А.Н.Обморшев

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОЛЕБАНИЙ

Содержание

Предисловие редактора	5

Предисловие автора	6

Введение	7

Глава I. Основные положения	10

§ 1.	Колебательная система	10

§ 2.	Устойчивость равновесия	11

§ 3.	Устойчивость движения	17

§ 4.	Классификация сил, действующих на колебательную систему	18

§ 5.	Обобщенное уравнение энергии	22

§ 6.	Квадратичные формы Т, Ф, П для линеаризованных систем	23

§ 7.	Дифференциальные уравнения малых колебаний системы около	28

положения устойчивого равновесия

Глава II. Линейные системы с одной степенью свободы	31

§ 1.	Некоторые вопросы, связанные с построением схемы	31

§ 2.	Интерпретация движения на фазовой плоскости	33

§ 3.	Свободные колебания без сопротивления	36

§ 4.	Электрические системы	41

§ 5.	Потеря устойчивости	44

§ 6.	Затухающие колебания	49

§ 7.	Нарастающие колебания	60

§ 8.	Вынужденные колебания без сопротивления при периодическом	64

возмущении

§ 9.	Практический гармонический анализ	74

§10.	Вынужденные колебания с линейным сопротивлением при	88

периодическом возмущении

§11.	Вынужденные колебания при произвольном законе	97

Глава III. Нелинейные системы с одной степенью свободы	105

§ 1.	Консервативные системы	105

§ 2.	Диссипативные системы	121

§ 3.	Автоколебательные системы	137

§ 4.	Вынужденные колебания нелинейных систем	162

§ 5.	Системы, описываемые уравнениями с периодически изменяющимися 180
коэффициентами

Глава IV. Линейные системы с конечным числом степеней свободы 201

§ 1.	Исследования дифференциальных уравнений движения автономной 201
системы

§ 2.	Устойчивость системы	203

§ 3.	Критерий устойчивости	210

§ 4.	Свободные колебания в случае пренебрежимо малого сопротивления 216

§ 5.	Свободные колебания системы с двумя степенями свободы	225

§ 6.	Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы	233
§ 7.	Вынужденные колебания системы без сопротивления	237

§ 8.	Вынужденные колебания системы с сопротивлениями,	243

пропорциональными скорости

§ 9.	Приближенные методы определения частоты колебаний сложных 246
систем

§10.	Динамический виброгаситель без затухания	266

§11.	Динамический виброгаситель с затуханием	270

Литература	275


ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Настоящая книга написана известным советским ученым
в области теории колебаний профессором Московского высшего
технического училища им. Э. Н. Баумана, доктором техни-
ческих наук Александром Николаевичем Обморшевым. Изда-
ние книги осуществляется уже после смерти автора, безвре-
менно скончавшегося в 1961 г.

Книга представляет собой изложение курса лекций, в про-
должение ряда лет читавшихся А. Н. Обморшевым студентам
приборостроительного факультета Московского высшего тех-
нического училища. Естественно, что это обстоятельство
наложило свой отпечаток как на построение книги, так и на
полноту освещения отдельных ее разделов. Тем не менее
автор охватил достаточно широкий круг вопросов. Изложение
сопровождается достаточным числом умело подобранных при-
меров, относящихся к электрическим и механическим систе-
мам, рассмотрение которых значительно облегчает усвоение
теории.

Книга А. Н. Обморшева может служить хорошим вве-
дением для изучения более подробных книг по теории коле-
баний и для чтения специальных исследований по различным
вопросам и приложениям теории колебаний.

Книга подверглась лишь незначительной редакции, с тем,
чтобы сохранить замысел автора. Значительную помощь
в подготовке рукописи к изданию оказал ученик автора
А. А. Гордеев.

В. В. Петров
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Книга представляет собой несколько расширенный курс
лекций по теории колебаний для студентов машинострои-
тельных и приборостроительных специальностей высших тех-
нических учебных заведений. Предполагается, что читатель
знаком с математическим анализом и теоретической механикой
в объеме нормальной программы высшей технической школы.

Теоретический материал иллюстрируется техническими при-
мерами, а также решением соответствующих задач, часть кото-
рых доводится до числового результата. За немногими исклю-
чениями все приводимые в книге теоремы и формулы доказы-
ваются и выводятся, может быть в ряде случаев без излишней
детализации, но не в ущерб ясности.

Книга предназначена в качестве учебного пособия для
студентов, но может быть полезной также инженерам осо-
бенно при чтении и изучении ими специальной литературы
по теории колебаний.

А. Н. Обмершее
ВВЕДЕНИЕ

Колебания во всем их многообразии играют очень боль-
шую роль в современной технике. Трудно указать ту область
техники, где бы не встречались колебания, причем с расши-
рением и углублением наших познаний о явлениях природы
открываются все новые области, в которых имеют место
колебательные процессы, а там где эти процессы были
известны раньше только в самых общих чертах они пости-
гаются более глубоко.

Первоначальные сведения о колебаниях в природе и в тех-
нике даются в курсе физики и далее развиваются в курсах
теоретической механики, сопротивления материалов и электро-
техники; поэтому мы не будем заниматься повторением уже
хорошо известных элементарных понятий. Остановимся лишь
вкратце на историческом обзоре развития науки о колеба-
ниях, ограничившись наиболее существенными фактами, при-
ведшими к формированию этой дисциплины.

Первые серьезные для своего времени исследования коле-
баний восходят к XVII веку. Они были выполнены Г. Гали-
леем и затем X. Гюйгенсом и касались лишь маятника.
В XVIII веке, с развитием математического анализа и теоре-
тической механики, интерес к колебательным процессам уже
подкрепляется основательной теоретической базой. Так,
Л. Эйлер в России занимается изучением колебаний корабля
в связи с вопросом о его устойчивости, а Ж. Даламбер
во Франции работает над исследованием колебаний струны.
В конце XVIII века Лагранж в своем замечательном труде
«Аналитическая механика» создает мощный математический
аппарат в виде хорошо известных теперь уравнений движе-
ния в обобщенных координатах. Рассмотрев с его помощью
некоторые задачи теории колебаний, приводящиеся к инте-
грированию линейных дифференциальных уравнений, он тем
самым заложил основы линейной теории колебаний.
В первой половине XIX века русский ученый М. В. Остро-
градский решает некоторые задачи о колебаниях, приводя-
щие к нелинейным дифференциальным уравнениям. В сере-
дине XIX века К. Вейерштрасс дает точное решение задачи
о маятнике с помощью эллиптических функций. Таким обра-
зом, нелинейные задачи начали решать уже в прошлом
столетии, однако общей нелинейной теории колебаний еще
не было создано.

Внимание ученых во второй половине XIX века все более
начали привлекать прикладные вопросы теории колебаний,
составлявшие иногда даже целые области физики и техники
(акустика и сейсмология с элементами сейсмометрии).

В 70-х годах XIX века появилось сочинение английского
физика Дж. В. Стретта (лорд Рэлей) «Теория звука». Первая
половина этого сочинения посвящена систематическому изло-
жению основ линейной теории колебаний, а также некоторым
нелинейным задачам, правда, лишь очень немногим. Во вто-
рой половине даны приложения этой теории непосредственно
к вопросам акустики (распространение звуковых волн, музы-
кальные инструменты). Трудом Рэлея общая теория малых
колебаний, т. е. колебаний, описываемых линейными диф-
ференциальными уравнениями, была в основном завершена.

Развитие быстроходных машин и средств транспорта
создало богатые возможности для приложения и совершен-
ствования этой теории. Здесь следует отметить работы
А. Н. Крылова по теории качки корабля, по вибрациям
стволов орудий и другим вопросам прикладной теории коле-
баний, Б. Б. Голицина по сейсмометрии, швейцарского уче-
ного А. Стодолы по колебаниям элементов турбин и т. д. Эти
работы относятся уже к началу текущего столетия и обра-
зуют прикладную ветвь теории колебаний.

Практические методы линейной теории совершенствуются
и в наше время.

Задача о маятнике показала недостаточность линейной
трактовки некоторых явлений, причем эта недостаточность
особенно выпукло проявилась с развитием теории автомати-
ческого регулирования.

Как упоминалось, отдельные исследования по нелинейным
колебаниям появлялись уже ранее. В 20-х годах нашего сто-
летия к этим исследованиям добавилась работа голландского
ученого Ван-дер-Поля, посвященная электрическим колеба-
ниям в контуре, содержащем электронную лампу, и давшая
толчок к развитию ряда методов, составивших основу совре-
менной нелинейной теории колебаний.

Честь создания этой теории, оформившейся только в 30-х
годах нашего века, принадлежит в значительной степени
советским ученым, среди которых необходимо отметить
Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова,
Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Б. В. Булгакова и
других.

Интересно отметить, что ряд методов нелинейной теории
колебаний заимствован из небесной механики, достигшей уже
в прошлом столетии высокой степени точности исследований.
Сюда надо, прежде всего, отнести исследования французского
ученого А. Пуанкаре. Блистательный прогресс теории коле-
баний, особенно нелинейной, стал возможен благодаря круп-
ным достижениям в теории устойчивости движения, возникшей
в прошлом столетии и разработанной рядом ученых, среди
которых первое место принадлежит А. М. Ляпунову.

Кроме простейшей задачи о колебании системы с одной
степенью свободы, уже со времен Лагранжа стали рассма-
тривать колебания связанных систем. Сюда относятся, напри-
мер, крутильные и поперечные колебания валов с дисками,
колебания локомотивов, гироскопов и т. д.

В последние пятнадцать — двадцать лет начала разраба-
тываться трудная задача о колебаниях связанных нелиней-
ных систем.

Наряду с теорией колебаний систем с одной степенью
свободы или с произвольным конечным числом степеней сво-
боды, развивалась также теория колебаний сплошных сред,
например, упругих тел. С этим вопросом, требующим для
своего рассмотрения уже уравнений в частных производных,
приходится встречаться в тех случаях, когда необходимо
учитывать распределенную массу колеблющегося тела, балки,
вала, пластины и т. д.
ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

§ 1. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА

Физическая система называется колебательной, если все
или некоторые величины, определяющие ее состояние, изме-
няются не монотонно, а претерпевают переменные увеличе-
ния и уменьшения. В простейшем случае механической си-
стемы *), определяемой обобщенными координатами

91- #2...Яп>

последние во время колебательного процесса то возра-
стают, то убывают. Это означает, что точки или тела,
входящие в систему, совершают прямые и обратные дви-
жения.

Колебательное свойство какой-либо системы не следует
смешивать со свойством периодичности. Под периодичностью
подразумевается регулярная повторяемость явления, причем
периодическое движение может быть как колебательным,
так и прогрессивным. Например, движение маятника есть
движение периодическое колебательное, а движение стрелки
часов — движение периодическое прогрессивное. С другой
стороны, не всякое колебание периодично. На рис. 1, а пред-
ставлен график простейшего колебательного периодического
движения, а на рис. 1, б — график движения колебательного, но
не периодического (нельзя указать период).

*) В теоретической механике механической системой принято
называть совокупность конечного или бесконечного числа мате-
риальных точек, связанных между собой. Обобщенными же коор-
динатами называются такие независимые между собой величины,
заданием которых вполне определяется положение всех точек си-
стемы. Число таких координат называют числом степеней свободы
системы [8].
Выбор координат, определяющих состояние системы,
вообще произволен и подчинен лишь практическим сообра-
жениям. Например, при рассмотрении колебаний автомобиля,

вагона и т. п. (рис. 2) можно взять в качестве обобщенных

координат смещения zy и е2
точек рессорного подвеши-
вания, или, что удобнее,
смещение центра тяжести z
и угол поворота <р.

Обобщенными коорди-
натами могут быть не
только механические вели-
чины, но и другие вели-
чины, например, темпера-
тура, сила тока и т. д.
В этой книге, наряду с ме-
ханическими системами, мы

Рис. 2.

будем рассматривать в качестве

примеров также электрические системы.

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

Понятия устойчивости и неустойчивости, тесно связанные
с учением о колебаниях, почти очевидны и известны еще
из элементарной физики. В самом деле, легко дать оценку
устойчивости шарика, находящегося на поверхности (рис. 3).
Так, в случае а положение его устойчиво, в случае б—не-
устойчиво и, наконец, в случае в — находится в безразлич-
ном равновесии.

Устойчивость определяется либо как стремление системы
возвратиться в исходное состояние после того, как она

Рис. 3.

из него была выведена, либо как свойство оставаться вблизи
этого исходного состояния. В случае механических систем
мы различаем устойчивость равновесия и устойчивость дви-
жения *). Вообще можно говорить об устойчивости какого-
либо состояния любой физической системы, подразумевая
под этим такое свойство системы, когда все величины, опре-
деляющие ее состояние, остаются вблизи тех значений, кото-
рые характеризуют некоторое, заранее выбранное номиналь-
ное состояние, называемое основным или невозмущенным.
Хотя попытки дать определения устойчивости восходят еще
к XVIII веку, исчерпывающая ясность была внесена лишь
в 90-х годах прошлого века в классических работах
А. М. Ляпунова, па которые мы и будем опираться в наших
определениях [12].

Условимся для простоты отсчитывать обобщенные коор-
динаты системы от положения равновесия. Обозначая, как

*) Ниже подробно рассматриваются устойчивость равновесия
и движения. Здесь же заметим, что необходимым и достаточным
условием равновесия механической системы является равенство
нулю всех обобщенных сил [ls]:

Qi — Qi=  • • ~ Qn — 0.

Условие равновесия не определяет еще устойчивость рассматри-
ваемого состояния. Обобщенной силой Qi, соответствующей коор-
динате qt, называется такая величина, произведение которой на
приращение бу/ равно работе всех сил, приложенных к системе,
на перемещении системы, соответствующем этому приращению
координаты qi. Число обобщенных сил равно числу обобщенных
координат.
обычно, нулевыми индексами начальные значения координат,
дадим такое определение устойчивости равновесия:

Равновесие системы называется устойчивым, если
при наперед заданных достаточно малых положи-
тельных числах £] и е2 можно указать такие малые
положительные числа (et) и б2(е2), что при

|««|<6,. |Й|<Л

во все последующее время будем иметь
I Qi I < е1 I Qi I < £2-

где I — 1, 2, .... п.

Устойчивость, определенную таким образом, называют
обыкновенной устойчивостью. Если же с течением времени
все q, стремятся к нулю, то говорят, что система обладает
асимптотической устойчивостью.

Таким образом, при обыкновенной устойчивости точки
системы не выходят за назначенные заранее границы, а при
асимптотической устойчивости стремятся к своим равновес-
ным положениям.

Можно установить достаточный признак или критерий
устойчивости для консервативных систем, который дается
теоремой, доказанной в конце XVIII века Лагранжей для не-
которых частных случаев и обобщенной в середине XIX века
Дирихле на случай любых консервативных систем.

Теорема Лагранжа — Дирихле. Если в положении
равновесия потенциальная энергия системы имеет
минимум, то равновесие устойчиво.

Для консервативной системы, т. е. для системы в потен-
циальном силовом поле, обобщенная сила равна

где

П = П(9р </,..........7„)	(1.2)

есть потенциальная энергия системы. Так как в положении
равновесия все обобщенные силы равны нулю, то согласно
равенству (1.1) имеем

® О
dqi

(1-3)
при 1—1, 2, п. Следовательно, в этом положении по-
тенциальная энергия, как говорят, принимает стационарное
значение, которое, в частности, может быть экстремальным,
т. е. иметь максимум или минимум. Допустим, что в поло-
жении равновесия П минимальна. Докажем, что в этом слу-
чае равновесие устойчиво. На основании закона сохранения
энергии имеем:

Т —|— П = Т о —По = const,	(1.4)

где То и Т — кинетическая энергия системы в начальный и
в любой последующий момент времени соответственно;
а По — начальное значение потенциальной энергии системы.
Отсюда, поскольку всегда Т > 0, находим

П<7’0 + П0.	(1.5)

Условимся отсчитывать потенциальную энергию от положе-
ния равновесия, в котором П = 0. Тогда, по условию мини-
мума П, в окрестности этого положения всегда П > 0. Дадим
первой координате наибольшее по абсолютной величине воз-
можное значение е:

l7i I = е,

а остальные координаты будем изменять всевозможным обра-
зом в пределах ± е и наблюдать за величиной П. Пусть
наименьшее значение П при таких изменениях оказалось
равным Поступая таким же образом с координатой q2
и предоставляя остальным (включая и qY) изменяться в пре-
делах ± е, отметим также и в этом случае наименьшее зна-
чение П, равное некоторому А2, и т. д. Получив ряд по-
ложительных чисел

Др Д2, .... Д„,

возьмем наименьшее из них, которое обозначим через А*.
Итак, А* есть значение потенциальной энергии, когда
по крайней мере одна координата достигла границы своего
возможного изменения е.

Если начальные значения q® лежат в пределах ± дх, то,
очевидно

По < А*.

Допустим, что

По — Д* — а,
где а — некоторая малая положительная величина. По-
скольку То является положительной функцией скоростей
достаточно указать такой верхний предел для начальных
скоростей

|??|<62’

чтобы было

7’о< а.

Подставляя в неравенство (1.5) вместо По и Та соответст-
венно А* — а и а, мы это неравенство только усилим.
Итак, имеем

П < А*.

Следовательно, ни одна из координат не достигает своего
предельного значения, т. е. равновесие устойчиво, что и
требовалось доказать.

Необходимого признака устойчивости не
существует. Однако иногда можно заранее
утверждать, что система неустойчива. Это можно
сделать в случаях, предусмотренных теорема-
ми Ляпунова, доказательство которых не эле-
ментарно.

Теорема 1. Равновесие неустойчиво,
если потенциальная энергия не есть ми-
нимум и отсутствие минимума опреде-
ляется уже по членам второго порядка
в разложении потенциальной энергии.

Теорема 2. Равновесие неустойчиво,
если потенциальная энергия есть макси-
мум, определяемый членами наинизшего
порядка в разложении потенциальной
энергии в степенной ряд.

Пример 1. Исследование устойчивости равно-
весия маятника (рис. 4). Примем за обобщенную
координату угол ф отклонения маятника от вертикали. Пусть вес
маятника будет Р, расстояние центра тяжести от точки подвеса О
составляет I. Потенциальная энергия равна

П = Pl (1 — cos ф).

Обобщенная сила

Q = —кг = р1 sin ф.
Отсюда два положения равновесия

Ф? — О, Фг = я-

Исследуем П на экстремум:

<?2П	, D,

-3-5- = + Pl cos ф,

<?Ф2

Ж) = + «•	=~Pl-

\ <?ф2 А	\ <?ф2 /2

Итак, в первом случае п = Пш1п и по теореме Лагранжа — Дирихле
равновесие устойчивое. Во втором случае П = Пшах; чтобы здесь
применить теоремы Ляпунова, положим ф = п — ф и разложим П
по степеням ф:

П=Р/(1 + со31р) = Р/(2-^ + -^— ...).

Следовательно, имеем неустойчивое равновесие.

Пример 2. Равновесие тяжелой точки на гладкой поверх-
ности. Очевидно, что равновесие возможно лишь в той точке по-

верхности, через которую можно
провести к этой поверхности
горизонтальную касательную пло-
скость. Примем эту плоскость за
плоскость Оху и направим ось z
вертикально вверх (рис. 5). Тогда
потенциальная энергия тяжелой
точки может быть представлена
в виде

П = mgz.

Уравнение поверхности

* = / (х, у)

в окрестности начала координат можно аппроксимировать посред-
ством уравнения второй степени:

z “ ^цХ2 -|“2Л12ху -]- Л22У2

(члены первой степени исчезают вследствие горизонтальности
касательной плоскости). Таким образом, элемент заданной поверх-
ности аппроксимируется элементом параболоида. Считая эту по-
верхность второго порядка, отнесенной к главным осям (что всегда
можно сделать путем поворота осей), можно написать уравнение
в канонической форме

X2 V2

2 =-----4— __

2р 2q ’

где р и q с точностью до знака — параметры парабол в сечениях
Ozy и Ozx.
Здесь возможны случаи:

1)	р > 0, q > 0; поверхность — эллиптический параболой ,
обращенный выпуклостью вниз. По = Пт1п; на основании теоремы
Лагранжа — Дирихле равновесие устойчиво.

2)	р < 0, q < 0; поверхность — эллиптический параболоид,
обращенный выпуклостью вверх. По = Птах; на основании второй
теоремы Ляпунова равновесие неустойчиво.

3)	р > 0, q < 0 (или наоборот); поверхность — гиперболический
параболоид (седлообразная поверхность). По не есть ни минимум,
ни максимум, что обнаруживается по членам второго порядка.
На основании первой теоремы Ляпунова равновесие неустойчиво.

Примечание. Упоминавшееся выше безразличное равно-
весие (рис. 3, в) не подходит ни к одному из определений
приведенных теорем. С точки зрения общей теории мы имеем
в данном случае неустойчивость, так как сколь угодно малые
начальные скорости могут увести точку далеко от началь-
ного положения.

§ 3.	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Положим, что движение материальной системы описы-
вается уравнениями Лагранжа [п]:

—	---— = Qi,	(1.6)

dt dqt I dqt

где z—1, 2, ..., п. Положим, далее, что при некоторой
совокупности начальных условий

?? .....7?. 7§..........7°

имеем решения системы (1.6) в виде уравнений

7i = /i(0> 72 = /2(0.....7я = /я(0-	(1-7)

Будем называть движение, определяемое этими уравнениями,
основным или невозмущенным движением. При всякой иной
совокупности начальных условий конечные уравнения (1.7)
будут, очевидно, уже иные, и движение, определяемое ими,
называется возмущенным по отношению к основному.

Невозмущенное движение по Ляпунову называется устой-
чивым относительно некоторой совокупности величин, кото-
рыми обычно бывают координаты q, и скорости если

2 А. Н. Обморшев
для каждых сколь угодно малых положительных Ei и е2
можно указать такие д[ и д2, что при

|М|<*р |^| <62

в последующем движении для любого t, сколь велико бы t
ни было, будут выполняться неравенства

|A^|<eP |Д^| <е2,

где Ауг и т. д. обозначают разности соответствующих вели-
чин в основном и возмущенном движениях, называемые их
вариациями.

Можно сказать проще: не воз му щен ное движение устой-
чиво, если возмущенное остается сколь угодно близким
к нему.

Проблема устойчивости движения играет большую роль
в современной технике. Так, говорят об устойчивости дви-
жения железнодорожного поезда, артиллерийского снаряда,
быстроходной турбины и т. п.

Рассмотренное в § 2 определение устойчивости равнове-
сия является частным случаем приведенного определения
устойчивости движения, когда невозмущенное состояние есть
состояние покоя.

§ 4.	КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ

НА колебательную систему

Для составления дифференциальных уравнений колебаний
механической системы прежде всего необходимо расшифро-
вать все члены в уравнениях движения (1.6). Допустим, что
система содержит N материальных точек с координатами

Хр Ур Zx....xN, yN, zN,

которые, благодаря наложенным голономным стационарным
удерживающим связям, могут быть выражены в виде одно-
значных функций от обобщенных координат:

х/ = хг(^р q2........qn),

У1 = У1 ton <72......Яп)’

Zi. = zi top Яг......Яп)-

(1.8)
Отсюда находим проекции скоростей точек:

Следовательно, кинетическая энергия системы

=	+	(СЮ)

i = l

после подстановки выражений (1.9) представится в виде
однородной функции второй степени, т. е. в виде квадра-
тичной формы от обобщенных скоростей:

(i.ii)

t=i j=i

Здесь коэффициенты Ац — вообще функции координат:

Л/7=Ау(<71- <?2.....Яп)’	(1-12)

причем, как известно из курса теоретической механики *),
Аи = Ал.	(1.13)

*) В самом деле, например, для двух степеней свободы мы
имеем:

т — у (Ai	#2 + ^22^2)’

полагая здесь Л12 =» Л21 и представляя Т в виде

7” = ~2 1(^11Ч1 4" ^12^2) Qi ~Ь (^21^14- А22Ч2) ЯгЪ

убеждаемся в справедливости сказанного.
Обобщенную силу Qj мы представим для достаточно
общего случая состоящей из трех сил:

<2,-= <??+ <?? + <?*.	(1-14)

Здесь Qy — так называемая потенциальная сила, играю-
щая обычно роль восстанавливающей силы-.

Далее, Q* есть сила, явно зависящая от времени и называе-
мая возмущающей силой

<2* = <2*(О-	(1-16)

Для сокращения записи в дальнейшем звездочку будем опу-
скать. Наконец, Q9 есть сила сопротивления, или дисси-
пативная сила.

Принято различать следующие три основных типа сопро-
тивления:

1.	Сопротивление сухого, или кулонова, трения, которое
принимается в достаточно широких пределах не зависящим
от скорости движения *).

2.	Сопротивление вязкости, или линейное сопротивление,
пропорциональное первой степени скорости.

3.	Сопротивление вихревое, или квадратичное, пропор-
циональное квадрату скорости.

Только второй тип сил приводит к линейным дифферен-
циальным уравнениям (если, конечно', нелинейность не вы-
звана другими силами); остальные два типа приводят к нели-
нейным уравнениям и влекут за собой большие трудности
исследования. Если не оговорено противное, мы будем иметь
в виду линейный случай.

*) Так как в действительности сила сухого трения все же за-
висит в какой-то мере от скорости и эта зависимость даже может
порождать особый вид колебаний — так называемые автоколебания,
рассматриваемую в дальнейшем идеализированную силу сухого
трения, не зависящую от скорости, называют силой кулонова тре-
ния, поскольку Кулон высказал гипотезу о независимости силы
трения от скорости.
Итак, положим, что каждая точка испытывает силу со-
противления, проекции которой можно представить в сле-
дующем виде:

где — коэффициент пропорциональности, по смыслу боль-
ший нуля. По обшей формуле для обобщенной силы

Q = У (fix + Fiy 4- FIZ (1.17)
7	( ix I iy i iz 0q})	\	>

1 = 1
находим

С другой стороны, из уравнений (1.9) следует, что
дхг_____________ dxt dyi	_ dyt dzj	__ dzt

dq}	dq}	’ dq} dq} ' dq} dq}	’

вследствие чего

7^1	dq! dqi!

Если теперь образовать некоторую функцию скоростей

Ф = ^Т^+У?+4	(1-18)

(=1

то можно увидеть из выражения (1.17а), что

Q? = —	(1.19)

1 dq}

Функция Ф называется функцией рассеяния или дис-
сипативной функцией Рэлея. Как видно из сравнения
формул (1 10) и (1.18), она имеет такую же структуру, как
и кинетическая энергия; следовательно, можно утверждать,
что как Г, так и Ф — существенно положительные величины.
По аналогии с (1.11) имеем

о-20)
i=i j=i
где вообще
=	%.....Чп)>	(1.21)

причем, как это имело место для коэффициентов А^, здесь
также

=	(1.22)

Таким образом, уравнения движения (1.6), учитывая

(1.14),	(1.15) и (1.19), напишутся в следующем виде:

—	——+ —+	= Q},	(1-23)

dt \ dqj / dqj dqj dqj '

где J — 1, 2....n.

§ 5. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Умножим каждое из уравнений (1.23) на соответствую-
щую обобщенную скорость qj и сложим все уравнения по-
членно:

V Г d I дТ )	дТ 1 ' f

~ L d Д dqj /	dqj J 7 7

T=l dql	Oq> /=1

Здесь правая часть представляет собой мощность всех воз-
мущающих сил. Далее, поскольку Ф так же, как и Т, есть
квадратичная форма относительно обобщенных скоростей,
то по теореме Эйлера об однородных функциях имеем

п

=2Ф.

^xdqi

Потенциальная энергия зависит явно только от координат,
поэтому

у’ дП • ___dn

dt ”
Наконец, осталось рассмотреть первую сумму левой части
уравнения (1.24). Предварительно найдем, что

d / дТ\ • _ d I дТ • \ дТ ••

dt \dqj/J dt \dqj dqj

Тогда

Здесь при преобразовании первого члена мы опять восполь-
зовались теоремой Эйлера, а при приведении второго члена
учли, что Т есть функция как скоростей, так и координат.
Окончательно имеем

А(Г4-П)-|- 2Ф = W,	(1.25)

где
п

W=^Qjqj	(1.26)

есть мощность всех возмущающих сил.

Мы получили обобщенное уравнение энергии. При отсут-
ствии внешнего возмущения

^-(Т + П) = -2Ф.	(1.27)

Итак, удвоенная функция рассеяния есть убыль полной энер-
гии в единицу времени.

Наконец, для консервативной системы (Ф = 0) получаем

из (1.27) хорошо известное соотношение

Г-j-П = const.	(1.28)

§ 6.	КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Т, Ф, П

ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ

На основании изложенного в предыдущих параграфах
можно вывести дифференциальные уравнения малых колеба-
ний материальной системы около ее положения равновесия,
которое, если не оговорено противное, предполагаем устой-
чивым.
В действительности только в исключительных случаях
поведение системы описывается посредством линейных урав-
нений. Однако если считать отклонения и скорости малыми,
такими, чтобы степенями выше первой и произведениями этих
величин можно было пренебречь, то в результате полу-
чим линеаризованную систему, описываемую линейными диф-
ференциальными уравнениями, которые по отношению
к исходной системе являются уравнениями первого прибли-
жения. Закономерность такой операции часто очевидна, но
иногда она может быть окончательно разрешена лишь после
анализа решения упрощенной системы. Бывает и так, что
линеаризация приводит к принципиально иному решению.
К этому вопросу мы еще возвратимся в главе о нелинейных
колебаниях, а сейчас будем считать линеаризацию допусти-
мой. Предварительно обратимся к составлению выражений
для Т, Ф и П при этом допущении.

Если мы хотим в уравнениях (1.23) оставить члены не
выше первого порядка малости в только что указанном
смысле, то в выражениях для Т, Ф и П необходимо удер-
жать члены до второго порядка включительно. Обращаясь
к кинетической энергии Т (1.11), разложим на основании
формулы (1-12) коэффициенты Atj в ряд по степеням д:

хт / дАц \

Аа = (Л/)о +	+ • • • •

к = 1

где индексом 0 отмечены соответствующие величины при
g1 — Q, g2 = 0....g„ — 0. Так как в выражении (1.11)

должны остаться члены второго порядка, то в написанном
разложении удерживаем справа только первый член, кото-
рый обозначим

(^z/)o==: aij= ajf	(1.29)

Эта величина называется коэффициентом инерции. Окон-
чательно имеем:

п п
T^^^aijqi’qp	(1-30)

, = 1 у = 1

Поступая таким же образом с выражением для Ф, на
основании (1.20) и (1.21) находим

/ дВц \

В«=(В,Л+ 2	«»+••	(1-31)

k=1

где (Вф0 = bij — bjt — коэффициент сопротивления.
Тогда

Ф =	(1-32)

t = i j=i

Наконец, переходим к потенциальной энергии П, для кото-
рой имеем

k=l	1 = 1; = 1

п п п

1=1 j=1 k = 1

Как было указано выше, (П)о и все члены первой суммы
равны нулю (см. стр. 13); тройную сумму и члены высших
порядков мы отбрасываем. Тогда, вводя обозначение

= СЧ = Cil	(L33)

— коэффициент жесткости, или квазиупругий коэффи-
циент, находим

(1-34)
i=i j=i

Если положение равновесия устойчиво, то П, равно как Т
и Ф, — определенная положительная квадратичная форма, т. е.
положительная величина, обращающаяся в нуль только при
нулевых значениях всех переменных *).

Вообще какая-либо функция, сохраняющая знак при любых
значениях переменных и обращающаяся в нуль тогда и только

*) Эти понятия необходимы, в частности, при изучении второй
методы Ляпунова и функций Ляпунова [,2].
тогда, когда все переменные равны нулю, называется знако-
определенной. Если же некоторая функция, не изменяющая
своего знака, обращаясь в нуль при нулевом значении пере-
менных, может быть равна нулю и при каких-либо иных их
значениях, то она называется знакопостоянной. Такова, на-
пример, функция

/(хр х2) = А (хг — х2)2,

где А — произвольное число. В самом деле, эта функция
при Xj=£x2 имеет всегда знак, совпадающий со знаком А, и
обращается в нуль не только при х1 — х2 = 0, но и вообще
при — х2.

На основании сказанного, функции Т и Ф, а при устойчи-
вости равновесия также и П, являются функциями знако-
определенными, и притом положительными.

Приведем без доказательства признак или критерий знако-
определенности квадратичной формы, например П. Для этого
образуем определитель, называемый дискриминантом
квадратичной формы

	С11	с12	С13 '	• с1п	
	С21	с22	С23 •	• с2п	
s =	С31	С32	с33 •	• ^Зл	(1.35)

£ пЛ ^п1 СгЗ • •  ^пп

Далее, по теореме Сильвестра, для определенной положи-
тельности квадратичной формы П (1.34) необходимо и доста-
точно, чтобы были положительны определитель S (1.35) и
все его главные диагональные миноры, т. е. чтобы выпол-
нялись следующие условия:

СП >

си

С21

С12

С22

О.......S > 0.

(1.36)

Случай одной координаты, при П = -^-с<?2, является три-
виальным. Убедимся в справедливости этого критерия для
случая двух координат, когда

П — -%	“Н	*
Так как можно положить поочередно qx = 0 или q2 = 0, то
требование положительности с22 и сп очевидно. Предста-
вим П так:

2 Г	2	~i

П = UGr) +2C12-f + CJ-

u \Ч2/	?2	J

Здесь квадратный трехчлен не должен иметь веществен-

ных корней, так как в противном случае он, переходя через

нуль, мог бы менять знак.
Поэтому

г 2  г г О

Итак, получаем

Сц > О, СПС22 Cj2 > О,
с22 > 0.	(а)

Легко видеть, что послед-
нее условие вытекает из

первых двух.	aj

Пример. Равновесие	„	_

двух сочлененных верти-	нис' °'

кальных стержней длины Zt
и Z2 с точечными грузами (массы которых тх и и2), прикрепленными
пружинами жесткости Cj и с2 к вертикальной стенке (рис. 6, а).

Принимая за обобщенные координаты углы ф и ф и считая
отклонения стержней от вертикали малыми (рис. 6, ff), составим
выражение потенциальной энергии П, состоящей из потенциальной
энергии сил веса и потенциальной энергии сил упругости. Имеем

П = — migli (1 — cos ф) — m2g [Zj (1 — cos ф) — Z2 (1 — cos ф)] -f-

+ -у- (Лф)2 +	(^1Ф + ^гф)2 »

{[(ci + c2) zi — (mi + w2) £zi] Ф2 + 2c2ziW +

+ (C2Z2	m2§^ 'Ф2} ’

где положено cos фа 1----------, cos a 1----------y- . Здесь

«и = [(«i + c2) Ц — (mi + m2) £] li,

Ci2 = c2ZjZ2,
Cj2 = (^2Z2 + "lig) h-
Полученные выше условия устойчивости (а), после подстановки
выражений ctl> с12, с22 и некоторых упрощений, принимают
вид

(ci + с2) li >	+ и2) g,

с21г -f- n2g > О,

[(«1 + с2) Zj — (тг + m2) g-] (c2Z2 + m2^) >

Очевидно, что второе из этих условий удовлетворяется тожде-
ственно.

Не следует думать, что последнее условие вытекает из пер-
вого. В самом деле, если левая часть первого неравенства лишь
очень мало превосходит правую, то при выполнении первых двух
неравенств третье может и не выполняться.

§ 7.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ
КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ
УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

Для вывода уравнений малых колебаний подставим все
разложения (1.30), (1.32) и (1.34) в дифференциальные урав-
нения движения (1.23). Заметим, что при этом -^- — 0,
дТ
а —г— имеет вид
dqi

дТ  ,	' ,	.•

•^-=«n9i + «/292+ ••• A-ainqn-

Подобным же образом находим и другие производные. Окон-
чательно уравнения малых колебаний примут вид

2	(1.37)

где 1= 1, 2....п. Вводя символический полином

Л/Р) =	си,	(1.38)

где р есть дифференциальный оператор

р =	(1.39)
мы можем переписать уравнения (1.37) в таком виде:

/ = 1

(1-40)

Система уравнений (1.37) или (1.40) представляет собой
систему совокупности линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка; таким образом, порядок системы
равен 2л. Полное решение системы дает нам все qx..qn,

выраженные в зависимости от времени t и 2и постоянных
интеграции, определяемых по начальным условиям:



Qi=Q\>

Qt = ft

(1-41)

т. е. по начальным координатам и скоростям.

По поводу уравнений (1.37) или (1.40) следует заметить,
что, как будет видно из дальнейшего, они могут определять
собой не только колебательные, но и апериодические дви-
жения, что хорошо известно из курса теоретической меха-
ники. Больше того, уравнения (1.37) или (1.40) сохраняют
свою силу также и для неустойчивых систем, когда некото-
рые коэффициенты ci} или Ь1}- отрицательны *), лишь бы
задача ограничивалась рассмотрением малых отклонений,
в пределах которых допустимо пользоваться уравнениями
первого приближения. Однако эти уравнения уже не могут
дать полной картины движения, для получения которой при-
ходится обращаться к нелинейным уравнениям.

В заключение этой главы остановимся на вопросе о раз-
мерности величин. В уравнениях (1.37) все члены должны
иметь размерность обобщенной силы. Допустим, как это наи-
более часто принимается, что за единицу длины взят санти-
метр [см], за единицу силы — килограмм [/сГ], за единицу
времени — секунда [сек]. Тогда коэффициент инерции имеет
размерность обобщенной силы, деленной на обобщенное уско-
рение, коэффициент сопротивления —обобщенной силы, делен-
ной на обобщенную координату. Обобщенными координатами

*) Имеются в виду лишь коэффициенты при i=j, так как отрица-
тельность коэффициентов с и Ь с различными индексами еще ничего
не говорит о нарушении устойчивости, иначе говоря, о нарушении
знакоопределенности квадратичных форм П или Ф.
может быть либо длина, либо угол, обобщенной силой — сила
или момент. Эти величины соответствуют друг другу, если
они имеют один и тот же номер; тогда сейчас же можно
указать размерности а, Ь, с. Например,

qt см, Qt кГ,

ац кГсек2/см, Ьи кГсек/см, ctt кГ/см,
q} рад, Qj кГсм,

a^j кГсмсек2, bjj кГсмсек, Cjj кГсм.

Если подстрочные индексы у a{j, btj, Сц различны
то получаются другие варианты для единиц, измеряющих
эти коэффициенты, которые, однако, очень легко находятся
на основании только что сказанного, именно на основании
принципа однородности всех членов уравнений, описывающих
физические процессы.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 1.	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ
С ПОСТРОЕНИЕМ СХЕМЫ

Вопрос о числе степеней свободы системы решается не
только в зависимости от структуры самой системы, но и от
желаемой степени точности.

Предположим, что мы имеем небольшой груз, подвешен-
ный к пружине (рис. 7). Даже если допустить, что боковое
раскачивание груза исключено, мы имеем случай, не столь
элементарный, как он часто трактуется. Обычно .//^/z///////////z
предполагают, что, во-первых, пружина неве-
сома и, во-вторых, она не закручивается вокруг
своей оси, не говоря уже о том, что деформа-
цией груза пренебрегают. В результате получают 'S-gs,
хорошо известное из механики обыкновенное
диффе ренциальное уравнение

тх-\- сх — О,

где х — смещение груза, т — его масса, с —
коэффициент жесткости пружины. Это уравне- Рис. 7.
ние определяет вертикальные колебания абсо-
лютно жесткого груза на абсолютно невесомой пружине,
имеющей к тому же линейную упругую характеристику, т. е.
остающейся в пределах закона пропорциональности.

Итак, мы имеем систему с сосредоточенными параметрами —

массой груза, принимаемой за точечную, и упругостью пру-
жины, эффект которой сводится к упругой реакции в точеч-
ном грузе. Однако опыт (а также и расчет) показывает, что

если грузик оттянуть вниз и затем отпустить, то вскоре,
кроме основных колебаний, возникают также крутильные
колебания, которые могут быть, правда, очень небольшими.
Таким образом, система имеет две степени свободы, причем
колебания обоих типов связаны между собой. Лишь прене-
брежение (часто достаточно обоснованное) вторым движением,
являющимся как бы побочным, приводит нас к системе
с одной степенью свободы.

Мы пренебрегли также деформируемостью груза (на что
имеем полное право), а также массой пружины. Последнее
допущение весьма условно. В действительности мы имеем
непрерывную последовательность элементов пружины, обла-
дающих как упругостью, так и массой. Иначе говоря, при

точном исследовании мы должны
с распределенными параметрами,

считать, что имеем систему
чему соответствует беско-

Рис. 8.

нечное число степеней свободы. В этом
случае движение описывается посред-
ством уравнений в частных произ-
водных.

Аналогично дело обстоит в элек-
трическом колебательном контуре
(рис. 8) с сосредоточенными емко-
стью С и индуктивностью L. Для за-

ряда q конденсатора имеем известное из физики обыкно-
венное дифференциальное уравнение

Lq^^q = Q.

Если мы считали бы по крайней мере индуктивность рас-
пределенной, что ближе к истине, то и здесь получили бы
уравнения в частных производных.

Итак, обращаясь к малым или линейным колебаниям
системы с одной степенью свободы, следует написать только
одно уравнение движения (1.37), а именно:

aq-\- bq-\- cq Q,	(2.1)

причем по формулам (1.30), (1.32) и (1.34) для кинети-
ческой энергии, функции рассеяния и потенциальной энергии
в этом случае имеем выражения:

Г = 1^2, Ф=4^2, П = 1с92.	(2.2)

Следует также отметить, что если правая часть уравнения (2.1)
не зависит явно от времени t, то система называется авто-
номной.

Сделаем еще одно предварительное замечание относительно
коэффициентов уравнения (2.1). Коэффициент а по смыслу
всегда положителен: в простейших и наиболее распростра-
ненных случаях он представляет собой массу тела или его
момент инерции (а в электрических системах—индуктивность).
Во всяком случае, какую бы комбинацию физических пара-
метров этот коэффициент ни представлял, его положитель-
ность следует из существенной положительности кинетической
энергии. Коэффициент с может быть также отрицательным.
Это может иметь место в том случае, если рассматривать
поведение системы в окрестности положения неустойчивого
равновесия. Что касается коэффициента Ь, то если предпо-
лагать, что существует только сопротивление, то Ь не может
быть отрицательно. Однако в некоторых задачах приходится
учитывать поступление энергии в систему извне, причем это
поступление может определяться силой, пропорциональной
скорости, т. е. формально мы имеем случай так называемого
«отрицательного сопротивления». Тогда мы получим силу,
выраженную так же, как линейное сопротивление, но с отри-
цательным Ь. Такие случаи будут рассмотрены в дальнейшем.

§ 2.	ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ

НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Совокупность переменных величин, полностью характе-
ризующих во всякий момент времени состояние некоторой
физической системы, называется фазой системы. При опре-
делении состояния механической системы принято называть
фазой совокупность всех ее обобщенных координат и обоб-
щенных скоростей, т. е. совокупность величин

<7j, <72, .... qn\ qx, q2, .... qn.

Эти величины (а иногда их функции), число которых,
как легко видеть, равно удвоенному числу степеней сво-
боды, называются фазовыми координатами системы.
Иногда некоторые из этих величин практически не играют
никакой роли при исследовании движения системы. Напри-
мер, угол поворота полностью уравновешенного ротора
не является существенным, тогда как соответствующая угло-
вая скорость имеет большое значение. С другой стороны,
в некоторых случаях приходится принимать во внимание
и ускорения, как, например, при исследовании регулирования
скорости двигателя центробежным регулятором АВС (рис. 9),

3 А. Н. Обморшев
когда состояние, или фаза системы характеризуется положением
муфты С, ее скоростью и ускорением. В соответствии с этим
изменяется и число фазовых координат. В электрических и элек-
тромеханических системах в качестве электрических координат
по Максвеллу принимаются количества электричества,
а в качестве соответствующих скоростей—контурные токи.

Особенно удобным с точки зрения наглядности является
случай одной степени свободы, когда фазовых координат

две. Тогда их можно построить на плоскости в обычных
прямоугольных координатах (рис. 10), положив

X = q, y = q.	(2.3)

Точка М, определяемая этими координатами, называется
изображающей точкой. При движении системы точка М
движется в плоскости Оху, называемой фазовой пло-
скостью, описывая некоторую кривую — фазовую траек-
торию. Совокупность фазовых траекторий, построенных для
различных начальных условий, называется фазовой диа-
граммой системы. Так как в верхней полуплоскости у > 0
б/

и поэтому согласно (2.3)	>0, то в верхней полупло-

скости изображающая точка движется вправо (в сторону
увеличения х), а в нижней—влево, пересекая ось абсцисс
(у — 0) под прямым углом (в точках пересечения х прини-
мает экстремальные значения). Фазовые траектории автоном-
ных систем не пересекаются, так как для таких систем
за одну произвольную постоянную интеграции может быть
принято начальное значение времени I, а это, в случае воз-
можности пересечения, привело бы к неопределенности дви-
жения при определенных начальных условиях. Если же
система не является автономной, то такие пересечения
возможны. Иначе говоря, фазовая диаграмма в этом случае
приобретает своеобразную подвижность.

В вырожденном случае, когда имеется только одна фазовая
координата (например, в случае упомянутого уравнове-
шенного ротора), вместо фазовой плоскости мы имеем фазо-
вую прямую. При необходимости учета третьей координаты,
например ускорения (как в центробежном регуляторе),
получаем трехмерное фазовое пространство и т. д. В дальней-
шем таких случаев мы касаться не будем.

Скорость точки М называется фазовой скоростью, она
равна:

V^Vq^+'q2.	(2.4)

Фазовую скорость нельзя смешивать с обобщенной ско-
ростью q', как видно из формулы (2.4), в выражение фазо-
вой скорости входит также ускорение q.

Найдем уравнения фазовых траекторий в общем виде.
Допустим, что система автономна (именно для таких систем
удобно пользоваться фазовыми диаграммами). Тогда, незави-
симо от того, линейна она или нет, ее уравнение движения
может быть записано так:

<7 = <?(<? q).	(2.5)

Используя обозначения (2.3), мы можем одно уравнение
второго порядка (2.5) заменить двумя уравнениями первого
порядка:

или, в более общем случае:

^ = JP(x, у), 4| = (?(х, у).	(2.6)

Здесь Р(х, у), Q(x, у) — вообще некоторые ограниченные
функции от х, у, предполагаемые обычно аналитическими,
т. е. разложимыми в степенные ряды в окрестности любой
точки в некоторой области значений х, у, причем этой
областью, в частности, может быть вся плоскость. Если речь
идет о механической системе, то в качестве координаты у
обычно принимается обобщенная скорость q, иногда обоб-
щенный импульс aq, а иногда некоторая комбинация q и q
(в практических случаях линейная). Аналогично обстоит дело
и в системах не механических. Этим оправдывается общая
форма уравнений (2.6).

Деля почленно уравнения (2.6), находим
dy _ Q(x, у)
dx ~ Р(х, у) •	'>

Интегральная кривая этого дифференциального уравнения,
очевидно, определяет собой фазовую траекторию (одну или
несколько). Поэтому уравнение (2.7) мы можем назвать
дифференциальным уравнением фазовых траекторий *).

В любой точке (х0, у0) фазовой плоскости уравнение (2.7)
дает угловой коэффициент касательной к фазовой траекто-
рии, если только Р и Q одновременно не обращаются в нуль.
В последнем случае, т. е. когда

P(xs, ys) = Q, 1

(2.8)

точка (xs, у5) называется особой точкой дифференциального
уравнения (2.7). В тех случаях, когда непосредственное по-
строение решения представляет те или иные трудности,
исследование поведения интегральных кривых в окрестности
особой точки или, как говорят, исследование топологи-
ческой структуры фазовой диаграммы помогает выяснить
характер движения системы. Заметим сейчас же, что особая
точка, независимо от того, лежит ли она на какой-нибудь
интегральной кривой или является изолированной, предста-
вляет собой выродившуюся фазовую траекторию.

§ 3.	СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Свободные колебания происходят при отсутствии возму-
щающей силы Q. Предположим также, что отсутствует
и сопротивление (£> = 0); тогда уравнение (2.1) примет вид
aq-\-cq — 0.	(2.9)

*) Вообще говоря, следует различать интегральные кривые
и фазовые траектории, см. [']. (Прим, ред.)
Введя обозначение

А2 = -^-,	(2.Ю)

получаем уравнение свободных колебаний в канонической
форме

=	(2.11)

решение которого имеет вид

q — A cos kt-}- BsAnkt,	(2.12)

или

q = a sin {kt-}- p),	(2-13)

где A, В, a, p— постоянные интеграции, причем

.4 =	asinp, B = acosp,	(2-14)

и наоборот

а=/Л2 + В2,	(2.15)

P = arctg-^-.	(2.16)

Здесь а—амплитуда колебаний, р — начальная фаза,
k — круговая, или	циклическая	частота, связанная

с периодом т и частотой N (числом колебаний в единицу

времени) формулами:

2л

х — ~

и

k _ 1

2л т

(2.17)

(2.18)

Периодом колебаний т назван наименьший промежуток вре-
мени, по истечении которого движение воспроизводится
(рис. 11). Если в формуле (2.18) k выражено в сел;-1,
то N выражается в герцах.
Формулам (2.17) и (2.18) можно придать очень удобный
вид для определения частоты вертикальных колебаний упруго
подвешенного тела (например, на невесомой пружине, рис. 7,
или балке). В этом случае

Р	Р

а = т =—, С — -Т-,
g	f

где т—масса тела, Р—его вес, f—статическое сме-
щение, g — ускорение свободного падения. Имея в виду
формулу (2.10), приведем формулы (2.17) и (2.18) к сле-
дующему виду:

(2.19)

N = <2'20>

Принимая за единицу длины сантиметр и полагая прибли-
женно 100л2 — g, вместо последнего выражения получим
nkom6_== 5_ ,	(221)

сек	V f см

или

N колеб _	300	.	22)

мин	V f см

Эта формула иногда называется формулой Гейгера.

Обратимся теперь к представлению движения на фазовой
плоскости, причем сделаем это, не пользуясь готовым реше-
нием (2.12) или (2.13). С помощью обозначений (2.3) при-
водим уравнение (2.11) к двум уравнениям:

dt~ R x’ dt ~y’

откуда

Интегрируя, находим

аУ __

dx	у

у2

где С2 — положительная произвольная постоянная. Предста-
вляя это уравнение в виде

х2 । у2 __,
С “Г k2Q2 — Ь

(2.23)
видим, что фазовые траектории образуют непрерывную
последовательность или континуум концентрических подобных
эллипсов (рис. 12). Начало координат представляет собой
изолированную особую точку, называемую центром. Это
есть положение устойчивого равновесия, причем устойчивость
здесь обыкновенная. В са-

мом деле, если мы выберем
малый эллипс, полностью
входящий в е-область, то
изображающая точка, будучи
помещена на этот эллипс
или на какой-либо меньший
из того же семейства, ни-
когда не выйдет из е-об-

ласти, но зато никогда н

не попадет в центр.	Рис- 12-

Вопрос о том, какой

эллипс из этого семейства соответствует данной задаче, за-
висит от начальных условий, а именно от постоянной С. По-

скольку здесь система автономная, другая постоянная входит
в качестве слагаемого во время t и не влияет на вид эллипса.

Пример 1. Вертикальные колебания груза на упругом неве-
сомом стержне (рис. 13). Пусть Oi — конец ненапряженного
стержня, О — его конец с подвешенным грузом в положении

статического равновесия, / — статическое
удлинение стержня. Силовая схема эле-
ментарна и очевидна из рисунка.

Принимая х за обобщенную коорди-
нату, имеем

Рх2

Т = ^-, П = Пвес 4-Пупр,
где

^вес == Р

О
Г ЕЕ

Пупр = — J —	+	=

X



EF f .ЕЕ х2

= -А+-у.

Рнс. 13.

Здесь Е — модуль упругости первого рода, Л — площадь поперечного
сечения стержня, / — его длина в ненапряженном состоянии, Так как
то

п

1 EF

2 I

Подставляя выражения Т и П в уравнения (1.23) и учитывая, что
в рассматриваемом случае Ф = Q — 0, получим

ах-]- сх = 0,

Р	EF

где а — — — ш, c — Находим период по формуле (2.17) или

(2-19)	8	____ _

т = 2л 1/= 2л 1 /L .
г EFg V g

Пусть стержень, несущий груз Р = 10 кГ, стальной 5 = 2- 10е кГ/см2,
имеет сечение F = 1 см2 и длину I = 80 см-, в таком случае

10-80	...-4

f~ 2- 10е- 1 ~4,15 СМ'
следовательно,
5

N =	_4’ = 250 колеб/сек, т = 0,004 сек.

жень в



I

Пример 2. Определить частоту колебаний груза, если стер-
примере заменен цилиндрической винтовой
пружиной круглого сечения (рис. 7). Из
курса сопротивления материалов [35] из-
вестно, что в этом случае удлинение пру-
жины равно

7 Gd* ’

где D — диаметр пружины витка, i — число
витков, d — диаметр сечения витка, G —
модуль упругости второго рода. Тогда из
(2.19), (2.20) найдем

„ , Г 8PD3i
Т = 2Я V ~Ggdr сек'

d2 / Gg
7V~2,5-^- у колеб/сек.

Пример 3. Крутильные колебания
груза на упругом невесомом стержне

круглого сечения. Принимая за обобщенную координату угол за-
кручивания ф (рис. 14), который вообще равен

4 = ~gF’

Рис. 14.
найдем



dp .

—— п ап

GIp

I 2 ’

Здесь J — момент инерции массы подвешенного груза относительно
оси г, I—длина стержня, G — его модуль упругости второго рода,
1р—момент инерции площади поперечного сечения относительно
оси z.

Следовательно, в этом случае имеем

Пусть на конце круглого стального стержня длиной I = 100 см и
диаметром d — 1 см насажен стальной диск диаметром D == 10 см
и толщиной Н = 2см; удельный вес стали у = 7,8 г/сж3; модуль
G = 8 • 10s кг/сж2. Так как в этом случае

ГО2 __ л/4
8g ’	р~ 32 ’

то формулу для периода г можно преобразовать так:

т = 2л

Y 8g Gztd4 Y 32g jtd4G
или	____

’-МЯ /<

Подставляя заданные численные значения, получаем

т = 2л • 102	1()3. g _ 106 980 = 0,028 сек

и тогда

N = у = 35,5 колеб/сек.

§ 4.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Выше (стр. 34) уже упоминалось, что при рассмотрении
электрических систем в качестве обобщенных координат при-
нимаются количества электричества q, а в качестве обоб-
щенных скоростей — сила тока I. Покажем, что поведение
простого электрического контура описывается таким же
уравнением (2.1), как и механическая система *). Допустим име-
ется контур (рис. 15), содержащий емкость С, индуктивность L,
активное (омическое) сопротивление R и источник энергии Е;
этим буквам мы будем приписывать не только обозначения

элементов контура, но и значение соответствующих величин.

Напишем выражения разности потенциалов
в точках 1, 2, 3, 4

=	v2 —V3 = i-g-,

у3 — V4 = Ri.

Суммарное падение потенциала компенси-
руется электродвижущей силой Е:

Рис. 15.	Vj— V4 — Е.

Имея в виду, что

dq

(2.24)

окончательно получим следующее дифференциальное уравне-
ние:

Lq-\-Rq-\—fr q = Е,	(2.25)

С/

имеющее вид уравнения (2.1).

Итак, можно установить
механическая система
обобщенная координата q

обобщенная скорость q
коэффициент инерции а
коэффициент сопротивления
коэффицент жесткости с

возмущающая сила Q

электромеханическую аналогию:
электрическая система
количество электричества
(заряд) q
сила тока I
индуктивность L
активное сопротивление R

л 1
обратная величина емкости

включенная э. д. с. Е.

Умножив все члены уравнения (2.25) на силу тока Z, по-
лучим соответствующие мощности. При этом

W = Ei	(2.26)

*) О распространении общей теории колебаний на электриче-
ские и электромеханические системы подробно изложено в книге [6].
есть мощность включенного источника энергии (возмущающей
силы). Далее,

Lqi =	, Rqi = Ri2. ~q qi = (у ~c ?2) •

Здесь выражение

T = ~ LP	(2.27)

представляет собой электромагнитную энергию, которая
является аналогом кинетической энергии механической си-
стемы. Электростатическая энергия

П =	(2.28)

есть аналог потенциальной энергии и, наконец,

Ф = у/?/2	(2.29)

— аналог функции рассеяния. Окончательно находим уже
известное нам обобщенное уравнение энергии (1.25):

-^-(7'4-П)4-2Ф=Г,
откуда получаются частные случаи, аналогичные рассмотрен-
ным в механических системах. Например, при R = 0, Е — 0,
имеем консервативную систему, для которой

Т -|- П = const.

В этом случае применение формул (2.10) и (2.17) приводит
нас к формуле Томсона

т = 2n/ZC.	(2.30)

Пример 1. Определить период колебаний тока при разряде
в контуре, содержащем лишь конденсатор и индуктивность (рис. 8),
если L = 2 генри., С = 0,005 микрофарады.

По формуле (2.30) находим:

т = 2л У 2 • 5 • 10-9 = 2л • 10 ~4 сек,
или

N = — = 1,6 • 103 колеб]сек.
§ 5.	ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Допустим, что в уравнении (2.9) коэффициент жесткости с
зависит от некоторого параметра Z, определяемого, напри-
мер, конструкцией системы, следовательно,

с = с (л).

Допустим, далее, что при изменении % величина с может,
перейдя через нуль, стать отрицательной. При с — 0 урав-
нение (2.9) дает нам

<7 = 0,

т. е. в первом приближении система находится в безразлич-
ном равновесии. Однако, во-первых, при сообщении системе
начальной скорости она может уйти от начального положения
сколь угодно далеко, так как решение данного уравнения
имеет вид:

Я = CjZ-j- С2,

т. е. система, будучи устойчива относительно статических
возмущений (начальное отклонение), неустойчива относительно
кинематических возмущений (начальные скорости). Во-вторых,
для получения правильной картины должен быть учтен эффект
отброшенных членов, если таковые были в разложении по-
тенциальной энергии. Если при дальнейшем изменении X ве-
личина с становится отрицательной, то, согласно теоремам
Ляпунова, равновесие оказывается неустойчивым. Случай с = 0
называется критическим случаем, а соответствующее зна-
чение % —%0, при котором

c(Zn) = О,

называется бифуркационным значением Z *).

Рассмотрим теперь поведение системы в окрестности по-
ложения неустойчивого равновесия. Введя вместо (2.10) обо-
значение

=	(2.31)

где z2 > 0, приводим уравнение (2.9) к виду:

q — t^q — O.	(2.32)

*) Подробнее об этом см. в книге [<].
Решение этого уравнения может быть выражено либо через
показательные, либо через гиперболические функции:

q = A ch xZ-j- В sh nt,	(2.33)

где

chxf = y(ez/ e~z/), sh nt = ~ (eM — e~M), (2.34)

или

q = a sh (nt -Ц- fl),	(2.35)

если положить

H = «shp, B = ach(3.	(2.36)

He останавливаясь на элементарной задаче определения
произвольных постоянных А и В, заметим, что движение
всегда будет расходящимся, кроме такой комбинации началь-
ных условий, при которой В=—А. Тогда

q = Ae~Kt,

т. е. асимптотически затухающее апериодическое движение.
Это будет иметь место лишь в том случае, когда начальное
отклонение и скорость удовлетворяют условию

— (а)

что вообще физически не осуществимо.

При отрицательном с можно интерпретировать движение
системы, как движение под действием силы отталкивания,
линейно зависящей от отклонения точки. В рассмотренном
частном случае при с = 0 и при условии (а), уподобляя си-
стему точке, можно сказать, что точка выведена из положе-
ния равновесия и получила соответственно подобранную на-
чальную скорость по направлению к этому положению.

Построим фазовую диаграмму движений (рис. 16). Пусть
в качестве обобщенной координаты принято отклонение х,
тогда соответствующее преобразование уравнения (2.32) дает:

откуда

dx у

Интегрируя и вводя для удобства постоянную интеграции
с двойным знаком, получаем уравнение фазовых траекторий:

х2 —	= ± С2.

X2

Так как С2 может быть также и нулем, то фактически имеем
три семейства фазовых траекторий:

х2 У2 __ ,

С2	(kC)2 ~

У2	X2 _ 1

(kC)2	с2

у = ± kx.

Первое уравнение определяет континуум подобных ги-
пербол с действительной осью х; второе—континуум ги-
пербол с действительной осью у; наконец, третье уравнение

определяет общие асимптоты указанных гипербол. Получен-
ная особая точка называется седлом. Эта точка неустойчива.
Таким образом,' каждая асимптота состоит из трех фазовых
траекторий: двух полупрямых и самой особой точки. Эти
полупрямые называются усами седла. Как видно из фазовой
диаграммы, два уса устойчивы (// и IV) и два неустойчивы
(/ и ///). Все прочие фазовые траектории — убегающие: они
минуют особую точку, проходя лишь более или менее близко
от нее. Рассмотренный нами исключительный случай, когда
система асимптотически приближается к положению равно-
весия, соответствует помещению изображающей точки на усы
// или /У; изображающая точка тогда асимптотически при-
ближается к началу координат.

Пример 1. Виброграф Гейгера (рис. 17).

Маятник на спиральной пружине, который может совершать
колебания в вертикальной плоскости, соединен с регистрирующим
устройством. Полупрямые, выходящие из центра вращения обо-

значают соответственно: / — верти-
каль, // — положение оси маятника
при ненапряженной пружине, ///—
положение статического равновесия,
IV — произвольное положение. Угол а
есть так называемый установочный
угол прибора, который можно изме-
нять регулировкой пружины; р —
угол закручивания пружины при ста-
тическом равновесии; <р — малый угол
отклонения, принимаемый за обоб-
щенную координату, S — центр тя-
жести маятника.

Если пренебречь массой пружины,
то кинетическая энергия прибора рав-
на кинетической энергии маятника:

Т’ = |42.

где J—его момент инерции. Потенциальная энергия слагается из
потенциальной энергии веса и потенциальной энергии упругости:

П == Пвес ПуПр.

Обозначаем расстояние OS через h, жесткость пружины через с0,
причем

где Е— модуль упругости, L — длина пружины, / — момент инерции
ее сечения относительно оси наименьшей жесткости. Тогда имеем
о

Пупр — —(Р + 'Ф)	~ со₽ф +

Ф

Далее, ограничиваясь при разложении тригонометрических функций
малыми второго порядка, находим потенциальную энергию веса:

Пвес = Ph [cos а — cos (а — <р)] =

== Ph £cos а —	—у-cos а — <р sin aj =

<р2

'	— Ph -g- cos a — Phq sin a,

*
В положении равновесия сумма моментов силы веса и сил упру-
гости равна нулю; т. е.

с0Р — Ph sin а — О,

вследствие чего имеем:

П = у cos a'j Ф2-

Тогда период равен

Т 2л V EIPhL cos а'

Наиболее распространенными случаями являются такие, когда
угол а равен нулю или л/2; первый из них соответствует уста-
новке для регистрации горизонтальных, второй — вертикальных
колебаний. Тогда

тгор — 2л |/ PhL ’ ^ваР —

Приведенный коэффициент жесткости

с

EI

ф- Ph cos а

может сделаться отрицательным при определенных параметрах при-
бора, когда а станет тупым углом, в частности а = л. В этом случае
прибор теряет устойчивость,
если EI/L < Ph, что физически

Рис 18

характеризуется слишком мяг-
кой пружиной.

Пример 2. Астатиче-
ский маятник (рис. 18).

Такой маятник иногда при-
меняется в сейсмографах, где
необходимо иметь чувствитель-
ный элемент, реагирующий на
возмущения очень большого
периода и не реагирующий на
возмущения малого периода.
Прибор состоит из обращен-

ного маятника, поддерживаемого двумя пружинами равной жест-
кости с0. Подобно предыдущему находим

Г=1уф2, п = — Ph(l — cos q>) + 2

Разлагая косинус в степенной ряд и ограничиваясь малыми второго
порядка, имеем

n = j(2c0P~Ph) qA
Приведенный коэффициент жесткости
с = 2с0/2 — Ph
может быть отрицательным при соответствующем соотношении
параметров; тогда система оказывается неустойчивой. Если же
с > 0, то для периода получаем

т = 2л 2col2_ph 

Итак, вес маятника в значительной степени увеличивает пе-
риод т и может привести систему к апериодичности. Однако аперио-
дичность будет знаменовать собою также переход в неустойчивую
область.

§ 6.	ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Затухающие колебания имеют место при наличии сил
сопротивления, гасящих свободные колебания. Выше (стр. 20)
уже давалась характеристика основных видов сопротивления,
из которых мы остановимся здесь на линейном сопроти-
влении. На основании уравнения (2.1) для данного случая
дифференциальное уравнение движения напишем в таком виде

aq -J- bq-\- cq = 0.	(2.37)

Оставляя в силе обозначение (2.10) для &2, где уже k
следует назвать круговой частотой незатухающих колебаний,
введем еще обозначение

2« = -у,	(2.38)

где п — так называемый коэффициент затухания. Приведем
теперь уравнение затухающих движений (не обязательно
колебаний!) к канонической форме

<? + 2^+^ = 0.	(2.39)

Общее решение этого уравнения, как известно, имеет вид

q —	-|- С2ек2<(	(2.40)

где и 7.2 — корни характеристического уравнения

7.2 ф-2/i7. ф-/г2 = 0,	(2.41)

именно

2 = — п + у п2 — №.

4 А. н. обморшев 
Здесь различаются следующие три случая:

а)	п < k — случай малого сопротивления;

б)	п > k—случай большого сопротивления;

в)	п = k — случай критического сопротивления.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

а)	п < k. Введем обозначение

v= ]/й2 _ n2,	(2.42)

вследствие чего

Х1>2 = — n + iv,	(2.43)

где I —	—1. Тогда, как известно, решение (2.40) примет

вид

q — e~nt (A cos vf-)- В sin vf),	(2.44)

или, если ввести обозначения (2.14):

q — ae~n*sin |3).	(2-45)

Получили уравнение затухающих колебаний, график которых
изображен на рис. 19. Здесь периодичность в строгом пони-
мании отсутствует, поскольку нет полного воспроизводства

движения. В то же время переходы координаты q через
нуль регулярно чередуются через одинаковые промежутки
времени. Назовем поэтому условным периодом т промежу-
ток времени между двумя последовательными прохождениями
системы через положение равновесия в одном и том же
направлении. Тогда имеем

(2.46)

или

где

= ~	(2.48)

есть период незатухающих колебаний, а

: = |	(2.49)

— так называемый безразмерный коэффициент затухания.
Разлагая в формуле (2.47) выражение (1—С2)-1''2 в бино-
миальный ряд и ограничиваясь двумя первыми членами раз-
ложения, получим приближенное значение периода зату-
хающих колебаний

Т т0 (1•	(2-5°)

Отсюда видим, что небольшое затухание мало влияет на
период, несколько увеличивая его. Далее найдем моменты
времени, когда отклонения достигают наибольшего по абсо-
лютной величине значения; эти наибольшие значения и будут
амплитудами затухающих колебаний. Для этого образуем
производную q и приравняем ее нулю:

q — ае~п‘ [— п sin (yt-|- fl) -j- v cos (vZ-j- P)] ~ 0,
откуда

tg(vf-K) = ^-

Обозначая через f2, .... tN моменты времени, когда
имеют место наибольшие отклонения в какую-либо одну
сторону от равновесного положения, а через а2...aN

соответствующие амплитуды, имеем

^Ifarclg £-|з) + Л^,	(2.51)

где W = 0, 1, 2, 3, ...
Итак, эти моменты образуют арифметическую прогрессию
с разностью 2it/v, или т. Тогда

aN=ae n‘N Jsin f)|,
«AM-i = ae~"(<iV+l)hin(4v4- 2k4-P)|.

Отношение
(L.
= =е«т	(2,52)

aw+i

называется декрементом колебаний, т. е. амплитуды образуют
убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
р == е~пх.

Натуральный логарифм величины т| называется логарифми-
ческим декрементом колебаний *)

Л = In т] = мт.	(2.53)

Пользуясь формулами (2.47), (2.48), (2,49), Л можно пред-
ставить еще так:

Л 2я£

/ттгр’

откуда

Эта формула имеет практическое значение, так как, найдя
из наблюдений затухающих колебаний знаменатель прогрес-
сии, а следовательно, и Л, можно вычислить £. Далее, опре-
делив расчетным путем k, легко найти коэффициент зату-
хания п..

б)	Обратимся.теперь к случаю п. > k. Здесь корни харак-
теристического уравнения (2.41) вещественные. Для удобства
положим

%i, 2 = —	(2.55)

где

х = Y и? — /г2.	(2.56)

*) Такое определение принято в настоящее время. Прежде
в качестве Л брали величину в два раза меньшую, рассматривая
отношения амплитуд в двух последовательных размахах в разные
стороны.
Тогда решение (2.40) можно написать в таком виде

q = e~nt(A chx/-|-BshxO	(2.57)

или, если ввести обозначения (2.36):

q = ae~nt sh (х/ + P).	(2.58)

Движение, выражаемое уравнением (2.57) или (2.58), не
является колебательным; это есть движение апериодическое
и притом затухающее. В самом деле, уравнение (2.57) может
быть записано так:

q = Ае<~ л+и) Де~(л+И)

откуда видно, что при неограниченном возрастании времени t
обобщенная координата q стремится к нулю, так как х < п

из (2.56); т. е. имеем так называемое асимптотическое дви-
жение. На рис. 20 представлены графики возможных случаев
рассматриваемого движения при q0 > 0. Здесь кривая I соот-
ветствует «толчку вперед» (qn > 0), кривая II—-«слабому
толчку назад» (<?0<^ 0), кривая III — «сильному толчку назад»
(<7о < °)-

в)	Критическое сопротивление: n — k. Так как корни
характеристического уравнения являются кратными (7Ч = Z2 —
= п. = k), то решение принимает вид

q — e~nt (А-\-Bt).	(2.59)

Этот граничный случай можно рассматривать, как предел
случая а), когда п стремится к k, период т обращается
в оо и таким образом, полволны синусоиды, уменьшенной
множителем е~п‘, принимают бесконечную длину. При даль-
нейшем увеличении п приходим к случаю б), где уже о
бесконечно большом периоде не приходится говорить. Из ска-
занного следует, что введенный ранее безразмерный коэф-
фициент затухания $ (2.49) представляет собой отношение
данного коэффициента затухания к его критическому значе-
нию. Очевидно, что последний случай трудно осуществим,
так как практически всегда, хотя бы с ничтожной разни-
цей, либо n<_k, либо п > k.

Обратимся к фазовому представлению движения. Вводя
фазовые координаты

х = д, у — q

и приведя уравнение (2.39) к системе двух уравнений первого

порядка

~ = — 2пу — k2x,

(2.60)

легко получим дифференциальное уравнение фазовых траек-
торий:

4?	,	(2.б1)

dx	у	•	'

где знак коэффициента п может быть любым. Здесь воз-
можно как соотношение |я|<£, так и ]п|>&.

Уравнение (2.61) есть однородное, а поэтому для его
интегрирования полагаем

у = zx.

Подставляя это значение в уравнение (2.61) и разделяя пере-
менные, получаем
dx	z dz

•	х z2 -|- 4nz -|- k2

Введем новую переменную и, так что

z = u — п.

или

И = +	(2.62)

Тегда интеграция дает:

,	f и du । „ f du

lnX — ~ j M2 4-(F —n2) + П J u2 4- (k2 — n2) '
Рассматриваем два случая, когда п < k и когда п > k
1) п < k. По формуле (2.42)

k2 — п2 = V2.

Тогда

In х — — у In (м2	v2) y arctg у In С, (2.63)

откуда, потенцируя и возвращаясь к прежним переменным,
получаем

у24~ 2лху 4" k2x2 = Се v arctg vx .	(2.64)

Для того чтобы лучше представить себе характер кри-
вой, выраженной этим трансцендентным уравнением, совер-
шим линейное преобразование координат, положив

l — vx, г} — у-\-пх.	(2.65)

Такое преобразование можно интерпретировать двояко: как
«пассивное» или как «активное». Первое из них есть так
называемое аффинное преобразование плоскости, связанное
с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нару-
шением их ортогональности. Второе — называется точечным
преобразованием, когда формулами преобразования устанав-
ливается взаимно однозначное соответствие между двумя
плоскостями, определяемыми координатными системами ху
и Е,т], которые предполагаем ортогональными; путем этих пре-
образований каждая точка первой плоскости переводится
в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее
«активное» преобразование. Заметим, что вследствие линей-
ности преобразования в обоих случаях прямая переходит
в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг
другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкну-
тую же, т. е. топологическая структура фазовой пло-
скости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65)
х и у через | и т), подставляем эти значения в уравнения
(2.60), которое разрешаем относительно производных. Получим

= — nr] — v4 = — «4	(2.66)

Тогда дифференциальное уравнение фазовых траекторий при-

нимает вид

rfn __ Ч + ш]
rfg —VI] ‘

(2.67)
Из сравнения уравнений (2.61) и (2.67) видно, что в по-
следнем случае правые части имеют более общий вид, чем
и оправдывается введение общих обозначений правых частей
через Р и Q (2.7) (см. стр. 36). Однородное уравнение (2.67)
можно интегрировать непосредственно, но мы для удобства
первоначально перейдем к полярным координатам, положив
£:=pcosO, г, —psinO.	(2.68)

Опуская выкладки, вместо уравнения (2.67) имеем

1 dp  п
р d0	v ’

откуда интегрированием находим уравнение семейства фазо-
вых траекторий

— о

p = Cev .	(2.69)

Учитывая формулы преобразования (2.65) и (2.68), а также

обозначения (2.42), сейчас же устанавливаем тождественность

уравнений (2.64) и (2.69), если
только в первом из них вместо С
написать С2. Но уравнение (2.69)
определяет собой семейство
логарифмических спиралей в

Рис. 22.

Рис 21.

плоскости gr] (рис. 21). Тогда уравнение (2.64) определит в
плоскости ху для каждого С также некоторую закручиваю-
щуюся спираль (рис. 22). Начало координат является асим-
птотической точкой. Эта особая точка называется фокусом,
который в данном случае (« > 0) является устойчивым.
Изменяя постоянную С, зависящую от начальных усло-
вий, получаем континуум спиралей, заполняющих всю фазо-
вую плоскость. Изображающая точка, будучи «заброшена»
в какую-либо точку плоскости, будет асимптотически при-
ближаться к точке О по одной из спиралей, т. е. имеем асимпто-
тическую устойчивость.

2) п > k. По формуле (2.56) п2 — — и тогда из
уравнений (2.61), (2.62) имеем

1П х = _ 11П(М2_Х2) + Л_]П |£^.|+|1пС, (2.70)

что после соответствующих преобразований дает

У2 + Чпху + k2x2 = ± С |	I * •

I У \п х I

(2.71)

Для наглядности здесь также примем линейное преобра-
зование координат, положив

£, = у-)-/гх-)-хх, т] = у-ф-лх — хх. (2.72)

Выражая из этих уравнений х и у через S, и г], подставляем
найденные значения в уравнения (2.60), которое разрешаем

относительно производных. Получим

4г=—(«+*) д
-g = _(„-x) Т).

Дифференциальное уравнение
траекторий принимает вид

<Л] n-f-x t]
di п — х g

Интегрируя и потенцируя, находим

п ьх

Г) = ± С| S, ,	(2.75)

(2.73)

фазовых

(2.74)

что в силу формул преобразования (2.72) Рис. 23.
тождественно с уравнением (2.71).

Уравнение (2.75) определяет собой семейство кривых
параболического типа, касающихся в начале оси | (рис. 23);
при этом оси координат также являются интегральными кри-
выми уравнения (2.75): ось £ (когда т] = 0) при C — Q и
ось т] (когда | = 0) при С — со. На первоначальной фазо-
вой плоскости ху осям т] — 0 и £ —0 соответствуют прямые
у — — (п— х)х, у = —	(2.76)

Первая из них является касательной ко всем кривым семей-
ства (2.71). Общая картина фазовой плоскости представлена

на рис. 24. Каждая из кривых, лежащих вне угла, образо-
ванного прямыми (2.76), пересекает по одному разу каждую
из осей координат (до точки О). С другой стороны кривые
внутри указанного угла, не пересекая этих осей, также схо-
дятся в точке О. Легко видеть, что, куда бы ни была «за-
брошена» изображающая точка, отклонение системы может
иметь самое большее только один экстремум, что и харак-
теризует затухающий апериодический процесс. Особая точка О
называется узлом; в данном случае (п > 0) имеем узел
устойчивости.

Не рассматривая детально критический случай (п. = k),
отметим, что его можно трактовать, как предельный, когда
спираль первого случая, развертываясь, дает в конечной
области лишь по одной точке пересечения с каждой из
осей х и у, переходя, таким образом, в кривую второго
случая. Тогда, следовательно, фокус перерождается в узел.

Пример 1. Найти логарифмический декремент колебаний Л
и безразмерный коэффициент колебаний £ в зависимости от пол-
ного числа колебаний N (т. е. удвоенного числа размахов), в течение
которого амплитуда уменьшается вдвое. Помня, что амплитуды обра-
зуют геометрическую прогрессию со знаменателем р = е~лт> имеем

откуда

Х1пр = —1п2.

С другой стороны, согласно
(2.53):

Л = 1п— = — 1пр
Р

и, следовательно,

Л . 1 lg2 , 0.7
N Ige N ’

где е — основание натураль-
ной системы логарифмов.
Далее, безразмерный коэф-
фициент g находим по фор-
муле (2.54):

/4^2X4-0,49 '

На рис. 25 построены кривые для А и первая из них есть
равнобочная гипербола. Пусть, например, амплитуда уменьшилась
вдвое за два периода. По графику или путем расчета находим
Л = 0,35, g = 0,05.

Пример 2. Определить ток I после замыкания в электри-
ческом контуре, содержащем индуктивность L, емкость С и сопро-
тивление R (рис. 26). Так как источника тока в контуре нет, то
уравнение (2.25) дает:

, (Ri' , dt а 1.	„

‘у+Мс'-4
Для приведения уравнения к каноническому виду полагаем:

k2 — 1 2п — —
k LC’ П~ L’

При замыкании разряд будет коле-
бательный, если п < k, т. е. если

CR2 < 4Z,.

Наоборот, разряд — апериодический,
если

CR2 > 4Z.

Решение для I определяется уравнениями (2.44) или (2.57) в зави-
симости от указанных соотношений параметров.

§ 7. НАРАСТАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

При исследовании уравнения автономной системы (2.1)
указывалось, что коэффициент инерции а всегда положите-
лен, коэффициент жесткости с—положителен в случае вос-
станавливающей силы, отрицателен в случае силы отталки-
вания, когда система теряет устойчивость; в этом последнем
случае коэффициенту с целесообразно дать более общее
наименование — квазиупругий коэффициент. Что касается
коэффициента Ь, то, как упоминалось (стр. 33), он также
в некоторых случаях может быть отрицательным, характери-
зуя собой уже не силу сопротивления, а ускоряющую силу,
способную породить автоколебания, рассматриваемые в главе III
с помощью методов нелинейной теории колебаний. Оставаясь
в рамках линейной теории, мы можем лишь утверждать,
что отрицательность коэффициента b приводит к расходяще-
муся процессу, что очевидно из теории дифференциальных
уравнений [24] и что будет показано сейчас при построении
решения уравнения (2.1). Формально, сохраняя терминологию,
мы называем этот случай случаем «отрицательного сопроти-
вления» (стр. 33), для исследования которого воспользуемся
полученным результатом, изменяя знаки у соответствующих
коэффициентов.

Итак, считая Ъ < 0, вместо обозначения (2.38) положим
где п.' > 0. Тогда решения (2.45) и (2.58) соответственно
примут вид

q = аеп'1 sin(v/-)- ₽)	(2.78)

при п.' > k, причем v—Vk2— п'2 ;

q — аеп’‘ sh (х/	13)

(2.79)

при п! > k, причем х= у п'2— k2. Поскольку экспонента еп'1
является неограниченно возрастающей функцией, то уравне-
ния (2.78) и (2.79) определяют собой нарастающее колеба-
тельное движение (рис. 27) и нарастающее апериодическое

движение соответственно (рис. 28). В первом случае можно
говорить об условном периоде в прежнем смысле, а также
об инкременте колебаний:

а»,.,

q' = -^±1 = епХ	(2.80)

aN

и о логарифмическом инкременте

А.' = Inq' — п'х.	(2.81)

Во втором случае (при п.' > k) опять получаем графики трех
типов: кривая I соответствует «толчку вперед», кривая II—
«слабому толчку назад», кривая III — «сильному толчку
назад». Критический случай п' = k может быть рассмотрен
таким же образом, как это было сделано при положительном
сопротивлении, когда п — k. Здесь на этом случае останав-
ливаться не будем.

Обратимся к представлению движения на фазовой пло-
скости. Все изложенное применительно к случаю п, > О

Рис. 30.



(стр. 54—59) остается в силе и здесь, конечно, с поправкой
на знак. Так, для случая п' < k уравнение (2.69) дает

. -—е
р = О v .

Следовательно, в декартовых координатах аналогично (2.64)
имеем

W у-п'х

у2—Чп'ху -f- k2x2 = Се v агС g vx .	(2.82)

Уравнение (2.82) определяет собой семейство раскручи-
вающихся спиралей (рис. 29). Особая точка есть неустой-
чивый фокус. В случае п' > k вместо (2.75) имеем

т)= ± С|£|^
и вместо (2.71) соответственно

п'

У2 _ 2п'ху + k2x2 = ± С | j~g * | х. (2.83)

Уравнение (2.83) определяет собой семейство кривых, ухо-
дящих из начала в бесконечность (рис. 30). Особая точка
есть неустойчивый узел,
Пример. Рассмотрим так называемую модель Ван-дер-Поля
(рис. 31). На шероховатой ленте, приводимой в равномерное дви-
жение со скоростью va шкивами А и В, лежит груз D. Этот груз
связан двумя одинаковыми пружинами и С2 суммарной жест-
кости с с неподвижными точками. Исследуем движение груза
с учетом реальной характеристики сухого трения В (рис. 32).

Принимая за координату х отклонение груза от среднего
положения, дифференциальное уравнение движения можно записать
в таком виде

nix + bx сх = В (у0 — х),

где сила сухого трения В (у0— х) есть функция относительно
скорости груза и ленты. Разлагая эту функцию в ряд Тейлора
в окрестности скорости v0 и ограничиваясь линейным приближе-
нием, имеем

В (у0 — х) = В (v0) — хВ' (v0),

где В' (v0) есть наклон характеристики в точке v0, который может
быть положительным, отрицательным и нулевым, как это видно
из рисунка. Уравнение движения принимает вид

тх 4~ [& -4- В' (v0)] х сх = В (v0).	(*)

Далее введем преобразование координаты, положив

х = х0 г,

где ха — статическое отклонение груза, находимое из условия

сх0 == В (v0).

Деля обе части уравнения (*) движения на т и вводя обо-
значения

2п = А±П£о),
т	т

окончательно получаем

z -|- 2nz -|~	— 0.
При этом в зависимости от величины и знака F' (у0) могут пред-
ставиться следующие случаи:

1)	0 < п. < k — затухающие колебания, особая точка — устой-
чивый фокус;

2)	0 < k < п. — затухающее апериодическое движение, особая
точка—устойчивый узел;

3)	п. = 0 — гармонические колебания; особая точка — центр;

4)	п < 0, причем \n\<k — нарастающие колебания; осо-
бая точка — неустойчивый фокус;

5)	п. < 0, но | п. | > k — нарастающее апериодическое дви-
жение, особая точка — неустойчивый узел.

Сюда можно было бы добавить два критических случая:

a)	k = n>0— переход от 1-го случая к 2-му.

б)	—n = k>0 — переход от 4-го случая к 5-му.

Напомним, что при рассмотрении данной задачи мы ограничились
линейным приближением при разложении функции F в степенной
ряд, поэтому все изложенное верно лишь при малых колебаниях
груза.

§ 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ

В реальных системах всегда имеется сопротивление.
Однако, вследствие малости часто им можно пренебречь.
Тогда дифференциальное уравнение (2.1) принимает вид

aq-\- cq = Q,	(2.84)

где Q — возмущающая сила. Предположим, что эта сила
есть периодическая, изменяющаяся вообще по произвольному
периодическому закону. Разделим все члены уравнений (2.84)
на а и, кроме (2.10), введем еще обозначение

y =	(2.85)

где ф(^) есть так называемая возмущающая функция,
имеющая некоторый период т, т. е.

Ф(', + 'Г) = Ф(О-

Величину

(0 = ^-	(2.86)

назовем основной частотой изменения возмущающей силы.
Тогда уравнение (2.84) примет вид

q + ^q =Ф(0.	(2.87)
Опираясь на физические факты, имеем право предполо-
жить, что функция ф(/) удовлетворяет условиям Дирихле,
т. е. эта функция ограничена, может иметь разрывы лишь
первого рода и в конечном интервале имеет конечное число
экстремальных значений. Но тогда эта функция может быть
разложена в ряд Фурье:

ф(/)	cosш/ -ф-sin w/ -f- ^2cos2ш/ —|— Z>2sin2at-j- ...

или

= У} (a cos sat Ч- bs sin sat),

(2.88)

где коэффициенты Фурье вычисляются по

формулам:

•>

cos sat dt,

0

(2.89)

sin sat dt.

0

)

Здесь s = 0, 1, 2......oo. Практически число n членов

ряда Фурье конечное, определяемое необходимой точностью
вычислений и быстротой сходимости ряда коэффициентов;
часто число п можно брать очень небольшим, а иногда даже
равным единице.

Практическим приемам разложения функций в ряд Фурье
посвящен специальный раздел математики, называемый гар-
моническим анализом. В следующем параграфе этот вопрос
будет освещен несколько подробнее.

Введем обозначения:

а =Л sinS., bs = h cosbs.	(2.90)

Тогда приближенно
п

ф(/)	+ 'V Л, sin (.sat Д-6Д.	(2-91)

S = 1

Вспоминая обозначение (2.85) и полагая

Hs-^ahs,	(2.92)

5 А. Н. Обморшев
мы можем сказать, что выражение //5sin(swif-|-5s) предста-
вляет собой гармонику возмущающей силы порядка s, где
Hs есть амплитуда соответствующей гармоники, 5^—на-
чальная фаза. Каждому значению s естественно соответствует
своя гармоника. Гармоника первого порядка (s=l) назы-
вается основной; ей соответствует основная частота со.

Итак, имеем приближенно

п

=	(2.93)

5 = 1

Общее решение данного дифференциального уравнения может
быть представлено в виде суммы

q = q+q*>

(2.94)

где q — общее решение соответствующего уравнения без
правой части:

q = a sin	fl),

a q*—частное решение данного уравнения. Мы говорим,
что q определяет собой собственные колебания системы,
q'f—чисто вынужденные, a q — полное возмущенное движе-
ние системы, которому также приписывают наименование
вынужденных колебаний.

Из курса математического анализа известно, что если
правая часть линейного дифференциального уравнения пред-
ставляет собой сумму какого-то числа М слагаемых, то
частное решение будет являться результатом суммирования
парциальных частных решений, т. е.

М-1

q*= 2 q*.	(2.95)

5=0

В частности, если правая часть уравнения представляет собой
ряд Фурье, то парциальные решения должны соответство-
вать каждой гармонике. В таком случае очевидно, что

(2.96)

есть постоянная величина, характеризующая смещение центра
колебаний.
Далее найдем одно какое-либо д* при s 0. Предпола-
гая, что seo Ф k, ищем решение д* в виде

g*=Cssin(scoZ +6Д	(2,97)

Подстановка в уравнение (2.93) дает нам

_____ ks
s~ k1 — (sa>)2'

Итак, вынужденные колебания происходят по гармоническому
закону. Амплитуда вынужденных колебаний, соответствую-
щая s-й гармонике возмущающей силы, как положительная
величина равна:

а* =____________

S	|£2 — S2M2|

Поскольку Cs вообще имеет любой знак, будем различать
два случая:

1)	возмущающая гармоника малой частоты', seo < k,
Cs > 0. Тогда решение имеет вид

g* — a* sin^scot +

(2.99)

2)	возмущающая гармоника большой частоты: sco>£,
Cs < 0. В этом случае решение имеет вид

q*s = a* sin(s®f+ 6,— л),	(2.100)

т. е. изменение знака влечет за собой отставание фазы
колебаний. В первом случае возмущающая сила и вынужден-
ные колебания находятся в одной фазе или, как говорят,
синфазны, а во втором — в противоположных фазах или
антифазны. Для обоих случаев д* можно выразить одной
формулой

<==7^5Fsin<s^ + 6^	<2Л01>

Прежде чем перейти к случаю k — seo, рассмотрим так
называемое явление биений, когда seo мало отличается от k.
Не нарушая общности, мы допустим, что возмущающая сила
синусоидальна, т. е. состоит из одной-единственной гармо-
ники. Общее решение уравнения (2.93) будет иметь вид

g = A cos kt -|- В sin kt -j- sin (at -f- б).
Итак, движение представляет собой наложение двух синусоид
с круговыми частотами k и о. По начальным условиям

t = 0, q = 7°, q — q°

легко находим постоянные интеграции А и В.

В самом деле, дифференцирование q дает нам

q = Ak sin kt-j- Bk cos kt -|- - 2 cos (co/ -|- 5)

и тогда

. n h , <. D q° ffl h .

Л=Ои-------TJ---J-Sino, B — ~----------------5- COSO.

k2— a1	k k k2— <o2

Общее решение принимает вид

Г	”1

q= В?0 cos kt sin kt\ —

---k2'—a2 [sin$ cos cos $ s'n ~4"

+ ^-F^sinM + 6). (2.102)

Здесь первый член не зависит от возмущающей силы и опре-
деляет собой свободные колебания, обусловленные началь-
ными условиями. Второй член представляет собой колебания
с частотой свободных и обусловленных наличием внешней
силы, а третий — вынужденные колебания с частотой воз-
мущающих сил. Совокупность первых двух членов дает
собственные колебания системы.

Предположим теперь, что о и k близки друг к другу,
т. е. имеем случай биений. Введем обозначение

k — ® = 2е,

(2.103)

где е—малая алгебраическая величина. Тогда

о ~ k — 2е, k -j- ® = 2 (k — е),

и выражение во второй квадратной скобке уравнения (2.102)
можно преобразовать следующим образом:

sin 6 cos kt 4- -т- cos 6 sin kt = sin (kt 4-5) — — cos d sin kt.
°	к
Преобразуя, далее, разность синусов

sin {kt -|-б) — sin (со/5) = 2 cos I ——

t -|- sin 2 10

и применяя введенные обозначения, окончательно приводим
решение (2.102) к такому виду

п ,, । Г <7° । h cos 5 I . , ,

— ~277~Лгеу cos К* — е)< -Ь 6] sin st (2.104)

Здесь первые два члена правой части определяют собой
гармоническое колебание с круговой частотой k. Исследуем
последний член. Если е — величина очень малая, то sineZ

изменяется чрезвычайно медленно. Рассматривая

h  <

—г sin еЛ
2е {k—е)

как амплитуду, получим колебания с периодически изменяю-

щейся амплитудой. Таким образом, третий член определяет

биения, круговая частота которых равна {k — е) и период
2л

-г--- ИЛИ

k — е

__ 4л

Т1' k ©

(2.105)

Гармонический закон этих колебаний нарушен вследствие
изменения, хотя и медленного, самой амплитуды. Половина
полного периода колебаний амплитуды называется периодом
биений:

л	2 л

2 е k — о

при

Объединяя, получим

, .	2л	,

k > (0 и т2 =--------г- при k < (0.

2	© — k

~ 2л

Т2 | k — © |

(2.106)

Таким образом, колебания, изображаемые третьим членом
уравнения (2.104), графически представляются искаженной
синусоидой периода т), записанной в синусоиду периода 2т2
(рис. 33).

Обратимся, наконец, к тому случаю, когда частоты соб-
ственных и вынужденных колебаний равны друг другу, т. е.
к случаю резонанса. Будем рассматривать этот случай как
предельный, когда е->0. Раскрывая неопределенность в по-
следнем члене уравнения (2.104), где для любого заданного

интервала t выбираем е таким образом, чтобы произведение е/
было сколько угодно мало. Тогда

и мы имеем

q —if cos ktЦ-	sin А/ —|—	sin	cos (kt-f 6).

(2.107)

При неограниченном возрастании t последний член правой
части уравнения (2.107) неограниченно увеличивается. Он
называется секулярным или вековым членом решения.
Вследствие этого получаем колебания с неограниченно возра-
стающей амплитудой. Итак, резонанс имеет место при совпаде-
нии частоты собственных колебаний с частотой возмущающей
силы и характеризуется неограниченным ростом амплитуды.
Можно убедиться непосредственной подстановкой, что секу-
лярный член является частным решением уравнения

q -|- №q = h sin {cat-|- 5)	(2.108)

при ю = А. Кроме того, нетрудно видеть, что при этом он
может быть выражен в таком виде

=	(2.109)

откуда следует, что при резонансе имеем сдвиг фазы л/2.

Колебания, определяемые уравнением (2.109), изображаются
графически искаженной синусоидой, вписанной в угол, бис-
сектрисой которого служит ось времени t (рис. 34).

Практически условия резонанса выполняются при непре-
рывном изменении возмущающей частоты со, что имеет ме-
сто, например, при разгоне или торможении двигателя на
упругом основании. При по-
стоянстве со чаще встречаются 7
биения, которые при большом
периоде т2 в течение несколь-
ких размахов достаточно близки
к резонансу, являющемуся их
пределом. Приведенный вывод Z7
уравнения (2.109) соответ-
ствует именно такой точке
зрения.

Уравнение (2.109) можно
вывести также из решения

q = A cos kt + В sin kt
методом вариации постоянных интегрирования А и В при
со = &, а также раскрытием неопределенности по правилу
Лопиталя из решения (2.102).

В чистом виде резонанс не осуществляется, так как

практически всегда имеются силы сопротивления,

приоста-

навливающие рост амплитуд.
Резонанс можно объяснить не-
прерывным поступлением энер-
гии в колеблющуюся систему
от какого-то возбудителя через
посредство возмущающей силы,
когда этот возбудитель дей-
ствует в такт с колебанием тела.
Резонансом объясняются силь-
ные колебания фундаментов
машин, вибрации частей само-



легов, мостов и т. п.

Пример 1. Виброграф для	Рис. 35.

записи вертикальных колебаний.

Принципиальная схема вибрографа изображена иа рис. 35, а, б.
Подставка В совершает вертикальные колебания вместе с испытуе-
мым телом. С этой подставкой соединена рамка А, несущая на
пружине С сейсмическую или инертную массу М, смещение которой
от положения статического равновесия О в неподвижной системе
отсчета есть х, тогда как смещение рамки равно у. Допустим для
простоты, что рамка колеблется по гармоническому закону

у ~ s sin s>t,

где s — амплитуда колебаний испытуемого тела, и что силы сопро-
тивления отсутствуют; тогда уравнение движения сейсмической
массы в неподвижной системе отсчета имеет вид

тх — — с (х — у),

где с — коэффициент жесткости пружины.

Так как нас интересует запись вибрографа, осуществляемая
на барабане D, связанным с подвижной рамкой, определим отно-
сительное смещение г в этой последней:

z = х — у.

Тогда

х = z -J- у == г — seo2 sin со/

и уравнение примет вид

mz -ф- cz = mstir sin со/.

Вводя обозначения

— = /г-, seo* = п,
т

получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
в канонической форме

z -ф- k2z — h sin со/.

Вследствие неизбежности сопротивлений, пусть небольших, соб-
ственные колебания гаснут, и при малом сопротивлении виброграф
запишет колебания:

Z* = S -	----- Sin СО/.

- -1

\со /

Рассмотрим вопрос о том, какими следует выбрать параметры
вибрографа с минимальным искажением записи исследуемых коле-
баний. Прежде всего, очевидно, необходимо, чтобы k н со отлича-
лись друг от друга. Если k со, то г* оказывается величиной
очень малой, и записи колебаний почти не будет. Желательно
сделать k со, что имеет место при малой жесткости с и большой
массе т. Тогда

и

z* к, —s sin со/.
Знак минус показывает, что колебания груза по отношению к фунда-
менту прямо противоположны колебаниям фундамента, т. е. груз
остается почти неподвижным в пространстве. Если считать, что
в законе колебаний рамки присутствуют высшие гармоники, то при
удовлетворении требования k о тем более удовлетворяется
требование k <3^ Na, где N — номер гармоники. Запись будет
достаточно точно воспроизводить вибрации основания. Конечно,
сопротивления несколько искажают этот простой закон.

П р и м е р 2. Торсиограф — прибор, предназначенный для записи
крутильных колебаний валов. Прибор (рис. 36) состоит из кожуха А,
маховичка М и спиральной пру-
жины С, соединяющей маховичок
с валом В, колебания которого тре-
буется записать. Если обозначить
через <р угол поворота вала и через ф
угол поворота маховичка, то диффе-
ренциальное уравнение вращатель-
ного движения этого последнего
будет иметь вид

Уф = — с (ф — ф),

где J—момент инерции маховичка,
с — коэффициент жесткости спираль-
ной пружины.

Введем разность углов

й = ф — <р,

регистрируемую торсиографом, и	Рис'

предположим, что вал вращается

в среднем равномерно с угловой скоростью <оо, но на это вра-
щение наложены гармонические колебания, т. е.

Ф = aat о sin at,

где о — амплитуда гармонических колебаний вала. Тогда

•ф = -0- —1_ Ф = -О- — ой2 sin at,

и дифференциальное уравнение примет вид

или

где

Уй ей = Joa2 sin at
§	k-0 = h sin at,

A2 = у, h = mo2.

Получаем решение того же типа, что и для вибрографа:

й* = о —т-Д-sin at,

i -i
относительно которого можно повторить все основные выводы,
сделанные в предыдущем примере. Интересно отметить, что здесь
мы имеем колебания не около равновесного состояния, а относи-
тельно некоторого установившегося движения.

§ 9.	ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В предыдущем параграфе периодическое внешнее возму-
щение было представлено в виде ряда Фурье, коэффициенты
которого вычисляются по интегральным формулам, выводи-
мым в курсе математического анализа. Непосредственное
выполнение квадратуры при вычислении этих коэффициентов
может быть не только весьма трудным, но даже — при более
или менее сложном виде разлагаемой функции — в конечной
форме невыполнимым. К этому надо добавить, что аналити-
ческое выражение возмущающей функции часто вообще бывает
неизвестно, и она задается либо графически, как, например,
в самопишущем приборе, либо численно для определенных
значений аргумента.

Указанные соображения привели к разработке специаль-
ных методов вычисления коэффициентов Фурье, преследую-
щих цель заменять точные их значения удовлетворительными
приближенными значениями, получение которых было бы
достаточно легко выполнимо. Эти методы, составляющие пред-
мет практического гармонического анализа, как прикладной
отрасли математики, можно подразделить на три группы.

А.	Арифметические методы, в которых интегралы заме-
няются конечными суммами, вычисляемыми по определенным
правилам.

Б. Графические методы, в основе которых лежит графи-
ческое интегрирование функций.

В.	Механические методы, использующие особые приборы,
называемые гармоническими анализаторами.

Практическому гармоническому анализу посвящена спе-
циальная литература и здесь мы рассмотрим лишь по одному
примеру на каждый из перечисленных методов *).

А. Арифметический метод

Арифметический метод или метод суммирования, предло-
женный Перри, сводится к простому вычислению сумм,
аппроксимирующих интегралы в коэффициентах Фурье (2.89)

*) Обстоятельному изложению этих методов посвящена книга [23].
разложения (2.88). Предположим, что разлагаемая функ-
ция ф(/) представлена графически. Изменим масштаб по оси
абсцисс	так,	чтобы период был равен	2л.	Для	этого	положим

X — со(,	(2.110)

где со — частота периодической функции ф, и обозначим

ф(0 = /(х).	(2.111)

Пусть	уравнение	разлагаемой кривой	(рис.	37)	имеет вид

у = /(х),	(2.112)

тогда

/(х+2л) = /(х).

Разделим полный период на 2« равных частей. Тогда точные

формулы (2.89), принимающие вид

—-I J f(x)CQSSXdX,

о

2л

= J /(x)sinsxdx,
о

заменятся приближенными:

2л

1 V

= 2^’* COSSX*,

4=1

2л

= И S Sln SXk'

4 = 1

(2.113)

(2.114)
где $ = 0, 1, 2, xk = k^. Таким образом, здесь кри-
вая заменяется ступенчатой линией, и для каждого интервала
берется конечная ордината ук. Можно с таким же правом
взять не конечную, а начальную ординату или, заменяя
прямоугольники трапециями, брать среднее арифметическое
длин начальной и конечной ординат каждого интервала линий.
Переходя к градусному измерению углов, мы для первой
гармоники будем иметь аргументы синуса и косинуса соот-
ветственно равными:

.	180°	о 180°	„	180°

1 * —— ,	2 * —•	. о *		. « « •

п	п	п

для второй гармоники:

2-1.-^, 2-2.-^, 2.3.-^, ...
п	п	п

и т. д. Пусть, например, 2п = 24, тогда имеем соответстенно

5 = 1	15°,	30°,	45'
5 = 2	30°,	60°,	90'
5 = 3	45°,	90°,	135'

Для полного расчета необходимо иметь заранее вычисленные
значения косинусов и синусов этих углов. В таблицах 1 и 2
(стр. 77, 78) приведены указанные значения для s=l, 2, 3,
4, 5, когда 2/г = 24.

Имея численные значения ординат

Уо> У1> №.....У2п>

которые могут быть, например, взяты из графика функции
у = f (х), можно пользоваться непосредственно форму-
лами (2.114). При этом, согласно сказанному выше, в при-
веденном ряде ординат опускаем либо первый, либо последний
член. Для удобства вычисления члены сумм (2.114) целесо-
образно группировать так, чтобы собирать вместе слагаемые,
имеющие одно и то же значение тригонометрической функ-
ции. Пользуясь методом Рунге и вводя обозначение

180°
Таблица 1

последовательных значений синусов

для определения гармоники 1-го, 2-го, 3-го, 4-го н 5-го порядков
по методу Перри

№ ординаты	Для гармоники				
	1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка	4-го порядка	5-го порядка
1	4-0,259	4-0,500	4-0,707	4-0,866	4-0,966
2	4-0,500	4-0,866	4-1,ооо	4-0,866	4-0,500
3	4-0,707	4-1,000	4-0,707	0,000	—0,707
4	4-0,866	4-0,866	0,000	—0,866	—0,866
5	4-0,966	4-0,500	—0,707	—0,866	4-0,259
6	4-1,ооо	0,000	—1,000	0,000	4-1,000
7	4-0,966	—0,500	—0,707	4-0,866	4-0,259
8	4-0,866	—0,866	0,000	4-0,866	—0,866
9	4-0,707	—1,000	4-0,707	0,000	—0,707
10	4-0,500	-0,866	4-1,ооо	—0,866	4-0,500
11	4-0,259	—0,500	4-0,707	—0,866	4-0,966
12	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
13	—0,259	4-0,500	—0,707	4-0,866	—0,966
14	—0,500	4-0,866	—1,000	4-0,866	—0,500
15	0,707	4-1,000	—0,707	0,000	4-0,707
16	—0,866	4-0,866	0,000	—0,866	4-0,866
17	—0,966	4-0,500	4-0,707	—0,866	—0,259
18	—1,000	0,000	4-1,ооо	0,000	—1,000
19	—0,966	—0,500	4-0,707	4-0,866	—0,259
20	—0,866	—0,866	0,000	4-0,866	4-0,866
21	—0,707	—1,000	—0,707	0,000	4-0,707
22	—0,500	—0,866	—1,000	—0,866	—0,500
23	—0,256	—0,500	—0,707	—0,866	—0,966
24	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
Таблица 2

последовательных значений косинусов

для определения гармоники 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го порядков
по методу Перри

№ ординаты	Для гармоники				
	1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка	4-го порядка	5-го порядка
1	4-0,966	+0,866	+0,707	+0,500	+0,259
2	-1-0,866	+0,500	0,000	—0,500	—0,866
3	+0,707	0,000	—0,707	—1,000	—0,707
4	+0,505	—0,500	—1,000	—0,500	+0,500
5	+0,259	—0,866	—0,707	+0,500	+0,966
6	0,000	—1,000	0,000	+1,000	0,000
7	—0,259	—0,866	+0,707	+0,500	—0,966
8	—0,500	—0,500	+1,000	—0,500	—0,500
9	—0,707	0,000	+0,707	—1,000	+0,707
10	—0,866	+0,500	0,000	—0,500	+0,866
И	—0,966	+0,866	—0,707	+0,500	—0,259
12	—1,000	+1,000	—1,000	+1,000	—1,000
13	—0,966	+0,866	—0,707	+0,500	—0,259
14	—0,866	+0,500	0,000	—0,500	+0,866
15	—0,707	0,000	+0,707	—1,000	+0,707
16	—0,500	—0,500	+1,000	—0,500	—0,500
17	—0,259	—0,866	+0,707	+0,500	—0,966
18	0,000	—1,000	0,000	+1,000	0,000
19	+0,259	—0,866	—0,707	+0,500	+0,966
20	+0,500	—0,500	—1,000	—0,500	+0,500
21	+0,707	0,000	—0,707	—1,000	—0,707
22	+0,866	+0,500	0,000	—0,500	—0,866
23	+0,966	+0,866	+0,707	+0,500	+0,259
24	+1,000	+1,000	+1,000	+1,000	+1,000
переписываем формулы (2.114) следующим образом:

nas — Уо 4* Уi cos sa 4* У2cos %sa Н- •  •

• • • + У2л-2 cos (2/i — 2) sa4* У2Л-1 cos (2« — l) sa,
nbs =y1sinsa-|-y2sin2sa4- •••	(2.115)

... 4 У2Л-2 sin (2/i— 2) sa-|- у2л-1 sin (2/i — 1) sa.

При этом предполагаем, что k изменяется от 0 до 2/г—1 и
что s < «. Так как 2«а = 360°, имеем

cos (2/г — т) sa = cos msa,
sin (2/г — n) sa = — sin msa.

Иначе говоря, косинусные множители членов, равноот-
стоящие от начала и конца суммы, не считая члена у0, равны
между собой, а синусные множители различаются только
знаком. Таким образом, если выписать две строки чисел yk,
а также нх суммы и разности

Уо У1 Уа ••• Ул-2 Ул-1 Ул

Узл-1 Угл-2 ••• У,Ули

По Щ	... Ilfi — 2	^П—1

Vi V2 ... Vn_2 Vlt-{
где

ио = Уо’ И1 = У1 + Угл-i.....кл-1 — Уд-1 + Улн> ип~Уп’

vi — Уг Угл-1.......^л-! —Уп-1 У п-1 г

то будем иметь:

nas == M0-j- М] cos sa 4- м2cos %sa 4~ • • •

... 4- //„_] cos (n — 1) sa 4 чп cos tisa,
nbs — t/1sinsa-|-t’2sin2sa-|- ... 4-t’/J_1 sin («—l)sa.

В зависимости от конкретных значений п и s возможно
дальнейшее упрощение путем группирования членов, поскольку
опять будут встречаться численно равные тригонометрические
функции. Для этой цели существуют даже специально раз-
работанные вычислительные схемы, которые мы, однако,
приводить не будем и ограничимся пояснениями расчета на
примере.

Не останавливаясь на подробностях, упомянем, что вычи-
слительную работу можно также упростить путем применения
специальных шаблонов в виде карточек с прямоугольными
отверстиями. Эти шаблоны накладываются на заранее заго-
товленный лист с таблицей встречающихся в разложении
значений синусов и косинусов так, что нужные значения
этих функций выступают в отверстиях и умножаются на
соответствующие ординаты кривой, после чего производится
суммирование *).

Пример. Найдем первые четыре гармоники для кривой, пред-
ставленной на рис. 37. Полагая п = 12, т. е., деля период на 24 части
^по 15°, или , имеем 25 ординат, из которых две (у0 и у24)
совпадают:

—10, —15, —12, —6, 4-3, 4-11, 4-17, 4-22, 4-26, 4-29, 4-30, 4-29, 4-20.
4-15, 4-16, 4-20, -4-21, 4-17, 4-12, 4-7, 0, —4, —6, —7, —10.

По первой формуле (2.114)

=	10—15— ... 4- 22-J-264- ... — 7 — 10) = 17,9.

Пользуясь таблицами 1 и 2, легко видеть, что в формулах (2.114)
группировать для вычисления можно не только по два члена, но и
большее число. Так, для первой гармоники (s = 1) имеем
й1 = Д. (0,966 (— 15 - 29 — 15 — 7)4-0,866 (— 12-30—16 — 6)4-

4-0,707 (—6 — 29 — 20 — 4) 4-0,500 (—3 — 26 — 21	0)

219

-[- 0,259 (4- 11 — 22 — 17-Н7) -h 1.000(— 20— 10)} = -	« — 18,3,

=А (0,259 (— 15 —29—15-J-7)0,500(— 12-[-20— 164-6)4-

4- 0,707 (— 6 4- 29 — 20 4- 4) 4- 0,866 (-[- 3 4- 26 — 21 4- 0) 4-
4-0,66 (4-11 4-22-17 - 7)4-1,000 (-[-17 — 12)} =-[--^-« 4-2,6.

При вычислении коэффициентов второй гармоники видим, что три-
гонометрические функции принимают только три числовых значе-
ния: 0,500, 0,866 и 1,000, что еще более облегчает вычисление. Итак,
имеем

60,3	,	44,5	„

й2 =	~	=-J2-	- 3>7-

Аналогично находим

йз = 4- 1,8, Ь3 = 4- 0,5, <z4 я 0, bt к — 2,8.

*) См., например, цитированную выше книгу [23].
Б. Графический метод

Графические методы основаны на графическом интегри-
ровании заданной функции. Рассмотрим метод, предложенный
Мизесом. Как и в предыдущем случае, изменим масштаб по
оси абсцисс так, чтобы период функции был равен 2л (2.110).
Разделим период на 2« равных частей (рис. 38) и заменим

периодическую кривую ступенчатой линией так, чтобы сохра-
нилась, хотя бы приблизительно, эквивалентность площадей
прежних и новых элементарных фигур. Получающиеся прямо-
угольники проектируем на ось у и из точки К, находящейся
на некотором принятом расстоянии R от точки О, приводим

лучи к точкам деления оси у.

Для вычисления косинусных и синусных коэффициен-
тов as, bs преобразуем формулы (2.113), применяя интегри-
рование по частям. Так как подынтегральная функция есть
функция периодическая, то подстановка исчезнет, и мы

получим

2л

1 Г .

X(slnsx).

о

2л

^= —^(cossx)-
о

(2.116)

6 Н. Обморшев
Построим две полуокружности радиусом (рис. 39, а, б),
каждую из которых разделим на п равных частей так, чтобы
каждая дуга была равна . Через точки деления (на рис.39, а)
проводим вертикали, а на рис. 39, б — горизонтали. Пусть
требуется найти величину коэффициента гармоники порядка $.
Тогда выделим из указанного семейства параллельных пря-
мых те из них, которые последовательно проходят через

точки деления sn/n, 2sn/n, 3stt/n, . . . и т. д. (т. е. берем
s-кратные центральные углы). После этого на рис. 39, а,
начиная от точки Ло, проводим ломаную, звенья которой
параллельны соответствующим лучам на рис. 38. На
рис. 39, б, начиная из точки О2, проводим ломаную, звенья
которой перпендикулярны лучам рис. 38. На каждой фигуре
число звеньев ломаной должно равняться числу лучей 2п.
По окончании построения спроектируем конечные точки лома-
ной на рис. 39, а на вертикаль, а на рис. 39, б — на гори-
зонталь. Эти проекции, с точностью до постоянного множи-
теля, будут равны коэффициентам bs и as соответственно.
Докажем это.

Из рис. 39, а имеем

ciAi=ciAo^S Ф1 = [/? — /? cos [s^]tg<Pi =

= R. tg ср, [cos 0 — cos (s = у[A cos [s -^-'l,
так как < 0. Находим, далее,

С2А — CjX। -J- C2CjФг ~ У1Д cos +

4- cos (s — R cos ^2$ tg <p2 =

= yjA cos 4- R tg <p2 — A cos ^2$	=

= yjA cos ^s 4" У-2^ cos 12s I

и т. д. Ломаная Л]Л2Л3 . . . A2n_2A2ll_iA2n пройдет s раз
(где s—порядок гармоники) влево и вправо между перпен-
дикулярами / и // к основному диаметру окружности.
В результате получаем, с точностью до множителя, аппрок-
симацию интеграла во второй формуле (2.116):

2л

АА« = S cos (k v) •

й = 1

Принимая во внимание знак и постоянный множитель, имеем

—	Т77 ААл’

(2.117а)

т. е. bs > 0, если отрезок Л0Л2л направлен вниз и наоборот.
Аналогично из рис. 39, б можно найти, что

2л

O2B2n = %yitbSin(k^)

k=l

и тогда, принимая направление влево от точки О2 за поло-
жительное, приближенное значение коэффициента as будет
равно

=	(2.1176)

Формулы (2.117а и б) решают поставленную задачу.

Пример. Указать графическое определение гармоники для
кривой, изображенной на рис. 40, а. Выбирая полюсное расстоя-
ние R, строим окружность радиуса R (рис. 40, б). Разделим эту
окружность на 12 частей (2л = 12) и проведем через точки деления
горизонтали и вертикали. Аппроксимируем кривую ступенчатой
линией и проводим лучи /<1, /<2... д12;	на рис. 40, в строим

параллели к проведенным лучам, а на рис. 40, г — перпендикуляры
Рис. 40.
На этих рисунках даны полные построения для определения коэф-
фициентов первой гармоники (причем получается ах <0, Ь\< 0),
а также указано построение, соответствующее коэффициентам тре-
тьей гармоники.

В. Механический метод

В механических методах определение коэффициентов
Фурье выполняется с помощью специальных приборов — гар-
монических анализаторов, действующих по тому же прин-
ципу, что и планиметр. Рассмотрим один из употребительных
приборов этого рода — гармонический анализатор Геириди —
Коради. Для последующего расчета обратимся к выражениям
коэффициентов Фурье (2.89), полагая

Ртг

t = X, ф (/) = у = / (х), Х — 1, (Л=: — ,

найдем

Выполняя интегрирование по частям и принимая во вни-
мание обращение в нуль подстановки, подобно тому, как это
имело место в формулах (2.116), получим

(2.118)

Обратимся к описанию прибора, пространственная схема
которого представлена на рис. 41, а вид в плане на рис. 42.

Прибор состоит из рамы Р, снабженной колесиками Ех,
Е2 и D, которая ставится иа плоскость ху так, что ось L,
несущая колесики Е}, Е2, остается все время параллельной
оси Ох. Рама может таким образом перемещаться только
параллельно оси Оу. На раме помещается подвижная ка-
ретка W, снабженная штифтом F, имеющая возможность
перемещаться параллельно оси Ох, причем полный ход каретки

Рис 41

ограничен и равен некоторой длине I, к которой и необхо-
димо привести базис анализируемой кривой. При обходе
штифтом кривой у = f (х) одновременно перемещается рама
и каретка; элементарное перемещение первой из них равно dy,
второй — dx.

Движение каретки с помощью серебряной проволоки ff
передается шкиву Н, насаженному на стержень S, связанный
с интегрирующим аппаратом Q; этих аппаратов бывает в раме
несколько в соответствии с числом получаемых гармоник.
Передача устроена так, что в то время, как каретка пере-
мещается на полное расстояние I, шкив Н совершает $ обо-
ротов, где $ — порядок гармоники. При перемещении каретки

на расстояние х интегрирующий аппарат, изображенный
отдельно на рис. 43, поворачивается на угол

2тг

$ = s^x.	(2.119)

Перемещение рамы передается цилиндрическому шкиву С,
укрепленному на оси L и имеющему диаметр, несколько
меньший, чем диаметр колесиков Ev Е%. Посредством этого
шкива поворачивается стеклянный шар G, который имеет
диаметр, равный диаметру шкива С. Этот шар расположен
внутри интегрирующего аппарата таким образом, что качается
в двух точках своего большого‘горизонтального круга изме-
рительных роликов Rs и /?с, которым он передает свое
вращение, прижимаясь к ним под действием пружинящего
ролика т. В начальный момент прибор устанавливается так,
что ось ролика Rs параллельна оси Ох, а ось ролика Rc
ей перпендикулярна.

Если обозначить радиус шара через R, радиус измери-
тельного ролика через г и радиус колесика Ei или Е? через р,
то при перемещении рамы Р на величину dy шар G повер-
нется вокруг оси, параллельной Ох, на угол

= dy

Р ’

тогда при произвольном значении угла &, как видно из
рис. 43, элементарные углы поворота шкивов Rc и Rs будут
соответственно таковы:

chpc — — sin & dtys ~ -р- cos 'О'б?/.

Подставляя сюда значения & и dy* и интегрируя, получим
i

R Г . / 2л. \
J sin^s — xjdy,
о

I

. R Г ( 2л \ ,
cosv~ хгу'
о

Сравнивая эти формулы с формулами (2.118), находим

=	=	(2-120)

где

X = JL	(2.121)

есть константа прибора.

§ 10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ
СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ
ВОЗМУЩЕНИИ

Как было сказано в § 8, при рассмотрении вынужденных
колебаний часто оказывается возможным пренебрегать сопро-
тивлением, конечно, когда оно достаточно мало. Однако
в ряде случаев такое пренебрежение может исказить резуль-
таты исследования не только в количественном, но также и
в качественном отношении. В особенности это имеет место
в областях, близких к резонансу, где учет сопротивления
крайне необходим.

Рассматривая общий случай линейной системы с произ-
вольным периодическим возмущением, разделим все члены
уравнения (2.1) на а и введем обозначения (2.10), (2.38) и
(2.85). Тогда уравнение движения примет вид

q -ф~ 2nq -ф~ k2q — ty(t),	(2.122)

где для возмущающей функции ф(ф останутся в силе соот-
ношения (2.86), (2.88) и (2.89).

Общее решение уравнения (2.122) выразится по-прежнему
формулой (2.94), только теперь q будет иметь иной вид.
Именно, при п < k

q — ae~nl sin (yt -ф-13),

где v — У^2 — ri2, а при n. > k

q = ae~nt sh (nt -1- p),

где x — У n2 — k2, как это следует из решений (2.45) и (2.58).
В первом случае (п < k) имеем затухающие колебания,
во втором (п > k) — затухающее апериодическое движение.
Далее будем искать парциальное частное решение уравне-
ния (2.122) в виде

q*s = as sin (serf4~б^ — ef),	(2.123)

где а’ — амплитуда s-й гармоники вынужденных колебаний,
а е5— соответствующий сдвиг фазы. Представляя в урав-
нении

q-\- 2nq-ф- k2q = hs sin (sW~|_65)	(2.124)

синус в правой части в виде суммы

sin (.sco/ -{-ds) = sin [(sco/—— e5)4“eJ —

= sin (so/ф — e5) cos е5 -ф cos (sco/ —|— 6^. — es) sin e5,

подставляя это разложение и решение (2.123) в уравне-
ние (2.124), получим результат в следующем виде:

[оф (/г2 — s2co2) — hs cos ej sin (.sco/ ф-б5 — e5) Ф“

4 [2аДг$ю — /4 sin e5] cos (sat 4- 6f — ej — 0.
Это соотношение тождественно выполняется,
ние в каждой квадратной скобке равно нулю,
находим

hs

(X —	' '	___

5 V(k2 — s2a>2)2 + 4n2s2w2 ’

_ 2«sw
— k2 — s2w2 '

если выраже-
Отсюда легко

(2.125)

Резонанс получается при k, равном или кратном и, т. е.
вообще при k = sco. Следовательно, число резонансных
частот вообще бесконечно велико. Наиболее резко резонанс
проявляется при совпадении основной круговой частоты со
с k, а именно при $=1. Однако теперь, в отличие от
результатов, полученных ранее в § 8, вследствие наличия со-
противления никакого безграничного роста амплитуд не будет.

Для исследования формул (2.125) рассмотрим, например,
первую гармонику и ради упрощения индекс s — 1 отбросим.
Здесь очень удобно перейти к безразмерным параметрам,
к которым относится введенный выше (стр. 51, формула (2.49))
безразмерный коэффициент затухания

и безразмерная частота возмущающей силы

г =	(2.126)

Разделим числители и знаменатели дробей в правых частях
уравнений (2.125) на &2; тогда, используя введенные обо-

значения, получим

=	(2.127)

где

К= г Л:	(2.128)

У (1- г2)2+4г2С2
и

= (2-129>

Здесь X есть так называемый коэффициент динамичности,
представляющий собой число, на которое нужно умножить
статическое смещение

J h Н
d = -&= —

(2.130)
для получения амплитуды вынужденных колебаний. Наличие
множителя X обусловлено инерцией колеблющейся системы.

Рассматривая формулу (2.128), убеждаемся, что при z — 1,
т. е. в случае резонанса (<в = А), коэффициент X имеет ко-
нечное значение:

Чез = 4’	(2.131)

при этом tg Ерез = оо и тогда

е₽ез = у.	(2-132)

т. е. независимо от затухания. Случай £ = 0 можно рассма-
тривать как предельный, для которого при ® = &, согласно
(2.131), имеем Z = oo.

Если же совпадают частоты возмущающей силы и сво-
бодных затухающих колебаний, т. е. со2 — /г2 — л2, или если
перейти к безразмерным величинам:

(2.133)
то тогда

V — , ‘	, tge' = ^-/r=^.	(2.134)

Найдем экстремальное значение коэффициента динамично-
сти Z [20]. Для этого будем искать экстремум подрадикаль-
ного выражения в знаменателе (2.128):

у = (1 — д2)2 Д- 4д2£2.

Имеем

= 0, z (4д2 — 4 + 8£2) = 0.

Получаем два решения:

д, = 0, д2 = /1 — 2С2.

Последнее решение имеет смысл лишь в случае S <
Образуем вторую производную

1

К 2 ’

^ = 4(Зд2-1+2£2)

и рассмотрим отдельно оба решения:
1) д^=0,

-g-=-4(l~2;2).
г4 Г 1

Если £ <	, то

У Утах’

f 1

если же 5	, то

— ^mln — 1 >

У = Ут1П>

— ^тах — 1 

следовательно,

У = У1Пм

и

А. — Ати

1

Легко убедиться, что в этом случае Арез < Ашах. На рис. 44
представлена так называемая резонансная диаграмма или

график коэффициента динамичности л, а на рис. 45 — гра-
фик сдвига фазы е. На этих рисунках числа, поставленные
у кривых, показывают величину безразмерного коэффициента
затухания
Рассмотрим теперь случай, часто встречающийся в прак-
тике, когда амплитуда возмущающей силы Н пропорцио-
нальна квадрату ее частоты <в2. Это имеет место тогда, когда
воздействие вращающихся масс пропорционально квадрату
угловой скорости.

Итак, положим

Н = fo2,

(2.135)

где I—некоторая постоянная, размерность которой равна
размерности обобщенной силы Q, умноженной на квадрат
размерности времени. Тогда

h — — <в2
а

и амплитуда вынужденных колебаний

а*=ф/,	(2.136)

где

/ = |.	'	(2.137)

ц = -7====£====^.	(2.138)

К(1— г2)2+ 4^2	>
Аналогом коэффициента динамичности А, здесь является
безразмерная величина ц, для которой дан график на рис. 46 *).
Что касается постоянной величины /, то, хотя она и имеет
размерность обобщенной координаты д, а следовательно, и

Рис. 46.

смещения, тем не менее она не является статическим сме-
щением подобно величине, а. Амплитуда а* представлена в виде
произведения р/ лишь в целях удобства исследования.

Заметим, что в приведенных выше примерах с виброгра-
фом и торсиографом (стр. 71—73) мы имели именно рас-
смотренный сейчас случай при £ — 0. При этом коэффици-
ент р равен:

и при очень большом z мы имели р — 1.

Аналогичное условие должно выполняться в так назы-
ваемых амортизирующих подвесках, предназначенных, напри-

*) Обобщенные понятия коэффициента динамичности на раз-
личные случаи зависимости амплитуды возмущения от частоты
даны в статье А. Н. Обморшева «О коэффициенте динамич-
ности», Научные доклады Высшей школы. Серия «Машиностроение
и приборостроение», 1958, № 1, стр. 183—188.
мер, для установки двигателей, которые не должны оказы-
вать вибрирующего действия на основание. Амортизирующие
подвески применяют также для установки приборов с целью
предохранения их от внешних сотрясений. В акселеромет-
рах — приборах для регистрации ускорений, напротив z
будет малым, так что 1—г2« 1 ии* « /г2, т. е. пропор-

ционально ускорению, которое при гармоническом возмуще-
нии пропорционально квадрату возмущающей частоты, а сле-
довательно, и г2.

В заключение следует отметить,
ные расчеты были выполнены для гармонического
ния или для первой гармо-
ники произвольного перио-
дического возмущения.
Однако эти расчеты оста-

что все вышеприведен-
возмуще-

ются в силе и для произ-
вольной гармоники. Только
в этом случае всюду вместо
z следует ставить sz, где
s — порядок гармоники.

Пример 1. Индикатор
паровой машины (рис. 47).
Индикатор состоит из ци-
линдра S, в котором переме-
щается поршень М со стерж-
нем АМ, поршень удержи-
вается пружиной D. За начало
координат примем точку О,
т. е. положение равновесия поршня индикатора при отсутствии
возмущающей силы, f — статистическое удлинение пружины. Рас-
смотрим момент времени, когда поршень индикатора движется
вверх. Дифференциальное уравнение движения последнего имеет

вид

тх = Q — Qi—Q2—P,

где Р — вес поршня, Q{ = c(x— f) — сила упругости; Q2 = Ьх—
сила сопротивления; Q=mip(/)— сила давления пара. Так как
в положении равновесия cf = Р, то после обычных преобразова-
ний получим

х -f- 2пх 4- k2x = ф (/),

где

ф (0 = sin (sa>t +
Считая, что сопротивление мало, и ограничиваясь конечным
числом членов, получим закон движения в следующей форме:

N

х = ae~nt sin (yt + ₽) +	a* sin ($»/ + — e.sy

5 = 1

Вследствие затухания первым членом справа можно пренебречь,
так как он с течением времени стремится к нулю. Второй член
определяет смещение центра колебаний и зависит от величины
среднего давления пара. Из членов, стоящих под знаком суммы,
наибольшее значение имеет первый член, определяющий первую
гармонику. Последующие члены суммы обычно быстро убывают.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять параметры
индикатора, чтобы первая гармоника давления пара была доста-
точно точно записана. На основании формул (2.123), (2.128) и (2.130)
соответствующее частное решение имеет вид

х* = ^1 sin + $i — £i)>

где %!=% и et—e определяются по формулам (2.128) и (2.129).
Очевидно, для корректной записи колебаний давления Л] должно
быть близким к единице, а Е| — к нулю. Обоим этим условиям мы
удовлетворим, если возьмем г достаточно малым (г яг 0). Для
этого нужно, чтобы было k ю, т. е. чтобы собственная частота
колебаний индикатора была много больше основной регистри-
руемой частоты. Следовательно, пружина
должна быть достаточно жесткой. В этом
случае

хг х sin (at -f- 6j).

Конечно, в действительности дело обстоит
сложнее, так как, во-первых, несмотря на
убывание ряда коэффициентов Фурье, мо-
жет оказать влияние какая-либо гармо-
ника высшего порядка, для которой sa
близко к k, а во-вторых, играют роль также и собственные коле-

бания поршня хотя они и затухают.

Пример 2. Электрический контур с генератором перемен-
ного тока (рис. 48).

Если Е — Ео sin at есть электродвижущая сила генератора, вра-
щающегося с угловой скоростью а, то, очевидно, уравнение тока
в рассматриваемом контуре будет иметь вид

L -|- Ri -f- -X- I dt = EB sin at,
at	c J

где все обозначения уже известны (стр. 42).
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получаем
, d2l . n di . 1 .	„	,

Z"^ + /?ir + -c' = ^c°s^

ИЛИ

~ 4- 2п 4- k?l = h sin (04е 4- б),
где

2п = А, ^ = -Х-,	А=^-, 6 = i.

Х-/	X/	X/

Для вынужденных колебаний тока решение очевидно. Оно найдется
по уравнениям (2.123) и (2.125)

i* —........ - — cos (of 4* е)>

/ R,+(i—-я-)'

где

е = arctg------:—.

io —-Тт-

Св)

Мы получили уравнение переменного тока,
виде, как это принято в электротехнике.

написанное в таком

§ 11. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ
ЗАКОНЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ

При всем большом практическом значении периодического
возмущения, действующего на колебательную систему, дело

им не ограничивается, и можно указать случаи, когда воз-
мущающая сила не является периодической. Например, дей-
ствие морского прибоя на какое-либо береговое сооружение

суммируется из действий волн
различных периодов, вообще не
соизмеримых между собой, и
поэтому мареограф — прибор
для регистрации уровня воды
в море дает непериодическую
кривую. Вследствие этого пред-

Рис. 49.

ставляет интерес рассмотреть

случай произвольной возмущающей силы. Это тем более
важно, что изложенный выше анализ движения с помощью

рядов Фурье перестает быть эффективным даже при перио-
дическом возмущении, если сила изменяется достаточно резко,
как, например, на рис. 49. В этом случае коэффициенты

7 А. Н. Обморшев
Фурье образуют медленно сходящийся ряд, и метод стано-
вится громоздким. В таком случае предпочтительнее пользо-
ваться известным из курса дифференциальных уравнений [24]
методом вариации произвольных постоянных. Мы рассмотрим
три случая.

А. Сопротивление отсутствует

Решение уравнения (2.87)

<7 + ^ = W).

где ф(/)— произвольная функция времени, может быть за-
писано в том виде, что и решение однородного уравнения,
именно:

q — cos kt + К2 sin kt.	(2.139)

Однако здесь уже К\ и К2 не постоянные, а некоторые
функции времени, которые должны быть так подобраны,
чтобы удовлетворить данному уравнению. Дифференцируя
(2.139), имеем

q = Ky cos kt -J- К2 sin kt -f-k (—	sin kt -f- K2 cos kt).

Так как мы ввели две неизвестные функции Кх и К2, то
можно связать их некоторым условием. Положим

Кх cos kt + К2 sin kt == 0.	(а)

При таком условии выражение для q будет иметь такой же
вид, как и в случае постоянных К\ и К2- Тогда

q — k (— Кг sin kt -f- К2 cos kt) — k2 (Кi cos kt -f- K2 sin kt)

и подстановка в уравнение (2.87) дает

— sinA£-|- К2 cos kt — у ф (t).	(б)

Решая совместно уравнения (а) и (б) относительно и К2,
имеем

— —1-ф(0з!пАЛ	К2 — 4- ф (0 cos kt,

к	а
откуда интегрированием находим

t

K1 — Ci — -i- J ф («) sin ku du,
о

t

K2 — C2 + J Ф («) c°s ku du,
о

где переменная интегрирования обозначена через и.

Подставляя К\ и К2 в (2.139) и внося под этот интеграл
cos kt и sin&/, после простых преобразований получим

t

q — CI cos kt -ф- С2 sin&/ + у J ip(«)sinA(/—u)du, (2.140)
о

где С, и С2—произвольные постоянные, определяемые из
начальных условий и совершенно не зависящие от возму-
щающей силы. В самом деле, при / = 0 интеграл в фор-
муле (2.140) обращается в нуль так же, как и его произ-
водная по t. Заметим, что этот интеграл вообще не является
периодической функцией времени, даже в предположении
периодичности ф(/).

Б. Малое сопротивление

Обратимся теперь к уравнению (2.122):

q-У 2m? 4-/г2<7=:ф(0,

в котором положим п < k. Представим решение этого урав-
нения в форме:

7 — e~"z (Kj cos K2sin vZ),	(2.141)

считая Лф и K2 функциями времени; здесь

у = ]/fe2 — п2.

Образуем производную от (2.141)

q — e~nt [(/С, cos vf —К2 sin vt) —

— n (/<! cos vt 4- K2 sin vt) — v (Ki sin vt — K2 cos vf)].
и функции К\ и К2 подчиним условию, аналогичному (а)

Кх cos К2 sin — 0.

Находя, далее, q и подставляя значения q, q и q в уравне-
ние (2.122), после упрощений получим

— Кг sin vt -|-К2 cos — 77	(О-

Решая два последних уравнения относительно Кх и АГ2, после
интеграции находим

t

Ki = C1 — J ея“ф (и) sinvu du,
о

t

К2 — С2 -|-	J ея“ф (и) cos vu du,

о

где и — переменная интегрирования, а Сх и С2 — произволь-
ные постоянные, определяемые по начальным условиям. Под-
ставляя эти значения в выражение для q (2.141) и произ-
водя простые тригонометрические преобразования, приходим
к окончательной форме решения:

q = e~nt (Cj cos vt -f- C2sin v/)-|-
t

J e~nV~u}ty(u)sinv(t — u)du. (2.142)
0

Нетрудно видеть, что при n = Q, v=k, и мы приходим
к решению (2.140).

В. Большое сопротивление

Полагая теперь в уравнении (2.122) п > k, запишем ре-
шение с помощью гиперболических функций

q = e~nt(Kxchv,t+K23hv,t),	(2.143)

где К\, К2— функции времени и

z — j/ п2 — А2.
Дифференцируя (2.143) по времени, имеем
q--e-nt ц/q ch и/_|_ jq sh х/) —
— п (К\ ch nt -ф- К2 sh nt) -ф- x (K\ sh nt -ф-K2 ch x^)].

Подчиняя функции K\ и К2 условию (а)

Кх ch nt -ф- К2 sh nt = О,
из уравнения (2.122), после подстановки q, q, q находим
Кi sh nt -ф- K2 ch nt = en/ty (t).

Решая последние два уравнения относительно Ki и К2 и
интегрируя полученные равенства, получаем

t

К\ = СХ — J* ея“ф («) sh пи du,
о
t

К2 ~ ^2 + J ^"“Ф (И)

О

где С; и С2—произвольные постоянные. Подстановка в фор-
мулу для q (2.143) дает нам окончательную форму решения
q — e~nt ((?! ch nt -ф- C2 sh nt) -ф-
t

+ -£- J е-л(^-«)ф(«) sh n(t— u)du. (2.144)
о

Пример 1. Исследовать действие гармонического возмущения
на систему без сопротивления. Пусть

ф (/) = h sin at

и в начальный момент времени t = О

Я = Яо, Я = Яо-

Из выражения (2.140) легко найти, что

Ci — Яо, С2 =
Для вычисления интеграла от функции sin аи sin k (t— и) выполним
тригонометрическое преобразование

sin аи sin k (t — и) = sin аи (sin kt cos ku — cos kt sin ku) =

= {sin kt [sin (<a-|- k) и sin (<a — k) u] —

— cos kt [cos (<a — k) и — cos (<ak) и]}.
Если <a =# k, to

sin au sin k (t — u) du =

__ 1 11 i	,, Г	cos (a-\- k) и	cos (co — fe) и ~|

— 20|(Sn	[	® + k	<a — k J

,. Г sin (ю — k) и
cos kt --------s------—

L <a — k

sin (ю k) и

Отбрасывая свободные колебания и выполняя преобразования, на-
ходим известное решение

h I  1

а — ------j- sin at-=- sin kt

k2— ю2 \	k

Допустим теперь, что ® = k, т. e. имеем случай резонанса. Тогда
t

Р sin аи sin и (t — и) du —

1	1 i .	, Г cos 2юм 1	Г sin 2юм

= тг < sin юг------------о----- — cos at I и---------=----

2	0| [	[ 2ю J	[ 2ю

нли

Л	. , М

а =	5- sin at — •=— cos at,

* Vz.U	Чгл	’

т. e. имеем также известное решение (см. формулу (2.107) на
стр. 70).

Пример 2. К системе, обладающей линейным сопротивле-
нием, в момент if = 0 прикладывается постоянная сила, которая
снимается в момент t — tx. Найти движение системы.

Имеем

ф = h при 0 < t < tt,
ф = 0 при t >

Допустим сначала, что сопротивление мало (п < k). В первом
интервале ф (и) — h и тогда, согласно формуле (2.142), отбрасывая
члены с С, и С2, имеем

q — J sin v (t — и) du.

о
Положим t — u — z. Тогда

t	t

Г е~п^~и^ sin (/ — и) du — е~nz sin vz dz =

о

z| e~nz (— n sin vz — v cos vz)

-0|

Имея в виду, что v2 = k2 — п2, после вычислений, находим
q = -А- [у — e~nt (v cos vt -f- n sin v/)I-

При t > tt интервал интегрирования в (2.142) разбивается на две
части: от 0 до 4 и от до t, во втором интервале ф (f) = 0. Тогда
предыдущие вычисления надо изменить лишь в том смысле, что
интегрирование по t надо вести в пределах от 0 до t— tb а по
г— от t— tx до t. Делая соответствующие изменения в подста-
новке, находим

г

? =	[v cos v (t — ti) 4- п sin v (t — ^)] —

vK

— e nt (v cos vt -{- n sin vZ)}

При отсутствии сопротивления (n = 0, v — k) получим простые вы-
ражения

при 0 < t < ti.

h

? = £2 (! — C0S

при t > Zf.

q = [cos k(t — tx) — cos kt].

Допустим теперь, что сопротивление большое: п > k. Тогда
придется обратиться к формуле (2.144). Положим и здесь t — и = г.
Чтобы воспользоваться уже известным результатом (в), вспом-
ним, что

sin iu = i sh и, cos iu = ch u,

где i = Y—1- В нашем случае

v = У k2 — п2 — in.
Тогда
t	t

J е~пг sh иг dz = i J e~nz sinvzd.? =
о	0

— /I e~nz (— n sin vz — v cos vz) ___

~ 01	n24-v2	“

1 zl

= —ту e~ (n ch иг -|- n sh иг).
й o'

Выполняя подстановку, имеем при 0 < t < Zp

? = [и — e~nt (х ch nt-|- п sh xZ)]
и при t > ti-

q =	Ch н ~ Z1) + « 811 и (/ — /1)] —

— e~nt (х ch xZ -J- п sh xZ)}.
ГЛАВА II

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 1. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

В зависимости от характера вопроса и свойств системы
бывает допустима консервативная идеализация: изменением
энергии колебательной системы можно пренебречь при не
слишком большом интервале времени рассмотрения ее пове-
дения. Такая аппроксимация удобна в смысле большей про-
стоты исследования колебаний при одновременной возможности
более глубоко подойти к ряду других вопросов. Кроме того,
идеализированные консервативные системы часто оказываются
по своим свойствам близкими к упоминавшимся выше автоколе-
бательным системам, о которых подробнее будет идти речь
в дальнейшем.

Поскольку консервативные системы характеризуются по-
стоянством энергии, имеем

Т + П = const.	(3.1)

Кинетическая энергия Т определяется первой из фор-
мул (2.2), т. е.

г=±^.

а потенциальная энергия в общем случае есть некоторая
функция обобщенной координаты:

П = П(9).

Для большей общности мы можем считать коэффициент
инерции а также зависящим от координаты q (например,
приведенная масса или момент инерции кривошипно-шатун-
ного механизма зависят от угла поворота вала машины).

Дифференцируя по времени уравнение энергии (3.1),
легко найдем



(3.2)
где

/(?) = -4п'(9).	(3.3)

Для исследования движения, определяемого уравне-
нием (3.2), мы можем либо заменить это уравнение двумя
уравнениями первого порядка путем введения фазовых коор-
динат х, у, либо выполнить непосредственную интеграцию
хотя бы приближенным методом. При этом можно восполь-
зоваться интегралом энергии.

А. Качественное исследование

Исследуем движение нелинейной консервативной системы
с помощью фазовой плоскости. Полагая q = х, q = y, имеем
dy . dx

откуда

?£=/<*>•

Интегрируя, естественно, получаем интеграл энергии:
y2+F(x) = /z,	(3.4)

где h — постоянная интеграции, зависящая от начальных
условий, а

Д(х) = —2 ],/(х)4?х== + 4п(х),	(3.5)

т. е. представляет собой функцию, пропорциональную потен-
циальной энергии.

Интегральные кривые, выражаемые уравнением (3.4), сим-
метричны относительно оси х. Однако соответствующие дви-
жения не всегда осуществимы. В самом деле, так как

у = ± Ук-Р(х'),	(3.6)

то для возможности движения должно быть ft>F(x).

Отсюда можно найти особые точки, в которых одно-
временно

F'(x) = —2/(х) = 0,	у==0.
Обратимся к вопросу об исследовании фазовых траекто-
рий в непосредственной близости к особой точке. Для боль-
шей общности рассуждений не будем стеснять себя требова-
нием консервативности системы, которую предположим лишь
автономной. Тогда движение будет описываться уравне-
нием (2.5):

? = ф(0. ?)•

или уравнениями (2.6)

Выделим линейные части в выражениях Р(х, у), Q(x, у):

Р(х, у) = ах-Ну-у ^(х, у), |
Q (х, у) = ex -|- dy -|- (?! (х, у), )

тогда, исключая время Л получим

dy _ cx + cly + Qt (х, у)	о

dx ах + by + Pi (х, у) '	1	’

Допустим (и это обычно имеет место), что нелинейные
функции Pi (х, у),	(х, у) разложимы в степенные ряды

в окрестности какого-либо положения равновесия. В этом
случае, если коэффициенты а и Ь, а также с и d одновре-
менно не равны нулю, то в малой окрестности соответ-
ствующей точки структура интегральных кривых такая же,
как и для линейной системы, в которой /J1 = Q1 = 0. В таком
случае говорят, что топологическая структура малой
окрестности особой точки для обеих систе1М одинаковая и
особые точки для нелинейных систем те же, что и для линей-
ных. Искажение же этой структуры наступает при доста-
точно большом удалении от особой точки.

Более сложный случай имеет место, если разложение
Р(х, у) или Q(x, у) начинается с нелинейных членов. Тогда
могут появляться особые точки, не известные из линейной
теории, как, например, точка возврата *). При исследовании
механических колебаний обычно Р(х, у) = у и тогда услож-
нение может внести лишь функция Qj (х, у).

*) Этот вопрос подробно рассмотрен в книге [27].
На основании сказанного представляет интерес изучение
топологической структуры значительной области фазовой
плоскости—иногда даже всей плоскости. Это удобно сде-
лать с помощью функции энергии F (х) [равенство (3.5)].
Построим для некоторой системы кривую энергии z = F (х)
(рис. 50, а) и фазовую диаграмму (рис. 50, б). На первой

из них проведены горизонтали, соответствующие различным
значениям постоянной h. Кривая энергии имеет точку мини-
мума А, точку максимума В и точку перегиба С. Минимуму
энергии соответствует на фазовой диаграмме особая точка
а — центр, максимуму — особая точка b — седло; наконец,
точке перегиба соответствует особая точка с — точка воз-
врата, не встречающаяся в теории линейных систем. Цифрами
обозначены интегральные кривые, каждая из которых состоит
из одной (2, 3, 5) или нескольких фазовых траекторий (/ и 4).
Интегральные кривые, проходящие через особые точки, назы-
ваются сепаратрисами или разделяющими, поскольку
они делят фазовую плоскость на области, в которых струк-
тура фазовых траекторий вообще различна. На рис. 50 сепа-
ратрисой является кривая 4"—4 — 4'.

Движение называется виб рационным или либрацион-
ным, если соответствующая фазовая траектория, не имея
в себе особых точек, замкнута вокруг центра (кривая 3).
В этом случае имеем незатухающие колебания. Движение
называется ротационным, если фазовая траектория является
периодической относительно х кривой. Движение называется
лимитационным, если изображающая точка асимптотически
стремится к особой точке. Такова, например, на рис. 50
ветвь траектории 4, лежащая слева, а также справа снизу
от седла Ь, и, кроме того, нижняя часть кривой 1, т. е. 1".
Движение называется инфинитным или убегающим, если
изображающая точка уходит в бесконечность (например,
верхняя правая ветвь кривой 4, т. е. 4', или кривой 1,
т. е. V, а также кривая 5).

Поскольку сепаратрисы разделяют области различной
топологической структуры, знание их существенно, если
необходимо исследовать движение в конеч-
ной части фазовой плоскости.

Пример. Маятник (рис. 51). Положив
в дифференциальном уравнении движения
маятника

<р+ -J-sin <р = 0, х = <р, у = <р,
получим

Разложив синус в ряд в окрестности положения равновесия <р = 0,
найдем

Q —__ & V J__& у$______S у5 I

У I + 6 I 120 I +	'

Следовательно, в этом случае [см. выражение (3.7)]

а = 0,	6 = 1, Pi (х, у) — 0,

C = -f,	3 = 0, Qi(x, у) = |^лЗ__1_Х Лз+ ...
Интегрирование уравнения
dy  	g sin х

dx ~	l у

дает
2?

у2 = -р- cos x-\-h.

На рис. 52 представлена фазовая диаграмма движения. Мы
видим, что могут иметь место: I) либрационные движения (/, 1',
1", 2, 2' и 2") — колебания маятника около положения равновесия;

Рис. 52.

2) ротационные движения (3 и 4), возникающие при сообщении
маятнику достаточно большой угловой скорости в ту или другую
сторону. Кривая S является сепаратрисой с седлами уИь ...
Какая-либо ветвь сепаратрисы есть фазовая траектория движения
с такой начальной угловой скоростью, при которой маятник асим-
птотически приближается к своему вертикальному обращенному
положению, не переходя через него. Тот или иной случай зависит
от значения h, т. е. от начальных условий.

Положения устойчивого равновесия определяются точками О,
А, Д, ...; это — особые точки типа центра. Очевидно, что
в реальной модели эти точки совпадают, и мы имеем два положе-
ния равновесия: О — устойчивое, М — неустойчивое.

Б. Количественное исследование

Рассмотрим сначала возможность получения точного
решения уравнения (3.2). Первый интеграл его очевиден;
это есть интеграл энергии, определяемый уравнением (3.1)
или (3.4). Последнее уравнение, если перейти к обобщенной
координате, можно представить в виде

q = ± У* —F(^).
Колебания возможны лишь тогда, когда подкоренное выра-
жение для некоторых значений q, и притом более чем для
одного, обращается в нуль. Знак выбирается в соответствии
с начальными условиями. Итак, имеем

Корни функции

I Vh — F

F(q) = h-F(q)

(3.9)

(3.10)

соответствуют точкам пересечения фазовой траектории
с осью х. Пусть эти корни (предположим их простыми)
будут qx и q2. Каждой величине qx или q2 соответствует
мгновенная остановка системы. В то время как получение q
из уравнения (3.9), т. е. нахождение закона движения,
в общем случае представляет значительные трудности, нахо-
ждение периода колебаний несравненно проще. Предположив,

что qx < 72, получим период, если возьмем интеграл в урав-
нении (3.9) со знаком плюс в пределах от qx до q2 и при-
бавим к нему интеграл со знаком минус в пределах от q2
до qv Очевидно, имеем

J” ‘

(З.И)

Практически часто бывает, что движение симметрично отно-
сительно начала. Полагая тогда в формуле (3.11) q2~ + 9о>
qx =— <у0, приходим к наиболее употребительному выра-

жению периода	<7о  т = 4 J -(3.12)
Если функция является функцией рым периодом 2 Q,	F (д), не имея вещественных корней, периодической относительно q с некото- т. е.  F(7+2Q) = F(7),	(3.13)

то имеем ротационное движение с периодом



J V^(?) ’

(3-14)
Рассмотрим определение периода по формуле (3.11) в том
случае, когда разложение потенциальной энергии в ряд начи-
нается с членов выше второго порядка малости:

П(?)==с173Н-с294 + сз95-4- ....	(3.15)

где

1	/^’+2П)	.	. о

с,- =------- —. у = 1, 2, ...

1	(; + 2)! W+4

Так как в положении устойчивого равновесия потенциальная
энергия имеет минимум, то разложение должно начинаться
с четной степени q. Пусть это будет при J=2s. Тогда
приближенно можно положить

П — с efts

11	t2(i-l)4 •

(3.16)

Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда q — Q,
q — qa>0. Тогда, согласно равенствам (3.5) и (3.10), имеем

9г

f (я) = —— q2s)-

Вследствие четности функции П(^) можно воспользоваться
для периода упрощенной формулой (3.12), которая теперь

принимает вид

т = 4

]/_____2___

'	2c2(s-l)

f dq

о	VYs - q2s

Переходя к безразмерной переменной интегрирования

2 = ^-,	(3.17)

получаем

т = -Аг1/'   f dz_^-.	(3.18)

Яо ' 2c2(s-1)	Y1-— Z2s

При s—1 имеем элементарный случай линейной системы:
1 _____________________________________________

Г dz .	.	,1 л	п , Г а

J 7r^ = [arcs,n^o=T: х==2л]/w
Полученная формула совпадет с уже известной, если поло-
жить 2с0 = с. При $ = 2 получается эллиптический интеграл.
В общем случае положим

z2s — х.

Тогда

dz = J- x2s 1 dx,
2s

0	’	0

Входящий сюда интеграл есть так называемая бэта-функция
Эйлера, общий вид которой

1

В(р, q) = B(q, р)= J хр-1(1 — x)q~'dx. (3.19)
о

Бэта-функция выражается через гамма-функции Эйлера сле-
дующим образом:

В(р, ?)==1МГ(?)	(3.20)

w 77 Г (р + q)	v ’

где

Г (р) = J* e~xxP-i dx.	(3.21)

о

Отметим лишь некоторые свойства этих функций, извест-
ные из их теории, а именно:

Г(р+1) = рГ(р); Г(1)=1; г(1) = /л.

Использовав эти соотношения, придадим формуле для
периода (3.18) следующий вид:

где

/(s),

(3.22)

(3.23)

8 А. Н. Обморшев
Укажем значения I (s') для некоторых $:
s	1	2	3	4

Z(s)	4,44 3,70 3,43 3,28

Располагая таблицами гамма-функций, по формулам (3.22)
и (3.23) легко находим период для любого значения $.

Как уже указывалось, нахождение конечного уравнения,
точно выражающего закон движения, весьма затруднительно
и в элементарных функциях

V	обычно невыполнимо.

Пример. Горизонтальные коле-
бания груза, связанного двумя про-
волоками (рис. 53). Пусть S — на-
чальная растягивающая сила в про-
волоке, F— площадь ее поперечного
сечения, Е — модуль упругости, 2/ —
начальная длина. Тогда относитель-
ное удлинение проволоки при откло-
нении груза массы т от его сред-
него положения на величину х будет
равно

//2Н-х2 — I х2

I ~ 212 \

Усилие в проволоке определится как сумма
S + EF^-,

и полная горизонтальная восстанавливающая сила будет равна

EF

I3

Соответствующая потенциальная энергия

х3.

П = — х2 4-	•

I 4Р

Если предварительное натяжение S очень велико, то можно
пренебречь вторым членом, и задача сводится к линейной. Наоборот,
при очень малом S или его отсутствии по формулам (3.16) и (3.22)
имеем

— 2ml3 х4)’

т =


В. Метод Линдстедта')

Как уже указывалось выше, точное решение задачи
о нелинейных колебаниях консервативной системы в элемен-
тарных функциях в общем виде невыполнимо, даже если
ограничиться отысканием периода. Поэтому рассмотрим
приближенное решение задачи с помощью так называемого
метода малого параметра, применимого к системам, мало
отличающихся от линейных.

Метод малого параметра возник в начале прошлого сто-
летия в применении к задачам небесной механики. В настоящее
время этот метод известен в различных вариантах, имеющих
между собой то общее, что искомое решение представляется
в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра.
В задачах о колебаниях нелинейных систем очень удобен
вариант этого метода, называемого методом Линдстедта.
Рассмотрим его подробнее.

В дифференциальное уравнение движения

•• . <Ш (?)	„

подставим разложение потенциальной энергии (3.15), допол-
ненное квадратичным членом

П(9) = уС92+С193Ч-С2944- •••	(3.24)

Вспоминая формулу (2.10)

k2 = -
а

и вводя для сокращения записи обозначения

ЗС]
имеем

V2

4с2	(7+2)С;

С ’ ’ ' ’ ’	с

(3.25)

9+^ + /(?) = 0.

Здесь функция

/(9) = ^2(YI924-Y2934-Y394+ •••)

(3.26)

(3.27)

характеризует собой отклонение системы от линейной. Бу-
дем считать, что величины у2, ... достаточно малые,
вследствие чего указанное отклонение также мало, особенно

') См., например, книгу [в].
при малых значениях координаты q. Тогда, очевидно, период
колебаний также будет мало отличаться от соответствующего
периода линейных колебаний, когда

/(<?) = О-

Допустим, что начальные условия имеют вид

* = 0; ? = % = ₽; Ч = =

где р — малая величина, степени которой быстро убывают.
Это и есть тот «малый параметр», по степеням которого
производится разложение решения. Для дальнейшего удобно
ввести «безразмерное время» Д по формуле

Д = /l Д-р,	(3.28)

где р представляется в виде ряда

р == Рщ-ф-Р2ц2-|-р3ц3-|- •••	(3.29)

с неизвестными пока постоянными рр р2, ...

Решение ищем в виде ряда

q (О) = р91 (О) + р2?., (О) Д- р39з (О) + ...,	(3.30)

где qx (Д), <?2(Д), •   — неизвестные функции. Если условиться
точкой обозначать производную по времени t, а штрихом —
по «безразмерному времени» Д, то имеем

q = k /1 -|- р q', <7 = £2(1-|-р)<7".

Уравнение (3.26) принимает вид

(1+ |x)<7" + <7+yi‘72+y2‘73+Y3<74 +	=0-

Подставляя сюда разложения (3.29) и (3.30) и сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему
уравнений:

<?" +^ = 0.

?2 + <72 = —	— Yi?2.

?з + д3 = — Р2< —	— 2Ж?2 ~ Y29?>

*?4 1 *74	Рз*Д Р2^2	1Д*7з Yi^2

—2 w3 — 3y29?92 — y34

(3.31)
Очевидно, что эти уравнения можно интегрировать по-
следовательно. Начальные условия для них имеют вид

^(0)=1, ?2(0) = ?3(0)= ... =0,
91'(0) = 0, ^(0) = ^(0) = ... — 0.

Тогда из первого уравнения имеем

qr — cos О.

Подстановка во второе уравнение дает

<?2 -г 72 ~ |Ц cos 0'-j---- cos 20.

При интегрировании этого уравнения первый член правой
части порождает в решении секулярный, или вековой член

14O sin О, неограниченно возрастающий, что, очевидно, на-
ходится в противоречии с условием устойчивости системы
в положении равновесия, когда П (<у) имеет минимум. Чтобы
устранить противоречие, мы должны положить pj = 0. Тогда
имеем

<?2 = — Yi (3 — 2 cos О — cos 20).

Переходя к третьему уравнению и выражая произведения и
степени синуса и косинуса через функции кратных аргумен-
тов, имеем

"I	Yi /	। $ „	3	\

<73 + <7з=---Г +^2 + О'Т Wcos$ —

— cos 20 — (1 у2 + у Yi) cos 30.

Для избежания резонанса следует положить

^2 = — у V?+tV2
и тогда

?з = — у + (w Yi~i V2)cosO 4-1 у?cos 204-

+	Y2)cos3$
и т. д. Таким образом, решение можно записать в виде
тригонометрического ряда:

? = (~‘2’Y'p2-lYip3-b •••) +

+ [0+^Yi02+(t5-Y?—iv2)p3+ • • •] cos 0'4-

4-(4yiP2 + 4y?P3+ •.cos 204-

+ [(iv?+^-Y2)p34- ...]cos3O+ ...

Период решения по 0 равен 2л, тогда как по t он равен:

2л 1

k /Т+й

(3.32)

или приближенно, если ограничиться членами до р2 вклю-
чительно:

’=т[‘+-И1*?-4И- <з-зз>

Эта формула получается разложением, в биномиальный
ряд дроби \]У 1 4- Н

(1 + р)-’/з = 1-1р4- ...

с удержанием первых двух членов разложения.

Пример. Приближенное вычисление периода колебаний маят-
ника. Разлагая синус в ряд, получаем

*+f	4=°-

Пользуясь методом Линдстедта, имеем

*2 = р У1 = Уз = 0, у2 = —-§-> Р = «-

Тогда по формуле (3.32) находим

т = 2л 1/	+

V g \	16	)

Эта формула дает достаточно точные результаты.
Г. Точная теория маятника

Круговой маятник (математический или физический), если
пренебречь сопротивлением, можно рассматривать как кон-
сервативную систему и применить общие точные методы

количественного исследования, приводящие к зависимости
между перемещением и временем в виде (3.9) и к формуле
периода (3.12). В дальнейшем ограничимся лишь отысканием
периода. Маятник будем предполагать для простоты мате-

матическим; однако выводы останутся в силе и для маятника

физического, в котором приведенная
длина I соответствует длине матема-
тического маятника.

Приняв за обобщенную коорди-
нату q угол отклонения маятника от
вертикали ф (рис. 54), найдем

П (ф) — mgl (1 — cos ф) const,
а — тР,

Р (ф) = -|п (ф) =

2 o’

= -J- (1 — COS ф) -4- const.

Рис. 54.

Далее, из уравнений (3.10) и (3.12), имея в виду, что

Р (ф) — h	~f- cos ф — -f- (cos ф — cos а),

получим

_______dtp_______

V cos ф — cos а

где а — амплитуда колебаний маятника. Выразим косинусы
через синусы половинных углов по формулам

cosa=l — 2sin2-^-, cos ф = 1 — 2sin2-^-

и, кроме того, положим

sin-|- = A, sin-^- = fesini|),
где ф— новая переменная. Тогда

Ф 1 УЧ--------Го— 9 .	,	2Й COS 11)

COS — = 1/ 1 — Я2 Sin2 ф, dtp = r . r-У- ! —  (/lb,

2 r	_ A2 sin2 ф 4"

и формула для периода после сокращений принимает вид

т=4/

где К (k~) есть так называемый полный эллиптический инте-
грал первого рода в форме Лежандра с модулем k:

я
2
г/ф

Y1 — sin2 ф

о

K{k) = j

Этот интеграл легко может быть вычислен путем разло-
жения функции в биноминальный ряд и почленного интегри-
рования. Итак, имеем:

(1 — ft2 sin2 ф)~1/2 = 1 -j- — k2 sin2ip-|- № 81п4,ФЧ- • • •

Если обозначить

л

2

/2я = J" sin2" ф «/ф,
о

интегрированием по частям находим:

я

Л	2

/2я = — [sin2"'1 фсоэф]02 -ф- (2п — 1) J" sin2"-2ф cos2 фг/ф
о

или

^2л ~ (2/1	1) ^2л —2~1~ (2П	^)^2п'

откуда получаем рекуррентную формулу

, ___ 2п — 1 ,

2 2л	2n 22л-2'

Тогда
т	л т	1л	r _ 1 • 3 л

2 о	-гр-	> >2	2 2’	2>4 2	’
и, следовательно:

(3.34)

что для маятника дает:

г = 2л|/ l[l+(iySin2| + (44ysin4|+	(3.35)

При очень малом угле а, пренебрегая всеми степенями
синуса, получаем приближение, известное из элементарной

теории:

т = 2л

г,	. а а

Если же положить sin-g-s^-g- и удержать первые два
члена, получим достаточное приближение, найденное ранее
по методу Линдстедта

§ 2. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Диссипативные системы характеризуются рассеянием энер-
гии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления
энергии извне обусловливает затухание колебательного про-
цесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные не-
линейные задачи: свободные колебания системы с сухим, или
кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным
сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной вос-
станавливающей силой. В заключение рассмотрим графический
метод, предложенный французским инженером Льенаром и
одинаково эффективный в применении к диссипативным си-
стемам и к системам автоколебательным, которым посвящен
следующий параграф.

А. Колебания системы с сухим трением

Рассмотрим движение прикрепленного к пружине груза
массой т, находящегося на шероховатой горизонтальной
плоскости (рис. 55). При движении груза будет возникать
сила трепля, которую в первом приближении можно считать
независящей от скорости. Пусть f есть коэффициент трения
при движении, /0—коэффициент трения при покое, при-
чем /о>/-

Составим дифференциальное уравнение движения груза,
выбирая за начало координат положение 0 груза при нена-

Рис. 55.

пряженной пружине. Тогда
тх = — сх ± fmg,

где с — коэффициент жесткости
пружины. Знак перед членом fmg,
выражающим силу трения, выби-

рается в зависимости от направления движения. Двойствен-
ность знака обусловливает нелинейность уравнения.

Для удобства записи уравнения движения введем так назы-
ваемую функцию Кронекера sgn (signum — знак):

если х

» х

> О,
< 0.

Учитывая то обстоятельство, что сила трения направлена
всегда противоположно скорости, можно написать:

тх -j- сх = — fmg sgn х.

Система с сухим трением есть принципиально нелинейная
система. В самом деле, характеристика сухого трения имеет
вид, представленный на рисунке 56, где линеаризация,
т. е. замена ступенчатой характе-
ристики прямой, проходящей через
--------начало координат, явилась бы слиш-

; _______ __________ ком грубым приближением, могущим

z сильно исказить картину движения.

----------- При рассмотрении влияния сухого
трения на свободные колебания в ряде
Рис. 56.---случаев (например, в гироскопических

приборах) имеют дело не с силой
трения, а с моментом трения; соответственно вместо переме-
щения х вводится угол поворота <р. Поэтому дальнейшие
рассуждения будем вести для общего случая свободных
колебаний при наличии трения, перейдя к обобщенной коорди-
нате q и обобщенной силе трения.
Итак, дифференциальное уравнение колебаний при нали-
чии трения будет иметь вид:

aq-\-cq —— b*sgnq,	(3.36)

где b*— абсолютная величина обобщенной силы трения при
движении.

Разделим обе части уравнения (3.36) на а и введем обо-
значения:
а	аса

где

Ь*

г =	(3.37)

есть отклонение системы от положения, равновесия под дей-
ствием обобщенной силы, равной силе трения при движении.
Введем также абсолютную величину обобщенной силы тре-
ния при покое Ьо. Тогда величина

6о

r0 = v	<3-38>

будет характеризовать так называемую область застоя,
т. е. такую область изменения координаты q по каждую
сторону от положения q — 0, в которой материальная си-
стема должна оставаться в покое, если она не имела до этого
скорости.

Учитывая принятые обозначения, дифференциальное урав-
нение движения (3.36) может быть записано так:

q-ф- /г2 (q 4- г sgn q) — 0.	(3.39)

Введем новую переменную величину
z = q г sgn q.

Второй член справа представляет собой нелинейную
кусочно-непрерывную функцию. Поэтому такое преобразо-
вание нужно выполнить отдельно для каждого интервала
монотонного изменения координаты. В пределах каждого
такого интервала q=z, q — z, а поэтому уравнение (3.39)
принимает вид:

г4-й2г = 0,	(3.40)
давая решение

z = A cos kt-\- В sin kt,
вследствие чего

q — A cos kt В sin kt — rsgnq. (3.41)

Пусть начальные условия таковы:

t = to = O, q = q^Q, q===q0 = Q.

Рассмотрим движение на отдельных интервалах (рис. 57).

Рис 57.

Первый интервал движения: <7 < 0, sgn<7 = —1. Из уравне-
ния (3.41) имеем:

q — Al cos kt Bj sin ktr,
q — k(— Аг sinkt-j-Bj^ cos kt).

В соответствии с начальными условиями:
л1 = 7о— г, B1~Q,
Я — (Яо —r)cos kt	г.

В конце интервала q — Q, а поэтому ktl=a, и тогда
7i = —(%—2г).

Второй интервал движения: <?>0, sgn q = 4-1- Из уравне-
ния (3.41) имеем:

q = А2 cos kt 4- В2 sin kt — г,
q — k (— А2 sin kt 4- B2 cos kt).

Здесь начальные условия:

i =	<7 = '7i<0. q — q^O.
Тогда

Л2=--=<70—Зг, В2 = 0,
q = (70 — Зг) cos kt — г.

В конце интервала q—Q\ следовательно, kt2~~ л, и тогда:

72 = ?о—4г.

Беря следующие интервалы движения, мы увидим, что
нечетные интервалы будут аналогичны первому, а четные —
второму. Можно составить последовательность отклонений:

7i = (—Wo—2г).
72=(—1)2(%— 4г).. qN = (—\)N (,q^ — 2Nr).

Отсюда легко найти число колебаний до остановки. В самом
деле, остановка произойдет тогда, когда сила трения покоя
будет больше или равна восстанавливающей силе, т. е.

cHv-i | > bo> СЫ

или, после деления на с:

I Qn-i I > ro> I Qn I-

Пока колебания происходят, знаки отклонений должны
чередоваться, и если бы оказалось, что два последователь-
ных отклонения имеют один и тот же знак, то это озна-
чало бы, что движение прекращается, так как в этом случае
восстанавливающая сила оказывается не в состоянии даже
перевести систему через нуль. Поэтому можно написать:

q0 — 2(N— l)r > r0>70—2Nr.

Учитывая сказанное, мы можем утверждать, что левая
часть этого двойного неравенства положительна, а правая
может оказаться и отрицательной, что не противоречит не-
равенству.

Для нахождения полного числа N размахов до остановки
прибавим ко всем частям написанного неравенства 2Nr,
вычтем г0 и разделим на 2г. Получим:

2г 1	2г

(3.42)

Отсюда можно найти искомое целое число М Иногда
для упрощения принимают, что коэффициент трения при
движении f равен коэффициенту трения при покое /0,
т. е. r = rQ. Тогда

<3-43)

На графике колебаний (рис. 58) горизонтальная полоса
шириной 2г есть область застоя *). В данном случае колеблю-
щаяся система попадает в эту область, совершив три раз-
маха, после чего движение прекращается. В каждом интервале

Рис. 58.

движение происходит по гармоническому закону с амплитудой

aN = % — (2га — 0 г	(3-44)

(где «=1, 2, ..., N) около центра, смещенного на ± г
от нуля. Итак, амплитуды убывают в арифметической про-
грессии с разностью 2г. Промежуток времени между двумя
последовательными остановками (между моментами, в кото-
рые <? = 0) равен зг/fe; таким образом, сухое трение не влияет
на период колебаний:

т =	(3.45)

Для получения фазовой картины движения введем фазо-
вые координаты x = q, у ~ q, тогда уравнение (3.39) запи-
шется в следующем виде:

-g- = -A2(x4-rsgny). ^- = у.

•) Если f = /0, то область застоя имеет ширину 2г0.
Отсюда находим дифференциальное уравнение фазовых траек-
торий:

dy____А2 -* + rsgny

dx	у ’

интегрируя которое, имеем:

(х + г sgn у)2
/ су
\ k J

у2

С2

(3.46)

Заметим, что интеграция должна выполняться для каждого
интервала отдельно, когда sgn у есть величина постоянная.
Постоянная С определяется для каждого интервала так,
чтобы начальные значения q и q для д-го интервала сов-
падали с соответствующими конечными значениями для
(п — 1)-го интервала; таким образом обеспечивается непре-
рывность фазовой траектории. Этот метод называется мето-
дом припасовывания решений.

Уравнение (3.46) представляет таким образом семейство
сопряженных между собою полуэллипсов, центры которых
находятся в точках оси х с координатами -ф- г и — г

(рис. 59). Отрезок 2г этой оси около точки О есть отре-
зок покоя, характеризующий область застоя.

Иногда для удобства вводят «безразмерное время» по
формуле

Ь = Ы.	(3.47)
Тогда, обозначая производные по Л, как и прежде, штри-
хом сверху, вместо уравнения (3.39) получим:

Я" + Q Ч- г sgn q' = 0.

Легко видеть, что в этом случае на фазовой плоскости

семейство полуэллипсов заменится семейством полуокружно-
стей (рис. 60).

Б. Колебания системы с квадратичным

сопротивлением

При исследовании колебаний системы с сопротивлением,
пропорциональным квадрату скорости, в уравнении движе-
ния приходится, как и в случае с сухим трением, брать
двойной знак перед членом, выражающим сопротивление,
или же пользоваться функцией sgn. Таким образом, уравне-
ние движения имеет вид:

fl? 4" cq~ ± b”*q2
или

aq-\-cq =— ^**?2sgn?.	(3.48)

Разделим обе части этого уравнения на а и введем обозна-
чения:

± = k2,	-^ = ₽.	(3.49)
Тогда имеем:

q 4- k2q Р<72 Sgn q = 0.

(3.50)

Допустим, что движение начинается в момент £=0 при
<7 = <7о>О, <7о=0. Тогда до первой остановки (^—0) дви-
жение происходит при q < 0, поэтому на основании (3.50)
имеем:

q — Р<72 = 0.

Введем новую переменную z по формуле

z = q2.	(3.51)

Тогда

•	_• ••	••	1 dz

Z = 2qq.

и уравнение движения принимает вид:

-^-2pz = -2^.	(а)

Решение этого уравнения состоит из двух частей:
z = z + z*.

где

есть решение однородного уравнения, а

z* = Aq-Y-B

есть частное решение данного уравнения. Здесь С есть про-
извольная постоянная; А и В — постоянные, находимые путем
подстановки частного решения в уравнение (а):

Итак:

2 = С^4-^(14-2рд).

При / = 0, 2 = 0, а поэтому:

с=^(1 + 2адСч

2 = ^г[(2₽<74 1) - (2₽д04- 1)Л(’-го,1.	(3.52)

9 А. Н. Обморшев
Вспоминая значение z, имеем:

Р/2 Г________________________

k J У (2^ + 1)-(2^+1)	'

Обращение этого интеграла могло бы дать закон движе-
ния. Однако указанный интеграл от трансцендентной функ-
ции не может быть выражен с помощью конечного числа
элементарных функций, поэтому ограничимся лишь нахо-
ждением закона изменения амплитуд. Учитывая, что в мо-
мент первой остановки с = 0, из уравнения (3.52) находим:

(1 + 2^)	= (1 + 2р?0) е~2^.

Для исследования движения от первой остановки до второй
достаточно изменить знак у Р; получим

(1 — 2₽<72) № = (1 — 2р?1) е2^

и так далее. Полагая

2р?у = ху,	(3.54)

имеем:

(1 4- -Vi) е-х‘ = (1 + х0) е~х<>,

(1 — х2) еХ2 = (1 — хх) ех>.

Логарифмируя эти уравнения и вводя обозначения

у = /(х) = In (1 х) — х,	(3.55)

получаем

искомый закон:

/ (*1) = f Оо)>

/Оз) = / (-*2)’

/(— х4) = /(— х3),

(3.56)

На рис. 61 построена кривая у = /(х), с помощью кото-
рой при любом значении х0 легко получить последующие
амплитуды. На рис. 62 показана фазовая диаграмма, где
x = q, у — q—]/~z. Эта диаграмма строится на основании
уравнения (3.52) следующим образом. При движении от
q — q^ до момента первой остановки уравнение (3.52) бе-
рется в том виде, как оно написано, от момента первой

остановки до второй перед р
второй остановки знак опять
меняется на обратный и так
далее. Здесь никакого отрезка
покоя нет, и начало О является
асимптотической точкой; иначе
говоря, особая точка есть
устойчивый фокус.

Обратимся теперь к при-
ближенному исследованию за-
кона движения. Положим, что

а = р<70	(3.57)

надо изменить знак; после

— величина малая; то есть это такой малый параметр, кото-
рый характеризует отклонение системы от линейной. Далее,

введем в уравнение (3.50) «безразмерное» время О по
формуле

(3.58)

где постоянная ц разлагается по степеням а:

Н = аН1-+-а2Н2-|-а3Нз+ •••	(3-59)

Обозначая штрихом производные по &, из уравнения (3.50)
имеем:

?"+(1 -Ьн)? ± р/2 = о.

9’
Положим, далее,
q = qQz.	(3.60)

Тогда

z”-j-(1 ц) z ± az'3 — 0.	(3.61)

Представляя решение в виде ряда, расположенного по сте-
пеням а:

2 = 20(6) + аг1(6) + а2г2(6) + ...	(3.62)

имеем начальные условия:

6 = 0; z0=l; zx = z2 — .. . — 0;

Z0 ~ Zl ~ Z2 ~	~ O'

Подставляя решение (3.62) в уравнение (3.61), а также
учитывая значение р по формуле (3.59), находим:

г" + az” + a2z'' + a3z''

•• • + (1 +aM'l + а2Р2~Ь а2Из~1~ • • •)('г0~1~а'г’1~1~а2г2_Ь • • •)—
— a(z' — аг'4-а2г'+ .. .)2 = 0.

Собирая здесь члены с одинаковыми степенями а и при-
равнивая их совокупности нулю, приходим к системе урав-
нений:

zo + zo=0,

zi “Ь zi= Z0 Hl2))’

Z2 Z2 ~	l^2Z0	Hi2).

Учитывая начальные условия, из первого уравнения находим:
z0 = cos 6.

Подстановка во второе уравнение после преобразования дает
z" -|- Zj = у — у cos 26 — Pj cos 6.

Чтобы не было секулярных членов, должно быть

Р1==0.
Тогда, принимая во внимание начальные условия, имеем
12	„ . 1

Z, = 75----5- COS V + -S- cos 2$.

1 Z о	о

Из третьего уравнения после упрощений находим:

z"2 -f- д2 = — 4 (4" — ^2) cos $ + у cos 2$ — у cos 3$’
Здесь

1
Н2 —у.
вследствие чего

д2 — — у + -yg- cos и — g- cos 2и -gj cos ЗФ.

Ограничиваясь малыми второго порядка малости, находим
решение в следующем виде:

/1	2 <Л ( Л 2	, 61 Л Л ,

z — I у а — у а2 4-11 — у а 4- а2 cos 4-

/1	9	\	1

4- (у а — -g-a2j cos 2-&4-24-а2 cos Зт1. (3.63)

Конец первого интервала имеет место при & = л. В этот
момент

z = z^ = — 1 4-у а — -у-a2 —	а3.

Продолжительность первого полупериода найдем из уравне-
ния (3.58), подставив значение •&==n:

Если сделать подобный расчет для второго интервала,
когда Z изменяется от до д(2), то оказывается, что
с принятой степенью точности вторая половина периода
равна первой, а тогда полный первый период равен:

^-^(i+la2).	(3.64)

Таким же образом можно исследовать движение и в после-
дующие интервалы. С помощью формул (3.57) и (3.60) легко
перейти к координате q.
В. Метод Льенара

Многочисленные диссипативные, а также автоколебатель-
ные системы описываются уравнением вида

?+<Р(?) + ? = 0.

Полагая здесь

(3.65)

x = q, y = q,

нетрудно найти дифференциальное уравнение фазовых траек-

торий

dy_ = — Ф (у) — х
dx	у

(3.66)

Метод Льенара, являющийся разновидностью метода изо-
клин, излагаемого в теории дифференциальных уравнений,

дает возможность по кри-
вой

х = —<р(у) (3.67)
построить поле направле-
ний для данного дифферен-
циального уравнения.

Допустим, что имеем
точку 7И(х, у) с абсциссой
х = OR и ординатой у =
= MR, принадлежащую фа-
зовой траектории (рис. 63).
При этом считаем, что кри-
вая (3.67) уже построена.
Проводя прямую ML парал-

лельно оси х, находим точку ее пересечения М с кривой
(3.67), из которой опускаем перпендикуляр NS на ось х.
Соединяя точку S с М и проводя в М отрезок, перпендику-

лярный к Л45, находим направление касательной к фазовой
траектории в точке М. В самом деле, из рисунка видно, что

tga

MR
OR—OS

У
хД-ф (у) ‘

Перпендикулярный к A1S отрезок имеет угловой коэф-
фициент — ctg а, т. е.

— Ф (У) — х

У -
а это и есть правая часть уравнения (3.66), иначе говоря,
угловой коэффициент касательной к фазовой траектории.
Переходя от точки к точке, можно приближенно построить
фазовую траекторию, а задаваясь различными точками М —
семейство таких траекторий. На рис. 64 построено несколько

звеньев ломаной ММ}М2М3, являющейся аппроксимацией
фазовой траектории при заданной кривой С, соответствующей
уравнению (3.67).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Свободные колебания

q k2q = 0.

Преобразованием времени

б = kt

приводим уравнение к виду

<7" + <7 = О,

где вторая производная берется уже по б1. Уравнение (3.66) при-
нимает вид

dy  х
dx	у '

Так как <р (у) — 0, то кривая х —— <р(у) совпадает с осью у и
точка S на рис. 64 будет совпадать с началом координат для всех
положений точки М. Следовательно, интегральные кривые должны
быть концентрическими окружностями с центром в начале коор-
динат.
Пример 2. Система с кулоновым трением. Вводя безраз-
мерное время б1 — kt, имеем согласно (3.39)

Здесь

?" + ?=±г.

при
при

q' < О,
q’ > 0.

Кривая (3.67) распадается на две прямые:

х = 4-г
х = — г

при у < 0,

при у > 0.

, f +г

Каждая интегральная кривая состоит из дуг окружностей с цен-
трами в точках St и S2 (рис. 65), причем эти полуокружности

переходят друг в друга при пересе-
чении с осью х. Отрезок SjSj есть
упоминавшийся выше отрезок покоя.

Фазовую диаграмму можно полу-
чить таким способом: строим семей-
ство окружностей с центром в О;
далее, разрезаем рисунок по оси х и
сдвигаем верхнюю часть влево на г,
а нижнюю — вправо на г. После этого
надо фазовые траектории «сшить»:
именно, подобрать полуокружности
так, чтобы левый конец каждой ниж-
ней полуокружности сделался нача-
лом верхней (кроме точек, попавших
на отрезок покоя S1.S2). Такое по-
строение мы выполним в следующем
примере.

Пример 3. Система с линей-

здесь преобразование
уравнениям (2.39) и

ным и кулоновым трением. Так как
времени не имеет смысла, то согласно
(3.39) имеем

q 4- 2nq -|- k2q = ± k2r.

Кривая (3.67) здесь распадается подобно предыдущему на две пря-
мые, и мы имеем

( k2r — 2пу при у < 0,

(У) [ — k2r — 2пу при у > 0.

Конечно, можно использовать общее решение н получить семей-
ство фазовых траекторий. Но мы пойдем путем, намеченным в конце
предыдущего примера. Вводя линейное преобразование

х — г ± г,

мы можем уравнение движения привести к виду
г 4- 2nz 4* k2z = 0.
Если п < k, то это есть дифференциальное уравнение затухаю-
щих колебаний, для которого фазовая диаграмма известна. Именно,
мы имеем в качестве особой точки устойчивый фокус, к которому
асимптотически приближаются закругляющиеся спирали (рис. 66, а).

Располагая семейством таких спиралей, разрежем рисунок по оси х,
и сдвинем верхнюю половину влево иа г, а нижнюю вправо на г
и «сошьем» подходящие фазовые траектории. Таким образом, полу-
чим на фазовой плоскости точный «портрет» движения системы
с отрезком покоя S^, характеризующим зону застоя системы
(рис. 66, б).

§ 3. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

А. Основные понятия

Нарушение консервативности системы возможно не только
за счет рассеяния энергии, но и за счет ее поступления. При-
мером такой системы с притоком энергии может служить
колебательная система, совершающая вынужденные колебания,
обусловленные некоторым внешним фактором, именно, воз-
мущающей силой, явно зависящей от времени. Нами было
рассмотрено действие силы, являющейся периодической функ-
цией времени, а также действие произвольно изменяющейся
силы. Заметим, что силу, действующую по произвольному
закону, можно рассматривать как наложение сил с непре-
рывным распределением частот, т. е. об задающую, как го-
ворят, непрерывным спектром частот. Таким образом, в
.......... .............................................
приложении к линейным системам задача отыскания закона
движения при поступлении энергии оказывается усложненной
не в принципиальном, а в чисто практическом отношении.
Выше был дан метод решения такой задачи (см. § 8 гл. II).
Однако поглощение энергии системой из какого-то внешнего
источника может иметь место и при отсутствии колебательных
свойств этого последнего. Именно, парциальный отбор энергии
может обусловливаться нелинейной структурой системы. Иначе
говоря, автономная колебательная система, получая энергию из
внешнего источника, сама управляет поступлением энергии.
Такое состояние системы, при котором она способна при неко-
торых начальных отклонениях начать отбирать энергию для
своего последующего движения, называется самовозбужде-
нием, а ее колебания, устанавливающиеся при балансе посту-
пающей и рассеиваемой энергии, называются автоколеба-
ниями. Система, совершающая автоколебания, называется
автоколебателъной системой.

Автоколебательные системы чрезвычайно распространены.
Таковыми, например, являются смычковые музыкальные ин-
струменты. При движении смычка в одном направлении,
казалось, он должен был бы вызвать монотонное воздействие
на струну; однако упругие свойства этой последней и изме-
нение силы трения между смычком и струной порождают
автоколебания. Примитивно процесс можно описать так. За
счет силы трения смычок увлекает струну в сторону своего
движения. Возрастающая сила упругости приводит при некото-
ром отклонении струны к ее срыву со смычка и к движению
в обратном направлении. Заметим, что при этом происходит
уменьшение силы трения, которая, даже в предположении ее
независимости от скорости, при движении меньше, чем при
покое. После наибольшего отклонения струны она начинает
двигаться снова в сторону смычка, который в какой-то мо-
мент времени опять захватывает ее, и процесс повторяется.
Аналогичные явления происходят в тормозных колодках,
которые порождают своеобразный скрип, при снятии стружки
режущим инструментом, когда автоколебания обусловливают
волнистость стружки. Автоколебательной системой является
ламповый генератор, а также часы. Между прочим, в часах
с маятником отчетливо наблюдается такое явление: для того,
чтобы часы «пошли», необходимо дать маятнику некоторое
чинимальное отклонение для преодоления сопротивлений;
после этого амплитуда колебаний устанавливается сама собою.
Такое возбуждение, когда существует порог начального от-
клонения для порождения автоколебаний, называется жестким,
в отличие от мягкого, когда сколь угодно малое начальное
отклонение порождает автоколебания. В часах маятник или
баланс отбирает порциями энергию от гирь или от пружины
для поддержания колебательного процесса.

Амплитуда автоколебаний не зависит от началь-
ных условий и определяется исключительно парамет-
рами системы. Ранее мы видели, что в автономной линей-
ной колебательной системе возможен периодический процесс
лишь в случае ее консервативности; при этом амплитуда
колебаний определяется начальными условиями. Таким обра-
зом, автоколебательные процессы присущи только не-
линейным системам.

Для большей наглядности сказанного можно привести
энергетические соображения. В линейной автономной системе
рассеяние или поглощение энергии обусловливается членом
bq в уравнении (2.37), где при b > 0 имеем убыль энергии,
а при b < 0 — ее приток. Вне зависимости от знака b
(	b 'I

la следовательно, и п — -^-l закон движения выражается
уравнением (2.45)

q = ae~nt sin (vt 0).

Элементарное рассеяние или поглощение энергии (в зависи-
мости от знака п) за время dt равно

bqdq = bq2dt — а2 [— п sin (vt -f- 0) -j- v cos (vt -j-0)]2 e~2ntdt.

Интегрируя это выражение, найдем изменение энергии за
некоторый определенный промежуток времени, например, за
период. Даже не производя выкладок, видно, что эта вели-
чина пропорциональна квадрату амплитуды, именно:

Д = Яа2,

где А—постоянная, зависящая от параметров п и v. Оче-
видно, что если на систему действуют две силы, пропорцио-
нальные скорости bxq и b2q, где Ьг > 0, а Ь2 < 0, то на
диаграмме энергии (рис. 67) будем иметь две прямые, исхо-
дящие из начала, и система будет либо неограниченно рас-
качиваться (если Д2 > ^i)> ™6° асимптотически затухать (при
Е2 < £j). Таким образом, для установления автоколебаний
по крайней мере одна из этих сил должна быть нелинейной.

На рис. 68 представлены диаграммы энергии при нелинейной

«ускоряющей» силе; здесь Е+ есть кривая притока энергии,

Рис. 67.

а Е~—кривая рассеяния энергии.
Точка пересечения обеих кривых со-
ответствует балансу энергии и опре-
деляет собою амплитуду а автоколе-
баний. На рис. 68, а такая точка С
одна, а на рис. 68, б имеем две точки
С1 и С2. Легко видеть, что в первом
случае наступает мягкое возбужде-
ние автоколебаний: если дать системе
малое отклонение, то при а < ас

приток энергии превышает расход,
и амплитуда увеличивается, т. е. имеем нарастание колеба-
ний. Если же сообщить системе значительное отклонение,

когда а > ас, то расход энергии превысит приток и ампли-
туда колебаний, уменьшаясь, будет стремиться к ас. Итак,
получаются устойчивые автоколебания.

Аналогичные рассуждения применительно ко второму слу-
чаю приводят к выводу, что здесь имеет место жесткое
возбуждение колебаний; при 0 < а < ар расход энергии
превышает приток и система стремится к состоянию покоя;
при ах < а < а2 расход превышает приток: колебания на-
растают, но только до а = а2, так как при а > а2 расход
снова превышает приток и амплитуда уменьшается. Таким
образом, автоколебания с амплитудой оказываются не-
устойчивыми, а с амплитудой а2 — устойчивыми.

Поскольку автоколебательный процесс соответствует пе-
риодическому решению дифференциального уравнения дви-
жения, он должен отображаться на фазовой плоскости зам-
кнутой интегральной кривой, охватывающей положение равно-
весия. Такая кривая получила название предельного цикла.
Существование предельных циклов было обнаружено фран-
цузским ученым Анри Пуанкаре, а на их связь с автоколе-
баниями было указано академиком А. А. Андроновым. Так
как интегральные кривые, иначе говоря, фазовые траектории,
не могут пересекаться, то фазовые траектории, не являющиеся
предельными циклами, должны представляться какими-то
кривыми, асимптотически приближающимися к предельным
циклам или с них сходящими. На рис. 69 представлены

Рис. 69.

фазовые диаграммы движения для двух случаев, соответствую-
щих рис. 68. Именно, на рис. 69, а имеем неустойчивую
особую точку — фокус, из которой исходят расходящиеся
спирали, приближающиеся изнутри к предельному циклу С.
С другой стороны, при достаточном удалении изображающей
точки от центра, она будет двигаться по одной из спиралей,
наматывающихся на предельный цикл снаружи. Таким обра-
зом, здесь имеется один единственный, и притом устойчивый,
предельный цикл.

Обратимся к рис. 69, б, где имеются два предельных цикла
(?! и С2. Поскольку прочие фазовые траектории представ-
ляют собой спирали, сматывающиеся с цикла и наматы-
вающиеся на цикл С2, то мы можем сказать, что О есть
устойчивая особая точка — фокус, — неустойчивый пре-
дельный цикл, С2— устойчивый предельный цикл. Колеба-
тельный процесс, соответствующий циклу Сх, физически не
существует: система либо приходит в состояние покоя, либо
увеличивает свои размахи так, чтобы установились колебания,
соответствующие циклу С2. Здесь мы имеем пример жесткого
возбуждения автоколебаний: необходимо для установления
колебаний «забросить» изображающую точку за цикл Cv
Если же последний, стягиваясь к точке О, исчезает, получаем
предыдущий случай мягкого возбуждения автоколебаний, так
как в этом случае достаточно изображающую точку сколь
угодно мало отклонить из точки О, чтобы установились ко-
лебания, соответствующие циклу С2.

Ниже рассматриваются два аналитических метода иссле-
дования автоколебаний. Первый из них, называемый мето-
дом осреднения, который ведет свое начало от голланд-
ского физика и математика Б. Ван-дер-Поля и получил стро-
гое обоснование и современную форму в трудах советских
ученых Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси и А. А. Ан-
дронова. Кроме того, весьма эффективный, так называемый
асимптотический метод, разработанный Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым, в приближении первого порядка оказы-
вается также совпадающим с методом осреднения.

Другой метод, известный под названием метода малого
параметра, был разработан А. Пуанкаре применительно
к проблемам небесной механики и получил дальнейшее раз-
витие в применении к нелинейным колебаниям, в особенности
к автоколебаниям в работах А. А. Андронова и Б. В. Бул-
гакова. Указанные методы применяются в случаях так назы-
ваемых квазилинейных систем, или систем томсонов-
ского типа, т. е. мало отличающихся от линейных. Системы
с резко выраженной нелинейностью порождают так называе-
мые релаксационные колебания, предельной формой кото-
рых являются разрывные колебания. График этих последних
выражается пилообразной кривой. Таковы, например, коле-
бания струны в музыкальном смычковом инструменте. Раз-
рывные колебания с математической стороны характеризу-
ются тем, что в различных интервалах они описываются раз-
личными дифференциальными уравнениями, решение которых
приходится «сшивать» или «припасовывать» подобно тому,
как это делалось в случае свободных колебаний с сухим
трением. На фазовой диаграмме предельный цикл также ока-
зывается состоящим из отдельных кусков. Исследование
релаксационных автоколебаний будет в дальнейшем показано

на двух примерах.

Автоколебания возникают в системе тогда, когда она

переходит через границу

может случиться, что при
этом переходе система
вообще пойдет в «раз-
нос», но могут устано-
виться и автоколебания.
Вопрос решается иссле-
дованием нелинейных чле-
нов уравнения. Поясним
сказанное примером из
области электрических
колебаний.

Имеем электрический
колебательный контур
(рис. 70), связанный с
электронной лампой-—триодом.

области устойчивости. Правда,

Рис. 70.

доточенные параметры системы:

Даны постоянные сосре-
L-—самоиндукция, R — со-

противление, С — емкость, М—взаимоиндукция, знак кото-
рой определяется направлением витков в соленоидах. На

рисунке даны обозначения величин: I — ток в контуре;
/а— анодный ток; Va— анодное напряжение: V — сеточное
напряжение. Кроме того, показаны: батарея В, включенная
в анодную цепь; анод А; катод К; сетка лампы О.

Уравнение тока I для колебательного контура имеет вид:

д-а-+яг+4/"'=е-

где е — электродвижущая сила наведенного тока, равная

at
Анодный ток /а есть функция линейной комбинации напря-
жений:



Так как параметр D — проницаемость лампы — обычно очень
мал, то приближенно можно положить D да 0.

Распространенный вид функции /(V) — характеристики
лампы — представлен на рис. 71. Эта характеристика, как
видно, в некотором интервале может быть аппроксимирована

отрезком прямой. Вводя так
называемую крутизну харак-
теристики

с__ d-la.

6 — dV'

являющуюся постоянной для
упомянутого участка, имеем:
dI^dV_ _ „ dV_

dt dV dt — df

Так как

то наше уравнение после простых преобразований принимает
вид:

LCV 4- (ЯС 4- /И 5) V 4- V = 0
или

^ + 7ZrV = 0-	(3.68)

Получено уравнение типа

q 4- 2nq 4-^27 = 0,

где п в рассматриваемом примере уже не постоянно,
а является вообще функцией q (в нашем случае V) и, сле-
довательно, уравнение нелинейное.

Если считать в первом приближении S = const, то при

RC — MS — 0

имеем консервативную систему с незатухающими электриче-
скими колебаниями. При

RC —MS > 0
ток в электрическом контуре затухает либо по периодиче-
скому закону, либо апериодически в зависимости от соотно-
RC—MS ,	1

шения между величинами п=-------------- и k — —, как

2LC	V LC

это излагалось в линейной теории, в частности на рассмот-
ренной выше модели Ван-дер-Поля (стр. 63). Наконец,
когда

RC — MS < О

имеем «отрицательное сопротивление»: контур оказывается
само возбуждающим с я и дает в линейной трактовке задачи
нарастающий ток. Порождаются ли здесь автоколебания или
вообще имеет место расходящийся процесс, нам пока неиз-
вестно; на этот вопрос возможно ответить, если пойти
дальше линейной аппроксимации функции /(И). Внешним
непериодическим источником энергии, могущим привести
систему к автоколебаниям, является включенная в цепь ба-
тарея В (рис. 70).

Таким образом, если исходить из данных, при которых
RC—MS = 0, то, меняя слегка хотя бы один из парамет-
ров R, С, М, S, мы можем качественно менять характер
процесса в контуре, т. е. имеем так называемую грубую
систему.

В дальнейшем (стр. 155) этот пример рассмотрим по-
дробно в нелинейной трактовке, которая покажет возмож-
ность порождения автоколебаний.

Б. Метод осреднения

Имеем квазилинейное уравнение

+	(3-69)

где f (q, q) — какая угодно функция от q, q, а ц — малая
величина, показывающая отклонение системы от линейной.
При = 0 система обращается в линейную и уравнение (3.69)
имеет очевидное решение

q = a cos (®/Ц- ср),

(3.70)

где а и ср— произвольные постоянные.
Введем полную фазу

ф = со/ <р

(3-71)

10 А. Н. Обморщев
и будем искать решение уравнения (3.69) при р 4 О также
в форме (3.70), где только а и <р — вообще переменные,
медленно изменяющиеся параметры. Конечно, с таким же
правом мы могли бы искать решение в форме — синуса.

Образуем производную по времени:

q = a cos(at —}— <р) — а<р sin (etf —}— <р) — аа sin (at -|- <р)

и введем требование:

a cos (со£ —<р) — аср sin (at 4~<р) — 0,	(a)

сравните с аналогичным требованием на стр. 98. Тогда,
если принять во внимание уравнение (3.71), находим:

q — — acosin ф,

q — — аа sin ф — aco2 cos ф — aatp cos ф.

После подстановки в уравнение (3.69) и сокращений имеем:

— аа sin ф — aoxp cos ф = р/ (a cos ф, — аа sin ф).

Из этого уравнения и из уравнения (а) легко находим:

=-----~ f(a cos ф, — aco sin ф) sin ф,

du	(3.72)

—%- =----— f (a cos ф, — аа sin ф) cos ф,

dt	aco J	т	1

где ф определяется формулой (3.71).

Мы получили дифференциальные уравнения для опреде-
ления изменяющейся амплитуды а и изменяющегося фазового
угла <р. Правые части этих уравнений можно разложить
в тригонометрические ряды:

— f (a cos ф, — аа sin ф) sin ф =

= Ф (а) + 2 1-Р/ (a) cos /ф 4- Qj (a) sin /ф],
— f (a cos ф, — аа sin ф) cos ф =

(а) -|- 2 IRj (a) cos уф + Sy (a) sin /ф],
где

2л

Ф (а) = — J / (а cos — а(0 sin W sin 41
о

2Л

зр (а) = — J /(а cos гр, —асо sin if) cos ip <Zif.
о

(3.73)

Осредняя правые части уравнений (3.72) за один период,
мы получим так называемые у равнения установления
Ван-дер-Поля, совпадающие с уравнениями первого прибли-
жения по Крылову и Боголюбову;

4^- = -^Ф(а),
dt со 4 7

dt 1 асо 4 7

(3.74)

Эти уравнения упрощаются, если предварительным преобра-
зованием времени & = со/ привести задачу к случаю со = 1.

Первое из уравнений (3.74) дает закон изменения ампли-
туды во времени, второе — поправку на частоту, которой
является второй член правой части. Предельные циклы по-
лучаются в тех случаях, когда для некоторых значений a
имеем

Ф(а) = 0.	(3.75)

Таким образом, автоколебания возможны, если уравнение
(3.75) имеет вещественные корни.

Устойчивость предельного цикла, а следовательно, и авто-
колебаний можно определить с помощью так называемого
метода возмущений. Пусть ау- есть какой-либо веществен-
ный корень уравнения (3.75). Положим в первом уравне-
нии (3.74)

a = a, + £.

где £—малое изменение амплитуды автоколебаний, и раз-
ложим Ф(а) в ряд Тейлора в окрестности ау-. Предполагая,
что Ф' (ay) #= 0, а также ограничиваясь линейным приближе-
нием и учитывая, что

ф (ау) = О,
из первого уравнения (3.74) получим:

5 = ЬФ'(<.,)!.

Решение этого уравнения имеет вид:

Так как со всегда положительна, то при ц > 0 цикл устойчив,
если

Фх(Иу)<0	(3.76)

и наоборот. В самом деле, при выполнении условия (3.76)

>0 при t—>оо.

Многочисленные задачи приводятся к так называемому
у равнению Ван-дер-Поля, которое после преобразования
времени имеет вид:

-^4-7= ц(1 —92)4v-	(3.77)

dv2 1 4 v 7 dv	v 7

где

/(7- 7) = (1 — 72)7-

Если ввести фазовые координаты х = q, y=q, это урав-
нение можно представить в виде двух уравнений:

-^==-*+н(1 — *2)У-

дх_	<3-78)

dO

Полагая

x = acosO, у = — а sin О,
находим:

/(асозф, —a sin ф) sin ф =

= — у (4 — а2) 4- у cos 20 — -j- cos 40,

/ (а cos ф, — а sin ф) cos ф — — у (2 — а2) sin 20 — sin 40.

Следовательно, в этом случае

Ф(а) = у(4 — а2), W(a) = 0.
Приравнивая нулю Ф(а) и отбрасывая случай равновесия
а = 0, получаем предельный цикл при а = 2. Здесь поправка
на частоту в первом приближении равна нулю. Для про-
верки устойчивости предельного цикла находим:

(О' («)!..,= [4(1 - I <’)],., = - 1 < 0.

т. е. при ц > 0 цикл устойчив.

При а = 0 имеем:

[Ф'(а)]й=0=4>0.

Следовательно, в начале координат имеем неустойчивый
фокус, из которого выходят спирали, навивающиеся изнутри
на предельный цикл.

Если ц < 0, то предельный цикл неустойчив; с него
сматываются спиралеобразные фазовые траектории во внеш-
нюю и внутреннюю стороны. Начало — устойчивый фокус.

В. Метод малого параметра

Возвращаясь к квазилинейному уравненйю (3.69)

q+a2q = pf(q, q),

сопоставим с ним так называемое укороченное уравнение

q + (02(7 = 0.	(3.79)

решение которого

q = a cos (at -ф- ф)

назовем порождающим решением исходного уравнения
(3.69) если решение последнего совпадает с написанным
сейчас решением при ц—0. Очевидно, это имеет место не
при любой амплитуде, а только при определенной, называе-
мой амплитудой порождающего решения, или поро-
ждающей амплитудой.

Поскольку система автономна, за одну постоянную инте-
грации можно принять начало отсчета времени, положив
/о=О. Для изучения автоколебаний займемся отысканием
периодических решений уравнения (3.69). Если такие решения
возможны, то возможны и автоколебания. Пусть при <р = О
и при t = 0

g(0) = av ?о(°) = а>

где i?0(Z) есть порождающее решение. Период этого послед-
него:

в то время как период истинного решения вообще отличен
от т0 и равен, например:

т== To“bX’	(3.80)

где %—малая величина.

Амплитуда автоколебаний ct( также отлична от а на не-
которую малую величину (3:

= a (1 —р).	(3.81)

На рис. 72 порождающее решение изображается на фазовой

параметров ц и |3 и

плоскости эллипсом, а периоди-
ческое решение данного урав-
нения при |1 ={= 0 имеет вообще
иную форму фазовой траек-
тории, изображенной пунктир-
ной замкнутой кривой.

Мы имеем право считать,
что периодическое решение
данного уравнения (а мы только
такими решениями и интере-

степеням этих параметров:

суемся) зависит от малых
может быть разложено в ряд по

<7 (0 — Яо 4) 4- Wi (0 4- 4) 4“	4) 4-11₽?4 (0 4~ • • • >

(3.82)

где q0(t)— порождающее решение. Тогда

я (f) — Яо (О 4- Wi 4) 4- 4) 4-	4) 4~ мР'Хд 4) + • • •

(3.83)

Вводим начальные условия. При / — О
?о(О) = а, £(0) = а(1 + Р),
</о(О) = О, ?'(0) = 0.
Из уравнений (3.82) и (3.83), в которых полагаем / = 0,
путем сравнения членов, подобных относительно 0 и р,, по-
лучаем:

?2(0) = а.

Все остальные данные — нули. Далее разложим в ряд нели-
нейную функцию

/(<?. <7) = /Ы0. <7о(О1 +

+	[Wi + 0ft + H2ft + H0ft + • •  1 4~

+	+ 0ft + H2ft 4- мМ 4~ •••]-+

\dq /о

где значки «О» обозначают, что после дифференцирования
сделана подстановка q = q0(t), q — qQ(t). Теперь наше исход-
ное уравнение примет вид:

Яо (/) 4~ №Я1 (0 4“ &Я2 (О 4~ Н27з (0 4“ ИР<74 (0 4~ • • •

... 4- со2до (0 4- g>2iw! (О 4- со2р<72 (t) 4- с)2ц2?3 (О 4-

4- «Mft (С 4- • • • = И/ (ft. Яо) 4- м2 Ях 4-

4-нР ft + ••• 4~н2(—V-) Я\4“М-Рft 4- •••
\ dq Jo	\ dq Jo	\ dq Jo

Производя и здесь сравнение подобных членов, т. е.
приравнивая друг другу величины одинакового порядка ма-
лости относительно ц и 0 в отдельности, приходим к системе
дифференциальных уравнений:

Яо (О 4- ^Яо (О = О,

Я1 (^) 4-	(0 = f [ft (0- Яо (01 -

^(/)4_g)2^2(^) = 0,

Яо (0 + с,)273 (0 ==	?1(04-/-¥-) 71(0-	('3‘84)

\ dq Jo	\ dq /0

Я4^) + ^Я^{') = (~} Я2^) + (^-] Я2^)’
\dq /о	\ dq /0
Решая эти уравнения с учетом начальных условий, последо-
вательно находим:

q0=a cos at,
t

9i = -^ / /1<7о(м)> % (и)] sin и (f — и) du,
О

^2= a cos co^
t

q3=- [ ГРг) <71	+ (w)lsinco(Z— u)du,

3 W J Lw/o \dq la J
о

(3.85)

Далее, условие периодичности решения требует удовле-
творения равенства:

9(т) = 9(0) = а(1 -f-р).

Принимая во внимание выражение (3.80) исправленного пе-
риода, мы можем написать разложение:

7(T) = i7(To) + xi7(To) + y х29(т0)4- ...

Но так как согласно (3.82):

<7 (^о) = <7о (т0) + H<7i (То) + Р<72 (т0) 4~ Р2<7з (то) + Р₽<74 (т0) + • • •.
имеем:

<7о (т0) + Wi (то) Ч~ Pfo (то)

••• +Х<7о(то)+xw’i(t0) + xP<72(t0)+ ••• =а+сф.

Поскольку

<7о(То) = <7о(°) = а- <72(т0) = а. <7о(то) — ?о(0) = О,
то должно быть:

<71 (т0) = О,
или

Я(а) = 0,	(3.86)

где согласно (3.85)

/7(а) = —-i- J /(a cos им, —аи sin аи) sin им du, @.87)
о
Уравнение (3.86) называется уравнением порождающей
амплитуды; оно нередко бывает трансцендентным и ре-
шается графическим или численным методом.

Сравнивая уравнения (3.86) и (3.87) с уравнениями (3.75)
и (3.73), видим, что первое приближение по методу Пуан-
каре эквивалентно решению по методу осреднения, хотя эти
методы исходят из различных предпосылок. При этом метод
Пуанкаре позволяет строить высшие приближения, тогда как
метод осреднения по своей сущности ограничивает решение
лишь первым приближением. Условие устойчивости при
и > 0 получаем в виде неравенства

Н'(ау)<0,	(3.88)

где a.j — корни уравнения (3.87)*).

Для отыскания поправки на период разложим скорость
сначала в окрестности невозмущенного периода, а затем
в окрестности порождающего решения, находим:

q (То) + ’М'(т0) + у № ’(т0) + ... =

= 7о (То) + Mi (т0) 4-	(т0) + • • •

• • • + /До (т0) 4- XMi (т0) 4- • • • =0.

Так как здесь до(то) = О, </2 (т0) = 0, то, ограничиваясь чле-
нами первого порядка малости, имеем:

Mi (То)+Х7о(То)==О.

Откуда получаем искомое значение поправки на период
с точностью до малых первого порядка:

q0 (то)

Подставляя сюда значение д0(т0)=— ао2, имеем:

х = 7^41 (т0).	(3.89)

*) Более подробное и строгое изложение этого вопроса см.
в книге [’].
Так как исправленная частота

. . 2л 2л

(о —_ ((и —I— Ао — — -——	.	,

° г	Т	т0 + х

ТО

А	2л

А© ------2-Х,

то

или

Ли==—2^т°)-

(3.90)

Рассмотрим применение изложенного метода к уравне-
нию Рэлея, часто встречающемуся в приложениях. Это
уравнение, приведенное к единичной частоте, имеет вид:



или, если воспользоваться фазовыми координатами,

—х4-ц(1 — у2)у,

dx

dt) У"

(3.92)

Составим уравнение порождающей амплитуды, для чего
предварительно найдем:

о

— — J /(acoszz, —a sin и) sin и du =
о

о

о

Ла „ , а3 п	а3

I — cos 2« -f- -у cos 2и-g- cos

Так как

т0=2л, Н(а) = ?1(то) = О-,

то после интегрирования и соответствующих преобразований

получаем:

тИ1—М = °-
Итак, предельный цикл есть; он соответствует а — 2/^3.
Устойчивость этого цикла доказывается так же, как это де-
лалось ранее:

t«'wu//s=[4(i -T“!)L/rj=-i <»

Следовательно, найденный предельный цикл устойчив.

Определим поправку на период по формуле (3.89). Имеем:

qQ = — a cos ft,

= (у— -j-a3) ft —-^-(1 — a2) sin 2ft —sin 4ft,

—	— § a3 — у (1 — a2) cos 2ft — -y cos 4ft,

<7i(0) = 0.

Следовательно, X—0, т. e. в первом приближении поправка
на период отсутствует.

Г. Примеры автоколебаний электрических

и механических систем

1.	Ламповый генератор. Обратимся к схеме, представленной
на рис. 70, предположив при этом, что рабочий участок характе-
ристики ахЬх лампы на рисунке 71 не ограничивается отрезком пря-
мой. Тогда наклон характеристики S уже нельзя считать постоянным.

Предположим, как это часто принимается, что S имеет вид:
S = S0 —/<У2,

где So и К — постоянные. Подставим это значение в уравнение (3.68),
которое примет вид:

Положив

1	2

Тс ~“0’

несколько преобразуем это уравнение
2 MSa-RC I МК

V + “о7------LC----I1 ~ MSa-RC' V) V'

Перейдем к безразмерному времени ft по формуле

ft = at
и введем обозначения:

MS„ — RC

VTC ~

МК

MS0 — RC

V=*x.

Тогда наше уравнение принимает форму уравнения Ван-дер-Поля:
х"-|_х=ц(1 — х*)х',

где штрихом обозначены производные по '0'. Итак, при выполнении
условия самовозбуждения (см. стр. 145)

A1SO — RC> О

в контуре возникают незатухающие электрические колебания, суще-
ствование устойчивого предельного цикла для которых было пока-

зано выше при исследовании уравнения Ван-дер-Поля.

2.	Маятник Фруда [2в]. На горизонтальный вал (рис. 73), вра-
щающийся равномерно с угловой скоростью £2, насажен достаточно
свободно, но с некоторым трением, маят-

ник, испытывающий при своем движении
также линейное сопротивление. Очевидно,
что дифференциальное уравнение движения
маятника имеет вид:

J(f 4- b<f mgl sin q> = M (£2 — q>),

где J — момент инерции маятника, b —
коэффициет линейного сопротивления,

Рис. 73.	Рис. 74.

а М (£2 — ср) — момент силы сухого трения; остальные обозначе-
ния очевидны.

Предположим, что характеристика трения М (£2) имеет вид,
представленный на рис. 74. Разложим М (£2 — ф) в степенной ряд
в окрестности £2:

М (Q — ф) = М (£2)— М' (й)ф —-1-Л4"(£2)ф2 —^ЛР"(£2)ф3+ ...

Заметим, что на падающем участке характеристики М' (£2) < 0.
Подставляя это разложение в уравнение движения и производя
линеаризацию, получим:

Уф 4- [А ЛГ (£2)] ф 4- mglq = М (£2).
Отсюда находим угол отклонения маятника от вертикали при
равновесии:

Вводя обозначение

Ф = ф — фо.

перепишем уравнение в следующем виде:

7ф -ф- [b Af' (И)] ф -ф- mgl\f = 0.

Если здесь Ь -ф- М' (Q) > 0, то система диссипативная, если же
b -ф- М' (Q) < 0, то система самовозбуждающаяся, обладающая воз-
можностью порождения автоколебаний. Уточнение может быть
сделано лишь при учете нелинейных членов. То же относится
к случаю Ь -ф- М' (Q) = 0, когда консервативность системы только
кажущаяся. Хотя в этом случае на фазовой плоскости и получается
центр, но этот центр неустойчив по отношению к малым изменениям
параметра: он может порождать фокус, как устойчивый, так и не-
устойчивый. Вопрос о действительном поведении системы решается
уже нелинейной трактовкой задачи.

Удерживая в разложении М (Q — <р) члены до третьего порядка
малости, получим следующее уравнение движения

7ф -ф- [ b -ф- М' (й)] ф -ф- mglty — -i- М" (й) ф2 — — М'" (Q) фз.

Поскольку на падающем участке характеристика имеет точку пере-
гиба, то здесь, если не точно, то с достаточным приближением
можно положить М" (Q) = 0, тем более, что этот член, как показы-
вает более точное исследование, на результате не отражается. Далее
положим

Ь + М' (й) = — &!, -g- М'" (Q) = Ь2.

Тогда имеем:

/ф — ^ф -|- Ь2ф3 _|_ mgl\^ ~ о.

Полагая, далее,

«0=/^- Я = л =	|/^ф, ц =

приходим к уравнению Рэлея:

х" -ф- х = р (1 — х'2) х'.

Существование и устойчивость предельного цикла для этого
уравнения было показано. Итак, возникает автоколебательный про-
цесс, маятник совершает незатухающее колебание постоянной ампли-
туды около своего отклоненного положения.

В обоих рассмотренных примерах мы имели автоколебательные
процессы, каждый из которых отображается на фазовой плоскости
эллипсом (при «обычном времени» I) или окружностью (при «без-
размерном времени» fl-). При малом у гармоническая аппроксимация
вполне достаточна, и колебания получаются синусоидальными. За-
метим, что прн отыскании дальнейших приближений по методу
Пуанкаре имеем почти синусоидальные колебания. Иную картину
будем иметь в двух следующих примерах.

3.	Осциллятор Рэлея при большой нелинейности. Не уточ-
няя вопроса о физической природе системы, предположим, что эта
система описывается уравнением Рэлея (3.91), или

я" + я = и О — я'2) Я',

где штрих обозначает производную по безразмерному времени
9- = (ооД Выше мы исследовали это уравнение с помощью метода
Пуанкаре, предполагая, что у есть малая величина. Тогда оказы-
валось, что получаемые автоколебания близки к синусоидальным
и предельный цикл — к окружности (или вообще к эллипсу). Иначе
говоря, имели случай квазилинейных колебаний. Заметим попутно,
что дифференцируя один раз обе части написанного уравнения и
вводя обозначения

Я' / 3 = г,

сейчас же приходим к уравнению Ван-дер-Поля:

z" -\-z = у (1 ~z2) z'.

При больших значениях параметра у получаются релаксацион-
ные колебания, для исследования которых изложенные методы не-
применимы. Для конкретизации возьмем уравнение *)

х"4-х=^1—x'2j х',	(а)

которое подстановкой

х= q Y 3

приводится к уравнению Рэлея, где у = 1.

При любом значении у. можно применить метод Льенара. По-
строим на фазовой плоскости кривую

1	2

-^ = У-ТУ2.

изображенную на рис. 75 пунктиром. Вспомним, что у = х'. Со-
гласно изложенному выше правилу (стр. 134), строим интегральные
кривые, дифференциальное уравнение которых имеет вид

rfy С-Ну-*
dx	у

(б)

*) Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и
электрических системах, ИЛ, 1952 [26].
Замкнутая кривая есть предельный цикл. Как видно, этот цикл
уже заметно отличается от окружности и даже от эллипса.

Вторичное графическое или численное интегрирование уравне-
ния (а) дает кривую

x = f

I
определяющую закон движения здесь уже взято t = — . Тип этой
\ % /

кривой при ц — 1 представлен на рис. 76, а, при р = 10 — на

рис. 76, б '). Как видим, при р = 1 кривая еще в какой-то мере
напоминает синусоиду, а уже при р = 10 сильно от нее отличается,

определяя собой характерные
релаксационные колебания.

4. Тормозная колодка.
Тормозное устройство, пред-
ставленное на рис. 77, состоит
из вала и упруго закрепленной
колодки * 2 *). Движение системы
может быть описано двумя
уравнениями первого порядка

= — с<р + М (£2 — со),

ф = СО,

где J — момент инерции ко-
лодки, который будем считать

Рис. 77.

(в)

очень малым, с — коэффициент

жесткости пружины, М (£2— со) — момент силы трения, характери-
стика которого представлена на рис. 78. При относительной

>) Об этом подробнее см. книгу [4].

2) Пример заимствован из книги: Андронов А. А., ВиТтА. А.,

Хайкин С. Э., Теория колебаний, Фнзматгиз, 1959, стр. 780 [*].
скорости, равной нулю (й— а = 0), М = Мо, если с | ср | > Мо и
М = сер, если с | ср | <; Мо. Состояние равновесия колодки опреде-
ляется условием:

серо = М (S1), а = 0.

Это состояние неустойчиво и, следовательно, система может само-
возбуждаться, если М' (й) < 0, что будем считать выполненным.

При пренебрежимо ма-
лом J колебательный про-
цесс распадается на два типа
движения:

1)	Если момент силы
пружины уравновешен пли
почти уравновешен момен-
том силы трения, то система
будет иметь малые угловые
ускорения а, и тогда изо-
бражающаяся точка на фазо-
вой плоскости (рис. 79) бу-
дет находиться на силовой
характеристике

F = — сер М (Q — со) = О

(г)

или, во всяком случае, около
нее (в пределе, когда 7 = 0,
точно на ней).

Рис. 79.

2)	Если упомянутые моменты не уравновешивают друг друга,
то при исчезающе малом J получаем чрезвычайно большие значе-
ния со (в пределе -> оо). Этому соответствуют вертикальные линии
на фазовой диаграмме, если рассматривать в данном случае дви-
жение как такой мгновенный скачок, при котором скорость системы а
изменяется мгновенно, а координата х остается неизменной *). Такое

*) Об условиях скачка см. цитированную литературу ['].
условие является своеобразной формой учета малых параметров,
существенных в начальной стадии движения (в данном случае ма-
лого момента инерции) и часто применяется при рассмотрении тех
или иных процессов, связанных с явлением скачка.

Вспоминая правило определения направления движения изобра-
жающей точки на фазовой плоскости, мы можем сказать, что пре-
дельный цикл представляется в виде замкнутой линии ABCDA, два
участка которой ВС и DA изображающая точка в нашем идеали-
зированном случае (J = 0) проходит мгновенно. Если поместить изо-
бражающую точку в произвольном месте Ао, то в конце концов она
принуждена будет двигаться по контуру ABCDA.

Обратимся к подсчету периода автоколебаний для такого пре-
дельного случая. На участке АВ имеем со = £2, а поэтому момент
трения просто изменяется между значениями Мо и Mt. Таким обра-
зом, обозначая время движения по АВ через 7\ и применяя урав-
нение (г) к участку АВ, имеем’

—	+	— Л4;=0,

откуда

_ _ Ма — М,

Г| с£2

Что касается времени Т2— движения по CD, то здесь имеем

41,/с

Мц/С

М (£2 — со) ,
——--------- da,

со
«С

так как ссо = — М' (£2— со) со и rf<p =
= со dt.

По характеристике момента тре-
ния (рис. 78) можно найти величину
этого интеграла численно или гра-
фически. Окончательно,

T=Ti + T2.

На рис. 80, а представлена кри-
вая со (/), состоящая из горизонталь-
ных линий со = £2, соответствующих

участку АВ фазовой диаграммы, и кривых, расположенных между
и й>О1 полученных из участка CD фазовой диаграммы числен-
ным или графическим интегрированием. На рис. 80, б кривая tp (/)
получена из предыдущей также графическим или численным инте-
грированием. Итак, имеем пилообразную кривую, типичную для
разрывных колебаний.

11 А, Н. Обморшев
§ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение
нелинейной системы, находящейся под действием произволь-
ного возмущения, после деления на коэффициент инерции
может быть записано в общем виде следующим образом:

7+/(7- ?) + £(?) = Ф(0-	(3-93)

Здесь ф(/) — возмущающая функция, явно зависящая от вре-
мени, g(q)— восстанавливающая сила, в общем случае нели-
нейная, f (q, q) — комбинация диссипативной и ускоряющей
сил; первая из них направлена противоположно скорости q,
а вторая — в сторону скорости (как при автоколебаниях).
Одна из этих сил, а иногда и обе, могут отсутствовать.
Часто бывает, что / является функцией только q.

В общем виде точное интегрирование уравнения (3.93)
представляет непреодолимые трудности. Однако нас будет
интересовать построение приближенного периодического ре-
шения в ряде случаев в предположении периодичности воз-
мущения. Предварительно заметим, что принцип суперпози-
ции, имеющий место в линейных системах, здесь теряет свою
силу, так что отделять вынужденные колебания от собствен-
ных уже нельзя. Мы ограничимся изложением лишь неболь-
шого числа методов решения, отсылая за подробностями
к соответствующим монографиям (см., например, [4>5-13125]).

А. Метод Дуффинга

Из всего многообразия нелинейных колебательных систем,
подвергающихся внешнему возмущению, рассмотрим только
системы, которые находятся под действием гармонической
возмущающей силы и описываются дифференциальным урав-
нением типа:

7+й27 = ц/(7, q)-\-h coscoZ,	(3.94)

где р—некоторая малая величина.

Обратимся сначала к случаю отсутствия сопротивления
и зададимся специальным видом восстанавливающей силы,
часто встречающимся в приложениях, а именно, рассмотрим
так называемое уравнение Дуффинга:

q + k2 (q -|- р.<73) = h cos со/,	(3.95)

где ц— может иметь как положительное, так и отрицатель-
ное значение; F (q) — k2 (q-|- pg3) есть восстанавливающая
сила, приведенная к единице коэффициента инерции. По ана-
логии с классификацией пружин по виду характеристики мы
говорим, что при р > 0 имеем
жесткую восстанавливающую
силу, при р < 0 — мягкую, при
р = 0 — линейную (рис. 81).

Для отыскания периодиче-
ского решения уравнения (3.95)
воспользуемся методом после-
довательных приближений Дуф-
финга, заключающимся в том,
что, задаваясь первым прибли-
жением решения в виде

—Дсоза/, (3.96)

в последовательных прибли-
жениях коэффициент при cos а

ствующему коэффициенту в первом приближении.

Подставим первое приближение (3.96) в правую часть
уравнения (3.95), которое перепишем следующим образом:

q2 — — k2 (q^ -|- р<?3) -|- h cos (о/.

принимаем равным соответ-

Развертывая куб косинуса

cos3 со/ = cos at -|- i cos Зи/,

получим

q2 = -[k2A(l +|М2)-А]cos at — -i- р£2Д3 cos 3 at,

что после двукратной интеграции с нулевыми постоянными
дает

с/2 —	+ 4 М2) ~ /z] cos -Ь	рй2Л3 cos Зсо/.

11*
Полагая здесь коэффициент при cosot, равным А, получаем
уравнение, связывающее ю и А:

(02 = fe2[l+|M2)-4-	<3-97>

Мы должны решать обратную задачу: по заданной вели-
чине со2 находить амплитуду А, что приводит к решению
кубического уравнения, которое может иметь один или три
вещественных корня. Вопрос о возможности нескольких
амплитуд будет исследован ниже при рассмотрении колебаний
с сопротивлением. Отрицательные значения А, если таковые
встречаются, соответствуют колебаниям с отставанием на пол-
периода от возмущающей силы.

На рис. 82 показаны кривые амплитуд для жесткой
пружины а), линейной б) и мягкой Ь\ «Скелетная» линия

Рис. 82.

соответствует свободным колебаниям (/г = 0). Она является
границей между колебаниями, синфазными с возмущением,
и колебаниями, антифазными по отношению к нему.

Заметим, что применение принципа гармонического ба-
ланса, о котором сейчас будет идти речь, привело бы нас
к тем же результатам.

Б. Метод гармонического баланса

При отыскании периодического решения уравнения (3.94)
удобно воспользоваться так называемым принципом гармо-
нического баланса, предложенным Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым, легшим в основу метода того же


наименования. Идея метода заключается в том, что задаваясь
первым приближением решения

д1=^ A cos (at— е),	(3.98)

подставляют его в уравнение (3.94), разлагают функцию
f (д, д) в ряд Фурье и сравнивают между собой члены
с косинусами и синусами аргумента at или (at — е). При
этом предполагается, что вследствие малости р. члены с выс-
шими гармониками малы по сравнению с первыми гармони-
ками. Вследствие этого указанный принцип получил также
наименование принципа эквивалентной линеаризации.
Беря следующие приближения решения, именно, вводя высшие
гармоники, мы опять выполняем указанное сравнение коэф-
фициентов, получая при этом, с одной стороны, уточненное
значение А и с, а с другой, определяя эти высшие гармоники.

Ограничиваясь случаем линейного сопротивления, восполь-
зуемся принципом гармонического баланса в форме, указан-
ной А. AI. Кацем *). В целях удобства примем такие обозна-
чения постоянных, которые в предельном случае отсутствия
нелинейности (р = 0) приводят к формулам линейной теории
колебаний в хорошо известных обозначениях. Для общности,
следуя Кацу, представим сначала восстанавливающую силу
F (д) в общем виде, полагая лишь, что F (д)— нечетная
функция, т. е. F(—д) = — F (д)‘, при этом функция ф(0
изменяется, как и ранее, по закону косинуса.

Итак, рассмотрим систему, поведение которой описывается
уравнением

д-\- 2пд -|- F (д) — h cos at.	(3.99)

Будем искать первое приближение в виде

д —Acos (at— г).	(3.100)

Тогда приближенно

— a2A cos (со/ — е) — 2паА sin (at — е)	F [A cos (at — e)J =

= h cos e cos (at — e) — h sin e sin (co/ — e).

Разлагая FtAcos^/ — e)J в ряд Фурье и в соответствии
с принципом гармонического баланса ограничиваясь первым

*) Кац А. М., О вынужденных нелинейных колебаниях. Труды
Ленинградск. Индустр. ин-та, № 3. 1939, раздел физ.-мат. наук,
вып. 1, стр. 102-120.
косинусоидальным членом этого ряда, из сравнения подобных
относительно косинуса и синуса членов находим

г 2л	-1	]

—-т-	F (Л cos ф) cos ф </ф—со2 Л =/г cose, |

ял J	? (3.101)

2/иоЛ — h sin е,	J

где для удобства положено со/— е = ф. При /г = 0 имеем
свободные незатухающие колебания (п = 0) с круговой часто-
той ю0, определяемой формулой

2Л

= J F (Л cos ф) cos ф с/ф. (3.102)
о

Амплитуда Л и фазовый угол е для первого приближения

находятся из уравнений

Л

tge

h

2/га>
а>д — а2

(3.103)

имеющих тот же внешний вид, что и в случае линейной
системы; однако в последней соо не зависит от амплитуды.
Конкретизируем теперь сделанные общие выводы на слу-

чае уравнения типа Дуффинга, когда

F^k^q+^f),

т. е. когда уравнение имеет вид

q -|- 2nq-ф- № (q-ф- р.<?3) = h cos &t.	(3.104)

Полагая

q — A cos ф — A cos (at — е),
вычисляем по формуле (3.102) со2:

2л

со2 =	C0S I17!3 cos3 40 cos ф с?ф

о

или

а2 = £2(1 4--|-М2).	(З.Ю5)
что в линейном случае (ц — 0) дает ®0 = fe. Далее, из урав-

нений (3.103) находим

h = А |/[/г2 (1 + у М2) — ®2]2 + 4п2<о2,
2/га

е =--------------------

^2_О2_|_Д.И^2Л2

(3.106)

Первое уравнение разрешить относительно А очень трудно.
Поэтому, вводя по формуле (3.105) а2, представим его
в виде

0)4-2 (а2-2л2) а2+ «4--^ = 0

и разрешим относительно а, что дает нам

а =	о)2 - 2п2 ±

4п2(а2 —п2) . (3.107)

Учитывая зависимость (3.105), строим кривые амплитуд
(рис. 83, а, б, в), подобно тому, как это было сделано
на рисунке 82. На каждом рисунке семейство кривых пред-
ставлено для одного и того же затухания, но для различных
значений амплитуды возмущающей силы. Скелетная линия
соответствует свободным незатухающим колебаниям.

Обратимся теперь к вопросу о многозначности ампли-
туды, для чего изучим влияние изменения частоты возмуще-
ния на амплитуду (рис. 84). Допустим, что в случае жесткой
восстанавливающей силы (рис. 84, а) мы начали увеличивать
частоту от некоторого ее значения о)Р которой соответствует
точка 1 на кривой. В точке 2 амплитуда получит наиболь-
шее значение и начнет постепенно уменьшаться до точки 3,
где произойдет срыв амплитуды до ее значения в точке 4,
после чего опять наступит ее плавное уменьшение. Наоборот,
при уменьшении возмущающей частоты от значения w2 мы
попадаем в точку 5, где амплитуда совершает скачок до ее
значения в точке 6, а далее плавно уменьшается. Таким
образом, в точках 3 и 5 нарушается непрерывное измене-
ние амплитуды. Это явление присуще только нелинейным
системам.
Аналогично обстоит дело и в случае мягкой восстанавли-
вающей силы (рис. 84, б), где разрывы имеют место в точ-
ках 2 и 5.

Рис. 84.

Итак, мы встречаемся с неоднозначностью амплитуды,
величина которой зависит не только от величины частоты <о»
но и от направления изменения этой частоты.
Исследование показывает, что искусственным путем можно
осуществить изменение амплитуды по среднему участку кри-
вой между двумя вертикальными пунктирными линиями, но
здесь амплитуды оказываются неустойчивыми, т. е. практи-
чески этот участок выпадает.

В. Метод Галёркина

Метод, предложенный еше в 1915 г. Б. Г. Галёркиным
в теории упругости и нашедший впоследствии обширное
поле применения как в статике упругого тела, так и в тео-
рии колебаний, относится к числу так называемых вариацион-
ных методов, в которых сравнивается действительное состоя-
ние системы с возможным, близким к нему.

Рассмотрим теоретическое обоснование и применение
метода Галёркина только к случаю колебаний системы с одной
степенью свободы, в общем случае нелинейной. Из курса
теоретической механики известен вариационный принцип
Гамильтона, который в применении к консервативным систе-
мам говорит о том, что при сравнении движения по «прямому
пути» (истинное движение) и по «окольному пути» (возмож-
ное движение, близкое к истинному) действие за некоторое
время т

/о + Т

У (Т — И) at

h

по первому из них есть экстремум (обычно минимум). Иначе
говоря, вариация действия есть нуль, т. е.

6 J (г —П)^=о.

Здесь, как всегда, Т есть кинетическая энергия, П — потен-
циальная энергия системы. При этом считается, что началь-
ные и конечные координаты и скорости всех точек на прямом
и окольном пути совпадают; иначе говоря, их вариации
равны нулю:

6^ = 0, (>qj = Q

при t — t0 и при t = t0-т. Для одной степени свободы
имеем лишь bq = 0, bq — 0.
Принцип Гамильтона обобщается и на системы неконсер-
вативные, но тогда он записывается так:

J (bT+Qbq)dt = O,
4

(3.108)

где Q — обобщенная сила, состоящая в общем случае в коле-
бательной системе из восстанавливающей силы, силы сопро-
тивления и возмущающей силы. Предполагая возмущаю-
щую силу периодической с круговой частотой и, мы будем
искать периодическое решение нелинейного уравнения си-
стемы с периодом

2тг

(3.109)

причем это же значение т примем за интервал интегрирования
в формуле (3.108). Тогда требование равенства нулю вариа-
ций обобщенных координат и скоростей на границах интер-
вала становится совершенно естественным.

Преобразуем уравнение (3.108) к более удобной форме.
Так как Т зависит от q и q, то

А_ дТ . . дТ . •
dq dq

Выполняя интегрирование второго члена, имеем

но на основании сказанного о вариациях bq на концах интер-
вала подстановка исчезает, а поэтому, меняя знак, оконча-
тельно получаем

Если бы мы считали, что уравнение
пусть пока неизвестное, выражает собой точный закон дви-
жения, a bq—произвольное возможное перемещение, допу-
скаемое связями, то из (3.110) сейчас же получили бы
уравнение движения в форме Лагранжа:

А / АЛ — HL _ q — о.
dt \ dq ) dq

Однако вместо точного решения, которое отыскать вообще
очень трудно, зададимся его линейной аппроксимацией

(3.111)

й = 1

где ф] (t)...Фг (О—некоторые функции, которыми мы

задаемся, исходя из соображений простоты и целесообраз-
ности, а й]....ат — неизвестные пока постоянные коэф-

фициенты, принимающие различные значения на прямом и
окольном путях. Следовательно,

6<7= 2 Фй
k = l

Подставляя это выражение в уравнение (3.110), имеем

^akf rQ+Al_A^jTft(O^ = o.
/ L dq dt \ dq /J

й=1 ta

Здесь выражение в квадратных скобках есть результат под-
становки в уравнение Лагранжа аппроксимации (3.111).
Введем обозначение:

=	(3-112)

dq dt \ dq J

Тогда уравнение движения может быть написано в виде

F(q, Z)==0,	(3.113)

а вариационное уравнение Галёркина следующим образом:

J F & t) Фй (0 dt = °-

Й = 1	t
Так как вариации Ъак произвольны, то, полагая /о = О,
получаем уравнения
т

$ F(q, t)yk(t)dt;=Q,	(3.114)

о

где А=1, 2, .... г. После интеграции получаем систему
уравнений для определения постоянных ak.

Рассмотрим часто встречающееся уравнение *):

F(q, t)=aq-\-f(q) — //sin©/ = 0,	(3.115)

где а — коэффициент инерции (масса т или момент инер-
ции J). Предполагая, как это обычно бывает, что f(q) есть
нечетная функция q, мы можем искать решение в виде суммы:

Г

q= 2 «2£+isin(2& + 1)®^	(3.116)

k = 0

Таким образом, здесь

<р4 (t) — sin (2k -ф-1) at.

Вспоминая, что

О

sin [(2s + 1)©/] sin [(2&+ 1) ©/] dt —  т

“2

2л

где т = -^-, из (3.114) получаем уравнения:

(2k	I)2 «©2 ^214 + 1 —

a2s41S'n(2s+ 1)©/

sin(2«+ \)v>tdt (3.117)

для k — 1, 2......г и

т

й©2а1 + 77 = ^- J /
О

"Е «25+1 sin (2sН- 1)©/
.5 = 0

sin©/dt (3.118)

для k = 0.

*) Исследование этого уравнения, а также пример, заимствован
из статьи А. И. Лурье и А. И. Чекмарева «Вынужденные
колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной
из двух прямолинейных отрезков». Прикладная математика и меха-
ника, т. 1, 1938, вып. 3.
После вычисления интегралов найдем все значения

аР а3, .... «2г+1-

Пример. Вынужденные колебания груза массы т, находя-
щегося между двумя упругими стопорами с полным зазором 2а0

(рис. 85, а). Упругая характери-
стика системы изображается в виде
ломаной (рис. 85, б).

Уравнение движения системы
имеет вид

/ (х) — Н sin at = О,

где

/(*) =

О,	— х zZq,

с (х— л0), х > а0,
с(х + а0), х<—ай.

В решении (3.116) ограничимся
первым приближением

х — a sin at.

Пусть | а | > аа и а > 0. Обозна-
чим через ti наименьший корень
уравнения

а0 = a sin at.

Тогда

	0	при	0 < t < ti,
	с (а sin at — аа)	»	Л <t <^—tl,
/ (a sin at) =	0	»	i~ti<t<j + ti
	с (а sin at аа)	»	у + Л < t < х — t\>
	0	»	Т — ti <t <х.

Если же | а | < то / (а sin at) — 0.

Из уравнений (3.117) и (3.118), служащих для определения
ait а3, л5.... у нас, при ограничении первым приближением,

остается только (3.118), где вместо а и следует положить соот-
ветственно т и а. Имеем

г

тара И = J / (a sin at) sin at dt.
о

При вычислении интеграла интервал от 0 до т делим на пять
частей, согласно выражению функции /(a sin at), данному выше.
Из пяти интегралов останутся только два, и мы получим

J" / (« sin со/) sin at dt =» J* c («sin at — aa) sin at dt -f-
o	/,

T-I

c (« sin at + «0) sin at dt.

Учитывая, что atA = arc sin ~ и что

sin 2®Л = 2 —
a

окончательно находим

sin со/ dt ==

0

= ca

•	^0 1

« arc sin ~ -|- a0

При | a I > «о и a < 0 после тех же вычислений получим анало-
гичный результат, где только перед вторым членом справа будет
стоять знак минус. Таким образом, вводя обозначение

будем иметь

«

У = —>
a0

sin at) sin at dt =

0

2 Г
= caoy ± — ca0 у arc sin

после чего уравнение для определения а (или, что то же, у)
примет вид

[(т)2- *] у + i = ± У [у arc sin У + 1/1 - (у)2 ] ’ (а)

где, по аналогии с линейными системами (стр. 37 и 90), положено

.2 с , Н
k2 = --- ,	,

т	с
Уравнение (а) трансцендентное; его достаточно просто можно
решить графически (рис. 86), найдя точки пересечения прямой

(6),

характерной для каждого отдельного случая (параметры со, k, d
аа — различные для разных систем), и раз навсегда построенной
кривой

^2=±4[5'arcsiny+]/1-(y)2 ]•	(в)

Из рисунка видно, что таких точек пересечения вообще две,
из которых одна соответствует а > 0, а другая — а < 0; в первом

случае имеем колебания, синфазные с возмущением, во втором —
антифазные. В некоторой области расположения прямой zx пере-
сечение линий может вообще отсутствовать. Однако это не озна-
чает, что колебаний нет; так как не надо забывать, что мы огра-
ничились лишь первым приближением. Очевидно, в этом случае
следует взять большее число членов решения (3.116) и лишь тогда
уже выносить суждение о движении.

Г. Вынужденные колебания с сухим трением

Влияние сухого трения на свободные колебания систем
было рассмотрено выше (стр. 122). Тогда же было полу-
чено дифференциальное уравнение колебаний (3.39), а именно:

<? + &2(<7+rsgn<7) = 0,

где k — частота собственных колебаний линейной системы,
а постоянная г выражается через обобщенную силу сухого
трения Ь* следующим образом:
Предположим теперь, что восстанавливающая сила остается
линейной, но вводится еще возмущение, действующее по гар-
моническому закону:

Q = H sinat
или, если отнести возмущающую силу к единице коэффи-
циента инерции:

— = h sin at = /г2 d sin at,
a

где согласно формуле (2.130)

есть статическое смещение системы под действием силы Н.
Итак, имеем уравнение

q-}-k2q~k2(dsinat—rsgnq). (3.119)

Исследование движения, описываемого этим уравнением,
представляет большие практические трудности. В самом деле,
наиболее естественный путь — это интегрирование уравнения
по отдельным этапам в зависимости от направления движения
с припасовыванием решений в конце одного интервала и
в начале следующего. Так мы поступали при исследовании
свободных колебаний. Здесь дело осложняется наличием
переменной внешней синусоидальной силы и возможностью
вследствие этого остановок конечной продолжительности
или пауз, в течение которых сила трения уже не постоянна.
Правда, в это время движение отсутствует, но становится
громоздким определение моментов
qi	остановок и постоянных интеграции.

/У	Не вдаваясь в утомительные под-

~д'	*	робности, наметим все же основные

вехи этого метода, разработанного
впервые Эккольтом.

Рис' ’	Пусть в начальный момент при

/ = 0,7 = 0, 7 = 0, и возмущающая
сила начинает толкать изображающую точку Мо слева направо
(рис. 87). Тогда, по достижении этой силой некоторого зна-
чения, точка начнет двигаться вправо, при этом 7 > 0,
sgn 7 = -}-1. Уравнение примет вид

7 4- k?q — k2 (d sin at — г).
Движение начнется в тот момент /0, когда будет выполняться
равенство

d sin <о/о = г.

В дальнейшем для упрощения считаем, что коэффициенты
трения покоя и движения равны между собой (г — г^). Обо-
значая ®Z0 = d, можно написать

q -|- k2q — k2 [d sin (at 4- 6) — r],

что даст нам возможность отсчитывать время t от начала
движения тела. На рис. 88 кривая А дает закон изменения

Рис. 88.

возмущающей силы; в измененном масштабе это есть
d sin (at -|~б). Кривая В определяет закон движения.

Допустим, что в момент времени точка достигла наи-
большего отклонения и остановилась; в этот момент (точнее
говоря, непосредственно перед этим моментом) q < 0. Для
того чтобы движение началось в обратную сторону, это
неравенство должно сохраниться. После остановки сила тре-
ния меняет свое направление. В этом случае имеем

q = &2 [d sin (at -|- б) -ф- г — q}.

Движение будет продолжаться без паузы, если в момент tv
мгновенной остановки удовлетворяется неравенство

d sin (at{ ф- б) 4- г — ^max < 0.

Если же этого нет, то наступает пауза до момента вре-
мени /2, когда, вследствие убывания синуса, будет

d sin (®Z2 4- 6) 4- г — ?max < 0,
что и показано на рисунке. Величины /у и <?тах подлежат
определению на основании решения дифференциального

12 А. Н. Обморшев'
уравнения и определения постоянных интеграции по начальным
условиям. Этот процесс может быть продолжен и далее, что
дает точное, но громоздкое решение задачи.

В практических случаях вполне возможно отказаться
от точного решения задачи и ограничиться получением общей
оценки амплитуды вынужденных колебаний. Такое прибли-
женное решение было указано Ден-Гартогом, который пред-
ложил эквивалентную линеаризацию системы [10]. Сухое тре-
ние заменяется вязким сопротивлением, дающим за четверть
периода эквивалентное рассеяние энергии. При этом пред-
полагается, что трение вообще мало и собственные коле-
бания отсутствуют.

Итак, параллельно с уравнением, описывающим поведение
нелинейной системы (назовем ее системой I):

q -ф- ktr sgn q -j- ktq = /г2 d sin at,
рассмотрим уравнение, описывающее поведение линейной
системы (назовем ее системой II):

q 2nq 4- k^q d sin at.

Пренебрегая для упрощения несущественным в данном случае
сдвигом фаз, полагаем, что движение происходит по закону

q — a* sin at = a* sin .

Найдем рассеяние энергии, отнесенной к единице инер-
ционного коэффициента, в системе I за четверть периода:

т	г

т	т

IFj — J ktrq dt ~ ktrtfa J cos at dt = /г2га*.
о	0

Рассеяние энергии в системе II за тот же промежуток вре-
мени будет

т	т

Т	Т

— J inqq dt = 2/ico2 (a*)2 J cos2 at dt —
о	о

r
4

= no1 (a*)2 [(14- COS 2a>0 dt =	.

J
Приравнивая друг другу значения IF, и W^n, находим
величину эквивалентного коэффициента затухания:

2k2r
п. =------г

лсоа*

(3.120)

и соответственно эквивалентного коэффициента сопротивления:

46*
лсоа*

(3.121)

Амплитуда а* вынужденных колебаний равна
а* = /.d,

где X—коэффициент динамичности, определяемый по фор-
муле (2.128):

с безразмерными величинами
со <- п

Подставляя сюда значение п из формулы (3.120) и про-
изводя несложные алгебраические преобразования, приходим
к выражению X* для случая сухого трения:

(3.122)

Эта формула имеет смысл лишь при 4r < nd. При резо-
нансе (г=1) колебания неограниченно нарастают. Дело
в том, что в этом случае, как видно из формул (3.120)
и (3.121), эквивалентное линейное сопротивление убывает
с ростом амплитуды. При малом сухом трении поглощение
системой энергии извне за счет действия возмущающей силы
превосходит ее рассеяние вследствие трения, которое про-
порционально первой степени амплитуды. В то же время
при вязком сопротивлении рассеяние энергии пропорцио-
нально квадрату амплитуды, чем и объясняется качественное
различие в поведении системы при резонансе.
§ 5. СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ
С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А. Основные понятия

До сих пор мы рассматривали такие механические
и электрические системы, поведение которых описывалось
дифференциальными уравнениями, либо вообще не содержа-
щими время t в явном виде (автономные системы), либо
содержащими его только в правой части, т. е. в выражении
возмущающей силы, действующей на систему. Однако суще-
ствуют системы, в которых некоторые параметры (к тако-

вым
ции

относятся: коэффициент жесткости с, коэффициент инер-
а, коэффициент сопротивления Ь) изменяются в зависи-
мости от времени. В том случае,
когда такое изменение происходит по
периодическому закону, имеет место
параметрическое возбуждение
колебаний, а линейные системы,
в которых происходит это явление,
называются реолинейными систе-
мами. Колебания, происходящие
в таких системах, получили название
квазигармонических колебаний.

Простейшим примером реолиней-
ной системы могут служить обыкно-
венные качели (рис. 89). Известно,
что для раскачивания качелей чело-

в крайних положениях

век,

стоящий на доске, должен

и М2 приседать, а в среднем

положении Мо выпрямляться. Здесь мы имеем систему, экви-
валентную математическому маятнику переменной длины,
которая увеличивается в крайних положениях и уменьшается
в среднем. Возникающее при этом увеличение амплитуды
колебаний называется параметрическим резонансом.

Математически реолинейные системы описываются диф-
ференциальными уравнениями с переменными периодически
изменяющимися коэффициентами. Типичным уравнением такого
рода является уравнение Хилла, которое в общем виде запи-

сывается так:

?+Ф(0?=о,

(3.123)

где ф(/)—периодическая функция времени с периодом т.
Это уравнение имеет многочисленные применения в технике.
Однако мы ограничимся изложением лишь элементов отно-
сящейся сюда теории, разработанной Флоке для уравнений
с периодическими коэффициентами, и более подробно оста-
новимся на двух частных случаях, имеющих наибольшее
практическое значение.

Для упрощения дальнейших рассуждений заменим неза-
висимую переменную t безразмерной переменной х, так,
чтобы период по х был равен 2л. Именно, положим

* = ~ <3-124)

Тогда, обозначая штрихом дифференцирование по х, вместо
(3.123) имеем

<7-(-Д' (x)q = 0,	(3.125)

где

Ч'(х) =	*(^4	(3-126)

Этой новой формой уравнения Хилла мы и будем зани-
маться в дальнейшем.

Б. Уравнение Хилла

Не задаваясь целью отыскания общего решения уравне-
ния Хилла (3.125), что является задачей весьма трудной,
ограничимся исследованием возможности получения периоди-
ческих решений, характеризующих колебания с посте янной
амплитудой и наступающих при определенных условиях,
а также выяснением условий устойчивости системы [15], [25].

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что
уравнение второго порядка вообще имеет два линейно неза-
висимых решения. Обозначим эти решения для уравнения
(3.125) через /1(х) и /2(х). Поскольку при увеличении
безразмерного времени х на период 2л уравнение (3.125),
вследствие периодичности W (х), сохраняет свою силу, то
/1(х-}-2л) и /2(х-}-2л) также являются решением этого
уравнения. Но тогда они должны выражаться линейно
через /](х) и /2(х), т- е-

(х) = (хД-2л) = Дц/i (х)-}-д12/2(х), 1
/?2W = /2(^ + 2n) = a2i/1(x)-|-a22/2(x), J
где atj — некоторая постоянная.
Мы говорим, что /, (х) и /2(х) образуют фундамен-
тальную систему решений уравнения (3.123). То же
можно сказать и о функциях Fx (х), Р2 (х), так как взяв
их за отправные, можно построить решения /, (х) и /2(х).
Это, в свою очередь, приводит к требованию разрешимости
уравнений (3.127) относительно fx (х) и /2(х), т. е. к нера-
венству

«11	«12

«21	«22

^о.

Покажем теперь, что существуют такие нормальные реше-
ния уравнения (3.125), которые при увеличении аргумента х
на период 2л умножаются на некоторую постоянную вели-
чину s. Обозначая их звездочкой, по определению имеем

F*(x) = /*(x+ 2л) = $/*(х).	(3.128)

Поскольку /*(х) есть решение, оно должно являться
линейной комбинацией решений первоначальной фундамен-
тальной системы, т. е.

Лх) = Ш*) + Ш4 (3.129)

То же мы можем написать для F* (х):

Г(х) = Л1/’1(х)+Л2/?2(х). 

Подставляя в уравнение (3.128) написанные соотношения,
далее выражая Fx (х) и /^(х) через fx (х) и /2(х) по фор-
мулам (3.127) и перенося все члены в одну сторону, после
соответствующей группировки имеем

[Xi («п — s) —j- X2«2i I fx (х) -ф [А.!«12 -Ь А2 («22 — s)J /2 (х) = 0.

Полученное соотношение должно удовлетворяться при
любом х. Так как /j(x) и /2(х) линейно независимы, то
выражение в каждой квадратной скобке должно равняться
нулю:

(«11--S) Aj -ф- «21^2 = 0,

«12^1 + («22 — 8) Х2 = 0.

Эти два однородных относительно Aj и Х2 алгебраических
уравнения удовлетворяются ненулевыми решениями Xj и Х2
ЛИШЬ
нулю

в том случае, когда определитель системы равен



«ц —5

«12

«21

«22 — 5

= 0,

или в развернутом виде

№ — (ап а22) s -|- (а^а22 — «2i«i2) = 0-	(3.130)

Два корня в, и s2 этого определяющего у равнения дают
нам две системы значений Xj и Х2 *). Тогда, согласно соот-
ношениям (3.129), (3.128), имеем соответственно:

«+ц2)/2«-

F\ (х) = Si/1 (х),

Д2 (х) == «2/2 (х).

Допустим, что начальные условия таковы:

Л(0)-1. /2(0) = 0, /;(0) = 0, /'(0)^1.

Тогда, полагая в уравнениях (3.127) х — 0, имеем

«п = /1(2л),	а2] =/2 (2л).

Дифференцируя уравнения (3.127) по х и снова полагая
х = 0, найдем

«12 = /1 (2л)’	«22 = /1 (2л)-

Вследствие полученных значений коэффициентов свободный
член в уравнении (3.130) будет равен

/1 (2л) /2 (2л) — /2 (2л) /1' (М

С другой стороны, поскольку (х) и /2(х) являются
решениями уравнения (3.125), можно написать

/J'W + 'FtxVj (х) = 0,
/''(Х)+¥(Х)Д(Х)=:О.

*) Точнее, к двум отношениям Х1 и /,2, так как при умноже-
нии и Х2 на одно и то же число, на то же число умножится /* (х),
Т. е. принципиально нового решения не получается.
Умножая первое из этих уравнений на /2 (х), а второе —
на /j (х), вычитая и интегрируя, получим

(•*) /2 — Л Л' W = const-

Подставляя сюда х = 0, находим, что постоянная равна
единице, следовательно, и свободный член в уравнении (3.130)
также равен единице

fiW'2(x)-f2(x)f{(x)==\.

Обозначая

Л = 1[/1(2л) + /'(2л)],	(3.131)

получаем определяющее уравнение в следующем виде:

s2 —2As4-l=0.	(3.132)

После этих предварительных рассуждений ищем решение
уравнения (3.125) в виде

q = /* (х) = ehx(f (х).	(3.133)

где <р(х) — периодическая функция с периодом 2л, a h —
некоторая подлежащая определению постоянная, которая
может быть действительной, мнимой или вообще комплексной
величиной. Увеличивая аргумент х на период 2л, имеем

f (х 4- 2л) = sf* (х) — еМ*+2л)ф (х + 2л) =

_ е2лЛеЛХф	(Ху

Так как у нас два фундаментальных нормальных реше-
ния /*(х) и /*(х), которым соответствуют корни квадратного
уравнения (3.132) так, что

F*M = Sjf*(x),

где 7 = 1, 2, то имеем также два значения h:	и h2.

Из сказанного следует, что		(3.134)
	$У = е2яЛ/,	
откуда обратно	A/ = ilns/'	(3.135)

Полагая вообще

(3.136)


где I = У —1, и учитывая, что в общем случае

имеем

Insy — In | Sy | +Zargsy,

v> = i-arS^

(3.137)

При вещественном Sj соответствующее Vj равно нулю.
Если же корни и $2 комплексные, то они непременно попарно
сопряженные, и тогда V! и v2 различаются только знаком.

Согласно выражению hj (3.136), решение (3.133) можно
переписать так:

Qj = е'1/ (cos VjX 4-1 sin VjX) cpy (x).	(3.138)

Исследуем характер движения в зависимости от коэф-
фициента А или, лучше сказать, его модуля | А |. При этом
примем во внимание, что произведение модулей корней
ЫЫ = 1.

1)	|Л| > 1. Корни вещественные (V[=v2#=0), причем
один из них (например, $4 численно больше единицы; тогда
щ > 0 и решение будет расходящееся. Хотя при этом
|s2| < 1 и ц2<0 и решение q2 есть сходящееся, тем не
менее система динамически неустойчива, так как полное
решение вообще есть линейная комбинация qx и q2.

2)	| А | < 1. Корни комплексные сопряженные (V! = — v2).
Так как модули двух сопряженных величин между собой
равны, то в данном случае каждый из них равен единице;
тогда p! = p2 —0. Оба решения qx и q2 ограниченные,
а поэтому система динамически устойчива. Система совер-
шает колебательные движения с ограниченной амплитудой.
Что касается вопроса о периодичности решения, то, как
видно из уравнения (3.138), периодично, если Vj есть
рациональное число. Полное решение является периодиче-
ским, если Vj и v2 являются оба рациональными числами.
Это следует непосредственно из формулы (3.129), опреде-
ляющей общее решение.

3)	|Д| = 1. В этом случае имеем два одинаковых веще-
ственных корня, численно равных единице. При этом воз-
можны комбинации: а) $1 = $2 = 4-1; б) s1 = s2 =—1.
Не задаваясь построением общего решения в этом переходном
случае, мы можем лишь утверждать, что одно решение из
двух периодично. Если $ = —{— 1, то, например,

Fr (х) = Ар! (X + 2л) = <Р! (X) = /! (X),
т. е. период решения равен 2л. Если же $ = — 1, то

Fi (х) = е1я^ (х 4- 2л) = — q>! (х) = — Л (х)
и, следовательно, для возвращения к значению плюс (х)
переменная х должна получить приращение еще на 2л.
Таким образом, период’ оказывается равным 4л. Заметим,
что при возвращении к переменной t период будет соответ-
ственно равным т и 2т.

Если в уравнении (3.125) из совокупности параметров,
от которых оно зависит, выбрать два и отложить их по осям
прямоугольной системы координат, то таким образом в этой
плоскости параметров можно построить области динами-
ческой устойчивости и неустойчивости. Границы этих
областей определяются равенством

И = 1.

На границе областей, т. е. в переходном случае корни урав-
нения (3.130) кратные, а поэтому поведение системы требует
особого исследования *). Здесь заранее можно утверждать
лишь то, что одно из двух решений периодично с перио-
дом 2л или 4л.

Интересно отметить, что два решения одинакового периода
ограничивают область неустойчивости, а два решения разных
периодов — область устойчивости. В самом деле, допустим,
например, что в интервале между $=1 и $= — 1 лежит
область неустойчивости, и, следовательно, корни уравне-
ния (3.130) вещественные. Но тогда при перемещении от
одной границы к другой, вследствие непрерывности корней,
один из них должен обратиться в 0, а тогда другой неиз-
бежно будет равен бесконечности, что невозможно. Следова-
тельно, между границами с разными периодами должна лежать
область устойчивости, что и требовалось доказать.

В последующих двух разделах указанное построение
областей будет показано для двух наиболее часто встречаю-
щихся вариантов уравнения Хилла.

*) Как правило, эти границы относятся к неустойчивым обла-
стям [25].
В. Уравнение Мейснера

В ранний период строительства и эксплуатации транс-
портных электровозов последние снабжались спарниками,
которые порождали периодически изменяющуюся жесткость
ведущей системы, что приводило часто к интенсивным коле-
баниям. Этот вопрос (см., например, [10], [28]) был подробно

исследован швейцарским
профессором Мейснером,

V'fz/

который для описания =4
явления получил диффе-

ренциальное уравнение
угла поворота кривошипа
с периодическим коэффи-
циентом, причем жест-
кость системы он аппро-
ксимировал ступенчатой

2л 2л 4л 5л

Рис. 90.

характеристикой (рис. 90). Согласно этой характеристике

функция
чения:

Т (х) в уравнении (3.125) имеет следующие зна-

'У (х) — б-|-е,

W (х) = б— е,

если 0 < х

если л

л,

2л,

(3.139)



О

где б и е — положительные величины. Уравнение движения
принимает вид

q-|- (б ± е) q = 0.	(3.140)

Здесь величина е характеризует собой глубину пульсации.
Введем обозначения

п1 = '|Аб-|-е, п2='|/б— е.	(3.141)

Тогда за первую половину периода (0 < х < л) движение
описывается уравнением

и за вторую половину периода — уравнением

Соответствующие решения имеют вид
qx = С1 sin zijX -|- С2 cos пхх,
q2 = С3 sin п2х -j- С4 cos п2х.

(3.142)
Условия на границе двух
периода могут быть записаны

полупериодов и в конце всего
так:

<?1>х=л = ^Х=Я’

^Х=2Я = 3ШХ=0'

(Я 1Хг=Л

(?2)х=2Л

==^х=я>

= 5ШХ=О.

(3.143)

Подставляя в уравнение (3.143) значения q4 и q2 из (3.142)
при соответствующих значениях аргумента х и перенося все
члены в одну сторону, получим для определения СР С2,
С3, С4 четыре однородных уравнения. Эти уравнения могут
дать отличные от нуля решения для СР С2, С3, С4 только
в том случае, если определитель системы будет равен нулю.

Составляя этот определитель, после несложных преобразова-
ний получим определяющее уравнение

s2_2Xs4-1 =0,

где

п1 п2

Д = cos лп± cos лп2------2^—sin JUij sin лп2.	(3.144)
Воспользуемся теперь общими рассуждениями предыду-
щего раздела. Вспоминая значения /г, и п2 из формул (3.141),
мы можем построить граничные кривые

Л (б, е) = ± 1.

(3.145)

Это сделано на рис. 91, где сплошные кривые соответствуют
значению Л = -|- 1, а пунктирные — Л — — 1. Области устой-
чивости заштрихованы. Полученная диаграмма иногда назы-
вается картой устойчивости.

Г. Уравнение Матьё

Другим важным вариантом уравнения Хилла является
уравнение Матьё, подробно исследованное еще в прошлом
столетии и впервые примененное в теории упругих колеба-
ний Н. М. Беляевым в 20-х годах нашего века. При выб-
ранном ранее безразмерном аргументе это уравнение имеет
вид:

q" -1- (б	е cos х) q = 0.	(3.146)

Здесь глубина пульсации характеризуется также величиной е.

Исследование уравнения (3.146) труднее, чем уравнения
Мейснера. Построение граничных кривых основано на том,
что на этих кривых, как мы уже знаем, имеет место перио-
дическое решение с периодом 2л или 4л. Представляя реше-
ние в виде ряда Фурье, который подставляется в уравне-
ние (3.146), сравнивая коэффициенты при одинаковых триго-
нометрических функциях и выписывая условия совместности
получающихся алгебраических уравнений для коэффициентов
Фурье, приходим к некоторым детерминантным уравнениям,
связывающим 6 и е для граничных кривых *).

В случае малого е, что часто встречается, эти кривые
могут быть определены проще [25]. Представим в уравне-
нии (3.146) q и 6 в виде степенных рядов, расположенных
по степеням е

Ч — У о + еУ1 + е2Уг 4“ I

6 = бц e6j е2$2 Ч- • • • I

(3.147)

*) Этот вопрос подробно освещен в [15].
Здесь постоянные и функции yk (х) должны быть
определены так, чтобы функция q(x) была решением уравне-
ния (3.146) с периодом 2л или 4л и притом таким., которое
сводилось бы к cosnx/2 или sinnx/2 при е—>0 (п — 0, 1,
2, . . .). Подставляя разложения (3.147) в уравнение (3.146)
и сравнивая между собой коэффициенты при одинаковых
степенях е, подобно тому, как это в свое время было пока-
зано для метода Линдстедта (стр. 144—145), получаем систему
уравнений:

У о + 6оУо = 0,

y;' + %yi = -V0-yocosx’ (ЗЛ48)
~ Мо~М1 ~ SjCOSX, I

При этом каждая функция yk (х), как указывалось выше,
должна иметь период 2л или 4л. Тогда первое уравнение
системы (3.148) даст нам для 60 следующее значение:

6о = Д«2,

где n = 0, 1, 2, ... Из того же уравнения для у0 получаем:
y0=cos-^- или y0 = sin-^-.

При л = 0, 60 = 0, у0 = 1; второе уравнение дает
у" = — — cos х,

откуда, вследствие периодичности уР параметр должен
быть равен нулю, тогда

yt = cos х + С.

Третье уравнение дает

у2 = — 62 —— С cos х — -g- cos 2х.

Для периодичности у2 должно быть б2 = —	. Итак, полу-

чено приближенное уравнение первой граничной кривой
(,=-!»>+...
Аналогично поступаем для п— 1, 2 и т. д. Избавляясь
всякий раз от непериодических членов и ограничиваясь
малыми второго порядка малости, получим приближенные

уравнения граничных кри-
вых:

1) 6 = -|е2’

2)6=|-1е,

з)

4)	6= 1+4 е2,

5)	6=1—4 е2-

При малых значениях е
границы областей неустой-
чивости, определяемые по
написанным уравнениям, хо-
рошо совпадают с точными
границами, вычисленными
с помощью разложения ре-

шения в тригонометриче-

ские ряды. Вообще уравнения этих границ выражаются
посредством так называемых функций Матьё [17].

На рис. 92 представлена карта устойчивости, построен-
ная по такому же принципу, как и в предыдущем случае.
Сплошные кривые соответствуют периодическому решению
с периодом 2л, а пунктирные — решению с периодом 4л.
Устойчивые области заштрихованы.

В заключение сделаем оценку ширины первой области
неустойчивости. Пусть имеем уравнение

Полагая

имеем

<?+£2(1 + |х coscoZ) <7 = 0.

/ Ь \2

x — at, (—j =6, 6р = е,
q" + (6 + е cos х) = 0.
Граничные значения б можно записать так:

л 1 _ 1
6— 4 + 2 е-

Иначе говоря,
k	, / 1 _ 1	1

W	У 4 + 2 6 ~ 2 ' +

откуда приближенно

<о = 2k (1 j е).

Итак, при е—>0 частота критического возбуждения стре-
мится к удвоенной собственной частоте системы.

Д. Влияние сопротивления на колебания системы
с периодически изменяющейся жесткостью

Ограничимся случаем линейного сопротивления и рас-
смотрим систему, описываемую уравнением типа Матьё
с демпфирующим членом:

-j- Kqf 4- (б -j- е cos х) q — 0,	(3.149)

где, как и ранее, x = at.

Будем искать решение этого уравнения в виде произведе-
ния двух функций

q (х) = и (х) v (х).	(3.150)

Производя дифференцирование и подставляя в (3.149), мы
получим некоторое уравнение с двумя зависимыми перемен-
ными— и(х) и v(x). Потребуем, чтобы в этом уравнении
не было членов с первой производной и (х), т. е. чтобы
коэффициент при и' (х) равнялся нулю:

v/4-Cv = 0.

Решение этого уравнения имеет вид

v(x) = Ce~&.	(3.151)

Тогда для и (х) остается уравнение

и"4- (б — С2 -|—ecos х) и = 0.	(3.152)

Иначе говоря, имеем снова уравнение Матьё, в котором
вместо б стоит

б* = б — £2.	(3.153)
Будем искать решение (3.133) уравнения(3.152) ввиде(ЗЛЗЗ)
и (х) = еЛх<р(х),

где h находится по формуле (3.135)

,	1	1

Л = In $,

причем $ есть корень определяющего уравнения (3.132).
Теперь, учитывая уравнение (3.138), можно написать решение
(3.150) в следующем виде:

qj — Сх (cos VjX + i sin VjX) q>j (x),	(3.154)

где

1 , , . 1

причем Vj может быть в частном случае равным нулю или л
(в случае вещественных корней определяющего уравнения).

Пусть jij > u2; тогда при

£> Mi

решение получается ограниченным, т. е. областей неустой-
чивости нет. Вообще же, если £ < p.t, эти области суживаются
по сравнению с областями неустойчивости системы без демп-
фирования вследствие наличия в решении (3.154) убываю-
щей экспоненциальной функции e^J~^x .

При наличии затухания возможны также установившиеся
периодические движения, получающиеся на границах областей
устойчивости и неустойчивости. Применим метод Рэлея для
отыскания этих движений [28]. Этот же метод может быть
применим и к случаю отсутствия затухания; при этом он
позволяет найти граничные кривые с любой степенью точности.

Итак, возвращаемся к уравнению (3.149):

д"-\- 2£/ —(6 —е cos х) q = 0.

Будем искать его решение в виде ряда

9 = H1sin^- + B1cosy+H3sin-^-+B3cosJy-+ ....

иначе говоря,

ОО

9 = 2	(л* si" ^+5* cos-*£-).	(3.155)

k = l, 3, 5, ...

13 А. Н. Обморшев
Подставляя это разложение вместо q в дифференциальное
уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых
тригонометрических функциях, получаем бесконечную систему
линейных однородных уравнений относительно Alt Bv Л3, В3,...
Группируя члены, напишем эти уравнения так:

(д-уе-^А-^ + А-еЛз^О,

^А ~Ь У® — т) 7 е^з = О’

|£/ll + (d-|p3-3SB3 + |eA = o, (а)
1ев1 + зи3+^-4)в3 + 1ев5 = о,

Полагая коэффициент пульсации е малой величиной, мы
можем в первых двух уравнениях отбросить последние члены,
получив однородные уравнения относительно А и Вг. Эти
уравнения имеют отличные от нуля решения, если их опре-
делитель равен нулю, т. е.

л	1	1	-г

6	4	2	Б

1 1 = °‘

:	б-т+те

Отсюда получается в первом приближении уравнение пер-
вой граничной кривой

бг-46+тг-т'’+Р=0'

Легко видеть, что при £ = 0 получается распадающаяся
кривая

соответствующая случаю консервативной системы (см. стр. 192).
При малых значениях £ граничные кривые располагаются
вблизи границ, соответствующих £ = 0 (внутри областей не-
устойчивости). Таким образом, линейное сопротивление вообще
расширяет области устойчивости системы. Мы можем про-
цесс определения границ продолжить, если будем брать
большее число уравнений (а).
Е. Примеры

Пример 1. Обращенный маятник. Совершенно очевидно, что
маятник ОА (рис. 93), повернутый вверх около своей точки опоры О,
неустойчив. Допустим, что этой точке опоры сообщено периодиче-
ское движение по вертикали так, что отношение ускорения а этого

движения к ускорению силы тяжести g
ская функция времени 0 (t).

Составим по правилам механики
уравнение движения маятника в подвиж-
ной системе Оху.

(J-|- mh2) ср = mgh sin ср -j- mah sin ср,

где /и —масса маятника, J — его мо-
мент инерции относительно центра тя-
жести G,h~ ОО. Полагая ср малым углом
и линеаризируя уравнение, после упро-
щения получим

<р' + и2[1Н-0 (0] Ф = 0,
где

,	mgh _ ... а

х = г ।	«.г > 0 (0 = — • а = s-

J A-mh2 ' g

есть какая-то периодиче-

Пусть период вертикального движения равен т, и

2л

т

Переходя к новой независимой переменной x — at, имеем:

ср = <02<р",

где штрихом обозначена производная по х. Тогда уравнение дви-
жения примет вид

ср" ip (х) ф = о,
где

чг(х)=—(—f Г) +0 ('-'П.

\ ® / L \®/J

Иначе говоря, получаем уравнение Хилла. Если предположить,
что ускорение а изменяется по ступенчатому закону (тогда ско-
рость точки О изменяется в течение полупериода по линейному
закону, а перемещение s — по закону параболы), то приходим к урав-
нению Мейснера, а если по гармоническому — к уравнению Матьё.
Заметим, что в том и другом случае б < 0. Однако карты устойчи-
вости в обоих случаях включают и отрицательные значения б. Таким
образом, при определенных значениях параметров движения устой-
чивость возможна.
Пример 2. Вертикальные колебания груза на тросе.
Груз М веса G подвешен к концу троса CD, верхний конец кото-
рого заделан неподвижно, а в сечении А трос периодически зажи-
мается тисками (рис. 94). Площадь сечения троса равна F, модуль
упругости Е.

Допустим, что время зажатия равно времени

Рис. 94.

,	г

освобождения троса, каждое из которых равно

Как и ранее, введем обозначение

В данной задаче имеем колебания груза на
упругом тросе, длина которого попеременно равна
Z| и Z2. Введем вспомогательные длины Zo и AZ
по уравнениям:

Zj — la —|— AZ, Z2 == Zq — AZ

или

/о = у(/1 + /2)- A/ = y(/|-Z2)-

Тогда коэффициент жесткости с может быть записан так:

ЕЕ _ ЕЕ 1

С ~ l0 AZ “ Zo AZ

1	Т Z

или приближенно

с = с0 (1 ± |i).

Уравнение движения груза примет вид

ту + с0 (1 ± р) У = 0.

Получили уравнение Мейснера, которое следует теперь упростить.
Введем обозначения:

jc = ®Z, k2 = —.
т

Тогда, принимая за независимое переменное х, уравнение движения
напишем в таком виде

/ ъ \2

/' + (£•) (1±В)У = 0.

Чтобы привести это уравнение к нормальной форме уравнения
Мейснера, положим

6

е = рб.
Следовательно, имеем

у" + (6 ± е) у = 0.

Это уравнение нами было исследовано и для него построена
карта устойчивости (рис. 91). В координатах 6, с уравнение

е =

представляет собой прямую, проходящую через начало координат
и наклоненную к оси абсцисс под углом й = arctg р (рис. 95). Если
эту прямую перенести на карту рис. 91, то
она пересечет области устойчивости и не- f,,
устойчивости; следовательно, в рассмотрен-
ной системе (рис. 94) возможен параметри-	-

ческий резонанс. Вводя

имеем	&	2	&

Д/ 1—Л	’

И la 1 + Л •	Рис. 95.

Таким образом, задаваясь отношением j = б, можно по карте
устойчивости определить границы для Л, обеспечивающие устойчи-

вость равновесного положения.

Пример 3. Кривошипный механизм. Задача о колеба-
ниях системы коленчатого вала двигателя приводит к дифферен-

циальным уравнениям с пе-
риодическими коэффициен-
тами *).

Допустим, что на равно-
мерное вращение вала дви-
гателя с угловой скоростью и
(рис. 96) накладываются
крутильные колебания ам-
плитуды а и круговой ча-
стоты v, происходящие по
гармоническому закону

Л

Рис. 96.

ф = a sin vt,

где ф есть изменение угла
изменяется в среднем по

<р за счет колебаний, причем угол <р
закону

<р = at.

Предполагая для упрощения, что мы имеем дело с одноцилин-
дровым двигателем, можно считать, что система состоит из следующих

*) Эта задача впервые рассматривалась немецким ученым Треф-
>цем, а затем подробно была исследована Н. Е. Кочиным.
>десь приводится упрощенное изложение, подробнее см. [20].
частей: маховика, кривошипа, шатуна и поршня. Крутильные
колебания возникают в участке вала между маховиком и криво-
шипом (рис. 97). Массу шатуна, предполагаемого недеформируемым,

заменим, как это принято, двумя точечными массами,
торых сосредоточим в поршне, а другую — в цапфе
Пусть х есть координата поршня,
тическая энергия всей системы
записана так:

одну из ко-
кривошипа.
Тогда кине-
может быть

Рис. 97.

где индекс «м» относится к маховику, «к» —
к кривошипу и «п» — к поршню. В свою

очередь,

м — у (® + Фи)2.
Гк = у Л (® + фк)2>
7’п = у тх2.

Здесь JK есть момент инерции кривошипа плюс момент инерции
части массы шатуна, сосредоточенной в кривошипе; т — масса
поршня плюс масса части шатуна, сосредоточенной в поршне; фм
и фк — отклонения углов поворота маховика и кривошипа от их
значений при равномерном вращении. Полагая шатун очень длин-
ным, будем считать, что перемещение поршня равно перемещению
проекции цапфы кривошипа на оси машины; тогда с точностью до
постоянной

X = хк = г cos ср.

Следовательно,

X = — Гф sin ср = — г (® -|- фк) sin ср,
так как угловая скорость кривошипа состоит из постоянной части ®
и части фк, обусловленной колебаниями. Определяем полную кине-
тическую энергию системы

т = у	(® + фм)2 + у [л + у mr2 (1 — cos 2cp)J (® + фк)2.

В то же время потенциальная энергия равна

П = у с (фм — срк)2 = у с (фм—фк)2.

Составляем уравнения Лагранжа

d / дТ\	дТ	дП _ 0

dt \д^к)	(?фк	<)фк

d t дТ \	дТ	дП	Q

dt WM/	(Эфм	(?фм
Введем обозначение

/пр = Л + 4 w2 (1 — cos 2ф).

Это
как

есть приведенный момент инерции кривошипа, являющийся,
легко видеть, периодической функцией времени. Тогда

Т — *2" /м (® “Ь Фм)2 + 2" /пр (ю + Фк)2 •

Все производные, входящие в уравнения Лагранжа, вычисляются

чрезвычайно просто (особенно, если принять во внимание постоян-
ч	„ дТ

ство ®), кроме производной -т—, которая дает

дТ дТ d(f 1	,	• ,

Ж =	2 mr2 sin2T(®+ ’!'<)2-

Если рассматривать колебания вала около состояния покоя, то
® = 0, а фк есть исчезающе малая величина, которой можно пре-
небречь. Тогда имеем простые уравнения

ЛтрФк с (Фм Фк) — 9,
/мф’м+ С (Фм~ Фк) = 0.

(а)

Очевидно, при малой угловой скорости вращения имеем право
пользоваться этими уравнениями. В общем случае, исследованном
Н. Е. Кочиным *), уравнения получаются более сложными, требую-
щими специальных методов исследования. Мы будем исходить
из уравнений (а). Деля первое из них на ./пр, а второе на ,/ы, и
вычитая, имеем

Ф + с(-т- + -г-')ф =0,
\ JM «'пр /

(б)

где

Ф = Фм — Фк-

Таким образом,
закручивания ф.
инерции

получено дифференциальное уравнение для угла
Введя среднее значение приведенного момента

Лр== 4 +у mr2,

*) Кочин Н. Е., О крутильных колебаниях коленчатых валов,
Прикладная математика и механика, II, 1934, № 1.
представим выражение в скобках в уравнении (б) следующим
образом:

j । j

•'пр



cos

Обозначим

JKmr2
ср (/м Ч~ /ср)

cos 2®<

— ^мтг3

2JCp (JM	/ср) ’

где k есть квадрат собственной частоты при осреднением моменте
инерции, а р характеризует глубину пульсации. Имеем

гр -|- k2 (1 -|- р cos 2®<) = 0,

т. е. уравнение Матьё. Чтобы воспользоваться картой устойчивости,
положим

х — 2ю/

Тогда соответственно надо положить

и мы имеем

б=(>)2’ £ = 6И’

ip" (6 + £ cos *) ^ = 0.

Таким образом, в кривошипно-шатунном механизме возможно
явление параметрического резонанса и при заданной глубине пуль-
сации р можно легко указать области неустойчивости.
ГЛАВА IV

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

В главе I нами были выведены дифференциальные урав-
нения (1.40) вынужденных колебаний линейных систем, кото-
рые при отсутствии возмущающих сил обращаются в урав-
нения свободных колебаний

п

=	(4-1)

где р есть дифференциальный оператор, a ftj (р) — симво-
лический полином:

/zy(p) = azyp2 + Z>zy/? + czy:=i|>; I, /=1,2..п; (4.2)

причем

aij—aji' btj — bjt’ cij = cjf

Как известно из теории дифференциальных уравнений,
решение системы (4.1) ищется в виде показательных функций:
qj — Cjeu,	(4.3)

где Cj—постоянные интеграции. Подставляя эти значения
в уравнение (4.1) и сокращая на еи, получаем систему одно-
родных линейных алгебраических уравнений относительно Су:

п

2/zy(l)Cy = 0	(4.4)

Jil

или в развернутой форме

/и (А,)С1 + /12 (А.)С2 + ••• +/1П(^)£П = О'

/21 (A Ci + /22 (М А + • • • + An W Сп = о,

/л1 W £1 +/л2 W ~Ь ••• + f— О'
Условием совместности этой системы является равенство
нулю ее определителя A (X), называемого характеристи-
ческим определителем:

/11 (М /12 W ••• /1П(*)



/„iW /л2а) •••

= 0.	(4.5)

Уравнение (4.5), степень которого равна 2п, называется
характеристическим уравнением. Корни этого уравнения
могут быть как вещественными, так и комплексными, но
только попарно сопряженными, так как в уравнении (4.5)
все коэффициенты вещественны. Во избежание усложнений
будем предполагать, что все корни уравнения (4.5) простые *).
Каждому корню Х5 этого уравнения соответствует своя си-
стема решений (4.3). Таким образом, полное решение пред-
ставляется в виде

2п

q = е s 

5 = 1

(4-6)

На первый взгляд мы имеем 2п2 произвольных постоян-
ных. Однако это не так. Если обозначить через А]Ч (X)
минор характеристического определителя, соответствующий
у-й строке и г-му столбцу, то, как известно,

C[s):df: ...	А2(Х5): ... :Л/п(Х5), (4.7)

где I — номер строки, которая произвольна. Напомним, что
минор /-й строки и г-го столбца определителя получается
вычеркиванием соответствующих строки и столбца и умно-
жением на (—1)7 + г; такой минор с учетом знака называется
также алгеб раическим дополнением. Итак, опуская для
сокращения записи обозначения зависимости элементов от X,
имеем

/11 • • • /1,4—1/1, Z + 1 • • • /1П



f j —1,1 • • • //-1, 4'-1//-1, Z + 1 • • • f j — 1, П
f'./+1,1 ••• /y+i, t-if j+i, z + 1 ••• fi+i.n

n, i — lJ n, Z + 1 ’ ’ ’ J nn

*) Случай кратных корней подробно разобран в книге [31].
Имея в виду соотношения (4.7), можем написать

C?> = K540(Z5),	(4.8)

где /Ср ..., K<in — произвольные постоянные. Следовательно,
произвольных постоянных оказывается как раз столько,
сколько нужно, т. е. 2/г.

Вещественным корням Z4 соответствуют апериодические
движения, а сопряженным комплексным — колебательные.
В самом деле, пусть, например, Zj и Z2—величины сопря-
женные, т. е.

Zj	ct —|— р/, Z2 ct — pz.

Тогда, очевидно, сопряженными должны быть и миноры
и XZ; (Z2) для каждого J. То же можно сказать и
о постоянных и С(2):

Cf = Dj — lEj,

где Dj, Ej — действительные постоянные. Иначе говоря,
комбинация двух решений дает

= 2eat (Dj cos pZ — Ej sin ₽Z).

Вещественные отрицательные корни Z или же отрица-
тельные вещественные части комплексных корней характе-
ристического уравнения определяют собой устойчивые ком-
поненты движения, тогда как положительные корни или
положительные вещественные части — неустойчивые ком-
поненты. Система неустойчива, если неустойчива хотя бы
одна компонента. Нулевой корень дает постоянное смещение,
а пара чисто мнимых корней — гармоническое колебание.
Итак, характер корней влияет на качественную картину
движения. В следующих двух параграфах мы подробно рас-
смотрим вопрос об устойчивости.

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ

А. Общие понятия

В начале первой главы (§§ 2 и 3) были сформулированы
определения устойчивости равновесия и движения системы.
Обобщая оба определения, можно говорить об устойчивости
состояния системы, под которым подразумевается либо
равновесие, либо заданное движение, когда речь идет о меха-
нической системе, либо же вообще какое-то, известное за-
ранее, состояние в общем случае любой системы (например,
в электрической системе состояние может характеризоваться
совокупностью зарядов и контурных токов). Как уже гово-
рилось ранее (гл. II, § 2), состояние системы характери-
зуется ее фазой, т. е. совокупностью фазовых координат,
которыми в механической системе служат обычно обобщен-
ные координаты qx, q2, . qn и обобщенные скорости
Ях* Чч....Яп‘

Мы говорим (см. гл. I, § 3), что система устойчива,
если для заданных пределов £] и е2 вариаций координат и
скоростей соответственно можно указать такие значения 6j
и 62 начальных возмущений, что при начальных условиях

|М|<6Р |М1<а2

в последующем движении будут выполняться неравенства
I ^4t I < ej, | Д’<?г-1 < е2.

Если невозмущенное состояние есть состояние покоя,
то вариации скоростей равны самим скоростям, и мы имеем
определение устойчивости равновесия; в этом случае обычно
и координаты отсчитывают от состояния покоя, т. е. вариа-
ции координат принимаются равными этим координатам.
Если же невозмущенное состояние есть некоторое заданное
движение, то сформулированное определение устойчивости
относится к движению. Здесь уже вариации координат и
скоростей вообще не совпадают с координатами и скоро-
стями движения соответственно.

Для общности предпочтительнее говорить о фазовых
координатах и отсчитывать их от заданного состояния,
т. е. брать вариации обобщенных координат и их производ-
ные. Тогда для механических систем, описываемых дифферен-
циальными уравнениями второго порядка, число уравнений
удвоится, что у нас уже имело место в случае систем
с одной степенью свободы при интерпретации движения на
фазовой плоскости.

Обозначим эти новые координаты, являющиеся вариациями
фазовых, через xv х2......хт; для них будем иметь си-

стему т уравнений первого порядка, которые предположим
разрешимыми относительно производных [18]. В этих урав-
нениях выделим линейные части. Будем рассматривать лишь
так называемое установившееся движение (в частности, со-
стояние покоя), когда эти линейные части имеют постоянные
коэффициенты. Итак, имеем уравнения возмущенного дви-
жения:

dxt
~dF

dx2
~dt

/’11Х1 + /’12Х2Ч~ ••• + Р1тхт~\~ X !•

Р21х1+ Р22х2^-	Ч~Р2тхт^^2’

(4.9)

— Рт1х1Ч~ Рт2х2^~ ••• + Ртт

Здесь ptj — постоянные коэффициенты, и Хх.....Хт— не-
линейные функции х2...........................хт’ которые предполагаются

разложенными в степенные ряды, начинающиеся с членов не
ниже второго порядка относительно переменных х2.....хт.

Такие системы называются системами Ляпунова.

Б. Устойчивость по первому приближению

Если в уравнениях (4.9) отбросить нелинейные части
Хх, Х2, .... Xт, то получится система уравнений первого
приближения:

dxt dt	—P!lxl4~ Pl2X2~h ••	• 4~Plmxm'
dx2 dt	~ P21xl P22x2~h ••	• 4~P2mxm’
dxm dt	Pmlx14~ Рт2х2~Ь •	• • H- Pmmxnv

(4.Ю)

К этой системе, в частности, приводятся системы уравнений
второго порядка (4.1) после введения в качестве новых
зависимых переменных обобщенных скоростей qj. Решение
ищем в виде

Xj = С jeKt,

(4-11) .
где j — 1, 2.... т.	Подставляя эти значения в систему (4.10),

после сокращения на е'л имеем

(Р11--^1 + Р',2^2 + ••• +

Plfil Л~{Р22 — ^2 + • • • + Ръ£т = О’

Pmfii + Рт£ч + • • • + (Ртт —	— О’

Для совместности этой

системы ее характеристический

определитель

A(Z) =

Ри —

Р21

Р12	• ‘ •	Pim

Р22	.	Р2т

(4.12)

Рт\

Рm2 ’ • • Ртт

должен быть равен нулю, откуда получаем характеристи-
ческое уравнение системы первого приближения'.

Д(Х) = О.	(4.13)

Совершенно очевидно, что если система уравнений (4.10)
получена из системы (4.1) при т = 2п, то корни уравне-
ний (4.5) и (4.13) тождественно совпадают. Заметим, что
в общей теории устойчивости принято оперировать именно
с уравнениями первого порядка типа (4.9) или после линеа-
ризации (4.10). Все сказанное выше о корнях уравнения (4.4)
остается в силе и для уравнения (4.13).

Ляпунову принадлежат следующие три теоремы, которые
мы сформулируем без доказательства *).

1.	Теорема об устойчивости по первому приближе-
нию. Если все корни характеристического уравне-
ния (4.13) системы первого приближения (4.10) имеют
отрицательные вещественные части (в частности, они
вещественны и отрицательны), то система, описывае-
мая полными уравнениями (4.9), устойчива.

2.	Теорема о неустойчивости по первому приближе-
нию. Если среди корней характеристического уравне-
ния (4.13) системы первого приближения (4.10) встре-
чается хотя бы один вещественный или хотя бы одна

*) Доказательство приводимых здесь теорем Ляпунова можно
найти в [12J, [31], [14j.
пара комплексных сопряженных с положительной веще-
ственной частью при всех прочих корнях, имеющих
отрицательные вещественные части, то система, опи-
сываемая полными уравнениями (4.9), неустойчива.

3.	Теорема об особенных случаях. Если среди кор-
ней характеристического уравнения (4.13) системы
первого п риближения (4.10) встречаются хотя бы один
нулевой или одна пара чисто мнимых корней, то по
уравнениям первого приближения невозможно сделать
заключение об устойчивости или неустойчивости исход-
ной системы (4.9).

Оценка устойчивости линейных систем по виду корней
характеристического уравнения, изложенная в предыдущем
параграфе, очевидна. На основании первых двух теорем
Ляпунова мы можем заключить, что нелинейные части Хх,
Х2.....Хт, разложенные в степенные ряды, не влияют на

характер устойчивости, установленный по уравнениям пер-
вого приближения. Именно, эти части не могут «испортить»
устойчивую систему и «спасти» неустойчивую. Но вот особен-
ные случаи надо исследовать уже с учетом нелинейных членов.

Напомним, что, занимаясь изучением нелинейных колеба-
ний систем с одной степенью свободы при интерпретации
движения на фазовой плоскости, мы уже касались в неявном
виде этих теорем (стр. 132). В самом деле, было указано,
что дифференциальное уравнение (3.8) фазовой траектории
нелинейной системы, т. е. уравнение

rfy _ дх-ф fry-j-Qt (х, у)
dx сх ф- dy -ф Pi (х, у)

дает ту же топологическую структуру, а следовательно,
и те же особые точки, что и линейная система (для кото-
рой Ру (х, y) = Qi(x, у)=0), если только коэффициенты
линейной части разложений (т. е. а, Ь, с и d) одновременно не
равны нулю. В противном случае [/ф (х, у) 0, Q1 (х, у) 0]
получаются особые точки высшего порядка, неизвестные
в теории линейных систем. Таким образом, в первом случае
мы имеем геометрическую интерпретацию первых двух теорем
Ляпунова, а во втором — третью теорему, когда принципиаль-
ную роль играют члены высших порядков.

В заключение заметим, что в некоторых задачах из урав-
нений движения исключается время и в качестве независимого
переменного принимается какая-либо координата, назы-
ваемая основной или несущей. Тогда можно оценивать
устойчивость движения по отношению к этой координате.
Однако это уже будет устойчивость не в смысле близости
возмущенного и невозмущенного состояния системы, а в смысле
близости траекторий. Такая устойчивость называется орби-
тальной. С ней приходится, например, встречаться в тех-
нике железнодорожного транспорта, когда несущей коорди-
натой является длина дуги (в частности, прямой) осевой
линии рельсового пути; относительно этой координаты и
оценивается устойчивость, а не относительно времени. В тео-
рии часовых механизмов играет существенную роль фазовая
диаграмма и, следовательно, устойчивость фазовой траекто-
рии. Таким образом, здесь имеем также орбитальную устой-
чивость.

В. Примеры

Пример
ность радиуса

1.

Го

Рис. 98.

Материальная точка массы т описывает окруж-
под действием центральной силы притяжения,
пропорциональной n-й степени ра-
диуса. Найти условия устойчивости
траектории в зависимости от п.

В курсе теоретической меха-
ники [н] выводится формула Бинэ
для движения под действием цен-
тральной силы:

Здесь F — сила
ки т с центром

(Р —

г , 1

" \	' г)’

взаимодействия точ-
силы О (знак минус
силе притяжения),

соответствует
с — постоянная площадей, или удвоен-

торый коэффициент,
в виде окружности и

Вводя обозначение

ная секторная скорость точки. В на-
шем случае F = — агп, где а — неко-
На рис. 98 показана основная траектория
часть возмущенной.

гг

1
ц = —

и приравнивая оба выражения для F, имеем
где штрихами обозначена вторая производная по <р. Применяя
метод возмущения, полагаем

и = и0 4- z,

где г— возмущение орбиты. Так как в невозмущенном состоя-

нии и" = 0, и0 = — , то
г о

Составляем варьированное уравнение орбиты:

или

'	? \ ~п~2

г" + "о 4" г = «0 I 1 + ~~~)
\	“0 /

Разлагая правую часть в биномиальный ряд, линеаризуя и сокра-
щая, получаем

z"zz = 0
или

г" (я 3) г = 0.

Если п 4-3 < 0, имеем условие второй теоремы Ляпунова, траек-
тория неустойчива; если «4”3>-0, имеем особые случаи (третья
теорема), для рассмотрения которых нужно взять следующие члены
разложения. Случай «4”3>0 будет отвечать устойчивой траекто-
рии и условие устойчивости определится неравенством

п > — 3.

В случае п — — 2 имеем изменение силы F по закону всемирного
тяготения.

Пример 2. Даны следующие уравнения движения:

х = у + out3, у = — х 4- ау3.

Исследовать вопрос об устойчивости.

Если ограничиться уравнением первого приближения, то, от-
бросив члены с а, получим

х 4- х = о,

для которого характеристическое уравнение имеет мнимые корни,
X=±z. В этом случае решение линейного уравнения имеет вид

х = A cos (t 4- р).

(4 А. Н. Обморшев
Однако, согласно 3-й теореме Ляпунова, мы не можем ничего ска-
зать об устойчивости исходной системы.

Рассмотрим в плоскости Оху (рис. 99) произвольную точку М
с радиусом-вектором г. Обозначим квадрат этого радиуса через р:

р = X2 -ф у2.

Далее возьмем производную по времени
от р с учетом уравнения движения:

-^- = 2(хх + уу) = 2а(^ + у4).

Теперь мы можем сказать, что если а < 0,
dp „	.

то < 0, и р убывает, стремясь к нулю

(по условию всегда р > 0). Если же а > 0,
dp _

то > 0 и р неограниченно возрастает.

Итак, при а < 0 движение устойчиво. При а>0—неустойчиво.
Заметим, что идея, положенная в рассмотрение этого при-

мера, по существу есть идея так называемого второго метода
Ляпунова *).

§ 3.	КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Признаки, позволяющие делать заключение об устойчи-
вости системы без решения дифференциальных уравнений
движения, называют критериями устойчивости. Весьма
удобный критерий устойчивости, опирающийся на соотноше-
ния между коэффициентами характеристического уравнения,
был дан в 1877 г. Раусом и в 1895 г. в измененной, но
более удобной форме Гурвицем.

Допустим, что мы имеем характеристическое уравнение
с вещественными коэффициентами:

+	*+ ••• +ап-А+ап —0-	(4-14)

где а0 > 0, что, конечно, не является ограничением. Будем
называть корни этого уравнения устойчивыми, если они
вещественные, отрицательные или комплексные с отрица-
тельной вещественной частью. Образуем из коэффициентов

*) О втором методе Ляпунова см., например, [14].
определители по следующему закону:

(4.15)

где ak — 0, если k > п.

Коэффициентный критерий устойчивости определяется
теоремой Гурвица-, для того, чтобы все корни уравнения
(4.14) были устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы все
определители (4.15) были положительны.

Не приводя доказательства этой теоремы по причине его
сложности, ограничимся ее проверкой для простейших слу-
чаев *). Предварительно разделим уравнение (4.14) на а0 и
введем обозначения

Л =	(4.16)

Кроме того, имея в виду вообще комплексные корни, будем
писать z — x-\-ty вместо Итак, будем исследовать урав-
нение

^п + Л1^-1 + Л2^-2+ ... +л„_1г: + Лл = 0. (4.17)

1)	Очевидно, для устойчивости единственного корня
должно быть Л! > 0, а поэтому и Dx > 0;

2)	при п=2 уравнение (4.17) принимает вид

z1 + Axz + А2 = 0.

Обозначая корни этого уравнения через гг и z2, имеем
=	(^!	с2), А2 = zrz2.

*) Доказательство критерия Гурвица можно найти в литера-
туре, посвященной вопросам устойчивости движения, см., напри-
мер, [31].
Легко видеть, что как в случае действительных отрицатель-
ных, так и комплексных корней с отрицательной веществен-
ной частью, должно быть Д1 >0, А2 > 0, т. е. D{ > О,
D2 > 0.

3)	п ~ 3;

4~ Л]г2 -f- A2z А3 — 0.	(а)

Найдем выражение критерия Рауса для этого случая. Будем
рассматривать изменение корней в зависимости от изменения
коэффициентов А{, А2, А3, которые для удобства можно
предположить зависящими от не-

Z	которого параметра и. Тогда при

изменении этого параметра аффикс
s f /	каждого корня zb (рис. 100), т. е.

у	f	соответствующая точка в ком-

у [	плексной плоскости корней, опи-

/О1	сывает какую-то траекторию. На-

зовем правую полуплоскость об-

Рис. 100.	ластью неустойчивых корней,

а левую — областью устойчи-
вых корней. Ось Оу является границей устойчивости’, на
ней корни делаются чисто мнимыми или нулевыми.

Положим, что на границе устойчивости zk = Q. Тогда
А3 — 0. Обратно, изменение знака Л3 свидетельствует об
изменении распределения корней по областям устойчивости
и неустойчивости.

Допустим теперь, что zk находится на границе устойчи-
вости, принимая чисто мнимое значение zk = lyk. Подста-
вляя это значение в уравнение (а) и отбрасывая для упро-
щения индексы, получаем

—	— Л,у2 ~Ь А21у А3 = 0.

Написанное равенство возможно лишь в том случае, если
— Ay2 + X3 = 0;	(у2 — Л2)у = 0.

Исключая отсюда у, получаем уравнение

Л1Л2 — А3 = 0,
левая часть которого есть так называемый дискриминант
Рауса:

ЧГ3 = Л1Л2 —Л3.	(4.18)
Найдем знак этого дискриминанта в области устойчи-
вости, для чего разобьем левую часть уравнения (а) по кор-
ням:

(z — zj (z — z2) (z — z3) = 0.

и из сравнения коэффициентов напишем соотношения:

А — — (г1 4~ zi + 2з)"
^2 ~ (Z1 4“ Zz) Z3 4“ ^1Z2,
Л3 =	Z^Z2Z3.

Если все zk вещественны и отрицательны, то, очевидно:

Аг >0; А2 > 0; Л3 > 0.

Допустим теперь, что

гг = — р-\~1д, z2 = — p — lq, z3 = — r,

где р, q, г — действительные положительные числа. Тогда

Аг — 2/? —г > 0,

А2 = р2 4~72 4- 2рг > 0,

(P24~V) > °-

Следовательно, положительность коэффициентов есть не-
обходимое условие устойчивости, однако это условие не
является достаточным. Для вывода достаточного признака
сделаем сначала предположение, что при наличии двух устой-
чивых корней — действительных или комплексных — один
действительный корень переходит из устойчивой области
в неустойчивую. Очевидно, при этом А3, перейдя через нуль,
станет отрицательным.

Сделаем, далее, предположение, что пара комплексных
корней переходит в неустойчивую область. Положим

р = е,

где е — малая величина, положительная или отрицательная.
Подставляя значения А2, Л3 в и отбрасывая малые
высших порядков, найдем:

Т3 = 2е(^ + г2).

Следовательно, при переходе комплексных корней в неус-
тойчивую область (е < 0) дискриминант Рауса Tg делается
отрицательным.
Если все три корня переходят через границу устойчи-
вости, то меняют знак не только Tj, но также Аг и Л3.

Итак, критерий устойчивости Рауса для уравнения 3-й
степени заключается в выполнении неравенств

Л4 О, Л2 О, Л3 О, AjА2 — А3	О,

причем одно из первых двух неравенств следует из осталь-
ных. Нетрудно убедиться, что с помощью критерия Гурвица
мы получим аналогичные условия.

4)	п — 4;

z4 + A 4zs + A2z2 4~ A?iz + A4 — 0.

На границе устойчивости при zk — 0, Л4 —0. Если zk — tyk,
то, отбрасывая индексы, имеем

У4 — iА1У3 — АУ2 + ^зУ + Л4 = °*
откуда

у4-Л2у2+Л4 = 0,	(Л1у2-Л3)у = 0.

Предположим, что у 0. Приходим к уравнению

А4А2А3 — Аз— Л2 Л4 = 0,

в левой части которого стоит дискриминант Рауса
^^ЛИг^з—Л|—Л?Л4-	(4.19)

Обозначая корни уравнения через z4, z2, z3, z4 подобно
предыдущему, легко находим

А1 = — [(Д]	д2) + (z3 -f- г4)],

А2 — (Zl 4~ z2> (23 4~ zi) Z1Z2 Z3Z4’
л3 — — [(Д14- д2) д3д4 4-(д3 4- д4) z1z2],
A4 — (z1Z2)(ZoZ4).

Можно убедиться, что при всех устойчивых корнях эти
коэффициенты положительны. Предположим теперь, что по
крайней мере один из корней переходит в неустойчивую
область. Если это произойдет с одним действительным кор-
нем, то меняет знак по крайней мере коэффициент Л4, то же
будет при одновременном переходе через границу устойчи-
вости трех корней. При всех неустойчивых корнях по край-
ней мере А, < 0.

Допустим теперь, что одна пара комплексных корней,
например z4 и z2, переходит в неустойчивую область, тогда
как другая пара корней остается в устойчивой области. Эти
последние могут быть также действительными. Мы можем
положить

24 =— е-ly, z2 =— е— /у,
где е — какая-то малая величина. Тогда

^1	=	2е,	= е2-}-№•

Вследствие устойчивости корней z3 и zi можно положить
^з-+-^4=—=

где а > О, р > 0. Составим выражение дискриминанта с точ-
ностью до малых первого порядка относительно е. Имеем
Чг4 = 2 [а2у2 (Р 4- Y2)2] ае.

Итак, знак Ч^ совпадает со знаком е, т. е. в устойчивой
области дискриминант положителен.

Если одновременно два действительных корня переходят
из устойчивой области в неустойчивую, то можно положить
= —е, z2 = — л, z3-4-z4 = —а, г3г4 = р,
где е, т|, а, р — положительные величины, из которых е и
Т| — малые. Тогда, подобно предыдущему приближению
находим

Ч^ = (е + т|) ар2,
т. е. и в этом случае дискриминант Ч1" переходит от поло-
жительных значений к отрицательным.

Таким образом, условия устойчивости заключаются
в выполнении неравенств:

Аг > 0, А2 > 0, Д3>0, А4 > 0,

А}^2^3 — Х3 —' ^1^4	0,

причем одно из двух первых неравенств есть следствие
остальных. Подобно предыдущему, легко проверить выпол-
нение условий Гурвица. В самом деле,
D1 = а{ = а0А1 > 0,
£)3 = tzitZ2fl3 — #оаз — aitZ4 = а0(^i^2^3 — A3 — А1А4)	0,

Z)4 - fl4Z)3 - flg^44£)3	0.

Ho

А{А2Аз — A3 — Ai A4 — A3 (Д1Д2 — ^3) — A1A4 0.
Следовательно,

а,а2 — а3 > -4-1 > о,

12	3 Л3

а поэтому

^2 ~ fl3fl0 ~ flo(^1^2 Лз) >

Для уравнения высших степеней вывод условий устойчи-
вости получается уже значительно более сложным.

Пример. Характеристическое уравнение некоторой системы
первого приближения имеет вид:

л4 Ч-2Л3 4- л2 -р -р 1 = о.

Определить области значения неизвестного пока коэффициента k,
чтобы система была устойчива.

Здесь

Ai —2, Д2=Д4 = 1.

Условия

>0, А2 > 0, Д4 > О

выполняются. Очевидно, что устойчивость возможна лишь в том
случае, если А3 = k > 0. Однако это условие необходимое, но еще
не достаточное. Образуем дискриминант Рауса

4^4 = Л2Л3 — A* — А2А4 = 2k — k2 — 4.

Для устойчивости должно быть

>0.

Найдем корни уравнения '1Г4 = 0:

Л2 — 2Л4 = 0, АЬ2 = 1±гКЗ.

Итак, корни комплексные, а поэтому ’У4 сохраняет свой знак
при любом k. Но при k, равном нулю, = —4 < 0, следовательно,
условие положительности дискриминанта Рауса не выполнено, и
ни при каких значениях коэффициента k система не может быть
устойчива. Такие системы называются структурно неустойчивыми,.

§ 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕНЕБРЕЖИМО
МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Предположим, что силы сопротивления столь малы, что
ими можно пренебречь. Тогда все &Zy = 0 (4.2), и уравне-
ние (4.1) примет вид

п

Д(«ОР2 + ^)^==0,	(4.20)
где 4=1, 2, п. Решение этих уравнений можно искать
в тригонометрической форме:

9y = aysin(^ + P),	(4.21)

где ay, р — постоянные интеграции, а k— неизвестная пока
величина, подлежащая определению.

Эти постоянные легко интерпретируются, именно:
cij — амплитуда колебания, р — начальная фаза, k— круговая
частота. Решение в форме (4.21) возможно, если все корни
уравнения (4.5) мнимые. Действительно, полагая А, = Ik,
от решения (4.3) приходим к решению вида (4.21), где
k — величины действительные, что будет дальше доказано.

Подставляя значения qv q2, ..., qn из уравнений (4.21)
в уравнения (4.20) и сокращая на sin(^Z Д—(3), приходим
к системе алгебраических уравнений:

п

^(clJ-aijk^aJ=0	(4.22)

или в развернутой форме:

(41 — дц/е2) а, Д-(с12 — л12/г2) а2 Д- ... Д- (г,„ — alnk2) ап = 0,
(41 — 442i^2) aj Д- (с22	a22k2) а2 Д- ... Д- (с2п — a2nk2) ая = 0,

(41—ап№ «1 + (42 ~ а«2^2) а2 Д- ... Д- (сяя — annk2) ая = 0.

Для совместности этой системы ее определитель

Д(£2) =

41 — ank2, ..., cln — alnk2

41 О-щк2, • • • ’ пп

(4.23)

называемый определителем частот, должен быть равен
нулю. Итак, получаем уравнение частот степени 2м, содер-
жащее только четные степени k'.

А (/е2) = 0.

(4.24)

Обозначая через А^(к2) миноры определителя (4.23), мы,
как и прежде, имеем для каждого корня /г2 уравнения (4.24)
следующее соотношение:

а«>: <4» : ... :	= А„ (₽,):	: ... : А
ИЛИ

W = KsAjt№)-	(4-25)

Каждому корню k2s соответствует система значений
по формуле (4.21), определяющая так называемое главное
колебание нашей системы. Общее решение получается
в результате суммирования частных решений, т. е. полное
движение системы есть результат наложения главных колеба-
ний. Это есть так называемый принцип суперпозиции (на-
ложения) колебаний. Итак, имеем

— 3 KsAji(j£)sin(kst 4-₽5),	(4.26)

5=1

где /<s,	—произвольные постоянные, j—номер произ-

вольной строки определителя частот. Здесь мы имеем п по-
стоянных Ks и п постоянных — всего 2п произвольных
постоянных. Миноры, соответствующие каждому корню k2<
определяют, как говорят, форму главного колебания,
т. е. отношение амплитуд с учетом синфазности или анти-
фазности. На этом в общем виде задача может считаться
решенной.

Все расчеты упрощаются, если обобщенные координаты
подобны так, что в выражении кинетической энергии все
atj = 0 при i =/= j и в выражении потенциальной энергии
все Cij — O при / =/= J. Иначе говоря, вместо формул (1.30)
и (1.34) соответственно имеем

п	п

(4.27)

i	= l	Z = 1

где поставлено at вместо а^ и ct вместо с^, так как сумми-
рование выражается уже по одному индексу. Координаты
qv q2, .... qn, удовлетворяющие таким условиям, называются
главными, или нормальными. Система совокупных диф-
ференциальных уравнений движения (4.20) в этом случае
превращается в систему независимых между собой дифферен-
циальных уравнений

(aip2-)-cl)qi — Q,

(4-28)
где 1= 1, 2....п. Решение имеет вид:

= 81п(^^4-₽г),	(4.29)

где аг, — произвольные постоянные, а круговые частоты kt
определяются по известным формулам:

= 1/-F •	(4.30)

Может возникнуть вопрос: если координаты избранной
системы не являются главными, возможно ли путем соответ-
ствующего преобразования перейти к главным координатам?
Оказывается, что этот вопрос имеет утвердительный ответ.
Именно, всегда можно подобрать линейное преобразование
координат, приводящее две квадратичные формы Т и П,
выражаемые формулами (1.29) и (1.33), к виду (4.27), т. е.
всегда можно подобрать главные координаты. При этом вся
совокупность частот или, как говорят, спектр частот не
изменяется. В самом деле, частоты связаны с физическими
свойствами системы и, конечно, не могут зависеть от того
или иного выбора координат.

Отыскание главных координат в общем случае предста-
вляет собой задачу не легче, чем решение уравнения частот
при произвольно выбранных координатах, вследствие чего
к ним прибегают, главным образом, в теоретических выклад-
ках. Мы воспользуемся ими, например, при исследовании
затухающих колебаний и при изучении резонанса. При этом
ограничимся лишь случаем двух степеней свободы. Конечно,
задача оказывается весьма простой, если мы сразу сможем
указать главные координаты.

Покажем теперь, что уравнение частот (4.24) имеет отно-
сительно k2 все действительные положительные корни. До-
пустим среди этих корней имеются комплексные сопряжен-
ные. Например,

£1=|4-й1> kl — l, — /Т|-

Тогда должны быть попарно сопряженными такие соответ-
ствующие миноры определителя, как, например, Луг(^1) и
Ajrfkz)- Этим минорам пропорциональны соответствующие
амплитуды колебаний

^=к2а.г^.
где Ki и Л"2 — произвольные постоянные, которые можно
принять, например, равными единице. В таком случае ар*
и а® оказываются также сопряженными. Положим

ар) = хг + 1уг, ар) = xr — iyr.

Напишем теперь одно из уравнений, служащих для опре-
деления амплитуд, соответствующих корню kl:

2(c.f-^2)ap) = °.

Умножим каждое из этих уравнений на ар) и просуммируем
по J от 1 до п:

п п

2	2(^г-а.^2)ар)ар) = 0.

Подставляя сюда значения ар) и ар) и производя пере-
группировку членов, получим

п п

2 2 (cJr - ajrk^xrxj + УА)+

+ 1 2 2 {cjr - ajrk^ (xfyr - Xry^ = 0.

Легко видеть, что все члены второй двойной суммы по-
парно сокращаются, вследствие чего, разрешая написанное
уравнение относительно kj, находим

п п	' п п

Ь2 — 7 = 1 >-=1	7 — 1 '=1

1	п п	п п

2	2 ajrxjxr + 2 2 ajryjyr

Мы видим, что £2 есть действительная величина, вслед-
ствие чего т] = 0, а тогда действительными должны быть и
амплитуды, т. е. все у^ = 0. Остается показать положи-
тельность k2. Для этой цели перепишем предыдущее выра-
жение так:

у = 1 г=1

Здесь в числителе стоит квадратичная форма, равная
значению потенциальной энергии системы, в предположении,
что обобщенные координаты qj = xf, аналогично в знамена-
теле оказывается кинетическая энергия при = Xj, т. е.

2____ П (х)

1 “ Т (х) •

Так как П (х) и Т (х)— знакоопределенные положитель-
ные квадратичные формы, то k2 есть величина не только
действительная, но и положительная, что и требовалось
доказать. Заметим, что k2 мы берем только с положи-
тельным знаком, так как вследствие произвольности Ks
и отрицательные значения k не дают нового решения.

Решение уравнения частот, как и характеристического
уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую
задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще
возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени.
Но даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регу-
лярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому
часто пользуются всевозможными численными и графическими
методами приближенного решения, применимыми также
к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно
левую часть характеристического уравнения представить,
хотя бы приближенно, в виде произведения двух или боль-
шего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда
решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев
заранее заготовляются специальные таблицы, графики или
номограммы, с помощью которых получается достаточно
быстрое и вполне удовлетворительное решение.

Пример. Продольные колебания системы, состоящей из
четырех грузов равных масс т, связанных попарно тремя одина-
ковыми пружинами с коэффициентом жесткости с (рис. 101).
За обобщенные координаты примем расстояния хь х2, х3, х4
центров тяжести грузов от их положений равновесия, причем
очевидно, что положения одного какого-либо груза мы можем

Рис. 101.

задавать произвольно. С помощью выражений кинетической и
потенциальной энергий:

Т = -1 («!%! т2х| 4- m3xl + m4x4),

П — -g- [ct (х2	X,)2 с2 (х3 хг)2 4- Сз (х4	*з)4

составим дифференциальные уравнения движения:

тгХ1 — Ci (х2 — xt) = 0,
тг'х2 4- с, (х2 — хО — сг (х3 — х2) = 0,
тЗхЗ 4* 12 2 (Хз — Х2) с3 (х4 — х3) = 0,
т4х4 4- с3 (х4 — х3) — 0.

Интересно отметить, что, складывая почленно эти уравнения,
получаем

m-iXi 4- т2 х2 4- т3'хз 4~ т4х4 = 0,
откуда

т! xt 4- т2х2 4~ т3х3 4~ т4х4 = const,

т. е. сумма количеств движения всех масс сохраняет постоянную
величину, что вполне понятно, так как внешние силы отсутствуют.
Мы можем поэтому утверждать, что одна из четырех степеней
свободы обусловлена продольным движением всей системы в целом
как сплошного твердого тела, а остальные три соответствуют
колебаниям.

По условию m.i = т2 = т3 = т4 = т\ с, = с2 — с3 — с. Тогда
дифференциальные уравнения движения можно написать так:

mxi 4~ схг — сх2 — 0,
тх2 — cXi 4- 2сх2 — сх3 = 0,
тх3 — сх2 4- 2сх3 — сх4 = 0,
тх4 — сх3 4- сх4 = 0.
Уравнение частот имеет вид

	с — mk2  — с  0  0	— с  2с — mk2  — с  0	0  — с  2с — mk2  — с	0  0  — с с — mk2	= 0.
Можно	показать,	что один	из четырех	корней	этого уравнения

равен нулю, что соответствует упомянутому движению всей системы
в целом. В самом деле, величина определителя, как известно, не
изменится, если ко всем элементам какой-либо строки прибавить
соответствующие элементы любой другой строки. Прибавим к эле-
ментам первой строки соответствующие элементы всех прочих строк.
Тогда все элементы первой строки будут содержать множитель k2,
который мы можем вынести за знак определителя, получив при этом

	— т	— т	— т	— т	
	— с	2с — mk2	— с	0	= о,
л2	0	— с	2с — mk2	— с	
	0	0	— с	с — mk2	

т. е. один корень действительно равен нулю.
Вводя для сокращения обозначение

mk2

—1---= z,

с

перепишем уравнение частот в упрощенном виде

	1 — г	— 1	0	0	
	— 1	2 —г	— 1	0	
Д(г) =	0	— 1	2—г	— 1	= 0.
	0	0	— 1	1 —г	

Разложим определитель по элементам первой строки:
2 —г —1	0—1—1	0
(1—г) —12 —г —1+	0 2 —г —1=0,
0	—1 1—г	0	—1 1 —г

и вычислим по известным правилам входящие сюда определители
третьего порядка:

(1 - г) [(2 - z)2 (1 - z) - (1 - г) - (2 - г)] +

+ [-(2-г) (1 -z)+ 1] = 0.

После упрощений приходим к уравнению

г4 — 6г3 Юг2 — 4г = 0.
Это уравнение имеет один очевидный корень г — 0. Для отыскания
других корней надо решить кубическое уравнение

г3 — 6г2 -f- Юг — 4 = 0.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что г = 2 есть корень
этого уравнения. Делением наг — 2 приходим к квадратному урав-
нению

г2 — 4г 4-2 = 0,

корни которого имеют вид

г = 2±/2.

Располагая корни в возрастающем порядке, имеем

г!=0, г2 = 2-/2, г3 = 2, г4 = 24-/2.

Зная г, легко найти k, а также период т каждого главного коле-
бания.

Займемся теперь отысканием формы главных колебаний. Изве-
стно, что амплитуды колебаний пропорциональны минорам соответ-
ствующих элементов какой-либо строки определителя частот. Со-

ставим миноры, например, для первой строки			
	2 —г	— 1	0
4(4 = H)1J1	— 1	2 —г	— 1
	0	— 1	1 — г
	— 1	— 1	0
Л2(г) = (-1)1н2	0	2 — г	— 1
	0	— 1	1 —г
	— 1	2 —г	0
Лз (г) = (- I)1 3	0	— 1	— 1
	0	0	1 —г
	— 1	2 —г	— 1
>114 (г)=(-1)н4	0	— 1	2 —г
	0	0	— 1

Подставляя последовательно все корни, находим

1) г — 0, Дц=1, Л12=1, Д13=1, Д14 = 1;

2)г = 2-/2, Лн=-'1, Л12 = -(/2-1), Д13 = V 2 - 1,
л,4 = 1;

3) г = 2,	— 1, Л12 — —1, Л13 =— 1, _Д14 = 1;

4)г = 24-/2, Дп=-1, Л12 = /2 4-1, Л13 = - (/’2 4-1),
Д14 = 1.
Эти результаты удобно представить графически, откладывая по
ординатам отклонения грузов в какой-либо момент времени, иначе
говоря, откладывая значения миноров (рис. 102).

Схема а дает «нулевую» форму — равномерное движение си-
стемы, как твердого тела, схемы б, в и г дают соответственно 1, 2
и 3-ю формы колебаний. Буквой К отмечены узлы, т. е. такие точки
в системе, которые в данном колебании остаются в покое.

§ 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Рассмотрим свободные незатухающие колебания системы
с двумя степенями свободы. В этом случае уравнения дви-
жения (4.20) имеют вид

(«цР2 + сп) qx + (а12р2 + с12) ?2 = 0, |
(а12Р2 4“ С1г) ?1 4“ (а22Р2 4- с2г) ?2 = О’ /

где коэффициенты и входят в выражения кинетиче-
ской энергии Т и потенциальной энергии П:

(«и4- 2а12?!?24- а22?|),	(4-32)

77 =4 (си?14- 2с12ед4- с22?|).	(4.33)

15 А. Н. Обморшев
Согласно теореме Сильвестра (стр. 26), для того чтобы
квадратичные формы Т и П были знакоопределенными, поло-
жительными, должны выполняться неравенства:

а

и

с

и

О,

«22

С22

О,

о,

«11«22~ «12>0'>

С11С22-СП>0'

(4-34)

Решение системы

qx = a1sin(&/-|-0), q2 = a2 sin (kt -|- 0)	(4.35)

подставим в уравнение (4.31). Сокращая на sin(&/—0),

получим

(Сц — апй2) aj 4- (с12 — а12й2) а2 = О,
(с12	a12£2) Ctj 4“ (г22	®22^2) «2 == О'

(4.36)

Уравнение частот (4.24) в этом случае принимает вид

Д (k2) = (сп — апй2) (с22 — a22F) — (с12 — a12k2)2 = 0. (4.37)

Даже не прибегая к доказанной общей теореме о поло-
жительности корней уравнения частот, мы можем сделать
в этом случае заключение о характере корней на основании
очень простых соображений. Предположим для определен-
ности, что

С11 < С 22

а11	а22

введем обозначение z = k2. Далее дадим величине z ряд
значений и определим в каждом случае знак A (z). Принимая
во внимание неравенства (4.34), имеем

Д(0) СЦС22 С12 > 0,

А (4- со) = 4- оо > 0.

Последнее соотношение справедливо в силу того, что знак
А (4~ оо) определяется знаком старшего относительно z члена,
именно, знаком коэффициента при z2, который в силу (4.34)
положителен

«11«22	«12	0’
Корни А (д), а их два, лежат в тех интервалах, где А (г)
меняет знак, т. е.

О < < -£И- < —
ЙЦ «22

< z2 < ОО.

Рис. 103.

В точках Zi и z2 (рис. 103) парабола пересекает ось
абсцисс, что является геометрической интерпретацией уста-
новленного факта. Итак,
корни уравнения частот дей-
ствительны и положительны.
Предельный случай мы имеем
при

\ Лц /	\ «22 /

когда

z = С11 __ Са2 — -£12-

«11	«22 «12

т. е. имеем случай равных
частот. Тогда каждое из
двух уравнений (4.36) обра-
щается в тождество, и коле-

бания по двум координатам будут происходить незави-
симо одно от другого, но с одной и той же частотой.

Рассматривая случай неравных корней, можем написать
уравнения движения при первом и втором главных колеба-
ниях:

7(i1,== a(1'sin(^1Z4-pi), <7^= a'1!sin(Ai1/ + pi),

= ap>sin(^ + p2), ^)^apsin(^ + p2).	(4’38)

Из уравнений (4.36) имеем

(Хл )	Ci 1   tZi j	Ci о  (кл nk з

~7ТТ =----У= —	=	(4-39)

al	C12	a12^Z	c22	a22^z

где 1= 1, 2. Таким образом, при каждом главном колебании
амплитуды находятся в постоянном отношении, определяющем
форму колебания. Легко видеть, что числители и знаменатели
дробей в отношении (4.39) представляют собой миноры
определителя частот, которые в случае двухстепенной системы
приводятся просто к элементам определителя, взятым с тем
или иным знаком.
При каждом главном колебании обе координаты находятся
либо в одной фазе, когда ц > О, либо в противоположных,
когда ц < 0, т. е. колебания происходят синфазно или анти-
фазно. Однако во всех случаях изменения обеих кооординат
осуществляются синхронно, иначе говоря, с одной частотой.

Результирующее движение определяется уравнениями

q1 = aW sin (Л/ 4- р,)4- a® sin (Л/ + р2),
<?2= sin(kJ + Pj)+ a<22' sin(62Z + P2).

Итак, полное колебание представляет собой результат супер-
позиции двух главных синусоидальных колебаний. Если какой-
либо множитель liz отрицателен, то для сохранения положи-
тельности обоих значений a(Z) (поскольку амплитуда всегда
положительна) относят знак минус к синусу, прибавляя или
отнимая от аргумента л. Число постоянных, входящих в реше-
ние, равно 6, но из них 4 связаны двумя зависимостями (4.39).
Таким образом, произвольных постоянных остается четыре.

Обратимся теперь к вопросу о переходе к главным коор-
динатам. Пользуясь замечательным свойством Систем линейных
однородных дифференциальных уравнений, заключающимся
в том, что все искомые переменные могут быть умножены
на один и тот же множитель без нарушения системы урав-
нений, мы зададимся линейным преобразованием координат
наиболее простого вида, именно, положим

?1 = #! + ^ ?2 = Mi+Me' <4-41)

где и О2— новые координаты, а щ, ц2— некоторые по-
стоянные. Подставим эти значения координат qx и q2 в выра-
жения (4.32), (4.33) для Т и П. После группировки членов
получим

7' = -^- ((«и 4- 2012^1 + «22Н1) $14- 2 [ая 4- ^12(14 4~ Н2) 4-

4" а22HiНг] ^1^2 4“ (ац 4" 2а12р24- ^ггНг) ^2}’

/7 = -g-	-ф- 2с12Pj с2гН1) 4~ 2	4- с12 (Hi 4" Нг) 4”

4” с22 Н Нг] ^2 4~ (С11 4“ 2с12Р2 4- с22 Нг) $2} •

Выберем теперь множители pj и ц2 так, чтобы выражения,
заключенные в квадратные скобки, как для Т, так и для П,
обратились бы в нуль. Для этого должны удовлетворяться
два уравнения:

а11 4~ а12 (И1 + Нг) + ^22^1^2 = О'

сп 4~ ci2 (И1 4~ Нг) + сг2И1Нг= О,
откуда

и .. __ Л11^12 — Л12Сц ]

Н1Н2 — ~~г~; z_ /т и—»

“12с22— “22с12 I	.

И1 + и —	j

Й12С22 -Л22С12 J

Согласно теореме Виета, получаем для определения щ и |12
следующее квадратное уравнение:

(^12^22 йгг'чг) Н2 (а22си спс22) Н 4"

+ («iici2 —а12сп) = 0-	(4-43)

Можно показать, что корни этого уравнения вещественные.
Введя обозначения:

ai ~ аи 4“ 2ai2Hi 4 йгг^г

а2 = а11 4“ 2(2 12^2 4" а22^2’

с  с । 2с u I с и2	(4.44)

С1	С11 I 12^1 4" С22^1’

С2==С11+2С12Н24-С22Н^

мы из уравнений Лагранжа придем к двум независимым
уравнениям колебаний

a i&i 4-— 0, а2^24--С2О'2 = О,	(4.45)

определяющим свободные колебания с круговыми частотами

^=/1-	<4-46>

Как уже указывалось выше, на основании физических
соображений, от преобразования координат частоты
не меняются. Для двух степеней свободы этот факт легко
устанавливается также математически из линейности пре-
образования (4.41).

Решение уравнений движения принимает вид

fl,i = a1sin(A1<4-₽i)' $2 = «2 sin (^2^ 4~ Pa)-	(4-47)
Допустим, что система совершает только первое главное
колебание с частотой kx. Тогда по формулам (4.41) и (4.47)
находим

^(1) =	= И1 sin (k / + рх),

= |1Д = iijOj sin (у +

Аналогично имеем для второго главного колебания:

qW —	— а2 Sin (k2t-\- р2),

= !1Л = Н2а2 sin {у + р2).

Вспоминая
множители Pi
по формулам

С,

Рнс. 104.

уравнения (4.39) и (4.41), мы видим, что
и |12 здесь те же самые, что и определяемые
(4.39). Именно ц.; и р2 являются отношениями
миноров определителя частот и характери-
зуют формы главных колебаний.

Пример 1. Рассмотрим свободные колеба-
ния двух связанных грузов (рис. 104). Отсчитывая
координаты xt и х2 от положений статического
равновесия грузов О( и О2, мы тем самым исклю-
чаем из рассмотрения веса грузов. Составим не-
посредственно дифференциальные уравнения дви-
жения по заданной схеме:

= — ctxt -f- «2 (*2 — *1)>

т2х2 = — с2 (х2 — х,).

Уравнение частот имеет
Ct + C2— Mi*2;
— с2,

вид

“С2 1 = 0.
с2 — m2k21

Для упрощения возьмем случаи т1—т2 — т с1=с2 — с- Тогда

сп=2с, с12 = — с, с22=с, аа = а22 — т, а(2 = 0,

и уравнение частот принимает вид

m2k* —3mck2 с2 — 0,
откуда

По формулам (4.39) находим

Pi

Cg2 й22^1

_ ____	1,2

с12 — а12л2

Н2 -----------------

^22	^22^2
или

Ц2-----

т. е. колебания с меньшей частотой kt синфазны (грузы движутся
в одну сторону (рис. 105, а)), а колебания с большей частотой k2
антифазны (грузы движутся в противоположные стороны (рис. 105, б)).

В первом случае узла нет, во втором
имеется один узел К- Легко проверить
что уравнение (4.43), принимающее вил
ц2 — ц — 1 =0, дает те же значения щ и ц2.

Рис. 105.

aj

тгд

Рис. 106.

Пример 2. Колебания двойного маятника (рис. 106). Будем
рассматривать малые колебания системы в случае

«( = «2 = «, Z( = /2 = I

за обобщенные координаты примем углы <р и ф. Составим выраже-
ния кинетической и потенциальной энергии в общем виде:

Т = ~m1llq>2 + jm2 У1Ч>2 cos (ф — <р) <рф -Н|ф2].

П = mtglt (1 — cos q>) -f- m2g Ri (1 — cos <p) -f- Z2 (1 — cos ф)].

Так как колебания малые, то с точностью до малых второго по-
рядка имеем:

cos ф = 1—cos ф = 1—cos (ф — ф) = 1------------

Тогда, учитывая, что mt = m2=m,	= Z2 = Z, получим

Т=-^-(2Ф2-|-2фф4-ф2),
Л = -^-(2ф24-ф2).
Составив дифференциальные уравнения движения по (1.6), найдем
cn=2mgl, с(2 = 0, c22 = mgl,
alt = 2ml2, at2 = a22=ml2.

Уравнение частот

\ (k2) =

2mgl—2ml2k2; —ml2k2
— ml2k2; mgl — ml2k2

после упрощений, принимает вид

/гл4 —4-2^2 = 0.

Отсюда

kl =Х(24_/2).

Из уравнений (4.39) находим

коэффициенты щ и ц2:

ц(=/2, ц2 = —

Пример 3. Стержень, подвешенный на двух пружинах раз-
личной жесткости (рис. 107). Приведенная схема конкретизируется,

Рис. 107.

ции. Уравнения движения

например, в рессорном подве-
шивании автомобилей, вагонов
и т. п.

Отсчитывая перемещения г
и <р от положения статиче-
ского равновесия, находим Т
и П:

Г==1^2 + 1/ф2;

П = y Ci (г —Z(q>)2-[-

4-1с2 (2+72<p)2,

где М — масса стержня, J—
его центральный момент инер-

имеют вид

Мz -j- (Cf -j- с2) z (с212 — ct/t) ф — 0,
Jq> + (с^2 -f- CjZg) qj-f- (C2l2 — C^Zj) z = 0.

Если параметры системы таковы, что удовлетворяется условие
c(Z( = c2Zt,
то координаты z и <р — главные. Предполагая, что этого иет, на-
пишем формулы преобразования координат к главным, считая
91—Ф> ?2 = г:

Ф = Ф1 + Фг.

Выясним смысл gi, ц2 и ^1>
Ф2. Пусть система совершает
только первое главное колеба-
ние (Ф2 = 0). Тогда х = Ц1Ф1,
<р = Следовательно, стер-
жень совершает угловое коле-
бание вокруг некоторой точки/3
(рис. 108, а), главная коорди-
ната Ф1! есть угол поворота от-
носительно этой точки, a pi —
расстояние проекции С на
горизонталь от Р. Аналогично
интерпретируется второе главное
щение вокруг точки Q. Заметим,
жит в пределах стержня, друго!

Рис. 108.

колебание (рис. 108, б) как вра-
что один из центров Р или Q ле-
те, его.

§ 6. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Дифференциальные уравнения малых движений (не обя-
зательно колебаний) автономной системы с учетом сил ли-
нейного сопротивления имеют вид

(aup2 + bup^rcn)q1 + (anp'2^-b12p^-c12)q2 = 0< 1

у (4 48)

(я12Д24~ ^12Р4~ с12)914~ (а22Р2~\~ &22Р 4~ с2г) 92 =	)

Напишем также выражение функции рассеяния:

ф = Т М + 2^\ Ъ + ^1)’	(4-49)

где в силу положительной знакоопределенности Ф должны
выполняться неравенства

Ьц 0, b<22 Z> о, ^11^22----Ь12 z> 0.	(4.50)

Подставляя решение системы

==6?!^, q2 = C2eu	(4.51)

в уравнения (4.48) и сокращая на еи, получим

(а1 А2 4~ А 4" сп) + (а 12^-2 4" ^12^ 4- с1г) С-2 — 9,
(#12^2 4“ ^12^ 4- С12) *-*1 4“ (а22^2 4“ ^22^ 4“ С22> ^2 ~

(4.52)
Характеристическое уравнение (4.6) в данном случае при-
нимает вид

а1 А2 + ^1А + с11-	«12^ + ^12^- + с12  _

а12^-2 Н- ^12^ Н- С22'	#22^2 4~ &22^ 4“ С22

Четырем корням этого уравнения соответствуют четыре
решения, сумма которых, т. е. общее решение, определяет
собой полное движение:

91 = 2 C[l)eKi‘, q2=^ С^еЧ. (4.54)
i=i	1=1

Из однородных уравнений (4.52) мы можем определить
отношения коэффициентов:

__  а1А1 4~^1А14~С11    a12^14~&I2^4~c12	,4 gg.

C^l> a12^'i4- ^12^/4" C12	a12^f 4" ^22^i 4" c22

Таким образом, каждая пара коэффициентов, соответст-
вующая одному корню, находится в постоянном отно-
шении.

Корни уравнения (4.53) устойчивы, в чем можно убедиться,
например, с помощью критерия Рауса. Для упрощения вы-
вода мы сделаем переход к главным координатам.

Итак, положим

41 = ®1 + $2> 42 = Mi + Мг«

откуда обратно

ft = 4i — Иг?1 ф, _ И1?1 — 4г

1 Hi—Иг ’	2 Hi— Нг

Если q1=CleKt и q2~C2eM, то О, и Д2 можно пред-
ставить так:

^ = 0^, $2 = D2eu.

Таким образом, главные координаты будут выражаться
в тех же показательных функциях, а поэтому корни харак-
теристического уравнения не изменяются.
Из трех квадратичных форм в общем случае мы можем
привести к линейной комбинации квадратов переменных
только две. Итак, имеем

/7 = 1(п^ + с2^),

Ф = 4 (brfi + 2ЙЛ+Й2).

где бр Z>2, Ьй—новые значения коэффициентов сопротивления.

Дифференциальные уравнения принимают вид

(«1Р2 4- Ьхр + с,) + Ьйр®2 = 0, |
^2^1+ («2Р2 +^+^2)^ = 0. J

Заметим, что коэффициенты подчинены условиям:

ах >0, а2 > 0, Ьу >0, Ь2 > 0, q >0, с2 > 0,
b\b2 — Ы > 0.

Напишем уравнение частот в развернутом виде
а^а^к, (ci^b2-\-(#iC2~|~ #2^1 Н-^1^2 — Ьо)Х

+ (^1с2 Н~ ^2С1) + с1с2 ~ 0*

Разделим уравнение на аха2 и введем обозначения:
л261	a1c2-j-a2c1-j-b1b2 — b%

/11-- 	" 1 -- у До--------------------- у

д _ bjCj -f- b2Cj Д __ С1С;

$	^1^2

Очевидно, все эти величины положительные. Остается про-
верить знак дискриминанта Ч^ (4.19). Имеем

4% = Л1Л2Дз — Дз — И? Д4 =

= (Д1а2)3"	а2^1) (aiC2-|- a2Ci~}~bib2—bo) Ь2с1') —

— {Ьхс2 -ф- b2ctf аха2 — (ахЬ2 + а2Ьх}2 с^].

Произведя алгебраические преобразования, получим

Ч'4 = f(aA+ «2^l)(^1^2 — ^’о)(^’1<?2~Н^,2С1)—Н

«2С1)2^А1>О,
т. е. все корни устойчивые.
Рассмотрим возможные варианты решения в зависимости
от корней характеристического уравнения:

1)	корни комплексные, попарно сопряженные:

Zi, 2 = — ti\ ± Zvp Х3_ 4 = — п2 + iv2.

Этот случай имеет место при малом сопротивлении. Движение
представляет собой наложение двух затухающих колебаний:
01 = e~n,t [Д11’ cos vit + 511’ sin Vi/] 4-

4-	e-”2* [Ap cos v2/ + В® sin v2/] ,

O2 = e~nit [Д^ cos v^-j-B^sin vjZ] 4-

4-	e~nit [42> cos v2/ 4~ ^2' sin v2/|•

Несмотря на то, что координаты 0; и 02—главные, они
изменяются достаточно сложным образом. Решение зависит от
8 постоянных, которые подчинены четырем условиям (так как А
и В зависят от С, для которых указаны четыре зависимости);

2)	все корни действительные. Представим эти корни так:

2	— Л} -1. Хр ^3, 4 ~~~	^2 “ ^2*

Тогда можно перейти к гиперболическим функциям:

= e~n,t [Д^ ch Hit 4- Bp sh xj/] 4-

4- e~"2t [ Д® ch H2t 4- Bp sh X2/],

, r Z1	,	(4.58)

02 = e~n'‘ [4 > ch Hit +- Bp sh Hit] 4-

4- e~nit [ Ap ch n2t 4- B(P sh n2t].

Движение апериодическое, имеющее место при большом
сопротивлении;

3) два корня — комплексные сопряженные, два — веще-
ственные

2 — — ^i ± tv, 4 — ti2 — х.

Решение имеет вид:

01 =	[4П cos vt 4~4l) sin v/] 4-

4- e~n2t [Др ch nt 4- Bp sh nt],
$2= e~n,t [Дг’ cos vt 4-4J) sin v/] 4-

4- е~П2‘ [Д22> ch nt 4- Bp sh nt].
Движение системы представляет собой наложение зату-
хающих колебаний на апериодическое движение.

Пример. Два электрических контура имеют между собой
индуктивную связь (рис. 109). Все параметры контуров заданы. Тре-

буется найти силу тока в кажд
Дифференциальное уравнение для
и исследовали (гл. 11, §6, пример 2).

Здесь необходимо ввести
в уравнение каждого контура доба-
вочный член, выражающий влия-
ние другого контура через посред-
ство коэффициента взаимной ин-
дукции М. Итак, имеем

+ RiP + £;) zi + мРг^ = °>
Мрг1} -j- ^.2р2 Н- RiP "Ь = 0.

контуре /], 12 при замыкании,
ого контура мы уже выводили

Рис. 109.

Деля первое уравнение на Llt второе на Д2 и вводя обозначения

М ,	1	1	Я, Ri

Х /ЦТ? ’	‘	’ 2	’ 81 2Ll ’ 82 ‘2L2 ’

мы можем характеристическое уравнение написать так:

(Л2 -|- 2^'1Л -|- /i)(A2 -f- 2g^. -f- /2) —	= 0.

Если бы контуры не были связаны индуктивно, то коэффи-
циент % был бы равен нулю, и мы получили бы распадающееся
уравнение. Если можно пренебречь сопротивлением, то gr — g,2 = 0
и характеристическое уравнение получится биквадратное. В общем
случае исследование производится согласно изложенной теории, где

ZZ] ] = Aj,	ZZ/2 Al,	ZZ22 ^"2>

^11 “Д1,	^12 === 0,	^22 ~ R2*

1	А	1

С11—~Q~I С12 ---Д С22 —

В зависимости от параметров системы токи и i2 могут быть
колебательными и апериодическими.

§ 7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ

БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Рассмотрим вынужденные колебания произвольной си-
стемы без сопротивления под действием периодического
возмущения. Так как для линейных систем имеет место
принцип суперпозиции, то можно ограничиться рассмотре-
нием возмущающих сил, действующих по гармоническому
закону с одним аргументом, т. е. рассмотреть случай так на-
зываемого моногармонического возмущения. При этом диффе-
ренциальные уравнения движения на основании (1.39) и (4.20)
имеют вид:

Д («гуР2 + «гу) ?у = sin (<в/ + у),	(4.60)

где I = 1, 2, ..., п. Общее решение системы

<h = <li + Q*-	(4-61)

где qt — решение соответствующих однородных уравнений,
определяющее собственные колебания системы, q*. — частное
решение, определяющее вынужденные колебания, которые
ищем в тригонометрической форме:

q* — a* sin (art -ф- у).	(4.62)

Подставляя это решение в уравнение (4.60) и сокращая на
sin(<o/4-y), получим систему алгебраических уравнений:

2(C/.-a/y(02)a*=//(..

(4.63)

Обозначая определитель системы (4.63) через

А (и2) =

«и —«и®2 ••• «и —«и®2

«»1 —«»1®2 ••• «яя —«яя®2

(4.64)

а минор элемента Z-й строки /-го столбца через (и2),
получаем такие значения амплитуд:

п

= <4-б5>

1=1

Очевидно, формулы (4.62), (4.65) имеют смысл лишь
тогда, когда А (и2) #= 0, т. е. когда ни одна из собственных
частот kt системы не совпадает с частотой возмущения и;
в противном случае наступает резонанс, при котором расчет
выполняется по особым формулам. Итак, система имеет столько
резонансных частот, сколько имеется степеней свободы.
Рассмотрим более детально задачу о вынужденных коле-
баниях системы с двумя степенями свободы, т. е. когда п = 2.
В этом случае вид уравнений (4.60), (4.63) и (4.64) очевиден,
причем определитель системы А (и2) можно представить очень
просто в развернутой форме:

Д (^ = (Сп _ aii<B2) (С22 _ а22(О2) _ (С12 _ а12ы2)2. (4.66)

Выражения амплитуд (4.64) принимают вид

ai= Ж[/71 (<?22 — а22<°2) — н<2 (С12 ~ а12<°2)1,
а2 = Ж [Я2	—	~	(<?12 ~ а12®2)]-

(4.67)

Обратимся теперь к случаю резонанса, предположив, что
частота и изменения возмущающей силы совпадает с одной
из частот собственных колебаний. Пусть, например, a = k1,
для исследования движения обратимся к главным координа-
там, в которых уравнения движения системы с двумя степе-
нями свободы имеют вид:

+	01-

= 02*

(4.68)

где 0j и 02— обобщенные силы, подлежащие определению.
Для этого воспользуемся выражением элементарной работы
в двух системах координат:

Qi tyl -j- Q2 $?2 = 01 $01 Н- 02 $02-

Имея в виду формулы преобразования (4.41)

71 = 01 + 02* Я2 — Р101 + ^202*

подставим значения и 6q2 в выражение работы. Вспоминая,
что

QX = HX sin (at 4“ Y)* Q2 — ^2sin	+ Y)>

из сравнения коэффициентов при и 6fr2 находим

0i = (#i + 1Ж2)sin (.at + Y)* 1

02 =Ж1 + Н2^2) sin H + y)- 1	)
Подставив найденные значения 0j и 02 в уравнения (4.68),
поделим их соответственно на и а2 и введем обозначения:

А2 = —	h* —

1	а, ' "1	а, '

„ , ‘	(4.70)

А2 = C1 h* =	1 +

2	^2 *	2	Ц2

где kx, k2— собственные частоты системы. Имеем
+ й* sin (со/-f-у),

f^2 Н~ ^2^2 == ^2	—j~ Y?'

Сделаем теперь предположение, что <о = й1=?ь k2. Тогда
частные решения уравнений (4.71) будут иметь вид

Г *	,	.

л* "1	/	1

$1 = 2^sinVB*+Y'~ 2J’
г*
*	^2

$2 = Т2------2 S‘n + V)-

Переходя к прежним координатам, получим

«1	/	л\ Л2

9i=T-^sin Brf+Y — -J + -T2---------2 sin(®* + Y),

ZCO	X	Z I	Ky — ®

hl /	«\ h2

4i = Ih-z- /sin ®/ + у — — I + [X2 —---2 sin (co/ + y),

zCO \	2 /	Kn — О

(4.72)

т. e. при резонансе неограниченно возрастают обе коорди-
наты, если они не являются главными. Аналогичные рассу-
ждения можно привести для случая to = k2 #= kx.

Пример 1. Вынужденные колебания двойного маятника под
влиянием горизонтальных гармонических колебаний точки подвеса
(рис. 110).

Пусть закон движения точки подвеса О выражается уравнением
g = S Sin (Dt.

Положим для упрощения ml = m2 = m, ll = l2=^l и воспользуемся
для изучения относительного движения методом сил инерции. Вы-
ражения этих сил таковы:

Flx = — тЦ = ms®2 sin at,

F2x = — m2l = ms®2 sin ®t,
F iy — F 2y = 0.
Принимая за обобщенные координаты углы <р и ф, найдем обоб-
щенные возмущающие силы из выражения элементарной работы,

которое напишем в двух системах коор-
динат:

0Ф + Оф = ?1х	4"	^х2-

Так как

x1=/sinip, х2 = Z (sin <р —sin тр),
то

бх 1 = I cos ф бф,
бх2 = I (cos Ф бф cos ф бф).

Полагая, вследствие малости углов ф
и тр, cos ф « 1 и приравнивая коэффи-
циенты при одинаковых вариациях, на-
ходим

Q^ — 2mls®2 sinco/, фф = mZsco2 sin со£

Из выведенных прежде (глава IV, § 5, пример 2) дифферен-
циальных уравнений свободных колебаний двойного маятника в дан-
ном случае получим

(!2т12р2 2mgl) ф ml2p2ty = 2mZsco2 sin coZ,
т^2р2ф (ml2p2 -ф- mgl} ф = mis®2 sin coZ.

Тогда

„ 2mgl — 2ml2®2,	— ml2®2 I

Д(®2)= S ...	,	\ = m2l2l2(g~l®2)2-l2®^.

— ml2®2,	mgl — ml2®2 |

= H(f = 2mls®2, H2 = H..„ — mls®2.

Теперь по общим формулам (4.67) найдем амплитуды выну-
жденных колебаний:

аТ ~ А(й2)	(С22 ~ а22®2) — ^ф (с12 — а12®2)] >

ЙФ =	(СП ~ аП®2) - /Уф (С12 - «12®2)] •

Подставляя в уравнения движения и упрощая, найдем

sco2 (2g — I®2)

2 (g — I®2)2 — Z2co4

sin ®i,

t	2gs®2	.

~ 2 (g — I®2)2 — I2®* S'nat’
Обратим внимание на то обстоятельство, что при laP = 2g
колебания первого маятника полностью гаснут, тогда как колебания
второго маятника определяются уравнением

, *	8<о2

ib* =--------sin со/,

g

т. е. находятся в противофазе с возмущением.

Пример 2. Динамический поглотитель колебаний. Отмечен-
ное сейчас свойство связанных колебательных систем имеет важное

техническое применение в так называемом динамическом поглоти-
теле колебаний (рис. Ш). Пусть на массу М (главную массу),
установленную на пружине ct, действует возмущающая сила
Q = И sin (cot 4- б). К этой массе при-

Рис. 111.

крепляется на пружине с2 вспомога-
тельная масса т (или масса поглоти-
теля), назначение которой — гасить ко-
лебания главной массы.

Принимая за обобщенные коорди-
наты вертикальные перемещения xt и х2,
отсчитываемые вниз от положения равно-
весия центров тяжести обеих масс, по-
лучим

Мхг = — CiXi 4- сг (х2 — JTi) 4-

4- Н sin (cot 4- 6)t

тх2 = — сг (х2 — xt),
илн

[Mps 4~ (ci 4- cs)l -*i — с2х2 =

= //sin (<й^4"®)»

— с2^1 4- (тР2 + сг)^2 =о.

Пользуясь выражениями для а* и а*, находим

« И (с, — та2) . , , ,	« Нс2 . . , , ..

*1 = ' Д~(а2) ' -sin^ + 6), ^ = ^^(^4-6),
где

д (®2) =	4- с2 — Ле2) (с2 — та2) — с2.

Для гашения колебаний главной массы должно быть
с2 — т®2 — 0,
что возможно только при одной определенной частоте. Тогда
х* = 0, лг2 = — sin (at 4- б — л).

с2

Аналогичные устройства применяются также для гашения кру-
тильных колебаний, но там роль масс играют моменты инерции.
§ 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ

С СОПРОТИВЛЕНИЯМИ,

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ СКОРОСТИ

Рассмотрим, наконец, вынужденные колебания произволь-
ной системы с линейным сопротивлением под действием моно-
гармонического возмущения. В этом случае дифференциаль-
ные уравнения движения на основании уравнений (1.39)
примут вид:

п

5	+ bijP + Clj) qj = Hl sin (at + Y)>	(4-73)

где i = 1, 2, ..., n. Вследствие наличия в левых частях
уравнений первых производных от координат по времени,
уже нельзя в частном решении обойтись одним синусом
того же аргумента. Придется вводить также косинус или,
что одно и то же, сдвиг фазы.

Выполним расчет для случая двух степеней свободы.
Имеем дифференциальные уравнения

(fliiP2 4“ Ьпр -ф- cn) qx 4~ (а12р2 -ф- b12p + с12) q2 =

= И, sin (со/-]-у),

(4.74)

(а 12Р2 4“ bizP 4“ сы) <7i 4~ (a2iP2 4~ Ь^Р 4~ си) ?2 =

= /72sin(co/4_Y)«

частное решение которых ищем в виде
q* — a* sin (со/ -ф- у — е.),

*	*  / < । ч	(4-75)

q =а sin(co/-|-Y — е2).

Разлагая здесь синус, можем q* и q*2 представить еще
и так:

q* = sin (со/ -]- у) 4- cos (со/-ф- у),

<?’ = Л42 sin (<о/-|- Y) 4~ N2 cos (и/4- у),	(4-76)

где

Л11 = a’cos Ер Нг = — а* sine,,
Л42 = а* cos е2, М2 =— a2sine2,

(4.77)
или обратно	д.

а- = /Л424^. ^е2 = ->

Для определения 44 р 442,	подставим q* и <?* из

формул (4.76) в систему уравнений (4.74). Перенесем в по-
лученных уравнениях все члены в одну сторону, собрав
отдельно члены с синусами и членами с косинусами, и при-
равняем нулю коэффициенты при синусах и косинусах.
Получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными, именно:

(tn — апсо2) Mj — bn&Nj 4

Ч- (С 12	fl12®2) ^2	ft]2®A^2 = ^1’

Z’jlCoMj -|- (СП------- йцСО2) /V] -|-

Ч- ft 12ю 442 Ч~ (С12---fl12®2) ^2 = О»

(с12 — fli2®2) 44]	ft12oWj -j-

Ч~ (с22	fl22®2) 442 ft22O)A72 = Н2,

Ь^аЛ!, 4- (с]2 — cz]2co2) N, 4-

4- ft 220)44! 4- (с22 — а22®2)	= 0.

(4.79)

Решая эту систему уравнений относительно 44j, V,, 442, М2,
мы тем самым получим и решение нашей задачи.

Определитель системы (4.79) имеет вид

А (со2) =

сп — апсо2 — ftnco с12 — а 12со2	— ft12co

__	^п® си fln®2 ft]2co с]2—cz]2co2 (4 80)

с12-- fl12®2	---ft]2®	с22 — «22®2	-^22®	’	'

^12® CI2 flI2®2 ft22®	С22	fl22®2

Обозначая, как мы это делали, миноры определителя сим-

волом Atj (со2), получим расчетные формулы:

= тЫ[/Ми (“2)+/72Лз1 (w2)1’

7V1 = ж [//1л'2 № +

^2 = дй	(®2) + ^33 (®2)1-

= Д^Г [Н'А"	+ Л2Л34 (®2)1-

(4.81)
Можно показать, что ни при каких значениях со опре-
делитель А (со2) не обращается в нуль, оставаясь всегда
положительным.

Пример. Жидкостный успокоитель качки корабля типа Фрама.

Схематически устройство успокоителя изображено на рис. 112.
В плоскости поперечного сечения А корабля устанавливаются

Рис. 112.

резервуары В с жидкостью удельного веса у, образующие замк-
нутую цепь с дросселирующим устройством D для воздуха, зани-
мающего часть цепи. Масса жидкости, заполняющей резервуары,
оказывает восстанавливающее действие на отклоненный корабль.

Примем для упрощения расчета упомянутую цепь за круговое
кольцо среднего радиуса г, с площадью поперечного сечения s
и центром О, который предположим совпадающим с центром вра-
щения корабля при качке. За обобщенные координаты примем угол
качки ср и угол поворота О уровня жидкости в кольце относительно
корабля.

Возвращающее действие оказывает вес жидкости, равный
2ysr (ср — О'), центр тяжести находится на прямой ab. Потенциаль-
ная энергия равна работе, совершенной весом жидкости объема bd
при перетекании в объем ас, что соответствует приближенно пони-
жению центра тяжести на величину 2 • -i- г (ср — О) = г (ср — О).

Итак, имеем:

П = 1 с (ср — О)2,

где

с = 2ysr2.

Пренебрегая для упрощения вертикальным перемещением центра
тяжести корабля, для кинетической энергии системы находим;

7’ = |[Л? + Л(Ф-Ш
где J] — момент инерции корабля относительно оси О, J2 — момент
инерции жидкости относительно той же оси. На корабль действуют
еще возвращающий момент воды — с0<р, момент сил сопротивле-
ния — Ь0<р и возмущающий момент волны — Н sin at. На жидкость
в резервуарах и трубопроводе действует также момент сил сопро-
тивления — Ь&.

Из уравнений Лагранжа:

d	7	дТ \	дТ	дП

dt	\	дц> J	ckp	дф

d	/	07 \	дТ . дП_________

di	\	&& J	д-&	д®

с0<р — йоф -J- Н sin at,
b®

находим уравнения движения системы:

[(•Л	J2) 4- bap 4- (с0 4- с)] Ф — (Лл5 4- с) $ = 77 sin at,

— (Лл2 4-с) ф + (Лл2 4- Ър 4- с) & = о.

Решение определяется уравнениями (4.75), (4.78), (4.79) и (4.81),
где

?1=Ф*. ^ = а’, у = 0,	77, =77, 772 = 0,

Л] ] == J] 4~ J2	7^12 ==  ^22 — -72»

b j । = 60, b |2== О, Ь22 == Ь,
Сц = С04_С, С12 = — с, с22 = с.

Некоторое упрощение получается лишь за счет того, что 772 = 0,
612 = 0. При отсутствии описанного стабилизирующего устройства
уравнение качки корабля имело бы вид

(JiP2 4~ Ьар 4- с0) ф = Н sin at,

решение которого было дано в главе 11. При отсутствии сопротив-
лений— £оф и Ьй мы получили бы задачу принципиально не отли-
чающуюся от рассмотренной в предыдущем параграфе.

§ 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ
КОЛЕБАНИЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Решение дифференциальных уравнений движения систем
с двумя и более степенями свободы, а следовательно, и
нахождение собственных частот колебаний этих систем часто
бывает связано с громоздкими вычислениями. Если к тому же
еще учесть, что во многих прикладных вопросах механики
оказывается достаточным определение лишь приближенных
значений собственных частот различных форм колебаний,
а подчас лишь собственной частоты основной формы коле-
баний, то решение задачи в таком случае прямым методом
является мало оправданным.

Ниже рассматриваются некоторые приближенные методы
определения частоты сложных систем и дается численное
сравнение результатов.

А. Метод Рэлея

Сущность этого метода состоит в том, что заранее дела-
ются некоторые допущения относительно конфигурации си-
стемы во время колебаний. Таким образом, налагая ограниче-
ния на колеблющуюся систему, вообще говоря, приходят
к рассмотрению системы с большей жесткостью, чем данная,
вследствие чего получается более высокая частота колебаний
по сравнению с истинной.

Из закона сохранения механической энергии имеем

Т -\-П = const.

Если считать, что упругие колебания отдельных точек
системы около их положения равновесия происходят по
гармоническому закону, то отклонения можно представить
уравнением

у — у0 cos pt,	(4.82)

где р — циклическая частота колебаний, у0—уравнение
формы колебаний.

Тогда все точки упругой системы одновременно проходят
через положение равновесия, имея наибольшие скорости, и
одновременно достигают крайних положений, когда их ско-
рости обращаются в нуль. В первом случае имеем максимум
кинетической энергии системы, во втором — максимум потен-
циальной. Если теперь обозначить потенциальную энергию
системы в положении равновесия через I7st, то уравнение
энергии можно будет переписать в следующем виде:

T'max + st — ^тах + st

ИЛИ

^тах~ ^тах’	(4.83)
т. е. начальное значение потенциальной энергии не играет
никакой роли. Кинетическая энергия определяется выраже-
нием:

(4-84>

о	о

Так как из уравнения (4.82)

~ УоР sin pt,
то

I

= f m(x)yldx.	(4.85)

6

Потенциальная энергия также находится по известной
формуле механики:
i

n==if(^EIdx’ <4-86)

6

откуда

i

nmax = ^f[^Eldx.	(4.87)

6

Приравнивая Ттах и /7тах друг к другу и решая полу-
ченное выражение относительно интересующей нас частоты р,
получим

Е/ J (y'oTdx

Р2 =----.	(4.88)

J" ту? dx
о

Из этого выражения видно, что если бы нам было из-
вестно точное уравнение формы колебаний у0, которая
является некоторой функцией от х, то при подстановке его
в полученное выражение можно было бы получить точное
значение искомой частоты р.
Метод Рэлея заключается в том, что вместо точного
уравнения у0 = ф(х) применяется приближенное, которое
определяется действием статической нагрузки. Иначе говоря,
предполагается, что форма колебаний системы с заданной
нагрузкой совпадает со статической формой системы, нахо-
дящейся под действием той же нагрузки. В этом основном
предположении и вскрывается приближенный характер дан-
ного метода. Однако в большинстве случаев он дает неплохой
результат, если учесть еще его относительную простоту.
Необходимо отметить также, что метод Рэлея позволяет
определить только основную собственную частоту колебаний
системы.

Для оценки точности рассмотренного приближенного
метода решим одну упрощенную задачу — определить частоту
и период собственных поперечных колебаний балки (рис. 113, а)

Рис. U3.

постоянной жесткости, лежащей на двух опорах и несущей
равномерно распределенную нагрузку, отвлекаясь при этом
от затухания. Будем считать, что поперечные прогибы балки
малы по сравнению с ее длиной и, кроме того, прогибы
балки при колебании будем также предполагать малыми.
Эти допущения позволят нам пользоваться дифференци-
альным уравнением изогнутой оси балки и пренебрегать
влиянием перерезывающих сил и вращением отдельных эле-
ментов балки.

Считая начало координат в левом конце горизонтально
расположенной балки, ось х-в направленной вправо, а ось
у-в—вниз, будем иметь уравнение формы балки под дей-
ствием равномерно распределенной нагрузки в следующем
виде:

>'»=да-(т-27?+4)-	<4-89»

Тогда при х — -j-

=	<4-9<Ч

где Ко — максимальный прогиб середины балки. Почленным
делением уравнений (4.89) и (4.90) получим

уо=4(т-24+Як°-	(4-91)

Подставляя это уравнение в формулу (4.85), найдем

f _______ 128 - 31 ql у.2 2	/д gп-,

7 max	25-630 g Y°P '	(4.92)

После подстановки (4.91) в уравнение (4.87) и почленного
интегрирования получим
=	(4.93)

Из выражений (4.92) и (4.93) определяем искомую частоту
р, пользуясь равенством (4.83)

о	126-24 Elg

Р 31 ql* ‘

Зная, что

Х==~Р	(4-94)

найдем

Т = 0,63617	.	(4.95)
Б. Метод Рэлея — Ритца

В основе этого метода лежат те же энергетические со-
отношения (4.83), (4.88). Отличие состоит в том, что урав-
нение формы колебаний у0(х) отыскивается в виде линейной
комбинации аппроксимирующих функций фДх), Фг(х), •••
..., фл(х), а именно:

Уо = «1Ф1 (х) ~Ь «2Ф2 (*)+••• + «лФл (*)>	(4-96)

где at — некоторые постоянные.

При этом функция у0(х) должна удовлетворять гранич-
ным условиям задачи при любых коэффициентах а2, . ..
.... ап, а это значит, что каждая аппроксимирующая функ-
ция ф/(х), взятая в отдельности, также должна удовлет-
ворять граничным условиям. Кроме того, необходимо выби-
рать эти аппроксимирующие функции в столь общем виде,
чтобы при достаточно большом числе п действительное
состояние колеблющейся системы могло быть приблизительно
представлено в виде

у — у0 cos pt,

где у0 определяется уравнением (4.96), иначе говоря, чтобы
мы имели возможность решить нашу задачу с любой сте-
пенью точности.

Далее остается еще сказать о выборе коэффициентов
аг, а2, .... ап- Взяв конечное число членов в выражении
(4.96), мы накладываем некоторые ограничения на возмож-
ные формы колебания системы, благодаря этому и частота,
вычисленная по уравнению (4.88), получится ббльшая, чем
точное ее значение. Чтобы получить возможно лучшее при-
ближение, было предложено Ритцем выбирать коэффициенты
av а2, ••> ап в выражении (4.96) так, чтобы частота р
была наименьшей, т. е. чтобы выполнялось условие экстре-
мума

Ei f (y'o)2dx

j my~dx

о

где I — 1, 2, 3.....п; п — число членов.
Прежде чем идти дальше и искать окончательный вид
решения задачи, проанализируем уравнение (4.97) и после
несложных математических преобразований напишем его
в несколько более удобной форме.

Вводя обозначения
i

=	$ (Уо)2йх=:ЧГ (fli- а2.....ап) (4-98)

О

и

I

9Т Г

—J ту2йх = Ф(а1, с2,	а„),	(4.99)

о

отметим, что потенциальная и кинетическая энергия будут
однородными функциями второй степени относительно коэф-
фициентов а2, .... ап. Следовательно, и Ф суть
квадратичные функции. Выражение (4.97) теперь запишется
в виде

где 1=1, 2........п. Далее можно написать, что

откуда

dai dai

Так как на основании обозначений (4.98) и (4.99)

2

Р2 =	,

Ф

то, выражая Д' через р2, имеем

Ф 4^ — р2Ф-^- = 0.
oai r dat

Сокращая на Ф, которое не равно нулю, получаем си-
стему уравнений (4.97), записанную в преобразованном виде

<Р¥_
да^

2 дф л
р2 -г— = 0.

dat

(4.100)
Для получения окончательного решения задачи необхо-
димо отметить, что так как Т и Ф являются квадратичными
функциями, то их частные производные по at будут функ-
циями линейными и притом однородными относительно ах,
.......®л’

Таким образом, выражение (4.100) представляет собой
систему однородных уравнений первой степени относительно
ах, •••. ап. Как известно, такая система допускает ре-
шения, отличные от нуля только в том случае, когда ее
детерминант 0 равен нулю. Получаем уравнение относи-
тельно р2

0(р2) = О.	(4.101)

Это и есть окончательный вид уравнения частоты, при-
чем степень его относительно р2 равна числу уравнений
(4.100), т. е. в конечном итоге — числу взятых аппроксими-
рующих функций. Низшая частота, т. е. минимальный корень
уравнения (4.101), определяет основное колебание системы.
Увеличивая последовательно число аппроксимирующих функ-
ций, мы будем, во-первых, получать все более и более
точное значение частоты основного колебания, а, во-вторых,
определять также частоты и других видов колебаний. Зная
р2, легко можно найти соотношения между параметрами,
так как известно, что в системе линейных однородных
уравнений неизвестные относятся, как соответствующие ми-
норы детерминанта системы.

Решим теперь упрощенную задачу, рассмотренную в пре-
дыдущем параграфе, методом Рэлея — Ритца, при этом общие
допущения и ограничения, указанные ранее, оставим без
изменений.

Ограничимся определением частоты только основного вида
колебания. Так как балка закреплена на концах шарнирно,
то граничными условиями можно считать следующие:

1)	на каждом конце прогиб равен нулю, т. е.

у = 0,

2)	на концах изгибающий момент равен нулю, т. е.
.£>1 =0,
3) в середине, тальна, т. е.	в силу симметрии, касательная горизон-  # = о, dx
4) в середине	перерезывающая сила равна нулю, т. е.  dx3

Так как условие

	dxn

равносильно, согласно уравнению (4.82) условию

dxn ~

О,

то, обозначив для удобства длину балки через 2/ и взяв
начало координат в середине, направив ось х-в вправо по
балке, а ось у-в вниз, граничные условия могут быть пред-
ставлены в следующем виде:

у0 = 0 при х— ± Z;

= 0 при х —0;

-4,у°- — 0 при х = ± I;

dx2	г

= 0 при х = 0.

dx3	г

Попытаемся обойтись лишь алгебраическими функциями.

Возьмем функцию ф1 (х) в виде полинома четвертой степени
(х) = а 4~ Ьх 4- ex'14- г/х3 4- ех4.

Легко убедиться, что эта функция удовлетворит всем постав-
ленным условиям, если

,	, Л	6$	а

b = d — 0, с = — -^,

Тогда Фх (х) примет такой вид

Ф1 (X) = а —	х24- -gp- X4.

Коэффициент а здесь не имеет существенного значения, так
[<ак функция ф1 (х) в выражении для у0 умножается на па-
§ 9]

раметр ар а поэтому его можно считать произвольным. Для
удобства положим, что а— 5, тогда

Ф1 (х) = 5 — 6^ + ^-.

Остальные функции <р2 (х), ф3(х), . .. (см. выражение 4.96)
постараемся образовать единообразно, для чего положим, что

Ф2 (х) = ф1 (X) ф[ (х),
Ф3(х) = ф2(х) Ф1(*)>
Ф4(х) = ф3(х)Ф1(х),

Ф/ + 1	= (*) Ф1 (•*)>

где функции (х), ф2 W, • • • подлежат определению.
Возьмем выражение ф/ + 1 (х) и продифференцируем его трижды.
Пользуясь формулой Лейбница, получим

Фщ1=Ш>

afyi + i __ d^i „ I	'

dx dx <^1 t"	dx ’

d^i+i _	2 d^j rftpi . rf2tpi

dx2 dx2 ' dx dx ' dx2 ’

_ d3^t	.о	d2$j	rftfi	. о d^t d2q.	cf3cpi

dx3 dx2	'	dx2	dx dx dx2	Ф' dx3

В соответствии с граничными условиями при х = ±/ обра-
щаются в нуль функция ф; (х) и ее вторая производная,
а при х = 0 обращаются в нуль первая и третья производ-
ные от этой функции. То же самое должно иметь место и
в отношении любой функции ф(- (х) равно как функции
Ф/ + 1(х). Отсюда получаем условия для ф; (х). Именно, как
можно видеть из написанных равенств, должно быть

d^i _ п

dx ’

при х = 0 и при х— +1; кроме того,

d3$i . р

dx3 ~ и
при х = 0. Этим условиям можно удовлетворить, положив



В таком случае нетрудно построить систему аппрокси-
мирующих функций:

у2 у4

Ф1 (х) = 5-6^- + ^-,

у2 /	у2 \ /	у2 у4 \

Ф2 О) =	(1 ~	) (5 - 6	,

Г х2 I. х2 \12/_	г х2 л4\

ФзС*)— [ /2	2Z2 /] \	$ Z2 ~Z4 ) ’

(4.102)

В самом деле, во-первых, все эти функции удовлетво-
ряют граничным условиям, а, во-вторых, поскольку x<^Z,
влияние функций с возрастающим индексом будет все меньше
и меньше. На доказательстве сходимости последовательных
аппроксимаций при возрастании п мы здесь не останавли-
ваемся.

Первоначально решим задачу в первом приближении,
взяв для у0 первую аппроксимирующую функцию, т. е.

у0 = Й1Ф1 (х) = ах (б — 6	.

Тогда согласно (4.98) и (4.99):

Ч = Е1 У*(у")2 dx = 76,8000 -J- EI,

6
i

Ф = / my2dx = 12,5968a2Z—.
о

Далее, по формуле (4.100) находим p2

2 _ Elg 76,8000
p ~ ql* ’ 12,5968 •

Вводя сюда Z/2 вместо l, т. e. считая l за Полную длину
балки, будем иметь

,	, Р 76,8000 Elg
По формуле (4.94) находим период

т = о,езб18 j/^

Elg •

(4 103)

Теперь определим частоту и период колебаний во втором
приближении, т. е. возьмем для у0 первые две аппроксими-
рующие функции:

у0 = «1Ф1 (х) + а2ф2 (х)

или, согласно (4.102):

/	у% у^ \	у2 /	у2 \ /	у2 У^ X

yo^js-e^+^+a^fi-^fs-e^-^).

Вычислив интегралы, получим для Т и Ф:

Т =	(76,80000а?4-2 • 1 l,58096aia2 4-87,72241 а?),

Ф =	(12,59683a?4- 2 • I,39949a1a2 4-0,32573a?).

Подставим в формулу (4.100) и произведем частное
интегрирование по аг и а2. В результате получим систему
двух уравнений:

(76,80000-^— 12,59683-^-) а, 4-

(	Z3	g ) 1 ।

-4- (11,58096-^- — 1,39949 а2 = 0,
(11,58096^ — 1,39949	а,4~

\	I*	g ) 1

4- (87,72241	— 0,32573 а2 = 0.

k	*3	g ) 2

Вводя обозначение

г2

Elg

(4.104)

и приравнивая детерминант
уравнение частот

76,80000 — 12,59683г2;

11,58096— 1,39949г2;

этой системы нулю, получим

11,58096 — 1,39949г2

87,72241 —0,32573г2

После упрощений приходим к биквадратному уравнению
г4 — 2 • 255,900г2 4~ 3078,786 — 0,
из четырех корней которого имеют физический смысл только
положительные. Однако из этих положительных корней мы
возьмем лишь один, наименьший, и обозначим его через zv
Этот корень соответствует низшему, основному типу колеба-
ний. Итак, имеем

= 2,46778.

Подставляя в (4.104) и вводя //2 вместо Z, т. е. считая,
что I есть полная длина балки, находим выражение для
искомой частоты

р = 4- 2,46778 |/"

Наконец, пользуясь формулой (4.94), определяем период
т = 0,63651	•	(4.105)

Заметим, что здесь нам совершенно не нужен был боль-
ший корень z2, так как этот корень соответствует уже дру-
гому, высшему типу колебаний той же балки и притом
такому, при котором упругая линия балки симметрична
относительно плоскости, равноудаленной от ее концов и
перпендикулярной к прямой, соединяющей эти концы, это
следует из выбора аппроксимирующих функций. В действи-
тельности же это будет уже третий тип колебаний. Но ведь
мы ставим себе целью получить значение периода только
для основного типа, для которого, пользуясь методом
Рэлея — Ритца, мы нашли два последовательных приближе-
ния. Если бы мы стали вести расчет, опираясь на корень z2,
то в этом случае получили бы для периода соответствующего
типа колебаний только первое приближение; для следующего
приближения нужно в выражении для у0 взять уже три ап-
проксимирующие функций <pz (х) и т. д.

В. Метод Данкерлея

В основу этого метода положен принцип последователь-
ного загружения системы в различных ее точках, т. е. сис-
тема с большим числом степеней свободы как бы расчле-
няется на отдельные одностепенные системы, каждой из кото-
рых соответствует своя собственная частота. Приближенное
значение собственной частоты р исходной системы опреде-
ляется по формуле Данкерлея:

где pi — собственная частота элементарной одностепенной
системы.

Остановимся несколько подробнее на получении этой
формулы. Вывод проведем, пользуясь методом приведения
масс.

Рис. 114.

Допустим, система (рис. 114) последовательно загру-
жается в точках 1, 2, .... п. Тогда уравнение движения
в каждом случае будет:

m2y2=-c2y2.	(4107)

тпУп=— спуп,
где — коэффициент жесткости в данной точке. Решения
этих уравнений имеют вид

y1 = a1sin Cp^ + Pj),
у2 — a2sin (p2Z + р2),

Уп = «л sin (pnt + p„).

Дифференцируя дважды и подставляя в (4.107), получим
miP2i = ci.

^Р2=С2>
Выразим С; через коэффициент влияния — перемещение
точки присоединения массы znz от единичной силы, при-
ложенной в той же точке

тогда

1 х

(4.108)

Теперь приведем все сосредоточенные массы /пР т2, ...
..., тп к одной точке системы а с одним условием: соб-
ственная частота системы с приведенной массой должна быть
равна собственной частоте прежней системы в каждом от-
дельном случае приведения. Тогда будем иметь

1

Ра,
1

9

Ра2

т^аа’

1



(4.109)

Р

1

р‘п

fa)«

/П„ ’6аа,

где mW— приведенная к точке а масса /пР а ра. — «пар-
циальная частота», соответствующая приведению /-й
массы к точке а.

Так как, согласно вышеуказанному условию, должно
осуществляться равенство

Pl = Pat,
то, сопоставляя уравнения (4.108) и (4.109), получим
mfiii — m^b или т(Р ~	т,.

Ь Ь Ь	* C4C4	А	*

Vaa

Теперь перейдем к рассмотрению такого случая, когда
сосредоточенные нагрузки mt действуют одновременно. Все
эти нагрузки также приведем к некоторой одной точке а,
сделав допущение, что колебательные свойства системы при
этом не меняются. Тогда получаем одну сосредоточенную

в точке а нагрузку

п

ма=5 Ма).

а поэтому частота системы ра на основании вышесказанного
определится по формуле

2~ ^а^аа*
Ра
ИЛИ

1	п	п X	п

— Zj =	= 6llmf (4.110)

Ра	1=1	i=l баа	<=1

В конечном итоге, на основании (4.108), мы получаем фор-
мулу Данкерлея

Для распределенной массы интенсивности ц(х) будем
иметь	z

-L = J и (Х) Ьхх dx,	(4.1Н)

о

где Ъхх можно определить с помощью интеграла Мора *)
i

Ъхх = f мЦи)^.	(4.112)

о

Таким образом, 1/р2 можно рассматривать как результат
загружения массой ц(х) «.линии влияния частоты» Ьхх.

В заключение необходимо отметить, что в силу указан-
ных допущений собственная частота, рассчитанная по Дан-
керлею, всегда меньше истинной.

Вернемся к нашей задаче определения собственной частоты
однопролетной балки длиной I, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой q.

Для определения коэффициента влияния Ьхх «заморозим»
временно координату х — расстояние точки, загруженной
единичной силой до левого конца балкц, и найдем с помощью

*) См„ например, книгу [29].

J8 А. Н. Обморщев
(4.112) выражение для Ьхх в общем виде. Эпюра изгибаю-
щих моментов от единичной силы представлена на рис. 113.
Уравнение изгибающего момента в интервале 0—1:

м'х

и

О

при

и

в интервале 1 — о'

М

При X < и <1.

Пользуясь интегралом Мора (4.112), найдем
X	I

.	1 f (Z — х)2 2 я । 1 Г (I — и)2 ,

— Е1 J р и du+ EI J	I2 du~

о	о

=4-(44— 43+4г4

Теперь, зная, что ц(х) ——, согласно (4.111), будем иметь

_1__ 1 gl*
р2 ~ 90 ’ Elg

или р — 9,48631/"	. Зная, что т = -^-

‘	г ql*	р

получим

т = 0,661951/" 4^-.

(4.113)

Г. Определение частоты основного типа колебаний
однопролетной балки с помощью интегрирования
дифференциального уравнения ее движения

Не останавливаясь на получении уравнения движения
в общем виде, решим задачу определения частоты колебаний
с распределенной нагрузкой. Так как метод прямого инте-
рирования, в котором ограничения и допущения в задаче
сводятся к минимуму, является наиболее точным, то полу-
ченный ниже результат возьмем в качестве критерия точно-
сти ко всем остальным значениям частоты, определенным
Приближенными методами.
Здесь ограничения сводятся лишь к тому, что балка счи-
тается достаточно тонкой, чтобы не вводить в рассмотрение
эффекта вращательного движения отдельных ее элементов и,
кроме того, не будем принимать во внимание действие пере-
резывающих сил. Однако и эти факторы могут быть учтены [23].
Указанные ограничения имели место и в приближенных ме-
тодах, но, если так можно выразиться, их «удельный вес»
в сравнении с остальными ограничениями был весьма незна-
чительным. Далее, мы предполагаем также, что материал балки
однородный, изотропный и подчиняется закону Гука.

Считая длину балки равной I и беря начало координат
в левом конце, направим ось х-в вправо, а ось у-в — вниз.
Дифференциальное уравнение упругой линии

— M	(4.114)

dx2	'	'

продифференцируем дважды по х\ тогда справа получим
интенсивность нагрузки q, т. е.

Это все относится к покоящейся балке. Предположим
теперь, что балка совершает колебания. Применяя принцип Да-
ламбера, учтем инерционные силы, в результате чего получим

Р1Ё2. —п	ч д2у

дх< ~4	g dt2 ’

где уже взяты частные производные. Это и есть дифферен-
циальное уравнение свободных поперечных колебаний балки,
Легко видеть, что решение написанного уравнения можно

искать в виде суммы функций у (Л лг) -|— у0 (ас), первая из
которых удовлетворяет уравнению:

Е1^У_ = _±^у	(4.Н5)

дх4 gdt2	47

а вторая — уравнению

(4-116)

Но последнее уравнение определяет кривую изгиба балки под
действием статической нагрузки; на ординаты этой кривой
накладываются ординаты, даваемые первым членом решения,
который, собственно говоря, и определяет колебания. Так как
нас интересуют только колебания, то мы отбросим вопрос
отыскания второй функции и будем заниматься нахождением
функции у (Л х) из уравнения (4.115). Перепишем его в не-
сколько ином виде, а именно:

—	(4.117)

dt2 1	v '

где принято

Р Т ст

0? = -^-.	(4.118)

Решение уравнения (4.117) будем искать в следующей форме:
p = RX,

г ЛИ R— функция только времени t, а X— только коорди-
наты х. Подставляя это решение в (4.117), получим

„ d2R . ,n d*X „	1 d2R a2 d'X

X-^-^cFR^ = 0 ИЛИ ~ ~R ~dt2'~ ^Х ~dx* '

Слева стоит функция времени t, а справа — координаты
х; равенство возможно только тогда, когда каждая часть
рассматриваемого уравнения равна постоянной величине. По-
ложим эту постоянную равной некоторому числу р1. Тогда
получим следующие два уравнения:

^ + ^ = 0,	(4.119)

4^- —4-^ = 0.	(4.120)

dx' а2	'	'

Решение уравнения (4.119) имеет вид

R = A cos pt -1- В sin pt,

где А и В — постоянные интеграции, определяемые из началь-
ных условий. Решение уравнения (4.120) запишется в таком
виде

X = С ch kx -|- D sh kx -|- Е cos kx-\- F sin kx,

где C, D, E, F — постоянные интеграции, определяемые из
граничных условий, k— величина, введенная для удобства и
связанная с р и а формулой

=	(4.121)
Так как на концах балки (т. е. при х = 0 и х = /) про-
гиб и изгибающий момент равны нулю, то в этих точках

Отсюда имеем четыре уравнения для определения четы-
рех постоянных:

С-|-Е = 0, С — Е — 0,

С ch kl	D sh kl Е cos kl-\- F sin kl — 0,

C ch kl	D sh kl — E cos kl — F sin kl — 0.

Из первых двух уравнений вытекает, что С = £'=0, а тогда
последние два будут совместны лишь в том случае, если

sh kl sin kl — 0.

Ho sh kl обращается в нуль только при kl = 0 (не считая
мнимых корней), что же касается sin kl, то оч обращается
в нуль не только при kl — Q, но и при kl — л, 2л, .... in,
т. е. вообще при

k^--,	(4.122)

где 1—1, 2, 3, ... Тогда 0 = 0, а величину F мы можем
присоединить к постоянным А и В. Общее решение уравне-
ния (4.117) можно записать теперь в виде

Z = oo

у = 2 cos р^-\- Bt sin ptf) sin k,x,
z=i

где kt определяется из (4.122), a pt найдем, если в выра-
жение (4.121) подставить значение k (4.122) и а (4.118).
в итоге будем иметь

(4.123)
t Г с/

Формула (4.123) дает значения циклических частот последо-
вательных типов колебаний. Нас интересует в данной задаче
только основное колебание, т. е. колебание, имеющее место
при /=1. В таком случае
а период т будет равен

т = 0,63662	(4.124)

В заключение сравним результаты, полученные различными
методами (4.95), (4.103), (4.105), (4.113) и (4.124). Выпишем
коэффициенты, стоящие при корнях выражений периода (4.95),
(4.103), (4.105), (4.113) и (4.124):

0,63617; 0,63618; 0,63651; 0,66195; 0,63662.

Из числовых коэффициентов видно, что, за исключением
коэффициента 0,66195, полученного методом Данкерлея, пе-
риод колебаний все больше приближается к точному значе-
нию (0,63662).

Отклонения первых четырех чисел от последнего, выра-
женные в процентах, равны

—0,071%; —0,069%; —0,017%; +3,978%.

Эти данные показывают, что, беря вторую аппроксимацию
по методу Рэлея — Ритца, мы получаем значение периода,
чрезвычайно близкое к точному его значению; поэтому по-
требность в следующем приближении часто отпадает. Эти
соображения применимы и в тех случаях, когда точное ре-
шение задачи невозможно или чрезвычайно сложно, и при-
ходится пользоваться приближенными методами.

Метод Данкерлея дает наиболее грубый результат, но его
преимущества заключаются в том, что он наиболее прост и
дает завышенное значение периода, то есть может служить
ориентировочным ограничением приближенного значения пе-
риода сверху.

§ 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ
БЕЗ ЗАТУХАНИЯ

Часто вынужденные колебания системы, вызываемые дей-
ствием возмущающей силы, являются крайне нежелательными,
а иногда вообще недопустимыми, особенно, если собственная
частота системы совпадает с частотой возмущающей силы
(случай резонанса). Если при этом не представляется воз-
можным устранить эту силу или, в крайнем случае, изменить
в системе массу или упругую постоянную, выводя тем самым
систему из условий резонанса, является весьма целесообраз-
ным применение динамического виброгасителя *). В общем
случае динамический гаситель колебаний выполняет свою ра-
боту не только за счет надлежащей настройки, но и за счет
более или менее значительного поглощения энергии (демпфи-
рования колебаний).

Рассмотрим действие виброгасителя в случае, когда ме-
ханическая система может быть представлена в виде основ-
ной массы М, установленной на пружине сг и находящейся
под действием возмущающей силы Q = //sin(w/-]-d). Вибро-
гаситель состоит из вспомогательной массы т, прикрепленной
на пружине с2 к основной массе (рис. 111). Найдем уравне-
ния вынужденных колебаний этой двухстепенной системы.
Такая задача нами уже решалась в примере 2 § 7 гл. IV.
Здесь более подробно проанализируем получаемые при этом
результаты. Если принять за обобщенные координаты вер-
тикальные перемещения хг и х2, отсчитываемые вниз от
положения равновесия центров тяжести обеих масс, по-
лучим

Мхг — — С1Лц-|- с2(х2 — х^)—|—//sin	6),

ffix2 = —с2(х2 —Xj),
откуда по формулам (4.67) найдем

Х1	st п (о)^ + б),

* Нс	(4.125)

X2 = T(^rSin(®^+6)’
где

A (w2) — (Cj -ф- с2 — /Иск2) (с2 — тсо2) — с2.	(4.126)

Из (4.125) видно, что если

(с2 —mw2) = 0,	(4.127)

то основная масса будет находиться в покое, т. е. колебания
в ней будут погашены. Так как собственная частота присо-
единенного виброгасителя

(4.128)

*) В специальной литературе его часто называют также анти»
вибратором или поглотителем колебаний.
то, подставив ее в выражение (4.127), получим

1— -^=0.	(4.129)

“о

Эта формула позволяет более четко сформулировать ус-
ловие подбора параметров виброгасителя: для погашения
колебаний основной массы необходимо, чтобы его собствен-
ная частота со0 была равна частоте возмущающей силы <в.
В этом случае уравнения движения (4.125) примут вид

х' = 0, х* — sin (со^+5 — л).	(4.130)

Следовательно, в установившемся режиме колебаний вибро-
гасителя сила упругости пружины с2 изменяется по закону

F = х*с2 — Н sin (со/ -ф- 6 — л),

т. е. эта сила в каждый момент времени t равна возмущаю-
щей и противоположно ей направлена.

В практических применениях надо учитывать то об-
стоятельство, что выбор параметров виброгасителя, удовле-
творяющих условию (4.128), может быть ограничен конст-
руктивными условиями. Например, если взять слишком
мягкую пружину, а следовательно, и слишком малую массу т,
чтобы не нарушалось условие (4.128), то согласно (4.130)
амплитуда колебаний виброгасителя | х* |тах при данном Н
может стать чрезмерно большой и перейти границу допу-
стимого перемещения. Поэтому минимально возможное с2
лимитизируется значением Н возмущающей силы.

При этом не будет излишним еще раз подчеркнуть
то обстоятельство, что колебания основной системы будут
погашены лишь в тех случаях, когда частота изменения воз-
мущающей силы постоянна (<в = const). Это имеет место,
например, в установках, непосредственно соединенных с син-
хронными электромоторами. В противном случае применение
такого виброгасителя является крайне нежелательным, так
как не только задача поглощения колебаний здесь не ре-
шается в заданном диапазоне частот, но и значительно ухуд-
шаются динамические свойства основной системы с точки
зрения устранения в ней колебаний. Действительно, если
принять во внимание выражение (4.126) и приравнять его
нулю, то получим биквадратное уравнение относительно
частоты co. Два положительных корня этого уравнения яв-
ляются резонансными (собственными) частотами рассматри-
ваемой системы. Собственная частота 20 одномассовой системы
без виброгасителя, очевидно, равна:

(4.131)

Так как применение гасителя, вообще говоря, имеет
смысл, если основная система без него находится в состоя-
нии резонанса или очень близка к нему (20 со), то частота
присоединенного виброгасителя ы0 должна быть согласно (4.129)
равной 20. В этом случае с^т — с^М. и выражение (4.126)
можно записать в следующему виде:

£)(>-Й-т]-

Приравнивая нулю, найдем собственные частоты для этого

Так как |/ (дудг) всегДа больше, чем т/2Л4, то
(о1>20>(о2. Из (4.132) можно видеть также, что (Oj и со2
мало отличаются друг от друга при малых значениях mJМ.
Следовательно, уже при сравнительно незначительном изме-
нении частоты возмущения со система может попасть в резо-
нансный режим lOj или со2.

Этот весьма существенный недостаток сильно сужает об-
ласть применения виброгасителя такого типа. Естественно
возникает вопрос: нельзя ли устранить этот недостаток, и
если можно, то в какой мере и каким путем? Первые сообра-
жения в этом направлении наталкивают нас на мысль: по-
пытаться «раздвинуть» новые резонансные «пики» таким об-
разом, чтобы они не попадали в диапазон возможных изме-
нений частоты возмущающей силы. Согласно (4.132) это
принципиально можно осуществить путем увеличения отно-
шения т/М, т. е., по существу, увеличения массы вибро-
гасителя т. Однако нетрудно сообразить, что этот путь
мало эффективен, так как увеличение т в большинстве слу-
чаев нежелательно, а иногда просто невозможно.

Другие соображения в несколько ином направлении мо-
гут привести к задаче создания такой конструкции гасителя,
при которой со0 последнего менялось в соответствии с изме-
нением со возмущения, т. е. чтобы гаситель как бы обладал
следящей настройкой. Эта задача решена для гашения кру-
тильных колебаний с помощью маятникового виброгасителя [12].

Весьма удачным решением этого вопроса является введе-
ние в конструкцию виброгасителя более или менее интенсив-
ного демпфирования, т. е. применение так называемого
динамического гасителя колебаний с затуханием.

§ 11.	ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ

С ЗАТУХАНИЕМ

Введением вязкого сопротивления основной недостаток
виброгасителя — наличие двух резонансных частот — устра-

Рис. 115.

резонансных режимах можно значительно снизить, сделав
их неопасными для основной системы.

На рис. 115 изображены амплитудные характеристики
основной системы, к которой присоединены различного рода
поглотители: кривая а соответствует случаю действия вибро-
гасителя без затухания (£ = 0), главная масса имеет две
резонансные частоты, при которых амплитуды бесконечно
велики; кривая б соответствует случаю жесткой связи погло-
тителя с главной массой; наконец, кривая в отражает слу-
чай динамического виброгасителя с затуханием £ = 0,1. Из
рисунка видно, что все три характеристики проходят через
некоторые постоянные точки М и N. Как будет показано ниже,
при исследовании уравнений движения системы это обстоятель-
ство не случайно. Выведем эти уравнения с учетом затухания.

Отправляясь вновь к ранее рассмотренной системе (рис. 111),
введем параллельно пружине гасителя с2 демпфирующее
устройство с коэффициентом вязкого сопротивления Ь2. Тогда
уравнения движения будут иметь вид

AlXj = — CiXj -|- b2 (х2 — Xj) -|- с2 (х2 — Xj) -|-

-|-//sin(ci)^-]-5),
тх2 — — Ь2 (х2 — Xj) — с2 (х2 — х,).

(4.133)

Пользуясь общими формулами (4.78), (4.80), (4.81), най-
дем амплитуду вынужденных колебаний основной массы:



(с2 — та2')2 -|- й2®2

Л4®2) (с2—та?)—с2 то)2]2	й2®2 (ci—Ma2—та2)2

(4.134)

Перейдем к безразмерной форме полученного уравнения,
введя следующие обозначения:

аст — статическая деформация системы; соо =	—

собственная частота виброгасителя; Йо = "|/"— собствен-
ная частота основной системы; z — ~-----отношение частоты

вынужденных колебаний к собственной частоте основной
системы; f —	— отношение собственных частот; v = -r;---

Mo

отношение массы виброгасителя к массе основной системы

<х*	Ь

X =—------коэффициент динамичности; i=-~'2mh-------безраз-

мерный коэффициент затухания.
Тогда уравнение (4.134) запишется в следующем виде:

/	(2&)2 + (f2 — г2)2

= V - (2|г)2 (1 — г2 — VZ2)2 -ф [(/2 — г2) (1 — г2) — vz2f2]2 '

(4.135)

Из этого видно, что при заданных V, / существует такое
значение z, когда имеет место следующее соотношение под-
коренных выражений:

(у2__22)2	|

[(/2 —г2) (1 — г2) —v^2/2]2 = (1 — г2 —V22)2 ' ^4’136^

Очевидно, в этом случае коэффициент динамичности %
не зависит от затухания Следовательно, как бы мы
не старались введением демфера уменьшить колебания системы,
при некоторых значениях со возмущающей силы, соответст-
вующих корням уравнения (4.136), мы все равно не достиг-
нем желаемого результата. Именно это обстоятельство и
позволяет нам найти алгоритмы оптимальной настройки вибро-
гасителя. Действительно, в указанном нами случае амплитуда
вынужденных колебаний будет определяться лишь значением
двух параметров v и /. Поэтому уместно поставить задачу
отыскания такого соотношения v и /, при котором X в слу-
чаях, когда демпфирование не оказывает свое действие, бу-
дет возможно минимальным при всех корнях уравнения (4.136).

Так как уравнение (4.136) положительных корней имеет
всегда лишь два zlt z2, то наименьшее значение X можно
достигнуть в случае, когда оно будет одинаково при обоих

корнях, т. е. когда

ЧО=44)-

(4.137)

взяв правое

(4.138)

Эти функциональные выражения не обязательно находить
из уравнения (4.135), они могут быть легко получены, если
учесть, что X в этом случае не зависит от £ и, следова-
тельно, равна отношению (4.136), поэтому имеем право
условие (4.137) представить в развернутом виде,
соотношение равенства (4.136)

1_____________1

1	— % — vzj 1 — z\ — vzf

Отсюда видим, что если z2 > -у
имеет место при одном из корней z-

1

, что обязательно
, то получим отри-

'I
дательное значение к. Так как физически это означает, что
колебания по фазе смещены на 180°, а мы в уравнении (4.138)
должны приравнивать к одного знака, то написанное урав-
нение можно откорректировать умножением на —1 одной
из его частей, не нарушив при этом физической сущности
процесса. Далее, используя свойство корней квадратного
уравнения, нетрудно из (4.136), (4.138) получить следующее
соотношение *)

/=ТГТ-	<4'139>

Это выражение дает нам условие оптимальной настройки
виброгасителя, т. е. при выполнении полученного условия
амплитуды колебаний основной системы при тех значениях
частоты возмущающей силы, когда на них не сказывается
влияние вязкого сопротивления, будут одинаковыми и мини-
мально возможными. Таким образом, приходим к выводу,
что в случае переменной частоты возмущающей силы и на-
личия демпфера, гаситель колебаний должен быть настроен
на частоту <в0 несколько меньшую, чем й0, причем это «сме-
щение» частоты <в0 тем больше, чем больше отношение масс V.

Подставив один из корней уравнения (4.136) в соответ-
ствующее скорректированное соотношение равенства (4.138),
нетрудно вычислить значение амплитуды для рассмотренного
случая. В результате преобразований получим

42=-/1+4-	(4-140)

Теперь наша задача сводится к тому, чтобы введением
оптимального затухания амплитудная характеристика к(z)
не превышала значения (4.140) хотя бы при одном из двух
корней 24, 22, т- е- чтобы один из ее экстремумов был
равен l/"l —j— 2/v. Для этого продифференцируем (4.135) по z,
выразив в нем f через v из (4.139), и приравняем нулю
в точке z^, а затем в точке z%. Эти вычисления приводят
к следующим результатам:

*) Подробнее см. книгу [,0].
Практически целесообразно брать некоторое среднее зна-
чение из двух полученных выражений

<4Л41>

Это выражение позволяет определить оптимальное зату-
хание при выбранном v.

В качестве примера может служить жидкостной стабилизатор
Фрама, используемый для успокоения качки корабля (рис. 112).
Принцип его действия уже рассматривался ранее в § 8. Там же
были получены уравнения движения системы корабль-стабилизатор.
Сравнив их с (4.133), увидим, что имеется некоторое различие,
однако принцип изложенных здесь предпосылок этим не упразд-
няется, а, наоборот, получает еще более глубокое развитие. В ко-
нечном итоге оптимальная настройка стабилизатора Фрама может
осуществляться относительно частоты f путем соответствующего
выбора S, которым определяется коэффициент возращающего мо-
мента с, а также относительно £ путем изменения дросселирующего
отверстия D (рис. 112) в верхней части поглотителя.

В практике находят частое применение так называемые
«демпферы Ланчестера». В последних упругая сила пружины
отсутствует и поглощение колебаний осуществляется за счет
затухания, т. е. только за счет сил сопротивления. Если
в такой конструкции сопротивление линейно относительно
скорости движения, то расчеты по оптимальной ее настройке
аналогичны приведенным выше, но с учетом, что с2 = 0,
то есть «демпфер Ланчестера» с линейным сопротивлением
есть частный случай динамического виброгасителя с за-
туханием.

В результате вычислений получаем следующие выражения:

2	,	, , 2	1

1 — 2 4- v ’ J v ’ s 2 (2 + v) (1 -ф v) ’

где все обозначения имеют то же значение, что и ранее.

В некоторых конструкциях для поглощения колебаний
применяется сухое трение. Условия оптимальной настройки
такого гасителя можно получить, поставив задачу достижения
максимальной энергии, рассеиваемой поглотителем [10].
ЛИТЕРАТУРА

1.	Андронов А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э., Теория коле-
баний, Физматгиз, 1959.

2.	Андронов А. А., Собрание трудов, Изд. АН СССР, 1956.

3.	Бабаков И. М., Теория колебаний, «Наука», 1965.

4.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптоти-
ческие методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз,
1958.

5.	Б у л г а к о в Б. В., Колебания, Гостехиздат, 1954.

6.	Б у тенин Н. В., Теория колебаний, «Высшая школа», 1963,

7.	Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики,
«Наука», 1965.

8.	В о р о н к о в И. М., Курс теоретической механики, «Наука», 1964.

9.	Г а н т м а х е р Ф. Р., Лекции по аналитической механике,
Физматгиз, 1960.

10.	Ден-Гартог Дж. П„ Механические колебания, перев. с англ.,
Физматгиз, 1960.

11.	Лойцянский Л. Г., Лурье А. И., Курс теоретической
механики, т. I и П, Гостехиздат, 1955.

12.	Л я п у н о в А. М., Собрание сочинений в 6 томах, АН СССР,
1956—1965.

13.	Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных коле-
баний, Гостехиздат, 1956.

14.	Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат,
1952.

15.	М а к - Л а х л а н Н. В., Теория и приложения функции Матье,
перев. с англ. ИЛ, 1953.

16.	Николаи Е. Л., Теоретическая механика, ч. 1 и 2, Физматгиз,
1958.

17.	Обморшев А. Н., Сравнение различных методов определе-
ния частоты собственных колебаний балки, лежащей на двух
опорах, Труды Кр. МММИ, в. 29.30, 1937.

18.	Основы автоматического регулирования под общей ред. В. В. Со-
лодовникова, т. 1 и 2, Машгиз, 1954—1959.

19.	Памяти А. А. Андронова, Сборник статей, Изд. АН СССР, 1955.

20.	П а н о в к о Я- Г„ Основы прикладной теории упругих колеба-
ний, Машгиз, 1957.

21.	Петров В. В., У л а н о в Г. М., Теория двух простейших
релейных систем авторегулирования, Автоматика и телемеха-
ника 11, 289, 1950.
22.	Рэлей (Дж. В. Стретт), Теория звука, т. I и II, Гостехиздат
1955.

23.	Серебренников М. Г., Гармонический анализ, Гостехиздат,
1948.

24.	Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физ-
матгиз, 1959.

25.	Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и элек-
трических системах, перев. с англ. ИЛ, 1952.

26.	Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, «Наука»,
1964.

27.	Т е о д о р ч и к К. Ф., Автоколебательные системы, Гостехиздат,
1952.

28.	Тимошенко С. П., Колебания в инженерном деле, Физ-
матгиз, 1959.

29.	Ф е о д о с ь е в В. И., Сопротивление материалов, «Наука», 1964.

30.	Цыпкин Я. 3., Теория релейных систем автоматического
регулирования, Гостехиздат, 1955.

31.	Четаев Н. Г., Устойчивость движения, «Наука», 1965.

32.	Ш т е й н в о л ь ф Л. И., Динамические расчеты машин и меха-
низмов, Машгиз, 1961.

33.	Яблонский А. А., Норе й ко С. С., Курс теории колеба-
ний, «Высшая школа», 1961.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ....................................................................................... 5

Предисловие автора .......................................................................................... 6

Введение..................................................................................................... 7

Глава I. Основные	положения............................... 10

§	1.	Колебательная система ............................................................................ 10

§	2.	Устойчивость равновесия........................................................................... 11

§	3.	Устойчивость движения............................................................................. 17

§ 4.	Классификация сил, действующих на колебательную
систему............................................. 18

§	5.	Обобщенное уравнение энергии...................................................................... 22

§	6.	Квадратичные формы Т, Ф,	П	для линеаризованных

систем............................................................................................. 23

§ 7-	Дифференциальные уравнения малых колебаний си-
стемы около положения устойчивого равновесия .	28

Глава II. Линейные системы с одной степенью свободы 31

§ 1.	Некоторые вопросы, связанные с построением схемы 31

§ 2.	Интерпретация движения на фазовой плоскости ... 33

§	3.	Свободные колебания без сопротивления............................................................. 36

§	4.	Электрические системы............................................................................. 41

§	5.	Потеря устойчивости............................................................................... 44

§	6.	Затухающие колебания. 49

§	7.	Нарастающие колебания............................................................................. 60

§ 8.	Вынужденные колебания без сопротивления при
периодическом возмущении............................ 64

§	9.	Практический гармонический анализ................................................................. 74

§	10.	Вынужденные колебания с линейным сопротивлением

при периодическом возмущении....................................................................... 88

§ 11.	Вынужденные колебания при произвольном законе
возмущающей силы.................................... 97

I*
Глава III. Нелинейные системы с одной степенью свободы 105

§ 1.	Консервативные системы...........'............105

§ 2.	Диссипативные системы.........................121

§ 3.	Автоколебательные системы.....................137

§ 4.	Вынужденные колебания нелинейных систем .... 162

§ 5.	Системы, описываемые уравнениями с периодически
изменяющимися коэффициентами.......................180

Глава IV. Линейные системы с конечным числом сте-
пеней свободы.......................................201

§ 1.	Исследования дифференциальных уравнений движе-
ния автономной системы.............................201

§ 2.	Устойчивость системы.........................203

§ 3.	Критерий устойчивости.........................210

§ 3.	Свободные колебания в случае пренебрежимо малого
сопротивления .................................... 216

§ 5.	Свободные колебания системы с двумя степенями
свободы............................................225

§ 6.	Затухающие колебания системы с двумя степенями
свободы............................................233

§ 7.	Вынужденные колебания системы без сопротивления 237

§ 8.	Вынужденные колебания системы с сопротивлениями,
пропорциональными скорости.........................243

§ 9.	Приближенные методы определения частоты колеба-
ний сложных систем.................................246

§ 10.	Динамический виброгаситель	без затухания.....266

§ 11.	Динамический виброгаситель	с	затуханием......270

Литература.............................................275