	5
= hm —----------- = hm----— = hm —— =
t->o tg(|7r 4-5t)	i->octg5t	t->otg3f	3
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенно-
стей вида 2 и которые называют основными. Неопределенности
вида 0 • оо, оо — оо, 1°°, оо°, 0° сводятся к двум основным видам путем
тождественных преобразований.
1.	Пусть /(ж) —> О, <р(ж) —> оо при ж -» жо- Тогда очевидны следую-
щие преобразования:
lim (/(ж)^(а:)) = [0 • оо] = lim = 9
X Y X о	X У X О —-j—г-	0
(	 vKz) Г°°Й
или hm —;— = —	.
х	/(ж)	7
Например,
lim tg — ж) = [оо • 0] = lim -----------
х-+2 Ь 4 V 7 L J х->2 Ctg
lim —
ж^-2 —
-1
1	. 7Г
sin2 4
4
7Г*
О
О
198
2.	Пусть f(x) —> оо, <р(х) -4 оо при х —> хо- Тогда можно поступить
так:
lim (/(т) —	— [оо — оо] =
х—>Жо
= lim f -4-------М = lim W ~ Й
X~>XQ \ у(ж) ^(ж) /	ж“»ж0
На практике бывает проще, например.
О
О
lim
х —>1
1
In X
1 \	.	. х — 1 — In х ГО
------- = 00 - оо = hm -----------------— = -
х — I)	ж—>1 In ж • (x — 1) О
1 - ±
lim —------«—
ж->1	1 + In ж
x
3.	Пусть ИЛИ /(т) 4 1 и (р(х) -4 00, ИЛИ /(ж) 4 00 И ф(х) -4 О,
или f(x) -4 0 и ^(т) -4 0 при х -4 хо- Для нахождения предела вида
lim	удобно сначала прологарифмировать выражение
х—>Жо •
A = f(xy^.
Пример 25.5. Найти lim (cos 2т) *2.
Q Решение: Имеем неопределенность вида 1°°. Логарифмируем выра-
жение А — (cos 2т) получим: In А = ^lncos2^- Затем находим пре-
дел:
lim In A— lim
х—>0	х—>0
In cos 2x
x2
£1 =hm ^s(-si..2x-)2=_2	1^ =
О ж->о 2x	.и—>o 2x
= —2,т. e. In lim A — — 2. Отсюда lim A—e 2, и lim (cos 2т) =e 2.	•
x—>0	x—>0	x—>0
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой»
формулой
/ >. lim а?(ж)1п f(x)	/	, v ,	\
lim /(т)^ж) —	= ехр( lim ^(т)1п/(т))
X—>Xq	\х—>Жо	/
(использовано основное логарифмическое тождество: •= е1п^9?).
Пример 25.6. Найти lini(y)tga:.
Ci Решение:
/1 \ tg® lim [ - )	= ж->0 \Х J	/	1 \	/	In — \ = [оо°] — expl lim tgrrln ) = ехр( lim х ) = L	\х—>0	х/	>OctgT/
— ехр	z(~y)\	A. /sinir\2\ о.!	0 hm	— = exp hm xl	) ) = е — е — 1. <х—>0 Д— /	\ж—>0 \ X / / v	sin2 х 7
199
Пример 25.7. Пусть
(е х 2 при х / О,
f(x) =4 л	п
10 при х = 0.
Найти /'(ж). (Дополнительно: найти /^п\0).)
Q Решение: При х 0 имеем
/'(ж) = е~х 2 • (-ж-2)/ = 2е~х 2 • ж“3.
При х = 0 по определению производной:
r(0) = toJ|0 + yJ(0) = Hm^.
 v 7 А—>0	А	А—>0 А
Делаем замену у — и применяем правило Лопиталя
lim
= lim = lim
у—>ОО еУ у—>С<-
—--------= 0.
2-Уу -ev
Таким образом,
' |2ж 3-е х 2 при х 0,
f'(*) = L	о
10	при х = 0.
Аналогично можно показать, что /^п\0) = 0.
25.3.	Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к ис-
следованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убы-
вания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая
на интервале (а; Ь) функция f(x) возрастает (убывает), то f'(x)	0
(/'(ж)	0) для Ух е (а;Ь).
□	Пусть функция /(ж) возрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произ-
вольные точки х и х 4- Дж на интервале (а; Ь) и рассмотрим отноше-
Av f(x 4- Дж) — f(x)
ние	— . Функция f(x) возрастает, поэтому если
Дж > 0, то х + Дж > ж и /(ж + Дж) > /(ж); если Дж < 0, то ж + Дж < ж
и /(ж 4- Дж) < /(ж). В обоих случаях	> q, так
200
как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По усло-
вию теоремы функция f(x) имеет производную в точке х и является
пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
/'(*)
lim + Дж) - f{x)
Дж—>0	Дж
0.
Аналогично рассматривается слу-
чай, когда функция /(ж) убывает на ин-
тервале (а; 6).
Геометрически теорема 25.6 означа-
ет, что касательные к графику возраста-
ющей дифференцируемой функции об-
разуют острые углы с положительным
направлением оси Ох или в некоторых
точках (на рисунке 145 в точке с абсцис-
сой жо) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция /(ж) диффе-
ренцируема на интервале (а; Ъ) и /'(ж) > 0	< 0) для Уж € (а; 6),
то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; 6).
□	Пусть f'(x) > 0. Возьмем точки Ж1 и Ж2 из интервала (а; 6), причем
Ж1 < Ж2- Применим к отрезку [ж^жг]. теорему Лагранжа: /(ж2)“/(^1) —
= /'(с)(ж2 — Xi), где с G (яц;^)- По условию /'(с) > 0, Ж2 — Xi > 0.
Следовательно, /(Ж2) — /(#1) > 0 или /(Ж2) > /(ж1), т. е. функция /(ж)
на интервале (а; 6) возрастает.	
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто ис-
следовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возра-
стающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).
Пример 25.8, Исследовать функцию /(ж) = ж3 — Зж — 4 на воз-
растание и убывание.
Ci Решение: Функция определена на R=(—00; 00). Ее производная
равна:
/'(ж) = 3ж2 -3 = 3(ж —1)(ж + 1);
/'(ж)>0 при жб (—оо; —1)U(1; оо);
/'(ж)<0 при ж€(—1;1).
Ответ: данная функция возрастает на интервалах (—оо;—1)
и (1; оо); убывает на интервале (—1; 1).	•
201
25.4.	Максимум и минимум функций
£5| Точка xq называется точкой максимума функции у = f(x),
если существует такая 5-окрестность точки жр, что для всех х хо
из этой окрестности выполняется неравенство /(ж) < /(жр).
Рис. 146
Аналогично определяется точ-
ка минимума функции: хо — точ-
ка минимума функции, если 35 > О
Ух : 0 < |ж — ж0| <5 => f(x) >
> f(xo). На рисунке 146 Ж1 — точ-
ка минимума, а точка Х2 — точка
максимума функции у = f(x).
Значение функции в точке мак-
симума (минимума) называется
максимумом {минимумом) функ-
ции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функ-
ции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью
точки из области определения функции. Поэтому функция может
иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если диффе-
ренцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке хо, то ее
производная в этой точке равна нулю: /'(жр) = 0.
□ Пусть, для определенности, хо — точка максимума. Значит, в
окрестности точки xq выполняется неравенство f(xo) >	+ Дж).
Но тогда = /(жо +Аж) -Що) < Oj если Дж > 0, и > 0, если
Дж	Дж	’	’ Дж • ’
Дж < 0. По условию теоремы производная
ГЫ
lim /(жр + Дж) - /(жо)
Дж->о Дж
существует. Переходя к пределу, при
Дж < 0, и /'(жр)	0, если Дж > 0.
доказывается утверждение теоремы
функции /(ж).
Дж —> 0, получим/'(жр) ^ 0, если
Поэтому /'(жр) = 0. Аналогично
25.8, если жр — точка минимума

Геометрически равенство /'(жр) = 0 означает, что в точке экстре-
мума дифференцируемой функции у — /(ж) касательная к ее графику
параллельна оси Ох (см. рис. 147).
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если /'(жр) = 0, то
это не значит, что жр — точка экстремума. Например, для функции
202
— т3 ее производная у1 = Зх2 равна нулю при х — 0, но х = 0 не
точка экстремума (см. рис. 148).
Рис. 147	Рис. 148
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют про-
изводной. Например, непрерывная функция у — |ж| в точке х = 0 про-
изводной не имеет, но точка х — 0 — точка минимума (см. рис. 149).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум
лишь в точках, где производная функции равна нулю или не суще-
ствует. Такие точки называются критическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерыв-
ная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой (5-окрестности
критической точки xq и при переходе через нее (слева направо) про-
изводная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то хо есть точка мак-
симума; с минуса на плюс, то хо — точка минимума.
□ Рассмотрим ^-окрестность точки xq. Пусть выполняются условия:
/'(т) > 0 Ух € (xq — (5;^о) и f'(x) < 0 Ух Е (xq;xq + (5). Тогда функция
/(ж) возрастает на интервале (xq — <5;гто), а на интервале (xq;xq + <5)
она убывает. Отсюда следует, что значение /(х) в точке xq является
наибольшим на интервале (xq — S;xq -h <5), т. e. /(ж) < f(xo) для всех
х е (xq — J; xq) U (яд; хо + 5). Это и означает, что xq — точка максимума
функции.
Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 предста-
влена на рисунке 150.
Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда f(x) < 0
Ух е (#о — <5; #о) и > 0 Ух е (х0; х0 4- (5).	
203
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре-
мумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования
функции на экстремум:
1)	найти критические точки функции у — f(x);
2)	выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точ-
ками области определения функции;
3)	исследовать знак производной /'(ж) слева и справа от каждой
из выбранных критических точек;
4)	в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстрему-
ма) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения
функции в них.
Пример 25.9. Найти экстремум функции у =	.
о
</ж-2
1	9
Решение: Очевидно, D(y) = R. Находим у' —	? т. е. у' =
__ 1
“ 3
Производная не существует при х± = 0 и равна нулю при х-2 = 8.
Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три
интервала (—оо; 0), (0; 8), (8; оо). Отметим на рисунке 151 знаки произ-
водной слева и справа от каждой из критических точек.
4- т -	+
б 8 х
Рис. 151
Следовательно, х\ — 0 — точка максимума, t/max = 2/(0) = 0, й
Х2 = 8 — точка минимума, ?/min = у(8) =	•
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак
существования экстремума, основанный на определении знака второй
производной.
204
Теорема 25.10. Если в точке хо первая производная функции /(ж)
равна нулю (/'(жо) = 0), а вторая производная в точке жо существует
и отлична от нуля (/"(жо)	0), то при /"(жо) < 0 в точке х$ функция
имеет максимум и минимум — при f"(xo) > 0.
Q Пусть для определенности /"(жо) > 0- Так как
f"(x0) = lim ?'(Х° + Arr) ~	= lim + Да;) > о,
Дж->0	Дж	Дж—>0	Дж
/'(ж0 4- Дж)
то v --------L > 0 в достаточно малой окрестности точки жо- Если
Дж < 0, то /'(жо + Дж) < 0; если Дж > 0, то /'(жо + Дж) > 0.
Таким образом, при переходе через точку жо первая производная
меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, жо есть
точка минимума.
Аналогично доказывается, что если /"(жо) < 0, то в точке жо функ-
ция имеет максимум.	
25.5.	Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
Пусть функция у = f\x) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как извест-
но, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значе-
ний. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке
жо отрезка [а; 6], либо на границе отрезка, т. е. при жо = а или жо — Ь.
Если жо € (а; 6), то точку жо следует искать среди критических точек
данной функции (см. рис. 152).
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наи-
меньшего значений функции на [а; 6]:
1)	найти критические точки функции на интервале (а; 5);
2)	вычислить значения функции в найденных критических точках;
3)	вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках
ж = а и ж = 6;
4)	среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее
и наименьшее.
Замечания: 1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь
одну критическую точку и она является точкой максимума (мини-
мума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее)
значение. На рисунке 152 /(жо) = /нб = /max (нб — наибольшее, max —
максимальное).
2.	Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических
точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или
205
убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция при-
нимает на одном конце отрезка, а наименьшее (т) — на другом.
Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x) — Зж4 -|- 4ж3 4-1 на отрезке [—2; 1].
Q Решение: Находим критические точки данной функции:
/'(ж) = 12ж3.+ 12х2 = 12ж2(я4-1);
f'(x) = 0 при = 0 6 [—2; 1] и при х% — — 1 е [—2; 1]. Находим /(0) = 1,
/(-1) = 3 - 4 + 1 = 0, /(-2) = 48 - 32 4-1 = 17, /(1) = 8. Итак, /нб - 17
в точке х = —2, /им = 0 в точке х = — 1.	•
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широ-
ко применяется при решении многих практических задач математики,
физики, химии, экономики и других дисциплин.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с
минимальными затратами, задача об организации производственного
процесса с целью получения максимальной прибыли и другие зада-
чи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию
и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших
значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математи-
ки — линейное программирование.
Рассмотрим более простую задачу.
Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наиболь-
шего объема. Каковы его размеры?
Ci Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда,
как видно из рисунка 153, у — \/4/?2 — ж2\ а потому объем цилиндра
Т7 т/r \	(4Л2-х2\	2 та3
\	4 J	4
где х е [0; 2R].
206
Находим наибольшее значение функции V = V(x) на промежутке
[0; 22?]. Так как У'(ж) = тгЯ2 — ^тгж2, то У'(х) = 0 при ж = кроме
того, V" (х) = —	< 0. Поэтому х =	— точка максимума. Так
как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь
наибольший объем (равный Vmax) при х =	; диаметр основания
цилиндра равен  г
- (2RV3/3Y =
О
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную ? и
диаметр, равный	•
25.6.	Выпуклость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпу-
клым вниз на интервале (а; 6), если он расположен выше любой
ее касательной на этом интервале. Гра-
фик функции у = f(x) называется вы-
пуклым вверх на интервале (а; 6), если
он расположен ниже любой ее касатель-
ной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функ-
ции у — f(x), отделяющая его части раз-
ной выпуклости, называется точкой пе-
региба.
На рисунке 154 кривая у — f(x) вы-
пукла вверх в интервале (а; с), выпукла
вниз в интервале (с; 6), точка М(с; /(c)) — точка перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следую-
щей теоремы.
Теорема 25.11. Если функция у = /(ж) во всех точках интервала
(а; 6) имеет отрицательную вторую производную, т. е. f"(x) < 0, то
график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f”(x) > 0
Уж Е (а; 6) — график выпуклый вниз.
Q Пусть f"(x) < 0 Уж Е (а;Ь). Возьмем на графике функции произ-
вольную точку М с абсциссой жо Е (а; Ь) и проведем через М касатель-
ную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже
207
этой касательной. Для этого сравним в точке х 6 (а; Ь) ординату у кри-
вой у = f(x) с ординатой т/кас ее касательной. Уравнение касательной,
как известно, есть
Укас - /(ж0) = f'(x0)(x - Жо), Т. е. Укас = /(^о) + /'(х0)(х - Х0).
Тогда у - укас = f(x) — f(xo) — f'(xo)(x — xq). По теореме Лагранжа,
/(ж) — /(то) = /'(с)(ж — то), где с лежит между хо и х. Поэтому
У - Укж = f'(c)(x - Жо) - f(xo)(x - Жо),
т. е.
У - Укас =	- f'(x0))(x - Жо).
Разность /'(с) — /'(#о) снова преобразуем
по формуле Лагранжа:
/'(С)-/'Ы = /"(С1)(с-^о),
где ci лежит между хо и с. Таким образом,
получаем
У - Укас = /"(ci)(c - а?0)(ж - Жо).
Исследуем это равенство:
1)	если т > то, то т —то > 0, с —то > 0 и /"(сД <0. Следовательно,
У Укас < 0, т. е. 7/ < 7/кас-	Xq Ci С X X
2)	если т < то, то т —то < 0, с — то < 0 и /"(сД <0. Следовательно,
У — Укас < 0, Т. е. у < 7/кас:	J q £
Итак, доказано, что во всех точках интервала («; Ь) ордината ка-
сательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый
вверх. Аналогично доказывается, что при f"(x) > 0 график выпуклый
вниз.	
Для нахождения точек перегиба графика функции используется
следующая теорема.
Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек пере-
гиба). Если вторая производная f"(x) при переходе через точку то,
в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка
графика с абсциссой xq есть точка перегиба.
□ Пусть /"(я) < 0 при х < хо и f”(x) > 0 при х > xq. Это значит, что
слева от х = xq график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз.
Следовательно, точка (хо; /(^о)) графика функции является точкой
перегиба.
Аналогично доказывается, что если f"(x) > 0 при х < xq и f"(x) <
< 0 при х > хо-, то точка (jjq; f{xo)) — точка перегиба графика функции
У = /(ж)-	
208
Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба
график функции у — х5 — х 4- 5.
Q Решение: Находим, что у' = 5ж4 — 1, у" — 20ж3. Вторая производная
существует на всей числовой оси; у" — 0 при х — 0.
Отмечаем, что у" > 0 при х > 0; у" < 0 при х < 0.
Следовательно, график функции у = х5 — х 4- 5 в интервале
(—оо; 0) — выпуклый вверх, в интервале (0; оо) — выпуклый вниз. Точ-
ка (0; 5) есть точка перегиба.	•
25.7.	Асимптоты графика функции
Построение графика функции значительно облегчается, если знать
его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении
формы гиперболы (см. с. 81).
Напомним, что асимптотой кривой на-
зывается прямая, расстояние до которой от
точки, лежащей на кривой, стремится к ну-
лю при неограниченном удалении от начала
координат этой точки по кривой (рис. 156).
Асимптоты могут быть вертикальными,
наклонными и горизонтальными.
Говорят, что прямая х = а является вер-
тикальной асимптотой графика функции
у = f(x), если lim f(x) = оо, или lim /(ж) =
х—>а	х—>а—О
= оо, или lim /(ж) = оо.-
х—>а+0
Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 вид-
но, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х = а равно d =
= |ж — а|. Если х -4 а, то d —> 0. Согласно определению асимптоты,
прямая х — а является асимптотой кривой у = Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти те значения ж, вблизи которых
функция /(ж) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки
разрыва второго рода.
Например, кривая у = —।
рис. 157) ж = — 1, так как lim
ж—> — 1+0
имеет вертикальную асимптоту (см.
2	2
—= Ч-оо, lim —у—г = —оо.
ж 4-1	хж 4- 1
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде
у = кх + Ь.
(25.5)
Найдем к и Ь.
209
Рис. 157
Пусть М(ж; у) — произвольная точка кривой у = f(x) (см. рис. 158).
По формуле расстояния от точки до прямой (d = |	|)
находим расстояние от точки М до прямой (25.5): d = I ^Х/ V -~t=k1.
' v к2 + 1 1
Условие d —> О будет выполняться лишь тогда, когда числитель
дроби стремится к нулю, т. е.
lim (кх — у Ч- 6) = 0.	(25.6)
ж—>оо
Отсюда следует, что кх — у + b = а, где а = а(х) бесконечно малая:
а -> 0 при х —> оо. Разделив обе части равенства у = b + кх — а на ж и
перейдя к пределу при х -4- оо, получаем:
Так как — —> 0 и — —> 0, то
х х ’
b = lim (у — кх).
ж—»оо
(25.7)
Из условия (25.6) находим Ь:
(25.8)
Итак, если существует наклонная асимптота у — кх -h 6, то к и b
находятся по формулам (25.7) и (25.8).
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде-
лы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.
Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует
или равен бесконечности, то кривая у — f(x) наклонной асимптоты не
имеет.
210
В частности, если к = 0, то b = lim f(x). Поэтому у = b — урав-
х—>оо
нение горизонтальной асимптоты.
Замечание: Асимптоты графика функции у = f(x\ при х —> Ч-оо
и х —> —оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов
(25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х —> +оо
и когда х —» —оо.
Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у = хех.
Q Решение: Так как lim = lim ех = Ч-оо, то график функции
х —>+оо X х—± 4-оо
при х —> Ч-оо наклонной асимптоты не имеет.
При х —> —оо справедливы соотношения
тех
к — lim ----— lim ех = О,
х—> — оо X	ж—>—оо
b = lim (хех — Ох) = lim хех — lim ~ — = lim —= 0.
х—> — оо	х—> — оо	х—> — ОО е х 00	х—ь — оо —е х
Следовательно, при х -> — оо график имеет горизонтальную асимптоту
У = 0.	•
25.8,	Общая схема исследования функции и построения
графика
Исследование функции у = f(x) целесообразно вести в определен-
ной последовательности.
1.	Найти область определения функции.
2.	Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями
координат.
3.	Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на
которых f(x) > 0 или /(ж) < 0).
4.	Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего
вида.
5.	Найти асимптоты графика функции.
6.	Найти интервалы монотонности функции.
7.	Найти экстремумы функции.
8.	Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-
ции.
На основании проведенного исследования построить график функ-
ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя-
зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не-
сколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем
211
понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол-
нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни-
тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ-
ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро-
вождать постепенным построением графика функции.
Пример 25.14-
график.
Исследовать функцию у —
и построить ее
Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схе-
мы исследования.
1.	Функция не определена при а; = 1 иж = -1. Область ее опреде-
ления состоит из трех интервалов (—оо;—1), (—1; 1), (1; +оо), а график
из трех ветвей.
2.	Если х = 0, то у — 0. График пересекает ось Оу в точке 0(0; 0);
если у = 0, то х = 0. График пересекает ось Ох в точке 0(0; 0).
3.	Функция знакоположительна (у > 0) в интервалах (—оо; — 1) и
(0; 1); знакоотрицательна — в (—1; 0) и (1; +оо).
4.	Функция у = -—является нечетной, т. к.
1 — х
у(~х) = ;—гЦг =	=
1 — \—Х)	1 — X	z
Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди-
нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х 0.
5.	Прямые ,т = 1иж = -1 являются ее вертикальными асимптота-
ми. Выясним наличие наклонной асимптоты:
к = lim 1-ж2 = lim -—= 0
х—>оо х	х—>00 1 — х2
(к = 0 при х —> +оо и при х -4 —оо),
b = lim ( • ж . - 0ж) = lim Х  = 0.
ж->оо 1 — xz	ж—>оо 1 — хл
Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у — 0.
Прямая у — является асимптотой и при х -4 -Too, и при х -4 — оо.
6.	Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как
, _ / х у _ 1(1 — х2) — х(—2х) _ х2 Т 1
\1 — х2)	(1 — х2)2	(1-я2)2’
то у' > 0 в области определения, и функция является возрастающей на
каждом интервале области определения.
2 4- 1
7.	Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = 77^—“Цтт, то
(1 - ж )
критическими точками являются точки х\ = 1 и х^ = — 1 (у1 не суще-
ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ-
ция экстремумов не имеет.
212
8.	Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":
/ х2 + 1 V_ 2ж(1 — х2)2 — (х2 4-1)2(1 - ж2)(—2х) _ 2х(х2 4- 3)
V(l-z2)2 J ~	(1-х2)4	= (1-х2)3 ’
Рис. 159
Рис. 160
Вторая производная равна нулю или не существует в точках Xi =
= 0, Х2 = — 1, жз = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения
знаков второй производной исследуемой функции.
Точка 0(0,0) — точка перегиба графика функции.
График выпуклый вверх на интервалах (—1; 0) и (1; оо); выпуклый
вниз на интервалах (—оо; — 1) и (0; 1).
График функции изображен на рисунке 160.	•
§26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В определении функции у = f(x) не говорится о том, при помощи
каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях,
з
когда функция является формулой вида у =	-5х 4- 7, значения
о
функции найти легко с помощью четырех арифметических действий.
Но как найти значения, например, функций у = sin ж, у — 1п(1 4- х) при
любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = f(x),
ее заменяют многочленом Рп(х) степени п, значения которого всегда и
легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию
многочленом дает формула Тейлора.
213
26.1.	Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция f(x) есть многочлен Рп(х) степени п:
f(x) = Рп(х) = а0 + агх + а2ж2 + ... 4 апхп.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относитель-
но разности x — xq, где хо — произвольное число, т. ё. представим Рп(х)
в виде
Рп(х) = Ао + А}(х - х0) + А2(х - х0)2 + ... + Ап(х - хо)п- (26.1)
Для нахождения коэффициентов Aq,Ai,..., Ап продифференцируем п
раз равенство (26.1):
Р„(х) = Ai + 2А2(х - хо) + З43(ж - аг0)2 + • • • + пАп(х - жо)"-1,
Р”(ж) = 24г + 2  З43(ж - жо) + ... + п(п - 1)4п(ж - ж0)п-2,
Р"'(ж) = 2 • З43 + 2 • 3 • 444(ж - ж0) + ...
... + п(п - 1)(п - 2)4п(ж - жо)"-3,
Д<"’(ж) = п(п - 1)(п - 2).. . 2 • 14„.
Подставляя х — хо в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Рп(я-о) — -4-0,		т. е.	Ао	— Рп(жо),
Р„(ж0) = 41,		т. е.	Ai	1! ’
Р"(ж0) = 242,		т. е.	А2	_ РМ 2!	’
Р;"(ж0) = 2 • З43,		т. е.	Аз	_ РХ'Ы 3!	’
Р<")(жо)=п(п-1)..	..2-14п,	т. е.	Ап	= Р^п) (Жр) п!
Подставляя найденные значения Aq, Ai, ... ,Ап в равенство (26.1), по-
лучим разложение многочлена n-й степени Рп(%) по степеням (х — хо):
Рп(ж) = Рп(ж0) + ^(ж - жо) + Ц^(ж - жо)2 + . . .
...+ Р")^°:>(ж-ж0)". (26.2)
п\
214
g Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочле-
на Рп(х) степени п.
Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х) = —4ж3 4- Зж2 — 2х 4-1
по степеням х 4-1.
Q Решение: Здесь жо = — 1, Р'(х) = — 12ж2 4- 6х — 2, Р"(х) — —24х 4- 6,
Р'"(х) = -24. Поэтому Р(-1) = 10, Р'(-1) = -20, Р"(-1) = 30,
1) = — 24. Следовательно,
Р(х) = 10 +	+ 1) + 7^(х + I)2 + -^р(х + г)3’
т. е.
-4х3 + Зх2 - 2х + 1 = 10 - 20(х + 1) + 150 + I)2 - 4О + I)3-	•
26.2.	Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у = f(x). Формула Тейлора позволяет, при
определенных условиях, приближенно представить функцию /(ж) в ви-
де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция /(ж) определена в некоторой окрест-
ности точки хо и имеет в ней производные до (п 4- 1)-го порядка
включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка
с е (жо;ж) такая, что справедлива формула
/00 = /(*o) +	1^°) (х - Хо) + (ж - Жо)2 + • • •
(с = хо 4- 6(х — жо), 0 < 0 < 1). (26.3)
|ф| Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции
f(x). Эту формулу можно записать в виде /(ж) — Рп(х) 4- Рп(ж),
где
Рп{х) = /(хо) + ^{х - хо) +	- хо)2 +... + ^х - х0)п
называется многочленом Тейлора, а
= !р^{х - х°^1
215
[ф| называется остаточным членом формулы Тейлора, записан-
ным в форме Лагранжа. Rn(x) есть погрешность приближенного
равенства /(ж) « Рп(х)- Таким образом, формула Тейлора дает воз-
можность заменить функцию у = f(x) многочленом у = Рп(х) с соот-
ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена
Rn(x) •
|ф| При хо = 0 получаем частный случай формулы Тейлора — фор-
мулу Маклорена:
ж + т г + О) +... +	+, (2М)
гдё с находится между 0 и х (с = вх, 0 < 0 < 1).
При п = 0 формула Тейлора (26.3) имеет вид f(x) = /(^о) +
+f'(c)(x—xo) или f(x) — f(xo) — /'(с)(ж—#о)> т. е. совпадает с формулой
Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для
приближенных вычислений /(х) « f(xo) + /'(жо)(^ — #о) (см. «диффе-
ренциал функции») является частным случаем более точной формулы
/(х) « /(ж0) +	- Яо) +  • • +	- *о)п-
Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0,001.
Q Решение: Запишем формулу Маклорена для функции f(x)=ex. На-
ходим производные этой функции: fl{x) — ex^ f"(x)—ex, ..., f^n+1\x) —
—ех. Так как /(0)=е° = 1, /'(0)=е° = 1, ..., /<гг)(0) = 1, /(п+1)(с)=ес, то
по формуле (26.4) имеем:
2	2
X Х£ Xй
И+ 2!+¥
хп есхп+1
п! (п+1)!
Положим х = 1:
111	1 ес
e“1+l! + 2! + 3!+--- + ^+(^TI)!-
Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что
остаточный член 7—у—угг меньше 0,001. Так как 0 < с < 1, то ес < 3.
(п 4-1)!	’	’
Поэтому при п — 6 имеем
ес 3
— < —— = 0,0006 < 0,001.
7!	5040
Итак, получаем приближенное равенство
, . 11111
е«1 + 1 + - + - + - + - + -
2 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181 « 2,718,
т. е. е « 2,718.
216
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других
элементарных функций:
™3	~5	~»2n-f-l	™2n+3
= Z +	. - + МГр^ + (-!)"«
<г2	~4	„In	~2п+2
ОТ1 =	+ (-1Г+-	 М<!,
2	3
ln(l + х) = X - у +	. + (-1)”-1
грП	^.п+1
— + (_П«---------~---------
п 1	' (п + 1)(1 + с)"+1’
,, м,	2	u(/z - 1)... (д - n + 1) „
(1 + ж)м = 1 + цх +	—'-X2 + ... + —--- ------------Хп+
д(д-1)...(д-п)(1 + с)^ п х^п+1
(п + 1)!
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Лекции 23-24 |
§27	. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
27.1.	Основные понятия
|ф| Комплексным числом z называется выражение вида z — x + iy,
где х и у — действительные числа, аг — так называемая мнимая
единица, i2 = — 1.
Если х = 0, то число 0 4- iy = iy называется чисто мнимым;
если у — 0, то число х 4- гО = х отождествляется с действительным
числом х, а это означает, что множество К всех действительных чисел
является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е.
RcC. .
Число х называется действительной частью комплексного
числа z и обозначается х — Re г, а у — мнимой частью г,
у — Im z.
pg[ Два комплексных числа z\ — xi 4- iyi и z^ — х^ 4- iy2 называются
равными (zi — Z2) тогда и только тогда, когда равны их действи-
тельные части и равны их мнимые части: Xi = Х2, yi = У2- В частности,
комплексное число z — х 4- iy равно нулю тогда и только тогда, когда
х — у — 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся.
Два комплексных числа z — х 4- iy и z = х — iy, отличающиеся
лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
27.2.	Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z = х + iy
можно изобразить точкой М(х;у) плоскости
Оху такой, что х — Rez, у = Im г. И, на-
оборот, каждую точку М(х;у) координатной
плоскости можно рассматривать как образ
комплексного числа z = х 4- iy (см. рис. 161).
Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комп-
лексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной
осью, так как на ней лежат действительные числа z — х 4- 0г = х.
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые
комплексные числа z — 0 4- iy.
218
g Комплексное число z — х 4- iy можно задавать с помощью радиус-
вектора г = ОМ = (х',у). Длина вектора г, изображающего ком-
плексное число г, называется модулем этого числа и обозначается
|^| или г. Величина угла между положительным направлением дей-
ствительной оси и вектором г, изображающим комплексное число, на-
зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z
или р.
g Аргумент комплексного числа z — 0 не определен. Аргумент ком-
плексного числа z 0 — величина многозначная и определяется с
точностью до слагаемого 2тгА; (к — 0, —1,1, —2,2 ...): Arg г — argz4-2?rA;,
где arg г — главное значение аргумента, заключенное в проме-
жутке (—тг; тг], т. е. — тг < arg г тг (иногда в качестве главного значения
аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2тг)).
27.3.	Формы записи комплексных чисел
g Запись числа z в виде z — х + iy называют алгебраической фор-
мой комплексного числа.
g Модуль г и аргумент р комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора г = ОМ, изображающего ком-
плексное число z = х 4- iy (см. рис. 161). Тогда получаем х = rcosp,
у = г sin р. Следовательно, комплексное число z = х 4- iy можно запи-
сать в виде z — г cos р + ir sin р или
z — г (cos р 4- i sin р).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической
формой.
Модуль г — |г| однозначно определяется по формуле
г = |г| = \/ х2 + у2.
Например, |г| = л/02	12 = 1. Аргумент р определяется из формул
х	. у	у
cos р = —, sm р = -, tg р — —.
Г	Г	X
Так как -
р — Arg z — arg z 4- 2 Аттг,
то
cos р = cos(argz 4- 2Ъг) = cos(argz), sin р = sin(argz).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи-
сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе-
ние аргумента комплексного числа z, т. е. считать р — arg г.
219
g Так как -яг < argz тг, то из формулы tg 99 = получаем, что
zs = г
argz = <
Z4 = —8г
Рис. 162
arctg
arctg 4- тг
arctg — тг
для внутренних точек
I, IV четвертей,
для внутренних точек
II четверти,
для внутренних точек
III четверти.
Если точка z лежит на действительной или мни-
мой оси, то argz можно найти непосредственно
(см. рис. 162). Например, argzi = 0 для zi — 2;
argz2 = тг для — -3; argz3 = для г3 = г; и
arg 24 = — Т для z^ = —8г.
Используя формулу Эйлера
ег<р = cos <р + г sin </?,
|ф| комплексное число z — r(cos<^ 4- г sin 99) можно записать в так
называемой показательной (или экспоненциальной) форме
z — гег(р, где г = \z\ — модуль комплексного числа, а угол 99 = Arg г =
= argz 4- 2ктг {к = 0, — 1,1, — 2, 2,...).
В силу формулы Эйлера, функция ег(р периодическая с основным
периодом 2тг. Для записи комплексного числа z в показательной форме,
достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.
считать р = arg г.
Пример 27.1. Записать комплексные числа z± = —14-г и г2 = —1
в тригонометрической и показательной формах.
Ci Решение: Для z± имеем
(1 \	7Г 37Г
—4- 7Г — - — 4-7Г — —,
т. е. 99 — Поэтому
• ЛТ/ 37Г	. .	37Г\	/- .-32L
— 1 4- г = v2 cos — 4- г sm — ) = v2e 4 .
V 4	4 /
Для г2 имеем
г — у/(—I)2 4- О2 = 1, arg г = arg(—1) = тг,
т. е. (р = тг. Поэтому — 1 = cos тг 4- i sin тг = ег7Г.
Z2 —~3

220
§28	. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
28.1.	Сложение комплексных чисел
zi + z2 = (a?i + х2) + Цу! + у2).
р>1 Суммой двух комплексных чисел z\ = xi + iyi и z2 — %2 + гу2
называется комплексное число, определяемое равенством
(28.1)
g Сложение комплексных чисел обладает переместительным
(коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойст-
вами:
zi 4- z2 = z2 4- zr,
(^i 4- z2) 4- гз = z\ 4- (z2 + Z3).
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа
складываются как векторы (см. рис. 163).
Непосредственно из рисунка видно, что |zi 4- Z2I |^i| + l^l- Это
соотношение называется неравенством треугольника.
Рис. 163
Рис. 164
28.2.	Вычитание комплексных чисел
g Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз-
ностью двух комплексных чисел Zi и z2 называется такое ком-
плексное число г, которое, будучи сложенным с z2, дает число zi, т. е.
z — Zi — z2, если z 4- z2 = Zi.
Если Zi — Xi 4- iyi, z2 = x2 + iy2, то из этого определения легко
получить z:
Z = Zi - z2 = (Ж1 - x2) 4- i(yi - y2).
(28.2)
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вы-
читаются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |zi — z2\	|^i| — |^2|- Отме-
JKIIVI, 4 1U	у---------------------
ki - Z2| = V(zi - х2)2 + (У1 - У2У2 = d,
|@| т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию
d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство \z — 2г| = 1 определяет на комплекс-
ной плоскости множество точек г, находящихся на расстоянии 1 от
точки zq = 2i, т. е. окружность с центром в zq = 2i и радиусом 1.
221
28.3.	Умножение комплексных чисел
|ф| Произведением комплексных чисел z± — xi 4- iy± и z% .= х2 4- iy-z
называется комплексное число, определяемое равенством
Z = ZrZ2 = (Х1Х2 - У1У2) + Ц%1У2 + т/1Ж2).	(28.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
г2 = -1.|	(28.4)
Действительно, г2 = И — (0 4- 1г) (О + 1г) = (0 — 1) 4- г(0 4-0) = — 1.
Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально
путем перемножения двучленов х± 4- iyi и х2 4- iy2-
(xi 4- гг/1)(ж2 + г?/2) = ^2 +	+ iyi%2 + iyiiy2 =
= Ж1^2 4- г2?/1?/2 4- i(xry2 4- 3/1^2) =	- У1У2 + г(^1?/2 + У1%2)-
Например,
(2 - Зг)(—5 + 4г) = -10 4- 8г 4- 15г - 12г2 = -10 4- 23г 4-12 = 2 + 23г.
Заметим, что zz = (х 4- iy) (х — iy) = х2 4- у2 — действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче-
тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
Z1Z2 = ^1,
(^2>3 = М^з),
^1(г2 4- г3) = z±z2 4- ^г3.
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
Найдем произведение комплексных чисел z± = ri (cos 991 4-г sin 991)
и z2 = r2(cos^2 4- г sin 992), заданных в тригонометрической форме:
zi^2 = тд (cos 991 4- г sin(/?i)r2(cos^2 + г sin ^2) —
= rir2 (cos 991 cos (£2 4- г sin cos tp2 4- г cos 991 sin 992 — sin 991 sin 992) =
= г 1 r2 ((cos 9?i cos 992 — sin </9i sin 992) 4- г (sin 991 cos tp2 4- cos 991 sin 992)) =
= Tir2(cos(99i 4-^2) 4-isin((/?1 4-99Д),
t. e.	---------------------------------------
Z1Z2 = rir2(cos(991 4- (£2) + г sin(99! 4- 9?2)).
|@j Мы показали, что при умножении комплексных чисел их
модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множите-
лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то
= (r(cos99 4- г sin 99))™ = rn(0037199 4- г sin 719?).	(28.5)
Формула (28.5) называется формулой Муавра.
Пример 28.1. Найти (1 4-\/Зг)9-
222
Q Решение: Запишем сначала число z — 1 4- х/Зя в тригонометрической
форме:
г = у 1 4- (г/З)2 = 2; arg г = arctg — =>
7Г
arg г = -,
О
г sm
z — 2
По формуле Муавра имеем
z^ — (1 4- х/Зг’)9 — 29 fcos 9^- 4- i sin 9^ —
\ о	О /
= 29(cos37r + isin37r) = 29(-1) =-512. •
28.4.	Деление комплексных чисел
|ф| Деление определяется как действие, обратное умножению. Част-
ным двух комплексных чисел z± и z2 0 называется ком-
плексное число г, которое, будучи умноженным на ^2, дает число zi,
т. е. ~ = z, если z2z — z\.
%2
Если положить z\ = Xi 4- гг/i, z2 — x2 4- iy2 Ф 0, z — x 4- iy, то из
равенства (x2 4- iy2)(x 4- iy) = xi 4- iyi следует
I XX2 - УУ2 = Xi,
\xy2 4- УХ2 = У1-
Решая систему, найдем значения х и у:
xix2 +У1У2 У1Х2 -хгу2
А + У2	Х^+ yl
Таким образом,
Z1 _ £13:2 + 2/13/2	-2/1^2 - 2?1У2
9	9	4~ п 9
22 Ж2 +У2	Х2+ у2
На практике частное двух комплексных чисел находят путем
умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знамена-
телю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 28.2. Выполнить деление ♦
Q Решение:
14-Зг
2 4~ i
(1 + Зг)(2-г)
(2 4-г)(2-г)
2 — г 4- бг 4- 3	54- 5г
----;—;---- = —т— = 1 + г-
4 4-1	5
223
Для тригонометрической формы комплексного числа формула де-
ления имеет вид
ri(cos^i +zsin^i) п '	. .
—7-------—г-:--г = — (cos(v?i - </?2) +	- </>2)).
r2(COS^2 + &Sin<£2) Г2
|@| При делении комплексных чисел их модули, соответст-
венно, делятся, а аргументы, соответственно, вычита-
ются.
28.5.	Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корня п-й степени определяется как действие, обрат-
ное возведению в натуральную степень.
[ф[ Корнем п-й степени из комплексного числа z называется
комплексное число си, удовлетворяющее равенству соп = z, т. е.
у/z = си, если соп — z.
Если положить z — r(cos</? 4- i sin(/?), а cu = p(cos# 4- г sin#), то, по
определению корня и формуле Муавра, получаем
z — соп = рп(cosпв -I- i sinпЗ) = r(cos<^ 4- i sine/?).
Отсюда имеем рп — г, пЗ — р 4- 2тгк, к = 0, —1,1, —2,2,... То есть
# —	и Р ~ (арифметический корень).
Поэтому равенство \Jz = со принимает вид
п Г~(----------\ П г- (	'+ 27Г^ . • •	+ 2тг А; А
у г (cos р 4- i sm р) — у/г cos---h г sm------ ,
\ п	nJ
к = 0,1,... ,п — 1.
Получим п различных значений корня. При других значениях к, в силу
периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада-
ющие с уже найденными. Так, при к = п имеем
/ р 4- 2тт . . (г 4-27гтг\
иоп — у г cos--------h г sm----------- =
у п	п J
= у/г ( cos ( — 4- 2тт ) 4- г sin ( — 4- 2тг ) ) = y/r ( cos — 4- i sin — ] = w0
\ \n / \n / /	\ n nJ
(k = 0).
Итак, для любого z 0 корень п-й степени из числа z имеет ровно
п различных значений.
Пример 28.3, Найти значения a) y/i = ио\ б)
224
Q Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче-
ской форме: i ~ 1 (cos i sin
l)
Стало быть,
3 Л з /	~	3 /т (
— х /cos — 4- г sm — = vllcos
у	£	£	\
4- 2тгА;
3
5 4- 2тг А;
+ i sin -—--------
О
к = 0,1,2.
При к — 0 имеем
7Г	. . 7Г	\/3	. 1
Wo = COS - 4-г sin - = — + г-;
6	6	2	2
при к — 1 имеем
^4-27г
йД = cos -£——
3
при к = 2 имеем
. . 5 + 27Г	57Г	. . 57Г	V3	.1
4- г sm -------= cos---------h г sm — = ——- 4- г -;
3	6	6	2	2
т	  т	Зтг	. . Зтг
u?2 = cos -4- 4- г sm = cos — 4- г sin — =
О	О	At
г.
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической
форме:
— 1 = cos тг 4- г sin тг.
Поэтому
,—-	/------:---- тг 4- 2тг/с тг 4- 2ттк 1
V — 1 = VCOS7T 4- г sm7T = cos------h г sm------, к = 0,1.
При к — 0 получаем = cos 4- г sin = г, а при к — 1 получаем
cvi = cos 4- i sin = —г. Таким образом, 1 = г и у/-Л = —i.	•
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 25-28
§29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
29.1.	Понятие неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной
функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интеграль-
ное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная
ее производную F'(x) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию
F(x) называют первообразной функции f(x).
|ф[ Функция F(x) называется первообразной функции ф(х) на ин-
тервале (а; 6), если для любого х G (а; Ь) выполняется равенство
F1 (х) — ф(х) (или dF(x) = f(x) dx).
Например, первообразной функции, у — х2, х Е R, является функция
F(x) = так как
о
/ \ 1
F'^ = (т) =x2 = f^-
х О /
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
т3
FH = - + С,
О
где С — постоянная, поскольку
/т3 \/
F'(x) = (—+с) = х2 = /(ж) (ж е Ж).
X О	/
Теорема 29.1. Если функция F(x) является первообразной функции
f(x) на (а; Ь), то множество всех первообразных для f(x) задается
формулой F(x) + С, где С — постоянное число.
□ Функция F(x) + С является первообразной f(x). Действительно,
№) + су-ги-/(х).
Пусть Ф(ж) — некоторая другая, отличная от F(x), первообразная
функции f(x), т. е. Ф'(ж) — f(x). Тогда для любого х е (а; Ъ) имеем
(Ф(х) - F(x))r - Ф'(х) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.
А это означает (см. следствие 25.1), что
Ф(я) -F(x) = С,
где С — постоянное число. Следовательно, Ф(т) = F(x) + С. В
226
g Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) на-
зывается неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символом J f(x)dx.
Таким образом, по определению
У f^dx = F(x) + C.
g Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx —
подынтегральным выражением, х — переменной интегри-
рования, у* — знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на-
зывается интегрированием этой функции.
|ф| Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се-
мейство «параллельных» кривых у — F(x) + С (каждому число-
вому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см.
рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется инте-
гральной кривой.
Рис. 165
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
|@| Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная
на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а
следовательно, и неопределенный интеграл.
29.2.	Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из
его определения.
1.	Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте-
гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав-
на подынтегральной функции:
d(J f(x)dx} = f(x)dx, (j f(x)dx^ = f(x).
227
□ Действительно,
/(ж) dx} = d(F(x) + С) = dF(x) + d(C) = F’(x) dx = f(x) dx
(У f(x)dx}' = (Г(ж)+С)' =F'(x)+0 = f(x).	
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверя-
ется дифференцированием. Например, равенство
J(Зж2 4- 4) dx = ж3 4- 4ж 4- С
верно, так как (ж3 4- 4ж 4- С)’ — Зж2 4- 4.
2.	Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ-
ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
I dF(x) = F(x) + С.
Ц Действительно, J dF(x) = J F'(x)dx = J f(x)dx = F(x) + C.
3.	Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
J af(x)dx = a- J f(x)dx, а ф 0 — постоянная.
□ Действительно,
У af(x) dx = у aF,{x)dx
= У(aF(x)y dx = у d{aF(x))
= a  F(x) +C!=d- \F(x) + ~^} = a(F(x) + C) = a J f(x) dx
ПОЛОЖИЛИ
Q1
a

4.	Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов
от слагаемых функций:
У"(У(^) ± ff(x)) dx = У /(ж) dx± у g(x) dx.
□ Пусть F'(x) — /(ж) и С'(ж) = д(х). Тогда
у,(/(ж) ± д(х)) dx = у(F'(x) 4= б^ж)) dx =
= уд(ж) ± С(ж))' dx = Jd(F(x)± G(x)) = F(x) ± G(x') + C =
= (F(x) + Ci) ± (С(ж) + C2) = У /(ж) dx ± у р(ж) dx,
гдеС1±С2 = С. 
228
5.	(Инвариантность формулы интегрирования). Если j f(x)dx =
= F(x) 4- С7 то и J f(u) du = F(u) 4- С, где и = <р(х) — произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
Q Пусть х — независимая переменная, /(х) — непрерывная функция
и F(x) — ее первообразная. Тогда J f(x) dx — F(x) 4- С. Положим те-
перь и — 99(37), где 99(37) — непрерывно-дифференцируемая функция.
Рассмотрим сложную функцию F(u) — F((p(x\). В силу инвариантно-
сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем
dF(u) = Ff(u) du = f(u) du:
Отсюда J f(u)du = J d(F(u)) = F(u) 4- C.	
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается
справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро-
вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей
непрерывную производную.
Так, из формулы J х2 dx —	+ С путем замены х на и (и = <р(х))
получаем J и2 du =	4- С. В частности,
г . 2 ,z . х	sin3 х
J sin xd(sinx) = —----h С,
г, 2 ,Z1 х In3 х ~
j In2 х cZ(ln х) — —--h С,
,	У tg2 х d(tg х) =	+ С.
Пример 29.1. Найти интеграл ~ Зж2 4- х — 5) dx.
Ci Решение:
J(2ж4 — Зх2 4- х — 5) dx = 2 у х4 dx — 3 J х2 dx 4- j xdx — 5 J dx =
т5	т3	т2	2	1
2——h Ci — 3——h С*2 Ч—~—h С3 — 5з7 4- С4 — —х§ — з;3 4- —х2 — 5х 4- С7
5	3	2	5	2
гдеС-С14-С24-Сз4-С4.	•
/37 4“ 1
------- dx.
х
Q Решение:	dx = J(1 4- ^) dx — х 4- In |ж| 4- С.	•
229
29.3.	Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф-
ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем
обращения соответствующих формул дифференциального исчисления
(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного
интеграла.
Например, так как
d(sin и) = cos и • du,
J cos udu — j </(sin и) = sin и -F С.
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных
методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными.
Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых
и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных
функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения
первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию
приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле-
довательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узна-
вать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте-
грирования и может обозначать как независимую переменную, так и
функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно-
сти формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться,
взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль-
ному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция ± опре-
делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если и > 0, то In |u| = ln-щ тогда din |zz| = (/Inw = Поэтому
у* — in и -j. (j — in |^| (j ПрИ и > о.
Если и < 0, то In |u| = 1п(—и). Но dln(—и) =	Значит,
У* — 1п(—и) + С — In \и\ + С при и < 0.
Итак, формула 2 верна.
Аналогично, проверим формулу 15:
, /1 и ~
d - arctg —FC
\ а а
1 1 1 , _ du
а ' 1 + О2 'а~а?+и2'
230
Таблица основных интегралов
1.	j uadu = ^+1+С (а 1)	(У du — и 4-
2.	У = In |и| + С;	
3.	У аи du =	+ С;	
4.	У еи du = еи + с-,	
5.	У* sin udu = — cos и 4- С	(У sh и du — ch и 4- С1);
6.	У cos и du = sin и 4- С	(У ch и du = sh и 4-
7.	У* tg и du — — In | cos и\ 4- С;	
8.	У ctgu du — In | siniz| 4- С;	
9.	f	= tgu + C J cos и	(/^=lh“+c)^
10.	f	— — ctg и 4- C J sm и	(/J^= tthu+c'.
11.	f	= Ln Itg ту I 4- C; J sm и	1 ° 2 1	’	
12.	f A=]n|tg(^ + ^|+C; J cos и	1 \ 2 4/1	
1 3	[	du	 — arcsin -4-67*	
±о.	J Va^-u2	a	
14	[ .	du...... — in \и 4- \Лл2 4- п2| + С;
J уи2 4- а2
15.	f ъ = - arctg - + С;
J а2 + и2 а & а
16.	[ -^du^= 1 .in|a + uL с-
J а — и2 2а \а — и\
17.	у* у/а2 — и2 du =	•	у/а2	— и2 4-	arcsin 4- С;
18.	J у/и2 ± a2 du =	•	\/iz2	± а2 ±	In \и + a/iz2 ± а21	4- С.
231
§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
30	.1. Метод непосредственного интегрирования
g Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы-
ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит-
ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не-
посредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используют-
ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):
du = d(u 4- а), а — число,
du — -d(au), а 0 — число,
а
и • du — -d(u2\
cos и du — c?(sin и),
sin и du — —d(cos и),
— du — d(\nu),
и
----— du = d(tgu).
cos2 и
Вообще, ff(u) du — d^f^u)), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Примеры:
х г dx _ г d(x 4- 3)
J х 4- 3 J х 4- 3
гралов);
— In |гг 4- 3| 4- С (формула 2 таблицы инте-
2)	/(Зх - l)24dx =	1)2МЗ* - 1) = |  (ЗЖ 251)25 + С
(формула 1);	
Г х 2	7 Г 1 ~ sm2 х 1 r ( 1
3)	/ ctg2 х dx - / -х---dx — / —у—
J	J sin x J \sin x
dx — — ctgrr — x 4- С (формулы 10 и 1);
— 1 ] dx — / —5— dx —
/ J sin x
4)	/'
J x/4 — 3x2
(формула 13);
1 r d(y/3-x)
^2Y-(V3-xy
1	. V3
—7= • arcsin---
л/3	2
232
5)	J sin2 6xdx = | у (1 — cos 12ж) dx = | f dx — | J cos 12ж dx =
= ^-x — - f соз12жс/(12ж) •	= ±x — ^-sinl2x 4- С (формулы 1 и 6);
Z Z J	JlZ Z ZQ.
(a; - 1) - (a: + 2)	_
(a: —l)(a: + 2)
x + 2	_
(x - l)(x + 2)	~
= In |ж + 2| + | In |x - 1| + C;
О	О
If x — 1	A. f
3J (x-l)(x + 2)dX+ 3J
1 r d(x 4-2) Ir d(x — 1)
3 f x + 2 + 3 J X - 1
.г 1 г sin и du г d(cos u) , .	.	~ .
7)	tgudu = / --------- = —	------- = — In I cosu\ 4- С (вывод
J	J COS U j cos u
формулы 7);
r du r cos2 # + sin2 , f cos2 £
8)	J “ J 2 sin cos du ~ J 2 sin cos du +
«/ oiii ci ч/ 4W 0111 2	2	j oiii 2 о 2
• 2 ?/
/• sin	/• и ju\ г и /их л I . и I
+ /	= /"S 2 <2) + /‘6 5 У) = Т" 2 I -
sin
cos |
формулы 11);
. I и I ,
4- С — ln|tg - j 4- С (вывод
9)	у* х(х 4- 2)9 dx = у (х 4- 2 — 2)(х 4- 2)9 dx = J(х 4- 2)10 dx —
- 2	+ 2)9 dx = у (а: + 2)10 d(x + 2) - 2 J(х + 2)9 d(x + 2) =
(ai + 2)11	(а; + 2)10
=-----------2--—----+ С (формула 1);
10)	f , 5	= - Г(ctgar)-5d(ctga:) = -Ctg Х + С =
J ctg х • sm х J	—4 е
= у; -j- - + С (формула 1);
4 ctg4 х
inf	_ f dx _ f d(x — 1)
J V3-2x + x2 J V2 + (a:-l)2 J y^)2 + (^ 1)2
= In|x — 1 4- д/З — 2x 4- z2 | 4- С (формула 14);
12) /(4*3_^^+З1”*)^ = 4р3^~1/
г	5	3]“ж
- / 31-ж d(l - x) = x4 — -tg2x —-—— 4- С (формулы 1,
j	z	in о
9> 3);
233
х3 • Vl + 'b'2 dx — у (1 4- x2) з • x • (x2 + 1 — 1) dx =
= | y\l + Щ + X2) - i /(i + ,2)i d(l + x2) =
= ^(l + z2)3 - |(l+a:2)> +C.
LQ	о
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо-
бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по-
дынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель-
ного числа упражнений.
30.2.	Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но-
вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан-
ный интеграл прийодится к новому интегралу, который является та-
бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно
определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл J f(x) dx. Сделаем подста-
новку х = </?(£), где cp(t) — функция, имеющая непрерывную производ-
ную.
Тогда dx = <р' (t) dt и на основании свойства инвариантности фор-
мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой
У f(x)dx = у	(30.1)
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не-
определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части
этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования
t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = то-
гда у f(tp(x))  <p'(x)dx = У f(t)dt, где t = <Дж). Другими словами,
формулу (30.1) можно применять справа налево.
Пример 30.1. Найти / dx.
Q Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4dt. Следовательно,
[ dx = 4 [ е* dt = 4ef + С — 4сД + С.
234
Пример 30.2. Найти / х • у/х — 3dx.
Q Решение: Пусть у/х — 3 = t, тогда х — t2 4- 3, dx = 2tdt. Поэтому
х • у/х — 3 dx = I (t2 + 3) • t • 2t dt =
= 2 J(t4 + 3t2) dt = 2 J t4 dt + 6 у t2
t5	t3
dt = 2--+6--+C =
5	3
о
= -(ж - 3)5/2 + 2(ж - 3)3/2 + C.
□
Пример 30.3. Получить формулу
/ /	= ln|u + \A2 + a2 I + c.
J y/uz 4- a2
□ Обозначим t — a/w2 + a2 -F и (подстановка Эйлера). Тогда
dt —
2и .	7 \Az2 4- <з2 4- и ,
—-=== du + du,	т. е. dt =-===— du.
2х/и2 + a2	Vu2 + a2
Стсюда	du = dt =
y/u2 4- a2 y/u2 4- a2 4- и t
Стало быть,
[	= [ ~г = ln |i| + С = In |u + x/u2 + a2\ + C.
J y/uz 4- a2 J t
Пример 30.4. Найти / x • (r4- 2)100(±u.
Q Решение: Пусть x 4- 2 — t. Тогда x — t — 2, dx = dt. Имеем:
У x  (x 4- 2)100 dx = y*(t — 2) • £100 dt — J t101 dt — 2 J t100 dt =
_ £102 Q f101	_ (x 4- 2)102	2(x 4- 2)101
“ 102	’ 101 +	~	102	101
Пример 30.5. Найти / ------
J ex 4-1
Q Решение: Обозначим ex = t. Тогда x = In t, dx = ~. Следовательно,
Г _ f T _ Г dt _ r dt _
J ex + 1 ~ J t + 1 ~ J t(f+ 1) ” J t2 +t
_ r dt _ _ г d(t + |)	____1	11	+ 11
-/ a+l)2_i - J (|)2-(*+|)2	2 • | 1П| | — i — 11
235
= - In
ех
1П------
ех + 1
Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.
30.3.	Метод интегрирования по частям
Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные
производные. Тогда d(uv) — и • dv + v • du. Интегрируя это равенство,
получим
v du или
UV
g Полученная формула называется формулой интегрирования
по частям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
ла J и dv к вычислению интеграла J vdu, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы-
ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в
виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож-
но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и
du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор-
мулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям.
1.	Интегралы вида J Р(х)екх dx, J Р(х) • sin кх dx, J Р(х) cos кх dx,
где Р(х) — многочлен, к — число. Удобно положить и — Р(х), а за dv
обозначить все остальные сомножители.
2.	Интегралы вида J Р(х) arcsine dx, J Р(х) arccosх dx,
J P(x)\nxdx, J P(x) arctg ж dx, J P(x) arcctgrr dx. Удобно положить
P(x) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.
3.	Интегралы вида J еах • sinbxdx, J еах • cos bxdx, где а и b —
числа. За и можно принять функцию и — еах.
Пример 30.6. Найти
du = 2dx
и = 2х + 1
dv — е3х dx => v = f е3х dx =
положить С = 0). Следовательно, по формуле интегрирования по ча-
стям:
Q Решение: Пусть
(можно
le3X~f le3X2dx=z ^№+1)е3х-^е3х + С. •
236
Пример 30.7. Найти / In х dx.
Q Решение: Пусть
и = In ж
dv = dx
du = — dx
x
v — x
. Поэтому
In x dx = x • In x
x • In ж — x 4- C.
Пример 30.8. Найти / x2exdx.
Q Решение: Пусть
и — x2
dv = ex dx
du = 2x dx
v — ex
. Поэтому
J x2ex dx = x2ex — 2 j ex • xdx.	(30.2)
Для вычисления интеграла J exxdx снова применим метод интегриро-
вания по частям: и = х, dv = ех dx => du = dx, v = ех. Значит,
У ех  х dx = х  ех - J ех dx = х  ех - ех + С.	(30.3)
Поэтому (см. (30.2)) f х2ех dx = х2ех — 2 (ж • ех — ех 4- С).	•
Пример 30.9. Найти / arctgrrdx.
Q Решение: Пусть
и = arctg ж
dv = dx
du = -——9 dx
1 + x2
. Поэтому
/•	,	Г x ,	1 r d(l 4- x2)
J arctg x dx = x • arctg x - J	~ x ‘ arctg x — - J 	—— =
= x arctgx — | ln(l 4- x2) 4- C. •
§31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
31.1. Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые сведения справочного характера)
Функция вида
Рп(х) = а$хп 4-	4----h an-ix 4- ап,	(31.1)
где п — натуральное число, ai (г = 0,1,..., п) — постоянные коэф-
фициенты, называется многочленом (или целой рациональной
функцией). Число п называется степенью многочлена.
237
£5] Корнем многочлена (31.1) называется такое значение xq (во-
обще говоря, комплексное) переменной х. при котором многочлен
обращается в нуль, т. е. Рп(хо) = 0.
Теорема 31.1. Если xi есть корень многочлена Рп(х), то многочлен
делится без остатка на х — х\, т. е.
Рп(х) = (х - xi) • Pn-i(x),	(31.2)
где Pn-i(x) — многочлен степени (п — 1).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи-
тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й
степени (п > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный
или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло-
жении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х) = а0(х - xi)(x - х2) • •. (х - жп),	(31.3)
где xi, х2,... ,хп — корни многочлена, по — коэффициент многочле-
на при хп.
□ Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо-
значим его через х±. Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как
Рп_1(ж) — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через
х2. ТогдаРп_1(ж) = (х — х2уРп_2(х)., где Рп_2(ж) —многочлен (п —2)-й
степени. Следовательно, Рп(х) = (ж — xi)(x — х2)Рп_2(х).
Продолжая этот процесс, получим в итоге:
Рп(х) = а0(х - хг)(х - х2)... (х - хп).	
Множители (х — х^ в равенстве (31.3) называются линейными
множителями.
Пример 31.1. Разложить многочлен Р$(х) = х3 — 2х2 — х + 2 на
множители.
238
Q Решение: Многочлен Рз(ж) = х3 — 2х2 — х 4- 2 обращается в нуль при
х = — 1, х = 1, х = 2. Следовательно,
х3 — 2х2 — х 4- 2 = (х 4- 1)(ж - 1)(ж — 2).	•
Пример 31.2. Представить выражение х3 — х2 4- 4,т — 4 в виде
произведения линейных множителей.
Q Решение: Легко проверить, что
• х3 — х2 4- 4.т — 4 = (х — 1)(ж — 2г) (х 4- 2г).	•
Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил-
ся к раз, то он называется корнем кратности к. В случае к — 1 (т. е.
корень встретился один раз) корень называется простым.
Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде
Рп(х) = а$(х - xy)kl • (х - х2)к2 ... (ж - хг)кг, (31.4)
если корень х± имеет кратность ki, корень х2 — кратность к2 и так
далее. При этом к\ 4- к2 4- • • • 4- кг = п, а г — число различных корней.
Например, разложение
Р8(ж) = (х - 3)(ж 4- 1)(ж — 4)(х — 3)(ж — 3)х(х - 4)(х - 3)
можно записать так:
Ps(x) — {х — З)4 • (х 4- 1) • (х — 4)2 • х.
Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утвержде-
ния.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) — а$хп 4- а\хп 1 4- • • • + ап
тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу,
то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф-
фициентам другого.
Например, если ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = х3 — Зж2 4-1, то а = 1, 6 = —3,
с = 0, d = 1.
239
Теорема 31.6. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффици-
ентами имеет комплексный корень a + ib, то он имеет и сопряженный
корень а — ib.
В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопря-
женными парами. Перемножив линейные множители
(х — (а + ib))  (х — (a — ib)),
получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами
х2 4- рх 4- q. В самом деле,
(х — (а + ib))(x — (а — ib)) = ((х — а) — ib)((x — а) 4- ib) —
— (х - а)2 4- Ь2 = х2 — 2ах + а2 + Ь2 = х2 + рх + q,
где р = —2а, q — а2 4- Ь2.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответству-
ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом
с действительными коэффициентами.
С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициента-
ми разлагается на линейные и квадратные множители с действитель-
ными коэффициентами, т. е. многочлен Рп(х) можно представить в
виде
Рп(х) — а^х - xi)kl (х - х2)к2 ... (х — хг)кг х
х (ж2 + р,х + Q1)®1 ... (ж2 + ртх + qm)Sm. (31.5)
При этом ку 4- к2 4-Н кг 4- 2($i 4- s2 4-h sm) = n, все квадратные
трехчлены не имеют вещественных корней.
Примеры разложений (31.5):
1)	х4 — 1 = (ж — 1)(я 4-1)(х2 4-1);
2)	ж3 — 1бж = х(х2 — 16) = х(х — 4)(ж 4- 4);
3)	х5 — 6х4 4- 9ж3 — х2 + 6х — 9 = х3(х2 —	4- 9) — (х2 — 6х 4- 9) =
= (х2 — 6х 4- 9)(х3 - 1) = (ж - З)2 • (ж — 1)(х2 4- х 4- 1).
Дробно-рациональная функция
[ф| Дробно-рациональной функцией (или рациональной
дробью) называется функция, равная отношению двух многочле-
нов, т. е. f(x) =	> где Рт{х) — многочлен степени т, a Qn(x) —
4n\%)
многочлен степени п.
240
g Рациональная дробь называется правильной, если степень числи-
теля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае
(если т п) рациональная дробь называется неправильной.
g Всякую неправильную рациональную дробь можно,
путем деления числителя на знаменатель, представить
в виде суммы, многочлена L(x) и правильной рациональной
дробиШ)-т'с-
р(х) = L(x} + вд
Q(x) LW + Q(Xy
Например, gg =
— 5 т 4- 9
-—— неправильная рациональная дробь.
Разделим числитель на знаменатель в столбик:
т4	— 5т 4- 9 т — 2
ж4 — 2т3	т3 4- 2т2 4- 4т 4- 3
2т3	— 5т + 9
2т3 — 4т2
4т2 — 5т 4- 9
4т2 — 8т
Зт 4- 9
Зт — 6
15.
Получим частное L{x) — т3 4- 2т2 4- 4т 4- 3 и остаток R(x) = 15. Следо-
вательно, х ~ 5 а? +.9 = т3 + 2т2 4- 4т + 3 4-
’ т - 2	т - 2
Правильные рациональные дроби вида
т — а’
(п>- (7^ {к » 21 к е N):
(III).	(корни знаменателя комплексные, т. е. р2 — 4q<0);
т 4-рт4-д
(IV).	2, корни знаменателя комплексные),
р5| где А, а, М, N, р, q — действительные числа, называются про-
стейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.
241
Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь , зна-
менатель которой разложен на множители
Q(x) - (z-zi)*1 -(х-х2)к2 ... (х2 + ргх + qi)S1 ...(x2+pmx + qmym,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следую-
щей суммы простейших дробей:
РИ =	А2	Ак,
Q(x) х — xi (х — xi)2	(х — xi)kl
Bi В2	В^2
_|----i--1------f---k . . . 4--—-----k . . .
X — X2 (x — X2)2	(x — Х2У2
1	Cix -k Di + C2X 4- D2 CS1x 4~ DS1 1
X2+p!X+.qi (x2 +P1X + Qi)2	(x2 +P1X +.Q1)S1
I Mix 4- Ni 1 M2X 4- N2 j 1 MSmx + NSm
x2+pmx + qm (x2 + pmx 4- qm)2 (x2 + pmx + qm)s™ '
(31.6)
где Ai, A2, ..., Bi, B2, ...» Ci, Di, ..., Mi, Ni, ... — некоторые
действительные коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
а;2-к 4	_ А В С	D
(х — 2)(ж — З)3 х — 2 + х — 3 + (х — З)2 + (х — З)3 ’
х3 -к 1	_ А В_ Сх + Р
х2(х2 + 1) X + X2 + х2 -к 1
7х2 + 8ж + 9	_ А В Сх + D
(х — 1)(ж — 2)(ж2 -к а; -к I)2 х — 1”^ж — 2~^x2-hx + l^~
Мх -к N
+ (х2 4- х -к I)2 "
Для нахождения неопределенных коэффициентов Ai, А2,..., Bi,
В2,..	. в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэф-
фициентов. Суть метода такова:
1.	В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменате-
лю Q(rc); в результате получим тождество	) - где S(x) —
многочлен с неопределенными коэффициентами.
2.	Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде-
ственно равны и числители, т. е.
Р(ж) = 5(ж).
(31.7)
242
3.	Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те-
ореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7),
получим систему линейных уравнений, из которой и определим иско-
мые коэффициенты Ai, А^,...,	,...
Пример 31.3. Представить дробь -—~~ —zv в виде сум-
\х 1)(з? 2х 4“ 5)
мы простейших дробей.
Q Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:
2х2 - За: - 3	_ А Вх + С
(х — 1)(х2 — 2х + 5) х — 1	х2, — 2х + 5 ’
т. е.
2ж2 — Зх — 3 А(х2 — 2х 4- 5) 4- (ж — 1)(Вх 4- С)
(х — 1)(ж2 — 2х 4- 5)	(х — 1)(х2 — 2х 4- 5)
Отсюда следует
2х2 — Зх — 3 = Ах2 — 2Ах 4- ЗА 4- Вх2 - Вх 4- Сх — С,
т. е.
2х2 - Зх - 3 = (Л 4- В)х2 4-(-2А - В + С)х + (ЗА - С).
Приравнивая коэффициенты при х2, х1, xQ, получаем
Г2 = Л4-В,
< -3 = -2А -В + С,
—З — ЗА — С.
Решая систему, находим, что А = — 1, В = 3, С — —2. Следовательно,
2х2 — Зх — 3	_ —1	Зх — 2
(х — 1)(я2 — 2х 4- 5) х — 1 х2 — 2х 4- 5
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют так-
же метод отдельных значений аргумента: после получения тожде-
ства (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз,
сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х
значения действительных корней многочлена Q(x)).
Пример 31.4. Представить дробь —-i \ в виде суммы
простейших дробей.
Ci Решение: Имеем: —?—3# —	ч = — Н 4 Отсюда сле-
х(х - 2)(х 4- 1) х х-2 ж 4-1
дует
Зх — 4 = А(х — 2)(х 4-1) 4- Вх(х 4- 1) 4- Сх(х — 2).
243
Положим х = 0, тогда —4 = —2А, т. е. А = 2; положим х — 2, тогда
1	7
2 = 6В, т. е. В = положим х = —1, тогда —7 = ЗС, т. е. С = — 4-
о	,	о
Следовательно,
31.2.	Интегрирование простейших рациональных
дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1.	f .... dx — [	=z Л  In |.т — а| + С (формула (2) таблицы
j х a j х а
интегралов);
2-	f dx = A- J\x - а)~к d(x-a) = A- + х + С
(формула (1));
3.	Рассмотрим интеграл J = [ _Мх_ЛМ^_
J х2 + рх + q
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
Мх + N .
------------т dx,
+
причем q —	> 0. Сделаем подстановку х +	= t. Тогда х — t —
2
dx = dt. Положим q —	= а2. Следовательно, используя формулы (2)
и (15) таблицы интегралов, получаем
/* Мх + N г
J = /	--------dx =
J xz + рх + q J
, т г tdt
~М f t^Va2
- М.
~ ~2
т. е., возвращаясь к переменной х,
M(t-2) + N
t? + a2 dt~
V 2 J J t2 + a2
• ln(i2 + a2) + (n -	 - arctg - + C,
\	2 / a a
Mx + N 1 М1 z 2 ч
—-------dx = -— in (аг +рх + q) Ч-• arctg
x2+px + q 2	47
V q 4
2
Пример 31.5. Найти [.dx.
J x2 + 2x + 10
244
Q, Решение: x2 + 2a; + 10 = (a; + l)2 + 9. Сделаем подстановку x + 1 = t.
Тогда x = t — 1, dx = dt и
f 3a: + 1 j _ f 3(* “ !) + 1 .. _ о f tdt	dt _
J x2+2x + W J t2+9	J t2 + 9	Jt2+9~
= 1W2 + 9) ~ 1 arctg | + C = | ln(ar2 + 2a: + 10) - arctg ^1 + C.
Zt	О	и	l	О	О
2
4. Вычисление интеграла вида J	к ^2, д—^>0.
Данный интеграл подстановкой х +	= t сводится к сумме двух
интегралов:
'	_ г tdt / Мр\ г dt	о р2
+v	а ~д~Т
Первый интеграл легко вычисляется:
/ (t2 + а2)к = 2	+ °2) к +	= 2(1 — A:)(t2 + a2)fc-1 + С'
Вычислим второй интеграл:
= г dt = _1_ г (t2 + а2) - t2 =
к J (t2+a2)fc a2 J (t2 + а2)*
1 / г dt	г t2 dt \	1 / г t2 dt \
a2\J (t2 + a2)fc-1 J (t2 + a2)k / a2 \ k 1 J (t2 + a2)k /
(31.8)
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Поло-
жим
t dt
и = t, dv = —------r-r, du — dt.
(t2 + a2)k
V = I /(f2 + “2Г‘ d(l' + = 2(1 - t)(<‘ +	’
тогда
t2 dt	' t	1 r dt
+ a2)k 2(1 — k)(t2 + a2)fc-1	2(1 — k) J (t2 4- a2)fc-1
t__________________1	7
2(1-A:)(t2 Ta2)*-1	2(1 - k) fc“1’
Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
1 ,	t	1
к ~ а2 *-1	2(1 - k)(t2 + a2)*"1 + 2(1 - к) Jk~1^
245
1 /2fc —3	t \
k ~ a2 \2k-2Jk~1 + 2(fc — l)(i2 + a2)fc-1) '
Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого
натурального числа к > 1.
Пример 31.6. Найти интеграл Уз = J % + I)3 *
Q Решение: Здесь а = 1, к = 3. Так как
г dt	~
Ji = J ^+7 = агсШ + С.
то
т _ г dt	_ 2 • 2 - 3	t
1 ~ J (1г + I)2 _ 2  2 - 2'Л + 2 - (2 - 1)(£2	11
= rrCtS,+ 2(iiTI)+C’’
т 3 т t	t 3/1	£	\	_
7з “ 4 Л + 4(t2 + 1)2 -4(£2 + 1)2 + 4 (,2 arCtgf + 2(i2 + 1)/ +С'	*
31.3.	Интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформу-
лировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
1.	Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы мно-
гочлена и правильной дроби;
2.	Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно-
жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро-
бей;
3.	Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Пример 31.7. Найти интеграл [ 37	dx.
J х + 2х 4- 2х
О Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее
целую часть путем деления числителя на знаменатель:
хъ 4- 2а;3	4- 4х 4- 4 х4 4- 2а;3 4- 2х2
хь 4- 2т4 4- 2а;3	х — 2
—	2а;4	4- 4а; 4- 4
—	2а;4 — 4а;3 — 4а;2_
4а;3 4-4а;2 4-4а; 4-4 (остаток).
246
Получаем:
х5 4- 2т3 + 4т + 4	4т3 4- 4т2 + 4т 4- 4
т4 4- 2т3 4- 2т2 Х + т4 4- 2т3 4- 2т2
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
4т3 4- 4т2 4- 4т 4- 4 _ 4т3 4- 4т2 4- 4т 4- 4 _ А	В Сх 4- D
т4 4- 2т3 4- 2т2	т2(т2 4- 2т 4- 2) т	т2	т2 4- 2т 4- 2 ’
4т3 4- 4т2 4- 4т 4- 4 = Ах(х2 4- 2т 4- 2) 4- В(т2 4- 2т 4- 2) 4- (Ст 4- D)x2,
т. е.
4т3 4- 4т2 4- 4т 4- 4 = (А 4- С)т3 4- (2А 4- В 4- Р)т2 4- (2Л 4- 2В)т 4- 2В.
Отсюда следует, что
'А + С = 4,
2А 4- В 4- D = 4,
' 2А 4- 2В = 4,
ч2В = 4.
Находим: В = 2, А — О, С = 4, D — 2. Стало быть,
4т3 4- 4т2 4-4т4-4_ 2 4т 4-2
т4 4- 2т3 4- 2т2 т2 + т2 4- 2т 4- 2
и	т5 4- 2т3 4- 4т 4- 4	2 4т 4- 2
т4 4- 2т3 4- 2т2 Х + т2 + т2 4- 2т 4- 2 *
Интегрируем полученное равенство:
/• т5 4- 2т3 4-4т 4-4 г (	2 4т 4-2	\
J ж4 + 2х3 + 2х2 dX = J V 2 + х^ + х2 + 2х + 2/ dX ~
Обозначим т 4- 1 = t, тогда т = t — 1 и dx = dt. Таким образом,
г 4т 4- 2	, г At — 4 + 2 г t dt г dt
J (x + iy + idx~J t2 + i dfz"4J	i^+i =
= 4 • | ln(£2 4-1) — 2 arctg t 4- C —
— 2 • 1п(т2 4- 2t 4- 2) — 2 arctg(T 4-1) 4- C.
С ледовательно,
! Z^++2x3++2^4 dX = T " 2X ~ I+ 2 ln(a?2 + 2X + 2)" 2 arCtg(:E + + °'
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в эле-
ментарных функциях.
247
§32	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
32.1.	Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно-
метрических функций. Функцию с переменными sin х и cos х, над ко-
торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание,
умножение и деление) принято обозначать ^(sin х\ cos ж), где R — знак
рациональной функции.
|ф| Вычисление неопределенных интегралов типа J 7?(sinrr; cos ж) dx
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под-
становкой tg = £, которая называется универсальной.
2t
2tgf
Действительно, sin x =----— ---------,
l + tgz
2 l+tz'
2
x — 2 arctg t, dx — i dt. Поэтому
1 - tg2 f 1 -t2
COST =----------
l+tg2| 1 + t2
r /	1 —t2\	2 r
#(sin x; cos x) dx = J	T+&) Т+Р dt = J R1^dt’
где Ri(t) — рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма
громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно-
сти, удобны следующие правила:
1)	если функция й(зтж; cos х) нечетна относительно sin ж, т. е.
R(— sin ж; cos ж) = — R(sinx‘ cos ж), то подстановка cos ж = t рационали-
зирует интеграл;
2)	если функция /?(зтж; cos ж) нечетна относительно cos ж, т. е.
Л(зшж; — cos ж) = — /?(8шж; cos ж), то делается подстановка sin ж = t;
3)	если функция 2?(зтж; cos ж) четна относительно sin ж и cos ж
R(— sin ж; — cos ж) = й(зтж; cos ж), то интеграл рационализируется под-
становкой tg ж = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл
имеет вид / H(tg ж) dx.
Пример 32.1.
Найти интеграл [ тг——-----------
J 3 + sm ж + cos ж
Q Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg Тогда dx —
248
n Jy	Оу	1 __ y2
%, sin х = „	, cos х — 7—Ц-. Следовательно,
1 + t2	1 + t2’	1 + Г
dt
dx	r	2 dt
+ sin ж + cos ж	J (1 + t2)(3 +	+ 1^-
г d(t+\)	2	t+\	„	2	l + 2tg£
/ —-г^-7 = —p arctg + C* = -= • arctg------------^-2-
' *+|2 + i V7	n/7/2 V7
7
Пример 32.2. Найти интеграл I — j —•
Решение: Так как
R(— sin ж; — cost) — ————------— —-----^5— = _R(sinx; cost),
1 + (-81пт)2 l + sin2T
то полагаем tg x = t. Отсюда
_ dt	.9 tg2 т t2
x — arctg t, dx — —J7 и sm т =-----------5— = —----7.
6	14-t2	l + tg2T 1 + t2
Поэтому
dt	_ r dt _ 1 r d(y/2t)
(l+t2)(i + Tgj = J 2t2 + l =^ J (V2t)2 + 1
= 4= arctg V^t + C =
tg(>/2tg;r) + C.
32.2.	Интегралы типа J sinTOx ♦ cos” xdx
Для нахождения таких интегралов используются следующие при-
емы:
1)	подстановка sin т = t, если п — целое положительное нечетное
число;
2)	подстановка cost = t, если т — целое положительное нечетное
число;
, 3) формулы понижения порядка: cos2 т = 1(1 + cos 2т), sin2T =
= 1(1 — cos2т), sinT • cost = 1 sin2т, если т и п — целые неотрица-
тельные четные числа;
4)	подстановка tg т = £, если т + п — есть четное отрицательное
целое число.
Пример 32.3. Найти интеграл I = / sin4 т cos5 т dx.
249
Решение: Применим подстановку sin х = t. Тогда х = arcsin£, dx —
= —7=1= dt, COS X — \/1 — t2 и
yi-t2
I = у i4 • (У1 -t2)5 •	= f i4(l - t2)2 dt = j\t4 - 2t6 +t8) dt =
t5	t7 t9 „	1 . 5	2 . 7	l.o	л
— — - 2 — 4- — 4- C = - sm x - - sm x 4- - sm x 4- C. •
Пример 32.4- Найти интеграл I = J sin4 x cos2 x dx.
Ci Решение:
Г	/*11
I = j (sin x cos x)2 sin2 xdx = J - sin2 2x • - (1 — cos 2x) dx =
1	r	1	r	1	/* 1
—	- sin2 2x dx — -	/ sin2 2x cos 2x	dx	— -	/ -(1 — cos 4ж) dx—
8	J	8	J	8	J 2
-	у sin2 2x d(sin 2x)	=	-^x	—	sin 4x —	sin3 2x 4- C. 9
Пример 32.5. Найти интеграл
т С dx	/* _i . -з ,
I — / ----------~= / cos х • sm х dx.
J cos x • sin x J
Ci Решение: Здесь m + n — —4. Обозначим tgrr = t. Тогда x = arctg t,
dx = ~ & sin x = —7---..., cos x — —t=1— и
l + £2	У1 +	л/1 + t2
dt
1+*2
1 ф f3
%/i+t2 ’ (Vi+t5')3
r 1 + t2 ,	r _o , r dt
= f—^-dt = lt dt + fj =
-^2 +lnH + C =	• ctg2 a; + In | tg2?| +C.
32.3.	Использование тригонометрических
преобразований
Интегралы типа J sin ax • cos bx dx, J cos ax • cos bx dx,
У sin ax • sin bx dx вычисляются с помощью известных формул тригоно-
метрии:
sin a cos/? = |(sin(a — /?) + sin(a 4- /?)),
250
cos a cos P = ~(cos(a - /?) 4- cos(ci 4- /?)),
sin a sin /3 = ^(cos(o — (3) — cos(q + /?)).
Пример 32.6. Найти интеграл I — J sin8x cos2x dx.
Q Решение:
I = f sin 8x cos 2x dx — | J (sin Юж 4- sin бж) dx =
= I (~Фоcos ~ |cos 6^) + ®
§33	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
33.1.	Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио-
нальные функции.
Интегралы типа
f ----- - —	-—т ?	Г у/ах2 + bx + cdx,
J у ах2 + Ьх + с J
тх 4- п 7
.2--- ........  dx
у ах2 4- Ъх 4- с
называют неопределенными интегралами от квадратичных иррацио-
нальностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы-
делить полный квадрат
аж2 4- Ьх 4- с =
/ 2 b	с\
= а ж 4--ж4--
\	а	а/
4ас — Ь2 \
и сделать подстановку ж 4-	== t. При этом первые два интеграла при-
водятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.
Пример 33.1.
Найти интегралы I =
dx
\/4ж2 4- 2ж 4- 1
Ci Решение: Так как 4ж2 4-2ж4- 1 = 4(ж2 4- ^ж4-	= 4((ж4-	4-
Т0	г	dx	_ 1 г dx
а/4(^+1)2+^) -2
251
Сделаем подстановку х +	= t, х = t — / dx = dt. Тогда
т If dt 1,1 П> 3~1
2/ ^2 + 3/16	2 1 V 161
1,1	1 Г( 1\2	3 |	<
= 2lnr+4 + V(l+i) +d+c- •
Пример 33.2. Найти интеграл I = J 37 +	2 dx.
Q Решение: Так как 6 — 2х — х2 — — (х2 4- 2х — 6) = — ((а; 4- I)2 — 7) —
— 7 — (х 4- I)2, то подстановка имеет вид х + 1 = t, х — t — 1, dx = dt.
Тогда
т ft — 14-4/ f tdt г dt
4jT^dl = f7^? + 3f^ =
=	/(7-i2)4 <1(7-<g)+3f . dt
— — \/7 — t2 4- 3 • arcsin 4- C — 3 arcsin X	— 2x — x2 4- C. •
v7	v7
Интегралы типа f .	dx, где Pn(x) — многочлен сте-
J у/ax2 4- bx 4- c
пени n, можно вычислять, пользуясь формулой
f Рп(х) * ЛЛ / \ Ъ-------------'1-- \ Г &Х
/	1 = dx = Qn-i(x) • \/ах2 4- Ьх 4- с 4- А / —--....= ,
J \ахл 4- Ьх 4- с	J yaxz 4- bx 4- с
(33.1)
где Qn-i(x) — многочлен степени п — 1 с неопределенными коэффици-
ентами, А — также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по-
лучаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):
.—= (Qn--i(x)-у/ах2+ Ьх + с)'+........- Л .
V ааг 4- Ьх 4- с	\/ах 4- Ьх 4- с
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте-
пенях неизвестной х.
/2
х —---------dx
1 2х х
Q Решение: По формуле (33.1) имеем:
I — [ —=^======== dx = {Ах + В) \/1 — 2х — т2 4- А • [	==.
J Vl-2x- х2	J у/1-2х- х2
252
Дифференцируя это равенство, получаем:
х2	л Г.—-----о /л	—2 —2х	А
.	= А• v 1 “2.г-.т2 + (Ах4-В)-========== 4- - ... .	:
\/1 — 2ж — ж2	2а/1 —2ж —ж2 д/1 — 2х —
т. е.
• х2 = А(1 — 2х — ж2) 4- (Ах 4- В)(—1 — х) 4- А,
х2 = А — 2 Ах — Ах2 — Ах — В — Ах2 — Вх 4- А.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
1 = —А — А при .т2,
< 0 = — 2А — А — В при ж1,
О = А — В 4- А при х°.
Отсюда А — — В — X = 2. Следовательно,
I = (— ~х 4-	\/1 - 2.т - ж2 4- 2 f —==^====== —
V 2	2/	J у/2-(х +1)2
f \/1 — 2# — х2 4- 2 arcsin
27 v	у/2
4- С.
33.2.	Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа j R^x,	,..., (	где tt’
с, d — действительные числа, а, /3,..., 5, 7 — натуральные числа,
сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки
—+ d — tk> где к — наименьшее общее кратное знаменателей дробей
а д_
Действительно, из подстановки — tk следует, что х —
, -dkt^1 (ctk - а) - (b - dt^ckt^1
и dx = -------*--------р----------^5 т. е. х и dx выражаются
через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби
выражается через рациональную функцию от t.
Пример 33.4- Найти интеграл 1=	~Т7====^—' /' 1 •
7 у/(х 4- 2)2 — V х 4- 2
Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей | и |
о Zi
есть 6. Поэтому полагаем х + 2 = tQ, х = t6 — 2, dx — 6tb dt, t = y/x 4- 2.
253
Следовательно,
— 6 j 4~ 1 + ~dt — 3*2 -p 6* 4* 6 In \ t — 1| 4~ C —
= 3 • Vx~+2 4- 6 • VzT2 + 6 In | \/x + 2 - 1| 4- C. •
Пример 33,5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
Л f 2^-xdX’
г з lx 4- 1 dx
2 J у х — 1 (1 — х)2
Q Решение: Для Д подстановка х — *2, для 1% подстановка | = t3.
33.3.	Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа
J R(x\ \/ а2 — x2)dx,
R(x; д/а2 4- x2)dx, f R(x; \Jx2 — a2)dx
приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от три-
гонометрических функций, с помощью следующих тригонометриче-
ских подстановок: х = a - sin t для первого интеграла; х — а • tg t для
второго интеграла; х = для третьего интеграла.
г 4____х2
Пример 33.6. Найти интеграл I = / ——2-------^х-
Q Решение: Положим х — 2 sin*, dx = 2 cos t dt, t = arcsin Тогда
\/4 — 4 sin2 t 	_ r 4 cos2 t .
--------5-------- 2 cos t dt = / --5— dt =
4 sin t	J 4 sin t
r 1 — sin21 r dt r ,	„
— / -----------dt —	—5------dt = — ctg t — t + C =
7 sin21 J sin2* J
x	(	x \	x	у/4 — x2
— C —	arcsin	—	—	ctg (arcsin — j	= C — arcsin —-------------
Л	\	Л J	Zt	X
a/1 - sin21	_	y/1 —	(f )2	\/4 — z2
sin*
x
2
254
33.4.	Интегралы типа j R(x, \/ах2 + bx + c)dx
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от-
носительно х и \/ах2 -I- Ьх 4- с. Выделив под радикалом полный ква-
драт и сделав подстановку х +	= t, интегралы указанного типа
приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам
типа уR(t; \/а2 — t2) dt, J R(t', \/a2 4- t2) dt, J R(t\ y/t2 — a2) dt. Эти ин-
тегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри-
ческих подстановок.
Пример 33.7. Найти интеграл I — J -	~4-^1)3—~ ^Х'
Q Решение: Так как ж24-2ж —4 — (х4-1)2 — 5, то ж 4-1 = t, х — t — 1, dx =
— dt. Поэтому I = f о -- dt. Положим t —	, dt =
J Г	sin г’	sm2 z
z = arcsin Тогда
5
/5) cos z ,
---2----- —
sin z
v 5 /	1
cos 2г) dz = — yz 4- - sin 2z
V 5 /	. v 5
----— arcsin------h
10 V t
y/5 /	. Vb
— arcsin-------- +
10 \ x 4-1
| sin ^2 arcsin
1 . /o . \/5
- sin 2 arcsin-----:
V 5 /	. v 5
— arcsin--------
10 V x 4-:
Замечание: Интеграл типа / —j-   ........ целесообразно	нахо-
J ху/ах2 + bx + с
дить с помощью подстановки х =
33.5.	Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы типа J хт • (п 4- bxn)p dx (называемые интегралами от
дифференциального бинома), где а, b — действительные числа; т, п,
Р — рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в
255
случае, когда хотя бы одно из чисел р, — или + Р является
целым.
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу-
ющими подстановками:
1)	если р — целое число, то подстановка х — tk, где к — наимень-
шее общее кратное знаменателей дробей т и п;
2)	если 171 + — целое число, то подстановка a 4- bxn = ts, где s —
п
знаменатель дроби р;
3)	если —±.1 4- р — целое число, то подстановка а 4- bxn — хп -ts,
где s — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы типа j хт(а 4- bxn)p dx
не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не бе-
рутся».
г л/ у/х 4-1
Пример 33.8. Найти интеграл I — /	—т=—— dx.
J	у/X
Q Решение: Так как
I — у* x~i • (1 4- х^% dx,
то т = —1, п = 1, р — 1,	— 2. Поэтому делаем подстановку
у[х + 1 — t3, х = (t3 — l)4, dx = 4(t3 — I)3 • 3£2 dt, t = у/ y/x 4-1. Таким
образом,
J (t3 ~ 1)
• 12t2(t3 - I)3 dt = 12 у(t6 - i3) dt =
= 12 • у - 12 •	+ C = y( 1)* - 3 • (	+ 1)* + C. •
§34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ»
ИНТЕГРАЛЫ
Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна-
чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда
выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот-
ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един-
ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих
искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тре-
нированности. Например, f — можно найти, не используя реко-
J cos х
256
мендуемую подстановку tg# = t. а применив искусственный прием:
г dx г (cos2 х 4- sin2 х)2	_
J cos6 х J cos6 x X
Я1	_ tg2 Ж	tg4 Ж \	7	2o 1 e	„
—2-------ь 2—2-b —2~ )	dx	-	tgz + Q tg x + 7 tg x	+ C.
cos2 x	cos2 x	cos2 x J	3	5
Вряд ли стоит вычислять интеграл
г Зт2 4- 4# 4- 1 ,
/ —7~ъ—z----w dx,
J х(х2 4- 2х -h 1)
разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:
За:2 4- 4ж 4-1 _ Зж2 4- 4т 4- 1 _ А В С
т(т2 4- 2т 4- 1) т(т 4- I)2 т т + 1 (т + I)2'
Заметив, что числитель Зт2 4-4т 4-1 является производной знаменателя
т(т2 4- 2т 4- 1) = т3 4- 2т2 4- т, легко получить:
г Зт2 4- 4т 4-1 , г d(x3 4- 2т2 4- т) 1 . 3 о 2	.	~
/ ~ГЪ—п—-rv dx = / -4—— ------------- = In т3 4- 2т2 4- т 4- С.
J т(т2 4-2т 4-1) J т3 4-2т2 4-т
На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь-
зуют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто
встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных
интегралов» М. Л. Смолянского.
Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях
вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ-
цию для подынтегральной функции.
Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную.
В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции
/(т) является также элементарной функцией, говорят, что J f(x) dx
«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции
(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через
элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или
«его найти нельзя»).
Так, например, нельзя взять интеграл J у/х • cos х dx. так как не
существует элементарной функции, производная от которой была бы
равна a/^cosx. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко-
торые имеют большое значение в приложениях:
У е~х<2 dx — интеграл Пуассона (теория вероятностей),
У — интегральный логарифм (теория чисел),
9 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
257
j cos ж2 dx, J sin a;2 dx — интегралы Френеля (физика),
у* sip х у cps x dx — интегральные синус и косинус,
г ех ,	-	,
I х dx — интегральная показательная функция.
Первообразные от функции е”*2, cos ж2, и других хорошо из-
учены, для них составлены подробные таблицы значений для различ-
ных значений аргумента х.
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 29-33 |
§35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Пусть функция у — f(x) определена на отрезке [а;Ь], а < Ь. Вы-
полним следующие действия.
1.	С помощью точек xq = a, xi, Х2, .., хп — b (ж0 < х± < ... < хп)
разобьем отрезок [а,Ь] на п частичных отрезков [я?о;#1Ь
... ,[xn-i,xn] (см. рис. 166).
Cl С2	Ci v
--1---1—•—I—•—I—•—I—•—I—•—F—
О а = хо Xi Х2	Xi-i Xi
Сп
Ь — хп
Рис. 166
2.	В каждом частичном отрезке [xi-i;xi], i = 1,2, ...,п выберем
произвольную точку Ci 6 [xi-1; xi\ и вычислим значение функции в
ней, т. е. величину f(ci).
3.	Умножим найденное значение функции f(ci) на длину Дт* =
— Х{ — Xi-i соответствующего частичного отрезка: f(ci) • Дж*-
4.	Составим сумму Sn всех таких произведений:
п
Sn = ftcijAx! + /(с2)Лх2 + ... + /(с„)Да:п =	/(ci)A^.	(35.1)
2—1
|ф| Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции
у — f (х) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через А длину наибольшего
частичного отрезка: А = шах Да^ (г = 1, 2,..., п).
5.	Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда п —> оо так,
что А —> 0.
|ф| Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрез-
ки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным
интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; Ь] и обозначается
ь
У f(x) dx. Таким образом,
а
Ь	п
( f(x)dx = Jim, ^/(ciJAxf.
(А—>0) i=l
(35.2)
259
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной
функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением, х — пере-
менной интегрирования, отрезок [а; 6] — областью (отрезком)
интегрирования.
g Функция у = f(x), &ля. которой на отрезке [а; Ь] существует опреде-
ленный интеграл J f(x) dx, называется интегрируемой на этом
а
отрезке.
Сформулируем теперь теорему существования определенного ин-
теграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрез-
ъ
ке [а; Ь], то определенный интеграл J f(x)dx существует.
а
Отметим, что непрерывность функции является достаточным ус-
ловием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может су-
ществовать и для некоторых разрывных функций, в частности для вся-
кой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число
точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосред-
ственно вытекающие из его определения (35.2).
1.	Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования:
ь	ь	ь
У /(ж) dx = у f(t) dt = J f(z) dz.
a	a	a
Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следователь-
но, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается
аргумент данной функции.
2.	Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегриро-
вания равен нулю:
У f(x) dx = 0.
а
b
3.	Для любого действительного числа с: J сdx = с • (6 — а).
а
260
§36. ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ И ФИЗИЧЕСКИИ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции
g Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у = f(x) 0.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), сни-
зу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = Ь, называется криволи-
нейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Рис. 167
Для этого отрезок [а; Ь] точками а = xq,Xi, ... ,b = хп (хо <
< xi < ... < хп) разобьем на п частичных отрезков [хо;яд], [яд ; яд], •
... , [xn-i; хп]- (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке [xi-i;xi]
(i = 1,2,... ,п) возьмем произвольную точку с2 и вычислим значение
функции в ней, т. е. /(сД
Умножим значением функции /(с*) на длину Axi = хг — Xi~i соот-
ветствующего частичного отрезка. Произведение f(ci) • Axi равно пло-
щади прямоугольника с основанием Axi и высотой /(сД Сумма всех
таких произведений
/(С1)ДЖ1 + f (с2)Дж2 + . . . + /(с„)Дж„ = ^2 /(Сг)Д^г = Sn
г=1
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S
криволинейной трапеции:
п
i=l
С уменьшением всех величин Axi точность приближения криволиней-
ной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы
увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволиней-
ной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь
ступенчатой фигуры Sn, когда п неограниченно возрастает так, что
А = max Axi —> 0:
п	Ь
S = lim Sn = lim 7 f(ci)Axi, то есть S— f(x)dx.
n—±<X)	П-+ОО	J
(A—>0) i=l	a
261
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции чи-
сленно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается под действием си-
лы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину
F = F(t), где х — абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох
из точки х — а в точку х = b (а < Ъ). Для этого отрезок [а; Ь] точ-
ками а — то, Ti, ..., b — хп (то < яд < ... < Хп) разобьем на п
частичных отрезков [tq;ti], [яд; я^], ..., [xn_i;xn]- Сила, действующая
на отрезке [яд-i; яд], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка
Axi = Х{ — Xi^i достаточно мала, то сила F на этом отрезке изме-
няется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и
равной значению функции F — F(x) в произвольно выбранной точке
х = Ci € [xi~i;xi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
[яд_1; яд], равна произведению F(ci) • Ляд. (Как работа постоянной силы
F(ci) на участке [яд-i;яд].)
Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; Ь]
есть
п
А к Ffc^Axi + F(c2)Ax2 + ... + F(cn)Axn = У; F(ci)Axi. (36.1)
i=l
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Axi. По-
этому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1)
при условии, что наибольшая длина А частичных отрезков стремится
к нулю:	ь
А = liin F(cj)Axj = J F(x)dx.
i=l	а
Итак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная
функция F = F(x), действующей на отрезке [а; Ъ], равна определенно-
му интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; Ь].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
.Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному интегралу
от скорости v(t):
S — f v(t) dt‘
а
масса т неоднородного стержня на отрезке [а; Ь] равна определенному
ь
интегралу от плотности 'у(х): т — J у(х) dx.
а
262
§37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕИБНИЦА
Пусть функция у — f(x) интегрируема на отрезке [а; Ь].
Теорема 37.1. Если функция у — /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и
F(x) — какая-либо ее первообразная на [a; b] (F'(x) = /(я)), то имеет
место формула ь
J f (х) dx = F(b) - F(a).	(37.1)
a
Q Разобьем отрезок [a;b] точками a = xq,xi, ... ,b = xn (x0 < x± < ...
... < xn) на n частичных отрезков [ж0; #1], [#i; ^2], • • • ,	%n], как
это показано на рис. 168.
С1 С2	Ci	Сп X
--1--м—-—I—•—I—•—I—•—I—•—I—•—Н——I—•—I----
О а = хо xi Х2  Xi-i Xi	b = xn
Рис. 168
Рассмотрим тождество
F(&) - F(а) = F(xn) - F(x0) = (F(xn) - F(zn_x)) +
+ (F(zn_x) - F(xn_2)) + • • • + (F(x2) - F(xi)) + (F^x) - F(x0)).
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
/(&) -/(а) = Г(с) - (& - а).
Получим
F(b) - F(a) = F'(cn) • (хп - хп-г) + F'(c„-x)  (жп-1 - хп_2) + ...
---FF'(c2) • (я? -хх) + F'(cx)(®x -х0) = ^F'(ci)^Xi = 57 /(cJAxj,
г=1	i=l
т. е.	п
F(b) — F(a) =^^f(ci)^.Xi,	(37.2)
г=1
где Ci есть некоторая точка интервала	Так как функция
у = f(x) непрерывна на [а; 6], то она интегрируема на [а;Ь]. Поэтому
существует предел интегральной суммы, равный определенному инте-
гралу от f(x) на [а; Ь].
Переходя в равенстве (37.2) к пределу при А = max Д^ -> 0, полу-
чаем	п
F(b) - F(a) - lim f(ci)Axi,
А->0 L'
i=l
263
т. е.
b
F(ti) — F(d) = J f(x)dx.
a
|ф| Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если ввести обозначение F(b) — F(a) — F(x)|&, то формулу Нью-
тона-Лейбница (37.1) можно переписать так:
ь
У /(ж) dx = F(a;)|‘.
а
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления опре-
деленного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от не-
прерывной функции f(x) на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразную
функцию F(x) и взять разность F(6) — F(a) значений этой первообраз-
ной на концах отрезка [а; Ь].
3	з
Например, J х2 dx =	= 9 — 0 = 9,
о
2	2
“ / 4Th = 5arete2L
-2
7Г
4*
Пример 37.1. Вычислить интеграл j Jl + ™s2xdx.
о V
Ci Решение:
О V
2
1 4- cos 2x
2
dx = J Vcos2 xdx = J | cosa;| dx =
о	о
О
j (— cos х) dx = sin х
2
2
Пример 37.2.
Вычислить интеграл
dx
х In x'
7
/dx	2
—— = In I Inil |e = In 2 — In 1 = In 2.
a?lnz 1 l|e
e
264
§38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая
подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; Ь]. При, вы-
воде свойств будем использовать определение интеграла и формулу
Ньютона-Лейбница.
1.	Если с — постоянное число и функция f(x) интегрируема на
[а; Ь], то	&	&
У с • f(x) dx — с • у f(x)dx,	(38.1)
а	а
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного
интеграла.
Q Составим интегральную сумму для функции с • /(ж). Имеем:
п	п
52 С ’	= с • 52 /(С0Да:г-
г=1	г=1
b
п	Пр
Тогда lim с * f(x)^xi — с ‘ Нт 52 f(ci) — с ' f(x)dx. Отсюда
n—>ос	п—юо	J
а
вытекает, что функция с • f(x) интегрируема на [а; Ь] и справедлива
формула (38.1).	И
2.	Если функции /1(я) и /2^) интегрируемы на [а; Ь], тогда инте-
грируема на [а; Ь] их сумма и
ь	ь	ь
f (fi(x) + f2(x\) dx = у /1(яг)с?ж4- у f2(x)dx, (38.2)
а	а	а
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Ь	п
□ /\/1(ж) +/2(z))dz = lim 52(/1(сО+ /2(сг))Да^ =
J	п—>оо	'
а
п	п	b	b
= lim Vf1(ci)^.xi + lim 52Ь(сг)Да;г = / fi(x)dx + / f2(x)dx. 
n—^oo	П—^О’О *—'	J	J
i=l	a	a
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа
слагаемых.
Ь	а
3.	у /(ж) dx — — у /(ж) dx.
а	Ъ
265
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также
подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
Ь	а
У /(я) dx = F(b) - F(a) = — (F(a) - F(0) = - [ /(z) dx.
a	b
4.	Если функция f(x) интегрируема на [a; b] и a < c < b, mo
b	c	b
У* f(x)dx = J f(x)dx + y* f(x)dX)	(38.3)
a	a	c
т. e. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям
этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью опреде-
ленного интеграла (или свойством аддитивности).
□ При разбиении отрезка [а; Ь] на части включим точку с в число точек
деления (это можно сделать ввиду независимости предела интеграль-
ной суммы от способа разбиения отрезка [а; Ь] на части). Если с = хт,
то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
п	т . •	п
/(сг)Ла:г = Е + ^2 /(с0Да;г-
г=1	г=1	i=m
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно
для отрезков [а; &], [а; с] и [с; Ь]. Переходя к пределу в последнем равен-
стве при п -> оо (А —> 0), получим равенство (38.3).	
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, 6, с (счи-
таем, что функция /(ж) интегрируема на большем из получающихся
отрезков).
Так, например, если а < b < с, то
У	f(x) dx	=	у f(x) dx + у	f(x)	dx.
a	a	b
Отсюда
У /(ж) dx — у	f(x) dx	—	у /(ж) dx — у	/(ж)	dx + J f(x)dx
а	а	Ь	а	с
(использованы свойства 4 и 3).
5.	«Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а; Ь], то существует точка с G [а; Ь] такая, что
ь
J f(x)dx = f(c)  (b-а).
а
266
Q По формуле Ньютона-Лейбница имеем
ь
У f(x)dx = F(x)\l>a = F(b')—F(a),
а
где F'(x) = f(x). Применяя к разности F(b) — F(a) теорему Лагранжа
(теорему о конечном приращении функции), получим
F(6) - F(a) = F'(c) • (b — а) = f(c) • (6 - a).	
Свойство 5 («теорема о среднем»)
при f(x) 0 имеет простой геометриче-
ский смысл: значение определенного ин-
теграла равно, при некотором с 6 (а; 6),
площади прямоугольника с высотой /(с)
и основанием b — а (см. рис. 169). Число
/(с) = —f /(ж) dx
о — a J
а
называется средним значением функции /(ж) на отрезке [а; Ь].
6.	Если функция сохраняет знак на отрезке [а; Ь], где а < Ь,
ь
то интеграл. J f(x) dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если
а
Ь
f(x) 0 на отрезке [а; 6], то f(x) dx 0.
а
□ По «теореме о среднем» (свойство 5)
ь
У f(x)dx = f(c)  (b — a),
. а
где с 6 [а; Ь]. А так как /(ж)	0 для всех х е [а; Ь], то и
/(с)	0, b - а > 0.
6
Поэтому /(с) • (6 — а) 0, т. е. J f(x) dx 0.	
а
7.	Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; Ь],
(а < Ь) можно интегрировать. Так, если /1(ж)	Л(^) ПРИ х £ [а; 6],
ь	ь
то у /1(ж)с?ж^ у
а	а
267
□ Так как f2(x) — fi(x) 0, то при а < 6, согласно свойству 6, имеем
ь
У(/2<ж) - fi(x))dx > 0.
а
Или, согласно свойству 2,
b	b	b	ь
j f2(x) dx - f falx) dx 0, T. e. J J\(x)dx < J f2(x)dx.	
a	a	a	a
Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если т и М — соответственно наименьшее
и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; Ь], (а < Ь), то
ь
т(Ъ — а) у* f(x) dx С М(Ъ — а).	(38.4)
а
Q Так как для любого х Е [а; Ь] имеем т /(х)	7И, то, согласно
свойству 7, имеем
ь	ь	ь
mdx уf(x) dx	у М dx.
а	а	а
Применяя к крайним интегралам
свойство 5, получаем
* ь
т(Ь — а)	у f(x)dx М(Ъ — а). 
Если f[x) 0, то свойство 8
иллюстрируется геометрически:
заключена между площадями пря-
есть [а; Ь]. а высоты равны т и М
площадь криволинейной трапеции
моугольников, основание которых
(см. рис. 170).
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от
модуля подынтегральной функции'.
ь	Ь
У* f(x)dx у |/(ж)| dx; а < Ь.
а	а
□ Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам — |/(ж)| f(x)
|/(х)|, получаем
ь	ь	ь .
- f \f(x)\dx^ J f(x)dx^. J |/(x)|da;.
a	a	a
Отсюда следует, что
6	ь
J f(x)dx J |/(x)|rfx.
a	a
268
10. Производная определенного интеграла по переменному верхне-
му пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная
интегрирования заменена этим пределом, т. е.
/ X	\ 1
\[ fWdtj = fix).
\а	/ х
Q По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
X
f f(t)dt = F(t)\xa=F(x)-F(a).
а
Следовательно,
/ X	\ 7
( / f(t) dt\ = (Fix) - F(a))'x = F'(x) - 0 = f(x).	
\a	/ x
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним
пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
§39. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
39.1.	Формула Ньютона-Лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интегра-
ь
ла jf(x)dx от непрерывной функции является формула Ньютона-
fl
Лейбница:	ь
I f(x)dx = Fix)\ba = F(b)-F(a).
а
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде-
на первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x).
7Г
Например, J sinxdx = — cosx|^ = — (costf — cosO) = 2.
о
При вычислении определенных интегралов широко используется
метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
39.2.	Интегрирование подстановкой
(заменой переменной)
ь
Пусть для вычисления интеграла J f(x) dx от непрерывной функ-
а
ции сделана подстановка х =
269
Теорема 39.1. Если:
1)	функция х — 99(f) и ее производная х' — непрерывны при
t € [а; /?];
2)	множеством значений функции х = (p(t) при t € [а, /3] является
отрезок [а; Ь];
3)	99(a) = а и (р(/3) — Ь,
то	ь	?
У /(ж) dx= j f(<p(t))  p'(t) dt.	(39.1)
a	a
□ Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а;Ь]. Тогда по
ь
формуле Ньютона-Лейбница J f(x)dx = F(b) — F(a). Так как
а
(F((p[t)y = /(99(f)) •99' (f), то F(</?(f)) является первообразной для функ-
ции /(99(f)) • 99'(f), f € [а;(3\. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем
д
f • v'(i) dt =	- РШ =
= F(b) — F(a) = у f(x) dx. 
a
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в опре-
деленном интеграле.
Отметим, что:
1)	при вычислении определенного интеграла методом подстановки
возвращаться к старой переменной не требуется;
2)	часто вместо подстановки х = 99(f) применяют подстановку f =
= д(ж);	'
3)	не следует забывать менять пределы интегрирования при замене
переменных!
2
Пример 39.1. Вычислить J ж2д/4 — х2 dx.
о
Ci Решение: Положим х = 2sinf, тогда dx = 2cosfcff. Если х — 0, то
f = 0; если х — 2, то f = Поэтому
2	______ 7г/2
У х^у/^ — х2 dx — у* 4 sin2 f \/4 — 4 sin2 f • 2 cos tdt =
о	0
270
7г/2
У sin2 t cos2
о
7Г/2	я/2
У - sin2 2t dt = 4 у - (1 — cos At) dt =
о	о
= 20lo/2 - Jsin4ilo/2) = 2(?-°)= 7r- •
39.3.	Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции и — и(х) и v — v(x) имеют непрерыв-
ные производные на отрезке [а; Ь], то имеет место формула
ь	ь
У udv = uv\ba~ у vdu.	(39.2)
а	а
□ На отрезке [а; Ь] имеет место равенство (uv)' = u’v + uv'. Следо-
вательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции
ulv 4- uv1. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
ь
У (u'v + uv1} dx —
a
Следовательно,
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям
для определенного интеграла.
е
Пример 39.2. Вычислить J xlnxdx.
1
Ci Решение: Положим
и = In х => du = — dx
х
г2
dv = xdx => v — —
271
Применяя формулу (39.2), получаем
[ ж In х dx —	• In ж |• — dx —
J	2	11 J 2 х
1 1
е2 1 х2 Iе
_2”211
е2 е2 1	1 2
+ +1)-
Пример 39.3. Вычислить интеграл J х sin xdx.
о
Q Решение: Интегрируем по частям. Положим
и — х
dv = sin х dx
du — dx
V — — COS X
Поэтому
7Г
J = — x cos ж 1^ + y* cos x dx — —7Г • (—1) + 0 + sina;|Q — tv.
0
39.4.	Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [—а; а], симметричном
относительно точки х = 0. Докажем, что
а
г	2- [ f(x)dx,
/ f(x) dx = < J
-°	(0,
если f(x) — четная функция,
если f(x) — нечетная функция.
□ Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [—а; 0] и [0; а]. То-
гда по свойству аддитивности
У /(ж) dx = J f(x) dx + у f(x) dx.	(39.4)
— a	—a	0
В первом интеграле сделаем подстановку х — —t. Тогда
0	0	а	а
У f(x) dx = - J f(-t) dt = J f(-t) dt = у /(-ж) dx
— a	a	0	0
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), полу-
чим
У f(x)dx = j f(-x) dx + у f(x)dx = j(f(-x) + f(x))dx.	(39.5)
— a	0	0	0
272
Если функция f(x) четная (/(-ж) = /(ж)), то f(-x) + /(ж) = 2/(ж);
если функция /(ж) нечетная (/(—ж) = —f(x)), то /(—х) + f(x) = 0.
Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).	
Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не произ-
водя вычислений, сказать, что
7Г
J cos2 х • sin3 х dx = 0,
— 7Г
3
J е~х • sin a? dx = 0.
-з
§40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ь
Определенный интеграл J f(x) dx, где промежуток интегрирова-
а
ния [а; Ь] конечный, а подынтегральная функция /(ж) непрерывна на
отрезке [а; 6], называют еще собственным интегралом.
|^| Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е.
определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч-
ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко-
нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем
бесконечный разрыв.
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком
интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а;+оо). Если
ь
существует конечный предел lim / f(x) dx, то его называют несоб-
• +ОО
ст венным, интегралом первого рода и обозначают J f(x) dx.
а
Таким образом, по определению
+оо
В этом случае говорят, что несобственный интеграл J f(x) dx схо-
а
дится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен,
+оо
то говорят, что интеграл J f(x) dx расходится,
а
273
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке
(—оо;6]:
ь	ь
/ f(x)dx = lim f(x)dx.
J	л—> — СЮ J
— сю	а
Несобственный интеграл с двумя бесконеч-
ными пределами определяется формулой
4-оо	с	4-оо
У f(x)dx = у* f(x)dx+ J f(x)dx,
— оо	—сю	с
где с — произвольное число. В этом случае
интеграл слева сходится лишь тогда, когда
сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ-
4-00
ция f(x) 0 на промежутке [а; +оо) и интеграл J f(x) dx сходит-
ft
ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-
пеции (см. рис. 171).
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или устано-
Ч-сю	0	сю
вить их расходимость: 1) J ^1; 2) J cos xdx; 3) J
1	-оо	1
4-сю	b	&
Q Решение: 1) [	= lim [ х~2 dx — — lim 1| — —(0 — 1) = 1,
J X	b—>4-оо J	b—>4-оо 11
1 1
интеграл сходится;
о	о
2) / cos xdx = lim / cos x dx — lim sin ж I = 0— lim sin a,
J	a—> — oo J	a—> —oo	ia	a—>—oo
— OO	ft
интеграл расходится, так как при а —> — оо предел lim sin а не суще-
ft—> — оо
ствует.
сю	b
3) f dx _ цт f dx _ цт — oo, интеграл расходится. •
J X b—>oo J X b-+oo
1 1
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до-
статочно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
274
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а;+оо)
непрерывные функции f(x) и (р(ж) удовлетворяют условию 0 f(x)
+оо
то из сходимости интеграла J tp(x)dx следует сходимость
интеграла J f(x)dx, а из расходимости интеграла J f(x)dx сле-
а	а
дует расходимость интеграла J </?(#) dx.
Пример 40.2. Сходится ли интеграл J
1
Q Решение: При х > 1 имеем -9—< А--
яг(1 + Зж) хл
dx
Но интеграл j
1
1
сходится. Следовательно, интеграл f —--- также сходится (и его
J х (1 “I- 3 )
значение меньше 1).	•
Теорема 40.2. Если существует предел lim — к, 0 < к < оо
х—>ОО г\х)
оо	оо
(/(я) > 0 и > 0), то интегралы J f(x)dx и J ф(х) dx одновре-
а	а
менно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в
смысле сходимости).
4-о°	2 "
Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла f In х2 dx.
J X ~р 1
1
Q Решение: Интеграл
j In -2""у dx сходится, так как интеграл
1
сходится и
lim
х24-1
1
х2
r W + й
lim ---------;—-
->4-00 _L
х2
lim ^±1 = 1.
275
40.2. Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бес-
конечный разрыв при х = Ь. Если существует конечный предел
Ь—е
lim / f(x) dxr то его называют несобственным интегралом второго
Е~>0 J
а	Ь
рода и обозначают J f(x)dx.
а
Таким образом, по определению,
b	Ь—е
У* f(x) dx = lim у f(x) dx.
разрыв в точке
ь
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
ъ
У f(x) dx сходится. Если же указанный предел не существует или бес-
конечен, то говорят, что интеграл / /(ж) dx расходится.
а
Аналогично, если функция f(x)
терпит бесконечный
х = а, то полагают
ъ
У /(ж) dx = lim у f(x) dx.
а	а+б
Если функция /(ж) терпит разрыв во
внутренней точке с отрезка [а; Ь], то не-
собственный интеграл второго рода
определяется формулой
Ь	с	b
У f(x)dx = у f (x)dx + у f(x)dx.
а	а	с
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб-
ственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода
ъ
У /(ж) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как
а
площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).
1
Пример 40.4. Вычислить [
J X
о
276
Q Решение: При х — 0 функция у — терпит бесконечный разрыв:
х
г dx
Г -2 .	J. 1|1
/ х dx = — hm — L , = —
J	s-ш x l0+£
0+s
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегра-
лов второго рода.
1 - lim -
о
Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; Ь) функции f(x) и tp(x) не-
прерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют
ь
условию 0 f(x) <£>(#). Из> сходимости интеграла J <p(x)dx вы-
текает сходимость интеграла / f(x) dx. а из расходимости интеграла
Ъ	а	Ь
У f(x) dx вытекает расходимость интеграла J (р(х) dx.
а	а
Теорема 40.4. Пусть функции f(x) и (р(х) непрерывны на проме-
жутке [а; Ъ) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел
f( .	ъ	ь
lim	0 < к < оо, то интегралы J f(x) dx и J <р(х) dx одно-
временно сходятся или одновременно расходятся.
1
Пример 40-5. Сходится ли интеграл j
о
[0; 1] единственный разрыв
i. Интеграл
Q Решение: Функция /(ж) = gА имеет на
в точке х = 0. Рассмотрим функцию ip(x) =
= lim [ — = limlnxl1
£->о J х е->о ls
0-|-£
как
1
— О — lim In е
о
расходится. И так
1
ТО интеграл [ -
J sm х
о
lim ——— = lim —-------- = 1,
ж->° ср(х) ж->о sma?
также расходится.
277
§41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
41.1.	Схемы применения определенного интеграла
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или
физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид-
кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь]
изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели-
чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой
с 6 (а; Ь) на части [а; с] и [с; 6] значение величины А, соответствующее
всему отрезку [а; 6], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с]
и [с; Ь].
Для. нахождения этой величины А можно руководствоваться одной
из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или
метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного инте-
грала.
1.	Точками xq = а, х±,..., хп = b разбить отрезок [а; Ь] на п частей.
В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п
«элементарных слагаемых» ДА; (г = 1,..., п): А = ДА1 4- ДА2 4- ...
... + ДАП.
2.	Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ-
ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи-
сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
ДА « f(ci)Axi.
При нахождении приближенного значения ДА, допустимы некото-
рые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стя-
гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно
приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной
суммы:	п
А ~ /(С1)ДЖ1 + ... + /(сп)Да?п = f(ci)h.Xi.
i=l
3.	Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
п	b
У/(Сг)Джг = [ f(.x)dx-
(А—>0) i=l	а
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте-
грала как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слага-
емых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физи-
ческого смысла определенного интеграла.
278
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схе-
му I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания
бесконечно малых высших порядков»:
1)	на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри-
ваем переменный отрезок [а; ж]. На этом отрезке величина А становит-
ся функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины
А есть неизвестная функция А(ж), где х G [а; Ь] — один из параметров
величины А;
2)	находим главную часть приращения ДА при изменении х на
малую величину Дж = dx, т. е. находим дифференциал dA функции
А = А(х): dA = f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи,
функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);
3)	считая, что dA « ДА при Дж —> 0, находим искомую величину
путем интегрирования dA в пределах от а до Ь'.
ъ
А(Ь) = А = у /(ж) dx.
а
41.2.	Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде-
ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен-
ной «выше» оси абсцисс (/(ж)	0), рав-
на соответствующему определенному ин-
тегралу:
ь	ь.
S — у f(x)dx или S = у ydx. (41.1)
а	а
Формула (41.1) получена путем при-
менения схемы I — метода сумм. Обосну-
ем формулу (41.1), используя схему II.
Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у — f(x) 0,
х = а, х = Ь, у = 0 (см. рис. 173). Для нахождения площади S этой
трапеции проделаем следующие операции:
1.	Возьмем произвольное ж 6 [а; Ь] и будем считать, что S — S(x).
2.	Дадим аргументу ж приращение Дж — dx (ж + Дж 6 [а; Ь]). Функ-
ция S — S(x) получит приращение Д5, представляющее собой площадь
«элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения Д5
при Дж —> 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа-
нием dx и высотой у: dS — у • dx.,
279
3.	Интегрируя полученное равенство в пределах от х — а до х = Ьг
ь
получаем S = J ydx.
а
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»
оси Ох (/(ж) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
b х
Рис. 174
ь
S — -Jydx.	(41.2)
а
Формулы (41.1) и (41.2) можно
объединить в одну:
О а
Площадь фигуры, ограниченной
кривыми у = fi(x) и у — /2(^)5 пря-
мыми х — а и х = b (при условии /2 (я)	Л(ж)) (см. рис. 174), можно
найти по формуле
ь
S - f fa(x)dx
а
Ь
У fa(x)dx
а
Ь
= f (/2 (ж) - Mx^dx.
а
Рис. 175
Рис. 176
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то
прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,
чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у — d,
осью Оу и непрерывной кривой х — ср (у)	0 (см. рис. 176), то ее
d
площадь находится по формуле S — J xdy.
с
280
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, за-
данной параметрически
х — x(t),
У = уСО,
t е [а; /3],
прямыми х = анх = Ьи осью Ох, то площадь ее находится по формуле
S =
f У<Х)
а
где а и /3 определяются из равенств х(а) = а и x(J3) = Ь.
Рис. 177	Рис. 178
Пример 41-1- Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и
графиком функции у = х2 — 2х при х 6 [0; 3].
Q Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо-
дим ее площадь S:
2
3
[ (x2 — 2x) dx —
0.2
~i2 z3|3	2I3	8	• 27 8 Л .	8	2
3 «2	12	3	3	3	3	3
1о
Пример 41-%- Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли-
псом х — a cost, у = bsmt.
Q Решение: Найдем сначала площади S. Здесь х изменяется от 0
До а, следовательно, t изменяется от до 0 (см. рис. 178). Находим:
1 о	о
-S = у* frsinf • (—a sin t) dt = — ab J sin2 tdt =
tv/2	тг/2
281
7г/2
ab г	л ч , ab /	1 . л |1\ ттаЬ
= ~ / (1 — cos 2() <й = — (t|0 --S1„2(|J = —.
О
Таким образом, 1$ = Значит, S = тгаЬ.	•
Полярные координаты
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры,
ограниченной непрерывной линией г — г{р) и двумя лучами р — а и
р = (3 (а < /?), где г и р — полярные координаты (см. рис. 179). Для
решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1.	Будем считать часть искомой площади S как функцию угла р,
т. е. S = S(p), где а р /3' (если р — а, то S(a) = 0, еслир = /?, то
£(/?) - S).
2.	Если текущий полярный угол р получит приращение Ар = dp,
то приращение площади AS равно площади «элементарного криволи-
нейного сектора» О АВ.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения
AS при dp —> 0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисун-
ке она заштрихована) радиуса г с центральным углом dp. Поэтому
dS — ^г2 • dp.
3.	Интегрируя полученное равенство в пределах от р = а до р = f3,
получим искомую площадь
s = f r2(<f)dp.
а
Рис. 179
Пример 41-3- Найти площадь фигуры,
пестковой розой» г — acos3p (см. рис. 180).
ограниченной «трехле-
282
Q Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро-
зы», т. е. i часть всей площади фигуры:
1	1 г	1 г 1
-S =	-	/	(a cos З99)2 dp — -а2	/	-(1 4- cos 6р) dip =
6	2	J	2	J	2
о	о
। 1 • а |7г/6
+ 6SinMo
т. е. gS = Следовательно, S =
Если плоская фигура имеет «сложную»
форму, то лучами, выходящими из полюса, ее
следует разбить на криволинейные секторы, к
которым применить полученную формулу для
нахождения площади. Так, для фигуры, изо-
браженной на рисунке 181, имеем:
s =| f rldtp-^ у	у rl dip.
a	a	fl
Рис. 181
41.3.	Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая ЛВ,
уравнение которой у = /(ж), где а х Ь.
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится
длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев
ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стре-
мится к нулю.
Покажем, что если функция у — f(pc) и ее производная у' = f'(x)
непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равную
b
I = у У1 + (/'(^))2 dx.
а
(41-3)
Применим схему I (метод сумм).
1.	Точками Xq = a, xi,..., хп = b (xq < х± < ... < хп) разобьем
отрезок [а; Ь] на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответ-
ствуют точки Mq = A, Mi,..., Мп = В на кривой АВ. Проведем хорды
MoMi, MiM2l..., Мп^Мп, длины которых обозначим соответствен-
но через ALi, AZ/2, • • •, &Ln. Получим ломаную М0М1М2 ... Mn_iMn,
п
Длина которой равна Ln = A£i 4- AL2
. i=l
283
Рис. 182
2.	Длину хорды (или звена ломаной) Д£^ можно найти по теореме
Пифагора из треугольника с катетами Дж^ и Дт/^:
ДЬг = У(Д^)2 + (Д^)2,
где Дж* — Xi — Жг-i, Д?ц = f(xi) ~	По теореме Лагранжа о
конечном приращении функции Д?ц = f^Ci) • Дт*, где Ci G (х^^х^.
Поэтому
Д-^г = х/(ДгСг)2 + (/'(Сг) ’ Д^г)2 = V1 + (/'(Ci))2 ’
а длина всей ломаной	. Мп равна
п	п
£„ = ДЬ‘ = Е х/1 + (/'(Ci))2 • Д^г.	(41.4)
г=1	i=l
3.	Длина I кривой АВ, по определению, равна
п
I = lim Ln = lim / A^Li.
i—1
Заметим, что при ДД~>0 также и Дж*—>0 (ДД = у/(Д^г)2 + (Д?л)2 и>
следовательно, |Дхг|<Д1/2)- Функция y/l + (J'(x)y непрерывна на от-
резке [а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция f'(x). Следова-
тельно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда
тахДхг~*0:
п	Ь
1= п И + (/'(Сг))2Д^г = [ \/1 + (/'(ж))2с/а:.
maxAZi—>0	'	J
(п—>оо)	а
b
Таким образом, I = / у/1 + (/'(ж))2 dx, или в сокращенной записи I =
ь _____________ а
= I У1 + {y'xYdx.
284
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
х — x(t),
У = y(t),
a /3,
где х (£) и y(f) — непрерывные функции с непрерывными производными
и х(а) = a, x(J3) = Ь, то длина I кривой АВ находится по формуле
0 _________________
1= f ^'(i))2 + (j/'(t))2^
а
(41-5)
Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой
X = x(t), dx = x'(t) dt, f'(x) =
X w
Пример 41-4- Найти длину окружности радиуса R.
Q Решение: Найдем 1 часть ее длины от точки
(0;Я) до точки (7?;0) (см. рис. 183). Так как у —
— у/R2 — х2, то
1. Г Г X2	. X \R я
-1=	1/1 +775----- dx = R • arcsm —	=R--
4 J V R2 — x2	R\o 2
у
Рис. 183
о
Значит, I = 2?rR. Если уравнение окружности запи-
сать в параметрическом виде х = Roost, у = Rsint
(О t 2тг), то
27Г
I = у у/(-Rsin t)2 + (R cos t)2 dt =	= 2ttR.
о
Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме-
тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3),
применив схему II (метод дифференциала).
1. Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим перемен-
ный отрезок [а; ж]. На нем величина I становится функцией от х, т. е.
l = l(x) (Z(<a) = 0 и Z(6) = Z).
2. Находим дифференциал dl функции I = 1(х) при изменении х на
малую величину Дж = dx: dl = l'(x)dx. Найдем V{x), заменяя беско-
нечно малую дугу MN хордой AZ, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
/'(ж) = lim -— = lim
Дх—>0 / уЖ	Дж—>-0
^(ЛхУ + (Дт/)^
Дж
Стало быть, dl = у/1 + (т/^)2 dx.
285
ь _______
, 3. Интегрируя dl в пределах от а до 6, получаем I = J ^/14- ух2 dx.
а
pg| Равенство dl = у1 4- ух2 dx называется формулой дифференциа-
ла дуги в прямоугольных координатах.
Так как у'х = то .
dl = у/(dx)2 4- (dy)2.
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско-
нечно малого треугольника МСТ (см. рис. 185).
Рис. 185
Рис. 184
Полярные координаты
Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр-
ных координатах г — г(<р), а ср /3. Предположим, что r(tp) и г1 (ср)
непрерывны на отрезке [а; /3].
Если в равенствах х — г cos </?, у = г sin 99, связывающих полярные
и декартовы координаты, параметром считать угол 99, то кривую АВ
!х = r(ip) cos 99,	_
Тогда
у = г (ip) sin 99.
{Х^ — r' COS (р — г(ср) Sin (/9,
у^ — г' (</0 sin + r(<^) cos ¥>•
Поэтому
Ах'*>2+w1 =
— у/(r'(<p) cos ср — г (ср) sin ср)2 4- (г'(ср) sin р 4- r(p) cos ср)2 =
= х/(^Ы)2 + (т(р))2.
286
Применяя формулу (41.5), получаем
Пример Найти длину кардиоиды г = а(1 4- cost/?).
Q Решение: Кардиоида г = а(1 + cos 99) имеет вид, изображенный на
рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по-
ловину длины кардиоиды:
-I = у* >/(а(1 + cos <р))2 + (а(— sin р))2 dp = a J а/2 + 2 cos р dp =
° 0
7Г  I----- 7Г
//	09	Г ip	09 Г
л/2-2 cos2 — dp — 2а / cos — dp — 4а • sin — I = 4a.
у	2	J 2	2 10
о	0
Таким образом, 1/ = 4a. Значит, I = 8a.
Рис. 187
Рис. 186
41.4.	Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных
сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,
например оси Ox: S = S(x), а х Ь.
Применим схему II (метод дифференциала).
1.	Через произвольную точку х е [а; Ь] проведем плоскость П, пер-
пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь
287
сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно
изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части те-
ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; ж]
величина v есть функция от х, т. е. и = v(x) (у (а) = 0, v(b) = V).
2.	Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет
собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными
плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+ Ах, который при-
ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой
dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3.	Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре-
делах от а до о:	ъ V = у* S(x) dx. а	(41.6)
Полученная формула называется формулой объема тела по
площади параллельных сечений.
Пример 41.6.
Найти объем эллипсоида +	+	= 1.
а b с
Q Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости
Oyz и на расстоянии х от
рис. 188):
нее (—а х а), получим эллипс (см.
Объем тела вращения
---	z h     z— — 1-
(V1-^2 w1-^2
Площадь этого эллипса равна S(x) —
= 7г6с^1 — ^2 У Поэтому, по формуле
(41.6), имеем
V — тгЬс
dx = -тгаЬс.
о
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра-
ниченная непрерывной линией у = f(x) 0, отрезком а х b и
прямыми х = а и х = b (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура
называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпен-
дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох
(х 6 [а; Ь]), есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно, S(x) = тгу2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных
сечений, получаем
ь
Vx = 7Г J у2 dx.
а
(41-7)
288
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной
функции х =	0 и прямыми х = 0, у — с, у = d (с < с/), то
объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по
аналогии с формулой (41.7), равен
d
Vy = tv f х2 dy.	(41.8)
с
Пример 4^.7. Найти объем тела, образованного вращением фи-
гуры, ограниченной линиями у = х — 0, у = 2\/2 вокруг оси Оу (см.
рис. 190).
Решение: По формуле (41.8) находим:
2х/2	'
Vy-тт у 2ydy = тп/2|2 2 = 8тг.	•
О
41.5.	Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у — f(x) 0, где
х е [а; 6], а функция у = f(x) и ее производная у1 = /4х) непрерывны
на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой
АВ вокруг оси Ох.
Применим схему II (метод дифференциала).
1.	Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер-
пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще-
ния по окружности с радиусом у = f{x) (см. рис. 191). Величина S
поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля-
ется функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) — 0 и s(b) = S).
Ю Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
289
2.	Дадим аргументу х приращение Дж — dx. Через точку х 4- dx Е
Е [а;Ь] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция
s = $(ж) получит приращение As, изображенного на рисунке в виде
«пояска».
Рис. 191
Sx
Найдем дифференциал площади ds, за-
меняя образованную между сечениями фи-
гуру усеченным конусом, образующая кото-
рого равна dl, а радиусы оснований равны у
и у 4- dy. Площадь его боковой поверхности
равна ds — тг(т/ + у + dy) • dl = 2тгу dl + irdy dl.
Отбрасывая произведение dy dl как беско-
нечно малую высшего порядка, чем ds, по-
лучаем ds — 2nydl, или, так как dl =
—	+ Ш2 dx, то ds — 27Г7/д/1 4- (yfx)2 dx.
3.	Интегрируя полученное равенство в
пределах от х = а до х = Ь, получаем
ь
= 2тг J у \/1 + (?4)2cto.	(41.9)
а
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у —
— у(t),t± t ^2, то формула (41.9) для площади поверхности враще-
ния принимает вид
*2	.________________
5Ж,= 27Г у y(t) • л/(х'(^))2 + (y'(i))2di.
tl
Пример 41.8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
Ci Решение: Можно считать, что поверхность шара образована враще-
нием полуокружности у = \/R2 — х2, —R^x^R, вокруг оси Ох. По
формуле (41.9) находим
S = 2тг / \/R2 — х2 • л /1 4- (—7=1=) dx =
4	V	^\/R2~x2l
— R	’
R
— 2тг у у/R2 — х2 4- х2 dx = 2ttR • х | ЯR — 4тг/?2. •
-R
Пример 41-9.
Дана циклоида
х = a(t — sin t),
у = n(l — cosZ),
0 t 27Г.
290
Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг
оси Ох.
Q Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох
площадь поверхности вращения равна
-Sx = 2тг Г а(1 — cost) • у/(а(1 — cost))2 4- (asinf)2 dt =
2 J
о
7 t /------------------------------------
— 2тг у a2 • 2sin2 - • v 1 — 2cost 4- cos2 t 4- sin2 tdt =
о
= 4тга2 [ sin2 • aA • 2 sin2 dt = 87га2 [ sin2 • sin dt =
J 2 V 2 J 2	2
о	0
о Г/ 9 t\ ( t\	ъ / tl* COS3 I |TT\
= —81га2 -2 / (1 — cos2 - ) d( cos - ) = —167га2 (cos  -----—— ) —
J \	27 \	27	\	2 Io 3 Io7
0
'2/^	9/ 2\	32?rd2
~ — 167га2 (0 — 1 — 0 4--) — — 16тга2 ( — -) = —-—,
\	О'	x О /	о
т. е. ^Sx = ^тга2. Следовательно, Sx = О^тта2.	•
& о	о
41.6. Механические приложения определенного
интеграла
Работа беременной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей-
ствием переменной силы F — F(x), направленной параллельно этой
оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из поло-
жения х = а в положение х = b (а < Ь), находится по формуле
ь
А = fF(x)dx	(41.10)
(см. п. 36).	а
Пример 41.10. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть
пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01м?
Ci Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину,
пропорциональна этому растяжению ж, т; е. F = кх, где к — коэффи-
циент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F — 100 Н
растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = А;-0,01, откуда
к = 10000; следовательно, F = ЮОООж.
291
Искомая работа на основании формулы (41.10) равна
0,05
А = у 10000.xdx = 5000х21°’°5 = 12,5 (Дж),
о
Пример 41.11. Найти работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндриче-
ского резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высо-
ту Л, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся
на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз-
личных слоев’ не одинакова.
Для решения поставленной задачи
применим схему II (метод дифференциа-
ла). Введем систему координат так, как
указано на рисунке 192.
1. Работа, затрачиваемая на выкачи-
вание из резервуара слоя жидкости тол-
щиной х (0 х Я), есть функция от ж,
т. е. А — А(ж), где 0 х Н (А(0) = 0,
А(Я) = Л).
2. Находим главную часть прираще-
ния ДА при изменении х на величину
Да; = dx, т. е. находим дифференциал dA
функции А (ж).
Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидко-
сти находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 192).
Тогда dA — dp-x, где dp — вес этого слоя; он равен g-^dv, где g — уско-
рение свободного падения, у — плотность жидкости, dv — объем «эле-
ментарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp — gydv.
Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен ttR2 dx, где dx — вы-
сота цилиндра (слоя), kR2 — площадь его основания, т. е. dv — tvR2 dx.
Таким образом, dp — gy • xR2 dx и dA = gyxR2 dx • x.
3)	Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,
находим	„
Ч 1
Ao = j дух R2 xdx = -gyxR2Н2 (Дж).
о
Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной
скоростью v = v(f). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток
времени от Н до
292
Q Решение: Из физического смысла производной известно, что при
движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви-
жения равна производной от пути по времени», т. е. v(t) = Отсюда
следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах
t2
от ti до ^2, получаем S = J v(t)dt.	•
Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой
I или II применения определенного интеграла.
Пример 41-Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от
начала движения, если скорость тела v(t) — 10t + 2 (м/с).
Q Решение: Если v(f) — 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от
начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
4
s = J(lQt + 2')dt = 5t2\io + 2t\4o = 80 + 8 = 88 (м).	•
о
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пласти-
ну равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку,
а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жид-
кости, т. е. Р = д • у • S • h, где д — ускорение свободного падения,
7 — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее
погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикаль-
но погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных
глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная
линиями х — а, х = b, yi = Л(^) и — Л(^); система координат
выбрана так, как указано на рисунке 193. Для нахождения давления Р
жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
1.	Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х),
т. е. р — р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку
[а; ж] значений переменной х, где х 6 [а; Ь] (р(а) = 0, p(b) = Р).
2.	Дадим аргументу х приращение Дя — dx. Функция р(х) полу-
чит приращение Др (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем
дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближен-
но считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся
на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля dp — g • 7 (у 2 — уi) - dx -
s ' h
293
3.	Интегрируя полученное равенство в пределах от х — а до х = Ь,
получим
ь	ь
р = д • 7 f (.У2 - yijxdx или Р = gy j (f2(x) ~ xdx.
а	а
Рис. 193
Рис. 194
Пример 41-13. Определить величину давления воды на полу-
круг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус 7?, а центр
О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 194).
Q Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения да-
вления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пла-
стинка ограничена линиями у\ — — \/R2 — х2, у2 — VR2 — х2, х — О,
х — R. Поэтому
R
Р — 97 J (VR2 — х2 — (—\/R2 — х2У)хс1х =
о
R	R
= 2д-у J \/R2 — x-xdx = 2д-у • (—2) f (-R2 — z2)1/2 d(R2 — х2') =
о	о
2х/(Л2 - ж2)3 |Я 2 /Л	2 Л
= -37------—-5—:— = - й37(0 - R 3) = ^gyR  •
3 I о 3	3
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести
плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек
А/1 (rci; 2/1), М2^Х2] уъ), •••, Мп^х^уп) соответственно с массами
mi,m2,... ,тп.
294
Статическим моментом Sx системы материальных точек отно-
сительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на
п
их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox): Sx — mi' Vi'
2=1
Аналогично определяется статический момент Sy этой системы
4	п
относительно оси Оу: Sy =
2=1
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой
кривой, то для выражения статического момента понадобится интегри-
рование.
Пусть у — f(x) (а х b) — это уравнение материальной кривой
АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью
7 (7= const).
Для произвольного х G [а; Ь] на
кривой АВ найдется точка с коорди-
натами (х;у). Выделим на кривой эле-
ментарный участок длины dl, содер-
жащий точку (х;у). Тогда масса этого
участка равна 7 dl. Примем этот уча-
сток dl приближенно за точку, отстоя-
щую от оси Ох на расстоянии у. Тогда
дифференциал статического момента
dSx («элементарный момент») будет
равен 7 dl • у, т. е. dSx = ydl • у (см.
рис. 195).
Отсюда следует, что статический момент Sx кривой АВ относи-
тельно оси Ох равен &
b
Аналогично находим Sy?	а
у ь
Sy =7 f х- у/1+ (у'х)2 dx.
Статические моменты Sxan Sy кривой позволяют легко установить
положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(x)> х Е
£ [а; Ь] называется точка плоскости, обладающая следующим свой-
ством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой,
то статический момент этой точки относительно любой координатной
оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относи-
тельно той же оси. Обозначим через С(хс; ус) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства т • хс = Sy и
т • ус = Sx или yl • хс — Sy и yl • ус = Sx. Отсюда хс — ус = или
295
fx  \/1 + {y'x)2 dx
a
J л/1 + (v'x'fdx
a
b
jydl
a
Ус = -----
fy y/1 + (y'x)2dx
a
f y/1 + (y'x)2 dx
Пример 41-14- Найти центр тяжести однородной дуги окружно-
сти х2 + у2 = В2, расположенной в первой координатной четверти (см.
рис. 196). .
Рис. 196
Рис. 197
Е>
Q Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна
т. е. I = Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так
как уравнение дуги есть у — y/R2 — х2 и у'х — —^=^===, то (7 = const)
Sx = 7 [ y/R2 -х2 • Л1 + ( -Х.....dx =
J	у	— х2'
о	V
R ________ г>	R
= 1 f у/R2 -x2  -=== dx = yR у dx = 7-R^I^ = 7-R2-
О	V Ж	0
Стало быть,	Sx yR2 2R
Ус 7 TvR ‘
7/	7 •	7Г
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы перво-
? R
го координатного угла, то хс = ус = Итак, центр тяжести имеет
координаты ( —; —).	•
\ 7Г 7Г J
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести
плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограничен-
ная кривой у — f(x) 0 и прямыми у — 0, х = а, х = b (см. рис. 197).
296
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
ь
(7 = const). Тогда масса всей пластинки равна 7-S, т. е. т — у J f(x) dx.
а
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой
вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоуголь-
ником.
Тогда масса его равна 7 • у dx. Центр тяжести С прямоугольника
лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С от-
стоит от оси Ох на i?/, а от оси Оу на х (приближенно; точнее на
расстоянии х -I- ^Дж). Тогда для элементарных статических моментов
относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
dSx — 7 • у dx •	* У2 dx и dSy — у • ydx - х = уху dx.
Следовательно, Sx
ь	ь
= j? У У2 dx, Sy = у у xydx.
а	а
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты
центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(хс;ус), что
т  хс = Sy, т • ус — Sx. Отсюда
Sy	Sy	Sx	Sx
xc = — = — и yc — — = —
m	yS	m	yS
или	b	b
f xy dx I f y2 dx
a	a
Xc = —-----, Ус — —;--------•
c . b	’	b
f ydx	f у	dx
a	a
Пример 41-15- Найдем координаты центра тяжести полукруга
х2 + у2 R2. у 0 (7 = const) (см. рис. 198).
Ci Решение: Очевидно (ввиду симметрии
фигуры относительно оси Оу), что хс = 0.
т~>2
Площадь полукруга равна -	. Нахо-
дим Sx:
Рис. 198
sx = ^7 ! Ь/R2 - Ж2)2 dx -
— R
1 > 2	\\R	1 / т-,3 уэЗ R^ R3 ч 2 «
= Г'(Л 1 - Т>1-« =	Т - Т> = 7  зЕ 
297
JR
7Г
. 4ЛА
’ Зтг/’
Стало быть,	_	о
_S^_ 27Я3 _ 4
Ус	37^	3
Итак, центр тяжести имеет координаты С (о
§42. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ь
Пусть требуется найти определенный интеграл J f{x) dx от непре-
а
рывной функции f(x). Если можно найти первообразную F{x) функции
/(ж), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
ь
j f(x)dx = F(b) - F(a).
а
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кро-
ме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее перво-
образная выражается через элементарные функции. В этих и других
случаях (например, функция у = f(x) задана графически или таблич-
но) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых опре-
деленный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближен-
ного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольни-
ков, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на
геометрическом смысле определенного интеграла.
42.1.	Формула прямоугольников
Пусть на отрезке [а; 6], а < 6, задана непрерывная функция /(ж).
ъ
Требуется вычислить интеграл J f(x) dx, численно равный площади
а „
соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой
трапеции, т. е. отрезок [а; Ь], на п равных частей (отрезков) длины
h =	~-а = Xi — Х{-1 {шаг разбиения) с помощью точек х$ — а,
Х]_,Х2) •.. ,хп = Ь. Можно записать, что xi = xq + h • г, где i = 1,2,...,п
(см. рис. 199).
В середине Ci =	~ каждого такого отрезка построим орди-
нату yi — /(cj графика функции у — /(х). Приняв эту ординату за
высоту, построим прямоугольник с площадью h-
298
Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь сту-
пенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение ис-
комого определенного интеграла
&	1	71
У f{x)dx ss h{yY + у2 + ... 4-Уп) =	Хг)' (42Л)
|ф| Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольни-
ков.
Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оцени-
вается с помощью следующей формулы:
'	(6 - а)3  М2
1	"	24тг2
где М2 — наибольшее значение |/"(х)| на отрезке [а; 6],
ъ	к
_ о — а
j\x) dx----
п
2
Отметим, что для линейной функции (/(ж) = кх + Ь) формула (42.1)
дает точный ответ, поскольку в этом случае f"(x) = 0.
42.2.	Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольни-
ков: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяет-
ся обычной.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей, длины h =	-. Аб-
сциссы точек деления а — xq. a?i,X2,...,b = хп (рис. 200). Пусть уо,
У1,...,уп — соответствующие им ординаты графика функции. Тогда
299
Рис. 200
расчетные формулы для этих значений примут вид Xi — а + h • г, yi =
=	= 0,1,2,...,n-,h=^.
Заменим кривую у — f(x) ломаной линией, звенья которой соеди-
няют концы ординат yi и yi+r (г = 0,1, 2,..., п). Тогда площадь кри-
волинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных
трапеций с основаниями у^ yi+± и высотой h —	:
ь
У0 + У1 к , У1+У2
— 'h+ —
Уп—1 4" Уп h
2
или
ь
J f(x)dx
(42.2)
b-a/y0+yn	)
---- ---+ У1 + У2 + • •  + Уп-1 j
п \	2	)
|ф| Формула (42.2) называется формулой трапеций.
Абсолютная погрешность Rn приближения, полученного по фор-
муле трапеций, оценивается с помощью формулы \Rn\	^2’
где М2 — max \f" (ж) |. Снова для линейной функции у кх + b фор-
а^.х^Ь
мула (42.2) — точная.
42.3.	Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции у = f(x) на каждом отрезке
[xi-i’Xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и
прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную форму-
ft
лу приближенного вычисления интеграла J f(x) dx.
а
300
Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра-
ниченной сверху графиком параболы у = ах2 Ч-ЬжЧ-с, сбоку — прямыми
х = -h. х = hn снизу — отрезком [—h; h].
Пусть парабола проходит через три точ-
ки МД-Тцт/о), M(0;t/i), M3(/i;t/2), где у0 -
= ah2 — bh + c — ордината параболы в точке
х = —h‘ уг = с — ордината параболы в точке
х — 0; у2 = ah2 + bh + с — ордината парабо-
лы в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S
равна
h
S = у* (ах2 + bx + c)dx =
-h
г х^ х2 \2
а—- + Ь— 4-са;)	= -ah? 4- 2ch. (42.3)
‘ о	' I — h о
Выразим эту площадь через Л, уо, у^, у2. Из равенств для ординат у^
находим, что с = yi, а =
(уо — 2тд 4- т/2). Подставляя эти значения с
и а в равенство (42.3), получаем
2 о 1
S = -h3 • 2Д2 (2/0 ~ 2т/1 4- у2) 4- 2/г • тд =
= тг (з/о - 2i/i + 2/2-) + 2/ii/i = (2/0 + 4i/i + 1/2)- (42.4)
о	О
ъ
Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла^/*^) dx.
а
Для этого отрезок [а; Ь] разобьем на 2п равных частей (отрезков)
длиной h = 2^ точками	+ ih (i = 0,1,2,..., 2п). В точках
деления а — хо, ад, ад,..., ж2п_2, адп-i? х2п — b вычисляем значения
подынтегральной функции /(а;): т/0, т/i, т/2,..., уъп-ъ У2п-1, У2п, где
yi = f(xi) (см. рис. 202).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных
трапеций с основаниями, равными /г, одной элементарной параболиче-
ской трапецией с основанием, равным 2h. Ца отрезке [адад] парабола
проходит через три точки (жо;т/о), (a^i;7/i), (а;2;т/2). Используя форму-
лу (42.4), находим
7 h
Si= J f(x)dx = -(т/о + 4t/i 4-т/2).
. Xq
301
Аналогично находим
ХС	h
- J f(x)dx = -(2/2 + 47/3 + 2/4), •••,
Х2
хгп	h
Sn= J /(ж) dx = ~(У2п-2 + 4т/2п-1 + г/2п).
Х2п-2
Сложив полученные равенства, имеем
f	h
J f(x) dx « -(2/0 + 4j/i + 21/2 4-+ 2y2n-2 + 42/2П-1 + 2/2n)
a
ИЛИ
/г/ \ 7 Ь — О, f .	.	. /	4
f(x) dx « —— (2/0 + У2п) 4- 4(2/1 4- 2/3 4-... 4- У2п-1) +
bn \
4- 2(?/2 4- 2/4 4-... 4- 2/2n—2)^ • (42.5)
g Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценива-
ется соотношением
|Я„| < tSt-75+Й ' М4’ где ^4 = max |УУ(а:)|.
Ь
Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла J f(x) dx
а
во всех случаях, когда / (ж) — многочлен, степень которого меньше или
равна трем (тогда fIV = 0).
302
2
Пример 42.1. Вычислить J х3 dx. раз-
о
бив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.
Q Решение: Имеем: f(x) — х3,
(см. рис. 203)
а) по формуле прямоугольников:
1	1	3	27
С1 = 4’ 2/1 = 64! С2 = 4’
5	125	7	343
Сз = 4’	Уз =	ХХ	С4 =	4’	2/4	= V’
Рис. 203
2
J х3 dx «
о
1/_1_	27	125	343\
2 \64 + 64 + ~64 + 64/
2
= 3,875, т. е. J x3dx^ 3,875;
о
б) по формуле трапеции:
2	2
[ х3 dx « i	+ 1 +	— 4,25, т. е. [ х3 dx « 4,25;
J ‘	2x2	8	8 /	J
о	о
в) по формуле парабол:
г о	2 /	/1	27\	\	Го
х3 dx « -—- (0 4- 8 + 4 ( - 4- — ) 4- 2 • 11 = 4, т. е. х3 dx « 4.
Точное значение интеграла j х3 dx =	1 =4.
о
Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы:
а) 0,125; б) 0,25; в) 0.	•
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Лекции 34-36
Функции одной независимой переменной не охватывают все зави-
симости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить из-
вестное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функ-
ции нескольких переменных.
Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важ-
нейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются
уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай
большего числа переменных. Кроме того, для функций двух перемен-
ных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
§43. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
43.1.	Основные понятия
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Со-
ответствие /, которое каждой паре чисел (х;у) G D сопоставляет
одно и только одно число z G R, называется функцией двух пере-
менных , определенной на множестве D со значениями в R, и записы-
вается в виде z = fix; у) или f : D —> R При этом х и у называются
независимыми переменными (аргументами), a z — зависимой пере-
менной (функцией).
Множество D — D(f) называется областью определения функции.
Множество значений, принимаемых z в области определения, называ-
ется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.
Примером функции двух переменных может служить площадь S
прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S — ху.
Областью определения этой функции является множество {(х\у) \ х >
> 0, у > 0}.
Функцию z = f(x;y), где (х;у) 6 D можно понимать (рассматри-
вать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху.
В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее
часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую
область, называют границей, области. Точки области, не лежащие
на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних
внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной
к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером
замкнутой области является круг с окружностью.
304
Значение функции z — f(x\y) в точке Мо(жо;?/о) обозначают zq =
= f(xo]yo) или zq — /(Мо) и называют частным значением функции.
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое
истолкование. Каждой точке Mq(xq-, уо) области D в системе координат
Oxyz соответствует точка M(xq\ po^zo), где zq — f{xQ \ уо) — аппликата
точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото-
рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную
функцию z - f(x; у).	________
Например, функция z = у/1 — х2 — у2 имеет областью определения
круг х2 + у2 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке
0(0; 0; 0) и радиусом R = 1 (см. рис. 204).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мо-
жет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графи-
ком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способам: когда
функция задается с помощью формулы.
Рис. 204
Рис. 205
43.2.	Предел функции
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится по-
нятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции
одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех
точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют нера-
венству у/(х — xq)2 + (у — Уо)2 < 8, называется 6-окрестностью точки
Мо(хо'.уо). Другими словами, ^окрестность точки Mq — это все вну-
тренние точки круга с центром Mq и радиусом 8 (см. рис. 205).
Пусть функция z = f(x',y) определена в некоторой окрестности
точки Мо(хо;уо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А
называется пределом функции z = f(x; у) при х —> xq и у —> уо (или,
что то же самое, при М(х\у) —> Мо{хо\уо))^ если для любого е > 0
существует 8 > 0 такое, что для всех х 7^ xq и у уо и удовлетворяю-
305
щих неравенству у (ж - ж0)2 + (у ~ Уо)2 < $ выполняется неравенство
\f(x;y) — А| < е. Записывают:
А= hm f(x:y) или А — hm f(M).
У~+Уо
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит
от пути, по которому М стремится к (число таких направлений
бесконечно; для функции одной переменной х —> хо по двум направле-
ниям: справа и слева!)
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит
в следующем. Каково бы ни было число е > 0, найдется J-окрестность
точки Мо(хо;уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Mq, ап-
пликаты соответствующих точек поверхности z — f(x;y) отличаются
от числа А по модулю меньше, чем на е.
Пример Л 3.1. Найти предел lim
•х-^0 X + У
Q Решение: Будем приближаться к 0(0; 0) по прямой у = кх, где к —
некоторое число. Тогда
lim
х—>0
у->0
2	2
х -у
2 .	2
х + у
х2 - к2х2 1 - к2 1 - к2
hm -------v-т — hm-------у =-------
х2 4- к2у2 я->о 1 + к2 1 Т к2
Функция z =
х2 - у2
х2 +у2
в точке 0(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных
значениях к предел функции не одинаков (функция имеет различные
предельные значения).
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич-
ными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это
означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и д(М)
определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пре-
делы А и В соответственно, то и функции ± д(М), f(M) • д(М),
(g(M) / 0) имеют в точке Мо пределы, которые соответственно
равны А ± В, А • В, д (В / 0).
43.3.	Непрерывность функции двух переменных
р5[ Функция z = f(x; у) (или f(M)) называется непрерывной в точ-
ке Мо(хо]уо), если она:
а)	определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б)	имеет предел lim f(MY
306
в)	этот предел равен значению функции z в точке Мд, т. е.
Hm =	или lim /(ят;3/) - f(x0;y0).
у-^уо
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы-
вается непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность
нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности
функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точ-
ки разрыва z = /(х; у) могут образовывать целые линии разрыва. Так,
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определе-
ние непрерывности функции z = /(ж; у) в точке. Обозначим Дж = х—хо,
Ny — У ~ Уо? Az — f(x:>y) ~ f(xth У о)- Величины Дж и Д?/ называются
приращениями аргументов х и у, a Nz — полным приращением функ-
ции f(x;y) в точке Мо(хо‘->уо)-
|©[ Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке 7Ид(жд;?/о) 6
G если выполняется равенство lim Дг = 0, т. е. полное прира-
Дж—>0
Ау—>0
щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее
аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах,
можно доказать, что арифметические операции над непрерывными
функциями и построение сложной функции из непрерывных функций
приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место
для функций одной переменной (см. п. 19.4).
43.4.	Свойства функций, непрерывных в ограниченной
замкнутой области
Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну-
той области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функ-
ций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие
области.
Областью называется множество точек плоскости, обладающих
свойствами открытости и связности.
Свойство открытости’, каждая точка принадлежит ей вместе с
некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить
непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
Точка No называется граничной точкой области D, если она не
принадлежит Z), но в любой окрестности ее лежат точки этой обла-
сти (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области D называет-
307
ся границей D. Область D с присоединенной к ней границей называет-
ся замкнутой областью, обозначается D . Область называется огра-
______	_ ничейной, если все ее точки принадлежат некоторо-
'.Ь'. '. '. '.-:му КРУГУ радиуса R. В противном случае область на-
•	зывается неограниченной. Примером неограничен-
^No	ной области может служить множество точек перво-
Рис 206 г0 кооРДинатного угла, а примером ограниченной —
J-окрестность точки Мо(^о;?/о)-
Теорема 43.1. Если функция z =-f(N) непрерывна в ограниченной
замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще-
ствует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выпол-
няется неравенство \f(N)| < R; б) имеет точки, в которых принимает
наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од-
ной точке области любое численное значение, заключенное между т
и М.
Теорема дается без доказательства.
§44, ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
44.1,	Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование
Пусть задана функция z —	Так как х и у — независимые
переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое
значение. Дадим независимой переменной х приращение Дж, сохраняя
значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое назы-
вается частным приращением г по ж и обозначается Джг. Итак,
^•xZ = f(x + Дж; у) - /(ж; у).
Аналогично получаем частное приращение z по у:
&.yz = f(x;y + Ду) - f(x;y).
Полное приращение Дг функции z определяется равенством
Дг =/(ж + Дж;1/4-Д?/) -/(ж;?/).
Если существует предел
lim	Um № +
Дж-4-0 Дж Дж-4-0	Дж
308
то он называется частной производной функции z = f(x;y) в точке
М(х]у) по переменной х и обозначается одним из символов:
dz_ д£
x,dx,Jx,dx'
Частные производные по ж в точке Мо(хо;уо) обычно обозначают сим-
волами /'(ж0;2/0), Л •
1Мо
Аналогично определяется и обозначается частная производная от
z = f(x; т/) по переменной у:
4 = lim = lim	+
у Лу-^0 Ду Дт/->0	Ду
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех
и больше) переменных определяется как производная функции одной
из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза-
висимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y)
находят по формулам и правилам вычисления производных функции
одной переменной (при этом соответственно х или у считается посто-
янноЦ величиной).
Пример 44-1- Найти частные производные функции
z — 2у -F ех ~у + 1.
Q Решение:
4 = (2У + ех2~У + 1)' = (2У)' + (ех2~Уух + (1)'х =
= 0 + ех2~у  (х2 - у)’х + 0 = ex2~v  (2а; - 0) = 2ж • ex2~v-,
4=2 + Z^.(-l).
Геометрический смысл частных
производных функции двух переменных
Z
Графиком функции z = f(x;y) яв-
ляется некоторая поверхность (см.
п. 12.1). График функции z = f(x; уо)
есть линия пересечения этой поверх-
ности с плоскостью у — у^. Исходя
из геометрического смысла произ-
водной для функции одной перемен-
ной (см. п. 20.2), заключаем, что
Л (жо; З/о) — tgor, где а — угол ме-
жду осью Ох и касательной, прове-
денной к кривой z = f(x}yo) в точке
Мо(хо-,уо; f(xQ;yoy) (см. рис. 207).
Аналогично, /'(хо;2/о) = tg/3.
Рис. 207
309
44.2.	Частные производные высших порядков
df(x',u>} df(x'u\
Частные производные J - и J называют частными про-
изводными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от
(х^у) € D. Эти функции могут иметь частные производные, которые
называются частными производными второго порядка. Они определя-
ются и обозначаются следующим образом:
д /dz\ d2z и tn ( у
ТГ 7Т~	= ТГ?- = zxx — 1х*\Х'->УЬ
dx \дх)	dx
д (dz\ _ d2z _ „ _ „
дх\ду)~дудх	Zxy fxy<x’y)’
ду\ dx J dxdy	Zyx fyx{x’yl
dy\dy) dy2 Zyy fy2^X,y^.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. поряд-
тгпп Тятг г'" — d I d2z\ д ( d3z А _ d4z /	/ п/ у _
ков. Так, zxxy ду J, дх у	ду дх J	дх ду дх2 (или (zxyx)x
(4)	<
= Zxyx^ И Т-Д*
р$| Частная производная второго или более высокого порядка, взя-
тая по различным переменным, называется смешанной частной
производной. Таковыми являются, например, z"y, , z”yx.
(J Ju(J у
Пример 44Найти частные производные второго порядка
функции z = х4 — 2ж2?/3 4- уь + 1.
Ci Решение: Так как z'x = 4х3 — 4х?/3 и zy — —6х2у2 + Ьу4, то
zxy = (4а;3 - 4жг/3)у = — 12ягт/2,
<. = (-6^V + 5y4)' =-12хУ2.
Оказалось, что z'', = z1'.	•
'	у y*L
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приве-
дем без доказательства.
Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего поряд-
ка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отлича-
ющиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для z = f(x-y) имеем:
310
44.3.	Дифференцируемость и полный дифференциал
функции
Пусть функция z — fix; у) определена в некоторой окрестности
точки М(х; у). Составим полное приращение функции в точке М:
Az = f(x 4- Дж; у + А?/) - f(x- у).
g Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке
М(х;у), если ее полное приращение в этой точке можно предста-
вить в виде
Az = А • Ах 4- В • Ау 4- а • Ах 4- /3 • Ау,	(44.1)
где а = а(Ах,Ау) —> 0 и ft — /3(Ах,Ау) —> 0 при Ах —> 0, Ау —> 0.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой
главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z — f(x; у), линейная относи-
тельно Ах и Ау, называется полным дифференциалом этой функции и
обозначается символом dz:
dz — А  Ах + В  Ау.	(44.2)
Выражения А-Ах и В- Ау называют частными дифференциалами.
Для независимых переменных хну полагают Ах = dx и Ay = dy.
Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде
dz = A- dx 4- В ‘dy.	(44.3)
Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если функция z — f(x;y) дифференцируема в точке
М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные произ-
водные и причем = А, = В.
ох оу	ох оу
Q Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место
равенство (44.1). Отсюда вытекает, что lim Az' — 0. Это означает,
Дж—>0
Д1/—>0
что функция непрерывна в точке М. Положив Ау — 0, Ах 4 0 в
равенстве (44.1), получим: Axz — А  Ах 4- а • Ах. Отсюда находим
~А— — А + а. Переходя к пределу при Аж —> 0, получим lim —А— = А,
^-ЛХ	Дж—>о Аж
т. е. = А. Таким образом, в точке М существует частная производ-
ная у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует
частная производная fy(x;y) =	= В.	
311
Равенство (44.1) можно записать в виде
dz . dz .	, А А А.
t±z — -^-Ах +	+ 7,	(44.4)
dx оу
где 7 = а • Дж + /3 • Дт/ —> 0 при Дж -+ О, Д?/ —> 0.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывно-
сти функции или существования частных производных не следует диф-
ференцируемость функции. Так, непрерывная функция z = >/ж2 + ?/2
не дифференцируема в точке (0; 0).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления пол-
ного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:
(44.5)
, dz dz 1
dz= —dx+ —~dy
dx dy
или
dz — dxz + dyZ,
где dxz — ^dx, dyz — dy — частные дифференциалы функции
z = f(x;y).
Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости
функции). Если функция z = f(x‘,y) имеет непрерывные частные
производные z'x и z'y в точке М(х\у), то она дифференцируема в этой
точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
Примем теорему без доказательства.
|@| Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существо-
вание производной /'(ж) в точке является необходимым и доста-
точным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z = f(x;y) была дифференцируема в точке, не-
обходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно,
чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов
функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функ-
ции двух (и большего числа) переменных.
44.4.	Применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции z = f(x;y) следует, что
при достаточно малых |Дж| и | Д?/| имеет место приближенное равенство
Д^«dz.	(44.6)
312
Так как полное приращение Дг = f(x 4- Дж;?/ 4- Д?/) — /(х;уУ равен-
ство (44.6) можно переписать в следующем виде:
f(x + Дж;?/ + Д?/) ~ ffay) + fx(x]y]^x +fy(x\y)^y. (44.7)
Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.
Пример 44-3- Вычислить приближенно 1,О23,01.
Q Решение: Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 1,О23,01 = (ж 4-Дж)у+Л?7,
где ж = 1, Дж = 0,02, г/ = 3, Дт/ = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7),
предварительно найдя z'x и z'y: z'x — (xyyx—y , г'у — (хуУу — ху -In ж.
Следовательно, 1,О23’01 «I3 4-3-13-1 -0,02 +13-In 1-0,01, т. е. 1,О23’01«
«1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
1,023’О1« 1,061418168.	•
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти:
границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных
вычислениях; приближенное значение полного приращения функции
и т. д.
44.5.	Дифференциалы высших порядков
Введем понятие, дифференциала высшего порядка. Полный диф-
ференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциа-
лом первого порядка.
Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производ-
ные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по
формуле d2z = d(dz). Найдем его:
j2 , (dz - dz \
d z — d\ — dx + -x~dy =
у ox oy J
(dz	dz	\	(dz	dz	\
= — dx 4- — dy	• dx 4- dx 4- ~dy • dy =
ydx	dy	Jx	ydx	dy	J y
(d2z d2z	\	( d2z	d2z	\
= —2 dx 4- -^—^—dy • dx 4- dx 4- dy • dy.
ydx	dydx	J	ydxdy	dy	J
Отсюда: d2z = ^р|с/ж2 4- 2 • Qx^y dx • dy 4- ^ДДу2. Символически это
записывается так:
( д	д \2
d z = [—dx+ —dy
у ox	oy J
• z.
313
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего
порядка'.	3
d?z — dl(d2z) — (dx 4- ^-dy ) • г,
\дх ду J
где
(д a \3 a3 J з а2 , 2 д о а а2 2 <э3 3
— dx + — dy] = —^х6+3—^х - — dy+3-dx-—^dy + —^dy.
\дх dy J дх дх оу дх ду ду
Методом математической индукции можно показать, что
jn ( д	д \п
d z = — dx 4- —dy • г, п 6 N.
\дх	оу J
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х м. у функции z — f(x;y) являются независимыми.
Пример 44-4- (Для самостоятельного решения.) Найти d2^, если
Z = х3у2.
Ответ: d2z — бху2 dx2 4- 12х2?/ dx dy 4- 2х3 dy2:
44.6.	Производная сложной функции. Полная
производная
Пусть z = f(x, у) — функция двух переменных х и ?/, каждая из ко-
торых является функцией независимой переменной t: х = хД), у = y(t).
В этом случае функция z = f(x(t)‘,y(t)) является сложной функцией
одной независимой переменной fz переменные х и у — промежуточные
переменные.
Теорема 44.4. Если z = f(x\y) — дифференцируемая в точке
М(х;^) 6 D функция и х = x(t) и у = у(t) — дифференцируемые
функции независимой переменной t, то производная сложной функ-
ции z(t) = f(x(t)]y(t)) вычисляется по формуле
dzdzdxdzdy
~dt = дх ~dt + ду ~dt'
□ Дадим независимой переменной t приращение Тогда функции
х — x(t) и у = y(t) получат приращения Дх и Д?/ соответственно. Они,
в свою очередь, вызовут приращение Дг функции z.
Так как по условию функция z = f(x; у) дифференцируема в точке
М(х; т/), то ее полное приращение можно представить в виде
dz . dz
^z — — • Дх 4- тг- '	+ аДя? +
дх ду
314
где а —> 0, р -> О при Дж -> 0, Дт/ -> О (см. п' 44.3). Разделим выра-
жение Дг на Д£ и перейдем к пределу при Д£ —> 0. Тогда Дж 4 0 и
Дт/ -> 0 в силу непрерывности функций ж = x(t) и у — y(t) (по условию
теоремы — они дифференцируемые). Получаем:
Дг dz Дж dz Д?/	Дж _ ..	Д?/
lim — — • hm 4- — • hm —— + lim а  lim ——h hm p • lim —-,
A£->0 Д£ dx At->0 At dy At—»O Д£ At->0 At—>0 Д£ At—>0 At->0 Д£
dz	dz	dx	dz	dy	dx	Л dy
— ------------1---._*_po.------h 0 • —
dt	dx	dt	dx	dt	dt dt
dz _ dz dx dz dy
dt dx dt + dy dt'
Частный случай: z = f(x;y), где у — y(x), т. e. z — f(x;y(x)) —
сложная функция одной независимой переменной ж. Этот случай сво-
дится к предыдущему, причем роль переменной t играет ж. Согласно
формуле (44.8) имеем:
dz' dz dx dz dy
dx dx dx dy dx
dz _ dz dz dy
dx dx dy dx
(44.9)
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z =	где ж = ж(и;п), у = у(щи). Тогда
z = f(x(u;v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных
и и v. Ее частные производные и можно найти, используя фор-
мулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав щ заменяем в ней
dx du	dz dr du
dt соответствУю« частными производными
dz _ dz dx dz dy
du dx du + dy du'
(44.10)
Аналогично получаем
. dz _ dz dx , dz dy
dv dx dv dy dv'
|@| Таким образом, производная сложной функции (г) по каждой не-
зависимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных
производных этой функции (г) по ее промежуточным переменным (ж
и у) на их производные по соответствующей независимой переменной
(и и v).
Пример 44-6- Найти и если z = 1п(ж2 + т/2), ж = и • v,
у ~-
v‘
315
Q Решение: Найдем	— самостоятельно), используя формулу
(44.10):
dz 1 n	1
— о 2	4“ 2	2
ди х2 4- у2	х2 4- у2
Упростим правую часть полученного равенства:
dz _	2
ди х2 4- и2
2у-.
V
У\ =	. (
V/ ( x2 (U\2 V
(uv)2 + I - I
\u /
2u2
и
ии  v 4---
v • v
и • (v4 4-1)	2
v2 и
т. е.
dz _ 2
ди и'
44.7.	Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно
показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариант-
ности: полный дифференциал функции г = f(x;y) сохраняет один и
тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми
переменными или функциями независимых переменных.
□ Пусть z = f(x;y), где х и у — независимые переменные. Тогда пол-
ный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
.dz	dz
dz= — -dx + — - dy
дх	ду
(формула (44.5)).
Рассмотрим сложную функцию z = f(x;y), где х = x(u;v), у =
= y(u;v), т. е. функцию z — f{x(u\v)\y(u\v')) — F(u\v\ где и и v —
независимые переменные. Тогда имеем:
dF	dF	dz	dz
dz — —— • du 4- -7— • dv = — • du 4- — • dv —
du	dv	du	dv
(dz	dx	dz	dy\ .	(dz	dx	dz	dy\ .
— Ул—У ‘ У ) du + \	' л—’ лГ ) dv —
ydx	du	dy	du J	ydx	dv	dy	dv J
dz (dx 1	dx	\	dz	fdy .	dy	. \
= W ‘ У ’ du +	У	* dv	+	У У * du +	У	’ dv	•
dx у du	dv	J	ду	у du	dv	J
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx
и dy функций х — x(u;v) и у = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,
dz	dz
dz = —  dx + — • dy.	
dx	dy
316
44.8.	Дифференцирование неявной функции
dz _	/р/ /
(44.12)
И
Функция z — f(x;y) называется неявной, если она задается урав-
нением	,	z '
F(x;y;z) — 0,	(44.11)
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные	и
неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив
в уравнение вместо z функцию f(x;y), получим тождество
F(x;y;f(x;yY) = 0.
Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю,
также равны нулю:
d rv г/ w	dF	dF	dz	n z
—г (x\ у; пх- у)) =	—-h	——	•	—-	=	0 (у	— считаем	постоянным),
ox	ox	oz	ох
d	хч	9F	dF	dz	•	,
—г{х;у;т(х;у)) =	——I-	-7—	•	—	=	0 (x	— считаем	постоянным),
dy	dy	dz	dy
откуда
dz _ F^
dx ~ ~F^
Замечания.
а)	Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную
как неявную функцию двух других. Так, уравнение дт2 4- т/2 4- z2 —4 = 0
определяет функции z± = \/4 — ж2 — у2 и z-2 — —у/^ — х2 — у2, опреде-
ленные в круге х2 4- у2 4, Z3 = ^4 — ж2 — у2, определенную в полу-
круге х2 4- у2 ^4 при у 0 и т. д., а уравнение cos(х 4- 2у 4- 3z) — 4 = 0
не определяет никакой функции.
ЦЦ Имеет место теорема существования неявной функции двух
переменных: если функция F(x;y,z) и ее производные F^(x;y, z),
Fy(x-,y;z), F'z(x-, у; z) определены и непрерывны в некоторой окрестно-
сти точки Mo(xo;yo;zo), причем F(xo;yo;zo) = 0, a F'(xo;yo;zo) 0, то
существует окрестность точки Мо, в которой уравнение (44.11) опреде-
ляет единственную функцию z = f(x;y), непрерывную и дифференци-
руемую в окрестности точки (ху,уо) и такую, что f(xo;yo) = zq.
б)	Неявная функция у = /(т) одной переменной задается уравне-
нием F(x, у) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены
условия существования неявной функции одной переменной (имеется
теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функ-
ции находится по формуле
(f; t о).
Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной
уравнением ez 4- z — х2т/ 4-1 = 0.
317
О Решение: Здесь F(x;y;z) = ez + z — х2у 4- 1, Fx = —2ху, Fy = —ж2,
F' = ez 4- 1. По формулам (44.12) имеем: & = 4--г^г,	= •• ZX, *
z	-г н j \	е ir ду е 4-1
•
Пример 44-7. Найти если неявная функция у — f(x) задана
уравнением у3 4- 2у = 2х.
Q Решение: Здесь F(x’,y) — у3 + 2у — 2ж, F'x = —2, Fy = Зу2 4- 2. Сле-
,	—2	dy 2	л
довательно, у' = — —7-^—, т. е. -f- — —ъ—-.	-	•
’ Ух Зу2 4- 2 ’	dx Зу2 4- 2
§45. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 1/1 НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных произ-
водных функции двух переменных. Пусть функция z — f(x;y) диф-
ференцируема в точке (хо',Уо)
Рис. 208
некоторой области D 6 В2. Рассечем
поверхность S, изображающую функ-
цию Z. ПЛОСКОСТЯМИ X — Хо И у — у о
(см. рис. 208). Плоскость х = xq пе-
ресекает поверхность S по некоторой
линии zo(y), уравнение которой полу-
чается подстановкой в выражение ис-
ходной функции z = f(x',y) вместо
X числа Xq. Точка Мо(хо; у о]	Уо))
принадлежит кривой zo(y). В силу
дифференцируемости функции z в
точке Mq функция zo(y) также явля-
ется дифференцируемой в точке у =
= Уо. Следовательно, в этой точке в
плоскости х = хо к кривой zo(y) мо-
жет быть проведена касательная Zi.
Проводя аналогичные рассуждения для сечения у — уо- построим
касательную 1-2 к кривой zq(х) в точке х — х0. Прямые /1 и /2 опре-
деляют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к
поверхности S в точке Mq-
Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку
Мо{хо\уо \ ^о)? то ее уравнение может быть записано в виде
А(х - хо) + В(у - уо) + C(z - zo) - 0,
которое можно переписать так:
z - Zo = Л1 (х - Хо) 4- В1 (т/ — Уо)
(45.1)
318
A	R
(разделив уравнение на —С и обозначив -	= Ai, —By).
Найдем Ai и В±.
Уравнения касательных Ц и имеют вид
z - ZO = fy(x0-y0) • (у - Уо), х = х0;
Z - ZO= f'x(xo-,yo)  (х - Хо), у = у0
соответственно.
Касательная лежит в плоскости а, следовательно, координаты
всех точек удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно запи-
сать в виде системы
' z-zo = fy(x0;y0)(y - Уо),
< X — Хо,
z-zo = A1(x-Xo)+Bi(y-yo).
Разрешая эту систему относительно Bi, получим, что Bi =
= fy(x0;y0)-
Проводя аналогичные рассуждения для касательной Ь2, легко уста-
новить, что Ai =	2/о)-
Подставив значения Ai и В± в уравнение (45.1), получаем искомое
уравнение касательной плоскости:
Z - ZQ = fx(x0; Уо)  (х - Хо) + fy(х0-, Уо)  (у - Уо).	(45.2)
|ф| Прямая, проходящая через точку Mq и перпендикулярная каса-
тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, назы-
вается ее нормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см.
с. 103), легко получить канонические уравнения нормали:
х-хр у-уо = ~ го I	f45 о А
f'x{xo-yo) f^XQ-,yo) -1 ~|	’
Если поверхность S задана уравнением F(x; у, z) — 0, то уравнения
(45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть
найдены как производные неявной функции:
f,( v_ F'x(xo-,yo) ,	Fy(xo;yo)
fx(x0,y0) F^Xo.yoy fy(.xo,Vo) F^Xo.yo)
(см. формулы (44.12)), примут соответственно вид
Fx(xo;yo)  (х - Хо) + Fy(xo;yo)  (у - Уо) + Fz(xo;yo)  (z - z0) = 0
И
X - Xq _ У ~Уо _ z - Zp
Fx(x0-,y0) Fy(xo;yo) F'z(xo\yo)'
319
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх-
ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности.
Точка Мо поверхности называется особой, если в этой точке все част-
ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.
Такие точки мы не рассматриваем.
Пример ^5.7. Написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали к параболоиду вращения z — х2 + у2 в точке 7Ио(1; —1; 2).
Q Решение: Здесь z'x = &(х;у) = 2х, fy(x;y) = 2у, /'(1;-1) = 2,
/'(1;—1) = —2. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем урав-
нение касательной плоскости: z — 2 — 2 • (х — 1) — 2 • (у 4- 1) или
2х — 2у — z — 2 = 0 и уравнение нормали:	®
§46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
46.1. Основные понятия
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере-
менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза-
висимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = f(x\y) определена в некоторой области D,
точка N(xo;yo) 'e D.
Точка (хо\уо) называется точкой максимума функции z =
— /(т;?/)> если существует такая J-окрестность точки (хо‘, Уо), что
для каждой точки (х;?/), отличной от (хо',уо), из этой окрестности вы-
полняется неравенство f(x;y) < f(xo;yo)-
р$| Аналогично определяется точ-
ка минимума функции: для
всех точек (ж; ?/), отличных от (xq; уо\
из J-окрестности точки (жо;?/о) вы-
полняется неравенство: f(x;y) >
> f(xo;yo)-
На рисунке 209: М — точка мак-
симума, a N2 — точка минимума
функции Z = f^X'y).
р$| Значение функции в точке мак-
симума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ-
ции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции
лежит внутри области определения функции; максимум и мини-
мум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке
320
(яЧьЗ/о) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к
(#0; Уо)- области D функция может иметь несколько экстремумов или
не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке
N(xo;yo) дифференцируемая функция z — f(x;y) имеет экстремум,
то ее частные производные в этой точке равны нулю: /Джо;?/о) = О»
fy(x0;y0) = 0.
□ Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = уо. То-
гда получим функцию У (ж; З/о) — 4>(х) одной переменной, которая имеет
экстремум при х — xq. Следовательно, согласно необходимому условию
экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р'(хо) = 0, т. е.
Л(^о;Уо)=0.
Аналогично можно показать, что fy(xo;yo) = 0.	
Геометрически равенства /Д#о;?/о) = 0 и
fy^XQ^yo) = 0 означают, что в точке экстрему-
ма функции z = fix; у) касательная плоскость	z
к поверхности, изображающей функцию f(x;y),	।
параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение ка-
сательной плоскости есть z — zq (см. форму-
л у (45.2)).	у
Замечание. Функция может иметь экстремум //у 1	\
в точках, где хотя бы одна из частных производ-
ных не существует. Например, функция z — 1 —
— \/х1 4- 2/2 имеет максимум в точке 0(0; 0) (см. Рис- 210
рис. 210), но не имеет в этой точке частных про-
изводных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции
z — f(x; y) равны нулю, т. е. /' = 0, /' = 0, называется стацио-
нарной точкой функции z.
|^| Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про-
изводная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может
и не иметь. Равенство нулю частных производных является необхо-
димым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас-
смотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) являет-
ся критической (в ней zx = у и z'y — х обращаются в ноль). Однако
11 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
321
экстремума в ней функция z — ху не имеет, т. к. в достаточно малой
окрестности точки 0(0; 0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I
и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной
области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть
дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стаци-
онарной точке (а?о;?/о) и некоторой ее окрестности функция f(x;y)
имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю-
чительно. Вычислим в точке (я?о;з/о) значения А = fxx(xo‘, Уо), В =
= f”v(xo;yo), с - fyV(xQ;yo). Обозначим
л АВ л
д= в с =АС-В‘-
Тогда:
1)	если А > 0, то функция f(x;y) в точке (хго; З/о) имеет экстремум:
максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2)	если А < 0, то функция f(x;y) в точке (жо5 2/о) экстремума не имеет.
В случае А = 0 экстремум в точке (то; т/о) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример 46-1- Найти экстремум функции z = Зх2у — х3 — у*.
Q Решение: Здесь z'x = бху — Зх2, z'y — Зх2 — Ау3. Точки, в которых
частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
J бху — Зх2 = 0,
|^3х2 — 4?/3 = 0.
Отсюда получаем точки Mi(6;3) и Мг(0; 0).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
zxx =6у- Gx, z"?/ = Gx, z'^y = — 12у2.
В точке Mi (6; 3) имеем: А = —18, В = 36, С = —108, отсюда
АС - В2 = -18 • (-108) - 362 = 648,
т. е. А > 0.
Так как А < 0, то в точке Mi функция имеет локальный максимум:
zmax = Ж 3) = 3 • 36 • 3 - 63 - З4 = 324 - 216 - 81 = 27.
322
В точке TVf2(0; 0): А = 0, В = 0, С = 0 и, значит, Д — 0. Проведем
дополнительное исследование. Значение функции z в точке равно
нулю: z(0;0) — 0. Можно заметить, что z = —у4 < 0 при х — 0, у 0;
z = —гс3 > 0 при х < 0, у — 0. Значит, в окрестности точки М2(0;0)
функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна-
чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. •
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области
Пусть функция z — f(x',y) определена и непрерывна в ограничен-
ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках
D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный
экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо-
женных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф-
ференцируемой в области D функции z = f(x’,y) состоит в следующем:
1.	Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и
вычислить значения функции в них;
2.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x;y)
на границах области;
3.	Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее М и наименьшее т.
Пример 46-2. Найти наибольшее и наи-
меньшее значения, функции z — х2у + ху2 + ху
в замкнутой области, ограниченной линиями:
у = 1, х = 1, х = 2, у — —1,5 (см. рис. 211).
Q Решение: Здесь z'x = 2ху + у2 +у, zfy = х2 +
+ 2ху + х.
1.	Находим все критические точки:
у(2х + у + 1) = 0,
х(х -4- 2у 4- 1) = 0.
Решением системы являются точки (0; 0), (—1; 0), (0;—1), (— тг).
Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
2.	Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ-
ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211)>
323
На участке АВ: х = 1, z — у2 + 2г/, где у 6
’ zy ~ 2у ~Ь 2,
2у + 2 = 0, у = —1. Значения функции z(—1) = —1,	=
z(l) = 3.
На участке ВС: у = z — х + + 1, где х € [1; 2], z'x — 1----
1 = О, xi 1, Х2 = — 1	[1; 2]. Значения функции г(1) = 3,
г(2) = 3,5.
На участке СЕ: х = 2, z — 2у2 4- бу, у € [—	4], z' = Ау + 6,
L 2 z J у
^у + 6 = О, у — — Значения функции z^—	= —4,5,	— 3,5.
На участке АЕ: у = z =	х е [1;2], z‘x — —Зх + |,
—Зх + | = О, х = 1	[1; 2]. Значения функции z(l) = —	^(2) — —4,5.
3.	Сравнивая полученные результаты, имеем:
1\
М = +3,5 = z
ат — —4,5 = z
Глава X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
^Лекции 37-43 |
§47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
47.1. Основные понятия
g При решении различных задач математики, физики, химии и дру-
гих наук часто пользуются математическими моделями в виде
уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию
и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальны-
ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифферен-
циального уравнения называется функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения у' = f(x) является функция у = F(x) —
первообразная для функции f(x).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав-
нениях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен-
ной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в
частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновен-
ные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по-
рядком этого уравнения.
Например, уравнение у”' — Зу" + 2у = 0 — обыкновенное ДУ тре-
тьего порядка, а уравнение х2у' + Зху = у2 — первого порядка; у  z'x —
— х • г1 — ДУ в частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием,
а график решения ДУ — интегральной кривой.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф-
ференциальным уравнениям.
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Задача 1
Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей-
ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-
325
сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки
через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, а П(1) = 50 м/с.
Q Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва-
емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско-
рость точки V будет функцией t, т. е. V — V(t). Для нахождения V(t)
воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи-
ки): т- а = В, где а = V'(t) — есть ускорение движущегося тела, F —
результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае F = —kV2, к > 0 — коэффициент пропорциональ-
ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).
Следовательно, функция V — V(t) является решением дифференци-
ального уравнения т• V — —k’V2 или V = — — V2. Здесь т — масса
тела.
Как будет показано ниже (пример 48.5), V = -?------, где с —
—	+ с
т
const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость
точки через 3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры Д и с. Согласно условию задачи, име-
ем: V(0) = - = 100 и Р(1) =	— = 50. Отсюда с =
v ' с	v 7 Л д. г	*	100’ т 100
т '
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = Дтут. По-
Г т 1
этому V(3) = 25 м/с.	•
Задача 2
Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок
любой касательной к ней, заключенный между осями координат, де-
лится в точке касания пополам.
Q Решение: Пусть М(х\у) — произвольная точка
кривой, уравнение которой у — f(x). Для опреде-
ленности предположим, что кривая расположена в
первой четверти (см. рис. 212).
Для составления дифференциального уравне-
ния воспользуемся геометрическим смыслом первой
производной: tga есть угловой коэффициент каса-
тельной; в точке М(х,у) он равен у', т. е. у' — tga.
Из рисунка видно, что tg(ZMBC) =	. Но
tg(ZMBC) = tg(180° - а) = -tga,
МС = у. По условию задачи AM = МВ, следовательно, ОС = СВ — х.
326
Таким образом, получаем — tga — или у' — — Решением по-
лученного дифференциального уравнения является функция у = -•
(гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4).	•
Другие задачи
Можно показать, что:
закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио-
активный распад») описывается дифференциальным уравнением
— -к-т, где к > 0 — коэффициент пропорциональности,
dt
m(t) — масса радия в момент t.
•	«закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела
в зависимости от времени, описывается уравнением ^ = k(T—to),
гдеT(t) — температура тела в момент времени t, к — коэффици-
ент пропорциональности, to — температура воздуха (среды охла-
ждения) ;
•	зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак-
цию, от времени t во многих случаях описывается уравнением
= к- х, где к — коэффициент пропорциональности;
•	«закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий
от времени t) описывается уравнением m't — к-т, где к > 0;
•	закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над
уровнем моря описывается уравнением = — к • р, где p(h) —
атмосферное давление воздуха на высоте h, к > 0.
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную
роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз-
ных задач.
§48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
48.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F(x;y,y')=0.	(48.1)
327
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно-
сительно ?/, то его записывают в виде
y' = f^,y)	(48.2)
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно произ-
водной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.
ЦЦ Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между коор-
динатами ^очки (ж; у) и угловым коэффициентом у’ касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,
ДУ у’ = f(x\ у) дает совокупность направлений (поле направлений) на
плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по-
рядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на-
зывается изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближен-
ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по-
лучить, если положить у' — с, т. е. /(ж; у) — с.
Пример 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных
кривых уравнения у' = 2х.
Q Решение: Уравнение изоклин этого ДУ
будет 2х — с, т. е. изоклинами здесь будут
прямые, параллельные оси Оу (х = ^).
В точках прямых проведем отрезки, обра-
зующие с осью Ох один и тот же угол а,
тангенс которого равен с.
Так, при с = 0 имеем х. = 0, tga = О,
поэтому а = 0;
при с = 1 уравнение изоклины х = 1,
поэтому tgo = 1 и а — 45°;
при с = —1: х = —i tgo = —1, а —
= —45°;
при с — 2: х = 1, tg о — 2, а — arctg 2 «
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре-
лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213),
по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со-
бой семейство парабол.	•
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное от-
носительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
Р(х; у) dx + Q(x-, у) dy = 0,
(48.3)
328
где Р(х;у) и Q(x; у) — известные функции. Уравнение (48.3) удобно
тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож-
но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида
записи ДУ можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно-
жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи-
нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является
функция у — х2, а также у = х2 + 1, у — х2 — \/2 и вообще у — х2 + с,
где с — const.
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи-
нить некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х = х$ функция у должна быть равна заданно-
му числу уо, т. е. у = уо называется начальным условием. Начальное
условие записывается в виде
у(хо)=Уо или у =у0.	(48.4)
I X — X Q
|ф| Общим решением ДУ первого порядка называется функция у =
= (р(х;е), содержащая одну произвольную постоянную и удовле-
творяющая условиям:
1. Функция ip (х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро-
ванном значении с.
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое
значение постоянной с = со, что функция у = <р(х;со) удовлетворяет
данному начальному условию.
Частным решением ДУ первого порядка называется любая
функция у = (р(х;со), полученная из общего решения у = <р(х;с)
при конкретном значении постоянной с = cq.
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав-
нения Ф(х;у;с) = 0, то такое решение называется общим интегралом
ДУ. Уравнение Ф(х;у;со) = 0 в этом случае называется частным ин-
тегралом уравнения.
С геометрической точки зрения у — <р(х;с) есть семейство инте-
гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = (р(х;со) —
одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (а?о;2/о)-
|ф[ Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво-
ряющего заданному начальному условию (48.4), называется зада-
чей Коши.
Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи
Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про-
изводная fy(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей
точку (хо;уо), то существует единственное решение у = <р(х) этого
уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).
329
(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении
ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, прохо-
дящая через точку (я?о; Х/о)-
Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка
определенного типа.	>
48.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
Р(х) • dx + Q(y) • dy = 0.	(48.5)
В нем одно слагаемое зависит только от ж, а другое — от у. Иногда
такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Про-
интегрировав почленно это уравнение, получаем:
У Р(х)  dx + у Q(y) - dy - с
его общий интеграл.
Пример 48.2. Найти общий интеграл уравнения х • dx + y • dy = 0.
Q Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
Поэтому у* х • dx — у* у • dy — ci или — 2 ~ С1 ’ Обозначим | = щ.
Тогда х2 — у2 — с — общий интеграл ДУ.	•
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пе-
ременными, которые имеют вид
-Pi(ж) • Qi(i/)  dx + P2(x)  Q2(y)  dy = 0.
(48.6)
Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и
dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из
которых зависит только от х, другая — только от у.
Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почлен-
ного деления его на Qi(y) • РД^) 0. Получаем:
РДж) Q2(y)	г РДт) г Q2(y)	_
, • dx 4- dy — 0, I . • dx + I / x ‘ dy — c
P2&) Q^y)	J P2(x) J
— общий интеграл.
p5| Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Qi(t/)x
*Р2(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует
отдельно решить уравнение Qx{y) • Р2(х) — 0 и установить те решения
ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, — особые
решения.
330
2.	Уравнение у' — Л(^) • /2(2/) также сводится к уравнению с раз-
деленными переменными. Для этого достаточно положить у' = и
разделить переменные.
3.	Уравнение yf = f(ax 4- by 4- с), где а, 6, с — числа, путем заме-
ны ах 4- by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными.
Дифференцируя по х. получаем:
du
dx
a + b- , ,
dx
т. е.
^=а + 6./(«).
откуда следует
а + b • f(u)
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах 4- by 4- с, получим общий
интеграл исходного уравнения.
Пример 4&-3. Решить уравнение (у 4- ху) • dx + (х — ху) • dy — 0.
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
у • (1 4- х) • dx 4- х • (1 — у) • dy = 0.
Оно имеет вид (48.6). Делим обе части уравнения на ху 0:
1 4- х 1	1 — у ,
	dx 4	- dy = 0.
х--------------у '
Решением его является общий интеграл х 4- 1п |ж| 4- 1п \у\ — у = с, т. е.
1п \ху\ 4- х — у — с.
Здесь уравнение Q\(y) • Рч{х) — 0 имеет вид ху = 0. Его решения
х = 0, у — 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий
интеграл. Значит, решения х — 0, у = 0 являются особыми.	•
Пример 48.4. Решить уравнение у' = — удовлетворяющее усло-
вию 7/(4) = 1.
Ci Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2
из п. 47.2.
Имеем: -У = — У или — — —. Проинтегрировав, получим:
dx х у ж
In \у\ = In |с| — In |яф
т. е. у = ~ — общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторон-
них гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1).
Подставим ;г = 4 и у — 1 в общее решение уравнения: 1 = с — 4.
Получаем: у =	— частное решение уравнения у' = —У.	®
331
Пример 48.5. Найти общее решение ДУ т • V1 — — к • V2.
Q Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 47.2.
Приведем данное уравнение к виду (48.5):
т •	= —kV2, т • dV + kV2 dt = 0, —~ Н----dt — 0.
dt	z V2 т
Интегрируем: J 4- Д J dt = —с, т. е. —	4- -~t 4- с = 0. Отсюда
т/ 1 , е
V — -г------общее решение уравнения.	•
&+с
48.3.	Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся одно-
родные ДУ первого порядка.
|ф[ Функция f{x\ у) называется однородной функцией п-го порядка (из-
мерения), если при умножении каждого ее аргумента на произ-
вольный множитель А вся функция умножится на Ап, т. е.
f(X-x;X-y) = Хп  f(x;y).
Например, функция f(x; у) = ж2 — 2ху есть однородная функция
второго порядка, поскольку
/(А • х-, А • у) = (Аж)2 - 2(Аж)(Ау) = А2 • (ж2 - 2жу) = А2 • /(ж; у).
Дифференциальное уравнение
2/' = /(ж;з/)	(48.7)
называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная
функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде
(48.8)
□ Если f(x;y) — однородная функция нулевого порядка, то, по опре-
делению, f(x;y) = f(Ax-,Ay). Положив А = 1, получаем:
Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделя-
ющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
У
— — и
или, что то же самое, \у — и • ж7[	(48.9)
332
Действительно, подставив у = их и у1 — и'х + и в уравнение (48.8),
получаем и'х+и = <р(и) или х-^ = ip(u)—u, т. е. уравнение с разделяю-
щимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем и на . Получим общее решение (интеграл) ис-
ходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Р(х;у) • dx 4- Q(x\y) • dy — 0.	(48.10)
ДУ (48.10) будет однородным, если Р(ж;т/) и Q(x\y).— однородные
функции одинакового порядка.
Переписав уравнение (48.10) в виде	и применив в
правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение
у'
|©| При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости
предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подста-
новка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разде-
ляющимися переменными.
Пример Найти общий интеграл уравнения
(ж2 — у2) • dx 4- 2ху • dy = 0.
О Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х; у) =
= х2 — у2 и Q(x\ у) = 2ху — однородные функции второго порядка.
Положим у = и-х. Тогда dy = x-du + u-dx. Подставляем в исходное
уравнение:
(х2 — и2х2) • dx 4- 2х • их • х • du 4- 2х • их и • dx,
£2(1 — и2 4- 2и2) • dx 4- 2шг3 • du = 0,
(1 4- и2) • dx + 2их • du = 0,
последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим пере-
менные	о.,
и интегрируем
In |ж| 4- 1п(1 4- и2) — ci, 1п(|ж| • (1 4- и2}) — ci, |ж|(1 4- и2) = еС1.
Обозначим с — еС1, с > 0. Тогда
|х| (1 4- и2) = с.
Заменяя и на получаем: х2 4- у2 — сх— общий интеграл исходного
уравнения.
333
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к
виду (48.8):
ж2_,,2 + 2ж?/.^-0	= 2/2 ~ д2 у' = (^2"1
Х У + У dx ~U’ dx 2ху ’ У 2-1 /
Затем положить у — и • ж, тогда у1 = и'х 4- и и т. д.	•
Замечание. Уравнение вида у1 = f	> где °? с, ai,
bi, ci — числа, приводится к однородному или с разделяющимися пере-
менными. Для этого вводят новые переменные и и и, положив х = и-[-а,
у = v + /3, где а и /3 — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало
однородным.
Пример 48-7- Найти общий интеграл уравнения
(х 4- 2у 4- 1) • dx — (2х 4- у — 1) • dy = О,
, х 4- 2у 4- 1
т-е-:у =2аД-1-
Q Решение: Положив х '= и 4- а, у — v 4- /3, получаем:
dx = du, dy — dv;
, _ dy _ dv _ и 4- a 4- 2v 4- 2/3 4- 1 __ u 4- 2v 4- (a 4- 2/3 4-1)
dx du 2u 4- 2a 4- v 4- /3 — 1 2u 4- v + (2a 4- /3 — 1) ’
Подберем a и /3 так, чтобы
fa 4- 2/3 4- 1 = О,
[2a 4- /3 — 1 = 0.
Находим, что a = 1, /3 = — 1. Заданное уравнение примет вид
dv _ и 4- 2v
du 2и + v
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было
показано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив
его, следует заменить и и v соответственно на х — 1 и у 4- 1. В итоге
получим (у—ж4-2)3 = с(х+у) — общий интеграл данного уравнения. •
48.4.	Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
|ф| Дифференциальное уравнение первого порядка называется ли-
нейным, если его можно записать в виде
у' 4-р(ж) -у = д(х),	(48.11)
где р{х) и р(ж) — заданные функции, в частности — постоянные.
Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ёе производная у1
входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (48.11) — метод
И. Бернулли и метод Лагранжа.
334
Метод И. Бернулли
Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух дру-
гих функций, т. е. с помощью подстановки у = и • v, где и — и(х) и
v = v(x) — неизвестные функции от х, причем одна из них произволь-
на (но не равна нулю — действительно любую функцию у(х) можно
записать как	/ \
у(х) = —— • v(x) = и(х} • v(x),
V\X)
где v(x) 0). Тогда у' — и1 • v 4- и • vl. Подставляя выражения у и у' в
уравнение (48.11), получаем: и' • v + и • v' 4- р(х) -и - v — д(х) или
и1 • v 4- и • (у1 4- р(х) • v) = д(х).	(48.12)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т. е. решим ДУ v' + р(х) • v = 0. Итак, + р(х) • v = 0, т. е.
= —р(х) • dx. Интегрируя, получаем:
Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с = 1. Отсюда
v — e~fp(x)‘dX'
Подставляя найденную функцию v в уравнение (48.12), получаем
7? ,e-fp(x)dx= д^у
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
,e-Sp(x)-dz = ,du = g(x')-e+J'p^-dxdx,
dx
w = y д(х)  e-f p^ dxdx + с.
Возвращаясь к переменной у, получаем решение
y = u-v= (j д(х)  e-l'p(x'> d:rdx +	• е~ Jp(x>dx
исходного ДУ (48.11).
(48.13)
Пример 48.8. Проинтегрировать уравнение у' 4- 2ху = 2х.
Q Решение: Полагаем у = и • v. Тогда и1 • v 4- и • v' 4- 2х • uv — 2х, т. е.
и' • v 4- и • (у1 4- 2xv) — 2х. Сначала решаем уравнение v1 4- 2х • v = 0:
dv n i ill	2	-ж2
— = —2x  dx. In v = — x , v — e .
v
Теперь решаем уравнение и1 • е-®2 4- и • 0 = 2 .г, т. е.
du _ х2	Г	2	'2
— = 2х • е du = 2х • е • dx, и — е 4- с.
dx	J
Итак, общее решение данного уравнения есть у = и - v = (е^2 4- с) • е-®2,
т. е. у = 1 4- с • е .	•
335
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом.
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е.
уравнение у1 + р(х) • у — 0. Оно называется линейным однородным ДУ
первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:
— = — р(х) • dx и In |з/| = — у*р(х) • dx + In |ci|.
Таким образом, |^-| = е~ fp(x)'dx^ т. е.
у = ±cic~ fp(xydx или у = с • е~ Jp(x^'dx, где c = ±ci.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что по-
стоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. пола-
гаем с = с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в виде
у = с(х) .e~fp^dx.
Находим производную1:
уг — с'(х) ехр(— у р(х) dx^ + с(х) ехр(— Jр(:
Подставляем значения у и у1 в уравнение (48.11):
(48.14)
с' (х) exp
+ c(x)p(x) exp Jp(x) dx^ = g(x).
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет
вид	/ г \
с
Следовательно,
dc(x) = g(x) exp (у р{х) dx^ • dx.
Интегрируя, находим:
ci
• dx + с.
• dx + с
Подставляя выражение с(х) в равенство (48.14), получим общее реше-
ние ДУ (48.11):
У = [f 5(я) • ехр
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср.
с (48.13)).
Пример 48.9. Решить пример 48.8 методом Лагранжа.
хДля удобства записи пользуемся обозначением eF^ — exp(F(a?)).
336
Q Решение: Решаем уравнение у1 4- 2ху — 0. Имеем — —2x-dx, или
у = с - е~х2. Заменяем с на с(ж), т. е. решение ДУ у' 4- 2ху = 2х ищем в
виде у = с(х) • е~х . Имеем
у'= с'(х) • е~х 4- с(х) • е~х • (—2х).
Тогда
с'(х)-е~х —2хс{х)-е~х 4- 2хс{х) • е~х = 2х, т. е. с'(х)'е~х = 2х,
или с{х) — J 2х • ех2 • dx, или с(х) = ех2 4- с. Поэтому у = (ех2 4- с) • е~х2,
или у — 14-с-е“ж2 — общее решение данного уравнения.	•
Замечание. Уравнение вида (х • Р(у) 4- Q(y)) • у' = R(y\ где Р(у),
Q(y), R(y) 0 — заданные функции, можно свести к линейному, если
х считать функцией, а у — аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь ра-
/1	х • Р(у) 4- Q(y) Dz ч , Р(и)
венством ух — получаем --------—-2-^. — щу), т. е. х —	'х ~
= Я (г/ ) — линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в
виде х = и • и, где и = и(у), v = v(y) — две неизвестные функции.
Пример 4&-Ю. Найти общее решение уравнения (ж 4- у) • у' = 1.
Q Решение: Учитывая, что у1 — от исходного уравнения переходим
к линейному уравнению х' = х 4- у.
Применим подстановку х — и • v. Тогда х' = ul-viu-vl. Получаем:
и1 • v 4- и • и' = и • v 4- у, или и1 • v 4- и(у' — и) — у.
Находим функцию v: vf — v = 0,	— dy, v = еу.
Находим функцию и: и1 • еу 4- и • 0 = у, т. е. и' = у • е~у, или
и = у* у • е~у • dy. Интегрируя по частям, находим: и = —у • е~у — е~у 4- с.
Значит, общее решение данного уравнения:
х — и • v = (—у • е~у — е~у 4- с) • еу,
или х = —у — 1 4- с • еу.	•
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
у' 4- р(х) • у — д(х\ • уп, п 6 R, п 0, п 7^ 1	(48.15)
|ф[ называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно
привести к линейному.
Если п = 0, то ДУ (48.15) — линейное, а при п — 1 — с разделяю-
щимися переменными.
337
, В общем случае, разделив уравнение (48.15) на уп 0, получим:
у~п-у'+р(х) -у~п+1 = д(х).	(48.16)
Обозначим у~п+г — z. Тогда z' =	= (У-п)-у~п-у'. Отсюда находим
У~п . yi _ Уравнение (48.16) принимает вид
т-— • / + р(ж) • z = д(х).
1 — п
Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение
его известно. Таким образом, подстановка z = у~п+1 сводит уравнение
(48.15) к линейному. На практике ДУ (48.15) удобнее искать методом
И. Бернулли в виде у — и • v (не сводя его к линейному).
48.5. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Уравнение
Р(х\ у) dx + Q{x; у) dy = 0	(48.17)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его
левая часть есть полный дифференциал некоторой функции
и(х; у), т. е.
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x\ у).
В этом случае ДУ (48.17) можно записать в виде du(x\ у) — 0, а его
общий интеграл будет:
и(х,у) = с.	(48.18)
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
А = Р(х\у) dx 4- Q(x,у) dy
есть полный дифференциал.
Теорема 48.2. Для того чтобы выражение А — Р(х; у) dx+Q(x; у) dy,
где функции Р(х;у) и Q(x;y) и их частные производные и
непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным
дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
дР_ _ dQ_
ду дх
(48.19)
338
Необходимость
Q Пусть А есть полный дифференциал, т. е.
Р(х; у) dx + Q(x’ у) dy = du(x\у).
Учитывая, что du(x\y) —	dy (см. п. 44.3), имеем:
ч ди
p^ = ai’
Дифференцируя эти равенства по у
дР _ д2и
ду дх • ду
Q^ = d/y
и по х соответственно, получаем
8Q _ д2и
дх ду • дх'
А так как смешанные частные производные ^ду ду ^дх Р^вньт
между собой (см. п. 44.2), получаем (48.19).
Достаточность
Пусть в области D выполняется условие (48.19). Покажем, что су-
ществует функция и(х] у) в области D такая, что
du(x\ у) = Р(х; у) dx + Qfx; у) dy.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требо-
ваниям:	д	д
Р(х.у)и =Q(x.yy	(48.20)
дх	ду
Если в первом уравнении (48.20) зафиксировать у и проинтегриро-
вать его по х, то получим:
и(х;у) = f P(x;y)dx+ч?(у).	(48.21)
Здесь произвольная постоянная с = (р(у) зависит от у (либо является
числом). В решении (48.21) не известна лишь tp(y). Для ее нахождения
продифференцируем функцию (48.21) по у:
= ([ P(x;y)dx\ +</Лу)-
оу	/у
Используя второе равенство (48.20), можно записать:
Q(x;y) = (J P(x;y)dx^ + <р'(у).
Отсюда
¥>'(?/) = Q(.x;y) - (J P(x-,y)dx^	(48.22)
В равенстве (48.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая
часть равенства зависит только от у.
339
Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что
производная равна нулю. Действительно,
i »> - (/s) S s U (/s) *0)=
в силу условия (48.19).
Из равенства (48.22) находим (р(у):
<р(у) = f (<2О;у) ~	р(х'>dx))dy + c>
с — const.
Подставляя найденное значение для <р(у) в равенство (48.21), находим
функцию и(х; у) такую, что du(x; у) = Р(х] у) dx + Q(x; у) dy.	
Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем
выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20),
находим функцию и(х;у). Решение записываем в виде (48.18).
Пример 48.11.
Решить уравнение у' =
5 — 2ху
Зу2 4- х2 ’
О Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:
(2ху — 5) dx + (Зт/2 + х2) dy = 0.
Здесь Р(х,у) = 2ху — 5, Q(x\ у) — Зу2 + х2. Проверяем выполнение
условия (48.19):
дР=2 . 9Q=2. dP = dQ
ду	дх	ду дх
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифферен-
циалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как
ди	„ ди п 9	9
— = 2ху - 5, — = Зт/2 4- а;2.
дх	ду
Отсюда имеем
и(х\у) — J(2ху — 5) dx = х2у — Зх + <р(у);
= (х2у -5х + <р(уУ)'у = х2 +
Далее
Зу2 + х2 = х2 +<р'(у), <р'(у)=3у2,
V>(y)-y3+ci, и(х;у) = х2у - 5х+ у3 + сг.
Общим интегралом является х2у — 5x + y3 + ci = С2, или х2у — 5ж4-т/3 = с,
где с = с2 - ci.	•
340
Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является
уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол-
ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x;y),
называемую интегрирующим множителем.
Чтобы уравнение t(x\y) • P(x\y)dx + t(x\y)  Q(x\y)dy — 0 было
уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие
у) • Р(х; у)) = у)  Q(x; у)).
(J У	(J Ju
Выполнив дифференцирование	• Р +	• t =	• Q 4-	• t и приведя
подобные слагаемые, получим
dt
ду
Для нахождения t(x\ у) надо проинтегрировать полученное ДУ в
частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение
интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить су-
ществование t как функции только одного аргумента х либо только у.
Пусть, например, t = t(x). Тогда уравнение (48.23) принимает вид
л Л , /да ар\ л г*-®
(48.23)
дх 1
— dx-
Отсюда
дР 9Q .
t(x) — exp f ( д- — дх dx j.
\у	\a£	J
дР 9Q
т-r	ду дх
При этом выражение —-----------должно зависеть только от х.
Аналогично получаем, что если t = t(y) (t не зависит от ж), то
/	_ дР ч
<(у) = exp ( [	dy ),
(48.24)
а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
Пример 48.12. Решить уравнение (ж2 — у) • dx + (х2у2 +х) - dy = 0.
Ci Решение: Здесь = —1;	= 2ху2 + 1, т. е.	Однако
ду дх *	’ ду ' дх
дР dQ
ду дх
_ -1 - 2ху2 - 1 _ -2
X
,22
зависит только от х.
341
Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, за-
висящий только от ж, выражение которого может быть получено при
помощи формулы (48.24). В нашем случае получим, что
/ г 2	\	1
t(x) = ехр( — / — dx) = ехр(—21п |ж|) = -у.
X J X /	X
Умножая исходное уравнение на t = получаем:
(i-^)da;+(J/2 + l)dy = 0,
т. е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что об-
щий интеграл заданного уравнения имеет вид
48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро
Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные отно-
сительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Ла-
гранжа и Клеро.
Уравнение Лагранжа
Уравнение вида
У — х • 92(2/) +	),	(48.25)
где ср и — известные функции от у' —	, называется уравне-
нием Лагранжа.
Введем вспомогательный параметр, положив у[ = р. Тогда уравне-
ние (48.25) примет вид
y = x-<p(p) + ip(p).	(48.26)
Дифференцируя по ж, получим:
dy ' , . ,	, dp	dp
т. e. p - <p(p) = (x • <p'(p) + ip'(p)) • или
(p - <p(p)) ~ - x • p'(p) = V>'(p)-	(48.27)
ap
Уравнение (48.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной
функции ж = ж(р). Решив его, найдем:
ж = А(р:с).	(48.28)
342
Исключая параметр р из уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий
интеграл уравнения (48.25) в виде у = у(х; с).
Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на
При этом могли быть потеряны решения, для которых = 0, т. е.
р = р0 = const. Это значение ро является корнем уравнения р — с^(р) = О
(см. (48.27)).
Решение у = ж-</?(ро)+^(Ро) является особым для уравнения (48.25)
(см. понятие особого решения в п. 48.2).
Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при р(у') = у'.
Уравнение (48.25) принимает вид
У = х • у' +	(48.29)
|ф| и называется уравнением Клеро.
Положив у’ = р, получаем:
у = хр 4- ф(р).	(48.30)
Дифференцируя по я, имеем:
dp lt/ ч dp >	,	,/z dp •
p = p 4- x • -f- + ф (p) • —, или (x + ф'(p)) • — = 0.
dx	dx	dx
Если = 0, то p = с. Поэтому, с учетом (48.30), ДУ (48.29) имеет
общее решение
у = хс +
(48.31)
Если х 4- ф'(р) = 0, то получаем частное решение уравнения в
параметрической форме:
х =	у — хр Л- ф(р)-	(48.32)
Это решение — особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в
формуле общего решения уравнения.
Пример 48.13. Решить уравнение Клеро у = ху' 4- у'2.
Q Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у =
= сх 4- с2. Особое решение уравнения получаем согласно формулам
2	2
(48.32) в виде х = —Ър, у — хр + р2. Отсюда следует: у = —	4- т. е.
343
§49. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
49.1.	Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются
ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записыва-
ется в виде
F(x;y-y';y") =0	(49.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей
производной:
у" = f(.x;y;y').	(49.2)
Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него
всегда можно перейти к (49.1).
[ф| Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у = </?(гг), кото-
рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ (49.2) называется функция у — (р(х, щ; С2),
где ci и С2 — не зависящие от х произвольные постоянные, удовле-
творяющая условиям:
1.	ip(x; ci; С2) является рещением ДУ для каждого фиксированного
значения а и С2-
2.	Каковы бы ни были начальные условия
у\ = Уо, у'\	=у'о,	(49.3)
существуют единственные значения постоянных с± = с? и С2 = с5> такие,
что функция у = (^(х;^;^) является решением уравнения (49.2) и
удовлетворяет начальным условиям (49.3).
|ф[ Всякое решение у = <р(х, с?; с®) уравнения (49.2), получающееся из
общего решения у — 99 (х;ci;С2) при конкретных значениях посто-
янных ci = с?, С2 = С2, называется частным решением.
Решения ДУ (49.2), записанные в виде
Ф(ж; ?/; Ci; с2) = 0, Ф(ж; у; с?; с^) - 0,
называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется инте-
гральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой мно-
жество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная
кривая этого множества, проходящая через точку (жо5 3/о) и имеющая в
ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(xq) — у1.
Переписав ДУ (49.1) в виде
^(Ж;";И'; (1 +y-=)V= ' (1 + 1,'2)3/2) = °'
344
видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координа-
тами точки (ж; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом к — у1
Vй
касательной к ней и кривизной К = ----*,* в точке (х’у). В этом
(1 + 2/ )3/2
состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения
решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным услови-
ям (49.3), называется задачей Коши.
Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши).
Если в уравнении (49.2) функция f(x;y;y') и ее частные производные
/' и fy, непрерывны в некоторой области D изменения переменных
х, у и у1, то для всякой точки (гео; 2/о; Z/о) & существует единствен-
ное решение у = Дх) уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным
условиям (49.3).
Примем теорему без доказательства.
Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го
порядка, которое в общем виде записывается ка
F(x; у,у';у";... ;у^) = 0,
или	'	.
у(п) =Кх;у;у';у”;...;у{п-1}>) = 0,	(49.4)
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид
2/1	= Уо, у'\ =Уо, у"\	= Уо, , 2/("-1)|	=УоП~1}- (49-5)
Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида
у = (р(х-с1-,с2; ... ;сп),
содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.
Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкрет-
ных значениях постоянных щ = cj, — с?, ..., сп = с°, называется
частным решением.
Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удо-
влетворяющее начальным условиям (49.5). <
Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее:
найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,
заданы начальные условия или нет.
Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем перво-
го. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.
345
49.2.	Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью
замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению,
порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение по-
рядка.
I.	Пусть дано уравнение
у" = f№-
(49.6)
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у' =
= р(т). Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = /(х).
Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у1 * * — р(х).
Получим общее решение заданного уравнения (49.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен-
но путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как у" = (т/)' = уравнение (49.6) можно записать в ви-
де dy' = f(x)dx. Тогда, интегрируя уравнение у" — f(x), получаем:
у1 = у*/(ж) dx, или у' = <pi(x) 4-ci. Далее, интегрируя полученное урав-
нение по х, находим: у — J(<pi(x) 4- сД dx, т. е. у = (р2^х) 4- с±х 4- сэ —
общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение
у(п) = f(x),
то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение
/ \	т71
уравнения: у = (рп\Х) 4- ci • (^1)! + С2 ’ (^2)! + • • • + с-
Пример 49.1. Решить уравнение yIV = sin2x.
Q Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравне-
ние, получим
/* 1
у’" = J .sin 2х dx — — - cos 2х 4- ci,
' 1	rl
— - cos 2x dx 4- j ci dx = — - sin 2x 4- Cix 4- C2,
1	x2
y' = - COS 2x + Cl — + C2X + c3,
о	2
1	x^	x2
7/ = — sin2x4-Ci — 4-C2— 4-c3x4-c4.
16	6	2
346
II.	Пусть дано уравнение
у" = f(x;y'),
(49.7)
не содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у' = р, где р = р(х) — новая неизвестная функция.
Тогда у" = р1 и уравнение (49.7) принимает вид р' = f(x;p). Пусть
р = <Д:г;сД — общее решение полученного ДУ первого порядка. Заме-
няя функцию р на у', получаем ДУ: у' = сД. Оно имеет вид (49.6).
Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение.
Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид у — J сД dx + С2-
Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение

(49.8)
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется
тем же способом: у1 = р(х), у" — р1 = Получаем уравнение р1 =
с разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида
F(x;yW’y{k^-...]yM) — О,
(49.9)
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож-
но понизить на к единиц, положив у^ = р(х). Тогда у(к+1} — р1] ...;
и уравнение (49.9) примет вид F(^;p;p/;...	= 0.
Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение
F^y^-^y^) = 0,
или
У{п) =f(x-,y^).
С помощью замены у(п = р(х), у^ = р' это уравнение сводится к
ДУ первого порядка.
Пример 49.2. Решить уравнение у" — У- — 0.
Ci Решение: Полагаем у' — р, где р — р(х), у" = р'.
Тогда р' —	= 0. Это уравнение с разделяющимися переменны-
ми:	^2. — dx Интегрируя, получим In |р| = In |х| 4-ln|ci|,
ах х р х
In |р| = In |с1ж|, р = cix. Возвращаясь к исходной переменной, получим
/	ж2	<
У = cix, у = Ci + С2 — общее решение уравнения.	•
347
III.	Рассмотрим уравнение
у" = Ш,
(49.10)
которое не содержит явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р =
— р(у), зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем
это равенство по ж, учитывая, что р = р(у(х)\.
„ = d(y') _ dp(y) = dp(y) dy = dp(y) &
dx dx dy dx dy
т. e. y"=p-& Теперь уравнение (49.10) запишется в видер-4^=/(р;р).
ат/	dy
Пусть р = <р(р; сД является общим решением этого ДУ первого поряд-
ка. Заменяя функцию р(у) на у1, получаем у1 =	— ДУ с раз-
деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл
уравнения (49.10):
J ПУ'.Сг) .
Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ
У" = Ш-
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' =
= р(у),у" = Р'^-
Так же поступаем при решении уравнения у^у"',.. •; у^) = 0.
Его порядок можно понизить на единицу, положив у' — р, где р = р(у\.
По правилу дифференцирования сложной функции находим у" = р^.
Затем найдем у"' = ^{Р'Р'у) =	= Р((Ру)2 +Р-Руу) и т- Д-
Замечание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя под-
становку у1 = р, где р = р(т/).
Пример 49-3- Найти частное решение уравнения
у" - (у')2 +у'{у - 1) = 0,
удовлетворяющее начальным условиям: 2/(0) = 2, у'(0) = 2.
Q Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив у1 = р(р), у1
dp
— р  получаем:
Р'^~ ~Р2 +р(у = 0-
ау
348
Так как р 0 (иначе у' = 0, что противоречит начальному условию
у’ = 2), то — р+у — 1 — 0 — получили линейное ДУ первого порядка.
Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли
(п. 48.4). Полагаем р — и • v. Имеем: u’v 4- uv' — uv 4- у — 1 = 0, или
u'v 4- u(v' - v) = 1 - у.
Подберем функцию v так, чтобы v’ — v = 0. Тогда — = dy, v — еу.
Получаем:
и1 • еу 4- и • 0 = 1 — у, т. е. du = (1 — у) • е~у dy.
Интегрируя это равенство, находим, что и = —(1 — у)  е~у 4- е~у + с±.
Следовательно,
р = uv — ((—1 4- у)е~у 4- е~у + сД • е+у, или р — с^еу 4- у.
Заменяя р на у1, получаем: у’• = ci • еу 4- у. Подставляя у1 = 2 и ?/ = 2 в
это равенство, находим с±:
2 — qe2 4-2, ci = 0.
Имеем у' — у. Отсюда у •= с^ех. Находим с<2 из начальных условий:
2 = С2в°, С2 = 2. Таким образом, у — 2ех — частное решение данно-
го ДУ.	•
49.3.	Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других
технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне-
ниям.
Уравнение вида
Мж)у(п) +	+ • • • + Ъп(х)у = д(х),	(49.11)
где Ьо(х) 0, ЬДя),..., Ьп(х),д(х) — заданные функции (от ж),
называется линейным ДУ п-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в
первой степени. Функции Ъо(х) , бДгг),... ,Ьп(х) называются коэффици-
ентами уравнения (49.11), а функция д(х) — его свободным членом.
£5] Если свободный член д(х) = 0, то уравнение (49.11) называется
линейным однородным уравнением; если д(х) 0, то уравне-
ние (49.11) называется неоднородным.
Разделив уравнение (49.11) на Ьо(х) ^0 и обозначив
b0(x) -aiW’---’b0(x) -anW’b0(x)
Мж)
349
запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:
У(п) + й1(аг)1/(п~1) + а2(ж)з/(п~2) +    + ап(х)у = /(ж).	(49.12)
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать,
что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются не-
прерывными функциями (на некотором интервале (а; 6)). При этих ус-
ловиях справедлива теорема существования и единственности решения
ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).
49-4. Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(ЛОДУ) второго порядка:
у" + а^хУу' + а2(х)у = 0	(49.13)
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 49.2. Если функции у± = У1(х) и у2 — У2(х) являются
частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравне-
ния является также функция
У = С1У1(ж) + с2у2(х),	(49.14)
где ci и С2 — произвольные постоянные.
□ Подставим функцию у = c±yi +с2?/2 и ее производные в левую часть
ЛОДУ (49.13). Получаем:
(сц/1 + С22/2)" + Я1(ж) • (С1У1 + С2У2)' + а2(х)  (ау! + с2у2) =
= Ciy" + с2у2 + Я1(ж) • (ciyi + С2У2) + а2(ж)  (С1У1 + с2у2) =
= ci(y" + сц(ж) 	+ а2(ж) • у) + с2(у2 +	+ а2(х)у2) =
= ci  0 + с2 • 0 = О,
так как функции у\ и у% — решения уравнения (49.13) и, значит, вы-
ражения в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция у = с\у± + С2У2 также является решением
уравнения (49.13).	
Из теоремы 49.2, как следствие, вытекает, что если у± и у2 —1
решения уравнения (49.13), то решениями его будут также функции
У = У1 +У2 и у = с-уг.
Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля-
ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре-
шением уравнения (49.13)?
350
Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и ли-
нейной независимости функций.
g Функции т/i = т/i (ж) и у2 = уч (х) называются линейно независи-
мыми на интервале (а; 6), если равенство
&1У1 +&2У2 = 0,	(49.15)
где <Т1, ач € R, выполняется тогда и только тогда, когда = &2 — 0.
g Если хотя бы одно из чисел или &2 отлично от нуля и выполня-
ется равенство (49.15), то функции у± и у2 называются линейно
зависимыми на (а; Ь).
Очевидно, что функции у^ и у2 линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех х 6 (а; Ь) выполняется
равенство = А, или у\ — Ау2, А = const.
Например, функции у\ — Зех и у2 — ех линейно зависимы:	=
= 3 = const; функции у± и у% — е2х — линейно независимы:	=
= Зе~х ф const; функции у± — sin х и у$ = cos а; являются линейно
независимыми: равенство оц sin х + «2 cos х — 0 выполняется для всех
X G R ЛИШЬ при = &2 = 0 (или = tg х const).
Средством изучения линейной зависимости системы функций яв-
ляется так называемый определитель Вронского или вронскиан
(Ю. Вронский — польский математик).
Для двух дифференцируемых функций у± = yi(x) и у2 — Уч(х)
вронскиан имеет вид
VF(z) =	У1 У2 У1 У2
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции yi(x) и у2(х) ли-
нейно зависимы на (а; 6), то определитель Вронского на этом интер-
вале тождественно равен нулю.
Q Так как функции у\ и у2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15)
значение ат или &2 отлично от нуля. Пусть 0, тогда у± — ——уч',
поэтому для любого х 6 (а; 6)

W(x) =
У2
У2
= 0.
Теорема 49.4. Если функции yi(x) и уч{х) — линейно независимые
решения уравнения (49.13) на (а; 6), то определитель Вронского на
этом интервале нигде не обращается в нуль.
351
Доказательство теоремы опустим.
Из теорем 49.3 и 49.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в
одной точке интервала (а; Ь) тогда и только тогда, когда частные
решения линейно независимы.
[ф[ Совокупность любых двух линейно независимых на интервале
(а; Ь) частных решений у± (ж) и у2 (х) ЛОДУ второго порядка опре-
деляет фундаментальную систему решений этого уравнения;
любое произвольное решение может быть получено как комбинация
У = а1у1(х) +а2у2(х).
Пример 49.4- Частные решения у± — sin х пу2 — cos я, у$ = 2 sin х
и у= 5 cos а; (их бесчисленное множество!) уравнения у" + у — О
образуют фундаментальную систему решений; решения же у§ = 0 и
т/6 = cos х — не образуют.
Теперь можно сказать, при каких условиях функция (49.14) будет
общим решением уравнения (49.13).
Теорема 49.5 (структура общего решения ЛОДУ второго поряд-
ка). Если два частных решения 2/1 = У\(х) и 2/2 = Уъ^х) ЛОДУ (49.13)
образуют на интервале (а; 6) фундаментальную систему, то общим ре-
шением этого уравнения является функция
У = с^ух + с2у2,	(49.16)
где ci и С2 — произвольные постоянные.
□ Согласно теореме 49.2, функция (49.16) является решением урав-
нения (49.13). Остается доказать-, что это решение общее, т. е. что из
него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям
у\ = Уо, у'\ =y'Oi	(49.17)
где х0 е (а;Ь).
Подставив начальные условия (49.17) в решение (49.14), получим
систему уравнений
f г/о = С12/1(ж0) + С2у2(х0),
ро = c'li'lfco) + С23/2(жо),
где уо = у(х0), у'о = у'(хо), с неизвестными ci и с2.
Определитель этой системы
у'Лхо) у’2Ы ( о)
равен значению вронскиана W(x) при х = xq.
352
Так как решения у± (х) и образуют фундаментальную систему
решений на (а; 6) и xq € (а; 6), то, согласно теореме 49.4, ТУ(хо) 0.
Поэтому система уравнений имеет единственное решение:
с = с0 _	1
1 Wo)
У о yi{x0)
У о Wo)
,, _ Л) _	1
С2 “ 62 “ Wo)
З/iOo) У о
У1Ы У о
Решение у = c®yi(x) -h с^у^х) является частным решением (единствен-
ным, в силу теоремы единственности) уравнения (49.13), удовлетворя-
ющим начальным условиям (49.17). Теорема доказана.	
Пример 49-5- На основании теоремы 49.5 общим решением урав-
нения у"+у —0 (см. пример 49.4) является функция y=ci sin х + с2 cos я.
49.5.	Линейные однородные ДУ п-го порядка
Полученные результаты можно распространить на линейные од-
нородные дифференциальные уравнения п-го порядка, имеющие вид
уМ + аДя) • т/(п-1) + а2(х) • у(п~2^ + ... + ап(х) -у = 0.	(49.18)
1.	Если функции уг = У1(х),у2 = У2(х),... ,уп = Уп{х) являются
частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и
функция у = ayr + С2у2 + . . . + Спуп.
2.	Функции 1/1, у2,..., уп называются линейно независимыми на
(а; 6), если равенство &iyi + &2У2 + • • • + <%пУп — 0 выполняется лишь
в случае, когда все числа ai = 0 (г — 1,2,..., п); в противном случае
(если хотя бы одно из чисел а* не равно нулю) функции у\, у2,..., уп —
линейно зависимы.
3.	Определитель Вронского имеет вид
	У1	У2	Уп
	у'1	У 2	Уп
W) =	У1	У 2	Уп
		п (П-1)	(n-i)
	У1	У 2	--	• Уп
4.	Частные решения 1/1,2/2, • • • -/Уп уравнения (49.18) образуют фун-
даментальную систему решений на (а; £>), если ни в одной точке этого
интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) 0 для всех
х е (а; 6).
5.	Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет вид у — c±yi +с2у2+.. -+сп?/п,
где Ci (г = 1,..., п) — произвольные постоянные, yi — частные решения
уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.
12 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
353
Пример 49.6. Показать, что функции у\—ех, у2=х-ех, уз=х2-ех
образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ тре-
тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Ci Решение: Найдем W(х):
	ех	хех	х2ех	
=	ех	(х 4- 1)еж	(х2 4- 2х)ех	=
	ех	(х 4- 2)ех	(х2 4- 4ж 4- 2)ех	
		1	X	х2	1 X
—		1 х 4- 1	х2 +2х	= е	Зх Q j
		1 х 4* 2	х2 4- 4.т 4- 2 '	0 2
х2
2х
4гг Ч- 2
= е3ж • (4ж + 2 - 4ж) = 2е3ж.
Ясно, что W(х) О для всех х G R. Следовательно, данные функции
образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего поряд-
ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:
у'" + аДх^у" 4- а2(х}у' 4- аДх)у = 0.
Подставив функции тц, у2. Уз в это уравнение, получим систему из трех
уравнений относительно функций пДж), а2(х\ аз(ж). Решая ее, полу-
чим ЛОДУ у"' — Зу" 4- Зу' — у = 0; его общее решение:
у = суех 4- с2хех 4- с$х2ех.	•
§50	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
50.1.	Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных
дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэф-
фициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
у" +р-у' + У‘У =	(50.1)
где р и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно най-
ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему
(см. теорему 49.5).
Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде
У = чкх,
354
где к — некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя
эту функцию два раза и подставляя выражения для т/, у' и у" в урав-
нение (50.1), получим: к2 • екх 4- р • к • екх 4- q • екх = 0, т. е.
екх • (к2 +рк + q) = 0, или к2 4- рк + q = 0 (екх 0).	(50.2)
pgj Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнени-
ем ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1)
заменить у", у' и у соответственно на к2, к и 1).
При решении характеристического уравнения (50.2) возможны сле-
дующие три случая.
Случай 1. Корни к\ и к2 уравнения (50.2) действительные и раз-
личные: ki / к2 — q > о).
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются
функции у\ — ек1Х и т/2 = ек2Х. Они образуют фундаментальную систе-
му решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан
W(x) =
екгх ек2х
ki_eklX к2ек2Х
к2е(к1+к2)х - kie^kl+k2)x =
= е(к1+к2)х .	0
Следовательно, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле
(49.16), имеет вид
у = С1ек1Х 4- с2ек2Х.
(50.3)
Пример 50.1. Решить уравнение у" — by1 4- бу = 0.
Ci Решение: Составим характеристическое уравнение: к2 — 5к 4- 6 — 0.
Решаем его: ку = 2, к2 — 3. Записываем общее решение данного урав-
нения: у = с±е2х 4- с2е3х, где ci и с2 — произвольные постоянные (фор-
мула (50.3)).	•
Случай 2. Корни к± и к2 характеристического уравнения (50.2) дей-
ствительные и равные- к, - к2 (d -	- а - 0 к. - к? -
В этом случае имеем лишь одно частное решение т/i = ек1Х.
Покажем, что наряду с у± решением уравнения (50.1) будет и у2 =
~ хек1Х.
Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (50.1). Имеем:
У2 +РУ2 + ЧУ2 = (хек1ХУ +р(хек1Х)' + q(xeklX) =
= (2кгек1Х + хк21ек1Х) + р(ек1Х + хк1екгХ) + q(xekl1') =
= eklX(2ki + к2х + р + pxki + qx) = eklX(x(kl + pki + q) + (p + 2fci)).
355
Но к2 +pkx+q = 0, т. к. Д есть корень уравнения (50.2); р+2&1 — 0,
т. к. по условию	= -~2’
Поэтому у2 + ру2 4- qy2 — 0, т. е. функция у2 — хек1Х является
решением уравнения (50.1).
Частные решения ух — ек1Х и у2 = хек1Х образуют фундаменталь-
ную систему решений: W(x) = е2к1Х 0. Следовательно, в этом случае
общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид
у = С1ек1Х + с2хек1Х .\	(50.4)
Случай 3. Корни кх и к2 уравнения (50.2) комплексные: кх — a + /3i,
к2 = а - Pi (D =	- q < 0, а =	/3 = л/g- > 0).
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются
функции ух — е(а+г^х и у2 — е^а . По формулам Эйлера (см. п. 27.3)
ег(р = cos 4- г sin </>, е~гч> = cos 99 — i sin
имеем
Ух — eax • ег@х = eax cos px 4- ieax sin fix,
y2 = eax • е~г@х = eax cos Дг — ieax sin/Зж.
Найдем два действительных частных решения уравнения (50.1).
Для этого составим две линейные комбинации решений ух и у2:
У1 +У2 ах д	~ У1 — У2 ах  о -
—-— = е cos рх = ух и ——— = е sm рх = у2.
2	2г
Функции ух и у2 являются решениями уравнения (50.1), что следует
из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти ре-
шения ух и у2 образуют фундаментальную систему решений, так как
W(x) 7^ 0 (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение урав-
нения (50.1) запишется в виде у = схеах cosРх 4- с2еах sinРх, или
у = еах (сх cos Дг 4- с2 sin Дг).	(50.5)
Пример 50.2. Решить уравнение у" — бу' 4- 25у = 0.
Q Решение: Имеем: к2 — 6к 4- 25 = 0, кх = 3 4- 4г, к2 = 3 — 4г. По
формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:
у — е3ж(с1 cos4rr 4- с2 sin4x).	•
Щ Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами (50.1) сводится к нахождению
корней характеристического уравнения (50.2) и использованию фор-
мул (50.3)-(50.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычисле-
нию интегралов).
356
50.2.	Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (п > 2) с
постоянными коэффициентами
У{п> +	+ Р2?/(п-2) + • • • + РпУ = о,	(50.6)
где pi, i — 1,п, — числа, решается аналогично случаю уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде у = екх, где
к — постоянное число.
Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебраиче-
ское уравнение n-го порядка вида
+pikn~r + р2кп~2 4-... + рп-1к 4- рп — 0.	(50.7)
Уравнение (50.7) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть
и комплексные). Обозначим их через к±, к2, ..., кп.
[@| Замечание. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть раз-
личными. Так, в частности, уравнение (к — З)2 = 0 имеет два
равных корня: к\ — к2 = 3. В этом случае говорят, что корень один
(к — 3) и имеет кратность irik = 2. Если кратность корня равна еди-
нице: ть — 1, его называют простым.
Случай 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты
(различны). Тогда функции у\ = ек1Х, у2 = ек2Х, ..., уп = екпХ являют-
ся частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаменталь-
ную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение
уравнения (50.6) записывается в виде
. У = С1ек1Х + с2ек2Х + ... + спекпХ.
Пример 50.3. Найти общее решение уравнения
уш - 2у" -у' + 2у = 0.
Ci Решение: Характеристическое уравнение к3 — 2к2 — к 4- 2 = 0 имеет
корни к± — —1, к2 = 1, к3 = 2. Следовательно,?/ = с±е~х +с2ех + с3е2х —
общее решение данного уравнения.	•
Случай 2. Все корни характеристического уравнения действитель-
ные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность т > 1). Тогда
каждому простому корню к соответствует одно частное решение вида
екх, а каждому корню к кратности т > 1 соответствует т частных
решений: екх, хекх, х2екх ..., хт~1екх.
Пример 50.4- Решить уравнение yIV — у’" — Зу" 4- Зу' — 2у — 0.
357
Ci Решение: Характеристическое уравнение
к4 - к3 - Зк2 4- Зк - 2 = (к + 2)(к - I)3•= О
имеет корни к^ = —2,	= 1, А'з = 1, &4 = 1- Следовательно,
у — с±е~2х 4- с2ех 4- с^хех 4- с±х2ех
— общее решение уравнения.	•
Случай 3. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-сопря-
женные корни. Тогда каждой паре а ± f3i простых комплексно-со-
пряженных корней соответствует два частных решения еах cos (Зх и
еах sin /Зж, а каждой паре а±/3г корней кратности т > 1 соответствуют
2т частных решений вида
еах cos /Зж, ж • еах cos /Зх,..., ж771"1 • еах cos /Зж;
еах sin /Зх, х • еах sin /Зж,..., ж™"1 • еах sin /Зх.
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систе-
му решений.
Пример 50.5. Решить уравнение yv 4- yIV + 2уш -I- 2у" 4- у' + у = 0.
Ci Решение: Характеристическое уравнение
к? 4- к4 4- 2 к3 4- 2к2 4- к 4- 1 = (к 4- 1)(А;4 + 2к2 4- 1) = 0
имеет корни к± = —1, к2 — i, к% — —i, к± — i, к$ — —г. Следовательно,
у = с^е~х 4- С2 • cos ж 4- сз • sin ж 4- с±х - cos ж 4- с$х • sin ж
— общее решение уравнения.	•
§51	. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)
51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго
порядка
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
у" 4- П1(ж)1/' 4- а2(х)у = /(ж),	(51.1)
где аДж), а2(х), f(x) — заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Урав-
нение
у" + а\(х)у' 4- а2(х)у = 0,	(51.2)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), на-
зывается соответствующим ему однородным уравнением.
358
Теорема 51.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим реше-
нием у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного
решения у* и общего решения у — с^у^ + С2У2 соответствующего од-
нородного уравнения (51.2), т. е.
У = У*+У-	(51.3)
□ Убедимся, что функция (51.3) — решение уравнения (51.1). Так как
у* есть решение уравнения (51.1), а у — решение уравнения (51.2), то
(?/*)" +'Мж)0/*)' + а2(ж)т/* = /(ж) и (у)" + аг{х)(уУ + а2(х)у = 0.
В таком случае имеем:
G/* + У)” + а1(Ф* + уУ +	+ у) =
= ((у*)" + О1(ж)(у*)' + а2(аг)2/*) + ((у)" + а1(ж)(у)' + а2(х)у) -
=/(ж) 4-0 =/(ж).
Это означает, что функция (у*+у) является решением уравнения (51.1).
Покажем теперь, что функция
у = у*+	+ с2у2	(51.4)
является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать,
что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям
у(ж0) = Уо, y'fao) - Уо-	(51.5)
Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные ус-
ловия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему урав-
нений:
Г С17/1(ж0) +С2У2М = Уо -у*(х0),
(С^К^о) + С2У2(х0) = у'о - (?/*)'(ХоУ
где у о = у(хоУ У о — у'(хоУ с неизвестными ci и с2. Определителем
этой системы является определитель Вронского Ж(хо) для функции
У1(х) и У2(х) в точке х = xq. Функции У1(х) и У2^х) линейно незави-
симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. Ж(жо) 7^ 0.
Следовательно, система имеет единственное решение: ci = cj и с2 = с^.
Решение у = у* -Н c®yi(x) + с^Дх) является частным решени-
ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови-
ям (51.5). Теорема доказана.	
359
51.2.	Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функ-
ция (51.3), т. е.
У = У +У-
Частное решение ?/* уравнения (51.1) можно найти, если известно об-
щее решение у соответствующего однородного уравнения (51.2), мето-
дом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоя-
щим в следующем. Пусть у = C\y±(x)+czy2(x) — общее решение уравне-
ния (51.2). Заменим в общем решении постоянные ci и с2 неизвестными
функциями С1(ж) и cz(x) и подберем их так, чтобы функция
3/* = С1(ж) -7/1 (х) + С2(я) -у2 (ж)	(51.6)
была решением уравнения (51.1). Найдем производную
(у*)' = с'1(ж)1/1(ж) + с1(х)у'1(х) + с'^у^х) + с2(х)у'2(х).
Подберем функции сДх) и cz(x) так, чтобы
с'1 (ж) • У1 (х) + 4 (ж) • у2(х) = 0.	(51.7)
Тогда
(у*)' = Cl (ж) • у'^х) + с2(ж) • у'2(х),
(.У*)" = ci (ж) • у[(х) + С1(ж) • у"(х) + с[,(ж) • у'2(х) + с2(х)  у2(х).
Подставляя выражение для ?/*, (з/*)' и (2/*)" в уравнение (51.1), полу-
чим:
<1(1) • У1(х) + Cl (ж) • у"(х) + с'2(х}  у'2(х) + с2(х)  у2(х) +
+ ai (ж) [ci(ж)з/[ (ж) + с2(х)у2(ж)] + а2(х) [сх(х)ух(х) + с2(ж)1/2(ж)] = /(ж),
ИЛИ
С1(ж) • [1/1 (ж) + Я1(ж)  у'х(х) + а2(х)  1д (ж)] +
+С2 (ж) [1/2 (ж) + ai (х)у2 (х)+а2 (х)у2 (ж)] + ci (ж)?^ (ж) + 4 (х)у2 (ж) = / (ж).
Поскольку У1(х) и yz(x) — решения уравнения (51.2), то выражения в
квадратных скобках равны нулю, а потому
ci (ж) -1/[(ж) +с^(ж) -1/^(ж) = у (ж).	(51.8)
Таким образом, функция (51.6) будет частным решением у* уравне-
ния (51.1), если функции С1(ж) и с2(ж) удовлетворяют системе уравне-
ний (51.7) и (51.8):
1	|с'1(ж)-^(ж)+с^(ж) -1/2(ж) = 0,
1 с'1 (ж) • у((ж) + с^(ж)  ^(ж) = /(ж).
360
Определитель системы
У1 (х) У2 (ж)
У1(х) у'2(х)
0, так как это определитель
Вронского для фундаментальной системы частных решений yi(x) и
У2^х) уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное ре-
шение: с^х) = y?i(x) и (^(х) = (Р2(х), где </?1(ж) и <^2 (ж) — некоторые
функции от х. Интегрируя эти функции, находим ci(x) и 02(2), а затем
по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).
Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у" 4- у = —-—
Q Решение: Найдем общее решение у соответствующего однородного
уравнения у" + у = 0. Имеем: А;2 4-1 = 0, к\ —	— —i. Следовательно,
у — ci • cos ж 4- С2 • sin х. Найдем теперь частное решение у* исходного
уравнения. Оно ищется в виде (51.6): у* — с^{х) -cosx4-C2(x) - sinх. Для
нахождения с\(х) и С2(х) составляем систему уравнений вида (51.9):
с\\х) • cos ж 4- (^(х) • sin ж = 0,
• (—sins) +	• cosa: =
Решаем ее:
cos ж
— sin х
sin х
cos х
= cos2 x 4- sin2 x = 1,
COS X
4(*) =
sin ж _
cosx
= -tgx,
COS X
— sin a;
d (x) — (— tg x) dx = In I cos x|;
сДх) “	= 1? оД#) = [ 1 • dx — x.
Запишем частное решение данного уравнения: у* — ln|cosx| • cos х 4-
4- х • sin х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у — (^ + у*) = а • COS X 4- С2 • sin х 4- cos х • In I cos x| 4- x • sin x. •
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной
следующая теорема.
Теорема 51.2 (о наложении решений). Если правая часть уравне-
ния (51.1) представляет собой сумму двух функций: /(яг) = Д(ж) +
4- а и У2 — частные решения уравнений у" 4- ai(x) • у' 4-
4- az(x) • у — /Дх) и у" 4- «1(х) • у' 4- «2(^)2/ = /2(2) соответственно,
то функция у* = yi + У2 является решением данного уравнения.
361
□ Действительно,
(У1 + Уг)" + а1(х) ' (У1 +У2)' + а2(х)  (Уг + У2) =
= ((У1)" + “1W ' (У1У + й2(х) ’ У1) + ((2/2)" +ai(z) • (у%)' + а2(х) • у%) =
= fi(x) + /г(ж) = f(x).	
у" +р-у' + q-y = f(x),
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициен-
тами, т. е. уравнение
(51.10)
где р и q — некоторые числа.
Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) предста-
вляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного
уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное
решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации про-
извольных постоянных (п. 51.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу-
ет более простой способ нахождения у*, если правая часть Дх) урав-
нения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:
I.	Дх) = РДх) • еах
или
II.	Дх) = еах • (Рп(х) • cosРх 4- Qm(x) • sinрх).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен-
тов, состоит в следующем: по виду правой части Дх) уравнения (51.10)
записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными
коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полу-
ченного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид Дх) — РДх) • еах, где
а 6 К, Рп(х) — многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в
(51.11)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
(51.12)
где г — число, равное кратности а как корня характеристического
уравнения к2 4- рк 4- q = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько
раз а является корнем уравнения к2 4- рк 4- q = 0), a Qn(x) — А$хп 4-
4- Аухп~х 4- ... 4- Ап — многочлен степени п, записанный с неопреде-
ленными коэффициентами Ai (г = 1, 2,..., п).
у" + Р  у' + q • У - Рп(х)  еах.
y*=xr- Qn(x)  еах,
362
□ a) Пусть а не является корнем характеристического уравнения
к2 4- рк 4- q = О,
т. е. а Следовательно,
г - 0, у* = Qn(x) •	(у*? = Q'n(x) • еах 4- Qn{x)  еах • а,
(у*)" = Qn^)  еах + 2Q'n(x)  еах  а + Qn(x) • еах • а2.
После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (51.11),
сокращения на еах, получим:
Q'n(x) + (2q: + P)Q'n(x) + (°2 + Р° + g) • Qn(x) = Pn(x). (51.13)
Слева — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами,
справа — многочлен степени п, но с известными коэффициентами. При-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, получим систе-
му (п 4- 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов
ДъДь •••Мп-
б) Пусть а является однократным (простым) корнем характери-
стического уравнения к2 4- рк + q = 0, т. е. а — к\ / к2-
В этом случае искать решение в форме у* — Qn(x)eax нельзя, т. к.
а2 4- pa 4- q = 0, и уравнение (51.13) принимает вид
QnW + (2с* + р) • Q'n(x) = рп{х).
В левой части — многочлен степени (п — 1), в правой части — много-
член степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*,
нужно иметь многочлен степени (п 4- 1). Поэтому частное решение у*
следует искать в виде у* = х  Qn(x)eax (в равенстве (51.12) положить
г = 1).
в) Пусть а является двукратным корнем характеристического
уравнения к2 +pk + q = 0, т. е. а = к± — к2. В этом случае a2 +pa + q = О
и 2а 4-р = 0, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид (х) = Рп(х)-
Слева стоит многочлен степени п — 2. Понятно, чтобы иметь слева
многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде
у* = x2Qn(x)eax
(в равенстве (51.12) положить г = 2).	
Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид
/(ж) = еах • (Рп(ж) • cos/Зх 4- Qm(x) sin/Зя),
где Рп(х) и Qm{x) — многочлены степени п и т соответственно, а и
/3 — действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде
(51.14)
у” +ру' + QV = еах  (Рп(х)  cos/Зх + Qm(x)  sin/Зх).
363
у* = хг • еах  (Mi (х) • cos (Зх 4- М (ж) • sin /Зх),
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения
(51.14) следует искать в виде
(51.15)
где г — число, равное кратности а4-/3г как корня характеристического
уравнения к2 + рк 4- q = 0, Mi(x) и ЛДт) — многочлены степени I с не-
определенными коэффициентами, I — наивысшая степень многочленов
Рп(х) и Qm{xY т. е. I = rnax(n,rri).
Замечания.
1.	После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают мно-
гочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функци-
ями в левой и правой частях уравнения.
2.	Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Рп(х) = 0 или
Qm(x) = 0.
3.	Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида
I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о
наложении решений.
Пример 51.2. Найти общее решение уравнения у" — 2у'+у = х — 4.
Q Решение: Найдем общее решение у ЛОДУ у" — 2у' 4- у — 0. Характе-
ристическое уравнение к2 — 2к 4-1 = 0 имеет корень к± = 1 кратности 2.
Значит, у = ci • ех 4-	• х • ех. Находим частное решение исходного
уравнения. В нем правая часть х — 4 = (т — 4) • еО ж есть формула ви-
да Р\(х) • еО я;, причем а — 0, не является корнем характеристического
уравнения: а к±. Поэтому, согласно формуле (51.12), частное реше-
ние у* ищем в виде у* — Q±(x) • еО х, т. е. у* = Ах 4- В, где А и В —
неопределенные коэффициенты. Тогда (у* У = А, (у*)" = 0. Подставив
2/*, (у*У, (у*У в исходное уравнение, получим —2Д4-Дт4-В = т —4, или
Ах 4- (—2А 4- В) = х — 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях т, получаем систему уравнений:
А = 1,
—2Л 4-В = —4.
Отсюда А = 1, В — — 2. Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид?/* = х — 2. Следовательно, у — (у+у*) = с±ех + с?хех 4-т — 2 —
искомое общее решение уравнения.	•
Пример 51.3. Решить уравнение у" — ^у1 4- 13т/ = 40 • cos Зя.
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у — у + у*. Находим
решение однородного уравнения у: у" — Ау' 4-13?/ = 0. Характеристиче-
ское уравнение к2 — 4к 4- 13 = 0 имеет корни к± = 2 4- Зг, А: 2 = 2 — Зг.
Следовательно, у = е2х • (ci • cos3t 4-	• sin3T).
364
Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу-
чае имеет вид /(ге) = е°‘х • (40 cos Зя 4- 0 • sin Зя). Так как а = 0, /3 = 3,
а + /Л = Зг не совпадает с корнем характеристического уравнения,
то г = 0. Согласно формуле (51.15), частное решение ищем в виде
?/* — A cos Зге 4- В sin Зж. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:
(у*)' = — ЗА sin Зге 4- ЗВ cos Зге, (?/*)" = — 9А cos Зге — 9В sin Зге. Получаем:
— 9А cos Зге — 9В sin Зх — 4(—ЗА sin Зге 4- ЗВ cos Зге) 4-
4-	13(А cos Зх 4- В sin Зх) — 40 cos Зге,
или
(-9А — 12В -I- 13А) cos Зх 4- (—9В 4-12 А 4- 13В) sin Зге = 40 cos Зх 4- 0 • sin Зх.
Отсюда имеем:	,
J 4А - 12В = 40,
|12А4-4В = 0.
Следовательно, А = 1, В — —3. Поэтому т/* — cos Зге — 3 sin Зге. И нако-
нец, у = е2ж(с1 • cos Зге 4- с2 • sin Зге) 4- cos Зге — 3 sin Зге — общее решение
уравнения.	•
Пример 51.4. {Для самостоятельного решения.) Для предложен-
ных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:
а)	у" - Зу' -4- 2т/ = 5 4- еж;
б)	у" -2у‘ + у = 2;
в)	у” 4- 41/ = sin 2ге 4- cos 7ге ;
г)	У” + У — 5 cos 2ге — ге sin 2ге;
д)	у" — Зу' = ге2 — 1 4- cos ГЕ.
Ответы: а) А 4- х • В • ех; б) А; в) ге(А cos 2ге 4- В sin 2ге) 4- С cos 7ге +
4- D sin 7ге; г) (Аге 4- В) cos 2ге 4- (Сх 4- D) sin 2ге; д) ге(Аге2 4- Вге 4- С) 4-
4- D cos ге 4- Е sin ге.
51.4.	Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (п > 2)
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ п-го (п > 2) порядка
У{п} 4- аДгг) •	4- о2(ге) •	4-... 4- ап{х) • у = /(ге),
где П1(ге), а2(х), ..., пп(ге), /(ге) — заданные непрерывные функции
на (а; Ь).
Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид
3/(п) + аг(х) 	+ ... + ап(х)  у = Q.
365
Теорема 51.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка).
Общее решение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения
у* неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего
ему однородного уравнения, т. е. у = у* 4- у.
Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если
известно общее решение у однородного уравнения, методом вариации
произвольных постоянных. Оно ищется в виде
у* = С1(ж) • Уг(х) + с2(ж) • у2(х) + . . . + Сп(х)  Уп(х),
где уАх), i = 1,71, — частные решения, образующие фундаментальную
систему, однородного уравнения.
Система уравнений для нахождения неизвестных с, (ж) имеет вид
"с'1 У1 + <дУ2 + С3У3 + ... + с'пуп = О,
c'lVl + С2?Л + сзУз + • • • + с'пУп = О,
< с'гу'{ + с'2у% + с'3у% + ... + с'пу'^ = О,
/ (п— 1) . / (п— 1) . / (п— 1) .	. / (п— 1)	/./ \
{С1У1 /4-44	4-44	> + ... + c'nyh = f(x).
Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами^
правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* мо-
жет быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
У(п) +Р12/(п-1) + • • • +рпу = /(ж),
где pi — числа, а правая часть f(x) имеет специальный вид, описанный
в п. 51.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на
случай уравнения, имеющего порядок п > 2.
Пример 51.5. Решить уравнение yIV — у' = 2х.
Q Решение: Находим у:
к4 -к = 0, к(к - 1) • (к2 + к 4- 1) = О,
1 Уз
£1=0, к2 = 1, £3,4 = --±—г,
r ( х/з . \/з
y — ci+c2e 4- е 2 ( с3 cos — х 4- С4 sin — х
\	Z	Z •
Находим ?/*: /(ж) = 2х ( = е0 :Е-Pi(ж) j, г, = 1, у* — х(Ах+В) — Ах^+Вх,
отсюда
(?/*)' = 2Ах 4- В, (2/*)" - 2А, (2/*)'" - 0, (y*)IV - 0.
366
Тогда — (2 Ах 4- В) = 2х. Отсюда А = — 1, В = 0 и получаем т/* = —х2.
Следовательно, функция
У = (у + У*) = С1 +с2ех 4-е 2Дс3
V3 . V3
cos —х + С4 sm -z~x
— X
2
является общим решением уравнения.
§52. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
52.1. Основные понятия
Для решения многих задач математики, физики, техники (задач
динамики криволинейного движения; задач электротехники для не-
скольких электрических цепей; определения состава системы, в ко-
торой протекают несколько последовательных химических реакций I
порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требу-
ется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к
нескольким ДУ, образующим систему.
Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых
содержит независимую переменную, искомые функции и их производ-
ные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых
функций у г, у2,..., уп, следующий:
< .............................
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ-
водной, т. е. система вида
= fi(x;y1;y2; ...;уп),
< dx ~ Ь(Х,У1,У2, • • • ,Уп),	(52.1)
^dx = Мх-,У1-,У2-,---;уп),
g называется нормальной системой ДУ. При этом предполага-
ется, что число уравнений равно числу искомых функций.
Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения
высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).
367
Так, система трех ДУ второго порядка
z 12
= Fi(x; у; г; ж'; у'-,zf),
at
<	= F2(x;y;z-,t;x'-,y';z'),
О = F3(x; у, z\ t; х'-у'; ?),
описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых
переменных:	= и, = v, 4^ = w, приводится к нормальной систе-
CLb	(л>1/	UL
ме ДУ:	'
dx _
dt Щ
dt ~ V’
= w,
dt
= Fi (ж; у; z\ t\ щ v\ w),
= F^x] y; z\ t\щ v; w),
= Fs(x; y; z; t\ щ v, w).
Уравнение третьего порядка уш = f(x;y;y']y") путем замены у' —
— у" = р' = q сводится к нормальной системе ДУ
У = Р,
< р' = Ъ
q' = f(x;y,p;q).
Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормаль-
ных систем.
Решением системы (52.1) называется совокупность из п функ-
ций i/i, у2,..., Ут удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.
Начальные условия для системы (52.1) имеют вид
3/1(^о) =г/?, У2(^о) =У2,---,Уп(х0) = Уп-	(52.2)
Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом:
найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным услови-
ям (52.2).
Условия существования и единственности решения задачи Коши
описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.
368
Теорема 52.1 (Коши). Если в системе (52.1) все функции
Л(ж;тл;...,?/П)
непрерывны вместе со всеми своими частными производными по yi
в некоторой области D ((п 4- 1)-мерного пространства), то в каждой
точке Mo(#o; У®5 У®) • • • 5 Уп) этой области существует, и притом един-
ственное, решение у± = (pi^x), у% = ^{х), ..., уп = </?п(ж) системы,
удовлетворяющее начальным условиям (52.2).
Меняя в области D точку Mq (т. е. начальные условия), получим
бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре-
шения, зависящего от п произвольных постоянных:
У1 = 1Р1(.Х-С1-С2-,... ;сп),... ,уп = </?п(ж;С1;е2;... ;сп).
Это решение является общим, если по заданным начальным усло-
виям (52.2) можно однозначно определить постоянные ci,C2,... ,сп из
системы уравнений
Vi(^;ci;c2;... ;сп) = у?,
< .....................
^n(x;ci;c2;... ;сп) =
Решение, получающееся из общего при конкретных значениях по-
стоянных ci, С2,...,сп. называется частным решением системы (52.1).
52.2. Интегрирование нормальных систем
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы
ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка.
(Обратная задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена выше на
примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.
Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по
х любое, например первое, уравнение:
d2yi _	dfi ! dft	dyi ! dfa	dy2	! d/i	dyn
dx2	дх dyi	dx dyz	dx	dyn	dx
Подставив в это равенство значения производных	,..., из
системы (52.1), получим
, ЭД . 	f
dxz дх дуг ду2	дуп
369
или, коротко,
d yi ,	.
—у = ^(ж; т/i; ?/2; - -.; 3/тг).
ах
Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-
ния производных ..., ^7 из системы (52.1), получим
б/32/1	/	X
—у = F3(x;2/i;2/2;.-.;?/n).
ах
Продолжая этот процесс (дифференцируем — подставляем — получа-
ем), находим:
d yi	.
= Fn (х\ 2/1 ;2/2;--.;?/п).
Соберем полученные уравнения в систему:
^ = h(.x-yi-y2-..	• 5 Уп)^
= Р2(х\у^У2-,-	• • 5 Уп),
4V = F3(x-,yf,y2-,. ах	• • ',Уп),
dnyi	тп / = Рп(х;У1;у2;-	• • •; Уп)-
(52.3)
Из первых (n — 1) уравнений системы (52.3) выразим функции 2/2? 2/з? • • •
... ,1/п через ж, функцию у± и ее производные у'^у",... ?2/1П”1^ Полу-
чим:
У2 = 'Ф‘Ах',У1\Уъ-  Уз ^'Фз^у^у'^,..	’ 7 У1	> • ’ У1	>
Уп = ^n(x;yi;yi,.	(п—1) • •; У1
(52.4)
Найденные значения у 2, уз, • • •, Уп подставим в последнее уравнение си-
стемы (52.3). Получим одно ДУ п-го порядка относительно искомой
функции у\.	— Ф(^; У1] У1‘, • • • ?* у[п Пусть его общее решение
есть
г/i = ^i(^;ci;c2;...;cn).
Продифференцировав его (п — 1) раз и подставив значения произ-
водных у^у", •.. ,у[п в уравнения системы (52.4), найдем функции
?/2 = ^2(^;ci;c2; ... ;сп), ...,уп = ^п(х-с1;с2;... ;сп).
Пример 52.1. Решить систему уравнений
1e=2»-3'-
370
(52.5)
Q Решение: Продифференцируем первое уравнение: у" = 4yf — 3z'.
Подставляем z' — 2у — 3z в полученное равенство: у" = 4у' — 3(2у — 3z),
у" — 4у' + бу = 9z. Составляем систему уравнений:
(у' = 4у- Зг,
\у" — 4у' + бу = 9z.
Из первого уравнения системы выражаем z через у и у1:
z _ 4у - у’
Подставляем значение z во второе уравнение последней системы:
" л Ij.fi 9^У~У')
у -4у + бу =---------,
О
т. е. у" — у' — бу — 0. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем
его: к2 — к — 6 = 0, к± = —2, /с2 = 3 и у = с\е~2х 4-c^x — общее решение
уравнения. Находим функцию z. Значения у и у1 — (cie~2x 4- С2е3х)' =
= — 2с1в“2ж 4- Зс2е3ж подставляем в выражение z через у и у1 (форму-
ла (52.5)). Получим:
z - 2с±е~2х 4- -с2е3ж.
О
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет
вид у = cie~~2x 4- с2е3ж, z — 2cie~2x 4- |с2е3ж.	•
Замечание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин-
тегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством
арифметических операций из уравнений данной системы образуют так
называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые
уравнения относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.
Пример 52,2, Решить систему уравнений:
Г* = 9 + 1,
IS-+1-
Ci Решение: Сложим почленно данные уравнения: х'+у’ — ж4-?/+2, или
(х+уУ = (х+у)+2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z1 — z + 2. Решаем
полученное уравнение:	— dt, In (г 4- 2) — Inci = t, = ef,
z 4- 2 = Cief, или x 4- у — с±е1 — 2.
Получили так называемый первый интеграл системы. Из него
можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым
371
уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у — с^е1 —
— 2 — х. Тогда первое уравнение системы примет вид
х1 — с±е1 — 2 — х + 1, т. е. х1 + х — с^е* — 1.
Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем
и у.
Замечание. Данная система «позволяет» образовать еще одну ин-
тегрируемую комбинацию: х1 — у' = у — ж, т. е. (х — уУ = —(х — у).
Положив х — у — р, имеем: р' = —р, или = — dt, 1пр — 1пс2 = — t,
p = или x — у — С2е~1. Имея два первых интеграла системы, т. е.
х + у = с^е1 — 2 и я - у = C2e-t, легко найти (складывая и вычитая пер-
вые интегралы), что х = Icie* -j- ic2e~f — 1, у =	— ic2e-z — 1. •
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы
уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему ли-
нейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему
вида
— о>пУ1 + <2123/2 4- ... 4- ainyn,
< ..................................
= ап1У1 + «п22/2 4- ... 4- аппуп.
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне-
ний с тремя неизвестными функциями у\, у 2 и у %:
= «112/1 + «122/2 4" «132/3,
<	= «212/1 4" «222/2 4" а2зУз,	(52.6)
dy%	।	।
— «312/1 4" «322/2 4- «зз2/з,
где все коэффициенты «^ (i,j — 1,2,3) — постоянные.
Будем искать частное решение системы (52.6) в виде
У1 = а  екх, у2=0- екх, у3 = 7 • екх,	(52.7)
где а, /3, у, к — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы
функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель
екх 7^ 0, получим:
ак = аца 4- а^/З 4- «137,
< {Зк = a2ia + 022/3 4- «237,
дк — «31<т + «32/3 4- «зз7,
372
И	(«п - к)а + а12/? + «137 = О,
< «21О 4- (022 — к)/3 4- «237 — 0?	(52.8)
7231 се 4-	4- (033 — к)у = 0.
Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал-
гебраических уравнений с тремя неизвестными а, /3, 7. Чтобы эта си-
стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре-
делитель системы был равен нулю:
Пц — к «12	«13
021	022 ~ к «23
031	O32 «зз — к
= 0.	(52.9)
g Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнени-
ем системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре-
тьей степени относительно к. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и
различны: к±, к^, к%. Для каждого корня ki (г — 1,2,3) напишем систе-
му (52.8) и определим коэффициенты ft, 7* (один из коэффициентов
можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
для корня к± частное решение системы (52.6): у^ = а±ек1Х, у^ =
= fte^ft тД1) = ^ек1Х,
ДЛЯ корня к2   у^ = &2вк2Х) у^ = ftefc2X, у^ — ^2^к2Х\
для корня кз — у^ = азекзХ, у^ = ftefc3ft у^ = у^екзХ.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе-
му, общее решение системы (52.6) записывается в виде
?/1 = с1а1ек1Х 4- С2а2вк2Х 4- с%аъекзХ,
у2 = С1р1ек1Х 4- С2р2ек2Х + с3/33е*зж,	(52.10)
Уч - с^ек1Х 4- С2'у2ек2Х 4- с^екзХ.
Пример 52.3. Решить систему уравнений:
/^=г/1-^2’
[tr = ~4yl + j/2-
Ci Решение: Характеристическое уравнение (52.9) данной системы
имеет вид
г~к -1	=0
—4	1 - к ’
или 1 — 2к + к2 — 4 = 0, к2 — 2к — 3 = 0, к± = — 1, &2 =3. Частные решения
данной системы ищем в виде у[^ = а±ек1Х, у^ = Р\ек1Х и у^ = а2вк2Х,
У22^ — /?2ек2Х. Найдем и ft (г = 1,2).
373
При fci = — 1 система (52.8) имеет вид
/ (1 - (-1))^ - & = О,	Г2а, -/3,=О,
<	т. е. <
[-4Q! + (1 - (-1))Л = О,	[-4«1 4- 2/?1 = О.
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим ai = 1,
тогда /3, — 2. Получаем частные решения
= е~х и = 2е~х.
При к? = 3 система (52.8) имеет вид
( —2а2 — /?2 — О?
—4(22 — 2/?2 — 0.
Положим <22 = 1, тогда ^2 — ~2. Значит, корню к% = 3 соответствуют
частные решения:
42)=е^ И у<»=-2е3х.
Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запи-
шется в виде: у, = с,е~х + С2е3ж, у? — 2с,е~х — 2с^е^х.	•
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но
среди них есть комплексные: к, — а + ib, к2 — а — ib, к%. Вид частных
решений в этой ситуации определяют так же, .как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их
линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйле-
ра; в результате получим два действительных решения, содержащих
функции вида еах • costa:, еах • sin tax Или, выделяя действительные и
мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим
два действительных частных решения (можно показать, что они тоже
являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-
сопряженный корень к2 = а — ib не даст новых линейно независимых
действительных решений.
Пример 52-4- Найти частное решение системы
=	+У2,
= зг/2 + 2/3’
удовлетворяющее начальным условиям: 2/1(0) = 7, 2/2(0) — 2, 2/з(О) = 1.
374
Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:
	1 - к 1 -1	1 - к 0	3	0 : -1 1-А:	= о,
(l-fc). 	1 - к -1 3 1-fc	-1-гД =»'	
(1 - к)(к2 - 2к + 4) - (к - 1) - 0,	(1 - к)(к2 - 2к + 5) = О,
к\ — 1,	к2 = 1 -+- 2г,	кз = 1 — 2г.
Для ki = 1 получаем:
'О • Qi + (Зг + 0 • 71 = О,
< -ai + О • /?1 - 71 = О,
Д • от + 3/31 + О • 71 = О
(см. (52.8)). Отсюда находим: /31 = 0, от = 1 (положили), 71 = — 1.
Частное решение системы: у^ = ех, у^ = 0, у^ = —ех.
Для = 1 + 2г получаем (см. (52.8)):
—2г<Т2 + /З2 — О,
< -а2 - 21(32 - 72 = О,
3(32 - 2г72 — 0.
Отсюда находим: а2 = 1 (положили), (32 — 2i. 72 = 3. Частное комп-
лексное решение системы:
у(2) _ е(1+2г)г, у(2) _ 2ie^+2i'>x,	= Зб(1+2<)ж.
В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую
(Im) части:
у(2^ = е(1+2г)ж — ех (Cos 2х 4- г sin 2х),
Re у[2^ — ех cos 2ж, Im у^ = ех sin 2х;
у^ = 2ie^1+2^x = ex(2icos2x — 2sin2:r),
Re?/^ — —2exsin2£, Im?/^ = 2ежсоз2ж;
y^ =z 3e(!+2«)z — ex(3cos2a; + гЗзт2ж),
Re	cos 2x, Im y^ = 3ex sin 2x.
Как уже отмечено, корень кз = 1 — 2г приведет к этим же самым реше-
ниям.
375
Таким образом, общее решение системы имеет вид
yi — аех 4- С2вх cos 2х 4- с%ех sin 2т,
у2 = а • 0 — 2с2ех sin 2т 4- 2с%ех cos 2т,
?/з = — сгех 4- Зс2вж cos 2т 4- Зсзвж sin 2т.
Выделим частное решение системы. При заданных начальных услови-
ях получаем систему уравнений для определения постоянных ci, С2, с%:
7 — с± 4" С2 4- О,
2 = 0-04-2с3,
1 — —Ci 4- Зс2 4" О,
ci = 5, с2 = 2, с3 = 1.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
yi = 5еж 4- 2ех cos 2т 4- ех sin 2т, у2 = —4еж sin 2т 4- 2ех cos 2т,
т/з = -5еж 4- 6еж cos 2т 4- Зеж sin 2т.	•
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень к кратно-
сти т (т — 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню,
следует искать в виде:
а)	если т — 2, то yi — (А 4- Вх)екх, у2 = (С 4- Dx)ekx у% =
= (E + Fx)ekx]
б)	если т = 3, то yi = (А 4- Вх 4- Сх2}екх, у2 — (D 4- Ех 4- Fx2)ekx,
Уз = (G + Нх + Nx2)ekx.
Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные
А, В, С,..., N определяются методом неопределенных коэффициентов.
Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один
из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т ли-
нейно независимых частных решений системы (52.6).
Пример 52.5. Решить систему уравнений:
= S/1 -г/2 + 2/3,
^=^+№-3/3,
Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение
\ — к
1
О
-1
А. — к
-1
1
-1
2 —к
= 0,
376
Л =0,
<^1 — 71 — 0-
(1 — fc)(2 — 2k — k + k2 — 1) —1(—2 + fc +1) = 0, fci = 2, fc2 = кз = 1. Корню
= 2 соответствует система (см. (52.8)):
—«1 — /?1 4- 71 =0,
< ai - /?1 - 71 = 0,
-/31=0,
Полагая 7i = 1, находим «1 = 1. Получаем одно частное решение ис-
•j	(1) 2х (1) n (1) 2х
ходнои системы: у{ ’ = е , у2 — 0, у2 ’ = е .
Двукратному корню к = fc2 = кз = 1 (т = 2) соответствует реше-
ние вида Ух2’3"1 = (А + Вх')ех, у^’3^ = {С + Dx)ex, у^’3^ = (Е + Fx)ex.
Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
'В • ех + (А + Вх)ех = (А + Вх)ех - (С + Dx)ex + (Е + Ех)ех,
< D  ех + (С + Dx)ex = (А + Вх)ех + (С + Dx)ex - (Е + Fx)ex,
F-ex + (Е + Fx)ex = -(С + Dx)ex + 2(Е + Fx)ex,
или, после сокращения нае1 / 0 и группировки,
{(£> - F)x + В + С - Е = 0,
(В - F)x + А - D - Е = 0,
(£> - F)x + С + F - Е = 0.
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
' D - F = 0,
В — F = 0,
< В + С - Е = 0,
А - D - Е = 0,
C' + F-E = 0.
Выразим все коэффициенты через два из них (т = 2), например че-
рез А и В. Из второго уравнения имеем F — В. Тогда, с учетом пер-
вого уравнения, получаем D — В. Из четвертого уравнения находим
Е = А — В, т. е. Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Е — В, т. е.
С = А —В —В, или С = А — 2В. Коэффициенты А и В — произвольные.
Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D — 0, Е = 1, F — 0.
Полагая А — 0, В — 1, находим: С = —2, D — 1, Е — —1, F = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответ-
ствующих двукратному корню к — 1:
? (2) _ рх (2) _ х (2) _ х
У1 — е , Уч — е ч Уз ~ е И
= хех, = (-2 i х)ех,	= (—1 + х)ех.
Записываем общее решение исходной системы:
У1 = С1в2ж + с2еж + с3хех, у2 = с2ех 4- с3(х - 2)ех,
Уз =	+ с2ех 4- с3(х - 1)еж.	•
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Лекции 44-46 |
§53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
53.1.	Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе-
ременных является так называемый двойной интеграл.
У	Пусть в замкнутой области D плос-
кости Оху задана непрерывная функция
z — f(x;y). Разобьем область D на п
«элементарных областей» Di (г = 1,тг),
площади которых обозначим через
V	D а диаметры (наибольшее расстояние ме-
’	жду точками области) — через di (см.
—-----------------------7 рис. 214).
В каждой области Di выберем про-
Рис 214	извольную точку	?/*), умножим
значение f(xi;yi) функции в этой точке
на ASi и составим сумму всех таких произведений:
/(ajijyJASi + /(z2;?/2)AS2 Ч---1- f(xn;yn)^Sn = flxnyJASi.
г=1
(53.1)
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в обла-
сти D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит-
ся к бесконечности таким образом, что тахф —> 0. Если этот предел
существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча-
сти, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом
от функции f(x;y) по области D и обозначается Ц f(x;y)dxdy ^или
ff f(x;y)dSy	D
D
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
п
[[ f(x;y)dxdy = lim V} f(xi; yi) • ASi- (53.2)
jj	(max di—>0) i=l
|ф[ В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в
области D; D — область интегрирования; х и у — пере-
менные интегрирования; dxdy (или dS) — элемент площади.
378
Для всякой ли функции f(x;y) существует двойной интеграл? На
этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь
без доказательства.
Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она
интегрируема в этой области.
Замечания.
1.	Далее будем рассматривать толь-
ко функции, непрерывные в области инте-
грирования, хотя двойной интеграл может
существовать не только для непрерывных
функций.
2.	Из определения двойного интегра-
ла следует, что для интегрируемой в обла-
сти D функции предел интегральных
сумм существует и не зависит от спосо-
ба разбиения области. Таким образом, мы
можем разбивать область D на площадки
прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом
ASi = A^i • А?/*, равенство (53.2) можно записать в виде
п
ff f(x;y)dxdy = Jim,	j/i)  Дх, • Ду/.
р	(max с/;—>0) i=l
53.2.	Геометрический и физический смысл двойного
интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z — f(x;y)
0, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилин-
дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а
направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело
называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем
область D (проекция поверхности z = f(x;y) на плоскость Оху) произ-
вольным образом на п областей Di, площади которых равны ASj (г =
= 1,п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, огра-
ниченные сверху кусками поверхности z — f(x;y) (на рис. 216 один из
379
них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив
объем столбика с основанием Di через Д^, получим
У^^ДЦ.
г=1
Возьмем на каждой площадке Di произ-
вольную точку Mi(xi\yi) и заменим ка-
ждый столбик прямым цилиндром с тем
же основанием Di и высотой Zi — f(xi',yi)-
Объем этого цилиндра приближенно ра-
вен объему Д Vi цилиндрического столби-
ка, т. е. ДЦ «	'ASi. Тогда полу-
чаем:
п	п
И = ^ДЦ«^/(хг:уг)Д5’г. (53.3)
г--1	i=l
Это равенство тем точнее, чем больше чи-
сло п и чем меньше размеры «элементар-
ных областей» Di. Естественно принять
предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Di неограничен-
но увеличивается (п —> оо), а каждая площадка стягивается в точку
(шахф.—> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.
п
V= ,Йоо
(maxdi—>0) i=l
или, согласно равенству (53.2),
V=	f(.x',y)dxdy-
D
(53.4)
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции
равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический
смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу т плоской пластинки Z?, зная, что ее по-
верхностная плотность 7 = 7(ж;?/) есть непрерывная функция коорди-
нат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Di
(г — 1,п), площади которых обозначим через ASi. В каждой области
Di возьмем произвольную точку Mi(xi, yi) и вычислим плотность в ней:
Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке
{х\у) 6 Di мало отличается от значения ^(х^уА Считая приближен-
но плотность в каждой точке области Di постоянной, равной ^(x^yi).
380
можно найти ее массу тг: mi « 7(3^; т/J - AS*. Так как масса т всей пла-
п
стинки D равна т —	для ее вычисления имеем приближенное
равенство	г=1
т ~	• ASi.	(53.5)
i—1
Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии
п —> оо и max di —> 0:
п
т= YL'I^yiWSi,
(тахб/г->0) г=1
или, согласно равенству (53.2),
т —	'у(х,у) dx dy.	(53.6)
D
Итак, двойной интеграл от функции 'у(х:)у) численно равен мас-
се пластинки, если подынтегральную функцию 7 (ж; у) считать плотно-
стью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл
двойного интеграла.
53.3.	Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D
дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте-
грала функции одной переменной на отрезке (см. п. 35). Аналогичны
и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим
основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функ-
ции интегрируемыми.
1.	уу с • f(x; у) dxdy — с - у) dx dy, с — const.
D	D
2-J'J(fi(x;y')±f2(x-y'))dxdy = Ц fi(x;y)dxdy±Цfa(x-,y) dxdy.
D	D
3.	Если область D разбить линией на две обла-
сти Di и 1?2 такие, что Di (J D% — D, а пересече-
ние Di и Z?2 состоит лишь из линии, их разделяющей
(см. рис. 217), то
II f(x;y)dxdy = Ц f(x;y)dxdy + Ц f(x;y)dxdy.
D	Di	d2
381
4.	Если в области D имеет место неравенство f(x',y) О,
УУ f(x;y)dxdy 0. Если в области D функции f(x;y) и </>(#;?/)
D
влетворяют неравенству f(x',y)	<р(х*,у), то и
ff f(x-,y)dxdy Ц ip(x;y)dxdy.
D	D
то и
УДО-
5.	[f dS = S, так как 52 &Si — S.
d	i=1
6.	Если функция f(x-y) непрерывна в замкнутой области D, пло-
щадь которой S, то mS f(x\ у) dx dy MS, где т и М — соответ-
D
ствённо наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции
в области D.
7.	Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло-
щадь которой S, то в этой области существует такая точка (#о; уо), что
У/(^5 У) dx dy = f(x0; у$) • S. Величину
\ r r
f(x0;y0) = £ • J J f(x;y)dxdy
D
называют средним значением функции f(x;y) в области D.
53.4.	Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо-
вательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл Jf(x;y) dxdy, где
D
функция f(x;y) 0 непрерывна в области D. Тогда, как это было
показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо-
го тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот
объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было
показано, что
ь
V = у S(rr) dx,
а
где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а
х — а, х — b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
382
Положим сначала, что область D представляет собой криволиней-
ную трапецию, ограниченную прямыми х = а, их = b и кривыми у =
— ipi(x) и у = <£2(2), причем функции (^1 (ж) и непрерывны и
таковы, что </д(ж)	992(я) для всех х 6 [а; Ь] (см. рис. 218). Такая
область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух
точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику-
лярной оси Ох: х = const, где х е [а; Ь].  '
Рис. 218
В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограничен-
ную линиями z — f(x;y), где х = const, z — 0, у — уд (я) и у — ipz(x)
(см. рис. 219).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного
интеграла
^2(ж)
S(x) = J f(x;y)dy.
<^1(ж)
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем
цилиндрического тела может быть найден так:
b	b / V2(z)	\
V — у S(x)dx — J ( J f(x,y)dy\dx.
а	а Ч1(я)	'
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндриче-
ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x;y) О
383
по области D. Следовательно,
Ъ / <Р2(х)	\
V = JJ f(x;y)dxdy = Н J f(x-,y)dy\dx.
D	а	/
Это равенство обычно записывается в виде
Ь </?2(ж)
И f(x;y)dxdy = J dx  J f(x;y)dy.
D	a Vitx)
(53.7)
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте-
грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы-
вают двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по
области D. При этом J f(x;y)dy называется внутренним интегра-
ЛОМ.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен-
ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,
т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от
а до 6.
Если же область D ограничена прямыми у — с му — d (с < d),
кривыми х = 'фх(у) и х — ^2(?/)> причем ф1(у)	для всех у Е [с; d],
т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело
плоскостью у = const, аналогично получим:
d *Ыу)
Л f(x-,y)dxdy = I d.y  у f(x; у) dx.
D	с ^1(2/)
(53.8),
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Замечания.
1.	Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда f(x;y) <
< 0, (х; у) Е D.
2.	Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной
интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по форму-
ле (53.8).
3.	Если область D не является правильной ни «по ж», ни «по т/»,
то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить
на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4.	Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле
всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
384
Пример 53.1. Вычислить у(х + 2у) dx dy, где область D огра-
D
ничена линиями у = х2 .у = О, х -V у — 2 = 0.
Q Решение: На рисунке 220 изображена
область интегрирования D. Она правильная
в направлении оси Ох. Для вычисления дан-
ного двойного интеграла воспользуемся фор-
мулой (53.8):
1	2-у
+ 2т/) dxdy = у dy J (ш 4- 2у) dx =
=/(а^+4’-2’2-|-2»’Н=
о
/(3/-2)3
\	6
+ w
2-2
1	8	7	2	4
6+6+4~3~5
= М5.
20
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож-
но воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует
разбить на две области: D± и Получаем:
УУ(х + 2у) dxdy — Jу*(ж 4- 2у) dxdy + (х 4- 2у) dxdy —
D	Di	D2
lx2	2
У dx у (х + 2у) dy + у dx
00	1
2-ж
f (х + 23/) dy ~
О
Ответ, разумеется, один и тот же.
13 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
385
53.5. Вычисление двойного интеграла в полярных
координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют
метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного
интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте-
грала.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену
переменных) как
х = tp(u\v) и у = 'фуи, v).	(53.9)
Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Оии не-
прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля
определитель	дх дх	
I(u;v) =	ди dv ду ду ди dv	,	(53.10)
а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула
замены переменных в двойном интеграле:
f(x;y) dx dy —	• \I(u;v)\dudv, (53.11)
D	D*
Функциональный определитель (53.10) называется определителем
Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказатель-
ство формулы (53.11) не приводим.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используе-
мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых
координат х и у полярными координатами г и </?.
В качестве и и v возьмем полярные координаты г и </?. Они связаны
с декартовыми координатами формулами х — rcosc^, у — г sin ср (см.
п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируе-
мые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как
	дх дх dr др		cos 99 — rsinip	
	ду ду дг др	—	sin (/9 Г COS (р	— г.
Формула замены переменных (53.11) принимает вид:
УУ f(x’,y)dxdy= f (г cos </?; г sin 99) • г • dr dcp,	(53.12)
D	D*
где D* — область в полярной системе координат, соответствующая
области D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при-
меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если
386
область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу-
чами у? = а и ср = fl, где а < /?, и кривыми г = И (у?) и г — где
Гх(у?) Г2(у?), т. е. область Р* правильная: луч, выходящий из полюса,
пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть
формулы (53.12) можно записать в виде
/3	г2(</>)
УУ г-/(г cos (/?; г sin у?) dr dtp = J dip J r • f(r cosy?;r siny?) dr. (53.13)
P*	a ri(y)
Внутренний интеграл берется при постоянном ip.
Рис. 221	Рис. 222
Замечания.
1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль-
ная функция имеет вид /(ж2 + у2); область D есть круг, кольцо или
часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляет-
ся путем замены х = г cos у?, у = г sin у?, dx dy = г dr dip; уравнения
линий, ограничивающих область Р, также преобразуются к полярным
координатам. Преобразование области Р в область Р* не выполняют,
а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж-
ные пределы интегрирования по г и у (исследуя закон изменения г и
ip точки (г; у?) при ее отождествлении с точкой (х;у) области Р).
Пример 53.2. Вычислить / / д/9 — ж2 — у2 dx dy, где область Р —
круг х2 + у2 9.	D
Ci Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным коорди-
натам:
J\/9 — ж2 — 1/2 dxdy = jj у/9 — (г cos у?)2 — (г sin у?)2 • г dr dip —
D	D
~ JJr ‘	~ r2 dr dip.
D
Область P в полярной системе координат определяется неравен-
ствами (см. рис. 222) 0 у? 2тг, 0 < г 3. Заметим: область Р —
387
круг — преобразуется в область Р* — прямоугольник. Поэтому, со-
гласно формуле (53.13), имеем:
_____	27г з
УУ г • \/9 — г2 dr dp — у dip у г • \/9 — г2 dr =
D	оо
1 27	?	1	1 27	/(9 — г2Р.9\|3
3> )|о =
0	0	о
1 27	i27r
- / (0 - 27) dip = 9<^	= 187Г.	•
3 J	Го
о
53.6. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится
по формуле
где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое
тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н — 1. Объем тако-
го цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D.
Получаем формулу для вычисления площади S области D:
или, в полярных координатах,
Масса плоской фигуры
Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с перемен-
ной плотностью 7 = 7(х; у) находится по формуле
388
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской
фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.
п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
Sx = II у 'y(x-,y)dxdy и Sy - II х "y(x;y)dxdy,
а координаты центра масс фигуры — по формулам
Sx
И Ус = —•
т
Sy
хс — —
т
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы т относительно
оси I называется произведение массы т на квадрат расстояния d точки
до оси, т. е. Mi = m-d2. Моменты инерции плоской фигуры относитель-
но осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:
Мх = Цу2  ^(x-,y)dxdy, Му = ЦX2  у(х;у) dxdy.
D	D
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по форму-
ле Мо = Мх 4- Му.
Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается примене-
ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин-
теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).
Пример 53.3. Найти объем тела, огра-
ниченного поверхностями х2 + у2 — z + 1 = 0 и
х2 4- у2 4- 3z - 7 = 0.
Ci Решение: Данное тело ограничено двумя
параболоидами (см. рис. 223). Решая систему
= z — 1,
= -Зг + 7,
линии их пересечения:
д
равен разности объемов
4- у2
находим уравнение
х2 4- у2 = 1, z — 2.
Искомый объем
двух цилиндрических тел с одним основанием
(круг х2 4- у2 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя-
ми z — 1 (7 — х2 — у2) и z — 1 4- х2 4- у2. Используя формулу (53.4),
имеем
V = И - V2 = II ^(7 - x2 - у2) dx dy - I[(1 + x2 + y2) dx dy.
D	D
389
Переходя к полярным координатам, находим:
1
3
УУ (7 — г2)г • dr dcp — J J (1 + r2)r • dr dtp =
D	D
3\2	4/ Mo \2	4/ Mo
Пример 53.4- Найти массу, статические мо-
менты Sx и Sy и координаты центра тяжести фигу-
ры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл-
Т2	/
липсом 4- у — 1 и координатными осями (см.
рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке
фигуры пропорциональна произведению координат
точки.
Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию,
7 — у(х; у) — к • ху. где к — коэффициент пропорциональности.
2
т = JJ кху dxdy — к j х - dx
D	о
Находим статические моменты пластинки:
2 V 4	4
Sx — ff У ' *ХУ dxdy = к J xdx у у2 dy = • • • — —
D	о	о
2	8
Sy — yy x • kxy dxdy = k J x2 dx J	у dy = • • • = —k.
D	0	0
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
Sy	Sy	1б	8	ж
Хс =	—	и ус =	—М	Хс	=	TF, ус	=	•
т	т	с	15’15
390
§54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
54.1.	Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе-
ременных является так называемый «тройной интеграл».
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интегра-
ла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.
Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непре-
рывная функция и = f(x; y;z). Разбив область V сеткой поверхностей
на п частей Vi (г = 1,п) и выбрав в каждой из них произвольную точ-
п
ку Mi(xi] yi\Zi)) составим интегральную сумму	УС Zi)&Vi для
функции f(x; у] z) по области V (здесь Д14 — объем элементарной обла-
сти Vi).
Если предел интегральной суммы существует при неограничен-
ном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная
область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к
нулю, т. е. di —> 0), то его называют тройным интегралом от функции
и = f(x; у; z) по области V и обозначают
или Ш f(x'’V’z)dv
V
Таким образом, по определению, имеем:
Ш у"z^dx dy dz
I f f(x; y; z) • dx dy dz = ^lim^	z№vi =
у	t	(max di —>0) i=l
= JJJ f(x;y;z)dv.
(54.1)
Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.
Теорема 54.1 (существования). Если функция и = f(x;y;z) непре-
рывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной
суммы (54.1) при п —> оо и тах(4 —> 0 существует и не зависит
ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек
Mitx^yCiZi) в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной
интеграл:
1.	f с- f(x; у] z) dv — с • ууу /(ж; у; z) dy с — const.
v	v
391
2.	± f2(x-,y,z))dv =
у
= УУУ fi(x;y;z)dv± jjj f2(x;y,z))dv.
V	V
3.	fff f(x-, y;z)dv = Щ f(x\ y;z)dv + JJJ f(x\ y,z) dv, если V =
' V	Vi	v2
• = Vi U ^2, а пересечение Vi и V2 состоит из границы, их разделяющей.
4.	JJf f(x’,y;z)dv 0, если в области V функция f(x-,y;z)	0.
v
Если в области интегрирования f(x; у; z) у(х; у; z), то и
iff Кх''2/5 z^dv JfJ ^х’у’ z) dv'
5.	ууу dv = V, так как в случае f(x',y;z) = 1 любая интегральная
V	п
сумма имеет вид	Д К = V и численно равна объему тела.
6.	Оценка тройного интеграла:
т • V УУУ /(#; у \ z) dv М • V,
где т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функ-
ции /(ж; у, г) в области V.
7.	Теорема