Автор: Богомолов Н.В.
Теги: математика учебные пособия и учебники по математике задачи по математике
ISBN: 978-5-358-06291-7
Год: 2009
Текст
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Н.В. Бог
о л о
Н. В. Богомолов
СБОР НИКЗ АДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
*
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов учреждений
среднего профессионального
образования педагогического
профиля
5 е издание, стереотипное
СРЕДНЕЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
Москва
2009
УДК 51(076.1)
ББК 22.1я723
Б74
Рецензенты:
Г, Н. Воробьева
(Санкт-Петербургский экономический колледж);
А. Н. Рубцова
(Санкт-Петербургский технический колледж
управления и коммерции)
Богомолов, Н. В.
Б74 Сборник задач по математике : учеб, пособие для ссузов /
Н. В. Богомолов. — 5-е изд., стереотип. — М. : Дрофа,
2009. — 204, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-358-06291-7
В пособии представлены задачи по основным разделам математи-
ки: алгебре, началам анализа, дифференциальному и интегральному ис-
числениям, дифференциальным уравнениям, аналитической геометрии на
плоскости, стереометрии, а также элементам комбинаторики и теории
вероятностей. Выделены упражнения и задачи повышенной сложности и
для повторения за курс девятилетней школы. Приводится справочный
теоретический материал. Издание является одной из книг учебного ком-
плекта, в который также входят учебник «Математика» Н. В. Богомо-
лова, П. И. Самойленко (М.: Дрофа, 2002. — 400 с.) и «Сборник дидак-
тических заданий по математике» Н. В. Богомолова и Л. Ю. Сергиенко.
Для студентов техникумов гуманитарных направлений, педагоги-
ческих, финансово-экономических, технических, строительных, сель-
скохозяйственных. Может быть использован школьниками старших
классов общеобразовательных школ и слушателями курсов по подго-
товке в вузы.
УДК 51(076.1)
ББК 22.1Я723
ISBN 978-5-358-06291-7
© ООО «Дрофа., 2003
Предисловие
Настоящее издание представляет собой задачник
по математике для учащихся техникумов и является
одной из книг учебного комплекта, в который также
входят «Математика» Н. В. Богомолова, П. И. Самой-
ленко (5-е изд. — М.: Дрофа, 2008. — 400 с.: ил.) и
«Сборник дидактических заданий по математике»
Н. В. Богомолова, Л. Ю. Сергиенко (2-е изд. — М.:
Дрофа, 2006.— 240 с.: ил.). Содержание задачника
соответствует действующим программам для техни-
кумов как гуманитарного направления, так и финан-
сово-экономических, технических, строительных и
педагогических.
Пособие охватывает материал, относящийся к ал-
гебре, началам анализа, дифференциальному и
интегральному исчислениям, дифференциальным
уравнениям, аналитической геометрии на плоскос-
ти, стереометрии, а также элементам комбинатори-
ки и теории вероятностей. Выделены упражнения и
задачи повышенной сложности и для повторения за
курс девятилетней школы. Отдельную часть состав-
ляет справочный материал, охватывающий в ком-
пактном виде все теоретические сведения, необходи-
мые для решения задач.
Задачник с успехом может быть использован как
для занятий под руководством преподавателя, так и
для самостоятельной работы. Он также представля-
ет значительный интерес для школьников старших
классов общеобразовательных школ, слушателей
курсов по подготовке в вузы и учителей школ.
ЧАСТЬ 1. АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Глава 1. Линейные и квадратные
уравнения и неравенства.
Элементы вычислительной математики
§ 1. Действия над действительными
и комплексными числами
1. Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические:
111;
2. Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкно-
венные:
1) 0,(72); 2) 0,(42); 3)0,(918); 4)0,(513); 5)0,(7263).
3. Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обык-
новенные:
1) 0,3(6); 2)0,0(27); 3)0,11(6); 4)0,2(35); 5)0,0(01).
4. Выполните сложение комплексных чисел:
1) Zj = -3 + 5/, z2 = 4 - 7/;
oi __2 . I • _ 1 . 5..
2) zx з + 4 *, z2 4 + g
3) Zj = -0,6 4- 0,2/, z2 = -0,4 - 0,5/;
4) zx = 3,6 4- 0,2/, z2 = 1,4 - 0,2/;
5) Zj = 3 - 0,7/, z2 = -3 4- 0,7/;
6) zx = -1 4- 3/, z2 = 4 + 5/.
5.0 Выполните графически сложение чисел zx = -1 4- 3/ и
z2 — 4 4- Ы.
О Ответы к задачам, помеченным знаком *, не приводятся.
4
6. Найдите разность zx — z2 комплексных чисел:
1) = 4 - 2/, z2 = 3 + 8/;
4)^ =
5) 2j =
1,5 - 2,1/, z9 = 0,5 + 0,9/;
6) =
7. Найдите произведение комплексных чисел:
7) zx = 0,2 - 0,3/, z2 = 0,5 + 0,4/.
8. Выполните действия:
4)
(1 + 2/)(2 + /\
3-2/
5х 2 + 3/ (3 + 2/)(2 - /). а + bi.
7 (4 + /)(2 - 2/)’ 7 (2 + 3/)( 1 + /)’ 7 а - Ы ’
ох л/5 + / 1 - 3/ 1 + 4/ 1 _ а + bi а - Ы
7 2? 7 -2 + / -1 + 3/; U) T^~bi T+~bi ’
9. Вычислите:
1) /6 + /20 + /30 + /36 + г»4; 2) / + /2 + /3 + /4 + /5;
3) /•/2«/3* /4;
;33 •
2) (1 + /)15;
5) (1 - /)12
10. Вычислите:
1)(1-08;
4) (1 + /Г3;
11. Разложите на комплексные множители, применив формулу
а2 + Ь2 = {а + Ы) (а - Ы):
1) а2 + 4&2; 2) v + тг : 3) 1 + 7з ; 4) 3.
5
ОТВЕТЫ
1. 1) 0,(27); 2) 0,(285): 3) 0,(315); 4) 0,8(6); 5) 0,58(3). 2. 1) £ ; 2) ;
£ 1 Q 1
2) + £ i; 3) -1 - 0,3/; 4) 5; 5) 0; 6) 3 + Si. 6. 1) 1 - 10/; 2) i; 3) 5;
1 Ci 1 Ci /,
4) 1 - 3i; 5) | -?i;6)g.7. l)-5 + 14i; 2)
j^;3) -20; 4)6 + 10i; 5)37;;
6) I + gi; 7)0,22 - 0,07i. 8.1) -i; 2) | + h; 3)-0,3 - l,li; 4)-^ +
О V с c lo
15 .. 1 21 _ 3 _ 41 7, a2 - b2 2ab ~ 1 75
b 13 °' 68 + 68 lr °' 26 26 G a2 + b2 + a2 + b21’ °' з + з l;
9)0,1 + 0,3t; 10) 24a\9 i. 9. 1) -1; 2) i; 3) -1; 4) 0; 5) -i. 10. 1) 16;
az + b^
2) 128 (1 - 0; 3) | + ;; 4) - | i; 5) . 11. 1) (a + 2Ы)(а - 2Ы);
2) | i) 3) (1 + i</3 )(1 - il/3 ); 4) (1 + lj2 )(1 - lj2 ).
§ 2. Действия над приближенными числами.
Абсолютная и относительная погрешности
12. Граница абсолютной погрешности приближенного значения
486 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключе-
но число х.
13. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полу-
ченных в виде неравенства 27 < х < 28.
14. Площадь круга равна 37,5 ± 0,2 (см2). Найдите границы из-
мерения площади круга.
15. Найдите границу абсолютной погрешности приближенного
значения 0,2367 числа х, все цифры которого верны в строгом
смысле.
16. За приближенное значение числа 38,7 взято число 39. Явля-
ются ли цифры числа 39 верными?
17. При решении задачи сумма углов треугольника оказалась
равной 179°30'. Найдите относительную погрешность полу-
ченного приближенного значения.
6
18. Вычислите относительную погрешность числа л ~ 3,14, счи-
тая л ® 3,1416.
19. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц чис-
ла: 1) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58.
20. Найдите относительную погрешность числа 2,6, если обе его
цифры верные.
21. Округлите с наименьшей погрешностью до тысячных, сотых
и десятых число: 1) 0,2373; 2) 3,35779; 3) 14,00281; 4) 5,326.
22. Вычислите сумму а = 3 + Jb + V7 с четырьмя значащими
цифрами. Найдите абсолютную погрешность Да и относитель-
ную погрешность еа.
23. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соеди-
ненных проводников с сопротивлениями = 4,8 ± 0,05 (Ом),
г2 = 6,25 ± 0,005 (Ом), г3 = 7,725 ± 0,0005 (Ом).
Вычислите общее сопротивление цепи R по формуле R = г1 +
+ г2 + г3. Найдите абсолютную &R и относительную ед погреш-
ности.
24. Вычислите разность а = У13 - Уб с четырьмя значащими
цифрами. Найдите абсолютную Да и относительную £а по-
грешности.
25. Найдите произведение чисел 0,456 ± 0,0005 и 3,35 ± 0,005 и
относительную погрешность произведения.
26. Диаметр окружности равен 12,5 ± 0,05 (см). Вычислите дли-
ну окружности и найдите границу абсолютной погрешности,
полагая л • 3,14.
27. Найдите относительную погрешность частного двух прибли-
женных значений чисел а = 19,8 ± 0,05 и Ъ = 48,4 ± 0,03.
28. Вычислите х = - - , если а = 8,15, Ъ = 7,65, с = 6,29.
С
29. Найдите относительную погрешность при вычислении объ-
ема куба, если приближенное значение длины ребра куба рав-
но 3,8 ± 0,05.
30. Вычислите относительную погрешность ^/26,4 .
31. С какой точностью следует измерить сторону квадрата, чтобы
относительная погрешность не превышала 0,3% ? Прибли-
женное значение стороны квадрата равно 6 (м).
7
ОТВЕТЫ
12. 485,5 < х < 486,5.13. 0,5.14. 37,3 < 37,5 < 37,7 (см2). 15. 0,00005.
16. Цифры 3 и 9 верные в строгом смысле. 17.0,3%. 18.0,05%.
19.1) 0,2; 2) 0,4; 3) 0,3; 4) 0,42. 20. 2%. 21.1) 0,237; 0,24; 0,2; 2) 3,358;
3,36; 3,4; 3) 14,003; 14,00; 14; 4)5,326; 5,33; 5,3. 22. а = 6,61;
Да = 0,0015; еи = 0,00023. 23. R = 18,8 (Ом); ДЛ = 0,06; = 0,3%.
24. а = 1,37; Да = 0,001; Еа = 0,1%. 25. 1,53; 0,2%. 26. 39 ± 0,2 (см).
27. 0,3%. 28. 2,51 + 0,004. 29. 4%. 30. 0,06%. 31. До 0,01 (м).
§ 3. Линейные уравнения с одной переменной
32. Решите уравнение:
1)4х-
= 57;
5(х + 1) 2(х - 1) _ х - 3
8 + 11 2
6) 5(х 4- 5) 4- 3(х 4- 2) - 7(х 4- 6) = х;
7) 5(х 4- 5) 4- 3(х 4- 2) - 7(х 4- 4
33. Решите уравнение:
5х - 2 _ 19 = 7 .
2х - 3 4х - 6 2 ;
5)
4 + 7 = 4
X 4- 2 х 4- 3 (х 4- 2)(х 4- 3)
34. Разделите число 75 на две части так, чтобы большая часть
превышала втрое разность между обеими частями.
35. Сумма двух чисел равна 64. При делении большего числа на
меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найдите эти
числа.
8
36. Верхнее основание трапеции составляет 5 см, высота — 8 см,
площадь — 68 см2 3 *. Вычислите длину нижнего основания.
37. Сумма двух чисел равна 2490. Найдите эти числа, если 6,5%
одного из них составляет 8,5% другого.
38s . Решите графическим способом уравнение:
1) х - 2 = 0; 2) х 4- 2 = 0; 3) 2х - 5 = 0;
4) 3 - х = 2х - 3; 5) х = 2х 4- 2.
39. Решите уравнение аналитическим и графическим способами:
1) |х| = 5; 2) |3х- 5| = 1;
ОТВЕТЫ
32 . 1) 18; 2) 23; 3) 9; 4) 13; 5) |; 6) корней нет; 7) бесконечное множе-
ство корней. 33. 1) 10; 2) |; 3) ; 4) 9; 5) корней нет. 34. 45; 30.
35 .49; 15. 36.12 см. 37. 1411; 1079. 39. 1) -5 или 5; 2) f или 2;
О
з
3) 2 или 4; 4) х ; 5) решений нет.
§ 4. Линейные неравенства
40. Решите неравенство:
20х + 1
3
2) Зх - 6 > 4х - 9;
4) (х - I)2 - 5 < (х 4- 4)2;
6) 5х - 4 > 7 4- 5х.
41. Решите систему неравенств:
1) J Зх 4- 7 > 7х - 9,
Т х — 3 > —Зх 4- 1;
3) J6x- 7> 5х - 1,
| Зх 4- 6 > 8х - 4;
5)
4- 10х
9
6)
4х - 3
6
4х - 3
8
42. Решите совокупность неравенств:
2)
2 - Зх < 8 - 5х
1) Г4х4- 7 >2х+13
2 (4 - х) > х - 22;
3) Г5-2х> Зх - 10
4) Г2х — 4 > 5 - х
2 (1 - 2х) > 1 - 5х;
1 - 5х < 8 - 4х.
43. Решите неравенство:
3)
1)
0;
2х + 1
Зх + 2
0;
7)
44. Решите неравенство:
1) |х-2| <4;
3) |х - 5| > 8;
ОТВЕТЫ
40.1 ) -1 < х < 4-со; 2) -со < х < 3; 3) -со < х < -3,5; 4) -2 < х < 4-со;
5) -со < х < 4-сю; 6) нет решения. 41. 1) 1 < х < 4; 2) -со < х < -3;
3) нет решения; 4) 1,5 < х < 4-оо; 5)-со < х < -5; 6) нет решения.
42. 1) -со < х < 1 или 3 < х < 4-со; 2) -со < х < 10; 3) -со < х < 4-оо;
3 1
4) -7 < х < 4-со. 43. 1) -со < а < -х или — х < а < 4-со; 2) -со < т
Z <5
2 11
или 5 < тп < 4-со; 3) -= < х < -g; 4) g
или
6) -оо < а < -2 или
а < 4-со; 7) 2,5 < т < 12;
8) 2,5 < х < 11. 44. 1) -2 < х < 6; 2) -9 < х < -7; 3) -со < х < -3 или
13 < X < 4-со; 4) -со < х < -3 ИЛИ -1 < X < 4-со.
10
§ 5. Системы линейных уравнений
45. Решите систему способами алгебраического сложения, под
становки и графическим:
1) J 5х - 2у = 7,
[ Зх 4- 4t/ = 25;
3) J 2х - Зу = -3,
[-6х 4- 9у = 9;
2) J 8х 4- 4у = 7,
[4х 4- 2у = 9;
4) J 2х - 4у = 14,
[4x4- Зу = -27.
46. При каком значении а система
J 2х - ау = 3,
[ 6х - 9у = 9
имеет бесконечное множество решений?
47. При каком значении а система
f 4х 4- Зу = 12,
[ 2х 4- ау = 7
не имеет решений?
48. Если увеличить ширину прямоугольной площадки на 4 м,
а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на
8 м2; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить
на 1 м, то ее площадь уменьшится на 23 м2. Найдите ширину
и длину площадки.
49. Величина одного из углов треугольника равна 50°, а разность
значений двух других углов равна 10°. Найдите углы тре-
угольника.
50. Сумма 5% числа а и 4% числа b составляет 16, а сумма 6%
числа а и 8% числа b составляет 24. Найдите искомые числа
а и Ъ.
Решите систему по формулам Крамера [51, 52].
11
52. 1)
2) 5х 4- у - 3z — -2,
4х 4- Зу 4- 2г = 16,
2х - Зу 4- z — 17;
-< Зх - бу - 3z = 6,
5х - 10i/ - 5z = 10.
53. Решите систему с применением метода Гаусса:
< х + Зу - 4z = -11,
[ Зх + 2у - z = 7;
ОТВЕТЫ
45.1) (3; 4); 2) нет решения; 3) бесконечное множество решений;
4) (-3; -5). 46. а = 3. 47. а = 1,5. 48. 16 м, 12 м. 49.60°, 70°.
50. а = 200, b ~ 150. 51. 1) (2; 3); 2) (-2; 4); 3) (-2; 2); 4) (5; -2).
52.1) (8; 4; 2); 2) (3; -2; 5); 3) (1; 2; 3); 4) бесконечное множество ре-
шений. 53. 1) (-4; -1; 5); 2) (2; 1; -2); 3) (4; -1; 3); 4) (2; -3; 1).
§ 6. Квадратные уравнения
54. Решите квадратное уравнение:
1) 2х2 - 7х 4- 3 = 0;
2) 4х2 + х - 3 = 0;
_£_Z_Z_ — х ~ о .
* 2(х 4- 3) ~ х + 24 ’
4) х2 - 4ах 4- За2 = 0 (а > 0);
5) (тих + п) (пх - т) = 0 (т > 0, п > 0);
6) х2 - 2х 4- 2 = 0;
7) х2 - 6х + 13 = 0;
8) х2 + 7х - 18 = 0;
9) х2 + 2х - 35 = 0;
Ю) —-— 4- ---------- = - •
' х2 - 1 2(1 - х) 2’
11) х2 4- (а 4- Ь) х 4- ab = 0 (а > О, b > 0).
12
55. Решите квадратное уравнение с использованием теоремы
Виета:
1)х1 2 *-6х + 8 = 0;
3) х2 - 4х - 12 = 0;
2) х2 + 12х + 20 = 0;
4) х2 + х - 6 = 0.
56. Решите неполное квадратное уравнение:
1) 6х2 = 0;
3) х2 - 27 = 0;
2) х2 + Зх = 0;
4) х2 + 16 = 0.
57. Решите уравнение, приводимое к неполному квадратному:
3 .
2х + 3’
58.
Составьте квадратное уравнение по его корням:
4 *
59. Определите знаки корней квадратного уравнения (не решая
уравнения):
1)6х2 + 2х- 11 = 0;
3) 2х2 - 15х + 11 = 0;
5) Зх2 + 13х + 9 = 0.
2) 4х2 - х - 9 = 0;
4) х2 - 7х + 10 = 0;
60. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен:
1) 2х2 - 7х + 3;
3) Зу2-11у-20;
5) т2 - 2т - 3;
2) 6а2 + 5а - 6;
4) 12х2 + 7х+ 1;
6) —х2 + 5х — 6.
61. Сократите дробь:
ба2 + 5а - 4
За2 + 19а + 20 *
бу2 + 13у - 5’
Зу2 + 8у - 3 .
4 + За - а2
За2 + 4а + 1’
62. Решите биквадратное уравнение:
1) х4 - 5х2 + 4 = 0;
2) х4 - 34х2 + 225 = 0;
3) 4х4 - 65х2 + 16 = 0;
4) 4х4 - х2 - 3 = 0.
13
63. Решите уравнение, левая часть которого разлагается на мно-
жители:
1) г3 - 4х2 - Их + 30 = 0; 2) х4 - 13х2 - 12х = 0;
3) х3 - 2х2 - 5х 4- 6 = 0.
64. Решите двучленное уравнение:
1) х4 - 81 = 0; 2) 125х3 + 8 = 0;
3) 16х4 - 625 = 0; 4) 125х3 - 27 = 0.
65. Решите задачу на составление квадратного уравнения.
1) Числитель дроби на 2 меньше ее знаменателя. Если сложить
34
ее с обратной ей дробью, то их сумма составит . Найдите эту
Л о
дробь.
2) Найдите двузначное число, если известно, что цифра его
единиц на 2 больше цифры его десятков и что произведение
числа на сумму его цифр равно 144.
3) Периметр прямоугольника равен 42 см, а длина его диагона-
ли равна 15 см. Вычислите длины сторон прямоугольника.
4) Площадь прямоугольника равна 192 см2, а его периметр ра-
вен 56 см. Вычислите длины сторон прямоугольника.
5) Из листа железа прямоугольной формы сделана коробка (без
крышки), объем которой равен 750 см3. Для этого по углам
листа вырезаны квадраты со стороной, равной 5 см, и получив-
шиеся края загнуты. Найдите размеры листа железа, если од-
на из его сторон на 5 см больше другой.
6) Сумма длин окружностей переднего и заднего колес повозки
равна 5 м. На протяжении 60 м переднее колесо сделало на
9 оборотов больше, чем заднее на протяжении 63 м. Найдите
длины окружностей 1п и Z3 колес.
ОТВЕТЫ
1
= 1 + I; 7) хт = 3 - 2i,
пг
п
х2 = 3 + 2i; 8) xt = - 9, х2 — 2; 9) xt = -7, х2 = 5; 10) х = -4 (корень х =
= 1 не удовлетворяет уравнению); 11) хг = -а, х2 = ~Ь. 55. 1) хг = 2,
= 41. 57.1) х2 = -3i, х2 = 31; 2) = 0; у2 = */?; 3) хг = 0; х2 = -3; 4) хх = 0;
14
x2 = f - 58. 1) х2 4- Зх — 10 = О; 2) х2 - 8х 4-15 = 0; 3) 4х2+ 11x4-6 = 0;
4) 6х2 - 7х 4- 2 = 0. 59. 1) Знаки корней различны; больший по мо-
дулю корень — отрицательный; 2) знаки корней различны; больший
по модулю корень — положительный; 3), 4) оба корня положительные;
5) оба корня отрицательные. 60.1) (х - 3)(2х — 1); 2) (2а 4- 3)(3а — 2);
3) (3z/ + 4)(г/ - 5); 4) (Зх + 1)(4х + 1); 5) (т 4- 1)(т - 3); 6) (х - 3)(2 - х).
6Г п ГГз =1 2) ьГП,; 3) ТТТ •4) зТГГ • 62.1)х,.2 - +1, х3,4 - +2;
Xi О £ у । О ат О О а т 1
4) х = 0,6. 65. 1) |; 2) 24; 3) 9 см, 12 см; 4) 12 см, 16 см; 5) 20 см,
25 см; 6) Z = 2 м, L = 3 м.
* II о
§ 7. Квадратные неравенства
Решите неравенство [66—69].
66.
1) х2 - х - 12 > 0;
3) х2 + 6х 4- 9 < 0;
5) -х2 4- 6х - 5 > 0;
7) х2 - 4х + 3 > 0;
9) -х2 4- 4х - 5 > 0;
2) -х2 4- х 4- 2 > 0;
4) х2 — 6х 4- 8 < 0;
6) х2 4- 2х 4- 1 > 0;
8) 2х2 - 4х 4- 7 > 0;
10) х2 - 6х 4- 8 > 0.
67. 1) (х 4- 2)(х - 4)(х - 5) < 0;
2) (х 4- 1)(х - 2)(х - 3) > 0;
4) (х 4- 4)(х 4- 2)2(х - 1) < 0.
3) (х 4- 4)(х - 1)(х - 5) < 0;
68.
(х - 1)(х - 2)(х - 3)
(х 4- 2)(х +1)
15
ОТВЕТЫ
66. 1) х < -3, х > 4; 2) -1 < х < 2; 3) решения нет; 4) 2 < х < 4;
5) 1 < х < 5; 6) х < -1, х > -1; 7) х < 1, х > 3; 8) -со < х < 4-оо;
9) решения нет; 10) х < 2, х > 4. 67.1) -оо < х < -2 или 4 < х < 5;
2) -1 < х < 2 или 3 < х < +оо; 3) -сю < х < -4 или 1 < х < 5; 4) —4 < х < 1.
68. 1) х < -4 или -1 < х < 2; 2) х < 3 или х > 5. 69. 1) —оо < х < —2, или
-1 < х С 1, или 2 < х < 3; 2) -3 < х < -2, или 2 < х < 3, или 4 < х < +оо;
3) -2 < х < —1 или 1 < х < 3.
§ 8. Иррациональные уравнения
и иррациональные неравенства
Решите уравнение [70—72].
70. 1) 7б - х = х;
3) 716 - х = х - 10;
5) 7х2 + Зх - 3 = 2х - 3.
71. 1) Jx 4- 20 - Jx - 1 == 3;
2) Jx 4- 2 = Зх - 4;
4) 74 - 2х = х - 2;
2) 72х - 1 - Jx - 1 = 1;
4) 71-х 4- 71 + X = 1;
72. 1) 7х + 1 4- Jx - 1 = 73х - 1;
2) J2x 4- 1 4- J2x - 4 — J8x — 7;
= J2x — 8;
3) Jx 4- 3 - 77-х
- J-2x - 5;
73*.He решая уравнения, объясните, почему оно не может иметь
корней:
1) Jx 4- 1 4- 7х 4- 3 = 0; 2) 74х - 3 = -4;
3) Jx2 4- 2 4- J2x - 1 = -2; 4) 73 - х 4- J2 - х = — 1;
5) 7х - 7 - 7б - х = 3.
16
Решите иррациональное неравенство [74—76].
74. 1) Jx + 12 < х;
3) а. 2х
3 — х;
5)73х — х2 < 4 - х.
75. 1) 72 х - 5 > 7;
3) 7х2 - Зх - 10 > х - 2;
5) J2x + 1 > 1 - х.
76. 1) 73х + 1 > л/2 — х;
3) 720 - х - 710 - х > 2;
2) 72х + 1 > 73 - х;
4) 72х 4- 1 - Jx - 8 > 3.
ОТВЕТЫ
70. 1) 2; 2) 2; 3) 12; 4) 2; 5) 4. 71. 1) 5; 2) 1 и 5; 3) 1; 4) решения нет;
5)-5 и 4. 72.1) 1; 2) 4; 3) 5 и 6; 4) -3; 5) решения нет.
74.1) 4 < х < +оо; 2) 1 < х < +оо; 3) -4,5 < х < 0; 4) -сю < х < -1 или
1 < х < 2,6; 5) 0 < х < 3. 75.1) 27 < х < +оо; 2) -2 < х < 2; 3) -оо < х < -2
1 1
или 14 < х < +©о; 4) - < х < +оо; 5) 0 < х < +©о. 76.1) 2 < х < 2;
2) | < х < 3; 3) < х < 10; 4) 8 < х < 12 или 24 < х < +со.
§ 9. Нелинейные системы уравнений
с двумя переменными
77. Решите систему уравнений:
17
7) J х3 - у3 = 117,
~\x-y = 3;
Ю) (4x2 + 4y2 = 17xi/,
[ x + у = 10.
78. Дайте геометрическую иллюстрацию решения системы:
1) J х2 + у2 = 25, 2) " х2 + у = 4,
[х + 7у - 25 — О; [x + i/ = 2.
79. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а среднее гео-
метрическое равно 12. Найдите эти числа.
80. Если двузначное число разделить на сумму составляющих его
цифр, то в частном получится 4 и в остатке 12. Если же число
разделить на произведение составляющих его цифр, то в част-
ном получится 1 и в остатке 20. Найдите это число.
81. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна
37 см, а его площадь составляет 210 см2. Найдите длины его
катетов.
82. Площадь прямоугольника равна 972 см2, а длина его диагона-
ли равна 45 см. Найдите длины сторон прямоугольника.
83. Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а его
площадь равна 270 см2. Найдите длины сторон треугольника.
84. Площадь прямоугольника равна 1080 см2, а его периметр ра-
вен 138 см. Найдите длины сторон и диагональ прямоуголь-
ника.
ОТВЕТЫ
77.1) (7; 6); 2) (-1; -3), (-3; -1), (1; 3), (3; 1); 3) (-3; -2), (3; 2);
4) (2; -3), (2; 3), (9; -72), (9; 72); 5) (-2; -3), (2; 3), (-3; -2), (3; 2);
6) (192; -58), (6; 4); 7) (-2; -5), (5; 2); 8) (4; 2), (16; -10); 9) (3; 2),
(2; 1); 10) (8; 2), (2; 8). 78. 1) Точки пересечения прямой с окружно-
стью: (4; 3), (-3; 4); 2) точки пересечения параболы с прямой: (—1; 3),
(2; 0). 79. 4, 36. 80. 68. 81. 12 см, 35 см. 82. 27 см, 36 см. 83.15 см,
36 см, 39 см. 84. 24 см, 45 см, 51 см.
18
Глава 2. Логарифмическая
и показательная функции
§ 10. Логарифмическая функция
85. Найдите область определения функции:
1) У = log2 (6 - 4х); 2) у = log! (4х - 5);
з
3)i/ = log3 (х + 8) + log5 (4 - х).
86*. Постройте график функции:
1) У = bg2 (х “ 2); 2) У = l°g2 Iх “ 2|;
3) у = log3 (3 - х).
87. Прологарифмируйте выражение:
1) х = 8a2b23Jc;
ai/5d-2
2
Z» 3
2) х = 4(а - д)2;
4) х = 7з7бУ13 ;
6) X = Jp(p - а)(р - Ь)(р - с).
88. Выполните потенцирование (а > О, b > 0, а > Ь):
1) log х = log 3 + log 5 - log 2;
2) log x = 31og 5 + 2 log 3;
4) log x
5) log x = 2
89. Вычислите значение x:
1) log i I g 1 = x;
72
3) logx 0,125 = -3;
i 3
5) log16 x = д ;
7) log6 x = -2;
6) log5 x = -3;
1<
ОТВЕТЫ
85.1) -оо < х < |; 2) J < х < +оо; 3) -8 < х < 4. 87. 1) log х = log 3 4-
+ 21og а + 2 log b + | log c; 2) log x = log 4 + 21og (a - b); 3) log x =
<5
= | log a - 21og b - | log c; 4) log x =
13 1
5) log x = = log a - 2log b + 5 log c; 6) log x = «(logp + log (p - a) +
+ log (p - b) + log (p - c)). 88.1)
~ ; 2) 53- 32; 3) 132 • 2"2/5 • 7 1/3 ;
4)x = (a + I) - (a2 • b3/1 )-(2/3); 5) x = (a - b)2 (a2 -b'2/3f4 . 89. 1) 6;
2) -2 ; 3) 2; 4) ± ; 5) 8; 6)
§ 11. Показательные уравнения
и системы показательных уравнений.
Показательные неравенства
Решите уравнение [90—94].
90.
2) 5^2-з^+12 = i;
4) 32х"6 = 92^х ;
2)3л/3 =
4) 5Х"^5 = 125;
92. 1) 5х"4 = 6х-4;
?х_3 х-?
3) 42 = 7 3.
93. 1) 5х+1 + 5х = 750;
2
3) 27х 3 + 9х"1 = 2 • З3х~2;
2) 85 х = 7х"5;
2) 2х - 2х-2 = 3;
4) 75х - 75х"1 = 6.
20
94. 1)72х-6-7х + 5 = 0;
3)ЗхИ + I? -29 = 0;
5) 6 • 22x - 13 • 6х + 6 • 32x = 0;
2) 23 2x- 3-21 х+ 1 = 0;
4) 3 • 4х - 5 • 6 х + 2 • 9 х = 0;
6)4*22х-6х = 18-32х.
95. Решите систему показательных уравнений:
1) J 3х -5* =75,
|3^-5Х = 45;
3) f - 1
2х + 3*/ = 8х,
У
2Х-3*=
5) J642x + 642*/ = 12,
[64x+-v = 4 л/2 ;
3х - 4у = 77,
| 3х/2 - 2у = 7;
4) /2Х + 3^= 17,
[2х+2- 3^+1 = 5;
3 • 2х + 2 • ЗУ =
2х-3^ = -7.
4
11
4 ’
96. Решите показательное неравенство:
D (I/ < ’ 2>31 > 27>
4) 3х2’1 >1; 5) 2х >5;
3) 23х > g ;
6) 2х2-8х+18 > 8.
97. Решите неравенство:
1)4Х-2Х< 12;
2) 82х-1 + 8х+1 - 72 < 0;
3) 52х - 7х - 35 • 52х + 35 • 7х > 0;
4) 3 • 9х - 10 • 3х + 3 < 0;
5)3-4Х+ | • 9х+2 - 6 »4x+1 + I -9х+1<0.
О Zj
ОТВЕТЫ
90. 1) 3; 2) 2; 6; 3) -1; 3; 4) 9; 5) |; 1. 91. 1) |; 2) 8; 3) ; 1; 4) 7; 5) 3.
92. 1) 4; 2) 5; 3) |. 93.1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) . 94. 1) 0; log? 5; 2) 1; 2;
о о
3) 2; log3 I; 4) 0; 1; 5) -1; 1; 6) -2. 95.1) (1; 2); 2) (4; 1); 3) (3; -2);
о
(log2 I; log3 8) 4) (3; 2); 5) ; |) 6) (-2; 0). 96.1) х > 3;
2) х > 3; 3) х > -1; 4) х < -2 или х > 2; 5) х > log2 5; 6) х < 3 или х > 5.
97. 1) х < 2; 2) х < 1; 3) х < 0; 4) -1 < х < 1; 5) х < - 5 .
21
§ 12. Логарифмические уравнения
и системы логарифмических уравнений.
Логарифмические неравенства
Решите уравнение [98—100].
98. 1) 1g (х + 4) - 1g (х - 3) = 1g 8;
2) lg (х + 2) - lg 5 = 1g (x - 6);
3) lg (x - 2) + lg x = lg 8;
4) lg Jx - 7 + lg л/Зх - 8 = 1;
5) log5 (x + 10) = 2;
6) logx 2 + logx 3 = |.
О
99. 1) lg2 x + lg x2 = lg2 2 - 1; 2) log 2 x - 6 log2 x = -8;
3) logxl j (x2 - 3x + 1) = 1; 4) logg x - log2 x = log2 x + 3.
100. 1) log2 x 4- log8 x = 8;
2) log2 x + log x + log i x = 8;
2
101. Решите систему логарифмических уравнений:
= 512,
lg Jxy = 1 + lg 2;
2> jlog^ (i/-x) = 4,
3^-2^ = 576;
4) fig (x2 +y2) = 2,
1 log2 x - 4 = log2 3 - log2 y.
102 . Решите систему уравнений:
3) Jlogxlog3logxi/ = О,
flog,, 27 = 1;
22
4)
103 . Решите логарифмическое неравенство:
1) log3 (х + 2) < 3;
3) 1оёг (х- 1) > -2;
3
2) log8 (4 - 2х) > 2;
4) log? (2 - 5х) < -2.
з
104. Решите неравенство:
1) logy (Зх - 5) > logx (х + 1);
5 5
2) 1о£* _ з (х2 + 4х - 5) > logx _ з (х - 1);
3) log2 (х - 1) - logj (х - 1) > 2;
2
4) log j (x + 1) > -2 log j 2 + log j (x2 + 3x + 8);
4 16 4
1 1
5) z_________ _j_ i
7 1 - logjX log!*
2 2
ОТВЕТЫ
98.1) 4; 2) 8; 3) 4; 4) 11; 5) 15; 6) 216. 99.1) 0,05; 0,2; 2) 4; 16; 3) 4;
4) |; 8. 100.1) 64; 2) 16; 3) 256; 4) 27. 101. 1) (1; 10); 2) (2; 6);
3) (16; 25); (25; 16); 4) (8; 6); (6; 8). 102.1) (6; 2); 2) (16; 4); 3) (3; 27);
4) (81; 4). 103.1) -2 < x < 25; 2) x < -30; 3) 1 < x < 10; 4) x < ^.
104.1) | < x < 3; 2) x > 4; 3) 1 < x < |; x > 3; 4) x > -1; 5) | < x < 1.
Глава 3. Тригонометрические функции
§ 13. Векторы на плоскости
105. Параллельный перенос переводит точку (-4; 1) в точку (2; - 3).
В какую точку он переводит точку (5; 5)?
106*. По данным векторам а, д, с постройте вектор а + Ъ + с.
107. Выразите через единичные векторы i и j вектор
1) d = (-2; -4);
2) АВ: А(-1; 2), В(-2; -6).
23
10 8.Вычислите координаты вектора АВ: А(—2; -2), В(4; -1).
109. Найдите периметр треугольника, вершинами которого слу-
жат точки
А(4;0),В(7;4), С(-4; 6).
110. Вычислите косинусы углов, образуемых вектором АВ
с осями координат, если координаты его начала и конца
А(-2; -3), В(3; 9).
111. Найдите скалярное произведение векторов а = (2; 4), Ъ ~ (4; 1).
112. Найдите скалярное произведение векторов а — -21 + 5/,
b = 3/ - 4/.
113• Вычислите угол между векторами АВ и CD, если Л(3; 1),
В(7; 4), С(3; 2), й(6; 6). * 1
ОТВЕТЫ
105.(11; 1). 107.1) -2i; -4J; 2) -i -8j. 108.(6; 1). 109.15 + 5j5.
110. cos a = Л , cos P = II. 111. 12. 112. -26. 113.16°,3.
10 Jo
§ 14. Радианное измерение дуг и углов
114. Переведите из градусной в радианную меру:
1)14°,8; 2) 70°,28; 3) 16°,24; 4) 114°,75; 5) 214°,8.
115. Переведите из радианной в градусную меру:
1) 0,3165; 2) 0,5774; 3) 1,0322; 4) 1,3588; 5) 1,4563.
116.Вычислите в радианах дугу окружности, радиус которой
равен 1,24 м, а длина этой дуги равна 2,15 м.
117. Вычислите площадь сектора круга с дугой 1,32 рад и
радиусом 2,26 м.
118. Площадь кругового сектора равна 0,38 м2. Вычислите дугу
сектора в радианах, если радиус круга равен 1,52 м.
119. Дуга окружности в 1,25 радиана имеет длину 2,56 м. Вычис-
лите радиус этой окружности.
120. Круговой сектор, имеющий площадь 0,86 м2, стягивается ду-
гой 1,6 радиана. Вычислите радиус круга.
24
121. Радиусом R — 0,12 м описана дуга, радианная мера которой
равна 2,5. Найдите длину этой дуги.
122. Вычислите в радианной мере величину вписанного угла,
„ 4
опирающегося на дугу, радианная мера которой — п.
J. о
123. Величина дуги в радианной мере равна -х-. Под каким углом
из точек этой дуги видна стягивающая ее хорда?
124. Вычислите (рад/с) угловые скорости ич часовой, vM минутной
и vc секундной стрелок.
125. Углы треугольника относятся как 1:2:6. Вычислите их
величины в радианной мере.
ОТВЕТЫ
114.1) 0,2583; 2) 1,227; 3) 0,2834; 4) 2,003; 5) 3,749. 115.1) 18°,13;
2) 33°,08; 3) 59°,14; 4) 77°,85; 5) 83°,44. 116. 1,73 рад. 117. 3,37 м* 1 2.
118. 0, 329 рад. 119. 2,05 м. 120. 1,04 м. 121. 0,3 м. 122. ~ . 123. .
м
1£Ч. ич - 21600 ’ "м 1800 ’
2л 2я
§ 15. Числовые значения и знаки
тригонометрических функций
126. Найдите знак выражения:
n sin 60° cos 100° tg2 200° . cos 150° ctg2 280°
ctg 300° cos 150° ’ ctg 130° cos 170° *
127. Используя единичную окружность, найдите знак разности:
1) sin 155° - sin 135°; 2) cos 50° - cos 70°;
3) tg 145° - tg 140°; 4) sin 35° - tg 35°;
5) cos 70° - ctg 70°; 6) tg 80° - ctg 80°.
128.Найдите знак произведения, используя правило знаков по
четвертям:
1) cos 130° tg 220°;
3) tg 140° tg 190°;
5) tg у ctg у ;
2) sin 205° cos 305°;
4) cos 320° tg 130° ctg 125°;
6) tg 1,4 ctg (-1,2) sin (-2,1).
25
129. Вычислите:
3
2) sin
3) sin
130. Вычислите
f(°); f(|); /(£),
если f (x) — sin2 x + sin2 2x +
+ sin2 3x.
ОТВЕТЫ
126. 1) (-); 2) (-). 127.1) (-); 2) (+); 3) (+); 4) (-); 5) (); 6) (+). 128.1) (-);
2) (-); 3) (-); 4) (+); 5) (+); 6) (+). 129. 1) 1; 2) 0; 3) -1. 130. /(0) = 0;
§ 16. Вычисление значений тригонометрических
функций по данному значению одной из них
131. Вычислите:
1) cos a, tg а, ctg а,
2) sin а, tg а, ctg а,
3) sin а, cos а, ctg а,
4) sin а, cos а, tg а,
5
если sin а = - 75
JLo
если cos а = - у=
если tg а =
если ctg а = -
132. Вычислите значение функции у:
1) у = sin4 х + cos4 х, если tg х = 2;
2}у =
sm3 х + cos3 х
—-----------5— , если tg х =
smJ х — cosd х
3)у =
sin2 2 + sin 2 COS 2 + 1
COS2 Z + 3sin 2 cos z + 1
если tg z = 3.
26
ОТВЕТЫ
131.1) cos a == , tg
lo
a =
15 *
24
— , cos a =
15
17 ’
tg а =
15
8 15
3)sina = cos a = “17’
15
4) sin a — -
25 *
12 ’
13 ’
11
10 ‘
§ 17. Основные тригонометрические тождества.
Доказательства тождеств
Упростите выражение [133, 134].
133.1 ) sin2 a + cos2 a + tg2 a;
s*n a I sin cx .
'14- cos a 1 - cos a *
4) sin4 a - cos4 a 4- cos2 a;
5) tg2 a cos2 a 4- ctg2 a sin2 a;
6) cos4 a 4- sin2 a cos2 a + sin2 a.
134.1)
cos3 a - sin3 a
_ _ •
1 4- sin a cos a *
2) sin a cos a (tg a 4- ctg a);
3) (sin a 4- cos a)2 4- (sin a - cos a)2;
4) sin2 a 4- cos4 a - sin4 a;
5) sin4 a 4- sin2 a cos2 a + cos2 a;
6) ctg2 a - cos2 a ctg2 a - cos2 a;
7) (1 4- sin a)(tg a 4- ctg a)(l - sin a);
8) (1 4- tg a)2 4- (1 - tg a)2.
135*. Докажите тождество:
1) tg2 a - sin2 a = sin2 a tg2 a;
2) sin3 a (1 4- ctg a) 4- cos3 a (1 4- tg a) = sin a 4- cos a;
3) 1 - sin6 a - cos6 a = 3 sin2 a cos2 a;
4) cos2 a • (1 - tg a) (1 4- tg a) = cos4 a - sin4 a;
27
5) (ctg a + l)* 2 3 + (ctg a - I)2) = ;
6) tg2 a (1 + tg2 a)(l + ctg2 a) - (1 - tg2 a)2 = 4tg2 a.
136*. Докажите тождество:
sin2 x
sin x - cos x
= sin x + cos x;
1 - (sin a 4- cos a)2
sin a • cos a - ctg a
= 2 tg2 a;
3)
tg a
tg a + ctg a
= sin2 a;
4) cos a (sin a + cos a) (1 - tg a) — cos4 a - sin4 a;
cos2 a - cos2 a • sin2 В , 9 , 9 n
5) -7-------------—-------- = ctg2 a • ctg2 p;
sin2 a • sin2 p
6) sin2 a sin2 p 4- sin2 a • cos2 p 4- cos2 a = 1.
ОТВЕТЫ
133. 1) —5— , a * 5 + 2) 0; 3) —— , a л/г; 4) sin2 a; 5) 1; 6) 1.
cos42, ct £ sin a
134. 1) cos a - sin a; 2) 1; 3) 2; 4) cos2 a; 5) 1; 6) 0, a л/г; 7) ctg a,
a ф л/г; 8) —%— , a * f + nk.
cos2 a
§ 18. Периодичность
тригонометрических функций
Вычислите период функции [137, 138].
137. 1) у = cos Зх;
3) у = tg 2х;
2) у = cos ;
5) у = sin
138.1) у = sin 5х - cos 4х 4- 1;
2) у = 2 sin 7 _ 3 sin ;
3) у = sin -5- 4- sin
5;
Здесь и далее ke Z, где Z — множество целых чисел.
28
4) z/ = sin тг - 3 cos + cos 5x;
7v 4 8
5)</ = tgy -4ctg^ -2.
139. Вычислите:
1) cos 7230°;
3) tgll25°;
2) sin 900°;
4) ctg 1305°.
140. Вычислите:
1) 4 sin 810° + 3cos 720° - 3sin 630° + 5 cos 900°;
2) tg7 * 2 * 600° + ctg2 585° + 3;
3)2tg 945°-4 cos 1500°-sin 1170°;
4) 2 sin 1080° - 2 cos 1500° + ctg 930°.
141. Вычислите:
1) sin 8,3 л 4- cos 4,6 л;
3) sin 7,854 • tg 3,927°;
. 37л: , , 15л:
2) sm -g- + tg ;
.. s **n (~11л/2) + tg ( -5л:)
7 cos ( -5k) 4- ctg (-21Л/4) ’
142. Упростите выражение:
2) sin2 (2л + a) + cos2 (6л - a) + 1;
4) cos (ot - 4л) sin (a - 8л) tg (a - 13л);
5) tg (a - л) ctg (a - 3л) sin2 (a - 2л).
143*.Докажите тождество:
1) cos (8л + ot) cos (4л - a) + sin (a + 6л) sin (a + 4л) = 1;
2) sin (6л - a) cos (10л + a) tg (7л - a) ctg (12л - a) =
= - sin a cos a;
3)
4)
5)
6)
1 + tg (3л 4- a) 4- tg2 (7л - a)
1 + ctg (5л + a) + ctg2 (5л - a)
cos (8л - a) tg (3л - a) ,
------------------- = —
sin (6л - a) ctg (5л - a)
sin2 (8л - a) . <
-—5-7=———7 = sin4 a;
ctg2 (7л 4- a) 4- 1
ctg (13л - x) 4- tg (4л + x)
tg (5л 4- x) - ctg (7л 4- x)
29
ОТВЕТЫ
137. 1) ; 2) 8л; 3) £; 4) 5л; 5) 4л. 138. 1) 2л; 2) 24л; 3) 30л; 4) 16л;
О Z
5) 6л. 139. 1) 2) 0; 3) 1; 4) 1. 140.1) 5; 2) 7; 3) -1; 4) 7з - 1.
4Ы
141.1) 5 ; 2) -5 ; 3) 1; 4) . 142. 1) 3; 2) 2; 3) 6; 4) sin2 а; 5) sin2 а.
di d di
§ 19. Формулы приведения
Вычислите [144, 145].
144.1) sin 135°;
4) ctg 140°;
7) sin 340°;
2) cos 240°;
5) tg4,85;
8) sin 2,15.
3) tg 320°;
6) ctg 150°;
145.1) sin 9135° + cos (-585°) + tg 1395° + ctg (-630°);
37л
22л
. ( 47л A , 21л
3) sm^—g- J-tg
19л
~6~ ’
4) ctg 225° - ctg 675° - cos 495° + cos 765°;
sin^y + a)
ctg2 (a - 2л)
sin2 (-a)
6) sin (-810°) + cos (-900°) + tg (-395°)ctg 575°.
146. Упростите:
1) sin (a - Зл/2) cos (2л - a) - sin (л - a) sin (л + a);
sin (л - a)
30
sin (2л -
4)
cos (2л + a) tg (л + a)
147 . Докажите тождество:
cos
cos2 (-a)
tg2(a - 2л)
sin (л + a) tg (a - л)
cos (2л - a)
------------- = sin a;
cos
2
1 - ctg2 (a - 2л)
2
3л
- a
sin (л - a) ctg - ajcos (2л - a)
5)-------------------------------------- = sin a.
tg(it + a) tg k + a sin (-a)
ОТВЕТЫ
144.1) ; 2) -5 ; 3) -0,8391; 4) -1,1918; 5) -7,14; 6) ~73 ; 7) -0,342;
zs zs
8) 0,837.145.1) -1; 2) 73 - 1; 3) ; 4) 2 + 72 ; 5) 1; 6) -3.146.1) 1;
2) 1; 3) 0; 4) 1; 5) 1.
§ 20. Обратные тригонометрические функции
Вычислите [148—150].
148.1) arcsin 0,7880;
3) arctg 2,145;
5) arcsin (-0,9033);
7) arctg 0,2562;
2) arccos 0,9063;
4) arcctg 0,9657;
6) arccos (-0,8995);
8) arcctg 2,234.
31
149. 1) arcsin 1 + arccos 1 + arctg 1 4- arcctg 1;
2) arcsin 0 + arcsin 1 4- arcsin (-1);
3) arccos 0 4- arccos 1 4- arccos (-1);
4) arctg (-1) 4- arcctg (-1);
5) arcsin I 4- arccos i 4- arctg 0;
7) arcsin
6) arcsin
4- arccos
4- arctg 0;
4- arccos 4- arcctg 1;
8) arcsin —
4- arccos
150.1) sin arcsin
2)ctg arccos
3) cos
f2arcsin
ОТВЕТЫ
148.1) 0,9076; 2) 0,4364; 3) 1,1346; 4) 0,8028; 5) -1,1274; 6) 2,6894;
7) 0,2508; 8) 0,4209. 149.1) Jt; 2) 0; 3) у; 4) |; 5) |; 6) ; 7) у ;
8) . 150.1) 0; 2) ; 3) ; 4) |.
§ 21. Тригонометрические уравнения.
Простейшие тригонометрические неравенства
Решите уравнение [151—157].
151.1) sin х = ~ ; 2) cos х = |;
3)tgx=l; 4) ctg х = 2,05.
32
152.1) sin x = - -jj- ;
2) cos 2x — 1;
153.1) sin 2x = 5 ;
4) tg 3x =
154.1) sin2 x = 5 ;
3) tg2 x = 1;
2) cos2 x = 5 ;
4) ctg2 x = 3.
155.1)2 sin2 x 4- 3 cos x - 3 = 0;
3) 5ctg2 x - 8 ctg x 4- 3 = 0;
2) cos2 x - cos x - 2 = 0;
4) 7 sin2 x - 5 cos2 x + 2 = 0.
5
156.1) sin2 x - 10 sin x cos x + 21 cos2 x = 0;
2) 8 sin2 x 4- sin x cos x 4- cos2 x - 4 = 0;
3) sin2 x - 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0;
4) sin2 x - 6 sin x cos x 4- 5 cos2 x = 0;
5) 9 sin2 x 4- 25 cos2 x 4- 32 sin x cos x - 25 — 0.
157.1) cos2 (л - x) 4- 8 cos (л 4- x) 4- 7 = 0;
2) 2 cos2 (x - я) 4- 3 sin (л 4- x) = 0;
3) 3 sin2
- cos (x 4- 4л) = 0;
4)2tg2(^ +x) + 3tg('£ +x)=0;
\ Сл J x J
5) 2 sin2 x 4- 5 sin
6) tg x(sin x 4- cos x) = 0.
Решите неравенство [158—160].
158.1) sin x > 0;
4) cos x < 0;
2) sin x < 0;
5) tg x > 0;
3) cos x > 0;
6) tg x < 0.
159.1) sin x
2) sin x
4) cos x
5) cos x
2 - 9663
33
3) sin x
160.1) sin x
2) cos x
4) tg x < - J3 ;
5) ctg x > -1;
6) sin 2x < - x.
ОТВЕТЫ
151.1) (-1)» j + nA; 2) ±| + 2nA; 3) ? + nA; 4) 26° + 180°A. 152.1) (-I)**1 j +
+ nA; 2)±^ + 2nA;3)-g + nA; 4)^ + nA. 153. 1)(-1)‘£ + ^ ; 2) nA;
** О о j. Ci Ci
3) (-l)Aarcsin | 4- я/г; 4) + у • 154.1) + я/г; 2)±arccos | +
+ я/г; 3) + Ttk\ 4) + nk. 155. 1)±£ + 2nk; 2nk; 2) n(2k 4- 1);
О о
3) arctg 0,6 4- я/г; + я/г; 4) + я/г. 156. 1) arctg 3 + я/г; arctg 7 +
+ я/?; 2) -| + nk; arctg - + я/г; 3) + я/г; arctg 3 4- я/г; 4) + я/?;
arctg 5 4- nk; 5) я/г; arctg 2 + nk. 157. 1) 2я/г; 2) (-1)л[| 4- я/г; 3) £ 4- я/г;
±arccos g 4- 2я/г; 4) | 4- я/г; arctg | 4- я/г; 5) | 4- я/г; 6) я/г; 4- я/г.
158. 1) 2я/г < х < (2/г 4- 1)я; 2) (2/г - 1)я < х < 2я/г;
3) 4- 2nk < х < 5 4- 2я/г; 4) £ 4- 2я/г < х < ~ 4- 2я/г;
5) я/г < х < 4- я/г; 6) 4- я/г < х < nk. 159. 1) 4- 2я/г < х < х 4- 2я/г;
2) 4- 2я/г < х < 4- 2я/г; 3) 4- 2я/г < х < $ 4- 2я/г;
' 6 6 '4 4
4) 2я/г < х < (/г 4- 1)2я; 5) -? 4- 2я/г < х < j 4- 2я/г;
т:
4- я/г.
160. 1) -5 4- 2я/г < х < 4- 2я/г; 2) 4- 2я/г < х < 4- 2я/г;
о 3 4 4
3) 4- 2я/г < х < -g 4- 2я/г; 4) 4- я/г < х < -3 4- я/г;
5) я/г < х
Зя । j z*\ оя ,
-г- 4- я/г; 6) — тё + я/г
4 ' 12
4- я/г.
§ 22. Тригонометрические функции
алгебраической суммы двух аргументов
(формулы сложения)
Вычислите [161—163].
161.1) sin (а + Р),
если
3 5
sin а = ё , cos Р = - 77;
5 к 13
Зя
2) cos (а + р),
если
24
15
8 ’
3) sin (а + р) и sin (а - р),
если
4) cos (а + Р) и cos (а - Р),
если
5) sin
а и cos
2 <а
Зя
4 . Q 3
cos а = ё , sin р = =
Зя
-тг < а
sin а = z-= , cos Р = z
17 г 5
2 < а
если
2
3
’ 2
п
4
162.1) tg farctg 5 + arctg |
o4 . ( . 12 15Л
2) sin arcsin 75 4- arccos 7= ;
\ ±0 li /
3) cos arccos = + arcsin 7=
\ 5 17
5я
12
K\ 4. 7л
5)tg 12 •
163.1)cos
- cos2 a;
cos 115° sin 305° + sin 35° cos 25° .
cos 160° sin 230° - cos 70° sin 40° *
sin 40° cos 15° - cos 40° sin 15° .
cos 15° cos 10° - sin 15° sin 10° *
35
4) 2 sin
5) sin
- a + sin2 a;
12
71
12
164 . Докажите тождество:
cos a ь sin a
cos a - sin a
2> i-\g*atg4 = *g (a + ₽) • tg (a - P);
3) tg a • tg p + (tg a + tg P) ctg (a + P) = 1;
, (it . A . (it A 8tg a
4) tg + a J tg a) - г _ 3tg2 a»
5) cos 15° + 73 sin 15° = J2 .
165. Решите уравнение:
1) sin 2xcos x + cos 2xsin x = 0;
4 я
4k
T
3) cos -5- = sin 5
5) sin x sin 3x + cos 4x = 0. * * * * §
ОТВЕТЫ
*1 d 1 \ o\ 416 лк 24 л -ч 13 7/ ~ £ 7*ico 1 \ о o\ 220
3) 4)2 + 73; 5)-2- J3.163. 1)-|; 2) 73; 3)tg25°; 4) cos2 a; 5) .
c5O zl
165. 1) ; 2) + л/г; 3) л/г; 4) arctg 6л/3 + л/г; 5) 5 + — ; 5 + nk.
о О О о Z
§ 23. Тригонометрические функции
удвоенного аргумента (формулы удвоения)
166. Вычислите:
1) sin 2a, cos 2a, tg 2a,
3
если sin a = - p ,
л < a
36
2) sin 2a, cos 2a, tg 2a,
3) sin 2a, cos 2a, tg 2a,
4) sin 2a, cos 2a, tg 2a,
если cos a =
если tg a = -
если ctg a =
13 ’
3
4 ’
4
3 ’
167. Выразите:
1) cos 3a через cos a;
2) sin 4a через sin a и cos a;
3) cos 4a через sin a и cos a;
4) ctg 3a через ctg a;
5) sin 5a через sin a.
168. Вычислите:
cos 2 a
sin a ’
sin 2a
2 cos a ’
cos 2 a
cos a *
если sin
если cos
если sin
169. Упростите:
1) 1 - 2 cos2 t x
2) 2 cos2
4) 2 sin2
5) cos 4a + 4 cos 2a + 3.
170*. Докажите тождество:
1)
1 - cos 2a + sin 2a
1 + cos 2a + sin 2a
1 + cos 2a
cos 2 a
1 + cos 4a
sin 4a
= ctg a;
1 + sin 2 a
sin a + cos a
___ _ _ _ »
cos 2 a
cos a -- sin a ’
.. 1 + cos 2a ,9
4) т-------x— = ctg2 a;
’ 1 - cos 2a
cos 2 a
1 + sin 2a
1 - tg a
1 + tg a ’
171. Решите уравнение:
1) 2 cos
- x sin
+ xl - 1 = 0;
2) sin x + sin 2x - cos x - 2 cos2 x = 0;
3) tg x - tg 2x = 0;
4) cos2 x - sin2 x = 1;
5) sin 2x - sin x = 0.
ОТВЕТЫ
166. 1) sin 2a =
24
25 ’
cos 2a =
7
25
120 o
, cos 2a =
119
169 ’
120
119
; 3) sin 2a = -
cos 2a —
J
4) sin 2a = - , cos 2a =
* •“к ж
tg2a = -—• 167. 1) 4cos3 a - 3cos a;
2) 4 sin a • cos3 a - 4 sin3 a • cos a; 3) cos4 a - 6 sin2 a • cos2 a + sin4 a;
.. ctg3 a - 3ctg a .
4) ’
5) 16 sin5 a — 20 sin3 a
5sin a. 168.1) — 77 ; 2) ;
175 8
169.1) -sin 5 x; 2) sin 3a; 3) sin 5a; 4) sin a;
288 *
5) 8 cos4 a. 171. 1) + nk\ 2) ±=£ + 2л/?, j + nk; 3) nk; 4) nlr, 5) nk,
*x О Tt
±5 + 2ltk.
о
§ 24. Тригонометрические функции
половинного аргумента (формулы деления)
Вычислите [172, 173].
1i\«a a,a 1 1/4.1) sm - , cos x , tg x , если cos a = — x ; Ci Ci Ci Ci | < a < тг;
2) sin 5, cos x , tg 5 , если sin a = f; Ci Ci Ci О | <a<n;
a a , a , о /х Зл
sin х , cos 5 , tg 7 , если tg a = 272 ; n< a < -x-;
38
4) sin 5 , cos к , tg
если ctg а = —
2 л.
173.1) sin a, если tg
a
2) cos a, если tg
= 3;
3) tg a, если tg ;
если tg = 2.
' 10 sin a -
174*. Докажите тождество:
1) sin4 - cos4 5 = -cos a;
(sin (a/2) + cos (a/2))2
4)
1 - sin a
tg (a/2) tg (a/2)
1 + tg (a/2)
2sin a - sin 2 a
2sin a + sin 2a
1 - tg (a/2)
5) , • . g-. = sin a.
1 + tg2(a/2)
175. Решите уравнение:
1) 8 sin x cos x cos x cos 2x = 1;
2) 1 - cos x = 2 sin 5 ;
3) 1 + cos x = 2 cos x ;
4) 1 + cos x = cos X .
ОТВЕТЫ
v • a ^/3 a 1 i a
. 1) sm g = ~2 > cos 2 = 2 ’ 2
ex 2 Уб (x
2 5~ ’ COS 2
. a о • a a
tg £ = 2; 3) sin g = у , cos =
cos x
-5-. 173. 1) sin
4) ctg a =
5) |. 175. 1) I 4- ; 2) 2nk; n(l + 4k); 3) 4nk; n{2k + 1);
l о
4) тг(2/г + 1); ±^- + 4nk.
о
9
39
§ 25. Преобразование произведения
тригонометрических функций
в алгебраическую сумму
Преобразуйте в сумму [176, 177].
176.1) sin 45° sin 15°;
3) cos 50° cos 15°;
5) 4 cos (a + P) cos (a - £);
7) cos (a + p) cos (2a 4- P);
2) cos 35‘ sin 33;
4) cos у;, cos 12 ;
6) 12 sin (~9a) sin 4a;
8) 4 cos x cos a sin
177.1) 4 cos
3) 2 sin (x 4- a) cos (x - a);
2) 4 cos 4- x sin ;
4) 4 sin 16a sin 4a;
. Зк . к
5) sin уф sin jo;
6) cos 7xcos 5x.
178. Представьте в виде суммы первых степеней:
1) sin4 х; 2) cos4 х; 3) sin5 х.
179*. Докажите тождество:
1) sin 2a sin a = ? (cos a - cos 3a);
2) sin 3a cos a = | (sin 2a 4- sin 4a);
3x x
3) 2 cos -g- cos к = 2 cos2 x 4- cos x - 1;
... fit \ . (к > sin 3a
4) 4 cos ~ -a sin к - a = —:----------;
\Q ) \S ) sin a
5) sin 8x sin 2x = sin2 5x - sin2 3x;
6) cos (a 4- P) cos (a - P) = cos2 a - sin2 p.
180.Решите уравнение:
3) sin 2x cos 5x - sin 3x cos 4x = 0;
4) cos 5x cos 7x — cos2 6x;
5) sin x sin llx — sin 3xsin 9x = 0;
6) sin x sin 7x = sin 4x - 1.
О
40
ОТВЕТЫ
176.1) ; 2) 5 (cos 22° - sin 2°); 3) (cos 65° + cos 135°); 4) -1;
т: L» x
5) 2 (cos 2a + cos 2$); 6) 6(cos 13 a - cos 5a); 7) | cos a + cos (3a + 2(3);
8) sin a + sin 2a + sin 3a. 177.1) J3 +2 cos 2.x;
2) 2 + cos 2x - л/3 sin 2.x;
1 / Д
3) sin 2x + sin 2a; 4) 2 (cos 12a - cos 20a); 5) 5 cos ?
os 1 Л . Л Z? .. . Л /? z~* \ 1 1 . Л /?
3) л/?; 7 + -5-; 4) nk; 5) -g-; 6) + ~ arccos 3 + -5-.
4 Z о О о о
§ 26. Преобразование алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение
Преобразуйте в произведение [181—183].
181.1) sin 60° + sin 40Л; 2) cos 75° + cos 15°;
3) cos 10° - sin 20°; 4) cos 20° - cos 80°;
5) sin 40° 4- cos 70°; 6) tg 25° - ctg 70°.
182.1) cos - cos A ;
iz i z
оч . 5л к
3) sin Yg - sin 12 ;
, 3л , 5л
4)tgn -tgn;
6) sin
8) 3 - tg2 20°.
183.1) sin 2a cos 3a - 2 sin2 a sin 3a;
2) sin2 5a - sin2 3a;
3) sin a cos p 4- 2 sin2 sin p;
z
4) sin 10° + 2 sin 5° cos 15° + cos 50°;
41
5) sin 16° + sin 26° - sin 42°;
6) sin 25° + sin 37° + sin 27° + sin 35°.
184*Покажите, что для угловА, ВиС(А + В+С = 180°) всякого
треугольника имеет место соотношение:
ЛВС
1) sin А + sin В - sin С = 4 sin к sin к cos к ;
АВС
2)1- cos А + cos В + cos С = 4 sin « cos к cos к ;
3)
sin А + sin В + sin С
sin А + sin В — sin С
4) tgA + tg В + tgC = tgAtg В tg С.
185. Преобразуйте в произведение с помощью вспомогательного
аргумента:
1) х + cos а;
4) 1 + 2 sin а;
7) 1 - ctg2 а;
2)1-2 cos а;
5) 1 + tg а;
8) л/3 + 2 cos а.
3)1-2 sin а;
6) 1 - tg2 а;
186*. Докажите тождество:
1)
sin а + sin За
cos а + cos За
= tg 2а;
, /л . а\ , /л
2)tg -tg(j -
3)
cos (а + Р) + cos (а - 0)
cos (а - Р) - cos (а + Р)
= ctg а ctg Р;
5)
6)
tg (а/2) + ctg(3a/2)
tg (a/2) - ctg (За/2)
cos a
•
cos 2 a ’
sin a - sin 2a - sin 4a + sin 5a
cos a - cos 2a - cos 4a + cos 5a
= tg 3a;
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a
cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a
= tg 4a.
187.Решите уравнение:
3) sin Зх + sin x = 2 sin 2x;
5) sin4 x - cos4 x = sin 2x;
2) cos x + cos 2x + cos 3x — 0;
4) sin 2x = cos x — cos 3x;
6) cos x — sin x = a/2 sin 2x.
42
ОТВЕТЫ
181. 1) 2 sin 50° cos 10°; 2) ; 3) sin 40°; 4) sin 50°; 5) cos 10°;
sin 5°
cos 25° cos 20°
IO О 1\ _• ОЧ 1 A • QI - Л4___________Sin (k/7)_____
.±0^.1) 2 , Z) 2 70,6) 2 , 4) cos (3n/14) cos (5л/14)
6) .,3 sin a; 7) —; 8) 8 cos 10° tg 20°. 183.1)2 sin a cos 4a;
COS 0L
2) sin 8a sin 2a; 3) 2 sin 5 cos
- p); 4) cos 10°; 5) 4 sin 8° sin 13° sin 21°;
6) 4 sin 31° cos 5° cos 1°. 185. 1) 2 cos +
2) 4 sin
л/2 sin (Jt/4 4- a) #
cos a ’
cos 2 a
cos2 a
4) 4 sin
cos 2 a
sin2 a
8) 4 cos
J
• \ 7T у *. v/2 * r* \ it . k
1) T;(-D 6 5>“8 + T
z»\ 7T i /OL i \ ।
; 6)-4 + (2k + l)7t; 12 + —
Глава 4. Пределы и производные
§ 27. Предел функции
Найдите [188—196].
188.1) lim
х->2
(2х2 - Зх + 4);
3) lim (Зх3 + х2 + 8х + 10);
х-»0
5)
lim
х—>-1
(х + 3)(х - 2).
189.1) lim
х->3
3 .
2х - 6’
3)
lim
х->0
5х3 - 4х2*
2) lim (х3 - х2 + 1);
х-> -1
4) lim ((х2 - 1)(х - 3)(х - 5));
х-^2
6) lim .
х-»4 7^-1
2) lim - - - ;
х->о Зх2 + 2х
.. .. Зх3 + х
4) lim --------;
х-»о х
5) lim
' х->3
6) lim
х->(-3/2)
43
7)
lim
lim
190.1)
lim
r->2
lim
er
2
9
7)
191.1)
192.1)
193.1)
194.1)
5)
lim
lim
>9
lim
lim
Г ->oo
lim
lim
X —>oo
lim
lim
lim
lim
r->0
lim
r-»0
lim
4)
lim
2
9
6)
4)
4)
6)
sin2
*
9
4)
9
6)
sin 2x cos x
cos 2x - cos x
_ _______ •
4)
lim
r—>0
lim
lim
lim
lim
r —><K>
lim
X —>co
lim
x >(я/4)
lim
lim
.r-»O
lim
r->0
lim
J
si n x - cos x
, 9
3x
_ •
sin 2x ’
COS
lim
9
COS X
я/2 - x
44
195.1) lim (1 + Д) ;
x->oo \ oX J
3) lim (1 + 4z)^ ;
2) lim (1 “ Л) ;
X->oo \ <LX /
5) lim
x —>oo
6) lim
X-»OO
196.1) lim ;
3) lim fl--f;
X—>co \ X J
4) lim
2) lim
ОТВЕТЫ
188.1) 6; 2) -1; 3) 10; 4) 9; 5) -6; 6) 3.189.1) co; 2) co; 3) |; 4) 1; 5) 1;
О
6) -6; 7) 1; 8) 3. 190. 1) ?; 2) 3; 3) 1; 4) h 5) 6; 6) |; 7) % ; 8) % .
191. 1) 1; 2) 00; 3) 0; 4) 5; 5) 3; 6) 5 . 192.1) 2; 2)3; 3) co; 4) 00; 5)-5;
6) 5 . 193. 1) 2; 2) 3) -2; 4) 5 ; 5) 27; 6) co. 194. 1) 2; 2) 4; 3)0;
4)-|; 5)0; 6) 1. 195. 1) г2/3 ; 2) f^/4) . 3) eU2/5) ; 4) - ; 5); 6) e.
196. 1) ?4 * 6 */9 ; 2) e10'3 ; 3) e"3; 4) <r8.
§ 28. Производная степени и корня
Найдите производную функции у [197, 198].
197.1) у — 4х3;
4) у = 1/х2 ;
2)г/ = 3х 4;
3) у — 4х3/4 ;
6) у = 5 '3Jx^
198. !)</= А;
•Л*
4)// =
45
Вычислите производную f'ix) при данном значении аргумента х
[199—201].
199.1) f(x) = 4х3 - Зх2 - х - 1,
2) fix) = Зх4 - 2х2 + 4х - 1,
3) fix) = 1 — х2 + х3 — х4 + х5,
200.1) fix) = (2х3 - 1)(х2 + 1),
2) f (х) = (3 - х2)(4 + х2),
3) f (х) = (х3 + х2)(х2 - 1),
201.1)/(х) =
2) fix) =
3)/(х) =
ОТВЕТЫ
197. 1) 12х2; 2) -12х"5; 3) Зх^1/4>; 4) |x~<V3); 5) |х-(2/3); 6)
о «5 о
198.1) -6х-4-, 2) -ж'»3/2’; 3) -1 x~W3>; 4)-4х-<5'3>; 5)х'»2»; 6)
199.1) 17; 2) -4; 3) 64. 200. 1) 14; 2) 36; 3) 0. 201.1) |; 2) -1; 3) |.
У & о
§ 29. Производная сложной функции
(функции от функции)
Вычислите производную f'ix) при данном значении аргумента х
[202—207].
202.1) fix) = (х2 + 2х - I)4, X = -1;
2) f (х) = (х3 - 4х2 + З)7, х = 1;
3)/(x) = (3x-l)4, х= 1.
203.1)/(х) =
2)fix) =
3)/(х) =
46
204.1)f(x) =
2) fix) =
3) fix) =
205.1) fix) — x + 1,
2) f(x) = (x2 * * * - 1) 7x2 - 1,
3) fix) = (x 2 + 1) Jx2 + 1,
206.1)/(x)= 6^2 + 1,
2) /(x) =
3) f (x) =
207.1) fix) =
9x
x = 2j2;
2) fix) =
x = л/б;
3) fix) =
x = л/3 .
ОТВЕТЫ
202. 1) 0; 2) 0; 3) 24. 203. 1) ; 2) ; 3) . 204. 1) -Л; 2) 1;
3)^. 205.1) 2) ЗЛ; 3) вЛ. 206.1) -1; 2) i; 3) .
207. 1)|;2)-|;3)
§ 30. Геометрические приложения производной
208.Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к параболе в данной на ней точке:
в точке х = -2;
в точке х = 3.
47
209.1) Найдите угол наклона параболы у = х2 - 2х к оси Ох в точ-
ке х = 2.
2) Найдите угол наклона касательной к кривой у — х3, прове-
денной в точке х — -2 к оси Ох.
210.Составьте уравнение касательной и нормали к кривой:
1) у = х2 — 7х + 10 в точке х = 4;
2) у = 2х3 в точке х = -1.
211. Найдите координаты точки, в которой касательная к парабо-
ле у = х2 + Зх - 10 образует угол 135° с осью Ох.
212. Найдите, под какими углами парабола у = х2 4- 2х - 8 пересе-
кает ось Ох.
ОТВЕТЫ
208.1) 5; 2) 3. 209. 1) « 63,4°; 2) - 85,2°. 210.1) у = х - 6; у = -х + 2;
2) у = 6х + 4; у — х . 211. (-2; -12). 212. arctg (-6), arctg 6.
§ 31. Физические приложения производной
213. Точка движется прямолинейно по закону S = t3 + 5£2 + 4.
Найдите величины скорости и ускорения в момент времени
I = 2 с.
214. Точка движется прямолинейно по закону S = t2 - 8t + 4. В ка-
кой момент времени t0 скорость точки окажется равной нулю?
215. Тело массой т = 12 кг движется прямолинейно по закону
через 5 с после начала движения. Здесь и — скорость тела.
216. Зависимость температуры тела Т от времени t задана уравне-
нием Т — | t2 - 2t 4- 3. С какой скоростью нагревается это тело
в момент времени t — 10 с?
217. Сила тока 1 (А) изменяется в зависимости от времени £(с) по
закону I = 3£2 + 2t + 1. Найдите скорость изменения силы то-
ка через 8 с.
48
ОТВЕТЫ
213. 32 м/с; 22 м/с2. 214. /0 = 4 с. 215. 864 Дж. 216. 8 град/с.
217. 50 А/с.
§ 32. Производные тригонометрических функций.
Производные обратных тригонометрических
функций
Найдите производную тригонометрической функции [218, 219].
218.1) у = sin Зх;
3) у - tg х - х;
5) у = tg х - ctg х;
7) у = sin х(1 + cos х);
219.1) у — sin2 2х:
3) у == tg2 х;
5) у = sin2 2х;
2) у = cos 2х;
4) у = ctg х 4- х;
6) у = sin f cos t;
1 - cos t
8) v = ---------.
1 + cos t
2) у — cos2 x;
4) у — ctg2 x;
6) S = 7sin 2<p;
7) у = 'Vsin2 2х ;
220 .Вычислите производную тригонометрической функции при
данном значении аргумента х:
1) f(x) = sin2 2х,
2) f(x) = cos2 2х,
3) = tg2 Зх,
4) f(x) = tg2 xsin x,
5) f(x) = 8 sin2 xcos x,
6) /(x) = tg2x - ctg2 x,
7) f(x) = cos 2x(l т sin 2x),
x = л/16;
x = тс/16;
x = л/12;
x = л/3;
x — л/4;
x = л/4;
x = к/8;
x = тс/4.
221. Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по за-
Я
кону S = 4 sin 3i, в момент времени tQ = х . Здесь S — путь (м),
t — время (с).
222.Вычислите скорость точки, движущейся прямолинейно по
закону S = tg 2t в момент времени tQ = |. Здесь S — путь (м),
I — время (с).
49
223. Вычислите f'(x) при данном значении аргумента х:
1) f(x) = arcsin х 4- 2 arccos х,
2) f(x) = arcsin 2х,
3) f (х) = arccos Зх ,
4) f(x) = arctg Зх,
5) f (x) = arcsin - ,
6) f(x) = (arcsin x)2,
2
7) f (x) = arccos - x,
2x
8) f(x) = arcctg ----7
1 - X*
ОТВЕТЫ
218.1) 3cos 3x; 2) -2 sin 2x; 3) tg2 x; 4) -ctg2 x; 5) -- ; 6) cos 2t;
sinz 2x
7) cos x + cos 2x; 8) —2s-n -—7. 219. 1) 2 sin 4x; 2) -sin 2x; 3) 2-~ -;
’ ' (1 + COS t)2 COS* 4 * * 7 3 X
4) ; 5) 2 sin 4x; 6) ctg 2<p7sin 2<p ; 7) | ctg 2x37sin2 2x ; 8) —-r— .
sind x о cos°x
220.1) 72; 2) -72; 3) 12; 4) 13,5; 5) 272; 6) 8; 7) -72; 8) -2.
221. 6 м/с. 222. 8 м/с. 223. 1) -2; 2) 4; 3) 5 72; 4) |; 5) ; 6) | л;
Z Z Z о
7) ; 8) |.
§ 33. Производные логарифмических
и показательных функций
Вычислите производную [224—226].
224.1) у = xln х;
3) Лх) = ;
5) ftt) = 21g (/+ 1),
7) /(х) = -In cos х;
# = 1;
х = л/4;
2) у = (In х - 1)х;
4) у = 1g 2х;
6) у — In sin х;
8) /(х) = In tg 2х.
50
225. 1) у = In sin x - « sin2 x;
2)i/ =
5) fix) = In cos2 x,
6) f(x) = In tg2 x,
7) /(x) — In sin2 2x,
8) f(x) = In ctg2 x,
226.1) у = e-3x;
4>^=in Д
x = n:/4;
x = rc/4;
x = rc/8;
x = n/4.
2) у = x2c2x;
5) у = 3*;
7) у = 2 lg x;
4) fix) = 3 In x 4- ex, x = 1;
8)j/ = lg(2x4-l).
ОТВЕТЫ
224. 1) 1 + In x; 2) In x; 3) 1 *n * ; 4) ; 5) 0,4343; 6) ctg x; 7) 1;
8) - . 225. 1) ctg x cos2 x; 2) —; 3) . 1 - ; 4) 1 ; 5) -2;
6)4; 7) 4; 8) -4. 226. 1) -3e’3x; 2) 2xe2x (1 4- x); 3)--:4)3 + e;
e
5) 3х In 3; 6)
2х
;7)
0,8686 .
0,8686
2x + 1 ‘
§ 34. Исследование функций
с применением производной
227. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
7) у — х4 — 4х 4- 4;
2) у = 2х2 - 4х 4- 5;
4) у = х3 - Зх2 4-1;
6) у = -2х3 4-15 х2 - Збх 4- 20;
Ю) fix) =
51
11) у = In х2;
13) у = 1 х2 - In х;
15) у= е1/х;
12)г/ = 1н^;
14) у = е~х;
16) у = Jx2 - Зх.
228. Исследуйте функцию на экстремум:
9) у = 2х3 - 9х2 4- 12х - 8;
11) f(x) = ех 4- е~х;
13) f(x) = х - 2 In х;
10) у = 2х3 - Зх2 - 12х + 8;
12) f(x) = х2е~х;
14) /(х) == xln х.
229. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в за-
данном промежутке:
l)t/ = x2-6x4-3, хе [О; 5];
6) у = -х3 4- 9х2 - 24х 4- 10, хе [0; 3].
230 .Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади,
который можно согнуть из куска проволоки длиной 50 см?
231. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса Я,
найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
232. В равносторонний треугольник с периметром 3 т вписан
прямоугольник наибольшей площади. Найдите длины его
сторон.
233. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо-
угольник наибольшей площади (основание прямоугольника
лежит на основании треугольника). Найдите длины сторон
прямоугольника.
52
234. В прямоугольный треугольник с катетами, равными а и Ь,
вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна
из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон
прямоугольника.
235. Найдите прямоугольник наибольшей площади, вписанный
в полукруг радиуса R.
236. Найдите прямоугольник с наибольшим периметром, вписан-
ный в полукруг радиуса R.
237. Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты
b + h = а, найдите тот, у которого площадь наибольшая.
238. Из всех прямоугольников данного периметра 2р найдите тот,
у которого диагональ наименьшая.
239. Число 8 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма их ку-
бов была наименьшей.
240. Произведение двух положительных чисел равно а. Чему рав-
ны эти числа, если их сумма будет наименьшей?
241 .Закон прямолинейного движения тела задан уравнением
S = -/3 + З/2 4- 9/ 4- 3. Найдите максимальную скорость дви-
жения тела. Здесь S — путь (м), I — время (с).
242 . Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, задан
уравнением S = 19,6/ — 4,9/2. Найдите наибольшую высоту
подъема тела. Здесь S — путь (м), t — время (с).
243. Исследуйте на направление выпуклости кривую:
1) у = —- в точках Xj = —1, х2 — 1;
2) у = —в точках jq = -2, х2 — 1.
244. Найдите промежутки выпуклости кривой:
1) у = 2х3; 2) у = х2;
3) У — ~х2 - 1; 4) у — х2 4- Зх - 1;
5) у — х3 - 6х2 4- 2х - 6; 6) у = х4 - 2х3 - 12х2 4- 24х 4- 8.
245. Найдите точки перегиба кривой:
1) /(х) = х3 - х;
2) f(x) = § х3 - Зх2 + 8.x - 4;
3) f(x) = х4 - 8х3 + 18х2 - 48х + 31;
4) /(х) = х4 - 6х3 4- 12х2 — 10.
53
ОТВЕТЫ
227. 1) Убывает на (-оо; 3), возрастает па (3; 4-оо); 2) убывает на
(-оо; 1), возрастает на (1; +оо); 3) возрастает на (-оо; 2), убывает
на (2; +оо); 4) возрастает па (-оо; 0) и на (2; 4-оо), убывает на (0; 2);
5) убывает на (-оо; О) и на (1; 4-оо), возрастает на (0; 1); 6) убывает
на (-оо; 2) и на (3; 4-оо), возрастает на (2; 3); 7) убывает на (-оо; 1),
возрастает на (1; 4-оо); 8) возрастает на (-оо; -1), убывает на
(-1; 4-оо); 9) убывает па (-оо; 0) и на (0; +оо); 10) убывает на
(-оо; 2/3) и на (2/3; 4-оо); 11) убывает на (-оо; 0), возрастает
на (1; 4-оо); 12) убывает на (0; 4-ое); 13) убывает на (0; 1), возраста-
ет на (0; 4-оо); 14) убывает на (—оо; 4-оо); 15) убывает на (—°°; 0)
и на (0; 4-оо); 16) убывает на (-оо; 0), возрастает на (3; +оо).
228. 1) min (4; -4); 2) min (5; -16); 3) max (1; 4); 4) max ft ;
5) min (I ; 6) max (2; 12); 7) max f-2; min (2;
8) max (0; 0), min f 2; — 9) max (1; -3), min (2; —4); 10) max (—1; 15)
\ о J
min (2; -12); 11) min (0; 2); 12) max (2; 4<> 13 2 * 4), min (0; 0);
13) min (2; 2 - 2 in 2); 14) min
. 229. 1) y(3) - -6, y(0) = 3;
2) y(4) - -12, y(0) = 4; 3)y(4) = 0, y(2) - y(-2) - 1; 4) y(3) - 4,
y(0) = y(6) = 13; 5) y(3) = -|, y(l) = 6) y(2) - -10, y(0) = 10.
230. Квадрат co стороной 12,5 см. 231. Квадрат co стороной
232 УЗ т 23-э ® Л 034 abja 4- b 1 f 2 , , 2 235 Отнптттрнир
42 22 2(а -г b ) 2
сторон прямоугольника составляет 1 : 2. 236. Отношение сторон пря-
моугольника составляет 1 : 4. 237. b = h = 5. 238. Квадрат со сторо-
ной р/2. 239. 4 4- 4. 240. Ja и Ja . 241. 12 м/с. 242. 19,6 м.
243.1) В точке выпукла вниз, в точке х2 выпукла вверх; 2) в точ-
ках хр х2 выпукла вниз. 244. 1) Выпукла вверх на (-оо; 0), выпукла
вниз на (0; 4-оо); 2) всюду выпукла вниз; 3) всюду выпукла вверх;
4) всюду выпукла вниз; 5) выпукла вверх на (—оо; 2), выпукла вниз
на (2; 4-оо); 6) выпукла вниз на (-00; -1) и на (2; 4-оо); выпукла вверх
па (-1; 2). 245. 1) (0; 0); 2) (3; 2); 3) (1; -6); (3; -86); 4) (1; -3), (2; 6).
54
§ 35. Дифференциал функции.
Приложение дифференциала
к приближенным вычислениям
246. Найдите дифференциал функции:
2)у= - 2х2 ;
4) у = In cos2x;
5) у = In tg 2х;
7) у — ех sin х;
6) у = 23х;
8)1/ =
1 4- е~х.
247. Вычислите приближенное значение приращения функции:
1) у = Зх2 + 5х + 1
2) у - х3 + х - 1
3) у = 2х2 + 3
4) у = х3 - 5х2 + 80
5) у = In х
6) v — 5 nR3
О
при х = 3, Дх = 0,001;
при х = 2, Дх — 0,01;
при х = 2, Дх = 0,001;
при х = 4, Дх = 0,001;
при х = 10, Дх = 0,01;
при R — 20, Дй — 0,01;
7) у — sin 2х
8) у = 1п х2
при х = , Дх — 0,02;
при х = 20, Дх = 0,01.
24 8.Вычислите приближенное значение функции:
1) f(x) = 2х2 - х + 1
2) f(x) = х2 + Зх + 1
3) f(x) = | х3 + | х2 - 2х + 4
5) /(х) = х4 - 1
6) f(x) =
Jx2 + 3
7) f(x) = х3 - х2 + х - 3
8) f (х) = Зх3 - x2 + 5x - 1
при x = 2,01;
при х = 3,02;
при х = 1,1;
при х = 0,001;
при х = -3,3;
при х = 1,1;
при х = 3,03;
при х = 3,02.
249 . Вычислите приближенное значение степени:
1)(9,06)2; 2) (1,012)3;
4)(1,ОО5)10; 5(0,975)';
3) (9,95)3;
6) (0,988)3.
55
250 .Вычислите приближенное значение корня:
1) 371,012 ; 2) 725,16 ;
3) J24, 84 ; 4) 101;
5) 99,5 ; 6) 10 1,03 .
251.Вычислите приближенное значение величины, обратной
данной:
1) 0,99; 2) 9,93;
3)(1,004)2; 4)0,998.
252.Вычислите относительную погрешность функции:
1)S = 2лД,
2) у = х3,
3) V = 5 7ГЙ3,
если R = 50 см, AR = 0,5 см;
если х = 2, Дх == 0,01;
если R = 300, Д7? = 0,3.
253.Составьте формулу для вычисления относительной погреш-
ности функции:
1) у = sin2 Зх;
2) у tg2 х;
3) у = esin 2jf.
ОТВЕТЫ
246. 1) -5(1
- x)4dx; 2) --3) - , dx 4) -2 tg х dx;
а/4-2.г2 V(2x - I)3
5)
6) 3 In 2 • 23r dx;
7) ех • (sin х + cos x) dx;
8) -e~x dx.
247. 1) = 0,023; 2) « 0,13; 3) « 0,008; 4) « 0,008; 5) «0,001; 6)« 16 n;
7)« 0,02; 8) 0,001. 248. 1) « 7,07; 2) « 19,18; 3)« 2,83; 4) « 1,001;
5) «112,4; 6) «0,5375; 7) « 18,6; 8) 87,6. 249.1) 82,08; 2) 1,036;
3)985; 4) 1,05; 5) 0,9; 6) 0,964. 250. 1) 1,004; 2) 5,016; 3) 4,984;
4) 10,05; 5) 9,975; 6) 1,003. 251. 1) 1,01; 2) 0,1007: 3) 0,992; 4) 1,002.
252. 1) 1%; 2) «1,5%; 3)0,3%. 253. 1) 6ctg 3x-dx; 2) ;
SIH X
3) sin 2x • dx.
56
Глава 5. Интегралы
§ 36. Неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование
Вычислите интеграл [254
254.1) J Зх2 dx;
4) J 4/3 dt;
259].
2) J x4 dx;
3) f x(m "X) dx;
255.1) J(2х2 - I)2 dx;
3) J (Зх-4 + 8x 5) dx;
5) J (5w3/2 - 7iz3'4) di/.
256.1)) 5х dx;
4) f (3 х - ex - 1) dx;
2) J x3(l - 6x2) dx;
4) J (x 4 — x"3 - 3x"2 +1) dx;
2) j 42x dx;
5)1
3) J (ex + 2x) dx;
257. l)j (sin x - 5) dx;
4) J (4 - 3 cos x) dx;
cos 4x dx.
sin 2x
cos x
dx;
3) J sin 6x dx;
258.1) J
4) J
259.1)1
4)f
cos x dx
3sin x - 1 ’
dx
cos2 5x’
2)1
5)f
2)f
5) J
sin x dx
2 - cos x’
dx
sin2 (3x + 2) ’
cos x dx
_ , . - •
3 + 2 sin x *
ОТВЕТЫ
- 5 x3 + x + C; 2) 5 x1 — x6 + C; 3) -x 3 - 2x 4 + C; 4) x 3 + 5 x 2 +
<5 4 «5 £
+ 3x 1 + x + C; 5) 2iA' 2> - 4i/<7/4> + c. 256.1) Д + C; 2) + C; 3) ex +
+ x2 + C; 4) - ex - x + C; 5) 2 In |x + 3| + C. 257. 1) -cos x - 5x + C;
57
4- С; 5) —р arctg
§ 37. Геометрические и физические приложения
неопределенного интеграла
260. Найдите функцию, производная которой у' = 4х3 - 2х + 3.
261. Найдите функцию, дифференциал которой dy — (2х + 6) dx.
262. Найдите функцию, производная которой у' = 2х - 5, если при
х = -3 эта функция принимает значение, равное 28.
263. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = О, если
у' = Зх2 - 4х + 5.
264. Найдите функцию, производная которой у' = Зех + 2х, если
при х = 0 эта функция принимает значение, равное 8.
265. Найдите J (sin х + 3 cos х) dx, если при х = п первообразная
функция равна 4.
266. Найдите J (cos х - ех + 2 х) dx, если при х = 0 первообразная
функция равна 3.
267. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент ка-
сательной в каждой ее точке равен -Зх.
268. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент ка-
сательной в каждой ее точке равен х + 2.
269. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент ка-
« у
сательнои в каждой ее точке равен - - .
270. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент ка-
сательной в каждой ее точке равен
271. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент ка-
сательной
в каждой ее точке равен —
58
272. Составьте уравнение кривой, проходящей через начало коор-
динат, если угловой коэффициент касательной в любой точке
равен к.
О
273. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4),
если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой
ее точке равен Зх2 - 2х.
274. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (-1; 3),
если угловой коэффициент касательной в каждой точке
кривой равен утроенному квадрату абсциссы точки касания.
275. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (О; е), ес-
ли угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен у.
276. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по за-
кону и — t2 - St + 2. Найдите закон движения точки.
277. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по
закону v = 4/ - St2. Найдите закон движения точки.
278. Скорость прямолинейного движения точки задана уравнени-
ем v = 2t - 3. Найдите закон движения точки, если к моменту
начала отсчета она прошла путь 6 м.
279. Скорость прямолинейного движения точки задана уравнени-
ем v = З/2 + 4t - 1. Найдите закон движения точки, если в на-
чальный момент времени она находилась в начале координат.
280. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой
v = 2cos£. Найдите закон движения точки, если в момент
t — л/6 точка находилась на расстоянии 8 = 4 м от начала от-
счета .
281. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью п0.
Найдите закон движения этого тела (сопротивлением возду-
ха пренебречь).
282. Точка движется прямолинейно с ускорением а — 12t2 4- 6i.
Найдите закон движения точки, если в момент t = 1 с ее ско-
рость v = 8 м/с, а путь 8 = 6 м.
283. Точка движется прямолинейно с ускорением а = -6/ + 18.
В момент времени t = 0 (начало отсчета) начальная скорость
= 24 м/с, расстояние от начала отсчета 80 = 15 м. Найдите:
1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения
а, скорости и и пути 8 в момент t ~ 2 с; 3) максимальную ско-
рость иП1ах и соответствующее время tni, когда скорость явля-
ется наибольшей.
59
ОТВЕТЫ
260. у = х4 — х2 + Зх + С. 261. у = х2 + 6х + С. 262. у — х2 — 5х + 4.
263. у = х3 - 2х2 -г 5х. 264. у = Зех + х2 + 5. 265. 3 sin х - cos х + 3.
266. у = sin х - ех + х2 + 4. 267. у = ~? х2 + С. 268. у = х х2 + 2х + С.
269. у - £. 270. х2 - у2 = С. 271. х2 + у2 = С. 272. у = | х2. 273. у =
= х3— х2 + 4. 274. у = х3 + 4. 275. у = ех + х. 276. S = J t3 — 4t2 + 2t + С.
277. S = 2tz - Z3 + C. 278. S = t2 - 3t + 6. 279. S = Z3 + 2t2 - t.
280. S = 2 sin Z + 3. 281. S = o0Z - \gt2. 282. S = t4 + Z3 + Z + 3.
283. 1) v = -3Z2 + 18Z + 24, S = -Z3 + 9z2 + 24Z + 15; 2) a (2) = 6 м/с,
v (2) = 48 м/с, S (2) = 91 m; 3) umax = 51 м/с, tm = 3 c.
§ 38. Вычисление неопределенного интеграла
методом замены переменной
(способом подстановки)
Вычислите [284—288].
284.1)J(7 - 2х)3 dx;
2)J(5Z- I)4 dZ;
285.1) J V(3x + I)2 dx;
3) f dZ;
286.1) J (x2 + 3)5x dx;
2) J 4(x‘* - l)x3 dx;
60
3)J
6г2 dz
(1 - 2г3)4 *
x3 dx
5) J л/(*4 ~ I)3 x3 dx.
287.1) J Jex 4 1 ex dx;
3)J .2 si
j cos x dx .
Jl - sin x
5) J
cos x dx
2 sin x 4 1
288.1) J 7(3z4 4 2)3 z3 dz;
2) J л/(1 - ;Зх2)4 x dx;
4) f ;
V(5x> + 2/
ОТВЕТЫ
284.1) -1(7 - 2x)« + С; 2)^(5( - I)5 + С; 3) * -1 + С;
4) - п + С; 5) - , ' - + С. 285. 1) * (Зх + 1)”'3> + С;
' 10(5г + I)2 7 3(3x4 1) э
(4 - ЗО(5/3) + С;
5) 3Дх - 5 4 С. 286. 1) (х2 4 З)6 4 С; 2) | (х4 - I)2 4 С;
Л £ &
3(1 - 2г3)3
. л) ______i_____
’ 7 80(5х‘ + З)4
5) (х4 - 1)(5/2> 4 С.
287. 1) | {ех 4 I)*3/2* 4 С; 2) | In (с3х 4 1) 4 С; 3) | (2 sin х - 1)<3/2> 4 С;
ООО
4) -2 71 - sin х 4 С; 5) 1 In |2 sin х 4 11 4 С. 288.1) (3z4 4 2)(5/2> 4 С;
Сл OV
2)~~ (1-Зх2У7/3>4С; 3) Jx2 4 1 4 С; 4) 37б^-4 4 2 4 С;
61
§ 39. Определенный интеграл
и его непосредственное вычисление
Вычислите [289—293].
289.1) j х2 dx;
О
3) J х4 dx;
1
о
5) J (х3 + 2х) dx.
1
292.1) | sin х dx;
о
к/ 2
3) f (cos х — sin x) dx;
-jt/2
dx
5) f
J Slir X
n/6
-/3/2 j „
293.1) [ y -
2) f x3 dx;
i
4) f (4x3 - 3x2 + 2x + 1) dx;
-2
62
ОТВЕТЫ
289. 1) |; 2) 3,75; 3) 6,2; 4) 40; 5) -1,25. 290. 1) 1,5; 2) 1; 3) ^5
О о
4) 18,6; 5) 7,5.291.1) 2) ; 3) - 1); 4) | (е3- 1); 5) In 2 = 0,6931.
О О Z о
292. 1) 1; 2) 72 ; 3) 2; 4) 4; 5) . 293. 1) |; 2) |; 3) £; 4) ; 5) ± .
§ 40. Дифференциальные уравнения
Найдите общее решение уравнения [294—296].
294.1) х2 dx = Зу2 dy; 2) Jx dy = Jy dx;
3)d£=3dx. 4)(;y +l)dx = (x~ l)d</.
л/х Jy
295. 1) xy dx = (1 + x2) dy;
2) y2 dx + (x - 2) dz/ — 0;
3) (x2 - yx2) dy + (y2 + xy2) dx = 0;
4) x2 dy — (2xy + 3y) dx = 0.
296.1) (1 + y2) dx - Jx dy = 0;
2) Jl - x2 dy -- xjl - J2 dx = 0.
Найдите частное решение уравнения с разделяющимися перемен-
ными, удовлетворяющее начальному условию [297—298].
297.1) у dy — х dx,
2)х dy = у dx,
3) ds = (3f2 - 2t) dt,
у = 4 при x = —2;
у = 6 при х = 2;
s — 4 при t = 2;
у = 2 при х = 0.
298.1)-^- = А;
7 х - 1 у - 2
2) (1 + у) dx — (1 — х) dy,
3) (1 + х)у dx + (1 - у)х dy = 0,
4) у2 dx - ех dy,
у = 4 при х = 0;
у = 3 при х = —2;
у — 1 при х = 1;
у = 1 при х = 0.
63
299.Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2),
угловой коэффициент которой в любой точке касания состав-
ляет -f- = х- .
dx 2х
300.Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (2; 2),
угловой коэффициент которой в любой точке касания состав-
Найдите общее решение линейного дифференциального уравне-
ния первого порядка [301—302].
301.1) - 2У - 3 = 0;
3) х - х2 + 2у = 0.
302.1)
' dx
2У
х + 1
(х + I)2;
+ ху — х;
303. Найдите частное решение уравнения,
чальному условию:
удовлетворяющее на-
при х = 1;
при х — 2.
ОТВЕТЫ
294.1) у* =
+ С; 2) J~x - Ту = С; 3) у<3''2> = Зх<3-'2*
+ С; 4) у + 1 =
= С(х - 1). 295. 1) у = С 71 + х2 ; 2) х = Се'1^ + 2; 3) + In у- +
Л*
+ С = 0; 4) у = Сх2е'^'х}. 296.1) 2jx - arctg у — С; 2) arcsin у — С -
- 71 - х2. 297. 1) у2 = х2 + 12; 2) у = Зх; 3) s = t3-t2; 4) у3 = х3 + 8.
298.1) х2 - у2 + 4у - 2х = 0; 2) (1 - х)(1 + у) = 12; 3) у - In (ху) + х;
4) у = ех. 299. у = 11п |х| + 2. 300. у2 = + 3. 301. 1) у = -1,5 + Се2х;
3) у = (х + C)sin х. 303. 1) у = х3еЛ ; 2) у = + А .
64
Глава 6. Элементы комбинаторики
и теории вероятностей
§ 41. Элементы комбинаторики
304. Вычислите А? ; Р5; Cq
305. Вычислите Р8; А^3 ; С31.
306. Найдите число размещений из п + 1 элементов по k - 1.
307. Найдите число размещений из т + п элементов по т - п + 1.
308*. Проверьте справедливость равенства:
1)C*=C°; 2)С*2 = С72;
309. Найдите число сочетаний из п + 2 элементов по k - 1 в каж-
дом.
310. Найдите число сочетаний из т — п элементов по п + 1 в каж-
дом.
311. Сколькими способами можно рассадить за столом четырех
человек?
312. Сколькими способами можно составить четырехцветные
ленты из семи лент различных цветов?
313 . Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четы-
ре различные должности из девяти кандидатов?
314. Сколько необходимо взять предметов, чтобы число размеще-
ний из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?
315. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?
316. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?
317. Решите уравнение:
1) АЗ = А*; 2)30х = АЗ;
л л л
3 - 9663
65
318.Решите систему:
ОТВЕТЫ
304. 210; 120; 15. 305. 40 320; 8 648 640; 54 264.
306. (п 4-1) • п •... • (n - k 4- 3). 307. (т 4- л) • (т 4- п - 1) •... • 2п.
зло (п 4-2) • (n + 1) •... • (п - А 4-4) от (лг - и) ♦ (т - п - 1) •... • (т — 2п)
309, 1-2-...-(/? + !) ’ 310’ 1 • 2 •... • (л + 1)
311. 24. 312. 840. 313. 3024. 314. 6. 315. 20. 316. 720. 317. 1) 23; 2) 7;
3) 5; 4) 5. 318. 1) (14; 6); 2) (12; 5).
§ 42. Элементы теории вероятностей
319. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 дета-
лей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну
из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь I, II или
III сорта?
320.В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вы-
нимают один шар, который оказывается белым, и отклады-
вают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите
вероятность того, что этот шар тоже окажется белым.
321. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероят-
ность того, что 1) наудачу вынутый шар окажется черным;
2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.
322. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково
вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечет-
ным числом очков.
г
323. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из кото-
рых 4 стандартных. Контролер берет наудачу 3 детали. Най-
дите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей
окажется стандартной.
324. Вероятность попадания баскетболистом в кольцо равна 0,6.
Баскетболист сделал серию из четырех бросков. Какова
вероятность того, что при этом было ровно три попадания?
66
325. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное
число окажется кратным либо 4, либо 5, либо 4 и 5 одновре-
менно.
326. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый
автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для
второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найдите вероят-
ность того, что в течение часа ни один из автоматов не потре-
бует внимания рабочего.
327. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вы-
нуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того,
что оба шара окажутся белыми.
328. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите веро-
ятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара
окажутся черными.
329. В ящике сложены 16 деталей, изготовленных на первом уча-
стке, 24 на втором, 20 — на третьем. Вероятности Р} , Р2 , Р3
того, что детали, изготовленные на соответствующих участ-
ках, имеют отличное качество, составляет Pt = 0,8, Р2 = 0,6,
Р3 = 0,8. Определите вероятность того, что наудачу извлечен-
ная деталь окажется отличного качества.
330. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составля-
ет 0,8. Найдите вероятность трех попаданий при четырех вы-
стрелах.
ОТВЕТЫ
319.0,545; 0,364; 0,091. 320.0,559. 321.0,417; 0,152. 322.0,5.
323.0,833. 324.0,346. 325.0,4. 326.0,56. 327.0,2. 328.0,036.
329. 0,72. 330. 0,41.
ЧАСТЬ 2.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Глава 7. Элементы аналитической
геометрии на плоскости
§ 43. Прямая линия
33 1.Вычислите периметр треугольника, вершинами которого
служат точки Л (6; 7), В(3; 3), С(1; -5).
332. Найдите точку, равноудаленную от точек А(7; -1), В(—2; 2) и
С(-1; -5).
333. Точка С делит отрезок АВ в отношении 3 : 5 (от А к В). Конца-
ми отрезка служат точки А(2; 3), В(10; 11). Найдите точку С.
334. Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС : СВ = 3:4.
Найдите начало отрезка — точку А, если его концом служит
точка В(-1; 1).
335. Отрезок задан точками А(—5; -2) и В(-1; 0). До какой точки
С необходимо его продолжить, чтобы было справедливо соот-
ношение АВ : ВС = 2:5?
336. Вычислите длину отрезка прямой 4х + Зг/ - 36 = 0, заклю-
ченного между осями координат.
337. Преобразуйте уравнение прямой 2х + Зг/ — 6 = 0 в уравнение
в отрезках на осях.
338. Найдите длину отрезка прямой = 1» заключенного
между осями координат.
339 .Составьте уравнение прямой, проходящей через начало ко-
ординат и через точку А(-2; 3).
68
340.Составьте уравнение прямой, проходящей через начало ко-
ординат и образующей с осью абсцисс угол, равный arctg 3.
341. Диагональ прямоугольника, две стороны которого лежат на
положительных направлениях осей координат, равна 20. Уг-
4
ловой коэффициент диагонали составляет х. Найдите вер-
О
шины прямоугольника.
342 . Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (—5; -2)
и отсекающей на оси ординат отрезок Ъ = -12.
343 . Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3)
и образующей с осью абсцисс угол 45°.
344. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки
А(-1;-1),В(-2; -2).
345 . Составьте уравнения сторон треугольника, вершинами кото-
рого служат точки А(-3; -2), В(1; 5), С(8; -4).
346. Треугольник задан вершинами А(-3; 4), В(—4; —3), С(8; 1).
Составьте уравнение медианы AD.
347. Найдите угол наклона к оси абсцисс прямой, проходящей че-
рез точки А(-3; -3) и В(2; 1).
348. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (-4; -1)
и пересекающей ось ординат в точке (0; 3).
349. Найдите вершины треугольника, стороны которого заданы
уравнениями 4х + Зу + 20 = 0; 6х - 7у - 16 = 0; х — 5у + 5 = 0.
350. Найдите внутренние углы треугольника, если его стороны
заданы уравнениями 7х + 4t/ + 9 = 0; х — 8у + 27 = 0 и 2х - у —
-6 = 0.
351. Найдите острый угол между двумя прямыми, если первая
проходит через точки Aj (4; 2), Bj (1; -7), а вторая — через
точки А2 (-1; 3), В2 (8; 6).
352. Найдите внутренние углы треугольника, если его вершина-
ми служат точки А(-6; -3), В(6; 7), С(2; —1).
353. Дан треугольник с вершинами А(6; 8), В(2; -4), С(-6; 4).
Найдите угол между стороной АВ и медианой, проведенной
из вершины А.
69
354. Найдите острый угол между двумя прямыми, проходящими
через начало координат и через точки, которыми отрезок
прямой х + Зу - 9 = 0, заключенный между осями координат,
делится в отношении 1 : 3 : 2 в направлении от точки его пе-
ресечения с осью абсцисс к точке пересечения с осью орди-
нат.
355. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5)
и образующей с прямой Зх - у 4- 4 = 0 угол, равный arctg |.
356. Две прямые, проходящие через начало координат, образуют
1
между собой угол, равный arctg х • Отношение угловых ко-
О
эффициентов этих прямых составляет 2:7. Составьте урав-
нения этих прямых.
357. Треугольник задан вершинами А(-6; -2), В(4; 8), С(2; -10).
Составьте уравнение биссектрисы угла ВАС.
358. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (-3; 2)
параллельно прямой 5х - Зу 4- 21 = 0.
359. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пере-
сечения прямых х4-г/-4 = 0их-г/ = 0 параллельно прямой
х - 4у 4- 4 = 0.
360. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
М(4; -3) и перпендикулярной прямой 5х — 2у 4- 10 = 0.
361. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало ко-
ординат перпендикулярно прямой, пересекающей ось абс-
цисс в точке (2; 0) и ось ординат в точке (0; -6).
362. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пере-
сечения прямых х4-2г/4-4 = 0иЗх-г/ — 9 = 0 перпендику-
лярно прямой х 4- у - 7 = 0.
363. Прямая проходит через середину отрезка прямой Зх - 7у 4-
4-21 = 0, заключенного между осями координат, перпенди-
кулярно этому отрезку. Составьте уравнение прямой.
364. Составьте уравнения высот треугольника, вершинами кото-
рого служат точки (-4; 2), (6; 5), (1; -4).
365. Составьте уравнения высот треугольника по уравнениям его
сторон: Их 4- 2у - 21 = 0; 8х - Зу 4- 7 = 0 и Зх 4- 5г/ 4- 21 = 0.
366. Найдите расстояние от точки М(-2; 4) до прямой 4х - Зу -
-5 = 0.
70
367. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми
4х + Зу + 33 = 0 и 4х + Зу — 17 = 0.
368. Даны уравнения сторон треугольника: 6х — 5t/ + 8 = 0; 4х +
+ у - 38 = 0; х - Зу - 3 = 0. Составьте уравнения его медиан.
369. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (8; 5)
и образующей с осью абсцисс угол, в два раза больший угла,
образуемого прямой х - 4 у + 4 = 0 с той же осью.
370. Треугольник задан вершинами А(-5; -2), В(7; 6), С(5; -4).
Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы,
проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведен-
ной из вершины С; 4) углы Z АВА, Z АСВ; 5) центр тяжести
треугольника (центр тяжести лежит в точке пересечения ме-
диан).
371. Даны уравнения двух сторон ромба: Зх - 1 Оу + 37 = 0, 9х +
+ 2г/-17 = 0и уравнение одной из его диагоналей Зх - 2у -
- 19 = 0. Составьте уравнения двух других сторон ромба и
второй его диагонали.
372. Даны уравнения двух сторон параллелограмма Зх — 2у + 12 =
= 0;х-Зг/+11 = 0и точка пересечения его диагоналей (2; 2).
Составьте уравнения двух других сторон параллелограмма и
его диагоналей.
373. Две противоположные вершины квадрата находятся в точ-
ках А (-1; 1) и С(5; 3). Составьте уравнения сторон и диагона-
лей этого квадрата.
374. Составьте уравнения катетов прямоугольного равнобедренно-
го треугольника, если уравнение его гипотенузы х - 2у - 3 = 0,
а вершиной прямого угла служит точка С(1, 6).
375. Луч света, выйдя из точки А(3; 10), отражается от прямой
2г+</-6 = 0и после отражения проходит через точку
В (7; 2). Составьте уравнения падающего и отраженного
лучей.
ОТВЕТЫ
331.18 + 2717. 332.(2; -1). 333.(5; 6). 334. А(6; 8). 335. С(9; 5).
336. 15. 337. | + g - 1. 338. 15. 339. Зх + 2у = 0. 340. 7х - у = 0.
341. (0; 0), (12; 0), (12; 16), (0; 16). 342. у + 2х + 12 = 0. 343. х - у + 1 =
= 0. 344. х - у = 0. 345. АВ: Зх - 4у + 13 = 0; ВС: 9х + 7у - 44 = 0;
71
AC: 2x 4- 11г/ 4- 28 = 0. 346.x 4- у - 1 = 0. 347. arctg 0,8 « 38°,7.
348. x - у + 3 = 0. 349. (-2; -4), (5; 2), (-5; 0). 350. « 67°,4; - 56°,3;
= 56°,3. 351.« 53°,1. 352. Z A ~ 25°,8; ZB - 23°,6; ZC « 130°,6.
353. arctg 0,5 « 26 °,6. 354. arctg = 29°,9. 355. 2x - у 4- 9 = 0.
356. у = 2x и у = 7x; у = |
х и у = 1 х. 357. у 4- 2 = 0. 358. 5х - Зу 4- 21 =
= 0. 359. х - 4i/ 4- 6 = 0. 360. 2х 4- 5у 4- 7 = 0. 361. х 4- Зу = 0.
362. х - у - 5 = 0. 363. 7х 4- Зу 4- 20 = 0. 364. 10х 4- Зу 4- 2 = 0; 5x4-9t/4-
4- 2 = 0; 5х - бу — 0. 365. 2х - Hi/ - 29 = 0; 5х - Зу 4-10 = 0; Зх 4- 8у 4-
4- 39 = 0. 366. 5. 367.10. 368. 8х - Hi/ + 2 = 0; 5х - 2у - 15 = 0; 2х 4-
4- 7у - 32 = 0. 369. 8х - 151/ 4- 11 = 0. 370. 1) 2х - Зу 4- 4 = 0;
2) Зх - 11г/ - 7 = 0; 3) Зх 4- 2у - 7 = 0; 4) 45°, 90°; 5)
(I ; О). 371. 9x4-
<3 /
4- 2у - 113 = 0; Зх - Юг/ - 59 = 0; 2х 4- Зу - 14 = 0. 372. х - Зу - 3 = 0;
Зх - 2у - 16 = 0; х 4- 4у - 10 = 0; 5х - 8у 4- 6 = 0. 373. 2х - у 4- 3 = 0;
2х - у - 7 = 0; х 4- 2у - 1 = 0; х 4- 2у - 11 = 0; Зх 4- у - 8 = 0; х - Зу 4-
4-4 = 0. 374. Зх - у 4- 3 = 0; х 4- Зу - 19 = 0. 375. Зх - у 4-1 = 0; х 4- Зу -
-13 = 0.
§ 44. Окружность
376.Составьте уравнение окружности с центром в точке (—1; 4),
проходящей через точку (3; 5).
377. Найдите координаты точек пересечения окружности х2 4-
4- у2 - 8х - 2у — 8 - 0 и прямой 4х 4- Зу - 19 = 0.
378.Составьте уравнение окружности, проходящей через точки
(2; 8), (4; -6), (-12; -6).
379 . Составьте уравнение окружности, описанной около тре-
угольника, стороны которого лежат на прямых: х - у 4- 4 = О,
Зх 4- у - 16 = 0, х 4- 2у - 2 - 0.
380.Составьте уравнение окружности, проходящей через точки
(8; 5), (-1; -4) и имеющей центр на оси абсцисс.
381.Составьте уравнение окружности, проходящей через точки
(- 8; 3) (2; -7), если центр ее лежит на прямой х 4- 4у 4-16 = 0.
382. Найдите координаты центра и радиус окружности х2 4- у2 4-
4- 6х — 10у 4-13 = 0.
72
3 83.Вычислите расстояние между центрами окружностей х2 4-
+ у2- 10х + 16г/ 4- 80 = 0, х2 4- у2 4- 6х 4- 4у -12 = 0.
384 .Составьте уравнение прямой, проходящей через центры ок-
ружностей х2 + у2 - 8х - 4у 4- 11 = 0, х2 4- у2 4- 4х 4- 12у + 4 = 0.
385 . Дана окружность х2 4- у2 - 4х - бу — 0. Составьте уравнение
диаметра, перпендикулярного хорде 2х - Зу + 13 = 0.
386 .Составьте уравнение радиуса, проведенного в точку (5; -6)
окружности х2 4- у2 - 6х 4- 2у - 19 = 0.
387 .Составьте уравнение общей хорды двух пересекающихся ок-
ружностей х2 4- у2 4- 2х 4- 2у - 23 = 0, х2 4- у2 — 26х - 2у 4- 45 = 0.
388 .Составьте уравнения касательной и нормали к окружности
х2 4- у2 = 25 в точке (—3; 4).
ОТВЕТЫ
376. (х 4-1)2 4- (у - 4)2 = 17. 377. (1; 5), (7; -3). 378. (х 4- 4)2 4- у2 = 100.
379. (х - З)2 4- {у - 2)2 = 25. 380. (х - 4)2 4- //2 = 41. 381. (х 4- 4)2 4- (у +
4- З)2 = 52. 382. (-3; 5), 721.383. 10. 384. 4х - Зу - 10 = 0. 385. Зх 4-
4- 2у - 12 = 0. 386. 5х + 2у - 13 = 0. 387. 7х 4- у -17 = 0. 388. Зх-4у4-
4- 25 = 0; 4х 4- Зу = 0.
§ 45.Эллипс
389 .Составьте уравнение эллипса:
1) с фокусами на оси ОХ, если 2а — 8 и 2Ъ — 6;
2) с фокусами на оси ОУ, если 2а = 10 и 2Ь = 4.
390. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находят-
ся в точках (-5; 0) и (5, 0), а фокусы в точках (—3, 0), (3; 0).
л х2 и2
391. Для элипса $? + тг = 1 найдите координаты вершин и длины
ZjO У
осей.
х2
392. Найдите координаты фокусов эллипса
X
। У 1
4- = 1 и расстоя-
ние между ними.
393 . Вычислите эксцентриситет эллипса
73
394.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если
расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет
е = 0,6.
395.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если
большая ось равна 10, а эксцентриситет е = 0,6.
396. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если он
проходит через точки (6; 4) и (8; 3).
397. Составьте уравнение касательной и нормали к эллипсу
х2
27
ОТВЕТЫ
389.1) g + ^ = 1: 2) + f| = 1.390. Й + Й = 1- 391. (-5; О), (5; 0),
(0; -3), (0; 3); 2а = 10, 2Ь = 6. 392. (-3; 0) (3; 0); 2е = 6. 393. е = | .
y«2 у2 »»2 у2 »»2
394- ЙЮ + й = Г 395' 25 + Гб - 396- йй + 25 “ Е 397- 2х + 3У +
+ 18 = 0, Зх - 2у + 1 = 0.
§ 46.Гипербола
398 .Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в
точках (-3; 0), (3; 0), а фокусы
в точках (-3j5;0), (375;0).
X2 и2
399 . Дано уравнение гиперболы 77-99 = 1. Найдите координаты
JL ии
ее фокусов и расстояние 2с между ними.
х2 и2
400 . Найдите эксцентриситет гиперболы 77 - ^=- =1.
х2 w2
401 .Составьте уравнение асимптот гиперболы ^7 — = 1.
64
402 .Составьте уравнение гиперболы, если координаты ее фокусов
(±2</2 ; 0), а эксцентриситет е = 2.
403.Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если
длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит
через точку (-10; -3).
74
404.Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если
она проходит через точки (-6; - ) и (6 J2 ; 4).
405.Составьте уравнение гиперболы по уравнениям ее асимптот
у = х и координатам точки (9; 3^2 ), через которую она
О
проходит.
406. Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты ги-
11
перболы -д’ “ 26
407.Составьте уравнение равносторонней гиперболы с фокусами
на оси Ох, если гипербола проходит через точку (-5; 4).
408.Составьте уравнения касательной и нормали к гиперболе
16 64
= 1 в точке (—5; 6).
ОТВЕТЫ
398. Й - Й = 1. 399. (-6; 0), (6; О), 2с = 12. 400. е = , . 401. у = ±? .
У ОО о 4
у2 .,2 у2 ,.2 у2 „2 у2 ,,2
402. - у- = 1. 403. ~ - 1. 404. ~ = 1. 405. £= - £ -1.
z о о4 1о о Z 9
406. (0; -4), (0; 4), (0, -5), (0; 5), е = |; у = х. 407. х2 - у2 = 9.
408.10х + Зу + 32 - 0, Зх - 10.у + 75 = 0.
§ 47. Парабола с вершиной в начале координат
409. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди-
нат, если ее директрисой служит прямая х = -2.
410. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди-
нат, если ее фокус находится в точке (5; 0).
411. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди-
нат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через
точку (2; -3).
412. Составьте уравнение директрисы параболы х2 — 4у.
75
413. По данному уравнению параболы вычислите координаты ее
фокуса:
1) У2 = 6х;
2) х2 = 14 у.
414. Найдите координаты фокуса параболы с вершиной в начале
координат, если ее директриса задана уравнением: 1) х = 2;
2)г/ = 4.
415. Найдите точки пересечения парабол у = х2 и х = у2.
416. Составьте уравнения касательной и нормали к параболе
у2 = 8х в точке (2; -4).
ОТВЕТЫ
409. у2 = 8х. 410. у2 = 20х. 411. х2 = — | у. 412. у =
-1. 413. 1) ; О');
2) (О;
. 414. 1) (-2; 0); 2) (0; -4). 415. (О; 0); (1; 1). 416. х + у + 2 = 0;
х - у - 6 = 0.
§ 48. Парабола со смещенной вершиной
417. Составьте уравнение параболы с осью симметрии, параллель-
ной оси Оу, если парабола проходит через точку (-6; -8) и
имеет вершину (2; 4).
418. Составьте уравнение параболы с вершиной (4; 6) и фокусом
(-2; 6).
419. Составьте уравнение параболы с вершиной (1; -3) и директ-
рисой х = 5.
420. Найдите координаты вершины параболы х2 — 6х — бу - 21 =
= 0.
421. Найдите координаты фокуса параболы у2 - 8у - 8х - 8 = 0.
422.Составьте уравнение оси параболы х2 + 16х — 18г/ 4- 100 = О.
423.Составьте уравнение директрисы параболы у2 — 2у - 10х +
+ 11 = 0.
424. Составьте уравнение касательной и нормали к параболе
у = х2 - 7х + 10 в точке х = 4.
76
ОТВЕТЫ
417. (х - 2)2 = -£ (.у - 4). 418. (у - 6)2 = -24(х - 4). 419. (у + З)2 =
О
= -16(х - 1). 420. (3; -5). 421. (-1; -4). 422. х = -8. 423. х = -1,5.
424. x-z/-6 = 0, x + t/-2 = 0.
Глава 8. Элементы стереометрии
§ 49. Прямая и плоскость в пространстве
425. Концы отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 см и
44 см. Вычислите проекцию этого отрезка на плоскость.
426. Отрезок длиной 15 см пересекает плоскость, концы его отсто-
ят от плоскости на 3 см и 6 см. Вычислите проекцию этого от-
резка на плоскость.
427. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости противо-
положной грани, если длина его диагонали равна d.
428. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с
катетами, равными 15 и 20, проведен перпендикуляр к плос-
кости треугольника длиной 16. Вычислите расстояние от
концов перпендикуляра до гипотенузы.
429. Стороны треугольника составляют 51, 30 и 27. Из вершины
меньшего угла треугольника проведен к его плоскости пер-
пендикуляр длиной 10. Вычислите расстояние от концов
перпендикуляра до противоположной стороны треуголь-
ника.
430. Диагонали ромба равны 60 и 80. В точке пересечения диаго-
налей к плоскости ромба проведен перпендикуляр длиной
45. Вычислите расстояние от конца перпендикуляра до сто-
роны ромба.
431. Точка М находится на расстоянии 11 см от каждой стороны
равнобедренной трапеции с основаниями, равными 16 см и
30 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости трапе-
ции.
77
432. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведе-
ны две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции
составляют между собой угол 120 . Вычислите расстояние
между концами наклонных.
433*. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из ка-
тетов образует с плоскостью, в которой лежит другой катет,
угол 45°. Докажите, что гипотенуза образует с этой плоско-
стью угол 30°.
434*. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол 45°, а прямая
АС, лежащая в плоскости а, составляет угол 45° с проекци-
ей наклонной АВ. Докажите, что ZBAC = 60°.
435. На грани двугранного угла, равного 60е, дана точка, удален-
ная от ребра на расстояние т. Найдите расстояние от этой
точки до другой грани.
436. Внутри двугранного угла, равного 120°, дана точка М, уда-
ленная от каждой из граней на расстояние in. Найдите рас-
стояние от этой точки до ребра двугранного угла.
437. Площадь плоского многоугольника равна 150 см2. Вычис-
лите площадь проекции этого многоугольника на плос-
кость, составляющую с плоскостью многоугольника угол,
равный 60°.
438. Дан треугольник АВС со сторонами а = 13 см, Ъ = 14 см,
с = 15 см. Через сторону ВС проведена плоскость а под уг-
лом 30° к плоскости ДАВС. Вычислите площадь проекции
этого треугольника на плоскость а.
439. Вычислите площадь плоского многоугольника, если пло-
щадь его проекции равна 20 см2 и двугранный угол между
плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции ра-
вен 45°.
440* Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла —
прямые, то и противоположные им двугранные углы — пря-
мые.
ОТВЕТЫ
425. 48 см. 426. 12 см. 427. . 428. 12, 20. 429. 24, 26. 430. 51 см.
О
431.1 см. 432. aj3. 435. . 436. . 437. 75 см2. 438. 42-УЗ см2.
Z О
439. 20л/2 см2.
78
§ 50. Призма и параллелепипед
441. Какое число граней Ь, вершин s, ребер с и боковых ребер С
имеют треугольная, четырехугольная и шестиугольная
призмы?
442. Сколько плоских р, двугранных d и трехгранных t углов
имеют треугольная, четырехугольная, шестиугольная и
n-угольная призмы?
443. Сколько диагоналей имеют треугольная, четырехугольная,
шестиугольная и n-угольная призмы?
444. Сколько диагональных сечений можно провести через одно
боковое ребро в треугольной, четырехугольной, шестиуголь-
ной и n-угольной призме?
445. В правильной шестиугольной призме сторона основания рав-
на т, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали приз-
мы и площади диагональных сечений.
446. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 13,
20 и 21, а высота призмы равна 25. Вычислите площадь сече-
ния, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту ос-
нования.
447. Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепи-
педа с измерениями 12, 16, 21.
448. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, каждое ребро
которого равно а, а угол в основании равен 60°.
449. Найдите зависимость между ребром куба а и диагональю d.
450. Найдите расстояние от вершины куба со стороной а до его
диагонали.
451. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если диагона-
ли его граней соответственно равны 11, 19 и 20.
452. В прямом параллелепипеде диагонали образуют с плоско-
стью основания углы 45° и 60'. Стороны основания равны 17
и 31. Найдите диагонали этого параллелепипеда.
453. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоско-
стью, проведенной через середины трех ребер, выходящих из
одной вершины.
79
454. В треугольной наклонной призме расстояния между боковы-
ми ребрами равны 20, 34 и 42. Найдите расстояние между
большей боковой гранью и противоположным ей боковым
ребром.
ОТВЕТЫ
441. Треугольная: b = 5, s = 6, с = 9, С = 3; четырехугольная: b = 6,
s — 8, с = 12, С — 4; шестиугольная: b — 8, $ = 12, с — 18, С — 6.
442. Треугольная: р = 18, d = 9, t = 6; четырехугольная: р = 24, d = 12,
t = 8; шестиугольная: р= 36, d = 18, t — 12; n-угольная: р = 6n, d = Зп,
t = 2п. 443. 0; 4; 18; п(п — 3). 444. 0; 1; 3; п — 3. 445. 2т; mj2 ; т* 2 * * S 6 J3 ;
2т2. 446. 300. 447. 29. 448. aj2 , 2а. 449. а = . 450. . 451. 21.
о о
452. 50, 2б7б.453. . 454.16.
О
§ 51. Площади поверхностей призмы
и параллелепипеда
455. Площадь поверхности куба равна S. Найдите длину его
ребра.
456. Найдите площадь поверхности куба: 1) по его диагонали d;
2) по площади Q его диагонального сечения.
457. Площади полных поверхностей двух кубов равны S и Q.
В каком соотношении находятся ребра этих кубов?
458. Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного па-
раллелепипеда, высота которого равна h, площадь основания
S и площадь диагонального сечения Q.
459. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся как
3:6: 22, а его диагональ равна 23. Найдите площадь полной
поверхности параллелепипеда.
460. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны
6 см и 8 см, а площадь диагонального сечения — 180 см2. Вы-
числите площадь полной поверхности параллелепипеда.
80
461. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно
12 см, площадь диагонального сечения равна 312 см2, пло-
щадь основания — 240 см2. Вычислите стороны его основа-
ния.
462. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания рав-
ны 3 и 8 и образуют угол 60°. Большая диагональ параллеле-
пипеда равна 49. Вычислите площадь боковой поверхности
параллелепипеда.
463. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диаго-
налями 12 и 16, диагональ боковой грани равна 26. Вычис-
лите площадь полной поверхности параллелепипеда.
464. Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью
основания углы 30° и 45°, а стороны оснований равны 6 см и
8 см. Вычислите площадь боковой поверхности параллеле-
пипеда.
465. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы
составляет 13 см, площадь боковой поверхности — 180 см2.
Вычислите площадь основания призмы.
466. В правильной шестиугольной призме диагонали равны 17
и 15. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
467. В прямой треугольной призме стороны оснований относятся
как 17 : 15:8, боковое ребро составляет 20 см. Площадь пол-
ной поверхности — 2080 см2. Вычислите площадь ее боковой
поверхности.
468. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапе-
ция, боковая сторона которой составляет 26 см, основания —
22 см, 42 см, площадь диагонального сечения — 400 см2. Вы-
числите площадь полной поверхности призмы.
469. В прямой треугольной призме стороны основания 34, 50, 52.
Площадь сечения, проведенного через боковое ребро и боль-
шую высоту основания, равна 480. Вычислите площадь ее бо-
ковой поверхности.
470. В наклонной треугольной призме расстояния между боковы-
ми ребрами составляют 10, 10, 12, боковое ребро — 15.
Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
81
ОТВЕТЫ
455. V6S/6. 456. 1) 2d'2; 2) 3QV2. 457. Js / JQ. 458. 2 Jq2 + 2SA2.
459.432. 460.600 см2. 461.10 cm. 24 cm. 462.1056. 463.1152.
464. 140 ^2 cm2. 465. 75g— см2 или 54^3 см2. 466.48733.467.1600 см2.
468. 2696 см2. 469. 1360. 470. 480.
§ 52. Пирамида. Усеченная пирамида
471. По стороне основания а и боковому ребру b найдите высоту
правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной;
3) шестиугольной.
472 . По стороне основания а и высоте h найдите апофему правиль-
ной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шес-
тиугольной.
473. По стороне основания а и высоте h найдите боковое ребро
правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной;
3) шестиугольной.
474. В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол
при стороне основания составляет 60е, сторона основания —
а. Найдите высоту и апофему пирамиды.
475. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно т и
образует с плоскостью основания угол а. Вычислите сторону
основания пирамиды.
476. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна ht бо-
ковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания
под углом а. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.
477. В правильной четырехугольной пирамиде угол между высо-
той и боковым ребром составляет а, сторона основания
пирамиды — а. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
478. В правильной треугольной пирамиде угол между высотой и
боковым ребром составляет а, сторона основания пирами-
ды — а. Найдите высоту пирамиды.
479 . По стороне основания а и боковому ребру т правильной тре-
угольной пирамиды вычислите площадь сечения, проведен-
ного через боковое ребро и высоту пирамиды.
82
480.Найдите площадь диагонального сечения правильной четы-
рехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а,
а ее боковое ребро образует с плоскостью основания угол а.
481.О снование пирамиды — прямоугольник со сторонами 12 и
16, длины боковых ребер равны 26. Найдите высоту пира-
миды.
482.О снование пирамиды — треугольник со сторонами 20, 21 и
29. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основа-
ния углы, равные 45°. Найдите высоту пирамиды.
483.О снованием пирамиды служит параллелограмм со сторона-
ми 3 и 7 и одной из диагоналей, равной 6. Высота пирамиды,
проходящая через точку пересечения диагоналей основания,
равна 4. Найдите боковые ребра пирамиды.
484.О снование пирамиды — равнобедренный треугольник, у ко-
торого основание равно 12 см, а боковые стороны равны
10 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием
двугранные углы, каждый из которых равен 45е. Найдите
высоту пирамиды.
485.В ысота пирамиды разделена на четыре равные части, и через
точки деления проведены плоскости, параллельные основа-
нию. Площадь основания равна 400 см2. Вычислите площади
сечений.
486.В ысота пирамиды h = 36 см, площадь основания S = 400 см2.
На каком расстоянии от основания находится сечение с пло-
щадью 100 см2, параллельное основанию?
487.Н айдите высоту правильной усеченной: 1) треугольной;
2) четырехугольной; 3) шестиугольной пирамиды, если сто-
роны нижнего и верхнего оснований равны соответственно
а и д, а боковое ребро равно с.
488 .В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторо-
ны большего и меньшего оснований равны а и д, а боковое
ребро образует с основанием угол 60°. Найдите высоту пира-
миды.
489.Ст ороны правильной четырехугольной усеченной пирамиды
составляют 10 и 2, высота — 2. Найдите боковое ребро пира-
миды.
83
490. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота
составляет 36, апофема — 45, стороны оснований относятся
как 1:4. Найдите эти стороны.
491. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота
равна 7, стороны оснований — 3 и 5. Найдите ее диагональ.
492. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны ос-
нования равны а и Ъ (а > Ь), а боковое ребро образует с осно-
ванием угол 45°. Найдите площадь сечения, проведенного че-
рез боковое ребро и высоту основания.
ОТВЕТЫ
471.1) jb2 - ; 2) Jh2 - ; 3) ../б2^«2. 472. 1) | Jw + ;
2) | J4h2 + а2 ; 3) | -/4Л2 + За2. 473. 1) ^Л2 + у; 2) J/;2 + ;
3) Jh2 + а2. 474.^; аТЗ. 475. m V3 cos а. 476. t-c0—.
' 2 sin а
477.-А—. 478. 479. aj3m2 ' . 480. 481.24.
л/2 sin а 73 tg а 4 2
482. 6. 483. 5,6. 484. 3 см. 485. 225 см2, 100 см2, 25 см2. 486.18 см.
487.1) Jc2 - (0 ~ fr>- ; 2) Jc2 - —з'-- ; 3) ./с2 - (а - 6)2 .
488. "''61а2~ Ь> . 489. 6. 490. 72, 18. 491. 9. 492. “2 ~ .
§ 53. Площади поверхностей пирамиды
и усеченной пирамиды
493. По стороне основания а и высоте h найдите площадь полной
поверхности правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четы-
рехугольной; 3) шестиугольной.
494.Вычислите площадь боковой поверхности правильной тре-
угольной пирамиды, если ее высота равна 9, а апофема — 18.
495. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой
поверхности равна 240 см2, а площадь полной поверхнос-
ти — 384 см2. Найдите сторону основания а и высоту h пира-
миды.
84
496. Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав-
на а, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол
30 '. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.
497. По стороне основания а найдите площадь боковой поверхнос-
ти правильной четырехугольной пирамиды, у которой пло-
щадь диагонального сечения равновелика площади основа-
ния.
498.В правильной треугольной пирамиде апофема, равная 6 см,
составляет с плоскостью основания угол 60°. Вычислите пло-
щадь полной поверхности пирамиды.
499. Площади основания и диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды равны S кв. ед. Найдите пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
500.В правильной шестиугольной пирамиде апофема равна 15,
высота — 12. Найдите площадь полной поверхности пирами-
ды.
501. Основание пирамиды — квадрат со стороной 16 см, а две бо-
ковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вы-
числите площадь полной поверхности пирамиды, если ее вы-
сота равна 12см.
502.Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, кате-
ты которого равны 3 и 4. Каждая боковая грань наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь пол-
ной поверхности пирамиды.
503 .Основание пирамиды — ромб с диагоналями, равными 6 м и
8 м. Высота составляет 1 м. Вычислите площадь полной по-
верхности пирамиды, если все двугранные углы при основа-
нии равны.
504. По сторонам оснований а и b (а > Ь) и высоте h найдите пло-
щадь боковой поверхности правильной усеченной пирами-
ды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
505.В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторо-
ны оснований равны 24 см и 8 см, а высота — 15 см. Вычис-
лите площадь полной поверхности пирамиды.
506. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площа-
ди оснований равны 25 см2 и 9 см2, а боковое ребро образует
с плоскостью нижнего основания угол 45°. Вычислите пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
85
ОТВЕТЫ
493.1)^(У12Л2 + а2 +а);2)а(74й2 + а2 + а); 3)За(л/4Л2 + За2 +
+ а73)/2. 494. 1458. 495. а = 12 см, h = 8 см. 496. a2(j7 + Л )/4.
497.3а2. 498. 81Л дм2. 499. 3S. 500. 432 Л - 501.768 см2. 502.18.
503. 50 м2. 504.1) 3(а + b) Uh2 + {а ~ 6)2 /4; 2) (а + b)j4h2 + (а - Ь)2 ;
3) 3(а + Ь) ил2 1{а ~ Ь}2 . 505. 1728 см2. 506. 16 Л см2.
§ 54. Цилиндр
507 . Радиус основания цилиндра R = 3 см, высота h = 8 см. Най-
дите длину диагонали осевого сечения и острый угол ее на-
клона к плоскости основания.
508 .Диагональ осевого сечения цилиндра а = 26 см, высота
h = 24 см. Вычислите площадь основания цилиндра.
509 .Радиус основания цилиндра R — 13 см, его высота h = 20 см.
Вычислите площадь сечения, проведенного параллельно оси
цилиндра на расстоянии 5 см от нее.
510 .В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекаю-
щая от окружности основания дугу в 60°. Высота цилиндра
равна 15 см, расстояние от секущей плоскости до оси ци-
линдра равно 3 см. Вычислите площадь сечения.
511 . Диагональ осевого сечения цилиндра, имеющего квадрат в
осевом сечении, равна а. Вычислите площадь полной поверх-
ности вписанной в этот цилиндр шестиугольной призмы.
512 . Около цилиндра радиуса г, осевое сечение которого квадрат,
описана правильная треугольная призма. Найдите площадь
ее боковой поверхности.
513 .Основанием прямой призмы является прямоугольный тре-
угольник с катетами 6 см, 8 см. Длина бокового ребра равна
10 см. Вычислите площади осевых сечений соответственно
вписанного в призму и описанного около призмы цилиндров.
86
514. В правильной треугольной призме боковое ребро равно а;
отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром
основания, составляет с плоскостью основания угол а.
Вычислите площадь осевого сечения вписанного в призму
цилиндра.
ОТВЕТЫ
507.10 см, arcsin(4/5). 508. 25л см2. 509.480 см2. 510. 30 73 см2.
511. [3tz2(4 + J3 )]/8. 512.12г2 J3.513. 40 см2, 100 см2. 514. | a2ctg а.
§ 55. Площади боковой и полной
поверхностей цилиндра
515. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите пло-
щадь боковой поверхности цилиндра.
516. Образующая равностороннего цилиндра равна I. Вычислите
площадь боковой поверхности цилиндра.
517. Площадь боковой поверхности цилиндра составляет полови-
ну площади его полной поверхности, диагональ осевого сече-
ния — 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
518. В цилиндре через середину радиуса основания проведено се-
чение перпендикулярно радиусу. Сечение образует квадрат
площадью 16 см2. Вычислите площадь боковой поверхности
цилиндра.
519. Площадь полной поверхности цилиндра составляет 1170л см2,
а радиус его основания — 15 см. На каком расстоянии от оси
цилиндра проходит сечение, имеющее форму квадрата?
520. Квадрат со стороной а вращается вокруг внешней оси, парал-
лельной его стороне и удаленной от квадрата на расстояние
а. Найдите площадь полной поверхности полученной фигу-
ры вращения.
ОТВЕТЫ
515. лЯ. 516. л/2. 517. 20л. 518. см2. 519. 9 см. 520. 12ла2.
О
87
§ 56. Конус. Усеченный конус
521. Площадь осевого сечения конуса равна 48 см2, его образую-
щая составляет с плоскостью основания угол а. Вычислите
площадь основания конуса.
522. Радиус основания конуса R = 6 см, его высота h = 12 см. Най-
дите площадь сечения, проведенного параллельно оси конуса
на расстоянии 2 см от нее.
523. В конусе проведена плоскость, параллельная оси и отсекаю-
щая от окружности основания дугу, равную 120°. Высота ко-
нуса 12 см, расстояние от секущей плоскости до оси 3 см.
Найдите площадь сечения.
524. Радиус основания конуса равен R. Найдите площадь сече-
ния, параллельного основанию, делящего высоту конуса в
отношении т : п (от вершины к основанию).
525. В равностороннем конусе (в осевом сечении — правильный
треугольник) радиус основания равен R. Найдите площадь
сечения, проведенного через две образующие, угол между ко-
торыми равен 60°.
526. Высота конуса равна Н, угол между высотой и образую-
щей — 30°. Найдите площадь сечения, проведенного через
две образующие, угол между которыми равен 60 е.
527. Через вершину конуса с высотой, равной Н, под углом 60° к
плоскости основания проведена плоскость, отсекающая ду-
гу, равную 90е. Найдите площадь сечения.
528. В правильной треугольной пирамиде длина стороны основа-
ния а, двугранный угол при основании а. Найдите площадь
осевого сечения вписанного конуса.
529. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол
между образующей и высотой конуса.
530. Сектор, радиус которого равен L, а угол равен а, свернут в ко-
ническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
531. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г (R > г), об-
разующая наклонена к основанию под углом а. Найдите вы-
соту конуса.
88
532. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г (R > г),
высота равна Н, Найдите образующую.
533. Радиусы оснований усеченного конуса составляют 18 см и
30 см, образующая составляет 20 см. Найдите расстояние от
центра меньшего основания до окружности большего.
534. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г; образую-
щая равна I. Найдите площадь осевого сечения.
535. Площади оснований усеченного конуса составляют 32 см2 и
2 см2. Высота разделена на три равные части, и через точки
деления проведены плоскости параллельно основаниям.
Найдите площади сечений.
536. Радиусы оснований усеченного конуса составляют 10 см и
6 см. Высота разделена на четыре равные части, и через точ-
ки деления проведены плоскости параллельно основаниям.
Найдите площади сечений.
ОТВЕТЫ
521. ~ . 522.32 J2 см2. 523.18 ./3 см2. 524. яй2т2/(т + л)2.
525. Л2 ,/3.526. I Нг. 527. | Я2. 528. (<z2tg а)/12. 529. 30°. 530. L а/360°.
531. (jR- г) tg а. 532. Jh2 + (В - г)2. 533.34 см.
534. (R + г) Jl2 + (R — z)2 . 535.18 см2, 8 см2. 536. 49л см2, 64л см2,
81л см2.
§ 57. Площади боковой и полной поверхностей
конуса и усеченного конуса
537. Площадь основания конуса составляет So, а площадь его осе-
вого сечения — Sr. Вычислите площадь его боковой поверх-
ности.
538. Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна Q.
Найдите площадь его полной поверхности.
539. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и
4 см, вращается вокруг оси, параллельной гипотенузе и про-
ходящей через вершину прямого угла. Вычислите площадь
поверхности фигуры вращения.
89
54 0.В равносторонний конус вписан равносторонний цилиндр.
Найдите площадь боковой поверхности конуса, если пло-
щадь боковой поверхности цилиндра равна S.
541. Треугольник со сторонами, равными 8 см и 5 см, и углом
между ними, составляющим 60°, вращается вокруг оси, про-
веденной через вершину этого угла перпендикулярно мень-
шей стороне. Найдите площадь поверхности фигуры враще-
ния.
542. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г {R > г),
а образующая наклонена к плоскости основания под углом
60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
543. Около шара радиуса г описан усеченный конус, в котором об-
разующая составляет с основанием угол а. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
544. Найдите высоту усеченного конуса, если площадь его боко-
вой поверхности равновелика сумме площадей оснований,
а радиусы оснований равны Rn г.
545. Вокруг сферы радиуса 6 см описан усеченный конус, ра-
диусы оснований которого относятся как 4 : 9. Найдите пло-
щадь боковой поверхности усеченного конуса.
546. В усеченный конус вписана сфера радиуса г. Из центра сфе-
ры диаметр большего основания виден под углом а. Найдите
площадь боковой поверхности усеченного конуса.
ОТВЕТЫ
537. JS2 + л282 . 538. Q л Л - 539. 40,8 кем2. 540. S (4^3 + 7)/6.
541. 120 к см2. 542. 2 л (R2 - г2). 543. 4 л r2/sin 2 а. 544. 2 Rr/(R -I- г).
545. 169 л см2. 546. 4 л z*2/sin 2 а.
§ 58. Сфера и шар. Вписанная и описанная сферы.
Площади поверхностей сферы и ее частей
547. Сфера проходит через точку (-3; 4; -2), а ее центр находится
в начале координат. Составьте уравнение сферы.
548. Найдите кратчайшее расстояние от точки (6; -3; —2) до сфе-
ры х2 + у2 + z2 = 9.
90
549. Найдите центр и радиус R сферы х2 — 6х + у2 — Sy + z2 - 4г +
+ 4 = 0.
550. Точка (4; -2; 3) лежит на сфере с центром (2; -3; -1). Соста-
вьте уравнение сферы.
551. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и
12. Найдите радиус описанной сферы.
552. Ребро куба равно а. Найдите радиусы вписанного в куб и опи-
санного около него шаров.
553. Высота правильной шестиугольной призмы составляет 8 см,
а’ диагональ боковой грани — 13 см. Найдите радиус описан-
ного шара.
554. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет
ht а боковое ребро — Ь. Найдите радиус описанной сферы.
555. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пира-
мида, боковое ребро которой составляет с основанием угол а.
Найдите длину бокового ребра.
556. Вокруг сферы описан усеченный конус, радиусы оснований
которого составляют Я и г. Найдите радиус сферы.
557. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из
которых одна вписана, а другая описана относительно равно-
стороннего цилиндра.
558. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из
которых одна вписана, а другая описана относительно равно-
стороннего конуса.
559. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из
которых одна вписана, а вторая описана относительно пра-
вильного тетраэдра (правильного четырехгранника).
560. Радиусы оснований сферического пояса составляют 10 см и
12 см, его высота — 1 см. Найдите площадь поверхности сфе-
рического пояса.
561. Найдите площадь полной поверхности шарового сектора, ес-
ли дуга осевого сечения сектора содержит 120°, а радиус ша-
ра равен R.
562. Площадь поверхности шарового сегмента вместе с площадью
его основания равна S. Найдите высоту сегмента, если ра-
диус шара равен R.
91
563. Круговой сегмент с дугой 120° и площадью Q вращается во-
круг своей высоты. Найдите площадь полной поверхности
полученной фигуры.
ОТВЕТЫ
547. х2 + у2 + z2 = 29. 548. 4. 549. (3; -4; 2), R = 5. 550. (х - 2)2 +
+ (i/ +З)2+ (2 + 1)2 = 21. 551.7. 552. 7?в = а/2, Ro = aj3/2.
553. 11 см. 554. b2/2h. 555. 2R sin а. 556. jRr. 557.2:1. 558.4:1.
559.9:1. 560.275 тг см2. 561. | л R2 (J3 + 2). 562. 2R+ J4R2 - |.
563.21 лQ/(4 л-3 73).
§ 59. Объемы призмы и параллелепипеда
564. Найдите объем куба: 1) по его диагонали d; 2) по площади его
поверхности S.
565. Найдите объем куба, если площадь его диагонального сече-
ния равна S.
566. Найдите ребро куба, объем которого равен сумме объемов ку-
бов с ребрами т и п.
567. Измерения прямоугольного параллелепипеда составляют 6,
16 и 18. Найдите ребро равновеликого ему куба.
568. Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны
S2 и S3. Найдите его объем.
569. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как
2:7: 26; диагональ параллелепипеда составляет 81 см. Най-
дите объем параллелепипеда.
570. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда состав-
ляют 7, 8 и 9. Найдите объем параллелепипеда.
571 . Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм со
сторонами 8 и 32 и острым углом а = 60°. Большая диагональ
параллелепипеда равна 40. Найдите объем параллелепипеда.
572. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 17 и 25,
одна из диагоналей основания — 26. Меньшая диагональ па-
раллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°.
Найдите объем параллелепипеда.
92
573. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 см
и 39 см, площади его диагональных сечений — 204 см* 2
и 336 см2. Найдите объем параллелепипеда.
574. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диаго-
нали которого относятся как 5:16. Диагонали параллелепи-
педа равны 26 см и 40 см. Найдите объем параллелепипеда.
575. Сторона основания правильной призмы равна а, боковое реб-
ро равно Ь. Найдите объем призмы: 1) треугольной; 2) четы-
рехугольной; 3) шестиугольной.
576. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а,
площадь боковой поверхности равновелика сумме площадей
оснований. Найдите объем призмы.
577. В основании прямой призмы лежит трапеция, площадь кото-
рой составляет 306 см2. Отношение суммы боковых сторон
трапеции к сумме ее параллельных сторон равно 4 : 1, а их
разность равна 42. Площади параллельных боковых граней
равны 40 см2 и 30 см2, а площади двух других боковых
граней — 75 см2 и 205 см2. Найдите объем призмы.
578.Основанием наклонного параллелепипеда является прямо-
угольник со сторонами, равными 4 см и 6 см, боковое ребро
равно 2 см и образует с каждой из смежных сторон основания
угол, составляющий 60°. Найдите объем параллелепипеда.
ОТВЕТЫ
564.1) I d3 73 ; 2) S 6S . 565. | S 4j2S2 . 566. + n3 .
У оо Л
567.12. 568. 7-Si-S2S3. 569.9828 см3. 570.48JH. 571.2048л/З.
572.3536 л/3. 573.5040 см3. 574.3840 см3. 575. 1) Y 2) а?Ь;
3) а2Ь. 576. 1 а3. 577. 1530 см3. 578. 24 72 см3.
Z о
§ 60. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды
579.По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем
правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной;
3) шестиугольной.
580.Апофема правильной треугольной пирамиды составляет k,
а высота — h. Найдите объем пирамиды.
93
581. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
и площадь ее боковой поверхности равны соответственно S и
Q. Найдите объем пирамиды.
582.Найдите объем правильного тетраэдра (треугольной пирами-
ды) с ребром а.
583 .Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с кате-
том а и прилежащим к нему углом 30°. Боковые ребра накло-
нены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем
пирамиды.
584.Основание пирамиды — ромб со стороной 15 см, каждая
грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Най-
дите объем пирамиды, если площадь ее боковой поверхности
равна 300 см2.
585 .Основание пирамиды — равнобедренная трапеция, у которой
параллельные стороны составляют 3 см и 5 см, а боковая сто-
рона — 7 см. Высота пирамиды проходит через точку пересе-
чения диагоналей основания, а большее боковое ребро равно
10 см. Найдите объем пирамиды.
586.Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого
равна 1 м2. Две боковые грани перпендикулярны основанию,
а две другие наклонены к нему под углами 30° и 60°. Найдите
объем пирамиды.
587• По боковому ребру I и сторонам основания а и b найдите
объем правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной;
2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
588 .Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды составляют 4 и 8, диагональ — 11. Найдите объем
пирамиды.
589 .Апофема правильной шестиугольной усеченной пирамиды
а = 10 см, высота h = 8 см. Сумма длин каждой из сторон
верхнего и нижнего ее оснований /в + lH = S,j3 см. Найдите
объем пирамиды.
590 . Боковые ребра правильной треугольной пирамиды наклоне-
ны к плоскости большего основания под углом а, стороны ос-
нований равны а и Ь (а > Ь). Найдите объем пирамиды.
591 . Стороны одного основания усеченной пирамиды равны 27,
29 и 52, периметр другого основания равен 72; высота пира-
миды — 10. Найдите объем пирамиды.
94
ОТВЕТЫ
579.1) ~ 73&2 - о2; 2) J4d2 - 2п2; 3) ~ 7з(д2 - а2).
580. J3 h(k2 - h2). 581. ± JSCQ2 - S2) . 582. Q3. 583. a3.
Vx 1 zLf i (J
584. 500 cm3. 585. 80 cm3. 586. | m3.
О
587.1) (a2 + ab + b2) Jsl2 - (a - &)2;
2) (a2 + ab + b2) Jl2 - - b)2;
•j V “
3) (a2 + ab + b2) Л2 ^-~(сГ- b)2 . 588. . 589. 624^3 cm3.
о
590. ~ (a3 - b3)tg a. 591.1900.
X u
§ 61. Объемы фигур вращения
592. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна
S. Найдите объем цилиндра.
593. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой
сектор с радиусом R и центральным углом, равным а радиа-
нов. Найдите объем конуса.
594. В прямоугольной трапеции основания равны а и b (Ь > а).
Найдите отношение объемов Va и Vk фигур, образованных
вращением трапеции вокруг оснований.
595. Радиусы оснований усеченного конуса составляют R и
г (R > г), образующая наклонена к основанию под углом а.
Найдите объем усеченного конуса.
596. В усеченном конусе радиусы оснований составляют 27 см и
11 см. Образующая относится к высоте как 17 : 15. Найдите
объем усеченного конуса.
597. Усеченный конус с радиусами оснований 6 см и 9 см и высо-
той 12 см пересечен двумя плоскостями, параллельными ос-
нованиям, которые делят высоту на три равные части. Най-
дите объем средней части конуса.
598. Основания равнобедренной трапеции составляют 11 см и
21 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите объем фигуры, об-
разуемой при вращении этой трапеции вокруг ее оси.
95
599. Диаметры трех шаров составляют 6 см, 8 см и 10 см. Найди-
те диаметр шара, объем которого равен сумме объемов этих
шаров.
600. Найдите отношение объемов вписанного в куб и описанного
около куба шаров.
601. Найдите отношение объемов цилиндра, шара и конуса, если
диаметры оснований цилиндра, конуса и их высоты равны
диаметру шара.
602. Внешний радиус полого шара составляет 9 см, толщина сте-
нок — 3 см. Вычислите объем, заключенный между стенка-
ми.
603 .Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диа-
метр на две части, равные 3 см и 9 см. Найдите объемы соот-
ветствующих частей шара.
604. Радиус основания шарового сегмента составляет 8 см, дуга
осевого сечения — 60е. Вычислите объем сегмента.
605. Радиус основания шарового сегмента составляет 8, его высо-
та 4. Найдите объем сегмента.
606. Радиус шара равен Я, угол в осевом сечении шарового секто-
ра — 120°. Найдите объем шарового сектора.
607. Радиус окружности основания шарового сектора составляет
60 см, радиус шара — 75 см. Вычислите объем шарового сек-
тора.
608.В шаре, радиус которого составляет 65 см, проведены по од-
ну сторону от центра две параллельные плоскости, отстоя-
щие от центра на 19 см и 25 см. Вычислите объем части ша-
ра, заключенной между ними.
ОТВЕТЫ
592. | nSjS. 593. °-. 594. VJV„ = . 595. | ntg а(Ля -
— г3). 596.11 470 я см3. 597. -Z- к см3. 598. 793 к см3. 599. 12 см.
О
600. ~^=.
зТз
601.3 : 2
1. 602. 2149 см3. 603.45 л см3, 243 л см3.
604. 512(16 - 973)? см3. 605. к. 606. | лЯ3. 607. 112 500 л см3,
о о о
608. 22 428 л см3.
96
§ 62. Вычисление объемов фигур вращения
с помощью определенного интеграла
Найдите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ох
площади, ограниченной заданными линиями [609—612].
609. 1) у2 — х,
2) у2 = 2х,
3) у2 = 6х,
4) у2 = 2(х + 2),
610. 1) у = X2 - 1,
У = О,
У = о,
У = 0,
У = 0,
У = 0;
у = 0;
у = 0;
у = °,
611.1 ) у = sin х,
2) у = cos х,
612.1)у2= 9х,
2) i/2 = 4(х-Ь 2),
3)у2 = 4(х- 2),
4) у = -х2 + 5х,
ОТВЕТЫ
609. 1) 1,5л; 2) 12л; 3) 24л; 4) 4л. 610. 1) л; 2) 8,1л; 3) ; 4)
611. 1) ~ ; 2) . 612. 1) 1,5л; 2) ; 3) 30л; 4) 71,1л.
Z 4t о
16л
4 - 9663
ЧАСТЬ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Глава 9. Дополнительные
упражнения и задачи по алгебре
§ 63. Линейные уравнения с одной переменной
и системы линейных уравнений
Решите уравнение, приводимое к линейному [613, 614].
613.1)
3(3х + 10)
18
7)
26х - 51 2(1-Зх)
13
2ах
Ьх
Ь(х - Ь)
2а + Ъ
2х
~Ь
а{х - а)
а + 2Ь
2
20х - (10 - Зх) .
156
10
= а + Ь;
а - b
2 »
- _ а2 + х _ 4abx + 2а2 - 2Ъ2 _ а2 — х
1U) Ь4 - х2 b^+lc ’
614.1) = 3;
' 3 - х х - 3
р 2х _ х +1 5 _ 7 ф
х~1 х~ ~ 2 - 2х “ 2 ’
98
6 1 х + 1 _ 2х - 1 .
х + 1 + 2 - 2х + 2 - 2х2 х2 - 1 ’
х +1 2х - 7 _ 2 1
х2 - 2х + 1 + 2х2 - 4х + 2 х - 1 + 3 - Зх ’
х-4 16х _ х + 4 .
х + 4 + х2 — 16 “ х - 4 ’
7)
8)
х + 1
Зх2 + 9х ’
615. Решите задачу на составление уравнений.
1) Разность двух чисел 35. При делении большего числа на
меньшее в частном получили 4 и в остатке 2. Найдите эти
числа.
2) Одно из двух искомых чисел меньше другого на 6. Если
разделить большее число на 2, то частное будет тремя едини-
цами меньше другого числа. Найдите эти числа.
3) Знаменатель дроби на 4 больше числителя. При увеличе-
нии числителя и знаменателя дроби на 5 дробь обращается в
2/3. Найдите эту дробь.
4) В двузначном числе цифра десятков вдвое больше цифры
единиц. Если цифры этого числа переставить, то получится
число, меньшее искомого на 36. Найдите это число.
5) Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифры это-
го числа переставить, то получится число, меньшее искомого
на 18. Найдите это число.
6) В двузначном числе цифра десятков па 3 больше цифры
единиц. Если к этому числу прибавить его обращенное чис-
ло, то получится 143. Найдите это число.
7) Разделите 850 па две части так, чтобы 8% первой части в
сумме с 24% второй части составляли 12% всего числа.
8) Участок площадью в 864 га разделили на три поля так, что
площадь третьего поля стала равной сумме площадей первых
двух полей, причем отношение площадей второго и первого
полей стало равным 11/5. Вычислите площадь каждого
поля.
9) В равнобедренном треугольнике основание составляет
3 74 боковой стороны, а периметр треугольника равен 22 см.
Найдите его стороны.
99
10) Окружность переднего колеса повозки 1,5 м, заднего 2 м.
На каком расстоянии переднее колесо сделает на 50 оборотов
более заднего?
11) Площадь кольца равна 76,36 м2, ширина кольца I равна
2 м. Вычислите радиусы внутренней и внешней окружнос-
тей. Площадь круга <8 — л/?2, л ~ 3,14.
12) Кусок проволоки разрезали на две части в отношении
5 : 3, причем первая часть оказалась на 5 м длиннее 5/9 дли-
ны всей проволоки. Вычислите длины частей проволоки.
616. Решите систему уравнений способом алгебраического сложе-
ния:
2) 2(2х - у)
Зх - 2
9
9
10 ^10 z’
9
7х - 10 у = -60;
9
9
ь
9
100
617. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
1) [2х + Зу = -4,
(5х + бу = -7;
2)
5х - Зу
3^
5)
2х - у + 3 х - 2у + 3
3 4
10(х - у) - 4(1 - х) =
о У*
8) [7х + 2у + 3г= 15,
< 5х - Зу + 2г — 15,
10х - Пу + 5z = 36.
618.Решите систему уравнений с применением метода Гаусса:
6)
5) Зх + 2у - z = -3,
< 2х - у 4- Зз = 21,
х + у-з = -5;
101
619. Решите уравнение с модулем:
2) |2х - 5| = х - 1;
1) |х-3| = 2;
4)|2х-5| = 2-х.
ОТВЕТЫ
613. 1)-6; 2) 10; 3) 5; 4) 11; 5)
2
; 6) а; 7) Sb; 8) b; 9) 2(а + 6);
W
10) . 614.1) Нет решения; 2) 2; 3) 2; 4) 2,5; 5) х — любое число,
кроме х =±4; 6) нет решения; 7) 10; 8) -1. 615.1) 46; 11; 2) 12; 18;
3) |; 4) 84; 5) 75; 6) 85; 7) 637,5; 212,5; 8) 135 га, 297 га, 432 га;
9) 8 см, 8 см, 6 см; 10) 300 м; 11) 5 м и 7 м; 12) 45 м, 27 м. 616.1) (-2; 4);
2) (-2; 2); 3) (3; 0,5); 4) (5; -2); 5) (0; -6); 6) (3; 2); 7) (ab; cd); 8) ;
617. 1) (1; -2); 2) (7; 5); 3) (5; -2); 4) (3; 2); 5) (7; 5); 6) (4; 4);
7) (2; 3; 4); 8) (2; -1; 1). 618. 1) (-1; 0; 1); 2) (2; 1; -2); 3) (4; -1; 3);
4) (2; -3; 1); 5) (2; -2; 5); 6) (-4; -1; 5). 619. 1) 1; 5; 2) 2; 4; 3) ? ; 4) ре-
шения нет.
§ 64. Линейные неравенства
и системы линейных неравенств
620.Решите неравенство:
1) 2(3 + 5х) < 3(7х - 4) - 4;
2) ^ - | < 4х - 3;
4) (2х + I)2 - 8 > (3 - 2х)2;
5) 8х2 + (х + I)2 > (2 - Зх)2 + 4;
6) (х - I)2 - 2х + 10 < (2 - х)2;
102
621. Решите систему неравенств:
1) J 5(х 4-1)4- 6(х + 2) > 9(х + 3),
1 7х - 3(2х 4- 3) > 2(х - 18);
4)
о 7-*’
3" “10“
7 - Зх
5
7(3х - 6) + 4(17 - х) > 11 - 5(х - 3);
3 - 2х
2
0
8
3
622 .Решите неравенство:
2(4-х) ,
? 1 - Зх '
4) < °;
7)
5m - 3
5)
ОТВЕТЫ
620. 1) 2 < X < +оо; 2) 0,96 < X < 4-00; 3) -оо < X < 2,2; 4) 1 С х < 4-оо;
5) 0,5 < х < 4-оо; 6) нет решения; 7) |~ < х < 4-оо; 8) -оо < х < 2,25.
621. 1) 5 < х < 27; 2) 9 < х < 4-оо; 3) нет решения; 4) 0 < х < 4-оо;
5) | < х < |; 6) -оо < х < 0,2. 622. 1) -оо < х < ~ или 4 < х < 4-оо;
4 Z о
2) 2 < у < 4; 3) -°0 < а < 4 или 5 < а < 4-оо;
4) -оо < х < 3 или 4 < х < 4-оо; 5) --
7) 2,5 < т < 12; 8) 2,5 < х < 11.
103
§ 65. Решение неравенств
методом промежутков (интервалов).
Решение неравенств с модулем
623. Решите неравенство:
1) (х + 3)(х - 2)(х - 5) < 0;
3) (х + 2)(х - 4)(х - 5) < 0;
2) (х - 3)(х - 5)(х2 * 4 5 + 2х + 5) < 0;
4) (х - 1)(х - 2)(х - 3) > 0;
5) (х + 4)(х - 1)(х - 5) < 0;
(х - 5)(х - 3)(х + 2)
(х - 4)(х + 4)
6)
(х - 3)2(х - 2)(х + 1)
(х - -1)(х + 3)
624. Решите неравенство с модулем:
ОТВЕТЫ
623. 1) -оо < х < -3, 2 < х < 5; 2) 3 < х < 5; 3) -оо < х < -2, 4 < х < 5;
4) 1 < х < 2, 3 < х < +°°; 5) -оо < х < -4, 1 < х < 5;
6) -со < х < -4,2 < х < 3, 4 < х < 5; 7) -со < х < 1, | < х < 2,
3 < х < +°о; 8) -3 < х < -1, 2 < х < 4. 624.1) -оо<х<1,3<х< +°°;
2) 1 < х < 3; 3) -оо < х < -2, 2 < х < +оо; 4) 0 < х < 3;
5) -со <х<0, 6<х< 4-оо; 6) -5 < х < 3 + 2л/2.
§ 66. Квадратные уравнения.
Уравнения,
приводимые к квадратным
625. Решите уравнение:
х + 1 _ 2х _ 9(х + 5)
2х + 6 3-х 2(х2 - 9)
104
х(2х -3) (Зх - I)2 _ (X + З)2
626. Сократите дробь:
3)
21х2 + Их - 2 #
15х2 4- 16х 4- 4 ’
эх2 - 13х + 6
5х2 - 8х + 3
627. Решите уравнение, приводимое к квадратному:
1) 9х4 - 37х2 + 4 = 0;
2) 4х4 - 7х2 4- 3 = 0;
3) х4 - 6х3 4- Зх2 + 26х - 24 = 0;
4) х4 4- 2х3 - 13х2 - 14х 4- 24 = 0;
5) 2х3 - 7х2 4- 2х 4- 3 = 0;
6) х3 - 2х2 - 5х — 6 = 0;
7) х4- 16 = 0;
8) 27х3 -8 = 0.
Решите задачу на составление квадратного уравнения [628, 629].
628.1) Произведение двух последовательных натуральных чисел
равно 552. Найдите эти числа.
2) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в
частном получится бив остатке 2. Если же это число разде-
лить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в
остатке 2. Найдите это число.
3) Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а среднее
геометрическое 12. Найдите эти числа.
4) На какое число надо разделить 136, чтобы в частном полу-
чить на 3 меньше делителя, а в остатке на 7 меньше дели-
теля?
5) В двузначном числе цифра единиц на два больше цифры
его десятков, а произведение этого числа на сумму его цифр
равно 144. Найдите это число.
6) Даны три числа: 100, 60 и 30. Какое число нужно отнять
от первого и прибавить его к третьему, чтобы второе число
оказалось средним пропорциональным между вновь полу-
ченными числами?
7) Числитель некоторой дроби на 11 больше знаменателя. Ес-
ли к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю 12, то
полученная дробь будет втрое меньше исходной. Найдите эту
дробь.
8) При перемножении двух чисел, из которых одно на 14
больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на 4
цифру десятков в произведении. При делении полученного
им произведения на меньший сомножитель он получил в
частном 77 и в остатке 24. Найдите сомножители.
629.1) Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей
квадратов, построенных на смежных сторонах прямоуголь-
ника, равна 116 см2. Найдите стороны прямоугольника.
2) Периметр прямоугольника равен 46 см, а его диагональ
равна 17 см. Найдите стороны прямоугольника.
3) В прямоугольном треугольнике один катет больше другого
на 31 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого
треугольника.
4) Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его
площадь равна 96 см2. Найдите стороны треугольника.
106
5) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше одного
катета на 9 см и больше другого на 18 см. Вычислите сторо-
ны этого треугольника.
6) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на
гипотенузу, равен 9,6 м; разность отрезков гипотенузы равна
5,6 м. Найдите длину гипотенузы.
7) Окружность заднего колеса повозки в два раза больше ок-
ружности переднего; если окружность заднего колеса умень-
шить на 2 дм, а переднего увеличить на 4 дм, то на расстоя-
нии 120 м заднее колесо сделало бы на 20 оборотов меньше
переднего. Найдите длины окружностей обоих колес.
8) По окружности длиной 30 м движутся два тела. Одно из
них проходит в секунду на 4 м больше, чем второе, и закан-
чивает оборот на две секунды раньше. Найдите скорости дви-
жения обоих тел.
9) Из листа жести, имеющего форму прямоугольника, приго-
товлена открытая сверху коробка таким образом, что по уг-
лам ее вырезано по квадрату со стороной в 5 см и получив-
шиеся края загнуты. Вычислите размеры листа жести, если
длина его вдвое больше ширины и если объем коробки ока-
зался равным 1500 см* 3.
10) От нити, равной периметру некоторого квадрата, отреза-
но с одного конца 36 см. Укороченная таким образом нить
представляет собой периметр другого квадрата, площадь ко-
торого в 2,25 раза меньше площади первого. Найдите перво-
начальную длину нити.
ОТВЕТЫ
625.1) -3,2; 2) -5; 5; 3) -5; 5; 4) ±5; 5) ; 2; 6) нет решения; 7) - ; 6;
8) 0; 7; 9) |; 10) 0; |; 11) -0,7; 10; 12) -0,5; 2; 13) -4; 9; 14) -3,5; -1.
626. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 627. 1) ±|; ±2; 2) ; ±1;
3) -2; 1; 3; 4; 4) -4; -2; 1; 3; 5) ; 1; 3; 6) -2; 1; 3; 7) -2; 2; 8) |.
628. 1) 23 и 24; 2) 32; 3) 36 и 4; 4) 13; 5) 24; 6) 60 или 10; 7) ; 8) 64
и 78. 629.1) 10 см; 4 см; 2) 15 см; 8 см; 3) 40 см; 9 см; 4) 12 см; 16 см;
20 см; 5) 27 см; 36 см; 45 см; 6) 20 м; 7) 16 дм и 32 дм или 11 дм и
22 дм; 8) 10 м/с и 6 м/с; 9) 40 см и 20 см; 10) 108 см.
107
§ 67. Иррациональные уравнения и неравенства
630. Решите иррациональное уравнение:
7) Jx2 - 1 = /3 ;
9) Jx — 2 • J2x 4- 2 = х 4- 1;
10) 7х + 7 4- Jx + 2 = J%x 4- 19;
И) Jbx 4-1 4- JU
8) JJx 4- 2 4- 74 x - 2 = 4;
12) Jbx 4- 3 4- 74x -4 = JOx 4- 13 ;
13) 73x 4-4 - 73x -3 = 72x - 7 ;
14) 572x4-3 - 718x - 5 =
4(x 4-3)
J2x 4- 3
631. Решите иррациональное неравенство:
1) Jx2 - х - 12 < х;
3) 7х 4- 3 > х + 1;
2) J2x 4- 5 < 2x — 1;
4) J22 - x - 710 - x > 2;
9) Jx~+~2 < Jx 4-12 - J2x - 10
10) Jx - J6x 4- 1 < J2x 4- 1 .
ОТВЕТЫ
630. 1) 4; 2) 7; 3) 4: 4) 5; 5) 3; 6) -5; 5; 7) -2; 2; 8) 17/16; 9) 7; 10) 2;
11) 1; 12) 2; 13) 4; 14) 3. 631. 1) 4 < x < 4-oo; 2) 2 < x < 4-<x>;
3) -3 < x < 1; 4) 6 < x < 10; 5) -oo < x < 2/9; 6) 4 x < 5, 6 < x C 7;
7) 0 < x < 5; 8) 1 < x < 3/2; 9) 5 < x < 6; 10) 0 < x < 4- co.
108
§ 68. Системы уравнений второй и выше степеней
632 . Решите систему:
1) |х2 4- у2 = 25,
1 х 4- у = 7;
6) J Зх2 - 4ху — 36,
I х2 - 2у2 = -14;
12)
х3 4- у"3 = 9xi/,
х 4- у = 6;
13) ((х 4- у)(х - 2у) = О,
] х2 + у2 = 50;
16) х_+_у . х_2_У_ _ 5
« X - у х + у 2 ’
х2 4- у2 = 20.
Решите задачу на составление системы двух уравнений с двумя
переменными [633, 634].
63 3.1) Разложите число 195 на два множителя, разность которых
равна 2.
2) Разность квадратов двух чисел равна 200. Если каждое из
чисел уменьшить на 1, то разность их квадратов будет равна
180. Найдите эти числа.
3) Если к произведению двух чисел прибавить меньшее из
них, то получим 54, если прибавить большее из них, то полу-
чим 56. Найдите эти числа.
109
4) Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше
самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то полу-
чим обращенное число. Найдите это число.
5) Произведение двух целых положительных чисел в три ра-
за больше их суммы, а сумма их квадратов равна 160. Найди-
те эти числа.
6) Разность кубов двух чисел равна 657, а разность их основа-
ний равна 3. Найдите эти числа.
25
7) Сумма некоторой дроби с обратной ей равна , а сумма
квадратов ее числителя и знаменателя равна 25. Найдите эту
дробь.
8) Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 34; произ-
ведение искомого числа на обращенное равно 1855. Найдите
это число.
9) Сумма цифр трехзначного числа равна 11; сумма квадра-
тов этих цифр равна 45. Если из искомого числа вычесть 198,
то получится число обращенное. Найдите это число.
10) Частное от деления трехзначного числа на сумму его
цифр равно 48; частное от деления произведения этих цифр
2
на их сумму равно 10 ~ , а цифра десятков есть среднее ариф-
о
метическое двух других его цифр. Найдите это трехзначное
число.
634.1) Отношение сторон прямоугольника равно 6. Сумма площа-
дей квадратов, построенных на этих сторонах, равна 592 см2.
Вычислите стороны прямоугольника.
2) Высота трапеции равна 18 см. Площадь трапеции равнове-
лика площади прямоугольника, стороны которого равны
длинам верхнего и нижнего оснований трапеции, а утроен-
ное верхнее основание, сложенное с нижним, в четыре раза
больше высоты трапеции. Вычислите основания трапеции.
3) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, пло-
щадь равна 24 см2. Найдите стороны треугольника.
4) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета
на 1 см, сумма же гипотенузы с этим катетом в пять раз боль-
ше другого катета. Вычислите стороны этого треугольника.
5) Периметр прямоугольного треугольника равен 208 см,
сумма катетов на 30 см больше гипотенузы. Вычислите сто-
роны треугольника.
110
6) Сумма диагоналей ромба на 6 см меньше его периметра.
Площадь ромба равна 24 см2. Вычислите сторону ромба и
длины его диагоналей.
7) Сумма площадей двух кругов, касающихся внешним обра-
зом, равна 90л см2, а расстояние между их центрами равно
12 см. Вычислите диаметры кругов.
8) На расстоянии 27 м заднее колесо повозки делает на 5 обо-
ротов меньше переднего. Если бы длину окружности заднего
колеса увеличить на 3 дм, то на том же расстоянии заднее ко-
лесо сделало бы на 6 оборотов меньше переднего. Найдите
длины окружностей обоих колес.
ОТВЕТЫ
632.1) (3; 4), (4; 3); 2) (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3); 3) (-3; -2), (-3; 2),
(-18; -13), (18; 13); 7) (4; 1); 8) (25; 9); 9) (0; 0), (-2; -4), (4; 2);
; И) (8; 2); 12) (4; 2), (2; 4); 13) (-5; 5), (5; -5),
<> о /
Ю) (4; 1),
9
(-3; -2),
(3; 2);
16) (3 72 ; - 72), (-3 72 ; 72 ),
(-3 72;-72),
(3 72 ; 72 ). 633.1) 13 и 15 или -15 и -13; 2) 15, 5; 3) 6 и 8 или -9
и —7; 4) 24; 5) 12 и 4; 6) 10 и 7 или —7 и -10; 7) ? или 1 ; 8) 35 или 53;
9) 452; 10) 864. 634.1) 24 см и 4 см; 2) 36 см и 12 см; 3) 6 см, 8 см и
10 см; 4) 5 см, 12 см, 13 см; 5) 80 см, 39 см, 89 см; 6) 5 см, 6 см, 8 см;
7) 18 см и 6 см; 8) 18 дм и 27 дм.
§ 69. Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
Решите показательное уравнение [635, 636].
27
64 ’
= 128;
4) 22х*Зх = 144;
6) 5Х+1 + 5х = 750;
8) б2х + 3 = З3х • 2х + 6;
111
9) 16 7(O,25)5-x/4 = 27x + 1;
10) 7^2 + 2-7r l-345;
11) 5-32*’1 - 9Л ”0*5 = 9х 4-4 • 32х”2.
636.1) 32х - 3 х = 702;
3) 347х -4* З2^ 4-3 = 0;
5) 3 • 4х 4- 6х - 2 • 9х = 0;
z-i - 1/2 + 2/х
9)(|] =5j5;
11) 22i + 2 + 3-21- 1 = 0.
2) 32х + 5 = Зх + 2 4-2;
4) 4(9Х - 4х) = 13(6Х - -
6) 22х + 4 4-15 • 2х - 1 =
8) 3 х 81 - 10 ХТ9 4- 3
10) 4х
1-17*2х-34-
0;
= 0;
= 0;
637. Решите систему показательных уравнений:
1)
9х + у = 729,
3Х~У~ 1 = 1;
3) [ ху = ух,
5)
9 \ 100 = ,
25у • V10 ООО = |;
2) j2x«3-"= 12,
|2у*Зх = 18;
4) [ 22х - Зу = 55,
[2x-3v/2 = 5;
6) f Зу • 26/х = 36,
[5у-29 х = 200;
638.Решите показательное неравенство:
1)5Х-1 < J5;
7) 2х" 1 4-2х + 3 > 17;
9) 53х+1 - 53х-3 < 624;
Y * - 4
2) 3 > 1;
4) 2 <4;
6) Зх + 24- 3х"1 < 28;
11)(х2-8х 4 16)х’6< 1;
8) 22х’1 4- 22х-2 4- 22х
10) 3 • 4х - 6 • 2х - 24 :
12) (х-2)х2"6х + 8 >
3 > 448;
0;
112
Решите логарифмическое уравнение [639, 640].
639.1) 1g (Зх - 11) + 1g (х - 27) = 3;
2) 1g х Ч- 1g (х - 2) = 1g (12 - х);
3) 1g (х - 5) - 1g 75х - 19 = 0;
4) 2х(1 - 1g 5) = 1g (4х + 2х - 6);
5) 1g (Зх + ~ х = lg (х - 3);
lg (2x + 4) =
°' lg(4x-7)
7) log2 (x - 5) Ч- log2 (x + 2) = 3;
8) log3 (x - 2) 4- log3 (x 4- 6) = 2;
9) log/6 (* - 1) + log/6 (* + *)“ log^ 6;
10) lg jiy = lg 3;
11) log2 (1 - x) = 3 - log2 (3 - x);
12) log5(x1 2 - 4) - log5(x - 2) = 0.
640. 1) log4 (2x - 1) • log4 x = 21og4 (2x -- 1);
2) lg (3x - 1) - lg (x + 5) = lg 5;
3) log3 (x3 4- 1) - log3 (x + 1) = 1;
4) 2 log- 3 + 41og25 7 = log5 x;
5) log3 logy log2 (x + 9) = log3 2-1;
6) log2 log3 log4 (x2 + 3x + 54) — 0;
7) lg ^2x - | j - lg x = lg (x - 3);
8) logY log2 logY 8 = 0;
9) lg Vox + 10 + lg J2x + 3 = lg 15;
10) lg2x — lg x2 = lg23- 1;
11) log5(x - 1) log5 Vx = log5 5;
12) log4 log2 x 4- log2 log4 x = 2;
13) log4 (x + 2) - log4 (x - 2) = 2 - log4 8.
641. Решите систему логарифмических уравнений:
1) lx + у = 22,
llgx- 1g у = 1;
2) [x + у = 29,
11g x + lgz/ = 2;
113
3) [log2(x - у) = 5 - log2(x + у),
4 1g x - 1g 4
. 1g у - 1g 3
4)
3^9* = 81,
lg (x 4- y)2 - 1g x = 2 1g 3;
5) Uog„x - 3 logx у = 2,
llog2x = 4 - log2t/;
6) Jx// = 40,
]x’O = 4;
7) log* log2 log* у = 0
logv 9 = 1;
8) [5x + 2i/= 100,
llgx- ig у = 1g 1,6.
642. Решите логарифмическое неравенство:
l)log2(x-4)< 1;
2) 1g (Зх - 4) < lg (2x + 1);
3) log5 y + 1 > 0;
4) log8(x2 - 4x + 3) < 1;
5) log3 (x2 + 2x) > 1;
6) log! ,2 (x2 - 5x - 6) > -3;
7) log15(x - 3) + log15(x - 5) < 1;
8) log1/6 (10 - x) + log1/6 (x - 3) > -1;
9) log3 (8x2 + x) > 2 + log3 x2 + log3 x;
10) log2 (x - 3) < 1 - log2 (x - 2);
ll)log3*_3x> 1;
12) log0 3(3x - 8) > log0>3(x2 + 4).
ОТВЕТЫ
635.1 ) 3; 2) 2*; 3) 35; 4) 2; 5) 1,5, -0,5; 6) 3; 7) 0; 8) 3; 9) 24; 10) 1;
11) нет решения. 636. 1) 3; 2) -2; 3) 0; 1/4; 4) 2; 5) 1; 6) -4; 7) 2;
8)-2; 2; 9) -1; 2; 10) -1; 3; 11) -2. 637. 1) (2; 1); 2) (2; 1); 3) (1; 1),
(I; Li); 4) (3; 2); 5) (-2; 1,5); 6) (3; 2): 7) (4; 4)-
114
638.1) < х < «; 2) -оо < х < -2, 2 < х < +°о; 3) -оо < х < О,
«и
11) -co < х < 3, 5 < х < 6; 12) 2 < х < 3, 4 < х < 4-оо. 639. 1) 37; 2) 4;
3) 11; 4) 3; 5) б|; 6) |; 7) 6; 8) 3; 9) 2; 10) 3; 11) -1; 12) решения нет.
640. 1) 1; 16; 2) решения пет; 3) 2; 4) 441; 5) 7; 6) -5, 2; 7) 4 J ; 8) 2 /2 ;
9) 3; 10) , 30; 11) |, 25; 12) 6; 13) 16. 641. 1) (20; 2); 2) (25; 4), (4;
о Э
25); 3) (6; 2); 4) (1; 2); 5) (8; 2); 6) (10; 4), (4; 10); 7) (3; 9); 8) (16; 10).
642.1) 4 < х < 6; 2) < х < 5; 3) решения нет; 4) -1 < х < 1, 3 < х < 5;
О
5) -оо < х < -3, 1 < х < 4-оо; 6) -2 < х < -1, 6 < х < 7; 7) 5 < х < 8;
8) 4 < х < 9; 9) 0 < х < 1; 10) 3 < х < 4; 11) | < х < | при Зх - 3 > 1;
о Z
8
решения нет при 0 < Зх - 3 < 1; 12) х < х < 4-оо.
Глава 10. Тригонометрические функции.
Дополнительные упражнения
§ 70. Тригонометрические тождества
Докажите тригонометрическое тождество [643, 644].
643.1) 2
sin а • cos а
= (14- tg2a)2;
cos а
tg а
sin er.
ctg а
= (sin а 4- cos a)(tg а 4- ctg а — 1);
3) 2sin2 а - cos2 a (tg2 а 4- ctg2 а) 4- (tg а — ctg а)2 4-1 = tg2 а;
4) 2(cos6a 4- sin6a) - 3(cos3 4 5a + sin4a) = -1;
5) (1 4- 2sin a cos oc)(tg а - 1) = (sin2 а - cos2 a)(tg a + 1);
6) (tg а 4- ctg a)(l 4- cos tx)(l - cos a) = tg a;
2 sin a ♦ cos a - cos a
2 2
1 - sin a + sin a - cos a
115
9) sin4 a 4- sin2 a cos2 a + cos2 a = 1;
10) cos a 4- sin a • tg a---— = 0;
7 cosex
11) tg2 a • (1 + tg2 a)(1 4- ctg2 a) - (1 - tg2 a)2 = 4tg2 a;
1 1
12) Ц- 4--------Ц7- = 1;
1 + tg a 14- ctg ex
13) sin4 a 4- cos2 a + sin2 a • cos2 a = 1;
14) (1 +
1 - cos a
1 + cos a
1 4- cos a.
1 - cos a
4
о *
sin*-a
ctg a 4- tg p = tg p .
tg a + ctg p tg a ’
16)
2
cos a
1 4- tg a
= sin a • cos a;
4 (1 - sin ex - cos a)( 1 - sin a 4- cos a) „
17) -------------------2------------------ = X •
7 sin a • (sin ex - 1) *
, .2 2
1 , sin a cos a , 9 -
18) —— 4- ----------------------5----tg2a = 1;
cos a 1 4- tg a 1 + ctg“(x
19)
sin a
1 + ctg a
cos a _ 1 ф
1 4- t g ex sin a 4- cos ex ’
20) 1 4- sin a 4- cos a 4- tg ex =» (1 4- cos a)(l 4- tg a);
21) (1 4- sin a 4- cos a)2 = 2(1 4- sin a)(l 4- cos a);
1 + 2sin a • cos a _ tgex 4-1
sin2a - cos2a 1
23) sin2 a 4- sin2 p — sin2 a • sin2 p 4- cos2 a • cos2 p = 1;
24) (sin6 ct 4- cos6 a - l)3 * 4- 27sin6 ex • cos6 a = 0:
. 6 6
sin CX - COS (X , .9 , . л
2o) 5------------- = 1 - snr a 4- sin4 ex
2sin a - 1
644.1)
2)
3)
4)
sin (it - ex) • sin(3H/2 - a) • tg(n/2 - a) _ _
sin(n/2 4- ex) • tg(3n/2 4- a) • tg(2n - ex) COS
sm(n + a) tg(3n:/2 4-ex) , . , . . „
. ,o- ,o----г - —------r- 4- tg (я - a) 4- cos 0 = 0;
sin(3K/2 - ex) ctg(n - a) 7
tg(7i/2 4- a) ♦ cos(3tc/2 - ex) • cos(- ex) _ .
ctg (я - a) • sin(3ft/2 + a) sin
sin2(it 4- a) tg2(3n/2 + ex) _ 1
sin2(3K/2 4- ex) ctg2(n + a) cos2(ex - 2n)
116
§ 71. Теоремы сложения. Тригонометрические
функции двойного и половинного аргументов
Докажите тождество [645—647].
645.1)
sin(7E/4 4- а) - cos(n/4 4- а)
sin(K/4 4- а) 4- cos(n/4 + а)
2)
sin(K/6 - а) 4- sin(n:/6 -+- а) _ _ J3
sin(jr/6 - а) - sin (я/6 4- а) 3
ctg а;
sin(q - р)
tg а - tg р
= cos а* cos р;
4) sin (а 4- р) • sin (а - р) = sin* 2 1 а - sin2 Р;
5) cos (а + р) • cos (а - Р) = cos2 а - sin2 р;
6) tg а • tg р 4- (tg а + tg р) • ctg (а 4- р) == 1;
7) sin 5а • cos За - cos 5а • sin За = sin 2а;
8) sin (а - 2 л) • cos (2л - Р) - sin
= sin (а - Р);
tg(n/4 4- а) - tg(7r/4 - а)
tg(n/4 + а) 4- tg(rc/4 - а)
= sin 2а;
А . . (п \ 2
10) tg -г - а I + ctg 7 - а = —77- .
7 & (4 ) \4 ) cos2a
646.1) —= sin 2а;
1 4- ctg а
2) cos2 а • (1 - tg2a) = cos 2а;
2tga
= sin 2а;
1 - tg а _ 1 - sin2q .
1 + tg a cos 2а ’
5) sin а • (1 4- cos 2а) = sin 2а • cos а;
7)
tg а • tg 2а
tg 2а - tga
= sin 2a;
tg a
tg 2a - tg a
= cos 2a;
cos a - sin a _ 1 - sin 2a _ cos 2a
cos a 4- sin a cos 2a 1 4- sin 2a ’
117
n\ 4cz • 4 a
9) cos4 - sin4 = cos a;
Zj Zu
10) cos a == 1 - 2sin2 § — 2cos2 2 - 1.
647.1)
ctg (a/2) - tg (a/2)
ctg (a/2) + tg (a/2)
= cos a;
2sm a - sin 2a . •> a
2) ----:—:—= tg2 t; ;
7 2sin a + sin 2a & 2
„v sin 2a • cos a
41 + cos 2a)(l + cos a)
4) 2(1 + cos a) - sin2a =
, 9 a cos a
5) 1 - tg2 = —------
cos2 (a/2)
= tg (a/2);
4cos4 (a/2);
6) ctg2 ? - 1 =
zs
cos a
_ _______•
sin2(a/2) *
7)2
- sin -7
• S1I17
= sin a;
tg(a/2)
1 + tg(a/2)
1 - tg(a/2)
a
2
10) sin
sin a.
§ 72. Преобразование алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение
Докажите тождество [648, 649].
648. 1)
sin a -• sin ft
cos a - cos P
sin a +• sin p
cos a + cos p
sin a 4- sin P
cos a - cos P
sin a + sin p
cos a + cos p
5)
= tg 2a;
sin a 4- sin 3 a
cos a + cos 3a
118
sin (a + P) 4- sin (a - 0) _ tg a .
' sin (a + P) - sin (a - p) tg p *
cos (a + P) + cos (a - p) , , „
7) 7----«г---------;—= ctg a ctg B;
' cos (a - P) - cos (a + P) r
O4 sin2a - sin2p . z ,
8) —-------p---—£------- = sm (a + B);
sin a • cos p - sin p • cos a r
sin a - 2sin 2a + sin 3a ,
9) о---------о—;-----5— == tg 2a;
cos a - 2cos 2a + cos 3a
10)
sin a 4- sin 3a + sin 5a
cos a + cos 3a + cos 5a
= tg 3a.
6Д0 i » g r P
2 tg a - tg p
sin (a 4- p)
sin (a - P)
sin (k/4 4- a) .
sin (л/4) • sin a ’
cos 2 a.
cos2 a ’
,2 о _ sin (a + P) sin (p - a).
sin2 a • sin2 p
1 - sin 2a
1 - sin a _ 2 (л a)
1 + sin a " tg“ И 2 J ’
1 - ctg a
= ctg let - 4
9) = sin 2a;
tg2 (n/4 4- a) 4- 1
«лч 1 + sin 2a , 9/л \
10) i---:—= ctg2 7 - a ;
1 - sin 2a 14 /
И)
tg(n/4 4- a) 4- tg(a - n/4)
ctg(a 4- я/4) 4- ctg(n/4 - a)
= sin 2a;
tg (a 4- P) 4- tg (a - P) _ sin 2a .
tg (a 4- p) - tg (a - P) sin 2p ’
13)
tg 2a 4- tg 2p
ctg 2a 4- ctg 2p
= tg 2a* tg 2p.
§ 73. Тригонометрические уравнения
и тригонометрические неравенства
Решите уравнение [650—653].
650.1) sin2 х - 2cos х + 2 = 0;
2) 3cos2 х - sin x + 1 = 0;
3) 2cos2 x + 5sin x — 4 = 0;
4) cos3 x — cos x = 0;
5) cosx • (1 + tg x) = 0;
6) sin x • cos x - sin2 x — cos x + sin x — 0;
7) 2tg x + 3ctg x - 5 = 0:
8) tg x + ctg x - 2 = 0;
9) 2tg x • cos x - 2cos x - tg x + 1 = 0;
10) 4sin3 x - 8sin2 x - sin x + 2 = 0.
651. 1) tg3 x - tg2 x + tg x - 1 = 0;
2) 2sin3 x - 3sin x • cos x = 0;
o\ I 2 1 A _l * 2
3) I cos2 x - j I • cos x = “4 + sin2 x;
4) 1 + g tg 3x = 4cos2 3x ;
5) 4tg2 3x -
6) cos12x + 6cos2 2x =
25.
16 ;
7) 6sin2 x + sin x • cos x - cos2 x = 2;
8) sin2 x - 2sin x • cos x — 3cos2 x;
9) 2sin2 x + tg2 x - 2;
10) cos2 (n/2 + x) + 2cos x + 2 = 0.
652.1) sin (jt/6 + x) + sin (л/6 - x) = x ;
2) cos (x - n/6) - cos (x + л/6) = 0;
3) sin x - J3 cos x = 1;
4) sin 2x* tg x = 1;
.. . 1
o) sm x • cos x = к ;
6) cos (л/4 + x) • cos (x - rc/4) = -
120
COS x
8) 4sin x • cos x • cos 2x = 1.
653. 1) 1 - cos x = sin x;
2) 1 - cos x = tg x - sin x;
3) cos x + cos 3x == cos 5x + cos 7x;
4) cos x + cos 3x + cos 5x = 0;
5) sin 3x — sin 2x - sin x;
6) cos x - 2cos 3x + cos 5x = 0.
654. Решите неравенство:
1) sin x
4) cos x < 5 ;
2 ’
3) cos x > -1;
6) |tg x| < 73 ;
9) ctg x < -1.
ОТВЕТЫ
650.1) 2я/г; 2) £ + 2л/г; 3) (-1)л? + я/г; 4) nk, 5 + я/г; 5) - J + я/г; 6) 5 +
+ 2я/г, ~ + л/г; 7) % + я/г, arctg | + nk; 8) + я/г; 9) ±5 + 2я/г, ? + я/г;
10) ±? + л/г. 651. 1) 7 + я/г; 2) я/г, + 2я/г; 3) я + 2я/г, я/г ± х ;
О 4 «5 о
4 \ Л «Я» 1 х О । Я » Е \ 1 Я Я » /2* * \ 1 Я . Л > Г7\ Я । >
4) -j2 + 3 arctg 3 + д/г; 5) ±г^ + 3 к\ Ь) /г; 7) “4 + к,г»
arctg | + я/г; 8)-^ + я/г, arctg 3 4- л/г; 9) (4/г ± 1); 10) я(1 + 2/г).
652. 1) ±~ + 2я/г; 2) я/г; 3) (4/г + 1)L J + (2/г + 1)я; 4) ±5 + я/г; 5) £ + nk;
<5 Сл V тг
6) яЛ; 7) (-1)Л? + я^; 8) (4/г + 1)£ . 653. 1) + 2я/г, 2я/г; 2) 2я/г, + яй;
3) jfe; 4) (2/г + l)j, (3/г + 1)£ : 5) +, + 2л*; 6) л/г, (2/г + 1)|.
*1 О Сл <5 V
654. 1) - J + 2я/г < х < — + 2я&; 2) - ~ + я/г < х < J + я/г;
' 6 6 ' 6 6
3) я(2/г - 1) < х < я(2/г + 1); 4) ~ + 2itk < х < ~ + 2я/г;
о о
121
7t
4
T)-f2
+ nk < X
x < nk.
Глава 11. Элементы
аналитической геометрии
§ 74. Прямая линия
Решите задачу [655, 656].
65 5.1) На прямой 2х + у - 6 = 0 найдите точку М, равноудален-
ную от точек А(3; 5) и В(2; 6).
2) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки
А(2; -3)иВ(-1; 4).
3) Даны уравнения сторон треугольника: х + Зу - 3 = О,
Зх - 111/-29 = 0иЗх-[/ + 11 = 0. Найдите вершины этого
треугольника.
4) Даны уравнения сторон треугольника: Зх - 2у - 1 = О,
5.г + 4у - 31 = 0, х - Зу - 15 = 0. Найдите внутренние углы
этого треугольника.
5) Точка Р удалена от начала координат на 5 см. Угловой ко-
эффициент прямой, соединяющей начало координат и точку
В, равен 3/4. Найдите точку Р.
6) Дан треугольник с вершинами Л(6; 8), В(2; -4) и С (-6; 4).
Найдите угол (р между стороной АВ и медианой, проведенной
из вершины А.
7) Найдите острый угол (р между прямыми, проходящими че-
рез начало координат и через точки, которыми отрезок пря-
мой 2х + у — 12 = 0, содержащийся между осями координат,
делится в отношении 1 : 2 : 3 (в направлении от оси Ох к
оси Оу).
8) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пе-
ресечения прямых х-3^ + 2 = 0и5х + б1/-4 = 0 парал-
лельно прямой 4х + у + 7 = 0.
9) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пе-
ресечения прямых Зх — у + 4 = 0 и 4х — бу + 3 == 0 перпенди-
кулярно к прямой 5х + 2у + 6 = 0.
122
656.1) Прямая проходит через середину отрезка, соединяющего
точки А(-2; 1) и В(4; 4), перпендикулярно к этому отрезку.
Составьте уравнение этой прямой.
2) Дан треугольник с вершинами А(4; 2), В(6; -5) и С(-5; 4).
Составьте уравнения его высот.
3) Даны уравнения сторон треугольника: Зх - 10z/ + 28 = О,
5х + 4у + 26 = 0 и 4х — Зу - 4 = 0. Составьте уравнения его
высот.
4) Вычислите расстояние от точки М(6; 8) до прямой 4х +
+ Зу 4- 2 = 0.
5) Найдите расстояние между двумя параллельными прямы-
ми 4х + Зу - 8 = 0 и 4х + Зу - 33 = 0.
6) Треугольник задан вершинами А(—7; 3), В(2; -1) и С(—1; -5).
Найдите: а) уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС;
б) уравнение медианы АВ; в) уравнение высоты ВВ; г) угол В;
д) уравнение биссектрисы CN.
7) Треугольник задан вершинами А(2; 6), В(4; -2) и С(-2; -6).
Найдите: а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
б) уравнение медианы CD; в) уравнение высоты АВ; г) угол В;
д) центр тяжести этого треугольника (точку пересечения его
медиан).
ОТВЕТЫ
655. 1) М(1; 4); 2) 7х + Зу - 23 = 0; 3) (6; -1), (-5; -4) и (-3; 2);
4) Z. А = arctg 3,143; Z. В = arctg 1,63; Z. С = arctg 1,1579; 5) Р(4; 3)
или (-4; -3); 6) <р = arctg 0,5; 7) <р = arctg 0,8889; 8) 12х + Зу -2 = 0;
9) 4х-10(/ + 1 = 0. 656. 1) 4х + 2у - 9 = 0; 2) 1 lx - 9# - 26 = 0, 9x-2z/ -
- 64 = 0, 2х - 7 у + 38 = 0; 3) 4х - 5у + 4 = 0, Зх + 4у + 38 = 0, 10х + Зу +
+ 32 = 0; 4) 10; 5) 5; 6. а) 4х - Зу + 37 = 0, 6. б) 4х + 5у + 13 = 0, 6.
в) Зх - 4у - 10 = 0, 6. г) arctg уу , 6. д) х + у = 0; 7. а) Зх - у - 14 = 0, 7.
б) 8х - 5у - 14 = 0, 7. в) Зх + 2у - 18 = 0, 7. г) arctg (- У1 7. д) ft ; - |
\ О J \О <3
§ 75. Геометрические места точек на плоскости.
Кривые второго порядка
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ
657. Составьте уравнение геометрического места точек на плос-
кости, если:
1) каждая из точек равноудалена от точек А(2; 4) и В(4; 6);
123
2) расстояние каждой из них от точки >4(6; 0) в три раза боль-
ше их расстояний от точки В(2; 0);
3) сумма квадратов расстояний от каждой из них до двух дан-
ных точек А(-6; 0) и В(6; 0) есть величина постоянная и рав-
на 104;
4) отношение расстояний от каждой из них до точки А(1; 0) и
до прямой х = 9 равно X = 1/3;
5) при движении по плоскости точка остается вдвое ближе к
точке А(1; 0), чем к прямой х = 4;
6) расстояние каждой из точек вдвое ближе к прямой х = 2,
чем к точке А(8; 0);
7) каждая из точек равноудалена от оси Ох и от точки
А(0; -2);
8) расстояние каждой из точек от прямой х — -2 равно рас-
стоянию от точки А(3; -4).
ОКРУЖНОСТЬ
658.1) Составьте уравнение окружности, проходящей через точ-
ки А(3; 1), В(-2; 6) и С(-5; -3).
2) Центр окружности находится в точке OJ-3; 1). Составьте
уравнение окружности, если она касается прямой 4х + Зу —
-16 = 0.
3) Найдите уравнение прямой, проходящей через центры ок-
ружностей х2 + у2 + 4х - бу - 23 — 0 и х2 + у2 — 10х — 14^ +
+ 58 = 0.
4) Составьте уравнение окружности, проходящей через точ-
ку А(5; 6), и концентрической с окружностью х2 4- у2 - 2х +
+ бу +1 = 0.
5) Дана окружность х2 + у2 - 8х - 2у + 4 = 0. Составьте урав-
нение диаметра, перпендикулярного хорде х - бу - 12 = 0.
6) Составьте уравнение касательной, проведенной в точке
А(—2; 1) к окружности х2 + у2 — 2х + 4у - 13 = 0.
ЭЛЛИПС
659.1) Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если
расстояние между фокусами равно 20, а эксцентриситет ра-
вен 5/6.
2) Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если
он проходит через точки А( J2 ; 2) и В(2; 3 ).
3) Составьте уравнение эллипса, проходящего через точки
М1(6;4)иМ2(™8; 3).
124
4) Эксцентриситет эллипса равен 1/3, ордината точки эллип-
са, абсцисса которой равна абсциссе фокуса, равна 4. Со-
ставьте уравнение эллипса.
5) Составьте уравнение эллипса, у которого эксцентриситет
равен 1/3 и абсцисса одного из фокусов равна 3/2.
6) Вычислите координаты вершин, фокусов и эксцентриси-
тет эллипса, уравнение которого имеет вид 4х2 + 2у2 = 1.
ГИПЕРБОЛА
660.1) Вычислите эксцентриситет, координаты фокусов и урав-
нения асимптот гиперболы с уравнением 4х2 - 9 у2 = 36.
2) Составьте уравнение гиперболы, асимптотами которой яв-
ляются прямые у = ± р х и фокусы которой имеют координа-
ты (±2; 0).
3) Составьте уравнение гиперболы, проходящей через точки
(5;4/3)и(Т34;-5/3).
4) Чему равен эксцентриситет гиперболы, если известно, что
угол между ее асимптотами равен 60°?
5) Две вершины эллипса расположены в фокусах гиперболы,
вершины которой лежат в фокусах эллипса с уравнением
16 + 9 = Составьте уравнение гиперболы.
6) Вычислите точки пересечения равнобочной гиперболы
х2 — у2 = 16 с окружностью х2 + у2 = 34.
ПАРАБОЛА
661.1) Вершина параболы лежит в точке (2; 3); парабола прохо-
дит через начало координат, и ось ее параллельна оси Ох.
Составьте уравнение параболы.
2) Вычислите координаты вершины и фокуса, уравнение оси
и директрисы параболы, уравнение которой х2 - 8х - 16 г/ +
+ 32 = 0.
3) Составьте уравнение параболы, вершины которой лежат в
точке (-1; -2), а фокус — в точке (-1; -4).
4) Найдите координаты вершины и фокуса и составьте урав-
нения оси и директрисы параболы, уравнение которой
у2 + 4у - 6х + 7 = 0.
125
5) В параболу, уравнение которой у2 = 2рх, вписан равносто-
ронний треугольник. Одна из вершин треугольника совпада-
ет с вершиной параболы. Найдите длину стороны треуголь-
ника.
6) Найдите точки пересечения двух парабол, имеющих об-
щую вершину в начале координат, а фокусы в точках (2; 0)
и (0; 2).
ОТВЕТЫ
657.1) х + у - 8 = 0; 2) х2 + у2 - Зх = 0; 3) х2 + у2 = 16; 4) + ^ = 1;
5) ^ + ^ = 1; 6) g - f| = 1; 7) х2 + 4р + 4 = 0; 8) z/2 + 8// - 10х +
+ 21 = 0. 658. 1) (х + 2)2 4- (у - I)2 = 25; 2) (х + З)2 4- {у - I)2 = 25;
3) 4х - Чу 4- 29 = 0; 4) (х - I)2 + 0/4- З)2 = 97; 5) 5х + у - 21 = 0;
у 2 7/2 у 2 у 2 t/2
6) х - у + 3 = 0. 659.1) 144 +44 = 1; 2) iq + у = 1; 3) + ^5 = 1;
4) 8х2 + 9z/2 = 162; 5) 8х2 + 9z/2 = 162; 6) (±1/2; 0), (0; ± J2 /2); (0; ±1/2);
72/2. 660.1) 4^5 (±713; 0); у = |х, у = -|х; 2) 153х2 - 425z/2 =
= 450; 3) - у2 = 1; 4) ; 5) 9х2 - Чу2 = 63; 6) (5; 3); (-5; 3);
(-5; -3); (5; -3). 661. 1) 2у2 - 12у + 9х = 0; 2) (4; 1); (4; 5); х = 4; у + 3 = 0;
3) х2 + 2х + 8у + 17 = 0; 4) (1/2; -2); (2; -2); у + 2 = 0; х + 1 = 0;
5)4рТЗ;6) (0; 0); (8; 8).
Глава 12. Элементы
дифференциального исчисления
§ 76. Приложения производной
к исследованию функций
662. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) I/ = х4 - 4х + 4;
2) у = х3 - Зх2 + 2;
4) У == |;
3) у = х3 + | х2 + 1;
5) у = 8х2 — 1пх.
126
663. Найдите промежутки выпуклости кривой:
1) у = х3 - 9х2 + 10; 2) у = х3 + Зх2;
3) у = х3 4- Зх2 + 24х - 8; 4) у = х3 + 6х2 + 4;
5) у = хех.
664. Найдите точки перегиба кривой:
665. Исследуйте на экстремум следующие функции:
3) у = 2х3 + Зх2 + 6х - 10;
2) у = х3 - 6х2 + 9х -- 3;
4) у = (х - 1)3(х - 2)2;
666.1) Какой из прямоугольников с площадью 8 имеет наимень-
шую диагональ?
2) Найдите диагональ прямоугольника, имеющего периметр
2р и наибольшую площадь.
3) Какой из прямоугольников с площадью а2 имеет наимень-
ший периметр?
4) Какой из прямоугольников с диагональю d имеет наиболь-
ший периметр?
5) В окружность радиуса г впишите прямоугольник с наи-
большей площадью S.
6) В окружность радиуса г впишите равнобедренный тре-
угольник с наибольшей площадью 8.
7) Около окружности радиуса г опишите прямоугольный тре-
угольник с наименьшим периметром Р.
8) Около окружности радиуса г опишите равнобедренный
треугольник с наименьшей площадью 8.
9) Какой из прямоугольных треугольников с высотой Л, опу-
щенной из вершины прямого угла, имеет наименьшую гипо-
тенузу?
10) Какой из треугольников со сторонами а и b имеет наи-
большую площадь S?
127
11) Какой из треугольников с основанием а и противолежа-
щим ему углом А имеет наибольшую высоту Л?
12) Найдите катеты прямоугольного треугольника, вписанно-
го в окружность радиуса г и имеющего наибольшую площадь.
13) Какой из треугольников с основанием а и периметром 2р
имеет наибольшую площадь?
14) В круг с радиусом R вписан равнобедренный треуголь-
ник. При каком соотношении сторон треугольник будет
иметь наибольшую площадь?
15) В полуокружность радиуса г вписан прямоугольник с
наибольшей площадью. Найдите его измерения.
667.1) В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема.
Найдите радиус основания цилиндра.
2) В шар радиуса R вписан цилиндр с наибольшей боковой
поверхностью. Найдите высоту этого цилиндра.
3) Найдите радиус основания конуса, объем которого V и бо-
ковая поверхность имеет наименьшую величину.
4) В шар наименьшего радиуса вписан цилиндр, имеющий
объем V. Найдите радиус основания R и высоту h этого ци-
линдра.
5) Найдите объем наименьшего из конусов, описанных около
шара радиуса R.
6) В конус с радиусом основания RK впишите цилиндр наи-
большего объема.
7) Найдите высоту конуса наибольшего объема, вписанного в
шар радиуса R.
8) Найдите наибольший объем правильной четырехугольной
призмы, вписанной в шар радиуса R.
9) В шар радиуса R впишите правильную треугольную приз-
му с наибольшим объемом.
668.Составьте уравнение касательной и нормали к данной кри-
вой в данной на ней точке:
1) х2 + у2 = 36, М(2; 3); 2) у = | х2 - Зх + 4, М(4; 5);
3) у = х2 - х в точке у = 2; 4) у — х3 - Зх2 + 2, М(2; 4).
ОТВЕТЫ
662. 1) -оо < х < 1 убывает, 1 < х < 4-оо возрастает; 2) -оо < х < 0 воз-
растает, 0 < х < 2 убывает, 2 < х < +оо возрастает; 3) -оо < х < О убыва-
128
ет, 0 < х < 1 возрастает, 1 < х < 4-сю убывает; 4) —оо < х < О, 0 < х < +°°
убывает; 5) О
убывает, -л
х < 4-00 возрастает. 663.1) -°° < х < 3
выпукла вверх, 3 < х < 4-оо выпукла вниз; 2) -оо < х < -1 выпук-
ла вверх, -1 < х < 4-оо выпукла вниз; 3) < х < — 1 выпукла вверх,
-1 < х < 4-оо выпукла вниз; 4) -оо < х < -2 выпукла вверх, -2 < х < 4-оо
выпукла вниз; 5) -оо < х < - 2 выпукла вверх, -2 < х < 4-оо выпукла
вниз.
665. 1) max (-1; 2), min
мумов не имеет; 4) max (8/5; 108/3125), min (2; 0); 5) max (1; 1/2),
min (-1; -1/2). 666. 1) Квадрат co стороной Js ; 2) ; 3) квадрат co
стороной a; 4) квадрат co стороной d/ J2 ; 5) квадрат, S — 2г* 2; 6) рав-
носторонний треугольник, <S = . ; 7) 2p = 2r(3 4- 2^/2 ); 8) равно-
сторонний треугольник, S = 3r2+j3 ; 9) равнобедренный с гипотенузой
CL A
2h; 10) прямоугольный, S = ab/2; 11) равнобедренный, h=^ctg ;
Zu £
12) Гл/2 ; 13) равнобедренный co стороной (2p — a)/2; 14) равносто-
ронний co стороной Ял/3; 15) rj2 , r—r~ . 667. 1) ; 2) R J2 ; 3) в —— ;
2 3 ^2л2
d 1 f2 i 2v 8njR3 a\ r> *74 41? о\ л iz 81?3./3
4) R = 6 — > h = 3/— ; 5) —5— ; 6) Яц = 5 Як; /) -~- ; 8) куб, V = —— ;
А/2л2 А/ n о ’ ° v
9) B3. 668. 1) 2x 4- 3 4- у - 13 = 0, 3x - 2t/ = 0; 2) x - i/ 4- 1 = 0, x 4- r/ -
- 9 = 0; 3) (Зх - у - 4 = О, Зх 4- у + 1 = 0), (x 4- Зу - 8 = 0, х - Зу 4-7 = 0);
4) у = 2х, х 4- 2у - 10 = 0.
§ 77. Физические приложения производной
669.1) Точка движется прямолинейно по закону S = - | i3 4- З/2 4-
О
4- 5f 4- 3. Найдите максимальную скорость движения этой
точки (S в м, t в с).
2) Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, за-
дан уравнением S = Vot - gt'2. Найдите наибольшую высоту
подъема (S в м, t в с).
5 - 9663
129
3) Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, за-
дан уравнением S = 19,6t - 4,9t* 1 2 3 4 5 6 7 8. Найдите наибольшую высо-
ту подъема тела.
ОТВЕТЫ
669. 1) 14 м/с; 2) v2J2g ; 3) 19,6 м.
Глава 13. Элементы
интегрального исчисления
§ 78. Геометрические приложения
неопределенного интеграла
670. Составьте уравнение кривой, если:
1) угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (х, у)
равен 2х;
2) угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее
у
точке равен -;
3) касательная в любой точке.кривой имеет угловой коэффи-
циент, равный ординате точки касания, и кривая проходит
через точку А(0; 1);
4) угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен:
а) -Зх; б) х 4- 2;
5) угловой коэффициент касательной в каждой ее точке ра-
вен: а) - - ; б) - ; в) - - ;
6) угловой коэффициент касательной в любой точке кривой
*
равен о и кривая проходит через начало координат;
О
7) угловой коэффициент к кривой в каждой ее точке равен
Зх2 - 2х и кривая проходит через точку М(1; 4);
8) угловой коэффициент в каждой ее точке равен утроенному
квадрату абсциссы точки касания и кривая проходит через
точку А(-1; 3).
130
ОТВЕТЫ
670. 1) у = х2 + С; 2) у - Сх; 3) у - <•»; 4. а) у = ~ + С, 4. б) у = +
+ 2х + С; 5. а) у =
|, 5. б) х2 - у2 = С, 5. в) х2 + у2 = С; 6) у = | х2 + С;
7) у = х3 - х2 + 4; 8) у = х3 + 4.
§ 79. Физические приложения
неопределенного интеграла
671.1) Скорость прямолинейного движения точки изменяется по
закону v = t2 — 8t + 2. Найдите закон движения точки.
2) Скорость прямолинейного движения точки изменяется по
закону v = 3t2 + 4. Найдите закон движения S, если за время
t = 2 с точка прошла 20 м.
3) Найдите закон движения свободно падающего тела при по-
стоянном ускорении g, если в начальный момент движения
тело находилось в покое.
4) Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
Vq. Найдите закон движения этого тела (сопротивлением воз-
духа можно пренебречь). При решении принять 47 = -g. При
t — О скорость движения равна и0 м/с. Скорость равнозамед-
ленного движения под действием силы тяжести выражается
формулой v = -gt + у0.
5) Точка движется прямолинейно с ускорением а = 6# — 12.
В момент времени t = О (начало отсчета) начальная скорость
v0 = 9 м/с; расстояние от начала отсчета <S0 = 10 м. Найдите:
а) скорость и закон движения точки; б) величины ускорения,
скорости и пути в момент t — 2 с; в) момент, когда скорость
окажется наименьшей.
6) Скорость прямолинейного движения точки задана фор-
мулой v = 2cos t. Найдите закон движения, если в момент
t = тг/6 точка находилась на расстоянии S = 4 м от начала от-
счета.
7) Точка движется прямолинейно с ускорением а = 12t2 + 6t.
Найдите закон движения точки, если в момент t = 1 с ее ско-
рость v = 8 м/с, а путь S = 6 м.
131
8) Точка движется прямолинейно с ускорением а = -6t 4- 18.
В момент времени t = 0 (начало отсчета) начальная скорость
v0 = 24 м/с, расстояние от начала отсчета So = 15 м. Найдите:
а) скорость и закон движения точки; б) величины ускорения,
скорости и пути в момент t = 2 с; в) момент, когда скорость
является наибольшей.
ОТВЕТЫ
671.1) S = | /3 - 4/2 + 2t + С; 2) S = /3 + 4t + 4; 3) S = J gt2; 4) S =
O zi
= vot - \gt2\ 5. a) v = 3/2 - 12/ + 9, S = /3 - 6/2 + 9/ + 10; 5. б) при
t = 2 c: a = 0, v = -3 м/с, -S = 12 m; 5. в) при t = 2 с скорость является
наименьшей; 6) S = 2sin t + 3; 7) t4 + t3 + t + 3; 8. a) v = -3/2 + 18/ +
+ 24, S = -t3 + 9/2 + 24/ + 15, 8. 6) at = 2 = 6 м/с2, vt_ 2 = 48 м/с,
St = 2 = 91 m; 8. в) Vmax = Vt.3 = 51 м/с.
§ 80. Определенный интеграл
672 . Вычислите интеграл:
673. Вычислите площади фигур, ограниченных данными ли-
ниями:
1)#2-9х = 0,
2) у - 4 - х2,
3) у2 = х + 2,
у Зх,
z/ = 0;
х = 0;
У = 2х;
х — у + 5 - 0;
132
6) у = х2 - 8х 4- 16,
7) У2 = 2х,
8) у = -х2 4- 6х — 5,
9) ху = а2,
10) 3z/2- 16x4-32 = 0,
11) 4х2-9г/4- 18 = 0,
12) 5х2 - 60х 4- 4у 4- 160 = О,
13) х2 = 9 г/,
х 4- у - 6 = 0;
х2 = 2г/;
У = О;
х = 2а,
4х - Зу - 8 = 0;
2х2 - 9у 4- 36 = 0;
х2 - 12х 4- 2у 4- 32 = 0;
х - Зу 4- 6 = 0.
674. Найдите объемы тел, образованных вращением вокруг оси
Ох площади, ограниченной данными линиями:
1) у2 - 4х = 0,
2) у2 - х 4- 1 = 0,
3) у2 - 4х = О,
4) у = sin х,
5) у = -х2 4- 2х,
6) у2 = х 4- 2,
7) у2 - 6х = О,
8) у = -х2 4- Зх,
х - 4 = О,
х - 2 = О,
х - 2 = О,
х = О,
У = О;
х = О,
х = 1,
г/ = 0.
У = О;
!/ = 0;
х - 4 = О,
У = 0;
х = 2,
У = 0;
У = О;
У = 0;
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ РАБОТЫ,
ДАВЛЕНИЯ И ДРУГИХ ВЕЛИЧИН
675.1) Уравнение скорости прямолинейного движения точки
v = 3t2 - 2t - 1 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точ-
кой за 5 с от начала движения.
2) Уравнение скорости прямолинейного движения точки
v — 6t2 - 10/. Найдите путь, пройденный точкой за третью се-
кунду.
3) Вычислите работу, совершенную при сжатии пружины на
0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила F = 20 Н.
4) Вычислите работу, совершенную при сжатии пружины на
0,1 м, если для сжатия ее на 0,05 м была затрачена работа
А = 25 Дж.
5) Вычислите работу, затраченную на выкачивание воды из
резервуара, имеющего форму конуса (с вершиной внизу) с ра-
диусом основания R = 2 м и высотой Н = 3 м, наполненного
доверху водой (вес воды в объеме 1 м3 составляет приблизи-
тельно 9807 Н).
133
6) Вычислите работу, затраченную на выкачивание воды из
резервуара, имеющего форму цилиндра с радиусом R = 2 м и
высотой Н — 1 м, наполненного доверху водой.
7) Вычислите силу давления воды на вертикальную площад-
ку, имеющую форму прямоугольника с основанием 4 м и
высотой 2 м. Верхнее основание находится на поверхности
воды.
8) Вычислите силу давления воды на вертикальную площад-
ку, имеющую форму треугольника с основанием 5 м и с высо-
той 3 м. Вершина треугольника находится на поверхности
воды, а основание параллельно ей.
ОТВЕТЫ
672.1) 22; 2) 2; 3) л/8; 4) 2 73 /3; 5) (1/2) In 3; 6) п/4; 7) 1; 8) J3 л/36.
673. 1) |; 2) ю|; 3) 4) 8; 5) 2о|; 6) 4± ; 7) |; 8) ю|; 9) a2In 2;
10) 2; 11) 8; 12) 8; 13) 1з|. 674.1) 32л; 2) ?; 3) 24л; 4) л2/4; 5) 16л/15;
6) 2л; 7) 9л; 8) 8,1л. 675. 1) 95 м; 2) 13 м; 3) 1,6 Дж; 4) 100 Дж;
5) 29 421 л Дж; 6) 19 614 л Дж; 7) 78 456 Н; 8) 147 105 Н.
ЧАСТЬ 4. УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
ЗА КУРС ДЕВЯТИ Л ЕТНЕЙ ШКОЛЫ
Глава 14. Арифметические
и алгебраические действия
§ 81. Арифметические действия
676.Выполните упражнения на совместные действия с обык-
новенными и десятичными дробями:
9
7 . 14 .
18 : 27 ’
0,216
0,15
15
196
225
, (0,6 + 0,425 - 0,005) : 0,01 .
7 14
15 + 45
3
6)
2
8Г 12
- 0,0325 : 400
oU )
7)
135
8)
(2,1 - 1,965) : (1,2 • 0,045) 1:0,25
0,00325 : 0,013 1,6 • 0,625 *
/ о оо к 9Я\
10) 146^ : 12 + 41== : 260^ +800 : 12== х
\ 25 Зэ 14 31)
ПРОПОРЦИИ
И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
677. Решите пропорцию:
2) 2,5 : 0,125 = 1,5х : 0,75;
1|х = 0,25 : 2,5.
Ci
678.Выполните упражнение на пропорциональное деление:
1) разделите 798 пропорционально числам 2/3, 3/4 и 4/5;
2) разделите 765 пропорционально числам 1 /5, 1/4 и 0,3;
3) разделите 434 пропорционально числам 1/2, 1/3 и 0,2;
4) разделите 705 пропорционально числам 1/5, 2/3 и 0,7.
ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
679. Запишите проценты в виде десятичных дробей:
1)12,5%;
4)16j%;
2)0,5%;
3) 1,8%;
6) 10%.
680.Запишите в процентах число:
1)2; 2)3|;
4)10; 5)2,4;
3) 0,6;
6) 1.
136
681. Найдите:
1)3,5% от 154;
4) J % от 360;
О
2) 16,8% от 42,5;
5) 7% от 48.
3) 32% от 12,5;
682. Найдите число по его проценту:
1) 4^ % равны 589; 2) 101 % равны 8,6;
3) 9,5% равны 17,1; 4) 28,5% равны 171;
5) 7,5% равны 3,3.
683. Найдите процентное отношение двух чисел:
1)0,75 от |;
О
3) 1,28 от 3,2;
5) 3,2 от 1,28.
4) 5,5 от 8,8;
ОТВЕТЫ
676. 1) 3; 2) 4| ; 3) 5; 4) 5; 5) 14; 6) 2,5; 7) 2500; 8) 2^ ; 9) 6; 10) 66.
677. 1) 1; 2) 10; 3) 14,4; 4) 5. 678. 1) 240, 270, 288; 2) 204, 255, 306;
3)210, 140, 84; 4) 90, 300, 315. 679. 1) 0,125; 2) 0,005; 3) 0,018;
4)0,1625; 5)0,0075; 6)0,1. 680.1)200%; 2)320%; 3)60%;
4) 1000%; 5) 240%; 6) 100%. 681. 1) 5,39; 2) 7,14; 3) 4; 4) 1,2; 5) 3,36.
682.1)12 400; 2)80; 3)180; 4)600; 5) 44. 683. 1)120%; 2)125%;
3) 40%; 4) 62,5%; 5) 250%.
§ 82. Алгебраические действия
684. Разложите на множители и сократите дробь:
1) а3 + 2а2 - 2а - 4;
3) (2а - ЗЬ)2 - 4Ь2;
\ ^*2 „А. •
V J Л- •Л' tXeA' i f J у
2) 2Ь3 - 2аЬ1 2 - а2Ь + а3;
4) 9(5а - 4&)2 - 64а2;
9)
а2 + 2аЬ + Ь2 .
2а< - 2М ;
10> 6а2 + 12а 4-6 *
137
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
685. Выполните указанные действия:
1 4 _ 3m-J> .
Зт - 2 2 + Зт 4 - 9m2 ’
1 - 6а + 9а2 .
Ьа2+10а ’
3 , 1 3 \ / 2х-1\
х2-х + 1 х + 1 хз + 1Г1Х x + lj;
х - # + 3 ф
х3у + 27у
. х^-У. .
2(х + у) ’
9)
а
ab + Ь2
ОТВЕТЫ
684.1) (а + 2)(а2 - 2); 2) (Ь - а)(262 - а2); 3) (2а - 56)(2а - 6);
4) (7а - 126)(23а - 126); 5) х(1 - х)(х2 + х - 3);
6) (х2 + 1)(х - 1)(х2 + х + 1); 7) 2^4 ; 8) - (х ± + у2);
а + 1 X2 + Ху + I/2
qv d 4" b - л fl2 “ й “t* 1 6tn
> 2{a - b)(a2 + b2) ’ ' 6(a + 1) ‘ DOX (3m - 2)(3m + 2) *
2) / + 5 2; 3) ’ 4) 1; 5> y(x - 3>; 6) 22(J + - : 7>5; 8> ~a'
6(x + l)2 411-da) x2 + xy + y2
9> ^~b; 10> (^-TTj •
138
Глава 15. Линейные уравнения
и системы линейных уравнений.
Линейные неравенства и системы
линейных неравенств. Дробные показатели
§ 83. Линейные уравнения
и системы линейных уравнений
686.Решите уравнение:
2) 2х + ? -2 = 0;
о
26х - 51 2(1-Зх) = 20х-(10-Зх)е
52 13 Х 156 ’
2х - 5
х + 2 _ 5 - 2х _ 6 - 7х
4 3 4
2х - 1 _ 2х + 1 8 .
2х + 1 2х - 1 -J _ 4x2 ’
12 = 1 - Зх 1 + Зх .
j _ 9x2 1 + Зх Зх — 1 ’
8)
2х + 1
х + 2
10)
687. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными:
5х - 2у — 7,
Зх + 4у = 25;
1)
139
3)
2х - у
4) 2х-1
Зг/ — 2
4
3t/ + 2
4
= 2,
= 0;
5х + Зу
7
9z/+ 11
14 *
2у - 5
5 ’
9)
6)
8х Зу - 10
“ 15 5
5х _ у - 17 .
6 12 ’
х - 2у + 3
4х - Зу
2~^
3
ц. У
3 5
2х — у ;
3
ОТВЕТЫ
686. 1) 13; 2) 1; 3) 11; 4) 10; 5) 1; 6) 1; 7) -1; 8) 5; 9) 8; 10) 2.
687. 1) (3; 4); 2) (7; 5); 3) (3; 2); 4) (3; 2); 5) (4; 5); 6) (12; 6); 7) (5; 4);
8) (7; 5); 9) (3; 2); 10) (2; -5).
140
§ 84. Линейные неравенства и системы
линейных неравенств с одной переменной
688. Решите неравенство:
4 - Зх 2х - 1 _ 5х - 2 #
~3 < ~4 ё ’
4х + 1 7 х
3) т - 2 > i - 5;
4) + Юх < -12;
Зх - 8
689. Решите систему неравенств:
3 — 2х
3 ’
5
3
690. Решите неравенство:
1)
3)
5)
2х - 1
Зх + 4
2)
4)
X - 11
2х - 5
3 - 5х
2х - 5
141
ОТВЕТЫ
688.1) —оо < х < —7/2; 2) 17/13 < х < +°°; 3) —9,75 < х < 4-оо;
4) -оо < х < -3,5; 5) 56 < х < +°°. 689.1) 1 < х < 12; 2) решения нет;
3) -оо < х < 1/5; 4) 9 < х < +°о; 5) нет решения. 690. 1) < х <
(N 100
5 < х < +оо; 2) 5/2 < х < 11; 3) -оо < х < -3/2, -1/3 < х < +оо;
4) 5/2 < х < 12; 5) -5 < х < -4/3.
§ 85. Действия
с дробными показателями
и корнями
Выполните действия [691, 692].
691.1) 272/3 • 90-5 • З'2 +
V0-75 /
2) (17=1 +810 0000-25-(7^1 + (0,63)°;
/ у J
3) ((2 е)3.(-!)’ .(^у6 +4-0-(0,25)-’): (Q)3 -1024);
/ 1 х-3/2
4) (-0,5)~4 - 6250’25 - (2±J + 19-(-3)3;
5) (О,О625)0’25 + (-2)“2 - (7 + 2-1)0 + (25‘0’4 • 5^2.54/5)2.
6) 9'1/21;(2/3)~\-(40-йГ +5-Ю-.
(1/8) 1/3 - (3/4 Г V 6/
692.1)
о-1/2 _ а-1,5
2) (а1/3 - х1/3) 1 • {а - х);
т - п
Я2.2/3 _ щ1/3Л1/3 .j. 72.2/3
W12/3 - п2/г
Tfti/e _ п2/з
X2 - у2
142
6)
а®,8 4- q 0,2
____________ •
а®»® +
С-1/2
7)
а1/2 ftl/2
^а-1/3 £-1/3
а с 2/2
ДЕЙСТВИЯ С КОРНЯМИ
693.Выполните действия (при выполнении действий замените
корни дробными показателями):
- ab-
(а2 -
4) 1 (7^3 - fe3a 3 ):
2(а - Ь)'1 .
(ab)V2
\i/2
-4(ar)1/2j -
5) а1/2 • (Ja - Jx) 2
ОТВЕТЫ
691. 1) 2) 37|; 3) -6; 4) 10; 5) 4?; 6) -1,1. 692.1) 2 - a1/4;
0 £ 4
2)2а1/зх1/з. 3) mi/3 _ ni/3. 4) 2(xV2 - y1^2); 5) a2^ + 1; 6) ———
7)abc. 693. 1)2-Vx; 2)
3)0; 4)1; 5)1; 6)1.
143
Глава 16. Квадратные уравнения
и квадратные неравенства.
Прогрессии
§ 86. Квадратные уравнения
и системы уравнений второй степени
с двумя переменными
694. Решите уравнение:
ч 9(х + 5» 2х
2(х2 - 9)
2х - 1
2(1 - х)
= 0;
= 0;
6)
= 0;
7)
-2 = 0;
9)
Ю)
4х2
= 0;
695. Сократите дробь:
1)
9
9
144
696. Решите систему уравнений:
1) х* 2 + 2ху - 4у2 - 5х + 4 = О,
4)
3)
4х2 4- 4у2 =
х + у = 10;
17x1/,
х2 + бху + Sy2 = 91,
х + Зу - 10 = 0;
7) 1х и 13
Ю) [х2 + г/2 = 13,
12)
[х - у — 2;
ОТВЕТЫ
694. 1) -3,2; 2) 1; 3) -4; 4) —7/9, 2; 5) -2,2, 6; 6) действительных кор-
ней не имеет; 7) 3/4; 8) 0; 3/2; 9) 1; 6; 10) действительных корней не
имеет. 695. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 696. 1) (4; 2), (3; 1);
2) (-3; -1), (-1; -3), (3; 1), (1; 3); 3) (8; 2), (2; 8); 4) (1; 3), (19; -3);
5) (7; 6); 6) (-3; -2), (-2; -3), (2; 3), (3; 2); 7) (3; -2), (-2; 3); 8) (-3; -4),
(-4; -3), (3; 4), (4; 3); 9) (3; 2), (2; 1); 10) (-2; -3), (2; 3); И) (2; -3),
(-2; 3), (-3; -2), (3; 2); 12) (5; 1). (-5; -1).
§ 87. Квадратные неравенства
Решите неравенство [697, 698].
697.1) х2 - х - 12 > 0;
3) х2 + 6х + 9 < 0;
5) х2 + 2х + 1 > 0;
7) -х2 + 6х - 5 < 0;
9) -х2 + 6х - 5 > 0;
2) -х2 + х + 2 > 0;
4) х2 - 6х + 8 < 0;
6) х2 - 4х + 3 > 0;
8) 2х2 - 4х + 7 > 0;
10) -х2 + 4х - 5 > 0.
6 - 9663
145
698.1)=—4
х - 2
3;
3)
6)
3;
0.
699. Решите неравенство методом промежутков:
1) (х 4- 3) • (х 4- 1) • (х - 2) > 0;
3) (х + 3) • (х + 2) • (х - 1) > 0;
4) (х 4- 3)-(х - 2)-(х - 4) < 0;
5) (х 4- 3) • (х - 1) • (х - 2) • (х - 4) > 0;
ОТВЕТЫ
697.1) < х < -3, 4 < х < +°°; 2) -1 < х < 2; 3) решения нет;
4) 2 < х С 4; 5) -оо < х < -1, -1 < х < 4-оо; 6) — °° < х < 1, 3 < х < +<»;
7) -оо <хС1,5Сх< +00; 8) —оо < х < 4-оо; 9) 1 С х < 5; 10) решения
нет. 698.1) -°0 < х < 1, 3 < х < 4-оо; 2) -оо <Х<3, 5<Х< 4-ОО;
3) 3 < х < 4; 4) -3 < х < -1, 1 < х < 4-оо; 5) -оо < х < -4, -1 < х < 2;
6) -оо < х < 0, 1 < х < +оо. 699. 1) -3 < х < - 1, 2 < х < 4-00;
§ 88. Прогрессии
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
700.Обозначим через ai {I = 1,2, ... , п) члены арифметической
прогрессии, через d — разность прогрессии, через Sn — сум-
му п первых членов прогрессии. Найдите:
1) d, п, если aY = 10, ап = 40, Sn = 275;
2) а9, если d = 4, п — 9, S9 = 162;
3) а19 d, S10, если a3 4- = 44, a2 4- = 41;
4) alf d, если аг + a5 - a3 = 10, a} 4- a(5 = 7;
5) av d, если 4- 10a5 *0, S4- 14;
6) ap d, и, если an = 55, a2 + a5 = 32,5, S15 = 412,5;
146
7) ap d, если at + а2 = 7, а1 * а2 = 10;
8) av d, если а} + а2 + а3 = 15, • а2 • а3 = 80;
9) av d, если а2 + а4 = 16, а5 = 28;
10) ар d, если а3 + а7 = 4, а2 + а14 = -8;
11) d, S, если at = 3, ап = 63, п = 16;
12) а13, S13, если а1 = 7, d = 4, п = 13.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
701.Обозначим через bi{i = 12, ... , п) члены геометрической про-
грессии, через q — знаменатель прогрессии, через Sn — сум-
му п первых членов прогрессии. Найдите:
1) q, п, если Ьх = 2, д6 = 64;
2) <S8, если Ь2 + Ь4 = 10, Ь3 + д5 = 20;
3) др Ъп, если q = 2, п = 7, S = 635;
4) dp Sn, если Ьп = 128, q = 2, п = 7;
5) д, если Ь2 + д5 - Ь4 = 10, Ь3 + д6 - д5 = 20;
6) др г/, п, если д7 - д5 = 48, д6 + д3 = 48, Sn = 1023;
7) др с/, /г, если д6 - д4 = 216, д3 - д, = 8, Sn = 40;
8) S9, если dj + д3 = 15, д2 + д4 = 30;
9) Sa, если Ьг = 8, q = 1/2, п = 5.
702. 1) Первые члены арифметической и геометрической прогрес-
сий равны 3. Второй член арифметической прогрессии боль-
ше второго члена геометрической на 6; третьи члены про-
грессий равны. Найдите эти прогрессии, если все члены обе-
их прогрессий положительны.
2) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии
равна 30. Если от первого члена отнять 5, от второго 4, а тре-
тий член оставить без изменения, то полученные числа соста-
вят геометрическую прогрессию. Найдите эти прогрессии.
3) Три положительных числа, дающие в сумме 21, составля-
ют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно
прибавить 2, 3 и 9, то полученные числа составят геометри-
ческую прогрессию. Найдите эти числа.
4) Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геомет-
рическую прогрессию, равна 65. Если от меньшего из них от-
нять 1, а от большего 19, то полученные числа составят ариф-
метическую прогрессию. Найдите эти числа.
147
ОТВЕТЫ
700. 1) d = 3, п = 11; 2) ах = 2, а9 = 34; 3) ах - 4, d = 3, S10 = 175;
4) ах = 36, d = -13; 5) ах - 8, d - -3; 6) ах = 10, d = 2,5, п = 19; 7) ах = 2,
d = 3; ах = 5, d = -3; 8) ах = 2, d = 3; aL = 8, d = -3; 9) aT = 2, d = 3;
ax = 14, d = -3; 10) ax - 10, d = -2; 11) d = 4, S = 528; 12) a13 = 55,
S13 = 403. 701. 1) q - 2, n = 6; 2) S8 = 255; 3) bx ^5,bn = 320; 4) bx = 2,
S„ = 254; 5) bx = 1, q = 2; 6) b} = 1, q = 2, n = 10; 7) b} = 1, q = 3, n = 4;
8) S9= 1533; 9) S„ = 15,5. 702.1) 3, 15, 27,...; 3, 9, 27,...;
2)8, 10, 12, ... ; 3, 6, 12, ... ; 3)3, 7, 11; 4) 5, 15, 45.
ЧАСТЬ 5. СПРАВОЧНЫЕ
МАТЕРИАЛЫ
Глава 17. Арифметика и алгебра
§ 89. Начальные сведения по арифметике
Деление с остатком. Зависимость между делимым а, делителем Ь,
частным q и остатком г:
а
т = г/, остаток г,
b 1
а = bq + г, О < г < Ь.
Делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
Признак делимости чисел на 2 и на 5. На 2 и на 5 делятся числа, у ко-
торых последняя цифра выражает число, делящееся на 2 или
на 5.
Признак делимости чисел на 3 и на 9. На 3 и на 9 делятся числа, у ко-
торых сумма цифр соответственно делится на 3 или на 9.
Признак делимости чисел на 4 и на 25. На 4 и на 25 делятся числа, ко-
торые оканчиваются двумя нулями или две последние цифры ко-
торых выражают число, делящееся соответственно на 4 или на 25.
Признак делимости чисел на 8 и на 125. На 8 и на 125 делятся числа,
которые оканчиваются тремя нулями или у которых три послед-
ние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или
на 125.
Признак делимости чисел на 7, 11 и на 13. На 7, 11 и на 13 делятся
числа, у которых разность между числом, выраженным тремя по-
следними цифрами, и числом, выраженным остальными цифра-
ми (или наоборот), делится соответственно на 7, 11 или на 13.
Признак делимости чисел на 6. На 6 делятся числа, которые делятся
на 2 и на 3.
149
Числа простые и составные. Числа, делящиеся только на единицу и
сами на себя, называются простыми. Числа, которые делятся еще
и на другие числа, называются составными.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам,
оно занимает особое положение.
Общий наибольший делитель и общее наименьшее кратное. Общим наи-
большим делителем нескольких чисел называется наибольшее чис-
ло, на которое делятся все данные числа без остатка.
Общим наименьшим кратным нескольких чисел называется наи-
меньшее число, которое делится на каждое из данных чисел без
остатка.
Основное свойство дроби. Величина дроби не изменится, если чис-
литель и знаменатель ее умножить или разделить на одно и то же
число, не равное нулю.
§ 90. Периодические десятичные дроби
Если обыкновенная несократимая дробь обращается в беско-
нечную десятичную дробь, то последняя будет обязательно перио-
дической.
Если у знаменателя дроби отсутствуют множители 2 и 5, то
дробь будет чисто периодической, если же знаменатель содержит
множители 2 или 5, дробь будет смешанной периодической.
Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкно-
венную, достаточно записать числителем ее период, а знаменате-
лем — число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в
периоде.
Например:
3,(05)-3^; 0,(063)=^=^.
Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкно-
венную, нужно из числа, стоящего до второго периода, вычесть
число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять
числителем, а знаменателем написать число, выраженное столь-
кими девятками, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями
на конце, сколько цифр между запятой и периодом.
Например,
851 - 3 = Э48 = 58
0,8 (51) 990 990 1б5;
47(8) = 41^=4™.
4 90 90
150
§ 91. Проценты
Процентом числа называется сотая часть этого числа.
Нахождение процентов заданного числа: р% числа а равны а *р/100.
Чтобы найти несколько процентов данного числа а, достаточно
данное число разделить на 100 и умножить результат на число
процентов р.
Нахождение числа по данной величине его процентов. Если р% неко-
торого числа составляет число а, то все число равно а • 100/р.
Чтобы найти число по данной величине его процентов р, надо
умножить данное число а на число процентов р и результат умень-
шить в 100 раз.
Нахождение процентного отношения двух чисел. Процентное отноше-
ние числа а к числу b вычисляется по формуле (а/Ъ) • 100.
Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу Ъ,
нужно найти отношение а к b и умножить его на 100.
§ 92. Пропорции
Пропорцией называется равенство двух отношений
Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов про-
порции равно произведению ее средних членов:
ad = be.
ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОПОРЦИИ
Свойство ряда равных отношений. Если
то
+ ... + bj
151
т. е. если несколько отношении равны друг другу, то сумма всех
предыдущих их членов так относится к сумме всех последующих,
как каждый предыдущий к своему последующему.
Пропорциональная зависимость величины. Прямая пропорциональная
зависимость между переменными х и у выражается формулой
у = kx
и обратная пропорциональная зависимость между ними выража-
ется формулой
/г
У х
где k — коэффициент пропорциональности.
Пропорциональное деление. Чтобы разделить число на части, прямо
пропорциональные нескольким данным числам, нужно разде-
лить это число на сумму этих чисел и частное умножить на каж-
дое из них.
♦ ПРИМЕР. Разделить число 120 в отношении 1:2:3.
РЕШЕНИЕ. Находим сумму частей 1 + 2 + 3 = 6. На одну часть
приходится 120 : 6 = 20. Тогда искомые числа будут равны:
20 • 1 = 20; 20 • 2 = 40; 20 • 3 = 60. Проверка: 20 + 40 + 60 = 120.
§ 93. Формулы сокращенного умножения
Произведение суммы двух чисел на их разность. Произведение суммы
двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:
(а + Ъ)(а - Ь) = а2 - Ь2.
Квадрат суммы и разности двух чисел. Квадрат суммы (разности)
двух чисел равен квадрату первого числа, плюс (минус) удвоенное
произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго
числа:
(а + Ъ}2 = а2 ± 2аЬ + Ъ2.
Куб суммы и разности двух чисел. Куб суммы (разности) двух чисел
равен кубу первого числа плюс (минус) утроенное произведение
квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение
первого числа на квадрат второго плюс (минус) куб второго числа:
(а ± Ь)3 = а3 ± За2Ь + ЗаЬ2 ± b:i.
152
Сумма и разность кубов двух чисел. Сумма (разность) кубов двух чи-
сел равна произведению суммы (разности) оснований этих чисел
на неполный квадрат их разности (суммы):
а3 ± &3 = (а + b)(a2 ±ab + Ь2).
Разложение многочленов на множители. К основным способам разло-
жения на множители относятся:
1) вынесение за скобки общего множителя;
2) способ группировки;
3) по формулам сокращенного умножения.
§ 94. Действия со степенями и корнями
Степень произведения:
(а • b • с •.. .)п = ап • Ьп • сп •... .
Степень частного (дроби):
Умножение степеней с одинаковыми показателями:
ап • Ьп • с11 •... — (а * Ь* с •...)".
Деление степеней с одинаковыми показателями:
Умножение степеней с одинаковыми основаниями:
ат • ап = ат п
0.
Деление степеней с одинаковыми основаниями:
а"1 '.ап= — = ат~п, а > 0.
ап
Возведение степени в степень:
(ат)п = атп, а > 0.
Корень из произведения:
nJabc = nJa • nJb • nJc , a > 0, b > 0, c > 0.
153
Корень из частного (дроби):
а > О, b > 0.
Умножение корней с одинаковыми показателями:
nJa • nJb • nJc = nJabc , a > 0, b > 0, c > 0.
Деление корней с одинаковыми показателями:
Возведение корня в степень:
(nJa)P = nJap,
Извлечение корня из степени:
пл/ар = (nJci)P,
Извлечение корня из корня:
= рпЛ,
а > 0.
а > 0.
а > О.
Первая, нулевая, отрицательная и дробная степени. Всякое число, не
равное 0, в нулевой степени равно 1:
а~п = — , а * 0, п > О;
„П
а > 0;
а > 0;
а > 0.
§ 95. Комплексные числа
в алгебраической форме
Комплексными числами называются числа вида а + Ы, где а и b —
действительные числа, i — мнимая единица, определяемая ра-
венством i2 = -1.
154
Степени мнимой единицы:
i4 = l,
k € Z'\
i-ik +1
Два комплексных числа ах + bYi и а2 + b2i называются равными,
если ах = а2 и Ьх = Ь2.
Сумма (разность) двух комплексных чисел zr = аг + Ьг1 и г2 = а2 4-
+ b2i находится по формуле
2j ± z2 = (а, ± а2) + (bi ± b2)i.
Произведение двух комплексных чисел z = ах + bYi и z2 = а2 + b2i
находится по формуле
21 • г2 = (а1а2 - bfi2) 4- (atb2 4- a.jbJ i.
Частное двух комплексных чисел находится по формуле
(а2 4- b2i)(a2 - b2i)
«1^2 + h\b2
Действия над комплексными числами можно производить по
правилам действий над алгебраическими двучленами, принимая
во внимание, что I2 = — 1.
Любое действительное число а содержится в множестве комп-
лексных чисел:
a = a + O*i; 0 = 04-04; 1 = 14-0 4; / = 04-14.
При а = 0 комплексное число обращается в чисто мнимое чис-
ло bi.
Числа а 4- bi и а - Ы называются комплексно сопряженными и
обозначаются
z = а 4- bi = а - bi.
Комплексные числа а 4- Ы и -а - bi называются противопо-
ложными.
Модулем комплексного числа z = а 4- bi называется число
| = |а 4- bi\ = Ja2 4- d2 .
Здесь и далее через Z обозначено множество целых чисел.
155
§ 96. Линейные уравнения
и системы линейных уравнений
Тождество и уравнение. В математике имеют место два вида ра-
венств: тождества и уравнения.
Равенство, справедливое при любых допустимых числовых
значениях входящих в него букв, называется тождеством. На-
пример, (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2 — это равенство справедливо при
любых числовых значениях а и Ь.
Равенство, справедливое при определенных допустимых чис-
ловых значениях входящих в него букв, называется уравнением.
Например, 2х - 8 = 2 — это равенство справедливо только при
х = 5.
Корнем или решением уравнения называется значение переменной
(неизвестного), при подстановке которого в уравнение получается
верное числовое равенство.
Уравнения называются равносильными, если все корни одного
уравнения являются корнями другого и наоборот.
Решение уравнений основано на двух теоремах.
ТЕОРЕМА I
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число,
то получится уравнение, равносильное данному.
ТЕОРЕМАХ!
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и
то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равно-
сильное данному.
Линейным уравнением с одной переменной х называется уравне-
ние вида ах + Ъ = 0, где а и b — действительные числа.
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕИЗВЕСТНЫМ)
Путь решения Уравнение 3-^' — 1 _ — 2 о 9 2 3 Z £Х
1. Приводим уравнение к цело- му виду 3(3х - 1) - 2(5х - 2) = 6 (2 - 2х)
2. Раскрываем скобки 9х - 3 - 10х + 4 = 12 - 12х
3. Члены, содержащие пере- менную (неизвестное), пере- носим в левую часть, свобод- ные члены — в правую часть 9х - Юг + 12.г = 12 + 3 - 4
156
Окончание
Путь решения Уравнение 3x1 5х - 2 о п 2 * 3 = 2~2ж
4. Выполняем приведение по- добных членов Их- 11
5. Делим обе части уравнения на коэффициент при пере- менной х = — = 1 11 Корень уравнения: х — 1
6. Для проверки подставляем в исходное уравнение ко- рень х = 1. Имеем тождество 3-1-1 5 • 1~ 2 9 • 1 • 2 3 1, 0-0
Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Любое ли-
нейное уравнение легко привести к нормальному виду ах + by = с.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными пу-
тем исключения одной из переменных приводит систему к одному
линейному уравнению с одной переменной.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
СПОСОБОМ УРАВНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Путь решения
Система |
7х - Зу = - 1,
4х- 5z/ = —17
1. Для уравнивания
коэффициентов умножаем
каждое уравнение на такой
множитель, чтобы коэффи-
циенты при одной из пере-
менных были равны
Первое уравнение умножаем на
5, второе — на (-3). Тогда урав-
ниваются коэффициенты при у:
7х-3у = - 1,
4x-5i/ = -17
5
f 35x-15t/ = -5,
l-12x+15z/= 51
2. Складываем (или вычита-
ем) почленно оба уравнения
для исключения одной из
переменных
3. Решаем полученное уравне-
ние с одной переменной
Сложив уравнения, исключаем у:
35х - 15т/ = — 5,
+-12x+15i/= 51
23х = 46
Находим корень х:
157
Окончание
Путь решения
Система
7x-3t/ = - 1,
4x-5i/ = -17
4. Подставляем найденное
значение переменной в одно
из уравнений и находим
значение второй перемен-
ной
5. Подстановкой найденных
корней в исходную систему
проверяем правильность от-
вета
Подставив х = 2 в первое уравне-
ние, находим у:
7«2-3z/ = -l;
Зу = 14 + 1 = 15;
i/ = 5
Ответ: (2; 5)
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ
Путь решения
[ Зх - у = 5,
Система 1 - , ~ со
I эх + 2у = 23
1. Решаем одно из двух уравне-
ний относительно одной из
переменных, рассматривая
вторую переменную как из-
вестное
2. Подставляем найденное зна-
чение переменной из первого
уравнения во второе и тем
самым исключаем из него
эту переменную
3. Решаем полученное уравне-
ние с одной переменной
4. Подставляем найденное зна-
чение переменной в подста-
новку
5. Подстановкой найденных
корней в исходную систему
проверяем правильность ре-
шения
Решаем первое уравнение отно-
сительно у:
у = Зх — 5.
Это выражение будем называть
поде танов кой
5х + 2(3х - 5) = 23
5х + 6х - 10 = 23;
5х + 6х = 23 + 10;
у = 3 • *3 - 5 = 4
Ответ: (3; 4)
3 • 3 - 4 = 5,
5 • 3 + 2 • 4 = 23
158
§ 97. Краткие сведения об определителях.
Решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера
Определителем второго порядка, составленным из чисел ах, Ьх, а2,
Ь2, называется число, определяемое равенством
а, Ъ
Числа ар Ь19 а2, Ь2 называются элементами определителя, причем
элементы и Ъ2 образуют главную диагональ, а элементы а2 и Ьг —
побочную диагональ.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
la1x + 61j/ = c1,
а2х 4- Ь2у = с2
при условии, что определитель системы
А =
а, Ь,
Ь2
О
имеет единственное решение, которое находится по формулам
Крамера:
ei
Со Ьо
a, b
с1Ь2 с2Ьх
ахЬ2 - а2Ъх
а2 Ь2
а\с2 а2с1
а, Ь
ахЪ2 а2Ьх
а., Ь,
Если определитель системы А = 0, то система является либо
несовместной, т. е. не имеет решения (когда Ах О, А 0), либо
неопределенной (когда ДЛ = А = 0). В последнем случае система
сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого
уравнения.
159
Условие несовместности системы можно записать в виде
а условие неопределенности — в виде
«1
Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
Определителем третьего порядка, составленным из чисел Ь19
ср а2, b2, с2, «3, 63, c3, называется число А, определяемое равенст-
вом
b2
b3
a2
a?,
b2
b3
«2
Q3
= «1 * (*2C3 ~ ‘ <«2C3 “ «3C2> + C1 ‘ («2*3 “ a3h2^
Эта формула называется разложением определителя третьего по-
рядке! по элементам первой строки.
Система
а3х 4- b3y + c3z = d3
при условии, что определитель системы Д О, имеет единственное
решение, которое находится по формулам Крамера:
где
Если Д = 0, то система является либо неопределенной, либо не-
совместной. В том случае, когда система однородная, т. е. имеет
вид
и Д 0, она имеет единственное решение: х = 0, у = 0, z — 0.
160
§ 98. Решение системы трех линейных уравнений
стремя переменными методом Гаусса
Решение системы линейных уравнений путем сведения ее к тре-
угольной системе уравнений называется методом Гаусса.
К треугольной системе можно свести данную систему разными
способами, последовательно исключая переменные. Рассмотрим
один из таких способов с помощью примера:
(1)
(2)
(3)
1. Из данной системы составим уравнение, не содержащее х.
Для этого уравнение (1) умножим на 2, а уравнение (2) на (-3) и,
сложив эти уравнения, получим уравнение, не содержащее х:
Зх + 2у - z = -3,
2х — у + Зг = 21
•2
•(-3)
2. Составим второе уравнение, не содержащее х. Для этого
уравнение (3) умножим на (-2) и сложим полученное уравнение с
уравнением (2):
-2х - 2у + 2z — 10
-3г/ + 5г = 31.
3. Из системы
исключим у:
J 7 у -11г = -69
[-Зг/+ 5г = 31
•3
♦ 7
21г/-33г =
-21г/ + 35г =
-207,
217
2г = 10
4. Получили треугольную систему
из которой следует г = 5; у = -2; х = 2.
Ответ: (2; —2; 5).
161
§ 99. Квадратные уравнения
и квадратные неравенства
Неполные квадратные уравнения могут быть трех видов:
1) ах2 = О
Xj = 0, х2 = -Ь/а.
2) ах2 + с = О
3) ах2 4- Ьх = О
Квадратные уравнения.
(общего) вида
Квадратное уравнение неприведенного
ах2 + Ъх + с = О
решается по формуле
2а
где b2 - 4ас = D — дискриминант квадратного уравнения.
При D < 0 уравнение не имеет действительных корней; при
D = 0 имеет два равных корня и при D > 0 имеет два различных
корня.
При b — 2k формула примет вид
Квадратное уравнение вида
х2 + рх + q — О
называется приведенным и решается по формуле
Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета). Если xY и
х? — корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, то
Для приведенного уравнения х2 + рх + q = 0 имеем
162
Разложение квадратного трехчлена на множители. Если хх и х2 — кор-
ни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с — 0, то
ах2 + Ьх + с = а{х - xjtx — х2).
Квадратные неравенства. Квадратные неравенства легко решаются
методом промежутков.
♦ ПРИМЕР 1
Решить неравенство 6 > 0.
РЕШЕНИЕ. Находим корни квадратного трехчлена х2 4- х — 6 = 0:
Xj = -3, х2 = 2. Отложив корни на числовой оси, получим проме-
жутки: х < -3 и х > 2 (рис. 1). Ответ: -оо < х < —3, 2 < х < +оо.
♦ ПРИМЕР 2
Решить неравенство х2 + х - 12 < 0.
Рис. 1
Рис. 2
РЕШЕНИЕ. Трехчлен х2 + х — 12 = О имеет корни Xj = -4, х2 = 3.
Отложив корни на числовой оси, получим промежутки -4 < х < 3
(рис. 2). Ответ: -4 < х < 3.
§ 100. Прогрессии
Арифметическая прогрессия. Арифметической прогрессией называет-
ся числовая последовательность, в которой каждый член, начи-
ная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным
числом, называемым разностью прогрессии:
аи ах + d, аг + 2d, а1 + 3d, ... .
Приняты следующие обозначения:
— сокращенное обозначение арифметической прогрессии;
п — число членов прогрессии;
aY — первый член прогрессии;
ап — п-й член прогрессии;
d — разность прогрессии;
ап = ar + d(n - 1)
формула для вычисления пто члена про-
грессии;
— формула для вычисления суммы п первых
членов прогрессии;
— формула для вычисления среднего арифме-
тического двух чисел.
Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется
числовая последовательность, в которой каждый член, начиная
со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же по-
стоянное число, называемое знаменателем прогрессии:
bYq, btf2, btq2.
Приняты следующие обозначения:
-Н- — сокращенное обозначение геометрической прогрессии;
п — число членов прогрессии;
bY — первый член прогрессии;
Ьп — n-й член прогрессии;
q — знаменатель прогрессии;
d = bxqn 1 — формула для вычисления п- го члена прогрессии;
или Sfl =
- 1 * ^л + 1
Ь1 ~ Ь"4" Л,
—------ — формулы для вычисления сум-
мы п первых членов прогрессии;
формула для вычисления среднего геомет-
рического (пропорционального) двух чисел.
§ 101. Иррациональные уравнения
и иррациональные неравенства
Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называ-
ется иррациональным.
Решение иррационального уравнения основано на преобразо-
вании его к рациональному уравнению, что достигается возведе-
нием обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько
раз).
При возведении обеих частей иррационального уравнения в
четную степень получается уравнение, являющееся следствием
исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни ис-
ходного уравнения, но могут появиться и посторонние корни.
Чтобы выявить посторонние корни, найденные корни уравне-
ния-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и
посторонние корни отбрасывают.
164
Исходное уравнение равносильно смешанной системе, состоя-
щей из уравнения-следствия и ограничений, определяемых об-
ластью допустимых значений переменной. В этом случае посто-
ронние корни не будут входить в область допустимых значений
переменной и проверять их подстановкой в исходное уравнение
не требуется.
При возведении обеих частей иррационального уравнения в не-
четную степень получается уравнение, равносильное исходному.
Иррациональные неравенства. Решение иррационального неравен-
ства с одной переменной сводится к решению равносильной ему
системы рациональных неравенств или совокупности систем ра-
циональных неравенств.
Эти системы решаются при наложении ограничений на пере-
менную и возведении обеих частей неравенства в одну и ту же сте-
пень.
Основные виды иррациональных неравенств и способы их решения
2Vftx)
<р(х)
(р(х)
f(x) > О,
< (р(х) > О,
/(х) < <р2Л(х);
7(х)> О,
J <р(х) > О,
/*(х) > (р2А’(х);
(р(х) < О,
[/(*)> 0;
2kJfW
2У<р(х)
fM > о,
< (р(х) > 0,
/(х)> <р(х).
§ 102. Логарифмы. Логарифмические неравенства
Логарифгюм числа N (N > О) по данному основанию а (а > 0, а 1) на-
зывается показатель степени х, в которую нужно возвести основа-
ние ау чтобы получить число N:
loff., N = х « ах — N.
165
Основное логарифмическое тождество
log Л' А7
а ° = N.
Свойства логарифмов (а > 0, а * 1)
I. Всякое положительное число N по любому основанию
имеет единственный логарифм.
II. При любом основании отрицательные числа не имеют
логарифмов.
III. При любом основании логарифм единицы равен нулю.
IV. Логарифм самого основания равен единице.
V. При основании, большем единицы, большему числу со-
ответствует и больший логарифм.
VI. Логарифмы чисел, больших единицы (при а > 1), поло-
жительны.
VII. Логарифмы чисел, меньших единицы (при а > 1), отри-
цательны.
VIII. При О < а < 1 большему числу соответствует меньший
логарифм, при этом логарифмы чисел, меньших едини-
цы, положительны, а логарифмы чисел, больших едини-
цы, отрицательны.
Алгебраические операции над логарифмами (а > 0, а ф 1, М > О, N > 0)
loga (MN) = loga М + loga N,
M
# = logfl M - loga N,
loga Mn = nloga M,
\oganjM = ilogaM.
Il
Десятичные логарифмы. Логарифм по основанию 10 называется де-
сятичным (log10M = lg М). По определению логарифма имеем:
1g 1 = 0,
1g 10 = 1,
1g 100 = 2,
lg 1000 = 3,
lg 0,1 = -l,
lg 0,01 = -2,
lg 0,001 = -3,
lg 0,0001=-4,
166
Формула перехода от логарифмов по основанию а к логариф-
мам по основанию Ь:
loga М ==
log5 М
logb а *
Зависимость между основаниями а и b выражается формулой
ьЬ “10§4 а-
В логарифмических преобразованиях используется формула
Логарифмические неравенства. Неравенства вида logax > с и вида
logctx < с (а > 0, а & 1, х > 0) называются простейшими логариф-
мическими неравенствами.
Основные случаи решения логарифмических неравенств
I. logo X > с
logo X < с
а
0
х
Ш. log/(x) (р(х) > log/(x) \у2(х)
ф(х) > 0,
ф(х) > 0,
Г(х)>1,
(р(х) > ф(х),
0 < /(х) < 1,
(р(х) < ф(х).
♦ ПРИМЕРЫ
log2 х < 3 <=> х < 23;
167
§ 103. Показательные неравенства
тт г/ X/ ?pl(x) чф2<л) п
Неравенства вида ах > с, ах < с, f(x) > f{x) , где а > О,
а* 1, с > 0, называются простейшими показательными неравенст-
вами.
При решении показательных неравенств используются сле-
дующие равносильные преобразования:
1)
ах > с
оч // Л(Х) // Чф2(х)
3) f (х) > f{x)
|ftx)>l,
] <Pi(*) > <Р2(*),
JO<f(x)<l,
I <piU) < <р2(*);
4)
5)
6)
7)
' af(x) <
а > 1
J afM > а^х\
I а > 1
(/(х) < ф(х));
(ftx) > <р(х)};
(/(х) > <р(х)^;
§ 104. Элементы комбинаторики
Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называ-
ются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо
самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их располо-
жения.
168
Число размещений из п элементов по т обозначается симво-
лом А™ и вычисляется по формуле
А"1 = л-(л- 1)-(л -2)-...-[л-(лг - 1)].
Перестановки. Перестановками из п элементов называются такие
соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от дру-
га порядком расположения элементов. Число перестановок из п
элементов обозначается символом Рл.
Перестановки представляют собой частный случай размеще-
ний из п элементов по п в каждом, т. е.
или
Рп = Д” = п • (п - 1) • (л - 2) •... • 3 • 2 • 1
Рп = 1-2-3-...-(л - 1)-л.
Число всех перестановок из п элементов равно произведению
последовательных чисел от 1 до п включительно. Произведение
1 • 2 • 3 •... • (л- 1) • п обозначают символом л! (л-факториал), при-
чем полагают 0! = 1, 1! = 1.
Предыдущую формулу можно записать в виде Рп = п\. Тогда
формулу размещений можно записать в виде
п - /л
л!
(л - т.у ’
_ - ш 1 J чл /Д.
При решении задач используется формула Ап = (л — т) Ап.
Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются
такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы од-
ним элементом. Число сочетаний из л элементов по т обозначает-
ся символом С„ и вычисляется по формуле
или
т _ _________
п т\(п - т)1 *
или
Л • (Л - 1)»... • |п — (т ~ 1)1
т!
169
При решении задач используются формулы
(О < т < п, С”
= 1. С° = 1),
т
п
Глава 18. Тригонометрия
§ 105. Основные тригонометрические тождества
Окружность с центром в начале координат и радиусом R == 1 назы-
вается единичной окружностью. За начало отсчета дуг принимается
точка А(1; 0).
Каждому действительному числу а на единичной окружности
соответствует точка Мп — конец дуги АМС1, для которой дуга АЛА
КУ® vAr КА»
имеет величину а (а выражается в радианах — в частях числа л).
Такая единичная окружность называется числовой единичной
окружностью (рис. 3). Длина единичной окружности равна 2л.
Точка Ма, перемещаясь по окружности, имеет переменные коор-
динаты (х; у).
Абсцисса х точки Мн числовой единичной окружности называ-
ется косинусом числа а:
х = cos а,
cos а| < 1.
Ордината у точки Ми числовой единичной окружности называ-
ется синусом числа а:
у = sin а,
sin а
Отношение синуса числа а к его
косинусу называется тангенсом чис-
ла а:
sin а
cos а
Область определения тангенса —
множество всех действительных чи-
сел, кроме чисел вида ~ + л/г, k е Z.
170
Отношение косинуса числа а к его синусу называется котангенсом
числа а:
cos а
sin а
= ctg а.
Область определения котангенса — множество всех действитель-
ных чисел, кроме чисел вида л/?, k € Z.
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
sin2 а + cos2 а = 1,
1 . 4. 2 1
1 + tg2 а = —— ,
cos а
tg а*ctg а = 1,
1 + ctg2 а = —~2~
sin а
ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (ПО ЧЕТВЕРТЯМ)
Четверть Функция Л Л ГО» Я п ГС 2 <а<К III згс гс<а< IV ЗЯ < а < 2я
sin а — —
cos а — —
tg а —
ctg а
ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ
Данная функция Искомая функция
sin а cos a tg a ctg a
sin а sin а sina ±71 ~ sin2 a sina
± Jl- sin?a x71 - sin2 a
cos а cos a cos a ±71 - cos2 a
±71 ~ cos2a cos a
±71 ~ cos2 а
tg а tga 1 tg a 1 tga
х71 + ty2a ±71 + tg2a
ctg а 1 ctga 1 ctga ctg a
+Jl + ctg2a ±71 + ctg2a
171
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
а° 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270е 360°
а. рад 0 я 6 0,5236 л 4 0,7854 Я ч 1.0472 л 2 п Зл ~2 2л
sin а 0 1 2 0,5000 Л 2 0,7071 Л 2 0,8660 1 0 -1 0
cos а 1 Л 2 0,8660 Л 2 0,7071 1 2 0,5000 0 -1 0 1
tga 0 Л 3 0,5773 1 1,0000 Л 1,7320 не су- щест- вует 0 не су- щест- вует 0
ctg а не су- щест- вует Л 1.7320 1 к 1,0000 т 0.5773 0 не су- щест- вует 0 не су- щест- вует
§ 106. Формулы приведения
Применяя формулы приведения, рекомендуется пользоваться
следующими правилами.
I. Если а откладывается от оси Ох, то наименование приводи-
мой функции, т. е. функции аргумента (-ос), л: ± ос. 2л ± ос, не изме-
няется. Если же а откладывается от оси Оу, то наименование при-
водимой функции, т. е. функции аргумента п/2 ± <х, Зя/ ± ос, заме-
няется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и
наоборот).
II. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую функ-
цию в правой части, находится по знаку левой части в предполо-
жении, что 0 < а < л/2.
§ 107. Обратные тригонометрические функции.
Простейшие тригонометрические уравнения
Функция у = arcsin х есть дуга (угол) из промежутка
-л/2 < arcsin х < л/2,
синус которой равен х, т. е. sin у — х.
172
Функция у = arccos х есть дуга (угол) из промежутка
О < arccos х < л,
косинус которой равен х, т. е. cos у = х.
Функция у = arctg х есть дуга (угол) из промежутка
-л/2 < arctg х < л/2,
тангенс которого равен х, т. е. tg у = х.
Функция у = arcctg х есть дуга (угол) из промежутка
О < arcctg х < л,
котангенс которого равен х, т. е. ctg у — х.
Запишем приведенные определения в виде таблицы.
Функция Область определения Область изменения
у = arsin х -1<х< 1 -л/2 < arsin х < л/2
у = arccos х -1 < X < 1 0 С arccos х < л
у = arctg х -ОО < X < +оо -п/2 < arctg х < п/2
у = arcctg х —ОО < X < +°° 0 < arcctg х < л
Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшими тригоно-
метрическими уравнениями называются уравнения sin х = т,
cos х = т, tg х = tn, ctg x = m.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение — значит
найти множество значений аргумента (дуг или углов), при кото-
рых тригонометрическая функция принимает данное значение.
В частности,
sin х = т
arcsin т 4- 2л/?,1)
л - arcsin т 4- 2л/г,
или
arcsin т 4- 2л/г,
-arcsin tn 4- л(2/г 4- 1).
Решение можно записать в виде одной формулы
х = (-1)* arcsin т + л/г.
Аналогично,
cos х = т
tg х = т
ctg х = т
х = ± arccos т 4- 2л/г;
х = arctg tn 4- л/г;
х = arcctg т 4- nk.
Здесь и в дальнейшем /г е Z.
173
♦ ПРИМЕРЫ
sin х = -1
sin x = О
sin x = 1
sin x = 1/2
cos x — -1
cos x = 0
cos x = 1
tg x = 0
ctg x = 0
ctg x = -1
x = Tik;
x = л/2 + 2л/г;
x = (-1)* л/6 + Tik;
x = ±л + 2nk или x = л (2k + 1);
x = л/2 + л/г;
x = 2 л/г;
x = nk;
x = л/2 + л/г;
x = Зл/4 + л/г.
§ 108. Тригонометрические функции
алгебраической суммы двух аргументов.
Формулы удвоенного и половинного аргументов
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
sin (а ± р) = sin а cos Р ± cos ос sin р;
cos (ос ± Р) = cos ос cos р + sin ос sin Р;
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УДВОЕННОГО АРГУМЕНТА
sin 2а = 2sin а cos а;
cos 2а = cos2 а - sin2 а = 1 - 2sin2 а = 2cos 2а - 1;
ctg 2а =
, 2 .
ctg а - 1
2ctg а
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
sin-
cos
- cos
а _ 1 + cos а _ sin а
с 2 sin а 1 - cos а *
а _ sin сх
2 1 + cos а
1 - cos а
sin а ’
ce _ + /1 - cos а .
2 “ а/ 1 + cos а ’
174
ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
sin а =
2tg (а/2) .
1 + tg2 (а/2) ’
tga =
2tg (а/2) .
1 - tg2 (а/2) ’
cos а =
ctg а =
1 - tg2 (а/2).
1 + tg2 (а/2) ’
1 - tg2 (а/2)
2tg (а/2) *
§ 109. Преобразование произведения
тригонометрических функций в алгебраическую
сумму и алгебраической суммы в произведение
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ СУММУ
sin a cos Р = «[sin (а + р) + sin (а - р)];
cos а cos р — 5 [cos (а + Р) + cos (а - Р)];
sin а sin Р = 5 [cos (а - р) - cos (o' + p)J.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
, . п о . а + р
sin а + sm р = 2 sin —
sin а - sin Р = 2 cos
cos
cos а + cos р = 2 cos
q o . а + p
cos а - cos p = 2 sm ——
cos
tg а + tg p =
tg а - tg P =
sin (a + p) .
cos a cos P ’
sin (а - P) .
cos a cos p ’
1 + cos а = 2 cos1 2 (а/2);
1 - cos а = 2 sin2 (а/2);
1 + sin а = 2 cos2 (я/4 - а/2);
1 - sin а = 2 sin2 (ti/4 - а/2).
175
УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(sin х = sin у) <=>
(cos х = cos у)
х + у = 2л/г,
х - у — 2я/г;
(tg х == tg у)
х # тг/2 + у л/2 4- л/г,
х - у = nk.
Глава 19. Геометрия
§ 110. Площади многоугольников.
Окружность и круг
Площадь квадрата: S = a2, S = d2l2., где а — сторона квадрата, d —
диагональ квадрата.
Площадь прямоугольника: S = а ’• h, где а — основание, h — высота.
Площадь параллелограмма: S = ahy S = ab sincp, где а и b — стороны
параллелограмма, h — его высота, (р — острый угол между сторо-
нами.
Площадь ромба: S = ah, S = a2sincp, S’ = dj<i2/2, где a — сторона ром-
ба, fl — его высота, dY и d2 — диагонали ромба, <р — острый угол
между его сторонами.
Треугольник
Площадь треугольника: S = ahJ2, S = be sin (А/2), где a, b, с — сто-
роны треугольника, А — угол, противолежащий стороне а, или
S = Jp(p - а)(р - Ь)(р - с),
где р = (а + b + е)/2 (формула Герона).
Прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике а2 +
+ Ь2 = с2 (теорема Пифагора), S = ab/2, где аиЬ — катеты, с — ги-
потенуза.
В любом треугольнике справедлива зависимость между его
сторонами и углами, выражаемая соответствующими теоремами.
176
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
а _ а _ а
sin A sin В sin С ’
здесь А, В и С — углы, противолежащие одноименным сторонам
а, b и с.
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
а2 = Ь2 + с2 ~ 2bc cos А,
Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos В,
с2 = а2 + b2 - 2ab cos С.
Площадь трапеции: S = (а + Ь/2) • h, где а и b — основания трапе-
ции, h — ее высота.
Окружность и круг
Длина окружности равна С — 2nR.
Длина дуги, содержащей ос°, составляет I = лВа/180.
Площадь круга равна S = nR2.
Площадь сектора с углом а° равна
Всскт = лЯ2а/360.
Правильные многоугольники. Выражение стороны ап правильного
вписанного многоугольника через радиус описанной окружности
R и тригонометрическую функцию центрального угла:
ап = 2R sin (180/п).
Частные случаи: а3 = , а4 = RJ2 , аб = R.
Площадь правильного вписанного многоугольника вычисляет-
ся по формуле
- R2n sin
360
где п — число сторон многоугольника, R = ап}2 sin (180/п) — ра-
диус описанной окружности.
Выражение стороны Ъп правильного описанного многоуголь-
ника через радиус вписанной окружности г и тригонометриче-
скую функцию центрального угла:
Ьп = 2г tg
180
п
Частные случаи: Ь3 = 2г Уз , b4 = 2r, b6 — 2r /3.
7 - 9663
177
Площадь правильного описанного многоугольника вычисляет-
ся по формуле
S = r2n tg (180/п),
где п — число сторон многоугольника, г =
вписанной окружности.
2tg (180/п)
— радиус
§ 111. Объемы и площади
поверхностей геометрических тел
Наклонная призма. Объем наклонной призмы равен
y = Sn.c-a>
где Sn с — площадь перпендикулярного сечения, а — боковое
ребро.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна
*^бОК ^"*11.с *
где Ри с — периметр перпендикулярного сечения наклонной приз-
мы, а — боковое ребро.
Площадь полной поверхности наклонной призмы равна
ПОЛИ
оок
основ’
где S6oK— площадь боковой поверхности наклонной призмы,
— площадь ее основания.
Прямая призма. Объем прямой призмы равен
^основ *
где £основ— площадь основания, а — боковое ребро.
<
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
с
^бок
основ
где РОСНО8— периметр основания прямой призмы, а — боковое
ребро.
Площадь полной поверхности прямой призмы равна
оок
ОСНОВ’
где 8бок — площадь боковой поверхности прямой призмы,
площадь основания.
178
Прямоугольный параллелепипед. Объем прямоугольного параллеле-
пипеда равен
v — abc,
где а, Ь, с — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепи-
педа равна
«бок = 2с (а + Ь),
где а и b — стороны основания, с — боковое ребро.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипе-
да равна
ЯПОЛ11 = 2(ab + Ъс + ас),
где а, Ь, с — его измерения.
Куб. Объем куба равен v = а3, площади его боковой поверхности и
полная равны соответственно S6oi. = 4а2, <8ПОЛН = 6а2, где а — ребро
куба.
Пирамида. Объем пирамиды равен v — | SOCHOB • Н,
где — площадь основания пирамиды, Н — ее высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площа-
дей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности пирамиды
Q — С -L С
*^полн бок основ’
где — площадь боковой поверхности пирамиды, — пло-
щадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
с = - Р • /
*^бок 2 Г основ
где — периметр основания правильной пирамиды, I — ее
к/V* X Xj
апофема.
Усеченная пирамида. Обозначим через и S2 площади оснований
усеченной пирамиды, через Н — ее высоту. Тогда объем усечен-
ной пирамиды равен
179
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна
сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна
ПОЛИ
оок
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирами-
ды равна
+ ^2)/2) • I,
где Pj и Р2 — периметры оснований, а I — ее апофема.
Цилиндр. Обозначим через R радиус основания цилиндра, через
Н — высоту цилиндра. Тогда объем цилиндра равен
v = tiR2H.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна
S6oK = 2nRH.
Площадь полной поверхности цилиндра равна
<$поли = + 2tiR2.
Конус. Обозначим через R радиус основания конуса, через Н — его
высоту, L — образующую конуса. Тогда объем конуса равен
v = 5 tiR2H.
О
Площадь боковой поверхности конуса равна
«бок =
Площадь полной поверхности конуса равна
ПОЛИ
= tiR (R 4- L).
Усеченный конус. Обозначим через Rи /'радиусы оснований усечен-
ного конуса, через Н — его высоту, через L — образующую. Тогда
объем усеченного конуса равен
и = | nil (R2 4 Rr + г2).
О
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
«бок = + г).
180
Площадь полной поверхности усеченного конуса равна
SIJonH = nL(R 4- г) + nR2 + nr2.
ПОЛЯ
Сфера и шар. Объем шара с радиусом R равен
v = лЯ3.
Площадь сферы (площадь поверхности шара) с радиусом R
равна
S - 4nR2.
Объем шарового сегмента равен
v = пН2 R -
где R — радиус шара, Н — высота шарового сегмента.
Объем шарового сектора равен
v = I nR2H
где R — радиус шара, Н — высота соответствующего шарового
сегмента.
Глава 20. Элементы аналитической
геометрии на плоскости
§ 112. Прямая на плоскости
Уравнение оси Ох: у = 0.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох: у = Ъ.
Уравнение оси Оу: х = 0.
Уравнение прямой, параллельной оси Оу: х — а.
Уравнение прямой, проходящей через начало координат, с уг-
ловым коэффициентом k: у = kx.
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к
оси Ox: k = tg а, где а — угол между положительным направлени-
ем оси Ох и прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной
ординатой Ъ — ординатой точки пересечения прямой с осью Оу:
у = kx + Ь. Здесь k = tg а; если а — 0, то k — 0, т. е. прямая парал-
лельна оси Ох. При а = 90° угловой коэффициент k не существует,
181
т. е. прямая, перпендикулярная оси Ох, не имеет углового коэф-
фициента.
Уравнение прямой в отрезках на осях:
Здесь а — отрезок, отсекаемый прямой на оси Ox, b — отрезок,
отсекаемый прямой на оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(хг; уг)
в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом
k = tg а:
У - yY = k(x - Xj).
Если угловой коэффициент k будет принимать различные чис-
ловые значения (кроме k = tg 90е, когда k не существует), полу-
чим уравнение пучка прямых, проходящих через точку А.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
А(Хр уг) и В(х2; у2):
У2~У\ ,
У ~ Ул = --(х - Хл
У Х2-х/ 1
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В:
кдв
У2~У\
Общее уравнение прямой. Уравнение первой степени относительно
переменных х и z/, т. е. уравнение вида
Ах + By + С = 0,
при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны ну-
лю, называется общим уравнением прямой.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ АХ + ВУ + С = О
Значение коэффициентов Вид уравнения Положение прямой
С = О.Х! *0.В *0 Ах + By = 0 (у = кх) Проходит через начало координат
Д = 0. в* о, с *0 Ву+О0(у = Ь) Параллельна оси Ох
В = О.А*О,С *0 Ах + С =0 (х = о) Параллельна оси Оу
А = С =0, В* 0 By = 0 (у = 0) Совпадает с осью Ох (уравнение оси Ох)
В=С=0.А~Д 0 Ах = 0 (х = 0) Совпадает с осью Оу (уравнение оси Оу)
182
Пересечение двух прямых. Для вычисления координат точки пере-
сечения прямых Агх 4- Вуу 4- Cj = 0 и А2х 4- В2у 4- С2 = 0 необходи-
мо решить систему уравнений этих прямых.
Угол между двумя прямыми. Угол <р между двумя прямыми, задан-
ными общими уравнениями AjX 4- Bty 4- Ст = 0 и А2х + В2у + С2 =
= 0, вычисляется по формуле
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
у = kYx + b} и у = k2x 4- b2, то угол <р между ними вычисляется по
формуле
Условие параллельности двух прямых. Условие параллельности двух
прямых, заданных общими уравнениями Агх 4- Вху 4- = 0 и
А2х 4- В2у 4- С2 = 0, записывается в виде
Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угло-
выми коэффициентами у — kYx 4- bln у = k2x 4- b2, имеет вид
Условие перпендикулярности двух прямых. Условие перпендикуляр-
ности двух прямых, заданных общими уравнениями А^х 4- Bty 4-
4- Cj = 0 и А2х 4- В2у 4- С2 = О, имеет вид
А.А2 4- В.В2 = 0.
-L х
Условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравне-
ниями с угловыми коэффициентами у = kxx 4- bY и у = k2x 4- b2,
имеет вид
или
Расстояние от данной точки до данной прямой. Расстояние d от точки
М(Хр ух) до прямой Ах 4- By 4- С = 0 вычисляется по формуле
183
§ 113. Кривые второго порядка
Окружность. Уравнение окружности с центром в начале координат
и с радиусом г имеет вид
Уравнение окружности с центром в точке Oj (а; Ь) и с радиусом г
имеет вид
(х - а)2 + (у - Ъ)2 = г2.
Уравнение окружности в общем виде записывается следующим
образом:
Ах2 + Ау2 +
Вх 4- Су + D = 0;
здесь Д, В, С, D — постоянные коэффициенты, причем коэффи-
циенты при х2 и у2 равны между собой.
Эллипс. Эллипсом называется множество точек М(х; у) плоскости,
сумма расстояний от которых до двух данных точек Fx(-c; 0) и
F2(c; 0), называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с, т. е. MF} +
+ MF2 = 2а (рис. 4).
Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, имеет
вид
2
2 2
• У-
•>
ь~
где а — длина большой полуоси, b — длина малой полуоси.
Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотно-
шением
Эксцентриситетом эллипса е называется отношение фокусного
расстояния 2с к большой оси 2а:
Рис. 4
Если фокусы эллипса лежат на
оси Оу, то его уравнение имеет вид
Ь.
Оси симметрии эллипса совпадают
с осями координат.
184
Гипербола. Гиперболой называется множество точек М(х; у) плос-
кости, абсолютная величина разности расстояний от которых до
двух данных точек F^-c; 0) и F2(c; 0), называемых фокусами, есть
величина постоянная, равная 2а, меньшая расстояния между фо-
кусами 2с, т. е. - AfF2| = 2а.
Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет
вид
У
ь2
где а — длина действительной полуоси, Ъ — длина мнимой полу-
оси (рис. 5).
Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотно-
шением
Ъ2 — с2 - а2.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусно-
го расстояния 2с к ее действительной оси 2а:
2с с
2а а
а
Гипербола имеет асимптоты с уравнениями
Если действительная и мнимая
оси равны (а = Ь), то гипербола на-
зывается равносторонней. Ее уравне-
ние имеет вид
а уравнения асимптот
Если фокусы гиперболы лежат
на оси Оу, то ее уравнение может
быть записано в
ющих вариантов:
одном из следу-
Рис. 5
185
а уравнения асимптот такой гиперболы имеют вид
Уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу
имеет вид
Оси симметрии гиперболы совпадают с осями координат.
Парабола. Параболой называется множество точек плоскости
М(х; у), равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом,
и от данной прямой, называемой директрисой.
Парабола с вершиной в начале координат. Уравнение параболы с вер-
шиной в начале координат, с осью симметрии Ох и ветвями, на-
правленными вправо, имеет вид
у2 = 2рх,
где р > 0 (параметр параболы) — расстояние от фокуса до директри-
сы (рис. 6).
Уравнение директрисы такой параболы:
Рис. 6
Уравнение параболы с вершиной
в начале координат с осью симмет-
рии Ох и ветвями, направленными
влево, имеет вид
у2 = -2рх
(р>0),
уравнение ее директрисы —
Уравнение параболы с вершиной
в начале координат, с осью симмет-
рии Оу и ветвями, направленными
вверх, имеет вид
х2 = 2ру
(р>0),
уравнение ее директрисы —
186
Уравнение параболы с вершиной в начале координат, с осью
симметрии Оу и ветвями, направленными вниз, имеет вид
х2 = -2ру (р > 0),
уравнение ее директрисы —
Парабола со смещенной вершиной. Уравнение параболы с вершиной
в точке (а; 6), с осью симметрии, параллельной оси Ох, и ветвями,
направленными вправо, имеет вид
(у - Ъ)2 = 2р(х - а).
Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), с осью симмет-
рии, параллельной оси Ох, и ветвями, направленными влево,
имеет вид
(У ~ Ь)2 = -2р(х - а).
Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), с осью симмет-
рии, параллельной оси Oi/, и ветвями, направленными вверх,
имеет вид
(х - а)2 = 2р(у - Ь).
Уравнение параболы с вершиной в точке (а; 6), с осью симмет-
рии, параллельной оси Оу, и ветвями, направленными вниз, име-
ет вид
(х - а)2 = ~2р(у - Ь).
Глава 21. Элементы
дифференциального исчисления
§ 114. Производная
Производной функции у = Дх) называется предел отношения при-
ращения функции к приращению аргумента при стремлении при-
ращения аргумента к нулю:
У' = /'(х) =
Основные правила дифференцирования. Обозначим через С постоян-
ную, х — аргумент, и, и, w — функции от х, имеющие производ-
ные.
187
Производная алгебраической суммы функций:
Производная произведения двух функций:
(ии)' = и'о + и'и.
Производная произведения постоянной на функцию:
(Си)' = Си.
Производная частного (дроби):
- /
» \
V
о2
Частные случаи:
и
----V .
V2
Сложная функция. Производная сложной функции. Если у есть функ-
ция от и: у = f(u), где и, в свою очередь, есть функция от аргумен-
та х: и = <р(х), т. е. если у зависит от х через промежуточный аргу-
мент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функ-
ции):
У = f [<Р(*)]«
Производная сложной функции равна ее производной по про-
межуточному аргументу, умноженной на производную этого ар-
гумента по независимой переменной:
dy _ dy du
dx du dx
или
У'(х) = У'(и) * u'(x).
Формулы дифференцирования
(!§•*)'=
0,4343 ,
------и
(un)' = пи" 1и'
(log- и)' = —г • и
v 7 и Inu
(а11)' = аи In а - и'
в и)' = - • и'
и
(е“)' = еи • и'
188
Производные тригонометрических функций
(sin и)' = cos и • и
(cos и)' = —sin и • и'
(tg иУ = —7— • и
cos* 1 2 и
(ctg и)' -------— • и'
sin2 и
Производные обратных тригонометрических функций
(arcsin и}' = . • и' (|u| < 1)
71 - и2
(arccos и)' = —, — • и (|u| < 1)
71 - н2
(arctg и)' —
(arcctg и)'
§ 115. Исследование функций
с применением производной
Возрастание и убывание функции. Возрастание и убывание функ-
ции у = f(x) характеризуется знаком ее производной: если в не-
котором промежутке f'(x) > 0, то функция возрастает в этом про-
межутке: если же f\x) < 0, то функция убывает в этом проме-
жутке.
Максимум и минимум функции. Функция у = f(x) имеет максимум
(минимум) при х = а, если при всех х, достаточно близких к а,
выполняется неравенство
f(a) > f(x) (f(a) < /(х)).
Функция у = f(x) при х = а имеет максимум, если:
1) Л(а) = О;
2) f'(x) при переходе аргумента через х = а меняет знак с (+) на (-).
Функция у = ffx) при х = а имеет минимум, если:
1) Г (а) = 0;
2) f'(x) при переходе аргумента через х = а меняет знак с (-)
на (+).
Точки максимума (max) и минимума (min) функции называ-
ются точками экстремума.
189
ПРАВИЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ y=f(x)
НА ЭКСТРЕМУМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
I. Найти производную f'(x).
П. Приравнять ее нулю и найти действительные корни —
критические точки х0 функции у = f(x) (при мнимых
корнях экстремум функции не существует).
III. Исследовать знак производной f'(x) в промежутках, на
которые найденные критические точки делят область
определения функции у = f(x).
IV. Критическая точка х0 есть точка максимума, если опа
отделяет промежуток, в котором Г(х) > 0 слева от точ-
ки х0, от промежутка, в котором f'(x) < 0 справа от точ-
ки х0, т. е. производная меняет знак с (+) на (-) при пе-
реходе через точку х0.
V. Критическая точка х0 есть точка минимума, если она
отделяет промежуток, в котором f'(x) < 0 слева от точ-
ки х0, от промежутка, в котором f'(x) > 0 справа от точ-
ки х0, т. е. производная меняет знак с (-) на (+) при пе-
реходе через точку х0.
Если в промежутках, разделенных критической точ-
кой х0, знак производной не меняется, то точка х0 экс-
тремума не имеет.
VI. Вычислить значения функции в точках экстремума.
ПРАВИЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ у =f(x)
НА ЭКСТРЕМУМ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
I. Найти производную f\x).
II. Найти критические точки данной функции, в которых
f (х) = 0.
III. Найти вторую производную f'(x).
IV. Исследовать знак второй производной в каждой из кри-
тических точек. Если при этом вторая производная ока-
жется отрицательной, то функция в такой точке имеет
максимум, а если положительной, то — минимум. Если
же вторая производная равна нулю, то экстремум функ-
ции надо искать с помощью первой производной.
Наименьшее и наибольшее значения функции. Для нахождения наи-
меньшего и наибольшего значений функции, непрерывной в не-
котором промежутке, необходимо:
190
I. Найти критические точки, принадлежащие заданному
промежутку, и вычислить значения функции в этих точ-
ках.
II. Найти значения функции на концах промежутка.
III. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и
наибольшее из них являются соответственно наимень-
шим и наибольшим значениями функции в рассматри-
ваемом промежутке.
Направление выпуклости графика функции. Кривая у = f(x) называет-
ся выпуклой вниз в промежутке а < х < д, если она лежит выше ка-
сательной в любой точке этого промежутка, и наоборот, выпуклой
вверх, если она лежит ниже касательной в любой точке этого про-
межутка.
Выпуклость кривой у = f(x) вниз или вверх характеризуется
знаком ее второй производной: если в некотором промежутке
f (х) > 0, то кривая выпукла вниз; если f "(х) < 0, то кривая вы-
пукла вверх.
Точки перегиба. Точка графика функции у = f(x), разделяющая
промежутки выпуклости противоположных направлений, назы-
вается точкой перегиба. Точками перегиба могут служить только
критические точки, принадлежащие области определения функ-
ции у — f(x), в которых вторая производная f \х) обращается в
нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую
точку х0 вторая производная f "(х) меняет знак, то график функ-
ции имеет точку перегиба (х0; f(x0)).
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ у =f(x)
I. Найти вторую производную f (х).
II. Найти критические точки функции у = /(х), в которых
f" (х) обращается в нуль или терпит разрыв.
III. Исследовать знак второй производной f "(х) в промежут-
ках, на которые найденные критические точки делят об-
ласть определения функции у — f(x). Если при этом кри-
тическая точка х0 разделяет промежутки выпуклости
противоположных направлений, то х0 является абсцис-
сой точки перегиба функции.
IV. Вычислить значения функции в точках перегиба.
191
ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
? I. Найти область определения функции.
II. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной
или периодической.
III. Найти точки пересечения графика функции с осями ко-
ординат (если это не вызывает затруднений).
IV. Найти асимптоты графика функции.
V. Найти промежутки монотонности функции и ее экстре-
мумы.
VI. Найти промежутки выпуклости графика функции и точ-
ки перегиба.
§ 116. Дифференциал функции. Приложение
дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференциал аргумента dx принимается равным приращению
аргумента, т. е.
dx = Дх,
а дифференциал функции у = Дх) равен произведению производ-
ной функции на дифференциал аргумента, т. е.
dz/ — f'(x) dx.
Из этого следует, что производная функции у = Дх) есть отноше-
ние дифференциала функции к дифференциалу аргумента
Пусть для функции у = Дх) величина х получена непосредст-
венным измерением или в результате приближенного вычисле-
ния. При нахождении величины х мы допускаем не зависящую от
нас погрешность Дх.
Пусть х — приближенное значение аргумента, Дх — абсолют-
ная погрешность величины х, Дх/х — относительная погреш-
ность величины х, а (х + Дх) — истинное значение измеряемой ве-
личины (Дх может быть как положительным, так и отрицатель-
ным числом), тогда абсолютная погрешность функции равна
|Д.(/| = |Дх + Дх) - Дх)|.
192
При малых значениях Дх (близких к нулю) величину прира-
щения Аг/ можно приближенно заменить дифференциалом dz/,
т. е.
Аг/ = f(x + Дх) - f(x) ~ f'(x) dx = dy.
Приближенное равенство Дг/ ~ dy позволяет приближенно вы-
числять приращение функции у = f(x).
Относительная погрешность е величины у вычисляется по фор-
муле
Для вычисления приближенного числового значения функции
применяется формула
f(x + Дх) ~ Дх) 4- f'(x) dx.
Из этой формулы легко могут быть получены формулы для на-
хождения приближенных числовых значений степеней, корней,
обратных величин и другие.
Формула для вычисления приближенного числового значения
степени:
(х 4- Дх)”
« х” 4- пхп “ гДх.
Частные случаи:
(х + Дх)2
(х 4- Дх)3
~ х3 4- Зх2Дх;
(1 4- Дх)” ~ 1 4- п • Дх.
Относительная погрешность степени равна
Частные случаи:
Формула для вычисления приближенного числового значения
корня:
Частные случаи:
Дх ~ nJx
193
пЛ + Дх
Относительная погрешность корня равна
Частные случаи:
г~ ч 1 Дх
е (1/х) = £ — .
Формула для вычисления приближенного числового значения
обратной величины:
Частные случаи:
Глава 22. Интеграл
§ 117. Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции Дх) в про-
межутке а < х < Ь, если в любой точке этого промежутка ее произ-
водная равна Дх):
F\x) = Дх) => dF(x) = f (x) dx,
a < x < b.
Отыскание первообразной функции F(x) по заданной ее произ-
водной Дх) или по дифференциалу Дх)бх есть действие, обратное
дифференцированию, оно называется интегрированием.
194
Совокупность первообразных для функции f(x) или для диф-
ференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обо-
значается символом
J Дх) dx = F(x) + С
если
d[F(x) + С] = f(x) dx
где Дх) — подынтегральная функция, f(x) dx — подынтегральное
выражение, С — произвольная постоянная.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I. Неопределенный интеграл от дифференциала функции
равен этой функции плюс произвольная постоянная:
J dF(x) = F(x) + С.
II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын-
тегральному выражению, а производная неопределенно-
го интеграла равна подынтегральной функции:
d J Дх) dx = Дх) dx, (J Дх) dx I = Дх).
III. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функ-
ций равен алгебраической сумме неопределенных интег-
ралов этих функций:
J [Дх) + <p(x)] dx = J Дх) dx + J ф(х) dx.
IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения
можно выносить за знак неопределенного интеграла:
J af(x) dx = a j Дх) dx.
V. Если j Дх) dx = F(x) + С и и = <р(х) — любая известная
функция, имеющая непрерывную производную, то
Jf(u) diz = F(u) + С.
195
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)1)
(« * -1)
j sin х dx = -cos х
j In x dx = x In x - x
J cos x dx = sin x
= tgx
г dx
cos2x
= arcsin -
c dx 1 , x
------ = - arctg -
x2 + a2 a a
Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование мето-
дом замены переменной (способом подстановки) заключается в
преобразовании интеграла J f(x) dx в интеграл J F(u) du.
♦ ПРИМЕР. Вычислить J
(х2 + I)3
РЕШЕНИЕ. Положим х2 + 1 = и, имеем 2xdx = du, xdx = (l/2)du.
Тогда
J —— = j (x2 + i)-3x | J u~3 du = | • ^9 + C =
Произвольная постоянная везде опущена и подразумевается.
196
§ 118. Определенный интеграл
Для вычисления определенного интеграла от функции Дх) в том
случае, когда можно найти соответствующий неопределенный
интеграл F(x), служит формула Ньютона —Лейбница:
ь
J Дх) dx == F(x) |* - F(b) - F(a),
a
т. e. определенный интеграл равен разности значений первообраз-
ной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Например,
® = |(33-23)=^;
& о о
= arcsin х
.Уз '2 • 3
= arcsm -х-
-1 2
- arcsin (-1) =
Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.
Проиллюстрируем этот способ с помощью примеров.
♦ ПРИМЕР 1. Вычислить
РЕШЕНИЕ. Положим 5х — 1 = и, тогда 5dx = du, dx = (1/5) du.
Вычисляем новые пределы интегрирования: ин = 5 • 1 — 1 = 4,
ив — 5 • 2 - 1 = 9. Поэтому
1 ?
р [ и 1/2 du =
° 4
♦ ПРИМЕР 2. Вычислить
sin х dx
3 - cos х ’
РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную подстановкой 3 — cos х — и.
Продифференцировав, получим sin х dx — du. Находим новые
пределы интегрирования. Подставив в выражение (3 - cosx = и)
значения 0 и я/3, соответственно получим
197
ин = 3 - cos 0 = 3-1 = 2, tze = 3 - cos тс/З = 3 - 1/2 = 5/2.
Следовательно,
' sin x dx
J 3 — cos x
0
2
= In U
®/z =ln| -In 2 = In? =
a.
= In (1,25)-0,2231.
§ 119. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связываю-
щее между собой независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается в
следующем виде:
F(x, У>у') = 0,
F(x, у, у") = 0,
F(x, у, у', у", ... , у™) = 0.
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если
искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
старшей производной (или дифференциала), входящей в данное
уравнение.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения на-
зывается такая функция, которая обращает это уравнение в то-
ждество.
Общим решением (или общим интегралом) дифференциально-
го уравнения называется такое решение, в которое входит столь-
ко независимых произвольных постоянных, каков порядок урав-
нения. Так, общее решение дифференциального уравнения перво-
го порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется
решение, полученное из общего при различных числовых значе-
ниях произвольных постоянных. Значения произвольных посто-
янных находятся при определенных начальных значениях аргу-
мента и функции.
198
График частного решения дифференциального уравнения на-
зывается интегральной кривой. Общему решению дифференциаль-
ного уравнения соответствует совокупность (семейство) всех ин-
тегральных кривых.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется
уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы)
не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися перемен-
ными называется уравнение вида
- /(X) <₽(</).
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить перемен-
ные
й)= fM dx’
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:
J fdx-
Уравнение вида
+ f(x)y + <р(х) = О,
где Дх) и <р(х) — функции от х, называется линейным дифференци-
альным уравнением первого порядка. В частном случае Дх) и (р(х) мо-
гут быть постоянными величинами. Это уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными с помощью подста-
новки у = uz, где и и 2 — новые функции от х.
Оглавление
Предисловие ..................................................
ЧАСТЬ 1. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Действия над действительными и комплексными
числами ................................................ 4
§ 2. Действия над приближенными числами. Абсолютная
и относительная погрешности............................. 6
§ 3. Линейные уравнения с одной переменной...............8
§4. Линейные неравенства............................... 9
§5. Системы линейных уравнений.........................11
§6. Квадратные уравнения...............................12
§ 7. Квадратные неравенства.............................15
§ 8. Иррациональные уравнения и иррациональные
неравенства.............................................16
§9. Нелинейные системы уравнений с двумя переменными ... 17
ГЛАВА 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
§ 10. Логарифмическая функция............................19
§ 11. Показательные уравнения и системы показательных
уравнений. Показательные неравенства...............20
§ 12. Логарифмические уравнения и системы логарифмических
уравнений. Логарифмические неравенства.............22
ГЛАВА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 13. Векторы на плоскости...............................23
§ 14. Радианное измерение дуг и углов....................24
§ 15. Числовые значения и знаки тригонометрических
функций............................................25
§ 16. Вычисление значений тригонометрических
функций по данному значению одной из них...........26
200
§ 17. Основные тригонометрические тождества.
Доказательства тождеств.............................27
§ 18. Периодичность тригонометрических функций............28
§ 19. Формулы приведения..................................30
§20. Обратные тригонометрические функции.................31
§ 21. Тригонометрические уравнения. Простейшие
тригонометрические неравенства......................32
§ 22. Тригонометрические функции алгебраической
суммы двух аргументов (формулы сложения)............35
§ 23. Тригонометрические функции удвоенного аргумента
(формулы удвоения)..................................36
§ 24. Тригонометрические функции половинного аргумента
(формулы деления)...................................38
§ 25. Преобразование произведения тригонометрических
функций в алгебраическую сумму......................40
§ 26. Преобразование алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение...........41
ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ
§ 27. Предел функции......................................43
§ 28. Производная степени и корня.........................45
§29. Производная сложной функции (функции от функции). ... 46
§30. Геометрические приложения производной...............47
§ 31. Физические приложения производной...................48
§ 32. Производные тригонометрических функций.
Производные обратных тригонометрических функций . ... 49
§ 33. Производные логарифмических и
показательных функций...............................50
§ 34. Исследование функций с применением производной.......51
§ 35. Дифференциал функции. Приложение дифференциала
к приближенным вычислениям..........................55
ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЫ
§ 36. Неопределенный интеграл. Непосредственное
интегрирование......................................57
§ 37. Геометрические и физические приложения
неопределенного интеграла...........................58
§ 38. Вычисление неопределенного интеграла методом
замены переменной (способом подстановки)............60
§ 39. Определенный интеграл и его непосредственное
вычисление..........................................62
§40. Дифференциальные уравнения..........................63
201
ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§41. Элементы комбинаторики............................ 65
§42. Элементы теории вероятностей...................... 66
ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§43. Прямая линия...................................... 68
§ 44. Окружность........................................ 72
§ 45. Эллипс............................................ 73
§46. Гипербола......................................... 74
§ 47. Парабола с вершиной в начале координат............ 75
§ 48. Парабола со смещенной вершиной.................... 76
ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 49. Прямая и плоскость в пространстве................. 77
§ 50. Призма и параллелепипед........................... 79
§ 51. Площади поверхностей призмы и параллелепипеда .... 80
§ 52. Пирамида. Усеченная пирамида...................... 82
§ 53. Площади поверхностей пирамиды и усеченной
пирамиды................................................ 84
§ 54. Цилиндр........................................... 86
§ 55. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра .... 87
§ 56. Конус. Усеченный конус............................ 88
§ 57. Площади боковой и полной поверхностей конуса
и усеченного конуса..................................... 89
§ 58. Сфера и шар. Вписанная и описанная сферы.
Площади поверхностей сферы и ее частей............ 90
§ 59. Объемы призмы и параллелепипеда................... 92
§ 60. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.......... 93
§ 61. Объемы фигур вращения............................. 95
§ 62. Вычисление объемов фигур вращения с помощью
определенного интеграла................................. 97
ЧАСТЬ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ГЛАВА 9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
§ 63. Линейные уравнения с одной переменной и системы
линейных уравнений...................................... 98
§ 64. Линейные неравенства и системы линейных
неравенств..............................................102
202
§ 65. Решение неравенств методом промежутков
(интервалов). Решение неравенств с модулем........104
§ 66. Квадратные уравнения. Уравнения, приводимые
к квадратным......................................104
§67. Иррациональные уравнения и неравенства............108
§ 68. Системы уравнений второй и выше степеней..........109
§ 69. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства ................................... 111
ГЛАВА 10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
§70. Тригонометрические тождества......................115
§ 71. Теоремы сложения. Тригонометрические функции
двойного и половинного аргументов................ 117
§ 72. Преобразование алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение.........118
§ 73. Тригонометрические уравнения и тригонометрические
неравенства.......................................120
ГЛАВА 11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§74. Прямая линия......................................122
§ 75. Геометрические места точек на плоскости.
Кривые второго порядка............................123
ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§76. Приложения производной к исследованию функций .... 126
§ 77. Физические приложения производной.................129
ГЛАВА 13. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78. Геометрические приложения неопределенного
интеграла.........................................130
§ 79. Физические приложения неопределенного интеграла ... 131
§ 80. Определенный интеграл.............................132
ЧАСТЬ 4. УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
ЗА КУРС ДЕВЯТИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
ГЛАВА 14. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
§ 81. Арифметические действия...........................135
§ 82. Алгебраические действия......................... 137
203
ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ.
ДРОБНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
§83. Линейные уравнения и системы линейных уравнений ... 139
§ 84. Линейные неравенства и системы линейных неравенств
с одной переменной...................................... 141
§85. Действия с дробными показателями и корнями.........142
ГЛАВА 16. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.
ПРОГРЕССИИ
§ 86. Квадратные уравнения и системы уравнений
второй степени с двумя переменными.................144
§ 87. Квадратные неравенства.............................145
§ 88. Прогрессии.........................................146
ЧАСТЬ 5. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ГЛАВА 17. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
§89. Начальные сведения по арифметике...................149
§90. Периодические десятичные дроби.....................150
§ 91. Проценты.......................................... 151
§ 92. Пропорции......................................... 151
§ 93. Формулы сокращенного умножения.....................152
§ 94. Действия со степенями и корнями....................153
§ 95. Комплексные числа в алгебраической форме...........154
§96. Линейные уравнения и системы линейных уравнений .. . 156
§ 97. Краткие сведения об определителях. Решение
системы линейных уравнений по формулам
Крамера............................................159
§ 98. Решение системы трех линейных уравнений
с тремя переменными методом Гаусса................ 161
§99. Квадратные уравнения и квадратные неравенства.....162
§ 100. Прогрессии.........................................163
§ 101. Иррациональные уравнения и иррациональные
неравенства........................................164
§ 102. Логарифмы. Логарифмические неравенства.............165
§ 103. Показательные неравенства..........................168
§104. Элементы комбинаторики.............................168
ГЛАВА 18. ТРИГОНОМЕТРИЯ
§105. Основные тригонометрические тождества..............170
§ 106. Формулы приведения.................................172
204
§ 107. Обратные тригонометрические функции.
Простейшие тригонометрические уравнения..................172
§ 108. Тригонометрические функции алгебраической
суммы двух аргументов. Формулы удвоенного
и половинного аргументов.................................174
§ 109. Преобразование произведения тригонометрических
функций в алгебраическую сумму и алгебраической
суммы в произведение.....................................175
ГЛАВА 19. ГЕОМЕТРИЯ
§ 110. Площади многоугольников. Окружность и круг........176
§ 111. Объемы и площади поверхностей геометрических тел . . . 178
ГЛАВА 20. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 112. Прямая на плоскости...............................181
§ 113. Кривые второго порядка............................184
ГЛАВА 21. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 114. Производная.......................................187
§115. Исследование функций с применением производной. . . . 189
§ 116. Дифференциал функции. Приложение
дифференциала к приближенным вычислениям..........192
ГЛАВА 22. ИНТЕГРАЛ
§ 117. Неопределенный интеграл...........................194
§ 118. Определенный интеграл.............................197
§ 119. Дифференциальные уравнения........................198
Учебное издание
Богомолов Николай Васильевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие для ссузов
Зав. редакцией Т. Д. Гамбурцева
Редактор Е.А. Вольмир
Художественное оформление А. А. Шувалова
Технический редактор Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка С. Л. Мамедова
Корректор Н. С. Соболева
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.010105.09.08 от 22.09.2008
Подписано к печати 14.01.09. Формат 60 х 90 */16.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Уел. печ. л. 13,0. Тираж 3000 экз. Заказ № 9663.
ООО «Дрофа».
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51.
Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетныептицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (495) 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин,
ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (495) 741-59-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
Отпечатано с предоставленных диапозитивов
в ОАО «Тульская типография». 300600, г. Тула, пр. Ленина, 109.