/
Текст
ВИБРАЦИИ
В ТЕХНИКЕ
СПРАВОЧНИК
6
В \J ТОМАХ
Редакционный совет
Председатель— В. Н. Челомей (главный редактор издания)
Члены: В. С. Авдуевский, |И. И. Артоболевский , И. И. Блехман,
А. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов, В. В. Бойцов, В. В. Болотин,
Н. В. Бутенин, И. И. Быховский, Р. Ф. Ганиев, М. Д. Генкин,
Э. И. Григолюк (зам председателя и главного редактора),
Ф. М. Диментберг, А. Е. Кобринский, К. С. Колесников, М. 3. Колов-
ский, Э. Э. Лавендел, А. И. Лурье, Ю. А. Митропольский, Я- Г. Па-
новко, К. М. Рагульскис, В. В. Румянцев, Л. И. Седов, С. В. Серен-
сен|, К. В. Фролов (зам. главного редакюра)
Москва « Машиностроение» 1980
КОЛЕБАНИЯ МАШИН,
КОНСТРУКЦИЙ
И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
том
3
Под редакцией
д-ра техн. наук проф. Ф. М. ДИМЕНТБЕРГА
и д-ра техн. наук проф. К. С. КОЛЕСНИКОВА
Москва «Машиностроение» 1980
ББК 22 23
В41
УДК 621-752@31)
Авторы:
Э. Л. Айрапетов, И. А. Биргер, В. Л. Вейц, М. Д. Генкин, И. Ф. Гончаревич,
И* Д. Грудев, Ф, М. Диментберг, М. Ф. Зейтман, В. Н. Карабан, А. Е. Качура,
М. Л. Кемлнер, В. П. Когаев, К. С. Колесников, Я. И. Коритысский, А. Г. Костюк,
Н. И. Котеров, В. А. Кудинов, [В. А. Лазарян', Г. С. Маслов, А. Ф. Минаев,
Э. Л. Позняк, Б. И. Рабинович, Д. М. Ростовцев, Р. В. Ротенберг, В. М. Фридман,
М. В. Хвингия
Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. /Ред.
В41 В. Н. Челомей (пред). — М.: Машиностроение,
1980 — Т. 3. Колебания машин, конструкций и их
элементов/ Под ред. Ф. М. Диментберга и К. С. Ко-
Колесникова. 1980. 544 с, ил.
В пер: 2 р. 6E к.
В третьем томе даны расчеты колебаний упругих элементов и си-
систем, связанных с объектами современной техники
Приведены расчеты колебаний электрических машин, паротурбо*
агрегатов, силовых установок с двигателями внутреннего сгорания и
соответствующих крутильных систем, горных машин, железнодорожного
состава, судостроительных конструкций, автомобилей, гусеничных ма-
машин и летальных аппаратов
Справочник предназначен для инженерно технических работников,
занятых расчетами, проектированием, изготовлением и эксплуатацией
объектов современной техники
„31302-609 „™„А„„™П ББК 22.23
В038@1)-80 ' подписное 2702000000
© Издательство «Машиностроение», 1980 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Глава I. Реальный объект и расчетная схема (расчетная модель) (Ф. М.Ди-
ментберг, К- С. Колесников) 11
1. Выбор расчетной схемы при проектировании объекта 11
2. Определение расчетной схемы действующего объекта 16
Глава II. Колебания тонких криволинейных стержней (И. Д. Грудев) . 18
1. Уравнения колебаний криволинейных стержней и нитей .... 18
2. Свободные колебания . ' 20
3. Тонкие криволинейные стержни постоянного осесимметричного
сечения без предварительной нагрузки 26
4. Стержни постоянного прямоугольного сечения 33
5. Вынужденные колебания 34
Список литературы 36
Глава III. Колебания пружин (М. В. Хвингия) 37
1. Общие сведения 37
2. Уравнения малых колебаний тонкого криволинейного стержня . . 38
3. Эквивалентные характеристики цилиндрических пружин .... 40
4. Продольные колебания цилиндрических пружин 42
5. Поперечные колебания цилиндрических пружин 44
6. Динамическая устойчивость пружин 50
7. Параметрические колебания вращающихся пружин 52
8. Нелинейные колебания 53
9. Коэффициенты демпфирования колебаний пружин 53
10. Колебания кенических и фасонных пружин 54
11. Колебания плоских спиральных пружин 57
12. Колебания тонкого пространственного стержня 58
Список литературы 60
Глава IV. Колебания элементов с полостями, содержащими жидкость
(Б. И. Рабинович) • 61
1. Предварительные замечания 61
2. Физические предпосылки 62
3. Общие уравнения возмущенного движения 64
4. Упрощение уравнений возмущенного движения 69
5. Методы определения коэффициентов 75
6. Пример упругой консфукции, содержащей жидкость 85
Список литературы 88
Глава V. Колебания зубчатых передач (Э. Л. Айрапетов, М. Д. Генкин) 90
1. Общие сведения 90
2. Динамические модели , 90
3. Параметры динамических моделей » г . . 103
4. Методы снижения виброактивности зубчатых передач 112
Список литературы , 117
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Колебания в станках (В. А. Кудинов) 118
Список литературы 130
Глава VII. Колебания роторов (Э- Л. Позняк) 130
1. Общие сведения 130
2. Основные определения и уравнения 131
3. Изотропные системы 136
4. Анизотропные системы 147
5. Автоколебания 153
6. Влияние подшипников скольжения 159
7. Влияние подшипников качения 173
8. Анализ сложных систем 179
Список литературы 187
Глава VIII. Изгибные колебания высокоскоростных роторов ультрацен-
ультрацентрифуг с весьма гибкими вертикальными валами, роторных систем
и шпинделей текстильных машин
Колебания гибких тонких вертикальных роторов с тяжелыми
сосредоточенными элементами (М. Ф. Зейтман) 189
1. Характеристика динамической модели 189
2. Основные уравнения колебаний вертикальных упругих гироско-
гироскопических роторных систем 190
3. Устойчивость вращения одномассового зонтичного ротора в поле
сил тяжести 198
4. Колебания многомассового ротора в поле сил тяжести 200
Колебания высокоскоростных роторных систем и шпинделей тек-
текстильных машин (Я• И. Коритысский) 207
1. Общие сведения 207
2. Динамические модели без внешней амортизации 207
3. Обобщенная динамическая модель роторных систем с полужест-
полужестким шпинделем и внешней амортизацией 223
4. Электроверетена 225
5. Крутильно-формирующие камеры пневмомеханических пря-
прядильных машин , 227
Список литературы 228
Глава IX. Колебания лопаток турбин и компрессоров (И. А. Биргер,
М. Л. Кемпнер) 229
1. Конструктивные и расчетные схемы 229
2. Изгибные колебания незакрученных лопаток 231
3. Учет влияния деформации сдвига и податливости заделки . , . 235
4. Изгибные колебания естественно-закрученных лопаток 238
5. Влияние центробежных сил на частоты изгибных колебаний 240
6. Крутильные колебания лопаток 242
7. Колебания лопаток с большой естественной закруткой 244
8. Расчет частот и форм колебаний на основе теории пластинок
и оболочек 247
9. Возбуждение резонансных колебаний лопаток в турбомашине 249
10. Резонансные колебания бандажированных лопаток турбомашин 251
11. Колебания лопаток колес центробежных компрессоров 256
12. Колебания лопастей гидротурбины 256
13. Демпфирование колебаний лопаток 258
14. Автоколебания лопаток , 262
Список литературы к гл. IX—XI 263
Глава X. Колебания турбинных и компрессорных дисков (И. А. Биргер,
М. Л. Кемпнер) 265
1. Конструктивные и расчетные схемы 265
2. Перемещения и силовые факторы 266
3. Определение частоты колебаний диска вариационными методами 267
4. Динамические жесткости лопаток 269
5. Определение частот колебаний диска с лопатками .,.,,,. 273
ОГЛАВЛЕНИЕ I
6. Дальнейшие уточнения и модификации вариационного метода
расчета частот колебаний дисков 277
7. Определение частот колебаний диска методом начальных пара-
параметров 278
8. Особенности колебаний дисков осевых компрессоров и турбин 280
Глава XI. Колебания системы ротор—корпус газотурбинного двигателя
(И. А. Биргер, Н. И, Кошеров) 281
1. Предварительные замечания 281
2. Виды и источники возбуждения колебаний и расчетные схемы
системы ротор—корпус транспортного газотурбинного двигателя 282
3. Основные особенности колебаний транспортных газотурбинных
двигателей 285
4. Способы снижения вибраций, обусловленных изгибными колеба-
колебаниями 285
5. Податливость элементов расчетной схемы 289
6. Метод расчета частот и форм свободных изгибных колебаний
системы ротор—корпус—подвеска 294
7. Спектр частот газотурбинных двигателей 298
Глава XII. Колебания паровых турбоагрегатов (А. Г. Костюк) 300
1. Причины колебаний турбоагрегатов 300
2. Схематизация системы турбоагрегат—фундамент 300
3. Динамические характеристики масляного слоя подшипников 301
4. Динамические характеристики .опор 301
5. Аэродинамические поперечные силы в ступенях и "уплотнениях
турбомашины Г 302
6. Методы динамического расчета системы турбоагрегат—фундамент 312
7. Расчет вынужденных колебаний системы, вызванных неуравно-
неуравновешенностью 316
8. Расчет устойчивости турбоагрегата 316
9. Меры снижения вибрации турбоагрегатов 320
Список литературы 322
Глава XIII. Крутильные колебаний механической системы с двигателем
внутреннего сгорания (В. Н. Карабан, Г. С. Мослов) 322
1. Общие сведения ч. 322
2. Особенности механических моделей 323
3. Свободные колебания 329
4. Вынужденные крутильные колебания 336
5. Нестационарные колебательные процессы 344
6. Способы устранения крутильных колебаний 345
Список литературы 350
Глава XIV. Колебания силовых установок, взаимодействующих с дви-
двигателями внутреннего сгорания (В. Л. Вейц, А. Е. Кочура) 351
1. Общие сведения 351
2. Схематизация возмущающих свойств ДВС 352
3. Схематизация процесса управления силовой характеристикой
ДВС 357
4. Алгоритмы расчета собственных спектров динамических моделей
составных систем 360
5. Алгоритмы расчета собственных спектров цепных динамических
моделей с варьируемыми параметрами 365
6. Нестационарные динамические процессы в силовых установках
при ограниченном возбуждении 372
Список литературы 380
1 лава XV. Колебания горных машин (И. Ф. Гончаревич) 381
1. Принципиальные конструктивные схемы вибрационных устано-
установок для выпуска, доставки и погрузки руды 381
2. Методика расчета вибрационных установок для выпуска и по-
погрузки руды и мощных вибропитателей-грохотов под нагрузкой 384
3. Принципиальные конструктивные схемы вибрационных дробилок 392
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Методика расчета вибрационных щековых дробилок ..,,,, 392
Список литературы . . 398
Глава XVI. Колебания железнодорожного состава (\В. А.' Лазарян\). . . 398
1. Общие сведения 398
2. Устойчивость невозмущенного движения 399
3. Взаимодействие подвижного состава и пути 412
4. Переходные режимы движения поездов 423
Список литературы 433
Глава XVII. Колебания судовых конструкций (Д. М. Ростовцев) .... 434
1. Общие сведения 434
2. Нагрузки, вызывающие колебания судовых конструкций . . . 435
3. Динамическое взаимодействие конструкций судна с водой ... 441
4. Особенности расчетаобщей вибрации судна 444
5. Местные колебания судовых конструкций 449
Список литературы . , 451
Глава XVIII. Колебания автомобилей и гусеничных машин (Р.В.Ротенберг) 452
1. Общие сведения 452
2. Дорога и источники возмущений 453
3. Транспортная машина и ее колебания 457
4. Человек и последствия вибраций 469
5. Расчет колебаний автомобиля и параметров подвески 474
Список литературы 476
Глава XIX. Колебания летательных аппаратов (К. С. Колесников,
А. Ф. Минаев) 477
1. Особенности и виды колебаний летательных аппаратов .... 477
2. Упругомассовая схематизация конструкции ЛА 480
3. Свободные колебания , 481
4. Аэродинамические силы при колебаниях 484
5. Свободные колебания в потоке воздуха 488
6. Флаттер 490
7. Колебания обшивки панелей в потоке 492
8. Колебания при срывном обтекании 492
9. Вибрации при трансзвуковом обтекании 493
10. Совместные колебания конструкции летательною аппарата
с системой автоматического управления 493
11. Поперечные колебания упругой ракеты 495
12. Поперечные колебания жесткой ракеты (в плоскости рысканья)
с жидким топливом в баках 499
13. Продольные колебания упругой ракеты с жидкостным ракетным
двигателем : . . , 501
14. Колебания воздушных винтов 505
15. Колебания лопасти несущего винта 505
16. Колебания «земной резонанс» в системе несущий винт—фюзеляж
вертолета 507
17. Флаттер несущего винта 507
18. Колебания ориентирующихся колес самолета—шимми 508
Список литературы 509
Глава XX. Выносливость элементов машин и конструкций при колебаниях
(В. П. Когаев) 510
Список литературы 519
Глава XXI. Колебания электрических машин (В. М. Фридман) 519
1. Общие сведения , , 519
2. Колебания ротора турбогенератора , 524
3. Колебания статора турбогенератора 531
4. Колебания фундамента турбоагрегата , 532
Список литературы , , >, , . 536
Предметный указатель 538
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий том содержит результаты теоретических исследований и методы
расчета механических колебаний (вибраций) и устойчивости объектов современной
техники в таких областях, как машиностроение, железнодорожный транспорт, судо-
судостроение, авиация и реактивная техника. В разделе, относящемся к машинострое-
машиностроению, значительное внимание уделено турбиностроению, а именно колебаниям вра-
вращающихся элементов машин—роторных систем, включая лопатки, диски и взаимо-
взаимодействующие с ними подшипники.
Области техники, в которых колебания играют ту или иную роль, весьма много-
многочисленны. Прежде всего нужно отметить, что в данном томе рассматриваются «вред-
«вредные» колебания, возникновение которых либо приводит к большим напряжениям
в элементах машин и конструкций, или связано с потерей устойчивости, либо вредно
для людей. Поэтому приводимые расчеты направлены на установление степени интен-
интенсивное™ колебаний и на способы устранения или снижения их амплитуд, на пре-
предотвращение потери устойчивости. В данном томе для рассмотрения выбраны такие
объекты современной техники, которые либо являются значительными (по мощности,
по значению) и даже уникальными, как, например, мощные паротурбоагрегаты,
либо представляют интерес в связи с наблюдаемыми в них колебаниями разного рода,
имеющими те или иные характерные особенности.
Главы в томе расположены в соответствии с принципом перехода от простого
к сложному. Сначала рассмотрены колебания отдельных элементов (криволинейных
стержней, пружин, сосудов с жидкостью, зубчатых передач, технологических
элементов—станок—инструмент—деталь), а затем колебания гибких валов-роторов
современных турбомашин с подшипниками (скольжения и качения). Далее рас-
рассмотрена непосредственно турбинная техника (лопатки, диски, турбинный ротор-
корпус, электрические машины и их фундаменты, турбоагрегаты). Две главы посвя-
посвящены колебаниям систем, связанным с двигателем внутреннего сгорания, причем
в первой из них проанализированы крутильные колебания, а во второй—колебания
агрегата при ограниченной мощности двигателя. Затем рассмотрены колебания
специальных машин, применяемых в горном деле, и колебания объектов транс-
транспортной техники — железнодорожного состава, судовых конструкций, автомобилей
и гусеничных машин, летательных аппаратов. Одна из глав посвящена анализу
выносливости деталей машин и конструкций, подверженных колебаниям, т. е.
анализу усталостной прочности при колебательных воздействиях. Глава «Колеба-
«Колебания электрических машин» в связи с поздним поступлением помещена в конце тома.
В настоящее время все большее значение приобретает вопрос о выборе расчетной
модели объектов. Схематизация объекта, т. е. его упрощенное представление в виде
некоторой «идеализированной» механической системы-модели, поддающейся расчет-
расчетному анализу, не является однозначной — она может быть более или менее сложной
в зависимости от цели, которую себе поставил инженер-расчетчик. Характер модели
зависит от объема той информации, которую хотят получить, анализируя возможные
свойства проектируемого или проявляющиеся свойства действующего объекта.
Большая или меньшая сложность модели связана с большим или меньшим числом
факторов, которые следует учитывать при формировании модели. Немалую роль
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
в выборе модели играет интуиция и искусство исследователя и расчетчика. Этому
вопросу посвящена гл. I, в которой содержатся некоторые указания по выбору
модели, а также приведенные в ряде глав отдельные соображения, касающиеся оценки
опытных данных по влиянию демпфирования, конструктивных несовершенств и по
учету фактического поведения системы в реальном исполнении, эти сведения подкреп-
подкрепляют принимаемые расчетные предпосылки. Таким образом, этот том наряду с расче-
расчетами содержит конструктивные и эксплуатационные данные, связанные с современ-
современной техникой.
Редакторы тома:
Докт. техн. наук проф. Докт. техн. наук проф.
Ф. М, ДИМЕНТБЕРГ К. С, КОЛЕСНИКОВ
Глава I
РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
(РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ)
Общее замечание. -При исследовании различных объектов техники — машин
и разнообразных инженерных конструкций — возникает необходимость составления
некоторой «идеализированной» схемы объекта. Реальные машины и конструкции имеют
разнообразные физические свойства и несовершенства всякого рода (зазоры в сочле-
сочленениях, трение, гистерезисные свойства, сложная форма деталей и др.), не всегда
поддающиеся теоретическому описанию. Для математического анализа и расчета
необходима ясность схемы и какое-то конечное число учитываемых исходных свойств,
которое не охватывает все множество свойств реального объекта, но заключает в себе
его существенное, главное. Так возникает расчетная схема или расчетная модель,
только благадаря которой возможно математическое описание объекта и его расчет.
Расчетноя схема (или модель) нужна в двух случаях: во-первых, при проекти-
проектировании нового объекта, когда необходимо заранее теоретически определить его
характеристики (для колебательной системы — амплитудно-частотные или фазово-
частотные характеристики, импеданцы и др.), во-вторых, при наличии готового,
действующего объекта, когда на основании его поведения нужно выбрать ту расчет-
расчетную схему (модель), которая наиболее хорошо отражает свойства этого объекта.
1. ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБЪЕКТА
Расчет частот и форм свободных колебаний, анализ динамической устойчивости
и определение вынужденных колебаний для какого-либо проектируемого реального
объекта всегда начинается с выбора расчетной схемы. Прежде всего следует устано-
установить, что является существенным и что несущественно для решения поставленной
задачи; необходимо отбросить все то, что не Может сколько-нибудь заметным образом
повлиять на результаты исследования. Схематизация объекта совершенно необхо-
необходима, так как решение задачи с полным учетом всех свойств реального объекта
осуществить принципиально невозможно.
Пои расчетах на прочность, например, схематизируют свойства материала, из
которого изготовляют детали и конструкции. Материал принимают в виде однородной
сплошной среды, которая наделяется свойствами упругости, пластичности, ползу-
чеети. В зависимости от свойств сплошную среду принимают изотропной или анизо-
анизотропной. Геометрическая форма реальных объектов, рассматриваемых в сопротивле-
сопротивлении Материалов, отражается, как правило, в схеме бруса, пластинки или оболочки.
При решении задач динамики, в частности колебаний, приходится схематизи-
схематизировать физические явления и свойства упругих элементов. Например, силы сопро-
сопротивления движению обычно принимают пропорциональными скорости или не зави-
зависящими от скорости (силы трения без смазки), хотя в действительности таких сил нет.
Силы, возникающие в упругих элементах, при малых колебаниях считают линейно
зависящими от координат. Схематизируются и свойства жидкости — она прини-
принимается вязкой или невязкой, сжимаемой или несжимаемой; схематизируются свой-
свойства упругого основания железнодорожного пути, колес автомобиля, крыльев само-
самолета, подшипников скольжения и качения и т, д.
•2 РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
Наряду со схематизацией физических явлений и свойств отдельных элементов
колебательных систем установление расчетной схемы в теории колебаний во многом
обусловлено выбором числа степеней свободы.
При рассмотрении физической системы определение числа степеней свободы
и соответствующих им обобщенных координат представляет иногда довольно сложную
задачу, так как, строго говоря, мы всегда имеем дело с системой, обладающей беско-
бесконечным числом степеней свободы. Для одной и той же системы может быть предло-
предложено несколько расчетных схем в зависимости от начальных условий, требуемой
точности, характера действующих сил и задач исследования.
Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз,
подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта
система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать
в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и движения груза отно-
относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е.
постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему
как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз
в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определе-
определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того,
будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет
находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы
достаточно одной координаты.
При выборе расчетной схемы мы пренебрегли растяжением нити при колебаниях,
так как оно мало и не оказывает существенного влияния на маятниковые колебания
груза. Однако, как известно, есть такой случай, при котором этим малым растяже-
растяжением нити нельзя пренебрегать. Это случай, когда частота вертикальных колебаний
материальной точки, обусловленных растяжением-сжатием нити, будет равна или
в 2 раза больше частоты маятниковых колебаний. В такой системе при возбуждении
маятниковых колебаний в какой-либо плоскости нить будет периодически удлиняться
и укорачиваться, система приближенно будет вести себя как маятник с переменной
длиной. Длина маятника изменяется с такой частотой, что возможен параметрический
резонанс. Вертикальные колебания растяжения-сжатия будут переходить в маятни-
маятниковые колебания, и наоборот, Таким образом, в данном случае схема с одной степенью
свободы не годится.
Теперь несколько видоизменим колебательную систему: представим ее в виде
груза, подвешенного на пружине, причем на груз действует/армоническая внешняя
сила Р (t) — Ро cos pt, и он, удерживаемый направляющими, может двигаться только
по вертикали. Какой должна быть расчетная схема, сколькими степенями свободы
надо наделить систему, чтобы найти движение груза? Ответ на эти вопросы зависит
от ряда условий и прежде всего от соотношения между частотой изменения внешней
силы и собственными частотами системы. Начальные условия никаких особен-
особенностей здесь не вносят.
Несвободная система имеет столько собственных частот, сколько она имеет сте-
степеней свободы. Пренебрежение некоторыми степенями свободы допустимо
¦юлько в тех случаях, когда эти степени свободы связаны с частотами, значительно
отличающимися по величине от частоты изменения внешней сил"ы или от тех частот,
с которыми колеблется система при данных начальных условиях.
Когда собственные частоты пружины как системы с распределенными парамет-
параметрами значительно ниже частоты изменения внешней силы, то движение груза можно
выразить одной обобщенной координатой, причем, если масса пружины мала по
сравнению с массой груза, за расчетную схему обычно принимают груз, подвешенный
на невесомой пружине. Если масса тпр пружины соизмерима с массой т груза и
частота изменения внешней силы при этом близка к величине У dm (с — жесткость
пружины), то необходимо учесть и часть массы пружины. Принимая перемещения
витков пружины пропорциональными расстоянию от точки подвеса, получим более
точную формулу для вычисления собственной частоты системы:
]/"'
РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБЪЕКТА 13
Если частота р изменения внешней силы соизмерима с частотами свободных
колебаний растяжения-сжатия пружины, то расчетная схема с одной степенью сво-
свободы оказывается неприемлемой; тогда необходимо учесть степени свободы, обуслев-
ленные колебаниями растяжения-сжатия пружины как упругой системы с распреде-
распределенными параметрами. Число таких степеней свободы, естественно, зависит от соот-
соотношения р и шя — частоты п-го тона собственных колебаний пружины.
При колебаниях в процессе сжатия пружина может терять устойчивость —
изгибаться. Известно, что потеря устойчивости в подобном случае происходит тогда,
когда частота изменения внешней силы в 2 раза больше, равна или кратна частоте
шт свободных изгибных упругих колебаний пружины'(параметрическое возбуждение
колебаний). Если частоты р и сот удовлетворяют указанному соотношению, то в рас-
расчетную схему необходимо ввести дополнительные степени свободы, учитывающие
изгибные колебания пружины как упругой системы с распределенными пара-
параметрами.
При выборе расчетной схемы для решения задачи о вынужденных колебаниях
груза, укрепленного на упругой консольной балке, имеются особенности. Простей-
Простейшей расчетной схемой может быть система с одной степенью свободы в виде точечной
массы, подвешенной на невесомой упругой балке. Схема соответствует низшей (основ-
(основной) частоте свободных колебаний, которая в данном случае будет определена с завы-
завышением. Уточнить основную собственную частоту можно путем присоединения
к массе груза части массы балки и учета момента инерции груза относительно оси,
проходящей через нейтральную линию балки. Если необходимо учитывать изгибные
колебания балки с более, высокими собственными частотами, то в основу расчета
надо положить уравнения поперечных колебаний упругой балки. Для длинной балки
в уравнениях можно не учитывать перерезывающие силы и моменты инерции попе-
поперечных сечений балки:
д*у(х, t) »у(х, 0 0
где Е — модуль упругости; J, F — соответственно момент инерции и площадь
поперечного сечения балки; р — плотность материала; у — прогиб.
Для короткой балки надо учитывать деформацию сдвига и инерцию вращения
поперечных сечений. Уравнения поперечных колебаний балки в последнем случае
можно принять в виде
р
можно принять в виде
с, д* (У. О , pF&yW) Л., , EJp\fry(x, t) , tf/ d*y(x, t)
где С — модуль сдвига; k — числовой коэффициент, зависящий от формы попереч-
поперечного сечения.
Влияние груза должно быть учтено в граничном условии в виде силы инерции,
или в виде силы и момента сил инерции.
Выбор тех обобщенных координат, которые должны учитываться (или которыми
можно пренебречь), зависит также от характера действующих сил. Если, например,
известно, что на некоторый вал с дисками, передающий вращающий момент, изгибаю-
изгибающие силы не будут действовать, то изгибными колебаниями и, следовательно, соот-
соответствующими им координатами можно пренебречь, так как эти колебания не будут
возбуждаться, и для вала останутся только крутильные колебания. В другом случае,
наоборот, может оказаться, что в некотором диапазоне частот действующих сил
существенны изгибные колебания, а крутильные колебания, частоты которых оказы-
оказываются за пределами этого диапазона, не будут играть роли в рассматриваемой
задаче; тогда расчетная схема будет отражать только изгибные колебания.
Для анализа колебаний более сложных механических систем также приходится
выделять расчетные схемы, соответствующие задачам исследования. Приведем
примеры.
При рассмотрении валов турбомашин достаточную точность дает классическая
теория гибкого вала, основанная на рассмотрении «малых» изгибных перемещений
и линейных соотношений между силами и перемещениями, По этой теории критичес»
14 РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
кие частоты вращения могут быть определены в предположении недемпфированной
системы. Однако, если нужно анализировать устойчивость движения в закритической
области вращения, то необходимо учитывать внутреннее и внешнее трение. Внутрен-
Внутреннее трение, т. е. трение между вращающимися элементами, в закритической области
порождает неустойчивость, а внешнее трение, т. е. трение между вращающимися
и неподвижной частями, способствует повышению устойчивости, отодвигая границу
области неустойчивости в сторону больших частот вращения. При этом небезразличен
закон внутреннего трения, и его нужно выбирать, основываясь на существующих
опытах. Для ротора с тонким вертикальным валом с тяжелыми сосредоточенными
грузами оказывается более справедливой расчетная схема, учитывающая продольные
силы. Она приводит к смещению спектра в сторону повышения частот при подвешен-
подвешенном роторе и в сторону снижения частот при опертом снизу роторе, а кроме того
к некоторым нелинейным эффектам.
Во многих роторах возникают явления, связанные с потерей устойчивости
в масляном слое подшипников скольжения, ввиду чего в'расчетную схему вводятся
гидродинамические силы подшипника скольжения.
При расчете лопаток турбин широкое распространение имеет «стержневая»
теория, согласно которой лопатка рассматривается как плоская или в более сложных
случаях как закрученная узкая пластина-стержень, что дает достаточно удовлетво-
удовлетворительный результат на'некоторой части спектра собственных частот и позволяет
найти как изгибные, так и крутильные формы колебаний лопатки. В связи с дальней-
дальнейшим развитием конструкций расчетная схема лопатки усложняется — ее рассматри-
рассматривают как широкую пластину, а затем — как оболочку (это характерно для широких
лопастей поворотно-лопастных гидротурбин).
Усложнением расчетной схемы явился также учет совместных колебаний лопатки
и диска турбины.
Связанность колебаний необходима при анализе многих систем, и ее учет харак-
характеризует усовершенствование расчетной схемы по сравнению со схемой, при которой
колебания частей рассматриваются раздельно, независимо. Так, при исследовании
паротурбоагрегата учитывают связанные колебания ротора паровой турбины (в мощ-
мощных установках турбинных роторов бывает несколько) и ротора турбогенератора,
связь с которым осуществляется с помощью упругих муфт. Фундамент под турбо-
турбоагрегат выполняют в виде пространственной рамной конструкции, представляющей
собой самостоятельную систему, но она входит в общую колебательную систему
вместе с роторами паровой турбины и турбогенератора, и колебания всей этой системы
рассматриваются как связанные. В современных установках учитывают связанные
колебания роторов, фундамента и статора,
В двигателях внутреннего сгорания существенными являются крутильные колеба-
колебания коленчатого вала, связанного с поршневой группой. Расчетная схема такого
вала представляет собой крутильную систему из дискретно расположенных массив*
ных элементов и упругих элементов между ними. В зависимости от конструкции
эта система может быть простой, открытой или разветвленной, а также замкнутой,
кольцевой. Система обладает многими собственными частотами, поэтому для опре*
деления амплитуд крутильных колебаний необходимо знать амплитуды силовых
воздействий, состоящих из многих гармоник. При наличии в системе вала специалы
ных муфт проявляются нелинейные свойства, которые должны быть отражены в рас-
расчетной схеме. Демпфирование существенно снижает амплитуды в резонансных и
околорезонансных областях частот возбуждения. Демпфирование не поддается пред-
предварительному расчету на основании чертежа проектируемого объекта, однако данные
о нем получаются в результате обработки многократных колебаний (торсиографи-
рования), проводимых на двигателях различных типов, и эти данные используют при
расчетах.
При рассмотрении машин, рабочий орган которых в процессе работы преодоле-
преодолевает значительные силы сопротивления, обычно в расчетной схеме ранее предпола-
предполагалось, что двигатель имел неограниченную мощность и обеспечивал устойчивую
частоту вращения. Анализ развивающихся амплитуд колебаний (и соответственно
напряжений в элементах) показал, что при расчете нестационарного процесса эта
модель приводит к неточным результатам. В более сложной расчетной схеме преду-
предусматривается двигатель, имеющий ограниченную мощность; при таком предположении
РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБЪЕКТА 15
расчет амплитуд колебаний в процессе установления стационарного режима дает
результаты, более соответствующие действительности.
Такую машину, как автомобиль, можно представить как систему упруго связан-
связанных твердых тел. Для определения колебаний кузова автомобиля при движении
по прямой дороге с неровным покрытием кузов как твердое тело можно считать
подвешенным на упругих элементах, параллельно которым действуют гасители коле-
колебаний — демпферы. Упругими элементами являются рессоры и шины. При грубом
приближении можно ограничиться тремя степенями свободы: вертикальным переме-
перемещением центра масс кузова и поворотами кузова вокруг продольной и поперечной
осей, проходящих через центр масс. Более точные результаты будут достигнуты,
если в расчетную схему между упругими элементами рессор и шин включить колеса
автомобиля и в соответствии с этим добавить число степеней свободы, равное числу
колес.
Важной является схематизация упругих свойств рессор и шин, демпфирующих
сил, характеристики которых, как правило, нелинейны. Не менее важной является
задача схематизации неровностей дорожного покрытия.
При исследовании крутильных колебаний трансмиссии автомобиля в расчетную
схему включается коленчатый вал (упругий или жесткий в зависимости от диапазона
рассматриваемых частот) с действующими на него силами, упругая муфта сцепления,
упругие валы коробки передач, упругий карданный вал,, упругие полуоси, колеса
и кузов автомобиля. В зависимости от точности расчета и исследуемых частот колеба-
колебаний возможна различная детализация учета приведенных моментов инерции вращаю-
вращающихся масс (выбор числа степеней свободы, упругих свойств зубьев шестерен, зазоров
в их зацеплениях и сил трения; распределения крутящего момента по длине колен-
коленчатого вала). Вследствие того, что при вертикальных колебаниях кузова изменяются
радиусы ведущих колес, крутильные и вертикальные колебания оказываются
взаимосвязанными.
В автомобиле могут возникать автоколебания управляемых колес — явление
«шимми». Для анализа «шимми» обычно достаточно рассмотреть колебания управляе-
управляемых колес относительно кузова автомобиля, движение которого в первом прибли-
приближении можно принять прямолинейным без колебаний. Кроме упругости рессор и
шин здесь в схему включается упругость рулевого управления. При исследовании
«шимми» важными являются схематизации сил взаимодействия шины с дорогой
и свойств сервоусилителей рулевого управления.
При определении частот и форм низших тонов свободных колебаний больших
ракет-носителей применяют «балочную» схематизацию. Корпус представляется
в виде прямой неоднородной балки (стержня) с упругоподвешенными грузами, коле-
колебания которых имитируют колебания жидкости в баках. Для расчета частот свобод-
свободных колебаний жидкости в баках ракеты при поперечных движениях стенки бака
обычно принимают жесткими, а при продольных движениях — упругими, поскольку
в этом случае деформации стенок бака оказываются существенными.
Форма и частоты свободных колебаний низших тонов корпуса корабля или само-
самолета определяют также по «балочной» схеме. При расчете корабля к массе балки
добавляют присоединенную массу жидкости.
Для свободных колебаний высоких тонов балочная схематизация корпусов
ракеты, корабля, самолета уже не может дать удовлетворительных результатов.
Нужна более сложная схема оболочки (подкрепленной), к которой подвешены различ-
различные грузы.
Перечисленными примерами не исчерпываются возможные приемы выбора рас-
расчетной схемы для исследования колебаний системы. Важно иметь в виду, что исследо-
исследование колебаний конкретной системы заключается не только в составлении дифферен-
дифференциальных уравнений и получении их решения.
Сложность изучаемой системы, в частности, при исследовании машинных кон-
конструкций, обусловливается очень часто не столько числом степеней свободы, сколько
тем, в какой мере отдельные элементы могут интерпретироваться как стержни, балки,
пластины и т. п. стандартные элементы. Весьма часто приписывание свойств таких
идеализированных объектов фактически имеющимся деталям машин делается с неко-
некоторой натяжкой — эти детали обладают «телесностью», т. е. большой толщиной,
соизмеримой с межопорными расстояниями, и нередко представляют собой оболочки
16 реальный объект и расчетная схема
со сложным контуром и с отверстиями; они не всегда хорошо укладываются в клас-
классические схемы, описываемые в механике. Поэтому умение правильно составить
расчетную схему (модель) объекта в некоторой мере представляет собой искусство,
основанное как на большом опыте, так и на некоторой интуиции. В некоторых слу-
случаях бывает полезно предварительно изготовить «картонную» модель сложного объекта
и, пытаясь ее деформировать в разных направлениях, обнаружить тенденцию к тем
или иным возможным перемещениям ее отдельных частей, что облегчит задачу опре-
определения расчетного числа степеней свободы. Таким образом, прежде чем составлять
дифференциальные уравнения, приходится много и серьезно подумать над тем,
какими элементами заменить реальный объект и как отделить существенное от
несущественного.
Но всегда возникают вопросы — насколько правильно выбрала расчетная схема.
Только опыт, сравнение результатов математического анализа данной схемы с резуль-
результатами опыта, а также наблюдения могут нас убедить в правильности выбранных
координат и всей расчетной схемы. Подобный физический анализ и критическое отно-
отношение к схемам, глубокое исследование процессов, происходящих в системе, необхо-
необходимы при выборе расчетной схемы.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ДЕЙСТВУЮЩЕГО ОБЪЕКТА
Определение расчетной схемы для действующего объекта называется иденти-
идентификацией (точный смысл этого термина — «опознавание» объекта, установление его
тождественности с некоторым мыслимым теоретическим объектом, свойства которого
известны). Расчетная схема выполненного объекта (системы)_ необходима во многих
случаях. Во-первых, поскольку он предназначен для эксплуатации, важно знать
его поведение в широком диапазоне возбуждаемых частот, его резонансные состояния,
амплитуды и др. Во-вторых, этот существующий объект (система) может представлять
подсистему, подлежащую включению в состав большой системы, которая только
проектируется, и при присоединении возникнут связанные колебания, которые
должны быть заранее определены.
Задача идентификации решается на основании анализа динамического поведе-
поведения системы, наблюдаемого либо в условиях специального эксперимента, либо в
условиях нормальной эксплуатации.
Формулировка задач и методика идентификации зависят: 1) от условий экспе-
эксперимента, т. е. от того, имеется ли возможность провести специальный контролируемый
эксперимент, в котором исследователь может желаемым образом воздействовать на
систему (или подавать на нее сигналы), или же возможно лишь наблюдать систему
в условиях обычных «штатных» испытаний, опираясь на естественные сигналы, дей-
действующие при нормальном функционировании системы; 2) от того, в каком классе
моделей ищется модель или схема, описывающая поведение изучаемой системы,
и какая имеется априорная «физическая» информация о системе, позволяющая сузить
этот класс.
Большинство задач и методов идентификации связано с изучением систем, для
модели которых структура считается заранее известной; требуется лишь найти зна-
значения параметров или те или иные функциональные зависимости принятой модели.
Для механических систем чаще всего приходится определять из эксперимента частоты
свободных колебаний и коэффициент демпфирования. Последний для линейных систем
можно считать постоянным в пределах одной формы свободных колебаний; для
нелинейных систем он вообще может быть функцией обобщенных скоростей и коорди-
координат.
При возможности проведения специального эксперимента система может быть
подвергнута определенным видам воздействий.
Удар. В результате удара возбуждаются затухающие колебания, по которым
можно судить о частотах свободных колебаний и, в некоторых пределах, о демпфи-
демпфировании. Если в месте удара система достаточно податлива, то играет роль способ
нанесения удара («мягкий» или «жесткий» удар), в зависимости от чего возбуждаются,
помимо основного тона, те или иные старшие гармоники.
Возбуждение стационарных гармонических колебаний с постепенным измене-
изменением частоты. Этот способ является весьма распространенным при динамических
РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ДЕЙСТВУЮЩЕГО ОБЪЕКТА 17
испытаниях отдельных деталей машин (лопастей движителей, дисков, оболочек и др.).
Он позволяет определить амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики
объекта, характеристику форм колебаний, а также демпфирование на отдельных
частотах.
Возбуждение нестационарного (переходного) процесса колебаний с быстрым
изменением частоты. Этот способ позволяет быстро определить характеристики
И)учаемого объекта, поскольку в резонансных состояниях возникают биения с соот-
соответствующими изменениями фазы. При применении этого способа обычно проводят
испытание сначала при возрастающей частоте, а затем — при убывающей.
Возбуждение белым шумом (или иным широкополосным спектром, выделяемым
из белого шума). При этом способе все амплитудно-частотные свойства могут быть
выявлены одновременно. Однако осуществление этого способа представляет техни-
технические трудности — требуется значительное усиление сигналов, подаваемых гене-
генератором белого шума, что связано с наличием дорогостоящих устройств.
Во многих случаях, в зависимости от условий задачи, оказывается достаточной
имитация реального объекта в ограниченной области спектра собственных частот —
возможна модель с совпадением по первым двум, трем, четырем этих величин. Этим
в какой-то мере предопределяется дискретная расчетная схема из нескольких масс
и упругих элементов.
В предположении линейности системы зависимость между входным сигналом
х ({} и выходным сигналом у (t) записывается в виде интегрального уравнения
i
(/@= 5 G{t-x)x(x)dx,
-— 00
в котором неизвестной является весовая функция G (t — т) и она подлежит разыска-
разысканию известными в настоящее время методами. Для повышения точности — с целью
уменьшения влияния ошибок измерений входной и выходной величин — обе части
уравнения умножаются на х (t), и производится усреднение. Известно, в частности,
что если входной сигнал представляет собой белый шум, то на выходе получается
непосредственно весовая функция.
Соображения о возможной структуре системы. В случае, когда исполненный
объект полностью обозрим, составить его расчетную схему не более сложно, чем по
чертежу, сделанному в процессе его проектирования, и в этом случае разрешение
вопроса о структуре не представляет особой трудности. Если же исполненный объект
недоступен для обозрения или он настолько сложен по своему устройству, что его
структура не является известной или очевидной, то расчетная модель системы в неко-
некоторых случаях может быть качественно построена по результатам испытаний, на
основании спектра частот, а также амплитудно-частотных характеристик.
Вопрос об определении неизвестной структуры системы менее всего разработан
в теории идентификации. Соображение о характере структуры в зависимости от
спектра собственных частот может опираться на то положение, что решение уравнения
частот любой дискретной системы, приведенной к главным координатам, сводится
к определению значений Сц, обращающих в нуль произведение (сп — К2) (с22 —
~V)...(cnn-V).
Структура системы по существу связана с характером распределения чисел сц,
являющихся собственными значениями колебательной системы. Известно, что для
балочной системы эти числа либо все (для балок постоянного сечения), либо начиная
от некоторого не очень высокого номера (для балок переменного сечения) пропорцио-
пропорциональны квадратам чисел натурального ряда. В балке не может быть кратных частот.
1 о же самое относится и к простой (неразветвленной) крутильной системе. Эти простые
соображения могут послужить признаком структуры ти-па балочной или простой
крутильной.
Числа с„- в системе могут оказаться совершенно произвольными. В частности,
возможно совпадение некоторых из них (кратные частоты). Этот факт может иметь
исто для пластинок, оболочек или произвольных пространственных систем тел и
ружин. В общем случае спектр частот определяет структуру неоднозначно, поэтому
дан Решении вопроса о структуре должны быть использованы дополнительные
18 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
При испытаниях с возбуждением достаточно высоких форм колебаний спектр
собственных частот может оказаться совсем «плотным», т. е. интервалы между после-
последовательными собственными частотами могут быть достаточно малы. Это означает,
что в данном диапазоне частот чисто дискретная структура модели не отражает
действительность. Расчетная модель, до известного предела частот, может быть по-
построена как сочетание системы из конечного числа дискретных масс и упругих элемен-
элементов, комбинируемых из конечных элементов сплошного типа, имеющих распределен-
распределенную по объему массу.
При наличии «плотного» спектра точное определение собственных частот теряет
практический смысл. Остается реальным значение амплитуды как функция частоты,
что и обнаруживается при испытаниях по стационарному и нестационарному методам,
Глава II
КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Многие удлиненные элементы конструкций могут быть схематизированы как
криволинейные стержни, например трубопроводы систем управления и более крупные
технологические трубопроводы. Классическими криволинейными стержнями я-вля-
ются также пружины: цилиндрические, конические, плоские, фасонные. Схемой
криволинейного стержня описываются и многие рычажные системы, рабочие органы
роботов, бандажные кольца и удлиненные лопатки турбомашин, статоры электро-
электродвигателей и даже архитектурные арки.
Класс криволинейных стержней ограничен только параметром удлинения.
При большом удлинении стержни в целом стремятся к безмоментному состоянию и
образуют подкласс нитей и цепей. При малом удлинении полный ответ о границах
применимости схемы криволинейного стержня можно получить только из решения
соответствующей задачи теории упругости, а в рамках самой схемы можно лишь
выяснить, какое влияние на колебания оказывают те или иные поправочные фак-
факторы.
1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
И НИТЕЙ
Криволинейные стержни (рис. 1) компактного, нетонкосгенного сечения счи-
считаются тонкими, если выполняются неравенства
nd/КЧь, d/R<y5, A)
где d — характерный поперечный размер; п — число волн собственной формы;
R — радиус кривизны продольной оси, проходящей через центры тяжести сечений;
L — общая длина стержня. В отдельных сечениях возможно R = 0, т. е. допустимы
точки излома.
Для более коротких стержней следует учитывать дополнительные поправочные
факторы или даже рассматривать стержень как объемное упругое теЛо.
Свободные и вынужденные колебания рассматриваются ниже в линейной по-
постановке в предположении о малости смещений и углов поворота, В этом случае для
тонких стержней достаточно хорошо выполняется гипотеза плоских сечений, и урав-
уравнения колебаний имеют вид [4, 11]
N-t ЭЭ
Я2|| Яц Я1\10
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ И НЙТЕП
19
Искомые функции, зависящие от продольной координаты s и времени t: u — шек-
тор смещения оси; 5 — вектор угла поворота сечения; М, N — векторы момента и
силы в сечении.
Величины, зависящие только от s : х — орт, касательный к оси s; E — модуль
Юнга; F — площадь поперечного сечения; а, Ь — матрицы податливостей; с — диа-
диагональная матрица погонных массовых моментов инерции; р — плотность мате-
материала; f — коэффициент вязкого трения; q — вектор распределенной нагручки, при-
приложенной к оси; Q — круговая частота вынуждающих сил;*№, q° — векторы силы
и распределенной предварительной на-
нагрузки.
Направления главной нормали и би-
бинормали оси стержня при ограничениях A)
не имеют значения.
Рис. 1
Рис. 2
Матрица а в главных осях сечения, йадаваемых ортами р и v (рис. 1 и 2), яв-
является диагональной и определяется двумя жесткостями на изгиб ?7р, ?7V и жест-
жесткостью на кручение GJK:
Он = 1/G/K; U22— 1/EJp', a33—\/EJv.
Элементы матрицы с связаны с геометрическими характеристиками зависимо-
зависимостями
Естественная закрученность рассматриваемых здесь стержней, т. е. скорость
вращения трехгранника т, р, v вокруг т при его движении вдоль оси s, ограничена
значением угла наклона крайнего волокна к оси г|з < 20°. В этом случае можно по-
положить матрицу жесткости 6 = 0. При г|> > 20° необходимо уже учитывать естест-
естественную закрученность стержней (см. гл. IX).
Частные случаи, 1. Прямой незакрученный и предварительно ненагруженный
стержень (т, р, v = const и № = 0). Система B) распадается на четыре подсистемы
скалярных уравнений, Используемых в сопротивлении материалов (свободные ко-
колебания, см. т. 1, гл. XI):
растяжение
дих
Ж
dNx
ds
кручение
мх
ds
dt1
C)
D)
20 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
изгиб в главных осях
~дГ
ds
"EJp
Mv
~ejZ
ds
8MV
ds
(S)
2. Безмоментная криволинейная нить или цепь (а = 0), Положение ра'вновесия
определяется уравнениями
-—а°. F)
или в скалярном виде
R
dN\
ds
(уравнение Лапласа);
¦¦ — q°x,
G)
где R — радиус кривизны оси; р, v — орты главной нормали и бинормали.
При цулевой жесткости на изгиб недопустимы сжимающие напряжения, поэ-
поэтому в каждом сечении должно выполняться условие М = 0,
Колебания описываются уравнениями
N-T
3N
Зи
(8)
В случае прямой струны (т, р, v = const) система (8) распадается на три под-
подсистемы: продольные колебания описываются уравнениями C); колебания струны
в поперечных направлениях — уравнениями
dUp
¦~аГ
duv
PJv
ph
dt*
ds
¦=pF-
IF
Уравнения (8) являются частным случаем общих уравнений B), поэтому в даль-
дальнейшем они рассматриваться не будут.
Нагрузка q может содержать дельта-функции, имитирующие сосредоточенные
силы,
2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Безразмерные переменные. Свободные колебания описываются уравнениями B)
при f = 0 и q = 0. Решение в этом случае ищут по методу Фурье:
u (s, t) = u i
M(s, o=M(s;
, 0-e(s)e'<w; \
, <) = N (s) еш. )
6(s, 0-
N (s
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 21
Для записи уравнений в безразмерном виде вводят безразмерные функции
u = -f; 6 = 6; M = M^-; N=N-^7-,
L cJ0 с Jo
где Jo = Р'п {^p (s)< Л> (s)}; s = slL @ sg s ^ 1) — безразмерная координата. Без-
Безразмерный параметр частоты определяют из соотношения
где Fo = Fmax.
В уравнения входят также безразмерные параметры порядка единицы:
и малый параметр
В безразмерном виде уравнения B) записываются так:
где Nt=(N-T)t, ..., §'v=F-v)v, штрих обозначает производную по s.
При значениях а порядка единицы все безразмерные функции имеют один и
тот же порядок величин, поэтому с учетом неравенств A) члены, имеющие множи-
множитель е2, в большинстве расчетов можно опустить [1]. Однако эти члены становятся
определяющими тогда, когда основные члены обращаются в нуль, например, в слу-
случаях продольных и крутильных колебаний прямых стержней.
Члены с N° начинают значительно влиять на собственные частоты и формы ко-
колебаний тогда, когда их величина оказывается соизмеримой с критической эйле-
эйлеровой силой.
Аналитические решения. Аналитические решения получены лишь в тех слу-
случаях, когда уравнения A2) сводятся' к системе дифференциальных уравнений с по-
постоянными коэффициентами. Таких случаев три: прямой стержень, круговое кольцо
и цилиндрическая спираль, причем два первых являются частными случаями треть-
третьего. Кроме этого необходимо постоянство сечения стержня ар = 1, ах, ар, сь, = const,
Для прямого стержня задача решается при любых граничных условиях при
помощи функций Крылова, Известно также решение для конуса в функциях Бес-
Бесселя.
В случае замкнутого кругового кольца в качестве линейного размера вместо L
удобнее использовать R, а вместо s — центральный угол ф (см. рис. 2). Уравнения
с постоянными коэффициентами получаются, если орт р лежит в плоскости кольца
П2], а векторные уравнения A2) проектируются на криволинейную систему коор-
координат, определяемую ортами tj p, v, при этом она распадается на две скалярные
подсистемы, описывающие:
22 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
колебания в плоскости кольца
av
N'x=Np — а*их; N'p = — Nx — а4 ир;
колебания по нормали к плоскости кольца
; = Мр - еЧх* (-i-
A3)
A4)
При Nx = №р = N% = 0 и е = О известны решения для замкнутого кольца
системы A3) для изгибных колебаний Р. Хоппе [12]:
= 2, 3, ...),
или в размерном виде
*-1
и Дж. Мичелла для системы A4) [12]:
или в размерном виде
е = 2, 3, ...),
К ^-^ Г)
В обоих случаях решениями являются тригонометрические функции:
1) их = ихо sin fop; 2) «v •= "vo sin йф;
цр = UpQ cos йф;
6V = 9VO sin йф;
Mv = Mvo cos Аф;
Л^т = yVto cos kq>;
Np = jVpo sin
6p = Spo cos ^ф!
Мт = Mt0 cos feqj;
Mp = Л1ро sin k<p;
^Vv=A'vo cos fap;
КОйстанты «т;(, и hvo остаются неопределенными, а остальные выражаются через них
следующим образом:
2) epO==-
av
j «vo>
'to =
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
23
При Nx = N° = Л?° — о ив^О имеются еще два осесимметричных решения:
р. Хоппе системы A3) [12):
1
О
а2=1/е или ш = -р
и К. Бессета системы A4) [12]:
1
пп
R
или со= —
Аналитическое решение задачи о незамкнутом кольце оказывается настолько
сложным, что большинство авторов, занимавшихся этой задачей, предпочитали приб-
приближенные методы (см. стр. 28). Для спирали тем более не было получено аналити-
аналитических решений, так как в этом случае система уравнений A2) не распадается.
Система уравнений в скалярном виде и граничные условия. Уравнения A2)
имеют наиболее простой вид в декартовой системе координат, а граничные усло-
условия — не сложнее, чем в любой другой системе, поэтому для стержней с простран-
пространственной криволинейной осью эти уравнения следует проектировать на неподвижную
систему х, у, г [1, 5]:
Ьх = ах1хМх + dplpMp + avlvMv;
ву = ахтхМх + арГПрМр + avmvMv;
м[-пя.-
+ К (тхвх - 1ХЬУ) + Nl (nx6x - IJz);
^ +
ap av
(пхву - mTez
{1хву - mxex);
M2 = mxNx — I
~ np0p+ i-
+ Nl У A - nx6x) + W^ (тхвг - Л(ви);
A5)
24 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Направляющие косинусы 1Х, ..., nv ортов г, р, v связаны соотношениями
^ + п1п, = 0 (i, / = т> p, v),
поэтому только три из них независимы.
Компоненты Nt, Mp, ..., 8V определяются соотношениями
Nx=lxNx+mxNy+nxN2, ...
Граничные условия в классических случаях имеют вид:
заделка
свободный конец
М t = My = Мг = Nx = Ny = N г = 0;
сферический шарнир
ux = Uy — иг = Мх = Му= Мс=0;
одноосный шарнир
«х = "у = иг — бу = бг = Л1 ж = 0;
шарнир Гука со шлицевым соединением
Численный метод расчета частотной функции. В многочисленных работах,
посвященных колебаниям стержней отдельных несложны^ форм, авторы пользова-
пользовались различными приближенными и численными методами. Наиболее простым
в смысле подготовительных операций и одновременно наиболее точным является
прямой метод численного интегрирования уравнений с последующим определением
собственных частот и форм колебаний.
Введем обозначения, аналогичные принятым в работе [5],
У 2=
Уравнения A5) и граничные условия принимают вид
«/; = ay(s; a) yf (i, /=1, .... 12); A6)
«/* = 0 при s = 0; A7)
f/r = 0 при s=l. A8)
Вследствие линейности уравнений A6) имеет место соотношение
йA) = ^,@1K/@) (i, / = 1, ... 12).
Частотный определитель шестого порядка имеет вид
Д (a) = JMa)l> <19>
где индекс / дополняет k из A7) до 12, индекс г такой же, как в A8).
При заданном а эгот определитель составляют путем шестикратного численного
интегрирования уравнений A5) по методу начальных параметров. Согласно этому
методу для расчета одного столбца br/ начальные условия берут в виде /-го столбца
единичной матрицы Е двенадцатого порядка, затем уравнения A5) интегрируют по s
на отрезке [0, 1] методом Рунге—Кутта и полагают brj = yr A). Такую операцию
повторяют 6 раз для различных /, после чего вычисляют величину Д.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
25
Варьируя а, строят частотную функцию Д(а). Примерный вид этой функции,
нормированной и сглаженной по формулам
д =A^L. д=/ А«' если А«<1;
" Д (сс0) ' \ 1+lgA,,, если Ал>1
= 1)
показан на рис. 3.
Расчет собственных частот и форм колебаний. Собственные частоты колебаний
определяют по значениям корней функции Д (а). При нахождении корней а; исполь-
используют следующие свойства этой функции-
1) все корни действительны и положительны;
2) корни перемежаются с экстремумами;
3) интервал между корнями в среднем имеет порядок единицы.
Косвенное доказательство свойства 1 имеется в работе [8], доказательств свойств
2 и 3 нет; они сформулированы по аналогии с прямыми стержнями и подтверждены
пока лишь практикой вычислений.
¦¦ ¦ -
*
V
A
J*
/I
Л
ИГ
Zj
1
л
Л4!
1
а
J
Рис. 3
На основании свойств 1 и 3 вычисление частотной функции начинается с а0 > О
и ведется с шагом ha = 0,2, т. е. поточечно строится зависимость Д (а). Приблизи-
Приблизительное положение корня определяется по выполнению неравенства
Л (а)
B0)
а затем корень уточняется методом квадратичной интерполяции. Обычная точность
определения корня б = 10~4 ¦*¦ 10-°.
Чтобы не пропустить близких корней (см, рис. 3), используют свойство 2 и про-
проверяют условие
| Д (o-fto) | < ] Д (а-2Аа) | Л
Д (а) |.
Если оно выполняется, шаг ha дробится и вычисления в интервале (а — 2ha, a)
повторяются до тех пор, пока не выполнится условие B0) или условие ha < б. В по-
последнем случае два близких корня найдены с заданной точностью, но при этом ранг
определителя A9) понижается сразу на две единицы, и для вычисления собственной
формы требуется специальная процедура. Ввиду крайней редкости этого случая та-
такая процедура здесь не рассматривается.
После нахождения корня щ собственную частоту вычисляют по формуле
«I Л Г EJ0
A=1. 2, ...),
Собственные формы находят на основании того, что при а == i
система линейных алгебраических уравнений шестого порядка
M«i>*y@)-Q
B1)
однородная
B2)
26 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
имеет нетривиальное решение; для нахождения его отбрасывают последнюю строку,
а последний неопределенный параметр полагают равным единице, т. е.
У„@>=1 (« = /тах).
Затем решают оставшуюся систему пятого порядка, после чего уравнения A5)
интегрируют с найденными начальными условиями и условиями A7).
Для нормализации собственной формы в процессе интегрирования рассчиты-
рассчитывают величину безразмерной интенсивности касательных напряжений 5 и определяют
ее максимум. Наконец, найденные из B2) начальные параметры делят на о"тах и
окончательно интегрируют систему A5) при а = щ, т. е. рассчитывают г-ю собст-
собственную форму, нормированную по условию
Smax = I- B3)
Точность выполнения условий A8) служит очень удобной апостериорной про-
проверкой точности всего алгоритма. Обычно эта точность порядка 10~3 — 10"-.
Для расчета нескольких (~ 10) частот и собственных форм необходимо выпол-
выполнить следующие подготовительные операции:
1) задать шаг интегрирования hs или число шагов интегрирования ps = 1/hs
(от 20 до 200), точность вычисления корней б (от 10 до 10~в) и желаемое число кор-
корней;
2) запрограммировать форму стержня, т. е. задать направляющие косинусы
и функции а%, ар, av, ap в зависимости от s (желательно в виде таблиц с шагом hs/?.
Точность б не зависит от шага интегрирования hs, поэтому желательно следить
за согласованием этих величин; большая точность должна соответствовать меньшему
шагу.
Алгоритм устойчиво работает до значений а « 20 н- 30, на этом интервале
обычно находится более 10 корней (см. ниже). Для нахождения большего числа кор-
корней при интегрировании приходится применять метод прогонки С. К- Годунова [3].
3. ТОНКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО
ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СЕЧЕНИЯ
БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Для таких стержней следует положить
где (х — коэффициент Пуассона.
Параметр е = 0, т. е. результаты пригодны для L > F -г- 8) d, где d — наруж-
наружный диаметр стержня.
Предварительная нагрузка отсутствует, т. е. Nx = № = N"z = 0.
Полагая lx = /, тх — т, пх = п, уравнения A5) можно упростить:
«; = яву-/п8г, и; = /9г-яел, и'г = твх-1ву-
Ш B4)
Mx = IMX + mM у + nMz;
Стержни конкретных форм. Расчет 1. Тест: спираль (рис. 4), угол подъема tp =
= 10°, число витков К = 4, оба конца заделаны, |х = 0,3. Этот случай целесообразно
использовать как тест для проверки алгоритма,
ТОНКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ
1. Собственные частоты
27
¦—
Ps
20
40
б
Ю-5
ю-"
1
8,170
8,1517
2
8,804
8,7899
3
8,848
8,8246
4
9,092
9,07-10
i
5
11,24
11,212
6
11,87
11,837
7
12,10
12,071
8
12,37
12,344
Форма оси задается соотношениями
/ = — cos ij; sin фя; т = cos ч|з cos cps; /z = sin \Ji; ф = 2лЛГ.
B5)
Значения собственных частот приведены в табл. 1, из анализа которой сле-
следует, что спектр частот очень плотный (сравните со спектром на рис. 3, 11),
Расчет 2. Вычисление собствен-
собственных частот для стержня, показан-
кого на рис. 5. Рассмотрим три ва-
варианта закрепления концов: при
Рис. 4
Рис. 5
s = 0 заделка; при s = 1: а) свободный конец, б) сферический шарнир, в) заделка,
ps — 20; точность б = 10~5.
Форма оси задается соотношениями
2 = 0,2285;
0,0822;
s2; i =
1 = 0; m = —
s — si
s —s
1 = 0; m = 0; n=\;
m = 0; n = cos(pi; <j>i
= 0; m = 0; n = —1;
smrp2; n = —соэф2;
= 0; m = —1; n = 0.
Значения собственных частот приведены в табл. 2.
Собственная форма определяется двенадцатью функциями их (s), цу (s), ...
»•., Nz (s), на рис. 6, а—в приведены только три компоненты смещений для некоторых
найденных частот.
28
КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
2. Собственные частоты
Вариант
заделки
а
б
в
i
1
2,406
3 508
4,592
2
2,509
4,538
5,360
3
3,921
5,118
5,996
4
4,074
7,401
8,243
5
5,034
8,475
8,711
Изменения спектров при изменении формы стержней с одним геометрическим
параметром. Расчет 3. Задача о колебаниях круговой арки (рис. 7). Исследуются
изменения пяти низших частот при изгибании прямого стержня по дуге окружно-
окружности. Длина стержня сохраняется постоянной, центральный угол ф увеличивается
от 0 до 2я, при этом радиус соответственно уменьшается. Оба конца заделаны, ps =
= 20, 6 = Ю-5.
Форма оси задается соотношениями / = cos (ps; m = —sin q>s, n = 0. Зависимо-
Зависимости а, от ф показаны на рис. 7. Кривые 1, 3, 5 соответствуют колебаниям по нор-
нормали, а кривые 2,4 — в плоскости кольца.
l4j.uii.uz) ю5 Собственные формы не приводятся. При
их расчете удобнее рассматривать системы
уравнений в плоскости кольца и по нормали
к нему сдельно. Для каждой системы спектр
в среднем становится вдвое более редким,
и следует положить ha = 0,4.
о)
<*;
Ю
<
1
0,2. О,* 0,6 0,8 S
в)
Рис. В
При использовании общего алгоритма необходимо следить, которую из строк
следует выкинуть из системы B2), так как определитель имеет Жорданову форму.
Кружками при ф -= 0 отмечены известные частоты прямого стержня. Четвертая
частота отлична от них вследствие запрещения продольного перемещения, а не про-
продольной силы.
Штриховые участки кривых 1 и 2 можно получить с небольшой ошибкой пере-
пересчетом данных, приведенных в работе [9] и рассчитанных по методу Ритца.
Расчет 4. Изменение пяти низших частот при сохранении общей конфигурации
стержня и изменения кривизн отдельных участков. Рассмотрим стержень, показан-
показанный на рис. 8, а. Общая длина стержня равна единице, длины прямых участков Ь
меняются от х/3 до 0, при этом радиусы закруглений R меняются от 0 до х/л. Оба
ксниа заделаны, ps = 20; б = 10"*.
ТОНКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ
29
форма оси определяется соотношениями
# = A—ЗЬ)/л; 0 s= bsgl/3;
Sl = 6, s2=(l —6)/2; s3 = (l+&)/2; s4=l— b;
0 ^ s ^ Si; / = 0; fti=l; ft=0;
t л . s — Si
Si <c s <C s2; t = u; /л = созф1; n = —БШфх, ф!^15—j~—;
i a S — S3
Sz<Cs <C s4; { = 5Шф2; nt = U; » = — созфг; фа155—н—!
s <s<l' /= 1* m = 0' re=0
Изменения частот от параметра b (или /?) показано на рис. 8, 5. Частоты ^ и 5
очень близки во всем диапазоне, например при b = Ve a4 = 9,6945, а5 = 9,6967,
хотя их формы существенно отличаются.
Общий вывод состоит в том, что при сохранении общей конфигурации стержня
спектр меняется мало. Чем выше частота, тем сильнее зависит она от локальных
изменений, а на низшие частоты детали формы почти не оказывают влияния.
ю
"- ,-.
=====
г.
J
-¦
t
.¦———
¦¦ —'
—I
—
— |—
¦ i ИГ1
— —
'А я
'An
ь'А
а)
'А
Рис. 8
Наличие двух точек излома R = 0 при b = V3 не вносит никаких затруднений
в вычислительный процесс.
Изменение спектров при изменениях формы стержней с двумя геометрическими
параметрами. Расчет 5. Спираль с небольшим числом витков (см. рис. 4). Результаты
могут быть использованы при расчете колебаний пружин с малым числом витков,
работающих на сжатие [6]. Для пружин с большим числом витков справедливы
асимптотические формулы.
Точность б = Ю~5, число шагов интегрирования увеличивается с числом витков
(ps = 20 -f- 100). Оба конца заделаны.
Форма спирали описывается соотношениями B5), т. е определяется двумя су-
существенными параметрами углом подъема if и числом витков К- Для заданного зна-
значения ij) рассчитаны номограммы собственных значений а, в зависимости от К-
На рис. 9 показаны зависимости а; (К.', i|)) для ifi = 10°, 0 ^ К ^ 16, i — 1, ...
..., 8. Коэффициент Пуассона \i = 0,3. Увеличение числа витков на этой номо-
номограмме интерпретируется как закручивание спирали вокруг оси г при неизмен-
неизменной длине оси. При этом высота Н остается постоянной, а диаметр D уменьшается
(см. рис. 4),
30
КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Кружками при К = 0 на рис. 9 отмечены частоты прямого стержне?, а штрихо-
штриховые линии построены по асимптотическим формулам, полученным по методу экви-
эквивалентного бруса для разных типов колебаний:
крутильного
; = л I/
2iK
\х cos2
продольного
нзгибного
У-
2iK
costy \
а
, ЫП2 '
B6)
B7)
B8)'
а.1 соответствуют частотам прямого заделанного по концам стержня (а. == 4 730
а2 = 7,853).
В случае колебаний крутильного типа кривые к1, к2, полученные численно и
по формуле B6) для К > 6 (к1) и К > 8 (к2) в пределах точности графиков «совпа-
«совпадают (показаны штриховыми
линиями). Аналогично и для
колебаний продольного типа
(кривые nl, п2).
В отличие от формул B6)
и B7) формулу B8) нельзя
использовать для сращива-
сращивания точного (численного) и
асимптотического решений
(кривые ul, u2). Для этой
цели достаточную точность
дает аппроксимационная фор-
формула, полученная на основе
некоторых численных ре-
результатов:
* = 0-с, (**)*')
*и1. B9)
где К — число витков; г|) —
угол подъема, градусы,
*! = —1,73 (Kip> 60);
Рис. 9 *а = — 1.66 (ATt > 80);
«и; — рассчитаны по B8).
Определяющим параметром является произведение Kty, так как одному значе-
значению этого параметра соответствуют сходные собственные формы (рис. 10, а в).
Формула B9) определяет пары частот (aj«saa, а3 «= а4) колебаний изгибного
типа, которые при К ->- °» соответствуют колебаниям в различных плоскостях.
Влияние предварительной нагрузки. Уравнения моментов в системе B4) допол-
дополняются членами, учитывающими предварительные нагрузки [см. A5)]:
х = tiNy —
My = Шг - nNx + Nl {пву -
(пвх — Йг);
Aву- т%х)\
ТОНКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ
31
Расчет 6. Тест: спираль, угол подъема i|) = 10°, число витков К = 4; № = N[' =
= 0; 0sS/Y»?S360 [10]. v
Форма оси описывается соотношениями B5). Оба конца заделаны; ps = 20;
б = Ю-5.
На рис. 11 приведены зависимости а,- (N2), кружками при №г = 0 отмечены
значения аь взятые из расчета 1. Значение Naz = 196, при котором низшая частота
q> = 20°, К =
а, =7,7577
<
Л
*
-/
_
(У,
•и,
-"г
Чж
Ь
\
Ч
/
/J
\
ч>-ю° ,к-=в
'/
V/
>-,
V
/
р.
—ч;
»У
7;
\
¦
¦\
V
\
обращается в нуль, соответствует
первичной потере устойчивцсти. Интер-
Интерпретировать результаты рис. 11 следует
так: взяты спирали (пружины) разной
высоты Н и приблизительно одинако-
одинакового диаметра D с К ~ 4, затем они
сжимаются так, что внешне стано-
становятся одинаковыми (г|з = 10°, К = 4),
но сжимающие усилия в них раз-
различны, например, величине А™ = 196 соответствует ненагруженная пружина (ф =
= 32°, К = 4,12).
Критическая нагрузка, соответствующая потере устойчивости при сжатии, для
рассмотренной пружины, рассчитанная по методу эквивалентного бруса, в безразмер-
безразмерном виде [10]
Л^кр i = —: '.
Для t=l, ^=10° Лгкр;=198. 10
Присоединенные массы. Колеба-
Колебания стержней с присоединенными мас-
массивными телами (рис. }2) рассчиты-
рассчитываются следующим образом: на участке S
замещения стержня твердым телом
\&\, s2] вводится фиктивный участок
с нулевой погонной массой и бесконеч-
бесконечной жесткостью:
а =0 а =а =а =0 °
Н
=====
—
¦¦•ж
^ч
—
—I
ч
X
—
V
\
\
too
zoo
J0O
Рис. И
присоединенное тело характеризуется массой Qk и вектором г^, проведенным из выб-
выбранной точки оси Sjt к центру тяжести тела (рис. 12, а).
В точке S? возникают скачки усилия и момента, амплитудные значения кото-
которых в безразмерном виде определяются по следующим формулам [7J:
^
векторы
); 9А = S (sft); т = r/L;
Qk = ~r
32 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Вектор ?? в декартовой системе координат с ортами ех, еу, ег имеет вид
тк — гк (ел'й "Т" eymk + егпк)>
а уравнения C0) в скалярной форме записываются так:
^" кх== а Qk \ukx~
C1)
¦rk{nkANky — mkANkz);
¦rk(lkANkz — nkANkx)\
¦rk{mkANkx-lkANky).
Для учета инерции поворота тела удобнее всего заменить его шестимассовой
системой (рис. 12, б) с такими же массовыми моментами инерции, и для каждой массы
применить формулы C1),
Рис. 12
При Qft -*• оо три частоты, соответствующие трем степеням свободы тела, стре-
стремятся к нулю, а центр тяжести превращается в промежуточную шарнирную опору.
Расчет 7. Тест: спираль, угол подъе-
подъема ф = 10°, число витков К = 4, р^ = 20,
б = 10"?, форма оси задается соотношения-
соотношениями B5). Стержень тонкий (е = 0) и нена-
10 ^~~—' ' '
1—
ч
V
-ее -Z -1 О 1
Рис. 13
{—
/
My
\
\
1
i
I
h
^^
V
Л,
ч
sUz
N
5^
1 s
Рис. 14
груженный (WJ = №у= №г = 0). Точечная масса, расположенная на оси ri = 0,
присоединена в точке st = 0,5 (см. рис, 4), 0 =g Q ^ 103, Изменения пяти низших
частот a-i (Q) показаны на рис. 13.
СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
33
При Q < 10" присоединенную массу можно не учитывать. При определении
трех низших частот и Q > 10 массу стержня можно не учитывать, и тогда движение
точечной массы описывается уравнением
откуда сц = KtJQ, тле ЛГ~- = KiL?IEJ0. Безразмерные жесткости /Q (i = 1, 2, 3),
определенные при Q = 10, Ki — 1171, /С2 = 1639, К3 = 2570. Зная эти величины
и значения аг @), взятые из табл. 1, можно нижние три частоты с достаточной точ-
точностью определять по аппроксимационной формуле
Hq)(/=1,2,3), C2)
полученной по аналогии с формулой Донкерли [2].
Значения а;, рассчитанные по формулам C2), отмечены на рис. 13 звездочками.
Собственные формы (компоненты смещения) для а, = 10,124 при Q = 10 пока-
показаны на рис. 14.
4. СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Расчет 8. Учет инерции поворота, т. е. учет членов с множителем а4е2 в уравне-
уравнениях моментов. Члены с множителем е2 в уравнениях смещений полагаются нуле-
40
го
\
I
p
R
1
Г
r-
V
Co
4 .
TTV
30
20
10
-lp -5
Рис. 15
—
J
4
—*•
! '
'ч
ю
выми. Рассчитываются собственные значения спиральных стержней, форма которых
описывается соотношениями
C3)
Сечение постоянно (aF= 1, г() = 10°). Для расчета частот используют уравне-
уравнения A5), предварительное нагружение отсутствует, т. е.
lx = —cos "ф sin q>s; /пт=
/р = — coscps; mp = —sin qs; ;гр = 0;
/v == sin г|з sin (fs; mv = sin ф cos фв; nv — cos if>;
На рис. 15 показаны характерные зависимости Да; = (а,- (е)/а; @) — 1) для
трех низших частот. Аргументом является p = lge2; p* соответствует d/R = XJS,
Безразмерные параметры податливостей ах, ар, av определяются отношением
k = cv/cp. Зависимости на рис. 15, а построены при ах = 2 A + \i)JJJk., ар = г/к2;
2 п/р. ф. м Диментбврга и К. С. Колесникова, т. 3
34 КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ. КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Ov = 1; К = V4; ? = V4; 70 = c^cv/12; p* = —2,909: на рис. 15, б — при ах =
= 2 A + ц)/0//к; ар=1; Оу, = №; /С = 4; k = 2; У„ = cpcv/12, р* =—5,388.
Момент инерции /к зависит от ? и определяется из решения задачи о кручении пря-
прямого стержня прямоугольного сечения.
На основании подобных расчетов и принято условие A). Результаты согласу-
согласуются с оценками для прямых стержней.
5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания стержней при наличии вязкого трения описываются уравнениями B),
Решение имеет вид
u = Ui (s) sin Ш +u2 (s) sin Qt;
N = Ni (s) sin Qt + N2 (s) cos Qt.
Для тонких е = 0, ненагруженных (№ = 0) стержней осесимметричного сече-
сечения получают следующую систему уравнений относительно безразмерных ампли-
амплитудных функций:
C4)
=1, 2),
При отсутствии трения (J = 0) система C4) распадается на две подсистемы.
Вторая (k = 2) имеет только тривиальное решение, а первая (k — 1) отличается от
системы B2) тем, что параметр р" известен и присутствует правая часть q (s). Система
интегрируется аналогично A6), т. е. сначала рассчитывается матрица Ьп при q= 0,
а затем находится частное решение у* для заданного q (s) при нулевых начальных
условиях г/, @) = 0 (/ = 1, ..., 12). В результате получается неоднородная линей-
линейная алгебраическая система 6-го порядка:
&/y(P)#(O) = 0*(l). C5)
Решая ее и интегрируя подсистему k = 2 с этими начальными значениями,
находят форму вынужденных колебаний. При р" = а; определитель | brl-1 обращается
в нулы, а решение — в бесконечность.
При наличии трения система C4) не распадается, и ее приходится интегриро-
интегрировать полностью. При этом метод решения остается прежним, только удваивается
порядок системы и определитель \ЬГ]\ никогда не обращается в нуль. В результате
расчета получается резонансная кривая (частотная характеристика). На рис. 16
приведены примеры таких характеристик для безразмерной интенсивности напряже-
н™ amax(nos)- Рассмотрен плоский стержень, показанный на рисунке, заделки
колеблются в плоскости оси стержня под углом ф к оси х. Сплошная кривая соот-
соответствует (р = 90°, штриховая —<р = 0°. Такое возбуждение называется кинемати-
кинематическим.
В случае малого сопротивления (ц < 1) достаточно точные результаты дает приб-
приближенный метод, основанный на предположении постоянства угла сдвига фазы.
Точное решение показывает, что угол сдвига фазы
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
35
во-!тервых, является функция s, а во-вторых, несколько отличается для различных
компонент и для разных функций u, Q, М, N. Однако, зависимости у (s) всегда имеют
15
it-*
4f>*
I
ю
Рис. 16
специфический вид (рис. 17) и в расчетах можно использовать эффективное значе-
значение у3, равное значению этих функций на плато. Рис. 17 соответствует резонансной
частспе, поэтому уэ = —я/2.
г»,
-it
-o,s
V
/
J
-Гх
J
У
\
t
-tx
f
1 s=
h
4
\
X
\
\\
ч
I3JB
0,2 О,1/ 0,6
Рис. 17
у
/
gm = 13,31
\
7,86
zee
Рис. 18
Приближенное решение записывается в виде разложения по собственным функ-
функциям:
5(s, t, Q)=%At(Q)ui(s)s
N (s, t, Q) = 2 At (Q) Nt (s) sin \Qt + y9i);
u' (s)i ..., fy (s) — собственные функции.
2»
36
КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
При учете ортогональности собственных функций
1
задача сводится к аналогичной задаче с одной степенью свободы, в результате реше-
решения которой получается
c, = Jq(s)i4(s)ds /$Ji'(s)ds;
3. Значения собственных частот,
максимальных напряжений и углов ф
C6)
На рис. 18 показан первый резонансный пик кривой, изображенной на рис. 16,
в крупном масштабе для ф = 90°; сплошная кривая получена численно, а кружки
соответствуют значениям, подсчитанным
по формулам C6).
При кинематическом возбуждении ко-
колебаний нагрузка сводится к двум реак-
реакциям опор, поэтому
1
j ф) щ (s) ds = Hi A) w A) —N* @) w @),
о
где w @) и w A) — смещения заделок
вместе с концами стержня.
Последняя формула позволяет иссле-
исследовать зависимость величины резонансного
пика от направления возбуждения. Для стержня, показанного на рис. 16, максималь-
максимальные значения а приведены в табл. 3.
Собственные значения at = 4,721, a3 — 8,444, a6 = 10,861, a, = 12,413, a9 =
= 14,630 соответствуют колебаниям по нормали к плоскости.
i
2
4
5
8
7,879
8,987
10,250
13,278
5max
(по s, р, ф)
13,31
7,560
14,47
1,936
ф, градусы
98,7
166.5
157.9
119,8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алешин А. Я* О собственных частотах колебаний пространственных криволинейных
стержней произвольного сечения. — Труды ВНИИФТРИ, вып. 8 C8). 1971, с 55 — 66.
2. Ананьев И. В., Колбин И. М., Серебрянский Н. П. Динамика конструкций летательных
аппаратов М , Машиностроение, 1972, с 45 — 47.
3. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. — Успехи мат. наук, т. XVI, вып. 3 (99). 1961, с. 171 —174.
4. Грудев И. Д. О больших прогибах пространственных тонких стержней. — Труды
ВНИИФТРИ, вып 8 C8). 1971, с. 17—37.
5. Грудев И. Д. О собственных частотах пространственных криволинейных стержней. —
Изв. вузов. Машиностроение, 1970, № 6, с. 19 — 24
6. Грудев И. Д. Расчет собственных частот и форм колебаний цилиндрических пружин. —
Изв. вузов. Машиностроение, 1970, № 8, с. 24 — 29.
7. Грудев И. Д., Коршунова Р. Н. Колебания криволинейных стержней с присоединен-
присоединенными массами — Труды ВНИИФТРИ, вып 8 C8). 1971, с. 48 — 54
8. Гуляева Н. И. Интегральное уравнение колебаний пространственных криволинейных
стержней — Труды Ленинградского ин-та инженеров водного транспорта, 1957, вып. 24,
с 93 — 106.
9. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. М , Физматгиз, 1960, с. 226 — 231.
10. Кузьменко В. М. Влияние сжимающих сил на собственные частоты пружины с малым
числом витков. — ТрудыМФТИ Аэромеханика и процессы управления, 1973, с 119 —125.
11. Лурье А. И. О малых деформациях криволинейных стержней — Труды Ленинград-
Ленинградского политехнического ин-та, 1941, № 3, с 148 —157.
12. Ляв А. Э. X. Математическая теория упругости. РЛ. — Л., ОНТИ, 1935, с. 470 — 473.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 37
Глава III
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
В главе приняты следующие условные обозначения:
А —¦ площадь сечения эквивалентного бруса;
Ви, Z?K. Sc — жесткости сечения проволоки соответственно при изгибе, кру-
кручении, сдвиге;
Вх, В2, В,, В4 — соответственно продольная, крутильная, поворотная и сдви-
сдвиговая жесткости эквивалентного бруса;
D BR) — средний диаметр (радиус) витка пружины;
d — диаметр проволоки;
Е — модуль упругости;
F — площадь сечения проволоки;
'G — модуль сдвига;
Н, Но — высоты соответственно сжатой (растянутой) и свободной пру-
пружины;
J, Jр — соответственно экваториальный и полярный моменты инерции сечения
проволоки;
К — число рабочих витков;
AfK — крутящий момент;
М — масса, прикрепленная к торцу пружины;
Mt — масса пружины;
тх = KJH — безразмерная амплитуда вынужденных колебаний;
щ = Хо/#о — безразмерное предварительное сжатие или растяжение пру-
пружины;
N — осевая сила;
No = B^jH», Nt = BA/tfo;
s — длина вишовой спирали;
%, ty — углы подъема соответственно свободной и деформированной пру-
пружины;
Х,о, \ — соответственно предварительное и амплитудное продольные перемеще-
перемещения свободного конца пружины;
р, — коэффициент Пуассона;
c = D/d — индекс пружины.
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Витые пружины (цилиндрические, фасонные, плоские, спиральные и др.), на-
нагруженные внешними периодическими силами (реже — моментами), широко при-
применяют в высокоскоростных и быстродействующих машинах, приборах и автомати-
автоматических устройствах в качестве основных силовых (несущих) или вспомогательных
элементов. Вредные, непредусмотренные вибрации пружин или потеря ими динами-
динамической устойчивости приводит к появлению паразитных колебаний рабочего органа
машины, нарушению силового замыкания между отдельными ее звеньями, появле-
появлению дополнительных напряжений в материале и, как следствие, к уменьшению на-
надежности машины вплоть до ее аварийного выхода из строя.
В практических расчетах встречаются прежде всего с задачами об определе-
определении частот свободных продольных, крутильных и поперечных колебаний, которые
Должны быть достаточно далеки от частоты возмущения или одна от другой; с расче-
расчетом ширины и расположения зон динамической неустойчивости и параметрических
колебаний, а также взаимосвязанных нелинейных колебаний (биений); с вычисле-
вычислением динамических составляющих напряжений основных и дополнительных коле-
колебаний и т. д.
Роль демпфирования как ограничивающего фактора при колебаниях пружин
Минимальна, так как количественные характеристики внутреннего трения и потерь
В конструкции малы.
Для решения вышеуказанных задач используют методы эквивалентных харак-
38
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
теристик (эквивалентного бруса) и тонкого винтового стержня. В первом случае
пружину заменяют фиктивным брусом с характеристиками, приближенно совпа-
совпадающими с действительными характеристиками пружины; такая замена спра-
справедлива для большинства пружин (г|) =g; 10°; К ^ 3; E=4; HjD >= 1).
Методом эквивалентных характеристик были решены основные практические
задачи [10, 12, 24, 25, 31, 34]. Однако в некоторых случаях (например, при исследо-
исследовании колебаний пружин с К < 3, с < 3, а также при уточнении границ примени-
применимости метода эквивалентного бруса) витую пружину необходимо рассмотреть как
тонкий пространственный стержень и ис-
использовать систему уравнений Кирхгофа—
Клебша—Лява [11, 20]. Из этой группы
следует отметить работы [18, 21, 27], в ко-
которых исследования доведены до числовых
результатов.
Экспериментальные методы, применяе-
применяемые для исследования вибрации пружин,
описаны в работах [16, 27, 28, 33].
У
2. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ
ТОНКОГО КРИВОЛИНЕЙНОГО
СТЕРЖНЯ
Центры тяжести поперечных сечений
проволоки расположены на нерастяжимой
винтовой оси (рис. 1). Текущая точка О1
имеет координаты — длину дуги s и по-
полярный угол <р. На рисунке ?, т], ? — вра-
вращающаяся система координат (нормаль, би-
Рис. 1 нормаль, касательная); х, у, z — неподвиж-
неподвижная система; л|з = const; N?., N^, Wj, M^,
М^, М^ — компоненты дополнительных упру-
упругих сил и моментов; щ, ип, и^, Щ., 6^, 6j — компоненты перемещений и углов
поворота жесткого сечения; р, q, r — проекции приращений кривизны на подвиж-
подвижные оси.
Основная система уравнений, описывающая колебания тонкого стержня, нели-
нелинейна; если колебания происходят около состояния статического равновесия и малы,
то уравнения можно линеаризовать и представить в виде [20, 25]
ds
dN
n
ds
_
yF 32и?
yF
(r0M4
g №
yF d2tir
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
39
Индексами 0 обозначены начальные значения. Дополнительные геометриче-
геометрические соотношения имеют вид
ди„ Np
ds
ds
ds
g
с
JI)C
B)
C)
При деформировании свободной пружины г|H = ф. Компоненты кривизны
0 = cos3
rQ = sin \|з cos
Внутренние силовые факторы
Внутренние и внешние силовые факторы связаны соотношениями
|0 = 0;
= Мк cos
sin 1J3;
о = Мк sin ty — NR cos г|з.
При с5;4 системы A) и B) можно упростить, принимая N/Bc и — ^-j-равными
нулю; для круглого сечения /g = J^ = J; Вьи = В,,,, = 5И; J^ = Js. При таких
предложениях линейную систему A) многократно решали [5, 19, 17, 22], главным
образом, для определения спектра частот и форм колебаний.
Система A) может быть исходной для получения уравнений малых колебаний
эквивалентного стержня. Для этого необходимо перейти от системы координат |, г\, ?
к системе х, у, г, а виток принять за тор (плоское жесткое кольцо), все точки кото-
которого движутся одинаково. Тогда можно рассмотреть независимые продольные, кру-
крутильные и поперечные колебания тора, а также колебания кольца; во всех случаях
е = Н/2л# = tg ф < 1.
Продольные колебания: \|) = 0, щ = и^ = 0. Справедливы формулы
Пи„/дх*=д°-ип/дР J
=7e = A;
{gB1jyA)&unld#=dr-i
Крутильные колебания: ty = 0; un = 0. Справедливы формулы
D)
Da)
40
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
Поперечные колебания. В плоскости хг выбираем характерную точку тора, на-
например, О2 (см. рис. 1). Тогда щ = и.ц = 0;
F
уА
Вя
Eл:
326,
E)
Для растянутой пружины следует подставить (—N). Заменив Ьг на (—6Д по-
получим уравнения, соответствующие высокой (сдвиговой) серии частот.
Колебания плоского кругового кольца (г|з = 0; q>R = s) описываются уравне-
уравнениями в своей плоскости
д*и
I
в продольном направлении
«9 D С D te
dt*
- = 0;
ds2
-ZL-^tn i
F)
G)
J
Если $ = р0 = r0 = Afjo =
б
__ ]\/[Y __ ДГ«. -— ftj AJr —~ fl- О = \/R
т. е. если плоское кольцо свободно от действия предварительных сил и моментов,
то получается система уравнений
cWt Fy
3Nr Fy
ds
ds--q°-
yj fr(du*
fj .
yjp
(8)
Из уравнений G) и (8) следует, что в спектре колебаний винтовой пружины
имеются элементы продольных, крутильных и поперечных колебаний стержня, а так-
также кольцевые формы.
3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
В табл. 1 приведены основные массовые"и жесткостные характеристики эквива-
эквивалентного бруса [19, 25]; при сжатии пружина раскручивается, 6 у, Мк < 0; при ра-
растяжении 6у, Мк > 0 (рис. 2). При малых углах г|з (==с 10°) справедливы линейные
соотношения. Когда ib > 10°, следует учитывать конечные изменения размеров пру-
пружин [1, 32].
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН 41
I. Основные массовые и жесткостные характеристики пружин
Характеристика
Формула
Пружинь* растяжения-сжатия
Ed'H
Gd'n
8D'
tg*
2 + И
64DK
64
XGd*
8EJH
nKD3
AD2
8
Продольная жест-
жесткость Bi
Крутильная жест-
жесткость Вг
Упругая осеаая
сила N
Угол скручивания 8
при действии N на
пружину со свободно
вращающимся торцом
Момент инерции вит-
витка тора относительно
оси пружины J
Крутящий момент
пружины с неповора-
чивающимися юр-
цами AfK
Пружина, нагруженная силой Q (рис. 31, имеет экстремальные значения жест*
кости при изгибе в направлениях, характеризуемых углами
- EJ
4
A/D)xsin2i))
Характеристика
Формула
Пружины изгиба
Поворотная жест-
жесткость В3
Сдвиговая жест-
жесткость Bi
Момент инерции
витка тора отно-
относительно оси, пер-
перпендикулярной
плоскости колеба-
колебаний Jo
Площадь эквива-
эквивалентного бруса А
2EJH
AD2 I __ nd*D* \
8 4~ 32tg* I
.( =
4Н
— Ф1 + Ф2 .
t-
± —
(9)
где <plf ф2 — угловые координаты точек крепления а, Ь; ф2 > ц>х соответствует Втах
и наоборот.
Рис. 3
Экстремальные значения жесткостей
(Ю)
42 КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
При жестком креплении концов
ДВ3 = 1,57 w со8(ф2
дг> , Sin (ф2— Ф1) COS (фг + ф! — 26г, а)
АВ, — 1 — х : ; I
4 фо ;
при шарнирном креплении
Дбз= Ю,4 [0,075ф0 — 0,625 sin (ф2 —фО cos (фг + фг—281? 2); "I
Д54 определяется по (П); jx = 0,3; фо = 2я/<. (
Испытания статически нагруженных пружин показывают совпадение расчет-
расчетных и действительных значений В, начиная с К 5= 2—3 [25].
Пружины с прямоугольным сечением проволоки имеют аналогичные характе-»
ристики; о поправках на форму сечения см. в работе [19].
4. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Свободные продольные колебания пружины. В уравнении D) обозначаем:
Общее решение уравнения A3J при неподвижном креплении одного и колеблющемся
втором торцах имеет вид
uT)= 2j (Q cosaaji + D; sinaajO sin afe. A4)
Используя начальные условия иц (х, 0) = / (*); диц (х, 0I dt = F {х) при t = 0,
получаем
Cj = -
Di= Ba
4 +sin 2е^,
1
^ F' (|) cos a,-|
Для предварительно сжатой (растянутой) пружины, отпущенной без начального
импульса
поэтому
Г 4flff/0 sin щ
Уравнения колебания пружин с двумя зажатыми E = 0 или 1, ич = 0), или с одним
неподвижным и другим подвижным торцами (Е = 0, ип = 0; | = 1, иц = 0) имеют
характеристические числа а,-= гл или аг = Bi—1) я/2, i = 1, 2...
Угловая частота свободных колебаний (в 1/с)
или (в Гц)
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
43
Д ля стальной проволоки (fi = 8,3 X 10- кгс/см2; у = 7,8 X Ю~3 кгс/см2; g =
= 981 см/с)
B0)
Формулу B0) проверяли экспериментально, она дает удовлетворительные ре-
результаты для i <3, /СЭ=3. Аналогичный расчет пружин по волновой теории при
ударном нагружении рассмотрен в [14, 20].
Свободные колебания пружины с массой. Виток пружины и прикрепленная
к нему масса М (рис. 4) колеблются по одному и тому же закону, описываемому
ур?внением D); поэтому в точке х = Н сила инерции массы уравновешивается упру-
упругой силой пружины. Из этого условия получаем
характеристическое уравнение
tga^Mi/M)/^. B1)
Первый корень для (Мг/М) <1 с ошибкой < 1%
определяется по формуле
«i = V(MjM)/[ 1 + (М !/М)/3]. B2)
Для i <3 предельные
в табл. 2 [7].
значения a-t приведены
1
2
3
2
(М
. Предельные значения
о^. при
,/Л1)=оо, Л(=0 |(М,/Л4
1,57
4,72
7,86
)=0, М,=0
0
3,14
6,28
Рис. 4
Когда масса ЛТ зажата между одинаковыми пружинами с неподвижными тор-
торцами (см. рис. 4), корни otj/2 определяются по формуле B2) и табл. 2. В остальном
расчет аналогичен расчету консольной пружины. Если (MjM) <^ 1, расчет можно
вести по приведенным массе и жесткости [36].
Колебания пружины с переменным шагом. Такие пружины обладают свойством
равночастотности в некотором диапазоне изменения М; при заданных значениях
A'oi К (Л'о > 0, 0 < N < No) при посадке витков справедлива зависимость [7]
B3)
B4)
Свободные колебания массы М описываются уравнением
(Ри„
Которое для периода колебания Т дает точное решение
Т = ]
У (exp ai — а{) — (ехр «е — и%
B5)
где ab 6j — наибольшие положительное и отрицательное смещения; а = и,,А0.
Для практических расчетов можно воспользоваться приближенной формулой
B6)
44
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
которая дает погрешность ~5% при ах г? 1,0; Ьг < 1,5; период Т меняется всего
на 5%.
Крутильные колебания. Между крутильными и продольными колебаниями су-
существует полная формальная аналогия и поэтому в уравнении Dа) вместо Въ А сле-
следует подставить В2, JK. Частота колебаний
1+ц 01 = 0,3).
B7)
Вынужденные продольные колебания. Возмущение может иметь силовой, кине-
кинематический или инерционный характер; обозначим через F (I) функцию, описываю-
описывающую закон возмущения. В табл. 3 приведены основные расчетные величины и функции:
Н (t) — переменная высота пружины; N = No-\- Ni (t) — суммарное усилие, дей-
действующее на пружину; No — предварительное усилие; QB — возмущающее усилие.
Искомая
величина
<¦„ (х, t)
H(t)
Я„
— A— т0)
Условие
резонанса
3. Основные
силовое PtF (t)
XiF (OsinvJ/vcosv
COSV| Г F in
cosv " ** "'
. я
t = 1, 3, 5...
расчетные величины и
Возмущение
кинематическое
sinv ^() Я
— mtF it)
V = 1Л
»= 1, 2, 3...
функции
инерционное
aBF @: f @ = cos fflB*
4a cosM.' — cos(o.<
"in
от 1 - (ов/и|
В, 4aB(cos a^t — cos o);<)
Я 1 - <oB/cof
l-mo
cos ш?
Обозначения: aB — амплитуда инерционного возмущения; g = x/H — безразмерная
длина; ов — угловая частота вынужденных колебаний; v = й>в/а.
„ - уАав d*F (t)
Для инерционного возмущения QB=-) — 2 ¦, в остальных случаях QB
вносится в граничные условия, как заданная сила или перемещение подвижного тор-
торцового витка пружины. Передаточные функции и коэффициенты проводимости пру-
пружинных фильтров рассмотрены в работе [4].
5. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Свободные колебания пружин. Объединим уравнения E)
д*и^ у IA Jo\ сНи? у А I N
~dx^~J\Bl + T3
N I j
+ ~B~3~V+BJ дх*
Решение уравнения
B8)
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
45
где
W (I) = Сх ch a
T (t) = Di cos o)
+ С3 cos a2g + Ct sin a2g;
B9)
Граничные условия:
при жестком креплении 5=1; 1 = 0; и^ = 0; 6г = 0;
г —I- Г — ^х —С Г A"i sh gx-f K2 sin a2
i — з — . 4 — ^2 — 2. 2 — A"i (ch ai — cos a2)
1 — ch ax cos a2 A, ' sh с
C0)
при шарнирном креплении 1 = 0; 1=1; ug = 0; д6г/д1 = 0;
d = C2=C3 = 0; C4=l; sina3 = 0. C1)
при консольном креплении 1 = 0; и^ =6^ = 0; 1 = 1; дЬг1д\ = 526г/312= 0;
С1= — С3=1; С4= — Ki/K2 = C2;
„ (Kiai ch ai 4- K2a2 cos a2),
2 K\ (ai sh aj + a2 sin a2) ' C2)
1 +~oV V ^ l"' sh aicos a2~ "L Г1 sha1sina2 = F2(ai, a2) = 0.
Все характеристические уравнения решаются совместно с соотношением
q2 = (о| — 2р) a| = Fi (pi, p2), C3)
где
Pi=-
2A + ц)
0 ш| —
C4)
Знак минус соответствует сжатой пружине, плюс — растянутой. Решению ха-
характеристических уравнений можно придать единую форму, для чего удобно восполь-
воспользоваться методом линеаризации этих уравнений по параметрам рх и р2. Идея метода
заключается в разложении функции ф = f, (ръ р2) в ряд Маклорена по степеням
Pi. P2 и нахождении всех вспомогательных производных из характеристических урав-
«ений F(alt a2) = 0 [25].
Основное частотное уравнение имеет вид
C5)
46 КОЛЕБАНИЯ AРУЖИН
Значения а для различных вариантов креплений приведены в табл. 4.
4. Значения сс2о, ССл и агг
Крепление концевых
витков
Жесткое
Шарнирное
Консольное
1
2
3
1
3
1
2
3
20
4,730
7,853
10,996
1,875
4,694
7,855
4,156
6,283
9,882
я
ЗЯ
1,726
3,142
6,852
6,283
8,987
12,566
1,571
4,712
7,854
Из уравнения C5) определяется угловая частота (в 1/с)
„, Ho/D) y~~,
/(те.
4Я
0,541 ¦ 1Q5
cKD
2ncKD
C6)
Первая форма в выражении C6) справедлива для проволоки произвольного се-
сечения, вторая—для круглого, третья — для стальной проволоки круглого сечения
с \i = 0,3; Е = 2,15-10" кгс/см2.
5. Значения f для основной серии
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Значения / при Н0/О
1
6,078
6,131
6,184
6,237
6,289
6,340
6,078
6,025
5,973
5,922
5,871
5,821
2
4,976
5,055
5,143
5,240
5,345
5,460
4,976"
4,906
4,858
4,789
4,740
4,698
3
4
Сжатая пружина
4,040
4,075
4,124
4,191
4,277
4,387
3,337
3,291
3,252
3,224
3,216
3,236
Растянутая пружина
4,040
4,015
4,003
3,996
3,995
3,997
3,337
3,388
3,440
3,492
3,544
3,589
5
2,816
2,671
2,508
2,326
2,125
1,913
2,816
2,947
3,072
3.175
3,261
3,333
6
2,423
2,170
1,844
1,390
0,541
—
2,423
2,633
2,805
2,952
3,086
3,188
Частотная функция
где
1= 18,4
i= 18,4а|0
(m0. Ho/D) =
3,
C7)
т0 A + О,615то)]/а12
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
47
Знак минус перед корнем соответствует основной (низкой) coj, знак плюс — высокой
Сдвиговой) cojj сериям частот. Результаты, полученные по формуле C6), и опытные
данные хорошо совпадают [2, 25, 27]. В табл. 5 приведены значения f для основной
серии при != 1 и жестком креплении торцов.
Когда со^ = О, Ъ\ = 0, получаем условие потери статической устойчивости сжа-
сжатой пружины:
C8)
В табл. 6 даны значения критических параметров для стальных пружин при различ-
различных граничных условиях.
Анализ функции р показывает, что o)g принимает экстремальные значения в за-
зависимости от поджатия т.
Исследуя уравнения д ([2)/дт = 0, получаем значения критических параметров,
которые соответствуют минимуму а>г-
Ниже приведены значения (//0/ZJ)Kp2, mKpt> при жестком креплении концов для
стальной проволоки круглого сечения (в растянутых пружинах имеет место анало-
аналогичная картина [25]):
КР2
к • • • • 5'24
. . .... 0,813
5,0
0,755
4,8
0,700
46
0 6'6
4,4
0,564
4,2
0,482
4,0
0,386
3,8
0,276
3,6
0,147
3,5
0,073
Следовательно, пружина сжатия имеет следующие особенности. Когда Ho/D 2;
Э= {HJD)kvi c Увеличением Щ* частота а>? систематически уменьшается вплоть до
cog = 0; если HolD <(H0/D)Kpv то со?
возрастает; при (H0/D)Kpi < HjD < 6- Значения (Я„/?>)кр1 и mRpi
< (H0/D)Kpr m = mKP2 имеем ш. = ш?тш.
Таким образом, пружина, как брус ма-
малой продольной жесткости существенно от-
отличается от обычного сплошного стержня.
Частоту а>? для пружины растяжения
необходимо вычислять с учетом силы пред-
предварительного межвиткового давления Nm
которая уменьшает растягивающую силу N
До величины N — <VM; обозначая /VM//V =
= Рдг, в формуле C7) вместо коэффициента
0,615 следует подставить A—0,385 f>N). Обычно $N = V3 -4- 1/2, и поправка состав-
составляет 3—5%. В пружине возможно возникновение колебаний с высокой серией частот
Ю[[, при которой ди^/дх и 6г имеют разные знаки. Уравнение, связывающее (Oj и Иц,
имеет вид (ka = cuj/шц):
Для
Крепление
концов
Жесткое
Шарнирное
Консольное
стальных пружин
<™>.р,
6,24
2,62
1,31
-кР1
0,813
¦=6?.
C9)
Для коротких и мягких пружин (Вп лежит в диапазоне реальных чисел оборо-
оборотов машин E—10I03 об/мин или юв ~ (8 -г- 16I0 Гц; для пружин с жестким креп-
лением торцов *ютах - 0,5.
48 КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
Перемещение и угол поворота при свободных колебаниях без учета демпфиро-
демпфирования для основной серии частот СО[ определяются соотношениями
оо оо
йр^С/, cos to„/; 0 = 2 Сивс cos tout; D0)
1 = 1 »=1
Н Н
Си = J [<&6Л (*) + <72П7,-/2 (х)] ЛсЯ Gle? + ftWf) dx, D1)
где /^ (л:), /2 (*) — функции, описывающие деформированную ось пружины; пружина
выводится из состояния статического равновесия силой Qo, приложенной в точке Я/2.
Для пружины с жестко закрепленными торцами
Функция Wj находится по формуле B9) и аналогичным ей, затем определяется
интегрированием первого уравнения системы E).
Вынужденные колебания пружин. При вынужденных колебаниях
Ч = 2 C'r<"cos а**> в* = 2j ^©< cos a>Bt. D2)
Амплитуда при инерционном возбуждении основания по закону гв = дв cos <оа(
Н
При cojj- = <лв Cl = со, т. е. наступает резонанс; в реальных пружинах под влия-
влиянием демпфирования С; имеет ограниченное значение, однако при малом демпфиро-
демпфировании колебаний результаты, полученные по формуле D3), удовлетворительно сов-
совпадают с опытными данными в диапазоне 0,97 3= со1/сов 5г 1,03.
Наличие интеграла в числителе выражения D3) говорит о том, что при одина-
одинаковых условиях крепления концевых витков колебания с четными номерами гармо-
гармоник (i = 2, 4, ...), т. е. четным числом полуволн, при поперечном инерционном воз-
возбуждении не возникают. Однако практически из-за погрешностей навивки (неравно-
мерностей шага, диаметра витка и др.), наличия угла подъема г|> =? 0 и т. д. эти ко-
колебания возникают, но с амплитудой, на один-два порядка меньше, чем при коле-
колебаниях с симметричной формой оси.
Из-за асимметрии жесткостей В3, В4 свободные и вынужденные колебания про-
происходят с биениями, причем любая фиксированная точка витка описывает фигуру
Лиссажу (эллипс) с переменными осями. Частоту биений амплитуды приближенно
можно определить по формуле
'A3*
D4)
где В — номинальные значения жесткостей; ДВ — отклонения, подсчитываемые
по формулам A1), A2). Обычно Л <0,5 ¦*- 1 Гц для пружин с' Шц <30 Гц.
Динамические колебательные) составляющие поперечной силы и изгибающего
момента, действующие на пружину, определяют по формулам
Q=-B1(i + ^/s4)(a«?/ax-ez); \ D5)
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
49
В местах заделки пружины, например, в точке х = 0, не лежащей в плоскости
колебаний,
дх)х==0
После определения Q, Л1И находят средние напряжения
которые для круглого и прямоугольного сечений проволоки могут быть уточнены с по-
помощью коэффициента кривизны вит-
витка [19]. Здесь Wo, Wp — моменты
сопротивлений сечения проволоки.
Поперечные колебания пружины
с массой. Для определения основных
параметров колебаний пружины с
массой можно воспользоваться урав-
уравнением B8) и решением B9), а также
стандартными граничными условиями
и условиями сопряжения. Для пру-
пружин с двумя зажатыми концами
(рис. 5) в точке ? = 1/2 справедливы
соотношения C0), равенства переме-
перемещения, углов поворота и изгибающих моментов и соотношение между попереч-
поперечными силами
Восемь условий дают уравнение частот, корни которого зависят от отношения
'\. В табл. 7 приведены значения функции р (т, HolD) для разных отношений
масс.
Собственная частота определяется по формуле C6). Экстремум частоты (мини-
(минимум) для пружин сжатия с (Я0/О1кр2 Зг 3,72
ткрг = — 22,5 (О/Я0J + • .625> D8)
Для пружин растяжения с (Я0/О)кр2 <3,72
ткра = 22,5 {D/Hof-\,625. D9)
Продольные и крутильные колебания при поперечном возмущении. При попе-
поперечных свободных или вынужденных колебаниях с частотой со>- или ша продольное
Распорное усилие при малых амплитудах поперечных колебаний (<0Д Я)
Np = -t
н
l [2 ^Р' ° {Х) ~ 63 {Х)\ dX=Nl COS2 Wb<,
E0)
которое по отношению к продольным колебаниям является распределенным внешним
возмущением. На основании уравнения D) чисто вынужденные колебания описы-
описываются формулой
E1)
50
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
7. Значения /2 в зависимости от т, Яо/D и M/Mt
т
0,3
0,2
0,1
0
—0,1
—02
-0.3
0,3
0,2
0,1
0
—0,1
-0,2
-0,3
0,3
02
0,1
0
-0,1
—0,2
-0,3
Значения f2 при Ho/D
1,5
11 411
10,581
9,893
9 249
8,787
8,337
7,943
2,565
2,342
2,266
2,018
1,894
1,784
1,689
1,581
1,445
1,333
1,225
1,163
1,093
1,036
2
9,462
8,679
8,033
7,499
7,049
6,664
6,024
2,137
1,933
1,768
1,603
1,522
1,430
1,351
1,320
1,189
1,086
1,004
0,935
1,00!
0,829
2,5
7,630
6,969
6,436
6012
5,674
5 390
5,153
1,731
1,557
1,420
1 313
1,227
1,157
1,100
1,069
0,460
O,,S73
0 807
0,753
0,710
0,674
3
6 032
5,490
5,142
4,851
4,621
4,440
4,173
3,5
4,669
4,348
4,118
3,953
3,832
3,742
3,676
М /М ! = 6
1,369
1,236
1,134
1,058
0,999
0,953
0,915
0,846
0,763
0.699
0 650
0,614
O.5S5
0,562
1,060
0,971
0,909
0,861
0,827
0,802
0,782
q
0,659
0,601
0,560
0,530
0,508
0,492
0,479
4
3,538
3,394
3,306
3,256
3,231
3.219
3,216
О.8Р8
0,758
0,728
О.709
0 697
0,688
0,684
0,498
0,469
0,449
0 437
0,429
0,423
0,420
4,5
2,601
2.627
2,665
2,716
2,769
2,821
2,880
0,587
0,588
0,588
0,590
0,596
0,603
0,610
0,367
0,363
0,362
0,364
0.367
0,371
0,375
5
1,831
2,001
2,156
2,293
2.412
2,517
2,609
0,417
0,446
0,476
0,499
0,519
0,538
0,553
0,257
0,277
0,292
0,308
0,318
0,330
0,340
Условие продольного резонанса получим при иц = со, шкр = й»1Т1/2, т. е. воз-
возможны как целые (ш1Г1), так и дробные Bt — 1) со1т)/2 резонансы. Когда со,-^ лежит
вблизи 2(ов, возможны продольные'колебания с биениями. Оценка показывает, что
Nx (т0) > Ыг (—т0) (при щ = +0,5 примерно в 1,5—2 раза), и создаются благопри-
благоприятные условия для возникновения продольных колебаний в растянутой пружине.
При испытаниях целые и дробные резонансные продольные колебания наблюдаются
вплоть до i < 12.
При крутильных колебаниях, аналогично предыдущему, распределенный крутя-
крутящий момент
Mp = D\iN1 sin 2tJj cos2 шв//4 A +ц sin2tjj). E2)
Однако экспериментально обнаружить крутильный резонанс можно, если ампли-
амплитуда поперечного возмущения на порядок больше, чем при продольных колебаниях,
так как ц sin 2i|) <; 1; этим объясняется пассивность пружины к крутильным резо-
нансам.
6. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРУЖИН
Продольное возмущение является причиной возникновения параметрических
колебаний и потери динамической устойчивости пружин. При расчете необходимо
заранее знать области неустойчивости и избегать их. Теоретические и эксперимен-
экспериментальные исследования параметрических колебаний пружин описаны в работах
[5, 6, 25, 26, 28].
Исходная система дифференциальных уравнений имеет вид
dN
дх*
В4
~дх~
дх
dt*
N
= 0;
: = 0,
F3)
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРУЖИН
51
где pj — переменная осевая сила, определяемая с учетом продольных колебаний
(см. табл. 3); N, В3, ?4, A, Jo — периодические функции времени.
Исследование критических частот продольных вынужденных колебаний мето-
методом характеристик, вблизи которых могут появиться неустойчивые поперечные коле-
колебания пружин (параметрический резонанс) показывает, что могут возникнуть:
а) простые параметрические резонансы, когда
2оI, II ,с,ч
или -щ^; E4)
E5)
и
б) комбинационные параметрические резонансы, когда
± СО,
где i = 0, ±1, ±2, _t3...; tOj и а>ц — частоты, определяемые поформуле C6). Прак-
Практически наиболее опасны первые основные резонансы <о = 2ш1 и <вв = а1. Однако
в мягких пружинах (с ^ 10, HjD >: 2) возможно возникновение и комбинацион-
комбинационных резонансов.
Решить уравнения E3) можно, задаваясь формой изогнутой оси пружины W (х)
и применяя процедуру Бубнова—Галеркина.
Для упрощенного анализа система E3) приводится к одному уравнению Хилла
или Матье
<РТ
-^Г+оДОЮГ^О. E6)
где
0,5
0,5
— 0,5
I
— 0,5
0,5
j
?3=
0,5
— 0,5
0,5
J
—0,5
J
—0,5
E7)
Продольные колебания оказывают существенное влияние на развитие параметри-
параметрического резонанса. Возможны три случая.
1. v = —— =?М @,8 >= v 3= 1,2), продольная сила инерции незначительна.
Удерживая в уравнениях E3) или E6) только слагаемые с основной гармоникой и
принимая, что силовое и кинематическое возмущение подвижного конца осуществля-
осуществляется по закону гщ + Щ cos <aat, получаем уравнение E6), в котором Q (t) =
= 1 — 2s cos a>Bt. Для пружин с (Н0Ш) > (Я0/?>)кр1 параметр, характеризующий
глубину модуляции возмущения
2е=
E8)
где mKpi определяется по формуле C8). Обычно щ >> тъ например щ = 0,2 -f- 0,4;
mi = 0,01 -f- 0,02. Границы главной области неустойчивости находят из выражения
в котором е <0,5.
со
кр
52 КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
Определяемые границы и их конфигурация сложным образом зависят от щ,
так как Wj = ojj (m0).
В пружинах с (HjD) < (H0/D)Kpi практически e^l, и соответственно ширина
зоны равна нулю.
2. v = 1, т. е. пружина находится в продольном резонансе. При силовом воз-
возмущении пружина теряет динамическую устойчивость при любом Л/а; для кинема-
кинематического возмущения справедливы формулы E9), однако при (HjD) < (HjD)Kpi
е < 1. Когда (HJD) =э (HjD)Kpi
„ яA— то)/C — /я0) 2A—Wo) ,ш
m(l) ^Aт кч
3. Продольная возмущающая сила практически всегда приложена к пружине
эксцентрично или наклонно; поэтому вынужденные продольные колебания сопровож-
сопровождаются поперечными, а последние могут вступить во взаимодействие с параметри-
параметрическими. Следовательно, источником возникновения опасных параметрических коле-
колебаний и потери динамической устойчивости могут стать погрешности изготовления
и монтажа механизма или машины.
В частности, когда сов = а>^ (i = 1, 2) или юв = ы2П, параметрические колеба-
колебания усиливаются, и ширина зоны динамической неустойчивости заметно увеличи-
увеличивается .
При больших колебаниях ограничивающее влияние на развитие параметриче-
параметрического резонанса оказывают нелинейные факторы, в частности, продольное цепное
(распорное) усилие. Роль демпфирования при этом незначительна [16, 27J.
7. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ПРУЖИН
Если пружина вращается в плоскости, перпендикулярной ее оси (пружины,
муфт, регуляторов и др.) с частотой вращения мв,то из-за неточностей установки она
будет нагружена периодическими силами инерции. В таких условиях, помимо обыч-
обычных вынужденных поперечных колебаний, могут возникнуть параметрические коле-
колебания, обусловленные изменением жесткости от Bmin до Втах. Считая Я = const,
жесткости можно определять по формулам
on О D
3~l+k3 + (k3-l)cosb)t ; 4~1+?4 + (&4-1)cos2(o^ ' ( '
, зтах , D4max
3 = ~R '• 4 = "й
Rй> '
3min 4min
где Втах, Bmin находят согласно A0).
В неподвижной системе координат колебания описываются системой уравне-
уравнений, подобной E3), а зоны динамической неустойчивости лежат вблизи частот, опре-
определяемых по формулам E4), E5).
Во вращающейся системе координат, оси которой совпадают с главными осями
инерции, с учетом гироскопического момента запишем
где знаку плюс в правой части первого уравнения соответствуют минимальные (ин-
(индекс s) и максимальные (индекс г) жесткости и перемещения; знак минус — обрат-
нелинейные колебания 53
ные величины. Критическая угловая скорость
F5)
где »s> иг зависят от N и соответствуют собственным частотам при со„ = 0. Прак-
Практически ws я* шг и (окр = (os/2.
8. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
При расчете пружинных механизмов необходимо учитывать нелинейную зави-
зависимость между поперечными и продольными колебаниями, которая оказывает су-
существенное влияние на (о.
Среднее суммарное осевое усилие N = ±N0 + Np (Np определяется по формуле
E0); знак плюс соответствует растяжению, минус — сжатию). Местное переменное
осевое усилие
/ dun dut 6| \
в] F6>
Угол подъема деформированного витка \|з (в пределах 10—12°) определяется из соот-
соотношения
(^) F7)
Характеристики A, Jo, Blt В2, В3, В,, зависящие от я|), становятся нелинейными
(см. табл. 1).
Система уравнений, описывающая продольно-поперечные колебания при ампли-
амплитудах колебаний ^0,1 Н, имеет вид
d(Nbz) dQ у А дЧг- дМи
~дх дх
~дх~ + ~~~дх~ ~~T~df*-== ^'
F8)
где Flt F2, F3 — распределенные возмущающие силы (моменты).
Анализ уравнений и эксперименты показывают [25], что сила N увеличивает
или уменьшает частоту свободных колебаний в зависимости от значений Ho/D и т.
Следовательно, одна и та же пружина может иметь амплитудно-частотные харак-
характеристики, соответствующие жесткой и мягкой нелинейным системам; соударение
витков в процессе продольных колебаний предшествует развитию больших пере-
перемещений C= 0,2 Н), поэтому нелинейные срывы амплитуд не успевают развиться
при достаточном отдалении о>? от ш^. Одно из колебаний под действием другого де-
делается параметрическим и описывается уравнением Хилла.
Если w^ или <В? лежат вблизи частоты возмущающей силы, возможны биения
продольных или поперечных колебаний с переменной амплитудой или фазой.
9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЕМПФИРОВАНИЯ КОЛЕБАНИИ ПРУЖИН
Потери при колебаниях в материале пружины (внутреннее трение) и в опорных
витках (конструкционное трение) отличаются по характеру и величине; обычно по-
^еРи, обусловленные действием сил сухого трения между элементами конструкции,
больше, чем внутренние потери, примерно на один порядок. Количественные харак-
характеристики получены известными методами записи свободных затухающих колебаний
или оценкой ширины резонансной кривой [7, 15, 28, 30] и приведением к логарифми-
логарифмическому декременту колебаний на основе модели Фойхта.
54
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
В табл. 8 приведены некоторые средне-ориентировочные экспериментальные дан-
данные для стальных пружин.
8. Значения логарифмического декремента колебания
в зависимости от типа пр>жин и характера колебаний
Тип пружшгы; характер колебаний
Мелкие пружины виброизмерительной аппара-
аппаратуры, продольные колебания
Крупные пружины (D = 100 -f- 130 мм; d = 15 -|-
— 25 мм), продольные, крутильные и поперечные
колебания
Логарифмический декремент
суммарный (в мате-
материале и в двух
опорных витках)
0,1—0,01
0,01-0,025
в материале
0,01-0,001
0,002—0,003
При увеличении поджатия (до пц ~ 0,01) декременты уменьшаются, достигают
минимума, а затем повышаются (влияние соприкосновения витков). Расчет декре-
декрементов в опорном витке пружины сжатия и в пробочном креплении пружины растя-
растяжения см. в работах [29, 30J.
10. КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ И ФАСОННЫХ ПРУЖИН
Исходные соотношения пружины характеризуются уравнениями спирали, обра-
образующей и радиуса витка (рис. 6)
шг
F9)
где а = R2/Rt Э= 1.
В табл. 9 приведены значения констант пружии для разных видов образующей
и спирали в плане.
9. Значения констант пружин
Вид спирали в плане
Архимедова
Логарифмическая
Архимедова
Параболическая
Обратно-параболическая
Параболическая
Обратно-параболическая
Вид образующей
Конус
Выпуклый параболо-
параболоид
Вогнутый параболоид
г
1
0
1
2
1/2
2
1/2
Ь
2
3
3/2
2
1/2
R2-«i
In (R2/Ri)
R2-R1
0,5(«|-Rf)
2(R?.5 —Ro.3)
0,5(R|-Rf)
2(R0,5—R0.5)
Продольная жесткость
JpwGbH
г + з 1 ~ 2n.(a»
G0)
КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ И ФАСОННЫХ ПРУЖИН
55
Линейная масса
- —1
wbti
g
Продольные и крутильные колебания. Уравнение продольных колебаний [35]
д [В1 (х) ди„/дх]
д —- = q (x) дЫ-п/дР G1)
ох
интегрируется в функциях Бесселя; круговая частота продольных свободных коле-
колебаний
G2)
для стальной проволоки круглого се-
сечения
105- 0,180 (г-\-2) ar+*w йщ
@; = 0
G3)
Для пружин с одним свободным концом, на котором прикреплена масса М, корень а;
определяется из уравнения (J — функция Бесселя)
/
\\\\\\\\ч
л
R
ч\\\\\\^
Ч
\Ч
Рис. 6
a^ — \)Мщ
где
t = Jv
Для пружин с зажатыми концами
Для консольной пружины
G4)
G5)
G6)
G7)
G8)
В табл. 10—11 приведены корни уравнений G7), G8) при М = 0, а в табл. 12 —
корни уравнения G4) при а= оо.
10. Корни уравнения G7) 11. Корни уравнения G8)
a
1
1,5
2
2.5
3
5
00
a,
3,142
3,172
3.220
3,257
3,305
3.360
3,376
6,283
6,319
6.355
6,386
6,435
6.505
6,531
а
1
1,5
2
2,5
3
5
со
а,
1,571
1,456
1,386
1,344
1,316
1,273
1,251
4,712
4,652
4,615
4,581
4,548
4,481
4,429
a. = in (? = 3, 4,
= 3, 4, . . .)
56
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
12. Корни уравнения G4)
M/Mt
0
0,1
0,5
0,8
1,0
а,
1,251
1.154
0,°17
0.80E
0,756
4,429
4,352
4,144
4,051
4,003
М/М,
2
4
8
10
15
100
со
at
0,590
0,435
0,324
0,291
0,254
0,092
0
3,858
3,727
3.623
3,594
3.565
3,461
3,376
Формулы G2), G3) после замены в них В^к на 5„ можно использовать для опре-
определения частоты свободных крутильных колебаний: в характеристических уравне-
2
ниях v= . , и для конической пружины с постоянным шагом при 1 <
< а < оо имеем л >= а3 >= 2,903; 2л >=а2 2з 6,033.
При (RjRi) < I в формулы G2), G3) следует подставить а = (i?i//?2) > 1 и
#х (вместо R2); корни а,- определяются по а > 1.
Продольно-крутильные колебания массы, закрепленной на конической пружине,
с учетом приведенной массы пружины см. в работе [29]. Для других типов пружин
корни можно найти в работе [25].
Поперечные колебания описываются системой уравнений
d(B4dus/dx) Ay
д [(В4 -f N) 6J
дх
д(В3двг!дх)
Тх
dt
= 0;
Joy
•-82 =0,
G9)
где для конической пружины с постоянным шагом
" аН ¦
Индексом ц обозначены характеристики цилиндрической пружины с D = Ог; Н,
К, d те. же. Имеются приближенные решения системы G9), основанные на исполь-
использовании метода Бубнова—Галеркина [24, 25], для чего Ug и 6г аппроксимируются
функциями
и? = aff (\—Q2 cos cot; 6г = 2Ь^A — \) A —2|) cosco/, (80)
где ш определяется по формуле C6), которая в данном случае имеет вид
ш = 0,541 • 105f (mo, Ho/D, a)/c2KD2. (81)
Функцию f для низкой серии частот находят из соотношения
P = a1 — Vaf — bi, (82)
где
<Ji= — 2,3K7 — 2^4+18,4 (#„//
h = [I +ф (а) ¦ 3,538Л'2 (Ho/D)- (I —mo)X
X m0 A -f 0,385m0 ф (a) -j—-
1 HIq
1+0,385т0ф(а) {2m
(p(a) = -
КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКИХ СПИРАЛЬНЫХ ПРУЖИН
57
Значения постоянных Klt ... /G приведены в табл. 13.
13. Значения постоянных Я,, Kz, Kz, Kt, Кь, К», К?
а
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
9,296
14,377
19,512
24,397
31,008
—К2-Ю!
2,213
2,096
1,971
1,866
1,780
К,
0 807
0,673
0,587
0,529
0,487
-««¦ю-2
0,551
0,663
0,743
0,800
0,840
К,
1,556
2,126
2,626
3,052
3,412
к.
1,257
1,431
1,543
1,615
1,663
К,
12,475
16,868
21,682
26,257
30,508
Формула (81) проверялась экспериментально. Для пружин с а <2, (Ho/D) 3=
^ 1,5, т =ё 0,4 результаты, полученные по этой формуле и экспериментально, удо-
удовлетворительно совпадают. Параметры пружины, соответствующие потере устой-
устойчивости при сжатии,
= 0,813 1 —
(83)
(84)
При 1 ^а i<2 критическая высота находится в пределах 5,24 =g (Ho/D) ^4,3.
После начала посадки (витка на виток или на опорную плоскость) продольный изгиб
не имеет места.
-. Г'-
)кр, = Ь07у -
11. КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКИХ СПИРАЛЬНЫХ ПРУЖИН
Схематически плоская спиральная пружина (волосок) является частным видом
конической пружины с нулевым углом подъема, имеющей в плане архимедову спи-
спираль (рис. 7). Оба конца спирали жестко закреплены. Колебания в плоскости, пер-
перй ( /1) б в
пендикулярной плоскости спирали (стрелки /—1),
имеют место при N = 0, и^ = 0, fi4 = 0. Из
системы уравнений G9) получаем
г/дх) = yJ0 дЧг ш
дх е dt'h '
р
т. е. поворотные колебания вг
2-1 2лК '
Уравнение (85) интегрируется в квадратурах:
№; =
3 (а -1) ф а {VEJg/Fy B+и)
(86)
где для а = 1 -т- оо корень при i = 1 at =
= 51-т- 2,903; при i = 2 a2 = 2я -н 6,033.
Колебания в плоскости спирали (стрелки
2—2, 3—3) получаем, положив Ьг = 0, Ми = 0,
Л' = 0. Аналогично предыдущему
уА
(87)
(88)
Рис. 7
58
КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
Для а = 1 ч- оо при i = 1 Й! = я -г 3,376; при t = 2 а2 = 2л -*¦ 6,531. В плоской
спиральной пружине возникают продольные и крутильные колебания, так же как
в конической пружине, частота которых определяется по формуле G3) 113, 22, 25].
12. КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ВИНТОВОГО СТЕРЖНЯ
Теория тонких стержней находит практическое применение в различных при-
прикладных задачах о колебаниях пружин. Однако получение решения в конечном
виде затруднительно из-за математической сложности, особенно при формулировке
граничных условий между опорным и рабочим витками [34, 37—39].
В простейшем случае свободного (шарнирного) опирания, когда ij) = 0 (плоское
кольцо), решение систем A), B) без каких-либо упрощений дает следующую фор-
формулу для определения частот свободных колебаний [17]:
1+-
т. <89)
которая при с > 1 совпадает с формулой (91); е — коэффициент неравномерности
распределения деформаций при сдвиге и для малых'индексов (с <^ 3) равен 0,8—0,9
[20]; k = U2K-
Если принять i|) Ф0 (<10°), решение опишет взаимосвязанные колебания,-кото-
колебания,-которые только в области низких частот можно условно, но достаточно точно для прак-
практических целей рассматривать как
и/аы„ продольные, крутильные и попереч-
поперечные [3, 9].
В каждом конкретном случае для
заданных параметров пружины (if, с,
К, [л. и др.) решение можно реализо-
0.2 I ^Я^ F Ц JRt\}^±?s /ffk вать с помощью ЦВМ. Наиболее просто
такое решение получается для услов-
условного шарнирного опирания концов,
08 /д д когда поворот концов разрешен только
относительно нормали. На рис. 8
/
/
/
6
\ \
ч
к.
/
Л
V/
0,2
0,6
Ряс. 8
показаны графики частотного уравне-
уравнения для этого случая [9]. При реше-.
нии уравнения не учтены инерция поворота сечений проволоки, сжатие и срез про-
проволоки, т. е. параметры, практически не оказывающие заметного влияния на ча-
частоту. Две сплошные кривые / на рисунке соответствуют двум сериям частот
винтового пространственного стержня при i|> = 5°; две прямые линии 2 и 3 в левой
части рисунка соответствуют частотам продольных и крутильных колебаний эквива-
эквивалентного бруса; в правой части штриховыми линиями 4 и 5 показаны две серии
поперечных частот эквивалентного бруса; две кривые 6(i|; = 0) соответствуют часто-
частотам кольца в продольном направлении и в собственной плоскости.
Из анализа рис. 8 следует, что в области k = 0 и k = 1 пружина имеет мини-
минимальные частоты, вблизи которых тонкий стержень и эквивалентный брус дают
практически совпадающие результаты.
Более точные исследования [23] показывают, что рассмотрение эквивалентного
бруса вместо винтового стержня для продольных, крутильных и поперечных колеба-
колебаний при целом числе полувитков дает погрешность порядка tg i|) при определении
собственных функций и порядка tg2 -ф при определении собственных частот; для дроб-
дробного числа полувитков погрешность частоты имеет порядок tg ty. Вынужденные
колебания под действием продольной или поперечной периодических сил, а также
крутящего момента, взаимосвязаны и обнаруживают резонансные свойства в любом
направлении, независимо от вида возмущения. При несовпадении направлений воз-
возмущения и движения порядок амплитуды колебаний равен tgi|>.
Все оценки законов движений имеют ориентировочный характер, так как полу-
получены при отсутствии демпфирования.
КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО СТЕРЖНЯ 59
Колебания плоского витка в собственной плоскости описываются системой
¦уравнений (8), которая для пружины имеет следующий вид [3, 9]:
где I = &№'< е = *ё Ф-
решение ищем в форме z/t) = sin ш? cos со/. Собственная частота
' ( '
(91)
где Mori — наименьшая частота продольных колебаний эквивалентного бруса [фор-
[формула A8) при i = 1].
Из анализа формулы следует, что a<icoOT1, при К S= 8; о> ~ п(о0т1 ПРИ *О
(погрешность < 5%); для /г = 1 такая погрешность получается при КО.
Колебания плоского витка в собственной плоскости. Аналогично предыдущему
из уравнений (8) получается
щ = (йо6; A - P/4K2)//l + i2/4K2. (,92)
где шое — наименьшая частота крутильных колебаний эквивалентного бруса [фор-
[формула B7) при i= 1]. Точность оценивается по формуле (91).
Продольно-крутильные параметрические колебания. Уравнения колебаний для
и^ и uj получают из системы A), принимая возмущенное состояние за начальное,
а параметры тонкого стержня — периодически изменяющимися. Вынужденные пере-
перемещения подвижного конца и н = ицй[ (t); параметры до и после деформации свя-
связаны соотношениями
=а A —m) sinx|H
siri" ibni/cos 'фо*
Частота свободных продольно-крутильных колебаний [8]
1 + sin2 to
(93)
1+а it /(I— af — b
Частоту свободных продольных колебаний со,, определяют по формуле A8).
Когда я|зо = О, по формуле (93) получают независимые частоты ац и сод. Для \!р < 5°,
Ь <С 1 связь между колебаниями выражена слабо; если г|з0 = 10-н 12°, совместные
колебания можно наблюдать практически.
Оставляя в системе A) члены с минимальным порядком малости относительно т
и е, без учета высших эффектов упругих и инерционных сил (моментов) кольца,
полагая далее
Sin VE
(94)
u
smv
получим два уравнения типа E6) для Тг и Т2, в которых соответственно
60 КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИН
Далее по диаграмме Айнса — Стрегта или приближенным способом по формуле
E9) определяем ширину зоны неустойчивости. В общем случае неустойчивость воз-
возникает вблизи частот
E) рд р
никает вблизи частот
Т&Г-
'-0,±1,,2.... (95)
В основной зоне шкр = 2@,; однако эта частота практически совпадает с частотой
второй формы продольных колебаний с одной узловой точкой. Поэтому при малых mt
точка | = 1/2 неподвижна, но с увеличением пг1 пружина начинает колебаться с ча-
частотой й>1 по форме sin л|. Одновременно наблюдаются колебания с частотой 2ь\.
Это явление для продольных и крутильных колебаний имеет место при тх = 0,01 -s-
-г 0,02; % = 5 + 10° [27J.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М., Машгиз, 1962, 455 с.
2. Бидерман В. Л. Поперечные колебания пружин. — В кн.: Расчеты на прочность.
Вып. VIII. М., Машиностроение, 1962. 339 с.
3. Грудев И. Д. Расчет собственных частот и форм колебаний цилиндрических пружин. —
Известия вузов. Машиностроение, 1970, № 8, с. 24 — 29.
4. Джонсон, Стюарт. Передаточные функции винтовых пружин. — Труды Американского
общества инженеров-механиков. Серия В, № 4. М., Мир, 1969, с. 94 — 100.
5. Иноуэ, Иосинага. О статике и динамике винтовых пружин (свободные колебания).
[Trans. JSME, N 197, 27. 1961, р. 1130 — 1137].
6. Иноуэ Дзюнкиги, Араки Иосиаки, Урусидзаки Ясумаса. О динамической устойчивости
винтовых пружин. [Trans. Japan Soc. Mech. Engn., 32, N 242, 1966, p. 1487—1492].
7. Иориш Ю. И. Виброметрия. М., Машгиз, 1963. 771 с.
8. Кожешник Я. Динамика машин. М., Машгиз, 1961. 424 с.
9. Коновалов А. А. Пространственные колебания винтовых цилиндрических пружин. —
В кн.: Динамика, прочность и долговечность деталей машин. Ижевск, 1971, с. 176 — ISO.
10. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики.
М., ГОНТИ, 1960. 368 с.
11. Ляв А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935. 674 с.
12. Макушин В. М. Поперечные колебания и устойчивость пружин. — В кн.: Динамика и
прочность пружин. М., изд-во АН СССР, 1950. 354 с.
13. Нарайкин О. С. Свободные колебания спиральных пружин. — Известия вузов, Машино-
Машиностроение, 1976, № 8, с. 21—25.
14. Остроумов В. П., Карпунин В. А. Повышение динамической прочности пружин. М.«
Машгиз, 1961. 111 с.
15. Пановко Я- Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М., Физматгиз,
1960. 193 с.
16. Парцхаладзе Р. И., Копалиани Н. Д. Экспериментальное исследование динамической
устойчивости винтового стержня на модели малой жесткости. Механика машин. Тбилиси,
Мецниереба, 1973, с. 26—31.
17. Пол»щук Д. Ф. Влияние граничных условий на спектр частот собственных продольных
колебаний цилиндрических пружин. — Машиноведение, 1969, № 3, с. 31 — 35.
18. Пономарев С. Д. Расчет и конструкция витых пружин. М., ОНТИ, 1938. 352 с.
19. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К- К- Ли-
Лихарев и др. Т. 1. М., Машгиз, 1956. 884 с.
20. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К- К- Ли-
Лихарев и др. Т. 3. М., Машгиз, 1959. 1118 с.
21. Товстик П. Е, Асимтотический метод интегрирования уравнений колебаний пружин. —
Вестник ЛГУ. Математика, механика, астрономия, выя. 27, 1962, с. 119 —134.
22. Товстик П. Е. Вынужденные колебания плоских пружин. — В кн.: Исследование по
упругости и пластичности, вып. 3, изд. ЛГУ, 1963.
23. Товстик П. Е. Колебания плоской спиральной пружины. — В кн.: Исследования по
упругости и пластичности, вып. 2. — изд. ЛГУ, 1963.
24. Товстик П. Е. Поперечные колебания нецилиндрических пружин, сжатых осевыми си-
силами. — В кн.: Исследования по упругости и пластичности, вып. 1, изд. ЛГУ, 1961,
с. 229 — 235.
25. Хвингия М. В. Вибрации пружин. М., Машиностроение, 1969. 286 с.
26. Хвингия М. В. Динамическая устойчивость пружин. — Известия вузов. Машинострое-
Машиностроение, 1963, № 4, с. 161 — 176.
27. Хвингия М. В., Багдоева А. М., Габададзе Д. Т. и др. Колебания и устойчивость упру-
упругих систем машин и приборов. Тбилиси, Мецниереба, 1973. 284 с.
28. Хвингия М. В., Мгалоолишвили Д. Б. Динамическая устойчивость цилиндрических пру-
пружин. Тбилиси. Изд- Грузинского политехнического ин-та, 1966. 218 с.
29. Хвингия М. В., Ниношвили Б. И. Электромагнитные вибраторы с регулируемой собст-
собственной частотой. Тбилиси, Мецниереба, 1971. 224 с.
30. Хвингия М. В., Цулая Г. Г., Гогилашвили В. Н. Конструкционное демпфирование
в узлах вибрационных машин. Тбилиси. Изд. Грузинского политехнического ин-та,
1973. 138 с.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 61
31 Челомей В. И. Теория пружин. — Груды КАИ, J936, вып. VI.
32. Чернышев И. А. Нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических витых пру-
пружин. — В кн.: Расчеты на прочность, вып. 3, М., Машгиз, 1958. 314 с.
33 Штода А. В. Динамика и прочность клапанных пружин, — В кн .¦. Динамика и проч-
прочность пружин, изд. АН СССР, 1950. 354 с.
34 Busse L. Schwingungen Zylindrischer Schraubenfedern. Konstruktion, 26, 1974, s. 171 — 176.
35'. Dick I. Tapered Helical Springs. Automobile Engineer, N 459, 1945.
36 Fox I. G., Mahanty. The Effective Mass of an Oscillating Spring. Amer. Journ. of Phys.
Vol. 38, N 1, Jannuary 1970, p. 98 — 100.
37 Kagava Y. On the Dynamical Properties of Helical Springs of Finite Length with Small
Pitch. J. Sound Vibr., 8A), 1968, p. 1 — 15.
38. Mizuno Masao. Problem of large Deplection oi Coiled Springs. Bull of 1SME, vol. 3, N 9,
1960.
39. Simidzu Hiroshl, Inoue Ounkichi. On the Static and Dynamic Behaviour of Coil Springs.
Mem. Fac. Engn. Kyuchi Univ. 23, 3, 1964.
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ,
СОДЕРЖАЩИМИ ЖИДКОСТЬ
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы кото-
которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, например, объекты авиацион-
авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные стан-
станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназна-
предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные ко-
колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полости
или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся
границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воз-
воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела
с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются),
что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инер-
инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это
поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возму-
возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что
оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных
Для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими
числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения
концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти
гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54]. Учету
нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26,
29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях
может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость,
невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно
привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии «жидких» грузов и
Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и кос-
космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном вы-
выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэ/гому одной из основных
задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической
устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсе-
отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики сме-
смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, напри-
например при сейсмических колебаниях сооружения 131].
Ниже в рамках расчетной схемы рассмотрены три категории задач: выбор и
формализация адекватной математической модели жесткого отсека с жидкостью,
62 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
определение параметров этой модели и простейшая математическая модель упругой
конструкции с отсеками, содержащими жидкость. Задачам динамики упругих тел
(в частности — упругих оболочек) с жидкостью посвящена обширная специальная
литература [21, 25, 40, 41, 54), в которой, широко используются уравнения
приближенной теории оболочек В. 3. Власова [4].
2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Ниже используются следующие обозначения: v — характерная скорость; со —
характерная частота колебаний; / — характерный размер; е << 1 — безразмерная
амплитуда колебаний; а — скорость звука в жидкости; v — кинематический коэф-
коэффициент вязкости; о — коэффициент поверхностного натяжения; \ — модуль век-
вектора ускорения, связанного с полем массовых сил невозмущенного движения (в част-
частном сдучае / = g, где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли).
Возможность пренебречь сжимаемостью жидкости связана с малостью числа
M = ^=i^i. A)
а а
При характерных значениях со ¦—- 10 с; /~1 м; е •—- 0,01; а —- 1000 м/с;
М~ 10~4< 1.
Роль поверхностного натяжения определяется значением числа Бонда
В~??. B)
При / ~ 1 -i- 100 м/с2; / ~ 1 м; — ~ 10-* м3 получим В ~ 104 -=- 106 > 1. Это
означает, что даже при сравнительно малых значениях / й характерных размерах
отсека порядка метра и более роль поверхностного натяжения пренебрежимо мала.
В дальнейшем всегда предполагается, что выполнено неравенство
/>/пИп' C)
где /mjn — некоторое минимальное значение /, при котором это утверждение спра-
справедливо. Кроме того, считается, что поле массовых сил невозмущенного движения
близко к потенциальному. В этом случае вектор j с модулем / является градиентом
этого поля.
Возможность пренебречь нелинейными эффектами, т. е. считать волновые дви-
движения в подвижной полости малыми, определяется числом Фруда. Если рассмотреть
плоские гармонические колебания с амплитудой е и частотой w бака с осью, парал-
параллельной вектору j, то можно принять
У. D)
COi/ ' У '
где (ot — частота первого тона собственных колебаний жидкости; I = г0 — средний
радиус свободной поверхности жидкости; k — некоторый коэффициент пропорцио-
пропорциональности.
На рис. 1 [20] показана типичная зависимость относительной амплитуды колеба-
колебаний жидкости % = — от параметра — ~ V?i. На участках А В и CD (% < 0,15)
колебания жидкости носят линейный характер. В точке В плоское движение жид-
жидкости становится неустойчивым — наблюдается резкий рост амплитуды колебаний,
после чего начинается вращение плоскости колебаний жидкости относительно пло-
плоскости возбуждения колебаний (кривая EF). Таким образом, линейная теория дает
хорошие результаты при числах Фруда, соответствующих % г?0,15. Существенно
нелинейные эффекты проявляются при % > 0,25.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Влияние вязкости жидкости для бака с гладкими стенками зависит от числа
Рейнольдса Re. При малых колебаниях жидкости коэффициент диссипативных сил
не зависит от амплитуды, так что можно
положить
Re = i!=i?. E)
Толщина пограничного слоя и величи-
величина этих коэффициентов пропорциональны
d,-io3
20
15
10
5
О 0,5 1,0 1,5 2ft 2,5 У
Рис. 2
0,8
0,6
0,2
0
А___
/
1
7
/
/
\
f
. ?_
А
0,8 0,9 7,0 1,1 ш/ыг
Рис. 1
1
Re [13], тогда как коэффициенты диссипативных сил, связанных с эффектом сво-
свободной поверхности жидкости, пропорциональны Re" [26].
На рис. 2 показана экспериментальная зависимость относительного логарифми-
логарифмического декремента первой антисимметричной формы колебаний жидкости бх в ци-
1
линдрическом баке с 2г„ = 0,35 м от параметра Re 2 [20]. Очевидно, что можно учи-
учитывать только эффект пограничного слоя уже при Re > 10*. В то же время при
*~ 1, v ~ 10-° м2/с (вода), (о ~ 10 с Re ~ 10"- < 1, Re ~ 3-10~* < 1, т. е.
концепция пограничного слоя заведомо
справедлива. Поскольку главные радиусы
кривизны поверхности стенок бака на-
намного больше толщины пограничного слоя,
при вычислении диссипативных сил можно
отождествить элемент смоченной поверх-
поверхности стенок с плоской пластинкой, что и
делается ниже. Влияние вязкости жидко-
жидкости для бака с радиальными или кольце-
кольцевыми ребрами малой ширины b (b <^ г0)
проявляется посредством вихреобразова-
мя на острых кромках ребер. Этот эф-
эффект зависит от числа Струхаля, которое
при колебаниях с частотой ш можно опре-
определить так:
„ v 2яе
F)
\
\
чг
ч
—III ¦
rz
10
12
16 20
Рис. 3
где е — амплитуда колебаний ребра в на-
направлении, перпендикулярном его пло-
плоскости; Ь = / — характерный размер (ши-
(ширина ребра). Множитель 2я введен для упрощения эмпирических выражений коэф-
коэффициентов гидродинамических сил, действующих на ребро. Полная сила, действую-
действующая на элемент ребра единичной длины [21],
4сои0
64
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР ЖИДКОСТЬ
где и = иое1а< — тангенциальная составляющая перемещения стенки (нормальная
составляющая перемещения ребра); р — массовая плотность жидкости; ст и Cj, —
коэффициенты присоединенной массы и сопротивления, эмпирические зависимости
которых от числа Струхаля F) представлены на рис. 3. Очень важно, что эти коэф-
коэффициенты в указанном диапазоне чисел Струхаля практически не зависят от числа
Рейнольдса [18, 21]. Штрихпунктирной линией на рис. 3 показано теоретическое
значение
ст — сто — 2,
(8)
получающееся при расчете по схеме безотрывного обтекания.
Большое влияние на коэффициенты ст и с^ оказывает наличие щелей (разрез-
(разрезные ребра). Соответствующие результаты приведены в работах [42, 44].
Q
3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Для описания возмущенного движения жесткого твердого тела с отсеком, ча-
частично заполненным маловязкой несжимаемой жидкостью, используются следующие
системы координат:
1. «Абсолютная» O*x*y*z*. Начало координат О* совпадает с произвольной точ-
точкой отсека; ось 0*х* ачтипараллельна вектору j ускорения поля массовых сил не-
невозмущенного движения; оси О*у* и O*z* ориентированы каким-либо образом отно-
относительно отсека, образуя правую систему координат, скрепленную с отсеком в его
невозмущенном движении относительно инерциаль-
ного пространства.
2. «Связанная» Oxyz, скрепленная с отсеком
в его возмущенном движении, характеризуемом
вектором малого перемещения и точки О относи-
относительно О* и вектором малого поворота 8 системы
Oxyz относительно O*x*y*z*.
3. «Связанная» O'x'y'z' с осями, параллель-
параллельными осям системы координат Oxyz, ось О'х' кото-
которой проходит через центр масс С невозмущенной
свободной поверхности жидкости.
На рис. 4 представлены смоченная поверхность
отсека S, свободная поверхность жидкости 2 и об-
область Q, занятая жидкостью в невозмущенном дви-
движении и свободная поверхность жидкости в возму-
возмущенном движении. В качестве обобщенных коорди-
координат используются проекции векторов, ц и S на оси
систем координат O*x*y*z* и Охуг соответственно:
? = %; г) = иг; 1> = Щ—смещения точки Q
(рис. 5, а); ф = 6^ ^ = 62; Ф = 63 — углы пово-
поворота системы Oxyz относительно системы О*х*у*г*
(рис. 5, б). На рис. 5, б представлена последовательность поворотов системы коорди-
координат O*x*y*z* до совмещения с Oxyz. При предположениях, сформулированных
на стр. 6&—64,
] = j(O = gradl/; С/= -/*•; 7 (О S*/т1„ > 0, (9)
где U — потенциал поля массовых сил невозмущенного движения.
Предполагается, что отсек может иметь внутренние радиальные (рис. 6, а) или
кольцевые ребра (рис. 6, б), максимальная ширина которых мала по сравнению
с характерным размером отсека. Невозмущенная свободная поверхность жидкости
считается плоскостью, перпендикулярной продольной оси отсека (если таковая
имеется).
Формулировка краевых задач. Учитывая малость перемещений и скоростей
всех частиц жидкости и элементов стенок, можно отнести граничные условия к не-
невозмущенной смоченной поверхности отсека S, включая ребра, и к невозмущенной
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
65
ободной поверхности жидкости 2. Пренебрежение на первом этапе вязкостью жид-
ости позволяет ввести для описания ее возмущенного движения потенциал смеще-
НИ Vx = w, A0)
являющийся решением следующей краевой задачи [20, 39]: Дх = 0 в области Q;
А,, I
6, RXv);
dv
y, г,
где v и ^ — операторы Гамильтона и Лапласа соответственно; w — вектор смеще-
смещения частиц жидкости; |° (у, z, t) — та часть аппликаты произвольной точки свобод-
ной поверхности, которая характеризует волны на этой поверхности; <р° (f) — про-
произвольная функция времени; v — орт внешней нормали к поверхности области Q;
R — радиус-вектор произвольной точки поверхности S с началом в точке О; Ro, —
Радиус-вектор произвольной точки на оси О'х', имеющий начало в точке О,
Представим потенциал смещений в виде
с = (и, Ф) + (в,
A2)
гДе Ф (фь ф3) фз); \у (уъ цг^ ip3) — гармонические векторные функции, компоненты
л*Т<Уых являются потенциалами смещений при перемещениях в направлении осей
и х , 0*1/*, О*г* и вращении вокруг осей Ox, Oy, Oz, когда свободная поверхность
Жидкости совпадает с плоскостью, параллельной Е; <рп (х, у, г) — гармонические
Функции — собственные функции краевой задачи о колебаниях жидкости в непод-
ижаом отсеке той же конфигурации; sn (f) — обобщенные координаты, характери-»
3Ующие волны на свободной поверхности жидкости.
3 п/р. Ф. м Диментберга и К. С. Колесникова, т, 3
66 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
Функции ф„ нормируются следующим образом:
.== '•
A3)
где у°, г° — координаты некоторой фиксированной точки на контуре невозмущен-
невозмущенной поверхности жидкости 2. При этом обобщенные координаты sn суть смещения
точки свободной поверхности жидкости с координатами у", г° в направлении оси О*хц
Рис. 6
при п-й форме собственных колебаний жидкости. Функции 1|)л (у, г) и их нормй Nn
определяются так:
дх
Функции Ф, Т, Фп являются решениями следующих краевых задач:
дФ
ДФ=0;
= Rxv;
= 0;
OV
где
/ ' dv
2 дх
(И)
A5)
A6)
(П)
A8)
Параметр caj представляет собоч квадрат п-й частоты собственных колебаний
жидкости в неподвижном отсеке [12].
Решение первой из задач имеет вид
A9)
где С — произвольный постоянный вектор, который, не нарушая общности, можно
положить равным нулю,
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
67
Решение второй краевой задачи имеет вид
Y = T + R0,xR'; R' = R-R0,=<D', B0)
функция V является решением более простой краевой задачи, чем A6):
дЧГ'
ДТ'=0; ~ =R'Xv. B1)
dv s
По аналогии с B0) можно представить функцию Ф в виде
<H = <?' + R0,, B2)
Учет вязкости жидкости и наличия ребер. В рачках гипотез, сформулированных
выше, учет этих факторов возможен на основе рассмотрения выражений [38, 43]
В выражениях B3) v — скорость элемента полости относительно жидкости;
Vv — составляющая скорости ребра относительно жидкости, нормальная к его пло-
плоскости, определяемая в рамках теории идеальной жидкости и при отсутствии ребер
(v _ орт нормали к поверхности ребра, образующий острый угол с направлением
относительной скорости жидкости v' = —v):
=sxR-v(e, т)-
B4)
Сила rfF, приложенная к элементу dS площади смоченной поверхности, опреде-
определяется формулой [13]
rfF=— pi/ — VdS, B5)
где v — кинематический коэффициент вязкости.
Эффект ребер в рамках теории идеальной жидкости (R -*¦ оо, S -у 0) должен
быть учтен отдельно, например методом возмущений [20, 39]. Для учета вязкости
жидкости при S Ф 0 надо вычислить дополнительную силу df\,> приложенную к эле-
элементу ребра длиной ds, измеряемой вдоль средней линии Lm. По аналогии с B5)
з\
-
можно определить силу dFv так (обозначив 6*=562
^J-Vv. B6)
Выражение B6) для dFv, предложенное в работе [43], позволяет при гармони-
еских колебаниях получить силу G) с коэффициентами сь и с„г, хорошо аппрокси-
РУющими эмпирические зависимости, представленные на рис. 3, в наиболее инте-
в *п°М ДЛЯ пРиложении диапазоне чисел Струхаля 0 < S < 10. Ширину ребра
формуле B6) следует считать функцией длины дуги средней линии ребра (в част-
частном аяучае ъ = const)_
Мог '>авнения возмущенного движения. На основе выражений, приведенных выше,
м ^т "Ыть получены с помощью теорем об изменении количества движения и кине-
еского момента следующие общие уравнения возмущенного движения твердого
3*
68
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
жесткого тела с отсеком с внутренними ребрами малой ширины, частично заполнен-
заполненного вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса и малых числах Струхаля:
t ..
, §) +
oo t
B7)
( °
{ l;3
I °
=0 — <; — Los
1 ^02
0
~Lly
L03
— Q3,
-(i-oi
+Qj)
Li
0
— i-02
i-oH
й32
— тензоры второго ранга:!
B8)
Элементы тензоров B8) определяются формулами
y^dS- J ,г,= \у'г'dS;
+71Г
71
1Г 2
B9)
где C° — центр масс тела без жидкости; Do — центр масс жидкости, затвердевшей
в невозмущенном состоянии; Jу,, Jz,, Jy,z,—экваториальные и центробежный мо-
моменты инерции площади свободной поверхности центральных осей, параллельных
осям О'у' и О'г'; /?. — элементы тензора инерции твердого тела без жидкости; т
и т. — масса тела и жидкости соответственно.
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
69
Черта над символом тензора соответствует сопряженному тензору, знак «гра«
а _ твердому телу.
к ; ^ол< Рол — векторы с компонентами
К/ =
Хоп/=
n dS;
^ \ (R
i s
C0)
- IW и« — скаляры:
= ~-
(xn
C1)
Возмущения от ребер в рамках теории идеальной жидкости должны быть вклю-
включены в функции Ф/, Фу и ф„ [21, 39J. При отсутствии ребер в формулах для $°ljr
Роя/. $пт остается только первое слагаемое. Все коэффициенты уравнений B7) выра-
выражаются, таким образом, через квадратуры от функций, зависящих только от реше-
решений четырех краевых задач: однородной A7) и неоднородной B1), эквивалентной трем
независимым краевым задачам для функций Ч\, Ч1^, ?3. Правые части уравнений B7)
представляют собой главный вектор и главный момент относительно точки О системы
внешних сил, приложенных к телу.
При & = 0, Ро,, =з 0, рят = 0 уравнения B7) переходят в уравнения возму-
возмущенного движения твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость.
4. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Движение в одной из плоскостей симметрии O*x*z* описывается следующей
системой уравнений (в которой введены очевидные упрощенные обозначения и опу-
опущены дополнительные индексы):
(р
— (т° -f- т) %(& — i^Q {тп° ~\~ т,
t да (
С ф (т) dx VI „<¦ С s,
— от л = 1 —оо
о° ' .. \
7 рпт I |-}-AnC
Li J \t-x
m^=l —оо /
(n = l, 2, ...),
C2)
70 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СО ДЕР. ЖИДКОСТЬ
где xQ — координата метацентра системы тело — жидкость в плоскости О*х*г*;
ха — координата центра масс системы тело — жидкость, затвердевшая в невозму-
невозмущенном состоянии,
Q J' °
• C3)
Случай квазигармонических колебаний. Для приложений имеет основное значе-
значение вариант уравнений C2), соответствующий предположению, что возмущенное
движение носит характер квазигармонических колебаний с медленно меняющейся
частотой се, амплитудой и фазой, при котором можно пренебречь второстепенными
диссипативными членами, положив f>nm = 0 при п Ф m; $nm = р„ при n = m л
малыми добавочными инерционными членами, появляющимися при Re Ф °° и S Ф 0.
В результате уравнения C2) после гармонической линеаризации и переноса начала
координат в метацентр G приобретут следующую форму:
C4)
Диссипативные коэффициенты |3, $on, Р„, входящие в уравнения C4), связаны
с коэффициентами Р°, р°л, Р^л уравнений C2) соотношениями
n)+Kl+яоя|+рол i=о.
Р= I/ ~2~Р; Рол= I/ -g-Pon; Ря = I/ -Tj-Pnn, C5)
т. е. являются функциями частоты гармонических колебаний со. При использовании
уравнений C4) для решения прямых задач динамики необходимо приписать неко-
некоторые подходящие значения параметру ш и соответствующему числу Рейнольдса
Re = ¦ (/ — характерный размер). Целесообразно в каждом из коэффициентов
с индексом п положить со = <вл, а при вычислении коэффициента р принять со = соо,
где too — некоторая характерная частота колебаний твердого тела. Соответственно
C6)
При этом наиболее точно описывается процесс диссипации энергии при колеба-
колебаниях на частотах, близких к резонансным, для каждой из гармоник, а ошибки воз-
возникают в той нерезонансной области частот, где само влияние диссипативных чле-
членов пренебрежимо мало.
Некоторые возможные варианты выбора обобщенных координат, характеризую-
характеризующих волновые движения жидкости. В ряде работ (см. [23, 26, 28]) используютсч
обобщенные координаты s'n, соответствующие отсчету аппликат свободной поверх-
поверхности не от плоскости, перпендикулярной вектору j, как sn, а от фиктивной «жесткой
крышки», ориентированной перпендикулярно продольной оси полости. Система урав-
уравнений возмущенного движения, аналогичная C4), приведенная к центру масс си-
системы Go, имеет в этих координатах вид
п=\
C7)
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
71
Связь ее коэффициентов со знаком с соответствующими коэффициентами си-
темы уравнений C4) может быть установлена на основе соотношений
C8)
м — 1 п = 1
и имеет вид (при приведении той и другой системы к одной и той же точке)
C9)
Существует возможность ввести также обобщенные координаты ?я, пропорцио-
пропорциональные sn, после чего присоединенные массы Хп, Хоп, цп и коэффициент Ро« стано-
становятся инвариантными относительно нормировки функции ф„.
Координата ?„ представляет собой угловое отклонение плоскости, аппроксими-
аппроксимирующей в смысле минимума среднего квадратичного отклонения возмущенную по-
поверхность жидкости при "я-й форме ее колебаний. Уравнения возмущенного движе-
движения C4) имеют в этом случае следующий вид:
D0)
=о,
(«=1, 2, ...),
где
т — я •
Ья- ,
"rt
Роя
&л = 1—'¦
Ля
D1)
Коэффициенты уравнений D0) выражены теперь через параметры, инвариантные
относительно нормировки функций <р„:
соп;
К
"-оя
Ь„ = -^; /; Р. D2)
_ Аналогичным образом преобразуются уравнения движения во второй из плоско-
плоскостей симметрии и уравнения вращения вокруг продольной оси Ох. В последнем слу-
ае роль параметров D2) играют аналогичные им параметры
Сил Г,
«Я1 = -
D3)
но Равнения D0) описывают плоское возмущенное движение в плоскопараллель-
« поле массовых сил с градиентом j твердого тела с подвешенными к нему матема-
Ческими маятниками, число которых стремится к бесконечности, а суммарная масса
72
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
к константе. Масса этого тела тв, момент инерции /„, координаты центра масс х.
относительно полюса О, масса и-го маятника тп, его расстояние от точки О до оси
подвеса сп и длина 1„ определяются формулами [20]
— ^ тп; JQ=
х0 =-
/По
D4)
Можно указать и систему демпферов, воспроизводящих диссипативные силы,
входящие в уравнения D0) [21]. Координата Z,n имеет смысл отклонения п-то маят-
маятника относительно оси О*х*, а координата Х,'п, аналогичная s'n, — отклонение маят-
маятника относительно оси Ох. Параметры D2), D3) целесообразно привести к безраз-
безразмерной форме, что делается ниже.
Общий алгоритм определения инвариантных коэффициентов уравнений возму-
возмущенного движения D2), D3).
1. Решение однородной краевой задачи
=°; ^-«ф
— О' —?-
, ¦ av
в области Q;
= 1 при
= у°, г—i
2. Решение неоднородных краевых задач
A? = 0 в области Q;
= 0.
dv
dv
*г> dv
в области Q;
= 0.
D5)
D6)
D7)
3. Расчет основных безразмерных коэффициентов при /=1 р = 1, /= 1 и
переход к коэффициентам для реальных значений /, р,/ по формулам
= p!m; J=pl5J; Q =
pl3m; c = lc; u) = ft)n'
smnl; mn = — • ся
D8)
4. Расчет дополнительных безразмерных диссипативных коэффициентов при
/=1, р = 1, ш=1 и переход к коэффициентам для реальных значений I, р, в>:
D9)
где р° — коэффициент при ф в уравнении вращения вокруг продольной оси, анало-
аналогичный Р, а <о° — соответствующая характерная частота. Составляющие коэффиииеН'
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
73
/49) зависящая от числа Рейнольдса (отсек с гладкими стенками), удобно пред-
'в форме
о Роя r^n^'ort
E0)
Составляющие, зависящие от числа Струхаля, учитывающие эффект ребер, вы-
выделив главную часть амплитуды колебаний жидкости на каждой из частот, можно
представить в форме
E1)
Некоторые численные результаты. На рис. 7, а представлены теоретические и
экспериментальные зависимости основных коэффициентов для первых двух тонов
(я = 1, 2) от безразмерной глубины ? =— для отсека в форме прямого кругового
'о
цилиндра с плоским днищем (г0 — радиус
цилиндра), а на рис. 7,6 — зависимость 2^-3^,
теоретических значений диссипативных
коэффициентов от того же параметра [ 19,
Г,2 f,S 2,0 2/> Л
а)
Рис. 7
экс видно, имеет место практически полное совпадение теоретических и
п ериментальных значений основных коэффициентов. Аналогичные результаты
лучаются_и для отсеков более сложной конфигурации [17, 19, 20]. Значения коэф-
суюИеНТ0В !' спеи.иально исследовавшиеся экспериментально, полностью согла-
в ~L c теоретическими для отсеков самой различной конфигурации при введении
еретические формулы эмпирического поправочного множителя 1,4. Остальные
74
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОЦ.ЕР. ЖИДКОСТЬ
Рис. 8
0,7 0}Э 7,1 7,3 7,5 /I
a)
1,0 71 7,Z 1,3 7,b 75 /t
Рис. 9
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
75
мгсипативные коэффициенты, представленные на рис. 7, б, практически совпадают
" оЛуиенными экспериментально.
Значения wf, /^ (рис. 8, а) дг, 601 (рис. 8, 6) рассчитаны методом возмущений [39]
я Кругового цилиндра с радиальными ребрами. Эти значения также удовлетво-
удовлетворительно согласуются с экспериментальными.
На рис. 9 представлены те же коэффициенты, что и на рис. 8, а для цилиндриче-
цилиндрических отсеков с плоским (рис. 9, а) и коническим (рис. 9, б) днищами при наличии
кольцевого ребра, рассчитанные тем же методом. Квадраты и треугольники соответ-
ствуюг точному решению (в рамках теории безотрывного обтекания ребра) и решению,
полученному методом Ритца — Трефтца [48J. Как видно, метод возмущений доста-
достаточно эффективен даже при относительной ширине ребра 5= — =0,2.
г° _
Важно отметить, что (см. рис. 7, а) масса эквивалентного маятника Шп резко
уменьшается при увеличении номера тона (примерно на два порядка при переходе
от я = 1 к я = 2) для кругового цилиндра. Это дает основание для редукции урав-
уравнений D0) и им аналогичных к системе уравнений конечного порядка:
E2)
(n=l, 2, ..., k),
где число учитываемых гармоник k определяется конфигурацией отсека. Например,
для односвязных полостей вращения в большинстве практических задач можно при-
нять k == 1.
5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Коэффициенты уравнений возмущенного движения, полученных в п. 3 и 4,
могут определяться как теоретически, так и экспериментально. Этим вопросам по-
посвящена обширная литература [16, 20, 26, 27, 53, 54 и др.]. Ниже изложены теоре-
теоретические методы, результаты которых хорошо согласуются с экспериментами, и
общая идея экспериментальных методов [17, 18—21].
Цилиндрические отсеки с плоскими днищами; метод разделения переменных.
Если ввести новые неизвестные функции F,- (х, у, г), связанные с Т/ (х, у, г) (/ = 2, 3)
Уравнениями [8]
г2 — ч:г-\-хуг — ^Zo), r3—т3—х (у — луо), (оо)
Где Уо> z0 — координаты центра масс площади 2, то краевые задачи A6), A7)
переходят в следующие:
Дф = 0 в области Q;
дх
dv
= 0; ^t- =
s дх 2
при
в области S;
E4)
v dF2
1I дх
в области Q;
¦=х +й = г~г°;
в области Q;
д\
дх
= 0.
S,
—- = 0,
E5)
E6)
E7)
76
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
где Д и Aj — трехмерный и двухмерный операторы Лапласа; S2 — смоченная боко-
вая поверхность отсека; х0 — координата нижнего днища St; у°, г" — координаты
произвольно выбираемой точки контура Г.
Решения краевых задач E4) — E7) могут быть получены методом разделения
переменных и имеют вид
где
г)(/г=1, 2, ...);
Кп
ch kn (x—x0)
knsh(knh)
Cn = V г\[)л
со
у, г);
kn sh (knh)
E9)
Параметры kJi и функции tyn являюгся собстЕенньши числами и собственными
функциями следующей двухмерной краевой задачи:
F0)
,=0;
Частоты юя собственных колебаний жидкости связаны с параметрами kn соот-
соотношением
cD^, = ^thfeA). F1)
Если функции фя (я = 1, 2 ...) являются точными решениями краевой задачи
F0), то, используя вторую формулу Грина, свойства сопряженности функций у п г
на контуре Г и интегрирование по частям, можно привести выражения для коэффи-
коэффициентов Сп, Dn, En E9) к следующей эквивалентной форме:
ду
ду
F2)
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
77
Коэффициенты F2) связаны, как коэффициенты Фурье, следующими равенст-
равенствами Парсеваля:
k
ШГ1 F2 1 /»
„r,
йлдг=-|
fe3E2
^2
n-\
F3)
(S — площадь поперечного сечения столба жидкости).
Все они могут быть получены путем подстановки вместо у, г, Ч^ рядов
п=\
rt = 1 П = 1
и почленного интегрирования.
В дальнейшем рассматривается область S, обладающая по крайней мере одной
осью симметрии (ось Оу). Безразмерные гидродинамические коэффициенты D8) могут
быть определены по формулам
722= Bх0-й) 7у.
©я
F4)
5f (ЬЛ
f Ь;
А„ sh (Лпй;
с=т?; я--*; ^-Ь Ъ=Ъ
¦ характерный размер).
Л-.
F5)
78
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СО ДЕР ЖИДКОСТЬ
1. Область S в форме прямоугольника — а < у <а; —6 <z <6. Отсек соот-
соответствующей формы, по-видимому, впервые рассматривался в работе [33]. За харак-
характерный размер целесообразно принять / = |/~а6. Параметром задачи является 5= __
Система функций tyn распадается на следующие три ортогональные на области S
подсистемы:
F6)
где
\\)np = cas 1г„р {у + a);
tynq =1'v(i? = cos k\p (У + а) COS k^ B+6)
(«, v, p,= l, 3, 5 ...),
l — tl, V,
,2
F7)
Коэффициенты Cn, Dn, En, Nnr (r — s, p, q) определяются формулами
„ 16Ь-а _ 16a26 ,,» ,,« „ ,
En=-
F8)
(fi, v= 1, 3, 5, ...).
Для основного тона колебаний жидкости с ц = 0, я = 1 получим
=, 16 Уъ ш _ _ 16 р _ 32 A—62)
я2 я21^6 ' i
F9)
2. Область 5 в форме кругового кольца гх <а <Л)- Соответствующие решения
впервые получены в работах B8, 32]. За характерный размер удобно принять г0-
Параметром задачи является б = — . В частном случае л, = 0 область S является
кругом; этому соответствует отсек в форме прямого кругового цилиндра. Собствен-
Собственные функции и собственные числа однородной краевой задачи F0), записанной в по-
полярных координатах у = г cos 6; г = г sin 0, с учетом двусвязности области S
имеют вид
/¦о'
S\
G0)
где §я = knr0 (п = 1, 2, ,..) — корни трансцендентного уравнения,
/t (г) — функция Бесселя первого рода первого порядка; Л'х (г) — функция
Неймана первого порядка.
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ 79
Коэффициенты Сп, Dn, Nn имеют вид
— oZi(?n6)];
G2)
При б -> О
Zi E„Р)=/г (Е„Р); С„ = В„=-^-- /7д=Я^ „ G3)
где |л — йорни уравнения;
J[(l) = 0, G4)
первые шесть из которых имеют следующие значения [8]: ^ = 1,8412; §2 = 5,3315;
g3 == 8,5363; 14 = 11,7060; |, = 14,8633; |в = 18,0155.
Теоретические значения коэффициентов, представленные на рис. 7, а, рассчи-
рассчитаны с использованием формул F4), F5), G3).
Цилиндрические отсеки; метод Бубнова — Галеркина и конформного отображе-
отображения. Пусть ут (т = 1,2, ...) — полная система линейно независимых координатных
функций, удовлетворяющих граничным условиям F0), и ортогональных константе
на области S. Обычная процедура метода Бубнова —Галеркина приводит краевую
задачу F0) к следующей интегральной форме:
> — fe2^ cp$dS = Of G5)
где V—двухмерный оператор Гамильтона,
I
^=2 anVm-> ф = 7я- G6)
Здесь ат — неизвестные пока коэффициенты; п — произвольное значение индекса т;
I — целое число.
Из G5), G6) следует матричное уравнение
Аа —ЯВа=0, G7)
где % — \С-\ А и В — квадратные матрицы I X I с элементами am^, ртд,; а — ^-мерный
вектор с компонентами ат
= a*m = j VYmVYft'
5 l G8)
В результате решения уравнения G7) получается совокупность / собственных
чисел К, которые всегда вещественны в силу симметричности матриц А и В, и соот-
соответствующих им собственных векторов а, определяемых с точностью до постоянного
Множителя, зависящего от условий нормировки. При использовании функций G6)
Для вычисления коэффициентов С„, Dn, En следует пользоваться формулами E9),
а не F2), так как каждая из функций ут не удовлетворяет дифференциальному
Уравнению F0).
Аналогичным образом решается неоднородная краевая задача E5) (см. напри-
например [8, ]2]). Удачный выбор системы функций уш упрощается, если предварительно
80
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОЦЕР ЖИДКОСТЬ
осуществить конформное отображение области S плоскости и на область S' пло-
плоскости %, имеющую вид прямоугольника (рис. 10) [391. Пусть функция, осуществляю-
осуществляющая это отображение, есть и. {?,), где Z, = |+ it), и построена система координатных
функций Vm (§. Л), удовлетворяющая в плоскости %, ц всем необходимым условиям,
перечисленным выше. Интегральное соотношение G5) в переменных §, ц имеет вид
J
VtV<P d? di\ - k*
С | и'
[2
G9)
где | и' (Z) f — якобиан преобразования, осуществляемого функцией а (?).
a kit
V
\
> O-_J
А-
qt <?
Рис. fl
Использование разложения G6) снова приводит к уравнению G8), причем коэф-
коэффициенты amft и §mk определяются теперь формулами
_ г
5
(80)
Преимущества введенной замены переменных в том, что подходящую систему
функций 7т можно сконструировать в виде произведений тригонометрических функ-
функций. Например, в случае кругового кольца
г —1I sin 17; XmP=cos (m— I) g cos 17.,
(81)
Результаты применения описанного метода представлены на рис. 11. Практи-
Практически точные значения коэффициентов cof и mv в широком диапазоне значений S
получаются при использовании всего двух координатных функций {i = 2 на рис. 11),
т. е. существенно проще, чем при использовании функций Бесселя и Неймана (обо-
(обозначено кружками).
Отсек с двумя плоскостями симметрии; вариационный метод Ритца — Трефтца.
Твердое тело с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью, представляет
собой при / = const консервативную систему. Подставляя в выражение действия по
Гамильтону кинетическую и потенциальную энергии системы тело — жидкость и
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
81
тделяя функции времени от функций пространственных координат, можно полу*
чить Два функционала ( р ^ ^
(82)
(83)
стационарные значения которых соответствуют точному решению краевой задачи D5)
или D6) соответственно. Это позволяет воспользоваться прямыми методами вариа-
вариационного исчисления, в частности методом Ритца [221, т. е. искать функции <р и 4я
в виде линейных комбинаций функций ут и t,m (предполагая, что они обладают
полнотой в области Q, обеспечивающей сходимости этих последовательностей):
2 ^
m = 1 т = 1
Если функции 7т удовлетворяют граничным условиям, что вполне реально для
цилиндрических отсеков, то алгоритмы методов Ритца и Бубнова—Галеркина сов-
совпадают. В случае нецилиндрических полостей удовлетворение граничным условиям
становится затруднительным. Наилучшие результаты дает выбор ут и %т в классе
гармонических функций, что позволяет свести объемные интегралы в выражениях
коэффициентов ат„ к поверхностным и резко уменьшить затраты машинного времени
при расчетах на ЭВМ (метода Трефтца [22]). Дальнейшие упрощения достигаются
при Ь,т = Ут- Общий алгоритм определения основных гидродинамических коэффи-
коэффициентов методом Трефтца выглядит следующим образом.
1, Расчет вспомогательных коэффициентов:
атр — apm—
S + Z
• dS;
(85)
§mp = Ppm = \ VmYp dSJ
2
= \ Yp (zv* - XVг) dS;
5
2. Нахождение собственных значений х„ и компонент векторов а<п> и Ь из урав-
уравнений
k
= 1 при у = г ¦>—¦>¦' ' ^
I
(d — вектор с компонентами dp.)
3. Расчет присоединенных масс и моментов инерции
к к k к
атрат"р''
k k
= (АЬ, b) = (d, Ь)= 23
r
(87)
82 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
В случае отсеков в форме тел вращения целесообразно ввести цилиндрическую
систему координат
х = х; у = г cos 6; г = r sin 9 (88)
и частные решения краевых задач D5) и D6) искать в форме
ф (х, у, z) =/ (х, г) sin 6; \
?(х, у, z) = F(x, r) sine J к >
(при движении в плоскости О*х*у* надо заменить sin б на cos в). Функции ут (х, г)
в данном случае целесообразно конструировать на основе использования двух систем
функций
де P^u — присоединенные функции Лежандра первого рода, первого порядка;
Я = Ухг-\-г2; )л = cos ft; R, ft — полярные координаты в плоскости х, г.
В случае односвязных полостей вращения с круговой свободной поверхностью
жидкости краевые задачи эффективно решаются методом Трефтца с использованием
первой из систем функций (см. [7, 16, 20, 36, 46]). На рис. 12 представлены соот-
соответствующие результаты для сферического отсека [2, 20]. На этом же рисунке пред-
представлены точные решения (звездочки [56]), приближенные решения, полученные
для цилиндрического отсека того же объема и с той же свободной поверхностью
жидкости (штриховые линии) и экспериментальные результаты (кружки [19, 20]).
Как видно, имеется полное согласие между значениями, полученными методом
Трефтца, точным решением краевой задачи и результатами эксперимента. На рис. 13
показаны результаты расчета методом Трефтца гидродинамических коэффициентов
для цилиндрического отсека со сферическими днищами [39, 46]. Ряд численных ре-
результатов, полученных вариационным методом, приведен в работе [2].
Оценка частот и присоединенных масс жидкости. Ряд оценок такого рода, вос-
воспроизводимых ниже, приведен в работах [16, 20, 26, 47].
Поскольку последовательность значений х(&), получаемых методом Ритца —
Трефтца (& = 1, 2, ...), сходится к первому собственному значению сверху, можно
с помощью выражения (82) получить следующую оценку первой собственной частоты:
I j (V<pJ dQ
ffi?=s?-i? (90)
\ ф* dS *
а при ф = z — простейшую оценку
Jy Q
— Q
где Q = ——безразмерный объем жидкости. Для параболоида вращения фор-
формула (91) при знаке = дает точное значение ш|. Формула Рэлея приводит к принци-
принципиально иной оценке Щ:
(92)
dQ
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
83
ъ h
о,г
О/ 0,8 1,0 1,2
Ряс. 12
0,8 1,2 1,6 2,0 h
6)
Рис. 13
84 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
Используя разложения функции г, xYt в области 2:
с
а также выражения C0), D2), D3), можно получить следующие формулы (/ — ха-
характерный размер):
со оо
— f
2
где
J2 T2
- — " . т — oni IC&\
Цп V-nq
Это дает следующие оценки для присоединенных масс
_ _„__ _ У
(96)
Наиболее удобной является первая из оценок (96), которую можно записать
в виде приближенной формулы
Ш! =з ШШ, (97)
погрешность которой для полостей вращения с круговой и кольцевой свободной
поверхностью жидкости не превышает 1—3%.
Наряду с методами, описанными выше, большие возможности открывает исполь-
использование различных вариантов конечно-разностных и сеточных методов [6, 53].
Экспериментальные методы определения гидродинамических коэффициентов.
Постановка задачи экспериментального определения гидродинамических коэффи-
коэффициентов может быть проиллюстрирована на математической модели E2). Задача
К Кп
заключается в определении параметров D2) wJ?, тп= —, сп = — ^— или топ =
Мл «я
J; Р«; "«=-1г; Р (98)
или их безразмерных аналогов D8) и D9). Основную роль в динамических исследо-
исследованиях играют параметры <о2ге, тп, сп для значений п = 1 (реже п = 1, 2, 3) и пара-
параметр J. Погрешность экспериментального определения озл, как правило, не должна
превышать 1—2%, значений тп, сп и / — 8—1296.
Обычно выполняются условия
Р„<«„; Ьп<^а>п1; Э<«Оо, (99)
где / — характерный размер; ю0 — характерная частота колебаний тела.
Поэтому при определении $„, f>on и р\-как правило, допустимы большие погреш-
погрешности до 15—20%. Все коэффициенты, перечисленные выше, зависят от чисел F4, Re, S
(см. д. 2). Зависимость от числа В легко исключить выбором характерного размера '
ПРИМЕР УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТЬ 85
экспериментального отсека. Это в сочетании с рациональным выбором амплитуд ко-
колебаний жидкости позволяет в каждом конкретном случае получить автомодельность
по числу F, и либо по числу S, либо (в случае отсека с внутренними ребрами) по
числу Re. В основе экспериментальных методов лежат следующие парциальные
системы:
A00)
A01)
( S л + PnSn + ®Уп) + К\ =
(п=1, 2, ..., ft).
Л=1
Ил ( S л + Рл«л + «"«л) + ^о« «л + PonS« = 0
(/2=1, 2, ..., А),
где fi>?, @ф — частоты собственных колебаний тела с жидкостью на упругой под-
подвеске при отсутствии волновых движений; Pj, P^, — соответствующие коэффициенты
демпфирования, причем должны выполняться условия
ф. A02)
Наиболее общ им методом, позволяющим определить всю совокупность парамет-
параметров (98), включая рол и р\ является метод частотных характеристик. Однако при
выполнении условий (99), A02) хорошие результаты получаются при независимом
последовательном определении основных коэффициентов следующими методами.
Определение <ап, рп. J. Метод свободных колебаний. 2. Метод вынужденных
колебаний.
Определение тп, топ или сп. 1. Измерение частот собственных колебаний пар-
парциальных систем, описываемых уравнениями A00), A01). 2. Измерение перемещений
тела под действием гармонической силы или пары сил. 3. Измерение сил, действую-
действующих на тело при гармонических колебаниях. Подробное изложение этих методов, их
особенностей и рациональных областей применения дано, в частности, в работе [19].
6. ПРИМЕР УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТЬ
Одним из примеров упругой конструкции с отсеками, содержащими жидкость,
может служить корпус жидкостной ракеты (рис. 14, а) [39]. Верхние два отсека соот-
соответствуют «абсолютно жестким» (в рассматриваемом диапазоне частот) подвесным
бакам на упругих связях, допускающих перемещения в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном оси корпуса; нижние два отсека — несущие баки с цилиндрическими обечайками,
Деформирующимися вместе с корпусом так, что контур их остается геометрически
Неизменяемым. Эту конструкцию можно схематизировать простейшим механическим
аналогом (рис. 14, б), который можно заменить эквивалентной упругой балкой
с Распределенными массами жидкости на участках несущих баков и сосредоточен-
сосредоточенными массами на упругих связях в плоскостях опорных шпангоутов подвесных ба-
Ков- Для учета волновых движений жидкости в несущих баках последние, как по-
показано в работах [21, 35], могут быть заменены жесткими цилиндрическими отсе-
отсеками, поворачивающимися вместе с сечениями корпуса, близкими к свободной по-
верхности жидкости (рис. 14, в), которая предполагается мало вязкой, так что при-
применима концепция пограничного слоя^ изложенная выше. В схеме с помощью экви-
эквивалентных маятников моделируется основной (первый антисимметричный) тон коле-
аний жидкости в каждом из баков.
Пусть известны формы собственных колебаний полученной одномерной системы
j|' (*) и соответствующие им параметры gnJ-, характеризующие абсолютные (т. е.
ак и т)у (х) — в системе координат O*x*y*z*) поперечные перемещения л-го подвес-
подвесного отсека (/= 1, 2, ...).
86
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СО ДЕР ЖИДКОСТЬ
При принятой расчетной схеме поперечное смещение несущих баков при /-й форме
колебаний корпуса составляет^ (хн \ q}, а подвесных gnjq;', угол поворота х\'} (хя )q
или т). (хо ) q соответственно, где хн « h + xQ' и #0 — координаты оси подвески
эквивалентного маятника (несущие баки) или плоскости подвески баков к корпусу
(подвесные баки); х0' — координата полюса днища n-го отсека. Знак «с—» введен
потому, что положительный угол отсчитывается от оси Ог к оси Ох,
u{x,tl
Рис. U
На основании уравнений D0) получим следующее уравнение, описывающее
основной тон колебаний жидкости в л-м отсеке:
0
A03)
(л=1, 2, ..., N),
где Лг — число независимых отсеков (в рассматриваемом случае N = 4).
Коэффициенты уравнений A03) определяются следующими формулами:
Несущий отсек
Мл
A04)
ПРИМЕР УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТЬ 87
Подвесной отсек
Коэффициенты в A04) и A05) определяются формулами D8), если учесть, что
теперь принимается во внимание только первая форма собственных колебаний жид-
жидкости, а п означает номер отсека. Коэффициенты с'п и спо отличаются от сп только
центром приведения, имеющим координату хн в первом случае, и xQ — во втором.
Воспользуемся обычным уравнением поперечных колебаний балки переменного
сечения и граничными условиями для балки со свободными концами:
jo д2и \ д
dxz J дх
дх
= o при х =
A06)
где / — длина; EJ° — эквивалентная изгибная жесткость; p°F° — погонная масса;
p°J° — погонный момент инерции; qz (x, f) и ту (х, t) — соответственно внешняя
поперечная сила и момент на единицу длины балки.
Соответствующие подстановки приводят к следующей краевой задаче для опре-
определения форм и частот колебаний балки с присоединенными осцилляторами, экви-
эквивалентными отсекам с жидкостью (без учета волновых движений):
го &Ч \ , ,, о
1 -3*Г*№
A07)
i dn\~
53-=sr^+*OjI-srjJh0;
(EJ
их l?l/ cbfl
=o, г
i=o, г
= 0;
-aJ '
)
где Oj (.« — xn ) и a. (x — xn ) — единичные импульсивные функции первого и
второго порядка; тпо, xQ , Jпо — координата метацентра, масса и момент инерции
п-го отсека относительно оси О^п с учетом массы жидкости; со„0 — парциальная
частота поперечных колебаний массы тп0 относительно корпуса; ц° (х) и ц (х) —
погонные массы корпуса и жидкости в несущих баках:
прч
0 при
A08)
88 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕР. ЖИДКОСТЬ
рп и S,t — соответственно массовая плотность жидкости в я-м отсеке и площадь
поперечного сечения столбца жидкости.
Включение в правую часть уравнения A06) сил, .передаваемых со стороны жид-
жидкости, и дпссипативных сил, связанных с конструкционным демпфированием при
упругих колебаниях корпуса, а также использование собственных функций т);- (х)
краевой задачи A07), ортогональных на отрезке [0, /], приводит к следующим урав-
уравнениям возмущенного движения рассматриваемой конструкции:
N
П=1
aj
M
A09)
(i, /=1, 2, ..., M; n=l, 2, .... tf),
где М — число учитываемых форм собственных упругих колебаний корпуса; N —
число отсеков с жидкостью (в рассматриваемом случае N = 4).
Коэффициенты уравнений A09) определяются по общей схеме, описанной в на-
начале этого параграфа. Уравнения A09), полученные методом Бубнова—Галеркина,
представляют собой математическую модель рассматриваемой конструкции. При
qj = 0 уравнения A09) переходят в уравнения возмущенного движения жесткого
тела с TV отсеками, частично заполненными жидкостью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., ИЛ, 1958. 799 с.
2. Богоряд И. Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей по-
полость, вариационным методом. — ПММ, 1962, т. XXVI, вып. 6, с. 1122 —1127
3. Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. М., ВЦ
АН СССР, 1962, 246 с.
4. Власов В. 3. Избранные труды. М., АН СССР, 1962, т. 1, 528 с.
5. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М., Наука,
1976. 146 с.
6. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., Наука, 1973. 400 с.
7. Докучаев Л. В., Стажков Е. М. О вариационном методе определения гидродинамических
характеристик полостей вращения — Известия АН СССР. Механика твердого тела,
1974, № 3, с. 44 — 49.
8. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, заполненные однород-
однородной капельной жидкостью. Избранные сочинения. М. — Л., Гостеоретиздат, т. 1, 1948.
391 с.
9. Колесников К* С, Жидкостная ракета как объект регулирования. М., Машиностроение,
1969. 298 с.
10. Колесников К- С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем.
М., Машиностроение, 1971. 270 с.
11. Колесников К* С, Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматиче-
автоматического управления. М., Машиностроение, 1974. 267 с.
12. Кочни Н. Е,, Кибель И. А., Розе Н, В. Теоретическая гидромеханика. М., Гостехтеоре-
тиздат, 1948, т. 1. 535 с.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. Н. Механика сплошных сред. М. — Л., ГИТТЛ, 1953. 783 с.
14. Ланцош К- Вариационные принципы механики. М., Мир, 1965. 408 с.
15. Луковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической
формы. Киев, Наукова Думка, 1975. 135 с.
16. Методы расчета присоединенных масс жидкости в подвижных полостях / С. Ф. Фещснко,
И А. Луковский, Б. И. Рабинович и др. Киев, Наукова Думка, 1969. 250 с.
17. Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я, Экспериментальное исследование свободных колебан"''
жидкости в сосудах. — Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1964,
№ 4, с. 43-53.
ПРИМЕР УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЖИДКОСТЬ 89
Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я. Экспериментальное определение гидродинамических
коэффициентов для цилиндрической полости при наличии в ней радиальных перегоро-
пок — Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1967, № 1, с. 84—87.
Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М,
Машиностроение, 1978. 248 с.
on Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично эапол-
ненными жидкостью. М., Машиностроение, 1968. 532 с.
<и Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, со-
держащими жидкость. М., Машиностроение, 1971. 563 с.
22 михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., Гостехиздат, 1957.
ni Моисеев Н. Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную иде-
альной капельной жидкостью. ДАН СССР, 1952, т. 85, № 4, с. 719—722.
94 Моисеев Н. Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие
свободную поверхность. Математический сборник № 32 G4). АН СССР, 1953, вып. 1,
с 862 — 878.
•>ъ Моисеев Н. Н. К теории колебаний упругих тел, имеющих полости с жидкостью. — ПММ,
1959, т. XXIII, № 5, с. 862 — 878.
9к Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость.
М , Наука, 1965. 439 с.
27 Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний
ограниченного объема жидкости. ВЦ АН СССР, 1966. 269 с.
28 Нариманов Г. С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жнд-
' костью. — ПММ, 1956, т. XX, вып. 1, с. 21—38.
29 Нариманов Г. С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью; учет немалости
' движения последней. — ПММ, 1957, т. XXI, вып. 4. с. 513—524.
30. Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И. А. Нелинейная динамика летательного
аппарата с жидкостью. М., Машиностроение, 1977. 208 с.
31 Николаенко Н. А. Вероятностные методы расчета машиностроительных конструкций.
М., Машиностроение, 1967. 367 с.
32 Охоцимский Д. Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жид-
жидкостью — ПММ, 1956, т. XX, вып. 1, С. 3—20.
33. Павленко Г. Е. Качка судов. Л., Гострансиздат, 1935, 312 с.
34. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической
полостью, частично заполненной жидкостью. — ПММ, 1956, т. XX, вып. I, с. 39—50.
35. Рабинович Б. И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким
заполнением при наличии свободной поверхности. — Известия АН СССР, ОТН. Меха-
Механика и машиностроение, 1959, N° 4, с. 63—68.
36. Рабинович Б. И., Докучаев Л. В., Полякова 3. М. О расчете коэффициентов уравнений
возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. —
Космические исследования, 1965, т. III, вып. 2, с. 179—207.
37. Рабинович Б. И., Шмаков В. П., Кобычкин В. С. К теории колебаний конструкций, не-
несущих упругие резервуары с жидкостью. — В сб.: Исследования по теории сооружений,
М., Стройиздат, 1970, № 18, с. 68—83.
38. Рабинович Б. И., Роговой В. М. Об учете вязкости жидкого топлива при исследовании
движения управляемых аппаратов с ЖРД — Космические исследования, 1970, т. VIII,
№ 3, с. 315-328.
39. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.,
Машиностроение, 1975. 416 с.
40. Рапопорт И. М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. М., Маши-
Машиностроение, 1966. 393 с.
41. Рапопорт И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. М.,
Машиностроение, 1967. 358 с.
42. Риман И. С, Крепе Р. Л. Присоединенные массы тел различной формы. — Труды ЦАГИ,
1947, № 635. 27 с.
43. Роговой В. М., Черемных С. В. Динамическая устойчивость космических аппаратов с
ЖРД. М., Машиностроение, 1975. 149 с.
44 Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., Наука, 1966. 448 с.
45. Сретенский Л. Н. Колебания жидкости в подвижном сосуде. — Известия АН СССР, ОТН,
1951, № Ю, с. 1483-1494.
*»• Стажков Е. М. Алгоритмы численного решения задачи по определению частот и присое-
присоединенных масс жидкости при расчете колебаний конструкций с жесткими резервуарами. —
.. в сб.: Исследования по теории сооружений, М., Стройиздат, 1974, № 20, с. 62—73.
". Столбецов В. И. Приближенный метод расчета коэффициентов уравнений возмущенного
. Движения тела с жидкостью — ПМ, 1967, т. Ill, вып. 5, с. 109—113.
¦ Гроценко В. А. Волновые движения идеальной жидкости в осесимметричных сосудах
с кольцевыми ребрами. — В сб.: Математическая физика. АН УССР, 1968, вып. 4, с. 191 —
у- Троценко В. А. О колебаниях жидкости в круговом цилиндре с несплошными радиаль-
радиальными перегородками. В кн : Математическая физика. Киев, АН УССР, 1971, вып. 9,
50 ^i —*^*
' ДеРноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость.
51 М. ВЦ АН СССР, 1968. 229 с.
• черноусько Ф. Л. Колебания сосуда с вязкой жидкостью. «Известия АН СССР. Механика
52 йиДк°сти и газа>, 1967, № 1, с. 58—66.
к МЯКОВ ^' ^' ®** одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова — Галеркина
с р,е,Ненв10 краевых задач. — Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1967, № 5,
53 ч„ —136.
тисленные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973. 304 с.
90 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
54 Abramson H. N. (Ed) The dynamic behavior of liquids rn moving containers with appli-
applications to the space vehicle technology. NASA SP-106, 1966, Washington, D. С 467 p.
55 Bauer H. F. Fluid oscillations in the containers of a space vehicles and their influence upon
stability. NASA TP-187, 1964, Washington D. C. 138 p.
56 Budiansky B. Sloshing of liquids in a circular chanals and spherical tanks. — Journal of,
the Aero/Space Sciences, 1960, vol. 27, N 3, p. 161 — 173.
57 Cooper R. M, Dynamics of liquids in moving containers. — ARS Journal, 1960, vol. 30,
N 8, p. 725 — 729.
58 Fontenot L. L. Dynamic stability of space vehicles, vol. VII, Dynamic of liquid in fixed
and moving containers. NASA CR-941, 1968, Washington, D. C. 143 p.
59. Geissler E. D. Ptoblems of attitude stabilization of large guided missiles. — Aero/Space
Engineering, 1960, vol. 19, Oct., p. 24 — 29, 68—72.
60 Greensite A. L. Analysis of liquid — propellant mode stability of a multitank ballistic
booster vehicle. — Journal of Aero / Space Sci., 1962, vol. 29. N 2, p. 130 — 139.
61. Keulegan G. H., Carpenter L, H. Forces on cylinders and plates in oscillating fluid. —
Journal of National Bureau of Standarts, 1958, vol. 60, N. 5.
62. Lawrence H. R., Wang С. Г., Reddy R. B. Variational solution of fuel sloshing modes. —
Jet Propulsion, 1958, vol. 28, N 11, p. 729 — 736.
63. Miles J. W. Ring damping of free surface oscillations in a circular tank. — Journal of Ap-
Applied Mechanics, 1958, vol. 25, N 6, p. 26—32.
Глава V
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Колебания в зубчатых передачах приводят к возрастанию уровня контактных
и изгибных напряжений в зубьях колес, а также к усталостной поломке валов. При
повышенной податливости ободьев зубчатых колес возможно возникновение в них
изгибных колебаний, приводящих к усталостной поломке ободьев и выходу из строя
всей передачи.
Точность динамического расчета зубчатых передач определяется принятой мо-
моделью динамической системы и ее параметрами. Сама процедура динамического рас-
расчета зубчатых передач после получения системы дифференциальных уравнений, опи-
описывающих их динамическое состояние, не отличается от разработанных в теории ко-
колебаний аналитических и численных методов расчета упругих систем. Поэтому
основное внимание при динамических расчетах зубчатых передач следует уделять
обоснованному выбору расчетных моделей и определению параметров зубчатых пере-
передач (инерционно-жесткостных, возмущающих и демпфирующих свойств в системе).
Выбор расчетной динамической модели зубчатой передачи не может быть сделан
однозначно, он в значительной мере зависит от целен выполняемого динамического
расчета. Поэтому следует стремиться к получению такой динамической модели, с по-
помощью которой можно получить ответ на поставленный вопрос с необходимой точ-
точностью.
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Зубчатая пара. Наибольшую сложность при динамических расчетах зубчатых
зацеплений представляет оценка уровня динамических напряжений, возникающих
в элементах передачи. Поэтому при расчетном определении динамических напряже-
напряжений в зубчатых колесах следует выбирать наиболее точную, хотя и возможно слож-
сложную, расчетную динамическую модель зубчатого колеса.
В таких ответственных случаях динамическую модель зубчатого колеса следует
рассматривать в виде сплошной среды. Решение задачи о динамическом нагружении
зуба в этом случае можно получить на ЭЦВМ одним из численных методов решения
динамических задач теории упругости, например динамическим вариантом метода
конечных элементов [15].
Этот динамический расчет следует производить только для простейшей зубча-
зубчатой пары, и целью его является уточненное определение динамических напряжений
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 91
зубьях колес. Поэтому выполнять его необходимо только в ответственных зубча-
Вых парах, работающих в экстремальных условиях, когда ставится задача обеспе-
прочность зубьев без повышения массы и габаритов передачи.
4 Пример использования метода конечного элемента для динамического расчета
убчатого колеса (число зубьев г — 20, модуль т = 6,35 мм, угол зацепления a =
__ 20° высота головки зуба hT = 6,35 мм, высота ножки зуба hu = 7,33 мм, толщина
зуба s'= 9,9 мм, радиус галтели р = 1,52 мм, ширина зуба b = 25,4 мм) приведен
Б работе 127).
Экспериментальные исследования, выполненные на короткой консольной пла-
пластинке, имитирующей зуб колеса при нагружении ее ударным импульсом, показали,
что по'методу конечного элемента получаются удовлетворительные результаты как
для формы колебаний, так и для величины деформации. Использование для расчет-
расчетного определения динамических деформаций метода собственных форм колебаний
пластинки дает значительное расхождение с экспериментальными данными.
В высокоскоростных зубчатых парах возможно возбуждение колебаний зубьев
колес. В таких случаях зубчатые колеса могут быть представлены в виде твердых
тел, посаженных на несущие валы, зубья же колес можно представить в виде корот-
коротких консольных балок, жестко или упруго соединенных с ободом зубчатого колеса.
Таким путем можно учесть как возможные формы возбуждаемых колебаний в зуб-
зубчатой паре, так и динамические напряжения в зубьях зубчатых колес.
Уравнения движения зубчатых колес в этом случае следует записывать в виде
J MP(t)R;
A)
где Ji, J2 — моменты инерции ведущего и ведомого колес; Mlt M2 — входной и вы-
выходной крутящие моменты; Rol, R02 — радиусы основных окружностей ведущего и
ведомого колес; Р (t) — динамическая нагрузка в зацеплении; вз1Л — угловые ско-
скорости колес.
Смещения зацепляющихся колес иг и ы2, измеренные по линии зацепления, могут
быть определены из A) в предположении, что за период удара скорости зубчатых
колес и крутящие моменты на валах остаются неизменными, т. е.
иг = Ro^+^iП-^^Р(т) (t-т)
} B)
где ш10, <oM — начальные угловые скорости колес.
Прогиб зуба, обусловленный колебаниями его как консольной балки, можно
нанти из решения дифференциального уравнения
где EJ — жесткость зуба-балки на изгиб; (х (х) — масса единицы длины стержня;
Ja — момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, пер-
Пендикулярной плоскости колебаний; б (х) — дельта-функция Дирака; х0 — коор-
Дината точки приложения силы Р if).
Для упрощения решения уравнения C) применительно к колебаниям зубьев
™лес рекомендуется пренебрегать инерцией вращения и принимать последнее сла-
аемое в левой части уравнения C) равным нулю [26]. Однако это упрощение при
Учете, что поперечные и продольные размеры балки, заменяющей зуб, есть величины
Дного порядка, является достаточно произвольным, поэтому при уточненных иссле-
92
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
дованиях динамики зубчатых передач следует пользоваться непосредственно урав-
уравнением C).
Решение уравнения C) при /0 = 0 следует искать в виде разложения по нормаль-
нормальным формам:
2). D)
в котором искомая динамическая нагрузка Р (() находится под знаком интеграла
[26, 28].
Сближение соударяющихся зубьев, связанное с контактной деформацией, в слу-
случае начального линейчатого касания может быть записано в виде [21
— Ca\nP{t),
E)
где Съ С2 — постоянные, определяемые упругими и геометрическими параметрами
контактирующих зубьев.
Тогда, с учетом B), D) и E), уравнение для определения динамической нагрузки
Р (t) в соответствии с теорией удара по Герцу примет вид
6 = («1 — Wi) — («2 — ИЛ>)' F)
Для решения уравнения F) на ЭЦВМ предлагается метод численного интегри-
интегрирования, при котором период колебаний разделен на п равных частей и в пределах
каждой части динамическая нагрузка Р (t-)
принята неизменной [26]. Учитывая нелиней-
нелинейный характер связи между 8 и Р (t) E), реко-
рекомендуется метод последовательных приближений
для нахождения Р (t) [26].
С/] ] 1 j Расчеты показывают, что учет колебаний
зуба как балки только по первой форме дает от-
отклонение от точного решения с учетом высших
форм колебаний зуба-балки на 1,5%. Это позво-
позволяет при подобных расчетах учитывать лишь
колебания зуба-балки по первой форме и пере-
переходить от модели зуба с распределенными пара-
параметрами к модели с сосредоточенными пара-
параметрами.
В зубчатых передачах (и в первую оче-
очередь в передачах с прямыми зубьями) имеет
место периодическое изменение жесткости зубьев по фазе зацепления, связан-
связанное с тем, что в передаче крутящего момента в зависимости от фазы зацепления при-
принимает участие разное число зубьев. Например, для прямозубых зубчатых колес
характер изменения жесткости С зубьев по фазе зацепления имеет вид, показанный
на рис. 1, где Тг — период зубцовой частоты, е — коэффициент перекрытия передачи.
В этом случае колебания зубчатых колес описываются дифференциальным уравне-
уравнением вида
= /('). G)
(с-П Тг
Рис. 1
где х — относительное движение колес, измеренное вдоль линии зацепления; ц —
приведенная к линии зацепления масса колес; С @ — переменная по времени жест-
жесткость зубьев; f (t) — возмущающая сила, действующая в зацеплении.
В связи со сложностью решения уравнения G) следует ограничиваться опре-
определением зон неустойчивости для однородного уравнения [/ (f) = 0] после сведения
уравнения G) к хорошо изученному уравнению Матье [C(t)= Со A — v cos (of),
а> = 2nlTz] или же использовать аналоговую вычислительную технику [20, 7]. При
этом следует иметь в виду, что даже при больших значениях v резонансные явления
в системе G) в случае / (t) = / cos pt возникают при частотах pf = о)о и р2 = /2
где ш„ — частота свободных колебаний системы, <а0 = \гСг,1\к [7, с. 94].
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 93
Параметрические явления при вынужденных колебаниях косозубых зубчатых
также можно изучать на АВМ сведением пары колес (рис. 2) к системе с сосре-
К°«эченными параметрами [14, с. 111]. Динамическая модель зубчатой пары должна
Д мывать поперечные (*,-) и крутильные (фг) колебания колес; система дифферен-
альных уравнений, описывающих эти колебания колес, имеет вид
ид + kx (to) *!+k3 (<о)х3 + Сл + С3 (t) x3 = — F(t
m2x2 + k2((a)x2 — k3((u)x3 + C2x2 — C3{t)x3 = F (t);
АфЧ + *з И «oi*3 + С3 @ Roix3 = M1-F (t) Rol;
2 - k3 (со) Яо2*з -
Хз _ (Xl + ф!/?01) — (x2 + Ф2Я02) — Деформация зубчатого зацепления; m;, // —
массы и моменты инерции колес; С/ — жесткость опор; С3 (t) — переменная во вре-
времени жесткость зацепления; F (t) — функция силового возбуждения колебаний;
ki («), k3 (ш) — коэффициенты демпфирования колебаний в опорах колес и в зацеп-
зацеплении.
Выполненные на АВМ исследования динамических процессов в зубчаток паре
с периодическим изменением жесткости зубьев по фазе зацепления показывают,
Рис. 2
что на уровень вибраций влияют как параметры силового возбуждения колебаний,
так и фазовый сдвиг между возмущающей силой, действующей в зацеплении, и функ-
функцией жесткости зубьев [14].
Переборный редуктор. Динамическая модель переборного редуктора в случае,
когда зубчатые колеса представляются в виде твердых тел, сводится к многомассовой
системе, расчет которой с использованием ЭЦВМ не вызывает принципиальных слож-
сложностей. Однако для изучения особенностей процессов, происходящих в редукторах,
Целесообразно отдельно рассмотреть поведение каждой зубчатой пары, заменив связи,
наложенные на зубчатые колеса сопряженными с ними деталями, динамическими
жесткостями.
В тех случаях, когда между деталями существует слабая упругая связь, такое
выделение зубчатой пары с заменой динамической жесткости упругой связи ее ста-
статической жесткостью не приводит к заметным погрешностям [9, 13]. Однако отнесе-
отнесение упругой связи к слабой требует полного изучения всей динамической модели
Редуктора. Поэтому целесообразно применять геометрическую интерпретацию коле-
колебаний зубчатой пары, поскольку анализ аналитического решения задачи о колеба-
колебаниях даже простейшего переборного редуктора чрезвычайно затруднителен и при-
приводит к сложным зависимостям.
Геометрическая интерпретация колебаний зубчатого колеса позволяет наглядно
Представить виды его движения при действии различных возмущающих факторов.
фи этом исследуемое зубчатое колесо выделяется из общей динамической системы
редуктора, а упругие связи между колесом и сопряженными с ним деталями заме-
яются их динамическими жесткостями [25, с. 166].
На рис. 3 представлены зависимости координаты v центра вращения вдоль оси,
роходящей через центр колеса перпендикулярно линии зацепления, от частоты и
Да возмущающей силы: М — момента относительно оси колеса, Рх — радиальной
94
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
силы, направленной перпендикулярно линии зацепления, Рп — нормальной силы,
направленной вдоль линии зацепления. Параметры зубчатой пары: массы шестерни
т1 = 0,1 кгс-с2/см, колеса т2 = 0,6 кгс-с2/см; моменты инерции шестерни Jt =
= 7,5 кгс-см-с2, колеса J2 = 150 кгс-см-с2; радиусы основных окружностей ше-
шестерни Rox = 10 см, колеса R02 = 30 см: жесткости опор колес Со = 2-Ю6 кгс/см;
жесткость зацепления С3 = 3-106 кгс/см.
Крутильным колебаниям колеса соответствует координата v = 0, поперечным
колебаниям — координата у = оо. Точки О2, О4, Ов пересечения кривых Рп, Рх и М
соответствуют собственным колебаниям системы.
Из анализа рис. 3 следует, что при возбуждении колебаний колеса крутящим
моментом М чисто крутильные колебания возникают лишь на одной частоте, соот-
соответствующей точке Т4; при возбуждении колебаний колеса нормальной силой Рп
возникают преимущественно крутильные колебания в значительном диапазоне частот
(колебания считаются преимущественно крутильными, если центр колебаний лежит
внутри круга радиуса R01 = 10 см). Отсюда следует, что анализ видов вынужденных
V,CM
30
го
70
-10
-1С
-JO
~~ Г
1
l\
та/
erf iii i 'i i i i
Г"
ii
¦ i
/i
4 1
1
> i it
20
1
—r
1
1
1
1
1
l 1
30
/
/
'/
1 ИГ
W 50
1
1
I
1
1
1 шг-ГО~е1 /"~г
1ч,1 1 1 1 1 1
Ьо эото т
II*
Рис. 3
колебаний зубчатых колес необходимо проводить с учетом не только жесткостных
свойств системы, но и характера возмущающих сил.
Особый интерес представляет возбуждение колебаний колеса нормальной воз-
возмущающей силой Рп cos со/. В этом случае координата центра вращения определяется
по формуле [25]
v =
n
(со — частота возмущающей силы Рп), т. е. определяется инерционно-жесткостными
свойствами самого колеса и совершенно не зависит от параметров отброшенной части
системы. Это позволяет выбором параметров колеса создавать определенные виды
его движения или минимизировать усилия в некоторых упругих связях, через кото-
которые колесо соединено с корпусом редуктора, на определенных частотах возмущаю-
возмущающей силы Рп cos at.
Если зубчатое колесо для снижения уровня динамических сил в зацеплении и
демпфирования колебаний выполнено составным (рис. 4) и между ободом и ступицей
колеса установлен упругий элемент, то колебания обода по высшим формам (п 2= 2)
также можно изучать изолированно от всей системы. Объясняется это тем, что коле-
колебания обода колеса по высшим формам (п >= 2) не приводят к возникновению неурав-
неуравновешенных динамических сил, передающихся на ступицу колеса, поэтому такие
колебания происходят автономно и не распространяются по сопряженным элемен-
элементам редуктора.
Расчетная динамическая модель обода составного зубчатого колеса представ-
представляется в виде тонкого упругого кольца, колеблющегося в упругой среде, которая
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
95
сопротивляется как радиальным, так и тангенциальным перемещениям точек кольца.
Принимая линейный характер упругой связи между кольцом (ободом колеса) и
средой (упругий элемент составного колеса), уравнение свободных колебаний кольца
запишем в виде [25, с. 68]
^5Г + 2
d2 [ff>v \
= 0,
где kt = -
EJ
ML
EJ
ном и тангенциальном направлениях; т =
приведенные коэффициенты жесткости среды врадиаль-
— тр4
EJ
¦ — приведенная масса единицы длины
кольца (п = Fy/g}\ J, Е, р — соответственно момент инерции сечения, площадь се-
сечения и радиус нейтральной окружности кольца.
Частоты собственных колебаний кольца в
упругой среде определяются из соотношения
Венец
1 +
я2(я2 —IJ'
где п — номер формы колебаний кольца; сас —
собственная частота колебаний свободного коль-
кольца, соответствующая п-й форме,
о>,=
Vm{n?+\)'
Ступща
Рис. 4
Коэффициенты жесткости среды kt и k2
зависят от номера формы п и определяются из
специального расчета упругого элемента на
жесткость под действием п-й гармоники сил.
Действующая на обод составного зубчатого колеса динамическая нагрузка
Рп sin (S)zt вращается относительно обода с угловой скоростью щ. Тогда в момент
времени t возмущающая сила в точке кольца (обода колеса) с координатой г] = щ1
будет равна Р !г — Р„ sin —^- г\.
Из условия замкнутости кольца вынужденные колебания описываются уравне-
уравнением
и(9, 0 =
А" Гап(п8 —%< —
2LL 2
Sin(n6 — (x>4 — Jn)
}¦
где v — тангенциальное смещение точек кольца; А п =
|"(«a-i)j x
X cos2 a + га2 sin3 а, h—расстояние от точки приложения силы на зубе до нейтраль-
нейтральной окружности обода колеса; ш^ = пщ — ш2; ша= пщ + ш2; са — частота свобод-
свободных колебаний кольца.
Из этой формулы следует, что резонансные режимы колебаний кольца соответ-
соответствуют частотам со = й^ и со = а>2- Таким образом, при движущейся нагрузке число
резонансных частот удваивается по сравнению со случаем, когда ш0 = 0.
Планетарный редуктор. В планетарных редукторах имеются две основные осо-
особенности, затрудняющие их динамический расчет, — многопоточность системы и
повышенная податливость ободьев центральных колес, предусматриваемая обычно
для более равномерного распределения нагрузки по потокам мощности. При изуче-
изучении колебаний планетарных редукторов необходимо рассматривать их распростра-
распространение от зубчатых зацеплений по всем трем возможным направлениям — к обоим
центральным колесам и к водилу через сателлиты.
96 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Динамическая модель планетарных редукторов включает элементы как с со-
сосредоточенными, так и с распределенными инерционными и жесткостными парамет-
параметрами. Например, солнечную шестерню, сателлиты, водило, обычно можно рассматри-
рассматривать как твердые тела, совершающие колебания на упругих связях (зубчатых за-
зацеплениях, опорах). Но венец с внутренними зубьями (эпицикл) с подвеской, выпол-
выполняемой обычно в виде набора тонких оболочек, следует рассматривать как систему
с распределенными параметрами.
Составление уравнений, описывающих динамическое состояние планегарнык
редукторов, и их решение связаны с двумя трудностями- принципиального характера
(различие уравнений, описывающих поведение элементов с распределенными и с со-
сосредоточенными параметрами — уравнения в частных производных в первом случае
и обыкновенные дифференциальные уравнения — во втором) и вычислительного
характера (число уравнений достаточно велико).
Для преодоления первой трудности предложено: во-первых, представлять эле-
элементы редуктора такими моделями, которые описываются однотипными обыкновен-
обыкновенными дифференциальными уравнениями, т. е. осуществить физическую или мате-
математическую дискретизацию системы, во-вторых, осуществить разделение редуктора
на такие подсистемы, в каждую из которых должны входить элементы с четко выра-
выраженными сосредоточенными или распределенными параметрами. В этом случае
колебания каждой подсистемы описываются соответствующими уравнениями или
системой уравнений, а о колебаниях всего редуктора следует судить, решив систему
уравнений совместности деформаций для связей, по которым редуктор разбивается
на подсистемы [14, с. 57]. На таком подходе построен метод динамических податли-
востей, позволяющий исследовать сложные динамические системы, составленные из
подсистем, динамическое состояние которых описывается дифференциальными урав-
уравнениями различного типа.
Выделение простых подсистем достаточно произвольно и должно основываться
на стремлении получить окончательный результат наиболее простым путем. Для
планетарного редуктора целесообразно выделить следующие простые подсистемы
1) солнечную шестерню с подвеской, выполняемой в виде торсиона с ротором привода,
2) сателлиты с водилом, выполняемым в виде массивной детали, установленной на
валу либо соединенной с корпусом через упругую связь; 3) эпицикл с подвеском,
выполняемой обычно в виде системы зубчатых муфт-оболочек; 4) корпус редуктора,
выполняемый обычно в виде оболочечной или рамной конструкции.
При исследовании свободных и вынужденных колебаний планетарных редук-
редукторов, в соответствии с методом динамических податливостей, в местах рассечения
системы на простые подсистемы к каждой из подсистем прикладывают единичные
возмущающие силы, изменяющиеся с определенной частотой, и выполняют расчег
вынужденных колебаний каждой из подсистем отдельно под действием этих возму-
возмущающих сил. После этого составляют уравнения совместности деформаций для ка-
каждой упругой связи, по которым рассекали систему на простые подсистемы.
При динамических исследованиях планетарного редуктора следует представлять
возмущающие силы, действующие на элементы редуктора и в зубчатых зацеплениях
и соединениях, в виде тригонометрических рядов по полярному углу 6. В этом слу-
случае оказывается возможным проводить расчет свободных и вынужденных колебаний
редуктора отдельно для каждой гармоники возмущающих сил, что в ряде случаев
значительно упрощает расчет.
Так, нулевая гармоника возмущающих сил в зубчатых зацеплениях приводит
к крутильным колебаниям в системе; первая гармоника — к поперечным колеба-
колебаниям центральных колес на упругой подвеске; высшие гармоники — к колебаниям
ободьев центральных колес по высшим формам, причем в общем случае, когда на
обод центрального колеса действует некоторая сосредоточенная сила (связанная,
например, с тем, что возмущающие силы в зубчатых зацеплениях в произвольны»
момент времени не равны), на ободе центрального колеса будут возбуждаться все
формы колебаний (начиная с первой), а не только формы, кратные числу сателлитов-
Предлагается следующая последовательность расчета свободных колебании
планетарного ряда в случае колебаний его элементов в плоскости, перпендикуляр'
ной главной оси [14, с. 57]. На рис, 5 показаны выделенные подсистемы — солнечная
шестерня, сателлиты, эпицикл и водило с соответствующими упругими связями-
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
97
Жесткости зубчатых зацеплений, опор сателлитов и водила представлены в виде
вивалешных жесгкостей пружин С,-, причем оси пружин, имитирующие жест-
ости зубьев, направлены по линиям зацепления. К выделенным элементам в местах
стечения упругих связей приложены единичные гармонические силы (Pls, Р1С> Р5,
pi, Рк, Р*э и т. д.),
Рис. 5
Для упругоподвешенного твердого тела матрица коэффициентов динамических
податливостей определяется следующим образом. Составляются уравнения движения
тела под дсйс1вием сил Р,-:
(Си— /пш2
0
О
О
-m W
/? Р;аД
= SP.P, = Р1Р2Р3
\LPiriJ \
гДе Сп, С22, С33 — значения главных жесткостей, присоединенных к телу (в данном
случае главные жесткостные и инерциальные оси совпадают); х, у, ф — координаты
Движения центра тяжести и поворота тела относительно оси г; а{, |Зг, ц — напра-
направляющие косинусы и моменты единичных векторов е;, направленных по осям г-х
пружин.
Перемещения г-х точек в направлении векторов е^ связаны с координатами х, у, ф
зависимостью
4 п/р ф
\«п Рл ''л
Димоитбсрга и К С. Колесникова, т. 3
98 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Определив координаты х, у, <р из решения уравнений равновесия, получим
связь между перемещениями t'-x точек и,- и силами Pi в виде
где g. _ R.M~lR* — матрица коэффициентов динамических податлчвостей;
,cct pj п\
/ аз Рг ''г \ /Сп—тш2 О О
R/= «з Рз '•з ; М;= О С22—тсо2 О
I / \ О 0 Сз3-тш2//
\а« Р« '¦»//
RJ — транспонированная матрица R(-'
Приведенные соотношения могут быть использованы для построения матрицы
динамических податливосгей выделенных подсистем.
Для солнечной шестерки матрица коэффициентов динамических податливоией
ей е13\
^31 ^32 Р$3/ S
где
tnsair C33—^/о2' Cji — m^'2 c33 —
S3i"
ei/s—ejis''
Си. CWi С3з — главные жесткости упругой подвески солнечной шестерни.
Для к-со сателлита матрица коэффициентов динамических подагливостей
/еп е12 е13 ен\
I е21 е22 е23 е24 \
Сс, к == 1 ) »
\ 32 33 3i/
^е41 е42 е43 е44' С
где
* ' а й' а
JfrPA; . _??__.
—mcco3 ' c —mc(x>"
1
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 99
$k и afe' $k — соответственно направляющие косинусы единичных векторов
е'сткостей зацепления сателлита с солнечной шестерней и эпициклом.
* Матрица Ес& устанавливает связь между перемещениями к^х, щъ, ищ, и^х и еди-
единичными силами Pks, Р*.э, Pkr\, pkx-
Для водила, опирающегося .на две опоры, с учетом податливости этих опор мат-
оица коэффициентов динамических податливостей, устанавливающая связь между
перемещениями и11}, ищ, ищ, щх, ип, щх и единичными силами Р1Т), Р2Я, Рзц, Plt,
Р№ Рзх, имеет ВИД
е13 ...
en
<?2t
«12
<?22
езз
«62 «63 •,•• <
где
_ ! j_ ^ _ 1
е11в — г22В — еЗЗВ — V Г Is ' е*?в — е55В — ?66в — ^ ~
Аи Лзз Л и
1/2 л2
'12в ~епв—егзв — — zr—Ь i^~; еив=е29в = езвв — 0;
All Азз
е15в — е16в — ^24В — — г26В — — е34в — е35в
35в J?
Al
1/2 _ _
главные поперечные и крутильные жесткости упругой подвески водила. Приведен-
Приведенные в этой матрице постоянные V2 и 1^3/2 справедливы для трехсателлитного пла-
планетарного редуктора.
Для случая, когда эпицикл можно считать абсолютно жестким телом (в опре-
определенном диапазоне частот), матрица коэффициентов динамических податливостей
эпицикла Еэ аналогична матрице Es с заменой индекса s на э.
В большинстве конструкций планетарных редукторов эпициклы изготовляют
в виде тонких колец с соотношением толщины к радиусу hi р = 0,05 -=- 0,1. В этом
случае в качестве расчетной модели эпицикла с подвеской следует выбрать набор
колец, связанных линейными упругими связями, имитирующими зубчатые соеди-
соединения и участки оболочек между зубчатыми венцами муфт подвески эпицикла [25,
с 32]. Такая частичная дискретизация упругой системы эпицикла с подвеской имеет
преимущество, так как позволяет учесть основную особенность системы — ее циклич-
цикличность в окружном направлении. Поведение системы в осевом направлении учиты-
учитывается лишь приближенно — рассмотрением конечного числа колец.
При расчете колебаний эпицикла с подвеской по высшим формам в качестве
конечного элемента следует рассматривать кольцо в упругой среде, сопротивляю-
сопротивляющейся радиальным и тангенциальным смещениям [25, с. 68]. Последовательное сое-
соединение колец через упругие связи позволяет построить расчетную модель эпицикла
с поДвеской и определить коэффициенты динамических податливостей в местах сопря-
сопряжения его с другими подсистемами.
Дифференциальные уравнения, описывающие динамическое состояние эпи-
эпицикла с подвеской, в этом случае имеют вид
Г Ifrv \1
— Ktk (v/г — vk+i) — A'/a+i (Vk — vk+1) = Fk,
4*
100 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
где ? = 1, 2, 3 ..» N—номер кольца; F^ — возмущающая сила на k-ы кольце;
(г — масса единицы длины кольца; Kr, Kt — коэффициенты жес1 кости упругих свя-
связей между кольцами в радиальном и тангенциальном направлениях,
Общее выражение для коэффициентов К имеет вид
где АГз — жесткость зубьев соединения между элементами подвески — эпицикла;
Ко — жесткость участков между зубчатыми венцами муфт подвески эпицикла.
Разыскивая решение этих уравнений в виде
оо
t>ftF, 0= 2 (P'kmcosmv + Ckm sin m6) e1'6,
m = l
получаем перемещения колец
Коэффициент динамической податливости кольца ст силы и момента, приложен-
приложенных к эпициклу,
hx h2 h3 hk_x
гае Ад определяется по реккурентной формуле
Коэффициент динамической податливости эпицикла
Д
"" т=\
где C = 2я6/3 (к = 1, 2, 3) для трехсателлитного редуктора.
Для приближенных расчетов эпицикл с подвеской можно рассматривать как
кольцо в упругой среде, заменяя реактивное действие системы упругих муфт подвески
упругой средой, препятствующей перемещению кольца в радиальном и тангенциапь-
ном направлениях. В этом случае матрица коэффициентов динамических податливое -
тей эпицикла, устанавливающая связь между перемещениями и1э, 1ц3, Щ$ и силами
Р1э, Р2Э, Р3э,имеет вид
, 2ят 4лш 1
I cos —у cos -у \
А"щ I 4itm , 2лт
COS-^r— 1 COS—т^-
m=1 \ 2ят
I COS -s— COS
где Am = (т2— 1) — -f 1 cos2a + m- sin2 a;
Д = ^Z- ,П2 (,„2 _ [ K
?J — изгибная жесткость эпицикла; Kr, Kt — удельные жесткости упругой
среды в радиальном и тангенциальном направлениях; т — номер формы колебании!
«в — угловая частота.
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 101
Определенные по приведенным зависимостям коэффициенты динамических подат-
востеч подсистем используют для составления системы канонических уравнений
ЛИ условия отсутствия перемещений в местах рассечения всей системы на подсистемы:
' три уравнения по числу связей солнечной шестерни с сателлитами
0 (i = l, 2, 3);
три уравнения по числу связей эпицикла с сателлитами
Uib + ui3^ + Pt/C3 = 0 (i=l, 2, 3);
три пары уравнений (для каждого сателлита)
где q3—жесткость зубчатых зацеплений; Со — жесткость опор сателлитов в направ-
направлении t) и т.
При подстановке в эти уравнения значения и; = Se^P,, где ец — элементы мат-
матрицы Ef, получаем систему канонических уравнений [Kif] X {Р}\ = 0 и частотное
уравнение det [/Cj/1 = 0. В раскрытом виде частотный определитель
cos a
cosla+^(rtc-f 1 —!I
sin a + -p(nc+I— i)
^ 1 ^c ^ ^
TPexc Же Дан Расчет спектра собственных частот по приведенным соотношениям
п а^еллн1ного планетарного редуктора с параметрами: ms = 0,024 кгс-с2/см;
9 = 0,0612 кгс-с2/см; Js = 0,87 кгс-см4/с; J3 = 40,25 кгс-см4/с; гс = 15,84 см;
102
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
гв = 25,2 см; Clis = 1,3- 10е кгс/см; C33S = 1,87 кгс-см/рад; С11э = 0,268-107 кгс/су;
С3зэ = 0,3192-1010 кгс-см/рад [14, с. 65]. Выполнено также экспериментальное
исследование спектра собственных частот редуктора с помощью пьезодатчиков, уста-
установленных на основных деталях редуктора [6]. При этом возбуждение вибраций в ре-
дукторе осуществлялось от вибратора направленного действия, имитирующего воз-
возмущающие силы в зубчатых зацеплениях при статическом нагружении редуктора.
В табл. 1 приведены результаты экспериментального (на разных деталях) и расчетного
(для двух моделей эпицикла) определения спектра собственных частот шевронного
редуктора. Из анализа табл. 1 следует, что учет упругих свойств обода эпицикла
дает увеличенный спектр частот и лучшее соответствие экспериментальных и расчет-
расчетных данных.
1. Спектр собственных частот редуктора (Гц)
Экспериментальный
Эпицикл
левый
240
320
500
600
900
1100
1200
1350
1600
1700
2000
2550
2700
2900
3100
3600
правы!!
220
300
540
900
1100
1150
1200
1400
1700
2000
2400
2650
2900
3100
3400
3625
3800
4400
4800
Солнечная
шестерня
240
320
450
600
710
940
1050
1100
1150
1200
1350
1750
2650
3100
3400
3700
4200
4600
Сателлит
940
1075
1125
1M0
1200
1225
1350
1400
1700
18С0
2000
2225
2400
2500
2700
2800
2900
3100
3400
3600
3700
4400
4800
Водило
240
320
9С0
1100
1225
2900
4400
4800
Расчетный
Эпицикл
(твердое тело)
596
693
1660
1760
1940
2080
2770
3040
3420
3875
Подвеска эпицикла
(система с распреде-
распределенными парамет-
параметрами)
194
329
465
П5
712
936
1M0
1250 >
1380 ' I
<
1600
itsoW
1795 ''
2030' \
2270' ,?
2о75 1
2506 Д
2745 '
2S40
3105
3340
3415
о740
ЗЬЬО
4410
4890
Уточнение коэффициентов динамических податливостей эпицикла при принятом
методе расчета не изменяет порядок частотного определителя, а приводит лишь к из-
изменению его элементов, содержащих коэффициенты еэ. Поскольку определение ?9
выполняется обычно по специально составленной подпрограмме, то уточнение коэф-
коэффициентов ев приведет лишь к изменению этой подпрограммы, не влияя на всю прог-
программу расчета спектра собственных частот планетарного редуктора на ЭВМ. Увели-
Увеличение числа сателлитов приводит к соответствующему увеличению числа однотипны"
блоков в частотном определителе, однако структура этого определителя не изменяется-
Постоянство структуры определителя при любом числе сателлитов облегчает задачу
программирования для вычислений на ЭВМ.
При расчете вынужденных колебаний планетарных редукторов целесообразно
использовать метод динамических податливостей. В отличие от изложенного Bb№e
метода расчета собственных частот планетарного редуктора в этом методе учитываются
также возмущающие силы двух типов — силы небаланса, действующие на детали.
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЮЗ
змущающие силы в зубчатых зацеплениях [18]. Общее матричное уравнение дтя
мы составленное относительно внутренних сил Хе к в связях, по которым осу-
С"Сгтвляется разделение системы на подсистемы, имеет вид
8 '*
д д*—матрицы динамических податливостей; Fe* *, Fe *—матрицы-столб-
"•ы вспмущающих сил, действующих по связям и приложенных к центрам тяжести
К алей, умноженных на соответствующие коэффициенты динамических податливос-
ей' 9ft> Ф*> ^fr—Углы фазовых сдвигов.
' Порядок этого матричного уравнения по-прежнему равен числу связей, по кото-
до осуществлялось выделение подснсгем (для трехсателлитного редуктора он равен
12).
3. ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Жесткостные и инерционные характеристики. Обычно в зубчатых передачах
жесткость зубьев колес значительно больше жесткости других упругих элементов
(валов, муфт), что используется для упрощения динамических моделей зубчатых
передач [9, 13]. Однако на начальном этапе составления динамической модели дтя
обоснованного ее выбора необходимо располагать расчетными формулами для оценки
жесткости всех основных упругих элементов зубчатых передач.
Наибольшую сложность представляет определение жесткости зубьев колес,
требующее использования методов теории упругости. Деформация прямых зубьев
определяется суммой трех компонент — изгибной деформацией, контактной и дефор-
деформацией прилежащей к зубу части обода зубчатого колеса. Многочисленные расчеты
и эксперименты позволяют рекомендовать следующую приближенную зависимость
для определения суммарной деформации прямого зуба [3]:
ш = C,65+Л3)^-, (9)
где Р — нагрузка, действующая на зуб; Ь — ширина зубчатого венца; h — относи-
относительное (в долях модуля зацепления) расстояние от точки приложения нагрузки до
основания зуба (для нормальной высоты зуба h = 0,25 соответствует начальной точке
контакта, h = 2,25 — точке на вершине зуба).
Поскольку точке зуба шестерни (колеса) с координатой h — 0,25 соответствует
точка зуба колеса (шестерни) с координатой ft. => 2,25, суммарная деформация зубьев,
находящихся в зацеплении,
ш21=[3,65+Лз + 3,65 + B,50—Л3)]-^-=[11,2 + 7,5(Л—1,25J] JL_( (i0)
т. е. суммарная деформация зубьев изменяется по параболической зависимости с ми-
минимумом в полюсе зацепления (h = 1,25).
Суммарная жесткость пары зубьев изменяется по фазе зацепления и рассчиты-
рассчитывается по формуле
лия экспериментальных данных, полученных в работе [16, с. 163], позвотил
ни Дожи следующую формулу для определения жесткости зубьев по фазе зацепле-
С3.„ = -§ [1-0,27(А-1,25L,
в над?я Лает меньшую (на 16%) жесткость в полюсе и большую (на 5%) жесткость
льнои и конечной точках зацепления, чем формула A1).
104
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
В некоторых случаях предпочтительнее оказывается тригонометрическая форма
записи зависимости A1)
Е Г1+ 0,67 sin ~ (Л-0>2!
Из формулы A1) можно получить выражение для определения жесткости зубьев
в передачах с учетом коэффициента перекрытия 8:
где х — относительная координата точки контакта зубьев на линии зацепления,
выраженная в долях основного шага и измеренная по линии зацепления (х = 0 соот-
соответствует входу пары зубьев в зацепление, х = г — 1 — началу однопарного зацеп-
зацепления данной пары зубьев; х = е/2 — полюсу зацепления; х — е — выходу пары
зубьев из зацепления).
Расчеты по формуле A2) показывают, что средняя величина суммарной жесткости
зубьев зависит от е, т. е.
при двухпарном зацеплении
при однопарном зацеплении
8/2
J C3(x)dx = Jf2[0,6+l
~" 2-е
8 — 1
Из этих формул следует, что независимо от коэффициента перекрытия передачи s
можно приближенно принимать СД(С9 = 2.
Расчетное определение жесткости косых зубьев связано со значительными труд-
трудностями [2, 3]. Поскольку повышенная податливость косых зубьев имеет место лишь
на небольших участках, прилежащих к торцам зубьев, приближенно можно принять,
что жесткость косозубого зубчатого зацепления пропорциональна суммарной длине
контактных линий (СДКЛ), находящихся в рассматриваемый момент времени на поле
зацепления:
где Суд = ?/A1 ч- 13) — удельная жесткость прямозубого зацепления; Z,s — сум-
суммарная длина контактных линий.
Если коэффициент торцового еа или осевого ер перекрытия в передаче целое
число, то СДКЛ является величиной постоянной, т. е.
L2 = eafe/cos p0 = const,
где Ь — ширина зубчатого венца; ро — угол наклона зубьев на основном цилиндре.
В общем случае, когда еа или ер не равен целому числу [3],
где ^ — ea60/cos $0 = const, L%— Е (es) Дб/cos Ро = const, AL — переменная часть
СДКЛ, зависящая от фазы зацепления; Ьо—кратная осевому шагу часть длины зуба;
Дй = Ь — Ьв; Е (es) — целая часть е^.
Изменение по фазе зацепления СДКЛ приводит к тому, что в соответствии с A3)
изменяется и жесткость косозубого зацепления. Изменение жесткости по фазе заие"'
ления характеризуется соотношением [3]
. кь A4)
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 105
?. — Аб/^ос ПРИ А6 < 0,5 toz\ kb = I — Ай/^ос при Л& > 0,5 toz, ?oc — осевой
гДе . ?¦ Fо) — целая часть е0; АС = С — С — изменение жесткости по фазе зацепле-
шаГ; q средняя величина жесткости косозубого зацепления. Из формулы A4) сле-
\ что в косозубом зацеплении глубина модуляции жесткости незначительна
? пример, при е,= 1,5; ?(е0) = 3; tJZlC < 0,05), поэтому возникновение параметри-
кого резонанса в нем практически невозможно. Формула также позволяет опреде-
ть обусловленные периодическим изменением жесткости косозубого зубчатого за-
епления возможные амплитуды вынужденных колебаний зубчатых колес, выражен-
выраженные в долях упругой деформации зубьев.
Зубчатые муфты — важный элемент зубчатых передач, влияющий на динамичес-
динамические характеристики, их изготовляют с эвольвентными зубьями с прямолинейной и
криволинейной формой образующих.
Жесткость пары зубьев муфты с учетом изгибной и контактной деформаций зубьев
следует определять по формулам [3]:
для зубьев с прямолинейной формой образующих
*-*ш. п — TZ7, — /j/^o,
для зубьев с криволинейной формой образующих
Сш.б = т-^— = ?/F,88+1,
где ф — отношение ширины зубчатого венца к модулю.
При перекосе осей муфт, связанном с деформацией элементов, динамическими
процессами в системе или погрешностями монтажа, жесткость пары зубьев в связи
со смещением площадки контакта к торцу зуба изменяется и может быть приближенно
определена по формуле CY = C I 1 —^- cos S j, где х — расстояние от точки приложе-
приложения равнодействующей контактных сил до среднего сечения длины зуба; для зубьев
с прямолинейной формой образующих хп = (b/2) cos 6, для зубьев с криволинейной
формой образующих х$ = Ry cos 6, здесь R — радиус кривизны профиля зуба в про-
продольном сечении; у — угол перекоса осей муфт; б — координата рассматриваемого
зуба по отношению к плоскости перекоса; 9 = я/2 координирует зуб, находящийся
в плоскости перекоса.
Крутильная жесткость зубчатой муфты при номинальном контакте профилей
зубьев
скР.ш=—- —ЬшКо2ш,
где Яо _ радиус основной окружности зубчатого венца муфты; гш — число зубьев
муфты; сш — жесткость пары зубьев.
Эта формула справедлива для зубчатой муфты в неперекошенном состоянии.
и между осями муфт существует угол перекоса у, то жесткость зубчатой муфты
Скр. ш==Сш^огш^нер'
^де ^нер — коэффициент неравномерности нагружения зубьев муфты, вызванной
ПеРекосом осей [3].
пса "^чатая муфта из-за повышенной жесткости зубьев не является шарниром,
м ™МУ при перекосе в ней возникает изгибающий момент. Следовательно, зубчатая
Уфта может трансформировать изгибные колебания одной части системы в крутиль-
колебания другой. Изгибная жесткость зубчатой муфты
Си. м = -— = КаМКр,
106
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
где коэффициент Ки зависит от жесткости зубьев и числа зубьев муфты, принимающих
участие в передаче крутящего момента [3].
Если нагружены все зубья муфты, то, например, для муфты с зубьями, имеющими
прямолинейную форму образующей, коэффициент
2iR0wn'
где wn — средняя деформация зубьев; шп = Р/6СШ-П.
В муфте с криволинейной формой образующих зубьев изгибающий момент ?на-
чительно меньше и, как показали экспериментальные исследования, коэффициент
Кш = 50/3 радг1 [3].
Рис. 6
Ободья зубчатых колес в ряде случаев выполняют с повышенной податливостью,
что позволяет снизить уровень возмущающих сил в зубчатых зацеплениях.Тогдапри
динамических расчетах зубчатых передач необходимо учитывать податливость
ободьев зубчатых колес. В зависимости от конструктивного исполнения ободьев
колес можно выделить три расчетные схемы — свободное кольцо (рис. 6, а); кольцо,
соединенное с оболочкой (рис. 6, в); кольцо в упругой среде (рис. 6, г).
Общая формула для некоторого элемента упругой линии кольца и имеет вид
_к Qp3
"~A«Q?/.
где EJ — жесткость кольца на изгиб,
В табл. 2 приведены выражения коэффициентов Kuq для различных расчетных
моделей обода зубчатого колеса.
В планетарных редукторах ободья центральных колес нагружеяы равномерно
расположенными по окружности усилиями от зубчатых зацеплений. В этом случзе
действие всех усилий суммируется с учетом взаимного положения этих усилий [3J-
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 107
2. Коэффициенты упругих перемещений обода зубчатого колеса
Силовой фактор
Радиальная сила Тангенциальная сила Изгибающий момент
радиальное
w
1—с
- cos пв
1)*
Хан/енцналь-
нос v
у <l-c»> sin
2
Угол гопоро-
гопорота VP
П (П2— 1)
с») sin,ie
1)
sin „8
- > —1 L!i_ COS Пв
л = 2
п* (л2 — 1)
2
соз пв
п(л» —1
п) sinne
1
_У A~Сп)
^А и2 (и2 — 1)
созпв
ll—2
При свободном кольце Сп = 0. При кольце, соединенном с оболочкой,
i; Eo, Go
— модули упругости соответственно первого и второго рода материала оболочки;
ft,,, /0 — толщина и длина оболочки; EJ — жесткость кольца на изгиб.
При кольце в упругой среде
с„=-
где К. = K(>llEJ ¦— приведенные коэффициенты жесткости упругой среды в радиаль-
радиальном (г) и тангенциальном (/) направлениях.
При динамических расчетах планетарных редукторов необходимо также учиты-
учитывать жесткость осей сателлитов. В связи с относительно небольшой длиной осей сател-
сателлитов определяющими являются деформации овализации (для полых осей сателлитов)
11 сдвига, изгибная деформация осей сателлитов оказывает лишь незначительное
влияние на суммарную деформацию сателлитного узла [2].
Суммарная деформация опор качения складывается из контактных деформаций
"ЗД качения и колец w' и контактных деформаций на поверхности посадки колец на
вал и в корпус w" [13]:
Контактная деформация (в мм) для подшипников средних размеров
сДй Р — радиальная нагрузка, действующая на подшипник, кгс; а —• показатель
^ пе"я. зависящий от типа тел качения (а = 2/3 для шариков и а = 1 для роликов);
^" коэффициент, зависящий от типа подшипника, для шарикоподшипников к =
^~_^ : ~" 0,002d) 10~3, где d — диаметр отверстия, мм; для роликоподшипников
д^ (Vd) 10~3; для конического роликоподшипника нормальной, серии kx = 0,52;
Двухрядного роликоподшипника с короткими цилиндрическими роликами
каГ~ '^' для однорядного роликоподшипника с короткими цилиндрическими роли-
'и нормальной серии ky = 0,65.
108 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Контактная деформация (в мм)
где b,D — ширина и наружный диаметр подшипника, см; k2 = 0,005 -:- 0,025 мм8/кг—
коэффициент контактной податливости стыка (меньшие значения й2 берут при повы-
повышенной точности и больших натягах).
Расчет крутильной и изгибной деформации валов может быть выполнен по соот-
соответствующим формулам сопротивления материалов [4].
Вращающиеся зубчатые колеса можно в большинстве случаев рассматривать как
элементы с сосредоточенными параметрами. В этом случае момент инерции зубчатого
колеса дисковой формы может быть определен по формуле 122]
где у — удельный вес материала зубчатого колеса, кгс'см3; g= 981 см/с2; 6, г—.
соответственно ширина и радиус делительной окружности зубчатого колеса, см.
Масса зубчатого колеса, приведенная к радиусу основной окружности г0 и при-
приходящаяся на единицу ширины зубчатых колес,
J J
т~~ R$b ~b
поэтому при а = 20°, у — 7,8-10~3 кгс/см3
/^ = 3,6-10-е
и приведенная масса зубчатых колес
__ m}m2 _ 3,6 -
m
где dt — диаметр делительной окружности шестерни, см; i — передаточное число
передачи.
При расчете изгибной жесткости ободьев колес кольцевой формы влияние зубьев
на повышение жесткости обода учитывается по формуле [2] (см. рис. 6, б)
Нэ = Щ + кт$,
где Но — минимальная толщина обода (по окружности впадин зубчатого венца);
Яэ — эффективная толщина обода; ms — торцовый модуль зацепления; k ¦— коэффи-
коэффициент, учитывающий повышение жесткости обода в связи с наличием на нем зубьев,
равный коэффициенту радиального зазора в передаче.
При расчете изгибной жесткости ступенчатого вала его следует привести к экви-
эквивалентному по жесткости гладкому валу по формуле [24, стр. 91]
где li, di — длина и диаметр ;'-го участка ступенчатого вала.
Возмущающие силы. Характерными для зубчатых передач возмущающими
силами являются силы в зубчатых зацеплениях. К ним относятся силы, возникающие
при входе зубьев в зацепление в нерасчетной точке (кромочный удар [22]); силы, воз-
возникающие в связи с периодическим изменением числа зубьев, передающих крутя-
крутящий момент; силы, возникающие при одновременном проявлении обоих факторов
(кромочным взаимодействием зубьев и периодическим изменением числа зубьев,
передающих крутящий момент).
Зубья колес в связи с погрешностями шагов зубчатых колес и упругими деформа-
деформациями зубьев входят в контакт не на линии зацепления, а в некоторой нерасчетной
точке, в результате чего между вступившими в контакт профилями зубьев не будет
общей нормали, т. е. образуется относительное движение зубчатых колес. Таким
образом, контакт зубьев колес в нерасчетной точке сводится к рассмотрению удара
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 109
кДУ зубчатыми колесами, связанному с мгновенным сообщением колесу некоторой
Убыточной скорости. Величина этой скорости в зубчатом зацеплении зависит как
от приведенной погрешности зацепления
так и от скоростных и кинематических параметров передачи
^к = м2р2/2Д^ф/рпр, A6)
где А'о — разность основных шагов зацепляющих зубьев; a>s —упругая деформация
вступившей в контакт пары зубьев, связанная с нагружением в этот мо-
момент времени впереди идущей пары зубьев; «2 — угловая скорость колес; рПр —
приведенный радиус кривизны вступивших в контакт профилей зубьев, — = \-
Рпр Pi
_] , здесь рх, р2 — радиусы кривизны профилей зубьев в нерасчетной точке кон-
Рз
такта.
В этом случае динамическое состояние зубчатой пары описывается однородным
дифференциальным уравнением
+а = 0 A7)
с неоднородными начальными условиями а @) = 0, а @) == VK, где С — жесткость
зубьев в точке контакта; т — приведенная к основной окружности масса зацепляю-
зацепляющихся колес; а — относительное смещение профилей зубьев, измеренное вдоль линии
зацепления.
Указанное импульсное воздействие на систему повторяется с губцовой частотой
мг = ялд/30 (где пъ z1 — скорость и число зубьев ведущего колеса), что приводит
к возникновению колебаний зубчатых колес по закону [21]
cosal) A8)
справедливому для 0 < t < Тг, где Тг — период зубцовой частоты; a>0 = VCl
собственная частота системы; иг — круговая частота приложения импульсов.
Формулой A8) следует пользоваться, если длительность действия импульса ти
(время, необходимое для перемещения точки контакта зубьев на линию зацепления)
не превосходит 0,18—0,10 периода свободных колебаний системы тс (соответствующая
погрешность в амплитуде смещения составит 5 — 2% [21]). Для зубчатой передачи
-а * z XO f m m Мг '
где т — модуль зацепления.
Входящее в эту формулу отношение ijT2 обычно не превосходит 0,1, поэтому
в общем случае для зубчатых передач необходимо учитывать конечность интервала
выхода контакта с нерабочей точки на линию зацепления.
D следует из A8), при со, = ао/р (где р — целое число) в системе возникает
резонанс. Частота свободных колебаний зубчатой пары [23, с. 133]
шо = 28,3-1О4^—=±1
*р' Диаметр делительной окружности колеса, см; i — передаточное число,
•-ледовательно, резонансные скорости вращения ведущего колеса
по
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
где т — модуль зацепления, мм; i = zjz1 — передаточное число; гъ z2 — числа
зубьев шестерни и колеса; р = 1, 2, 3, ...
После встречи профилей зубьев зубчатых передач вне расчетной точки нормаль-
нормальная составляющая скорости равномерно уменьшается и становится равной нулю
в момент выхода точки контакта зубьев на линию зецепления. На этом интервале
времени действие постоянной силы препятствует сближению зубьев колес после удара
[1], что приводит к замедленному увеличению динамической нагрузки в зацеплении
с возрастанием скорости зубчатых колес.
Итак, в прямозубом зацеплении действуют следующие возбуждающие факторы:
периодические импульсы, связанные со встречей зубьев в нерасчетной точке со ско-
скоростью FK; периодические инерционные силы Кк/ти, связанные с уменьшением ско-
скорости от VK до 0 на нерасчетном участке контактирования зубьев; периодические силы,
связанные с изменением числа зубьев, принимающих участие в передаче крутящего
F
К,
т
/
и
и
Рис. 7
Рис. S
момента (рис. 7). Последняя составляющая реализуется лишь в том случае, если изме-
изменение жесткости по фазе зацепления не вызывает в системе параметрических колеба-
колебаний и поэтому может рассматриваться лишь как дополнительная возмущающая сила.
В общем случае следует исследовать движение системы на устойчивость в связи
с возможностью возникновения в ней параметрических колебаний. Независимо от
величины коэффициента перекрытия прямозубой передачи е в системе при отсутствии
трения возникает параметрический резонанс при соблюдении условия
где шв — собственная частота системы; шг — частота пульсации жесткости зацепле-
зацепления (зубцовая частота); р — целое число. При наличии трения в системе необходима
достаточно большая глубина модуляции жесткости, при которой в системе возникнет
параметрический резонанс. Этим объясняется ограниченное число случаев, в которых
обнаруживался параметрический резонанс в прямозубых зубчатых передачах [8, с. 56].
В косозубых передачах действуют следующие возмущаюшие факторы: периоди-
периодическое изменение жесткости по фазе зацепления; постоянная и переменная составляю-
составляющие прогрешности шагов зацепляющихся зубьев. В широких косозубых колесах
изменение жесткости зубьев по фазе зацепления не приводит к возникновению пара-
параметрических колебаний в системе, и может рассматриваться как возмущающий фактор-
В зависимости от величины суммы дробных частей осевого р4 и торцового а коэф-
коэффициентов перекрытия (меньше или больше единицы) изменение по фазе зацепления
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Ш
ШКЛ происходит по показанным на рис. 8 графикам [141. Возмущающую силу, обус-
нную проявлением этого фактора, можно представить в виде тригонометричес-
тригонометрического ряда
АС АСтах /, , ov апяяA-ер) sin ля B-Ba)
Cmin
Х
X cos nn \— 2 f 1 - ^-j + A - ep) B - 8a)]|, B0)
где Рст — статическая нагрузка в зацеплении.
Из формулы B0) следует, что амплитуды четных гармоник возмущающей силы
р обращаются в нуль, если коэффициенты осевого ер или торцового еа перекрытия
удовлетворяют соотношению е = k — 0,5, где k = 2, 3, 4...
Перекос между образующими зубьев косозубых колес приводит к дополнитель-
дополнительной возмущающей силе, п-я гармоника которой может быть также получена из B0)
ломножением на коэффициент [6]:
Д / ппея
где А = by/2 — просвет в средней точке длины зубчатого венца; щ — P
средняя деформация пары контактирующих зубьев.
Постоянная составляющая погрешности шагов приводит к появлению в системе
периодической возмущающей силы, действующей с зубцовой частотой. Переменная
составляющая погрешности шагов (циклическая погрешность колес) приводит к по-'
явлению в системе периодической возмущающей силы, в спектре которой присутст-
присутствуют гармоники сог ± &со0б (шоб — оборотная частота, k = 1, 2, 3, ...), причем зуб-
цовая частота в данном случае отсутствует [14].
Зубчатые муфты, применяемые в зубчатых передачах, также могут быть источ-
источниками возникновения колебаний в связи с неуравновешенностью элементов муфты,
накопленной погрешностью окружных шагов (зубчатых венцов полумуфт); погреш-
погрешностью соседних шагов зубчатых венцов полумуфт [25, стр. 184]. Частоты действия
возмущающих сил в зубчатой муфте равны оборотной частоте со од= ял/30 и зубцовой
частоте <в2 = шодг (где z — число зубьев в муфте).
В планетарных редукторах с плавающей подвеской центральных колес появля-
появляются дополнительные возмущающие силы, обусловленные тем, что в процессе компен-
компенсации погрешностей зубчатых зацеплений плавающие центральные колеса смещаются
с оси вращения, что приводит к возникновению инерционных сил, действующих на
элементы редуктора.
Демпфирующие силы в зубчатых передачах следует рассматривать на резонанс-
резонансных режимах, они связаны в основном с рассеиванием энергии в кинематических
парах (зубчатые зацепления, зубчатые муфты, подшипники и т. д.).
Теоретическое определение рассеивания колебательной энергии в элементах
зубчатых передач чрезвычайно затруднительно, поэтому наиболее эффективны экспе-
экспериментальные методы определения логарифмического декремента колебания.
Для простейшей одномассовой колебательной системы логарифмический декре-
декремент колебания может быть определен из экспериментально полученной амплитудно-
частотной характеристики по формуле
/о
B1)
где f0 — резонансная частота, амплитуда колебаний на которой равна Арез, flt f2 —•
астоты, близкие к f0, амплитуды колебаний на которых равны A; k = Ape3/A. Эту
формулу используют и при анализе экспериментальных данных сложных систем
®0льшим числом степеней свободы, если есть уверенность в существовании слабых
«язей между подсистемами.
Обработанные по формуле B1) многочисленные экспериментальные данные,
¦"Ученные на переборных и планетарных редукторах, показали [6], что в зубчатых
112 КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
зацеплениях коэффициент затухания а = б/я = 0,02 -г- 0,05, причем меньшие зна-
значения а относятся к большим, а большие значения а —к меньшим резонансным час-
частотам. В опорах скольжения величина коэффициента затухания а = 0,05 -г- 0,10.
Для опор качения а = 0,03 -*- 0,04; для роликовых опор а = 0,09 н- 0,06 [19].
В зубчатых муфтах, подобно шпоночным соединениям, а = 0,1 -f- 0,13 при наличии
проскальзывания между зубьями.
4. МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРОАКТИВНОСТИ
ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Снижение уровня возмущающих сил непосредственно в источнике возникнове-
возникновения колебаний (в зубчатом зацеплении) — наиболее эффективный метод не только
снижения виброактивности зубчатых передач, но и повышения их прочности.
Методы снижения уровня возмущающих сил определяются теми факторами,
которые приводят к их возникновению.
Вход зубьев прямозубых колес в зацепление в нерасчетной точке вне линии
зацепления, приводящий к кромочному удару зубьев, может быть скомпенсирован
преднамеренным изменением профилей зубьев колес (фланкированием зубьев). Суть
фланкирования заключается в том, что преднамеренным искажением правильной
эвольвентной поверхности зубьев на их вершине, с учетом ожидаемых величин по-
погрешностей и упругих деформаций зубьев, добиваются того, что вход зубьев в зацепле-
зацепление происходит строго по линии зацепления,
Рис. 9
Важным параметром, влияющим на эффективность фланкирования, является не
только глубина, но и высота фланка [12]. В среднем эффект от применения фланки-
фланкирования зубьев, оцениваемый как отношение динамических нагрузок в передаче
до и после фланкирования, составляет 1,7—2,7 для прямолинейной и 2,2—2,7 — для
криволинейной формы фланка.
Снижения отрицательного влияния погрешностей зубчатых колес можно достичь,
повышая деформацию зубьев в момент входа их в зацепления, которая достигается
как повышением общей податливости зубьев, так и повышением податливости зубьев
в интересующей точке зацепления. Этого можно добиться увеличением высоты зубьев
(рис. 9, а) или уменьшением толщины зуба в интересующей точке контактной линии
(рис. 9, б). При этом, однако, приходится проводить оценку прочности зубьев изме-
измененной конфигурации.
Наиболее мощным источником возникновения колебаний в прямозубых переда-
передачах является периодическое изменение жесткости по фазе зацепления, связанное
с тем, что в передаче крутящего момента последовательно принимают участие одна
или две пары зубьев. Если принять, что жесткость зацепления пропорциональна
СДКЛ, то можно несколькими путями добиться постоянства СДКЛ в прямозубом
зацеплении (рис. 10) [3]. Во всех трех схемах, изображенных на рис. 10, а—в, головка
зубьев колес обрабатывается указанным образом до точки начала однопарного за-
зацепления:
Ъ = V{A sxna + t-Vr^-/
R2 = V{A sin a +1 - VrIi. —
МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРОАКТИВНОСТИ ПЕРЕДАЧ
ИЗ
— межцентровое расстояние; <х — уюл зацепления; t — основной шаг; Rei,
R R
р у ei
^ 9 радиусы окружности выступов шестерни и колеса, Rol, Ra2 — радиусы основ-
основой окружности шестерни и колеса.
На рис. !0, а поверхность выступов зубьев — коническая, на рис. 10, б — ци-
ндрическая и на рис. 10, в — произвольная, зеркально отраженная на зубьях шес-
шестерни и колеса, удовлетворяющая в любой момент времени условию Ь± + Ьг = В.
Если бы жесткость зацепления была пропорциональна СДКЛ, то все три способа
обеспечения постоянства СДКЛ по фазе зацепления были одинаково эффективны и
выбор того или иного метода определялся бы лишь технологическими соображениями.
Однако постоянство СДКЛ не всегда обеспечивает постоянство жесткости зубьев
но фазе зацепления, поскольку жесткость зубьев определяется не только контактной,
и0 и другими составляющими деформации зубьев. Поэтому эффективной будет такая
конфигурация головок зубьев, при которой увеличение жесткости в зоне двухпар-
в/г
Щ
ill
в/г
Зуб шестерни
ЗуВ хопеса
Рис. 10
ного зацепления для зубьев стандартной
формы будет компенсироваться соответ-
соответствующим увеличением контактной соста-
составляющей деформации зубьев.
С этой точки зрения наибольший
эффект дает форма зубьев, показанная на
рис. 10, в, поскольку имеется больше воз-
возможностей выбирать необходимое дл я вы-
выравнивания жесткости изменение СДКЛ по фазе зацепления. Менее эффективна
форма зубьев на рис. 10, а; форма зубьев на рис. 10, б, хотя и является наиболее про-
простой в изготовлении, наименее эффективна с точки зрения выравнивания жесткости
по фазе зацепления.
В косозубых передачах жесткость по фазе зацепления постоянна, если коэффи-
коэффициент осевого перекрытия равен целому числу. Однако, кратность ширины зубчатого
венца осевому шагу не устраняет другой источник возникновения колебаний — по-
погрешность зубчатых колес по окружным шагам, приводящую ко входу зубьев в зацеп-
зацепление в нерабочей точке вне линии зацепления.
Известен метод взаимной компенсации возмущающих сил, суть которого заклю-
заключатся в рациональном выборе фазы между двумя указанными возмущающими фак-
факторами — изменением жесткости зубьев по фазе зацепления и периодическим входом
3Убьев в зацепление в нерабочей точке [5]. Для этого ширина зубчатого венца выби-
Рается из соотношения
где
"
8,05-
Д* И Осев°й шаг; k — целое число, выбираемое из условия прочности передачи;
Часть Длины зуба, нарушающая условие кратности Ь осевому шагу; п — частота
ния ш б/ d й
у, рущ у р у у
я шестерни, об/мин; d1K — диаметр делительной окружности шестерни, см;
еРедаточное число; р" — угол наклона зубьев по делительному диаметру.
114
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Экспериментальная проверка этого метода взаимной компенсации возмущающе
сил в косозубом зубчатом зацеплении показала его высокую эффективность на первой
и второй гармониках зубцовой частоты (до 10 дБ).
Виброизоляция и формирование видов колебаний деталей. Виброизоляция -,
один из основных методов улучшения динамических и виброакустических характерис-
характеристик механических систем, она широко применяется в технике, например, при констру.
ировании опор [17]. В зубчатых передачах виброизоляцию используют (наряду с тра.
дициоиной конструкцией виброизолирующих опор) при конструировании зубчатых
колес.
С этой целью зубчатые колеса изготовляют в виде составной конструкции —между
ободом и ступицей устанавливают упругий элемент, препятствующий распространению
вибраций от источника их возникновения к другим элементам системы (см. рис. 4).
Демпфирование колебаний в упругом элементе составных зубчатых колес также
способствует улучшению виброакустических характеристик зубчатых передач.
В планетарных редукторах соединение центральных колес с сопряженными дета-
деталями через зубчатые муфты также способствует демпфированию колебаний на кон-
контактирующих поверхностях зубьев муфт и виброизоляции зубчатых зацеплении от
корпусных деталей редукторов.
Одним из методов снижения вибраций, передаваемых на корпусные детали пла-
планетарных редукторов, является формирование определенного вида движения детатей
под действием приложенных к ним возмущающих сил, возможность которого обуслов-
обусловлена тем, что на зубчатые колеса планетарных редукторов действует более одной
возмущающей силы. Это обстоятельство, с учетом симметричного расположения в про-
пространстве возмущающих сил, позволяет добиваться нужного вида движения детали
соответствующим выбором сдвига фаз между этими силами.
Например, для уменьшения уровня вибраций, передающихся ог сателлитов на
водило, необходимо исключать поперечные колебания сателлитов на их осях. Этою
можно добиться, обеспечив сдвиг пп (п — номер гармоники в спектре возмущающей
силы) по фазе между возмущающими силами в зубчатых зацеплениях сателлита
с солнечной шестерней и эпициклом. Для этого числа зубьев сателлитов должны быть
четными, что при равенстве уровня возмущающих сил в обоих зацеплениях сателлита
с центральными колесами обеспечит преимущественно крутильные колебания, сател-
сателлитов [18].
3. Преобладающие виды Движения центральных колес планетарных редукторов
п
1
2
3
4
5
«Г
"с =3 1 "с =5
п — b
с
2
0
Р
м
р
м
р
м
р
м
р
м
р
м
1B)
Р М
Р —
Р М
р —
р —
— м
Р М
р —
Р М
р
р —
- м
1D)
— м
р
р
р
— м
р
р —
- м
2C)
р
— м
р
— м
р —
р
р —
— JW
— М Р —
р - J _ _
Ю) | 20} j J
— М
Р —
р
- -
Р —
— М
Р —
Р -
— м
р —
р —
= п
р —
р —
р —
— м
- -
р -
— М
- -
- -
МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРОАКТИВНОСТИ ПЕРЕДАЧ
115
формирование видов движения центральных колес, представляемых в виде
пдых тел, можно достичь также соответствующим выбором числа зубьев централь-
Т х колес. При этом основным параметром, по которому оценивается эффективность
бора числа зубьев центральных колес, является величина некратности г', равная
В1татку °т деления числа зубьев центрального колеса на число сателлитов пс в пла-
°етарном редукторе. В табл. 3 приведены преобладающие виды движения центральных
"олес при различных значениях несинфазности в зависимости от вида погрешностей
Кубчатых колес в случае проявления погрешности соседних шагов центрального
колеса (верхняя строка) и в случае проявления радиального биения зубчатых венцов
сателлитов (нижняя строка), причем М соответствует случаю, когда суммарное
воздействие возмущающих сил сводится к крутящему моменту (и приводит к крутиль-
крутильным колебаниям центрального колеса), Р — к поперечной силе (и приводит к попереч-
поперечным колебаниям центрального колеса); гас — число сателлитов в редукторе; п —
номер гармоники в спектре возмущающей силы. По табл. 3 можно выбирать величину
некратности г', при которой на центральном колесе возбуждаются колебания опре-
определенного вида.
Виды движения центральных колес, представляемых в видэ упругих тел, форми-
руюг с целью не только снижения виброактивногти редуктора, но и уменьшения
уровня динамических напряжений, возни-
возникающих в ободе зубчатого колеса. Анализ
показывает, что величина некратности
центральных колес планетарных редукто-
редукторов не влияет на уровень динамической
напряженности ободьев зубчатых колес,
поэтому требования по их прочности не
накладывают дополнительных ограниче-
ограничений на выбор величины г'.
Отстройка от резонансных режимов —
наиболее эффективный метод снижения ви-
виброактивности зубчатых передач. Однако
эффективность этого широко распростра-
распространенного в технике метода применительно
к зубчатым передачам существенно зависит
°т степени взаимосвязанности колебаний
элементов по различным формам. В слож-
сложных зубчатых передачах при наличии взаимосвязанности колебаний по различным
формам решение о возможности изменения инерционно-жесткостных параметров
системы с целью отстройки от резонансных режимов может быть принято только
на основании анализа спектра собственных частот всей системы на ЭЦВМ.
1акой машинный эксперимент позволит оценить влияние инерционно-жесткост-
нь« параметров системы на весь спектр собственных частот и принять решение
0 в°зможности изменения некоторых из них с целью отстройки от резонансных
Режимов.
Однако следует учитывать, что в зубчатых передачах действует широкий спектр
озмущающих сил, создаваемый большим числом возмущающих факторов и поли-
^армоническим характером возбуждения в зубчатых зацеплениях. Кроме того, зуб-
CTe"'t пеРедачи работают, как правило, при широком варьировании угловых скоро-
11 3Убчатых колес, что приводит к соответствующему смещению спектра возмущаю-
возмущающих сИЛ на частотной оси.
к связи с этим для изучаемой зубчатой передачи, после того как определен
pMJP собственных частот системы, следует построить так называемую лучевую диаг-
По г/ ")> из которой видна возможность отстройки от резонансных режимов.
Ве„ си абсцисс лучевой диаграммы откладывается скорость вращения, например,
Фа кто Г° вала пеРеДачи, а по оси ординат — частоты того или иного возмущающего
Для i/ гРаФик наносят лучи, соответствующие возмущающим факторам в передаче.
пРояв еРа на Рис- 11 показаны лучи, соответствующие возмущающим факторам,
(f, __ я5°Щ,имоя с первыми тремя гармониками оборотной (fx = я/60) и зубдовой
-~~ п х г'60) частот.
Рис. И
116
КОЛЕБАНИЯ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
На лучевую диаграмму наносят также собственные частоты системы /01, f62, f03 ,#i
в ви^е прямых, параллельных оси абсцисс. Точки пересечения этих двух групп лучей
и определяют резонансные скорости вращения ведущего вала п;/- (первый индекс
2100
1700
7300
son
3000 * В S 4000 Z If 6S- 3000 2 к f
п, од/мац
Рис. 12
соответствует возмущающему фактору, второй — возбуждаемой им собственной час-
частоте передачи). Таким образом находятся «запретные» скорости вращения ведущего
вала и оценивается эффективность изменения инерционно-жесткостных параметре»
передачи.
На рис. 12 в качестве примера приведена полученная экспериментальным путе»1
лучевая диаграмма для двухступенчатого трехпоточного редуктора [6]. В спектре
МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРОЛКТИВНОСТИ ПЕРЕДАЧ П7
вибраций редуктора четко проявляются первые пять гармоник зубцовой частоты
второй ступени, первая гармоника зубцовой частоты первой ступени. Точками пока-
показаны данные экспериментов (около точки проставлены замеренные уровни дискретной
составляющей спектра вибраций, дБ), лучи — расчетные величины возмущающих
факторов. Наблюдаются две собственные частоты системы: /01 = 2500 Гц, /02 = 5000 Гц,
первая из которых возбуждается первой гармоникой зубцовой частоты первой ступени
f (П11 = 3400 об/мин) и третьей гармоникой зубцовой частоты второй ступени
'3V(n'a = 4700 об/мин).
Следует обратить внимание на отсутствие в спектре вибраций второй
гармоники зубцовой частоты первой ступени. Объясняется это тем, что тор-
торцовой коэффициент перекрытия в этой передаче е5 = 1,5, что в соответствии
со сказанным выше обращает в нуль все четные гармоники зубцовой частоты
в спектре возмущающих сил.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Абрамов Б. М. Колебания прямозубых зубчатых колес. Харьков, ХГУ, 1968. 175 с.
2 Айрапетов Э. Л., Генкин М. Д. Деформативность планетарных механизмов. М., Наука»
1973. 212 с.
3 Айрапетов Э. Л., Генкин М. Д. Статика планетарных механизмов, М., Наука, 1976.
263 с.
4. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей машин. М.,
Машиностроение, 1966. 616 с.
5. Взаимная компенсация возмущающих сил в кссозубом зацеплении / Э. Л. Айрапе-
Айрапетов, В. И. Апархов, М. Д. Генкин и др. — Вестник машиностроения, 1974, № 4,
с. 7 — 10.
6. Вибрации механизмов с зубчатыми передачами. Сборник статей / Под ред. М. Д. Ген-
кина и Э. Л. Айрапетова. М., Наука, 1978. 127 с.
7. Виброизоляция машин и виброзащита человека-оператора. Сборник статей / Под ред.
К. В. Фролова. Наука, 1973. 195 с.
8. Вопросы геометрии и динамики зубчатых передач. Сборник статей под ред. М. Д. Ген-
кина. М„ Наука, 1964. 135 с.
9. Воронов А. Л. Динамика зубчатых передач металлорежущих станков. Регулирование
колебаний. Уфимский авиационный институт, 1975. 172 с.
10. Выявление основных возбудителей шума коробок приводов металлорежущих станков.
Руководящие материалы. ЭНИМС, ОНТИ, 1962. 44 с.
11. Генкин М. Д., Гриикевич В. К. Динамические нагрузки в передачах с косозубыми ко-
колесами. М., Изд. АН СССР, 1961. 118 с.
12. Генкин М. Д.р Рыжов М. А. Повышение нагрузочной способности прямозубых зубчатых
передач фланкированием профилей зубьев. — Новые методы расчетов в машиностроении,
вып. 12, ЦИТЭИН, 1961. 37 с.
13. Детали и механизмы металлорежущих станков. Т. 2 / Под ред. Д. Н. Решетова. М.,
Машиностроение, 1972. 520 с.
И. Динамические процессы в механизмах с зубчатыми передачами. Сборник статен / Под
Ред. М. Д. Генкина и Э. Л. Айрапетова. М., Наука, 1976. 155 с.
J5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975. 541 с.
«>. Зубчатые и червячные передачи. Сборник статей / Под ред. Н. И. Колчина. М. — Л.,
Машгиз, 1959. 220 с.
''¦ Кельзон А. С, Журавлев Ю. Н., Январов Н. В. Расчет и конструирование роторных
машин. Л., Машиностроение, 1977. 287 с.
]°- Колебания механизмов с зубчатыми передачами. Сборник статей / Под ред. М. Д. Ген-
кина и Э. Л. Айрапетова. М., Наука, 1977. 150 с.
'»• Левина 3. М., Решетов Д. Н. Контактная жесткость машин. М., Машиностроение, 1971.
^64 с.
"¦ Опитц Г. Динамические нагрузки в прямозубых и косозубых зубчатых колесах. —-
а • " "¦"ТИТИ 1968 № 19 13 27
конструирование деталей машин. Сборник статей. М., Машгиз, 1956. 192 с.
Экспресс-информация, сер. «Детали машин». ВИНИТИ. 1968, № 19, с. 13 — 27.
2? „аноако Я. Г. Введение в теорию механического удара. М., Наука, 1977. 232 с.
¦ Петрусевич А. И., Генкин М. Д., Гринкевич В. К. Динамические нагрузки в зубчатых
23 передачах с прямозубыми колесами. М., Изд. АН СССР, 1956. 134 с.
• Нрочность и ди-намика авиационных двигателей. Сборник статей. Вып. 5. М., Машино-
24 оТроение> 1969- 260 с-
25' г~СЧЕТ и кон"Руирова
' м и Динамика механизмов с зубчатыми передачами. Сборник статей / Под ред.
26 ^- Д- Генкина и Э. Л. Айрапетова, М., Наука, 1974. 214 с.
• 'ощими Т., Масана К. Динамические нагрузки на зубьях цилиндрических колес. —
27 у пресс"инФ°РмаЦия, сер. «Детали машин». ВИНИТИ, 1968, № 21, с. 19 — 39.
• *олес Д., Сейрег А. Моделирование на ЭЦВМ динамических напряжений, деформаций
разрушения зубьев колес. — Труды американского общества инженеров-механи-
?°о'л„сеР- «Конструирование и технология машиностроения», 1973, Л'« 4. М., Мир,
28 3 — 229.
Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем, М., Машиностроение, 1970. 734 с.
118 КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
Глава VI
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
Колебания в металлорежущих станках рассматриваются прежде всего с позиций
их влияния на точность и качество обрабатываемых поверхностей, а также на долго-
долговечность инструмента и элементов конструкции станка (направляющих, подшипников),
определяющих точность обработки. Как и для машин других типов, весьма важным
является рассмотрение акустического проявления колебаний в виде шума. В большин-
большинстве случаев колебания в станках являются нежелательными. Однако в некоторых
случаях колебания используют для дробления стружки, снижения трения и улучше-
улучшения условии перемещения рабочих органов станка или условий резания.
В станках возникают вынужденные колебания и автоколебания, имеющие весьма
широкий спектр частот (от долей до десятков тысяч герц). Колебания носят как ста-
стационарный, так и нестационарный характер, и для их описания используются практи-
практически все методы современной теории колебаний.
Автоколебания в станках возникают при установочных перемещениях рабочих
органов станка (фрикционные автоколебания) и в процессе обработки детали (авто-
(автоколебания при резании). При установочных перемещениях резание не производится,
и автоколебания при этом определяются взаимодействием упругой системы станка,
процессов трения на движущемся фрикционном контакте и процессов в двигателе.
Автоколебания при обработке детали включают в это взаимодействие также процесс
резания.
Сущность взаимодействия заключается в изменении условий протекания процес-
процессов резания, трения и процессов в двигателе под влиянием деформаций упругой сис-
системы станка, включая несущие элементы конструкции (станину, суппорт и т. д.) и
систему привода рабочих органов, вызванных действием на упругую систему сил
резания, трения и движущих сил. В настоящее время не существует полного единства
взглядов в понимании особенностей указанного взаимодействия, что объясняется
в первую очередь его сложностью и недостаточной изученностью. Поэтому в некош-
рых случаях существуют различные объяснения наблюдаемых на практике автоколе-
автоколебаний станков. В дальнейшем изложении главное внимание будет уделено взаимо-
взаимодействию упругой системы с процессами трения и резания. Влияние процессов в дви-
двигателях (электрических, гидравлических, пневматических и др.) проявляется в стан-
станках современных конструкций главным образом в переходных процессах (пуск, тор-
торможение, реверс и т. п.) и является предметом специального рассмотрения, общим
для различных машин.
Для правильного понимания условий существования автоколебаний в станках
необходимо учитывать следующие основные положения.
1. При относительном движении двух твердых тел (точнее — твердого тела и
среды) возникают силы, являющиеся функциями ортогональных координат, т. е.
координат, на которых они не совершают работы. При резании резец движется в об-
обрабатываемой заготовке и тангенциальная составляющая силы резания является
функцией координаты (или координат) вершины резца, определяющей сечение сре-
срезаемого слоя и направленной перпендикулярно к этой составляющей силы резания.
При контактном трении твердых тел сила трения является функцией, нормальной к по-
поверхности скольжения контактной деформации, вызываемой нормальной нагрузкой.
Аналогичное явление наблюдается при флаттере, когда подъемная сила, определяемая
движением воздушной среды, действующая на крыло самолета (или лист на дереве),
является функцией угловой координаты (угла атаки).
2) Процессы резания и трения могут быть собственно устойчивыми и неустойчи-
неустойчивыми в зависимости от условий резания и трения (аналогично ламинарному и турбу-
турбулентному потоку). При собственно устойчивом процессе резания процесс стружко-
образования, т. е. процесс упругопластического деформирования материала заготовки
в стружку, протекает без нарушения сплошности стружки, без периодического обра-
образования наростов, без колебаний силы резания вследствие нарушения этой сплои-
иости или срыва наростов. Такая стружка называется сливной (с постоянным на-
наростом или без него) и образуется при обработке металлов в пластическом состоя-
состоянии при соответствующих режимах резания. Собственно устойчивый процесс тренит
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
119
растеризуется постоянством силы трения и отсутствием явлений «схватывания»
"оверхкостей контактирующих тел и периодического образования наростов. Само-
"поизвольное образование прерывистой — элементной стружки и периодическое
?' „МИрование наростов является автоколебательным процессом, протекающим в си-
системе составляющей содержание процесса пластическогр деформирования твердых
тел. „ /
3. Силы резания и трения при изменении условии протекания процесса (сечения
тружки, нормальной нагрузки, скорости движения и т. п.) изменяются со сдвигом
во времени, который зависит от физических особенностей этих процессов.
Поскольку автоколебания при обработке и при установочных перемещениях
рабочих органов станков являются нежелательными, постольку интересны, как пра-
правило, не столько характеристики автоколебаний, сколько условия, при которых ав-
автоколебания не возникают, т. е. условия устойчивости заданных движений. Однако
при наличии собственной неустойчивости процессов, например при формировании
элементной стружки, приходится определять условия, при которых амплитуды авто-
автоколебаний не превосходят некоторой допустимой величины.
Для оценки устойчивости зяданных дзижений наибольшее развише в настоящее
время получили частотные методы анализа, в частности, критерий устойчивости
Экбидапентная
упругая
система станка
(ЭУС)
Процесс
резания
S)
Рве.
Найкзиста и линеаризованные модели систем. Частотные методы удобны возмож-
возможностью использования расчетных и экспериментально полученных характеристик,
а также их сочетания.
Применительно к изучению динамических процессов, в том числе колебаний,
при обработке резанием (рис. 1, а) система станка (включая в эту систему собственно
станок, приспособление, инструмент и обрабатываемую заготовку) может быть пред-
представлена в виде схемы (рис. 1, б), в которой указанное выше взаимодействие процесса
Резания и упругой системы показано стрелками. Поскольку детали станка в процессе
его работы движутся и возникают также взаимодействие упругой системы с процес-
процессами трения в соответствующих подвижных соединениях, что существенно при опре-
определении динамических характеристик этой системы, то ей присвоено наименование
эквивалентной упругой системы станка (ЗУС).
Для определения частотной характеристики ЭУС вместо силы резания прикла-
прикладывается некоторая периодическая внешняя сила и определяются колебания между
Резцом и обрабатываемой заготовкой. Отношение смещения (или другого параметра
ебаний, например — скорости колебаний) к действующей силе, представленное
комплексной форме при изменении частоты от нуля до бесконечности, дает ампли-
гих °~ФазовУго частотную характеристику ЭУС. Расчет таких характеристик для упру-
Не систем станков, представляющих собой сложную колебательную систему (ослож-
^нную учетом указанной выше специфики подвижных соединений), в настоящее вре-
д веДется с использованием ЭВМ и современных достижений теории колебаний..
ком1 ЭкспеРиментального определения частотной характеристики ЭУС применяется
гилп 6КТ аппаРатУРы. включающий вибратор того или иного типа (электромагнитный,
кой лическ"й, пьезов;:братор и т. п.), создающий усилие между резцом и заготов-
по направлению действия силы резания, и виброизмерительную аппаратуру,
120
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
фиксирующую относительные колебания резца и заготовки (рис. 2, а). На рис. 2, б при-
ведена амплитудно-фазовая частотная характеристика ЭУС для токарного станка по
координате, определяющей изменение толщины срезаемого слоя. Характеристика
получена экспериментально в некотором рабочем диапазоне частот. Процесс резанжя
в этом случае характеризуется отношением изменения силы резания к изменению
толщины срезаемого слоя при его периодическом изменении. На рис. 2, в показана
частотная характеристика процесса резания при собственно устойчивом стружкообра-
зовании. Характеристика построена с помощью расчета по некоторым исходным
экспериментальным данным, а также экспериментальным путем. В процессе резания
2 ,?з, 'w/лгс
Рис. 2
фиксировалось изменение толщины срезаемого слоя при колебаниях резца, создавае-
создаваемых вибратором. Одновременно динамометром определялось изменение составляют114
силы резания.
Частотная характеристика отражает две важные особенности процесса резания-
Сила, действующая на переднюю (прилегающую к стружке) поверхность при быстром
изменении толщины срезаемого слоя резца, отстает во времени от изменения толщины
срезаемого слоя, так как зависит от соответствующего изменения толщины стружки,
на что требуется известное время, обратно пропорциональное скорости резания-
Сила, действующая на заднюю (прилегающую к обработанной поверхности) поверх
ность резца, опережает во времени смещение резца (изменение толщины срезаемо^0
слоя), так как зависит от степени внедрения затылочной части резца в обработанную
поверхность детали. Степень внедрения является функцией отношения скорости
смещения к скорости резания. Эта функция является линейной лишь при мапы4
отклонениях (указанное отношение должно быть менее тангенса половины задн^г°
угла резца).
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
121
Особенность сил, действующих на заднюю поверхность резца, приводит к сущест-
ному различию частотных характеристик процесса резания, получаемых при двух
дах изменения толщины срезаемого слоя: в процессе колебаний резца относительно
отовки и при резании заготовки с периодически изменяющимся припуском, так
За к сила на задней поверхности изменяется только при наличии относительных сме-
смещений резца и заготовки.
Описанные особенности изменения силы резания отражены в следующем выраже-
ии частотной динамической характеристики процесса резания (процесса стружкооб-
раэования) при радиальном врезании резца:
Р (КО) ' v/ ¦
р у (iu>) p a
где k k T
" "W.; B)
Wa (tw)= 1 — Гй,рсо2+гТа»; C)
~\/~т т (л\
ар — У * а1 р' \^)
где Р — сила резания; у — колебание толщины срезаемого слоя, равное колебатель-
колебательному смещению резца относительно заготовки в радиальном направлении; kp = kb —
коэффициент резания; k — удельная сила резания; Ь — ширина стружки; Гр — по-
постоянная времени стружкообразования; Та — постоянная времени заднего угла.
Если толщина срезаемого слоя изменяется в зависимости от припуска заготовки,
а колебания ЭУС под действием силы резания малы, то Wa (t'to) ~ 1. Такое же зна-
значение эта характеристика имеет при пренебрежимо малых Та (при резании остро-
заточенным резцом пластичных материалов). В этих случаях 1Ур (г'ш) = W (ш).
Постоянные времени определяются следующими выражениями:
m йо?о 'р
р~ п v ~ v ' ^ '
ГП ** fill *¦!
а
где —=1-1-1,5—постоянный коэффициент; а^ — заданная толщина срезаемого
слоя, мм; 10 — — — усадка стружки; ах — толщина стружки, мм; v — скорость
ап
резания, мм/с; На — контактная жесткость (линеаризованное значение отношения
Давления к контактной деформации) при внедрении задней поверхности резца в обра-
обработанную поверхность детали, кгс/мм3; h — ширина площадки контакта задней по-
поверхности резца с деталью (фаски, площадки износа резца и т. п.), мм; /ри 1а — неко-
некоторые усредненные значения пути движения резца в заготовке, определяющие форми-
формирование сил на передней и задней поверхностях резца, мм (по аналогии с постоянными
времени их можно назвать постоянными пути).
Характеристики рассчитывают по экспериментальным значениям удельной силы
Резания (для углеродистой стали k ~ 200 кгс/мм2); усадки стружки (для стали
л % 2,5 -=- 3); жесткости контакта (для стали Яа *» 100 -т- 200 кгс/мм3).
Применение частотного критерия устойчивости Найквиста сводится к построе-
JJ"o характеристики так называемой разомкнутой системы как произведения харак-
геристик ЭУС и процесса резания. Пример такой характеристики показан на рис. 2, г.
тем охвате эт°й характеристикой точки —1 на вещественной оси динамическая сис-
ма станка будет неустойчивой, т. е. возникнут нарастающие колебания (такая форма
^РИтерия Найквиста достаточна для рассматриваемых условий). Ограниченные влия-
Ко^м т°й или иной нелинейности, эти колебания и являются так называемыми авто-
зан ми" Таким образом оценивается граница появления автоколебаний при ре-
нии «по чистому» без повторного прохода резца по обработанной им же поверх- .
122
КОЛЕБАНИЯ В СЫНКАХ
0,25
D.0O
ности, т. е. «по следу», например, при рс.ании резьбы резцом. На рис. 3 эта граница
показана прямой 1 в параметрах предельная ширина Ьпр срезаемого слоя — частота
вращения п.
При обработке «по следу» резец полностью (при врезном точении и т. п.) или
частично (при продольном точеиин и т. п.) срезает слой материала, на поверхности
которого сохраняются следы (например,
волнистый след от колебаний) предыдущего
прохода резца. В этом случае область отсут-
отсутствия автоколебаний сужается. При лол-
ном перекрытии следа граница области
определяется расположением частотной ха-
характеристики разомкнутой системы справа
от прямой Jmb (см. рис. 2, г) и проходящей
параллельно мнкмой оси через точку —0,5
на вещественной оси. В зависимости от
степени перекрытия следа эта прямая сме-
щаегся в сторону точки —1, которая слу-
служит предельной точкой пересечения при
перекрытии, равном нулю, т. е. при обра-
обработке «по чистому». Уравнения, описываю-
описывающие динамическую систему станка при
резании «по следу», являются уравнениями
с запаздывающим аргументом. Запаздыва-
Запаздывание определяется временем между образованием следа и возвратом к нему резца на
последующем проходе. При токарной обработке оно равно времени оборота детали,
при фрезеровании — времени поворота на угол между зубьями фрезы и т. д. Указан-
Указанная выше оценка границы устойчивости справедлива при любом времени запаздыва-
запаздывания и соответствует прямой 2 на рис. 3. Однако при определенных значениях вре-
времени запаздывания (т. е. частоте вра-
щения обрабатываемой детали, фрезы
и т. п.) возможно расширение области
устойчивости, как показано кривой 3
на рис. 3. Такую границу устойчивости
некоторые авторы называют «лепестко-
«лепестковой». Для условий резания, существую-
существующих в настоящее время, отмеченное рас-
расширение области устойчивости и
отсутствия автоколебаний не имеет
большого практического значе-
значения.
Изложенные представления позво-
позволяют проанализировать влияние раз-
различных параметров сисгемы (включая
режимы резания) на условия появле-
появления автоколебаний в станках при ре-
резании и рассмотреть некоторые распро-
распространенные модели системы.
Простейшая модель системы ста-
станок — процесс резания показана на
рис. 4, а и представляет собой ко-
колебательную систему с одной сте-
степенью свободы (перемещение резца
в направлении изменения толщины
срезаемого слоя), на которую воздействует сила резания в виде составляющей
по этому же направлению. Потеря устойчивости и появление автоколебаний воз-
возможно только при фазовом отставании изменения силы от смещения. Причиной
эгого отставания является указанная выше зависимость силы от толщины стружки.
На рис. 4, схематически показано последовательное положение /—6 резца в ie-
Г
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
123
ние одного колебания, а на рис. 4, в — соответствующее изменение составляющей
р6 силы резания.
Существуют и ДРУгие объяснения причин фазового отставания силы. Наиболее
спространено объяснение «падающей» зависимостью силы резания от скорости, при-
одяшее к классической модели Ван дер Поля. Однако более глубокий анализ и спе-
специальные экспериментальные исследования показывают, что скоростная зависимость
силы резания определяется образованием на резце нароста (в некотором диапазоне)
тепловыми процессами. Инерционность тепловых процессов приводит к тому, что при
быстром изменении скорости при колебаниях температура и состояние стружки,
а также и резца, почти не меняются, следовательно, почти не меняется и сила резания.
Тем самым не создаются условия притока энергии в систему, необходимые для под-
поддержания колебаний незатухающими. Это в равной степени относится к условиям
образования устойчивого нароста. Специфика влияния периодически срывающегося
неустойчивого нароста рассмотрена ниже.
Модель с «падающей» скоростной зависимостью силы резания не может объяснить
появление интенсивных автоколебаний на участках, где сила резания увеличивается
pi 76 2 S3 4 г
Рис. 5
с ростом скорости, или в условиях отсутствия зависимости силы от скорости (при об-
обработке чугуна, дерева и т. п.).
Более сложная модель системы показана на рис. 5; она представляет собой систе-
систему с двумя степенями свободы перемещения резца в плоскости действия силы резания.
Показа-н типичный случай, когла система имеет разную жесткость в различных нап-
направлениях и сила резания по направлению не совпадает ни с одной из главных осей
жесткости. В этом случае смещение вершины резца не совпадает с направлением дей-
действия силы. Возникает связь (координатная, статическая, упругая) между перемеще-
перемещениями по направлению действия силы и в перпендикулярном к ней направлении
(в системе возможны другие виды связей — инерционная, скоростная). Учитывая
сказанное, нетрудно представить себе возникновение фазового отставания танген-
Диальной составляющей силы резания от перемещения вершины резца в направлении
Действия этой силы. Величина силы зависит от толщины срезаемого слоя, определяе-
определяемого смещением вершины резца в направлении, нормальном к этой силе, и происходя-
происходящем с фазовым сдвигом по отношению к тангенциальному смещению. Вершина резца
ри этом движется по эллиптической траектории (рис. 5, а). При движении (рис. 5, б)
с™Р°ну действия силы резания (положения 1—3) резец врезается на большую
ни 2НУ' Увеличивая тем самым силу. При движении в обратном направлении (положе-
л ? *>) резец снимает слой меньшей толщины и сила уменьшается. За цикл колеба-
1де" с?ла совершает работу (рис. 5, е), пропорциональную площади эллипса переме-
эл И ИДУЩУЮ в данном случае на поддержание колебаний. Направление обхода
По Ипса перемещений зависит от устойчивости системы, определяемой, например,
Ритерию Найквиста: в устойчивой системе направление обхода обратное опи-
124 КОЛЕБАНИЯ В СТАЙКАХ
санному, и площадь эллипса пропорциональна работе демпфирования колебаний.
На границе устойчивости эллипс вырождается в прямую линию.
В данной модели системы не является обязательным наличие особенностей про-
процессов, отмеченных выше (наличие фазовых смещений между силами и перемещения-
перемещениями) и играющих определяющую роль в модели с одной степенью свободы. Главными
являются особенности кинематики колебаний сложных упругих систем. Поэтому
составляющая Ру силы резания (рис. 5, г) в этой модели является консервативной
упругой силой.
Одной из первых моделей системы, предложенной Н. А. Дроздовым, является
модель колебательной системы с одной степенью свободы, взаимодействующей с про-
процессом резания детали, несущей следы от предыдущего прохода резца. Любое, в том
числе случайное, возмущение вызывает затухающие колебания системы ее собствен-
собственной частоты. При этом резец оставляет волнистый след на поверхности детали. При
следующем проходе резец срезает слой, имеющий вследствие этого переменную тол-
толщину. Изменяющаяся с частотой волнистости, т. е. с собственной частотой системы,
сила резания вызывает вновь колебания системы, и так далее. При некоторых усло-
условиях происходит «раскачка» системы, т. е. увеличение амплитуды колебаний до зна-
значения, ограничиваемого той или иной нелинейностью. Эта модель отражает важную
особенность динамической системы станок—резаниг, существенно влияющую на ее
устойчивость. Метод определения условий потери устойчивости, т. е. появления
«раскачки», описанный выше, показывает, что область отсутствия автоколебаний су-
сужается (по амплитудному значению характеристики разомкнутой системы) по мень-
меньшей мере в 2 раза.
Специальный интерес представляет рассмотрение модели системы при собственно
неустойчивом процессе резания, т. е. при образовании элементной или суставчатой
стружки, а также при формировании периодически срывающегося нароста. Условия,
в частности режимы резания (скорость резания, толщина срезаемого слоя), при кото-
которых эти явления возникают, могут быть определены из рассмотрения упругопласти-
ческого деформирования как сложной системы взаимодействия деформации, напря-
напряжений и изменения свойств материала в процессе деформирования и теплообразова-
теплообразования. Например, локализация деформирования стружки в тонком подповерхностном
слое, как и локализация зоны сдвиговых деформаций материала заготовки при пере-
переходе в стружку (при суставчатой стружке), может быть объяснена локализацией
высокой температуры в средней части пластически деформируемого слоя. Такая лока-
локализация получила название «температурного ножа». Разупрочнение материала в зоне
высокой температуры приводит к дальнейшей локализации и резкому возрастанию
сдвиговых деформаций. При этом сила резания уменьшается. Поскольку при резании
деформируемый материал постоянно обновляется, описанный процесс периодически
повторяется с частотой, увеличивающейся с ростом скорости резания. Периодическое
изменение силы резания породило ошибочное представление о вынужденных колеба-
колебаниях системы станка при возникновении периодичности стружкообразования. Более
правильная модель системы представляется как взаимодействие автоколебательной
системы стружкообразования и «пассивной» колебательной упругой системы станка.
Колебания резца под действием периодически изменяющейся силы резания изменяют
условия деформирования (объем деформируемого материала — толщину срезаемого
слоя, скорость деформирования — скорость резания). При динамически жесткой
упругой системе и небольшой амплитуде колебания силы резания, т. е. при небольшой
ширине срезаемого слоя, влияние колебании упругой системы будет незначительным.
При этом колебания имеют характер вынужденных, частота которых возрастает
с увеличением скорости резания. Так как амплитуды колебаний при этом малы, то
практики считают такой режим обработки условно устойчивым. Если упругая сис-
система обладает меньшей динамической жесткостью или ширина срезаемого слоя увели-
увеличена, то колебания резца настолько существенно влияют на стружкообразование, что
подчиняют себе формирование наростов или элементов стружки, а следовательно, и
колебания силы резания. Эти колебания происходят с частотой, близкой к собствен-
собственной частоте колебаний упругой системы и не меняющейся с изменением скорости ре-
резания. Амплитуда колебаний силы резания и соответственно размер нароста или
элемента стружки изменяются в зависимости от скорости резания. Наибольшего
значения амплитуда колебаний силы резания, а соответственно и колебаний резца
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
125
/¦тигает при такой скорости, при которой частота собственных колебаний равна
^ственной» частоте формирования наростов или элементов стружки. Возникает
^оеобразный «резонанс». Амплитуды колебаний в этом случае велики, и практики
сВ аЮТ такой режим обработки недопустимым, систему — неустойчивой, а колеба-
CIL __ автоколебаниями. На рис. 6 показано изменение частоты и амплитуды колеба-
Н й полученное расчетом по некоторым исходным экспериментальным данным и
Нксперментальным путем для режимов, соответствующих образованию периоди-
ески срывающегося нароста. Расчет показал, что граница перехода от одного режима
олебаний к другому определяется равенством коэффициентов kp «жесткости реза-
резания» и жесткости 1/&ЭУС (в том понимании, как это показано выше) (кривые /при
k k г < '¦ кРивые ^ при kpk3VC > 1; кривая 3 для абсолютно жесткой системы
и = 0.) Обычно элементная стружка образуется при низких скоростях, и «естест-
«естественная» частота формирования элементов оказывается значительно ниже собственной
частоты колебаний системы. Поэтому при резании
с элементной стружкой значительно чаще встре-
встречаются колебания, близкие к вынужденным.
Однако при появлении суставчатой стружки на
высоких скоростях резания (вследствие потери
устойчивости деформирования из-за локального
теплового разупрочнения) «естественная» частота
автоколебательного процесса формирования эле-
элементов оказывается близкой к высокочастотным
составляющим спектра собственных колебаний
системы. В этих условиях могут возникать также
два режима колебаний системы, близких по ха-
характеру к вынужденным и автоколебательных
с высокой частотой (порядка нескольких тысяч
герц).
При установочных перемещениях рабочих
органов станков условия возникновения авто-
автоколебаний имеют много общих черт с условиями
их появления при резании. Это объясняется
общностью характеристик сил резания и кон-
контактного трения. Поэтому для выяснения усло-
условий появления автоколебаний, т. е. условий
потери устойчивости заданного движения, могут
быгь успешно применены некоторые аналогичные модели системы, а также частотные
методы анализа. Трение имеет и свои особенности, которые необходимо учитывать
пРи анализе.
Динамическая система станка схематически показана на рис. 7, а. Взаимодейст-
Взаимодействие упругой системы и процесса трения показано стрелками. Эквивалентная упругая
система (ЭУС) в этом случае учитывает влияние процессов в двигателе на характерис-
характеристики упругой системы. Амплитудно-фазовая частотная характеристика ЭУС опре-
определяется, как правило, расчетным путем, поскольку экспериментальное ее получение
связано со значительными трудностями. Распределенный характер сил трения не
только в пределах одной направляющей поверхности, но и по нескольким направляю-
направляющим, очень часто расположенным в различных плоскостях, и замена этих сил равно-
равнодействующей делает соответствующие модели системы еще более приближенными.
а рис. 7, б показана частотная характеристика ЭУС такой модельной системы. Там же
си ^' в^ показана частотная характеристика контактного трения как отношение
лы трения к нормальной контактной деформации поверхности трения. Статическое
Веачение kT (статический коэффициент трения) представляется видоизменением из-
к ТНого коэффициента трения в законе Амонтона, где берется отношение силы трения
Кон Маль?°й нагрузке. Отставание по фазе изменения силы трения от нормальной
тактной деформации связано с явлением так называемого предварительного сме-
щ Ия> т- е. с тангенциальной деформацией контакта трущихся поверхностей, пред-
да твУющей их взаимному скольжению. Практически это отставание имеет значение
ць при очень малых скоростях скольжения ввиду малости смещения. Характерис-
Рис. 6
126
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
тика разомкнутой системы (рис. 7, г) позволяет по критерию Найквиста определить
границу области устойчивости по тому или иному параметру системы. Например
возрастание коэффициента трения или увеличение амплитудного значения характе-
характеристики разомкнутой системы при частотах, близких к тем, на которых эта характерис-
характеристика пересекает отрицательную вещественную ось, означает уменьшение области ус-
Эт, кгс/пкм
Эквивалентная
упругая
система
(ЗУС)
Процесс
контактного
трения
•*•
-5
1
У
-5
в)
5
|
Re,Kzc/tiKM
_ _Jj-
1 Re
Рве. 7
тойчивости, облегчение появления автоколебаний при перемещении рабочих орга-
органов — так называемых фрикционных автоколебаний. Изложенное представление
позволяет проанализировать влияние других параметров системы и ряд существую-
существующих моделей динамической системы станок — процесс трения.
Простейшей широко известной моделью является модель, показанная на рис. 8;
она имеет одну колебательную степень свободы в направлении скольжения. Необ-
Необходимое для потери устойчивости
_* и появления автоколебаний усло-
*¦ т*.,J - I . * вие фазового отставания изменения
силы трения от колебаний систе-
системы объясняется падающей зависи-
зависимостью силы трения от скорости
скольжения. Такая зависимост->
экспериментально наблюдается пр'1
малых скоростях скольжения сма-
смазанных поверхностей. При коле-
колебаниях скорость скольжения уве-
увеличивается или уменьшается HJ
величину скорости колебаний
Соответственно изменяется сила трения: при движении скользящего тела пр1'
колебаниях в сторону действия силы трения скорость уменьшается и сила трени'
возрастает; при движении против силы трения — скорость увеличивается и сил-'-
трения уменьшается. Работа переменной составляющей силы трения за цикл колеба-
колебаний идет на поддержание колебаний. Чем круче зависимость силы трения от скорости,
тем шире область неустойчивости движения и существования автоколебаний. Одна»0
применительно к станкам и ряду других конструкций это объяснение является чрез-
чрезмерно условным. При наличии смазки сила трения уменьшается в области так
Рис. 8
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ 127
емого смешанного трения в результате гидродинамических процессов, создающих
в* родинамическую подъемную силу, которая уменьшает фактическую нагрузку
а контакты трущихся тел. Эта сила возрастает со скоростью, вызывая возрастающее
"всплывание» тела на слое смазки. Когда подъемная сила оказывается больше внеш-
!,ей нормальной нагрузки, тело полностью всплывает, контактное трение исключает-
я и остается толька жидкостное трение, увеличивающееся с ростом скорости сколь-
скольжения. Инерция «всплывающего» тела (рабочего органа станка и т. п.) и вязкое
сопротивление смазки проникновению или вытеснению ее из узкой щели между по-
поверхностями скольжения при быстром изменении скорости скольжения задерживает
во времени процесс всплывания (или оседания) тела, а соответственно — изменение
контактной деформации и силы контактного трения. Сила трения изменяется при
колебаниях не так, как это следует из описанной выше статической зависимости,
а значительно меньше. В этой связи эффект влияния падающей характеристики трения
оказывается очень малым, что подтверждается многими фактами.
Можно предположить существование другой физической природы падающей
характеристики силы трения по скорости. В условиях граничной смазки при отсутст-
отсутствии гидродинамического эффекта такую характеристику предложено объяснять нор-
нормальными к поверхности скольжения колебаниями, вызванными взаимодействием
неровностей контактирующих тел, усиливающимися с ростом скорости скольжения.
Применительно к малым скоростям скольжения, характерным для механизмов подач
металлорежущих станков, рассматриваемая модель усложняется необходимостью
учета нелинейности силы трения при изменении знака скорости и остановке переме-
перемещаемою тела. Сила трения покоя, возрастающая со временем неподвижного контакта,
больше силы трения движения. Сложный переходный процесс, происходящий в не-
нелинейной системе двух контактирующих тел при приложении внешней тангенциальной
силы, моделируется скачком силы трения при переходе от покоя к скольжению.
Колебания системы при этом сопровождаются остановками, становятся релаксацион-
релаксационными. Их иногда называют «скачками» при трении скольжения. Основная трудность
при практическом пользовании описанной моделью заключается в отсутствии досто-
достоверных данных о величине скачка силы трения и о закономерностях ее изменения
в различных условиях.
Более сложные модели системы учитывают специфику влияния колебательной
упругой системы станка, имеющей много степеней свободы. Схема одной из таких
моделей показана на рис. 9, а. Система представляется имеющей две степени свободы
в плоскости действия силы трения, перпендикулярной поверхности скольжения.
Главные оси жесткости системы, несущей скользящее тело, не совпадают с направле-
направлением силы трения и нормальной нагрузки. Суммирование колебаний по направлениям
главных осей жесткое! и, происходящих со сдвигом по фазе, дает эллиптическую траек-
траекторию движения трущегося тела. Если система неустойчива, то при колебательном
Движении (рис. 9, б) в сторону действия силы трения (положения 1—3) тело силь-
сильнее прижимается к направляющим, и сила трения возрастает, а при движении против
силы трения (положения 4 — 6) — давление меньше, и сила трения уменьшается.
Работа силы трения за цикл колебания (рис. 9, в), пропорциональная площади эл-
эллипса перемещений, идет на поддержание колебаний незатухающими, т. е. определяет
существование автоколебаний. При этом нормальная сила изменяется (рис. 9, г)
как консервативная упругая сила.
В описанной модели учтена одна из возможных форм связи двух колебаний —
°°РДинатная. Возможны также и другие виды связи: скоростная (по первой произ-
0 *1ОИ координаты по времени) и инерционная (по второй производной). На стр. 126
н Исана по существу модель с двумя степенями свободы (тангенциальные и нормаль-
е смещения скользящего тела) со скоростной — гидродинамической связью, в ко-
и Р°и нагрузка на контакт изменяется по циклу колебаний вследствие всплывания
Седани й
№^дания тела, определяемого действием гидродинамических с::л, зависящих от
ск°Рости скольжения.
верти НеРционная связь существенно выявляется при движении рабочего органа по
Стью 1ЫМ капРавляюш.им ПРИ условии, что центр тяжести не совпадает с плоско-
Ле? НапРавляющ,их. Сила трения зависит от момента внешних сил, который при ко-
По Иях изменяется моментом сил инерции. Возникают сложные качательные и
Упательные колебания рабочего органа. При определенном фазовом сдвиге
128
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
между этими колебаниями сила трения изменяется в такт поступательным колебаниям
Заданное поступательное движение становится неустойчивым, и возникают автоколе-
автоколебания.
Такое сложное колебательное движение может возникать и в плоскости скольже-
скольжения, изменяя направление силы трения или величину силы трения на боковых гранях
направляющих В общем случае упругая система станка является сложной и включает
все виды связей В конкретных случаях система приводится к более простым моделям
описанным выше.
Применительно к анализу фрикционных автоколебаний в станках модели сис-
системы при собственно неустойчивом процессе трения не рассматриваются, поскольку
явления схватывания или наростообразования недопустимы. При необходимости
такого анализа могут быть использованы модели системы, аналогичные описанным
на стр. 124.
Вынужденные колебания в станках при резании возникают вследствие периоди
чеоких внешних воздействий на упругую систему или при заданном периодическом
изменении срезаемого инструментом слоя металла. При внешнем сходстве (периоди-
(периодическое изменение срезаемого слоя представляют как заданное периодическое изме-
изменение силы резания) эти колебания имеют существенные различия.
Источниками внешних периодических воздействий на упругую систему станка
являются центробежные силы быстровращающихся несбалансированных детален
(роторов электродвигателей, шпинделей, валов и т. п ), так называемая магнитная
неуравновешенность электродвигателей, пульсация гидравлических приводов, пере-
сопряжение зубьев зубчатых колес, периодические возмущения от шарикоподшипни
ков и возмущения, передаваемые через фундамент станка от посторонних источников
воздействия и т п. Переменность сечения срезаемого слоя возникает при фрезеровя
нии, протягивании, при обработке заготовок с переменным припуском и т. п. Сложный
несинусоидальный характер многих периодических возмущений в станках создает
сложный и широкий спектр колебаний системы, включающий как первые гармоники
возмущений, так и ряд субгармоник. Некоторые возмущения имеют статистическ\'1°
природу и для оценки колебаний приходится использовать методы статистической
КОЛЕБАНИЯ В СТАНКАХ
129
мики. Отмеченные особенности внешних возмущений и резонансные свойства
оугой системы станка приводят к тому, что в спектре вынужденных колебаний
б б (
оугой си р у, р у
'i? зательно присутствуют колебания на собственных частотах системы (при видимом
утствии периодических воздействий с соответствующей частотой). Те же особеннос-
объясняют относительно малые амплитуды этих колебаний, несмотря на их резо-
!янсное происхождение.
Внешние периодические воздействия на упругую систему при отсутствии резания
дают так называемые колебания станка при холостом ходе. Их оценка с позиций
с „очности и долговечности деталей станка выполняется известными мегодами. Спе-
Специфична для станков оценка по влиянию вынужденных колебаний на точность обра-
обработки Точность формы и размера обрабатываемой заготовки определяется смещениями
инструмента по нормали к обрабатываемой поверхности. Особое значение оценка
кочебании имеет для прецизионных отделочных станков, для которых требования
к точности обработки особенно высоки. На рис. 10 показан экспериментально полу-
полученный спектр колебаний шлифовального станка при холостом ходе, измеренных по
нормали к обрабатываемой поверхности между шлифовальным кругом и обрабатыва-
обрабатываемой заготовкой. Кроме колебаний с ча-
частотами первых гармоник известных воз-
возбудителей (частота вращения ротора элек-
электродвигателя, частота пульсации перемен-
переменного электрического тока и т. д.) в спектре
находятся колебания на собственной ча-
частоте системы. По такому спектру уста-
устанавливаются и известными методами
(уравновешивание, виброизоляция и т. п.)
устраняются источники воздействий, а со-
соответственно и колебания на первых гар-
гарй З
А,
Ним
1,0
я
1
1
1
1
1
1
1
J
1
МО
гоо зоа
рис ]0
мониках возмущений. Значительно слож-
сложнее устранение или уменьшение вынуж-
вынужденных колебаний системы на собствен-
собственных частотах, которые возбуждаются
практически микросейсмами. Расчетное построение спектра колебаний инструмента
относительно обрабатываемой заготовки при заданных возмущениях и месте их
приложения производится с помощью методов теории колебании.
Знание уровня и частот колебаний станка при холостом ходе, а также амплитуд
и частот заданного колебания слоя металла, срезаемого инструментом, позволяет
определить амплитуды (а при необходимости и фазы) колебаний при резании. Ампли-
Амплитуда колебаний равна амплитуде волнистости обработанной поверхности, и допусти-
допустимый уровень определяется требованиями к качеству поверхности обрабатываемой
заготовки. Влияние процесса резания на колебания определяется степенью устойчи-
устойчивости системы и различно для разных частот. При отклонениях в пределах линеари-
зуемости системы амплитуды колебаний на заданной частоте при резании
1
А
1д А
'зн
G)
(8)
Де Af — амплитуда колебаний с частотой шу, вызываемых внешними воздействиями
з упругую систему; Ахх — амплитуда колебаний с частотой u>f при холостом ходе
Коан?а> вызываемых внешними воздействиями на упругую систему, As — амплитуда
лебаний с частотой сод, вызываемых переменностью срезаемого слоя; А д — ампли-
Да геометрически заданных колебаний толщины срезаемого слоя с частотой <вд;
част3"~ анплитУЧное значение частотной характеристики разомкнутой системы на
оте (Од, определяемое как показано на рис. 2, Азн — амплитудное значение зна-
н На^еля выражения на частотах со. или шд, определяемое по характеристике разомк-
разомкни системы как показано на рис. 2.
о п/р. ф. м_ Диментберга и К С Колесникова, т 3
130 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Из этих выражений следует, что колебания на низких частотах, как правило
уменьшаются по сравнению с колебаниями при холостом ходе (Лзн > 1) или геометра!
чески заданными колебаниями срезаемого слоя —,— < 1. При более высоких частотах
близких к лежащим на характеристике разомкнутой системы в области пересечения
ею отрицательной ветви вещественной оси, амплитуды Af соответствующих колеба.
ний возрастают (Аза < 1). При периодическом изменении срезаемого слоя соотнощ8.
ние-г^=1 является предельным и соответствует границе устойчивости при обра-
ботке по следу. Важным практическим выводом является возможность [за счет повы-
повышения устойчивости системы (^раз^ 1I добиться существенного снижения вын\,а.
денных колебаний при периодическом изменении толщины срезаемого слоя даже при
так называемых резонансных режимах обработки, например при фрезеровании, когда
произведение частоты вращения на число режущих зубьев совпадает с одной из соб-
собственных частот системы. Колебания при резании, вызываемые воздействием на ynpj.
гую систему станка, повышением устойчивости системы при резании доводятся только
до уровня колебаний при холостом ходе. Из этого вытекает практическая необходр.
мость уменьшения амплитуд колебаний станков при холостом ходе и их нормиро-
нормирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дроздов Н. А. К вопросу о вибрации станка при токарной обработке. — Станки и ирст-
румент, 1937, № 22, с. 10 — 17.
2. Каминская В. В., Левина 3. М. и Решетов Д. Н. Станины и корпусные детали металло-
металлорежущих станков (расчет и конструирование). М , Машгиз, 1960. 363 с.
3. Каширин А. И. Исследование вибраций при резании металлов. М. — Л , АН СССР
1944 129 с.
4. Кривоухов В. А. и Воронов А. Л. Высокочастотные вибрации резца при точении. Л1,
Оборонгиз, вып. 67, 1956. 76 Ь.
5. Кудинов В. А. Динамика станков. М, Машиностроение, 1967. 359 с.
6. Меррит Д. Теория автоколебаний металлорежущих станков. — Конструирование и
технология машиностроения, 1965, № 4, с. 92 — 97.
7. Пуш В. Э. Малые перемещения в станках. М., Машгиз, 1961, 124 с.
8. Решетов Д. Н. Методы снижения интенсивности колебания в металлорежущих станкач
М , ЦБТИ МСС, 1950. 66 с.
9. Эльясберг М. Е. Расчет механизмов подачи металлорежущих станков на плавность и
чувствительность перемещения (о разрывных колебаниях при трении). — Станин и
инструмент, 1951, № 11, с. 1—7, № 12, с. 6 — 9.
10. Эльясберг М. Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов. — Станки и инст-
инструмент, 1962, № 10, с. 3 — 8, № 11, с. 3 — 6
11. Danek О., Polacek L., Tlusty I. Selbsterregte Swmgungen an Werkzeugmaschinen, VEB
Verlag Techtuk, Berlin, 1962. 340 S.
12. Tobias S. A. Swmgungen an Werkzeugmaschinen, Munchen, Hanser, 1961. 322 S.
Глава VII
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Роторы, или валы, являются главными элементами большинства энергетиче-
энергетических, электрических и транспортных машин, а также многих приборов, и служа"
в них для передачи крутящего момента или кругового движения.
Выполняя в машинах важнейшие функции, роторы представляют собой основ-
основной источник вредных вибраций, интенсивность которых зависит от целого ряда фзК'
торов таких, как конструктивные особенности машин и их назначение, тип подшиП'
ников, характер соединений отдельных роторов в валопроводы, близость рабочи4'
скоростей к так называемым критическим скоростям и т. п. При этом основными пр"'
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
131
нами роторных вибраций являются, с одной стороны, различного рода несовер-
4 яства, конструктивные или возникшие при изготовлении, сборке и эксплуатации
^шин, а с ДРУг°й стороны, специфические для роторных систем неконсервативные
лы приводящие при определенных условиях к автоколебаниям. Отличительная
С обе'нность роторных вибраций состоит в том, что в подавляющем большинстве
°Сучаев они связаны с поперечными колебаниями роторов, в то время как крутиль-
ie или продольные колебания играют несравненно меньшую роль. Характерным
"акже является отсутствие, как правило, прямой связи уровня вибраций с величиной
предаваемой или вырабатываемой мощности.
Проблеме колебаний роторов посвящено несколько монографий и сборников
[13 15, 17, 22, 28, 29, 51, 57], а также большое число публикаций. В работе [72]
приведен обзор ранних работ с библиографией, содержащей 554 наименования,
2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
Ротор с одним диском. Диск с массой М и центром инерции, расположенным
в точке (У- (рис. 1), соединяется с невесомым прямолинейным валом в точке О', опре-
определяющей центр жесткости вала. Используются две связанные с ротором системы пра-
вовинтовых прямоугольных координат. Одна
система О'§'т]'?' имеет начало в точке О',
ось ? этой системы направлена по оси вра-
вращения ротора, а направления двух других
осей 1]' и ?' совпадают с направлением глав-
главных центральных осей жесткости вала в месте
посадки диска. Вторая система О°?,°ц%° имеет
начало в точке 0°, и направления осей этой
системы совпадают с направлениями главных
центральных осей инерции диска. Моменты
инерции диска относительно этих осей соот-
соответственно равны /| = /0, /п = /х и /g = If
Положение осей инерции О°с,'ц%° по отноше-
отношению к осям жесткости О'|'т]'$' определяется ли-
Рис. 1
нейными величинами
= еъ eg = e2 и угло-
угловыми величинами у^ = ylt y^ = у2, которые характеризуют параметры несовер-
несовершенств ротора типа неуравновешенности.
У неподвижной системы координат Охуг (рис. 2) ось х проходит через центры
опор вала ротора. Вращение ротора характеризуется углом <$х = ф. Перемещения
\
Го1
"г
у
V
л
^'1'^' в направлениях у к г определяются величинами иу и иг, а повороты
Г Этих осей — величинами ф„ и фг. Для осей 0oiono?° линейные и угловые пе-
ния определяются величинами и'у, u°z, ф^, ф°. При малых значениях параме*
5*
132 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
тров несовершенств ротора, его линейных и угловых перемещений связь между пе-
перемещениями осей 0%'х\%' и 0%°х\%° имеет вид
и" —и -\-ел sin ф—е sin ф; и" = и,+е, sin ф>+е„ соэф; \
о о_ ( О
Для ротора с одним диском уравнения движения в проекциях на неподвижные
оси имеют вид
"ж=р*> М-Гру' м"ж-р-
B)
где Ря, Ру, Рг — проекции приложенных к диску внешних сил; Н°х, Н° Н°г и L?
L°u, L°z — проекции вектора момента количеств движения диска и вектора момента
внешних нагрузок относительно осей, проходящих через центр инерции 0° и парал-
параллельных осям хуг.
В большинстве случаев для роторов, вращающихся вокруг оси х со скоростью
фд. = ф, скорости поворотов вокруг двух других осей существенно меньше ф (ф ° <^
"^ Ф> Фг "^ Ф)- Тогда для изотропного диска Aг = /2 = /) при малых углах q>y и фг
проекции вектора момента количеств движения записываются в виде Н°х = /0 ф,
Н°у = 1фу + /оффг. Щ = ^Фг — ^ФФу> гДе вторые слагаемые характеризуют влия-
влияние так называемого гироскопического эффекта.
При анализе поперечных колебаний роторов движение вокруг оси х не рассма-
рассматривается и принимается ф = ш = const, ф = at. He рассматривается также дви-
движение в направлении оси х, характеризующее продольные колебания роторов, как
не имеющие большого значения из-за отсутствия значительных возмущающих сил
в этом направлении. Указанные упрощения приводят к следующим уравнениям дви-
движения осей 0о1°ч%°:
d\'r] dml
и осей O'l't\%'
Миу = Ру-\- Misfl (ei cos at — e2 sin wf);
Muz = Pz + Afo2 (ex sin (d+ea cos atf);
Щу + ЫЩг = L°y + ш2 (/ — /0) (Yi cos co< — Y2 sin
/фг — 10(оц>у = Lz + со2 (/ — /0) (Vi sin 4>t + -y2 cos
D)
Из анализа уравнений D) следует, что параметры неуравновешенности играют
роль внешней периодической нагрузки.
Для многих задач целесообразна запись уравнений движения в координатах
?, вращающихся со скоростью вращения ротора со. формулы перехода
Uy = иц sin tri — u^ sin at; иг = иц sin at + иj cos at;
<py = (fn cos at — ф? sin at; фг = фч sin ш/ + ф^ cos cof
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
приводят к уравнениям движения для осей 0'1'ц'?':
М (Ыц — 2couj — ш2мГ|) = Рт|-
133
Л1 (u
ош (шф? — фг,) =
~ /о) Та-
E)
Для изотропных систем, у которых все направления в плоскостях, перпенди-
перпендикулярных оси вращения, являются главными для массовых, упругих и демпфирую-
демпфирующих характеристик вала ротора и его опор, а нагрузки изотропными, траектории всех
точек оси ротора будут круговыми. В этом случае при введении обозначений
уравнения D) и E) допускают «спрессовывание» в неподвижных и подвижных коор-
координатах:
/ф —
М (й
1 (фи
) — й>2фш) + /ой> (шфш — (фш) == La> + <»2 (' — 'о) Г.
F)
Действующие на ротор нагрузки можно разделить на независящие и зависящие
от движения ротора. К первой группе относятся постоянные по величине нагрузки
неизменного направления (силы тяжести, неуравновешенные силы аэрогидродина-
аэрогидродинамического или электромагнитного происхождения и т. п.), а также зависящие от
времени нагрузки, среди которых важнейшими являются периодические нагрузки,
обусловленные вращением ротора и периодически расположенными элементами ро-
ротора и статора. К нагрузкам, зависящим от параметров движения, относятся силы и
моменты, которые возникают как реакция окружающей среды на перемещения ро-
ротора. Эти реакции зависят от величин перемещений и скоростей и при малых значе-
значениях последних будут их линейными функциями.
При поступательных перемещениях ротора, характеризуемых векторами сме-
смещения и (и„, иг) и скорости u (mv, uz), на ротор со стороны внешней среды действует
сила
N = F + R; F = —Фи; R = — Ru,
где Ф и R — некоторые тензоры, имеющие в общем случае вид
уу
Czii
суА. ^ =
. ^ = 1^уу
l' \Kzy
здесь сЦ
сЦу, ..., Кгг — коэффициенты, зависящие от параметров ротора и внешней
среды, причем в общем случае Cyz Ф Czy, Куг 4= К-гу
Из действующих на ротор сил выделяют силы, родственные обычным упругим
8 Демпфирующим силам, для чего силы F и R представляют в виде сумм, т, е,
F = C + B; R =
?Де первые слагаемые характеризуют обычные упругие силы С и силы демпфиро-
демпфирования X, а вторые слагаемые характеризуют силы специального вида. Чтобы по-
134 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
лучить выражения для компонент указанных групп сил, каждый из тензоров Ф и R
разлагают на симметричный и кососимметричный тензоры:
где составляющие тензоры
с( Суу
О / \— Ь О'/
_ I\yy l2\l\yz-T1^zy\.
/ п
к= х
О Л'
) (
/2{Куг-Кгу) 0 ) \-h 0.
Тензоры С и К определяют упругие и демпфирующие силы. Силы, определяе-
определяемые тензором Н, называют гироскопическими, а тензором В — псевдогироскопиче-
псевдогироскопическими, или циркуляционными. Симметричные тензоры С и К. приводятся к главным
осям, и для них могут быть определены главные жесткости и главные коэффициенты
сил демпфирования:
V «(
В общем случае Сх ^ С2 и /С =j^= K2> что характеризует анизотропные свойства
действующих реактивных сил.
Аналогичными свойствами обладают и моментные реактивные нагрузки.
Ротор с распределенными параметрами. Для свободного от опор и внешних
нагрузок ротора линия, проходящая через геометрические центры тяжести попереч-
поперечных сечений, определяет его ось жесткости (ниже рассмотрены роторы только с пря-
прямолинейной осью жесткости). Линия, проходящая через центры тяжести масс, опре-
определяет его ось инерции. Неуравновешенность определяется как отклонение в каж-
каждом сечении оси инерции от оси жесткости и характеризуется в каждом сечении ро-
ротора параметрами е^ = elt е^ = е2, и у^ = i>i, y^ = у2.
В изотропном роторе все оси инерции поперечных сечений являются главными.
Ротор имеет переменные по длине изгибную жесткость EJ (х), распределенную по-
погонную массу т (х), одинаковые относительно осей у и г распределенные по длине
экваториальный мсмент инерции i (х) и полярный г'о (х) относительно оси х момент
инерции. При постугательных перемещениях сечений ротора в направлениях у и г
возникают распределенные силовые реактивные нагрузки с коэффициентами про-
пропорциональности Суу, суг, czy, czz при соответствующих перемещениях и kyy, kyz, kzyj,
kzz при соответствующих скоростях. Аналогично при угловых поворотах сечении
относительно осей у и г возникают распределенные моментные нагрузки с коэффи-
коэффициентами syy, syz, szy, szz при угловых перемещениях и ryy, ryz, rzy, rzz при угловых
скоростях.
Распределенные по длине ротора силы внутреннего трения в материале (см. п. 5)
характеризуются коэффициентом пропорциональности / (х). Ротор нагружен распре-
распределенной по длине векторной силовой нагрузкой р (х, t) с компонентами ру и рг
и моментной нагрузкой 1 (х, t) с компонентами 1у и' 1г.
Деформированное состояние в каждом сечении характеризуется деформаци-
деформационными параметрами, включающими вектор перемещения u (x, t) с компонентами
иу и иг и вектор угла поворота <р (х, f) с компонентами <ру и <рг, и силовыми параме-
параметрами — вектором поперечной силы Q (x, t) с компонентами Qy и Qz и вектором из-
изгибающего момента М (х, t) с компонентами Му и Mz.
Дифференциальные уравнения движения ротора (без учета поперечных сил,
влияние которых на деформацию роторов в большинстве случаев невелико) имеют
вид:
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
135
при поступательных перемещениях
д*и°у __ dQy
dt2 ~ дх сУУиУ ^
ди
у duz
к
уг
du,,
¦ — -q^ czyuy — czzuz~kzy-0i kzz-
duz
G)
при угловых перемещениях
Л2гп° дер*
dt
Их)-
дуу
Гу2
д1
'w^f-'
-дТ = Q-x <iyS*gVy-Sggyt-t
(8)
К уравнениям G) и (8) следует добавить зависимости
диУ м [
ш. = —5—; М, = — \E
тг дх ' z (_
-г;
дх
dxdt
5ф^1 I
дх jJ j
(9)
В уравнениях G) и (8) верхний индекс °, как и выше, соответствует линейным
и угловым перемещениям оси инерции ротора, причем перемещения точек оси инер-
инерции и оси жесткости связаны соотношениями A).
В случае, когда не учитывают силы инерции при угловых перемещениях и реак-
реакция основания представлена лишь изотропными силами упругости-и демпфирова-
демпфирования, уравнения движения имеют вид
m-
dt
• + с«„ = moJ (е1 cos (at—ег sin (x>t);
Cit OX I
•\-k
ф
dx* ^' [dx* dt ш ~дх
= nuifi (eL sin u)/-j-e2 cos u>t),
A0)
_ Приведенные дифференциальные уравнения в частных производных имеют вось-
восьмой порядок, поэтому при их решении необходимо задать восемь граничных условий.
Если относить к внутренним участкам имеющиеся на концах ротора сосредоточен-
сосредоточенные массы, жесткости и демпферы, то граничные условия можно привести к одно-
Родному виду. В случае свободного конца граничные условия имеют вид Qy =Qg = 0;
My = Mz = 0. При неограниченно большой жесткости (или демпфировании) для
поступательных и угловых перемещений граничные условия будут иу = uz = 0;
4>у — (fz = 0. Возможны также граничные условия, состоящие из комбинаций ука-
указанных условий.
136
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
3. ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
Основную группу составляют задачи анализа и расчетов колебаний изотропных
роторов.
Поступательные перемещения. Симметричный гибкий ротор с горизонтальной
осью вращения опирается на две абсолютно жесткие опоры (рис. 3, о) В середине
безмассового вала, имеющего жесткость на изгиб С, посажен изотропный диск с ре-
результирующей неуравновешенностью ? = 1^6?+ej. При колебаниях ротора воз-
til Та
,0'
tig
а)
Рис. 3
никают приведенные к точке О' линейные силы трения с коэффициентом пропорцио-
пропорциональности К' Проекции действующих на диск сил
В симметричной системе возникнут только поступательные движения, для ана-
анализа которых достаточно рассмотреть первые два уравнения системы D), которые
имеют вид (ось т)' направлена вдоль Е)
Muy-\-Kuy-\-Cuy= MafiE cosaw1;
Миг-\-Киг-\-Сиг = MtiPE sin at
-мв.}
A2)
Два входящие в систему A2) уравнения формально не связаны, и каждое из
них определяет колебания в соответствующем направлении. Собственная частота
системы по любому из направлений
или Q=Vg/p, A3)
где р = Mg/C — прогиб вала под действием нагрузки, равной весу диска.
Вынужденные колебания характеризуются зависимостями для точки прикреп-
прикрепления О':
где A =
иу = A cos (&>t — х); «г = A sin (ad — %) — Mg/C(
MEafi L Kco
A4)
—
У (С
48Х = :
+ () С —Мы2
и для центра инерции
иу = иу + Е cos со/; и°г — иг
Амплитуда колебаний точки 0°
sin (at.
A5)
ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
137
Амплитуда вибрационной составляющей силы со стороны ротора на фундамент
Q = МсоМ°,
A6)
т е. равна величине центробежной нагрузки от вращающейся на радиусе А° массы М.
На рис. 4 построены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для безраз-
безразмерных перемещений и сил на фундамент от безразмерной скорости Р = co/Q при
нескольких фиксированных значениях безразмерного демпфирования 6 = KlVCM,
связанного с логарифмическим декрементом системы Д соотношением Д = яб.
Из решений A4) — A6) и рис. 4 следует:
1) при вращении неуравновешенного ротора точки О' и 0°, а также конец век-
хора силы перемещаются по круговым траекториям в направлении вращения ротора
(движения в форме прямых синхронных прецессий);
2) максимальные значения амплитуд перемещений и усилий достигаются, вообще
говоря, при различных скоростях, зависящих от величины сил демпфирования.
Однако в целом эти максимумы группируются около скорости Q% =YC/M (p^ = 1),
А/Е
равной недемпфированной собственной частоте Q и называемой критической ско-
скоростью. При малом демпфировании максимальные значения безразмерных перемеще-
перемещений или сил приблизительно равны 1/6,
3) с увеличением скорости (со > Q*) амплитуда перемещений точки О' стре-
стремится к Е, а амплитуда центра инерции 0° стремится к нулю, вследствие чего воз-
возникло понятие о самоцентрировании, смысл которого состоит в том, что при боль-
больших скоростях центр инерции стремится к оси вращения;
4) силы на фундамент, достигая при малом демпфировании аналитического мак-
максимума вблизи критической скорости, с увеличением скорости вращения вновь
начинают расти по абсолюгной величине (рис. 4, в).
Уравнения для гибкого ротора остаются без изменения для схемы жесткого
ротора на упругих опорах с демпфированием (рис. 3, б) при поступательных пере-
перемещениях, если положить С = 2С0, К = 2Д. Такого рода конструкции исполь-
3Уют для уменьшения усилий, передаваемых от ротора на фундамент [22]. Из рис. 4, б
видно, что лишь при 0>}^2Q может быть получен желаемый выигрыш в силе, тем
больший, чем меньше демпфирование в системе
При анализе колебаний электрических машин необходимо принимать во вни-
внимание силы взаимодействия между ротором и статором, обусловленные притяже-
йием ферромагнитных поверхностей. Эти силы вызывают главным образом магнит-
магнитные вибрации статогов с широким спектром частот [64], но могут существенно влиять
" на вибрации роторов. Так, вследствие несовпадения магнитных центров ротора и
статора возникают силы притяжения, которые при малых смещениях для многопо-
лк>сных машин можно представить в виде
138
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
где и°у, м° — смещения; d — коэффициент «отрицательной» жесткости магнитного
поля. Эти силы магнитного притяжения приводят к снижению собственных частст
(критических скоростей), и, в частности, для ротора с одним диском собственная
частота
= Vc/M ^YZZ
A8)
Возникающая неизменная по направлению сила одностороннего магнитного
притяжения ротора к статору деформирует ось ротора, и при вращении ротора по-
появляются вибрации с частотой вращения.
Угловые перемещения. На рис. 5 изображен симметричный неуравновешенный
обод, соединенный гибкой безмассовой пластиной с жесткой ступицей, вращаю-
вращающейся в жестких опорах. Радиальная жесткость пластины существенно выше ее жест-
жесткости при угловых перемещениях, что позволяет рассматривать только угловые
B/Qg
Рис. 5
о 7/7 \ г з co/nQ
Рис. 6
перемещения, описываемые двумя последними уравнениями системы D). Приведен-
Приведенные к плоскости прикрепления линейные упругий и демпфирующий моменты
где S и R — коэффициенты соответственно угловых жесткости и демпфирования.
Уравнения движения диска только при угловых перемещениях имеют вид
о) (О2Г cos at;
о) ш2Г sin wt,
A9)
где Г — результирующая угловая неуравновешенность диска.
Собственные (без учета демпфирования) частоты собственных колебаний Q
определяют из уравнения
(S - /Q2) (S - /Q2) -
= о.
B0)
из которого для каждой скорости со находят две собственных частоты.
На рис. 6 построены зависимости частот от со при нескольких значениях отно-
отношения /0//. Величина Q0 = Ys/I равна собственной частоте ротора, вычисленной
без учета гироскопического эффекта.
ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ 139
Вынужденные колебания возникают в форме прямой синхронной прецессии.
Амплитуды колебаний Ф и Ф° соответственно плоскости прикрепления и плоскости,
в которой расположены оси инерции, определяются формулами
Ф° -tf S + (Ra»« 2l
' Г V [S-(/-/„) QJ]2 + (R0)J"
Ф
Г
Из решения B1) следует:
1) интенсивность колебаний зависит от разности (/ — /0), и при / = /0 (все
моменты инерции тела одинаковы) колебания в системе отсутствуют;
2) амплитуды колебаний достигают максимума вблизи скорости со = 0,% =
= l/ j—у, называемой критической скоростью прямой прецессии. При / < /о
резонансные колебания в системе отсутствуют;
3) как и при поступательных перемещениях, за критической скоростью проис-
происходит самоцентрирование ротора, т. е. ось инерции стремится к оси вращения (Ф° -*¦
-»- О, Ф -> Г).
Критические скорости определяются из рис. 6 как точки пересечения кривых,
характеризующих собственные частоты, с прямой со = Q. Точки, соответствующие
пересечениям с большими частотами, определяют критические скорости прямой
прецессии fij, а с меньшими частотами — так называемые критические скорости
обратной прецессии Q*, равные Q;=l/ . Критические скорости Qz для
б
V \о
изотропных систем при колебаниях от неуравновешенности не реализуются, а могут
проявиться лишь в том случае, когда на ротор, вращающийся со скоростью со, дей-
действует нагрузка, вращающаяся со скоростью со в противоположную сторону, или пе-
периодическая с частотой со нагрузка неизменного направления.
Из рис. 6 наглядно видно, почему при / < /0 отсутствуют критические скорости
прямой прецессии. При действии на вращающийся ротор периодической нагрузки,
имеющей частоту V, резонансные колебания возникают при близости частоты v к соб-
собственным частотам, определяемым из уравнения B0).
Изложенные результаты полностью относятся к случаю кососимметричных
колебаний системы, изображенной на рис. 3, б, если в уравнениях A9) положить
S = V4 C0P, R = ЧьКоР.
Моменты инерции / и /0 для характерной фигуры с массой М, представляющей
собой цилиндр с наружным радиусом R, внутренним радиусом г и высотой h, вычис-
вычисляются по формулам
Л (Д2 + 2)М
В частности, для тонкого диска (h — мало) /0// = 2. В случае, когда форма ро-
ротора близка к цилиндру, длина которого в несколько раз больше его диаметра (/0 <^
< /), межау критическими скоростями жесткого ротора на упругих опорах малой
жесткости при симметричной (Qx) и кососимметричной (Q2) формах колебаний су-
существует соотношение Q2 = УЗО.Ъ которое с некоторым приближением выполняется
и для роторов произвольного вида.
Несимметричный ротор. На рис. 7, а изображен гибкий ротор с несимметрично
посаженным диском. К такой же расчетной схеме приводится и жесткий несимме-
несимметричный ротор на упругих опорах (рис. 7, б). Для ротора, имеющего поперечную
и угловую неуравновешенности, «спрессованные» уравнения движения без учета сил
трения записываются в виде
Щ — /1С0ф + Л/и + 5ф (/ Л) со2Гег<0' / *
гДе С и S — главные жесткости системы соответственно при поперечных и угловых
перемещениях; Л' — побочная жесткость. Величины С, S, N находят при статическом
Расчете системы.
140
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Собственные частоты системы (без учета демпфирования) определяют из урав-
уравнения
MIQ* — M/0oQ3_Q2 (С/ + MS)+C/0«)Q + CS-№ = 0.
Амплитуды вынужденных колебаний ротора А и Ф соответственно для попереч-
H6ix и угловых перемещений находят из формул
А = ~
[S - (I - /0) со2] -
-/о);
ф = i- [ГйJ (/ — /„) (С — MvP) — EePMN],
B3)
где А = (С — М<o2)[S — (/ — IB)aP] — N2.
Максимальные амплитуды имеют место при А ->- 0, что приводит к уравнению
для нахождения критических скоростей
(С — MQ|)[5 — (/ — /0)Й|] — ЛГ2 = 0. B4)
При / > /0 из уравнения B4) определяются две критических скорости, а при
/ < /0 — только одна. Из решения B3) следует, что на каждой критической скоро-
б)
Рис. 7
сти возбуждение возможно как от поперечной, так и от угловой неуравновешенно-
неуравновешенности. При увеличении скорости амплитуда А стремится к Е, а амплитуда Ф к Г, т. е.
явление самоцентрирования имеет место и в этом более общем случае.
Ротор с распределенными параметрами. При отсутствии на роторе явно выра-
выраженных дисков или других сосредоточенных масс возникает необходимость рассмо-
рассмотрения систем с распределенными параметрами. Предполагают, что распределенная
неуравновешенность лежит в одной плоскости [ег (х) =. Е (х), е2 = 0], опоры ротора
изотропны, внутреннее трение отсутствует. Решение системы A0) ищут в виде раз-
разложения в ряды:
0= 2J Uyn(t)Un(x); и Ах. 0
uzn(t)Un(x)
B5)
п = 1
по формам собственных колебаний Un (x) соответствующей консервативной задачи
(при плоских колебаниях)
B6)
где Qn — собственная частота (критическая скорость), соответствующая форме (/„.
Для собственных функций Un справедливы условия ортогональности
где I — длина ротора,
ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
141
Подстановка B5) в систему A0) и наложение условий, при которых результаты
тановки ОрТогональны функциям Un (метод Галеркина), при учете лишь глав-
х составляющих сил демпфирования приводит к системе разделяющихся урав-
уравнений
^пйуп+КпЩм + СпиуП = MnufiE „cosco/; 1
inuzn + KnUzn + CnUzn = MnaPEn sin со/ (я=1, 2, 3, ...), J
где использованы обозначения:
М„
М„
Мп
dx;
-±-^mEUn dx;
Cn=MnQ%; Kn =
Система B7) аналогична системе A2) для одномассового ротора, вследствие
чего ее решения аналогичны решениям A4) с соответствующей заменой обозначе-
обозначений. При этом амплитуды колебаний
Аи.
B8)
Из анализа вида уравнений B7) и решения B8) следует:
1) распределенная неуравновешенность как бы автоматически разлагается си-
системой в ряды по формам собственных колебаний. При этом каждая форма резони-
резонирует независимо от других при соответствующей собственной частоте (критической
.о,
/Ugh 0
/uyh 0?
E 0°
Рис. 8
ис-
скорости) с интенсивностью, пропорциональной коэффициенту разложения Е
ходной неуравновешенности;
2) каждой форме колебаний присуще явление самоцентрирования;
3) ширина диапазонов резонансных колебаний растет с номером я. Поэтому
на ^высших критических скоростях вибрации, как правило, имеют более интенсив-
интенсивный характер, чем на низших, даже несмотря на уменьшение коэффициентов Еп
с ростом п.
Демпфирование колебаний гибких роторов. Для уменьшения вибраций в широ-
широком диапазоне скоростей, включающем критические скорости, иногда целесообразно
использовать специальные демпферы, совмещаемые обычно с опорами [12, 54]. Ниже
риведены основные результаты для неуравновешенного гибкого ротора с одним
Диском при использовании демпферов вязкого и сухого трений [44].
из (^емпФеР„ вязкого трения. Для уменьшения резонансных колебаний в системе,
оораженной на рис. 3, а, ротор располагается на двух одинаковых изотропных
У Ругодемпферных опорах, каждая из которых имеет массу М2, жесткость С2, коэф-
коэффициент линейного демпфирования К2 (рис. 8).
142
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
«Спрессованные» уравнения движения только при поступательных перемещениях
имеют вид
B9)
где «! и н2 — перемещения соответственно диска и его опор.
Амплитудные значения перемещений диска Аъ опор А2, взаимные перемещения
диска и опор (Лх — А2), а также усилия на фундамент Q (на обе опоры) определяются
из выражений
C0)
4Д ' I Е
где Л = [A-р-)(а-^)Р+б2Р2A-Р2K-
Здесь использованы безразмерные параметры ц. = MJMf, a = CJCu о3 =
= KllC^i, P = cй/^; Q** = CJMX.
2 I pi3 Т "
Рис. 9
Недемпфированные собственные частоты (критические скорости) системы (Po)i,s
находятся при этом, как корни уравнения
A —Р§)(а —(j,p§)—i/2P| = 0. C1)
Для нахождения оптимальных параметров демпферов используют так называе-
называемые инвариантные скорости амплитудных кривых, обладающие тем свойством, что
амплитуды при этих скоростях не зависят от величины демпфирования в опорах.
Эти скорости определяют в точках пересечения амплитудных кривых при отсут-
отсутствии демпфирования F = 0) и при бесконечно большом (б = оо) демпфировании
(рис. 9, где 1 —а = 0,3; б2 = 0,2; 2 — а = б2 = 0,1; 3 — а = б2 = 0,05, 4 — а =
= б2 = 0,02). В рассматриваемом примере таких инвариантных скоростей для пе-
перемещений две, а для сил — три. Из условия равенства амплитуд в двух инвариант-
инвариантных точках находят величину жесткости опор. Условие, что касательная к ампли-
ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
143
яной кривой б инвариантной точке является горизонтальной или близкой к
ооизонтальной, служит для нахождения коэффициента демпфирования, обеспечиваю-
г его максимальным вибрациям их минимально возможные значения во всем диа-
диапазоне скоростей.
расчеты показали, что оптимальные значения получаются различными в зави-
«мости от выбранной вибрационной характеристики (табл. 1).
1. Оптимальные значения жесткости и демпфирования
Характеристика
Перемещение диска At'/E
Л, — А2
Сила Q/C,E
Значения харак-
характеристики при
инвариантной
скорости
Y\ + 4/X
Y\ + 4ц
1+2ц
Оптимальное значение
а
И
V« + H
Ч* + V2(i
б2
и
Vie + И
A +2ц) C-2Ц)
16
max q
На рис. 9 при [J, = 0,1 построена амплитудная кривая для силы при «оптималь-
«оптимальных» параметрах демпферов, выбранных в соответствии с табл. 1 (кривая 1). Из рис. 9
следует, что сила в широком диапазоне скоростей находится на достаточно низком
уровне и при указанных предположениях уменьшена быть не может.
Если вместо приравнивания амплитуд в инвариантных точках имеется намере-
намерение снизить амплитуды только вблизи первой критической скорости, то уровень
вибрации для силы может быть еще снижен. Так, в случае, когда жесткость опор из
конструктивных соображений может быть
выбрана небольшой, удовлетворительные ре-
результаты практически для всех переменных
дает демпфер с параметрами, соответструю-
щими «оптимальным» параметрам для пере-
перемещений диска:
C2)
min(max q)
1
1
\
1
/
т^
1
А
}
0,25 аош 0,5
Рис. 10
что наглядно видно из рис. 9 (кривые 2—4).
Важное значение имеет вопрос о «расстрой-
«расстройке» демпфера, т. е. об отклонении его пара-
параметров от оптимальных расчетных. На рис. 10
построены зависимости для силы от величи-
величины демпфирования при оптимальной жестко-
жесткости (кривая 1) и от величины жесткости
Демпфера при оптимальном демпфировании
(кривая 2). Из рис. 10 видно, что при умень-
уменьшении демпфирования по сравнению с опти-
оптимальным амплитуды силы растут более резко, чем при его увеличении. И наоборот,
при уменьшении жесткости силы уменьшаются крайне незначительно и резко растут
при ее увеличении. Анализ показал, что оптимальный демпфер обеспечивает мини-
минимальное рассеяние энергии в демпфере.
Демпферы с параметрами, выбранными исходя из минимума вибраций по сим-
симметричным формам, как показали расчеты, удовлетворительно работают и при ко-
, имчетричных формах колебаний, а также при установке ротора на одну демпфер-
демпферную опору.
Do" ^оложительное свойство демпферов вязкого трения состоит в том, что их наст-
Р ика не зависит от величины неуравновешенности, если она не превышает некото-
некоторого предела, при котором демпферы перестают быть линейными [56].
144
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Демпфер сухого трения. В случаях, когда демпферы вязкого трения не могут
быть использованы (невозможность подвода жидкости, высокие температуры и т. п.),
цля целей снижения амплитуд при критических скоростях можно использовать демп-
демпферы сухого трения. Основными особенностями элементов сухого трения являются:
1) малая зависимость силы трения от скорости, что позволяет при анализе
использовать формулу Кулона
F=aN,
где N — сила прижатия поверхностей; а — коэффициент, зависящий главным обра-
образом от материала трущихся пар;
2) существование в системах, использующих сухое трение, двух режимов:
а) элемент «открыт» — возможно взаимное проскальзывание соприкасающихся
поверхностей (в этом режиме сухое трение не ограничивает амплитуд при резонансе);
Рис. 11
б) элемент «закрыт» — взаимное проскальзывание поверхностей отсутствует,
что возможно в случае, когда сила трения в элементе будет превышать передающуюся
через него силу.
Учет указанных особенностей дает возможность за счет выбора величины за-
затяжки демпфера исключить резонансные состояния системы, изображенной на
рис. 3, а, В этом случае задача характеризуется параметрами
\i = M2/Mii a = C2/C1; D = 2F/EClt
где F — сила затяжки каждого из демпферов.
Анализ показал, что если параметр D выбран из условия
l
C3)
где ро — недемпфированная собственная частота системы, определяемая из уравне-
уравнения C1), то в системе не будет резонансных состояний. При расчете по фор-муле C3)
берут такое значение р> которое приводит к большему значению для D*. Из C3)
видно, что D* всегда больше единицы.
На рис. 11 построены амплитудные кривые силы, действующей на фундамент,
при \а = 0,1, а = 0,1 и при нескольких значениях параметра D (D* = 1,17).
ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
145
Из рис. 11 следует, что при D > D* резонансные состояния отсутствуют. Демп-
Демпфер при этом работает в двух режимах:
1) демпфер включен в диапазоне скоростей Р„ (D) -=- Ва;
2) демпфер выключен во всем остальном диапазоне скоростей.
Рис. 11 позволяет понять физический смысл эффекта демпферов сухого трения,
который состоит в том, что демпферы включаются лишь вне резонансных скоростей
ротора на упругих опорах.
Параметр D и жесткость опор С2 нужно выбирать минимально возможными,
так как при этом уменьшаются силы, действующие на фундамент. Параметр D за-
зависит от величины неуравновешенности. Поэтому, если эта величина заранее неиз-
неизвестна, то нужно ориентироваться на мак-
максимально возможную. При непредусмот- L р
ренном росте неуравновешенности умень-
уменьшается параметр D, и если он станет
.til
\" Чт
Л
30
20
10
1
1
/
V/
/
/
/e,=o,oot
/
-—
0,005
_
0,07
0,02
-3 ¦
qos
--o,os
о,'
Рис. 12
Рис. 13
меньшей*, то возможны резонансные колебания на критических скоростях. В этом
проявляются нелинейные свойства демпферов сухого трения.
Пассивные виброгасители. В некоторых случаях для существенного снижения
вибраций на фиксированных скоростях вращения полезно применять пассивные
виброгасители, представляющие собой некоторые массивные элементы, связанные
с опорами или корпусом упругодемпферными связями [8]. Ниже приведены основ-
основные результаты для роторной системы, включающей гибкий ротор (рис. 12) с одним
неуравновешенным диском, жесткий, соосный с ротором корпус на амортизаторах
и два одинаковых изотропных, установленных на корпусе виброгасителя, которые
могут совершать колебания в плоскости, перпендикулярной оси вращения [26].
«Спрессованные» уравнения движения при поступательных перемещениях имеют
вид
C4)
М2и2 + (С2 + С3) и2 -
Л13«з + С3 (и3 — и2) + Кз («з — и2) = 0,
Безразмерные параметры задачи
и2 - К3и3 = 0;
6*, =
146 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Для амплитуд перемещений корпуса Л2 и виброгасителей А3 получены зависи-
зависимости
е
&х = 2 A - р) [(а2 -
Д2 = 2 A - р«) р [в, (а, - р>3) + р[х3б3 (а2 - р^2) - p»ji»6j] - р>3б3 ¦
C5)
В случае идеального виброгасителя без трения (б3 = 0) система обладает тем
свойством, что при скорости Р = В*, численно равной парциальной частоте вибро-
виброгасителя и определяемой из условия
a3-B|(j,s = 0, C6)
амплитуда перемещений корпуса обращается в нуль, что позволяет применять вибро-
виброгасители для снижения вибраций на фиксированных скоростях.
Всегда существующее демпфирование в виброгасителях (б3 ф 0) делает прин-
принципиально невозможным обращение в нуль перемещений корпуса. Для настроенных
виброгасителей, т. е. при соблюдении условия C6), при малых б3 могут быть полу-
получены приближенные оценки
Е
А
Е
1
'2A—
C7)
которые позволяют понять основные особенности работы виброгасителей, а именно:
1) уровень вибраций корпуса практически прямо пропорционален силам демпфи-
демпфирования в виброгасителях и обратно пропорционален их массе,
2) перемещение самих виброгасителей определяется в основном их массой.
Эффект применения виброгасителей определяется при сопоставлении вибраций
систем без виброгасителей и с виброгасителями, причем за эффективность L (в дБ)
принимается величина
L=201og
¦20
где Л20 — амплитуда вибраций корпуса в системе без виброгасителей.
На рис. 13 при В % = 0,8; а2 = 0,225, (х2 = 0,5; б2 = 0 построены зависимости L
от параметров jx3 и б3.
Эффективность виброгасителей максимальна при рабочей скорости, совпада-
совпадающей с собственными частотами системы, показанной на рис. 12, и минимальна
при скорости, равной парциальной частоте ротора на абсолютно жестких опорах
(рю = 1). Влияние массы корпуса, жесткости амортизаторов и силы трения в них
незначительно.
Эффективность виброгасителей существенно уменьшается при их «расстройке»,
т. е. при нарушении условия C6), что может произойти за счет отклонения от рас-
расчетных величин жесткости или массы виброгасителей или за счет изменения скорости
вращения. Эти величины характеризуются отношениями
которые связаны между собой: р = ра = —р^ = —2/?р.
Аналогичное отрицательное влияние оказывает также анизотропия свойств виб-
виброгасителей, в частности различие собственных частот в направлениях у и г.
Анализ случая, когда оба виброгасителя расстроены одинаково по величине и
по знаку, показан на рис, 14 (В* = 0,8, а2 = 0,225; Цг = 0.5; Из = 0.3; б2 = 0),
АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
147
из которого, в частности, следует, что чем выше эффективность настроенного вибро-
виброгасителя, тем резче она падает при расстройке. В случае, когда виброгасители рас-
расстроены в разные стороны, эффектив-
эффективность снижается еще более существен-
существенно (на рис. 14 эти кривые показаны
штриховыми линиями). При этом могут
создаться условия, когда эффект га-
гашения исчезнет практически пол-
полностью, для чего достаточно, чтобы
скорость вращения попала в середину
диапазона, образованного парциаль-
парциальными частотами двух виброгасителей.
Это позволяет объяснить наблюдаемые
на практике явления, когда эффектив-
эффективность системы с несколькими вибро-
виброгасителями оказывается меньшей, чем
с одним виброгасителем.
Установка виброгасителей на кор-
корпусе является классической схемой.
Однако виброгасители могут быть уста-
установлены также на промежуточные эле-
элементы между ротором и корпусом или
между корпусом и фундаментом [8].
Анализ указанных схем и сопоставления их с классической показали, что такие
схемы, как правило, не являются более эффективными.
-а/
Рис. 14
4. АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
Различают неподвижную анизотропию, когда анизотропными свойствами обла-
обладают опоры, и подвижную, когда анизотропным является вращающийся вал. Не-
Несмотря на кажущуюся близость этих видов анизотропии, влияние их на колебания
роторов существенно различается. Основные результаты для анизотропных систем
изложены в работах [17, 57, 69].
Неподвижная анизотропия. Ниже приведены отдельно случаи симметричных
и кососимметричных колебаний.
Симметричные колебания. Ротор с одним неуравновешенным диском опирается
на две одинаковые опоры с анизотропными упругими свойствами. Опоры полагаются
безмассовыми, а направления у и г — главными для жесткостей опор, обозначаемых
соответственно CI и С'1. Уравнения движения диска без учета сил трения
C8)
имеют частные решения
где Л,- МЕ« •
иу = Ау cos at; uz = Az sin at,
MEa1
2СС'
Сг =
2CCJ1
С + 2С{ ' С + 2С'2Г
C9)
Решения C9) описывают движение по эллиптической траектории с резонансами
при двух скоростях
a = Q,.—
На рис 15 показан вид амплитудных кривых при CjCy =3. В диапазоне ско-
скоростей пу < со < Qz движение по эллипсу происходит в направлении, противопо-
противоположном вращению ротора.
148
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
= (/ — /о) е>2Г cos orf;
/срг — Ioafyy + Sz(fz = (I — /0) со2 Г sin at,
где Sy и S? — некоторые эквивалентные жесткости при угловых поворотах.
Собственные частоты системы Q определяются из уравнения
Кососимметричные колебания. Уравнение движения изотропного неуравновешен-
неуравновешенного ротора на анизотропных упругих опорах (см. рис. 5) имеют вид
D0)
0 D1)
и представлены на рис. 16 в виде зависимости от частоты со при нескольких значе-
значениях отношения /0// (Qy = Vsy/I; Qz = Vsz/I; Sz/Sy = 2).
Критические скорости Q^ при колебаниях от неуравновешенности находятся
из уравнения
(Sy-lQi)(S2-IQ%)-PoQ%=*0 D2)
и определяются графически по рис. 16 как точки пересечения частотных кривых
с прямой Q — а При /0/7 < 1 всегда существуют две критических скорости — выс-
высшая и низшая; при /0// > 1 —только
одна низшая критическая скорость
прямой прецессии. Заметим, что в ана-
логичной задаче для изотропной си-
системы низшие критические скорости
вообще отсутствуют. При уменьшении
анизотропии опор (Sy -*¦ Sz) низшая
Рис. 15
Рис. 16
критическая скорость по величине стремится к так называемой критической
скорости обратной прецессии.
Подвижная анизотропия. Предполагается, что опоры ротора изотропны
Ротор двоякой жесткости с одним диском. В изображенной на рис. 3, а системе
вал ротора имеет различные жесткости на изгиб Сп = С1 и С^=СП в двух
главных направлениях г\' и ?' вращающейся системы координат, т. е. является валом
Двоякой жесткости. В дальнейшем используются также понятия о средней жестко-
жесткости Ст, коэффициенте анизотропии ротора у, парциальных собственных частотах
в главных направлениях Q1 и Йп, а также понятие о средней собственной частоте
Qm, которые представлены соотношениями:
С' + С
и
11
V=
С1
2 ' ' Си+Сп ~ L'/м; и*' —г
причем везде в дальнейшем полагается, что С11 > С1.
АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
149
Уравнения движения в системе координат, вращающейся с угловой скоростью со
(вподвижной системе), имеют вид
М (иц — 2ай^ —
М (й'
)-\-C!'и^ =
t — Mg sin at;
> — Mg cos at.
D3)
Две частоты Qt и Q2 собственных колебаний (без учета демпфирования) в под-
вижной системе координат определяются из уравнения
]-4<o2Q2 = 0. D4)
Зависимость частот Qll2 от скорости со при фиксированном значении параметра
•у = 0,4 представлена на рис. 17, из которого видно, что в диапазоне скоростей вра-
3
2
1
ат/ят
--
-^
7 / v
7
Рис. 17
Рис. 18
щения Q1 < со < Qn существует только одна собственная частота Q2- Другая ча-
частота Qx в этом диапазоне становится мнимой, и в системе возникает неустойчивость,
характеризуемая апериодическим движением в подвижной системе координат и
движением по раскручивающейся спирали в неподвижной системе координат с ча-
частотой (В.
Анализ однородной части системы D3) приводит к условию устойчивости
(С7 - Мсо2) (С11 - М(й2) + (КсоJ > 0,
D5)
которое определяет область неустойчивых скоростей вращения, расположенную
внутри интервала Q1 — Q11. Демпфирование уменьшает ширину области неустой-
неустойчивости и при
Kjm->\q1i-q'\
D6)
совсем пропадает.
На рис. 18 показаны границы областей устойчивости в плоскости параметров v
и р- при фиксированных значениях коэффициента относительного демпфирования
§ = KlVcmM. Области неустойчивости заштрихованы; они вообще отсутствуют при
выполнении приближенного соотношения б > у-
Вследствие линейности системы можно отдельно рассматривать колебания от
неуравновешенности и от веса.
150 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Неуравновешенность приводит в подвижных координатах к постоянным смеще-
смещениям:
, _ Мв>\ (С11 — Мы2) +Мы\Ку>
~ (С - Мы2) (С" - Л*со2) + (КозJ;
2 2/1 2\ ^47)
лл — Ми вхКа^-^-Мы е2 (С —Ма>)
(С1 - Мы2) (С" - Мсо2) + (Ко>J"
Этим смещениям в неподвижных координатах соответствуют круговые колеба-
колебания с частотой вращения со:
= A cos (at-{-'ф); uz = A sin
if); |
D8)
Из решения D7) следует, что на границе устойчивости [см. D5)] амплитуды вы-
вынужденных колебаний становятся неограниченно большими, несмотря на наличие
в системе сил трения. При достаточно больших силах трения, способных стабилизи-
стабилизировать систему по условию D6), амплитуды колебаний вблизи собственных частот
становятся уже ограниченными.
Из решения D8) следует, что равномерно вращающийся неуравновешенный ротор
двоякой жесткости представляет собой неконсервативную систему даже при отсут-
отсутствии сил трения. Работа сил упругости вала на замкнутой круговой траектории
W = 2пА1Аи \С1 — Сп } =? 0, поэтому система будет консервативной только для
изотропного ротора. Неконсервативность системы позволяет понять причины потери
устойчивости ротора двоякой жесткости.
Всегда имеющиеся в реальных системах нелинейные силы ограничивают ампли-
амплитуды вынужденных колебаний от неуравновешенности на границах области неустой-
неустойчивости, а также колебания внутри этой области. При этом оказывается, что вынуж-
вынужденные и параметрические колебания становятся связанными.
Ниже приведены результаты для случая, когда в системе действуют изотроп-
изотропные нелинейные силы демпфирования, пропорциональные квадрату амплитуды пере-
перемещений диска ротора с коэффициентом х. Перемещения А1 и А11 в подвижных коор-
координатах определяются из нелинейной системы (без учета веса).
+ (С"-Ма?) А"
= МсоЧ; \
= Моз2е2. j
На рис. 19 показаны амплитудные кривые (/ — уравновешенный ротор; 2 —
неуравновешенный ротор; 3, 4 — линейные и нелинейные колебания изотропного
ротора) для результирующего перемещения А =у (Л/)а + (Л//J при фиксированных
значениях параметров y = 0,4; 8 = K/V~CmM=0,l, A = xL2/)^CmM= 10-*; e = E/L,
где L — некоторая характерная для ротора величина, имеющая размерность
длины. На том же рисунке показана амплитудная кривая для изотропного ро-
ротора, имеющего собственную частоту, равную «усредненной» собственной частоте
анизотропного ротора. Указанное выше значение параметра Д определяет уровень
нелинейных сил, которые в изотропной системе снижают амплитуды вынужденных
колебаний при резонансе примерно на 10% по сравнению с соответствующей линейной
системой. Из рис. 19 следует, что при отсутствии неуравновешенности (е = 0) в диа-
диапазоне неустойчивости будут существовать только параметрические колебания,
интенсивность которых определяется в основном параметрами у и Д. Для неуравно-
неуравновешенного ротора на границе устойчивости амплитуды будут ограничены, а в диапа-
диапазоне неустойчивости будут существовать совместные вынужденные и параметриче-
параметрические колебания с общей частотой ш. Неустойчивая ветвь решения показана штрихо-
штриховой линией. Из рис 19 наглядно видно, что для анизотропного ротора уровень коле-
колебаний вблизи резонансов существенно более высокий, чем для изотропного ротора.
АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
151
Решения системы D3), преобразованные к неподвижной системе координат у, г
при действии нагрузки, равной весу,
uy==Alcos2(d~Ai sm2a>t-\-F;
иг = А1 sm 2v>t-\-A2 cos 2<ut-\-D
E0)
определяют движение по круговым траекториям в направлении вращения ротора
с частотой 2ft). Движение происходит вокруг центра, величина смещения которого
от линии опор зависит от величины статической нагрузки, скорости вращения и сил
демпфирования.
—
/I
^ ]
\
\
4* о
Рис. 20
Для системы без демпфирования в решении E0) величины Аг = F = 0, а ве-
величины /
Mg[8@2M—CI—Cn]
~2\СГСП-2(*%М (C' + C11)] ' "~zlCICil-2(o2M (C7 +C11)] '
Mg(c"-C>)
z>=-
E1)
Из выражений E1), видно, что амплитуда колебаний Л2 пропорциональна раз-
разности жесткостей ротора, и система имеет резонанс при скорости
co = Qia,=
С'С"
E2)
называемой критической скоростью второго рода. При малой анизотропии эта ско-
скорость близка к половине усредненной собственной частоты, т. е. Qtt « 1/2Qm.
На рис. 20 построены амплитудные характеристики перемещений A = VА\-\- А%
Для ротора с анизотропией у = 0,2 при нескольких значениях коэффициента демпфи-
демпфирования 6.
Анизотропия ротора может быть также обусловлена анизотропией вращающе-
вращающегося вместе с ротором магнитного поля, что имеет место, например, в двухполюсных
синхронных электрических машинах.
Для колебаний анизотропного ротора на изотропных упругодемпферных опорах
(см. рис. 8) в основном сохраняются изложенные особенности. Однако дополнительно
за счет массы опор вместо одной появляются две области неустойчивости, каждая из
Которых как бы охватывает соответствующую усредненную собственную частоту ро-
152
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
тора (рис. 21). Низшая область неустойчивости соответствует колебаниям, при кото-
которых ротор и опоры движутся в фазе, высшая — в противофазе. Демпфирование
в опорах сужает области неустойчивости, особенно высшую.
Ротор с распределенными параметрами. Уравнения движения в подвижной
системе координат для неуравновешенного ротора с горизонтальной осью (без учета
деформаций сдвига и гироскопического эффекта) имеют вид
д2
¦ mg sin co^;
дип
av
и им j
-^— = тш2ег—mg cos m. I
dx2) fe J
\ E3)
В случае, когда ориентация главных направлений жесткостей не изменяется по
длине ротора и граничные условия одинаковы для главных направлений, решение
системы E3) можно представить разложением по формам собственных колебаний
соответствующей консервативной задачи,
»ч=
«ля
(х); «с=
Zn (t) Un {x).
E4)
где
Величины u-qn (t) и и^п (t) находятся из системы уравнений
Мп (ицп — 2w'uln — cu2Mj,) + Стиц„ = Мпа>*Епп — Nng sin ш<;
М„ (й?я + 2ши,,л - 0Kus) + CSnu?n = Млш2??я - Nng cos orf,
I
= Q^Af„, C?ra = Q\nMn;
М„ = \' mUndx,
о
I
т)я=л^ \ er\mUndx;
ndx; Nn = \ mUn dx»
0
E5)
здесь Q^n и Й^„ — собственные частоты ротора как стержня в двух главных направ-
направлениях.
Система E5) аналогична системе D3), вследствие чего колебания системы с рас-
распределенными параметрами по каждой форме будут во многом аналогичны колебаниям
системы с одним диском. Так, при
скоростях вращения, лежащих в диа-
диапазонах Qm -f- Й?„ (п = 1, 2, 3, ...)
возможна потеря устойчивости.
В диапазонах неустойчивости
имеют место максимумы вибра-
вибраций от неуравновешенности, и эти
диапазоны определяют группы со-
соответствующих критических ско-
скоростей. Весовая нагрузка, а также
любая другая нагрузка неизменно-
неизменного направления, приводит к коле-
колебаниям с частотой 2й> с максиму-
максимумами при критических скоростях
второго рода, равных при малой
анизотропии половине усредненных
критических скоростей от неуравно-
неуравновешенности. Интенсивность этих колебаний зависит также от величины Nn,
зависящей, в свою очередь, от формы колебаний. В частности, для симметричного
ротора на двух опорах для четных п = 2, 4, 6 ... величина N2 4,6 ¦•• =0. и эти формы
Рис. 21
АВТОКОЛЕБАНИЯ 153
колебаний с соответствующими критическими скоростями второго рода будут отсут-
д-вогать или проявляться очень слабо.
Ротор с диском, имеющим неодинаковые экваториальные моменты инерции.
Идеально уравновешенный диск может совершать только угловые перемещения
вследствие деформации изотропной упругой мембраны с коэффициентом жесткости 5
/см. рис. 5). Моменты инерции диска относительно осей Е'т)'?' (ось ?' — ось вращения)
соответственно равны /с = /0, /^ = /1? 1^ = /2, причем для рассматриваемой за-
задачи важно, что 1Х Ф /2.
Уравнения для угловых перемещений ротора в подвижных координатах [6J
niuei 1 вид
'яФЕ —(/о —Л —/2) «BT^ + IS —«Р (/i —/о)]фС
Использование критерия Рауса—Гурвица приводит к условию устойчивости
E7)
из которого непосредственно следует, что для изотропного ротора (lt = /2) движение
всег"м устойчиво.
Условие E7) позволяет выделить три характерных соотношения между момен-
моментами инерции диска-
П /0 > It > 1г, т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относи-
гелы'о которой максимален. Движение в этом случае всегда будет устойчивым;
2) /j > /0 > /2, т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции отно-
относите !ьно которой имеет промежуточное значение. В этом случае до скорости, опре-
делпсмой из условия oJ<-j =- движение будет устойчивым, а при больших ско-
'1— 'в
ростях — неустойчивым;
S) 1Х > /2 > /0> т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции отно-
относите «ьно которой минимален. В этом случае в соответствий с условием E7) сущест-
Eyei диапазон неустойчивых скоростей вращения, ширина которого зависит от ани-
зотгс пии диска.
В частном случае ротора без опор, кшда S = 0, условие устойчивости имеет
вид
(/1-/0)(/2-/0)>0, E8)
т. е. для устойчивости необходимо, чтобы вращение происходило вокруг оси, момент
ине] ции относительно которой или минимален или максимален, что совпадает с из-
известным результатом для свободного вращения твердого тела вокруг неподвижной
точки [10].
Неподвижная и подвижная анизотропия. В общем случае как опоры, так и
ротор могут обладать анизотропными свойствами, что приводит, с одной стороны,
к существенному усложнению математических выкладок задачи из-за того, что в урав-
уравнениях движения всегда присутствуют периодические коэффициенты, а, с другой
стороны, приводит к более сложному характеру возникающих колебаний из-за про-
проявления особенностей, вызываемых по отдельности как анизотропией опор и ротора,
так и совместным действием этих факторов [53, 61, 67]. Анализ показал, что для та-
таких систем, в случаях, когда анизотропия ротора и опор не очень велика, можно огра-
ограничиться отысканием лишь основной области параметрических колебаний; при
расчете вынужденных колебаний от неуравновешенности можно ограничиться первой
гармоникой, а вынужденных колебаний от весовой нагрузки — нулевой и второй
гармоникой от частоты вращения.
5. АВТОКОЛЕБАНИЯ
В роторных системах при определенных условиях могут возникать вибрации,
ЭДгорые не вызываются какими-либо внешними периодическими нагрузками (или
ЧбЬовершенствами ротора) и условия возникновения которых не связаны с какими-
•"Шбо резонансными соотношениями. Эти колебания называют самовозбуждающимися,
154
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
или автоколебаниями, они обусловлены действием неконсервативных сил циркуля-
ционного типа (см. п 2).
Неконсервативными силами в роторных системах могут быть силы внутрен-
внутреннего трения в материале ротора и сходные с ними по действию, аэродинамические
силы в подшипниках скольжения и в уплотнениях, газодинамические силы в проточ-
проточных частях турбин, электродинамические и электромагнитные силы в электрических
машинах и т. п. [4].
Как было указано в п. 2, циркуляционные силы выделяются из группы сил, свя-
связанных со смещением ротора. Необходимым формальным признаком их присутствия
является несимметричность матрицы коэффициентов жесткости, т. е. условие Cyz ф
Ф Сг , когда представляется возможность выделить силы, характеризуемые косо-
симметричнон матрицей жесткостей
В==—Bu; By — —&«z; Bz = biiy\ E9)
где В
— Ь О
Циркуляционные силы связаны с вектором смещения, а не с вектором скорости,
как это имеет место в системах с «отрицательным» трением. Вектор циркуляционных
Рис. 22
Рис. 23
сил перпендикулярен вектору смещения (рис. 22), вследствие чего эти силы могут
проявить себя лишь в системах с числом степеней свободы больше одной. Важнейшей
особенностью циркуляционных сил является их неконсервативность. Действительно,
работа сил, заданных зависимостью E9), на произвольном замкнутом контуре L
F0)
W = \ Ву dy + Bz dz = - b \(- z dy + у dz) = 2bS,
L I
где S —¦ площадь, заключенная (внутри замкнутого контура.
Основные результаты для задачи устойчивости и автоколебаний роторов изло-
изложены в работах Ц8, 21, 57].
Устойчивость. Характер влияния циркуляционных сил на устойчивость и коле-
колебания может быть проиллюстрирован на примере сил внутреннего трения, под ко-
которыми понимают силы сопротивления, возникающие внутри элементов системы и
обусловленные несовершенной упругостью материала или трением между внутрен-
внутренними элементами системы при их неплотном соединении.
В случае, когда силы внутреннею трения можно считать вязкими (гипотеза
Фойхта) с коэффициентом пропорциональности /<",, уравнения движения в подвиж-
подвижных координатах имеют вид
М (
М
F1)
АВТОКОЛЕБАНИЯ 155
Преобразование к неподвижным координатам, добавление членов, учитывающих
иЯнне вязкого внешнего трения, веса ротора и его неуравновешенности, приводит
вь сИстеме
М'и'у + Кеиу + Ki (liy + ашг) -f- Сиу = М?шаcos a/; )
Muz-\-Keuz-\-Ki \uz — (ни,,) -\-Сиг = МЕы2 sin a/ — Afg. J
Из анализа системы F2) следует, что силы внутреннего трения приводят одно-
ременно к возникновению как сил демпфирования, так и циркуляционных сил.
)з анализа решения этой системы видно, что силы внутреннего трения не оказывают
Сияния на вынужденные колебания от неуравновешенности. Это нетрудно объяс-
1йть, если принять во внимание, что при таких колебаниях вместе с диском враща-
1Ся неизменяемая во времени изогнутая ось вала. При изменении скорости враще-
ия центр диска будет перемещаться по кривой (рис. 23), представляющей собой
олуокружность радиуса р/2 (р = Mg/C), уравнение которой имеет вид
(uyof + (иг0 + V2PJ = (V2PJ; tg Ф = <uKi/C,
де им, иг0 — постоянные составляющие решения системы F2).
Существование таких кривых, обычно называемых кривыми подвижного равно-
равновесия, является одним из признаков действия циркуляционных сил (см. п. 6).
Анализ однородной части системы F2) приводит к условию устойчивости
aX^^Qil + Ke/Ki); Q=VCJM , F3)
где w, — скорость потери устойчивости.
Из условия F3) следует, что потеря устойчивости может произойти лишь при
скорости, превышающей собственную частоту ротора и что силы внешнего трения
отодвигают границу устойчивости в сторону высших скоростей. Анализ показывает,
что на границе устойчивости частота самовозбуждающихся колебаний X равна соб-
собственной частоте ротора Q, что характерно для автоколебаний. Колебания происхо-
происходят в форме прямой прецессии, т. е. в направлении вращения ротора. Во вращаю-
вращающейся с угловой скоростью а системе координат эти колебания будут происходить
в форме обратной прецессии с частотой (а — Q).
Выше предполагалось, что силы трения являются вязкими и коэффициенты
Ке и Ki не зависят от частоты колебаний (т. е. что коэффициенты "фе и ф, относитель-
относительного рассеяния энергии пропорциональны частотам). В общем случае при произволь-
произвольной частотной зависимости г|)е (Q) и ф; (а — О), если воспользоваться подстановкой
получается более общее условие устойчивости
ifc>(Q)-ifo(«>-a)>0. F5)
Анализ условия F5) при различных частотных зависимостях для \ре и ^ дан
в работе [4]. Отметим, что имеющее энергетический смысл условие F5) получено для
"зотропной системы. Для анизотропных систем условия устойчивости имеют более
Ложный вид.
Характер возникновения циркуляционных сил в магнитном поле можно пояс-
нить на примере ротора с электрообмоткой. На каждый проводник рамки, помещен-
помещений на вращающийся ротор (рис. 24), действует в магнитном поле сила Ампера, про-
пропорциональная квадрату магнитной индукции и относительной скорости (ам — а),
Р =?(»„ —со) В2-
При центральном расположении ротора на рамку, образованную двумя диа-
Метрально расположенными проводниками, будет действовать только момент, вно-
СяЩий определенный вклад в общий вращающий (или тормозной) момент. Однако,
156
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
если ротор смещен из центрального положения, то величина магнитной индукции
вблизи каждого проводника будет различной (большей там, где зазор меньший),
вследствие чего будут различными и силы Ампера. Поэтому наряду с моментом по-
появится результирующая сила, направленная перпендикулярно плоскости витка в сто-
сторону относительного вращения поля. Для всего ротора при малых смещениях можно
получить зависимость для проекций
Р(р)>Р(<р+180°}
В(<р)>В(<р+180°)
силы в виде
F6)
где b — некоторый коэффициент, за-
зависящий от разности (сом — со).
Циркуляционные силы вида F6)
при определенных условиях могут
приводить к потере устойчивости.
В частном случае, когда поле непо-
неподвижно (сом = 0), а ротор вращается,
эти силы могут приводить к авто-
автоколебаниям в форме обратной пре-
прецессии.
Структуру вида F6) имеют силы
парового потока в проточных частях
паровых и газовых турбин [5, 38,
65, 71], силы, возникающие при реза-
резании, при задевании ротора о статор
и т. п.
Рис. 24 Влияние гироскопического эффекта.
Для уравновешенного изотропного ро-
ротора, могущего совершать только угловые перемещения (см. рис. 5), уравнения
движения с учетом внутреннего трения имеют вид
ivy+(к?+К) Фу+'«юф*+иКРф*+svy=о;
/фг + (К? + К*) Ф, - /«шФг/ - a>K?<fy + 5Фг = 0,
где Kf и Kf — коэффициенты демпфирования при угловых перемещениях. Условие
устойчивости и частота колебаний к на границе имеют вид
"/й
F7)
Из F7) видно, что гироскопический эффект повышает устойчивость, и при
/0 > / (тонкие диски) система всегда будет устойчивой. Частота колебаний X уже не
является постоянной величиной, а зависит от соотношения между силами трения.
В реальных системах силы внешнего трения, как правило, приложены не к ро-
ротору, а в опорах, что может привести к некоторым новым качественным результатам.
На рис. 25 для случая изотропных безмассовых опор с вязким трением показана гра-
граница устойчивости при фиксированных значениях 6,- = K'j/|ACiM = 0,2 и а =
= С2/С1 = 0,5. Значение (o/yCi/M = 1 соответствует ротору на абсолютно жест-
жестких опорах. Область неустойчивости заштрихована. Увеличение трения в опорах
увеличивает устойчивость, однако существует некоторое оптимальное демпфирование,
превышение которого уже понижает устойчивость, и при &е -*¦ оо система вновь при-
приходит к системе, соответствующей ротору на жестких опорах.
Анизотропия упругих опор существенно повышает устойчивость [9, 42]. На рис. 26
показаны границы областей устойчивости при нескольких значениях коэффициента
анизотропии
— V = 0,2; 2 — у = 0,6; 3 — у — 1,0) и при постоянном коэффи-
АВТОКОЛЕБАНИЯ
157
q\ i qII
циенте относительной жесткости опор а =¦ ? „—— = 0,5. Штриховой линией пока-
зано положение границы устойчивости для ротора на изотропных опорах с той же
относительной жесткостью а.
Автоколебания. Выход параметров системы за границы устойчивости приводит
к режиму автоколебаний, амплитуда и частота которых определяются характером и
величиной нелинейных сил системы. Ниже приведены результаты для ротора с од-
—<
\
f777?
\
Л
7777^'
\
\
уу//7/
i
1,0
О 1
5 co/Vcffi
1
\
4
///////ft
Рис. 25
Рис. 26
ним диском на абсолютно жестких опорах, у которого нелинейны только силы внеш-
внешнего и внутреннего трений, зависящие от четных степеней радиуса перемещений ди-
диска. Уравнения движения такой системы имеют вид
иу = МЕоРcoso/;
F8)
+Сиг = МЕы2 sin Ш— Mg.
Для идеального уравновешенного ротора с вертикальной осью, т. е. для си-
системы F8) без правых частей, может быть найдено точное решение в форме асинхрон-
асинхронной прямой прецессии с частотой h — V^C/M-
иу = А cos Xt; иг=А sin U,
где амплитуда А определяется из уравнения
]=:0. F9)
Решения будут устойчивыми при выполнении условия dS/dA < 0.
В зависимости от соотношений между нелинейными составляющими сил внеш-
внешнего и внутреннего трений возможны различные виды амплитудных зависимостей,
которые показаны на рис. 27 в случаях, когда коэффициенты сил трений не зависят
от частоты:
1) рис. 27, а — нелинейные составляющие внешнего трения при всех амплиту-
амплитудах больше составляющих внутреннего трения;
158
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
2) рис. 27, б — при малых амплитудах внутреннее трение больше внешнего
(К и > Kei), но при больших амплитудах внешнее трение больше внутреннего
(Ке2 > К{2)',
3) рис. 27, в — при малых амплитудах КеХ > Кц, при средних Kei < К&,
при больших Кез > Kl3, гДе Кез, Кгз — коэффициенты при шестых степенях ам-
амплитуд.
Исследование устойчивости решений показывает, что ветви амплитудных кри-
кривых, изображенные на рис. 27, б, в штриховыми линиями, будут неустойчивыми.
В таких системах возможно жесткое возбуждение автоколебаний при увеличении
скорости и затягивание при снижении скорости.
Рис. 27
Рис. 28
Когда коэффициенты сил трений зависят от частоты, то может меняться харак-»
тер амплитудных кривых. На рис. 28, б (прямая /) показана амплитудная зависимость
для случая, когда единственная нелинейность заключена в силах внешнего тренид
(Ке1 ф 0, Kez — К и = Ki% = 0), а от частоты зависит коэффициент линейного вну-
внутреннего трения Кto = к—/ _п\ ' где относительное рассеяние г]) = const (гипо-
(гипотеза Сорокина).
Рассмотрение неавтономной задачи, когда в системе F8) имеется только одна
нелинейность, а именно в силах внешнего трения (Kei ф 0), приводит к решениям
для частот и амплитуд автоколебаний. В случае действия только веса (Е = 0)
G0)
где ни0 и uzo — величины, определяемые линейным решением исходной системы.
В с
случае действия только сил неуравновешенности
Я = Q = УсЩ; АЩе1 = Ki0 (©А -1) - Ке0 - В2 (<вД +1) Kg
где В — амплитуда вынужденных колебаний от неуравновешенности.
G1)
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ 159
На рис. 28, а показаны амплитудные зависимости, построенные по решению
G0) — прямая 2 и по решению G1) — прямая 3, в случае, когда коэффициенты сил
трения не зависят от частоты (прямая / соответствует автономной системе). На
рис. 28, б кривая 2 характеризует решение G1) в случае, когда линейные силы вну-
внутреннего трения подчиняются гипотезе Сорокина. Из анализа решений следует, что
при выбранном характере нелинейных сил внешние нагрузки повышают устойчи-
устойчивость и уменьшают амплитуды автоколебаний. Дополнительный анализ показы-
показывает, что при ином характере нелинейных сил внешние вибрационные нагрузки могут
иногда приводить к понижению устойчивости.
Для многомассовых роторных систем или систем с распределенными параметрами
в случаях, когда скорость вращения превышает не только первую, но и высшие
критические скорости, существует возможность возникновения одночастотных
автоколебаний с различными формами или даже многочастотных автоколебаний
[28, 49].
На рис. 29 показаны характерные амплитудные зависимости для уравновешен-
уравновешенного ротора на двух опорах с распределенными параметрами, который может вра-
вращаться со скоростями, превышающими вторую критическую. При этом рис. 29, а, б
соответствуют случаям действия сил внутреннего трения, а рис. 29, в — случаю
деиствия гидродинамических сил типа сил в подшипниках скольжения или в уплот-
уплотнениях. На рис. 29, Qt и Q2 — соответственно первая и вторая критические скоро-
скорости; со»!, со^2 — скорости потери устойчивости соответственно по первой и второй
формам. Неустойчивые решения показаны штриховыми линиями.
В случае, когда силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Фойхта
(рис. 29, а), при скорости m^i > ^i происходит потеря устойчивости по первой форме
и возникают соответствующие автоколебания с частотой Qx, амплитуда которых
растет с увеличением со до скорости со", при которой автоколебания по первой форме
исчезают. При скорости со = со' > ю^ возникают автоколебания по второй форме
с частотой Q2- В диапазоне со' — со" могут одновременно существовать автоколеба-
автоколебания или по первой или по второй форме, и реализация той или иной формы будет
зависеть от начальных условий. Смена режима в диапазоне со' — со" происходит скач-
коооразно.
Для случая, когда силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Сорокина
(рис. 29, 6"), автоколебания по первой форме возникают при скорости со = Qlt а при
скорости со = Q2 скачкообразно сменяются автоколебаниями по второй форме с ча-
частотой fi2. При действии циркуляционных сил другого типа (рис. 29, в) будут сущест-
существовать только автоколебания по низшей форме с частотой Qt.
Как показали исследования, для простых двухопорных систем режимы двух-
и многочастотных автоколебаний не реализуются. Однако они могут возникнуть
В сложных роторных системах, содержащих, например, соосные роторы,
6. ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
По характеру взаимодействия цапф и подшипников последние можно разделить
На три группы:
1) подшипники, у которых между их внутренней расточкой и цапфой всегда
имеется слой смазки (режим гидродинамического трения);
2) подшипники, у которых в зазоре смазка вообще не предусмотрена или количе-
количество ее недостаточно, вследствие чего возможен непосредственный контакт цапфы
и подшипника (режим сухого трения или скудной смазки);
3) подшипники, у которых взаимодействие с цапфой осуществляется посред-
посредством магнитного поля, т. е. без промежуточной среды.
Ниже рассмотрены вопросы влияния на колебания роторов только подшипни-
подшипников с гидродинамическим режимом трения. По принципу формирования поля давле-
давлений подшипники этой группы можно разделить на гидродинамические (газодинами-
(газодинамические), у которых несущий смазочный слой создается за счет относительного движе-
движения цапфы и подшипника, и гидростатические (газостатические), у которых смазоч-
смазочный слой создается в основном за счет внешних источников давления, например
насоса.
160
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Несмотря на малую толщину B — 200 мкм), смазочный слой подшипников сколь-
скольжения оказывает существенное влияние на динамику роторов. Вопросам динамики
роторов на подшипниках скольжения посвящена обширная литература [7, 24, 25
30 -т- 36, 43, 45, 55, 59, 62].
Гидродинамические силы. При анализе динамики роторов, опирающихся на
подшипники скольжения, необходимо решать совместную задачу теории колебаний
и гидродинамики. Гидродинамическая сторона задачи сводится к решению ряда урав-
уравнений гидродинамической теории смазки при неустановившемся течении, окончатель-
окончательной целью решения которых, как правило, является определение так называемых
статических и динамических характеристик. Статические характеристики определяют
кривую стационарных положений цапфы, расход смазки, потери мощности на тре-
трение. Динамические характеристики (коэффициенты) определяют действующие на
цапфу дополнительные силы, возникающие при малых перемещениях цапфы из
стационарного положения. Знание этих коэффициентов позволяет решать задачи
устойчивости и линейные задачи вынужденных колебаний при внешних периодиче-
периодических нагрузках, малых по сравнению
W со статической нагрузкой.
На рис. 30 показана схема под-
подшипника скольжения. В дальнейшем
используют обозначения, со — скорость
Рис. 30
вращения; R — радиус цапфы; I — длина подшипника; Д — радиальный зазор при
центральном положении цапфы; W — статическая нагрузка.
Для определения давлений р (8, х, t) в тонком (Д << R) смазочном слое при обыч-
обычных для гидродинамической теории смазки предположениях и без учета сил инерции
счазки, влияние которых на колебания в большинстве случаев пренебрежимо мало,
служит известное уравнение Рейнольдса [25]
Rd6 \
где 9, х — соответственно окружная и продольная координаты; р — плотность;
(х — динамическая вязкость смазки; Л = /гF)—толщина зазора.
Уравнение G2) справедливо для любых типов подшипников. Различия возникают
из-за различного характера зависимости плотности р от давления (несжимаемая
и сжимаемая смазки) и вязкости ц, от скорости (ламинарный и турбулентный режимы),
роли внешнего давления ps, конфигураций областей интегрирования и граничных
условий на них, а также вида зависимостей для толщины слоя h F).
Для гидродинамических подшипников на жидкой смазке при ламинарном ре-
режиме течения уравнение G2) будет линейным относительно р:
*?
¦¦У.
дх
dh
dh
G3)
где ц — вязкость смазки при некоторой средней температуре.
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ 361
Уравнение G3) решается при известных значениях давления на входе и выходе
„абочеи области подшипника; при этом используют также дополнительное физи-
физическое условие, что давление в смазке не может быть отрицательным.
При стационарном вращении цапфы, нагруженной вертикальной силой W,
толшина слоя во времени не меняется (—= 0|, и для определения давления р0 слу-
служит уравнение
Р + дх [Н° Тх ) = ^R Ждв ' G4)
которое дополняется интегральными условиями равновесия цапфы
\lp0sm6dF = 0; j p0 cos 6 dF -f- W = 0, G5)
F F
где F — рабочая область подшипника.
При совместном решении уравнения G4) и условий G5) находят кривую под-
подвижного равновесия в виде зависимости эксцентриситета е (относительного эксцен-
эксцентриситета х = el А) и угла подъема ср от коэффициента нагруженности ? = -— (</ =
W
= —-j — удельная нагрузка, ip = A/R — относительный зазор).
Для определения сил, действующих на цапфу при малых ее перемещениях
из стационарного положения, используют метод возмущений. Наибольший интерес
при этом представляют силы при поступательных перемещениях, характеризуемых
смещениями иу< иг и скоростями иу, йг. «Возмущенные» толщину слоя, скорость
ее изменения и давление определяют по формулам
h = ho-\-u.y sin 6—uzcos S; ^т = uy sin 9 — иг cos8; G6)
Зависимости G6) следует подставить в уравнение G3) и кз полученного выра-
выражения вычесть уравнение G4) для стационарного решения. Тогда в результате пре-
преобразований, выполненных с учетом предположения о малости перемещений, полу-
получаем уравнение для дополнительных давлений:
+ 12(i sin Ьиу— 12[i cos 6uz,
из которого следует, что дополнительные давления являются линейными функциями
смещений и скоростей.
Суммы проекций давлений на оси у и z
Ру=\р* sinGdF*=— CyyUy—Cyzuz — КУуиу — Kyzuz',
Pz= — [p*cos6dF= — Czyuy—Czzuz — Kzyuy — KzzUz<
ГДе Cyy< •••> Kz<s — так называемые динамические коэффициенты смазочного слоя,
которые могут быть представлены в виде
С =Ё^./ • К =^Ll • G9*
6 п/р. Ф. М. Диментберга и К. С Колесникова, т 3
162
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
здесь 1Х — /8 — некоторые величины, определяемые после решения четырех урав.
нений в частных производных, получаемых из выражения G7). Эти величины зави!
сят от режима работы подшипника и его конструкции.
2. Характеристики цилиндрического подшипника
X
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0 90
0,95
Ф
1,571
1,312
1,106
0,962
0,860
0,778
0,697
0,612
0,515
0,368
0,292
0,000
0,099
0,208
0,345
0,515
0,763
1,149
1,830
3,290
8,085
18,47
0,000
0 244
0,531
0,913
1,464
2,112
3,105
4,863
8,847
23,33
58,20
0,481
0,502
0,581
0 723
0,960
1,075
1,119
0,913
—0,302
-9,697
-49,95
/з
—1,942
-2,056
—2,411
—3,018
-3,978
-5,376
-7,798
-12,63
—25,06
-81,03
—268,6
и
0,000
0,289
0,593
1,006
1,615
2,867
5,404
11,45
30,34
143,9
636,0
/5
0,963
1,027
1,244
1,638
2,310
2,892
3,657
4,787
6 973
13,16
24,08
/в = Л
0,000
—0,275
—0,622
-1 140
-1,989
—2,934
—4,364
—6,822
—12,33
—32,19
-80,00
Л
3 884
4,137
4,9Ю
6,2 is
8,d70
11 46
16,79
27,30
53 80
168,5
5169
Для наиболее распространенных типов гидродинамических подшипников ста-
статические и динамические характеристики вычислены и затабулированы. В табл. 2
приведены данные для обыкновенного цилиндрического подшипника (рис. 31, о)
с рабочей дугой 150°, относительной длиной 1/2R = 1, а в табл. 3 — для так называ-
называемого эллиптического подшипника (рис. 31, б) с коэффициентом формы т = г/А = 0,75
1/2R = 1.
W
(V
Рис. 31
При больших линейных скоростях или при использовании маловязких жидко-
жидкостей движение в зазоре может стать турбулентным (Re=—— >ReKp). Для
развитого турбулентного режима (Re > 3000) при решении статических и динамиче-
динамических задач можно использовать уравнение Рейнольдса в форме [42]
д /А3 др \ д /А3 др\ R D dh .„dh
тде kQ и kx — некоторые величины, зависящие от местного числа Рейнольдса
(Re/j=——) и абсолютной величины зазора А.
Для газодинамических подшипников уравнение G2) решается в предположении,
что процесс является изотермическим (р = Вр, где В — постоянная), а газ идеаль-
идеальным, т. е. рассматривается уравнение
Rdd
дх
(81)
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
3. Характеристики эллиптического подшипника
163
%
ооо
0 025
о'о50
0 075
ОД00
0,125
о'150
0*175
0200
0'225
0*25
0,27
о'зо
029
028
027
0,26
Ф
1,571
1,393
1,342
Ы88
1,384
1,3/8
1,370
1,361
1,348
1,331
1,309
1,274
1,200
0,809
0,688
0,556
0,391
а
0,000
0,233
0,469
0,713
0,974
1,267
1,594
1,973
2,424
3,016
3,783
4,998
7,775
37,12
59,89
106,8
251,4
Л
1,487
1,507
1,613
1,776
2,012
2,430
2,900
3,542
4,593
5,556
7,725
10,71
18,34
112,34
194,8
381,5
847,2
16,63
16,63
16,64
16,64
16,63
16,61
16,55
16,42
16,22
15,46
14,70
12,50
5,378
—168,7
-381,2
—950,5
-434,9
/з
—15,08
-15,19
— 14,65
—15,45
—16,34
-16,95
—18,68
-21,05
-23,76
-27,42
—34,25
-45,29
—78,36
—670,6
—1362
-3272
—10534
л
40,61
40,78
41,52
42,41
43,73
45,04
48,23
51,65
56 42
64,70
75,64
98,31
189,2
2413
5813
16964
92481
h
8,622
8,655
8,749
8,912
9,146
9,430
9,830
10,35
10,95
11,55
12,63
14,02
16,67
35,58
49,73
78,19
98,80
/е = /7
16 69
16 65
16,49
16,24
15,88
15,15
14,39
13,21
11 19
9,616
5,249
-0,282
— 13,41
— 134,9
-243,5
—508,7
-953,5
/а
66,84
67,09
66 26
6162
69,61
70,92
74,74
79,92
85,81
92,82
107,4
130,8
193,6
1294
2571
6146
18094
Уравнение (81) является нелинейным относительно давления р, что существенно
усложняет решение стационарной задачи. Уравнения для дополнительных давле-
давлений р* при малых смещениях будут линейными. Однако из-за того, что в правую
д (ph)
часть уравнения (81) входит так называемый релаксационный член 12- " ', не уда-
удается в общем случае разделить уравнения гидродинамики и уравнения движения
ротора, а приходится решать эти уравнения совместно. В частных случаях, когда
отыскиваются периодические решения (вынужденные колебания, колебания на
Рис. 32
границе устойчивости), дополнительные газодинамические силы можно представить
= вВДе G8), а динамические коэффициенты — в виде G9), однако при этом величины
'1 : /8 будут зависеть от частоты колебаний.
При малых линейных скоростях или при использовании маловязких жидкостей
"ли газов применяют гидростатические (газостатические) подшипники (рис. 32),
есУЩая способность которых создается в основном за счет внешнего избыточного
Давления ps и включения в гидравлический тракт движения смазки специальных ком-
компенсаторов расхода (капилляры, диафрагмы и др.), а также камер, расположенных
Рабочей поверхности подшипника. Гидродинамическая сторона задачи для таких
лопШИПНИКОВ сУЩественн0 усложняется. Так, например, для гидростатических
ДШипников с п камерами приходится решать совместно п уравнений Рейнольдса
164
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
вида G3) или (80) для перемычек между камерами и п уравнений расхода для камер
вида
Q* = Q/,i-i + Qf,*+i + 2QT< (*=1. 2 я), (82)
где Qi — расход через компенсирующие устройства; Qt . — 4 — окружной расход из
i-й камеры в (i + 1)-ю камеру; QT; — расход через одну торцовую перемычку.
При решении динамической задачи наряду с «возмущением» уравнений G3)
или (80) необходимо «возмущать» также уравнения расходов (82). При этом реакции
смазочного слоя могут быть представлены в виде G8), где коэффициенты пропорцио-
пропорциональности
yy.yz.zy.zz
'1,2,3,4.
К
—V-1 г
уу,yz.zy.zz —Xg 1ь,6,7.8.
(83)
здесь /х -г- /8 — величины, зависящие от конструктивных и рабочих параметров
подшипников, а также режима течения смазки.
При ламинарном режиме течения и капиллярной компенсации такими параме-
параметрами являются
При турбулентном режиме к указанным параметрам следует добавить еще один
А3
4. Характеристики гидростатического подшипника при ламинарном режиме
П
о
0,2
0,4
0,6
0,8
0,0
02
0,4
0,6
0,8
0,000
0,146
0,294
0,424
0,496
0,00
0,00
0,00
0,00
1,444
1,430
1,386
1,284
0,540
Л
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
= 0
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,444
1,480
1,448
1,014
0,980
2,218
2,250
2,378
2,786
3,476
0 000
0,000
оооо
0 000
0,000
0,000
0,265
0,554
0,910
1,386
0,975
1,000
0,970
0,860
1,444
1,440
1,552
2,670
11,39
Л =
2,190
2,244
2,392
2,492
4,836
= 2,0
—2,184
-2,274
—2.65S
-4,152
-13,46
1,444
1,498
1,616
1,704
-0,768
2,218
2,346
2,764
3,778
9 224
0,000
—0,040
—0,220
-0,920
—6,352
2,218
2.3S2
2,8ЬЬ
3.742
7,612
2,218
2,290
2,548
3,378
9,038
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,000
0,467
0,989
1,702
2,774
1,251
1,240
1,154
0,883
1,444
1,444
1,668
4,120
28,00
Л
4,368
4,450
4,472
3,462
3,482
= 4,0
-4,368
—4,584
-5,512
—9,056
—32,12
1,444
1,520
1,804
2,984
3,264
2,218
2,372
2,842
3 794
9,658
0,000
—0,026
—0,145
—0 686
—6,296
2,218
2,260
2,426
3,030
8,676
В табл. 4 и 5 приведены некоторые результаты расчетов для четырехкамерных
гидростатических подшипников с конструктивными параметрами 1/2R = 1; У =
= 0,9; v = 0,6; Ч' = 0,4 при ламинарном и турбулентном (г| = 40 000) режимах.
Анализ динамических коэффициентов, определяемых выражениями G9) и (83),
а также приведенных в табл. 2—5 показывает, что побочные коэффициенты при сме-
смещениях в общем случае будут различными (Суг ф Сгу), что указывает на присутствие
в реакции слоя циркуляционных сил.
Влияние на устойчивость. Роторы, опирающиеся на подшипники скольжения,
при определенных условиях теряют устойчивость и возникают автоколебания. Экс-
Эксперименты показывают, что колебания такого рода обычно возникают как у жестких
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
165
роторов при больших скоростях, так и у гибких роторов при скоростях, близких
или больших удвоенной первой критической скорости. При этом частота автоколе-
автоколебаний для жесткого ротора оказывается всегда близкой к половине скорости враще-
вращения, а для гибких роторов — близкой к его первой критической скорости. Указан-
Указанные экспериментальные факты находятся в соответствии с расчетным анализом устой-
f О'
M
Ид
Рис. 33
чивости. Вопросам влияния подшипников скольжения на устойчивость роторов по-
посвящено значительное число работ [7, 31, 35, 36]. Ниже дается изложение проблемы
на примере симметричного идеально уравновешенного статически нагружен-
нагруженного гибкого ротора с одним диском, опирающегося на два одинаковых подшипника
скольжения (рис. 33). Первоначально рассматриваются гидродинамические подшип-
подшипники, затем отмечаются особенности, присущие гидростатическим и газовым под-
подшипникам.
5. Характеристики гидростатического подшипника при турбулентном режиме
П
7,
0,0
0.2
0,4
0,6
0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 000
0,109
0,231
0,358
0,442
00
00
0,0
0,0
1,068
1,020
0910
0,780
0,652
Л
0,000
0,000
0 000
0,000
0,000
= 0
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,068
1,144
1,290
1,128
0,506
5,428
5,076
4,624
4,030
3,520
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0.125
0,257
0,377
0,390
0,181
0,175
0 192
0,340
1,114
1,050
0,964
0,842
0,720
Л
0,370
0,392
0,438
0,620
0,912
= 0,1
-0370
—0,346
—0.2ЗД
—0,028
0,482
1,114
1,238
1,374
1,210
—1,114
7,616
7,462
7,276
7,468
26,48
0,000
—0 044
-0 181
—1,066
-18,59
5,428
5,482
5,980
5,896
4,550
7,616
8,188
8,912
9,816
29,34
0.0
0,2
0,4
0,6
0,8
0.000
0 129
0,264
0,383
0,481
0,508
0.538
0,Ь87
0,755
1,116
1,084
1,020
0,992
2,186
Л =
0,612
0.638
0,724
1,000
3,026
= 0,15
—0 612
—0,574
—0,440
—0,206
1,244
1,116
1,196
1,324
1,106
—1,048
8,412
8,400
8,444
9,332
35,50
0,000
—0,042
-0,322
-1,758
—23,43
8,412
8,758
9,568
10,85
30,28
Гидродинамические подшипники [43]. Уравнения движения при малых поступа-
поступательных перемещениях цапф ротора иуг и игг с кривой подвижного равновесия запи-
записываются в виде
Mu'yi + С (uyl — uy2) = 0; Muzl+C {uzX — uz2) = 0;
С (uyl - Uy2) + 2Py = 0; С (иг1 - иг2)+2Pz = 0,
(84)
ГДе Ру и рг — гидродинамические реакции, определяемые выражениями G8), в ко-
^Ры надо положить иу — uyi, uz = иг%.
166
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Задача устойчивости характеризуется тремя безразмерными параметрами,
один из которых определяет положение цапф на кривой подвижного равновесия
(коэффициент нагруженности ? или эксцентриситет у), а два других характеризуют
в основном влияние скорости вращения и гибкости ротора. Параметры устойчивости
могут быть выбраны неоднозначно, поэтому ниже используется несколько вариан-
Рис. 34
тов параметров для того, чтобы подчеркнуть те или иные физические особенности
задачи. Естественными параметрами устойчивости являются величины
•-*?¦¦¦ >-*(»-/?)•
(85)
В случае, когда статическая нагрузка является весовой, могут быть исполь-
использованы параметры
В=^1; А = -^ = ^. (86)
g ' Mg g v '
Между параметрами групп (85) и (86) существуют очевидные соотношения
ницы
При использовании параметров Ф, Р, ? (у) условие устойчивости, уравнение гра-
граы устойчивости Ф* и частота колебаний на границе X представляются в виде
Ф > Ф
где использованы обозначения
F
Ф* = Fj. -
8; Х/ш ==
k = l&+Is; n = h + It\ Л = /6/8-/в/7; f=hh-hh.
На рис. 34 для ротора на 150-градусных цилиндрических подшипниках, харак-
характеристики которых приведены в табл. 2, построены границы устойчивости и частоты
колебаний при использовании параметров Ф, |3, ? (у), а на рис.35 — при использо-
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
167
В=Аыг/д
вании параметров В, А, ? и параметров В, А, ?. Области неустойчивости заштрихо-
заштрихованы.
Из рис. 34 и 35 следует вывод, что увеличение скорости и уменьшение жесткости
ротора всегда понижают устойчивость. Особенно резко понижается устойчивость
при скоростях, близких к удвоенной критической. Из рис. 35 следует, что в случае,
когда статическая нагрузка не является
весовой, устойчивость повышается с ростом
коэффициента ? (эксцентриситета %), при
этом ненагруженный ротор (? = 0, % = 0)
будет неустойчив. В случае, когда на-
нагрузка является весовой (рис. 35), влияние
параметра t, (эксцентриситета %) на устой-
устойчивость существенно уменьшается, при
этом малонагруженный ротор (% -*¦ 0)
будет уже устойчивым. Для обоих слу-
случаев нагрузки существует такое предель-
предельное значение параметра ? = ?* (% = х*),
при больших значениях которого ротор
всегда будет устойчивым. Из рис. 35
следует, что при скоростях, близких
к удвоенной критической, теряют устой-
устойчивость более гибкие роторы (малые зна-
значения параметра А).
Частота колебаний на границе устой-
устойчивости не зависит от жесткости ротора,
в широком диапазоне изменения парамет-
параметра Z, остается близкой к 1/2со и умень-
уменьшается до нуля лишь при ?-*¦?,.• Если
потеря устойчивости происходит при ско-
скорости, близкой к удвоенной критической
(гибкие роторы с малым значением пара-
параметра А), то частота колебаний, оста-
оставаясь близкой к 1/2<в, одновременно оказывается близкой к собственной
частоте ротора на абсолютно жестких опорах Q.
Анализ большого числа расчетов устойчивости средне нагруженных роторов
на цилиндрических подшипниках позволяет предложить оценочную формулу для
определения скорости потери устойчивости:
Рис. 35
1
Д Ч+1/4А '
где коэффициент х\ зависит от величины рабочей дуги подшипника а:
(88)
а. '
Ч •
360
0,16
180
0,24
150
0,30
130
0,36
120
0,42
Формула (88) основана на малой зависимости границы устойчивости от ? и от
относительной длины подшипника 1/2R, а также на близости частоты колебаний на
границе к 1/2ш. Из формулы (88) видно, что меньшим величинам зазора Д соответ-
соответствует большая скорость потери устойчивости.
Анализ показал, что вышеприведенные результаты для ротора с одним диском
являются справедливыми и для произвольных двухопорных роторов (ротор с не-
несколькими дисками, с распределенными параметрами), если под М понимать массу
всего ротора, а под Q — его первую собственную частоту. При этом результаты
Расчетов всегда будут с некоторым запасом, так как дополнительный анализ показал,
что гироскопический эффект дисков, который может проявляться в несимметричных
системах, всегда повышает устойчивость.
Изложенные результаты подтверждаются экспериментами. Однако в ряде слу-
аев расчетные значения скоростей потери устойчивости оказываются меньшими
168
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
тех, при которых наблюдаются интенсивные автоколебания. На рис. 36 представлена
амплитудно-частотная кривая для модели ротора массой около 1200 кг на двух
цилиндрических подшипниках. Расчетная критическая скорость пк„ = 1500 об/мин,
скорость потери устойчивости п,. = 2420 об/мин, ЛУ<в = 0,501. Найденный экспери-
экспериментально порог самовозбуждения оказался равным п^ = 2500 об/мин и устанавли-
устанавливался по факту присутствия в общем спектре вибраций колебаний с небольшими
амплитудами, имеющих частоту примерно 1/2ш. Из рис. 36 также следует, что потеря
устойчивости в данном случае
^не приводит сразу к заметному
росту вибраций. Значительный
рост амплитуд автоколебаний
происходит при скоростях 3500—
4000 об/мин, которые по суще-
существу и определяют практическую
границу устойчивости. Однако
определение такой границы мо-
может быть сделано лишь при
рассмотрении соответствующей
нелинейной задачи об автоколе-
автоколебаниях [16, 33].
WO
.._.J
j
1
?ода
^00G / \3000 I iOOO n,oS/MUH
Икр
na
Рис.
В проблеме устойчивости
роторов на подшипниках сколь-
скольжения особое место занимают ненагруженные роторы с вертикальной осью при
полных C60-градусных) подшипниках. В таких системах Z, = 0, % = 0 и для под-
подшипников с неограниченной протяженностью в результате расчета получают
1г = /4 = /6 = /7 = 0; /2 = —/3 = 6я, /5 = /8 = 12л, т. е. в реакции слоя
отсутствуют квазиупругие силы. Теоретический анализ показывает, что такие
системы будут неустойчивыми при любых скоростях.
Эксперименты не подтверждают безусловной неустойчивости вертикальных
роторов, что может иметь несколько объяснений: неучет в исходных уравнениях
гидродинамики локальных сил инерции смазки; некоторая некруглость реальных
подшипников; влияние избыточного давления смазки, создающего стабилизирующий
гидростатический эффект (см. ниже), а также влияние
остаточной неуравновешенности ротора, из-за которой в=Ашг/д
центр цапфы описывает круговую траекторию, и нужно ' '
анализировать не устойчивость центрального положе-
положения, а устойчивость кругового движения, что может
привести к другим условиям устойчивости [30, 59].
Для предотвращения автоколебаний используют
специальные, так называемые виброустойчивые под-
подшипники скольжения, которые условно можно раз-
разделить на две группы:
1) подшипники с некруглой формой расточки
(двухцентровые, трехцентровые, со смещенными вкла-
вкладышами и др. — см. рис. 31, б);
2) подшипники с подвижными рабочими поверх-
поверхностями (с вращающимся кольцом, с подвижными
вкладышами и др. — см. рис. 31, в).
Наряду с виброустойчивыми подшипниками для
подавления автоколебаний можно использовать спе-
специальные упругодемпферные устройства, совмещаемые
обычно с опорами роторов. Качественная сторона влияния параметров демпферов
на устойчивость нагруженного гибкого ротора с одним диском, опирающегося на два
цилиндрических подшипника A/2R = оо) с дугой 180°, каждый из которых в свою
очередь встроен в упругодемпферную опору с параметрами Мо, Со, Къ, показана
на рис. 37, где изображены границы устойчивости при различных коэффициентах
демпфирования в опорах (б = КВ/УСОМ). Остальные параметры опор: Мо/М = 0,5;
CJC = 0,5. Режим работы подшипников соответствует относительному эксцентри-
эксцентриситету х = 0,4. Штриховой линией на рис. 37 показана граница устой-
Рис. 37
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ 169
чивости исходного ротора, подшипники которого расположены на жестком фун-
фундаменте.
Как показали расчеты, для нагруженных двухопорных роторов могут быть
рекомендованы демпферы с параметрами:
Ко = @,25-=- 0,5) У~2СлМ; М0<0,5Л1; Со < @,5 -М,0) №М,
где д} — масса ротора; Q — его первая собственная частота на жестких опорах.
Малая жесткость демпферных опор, если это возможно, всегда является предпочти-
предпочтительной, так как при этом уменьшается необходимое значение коэффициента Ко,
а следовательно, и размеры демпфера.
Гидростатические подшипники. Для слабо- и средненагруженных подшипников
(вплоть до х = 0,5) при анализе устойчивости с достаточной для практики точностью
могут быть использованы динамические коэффициенты при х = 0
СУу = Сгг = С°; Куу = Кгг = К°\ Kyz = Kzy = 0; Суг = - Сгу = V2co/C°, (89)
где С°, К° — значения коэффициентов при х = 0. При х = 0 от параметра Л зависит
только коэффициент Суг (см. табл. 4, 5).
При использовании зависимостей (89) выражения для скорости потери устой-
устойчивости и частоты колебаний на границе имеют вид
ш* = 2О°; *. = i/2<» = &0. (90)
где Й9 = 1/ м ,- ,„. — собственная частота ротора, вычисленная с учетом квази-
квазиупругих сил смазочного слоя. Для жесткого ротора (C-voo) зависимости (90) имеют
вид
^?. (91)
Из выражений (90) и (91) следует, что запас по устойчивости увеличивается
с увеличением С0, т е. в частности, с увеличением внешнего давления ps В то же
время из выражения (90) следует, что эта скорость при любых ps не может быть больше
2fi, где й = У С/М — собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах.
Увеличение коэффициента жесткости подшипника С° может быть осуществлено
также за счет оптимизации параметров подшипника, в частности за счет параметра
Т. Для ненагруженного га-камерного подшипника (х = 0) с параметрами 1/2R = 1;
Т = 0,9; v = 0,6 при ламинарном режиме течения и капиллярной компенсации опти-
оптимальные значения параметра Т = Ч^т-, обеспечивающие максимальные значения
величины It— /lmax те 2, следующие:
4 5 6 8 12
О 15 0,17 0,20 0,28 0,43
Для четырехкамерного подшипника с параметрами 1/2R = 1; Т = 0,9; v = 0,6
при турбулентном режиме течения оптимальные значения Y, обеспечивающие макси-
максимальные значения Ix = /lmax ~ 1,5 при различных значениях параметра т|, следую-
следующие
1 • 1000 4000 12 000 40 000
''опт 05 °.4 °.3 0.2
Расчеты показали, что значение /lmax при % = 0 практически не зависит от
скорости вращения цапфы.
Для подавления автоколебаний роторов на гидростатических подшипниках
с Успехом используют упругодемпферные опоры, параметры которых могут быть
выбраны в соответствии с вышеприведенными рекомендациями для роторов на гидро-
гидродинамических подшипниках.
170
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Газодинамические подшипники. Для роторов на газовых подшипниках вопросы
устойчивости имеют первостепенное значение, причем существенно большее, чем для
роторов на жидкостных подшипниках, так как потеря устойчивости и последующие
автоколебания из-за контакта сухих поверхностей практически всегда приводят
к аварийным ситуациям. Задачи анализа устойчивости роторов на газовых подшип-
подшипниках находятся еще в стадии разрешения.
Ниже приведены результаты анализа устойчивости для жесткого, симметрич-
симметричного и нагруженного ротора на двух газодинамических опорах с распределением
давлений как у подшипника с неограниченной протяженностью [21, 62]. Результаты
получены при отыскании совместного периодического решения на границе устой-
устойчивости как для уравнения газовой смазки (81), так и для уравнений движения ротора
(84). При весовой нагрузке задача характеризуется параметрами
g
Л=
(ХСО
pW2''
П = -
Рв'
где ps — абсолютное давление окружающей среды.
На рис. 38, а для случаев Л > 0,2 построена граница устойчивости в плоскости
ВП — Х> а на Рис- 38, б — зависимость эксцентриситета % от параметров П и Л для
en
40
20
10
8
в
4
2
W
If
\/
/
f
\Y
O,Z Ofi
0.8
Рис. 38
I/2R = оо (сплошные линии) и I/2R = I (штриховые линии). График на рис. 38, а
может быть использован с некоторым запасом при оценке устойчивости реальных
роторов, если под % понимать эксцентриситет для подшипников конечной длины.
Из сопоставления рис. 38, а и рис. 35 следует, что в отличие от гидродинами-
гидродинамических подшипников устойчивость роторов на газодинамических подшипниках уже
существенно зависит от эксцентриситета %, т. е. от нагруженности подшипников.
Частота самовозбуждающихся колебаний на границе устойчивости, как и при
гидродинамических подшипниках, близка к 1/2ш, однако в некоторых случаях,
например при использовании коротких подшипников с большими зазорами, она может
уменьшаться до х/1Ош [62]. Исследования показывают, что для устранения автоколе-
-баний и в случае газовых опор могут быть использованы упругодемпферные
опоры [31].
Влияние на вынужденные колебания. Для роторов на подшипниках скольжения
главный интерес представляют вынужденные колебания от неуравновешенности, от
внешней периодической нагрузки, а также от некруглости цапф в подшипниках
скольжения.
При рассмотрении колебаний от неуравновешенности основными являются
задачи определения критических скоростей и амплитуд вынужденных колебаний.
Из-за «немалости» неконсервативных сил в смазочном слое в рассматриваемых зада-
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
171
чах под критическими скоростями следует понимать такие скорости, при которых
амплитуды вынужденных колебаний максимальны.
Особенности вынужденных колебаний иллюстрируются на примере нагружен-
нагруженного гибкого неуравновешенного ротора с одним диском, движение которого около
стационарного положения описывается уравнениями
; Миг1+С (uzl — иг2) =
sin (at;
(92)
где Ру и Рг — по-прежнему гидродинамические реакции слоя, определяемые выра-
выражениями G8).
max (A,/e)
2,5/3
Рис. 39
На рис. 39 показаны амплитудные характеристики для больших полуосей эл-
эллипсов перемещений цапф и диска ротора на цилиндрических подшипниках с дугой
150°, 1/2R — 1 (см. табл. 2) при двух значениях параметра А = -^- и при фиксиро-
ванном значении параметра Г =
. Для характерных точек кривых построены
траектории-эллипсы с соблюдением соотношений между осями и с соответствующим
наклоном осей. Стрелкой показано направление движения по эллипсу, совпадающее
с направлением вращения ротора. Из рис. 39 видно, что амплитудные кривые имеют
Два максимума, определяющие низшую и высшую критические скорости. При низшей
скорости наблюдается максимум перемещений цапф, и эта критическая скорость
обусловлена главным образом квазиупругими силами смазочного слоя. Эллипс в этом
случае существенно наклонен и колебания происходят преимущественно в горизон-
горизонтальном направлении. Коэффициенты динамичности относительно невелики. Высшая
критическая скорость наблюдается при скорости, близкой к собственной частоте
172
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
ротора на абсолютно жестких опорах. Колебания в этом случае происходят преиму-
преимущественно в вертикальном направлении. С увеличением гибкости ротора демпфирую-
демпфирующее влияние подшипников скольжения становится небольшим и кривые носят ярко
выраженный резонансный характер.
На рис. 40 показаны построенные по результатам большого числа расчетов
зависимости величин низших и высших критических скоростей и коэффициентов
динамичности при этих скоростях от параметров Г и А. Из рис. 40 видно, что высшие
критические скорости в широком диапазоне изменения параметров остаются близ-
близкими к собственной частоте ротора на жестких опорах, а низшие критические ско-
скорости мало зависят от параметра А и зависят главным образом от параметра Г.
При действии на ротор, вращающийся с постоянной скоростью, независимой
периодической нагрузки, создаваемой, например, вибрирующим основанием или дру-
другими роторами в соосных системах, могут возникнуть резонансные колебания, обу-
обусловленные как упругими свойствами ротора, так и свойствами смазочного слоя.
Ниже это иллюстрируется на примере симметричного идеально уравновешенного
ротора на двух цилиндрических подшипниках с дугой 150°, 1/2R = 1, возбуждаемого
Рис. 40
О 0,4 Ofil 0,8 8/ш
Рис. 41
независимым центробежным вибратором, имеющим вращающуюся с частотой 8
массу т на радиусе г. Направление вращения вибратора может совпадать, а может
и не совпадать с направлением вращения ротора.
На рис. 41 изображены амплитудные характеристики для жесткого ротора
(А = оо) при прямом вращении вибратора и при трех значениях параметра устой-
устойчивости В = Aco2/g [одно из них (В^ = 3,9) соответствует границе устойчивости,
частота самовозбуждающихся колебаний на границе Л/ш = 0,51]. Из рис. 41 следует,
что на границе устойчивости при частоте внешней нагрузки, совпадающей с частотой
самовозбуждающихся колебаний, амплитуды вынужденных колебаний становятся
неограниченно большими (в линейной постановке), несмотря на наличие в системе
демпфирования. Для значений параметра В, отличных от В,,, колебания вблизи
6/со = 0,5 также носят резонансный характер. Учитывая это, а также то, что вблизи
границы устойчивости частота автоколебаний близка к половине частоты вращения,
можно утверждать, что частота со/2 в определенном смысле является собственной
частотой жесткого ротора.
При вращении вибратора в обратную сторону какие-либо резонансы отсутствуют,
и амплитуды колебаний значительно меньше, чем при прямом вращении, т. е. смазоч-
смазочный слой при таком возбуждении оказывает значительное демпфирующее действие.
Для гибкого ротора при прямом вращении вибратора существуют уже два значения
частоты S, при которых будут наблюдаться резонансные колебания: 1) 6 ~ V2ffl;
2) 6 = Q, где Q — собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах.
Некруглость цапф подшипников скольжения приводит к вынужденным колеба-
колебаниям с частотами, кратными частоте вращения, амплитуды которых следует учитывать
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
173
случаях, когда к машинам предъявляются повышенные требования по уровню вибра-
ций [22, 50].
Для роторов на гидростатических подшипниках, как и в задачах устойчивости,
положение цапф в подшипниках (величина у) оказывает незначительное влияние на
БЫнужденные колебания от неуравновешенности. Поэтому ниже приведены некото-
некоторые результаты для симметричного ненагруженного гибкого ротора на двух подшип-
подшипниках. Амплитуды вынужденных колебаний как для цапф, так и для диска имеют
максимум при частоте, близкой к собственной частоте соответствующей консерватив-
консервативной системы Q0 [см. (90)], вычисленной с учетом квазиупругих свойств подшипников.
Амплитуды колебаний при резонансе зависят от
величин безразмерных параметров задачи: в. значения первой критической
_ скорости в зависимости
^Л /по\ от параметра Г
А -
(93)
Максимальные значения перемещений цап-
цапфы Аг и Диска ротора Ах определяют из выра-
выражений
Г-
(94)
То~~2 I '
Г
1
5
10
18
36
72
180
360
720
Л»
1,73
0,79
0,58
0,434
0,316
0,228
0,166
0,108
0,102
max (A/E)
6,9
4,86
3,44
2,6
2,14
1,78
1,5
1,20
1,17
(95)
где 1\ и /° — динамические коэффициенты подшипников при % = 0 (см. табл. 4 и 5).
При некоторых значениях параметров, например, при больших Ар и малых Гр,
резонансные колебания в системе проявляются слабо или просто отсутствуют.
Ниже приведены некоторые результаты для симметричного жесткого ненагру-
ненагруженного неуравновешенного ротора, опирающегося на два одинаковых газодинами-
газодинамических подшипника с таким же распределением давлений, как и в подшипнике не-
неограниченной протяженности. Задача характеризуется безразмерными параметрами
/
цЧ
В табл. 6 в зависимости от параметра Г приведены значения Л = Л,., соответ-
соответствующие первой критической скорости, и максимальные значения амплитуд колеба-
колебаний при этих скоростях.
7. ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
В отличие от подшипников скольжения, в которых передача усилий происходит
через большие поверхности, в подшипниках качения нагрузки передаются через
весьма незначительные поверхности контакта (точечный или линейный контакты).
Динамические явления в подшипниках качения возникают в результате нелинейной
зависимости между величиной контактной деформации и нагрузкой, некруглости
и разноразмерности тел качения, а также технологического, монтажного и эксплу-
эксплуатационного факторов (неточности при изготовлении и сборке, загрязнения смазки,
износа и т. п.). Кроме того, из-за группового вращения тел качения вместе с сепара-
сепаратором деформация под действием статической радиальной нагрузки будет периоди-
периодической функцией времени [27, 39, 52, 58]. Ниже изложена постановка и некоторые
Результаты двух задач:
1) о влиянии податливости подшипников качения на колебания неуравновешен-
неуравновешенных роторов;
2) об оценке уровня «подшипниковых» вибраций машин, обусловленных несо-
несовершенствами подшипников качения.
174 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Колебания неуравновешенных роторов. Нелинейные свойства подшипников ка-
качения вносят особенности в характер вынужденных колебаний неуравновешенных
роторов. Так, в частности, вид амплитудных кривых зависит от величин неуравно-
неуравновешенности и статической нагрузки. Контактная податливость в случае жестких
массивных роторов существенно понижает критические скорости, причем резонансные
пики могут раздваиваться.
Для стандартных подшипников со сферическими телами качения между деформа-
деформацией и радиальной нагрузкой существует зависимость, установленная на основании
контактной теории Герца [2],
W2
^^' <96>
где f — сближение центров внутреннего и наружного колец в направлении действия
нагрузки вследствие упругих контактных деформаций, см; W — радиальная нагрузка
на подшипник, кгс; z—число тел качения; йш—диаметр тел качения, см; у—угол
контакта тел качения (для радиального подшипника 7 = 0, для других типов под-
подшипников угол указан в каталоге); I — коэффициент, зависящий от типа подшипника
(I = 280 для радиального и радиально-упорного подшипника; / = 264 для радиаль-
радиального сферического подшипника; / = 55 для радиального сферического подшипника
с бочкообразными роликами).
Зависимость (96) можно представить в виде
W = hf3/2, (97)
где A=10^-3/2zd^2cos7.
Ниже везде используется зависимость (97), хотя она характеризует лишь осред-
ненную связь между нагрузкой и деформацией и не учитывает незначительных
изменений жесткости из-за перекатывания тел качения.
Приближенный способ учета влияния податливости подшипников качения на
критические скорости (собственные частоты) заключается в следующем. При диффе-
дифференцировании зависимости (97) по f находят «жесткость» подшипника при статической
нагрузке W = Wa:
С/in — ~
(98)
df
Для радиальных и радиально-упорных подшипников формула (98) имеет вид
Сш = 5350 VdmW^ cos2 у. (99)
Значение Сш (в кгс/см) используют затем при расчете собственных частот колеба-
колебаний в направлении, совпадающем с направлением действия статической нагрузки.
Эксперименты показывают, что формула (98) приводит, как правило, к несколько
заниженным результатам для собственных частот, особенно для легко нагруженных
роторов. Объяснить это, видимо, можно тем, что кроме статической весовой нагрузки
на подшипники в собранной машине действуют еще другие нагрузки, вызываемые,
например, неизбежными перекосами.
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях на примере неуравновешенного
нагруженного гибкого ротора с одним диском и с горизонтальной осью вращения,
опирающегося на два одинаковых подшипника качения (см. рис 33). Величина сред-
среднего радиального зазора между наружным и внутренним кольцами подшипника
и телами качения равна Д. Силы контактной упругости в каждом подшипнике опре-
определяются зависимостью (97), где собственно упругое перемещение
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ 175
Предположим, что силы демпфирования в подшипниках качения содержат как
линейную, так и нелинейную составляющие. Тогда проекции сил, возникающих
в подшипниках качения,
A00)
ufc+"h
При поступательных перемещениях ротора уравнения движения имеют вид
Miuyi + C(uyi — uy
= MxEufi sin at — Mxg; \ A01)
liC (иу2 — uyX) + Py = 0; М2иг2 + V2C (иг2 — иг1) + Рг = —
где Р;; и Р2 определяются выражениями A00).
Задача характеризуется безразмерными параметрами
М, А
С3
Параметр ij; определяет соотношение между жесткостью подшипника качения
при статической нагрузке W -= V2 Mtg и жесткостью ротора; параметр v характери-
характеризует влияние неуравновешенности.
На рис. 42 представлены некоторые характерные результаты расчетов амплитуд
перемещений диска и цапф при (X = 0,05; х = X = 0,01 A —1|) »= 10; v == 1; % = 1;
2 —я()= 10; v= 1; х = 5; 3 —г|)= I; v = 0,1; х= 1, ^ —ф= I; v = 0,1; % = 5;
5 — ф = 0,1; v = 0,l; %= 1; 6 — i|) = 0,l, v = 0,l; % = 5). Вертикальные штрих-
пунктирные линии показывают положение низших собственных частот, вычисленных
при использовании квазистатической жесткости подшипника Сш согласно (98).
В отличие от линейной задачи расположение резонансных пиков, которые опре-
определяют истинные критические скорости, оказывается зависящим главным образом
от нагруженное™ подшипника (от параметра ф) и относительного зазора в подшип-
подшипнике х- При этом для малых значений параметра г|) критические скорости могут быть
существенно меньше собственной частоты ротора на абсолютно жестких опорах
(Рц, = 1). Увеличение зазоров в подшипнике также понижает критические скорости,
в этом случае резонансный пик раздваивается и имеются четко выраженные резо-
нансы как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях, причем резонансы
в горизонтальном направлении наступают при меньших скоростях, чем в вертикаль-
вертикальном. Из рис. 42 видно, что при квазистатическом подходе учитывается лишь влияние
статической нагрузки на жесткость подшипников. Поэтому квазистатический подход
может быть полезен при оценке критических скоростей, когда зазоры в подшипниках
не очень велики.
Для тяжелонагруженных роторов влияние неуравновешенности ротора (пара-
(параметр v) на характер колебаний, вообще говоря, невелико. Однако для малонагружен-
ных роторов влияние неуравновешенности становится определяющим. На рис. 43
построены амплитудные кривые для перемещений шеек вертикального ротора (г|) = 0)
при [х = 0,1; х = 0,01; К = 0,01 (кроме крайних двух кривых) при трех значениях
X и нескольких значениях параметра v A —v = 0,1; 2 — v = 0,25, 3 —v = 1,0;
4 — v = 5). Неустойчивые ветви решений показаны штриховыми линиями. Из рис. 43
следует, что амплитудные кривые являются типичными для нелинейных систем.
176
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Уменьшение параметра v приводит к существенному смещению резонансных пиков
в сторону меньших скоростей. Величина и характер сил демпфирования определяют
не только уровень колебаний при резонансе, но и положение резонансных пиков,
т. е. значение критических скоростей. Расчеты показали, что в отличие от линейных
систем только линейное трение не ограничивает амплитуд при резонансах, что
1,0 fi
косвенно подтверждает существование в реальных системах нелинейного трения.
Величина параметра х существенно влияет на вид амплитудных кривых. При % 5г 1
обе ветви амплитудных кривых сближаются, и при этом отсутствуют ветви, соответ-
соответствующие обратному ходу. С увеличением % резко возрастает роль демпфирования
и, например, при % = 5,0; v = 0,1 и 0,25 решения существуют только при очень малых
силах трения. Это указывает на то, что при больших зазорах в подшипниках качения
у вертикальных роторов могут отсутствовать критические скорости в обычном пони-
понимании этого слова.
Квазистатический подход встречает в этом случае определенные трудности из-за
того, что нагрузка на подшипники заранее неизвестна и определяется динамикой
ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
177
системы. Для приближенных оценок критических скоростей вертикальных роторов
можно полагать [68], что нагрузка на каждый подшипник
W =1/2Ма>^ (E + Л). A02)
т, е. равна половине центробежной силы вращающихся частей ротора, вычисленной
без учета деформаций тел качения и ротора. На рис. 43 при % = 0,1 и % = 5,0 верти-
вертикальными штрихпунктирными линиями показаны собственные частоты, вычисленные
с учетом указанной выше нагрузки на подшипники. Эти частоты оказываются, вообще
говоря, близкими к критическим скоростям динамической задачи.
«Подшипниковые» вибрации. Подшипники качения в роторных машинах
являются источником так называемых подшипниковых вибраций с широким спектром
частот (от нескольких Гц до десят-
десятков кГц), близких по своему харак- А?!в
теру к стохастическим. Ряд причин
приводит к подшипниковым виб-
вибрациям:
1) наличие в подшипниках не-
нескольких элементов, совершающих
сложное движение с различными
угловыми скоростями. Так, если
внутреннее кольцо вращается с
угловой скоростью сов, а наруж-
наружное — с со,,, то скорость вращения
сепаратора [2]
с = Кхь>в + К2
где Ki ='
C0SV
(ЮЗ)
— Диаметр
\ й I
тел качения; Do — средний диаметр
подшипника; у — угол контакта.
Угловая скорость вращения
тел качения относительно собствен-
собственной оси равна
2О
иш = (ш„-шв)-г2-/С1/С2. A04)
Рис. 43
Групповое движение шаров со скоростью шс при числе шаров г приводит к при-
приближенной зависимости для жесткости подшипника в направлении действия стати-
статической нагрузки:
С=Ст A —ц cos 2cocO, A05)
гДе Ст — некоторая средняя жесткость; ц — коэффициент, величина которого зави-
зависит от числа шаров; при г = 3 ц = 0,252; при г = 6 ц = 0,058; при г = 9
И = 0,026 [74].
Периодическое изменение жесткости приводит к вынужденным колебаниям
с частотой zcoc с резонансом при гсос = П и к параметрическим колебаниям с главной
областью при 1/2 2<dc = Q, где Q —¦ низшая собственная частота поперечных колеба-
колебаний системы. Малый коэффициент (х для обычных подшипников (г 3= 6) и в целом
немалое демпфирование в подшипниках качения заставляют предполагать, что
Параметрические колебания в подшипниках качения не могут иметь существенного
Значения;
2) несовершенства подшипников качения, образовавшиеся на стадии их изго-
изготовления. К числу этих несовершенств относится разностенность внутреннего и на-
РУЖного колец и разноразмерность тел качения, некруглость тел и дорожек качения
178
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
(волнистость, шероховатость, огранка и т. п.), неуравновешенность колец и сепара-
сепаратора. Некруглость характеризуется числом волн п = 1, 2, 3 укладывающихся
на длине окружности дорожки качения;
3) несовершенства, возникающие при сборке роторной машины (например,
перекосы колец), а также дефекты, появляющиеся в процессе эксплуатации (износы,
загрязнение смазки, разрушение сепаратора и тел ка-
качения, посторонние включения и др.).
Указанные причины, каждая в отдельности и
в сочетании, приводят к сложным спектрам вибраций.
В табл. 7 для частного случая, когда вращается
только внутреннее кольцо (шн = 0, юв = &>), указаны
ожидаемые дискретные частоты подшипниковых виб-
вибраций.
Создаваемые подшипниками качения возбужде-
возбуждения следует относить к разряду кинематических,
когда исходным являются не нагрузки, а взаимные
перемещения наружного и внутреннего колец подшип-
подшипников. В настоящее время качество подшипников
качения принято оценивать параметрами вибраций
Нагрузка
\W\ww\v
Рис. 44
масло } их наружных колец при испытаниях на специальных
'стендах. На стенде (рис. 44) подшипник внутренним
' кольцом 4 установлен на жесткую оправку 5, вра-
вращающуюся с определенной скоростью. На наружном
кольце 3 (или на специальной обойме 1), которое за-
заторможено и находится под действием некоторой ра-
радиальной статической нагрузки, установлен вибродатчик 2, измеряющий колебания
кольца в направлении нагрузки. Сигнал от вибродатчика подается на усилитель,
от которого попадает на спектральный анализатор. Результаты измерений пред-
представляют в виде спектра—зависимости уровня виброускорений (в дБ) от частоты,
которая может служить основой для расчета подшипниковых вибраций [63].
№
по пор.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. Частоты подшипниковых вибраций и
Частота
а
2а
па)
(п = 3, 4,5,. . .)
шс = Ki<b
2@с
/С2С02
Ki@2
•K2(DZn
iCi@2?l
Причина
Неуравновешенность, разно-
стенность и перекос внутрен-
внутреннего кольца
Овальность внутреннего
кольца
Некруглость дорожек каче-
качения внутреннего кольца
Неуравновешенность сепара-
Периодическое изменение
жесткости при групповом
вращении тел качения
Единичный дефект на внут-
внутреннем кольце
Единичный дефект на наруж-
наружном кольце
Волнистость л-го порядка на
внутреннем кольце
Волнистость л-го порядка на
наружном кольце
Гранность и-го порядка тел
качения
причины, их вызывающие
Примечание
Присутствует всегда. Диагностика
затруднена из-за неизбежной неурав-
неуравновешенности всего ротора
Присутствует всегда. При диагности-
диагностике следует отличать от вибраций, вы-
вызываемых двоякой жесткостью ротора,
двойной частотой питания электриче-
электрических машин, нелинейных ультрагармо-
ультрагармонических колебаний второго порядка
Присутствует практически всегда.
Следует отличать от ультрагармониче-
ультрагармонических колебаний высших порядков
Обнаружить трудно из-за малой мас-
Диагностика затруднена. Следует от-
отличать от колебаний п. 3
Могут быть выделены только с по-
помощью узкополосного анализатора
АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 179
8. АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Реальные роторные системы имеют по сравнению с рассмотренными выше идеали-
идеализированными существенно более сложный вид, и на них могут действовать много
других, иногда значительно более сильных внешних и внутренних возмущающих
факторов. Так, во многих случаях необходимо при анализе колебаний учитывать
распределенность массовых и жесткостных параметров; опорами роторов часто слу;
жат гибкие корпусные конструкции; роторные машины группируют в агрегаты,
а соединяемые муфтами роторы образуют валопроводы; встречаются конструкции
с двумя или несколькими соосными роторами в одном корпусе и т. п.
Как уже указывалось, основной причиной вибраций с частотой вращения
является неуравновешенность роторов, образующаяся в процессе их изготовления.
Однако в ряде случаев большее, если не определяющее значение приобретают неурав-
неуравновешенности, образующиеся в процессе эксплуатации. К ним прежде всего следует
отнести неуравновешенности, связанные с переносом рабочего тела из-за неполного
заполнения полостей в различного рода насосах и подобных машинах, электромаг-
электромагнитную неуравновешенность, а также неуравновешенности, образующиеся за счет
искривления оси из-за возможной тепловой несимметрии. В последнем случае для
многоопорных роторов неуравновешенность при одной и той же искривленности
вала будет зависеть от числа опор и их податливости. Для валопроводов и агрегатов
одними из основных причин низкочастотных вибраций являются несовершенства
в соединениях и погрешности в расположении опорных устройств.
Методы анализа и расчета колебаний сложных систем находятся в стадии разра-
разработки. Ниже изложены качественные стороны вопроса о влиянии несовершенств
в соединениях на колебания валопроводов; изложен также один из общих методов
расчета колебаний сложных систем и приведены результаты расчета колебаний для
некоторых характерных систем.
Несовершенства в соединениях роторов [16, 20, 22, 51, 66]. Роторы соединяют
в валопроводы, как правило, с помощью муфт двух типов: неподвижных и подвижных.
Для неподвижных муфт, которые могут быть как жесткие, так и упругие, харак-
характерным является отсутствие взаимного проскальзывания между элементами муфт.
Типичной неподвижной муфтой является фланцевая муфта, которая состоит из двух
полумуфт-фланцев, насаживаемых на концы валов и стягиваемых между собой
болтами. Во многих случаях для облегчения сборки на одном из фланцев делают
центрирующий выступ, а на другом — соответствующую центрирующую выточку.
Сборку фланцевых муфт по центрирующим выступам и выточкам называют иногда
принудительным центрированием.
Характерное несовершенство изготовления фланцевого соединения заключается
в несоосности оси вращения и осей цилиндрических поверхностей выступов и выточек
(радиальное биение) и неперпендикулярности оси вращения торцовым поверхностям
полумуфт (торцовое биение). Характерное несовершенство сборки заключается
в несовпадении осей спариваемых роторов в местах их соединения муфтами — попе-
поперечное и угловое смещения осей, причиной которых являются различного рода мон-
монтажные неточности. В зависимости от характера соединений полумуфт (с принуди-
принудительным центрированием или без) изменяется характер влияния несовершенств
изготовления и сборки на вибрации валопровода. При этом вследствие малости несо-
несовершенств их влияние на вибрации можно рассматривать независимо (табл. 8).
При соединении муфтами, имеющими несовершенства изготовления, при их
принудительном центрировании ось валопровода изгибается (см. эскиз 5, табл. 8)
и при вращении валопровода вращается вместе с ним, что эквивалентно действию
Распределенной неуравновешенности, приводящей к вибрациям с частотой вращения.
При несовершенствах сборки и при соединениях с помощью идеальных муфт
пРи их принудительном центрировании (эскиз 6, табл. 8) ось валопровода изгибается,
Однако при вращении валопровода изогнутая ось не будет вращаться вместе с ротором,
а будет неподвижной (как при действии весовой нагрузки). Под действием возникаю-
возникающих при таком соединении дополнительных нагрузок в изотропных роторах колеба-
ний не будет, однако в анизотропных роторах под действием этих нагрузок возникнут
Колебания с двойной частотой вращения. Если при указанных несовершенствах
соорки полумуфты не центрируются или центрируются неполно (эскиз 4, табл. 8),
180
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
то непосредственно после сборки ось валопровода не будет деформирована, однако
при провороте последний начнет деформироваться с достижением максимума при
провороте на 180° по отношению к положению, при котором производилась сборка.
Можно показать, что при таком соединении деформированное состояние может быть
представлено как наложение деформированных состояний при двух сборках с прину-
принудительным центрированием: в одной имеются только несовершенства изготовления,
а в другой — только несовершенства сборки. При вращении валопровода с таким
соединением в изотропных роторах возникнут колебания только с частотой враще-
вращения, а в анизотропных роторах — также колебания с двойной частотой вращения.
8. Характерные дефекты изготовления и сборки
Дефекты
До сворки
После сборка
дез центрирования
с центрированием
"ТГСГ"
и
Для подвижных муфт именно проскальзывание между элементами муфт является
характерным свойством, обеспечивающим компенсацию различного рода неточностей,
возникающих при изготовлении и сборке роторов. Другое характерное свойство
подвижных муфт состоит в том, что они при своей нормальной работе не передают
изгибающих моментов. Однако подвижные муфты, существенно уменьшающие вибра-
вибрации одного происхождения, сами вследствие определенных несовершенств могут
стать причиной вибраций.
В пальцевой муфте передача крутящего момента происходит с помощью несколь-
нескольких стержней (пальцев), симметрично расположенных на торце одной полумуфты
и входящих с определенным зазором в соответствующие гнезда на другой полумуфге
(рис. 45). Для обеспечения более плавного пуска и уменьшения шумности муфты
между пальцами и гнездами, как правило, расположены эластичные элементы. При
передаче крутящего момента Л4кр при идеальной симметрии в расположении пальцев
и гнезд все пальцы нагружены равномерно и на каждый палец действует окружная
сила
Р =
Ми
Rz '
АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
181
е г — число пальцев (г 3= 2); R — радиус окружности, на которой расположены
альды- При этом для каждого из спариваемых роторов проекции всех сил Р на пло-
"jiOCTb, перпендикулярную оси вращения, равны нулю, т. е. поперечные силы отсут-
отсутствуют-
Вследствие неизбежных несовершенств изготовления, а также неодинаковости
износа пальцев и гнезд, действующие на пальцы силы в общем случае различны. Это
приведет к возникновению в каждой полумуфте некоторых поперечных сил АР,
равных по величине и противоположных по направлению. Эти вращающиеся вместе
с ротором силы АР будут деформировать роторы, что приведет к возникновению
вибраций с частотой вращения. Вследствие того, что величина сил АР помимо сте-
степени несовершенств в полумуфтах зависит также от величины крутящего момента,
возникающие при этом вибрации зависят от величины передаваемой мощности. При
этом характерно то, что от вращающейся силы АР каждый из спариваемых роторов
деформируется отдельно как система с консолью, но их колебания, вызываемые вра-
вращением деформированных роторов, будут уже совместными.
№
Рис. 45
При возможности значительных смещений осей спариваемых роторов, а именно
в этих случаях целесообразно использовать подвижные муфты, сухое трение в пальце-
пальцевых соединениях может, как показывают исследования [51], приводить к вибрациям
с частотами, кратными частоте вращения. Следует также отметить, что при значи-
значительном износе или загрязнении элементов муфт проскальзывание, необходимое для
нормальной работы подвижных муфт, затруднено, вследствие чего эти муфты в опре-
определенных режимах, например при малых моментных нагрузках, будут работать
как неподвижные, а это может приводить к значительным вибрациям, так как при
соединении неподвижными муфтами требования к качеству монтажа обычно невысо-
невысокие. Возможность взаимных смещений в элементах подвижных муфт может приводить
к возникновению циркуляционных сил типа внутреннего трения (см. п. 5) и к потере
Устойчивости при скоростях вращения, превышающих критическую [11, 66].
Расчет колебаний сложных систем. На стадии проектирования и исследования
Роторных систем возникает необходимость в решении следующих линейных задач
колебаний для сложных систем:
1) расчет критических скоростей, т. е. таких дискретных скоростей вращения
Роторов, вблизи которых следует ожидать вибрации с повышенными амплитудами;
2) определение границ областей устойчивости, выход за пределы которых при-
приводит или к параметрических колебаниям для анизотропных роторов или к автоколе-
аниям для роторов, находящихся под действием различного рода циркуляцион-
циркуляционных
сил;
3) расчет вынужденных колебаний.
182 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
Для систем с большим демпфированием истинные критические скорости досто-
достоверно могут определяться как скорости вращения, при которых амплитуды вынужден-
вынужденных колебаний достигают максимальных значений.
При решении линейных задач динамики для сложных роторных систем можно
использовать различные методы — методы динамических податливостей или жестко-
стей, метод разложения по формам собственных колебаний, метод интегральных
уравнений и др. [3, 14, 19, 23, 32, 70, 73]. Ниже изложены основные идеи метода,
являющегося развитием метода начальных параметров и позволяющего с единых
позиций рассматривать различные задачи о свободных и вынужденных колебаниях
роторов при учете разнообразных конструктивных факторов и внешних нагрузок [46].
При периодических колебаниях изотропных роторов с распределенными пара-
параметрами все деформационные и силовые факторы (см. п. 2) будут изменяться по гар-
гармоническому закону. В частности, перемещения сечений ротора можно представить
в виде
иу (x,t) = и'у (х) cos 6t + и'у (х) sin Ы; \
, « \ \'Щ
uz (x, t) = uz (x) sin Ы-\-иг (х) sin Ы, )
где 6 = ш — для вынужденных колебаний от неуравновешенности и 0 = Я, — для
колебаний на границах устойчивости.
Подстановка выражений вида A06) в систему G) — (9) и приравнивание коэффи-
коэффициентов при cos 81 и sin 61 приводит к удвоенному числу уравнений в обыкновенных
производных с общим 16-м порядком. Деформированное состояние в каждом сечении
ротора определяется матрицой — столбцом или вектором 16-го порядка
A07)
Для анизотропных роторов при решении задач устойчивости и вынужденных
колебаний решения системы E9) ищут также в виде A06), а вектор деформированного
состояния имеет вид A07). Однако при нахождении колебаний с частотой 2со от дей-
действия нагрузки неизменного направления решения ищутся в виде
иу (х, t) = щ, (х) + и'у (х) cos Ы + и"у (х) sin Ы; \
uz(x, t) = u°z(x) + u'z (х) cos Ы + u'z (х) sin
а вектор деформированного состояния имеет уже 24-й порядок:
а(х)= ^
A09)
Остальные составляющие вектора а согласно A09) совпадают с составляющими
векторами по A07).
При решении задач колебаний для реальных систем целесообразно перейти от
действительной системы с распределенными параметрами к некоторой эквивалентной
дискретной системе. Для этого ротор рядом узловых точек разбивается на безмассо-
безмассовые участки с одинаковой в пределах участка изгибной жесткостью. Массы участков,
АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 183
моменты инерции сосредоточенных дисков, сосредоточенные жесткости и демпферы
прИ поперечных и угловых перемещениях (в том числе подшипники скольжения,
уплотнения и другие источники циркуляционных сил), все внешние моментные и
силовые нагрузки сосредотачиваются в узловых точках дискретно на границах уча-
участков.
Для эквивалентной дискретной системы вместо дифференциальных уравнений
порядка In (для изотропных роторов п = 8 и для анизотропных роторов п == 12)
могут быть получены системы матричных рекуррентных соотношений, связывающих
деформированное состояние в i-й и (i-f- 1)-й расчетных ячейках. Для изотропных
роторов
a,-+i = [L>(Ga-fq)],-, (ПО)
для анизотропных роторов
а,-+1 = (Г2)«Ч1 [DT1 (Ga + q)],-, A11)
где D и G — переходные матрицы участка и узла; 1\ и Г2 — матрицы поворотов
главных осей участков и узлов; q — вектор нагрузки. Эти матрицы и векторы имеют
16-й порядок при рассмотрении колебаний с частотой со и 24-й порядок — при рас-
рассмотрении колебаний с частотой 2со. Вид переходных матриц приведен в работах
[16, 46].
Вектор нагрузки, определяющий приращения в узлах силовых и деформацион-
деформационных факторов, при вынужденных колебаниях с частотой ш имеет вид
где еъ еъ yt, y2 — поперечные и угловые неуравновешенности дисков массы т;
/ и /0 — эквивалентный и полярный моменты инерции диска; Flt F2, Я1( к2 — попе-
поперечные и угловые взаимные смещения неподвижных соединительных полумуфт
до сборки.
Некруглость цапф подшипников скольжения или кинематическое возбуждение
в подшипниках качения также могут быть введены в вектор нагрузки q.
При вынужденных колебаниях с частотой 2ш при расцентровке осей и действии
весовой нагрузки вектор q имеет вид
ч<=
\—mg.
где Тъ тг, Ьъ б2 — поперечные и угловые взаимные смещения осей до сборки не-
неподвижной муфты, расположенной в i-м узле.
Одним из наиболее общих методов решения линейных краевых задач является
?1етод, состоящий в сведении решения краевой задачи к решению нескольких задач
К.оши с соответствующими начальными условиями и известный как метод начальных
1
0
о ;
та"-— С
0
1
0
0
0
2 1
0
°v
0 Ь
1/
/1
/о
D= О
\0
Дх
1
0
0
1/2рДх
Р
1
0
1/бр1 (Axf
1/2рДх
Дл;
1
184 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
параметров. При использовании метода начальных параметров решение записывается
в виде
а,= П;ао + иг> A14)
где а0 — вектор начальных параметров для начального (левого) торца ротора; а,- —
вектор параметров в i-м узле; П; — квадратная матрица, столбцами которой являются
16 (для решения с частотой со) или 24 (для решений с частотой 2со) нормальных реше-
решений, U,- — вектор частного решения, определяемый внешней нагрузкой.
Нормальные решения находят при расчете по формулам (ПО) или A11) при
q = 0 и при соответствующем каждому нормальному решению единичном начальном
векторе а0. Частное решение находят также при расчете по формулам (ПО) или A11)
при q Ф 0, но при нулевом начальном векторе а0.
При решении однородных задач (<7 = 0) для изотропных роторов на анизо-
анизотропных опорах все расчетные векторы и матрицы будут иметь уже восьмой
порядок. В случае изотропных опор порядок расчетных матриц понижается еще
вдвое и они принимают наиболее простой вид
0=1
где использованы дополнительные обозначения: С, S — сосредоточенные в узлах
жесткости соответственно при линейных и угловых перемещениях; Дл: — длина
участка; Р = Ax/EJ; EJ — изгибная жесткость участка; N = / — /0 — при расчете
критических скоростей прямой прецессии; N = / + /0 — при расчете критических
скоростей обратной прецессии.
Формулу A14) при 0 = 0 можно расписать для правого торца ротора, и с учетом
граничных условий на левом и правом торцах составить линейную однородную
систему относительно неизвестных начальных параметров, необходимым условием
существования решений которой является равенство нулю ее определителя
0(co = Qi) = 0 (i = l,2,3,...), A15)
где Q; — собственные частоты системы.
Уравнение A55) решают обычно методом проб. Затем для каждого Q; с помощью
зависимостей (ПО) или A11) находят соответствующую форму колебаний с точностью
до постоянной, как это всегда имеет место при решении подобных задач.
Для неконсервативных систем в исходные уравнения входят уже два или не-
несколько параметров. Один из них по-прежнему характеризует частоту К периодических
движений, а другие (параметры устойчивости i|>) — внутренние силы и факторы, при-
приводящие к потере устойчивости. Для таких систем ставится задача об отыскании
границы (границ) устойчивости. Как и при определении собственных частот в этом
случае составляется условие — уравнение
Ф(Я, 1|з) = 0,
которое решают методом проб.
В задачах параметрической устойчивости параметры К и г[) совпадают и равны
скорости вращения, т. е. к = г|) = со.
К неоднородным задачам (q Ф 0) приводят все задачи о вынужденных колеба-
колебаниях с частотой вращения со, обусловленные различного рода несовершенствами из-
изготовления и сборки, а также задачи о колебаниях с частотой 2а> под действием на-
нагрузок неизменного направления. При нахождении решений расписывается основная
формула (ПО) или A11) для правого торца ротора и используют известные граничные
условия для составления системы неоднородных уравнений для нахождения неизвест-
неизвестных восьми (или двенадцати) начальных параметров. Затем с помощью формул (ПО)
или A11) окончательно находят решение при фиксированной частоте со или 2со
Примеры расчетно-экспериментальных исследований для сложных систем. Ниже
приведены некоторые характерные результаты расчетов и экспериментов для роторов
турбоагрегатов большой мощности. Все расчеты выполнены с помощью программы
на ЭВМ, составленной на основе метода начальных параметров. Динамические
АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
185
-ЯЙ.
,23 29
коэффициенты смазочного слоя подшипников скольжения определяли по методу,
описанному в п. 6.
J. На рис. 46, а и б изображены схема и расчетная схема ротора электрогенера-
электрогенератора мощностью 300 МВт типа ТВВ-320-2. Основные параметры ротора, подшипников
и опор: номинальная скорость вращения па = 3000 об/мин; ротор изотропный
с массой 54 500 кг, расстояние между опорами 9,7 м; подшипники цилиндрические
с дугой 150°; радиальный зазор
0,45 ММ; ДЛИНа ПОДШИПНИка 45 СМ; контактные шьца
радиус цапф 22,5 см; удельная
нагрузка 14,55 кгс/см2, масло тур-
турбинное; средняя температура 50° С;
опоры изотропные, упругомассо-
вые, одинаковые с двух сторон,
среднеэкспериментальные значения
жесткости Со = 4-106 кгс/см, мас-
массы Мо = 14 600 кг.
Критические скорости (соб-
(собственные частоты), определенные
с учетом упругости и массы опор
в предположении абсолютной жесткости смазочного слоя, пг = 948 об/мин;
я = 2870 об/мин; пя = 4270 об/мин.
Формы колебаний при пг и п2 показаны на рис. 47.
При расчетах вынужденных колебаний определялись параметры эллипсов
перемещений различных сечений ротора и опор при распределении неуравновешен-
неуравновешенности по первой и второй формам собствен-
собственных колебаний, т. е. целью расчетов явля-
являлось определение истинных критических
скоростей и коэффициентов динамичности
при них. На рис. 47 изображены расчетные
2Агмкм
Рис. 46
50
П
1
1
_-—
>
1
Граница
появления ^~"
пВтохоледании
1\\
%
а
\
ч
п,=97О'
/1000
Рис. 47
гооо
Рис. 48
g/зооо п,об/тн
амплитудные характеристики для нескольких сечений ротора и его опор
(I — левая опора, // — правая цапфа (точка 23); /// — возбудитель (точка 29);
'V — середина ротора (точка 12); V — бандаж (точка 7), а на рис. 48 — экспе-
экспериментальные амплитудные характеристики для опор генератора, полученные при
одном из балансировочных пусков на стенде завода A — сторона возбудителя;
2 —
сторона турбины).
Расчетной границе автоколебательной неустойчивости соответствует #
== 2000 об/мин, частота автоколебаний К = 1050 колебаний в минуту и форма коле-
колебаний соответствует форме при первой частоте собственных колебаний. При иссле-
исследованиях на стенде заметные автоколебания наблюдались начиная с п = 2400 об/мин,
Частота их была примерно 1000—1050 колебаний в минуту, т. е. расчетные и
186
КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
экспериментальные результаты близки. Из анализа результатов также следует, что
истинные критические скорости близки к собственным частотам, вычисленным в
предположении абсолютной жесткости смазочного слоя.
2. Для ротора электрогенератора мощностью 300 МВт типа ТГВ-300 с выражен-
выраженной анизотропией сечений бочки ротора выполнены расчеты и проведены экспери-
экспериментальные исследования колебаний с двойной частотой вращения от действия веса
ротора. Схема ротора, его размеры и
параметры опор и подшипников
близки к ротору, описанному в п. 1.
Коэффициент анизотропии боч-
бочки ротора
V=-^i=0,117.
1700
2300
п, об/мин
Расчеты показали, что макси-
максимумы вынужденных колебаний от
неуравновешенности имеют место
при следующих скоростях (основ-
(основные критические скорости, об/мин).
Рис 49 Пх — 1250; п2 = 2350; п3 = 3450-
щ = 4550; я5 = 6100 (п19 = 950 -=-
Ч- 1200; П2Э = 2500). Эти скорости близки к собственным частотам для «усредненных»
роторов, т. е. роторов со средними значениями изгибных жесткостей на бочке
ротора. Эксперименты показали, что первые две критические скорости п19 и я25
близки к расчетным.
На рис. 49 построены расчетные амплитудные кривые для колебаний с частотой
2(о контактных колец в горизонтальном B) и вертикальном (/) направлениях. Там
же приведены экспериментальные результаты, полученные на стенде завода. Видно,
что в диапазоне интересующих скоростей максимумы вибраций с частотой 2<о наблю-
наблюдаются при скоростях п = 1170 об/мин, п = 2300 об/мин, п = 3100 об/мин, которые
близки к половинам основных критических скоростей «2, я4, п5. Максимум не наблю-
наблюдался при скорости 1/г na, что может быть объяснено практически симметричной
Л
ш
Муфта
Рис. 50
конструкцией ротора. Из рис. 49 также следует, что расчетные и экспериментальные
результаты для амплитуд колебаний близки.
Расчеты показали, а эксперименты это подтвердили, что в диапазоне рабочих
скоростей вращения отсутствуют зоны неустойчивости, обусловленные двоякой
жесткостью ротора, что объясняется влиянием значительных сил демпфирования
в подшипниках скольжения.
3. Влияние несовершенств в соединениях иллюстрируется на примере расчета
условного валопровода из двух изотропных роторов на четырех опорах, включающих
в себя подшипники скольжения (рис. 50). По своим размерам и параметрам валопро-
вод близок к части валопровода турбоагрегата мощностью 300 МВт, а именно соот-
соответствует роторам генератора (РГ) и турбины низкого давления (РНД), соединенных
жесткой неподвижной муфтой. Все опоры предполагаются одинаковыми — изотроп-
изотропными, упругомассовыми с параметрами Со = 3,5-106 кгс/см, Мо = 8000 кг. На рис. 50
нумерация опор соответствует нумерации опор всего турбоагрегата,
АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
187
тахА,мкм
Первые четыре собственные частоты (критические скорости) валопровода, опре-
ленные в предположении, что смазочный слой в подшипниках скольжения является
'бсолютно жестким, Q1=145, Q2= 183, Q3 = 405, Q4 = 4951/c, причем Qt и Q3 соот-
a ствуют так называемым генераторным, а й8 и й4 — турбинным критическим ско-
восТЯм. На рис. 51 показаны формы колебаний для первых трех критических
скоростей.
На рис. 51 представлены
также амплитудные кривые для
перемещений цапф валопровода.
расчеты выполнены в предполо-
предположении, что ротор идеально урав-
уравновешен и все несовершенство
заключено в соединительной
муфте в виде углового несовер-
несовершенства, принятого равным
,1=5-10~5 рад, что соответствует
предельно допустимому значе-
значению для жестких муфт [20].
Видно, что несовершенство в со-
соединениях валопроводов вызы-
вызывает вибрации в широком диа-
диапазоне частот, т. е. проявляет
себя как распределенная не-
неуравновешенность. Из рис. 51
следует, что максимумы вибра-
вибраций возникают вблизи основных
критических скоростей, причем
уровни вибраций в рассматри-
рассматриваемом примере на высших
критических скоростях оказались существенно более высокими, чем при низших.
Нестационарные задачи колебаний роторов, в частности, задачи о прохождении
критических скоростей, во многом аналогичны соответствующим задачам для всех
колебательных систем и рассмотрены, в частности, в работах [14, 18].
Для роторов, опирающихся на подшипники качения с большими зазорами или
на подшипники скольжения, работающие в режиме сухого трения или скудной смазки,
существенными могут стать явления, связанные с так называемыми маятниковыми
колебаниями ротора в поле сил тяжести с характерной частотой Q = У A/g (Д —
величина радиального зазора), а также явления типа обкатки [1, 37, 60].
25
50
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Банах Л. Я. Некоторые явления, возникающие при движении вала в подшипнике с за-
зазором. — Машиноведение. 1965. № 2
Бейзельман Р. Д., Цыпкин Б. В. Подшипники качения. М., Машгиз, 1960.
Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М., Обо-
ронгиз, 1956.
Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., Физматгиз,
'961.
Брановский М. А., Лисицын И. С, Сивков А. П. Исследование и устранение вибрации
турбоагрегатов. М., Энергия, 1969.
р ьроузенс Р., Кренделл С. Об устойчивости вращения ротора, обладающего несиммет-
Рией инерции и несимметрией жесткости вала. — Прикладная механика, М., Мир,
1961, № 4.
Бургвиц А. Г., Завьялов Г. А. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкост-
жидкостного трения. М., Машиностроение, 1964
Вибрация энергетических машин. Справочное пособие. Л., Машиностроение, 1974.
• 'антер. Влияние внутреннего трения на устойчивость быстровращающихся роторов на
анизотропных опорах. — Конструирование и технология машиностроения, М.,Мир,
1969, № 4.
антмахер Ф, Р. Лекции по аналитической механике. М., Физматгиз, 1960.
°Рдон Е. я., Ямпольский П. Д., Пальченко В. И. О динамической устойчивости урав-
уравновешенных роторных систем, соединенных зубчатой муфтой. —Машиноведение, 1977,
19fir°'>beB "" В" Нелинейные колебания элементов машин и сооружений. М., Машгиз,
188 КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ
13. Гробов В. А. Ассимптотические методы исследования колебаний. М, Изд-во АН СССР
1960.
14. Гуров А. Ф. Изгибные колебания деталей и узлов авиационных газотурбинных двига-
двигателей. М., Оборонгиз, 1959.
15. Григорьев Н. В., Рогачев В. М., Румянцев О. В., Гордин П. В. Динамика упругих муфт. _
Энергомашиностроение, 1975, № 7.
16. Динамика гибких роторов. Сборник статей. М., Наука, 1972.
17 Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., Изд-во АН СССР
1959.
18. Диментберг Ф. М., Шаталов К. Т., Гусаров А. А. Колебания машин. М., Машинострое-
Машиностроение, 1964.
19. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем на электронных вычислительных
машинах. М, Машиностроение, 1964.
20. Исакович И. М., Клейман Л. И., Перчанок Б. X. Устранение вибрации электрических
машин Л., Энергия, 1969.
21. Кастелли, Элрод. Решение задачи об устойчивости 360°-ных самогенерирующихся под-
подшипников с газовой смазкой. — Теоретические основы инженерных расчетов, М., Мир
1965, № 1.
22. Кельзон А. С, Журавлев Ю. Н., Ян варев Н. В. Расчет и конструирование роторных
машин. Л., Машиностроение, 1977.
23. Кемпнер М. Л. Методы динамических податливостей и жесткостей для расчета изгибчых
колебаний упругих систем со многими степенями свободы. — В кн.: Поперечные коле-
колебания и критические скорости. М., Изд-во АН СССР, 1951.
24. Колебания валов на масляной пленке. Сборник статей. М., Наука, 1968.
25. Константинеску В. Н. Газовая смазка. М., Машиностроение, 1968.
26. Кравцова Е. В., Позняк Э. Л. Об эффективности пассивных виброгасителей в роторных
системах. — Машиностроение, 1977, № 4.
27. Крючков Ю. С. Структурный шум судовых механизмов на подшипниках качения —
Судостроение, 1959, № 2.
28. Кушуль И. Я. Автоколебания роторов. М., Изд-во АН СССР, 1963.
29. Лаппа М. И. Гибкие роторы судовых турбин. Л., Судостроение, 1969.
30. Левитан С. П. Устойчивость движения высокоскоростного ротора в подшипниках сколь-
скольжения. — Изв. вузов. Сер. Машиностроение, 1970, № 7.
31. Лунд. Об устойчивости упругого ротора в радиальных подшипниках на упругих опорах
с демпфированием. — Прикладная механика, М., Мир, 1965, № 4.
32. Лунд, Оркат. Расчет и экспериментальное исследование влияния неуравновешенности
на движение гибкого ротора. — Конструирование и технология машиностроения, М.,
Мир, 1967, № 4.
33. Лунд, Сейбэл. Траектории вихревого движения ротора в цилиндрических подшипни-
подшипниках. — Конструирование и технология машиностроения. М., Мир, 1967, № 4.
34. Лунд. Устойчивость и критические скорости с учетом колебаний гибкого ротора на
жидкостных подшипниках. — Конструирование и технология машиностроения, М ,
Мир, 1974, № 2
35. Малаховский Е. Е. Устойчивость и вынужденные колебания роторов на гидростатических
подшипниках. — Машиноведение, 1967, № 1.
36. Олимпиев В. И. Собственные и вынужденные колебания роторов на подшипниках сколь-
скольжения. — Труды ЦКТИ им. И. И. Ползунова, 1964, вып. 44.
37. Олимпиев В. И. Об обкатке неуравновешенного гибкого ротора по статору. — Маши-
Машиноведение, 1976, № 1.
38. Олимпиев В. И. Гидродинамические силы в бандажных уплотнениях паровых турбин. —
Энергомашиностроение, 1976, № 7.
39. Пинегин С. В., Фролов К- В. Вибрации и шум подшипников качения. — Машиноведе-
Машиноведение, 1966, № 2.
40. Пинкус. Анализ некруговых газовых радиальных подшипников. — Проблемы трения
и смазки. М., Мир, 1975, № 4.
41. Позняк Э. Л. Об устойчивости железного сердечника в магнитном поле. М-, Изд-во
АН СССР, ОТН, 1958, № 10.
42. Позняк Э. Л. Об устойчивости роторов, обладающих анизотропными свойствами. —
В кн.: Проблемы прочности в машиностроении, вып. 7. М , Изд-во АН СССР, 1962.
43. Позняк Э. Л. Исследование устойчивости движения роторов на подшипниках скольже-
скольжения. Изд-во АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1963, № 2.
44. Позняк Э. Л., Космачев А. Н., Райхлина Б. Б. Демпфирование вынужденных изгибных
колебаний гибких роторов. — В кн.: Колебания и прочность при переменных напря-
напряжениях. М , Наука, 1965.
45. Позняк Э. Л. Влияние масляного слоя в подшипниках скольжения на устойчивость и
вынужденные колебания роторов. — В кн.: Колебания валов на масляном слое. М->
Изд-во АН СССР, 1968.
46. Позняк Э. Л., Цырлин А. Л. Вынужденные колебания и устойчивость произвольных
роторных систем на подшипниках скольжения. — МТТ, 1967, № 2.
47. Позняк Э. Л., Цырлин А. Л. Нелинейные колебания статически нагруженных неурав-
неуравновешенных роторов на подшипниках качения. — Машиноведение, 1975, № 3.
48. Позняк Э. Л., Зубренков Б. И. О расчете вибраций, обусловленных несовершенством
подшипников качения. — Машиноведение, 1976, № 5.
49. Позняк Э. Д. Автоколебания роторов со многими степенями свободы. — МТТ, 1977, № 2.
50. Позняк Э. Л., Курзин А. А. Колебания ротора из-за некруглости цапф в подшипниках
скольжения. — Машиноведение, 1978, № 1.
51. Рагульскис К. М., Ионушас Рем. Д., Бакшис А. К. Вибрации роторных систем. Вильнюс
Мокслас, 1976.
ХАРАКТЕРИСТИКА ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 189
со Рагульскис К. М., Юркаускас А. Ю., Аступенас В. В. Вибрации подшипников. Вильнюс,
Минтис, 1974.
S3 Сахаров И. Е. Вынужденные колебания диска на горизонтальном валу двойной жест-
жесткости, вращающемся в анизотропных упруго-массовых опорах. Изд-во АН СССР, ОТН,
Механика и машиностроение, 1959, № 3.
54. Сергеев С. И. Демпфирование механических колебаний. М., Физматгиз, 1959.
55' Сергеев С. И. Динамика криогенных турбомашин с подшипниками скольжения. М.,
Машиностроение, 1973.
56. Симандири, Хан. Влияние давления подачи смазки на виброизоляционную способность
подшипников со сдавливаемой пленкой. — Конструирование и технология машино-
машиностроения, М., Мир, 1976, № 1.
57. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. Л., Энергия, 1971.
58* Талиан Т., Густафсон О. Успехи в исследовании вибраций подшипников качения и сни-
снижении их уровня. Сборник переводов — Механика, 1965, № 6.
59. Филиппов А. П., Шульженко Н. Г. Устойчивость колебаний нагруженного неуравнове-
неуравновешенного ротора в коротких опорах жидкостного трения. —¦ Машиноведение, 1973, № 4
60. Хронин Д. В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. М., Ма-
Машиностроение, 1970.
61 Цырлин А. Л. Динамика роторов двоякой жесткости. — В кн.: Динамика гибких рото-
роторов. М., Наука, 1972.
62. Шейнберг С. А., Жедь В. П., Шишеев М. Д. Опоры скольжения с газовой смазкой. М.,
Машиностроение, 1969.
63. Шефтель Б. Т. Расчет ожидаемой вибрации шарикоподшипника от волнистости желоба
внутреннего кольца. — Машиноведение, 1966, № 6.
64. Шубов И. Г. Шум и вибрация электрических машин. Л., Энергия, 1974.
65. Эрих. Аэроупругая неустойчивость в лабиринтных уплотнениях. — Энергетические ма-
машины и установки, М., Мир, 1968, № 4.
66. Ямпольский И. Д., Пальченко В. И., Хомяков В. П. К вопросу возникновения возму-
возмущающих сил в зубчатых муфтах. — Вестник машиностроения, 1975, № 10.
67. Black H. F., Ternan A. J. Vibration of a rotating asymmetric shaft supported in asymmetric
bearing. J. Mech Engng Sci., vol. 10, 1968, N 3.
68. Jager B. Die angenaherte Berucksichti gung der Elastizitat von Kugel — und Rollenlagern
bei der Berechnung der biegekritishen Drehzahl. Konstruction, Bd. 10, 1958, H. 3.
69. Kellenberger W. Bieges,chwingungen einer unruenden rotierenden Welle in honzontalen
Lage. Ingenieur Archiv, XXVI, 1968.
70. Koenig E. С Analysis for calculating lateral vibration characteristics of rotating sistems
with any number of flexible supports. Trans. ASME, JAM, vol. 28, 1961, N 4.
71. Kramer E. Selbsterregte Schwingungen von Wellen infolge Querkraften. Brennst. — War-
mekraft, vol. 20, 1968, No 7.
72. Loewy R. G., Piarulli V. J. Dynamics of rotating shafts. SVM-4, US Department of Defence.
Wachington, 1969.
73. Morton P. G. On the dynamics of large turbogenerator rotors. Proc. Instn. Mech. Engng.,
vol. 180, 1965 — 66, Pt 1, N 12.
74. Tamura A., Taniguchi O. On the subharmonic vibration of the order one-half caused by pas-
passing balls in a ball bearing. Bull, of JSME, vol. 4, 1961, N 14.
Глава VIII
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
УЛЬТРАЦЕНТРИФУГ С ВЕСЬМА ГИБКИМИ
ВЕРТИКАЛЬНЫМИ ВАЛАМИ, РОТОРНЫХ СИСТЕМ
И ШПИНДЕЛЕЙ ТЕКСТИЛЬНЫХ МАШИН
КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ ТОНКИХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ РОТОРОВ
С ТЯЖЕЛЫМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
1. ХАРАКТЕРИСТИКА ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Роторы некоторых современных высокоскоростных машин (ультрацентрифуги,
сепараторы, мешалки, устройства испытательных стендов и др.) включают весьма
гибкий, обычно упругоподвешенный, вертикальный вал, несущий массивные сосре-
сосредоточенные элементы. При поперечных перемещениях таких роторов на их изгибные
Колебания может существенно влиять поле внешних, параллельных оси ротора сил
(Тяжести, инерции переносного движения или др.). В подобных условиях в системе
возникают формы движения, не соответствующие схеме традиционной модели гибкого
Ротора.
190 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
В новой динамической модели даже при малых колебаниях учитываются верти-
вертикальные перемещения центров сосредоточенных масс ротора, которые совершают
движение не в плоскости, а по криволинейным, в частности сферическим, поверх-
поверхностям. Помимо обычных сил инерции и моментов, связанных с деформациями валов
и опор, такие системы испытывают воздействие инерционных сил и моментов при
движении ротора, как гиромаятника. Кроме перемещения ротора как жесткого целого,
его вал деформируется относительно неизогнутой оси гиросистемы. При этом он
изгибается не только поперечными, но и продольными силами, направление которых
меняется вдоль оси вала и зависит от формы его упругой линии.
Собственные частоты продольных колебаний системы предполагаются гораздо
более высокими, чем изгибные, поэтому продольные деформации ротора не учиты-
учитываются.
Описанные выше свойства рассматриваемой модели составляют ее отличие от
общепринятой. Динамическая модель гибкого тонкого ротора принадлежит к более
сложному классу упругих гироскопических систем. Ниже представлены особенности
изгибных колебаний гибких, упругоподвешенных, вертикальных роюров с тяжелыми
сосредоточенными грузами в поле внешних сил, параллельных оси вала.
Ротор называется подвесным, если центры масс находятся ниже точки опоры,
и зонтичным, если они расположены выше или по обе стороны от нее.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫХ
УПРУГИХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
Общий случай движения системы. Динамическая модель одномассового ротора
в поле сил тяжести представляет собой гироскоп с гибким валом и присоединенным
к валу упругим элементом, причем центр масс гироскопа может лежать ниже
(рис. 1) или выше (рис. 2) точки опоры [15]. Гироскоп рассматривается как тяжелое,
симметричное, абсолютно твердое тело, протяженное вдоль оси и закрепленное на
невесомом гибком валу. Точка опоры (подвеса) гироскопа О неподвижна, масса
тела т\\ его полярный и центральные экваториальные моменты инерции соответст-
соответственно С1 и Аг; расстояние OOt от точки опоры до центра инерции твердого тела /;
длина гибкого вала /х. Жесткость упругого элемента, действующего на вал в точке
подвеса, k [кгс-см/рад], а его восстанавливающий момент пропорционален углу
между вертикалью и касательной к упругой линии вала в указанной точке Вектор
момента направлен перпендикулярно к плоскости, образованной этими прямыми
Принятые системы координат изображенц на рис. 1 и 2. Положение центра
инерции Ot относительно неподвижных осей ?т]? задается сферическими координа-
координатами у и 6.
Проекции поперечных прогибов гибкого вала иг (s, f) и u2 (s, f) на плоскости
сферической системы координат XYZ отсчитываются от прямой ОО1 и считаются
положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями
соответствующих сферических осей, здесь s — абсцисса, отсчитываемая вдоль оси Z
в положительном ее направлении. Ось симметрии гироскопа Огг имеет направление
касательной к упругой линии ротора в точке s = llt и ее положение в пространстве
определяется углами Резаля а и р4, а положение системы координат Охх y'z, жестко
связанной с гироскопом, относительно осей Резаля углом собственного вра-
вращения <р.
Допускается неуравновешенность гироскопа в виде эксцентрично расположенных
точечных масс. Влияние этих факторов на динамику упругой гироскопической сис-
системы учитывается добавлением к силовым факторам, действующим на симметричный
гироскоп, сил тяжести и инерции точечных масс в их абсолютном движении относи-
относительно неподвижной системы координат. В дальнейшем учитывается только одна
смещенная точечная масса т2, расположенная в одной плоскости с центром инерции
Ot на расстоянии т от него.
Движение системы рассматривается при малых углах нутации, поэтому везде
в нелинейных функциях удерживаются члены до третьего порядка малости относи-
относительно координат у, 6 и их производных, а также первого порядка относительно
а, Р, а и Р, характеризующих деформации упругой оси гироскопа.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ 191
192
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Проекции прогибов uj (s, t) оси ротора на координатные плоскости XZ и YZ
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
соотношениям
EIu'j (s,/)+ Nuj (s, t) = Pf (l — s)+MJt
0<s<l1 (/ = 1,2)
u, (s, t) = H; (/x, 0 + (s- У и,' (/j, 0- 'i < s < «
и граничным условиям
uj @, t) = 0; и, (/, t) = U/ (/ь 0 + (/ - /x)
lt 0 = 0,
A)
(la)
B)
где штрихами обозначены частные производные по s; EI — постоянная жесткость
вала на изгиб; Pj — проекции на сферические оси силы Р, действующей на гибкий
вал в точке О1 со стороны твердого тела; М,- — моменты, приложенные в точке Oj
к гибкому валу в плоскостях сферической системы координат XZ и YZ;
Р1 = Ц1 mgb — m/8-|-e<j>2cos(p+e<j> sin cp;
p° = + mgy — mly -\-г<^ sin <p — еср
/i = mg
h =
— 6
1 " • (-
\2
нт' \mg
-f
mg)
C)
(р +§) — Схф (а + 7)
(а + y) + C^(p + 9) — eg sin ф;
D)
верхние знаки в A) и C) относятся к подвесному ротору, а нижние — к зонтичному!
Дифференциальные уравнения движения упругой гиросистемы будут
E)
mga—csP°2 — c^.~xM\ = F
+ Щг"*) (р = С^ (yB)/dt + e. (gS+№) sin ф —e
cosqi; % =
k
—j ,
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ 193
здесь Р°, Л-1° берутся из C) и D); нелинейные функции F& (k = 1, 2, 3, 4) имеют вид
F2 = U (xq -1) + A* (ldj>\ + йГ2ЛС) + /, (хс2 - 1);
Fa = fas + /з (d,PI + /-У4Л11) + W1;
^4 = fe + /з ИР! + '-^4^1) + Ш~\
а безразмерные коэффициенты с^., d^ (?=1, 2, 3, 4), полученные интегрированием A)
с краевыми условиями B), равны при верхних знаках в A) для подвесного ротора
Ci (Ло) = 1 — V [ch Vi + hV — к) sh Mi] с1 (Ло);
c2 (Ло) = V [ 1 - ch Vi - Яо 0 - h) sh Wi] с (Яо);
c3 (Ло) = 1 — Ло/с-1 (Ло), c4 (Ло) = Лэ/ (ch Ло^ — 1) c~i (Ло);
с (Ло) = sh Vi + Я0(/ — /i) ch Ло/,, Л„ = (^f) 2".
2 5Л^*( o)
и нижних знаках для зонтичного ротора
Ci (Ло) = Ло/ [cos Vi — Яо (/ — /х) sin Лэ/i] с" (Ло);
с2 (Ло) = Яо/ [cos Vi -h(l~к) sin Я0/г — 1 ] c-i (Ло);
с3 W=Vc (Яо) - 1, с4 (Яо) = Ло/ A — cos Ло/i) с * (Ло);
с (Яо) = sin Яо/i + Яо (/ — h) cos Яо/i,
причем выражение для dk (k = 1, 2, 3, 4) то же, что и в F).
Дифференциальные уравнения E), описывающие самый общий случай движения
(ироскопа с упругой осью при малых углах нутации, представляют собой сложную
квазилинейную систему.
Для многих практических приложений целесообразно ограничиться линеаризо-
линеаризованной системой F/i = 0 в условиях стационарного вращения ф = со = const, кото-
которая с введением комплексных функций х = р1 + га, у = 6 -f- iy и безразмерных
параметров a2 = AJiml2), 05 = CJiml1) получит вид
(с3 + CiO2) у — c4af,u)i I
A —xc2) a2x + [(l —xc2) 02+ 1 —xcj] у —A —xc2) afoi (x-\-y) t
'I'1 [1 Jt x A + q)] t/ = 8co2 (miy1 1 —xcx—g
с/, (fe = 1, 2, 3, 4) определяются из F) в сочетании с верхними знаками в (8) — для
подвесною ротора или из G), но с нижними знаками, что справедливо для зонтичного
Ротора.
Свободные колебания. Для системы (8) без правой части с верхними знаками
подстановка
Дает уравнение частот для подвесного ротора
0, A0)
7 п/р. Ф. М Диментберга и К. С Колесникова, т 3
194 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
где
а„=02с-1 [ft ch ^—c+xft B —2 ch ftx + ftx sh ©J];
a2=xc-1 {c — ft [ch ftL + (ft — ft^) sh ftx] — a2ft2 sh ftx} — A + a2ftc-i ch
[ch #! + (§ — ftx) sh Gx]
= sh «! + (¦& —GO chflx, vt=v|/|-;
и та же подстановка (91, но с нижними знаками в (8) приводит к уравнению вида A0)
для зонтичного ротора, в котором
а0 = сРсг1 [с — 0! cos flx+xft B — 2 cos ^ — {^ sm *j)];
[cos fix — (¦& — ¦&{) sin Ox] — c—o-2^2 sin #^ — A +a2dc-i cos ^i); A2)
a3 = аааа>х® с (cos чЭ1! + x# sin #x);
a4 = xdc-i [cos #x — (§ — #x) sm flj — 1 ;
с = sin dj + (¦* — их) cos *x.
Если / ^ /j, формулы A1) и A2) упрощаются, причем в случае A1)
; а, = - Шфа, -g- ;<
а для A2)
2 = X (ft Ctg ft — 1 _02fl.)_
Общее решение соответствующей (8) однородной системы будет
здесь vfe = v,!ft Kg// — угловые скорости прецессии ротора; vsft — корни уравнения
частот A0) с коэффициентами ап (п = 0, ..., 4) из A1) или A2); а коэффициенты форм
колебаний имеют вид
9ft = — [(С3 + С4О2) v|ft — CsPlu^tk + с3] (c4a2v|ft—Cjcrgcu^v^fe — \)~\
причем верхний знак справедлив для подвесного, а нижний—для зонтичного роторов,
#*> tyk — вещественные произвольные постоянные, выражающиеся через начальные
значения углов а0, E0, у9, 90 и скоростей а0, E0, 7о> 9'о-
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ 195
где
кроме того,
1111
Vi V2 V3 V4
A4)
a A/» — миноры элементов определителя Д, стоящих на пересечении /-й строки и 6-го
столбца.
Формулы A4) позволяют находить траектории движения отдельных точек рас-
рассматриваемой системы при различных начальных условиях.
Рис. 3
В частности, проекция траектории центра инерции симметричного гироскопа
с гибкой осью на горизонтальную плоскость при малых углах нутации есть геометри-
геометрическое место концов вектора, равного сумме четырех векторов, каждый из которых
вращается с угловой скоростью v*, (k == 1, 2,3, 4) и описывает окружность радиуса R^.
Влияние изгибной деформации оси ротора на форму траектории движения центра
инерции видно из конкретного примера. На рис. 3 построен участок траектории
Центра инерции гиромаятника с гибким валом без упругого элемента при следующих
значениях параметров системы и начальных данных:
х=0;
)¦ = ¦&!= 1,5,
Vo=l. 60 = c
г = 0,75, -^=2; <в = 0,5
а2
о " о с л
7*
196 ИЗГИВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Для этого случая безразмерные угловые скорости прецессии из A0) с учетом A3)
равны v^! = —1,96; v^ = —0,55; у„.3 = 1,00; v,,, = 2,50. При тех же начальных ус-
условиях на рис. 3 штриховой кривой изображен виток траектории того же гиромаят-
гиромаятника с абсолютно жестким валом. Из сопоставления обеих кривых видно, что для дан-
данных значений параметров, деформация оси гиромаятника приводит к заметным ка-
качественным изменениям траектории движения его центра инерции.
Вынужденные колебания. Если в правых частях (8) пренебречь членами, содер-
содержащими (о2 в знаменателе, то амплитуды вынужденных колебаний гиросистемы от
дисбаланса, обусловленного эксцентрично расположенной точечной массой щ, будут
х = а0со* A —g-
где, если сх, с, берутся из F) и а0, а4 из A1), то формула A5) справедлива для под-
подвесного ротора или, если эти величины определяются соответственно из G) и A2), то
A5) используются для зонтичного ротора.
В первом случае
ав = хс 1 [A — в*+ Ф*!) sh ftr — ftx ch ftx -fft2 (<J§ —02) sh ®г\ + ftc~i (а* — a2) ch fti — I
и с берется из A1), а во втором случае
a5 = xc-i [ftx cos ftx — A + ft2 — ftftt) sin ftx + ft2 (ст§—a^) sin '&1] +
+ dc-i (a§ — ct3) cos fli — 1
и с дается в A2).
Так же как и в обычной схеме гибкого ротора, в упругих гиросистемах могут иметь
место критические скорости, когда в A5) Aj (ш) = 0 и амплитуды вынужденных коле-
колебаний становятся весьма значительными.
В случае подвесного ротора, когда х = 0 и 1Х = I, полином из A5)
А1 (ш) = (ft cth fl — 1) (a2 — о*) со4 + [(ад — a2) ft cth ft — 1 ] gt
Биквадратное уравнение Лх (со) = 0 не имеет вещественных корней, если одно»
временно а0 (о* — erg) > 0 и а5 > 0 или дискриминант
4a0a4(l—aS^2) — ^ = 4(a2 — o2) — [l+ (ag_a2) ft cth ft]2 >0.
Для гибкого вала ft cth ft > 1, и ни одно из этих условий не выполняется, т. е.
гиромаятник с гибким валом имеет критические скорости при ctj <; а2 их будет две,
а при crjj > a2 — одна.
Если ротор абсолютно жесткий, ft = 0, ft cth ft = 1 и критическая скорость
определяется уравнением
из которого следует, что гиромаятник с жестким валом обладает необычным свойст-
свойством— он не имеет критической скорости, если aj > a2 + 1.
При рассмотрении динамики упругой гиросистемы учитывалось влияние продоль-
продольных сил на изгиб оси ее ротора. Если это влияние невелико, то в A) следует положить
N = 0.
Величины ck (ft, ftx) (k = 1, 2, 3, 4) в этом случае, например, для подвесного
ротора будут
c^fti-ftftx-Ц; c2 = -J ft?-ftfti;
с3 = | ft- Cft - 2ft0 ft i, c4 = l2 Щ,
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
коэффициенты в уравнении A0)
°0==
12
а2,
A7)
Выражения для определения траектории движения гиромаятника, его критичес-
критических скоростей и амплитуд вынужденных колебаний остаются без изменения, если
Cj, и ak взять соответственно из A6) и A7).
V» 'V,,
Рис. 4
Рис. 5
Влияние упругости сил гиросистемы видно из сравнения угловых скоростей пре-
прецессии, вычисленных с учетом и без учета ее деформации. Если считать, что массивную
часть ротора гиромаятника образует тонкий диск, у которого С1/А1 = ара* = 2 и
' % 1Ъ то согласно A0), A3) угловые скорости прецессии с учетом упругости оси опре-
определяются выражением
A8)
Для жесткого вала ¦& = 0, $ cth О1 = 1 и значения v,,.o удовлетворяют уравнению
(°2 + 1) vi0 - 2a*<o,v,o - A + х) = 0
Отношения скоростей прецессии v^/v^q зависят от параметров #,я,ии безразмер-
безразмерной угловой скорости ротора со,..
На рис. 4 изображена зависимость отношения низших угловых скоростей прямой
"Рецессии для х = 5 и со* = 0,5 [в долях (gll)xn]. При заданных числовых значениях х
и а* влияние податливости оси гироскопа особенно существенно в интервалах изме-
Чения параметров 0<д<Зи0<сг<1.
и (О cth ¦& — 1 +о21*2)] v% +
(¦& cth # + и§2) ш^у,, -fx^cth *+ 1 =0.
198
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Аналогичное сравнение угловых скоростей прецессии гиромаятника с собствен-
собственными частотами изгибных колебаний р*. близкого по схеме, горизонтального, невесо-
невесомого, упругозаделанного ротора с диском на свободном конце представлено на рис. 5.
С сохранением прежних обозначений, уравнение частот такого ротора при с§ = 2о2
будет
2)а>*р* + 12х=0. A9)
На рис. 5 приведена зависимость отношения v^/p* (x =5, со* = 0,5) низшей
скорости прямой прецессии гиромаятника и собственной частоты консольного ротора,
вычисленных из A8) и A9), в функции
¦& и а. При малых значениях ¦& это отно-
отношение немного падает.незначительно отли-
отличаясь от единицы, а затем быстро возра-
возрастает с увеличением О. Это происходит
главным образом из-за растягивающего
действия продольных сил, повышающих
жесткость вала подвесного ротора на
изгиб. Указанная особенность вертикаль-
вертикальных роторов рассматриваемого типа ис-
используется в высокоскоростных ультра-
ультрацентрифугах. Их валики обычно выбирают
весьма гибкими и тонкими с массивным
тяжелым ротором на нижнем свободном
конце. В таких условиях параметр ¦& при-
принимает повышенные значения, и собствен-
собственные частоты удается повысить настолько,
что даже при широком диапазоне рабочих
скоростей вращения они оказываются за
его пределами.
На рис. 6 представлено отношение
to^/cog-! критических скоростей прямой пре-
прецессии упругого гиромаятника и горизонтального ротора (при х = 5), полученных из
A8) и A9), в которых Шз = v,. = р„.. Здесь наблюдается примерно та же закономер-
закономерность, что и на рис. 5. Однако отношение Юц/ю^ нарастает более интенсивно.
Рис. в
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ОДНОМАССОВОГО
ЗОНТИЧНОГО РОТОРА В ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ
Динамика упругой гиросистемы существенно меняется в случае расположения
центра масс выше точки опоры (см. рис. 2). При такой схеме возникает задача об устой-
устойчивости вертикального вращения обращенного гиромаятника с гибким валом и упру-
упругим элементом вблизи точки опоры [7, 15]. Ось Ot, неподвижной системы координат
направлена вертикально вверх (см. рис. 2). Проекции на сферические оси силы Р,
приложенной к упругому зонтичному ротору в центре масс О1( записаны в C), если их
взять с нижними знаками, а моменты, изгибающие ротор в плоскостях XZ и YZ,
определяются из D). Причем для рассматриваемой задачи достаточно ограничиться
линеаризованными выражениями Р\, Р\, М\ и Ml-
При сжатии упругого ротора продольной силой проекции прогибов ttj (s, t) на
сферические плоскости удовлетворяют дифференциальным уравнениям A) с нижними
знаками, зависимостям Aа) при l± < s < / и граничным условиям B). Все основные
уравнения и характеристики движения этой колебательной системы приведены в п. 2.
Устойчивость вертикального вращения. Вертикальное положение оси симметрии
гироскопа с гибким валом и центром масс выше точки опоры (зонтичного ротора)
определяется стационарным решением
B0)
устойчивость вращения одномассового зонтичного ротора 199
Необходимые условия устойчивости этого положения получаются из уравнений
в вариациях для стационарного решения B0), которые полностью совпадают с одно-
однородной системой (8), а соответствующее им характеристическое уравнение имеет вид
A0) при коэффициентах A2).
Из (9) следует необходимое условие устойчивости вертикального положения оси
симметрии зонтичного ротора, а именно —вещественность всех четырех корней урав-
уравнения A0), взятого с коэффициентами A2).
Для уравнения A0) на основании правила Штурма указанное условие приводит
к трем неравенствам:
За? — 8а0а2>0, ?/>0, V > 0, B1)
причем
U = а\а^, — Ъа\аъ — 1 Ы\а\ + 14anaia2a3—ба^а |а4—4аоа] +16а2а2а4;
(ага2 — 6а0а3) — W- (За? — 8а0а2);
O3 — 9ах!а4 + 32а0а1а2а4 — 48а-;а3а4,
где а0, ..., пц определяются из A2).
Эти неравенства представляют собой необходимые условия устойчивости верти-
вертикального вращения зонтичного ротора.
В качестве примера рассматривается устойчивость вертикального положения оси
такого ротора без упругого элемента (х. = 0) при / = 1Х.
Коэффициенты A3) будут
„„ = «*/! _Л 2^0*^Л1^-[ } B2)
где f=Octg{h $ = %ul = (-pj-\ .
В случае недеформируемой оси д = 0, / = 1, и при малых значениях ¦& удобно
воспользоваться разложением
f=l- У 22*|В2Й
B*)!'
А = 1
где 52ft — числа Бернулли, равные Во = 1, Вг = —V2, В2 = 1/6, В3 = —1/30 и т. д.
В большинстве практически важных случаев V2 < f < 1, поэтому вполне доста-
достаточно исследовать устойчивость в интервале 0 <f =SJ I.
Подстановка коэффициентов B2) в B1) показывает, что первые два неравенства
удовлетворяются при любых значениях со,.. В частности, функция 0 обращается в
квадратный полином относительно ю|:
Я+ 10а«/-3о«/а) со= +
B3)
У которого коэффициент при со* и свободный член положительны. В этом случае
У < 0, если За4/2 > 1 + 6а2 + Юа2/, но при этом условии дискриминант полинома
B3) положителен. Значит, для любых вещественных значений со* в рассматриваемом
интервале изменения f условие U > 0 выполняется. Поэтому единственным необхо-
необходимым условием устойчивости в рассматриваемом случае будет V > 0. После под-
подстановки значений коэффициентов а^ из B2) функция V становится полиномом пятой
степени относительно величины z = co|a*.
При абсолютно жестком роторе (/ = 1) V обращается в линейную функцию г:
V A — f)-3 = 256a6 A +а2K-г—102406 A +о)б.
Третье неравенство B1) приводится к виду со|ст* > 4 A + о2), откуда с учетом
введенных безразмерных величин получается известное условие устойчивости вер-
200
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
тикального вращения волчка в случае Лагранжа co^Ci > 4A[ mgl, где А[ = А1-{~
+ ml2 — экваториальный момент инерции гироскопа относительно точки опоры.
1. Изменение величины zt — о)* Oq при различных значениях параметров / и о2
о2
01
02
04
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
/ = Ф ctg #
1
4,40
4,80
5,60
6,40
7,20
8,00
12,00
16,00
0,9
6,406
6,823
7,664
8,514
9,371
10,23
14,59
18,98
0,8
9,613
10,06
10 96
11 88
12,81
13,74
1S.50
23,36
0,7
15,05
15,54
1654
17,55
18,56
19,59
24,85
30,25
0,6
24,99
25,54
26 66
27,80
28,94
30,10
36 00
42,08
0,5
45,01
45,66
46,97
48,29
49,62
50,96
57,77
64,77
5^
А
У
Упругие деформации оси расширяют зону неустойчивости гироскопа с гибким
валом, повышая величину порога устойчивости. Для 0 < f <1 и любых значений ai
уравнение V = 0 имеет только один положительный вещественный корень гх. В табл. 1
приведены численные величины этих корней при
и*б% различных значениях параметров / и а2.
На рис. 7 изображены зависимости величин
Угх = ш„о| в функции параметра / для о2, рав-
равных 0,1; 0,6; 1. Ниже кривых расположены зоны
неустойчивого вращения обращенного гиромаят-
гиромаятника с упругой осью (V < 0). С увеличением
гибкости вала растет угловая скорость враще-
вращения, выше которой наступает устойчивость вер-
вертикального положения его оси симметрии.
4. КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОГО РОТОРА
В ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ
Общим случаем описанной динамической
1,о о,з о,в о/ о,б f модели будет многомассовая гиросистема
(рис. 8), используемая для решения боль-
Рис- 7 шинства прикладных задач [5, 6]. Здесь рассмат-
рассматриваются колебания только подвесного ротора.
Схема многомассового ротора представлена в виде невесомого вала, в сечениях
которого с абсциссами /(- расположены п твердых симметричных тел (рис. 8, а). Их
массы mi, a полярные и центральные экваториальные моменты инерции соответственно
Q И Л;.
Упругий элемент в точке подвеса имеет угловую жесткость k [ кгс • см/рад]. На валу
в точках с абсциссами s7 (/ = 1, 2, ..., г) расположены упругие опоры с линейными
характеристиками жесткостью с, [кгс/см]. Постоянная угловая скорость вращения
ротора со.
Свободные колебания. В этом случае предполагается, что все п сосредото-
сосредоточенных масс уравновешены, их центры расположены на изогнутой оси вала, а оси
симметрии совпадают с касательными к упругой линии гиросистемы в точках s =
= /;(/= 1, ..., П).
Положение центра инерции i-ro тела относительно неподвижных осей §т)? опре-
определяется двумя сферическими координатами yit 8;, а его оси симметрии относительно
сферической системы координат Х;У\Zj — углами Резаля а; и Рг- (рис. 8, б).
Сохраняя прежний, как в п. 2, способ отсчета прогибов вала от прямой ООг,
соединяющей точку подвеса с центром инерции нижней массы, сферические координа-
координаты i-ro тела можно записать в виде
B4)
КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОГО РОТОРА
201
чУ
в, ZC^T^s,
1 е>
/
/
i
а' Ч z,
Рис 8
202 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Из рассмотрения деформированного состояния вала следует, что
bi + Pi = Si + < (h, t), ъ + а,- = 7i + < (h> 0- B5)
Введение комплексных функций
wt(s, O = «ii
дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет прогиб вала на г'-м участке
между i-u и ((+ 1)-й массами, свободном от реакций упругих опор,
w't (s, t) + tfw, (s, 0 = Цу^ , *2 = -щ; B6)
здесь ?7,- — постоянная на данном участке жесткость вала на изгиб;
Gi = N
fi(s. t) = Pi(li-s) + .
Из C) и D) для е = ф = 0 с учетом B4), B5) силы и моменты равны
Mt = - Аг [we-i (lit 0 + *i] + CfiU [w'i-i (h, 0+ Til- B7)
Основные параметры в верхнем сечении i-ro участка определяются вектором
Xi = {Wl, B.J, fu Qb <h], в котором Qt = - /,' (s, 0 = /\ + ... + P, + Rx+ ... +
+ i?y + N2((p2 — <Pi) + ••¦ + Mi (фг — фх) или, при безразмерной форме, Xti =
= {wti, w\, fti, Q^, фЛ, а ш^ = ^//j, Ui = /i/ («i^i). Q,i = Qi1 (Щё)- После под-
подстановки ф! = ах exp (tv<), wj (/, /) + ф! = &j exp (tvO (аъ Ьх — постоянные ампли-
амплитуды) в B7), интегрирования B6) и перехода к безразмерной форме (опуская звез-
звездочки в обозначениях) имеем
Здесь v — угловая скорость прецессии многомассовой гиросистемы; А1 (v^, со*) —
матрица начальных значений;
\% A —ch *j)— I ch fli —ft (a?v* —a^v*) sh ^
co^.) = | ?1 (v|—1) o"fv| — ajjiW^v^
"vi-1 0
1 0
где ft = X^/j, ¦&! = ^ft, ^j = m^gHEI), %± = Aг — /2) l~i> а остальные величины из-
известны из F) и A1).
Матричная зависимость, устанавливающая связь между основными параметрами
верхних сечений (i-l)-ro и г'-го участков (рис. 8, а), включает полученную с помощью
общего решения дифференциального уравнения B6)
W[ (s, t) = Bj ch Яг (li — s) + B2 sh Я; (/г- — s) — Gc /,• (s, /)
матрицу жесткости
-1 ¦& sh d,- p
1
0
0
'^oV1 A — ch *,-)
Si
1
0
0
0
0
1
КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОГО РОТОРА 203
где #г = Pitfi, Р? = A + lh + - + И«) V- »*i
/t-+1) ljl, а также матрицы массы
0 0 0
1 0 0
, 1 0
О О 1 fij(v| — 1)
О 0 0 0 1
и упругих опор
10 0 0 О
0 10 0 О
D;(Py) = | 0 0 10 О
-0У 0 0 1 -
0 0 0 0
Ее результирующая запись имеет вид
X/ = C,,,+1(#)Bj(v,, ш,)Х,_! B8)
или
Х| = С/, ?+1 ф) Dy (ру) С,/ @) В; (V,, со*) Хц. B9)
Последовательное применение B8), B9) позволяет получить вектор основных па-
параметров вблизи точки подвеса:
• C0)
где
Ф (v*, coj = Cn0BnCn_! ... DjCijBi... C23B2Ai.
С учетом граничных условий в точке опоры и C0) уравнение частот изгибных
колебаний многомассовых подвесных роторов в поле сил тяжести будет
_ . F1)
Здесь Ф;у (v*, &>^) — известные функции v* и со^, а х = kfinixgl^.
Вынужденные колебания. Статическая неуравновешенность г'-го диска создается
точечной массой, дисбаланс которой et- = т^г^ причем его вектор образует угол i|),-
с осью 0{Х'{ системы координат Oix'^zi, неизменно связанной с ротором. Положение
этой системы относительно осей Резаля задается углом собственного вращения at (см.
рис. 8, б). В этом случае
,) (?J+T1e,1cniei*'}
где Ах ((ол, coj получена из Ах (vt) соА в которой v* = ю*; е^ = гЛщЩ, а вектор
\ = {d-1 (sh ftx - *i), A - ch ^), |ь 1, 0}.
В рассматриваемом случае зависимость B8) будет
причем
-iрГ" (sh #f — »j), 6Г'рГа (l-ch«,), g,, 1,0}.
204 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
В сечении s = 0 у точки подвеса
где Ф (ш4, ш,,.) получается из C0) заменой v^ на и^, а
+ Сп0ЪпСп_1 п С,4ВзТ2е*2й)|е' 2+
Из граничных условий в точке опоры следует
C2)
где Ф,; (ш^, ю^) — элементы матрицы Ф (v,, ш J, в которой v* = ш4, у?к — А-й элемент
матрицы столбца 1F.
Рис 9
Из C2) определяются амплитуды аг и Ьх, а по ним и все остальные величины, ха-
характеризующие геометрию и напряженное состояние упругой линии ротора
Критические скорости удовлетворяют уравнению Д (ш^, ю*) = 0, полученному
из C1), в котором полагают v^ = со„ Таким же способом можно записать аналогичные
формулы для зонтичных роторов [5, 7]
В качестве приложения рассматриваются колебания в поле сил тяжести подвес-
подвесного ротора высокоскоростной ультрацентрифуги (рис 9) Системы отсчета приведены
на рис 9, а, размеры ротора даны на рис 9, б
Влияние поля сил тяжести на его собственные колебания оценивается отноше
нием угловых скоростей прецессии v*, и р^„ вычисленных соответственно из C1) и из
КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОГО РОТОРА
205
уравнения частот, аналогичного A9), отвечающего обычной модели гибкого
ротора,
I'll (Р*. «*) tyl2 (Р*. '
рп (Р*> ш*) fe (Р*. <
Ло(Р*. «>*) =
= 0.
C3)
На рис, 10 представлены зависимости отношения низших угловых скоростей
прямой v,T/p*i (ft, а) и обратной v^/p^ (#, о) прецессий при % — 5, Р = 200, ш* =
= 100, og/o2 = 1,35. В области 0 <о <0,2 (рис. 10, о) влияние поля сил тяжести
Рис 10
наиболее заметно Интенсивное возрастание отношения низших скоростей обратной
прецессии v^/p^ имеет место в интервале 0 < а < 0,2 (рис 10,6) Анализ указанньх
зависимостей иллюстрируется числовыми данными в табл 2 — 5 Влияние формы
Движения как гиромаятника при вынужденных колебаниях ротора обнаруживается
сравнением критических скоростей, упругих линий вала и амплитуд центра масс
ротора.
2. Зависимость отношений v^i/p^i и v*2/p*<. от параметра о при тЭ1 — 3, и = 5;
Р = 201 и, - 100
Отношение
скоростей
прецессии
V,i/p,«
V../P.2
о
0 00
1 4S518
1 48518
0 02
1 44163
1 5J021
ООЬ
1 19675
1 S5276
0 10
1 06935
2 09909
01Ь
1 0387b
2 1807J
0 20
1 0355Ь
2 19177
0 30
I 03402
2 19847
0 50
1 03385
2 20010
206
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
3. Зависимость отношений v,i/p,i и v»2/p»2 от параметра т} при а = 0,2; и = 5;
р = 200; со, = 100
Отношение
скоростей
прецессии
0,1
1,00618
1,01357
0,3
1,00647
1,02504
1
1
0,5
,00697
,05124
О
1,0
1,00943
1,16733
1
1
1,5
,01356
,34179
1
1
2,0
01927
57150
1
2
3,0
03556
,19168
5,0
1,08712
4,07055
4. Зависимость отношений v,t/p*i и v,2/p*2 от параметра со, при Ф = 3; и = 27;
Р = 200; о = 0,2
Отношение
скоростей
прецессии
V.i/P»i
v*2/p»a
0
1,48733
1,48733
4
1,33864
1,65353
1
1
10
,19217
,86178
со»
20
1,09267
2,04406
1
2
50
04256
,16597
1
2
100
03550
,19080
1
2
200
,03409
,19694
1
2
500
,03382
,19918
5. Зависимость отношения co^i
Отношение
критических
скоростей
/co^j от параметра О" при % = 5; р
= 200; * =
3; 5
СГ
0
1,48518
2,03438
0,06
1.48506
2,03413
0,10
1,48486
2,03367
0,16
1,48434
2,03245
0,30
1,48382
2,03122
0,30
1,48165
2,02600
0,50
1,46861
1,99290
На рис. 11 приведено отношение критических скоростей прямой прецессии ротора
ультрацентрифуги co^/wj,, полученных из C1) и C3), в которых v,, = to*, p^ = со,.
при тех же значениях х, |3 и а^/а2.
Зависимость характеризуется значитель-
значительным возрастанием со^/со^ (табл. 6).
Рис. 11
Рис. 12
На рис. 12 построены упругие линии вала и показаны амплитуды центра масс при
вынужденных колебаниях ротора от дисбаланса для обеих динамических моделей,
когда е* = 0,0006, со* = 100, и = 12, |$ = 222, ¦& = 3. Их сопоставление выявляет
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
207
заметное влияние поля сил тяжести (рис. 12, а) на вынужденные колебания при
данном соотношении параметров, так что амплитуды центра масс ротора в обоих слу-
случаях имеют разные знаки, а прогибы гибкого вала существенно больше для модели,
не учитывающей воздействие указанного поля (рис. 12, б).
6. Зависимость отношения a>,t/v>*i от параметра О при а = 0,2; и = 5; р = 200
Отношение
критических
скоростей
<B*l/0>*l
#
0,1
1,00985
0,5
1,02726
1,0
1,08131
1,5
1,15919
2,0
1,25473
3,0
1,48377
5,0
2,03122
КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
И ШПИНДЕЛЕЙ ТЕКСТИЛЬНЫХ МАШИН
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Различные типы быстроходных роторных систем и шпинделей, представляющие
собой специфические конструкции, применяются в текстильных и других машинах.
К ним, в частности, относятся веретена различных типов, крутильно-формирующие
камеры новых пневмомеханических прядильных машин, вьюрковые механизмы ма-
машин, производящих эластичную пряжу, бобинодержатели формовочных машин, сепа-
сепараторы и др. [9—11, 13, 17, 20—22].
Одними из наиболее массовых узлов современных прядильных и крутильных
машин являются веретена и крутильно-формирующие камеры с механическим при-
приводом. В промышленности, производящей химические волокна, широко используются
веретена с электроприводом — электроверетена. Динамика этих узлов имеет ряд
особенностей [22].
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
Общая характеристика особенностей конструкций веретен и условий их работы.
Большинство веретен представляет собой длинный, сравнительно тонкий, двухопор-
ный консольный шпиндель, работающий при высоких скоростях, чаще всего с верти-
вертикальным расположением оси вращения. Существует большое число их типов и кон-
конструкций [9, И, 13], различающихся назначением и особенностями конструкций
верхней посадочной части (рис. 13, а—д), которая отличается видом основания пако-
паковок или пряженосителя (шпуля, бумажный или пластмассовый патрон, металлический
копе, катушка, патрон, цилиндрическая бобина), а также конструкцией опор (рис. 14,
а—в).
Массы паковок, с которыми работают веретена, составляют примерно от 60 г
До 4—5 кг. Частоты вращения современных веретен составляют 3,5—18 тыс. мин.
Наибольшее распространение получили веретена с насадками (см. рис. 13, б),
работающие с бумажными или пластмассовыми патронами. Большинство из них рабо-
работает с паковками массой 100—150 г при максимальной частоте вращения до 14—18 тыс.
мин-1.
Основными особенностями веретен, существенно отличающими их от других из-
известных в технике быстроходных узлов, являются работа с часто сменяемыми, не
вполне уравновешенными деталями, посадка которых на шпинделе не является строго
фиксированной; длительный и непрерывный режим эксплуатации при требованиях
к долговечности 3—8 лет. Основная часть веретен не балансируется. Неуравновешен-
Неуравновешенность системы в основном определяется самой паковкой. В этих условиях при неко-
некоторой неуравновешенности системы неизбежно возникают колебания шпинделя.
Снижение колебаний шпинделей, шума, нагрузок на опоры вращающихся шпинделей
208
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
У77Я
5) в) г) д)
Рис. 13
Рис. 14
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
209
достигается использованием специальных упругоподатливых опор, демпфирующих и
амортизационных устройств, а также эффекта самоцентрирования. Наибольшее рас-
распространение в промышленности получили веретена со сферическими втулками
(см. Рис- '4, а), которые относятся к нераздельному типу опор. Здесь шпиндель /
вращается в верхней роликовой 2 и нижней подпятниковой 9 опорах, запрессованных
в жесткой втулке 10, сферический выступ 3 которой опирается на соответствующую
сферическую поверхность гнезда 4. Силовое замыкание осуществляется центрирую-
центрирующим и демпфирующим устройством, состоящим из заводного кольца 5, в который упи-
упирается пружина 6; нижний конец последней давит на тормозную трубку 7. Эта трубка
в нижней части касается тормозного кольца 8. Нижняя часть гнезда заполнена мас-
маслом. Вследствие подвижности втулки, а также гидродинамических сил масла, находя-
находящегося в кольцевой полости между трубкой 7 и гнездом, вибрация и нагрузки в опо-
опорах несколько снижаются. При большой неуравновешенности и прохождении зоны
критических скоростей включается демпфер трения без смазки, которое возникает
между торцовыми поверхностями трубки 7 и кольца 8. Опоры данного типа имеют
нелинейную характеристику восстанавливающего устройства, которая изменяется
в зависимости от дисбалансов и скоростей.
В конструкции, изображенной на рис. 14, б (полураздельные опоры), верхний
роликовый подшипник 1 закреплен жестко в верхней части втулки 2 (или в гнезде 3).
Втулка имеет спиралеобразный паз, благодаря которому создано равномерное упру-
упругое поле, и нижняя подпятниковая опора 5 может перемещаться в радиальных нап-
направлениях. Демпфирование колебаний этой опоры осуществляется гидродинамичес-
гидродинамическим демпфером, выполненным в виде широкой спиралеобразной пружины 4, между
витками которой находится масло. В этом веретене характеристика восстанавливаю-
восстанавливающего устройства линейная. Это, а также отсутствие трущихся деталей, продукты
износа которых загрязняют масло, является одним из важных преимуществ конструк-
конструкции веретен, обладающих хорошими динамическими качествами.
В конструкции на рис. 14, в шпиндель / вращается в двух шарикоподшипнико-
шарикоподшипниковых опорах 2 (раздельные опоры) с консистентной смазкой, смонтированных в рези-
резиновых амортизаторах 3, которые установлены в разъемном (продольный разъем)
гнезде 4.
Известны также конструкции со втулками, подвешенными на специальном упру-
упругом шарнире или мембране (см. рис. 15, д).
Характер колебаний шпинделей веретен. Колебания веретен в общем случае
достаточно сложны. Среди возмущающих сил важнейшими являются силы инерции
от неуравновешенных масс паковки, частота вращения которой яв изменяется в ши-
широких пределах. На колебания веретена влияют также возмущения, передающиеся
через брус, на котором они установлены, силы инерции неуравновешенных масс
приводных шкивов, натяжных роликов и других механизмов. Их частоты значительно
ниже, чем основная частота пв. Кроме того, непосредственно на блочек передаются
возмущающие импульсы от сшивки приводной тесьмы [9].
В некоторых случаях, особенно в веретенах тяжелых типов, отмечается влияние
импульсов, передающихся на шпиндель со стороны роликов верхнего подшипника
с частотой, соответствующей подшипниковой частоте.
В табл. 7 даны примерные критические скорости и двойные амплитуды колебаний
ча рабочих скоростях. Для веретен с гладким шпинделем значения даны для опор
?ипа сферической втулки. При упругой втулке критические скорости б>дут ниже.
у самого веретена в ряде случаев они резко не проявляются.
7. Критические скорости и двойные амплитуды колебаний веретен
Веретено
in ГлаДким шпинделей под
васадками под патрон
Первые критические
скорости, мин
Без паковки
5000—5500
1800—4000
С паковкой
3000—3500
1000—2800
Двойная амплитуда колеба-
колебании на рабочих скоростях,
мм
Без паковки
0 1—0,15
0.1—0,15
С паковкой
0 6-0,75
0,5-0,7
210
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Кроме вынужденных колебаний в веретенах некоторых типов и конструкций
может наблюдаться бигармонический режим колебаний, субгармонический резонанс
[9, 11] и автоколебания [14]. Амплитуды низкочастотных составляющих могут зна-
значительно превышать амплитуды вынужденных колебаний.
Исследованию подлежат спектр критических скоростей, амплитуды вынужденных
колебаний и реакции в опорах, спектр частот всех возмущающих сил, действующих на
шпиндель, влияние различных факторов (характеристик жесткости, демпфирования
опор и т. д.), а также различные виды нелинейности, субгармонические колебания и
автоколебания.
Основные динамические модели веретен с механическим приводом и их классифи-
классификация. Наиболее распространенные конструкции веретен классифицируют по типу
динамической системы, принятой в той или иной конструкции по следующим наиболее
существенным признакам.
1. Тип шпинделя. Различают: а) гибкие шпиндели, при изучении динамики кото-
которых с паковками их следует рассматривать как системы с распределенными и сосредо-
л
-ft
щ
И
и
у
точенными параметрами (в частности, шпиндели, работающие со шпулями); б) полу-
полужесткие шпиндели, у которых верхняя посадочная часть имеет значительно большую
жесткость и массу, чем нижняя опорная. При этом посадочную часть можно рассмат-
рассматривать как абсолютно твердое тело (например, веретена с насадками). Масса меж-
межопорной части шпинделей обоих типов незначительно влияет на колебания, и ею
пренебрегают.
2. Типы опор, применяемых для вращающегося шпинделя: жесткие (рис. 15, а),
упругоподатливые невесомые (рис. 15, б) и упругоподатливые массивные (рис. 15, в—д).
3. Типы демпферных устройств опор. Наибольшее распространение получили
демпферы гидродинамического типа, в которых демпфирование осуществляется в мас-
масляном слое, находящемся в кольцевом зазоре между втулкой и гнездом (см. рис. 14, о)-
между витками спиралеобразной пружины (см. рис. 14, б) или между концентрически
вставленными стаканчиками. В веретенах также используются демпфирование в уп-
упругих опорах, выполненных из резины (см. рис. 14, в), трение без смазки в комбина-
комбинации с гидродинамическим (см. рис. 14, а).
4. Типы внешней амортизации гнезда, осуществляемой с помощью резиновых
прокладок в комбинации с цилиндрическими пружинами. Применяется, в частности,
в тяжелых веретенах. Несмотря на наличие фактической податливости опор, как пока-
показывает опыт, эта податливость из-за интенсивного демпфирования во многих случаях
незначительно влияет на критические скорости.
Критические скорости веретен с гибким шпинделем. Определение критических
скоростей и исследование вынужденных колебаний веретен этого типа в общем случае
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
211
пизводится по методам, изложенным в гл. VII. В отдельных случаях используют
приближенные методы.
Один из таких методов основан на использовании приближенной формулы Дон-
ерли для систем с распределенными и сосредоточенными параметрами [18]. Сложную
"истему с распределенными параметрами расчленяют на ряд частных систем, для кото-
которых отдельно могут быть вычислены (по известным формулам) частные значения кри-
яческих скоростей ш^ (или собственных частот) при условии, что остальные системы
невесомы [9]. Первая критическая угловая скорость системы сош определяется по
формуле
Мш
Пример. Определить критическую скорость о>ш двухопорного шпинделя постоянного
сечения длиной I при 12 = 2/, (рис 16, а).
чения, <; —погонная масса шпинделя; <Хц = ,
аи — частотный коэффициент, определяемый
из уравнения частот [1]);
при
3EJi_EJ1_ I,
= 6, а„ = 1,6455
^„
/77777*
WSfft
.645 . 1 у .
Xi4--т) =М68Ь
в)
,ч*
Из формулы C5) следует
ош = 0,998-0J1 =
1,645
EJb_ 6,088 л/EJi
Рис. 16
По сравнению с точным значением ошибка составляет 0,72% при /„ = 2^ и 1,2% при h =
— »i = </2 [9]. Масса опорной части влияет не существенно; при /2 = 2/! ошибка состав-
составляет 0,5%, а при *!= *„ —1,32%.
Для шпинделей постоянного сечения при l2 ^ tt массу опорной части можно не учиты-
учитывать. для веретен эта ошибка в самом неблагоприятном случае составляет менее 2,5%.
При расчете шпинделей переменного сечения и определении со^ можно восполь-
воспользоваться любым из приближенных методов.
Динамика веретен с полужестким шпинделем. Рассмотрим: а) жесткие или упру-
гоподатливые невесомые раздельные опоры; б) нераздельные и полураздельные
Упругоподатливые массивные опоры.
Для случая а на рис. 17 представлена динамическая модель полужесткого шпин-
шпинделя, состоящего из невесомой упругой части DGH и абсолютно жесткой части —
асадка НОВ. Неподвижные оси координат g, т) и ? с началом в верхнем подшипнике
фис. 17, б). Ось | совпадает с осью опор — осью неизогнутого шпинделя. Проведем
деРез центр тяжести насадка (точку С, смещенную от оси вращения на величину
0 с?ентриситета е) плоскость, перпендикулярную одной из главных центральных
Стеи г, которая наклонена к оси шпинделя гх под углом б. Величина е характеризует
е ^т?Ческую, а величина б —¦ моментную составляющие неуравновешенности насадка;
™ о предполагаются малыми. Точка пересечения плоскости с осью zt обозначена О.
212
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Следуя [16], положение насадка характеризуется координатами точки О 1, т), ? и
у-лами Речаля аг, pY Фх = ф = со/, где со — угловая скорость вращения шпинделя
(постоянная величина). Величины т), ?, о^ и Pj предполагаем малыми. При обозначе-
ьиях: М — масса насадка; С — момент инерции насадка относительно главной цент-
центральной оси г; А — момент инерции насадка относительно главных центральных
осей N, k (или в нашем случае осей х, у, см. рис. 26); бп — перемещение точки О от
единичной силы, приложенной в той же точке; Ь12 — перемещение в точке О от едц_
ничного момента, бг1 = 612— угол поворота сечения, проходящею через точку о
С h
т
в
а)
%
Рис. 17
от единичной силы, приложенной в этой точке; б23 — угол поворота того же сечения
от единичного момента; дифференциальные уравнения колебаний насадка имеют вид [9]
Mi\ + /njT) — /n2a1 = Meafi cos at;
Mt,-\-nijt, — m2^1 = Meat2 sinotf;
$ i = — (С —А) бсо2 cos (ю< — e);
i = (C — Л) бш2 sm (ш^— в),
где
m, =
Л2
2 —б|2.
C6)
C7)
Из этих уравнений определяются амплитуды вынужденных колебаний и реакции
в опорах.
Критические угловые скорости определяются как корни уравнения D (со) = 0:
(бцб22 — б»2) М (С — А) со* + [ЬпМ — 612 (С — А)] со2 — 1 = 0. C8)
Коэффициенты влияния для точки О при постоянном сечении опорного участка
DG можно представить в виде суммы слагаемых, обусловленных перемещениями
в результате упругости опор и деформации шпинделя [9, 11].
к!
h+lt\*
3EJ2
Л _fi _
Ом - О21 -
3EJt n 2?J2
EJ*
C9)
где /х и У2 — моменты инерции сечения на участках между опорами и выше верхней
опоры, ky и ?2 — жесткости нижней (левой) и верхней (правой) раздельных упругих
опор.
При опорной части в форме усеченного конуса в выражениях C9) вместо h
подставляется
¦/sKB^lfl-^WlClO. 140)
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ 213
е ^ диаметр сечения шпинделя у верхнего роликоподшипника; Jt = 0,05 d\ —
Г омент инерции этого сечения; к1 — конусность опорного участка; /х — длина опор-
нОГо участка; cl0 = l — ~ (см. табл. 9).
При 4 = 0 или /4 = d имеем А2 = 0. При верхней жесткой опоре, когда k2 -*- оо
или при обеих жестких опорах (kt -*¦ оо, &2-»- оо),
Д2 = 0; |
Критическая скорость иш шпинделя определяется как корень уравнения D (ш) =
- 1 — б22 [Md1 — (С — А)] со2 = 0:
Z=c> D2)
где Аи = A + Md2 — момент инерции насадка относительно оси, проходящей через
точку Н (верхний подшипник); k^ = 1/622 — коэффициент жесткости упругой связи
насадка.
Для веретен Ан *> С, и в данном случае имеется одна критическая скорость.
Амплитуда колебаний верха насадка
где величина
Мд = V(Med)* — 2Med (С — А) 6 sin 8 + (С — ЛJ б2 D4)
является характеристикой динамического дисбаланса насадка; /и — длина насадка;
Х=—~.
При со -v с/з Ло->—r-^-V- D5)
Для этого частно: о случая система не обладает свойством самоцентрирования.
Максимальные и минимальные значения амплитуд и реакций при С < А оцени-
оцениваются следующими выражениями:
D6)
Реакция нижней опоры
Мдш2 ?<р | Ао |
'X 'н'х
Реакция верхней опоры
где
^l max j ^» ¦"« max== и **" №")
В табл. 8 приведены основные, необходимые для расчетов параметры распростра-
нных веретен с металлическими насадками.
214
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
8. Геометрические и физические параметры
с металлическими насадками
Параметр
Масса насадка G, кр
Доля массы опорной части
к общей массе, %
Моменты инерции насадка]
С, КГС'СМ'С*
С
А
Аа, кгс-см-с'
Расстояния, см]
1Ъ от верхней опоры до вну-
внутреннего торца блочка
14 = d от верхней опоры до
центра тяжести насадка
V. от верхнего торца до
общего центра тяжести
веретен
Тип веретена "
ВН7-28-61
(ВН7-28-14)
0,272
0,389
11,7
8,7
0,000299
0,000549
0,0168
0,0273
0,018
0.02
0.0269
0,055
1,2
6,05
8,36
20
18
ВН7-32-63
(ВН7-32-12)
0,413
0,559
11,6
8,0
0 000558
0.00129
0 0272
0,0433
0,02
0,03
0,0458
0,0919
1,25
6.82
9,24
22,4
19,8
ВН7-32-65
(ВН7-32-14)
0,472
0,682
9,7
7,1
0.000658
0.00147
0,0339
0,0539
0.019
0,027
0,0627
0,117
1,25
7,87
10,27
21
18,2
ВН7-38-6Я
(ВН7-38-12-Н
0,889
1.240
10,3
7,7 "
0 00161
0,00375
0,0851
0,124
0,019
0,03
0,174
0,324
1,4
9,9
12,64
24,8
22,1
Примечание. В числителе приведены параметры при работе без паковок;'в зна
менателе — при работе с паковками.
При жесткой нижней опоре, когда кг -*• оо, коэффициент
' зкв
к
-с2о.
E0)
Значения коэффициентов с10, с20, k^ для веретен некоторых типов с металличес-
металлическими насадками приведены в табл. 9.
9. Значения коэффициентов с10, с2(), k
Тип веретена
ВН7-28-61 (ВН7-28-14)
ВНТ-32-63 (ВНТ-32-12)
ВНТ-32-65 (ВНТ-32-14)
ВНТ-38-68 (BHT-3S-14)
Диаметр
ролико-
подшип-
подшипника
Длина
опорной
части It
мм
7,8
9,0
11,0
141,5
152,5
182
Сю
0,674
0.703
0,702
с»
0,853
0,853
0,875
кгс-см/рад
5 800
10 000
18 700
4 950
8 530
16 350
* Значение fcjjj = k^ при с20 = 1,
Для случая б, который распространен в веретенах ряда стран, жесткая втулкл
с верхней роликовой опорой и нижним подпятником может быть подвешена в упруга1
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
215
E1)
таллическом шарнире (тип 5ММ) или с помощью мембраны (см. рис. 15, д), а в ниж-
ей части имеется демпфирующее устройство гидродинамического типа.
Н Наибольшее применение в последние годы в отечественной и зарубежной практике
аходят опоры полураздельного типа, в которых втулка в средней части имеет упру-
упруги элемент в виде спиралеобразного паза и специального демпфера внизу (см. рис. 14,
Из конструктивных соображений ось подвеса втулки, так же как нижнее сечение
насадка, следует стремиться приблизить к верхней опоре.
При пренебрежении силами тяжести насадка и втулки и допущении, что харак-
характеристика восстанавливающего устройства — линейная и изотропная, дифферен-
дифференциальные уравнения вынужденных колебаний насадка имеют вид
AH<Xi + Сшр\ + kt (<*! —1|>) = МеолЧ сое со/ + (С — Л) 8о>2 sin (at — s);
Лнр\ — Ccoa*! + ?ф (Рх — 6) = Meafid sin wt—(C — A) бсо2 cos (<s>t — e);
Авё+?B6 + fie—йф (pi — 6) = 0,
где, кроме ранее введенных обозначений, \|) и в — углы между проекциями оси сим-
симметрии втулки на плоскости т]? и ?? и осью ?; Лв — момент инерции втулки относи-
относительно оси, проходящей через точку под-
подвеса Е; kB — жесткость восстанавливаю-
восстанавливающего устройства втулки при угловых пе-
перемещениях; h — коэффициент линейного
сопротивления демпфирующего устрой-
устройства втулки.
Критические угловые скорости (при
h = 0) определяются как корни следую-
следующего уравнения:
\Н-С _
к,
.*в
= 0,
где «ш
первая
ская скорость шпинделя при
E2)
критиче-
жестких
¦"¦'
?
0,1
г z *
А„/А,=1О
Г 4
у' А„/Ав=Ц25
1 \
s =
' i
'Л?
f-jT
опорах; ив = I/ -?- — собственная ча-
г Лв
стота колебаний втулки; г = ш/о)ш.
Так как С <^ Лн, то —^ ^ ~Т^ •
¦"в ^в
Корни уравнения E2) приведены на
Рис. 18.
Влияние демпфирования подвижной
втулки на вынужденные колебания. При
наличии сопротивления решение уравне-
Ний E1) производится известными^ мето- Рис. 18
Дами. Относительные амплитуды А опыт-
опытного веретена с упругоподвешенной втулкой, полученные приближенным методом
(при С<з*А„, рис. 19), построены при следующих данных[9]: &ф= 5,58-103 кгс-см/рад;
лв = 0,00275 кгс-см-с2; ?в=1,5-103 кгс-см/рад; Лн = 0,0354 кгс- см -с2.
Сопротивление выражено через относительный коэффициент /г=^ . Относи-
амплитуда ^Лв(вв
2 Ло . Л1д'н
Ло = ГТТ7' Где ПР~~17~"
216
ИЗГИВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Первые критические частоты вращения на упругих и жестких опорах соответст-
соответственно равны 1758 и 3783 мин; вторая критическая частота 15 662 мин~1. Собственная
частота колебаний втулки 7070 колеб/мин
Из приведенного примера можно сделать выводы.
1. Демпфирование втулки позволяет также демпфировать колебания шпинделя
веретена. Вторая критическая скорость явно проявляется (по верху шпинделя) только
при малом сопротивлении. При этом значения первой критической Скорости блички
к значениям, вычисленным при отсутствии сопротивления. Амплитуды вынужденных
колебаний вне зоны критических скоростей примерно такие же, как и при h =_ о
у
1
1
1
/II
л
1
/
1758
8000 12000 ^ШООп.об/пии / ШО
15374 1758
1
/
/
- л=
0.3-
8000
12000 /КОООпоо - 1
/5J74
К
к
/К
/1
/7f
!
i
OK
I
0.3
j
ti-0
i
1
l\
t\
\
I
/ _
// /
V лr
/Л7\,
—¦'" ~ '
h-15
/ Ш0 8000 12000 /16000 п,а6/нин Ю00 X 2000 3000
1758 /5J74 /758 3783
Рис. 19
2. В зоне первой критической скорости демпфирование малоэффективно при мачьл
1 / ^ю
коэффициентах связи y= 1/ т—г—,—, т. е. для сравнительно гибких шпинделей'1
" «в + йф
очень жестких втулок и более эффективно при сравнительно жестких шпинделях m '
гибких втулках. Оптимальное демпфирование достигается при kjk^ <; 1. Наибоч -
целесообразным является диапазон значений kjkq < 0,5, который и использует i
в большинстве современных веретен.
3. С увеличением сопротивления первая критическая скорость смещается впрасо
При h достаточно большом (Л > 5) первая критическая скорость стремится к крит
ческой скорости шпинделя на жестких опорах.
Особенности динамического расчета веретен с полураздельными опорами в вич5
упругой втулки. В данной конструкции нижняя подпятниковая опора, запрессована л
в жесткую часть втулки, связана с верхней частью упругим элементом, образозаннь
с помощью спиралеобразного паза, создающего упругость. Расчет призеденно J
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
217
подпятнику коэффициента жесткости kln для такого элемента теоретически затруд-
затруднен, и этот коэффициент определяется экспериментально [9, 11]. Вследствие известной
протяженности жесткой части втулки такая конструкция полураздельной опоры при
изотропной характеристике имеет две собственные частоты %, w2n, которые также
определяются экспериметально до монтажа втулки в гнезде. Собственные частоты
колебаний втулок ряда веретен приведены в табл. 10.
10. Приведенные коэффициенты жесткости и собственные частоты
колебаний втулок
Типоразмер
веретен, в кото-
которых используется
упругая втулка
ВНТ-28-61
BHT-28-bJ
ВНТ-45-90
ВКВ-54-081
БКВ-62 051
Диаметр верх-
верхней роликопод-
роликоподшипниковое
опоры, мм
7,8
9
12
14
17*1
Приведенный
коэффициент
жесткости kln,
кгс/сч
9 97—10 6"
7,57—7 81
25,64-27,77
8,62—9 47
13,88—15 62
Собственные частоты Гц
первая /х
147—150
102-107
140—150
56—58
42-45
вторая /2
1180-1310
990—1000
1000
625—666
500—530
¦» Диаметр шарикоподшипниковой опоры
•2 Даны значения в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Так как вторые частоты свободных колебаний значительно выше первых, то мож-
можно считать, что при рабочих скоростях веретен, значительно удаленных от (о2п,
колебания нижней жесткой части будут соответствовать в основном первой форме.
В этом случае полураздельная опора данного типа в динамическом отношении экви-
эквивалентна раздельной упругоподатливой массивной опоре с массой
тт =
и
_!3_
E3)
или нераздельной опоре в виде упругоподвешенной втулки, рассмотренной выше,
с моментом инерции
Лв=*т1п/| — —-
<°1П
и эквивалентной жесткостью
E4)
E5)
Поэтому все формулы и результаты, приведенные выше, будут справедливы и для
опор этого типа.
Анализ спектра виброускорений гнезда тяжелых типов веретен показывает, что
в этом спектре имеются составляющие колебаний с частотой, соответствующей ш2п.
Проявление этих составляющих обусловлено действием импульсов, вызванных,
в частности, взаимодействием шпинделя с роликами верхней опоры, влиянием зазоров
в верхнем шарикоподшипнике, а также некоторой несимметрией поля сил сопротив-
сопротивления масла из-за неточного монтажа втулки или неточности изготовления спирале-
спиралеобразных пружин демпфера.
В том случае, когда частоты, соответствующие так называемой подшипниковой
частоте (ошп, совпадают с <В2П, возможно проявление резонанса.
Резонансные кривые колебаний верха веретена ВНТ-28-14 со сферической втул-
втулкой при работе без паковки и с паковкой приведены соответственно на рис. 20, а я 6.
Цифрами 1 и 2 обозначены теоретическая и экспериментальная кривые. Эксперимен-
Экспериментальные кривые двойных амплитуд верха веретена с упругой втулкой типа ВНТ-28-63
^з паковки и с паковкой приведены соответственно на рис. 20, ваг.
218
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Колебания веретен с упругоподатливыми раздельными опорами (типа ВПК)
в стационарном и нестационарном режимах. Амплитудные характеристики веретен
этого типа определяются по формулам, приведенным выше для соответствующих
опор с учетом того, что жесткости kt и k2 имеют конечное значение. В ряде случаев
характеристики опор являются анизотропными. Тогда необходимо определять коэф-
коэффициенты влияния и коэффициенты т1 соответственно для плоскостей TjGe и ?Gg
2А0,мм
V
2
Чм>ск
2 А,
',2
о, и
,мм
\
Г
\
а>
1
I
2
X
г--0--
в)
2А0,мм
0,2
О
2А0,мм
0,6
0,4
0,2
О 2 Ь 6 8 10 nxwfоб/мин 0 2 Ц- В 8 10 пхю J,o5/MJn
6) В)
Рис. 20
(т.; и m'i). При этом at Ф а2. <h Ф ai< Н ф —Ь2 и h ф —V Число критических ско
ростей удваивается. Они определяются из следующего уравнения:
(
1
N
2
Чх)сн
1—о—
^^
О <
где
Do (со) D'o (со) — (т[ — Мсо2) (тх — Мсо2) с2со* = 0,
; (со) = {т[ — Мсо2) (m's ~Aa>2) —
EG)
E7)
Некоторые динамические характеристики веретен типа ВПК-32-0 и ВПК-32-61-110
даны в табл. 11 [11].
На рис. 21, а представлены характерные теоретические A, Г) резонансные кри-
кривые, полученные для случая анизотропной характеристики жесткости опор при коэф-
коэффициентах жесткости нижней опоры с1т] = кг = 583 кгс/см, с^ = k[ = 485 кгс/см и
верхней опоры с2Т1 = k2 = 694 кгс/см, с2^ = k'% = 1071 кгс/см.
Теоретическая A) и экспериментальная B) кривые при изотропных опорах
приведены на рис. 21, б.
Для веретен, имеющих раздельные опоры с ограниченной демпфирующей спо-
способностью, важное значение имеет исследование колебаний в нестационарном режиме.
Дифференциальные уравнения нестационарных колебаний в случае изотропны^
характеристик опор для случая /4 = d имеют следующий вид [3, 12]:
М г\
-\-qz2 = — п^^ — /
— rz,_+sz2 = —
—n3z2 — i (С —
'Ф-е>,
E3)
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
11. Динамические характеристики веретен типа ВПК
219
Характеристика
критическая частота вращения, об/мин;
без паковки
с паковкой
Двойная амплитуда колебаний, мм, при л =
= 12 000 мин-'
Реакции в опорах, кгс;
i?! в нижней
R2 в верхней
Веретено
ВПК-32-0
5820
5700—5900
4344
4100—4300
0 42
1,08
2,0
ВПК-32-16-110
4780
4900—5000
3440
3300—3500
0,42
1,2
3,3
Примечания. 1 В числителе приведены теоретические значения; в знаменателе —
экспериментальные. 2 Реакции в опорах даны при п = 12 000 мин-1 и эксцентриситетах
0,082 и 0,095 мм соответственно для веретен ВПК-32-0 и ВПК-32-16-110.
где М, С, А, е, б, е имеют те же значения, что и ранее; ф = fi> — угловая скорость
насадка при разгоне; гг = т) + it, zi = a1-\- »РХ — комплексное смещение; коэффи-
коэффициенты
Р=;
E9)
Здесь %х и х2 — коэффициенты демпфирования в первой (нижней) и второй (верхней)
опорах.
J0
У
1
1
1
щ \
г'
\
ч\
Д
у//,
У/А
V/A
У//.
V/A
I
1
\
Ч
>,<t3S2
Щ В 3 10 П » IS IS
22 2<t\n-W ¦
13163 oS/MUH^n2 ^ 2* 338 of/мин
Рис. 21
^ Решение уравнений E8) осуществляется асимптотическим одночастотным методом
"• Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (см. также [3]). Результаты решения этих
'Равнений для веретена ВПК-32-16-110 даны на рис. 22, 23. Они получены при еле-
220
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
дующих исходных данных: /, = d = 9,2 см; 1Х = 11,9 см; б = 0; е = 0,01 см; А ==
= 0,044 кгс-см-с2; С = 0,001283 кгс-см-с2; сх = 535 кгс/см; с2 = 883 кгс/см, их -
= 0,1 кгс-с-см; х2 = 0,2 кгс-с-см.
На рис. 22, а приведены зависимости первых собственных частот колебаний А,г
от угловой скорости со при разных отношениях С/А. Для тех значений С/Л, которые
встречаются на практике \— <с0,03], можно считать, что Xt не зависит от со.
Резонансные кривые'для указанного веретена даны на рис. 22, б. На основании
экспериментальных данных было принято, что угловая скорость при разгоне изме-
изменяется по линейному закону со = 300 + xt. Кривые даны при различных v.
Влияние жесткости опор приведено на рис. 22, в. Сплошной линией даны кривые,
полученные при q = 535 кгс-см; с2 = 883 кгс-см; штриховой линией — при сх _=
500
1000 1500
а)
2030 Си,
J15 JJ3 34-5 JSO 375 390- W5
6)
315 330 345 360 375 390 W5 420
= 700 кгс-см и с2= 1000 кгс-см;
штрихпунктирной линией — npi
q = 1000 кгс-см и с2 =
= 1500 кгс-см. Цифрами 1, 2, ?
обозначены кривые, соответствую-
соответствующие разным значениям v A00, 20J
и 300 с соответственно).
Влияние демпфирования на про-
процесс разгона показано на рис. 23, о
Сплошной линией даны результаты,
полученные при хх = 0,1 кгс-с-см'1
и х2 = 0,2 кгс • с • см, штриховой —
при хх = 0,2 кгс-с-см~1 и х3 -
= 03 кгс-с-см; штрихпунктирной линией — при а1 = аэ2 = 0,1 кгс-с-см
Цифрами обозначены кривые, соответствующие разным угловым ускорениям.
Результаты непосредственного решения дифференциальных уравнений при ис-
исходных данных с применением ЭВМ для изотропных характеристик даны на рис. 23, б
(кривые 1). Там же для сравнения даны кривые 2, полученные асимптотическим ме-
методом.
С помощью ЭВМ решались также уравнения для сличая анизотропных характе-
характеристик жесткости опор (рис. 23, в). Результаты получены при следующих данных
е]Т| = 583 кгс-см; сХ? = 485 кгс-см; c2tl = 694 кгс-см; c2g = 1071 кгс-см 1,
хх = 0,1 кгс-с-см; х2 = 0,2 кгс-с-см.
Бигармонические режимы колебаний и субгармонические резонансы шпинделей
веретен. В ряде случаев наблюдается бигармонический режим колебаний. Наряду
с вынужденными колебаниями, обусловленными неуравновешенностью шпинделя и
паковки, при рабочих скоростях имеются низкочастотные составляющие с частотой,
близкой к первой собственной частоте или основной критической скорости.
Особенно эти явления заметны при использовании в качестве опор, ранее выпус-
выпускавшихся серийно сферических и цилиндрических втулок, находящихся еще в экс-
эксплуатации в промышленности. Эти явления также наблюдаются при неправильном
выборе параметров жесткости и демпфирования подвижных опор и опор полураз-
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИИ
221
дельного типа. Одной из причин возбуждения бигармонического режима колебаний
является наличие кроме чисто вынужденных колебаний также автоколебаний [14],
обусловленных внутренним трением в материале и конструкционным трением (кон-
(конструкционное демпфирование). Другая более существенная причина этого явления,
а,см_
2S5
300 315 330 3*5 360 375 390 W5u,c '
б)
285 300
315 330 3*5 360 J75 390 405 cj,c~
6)
Рис. 23
а также явлений, связанных с наблюдаемым субгармоническим резонансом, — это
нелинейные характеристики опор [9, 11]. В частности, большое влияние на бигармони-
Ческие режимы оказывают зазоры между нижним концом шпинделя и подпятником.
В веретенах наблюдается субгармонический резонанс второго и третьего рода при
частоте вращения вере ген
na^knL (k = 2, 3),
* "i — первая критическая частота вращения.
222
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
Особенно опасен резонанс 3-го рода. Например, при пх = 3200 мин субгармо-
субгармонический резонанс наблюдается при п = 10 000 -т- 11 000 мин".
На рис. 24, а, б даны траектории и осциллограммы верха шпинделя веретена
ВН-28-2 соответственно при резонансах 2-го и 3-го рода.
Осциллограммы колебаний верха веретена ВНТ-28-14 при резонансе 3-го рода
представлены на рис. 25, а, где лх = 9000 мин, п2 = 9400 мин и п3 = 10 350 мин.
Рис. 24
На рис. 25, б дана зависимость расстройки е =
от амплитуды Ао суб-
субгармонических колебаний. Колебания устойчивы для верхней ветви.
Наиболее рельефно бигармонические колебания и субгармонический резонанс
наблюдаются при жестких опорах, нелинейной характеристике опор, больших зазо-
зазорах в нижней подпятниковой опоре, малых зазорах между тормозной трубкой и гнез-
гнездом, при которых возникают нелинейные силы сопротивления масла, а также при
больших значениях этих сил (значительный коэффициент Л).
VVVVVVVVVVVVVVVVVVVW
л V п VVr» Vn
vvvvv vvvvvvvvvvvvvvvvvvvw
vv^maam/wvwvwwwv
r\ r\ r\ r, r\ n n
at
? 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
5)
Рис. 25
Устранить эти колебания можно при использовании упругоподатливых опор
с линейной изотропной характеристикой при правильном соотношении между жест-
жесткостью опор и шпинделя, в частности, при —¦ г? 0,5 и конструкциях гидродинами-
ческих демпферов упругоподатливых опор, обеспечивающих линейное сопротивление
и сравнительно небольшие коэффициенты демпфирования.
В некоторых веретенах, в частности веретенах с полураздельными опорами в виде
упругой втулки, бигармонический режим и явления, связанные с субгармоническим
резонансом в них, практически не наблюдаются [9, И].
Однако они могут иметь место особенно в веретенах тяжелых типов при неко-
некоторых параметрах жесткости и демпфирования опор.
ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
223
3. ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОТОРНЫХ СИСТЕМ
С ПОЛУЖЕСТКИМ ШПИНДЕЛЕМ И ВНЕШНЕЙ АМОРТИЗАЦИЕЙ
Корпуса электроверетен всех типов (см. рис. 27) монтируют на машинах с помо-
помощью резиновых амортизаторов. Последние также используют и в веретенах тяжелого
типа с механическим приводом. С помощью амортизатора в виде резиновых колец
я пружин гнездо веретена монтируют на брусе машины.
Внешняя амортизация существенно влияет на динамические характеристики
системы; поэтому необходимо рассмотреть более сложную динамическую модель
(рис. 26). Данная модель состоит из массивного корпуса 3, укрепленного на непод-
неподвижном основании с помощью упругих амортизаторов 4. В корпусе 3 закреплен статор
электродвигателя 6, ротор которого вращается в шарикоподшипниках 2. Во втулке 1
жестко закреплен тонкий гибкий (считаем невесомым) шпиндель 5, на конце которого
Укреплен насадок 7, масса которого во много раз превышает массу шпинделя.
Начало неподвижной системы координат |, r\, Z, принято в центре симметрии
(в центре жесткости) недеформированных амортизаторов — в точке Еа, а направление
°сей т), ? — совпадающим с направлением главных осей жесткости при симметричном
Расположении амортизаторов. Положение насадка характеризуется теми же обобщен-
обобщенными координатами, как и ранее.
Принято, что смещение корпуса, ротора и насадка вдоль оси % отсутствует. Поло-
*ение корпуса характеризуется обобщенными координатами % и ?к его центра масс К
и Углами г|з и 6 между проекциями оси симметрии корпуса на плоскости т)| и ti и
°сью |. Положение ротора характеризуется координатами его центра масс р —т)р,
Ц> и теми же углами 6 и i|) (np и ?р не являются независимыми, так как определяются
^°°РДинатами т)к и ?к и углами ф и 6). Введем обозначения: Мк — масса корпуса;
^к — момент инерции корпуса относительно главных центральных осей, проходящих
224
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
через центр массы К параллельно осям т) и С, Мр—масса ротора, Ср — моменг
инерции ротора относительно оси его вращения, которую будем считать главной цент
ралььои осью инерции, если он полностью уравновешен, Ар — момент инерции ротори
относительно главных центральных осей, проведенных в точке Р параллельно осям н
и ?, ?ПТ|, ?nj — коэффициенты жесткости амортизационного устройства относительно
поступательных перемещений вдоль каждой из осей, &ВТ1, fcBg — коэффициенты жесг
кости того же устройства при угловых смещениях относительно соответствующих осеч
Остальные обозначения те же, что и ранее
Дифференциальные уравнения вынужденных колебании системы имеют вид [ 11, 17]
М У) -f- rriif)
Nit, -\-tnJt,
A a i
= <М«й2 cos orf,
ьк — m$x-\- kxb = Meufi sin (d,
т2ц + m2r|K + /n3ai + fe2r|) = (C — А) ш2б sm (o)^ — e);
2gK + /Пзр! + кф = — (С — Л) ш2б cos (ш/ — е),
= О,
ггФ = О,
(СО)
где
m2L,- m3 = k2,
2 — m2 = k
iv],
i + m3 =
F0
Амплитуды колебаний определяются известными методами [11]
Критические скорости определяются как положительные корни уравнения
D(co) =
тх — Mafi — т2 тх
— m, m-j-\-(C — А) ар т2
— т1 т2 kf — МкоаР
h k2
k2
, + MpLgUJ
= 0.
F2)
В зависимости от параметров системы уравнение может иметь три и аи четыле
критические скорости
Реакции в опорах шпинделя определяются по их проекциям с использован к
формул
1 1
F)
Проекции сил и моментов определяются'выражениями
ц = /П! (ii — т)к — Ljij)) — m2 («! — \р)
t = mi (t, - ?к - ii^) - m2 (Pi - S),
n = m2 (? - 5K - LJ) - m3 (Pi - 6),
? = - «2 (Л — % —
F4)
ЭЛЕКТРОВЕРЕТЕНА
225
4. ЭЛЕКТРОВЕРЕТЕНА
На рис 27 представлены типовые конструкции электроверетен ЭВ-ЗМ1 и ЭВН-2.
Наиболее распространены веретена первого типа Некоторые характеристики этих
веретен даны в табл. 12 [11, 20]. Массивный корпус 7 веретена ЭВ-ЗМ1 (рис. 26, а),
применяемого на прядильных центрифугальных машинах вискозного производства,
устанавливают на машине с помощью трех упругих амортизаторов 8 Съемную ци-
цилиндрическую кружку 1 насаживают на бронзовый насадок 2, жестко закрепленный
на гибком консольном шпинделе 4, нижний конец которого запрессован в полой
втулке 6 вращающегося ротора 5 асинхронного электродвигателя Для ограничения
колебаний при разгоне веретена в верхней части шпинделя имеется ограничитель 3,
состоящий из текстолитового кольца, через которое шпиндель проходит с зазором,
и наружного резинового кольца.
12. Основные характеристики электроверетен
Параметр
Рабочая (синхронная) частота вращения, об/мин
Потребляемая мощность, Вт
Напряжение, В
Vlacca веретена, кго
Вид пряженосителя
Общая масса кружки (патрона) с волокном, кго
Критические частоты вращения *, об/мин
Д11 fJ »* « "
без волокна
с волокном
втораяч
без волокна
Двойная амплитуда колебаний верха насадка на рабочей
частоте вращения, ММ4
без волокна
с волокном
базовых типов
Электроверетено
ЭВ ЗМ1,
ЭВ 3 2
9000
220
127
15
Кружка
32
2400-3900
480—750
—
008
0,3-0,5
ЭВН-2, ЭВН 3
8000
80
100
48
Патрон картон-
картонный конусный
1,55-1 8
1800-2000
1400—1900
7000—8000
0 17—0 26
0,29—0,36
* В таблице приведены экспериментальные значения
В электровере гене типа ЭВН-2 (рис. 27, б) для производства вискозного шелка
использована схема с невращающимся шпинделем. Невращающийся шпиндель 4
(ось статора) жестко закреплен в подставке 5, которая прикреплена к брусу с помощью
четырех упругих амортизаторов 6 В верхней части шпинделя закреплены два шарико-
шарикоподшипника 3, наружные кольца которых смонтированы во вращающемся насадке 2,
на который надевается бумажный патрон 1. Последний удерживается с помощью
верхнего фиксатора.
Имеются также Другие конструкции электроверетен для работы с металлическим
патроном, выполненные по схеме вращающегося шпинделя с внешней амортизацией
корпуса. Теоретические исследования динамики электроверетен осуществляются
с использованием обобщенной динамической модели (рис. 26) и дифференциальных
Уравнений F0)
На рис 28, а представлены двойные амплитуды колебаний верха опытного ве-
Ретеяа ЭВН-4 при разюне, полученные в результате численного интегрирования
Дифференциальных уравнений (кривая 1) и экспериментов (кривая 2). В процессе
Разгона до рабочих частот верегено проходит три критические зоны.
На рис 28, б даны осциллограммы колебаний различных точек веретена, записан-
записанные при выбеге 1 — низа корпуса, 2 — верхней части корпуса на уровне плоскости,
в которой расположен центр жесткости амортизаторов, 3 — колебания верха веретена.
8 п/р Ф М Диментберга и К С Котесникова, т 3
226
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
cz:
<
<=z:
Р
V
t, 0.
02s
КРУТИЛЬНО-ФОРМИРУЮЩИЕ КАМЕРЫ ПРЯДИЛЬНЫХ МАШИН
227
Там же дана кривая выбега 4. У данного веретена имеются четыре критические час-
частоты вращения. Рабочая частота вращения расположена между третьей и четвертой
критической частотой. Зоны первых трех критических частот вращения обозначены
/f // и ///.
5. КРУТИЛЬНО-ФОРМИРУЮЩИЕ КАМЕРЫ ПНЕВМОМЕХАНИЧЕСКИХ
ПРЯДИЛЬНЫХ МАШИН
Крутильно-формирующие камеры являются основным рабочим органом пневмо-
пневмомеханических прядильных машин новых типов. Наибольшее распространение полу-
получили камеры типа SP (рис. 29, а), разработанные в ЧССР. Шпиндель, вращающийся
в двух совмещенных шарикоподшипниковых опорах, не имеет внутренней обоймы.
Роль последней играет желоб, имеющийся на шпинделе, на концах которого запрессо-
запрессованы камера (справа) и блочок (слева), с помощью которого ротор получает вращение
1=110
10
5
п
л
к
л Г
\
J
1
20 50 100 200 500 1000 Гц 20 50 100 200 500 1OQ0H
6) г)
Рис. 29
от ременной передачи. Рабочая частота вращения п = 30 000—60 000 мин и выше
(до 90 000 мин). Камеры точно балансируются в сборе, остаточное смещение центра
масс составляет 0,2 мкм.
Критические частоты ротора могут определяться известными методами и, в част-
частности, методами начальных параметров, интегральных уравнений, расчленения и
Другими.
В табл. 13 приведены расчетные критические частоты, полученные разными ме-
методами, которые достаточно удовлетворительно согласуются с данными эксперимен-
экспериментов (данные в скобках), проведенных на стендах [8].
13, Критические частоты ротора пневмомеханических
прядильных машин, мин—I
Вариант расчета
Шпиндель без блочка и камеры
^°тор в сборе;
п2
Опоры
жесткие
29! 263B76 000)
102 705 (87 000)
179 138 —
податливьзе
43 280 E4 000—57 600)
86 464
8*
228 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ РОТОРОВ
На рис. 29, б представлена первая форма колебаний. Так как консольные части
шпинделя имеют сравнительно малую длину, а форма их колебаний близка к прямо-
прямолинейной, то при приближенных расчетах можно считать консоли (включая блочек
и камеру) как абсолютно твердые тела.
Критическая угловая скорость без учета податливости опор
^~YEi
где / — расстояние между опорами; Е — модуль упругости; / — момент инерции
сечения шпинделя.
Частотный коэффициент а определяется из уравнения частот
Sx (a)+a? (Ах+А2) В (a) —a*AiA2D (а) = 0; F6)
здесь Sx (а), В (а), D (а)—функции Прагера;
тг W —Лд1 j С2 Ан2
Al qP ' qP '
C-i, C2 — моменты инерции блочка и чашки относительно оси вращения; AHi, Ав2 —
моменты инерции этих же деталей относительно оси, проходящей через левую и
правую опоры перпендикулярно оси вращения.
Теоретические и экспериментальные исследования камер показали следующее.
1. Влияние массы шпинделя на первую критическую скорость невелико и состав-
составляет около 7%.
2. Шарикоподшипниковые опоры обладают нелинейной характеристикой типа
зазор. Радиальный зазор б = 10 н- 12 мкм; его устранение осуществляется при не-
небольшом усилии порядка 0,1—0,2 кгс, что значительно меньше усилия со стороны
приводного ремня B, 2, 5 кгс на блочек). Линейный участок характеристики зависит
от взаимного расположения шариков и сепаратора относительно радиального направ-
направления действующей силы. Жесткость опор k = 4700 -5- 8000 кгс/см.
3. Вследствие податливости шарикоподшипниковых опор фактические критичес-
критические скорости оказываются ниже рассчитанных для случая жестких опор.
4. Амплитуда колебаний ротора, сбалансированного с точностью 0,01—0,03 г-см
(в каждой плоскости), практически не изменяется в диапазоне скоростей 12 000—
65 000 мин'1. Первая критическая скорость при этой неуравновешенности резко не
проявляется. При остаточной неуравновешенности более 0,5 г-см колебания резко
растут с приближением к первой критической частоте вращения п1. Кроме основного
резонанса наблюдаются области, соответствующие резонансам, обусловленным влия-
влиянием нелинейной характеристики опор и, в частности, деформацией сепаратора.
На рис. 29, г и в даны спектрограммы колебаний при частоте вращения п =
= 30 000 мин новых камер и камер, снятых с машины ввиду износа опор. В спектрах
вибрации новых камер преобладают составляющие, соответствующие основной час-
частоте — частоте их колебаний E00 Гц).
После длительной эксплуатации существенное значение приобретают составляю-
составляющие в области 100—500 Гц, уровень которых достигает 10 дБ (примерно в 3 раза
превышающий уровень после 1000 ч работы). Появление этих составляющих обуслов-
обусловлено увеличением зазоров в подшипнике из-за износа сепаратора. Частоты этих сос-
составляющих близки к частотам маятниковых колебаний, характерных для первого
режима. Этот анализ служит основанием для разработки метода диагностики состоя-
состояния опор камер [19].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ананьев И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем М., Го-
стехиздат, 1946. 223 с.
2. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей машин. №¦•
Машиностроение, 1966. 616 с.
3. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибных колебаний валов турбоиашин
М„ АН СССР, 1961. 165 с.
4. Диментберг Ф. М. Изгибяые колебания вращающихся валов. М., АН СССР, 1959. 247 с.
КОНСТРУКТИВНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ 229
5. Зейтман М. Ф., Кушуль М. Я- Изгибные колебания вертикальных роторов в гравита-
гравитационном поле. — М., Машиноведение, 1968, N« 5, с. 23 — 34.
G. Зейтман М Ф., Чернов Н. А. Изгибные колебания роторов высокоскоростных ультра-
ультрацентрифуг при движении их как гиромаятников. М., — Машиноведение, 1974, № 4,
с. 6 — 15.
7. Зейтман М. Ф. Об одном классе упругих гироскопических систем и влиянии поля парал-
параллельных сил на их колебания. — В кн.; Колебания и балансировка роторных систем.
М., Наука, 1974, с. 32 — 41.
8. Исмагамбетов М. У., Турбин Л. Т., Щукин А. И. О методике определения критических
скоростей камер пневмомеханической прядильной машины БД-200-М69. — Известия
вузов. Технология текстильной промышленности. 1975, № 4, с. 130—133.
9. Коритысский Я> И. Исследование динамики и конструкций высокопроизводительных
веретен текстильных машин. М., Машгиз, 1963. 643 с.
10. Коритысский Я. И., Романова Р. А., Шнайдер Г. 3. Исследования колебаний и дина-
динамические расчеты новых конструкций электроверетен ЭВН-2. М., ЦНИИТЭлегпище-
маш, 1971. 39 с.
11. Коритысский Я- И. Колебания в текстильных машинах. М., Машиностроение, 1973.
319 с.
12. Коритысский Я« И., Фрид И. А. Исследование динамики веретен прядильно-крутиль-
ных машин в нестационарном режиме. — Известия вузов. Технология текстильной
промышленности, 1975, № 3, с. 115 — 120; № 4, с. 115 — 117.
13. Корнев И. В., Щукин А. И., Лебедева Н. Веретена и центрифуги отечественного произ-
производства и зарубежных фирм для переработки натуральных и химических волокон. М.,
ЦНИИТЭлегпищемаш, 1971. 69 с.
14. Кушуль М. Я. Автоколебания роторов (Динамика быстроходных веретен). М., АН СССР,
1963. 165 с.
15. Кушуль М. Я. Движение гироскопа с гибкой осью под действием силы тяжести и упру-
упругих связен при малых углах нутации и устойчивость его вертикального вращения. ПММ,
1968, т. 32, вып. 4, с. 553 — 566.
16. Николаи Е. Л. Теория гироскопов. М., Гостехиздат, 1948, 171 с.
17. Основы балансировочной техники / Под ред. В. А. Шепетильникова. М., Машинострое-
Машиностроение, 1975, т. 1. 527 с.
18. Пановко Я- Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., Машиностроение,
1976. 320 с.
19. Турбин Л. Т., Исиагамбетов М. У. О диагностике состояния шарикоподшипниковых
опор камер машины БД-200-М69 методом спектрального анализа их вибрации. — Изве-
Известия вузов. Технология текстильной промышленности, 1975, № 6, с. 128 —129.
20. Шнайдер Г. 3. Анализ современных конструкций прядильных электрических веретен,
применяемых в промышленности по производству искусственных волокон. М., ЦНИ-
ЦНИИТЭлегпищемаш, 1971, 39 с.
21. Waldek D. Dynamische Untersuchungen an Textilspindeln. Wissenschaftliche Zeitschrift
der Techniche Hochschule Karl-Marx-Stadt, 1976, Heft 3.
22. Koritysskiy JI Besonderheiten bei Schwingungen der Rotorsysteme von Textilmaschinen
DDR, Textiltechnik. 1977. No. 2.
Глава IX
КОЛЕБАНИЕ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
1. КОНСТРУКТИВНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
Конструктивные схемы рабочих лопаток турбин показаны на рис. 1. В газовых
турбинах применяют лопатки с елочным замком — бандажные (рис. 1, а) и безбан-
безбандажные (рис. 1, б). Бандаж располагают по наружному радиусу лопаток; он образует-
образуется замыканием верхних (бандажных) полок. Нижние полки лопаток образуют гра-
граничную поверхность проточной части, но не соприкасаются между собой. Лопатки
Часто имеют удлиненную ножку для изоляции диска турбины от действия высоких
температур газа. Заделка лопатки происходит по первым зубцам замкового соедине-
соединения в результате действия центробежных сил. В паровых турбинах рабочие лопатки
часто закрепляют в диске с помощью Т-образных (рис. 1, в) и грибовидных (рис. 1, г)
замков.
Конструктивная схема рабочей лопатки осевого компрессора показана на рис. 2.
Наиболее распространенным закреплением лопаток является замок типа ласточкин
Хвост.
Для первых ступеней компрессора используют широкие лопатки (рис. 3, а) или
Лопатки с промежуточными бандажными полками (рис. 3, б).
230
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Лопатки турбин и компрессоров обладают естественной закруткой Углом ес-
естественной закрутки называется поворот главных осей поперечного сечения лопатки
в рассматриваемом сечении относительно корневого. Такой поворот осуществляется
> и
Рис. 1
по газодинамическим условиям и учитывает изменение окружной скорости по радиусу.
Для концевых сечений угол естественной закрутки а = 10 -т- 40°, причем для длин-
длинных лопаток он больше, чем для коротких. Для расчета частот и форм собственных
колебаний применяют следующие теории а) стержневую; б) стержней с большой
естественной закруткой; в) пластинок и оболочек; г) про-
пространственную (метод конечных элементов).
Стержневые теории дают результаты, хорошо согла-
согласующиеся с опытными данными для первых трех-четырех
форм колебаний. Для расчета высокочастотных колебаний
и для широких лопаток ис-
используют теорию пластинок
и оболочек. Теорию пласти-
пластинок и оболочек и простран-
х^ ственную теорию применяют
<ч^%2_ _с ¦ для расчета полых лопаток.
ж^Х*4 У Для расчета лопаток
сложной геометрической кон-
конфигурации (полки, переход-
переходные участки от профиля
к замку, замковые части) на-
начинают использовать метод
конечных элементов [28].
Так как опасные колебания
обычно происходят по пер-
вым формам, то в практике
пока наиболее распростра-
иен расчет с использованием
стержневой теории. Теория
стержней с большой естественной закруткой дает существенные поправки
к классической теории для широких, тонких и сильно закрученных лопаток. Если
параметр (см. рис. 2)
^^ A)
Рис. 2
3
где a (R) — а Ос) — разность углов установки (закрутка) лопатки в радианах; Ь, б,
I — соответственно хорда, максимальная толщина и длина лопатки, то можно ис-
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК
231
пользовать определение частот свободных колебаний по первым формам на основе
обычной теории стержней. Ввиду сложности геометрической формы и условий зак-
закрепления лопаток кроме расчетного анализа широко применяют экспериментальное
определение частот и формы колебаний (в лабораторных условиях) с помощью элект-
электродинамических и других устройств возбуждения.
Назначение расчетных методов — выяснить принципиальные стороны явления,
найти приближенные оценки частот и форм колебаний, установить влияние геометри-
геометрических факторов и параметров нагружения (частоты вращения, температуры) на сво-
свободные колебания.
Однако ввиду недостаточной информации о возмущающих и демпфирующих
силах в настоящее время еще не представляется возможным определить расчетным
путем динамические напряжения в лопатках и дисках. Поэтому большое значение
приобретают экспериментальные методы исследования и главным образом вопросы
тензометрирования лопаток и дисков в рабочих условиях.
К основным видам колебаний лопаток относятся, резонансные колебания, коле-
колебания от вращающегося срыва и автоколебания.
Возмущающие силы возникают в результате неравномерности газодинамического
поля по окружности проточной части, пульсаций потока, нестанционарных режимов,
например вращающийся срыв в ступени осевого или центробежного компрессора на
режиме малого расхода воздуха и т. д.
В паровых турбинах с сопловым регулированием возмущающие силы возникают
вследствие парциального подвода пара. Возможен также особый вид, так называемого
кинематического возбуждения лопаток и дисков, вызванный крутильными или каки-
какими-либо иными колебаниями всего ротора. К основным типам демпфирования отно-
относятся демпфирование в материале лопаток и дисков, конструкционное и аэродинами-
аэродинамическое демпфирование.
2 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК
Незакрученные лопатки используют для первых ступеней турбин и последних
ступеней компрессоров. Для основной частоты изгибных колебаний результаты ока-
оказываются пригодными и при малой закрутке лопаток. Излагаемые методы расчета
частот и форм колебаний основывают-
основываются на теории стержней.
Система координат показана на
рис. 4. Ось Y совпадает с осью
X,
ч
г
k
-^
R
%
dr
У
Рис. 4
Рис. 5
вращения, ось г направлена вдоль радиуса и проходит через центр тяжести за-
закрепленного сечения, ось X расположена в тоскости вращения и образует с осями
У и г правую систему координат В центре тяжести сечения расположена местная
система координат, оси х, у соответственно параллельны осям X, Y; оси |, ц, по-
повернутые на угол а. (г), являются главными осями сечения.
232 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Основные уравнения. Рассмотрим простейшую модель изгибных колебаний
незакрученных лопаток без учета влияния центробежных сил (рис. 5).
Колебания происходят в одной из главных плоскостей (в плоскости наименьшей
жесткости). Результаты, после изменения обозначений, оказываются справедливыми
и для колебаний в другой главной плоскости (плоскости наибольшей жесткости).
Определение частот и форм колебаний интегральным методом. Для амплитудного
прогиба Ъ, (г) жестко заделанной у корня лопатки краевое интегральное уравнение
в операторной форме имеет вид [7]
Е = Щ. B)
К~Р ?@)/„@)'
р — угловая частота колебаний;
оператор
S = ~, l = R-r0. E)
Величины EJ^ (?) и pF (Q — соответственно жесткость сечения на изгиб и масса
единицы длины лопатки.
Формы колебаний |у (г) и |^ (г) удовлетворяют условиям ортогональности
5 lj(r)lk(r)pF(r)dr = O (j^k). F)
''о
Уравнение B) решается методом последовательных приближений по схеме [7]
i(i>—hii)Kt. G)
su-i>>
где i — индекс приближения.
Величина X,,-, определяется из равенства ?,,-, и ^(,-_ij в концевом сечении лопатки
л«')=-р
(8)
В качестве исходного приближения принимается ?@) = ?2. Процесс сходится
после двух-трех приближений и определяет первую (наименьшую) частоту и соответ-
соответствующую форму колебаний. Для определения второй изгибной частоты и формы
колебаний подобным методом решается уравнение
%i — форма колебаний (собственная функция), соответствующая первой частоте
[применяется по второму или третьему приближению G)]. Расчет по уравнению (9)
обеспечивает ортогональность к первой форме колебаний при произвольном исходном
приближении. В ряде случаев более эффективными оказываются интегральные урав-
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК 233
нения колебаний лопатки, составленные относительно амплитудного значения изги-
изгибающего момента:
МЦ = ХКМ^. (И)
где А, определяется по формуле C), а оператор
/Ш„= J J PF (Ь) J J ?y d?4 й?з rf?2 db. A2)
Условия ортогональности для изгибающих моментов
Мп,Мпь
?_
A3)
Достаточная точность расчета достигается при использовании 10—20 участков
я интегрировании по правилу трапеций.
Определение частот и форм колебаний численным интегрированием системы
дифференциальных уравнений. Уравнение колебаний B) заменяется системой четы-
четырех уравнений первого порядка. Для этого чтобы система не имела коэффициентов,
содержащих производные исходных геометрических характеристик, и для упрощения
краевых условий принимается вектор (матрица-столбец) основных параметров
где 5. —г-, Мц, Qg— амплитудные значения смещения, угла поворота сечения, из-
изгибающего момента и перерезывающей силы, Т — знак транспонирования. Матрич-
Матричное уравнение
-iU = AY. A4)
гда
0
0
0
o2oF
1
0
0
• о
0
1
?/„
0
0
0
0
-1
0
А = ( ?/„ "| A5)
При решении уравнения A4) по методу начальных параметров учитываются значения
S = 0, d%ldr — 0 в корневом сечении. Далее задаются некоторым значением частоты
колебаний р и проводится интегрирование уравнения A4) при двух начальных усло-
условиях:
YJ(O)=(O, 0, 1, 0), Y^@) = @, 0. 0, 1).
Интегрирование ведется с помощью метода Рунге—Кутта. Для достаточной точ-
точности определения высоких частот колебаний приходится использовать метод про-
прогонки [6] и большое число расчетных сечений (порядка 50).
В результате получаются два линейно независимых решения уравнения A4):
Yi = О/ц^хз^)- Yl = (
зависящие также от выбранного сечения р.
234 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Краевые условия на свободном конце лопатки будут удовлетворены, если
А(Р)= I13 I23
Значения частот р колебаний определяются путем последовательного вычисления
Д (р) методом Ньютона или другими способами. Достоинства метода — общность
подхода, возможность использования стандартных программ. Недостатки метода —
отсутствие наглядности решения, трудность проверки точности результатов, необ-
необходимость использования ЭВМ с достаточно большой памятью и быстродействием.
Определение частот и форм колебаний вариационным методом. Вариационное
уравнение изгиба лопатки можно записать в виде [8]
R
A6)
где ¦—- = ~ — амплитудное значение кривизны.
Амплитудное значение изгибающего момента
R R
Мц (г) = р2 ^ ^ pF (r2) I (r2) dr2 drt. A7)
Предполагая по методу Ритца
<ЭД _f*S _а (r) i , п_ V
где fi (г) — заранее выбранные функции; ej — неизвестные параметры, и считая
вариацию
получаем из A6) систему линейных алгебраических уравнений
,) = 0, B0)
где
R R RR
щ, = J ElrlJf dr-p* \ k (r) \ I pF (r2) $ j f, (r,) dn dr3 drz drx. B1)
f f\
Частотное уравнение имеет вид
det(a//) = |a//l = 0. B2)
Функции fi (r) необязательно должны удовлетворять силовым краевым усло-
условиям на свободном конце лопатки, но точность расчета повышается, если принять
fi (R) = 0, f't (R) = 0. Для приближенной оценки первой частоты можно использо-
использовать только один член ряда A8), и тогда из условия B2) при введении безразмерной
длины I, E) получим
h \
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА И ПОДАТЛИВОСТИ ЗАДЕЛКИ 235
Представление второй производной прогиба в виде ряда A8) дает более точный
результат, чем обычное разложение в ряд | (г), так как расчетные зависимости не
содержат операции дифференцирования. Если же, как обычно, использовать разло-
разложение
Е(г)=2 ат(г), B3)
dm- С 'Щч <*2Ф/
причем в корневом сечении ф; (г0) = О, ~(га)=0, то щ — \ EJ4 —^ -р- X
Га
R
r — p* $ pF (r) ф,-ф; dr.
Го
Приближенная формула для первой изгибной частоты
<24>
Так как вариация функций при расчете имеет ограничения, то по расчету всегда
получаются значения частот несколько выше истинных. Достоинства вариационного
метода — общность и наглядность решения, простота расчетных зависимостей. Недо-
Недостаток метода — трудность оценки точности решения, понижение точности при
оценке распределения напряжений, неопределенность при выборе аппроксимирующих
функций Последний недостаток устраняется с помощью применения вариационно-
разностного метода, близкого к методу конечных элементов. В этом методе в качестве
основных неизвестных применяются значения кривизны на участке лопатки. При ис-
использовании линейного закона изменятся кривизны в пределах участка Jj< Z, < ?t+1:
ti+1 ы t>i+l ь?
B5)
Из вариационного уравнения изгиба получается система линейных уравнений
относительно у-j. Обращение в нуль детерминанта системы приводит к частотному
уравнению.
3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА
И ПОДАТЛИВОСТИ ЗАДЕЛКИ
Интегральное уравнение колебаний лопатки. Для коротких жестких лопаток
расчетная частота изгибных колебаний оказывается существенно выше эксперимен-
экспериментальной. Это объясняется влиянием деформаций сдвига и погрешностью предполо-
предположения об абсолютной жесткости заделки.
Учет влияния сдвига необходим для расчета лопаток из композиционных мате-
материалов, слабо сопротивляющихся деформации сдвига. Податливость заделки учиты-
учитывается с помощью безразмерного коэффициента х.
Для угла поворота в упругой заделке
dl4 Мц (г„)
где еи — прогиб лопатки в результате изгиба; W3 — условный момент сопротивления
заделанного сечения (замка).
236 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Интегральное уравнение в операторной форме имеет вид B), а оператор
1 1
@) 7„ @) 1 Я ь f
' ,р' Пч Та" \ =~ \ PFl(?a)dZ2dZi +К-w^-rt, \ \ Р^^У^^ь B7)
О@)г@) tJ J GFttA J *з ' J J
0 t j 0 jit
i = ?M + 5c B8)
5C — прогиб лопатки в результате сдвига; G — модуль сдвига; k — безразмерный
коэффициент
™~ G @) f @) {Z*>
[см. также A0)].
Уравнение B) с учетом B7) решается по указанной ранее схеме. Второй член B7)
содержит поправку на деформацию сдвига. Поправка зависит от отношения
C0)
-I /"Уп @)
где v—коэффициент Пуассона; io= |/ ущ—
радиус инерции корневого сечения
лопатки. Практически влияние сдвига на первую частоту колебаний становится
существенным при
А>о,2; |<1,5, C1)
где б — максимальная толщина профиля лопатки. Обычно для таких лопаток расчет-
расчетное значение первой частоты колебаний fi = ^~ > 1500—2000 Гц.
Определение коэффициентов к и и, экспериментальные данные. Коэффициент
сдвига может быть определен по стержневой теории:
k = ~ \§dF, C2)
где S% — статический момент отсеченной части лопатки (рис. 6). Для прямоугольного
сечения & = -=-.
Влияние сдвига при высоких формах колебаний возрастает. Приближенное зна-
значение коэффициента податливости заделки может быть оценено с помощью учета де-
2
формации упругой полуплоскости [39]. В этом случае можно принять х = —. Коэф-
зх
фициент х зависит также от контактных давлений по рабочим поверхностям замка,
шероховатости поверхностного слоя, точности изготовления и других факторов.
При давлении на контактах поверхностей замковой части лопатки свыше 20
кгс/мм2 лопатку можно считать «спаянной» с материалом ротора (дисков), и основное
значение приобретает упругость материала заделки. В инженерных расчетах часто
пользуются поправочным коэффициентом, полученным экспериментальным путем,
k = ff^, C3)
/расч
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА И ПОДАТЛИВОСТИ ЗАДЕЛКИ
237
где /эксп> /расч —соответственно экспериментальная и расчетная частоты. Значение k
для первой частоты изгибных колебаний лопаток паровых турбин указано [51,62]
на рис, 7 A — лопатки из светлокатаного профиля с отдельными промежуточными
А
О/
0,6
0,4
5 10 15 20 25 SO 35 40 45 50 55 i/i
Рис. 7
2
^~
1
¦ ¦
¦
Рис. 6
телами; 2 — лопатки с плоским хвостом, выполненные как одно целое с промежуточ-
промежуточными телами).
Поправки на учет влияния сдвига и податливости заделки, полученные из реше-
решения уравнений B), B7) для лопатки постоянного сечения теоретического профиля
2
C4) при х = — и б=/г замка, приведены на рис. 8.
0,25 0,33 0,5
Рис. 8
Рис. 10
Геометрические характеристики сечения. Для расчета колебаний необходимо
знать геометрические характеристики сечения стержня (координаты центра тяжести,
положение главных осей сечения, площадь и моменты инерции сечения и т. д.). Они
238
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
определяются обычным расчетом, если заданы в некоторой системе координат точки
профиля. Для приближенных расчетов можно использовать геометрические характе-
характеристики теоретического профиля [8] (рис. 9), уравнение которого
(знак плюс относится к верхней кривой, знак минус — к нижней).
Для лопаточных профилей можно приближенно считать, что главная ось с мини-
минимальным моментом инерции параллельга хорде профиля.
Координаты центра тяжести т = 0,43 b, n = 0,76 h; площадь поперечного сече-
сечения F = 0,70 68, моменты инерции
4. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-ЗАКРУЧЕННЫХ
ЛОПАТОК
Общий случай. Сечение лопатки показано на рис. 10. Составляющие вектора
кривизны по осям х я у следующие:
/cos-а , sin2a\ .. / 1 1
=Г?\7- + "?7Г)му~\еТ~е
I sin" a , cos2a\ ,. , / 1 1 \ .,
У , = — -=-= \- „ , ¦ Afv+ -p-j -jry- sin a cos ccM,,.
Дифференциальные уравнения для амплитудных прогибов и (г), v (r):
j-j- \— (EJ^—EJ^i sm a cosa -p, + (EJ^ cos2 a + E/,, sin2a) ,-yl =
C6)
f d2u
UEJ-. sin2 a + EJ^ cos3 a) -^ — (?/E —
sin a cos a ^2 !¦ =
Амплитудные значения изгибающих моментов
Мх (г) = — р"~
у v) — v
. +0J
R R
pf (r2) и
^ (rx)
^ ^
C8)
C9)
где (о — угловая скорость вращения лопатки; N (г) — растягивающее усилие в се-
сечении лопатки от действия центробежных сил.
Для лопатки с жесткой заделкой корневого сечения
г rt
о о
i, v(r) =
D0)
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-ЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК 239
Из приведенных соотношений получается система интегральных уравнений
где Кр и Ки — матрицы-операторы второго порядка. Для краткости эти операторы
ле приводятся в развернутом виде. Решение подобных уравьений разбирается
в работе [7].
Изгибные колебания естественно-закрученной лопатки при пренебрежении изги-
изгибом в плоскости наибольшей жесткости. Для лопаток, особенно при тонких профилях,
и ;> /у,. Во многих случаях можно принять EJ^ -*¦ оо. Тогда интегральное уравне-
уравнение для амплитудного изгибающего момента в плоскости наименьшей жесткости
записывается в форме
D2)
/CMMn = cosa \ Nt \ ^f
где С=
Частота колебаний невращающейся лопатки (ц = 0) определяется из уравнения
мц=%крмп.
Расчет проводится по указанной ранее схеме
причем в качестве исходного приближенного принимают
Учет естественной закрутки незначительно повышает первую частоту (до 1%)
и существенно понижает вторую (на 10—20%).
При учете влияния центробежных сил уравнение D2) решается по схеме
Величина А,,^ определяется из условия М^ ,;, =» Мц <,-_!)
что дает Я,;,=—^
240 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
В большинстве практических расчетов построенный таким образом процесс
быстро сходится. Для тонких и длинных лопаток в интенсивном центробежном
поле сходимость ухудшается, и следует использовать более сложные процессы
итерации.
5. ВЛИЯНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ НА ЧАСТОТЫ
ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Приближенный метод. Центробежные силы, растягивающие лопатку, повышают
частоту изгибных колебаний. Для приближенной оценки рассматриваются колебания
незакрученной лопатки в плоскости наименьшей жесткости. Представление решения
в форме B3) и вариационное уравнение A6) приводит к системе однородных урав-
уравнений B0), причем
С _, d\, d% р rfq>, dq>,
r, r,
R
— (p2 + co2cos2a)i| pF<fi<f,dr. D7)
Га
Частотное уравнение B2) позволяет определить значения р2. Наиболее простоз
решение получается для представления
|(/-) = a^j(r),
в результате чего
W1 ?/ч -г- р1*
где ?J^—F7~(oy pl "Wlo)'
Динамическая и статическая частоты. Зависимость между динамической и ста-
статической частотой из соотношения D8)
Рд=/?о + й(°2' D9>
где рд — угловая частота вращающейся лопатки (динамическая частота); р0 — угло-
угловая частота невращающейся лопатки (статическая частота); В — коэффициент
динамической частоты.
Частота (в Гц)
fd=Vfl+m\, (so»
где пх — частота вращения, 1/с.
Частота fo = ~ должна определяться с учетом распределения температуры
лопатки в рабочих условиях. Если, под f9 понимается частота, полученная экспери-
экспериментально при комнатной температуре, то частота в рабочих условиях (динамическая
частота) определяется по приближенной формуле
h = Vn-^-+Bnl, E1)
где Ет, ?2о — модуль упругости при температуре Т и при 20 "С.
ВЛИЯНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ НА ЧАСТОТЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ 241
Приближенные формулы для коэффициента динамической частоты. На основа-
основании D8)
В = ВХ—cos2 а, E2)
где
1
5 PPtf dZ
о
_- относительное растягивающее усилие, а — угол установки лопатки (при а = О
изгиб в плоскости вращения, при <*¦=-„- изгиб в осевой плоскости),
Замена фх выражением
удовлетворяющим краевым условиям фх @) = 0, ф{ @) = 0, ф[ A) = 0, ф" A) = 0
с принятием закона изменения площади поперечного сечения лопатки по длине
F (?) = F @) [%+ A — х) A — Dm], где х = F (\)IF @) — коэффициент сужения ло-
лопатки, т — параметр, при т = 1 дает
га 0,30у,+ 0,10
+ -г; ~
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
J
-к
0,5-у
/А
f//
Ik
ill
Illl
f
_
0,21x + 0,05
0,1 0,Z 0,3 0,4 0,5 O,BrjR
Рис ll
T0,2lx+0,05-
E3)
Влияние m @ < m < 3) на ве-
величину Bx оказывается небольшим,
в,
25
20
15
10
0,2 0,3 Ofi 0,5 0,6 -f-
Рис 12
*
j
Х=
1,0.
°'5\
\
\
\
У
\/
'\
X
у
у
\
\
/
у
\/
/
у
r J
/-—
у
/
/
/
/
>
/
/'
/
Значения В, для различных у даны на рис. 11 [8]. При ^ =0,5 из равенства E3)
г vo)
Получается
го Dcp
В=1,18+ 1,62 cos2 a = 0,37+ 0,81 -у- — cos2cx. E*)
Коэффициент Sj для второй формы изгибных колебаний дан на ри«_. 12 (т = \).
В общем случае коэффициент динамической частоты определяется по формуле (ji),
242
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
причем в качестве <рг (г) применяется соответствующая форма изгибных колебаний
невращающейся лопатки.
Влияние центробежных сил при колебаниях в осевой плоскости и в плоскости
вращения. Частота изгибных колебаний при действии центробежных сил в осевой
плоскости увеличивается больше, чем в плоскости вращения. Если р0 — частота
изгибных колебаний лопатки (слабо закрученной) в плоскости вращения (а = 0),
то при повороте лопатки на угол а частота колебаний
E5)
Частота колебаний лопатки в осевой плоскости
вращения <о.
Нт)
всегда больше частоты
6. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК
Колебания совершаются относительно оси, проходящей через центры жест-
жесткости сечений (рис. 13). Приближенно принимается, что центр жесткости сов-
совпадает с центром тяжести сечения.
Частоты и формы колебаний не-
вращающейся лопатки постоянного
сечения. Частоты крутильных колеба-
колебаний определяются по формуле [7j
Я-./-6Г
2lV Р~Г'
=1, 2, 3,
E0)
где G — модуль сдвига; Т (г) — гео-
геометрическая жесткость на кручение;
Jp — полярный момент инерции се-
сечения.
Для приближенных расчетов мож-
можно использовать формулу
Т=0,16266», E7)
где б — максимальная толщина про-
профиля.
Соответствующие формы колебаний
E8)
Рис. 13
где б к — угол поворота сечения; ?=—-—2 — относительное расстояние до корне-
корневого сечения.
Частоты н формы невращающейся лопатки переменного сечения. Интегральное
уравнение крутильных колебаний
е=ЛК0; Я=р2
G @) Т @) •
В последнем равенстве безразмерные параметры
GT -f pjp
ОТ =
G @) Т @)
~P@).M0)
E9)
F0)
F1)
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК 243
Условие ортогональности
1
Ь (?) 9& (О р7/* d?=° (/ ф k). F2)
Первая частота крутильных колебаний определяется по схеме последовательных
приближений;
feU (бз)
В качестве исходного приближения принимается 6,0) = ?.
Расчет второй частоты крутильных колебаний проводится по соотношению
1
Часто более эффективно использовать интегральное уравнение для амплитудного
крутящего момента
Mk = XKMk, F4)
где Я имеет значение E9), а
pJp \ ^rd&d^. F5)
С 0
Условие ортогональности
l
—J=z— dt, — 0 (/ ^ k). F6)
Соотношение между частотами крутильных и изгибных колебаний. Для лопатки
претоянного сечения первая частота крутильных колебаний
GT~
1 я,/"
Первая частота изгибных колебаний
я2
р„ = 0,356-^-
Для лопаточных профилей можно принять
Jo &
При коэффициенте Пуассона v = 0,3
PlKp/p" *2'4 7 W
Для плосковыпуклого профиля
Ри
244 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Для сильно изогнутого профиля
Обычно первая частота крутильных колебаний выше первой частоты изгибных
колебаний.
Влияние центробежных сил и растяжения лопатки на крутильные колебания.
Для лопатки постоянного сечения частота крутильных колебаний при вращении
РкЯ = У Р2КО-со2 —j cos2а . F8)
Приближенно можно считать
PM = ]/>*0--w2cos2a. F9)
В последних формулах рк0 — частота крутильных колебаний невращающейся
лопатки.
Из соотношения F9) вытекает, что поправка для статической частоты невелика,
так как обычно со2 « р^.
В зависимости от угла установки лопатки центробежные силы могут понижать
или повышать статическую частоту. Для лопатки переменного сечения частота кру-
крутильных колебаний определяется из уравнения
k, G0)
где оператор КрМк задан равенством F5)
f р(/Е-У^ cos 2а \
-У^ cos 2а \ ?± dt,2 db- G2)
Для лопаток тонких профилей крутильная жесткость возрастает в результате
действия растягивающих напряжений.
Эффективная жесткость на кручение
^ G3)
где о — растягивающее напряжение в сечении; Jp — полярный момент инерции.
Приближенное значение JplT можно принимать по формуле F7).
7. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК С БОЛЬШОЙ
ЕСТЕСТВЕННОЙ ЗАКРУТКОЙ
Основные уравнения. Если параметр закрутки лопатки q > 1. [см. A)], то следует
учесть связь между крутильной и продольной деформацией. Она возникает в силу
того, что «волокна» лопатки, расположенные по винтовой линии, составляют угол р
с осью лопатки:
tgP-r.f, ^ G4)
где 2 Уг°л естественной закрутки на единицу длины; гх — расстояние от точки
сечения до оси лопатки.
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК С БОЛЬШОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ ЗАКРУТКОЙ
245
Если сечение получает поворот вокруг оси лопатки на угол 6 (г), то возникает
продольная деформация [78]
dade ,
Вбщая продольная деформация
dcp
dr
dr
ldr dr'
G6)
Для практически важного случая, когда изгибом в плоскости наибольшей
жесткости можно пренебречь, вместо G6) принимают
dib «. , „ da d6 ,__.
6 = 6A г1- С + г, —, ;—. ('')
dr * l dr dr v '
На основании уравнения равновесия для стержня с постоянным модулем упру-
упругости (по сечению)
±EJP^^ = N; G8)
где
F F
— полярный и полярно-осевой момент инерции; Мк — крутящий момент (от внешних
нагрузок), Jip= ^r\dF— полярный момент четвертого порядка.
F
Интегральное уравнение изгибно-крутильных колебаний. Сила инерции, связан-
связанная с продольным смещением сечения лопатки, не учитывается. Полагая N = О,
найдем из уравнений G8) и (80)
r)G — ^-Gri —
dr '
J2
p
(81)
Применение обозначений
Дает вместо (81) следующие соотношения:
где
cee
•-Tin
(82)
(83)
(84)
246 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Изгибающий и крутящий моменты
( R R
Мц = р" < sin a ^ I) pFv dr2 drx + cos a
I > rx r
R R R R i
(85)
рутящий моменты
( R R R R \
< sin a ^ I) pFv dr2 drx + cos a J j[ pFu d/-2 <2лЛ —
(R R R R i
sin а 1 Ni-г- d/"i + cos a \ #i -3- dr —cos а 1 \ pF« c(r2 dM;
г г л rt J
R r i R r,
MK = p" I pJp \ -г- dr2 dry + со2 \ p (Л —/,,) cos2a I ^r~dr2dr1. (86)
Зависимости дчя перемещений при изгибе в плоскости наименьшей жесткости:
и = f ( ХЕ cos a dr2 dr^,
(87)
Система интегральных уравнений колебаний лопатки с большой естественной
закруткой
=Р @) f @) /4 sin a f \' pf \ V Х? sin a dj4
L S Si oo
l l
- cos a ^ j p/*' ^ J y? cos a i
К Si oo
X/- = P @) JP @) /^ p/p j Xr dlz
X, о
-cos a
Г i _ St i _ S.i
2 sin a ^ ^i \ %-- sin a dt2 dti + cos a f A^j ^ %% cos a d?2 dCi —
L e b 5 b
(o))p И ^ ИXE cos a ^4 dl~3 d'2 dSi:
S Z о о J
о о
l
Kr= — p @) (/E @)- Ут, @)) Г- р (УЕ- ^n) cos 2a /r d^2 d,
? о
гдЬ безразмерные параметры суть
р P _ PP , s_ P(zn>
9 - p @) F @) ; pJP ~ p @) Jp @) ; P (l/= ' 1J" p @) GE ,0,_УЧ @)) ;
/V - A't
1 ЛГг @) •
Уравнение (88) решается методом последовательных приближений.
В качестве исходного приближения можно принять х% и» = Хг ю> = ?• Соответ-
Соответствующее приближение для частоты пол^члется после приравнивания %% ,0) и у% (ц
при ? = 1,
РАСЧЕТ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИИ
247
Особенности колебаний лопаток с большой естественной закруткой. Влияние
естественной закрутки возрастает при увеличении угла начальной закрутки (на еди-
единицу длины лопатки). Для лопаток с сильно изогнутым профилем проявляется су-
существенная связь изгибных и крутильных колебаний. Первая частота изгибно-кру-
тильных колебаний понижается на 5—20%, в еще большей степени может понизиться
вторая частота изгибно-крутильных колебаний. Частота крутильных колебаний
возрастает.
Расчет по теории стержней с большой естественной закруткой проводится при
q > 1 [см. A)]. Например, для лопатки с a (R) —а (г0) = 20° @,334 рад) -г- = 2,5,
8
= 0,1 можно использовать обычную теорию стержней. Если разность углов уста-
1 R
новки сечений составляет a (R)—а (г0) = 40°,-т- < 2, -г- < 0,1, то для расчета коле-
колебании следует применять уравнение (88). Более полное изложение теории колебаний
лопаток с большой естественной закруткой дано в работах [78, 79].
8. РАСЧЕТ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ НА ОСНОВЕ
ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
Предварительные замечания. При определении частот колебаний по теории
стержней предполагается, что сечение лопатки при колебаниях не деформируется.
Если длина и хорда лопатки соизмеримы, то проявляются «пластиночные» формы
колебаний, при которых искажения профиля лопатки в плоскости поперечного сече-
сечения достигают значительной величины (рис. 14).
Пластиночные формы характерны также для высоко-
высокочастотных колебаний лопаток с большим удлине-
удлинением, причем колебательные смещения возникают
главным образом возле свободного конца лопатки.
Узловые линии при некоторых пластиночных фор-
формах колебаний лопаток схематически показаны на
777777777/ '///////777, 777777777/. 777777777,
Рис. 14
Рис. 15
рис. 15. Обычно такие формы проявляются при частотах, превышающих частоту
третьей изгибной и второй крутильной стержневых форм.
Методы расчета. Общий обзор методов расчета колебаний пластинок и оболочек
Дан в работе [9]. В соответствии с принятой расчетной моделью рассматривается
срединная поверхность лопатки. Если срединная поверхность близка к плоской, то
используется теория пластинок, а при значительном искривлении срединной поверх-
поверхности — теория оболочек.
Уравнение колебаний пластинки переменной толщины (рис. 16)
dr2
32
+ 2-
(89)
248
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
где w — амплитудный прогиб по нормали к срединной поверхности пластинки;
РАЗ
О = — — жесткость на изгиб, зависящая от толщины пластинки б (г, |)
в данной точке срединной поверхности; v — коэффициент Пуассона; р — плотность
материала пластинки; р — угловая частота колебаний.
Амплитудное значение потенциальной энергии деформации при колебаниях
пластинки (переменной толщины)
1-V-) D
я- *
(90)
где интеграл распространяется на всю площадь срединной поверхности пластинки.
Амплитудное значение кинетической энер-
гии при колебаниях
JS^df. (91)
Метод Ритца [15] является наиболее
распространенным инженерным методом опре-
определения частот и форм колебаний пластинок
и оболочек.
Амплитудный прогиб пластинки предста-
представляется в виде
Рис. 16
где fi (?), <fj (r) - заранее выбранные функции; А^ — неопределенные коэффи-
коэффициенты.
В работах [4, 5, 54], посвященных расчету колебаний лопаток на основе
теории пластинок и оболочек, используются для ft (|) и фу (г) «балочные»
функции.
В качестве функции фу (г) принимаются формы колебаний консольно закреплен-
закрепленного стержня; для f; (%) используются формы колебаний свободной от закрепления
полоски профиля. Если внести выражение (92) в равенства (90) и (91), то -^-.
Л—о
дА„
Условие обращения в нуль детерминанта порядка пт
{arq — p*$rq{=0 г, <7=1, 2, ..., пт
(93)
образует уравнение для определения частот колебаний. В качестве функций fi,
<Pf можно использовать краевые полиномы, полиномы Лежандра и др.
Применение метода Ритца при расчете колебаний лопаток на основе теории
оболочек. Принципиальные основы метода Ритца остаются прежними, но кроме
прогиба по нормали w аппроксимируются и смещения и, v в касательной плоскости.
Выражение для потенциальной энергии содержит члены, связанные с изгибом и рас-
растяжением срединной поверхности, для упрощения иногда принимаются некоторые
дополнительные гипотезы (например, отсутствие сдвига в срединной поверхности)-
Расчет проводится на ЭВМ, причем при сохранении в уравнении (93) порядка
пт = 30-^50 удовлетворительная точность получается до частот E-М0I03 Гц.
ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИИ ЛОПАТОК В ТУРБОМАШИНЕ 249
9. ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЛОПАТОК В ТУРБОМАШИНЕ
Резонансные колебания лопатки возникают при совпадении одной из частот ее
собственных колебаний /д с частотой действующей на нее возмущающей силы fB.
Неравномерность воздушного потока по окружности проточной части компрес-
компрессора вызывается особенностями входного устройства и наличием в проточной части
конструктивных элементов — направляющих лопаток, опорных стоек подшипников,
трубок подвода топлива и масла, окон перепуска воздуха и т. д. Неравномерность
газового потока на входе и выходе из турбины определяется работой камер сгорания,
наличием сопловых лопаток и стоек реактивного сопла.
Возмущающие силы, действующие на лопатки, представляются следующим
рядом:
п
Р* @ = Р|р + 21 Pj «л k Bяяс + Ф ), (94)
/=1
где яс— частота вращения ротора, с1; k=l, 2, 3 — гармоника возмущающей
силы; р*р — постоянное среднее давление сил на данном режиме; pj и ер, — ампли-
амплитуда и фаза у-и гармоники соответственно; t — время.
Частота возмущения, действующая на вращающуюся лопатку, кратна угловой
частоте вращения ротора:
/в = *пс. (95)
С первой гармоникой рабочие лопатки не резонируют, так как частота колебаний
всегда выше частоты вращения [7J. На практике для компрессорных и турбинных
лопаток учитывается возможность резонанса с гармониками общей неравномерности
k = 2-1-6 (иногда до k = 10), а также с гармониками, связанными с возбудителями
конструктивного характера. Для турбинных лопаток двигателей с индивидуальными
камерами сгорания наиболее сильным возбудителем является гармоника с номером,
равным числу камер сгорания. Высокочастотные колебания лопаток вызываются
гармониками, равными числу направляющих (сопловых) лопаток zHa за и перед
рабочим колесом.
Частота вращения, на которой возникает резонанс,
(96)
где /д — частота собственных колебаний лопатки, зависящая от частоты вращения
и температуры Т.
Для определения резонансной частоты вращения строится частотная диаграмма,
изображенная на рис. 17, а, б [10] соответственно для компрессорной и турбинной
лопаток. На диаграмме нанесены кривые изменения частот собственных колебаний
лопатки }л (я), определенные с учетом влияния центробежных сил и температуры.
Точки пересечения этих кривых с лучами гармоник определяют резонансные частоты
вращения ротора ярез.
К резонансным колебаниям относятся также колебания компрессорных лопаток
при возникновении вращающегося срыва [49].
Частота возмущения
/в=АA-й)Яс, (97)
ntp
где (о = —• лср — частота вращения срывных зон; обычно ш = 0,3-г-0,6.
В случае, когда k совпадает с числом срывных зон, возбуждение оказывается
Наиболее сильным. В общем случае величина k A — ш) уже не будет целым числом,
поэтому на частотной диаграмме резонансная частота вращения Пяр.ср возникает и на
*Дробной» гармонике (штриховая линия на рис. 17, а). На рис. 17, е, г даны кривые
Вапряжений при колебаниях по первой (о) и второй (А) частоте.
Существуют следующие способы снижения уровня динамических напряжений
в лопатках:
250
КОЛЕБЛИИ Я ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
1) частотная отстройка, выводящая резонансную частоту вращения из области
рабочих режимов двигателя, повышение основного тона достигается утолщением
корневого сечения лопатки,
2) утолщеьие кромок лопатки, уменьшающее концентрацию напряжений,
3) уменьшение неравномерности температурного поля на выходе из камеры
сгорания (для турбинных лопаток), правильный выбор схемы подвода вторичного
воздуха в KaMepj сгорания, во вторичной зоне камеры сгорания, особенно на наруж-
К=10 9
1B)
h
ft»
k=Z1
4/
1 yy^
j Ш/
k=10
—n
i.i
ср
1'"
in
/
р
/
/
/
J
и
и
ц
I
I
I
Phc 17
ной ее стенке, отверстия должны быть относительно мелкими, а число их должно
быть кратно числу лопаток соплового аппарата;
4) изменение конструкции, числа и взаимного расположения возбудителей,
находящихся в проточной части, например опорных стоек, окон перепуска воздуха
и др ;
5) качественное выполнение сопловых аппаратов с минимальным разбросом
размеров проходных сечений [51],
6) увеличение осевого зазора между направляющими и рабочими лопатками;
7) введение специальной «разношаговости» направляющих и сопловых аппаратов
[32, 74] для понижения динамических напряжений при колебаниях по высокочастот-
высокочастотным формам, разношаговость, как правило, применяется для бандажированных
турбин,
8) увеличение демпфирования в лопатках применением новых материалов и
созданием специальных демпфирующих конструкций [68],
9) бандажирование — как наиболее эффективный способ,
РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАНДАМПИРОВАННЫХ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН 251
10. РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАНДАЖИРОВАННЫХ
ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН
Типы бандажных связей. В газовых турбинах и осевых компрессорах исполь-
используют конструкции бандажей с замкнутыми на круг лопатками. В последние годы
Рис. 18
такой вид бандажирования применяют также и в паровых турбинах. В стационарных
турбинах лопатки связываются в отдельные пакеты. Лопатки соединяются между
собой с помощью приклепанных и приваренных стержневых элементов. При этом
Bud A
Рнс. 19
Р? Допускается проскальзывание лопаток относительно бандажа (рис. 18, а, б).
Фи другом виде связующих элементов соединение осуществляется за счет сил тре-
обусловленных воздействием центробежных сил или на б
ЛЯ, обу
у д ущ сил тре
воздействием центробежных сил или натягом при сборке
252
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Натяг «по зубу» (рис. 19, а) 0,2—0,4 мм при длине / = 100-^200 мм. Для умень-
уменьшения износа в процессе эксплуатации на полках в местах контакта делается наплавка.
В компрессорных лопатках кольцевой бандаж располагают на расстоянии /„ =
= @,6-^-0,8) /, где I — длина лопатки (рис. 19, б). Расположение бандажа на наруж-
наружном диаметре приводит к ухудшению КПД компрессора.
Колебания замкнутых на круг лопаток. При колебаниях замкнутых на круг
лопаток [31, 37, 43, 81]:
1) перемещения и углы поворота сечений лопаток являются дискретными гармо-
гармоническими функциями Ai sin (mcp,- + а;), где т — число узловых диаметров; ср,- —
угловая координата лопатки; A-t и о^ — некоторые постоянные величины для каж-
каждого перемещения и угла поворота;
2) синфазные колебания (рис. 20, а, б, т = 0) из-за их ортогональности возму-
возмущающим силам не возбуждаются;
3) возникают несинфазные колебания с различным числом неподвижных точгк
(узловых диаметров т) по окружности;
4) гармоника возмущающей силы с номером k может возбуждать только тот
вид несинфазных колебаний, при котором k =m, или k = z — т, z—число
лопаток;
5) в случае свободного связующего элемента необходимо учитывать его растя-
растяжение сжатие.
Формы колебаний лопаток разделяются на группы. К первой группе относятсч
формы колебаний, в которых сама лопатка имеет один узел колебаний в задельг
(рис. 20, а). Ко второй группе относятся колебания, при которых лопатка имеет два
узла колебаний (рис. 20, б), и т. д. Случай т = 0 соответствует синфазным колеба-
колебаниям. При нечетном числе лопаток только частота синфазной формы колебаний
некратная. Остальным частотам в каждой группе соответствуют две линейно-незави-
линейно-независимые формы. При четном числе лопаток существует еще одна некратная частота,
соответствующая т = ^. При этой форме колебаний все соседние лопатки колеблются
в противофазе (рис. 20 а, б; т — 12). На рис. 21 приведено изменение относительно!
частоты тангенциальных колебаний системы лопаток J = f/f0, для первой группы
колебаний (рис. 20, a); f0 — статическая частота изолированной лопатки (штриховой
линией обозначена частота лопатки с жесткой опорой в месте установки связующего
элемента, т. е. на расстоянии, равном 0,67 длины лопатки).
Частоты свободных колебаний бандажированных лопаток с невесомым кольцевым
связующим элементом определяются из уравнений:
РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАНДАЖИРОВАННЫХ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН 253
а) при жестком элементе, работающем только на изгиб (см. рис. 18, а),
tn-rr К
-=0; (98)
где К — динамическая жесткость лопатки в сечении бандажа; си — жесткость бан-
бандажа на изгиб;
б) при свободном элементе, работающем только на растяжение-сжатие
(рис. 19, в)
4 sm2 [- — =0,
(99)
где ср — жесткость бандажа на растяжение-сжатие;
в) при зетобразном связующем элементе (рис. 19, г)
. . „ttrn , 1
4 sm2 ,
г cpel2 en eu
еп е22 п
A00)
где еп, еп, е22 — динамические податливости лопатки согласно рис. 22 (/ и 2 — на-
направление перемещения и сил).
f
s,a
з,о
2,0
1
/
L
1
-О-О-О-(
ч
Ч
\
О Z 4 6 S 10 12 14 IS 18 20 22 m
Рие. 21
Рис. 22
2 (г \\
Во всех трех случаяхт = 1, 2, ..., -=- —=~
Для кольцевого бандажирования произвольного вида частоты собственных
колебаний определяются по формуле [44]
det 4 sin2
jim
м=мбмл,
'Ь j
A01)
где Mg, Мл — соответственно матрицы перехода бандажа и лопатки в окружном
направлении; I — единичная матрица. Способы определения Mg и М7 см. [44, 81].
Результаты расчета и данные тензометриро^ания лопаток компрессора и турбины
с полками приведены соответственно на рис. 23, а и б.
По оси абсцисс отложена относительная частота вращения п = , а по оси
rtmax
°РДинат J=~, где/о— «статическая» частота лопатки, определенная при отсутствии
'о
по полке. Частоты при резонансе с различными гармониками возбуждения
3, 4, ..., 16 условно соединены плавной кривой (сплошной — с учетом центро-
х сил, штриховой — без их учета).
254
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
к=16 ft 12 10 8
2,0
1,0
Va
'А
С*
А
у.
/
У
/
<>¦
, "
S
.—¦
0,2 o/t qs 0,8 л
3,0
4 2,0
2 1,0
/77=3
¦-"
- —*—
8
7 /
-V-
т\
7
' j
/
?
I.
г
)
/
L
/
/
б1
-t
4^ ^S й
Рис. 23
JMWW
VT7
/////////////////////////77////// ////////////////////////////У/
л ж
Рис. 24
////77//////////////// /////////////////////// 77777/77///////////////
/7/7777777777777777777/ 7/7777777777777777777/7 777777/777777777/77/777
У/////////////// ///////////////////////////////7//7//////////77
Рис. 25
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК КОЛЕС ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
235
ЧННННШНФФ
Колебания пакетов лопаток. При расчете на колебания пакета связующий эле-
элемент обычно считается упругим безынертным соединением; его масса распределяется
по концам, т. е. присоединяется к ло-
лопаткам. Бандаж работает только на
изгиб.
На рис. 24 изображены синфаз-
синфазные тангенциальные колебания пакета
(/ — /// формы), состоящего из десяти
лопаток [51, 62]. Каждой синфазной
форме колебания пакета соответствуют
аналогичные формы колебаний одиноч-
одиночной лопатки. На рис. 25 изображены
тангенциальные колебания лопаток
I формы. Кроме тангенциальных коле-
колебаний возможны также аксиально-кру-
аксиально-крутильные (рис. 26) и крутильные коле-
колебания (рис. 27) пакета лопаток [62].
Более сложный характер имеют колеба-
колебания пакета закрученных лопаток. На
рис. 28, а даны некоторые формы
изгибно-крутильных колебаний такого
пакета [17]. Штриховыми линиями
показаны амплитуды аксиальных пе-
перемещений, сплошными — тангенциаль-
тангенциальных, штрихпунктирными — крутиль-
крутильных. На рис. 28, б приведены распределения этих же перемещений по наружному
контуру пакета. Тангенциальные перемещения и взяты в сечении на расстоянии,
равном 0,6 длины лопатки. Действие возмущающих сил на пакет лопаток сущест-
существенно отличается от действия этих же сил на одиночную лопатку.
Рис. 26
Рис. 27
Рис. 2S
При синфазных колебаниях (см. рис. 24) отношение амплитуд возмущающих
сил, действующих на каждую лопатку пакета и на единичную лопатку, колеблю-
колеблющуюся с такой же частотой [51],
Ы
sin гп —
7~кп'
A02)
256
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
где (л — пакетный множитель; k — порядок гармоники; гп — число лопаток в пакете;
г — число лопаток на диске.
При г„ = г, т. е. в замкнутых на круг лопатках, синфазные колебания возбуж-
возбуждаться не могут. Тот же самый эффект возникает при гп k = г.
И. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК КОЛЕС ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ
Лопатки колес центробежных компрессоров представляют собой оболочки пере-
переменной толщины, упруго закрепленные на участке сопряжения с диском и свободные
от усилий по остальному контуру. Поломки таких лопаток обычно вызываются уста-
усталостью и происходят при колебаниях на резонансе. Формы колебаний лопаток при-
приведены на рис. 29 [68]. Первая фор-
форма (рис. 29, а) характеризуется одной
узловой окружностью в месте сопря-
сопряжения лопатки с диском. Второй, тре-
третий и четвертый тон (рис. 29, 6—г)
имеют одну узловую окружность и
соответственно два, три и четыре
узловых радиуса. Усталостные тре-
трещины возникают обычно вблизи узло-
узловых линий, главным образом вблизи
а)
Рис 29
вращения для этих
сопряжения лопатки с диском (А на
рис. 29, а).
Наиболее опасны в большинстве
случаев две первые формы, поэтому
форм должны располагаться выше
резонансные частоты
рабочего диапазона.
При тонких дисках возможны совместные их колебания с лопатками [68]. Для
определения частот свободных колебаний лопаток наиболее эффективным оказы-
оказывается метод конечных элементов [28].
12. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАСТЕЙ ГИДРОТУРБИНЫ
Лопасти поворотно-лопастных гидротурбин. Лопасть рабочего колеса поворотно-
лопастных гидротурбин — пологая оболочка переменной толщины, жестко закреп-
закрепленная по части внутреннего контура и свободная от изгибающих моментов, попереч-
поперечных сил, нормальных и касательных усилий
по остальному контуру.
При расчете на свободные колебания
лопасть схематизируется в виде секториаль-
ной пластинки переменной толщины, защем-
защемленной по части внутреннего контура и сво-
свободной по остальной части контура (рис. 30).
Для определения частот свободных колебаний
используют метод Ритца [35, 36] и метод ко-
конечных элементов [28].
В табл. 1 приведены расчетные и экспе-
экспериментальные данные для лопасти гидро-
гидротурбины Пл-510 средненапорной поворотно-
лопастной гидротурбины.
В табл. 2 приведены экспериментальные формы колебаний лопасти рабочего
колеса гидротурбины Пл-548 на воздухе и в воде. В последнем случае частоты пони-
понижаются из-за присоединенных масс воды.
Радиально-осевые гидротурбины [2, 63]. Рабочее колесо радиально-осевой гидро-
гидротурбины (рис. 31) представляет собой систему лопастей 3, заделанных с одной сто-
стороны в ступицу — верхний обод 1 и стянутых с другой стороны кольцом — нижним
ободом 2. При определении частот собственных колебаний лопасти и нижний обод
Рис. 30
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАСТЕЙ ГИДРОТУРБИНЫ
1. Частоты свободных колебаний /, Гц
257
а
10
20
Эксперимент
^7
1
S3?
2
3
V
ч
5
2168
2124
2073
2815
2777
2702
3895
3619
3556
6176
5812
5517
7917
6610
6264
Примечание, п — число координатных функций при расчете по методу Ритца.
2. Экспериментальные формы колебаний лопасти рабочего колеса
Номер формы
колебания
Воздух
/, Гц
Форма колебания
Вода
/, Гц
Форма колебания
764
968
Н61
2053
2411
3310
515
701
1075
1405
1728
2122
Примечание. Четвертая форма колебаний в опытах не возбудилась.
9 п/р. Ф М Диментберга и К С Колесникова, т. 3
258
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
рассчитываются с использованием стержневой теории. Само колесо представляет
собой систему с поворотной симметрией. Для определения частот используют формулу
A01), в которой М — матрица пе-
перехода одного регулярного элемен- Радиальные перемещения
та, включающего лопасть и элемент
кочьца.
Классификация колебаний ра-
рабочего колеса дается по формам
.
8 7 6
Осевые перемещения
5
it
3
2
/
-~—'
13
1Z
и
10
9
Рис. 31
Рис. 32
колебаний нижнего обода. Низшая форма колебаний рабочего колеса соответ-
соответствует форме колебания обода с четырьмя узлами (рис. 32), затем, обычно, следует
форма с шестью узлами (рис. 33), далее безузловая — крутильная форма (рис. 34)s
восьмиузловая форма и т. д.
Радиальные перемещения
Радиальные переметения
•J.'..
6
5
Осевые перемещений
if-
J
2
1
13
IZ
II
10
•\
в
7
6
5
Uc
*
евы
J
? пе
г
рем
1
'UfCf
ft
U!T
13
а
11
to
9
Рис. 33 Рис. 34
13. ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТОК
Для затухающих колебаний уравнение движений имеет вид [15, 70]
q = qae~ ^ sin Hpt + y), (ЮЗ)
где q — отклонение от положения равновесия; q0, ф, тх — амплитуда, начальная
фаза и период затухающих колебаний соответственно, д — логарифмический декое-
мент колебаний,
•->??&. ('М)
где п — число колебаний,
ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТОК
259
Логарифмический декремент имеет также и энергетический смысл. При значе-
значениях О ^ 1 (это всегда выполняется для лопаток и дисков) принимается
,1. Л ГР7
A05)
""" 2 2W '
где ф — коэффициент поглощения; hW — энергия рассеяная за один период гармо-
гармонического колебания; W — максимальная упругая энергия.
Механическое демпфирование в материале лопаток наиболее изучено, однако
в общем балансе демпфирования лопаток и дисков оно имеет относительно малое
значение.
Логарифмический декремент колебаний д для некоторых материалов, приме-
применяемых для лопаток компрессоров и турбин [61, 68], приведен в табл. 3.
3. Логарифмический декремент колебаний
Материал
Материал
Кованый магний
Штампованный алюминий
Титановые сплавы
Сталь
низколегированная
коррозионно-стойкая
0,006
0,005
0,003—0,008
0,003
0,002—0,008
Кованый титан
Стеклопластики
Хромистые стали мартенситно-
и мартенсигно-ферритного клас-
классов
0,006
012—0,13
0,002—0,001
С повышением температуры и напряжений логарифмический декремент, как
правило, увеличивается. Подробные данные о величине О и его зависимости от раз-
различных факторов для материалов лопаток и дисков имеются в работе [61].
Конструкционное демпфирование возникает в местах соединений лопаток с дис-
диском, а при наличии бандажной ленты и проволок, — также в местах их соединений
с лопатками. В турбинных лопатках основное демпфирование происходит в замковых
соединениях. Оно зависит от ампли-
амплитуды колебания (возрастая с ее 0,032
увеличением), растягивающего уси-
усилия (уменьшаясь с ростом этого
усилия), а также от температуры
[53, 56, 68].
На рис. 35 [56] даны зависи-
зависимости декремента колебании дк
образцов с шестизубовым замковым
соединением рабочих лопаток газо-
газовой турбины в зависимости от
амплитуды максимального динами-
динамического напряжения ад в сечении,
проходящем через основание пер-
первой пары зубьев хвостовика, при
различных значениях растягиваю-
растягивающего усилия Р, кгс: A—500, 2—100,
3—1500, 4—2500, 5—3000). Штрих-
пунктирная линия относится к эта-
эталонному образцу, уровень потерь энергии в котором определяется только демпфи-
демпфированием в материале. Конструкционное демпфирование в лопатке в 2—6 раз
больше, чем демпфирование в ее материале. Повышение конструкционного демпфи-
демпфирования возможно при увеличении первоначального зазора по первому зубу замка
(раззазоривание). Аналогичные результаты получаются и для различных типов зам-
^в паровых турбин [65, 82].
В бандажированных турбинах конструкционное демпфирование может значи-
значительно повыситься, в особенности для конструкции бандажей, допускающих взаим-
н°е проскальзывание [14]. Величина #к приведена в табл. 4 и 5 [14],
9*
О,О2 4
0,016
0,008
_—¦—¦
,
^\
^^
—
--
. —
—
Рис. 35
260
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
4. Логарифмические декременты колебаний бандажированных лопаток,
не допускающих взаимного проскальзывания
Бандажи*
Арочные
Фигурные
Заваренные на
круг
Узловые
диаметры
I
II
II
I
I
II
II
IJ
I
I
I
II
II
Порядок
гармоники
2
4
3
4
6
4
8
3
4
5
6
6
7
Частота
вращения,
об/с
50,4
37,4
35,7
31,5
23,2
36,2
22,0
54,0
36,3
28,7
24,1
41,7
34,5
Напряже-
Напряжение о ,
кгс/мм»
6,5
4,1
2,2
2,4
3,25
6,0
2,2
6,2
4,0
2,9
4,2
3,2
1,0
*к
0,0250
0,0073
0,0281
0,0303
0,0180
0,0132
0,0192
0,0081
0,0114
0,0161
0,0158
0,0079
0,0066
* См. рис. 18.
5. Логарифмические декременты колебаний бандажированных лопаток,
допускающих взаимное проскальзывание (узловые диаметры I)
Конструкция бандажей
Бандажные полки
Бандажные полки и демпферная проволока
на расстоянии О.б/*1
Заваренные на круг бандажные полки и
демпферная проволока на расстоянии 0,6/
Фигурные бандажи и демпферная проволока
на расстоянии 0,6/
Демпферная проволока на расстоянии 0,95/
Две демпферные проволоки на расстоянии
0,6/ к 0,95/
Порядок
гармо-
гармоники
4
5
6
7
4
5
6
4
5
6
3
4
7
4
4
5
Частота
враще-
вращения,
об/с
36,1
27,7
22,5
19,1
39,0
31,3
25,3
39,8
31,5
26,7
49,2
35,2
20,8
35,3
39 3
30,9
Напряже-
Напряжение о ,
д
кгс/мм2
3,7
2,9
1,65
0,9
1,0
0,7
0,45
3,6
3,1
2,45
2,7
4,8
3,15
2,3
2,1
1,8
0,0256
0,0372
0,0481
0,0720
0,0950
0,1180
0,1390
0,0220
0,0157
0,0285
0,0095
0,0160
0,0345
0,0161
0,0158
0,0244
*' / — длина лопатки.
ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТОК
261
Демпфирующая способность соединения типа ласточкин хвост, используемого
в компрессорных лопатках, невелика и понижается с увеличением растягивающего
усилия и температуры [68]. В рабочих условиях 0к <; 0,01.
Демпфирование лопаток с шарнирным соединением почти не зависит от центро-
центробежной силы и температуры, а определяется только амплитудой колебаний и
осевым усилием прижатия тор-
торцов [53, 68].
Для увеличения конструк-
конструкционного демпфирования соз-
создают конструкции лопаток с до-
дополнительными поверхностями
контакта [68]: составные лопат-
лопатки (рис. 36), охлаждаемые ло-
лопатки со специальным дефлек-
дефлектором, который при колебаниях
контактирует с внутренней по-
поверхностью лопатки, лопат-
лопатки со спаренными ножками
(рис. 37) и др.
Аэродинамическое демпфи-
демпфирование возникает при обтека-
обтекании лопаток рабочим телом.
Аэродинамическая (подъемная)
б
ь
Рис. 36
Рис. 37
)
сила при стационарном обте-
обтекании, действующая на профиль,
может быть представлена
) S
в виде [76]
A06)
где а — угол атаки; Фотн — относительная скорость обтекания профиля;
рв — плотность среды; S — площадь «боковой поверхности» профиля; су — без-
безразмерный коэффициент подъемной силы.
Коэффициент Су в функции от угла атаки а
для каждого профиля представляется некоторой
кривой (рис. 38).
Рассмотрим малые колебания лопатки.
Пусть у — перемещение профиля, у = dyldt —
его скорость. Изменение угла атаки Да по ква-
квазистационарной теории при колебаниях
Aa==^w" (Ш7)
Ввиду малости у по сравнению с ФОтн при-
приращение подъемной силы
dc,, 1 „ .
ДРЯ1Т=— ¦
da
A08)
Таким образом, на участке, где -,— > 0 до а = акр эта сила будет демпфировать
колебания.
Рассмотренная схема возникновения аэродинамического демпфирования является
наиболее простой. При дальнейшем уточнении следует учитывать нестационарную
теорию обтекания, а также взаимное влияние лопаток в решетке [34, 64].
В ряде экспериментов [33, 65, 84] была обнаружена пропорциональность между
логарифмическим декрементом колебания и отношением массового критерия Ш
к критерию Струхаля k. Пример такой зависимости дан на рис. 39 [65]. Здесь т =
р&2 т CD&
= -—, k — ¦; р —массовая плотность рабочего тела; т — масса единицы длины
т иотн
профиля; Ь — хорда профиля; со — угловая частота колебаний.
262
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
Аэродинамический логарифмический декременты колебаний для стальных и
дюралевых компрессорных лопаток Фа = 0,005-ь 0,09, для пластмассовых лопаток
¦»а = 0,264-0,43.
Аэродемпфирование при аксиальных и крутильных колебаниях существенно
ниже, чем при тангенциальных колебаниях [65]. На рис. 40 приведены эксперимен-
экспериментальные зависимости &а от уровня амплитуд возмущающих сил Р (вибрационных
напряжений ад) при различных значениях
v0Til и а [1]. При нулевых и положительных зна-
значениях а B —а = 0°, 3 —а = 10°) декремент
практически не зависит от ол. При отрицатель-
отрицательных значениях « A —а = —9°30') аэродемпфиро-
аэродемпфирование растет с увеличением од [46, 64, 67].
°>361 i 1 1 Ьг—I Увеличение частоты вращения ротора при-
приводит к существенному увеличению Фа, а уве-
увеличение частоты при переходе к более высоким
0,28
0,20
0,72
О,™ -;
1
J
<t
+
l\
ft
/
/
к
Рис. 39
формам приводит к уменьшению да [67]. В аэродинамической решетке демпфирова-
демпфирование существенно зависит от сдвига фаз ср между колеблющимися лопатками. Мини-
Минимальное демпфирование соответствует ф = 0°, максимальное ф = 180°, причем при
переходе от ф = 0 к ср = 180° демпфирование может увеличиться в 4—5 раз [65].
Для первых ступеней компрессора при малых углах атаки аэродемпфирование
в 10—15 раз больше, чем демпфирование в материале лопатки. В турбинных лопатках
аэродемпфирование существенно ниже, чем в компрессорных, но в последних ступе-
ступенях некоторых турбин оно соизмеримо с механическим демпфированием.
14. АВТОКОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК
Срывной флаттер лопаток возникает на рабочих режимах, соответствующих
правому участку характеристики подъемной силы при а, > акр (см. рис. 38). Вслед-
dcy
ствие изменения знака -— величина АРад согласно формуле A08) становится положи-
тельной, и при недостаточном значении демпфирования в материале и замке лопатки
возникают ее автоколебания как с мягким, так и с жестким режимом установления
[27, 58]. Срывной флаттер обычно возникает на первых ступенях осевых компрессоров
на нерасчетных режимах и часто приводит к разрушению лопаток.
Более точные результаты при исследовании срывного флаттера дает гипотеза
нестационарное™, согласно которой переменная составляющая аэродинамической
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 263
силы ДРад следует за изменением угла атаки не мгновенно, а с некоторым запазды-
запаздыванием [65].
Решетчатый флаттер [59, 65] возникает при обтекании решетки рабочего колеса.
Характер обтекания каждой лопатки и силы, действующие на нее, зависят от движе-
движения остальных лопаток. Этот вид флаттера является наиболее опасным, так как может
возникнуть при углах атаки а < акр. На решетчатый флаттер существенное влияние
оказывает акустический резонанс в решетке [65]. Для повышения устойчивости ре-
решетки и уменьшения дестабилизирующего влияния связности применяется дина-
динамически неоднородная решетка, в которой стоящие рядом лопатки имеют разную,
частоту собственных колебаний [50]. Для узких бандажированных лопаток, где
наиболее опасным является крутильный флаттер, наиболее устойчивая решетка
получается при расположении бандажных полок на расстоянии, равном 0,8 длины
лопатки от места ее заделки [21].
Изгибно-крутильный (классический) флаттер может возникнуть при сильно
закрученных лопатках в связи с тем, что в области максимальной угловой частоты
вращения происходит сближение частот свободных колебаний первой крутильной
и второй изгибной форм [75].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ к гл. IX-XI
1. Авдеев В. Б., Воробьев Ю. С. Исследование аэродемпфирования колебаний лопаток тур-
бомашин с учетом амплитуды и угла атаки. — В кн.: Рассеяние энергии при колебании
механических систем. Киев, Наукова Думка, 1976, с. 244 — 249.
2. Аронсон А. Я., Коваленко В. А. Исследование вибрационной надежности рабочего ко-
колеса турбины Красноярской ГЭС. — В кн.: Гидротурбиностроение. М., Машинострое-
Машиностроение, 1964, № 10, с 80 — 96.
3. Бауэр В. О. Вынужденные колебания системы соосных роторов с учетом гироскопиче-
гироскопического эффекта дисков — В кн.: Прочность и динамика двигателей. М., Машиностроение,
1965, вып 2, 201—254.
4. Бедчер Ф. С. Колебание лопаток осевых компрессоров. — В кн.; Колебания и прочность
при переменных напряжениях. М , Наука, 1965, с. 87—102.
5. Ьедчер Ф. С. Исследование вибраций компрессорных лопаток. — В кн.: Прочность и
динамика авиационных двигателей М., Машиностроение, 1966, вып. 4, с. 132 — 143.
6. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М., Высшая школа, 1972.
416 с.
7. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М., Обо-
ронгиз, 1956. 151 с.
8 Биргер И. А. Вариационные методы в строительной механике турбомашин. М., Оборон-
гиз, 1959. 28 с.
9. Биргер И. А. Колебания пластин и оболочек. — В кн : Прочность и динамика авиацион-
авиационных двигателей. М , Машиностроение, 1969, вып. 5. с. 5 — 27.
10. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей машин. М.,
Машиностроение, 1966. 616 с.
П. Биргер И. А. Общий случай деформаций оболочек вращения. — В кн.: Прочность и
динамика авиационных двигателей. М., Машиностроение, 1965, вып. 2, с. 3 — 35.
12. Богомолов С. И., Журавлева А. М. Колебания сложных механических систем. Харьков,
Вища школа, 1978. 136 с.
13. Богомолов С. И., Журавлева А. М. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газо-
газотурбинных двигателях. Харьков, Вища школа, 1973. 179 с.
14. Боришанский К- Н. Рассеяние энергии при колебаниях лопаток турбин, соединенных
различными по конструкциям связями. — В кн . Рассеяние энергии при колебаниях
механических систем. Киев, Наукова Думка, 1976, с. 193 — 201.
15. Вибрации в технике / Под ред В. В. Болотина, М.., Машиностроение, 1978, 352 с.
16 Вибрация электрических машин / Н. В. Григорьев и др Л., Машгиз, 1954. 464 с.
17. Воробьев Ю. С, Медведев Н. Г. Вибрационные расчеты облопачивания осевых турбо-
турбомашин с промежуточными связями. — В кн.:Динамикам прочность машин, 1975, Вып 21,
с 45 — 53.
18. Воробьев Ю. С, Шульженко Н. Г. Исследование колебаний систем элементов турбоаг-
турбоагрегатов. Киев, Наукова думка, 1978, 134 с.
19 Григолюк Э. И. Об малых колебаниях тонких упругих конических оболочек. Изв. АН
СССР ОТН, 1956, № 6, с. 35 — 44.
20. Григоренко Я. М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной
жесткости Киев, Наукова Думка, 1973 228 с
21. ГринбергС, М. Выбор положения бандажной полки в лопатке компрессора. — Проблемы
прочности, 1974, № 10, с. 86 — 90.
. Гринберг С. М. Расчет частот изгибно-крутильных колебаний лопаток осевых компрес-
компрессоров. — В кн ¦ Расчеты на прочность. М , Машгиз, 1963, вып. 9, с. 339 — 361.
". Гуров А. Ф. Изгибкые колебания деталей и узлов авиационных газотурбинных двига-
двигателей М . Обороигиз, 1959. 359 с
¦Ч. Гуров А. Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигателях. М., Машинострое-
Машиностроение, 1965. 455 с.
264 КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБИН И КОМПРЕССОРОВ
25. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем на электронных вычислитель-
вычислительных машинах. М., Машиностроение, 1965, 367 с.
26. Диментберг Ф. М, Изгибные колебания вращающихся валов. М., АН СССР, 1965. 247 с.
27. Заславский А. Г. Анализ условий возникновения автоколебаний системы с одной сте-
степенью свободы. Прочность и динамика авиационных двигателей. М., Машиностроение,
1964, вып. 1, с. 175 — 216.
28. Зенкевич С. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975. 541 с.
29. Знаменский Н. П, Расчет круговых цилиндрических оболочек переменной толщины при
антисимметричной нагрузке. — Известия вузов, Машиностроение, 1969, № 5, с. 33—39.
30. Иванов А. В. Расчет резонансных режимов работы газотурбинных двигателей с исполь-
использованием ЭВМ. — Труды МАИ, 1972, вып. 245, с. 66 — 76.
31. Иванов В. П. Некоторые вопросы колебаний лопаточных венцов и других упругих тел,
обладающих циклической симметрией. — В кн.; Прочность и динамика авиационных
двигателей. М., Машиностроение, 1971, вып. 6, с. 113—132.
32. К вопросу о рациональном проектировании направляющих аппаратов переменного шага
/ Г. С. Самойлович и др. — Проблемы прочности, 1974, № 10, с. 75 — 79.
33. Каминер А. А., Настенко Н. Я- Исследование аэродемпфирования при колебаниях ло-
лопаточных профилей в воздушных потоках дозвуковых и околозвуковых скоростей. —
В кн.; Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев, Наукова Думка,
1976, с. 242 — 244.
34. Каминер А. А. Демпфирование колебаний лопаток турбомашин обтекающим потоком.
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Киев,
1976. 38 с.
35. Кантор Б. Я-> Филиппов А. П. Расчет изгиба секториальной пластины переменной тол-
толщины, защемленной по части дугового края на быстродействующей счетной машине. —
Механика и машиностроение, 1962, № 1, с. 121 —124.
36. Кантор Б. Я*» Усатенко Г. П. Собственные колебания лопастей поворотно-лопастной
гидротурбины. — Энергомашиностроение, 1967, № 9, с. 29 — 30.
37. Канцепольский А. А., Кемпнер М. Л. Совместные колебания лопаток турбин со свобод-
свободной кольцевой связью. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.,
Машиностроение, 1971, вып. 6, с. 132 — 156.
38. Кемпнер М. Л. Методы динамических податливостей и жесткостей для расчета изгибных
колебаний упругих систем со многими степенями свободы. — В кн.; Поперечные коле-
колебания и критические скорости. АН СССР, 1951, с. 78 — 130.
39. Кемпнер М. Л. Колебания стержня, заделанного в упругую полуплоскость. — Труды
МИИТа, 1966, вып. 225, с. 15—22.
40. Кемпнер М. Л. Динамические жесткости и совместные колебания лопаток осевых турбо-
турбомашин в поле центробежных сил. Труды МИИТа, 1971, вып. 343, с. 48 — 58.
41. Кемпнер М. Л., Ступина Н. Н. Колебания круглой пластинки постоянной толщины
с несимметричными относительно центра граничными условиями. — Труды МИИТа,
1975, вып. 476, с. 95—100.
42. Кемпнер М. Л. Совместные колебания диска и бандажированных лопаток. — В кн."
Вопросы механики в применении к железнодорожному транспорту. Труды МИИТа,
1979, вып. 643. с. 34—41.
43. Кемпнер М. Л. О применении метода динамических жесткостей к расчету совместных
колебаний лопаток осевых турбомашин. — В кн.; Вопросы прикладной механики. —
Труды МИИТа, Стройиздат, 1968, вып. 260, с. 67 — 81.
44. Кемпнер М. Л., Ефремова В. Т. Колебания бандажированных лопаток турбомашин. —
В кн.: Вопросы прикладной механики на железнодорожном транспорте и в строитель-
строительстве. Труды МИИТа, 1976, вып. 509, с. 42 — 52.
45. Коваленко А. Д, Расчет конических оболочек при антисимметричных нагрузках. Киев,
Наукова Думка, 1966, 135—212 с.
46. Коростелев А. Е. Экспериментальное исследование аэродинамического воздействия в ре-
решетке колеблющихся лопаток. — Проблемы прочности, 1974, № 8, с. 34 — 40.
47. Котеров Н. И. Колебания роторов газотурбинных двигателей в подшипниках качения
с зазорами. Автомобильные двигатели. Реферативный сборник № 3, НИИНАвтопром,
1968, с. 25 — 28.
48. Крюков К. А. Табличный метод расчета критических угловых скоростей многодисковые
роторов. — Труды МАИ, 1956, № 55. с. 5—62.
49. Кулагина В. А. Некоторые особенности колебаний лопаток в условиях вращающегося
срыва. — Проблемы прочности, 1976, № 3, с. 45 — 48.
50. Курзин В. Б. О влиянии расстройки собственных частот лопаток турбом*ашин на устой-
устойчивость их колебаний в потоке. —¦ В кн.; Лопаточные машины и струйные аппараты.
М., Машиностроение, 1969, вып. 4, с. 166 — 175.
51. Левин А. В. Рабочие лопатки и диски. М., Госэнергоиздат, 1953. 624 с.
52. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. М., Машиностроение, 1968. 271 с.
53. Матвеев В. В. Механический гистерезис и демпфирование колебаний демпфируемых тел.
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Киев,
1974. 32 с.
54. Меерович И. И. Распределение напряжений в компрессорных лопатках при колебаниях.
М., Оборонгиз, 1961. 106 с.
55. Методы расчета на прочность корпусов, оболочек направляющих и сопловых аппаратов
газотурбинного двигателя / Н. И. Котеров и др. — Труды ЦИАМ, 1977, вып. 769, с. 128—
181.
56. О демпфирующей способности елочных замковых соединений турбинных лопаток /
В. В. Матвеев и др. — В кн.: Рассеяние энергии при колебаниях механических систем.
Киев, Наукова Думка, 1972, с. 259—269.
57. Огуречников А. Н. Динамические жесткости вращающихся валов. — Труды МАИ, 195о.
№ 55, с. 93—135.
КОНСТРУКТИВНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ 265
58. Ольштейн Л. Е., Шипов Р. А. Условия возбуждения срывного флаттера лопаток ком-
компрессоров. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М., Машинострое-
Машиностроение, 1964, вып. I, с. 247 — 276.
59. Ольштейн Л. Е. Новые аспекты аэроупругости турбомашин. — Проблемы прочности
1976, № 3. с. 3—7.
60. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М., Машиностроение
1957. 336 с.
61. Писаренко Г. С, Яковлев А. П., Матвеев В, В. Вибропоглощающие свойства конструк-
конструкционных материалов. Киев, Наукова Думка, 1971. 375 с.
62. Прочность паровых турбин / Под ред. Л. А. Шубенко-Шубина. М., Машиностроение,
1973. 456 с.
63. Расчет на прочность деталей гидротурбин / А. Я. Аронсон и др. М., Машиностроение
1965. 352 с.
64. Самойлович Г. С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решеток тур-
турбомашин. М , Наука, 1969. 444 с.
65. Самойлович Г. С. Возбуждение колебаний лопаток турбомашин, М., Машгиз, 1975, 286 с,
66. Сидоренко М. К. Виброметрия газотурбинных двигателей. М., Машиностроение, 1973.
224 с.
67. Скибин В. А. Экспериментальное исследование декрементов колебаний компрессорных
лопаток. — Проблемы прочности, 1974, № 10, с. 105 —108.
68 Скубачевский Г. С. Авиационные газотурбинные двигатели. М., Машиностроение 1974,
520 с.
69. Соболева О. Н. Колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек, подкреплен-
подкрепленных ребрами жесткости. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канди-
кандидата технических наук. М., 1973. 18 с.
70. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., Строй-
издат, 1960. 129 с.
71. Ступина Н. Н. Исследование связных колебаний диска с закрученными лопатками. —
Проблемы прочности, 1976, № 3, с. 57—61.
72. Ступина Н. Н., Шорр Б. Ф. Расчет частот и форм колебаний диска с закрученными ло-
лопатками, связанными антивибрационными полками. — Проблемы прочности, 1978,
№ 12. с. 102 — 106.
73 Тюленев В. Н., Ермоленко С. П. Исследование частот и форм продольно-крутильных ко-
колебаний роторов ГТД. — Труды ЦИАМ, 1973, №. 634. 17 с.
74 Тюленев В. Н. Расчет разношаговости лопаток направляющих аппаратов. — Проблемы
прочности, 1974, № 8, с. 117 — 121.
75. Хориков А. А. О возможности возникновения «классического» флаттера рабочих лопа-
гок турбомашин. — Проблемы прочности, 1976, №'3, с. 25 — 28.
76. Хронин Д. В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. М., Маши-
Машиностроение, 1970. 412 с.
77. Хронин Д. В., Сафронов А. И. Устойчивость движения ротора в подшипниках с зазо-
зазорами. — Труды МАИ, 1975, № 245, с. 33—53.
78. Шорр Б. Ф. Изгибно-крутильные колебания закрученных компрессорных лопаток. —
В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М., Машиностроение, 1964,
вып. 1. с. 217 — 246.
79. Шорр Б. Ф. Основы теории закрученных лопаток с непрямой осью. — В кн.! Прочность
и динамика авиационных двигателей. М., Машиностроение, 1966, вып. 3, с. 188 — 213.
80. Шорр Б. Ф., Бауэр В. О., Кузнецов Е. А. Продольно-крутильные колебания роторов. —
Проблемы прочности, 1973, № 7, с. 32—38.
81. Шорр Б. Ф., Блинник Б. С, Ефремова В. Т. Определение спектра частот собственных
колебаний лопаток, объединенных полочным бандажом. — Труды ЦИАМ, 1975, № 680.
17 с.
82. Albrecht, Reitrag zur Frage Schwingung sicherheit in Resonanz schwingender der Schaufel
axialer stromungsmaschinen. Dresden Fak fur Maschinenwesen der TH, 1968. 114 S.
83. Ewins D. J. A Study Resonause Coincidence in Bladed Dischs. — Jornal Mechanical Engi-
Engineering Science, vol 12, N 5, 1970, p. 305—362.
84. Hiller H. Zur Frage Luftkraftdampfung bei SchauSelschwingungen. — Maschlnenbautechnik,
1962, № 10, S. 536 — 541.
Глава X
КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
1. КОНСТРУКТИВНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
Конструктивные схемы дисков паровых (рис. 1, а) и газовых (рис. 1, б) турбин
показаны на рис. 1. При колебаниях происходит взаимодействие дисков и лопаток;
в большинстве случаев необходимо рассматривать связанные колебания. Лопатки
паровых турбин могут иметь один или несколько рядов бандажных (проволочных)
266
КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
связей; лопатки газовых турбин часто имеют кольцевой бандаж по наружному кон-
контуру. Конструктивные схемы дисков осевых компрессоров приведены на рис. 2.
Связь по ободам дисков применяют для уменьшения колебаний.
Рис. I
Рис. 2
Лопатки компрессоров иногда связываются кольцевым бандажом. При колеба-
колебаниях дисков в качестве расчетной схемы используют тонкую круглую пластинку
переменной толщины; лопатки рассматривают как стержни переменного сечения.
2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
В соответствии с гипотезой жесткой нормали рассматривается основная поверх-
поверхность диска, перемещения которой в направлениях г, 6 и г (рис. 3) обозначаются
u°r, ul и w°"
Рис. 3
В слое на расстоянии z перемещения
dw
dm
Рис. 4
7 = w.
Изгибающие и крутящие моменты (на единицу длины сечения, рис. 4)
r-= j a,zdz; Mq= § oezdz;
— б, —6t
= — $ тг9г Az,
— б,
О)
B)
где 6j и б2 — расстояния торцовых поверхностей диска до основной поверхности
(плоскости), которая выбирается из условия
C)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ДИСКА ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ 267
где Е = Е (г, z) — модуль упругости материала, в общем случае зависящий от
координат гиг. При постоянном по толщине диска модуле упругости основная по-
поверхность совпадает со срединной.
Моменты и усилия, приложенные к элементу диска, показаны соответственно
на рис. 4 и 5. Усилия в плоскости диска предполагаются осесимметричными; каса-
касательными усилиями пренебрегают, так как частота крутильных колебаний диска
существенно выше частоты его изгиб-
ных колебаний.
¦ Ч 4"г"
J
Рис. 5
Рис. в
Напряженное состояние в плоскости диска при указанных предположениях
следует считать не зависящим от изгибных колебаний.
Краевые условия. На внутреннем контуре г = Ra (рис. 6) при жестком закреп-
закреплении
ш=0,
dr
при шарнирном закреплении
при свободном закреплении
ш=0, Мг=0;
гдв
= 0,
D)
E)
F)
где Vr — обобщенная перерезывающая сила.
На наружном контуре диска (г = R^) краевые условия выражают взаимодей-
взаимодействие диска и лопаток:
,= МГЛ; Vr=Vrjl.
G)
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИИ ДИСКА
ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ
Вариационные методы основаны на минимизации полной потенциальной энергии
системы.
В большинстве практических задач можно принять прогиб диска
w (г, 6, t) = ш (г) cos mb cos pt.
(8)
где р — круговая частота собственных колебаний; т — число узловых диаметров.
Значения w (r) и соответствующие значения других параметров будем называть
амплитудными.
268 КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Полная потенциальная энергия диска [8]
<ъ=э-т1-та-тя=~
dw
~dT
dw\4
\IF.
0)
где Qn, Mr$t и Mn — амплитудные значения силовых факторов на наружном кон-
контуре диска, возникающих от инерционных сил лопаток (рис. 7).
Лопатки предполагаются одинаковыми и равномерно распределенными по ободу
диска. Собственные частоты колебаний диска с лопатками определяются из условия
минимума полной потенциальной энер-
энергии Ф.
Необходимое условие существования
минимума выражается равенством нулю
вариации функционала:
М,
6Ф = О. A0)
Для решения вариационного уравне-
уравнения A0) применяют два основных мето-
метода — Ритца и Куранта.
Метод Ритца. Амплитудный прогиб
диска представляется в виде
Рис. 7
где ф; (г) — заранее выбранные функции, удовлетворяющие кинематическим усло-
условиям закрепления диска; щ — неизвестные параметры.
Например, при заделке на внутреннем контуре диска принимают
ф;(К0) = 0, -^-(Я0) = 0. A2)
В качестве ф (г) можно использовать степенные полиномы
ортогональные полиномы или другие функции.
Если по условиям вычислительной техники расчет должен быть проведен при
небольшом числе функций ср^ (г), то можно принять их пропорциональными прогибу
стержня единичной толщины, высота сечения которого равна толщине диска:
J\0 H.Q
A3)
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЖЕСТКОСТИ ЛОПАТОК 269
Обычно достаточная точность получается при использовании двух-трех указан-
указанных функций. В силу соотношений A1) полная потенциальная энергия зависит от
параметров а^:
Ф = Ф(ах, а2, ..., ап).
Условие минимума
i = l, ..., п A4)
приводит к системе однородных алгебраических уравнений относительно а,; равен-
равенство нулю определителя системы дает уравнение для определения частот колебаний.
Так как условие A1) при конечном числе членов содержит, в сущности, допол-
дополнительные связи, то все расчетные частоты получаются несколько выше истинных
Вариационно-разностный метод Куранта. Диск разбивают на п сечений, причем
на участке от л; до г^+1 прогиб диска представляется полиномом второй степени.
( = 1, .... л-1), A5)
где
Vl-i — ri)Vi-i — rt+i)'
A6)
Полином A5) проходит через точки с прогибом гю^г, wi, W{+1 в сечениях ri_lt
П. rin-
Для начального участка (i = 1) значения w0 и г0 принимают условно в соответ-
соответствии с краевыми условиями. Если при гх = Ro имеется жесткая заделка, то полагают
w0 = w-l — 0, г0 = гх — До, где До ~ @,01н-0,05) (Ri —• Ro) — протяженность ма-
малого участка между двумя закрепленными точками диска.
При шарнирной заделке ш± = 0 можно принять ш0 = — w2, r0 = гх — До, гДе
Ао = Ч — ri-
В силу соотношений (9) и A5)
O = O(w1, w2, ..., wn) A7)
условие минимума
приводит к системе однородных уравнений относительно wi и частотному уравнению
для определения р.
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЖЕСТКОСТИ ЛОПАТОК
Определения. Метод динамических жесткостей применяют для анализа колеба-
колебаний лопаток совместно с другими элементами конструкций (дисками, бандажными
связями).
Если совершаются вынужденные линейное и угловое смещения корневого сече-
сечения незакрученной лопатки (рис. 8)
| @, t) = | @) cos pt; -J. @, 0 = -J- @) cos pt,
то должны быть приложены усилия
Qlo @ = Qgo cos pt; Mno @ = Мца cos pt.
270 КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Между амплитудами усилий и смещений имеются зависимости
Qjo = /Си (Р) I @) + /С12 (Р) -§¦ @);
A9)
Коэффициенты /С;/ (р) в последующих уравнениях называются коэффи-
коэффициентами динамической жесткости или, короче, динамическими жесткостями.
При повороте корневого сечения лопат-
лопатки вокруг оси г между амплитудами кру-
крутящего момента Мт и угла поворота 6 @)
существует зависимость
Жк0 = Д;зз(Р)в@)- B0)
В большинстве практических задач от-
отсутствует существенная связь изгибных и
крутильных колебаний лопаток. Поэтому
обычно принимают
рис. 8 К13 (р) = Ki3 (р) = К31 (р) = Кз2 (Р) = 0.
Динамические жесткости жесткой лопатки. Для жесткой (недеформирующейся
при колебаниях) лопатки в равенствах A9) и B0) следует принять
где
Лзз (р) =— p2i
J
/л = j Fdr,
R,
Ri)Fdr;
¦J.
i
,dr,
B1)
B2)
^л> Sj,, /л — соответственно объем, статический момент и момент инерции лопатки
относительно ее корневого сечения; Jрл — полярный момент инерции относительно
радиальной оси; учитываются замковая и бандажная части лопаток.
Приближенные выражения динамических жесткостей упругой лопатки. Лопатка
рассматривается как одномассовая динамическая система, обладающая изгибными
частотами колебаний в главных плоскостях жесткости и крутильной частотой.
Приближенно можно принять изгибные динамические жесткости лопатки в виде
sin2 acp cos2 acp
Pi
in
B3)
где Kfj (p) — динамические жесткости жесткой лопатки [см. формулы B1)]; Pij,
Рщ — первые частоты изгибных колебаний лопаток в плоскости наименьшей и наиболь-
наибольшей жесткости с учетом влияния центробежных сил и угла установки лопатки; аср —¦
средний угол поворота главных осей сечения лопатки.
Соотношения B3) можно использовать для лопаток не очень большой гибкости,
у которых частота изгибных колебаний в поле центробежных сил превышает частоту
колебаний невращающейся лопатки не более чем в 1,5 раза.
Крутильная динамическая жесткость
Кзз (Р) = - Р2Р/РЛ ~г-, B4)
где
первая крутильная частота.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЖЕСТКОСТИ ЛОПАТОК
271
Динамические жесткости лопатки постоянного сечения. Рассматриваются колеба-
колебания незакрученной лопатки постоянного сечения, установленные в диске под углом
а. Влияние центробежных сил на частоту колебаний не учитывается.
Динамические жесткости
B5)
где F — площадь поперечного сечения; J^ — момент инерции сечения.
Для динамических жесткостей при колебаниях в другой главной плоскости
формулы B5) остаются справедливыми, но величина J^ в равенстве B6) заменяется
на Jt.
Динамические жесткости лопат-
лопатки в осевой плоскости. Пусть ло-
лопатка установлена под углом а
(рис. 9), и ее естественной закрут-
закруткой можно пренебречь. Тогда между
динамическими жесткостями лопат-
лопатки в осевой плоскости и главных
плоскостях существуют зависимо-
зависимости [8]
+ K$ip)caPa... B6)
Изгибные динамические жест-
жесткости жесткой лопатки не зависят
от угла ее установки:
Mr,
Рис. 9
Динамические жесткости лопат-
лопатки переменного сечения (прибли-
(приближенный способ определения). Используется уравнение типа B) гл. IX, учиты»
вающее смещение в корневом сечении лопатки
(г) =.
R R
t dr3 dr2
'з
где /„ (г) = 1; ft (г) = г — r0.
Решение уравнения B7) представляется в виде
где
r) I @) + h (/•) ^r @)*
B7)
B8)
B9)
fi — интегральный оператор уравнения B7).
272
КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Степень оператора означает повторное применение оператора. С помощью выра-
выражений
R R R
Го Г„ Г,
получаются выражения динамических жесткостей
R
Ки(р) = — Рг \ pFO0dr,
>ЛР) = К21{р) = -р*) pFOjrf/-;
Го
R R
i2(p)=—рЧ "
C1)
Для учета упругости лопатки достаточно сохранить три-четыре члена ряда.
Приведенные зависимости справедливы для р < ръ так как только при этом условии
ряды B9) являются сходящимися.
Динамические жесткости лопатки переменного'сечения (общий случай). Исход-
Исходным является нормальное интегральное уравнение
C2)
где
\ 1 2 — °
Решение уравнения C2) выражается сходящимися рядами
C3)
C4)
t" = 0, 1, 2, 3.
В самом общем случае краевые условия на внешнем конце лопатки будут
E (К) = -
M4 (R) = P2
dr,
l0 = cnl (R) + c12 -
Га
; dr2 drx — М^о + Q|o? = c21g (R) + c2.
C5)
где ctl — динамические жесткости присоединенной системы (бандажа); I — длина
лопатки. Для свободного конца лопатки с,, = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ДИСКА С ЛОПАТКАМИ
С помощью C3)—C5) получаются динамические жесткости
Qi/> = Кп (р) % @) + К12 (Р) ~ @) + хи (р) | (К) + х1а (р) -^ (R),
Л*по = Кл (Р) g @) + К22 (р) -0- @) + и21 (р) | (/?) + х22 (р) -^ (R),
(p) = Kn (p) = - -j
273
C6)
f <Df + Ф?* Ф» ;
хц (р) = Хи (р) = --j [A -Ф?*)си-Ф.Гс22];
C7)
? + Ф*Ф*
В последних равенствах
Ф(* =
J f
i = 0, I, 2, 3.
C8)
C9)
При определении Ф, в рядах C4) следует сохранять не менее 2k + 1 членов
(k — номер частоты, для которой р > р^). Например, если р больше второй частоты
колебаний лопатки, то следует учитывать не менее пяти членов.
Приведенные результаты справедливы и для изгибных колебаний в плоскости
наибольшей жесткости, после соответствующей замены обозначений,
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА
С ЛОПАТКАМИ
Расчетная схема. Диск с лопатками с точки зрения строительной механики
относится к классу дискретно-континуальных систем. При расчете таких систем
производится континуализация набора лопаток. Воздействие лопаток на диск пред-
представляется в виде сил (Qrl) и моментов (Мп, М^), распределенных вдоль окружности
Диска радиуса Rt.
Амплитудные значения сил и моментов связаны с амплитудными значениями
перемещений и углов поворота следующими зависимостями:
D0)
(Р)
дш
274
КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Множитель zl2nRt в равенствах D0) переводит воздействия от г лопаток в распре-
распределенные по ободу силы и моменты (на единицу длины).
Жесткие лопатки. При использовании в равенстве A1) одной координатной
функции ф! = ф на основании (9), A4), B1) и D0) имеем
Мф)
D1)
где
, dr + »
D2)
Lh (ф) = у
При заделке диска по внутреннему контуру можно принять
D3)
-
D4)
В общем случае следует принять
D5)
Расчет проводится при различных s и выбирается то значение s, которое обеспе-
обеспечивает минимальную частоту колебаний по формуле D1). В приближенных расчетах
можно принимать s = 2.
Для расчета диск и лопатки разбивают по радиусу на ряд расчетных сечений
(обычно число сечений 10—50), при численном интегрировании используют метод
трапеций. Расчет проводят для различных значений числа узловых диаметров
/n(m = 0, 1, 2, 3...).
Формы колебаний дисков с большим числом узловых диаметров (т >; 10) обычно
не проявляются.
Упругие лопатки. Если частота совместных колебаний диска с жесткими лопат-
лопатками близка с одной из частот колебаний лопатки, заделанной в корневом сечении,
то расчетная схема должна учитывать упругость лопаток.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ДИСКА С ЛОПАТКАМИ 275
Полная потенциальная энергия на основании (9) и D0)
я
Л.
1 dw\*T\ , , я ("'г , М»\!
1
л С Г .
T \ Lff
«0
Rt
J Л^- dr + -? [Ku (P) Ш* (Rx) + 2^X2 (P) Ш (Rl) -^ (Rl) +
(p) ~ W* (tf x)]. D6)
Так как амплитудный прогиб диска
¦). D7)
то из условия дФ/ddi = 0, t = 1, ..., п получаем систему однородных уравнений
[«//]{«•} =0. D8)
где элементы матрицы
4(«)''-jJ(w+t<p;-^/j-
¦1
р%Фул dr+Y [Ки (Р) фг (R0 ф/
(Р)
^J- фг (Ri)ф/ (Ri)], («". / = Г^).
Частоты колебания диска с лопатками находят из условия равенства нулю
детерминанта матрицы уравнения
I«/7I = F(P) = O. D9)
Практический интерес представляет низшая частота колебаний, соответствующая
(при данном числе узловых диаметров) колебаниям с одной узловой окружностью.
Обычно для отыскания корней уравнения D9) вычисляют значения F (р), задаваясь
различными р, и прослеживают перемену знака функции.
Приближенное значение корня по двум значениям F (р) определяется из равен-
равенства
F (Pi2i)P(ii— F (P<n)Pi2i ,,-m
Р F(P2)F(P) * E0)
276
КОЛВБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Формула E0) обеспечивает достаточную точность, если sgn F (рA>) ?= sSn F (PBi).
а значения рB> и рш близкие.
Лопатки с бандажными связями. Рассматриваются лопатки, связанные круговой
бандажной связью. В качестве расчетной схемы для бандажа принимается криво-
криволинейный стержень (кольцо), обладаю-
обладающий изгибной и крутильной жесткостя-
ми (рис. 10).
Динамические жесткости лопаток
определяют с учетом взаимодействия
с круговым кольцом. В сечении лопатки,
через которое проходит бандаж, возни-
возникают силы и момент, линейно 'зависящие
от смещений и угла поворота. Эта зави-
зависимость в матричной форме имеет вид
Q = KY,
где QT = (Qr, Ne, Qz, Me);
E1)
r = («, v, w,
Рис. 10
Ne, Qr, Q/ — нормальная и перерезываю-
перерезывающие силы соответственно; Мд — изгибаю-
изгибающий момент; v, u, до, 8 — соответствующие этим силам и моменту смещения и угол
поворота; Т — знак транспонирования.
Ненулевые элементы матрицы динамических жесткостей определяются следую-
следующими равенствами [42, 69]:
\ к
Щ
—к ——Ifj m j-ff\ m ¦
'к I гк
v^-)'-f
= EJrl — \ +EJe-yi
m?
E2)
где rK — радиус срединной поверхности бандажного кольца; Е, G — модули упру-
упругости первого и второго рода; Е, Jz, Jг, У9 — площадь, осевые и полярный моменты
инерции сечения кольца.
В большинстве практических расчетов массу бандажа считают присоединенной
к лопатке и учитывают только статическую жесткость связей.
Приближенные оценки влияния кругового бандажа. В первой расчетной схеме
не учитывается жесткость бандажных связей и бандаж рассматривается как присо-
присоединенная масса. По расчету получаются нижние оценки частот колебаний
системы.
Во второй расчетной схеме бандаж считается абсолютно жестким, что соответ-
соответствует запрещению смещений по окружности бандажа. По расчету получаются верхние
оценки частот колебаний системы.
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ДИСКА 277
6. ДАЛЬНЕЙШИЕ УТОЧНЕНИЯ И МОДИФИКАЦИИ
ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА РАСЧЕТА
ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДИСКОВ
Учет изгибно-крутильной связанности колебаний лопаток. При наличии изгибно-
крутильной связанности гармонические смещения основания лопатки вызывают
ее крутильную деформацию, и наоборот.
Основной причиной связи изгибных и крутильных колебаний является естест-
естественная закрутка лопатки (поворот главных осей концевых сечении относительно
корневых). Указанная связь возникает также в результате несовпадения центров
тяжести и жесткости сечений лопаток, однако вторая причина не является сущест-
существенной. При учете изгибно-крутильной связанности прогиб диска
w (г, 9, t) = (ш (г) cos тв + w* (r) sin mb) cos pt. E3)
Подобные выражения имеют все другие деформационные и силовые факторы.
Для нахождения решения методом Ритца предполагается
и> (Г, б)= 2] (aicPi (г) cos тв + а*ф* (г) sin тв), E4)
»=1
где фг (г), ф* (г) — заранее выбранные функции; а„ а* — параметры, подлежащие
определению.
Учет изгибно-крутильной связанности лопаток имеет практическое значение
для длинных и широких небандажированных лопаток при большом угле естественной
закрутки (ее (R2) —a (RJ > 30°).
Применение вариационного метода расчета колебаний диска при наличии изгиб-
изгибно-крутильной связанности лопаток рассматривается в работе [18].
Учет неоднородности лопаток. В обычном расчете предполагается, что все ло-
лопатки имеют одинаковые динамические характеристики.
Для рабочих лопаток разброс частот колебаний (по первой изгибной форме)
порядка 3—10% из-за технологических отклонений. При наличии неоднородности
лопаток динамические жесткости зависят от угла 6у, характеризующего положение
/-й лопатки. При вычислении работы краевой нагрузки проводится суммирование
по всем лопаткам, прогиб диска принимается по формуле E3). Расчет позволяет
выявить рассеяние переменных напряжений в лопатках. Методика расчета рассмот-
рассмотрена в работе [31].
Уточнение расчетных моделей диска и лопаток. При уточнении расчетной модели
диска обод диска и ступица рассматриваются как кольцо (при отсутствии радиальных
смещений [13, 51!). Такое уточнение имеет практическое значение, если толщина
обода или ступицы в 5—6 раз превышает толщину полотна диска. Для ступицы ука-
указанное уточнение обычно несущественно.
В работе [18] учитывается влияние сдвига при изгибе пластинок, что может
заметно повлиять на частоту колебаний только при относительной толщине диска
(Л?! > 0,2) или при большем числе узловых диаметров (т > 6). Модели стержня
усложняются из-за более полного учета естественной закрутки [78, 79], стесненного
кручения, касательных напряжений кручения и изгиба [18].
Вариационно-динамический метод изложен в предыдущих разделах. В этом
методе взаимодействие диска и лопаток учитывается с помощью динамических жест-
костей. Метод позволяет провести расчленение динамической системы, достаточно
прост и нагляден.
Глобальный вариационный метод. В этом методе применяется общее (глобальное)
вариационное уравнение для системы диска и лопаток. Единый функционал записы-
записывается для диска, лопаток и бандажных связей с выбором соответствующих функций
для описания деформаций элементов системы. Функции должны удовлетворять усло-
условиям сопряжения, учитывающим совместность деформаций диска, лопаток и связей.
Метод обладает широкими возможностями описания влияния бандажных связей,
но более сложен по своей структуре.
Вариационно-разностный метод указан в п. 3. Метод весьма перспективен, не
требует использования ЭВМ с большой памятью и быстродействием.
278 КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА
МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Основные уравнения. Рассматриваются колебания дисков с узловыми диамет-
диаметрами и окружностями, при которых прогибы срединной поверхности дисков опре-
определяются соотношением (8).
Соответств) ющие этим прогибам силовые факторы
Mr— Mr (r) cos тв cos pt; Qr = Qr (r) cos тв cos pt, 1
Mq = Mq (r) cos тв cos pt; Qq = Qq (r) sin mfl cos pt; J- E5)
(r) sin тв cos pt- J
Система уравнений в частных производных заменяется системой обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно амплитудных факторов w (г), Мг (г), ...
В качестве основных переменных целесообразно принять прогиб w (r), угол поворота
нормали (производную прогиба) w' (г), радиальный изгибающий момент Мг (г)
и полную радиальную перерезывающую силу Vr (r).
Приняты следующие обозначения.
w(r)=yl(r), -^-(r) = jfr(r); Mr(r) = y,(r);
E6)
Vr (r) = Qr (г) + _ Мгв (г) = yt (г).
Силовые факторы выражаются через основные переменные
Мг = Уз С03 т® cos pt>
j cos тв cos pt;
= — D A—v)m [~уг — -^ уЛ яптв cos pt.
Получаем систему четырех уравнений первого порядка:
Y' = AY, E7)
где YT = {ух, уг. Уз, у4) — вектор неизвестных параметров; штрихом обозначено
дифференцирование по радиусу г; верхний индекс Т — знак транспонирования,
Ненулевые элементы матрицы А определяются следующими равенствами:
. vm2 v 1
а12=1, <hi — —ps-' аза== у< а2з = —-^-,
32 =
1-v .
а 1
а33 —
ап = - -^j- A - v) B + т* + vm?) - ^ (Ne - vNr
au = _^1 (l _ V) C -f v)+у (NQ - vNr) -
Краевые условия. На внутреннем контуре (г — Rq, см. рис. 6) при жестком
закреплении
№0 0, E9)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 279
при шарнирном закреплении
й(Я) = 0; ЫКо) = О; F0)
при отсутствии связей
й№)=0; й№) = 0. F1)
На наружном контуре (/¦ = JRt, рис. 6) из условия взаимодействия лопаток
и обода диска
У* (Ri) = Кп (Р) -—¦ i/i «,) + К22 (р) -~-у2 (ЛО ; F2)
№ №) = Qr + ~ Мгв = Кп (Р) ~-щ- У! (ДО + К„ (Р) -—;- № (#i) +
(*) <63)
При отсутствии связей на наружном контуре
й№)=0; й№) = 0. F4)
Расчет по методу начальных параметров [6, 7]. Уравнение E7) имеет собственные
значения р\, р|, ..., представляющие собой квадраты (круговых) частот колебаний
диска. Общее решение уравнения E7) содержит четыре линейно независимых частных
решения, причем собственные значения находятся из краевых условий. При однород-
однородных краевых условиях в «начальном сечении» г = Ro дотаточно сохранить два частных
решения, удовлетворяющих этим условиям,
Y(r) = c1Y1(r)+c2Y(r), F5)
где Cj, c2 — произвольные постоянные;
^1(г) = (Уп, иг. Уы> Уи) и Yj(r) = (i/21> yn, y^, y2i) F6)
— частные решения уравнения E7), удовлетворяющие краевым условиям при
При начальных условиях E9) следует принять
УЦЯо) = (О. 0, 1, 0), Y?(tfo) = @, 0, 0, 1); F7)
при условиях F0)
*1(До) = @, 1, 0, 0), YJ(K,) = (O, 0, 0, 1). F8)
Для определения решений Yt (r) и Y2 (r) система уравнений E7) интегрируется
численно при заранее выбранной величине р.
Начальные значения принимаются в соответствии с равенством F7) или F8) (в за-
зависимости от краевых условий при r — R0). Краевые условия при r = Rx [условия
F2) и F3)] приводят к двум однородным уравнениям относительно сх и с2. Частота
р колебаний определяется из условия обращения в нуль детерминанта системы:
F (р) = ЛиА22 — А12А21, F9)
где
G0)
Аи=г/ц—о„а (#2i (p) г/n + #22 (p) г/12);
i (P) УпУ,
а12=г/гз —о^б- (#2. (р) г/21+#22 (р) г/s
280
КОЛЕБАНИЯ ТУРБИННЫХ И КОМПРЕССОРНЫХ ДИСКОВ
Величины A{j вычисляются для заранее выбранного значения р. Величины yit в ра-
равенствах G0) соответствуют решениям F6) при г = Rx и также соответствуют при-
принятому значению р.
Корни частотного уравнения F9) определяются с помощью вычисления функции
F (р) при различных значениях р [см. уравнение E0)].
Дальнейшие уточнения. В работе [13] система уравнений, описывающих дефор-
деформацию диска, дополняется учетом деформаций колец (обода, промежуточных коль-
кольцевых подкреплений). Общая система дифференциальных уравнений (в матричной
форме) описывает и колебания лопаток с учетом их естественной закрутки. В работе
[71] рассматривается полная система уравнений колебаний диска и лопатки, которая
содержит 28 уравнений первого порядка. Учитываются влияния изгибно-крутильной
связанности колебаний лопатки и центробежных сил. Указанное рассмотрение
дополняется в работах [42, 72] учетом бандажных связей.
S-W
8. ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИЙ ДИСКОВ
ОСЕВЫХ КОМПРЕССОРОВ И ТУРБИН
Формы колебаний. Решение (8) уравнений колебаний показывает, что при коле-
колебаниях образуются узловые диаметры и окружности. Они наблюдаются при экспе-
экспериментальном определении частот и форм колебаний в лабораторных условиях [13].
При наличии изгибно-крутильной связанности колебаний лопаток узловые диаметры
незначительно искажаются [41]
Уравнения колебаний дисков
решаются при определенном, за-
заранее выбранном числе узловых
диаметров т.
Первая (низшая) частота коле-
колебаний соответствует наличию одной
узловой окружности, вторая часто-
частота — двум узловым окружностям
и т. д. Такая схема реализуется
в дисках с короткими жесткими
лопатками. При длинных лопатках
вторая узловая окружность может
проходить по лопаткам или иска-
искажать свою форму. Естественно, что
формы колебаний при разных ча-
частотах должны удовлетворять уело
виям ортогональности при колеба-
колебании упругих систем, работа инер-
инерционных сил диска и лопаток при
колебаниях с частотой р,- на смеще-
смещениях ft-й формы колебаний должны
равняться работе инерционных сил
при колебаниях с частотой р^ на
смещениях i-й формы. Если число
узловых диаметров т = 0, то формы
колебания называются осесимметри-
чными, или зонтичными; при нали-
наличии узловых диаметров—веерными.
Частоты колебаний. На рис. 11 в двойных логарифмических координатах даны
зависимости между относительной частотой колебания р и числом узловых диаметров
диска т при лопатках различной жесткости [83]. Для длинных гибких лопаток
(кривая 1) деформация диска влияет на частоты совместных колебаний только при
малом числе узловых диаметров т. При т > 6 эти частоты практически совпадают
с парциальной частотой изолированной лопатки. Для коротких жестких лопаток
(кривая 2) частоты совместных колебаний при малом т близки к частотам колебаний
диска (кривая 4). Промежуточное положение занимают лопатки, соответствующие
1
1
A
4ir
/i
7 /
/ /
/
•—-
с
/
/
3
/
—<
* i
'2
T'
I/
У
I
—i
/
1
7
4
¦ S в 7 8 9101
Рис. И
2 0' т
ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИИ ДИСКОВ 281
кривой 3. Короткие лопатки (кривая 2) колеблются как жесткие стержни на упругом
основании. Такие колебания трудно обнаружить при тензометрировании лопаток на
двигателе, а именно они бывают причиной разрушения диска.
Некоторые общие свойства спектра колебаний диска с лопатками:
1) при данном числе узловых диаметров т имеется дискретный спектр собствен-
собственных значений (частот колебаний) plm, p2m, ..., наибольшее практическое значение
имеет низшая частота р1т;
2) по мере увеличения числа узловых диаметров т = 1, 2, 3 низшая частота
колебаний р1т возрастает и стремится к низшей частоте колебаний лопатки при заде-
заделанном корневом сечении (прямые 5—7); исключение составляет незакрученная
лопатка, установленная точно под углом а = 0; в этом случае частота совместных
колебаний стремится к частоте лопатки при изгибных колебаниях в плоскости наиболь-
наибольшей жесткости или к частоте крутильных колебаний. Указанный случай практи-
практически встречается редко;
3) при наличии круговой бандажной связи, обладающей жесткостью на изгиб
и кручение, и возрастании числа узловых диаметров низшая частота совместных
колебаний стремится к частоте лопатки, заделанной в корневом сечении и по окруж-
окружности бандажной связи.
Условия возбуждения. Колебания диска могут возбуждаться неподвижными
(в пространстве) неравномерностями поля давления. Условие возникновения резо-
резонансного состояния
где со — угловая скорость диска, при которой происходит этот резонанс, с;
р ¦— угловая частота колебаний диска; т — число узловых диаметров.
В другой форме условие G1) имеет вид
*-ш-Ь G2)
где пл — частота вращения диска, об/с; / ¦— частота колебаний, Гц.
При резонансном возбуждении узловые диаметры остаются неподвижными
в пространстве (вдоль окружности образуется неподвижная стоячая волна).
Работа в условиях резонансного возбуждения, особенно при т = 2-г-6, крайне
опасна и возможна только при наличии существенного демпфирования. Колебания
с одним узловым диаметром практически не возбуждаются, так как при этом вовле-
вовлекаются в колебания опоры. Не возбуждаются и формы колебаний диска с числом
узловых диаметров т > 10. Точнее, при большом числе узловых диаметров в самом
диске не возникает значительных динамических напряжений, так как парциальная
частота диска оказывается очень высокой. Осесимметричные колебания диска (т = 0)
могут возбуждаться пульсирующим давлением, однако такое возбуждение регуляр-
регулярного характера встречается редко.
При осесимметричных колебаниях, так же как и при колебаниях с одним узло-
узловым диаметром, инерционные силы не самоуравновешены, что приводит к вовлече-
вовлечению в колебания других элементов и дополнительному демпфированию.
Список литературы см. стр. 263 — 265.
Глава XI
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ РОТОР —КОРПУС
ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Транспортный газотурбинный двигатель представляет собой сложную развет-
разветвленную систему ротор—корпус—подвеска, способную совершать колебания раз-
различных видов. Максимальное облегчение конструкции привело к тому, что колеба-
колебания отдельных его узлов нельзя рассматривать изолированно от всей системы, На-
282
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
личие вращающихся с различными скоростями валов, непосредственно не связанных
между собой, создает специфический характер возбуждения.
Рис. 1
Рис. 2
Современные транспортные газотурбинные двигатели (авиационные, автомо-
автомобильные, судовые и др.) в зависимости от числа роторов разделяются на одноваль-
ные, двухзальные и трехвальные. Конструктивные схемы двухвального и трехвал!*-
ного двигателей представлены соответственно на рис, 1 и 2,
2. ВИДЫ И ИСТОЧНИКИ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИИ
И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
СИСТЕМЫ
РОТОР—КОРПУС ТРАНСПОРТНОГО
ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Изгибные колебания системы роторы—корпус—подвеска вызываются неурав-
неуравновешенными центробежными нагрузками вращающихся роторов, несоосностями
опор, технологическими несовершенствами соединительных деталей роторов, нару-
нарушениями центровок деталей, температурными деформациями и т. д. Эти колебания
являются основными, а их частоты равны или кратны частотам вращения роторов.
При составлении расчетной динамической схемы двигателя моделирование
инерционных характеристик ее элементов не вызывает затруднений, так как частоты
высших форм собственных колебаний подсистем, входящих в расчетную схему,
обычно располагаются значительно выше расчетного диапазона частот всей системы.
Многодисковый ротор может быть заменен эквивалентной системой со значительно
меньшим числом дисков путем их объединения. Валы и корпуса представляются
в виде систем с распределенной массой или в виде цепных дискретных систем. Иногда
валы считаются безынерционными, упругими.
Значительно большие затруднения вызывает определение жесткостей элементов
расчетной схемы. Затруднения возникают из-за сложности конструктивных форм и
наличия значительного числа соединений. Расчетным путем эти жесткости иногда
получить не удается.
ВИДЫ И ИСТОЧНИКИ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ
283
Тонкостенные элементы конструкции схематизируются в виде оболочек, пла-
пластин, колец Детали, соединяющие подшипники с наружными корпусами, считаются
упругими безынерционными. Их массы присоединяются к массам корпуса и опор
подшипников. Учитываются податливости подшипников и упругодемпферных уст-
устройств. При консольном креплении дисков к валам учитываются податливости по-
полотен дисков при их деформировании из плоскости. В таком случае также можно
применять дискретные модели (рис. 3) [13, 76]. Лопатки в большинстве случаев можно
считать абсолютно жесткими. Последнее допущение нарушается иногда для лопаток
большого удлинения первых ступеней вентилятора и последних ступеней турбины.
На рис. 4 приведена расчетная схема для определения изгибных колебаний
двухвального двигателя (цифрами 1—4 соответственно обозначены корпус, роторы
низкого и высокого давления и подвеска двигателя).
Крутильные колебания роторов (для турбовинтового
двигателя — крутильные колебания системы ротор —
редуктор — винт) вызываются пульсациями давления
в газовоздушном тракте, для ТВД — винтовыми гармо-
гармониками, зубчатыми зацеплениями в редукторах и т. д.
При возбуждении колебании пульсациями давления ча-
частоты колебании могут быть не кратными частотам вра-
вращения роторов. Колебания роторов многовальных двига-
двигателей рассматриваются изолированно друг от друга. Для
расчета крутильных колебаний роторы схематизируются
общепринятым образом в виде цепных дискретных систем.
При определении высших форм колебаний учитываются
Рис. 3
Рис. 4
влияния лопаток вентиляторов и последних ступеней турбины, представляемых
в виде закрученных стержней.
Совместные продольно-крутильные колебания валов, дисков и лопаток роторов
возбуждаются пульсациями давления в газовоздушном тракте, винтовыми гармони-
гармониками (для ТВД) и зубчатыми передачами Связанность продольно-крутильных коле-
колебаний роторов вызывается тем, что инерционные нагрузки, возникающие при коле-
колебаниях лопаток, установленных под углом к плоскости вращения, создают продоль-
продольные усилия и крутящие моменты, действующие на диски.
При определенных соотношениях амплитуд продольных и крутильных коле-
колебаний возможны нелинейные эффекты, проявляющиеся в возбуждении резонансных
колебаний с частотой, вдвое большей или меньшей, чем частота пульсации [73, 80].
При составлении расчетной схемы диски при кручении можно считать абсолют-
абсолютно жесткими. Необходимо учитывать связанность в продольном направлении колеба-
колебаний роторов, соединенных опорно-упорными подшипниками, изгибные податливости
Дисков при деформациях «зонтичного» типа, податливости валов, цапф и деталей,
осуществляющих связь подшипников с корпусом, а также влияние лопаток, как
естественно-закрученных стержней.
На рис. 5, а показана расчетная схема ротора низкого давления двигателя, пред-
представленного на рис. 1, и одна из форм его колебаний (рис. 5, б, где 1 — эпюра углов
поворота сечений вала).
Маятниковые колебания роторов в подшипниках с зазорами могут быть как
вынужденными, так и автоколебаниями.
284
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Вынужденные колебания вызываются неуравновешенными центробежными на-
нагрузками Их частоты равны или кратны частотам вращения роторов. Маятниковые
резонансные колебания обычно низкочастотные и опасности не представляют.
Рис 5
Маятниковые автоколебания поддерживаются силами трения, возникающими
при проскальзывании тел качения или аэродинамическими нагрузками в проточной
части и в уплотнениях. Частоты колебаний с частотами вращения роторов не свя-
связаны. Маятниковые автоколебания могут возникать в рабочем диапазоне режимов и
при совпадении их частот с частотами соб-
собственных колебаний элементов конструкции
объекта могут привести к появлению неже-
нежелательных эффектов.
Для практических расчетов используют-
используются следующие допущения
— радиальные зазоры в роликоподшип-
роликоподшипниках заменяются маятниковыми связями;
длины маятников равны суммарным радиаль-
радиальным зазорам в подшипниках с учетом посадок
их обоим в корпус и на вал и изменений их
за счет температурных удлинений,
— радиально-упорные шарикоподшип-
шарикоподшипники, воспринимающие осевые силы, заме-
заменяются идеальными шарнирами;
— перемещения «качания» роторов
в плоскостях, перпендикулярных оси дви-
двигателя, — поступательные (рис. 6),
— элементы конструкции считаются абсолютно жесткими вследствие малости
частот собственных колебаний маятникового типа по сравнению с частотами собствен-
собственных изгибных колебаний роторов и корпусов,
— колебания предполагаются малыми.
Рис 6
Рис 7
На рис. 7 показана расчетная схема для двигателя, представленного на рис. 1.
Частотное уравнение движения системы составляют путем использования уравне-
уравнения Лагранжа. За обобщенные координаты принимают углы а, ($, у отклонения
маятников от вертикальной плоскости [47, 77].
ОСОБЕН КОЛЕБАНИЙ ТРАНСПОРТ ГАЗОТУРБИН ДВИГАТЕЛЕЙ 285
Высокочастотные колебания элементов конструкции роторов и корпусов воз-
возбуждаются высшими гармониками неуравновешенных центробежных нагрузок ро-
роторов, зубчатыми передачами, подшипниками качения, аэродинамическими силами
взаимодействия лопаточных венцов ротора и статора и т д
3. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИИ
ТРАНСПОРТНЫХ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Связанность колебаний роторов, корпусов, лопаток с дисками и валами. Для
того, чтобы масса конструкции была по-возможности малой, в современных дви-
двигателях используют облегченные роторы и корпусы, представляющие собой сложные
упругомассовые системы с присоединенными массами агрегатов и других устройств.
Частоты собственных колебаний корпусов в некоторых случаях даже более низкие,
чем частоты собственных изгибных колебаний роторов. При этом возникает необ-
необходимость рассмотрения динамической схемы двигателя, как единой системы рото-
роторы—корпус—подвеска. Такая система в рабочем диапазоне частот вращения роторов
имеет резонансные режимы, которые условно разделяются на роторные и корпусные.
При роторных резонансах больше деформируются элементы конструкции роторов,
а при корпусных резонансах — элементы корпусов. Более опасными являются ротор-
роторные резонансы, так как для них неуравновешенные центробежные нагрузки, вслед-
вследствие больших прогибов, будут больше, а демпфирование колебаний меньше, чем
для корпусных резонансов. Роторные резонансные режимы условно можно рассмат-
рассматривать как режимы критических скоростей роторов.
Анизотропия системы. Особенности конструкции подвески двигателя, несим-
несимметричность расположения массивных агрегатов на корпусах, а также зазоры в под-
подшипниках вносят в систему динамическую анизотропию. В зависимости от частоты
изменяются не только величины, но и главные направления динамических податли-
востей опор роторов.
В практических расчетах вводятся допущения
— положения главных осей динамических податливостей не зависят от частоты
возмущения,
— главные оси совпадают с горизонтальным и вертикальным направлениями;
— резонансные частоты в горизонтальном и вертикальном направлениях опре-
определяются двумя расчетами осесимметричных систем с динамическими податливостями
подсистемы корпус—подвеска в вертикальном и горизонтальном направлениях.
Многовальность двигателя. Она не только усложняет систему, но и приводит
к появлению несинхронных прецессий, возбуждающими нагрузками которых для
данного ротора являются неуравновешенные силы и моменты других роторов. По-
Появляются дополнительные резонансы.
Тонкостенность конструкций. В связи с требованием облегчения массы кон-
конструкции применяются тонкостенные элементы, схематизируемые в виде оболочек
вращения, пластин, колец и т.д. Жесткостные характеристики таких элементов имеют
специфические особенности, которые необходимо учитывать при расчетах.
Влияние зазоров в подшипниках роторов. Увеличение зазоров в подшипниках
качения (за исключением межвальных) приводит к снижению уровня вибраций
корпусов в результате ослабления связи ротора с корпусом.
Для легких высокооборотных роторов, и особенно для роторов авиационных
подъемных двигателей, ось которых расположена вертикально, возможно появление
режима обкатки, при котором ротор и корпус в относительном движении обкатываются
в зазоре подшипников При этом возникают значительные силы взаимодействия ро-
ротора и корпуса
4. СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРАЦИЙ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ
ИЗГИБНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
Частотная отстройка и применение упругих опор. Изменяя жесткости элементов
системы роторы—корпус—подвеска, можно сместить опасные резонансные режимы
из рабочей зоны в области повышенных или пониженных частот вращения. Эффек-
Эффективным средством смещения резонансных режимов в зону пониженных частот враще-
286
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
ния роторов являются упругие опоры. Их установка может быть произведена без
каких-либо существенных изменений конструкции двигателя. При упругих опорах
значительно снижаются динамические нагрузки, передающиеся от ротора на корпус.
Гибкая подвеска ротора позволяет ему в закритической области вращаться вокруг
-*-у
Рис. 8
главной оси. При размещении упругих опор и подборе их податливостей необходимо
удовлетворять следующие требования:
в рабочем диапазоне частот вращения роторов должны отсутствовать опасные
«роторные резонансы»;
не должно быть существенного влияния амплитуд колебаний на радиальные
зазоры между рабочими лопатками и корпусом, чтобы заметно не снизить КПД сту-
ступеней;
зазоры в упругой опоре не должны выби-
выбираться при действии инерционных нагрузок,
обусловленных эволюциями объекта;
упругие опоры должны располагаться на
тех подшипниках, где поглощается наибольшая
энергия; не рекомендуется ставить упругие опо-
опоры на межвальные подшипники.
Податливое звено упругих опор обычно
располагают между наружной обоймой подшип-
подшипника и корпусом. Применяют упругие опоры
с линейной и нелинейной характеристиками.
Типичные виды характеристик упругих опор
представлены на рис. 8. В отличие от линейных
опор (рис. 8, а), только понижающих частоты
Рис. 9 Рис. 10
резонансных режимов, нелинейные опоры (рис. 8, б—г) вообще уничтожают резонанс-
резонансные режимы или ограничивают амплитуды колебаний при проходе через резонанс [16].
Наибольшее распространение получили упругие опоры, податливым звеном ко-
которых являются кольца, снабженные с двух сторон равномерно расположенными вы-
выступами [52]. Элемент такого кольца показан на рис. 9, а конструкция узла — на
рис. 10. Толщина, ширина кольца и число выступов на нем определяют его жесткость;
СНИЖЕНИЕ ВИБРАЦИИ, ОБУСЛОВ ИЗГИБНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
287
высота выступов — зону линейности опоры. Упругая характеристика такой опоры —
нелинейна (см. рис. 8, б). Она состоит из прямой О А, характеризующей упругость
податливого звена и остальных элеменров конструкции, переходного участка АВ,
на котором происходит последовательная ликвидация зазоров кольца, и прямой ВС,
характеризующей податливость опоры при выключенном податливом звене. Опора
данного типа не приспособлена для передачи осевой нагрузки.
Для опор, через которые передаются осевые нагрузки, рекомендуется приме-
применять упругий элемент, выполненный в виде втулки с аксиальными прорезями
(рис. И, где / — упругая втулка; 2 — канал подвода
масла; 3 — масляный демпфер).
Повышение демпфирования. Упругодемпферные
опоры. Газотурбинный двигатель обладает значитель-
значительным конструкционным демпфированием. Оно сосредо-
сосредоточено в многочисленных разъемах узлов конструкции.
По сравнению с ним демпфирование материала мало.
Конструкционное демпфирование зависит от много-
многочисленных специфических для данного двигателя кон-
конструктивных, технологических и эксплуатационных
факторов и в настоящее время не поддается как рас-
расчетной, так и экспериментальной оценке при лабора-
лабораторных исследованиях вне работающего двигателя.
У//////7/
Рис. 11
Рис. 12
Для повышения демпфирования широкое применение получили демпферные
устройства. Их используют обычно в сочетании с упругими опорами. Опоры с упру-
упругими кольцами обладают также демпфирующими свойствами благодаря наличию
масла в зазорах, а опоры, представленные на рис. 11, снабжены гидравлическим
Демпфером, роль которого выполняет масло, подаваемое в зазор между втулкой и
корпусом. При вибрациях в зазоре возникают силы гидродинамического сопротив-
сопротивления.
Применяются демпферные опоры и других типов. Например, на рис. 12 пока-
показан пластинчатый демпфер, представляющий собой набор упругих пластин, сверну-
свернутых в пакет. Характеристика такого демпфера показывает, что он обладает большой
нелинейностью и значительным демпфированием (см. рис. 8, в).
Подшипники, устанавливаемые на масляной пленке, имеют зазор между их
°боймами, валом или корпусом. Зазор заполняется маслом. Масляная пленка тол-
288
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР - КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛИ
щиной 0,04—0,1 мм способствует центровке ротора при больших частотах враще-
вращения, благодаря чему снижаются динамические усилия на корпус. Опоры с масляной
пленкой имеют характеристику, близкую к характеристикам упруго-демпферных
опор. На рис. 13 показана конструкция такой
опоры (где 1 — канал подвода масла; 2 — ма-
масляная пленка).
Предотвращение режима обкатки произво-
производится осевой подгрузкой шарикоподшипников
специальными пружинами 2, расположенными
между неподвижной 1 и подвижной 3 втул-
втулками (рис. 14), а также правильным назначе-
назначением зазоров в роликоподшипниках с учетом
изменения их в рабочих условиях в результате
температурных расширений.
Конструктивно-технологические мероприя-
мероприятия, направленные на снижение интенсивности
возбуждающих сил. Роторы газотурбинных дви-
Рис. 13 гателей, сбалансированные при сборке, в рабо-
рабочих условиях могут разбалансироваться. На это
указывает хотя бы то обстоятельство, что после работы остаточные дисбалансы ро-
роторов могут на порядок, а иногда и больше превышать исходные дисбалансы.
Несбалансированность роторов в рабочих условиях вызывают технологические
и эксплуатационные причины.
Несовершенство технологии балансировки роторов как жестких тел. Роторы
балансируются при небольших частотах вращения как жесткие. Две плоскости кор-
коррекции выбираются произвольно вне связи с распределением дисбалансов по ротору.
113
Рис 14
Такая балансировка для гибких роторов непригодна, поэтому применяют специаль-
специальные методы — балансировку с несколькими плоскостями коррекции, последователь-
последовательную балансировку, балансировку по собственным формам при рабочих частотах вра-
вращения в специальных вакуум-камерах и т. д.
Нарушения центровок деталей роторов, обусловленные их деформациями от цен-
центробежных нагрузок и температурных расширений. Для борьбы с такими наруше-
нарушениями используют конструкции, обеспечивающие правильный выбор жесткостей
сопрягаемых элементов, посадок по центрирующим поверхностям, конструкций фикси-
фиксирующих элементов затяжки болтовых соединений.
ПОДАТЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ 289
Температурные коробления роторов, вызываемые нарушением осесимметрии тем-
температурных полей элементов конструкции. Коробление происходит на режимах
останова из-за неравномерности остывания верхней и нижней половин роторов или
на рабочих режимах из-за различия коэффициентов теплопередачи на различных
участках поверхностей сочленения деталей роторов. Эти различия вызываются неоди-
неодинаковой шероховатостью сопрягаемых поверхностей и неравномерностью усилий за-
затяжки болтовых соединении. Рекомендуется введение предварительной прокрутки
роторов на малой частоте вращения, выравнивание шероховатости сопрягаемых по-
поверхностей и тарирование затяжки болтовых соединений.
Коробление роторов, вызываемое при сборке после балансировки различиями уси-
усилий затяжки болтов фланцевых соединений. Рекомендуется тарированная затяжка
болтов с измерением их удлинений в особо ответственных случаях.
Нарушения соосности опор при сборке и в рабочих условиях. Устраняется изме-
изменениями конструкции и совершенствованием технологии сборки.
Погрешности изготовления муфт, соединяющих роторы. При наличии значитель-
значительных осевых сил, передаваемых муфтами, исчисляемых иногда десятками тонн, такие
погрешности приводят к появлению дополнительных сил, обусловленных смещением
осевой силы с оси вращения. Дополнительные силы, действующие на подшипники,
могут возникать также при перекосах шлиц соединительных муфт из-за дей-
действия крутящих моментов. Погрешности устраняются повышением точности дета-
деталей муфт.
Пластические деформации деталей роторов. Эти деформации приводят к нару-
нарушениям балансировки. При необходимости производится усиление деталей.
Нестабильность положения лопаток в пазах замковых соединений. Нестабиль-
Нестабильность вызывает разбалансированность в случае применения устройств, фиксирую-
фиксирующих лопатки, не обеспечивающих их неподвижность. Устраняется изменениями кон-
конструкции. В конструкции конкретного двигателя могут иметься и другие специфич-
специфичные для него источники нарушений сбалансированности ротора. Они должны быть
найдены и устранены.
Точность балансировки. Она зависит от точности балансировочного станка и
массы балансируемого ротора. Она может оцениваться по эмпирическому соотноше-
соотношению т = @,05 -г- 0,1) G-10, где т — несбалансированность на опоре балансиро-
балансировочного станка, г-см; G — масса ротора, кг.
5. ПОДАТЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ РАСЧЕТНОЙ
СХЕМЫ [10, 20, 29, 45, 55]
Для определения податливости элементы расчетных схем расчленяют таким
образом, чтобы граничные сечения тонкостенных элементов (оболочек, колец) не
деформировались в своей плоскости. Это дает возможность определять податливости
тонкостенных элементов изолированно от всей системы, так же как в стержневых
системах. Условие недеформируемости выполняется в ряде сечений роторов и корпу-
корпусов путем подкрепления оболочек жесткими на деформацию в своей плоскости ди-
дисками, кольцами, а также поясами жесткости двигателей. «Длинные» оболочки можно
расчленять на несколько элементов сечениями, расположенными на достаточном рас-
расстоянии от зоны краевого эффекта.
При определении податливости элемента считается, что один его край заделан
или шарнирно оперт, а второй — подкреплен абсолютно жестким телом — передат-
передатчиком сил (рис. 15).
Жесткостные характеристики такого упругого элемента определяются тремя
статическими податливостями — силовой Ьр, моментной фд] и смешанной 8^ = <рр;
„ Р М . М Р ...
е 6 A)
где Р и М — усилие или момент, прикладываемые в сечении сопряжения жесткого
тела с контуром оболочки; у и <р — перемещение и угол поворота этого сечения,
10 п/р. Ф. М Диментберга и К. С Колесникова, т. 3
290 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
1. Податливость наиболее часто употребляемых элементов расчетных схем
роторов и корпусов
Наименование и расчетная
схема элемента
Формулы расчета
Коническая оболочка линейно
изменяющемся толщины
Безразмерные величины ее — -^-; ?— -г —
г< га
Коэффициенты
1+2A +v)sin2V .
я sin v cos2
2а
«d -
^ui±vL^Ul_a)(.
\ 2
1п(а?
1
In (а!) , 1
l-laJ ^ 2
1 -a a A
я A - la)
1-
— I)
Податливость
= фр = Erh СОлЧ- х
sin2 7
ЛГЕ sin 7
С-аI 1
TJ^ J
Коническая оболочка постоян-
постоянной толщины (/1 = const)
Безразмерные величины a = -=-;
К
Коэффициенты
Vjh, Фд{, бд{, 6р определяются по формулам преды-
предыдущего случая
ПОДАТЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
291
Продолжение табл. 1
Наименование и расчетная
схема элемента
Формулы расчета
Цилиндрическая оболочка ли-
линейно-изменяющейся толщины
Безразмерная величина ? = ~
Податливости
h
/ In 1
^ ~ nEr*hl (I - 6) '
= Фр ~ — ¦—р 3.—-г. ^
Цилиьдрическая оболочка по-
постоянной толщины (/г = const)
Податливости
6р= 2A
Стержень переменного попереч-
поперечного еечения
Податливости
dx
О
EJ (х) '
°м —fp —
О
xdx
EJ (x)
I I
г х' dx
f dx
°Р = J ТШ "•" i k,GF (x)
О О
F (x), J (x) — площадь и экваториальный момент
инерции сечения
Стержень постоянного попереч-
поперечного сечения
Податливости
= ?7 : М = фр = ~
Дополнительная податливость
при сопряжении двух оболочек
(ft = const)
Податливости
= <рр = 0;
_ Уб (I — у2) Ycos р cos у (tg Р ± tg у)а ,
ФМ ~ я? (rftK/2 (/соГр7'-)- /cos v)
знак + относится к схемам а; знак —к схемам б
10*
292 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР - КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Продолжение табл. 1
Наименование и расчетная
схема элемента
Формулы расчета
Кольцо с примыкающими к нему
оболочками
Обозначения промежуточных параметров
SY = hyro cos v; Ц = h^r0 cos p;
3 A —^
l = 2а +
¦ +
rr= a»;
у 3A-v2/
К = —==¦ h Yi (l - \2) \J H ^— 4-
2YHl-\'> I L " 2(l-t-v)J
Податливости
\ cos v cos (i
Даны податливости ф^ (a); 6p (a); вд^ (a) = фр (a
при заделанном сечении i.
Податливости этой системы при заделке в сечении
>¦ + 1 будут
4>м <б> = <РМ №•
6М (б) = /фд, (а) - 6*1 (а);
6р (б) = бР (а) - 2!&м (а) + I' фМ (а)
Примечания
1 Расчетные формулы получены по приближенной теории антисимметричной деформл-
ции оболочек, использ>ющей разделение напряженно-деформированного состояния на безмо
ментное и краевой эффект Можно использовать и другие методы определения податливое!.!
элементов [10, 13, 20, 29, 45].
2. Смешанная податливость бд^ = Фр считается положительной, если при действии си-
силовых факторов сечение, в котором они приложены, смещается и поворачивается как
у стержня.
3 Формулы податливостей (случаи 1 и 2) справедливы для оболочек в пределах углоз
V@sg v < 70°).
4. В случае 7 определяются дополнительные податливости, возникающие при сопря-
сопряжении двух «длинных» оболочек. С некоторой погрешностью они могут использоваться и длч
оболочек средней длины. Элемент, состоящий из двух оболочек, представляется состоящич
из трех участков — двух оболочек, податливости которых находятся по формулам случае1
1—4, и элемента, имеющего длину / = 0, обладающего моментной податливостью фд{.
5. В случае 8: J ./—соответственно моменты инерции сечения кольца — относи-
относительно оси oz и кручения, точка о — центр тяжести сечения кольца; rQ — радиус централь-
центральной окружности; а«, аи — расстояния от точки О до образующих срединных поверхностей
оболочек, а-,, аа считаются положительными, если сила, действующая вдоль образующей
в направлении от кольца поворачивает сечение кольца вокруг точки О по часовой стрелие
б В случае 9 установлены зависимости между прямыми и обратными податливостям*1
упругого элемента [57}. Они дают возможность, например, найти податливости конически4
оболочек, у которых заделано меньшее основание.
ПОДАТЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
293
Особенность податливостей оболочек и колец заключается, например, в том,
что в ряде случаев смешанная податливость может быть отрицательна, если за поло-
положительное значение ее принимать податливость стержня. Это означает (рис. 16, а),
что при действии на элемент силы Р граничное сечение поворачивается не так как
это происходит у стержней, а в противоположном направлении. При действии мо-
момента (рис. 16, б) сечение перемещается не вниз, а вверх. Поэтому распространенной
Рис.
Рис. 16
формулой записи связи угла поворота сечения упругой линии ф = — с перемеще-
нием у при дискретной схематизации необходимо пользоваться с осторожностью.
В табл. 1 приведены податливости наиболее часто употребляемых элементов
расчетных схем роторов и корпусов.
Податливость кольца упругой опоры 8р может быть найдена из следующей при-
приближенной формулы, полученной Р. И, Исаевым:
-0,942 +0,2 А3)
¦]¦
где (см. рис. 9) Dcp =
1"Г
t и ?>2 — внутренний и наружный диаметры коль-
ца); 6j — ширина выступа на кольце; b — ширина кольца; толщина кольца S =
= —2——- — 26 F— ход кольца — высота выступа); толщина выступа SSblCT =
= s + 6; Е = 20 000 кгс/мм2 — модуль упругости; п — число выступов; коэффици-
{bi+Vds)n .. , ,
ент А = — (d — диаметр фрезы).
В конструкциях податливость опор бр = E н- 25) • 10"° см/кгс; в отдельных
случаях бр = A00 -=- 150)-10-° см/кгс [10].
Податливость подшипников. При ориентировочных расчетах можно поль-
пользоваться средними значениями податливостей подшипников качения (табл. 2).
2. Податливость подшипников
качения, 6 • 10*, см/кгс [10]
Диаметр шей-
10=
30—55
60—100
Подшипник
шариковый
7,2—8,0
5,0—5,5
роликовый
4,2-5,5
2,5—2,8
При увеличении размеров подшипников податливость несколько уменьшается,
при уменьшении — увеличивается (в случае легких турбомашин в 2—3 раза).
294 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР - КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
6. МЕТОД РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ
СВОБОДНЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СИСТЕМЫ РОТОР-КОРПУС—ПОДВЕСКА
Основные положения. Предполагается осевая симметрия системы и отсутствие
демпфирования. Частоты и формы свободных колебаний системы вращающиеся
роторы—корпус—подвеска определяются как частоты и формы поперечных собствен-
собственных колебаний фиктивной системы невращающиеся роторы—корпус—подвеска.
Фиктивная система отличается от действительной тем, что массовые моменты ее ди-
дисков заменяются приведенными.
Для жесткого диска с лопатками приведенный момент инерции [48]
Jpi J9 — массовые полярный и экваториальный моменты инерции дисков относительно
его центральных осей; Я, — коэффициент прецессирования вала.
Я=|, C)
где ш — абсолютная угловая скорость вращения вала, на котором установлен диск;
Q — угловая скорость прецессирования упругой линии вала.
Величина Я, может быть как положительной, так и отрицательной. Знак Я, пока-
показывает, в каком направлении происходит прецессирование упругой линии. При пря-
прямой и обратной синхронных прецессиях Я, равно 1 и —1 соответственно.
Для ротора с гибкими дисками или гибкими лопатками приведенный момент
инерции может быть определен путем специального расчета вынужденных колеба-
колебаний прецессирующего диска [76].
Из всех возможных форм собственных колебаний вращающихся роторов иссле-
исследуемой системы рассматриваются только такие, которые имеют возбуждающие на-
нагрузки, могущие вызвать резонансы системы. Такими нагрузками являются неурав-
неуравновешенные силы и моменты роторов.
Резонансы системы разбиваются на группы. В каждой группе резонансов рассма-
рассматривается возбуждение колебаний одним из роторов (базовым). При таком возбужде-
возбуждении базовый ротор находится в режиме прямой синхронной прецессии, а осталь-
остальные — в режимах несинхронных прецессий с частотами и направлениями прецессиро-
прецессирования, равными частоте и направлению вращения базового ротора. Остальные, тео-
теоретически существующие формы колебаний не рассматриваются вследствие малой
практической значимости.
Число расчетов, необходимых для определения спектра резонансных режимов,
равно числу роторов, имеющих различные частоты вращения, так как каждая группа
резонанссв имеет свею расчетную схему, отличающуюся от других значениями при-
приведенных моментов инерции дисков.
Коэффициенты прецессирования Я как функции частот вращений базовых рото-
роторов задаются в основных данных двигателей. Они зависят от параметров работы объ-
объекта — высоты, скорости, температуры. Поэтому от этих параметров зависят и ча-
частоты резонансных режимов.
Свободные колебания системы ротор—корпус—подвеска. В практических рас-
расчетах применяются методы интегральных уравнений [7, 23], начальных парамет-
параметров [6, 15], динамических жесткостей [15, 25, 26, 57], динамических податливостей
[3, 30, 38] и др.
Одним из методов, позволяющих при расчетах проводить анализ динамических
характеристик отдельных узлов, является обобщенный метод динамических подат-
податливостей и начальных параметров. Система ротор—корпус—подвеска разбивается
на подсистемы ¦— корпус с подвеской и роторы, свободные от закрепления. Подат-
Податливости упругих безынерционных связей роторов с корпусом и между собой относятся
к какой-либо из подсистем. Роторы компрессора и турбины одного каскада, сочле-
необходимо полечить для составления ча-
частотного уравнения системы. Они обознача- 1Х 4х* 4xs
РАСЧЕТ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ 295
ненные идеальным шарниром, рассматриваются как две подсистемы с абсолютно
жесткой силовой связью. При упругом шарнире такие роторы схематизируются в виде
одной подсистемы.
На рис. 17 показана расчетная схема двухвального двигателя. Она состоит из
четырех подсистем — роторов компрессора /; турбины II низкого давления, соеди-
соединенных идеальным шарниром 3; ротора высокого давления ///; корпуса на подвес-
подвесках IV. Римскими цифрами обозначены подсистемы, а арабскими — сечения, в кото-
которых они сочленяются связями, силы в ко-
которых при свободных колебаниях Xj. _y
Динамические податливости подсистемы _/ 4 / S
ются eikd), где / — индекс подсистемы, кх Ж
I, k — номера сечений сопряжения ее со 2 \ * / J"*' в
смежными подсистемами. Податливости е^ (/) ? 4 ff J *
могут быть определены различными мето- ¦ ухг *%
дами [11, 38, 57], в том числе обобщенным т*' j xzl iXj д ¦
методом динамических податливостей и на- I / [ Ь / \*et
чальных параметров. 1 Z j | g '
Рассматриваемая подсистема расчленяет- *Xj
ся на ряд элементов, границами которых
являются сечения расположения сосредото- Рнс- 17
ченных масс и дисков, сечения опор, по-
пояса жесткости и т. д. Поочередно в сечениях сопряжения рассматриваемой и смежных
подсистем прикладывают единичные возбуждающие силы с частотой и направлением
вращения, равными этим характеристикам у базового ротора, а затем определяют
перемещение характерных сечений подсистемы. Они равны искомым динамическим
податливостям. Расчет ведут методом начальных параметров от какого-либо край-
крайнего течения подсистемы.
Традиционный метод начальных параметров, разработанный для колебаний
стержневых систем, распространяется и на системы, включающие тонкостенные
элементы. Положение характерных сечений системы и внутренние силовые факторы
в них, так же как и в стержневых системах, характеризуются четырьмя величинами —
прогибом у, углом поворота сечения ф изгибающим моментом М и перерезывающей
силой Q. Амплитудные значения этих вели-
величин составляют четырехмерный вектор
Хт=(у, Ф> М, Q).
Матричное уравнение перехода от сече-
сечения i к сечению i + 1 какого-либо участка
подсистемы имеет вид
где М — матрица перехода через элемент
Рис (8 расчетной схемы.
Характерными элементами являются
упругий безынерционный элемент длиной I
с известными статическими податливостями 6р, <рм, 6М = фр (оболочка, кольцо,
пластина, стержень и т. д.), точечная масса т, вращающийся прецессирующий диск,
обладающий массой m и приведенным моментом инерции J*, стержень с распреде-
распределенной массой, упругая опора, упругий шарнир, гармоническая сила или момент
и т. д.
Схемы таких элементов и матрицы перехода приведены в табл. 3. Правило зна-
знаков принято таким, как показано на рис. 18.
Граничные условия и последовательность расчета. Начальные условия в нуле-
нулевом сечении первого элемента выбирают по условиям закрепления и нагружения.
Во всех случаях из четырех параметров неизвестными являются два, а два осталь-
остальных или равны нулю или выражаются через два других параметра. Вектор — стол-
столбец конечных параметров получается после перехода через все элементы подсистемы.
296 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
3. Схемы характерных элементов и матрицы перехода
Элемент
Схема
Матрица перехода
Обозначения
Упругий безынерци-
безынерционный
1*1
бр, Фд/, &м = фр —
податливости элемен-
элемента; I — длина элемен-
элемента
Точечная масса
1 о о o
0 10 0
0 0 10
. m,Qa 0 0 1
т(- —масса; Й - vi-ло-
вая скорость прецес-
снрования вала
Вращающийся пре-
цессирующий жест-
жесткий диск: диск тол-
толщиной /=0
1*1
1 0
0 1
0 — У»!
•mii2 0
о о
0 о
1 О
О 1
J* — приведенный мо-
момент инерции диска,
т — .масса диска
Диск толщиной
\t.
0 0
0 0
О 1'
С — центр тяжести
диска; / — толщина
диска
Стержень постоянно-
постоянного сечения с равно-
равномерно распределенной
массой
1*1
Ц- vt Ц- }.ю -t v
SO.), TO.), U (к),
V О) —функции
Крылова
(г — погонная м^'сса;
EJ — жесткость сече-
сечения на изгиб
Упругий шарнир
4*1
'10 0 o\
0 1 фЛ,ш 0
0 0 1 0
\0 0 0 1 /
ф ^jm — моментпал
податливость шарни-
шарнира
Упругая опора дли-
нои I =0
i&
1*1
V////,////s
1 0 0 0\
0 10 0
0 (fMQ 1 0
-бр0 0 0 1,
~ силовая
и моментная податли-
податливости опоры;
6М = грр = 0
Изменение паргглегроэ лрп переходе через гарлгоническую силу Р и момент ¦
РАСЧЕТ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ 297
Так как в векторе-столбце конечных параметров два параметра известны, то из
получаемого уравнения можно найти два неизвестных начальных параметра, а за-
затем, располагая их значениями, — и перемещения подсистемы в сечениях связей,
которые численно равны искомым динамическим податливостям.
Определение частот свободных колебаний вращающихся роторов на абсолютно
жестких опорах. В процессе проектирования двигателей полезно располагать све-
сведениями о порциальных частотах роторов, входящих как подсистемы в общую рас-
расчетную схему двигателя. С этой целью обычно определяются критические скорости
роторов, вращающихся в абсолютно жестких опорах. Эти сведения дают косвенную
информацию о возможности появления значительных прогибов роторов при работе
на резонансных режимах системы рото-
роторы—корпус—подвеска и позволяют наме-
наметить наиболее целесообразные способы
балансировки роторов.
Если частоты свободных колебаний
значительно превышают максимальные
частоты вращения ротора, то можно ожи-
ожидать, что его прогибы на резонансных ре-
режимах системы роторы—корпус—подвеска
будут малы, и его можно балансировать Рис-
как жесткий. В противном случае на ре-
резонансных режимах возможно появление значительных прогибов, что требует
усложнения процесса балансировки, а также введения в конструкцию упругодемп-
ферных устройств.
При известных динамических податливостях роторов, свободных от закрепле-
закрепления, их критические частоты вращения на абсолютно жестких опорах находятся из
выражения det [е] = 0, где е — матрица динамических податливостей в сечениях
опор рассматриваемого ротора.
Для определения критических скоростей роторов, помещенных на абсолютно
жесткие опоры, можно использовать и любые иные точные или приближенные методы.
Частотное уравнение системы роторы—корпус—подвеска. Располагая динами-
динамическими податливостями подсистем, можно составить матрицу е динамических по-
податливостей системы. Она имеет следующий вид:
ец,
... e2k
- ¦ D)
где индексы 1, 2, ..., к, ..., п обозначают номера связей между подсистемами; первый
индекс определяет перемещение, второй — силу, действующую в связи.
В общем случае система ротор—корпус—подвеска является я-связанной систе-
системой, состоящей из отдельных подсистем. Пусть две произвольные подсистемы соеди-
соединены между собой только одной связью (рис. 19, а). Тогда главные динамические
податливости ец = ец (А) + ец (В), где А и В соответственно первая и вторая под-
подсистемы.
Побочные динамические податливости определяются для каждой подсистемы не-
независимо: eik = eik (В); eim — e;m (А). Если две произвольные подсистемы соеди-
соединены между собой двумя связями с индексами С и k (рис. 19, б), то ец = ец (А) +
+ ец (В); elk = eki = еш (А) + eik (В) = еы {А) + еы (В); ekk = ekk (A) + ekk (В).
Остальные побочные динамические податливости определяются также для каждой
изолированной подсистемы. Например, eim = e-lm (А); ец = еи (В).
Аналогичные формулы получаются и для двух произвольных подсистем с числом
связей больше двух. Некоторые из подсистем не связаны непосредственно между со-
собой. В таком случае побочные динамические податливости равны нулю. Например,
Для системы, изображенной на рис. 17, ele = e3i = е35 = ев1 = ei3 = ем = 0.
298 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Элементы матрицы е являются функциями упругоинерционных свойств подси-
подсистем, частоты вращения базового ротора и коэффициентов прецессии роторов.
Частотное уравнение системы имеет вид det е = 0.
Определение форм свободных колебаний системы роторы—корпус—подвеска.
Силы в связях при каждой собственной частоте определяются общеизвестными мето-
методами из уравнений еХ = 0, где
п п Хт = fa, х?, ..., х„).
щ " ¦ Обращая матрицу е, определяют
перемещения, соответствующие найден-
найденным силам в связях, и строят формы
свободных колебаний.
Анализ форм свободных колебаний
дает возможность выявить наиболее
напряженные элементы конструкции,
максимальные амплитуды колебаний,
наивыгоднейшее расположение демп-
демпферных устройств, а также позволяет
в случае необходимости произвести ча-
частотную отстройку. На рис. 20 пока-
показана одна из форм свободных колеба-
колебаний двухвального двигателя.
PllCl 20 Особенности расчета системы ро-
роторы—корпус—подвеска с учетом демп-
демпфирования. Расчеты вынужденных колебаний двигателя с учетом демпфирования
весьма приближенны из-за недостаточности данных по демпфированию.
Обычно предполагается, что демпфирование системы сосредоточено в нескольких
элементах—демпферах (если они имеются), подвесках, связях подсистем и т. д.
В большинстве случаев используются гипотезы вязкого или частотно-независи-
частотно-независимого трения. При использовании первой гипотезы для расчета может быть применен
рассматриваемый метод расчета с представлением динамических податливостей в ком-
комплексном виде [26].
7. СПЕКТР ЧАСТОТ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ [66J
Вибрации двигателей измеряют с помощью специальных индукционных или пье-
пьезоэлектрических датчиков вибраций. Датчики, по которым экспериментально оцени-
оценивают общую вибрацию двигателя, называются штатными. Их располагают на корпу-
корпусах в штатных точках измерений (рис. 21) — в узлах крепления двигателя к объ-
объекту, в плоскостях опор роторов, в плоскостях стыков силовых узлов и т. д. Положе-
Положение штатных точек и выбор направлений изме-
измерений уточняют в процессе доводки двигателя.
Вибрация в штатных точках не обяза-
обязательно должна быть максимальной, но обя-
обязательно наиболее характерной, наиболее
четко и устойчиво связанной с возбуждаю-
возбуждающими силами. Вибрации обычно измеряются
в нескольких поясах двигателя в горизонталь- Рис. 21
ном, вертикальном и осевом направлениях.
Спектральный анализ вибраций позволяет определить как главные составля-
составляющие вибраций, так и второстепенные. К главным обычно относятся те немногочис-
немногочисленные составляющие, амплитуды которых значительны, — первые роторные гар-
гармоники, винтовые гармоники (для ТВД), гармоники вращающегося срыва и т. Д.
К второстепенным — относятся составляющие, амплитуды которых обычно незначи-
незначительны, — вибрации, возбуждаемые подшипниками, зубчатыми передачами, взаимо-
взаимодействием лопаток ротора и статора, шумом, аэродинамическими и гидравлическими
процессами и т. д.
Весьма информативной характеристикой вибрационного состояния двигателей
являются спектры вибраций, синтезированные на основании статистических данных,
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОГЕНЕРАТОРОВ
299
накопленных в процессе доводки и эксплуатации. Например, на рис. 22 показан
синтезированный спектр вибраций двухконтурного турбореактивного двигателя
с двухступенчатым вентилятором (у — амплитуда виброскорости; J — амплитуды
виброускорений в долях земного ускорения g; S — амплитуды перемещения). Пер-
Первые два резонансные режима имеют частоты, равные частотам вращения роторов,
три следующих резонанса относятся к автоколебаниям в газовоздушном тракте (вра-
(вращающийся срыв и т. д.), а остальные — высокочастотные резонансные режимы вы-
вызываются колебаниями лопаток вентилятора. Такие же спектры можно построить
и для двигателей других типов.
В целом общая вибрация ГТД имеет определенные закономерности [66].
1. Вибрация ГТД представляет собой сложный колебательный процесс с широким
диапазоном частот. Спектр вибрации включает несколько главных составляющих
и вибрационный шум — большое число составляющих малой интенсивности.
2. Основные источники вибрации — конструктивные узлы и колебательные
процессы, обладающие большой энергией — роторы, винты, вентиляторы и автоко-
автоколебательные процессы в газовоздушном тракте.
20
SO
100
200 500
Частота
Рис. эе
1000
2000
S000 Гц
3. Все частотные составляющие нестабильны — их амплитуды случайным обра-
образом изменяются во времени.
4. Общий частотный диапазон вибраций ГТД может быть принят 10—-10 000 Гц.
Вне этого диапазона обычно отсутствуют значительные составляющие вибрации.
5. Амплитуды вибрации корпусов ГТД ограничиваются примерно следующими
предельными значениями: перемещение 2 мм, скорость 200 мм/с, ускорение 500 мм/с.
6. Все основные составляющие вибрации, кроме автоколебаний, жестко свя-
связаны с частотой вращения соответствующего узла. Это может служить основой при
анализе и диагностике причин вибрации.
7. При увеличении частоты вибрации амплитуды ускорения имеют тенденцию
к возрастанию, смещения — к убыванию, а скорость имеет примерно одинаковую
интенсивность в широком диапазоне частот. По этой причине амплитуда виброско-
виброскорости является удобным параметром для оценки интенсивности вибраций.
Оценка интенсивности вибраций. За норму принимаются такие значения вибра-
вибраций, при которых в течение заданного ресурса не возникают с большой степенью
вероятности вибрационные дефекты, а меры обеспечения заданных норм остаются
приемлемыми для конструкций, технологии и эксплуатации.
В газотурбинной технике нормируется каждая из основных составляющих
вибраций: первые гармоники роторов, первая и вторая гармоника винта с z лопат-
лопатками и т. д. В диапазоне частот 10—750 Гц интенсивность гармонической вибрации
оценивается по амплитуде виброскорости независимо от частоты. Амплитуды вибро-
виброскорости авиационных газотурбинных двигателей в этом диапазоне частот изменяются
в пределах 30—60 мм/с.
Список литературы см. стр. 263 — 265.
300 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Глава XII
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
1. ПРИЧИНЫ КОЛЕБАНИИ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Основные причины колебаний (вибрации) турбоагрегатов:
1) неуравновешенность валопровода (нормируется);
2) технологические отклонения при изготовлении роторов и сборке валопрово-
дов- осевой и поперечный «бой» полумуфт (нормируется), овальность шеек (цапф)
и др.; неточности сборки системы роторов — коленчатость и излом оси вала в месте
соединения полумуфт;
3) тепловая нестабильность роторов: изменение оси ротора при изменении его
температуры; механическая нестабильность роторов с насадными дисками;
4) неравножесткость роторов: различие изгибной жесткости ротора в двух
плоскостях;
5) возбуждающие неконсервативные силы в масляном слое подшипников, на
венцах рабочих колес и в лабиринтных уплотнениях турбин,
6) внезапная разбалансировка валопровода, появляющаяся при отрыве рабочих
лопаток;
7) короткое замыкание в электрической линии генератора.
Причины 1—4 вызывают вынужденные колебания турбоагрегата, 5 — автоколе-
автоколебания (низкочастотную вибрацию), 6 и 7 — переходные колебания.
2. СХЕМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТУРБОАГРЕГАТ-ФУНДАМЕНТ
Для динамического расчета этой системы используют различные способы схе-
схематизации. Валопровод турбоагрегата во всех случаях рассматривается как стер-
стержень переменной плотности и жесткости. В свою очередь, стержень может быть за-
заменен системой инерционных элементов, связанных безынерционными упругими и
Ш W с'"> I И
'////Л
демпферными связями. Схематизация системы с расчлененными опорами показана
на рис. 1, где /—VII — опоры.
Опоры представлены совокупностью масс (М), квазиупругих (С) и квазивязких
элементов (В). Элементы С"", ?<м> соответствуют масляной пленке подшипников;
М1П| — масса стула подшипника и статорных частей, приведенная к данной опоре;
Елементы ССП), В'П) характеризуют упругие и демпфирующие свойства статора
в месте его сопряжения с фундаментом; М'®> — приведенная к опоре масса
фундамента; элементы С'*1, В'*1 отражают упругие и демпфирующие свойства
фундамента.
В поперечном направлении опоры схематизируются так же, как и на рис. 1.
во с другими значениями параметров М, С я В.
ХАР \КТСРИСТ11ЫИ МАСЛЯНОГО СЛОЯ ПОДШИПНИКОВ 301
На рис. 2 представлена схематизация системы, основанная на выделении трех
главных подсистем валопровода, масляных пленок подшипников, статорной части
/ ВапопроВоВ
2 Масляные пленки подшипников
Рис. 2
с фундаментом. Между первой и третьей подсистемами кроме связи через масляную
пленку подшипника существует взаимодействие за счет аэродинамических сил в тур-
турбинах и электродинамических сил в генераторе.
3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАСЛЯНОГО СЛОЯ
подшипников
При малых отклонениях цапфы от равновесного положения появляются допол-
дополнительные реакции масляного слоя
-p=(C(M>)w+(B'M))w, A)
где р — сила (реакция), действующая на цапфу; w — смещение цапфы относительно
равновесного положения ее в подшипнике, [С(М)]; [В'М)] — матрицы динамических
коэффициентов масляного слоя;
[<;<">]=(<« у\ [B(-)] = fJu Ч B)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПОР
Сила р = ро cos Ш, действующая на консервативную линейную опору (см. рис. 1),
вызывает смещение w = wa cos со/, причем
Pq=Cwq, C)
где С — динамическая жесткость опоры
С = С(м> со* — (о>1 -Ь со3) со2 — а>|о>| , „
СО4 — (COf+й)| + СО^) 0J + C0jC0| — СО5СО4'
; и!=С(п)/Л1<п);
Ом\ С'п\ С'*1 — соответственно жесткости масляной пленки, подшипника-статора
и Фундамента (см рис. 1); MIU>, уИ1*1 —приведенные массы соответственно подшип-
ника-статора и фундамента, со — частота возбуждающей силы.
302
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Для горизонтального и вертикального направления зависимость C) одна и та же,
но значения входящих параметров различны.
Параметры опоры С, М и В (см. рис. 1) зависят от обработки эксперименталь-
экспериментальных данных, получаемых при динамическом испытании системы статор — фундамент.
В таблице представлены результаты такой обработки для двух наиболее распростра-
распространенных турбоагрегатов закритического давления мощностью 300 МВт.
Значения параметров опор для двух турбоагрегатов закритического
давления мощностью 300 МВт
Параметр
№ опор (рис. 1)
IV
VI
VII
С<п>, (кгс/см)-10-«
>, (кгс/см)-10-«
), (кгс>с/см)-10 *
В<Ф>, (кгс-с/смНО-*
ЛГ(П>, (кгс-с2/см)-10 г
>, (кгс-с7см)-10-2
Горизонтальное направление
11,67
12,6
96,9
502,7
0,0512
0,647
0 0542
12,4
1,383
1,53
13,5
72,46
11,67
25,4
28,85
78,4
0,518
0,287
1,183
2,62
1,37
3,35
12,47
20,31
6 06
2,6
53.7
24
0,28
0,177
2.14
1,36
0,666
0,228
8,26
4,29
6,33
4,5
126,5
213
0,261
0,322
8,06
2,58
0,8
0,839
18,58
66,92
3,35
1,5
24,3
10*
0,229
0,371
3,175
2,58
0,419
0
5,67
0
2,42
А,А
4,53
3,4
0,15
0,513
0,893
0,245
0,268
0,891
2,28
1,18
13,1
~W
10,7
12,6
3,49
0,42
1,21
1,2
1,42
0,481
5,85
6,56
С<п>, (кгс/см)-10-«
С(Ф>, (кгс/см)-10-«
?<п), (кгс-с/см)-10-«
М • кгс-с2/см)-10
Л1(Ф), (кгс-с2/см)-10-2
Be ртикальное
3,22
11
20,15
62~Т
0,58
0,581
2,63
1,86
0,921
30,17
11,9
9,35
14
20,6
74,2
0,185
0,829
2,68
3,95
1,54
31,75
5,67
32,7
направление
11,83
2,4
20,65
10*
0
0,371
3,67
1,53
2,215
0
4,88
0
4,7
9,9
10,7
32,3
0,340
0,244
1,27
1,82
0,678
1,19
3,55
9,25
8,34
~2J~
3,66
10*
0,238
0,371
2,74
1,53
1,34
0
11
0
2,82
7,7
2,82
22
0
0,573
0
0,80
0
1,59
0
4,7
6.92
3,9
40,8
5,8
0
0,323
5,63
0,433
1,327
0,885
9,01
1,84
Примечание В числителе приведены значения параметров для турбоагрегата
А <К-300-240 ЛМЗ), в знаменателе — для турбоагрегата В (К-300-240 ХТГЗ)
5. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ В СТУПЕНЯХ
И УПЛОТНЕНИЯХ ТУРБОМАШИНЫ
Поступательное или угловое смещение оси ротора по отношению к оси корпуса
вызывает появление аэродинамических сил и моментов, которые необходимо учиты-
учитывать при анализе устойчивости валопровода турбоагрегата, так как некоторые из
названных сил способствуют возникновению самовозбуждающихся колебаний (низ-
(низкочастотной вибрации).
Наиболее важное значение имеют аэродинамические усилия, возникающие при
смещении оси вала из центрального положения:
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
303
1) переменные по окружности силы на рабочих лопатках, вызываемые неравно-
неравномерностью протечек пара по окружности в периферийных и диафрагменных уплот-
уплотнениях ступени (так называемые венцовые силы);
2) неравномерное по окружности бандажа рабочих лопаток давление, вызывае-
вызываемое нарушением осесимметричного течения пара через периферийные надбандажные
уплотнения ступени (так называемые надбандажные силы);
3) неравномерное по окружности вала давление в зонах средних, концевых и
диафрагменных лабиринтных уплотнений, вызываемое также нарушением осесим-
метричности течения пара через уплотнения (так называемые лабиринтные силы).
Венцовая сила, направленная перпендикулярно смещению ротора (рис. 3),
где Sal — составляющая венцовой силы, вызываемая неравномерностью протечки
пара через периферийное (надбандажное) уплотнение; SB2 — составляющая венцо-
Рис. 3
Рис. 4
вой силы, вызываемая неравномерностью протечки через уплотнение диафрагмы.
В линейном приближении [5]
где w — смещение; 9 — угол наклона оси вала (рис. 4); йъ йг — жесткости сил по
отношению к смещению хю\ ех, ег — жесткости сил по отношению к повороту (как пра-
правило, мало влияющие на величины венцовых сил);
dx =
g- Vl -е* (сш + см) -gj;
26
д0
г„ =
М-уЛо
E)
F)
G)
3Десь р0 — давление перед уплотнением; pi —¦ давление за уплотнением; t»0 — удель-
удельный объем пара перед уплотнением; сш — окружная составляющая скорости пара
304
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОГЕНЕРАТОРОВ
на выходе из сопл; с2н — окружная составляющая скорости пара за ступенью; Ода—.
расход пара через диафрагменное уплотнение при номинальных зазорах; Rn —¦ пери-
периферийный радиус уплотнения (см! рис. 4); \iyi — коэффициент расхода через щели
для гребней группы i; Zi — число гребне
в группе ('; zt — число радиальных гребней,
б,0 — номинальный зазор щели для группы /,
бдо — зазор щели в уплотнении диафрагмы,
х < 1 — поправочный коэффициент, учиты-
учитывающий растечку пара в окружном направ-
направлении в камере между диском предыдущее
ступени и диафрагмой данной ступени.
Сведения о величине х в настоящее вре-
время отсутствуют. Для получения запаса на-
надежности по устойчивости валопровода в рас-
расчетах следует брать х = 1. Коэффициенп
расхода \i.yi зависят от конструкции и гео
метрических параметров уплотнений [7].
Надбандажные и лабиринтные силы
рассчитывают на основе использования урав
нений течения пара (газа) в лабиринтные
уплотнениях [3]. Для дискретной модели уплотнения (рис. 5) основные уравнения
имеют вид:
уравнение неразрывности
dt ' дх
уравнение импульсов
dc-t dci qi
dt дх pit i l~
уравнение истечения через щель
А*;
(9)
A0)
уравнение состояния
и = const;
(И)
-sign (« — с,-).
Индекс г соответствует номеру камеры; рг, pi — соответственно плотность и дав-
давление в i-й камере; с,- — окружная скорость потока в t'-й камере относительно ста-
статора; fi — площадь поперечного сечения кольцевого канала между двумя гребнями;
и — окружная скорость на радиусе Rn; ф — угловая координата; t — время; qi —
расход пара через ?-ю щель, отнесенный к единице длины окружности («погонный»
расход); \i,yi — приведенный коэффициент расхода через t'-ю щель [7]; Tt — темпе-
температура газа перед i'-m гребнем; R — газовая постоянная; х — показатель политропы,
hSi, Xri — коэффициенты трения на поверхности i-й камеры в окружном направле-
направлении соответственно на статоре и роторе; US{, Uri — части периметра камеры, отно-
относящиеся к статору и ротору. Значения Xsi и Xri рекомендуется определять по зависи-
зависимости X = f (Re) (рис. 6), причем
Re,=
\c\b
\и— c\b
A2)
2v ' "*•'— 2v ' J
где b — средняя высота канала; v — кинематическая вязкость пара.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
305
Коэффициенты трения (рис. 6) относятся к модели течения газа между двумя
коаксиальными гладкими цилиндрами, из которых внутренний — неподвижный,
а внешний — вращающийся [2]. Для случая
лабиринтных уплотнений следует ожидать уве-
личения значений коэффициентов трения и их
зависимости от уплотнений.
В общем случае можно принять
to''
8
7
e
5
\
\
1
1
\
s
ч,
\
\
\
N
h,r=th.r, A3)
где Ц r — коэффициенты трения для уплотне-
уплотнений; Я5 г — коэффициенты, определяемые по
рис. 6.
Систематические данные по влиянию типа и
геометрических параметров уплотнений на коэф-
коэффициент трения отсутствуют.
По некоторым опытным данным для уплот-
уплотнений, показанных на рис. 11, можно принять
v ~ 2
Для задач устойчивости достаточно рассмат-
рассматривать малые отклонения ротора от централь-
центрального положения его в расточках корпуса. При
малых отклонениях следует линеаризовать систему, вводя относительные возмуще-
возмущения %i, \\i, ti, 1|э,-, Ш; и т. д. по зависимостям:
1.
Ю*
10s 70s 7O7
Рис. 6
1; т)| < < 1; ^ < < 1; гр? < < 1; со?
Звездочкой отмечены параметры при осесимметричном течении (т. е. при централь-
центральном положении ротора в расточках статора). Использование зависимостей A4) с по-
последующим исключением плотности р,- и расхода qt по зависимостям A0) и A1) при-
приводит (8)—A1) к линеаризованной системе
vl [A
+ (Vj + Yi) 4i — a&ili-\ — (Pi+v;) 4i-i=0", A + n,-) fc
P*('/*i
Коэффициенты в системе A5) определяют по следующим зависимостям:
^r, P* it 14
A5)
A6)
т,-=-
^*( ' \ P*i/ ' ^*if*i'P*i ' I
op
2
A7)
A8)
где a^i — скорость звука в i-й камере уплотнения; х — показатель изоэнтропы.
306
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Уравнение A6) получается из (9) для невозмущенного движения. Оно позволяет
последовательно рассчитать закрутку потока в каждой камере с,.,-, если задана за-
закрутка перед первым гребнем с,,0 = сп.
Расход пара q^i для осевого уплотнения через все щели одинаков: q^i = q^
и определяется по зависимости [1]
я* =
A9)
где р0, pn+i — давление перед и за уплотнением; п + 1 — число гребней уплотнения.
Невозмущенное давление в i-й
'///////////////////////Л камере
F(i) -Ц/»
-\Р\ ipl
F(n+\)\
B0)
Плотность p^i определяется по
давлению pxi в предположении, что
вдоль уплотнения
Ptit?ti = const.
B1)
Рис. 7
Последовательность расчета: из
A9), B0) и B1) определяют qx, р^,
p^f, из A6) последовательно находят ci{ по значению скорости в предыдущей ка-
камере с^„•_!,. Величины y,si, Kri зависят (слабо) от искомой скорости с^, поэтому c^i
находят из A6) последовательными приближениями с уточнениями величин xsi, y.ri.
Затем рассчитывают параметры A7), A8), после чего могут быть определены все ко-
коэффициенты системы A5).
Относительное изменение зазора грг- и площади канала ац связано с поступатель-
поступательным ш и угловым 6 смещениями ротора соотношениями:
Vi cos Д;;
w\i
щ = . - cos ф + ~ sm cp;
Vi = -Ц—- cos ф +
sin
B2)
B3)
B4)
B5)
О = -
B6)
где wu, w2i — составляющие смещения соответственно по осям хх и х2 в г-й точке
(рис. 3); 0ц, 62; —углы наклона оси ротора в г-й точке (см. рис. 4).
Обозначения новых величин, входящих в B4)—B6), показаны на рис. 7. Пло-
Площадь камеры fxi очерчена контуром ABCDEA на рис. 7.
Краевая задача Для системы A5) решается краевая задача о течении пара в уплот-
уплотнениях при заданном возмущении, т. е. при заданном законе изменения смещений
wi @> 8( @- Искомыми величинами являются ?г (t) и щ (t).
Начальные условия: g, @) = т]г @) = 0, граничные условия: ^ = ц0 = 0;
?л+1 = 0.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ 307
В матричной форме система A5) с учетом B2) и B3) записывается в виде
f HV' \ B7)
Здесь и далее буквами, набранными полужирным шрифтом, обозначены ма-
матрицы-столбцы, заглавными буквами — квадратные или прямоугольные матрицы:
4 =
щ
W
fUl\
«2
К,
W
; v=
ГЛ
f2
«г
B8)
Для краткости записи матриц ниже введены сокращенные обозначения диаго-
диагональных и ленточных матриц.
Диагональная матрица
\
А =
B9)
Ленточная матрица
а2 с2
bi а, с.
\ Ьп ап с„1
{ ,\ t; i }
2, п \,п 1, п
C0)
Написанная матрица А — прямоугольная, число строк п, число столбцов л + 1.
Квадратная ленточная матрица
lax
62
\
bi Щ
{&г; a,; ct }
2, я 1,п 1, ге—1
C1)
Смысл записи C0) и C1) следующий: 6,, а,, с, —элементы матрицы; а,- —эле-
—элементы главной диагонали; bi —• элементы «слева» от главной диагонали; ci — эле-
элементы «справа» от главной диагонали. Индексы под элементами B, я; 1, я и т. д.)
означают пределы изменения индекса i (номера строки) для элемента. Например,
Для элемента с; в C0) индекс i = 1 -г л, для элемента с; в C1) i = 1 -т- (ге — 1).
В принятых обозначениях B9)—C1) матрицы коэффициентов, входящие в B7),
записываются так:
308 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
а) диагональние матрицы
C2)
б) ленточные матрицы W, D, F, G, Н (первые три квадратные порядка я, послед-
последние две прямоугольные с п строками и п -j- 1 столбцами)
l,; ,(,i+P,); ,f,+1
2,/z \,п 1,я—1
—(a« + v,); v, + Y,; 0 };
2, я ),и 1,/г— 1
-aial; vi+yt; 0 };
2,n 1,/г 1,/г—1
G={ 0; — v, A + »О
2, n 1,/г
Я={ 0; — v;(l+«
2, я 1,/г
+ nUl) sin Д,+1};
1,/г
+n,+1) cos Д,-+1}.
1,/г
C3)
Аэродинамические реакции уплотнений. Для задач устойчивости валопроводов
необходимо определить аэродинамические реакции в уплотнениях. Из системы B7)
исключают неизвестную ц и к получающемуся после исключения г\ уравнению при-
применяют операцию
2л
L (/) =
(L (/') = - JL (/)).
В результате получают уравнение вида
— Kw— Lw — Mw— N§ — PO — С
где
<h =
\bnl
Чл.
w=
2Я
о
2л
6 =
C4)
, Л+1/и*| Л+1 / /ог\
C5)
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
309
Матрицы, входящие в C4), выражаются через введенные ранее матрицы C2),
C3) по формулам
¦A
х
— j — Т;
х
= TH + DTS-j2TS;
C6)
Матрица q согласно C5) есть матрица-столбец, образованный совокупностью
безразмерных комплексных аэродинамических усилии каналов; <7i<> 9гг — составля-
составляющие безразмерного аэродинамического уси-
усилия t-ro канала. Уравнение C4) определяет
связь аэродинамических усилий в уплотне-
уплотнении с поступательными w ^и угловыми 6 сме-
смещениями ротора.
Силы, действующие на ротор в зоне
уплотнений при круговой прецессии вала.
При круговой прецессии вала решение C4)
ищут в системе осей х[, х'2, вращающемся
с угловой скоростью прецессии Q (рис. 8).
Направление оси х\ совпадает с направ-
направлением смещения. В этом случае w = nwt;
ось вала — плоская кривая C = 3x8!).
В этой системе течение в уплотнениях
будет стационарным, производные по времени
в C4) исчезают. Из C4) следует
Bq = — лМ-Wi —
C7)
Рис. 8
Коэффициенты A5) и, следовательно, матрицы В, М, Q определяют по скоро-
скорости с",- во вращающейся системе осеи
Параметр v* [см. A6)] рассчитывают по зависимости
Ъ = —*- [*siC*i + *ri (» — с*')]-
Решение уравнения C7) имеет вид
q=-B
C8)
310 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
После отделения действительной и мнимой частей
q2 =— л (В^Ч
l '
где Bt, B>, Mu M2, Qlt Q2 —действительные и мнимые части соответствующих ма-
матриц C6).
Рис. 9 Рис. 10
Для обозначения полных сил и моментов вводятся следующие матрицы-строки:
Ci z=\Ri\iP*il'i\^=\RnlP*гЪ Rn2p*2^2i •" RniP*ih ••• RnnP*n'fnI>
здесь г,- — координаты камер (рис. 9).
Координаты точек приложения равнодействующих сил в направлении осей
х[ и х'2 определяются соотношениями (рис. 9):
Равнодействующие реакции уплотнения Хх и Х2 и реактивные моменты Yt
и Y2 в плоскостях x'fiz и х'^Ог, приведенные к сечению 2 = 0, определяются по фор-
формулам
*\2ъ? F^S"} D0)
Силы в однокамерном уплотнении. Для однокамерного уплотнения с различ-
различными параметрами щелей (рис. 10) получаются из D0) следующие зависимости (9t = 0);
D1)
\c*i
(K-h2) + bJ^
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
311
где
то= —з"
A-е2) 7.
-l;
Or~ sin Aj;
0*1
+Л») •— sin A3;
0*2
So — характерный зазор; 60 •— средняя высота канала. Для получения зависимости
сил Xt и Х2 от наклона е2 следует заменить w на 6Rn, sin А^на cos А,- и а на s,
по B6).
Пример расчета надбандажной силы для регулирующей ступени турбины К-300-240 ЛМЗ
(двухгребенчатое уплотнение). Заданы следующие величины (рис. 11) давление перед уплот-
уплотнением ро= 173,4 кгс/см2; давление за уплотнением р2 = 169,32 кгс/см2; плотность пара перед
уплотнением ро = 54,05 кг/м3, температура перед
уплотнением t0 = 502° С; радиус окружности
уплотнения R = 0,562 м; расстояние между греб-
гребнями /, = 0,030 м; смоченные периметры статора
U = 0,037 м и ротора U =0,042 м; площадь
сечения кольцевого канала f = 0,193*10—3 м2;
номинальные зазоры б,, = 6»г = 0,0012 м; окруж-
окружная скорость пара на выходе из сопл с. =
= 440 м/с, скорость прецессии (частота собствен-
собственных колебаний ротора) Q = 178 рад/с. Принимаем
к = сс; ?=1_з (перегретый пар).
Расход пара через уплотнения при этих усло-
условиях и ц j = 0,8 С =15,669 кг-с-1. Окружная
скорость и = aRn = 176,56 м-с-1. Окружная ско-
скорость прецессии о = QRn = 100,04 m-c~i.
Расчет скорости закрутки в камере уплот-
уплотнения. Предположительная скорость закрутки
с,, = 360 м/с. Числа Рейнольдса по A2) Res =
= 2,4-106; Rer= 1,2.10е. Коэффициенты трения
Рис.11
(по кривой на рис. 6) ?vs = 1,7-10-'; ^ = 1,9-10-».
Закрутка потока рассчитывается по уравнению ¦ A6), решение которого для данного
случая записывается в виде
где
7~ до+ По и •
Ио=-
>«„; vn =
p*if" '
В результате расчета по приведенным формулам получаем
s [/Jn = 0,0916; |х \НП = 0,1162; vo= 1,370; п0 = 0,2078;
9=15,8709; с., =370,12 м-с~Ч 4i = c*t — о = 270,1 m-c-i.
= 0,5592]
= 2,7372j
312
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Это значение почти совпадает с предположенным значением ctl = 360 m-c~i, поэтому
дальнейшего уточнения закрутки не требуется.
Расчет коэффициентов, входящих в D1). Получаем. vt = Vo —— = 0,8956; у, = 0,4176;
а,, = 639,4 и с-«: X, = 0,42242; В, = 1,3264; В, = — 0,8707; В*'= 1,3131; А, = 1; Л, = 1;
т„ = 0,4292-Ю3 кгс; 61 = 0,2082.
Расчет аэродинамических сил. По D1) значение жесткости консервативной силы XJW =
= — 0,6692'I03 кгс/см, неконсервативной силы Х,/ш = 3.1 73 103 кгс/см.
При расчете коэффициентов трения с поправочным множителем х = 2 жесткости
аэродинамических сил в данном примере принимают следующие значения; Xt/w ~
= — 1,0838-10» кгс/см, Х2/ш = 3,7292-10» кгс/см2.
6. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СИСТЕМЫ
ТУРБОАГРЕГАТ—ФУНДАМЕНТ
Метод расчленения [4]. Метод применим к расчету амплитуд вынужденных
колебаний в любой точке системы турбоагрегат — фундамент под действием неурав-
неуравновешенности валопровода, заданной либо в виде закона изменения эксцентриси-
эксцентриситета вдоль валопровода или в форме ве-
величин и мест распределения сосредоточен-
сосредоточенных масс.
Сила от неуравновешенности в некото-
некоторой точке валопровода определяется в про-
проекциях на оси кх и х2 (рис. 12):
/<*> = F<v> cos erf -f 4V> sin at;
/< v> = f(v) cos id + Ff) sin orf;
где ff1"', /iv* — составляющие силы не-
неуравновешенности, приложенной в 7-й точ-
Рис. 12
ке валопровода; т
(V) „(V). Pcv)_,
участка валопровода и отнесенные к ней со-
составляющие эксцентриситета (см. рис. 12).
Система паротурбоагрегат — фундамент расчленяется на две подсистемы: 1) соб-
собственно валопровод; 2) подсистему статор—фундамент (см. рис. 2). Связь между под-
подсистемами осуществляется через масляную пленку подшипников, через аэродинами-
аэродинамическое взаимодействие ротора и статора в проточной части турбин и электродинами-
электродинамическое взаимодействие ротора и статора генератора. При вынужденных колебаниях
главное значение имеет взаимодействие через масляную пленку подшипни-
подшипников. Аэродинамическое взаимодействие необходимо учитывать при расчете устой-
устойчивости.
Система статор — фундамент предполагается линейной (с линейным демп-
демпфированием и жесткостью) и произвольной, т. е. может быть принята в виде
плиты, рамы, фермы и т. д. при произвольном способе опирания на осно-
основание.
Возмущающие силы, вызванные неуравновешенностью валопровода, являются
гармоническими с частотой ш (вращение валопровода равномерное с частотой со)-
Вследствие линейности всех элементов системы (по предположению) динамические
реакции в подшипниках р, смещения валопровода w, смещения статора фундамента
w0 также будут гармоническими функциями с частотой со.
Составляющие смещения валопровода в произвольной точке k
D2)
1 = Wf cos at + \V[k) sin at.
МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
Смещения центра расточки подшипников в точке E
313
cos
sin
w.
oa
Реакция (усилие, действующее на цапфу подшипника) в произвольной опоре а:
^ + Q(
a)
sin
Совокупность величин W[k) (i = 1, 2, 3, 4; k = 1, ..., n; n — число опор) обра-
образует вектор W, аналогично образуются векторы смещений Wo системы статор —
фундамент и вектор опорных реакций Q:
W<i> \
ц,
1
2
W " \
W"'
01
ы
сэ
; Q =
Qi" \
*
; F =
/7'
4 ;
Компоненты векторов W, Wn и Q не зависят от времени и для определенной си-
системы турбоагрегат — фундамент зависят от частоты вращения со, от статических
реакций в опорах, от величин и распределения неуравновешенности валопроЕОда.
Вектор F считается заданным в точках у (у = 1, 2, ..., т, т — число точек рас-
расположения неуравновешенности).
Динамические характеристики подсистем. Каждая из подсистем, включая сово-
совокупность масляных пленок подшипников, задается динамической характеристикой,
представляющей собой линейное матричное соотношение между динамическими (си-
(силовые факторы) и кинематическими (смещения) величинами. Матрицы связи состоят
из коэффициентов влияния подсистем.
Характеристика подсистемы валопровода
D3)
D4)
Характеристика подсистемы статор —¦ фундамент
Характеристика подсистемы «Совокупность масляных слоев подшипников»
Q = [K](W-W0). D5)
Матрицы [V], [17] представляют собой динамические податливости в соответ-
соответствующих точках валопровода от динамических усилий, приложенных в местах опор
и местах расположения неуравновешенностей; [Д] — матрица динамических подат-
ливостей (динамических коэффициентов влияния), получаемая экспериментальным
или расчетным путем (см. гл. VII); [К] — квазидиагональная матрица, составлен-
составленная из подматриц С и В — характеристик масляного слоя подшипников. Для системы
турбоагрегат — фундамент, имеющей п опор и т плоскостей приложения неуравно-
314 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
вешенности, порядок квадратных матриц [V], [К], [А] равен 4п; матрица [U] — пряя
моугольная, имеющая in строк и 4т столбцов.
, 1) уA, 2) у(\, п) \ 1у(\, 1)
, 1) у(п, п) \ у(п, 1)
где И'1'' (( = 1, 2, .. , п; j = 1, 2, ..., п) — матрица четвертого порядка, связываю-
связывающая динамическое смещение валопровода в точке i (i — номер опоры) с гармониче-
гармонической силой, приложенной в точке / (/ — номер другой опоры). Матрица U^'^ имеет
тот же смысл, но точка / соответствует месту приложения сосредоточенной неурав-
неуравновешенности. Матрицы v'tf/* и и^1'1^ имеют следующую структуру:
где A, D — матрицы второго порядка;
Мл \
^W А22)' ° \D2l D2
Матрицы [Д] и [К] имеют такую же структуру, что и матрицы D6); подматрицы
четвертого порядка ДA?/) и /СA>/) аналогичны по структуре матрице D7),
Подматрица
I [со.,] Нв^\
\[ВМ] [С<">] /
K(il/)=[0] при 1ф\,
где [0] —нулевая матрица. Матрицы второго порядка [С""] и [В'М|] определяются
динамическими коэффициентами масляного слоя подшипников [см. уравнение A)].
Расчет опорных реакций и динамических смещений в системе турбоагрегат —
фундамент. Из системы D3)—D5) определяются опорные реакции
Q = {[V] + [K]-i + [A]}-i[U]F. D8)
Смещения валопровода рассчитываются по D3), смещения системы статор —
фундамент по D4).
Для практической реализации расчета изложенным методом необходимо предва-
предварительно составить матрицы [V], [U], [Д]. Определение матриц податливости [V]
и [U] сводится к решению задачи о вынужденных колебаниях свободного (без опор)
вращающегося валопровода под действием единичной гармонической силы, Расчет
матрицы [А] см. в гл. VII.
Метод разложения по формам колебаний. Модель системы турбоагрегат—фунда-
турбоагрегат—фундамент выбирается в виде совокупности абсолютно жестких инерционных элементов,
объединенных между собой квазиупругими и квазивязкими связями (рис. 13, где пря-
прямоугольниками обозначены инерционные элементы системы, сплошные линии —
квазиупругие связи, штриховые линии — квазивязкие связи). Каждый из абсолютно
жестких элементов обладает вообще шестью степенями свободы. Каждая связь лю-
любых двух элементов имеет шесть квазиупругих составляющих и шесть квазивязких
составляющих силового взаимодействия (по три силы и по три момента). Общее
число степеней свободы системы равно п, обобщенное смещение, соответствующее
1-й степени свободы, обозначается через ui, обобщенная масса через т,-, обобщенная
сила, соответствующая «,-, через /, (t).
МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
315
Уравнение движения системы записывается в виде
AijUj + В^и, 4 Ci;u, = fi
(i, /=1, 2, .... л),
D9)
где Л// — коэффициенты инерции, удовлетворяющие условиям1 А у = /п,-, если i = /
и 4;> = 0, если i Ф /; т; — обобщенная масса (масса или момент инерции), соответ-
соответствующая точке t.
В данном разделе принято суммирование по повторяющимся индексам.
Коэффициенты В,у отражают квазивязкие силы в материале вала, статора и фун-
фундамента, в масляной пленке подшипников, а также описывают влияние гироскопи-
гироскопических сил вращающихся дисков ротора.
Коэффициенты жесткости С,-; (квази-
(квазиупругие параметры системы турбоагре-
турбоагрегат — фундамент) можно представить в
виде суммы симметричной (консерватив-
(консервативной) и антисимметричной (неконсерватив-
(неконсервативной) частей:
л р о
E0)
1
—
! c
1
Ф у
I"
—
a
m
a
=
—
—
0
e
1
—
1"
i
1
1
1
| н т
l
1
'/////////////////////////////////////у.
Рис. 13
Соответственная консервативная си-
система турбоагрегат — фундамент обра-
образуется из реальной системы путем ис-
исключения из нее всех неконсервативных сил, т. е. при Вг/ = 0; Dy = 0.
Для консервативной системы существуют главные формы колебаний <pys, удовлет-
удовлетворяющие уравнениям
Kt(f s — QlkAl(f k = 0 E1)
(k, s=l, 2, ... , n).
Главная форма колебаний <р/х есть обобщенное смещение в /-й точке при
форме колебаний номера s. В дальнейшем формы колебаний предполагаются норми-
нормированными.
Коэффициенты Qjfe удовлетворяют условиям:
Qj?=0, если k Ф s;
fi^ = Q;, если k = s,
где Qs — собственная частота колебаний консервативной системы для формы коле-
колебаний номера s.
Нормированные главные формы колебаний удовлетворяют условию ортогональ-
ортогональности
^/ф15ф/т = в5т; E2)
f 0 при &Фт
I. 1 при s = m.
Смещение в любой точке системы турбоагрегат — фундамент
гДе qs — главные координаты системы.
316 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
Подстановка E3) в D9) с использованием E1), E2) дает
Qm ""~ п ms4s T fvffls?s = fm' \°ч
Hms — Bt/<pim<p!s; E5)
mS | E6)
1|5пг = Д-ф(-т. E7)
Зависимость E4) можно представить в матричной форме:
где q — матрица-столбец, составленная из координат qs; [Я], [N] —квадратные ма
трицы порядка п, элементы которых определяются формулами E5), E6); if — мат
рица-столбец с элементами E7).
Решение матричного уравнения E8) при соответствующих начальных условиях
даст вектор q (t), после чего смещение в любой точке системы трубоагрегат — фунда
мент определяется по E3).
Метод разложения по главным формам в отличие от метода расчленения приме
ним не только для стационарных вынужденных колебаний, но также и для исследо
вания устойчивости системы и для расчета переходных колебаний, возникающих,
например, при внезапной разбалансировке валопровода (обрыв рабочей лопатки).
7. РАСЧЕТ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ,
ВЫЗВАННЫХ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬЮ
Для случая вынужденных колебании
if = if 1 cos at -4- if 2 sin со', ¦>
q = qi cos at + q2 sin at, J
где iflt if2 — заданные векторы, определяемые неуравновешенностью; qb q2 — иско
мые векторы амплитудных значений главных координат. Подстановкой E9) в Eз)
определяют q1 и q2 из системы матричных уравнений ([/] — единичная матрица по-
порядка я):
(— со2 [/] + [N]) qt + со [Я] q2 = %;
- со [Я] qt + (- со'- [/] + [Л']) q2 = if2,
эквивалентной одному матричному уравнению удвоенного порядка 2л
После определения из F0) амплитудных значений главных координат qj, qa сме-
смещения в любой точке системы определятся соотношениями E9) и E3).
8. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ТУРБОАГРЕГАТА
Динамическая устойчивость турбоагрегата исследуется с помощью анализа устой-
устойчивости решения системы E8).
Согласно методу В. И. Зубова, достаточным условием устойчивости является
стремление к нулю всех элементов матрицы [L\"k при k -*¦ оо. Матрица [L] образуется
из матриц [Я] и [/V]:
[Ч = [Л + 2([О]-И) h F1)
где
Г-[Я] <о-1 -[Л']ог*1
РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ТУРБОАГРЕГАТА 317
здесь [/], [/] — единичные матрицы соответственно порядка In и п; [0] — нулевая
матрица порядка п.
Согласно E6), матрица [N] и ее элементы — коэффициенты жесткости Nms —
состоят из консервативной Qms и неконсервативной Ems составляющих, В свою оче-
очередь Ems представляется в виде
?т, = ?™ + *?№. F2)
где E'ms=:D'4<(im<pjs;
здесь D'n — коэффициенты жесткости неконсервативных сил масляной пленки под-
подшипников; D". — коэффициенты жесткости аэродинамических неконсервативных
сил (венцовых, надбандажных и лабиринтных) при номинальном режиме работы тур-
турбоагрегата (см. п. 5). В дальнейшем предполагается, что аэродинамические неконсер-
неконсервативные силы рассчитываются для круговой прецессии вала [см. формулы D0)].
Параметр нагрузки для конденсационной турбины
к = Ре/Р0.
Для турбины с регулируемыми отборами пара
k = Ge/Ge,
где Ре, Ро — соответственно частичная и номинальная мощности турбины; Сг, Go —
соответственно частичный и номинальный расходы пара.
Условие устойчивости турбоагрегата. Турбоагрегат (валопровод) устойчив,
если
[LP*->O при й->оэ F3)
(матрица стремится к нулю, когда все ее элементы стремятся к нулю). Если хоть
один элемент матрицы [L]2k неограниченно растет, то турбоагрегат неустойчив.
Относительной пороговой мощностью или относительным пороговым расходом
пара называют отношение
Хп = Рп/Ро или Хп = Оп/Со,
где РП — пороговая мощность; Gn — пороговый расход пара, т. е. мощность (расход
пара), при которой турбоагрегат становится динамически неустойчивым.
Для определения пороговой мощности (порогового расхода пара) варьируют
(увеличивая) к в F2) и проверяют условия F3). Максимальное значение К, при ко-
котором условие F3) еще выполняется, равно %п. По значению Я.п определяют порого-
пороговую мощность (пороговый расход пара), поскольку величина Ро (или Go) известны.
Приближенный критерий устойчивости. Из анализа системы E8) следует при-
приближенное условие устойчивости турбоагрегата
*„ = ?=? >1; F4)
S* = [(Q»-Q5)« + (Ни + Я22) (Q*H22 + QJtfu)] ЯИЯ22 (#u + #„)"»; F5)
?' = О(,ф,1ф,2; E" = Di,<fU<fJ2; F6)
Ни = б^флфд; Я22 = В(/Ф(-2ф;2- F7)
При расчете параметра нагрузки по F4) выбирают те низшие формы колебаний
в горизонтальной (фа) и вертикальной (ф/2) плоскостях, которые определяются рото-
ротором высокого давления (РВД); Qlt Q2 — соответствующие этим формам собственные
частоты колебаний системы.
Пример расчета устойчивости (пороговой мощности) турбоагрегата «критического дав-
давления. Модель валопровода выбрана в виде ротора высокого давления (РВД) постоянного
318
КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
сечения и постоянной линейной плотности, опирающегося на два подшипника с эллиптиче-
эллиптической расточкой (рис, 14). Свойства опор определяются характеристиками масляного слоя
подшипников, стулья подшипников принимаются абсолютно жесткими (двухопорная модель
ротора и другие допущения приняты для упрощения расчета; при расчете устойчивости
турбоагрегатов с применением ЭВМ в этих допущениях нет необходимости, поэтому расчет
можно вести в соответствии с изложенной общей методикой).
Заданы следующие параметры системы: длина РВД (между опорами) I = 544 см; масса
РВД М — 9,9898 кгс-с2/см, жесткость сечения РВД EJ — 5,2290-10" кгс-смг, динамические
коэффициенты масляного слоя подшипников — элементы матриц [с(м'] и ffi(M)] (оба подшип-
подшипника— одинаковые) сг1 = 0,2285-Ю11 кгс/см; с12 = — 0,00714¦ 10е кгс/смг; сп =—0 665-10* кгс/см2-
с22= 1,0608-10» кгс/см^ Ьц = 0,5508-10» кгс-с/см, Ь,2 = Ь21 = 0,8874-10э кгс-с/см; Ь2,~
= 4,702-103 кгс-с/см; жесткости аэродинамических неконсервативных сил, приведенные к трем
точкам РВД (жесткости учитывают венцовые, надбандажные и лабиринтные силы)
ЙШ = d<v = 0,714-10* кгс/см; d<2) = 0,612-104 кгс/см.
По заданным условиям требуется рассчитать относительную пороговую мощность,
используя приближенный критерии устойчивости F4).
0,6251
0.5001
0,3751
¦X/
Рис. 14
Рис. 15
1. Расчет динамических коэффициентов масляного слоя, приведенных к главным осям.
Матрицу жесткостей [с<м>] представим в виде суммы консервативной и неконсервативной
(циркуляционной) частей:
lew] = [_«;,
2285 — 0,0071 I
10» =
0,2285 —0,3361]
.,Г0 0,329]
0,665 l,0608j'lu""" I—0,3361 1.0608 Г +L—0,329 0 |
Главные вначения A,t и Л2 жесткостеп консервативной части матрицы найдем из уравнения
0,2285 — Д,-10-« —0,3361
- 0,3361
1,0608 —Я-10-»
= 0,
откуда %, = 0,1094-106 кгс/см; Х2 = 1,1799-10« кгс/см.
Главные направления *J, x'a жесткостей определяются углом а (рис. 15), вычисляемым
из соотношения
0,3361
г(м) л 1,0608 — 0,1094
= 0,3533,
откуда а= 19,46е.
В главных осях х' х^ матрица жесткостей
'. F8)
Неконсервативная часть матрицы при повороте осей не меняется. Матрицу [в'м)] при-
приведем к главным осямз
[В(м>]' = [Г] [В(Щ [Г], F9)
где
cos a sin а]. г„,„м = Г 0,551 —0,887] уд)
4.702J v
Г cos а sinal [в(м)] = Г 0,?
| — sin a cosaj (.— 0,?
ычислений найдем
Гв(м)]'_Ри Ь;2]_Г0.4446 0,61541
^L6ai 6aaJ ~ L0'6154 4-798|
-sin a cosaj' l" J (.— 0,887 4,
Подставляя G0) в F9), после вычислений найдем
.о.»'_ г.1 -12|_Г0'4446 °'61541
G1)
РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ТУРБОАГРЕГАТА
319
Соотношения F8), G1) дают значения динамических коэффициентов жесткости и демп-
демпфирования масляного слоя подшипников, приведенные к главным осям консервативной
жесткости.
2. Расчет собственных частот и главных форм коъебаний РВД. Консервативную систему
РВД выбираем в виде ротора на анизотропных упругих опорах с жесткостями Я,, и Я,2 в глав-
главных направлениях х'{ и *?.
По методу Рейли — Ритца получаем следующие зависимости для расчета собственных
частот (первого тона) и нормированных главных форм колебаний для главных направлений
минимально!! и максимальной жесткостей масляного слоя.
3»
1/2)—
}
V
V — 1 ~i
<m= 1, 2),
где Q* — собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах; ?2 —собственные
частоты первого тона колебаний в главных плоскостях жесткости опор (т —1,2), причем
т = 1 соответствует плоскости минимальной жесткости; т = 2 — плоскости максимальной
жесткости опор, 2^ — координата, отсчитываемая от первой опоры вдоль оси ротора; 4>im —
нормированная главная форм-» номера т; i — номер «точки» системы; Рт — параметр, харак-
характеризующий соотношения жесткостей собственно вала и опор.
По формулам G2) —G4) находим (Q4 = 178 рад-С); pi = 1,44610, Р3 = 0,134075;
= 116,6503 рад-с-1; Q2 = 168,8574 рад-c-i; >ч = 1,95843, V2 = 12,4480,
1 / яг.
m . = —=тг 0,610891 + 0,58550 sin
11 УМ \
flt =
I
<Р«2 =
УМ
0,111040+ 1,27120 sin
3. Расчет, параметров демпфирования Нп и Н2г [см. F7)] Демпфирование в данной
системе сосредоточено только в подшипниках, поэтому необходимо выбрать при расчете Htt
и #22 следующую нумерацию точек: t = 1 — первая опора, направление к' i = 2 — первая
опора, направление xf, t=3— вторая опора, направление х'л i — 4 — вторая опора, направле-
направление х'
При такой нумерации коэффициенты В, в F7) и формы колебаний можно представить
в виде
в" вп2 я13 я"\
1 2 3 "
в«7 =
I/
V
Фи Ф1г
фз1 ф„
в(мI'
¦
га .
0,610891
°
о,61О891
0
G5)
0
0-111040
0
0,111040
F7), используя G5), G6), определяем параметры демпфирования
4 Расчет параметра возбуждения масляного сгоя Е' [см. F6)]. Коэффициенты возбужде-
возбуждения можно записать в виде
D,,
D13
/ 0 d'
— d' 0
о о
\
/00 0 d'
D" Л« D" Dj \ 0 0 -d' 0,
Де d' = о,329¦ 10s кгс/см — жесткость неконсервативной силы масляной пленки подшипников.
/77\
G7>
320 КОЛЕБАНИЯ ПАРОВЫХ ТУРБОАГРЕГАТОВ
По F6), используя G6), G7), определяем параметр возбуждения масляной пленки ?' =
= 2й'ф„ф22 = 4476.С24 с-2
5. Расчет параметра аэродинамического возбуждения С" [см. F6)]; в данном случае из F6)
следует
Е" = d(*)<pftl<pft2, G8)
где k—номер точки приложения неконсервативной сильп^ ^ (см. рис. 14); ф, , ф,—значе-
ния главных форм в точках приложения.
По формуле G8) после вычисления значений главных форм по G3) в точках приложения
неконсервативных сил определяем параметр аэродинамического возбуждения Е" = B-0,7 \
X i,15182-1,28546 -f в,6-1,19639-1,38222)- №/9790 = 3130,82 с~2.
6. Расчет величины 5 [см. F5)]. Подставляя величины пи Й2> "и» Н%г в формулу F5),
найдем 5 = 7247,22 с~2
7 Расчет пороговой мощности турбоагрегата по F4);
Р S-E'
-~~ = г^г— = 0,8851 < 1.
Ро Е
8 данном примере пороговая мощность меньше номинальной, следовательно, турбо.
агрегат является неустойчивым при нагрузках, близких к номинальным.
9. МЕРЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРАЦИИ ТУРБОАГРЕГАТОВ
1. Для понижения уровня вибрации применяют уравновешивание (баланси-
(балансировку) роторов на низкооборотных балансировочных станках (для жестких роторов)
и на высокооборотных станках при критических и рабочей частотах вращения (для
гибких роторов).
Мерой качества балансировки может служить динамическая реакция в опорах
ротора на рабочей частоте вращения по отношению к статической реакции.
Балансировка может считаться удовлетворительной, если для каждой опоры
выполняется условие
AR === xR,
где AR — амплитуда динамической реакции: R — статическая реакция опоры;
х = 0,05-4- 0,1.
Для турбоагрегатов мощностью выше 160 МВт при частоте вращения роторл
3000 об/мин удвоенная амплитуда вибрации, измерен-ная на подшипниках в вер-
вертикальном, горизонтальном и поперечном направлениях, не должна превышать
30 мкм.
2. Неточности изготовления роторов и сборки системы роторов (валопровода)
регламентируются допусками на расцентровку. Удовлетворительность сборки конт-
контролируется специальными технологическими операциями.
Допуск на несоосность (коленчатость) и излом оси вала, как правило, соста-
составляет 20—30 мкм. Излом оси определяется по измерениям осевых расстояний между
полумуфтами спариваемых роторов.
3. Уменьшение вибрации, вызываемой тепловой нестабильностью ротора, может
быть достигнуто динамической балансировкой при рабочей температуре.
Тепловая нестабильность проявляется в том, что прогиб ротора обратимо ме-
меняется с изменением температуры. Она является следствием неоднородности свойав
материала заготовки по величинам температурного коэффициента удлинения. Допу-
Допустимым считается обратимый тепловой прогиб не более 20 мкм при изменении тем-
температуры ротора от комнатной до рабочей. Тепловая нестабильность ротора прове-
проверяется на металлургическом предприятии, производящем заготовки ротора.
У роторов с насадными дисками может возникнуть механическая нестабиль-
нестабильность, вызываемая трением на поверхности контакта дисков и вала.
Механическая нестабильность проявляется в необратимости поперечной дефор-
деформации ротора: при нагружении ротора поперечными силами и последующей разгрузке
ротор не возвращается в первоначальное состояние. Остаточный прогиб является
причиной вибрации.
Для уменьшения эффекта механической нестабильности следует применять
диски с узкой ступицей и не допускать значительных поперечных деформаций —
например, значительной вибрации ротора — в процессе эксплуатации.
МЕРЫ СНИЖЕНИЯ ВИБРАЦИИ T^РБ0А1 РЕГАТОВ
321
4. Неравножесткость роторов может быть снижена конструктивными мерами,
которые сводятся к точу, что неразножесткость, обусловленная особенностями кон-
конструкций ротора (осевые пазы под обмотки в роторах электрических генераторов,
шпоночные пазы в роторах турбин) компенсируется изменением формы ротора с тем,
чтобы приблизить его к равножесткому.
5. Для повышения виброустойчивости валопровода можно рекомендовать сле-
следующие меры:
а) выбор оптимальной формы (коэффициента формы т) расточки эллиптических
подшипников, на которые опираются роторы высокого (РВД) и срэднего (РСД)
давления (рис. 16, а);
б) применение сегментных подшипни-
подшипников с эллиптической расточкой (рис. 16, в),
имеющих преимущества по влиянию на
виброустойчивость по сравнению с сег-
сегментными подшипниками с цилиндриче-
цилиндрической расточкой (рис. 16, б);
в) оптимальное распределение опор-
опорных реакций на подшипниках РВД и РСД
путем выбора наивыгоднейшего монтажного раскрытия полумуфт РВД — РСД.
Увеличение раскрытия (рис. 17) приводит к увеличению реакции на первый подшип-
подшипник и уменьшает реакцию на второй подшипник. Существует оптимальное раскрытие,
придающее валопроводу наибольшую устойчивость;
г) применение надбандажных уплотнений с малыми осевыми и относительно
большими радиальными зазорами. Типы уплотнений, увеличивающих виброустой-
виброустойчивость, приведены на рис. 18;
Рис. 17
0,-вг
д) изменение скорости закрутки потока пара перед уплотнениями. При умень-
уменьшении закрутки в сторону вращения до нуля возбуждающая неконсервативная сила
вначале снижается до нулевого значения, а затем становится отрицательной (см. г. 5).
Воздействием на закрутку потока перед уплотнениями можно влиять на виброустой-
виброустойчивость ротора;
е) повышение жесткости и массы системы роторов РВД — РСД. Выбор опти-
оптимальных решений по пунктам а, б и в производится на основании расчетов вало-
11 п/р. Ф. М Диментберга и К. С Колесникова, т. 3
322 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
провода по изложенной методике на виброустойчивосгь при варьировании параметра
формы т и раскрытия полумуфт ё.
6. Главная мера предотвращения серьезных последствий внезапной разбаланси-
ровки — обеспечение высокой надежности рабочих лопаток последних ступеней ЦНД
(цилиндров низкого давления). Не менее важно, чтобы критические частоты вращения
валопровода, отзывающиеся на дисбаланс в районе последних ступеней ЦНД, были
бы удалены от рабочей частоты вращения не менее чем на 15%.
7. Крутильные частоты собственных колебаний валопровода должны быть
отстроены от частот 50 и 100 Гц с запасом 10—15%. При этом, как правило, напря-
напряжения в шейке вала между турбиной и генератором не превышают допустимых зна
чений, составляющих 0,7—0,8 от предела текучести при сдвиге. Запас прочности
в болтах муфты должен быть меньше, чем в шейке вала, с тем чтобы в чрезвычайном
случае первыми были бы срезаны болты, а шейка вала осталась неповрежденной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дейч М. Е., Самойлович Г. С. Основы аэродинамики осевых турбомашин. М, Машгиз
1459 428 с.
2. Дорфман Л. А. Гидродинамическое сопротивление и теплопередача вращающихся тот
М , Физматгпч, 1960 260 с.
3. Костюк А. Г. Теоретический анализ аэродинамических сил в лабиринтных уплотнениях
турбомашин — Теплоэнергетика, 1972, № 11, с 29 — 33
4. Костюк А. Г., Куменко А. И., Киртохин А. В. Расчет колебаний турбоагрегата, вызван-
вызванных неуравновешенностью ротора — Труды координационных совещаний по гидро1ех-
нике Вып 109 Л , Энергия, 1976
S Костюк А. Г., Шатохин В. Ф., Иванов Н. М. Расчет пороговой мощности крупных туо-
боагрегатов — Теплоэнергетика. 1974, № 3, с 15 — 19
6. Олимпиев В. И Влияние конструкции бандажного уплотнения на газодинамическо»
возбуждение низкочастотной вибрации ротора турбины — Теплоэнергетика, 1977,
№ 7, с 24 — 28
7. Щегляев А. В. Паровые турбины, М , Энергия, 1976. 358 с.
Глава XIII
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ДВИГАТЕЛЕМ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Современные тенденции увеличения удельной мощности наряду с повышением
надежности различных установок с ДВС приводят к новым актуальным проблемам
в динамике силовых передач. Требование повышения точности расчетов свободны^
и вынужденных колебаний может быть выполнено при условии разработки новых
способов построения расчетных схем, идентификации их параметров, накопления и
использования статистических данных, ориентации на методы, реализуемые на сов-
современных вычислительных машинах. Становятся все более актуальными проблемы
оперативного решения задач вибрационного синтеза, оценки надежности при слу-
случайных нагрузках, вибрационной диагностики технического состояния ДВС.
Успехи информационно-измерительной техники, чрезвычайно расширившие в по-
последние годы возможности сбора и обработки большого объема информации,
дают экспериментальную базу новым расчетным методам, реализуемым на ЭВМ
и АВМ.
Установки с ДВС чрезвычайно разнообразны и по назначению, и по конструк-
конструктивным особенностям. Тем не менее с точки зрения расчета вибраций все они могут
быть объединены в одну группу. Это объясняется наличием в них специфического
мощного источника возбуждения колебаний и тем, что часто именно сам двигатель
в наибольшей степени нуждается в исследовании. Объем расчетных и эксперимен-
ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 323
тальных исследований для установок с ДВС разного типа (авиационных, судовых
и тепловозных, автомобильных и тракторных) неодинаков. Однако в определенной
степени изложенные ниже методы применимы для любой системы с ДВС. Особое
внимание уделено перспективным направлениям расчетов, использующих ЦВМ.
2. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Основные допущения. Замена реальной колебательной системы силовой цепи
современных установок с ДВС их расчетной схемой (механической моделью) произ-
производится исходя из допущений, подтвержденных опытом многолетних исследований:
1) для отражения всех основных особенностей колебательных процессов доста-
достаточно точной является дискретная модель,
2) параметры механическоч модели не зависят от времени;
3) основные колебания — крутильные.
Определение параметров модели. Хотя основные параметры при исследовании
крутильных колебаний могут быть определены расчетным путем уже на стадии
проектирования, желательно их экспериментальное уточнение в процессе создания
машины.
Аналитический подсчет упругих характеристик элементов колебательной си-
системы иногда затруднен из-за наличия таких конструктивных элементов, как отвер-
отверстия, канавки. Наибольшие погрешности возникают при определении податливости
коленчатых валов, зубьев шестерен, резиновых элементов. Следует учесть, что во
многих современных компактных установках необходим учет податливости опор,
зубьев шестерен, изгиба валов [3, 22]. Жесткостные характеристики в юраздо боль-
большей степени, чем инерционные, нуждаются в экспериментальном уточнении.
Демпфирующие характеристики системы достаточно точно могут быть опреде-
определены только экспериментально. Иногда приемлемая точность достигается столь объем-
объемными экспериментами, что оказываются целесообразными лишь грубые оценки и
сопоставление с характеристиками аналогичных образцов. Сложная зависимость
коэффициента демпфирования от амплитуд, частот колебаний и режимов работы
установки требует осторожности использования даже экспериментальных данных,
полученных на аналогичных двигателях. Опыт исследования демпфирующих свойств
типичных элементов силовых передач отражен во многих монографиях [1, 11, 17,
18, 20, 23]. Наиболее важным является демпфирование в элементах цилиндров,
в центробежных и поршневых насосах. Трение в стальных валах обычно несуще-
несущественно.
При анализе влияния погрешностей определения параметров на результаты рас-
расчетов следует иметь в виду, что ошибки в меньшей мере сказываются в значениях.
1) моментов инерции и коэффициентов трения на массах, расположенных ближе
к >злам форм колебаний;
2) жесткостей участков и коэффициентов демпфирования на них, близких
к пучностям форм.
Возмущающие моуенты на цилиндровых массах даже при наличии лишь расчет-
расчетных индикаторных диаграмм вычисляются с приемлемой точностью. В разложении
сил инерции поступательно движущихся масс практическое значение имеют лишь
первые четыре гармоники.
Построение эквивалентной (приведенной) системы. После дискретизации системы
часто оказывается необходимым сделать приведение механической модели к одному
валу, в частности, при наличии валов, вращающихся с разными у1ловыми скоро-
скоростями, или при наличии элементов, совершающих некрутильные колебания.
Для вращающихся с разными угловыми скоростями валов определяют передаточ-
передаточные отношения
гДе шд,, со0 — соответственно угловые скорости k-vo вала и некоторого так называе-
называемою основного вала. После чего считают, что все параметры и переменные изменяются
согласно табл. 1.
11*
324
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Приведение параметров к одному валу
Параметры
Моменты инерции масс
Крутильные жесткости участков
Углы поворота масс
Коэффициенты вязкого трения
Упругие моменты в участках
Моменты движущих сил и полезных сил сопротивле-
сопротивлений, действующие на массы
Действительные
значения
J
с
Ф
I*
«у
ЛГ
Значения в
приведенной
системе
Л*
«2
ф/i
Ы*
МГ
Если в системе нет шестерен с упругим креплением осей, упруго закрепленных
корпусов ред^ кторов, планетарных передач, то приведенная механическая модель
изображается сочетанием инерционных и упругих элементов в виде цепей, показан-
показанных на рис. 1 (а — простая цепь, б — разветвленная, в — кольцевая). Такие мо-
модели называют цепными [23] В противном случае представление в виде цепной си-
системы возможно лишь после перехода к специальным обобщенным координатам [3]
При изучении установившихся колебаний оказывается полезным исключение всех
«некрутильных» обобщенных коорди-
координат за счет введения так называемых
эквиватентных параметров, которые ча-
висят от частоты. Однако учет гидрав-
гидравлических, электрических и других эле-
элементов системы приводит к сложной
механической модели, схематизация
которой цепной системой невозможна
В таком случае уместной оказывается
V*—г г • \^ , w • схематизация моделей, применяемая
• • , | ^У~у* в теории процессов управления [19].
б) i ф Эквивалентная (приведенная) си-
— \ стема состоит из упругого валопровода,
не имеющего массы, на котором распо-
расположены сосредоточенные массы. Кр>-
тильные колебания такой системы
определяются' значениями моментов
инерции масс J относительно оси валч
и крутильными жесткостями с или
1
податливостями е = — участков вало
провода между ними.
При составлении эквивалентной
системы диаметр эквивалентного вала d0
выбирают постоянным, а массы отдельных участков действительного вала сосредота-
сосредотачивают в местах концентрации масс. Расчетами определяют приведенную длин> /0
участков эквивалентного вала из условия равенства податливостей эквивалентного
участка вала е0 и действительного е:
Рис. 1
1
Со
или
GJp GJpo '
где / — длина участка действительного вала; 10 — длина участка приведен-
приведенного вала; G — модуль сдвига, Jр — полярный момент инерции сечения дей-
ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛЕЙ
325
ствительного вала, Jp — полярный момент инерции сечения приведенного вала,
откуда
'•=4<"л. B)
Наиболее надежным способом оценки упругих свойств коленчатого вала является
определение коэффициентов жесткости его участков по результатам статических
или динамических испытаний вала [3] Первые состоят в определении общей крутиль-
крутильной жесткости коленчатого вала при воздействии на него статического момента.
При динамических испытаниях коленчатого вала определяется частота резонансных
колебаний динамической системы двигатель — маховик, порождаемых низшей соб-
собственной формой колебаний системы и главными гармониками возмущающих мо-
1 '
—!—
t./г
"
—
ь
Н—
J
1*
п
~-
ь
L
1,/г
Рис. 2
ментов двигателя. Искомый коэффициент жесткости участка коленчатого вала между
смежными кривошипами находят по формуле [3]
S'rt
C)
где Jj = Jk (j = l, 2, ..., n — 1); /„ — момент инерции маховика; {а}, {6} —рас-
—расчетные векторы относительных амплит\д колебаний масс и упругих моментов, соот-
соответствующие ре»оьир}гсщей собственной форме испытуемой динамической системы,
(в — круговая частота резонансных колебаний
Податливость коленчатого вала по элементам определяют по формулам, при-
приведенным в табл. 2 Суммарная податливость A/с) для одного колена (рис. 2) состоит
из податливостей опорной A/с^и шатунной A/с2) шеек и податливостей двух щек
(Ус3' и 1/с3"), т. е.
Податливость одного колена вала можно определить по эмпирической формуле
П. Тимошенко (рис. 2) [17, 25]
32 //г 4
'к + 0,%
4 Е bh*
D)
326 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
2. Податлигость валов различной форпы
Характеристика и
схема вала
Податливость, 1/с
Момент сопро-
сопротивления \V.
Цилиндрический вал с осе
вым сверлением
32
лО й1 — б*
Круглый вал с напрессован-
напрессованной втулкой
лв D* '
где
6 \ D-
GRr — модуль сдвига для материала втул-
втулки, кгс/см2
Конический вал
V
где
*« = Ж '
D"
нлн по рис. 1. В случае сверления поправ-
поправка на него учитывается по меньшему диа-
диаметру сверления 6 и малому диаметру ко
нуса d
^2 KKJ
яО
где
1
nd>
с
Вал под ступицей
32
df '
где X = @,2 -f- 0 3) d, в зависимости от ха-
характера и качества посадки. При длинных
ступицах d, заменяют
Здесь предполагается, что ступица и вал
изготовлены из одинакового материала
ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
327
При расположении двух колен между коренными подшипниками (рис. 3) подат-
податливость рекомендуется определять по формулам:
а) от носка (или хвоста) до середины первого колена
1 _32 /0,5^+ 0.46 0,38lK
с ~ nG\ D\-d[ DkdlK
R
б) между серединами колен вала
1 32 / 0,75'к
¦+1,5
R
a nG
На податливость коленчатого вчла оказывают влияние зазоры в подшипниках.
Поданным Портера с увгличением вертикальною зазора ог0,05 до 0,4 мм податли-
eocib увеличивается от 1 до 3%. В форму-
формулах B) — D) не учитываются различные кон-
конструктивные факторы. Экспериментально
установлено, что жесткость колена с щеками
без скоса на 7—14% выше, чем у колена со
скосами. Для увеличения податливости коле-
колена (на 1—1,5%) свгрления в шатунных шей-
шейках выполняют эксцентрично.
Определение моментов инерции [23, 24].
Сосредоточенными массами принято считать
такие, размер которых вдоль оси вращения
не превосходит в 1,5—2 раза их диаметра.
В противном случае массу искусственно раз-
разделяют на несколько сосредоточенных масс.
Момент инерции колена (см. рис. 2)
t/z
b
-*:
Ik
b,
b
1
1
Hz
Jк — " к. ш ~г *"* (ц ~f "
Рис. 3
где JKm — момент инерции двух половин коренных шеэк, приле1ающих к колену;
•/щ — момент инерции щеки; /ш.ш момент инерции шатунной шейки можно опреде-
определить по формулам
•'ш. ш — P "/Г K ^ '
здесь p — плотность.
При сложной форме /щ определяется графоаналитическим методом.
Приведенный момент инерции кривошипно-шатунного механизма
где ^к.м — момент инерции кривошипного механизма;
здесь т1 = ('|-ч-|-
т„
тшат —масса шатуна; т2 = /
!п.к — масса поршневого комплекта; R — радиус кривошипа; L — длина шатуна.
328 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Для многорядных (V и W-образных) и звездообразных двигателей
2 Z
•'км = 1'к~Ь 2_± 1'к«1 = ''к-Ь "'кмг'т 2j •>к. мп(,
(=1 1 = 1
где /Км — момент инерции кривошипного механизма главного цилиндра; /к н
момент инерции кривошипного механизма прицепного цилиндра
Moventn инерции валопровода (валы редукторов, вингов и другие трансмиссион-
трансмиссионные валы) относятся к близлежащим массам системы Выделение отдельных масс
i
5) в)
Рис. 4
в системе нецелесообразно, так как при таком уточнении частота системы изменится
гочько на несколько десятых процента
Приведение податливостей и моментов инерции, связанных с валом передачей.
Приведение податливостей и моментов инерции ответв!ений к основной системе про-
производят из условий равенства потенциальной и кинетической энергий эквивалент
ной и действительной систем
Ja Эе
1
Jd
Cr
S)
Рис 5
Системе, представленной на рис. 4, а, соответствует эквивалентная схема, по-
показанная на рис. 4, б, в которой
ыа ) ~ гь 1Ьа>
Jdlba,
где <оа и со6 — угловые скорости соответствующих валов.
При J, = 0 (рис 4, в) — = ' + —.
с-, сх с2
Системе, показанной на рис 5, а, соответствует эквивалентная схема на рис. 5, о,
приведенная к валу а, в которой
aJrJ flea.
где юв, % и юс — угловые скорости соответствующих валов.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
329
Механические модели систем при связанных колебаниях. В отдельных типах
ЛВС разного назначения большое значение имеют другие виды колебаний Необхо
пимость учета изгибных и продольных колебаний валопроводов определяется не
только инерцнонны?и и жесткостными характеристиками, но и условиями внешнего
нагружения и характером динамических процессов в присоединенной к ДВС системе
Связанность крутильных колебаний с продольными и изгибными проявляется
вследствие действия сил в зубчатых передачах, что особенно ошдщается для дчин
ных валов и при консольном расположении шестерен (рис Ь, а) Хотя при этом
В)
Рис 6
возможен точный учг1 дополнительных степеней свободы, в динамике силовых пере-
передач из1ибные податливой и валов приводятся к крутильным B2)
Коленчатый вал ДВС наряду с крутильными может в ряде случаев совершать
значительные изтибные (авиационные и тракторные ДВС) и продольные (судовые
ДВС) колебания Для раздельного расчета используют простые модели, например,
для осевых колебанкй — обычную цепную модель, изоСраженную на рис 6, б [8]
Наиболее универсальной и-оде шю связанные крутилыю продольно из1ибных коче-
баний является рамная конструкция'рис 6 в) Параметры дискретной системы раз
ные исследователи определяют по приближенным соотношениям [2, 13] Для неко
торых конструкций валов предложены более простые модели, одна из которых изоб-
изображена на рис 6, г 113, 14J
3 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Цель расчета. Расчет свободных колебаний — первый этап вибрационного иссле-
исследования каждой установки Целью его являются
1) оценка вошожных резонансов в рабочем диапазоне Если двигатеть устой-
устойчиво работает на оборотах, соответствующих угловым скоростям от щ до ю2, то
с k й собственной частотой системы резонируют гармоники внешнего момента от
vmin = шк1аг Д° vmax = Ш*/Ш1 В нелинейной системе вместо toj, должны быть по
ставлены граничные значения частот, соответствующие по рабочему участку скелет-
скелетной кривой предполагаеуым уровням колебаний нелинейных элементов В системах
с относительно податливыми связями двигателя и стартера определяются резонирую-
резонирующие гармоники и в диапазоне оборотов при запуске,
2) определение степени опасности возможных резонансных режимов Опыт рас
четоз аналогичных установок позволяет установить опасные 1аомоники во^мушаю-
Щих моментов Есчи они не попадают в рабочий диапазон, \становка обычно счи
тает^я удовлетворительной с точки зрения прочности при ьнбрациях В противном
случае предпринимаются попытки отстройки и (или) производится оценка опасности
Ре^онансьых котебаний по величине работы возмущающих моментов (см ниже),
330
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
3) построение алгоритмов вибрационного синтеза (отстройки от резонансных
режимов);
4) получение условий возникновения субгармонических колебаний;
5) выделение парциальных колебательных систем.
По первым четырем пунктам возникает необходимость решения частичной проб-
проблемы собственных значений, т. е. определение лишь части спектра, обычно несколь-
нескольких первых частот; по последнему пункту — полной проблемы собственных
значений.
Методы расчета линейных систем. Для систем, имеющих число степеней свободы
меньшее или равное трем, удобно применять конечные формулы [23].
В течение длительного времени разрабатывались различные варианты рекуррент-
рекуррентных методов (метод Толле, метод Терских, метод динамических жесткостей), которые
применяются и в настоящее время для не очень сложных систем. Расчеты крутиль-
крутильных колебаний систем, имеющих до 30—40 степеней свободы, осуществляются мат-
матричными методами с помощью современных ЭВМ с дополнительным блоком, авто-
автоматизирующим формирование матриц жесткости и инерции.
Для каждой массы системы дифференциальные уравнения движения имеют вид
E)
-ч. ,)=-°.
« 1,я(ФЯ 1-ф„)=0;
'»Ф„-Сп 1.Я(Фя-1-Фл)=0'
где (fa; ..., ф,-, ..., cpn_i, Ф„ — мгновенные значения углов поворота масс, относительно
некоторого начального положения; с, , (ф1 — ф ) cn_J п (фл-1 — ф„) — моменты
сил упругости.
Общее решение системы E)
п
где А( — амплитуда колебаний i'-й массы; ?,• — фазовый угол; coCl; — частота соб-
собственных колебаний системы.
Сокращение каждого уравнения системы E) на общий множитель sin (шс,^+ е()
приводит к амплитудным уравнениям
2 — Ах
А3 = А2 — we
2,
i = A,_1 — юс-
п — 1
1 — J
л-1
G)
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 331
Принимая А1 = 1 из G), определяют относительные амплитуды колебаний
Ai „ 1 А2 А{ Ап
Для данной частоты собственных колебаний системы сос значения относитель-
относительных амплитуд колебаний а можно графически изобразить по длине эквивалентной
системы в виде ординат. В результате соединения концов ординат прямыми получаем
форму колебаний, которая показывает относительные амплитуды собственных коле-
колебаний каждой массы системы, а также число и расположение узловых точек (пересе-
(пересечение формы колебаний с осью эквивалентного вала). Тангенсы углов наклона от-
отдельных участков формы колебаний пропорциональны упругим крутящим момен-
моментам на участках вала. Изображенная в масштабе форма колебаний отражает срав-
сравнительную напряженность участков вала.
Формы колебаний отличаются числом узлов. Каждой форме соответствует своя
частота собственных колебании. С увеличением частоты число узлов возрастает.
Если обозначить моменты сил упругости участков вала через М1 2, ..., Мп_, П)
а относительные амплитуды угловых колебаний — через аг; ...; ал,'то из системы
уравнений E) следует система алгебраических уравнений
М, „
с,.
1; 2
м
(8)
ге-1, п*
Сп-х; га
Метод цепных дробей (метод В. П. Терских) [23] состоит в решении уравне-
уравнений (8) в виде цепной дроби с помощью пробных подстановок. Сущность этого метода
заключается в определении величины эквивалентной динамической жесткости с по-
помощью цепной дроби.
1
= 0.
(9)
n-2\ ге-1
С помощью метода подстановок в уравнение (9) пробных значений со определяют
собственные^частоты многомассовой системы. На рис. 7 приведен график функции
./„со = / (со-). Точки пересечения кривой с осью абсцисс определяют соответствую-
соответствующие частоты 1-й, 2-й, ..., (п — 1)-й степени (cof; со?, ..., coLi)
Метод динамической жесткости [9, 10]. Различают основную или главную и
смешанную динамические жесткости.
Коэффициент главной динамической жесткости
332 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
коэффициент смешанной динамической жесткости
Mf
'•' чч
где Mi — амплитуда гармонического момента в г-й точке; М1 — амплитуда гармо-
гармонического момента в /-й точке; ф; — угловая амплитуда колебании в i-й точке.
Коэффициент смешанной динамической жесткости обладает свойством симметрии,
*•е- Ч\ = «и-
В табл. 3 приведены формулы для определения динамической жесткости про-
простейших систем.
Рис. 7
Общее выражение для коэффициента динамической жесткости в случае кру-
крутильных колебаний имеет вид:
а) для свободной системы
1-^Wl-:
СО2
(Ю)
б) для закрепленной системы
(В3
r.i^ \ rii- ' *' rii-
@
Cs+1
со3
\
(И)
где s — число участков свободной системы; s + 1 — число участков закрепленной
системы; г — число масс закрепленной системы; г -\- 1 — число масс свободной си-
системы; (Oj, со27 ¦••. ч>г — частоты собственных колебаний заданной системы (резонанс-
(резонансные частоты); *ccj, *co2, ..., *со5 — частоты собственных колебаний системы, закреп-
закрепленной в той точке, для которой подсчитывается динамическая жесткость (антире-
(антирезонансные частоты); о) — частота действия внешней силы.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Формулы динамических жесткостей крутильных систем
333
Системы
Значения динамических жесткостей
Л']; 1
К,.
2; 2 I
- ЛJ
Г" '2
С— Ji(fl2
Д : (с — Ju>2)
Д : с
Д : с
f m
4 Ц
Ко.
2; 2
1; 2 ~ К2;
Д :
Д : (с, + с2 - Лео2)
Д :
2; 2
Д : (с, -
Д : (с, -
Д : с,
* — Ci (Ji + Jt)
2: 2
2 = ^2;
Д : (сг
Д (с, + es- -Л»2)
Д : с,
- [e,J2 + с2 (У, + J2)] со2
к,.
1; 1
; 2 =
А ¦
А : (Ci + с2 —
Д :
К,.
I; 1
2; 2
А : [Ci (сг —
Ко.
3; 3
Д : [с, (<r2 -
'/л
"f T/ "i V
3 == "-3" !
3 = ^3, 2
Д : [с, (ег - J3(O2)]
Д : с,с.
А '. с^с*
334
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Продолжение т а б л 3
Системы
Значения динамических жесткостей
A U,
+
к2
Кг
К\, 2 ~
^1, 3 =
^2, 3 =
2
3
Ко
*з
к3
, 1
1
2
Д
д
{¦Л
[Л,
/2@«
-[с. (
Д [с
Д [с,
1 (С2 — /3@2>]
Д г,с2
(с, - У,и")]
J, + J,Js) f
(У + / + J
Приравнивая выражения Д (см. табл. 3) нулю, можно попучить значения соб-
собственных частот системы.
Для разветвленной системы (рис. 8) в точке А уравнение для определения соб-
собственных частот имеет вид
Для совместности колебаний частей сложной системы должны выполняться
условия динамического равновесия систем и равенства амплитуд перемещений эле-
элементарных систем в местах сочленения.
Из этих условий вытекает частотное урав-
уравнение для сложной системы.
Свойства свободных колебаний. Соглас-
Согласно теоремам линейной алгебры свободные ко-
колебания характеризуются рядом важных
общих свойств [4J. В инженерной практике
расчета крутильных колебаний полезно ис-
использовать и другие особенности [10, 23]:
1) все собственные частоты простой цеп-
цепной системы (см. рис 1, а) различны;
2) если система допускает свободное вра-
вращение, то первая частота равна нулю;
3) форма свободных колебаний про-
простой цепной системы, соответствующая
s-й собственной частоте, имеет i — 1 узел,
4) разветвленная система (см рис. 1, б) с т симметричными ответвлениями
имеет т — 1 кратных частот, они могут быть и в системе с двумя ответвлениями при
определенном сочетании параг/ет^ов,
5) для системы с двумя симметричными ответвлениями различаются специфи-
специфические формы колебаний с совпадающим и встречным движениями одноименных
масс,
6) в пределах кольцевой части системы (см. рис. 1, в) может быть только четное
число узлов собственных форм колебаний,
7) не существует строгой связи между числом узлов собственной формы и но-
номером частоты кольцевой системы.
» {
1 (
1 (
) (
1
А
1
•
Рис. 8
СВОБОДНЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
335
м
Приближенные методы расчета свободных нелинейных колебаний, В силовых
передачах с ДВС типичны нелинейные упругие характеристики, изображенные на
рис 9, а—г. Кусочно-линейная аппроксимация реальных однозначных характери-
характеристик является достаточно точной для инженерных расчетов.
Основное допущение, принимаемое при расчетах существенно нелинейных си-
силовых передач законы установившихся свободных колебаний масс близки к гармо-
гармоническим (упругие моменты на нели-
нелинейных участках при этом от гармо-
гармонических всегда отличаются сущест-
существенно). Это допущение позволяет при-
применить известные способы линеариза-
линеаризации и перейти к эквивалентной ли-
линейной системе, в которой жесткость
сэ (а) является функцией амплитуды а
угла закручивания нелинейного участ-
участка. Все многочисленные известные
формулы линеаризации при соответ-
соответствующем подборе р (х) могут быть
получены из едиього выражения [12]
— ao)p{x)dx
\ (x — ao)p(x)dx
¦, A3)
г)
Рис. 9
где / (х) — нелинейная упругая характеристика; ах = а + а0, а2 = а — а0; а0 (а) —
середина размаха колебаний, определяемая по одному из следующих соотношений:
) f(x)p(x)dx = 0, \ f(x)dx = O.
A4)
Уравнения весовых функций в зависимости от параметра т| = для мето-
методов гармонической линеаризации и энергетического имеют вид
1
Pi (Л) =;
Рз (Л) = ^{0,924 [б
,924) —б (т)~0,924)] + 0,383 X
X [б(т] + 0,383) — 6 (г) — 0,383)]};
A5)
/МЛ)=~ sign tj.
Вид весовых функций, содержащих обобщенную симметричную весовую функ-
функцию Дирака 8 (х), требует использования в соотношениях A3) и A4) интеграла
Стильтьеса Последние четыре функции A5) обобщают предложенные ранее только
для симметричных характеристик формулы линеаризации
336 ЦРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Решение линеаризованной системы уравнений приводит к одному (в случае
одного нелинейного соединения) или к системе трансцендентных уравнений относи-
относительно неизвестных амплитуд углов накручивания нелинейных участков.
1Математические эксперименты, проведенные для одномассной системы, в кото-
которой нелинейные свойства проявляются наиболее сильно по сравнению с многомас-
многомассными, при разных нелинейных характеристиках позволяют утверждать, что ука-
указанные выше способы дают погрешность, не превышающую 6%. Обнаружена сле-
следующая закономерность: точное значение частоты свободных колебаний, как пра-
правило, находится между значениями, полученными с использованием непрерывных
и разрывных функций р (х). Это позволяет испотьзовать грубые, но простые фор-
формулы линеаризации для получения удовлетворительных результатов. Например,
осредьение коэффициентов сэ (а), полученных по формулам энергетического метода
(каждый из них может дать погрешность до 30—40%), приводит в экспериментах
к частотам, отличающимся от точных не более чем на 5%. В типичных моделях сило-
силовых передач обнаружено, что каждое нелинейное соединение существенно влияет
на скелетные кривые, соответствующие лишь одной или двум собственным частотам
системы.
Связанные линейные кочебания. Вследствие значительно большей размерности
матриц коэффициентов по сравнению с размерностью матриц в случае крутильных
колебаний и трудностей автоматизации задания структуры при связанных колеба-
колебаниях последние рассчитываются рекуррентными способами. Известны алгоритмы
расчета коленчатых валов методами динамических жесткостей и податливостеи,
начальных параметров [2, 9, 10, 13, 14]; вошожно применение методов конечных
элементов. Выбор способа расчета может быть осуществлен на основании самых об-
общих рекомендаций, так как даже для модели коленчатого вала максимальной слож-
сложности вычислительные погрешности современных ЦВМ еще не сказываются [2].
Признаком сильной связанности парциальных кочебаний является близость
парциальных частот, полученных для систем с искусственным выделением лишь од-
одного вида деформаций. Расчеты свободных связанных крутильно-изгибно-продольных
колебаний используют: а) для оценки необходимости учета связанности определен-
определенных видов колебаний; б) при исследовании влияния на степень связанности тех пара-
параметров системы, определение которых производится с большой погрешностью (жест-
(жесткости щек в разных направлениях, жесткости опор коленчатого вала).
4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Вынужденные колебания возбуждаются внешними периодически изменяющимися
силами. Особенно опасными являются резонансные колебания, возникающие при
совпадении собственной частоты и частоты внешних сил.
В расчетах силовых установок с поршневыми двигателями учитывают нижесле-
нижеследующие внешние возбудители [11, 16, 23].
Моменты от сил давления газов в цилиндрах двигателя или компрессора (глав-
(главные возбудители крутильных колебаний)
Mp^T.RF, A6)
где R — радиус кривошипа; ТГ — тангенциальная сила, направленная перпенди-
перпендикулярно кривошипу, для одного цилиндра, отнесенного к единице площади поршня;
F — площадь поршня.
Гармонические составляющие силы Тг могут быть определены по справочные
данным, приведенным на рис. 10 и 11 (при pi > 10 кгс/см3 можно экстраполировать
данные, продолжив кривые прямыми).
Гармоники тангенциальных сил 3-го порядка и выше для четырехтактного бен-
бензинового двигателя могут быть определены по формуле
7V = g, A7)
где pi — среднее индикаторное значение давления, кгс/см2; е — степень сжатия дви-
двигателя; k — порядок гармоники (начиная с 3-й и выше).
ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
337
Для гармоник V2; I; 1V2; 2 и 2V2 порядков можно пользоваться следующими
данными:
Порядок гармоник
г
0,34р.
IV,
0,31р.
2
0,23р.
2V,
0Д8р.
Здесь и в формуле A7) значения Тг представляют собой гармоники тангенциаль-
тангенциальных газовых сил на единицу площади поршня одного цилиндра.
Для определения амплитудного значения гармонической силы, приложенной
к колену вала, в случае действия на него многих цилиндров векторно складывают
гармоники газовых сил ог всех цилиндров
в предположении постоянства значений Тт Тг,кгс/с№
для всех цилиндров. Если колено воспри-
воспринимает силу от нескольких цилиндров, то
8 Р{,кгс/см'
Рис. 10
Рис. 11
при сложении моментов следует принять во внимание сдвиг по времени между кри-
кривыми тангенциальной силы от этих цилиндров, соответствующий интервалу между
вспышками.
В табл. 4 приведены справочные данные для звездообразных двигателей с раз-
разным числом цилиндров.
Моменты от сил инерции движущихся масс кривошипно-шатунного механизма
(следует учитывать только при определении гармоник низших порядков — от 1-й
До 4-и)
о 5 2 \
> — ~^X sin Зф +-^ sin 4ф j;
у л 1
где Tu,,sss/nfl<e2 f-j- sincp — -2-
m — »-гсса поступательно движущихся частей кривошипно-шатунного механизма
одною цилиндра; со — угловая скорость вала; k = R/L — отношение радиуса кри-
кривошипа к длине шатуна.
338
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
4. Гармоники крутящего момента в % от среднего крутящего момента
однорядного звездообразного двигателя (с учетом сил инерции)
Число
цилиндров
5
7
9
Число
цилиндров
5
7
9
V.
7,4
32
OS
Ь'/г
4,2
4,8
1
15,4
21.4
160
6
2,4
1,3
IV.
4,7
3,0
2,1
6V,
2,4
1,9
Порядок
2
14,4
7,0
7,8
2V.
109,2
6,2
2,4
Порядок
7
17,8
0,6
7'Л
11,4
1,4
^армоники
3
12,4
3.2
2,1
а'/г
12,7
76,4
5,6
"армоники
8
1,9
8V.
3,5
4
6,4
3,2
1,3
9
9,1
4V.
6.2
10,8
41.1
10
5
29,2
1,4
1,4
10V2
6,0
Моменты от сил тяжести кривошипно-шатунного механизма имеют малую
величину и учитываются только для тяжелых тихоходных двигателей. Эги моменты
слагаются из крутящего момента, вызываемого силой тяжести поступательно дви-
движущейся части 6П (поршневой комплект и часть шатуна)
и крутящего момента, вызываемого силами тяжесги вращающейся части кривошипно-
шатунного механизма (часть шатуна, цапфа и щеки колена),
Мтг = GBR sin at.
Суммарный возбуждающий крутящий момент любого порядка, определяется
векторным сложением с учетом фаз гармонических моментов от газовых и инерцион-
инерционных сил данного порядка, действующих на кривошип цилиндра двигателя. Момен-
Моментами от сил тяжести пренебрегают из-за их малости.
В табл. 5 приведены величины фазовых углов, необходимых для сложения гар-
гармоник газовых и инерционных моментов.
5. Величины фазовых углов сил Т и Тур
k
1
2
3
4
TW
VtKmRa2
s/tXmRa>2
ytk2mR(iJ
Фазовый угол
ГЦ7» градусы
0
180
Фазовый угол ТГ, градусы
Бензиновый
двш атель
27
351
338
315
Дизель
25
358
347
335
Если возмущающий крутящий момент &-го порядка, приложенный к первому
кривошипу, M-i = M cos k&t, а угол между первым и г-м кривошипом {5,-, то гармо-
гармонический момент, приложенный к г'-му кривошипу, Mi = M cosjt (Ш-\- р1,). Величина
векторной суммы амплитуд крутящих момешов определяет развитие колебаний вала.
Зубчатые колеса редукторов могут быть возбудителями крутильных колебаний
из-за погрешностей при их изготовлении. Частота крутильных возмущений зависит
от числа зубьев делительного колеса гд.к станка, на котором обрабатывается колесо.
Число зубьев соответствует числу волн ошибки на колесе. Следовательно, частота
возмущения
60
где п — число оборотов зубчатого колеса.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 339
Максимальная частота крутильных колебаний
A9)
где z — число зубьев зубчатого колеса.
Кроме того, могут иметь место низкочастотные составляющие спектра крутиль-
крутильных колебаний от накопленных погрешностей окружного шага. Частота этих колеба-
колебаний fn = i (re/60), где i= 1, 2, 3, ...
Интенсивность крутильных колебаний зависит от точности изготовления колес
и сборки редуктора.
Если динамический крутящий момент превысит средний, то будет двусторонний
удар зубьев. Амплитуда таких колебаний не может быть определена расчетом. Схе-
Схематизация зубчатых передач приведена в работе [3].
Вынужденные нерезонансные колебания возникают при условии 1,1 < — < 0,9 .
сос
Амплитуды их, как правило, малы. Дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний для t-й массы имеет вид
J&t-Ci~r. t (Фг-1
Решения линейных дифференциальных уравнений типа B0) общеизвестны
[3, 23]. Для упрощения расчета разветвленную систему превращают в цепочную,
используя метод приведения масс [16, 23].
При расчете вынужденных колебаний вдали от резонанса не учитывают силы
трения. При этом возможна ошибка в амплитуде вынужденных колебаний до 10%,
что вполне допустимо.
Силы сопротивления при крутильных колебаниях ограничивают развитие резо-
резонансных колебаний. Эти силы делятся на внешние и внутренние. К первым относятся
силы трения колеблющейся системы о среду, в которой происходят колебания, ко
вторым — силы внутреннего трения в материале, силы трения в сочленениях эле-
элементов системы, силы трения в наборных пакетах пластин, полос, стержней.
Коэффициент демпфирования | определяют по эмпирическим формулам, в боль-
большинстве случаев полученным из экспериментальных работ.
Для кривошипно-шатунных механизмов поршневых двигателей
-<P/+i) = M/sin И + е). B0)
где F — площадь поршня, см2; R — радиус кривошипа, см; i — число цилиндров,
приходящихся на одно колено; ц —удельный$коэффициент демпфирования, кгс ¦ с/см3.
Значения коэффициента |л для разных двигателей следующие.
Двигатели ц, кгс -с/см'
Тяжелые нефтяные 0,04—J,05
Автомобильные 0,015—0,02
V-образные авиационные и танковые*
двухузловая форма 0,001—0,0015
трехузловая форма 0,002—0,007
Звездообразные 0,002—0,005
В общем виде
где Р — полная сила демпфирования, кгс; F — площадь поршня, см2; V — линей-
линейная скорость шатунной шейки вала, см/с.
При крутильных колебаниях в материале участков вала между массами возни-
возникает трение (гистерезисные потери). Это трение называется внутренним. Энергия тре-
трения превращается в теплоту и рассеивается затем в окружающую среду.
340 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Общая формула, определяющая величину гистерезисных потерь, имеет вид [23}
где №тр — работа сил трения в материале вала на участке между смежными мас-
массами; k — постоянная, зависящая от материала вала; т — амплитуда касательных
напряжений; т — показатель степени.
При резонансных колебаниях инерционные и упругие моменты системы с большом
точностью взаимно уравновешиваются, и вся работа возмущающихся сил идет на
преодоление сил сопротивления.
Резонансное, или критическое, число оборотов системы
«рез = -^~1
где яс — число собственных колебаний одной из форм системы; k — порядок гар-
гармоническою возбуждающегося момента.
В области используемых чисел оборотов поршневых двигателей могут возбуж-
возбуждаться только первые три формы колебаний. Так как число существенных возбуж-
Т
1
г
Ю
t
а)
Рис. 12
дающих гармоник колеблется от 9 до 12, то число резонансов велико. Однако только
немногие из резонансов (в основном резонансы главных порядков) сопровождаются
значительными колебаниями, т. е. создают опасные критические обороты.
Амплитуды резонансных колебаний системы определяются из равенства работ
возмущающих сил и сил сопротивлений за каждый цикл колебания.
Гармонические моменты, совпадающие по фазе во всех цилиндрах, называют
главными. Порядок их кратен числу вспышек за один оборот коленчатою вала.
В этом случае геометрическая сумма
превращается в алгебраическую.
i 1
Наибольшие напряжения в эквивалентном валу возникают на тех участках,
где формы колебаний наиболее крутые. Однако в действительном валу напряжение
отличается от напряжения в эквивалентном в (djdf раз. Поэтому наиболее напря-
напряженным может оказаться участок с менее крутой формой колебаний.
Надежность результатов расчета резонансных колебаний зависит от правиль-
правильности определения моментов возбуждающих сил и моментов сил трения. Если пер-
первые определяются с погрешностью 20—30%, то вторые могут расходиться на 50—
100% от вероятного значения определяемых ими величин. Поэтому к результатам
расчета резонансных колебаний следует относиться с большой осторожностью.
Импульсно-частотные характеристики целесообразно использовать при расче-
расчетах вибрационной диагностики, определении установившихся колебаний нелинейных
систем, идентификации внешних периодических воздействий, в методах динамиче-
динамического синтеза. Эти характеристики представляют собой закон установившихся вы-
вынужденных колебаний, возбуждаемых периодически повторяющимися импульсами
с периодом Т. На рис. 12 показана многомассная кружильная система (а), на г-ю массу
которой действует периодическая последовательность мгновенных импульсов (б)-
ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
341
Все виды расчетов могут быть осуществлены введением двух типов характеристик:
«от массы к массе» и «от массы к участку». Рассмотрим наиболее простой случай
получения первого типа характеристик ij^r (i) — закона периодического движения
s-й массы под действием единичных импульсивных моментов периода Т, приложен-
приложенных к r-й массе — для системы, имеющей одну неподвижную массу (защемление).
Пусть в момент t = 0 после воздействия очередного импульса углы поворота
всех масс и скорости равны ф,- @) и tfy @) (/ = 1, ..., п). На интервале времени 0 -=- Т
система совершает свободные колебания, описываемые уравнением E). В момент
t = Т перед приложением к системе очередного импульса фазовые переменные равны
Ф (Л и Ф; (Т) (/ = 1, ¦••> п). За бесконечно малое время действия импульса угловая
скорость только г-й массы изменится на величину 1/1 г. Тогда условия периодичности
принимают вид
Ф,@)-Ф;(Т) = 0 (/=1, ..., я); |
ф/ @) — Ф;(^П —0 (кроме /=/•), /
'г
Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений относи-
относительно постоянных /д, и Gj, в уравнении движения полностью определяет импутьсно-
чаетотные характеристики пер-
первого типа.
Угол поворота /-й массы от
произвольного момента Mr (t),
действующего на л-ю массу,
Ф/
о
B2)
Если на систему действует Рис. 13
несколько моментов,то произво-
производится суммирование на основании принципа суперпозиции. Можно доказать, что
имеют место соотношения
где г, q ¦— номера соседних масс; yr-q,s — импульсно-частотная характеристика от
s-и массы к (г — <?)-му участку.
Свойства линейных вынужденных колебаний. При анализе и синтезе силовых
передач следует иметь в виду ряд основных свойств кривой вынужденных колебаний.
1. Обычно встречающееся в силовых передачах без специальных демпферов
малое трение на массах и в соединениях существенно влияет на амплитуды вынуж-
вынужденных колебаний лишь в небольшом диапазоне частот возмущающей силы. В работе
[23] приведены данные для двухмассной системы пренебрежение трением вне интер-
интервала частот ±10% от резонансной частоты при логарифмическом декременте колеба-
колебании б <0,3 и вне интервала ±20% при б < 0,6 приводит к ошибкам в вычислении
упругого момента на 10%.
2. При малом трении в системе форма резонансных колебаний близка к форме
свободных колебаний на резонирующей собственной частоте. Если трение велико,
отличие может быть существенным (см. пространственное изображение формы коле-
колебаний на рис. 13), особенно в случаях, когда демпфирующие элементы расположены
на массах с большими относительными амплитудами. В этом случае максимумы
амплитуд колебаний разных масс достигаются на различных частотах внешних сил
и на частотах, меньших собственных частот системы.
3. При изменении трения в каком-либо месте системы в широких пределах все
резонансные кривые проходят через узкие области изменения частот и амплитуд.
4. Если к некоторой массе системы присоединен контур, на который не дейст-
действуют внешние моменты (инертная часть системы), то амплитуда ее колебаний имеет
342 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
минимумы на частотах, равных собственным частотам этого контура при условии
заделки указанной массы. Такое явление называется эффектом линейного антивиб-
антивибратора.
Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее
время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ.
Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две
гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркина.
Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результата™,
полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета
соответствует приведенной ниже схеме:
1) задают вид искомого решения на нелинейном участке
х = Аср-{-А0 cos pt-\-B0 sin pt+ AC cos ~t + Bc sin - t, B4)
где p — частота колебаний более высокой гармоники; г — целое число;
2) раскладывают упругий момент f (х) после подстановки B4) в ряд Фурье на
периоде 2лг/р и удерживают только первую и r-ю гармоники:
f (х) «s Fcp + Fo cos pt + Qo sin pt+Fc cos -? t + Qc sin ¦?¦ t, B5)
где FCp, Fo, Qo, Fc, Qc — функции коэффициентов Лср, Ло, Bo, Ac, Bc;
3) подставляют B4) и B5) в дифференциальные уравнения движения и затем
решают систему трансцендентных уравнений относительно неизвестных Ло, Во,
Ас, Вс. Параметр Лср обычно определяется из уравнения для средних моментов
в функции от остальных неизвестных.
Решение системы трансцендентных уравнений эквивалентно поиску нулевых
минимумов функционала
Во, Ас, В
)\п, B0)
где п — произвольный положительный параметр; LA , .... LB операторы, которые
по значениям Л*, S*, Ас, В* осуществляют вычисление новых значений ¦Л*"'", В* ¦"''
Л^+1, S*+' в такой последовательности: определение F*, Q*, F*, Q* по формулам
коэффициентов для ряда Фурье B5), решение линейной системы уравнений, нахо-
нахождение амплитуд углов закручивания Л^1, В^1, А^1, В*"'.
Графический способ решения этой задачи описан в работе [231.
Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний.
Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от
нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последователь-
последовательных приближений Ньютона—Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач
использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения
в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам: дости-
достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно
числу нелинейных соединений; сходимость метода может быть достигнута при лю-
любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне—
Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных
функций, какими и являются типичные упругие характеристики силовых передач.
Приведем основные формулы этого метода для произвольной системы с нелиней-
нелинейными упругими характеристиками F/e (у^) (у^ — угол закручивания k-xo участка;
k=\, ..., т).
Система уравнений относительно уъ ...,ут при движении с периодом Т в матрич-
матричной форме записывается так:
т
$ 1»('-т)/[у (т)] *;+?(/). B7)
о
ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 343
где
0@= '. ; Ч><*) = :- i
Wm@/ №mi («)••• I'm/
/fiW \ /gi(t)\
f(y) = [ i ; g@ = | i , B8)
W/ (/
здесь s = t — x; if^ (s) — импульсно-частотная характеристика; fk (y^) =
— F/i (yk)l(ck — некоторый параметр);
/ т
gk @ = 2 i' ^*/ (^~T) M' (T) dT;
Af, — внешний момент, действующий на /-ю массу.
Рекуррентные соотношения для определения последующего (я + 1)-го прибли-
приближения по предыдущему имеют вид
yn_vl(t) = yn(t) — zn(t), B9)
где гп (t) определяется решением системы линейных интегральных уравнений
т
га @ = - S Ф (< - т) /» [{/я (х) ] г„ (т) Л + /„ @. C0)
о
в которых
т
in @= 5 У ((~х) f 1Уп ("с)] dx-yn (t) +g (t), C1)
о
О ... /'
Для одной нелинейности (т = 1) выражение С29) представляет собой нелинейное
интегральное уравнение типа Гаммерштейна. Решение системы C0) осуществляется
переходом к системе линейных алгебраических уравнений относительно ординат
процессов г/? (t) (к = 1, ..., п) на основе замены интегралов конечными суммами.
Степенью обусловленности этой системы, а также наличием решения системы урав-
уравнений высокого порядка (необходимо 30—40 точек на каждую нелинейность) и опре-
определяются в основном возможности метода. Если g (t) — 0, то приведенные формулы
позволяют производить уточнение решений свободных колебаний.
Чтобы получить точность 0,1% и выше, необходимо несколько итераций при
удачном выборе начального приближения. Простые эксперименты позволяют уста-
установить для определенных классов нелинейных систем качественное и количественное
влияние всех параметров итерационного процесса: числа точек дискретизации, на-
начального приближения, эквивалентной жесткости, числа итераций.
Особенности вынужденных нелинейных колебаний. В силовых передачах прояв-
проявляются все особенности нелинейных механических колебаний, изложенные в т. 2.
Следует отметить повышение вероятности возникновения опасных нелинейных коле-
колебаний, в том числе субгармонических, в современных компактных дизельных уста-
установках, так как кроме конструктивных зазоров в них все чаще встраиваются нелиней-
нелинейные корректирующие динамические контуры (муфты, антивибраторы, демпферы
колебаний и др.). В полной мере нелинейные колебания проявляются в транспортных
гусеничных машинах ввиду многообразия режимов работы ДВС.
34i КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Нестационарные процессы в силовых цепях возникают при запуске двигателя,
рабочем изменении режимов за счет разности движущих моментов ДВС и моментоз
сил сопротивления, включении муфт, аварийных режимах (наезд на препятстьие,
короткое замыкание в цепи генератора и др.).
Методы расчета. Нестационарные процессы в несложных линейных парциаль-
парциальных системах, выделенных из многомассного'колебательного контура, могут быть
исследованы с помощью конечных формул [i]. Из общих методов можно выдел чгь
метод разделения движения системы на «медленное» и колебательное [19]. Самым
универсальным и чаще всего используемым способом расчета переходного процесса
является численный метод решения задачи Кош и на ЭВМ. Силовые цепи различ! ы\
машин относятся к «жестким» системам, что может повлечь неустойчивость численных
методов при попытке повышения точности за счет измельчения шага счета. Устране-
Устранение этого недостатка, а также резкое сокращение времени расчета возможно с испоть-
зованием системных методов [21].
Особенности колебаний при неколебательной внешней нагрузке. Любой переход-
переходной процесс сопровождается колебаниями, имеющими следующие особенности:
1) наибольшие колебания в системе вызывает внезапное приложение нагрузки,
при этом упругие моменты на участках системы превышают статические не 6oiea
чем в 2 раза;
2) эффект конечного импульса зависит от его длительности t0, которая сопо-
сопоставляется с периодом первой собственной частоты т; если t0 <^ т, то импульс мо чгт
быть учтен как начальные условия; если t0 >¦ т/, то уровень колебаний зависит от
момента снятия нагрузки, но не превышает уровня при внезапно приложенной по
стоянной нагрузке;
3) трение в системе слабо влияет на уровень максимальных напряжений;
4) на упругих участках системы наблюдаются разные собственные частоты коте-
баний; формы процесса во времени для линейной системы определяются лишь дв}ия-
тремя собственными частотами.
Автоколебания в системе с фрикционными муфтами. Фрикционные муфгы,
в целом снижая нагрузки в силовых передачах и приводах ДВС, могут при опре-
определенных условиях стать источником недопустимых фрикционных автоколебанчй.
В ограничительных муфтах колебания развиваются со стороны полумуфты с меньш.. i
моментом инерции как после срыва, так и перед схватыванием. Определяющее влия-
влияние на уровень колебаний оказывает зависимость момента силы трения от относи-
относительной скорости скольжения, а также длительность проскальзывания. Экспери-
Эксперименты показывают, что максимальные автоколебания возникают при неболыьол
смазке трущихся поверхностей.
Проходы ДВС через резонанс. Если на запуске ДВС проходит резонансные зоны
колебательной системы, то возникают неустановившиеся резонансные колебания.
Если источник разгоняющего систему момента (ДВС или стартер в зависимости ог
того, появились вспышки в двигателе или нет) обладает достаточным запасом мод-
модности, оценка уровня колебаний может быть дана по приближенным формулам
А. М. Каца [3, 7]. В противном случае необходимо исследовать электромеханически ю
систему, состоящую из ДВС и стартера. Особенную опасность представляют системы
с малой приведенной массой коленчатого вала и податливым соединением его с ь1.^"
сивным стартером. Если резоьанс находится в зоне отсутствия вспышек, то источ-
источник мощности — стартер, если резонанс в зоне устойчивых вспышек, когда стартео
уже отключен, то источником мощности является сам ДВС, а стартер играет ро 1ь
обычной массы.
Определение уровня динамических нагрузок при проходе через резонанс произ-
производится численным интегрированием исходной системы уравнений.
Примером, иллюстрирующим появление обратной нелинейной связи, обуслов-
обусловливающей эффект прохождения через резонанс во время работы двигателя с отклю-
отключенным стартером, является система дифференциальных уравнений
р (ЧЧ p2) 0 v sin
ф2) — Мтр (ф1 — ф2) = О,
СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ 345
где <Pi> Фг — углы поворота масс системы; Jlt J2 — моменты инерции масс; с — жест-
жесткость упругой связи; УИтр (^ — ф») — момент трения, зависящий от относительной
угловой скорости колебаний; Мо, ~MV — соответственно средний момент двигателя и
момент v-й резонирующей гармоники.
6. СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Из теоретических расчетов крутильных колебаний механических систем опре-.
деляют те диапазоны чисел оборотов, при которых амплитуды колебаний превышают
допустимый предел. Для их снижения или полного устранения в рабочем диапазоне
оборотов применяют разные методы.
Изменение системы может быть произведено только за счет изменения жестко-
стей тех участков системы, которые находятся вне системы двигателя. Рекомендуется
опасные резонансные обороты сдвигать не вниз, а вверх (за рабочие обороты) и таким
образом при проходах исключать даже кратковременную работу на резонансных
режимах. В общем отстройка осуществляется варьированием вектора жесткостей
с (с1т ..., ст) упругих участков с целью вынесения определенных собственных частот
системы за пределы заданных непересекающихся интервалов
(й=1, ... , г). C2)
Ниже приведены некоторые известные положения, устанавливающие возмож-
возможность отстройки [5, 6J. Пусть все собственные значения матрицы коэффициентов
линейной системы дифференциальных уравнений колебаний А лежат правее левой
границы интервалов C2) и требуется вывести их вправо за точку (S. Если в последо-
последовательности главных миноров матрицы А (С) — C/, где / — единичная матрица,
все жесткости равны, т. е. сг = с2 = ... = ст = сп. то получается ряд полиномов
Pi (Co), PAcoh .-. Р„(со)- C3).
Известно:
1) для того чтобы односторонним варьированием жесткостей сх, ..., ст можно
было отстроить систему вправо, необходима и достаточна положительность старших
коэффициентов ряда многочленов C3);
2) для отстройки системы в случае одностороннего варьирования достаточно,
чтобы Сь при всех значениях k были больше максимального из положительных корней
всех многочленов ряда C3), и необходимо, чтобы такое условие выполнялось хотя
бы при одном значении k;
3) для того чтобы вектор С отстраивал систему относительно интервалов C2),
необходима и достаточна позитивность матрицы
г
\\ [A(c)-akI][A(c)-$kl].
к = \
Отстройка называется оптимальной, если одновременно требуется выполнение
условия минимума некоторого функционала.
Если диапазон рабочих чисел оборотов системы широк, то следует освободить
от резонансов только важнейшие зоны работы. Слабые резонансы, при которых на-
напряжения в вале не превышают допустимых, могут располагаться близко к основ-
основным режимам. Однако точное совпадение частот даже слабых резонансов с исполь-
используемыми оборотами системы недопустимо.
Изменение порядка зажигания в ряде случаев приводит к значительному ослаб-
ослаблению отдельных резонансов. Главным фактором, влияющим на выбор порядка за-
зажигания для любого двшателя, является его уравновешенность и характеристика
крутильных колебаний как в коленчатом валу, так н во всей трансмиссионной си-
системе в целом. В каждом отдельном случае необходимо учитывать, что если для одних
гармоник сила резонанса уменьшается, то для других она возрастает. Когда двига-
двигатели работают в широком диапазоне чисел оборотов, то ослабление одних резонан-
резонансов и усиление других приводит часто к перемещению основных оборотов из одной.
346 КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
зоны в другую. Поэтому часто бывает так, что в результате освобождения от резо-
нанса с большим значением суммы
B рабочем диапазоне оборотов возникает
i i
резонанс другой гармоники, но уже с меньшим значением указанной суммы.
Этот способ смещения резонансов или уменьшения максимальных амплитуд
колебаний практически осуществим для четырехтактных двигателей, в которых при
данном расположении колен вала возможно несколько чередований вспышек.
Рис. 14
Если путем отстройки от резонансов, а также чередованием вспышек не удается
улучшить крутилььую характеристику системы, то к последней присоединяют спе-
специальные устройства для смещения резонансных зон в область неиспользуемых ре-
режимов или для значительного снижения амплитуд крутильных колебаний в зонах
их образования. Такими устройствами являются динамические гасители и демпферы.
Динамические гасители (антивибраторы) подразделяются на гасители с рессо-
рессорой или пружиной и маятниковые [16, 23, 25].
Динамические гасители с пружиной или рессорой могут быть пояснены на при-
примере двухмассной системы.
При колебаниях двухмассной системы J2 — J3 (рис. 14, а) резонанс с частотой <ос
располагается в рабочем диапазоне оборотов (рис. 14, в). Для устранения этого ре-
резонанса ставим динамический демпфер, т. е. добавляем к системе третью массу с А
через^ жесткость сх_г (рис. 14, б). Новая система имеет две частоты собственных коле-
колебаний: coCi <; шс и ct>c > cuc (рис. 14, г). Если частоты ыс и сос не совпадают на ис-
используемых режимах с частотами сильных возбуждающих гармоник, то задачу
можно считать решенной.
СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ 347
Можно подобрать для гасителя такие значения J^ и с(.,, при которых его собст-
собственная частота <вд была бы равна шс (при этом полностью уничтожается закрутка
вала между массами /2 и J3):
, = сос = у с2; з (-1 + 1
1) = Шд =
Амплитуда вынужденных колебаний
М /И ,/3 _ М __ М
— _М
Л с
Возбуждающий момент
т. е. инерционный момент, получающийся в результате колебаний массы демпфера Jlt
уравновешивает возбуждающий момент М.
Для систем, в которых возбуждающие моменты приложены к нескольким мас-
массам, динамический гаситель, настроенный на частоту определенной формы, будет
заметно влиять на смещение резонансов этой формы и очень слабо — на другие ре-
зонансы. На рис. 14, д приведен пример конструктивной схемы динамического нели-
нелинейного демпфера; на рис. 14, е — ее упругие характеристики — нелинейная при
малой амплитуде A) и нелинейная при большой амплитуде.
На рис. 14, ж представлена резонансная кривая нелинейного гасителя. Эффектив-
Эффективность нелинейного демпфера может быть достигнута только по отношению к какому-
либо определенному диапазону частот. Поэтому говорят о настройке динамического
демпфера на данный диапазон частот. При выборе параметров демпфера следует
учитывать следующее: 1) амплитуда колебаний ступицы демпфера в момент начала
его работы должна быть меньше допустимой; 2) амплитуда колебаний ступицы демп-
демпфера при деформации ею упругих элементов не должна достигать ограничителей;
3) при работе демпфера не должно быть асимптот кривой амплитуды колебаний сту-
ступицы демпфера при упругой связи ез с колеблющейся массой; 4) при снижении ча-
частоты колебаний в момент срыва амплитуда колебаний ступицы не должна превы-
превышать допустимых значений.
Маятниковые гасители по своей эффективности и простоте превосходят все дру-
другие, и поэтому нашли широкое применение. Маятники устанавливают в многомас-
многомассные системы и настраивают на определенные гармонические составляющие возбу-
возбуждающих моментов. Настройка их не меняется, и они не чувствительны к изменению
частоты системы.
Маятниковые гасители различны по конструкции (рис. 15, где а — физический
маятник; б — маятник с бифилярным подвесом; в —¦ маятник с двумя степенями
свободы; г — маятник с кольцевой массой и одной степенью свободы (внешний ролик
соломона); д — роликовый маятник (внутренний ролик соломона); е — математи-
математический маятник). Наибольшее распространение получил маятниковый гаситель с би-
бифилярным подвесом.
Колебания маятника будут гармоническими с частотой, пропорциональной
угловой скорости вала
coM = Qy ~. C4)
Если подобрать размеры г и I так, что &м = 1/ -у-, где ku — порядок настройки
Мятника, совпадающий при резонансной настройке с порядком возбуждающей гар-
гармоники, то частота колебаний маятника kKQ будет при всех оборотах вала совпадать
с частотой возбуждающего момента й-го порядка.
348
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
349
Эквивалентный момент инерции маятника, приведенный к массе, на которой он
подвешен,
' ' ' C5)
1
где /i — момент инерции маятника при малых углах у, k — порядок гармоники воз-
б)ждающего момента; ?м — порядок настройки маятника.
Сильное влияние на систему оказывает маятник лишь в области k/kK = 0,9 —
— 1,1 При этом момент инерции /м может принимать все значения от + оо до — оо.
Рис 16
При k/kK > 1 момент инерции /м отрицателен. Это позволяет повысить собст-
собственною частоту колебаний системы
При подвесе маятниковой массы в двух точках (бифилярный подвес) приведен-
приведенный момент инерции
п .
V т (г, O.MS ^—, C6)
где J' — момент инерции ступицы или диска на валу; Js — сумма моментов инер-
инерции маятников, качающихся относительно оси, проходящей через центр тяжести
Маятниковой массы, т, — маятниковая масса, п — число маятниковых масс, г, +
+ 1( — расстояние от оси вращения вала до центра тяжести каждого маятника,
К — порядок гармоники возбуждающего момента, кщ — настройка маятника
Демпферы трения применяют для «успокоения» крутильных колебаний. Прин-
Принцип их действия основан на рассеивании энергии колебаний. При этом используется
Как сухое, так и жидкостное трение Устанавливают их на те участки системы, кото-
которые имеют максимальную деформацию
На рис. 16 представлены схемы демпферов сухого трения (о), жидкостного (б и в)
и типа Аллисона (г). При расчете демпферов трения не принимают во внимание из-
350
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
менение формы колебаний системы, которые могут произойти под действием демпфера.
Предположение о том, что момент трения в демпфере пропорционален скорости коле-
колебаний, не всегда выполняется, в частности, в силиконовом демпфере. Расчеты демп-
демпферов трения носят приближенный характер, поэтому каждая схема демпфера про-
проходит процесс экспериментальной доводки. Это же относится и к резиновым демпфе-
демпферам, используемым в автомобильной промышленности. На рис. 17 показаны схемы
резиновых демпферов крутильных колебаний с одной малой массой (а), с двумя ма-
малыми массами (б), с одной большой кольцевой массой (в), с одной большой дисковой
массой (г) и представлены резонансные кривые (д). Приняты обозначения: / — масса
i
-Г-
щ
ш
А
-
S)
Рис. 17
демпфера, 2 — резиновая прослойка; /, // — соответственно резонансные кривые
без демпфера и с демпфером; /// — рабочий диапазон оборотов. По принципу дей-
действия резиновые демпферы приближаются к динамическим, однако в них определен-
определенное влияние оказывает внутреннее трение в резиновом слое. Часть энергии погло-
поглощается внутренним трением и рассеивается затем в окружающую среду. При расчете
демпфера резонансные амплитуды колеблющихся масс системы коленчатого вала
находят из условия равенства работ действующих на вал возбуждающих моментов
за один период колебаний, моментов сил сопротивления в собственно двигателе и
сил сопротивления в демпфере.
Демпфер в системе двигателя настраивается на резонансную гармонику крутиль-
крутильных колебаний. Его эффективность, как правило, определяют экспериментальными
исследованиями крутильных колебаний системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев В. В., Болотин Ф. Ф., Кортын Г. Д. Демпфирование крутильных колебаний
в судовых валопроводах. Л., Судостроение, 1973 279 с.
Богомолов С. И., Журавлева А. М. Колебания сложных механических систем. Харьков,
2.
3.
Вища школа, 1978. 136 с.
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Динамика машинных агрегатов с двигателями внутреннего
сгорания. Л., Машиностроение, 1976. 383 с.
4. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т. 1. М., Машиностроение, 1978. 352 с
5. Глазман И. М., Митин В. Н. Отстройка вибрационных систем как задача выпуклого про-
программирования. — ДАН СССР, т. 169, 1966, N» 5, с. 1026 — 1029.
6. Глазман И. М., Штейнвольф Л. И. Освобождение резонансно-опасных зон от собственны*
частот вибрационной системы варьированием ее параметров. — Известия АН СССУ.
Сер. Механика и машиностроение, 1964, № 4, с. 126 —128.
7. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания деформируемых систем,
Киев, Наукова думка, 1977. 339 с.
8. Дизели. Справочник / Под ред. В. А. Ваншейдта, Н. Н. Иванченко, Л. К. Коллерова.
Л., Машиностроение, 1977. 480 с.
9. Диментберг Ф. М. Применение метода динамической жесткости для расчета связанных
колебании. — В кн.: Динамика и прочность коленчатых валов. М., Изд-во АН CCOF>
1949, с. 248 — 301.
10. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем на ЭВМ. М. — Л., Машинострое'
ние, 1965. 367 с.
11. Истомин П. А. Крутильные колебания в судовых ДВС. Л., Судостроение, 1968. 304 с.
12. Карабан В. Н., Дубовицкий А. Ю. О способах линеаризации при расчетах свобод!'1"
колебаний нелинейных систем. — В кн.: Теория механизмов и машин, вып. 23. Х
Вища школа, 1977, с. 35—39.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 351
13. Кемпнер М. Л. Применение метода динамических жесткостей для расчета изгибных
колебаний коленчатых валов. — В кн.: Динамика и прочность коленчатых валов. М.,
Изд-во АН СССР, 1950, с. 186 — 245.
J4. Кемпнер N1. Л., Нестерова С. В. Связанные крутильно-продольные колебания судовых
валопроводов. — Известия вузов. Сер. Машиностроение, 1974, № 1, с. 35 — 39.
15 Коллатц Л. функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М.,
Мир, 1969. 447 с.
16. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. Справочное пособие. М., Машиностроение, 1968.
271 с.
17. Пановко Я- Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М., Физматгиз, 1960.
193 с.
18. Писаренко Г. С, Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструк-
конструкционных материалов. Киев, Наукова думка, 1971. 375 с.
19. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.,
Наука, 1973. 583 с.
20. Потураев В. Н., Дырда В. И., Круш И. И. Прикладная механика резины. Киев, Наукова
думка, 1975. 215 с.
21. Ракитский Ю. В. Новые численные методы решения систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных и разностных уравнений. — Труды ЛПИ, № 332, 1973, с. 88—97.
22. Ривин Е. И. Динамика привода станков. М., Машиностроение, 1966. 204 с.
23. Терских В. П. Крутильные колебания валопровода силовых установок. Исследование
и методы расчета. Т. 1—4. Л., Судостроение, 1969 — 1970.
24. Фаворин М. В. Моменты инерции тел. М., Машиностроение, 1970. 312 с.
25. Штейнвольф Л. И. Динамические расчеты мащин и механизмов. М. — Киев, Машгиз,
1961. 340 с.
Глава XIV
КОЛЕБАНИЯ СИЛОВЫХ УСТАНОВОК,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ДВИГАТЕЛЯМИ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Эксплуатационные характеристики и долговечность силовых установок тяжелых
машин (транспортных и энергетических) с двигателями внутреннего сюрания (ДВС)
в значительной степени определяются динамическими процессами, возникающими
при разных условиях работы. В связи с этим актуальные задачи динамики силовых
установок с ДВС весьма многообразны и зависят от эксплуатационных особенностей
установок. Имеется, однако, ряд общих вопросов, важных для силовых установок
с ДВС различного назначения [6].
Основной источник регулярных возмущений в рассматриваемых установках —
рабочий процесс в ДВС. Поэтому одной из общих, существенно важных задач явля-
является разработка рациональных способов схематизации возмущающих свойств ДВС
различных типов для решения задач динамики силовых установок. При расчетах
динамической нагруженности установок для оценки долговечности их силовых
цепей приходится, как правило, решать трудоемкую задачу определения собственных
частот и форм многомерных цепных динамических моделей. В практике указанные
расчеты обычно выполняют в нескольких вариантах. Поэтому важное значение имеют
вопросы разработки эффективных алгоритмов расчета собственных спектров много-
многомерных моделей с варьируемыми параметрами.
Широко используемый агрегатный способ компоновки силовых установок, при
котором составляющие их отдельные агрегаты (двигатель, передаточный механизм,
рабочая машина) проектируются, рассчитываются и испытываются независимо,
определяет актуальность динамических расчетов составных моделей. При расчете
таких систем динамические (в частности, спектральные) характеристики составляющих
систем обычно известны или могут быть определены достаточно просто. Поэтому
Динамический расчет составных моделей целесообразно строить на основе эффектив-
эффективного использования информации о динамических свойствах составляющих под-
подсистем [7—9, 12].
Среди динамических явлений, которые могут существенно повлиять на функцио-
функциональные характеристики силовой установки с ДВС, важнейшими являются неста-
352
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
ционарные автоколебательные процессы, возникающие при запуске двигателя в усло-
условиях ограниченного возбуждения. Для силовых установок определенного структурно-
компоновочного класса неучет таких явлений при проектировании часто приводит
к созданию эксплуатационно непригодных систем, что сопровождается значительными
материальными потерями [3, 6, 16].
Основные результаты, полученные при решении указанных общих задач дина-
динамических расчетов силовых установок тяжелых машин с ДВС, изложены ниже.
2. СХЕМАТИЗАЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ СВОЙСТВ ДВС
Силовые характеристики Фу (а,) отдельных цилиндров ДВС различных типов
определяются для различных типов ДВС (рис. 1, а—г) по формулам табл. 1, в частном
S)
ШШШШШ4ШШШ.
У///////////////////////////////,
в)
Рис. 1
случае зависимости Ф1 от а показаны на рис. 2 (а — для дизеля; б — для карбюр
торного двигателя; / — экспериментальные данные; 2 — расчетные).
СХЕМАТИЗАЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ СВОЙСТВ ДВС
353
к к* -
3 5
¦eg
та с;
и и
О
СО
8,
tig
О щ К
„ ЦК
со
ЫЙ ОД-
двига-
горядн
ЛЬНЫЙ
о
a
ffl
О
s
си
я
внутр
ания
тел
о.
его
I
ex
X
о
Ч)
#
8
1
е
II
8
V
5
¦о
+
13
и
*" it,
¦& ¦&
8 -
?^ г^.
о.
о'
¦«
i§8
га и
я и о
f- ч
О X я
si
о В
и я >¦
§
о
nj Ч у в*
с о — о
(-.Мао
>• м Ч «
Sod.
н та к
5яя§
I g | s
>> § д д
*8* а. о «
т
5 S о 3
1 о =
О * Ш S
1- О О
¦^ Ч С о
5 с 2 ч
5.5°
X Ч
На"!
Z s з х
га
а*
к
с
§
о
X
в
¦в
с
.8
та
Р.
12 П/Р- Ф- М. Диментберга и К. С, Колесникова, т. 3
354
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
Безразмерные компрессионная К (а) и индикаторная S (а) силовые характери-
характеристики являются периодическими функциями по углу поворота коленчатого вала а
отсчитываемого ог верхней мертвой точки (ВМТ) поршня: *
Я(а + 2тя) = #(«); S (a+2mn) = S (а),
где т — тактность двигателя.
Параметры рс и рг (см. табл. 1) являются в общем случае функциями скорост-
скоростного и нагрузочного режимов ДВС и определяются по результатам теплового расчета
Рис. 2
пол"
двигателя или на основе экспериментальных характеристик [4, 5]. Представленные
в табл. 1 аппроксимирующие зависимости для безразмерных компрессионной К (а„>
и индикаторной S (а) периодических функций характеризуют изменение этих функции
в пределах периода 0 <а <2mn (рис. 3 и 4). Коэффициенты этих зависимостей
"ft. зд. *s, W определяются для различных типов ДВС по табл. 2.
СХЕМАТИЗАЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ СВОЙСТВ ДВС
355
2. Коэффициенты аппроксимирующих зависимостей безразмерных
компрессионной и индикаторной функций
Тип двигателя
Карбюраторные, газовые ДВС
Дизели
Роторно-поршневые ДВС
Бесшатунные ДВС по схеме
С. С Баландина
Боковые цилиндры многорядных
ДВС с прицепными шатунами
Тип двигателя
Карбюраторные, газовые ДВС
Дизели
Роторно-поршневые ДВС
Бесшатунные ДВС по схеме
С. С. Баландина
Боковые цилиндры многорядных
ДВС с прицепными шатунами
dk
1,02
0,892
0,37
0,794
1,12—0,05V
ds
1,54
1,75
0,57
1,31
1,9—0,12у
—0,0113
—0.0024
—0,0055
—0,00667
—0,0027—
—J0019v
es
0,291
0,275
0,086
0,2
0,31
fk
1,25
1,51
0,78
1,25
1,38
fs
1,28
1,49
0,77
1,13
1,55—O,027y
**
0,102
0 0762
0,055
0,0736
0,092
0,0799
0,0627
0,043
0,065
0,062+0,005у
Общая силовая характеристика рядного ДВС (см. рис. 1, а, г), имеющего г ци-
цилиндров, описывается совокупностью г функций Ф;- (а,), соответствующих отдельным
кривошипам коленчатого вала двигателя. Аргументы а,- в общем случае следует пред-
представить в виде
ау = а;-0 + фу. / = 1. г, A)
где a.j0 = а10 — \j\ а/0, ф;- — соответственно циклическая и динамическая составляю-
составляющие угла поворота /-го кривошипа; 5/ — угол поворота коленчатого вала между
вспышками в /-м и первом цилиндрах.
Если не учитывают свойства двигателя —ограниченного по мощности источника
энергии, то выполняют переход от позиционного к временному описанию силовых
характеристик ДВС:
Ф, до = Va [РсК (ауо) + PiS («,„)], B)
где а/0 = j Qo (t) dr — §,; Qo — текущее значение средней угловой скорости двига-
о
теля на рассматриваемом режиме.
Начало отсчета углов а/0 (времени t) осуществляется от одной из ВМТ первого
цилиндра ДВС. В частном случае при анализе стационарных скоростных режимов
двигателя следует принимать а;-0 = ?V-
В многорядных двигателях (см. рис. 1, б) на каждый из г^ кривошипов коленча-
коленчатого вала действует вращающий момент Ф-? (а ) отсека двигателя, определяемый
по формулам, приведенным в табл. 1. В формулах для <t>J (a.) многорядных двига-
двигателей параметр %^ представляет собой угол поворота коленчатого вала между вспыш-
вспышками в s-м и первом цилиндрах, работающих на /-й кривошип.
12*
356
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
ВС
eq
g
s
I
S
g
е
s
+
12
s
я
а °
§¦2.
д я 3
<0 «1
О s с
ш
4
СХЕМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ДВС
357
В двухтактных двигателях с противоположно движущимися поршнями (см.
рис. 1, в) рабочий процесс в каждом цилиндре описывается двумя силовыми ха-
характеристиками Ф;в (а) и Ф/п (а), определяемыми по формулам табл. 1. Функции
ф (а) и <t>jU (а) описывают вращающие моменты, приложенные к /-м кривошипам
коленчатых валов, управляющих соответственно выпускными и продувочными
окнами. Аргументы указанных функций связаны следующими соотношениями:
где <4°' = a'°J—?п; а^\ ф;-в —- соответственно циклическая и динамическая со-
ставляющие угла поворота /-го кривошипа коленчатого вала, управляющего вы-
Су,кН м у], С),, иН-м
60
60
W
20
0
-20
-40
-ВО
-0,7
-0,6
-0,5
^0,4
-
-0,3
-
-0,2
-
-0,1
1\\
1 fc>cv
\
^ч. ¦—.
а)
"г
пускными окнами; а'.°* и ср-п — то же, для коленчатого вала, управляющего про-
продувочными окнами; %„ — сдвиг циклических фаз коленчатых валов относительно
ВМТ соответствующих цилиндров, рад.
При решении многих задач динамики силовых установок рациональными пред-
представлениями силовых характеристик ДВС являются соответствующие им тригоно-
тригонометрические ряды Фурье. Составляющие амплитудного Cv и фазового Wv спектров
этих рядов определяются для различных видов ДВС по формулам, приведенным
ь табл. 3, и в соответствии с графиками на рис. 5 (обозначения см. рис. 2) [4, 5].
3. СХЕМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ СИЛОВОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ДВС
При анализе управляемых динамических процессов в силовых установках с ДВС
обычно не учитывают упругие свойства коленчатого вала и различия в силовых
характеристиках центральных и боковых цилиндров у многорядных ДВС с прицепны-
Ми кривошипно-шатунными механизмами (КШМ). При этих допущениях общая
силовая характеристика ДВС представляется в виде [2, 6, 141
Ф (а, у) = Во (a) -f- бр (а, у), D)
2
гДе ?0(а)=^У] Q(a — |/)— нерегулируемое возмущающее воздействие на колен-
г
Чатый вал; Вр (а, у)= Т] Р(а. — ijtt/ii)—регулируемая силовая характеристика ДВС;
/ 1
358
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
X
3
X
квива
я
ристик]
эакте
g
и
Я
о.
[СТВИЯ
7)
1ВН0Г0 ,
а/0 (Р.
г- .
[ьев не!
2>
8
со
R
К
К
с;
м
та
А
С
;»
го
есс
О
с
с
одель
s
к
го
о>
Р*
S
СО
О
«"з
+
ш
при
-
1
i
гГ
+
it
Q
о;
^«
jg
1Ш
при
о
II
'о.
етЗ
1
(N
Э1
и
га
1
II
^3
Q
¦9-
<
i
i
ii
¦э-
II
II
Q-
; 1
•
II ^
* 11
: 'js
'. S
1 II
7) г?
•а
ш
ч
%
S
+
-К
ш
a
о.
с
a
i
-ад
?
I sin
•
га
з~
-.3
4-
II
+
1Ш
С
О
v '
и
S
а)
ra-
ные
о.
о
го
a
S
\о
а.
1
сз
1^1
С-1
-S?
га
1
С?
1!
+
Ь» '
II
II
а:
•Г)
II
-ОН
О
^^
ш
ш я
a a
«g.
*о
Ь>
3
1
II
II
*
Of
j
I
JC
"**
сз
к"
1)
см
1
5_
to
1
=»
"?
1
s
^4
+
1
?
Ii
at
+
Ш
при t
II
n
Sri
a»
..
«3
X
II
"з
о;
д.
+
|щ"
при <
о
«я
^о
и
эпо.
аль:
рот
I a
1 Щ)
a v?
^ о
'з и
Ьл 3
о ^*
я ©¦
1 ¦-
1 Г
3 1
~п II
¦&¦ Ьц
II *
II
m
«•
^ Ш 1Ш
1 я а
с" °~
1
1
-4;
^"-^ '
II
^а
д
2
к
|
= 1
?
с
?
a
а
К)
цний :
a
а
и
1
0
я*
Л s
|
1°
S О.
cq ж о
II к в
о ь
СХЕМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ДВС
359
Q (а) = Va [рсК (а) + pi0S (а)]; Р (а, yk) = pf (yk) S (а); р/0 — значение ph соот-
соответствующее установившемуся среднему нагрузочному режиму; р* (yk) — изменение
pi на k-м рабочем цикле (одного цилиндра) в результате подачи топлива в соответ-
соответствии с текущей величиной yk управляющего сигнала у {t) регулятора в момент по-
подачи.
Процесс управления силовыми характеристиками Вр (а, у) ДВС различных
типов в общем случае схематизируют на основе импульсных моделей, приведенных
y(t)
T
I*
—*
a)
D
L
BJt)
h
В
" 1
Рис. 6
в табл. 4 [6, 14]. В большинстве практически важных случаев для современных ДВС
выполняется условие
г > 2mcon/Q, E)
где ю„ — интервал пропускания системы автоматического регулирования скорости
(САРС) ДВС; Q — средняя угловая скорость ДВС в исследуемом режиме.
Если неравенство E) выполняется, то процесс управления силовой характе-
характеристикой Вр (а, у) ДВС (дизеля, карбюраторного, газового или роторно-поршневого)
схематизируется на основе эквивалентной модели непрерывного действия (см. табл. 4).
Эквивалентная модель непре-
непрерывного действия процесса \j/° r/m(
управления силовой характе-
характеристикой ДВС указанных ти- /го -
пов состоит из двух последова-
последовательно соединенных звеньев по -
(рис. 6, а—б): звена чистого
запаздывания (? или ?*) и ста-
статического звена (D или L).
Амплитудные RD (со), RL (со) so -
и фазовые \pD (со), i]^ (со) ча-
частотные характеристики этих
звеньев определяются по фор-
формулам, приведенным в табл.
4, и в соответствии с графи-
графиками на рис. 7 [2, 6].
Процесс управления ре-
регулируемыми характеристи-
характеристики Вр.в (а, у), ?р.п (а, у)
Двухтактного дизеля с противоположно движущимися поршнями при выполнении
Условия E) схематизируется на основе эквивалентной двухканальной модели непре-
непрерывного действия согласно рис. 6, в. Каждый канал этой модели состоит из двух
последовательно связанных типовых звеньев направленного действия: статического
звена (В или /7) и звена чистого запаздывания (g или И). Частотные характеристики
этих звеньев определяются по формулам табл. 4.
Динамические циклические графы соботвенно ДВС при использовании представ-
представленных в табл. 4 эквивалентных моделей процесса управления силовой характери-
характеристикой ДВС в задачах исследования динамических свойств САРС силовых установок
приведены на рис. 8, а—в. Графы включают в себя цепную подсистему (г — и) и под-
подсистему со связями направленного действия. В цепной подсистеме сосредоточенные
-0,6
0,2
\
ч
0,5 7,0 7,5 2,0 2,5 co/cdg
Рис. 7
360
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
массы г и и отображают соответственно инерционные свойства подвижной механи-
механической системы собственно ДВС и звена, в которое встроен измеритель скорости.
В общем случае учитываются упругие свойства соединения звена о с механической
системой ДВС, что отображается в графе квазиупругим соединением с коэффициентом
жесткости сги. Подсистема со связями направленного действия включает в себя после-
последовательно соединенные звено Р, отображающее в графе динамические свойства
Ого
р
L
V
S)
п
в
h
9
&к р \-—I
^ 1
в)
JV)
^**^—Г п
^— в
щ—Ih
' и
г)
Рис. 8
регулятора, и граф эквивалентной модели непрерывного действия импульсного про-
процесса управления силовой характеристикой ДВС. При рассмотрении двухвальных
(многовальных) ДВС с противоположно движущимися поршнями возможен учет
упругости соединительных звеньев (муфт), связывающих коленчатые валы (рис. 8, г).
Граф общей динамической модели САРС силовой установки с ДВС формально
образуется в результате квазиупругого сочленения локального циклического графа
управляемой динамической системы собственно ДВС и графа цепной модели нерегу-
нерегулируемой механической системы, с которой связан ДВС.
4. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
В практике динамических расчетов наиболее часто встречаются составные
динамические системы следующих трех типов двигатель — рабочая машина (Дис'
кретная модель, рис 9, а), двигатель (дискретная модель) — рабочая машина (дис-
(дискретно-непрерывная модель, рис 9, 6"), двигатель — передаточный механизм
рабочая машина (дискретная модель, рис. 9, в) Системы первых двух типов назы-
называют односвязными, системы третьего типа — двухсвязными _ -
Обычно имеется или достаточно просто может быть получена информация о со
ственных спектрах составляющих подсистем составных динамических моделе ,
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
361
адекватных составным системам указанных типов. Такое положение находится в со-
соответствии с используемым в практике способом раздельного проектирования, fpac-
четов и испытаний отдельных агрегатов составных силовых установок машин
[6, 8, 9, 12].
Динамические модели подсистем «двигатель», «передаточный механизм», «рабо-
«рабочая машина» характеризуются обычно значительной структурной сложностью,
поэтому расчет собственных спектров динамических многомерных моделей составных
систем представляет собой исключительно трудоемкую задачу. Существенное упро-
упрощение решения этой задачи достигается применением специальных эквивалентных
структурных Г„-преобразований, позволяющих получить модели простейшей струк-
структуры в рассматриваемом классе при эффективном использовании априорной инфор-
информации о собственных спектрах подсистем [1, 7, 9, 15].
На основе эквивалентных структурных Т „-преобразований исходная модель
составной системы представляется: для одногвязных систем — в виде Г^'-модели
о радиальным 1рафом простейшей структуры; для двухсвязных систем — в виде
Рис. 9
К^'-модели с простым циклическим графом [1, 7, 8, 15]. В табл. 5 приведены динами-
динамические графы и соответствующие формулы для определения квазиупругих параметров
эквивалентных консервативных моделей, описывающих поведение составных систем
в квазинормальных координатах моделей их составляющих подсистем.
В табл. 5 использованы следующие обозначения: eg, c^, c2g — коэффициенты
жесткости соединений, связывающих составляющие подсистемы в односвязных (eg)
и двухсвязных (qg, c2g) составных системах; /, k — индексы упругосопрягаемых сосре-
сосредоточенных масс моделей составляющих подсистем в односвязной составной системе
(см. рис. 9, а—б); /', а, Ъ, k — индексы упругосопрягаемых сосредоточенных масс
моделей составляющих подсистем в двухсвязной составной системе (рис. 9, в);
п, г, т — числа степеней свободы моделей составляющих подсистем; v;, pfc (t=l, n',
А=1, т) — собственные значения иа,^, Pj.^—элементы ортонормированных модаль-
модальных матриц составляющих подсистем односвязной составной системы [1, 2, 5];
vi> h> Р/ (' = 1» я; k= I, r; j = 1, т) — собственные значения и a,s, pa,-, Ej.s —
элементы ортонормированных модальных матриц составляющих подсистем двух-
двухсвязной составной системы [1, 8, 14]; Х^ (х) — k-я собственная функция, х0 —
координата сопрягаемого сечения дискретно-непрерывной составляющей модели
в комбинированной односвязной системе (рис. 9, б) [9].
В наиболее характерных для практических задач динамического анализа случаях
силовых установок общая совокупность {v,,p^} или -jv,-, /*, р,} собственных значений
моделей составляющих подсистем составной системы не содержит кратных значений.
Указанная совокупность может содержать двух- или трехкратные нулевые значения,
соответствующие циклическим координатам полуопределенных составляющих под-
подсистем.
362
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
363
364
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ 365
Полуопределенные составные системы представляются дополнительно в виде
эквивалентных укороченных моделей типа Т*1^ и /С^\ графы которых и соответствую-
соответствующие формулы для определения их квазиупругих параметров приведены в табл. 6.
Характеристические Х-матрицы Н1 (к) и #2 (к) эквивалентных (укороченных — в
случае полуопределенных систем) моделей соответственно для односвязной и двух-
двухсвязной составных систем имеют вид окаймленных диагональных матриц (табл. 7,
где приняты обозначения [7—9]: 1Ч — единичная матрица порядка q\ ф — символ
прямой суммы матриц).
Нули главных миноров матриц Нх (к) и Нг (к) строго разделяются, и совокуп-
совокупность соответствующих полиномов обладает свойством последовательности Штурма
[6—9, 13]. В табл. 7 приведены рекуррентные соотношения для определения после-
последовательностей главных миноров характеристических матриц составных систем,
на основе которых эффективно выполняется итерационная процедура локализации
собственных значений динамических моделей составных систем. В табл. 7 дано опи-
описание структуры r-го шага этой процедуры при локализации k-то собственного зна-
значения "къ [6—9].
В табл. 7 приняты также обозначения: (аг_ъ br_x) — полученный после (г — 1)-
го шага интервал, содержащий собственное значение Яд,; s (dr) — целочисленная
функция аргумента dr, значение которой равно числу перемен знаков при к = dr
в последовательности главных миноров характеристической матрицы исследуемой
составной системы.
Любое собственное значение кк динамической модели составной системы локали-
локализуется в интервале (Ш) — а\Щ х 2~л за h шагов итерационного процесса, описан-
описанного в табл. 7. Для практических задач динамики силовых установок с ДВС важным
свойством представленного в табл. 7 алгоритма является возможность локализации
с наперед заданной точностью одного или совокупности собственных значений, при-
принадлежащих рассматриваемому контрольному отрезку. В табл. 7 приведены также
формулы для определения компонент 6^ собственных форм эквивалентных моделей
составных систем и компонент §^ собственных форм, отвечающих неканоническим
(исходным) обобщенным координатам составляющих подсистем составных моделей.
В случае полуопределенных составных систем в формулах табл. 7 следует исполь-
использовать параметры неукороченных эквивалентных моделей (см. табл. 5).
5. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
ЦЕПНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
С ВАРЬИРУЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Динамический анализ силовых установок обычно имеет многовариантный ха-
характер с целью выяснения влияния отдельных параметров на формирование иссле-
исследуемых динамических характеристик установки. Для придания обозримости резуль-
результатам сравнительного анализа число одновременно варьируемых параметров, как
правило, не превышает одного-двух. Наиболее трудоемкие задачи анализа силовых
установок с ДВС связаны с оценками их нагруженности при колебаниях, вызывае-
вызываемых регулярными возмущениями. Такие оценки требуют обычно многократного
определения собственных частот и форм цепной динамической модели силовой уста-
установки на каждом шаге вариаций упругоинерционных параметров.
Для многомерных моделей силовых установок решение указанной задачи явля-
является основной по вычислительной трудоемкости задачей динамического анализа.
В типовых случаях, характеризующихся одновременными вариациями одного или
двух параметров, эффективность вычислительных процедур существенно повышается
в результате применения эквивалентных структурных Тя-преобразований [1, 6—9].
С помощью этих преобразований каждый текущий параметрический вариант рас-
расчетной и-мерной модели с одним или двумя варьируемыми коэффициентами жест-
жесткости представляется в виде эквивалентных моделей простой структуры вида Т^1'
или К^- Графы таких моделей и формулы для определения их квазиупругих пара-
параметров приведены в табл. 8, где приняты следующие обозначения: cty — величина
366
СИЛОВЫЕ ОСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
|
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
367
о
о.
С
-f l l
+ 3
+ =^
*
s
eo
«go
II
я a
а; ч
CQ П
ж°-о
¦Ecu
368
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
к
ч
оде
s
'X
о
X
X
ч>
га
ш
ы экви
о.
Е-
0J
03
Q,
СО
С
<и
Я
U
>.
а
иуп
-с
ш
о*
§1
1?
я *
и щ
m g
¦е-в
а g
^-Й
1
в
8
«о
1
II
11
/^
Ч -
о-ад
1
II
И О
(Л ^^
1 1
II S. -n'
11 ^"^
*** ^ ^J I
[1
11
3
©
/ \ ^^
/? \^ i
ьируе-
естко-
1нения
я «
«SO
тема
циенр
яого
Ef •«
Цепна:
мым к
сти с
(/. А)
к
К
с
II
i I
«о «о
1
1 If
V
N t t; 1
\
V
О и О -°
^-^ Q •—¦•*?
1 i
— —.
II 1!
11 (I
=Г a"
/7V\
j \ Л
W
Y
i н i
м у u
Ш « >j
о ь >.
Ill"
Цепна
мыми
кости
НИИ (/
"<?
1
II
о
S3.
1
сз
II
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
369
370
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
*
о
X
X
ч
я
S3
si
•а а
метр!
ской
S.S
с s
s|
о,
с
S
S
о
?
о
s
со
аз
о
43
(О
ш
¦6-
Си
и
<х>
fi
*о
О
*ся
а
о g
С
II —•
J II
о*
Й --^
и" II
1 °
II "
f Й .'«"
II г т"
*
^+ Г ^
1 а
(f)
Т
\\ л/-в-
:тема с
коэффи-
есткости
(', k и
доточен-
!§i til?
Яш я о а: я я
So
|
и
V
<
V
А
•о
у
•о
S
варьируемого коэффициента жест-
жесткости; X(s0>—s-e собственное значе-
значение; а'.°' — элементы ортонормиро-
ванной модальной матрицы (компо-
(компоненты собственных форм) базового
варианта расчетной модели.
При вариациях одного-двух
коэффициентов инерции или коэф-
коэффициента инерции и коэффициента
жесткости одновременно каждый
текущий параметрический вариант
n-мерной модели представляется
в виде эквивалентных моделей про-
простой структуры вида К*?\ х или
%%+ 2- Графы этих моделей и фор-
формулы для определения их квази-
квазиупругих параметров приведены в
табл. 9, где приняты следую-
следующие дополнительные обозначения:
<И?* — величина варьируемого ко-
коэффициента инерции для базового
варианта модели; Д = "к'°^ — при
решении полной проблемы собствен-
собственных значений л-мерной расчетной
модели; Д = Хтах — при определе-
определении усеченных собственных спект-
спектров модели в диапазоне собствен-
собственных значений X . <Я, ^кт„„.
ГП1П Шал
В качестве базового варианта
расчетных объектов, приведенных
в табл. 9, принимаются модели,
характеризующиеся минимально
возможными значениями варьируе-
варьируемых коэффициентов инерции со-
сосредоточенных масс: <И-0) < Ф J
0?0) ^'в'ь- Собственные значения
и формы каждого текущего пара-
параметрического варианта п*-мер-
ной расчетной модели с варьируе-
варьируемыми параметрами определяются
в соответствии с вычислительными
схемами, приведенными в табл. 7.
При этом расчет собственного
спектра модели с одним варьируе-
варьируемым параметром осуществляется по
формулам для односвязной систе-
системы, а расчет собственного спектра
модели с двумя варьируемыми па-
параметрами — по формулам для
двухсвязных систем с учетом сле-
следующих соотношений:
при вариациях двух коэффи-
коэффициентов жесткости
а = п*; т^п*; n = m = 0; F)
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ СПЕКТРОВ
371
о
Pi
о
?
3
@
о
со
л
и
онен
Ком
СО
О
.ных
•и
О
К
si
X ш
Д О
ч а
со 3
IS
s я
3* ^
о
рмы
о
•&
8
X
X
CU
ш
о
ш
X
Qj
zr
X
т
1Ные
О)
ш
н
о
о
Е-
о
к
я
X
аз
о
о.
л
о.
л
а
X
^* — X
(О ^* **
i* 7 ~ '- ¦в1"
—* " ^ ^-
S
"~S" С°> ^ '—' S^ II
"!%¦ t? r
IT " *
¦в* + "~" J2- "°
tl—1 || *.„ ч , а а
-* а «ЕС
II ' ' М
« а
>
2-2 8*
В
ii х g^ г8-,„
+ ч^ l^J^
х +
+
1 1 х |_
о* ~Г"
5 ч?^
• Л!
X
&
о 1 &S г
;пная
тема
руем!
го и не
1ННЫМ
метра
д g л о. д. с
° ас ^я
372
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
Рг
при вариациях двух коэффициентов инерции
q = n* -\-2; г = п*; п = т=\. G\
Задачи синтеза многомерных цепных динамических моделей силовых установок
характеризуются обычно значительным числом одновременно варьируемых упруго-
инерционных параметров. В таких задачах расчет собственных спектров текущих
параметрических вариантов модели выполняется с достаточной для практики точ-
точностью по асимптотическим зависимостям, приведенным в табл. 10. В общем случае
ограниченное пространство варьируемых параметров районируется путем выделения
в нем d смежных локальных обта-
стей, в каждой из которых пра-
правомерно используются указанные
зависимости.
В табл. 10 приняты следую-
следующие обозначения: с^\ с^0)—ве-
с^0)—величины варьируемых коэффи-
коэффициентов жесткости; ftjj,o)—вели-
ftjj,o)—величины варьируемых коэффициен-
коэффициентов инерции; X*0' — s-e собствен-
собственное значение; а^ — компоненты
ортонормированной s-й собствен-
собственной формы базового параметри-
параметрического варианта расчетной модели в рассматриваемой локальной области варьиро-
варьирования; \р[п\ р'в' — граничные (минимальное и максимальное) значения /-го варьи-
варьируемого параметра; т — число варьируемых параметров.
Положение локальных областей в пространстве варьируемых параметров характе-
характеризуется целочисленным m-компонентным вектором К = {klt k2, ..., km), причем
ki — номер интервала разбиения i-й компоненты вектора варьируемых параметров
Р = (pi, p2> ¦••. РтУ> соответствующий рассматриваемой локальной области варьи-
варьирования (рис. 10). Базовые варианты расчетной модели в локальных областях харак-
характеризуются базовыми векторами P*os> варьируемых параметров с компонентами
pf,'\ определяемыми по формулам табл. 10.
MV)
pf-Р'Г Pi
Рис ю
6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В СИЛОВЫХ УСТАНОВКАХ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
В определенном классе силовых установок с ДВС необходимым условием кор-
корректности исследования нестационарного динамического поведения установки при за-
запуске двигателя является рассмотрение ДВС как ограниченного по мощности источ-
источника энергии [3, 6, 11, 12, 16]. Характерные конструктивно-компоновочные особен-
особенности этих установок: значительная длина компоновочной базы между двигателем
и потребителем энергии (выходным звеном); значительный (по сравнению с двига-
двигателем) момент инерции вращающихся масс потребителя энергии (рис. 11, где 1 —
двигатель; 2 — передаточный механизм; 3 — рабочая машина).
Пусковой скоростной диапазон таких длиннобазных установок, как правило,
содержит резонансные зоны, в которых проявляется активное динамическое воздей-
воздействие ДВС, как ограниченного по мощности источника энергии с колебательной си-
системой установки (эффект Зоммерфельда [3, 6, 16]). Опасный характер колебании
в указанных низкочастотных резонансных зонах определяется двумя взаимосвя-
взаимосвязанными факторами, максимальным уровнем колебаний и мощностью сопротивлении
интенсивному колебательному движению установки.
Первый фактор лимитирует динамическую прочность силовой цепи установки,
от величины второго зависит характер динамического взаимодействия ДВС каК
источника энергии с колебательной системой установки. Если суммарная мощность
сопротивлений вращению и колебательному движению силовой установки в резо-
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
373
нансной зоне превосходит свободную мощность ДВС при запуске, то эффект Зом-
мерфельда становится критическим: по условиям энергетического баланса оказы-
оказывается неосуществимым прохождение двигателем пусковой резонансной зоны. В этом
случае двигатель при запуске «зависает», т. е. устойчиво работает на околорезо-
околорезонансном скоростном режиме в пусковом скоростном диапазоне (рис. 12, где 1 — расчет;
ИНН
Рис. 11
2 — эксперимент; 3 — расчет без учета неидеальности ДВС). Колебания в силовой
цепи установки достигают значительного уровня, что приводит к быстрому выходу
ее из строя. Установка оказывается эксплуатационно непригодной, поскольку не
обеспечиваются гарантированный запуск ДВС и выполнение предписанных эксплуа-
эксплуатационных функций в заданном скоростном диапазоне.
Чаще бывают случаи, когда эффект Зоммерфельда не приобретает критического
характера в указанном смысле, но обусловливает повышенный, иногда разрушитель-
разрушительный для звеньев силовой цепи установки
f,kHи уровень резонансных колебаний (рис. 13,
обозначения см. рис. 12). В таких случаях
колебания при прохождении двигателем
(s, v) -й резонансной зоны имеют почти
установившийся характер (s — индекс резо-
'/с
so
S
в
2
7
jl
1
\
^х
7 ^
V
/
уу
\
Л
//
у
я
'/с
W
10
—-^
Z77*\
W ]
N
\\
\\
\\
// JVtc—\~~<я
\
\
so
qz
1,0 t,c
0,7 O,Z
0,5 t,c
Рис. 12
Рис. 13
пирующей собственной формы модели установки; v — номер гармоники возмущаю-
возмущающего момента). Коленчатый вал ДВС на соответствующем временном отрезке харак-
характеризуется почти равномерным вращением со средней угловой скоростью Q « Qsv
(Qsv — резонансная угловая частота).
При анализе пусковых динамических характеристик силовых установок с ДВС
рациональным является обоснованный выбор расчетной модели минимальной слож-
374 СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
ности. В качестве таких моделей принимают: нелинейную модель (^-модель), отобра-
отображающую закономерности динамического взаимодействия энергетически неидеального
ДВС с колебательной системой установки [3, 6, 16]; асимптотический вариант модели
2, соответствующий представлению ДВС в виде идеального источника энергии [10].
При построении модели Z учитывается позиционный характер возмущающих
сил ДВС и не принимается во внимание влияние управляющего устройства. Право-
Правомерность последнего допущения обусловлена характером задающего воздействия
регулятора ДВС при запуске двигателя. В предстартовой фазе пускового режима
на вход регулятора поступает постоянное по величине задающее воздействие, которое
соответствует некоторому (заданному оператором) регулируемому режиму работы
ДВС за верхней границей пускового скоростного диапазона. В результате силовая
установка с ДВС при запуске представляет собой нерегулируемую по скорости
динамическую систему. При этом вращающий момент двигателя соответствует макси-
максимальной цикловой подаче топлива в цилиндры.
В табл. 11 приведены модели Z для общей и типовой компоновок силовых устано-
установок с ДВС (двигатель расположен в середине и в начале системы). Эти модели пред-
представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений движения сило-
силовой установки в пусковых резонансных зонах, записанную в стандартной форме
метода усреднения. Именно в этих режимах существенно проявляется динамическое
взаимодействие двигателя, как ограниченного по мощности источника энергии с ко-
колебательной системой установки.
В табл. 11 приняты следующие обозначения: a>s, Ds — частота и добротность
s-й собственной формы линеаризованной модели силовой цепи установки; Q, а, б —
средняя угловая скорость двигателя в процессе запуска и огибающие колебательного
процесса по s-й квазинормальной координате и ее относительной фазе при прохожде-
прохождении двигателем (s, v)-fi резонансной зоны; В; — функция Бесселя первого рода
j'-ro порядка; Мсо (Q) — текущее среднее значение момента сопротивления вра-
вращению силовой цепи установки; Mv (Q) — эффективный крутящий момент двигателя
в пусковом скоростном диапазоне; vx = vim; mv — амплитуда v-й гармоники возму-
возмущающего момента, действующего на одну сосредоточенную массу динамической мо-
модели ДВС; ад = at; /= 1, я; afts = {щ}*$; Щ> — оргонормированная модальная
матрица динамической модели установки; V/iv — групповой возбудитель (k, v)-fl
резонансной зоны; pv> yv — фазовые углы группового возбудителя; Ех — целая
часть х. Параметры Vbv (k — 1, s), mv, Pv. Tv определяются по следующим формулам
[3, 6, 16]:
cosv
2 vcos (tv-
t = l
где vx = v/m; zj, zt — число кривошипов коленчатого вала ДВС и число цилиндров,
работающих на один кривошип; aJS — элемент /, s ортонормированной модальной
матрицы линеаризованной модели силовой цепи установки; \j — угол поворота
коленчатого вала ДВС между вспышками в /-м и первом цилиндрах одного блока,
рад; т — тактность ДВС; cv, i|)v — амплитуда и начальная фаза v-й гармоники ряда
Фурье силовой характеристики одного цилиндра ДВС (см. табл. 3); |/;1 — угол по-
поворота коленчатого вала между вспышками в t-м и первом цилиндрах, работают1551
на один кривошип коленчатого вала ДВС, рад.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
375
о
t=t
а
го
са
с
X
н
о
>>
к
и
о
с;
X
О
S
0)
ч
ф
н
я
ВИГ
<5
« У
в °
О о,
« ч
о са
С р"
? я
О X
к
Типов
Ьй
ш
о
HOI
: Komi
Общая
к
я к
аз и
равне]
у с лов:
>>
+
а
-" --
сз
3
(Г
Ь
о
о (см
11
а
•а
i
X
У
8
«и
+
X
1
1
w-
В
со
аГ
X
CS
3
<л
Q
8*
h
о
-1
8
сз
•§
1
«о
.) sin
Ч
X
, '
>
f
-. г.
'" Ъ s
2' •
з „
ч
ч.
8 __
1? 8
а
— [(М
+
-г
1 3s
1
1
-
1
8
8
СЗ
CN
1 -
!вне-
:ило-
чя
0) S
я «
Усред
ния п
г rjj_i
•?'
Г. ~8
-^ a
?! >
¦—' сч
И
а^
8
^"
Я
т
lei
+
|
Ю
С
аГ
¦а
;
¦-,?''
1
х
i
ел
О V.
п
0
J
^ «в
i Ч
ев
к
Г -2,
5 8
т
5
s вд
х о о
ш и я
о ° о
«gn
<2 ,, F41
с:
о
> я
я
> «о
w О)
дель а
О
8
Л If
о
CQ
II
II
N
О
0)
ct
|_
- 1 оГ
> 5.
s ° +
ч •-.?¦ 5.
>Г ч
+ Ч, И
= вЦ о
8" II 6
II *~ щ
¦а
•3
V
ч°*
i
о
ч
II
§7
ф«
*<=
ч
376
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
u
03
Ч
CJ
вка
1я устано
ее
о
S
О
лем
н
ll
3 =
О ^
О Л
с в*
S °з
о я
^ я
к
13
д
о
X
н
га
од
о
к
о
i
о
к
trig
О
S a
равней
услови:
«^ о
1 gu
)
^ а
1 »
А 6
i I
а.
енные
зижени
Усре
ния
в"
1
при Q <
1
^>
-
«io
ta ю х
устано
пуско
10Й 30
J^ X
вой
(S, V
зона
ео
¦а:
В
°
а
1—>о
О1
К
1
при Q >
N
-, '
N
дель
-
?¦
to
Л\ ^
to -н
¦& й
—^
S?
II
to
«¦
ь
,35
о
X
*"* to
л\ ^
II
где
«а о.
ая °
CJ m
3
¦~ч
Q
to
II
II
to
S
^-
to
¦J
~>
1Я
О*
3
to
?v
8
II
S
&
фель
С
м
о
1
II
to
to
---
Q
II
6 а^
V ~
I +
а
||
S
где
я
оцен
аний
антная
колеб;
О X
II
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ъп
ч
1max/as-i
Закономерности динамического поведения силовой установки с ДВС в пуско-
зых резонансных зонах определяются путем численного интегрирования соответст-
соответствующей модели Z. Предварительное суждение о характере эффекта Зоммерфельда
в пусковых резонансных зонах составляется на основе мажорантного критерия
4>sV, выражения для которого, а также условия некритического характера эффекта
Зоммерфельда приведены в табл. 11. По величине критерия <i>sV выбирают расчетные
модели минимальной допустимой сложности для оценки пусковых динамических
характеристик силовых установок с ДВС. Практика динамических расчетов показы-
показывает, что при <PSV > 2 -г- 3 указанная оценка может выполняться по упрощенной
методике, представляющей ДВС в виде идеального источника энергии и рассматри-
рассматривающей запуск двигателя и прохождение им пускового скоростного диапазона
с равномерной угловой скоростью [10J.
Если условие <PsV > 2 -н 3 не выполняется, то в качестве расчетной модели си-
силовой установки в резонансных зонах пускового диапазона ДВС принимается со-
соответствующая модель Z согласно табл. 11. При <PsV > 1 целесообразным оказы-
оказывается использование мажорантной оценки уровня колебаний в указанных резона-
резонансных зонах (см. табл. 11, рис. 14). Если ре-
результаты такой оценки оказываются удовлетво-
рительными по критериям регламентированной
динамической прочности или обеспечения дру-
других динамических качеств силовой цепи уста- 08
новки, то уточнение расчетных значений огибаю-
огибающей амплитуд а на основе соответствующей мо-
модели Z может не потребоваться. 0,6
Для класса длиннобазных силовых устано-
установок с ДВС, практически наиболее важного с точки
зрения необходимости учета влияния эффектов °'
ограниченного возбуждения на динамические и
функциональные характеристики установки, 0,2
в табл. 12 приведены выражения для крите- ° V °>г °? xsv
рия 02V соответствующего пусковой резонанс-
резонансной зоне. В табл. 12 представлены также Рис- 14
неравенства, определяющие область эффектив-
эффективного варьирования основных параметров модели установки для обеспечения некри-
некритического характера эффекта Зоммерфельда.
В табл. 12 приняты обозначения- ЬА — суммарный момент инерции подвижной
механической системы собственно ДВС (коленчатый вал с кривошипно-шатунными
механизмами); тЭ^, ¦&н — моменты инерции вращающихся масс двигателя и потреби-
потребителя (преобразователя) энергии с передаточными механизмами; ?д «= 0,15 -г- 0,22 —
коэффициент, зависящий от класса двигателя и условий его эксплуатации [3, 6];
сгп — коэффициент жесткости, отражающий упругие свойства силовой цепи
установки г — «; vf = vim; m — тактность двигателя; v* — главная гар-
гармоника возмущающего момента ДВС, порождающего пусковую резонансную
зону.
При проектировании длиннобазных установок с ДВС неравенство, обеспечи-
обеспечивающее эффективность в указанном смысле применения маховика (увеличения $г),
часто не выполняется. Кроме того, возможности увеличения параметра сгн обычно
существенно ограничены вследствие конструктивно-технологических особенностей
установки, например, при использовании унифицированных элементов валопровода.
В таких случаях для борьбы с опасными по характеру эффекта Зоммерфельда низко-
низкочастотными нестационарными колебаниями в пусковых резонансных зонах длин-
длиннобазных установок эффективно используется динамический гаситель [3, 6, 16].
Специальная настройка динамического гасителя показана в табл. 12, где приняты
обозначения: cg, ftg. — соответственно коэффициент жесткости упругого соединения
и момент инерции маховика гасителя.
Динамический гаситель с рекомендуемой настройкой, установленной на фланце
коленчатого вала ДВС, обеспечивает частотную коррекцию пусковых динамических
характеристик установки за счет смещения вверх по частоте опасной резонансной
зоны. Количественный эффект такой коррекции оценивается параметром А, в выра-
378
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
«S
Л
СП
* -,
СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
379
т а б л
0>
к
а
<и
Г5
О
«
о
о.
С
и
m
с*
«
s
и
о
я
'ста
m
сило
а
а
СО
Длинн!
S
а
о
иче
So
дина
¦елем
II
ад U
0>
X
X
X
и
Й
5
а
гас
КИМ
и
<и
в*
X
?
га
X
fct
S
линейн
К
X
о
СО
U
о
U
о
йй
и
0)
3*
X
ВНИ1
R.
т
й)
Ю
X
X
CJ
S
О,
О)
Характ
Л\
¦8.
Л\
¦&*
я И. о.
Ь щ 0)
s?s
л к s
м а о
Условие
ческого
эффекта
фельда
X
та
в ~
о зд
— X
1 *
5 ^№
V/ ?
v/ i
S
¦
^ и
N
—
|-
II
я а '
< is ,
ii a
< и
"а
4-
< ^
ii
я Л
о,
X G
ON ^
л °*N Ъ
л те ч
X И С
и о
х ах
*зд
л те о m
Область
ного в
НИЯ ОСН'
раметро!
и
II
S3
II
1!
i
я s
а и
S °
Настрой
мическо1
теля
V/
•э-
л
380
СИЛОВЫЕ УСТАНОВКИ ТЯЖЕЛЫХ МАШИН
жении для которого й'^ — резонансная угловая скорость ДВС в опасной зоне си-
силовой установки с линейным динамическим гасителем.
Эффективность динамического гасителя, как антивибрационного устройства
для борьбы с интенсивными нестационарными колебаниями в условиях ограничен-
ограниченного возбуждения, может быть существенно повышена за счет работы гасителя в
виброударном режиме. На рис. 15 показаны графики амплитуд колебаний коленча-
коленчатого вала ДВС при запуске силовой установки A — без гасителя; 2 — с линейным
гасителем; 3 — с нелинейным гасителем). Для увеличения эффективности гасителя
?
V
0,3
0,7
"—-^
If
'л
д
\
к\
co.
O,Z Of 0,6 0,8 !,0 1,2 1,Ь %С
Рис. 15
Рис. 16
используется упругое соединение маховика и ступицы гасителя с жесткой нелиней-
нелинейной характеристикой Fg (i|>) (рис. 16, где ф — относительное угловое смещение сту-
ступицы и маховика гасителя; ф0 — величина г|з, соответствующая замыканию жестких
упоров, ограничивающих относительное смещение чр в пределах линейного участка
характеристики Fg (г|з) с коэффицентом с„; са — приведенная крутильная жесткость
упоров) [3, 6]. ё
Основным варьируемым параметром при синтезе характеристики Fg (г))) является
величина %. Целесообразный отрезок варьирования г|H принимается согласно зави-
зависимостям, приведенным в табл. 12, где приняты обозначения: атах — максимальное
значение амплитуды определяющей квазинормальной координаты в (s, v)-ft пусковой
резонансной зоне силовой установки с линейным гасителем, имеющим рекомендо-
рекомендованную настройку [6, 16].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
^ Динамические Расчеты уводов машин.
ле;%!ш?н^трОосУНРиеА19ЕпЛ52РТсЫНеНК° А'
Веиц В. Л., Кочура А. Е. К динамике системы автоматического регулирования скоро-
"И„Д„ВС--НаУч«ые труды вузов ЛитССР. Вибротехника, 1971, 2 A5), сГ 78-92
веиц в. л., Кочура А. Е. Эффект ограниченного возбуждения в силовых установках с дви-
1973ЛЯ№И2В("9)ТРсНТзГ9-150РаНИЯ' ~ НаУЧНЫе ТРУДЫ ВУЗ°В ЛитССР- Вибротехника.
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Характеристика двигателя внутреннего сгорания в динамике
силовых установок. — Машиноведение, 1974, № 6, с. 22 — 28.
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Динамическая схематизация силовой функции двигателя внут-
реннего сгорания. - Прикладная механика, 1975, т. XI, вып. 10, с. 83 — 89
Веиц В. Л., Кочура А. Е. Динамика машинных агрегатов с двигателями внутреннего
сгорания Л , Машиностроение, 1976. 383 с.
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Метод структурных преобразований в задачах виброзащиты
односвязных двухкаскадных систем. - В кн.: Виброзащита человека - оператора и
колебания в машинах. М., Наука, с. 204 — 207. pai"P
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Структурные преобразования динамических моделей машин-
ных^агрегатов ^сосредоточенными параметрами. — Прикладная механика, 1978, т. XIV,
Вейц В. Л., Кочура А. Е. Об одном методе определения собственных спектров составных
упругих систем. — Прикладная механика, 1978, т. XIV, № 7, с. 88-96.
КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ ВИБРАЦИОННЫХ УСТАНОВОК 381
in Кац A. М. Вынужденные колебания при прохождении через резонанс. — Инженерный
' сборник, т 3, вып. 2, 1947, с. 175 — 183
и Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М., Наука,
1964. 254 с.
12. Кононенко В. О. Вопросы теории динамического взаимодействия машины и источника
энергии. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 19 — 30.
13 Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970.
564 с.
14 Veitz V. L,, Kochura A. E. Questions on the Dynamics of an Internal Combustion Engine
Assembly — Mechanism and Machine Theory, 1975, vol. 10, p. 279 — 289, Pergamon Press.
15 Wejc W. L., Koczura A. E., Martynenko A. M. Obhczenia dinamiki napedow maszyn.
Widawnictwa naukowo-techniczne, Warszawa, 1975, 299 c.
16 Veitz V. L., Kochura A. E. Sommerfeld's Effect in Power Plants with Internal Combustion
Engines. — Mechanism and Machine Theory, 1976, vol. 11, p. 307 — 319. Pergamon Press.
Глава XV
КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
1. ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ
ВИБРАЦИОННЫХ УСТАНОВОК ДЛЯ ВЫПУСКА,
ДОСТАВКИ И ПОГРУЗКИ РУДЫ
При подземной разработке рудных месторождений широко применяют вибра-
вибрационные машины для выпуска, доставки и погрузки руды.
Существует два основных типа виброустройств для выпуска руды. В установках
первого типа вибрация используется для ослабления внутренних связей в обрушен-
обрушенном массиве и для активного воздействия на выпускаемую руду в направлении ее
транспортирования. В результате возникает тяговое усилие, обеспечивающее
выпуск обрушенной руды при горизонтальном положении рабочего органа вибро-
виброустановки и в случае необходимости даже при небольшом наклоне рабочего органа.
В установках второго типа, представляющих собой платформу или гибкий лист
без упругих связей и совершающих поперечные колебания, вибрация служит лишь
вспомогательным средством для снижения действия сил внутреннего трения в об-
обрушенной руде и уменьшения углов ее самотечного движения. При одинаковых ре-
режимах вибрации и равных углах наклона рабочих органов производительность
установок первого типа значительно выше.
Виброустановка для активного вибровыпуска руды из рудоспусков и блоков со-
состоит из рабочего органа, инерционного вибратора с направленной возмущающей
силой и упругой системы с резиновыми элементами (рис. 1, а). Вращение вибратору
сообщается от электродвигателя через карданный вал. При наличии упругой системы
увеличивается амплитуда и обеспечивается строго направленное колебание рабо-
рабочего органа, а также значительно снижается потребляемая мощность. Опоры вибро-
виброустановки jf, состоящие из металлической арматуры и резиновых элементов,
устанавливают на раме 2, которая неподвижно закреплена на почве штанговой крепью.
Виброустановки этого типа могут транспортировать как влажные глинистые руды,
так и крупнокусковую руду. Рабочий орган имеет амортизирующую прокладку 3.
Конструкция рамы обеспечивает надежную защиту упругой системы от возможных
повреждений обрушенной рудой.
В режиме прямолинейных бигармонических колебаний работает, например,
виброустановка УВР-3 (рис. 1, б). Для привода виброустановки используют двухде-
балансный инерционный вибратор 4. Конструкция установки закрытая с двумя
бигармоническими инерционными вибраторами 5, расположенными под грузонесу-
Щим органом. Вибраторы соединены карданным валом. Рабочий орган вибро-
Установки имеет амортизирующую прокладку 6. Для обеспечения высокой проч-
прочности конструкции основные рабочие узлы установки выполнены в виде литой
Конструкции.
382
КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
п | п
КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ ВИБРАЦИОННЫХ УСТАНОВОК
383
384 КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
Для выпуска и доставки руды используют также уравновешенную виброуста,
новку (рис. 1, в), состоящую из четырех линейных и одной приводной секции. При-
Приводная секция состоит из опорной рамы 7, на которой с помощью рычагов 8 с резино-
резиновыми шарнирами установлен грузонесущий орган 9. Средняя ось опорного рычага
крепится на раме с помощью резинового упругого элемента 10, служащего для аморти-
амортизации динамических усилий, возникающих на рычаге при изменении загрузки
грузонесущего органа. Ко второму плечу рычагов прикреплена уравновешивающая
масса П. Эксцентриковый привод расположен внутри установки под грузонесущим
органом. Он состоит из эксцентрикового вала 12, жестко установленного в коренных
подшипниках 13 на опорной раме установки. Четыре шатуна привода соединены по-
попарно с грузонесущим органом (шатуны 14) и уравновешивающей рамой (шатуны /5).
Привод эксцентрикового вала осуществляется от электродвигателя 16 через кони-
конический редуктор 17. Для предотвращения заштыбовки виброустановки обрушенной
рудой ее следует закрывать защитными кожухами.
Линейные секции имеют такое же устройство, но лишены привода. Каждая
секция виброустановки полностью уравновешена. Секции соединены быстрорачъем-
ными клиновыми зажимами. В зависимости от требуемой длины доставки соединяют
необходимое число секций.
2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВИБРАЦИОННЫХ УСТАНОВОК
ДЛЯ ВЫПУСКА И ПОГРУЗКИ РУДЫ
И МОЩНЫХ ВИБРОПИТАТЕЛЕЙ-ГРОХОТОВ ПОД НАГРУЗКОЙ
Задача расчета вибрационной машины в эксплуатационных условиях сводится
к рассмотрению системы машина — нагрузка — двигатель. Движение такой системы
сопровождается сильными взаимодействиями между составляющими ее элементами.
Перемещение рабочего органа вибрационной машины определяет режим движения
транспортируемого груза; в свою очередь характер движения груза оказывает влия-
влияние на закономерности колебаний рабочего органа. Двигатель, сообщающий энергию
для поддержания колебаний рабочего органа, сам оказывается подверженным воз-
воздействию вибромашины. В этих условиях работа вибрационной машины зависит
от свойств транспортируемого груза и величины нагрузки, а также характеристики
источника энергии.
Метод расчета вибрационных транспортирующих машин под нагрузкой
при наличии источника энергии ограниченной мощности. Рассмотрим мощный
вибропитатель с инерционным эллиптическим приводом и асинхронным двигателем,
подающим насыпной груз из бункера на ленточный конвейер.
Схема вибропитателя с инерционным вибратором для создания эллиптических
колебаний или виброустановки для выпуска и погрузки руды приведена на рис. 2.
В соответствии с расчетной схемой питатель может быть представлен как динамичес-
динамическая система с тремя степенями свободы. Движение питателя с двигателем ограничен-
ограниченной мощности на холостом ходу описывается нелинейной автономной системой диф-
дифференциальных уравнений, так как воздействие неидеального источника энергии
на работу машины зависит от режима ее движения, и его нельзя выразить в виде
явной функции времени:
Мх' +схх' -\-kxx' =— (т-\-т') /чр3 coscp — (m-\-m') r(p sin rp; -i
Mi/' +cyy' -\-kyy' = — /л7ф2 sincp + mVcpcostp; \ A)
оф = ? (Ф) — (tn +m') rx' sin <p + m'ry' coscp — m'gr sin ер, J
где Мо, т и т! — соответственно массы грузонесущего органа и дебалансов; М =
= Мо + т1 + т2; т1=-~--{-т; т2 = -у- ; kx и ky — жесткости упругой системы
вибромашины соответственно в направлениях осей х и у; сх и су — составляющие
коэффициента вязкого трения в упругой системе; г — расстояние до центра масс
дебалансов; / = Jt + (т + т') г2; J± — приведенный момент инерции ротора дви-
МЕТОДИКА РАСЧЕТА
385
гателя и вращающихся частей вибратора; q0 — коэффициент сопротивления вращению
вала двигателя; L (ф) — момент, развиваемый двигателем.
Вибропитатель под нагрузкой в соответствии с расчетной схемой на рис. 2 пред-
представляет собой динамическую систему с пятью степенями свободы. Для исследования
вибрационного питателя под нагрузкой необходимо решить совместно с системой A)
Рис. 2
систему дифференциальных уравнении, описывающих движение транспортируемого
груза. Уравнения относительного движения слоя груза на участке упругой деформа-
деформации имеют вид
тУ + с"уУ + kyy = — ту' — mg cos a;
тх + (с'х -f с'х) х -f- kxx = — тЛ' + mg sin а — схх . C)
В случае упругой деформации слоя груза на грузонесущий орган будут дей-
действовать силы
Fy = kyy+cyy; D)
При наличии проскальзывания перемещение слоя груза описывается уравнением
тх-{-с'хх — — тХ' -\-mg sin a —sign (x) \iFy — c'xx', F)
При этом на грузонесущий орган действует сила
F* = sign(jc)n/v G)
На участке свободного движения перемещение слоя груза описывается урав-
уравнениями
ту-\-с"уу = —ту' — mg cos a; (8)
тЛ + (с'х -\-с'х)х = — тх' + mg sin a — с'хх', (9)
13 п/р. Ф. М Диментберга и К. С. Колесникова, т. 3
386 КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
а на грузонесущин орган действуют силы аэродинамического сопротивления
ру = с'уУ> СО)
** = (<*+ <?)*• (И)
Уравнения движения нагруженной вибромашины имеют вид
Мх' -\-схх' +kvx' = — (т-\-т') гф2 соэф — (tn-\-tri) rip sin<f + Fx; }
Щ'+суУ'+kby' = — m'rty sin у-\-т'rip cos <p + Fy; \ A2)
Jip-}-qgq> = L (Ф) — (m-\-m') rJc' sin ф + m'rip cos <p — m'gr sin ф, J
где Fy и Fx — соответственно нормальная и тангенциальная составляющие нагрузки
от транспортируемого груза на грузонесущий орган.
С помощью ЭМУ, кроме осциллограмм всех переменных, их скоростей и ускоре-
ускорений, можно получить непосредственно следующие характеристики вибромашины:
общие затраты энергии, связанные с перемещением груза,
Т
о
непроизводительные затраты, обусловленные истиранием груза и износом ра-
рабочего органа,
т
1 С
Wn = y \ (Fуу-{-F_sx) dt; A4)
о
затраты энергии непосредственно на перемещение груза
Т}7 — 117 W • мс>
w п п w и» \»Jf
мощность, потребляемую двигателем,
т
L (ф) ф dt; A6)
о
единичную мощность, затрачиваемую на движение машины,
т
„, 1 (' (m-\-m' _,. . m' .., \ . .,_.
И/и = —- V i—J-—гд:ф2 sin ф + -rjr А^ ф2 cos ф 1 ей; A7)
о
усилие, передаваемое на фундамент,
Ry = kytj'+cutj'; A8)
Rx = kAx' + cxx'. A9)
Поведение и характеристики вибромашины любого класса можно исследовать
при различных режимах работы, которые имитируются схемой при простой переком-
перекоммутации наборного поля. При этом в каждом из рассматриваемых режимов меняются
характеристики транспортируемого груза, мощность и тип двигателя, параметры
вибратора и машины.
Результаты исследования на аналоговой установке ЭМУ-10. Рассмотрим питя-
тель с инерционным вибратором для создания эллиптических колебаний, характе-
характеризующийся следующими параметрами: масса грузонесущего органа Мо = 1500 кг;
коэффициент вязких сопротивлений упругой системы С = 200 кгс • с/м, коэффициент
трения в подшипниках вибратора |х'= 0,007; коэффициент сопротивления вращению
ротора двигателя q0 = 0,005 кгс • м ¦ с; диаметр вала вибратора d = 0,1 м; Ре"
зонаьсная частота колебаний питателя <в0 = 17,03 рад/с.
Было принято, что суммарная масса всех дебалансов вибратора 2т = 350 кг;
при этом суммарная разность масс дебалансоа 100, 150 и 200 кг; эксцентриситеты
дебалансов г = 0,09 м. Упруговязкопластичная модель груза характеризовалась
следующими параметрами: р = 200; я* = 220; п'* — 50; п* — п = п = 5; п'* =
МЕТОДИКА РАСЧЕТА
387
wo
so
w
= 2; коэффициент трения груза о поверхность грузонесущего органа |л' = 0,4.
Масса груза, находящегося на грузонесущем органе, изменялась в широких пре-
пределах в соответствии со значением коэффициента нагрузки k3, равного 0,5; 1 0; 1 5
и 2,0.
При изменении соотношения масс дебалансов и частоты возмущения в широких
пределах изменяются параметры эллиптической траектории грузонесущего органа.
На рис. 3 в качестве примера приведены амплитудно-частотные характеристики пи-
питателя при различных соотношениях масс дебалансов. Из анализа рис. 3 следует,
что амплитудно-частотная характеристика колебаний грузонесущего органа в направ-
направлении оси х остается неизменной, так как суммарная масса дебалансов, определяю-
определяющая величину амплитуды колебаний в этом направлении, остается постоянной.
Амплитудно-частотные характеристики колебаний в направлении оси у меняются
в зависимости от разности масс дебалансов, соответственно меняется и конфигурация
траектории грузонесущего органа.
В результате проведения экспериментальных исследований была получена серия
амплитудно-частотных и частотно-силовых характеристик для стационарных режимов
работы вибромашины в широком диапазоне пара-
параметров, режимов работы и нагрузок.
На рис. 4, а, соответствующем холостому ходу
вибропитателя (k3 = 0), представлены зависимости
составляющих амплитуды перемещения грузонесу-
грузонесущего органа в направлении осей х и у, а также за-
затраты энергии, связанные с преодолением сопро-
сопротивлений вращению двигателя и вибратора \?л и WB
и перемещению грузонесущего органа (сопротивле-
(сопротивлений упругой системы) \VU от частоты колебаний.
Там же представлена зависимость потребляемой
мощности W от режима работы питателя.
Амплитудно-частотная характеристика имеет
характерный пик в области резонанса. Затраты
энергии на преодоление сопротивлений движению
грузонесущего органа, связанные с гистерезисными
потерями в упругой системе, также имеют экстре-
экстремум в области резонанса, в зарезонансных режимах
затраты энергии на преодоление вязких сопротив-
сопротивлений вначале падают, а затем по мере увеличения
частоты колебаний, возрастают.
Затраты энергии на преодоление сопротивлений вращению двигателя возрастают
по параболе с увеличением частоты (угловой скорости). Затраты энергии на трение
в подшипниковых узлах двигателя вследствие сбалансированности ротора невелики
и играют незначительную роль в общем балансе энергозатрат.
Затраты энергии, связанные с трением в вибраторе (в основном с трением в под-
подшипниковых узлах), пропорциональны квадрату угловой скорости (квадрату частоты
колебаний) и зависят от параметров движения грузонесущего органа.
На рис. 4, б, соответствующем k3 = 0,5, приведены также затраты энергии, свя-
связанные с наличием на грузонесущем органе транспортируемого груза (затраты энер-
энергии на транспортирование) WT.
Анализ амплитудно-частотных характеристик вибромашины под нагрузкой
показывает, что пик в области резонанса значительно уменьшился, особенно в на-
направлении оси у, и сместился в область более низких частот. На холостом ходу
ik3 = 0) резонанс соответствует частоте со = 17,03 рад/с, при k3 = 0,5 — частоте
ш = 14,5 рад/с. Резонансная амплитуда колебаний в направлении оси у уменьшается
незначительно (примерно на 40%), а в направлении оси х — в 7 раз.
Это объясняется тем, что при рассматриваемых режимах колебаний грузонесу-
грузонесущего органа горная масса перемещается безотрывно, значительную часть пути скользя
по грузонесущему органу. В таких режимах значительны силы сухого трения, дей-
действующие в плоскости транспортирования. Они и являются причиной резкого умень-
уменьшения амплитуды колебаний грузонесущего органа в направлении транспорти-
транспортирования.
13*
\
ill
Щ
J
|l ,100m
MX Iя
1
Vz
100кг
Уг
Рис. 3
388
КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
Такие резкие и неравномерные по различным осям изменения амплитуды коле-
колебаний обусловливают существенные изменения траектории движения грузонесущего
органа под нагрузкой.
При небольших нагрузках, в данном случае при коэффициенте нагрузки &3= 0,5,
затраты энергии, не связанные с перемещением груза (в упругой системе, вибраторе
и двигателе) в рабочем режиме превышают затраты энергии на транспортирование
и составляют примерно 65% от общих затрат энергии машиной.
Щквт
16
-по
- 80
li
1
1
1
/f
' -?
¦~ У1
16
\-120
- 80
40
SO cj,pad/c
1
ft.
/.
f^
_ ¦
/W
/
wm+wM
X,
У1
SO и, рад/с
г*
-120
- 80
/
' /
У
W,kBt х,,у„мм
24
16
-120
¦ 80
W 80 и,рад/с О 40 80 100цраЗ/с
В) ?¦>
Рис. 4
При увеличении нагрузки (k3 = 1,0 и k3 = 1,5) затраты энергии на транспорти-
транспортирование существенно изменяются (рис. 4, в и г) вследствие изменения параметров
колебаний грузонесущего органа при нагружении машины (влияние нагрузки на
работу машины), в результате чего устанавливается другой режим транспортиро-
транспортирования (снижается амплитуда колебаний, преобразуется траектория движения);
движение с подбрасыванием начинается при более высоких частотах колебаний,
изменяются углы полета груза. Так, если при коэффициенте нагрузки 6, = 0,5
угол полета б — 310°, то при k3 = 1,0 б = 294°, при k3 — 1,5 б = 220° и при k3 =
= 2 ,0 б = 203°.
При больших нагрузках, в частности при k3 = 1,5, амплитудно-частотная ха-
характеристика по оси у (рис. 4, г) наряду с основным максимумом имеет второй экстре-
экстремум в области более высоких частот, при которых устанавливается режим транспорта-
МЕТОДИКА РАСЧЕТА
389
рования с подбрасыванием и падением груза на грузонесущий орган в моменты, когда
он перемещается вниз. В этих режимах груз способствует раскачиванию грузонесу-
щего органа, следствием чего и является появление второго экстремума. Такое яв-
явление можно рассматривать как проявление второго резонанса двухмассной колеба-
колебательной системы, которую представляет собой система вибромашина — груз. Так
как она является довольно сложной вибрационно-ударной системой, то и особенности
ее поведения значительно сложнее, чем у обычной двухмассной вибрационной си-
системы.
В качестве примера на рис. 5 приведены траектории движения грузонесущего
органа под нагрузкой (сплошные линии) при следующих параметрах системы: g (m +
+ т') = 350 кгс; m'g = 150 кгс; г = 0,09 м; с = 200 кгс ¦ с/м (штриховая линия
соответствует траектории при холостом ходе).
Характер переходного процесса при пуске и выбеге машины определяется
графиком изменения угловой скорости ротора двигателя во времени (вследствие
разности суммарного момента сил сопротивления и момента, развиваемого двигате-
двигателем). В переходном процессе
амплитуды не достигают мак-
максимальных стационарных
значений резонансной обла-
области; чем больше угловое
ускорение, тем меньше ампли-
амплитуды переходного процесса
и тем дальше от резонансных
находятся частоты, которые
им соответствуют.
На рис. 6, а приведены
осциллограммы переходных
процессов при пуске машины
двигателем мощностью 28 кВт
на холостом ходу (k3 = 0).
Параметры вибратора и упру-
упругой системы прежние. Гра-
График угловой скорости имеет
три характерных участка:
дорезонансный, с быстрым Рис 5
нарастанием угловой скоро-
скорости; почти горизонтальный
участок в области максимальных амплитуд, а следовательно, максимального момента
сил сопротивления, и зарезонансный участок с быстрым нарастанием угловой ско-
скорости до стационарного, установившегося значения.
При нагружении машины (k3 = 0,5) угловая скорость возрастает почти линейно
(рис. 6, б), при этом максимальные значения амплитуд уменьшаются по оси у на 30%,
а по оси х — почти в 3 раза. Частоты, при которых амплитуды достигают максималь-
максимальных значений, сдвигаются вправо по сравнению с соответствующими частотами
в режиме холостого хода; общее время разгона машины увеличивается примерно на
30%. Этот факт объясняется тем, что силы сопротивления, действующие на машину
со стороны груза, ограничивают амплитуды колебаний машины при прохождении
резонансной области. При этом мощность, рассеиваемая в упругой системе, умень-
уменьшается (она пропорциональна квадрату амплитуды), а дополнительные затраты
мощности, связанные с наличием груза, незначительны. В общем балансе затраты
энергии на преодоление резонансной области уменьшаются, поэтому скорость про-
прохождения через резонанс под нагрузкой возрастает. Дальнейшее повышение частоты
вызывает увеличение затрат энергии, связанных с наличием груза, поэтому угловая
скорость при разгоне нагруженной машины в зарезонансной области нарастает зна-
значительно медленнее, чем на холостом ходу. Это приводит к увеличению времени
разгона.
Изменение общей потребляемой мощности и затрат энергии на транспортиро-
транспортирование груза в зависимости от частоты колебаний в стационарных режимах рассмотрено
выше. В динамическом переходном процессе затраты мощности не достигают этих
и=10рад/с
390
КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
значений. Тем не менее частотно-силовые характеристики имеют при исследовании
переходных процессов такое же значение, как и амплитудно-частотные.
Повышение нагрузки (k3 = 1,0) вызывает увеличение времени разгона машины
почти в 2 раза. При этом после сравнительно быстрого преодоления зоны резонанса
мм
-40
О
40
х„ и),рад/о
мм
- SO
- 40
О
-40
-80
У,
мм
-20
0
40
*>,
мм
-
-
40
0
-40
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1.Z 1,0
и, рад/с
Уг
20 -
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 i,C
Рис. 6
происходит уменьшение углового ускорения в области частот 45—55 рад/с, обуслов-
обусловливаемое увеличением затрат энергии на транспортирование. Дальнейшее повышение
нагрузки и связанных с этим затрат энергии приводит к уменьшению рабочей частоты.
Так, при k3 = 1,5 рабочая частота равна 62 рад/с, а при ?, = 2,0—60 рад/с.
Рассмотрим теперь переходные процессы, имеющие место при использовании
двигателя мощностью 40 кВт. Общее время разгона машины на холостом ходу (рис. 7)
уменьшается Почти на 40%. Увеличе-
Увеличение углового ускорения приводит к
уменьшению максимальных амплитуд
по оси у в 1,5 раза, по оси
х — в 1,7 раза; частота, соответствую-
соответствующая максимальным амплитудам, уве-
увеличивается в 1,75 раза. Характерный
горизонтальный участок на графике
угловой скорости, составлявший при
использовании двигателя мощностью
28 кВт около 0,3 с, теперь сокра-
сокращается до 0,035 с.
о,1 о,2 о,з о,4 о,5 0,6 t,c Нагружение машины приводит в
основном к тем же эффектам, что
и при пуске двигателем мощностью
28 кВт, однако влияние нагрузки па
изменение угловой скорости оказывается менее заметным. Так, даже при нагруз-
нагрузке, вдвое превышающей вес грузонесущего органа, время разгона машины увели-
увеличивается всего на 30% по сравнению со временем разгона на холостом ходу, а частота
установившегося рабочего режима почти не меняется. Таким образом, увеличение
мощности двигателя улучшает условия разгона машины и в то же время стабили-
стабилизирует рабочую частоту при различной степени нагружения.
-40
40
"V
• 40
40
м ш,рад/с
80
40
50
\ i>/
,
1
Рис. 7
МЕТОДИКА РАСЧЕТА
391
При разгоне машины на холостом ходу двигателем мощностью 20 кВт не хватает
мощности для прохождения зоны резонанса. Угловая скорость колеблется в пределах
11—19 рад/с. Амплитуда колебания за четыре периода возрастает до 35 мм по оси у
и до 92 мм по оси х. При нагружении (йч = 0,5) машина разгоняется, хотя и за срав-
сравнительно большое время (около 2,5 с). Из практики известны случаи, когда вибро-
вибромашины не запускались на холостом ходу и в то же время довольно легко вводились
в режим под нагрузкой, что коренным образом отличает вибрационные машины от
обычных невибрациопных. Следует, однако, иметь в виду, что пуск вибромашины
следует производить при умеренных нагрузках, так как при чрезмерных нагрузках
0,8 1,0 1,2 t,C
Рис. я
потребление мощности на низких частотах может оказаться значительным.
В процессе разгона нагруженной машины (къ = 1,0) стационарные колебания
устанавливаются при частоте 41 рад/с, тогда как номинальная частота равна
77 рад/с (рис. 8).
Для вибрационных машин с зарезонансной настройкой большое значение имеют
переходные процессы, возникающие при свободном выбеге после отключения машины.
Под действием сил сопротивления угловая скорость при этом уменьшается от номи-
номинального рабочего значения до нуля. Так как в этом процессе также проходит об-
область резонанса, то возможно значительное увеличение амплитуды колебаний,
приводящее к поломке машины, причем если в процессе разгона машины максималь-
максимальные амплитуды переходного процесса существенно зависят от мощности двигателя,
то при выбеге машины они определяются свойствами машины и величиной сил
сопротивления. Некоторое влияние оказывают также момент инерции ротора дви-
двигателя и момент сопротивления в подшипниках двигателя.
На рис. 9 приведена осциллограмма переходного процесса при выбеге машины
на холостом ходу. Характерной особенностью процесса является то, что после умень-
уменьшения частоты по почти линейному закону скорость ее изменения резко уменьшается,
а затем частота колебаний несколько возрастает. Этот участок соответствует умень-
уменьшению амплитуды колебаний, и некоторое увеличение частоты происходит за счет
энергии, которая высвобождается при уменьшении амплитуды.
392 КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
При выбеге нагруженной машины часть энергии рассеивается, поэтому время
переходного процесса уменьшается, скорость изменения частоты колебания возрастает,
а максимально достигаемые амплитуды падают.
Таким образом, для облегчения перехода через резонанс как в прямом, так и в
обратном направлении следует пускать и останавливать вибромашину в нагружен-
нагруженном состоянии.
3. ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ
ВИБРАЦИОННЫХ ДРОБИЛОК
В связи с развитием открытого способа разработки месторождений полезных иско-
ископаемых расширяется применение передвижных дробильных агрегатов. Наиболсз
прогрессивными являются агрегаты с вибрационными дробилками.
В качестве таких дробилок используют вибрационные щековые дробилки, обес-
обеспечивающие компенсацию усилий, возникающих при дроблении. Конструкция двух-
щековой динамически уравновешенной вибрационной дробилки большой мощности
приведена на рис. 10, а. Подвижные щеки связаны с рамой дробилки упругой системой,
которая выполнена в виде резиновых элементов, работающих на сдвиг и крепящихся
к несущим элементам рамы. Резиновые упругие элементы 1 могут соединяться с ще-
щекой 2 и рамой 3 за счет сил трения, возникающих при их сжатии, или крепиться по-
посредством вулканизации к металлической арматуре. Наряду с резиновыми упругими
элементами можно использовать винтовые пружины, «металлическую резину» или
пневматические амортизаторы. На щеках дробилки установлены инерционные виб-
вибраторы 4 самобалансного типа, генерирующие направленные возмущающие силы.
Вибраторы приводятся во вращение двумя электродвигателями 5 через синхронизи-
синхронизирующую зубчатую передачу 6 и карданные валы 7. Синхронизатор обеспечивает анти-
антифазную синхронизацию щек. Под действием возмущающих сил щеки совершают
синхронное антифазное колебательное движение вдоль горизонтальной оси. При этом
в момент удара щек о горную массу дробящие усилия замыкаются на ней и не переда-
передаются на станину.
На рис. 10, б приведено другое конструктивное решение двухщековой вибрацион-
вибрационной дробилки (средней мощности).
Рама 1 через амортизаторы 2 опирается на несущие конструкции и имеет про-
продольные штанги 3, несущие с помощью упругих элементов 4 симметрично располо-
расположенные щеки 5. На каждой щеке установлены дебалансные вибраторы 6 направлен-
направленного действия. Вращение грузовых валов вибратора б осуществляется электродви-
электродвигателями 7 через клиноременную передачу. Полые валы вибратора соединены зуб-
зубчатой передачей, а нижние валы связаны с полыми валами редуктора-синхрониза-
редуктора-синхронизатора 8 карданными валами. На амортизаторах установлен бункер 9.
Упругие элементы и бункер образуют динамическую систему, частота собствен-
собственных колебаний которой подбирается близкой к частоте колебаний щек, что обеспе-
обеспечивает колебание бункера в резонансном режиме и сползание материала по пологим
стенкам.
При установившемся режиме горная масса из бункера непрерывно поступает
в межщековое пространство, в котором происходит ее измельчение и перемещение
вниз под действием сил тяжести.
4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВИБРАЦИОННЫХ ЩЕКОВЫХ ДРОБИЛОК
Процесс дробления горной массы в вибращ онной дробилке протекает следующим
образом. Находящиеся в пасти вибрационной дробилки куски горной массы постепенно
обкалываются, уменьшаются, и с каждым ходом щек они опускаются, перемещаясь
ближе к разгрузочному отверстию. Затем обработанные таким образом куски раска-
раскалываются, при этом разрушающая трещина начинается обычно от места контакта
куска с дробящими плитами. Раздробленные куски, если они больше разгрузочной
щели, разрушаются описанным способом до тех пор, пока не достигнут кондицион-
кондиционных размеров.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ
Рис. 10
394 КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
Эффективные режимы виброударного дробления реализуются в тех случаях,
когда удар по дробимому материалу происходит при положительных смещениях
щек (положительном зазоре). При попадании в дробилку чрезмерно больших и очень
крепких кусков горной массы могут возникнуть отрицательные смещения щек (на-
(наружу по отношению к положению их статического равновесия). В этом случае процесс
дробления прекращается и возникают крутильные колебания щек вокруг закли-
заклинившегося куска. Чаще всего такие нарушения имеют место при неправильной на-
настройке дробилки. При распоре щек недробимым куском горной массы постоянная
составляющая восстанавливающих сил упругой системы оказывается настолько
большой, что возмущающая сила вибратора не может ее преодолеть, и щеки не со-
совершают поступательных перемещений. Однако при этом не происходит поломки
вибратора, так как он связан со щеками лишь кинематически.
Таким образом, механизм дробления в вибрационной щековой дробилке состоит
в следующем. В остроугольном куске при малых амплитудах колебаний не возникает
напряжений, достаточных для его полного разрушения за один ход щек. При неболь-
небольших деформациях, возникающих в местах контакта куска с плитами, напряжения
достаточны лишь для разрушения выступающих частей. Однако по мере скалывания
неровностей и приобретения куском окатанной формы увеличивается поверхность
контактных зон, напряжения возрастают и распространяются на все больший объем
материала. Когда напряжения становятся разрушающими, кусок раздрабливается.
Многократные высокочастотные деформации куска способствуют раскрытию внут-
внутренних трещин и накоплению остаточных деформаций, которые снижают уровень
разрушающих напряжений. Высокочастотное движение дробящих щек обусловли-
обусловливает также ударный характер процесса дробления. Удар возникает вследствие того,
что кусок, не успевая опуститься при раздвижке щек, теряет контакт с их поверх-
поверхностью, возникает зазор, при вибрации которого происходит удар.
При подаче в вибрационную дробилку горной массы колебания щек становятся
нелинейными, асимметричными. Если первый удар происходит при фазовом угле
дебалансов от 170 до 160°, то установившийся режим, как правило, — при фазовых
углах от 70 до 60°. Продолжительность переходного режима при загрузке дробилки
незначительна — всего несколько циклов колебаний. В нормальном режиме удар
по горной массе происходит при положительном смещении щек, причем практически
на втором цикле устанавливается стабильный положительный зазор, равный 0,6—0,7
амплитуды холостого хода щек в далекозарезонансном режиме. В переходном режиме
происходит постоянное смещение нейтральной линии колебания щек, в установив-
установившемся режиме это смещение равно приблизительно амплитуде колебаний щек при
холостом ходе в далекозарезонансном режиме. Одновременно происходит некоторое
увеличение амплитуды колебаний щек, и в установившемся режиме она достигает
примерно 1,40—1,45 амплитуды холостого хода.
Указанные закономерности объясняются тем, что дробимый материал, находя-
находящийся в пасти вибрационной дробилки, представляет собой дополнительную упруго-
демпфирующую систему, установленную с зазором. Причем упругие и демпфирующие
параметры дробимого материала в зависимости от нагрузки дробилки и свойств горной
массы могут быть соизмеримыми или превышать соответствующие показатели упругой
системы машины.
Феноменология и реологические уравнения процесса дробления. С учетом
приведенных закономерностей процесса дробления в вибрационной дробилке разра-
разработана феноменологическая модель дробимой горной массы (рис. 11). Модель пред-
представляет собой трехмассное упруговязкопластическое реоло1 ическое тело. Общая
масса куска т сосредотачивается в трех элементах модели — центральном ядре
массой A — |) т, не участвующем в колебаниях, и двух колеблющихся массах.
Так как кусок дробимою материала представляет собой систему с распределенными
инерционными, упругими и пластическими свойствами и в процессе дробления
по нему распространяется волна, то в реологической модели с дискретными массами
для описания этого сложного процесса принимают приведенную массу \т, участ-
участвующую в колебаниях и составляющую лишь часть общей массы куска т. Масса
\т состоит из массы Х&т, находящейся в контакте со щекой, и массы A — A) gm,
свободно колеблющейся. Упругие деформации модели воспроизводятся упругими
элементами с коэффициентом жесткости к. Рассеяние энергии (гистерезисные потери)
РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННЫХ ЩЕКОВЫХ ДРОБИЛОК
395
в области упругих деформация модели модечируются демпферами с коэффициентом
вязких сопротивлений с, включенными параллельно упругим элементам. Пласти-
Пластические деформации с упрочнением моделируются клиновыми элементами, характе-
характеризующимися коэффициентом пластической деформации kn. Процесс трения модели
о дробящие щеки оценивается коэффициентами статического (хст и динамического ц
трения.
Взаимодействия куска горной массы следует рассматривать только с одной
щекой, так как со второй щекой он взаимодействует аналогично и одновременно.
При этом в направлении оси х центр тяжести горной массы не перемещается, и в ко-
колебаниях принимает участие только часть массы куска gm, взаимодействующая
со щекой. Колебания щеки дробилки происходят по гармоническому закону
x=Acosmt, B0)
где А и ш — соответственно амплитуда и круговая частота колебаний щеки.
Рис. 11
На горную массу постоянно действует сила тяжести. При этом в точке касания
действует сила, направленная перпендикулярно поверхности щеки, проекции ко-
которой на оси х, у соответственно равны Nx и Ny.
В процессе дробления в куске горной массы действуют силы упругости k^x и
kyy; силы вязких сопротивлений схх и суу; силы сопротивления, пропорциональные
пластическим деформациям knx (х — ху„) и kny (у — уув), а также сухого трения
о поверхность щеки sign (х) jx<Vv, sign'(л) [iNx.
Поскольку движение куска в пасти дробилки происходит в стесненных условиях
(в среде дробимой горной массы), возникают дополнительные сопротивления его пе-
перемещению — сопротивлению среды. Эти сопротивления пропроциональны скорости
перемещения куска в пасти дробилки и коэффициентам вязких сопротивлений
На стадии упруговязкой деформации процесс разрушения и перемещения фено-
феноменологической модели дробимой горной массы в вибрационной щековой дробилке
в проекциях на оси х, у (в относительных координатах) описывается следующей
системой дифференциальных уравнений:
(l~X)lmJc-\-cx(x—x!s) + kx(x—
A-Я) lmy + Cy (y—y<,) + ky (у—
—Я) i
A —Я) \mg,
B1)
396 КОЛЕБАНИЯ ГОРНЫХ МАШИН
где х, у — перемещения массы A — Я) \т в направлении осей х, у, х0, у0 — переме-
перемещения массы Vyn в направлении осей х, у.
Упруговязкие деформации куска горной массы происходят до тех пор, пока
напряжения не достигают значений, соответствующих началу пластических дефор-
деформаций. Пластические деформации горной массы начинаются при условии
и описываются уравнениями
A—
J
где *к.уВ и (/к.уВ — упруговязкие деформации, соответствующие началу пласти-
пластических.
Скольжение массы по щеке дробилки может начаться, если силы упруговязкой
или пластической деформации превзойдут силы трения о поверхность дробящей
плиты щеки. Горная масса может находиться в контакте с дробящей щекой без про-
проскальзывания лишь при условии, что суммарная сдвигающая сила не превосходит
по абсолютной величине предельного значения силы статического трения. Условия
начала скольжения горной массы можно записать следующим образом:
на стадии упруговязких деформаций
| схх + kxx + VcfnAafi cos erf ) = | \xxNy |;
(cyy + kyy + Klmg (= | )xyNx \;
на стадии пластических деформаций
I сххк. ув + kxxK_ ув + knx (x — хк. ув) + Xg/пЛшз cos erf | = | \ixNy \;
Уравнения скольжения горной массы на стадии пластических деформаций
имеют вид
л: \^к. ув — %о) — %х \хк. ув — X) — Кпх \Х — -*к. ув "т" -^0^ —
= Ъ?тА<й* cos at —sign(x—Xo)\ixNy; .
Vo — су (Ук. ув — Уо) — ky (г/к. ув — г/о) — К. у(У~ Ух. ув + Уо) =
Вследствие того, что в систему уравнений B3) входит сила сухого трения, они
являются нелинейными. В зависимости от знака относительной скорости движения
горной массы сила трения меняет свое направление. Сила сухого трения меняется
также в засисимости от величины реакции горной массы на дробящую щеку. Поэтому
в приведенные уравнения значения реакций горной массы Nх, Nу в направлении осей
х, у следует подставлять в соответствии с характером деформаций, происходящих
в момент скольжения.
Дробимая горная масса будет находиться в контакте со щекой дробилки до тех
пор пока ее реакции не станут равны нулю, т. е. NylyB.n) — Nx(yB.nt = 0. При выпол-
выполнении этого условия горная масса теряет контакт со щекой и начинает падение в ус-
условиях стесненного движения в пасти дробилки.
Дифференциальное уравнение стесненного движения куска горной массы в пасти
дробилки в направлении оси у без контакта со щеками имеет вид
Свободное падение куска в пасти вибрационной дробилки прекращается в мо-
момент совпадения координат куска и щеки, что имеет место при условии
A cos erf = дс,у„. п, — у tg a.
РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННЫХ ЩЕКОВЫХ ДРОБИЛОК 397
Второй член в правой части приведенного выражения учитывает опускание
куска горной массы в пасти дробилки и угол наклона дробящей плиты.
В процессе дробления на щеку дробилки действуют усилия от разрушаемой
горной массы:
на стадии упруговязких деформаций
схх — \\т А со2 cos cot;
на стадии пластических деформаций
Fпх = — сххк. Ув — kxxK. yB — knx(x — xK.yB) — XlmAu? cos «/; •)
* ny^1 ^уУк. ув &уУк. ув ^п^/ (?/ ^к. ув) №г№?\ )
на участке скольжения
B6)
Энергия, сообщаемая дробимой горной массе при каждом ходе щек, затрачи-
затрачивается на упруговязкие и пластические деформации, на образование новых поверх-
поверхностей (разрушение), на преодоление внутреннего и внешнего трения и т. д. Обычно
энергии, сообщенной дробному материалу за один ход щеки, оказывается недоста-
недостаточно для полного разрушения куска (вследствие ограниченности амплитуды коле-
колебаний), однако происходит увеличение количества и раскрытие существующих трещин,
возникают остаточные деформации. Только после сообщения дробимому материалу
необходимой энергии произойдет его разрушение.
Составление уравнений движения и расчет вибрационной дробилки под наг-
нагрузкой. Дифференциальные уравнения движения вибрационной дробилки, вибраторы
которой соединены с двигателем упругой муфтой или упругим карданным валом
(см. рис. 11), имеют вид
(М + 2/га') .?' +СЛ-х' + /Слх' = 2т7ф2 sin (p + Fx;
1 + 2т')у' + Суу'-
у
/офдв + См (фдВ — Ф) + /См (фдв — ф) = М№;
См(ф —Фдп) + ^м(ф —фдв) +m'rX' sin q> + m'rgcosy + MRm'r<Q* +
-\-m (x' cos<p + i/' sin ф) = 0,
B7)
где М — масса колеблющихся частей вибрационной дробилки (в рассматриваемом
случае масса щеки и корпуса вибратора); Кх, Ку — жесткости упругой системы
вибродробилки соответственно в направлениях осей х и у; Сх, Су — коэффициенты
вязкого трения упругой системы вибродробилки соответственно в направлениях
осей х и у; т' — неуравновешенная масса вращающихся деталей дебаланса вибра-
вибратора; г — эксцентриситет дебалансов вибратора; R — радиус беговых дорожек
подшипников дебалансного вала вибратора; /0 — коэффициент сопротивления вра-
вращению вала двигателя; Fx, Fу — нагрузки на щеку дробилки от дробимого материала
соответственно по осям х и у; Мдв — момент, развиваемый двигателем; /См — кру-
крутильная жесткость упругих элементов муфты; См — коэффициент вязких сопротив-
сопротивлений упругих элементов муфты.
В данном случае рассматривается статическая характеристика двигателя. При
более полном учете электромагнитных характеристик электродвигателя и пред-
представлении его как динамического объекта в систему B7) необходимо ввести известные
дифференциальные уравнения, описывающие взаимосвязь электрических и магнит-
магнитных параметров двигателя соответствующего типа.
Исследование закономерностей работы опытно-промышленных вибрационных
дробилок при дроблении средней по крепости горной массы (без включения особо-
крупных кусков) показывает, что в этом случае дробилку можно рассматривать как
398 КОЛЕБЛИ И Я ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
колебательную систему с двигателем неограниченной мощности. При использовании
самосалансного вибратора оказывается также возможным пренебречь возмущениями
от дробимого материала, действующими в вертикальной плоскости (в направлении
оси у). В этом случае закономерности работы дробилки под нагрузкой будут описы-
описываться первым уравнением системы B7).
Исследование режимов работы вибрационной дробилки под нагрузкой, представ-
представленной реологической моделью, наиболее целесообразно проводить на ЭМУ и ЭЦМ.
При решении задачи на ЭМУ производят замену переменных в уравнениях движения
щеки дробилки и движения модели, адекватной дробимой горной массе, т. е. приводят
уравнения к машинному виду. По машинным уравнениям с учетом трансцендентных
уравнений определяют параметры устройства для моделирования. Устройство для
моделирования вибрационной дробилки под нагрузкой содержит следующие основ-
основные структурные элементы: генератор внешних воздействий для получения возму-
возмущения А<?>* cos (Qt + ф); устройство для моделирования уравнения движения щеки;
устройство для моделирования системы уравнений движения по оси х; устройство
для моделирования системы уравнений движения по оси у; логические структурные
схемы управления согласно трансцендентным уравнениям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гончаревич И. Ф., Докукин А. В. Динамика горных машин с упругими связял5и. М.,
Наука, 1975.
2. Спиваковский А. О., Гончаревич И. Ф. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомога-
вспомогательные устройства. М., Машиностроение, 1972.
Глава XVI
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Жесткость рессорного подвешивания у современных локомотивов и вагонов зна-
значительно ниже, чем жесткость всех других элементов конструкции, поэтому их можно
рассматривать как системы абсолютно твердых тел, соединенных деформируемыми
элементами. В некоторых случаях необходимо принимать во внимание деформируе-
деформируемость не только рессорного подвешивания, но и других частей конструкции.
Части рельсовых экипажей, находящиеся выше рессорного подвешивания (ку-
(кузов, надрессорные балки, рамы тележек, если подвешивание надбуксовое), называют
обрессоренными, а находящиеся ниже рессорного подвешивания — необрессорен-
ными.
Колеса локомотивов и вагонов имеют конические поверхности катания, их по-
попарно наглухо насаживают на жесткие оси, образуя колесные пары. Последние объ-
объединяют боковыми рамами в тележки. В таком случае чистое качение колес без про-
проскальзываний невозможно, поэтому связи, наложенные на систему, голономны.
Обычно выделяют перемещения тел, входящих в систему: поступательные
вдоль оси пути х, поперек оси пути горизонтальные — боковой относ у и вертикаль-
вертикальные — подпрыгивание z; повороты относительно главных центральных осей: горизон-
горизонтальной поперечной — продольная качка (галопирование) <р, вертикальной — ви-
виляние г|з, продольной — боковая качка б .
Определение структуры и значений параметров системы, при которых ее дви-
движение устойчиво. Для решения задач о колебаниях и устойчивости движения меха-
механических систем с большим успехом применяют аналоговые вычислительные машины
(АВМ). Особенно просто решаются с подгощью этих машин системы линейных диффе-
дифференциальных уравнений вида х = Ах. Если движение неустойчиво, то решения не-
неограниченно возрастают. Для получения решения в этом случае сделаем замену
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 399
переменных х = х*еа/, где х и х* — векторы фазовых координат, а — положи-
положительное вещественное число. Так как х = х*еа( + ах*еа>, то после замены перемен-
переменных система дифференциальных уравнений х = Ах примет вид х* = (А—<хЕ)х*,
где Е — единичная матрица. Собственные числа матрицы А — схЕ будут Х~; = Я. —а,
т. е. новые значения собственных чисел (корней характеристического уравнения)
сдвинуты в плоскости комплексного переменного относительно их прежних значе-
значений влево на величину а [18]. Если наибольшая вещественная часть собственных
чисел А,, будет Лтах, то при а > Лтах все XJ будут с отрицательной вещественной
частью. Система дифференциальных уравнений х* = (А—aF)x* станет асимпто-
асимптотически устойчивой. Величину а можно найти, решая на АВЛ1 систему х = Ах [18].
Этот метод используют для определения такой структуры и таких значений па-
параметров физических систем, при которых их движение устойчиво [27]. Пусть лине-
линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид
Mq + Bq + Cq = 0, A)
где М — матрица инерционных коэффициентов; В и С — матрицы коэффициепюв
при обобщенных скоростях и координатах; q, q и q — соответственно я-мерные век-
векторы обобщенных координат, скоростей и ускорений. Элементы матриц М, В и С —
функции параметров а,, а2, ..., а„ системы и не зависят явно от времени. Пусть х
их — векторы фазовых координат и скоростей. Уравнения возмущенного движения
в нормальной форме Коши имеют вид х = Ах , где А можно представить в Биде блоч-
блочной матрицы:
Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустой-
неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещест-
вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной,
и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение бу-
будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразова-
преобразование координат х = eaiy, где а — вещественное число — параметр сдвига корней.
Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где
. „ /—аЕ Е \
AE ( ) C)
Если перейти от нормальной формы Коши к уравнениям второго порядка, г.'ожно
записать
Mq-f (B-f2aM)q + (C-baB + a2M)q = 0. D)
Это математическая модель механической системы, движение которой устой-
устойчиво, если а взято так, что среди собственных чисел матрицы А—<хЕ нет чисел
с положительной вещественной частью. В конструкцию новой системы нужно вве-
ввести элементы, соответствующие добавкам 2аМ иаВ + а2М, и изменить должным обра-
образом параметры. Так как общих методов синтеза физических систем по их математи-
математическим моделям нет, то добавление новых элементов в структуру системы и изменение
ее параметров приходится делать методом последовательных приближений.
2. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Четырехосные грузовые вагоны. Подавляющее большинство вагонов — гру-
грузовые четырехосные. Кузов такого вагона опирается через пятники на надрессор-
ные балки двух двухосных тележек с центральным рессорным подвешиванием. Обрсс-
сорениую часть вагона, т. е. кузов с надрессорными балками, принимают за твер-
твердое тело массы т. Если колесные пары не имеют поступательных перемещений от-
400 КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
носительно боковых рам тележек, то каждую из тележек можно принять за твер*
дое тело массы т. Расчетной схемой вагона будет система трех твердых тел [20].
Линейные и угловые координаты тел обозначим через х, у, г, ф, г|з, 6, причем для
обрессоренной части — без индексов, а для тележек — с индексами 1 и 2.
При отсутствии зазоров между направляющими колонками боковых рам и
надрессорными балками в продольном направлении х1 = х и х2 = х. Эти связи вы-
вынуждают обрессоренную часть поворачиваться в продольной плоскости симметрии
не вокруг центра масс, а вокруг точки О, называемой центром колебаний и лежащей
в плоскости осей колесных пар. Перемещение центра масс кузова вдоль оси пути бу-
будет х -f- йхф, где hi — расстояние между центром масс и центром колебаний.
При движении по прямому идеально гладкому пути г1 = 0, фх = 0, Ьх = 0,
г2 = 0, ф3 = 0, в2 = 0. На систему наложено восемь голономных связей. Так как
свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, то рассматриваемая система
будет иметь 6-3—8 = 10 степеней свободы.
Положим, что при совпадении продольных плоскостей симметрии пути и вагона
радиусы г кругов катания всех колес равны. Тогда при перемещении вагона вдоль
оси пути на величину х все колесные пары повернутся на угол а = хг1.
За обобщенные координаты примем следующие величины:
Кинетическая энергия системы
10
Г = -
/ — 1
где ап = от; а22 = /^ + тЛ~; а33 = /_v, а44 = от, а55 = /г; авв = а77 = 2тг; а88 =
= о99 = 2Уг1; а1010 = от + 2mx + 4J0^2; а210 == от/гх — инерционные коэффициенты;
J х, J у, J z — моменты инерции обрессоренной части вагона относительно ее главных
центральных осей; Jzl = J22 — моменты инерции тележек относительно их верти-
вертикальных главных центральных осей; /0 — момент инерции колесной пары отно-
относительно ее оси вращения.
Потенциальная энергия U равна сумме энергии t/j, накапливаемой в пружи-
пружинах рессорного подвешивания при их сжатии и изгибе, и изменения энергии (/2
вследствие вертикального перемещения центра масс обрессоренной части, вызван-
вызванного ее вращением относительно нецентральной оси. По теореме Клапейрона
1
где k и kx — жесткости пружинных комплектов при сжатии и изгибе; Д,- — осадка
при сжатии; б,- — прогибы комплектов. Потенциальная энергия t/2 = х- ОЛхф2. где
G — вес обрессоренной части вагона.
После перехода к обобщенным координатам
7
где сп = Ak; c22 = AkP — Qhx; c33 = 4kb2 + Ak^; c44 = ce6 = с77 = Akx; сьь — AkxP;
си = —4fe1h1; сзе = Akxhx, с4в = —Akx; с57 = Akl — квазиупругие коэффициенты;
2/ — расстояние между осями пружинных комплектов вдоль вагона; 2& — то же,
поперек вагона.
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 401
Если параллельно пружинным комплектам установлены демпферы, создаю-
создающие вязкое сопротивление при сжатии и изгибе, то функция рассеивания
7
F
Коэффициенты bjj, b3i, ..., 657, кроме b22, получаются заменой в выражениях
квазиупругих коэффициентов жесткости k и k± коэффициентами E и р3 вязкого сопро-
сопротивления при сжатии и изгибе пружинных комплектов, коэффициент Ьп — 4рР,
Справедливы следующие зависимости [20, 27]:
где ув и уг — отношения энергии, необратимо поглощаемой за четверть периода
(цикла), к потенциальной энергии при полном сжатии (ув) и при наибольшем про-
прогибе уг пружинных комплектов.
Составляющие Х^ и У'k внешней силы, действующей на колесо с номером k,
параллельную и перпендикулярную оси пути, определяют по теории псевдосколь-
псевдоскольжения [27]:
E)
где F = 800у Рг — коэффициент псевдоскольжения; Р — сила давления колеса на
рельс; г — радиус колеса; s^, zyJl — безразмерные характеристики проскальзыва-
проскальзываний вдоль и поперек пути; dx — половина расстояния между кругами катания колес;
ck — расстояние от оси колесной пары до центра масс тележки; ц — конусность по-
поверхностей катания колес; х, у, г)) — перемещения тележки.
Обобщенные силы
4
k=i k=\
4 4
Q8= 2 (Mkz + Mki), Q9= Ц (.Mki-Mki),
A=l 4=1
где y^j, y^2 — составляющие сил, действующих на колеса первой и второй тележек;
Мк1 и Mk2 — моменты сил относительно центров масс тележек.
Далее составляют уравнения Лагранжа. Десятое уравнение имеет вид alovtqw +
+ fl2io?2 = 0, из которого определяется д1A, затем исключают циклическую коор-
координату qw.
Первые два дифференциальных уравнения отделяются. Если не принимать во
внимание вязкое сопротивление, можно записать
гдеа*=я„.A ——] —кажущееся изменение массы вследствие исключения
Циклической координаты д10. Поворот кузова относительно центра колебаний, а не
Центра масс вызывает изменения значений коэффициентов а22 и с22. Причем а22 из-
изменяется примерно на 3%, а с22 еще меньше. Поэтому в дальнейшем эти изменения
можно не принимать во внимание, тогда вместо системы уравнений четырнадцатого
402
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
порядка получатся две подсистемы вида A) восьмого и шестого порядков. Матрицы М
инерционных коэффициентов зтих систем — диагональные, а матрицы В и С в си-
системе восьмого порядка
/о
о
Лее
с=
С43
vo о
в системе шестого порядка
л»
= I С37
\о
с5,
/« о
где к,-, и f/k — величины, которые войдут в уравнения ич выражений для обобщенных
сил: Q6= — (/ + ftV1^) Q (/+ V^) Q (Ы ^У1^ C?
(/ +
ee^) Q8 = —(/86?б+ V^s); Q7 (Ыэ + ^^ ?9
Чъ), причем /в8 = /79 = 8F, fte6 = /г77 = 8F; /68 =. /97 = bdxrl\iF;
V97(?7 H~ «эв^ <7в). причем /в8 :
Г 4, 1
Полученная система дифференциальных урав-
уравнений возмущенного движения является линейной. В нормальной форме Коти она
имеет вид Я = Ах, где А определяется по формуле B).
Дальнейшие исследования следует выполнять численными методами. Радиус
колеса г = 0,475 м. Для груженого вагона Р = 10,5 ч- 11 тс, поэтому F =» 1800 гс.
Вес тары основных типов четырехосных вагонов, кроме изотермического, равен
21—23 тс, Р ~ 2,75 тс и F = 900 тс. Вес тары изотермического вагона 32 гс, Р -=
= 4 тс и F = 1100 ic.
1. Данные о кузовах четырехосных вагонов
Тип ва! она и загрузка
Полувагон:
порожний
груженый @ 5 Я)
груженый (Н)
Крытый вагон
порожни.1
груженый
Платформа.
порожняя
груженая при высоте груза над уров-
уровнем пола:
05 м
2,0 м
Цистерна:
порожняя
груженая
Изотермический вагон:
порожний
i р', женый (Q = »0 тс)
Контейнерная платформа груженая
21, и
8,66
8,66
8,66
9.83
9,83
9,72
9.72
9,72
7,12
7,12
12,1
12,1
14,72
hu м
1,07
1,32
1,70
1,54
2,02
0,57
0 8Ь
1,57
1,40
2,0Ь
1,30
1,73
1,50
т.
ТС-С3/М
1,33
7,65
7,Ь5
1,-13
7,75
1,36
7,68
7,fcS
1,50
7,60
2,1
7 Ъ
ч'.ьъ
У
тс • м ¦ с2
2,0
7,5
Ь,8
3 4
11,J
1,35
6 0
9,2
4,7
26
5,3
10,5
8.0
30
105
108
32
125
24
117
\Л
22
75,6
75
197
2-15
30
ПО
НО
32
125
26
124
124
20
75,6
77
.НЮ
.20
В табл. 1 приведены данные о кузоаах четырехосных вагонов. Для полувагона
в строке 0,5Я приведены данные, вычисленные в предположении, что вагон загружен
до полной грузоподъемности, но груз занимает только половину объема кузова.
В строке // приведены данные при полной загрузке по 1рузоподъе\шости и объему
кузова. Исходные данные для стандартной тележки ЦНИИ-ХЗ-0 приведены в табл. 2
[4, 20].
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
2. Исходные данные для стандартной тележки
403
Параметр
База тележки
Расстояние между осями пружинных комплектов
Расстояние между кругами катания колеса
Масса необрессоренной части тележки
Моменты инерции необрессоренной части тележки отно-
относительно главных центральных осей:
поперечной горизонтальной
вертикальной
Жрсткость комплекта пружин при сжатии
Жесткость комплекта пружин при изгибе:
груженый веюн (Р —10 5 тс)
порожний вагон (Р=2,75 тс)
Обозна-
Обозначение
1а
2ft
2dt
m,
J
J
k
Значение
1 850 м
2,040 м
1 580 м
0,415 ic-c!/M
0,315 тс-м-с2
0,625 тс-м-с2
400 tc/m
C00 tc'm
400 tc/m
При скоростях движения от 10 м/с и выше среди собственных чисел матриц А
будут числа с положительной вещественной частью, следовательно, движение рассма-
рассматриваемой системы неустойчиво. При одинаковых скоростях собственные числа с на-
наибольшими вещественными частями для всех типов грузовых четырехосных вагонов,
загруженных до полной грузоподъемности, близки. Так, при скорости 10 м/с
max*Re>» = 0,019 ч- 0,021, 1пА = 2,37, при скорости 30 м/с max Re>> = 0,603 4-
-т- 0,798, Im X = 6,03 -f- 6,87.
Системы, не имеющие областей устойчивости в пространстве параметров, назы-
называют структурно неустойчивыми. Рассмотренная расчетная схема является струк-
структурно неустойчивой.
Построение структурно устойчивых систем.
С помощью приема сдвига корней получим урав-
уравнения возмущенного движения в виде D). Матрицы
МиВ диагональные, поэтому добавочные слагае-
слагаемые будут иметь только диагональные элементы
матриц В + 2аМ и С + ссВ + а2М. Во всех диф-
дифференциальных уравнениях появятся члены, соот-
соответствующие силач, пропорциональным скоростям
и восстанавливающим силам. В матрицах С вместо
нулевых диагональных элементов появятся эле-
элементы <хгачя + aV~4igS и a2a9q + аУ~гкт. Если
а > max ReX, то невозмущенное движение новой си-
системы будет устойчивым. Построить новую систему
так, чтобы ее возмущенное движение в точности
описывалось преобразованными уравнениями, не удается. Однако можно сде-
сделать такие изменения, при которых система окажется близкой к требуемой.
Чтобы ввести дополнительные восстанавливающие силы, нужно изменить струк-
структуру системы. Можно считать каждую из тележек системой, состоящей из пяти
твердых тел: надпессорной балки, двух боковых рам и двух колесных
пар. Колесные пары соединяются с боковыми рамами шарнирно, а надрессорная
балка—упруго с жесткостью k^ (рис. 1). На рис. 1 изображена схема тележки
в плане, где цифрами 1 обозначены боковые рамы, 2 — колесные пары, 3 — надрес-
надрессорная балка.
Расчетной схемой будет система, состоящая из 11 твердых тел (кузов и две те-
тележки по пять твердых тел каждая). На систему наложены голономные связи так,
что она имеет 12 степеней свободы [271 ¦
Первые два дифференциальных уравнения возмущенного движения отделяются,
а системы вида A) будут иметь десятый и восьмой порядки.
Если не принимать во внимание вязкое сопротивление демпферов, то при зна-
значениях Аф от 10 до 106 тс-м/рад, движение асимптотически устойчиво в некотором
Диапазоне скоростей. Для груженого полувагона и номинальных значении жесткостей
k и kx пружинных комплектов наибольшее значение критической скорости VKp =
Рис. 1
404
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
= 24 м/с будет при &ф= 103тс-м/рад. Таким образом, новая система является струк-
структурно устойчивой.
Горизонтальные демпферы мало влияют на критическую скорость. Так, для
полувагона, загруженного до полной грузоподъемности, если k = 400 тс/м, kt =
= 660 тс/м, k^ = 103 тс-м/рад, ув = 0, то при Vr = ° ^кр = 25 м/с, а при -уг = 0,1
Укр = 27 м/с.
ьт
0,2
О
-0,2
-0,k
-0,6
-0,8
"V
V
Ъ
\
\
0 о—
/
А
У/
Рис. 2
J0
Рис. 3
V, м/с
При вертикальных демпферах значение критической скорости значительно
возрастает. Для груженого полувагона, если значения жесткостей те же, но уГ = О,
то при 7в = 0,1 VKp = 45 м/с, а для порожнего — Укр = 50 м/с. На рис. 2 пока-
показаны области устойчивости для груженого (линия 1) и порожнего (линия 2) полува-
полувагонов.
На рис. 3 приведены графики зависимости hmaxT = max Re XT от скорости V
при различных значениях k и ув. Линии 1, 2, 3 изображают эту зависимость при
п
Yb = 0 и к = 200, 400 и 800 тс/м. При к —
— 200 тс/м и Yb = 0,0125 критическая ско-
скорость равна 53 м/с (кривая 4) вместо 16 м/с
при 7в = 0, однако запас устойчивости не
превосходит 0,1, а при V = 20 м/с он близок
к нулю. Если увеличить VB до 0,05, то кри-
критическая скорость почти не увеличивается,
а запас устойчивости сильно возрастает (кри-
(кривая 5). При k = 800 тс/м и 7в = 0 (кривая 3),
ув = 0,05 и Yb = 0,1 (кривые 6 и 7) кри-
критические скорости практически одинаковы
^а (VKp = 33 м/с), но запас устойчивости и
: при Yb = 0,05 и при Yb = 0,1 примерно в
1—• 2 раза больше, чем при ys = 0.
Если кузов может поворачиваться от-
относительно надрессорных балок, т. е. если
боковая качка кузова 0 не связана никакими
условиями с углами поворота б01 и 602 надрессорных балок, то имеются еще две
степени свободы, и расчетной схемой будет система с 14 степенями свободы.
Для расширения зоны устойчивости можно ввести в узлы, соединяющие колес-
колесные пары с боковыми рамами, дополнительные упруговязкие элементы. Получится
система, имеющая двойное (центральное и надбуксовое) рессорное подвешивание.
Конструктивно это можно осуществить, установив резиновые прокладки в буксо-
буксовые узлы стандартной тележки (рис. 4, где обозначения те же, что и на рис. 1). Это
дает еще 20 степеней свободы, и расчетной схемой станет система с 34 степенями сво-
свободы. В первом случае (стандартная тележка, 14 степеней свободы) два уравнения
Рис. 4
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 405
отделяются, а системы вида A) имеют двенадцатый и десятый порядки. Во втором
случае систем вида A) будет три: двадцатого, восемнадцатого и восьмого порядков.
Обе механические системы структурно устойчивы.
Оптимизация параметров рессорного подвешивания. Далее возникает задача
об определении таких значений параметров механической системы, при которых
степень ее устойчивости будет наибольшей. В соответствии с теоремой Ляпунова об
устойчивости по первому приближению, нужно, чтобы было выполнено условие
Лтах = max ReA < 0. Величина ftmax в таком случае определяет запас устойчиво-
устойчивости системы. Эта величина непрерывно зависит от параметров аъ а2. •••. «т системы,
которые рассматриваются как независимые переменные, а величина hmax — как
функция этих переменных [27].
Собственные числа могут быть явно выражены через параметры системы только
в простейших случаях. В рассматриваемом случае целевая функция hmax может быть
получена в результате вполне определенного вычислительного процесса. Значения
параметров, при которых запас устойчивости будет наибольшим, можно получить в
результате решения следующей задачи нелинейного программирования:
D = {a<=Em:a7^a ^а+}, F)
где а = [а]а2 ... ост]т — вектор оптимизируемых параметров системы; D — область
их допустимых значений; а~ и at — соответственно нижняя и верхняя границы
параметров, определяемые конструктивными, технологическими и другими сообра-
соображениями.
Для решения этой задачи разработан ряд алгоритмов как регулярных, так и
использующих идею случайного поиска [11]. Целевая функция в заданной области
параметров может быть многоэкстремальной, поэтому использован алгоритм локаль-
локального поиска в комбинации со случайным выбором начальных условий.
Некоторые параметры системы, например коэффициент псевдоскольжения, в про-
процессе эксплуатации могут изменяться, поэтому представляет интерес создание та-
таких конструкций, при которых функция Лтах (а) была бы наименее чувствительна
к изменению параметров. Эту задачу можно решить численными методами, миними-
минимизируя штрафную функцию вида
F(a, k) = k(hmax-tJ + S(a), G)
где k — коэффициент штрафа; ? < 0 — заданный запас устойчивости;
S(a)= шах 1у(ъд-^1У]\ (8)
V=i
Здесь 7/ — весовой коэффициент; s — количество собственных чисел, удовлет-
удовлетворяющих условию Re^ 5= Лтах — е, е > 0.
Для первой системы A4 степеней свободы) вектор оптимизируемых параметров
имеет вид a = [klt k$, p]T, где kx — поперечная жесткость центрального подвешива-
подвешивания; h^ — угловая жесткость тележки; E — коэффициент вязкого сопротивления демп-
демпферов подвешивания. Для второй системы C4 степени свободы) a = [kit k^, k3, k±, p1]1,
где k3 и kt — соответственно поперечная и продольная жесткости опирания боковой
Рамы на буксу. Численное решение выполнено для контейнерной платформы на стан-
стандартных (I) и модернизированных (II) тележках. Функции цели вычисляли при
V = 30 м/с A08 км/ч) и 40 м/с A44 км/ч) и из двух значений выбирали большее.
В табл. 3 приведены граничные or и а+, начальные а0 и рациональные а* значения
параметров.
Значения Лтах = max ReA близки для обеих систем, следовательно, при рацио-
рациональных значениях параметров обе системы практически имеют одинаковый запас
устойчивости.
406
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
3. Значения параметров контейнерной платформы
Схе\ы
I
И
Параметр
*i
*ф
Р
>Ч
*„
*i
к;
Р
И"
100
100
2
1Г0
100
100
1 000
2
а+
1 000
ю ооо
12
1 000
10 000
1 ооо
10 000
12
ОСо
800
100
6
+ 1 96
800
100
1 ТОО
10 000
6
+1,95
а*
100
340
12
—0 60
100
500
5Р0
4 500
12
—0,6.3
Разчерго т
тс/ч
ТС-М/рдц
ТС • С 'V
1/с
тс/м
ТС'М;ртд
тем
тс/м
тс с/м
1 с
Влияние упругости пути в горизонтальном поперечном направлении на устой-
устойчивость движения четырехосного вагона. Рассмотрим систему с 12 степенями сво
боды. При определении сил псевдоскольженчя нужно принять во внимание попереч-
поперечные отжатая рельсов ykn, где k— номер колеса. В формулах E) появятся новые сла-
слагаемые, в первой, в кру!лых скобках.
цм/с
50
го
20
10
/
А
/
/
50,1300,
05ла
уатойч
2600 тс
сть
Логта.
GSQrcfM
\\J/J55
\\ 1
\\2E00
со
уь„, а во второй ijknV'1- Система иуеет
дополнительно 4 степени свободы (по
числу колесных пар). Соответствую:дчг
V,m/c
V» тс M'fDaS
Рис. 5
Рис. 6
обобщенные координаты обозначим через g12> <713, qXi, qlh, а циклическую координату
х — через qu. По-прежнему первые два уравнения отделяются, а в система\
вида A) появятся слагаемые, в которые войдут новые обобщенные координаты и
скорости. Из условий равенства боковых давлений на рельсы и их реакций полу-
получатся дифференциальные уравнения
k k
?i2 = <?e — 9ioV — р Vqu; qu = qsck — p" Vqu;
k
3 = 4i — </nV — f- Vql3;
k
5 = q<fk — f" Vqu,
где kn — поперечная горизонтальная жесткость пути.
Эти уравнения следует присоединить к системам вида A). Зоны устойчивости
в случаях порожнего и груженою вагона приведены на рис. 5 и 6. При расчета"
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЬНИЯ
407
взято vB = 0,1, kn = 650, 1300, 2600 тс/м. При kn > 2600 тс/м горизонтальная по-
поперечная упруюсть пути практически не влияет на устойчивость движения четырех-
четырехосного грузового вагона.
Рельсовые экипажи, имеющие двойное (центральное и надбуксовое) рессорное
подвешивание (пассажирские вагоны, вагоны электропоездов, современные локо-
могивы). Если считать твердыми телами колесные пары, рамы тележек и кузов
рельсового экипажа, то тогда каждая тележка состоит из трех твердых тел и расчет-
расчетная схема включает семь твердых тел. На систему наложены такие голочомные связи,
что она имеет 17 степеней свободы [20]. Можно выбрать обобщенные координаты
так, что для исследования устойчивости движения получатся две системы диффе-
дифференциальных уравнений вида A) десятого и шестого порядков. Оказывается, что
движение системы, соответствующей рассмотренной расчетной схеме, неустойчиво.
Применив сдвиг корней, найдем, что в систему нужно ввести упругие элементы,
соединяющие колесные пары с рамой тележки в продольном и поперечном горизон-
горизонта л 1 ных направлениях и демпферы вязкого трения [27]. Новая система имеет 30 сте-
степеней свободы. Пусть хх и х2, хп, х12 и х21, х22 — продольные перемещения тележек
и колесных пар. Для упрощения положим, что хг = х,,
хп —- х12 = хг1 = х22. Такие связи не повлияют на си-
системы уравнений, которыми определяется устойчивость
движения, и в то же время механическая система бу-
будет иметь не 30, а 26 степеней свободы. Для исследо-
исследования устойчивости получаются две системы диффе-
дифференциальных уравнений вида A) восемнадцатого и че-
тыр. адцатого порядков [27]. Исходные данные для
расчетов приведены в табл. 4. На рис. 7 изображены
графики зависимости hmaxT от скорости движения
ваюна. Линия / соответствует значениям жесткости
k = 105 тс/м, k* = 30,4 тс/м, k2 = 163 тс/м, k9 = k4 =
= с»; линия 2— тем же значениям klt k* и k2, но
ka = kt = 200 тс/м Линии 3 и 4 построены при значе-
значениях k* соответственно в 2 раза меньше и в 2 раза
больше его номинального значения. Линия 5 полу-
получена при номинальных значениях k, k* и k,, но при
*3 ¦= ft4 = 600 тс/м.
Ходовыми частями подавляющего большинства пассажирских вагонов явля-
являются тележки КВЗ-ЦНИИ, которые отличаются тем, что кузов вагона опирается не
на подпятник, а на боковые скользуны. При поворотах кузова относительно тележек
возьикает сила трения, которая должна стабилизировать движение (см. ниже устой-
устойчивость движения СВЛ). У электровозов ВЛ-80, ВЛ-10 буксы снабжены поводками
с решновыми втулками, что дает возможность колесным парам перемещаться отно-
относительно рамы гележки в вертикальном и горизонтальных поперечном и продоль-
продольном направлениях. Расчетные схемы этих локомотивов совпадают с расчетной схе-
схемой ЦМВ. Исходные данные для расчетов см. в табл. 4.
Исследования показали, что для электровозов ВЛ-80 и ВЛ-10 рациональными
по условию устойчивости движения будут значения k3 = 800 тс/м, kx = 1000 тс/м,
Vb = 0,1 -=- 0,2 при значениях остальных параметров, приведенных в габл. 4. В та-
таком случае VKp « 100 м/с C60 км/ч).
Современные локомотивы имеют двойное рессорное подвешивание, и для иссле-
исследования устойчивости их движения можно пользоваться расчетной свечой ЦМВ.
Устойчивость движения рельсовых экипажей при существенных нелинейностях.
Нелинейности возникают вследствие зазоров в соединениях узлов рельсовых эки-
пажеи, наличия гребней колес, сил сухого трения в демпферах и узлах опирания
кузова на тележку и т. п.
Физическая нелинейность сил взаимодействия колес и рельсов получается
потоку, что участки сцепления и скольжения расположены несимметрично относи-
относительно поперечной оси контактного эллипса. Если принять во внимание сухое трение
на участке скольжения, то составляющие силы, денствующей на колесо с номером /г,
Рис. 7
408
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
4. Таблица исходных
Параметр
Осевая формула
Конструкционная скорость
Сила давления оси колеса на рельо
Длина по осям автосцепок
База кузова
База тележки
Радиус колеса
а!
ш н
х я
|щ
а?
Jo,
К и
si
упруг
вешива
л g
s§
1
Масса кузова
Моменты инерции кузова
Масса обрессоренной части тележки
Моменты инерции обрессоренной части те-
тележки
Масса необрессоренной части тележки
Момент инерции необрессоренной части те-
тележки
Центральном ступени (на
тeлeжкy^
Надбуксовой ступени
(на одну буксу)
Жесткость люлечного
подвешивания
Вертикальная
Поперечная
Вертикальная
Поперечная
Продольная
Поперечная
Продольная
Высота центра тяжести кузова под плоскостью, прохо-
проходящей через оси колесных пар
Высота центра тяжести кузова над люлькой
Обо-
зна-
значение
V
Р
1L
21
la
г
m
J X
j
/
m,
Jxl
¦V
k
*i
k.
к
k*
*••
A,
ft
Размер-
Размерность
км/ч
тс
м
м
м
м
ТС-С2/М
тс-м-с2
тс-м-с2
ТС-М'С2
ТС-С2/М
ТС'М-С2
ТС'М'С2
ТС'М-С2
ТС¦С2/М
тс • м ¦ с2
тс/м
тс/м
тс/м
тс/м
тс/м
тс/м
тс/м
м
м
цмв
Пасса-
Пассажирский
2о — 2п
160
14,25
24,537
17,0
2,4
0,475
4,6
9,5
236
236
O.28S
0,273
0,270
0,51b
0,386
0,857
105
630
163
200
200
30,4
144,0
1,55
1,78
Примечание. В числителе приведены значения для порожнего вагона, в знаме!"
устойчивость невозмущенного движения
409
данных для расчета
Электропоезд
Электровоз
ЭР-2
53
ЭР-22
о а
? 3
ЭР-200
вл-ю
ВЛ 80
ЧС-1
ЧС-3
ЧС-2
Пассажирский
2„-2„
130
18,25 | 14,5
20,156
14,0
26
0 525
14,0
2,4
0,425
Пассажи рский
2с -2„
130
22,5 | 16,7
25,056
18,0
2,75 2,4
0,525 0,425
Пассажирский
Грузовой
Пассажирский
130
26,537
о
200
160
18,8
2,5
0,475
26,614
2B„-2„)
ПО
23 0
30,44
1,0
30
0,625
2B„-2о)
110
23,0
32,44
4,5
30
0625
„ + 0
!20
21,25
17,08
8,17
3 33
0,625
о + о
160
20 5
18 92
90
4,6
0,625
2,68
Тм"
44,3
0 6S5
0/
2,55
4,59
88,1
161
0,336
3,826
6,173
2,692
5^265
98
0 956 | 0,496
2,26
0 675 0,336
0,908 | 0,448
0,766
1,05
2,59
0,561 | 0,306
0,23
3,836 3,367
4,551 3,775
6,0
200,0
200,0
0,765 I 1,275
0,65
2,0
2,0
0,357 | 0,571
0,775
4,83
9,0
90
1,03
0,47
1,62
1,324
0,44
5,27
9,8
98
0,9
0,411
1,42
1,15
0,476
4,04
5,48
62,6
62,8
1,66
0,475
2,35
2,5
0 658
0 38
4,591
86,4
2,801
7,64
1,178
173,0
145,0
74
08
52
108
96
78
118
ПО
45,0
120
45,0
194
106,4
266
106,4
150
188
44
278,0
300,0
187,5 170
360,0
115,0 117,5
170,0 220,0
8000
152,0
785 0
1680,0
152,0
785,0
1680,0
290 0
1000 0
1000,0
150
550
1100
52
67
78
Ш
84,3
87,8
1,6
1,3
1,2
1,2
1,36
1,65
теле —для груженого.
410
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
где ty — угол поворота колесной пары относительно вертикальной оси; f и ft — ве-
личигы, зависящие от коэффициента трения, упругих постоянных и силы давления
колеса на рельс [27J. В выражения главного вектора и главного момента во,|дуТ
нелинейные члены, и уравнения возмущенного движения будут нелинейными. Д-;Я
линеаризации уравнений следует пользоваться линейной аппроксимацией Чебы-
шева.
Геометрическая нелинейность сил взаимодействия при одноточечном касании
колеса с рельсом получается вследствие нелинейной зависимости между измене-
изменением Аг/, радиуса колеса и поперечным перемещением Аук колесной пары относи-
относительно головки рельса. Если боковые рамы тележки и колесные пары могут повэра-
чиваться друг относительно друга в горизонтальной плоскости и если принять во
внимание вертикальную составляющую силы тяжести, то
d\p,k (—1)*
^+ /[(
где if,-K, \р/ц — углы поворотов относительно вертикальной оси колесной пары и бо-
козины/'й тележки; Р;г—-вертикальная состав чяющая давления колеса на рельс;
ак — угол между плоскостью контакта колеса с рельсом и горизонтальной
плоскостью.
W,tc-m
70 V,M/c
Рис. 8
Рис. 9
Рассмотрим два варианта приведенного профиля колеса (рис. 8): криволинейный
(линия 1) и билинейный (линия 2) с уклонами ц = 0,05 — основная поверхность ка-
катания колеса и tga = 1,73 — гребень.
Аналитические выражения сил сухого трения не могут быть разложены в ряды
Тейлора, и, следовательно, линеаризация уравнений возмущенного движения обыч-
обычным путем невозможна. Эти аналитические выражения можно заменить линейными
функциями в пределах заданных амплитуд, установив наилучшее приближена
функции F = a sign Д, где А — относительное перемещение тел. Однако в этих слу-
случаях исследование устойчивости по первому приближению ненадежно, нужно решать
исходную систему нелинейных уравнений возмущенного движения. Для этого мо.мю
использовать ДВМ или численное интегрирование.
При силах сухого трения и некоторых соотношениях параметров движение
оказывается устойчивым, но не асимптотическим. Возможны случаи появления авто-
автоколебаний скоростного экипажа с двойным рессорным подвешиванием, возникаю-
возникающих вследствие сухого трения в зонах опирания кузова на тележки. Момент сил су-
сухого трения обозначим через W. Возмущенное движение описывается системой чг-
линейных дифференциальных уравнений 40-го порядка вида х = Ах + X* (х),
где X* (х)—нелинейная вектор-функция. Решение уравнений можно получить
с помощью ABM MH-17M для моторного вагона электропоезда ЭР-200. На рис. 9
кривая соответствует границе, разделяющей области асимптотической устойчивости
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
411
(не заштрихована) и автоколебаний (заштрихована) в плоскости параметров V, W
при F = 1600 тс. При W = 0 движение асимптотически устойчиво до V = 64 м/с
B31 км/ч). На рис. 10 приведены фазовые траектории yt = / (yt), соответствующие
точке К на рис. 9. Сплошной линией изображена фазовая траектория, полученная
при у10 — 3,5 мм, у10 = 0, а штриховой — при </10 = 0,35 мм, у10 = 0. Фазовые тра-
траектории приближаются к устойчивому предельному циклу с амплитудой а*.
Был проведен анализ зависимости амплитуд а* от момента W сил сухого тре-
трения при заданных значениях V. Эти зависимости позволяют определить амплитуды
чередующихся устойчивых и неустойчивых предельных циклов и области притя-
притяжения.
В рассмотренном случае амплитуды автоколебаний меньше, чем зазор в рельсо-
рельсовой колее, так что при движении вагона гребни колес не упираются в головки рель-
рельсов. В иных случаях при сухом трении амплитуды предельных циклов превышают
зазор в рельсовой колее либо происходит потеря устойчивости, и вагон удерживается
на рельсах гребнями колес.
Вследствие колебаний рельсовых экипажей сила давления Р, на оси колесных
пар изменяется во времени, поэтому изменяются и силы псевдоскольжения. Урав-
Уравнения возмущенного движения имеют пе-
переменные коэффициенты, т. е. системы не- у,
автономны. Однако, если даже k* — 0,7,
то для грубых систем, т. е. таких, в кото-
которых значительные изменения параметров
мало влияют на положение границ зон
устойчивости (грузовые и пассажирские
вагоны, СВЛ), критические скорости не-
неавтономных систем отличаются от крити-
критических скоростей соответствующих авто-
автономных систем не более чем на 10% в
сторону уменьшения.
Потеря устойчивости невозмущенного
движения может произойти и при движе-
движении по криволинейным участкам пути.
Исследования показывают, что значения
критической скорости увеличиваются при
уменьшении радиусов кривой.
Скоростной вагон-лаборатория с реактивной тягой (СВЛ). Расчетная схема
такая же, что и для пассажирского вагона (семь твердых тел, 26 степеней свободы).
Следует принять во внимание упругость пути в горизонтальном поперечном направ-
направлении, нелинейность сил взаимодействия колес и рельсов, силы сухого трения в ме-
местах опирания кузова на тележки. В таком случае устойчивость движения определя-
определяется решением системы нелинейных уравнений сорокового порядка [27]. Решение
получено с помощью ABM MH-17M и численным интегрированием на ЭВМ. Крити-
Критическая скорость зависит от момента W сил сухого трения при поворотах кузова от-
относительно тележки. При увеличении W от 0 до 0,9 тс-м Укр возрастает от 54 до
ПО м/с. При W > 0,9 тс-м VKp остается практически постоянной.
С помощью СВЛ на одном из участков железной дороги была проведена экспе-
экспериментальная проверка разработанной теории. По условиям движения и мощности
Двигателей удалось развивать скорость до 250 км/ч. Во всем диапазоне скоростей от 0
До 250 км/ч движение СВЛ было асимптотически устойчивым. Силы бокового давле-
давления на рельсы вследствие вынужденных колебаний, вызываемых неровностями пути,
ie превосходили 1,8 тс (при движении полувагонов на стандартных тележках со ско-
скоростью 100 км/ч силы бокового давления вследствие потери устойчивости равнялись
8—10 тс).
Для проверки разработанных методов определения VKn изменили конструк-
конструкцию ходовых частей СВЛ так, чтобы Укр оказалась в пределах реализуемых скоростей.
Для уменьшения силы сухого трения опирание кузова на тележку перенесли с боко-
боковых скользунов на хорошо смазанную центральную пяту. Для предварительной тео-
теоретической оценки VKp была взята линейная система и путь принят абсолютно жест-
Рис, ю
412
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
ким. Исследования показали, что если убрать демпферы в надбуксовом подвешивании
и изменить ц с 1 : 20 на 1 : 10, то при F = 1500 тс VKp = 40,5 м/с A46 км/ч), а при
F = 800 тс VKp = 42,0 м/с A52 км/ч). Эти изменения были внесены в ходовые части,
тогда экспериментально найденное значение VKp = 155 -4- 170 км/ч D3—47 м/с)
[25] Теоретические исследования устойчивости движения СВЛ с изменениями в хо-
ходовых частях как нелинейной системы показали, что найденным экспериментально
границам VKn соответствуют значения коэффициента сухого трения в подпятнике
0,07 и 0,18 [25].
Исключение быстрозатухающих решений. Для упрощения исследований устой-
устойчивости движения нелинейных систем нужно расщепить заданную систему нели-
нелинейных уравнений на блоки более низкого порядка. Разрабатываются конструктив-
конструктивные способы понижения порядка автономных и неавтономных систем нелинейных
дифференциальных уравнений [34]. Эти способы основаны на принципе сведения Ля-
Ляпунова. Понижение порядка систем уравнений выполняется путем исключения
быстрозатухающих решений. Если среди решений имеются быстрозатухающие, то
в спектре матрицы линеаризованной системы уравнений есть собственные числа,
лежащие в левой полуплоскости далеко от мнимой оси.
Для исключения быстрозатухающих решений исходную систему дифференци-
дифференциальных уравнений возмущенного движения линеаризуют с помощью линейного при-
приближения Чебышева и приводят к главным фазовым координатам. Главные коорди-
координаты, соответствующие быстрозатухающим решениям, полагают равными нулю. Это
дает возможность выразить часть обобщенных координат через остальные. Получен-
Полученные выражения подставляют в исходную нелинейную систему. При этом порядок си-
системы уравнений, описывающей установившийся режим колебаний, существенно по-
понижается. В случае, когда система не асимптотически устойчива, но имеет устойчи-
устойчивый предельный цикл, такой прием позволяет определять амплитуды, соответствую-
соответствующие предельному циклу, алгебраически.
Применимость этого способа к неавтономным системам была проверена на за-
задаче о колебаниях грузовой платформы, предназначенной для скоростных перевозок
[26]. Устойчивость движения этого экипажа определялась из системы уравнений
32-го порядка. Рассматривалось движение по пути, ось которого в плане имеет
синусоидальные отклонения от прямой y = dsma>t, a> — 2nVL~1, где V — скорость
движения; L — длина волны. Был взят наиболее неблагоприятный резонансный слу-
случай. При этом порядок неавтономной системы был понижен с 32-го до второго. Рас-
Расхождение при интегрировании полной и укороченной системы составило 5,7%.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ
Устойчивость невозмущенного движения является необходимым, но недостаточ-
недостаточным условием того, чтобы рельсовый экипаж обладал хорошими динамическими ка-
качествами. Кроме того, необходимо, чтобы перемещения, ускорения и усилия, возни-
возникающие вследствие колебаний при
движении по рельсовому пути, не пре-
превосходили заданные их значения.
При исследованиях колебаний
рельсовых экипажей следует прини-
принимать во внимание деформации пути и
подрельсового основания. Движущий-
Движущийся экипаж, рельсовый путь и основа-
основание приходится рассматривать как еди-
единую динамическую систему. Возникает
задача о взаимодействии подвижного
состава и пути [3, 19, 31, 33].
Рис. 11 Плоские колебания четырехосного
грузового вагона. На рис. 11 приведена
расчетная схема. Грузовой четырехосный вагон на стандартных тележках рассматри-
рассматривают как систему трех абсолютно твердых тел. Предполагают, что вагон движется
по упруговязкому пути. Инерционные свойства пути и подрельсового основания
взаимодействие подвижного состава и пути 413
не принимают во внимание. Колебания исследуют в продольной плоскости симмет-
симметрии вагона. Неровности на обеих рельсовых нитках считают одинаковыми [19].
Принимают за обобщенные координаты вертикальные (поступательные) переме-
перемещения 2 = qx кузова гг = q3, z2 = g4 тележек и углы поворотов при продольной качке
Ф = q2, кузова, ц>± = qb, ф2 = qe тележек, а также поступательное перемещение
х = q7 всей системы вдоль оси пути. Массы и моменты инерции обрессоренной ча-
части вагона т и J, тележек тг и }х. Жесткости одного комплекта пружин рессор-
рессорного подвешивания ft, рельсового пути на одну колесную пару 2k,.. Коэффициенты
вязкого сопротивления демпферов р\ пути 2^. При определении величин 2ktf и 2E.,.
принято во внимание взаимное влияние соседних колесных пар; их численные
значения для пути на деревянных или железобетонных шпалах рекомендуется при-
принимать равными 5-103 ~ 10-103 тс/м и 10—30 тс-с/м.
Кинетическая и потенциальная энергии системы
7
; = i
где ujj — инерционные коэффициенты: ап = ш, а%2 = J, а^ = а44 = /%, а55 = о66 =
== Jlt а77 = ш* = m + 2mx + <иог~* {Jo — момент инерции колесной пары относи-
относительно ее оси вращения; г — радиус колеса); Аг и Д2 — осадки при сжатии пружин
рессорного подвешивания; Ди и Д12 — осадки при сжатии пружин, имитирующих
упругое сопротивление пути под первой и второй колесными парами; Д21 и Д22 —
то же, под третьей и четвертой колесными парами;
Д1 = г — 2ф — z1 = q1 — lq2 — q3; A2 =
An = z1~a(jI~r\i = q3 — aq5 — t]l, Д21 = г2 — шр2 —1]3 = (/4 — aqe — тK;
Д12 = г1 + аф1 — т]2 = q3 + aq& —1]2; Д22 = г2 + аф2 — rL = qt + aqe + r]4;
здесь 21 и 2а — соответственно база вагона и тележки; тI( r\2, r|3, ti4 — неровности
пути под соответствующими по номеру колесными парами. После подстановки этих
выражений в U найдем
6
U 2 с^ + с*? + * (i + i + 1 + J)
где Си = 4k, с22 = 4№, с33 = cu = 2{k-\- 2fe*), cB, = cee = 4e2fe,, c13 = с14 = 2^»
е23 = —с24 = 2Ы.
Функцию F рассеивания энергии можно получить, заменив в выражении U
жесткости k и k^ коэффициентами вязкого сопротивления f$ и (^ и величины Д их
производными по времени.
Движение системы описывается семью дифференциальными уравнениями.
Первые шесть уравнений примут вид
Mq + Bq + Cq = Q, (9)
а седьмое уравнение будет m*q7 = 0. В уравнениях (9) М = [а/у] (/ =1,6) — диаго-
диагональная матрица:
Сп 0 —С13 —C
Cl3 C23
\— с14 —с24
414 КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
Матрица В получается из матрицы С заменой k на р и k^ на Р*. Вектор
О
Р*
Р*
! — г|2) —
(И)
Неровность пути часто задают так [35J:
-2- A—
— у|1 —coscoU —
J'
где « = 2яУ>г1; d — наибольшая глубина; % — длина неровности.
Для описания неровности можно использовать и другие аналитические выраже-
выражения, однако приведенное выражение дает наиболее «богатый» спектр возмущения.
Аналитические выражения гJ (/), ... можно получить, принимая во внимание,
что следующие за первой колесные пары запаздывают на промежутки времени т2 =
= 2aV'\ т3 = 21V'1, т4 = 2 (/ + а) V'1. Следовательно,
¦»1/ @ = -2 [1 —cos ш (f—tj)] 0О (t —
— -2 X
X 1-е
A2)
причем Tj = 0. При переходе через стык рельсов возникает удар. Сила при ударе
fj = f(la1(t — xj), где /о — амплитудное ее значение; ах (^ — т;) — импульсивная
функция первого порядка. Следует рассматривать также случайные неровности, име-
имеющие непрерывный спектр частот в диапазоне 0—100 Гц со спектральной плотностью
Решения дифференциальных уравнений (9) можно получить аналитически,
однако Солее эффективным оказывается их решение с помощью АВМ. Решение кон-
контрольных задач показало, что погрешности моделирования не. превосходят 5% 118].
Дифференциальные уравнения колебаний вагона можно представить в виде
т2г2 - S2 + S21 + S33 = 0;
У*ф-г (Si-S2)=0;
cpi-a(Sn-S12)=0;
^2 - a (S21 - S22) = 0,
A3)
где Sj и 57j>, — динамические добавки сил, действующих в рессорном подвешива-
подвешивании, от колесных пар на рельсы; / — номер тележки; k — номер колесной пары;
J* = J — mrti2 (m*). В случае вязкого сопротивления демпферов S;- = kA;- +
+ р"Ду, а при сухом трении S/ = feA, + 0,5 fP sign Ay, где / — коэффициент трения;
Р — вес кузова; S)k = ^^Д,^ + Р*А;-А (/, k = 1, 2). При решении уравнений на АВМ
каждое усилие моделируется специальным блоком.
В случае демпферов сухого трения оказалось, что при движении по неровности
без учета ударов в стыках Sx = —6,5; +7,9 тс, Дх = —2,6; +4,1 мм (плюс — до-
догрузка, минус — разгрузка), а при ударах и /0 = 50 тс Sx = —6,7; +7,9 тс, Д, =
= —2,6; +4,2 мм. Следовательно, удары в стыках оказывают влияние только на проч-
прочность колесных пар и рельсов и практически не влияют на силы, действующие на
кузов вагона.
Влияние инерционности пути. Рассмотрим рельсовый экипаж как систему аб-
абсолютно твердых или деформируемых тел, путь как балку, лежащую на деформируе-
взаимодействие подвижного состава и пути 415
мом инерционном основании. Такая система имеет бесконечное множество степеней
свободы.
Для математического описания подрельсового оснозания существует ряд моделей.
При статических расчетах пути применяют модель Винклера. Эта модель не обла-
обладает распределительной способностью и не дает возможность учесть инерционные
свойства основания. Был предложен ряд моделей основания без указанных недостат-
недостатков. Наиболее удобной для исследований взаимодействия подвижного состава и
пути является модель В. 3. Власова [7]. Эта модель позволяет достаточно просто
выразить перемещения всех точек балки и основания через перемещения точек кон-
контакта колес и рельсов. Получается система с конечным числом степенен свободы,
равным числу степеней свободы движущегося рельсового экипажа. Если рассматри-
рассматривать четырехосный вагон как систему трех тел, то при тех же обобщенных коорди-
координатах, которые были взяты выше, дифференциальные уравнения движения имеют
вид (9). Новые уравнения отличаются только значениями элементов матриц М,
В, С и вектора Q [29].
Возьмем подвижную систему координат, направим ось по оси пути, ось у про-
проведем через точки контакта колес одной из колесных пар с рельсами, ось z напра-
направим вниз. Свойства основания В. 3. Власова определяются двумя параметрами, ха-
характеризующими его работу при сжатии и сдвиге:
где Ео и v0 — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала основания;
б — ширина балки (длина шпалы); t|) (г) — функция распределения вертикальных
перемещений W по глубине основания; Н — глубина, на которой W затухают. В рас-
рассматриваемом случае можно считать Н бесконечно большой и положить г|) (г) =
= ехр (—гг). По Власову, вертикальные перемещения точек основания w —
= г (х, i) \|) (г), где z (x, t) — уравнение изогнутой оси балки, а горизонтальные
перемещения и и v принимаются равными нулю.
Будем считать, что формы изогнутой оси балки (рельсового пути) при динами-
динамической нагрузке и при эквивалентной ей статической силе одинаковы (гипотеза Пет-
Петрова—Шахунянца). Представим уравнение изогнутой оси балки в виде [7, 37]
г(х, t) = z(t)F(x),
еде г (t) — прогиб в точке приложения силы; F (х) — функция влияния, которая
для бесконечно длинной балки имеет вид [7]
F (х) = е~ ах \~ sin §х + cos P*l (х > 0);
2 ^ AEJ •
Здесь V — скорость движения вагона; 5 и г — обобщенные упругие характеристики,
f- = С„ {EJ)~\ s4 = Ко (EJYX.
Приведенная масса пути mno = mg + т0, где /ng — погонная масса балки;
то — приведенная масса подрельсового основания;
н
8 o
здесь Yo — удельный вес материала основания.
Функция Fx быстро затухает, поэтому влиянием соседних тележек друг на друга
можно пренебречь. Кинетическая и потенциальная энергии системы определяются
416
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
как суммы соответствующих энергий вагона, балки и основания и после перехода
к обобщенным координатам имеют вид [29]
— С4?4
Oil ~
(Лз —
Функцию F рассеивания энергии получим, заменив в выражении U обобщен-
обобщенные координаты qj обобщенными скоростями <jj, величины г\к их производными
по времени r\k и квазиупругие коэффи-
коэффициенты с^ коэффициентами Ь^ вязкого
сопротивления.
Si,тс
_5 s тс
+S,,TC
Рис. 12
Рис. 13
Дифференциальные уравнения движения имеют вид (9). Элементы ап и ап ма-
матрицы М имеют те же значения, что и при безынерционном основании, а все осталь-
остальные содержат добавочные слагаемые. Все элементы матрицы С, за исключением
с33 = си и с55 = сее, имеют те же значения, что и при безынерционном пути, а с33
и cw содержат добавочные слагаемые. То же относится к матрице В. Вектор Q опре-
определяется выражением [29J
О
О
а3 Oil + 'Па) + h (ГЦ + %) + с3 (Цх +112)
«4 СПз + Л*) + *4 (% + %) + с4 (Лз + Чд
аъ (Ц\ — Ла) — *5 (Hi — Ла) — сь (Л1 — Лз)
«в (Лз — Л4) — йв (Лз — %) — с6 (Лз — Л4)
(И)
причем а^, bff и Cft равны половинам поправок соответствующих элементов матриц
М, В и С.
Сопоставление результатов исследования. При проведении исследований реко-
рекомендуется принимать следующие значения исходных параметров: Ео = 3000 -*•
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ
417
¦*¦ 5000 тс/м, v0 = 0,3, Ъ— Ь8 тс/м, е = 1 ч- 1,5. На рис. 12 для примера приве-
приведены графики изменения динамических добавок усилий S2 в центральном подЕеши-
вании и Su взаимодействия первой колесной пары и пути для четырехосного грузо-
грузового вагона.
Предполагалось, что вагон оборудован демпферами сухого трения (/^=0,1),
наибольшая глубина неровности d = 10 мм, а ее длина 1 = 3 м. Линия 1 (сплош-
(сплошная) — изменение S1 в случае инерционного пути, линия 2 (штриховая) — измене-
изменение того же усилия в случае безынерционного пути. Линии 3 и 4 — аналогичные гра-
графики сил взаимодействия Sn. Ввер\ от оси абсцисс отложены разгрузки, а вниз —
догрузки. Как видно из рис. 12, во всем
диапазоне скоростей от 50 до 150 км/ч
инерционность основания практически
не влияет на силу S^
На рис. 13 для сопоставления при-
приведены изменения усилий Sx, получен-
полученных при различных моделях основания.
На этом рисунке линия / соответствует
усилиям, получающимся по модели Вла-
Власова, линии 2, 3 и 4 — усилия, полу-
получающиеся по другим моделям при раз-
различных критериях сопоставления. Как
видно из рисунка, результаты мало отли-
отличаются. Несколько большие, но достаточ-
достаточно малые отличия получаются по силам
взаимодействия.
Отношения динамических добавок
вертикальных сил
и горизонтальных
динамических сил SJ", действующих на
тележку
SCT называют
к статической нагрузке на нее
коэффициентами динами-
динамических добавок вертикальных &° и гори-
горизонтальных
сил:
1
с »
"ОТ
[ = ^А- A5)
Рис. 14
На рис. 14 сплошными линиями изоб-
изображены огибающие полей коэффициентов
динамических добавок вертикальных сил
ft* в подвешивании, полученных по резуль-
результатам многочисленных опытов. Точками отмечены значения k*, найденные с помощью
АВМ для d = 10 мм, 1 = 3ми случайных неровностей пути с Gd = 1,5 мм. Общая
длина реализации при решении на АВМ соответствовала 2,5 км пути, каждая точка —
максимальная ордината на длине звена 25 м. Штриховыми линиями изображены гра-
графики изменения k*, найденные для случая движения вагона по детерминированным
неровностям при d = 10 мм, X = 3 м (см. рис. 12, линия 1). Результаты моделирова-
моделирования лежат в границах экспериментальных полей, но ближе к огибающим по минималь-
минимальным значениям.
Выполнено моделирование при случайной глубине d неровностей и неравножест-
кости пути как в зоне стыка, так и на протяжении звена. Значения k* при таком
моделировании возрастают, но не достигают огибающих по максимальным значениям.
Лучшего совпадения можно ожидать при моделировании пространственной задачи.
Движение грузового вагона по балке, лежащей на сплошном инерционном упру-
говязком основании. Выше приведено решение такой же задачи на основе гипотезы
Петрова—Шахунянца. Здесь рассмотрено ее точное решение,
14 п/р. Ф. М. Диментберга и К. С. Колесникова, т, 3
418 КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
Дифференциальное уравнение колебаний инерционной балки, лежащей на ос-
основании Власова, имеет вид
где Pj — силы взаимодействия колесных пар с рельсами.
Это уравнение решается в подвижной системе координат х — х — Vt. Рассмо-
Рассмотрим стационарные колебания вагона и основание, вызванные периодической неров-
неровностью, Аналитическое выражение неровности разложим в ряд Фурье
п = — оо
где L — расстояние между стыками. _ _
Решение задачи ищем в виде w (x, f) = w (x) exp (ivij), qj = q/ exp (ia>nf),
Pj — Pj exp (mnt). После подстановки этих выражений в уравнение A6) получим
о быкновенное дифференциальное уравнение
EJwIV +(mnpV2-2C0) w"~ V (?mn7ii(on+\iuK0) w'+
4
+ <*<>- ШпрШ« + Fo^o'%) W = 2 fyM* - *A <17)
Решив это уравнение, можно выразить прогибы w (x) через Ру.
Силы Ру являются компонентами вектора Q обобщенных сил в дифференциаль-
дифференциальных уравнениях плоских колебаний вагона как системы с семью степенями свободы
[см, формулу A1)]
Q = -@ 0 {Р^ + Рг) (Р3 + Я4) a(Pi-P») а(Р3-Р,))т.
Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют такой же вид, как при
плоских колебаниях четырехосного грузового ваюна. Из системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений силы Р,- выражаются через обобщенные координаты д3—дв и их про-
производные, которые связаны с прогибами w {x) и неровностями пути ц. Так полу-
получается система линейных алгебраических уравнений, решив которые определяют
значение Pj при каждой частоте шп.
Сопоставление результатов показывает, что силы Sx, полученные при точном и
приближенном решениях в диапазоне скоростей от 0 до 180 км/ч, практически сов-
совпадают. Силы взаимодействия Sn до скорости 140 км/ч также совпадают, а при более
высоких скоростях Sn при точном решении несколько больше, чем при приближен-
приближенном.
Пространственные колебания четырехосного грузового вагона. Рассмотрим
движение четырехосного грузового вагона по рельсовому пути, лежащему на де-
деформируемом (по модели Власова) основании. Исследования проведем теми же мето-
методами, что и выше, т. е. с использованием гипотезы Петрова—Шахунянца.
Вычисление приведенных параметров пути несколько осложняется, так как рельсо-
рельсовый путь в этом случае следует рассматривать как систему перекрестных балок, ле-
лежащих не деформируемом основании. Для исследования пространственных колеба-
колебаний четырехосного вагона на стандартных тележках получается система обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений 42-го порядка. Эту систему уравнений следует
решать с помощью АВМ или численно с помощью ЭВМ. При решении на АВМ нели-
нелинейности моделируют специальными электронными схемами. Возмущения задают
как в вертикальной, так и в горизонтальной пл оскостях. В вертикальной — детер-
детерминированные (Я = 3 м, d = 10 мм) и случайные (аа = 1,5 мм), такие же, как при пло-
плоских колебаниях четырехосного грузового вагона, а в горизонтальной — только
случайные {аа = 1,5 мм) [9].
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ
419
На рис. 15 сплошными линиями изображены огибающие полей усилий Sx в под-
подвешивании, полученные в результате многочисленных опытов. Точками отмечены
значения тех же усилий, найденные с помощью АВМ. Как видно из рисунка, дина-
динамические добавки сил в рессорном подвешивании Si, полученные при моделирова-
моделировании пространственной задачи, хорошо
совпадают с результатами экспериментов.
Вертикальные составляющие сил взаимо-
взаимодействия Sn, найденные с помощью АВМ,
также хорошо совпадают с эксперименталь-
экспериментальными значениями. На рис. 16 для сопостав-
сопоставления приведены зависимости углов пово-
поворота кузова относительно тележки при
S,,
тс
10
' •• •
? ••• .J
;. .:: •
и
У ~r>\
.*. «• •
,• ••
•
• •• •
\ ••• •"
1 \ •• •
\ •# •
•
: ^-
'<f :
. •
•
* •• <
* *• f,
W Ik
N
•
• *
t • •
• л •
•• .
• •• .
• . •
*• *
К-
• ¦
•
•
Ф V, км/ч
•
• •«
• •
• •
•
:
12
Ш-в,НО*рад
1
~Т
У"
юо па
Рис. 16
S,,,tc
15
10
•
О
' О
/ хх j
1
/
/
о
Рис. 15
20 40 60 V,M/c
Рис. 17
боковой качке (величина 9 — 6j), найденные теоретически (штриховая линия) и экс-
экспериментально (сплошная линия). При значениях скорости движения несколько
больших 80 км/ч получается резкое увеличение качки кузова относительно тележки,
обусловленное потерей асимптотической устойчивости движения вагона. Это при-
приводит к увеличению вертикальных сил Sx.
Плоские колебания экипажей с двойным рессорным подвешиванием. Методику
исследования взаимодействия рельсовых экипажей и пути, изложенную вышев
14*
420
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
1,35
1,15
1,15
применяют и для экипажей, имеющих двойное рессорное подвешивание (пассажир-
(пассажирские вагоны, вагоны электропоездов, современные локомотивы и т. п.). Расчетная
схема пассажирского вагона представляет собой систему, состоящую из семи твер-
твердых тел (кузова, двух рам тележек и четырех колесных пар). На эту систему нало-
наложены такие голономные связи, что она имеет 11 степеней свободы. Для решения си-
системы дифференциальных уравнений движения следует применять АВМ или числен-
численное интегрирование с использованием ЭВМ.
Высокие скорости движения (до 250 км/ч) были достигнуты при испытаниях
СВЛ. На рис. 17 нанесены графики математических ожиданий динамических доба-
добавок сил взаимодействия СВЛ и пути, найденные экспериментально с помощью дат-
датчиков, наклеенных на шейках рельсов. Кружки соответствуют значениям математи-
математических ожиданий сил на отдающем, а крестики — на принимающем концах рельсов.
Сплошная и штриховая линии на этих же графиках соответствуют силам взаимодей-
взаимодействия, найденным теоретически в местах наклейки датчиков. Штрихпунктирная
линия изображает найденные теоретически максимальные значения сил взаимодей-
взаимодействия в зоне стыка, полученные с помощью
численного интегрирования.
На рис. 18 приведены математические ожи-
ожидания значений коэффициентов k^ в надбуксо-
вой ступени подвешивания по эксперименталь-
экспериментальным данным для первого, основного, варианта
рессорного подвешивания СВЛ (кружки) и вто-
второго, переделанного (см. выше о скоростном
вагоне-лаборатории с реактивной тягой) вариан-
варианта (крестики). Теоретически найденные значе-
значения &д (при d = 10 мм и К = 3 м) изображены
для основного варианта сплошной, а для пере-
переделанного — штриховой линиями. Результаты
аналитического решения и эксперимента хорошо
согласуются, так как при двойном рессорном
подвешивании боковая качка кузова меньше
влияет на вертикальные силы, чем при одинар-
одинарном рессорном подвешивании.
Исследование взаимодействия подвижного
состава и пути по статистическим характери-
характеристикам колебаний. Выше описана методика исследования взаимодействия рельсо-
рельсовых экипажей и пути с помощью статистического моделирования на АВМ слу-
случайных колебаний. На входы системы подаются случайные возмущения, а с выходов
снимаются реализации случайных процессов, подлежащие последующей обработке.
В этом пункте изложены методы непосредственного определения статистических
характеристик процессов взаимодействия.
Если расчетную схему рельсового экипажа взять в виде дискретной мноюмасс-
ной системы, то случайные его колебания можно описать матричным дифференциаль-
дифференциальным уравнением [30]
где а — оператор демпфирования, по гипотезе комплексной жесткости а = и -\- iv,
для упруговязкой системы а = 1 + (х —-. Компоненты вектора Q возмущающих сил
здесь являются линейными комбинациями случайных функций и их производных.
Спектральная плотность любого выходного процесса асимптотически устойчи-
устойчивой линеаризованной системы при установившемся режиме движения описывается
известным соотношением
S (со) = Ф (ш) SQ (со) Ф*((со), A9)
связывающим матрицы спектральных плотностей возмущений Sq (со) я реакций
системы S (со); Ф ((со) — матрица частотных характеристик исследуемой системы;
звездочкой обозначена сопряженная матрица.
1,05
X
/
/
/х
г У
X °
X
у*—'%
X
20
W
Рис. 18
60 V,M/0
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ 421
Вычисление частотных характеристик связано с решением системы алгебраиче-
алгебраических уравнений, получающейся из дифференциального уравнения (!8) после под-
подстановки частного решения при Q = 0. Далее целесообразно пользоваться разложе-
разложением решения по собственным формам колебаний. При однородном демпфировании
собственные формы вещественные, а при неоднородном — комплексные, и порядок
системы удваивается.
Исследование сложной механической системы с неоднородным демпфирова-
демпфированием можно упростить, если выразить частотные характеристики всей системы через
частотные характеристики отдельных подсистем, каждая из которых имеет однород-
однородное демпфирование [36]. Частотные характеристики динамических напряжений мо-
могут быть найдены по формуле Фа («со) == AR, где R — вектор, компоненты которого
равны разностям комплексных амплитуд возмущающих сил и сил инерции; Д —
матрица влияния для напряжений, определяемая статическим расчетом системы при
единичных силах.
Представление об уровне случайных колебаний рельсового экипажа дают мате-
математические ожидания и дисперсии выходных процессов. Дисперсии могут быть вы-
вычислены интегрированием в частотной области спектральных плотностей выходных
процессов. Если спектральную плотность возмущений аппроксимировать подходя-
подходящим дробно-рациональным выражением, то можно составить систему линейных алге-
алгебраических уравнений, решение которой сразу дает дисперсии и взаимные корреля-
корреляционные моменты координат без предварительного определения спектральных плот-
плотностей.
Для расчета на прочность при стохастическом нагружении нужно решить за-
задачу о выбросах случайных выходных процессов над некоторым заданным уров-
уровнем Е. Если на линейную систему действуют случайные возмущения, распределен-
распределенные по нормальному закону, то среднее в единицу времени число выбросов опреде-
определяется по формуле Раиса
„,^ 1 (DxVU .... / Е?
где D и D. — соответственно дисперсии случайного процесса и его производной.
В случае выходных процессов, распределение которых отлично от нормального
закона, плотность вероятности, необходимая для определения среднего числа выбро-
выбросов, аппроксимируется полиномами, коэффициенты которых выражаются через на-
начальные моменты высших порядков.
При исследовании нелинейных случайных колебаний рельсовых экипажей
можно пользоваться методами статистической линеаризации, эквивалентных пере-
передаточных функций, методом малого параметра и др. Вычисление эквивалентных
линеаризованных характеристик выполняют методом последовательных приближе-
приближений. В ряде случаев применяют более точные, но требующие большого объема вычис-
вычислений методы, например интерполяционный или метод статистических испытаний,
а также статистическое моделирование на АВМ (см. выше).
Об оценках динамических качеств рельсовых экипажей. Динамические качества
рельсовых экипажей оценивают по значениям коэффициентов динамических доба-
добавок вертикальных и горизонтальных сил {kB и А?), ускорениям различных узлов
экипажа и по показателям W плавности хода. Последние оценки связаны с действием
колебаний на физиологические функции человеческого организма и потому имеют
особое значение для вагонов, предназначенных для перевозки пассажиров. Пока-
Показатель W плавности хода зависит от амплитуд и спектрального состава колебаний
вагона. Анализируются процессы изменения ускорений элементов кузова во вре-
времени.
Предложено несколько приемов оценки показателя плавности хода, основан-
основанных на общих допущениях и использовании экспериментальных данных о действии
колебаний на организм человека. Практически эти приемы эквиваленты. В настоя-
настоящее время применяют те из них, которые позволяют автоматизировать обработку
опытных данных либо путем использования специализированных аналоговых уст-
устройств [13], либо специальных программ для обработки на ЭВМ,
422
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
В случае узкополосного процесса колебаний показатель плавности хода опреде-
определяют вручную по формуле
W=cq^((x>0) у 2ja]Pj '
а в случае широкополосного процесса — автоматизированно с помощью формулы
где cnqm — коэффициенты, зависящие от направления колебаний (по ОСТ 24.050.16
для вертикальных колебаний с= 0,96, qm— 1,34; для горизонтальных колебаний
с = 1,03, qm = 1,71); а} — амплитуды ускорений уровня /; р; — повторяемость ам-
амплитуд этого уровня; ш0 — средняя частота колебаний, Гц; ан — среднее квадрати-
ческое значение ускорения, откорректированного «физиологическим» фильтром
амплитудно-частотная характеристика которого
1,15(й /1+0,1 йJ
<7„ (О)) = —
/1+4,04ш2 К A — 0,0364@2J + 0,045йJ
здесь ш — частота, Гц. Предельно допустимая величина показателя плавности
хода по этому же ОСТу принята равной 3,25.
В табл. 5 приведены характеристики хода вагонов, предназначенных для пере-
перевозки людей, т е. значения k*, kr, ускорений и W, дана оценка качества хода.
В табл. 6 приведены аналогичные данные для вагонов, предназначенных для пере-
перевозки грузов [6].
5. Характеристики хода ваюнов, предназначенных для перевозки людей
Оценка хода
Отличный
Хороший
Удовлетворительный (допустимый
для пассажирских вагонов)
Допустимый для грузовых вагонов
Непригодный для регулярного дви-
движения
Небезопасный при длительном дви-
движении
Коэффициенты дина-
динамических оценок
йд
< ю
0 10—0 15
0 16—0,20
0 21-0,35
0 S6 и
более
> 0,7
"а
< 0,05
0 05-0 10
0,11—0,15
0,16—0 25
0 26 и
более
>0,4
Ускорение
кузова, м/с2
верти-
вертикальное
1,0
1 0-1,5
1,6—2,0
2,1-3,5
36 и
более
> 7,0
горизон-
горизонтальное
0,5
0 5-1 0
1,1—2,0
2,1-3 0
3 1 и
более
>5,0
Показа-
Показатель плав-
плавности
хода W
до 1
ДО 2
до i,25
до 4
до 5
>5
6. Характеристики хода вагонов, предназначенных для перевозки грузов
Отличный
Хороилш
Удовлетворительный
Допустимый для грузовых вагонов
Непригодный для рег\лярного движения
Небезопасный в длительном движении
Коэффиценты дина-
динамических
кв
я
< 0 20
0,20—0 Ъ
ОЗЬ—0 45
0 4Ь—0 65
0 R5
>0,7
добавок
kr
Д
< 0 08
0 08-0 15
0,1b—0 25
0,26-0 й
0 33
> 0,4
Ускорение
кузов?
верти-
вертикальное
< 2,0
2 0—3 5
3 6—4,5
4,6—6,5
В5
> 7,0
, м/с2
горизон-
горизонтальное
< 1 0
1 0-1,5
1 6—3 0
3,1—4,5
4,6
> 5,0
ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ 423
Определение рациональных значений параметров рельсовых экипажей. Выше
рассмотрен вопрос о выборе таких значений параметров рессорного подвешивания,
при которых степень устойчивости (запас устойчивости) рельсового экипажа была
бы наибольшей. Далее возникает вопрос о выборе значений параметров, при которых
характеристики динамических качеств рельсового экипажа не превосходили бы за-
заданных величин.
При исследованиях взаимодействия подвижного состава и пути с помощью
статистического моделирования на АВМ в качестве критериев оптимизации следует
выбрать величины
г
Q = max(lS1|+JS2|); Q = l j A Sx | + | S2 |)я dt;
о
первую — для детерминированных, а вторую — для случайных неровностей пути.
Рациональные значения параметров выбирают в результате усреднения результа-
результатов, полученных при различных скоростях. При этом вводят весовые коэффициенты,
с помощью которых учитывают частоту реализации той или иной скорости при экс-
эксплуатации.
Для четырехосного полувагона при жесткости k = 400 тс/м на комплект Bk =
= 800 тс/м на тележку) и скоростях движения от 40 до 140 км/ч рациональное зна-
значение коэффициента сухого трения в демпферах, найденное описанным способом
/== 0,08-г- 0,12.
При выборе рациональных значений параметров рельсовых экипажей функцию
качества можно выразить через статистические характеристики различных выход-
выходных процессов. Определение рациональных значений параметров сводится к опреде-
определению минимума функции нескольких переменных и, как правило, осуществляется
с помощью ЭВМ. Целесообразно пользоваться градиентными методами и методами
случайного поиска. В задачах оптимизации часто встречаются овражные ситуации.
В этих случаях используют различные варианты ускорения поиска.
В последнее время развивается многокритериальный подход к решению задач
оптимизации. Такой подход является оправданным, так как оптимальные значения
параметров рельсовых экипажей должны одновременно минимизировать различ-
различные критерии (ускорения, перемещения различных точек, силы в рессорном подве-
подвешивании и в месте контакта колеса с рельсом, показатели плавности хода и др.).
Можно использовать следующие методы: 1) сведение многокритериальной задачи к од-
нокритериальной путем выделения основного критерия и рассмотрение остальных
критериев как ограничений; 2) способ ранжирования критериев; 3) построение гло-
глобального критерия в виде исходных функций.
Для четырехосного полувагона (k = 400 тс/м) при ускорении на входе в виде
белого шума из условий минимума дисперсий ускорений различных точек кузова для
скоростей 80—120 км/ч рациональные значения коэффициентов вязкого сопротивле-
сопротивления и сухого трения получили равными 0 = 40 -=- 45 тс-с/м и / = 0,06 -=- 0,12.
Способ построения глобального критерия был с успехом применен для опреде-
определения рациональных значений параметров трения в подвешивании длиннобазной кон-
контейнерной платформы.
4. ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ
Постановка вопроса. Расчетные схемы. К переходным режимам движения от-
относят пуск поезда в ход, торможение, движение через переломы продольного про-
профиля пути и т. п. При этих режимах силы, действующие на вагоны вдоль поезда,
достигают наибольших значений.
Подавляющее большинство современных вагонов и локомотивов оборудовано
разрезной упряжью. Н. Е. Жуковский предложил рассматривать поезд при наличии
разрезной упряжи как упругий стержень (состав) с грузом на одном из концов (ло-
(локомотив) либо как систему абсолютно твердых тел, соединенных в цепочку упругими
элементами [10]. Обе эти расчетные схемы консервативны; пользуясь ими, можно оп-
определить верхние границы усилий. В дальнейшем были предложены расчетные схемы
424 КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
в виде упруговязкого стержня или стержня с иными неупругими сопротивлениями
с грузами на обоих концах (тянущий и подталкивающий локомотивы) и в виде си-
системы твердых тел, соединенных элементами, имеющими упругие несовершенства
[15, 17, 18, 21]. Первая расчетная схема пригодна, если зазоры в упряжи не влияют
на переходный режим. Так будет при пуске в ход растянутого поезда, торможении
с локомотива сжатого поезда и т. д.
Расчетная схема в виде стержня (состав) с грузами по концам (локомотивы).
Поместим начало координат в центре тяжести левого концевого сечения стержня
и направим ось х вдоль его оси. Пусть погонная масса и жесткость стержня будут
m (х) и с (зс). На стержень действуют внешние силы интенсивности w (х, t). Если стер-
стержень упруговязкий, то сила S, действующая в его сечении, связана с деформа-
ди
циеи e—fl- выражением
где ii — коэффициент вязкого сопротивления. Дифференциальное уравнение дви-
движения имеет вид
Если к концам стержня прикреплены грузы массой mt и /л2, то граничные усло-
условия, являющиеся дифференциальными уравнениями движения грузов, следующие:
,= 0.^^-2.-5@. 0; х-/. .2^U-S(/,0. B2)
Начальные условия в общем случае при t = 0
и(х, 0) = ф(*), ди{*;0)=Ц(х). B3)
Для исследования собственных колебаний стержня положим, что w (х, t) = 0,
и применим метод Фурье, т. е. представим решение в виде и (х, t) = X (х) Т (t).
После подстановки этого выражения в уравнение B1) получим следующие два обык-
обыкновенных дифференциальных уравнения для определения фундаментальных функций
X (х) и функций времени Т (t):
[c(x)X']' + com(x)X = O; Г4-Ц(О2Г + ш3Г = 0, B4)
где
. ....
= const. B5)
m{x)X
Граничные условия B2) преобразуются к виду
)==с(/) X' (I). B6)
Для стержня постоянного сечения, имеющего погонную массу т(х) = щ и
жесткость с (х) — с0, первое из уравнений B4) примет вид X" + п%Х = 0. Решение
этого уравнения X = С cos пх + D sin пх, причем rfl = со3 — = -^; а2 = —— квад-
квадрат скорости упругой волны. Воспользовавшись граничными условиями B6) и введя
обозначения ~-~ = а1, -~- = а,, получим следующее характеристическое уравне-
tnal trial
ние:
ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ 425
где X = nl. Это уравнение имеет бесконечное (счетное) множество решений Хо = О,
Xj, Я2, ..., Л/е1 ... Фундаментальные функции
Хо=1, Xft = cos-p —a^sin-j^-. B8)
Из выражений B7) и B8) можно получить характеристические уравнения и
фундаментальные функции для любых закреплений концов стержня. В случае тяги
поезда одним локомотивом конец стержня х = 0 свободен, т1 = О, at = 0. Масса
груза на другом конце х = I (масса головного локомотива) пц = т, а2 = а, и харак-
характеристическое уравнение и фундаментальные функции примут вид
tgX = — «Л; *0=1; Xft = cos^ (*=1, 2, 3, ...). B9)
Фундаментальные функции X и их производные X' обладают свойством ортого-
ортогональности [22, 28]. В случае свободных или защемленных концов справедливо ра"
венство
{x)XkXfdx=0,
венство
г
а когда к концам стержня прикреплены грузы массой т1 и т2,
I
У т (х) XkX, dx + miXh @) Xj @) + m2Xlt (I) X, @ = 0.
о
Для производных X' (x)
г
Переходные режимы движения. Для исследования переходных режимов движе-
движения применим метод обобщенных координат. Представим решение в виде [15, 17,
21, 22]
где Xfe (д) — фундаментальные функции задачи; qk (t) — обобщенные координаты,
которые определяются из уравнений Лагранжа второго рода.
Кинетическая и потенциальная энергии системы
И' ¦
Функция рассеяния энергии
l
дди\*
где ц* — коэффициент внешнего сопротивления движению. Можно рассмотреть и
иные сопротивления относительным и абсолютным перемещениям [17].
426 КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
Вследствие ортогональности фундаментальных функций и их производных
в выражения Т, U и F после подстановки в них и {х, t) по формуле C0) войдут только
квадраты обобщенных координат и обобщенных скоростей. Следовательно, обобщен-
обобщенные координаты Цъ — главные. После выделения фундаментальной функции Хо = I
и обобщенной координаты qQ выражения для Т, U и F примут вид
\\ C1)
о J
oo I
?l 0
k = l О
ft*
со г , ;
f T ( .
=l 0 \ 0
@ + f «(ж) x| ^ b|. C3)
о I
При постоянных с (х) — Cq и m (x) = щ для определения каждой из главных
координат ^0, ..., Ць получится отдельное, не связанное с остальными дифференци-
дифференциальное уравнение. Для координаты q0
Vo + \i*qo = %-, C4)
г
где М — тх + тг + ^ т (х) dx — масса системы. Для координат qk(k=\, 2, ...)
о
C5)
l
где 2е^ = [x* -f co^i'i w* = Л 1 ^ с (х) (XkJ dx •
о
Н^Мс(х)(ХкГйхУ;
A ft = miXl @) + msX| @ + I m (x) Xft (x) dx; «sk — -^.
о
Решение дифференциального уравнения C5) при нулевых начальных условиях
t = 0, qk = 0, 4k = 0 имеет вид [15]
sin ш*в ^-Т) dT> C6)
где со?6 = У «а — е/г — щ 1/ 1 -Л _? j _ частота ^-й формы затухающих колебаний,
* \ ti J
ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ 427
При исследованиях конкретных случаев обычно не используют выражение C6),
а решают дифференциальное уравнение C5) при заданной обобщенной силе Q^. Это
решение удобно выполнять операционным методом.
Подставив значения q0 (t), qk (t) и Xk (x) в формулу C0), определим перемеще-
перемещения и (х, t).
На основании формулы B0)
S = c (х) fj (?*+l4*) **(*). C7)
k
Определение усилий при пуске поезда в ход. Найдем реакцию системы на единич-
единичную силу F (t) — а0 (f), где а0 (t) = 0 при t < 0 и а0 (f) = 1 при t > 0 — единичная
функция Хевисайда. Рассмотрим стержень, у которого конец х = 0 свободен, а к кон-
концу х — I прикреплен груз. В таком случае характеристическое уравнение и фунда-
фундаментальные функции имеют вид B9). Положим, что приложена сила к грузу. Обобшен-
ные силы Qo и Q^ определим как коэффициенты при вариациях обобщенных координат
в выражениях возможных работ приложенных сил [15]: Qo = °о @> Q.k — ^-k @ °о СО-
Дифференциальные уравнения примут вид
Решение второго из уравнений при нулевых начальных условиях]
^ sm <в*в<)]а0@. C8)
Воспользовавшись формулой C7), после некоторых преобразований найдем
со
S (х, 0 = SCT - У -f Xft(/) expj~^ cos (cofte< + y») X^ (x) a0 (Q. C9)
f()!
В случае упруговязкого стержня sin Yfe = -?r ык> eft = "%" M*i a B случае упругого
и' ц'
стержня с гистерезисом sin у/,, =-^-= const, 6^ = ^-0)*, ju,' = ficoi [17].
По формуле C9) можно определять усилия, возникающие в упряжных приборах
при пуске в ход поезда, если сила тяги нарастает быстро и затем не изменяется Ос-
Осциллограммы усилий в упряжных приборах, распочоженных в различных местах по
длине поезда, записанные при многочисленных опытах, хорошо совпадают с графи-
графиками усилий в тех же сечениях, построенными на основании вычислений по формуле
C9). На рис. 19 приведены осциллограммы, записанные при выполнении опытов по
пуску в ход растянутого поезда. Линия 1 —• осциллограмма тока в двигателях,
пропорциональная силе тяги. Сила тяги F {() после быстрого нарастания медленно
убывала с увеличением скорости поезда. Пусть F (t) = Fo (I — ftf) a0 (t) Тогда для
определения усилий S вместо C9) получим после некоторых преобразований формулу
к=\
X — cos (шает "г" У к) ао О' (^)
428
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
На рис. 19 линии 2, 3, 4, 5,6 и 7 — осциллограммы усилий, записанные во время
одного из опытов в сечениях поезда х = I, х = 0,83/, х = 0,59/ (линии 4 и 5 записаны
в разных вагонах-лабораториях), х = 0,33/ и х = 0,17/. Кружками отмечены значе-
— ния усилий, вычисленные по
формуле D0) при с0 = 103 • 103
тс и ц' = 0,1. Из приведен-
приведенных сопоставлений результа-
результатов следует, что если зазоры
в упряжных приборах не
влияют на переходной про-
процесс, то поезда можно рас-
рассматривать как линейные
системы.
Границы применимости
линейной теории и значения
параметров. Сделанное выше
заключение о применимости
линейной теории колебаний
к исследованию переходных
режимов движения поездов
рис- j9 подтверждав гея тем, что ско-
скорость а упругой волны
в поездах, вагоны которых оборудованы как пружинно-фрикционными, так и резино-
металлическими поглощающими аппаратами, не зависит от величины действующих
усилий. Только при силах, близких к начальной затяжке аппаратов, система ведег
себя как нелинейная с мягкой характеристикой.
На рис. 20 показаны изменения отношений максимальных усилий в сечениях
поезда к усилиям в тех же сечениях при установившемся режиме движения [12].
Линии 1, 2 и 3 соответствуют этим отноше-
отношениям, полученным аналитически в предпо- _§лим_
ложениях, что система линейная A), жест-
жесткая B) и мягкая C). Заштрихованная на
рис. 20 полоска изображает поле, в котором
лежат эти отношения, найденные из много-
многочисленных опытов. Нелинейность упругих
характеристик межвагонных соединений
S
/
ф
1
1
Г
1
Sum
Ч
3
2
1
А
/
/
j i .. . .
0,75 0,5 0,25 х/1
Рис. 20
0,75 0,5 0,25
Рис. 21
оказывает существенное влияние на изменение крутизны нарастания силы, т. е. на
производные сил по времени. На рис. 21 линии 1,2 и 3 соответствуют значениям отно-
отношений S
при линейной (/), жесткой B) и мягкой C) характеристиках
соединений. Заштрихованная на рисунке полосгса изображает поле соответствующих
/max
lmax
ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ
429
экспериментальных данных. В работе [12] приведены и другие критерии, которыми
подтверждается возможность применения линейной теории в тех случаях, когда зазо-
зазоры в упряжи не влияют на переходный процесс. При пуске в ход пружинно-фрикцион-
пружинно-фрикционные аппараты Ш-1-Т и Ш-2-Т сжимаются только при первом натяжении. Далее аппа-
аппараты заклиниваются, и колебания усилий происходят вследствие упругости вагонов.
По результатам опытов можно определить скорость а упругой волны и жесткость с0
системы при заклиненных аппаратах, скорость ах и жесткость сх при работающих
аппаратах, а также отношение г|) необратимо поглощаемой энергии к полной энергии
и коэффициент (г'. Эти коэффициенты связаны соотношением [17]
2 In
D1)
В табл. 7 приведены значения указанных величин.
7. Значения параметров для разных типов вагонов и поглощенных аппаратов
Тип
вагонов
Четырехосные
Шестиосные
полувагоны:
ЦМВ
ЦМВ
ЦМВ
Тип погло-
поглощающего
аппарата
Ш-1-Т
Ш 2-Т
ЦНИИ-Н-6
Р 2П
Р-4П
тс•с2/м
0,51
0,76
0 22
0 22
0,22
а,
м/с
450
430
760
760
800
а,,
м/с
250
240
220
210
220
Со
тс 10 э
103
НО
128
128
128
тс/м
7400
8500
5200
5200
5600
с,
тс-Ю-3
32
44,5
10,5
97
14,3
тс/м
2300
2700
420
400
580
Р.'
0,1
0,1
0,18
0 26
0,42
Л
0,26
0,26
0 44
0 55
0,73
Примечание Ш-1-Т, Ш 2 Т, ЦНИИ-Н-6 пружинно-фрикционные, Р-2П, Р-4П —рези-
нометаллические поглощающие аппараты.
Неоднородные поезда. Электрическое моделирование и применение АВМ.
Неоднородные поезда часто состоят из отдельных групп однотипных и одинаково
нагруженных вагонов. Если переходные режимы не зависят от зазоров в упряжи, то
каждую из таких групп можно рассматривать как однородный стержень. Расчетной
схемой неоднородного поезда будет система однородных стержней, соединенных
торцами так, что жесткость и масса изменяются скачкообразно [2, 5]. Такая система
может иметь сосредоточенные включения (например, локомотивы). Классические
методы решения в этом случае мало эффективны. Следует пользоваться обобщенными
функциями, которые позволяют получить единое аналитическое выражение решения
при любом значении координаты х [14, 21, 28].
Для исследования переходных режимов движения поездов, особенно неоднород-
неоднородных, очень удобно пользоваться электрическим моделированием, основанном на
электромеханических аналогиях A6, 18]. На основании этих аналогий строят элек-
электрические модели исследуемых механических систем, состоящие из R-, L-, С-контуров.
Наиболее удобной является первая система электромеханических аналогий, согласно
которой силе соответствует электрическое напряжение, перемещению — заряд,
скорости — ток и т. д. [16, 18]. С помощью таких моделей получен ряд важных ре-
результатов.
Если зазоры в упряжи влияют на переходные процессы (пуск в ход полностью
или частично сжатого поезда, торможение растянутого поезда с локомотива и т. д.),
то система оказывается существенно нелинейной. В качестве расчетной схемы в этих
случаях следует брать систему абсолютно твердых или деформируемых тел, соеди-
соединенных в цепочку существенно нелинейными элементами. Исследование переходных
режимов движения следует выполнять либо путем решения систем дифференциальных
430
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
уравнений движения на АВМ, либо с помощью их численного интегрирования на
ЭЦВМ [18, 21, 23, 24].
Дифференциальные уравнения движения поезда как системы твердых тел имеют
вид
(/ = 0, п),
D2)
где trij — масса; Жу — абсолютное перемещение тела; S/, Sj+1 — усилия, действую-
действующие в элементах, сединяющих тела в цепочку, So = Sn+i = 0; Fj — внешняя сила,
приложенная к массе т/.
Для исследования пуска в ход эту систему нужно решать при нулевых начальных
условиях. Можно перейти к относительным перемещениям qj = Xj_Y —Xj, разделив
каждое из уравнений на массу и вычитая из предыдущего последующее уравнение.
Решение полученной таким образом системы дифференциальных уравнений на АВМ
может привести к значительным погрешностям. Целесообразнее представить систему
D2) в виде
III I . <J I ».
dt
(/ = 0, я);
0=TH),
dqi
D3)
где Vj — абсолютная скорость тела с массой ту, -п — относительная скорость
соседних масс.
Введя масштабные коэффициенты, перейдем к машинным переменным и к машин-
машинным уравнениям, по которым составляется блок-схема решения [18, 21], набираемая
на модели. Функции Sj (qfi,) — силы в элементах, соединяющих вагоны. В этих
элементах могут быть зазоры; они включают упругофрикционные, резинометалли-
ческие, гидравлические, гидрогазовые и другие амортизаторы. Для моделирования
электрических напряжений аналогов S,- следует применять специальные блоки,
воспроизводящие соответствующие силовые характеристики.
Применение численного интегрирования. Наиболее эффективным методом ре-
решения систем дифференциальных уравнений D3) является численное интегрирование.
В общем случае эти уравнения нужно решать при начальных условиях t = ta, Vj = V,o,
qj = qj0. На рис. 22 изображен график зависимости Sj от qj в случае пружинно-
фрикционного аппарата. Математическое описание этой силовой характеристики
имеет вид [23]
0, если 0 < | q; \ s? б;
при б < ] qj j < Д + S и qj
ftH(<7/ —6). если \kn(qj — 6)
если j kB {qj - 8) { > ( kK (g,- -
при 6<|<7yj < Д + 6 и qjtjj<0
(qpj - 6) [;
б), если
| kp {qj —
j > \
гн(<7н/—S)!;
(qj — qHJ) + К (Qaj — 6) + Mr
если | ftp (qy — 6)
| kK (qj — qaj) + kH (qBj — 6) [;
qj — 6 j ==? Д или | qj — б | > Д
D4)
ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ
431
где 8 = —- A +sign <?;); So — наибольшая величина зазора в соединении; qHJ- и qpj —
значения координаты qj в моменты изменения знака произведения qfij с плюса на
минус (qH:), и наоборот (qpJ); кя и kp — жесткости системы при нагрузке и разгрузке;
&к — жесткость конструкции вагона; Р — коэффициент вязкого сопротивления;
А = Sq&h1 (So = 200 тс). Величина S, зависит от ду неоднозначно. Каждому значению
qy <= (б0, 60-(- Д) соответствует бесконечное множество значений Sj е [йр (qy —б),
&н (q _ б)]. Чтобы получить однозначное решение,
необходимо задать дополнительные начальные усло-
условия: при t = t0 Sj = Sja.
Доказано, что при основных и дополнительных
начальных условиях решение системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений D3) существует и является един-
единственным [23]. Поэтому можно применять методы чис-
численного интегрирования. Широкое распространение
получили одношаговые методы, особенно формулы
Рунге—Кутта четвертой и второй степени [231. В по-
последнее время применяют разностные формулы Адам-
са—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и
дают возможность решать системы дифференциальных
уравнений на длинных отрезках.
На рис. 23, а, б приведены осциллограммы пусков
в ход предварительно сжатых поездов. Линии О на обоих
рисунках —ток в двигателях, пропорциональный силе
тяги локомотивов. На рис. 23, а приведены осциллограммы усилий перед первым,
пятым, десятым и четырнадцатым вагонами поезда, составленного из 16 грузовых
вагонов, вагона-лаборатории и локомотива при очень быстром нарастании силы тяги.
На рис. 23, б показаны изменения усилия в пяти сечениях тяжеловесного длинносос-
тавного грузового поезда (линии 1—5) при медленном нарастании силы тяги.
Осциллограммы, получающиеся при решении на АВМ и построенные по резуль-
результатам численного интегрирования, хорошо совпадают с осциллограммами, записан-
записанными во время опытов.
РИС. 22
Рис. 23
Если не принять специальные меры, то к началу переходного режима движения
зазоры в межвагонных соединениях будут иметь случайные значения от 0 до макси-
максимального значения б0, которое колеблется от 10 до 130 мм. Было рассмотрено анали-
аналитически 22 варианта распределения зазоров по длине поезда. Эти распределения за-
задавались с помощью таблиц случайных чисел. Заштрихованная на рис. 24 полоска —
поле распределения наибольших усилий по длине поезда по всех 22 случаях, а сплош-
сплошная линия — распределение усилий при одинаковых к моменту начала переходного
режима зазорах, равных 65 мм на одно сцепление. Качественно осциллограммы, по-
полученные во всех случаях, согласуются с записанными при опытах. Так как сплошная
432
КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО СОСТАВА
линия по всей длине лежит в поле распределения усилий, то при исследовании пере-
переходных режимов следует брать зазоры одинаковыми во всех сцеплениях. На рис. 25
приведено распределение усилий по длине поезда массой 4100 т при пуске его в ход
тремя локомотивами, общей массой 400 т. Зазоры в упряжи приняты одинаковыми —
по 65 мм на сцепление. Сплошная линия соответствует результатам численного ин-
интегрирования, кружки — значениям наибольших усилий, полученных во время опы-
опытов.
40
20
су—>^*~
„
\/о
¦—-—Q
1
1
0,75
0,5
Рис. 2S
0,25
*п
Переходные режимы при возмущениях, распространяющихся по длине поезда.
Распространяющиеся по дмне поезда возмущения возникают при торможении тор-
тормозами с пневматическим управлением и при движении через переломы продольного
профиля пути [1,8, 24, 32]. На рис. 26 приведены распределения наибольших усилий
по длине поезда массой 2800 т при торможениях в том случае, когда зазоры в упряжи
не влияют (штриховая линия) и влияют (сплошные линии) на переходной режим.
Кружками и крестиками изображены соответствующие результаты опытов.
При движении через переломы продольного профиля пути наиболее неблаго-
неблагоприятные условия возникают в случаях перехода поезда со спуска на подъем [24].
-во.—
г
х
1
"°ЛЧ 0,15 0,5 0,25 х/1 /
н
М
— 40
-so
¦ТОО
по
20000 60000 120000
-1
i
1
'л
У,
У/,
Y
1
1
у '
2
—¦¦* I
200000
S
.
.
R,M
~ 7"
maxstrc
Рис. 26
Рис. 27
Положим, что два прямолинейных элемента продольного профиля сопрягаются в вер-
вертикальной плоскости круговой кривой радиуса R, и пусть Дг — алгебраическая раз-
разность уклонов сопрягаемых прямолинейных элементов. Согласно Правилам проекти-
проектирования железных дорог руководящий подъем для линий I и II категорий не должен
превышать 15%, поэтому при разработке новых норм проектирования продольного
профиля железных дорог рассматривают переход поезда со спуска 15% на такой же
подъем, т. е. принимают Дг = 30%. Исследователи перспективных поездов с двумя
локомотивами массой по 185 т в голове. При длинах приемо-отправочных путей
850 м, 1050 м и 1250 м массы таких поездов составляют 7600 т, 9400 т и 11 000 т. На
рис. 27 приведены графики зависимости наибольших усилий от R при движении на
выбеге со скоростью 100 км/ч сжатых (линии 1—3) и растянутых (линии 4—6) поездов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 433
Линии / и 4 соответствуют усилиям при массе поезда 7600 т, линии 2 и 5 — при массе
9400 т, линии 3 и 6 — при массе 11 000 т.
При эксплуатации могут встретиться ситуации, когда необходимо применить
те или иные действия по управлению движением поезда. Особенно часто может слу-
случиться, что машинист будет вынужден пользоваться тормозами. При торможениях на
переломах продольного профиля усилия в упряжных приборах поездов значительно
возрастают. Так, при регулировочном торможении сжатого поезда массой 11 000 т
на переломе при R = 60 000 м наибольшее сжимающее усилие в поезде будет 90 тс
вместо 35 тс при движении на выбеге, а при торможении растянутого поезда и том же
значении R усилие будет 155 тс вместо 75 тс.
Распределение зазоров в упряжи по длине поезда перед началом переходного
режима движения часто является случайным. Поэтому большое значение имеет ста-
статистическое исследование продольных усилий в поездах [32],
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Барбас И. Г. Аналитическое определение динамических усилий, возникающих в упряж-
упряжных приборах при движении через перелом продольного профиля пути. — В кн.: Труды
ДИИТа, вып. 42. Днепропетровск, 1962, с. 212 — 248.
2. Блохин Е. П. К вопросу об усилиях в неоднородном поезде. — В кн.: Труды ДИИТа,
вып. S33. Днепропетровск, 1971, с. 51—58.
3. Вериго М. Ф. Вертикальные силы, действующие на путь при прохождении подвижного
состава. — В кн : Труды ЦНИИ МПС, вып. 97, М., Тр'ансжелдориздат, 1955, с. 25 — 228.
4. Вершинский С. В. Динамика вагона. — В кн.: Технический справочник железнодорож-
железнодорожника, т. 6. М , Трансжелдориздат, 1952, с. 6S1 —712.
5. Вершинс.ий С. В. Продольная динамика вагонов в грузовых поездах. — В кн.: Труды
ЦНИИ МПС, вып. 143. М., Трансжелдориздат, 1957, 263 с.
6. Вершинский С. В., Данилов В. Н., Челноков И. И. Динамика вагона. М., Транспорт,
1972. 304 с.
7. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М., Физ-
матгиз, 1960. 492 с.
8. Гребенюк П. Т. Продольные усилия в грузовых поездах при различных режимах тормо-
торможения. — В кн.: Труды ЦНИИ МПС, вып. 255. М., Трансжелдориздат, 1963, с. 43—54.
9. Данович В. Д., Липовский Р. С, Грановский Р. Б. Пространственные колебания грузо-
грузового вагона при движении по пути с детерминированными и случайными неровностями. —
В кн.: Механика наземного транспорта. Киев, Наукова думка, 1977, с. 37 — 41.
10. Жуковский Н. Е. Работа (усилие) русского сквозного и американского несквозного тя-
тягового приборов при трогании поезда с места н в начале его движения. Полное собр.
соч., т. 8, М. — Л., ОНТИ, 1937, с. 221—255.
11. Зильберман И. А., Коротенко М. Л. Об одном алгоритме оптимизации параметров дина-
динамических систем. — В кн.: Динамика и прочность высокоскоростного наземного тран-
транспорта. Киев, Наукова думка, 1976, с. 106 —110.
12. Интегральная оценка поведения связей в поезде и определение их параметров по ре-
результатам натурных испытаний / В. А. Лазарян, Е. П. Блохин, Л. А. Манашкин, Л. С. Ба-
дикова. — В кн.: Труды ДИИТа, вып. 103. М., Транспорт, 1971, с. 3 — 17.
13. Исследование динамики и прочности вагонов / Под ред. С. И. Соколова. М., Машино-
Машиностроение, 1976. 223 с.
14. Конашенко С. И., Науменко Н. Б. О динамических усилиях при продольных колебаниях
неоднородных стержней с сосредоточенными включениями. — Прикладная механика,
т. IX, вып. 7, 1973, с. 109 — 114.
15. Лазарян В. А. О динамических усилиях в упряжных приборах поездов при сопротивле-
сопротивлениях относительным перемещениям экипажей. — В кн.; Труды ДИИТа, вып. 20. М.,
Трансжелдориздат, 1950, с. 3 — 32.
16. Лазарян В. А. Исследование усилий, возникающих при переходных режимах движения
в стержнях с различными упругими несовершенствами. — В кн.: Труды ДИИТа, вып. 25.
М., Трансжелдориздат, 1956, с. 5 — 50.
17. Лазарян В. А. К вопросу об электрическом моделировании переходных режимов дви-
движения стержней. — В кн.: Труды ДИИТа, вып. 25. М., Трансжелдориздат, 1956, с. 84 —
123.
18. Лазарян В. А. Применение математических машин непрерывного действия к решению
задач динамики подвижного состава железных дорог. М., Трансжелдориздат, 1962.
220 с.
19. Лазарян В. А. Дифференциальные уравнения движения четырехосного вагона по изо-
изолированной неровности пути. — В кн.: Труды ДИИТа, вып. 44. М., Трансжелдориздат,
1063, с. 3—10.
20. Лазарян В. А. Динамика вагонов. М., Транспорт, 1964. 256 с.
21. Лазарян В. А. О переходных режимах движения поездов. — В кн.: Труды ДИИТа,
вып. 152, Днепропетровск, 1973, с. 3 — 43.
22. Лазарян В. А. Применение обобщенных координат к исследованию вынужденных коле-
колебаний стержней. — В кн.: Труды ДИИТа, вып. 158 Днепропетровск, 1975, с. 3 — 15.
23. Лазарян В. А., Блохин Е. П., Велик Л. В. О выборе численных методов интегрирования
уравнений движения существенно нелинейных одномерных механических систем. —
434 КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
В кн.! Некоторые задачи механики скоростного транспорта. Киев, Наукова думка,
1970, с. 135 — 141.
24. Лазарян В. А., Блохин Е. П. О математическом моделировании движения поезда по
переломам продольного профиля пути. — В кн.: Труды МИИТа, вып. 444. М., 1974,
с. 83-123.
25. Лазарян В. А., Демин Ю. В., Осадчий Г. Ф. Экспериментальная проверка методов иссле-
исследования устойчивости движения рельсовых экипажей. — В кн.: Некоторые задачи
механики скоростного наземного транспорта. Киев, Наукова думка, 1974, с. 3 —13.
26. Лазарян В. А., Длугач Л. А., Коротенко М. Л. Применение принципа сведения к иссле-
исследованию колебаний неавтономных нелинейных систем. — В кн.: Нагруженность, коле-
колебания и прочность сложных механических систем. Киев, Наукова думка, 1977, с. 3 — 7.
27. Лазарян В. А., Длугач Л. А., Коротенко М. Л. Устойчивость движения рельсовых эки-
экипажей. Киев, Наукова думка, 1972. 198 с.
28. Лазарян В. А., Конашенко С. И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев, Нау-
Наукова думка, 1974. 192 с.
29. Лазарян В. А., Литвин И. А. Дифференциальные уравнения плоских колебаний эки-
экипажа, движущегося по инерционному пути. — В кн.: Некоторые задачи механики ско-
скоростного транспорта. Киев, Наукова думка, 1970, с. 61—73.
30. Лазарян В. А., Ушкалов В. Ф. Случайные колебания сложных дискретных механических
систем. — Прикладная механика, т. VI, вып. 4, 1970, с. 105 — 110.
31. Львов А. А., Грачева Л. О. Современные методы исследования динамики вагонов. М.,
Транспорт, 1972. 160 с.
32. Манашкин Л. А., Бондарев А. М. Электронное моделирование тормозных сил при стати-
статистических исследованиях переходных режимов движения поездов. — В кн.: Труды
ДИИТа, вып. 182/22. Днепропетровск, 1976, с. 68 — 76.
33. Медель В. Б. Взаимодействие электровоза и пути. М., Трансжелдориздат, 1956. 280 с.
34. Понижение порядка систем нелинейных дифференциальных уравнений движения путем
исключения быстрозатухающих решений / В. А. Лазарян, Л. А. Длугач, И. А. Зильбер-
ман, М. Л. Коротенко. — Прикладная механика, т. XI, вып. 8, 1975, с. 81—88.
35. Тимошенко С. П. О динамических напряжениях в рельсах. — В кн.: Статические и дина-
динамические проблемы теории упругости. Киев, Наукова думка, 1975, с. 28 — 44.
36. Ушкалов В. Ф. О случайных колебаниях рельсовых экипажей при высоких скоростях
движения. — В кн : Некоторые задачи механики скоростного транспорта. Киев, Нау-
Наукова думка, 1973, с. 145 —159.
37. Шахунянц Г. М. Расчеты верхнего строения пути. М., Трансжелдориздат, 1959. 264 с.
Глава XVII
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИИ
1, ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Корпус судна представляет собой оболочку, подкрепленную балками набора,
поперечными и продольными переборками.
Особенностью формы корпуса является его вытянутость, которая характери-
характеризуется следующими значениями отношений длины судна L к максимальным значе-
значениям ширины 5т„„ и высоты борта Н , :
1 IIldA *¦ illdX
В средней части на длине 0,4—0,6 L корпус имеет цилиндрическую форму. Око-
Оконечности образованы поверхностями двоякой кривизны.
Большие вырезы в палубах, надстройки, фундаменты под главные и вспомога-
вспомогательные механизмы, различные подкрепления, выгородки и шахты приводят к зна-
значительной неоднородности и сложности конструкции, для исчерпывающего анализа
которой необходимо применять численные методы типа метода конечных элементов
[8, 13]. Наряду с этим в судостроении широко используют приближенные методы
динамических расчетов, в которых судовые конструкции представляют как балки,
рамы, изотропные и ортотропные пластины и цилиндрические оболочки. В основе
приближенных схем расчета судовых конструкций лежит допущение о возможности
независимого определения при статической нагрузке так называемых общих дефор-
деформаций корпуса и местных деформаций его элементов — перекрытий, поперечных рам,
отдельных балок набора, пластин обшивки. При этом под общими понимают дефор-
деформации, соответствующие балочным формам смещений корпуса в целом, происходя-
НАГРУЗКИ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 435
щим без искажения поперечных сечений. Местные деформации включают в себя все
деформации, связанные с местными искажениями.
В задачах динамики это допущение позволяет независимо изучать колебания
корпуса судна в целом (общая вибрация) и колебания отдельных составляющих его
конструкций (местная вибрация). В некоторых случаях при динамических деформа-
деформациях вследствие влияния сил инерции, гидродинамических и диссипативных сил,
взаимосвязанность общих и местных деформаций оказывается существенной (напри-
(например, при высокочастотной общей вибрации корпуса, на которую могут заметно влиять
колебания судовых перекрытий вследствие близости соответствующих парциальных
частот). Вибрацию перекрытий иногда необходимо рассчитывать с учетом влияния
колебаний обшивки и подкрепляющего ее набора.
Характерной особенностью задач динамики судовых конструкций является необ-
необходимость учета влияния жидкости, окружающей корабль и находящейся в отсеках.
Жидкость при этом оказывается не только средой, в которой возбуждаются интен-
интенсивные поля давлений, но также играет роль источника динамических нагрузок на
корпус при движении корабля в условиях волнения.
В справочнике внимание уделяется главным образом описанию колебаний
судовых конструкций, сведениям об используемых в практических расчетах решениях
со ссылками на специальную литературу,
2. НАГРУЗКИ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Целесообразно выделить три вида нагрузок, вызывающих установившиеся и не-
неустановившиеся колебания судовых конструкций и корпуса в целом:
1) нагрузки, связанные с неполной уравновешенностью главных и вспомогатель-
вспомогательных механизмов, с дефектами изготовления гребных винтов, неточностями центриро-
центрирования и монтажа гребных валов;
2) нагрузки, связанные с работой гребных винтов вблизи корпуса;
3) нагрузки, вызванные воздействием на судно морского волнения.
Нагрузки первого вида. В качестве главных двигателей на современных судах
используют турбины или многоцилиндровые дизели. В таких механизмах достигается
высокая степень уравновешенности, и они создают весьма незначительные вибра-
вибрационные нагрузки.
Судно всегда испытывает вибрацию с частотой, соответствующей частоте вращения
гребного вала. Ее основные причины — гидродинамическая несбалансированность
гребного винта и дефекты изготовления валопровода.
Гидродинамическая несбалансированность гребного винта вызывается разли-
различиями в форме и размерах отдельных его лопастей и, следовательно, в величине про-
профильного сопротивления лопастей и развиваемого ими упора. Вследствие этих раз-
различий на гребной винт действуют неуравновешенные гидродинамическая сила и мо-
момент, векторы которых перпендикулярны оси гребного вала. Вращаясь вместе с ва-
валом, эти сила и момент, передающиеся через подшипники на корпус, создают периоди-
периодическую нагрузку, изменяющуюся с частотой, соответствующей частоте вращения
гребного винта. К вибрационной нагрузке такой же частоты приводят также неточ-
неточности, допускаемые при изготовлении гребного вала.
Упомянутые дефекты гребного винта и валопровода имеют случайный характер,
и соответствующая им вибрационная нагрузка может быть оценена с использованием
нормативных требований к точности изготовления и монтажа движительного комп-
комплекса судна [2].
К рассматриваемому виду следует также отнести вибрационные нагрузки, появ-
появляющиеся вследствие действия опрокидывающих моментов и активных сил в судовых
дизелях. Эти нагрузки возбуждают незначительную вибрацию судна на частотах,
кратных частоте вращения гребного вала.
В целом, соблюдение требований к качеству изготовления и монтажа механизмов,
валопроводов и гребных винтов обеспечивает с высокой вероятностью, что вибра-
вибрационная нагрузка первого вида не превзойдет допустимую [10].
Нагрузки второго вида — наиболее существенные источники вибрации судовых
конструкций, Вибрационные нагрузки, возбуждаемые идеальным гребным винтом,
436
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
о,ю
0,05
работающим за корпусом, можно разделить: а) на нагрузки вследствие изменения
упора и профильного сопротивления лопасти в течение каждого оборота винта, что
обусловлено неравномерностью поля скоростей потока, набегающего на винт, и эк-
экранизирующим влиянием корпуса; эти нагрузки передаются на корпус через подшип-
подшипники; б) на нагрузки, возбуждаемые также работающим винтом, и определяемые
давлениями на поверхности корпуса и выступающих частей судна.
Неоднородность потока, набегающего на винт, создается вследствие нескольких
причин, среди которых главную роль играет так называемый попутный поток за кор-
корпусом — вызываемое движением судна сложное поле скоростей. Это поле имеет как
регулярную составляющую, обуслов-
обусловленную потенциальной частью потокэ,
так и случайную, связанную с турбу-
лентностью, вызванной влиянием по-
граничного слоя судна.
Осевая Vx (направленная вдоль
оси гребного вала) и окружная Vt со-
составляющие скорости регулярной части
попутного потока могут быть рассчи-
рассчитаны или измерены с использованием
модельного эксперимента. Это позво-
позволяет выполнить расчет периодических
сил, действующих на винт.
Осевую составляющую удобно
представить в виде
Vx = v0 + vx, A)
где v0 — скорость судна; vx — зави-
зависящая от координат в плоскости диска
винта составляющая осевой скорости.
В качестве примера на рис. 1 по-
показаны изменения составляющих поля
Рис I скоростей попутного потока за один
оборот лопасти двухвинтового судна.
Величины соответствуют точкам на окружности радиуса г = 0,375 D, где D — диа-
диаметр винта. Положительное направление осевой составляющей скорости — в корму,
окружной — в направлении вращения лопасти. Начало отсчета углов 6 от оси вра-
вращения при вертикальном положении лопасти вверх.
Функции Vx(ft) и Vf(9) — периодические и могут быть представлены в виде
рядов Фурье на интервале 0 < 8 < 2л:
-0,05
-0,10
-0,15
-0,20
-0,25
у
\
V
С
60 90
I I I I >
ПО 150 WOAll
r\ t
12W 270
I I „
300 330 «•
cos
Vt=
B)
При вращении лопасти винта каждая k-я составляющая разложения B) приводит
к гармоническому колебанию скорости потока относительно лопасти с частотой Од, =
= кщ, где Wj—частота вращения винта, 1/с.
После обращения определение периодической нагрузки на винт сводится к задаче
окружных и осевых гармонических колебаний лопастей в однородном потоке жидкости.
При решении такой задачи лопасть следует рассматривать как закрученное относи-
относительно толстое крыло конечного размаха и сложной формы в плане и, кроме того,
учитывать эффект решетки. Решение подобных задач отличается значительной слож-
сложностью, поэтому при расчетах находят применение различные приближенные методы.
Для получения приближенных решений применяют гипотезу стационарности
и принимают допущение о двумерном обтекании лопасти и замене ее тонкой колеблю-
колеблющейся пластинкой [2, 15, 19, 22].
НАГРУЗКИ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 437
Экранизирующее влияние корпуса приводит к дополнительным периодическим
изменениям нагрузки на лопасть винта, поскольку при вращении меняется расстояние
лопастей от корпуса. Приближенный учет этого обстоятельства выполняется с помощью
упрощенного представления формы экрана, например, при замене корпуса бесконеч-
бесконечной пластиной [2].
Периодическая составляющая нагрузки на гребной винт с достаточной для
практических целей точностью может быть представлена как моногармоническая, из-
изменяющаяся с частотой шге = п©1, где п — число лопастей винта.
Динамическая нагрузка на гребной винт наряду с рассмотренной детерминиро-
детерминированной имеет случайную составляющую, связанную с влиянием морского волнения,
качки судна и турбулентности попутного потока. Расчет статистических характерис-
характеристик этой составляющей нагрузки возможен на основе спектральных методов, однако
весьма трудоемок и в настоящее время еще не достаточно разработан.
Нелинейные эффекты, обусловленные выходом лопастей из воды при качке судна
и кавитацией, значительно усложняют задачу определения динамической нагрузки
на винт.
Возмущающая нагрузка второго из отмеченных выше типов, связанных с работой
идеального гребного винта за корпусом, имеет вполне детерминированный характер
и рассчитывается с использованием имеющихся решений задачи о движении лопасти
винта вблизи экранов, создаваемых корпусом судна и выступающими частями [15,
19, 22].
В целом расчеты возмущающей нагрузки второго вида имеют низкую точность
вследствие приближенности определения поля скоростей набегающего потока, не-
неучета истинной геометрии винтов и экранов, влияния нелинейных факторов. Поэтому
важны натурный и модельный эксперименты.
Нагрузки третьего вида. Динамические нагрузки, связанные с воздействием
на судно морского волнения, можно разделить: а) на нагрузки, линейно зависящие от
кинематических параметров волнения; б) на нагрузки, определяемые нелинейными
эффектами (выходом оконечности судна из воды при качке и последующим ударом
днища, погружением носовой оконечности в воду до уровня, на котором имеется
значительный развал шпангоутов, заливанием палубы, ударами волн в борта судна и
кормовую оконечность).
При определении нагрузок третьего вида морское волнение представляется как
последовательность стационарных процессов, спектральная плотность которых зави-
зависит от интенсивности волнения, характеризуемой высотой волн 3%-ной обеспечен-
обеспеченности (Л3о/), и величины среднего периода волн G1 ). Закон распределения -ординат
волн принимается нормальным. Широкое применение находит спектр Slw, м2-с, ре-
рекомендованный вторым Международным конгрессом по прочности и конструкции
судов [25]:
[^] C)
Поскольку упругие колебания корпуса вызываются высокочастотными состав-
составляющими спектра волнения, расчет амплитудно-частотной характеристики вибраци-
вибрационной нагрузки первого из отмеченных выше типов производится на основе следу-
следующих допущений [3]: а) судно не испытывает качки, а его поступательная скорость
изменяет лишь частоту нагрузки и не сказывается на ее величине; б) принимаются
во внимание только две составляющие-, нагрузка, зависящая от давлений в волнах,
не возмущенных присутствием судна, и инерционная часть нагрузки, связанной
с дифракцией волн возле судна; в) гидродинамические усилия для каждого сечения
судна определяются из решения двумерной задачи.
При движении судна навстречу синусоидальным волнам интенсивность нагрузки
на корпус может быть найдена по приближенной зависимости
D)
где X — длина волны; h — ее высота; Ь (х) — ширина сечений судна на уровне не-
возмущенной свободной поверхности воды; р — плотность воды.
438
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
Абсцисса х отсчитывается от середины длины судна (связанная с судном и непод-
неподвижная системы координат показаны на рис. 2).
Частота нагрузки со связана со скоростью судна v0 и длиной волны А зависимостью
E)
где ш0 = Bngl'k)i^i — частота волны.
Значения коэффициента и можно определять >
по рис. 3 в зависимости от отношений Т/к я% = б/р0,
0,7
У f
Рис. 2
V
Х=О,?
0.5'
о,К
at
х=/,0
о/о qrs т/к
Рис. 3
где б — коэффициент общей полноты подводной части корпуса; |30 — коэффициент
полноты мидельшпангоута. Величины б и р0 определяют по формулам
6 =
V
LBT ' ^ ВТ '
где V — объем; Qo — площадь миделевого сечения погруженной в воду части корпуса.
Aw
2ft
'
i
~"i
1
l\
У
b/27
i
A
4
Щ
/qs q
=qz
/~- 1
8
i
.——
Щ
Hi —
m
—^—-
4/ ^ ^J 4* qs qs q? qs qs> 1,0 t,ini/>-
Рис. 5
Коэффициент Цзз (х) зависит от отношений b (x)jk, Ь (хIТ (х), р" = Q (х)/Ь (х) Т (х),
где Q (х) — площадь произвольного сечения погруженной в воду части корпуса.
В табл. 1 содержатся предельные значения коэффициента [д3з при Ь (х)/Х-*- °°. Гра-
Графики для определения этого же коэффициента при конечных значениях Ъ (хIЪ. приве-
приведены на рис. 4—8,
НАГРУЗКИ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. Значения коэффициента ц3з при Ь/к -» оо
439
т/ь
од
0,2
0,3
0,-!
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Ь/Т
10,0
5,0
3,33
2,5
2,0
1.67
1,42
1,25
1,11
1,0
Р
0,5
0,901
0,851
0,819
0,798
0,78-1
0,775
0,767
0,762
0,758
0,756
0,55
0,916
0,869
0,8-10
0,820
0,806
0,796
0,786
0,780
0,774
0,771
0,6
0,931
0,891
0,864
0,846
0,833
0,821
0,813
0,806
0,800
0,795
0,65
0,948
0,916
0,895
0,878
0,866
0,856
0,850
0,812
0,837
0,831
0,70
0,966
0,9-14
0,928
0,914
0,907
0,900
0,894
0,888
0,884
0,880
0,75
0,986
0,976
0,968
0,963
0,959
0,955
0,951
0,948
0,946
0,943
0,80
1,006
1,011
1,015
1,017
1,019
1,021
1,023
1,024
1,025
1,026
0,85
1,029
1,052
1,070
1,083
1,093
1,103
1,107
1,113
1,120
1,124
0,90
1,054
1,097
1,132
1,159
1,185
1,203
1,217
1,232
1,243
1,260
0,95
1,079
1,118
1,207
1,256
1,297
1,331
1,352
1,375
1,391
1,411
1,0
1,108
1,202
1,293
1,362
1,422
1,472
1,521
1,551
1,580
1,605
При расчете вибрации, вызываемой нагрузкой q (х, () [см. уравнение D)], инте-
интерес представляют только резонансные колебания, соответствующие первому тону.
Поэтому достаточно определить обобщенную силу
L/2
-L/2
х, t)h(x)dx,
где f% {x) — первая форма свободных упругих колебаний корпуса судна.
С D)
С учетом D) получается
I @ = Qu ft) cos at -f- Ql2 (X) sin at,
где
C12 (%) =
I 2ji% .
cos —7— dx;
I Л
— L/2
b (x) ["l - 2,46il,3 (x) Ь-
. 2nx ,
sm -;— dx.
к
F)
G)
(8)
После определения Qa (Я) и Q12 (Л) расчет вибрации на встречном нерегулярном
Двумерном волнении производится с помощью спектральных методов теории случай-
случайных процессов [3, 9]. Расчет характеристик волновых нагрузок второго типа (нелиней-
(нелинейных) выполняется с учетом предположения о независимости смещений и скоростей
корпуса судна от рассматриваемых нагрузок (расчет в первом приближении).
Необходимое условие появления нагрузок второго типа при движении навстречу
Двумерным волнам
«НО-&.
(9)
440
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИИ
где ? G), г|з (г) — линейное и угловое смещения судна при качке; ?в (лг, ^) — вертикаль-
вертикальное смещение свободной поверхности волны; ах (х) — характерный уровень относи-
относительных смещений, при котором нагрузки в сечениях судна становятся существенно
нелинейными [аг (х) = —Т (х), если определяется нагрузка при ударах днища о вол-
волну; at (а:) = Н (х) — Т (х), если опре-
определяется нагрузка, связанная с зали-
заливанием палубы, и т. д ].
Во многих случаях, например при
изучении ударов днищем о воду,
помимо необходимого условия (8)
должно быть сформулировано допол-
дополнительное (достаточное) условие, по-
поскольку удар следует не за каждым
выходом носовой оконечности из воды.
В качестве дополнительного может
быть в этих случаях использовано
условие превышения некоторого поро-
порогового значения относительной ско-
скорости а2:
JJ-13
?
?
V
as
I
J
I
¦^
b/zr
b/ZJ
I
-=2.0
')
'.U
-o,s
fi-
<-
Hi
—
-0,7
^—
m
—-—
„-—¦
—-—
.—--
¦
-—¦
_-—-
¦
,—
О 0,1 О/ 0,3 tjt O,S 0,6 0,7 о/ О,) $О Г/яд/Л,
Рис. 6
— jt Kb
A0)
Величины о2 должны определяться с помощью испытания модели на регуляоном
волнении [9, 24]. '
Процессы Ъв (х, t), ? (t), г|) (f) считаются нормальными и узкополосными. Ампли-
Амплитуды относительных смещений и скоростей подчиняются закону распределения Рэлея,
?
1,0
?
i
1
}
\
\
\
i
i
/1=O,S
Ал
6/Zr=2fl
/A'>z
b/zr=qz
¦=^
¦
:—.
:=Z
sses
=
=
ь==-
. ¦-
? <?* Ф ?
Рис. 7
V
Jin
2ft
iff
0,5
I
I
I
>
i
\\
V
b/Zr=0,2
I
Щ
p=o,s
b/ZT=Z,0
Л /У'°
/У/л*
А/Алг
<а
' ;
^=
1
j
т
~—
я
рис. 8
что позволяет найти вероятность появления рассматриваемой нагрузки (вероятность
удара) на данном стационарном режиме волнения:
A1)
ГДе °г0 И °'г — стандарты относительных смещений и скоростей.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СУДНА С ВОДОЙ
441
Средний интервал между ударами
o'L
A2)
Определение закона распределения нагрузок второго типа связано с преодолением
значительных трудностей из-за нелинейности процесса нагружения. Известные в на-
настоящее время решения [4] имеют низкую достоверность и пока не проверены на прак-
практике.
В практических расчетах применяется условный метод, в рамках которого
определяется ударная нагрузка для некоторых экстремальных условий. При этом
реальное волнение заменяется регулярным с длиной волны, равной длине судна, и
высотой, составляющей нормированную долю длины. Рассчитываются качка судна,
скорости и перемещения сечений судна относительно невозмущенной поверхности
волны. Динамическая нагрузка определяется на основе известных приближенных
решений двумерной задачи о погружении тел в жидкость [17].
Zi,
3. ДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНСТРУКЦИЙ
СУДНА С ВОДОЙ
Учет динамического взаимодействия судовых конструкций с жидкостью произ-
производится как в расчетах общей вибрации корпуса, так и при анализе местных колеба-
колебаний его элементов, соприкасающихся с водой.
Общая вибрация судна. При изучении общей вибрации судно считается балкой,
плавающей в несжимаемой невязкой жидкости, воздействие которой сводится к силам
инерции, учитываемым с помощью присоединенных масс. Значительное удлинение
корпуса позволяет определить эти массы на
основе допущения о плоском обтекании с после-
последующим введением поправок на влияние про-
странственности потока. Таким образом, задача
определения присоединенных масс сводится
к расчету реакции жидкости на малые колебания
погруженного в нее конгура, представляющего
собой поперечное сечение корпуса судна. Вол-
Волны, возбуждаемые колебаниями на поверхности
жидкости, не учитываются, поскольку частота
упругих колебаний судового корпуса доста-
достаточно высока, и возбуждаемые гравитацион-
гравитационные волны имеют малую энергию.
При оговоренных предположениях присоединенные массы при вертикальных,
горизонтальных и угловых колебаниях контура могут быть рассчитаны с любой сте-
степенью точности [20, 21].
Для приближенных вычислений используется двухпараметрическая аппрок-
аппроксимация формы контура, представляющего собой поперечное сечение судна
[15, 23].
Для контура, имеющего ширину b (х), осадку Т (х) и площадь погруженной
в жидкость части Q (х) (рис. 9), присоединенные массы составляют:
при горизонтальных колебаниях
Рис. 9
A3)
при вертикальных колебаниях
a = |r Pb:c3t
A4)
442
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
2. Значения коэффициентов сг, ct, cs
b/2 T
0,4
0,6
0,8
1.0
1,2
Р
0,470
0,630
0 785
0,940
0,410
0,605
0,710
0,785
0,885
0,955
0,350
0,5Ь5
0,700
0,785
0,850
0,895
0,935
0,970
0,295
0,540
0,690
0,785
0,850
0,910
0,950
0,990
0,510
0,680
1,05
1,01
1,00
1,02
,12
,03
101
,00
,02
1,05
,22
,07
,02
,00
,01
,02
,05
,07
1,33
,10
1,02
1,00
1,01
1,04
1,08
1,12
1,14
1,03
1,16
1,05
1,00
1,15
1,69
1,24
1,05
1,00
1,14
1,53
5,85
2,95
1,36
1,00
1,31
1,98
3,31
4,80
0,035
0,014
0,003
0,00
0,002
0,005
0,008
0,011
4,98
1,83
1,06
1,00
1,00
1,11
1,15
1 01
0,98
1 00
1,11
1,27
1,47
1,02
0,93
1 00
1,19
1,37
1,67
1,94
0,011
0,00
0,002
0,00
0,004
0,010
0,017
0,026
1,00
1,16
b/2 T
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
P
0,785
0 860
0 920
0,960
0,480
0,615
0,785
0,870
0,930
0,975
0,455
0,660
0,785
0,870
0,940
0,990
0,425
0,650
0,785
0,875
0,955
0 400
0,640
0,785
0,885
0,960
1,00
1,01
1,05
1,11
1,20
1 03
1,00
1,02
1,07
1,15
1,26
1,04
1 00
1,03
1,09
1,18
1,33
1,05
1,00
1,03
1,14
1,41
1,06
1,00
1,04
1,15
ct
1,00
1,64
3,50
6,23
3,03
1,43
1,00
1 35
2,24
3,80
1,75
1,16
1,00
1,12
1.49
2,04
1,53
1,11
1,00
1,08
1,41
1,48
1,09
1,00
1,07
1,27
1,00
i),64
0,13
0,45
1.00
1,14
1,00
0,72
0,34
0,17
1,02
1,11
1 00
0,89
0,50
0,034
1 02
1,10
1,00
0,80
0,47
0,400
0,64
0,785
0,885
0,960
при угловых крутильных колебаниях относительно оси, лежащей в плоскости сим-
симметрии на расстоянии г0 от свободной поверхности воды,
где
1
Ь2
A6)
Формулами A6) можно пользоваться лишь при Ь/2 =/=Т.Ъ случае Ь/2 = Т сле-
следует применять зависимости
Коэффициент с3 в формуле A4) совпадает с предельными значениями nM (x),
указанными в табл. 1. Значения коэффициентов съ с4, съ приведены в табл. 2.
Поправки на влияние трехмерности обтекания колеблющегося корпуса судна
рассчитываются из условия равенства кинетических энер!ий, жидкости, определенных
с использованием гипотезы плоского обтекания и без нее. При этом подводная часть
корпуса судна заменяется либо эллипсоидом вращения [15, 23], либо эллиптическим
цилиндром [14]. В расчетах вертикальных упругих колебаний корпуса судна по-
погонная присоединенная масса определяется зависимостью
ДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СУДНА С ВОДОЙ
443
где / — номер тона колебаний; K%j — поправочные коэффициенты на влияние прост-
ранственности потока, приведенные в табл. 3.
L/B
6
8
10
Т/В
0,190
0,332
0,442
0,565
0,190
0,332
0,442
0,565
0.190
0,332
0,4 42
О,5Ь5
1
0,689
0,666
0,655
0,639
0,755
0,745
0,730
0,718
0.841
0,831
0,823
0,813
2
0,670
0,654
0,635
0,618
0,745
0,728
0,716
0,701
0,833
0,825
0,815
0,805
3.
3
0,624
0,595
0,580
0,562
0,703
0,690
0,672
0,656
0,808
0,ЫЮ
0,787
0,774
Значения коэффициента К
4
0,571
0,542
0,518
0,495
0,658
0,627
0,614
0,595
0,770
0,759
0,745
0,731
5
0,523
0,494
0,465
0,447
0,610
0,583
0,562
0,540
0,729
0,712
0,700
0,682
6
0 478
0,450
0,430
0,407
0,572
0,535
0,508
0,486
0,693
0,663
О,Ь52
0,633
7
0,440
0,412
0,392
0,371
0,528
0,502
0,473
0,454
0,658
0,625
0,609
0,587
8
0,405
0,377
0,361
0,343
0,493
0,465
0,443
0,420
0,624
0,593
0,565
0,544
9
0,380
0,351
0,337
0,313
0,461
0,432
0,414
0,389
0,594
0,557
0,529
0,507
10
0,355
0,326
0,309
0,291
0 432
0,404
0,383
0,367
0,561
0,531
0,500
0,481
11
0,331
0,309
0.288
0,270
0,407
0,380
0,365
0,345
0,533
0,507
0,479
0,458
12
0 306
0,291
0,270
0,253
0,388
0,357
0,343
0,319
0,508
0,480
0,457
0,433
4. Значение коэффициента Кг
Вследствие особенностей формы поперечных сечений судна присоединенные массы
при горизонтальных и крутильных колебаниях составляют незначительную долю
(менее 25%) суммарной массы, что позво-
позволяет в приближенных расчетах не учиты-
учитывать зависимость присоединенных масс от
номера тона колебаний. Поправочный
коэффициент на пространственность пото-
потока принимается одинаковым для горизон-
горизонтальных и крутильных колебаний:
У } A9)
\xk = К. |Л| (х). I
Значения коэффициента Ki приведены
в табл. 4.
Местные колебания судовых перекры-
перекрытий и пластин. Судовые днищевые пере-
перекрытия и пластины опираются на прямо-
прямоугольный контур, образованный бортами
судна и переборками либо балками под-
подкрепляющего набора.
В расчетах колебаний днищевых пере-
перекрытий взаимодействие с жидкостью учи-
учитывается введением равномерно распреде-
распределенной по поверхности массы
ц0 = рВ1Л'0) B0)
где Bt — размер перекрытия в направле-
направлении поперек судна (ширина); Ко — коэф-
коэффициент, зависящий от отношения сторон
опорного контура B1/L1.
Значения Ко Для расчета первого
тона колебании днищевых перекрытий
можно определить по рис. 10 в зависи-
зависимости от отношения ВЛ!Ц (сплошная кривая соответствует колебаниям, симметрич-
симметричным относительно поперечных переборок, штриховая — асимметричным).
L/B
6
8
10
Т/В
0,190
0,332
0,442
0,565
0,190
0,332
0,442
0,565
0,190
0,332
0 442
0,565
К,
0814
0,806
0,792
0,801
0,808
0,803
0,728
0,793
0,779
0,797
0,666
0,688
*0
0,4
п
•—-^.
— —-
™ —1
•она.
0,6 0,8 t,0
Рис. 10
444
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В расчетах колебаний пластин обшивки днища влияние жидкости также учиты-
учитывается введением равномерной присоединенной массы
где &! — меньший размер пластины в плане.
Могут существовать как симметричные, так и асимметричные колебания относи-
относительно набора. Значения К* Для этих случаев колебаний приведены в табл, 5,
Отношение
сторон пла-
пластины bb'ai
0,0
0,!
0,2
0,3
0,4
0,5
5.
Значения
Колебания относительно
набора
симметрич-
симметричные
0,70
0,68
0,61
0,50
0,15
0,43
асиммет-
асимметричные
0,47
0,46
0,43
0,39
0,37
0,33
коэффициента К»
Отношение
стины Ь,/а,
0,6
0,7
0,8
09
1,0
-
Колебания относительно
набора
симметрич-
симметричные
0,41
0,39
0,37
0,35
0,33
-
асиммет-
асимметричные
0,31
0,28
0,28
0,26
0,25
-
При расчетах высших тонов колебаний перекрытий или пластины можно для опре-
определения присоединенной массы использовать приведенные выше данные, считая,
что перекрытие или пластина разбивается узловыми линиями на прямоугольные поля
с соответствующим отношением сторон.
4. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОБЩЕЙ ВИБРАЦИИ СУДНА
При расчетах общей вибрации корпус судна считают безопорной балкой с изме-
изменяющимися вдоль ее оси массой и характеристиками жесткости.
Центр инерции массы А (рис. 11) в каждом поперечном сечении с достаточной
точностью можно считать лежащим на оси симметрии на расстоянии Zx от горизон-
горизонтальной главной центральной оси Огуг
(В — центр жесткости).
Практический интерес представляют
расчеты двух типов общих колебаний:
а) поперечных колебаний в вертикаль-
вертикальной плоскости (вертикальная вибрация);
б) совместных поперечных в гори-
зонтальной плоскости и крутильных ко-
колебаний (горизонтально-крутильная виб-
рация).
Расчет общих колебаний корпуса в вер-
вертикальной плоскости. При расчетах общей
вертикальной вибрации корпуса судна как
балки применяют уравнение Тимошенко,
учитывающее деформации поперечного сдвига и инерцию вращения поперечных се-
сечений. Массу балки следует рассчитывать с учетом присоединенных масс воды, кото-
которые зависят от числа узловых точек формы колебаний. При определении изгибной
жесткости учитывают, что пояски балки, образованные палубами, днищем и вторым
дном, имеют Относительно большую ширину. Поэтому в расчет вводят редукционные
з
=,
А
В
—0,.
0
f
¦v
N
1
С
I У
Рис. и
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОБЩЕЙ ВИБРАЦИИ СУДНА
44Э
коэффициенты, которые также зависят от числа узловых точек формы колебаний.
Данные для определения присоединенных масс при расчете свободных колебаний
корпуса приведены в п. 3.
В табл. 6 приведены значения редукционных коэффициентов момента инерции
поперечного сечения двух основных типов судов, сухогрузного с двумя палубами и
двойным дном и нефтеналивного с двумя продольными переборками [5]. Значения при-
приведенных коэффициентов можно использовать для судов с относительным удлине-
удлинением L/B = 6,5 -г 7,5.
6. Редукционные коэффициенты момента
(L/B = 6,5 4-7,5)
Судно
Танкер с двумя продоль-
продольными переборками
Сухогруз с двумя палу-
палубами и двойным дном
1
0,968
0,950
Су
0,924
0,760
инерции судов
Номер тона свободных
3
0,867
0,375
4
0,794
0,464
5
0,722
0,409
6
0,647
0,376
колебаний
7
0,576
0,347
8
0,508
0,297
9
0,443
0,263
10
0,388
0,233
Для судов с другим типом поперечного сечения и другим относительным удлине-
удлинением (в связи с отсутствием данных) рекомендуется при определении момента инер-
инерции принимать во внимание приведенную ширину поясков балки Ьпр, которую сле-
следует определять как меньшую из величин
i == о И
Ьп? 3 (/ + 1)'
где / — номер тона свободных колебаний; В, L — ширина и длина судна.
Расчет характеристик жесткости корпуса на сдвиг в поперечных сечениях вы-
выполняют по формулам сопротивления материалов [16].
Характерные черты приближенного метода расчета частот свободных колебаний,
в котором учитывается зависимость массы и жесткости от номера тона, показаны ниже
на примере с использованием уравнений Лагранжа II рода.
Перемещения корпуса судна при колебаниях w (х, t) представляет собой нало-
наложение трех составляющих: перемещений судна как жесткого целого gx (t) + g2 (f) x;
перемещений, вызванных изгибом wx (x, t); перемещений, вызванных сдвигом w2 (x, t),
w(x, 0=й@+Я2@^ + ^(^ t) + w2(x, t). B2)
B3)
Выбрав вектор координатных функций (Т — знак транспонирования)
F (*) = (/! (*). /.W М*)).
где в качестве fi (x) следует принять собственные формы безопорной призматической
балки, представим
здесь q (О, р @ — векторы-столбцы обобщенных координат.
Потенциальная энергия балки, соответствующая перемещениям B2), при усло-
условии, что характеристики жесткости не зависят от номера тона колебаний,
0.5L
B5)
— 0,5L
446 КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
где Ь (х) — ширина поперечных сечений судна на ватерлинии; Вь В2 — матрицы
изгибной и сдвиговой жесткостей.
0,5L
B1= $
-0,5?
0,5L
B6)
B2= ) G^(x)f (*) f T (x) dx,
— 0,5/.
здесь Jjfl (x) — момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси
Ojj/i, Аг (х) — площадь сдвига. Пусть диагональная матрица а содержит в качестве
элементов квадратные корни редукционных коэффициентов момента инерции попереч-
поперечного сечения, т. е.
~~ 0; ... ; О
' п • 1
а = \
где OLj — редукционный коэффициент момента инерции для /-го тона колебаний.
Тогда исправленную матрицу изгибной жесткости можно представить в виде
В10 = аВ1а. B8)
Кинетическая энергия системы, при игнорировании зависимости присоединенных
масс от номера тона колебаний, определяется по формуле
0.5Z. 0,5/.
1С • If , •
2" = -jj- I m(x)[w(x, tj^dx-^-^r I m(x)p"yi{x)[w[(x, t)]1 dx-\-
— 0,5t — 0,5L
0,5L
+ j j W, W [w (x, OP dx, B9)
— 0,5L
где m (x) — погонная масса (масса единицы длины) балки; р^ (х) — радиус инерции
единицы длины балки относительно оси О^; [xf3 (x) — присоединенная масса, най-
найденная с использованием гипотезы плоского обтекания; точкой обозначено дифферен-
дифференцирование по времени.
Для получения компактных формул введем расширенные векторы обобщенных
координат и координатных функций.
4}=(sv er qv <72. •¦•. qN)\ \
р] = @, 0, р , рг, ... , pN\; \ C0)
_
Полное вертикальное перемещение корпуса судна
Пусть диагональная матрица Р содержит в качестве элементов квадратные корни
из поправочных коэффициентов, характеризующих зависимость присоединенной массы
от числа узловых точек формы смещений корпуса, т. е.
- I и ; и да; о; ...; о 32)
УЖо;
0 ;
0 ;
0 •
0,
УЖГъ
о,
0;
0; ... ;
УкГй ¦ ;
0
0
0
V
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОБЩЕЙ ВИБРАЦИИ СУДНА
447
где Кы, Ки — поправочные коэффициенты к присоединенной массе на влияние про-
странственности потока при смещениях судна как жесткого целого; Кщ — то же,
при упругих смещениях.
Значения Кз/ следует определять по табл. 3. При определении /Сю и Кц исполь-
используют формулу Пабста
к -
_ 0,425
C3)
где у = LIB, ч— 0; 1.
С учетом C1) и поправок C2) уравнение для кинетической энергии системы при-
приводится к виду
(ЧКО + Р1 @I^@ +P@) + 4T (
C4)
y(k\@+р!@)Рм3Р (<ii @+Pi @)•
Матрицы Mi, M2, M3 определяют по следующим формулам:
0.5L
— 0,5?
0,5?
М2= \ m(*)p*,(*)f
— 0,5L
0,51.
' (X)f'4x)dx; \
C5)
— 0,5L
Уравнения колебаний
dt\dhi
<#
Дальнейший расчет частот и форм свободных колебаний можно выполнить из-
известными методами.
При расчете вынужденной резонансной вибрации присоединенные массы учиты-
учитываются так же, как и при расчете свободных колебаний.
Для расчета вертикальных колебаний необходимо знать закон и числовые харак-
характеристики рассеяния энергии.
Демпфирование общей вертикальной вибрации корпуса судна определяется слож-
сложной совокупностью факторов — гистерезисными потерями в материале, конструкци-
конструкционным демпфированием, возбуждением местных колебаний элементов корпуса
(перекрытий, шпангоутных рам и т. п.), рассеянием энергии во внешнюю среду.
Возможность теоретического определения характеристик демпфирования колебаний
практически отсутствует. Имеющиеся экспериментальные данные ограничены и не
позволяют надежно определять коэффициенты демпфирования колебаний для судов
различных типов, размеров, конструктивных форм. Это влечет за собой низкую точ-
точность расчетов вынужденной резонансной вибрации.
Для оценочных расчетов можно использовать следующие рекомендации, полу-
полученные на основе экспериментов с цельносварными судами [15]
а) сила сопротивления изгибньш колебаниям согласно гипотезе Фогта равна
Щ
J'
448
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЯ
б) коэффициент сопротивления е (в с) зависит от частоты, т. е.
е~2130'
C7)
где со — частота колебаний A/с).
Формула C7) получена Ю. Н. Шавровым с помощью обработки результатов
испытаний цельносварных судов и удовлетворительно оценивает сопротивление
вибрации с частотами, не превосходящими частоту 4-го тона свободных колебаний;
в) при расчетах высокочастотной общей вибрации (колебания с частотами 5-го
и более высоких тонов) коэффициент сопротивления следует принимать постоянным
[2]:
е = 0,01;
г) при использовании приведенных рекомендаций коэффициенты сопротивления
изгибным и сдвиговым колебаниям считаются одинаковыми.
Расчет горизонтально-крутильных колебаний корпуса судна. При несовпадении
ординат центра жесткости и центра инерции (см. рис. 11), колебания корпуса в гори-
горизонтальном направлении сопровождаются крутиль-
крутильными. Взаимосвязанность горизонтельных и крутиль-
крутильных колебаний оказывается существенной при близких
парциальных частотах.
При горизонтальных и крутильных колебаниях
корпуса судна присоединенные массы жидкости не
превышают 25% общей массы, поэтому можно вы-
^ поднять приближенные расчеты частот свободных
X колебаний, не учитывая зависимость присоединенной
массы от номера тона.
При составлении дифференциальных уравнений
горизонтально-крутильных колебаний в большинстве
случаев можно считать, что корпус корабля испы-
испытывает чистое кручение. Исключение составляют
суда с большим раскрытием палубы (контейнерово-
(контейнеровозов, лихтеровозов и т. п.), для которых следует
применять теорию изгибнокрутильных колебаний стержней открытого профиля [6]
или ее модификации.
Для основного случая система уравнений свободных горизонтально-крутильных
колебаний корпуса судна как балки имеет вид
О
Рис. 12
д_
дх
Ж
[GJd S]
— [т (zt — 22) —
дги
2] -^ = 0;
C8)
дх
где v = v (х, 0 — смещение оси балки по направлению О^; б = 8 (х, t) — угол
закручивания; ty = i|) (x, t) — угол поворота поперечного сечения относительно оси
0г1 (положительные направления вращений показаны на рис. 12); Ау = Ау(х) —
площадь сдвига в направлении оси О^; Jг = Jz (х) — момент инерции площади
поперечного сечения относительно оси Ог; GJа = GJа М — жесткость балки при
чистом кручении; р^, р.— радиусы инерции единицы длины балки; fx22, f*42, l^j.—
присоединенные массы, определяемые по формулам A9); г0, гь г2 — ординаты харак-
характерных точек поперечного сечения (см. рис, 11),
МЕСТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ 449
С помощью подстановки]
ю=и/(х)е'м'', 6=6; фе"*/, it>=ty(;c)e"V C9)
из C8) можно получить систему уравнений для отыскания форм колебаний v,- (х),
Ь() |()
D0)
Систему D0) целесообразно решать численными методами (конечных разностей,
конечных элементов, прогонки и т. п.).
В приближенных расчетах крутильные и горизонтальные поперечные колебания
принимают независящими друг от друга и, кроме того, не учитывают деформации
сдвига и инерцию вращения при изгибе. Частоты и формы свободных колебаний оп-
определяются в этих случаях из уравнений
[GAy (v'-),)
[0/Лв;]' + of [mpj, + *n*x (г± - г2) + цЛ - ,и4зг2
) - ^42 + 2Л2] vу = 0;
^ тр'Фу = 0.
i (г1 -2г) + Н ~И43г2 + ^2о2] У ,
Для решения уравнений D1) целесообразно применять методы Рэлея—Ритца,
Бубнова—Галеркина и т. п. [2, 18].
5. Л1ЕСТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Колебания элементов корпуса судна — балок набора, рам, перекрытий, пластин
обшивки, надстроек, мачт — возбуждаются как в результате непосредственного воз-
воздействия возмущающих нагрузок, создаваемых работающими двигателями, вентиля-
вентиляторами, насосами, гребными винтами, так и вследствие периодического смещения опор
или опорного контура при общей вибрации судна.
Расчеты свободных и вынужденных местных колебаний судовых конструкций
выполняют с использованием схем однопролетных и неразрезных балок, плоских и
пространственных рам, изотропных и ортотропных пластин, цилиндрических под-
подкрепленных оболочек, ортогональных балочных решеток — перекрытий и некоторых
других. Большинство из этих схем обычны для задач динамики сооружений, и соот-
соответствующие методы расчета приведены в работах [7, 11, 16]. Некоторые особенности,
характерные для судовых конструкций, проявляются при определении возмущающих
сил, условий закрепления элементов корпуса на опорах (опорном контуре), числовых
характеристик демпфирования, а также при учете взаимодействия конструкций
с жидкостью.
В настоящем разделе приведено решение только наиболее характерной для су-
судовых конструкций задачи вибрации судовых перекрытий.
Существует большое разнообразие конструктивных схем судовых перекрытий,
из которых целесообразно выделить два вида:
а) перекрытия, состоящие из одного настила и подкрепляющих его продольных
и поперечных балок набора;
б) перекрытия, состоящие из двух настилов, соединенных балками-стенками,
образующими ортогональную решетку.
Для перекрытий вида а характерно слабое влияние кручения балок на колебания.
Это позволяет получать достаточно точные результаты при замене перекрытия откры-
открытой ортогональной решеткой, состоящей из шарнирно соединенных между собой
балок двух направлений. Для перекрытий вида б схема открытой решетки, хотя и
применяется, приводит к большей погрешности при определении частот свободных
15 п/р. Ф. М. Димеитберга и К. С. Колесникова, т. 3
450
КОЛЕБАНИЯ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИИ
колебаний. Если балки-стенки каждого из направлений приблизительно одинаковы,
одинаково установлены на опорах и расположены на одинаковых расстояниях др\г
от друга (регулярное перекрытие), достаточно точные значения собственных часгог
получаются при замене перекрытия ортотропной пластиной.
Частоты свободных колебаний открытой решетки (перекрытия) с большим числом
одинаковых и равноотстоящих балок одного из направлений («главное направление»)
и с несколькими перекрестными связями, одинаково установленными на опорах
(рис. 13), совпадают с частотами изолированной балки главного направления, несу-
несущей сосредоточенные массы Мь в точках пересечения с перекрестными балками, и
опирающейся в этих точках на упругие опоры с жесткостью Кип (Рис> 14)- Причем
^ D2)
где ть, Jk — погонная масса и момент инерции k-й перекрестной балки; а — расстоя-
расстояние между балками главного направления; Lj — длина перекрестных балок; vn —
собственные числа дифференциальною
уравнения
xiv !уЛ I *п
Л„ (X)—I -,
D3)
определяющего формы свободных ко-
колебаний призматической балки, длина
Рис. 13
которой и характер опорных закреплений такие же, как у перекрестных балок. При
расчетах перекрестные связи принимают упругозаделанными на непроседаюших
опорах, причем коэффициенты податливости по углу поворота на опорах Ахь и Аги
удовлетворяют условию
=const;
k = Л2Е/=const.
Значения vn в этом случае являются корнями уравнения
chvracosvn — 1 . /1-х, 1 —
sh vn sin vn
2x2
B - Cth Vn) -
где
х2 — коэффициенты, определяемые равенствами
1 1
1 +
2AXEJ
1 +
2A2EJ
D4)
D5)
Значения первого корня уравнения D4) приведены в табл. 7.
При замене перекрытия ортотропной пластиной для определения частот и форм
свободных колебаний используют дифференциальное уравнение
ЗЛ_.. ГЦ... Г\Л_.. ^П„,
~=0. D6)
где w = w (х, у, t) — перемещения, направленные по нормали к плоскости пластины;
m — масса на единицу площади пластины; ц0 — присоединенная масса жидкости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
7. Значения первого корня характеристического уравнения
451
к,
0,00
0,25
0,50
0,/5
1,00
я.
0 00
3,142
3,235
3,367
3,569
3,927
0,25
3,235
3,324
3,454
3,657
4,005
0,50
3,367
3,454
3,577
3,776
4,130
0,75
3,569
3,657
3,776
3,967
4,312
1,00
3,927
4,005
4,130
4,312
4,730
Характеристики жесткости Dt, D2, D3 выражаются через толщины верхнего и
нижнего настилов tB, tH, моменты инерции ilt <2 балок, включающих в себя стенки,
соединяющие настилы и присоединенные пояски:
1 — I
D7)
-h?-
где h — расстояние между настилами; \i — коэффициент Пуассона.
При расчете вынужденных колебаний судовых перекрытий закон рассеяния
энергии принимают в соответствии с гипотезой Е. С. Сорокина [1], причем коэффициент
сопротивления для перекрытий вида а составляет ес = 0,05—0,06, а для перекрытий
вида 6ес=- 0,08—0,11.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арсюткин А. А. Расчет вынужденных колебаний перекрытий судового корпуса. — Судо-
Судостроение, 1957, № 3.
2 Бабаев Н. Н., Лентяков В. Г. Некоторые вопросы общей вибрации судов. Л., Судпром-
гиз, 1961.
3. Бельгова М. А. Изгибающие моменты для судов внутреннего плавания на волнении.
Л., Судостроение, 1966.
4. Бойцов Г. В., Кноринг С. Д. Прочность и работоспособность корпусных конструкций.
Л., Судостроение, 1972.
Б. Болеско М. М. Редуцирование жесткости корпуса судна при изгибных колебаниях. —
Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, вып. 251. Л., Судостроение, 1969.
6. Власов В. В. Тонкостенные упругие стержни. М , Физматгиз, 1959.
7. Давыдов В. В,, Маттес Н. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1974.
8. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплош-
сплошных сред. М , Недра, 1974.
9 Короткий Я» И., Ростовцев Д. М., Сивере Н. Л. Прочность корабля. Л., Судостроение,
1974.
10. Кравченко В. С. Монтаж судовых энергетических установок. Л., Судостроение, 1975.
11. Курдюмов А. А. Вибрация корабля. Л., Судпромгиз, 1961.
12. Папкович П. Ф. Труды по вибрации корабля. Л., Судпромгиз, 1960.
13. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструк-
конструкций. Л., Судостроение, 1974.
14. Ростовцев Д. М. Расчет присоединенных масс при свободной вертикальной вибрации
корпуса корабля. Судостроение, 1972, № 5.
15. Справочник по строительной механике корабля. В 3-х т. Т. 3. Л., Судостроение, 1966.
16. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М , Машиностроение, 1970.
17. Чувиковский Г. С. Динамический изгиб корпуса судна при ударе о встречные волны.
Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, вып. 245. Л , Судостроение, 1968.
18. Шиманский Ю. А. Динамический расчет судовых конструкций. Л., Судпромгиз, 1963.
19. Breslin J. P. Theoretical and Experimental Techniques for Practical Estimation of Propel-
Propeller — Induced Vibratory Forces Symposium on Ship Vibration, 17-th February 1970»
The New York Metropolitan Section of SNAME.
15*
452
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
20. Landweber L., Macagno M. С. Added Mass of Two-Dimensional Forms Oscillating in a Frea
Surface. Journal of Ship Research vol. 1 N 3, November 1957.
21. Landweber L., Macagno м. С Added Mass oi a Two-Dimensional Forms Oscillating in a
Free Surface. — «Journal of Ship Research», vol. 2, N 4, March 1959.
22. Lewis F. M. Propeller-Vibration Forces in Single-Screw Ships. Transaction of the Society o?
Naval Architects and Marine Engineers (SNAME), 1969.
23. Lewis F. M. Inertia of the Water Surrounding a Vibrating Ship. Transaction of the Society
of Naval Architects and Marine Engineers (SNAME), 1929, 37.
24. Ochi K., Motter E. A. Method to Estimate Slamming Characteristics for Ship Design. —
«Marine Technology», 1971, vol. 8, N 2.
25. Proceedings of the 11 — d International Ship Structure Congress, Delft, 19G4.
Глава XVIII
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ
И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Многолетний опыт показывает, что неровности опорной поверхности и вызывае-
вызываемые ими колебания автомобиля или трактора ведут, как правило, к ухудшению всех
их эксплуатационно-технических свойств, в первую очередь к ухудшению плавности
хода (удобства езды) и к уменьшению скорости движения.
Плавность хода — это свойство транспортного средства обеспечивать защиту
людей, перевозимых грузов и элементов конструкции самого транспортного средства
от воздействий вибраций, вызываемых неровностями опорной поверхности.
Адтомобиль
Дорога
(ситуация, макро-
и микрапртрипь)
I
I L
—L —
Рупевое
управление
±_
Двигатель,
силовая передача,
тормоза
._+__
Подвеска
(ладовая часть) [•«—
¦ ¦
Кузов
Человек
(водитель)
т
J
• Аэродинамические сипы
Рис. t
Основными устройствами, защищающими автомобиль или трактор от динами-
динамических воздействий, обусловленных движением по опорной поверхности, и сводящими
колебания и вибрации к приемлемому уровню, являются подвеска и шины. Подвеска
состоит из трех устройств: упругого, гасящего и направляющего.
По типу направляющего устройства подвески делятся на зависимые (левое и
правое колеса связаны жесткой балкой) и независимые. Благоприятная характерис-
характеристика направляющего устройства способствует реализации основного условия хорошей
подвески — значительных перемещений колес и малой жесткости упругого устрой-
устройства.
За последние годы достигнуты существенные успехи в создании новых подвесок
колесных и гусеничных машин различного назначения. Меняется сам подход к проб-
проблеме — от изучения собственно транспортной машины переходят к изучению системы
ДОРОГА И ИСТОЧНИКИ ВОЗМУЩЕНИИ 453
человек — машина — дорога (рис. 1). Изучение логично разбить на три направления —
исследование микропрофиля дороги (опорной поверхности), колебаний машины, ощу-
ощущений человека или сохранности перевозимого груза.
2. ДОРОГА И ИСТОЧНИКИ ВОЗМУЩЕНИИ
Основные источники возмущения колебаний транспортной машины следующие:
неровности поверхности дороги; эксцентриситет и неравномерность вращения колес;
неуравновешенность колес, вращающихся частей двигателя, трансмиссии.
Микропрофиль дороги является случайной функцией протяженности дороги
(пройденного пути х), и его принято рассматривать как случайную функцию, удовлет-
удовлетворяющую следующим допущениям: функция стационарна; ординаты микропрофиля
подчиняются нормальному закону распределения; длины неровностей ограничены
по верхнему и нижнему пределам; микропрофиль меняется случайным образом только
в вертикальной продольной плоскости дороги.
Достаточными статистическими характеристиками микропрофиля дороги являются
его корреляционная функция или спектральная плотность.
Если корреляционная функция дает представление об изменении микропрофиля
по длине участка дороги (или случайного колебательного процесса во времени), то
другая характеристика (спектральная плотность дисперсий, например, ускорений,
или спектр средней мощности) дает представление о частоте повторения длин неров-
неровностей (о преобладающих частотах при случайном процессе). Аргументом спектраль-
спектральной плотности является так называемая частота дороги («путевая частота»)
в-?. О)
где s — длина неровности.
Корреляционная функция Rg(xs) и спектральная плотность дисперсий Sq(Q)
взаимно связаны преобразованием Фурье:
B)
Если отнести ординаты Rq(xs) и S? (8) к дисперсии qg ,то получим нормированные
значения корреляционной функции R* (xs) и спектральной плотности S* (8):
Нормированные корреляционные функции различных дорог представлены на
рис. 2, а A, 2 — булыжные покрытия соответственно удовлетворительного качества
и с выступами и впадинами; 3,4 — соответственно асфальтовое и цементобетонное
покрытия). По характеру протекания их можно разделить на следующие (рис. 2, б):
быстро убывающая монотонная функция 5, свидетельствующая о преобладании вы-
выступов и впадин (например, булыжное покрытие); медленно убывающая монотонная
функция 6, характерная для цементобетонного и асфальтового покрытий при наличии
неровностей в виде длинных волн; сложная функция 7, которую можно представить
как сумму монотонно убывающей и колебательной функций. Корреляционная функ-
функция вида 7 обычно свидетельствует об износе и смещении дорожного покрытия, вы-
вызывающего появление на нем волн преобладающей частоты.
Спектральную плотность получают косвенным путем через корреляционную
функцию или частотным анализом реализаций случайной функции [7].
454
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Примеры спектральной плотности ординат микропрофиля автомобильных дорог
представлены на рис. 1, в (8 — асфальтобетон в очень хорошем состоянии; 9 — мака-
макадам в плохом состоянии — с трещинами после «ямочного» ремонта).
При расчетах, когда приходится переходить от случайной функции q (x) к слу-
случайному процессу q @, необходимо переходить также от Rq (xs) к Rq (т), где т = xs/v,
и от Sq F) к Sq (v). Для корреляционной функции это достигается заменой перемен-
переменной xs на т, т. е. Rq (т) = Rq (xs) при xs = vt.
0,6
ол
0,2
О
0,2
щ
\\
S
4
V
\\
2
N
1
12 76 20 2ч XS,M
ID
u
\
\
\
\
\
\
\
\
4
V
rb
M
I л
'3 2 4 Sb10~2 2 4 6810'1'2B,Vcm
II II II II t II
100 60 30 20 10 В 3 2 1 Ofi 0,5 S М
в)
Рис. 2
Соответственно для перехода от зависимости Sq F) к Sq (v) необходимо изменить
масштабы по оси абсцисс и ординат так, чтобы
)=vs^
F).
D)
Предположение о том, что микропрофиль дороги представляет собой стационар-
стационарную эргодическую случайную функцию с нормальным законом распределения, поз-
позволяет взамен множества реализаций рассматривать единственную и на основании ее
обработки судить о свойствах совокупности реализаций, т. е. непосредственно о слу-
случайном процессе. Допущение о нормальном законе распределения позволяет считать,
что величина Rg (xs) дает исчерпывающую характеристику микропрофиля дороги как
случайной функции. На основании сказанного остается единственная характеристика
микропрофиля дороги: корреляционная функция или спектральная плотность дис-
дисперсий, т. е. Rg (xs) и Sq F) или Rq (т) и Sg (v).
Стабильность и достоверность статистических характеристик микропрофиля
зависит от выбранной длины дорожного участка.
По существующим рекомендациям для оценки средних квадратических ускорений
с погрешностью до 5% достаточно анализировать процесс продолжительностью
ДОРОГА И ИСТОЧНИКИ ВОЗМУЩЕНИЯ 455
50—60 с. Это означает, что длина участка для легковых автомобилей высшего класса
должна составлять 2000—2500 м, а для грузовых автомобилей с ограниченными
скоростями около 550—600 м [7]. Участок выбирается с небольшими пределами из-
изменения дисперсии A0—15%). Экспериментально полученные реализации дорожного
профиля могут соответствовать нестационарным случайным процессам, вызванным,
в частности, влиянием макросоставляющих. В этом случае можно обработкой на ЦВМ
обеспечить предварительное сглаживание реализаций профилей дорог, нестационар-
нестационарных по математическому ожиданию (имеющих спуски и подъемы) с последующей
нормировкой для процессов, нестационарных по дисперсии [20].
При расчетах колебаний автомобиля микропрофиль дороги моделируют, оце-
оценивая детерминистически, сводя его к волнообразному гармоническому профилю или
к единичной неровности, или статистически, по конкретной его реализации или по
статистической характеристике — спектральной плотности ординат.
При детерминистической оценке учитывают, что радиус автомобильного колеса
значительно больше высоты неровности, а упругая шина обладает способностью сгла-
сглаживать резкие очертания неровностей. Для текущего значения х уравнение профиля
неровности длиной s и высотой 2q0 имеет вид q = q0 j 1 — cos 2я —j или при равномер-
равномерном движении
q=qo(l — cos-^ A = qo(l— cosvt), E)
2nv 2nva . .
где v = — = „ - -, a v и va — скорости автомобиля соответственно в м/с или в км/ч,
S О,OS
При единичных неровностях понятие частоты теряет смысл, и тогда величину v
связывают со временем проезда неровности (продолжительностью действия возму-
возмущения)
т 3,6s 2л
Tv = = F)
va v
На дорогах могут встретиться две—четыре следующие друг за другом неровности,
достаточно близкие по длинам. Исследование показало, что при гармоническом воз-
возбуждении и исправных амортизаторах уже после трех-четырех неровностей колебания
практически устанавливаются и остаются близкими к тем, которые возникают при
бесконечном волнистом профиле. Последний случай является наиболее тяжелым, и
вынужденные колебания могут быть интенсивнее, чем случайные.
На бетонных шоссе, состоящих из плит одинаковой длины, стыки между плитами
являются источниками воздействий типа импульсов, которые неприятны своей перио-
периодичностью. Стыки плит с течением времени разрушаются, и интенсивность воздейст-
воздействия становится значительной.
При испытаниях или расчетах считают, что единичная неровность имеет форму
выступа с профилем, соответствующим уравнению E).
За источник возмущения можно принимать конкретную реализацию случайного
микропрофиля, например, при проведении проверочных расчетов или сопоставлении
результатов испытаний и расчетов. Трудность состоит в том, что для точного описания
микропрофиля в память ЦВМ пришлось бы вводить очень большой объем числового
материала. Поэтому реальный микропрофиль так или иначе аппроксимируют, на-
например, кусочно-постоянной (ступенчатой) или кусочно-линейной функцией [5],
или с помощью интерполяционной формулы Ньютона. Более распространено введе-
введение в расчет не самого случайного микропрофиля, а его статистических характерис-
характеристик.
Моделирование с помощью корреляционной функции можно произвести для об-
общего случая (см. кривую 7 на рис. 2, б), используя выражение
_Rq{*s) _ . «„,]* I , . 32
R* {Xs) = -^il = Л1е"°11 ** I + Л2е 02 ' * 'cos p>*s. G)
456 КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕ/} И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Для корреляционных функций 5 и 6 (см. рис. 2, б) достаточны первые слагаемые
/??(*,) = Л/<»)Ч (8)
Переход к нормированным спектральным плотностям производится по формуле
C). В результате имеем
I
— т
X
(9)
(Ю)
Учитывая значения коэффициентов alt2 и Р9 в выражениях для #* (лг^), приведен-
приведенных в табл. 1, получим расчетные уравнения для S* (v). Наиболее подробное описание
микропрофиля см. в работе [5].
1. Нормированные корреляционные функции и спектральные плотности
микропрофиля автомобильных Дорог
Покрытие
Цементобетонное
Асфальтовое
Булыжное:
удовлетворительного
качества
с выступами и впади-
впадинами
—0,15 | лг
els
4-
-0,45 j .v
0 85e~°'5i*<
х \
S* (v)
ОГЧ,
V2 + 0,0225i>2
v' + 0.04а2 '
0,0024и (v2 + 0,36a2)
1 (V2 - 0,36а2J + О.ООЗЬг;'
0.143U
V» + 02V
0,135а
V2 + O,25a2 '
0,011> (v2 +4a2)
1 (Vs _ 4а2J + 0,64ь*
Моделирование микропрофиля дороги при наличии экспериментальной функции
его спектральной плотности сводится к аппроксимированию опытной зависимости
расчетным уравнением. В частности, использование дробно-рациональных функций
с заменой логарифмической кривой прямолинейными сопрягающими отрезками при-
привело к расчетным уравнениям, которые с некоторым округлением коэффициентов
даны в табл. 2.
Выражения для спектральных плотностей можно упростить, если учесть, что даже
для дорог одного типа Sg могут быть иногда существенно различными, а проектный
расчет колебаний, для которого необходимы S?, в основе своей не требует очень высо-
высокой точности. В ряде случаев оказалось, что спектральную плотность с достаточной
точностью можно определять по выражению [26, 36]
(И)
где а и Ь — постоянные коэффициенты, зависящие от вида покрытия.
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ 457
2. Расчетные уравнения для спектральных плотностей автомобильных дорог [5]
Дорожное noi-рытие
Спектральная плотность
Скорость при
испытаниях о, м/с
Цементобетонное
Цементобетонное
Асфальтобетонное
Без покрытия (грунтовая дорога)
Булыжное
7,7
31
73
43
у" + 94
А
V + 98
А
у'- + 62
А
V2+ 155
11,1
1930
(у« + 20) (у* -+ 620)
А (V2 -J- 2500)
5,55
11.1
Обозначение: Д = v* + 3.7.
Статистические характеристики позволяют давать обобщенную оценку микропро-
микропрофиля автомобильных дорог больших географических районов и целых стран [36].
3. ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ
Автомобиль — колебательная система. Каждый вид транспортной машины пред-
представляет собой колебательную систему со своими частными особенностями (например,
автомобиль).
Автомобиль представляет собой колебательную систему, состоящую из несколь-
нескольких масс — кузова, колес, двигателя, кабины и др. Эти массы делят на подрессорен-
подрессоренные и неподрессоренные.
Подрессоренной частью машины являются все ее элементы, масса которых пере-
передается рессорам [упругому устройству подвески], кузов и рама (остов) с укреплен-
укрепленными на ней механизмами. Те элементы, сила тяжести которых не передается через
упругое устройство подвески, называют неподрессоренными элементами (колеса
в сборе и оси).
Число возможных перемещений масс автомобиля или трактора весьма велико,
мо значимость их различна. Колебания кузова в вертикальной продольной плоскости,
характеризующиеся поступательным перемещением z вдоль вертикальной оси и про-
продольными угловыми колебаниями, оказывают основное влияние на плавность хода.
Колебания кузова в поперечной плоскости, характеризующиеся угловым пере-
перемещением Р вокруг продольной оси, влияют в основном на управляемость и устойчи-
устойчивость автомобиля при действии поперечных сил. Горизонтальные поперечные колеба-
колебания кузова, а также горизонтальные угловые колебания, обусловлены боковой упру-
упругостью шин. Эти колебания могут влиять на управляемость и устойчивость автомобиля.
Горизонтальные продольные колебания кузова обусловлены горизонтальными
составляющими реакции дороги, зависящими от неровностей ее микропрофиля. Влия-
Влияние этих колебаний на плавность хода приходится учитывать, например, при высоком
расположении сиденья водителя.
Для обычного автомобиля, симметричного относительно продольной оси, колеба-
колебания в поперечной и продольной плоскостях протекают независимо.
Рассмотрим наиболее существенные колебания в продольной плоскости. Колеба-
Колебательная система, эквивалентная автомобилю, состоит из нескольких упругосвязанных
масс. Вид ее зависит от конструктивных особенностей автомобиля. Например, коле-
колебательная система, эквивалентная легковому автомобилю (рис. 3), имеет неподрессо-
ренную А и подрессоренную Б части, опирающиеся на дорогу через шины. В первом
приближении шины моделируются пружиной и демпфером /, характеризующими
радиальную жесткость шины и затухание в ней. Более точный подход учитывает
458
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
радиус и упругость шины и ее способность сглаживать, обкатывая, мелкие неровности,
длина которых соизмерима с длиной отпечатка шины [13, 17].
Подвески 2 автомобиля — пружинные с амортизаторами. С подрессоренной частью
связаны упругими подвесками 3 массы двигателя В и карданного вала Е. С кузовом,
в свою очередь, через сиденья 4 связаны люди Г, Д.
Особенностями системы являются наличие спереди поперечины Е, упругосвя-
занной с кузовом (несущей системой) Б; независимая подвеска задних колес, при кото-
которой масса А главной передачи упруго связана с кузовом; практическое отсутствие
сухого трения в подвесках; наличие упругого крепления амортизаторов.
Каждый раз целесообразно упрощать эквивалентную систему настолько, нас-
насколько это позволяют задачи. Основанием для упрощения является различие частот
собственных колебаний масс автомобиля: кузова 1—3 Гц; колес 7—12 Гц. Частоты
колебания остальных масс автомобиля более высокие, и не столь опасные для плав-
плавности хода. Ограничиваясь рассмотрением низкочастотных колебаний, переидем
к эквивалентной системе (рис. 4, о), включающей три массы: подрессоренную М,
неподрессоренные массы mt и тъ соединенные
упругими элементами, имеющими жесткость 2ср
и соответствующими упругому устройству под-
подвески, и амортизаторами с коэффициентом со-
сопротивления 2k, характеризующим гасящие
свойства подвески. Неподрессоренные массы
связаны с дорогой пружинами, имеющими жест-
жесткость 2сш, и амортизаторами с коэффициентом
сопротивления 2km, моделирующими шины.
Жесткость упругого элемента ср и коэффи-
коэффициент сопротивления амортизатора ka опреде-
определяются по их упругой характеристике Zp =
= Ф(гр) и характеристике затухания Za = O(ip):
Рис. 3
е^ж
г„ — соответственно относительное перемещение (деформация) точек крепле-
крепления упругого элемента и относительная скорость точек крепления амортизатора.
Жесткость подвески ср, т. е. величина, приведенная к колее автомобиля, может
отличаться от жесткости ср самого упругого элемента (рессоры). Точно так же коэф-
коэффициент сопротивления k условного амортизатора, характеризующего затухание
в подвеске, может отличаться от коэффициента сопротивления k& истинного аморти-
амортизатора [13].
При составлении уравнений движения принимают следующие основные допуще-
допущения: колебания кузова и колес малые; жесткости и коэффициенты сопротивлений
постоянны, а колеса обкатываются по микропрофилю дороги, сохраняя точечный,
но постоянный контакт с ее поверхностью; геометрические оси подрессоренной массы
автомобиля совпадают с главными осями ее эллипсоида инерции; на автомобиль
действуют только вертикальные силы.
Выбор обобщенных координат зависит от поставленной задачи. Для подрессорен-
подрессоренной массы при исследовании колебаний в продольной плоскости это может быть
вертикальное перемещение ее центра тяжести 2о и угол а ее поворота или вертикальные
перемещения точек кузова над осью передних или задних колес zt и г2. При изучении
деформаций рессор выбирают в качестве координаты относительные перемещения гот.
Колебания неподрессоренных масс описывают перемещениями ?х и ?2 или, если
изучают, например, осадку шин, относительными перемещениями ?от. Перечисленные
координаты связаны между собой следующими зависимостями:
2 = zlf a — ^ 2;
= ?ь2 — Яь г-
A2)
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ
459
Уравнения движения для наиболее распространенных видов эквивалентных
систем приведены в табл. 3.
Для легковых автомобилей и грузовых с грузом, у которых р| « 1г • 12, часто
fдосматривают две двухмассовые системы (рис. 4, б) вместо трехмассовой (рис. 4, а)
13]. У грузовых автомобилей с малой крутильной жесткостью рамы анализ попереч-
поперечных угловых колебаний ведется с учетом относительных перемещений подрессоренных
масс у передних и задней осей [23]. У колесных тракторов встречаются полужесткие
системы подрессоривания, поэтому
приходится учитывать прицепные
орудия и другие особенности [ 1, 15].
Специфические задачи возникают
при создании подвесок колесных
землеройных машин с шарнирной
рамой [8]. В гусеничных многоопор-
многоопорных машинах особое внимание
уделяется угловым колебаниям кор-
корпуса (координаты г0, а) и деталь-
детальному учету нелинейных характе-
характеристик подвески [6].
г,
1Г"
It
It
г
Z
L
\
и
м >
L
г)
Рис. 4
Свободные колебания. Собственные частоты и коэффициенты затухания, характе-
характеризующие свободные колебания, оказывают существенное влияние на поведение
автомобиля на дороге с неровной поверхностью.
Число собственных частот и коэффициентов затухания у автомобиля и его эле-
элементов достаточно велико, что объясняется значительной сложностью реальной сис-
системы.
Общие положения, учитываемые при проектировании и определяющие соотноше-
соотношения собственных частот автомобиля: собственные частоты не должны совпадать с час-
частотами возмущения; собственные частоты колебаний взаимно влияющих друг на друга
элементов не должны совпадать; если совпадение частот неизбежно, то величина
затухания должна быть увеличена.
Собственные частоты и коэффициенты затухания можно рассматривать как па-
параметры, дающие обобщенную характеристику качества подвески, особенно важную
на стадии проектирования.
460
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
3. Уравнения движения для систем, эквивалентных автомобилю
или гусеничной машине
Колебатель-
Колебательная система,
обобщенные
координаты
Трехмассная,
координаты
*V "• tl,2
Двухмассная,
координаты
Z, \
г,, а
¦Я
S
X
U
и
С,
'О
*•"
К
Рис.
Уравнения движения
В продольной плоскости
-2cpltl = 0;
M2z2 + 2kj2 + 2с Л + M3z\ - 2A24 -
2 -^ 2?2 = °: X
miti + 2iki + kmi)ii + 2{cpi + cIB.)ti-
<i = 1, 2)
mZ0 + 2 {кг + A3) z0 + 2 (c + с ) z0 +
4~ 2 (АЛ. — ^о^э) ot 4* 2 (c ,/, — с 2/_\ a — 2A,^ —
P P
9- » «A ? 2c T 0"
plfal 2fe2 p2b2
Л/р=й + 2 (Aj/; + A.^1) d + 2 (cpl/| + Cpj/|) a +
_i_2/jt/ k I \z -\~ 2 (c I —~ с / \ г 2jfe / X
X ?1 - 2^piVi - 2V2E2 - 2cp2/2J2 = 0;
mfr + 2(ki+ Ami) i. + 2 (cp. + сш/) С, -
Afz + 2A2 + 2c z — 2ki — 2ct= 0;
m ? -f- 2 (A -f- A ) ? -f" 2 (с -\- с \ ^ — 2kz — 2c z —
— 2k q -\-2c q
Mz0 + 2 (A, + A,) lo + 2 (с, + сг) 2„ +
+ 2 (A,/, - Ш i + 2 (г,/, - сЛ) a =
= 2ft,?, + 1c,«, + 2A2a, + 2c,(fc-,
Afp^ + 2 (*,/» + V3)i + 2 (e,lJ +cs/|)a +
-f 2 (Vi - *Л) г0 + 2 (<т,Л - сг1г) го ==
Примечание
'1 + 4
Л1' М L* S
Г' + р"
ру — радиус инерции
подрессоренной массы
относительно попе-
поперечной оси, проходя-
проходящей через центр тя«
жести
ml,2 -* °i
Cl,2 =
СР1Л "Ы
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ
461
Продолжение табл. 3
Колебатель-
Колебательная система,
обобщенные
координаты
7о, ос— «-опор-
«-опорные машины,
гусеничные
или колесные
Одномассная,
координа-
координата в
(без затуха-
затухания)
Схема
Рис. 4, г
Рис. 4, д
Уравнения движения
Л( г0 + 2& г'г0 + 2сгг0 + 2*са + 2с с<х = <?г;
М р'ух + 2*аа + 2саа + 2/гсг0 + 2с сг0 = <За,
где
и /J
0г1 = cxq it) + *j? @:
и т. д.
В поперечной плоскости
где
c'pi я= с . (i=l, 2);
Примечание
я п
л
л
р — радиус инерции
подрессоренной массы
относительно про-
продольной оси, прохо-
проходящей через ее центр
тяжести
Ограничимся колебаниями кузова и колес, и рассмотрим модель, состоящую из
этих систем (рис. 4, б).
Свободные колебания каждой из этих систем описываются уравнениями вида
С =
sin
sin
sin
Свободные колебания кузова и колес слагаются из составляющих с низкой час-
частотой Q и коэффициентом сопротивления Я, а также с высокой частотой Q/, и соответ-
соответственно коэффициентом сопротивления hk- Амплитуды составляющих зависят от на-
начальных условий. Можно, однако, заранее считать, что для перемещения г кузова
гг ^> г^г, а для перемещения С колеса ?*? > ?j.
Собственные частоты. Воспользуемся тем, что затухание низкочастотных сос-
составляющих должно быть сравнительно небольшим. На этом основании можно на ста-
стадии проектного расчета пренебречь его влиянием на собственные частоты.
Учитывая далее малую разницу между парциальными частотами и частотами
связанной системы, запишем
Qt**ai = l/ -^;
-Г-
A3)
Например, при более мягкой передней подвеске имеем /р1 > /р2 и Qj <
462
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Удобно выразить собственные частоты через статические прогибы подвески fPj 2;
A4)
-V
е 5
— ИЛИ П: = г _:
I pi r I pi
где Q; в 1/с, П{ в Гц, fp!- в см, i = 1, 2.
Значения fp приведены в табл. 4. В среднем можно считать подвески грузовых
автомобилей (с грузом) в 2,5—4,5 раза жестче, чем подвески легковых автомобилей.
4. Средине значения статических прогибов подвесок, мм
Подвеска колес
Передняя
Задняя
Легковые автомобили
с независимой
подвеской
150—dOO
с зависимой
подвеской
80- 150
525-250
Грузовые автомобили
без 1руза
50-100
25-75
с грузом
75-100
70-120
Свободные колебания гусеничной многоопорной машины протекают с собственны-
собственными частотами, близкими к парциальным:
-Y^t- —
MpJ,
где i — число опорных катков на борт машины.
Существенное отличие гусеничной машины от двухосного автомобиля состоит
в том, что при одинаковых частотах вертикальных колебаний жесткость подвески
каждой из опор уменьшается с увеличением их числа. Следовательно, уменьшается и
угловая жесткость подвески са = 22 с;/;2. Поэтому ша для гусеничной машины ока-
оказывается на 26—29% меньше, чем у автомобиля, при 5—8 опорных катках на борт
машины. Одновременно повышается склонность машины к продольным «клевкам»,
особенно заметным при интенсивных торможениях или разгонах.
Затухание. Источники затухания: трение в амортизаторах, между листами рес-
рессор [9], в шарнирах, в шине и др. Основным источником затухания стремятся сделать
амортизаторы, а остальные свести к минимуму [4, 13, 16]. При предварительной оценке
или проектном расчете закон изменения сопротивления принимают пропорциональ-
пропорциональным скорости колебаний кузова относительно колес. Влияние сил сопротивления
оценивается коэффициентом затухания (сопротивления) подвески h или относительным
коэффициентом затухания я|). Как и в случае собственных частот, различают коэффи-
коэффициенты затухания парциальные и связанной системы для низкочастотных или высоко-
высокочастотных составляющих. Парциальные значения параметров затухания (i = 1, 2):
для низкочастотной составляющей /г0,- = k[/Mf, t|30; = Aoj/woiS Для высокочастотной
составляющей hkOi — к^т^, г|э?„г = h^/aui-
Связь между колебаниями подрессоренной и неподрессоренных масс приводит
к тому, что в среднем к » @,5 — 0,75) h0 и А/г = A,1 — 1,25) hk0. Высокочастотные
колебания происходят с большим затуханием, чем низкочастотные.
У современных автомобилей колебания кузова происходят с затуханием, соответ-
соответствующим г|) = 0,15 — 0,30.
Для гусеничных машин парциальные значения коэффициентов затухания вер-
вертикальных и угловых колебаний
M
При одинаковых hz затухание угловых колебаний у остова гусеничной машины
будет на 26—29% меньше, чем у кузова двухосного автомобиля. Нетрудно видеть, что
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ
463
наиболее эффективны амортизаторы, установленные на крайних катках. Поэтому часто
в подвесках гусеничных машин ограничиваются установкой амортизаторов с повы-
повышенным сопротивлением в подвесках передних и задних опорных катков.
Уменьшение затухания угловых колебаний предопределяет склонность гусенич-
гусеничных машин к угловым колебаниям в продольной плоскости.
Колебания на дороге с неровной поверхностью. Рассмотрим вначале движение
по дороге с микропрофилем из синусоидальных неровностей. Такая дорога редко
встречается в действительности, однако ее часто используют в расчетах и при испыта-
испытаниях. Это объясняется гем, что гармоническое воздействие позволяет быстрее проана-
проанализировать колебания автомобиля, оценить соотношение параметров, сравнить авто-
автомобили независимо от особенностей микропрофиля дороги или перевозимого груза
и дать оценку колебаниям автомобиля при наиболее неблагоприятных условиях воз-
возмущения.
В результате прохождения двух-трех неровностей, близких по длине, возникают
неустановившиеся колебания, приближающиеся по интенсивности к установившимся.
Рассмотрим установившиеся (вынужденные) и неустановившиеся колебания.
Установившиеся (вынужденные) колебания. Колебания автомобиля (см. рис. 4, б)
удобно характеризовать перемещением г, ускорением z кузова, а также перемещением ?
колеса (табл. 5).
5. Формулы для расчета угтано(швшихся (вынужденных) колебаний
Параметр
Формула
Кузов (подрессоренная часть)
Перемещение
Ускорение
Амплитуда
Перемещение
Амплитуда
-f- = - 2VV sin (yt + q>zv)
K1 J/ [(v2 + и2J
Колесо (неподрессоренная часть)
/'¦
[(V2 — u2J +
Обозначения: «2 = ;г2 -j- Q2; tJ = ft- -J- ц-.
Колебательная система, соответствующая передней или задней подвескам, имеет
две собственные частоты: Q и йк. Поэтому возможны два резонанса — низкочастотный
при v = Q и высокочастотный при v = QK. Условиями резонанса можно приближенно
считать v = и и v = v.
Частота v в 1/с возмущающей силы, скорость автомобиля уа (в км/ч) и длина
неровностей s (в м) связаны между собой зависимостью
A5)
3,6v'
которая может быть представлена и в виде графика (рис. 5, а). Заштрихована область
возможных сочетаний значений s и va, ограниченная эксплуатационными скоростями
464
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ПСЕНИЧНЫХ МАШИН
vm-m и fmax, верхним пределом употребительных значений длин неровностей s
График позволяет установить, что низкочастотный резонанс (ему соответствует пря-
прямая /) возможен при неровностях длиною 2—5 м, и высокочастотный (прямая //)
при неровностях s = 0,5—3 м. Если подвеску сделать более мягкой (прямая /'), то
низкочастотный резонанс будет невозможен.
Следует заметить, что резонансные колебания будут иметь практическое значение,
если помимо периодического чередования неровностей одинаковой длины.
1) скорость автомобиля, соответствующая условию v = u или v = v, находится
в области эксплуатационных скоростей автомобиля;
2) неровности имеют длину, необходимую для возникновения резонанса;
3) затухание колебаний является малым;
4) высота неровности значительна.
Более полное представление о колебаниях автомобиля, учитывающее, в частности,
первые три из перечисленных условий возникновения интенсивных колебаний, дают
амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) колебаний автомобиля: перемещений
кузова zv (v) или zv (s, va), ускорений кузова zv (v) или zv (s, ua), перемещений колеса
?v (у) или ?v (s, va).
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ 465
На рис. 5, б представлены АЧХ грузового автомобиля с параметрами М =
— 3,06 кгс-см^-с2, т = 0,612 кгс-см-1-с2, 2ср = 300 кгс-см, 2сш = 900 кгс-см-1,
ha = 0,25о)(,. В нижней части рис. 5, б приведена та же зависимость, что и на рис. 5, а,
позволяющая связать амплитуды колебаний со скоростью автомобиля и длиной не-
неровное гей.
Колебания в общем случае движения автомобиля с постоянной скоростью. В этом
случае колебания каждой массы автомобиля можно представить как сумму трех сос-
составляющих ¦— низкочастотной, высокочастотной и от действия невозмущающей
силы. Возмущающее действие дороги выражается в том, чго уже одна неровность на
протяжении периода свободных колебаний, соответствующего условию v =» и, вызы-
вызывает перемещение кузова, примерно в 1,5 раза превышающее высоту неровности.
Существенно, что перемещения колеса в области v ~ v остаются практически равными
высоте неровности. Ускорения кузова достигают максимума в области v » v.
При интенсивных неустановившихся колебаниях преобладающее значение имеют
колебания с собственными частотами — низкочастотные для кузова и высокочастот-
высокочастотные для колес. Это существенно при анализе колебаний в самом общем случае —
на дороге произвольного микропрофиля; когда интенсивные колебания кузова совер-
совершаются с частотами, близкими к низким собственным частотам, а колебания колес —
к высоким собственным частотам.
Вертикальные колебания колес вызывают высокочастотные ускорения кузова,
которые, однако, не оказывают существенного влияния на плавность хода автомобиля.
Пассажиры переносят указанные ускорения лучше, чем низкочастотные, а главное —
такие ускорения сравнительно легко устранить, используя обычную конструкцию
сиденья. Высокочастотные колебания изменяют величины реакций на колесах и
влияют на устойчивость и безопасность движения.
Изменение величины вертикальных реакций может оказать существенное влия-
влияние и на износ поверхности дороги, увеличить степень неровности покрытия дороги,
в свою очередь усиливая колебания автомобиля. Колебания колес иногда сопровож-
сопровождаются их отрывами от дороги.
В общем случае колебания, которые испытывает автомобиль, являются неста-
нестационарными. Основные причины этого — нестационарность микропрофиля дороги
и действия (ощущения) водителя. Водитель стремится вести машину так, чтобы коле-
колебания, которые он испытывает, были близки к допускаемым (переносимым). Для
обеспечения высокой средней скорости водитель вынужден менять режим движения
автомобиля. Чем хуже микропрофиль дороги и качество подвески, тем заметнее
изменения скорости.
Оценки плавности хода различны даже для одного и того же человека в зави-
зависимости от его состояния. Таким образом, чтобы рассматривать колебания автомо-
автомобиля в действительных условиях, следовало бы учитывать случайный характер мно-
многих величин, связанных с этими колебаниями.
В зависимости от частоты можно разделить все возникающие вертикальные
ускорения на несколько полос: низкочастотные A—3 Гц), соответствующие вер-
вертикальным колебаниям и вертикальным составляющим продольных и поперечных;
угловых колебаний подрессоренной части; высокочастотные A0—15 Гц) от колебаний
неподрессоренных частей; вибрации в полосе частот 10—60 Гц от колебаний эле-
элементов кузова и двигателя на его упругом подвесе; вибрации с частотами свыше 70 Гц,
связанные также с колебаниями элементов шины. Ускорения в продольном и попе-
поперечном направлениях содержат примерно те же составляющие, что и при вертикаль-
вертикальных колебаниях, а также другие, обусловленные в каждом отдельном случае особен-
особенностями данного автомобиля.
Опытные данные показали, что вероятность появления тех или иных ускоре-
ускорений достаточно хорошо соответствует нормальному закону распределения. Вибро-
Виброускорения могут оцениваться их средними квадратическими значениями (табл. 6).
Как все средние величины, эти данные позволяют дать лишь общую оценку
колебаниям, непригодную, например, для суждения о плавности хода, поскольку
были осреднены колебания с частотами, влияние которых на плавность хода весьма
различно.
Статистические характеристики ускорений кузова грузового автомобиля при-
приведены в работе [7].
466
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕП И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
6. Средние квадратнческие значения линейных виброускорений
для легкового автомобиля, м/с2
Виброускорения
Неподрессоренных частей!
вертикальные:
спереди
сзади
поперечные (сзади)
продольные (спереди)
Подрессоренных частей!
вертикальные;
спереди
сзади
поперечные (сзади!
продольные (спереди)
90
репное
7.8
7.4
3S4
3,9
1,5
1,5
1,1
0,7
Скорость
120
покрытие
11,3
10,8
3,9
4,5
2,4
2,2
1,2
1,1
. КМ/Ч
45
Булыжное
29 6
18,9
4,7
13,7
2,6
2.3
1,5
0,9
75
покрытие
41,3
2В.8
61
15,4
3.3
2,8
1,9
2,0
Испытания показывают, что в зависимости от качества подвески скорости дви-
движения на дорогах с неровной поверхностью уменьшаются в 3—4 раза, а на одной и
той же дороге разность в скоростях, определяемых в зависимости от качества под-
подвески, достигает 50%.
Колебания гусеничной машины с (' парами опорных катков при движении по
неровной поверхности имеют свои особенности, обусловленные несколько иным ха-
характером возмущающего воздействия.
При коротких неровностях (s^-:—z) проезд единичной неровности приводит
к серии из i воздействий на остов машины. При более длинных неровностях воздей-
воздействия от отдельных опор накладываются и дают как бы одно воздействие продолжи-
гельностью Т = . Таким образом, одна длинная неровность размерами s и
2<?о как бы заменяется приведенной неровностью длиной s + L и высотой q^ -» 2q0i.
При движении по правильной волнистой поверхности сумма воздействий от
опорных катков на остов может давать слабовыраженную переменную составляю-
составляющую. Поэтому движение многоопорной машины по дороге с правильной волнистой
поверхностью может не сопровождаться значительным раскачиванием остова, даже
при совпадении времени проезда неровности и периода свободных колебаний. Более
подробное заключение может дать расчет, который рекомендуется проводить для
периодического дорожного воздействия с учетом нелинейностей в системе подвески [6].
При расчетах колебаний автомобиля при случайном воздействии чаще всего
исходят из следующих допущений и предположений: случайный процесс является
одномерным (определяется только микропрофилем дороги в продольном направлении
и является стационарной нормальной случайной функцией); автомобилю соответст-
соответствует линейная колебательная система; колебания автомобиля представляют собой
стационарный, иногда эргодический, нормальный процесс.
Схематически автомобиль можно представить как систему, на вход которой
(через передние и задние колеса) подаются воздействия, определяемые случайными
функциями <7i и <72- На выходе получаем совокупность реализаций той или иной ве-
величины: перемещения кузова, его ускорения, перемещения колес и т. д.
Только экспериментальная проверка может подтвердить эти допущения, так
как автомобиль лишь приближенно моделируется линейной колебательной системой,
не учитывающей обычно нелинейности характеристик подвески и шин. Кроме того,
допущения о характере микропрофиля дороги не всегда соответствуют действитель-
действительности.
Принятые допущения накладывают серьезные ограничения на исследование
колебаний автомобиля при случайном воздействии. Поэтому совершенствование
ТРАНСПОРТНАЯ МАШИНА И ЕЕ КОЛЕБАНИЯ 467
исследований должно ставить целью учет многомерности случайного процесса, ею
нестационарности и нелинейности параметров автомобиля. Такой учет возможен,
например, при использовании методов статистической линеаризации.
Расчет колебаний при случайном дорожном воздействии может производиться
путем численного интегрирования дифференциальных уравнений [20] или методами
статистической динамики.
Первый метод требует обязательного применения ЦВМ, и его преимущества
сказываются наиболее полно при значительных затратах машинного времени и при
быстродействующих ЦВМ.
Методы статистической динамики (см. ниже) свободны от этих ограничений, но
применимы лишь для линейных систем.
Чтобы получить достаточно полное представление о поведении автомобиля при
случайном воздействии, достаточно знать дисперсии и нормированные спектральные
плотности дисперсий следующих величин: вертикальных перемещений и ускорений
кузова S* (v) и S\ (v), необходимых, в частности, для оценки ощущений пассажи-
пассажиров, сохранности груза, расчета сидений (систем вторичного подрессоривания); про-
прогибов рессор или перемещений колес относительно кузова S% (v), характеризую-
характеризующих возможность пробивания подвески, ее прочность и долговечность; перемещений
колес S'g (v), удобных для анализа физической сущности колебаний; деформаций
шин или перемещений колес относительно дороги S9q (v), существенных, например,
лри оценке вероятности отрыва колес от дороги, долговечности шин и сохранности
дороги.
Перечисленные спектральные плотности дисперсий можно определить по фор-
формулам
Sz (v) = I Нг (tv) !2 Sj (v); S% (v) =! Нг1 (iv) j2 S? (v);
S\ (v) = | Я ; (.V) j2 S* (v) = v4 [ Hz tfv) |2 S* (v);
Si (v) = i Я? (iv) г S; (v); S& (v) = | Hlg (tv) |* Sj (v).
Чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо найти выражения для
квадратов модулей частотных характеристик Я (tv), которые могут быть получены
опытным или расчетным путем. В первом случае автомобиль подвергают периодиче-
периодическому гармоническому возмущению на стенде или участке дороги с искусственной
волнистой поверхностью.
Значения | Н (tv) |2, необходимые для расчетов двухмассовой системы, приве-
приведены в табл. 7.
После того как найдена спектральная плотность, можно определить величину
дисперсии, а затем среднее квадратическое значение искомой величины. Например,
для нормированного среднего квадратического вертикального ускорения кузова
zt=\/ 2) Sz (y)dv-
' 0
Чтобы найти действительное среднее квадратическое вертикальное ускорение,
надо учесть среднюю квадратическуга высоту qc микроирофиля. Тогда 2С = qj-c-
Влияние параметров автомобиля на его колебания. Параметры автомобиля,
непосредственно влияющие на его колебания: жесткость подвески 2ср, жесткость
шин 2сш, масса (подрессоренной части) кузова М, масса колес (неподрессорениой
части) т, сопротивление амортизаторов 2й. Влияние уменьшения каждого из этих
параметров на колебания автомобиля видно из табл. 8. Данные в таблице соответст-
соответствуют периодическому возмущению, имеющему постоянную частоту v = и или v = v.
Из анализа табл. 8 следует, что наиболее эффектизно уменьшение жесткости
подвески при соответствующем изменении сопротивления амортизаторов, что суще-
существенно еще и потому, что конструктор подвески имеет практическую возможность
менять только упругую характеристику подвески и характеристику амортизаторов.
468 КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
7. Квадраты модулей частотных характеристик автомобиля (см. рис. 4, б)
Характе-
Характеристика
Перемещение
кузова
Прогиб
рессор
Перемещение
колеса
Деформация
шин
Относительные величины
(при Аш = 0)
¦= —?- Uhlvs -f- (йо)
—4
Я? (IV) J2 =
-H-o + V-j
Абсолютные величины
1 2
] Я? (IV) j2 =
VI г 2 г 2-|
где At0 = Л1 + m
Примечание. Для относительных величин Д = [(u2 — v2J + 4v2ft2] [(и2 — V2J+
+ 4у2Лк]; Для абсолютных величин Д = \Мт\* — (М^ + Мс
+ [(*шср + *сш) v ~ (Л10* + Af *ш) v3]2-
8. Влияние основных параметров автомобиля на его колебания
при периодической возмущающей силе [13]
Параметр величина
Низкочастотные колебания:
частота й
затухание ф
Высокочастотные колебания;
частота ?2fe
затухание ф^
Перемещение кузова при низко-
низкочастотном резонансе z(/
Ускорение кузова при низкочастот-
низкочастотном резонансе 2
и высокочастотном резонансе г
Перемещение колеса при резонан-
сах
низкочастотном
высокочастотном
Изменения при уменьшении
жесткости
подвески
X
СО
X
—
XX
XX
—
XX
0
жесткости
шин
X
X
X
0
0
—
XX
X
X
массы
подрес-
подрессоренной
части
0
0
X
—
X
00
00
массы
неподрес-
соренной
части
X
X
0
0
—
—
—
—
X
сопроти-
сопротивления
аморти-
амортизаторов
XX
0
XX
00
00
—
0
00
Обозначения:— —незначительные ичченения (в пределах 0,90—1,15); X — уменьше-
уменьшение, 0 — увеличение: XX — значительное уменьшение (¦< 0,6); 00 — значительное увеличение
(больше чем в 1,8 раза).
ЧЕЛОВЕК И ПОСЛЕДСТВИЯ ВИБРАЦИЯ
469
Уменьшение жесткости подвески требует преодоления ряда трудностей, основ-
основная из которых — сочетание малой жесткости вблизи статического положения
(большой статический прогиб /р) с отсутствием ударов в упоры при ограниченных
динамических ходах /дн, /дв (от статического положения до упоров). Это возможно
при нелинейной упругой характеристике (рис. 6).
Заштрихованная площадь на рисунке соответствует наибольшей потенциальной
энергии, запасаемой подвеской при наезде на неровность (динамической емкости
подвески).
Одна из рекомендаций (для легковых автомо-
автомобилей) сводится к следующему: /D = 150—300 мм;
/д = 100—150 мм; в пределах ±0,6 /д изменение
жесткости до 20%; вне этих пределов плавное уве-
увеличение жесткости; наибольшая нагрузка, переда-
передаваемая подвеской при подходе к верхнему упору,
1,6—2,0 от статической.
9. Отношение масс подрессоренной части
автомобилей с грузом и без груза
Подвеска
Передняя
Задняя
Автомобили
легковые
1,15-1,40
1,30—1,70
грузовые
1,2-1,5
2,5—5,0
Отдача
¦ Сжатие
Рис. 6
Учитывая изменения массы подрессоренной
части (табл. 9), следовало бы иметь семейство не-
нелинейных упругих характеристик, подобных описанной, и соответствующих каж-
каждая различной степени нагрузки. Это возможно только при регулируемой жесткости
(при пневматических подвесках).
Оптимальное затухание, обеспечиваемое амортизаторами, должно соответство-
соответствовать относительным коэффициентам затухания \р = 0,15—0,25 (низкочастотные ко-
колебания) и г|}? = 0,25—0,45 (высокочастотные колебания). Это позволяет эффективно
уменьшить перемещения и ускорения масс автомобиля при резонансах за
счет незначительного увеличения ускорения в межрезонансной и зарезонансной
областях.
При окончательном выборе затухания приходится учитывать влияние аморти-
амортизаторов на различные эксплуатационно-технические свойства автомобиля [4, 16].
4. ЧЕЛОВЕК И ПОСЛЕДСТВИЯ ВИБРАЦИИ
Действие вибраций на человека. Вибрации тела человека или отдельных его
частей оказывают сложное биологическое действие и могут вызывать ряд изменений
в организме, затрагивающих его функциональное состояние, работоспособность,
здоровье. Действие вибраций на организм зависит от их частоты, интенсивности
(амплитуды), продолжительности действия и направления.
Различают вибровоздействие на человека и его вибронагруженность. Вибровоз-
Вибровоздействие определяется вибрацией, передаваемой человеку в месте его соприкоснове-
соприкосновения с кузовом автомобиля или остовом трактора. Вибронагруженность человека
оценивается вибровоздействием с учетом чувствительности человека к вибрациям
различной частоты.
Вибрации с частотой до 3—5 Гц обусловливают реакции вестибулярного аппа-
аппарата и могут вызывать укачивание (морскую болезнь). При вибрациях с частотами
от 3—5 до 11 Гц наблюдаются расстройства, обусловленные возбуждением лабиринт-
лабиринтного аппарата внутреннего уха и резонансными колебаниями как человеческого тела
в целом, так и некоторых его частей (головы, желудка, печени и кишечника).
470 КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Вибрации тела человека с частотами 11—45 Гц могут сопровождаться функцио-
функциональными расстройствами ряда внутренних органов, ухудшать зрение, вызывать
тошноту и рвоту. Вибрации с частотами свыше 45 Гц при известной интенсивности
вызывают серьезные изменения, так называемую вибрационную болезнь.
Диапазон вибрационной чувствительности человеческого организма 15—1500 Гц.
Восприятие вибраций, связанных с изменением положения тела в пространстве,
представляет собой сложный процесс.
Если вибрации действуют на водителя в течение рабочего дня из года в год, то
при определенной их интенсивности в организме могут появляться болезненные и
необратимые явления (пояснично-седалищные боли, ишиас). Они обусловлены не-
неблагоприятными условиями работы водителей, длительностью действия вибраций,
включающих вибрации при пиковых нагрузках со значительными ускорениями;
неудобством позы, при которой практически, минуя нижние конечности, нагрузки
передаются позвоночнику; длительностью нервно-психического напряжения во время
работы.
Неоднократные испытания показывают, что человеческое тело можно рассматри-
рассматривать как нелинейную, нестационарную колебательную систему. Возмущения неко-
некоторых частот усиливают колебания — возникают резонансные явления, которые
следует учитывать при виброзащите водителя и пассажиров.
При вертикальных колебаниях сидящего человека основной резонанс наблю-
наблюдается при частотах 2—5 Гц (чаще при 4—5 Гц), резонансные колебания плеч и рук
при 3 Гц, органов брюшной полости и позвоночника при 4—8 Гц, головы при 25—
30 Гц, глазных яблок при 60—90 Гц.
Параметры механических колебаний тела человека связаны с его субъектив-
субъективными восприятиями сложным образом. Пока бесспорно, что при минимальных коле-
колебаниях получаются наилучшие ощущения плавности хода.
Моделированию тела человека как упругой системы, изучению особенностей
его колебаний и связанным с ними ощущений посвящен ряд работ [2, 3, 12, 18, 29, 34].
Измерители и показатели плавности хода автомобиля. Необходимы качествен-
качественное решение, в результате которого определяется измеритель (ускорение), характе-
характеризующий ощущения человека в автомобиле, и количественная оценка для нахож-
нахождения рекомендуемых и допустимых показателей при выбранном измерителе (уско-
(ускорении) с учеюм как ощущений, так и влияния колебаний на профессиональную
деятельность. Трудности состоят в сложности условий, так как человек в автомобиле
подвержен действию линейных и угловых колебаний вокруг трех главных осей;
частоты колебаний меняются от 0,5 до 80—100 Гц; человек воспринимает их в поло-
положении сидя, иногда стоя, при гармоническом или случайном воздействии различной
продолжительности, при отдельных пиковых воздействиях наряду с длительными
колебаниями.
Трудно моделировать при испытаниях действительные условия езды человека
в автомобиле. Люди и их состояния различны, что предопределяет статистический
характер оценок и их разброс.
Существующие предложения нельзя считать окончательными ни по выбору
измерителей и показателей, ни по тому статистическому материалу, на котором они
основаны. Рассмотрим два показателя вибронагруженности, которые определяют
предельные скорости движения транспортного средства по вибронагруженности
водителя.
Оценка вибронагруженности по ИСО. Международной организацией по стандар-
стандартизации (ИСО) предложен рекомендательный стандарт ИСО 2631—74 «Вибрация,
передаваемая человеческому телу», применимый также к человеку, едущему в авто-
автомобиле.
Реакция человека на вибрацию поставлена в зависимость от четырех факторов
интенсивности, измеряемой средним квадратическим ускорением, частоты, направле-
направления действия (вдоль главных осей человеческого тела) и длительности (времени воз-
воздействия).
Оценка любой вибрации производится с точки зрения:
комфорта с предельным порогом его снижения; комфорт позволяет при дейст
вии вибрации читать, писать, есть и является оптимальным при перевозке пасса-
пассажиров;
ЧЕЛОВЕК И ПОСЛЕДСТВИЯ ВИБРАЦИЯ
471
обеспечения профессиональной деятельности с предельной границей снижения
производительности труда вследствие усталости, распространяющейся также на
водителей транспортных машин;
обеспечения безопасности и здоровья, которому соответствует предел воздейст-
воздействия. Хотя этот предел примерно вдвое меньше ускорения, считающегося порогом
0,10
1,0 1,6 2J 4,0 6,3 10 16 25 40 Гц
Частота или средняя частота треть~ активной
полосы
1 мин у
. 16 мин У
25MUH
1ч
2,54 У
'14 ¦ У
- 84
164
244 у
у
>
/у
As
{А
А
А,
у
/ /
/у
j
А /
А
Ay
А
/А
А
А,
у
/у
У у
УУ
А
У
V,
/"у
у
А
А у
/
У ,
У у
А
у
А,
/,
/у
/
1,0 %6 2? 4,0 6,3 10 16 25 fyO Гц
Частота иди средняя частота треть -октаВтп
полосы
63
25
10
4,0
0,63
0,25
0,1
0,04
" /
¦*^.
¦*
ь
*
а
f
<
Ч
у1
4
S
S
ч
ч
ч
ч
S,
\
Ч
ч
ч
ч
ч
ч
\
\
\
\
s
ч
\
4 5 JO 20 40 100 MUft
ез
is
10
4,0
1,6
0,63
0,15
0,1
-
4
ч
s
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
?¦
С5ч1ч 15ч 25ч Чч 5 8 1Сч '
4 5 W 20 to
0,25ч 0,5V U 1,5ч 2?ч * 5 810 IS 241
Еремя даздеасшдая
9
Рис. 7
появления болезненных ощущений, превышать указанный предел не рекомендуется,
даже если человек, подверженный вибрациям, не должен выполнять никакой работы.
Частоты виброускорений, соответствующие частотному диапазону от 1 до 80 Гц,
разделены на третьоктавные полосы, характеризуемые среднегеометрической или
центральной частотой в Гц. Виброускорения разной частоты по-разному переносятся
человеком (рис. 7, а, в). Наиболее неблагоприятны (ощутимы) виброускорения в по-
полосе частот 4—8 Гц для вертикальной вибрации и 1—2 Гц — для горизонтальной.
472
КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Вибрации, действующие вдоль вертикальной оси тела человека (ряс. 7, а), вос-
воспринимаются иначе, чем вдоль горизонтальных осей его тела, продольной или попе-
поперечной (рис. 7, в). Длительность вибрации первые 5 мин не влияет на переносимое
ускорение, а потом оно начинает падать и через 4 ч падает более чем в 5 раз по срав-
сравнению с ускорением при кратковременном воздействии (рис. 7, б, г).
Величина среднего квадратического виброускорения (в м/с2), соответствующего
границе снижения производительности труда от усталости, может быть найдена по
кривым на рис. 7 или для любого уровня по формулам
I z\ P v* tz \ x, y\ P vx, у lx,y
Входящий в эти формулы коэффициент kp для трех перечисленных выше уров-
уровней соответственно равен 0,317; 1,0; 2,0. Весовые коэффициенты kv и k( даны в табл. 10.
10. Весовые коэффициенты, учитывающие
частоту (kw kvx, kvy) и время
{ktz, k(K, kt ) воздействия
вибрации на человека
11. Допустимые значения средних
квадратических виброскоростей
no CH 1102—73
л
1.0
1 25
2,0
3.15
5.0
8.0
12,5
20,0
31,5
2,0
,79
,41
,11
,0
,0
,59
2,5
4,0
Y
1,0
1.0
1.0
1,59
2.5
4,0
6.25
10,0
15.9
Sg
к я
= о
&¦?
ш «
1 мин
16 мин
25 мин
1 ч
2,5 ч
4 ч
8 ч
16 ч
24 ч
ktz
1.0
0.75
О.Ы
0 42
0,25
0 19
0,11
0056
0 04
*/*•
1,0
0.75
0 03
0Д2
0,25
0,177
0.11
0.075
0 15
Частоты
октавных
ПОЛОС,
инь
X
О.
U
O.SS—1,4
1 4—2.8
2.8—5.6
5,6—11 2
11,2-22.4
22,4— 44,3
Гц
о
II
1
2
4
8
16
31,5
Виброско-
POCTI
, м/с.
при колеОа-
ниях
А
кал:
Ш X
0.126
0.071
0.025
0,013
0.011
0,011
is
СТ X
X А
o.aw
0.035
0.032
0,032
0,032
0,032
Вертикаль-
Вертикальные Е
ибро-
ускорения.
м/с2
—
CU
0,79
0 89
0]бЗ
0.65
1 11
2,18
"О
<?>
а
О
§s
0S4
0.78
0.57
0,60
1.1»
2,26
Найденные таким образом ускорения соответствуют непрерывному действию вибро-
виброускорений в течение выбранного времени. Если воздействие прерывается, то допу-
допустимое сочетание ускорения и времени его действия может быть увеличено. Действие
виброускорений, направленных вдоль каждой из трех осей тела человека, следует
оценивать раздельно. Если в течение рабочего дня человек подвергается вибрации
одного и того же уровня с перерывами, то общее время воздействия принимают рав-
равным сумме отдельных периодов. В общем случае вибрация является широкополос-
широкополосной с различной интенсивностью и продолжительностью действия частотных соста-
составляющих. Необходимо привести продолжительности действия отдельных составляю-
составляющих по третьоктавным полосам к одной эквивалентной, например, с центральной
частотой 4 Гц. Если tt — действительное, а [Г|] — допустимое время действия вибро-
виброускорения с i-частотной полосой, то, обозначая через [Т] допустимое время действия
колебания с выбранной частотой D Гц), получим эквивалентную продолжительность
вибраций
Воздействие вибраций допустимо при условии Тэ < [Т].
Оценка вибронагруженности по санитарным нормам. В СССР действуют обяза-
обязательные санитарные нормы СН 1102—73, ограничивающие вибрации на рабочем
месте водителя грузового автомобиля. В качестве измерителя принята виброскорость,
нормированная для каждой октавной полосы (табл. 11). Приведенные показатели
соответствуют пределу по снижению производительности труда при восьмичасовой
ЧЕЛОВЕК И ПОСЛЕДСТВИЯ ВИБРАЦИИ 473
продолжительности воздействия. В табл. 11 для сравнения приведены нормы ИСО
2631. Средние квадратаческие значения виброскорости zc и виброускорения zc в ок-
тавных полосах частот связаны приближенно формулой z = z2nv0, где v0 — средняя
геометрическая частота октавной полосы.
Защита от колебаний. Сиденья. Если колебания превышают допустимые пре-
пределы, то прибегают к средствам защиты, обычно к так называемому вторичному под-
рессориванию. Оно может быть выполнено в виде специальной дополнительной под-
подвески перевозимого груза к кузову (раме); упругих сидений для пассажиров; вибро-
виброзащитных устройств и прокладок. Рассмотрим особенности вторичного подрессори-
вания на наиболее распространенном примере упругого сиденья.
Сиденья бывают полностью подвешенные и с раздельной подвеской сиденья и
спинки. Полностью подвешенное сиденье имеет три устройства подвески: направ-
направляющее, упругое и гасящее. Иногда для наилучшего удовлетворения поставленных
требований их выполняют раздельно.
Полностью подвешенные сиденья используют обычно для автомобилей и других
колесных машин с весьма жесткой подвеской колес, а также для автобусов. Наиболее
распространено сиденье с раздельно выполненными подушкой и спинкой. Пассажир
колеблется на сиденье, испытывая значительное трение о спинку. Подушка и спинка
обладают определенной упругостью и способностью гасить колебания пассажира.
Упругость подушки создается пружинами, губчатой резиной или другими аналогич-
аналогичными материалами.
Для уменьшения среднего давления тела пассажира на подушку, поглощения
вибраций и шума конструкцию подушки дополняют матрацем из синтетических ма-
материалов, губчатой резины, хлопчатобумажной и шерстяной ваты.
Собственная частота пассажира на раздельном сиденье (с отдельной спинкой)
составляет 2—3 Гц, а на полностью подвешенных сиденьях может быть уменьшена
до 1,0—1,5 Гц. Величина относительного затухания при отсутствии специального
амортизатора сиденья составляет в среднем 0,06—0,18.
Колебания пассажира массой тп на сиденье жесткости сс можно характеризо-
характеризовать собственной частотой <о„ «а 1/ — и коэффициентом затухания Лс = ?г^-,учп-
тывающим коэффициент сопротивления сиденья kc.
Эффективность сиденья зависит от того, в каком соотношении находится ча-
частота wn с частотой Q низкочастотных колебаний основания, т. е. подрессоренной
части, и шчел — собственной частотой сидящего человека. При выполнении условий
со,, «Й или <вп « ючел колебания на сиденье усиливаются. Сиденье, как и под-
подвеска автомобиля, играет роль фильтра, пропускающего прежде всего колебания
определенной частоты, зависящей от выбора юп.
Возможны два сочетания: а) мягкое сиденье при жесткой подвеске, т. е. ип <
< 0,7 Q < 0,7 <очел, что практически приводит к условию соп = 1,0—1,5 Гц; б) жест-
жесткое сиденье при мягкой подвеске, т. е. A,5—2,0) Q < озп < 0,7 шчел, что приводит
к условию (оп = 2,2,—2,5 Гц.
Сравнение АЧХ ускорений показывает, что мягкое сиденье при жесткой под-
подвеске более эффективно, чем жесткое сиденье при мягкой подвеске.
Однако реализовать все преимущества мягкого сиденья трудно, так как оно
приводит к большим перемещениям пассажира при колебаниях, особенно единичных
толчках. Значительные перемещения человека на сиденье трудно осуществимы.
Поэтому надо стремиться к тому, чтобы подвеска автомобиля была возможно лучше,
а роль сиденья была сведена главным образом к защите сидящего пассажира от высо-
высокочастотных колебаний.
Необходимость сочетать заданную жесткость сиденья с малыми абсолютными
перемещениями пассажира заставляет добиваться нелинейной упругой характери-
характеристики сиденья, при которой после сравнительно малых перемещений жесткость сс
существенно возрастет. Дополнительная трудность состоит в том, что у разных
людей массы различны, поэтому частоты <о„, а следовательно, перемещения и ускоре-
ускорения также различны.
Кроме вертикальных, человек на сиденье испытывает продольные и угловые
колебания, защитить от которых с помощью изменения конструкции и параметров
474 КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
сиденья трудно (так как, например, спинка не должна быть слишком мягкой, по-
поскольку она играет роль опоры для водителя).
Ускорения сидящего пассажира существенно зависят от положения сиденья по
длине и высоте автомобиля. Предварительное исследование показывает, что сиденье
целесообразно размещать внутри базы автомобиля, ближе к более мягкой подвеске
колес Расположение сиденья по высоте важно в грузовых автомобилях и автобусах.
Желательно, чтобы расстояние от центра тяжести до сиденья было небольшим, так
как это уменьшает амплитуды горизонтальных колебаний, которые пассажиры пере-
переносят хуже, чем вертикальные Кроме того, необходимо, чтобы колебания водителя
были возможно ближе к вертикальным, что достигают выбором направляющего уст-
устройства подвески сиденья
Увеличение затухания /гс до @,3—0,4) соп улучшает плавность хода в области
частот @,7—1,4) шп и ухудшает ее при средних и высоких частотах.
Выбор параметров вторичного подрессоривания других элементов автомобиля
во многом аналогичен выбору параметров для сиденья: необходимо следить за тем,
чтобы собственная частота подвешенного элемента не совпадала с другими собствен-
собственными частотами, чтобы упругий элемент имел нелинейную характеристику, а зату-
затухание было достаточным.
5. РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЯ
И ПАРАМЕТРОВ ПОДВЕСКИ
Различают две группы расчетов параметров: 1) свободных и вынужденных коле-
колебаний под действием периодического возмущения; 2) колебаний и плавности хода
при случайном воздействии
Расчет параметров колебаний. Расчет собственных частот и коэффициентов
затухания Величины собственных частот и коэффициентов затухания, определяя
характер колебаний масс автомобиля, дают также косвенное представление о каче-
качестве подвески
Приближенные значения собственных частот и коэффициентов затухания,
системы (соответствующие расчетной схеме на рис. 4, б), можно определять по фор-
формулам
V
/ с \а
I. !S_
т . .. , .... , (ш)
2(ср+сш) k,M
т ' * М т с„ + си
Формула для частоты Q записана в предположении, что низкая собственная
частота определяется суммарным статическим приведенным прогибом подвески и
шин Точность этих формул тем выше, чем больше отличаются жесткости подвески
и шин, а также массы подрессоренной и неподрессоренной частей Поэтому наиболь-
наибольших погрешностей (свыше 4—6%) следует ожидать при расчетах задних подвесок
грузовых автомобилей без груза
Расчет скоростей движения и длин неровностей дороги. Цель расчета состоит
в определении сочетания скоростей движения автомобиля и длин периодических
неровностей дороги, наиболее неблагоприятных в отношении колебаний.
Если найденные скорости движения находятся в пределах эксплуатационных
скоростей автомобиля или длины неровностей соответствуют значениям, наиболее
часто встречающимся на дороге A—3 м), то следует ожидать частого и интенсивного
возбуждения колебаний автомобиля на дороге При расчете предполагают, что коле-
колебания на передней и задней подвесках происходят независимо. Между тем угловые
колебания кузова могут усиливаться из-за неблагоприятного сдвига по фазе между
воздействиями неровности на передние и задние колеса.
РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЯ И ПАРАМЕТРОВ ПОДВЕСКИ
475
Если в результате расчета перемещений кузова построены кривые Zj (t) и г2 (?),
то их наложением можно оценить возможные увеличения угловых колебаний и гра-
границы зон значительного галопирования.
Расчет колебаний и плавности хода. При расчете колебаний автомобиля раз-
различают две основные задачи: проектный расчет и проверочный расчет. Это деление
условно, но тем не менее каждый расчет имеет свои особенности.
Проектный расчет ведут исходя из следующих основных предположений: коле-
колебания автомобиля происходят в продольной плоскости в соответствии с принятой
расчетной схемой; воздействие от дороги предполагается случайным, удовлетворяю-
удовлетворяющим допущениям о стационарности процесса и его нормальном характере; таким
образом, скорость автомобиля принимается постоянной; рассматривается система
человек — автомобиль — дорога.
Цель проектного расчета — выбрать параметры, которые определяют характе-
характеристики упругого и гасящего устройства подвески Кроме того, при необходимости
должны быть выбраны параметры вторичного подрессоривания, например сиденья.
Проектный расчет не требует высокой точности, и поэтому искомые характери-
характеристики подвески можно полагать
линейными. Тогда целью расчета
становится определение величин
2ср и 2k, а при наличии сиденья
или вторичного подрессоривания —¦
также его жесткости и затухания,
т. е. сс и kz После выбора всех
этих величин можно приступить
к расчету характеристик упругого
и гасящего устройств.
Проектный расчет можно про-
проводить исходя из условий сохране-
сохранения в допустимых пределах изме-
измерителей колебаний автомобиля:
ускорения [5J пассажира или гру-
груза, характеризующего плавность
хода автомобиля; перемещения [гот]
колеса относительно кузова, опре- Рис. s
деляющего возможности ударов в
ограничители хода, а также долговечность упругих элементов подвески; деформа-
деформации шины [?от], характеризующей опасность отрыва колеса от дороги.
В основу расчета псложено случайное воздействие, поэтому необходимо опре-
определить средние квадратические значения выбранных измерителей, т. е. гс, z0T с,
tote- Таким образом, выбор параметров подвески должен обеспечить следующие
условия: zc < [zj; гот с < [гот J; ?от с < [?от с].
Одна из схем расчета, ограниченного для простоты условием плавности хода,
представлена на рис 8.
После того как коэффициенты жесткости и затуханий подвески, а при необхо-
необходимости и сидений подобраны, строят упругие характеристики и характеристики
затухания [5, 13, 19]. Компоновочные и другие ограничения, накладываемые на пара-
параметры подвески, часто заставляют отходить от значений жесткости и затуханий,
найденных расчетом, а характеристики подвески выполнять нелинейными. Поэтому
для окончательного суждения о параметрах подвески необходим возможно более
точный проверочный расчет.
Измерителями качества подвески можно считать средние квадратические вер-
вертикальные ускорения или следующие вероятности р (г > [z]) — превышения уско-
ускорением z пассажира или груза допустимой величины [z], р (z0T > [гОт]) —появления
ударов в упоры; р (?от > [?от]) — появления отрывов колес [13]
Одна из методик, использующая по сути метод статистических испытаний, со-
состоит в следующем. В виде таблиц для последующего ввода в ЦВМ задаются микро-
микропрофиль дороги, полученный непосредственным обмером, и фактические нелинейные
характеристики упругого устройства подвески, амортизаторов, сухого трения, шин.
С учетом этих данных проводится численное интегрирование уравнений движения.
476 КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН
Точность такого расчета и длина дорожного участка в принципе не ограничены.
Однако практически они связаны со значительными затратами машинного времени,
особенно если шаг принят небольшим.
Дорожный микропрофиль может быть также сформирован по его статистическим
характеристикам (корреляционная функция, спектральная плотность) [20].
Успешное проведение проверочного расчета зависит в большой степени от при-
принятого метода численного интегрирования [20]. Результаты проверочного расчета
могут быть представлены в разной форме, в частности, в виде кривых распределения
или спектральных плотностей выходных величин.
Сравнительный анализ опытных данных, результатов расчетов по вероятностным
характеристикам и методом численного интегрирования подтвердил более высокую
точность последнего.
При расчете целесообразно оптимизировать параметры подвески [21, 35] как
в рамках линейных (проектный расчет), так и нелинейных характеристик.
Для обеспечения сохранности перевозимого груза ограничивают его виброна-
груженность. При этом считают, что если груз перевозится незакрепленным, то
ускорение подрессоренной части при колебаниях должно быть меньше \g, лучшз
zmax <; @,6—0,8) g; для сохранения груза и ограничения его воздействия на авто-
автомобиль необходимо надежно закреплять груз, если zmaxg=^; ускорения при под-
подпрыгивании (отрывах) груза могут превосходить ускорения кузова. При испытаниях
были зарегистрированы ускорения 5g и более груза, подпрыгивающего в кузове.
Перечисленные выше показатели служат для того, чтобы определить предель-
предельную скорость движения транспортного средства по условию сохранности перевози-
перевозимого груза.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Барский И. Б., Анилович В. Я., Кутьков Г. М. Динамика трактора. М., Машинострое-
Машиностроение, 1973. 280 с
2. Влияние вибраций на организм человека и проблемы виброзащиты. Сборник статей.
М., Наука, 1974, 848 с.
3. Влияние вибраций на организм человека. Сборник статей. М., Наука. 1977, 447 с.
4. Дербаремдикер А. Д. Гидравлические амортизаторы автомобилей М., Машиностроение,
1969. 238 с.
5. Динамика системы дорога — шина — автомобиль — водитель / А. А. Хачатуров,
В. Л. Афанасьез, В. С. Васильев и др. Под ред. А. А. Хачатурова. М., Машиностроение,
1976. 535 с.
6. Дмитриев А. А., Чобиток В. А., Тельмннов А. В. Теория и расчет нелинейных систем
подрессоривания гусеничных машин. М., Машиностроение, 1979 207 с
7. Колебания автомобиля. Испытания и исследования / Я- М Певзнер, Г. Г. Гридасов,
А. Д. Кочев и др. Под ред. Я. М. Певзнера. М , Машиностроение, 1977.
8. Малиновский Е. Ю., Гайцгори М. М. Динамика самоходных машин с шарнирной рамой.
М., Машиностроение, 1974. 176 с.
9. Пархиловский И. Г. Автомобильные листовые рессоры. 2-е изд. М., Машиностроение.
1978. 232 с.
10. Пархиловский И. Г. Сравнительный анализ вероятностных характеристик микропро-
микропрофиля дорог. — Автомобильная промышленность, 1969, № 4, с. 28 — 30.
11. Певзнер Я- М. О выборе соотношений параметров передней и задней подвески автомо-
автомобиля. — Автомобильная промышленность, 1977, № 1, с. 20 — 22.
12. Ротенберг Р. В. Биодинамические особенности человека в системе водитель — автомо-
автомобиль — дорога. — В кн.: Методологические проблемы эргономики. М., МГУ, 1972,
с. 37-38.
13. Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля. Колебания и плавность хода. 3-е изд. М., Маши-
Машиностроение, 1972, 392 с.
14. Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных машин. М., Машино-
Машиностроение, 1972, 192 с.
15. Системы подрессоривания современных тракторов / Д. А. Попов, Е. Г. Попов, Ю. Л. Во-
Волошин и др. М.. Машиностроение, 1974, 176 с.
16. Скиндер И. Б., Лиепа Ю. А. Гидравлические телескопические амортизаторы. М., Маши-
Машиностроение, 1968. 124 с.
17. Степанов Ю. В., Соловьев В. С, Фролов К. В. Оценка нивелирующей способности эла-
эластичных колес. — Автомобильная промышленность, 1975, № 9, с. 18 — 21.
18. Улицкий Е. Я- Проблема «человек — машина» в сельском хозяйстве. — В кн.: Влияние
вибраций на организм человека и проблемы виброзащиты. М., Наука, 1974, с. 834—840.
19. Успенский И. Н., Мельников А. А. Проектирование подвески автомобиля. М., Машино-
Машиностроение, 1976. 168 с.
20. Фурунжиев Р. И. Вычислительная техника и ее применение, изд. 2-е. Минск, Вышэйшая
школа, 1975, 400 с.
ОСОБЕННОСТИ И ВИДЫ КОЛЕБАНИЯ 477
21. Фурунжиев Р. И. Проектирование оптимальных виброзащитных систем. Минск, Вышэй-
шая школа, 1971. 381 с.
22. Шупляков В. С. Колебания и нагруженность трансмиссии автомобиля. М., Транспорт,
1974, 328 с.
23. Яценко Н. Н. Колебания, прочность и форсированные испытания грузовых автомобилей.
М., Машиностроение, 1972. 372 с.
24. Яценко Н. Н., Прутчиков О. К» Плавность хода грузовых автомобилей. М., Машинострое-
Машиностроение, 1969. 219 с.
25. Advances in Automobile Engineering. P. Ill, Noise and Vibration, Ed. G. H. Tidbury,
Oxford, Pergamon Press, 1965, 216 p.
2G. Braun H. Untersuchungen liber Fahrbahnunebenheiten, DKF, 1966, H. 186.
27. Butkunas A. Random Vibration Analysis and Vehicle Development, SAE Prepr., 1969,
N 690109.
28. Dodds С I., Robson I. D. The Description of Road Surface Roughness. — J. of Sound and
Vibration, 1973, N 31 B).
29. Herman В., Bernd R. Untersuchung des Einflusses regelloser mechanischer Schwingungen
auf den Menschen — Automobil Industrie», 1969, N 2.
30. Ilosvai L., Sziics B. Random Vehicle Vibrations as Effected by Dry Friction in Wheel Sus-
Suspensions. — Vehicle System Dynamics, 1972, 1, p. 197—209.
31. Mltschke M. Dynamik der Kraftfahrzeuge. Berlin, Springer, 1972, 529 S.
32. Reimpell J. Fahnverktechnik, Bd. 1, Wiirzbtirg: Vogel, 4 Aufl., 1978, 568 S.
33. Stress, Vibrations and Noise Analysis in Vehicles. Ed. H. G. Gibbs, N. — Y., Applied
Science, 1975, 485 p.
34. Thiery I. La mesure objective du comfort vibratoire a bord des camions. — Ing. de 1'auto-
1'automobile, 1972, N 4.
35. Van Deusen B. D. Truck Suspension System Optimisation — «J. of Terramechanics», 1973,
vol. 9, N. 2.
36. Wendeborn I. O. Beschreibung von Fahrbahnoberflachen durch die spektrale Dichte der
Unebenheiten, ATZ, 1967, H. 4.
Глава XIX
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
1. ОСОБЕННОСТИ И ВИДЬ! КОЛЕБАНИЙ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ (ЛА)
Колебательные свойства в значительной степени определяют эффективность при-
применения летательного аппарата (ЛА), надежность и безопасность полета. ЛА как
колебательная система является упругим телом, при колебаниях которого происходит
диссипация энергии за счет внутреннего трения в элементах конструкции. ЛА взаи-
взаимодействует со средой (набегающий поток) и с другими телами (при взлете, посадке,
транспортировке), имеет полости с жидкостью и снабжен источниками энергии (дви-
(двигателями, приводами управления), в полете подвержен воздействию порывов ветра.
Конструктивные и эксплуатационные особенности определяют характерные колеба-
колебательные свойства ЛА:
в полете ЛА не имеет опорных устройств и, следовательно, обладает степенями
свободы, присущими абсолютно жесткому телу с нулевыми собственными частотами;
наличие источников энергии обусловливает неконсервативность системы и по-
потенциальную колебательную неустойчивость.
При проектировании и эксплуатации летательной техники рассматривают два
типа колебаний:
траекторные колебания — колебания ЛА как абсолютно жесткого тела, при
которых основное значение имеют изменения параметров траектории полета; эти
колебания определяют динамику полета ЛА — его устойчивость и управляемость;
упругие колебания — изменения напряженно-деформированного состояния кон-
конструкции; эти колебания могут привести к возникновению опасных напряжений
(вплоть до разрушающих), ухудшению условий работы оборудования, аппаратуры и
снижению комфорта экипажа и пассажиров.
В зависимости от типа ЛА частоты траекторных колебаний находятся в диапазоне
от долей Гц до нескольких Гц. Частоты упругих колебаний, влияющих на общее
напряженно-деформированное состояние конструкции, лежат в интервале от 1 Гц
478 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
до десятков Гц для тяжелых ЛА и от нескольких Гц до 100—200 Гц для легких ЛА.
Выше лежиг диапазон акустических колебаний.
В зависимости от типа ЛА, режимов полета и условий наземной эксплуатации
рассматривают следующие виды колебаний упругой конструкции:
свободные упругие колебания;
вынужденные (резонансные) колебания в наземных условиях [возбуждаются при
частотных испытаниях для нахождения собственных частот, форм колебаний и
амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ)];
шимми (потеря устойчивости при качении колес шасси по поверхности);
свободные колебания отдельных частей и всего Л А в полете (особые виды свобод-
свободных колебаний в потоке: срывные автоколебания, трансзвуковые колебания, совмест-
совместные колебания конструкции с системой управления, панельный флаттер, автоколе-
автоколебания вертолета в наземном положении с вращающимся несущим винтом, продоль-
продольные колебания ракет в контуре корпус — топливная система — двигатель, попереч-
поперечные колебания ракет при воздействии тяги двигателей). Все перечисленные виды
колебаний, как и «классический» флаттер, связаны с возможностью возникновения
неустойчивости, имеющей колебательный характер.
Летательные аппараты имеют замкнутые колебательные системы с источниками
энергии. Рабочий процесс в них не предусматривает колебаний, однако при нару-
нарушении условий устойчивости в системе развиваются колебания, которые могут пе-
перейти в почти стационарный автоколебательный режим.
Ракета совместно с автоматом стабилизации образует замкнутую динамическую
систему. Устойчивость движения ракеты обеспечивается обычно раздельно по углам
тангажа, рысканья и крена, поэтому рассматривают замкнутые динамические системы
в каждой из трех плоскостей.
Так как замкнутая динамическая система должна быть устойчивой, то динами-
динамические свойства автомата стабилизации зависят от динамических свойств регулируе-
регулируемого объекта.
Колебательные свойства ракеты обусловлены наличием жидкого топлива в ба-
баках и упругостью корпуса. Если частоты упругих колебаний корпуса и колебаний
жидкости в баках ракеты достаточно далеки, то связанность между отдельными пар-
парциальными системами будет слабой и динамические характеристики ракеты можно
рассматривать раздельно: с учетом упругих поперечных колебаний корпуса (колеба-
(колебания жидкого топлива не учитываются) и колебаний жидкого топлива в баках (корпус
ракеты принимается жестким).
Кроме перечисленных рассматривают вынужденные колебания ЛА в полете.
Источники их возбуждения: периодические воздействия за счет срыва потока (баф-
тинг), атмосферная турбулентность, работа двигателей. Задача о вынужденных
колебаниях при гармоническом возбуждении от органов управления и ветрового
порыва решается с целью определения амплитудно-фазовых частотных характери-
характеристик, необходимых при анализе колебаний в замкнутом контуре конструкция —
система управления.
Особое место занимает задача о колебаниях воздушных винтов. К воздушному
винту приложены периодические нагрузки от двигателей. В свою очередь винты
являются источником возбуждения вибраций других частей самолетов и вертолетов.
Особенности вынужденных и свободных колебаний винтов связаны со сложной
аэродинамикой вращающихся лопастей и наличием значительных центробежных
сил, растягивающих лопасти.
Траекторные колебания. В полете самолет как абсолютно жесткое тело имеет
шесть степеней свободы. Согласно предположению о существовании продольной
плоскости симметрии принято движение самолета в пространстве разделять на два
независимых движения: продольное (симметричное) и боковое (антисимметрич-
(антисимметричное).
Продольное свободное возмущенное движение определяется следующими вели-
величинами отклонений кинематических параметров движения:
V — скорости полета по траектории; Ь — угла тангажа (между продольной
осью ЛА и местной горизонтальной плоскостью); а — угла атаки (между продольной
... dft
осью и вектором V); <ог = -тт — угловой скорости тангажа.
ОСОБЕННОСТИ И ВИДЫ КОЛЕБАНИЯ 479
В большинстве случаев процесс изменения параметров движения во времени
имеет колебательный характер. Общее возмущенное движение слагается из двух
колебаний: короткопериодического движения с периодом Тк = 10 -f- 12 с и длинно-
периодического (фугоидного) Гд = 15 ч- 20 с. Первое связано главным образом
с изменением угла атаки а, а второе с изменением скорости полета V. Допустима
неустойчивость длиннопериодического движения, если время удвоения амплитуд
составляет не менее 60 с. Параметры короткопериодического движения определяют
важные характеристики динамики полета ЛА — его устойчивость и управляемость.
Приближенно частоту <вк и коэффициент затухания я'к короткопериодического коле-
колебания находят по следующим формулам [31]:
со - Х-
где т°г—коэффициент томента продольного демпфирования; т« — производная
коэффициента продольного момента по безразмерной скорости изменения угла
атаки а;
v ЬА 4а
а
ЪА — средняя аэродинамическая хорда; V — скорость полета; fi = 1m! pS Ьд —
коэффициент относительной массовой плотности; т= 2tn/pSV — масштаб времени;
Гг = у Jz/mbA — безразмерный радиус инерции самолета относительно оси z; m —
масса самолета; С^ — производная коэффициента подъемной силы по углу атаки
(ось Оу перпендикулярна V);
mz- — коэффициент продольной статической устойчивости по перегрузке; S — пло-
площадь крыла; р — плотность воздуха.
Боковое движение (Т§ = 4 -г- 12 с) определяется следующими отклонениями
параметров движения: |3 — угла скольжения (между продольной осью ЛА и V в го-
горизонтальной плоскости); у — угла крена (между плоскостью симметрии ЛА и мест-
местной вертикальной плоскостью); <вл-—угловой скорости крена; и>у— угловой скорости
рыскания.
Характеристическое уравнение, как и для продольною движения, имеет четыре
корня: два действительных и два комплексно-сопряженных, соответствующих боко-
боковым колебаниям. Частота Ш5 и коэффициент затухания /15 определяются следующими
выражениями:
где I — размах крыла; Cf — производная коэффициента боковой силы по углу
скольжения; т^ = т^ BV/1) — производная коэффициента бокового момента по без-
безразмерной скорости изменения угла скольжения; Jy, ry — массовый момент и радиус
инерции относительно оси у; rrfi — коэффициент путевой статической устойчивости.
480
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
2. УПРУГОМАССОВАЯ СХЕМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ ЛА
Для расчета колебаний или разработки физической модели, исходя из общих
представлений и опытных данных, в конструкции ЛА выделяют части с распреде-
распределенной жесткостью и части, жесткость которых принимается бесконечно большой.
Для агрегатов и частей ЛА, имеющих достаточно большое удлинение, принята балоч-
балочная схематизация. Упругие свойства агрегата (крыло, фюзеляж, оперение) модели-
моделируются балкой, совпадающей с осью жесткости агрегата (части). Задаются распре-
Рнс. 1
Рис. 2
деления жесткостей изгиба в двух плоскостях и кручения вдоль балки. В случае
упругого сочленения отдельных упругих частей (узел поворота на крыле с изменяе-
изменяемой стреловидностью, заделка оперения на фюзеляже и т. п.) или упругого крепле-
крепления абсолютно жестких частей (подвеска двигателя, органа управления, шасси,
груза, моделирующего подвижную массу жидкого топлива) вводятся пружины с со-
сосредоточенной жесткостью. Конструкция агрегатов малого удлинения (крыло, опе-
оперение) схематизируется каркасом, образованным решеткой соединенных между
собой балок (лонжероны и нервюры). К каркасу
прикреплена обшивка, образующая внешнюю
поверхность, которая воспринимает аэродина-
аэродинамическую нагрузку [6].
обиивки
Ось жеспкости
крыла
Продольные и поперечные
Папки каркаса
(лонжероны и нервюры)
Ось вращений
Рнс. 3
Рис. 4
Для деформируемы* частей задают распределение массы либо вдоль линии цент-
центров часе сечений, либо по площади поверхности. Для частей, схематизируемых абсо-
абсолютно жесткими телами, задают массы, собственные моменты и положения центров
масс. На рис 1, 2, 3, 4 приведены примеры упругомассовой схематизации частей
ЛА для расчета их колебаний.
Стреловидное крыло большого удлинения с элероном (рис. 1). Степени свободы:
у fo) — вертикальные прогибы по оси жесткости; х (zj) — горизонтальные прогибы;
е (zi) — углы закручивания относительно оси жесткости; 6Э — угол отклонения
элерона.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 481
Жесткостные характеристики: EJX (zi) — жесткость на изгиб в сечении, пер-
перпендикулярном оси жесткости; EJy (zjj — жесткость на изгиб в плоскости хорд;
GJKp (zi) — жесткость на кручение; К. — сосредоточенная жесткость на упругое от-
отклонение элерона.
Массовые характеристики: т (г{) — погонная масса крыла; J (zi) — погонный
момент инерции относительно оси жесткости; a (zi) — расстояние от оси жесткости
до линии центров масс крыла; т3 (zi) — погонная масса элерона; JB fo) — погонный
момент инерции элерона относительно оси вращения; оэ (гг) — расстояние от оси
вращения до линии центров масс элерона.
Управляемый стабилизатор («полужесткая» схема, рис. 2). Степени свободы:
ф — поворот вокруг оси вращения; т|) — поворот относительно борта фюзеляжа.
Жесткостные характеристики: /Сф, Кц — угловые жесткости, соответствующие
степеням свободы ф и г|>.
Массовые характеристики: Ix, Iz, 1хг — моменты инерции относительно осей Ох
я Oz.
3. Двигатель, упруго прикрепленный к крылу (рис. 3). Степени свободы: 6 —
угол отклонения по тангажу; у — вертикальное перемещение; р — угол отклонения
по рысканию; z — боковое перемещение.
Жесткостные характеристики: EJy, EJZ, ?УКр — жесткости стержня, моде-
моделирующего пилон.
Массовые характеристики: М, /у, 1г — масса и моменты инерции двигателя.
4. Крыло малого удлинения (рис. 4). Жесткостные характеристики: жесткости
на изгиб балок, образующих силовой набор, геометрические параметры обшивки и
модуль сдвига материала обшивки.
Массовые характеристики: распределенные массы каркаса и обшивки, массы и
моменты инерции грузов, размещенных на крыле.
3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Спектр собственных частот и форм колебаний конструкции ЛА определяются
расчетом и экспериментом. Результаты определения собственных частот и форм коле-
колебаний служат основой для анализа динамических свойств ЛА. Как правило, исхо-
исходят из предположения о наличии продольной плоскости симметрии ЛА, и поэтому
колебания разделяют на два независимых спектра: симметричные и антисимметрич-
антисимметричные. Различным тонам свободных колебаний всего ЛА в зависимости от вида их форм
присваиваются названия, которые связаны со свободными колебаниями отдельных
частей. Общее число обследуемых тонов свободных колебаний современного тяжелого
самолета достигает нескольких десятков в диапазоне частот от долей до нескольких
десятков Гц. Собственные частоты и формы колебаний определяются эксперимен-
экспериментально путем проведения специальных частотных (вибрационных) испытаний.
Методы расчета основаны на применении ЦВМ. Ниже приведено лишь описание
основных идей, заложенных в расчетных методах, получивших наибольшее распро-
распространение [8, 9, 12, 13].
Численное интегрирование дифференциальных уравнений свободных колеба-
колебаний. Дифференциальные уравнения колебаний совместных изгибно-крутильных
колебаний консольного прямого крыла имеют вид [10]
где со — частота свободных колебаний; z — координата по оси жесткости (начало
координат в заделке); у, ср — прогибы и углы закручивания относительно оси жест-
жесткости (амплитудные значения; у > 0 вверх, ф > 0 на кабрирование); EJ, GJKp —
жесткости на изгиб и кручение; т, I — погонные масса и момент инерции сечения
относительно оси жесткости; а — расстояние от оси жесткости до центра масс се-
сечения.
16 П/Р- Ф. М Диментберга и К. С. Колесникова, т. 3
482 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Интегральная форма уравнений с учетом граничных условий
г г г г
\ dz \ „. \ dz I {ту — /пстср) dz;
о о
I -q^- \ (lq> —
'кр .
о I
D)
Решение этих уравнений находят методом итерации. Полагая со2 = 1 и задаваясь
исходными приближениями для уиф, проводят численное интегрирование. Процесс
повторяют, пока отношение сходственных величин в двух последовательных приб-
приближениях не совпадает Это отношение равно квадрату основной частоты. Функции у
и ф последнего приближения принимают в качестве собственных форм колебании.
При вычислении форм высших колебаний искомая форма ортогонализируется на
каждом шаге приближений ко всем низшим формам.
Метод сосредоточенных масс. Масса ЛА предполагается заданной системой
грузов, размещенных в узлах конструкции, в которых определяются перемещения
(угловые и линейные), образующие вектор Y [12, 13]. Для этих же точек на основе
известных методов строительной механики определяется матрица жесткости G,
которая связывает любой вектор сил, приложенных в заданных точках Р с переме-
перемещениями Y:
P=GY, E)
где G — квадратная, симметричная особенная матрица, ее дефект равен числу
степеней свободы абсолютно жесткого тела («нулевые» частоты). Для свободных коле-
колебаний компоненты вектора Р-силы инерции
P = -CY, F)
для гармонических колебаний
P = cu^CY, G)
где Р и Y — амплитудные значения; со — собственная частота; С — матрица масс
(инерционных коэффициентов).
Из E) и G) следует уравнение свободных колебаний
(8)
которое преобразуется к следующему:
AY = A,Y. (9)
где
A=(C-'G-o>5E)-<; Я. = ^1^; A0)
X, — собственные значения матрицы А (неособенной); сое — некоторое произвольное
число.
Очевидно, что собственные числа А,,- определяют спектр собственных частот со.
Соответствующие этим X,- собственные векторы образуют собственные формы колеба-
колебаний, max X, соответствует Ы/, ближайшей к заданному числу ш0.
Метод обобщенных координат применяют, когда для сложной динамической
схемы представляет интерес относительно небольшое число тонов колебаний. Осо-
Особое значение приобретает метод обобщенных координат для расчета колебаний в по-
потоке, когда к инерционным и упругим силам добавляются силы аэродинамического
давления, усложняющие анализ колебаний. В основе метода обобщенных координат
лежит допущение о том, что несколько низших тонов колебаний системы с распре-
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 483
деленными параметрами (с бесконечно большим числом степеней свободы) или си-
системы с конечным большим числом степеней свободы могут быть описаны с практиче-
практической точностью системой уравнений невысокого порядка. Распределение смещений
в колебательной системе, характеризуемое функцией у (х, г, f) (или вектор-функцией)
декартовых координат вдоль линии или на поверхности, можно представить в виде
15, 6]
в(х, Г, 0=2 fk(x, Z)qk(t), A1)
k = \
где qi, (t) — k-я обобщенная координата; /^ (х, г) — k-я обобщенная координатная
функция, удовлетворяющая граничным условиям колебательной системы.
Для конечномерной системы или если функция у (х, г, t) задана в определенных
точках, справедливо аналогичное A1) матричное выражение
Y = Fq, A2)
где Y — вектор смещений в Л' точках; ц — вектор обобщенных координат (я X 1);
F — матрица, столбцы которой — координатные векторы, ее размер (Л' X п).
Используя A1), записывают выражения для кинетической Т и потенциальной П
энергий колебательной системы. Обобщенные массы и жесткости — элементы соот-
соответствующих матриц С и G определяют по формулам
C A3)
Для конечномерной системы матрицы обобщенных масс и жесткостей опреде-
определяются по исходным матрицам
Co6=FTCF; Go6=FTGF. A4)
Если в качестве координатных функций выбрать собственные формы колебаний,
то матрицы С0б и GO6 становятся диагональными.
В качестве координатных функций можно выбрать полиномы по декартовым
координатам. Этот подход удобен для анализа колебаний частей ЛА малого удли-
удлинения. Конструкция крыла (оперения) при этом схематизируется в виде системы
балок (лонжероны, нервюры) и трапециевидных панелей (обшивка). Деформация
характеризуется смещением срединной поверхности у(х, г, t) некоторой эквива-
эквивалентной пластины. Принимаем гипотезу прямых нормалей. В разложении A1)
координатные функции fj. (x, г) принимаем в виде
) = *"*/*,
A5)
где р&, г/1 — набор показателей (удовлетворяющих граничным условиям).
На практике принято п =а- 20.
Матрица жесткости A3) конструкции образуется сложением матриц жесткости
балок и панелей: GK = Gg + Gn. Для панелей
П = ±
2
E&h2
где D = —г —; h — строительная высота профиля крыла (оперения); 6
¦М' —Iх )
щина обшивки; |г — коэффициент Пуассона.
16*
тол-
484 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Для каждой балки
о
где EJ (g) — изгибная жесткость (задана полиномом); ? — координата вдоль балки,
Элементы матрицы инерции С для панелей
^ A8)
для балок
Cifc = (m/'+p^ + r"^. A9)
о
Переход от обобщенных координат к смещениям (вектор Y) в JV точках выпол-
выполняется преобразованием A2) с заданными координатами jcj, Z;. Элементы матрицы F
/,fc(*A) = *?4* и=1> 2, ..., n; i=l, 2, .... N. B0)
Вектор обобщенных сил
Q = F^P. B1)
Элементы матрицы FP содержат координаты точек приложения сил, образую-
образующих вектор Р, Хр Zj, т. е.
4. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
Колебания конструкции ЛА в полете вызывают изменение аэродинамического
давления на колеблющейся поверхности, что в свою очередь сказывается на харак-
характере самих колебаний. Различают два вида аэродинамических сил: зависящие от пере-
перемещений (так называемые силы аэродинамической жесткости) и силы, определяемые
поперечными скоростями перемещений (силы аэродинамического демпфирования).
Для малых перемещений принята линейная зависимость сил от местных углов атаки.
Аэродинамические силы являются потенциальной причиной потери устойчивости.
Величины коэффициентов аэродинамических сил зависят от формы перемещений
колеблющейся поверхности, ее геометрии и скорости набегающего потока. В зави-
зависимости от режима полета применяют те или иные аэродинамические теории: несжи-
несжимаемого потока, дозвукового, трансзвукового, сверхзвукового и гиперзвукового.
На практике используют методы расчета аэродинамических характеристик при
определенных допущениях. Согласно гипотезе «стационарности» аэродинамические
характеристики крыла, движущегося с переменной линейной и угловой скоростями,
заменяются в каждый момент времени аэродинамическими характеристиками того
же крыла, движущегося с постоянными линейной и угловой скоростями. Распрост-
Распространенной также является гипотеза плоских сечений, по которой предполагают,
что любое сечение крыла конечного размаха обтекается так же, как сечение крыла
бесконечного размаха. Для крыла достаточно большого удлинения обычно прини-
принимают, что хорды, перпендикулярные оси жесткости, при колебаниях не деформи-
деформируются. Толщину и кривизну крыла (оперения) предполагают малыми (по сравне-
сравнению с хордой).
С учетом сформулированных выше допущений выражения для погонных подъем-
подъемной силы ДР и момента относительно оси жесткости крыла АМЕ, совершающего
изгибные и крутильные колебания, имеют вид [9, 37J
а) в дозвуковом потоке (для прямого крыла)
Q = — V^BY-VDY, B3)
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 485
где
К — скорость набегающего потока; р — плотность воздуха; у — поперечное (отно-
(относительно V) перемещение оси жесткости (положительное вверх); 6 — угол поворота
при колебаниях (положительный на кабрирование); Ь — длина хорды; х0 — расстоя-
расстояние от носка профиля до оси жесткости; М = Via —• число Маха; а — скорость звука;
С™ — производная коэффициента подъемной силы профиля по углу атаки в функции
числа М; Сут = дСт/дС ; Ст — коэффициент аэродинамического момента; при
М= 0 можно принять Сут— 0,25.
Для обобщенных сил в случае совместных изгибно-крутильных колебаний крыла
матрицы аэродинамических коэффициентов
=Л FT BFdz;
б) для гиперзвуковой и сверхзвуковой скорости полета при достаточно боль-
больших числах М аэродинамическое давление можно приближенно выразить с помощью
«теории поршня»:
[d?d^) B5)
При использовании нестационарной теории имеют место следующие выражения
погонных силы и момента при гармонических колебаниях крыла бесконечного раз-
размаха в несжимаемом потоке (амплитудные значения):
/О
в-'о
D2= I ,, v.\ > С»)
486
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Г(Ю
О
0,20
где k = fem/2V — приведенная безразмерная частота (число Струхаля); С (k) —
функция Теодорсена; С (k) = F (k) -г iG (k) (рис. 5).
В приведенных выражениях отброшены члены ft2, поскольку коэффициент при <о2
(присоединенная масса среды) для воздуха пренебрежимо мал (по сравнению с мас-
массой крыла). В случае крыла произвольной формы в плане и произвольно деформирую-
деформирующегося для определения аэродинамических воздействий известны методы, основан-
основанные на замене крыла вихревой поверхностью, индуцирующей поперечные скорости
потока тождественно крыльевой
поверхнссти. У нас в стране наи-
наибольшее развитие получил метод
дискретных вихрей С. М. Белоцер-
ковского [2, 27]. Согласно этому
методу несущий вихревой слой,
моделирующий крыло, представ-
представляется рядом вихревых шнуров,
каждый из которых заменяется
несколькими подковообразными
вихрями (рис. 6). Каждый дис-
дискретный присоединенный вихрь
имеет постоянную по размаху
циркуляцию, а с концов присоединенного вихря идут вниз по потоку до бес-
бесконечности свободные вихри При изменении циркуляции присоединенных вих-
вихрей во времени с них будут сходить свободные вихри. Напряженность пелены сво-
свободных вихрей выражается через циркуляцию присоединенных вихрей в каждый
момент времени. Для определения циркуляции присоединенных вихрей необходимо
удовлетворить граничным условиям о непротекаемости крыла в контрольных точках
его поверхности, которые расположены на середине полосы, занятой вихревым шну-
шнуром и на расстоянии 1/i хорды от задней кромки трапециевидного участка полосы,
Центр
/вихря
Рис. 5
/I
Cxsna разбиения крыла
на панели
Вихредая лсчель
Рис. 6
занятого дискретным вихрем. Присоединенный вихрь расположен на расстоянии
х/4 длины хорды от ее носка.
Для гармонических колебаний вектор нормальных скоростей в контрольных точ-
точках W, индуцированных вихрями, линейно зависит от вектора интенсивностей при-
присоединенных вихрей Г (амплитудные значения)
W = -=LQI\ B7)
где ft — матрица комплексных коэффициентов, зависящих от геометрии крыла;
элементы матрицы ft — функции числа k.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 487
С другой стороны, для гармонических колебаний амплитудные значения
. (о
' Vх-
где k= bio/V; b —характерный размер; U — векторе компонентами иу=е ''
w — интенсивность порыва ветра (вертикальная составляющая); V — скорость набе-
набегающего потока; Y* — вектор смещений в контрольных точках деформированной
поверхности у (х, г) с компонентами у (х, z)\x=zX ; Y — вектор, компоненты которого
2=г,.
ду(х, г, t)
дх
Вектор аэродинамических сил, приложенных к серединам присоединенных вих-
вихрей (теорема Жуковского),
P = pVLT, B9)
где L — диагональная матрица, ее элемент I,/ — ширина вихревой полосы.
Из B7) — B9) следует
I k vi \
Р = 4лрУ2Ф Y*—t-~Y—y-V), C0)
где
Вектор обобщенных аэродинамических сил для метода многочленов
Q=F]iP; C1)
координаты х и г, входящие в элементы матрицы Fp, берутся для центров вихрей
[см. B2)].
Вектор Y в C0) записывается через вектор обобщенных координат с матрицей
преобразования Fj,:
Y=Frq, C2)
где в матрицу Fy , структура которой аналогична Fp, входят координаты контроль-
контрольных точек.
Вектор Yv также записывается через вектор обобщенных координат с матри-
матрицей преобразования F^:
4x=Fxq. C3)
Элементы матрицы Fx
dft(X, Z)
f
Из C0) — C3) следует зависимость вектора обобщенных аэродинамических сил
от вектора обобщенных координат q и интенсивности порыва ш:
C4)
488 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Выражение C4) можно записать во временной области в виде, аналогичном B3),
т. е.
Q (*) = - V*Bq @- VDq" (t) +P (<). C5)
где
Матрицы VB и VD — соответственно матрицы аэродинамической жесткости и
аэродинамического демпфирования. При этом принимается допущение, что элементы
матриц В и D, определенные для гармонического процесса при заданном k, с доста-
достаточной точностью пригодны для описания колебаний при других значениях чисел
Струхаля.
Для малых значений k Ф2 = кФ2, где Ф2 не зависит от ft.
5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА
При упругих колебаниях конструкции ЛА или ее частей в полете к упругим
и инерционным силам добавляют аэродинамические силы, которые принято разде-
разделять на силы аэродинамической жесткости (пропорциональные перемещениям) и
силы аэродинамического демпфирования (пропорциональные скоростям смещений).
В ряде случаев учитывают силу внутреннего трения в конструкции, которое при-
приближенно принимают вязким и, следовательно, пропорциональным скоростям пере-
перемещений.
Для обобщенных координат уравнение колебаний в потоке имеет следующий вид
[см. E), F), A4), C4)]:
Gq + Cq + V2Bq+VDq = F(/). C6)
где F (f) — вектор внешних, не зависимых от колебаний сил; для свободных колеба-
колебаний F@ — 0. Общее решение однородного уравнения
ч @ = S ч, @; ч/ @ = щ ev>' + ч/Л vy=s;+шу, C7)
/ = i
где Vj — комплексная частота /-то тона колебаний; 8j — коэффициент затухания
/-го тона; со,- — круговая частота колебаний /-го тона; q/ — комплексный вектор —
«форма» колебаний неконсервативной системы; v,-, qy — комплексно-сопряженные
величины; qy^ = %jk -\- Щь — к-я компонента вектора qy (t)
Qjk @ = Р/*е 'k cos (о/ + eJk\ ,
Характер колебаний определяется значениями б/ и (о/, со/ = 0 — движение
апериодическое (лимитационное); coy =f= 0 — движение колебательное; 6,- < 0 — ко-
колебания затухающие; бу > 0 — колебания с нарастающими амплитудами (движение
неустойчивое); бу = 0 — система на границе устойчивости.
Неустойчивость в потоке, имеющую колебательный характер, называют флатте-
флаттером. Флаттер может привести к разрушению конструкции. Поэтому предотвращение
флаттера — важная техническая задача. Комплексные частоты Vy и соответствующие
комплексные формы колебаний qy определяются из системы алгебраических одно-
однородных уравнений, соответствующих C6) [10, 11, 12]:
= 0. C8)
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА 489
Значения v удовлетворяют характеристическому определителю
Величины Vj и qj определяются собственными числами и собственными векто-
векторами уравнения вида
АХ = МС, D0а)
где Я, = v,
о" х=
здесь Е — единичная матрица; R = — С Di; S = —C"JGi.
При использовании итерационного процесса для определения наибольших по
модулю собственных значений применяют другую форму представления уравне-
уравнения D0а):
Итерации сходятся к max X, т.е. к min v — наименьшей комплексной частоте
123].
Для свободной схемы ЛА матрица Gt особенная. Для устранения особенности
пользуются сдвигом комплексной плоскости частот вдоль вещественной оси на не-
некоторую величину v0. При этом для выражения D0а) справедливы следующие соот-
соотношения:
I
~~ V — Vo'
R=-Bv0E-fC-iD1);
Итерации сходятся к min | v — v0 [. Если необходимо вычислить комплексную
частоту с максимальной вещественной частью, то используют подстановку
тогда матрицы R и S в D0а) заменяют на R* и S*:
Собственное значение уравнения D0а) % заменяют на "к* = t,-
Итерационный процесс состоит в последовательном умножении произвольного
вектора U на матрицу А [см. D06)]:
D2)
Если Ах — вещественное и [ Я^ [ > | Я2 |, то
где Uft — любая компонента итерированного вектора
490 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Если Лх и Xj комплексно-сопряженные, т. е. X = и ± i(i, то
—Wft+1
—uk+1ukAr2
hm -к
Собственные векторы (комплексная форма колебаний) определяются формулами
Vk -> Re X; ~ (xUfe- Ufc+1) -> Im X.
D3)
критической
6. ФЛАТТЕР
Аэродинамические коэффициенты (элементы матриц В и D) являются функциями
параметров потока: его скорости V и плотности воздуха р.
Зависимости положения комплексных частот на плоскости комплексного пере-
переменного от скорости (плотности) потока можно представить в виде годографов (тра-
(траекторий) корней [36, 35) (рис. 7). Скорость, при которой вещественная часть комплекс-
комплексной частоты (коэффициент затухания колебаний) обращается в нуль, называют
скоростью флаттера. Определение траекторий корней является
наиболее общим методом исследования флат-
флаттера.
Существуют и другие подходы для опреде-
определения критических параметров (в частности,
скорости полета) на границе устойчивости.
Для этого в уравнениях свободных колеба-
колебаний C8) полагают Я = ± ко и находят значения
скорости, удовлетворяющие этим уравнениям.
Критическую скорость флаттера можно также
определить экспериментально в аэродинамиче-
аэродинамической трубе на динамически подобной модели и
в процессе летных испытаний летательного аппа-
аппарата. В последнем случае прибегают к экстрапо-
экстраполяции, чтобы по тенденции определяющих фла-
флаттер параметров с ростом скорости полета
найти приближенно величину критической
скорости флаттера. Возникновение флаттера
связано с определенным тоном свободных упру-
упругих колебаний в потоке воздуха. Распределение
деформаций по конструкции при потере устой-
устойчивости определяет комплексную форму колебаний «флаттерного» тона. В зависи-
зависимости от преобладания амплитуд той или иной части ЛА и характера деформирован-
деформированного состояния различают виды флаттера. Например: изгибно-крутильный флаттер
крыла, изгибно-изгибный флаттер в системе стреловидное крыло — фюзеляж, изгибно-
элеронный флаттер, рулевой флаттер и т. д. Для характеристик флаттера несущих
поверхностей часто определяющее значение имеют различные грузы, размещенные
на них: двигатели, подвесные баки с горючим, шасси. Существенными параметрами
являются жесткости крепления этих тел на поверхности крыла. Вообще для флаттера
принципиально важны параметры связанности форм движения. Например, для сов-
совместных колебаний изгиба и кручения крыла такими параметрами являются коор-
координаты точек (линий) приложения сил аэродинамического давления, инерции и
упругости. Смещение центра масс относительно оси жесткости вперед способствует
стабилизации системы. Совмещение всех трех точек развязывает виды колебаний,
и в этом случае флаттер невозможен. Это свойство обычно имеют в виду при динами-
динамической компоновке конструкции. Важными параметрами являются распределенные
или сосредоточенные жесткости. Последние характерны для органов управления
Рис. 7
ФЛАТТЕР
491
или для крепления подвесных грузов. Таким образом, для предотвращения флаттера
конструктор имеет возможность изменять жесткости и размещение масс (входящих
в конструкцию) или специальных балансиров. Если не удается обеспечить достаточ-
достаточную жесткость на вращение, предотвращение флаттера органов управления связано
с их балансировкой, т. е. с расположением дополнительных грузов для изменения
инерционных связей. В некоторых случаях для повышения критической скорости
флаттера рулевых форм прибегают
к установке демпферов вязкого или
сухого трения. Следует при этом иметь
в виду, что демпферы сухого трения
(нелинейные характеристики) эффек-
эффективны лишь в пределах ограниченных
внешних возмущений и требуют вы-
выдерживания необходимой затяжки в
процессе эксплуатации.
Простейшей моделью флаттера
является система с двумя степенями
свободы. Физически этой модели со-
соответствует профиль крыла, имею-
имеющий поступательную (поперечную от-
относительно потока) степень свободы у
и вращательную 9. К этой же
модели приводятся изгибно-крутильные колебания упругого крыла и колебания
управляемого стабилизатора при схематизации его абсолютно жестким телом, имею-
имеющим упругое крепление относительно двух осей: физической оси вращения и пер-
перпендикулярной ей оси, проходящей по борту фюзеляжа (см. п. 9). Математическая
модель колебаний в потоке профиля определяется следующими параметрами (рис. 8):
массой т; моментом инерции относительно центра масс /; смещениями центра жест-
жесткости и угла поворота относительно вектора скорости набегающего потока у и 9.
Рис. 8
вид:
Матрицы коэффициентов уравнения C8) в данном случае принимают следующий
С =
т —та
— та j
Ч*
где ky, fee — соответственно линейная и угловая жесткости.
Матрицы аэродинамических коэффициентов определяются по формулам B3).
Задаваясь рядом значений V и решая уравнение C8), можно построить траектории
корней и определить критическое значение скорости потока VKp. Величину Vhp
можно найти также, если подставить в характеристическое уравнение чисто мнимое
492 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
значение комплексной частоты to и, разделив действительную и мнимую части, полу-
получить уравнения для определения критической скорости и частоты колебаний на гра-
границе устойчивости. Можно также провести качественную оценку устойчивости си-
системы в потоке с двумя степенями свободы в зависимости от конструктивных пара-
параметров. Достаточные условия устойчивости для любых значений V и р показаны
на рис. 9 (диаграмма Г. А. Булычева), причем
где (йу — частота свободных вертикальных поступательных колебаний; озе — ча-
частота свободных колебаний вращения; е — коэффициент демпфирования при коле-
колебаниях вращения относительно фокуса.
7. КОЛЕБАНИЯ ОБШИВКИ ПАНЕЛЕЙ В ПОТОКЕ
При определенных сочетаниях конструктивных параметров обшивки и режимов
полета колебания обшивки приобретают стационарный характер, что может привести
к разрушающим напряжениям или вызвать усталостные повреждения. Для прог-
прогнозирования колебаний определяется расчетом критическая скорость, при которой
возникает флаттер обшивки. Уравнение колебаний участка обшивки, рассматривае-
рассматриваемого как пластина, обтекаемая с одной поверхности сверхзвуковым потоком, имеет
вид
Е83
где у — прогиб; D = -^r--. — — цилиндрическая жесткость пластины; б — тол-
12 A —\Х")
щина; Е — модуль упругости; \i — коэффициент Пуассона; тп — масса на единицу
площади; Ар = крМ -— — аэродинамическое давление, вызванное колебаниями пла-
пластины; х — отношение удельных теплоемкостей воздуха; р — давление в невозму-
невозмущенном потоке М = Via; V — скорость невозмущенного потока; а — скорость звука;
Nx> Л'г — погонные силы натяжения (отрицательные для сжатия).
Для пластины, опертой по краям, частное решение
ук(х, г, f)=Xfc(*)sin^eV.
Критическое значение числа М
8. КОЛЕБАНИЯ ПРИ СРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ
D5)
Бафтинг. Бафтингом называют колебания конструкции, вызванные
турбулентностью обтекания [38]. При неблагоприятных градиентах давления воз-
возникают пульсации нестационарной аэродинамической нагрузки, которые содержат
широкий спектр частот. Эти пульсации являются источниками возбуждения выну-
вынужденных колебаний конструкции. Срыв может быть обусловлен большими углами
атаки, наличием плохо обтекаемых частей, скачками уплотнения или же комбинацией
ВИБРАЦИИ ПРИ ТРАНСЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ 493
этих факторов. Меры предотвращения бафтинга: улучшение условий обтекания,
изменение собственных частот колебаний.
Срывной флаттер. Если обтекание поверхности происходит вблизи критических
углов атаки, то вследствие явления гистерезиса (график подъемной силы в зависимости
от угла атаки имеет восходящую и ниспадающую ветви) возможно поглощение энер-
энергии из потока колебательной системой и, следовательно, колебательная неустойчи-
неустойчивость в потоке, которую в этом случае называют срывным флаттером. В особенности
срывному флаттеру подвержены воздушные винты и лопатки компрессоров и турбин.
Меры борьбы со срывным флаттером: предотвращение срывов, ужесточение конструк-
конструкции, установка турбулизаторов.
Критерием безопасности от срывного флаттера винта является параметр
ш
D6)
где w — собственная частота колебаний кручения лопасти; V — окружная скорость;
М — число Маха; Ъ — длина хорды; V, М, Ь принимают для сечения на радиусе г =>
= 0,08 R (R — радиус винта).
Напряжения в лопастях дозвуковых винтов обычных компоновок невелики,
если ~ =г 0,75 -ь 0,8.
9. ВИБРАЦИИ ПРИ ТРАНСЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ
Трансзвуковое обтекание (М «г 0,8 -f- 1,3) поверхности характеризуется воз-
возникновением местных сверхзвуковых течений, связанных с появлением скачков
уплотнения на поверхности. Положение скачков уплотнения зависит от геометрии
обтекаемого профиля и, в частности, от отклонения органов управления, располо-
расположенных на несущей поверхно-
поверхности [37]. При колебаниях отклоне- скачок s-О
ния органов управления переме- / Скачок8>о
щается скачок уплотнения и вместе / / область обрыва
с ним меняется распределение дав- и
ления по хорде профиля, что в свою *
очередь воздействует на орган упра-
управления. Таким образом, образуется
обратная связь перемещение — си-
сила. Фазовое запаздывание в этом
контуре создает предпосылку к по-
потере динамической устойчивости
с частотой, близкой к свободной Рис- 10
частоте упругих колебаний органа
управления. Явление усложняется срывом потока из-под скачка уплотнения
(рис. 10). Такого вида вибрации получили название «баз» (buzz).
Как правило, установка балансира неэффективна для предотвращения база.
Средствами борьбы в этом случае являются установка демпферов и турбу-
турбулизаторов потока (небольших выступов по размаху) перед органом управления
или же изменение геометрии и жесткостей системы несущая — управляющая
поверхность.
10. СОВМЕСТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСТРУКЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА С СИСТЕМОЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Система автоматического управления (САУ) пропускает сигналы от чувствитель-
чувствительных элементов, пропорциональные смещениям, скоростям или ускорениям в широ-
широком диапазоне частот, включающим в себя заметную долю спектра частот упругих
494
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
колебаний. Конструкция ЛА образует с САУ замкнутый контур, динамические
свойства которого определяются как аэроупругими характеристиками конструкции,
так и характеристиками тракта управления: чувствительных элементов, фильтров,
усилителей, приводов, механической проводки и силовых исполнительных механиз-
механизмов (бустеров). Практические задачи, возникающие вследствие влияния системы
управления, связаны с предотвращением колебательной неустойчивости в контуре
летательный аппарат — система автоматического управления (ЛА — САУ) и сни-
снижением уровня вынужденных колебаний при
внешнем возмущении (порыв ветра).
Взаимодействие ЛА — САУ по одному
каналу управления можно представить струк-
структурной схемой (рис. 11); q — обобщенная
координата; К — эффективность органа
управления; w — интенсивность порыва
ветра; Р — коэффициент воздействия порыва;
Llp) — передаточная функция системы управ-
управления (р = dldt); H(p) — передаточная функ-
функция конструкции; бщт — относительный угол
соответствующий перемещению штока силового
Рис. 11
отклонения органа управления,
привода.
Полный относительный угол
D7)
где 6у — угол отклонения органа управления за счет податливости в проводке
управления и в приводе.
mods,
i
VO(t—
0
argS
argL
0
modi-
J
n
<*
argS
1
ч
/
/
(df (O
/argL
6)
Рис. 12
Величина бу определяет значение момента, уравновешивающего шарнирный
момент цу = k&y, здесь k — суммарная жесткость всех элементов конструкции,
определяющих упругое перемещение органа управления.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W от интенсивности порыва
ветра w выражается следующим образом:
W (!С0) =
R
1 — S (/со) L (ко) '
(AS)
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ
495
где R (ico) = H (ico) P — частотная характеристика конструкции при колебатель-
колебательном воздействии порыва ветра; S (ico) = H (ico) К. — частотная характеристика кон-
конструкции при колебаниях органа управления.
Устойчивость контура определяется взаимным положением частотных харак-
характеристик S (ico) и обратной L~l (ico); рис. 12, а — система устойчива, запас по ампли-
амплитуде АА определяется на частоте пересечения arg S и —arg L; рис. 12, б — система
устойчива, запас по фазе Дер.
Устойчивость определяется условиями: если АА > 0, то coi — любая, при
АА <0 @]> а>в или ©! < ч>А, Шд и шв значения частот для точек пересе-
пересечения mod 5 и mod L'1, щ — частота, на которой пересекаются arg S и
—arg L'1.
Для многомерной системы (q — обобщенный вектор) частотные характеристики
W, R, S, L [см. D8)] являются компонентами векторов W, R, S, которые
связаны следующими зависимостями q = Ww; W = (Е — SL1)~1R; R = HP;
S= HK.
Частотная передаточная функция [33]:
H (гш) = [— со2С + G + if, (ic
D9)
где C,G и тр приведены в пп. 3, 4; К — вектор, все компоненты которого нули, за
исключением одной, соответствующей углу отклонения органа управления", вектор Р
определяется по формуле C4).
11. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ
РАКЕТЫ
Корпус ракеты представляют в виде стержня с переменными по длине массой
и жесткостью.
Смещение любой точки упругой оси корпуса ракеты в неподвижной
системе координат Охг (рис. 13) в направлении поперечной оси Ог представ-
представляется в виде
г (х, t) = гм @ + ,|, @ (jc - о) + 2 /„ (дс) qn (О,
где zM (t) — смещение центра масс ракеты; ty (t) =
= -ф — угол поворота ракеты как твердого тела;
fn (х) = /л ~ собственная форма поперечных ко-
колебаний корпуса, не нагруженного осевой силой;
qn (f) = qn — обобщенная координата, соответ-
соответствующая координатной функции /„; а — коорди-
координата центра масс ракеты.
Ракета подвержена действию тяги двигате-
двигателей Рв (следящая сила), управляющей силы
рулей с градиентом R^ по углу поворота ру-
рулей б и аэродинамических сил. Небольшие по-
поперечные колебания с точностью до величин второго порядка малости
не оказывают влияния на скорость и ускорение продольного движения
ракеты.
Уравнения возмущенного движения ракеты (в плоскости рыскания)
с учетом упругих поперечных колебаний корпуса можно представить
Рис. 13
496 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
в виде [1, 15, 17]
"о По
vzvz + lL^$ qn Яп+ 2j^
По «в
E0)
где vz = dZfJdt.
Для коэффициентов приняты следующие обозначения: в первом уравнении
E1)
во втором уравнении
СЧ>Ф~~ЛДМ 2 "' ""«
1 ?V^ , R 4
{ о
f» ix~a) dx;
E2)
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ
в третьем уравнении
г
497
Z х
-,
„<*-«>
E3)
4е = ~
где m, m (x) — масса и погонная масса ракеты; /0—момент инерции жесткой ракеты
относительно поперечной оси, проходящей через центр масс; V—скорость невоз-
невозмущенного полета; S —площадь миделя; р — плотность воздуха; сх—коэффициент
лобового сопротивления ракеты; сх(х)—то же, но распределенный по длине кор-
корпуса; с$ — производная от коэффициента аэродинамической подъемной силы по
углу скольжения; rf; (х) — то же, но распределенная по длине корпуса; с*—про-
с*—производная от коэффициента аэродинамического момента; хм, xF, х , х —расстояния
от вершины ракеты соответственно до центра масс, аэродинамического фокуса,
поперечного сечения корпуса, к которому приложена тяга двигателей и в котором
установлены рули; /—длина корпуса: a = l— xM; f'n=-I^; ©? —собственная ча-
ах
стота колебаний корпуса, вычисленная без учета осевой следящей силы; гп — коэф-
коэффициент затухания свободных колебаний корпуса при К = 0; тс/- — секундный
расход массы топлива из /-го бака; хй]—расстояние от вершины ракеты до поверх-
поверхности жидкости в /-м баке; 1п — расстояние от вершины ракеты до среза сопла
двигателя.
498 КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
При предварительном анализе обычно принимают: 1) аэродинамические силы
не зависят от упругих поперечных колебаний корпуса; 2) аэродинамические силы,
обусловленные движением жесткого корпуса, не вызывают упругих поперечных
колебаний; 3) поворот вектора силы тяги вследствие упругих колебаний корпуса
не влияет на движение ракеты как твердого тела.
При этих упрощениях уравнения E0) распадаются на две группы независимых
уравнений: уравнения возмущенного движения ракеты как твердого тела
= 0 Г
I
v v zv ^v ^/
> E4)
-Ф + с гЬ+с v +c „6 0 Г
и уравнения для упругих поперечных колебаний корпуса:
Если управление и стабилизация ракеты осуществляются поворотом основных
двигателей, которые имеют значительную массу и момент инерции, то поперечные
колебания корпуса и колебания двигателей вокруг оси подвеса оказываются вза-
взаимосвязанными. В упрощенном виде расчетную схему можно представить в виде
неоднородного упругого стержня, на конце которого шарнирно подвешено и зафик-
зафиксировано пружиной твердое тело — двигатель.
Когда собственные частоты упругих колебаний корпуса достаточно «разне-
«разнесены», взаимосвязь поперечных колебаний корпуса с поворотным двигателем можно
установить, рассмотрев систему с двумя степенями свободы — упругие колебания
корпуса по форме n-го тона и поворот двигателя. Дифференциальные уравнения ма-
малых колебаний имеют вид [16, 18]
?„ + 2е q +<s?q +-% F + Юпбб) = 0;
П
¦* * С
б +2едб +шдб + у- (^„ + wgn9n)= 0,
где сол — парциальная частота упругих колебаний корпуса ракеты с жестко закреп-
закрепленным двигателем; сод — парциальная частота угловых колебаний двигателя при
неподвижном корпусе; т* — приведенная масса ракеты с жестко закрепленным дви-
двигателем; /д — момент инерции двигателя относительно оси вращения, причем
E7)
г
(xa)
здесь kn — коэффициент приведенной жесткости упругого корпуса; &д — коэффи-
коэффициент угловой жесткости подвески поворотного двигателя; тя — масса поворотного
двигателя; /д — расстояние от оси вращения до центра масс двигателя; Ру — тяга
управляющего поворотного двигателя.
Из первого уравнения E6) следует, что если двигатель совершает вынужденные
гармонические колебания с частотой ш„5, то колебания двигателя не будут оказы-
оказывать влияние на поперечные колебания корпуса. В этом случае поперечная состав-
составляющая вектора силы тяги уравновешивается силами инерции двигателя.
Система E6) может иметь неустойчивость колебательного характера. Если
управление ракетой производится поворотом основных двигателей, то (о„в > ща
и в первом приближении в E6) можно положить togn — 0.
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖЕСТКОЙ РАКЕТЫ
499
Уравнение границы устойчивости можно найти из условия кратности частот
системы:
V1 -Й«= °-
где Ь^кг;
При со^6/'а-п < 1 система E6) всегда устойчива.
Уравнения возмущенного движения ракеты в плоскости тангажа идентичны урав-
уравнениям движения в плоскости рыскания. Уравнения возмущенного движения отно-
относительно продольной оси в первом приближении можно представить в виде
Ф+с .ф+с 8 =0;
фф фб К
E8)
где ф — угол поворота ракеты как жесткого тела вокруг продольной оси; т|я —
обобщенная координата упругих крутильных колебаний корпуса; ея, со,,,, — коэф-
коэффициент затухания и собственная частота колебаний корпуса; Ьх — обобщенный
угол поворота управляющего органа вокруг продольной оси.
Погонный момент инерции ракеты относительно продольной оси состоит из мо-
момента инерции конструкции и момента инерции жидкости. На величину присоеди-
присоединенного момента инерции жидкости большое влияние
оказывают радиальные перегородки, устанавливаемые
в баках для демпфирования колебаний жидкости.
12. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖЕСТКОЙ
РАКЕТЫ (В ПЛОСКОСТИ РЫСКАНИЯ)
С ЖИДКИМ ТОПЛИВОМ В БАКАХ
Для учета колебаний жидкости в баках, имею-
имеющих свободную поверхность, применяют маятнико-
маятниковую модель, сущность которой заключается в том, что
каждому i-му тону колебаний жидкого топлива в /-м
баке ставится в соответствие колебание математиче-
математического маятника, имеющего длину 1ц, массу тц и точку
подвеса на продольной оси бака, отстоящую на рас-
расстояние (L*,- + 1'ij) от центра масс ракеты в сторону
свободной поверхности жидкости в /-м баке.
Ракета схематизируется в виде жесткого стержня, подверженного действию
тяги двигателей, управляющей силы рулей, аэродинамических сил. На продольной
оси стержня подвешены математические маятники, число которых для каждого
/-го бака равно числу i0 учитываемых тонов колебаний жидкого топлива (рис. 14).
Дифференциальные уравнения записываются в виде [15, 17, 20]
Рис. 14
v 4-с
Z V
2
to /о
Л / i
1=4=1
¦k.-+<
/=I, 2 /
E9)
500
где
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
С .. -
m
Р —X
m
с -
7^
Io /о
; X=L-SC,; / = /„+2
F0)
A,^- — линейная координата отклонения массы маятника, соответствующая откло-
отклонению свободной поверхности жидкости от невозмущенного положения.
Масса маятника mfj, его длина 1ц, расстояние Lfj и момент инерции 1ц (/,-,- < 0)
определяются из решения гидродинамической задачи о колебаниях жидкости в баке.
Они зависят от плотности жидкости, конфигурации бака и уровня его заполнения.
В каждом баке обычно учитывают только первый тон колебаний жидкости, в не-
некоторых случаях следует учитывать и высшие тоны колебаний.
В практических расчетах силы трения при движении жидкости учитывают до-
добавлением в третье уравнение E9) члена, пропорционального скорости, т. е.
Декремент колебаний жидкого топлива зависит от свойств жидкости, материала
бака, конфигурации и качества смачиваемой поверхности. Определение декремента
колебаний см. в работе [22]. Квадрат частоты собственных колебаний жидкости
пропорционален ускорению полета g* и обратно пропорционален длине маятника
/;/, которая в свою очередь пропорциональна радиусу бака и зависит от номера тона
колебаний и глубины заполнения бака.
В тех случаях, когда надо учитывать взаимное влияние колебаний жидкости и
упругих колебаний корпуса, уравнения возмущенного движения в плоскости ры-
рыскания можно представить в виде
U
v +c
г v
v +c
z z г o
^2
f=i/=i
F1*
где
' iirik q .
С .. v =
i/'nXq
«f/
mn='\im(x) fn (x)dx.
b
F2)
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ
501
13. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ
С ЖИДКОСТНЫМ РАКЕТНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
Блок-схема показана на рис. 15. Система состоит из камеры сгорания (двига-
(двигателя) /, корпуса ракеты 2, магистрали горючего 3, магистрали окислителя 4. Про-
Продольные колебания корпуса ракеты вызывают колебания давления в баках и топлив-
топливных магистралях и, следовательно, колебания подачи топлива в камеру сгорания.
В камере возникают колебания давления, которые воздействуют на топливные ма-
магистрали и на корпус ракеты.
Номинальный (невозмущенный) режим работы системы — работа без колеба-
колебаний. Однако при некоторых соотношениях параметров номинальный режим работы
может стать неустойчивым, в системе будут нарастать колебания, которые вслед-
вследствие существующих нелинейностей переходят в стационарный автоколебательный
процесс. Автоколебания в замкнутой системе, показанной на рис. 15, называют
продольными автоколебаниями ракеты. Они представляют собой низкочастотные
(до 50—100 Гц) колебания.
При таком мощном источнике энергии, как ЖРД, автоколебания могут приве-
привести к возникновению больших динамических нагрузок в конструкции ракеты, ко-
которые вызывают повреждение оборудования и приборов. Может произойти также раз-
2
.—
3
it
1
-—
J
Рис. 15
Рис. 16
рушение конструкции ракеты. На основании анализа динамических свойств как от-
отдельных частей, так и замкнутой системы в целом, требуется определять такие соот-
соотношения параметров, чтобы номинальный режим работы системы был всегда устой-
устойчивым.
Продольные колебания корпуса. Продольные колебания корпуса вызывают
изменение давления жидкости в баках и как следствие — изменение диаметра бака
и изменение прогиба его днища. Жидкость в баке относительно стенок перемещается
в направлении оси ракеты. Для расчета собственных форм и частот продольных
колебаний корпуса известны две основные расчетные схемы. Первая в виде пружин-
пружинно-массовой модели, состоящей из элементов с сосредоточенными параметрами, вто-
вторая — в виде прямого неоднородного стержня.
В поперечных сечениях стержня, где расположены силовые шпангоуты баков
и двигателя, на оси стержня помещены механические осцилляторы. Эти осцилля-
осцилляторы при продольных колебаниях стержня имитируют осесимметричные колебания
жидкости в упругих баках и механические колебания двигателя. Собственная ча-
частота колебаний s-ro осциллятора равна собственной частоте s-ro тона колебаний
жидкости в упругом баке. Массу осциллятора выбирают такой, чтобы сумма масс
всех осцилляторов была равна массе жидкости в баке.
В практических расчетах форм и частот низших тонов колебаний корпуса доста-
достаточно учитывать несколько первых тонов колебаний жидкости в баке, поэтому число
осцилляторов может быть небольшим B—3).
В погонную массу т (х) стержня не включается масса двигателя, столба жид-
жидкости в топливных магистралях, жидкости в топливных баках, которая представ-
представляется в виде сосредоточенных масс на пружинах. Схема ракеты с двумя топлив-
топливными баками показана на рис. 16, где двигатель представлен одним осциллятором.
502
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Для определения собственных форм \п {к) и частот о>„ колебаний нужно проин-
проинтегрировать уравнение
При интегрировании уравнения в сечениях, где подвешены механические осцилля-
осцилляторы, должны выполняться условия скачка осевой силы
s= 1
где Ns/- — нормальная сила, приложенная к поперечному сечению через пружину
s-ro осциллятора; s0 — ч-исло
U
\о
осцилляторов.
Так как все массы осцилля-
осцилляторов перемещаются с частотой
колебаний корпуса сол, то сила
2
055/
где fnsl — значение коэффициен-
коэффициента формы колебаний массы ms/
1
здесь wSj — собственная частота
колебаний s-ro осциллятора в
/-м баке; fn (xj) — коэффициент
собственной формы колебаний
корпуса в /-м сечении.
На рис. 17 показан график
собственной формы четвертого
тона колебаний неоднородного стержня, у которого в трех сечениях A1, 23, 25)
подвешены механические осцилляторы.
Частота свободных колебаний корпуса может быть определена по формуле Рэлея
Рис. 17
где
kn = $EF (t'nJdx+ f] 2 сг/
0 s=[/ = I
' So /о
mn=\m (x) fn dx+ ^j 2
0 s = l/ = l
Дифференциальное уравнение вынужденных продольных упругих колебаний
для обобщенной координаты qn (t) имеет вид
Чп
т„
н @ -
F3)
где Рп (t) — отклонение силы, обусловленной отклонением давления жидкости на
входе в насос; Рд (t) — отклонение тяги двигателя (положительным принято переме-
перемещение корпуса от вершины к хвостовой части); |пд — коэффициент собственной формы
колебаний двигателя и насоса.
Колебания жидкости в топливных магистралях. Топливные магистрали, по ко-
которым жидкое топливо подается из баков к насосам, имеют большой диаметр и ма-
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ 503
лую толщину стенок Для компенсации изменения длины трубопроводов, устране-
устранения влияния перекосов в разных местах магистрали устанавливают сильфоны.
Важным фактором, определяющим значительную податливость столба жидко-
жидкости в магистрали, является наличие парогазовой смеси, возникающей вследствие ка-
кавитации [28, 32] Кавитация особенно развита в струйных эжекторах и на входе
в шнекоцентробежные насосы. При наличии парогаза на входе в насос столб жид-
жидкости в магистрали опирается на него как на пружину, вследствие чего частота соб-
собственных продольных колебаний жидкости значительно снижается.
При рассмотрении низших частот колебаний поток жидкости в трубе принимают
одномерным и сжимаемым. Упругость стенок трубы учитывают введением эквива-
эквивалентного модуля сжатия жидкости или эквивалентной скорости звука а3 в жидко-
жидкости, как это предложено Н. Е. Жуковским,
п — а° в«
где а0, р0 — соответственно скорость звука и плотность жидкости в невозмущен-
невозмущенном потоке; гй, h — радиус и толщина стенки трубы; Е — модуль упругости матери-
материала трубы.
Линеаризированные уравнения возмущенного движения и неразрывности жид-
жидкости в трубе можно представить в виде
dv dv I dp 8уж . ,,
dt дх ' р0 дх г* к '
где v = v (x, i); р = р (х, t) — малые отклонения скорости и давления жидкости;
Vjk — кинематический коэффициент вязкости жидкости; v0 — скорость невозмущен-
невозмущенного потока.
Граничные условия на концах трубы сводятся к линейным однородным соотно-
соотношениям между переменными р и v. Комплексное число г = p/v для граничного се-
сечения обычно называют граничным импедансом. Вещественная часть этого числа ха-
характеризует «активное», а мнимая — «реактивное^) сопротивления протеканию
жидкости.
При Vjk = 0 для гармонических колебаний
Соотношения между параметрами потока v A), р A) в конце трубы и парамет-
параметрами потока v @), р @) в начале трубы на основании F4) по аналогии со схемами,
рассматриваемыми в электротехнике, можно представить в виде уравнений четырех-
четырехполюсника:
вA) = в@L-(е*"+е*')+?@) L (е*._е*1)
\
Частоты собственных колебаний определяются из F5) с учетом граничных ус-
условий. Например, при р @) = 0, р A) = 0 (груба открыта с обоих концов) получим
sa = n(\ — M*)n, o)^ = s4^, (я = 0, 1, 2, ,..).
504
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Уравнения четырехполюсника F5) удобно представить в виде
РA) = К1рA), v{\))v(l)+K[p{l), рФIр@);
3@) = Л: [о @), v{\)]v(\) + K[v(Q), р AI/3A),
F6)
где Kip (I), у AI, K[p(l), p @I, K[v@), у A)], К [v @), P A)] — комплексные
передаточные числа.
Одним концом (| = 0) труба соединяется с днищем бака, другим (? = 1) — с на-
насосом. Граничное условие при ? = 0 задается отклонением давления при выходе из
бака. В первом приближении можно принять, что при гармонических колебаниях
с частотой (о отклонение давления обусловлено инерцией столба жидкости в баке
и импедансом выходного сечения
Рб= —
п—\s=l
fns;qn+z6v6.
где Я — высота столба жидкости в баке; х — некоторый безразмерный коэффициент,
зависящий от формы колебаний дна; yg — отклонение скорости потока при выходе
из бака; 2g —• импеданс выходного сечения.
Корпус
[ Выход из бага I Трубопровод
Рис. 18
Двигатель
Если частоты свободных колебаний корпуса не близки и не близки также соб-
собственные частоты механических осцилляторов, то приближенно
рб=р @)a|p0= —
[р6> v\ v.
F7)
При | = 1 задается отклонение скорости потока, которое зависит от динамиче-
динамических свойств двигателя с насосом как нагрузочного агрегата для топливной маги-
магистрали:
V = 3(l)a3 = K[V, р„1рн, F8)
где К [V, рн] — комплексное передаточное число двигателя с насосом как нагрузоч-
нагрузочного агрегата, полученное с учетом кавитационных явлений в насосе.
Динамические свойства ЖРД. ЖРД является самым сложным звеном замкнутой
колебательной системы. Динамические свойства ЖРД изложены в 110, 19, 26]. От-
Отклонение тяги двигателя Рд в общем виде можно выразить через комплексные пере-
передаточные числа
Рко! Рко + К [Р ,, ркг] Рк
F9)
На основании уравнений F3), F6) — F9) блок-схема замкнутой системы с уче-
учетом одного компонента топлива представлена на рис. 18. Это грубая схема дает об-
общее представление о взаимодействии колебаний отдельных звеньев системы. В схеме
не учтено влияние сильфонов, поворотов потока и коллекторов, расходных шайб,
изменение объема магистрали вследствие перемещения отдельных ее частей и др.
КОЛЕБАНИЯ ЛОПАСТИ НЕСУЩЕГО ВИНТА 505
В замкнутой схеме имеются два последовательно соединенных колебательных
звена — корпус и поток жидкости в топливной магистрали. Опасным в отношении
потери устойчивости номинального режима является случай равенства или близо-
близости собственных частот этих звеньев. Частоты свободных колебаний корпуса изме-
изменяются в процессе полета, плавно возрастая по мере расхода топлива из баков, ча-
частоты колебаний жидкости в магистралях практически не изменяются. Особенно
важно, чтобы частота свободных колебаний низшего тона корпуса не совпадала с низ-
низшей частотой свободных колебаний жидкости в длинной расходной магистрали.
Для разнесения резонансных частот на топливных магистралях могут быть установ-
установлены гидравлические аккумуляторы. Известны и другие способы снижения соб-
собственной частоты жидкости в магистрали.
14. КОЛЕБАНИЯ ВОЗДУШНЫХ ВИНТОВ
Для расчета изгибных колебаний лопасть воздушного винта схематизируется
прямым стержнем, растянутым центробежными силами. Приближенно частота сво-
свободных изгибных колебаний шп определяется по формуле [34]
где со^о — частота свободных колебаний невращающейся лопасти; Q — угловая ско-
скорость вращения;
R г г
\drj J
f о To ^o .
_ ^
" mf\ dr
Го
ФУ dr*
\ mfl dr
г
где k — число лопастей; R — радиус винта; г — текущий радиус; г0 — радиус за-
защемленного конца; т. — погонная масса лопасти; fi — форма t-ro тона колебаний;
ф0 — угол установки; /д, /в — соответственно массовые моменты инерции двигателя
и винта относительно оси вращения; 6 д, 6В — соответственно амплитуды углов по-
поворота двигателя и винта при собственных колебаниях винта с формой f±.
В таблице приведены частоты источников возбуждения, которые учитываются
при определении резонансных чисел оборотов.
15. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАСТИ НЕСУЩЕГО ВИНТА
Колебательные свойства лопасти несущего винта во многом определяют ее уста-
усталостную прочность, надежность, нагрузки, приходящиеся на вертолет, и в конеч-
конечном счете летно-технические характеристики вертолета (винтокрылого аппарата)
[25].
Расчет колебаний невращающейся лопасти аналогичен расчету крыла при его
балочной схематизации (см. п. 2). Собственные формы изгибных колебаний невра-
невращающейся лопасти используют для приближенного определения спектра частот ло-
лопасти, растянутой при вращении центробежными силами,
co!- = wg/ + A/Qa, G0)
506
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Частоты источников возбуждения колебаний
Причина возникновения
колебании
Изменение крутящего мо-
момента от двигателя
Перемещение двигателя:
продольное
поперечное
Прохождение лопасти перед
неподвижной частью кон-
конструкции
Частота
возбуждения
@
' = Т
i— 1, 2, 3, ...
(ов+шд
ЯШ
Причина возникновения
колебаний
Прохождение лопасти перед
частью конструкции, связан-
связанной с валом винта
Гироскопические силы при
криволинейном полете
Аэродинамические силы.
действующие на лопасть
соосного винта
Косая обдувка винта
Частота
возбуждения
о)а (к - 1)
сов (к +1)
шв
2швк
i = 1. 2, 3, ...
Обозначения: и — угловая скорость вала двигателя; (а — частота свободных
колебаний двигателя; ю — угловая скорость винта; п. — число частей; к — число лопастей.
где (Hj — частота колебаний /-го тона в поле центробежных сил; со0/- — частота ко-
колебаний невращающейся лопасти; Q — угловая скорость винта;
k,=
dr
m/J dr
здесь fj — собственная форма изгибных колебаний /-го тона невращающейся лопа-
лопасти; Л — растягивающая сила в сечении /¦; m — погонная масса вдоль лопасти;
R — радиус винта.
Уточненный спектр частот и форм колебаний вращающейся лопасти вычисляют
по формуле (8). В этом выражении матрица жесткости вычисляется для стержня,
растянутого центробежными силами. При расчете крутильных колебаний лопасти
обычно принимают, что лопасть можно рассматривать как абсолютно жесткое тело,
упруго прикрепленное к втулке винта на жесткости проводки управления.
Приближенный расчет вынужденных колебаний лопасти сводится к вычислению
коэффициентов динамического увеличения амплитуды колебаний ^д:
д, j/? —
здесь ?д, j/?
динаты
собственно динамическая и статическая величины обобщенной коор-
I 1
G1)
здесь п — частота вынужденных колебаний; m, =f mf/ dr; С" — производная ко-
коэффициента подъемной • силы по углу атаки; Ь — хорда лопасти в сечении г.
ФЛАТТЕР НЕСУЩЕГО ВИНТА 507
16. КОЛЕБАНИЯ «ЗЕМНОЙ РЕЗОНАНС» В СИСТЕМЕ
НЕСУЩИЙ ВИНТ— ФЮЗЕЛЯЖ ВЕРТОЛЕТА
При вращении несущего винта вертолета на земле отклонения лопастей относи-
относительно вертикальных шарниров и перемещения втулки в горизонтальном направле-
направлении вследствие податливости шасси составляют степени свободы колебательной си-
системы. При определенных значениях угловой скорости и некоторых конструктивных
параметров в этой системе может возникнуть опасная колебательная неустойчивость
[25]. Для предотвращения этих колебаний устанавливают специальные демпферы
на вертикальных шарнирах лопастей и выбирают соответствующие характеристики
амортизации шасси.
Критическую угловую скорость винта, при которой возможны незатухающие
колебания, приближенно определяют по формуле
°«р = пг^ G2)
где 7о= Л/ -т', Щ — частота свободных колебаний вертолета на шасси; / — радиус
вертикального шарнира лопасти; S, I — соответственно массовые статический и осе-
осевой моменты инерции лопасти относительно вертикального шарнира.
Условие, обеспечивающее устойчивость при ?2кр:
л_
где ?о> ?л — соответственно коэффициенты демпфирования колебаний вертолета и
лопасти с частотами колебаний ш0 и шд.
Условие G3) верно для величин ?о и ?л одного порядка.
17. ФЛАТТЕР НЕСУЩЕГО ВИНТА
Во многих случаях исследование флаттера несущего винта сводится к расчету
колебаний изолированной лопасти. Наиболее простым видом флаттера являются
колебания с двумя степенями свободы: маховым движением относительно горизон-
горизонтального шарнира ч|) и поворотом 8 лопасти как абсолютно жесткого тела вслед-
вследствие деформации проводки управления. Приведенная жесткость проводки управле-
управления изолированной лопасти зависит от вида флаттера несущего винта в целом (цик-
(циклическая и тарелочная формы). Основной особенностью флаттера несущего винта
является наличие вызванных вращением центробежных сил, которые определяют
жесткость в маховом движении. Кроме того, маховое движение и поворот лопасти
относительно осевого шарнира, как правило, связаны кинематически. Уравнение
свободных колебаний для определения границ устойчивости лопасти несущего винта
имеет вид, аналогичный C8) [25]. Применяя эти уравнения для решения задачи
о флаттере лопасти несущего винта, нужно заменять скорость потока V на угловую
скорость винта Q. Вектор обобщенных координат Ч=(„ |. Матрица жесткости G
\ в/
будет состоять из двух матриц: матрицы жесткости, определяемой упругими элемен-
элементами Gy, и матрицы жесткости за счет центробежных сил GQ. Для определения эле-
элементов матриц применяют следующие выражения:
/•.9. ..\
G4)
где /^,ф, /eoi 1-tye = /еф — соответственно массовые моменты инерции лопасти осевые
относительно горизонтального и осевого шарнира и центробежный; а>е — частота
508
КОЛЕБАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
свободных колебаний вращения лопасти на проводке управления; к — коэффици-
коэффициент кинематической связи f с i (компенсатор взмаха); Gq = Q2C.
Матрицы D и В определяют по формулам B4), в которых надо положить F =
= (. ), г = г, l = R, где R — радиус винта, и внести под интеграл сомножитель г.
Определяющими параметрами устойчивости (критической угловой скорости вра-
вращения), как и для флаттера крыла (см. п. 6), являются центровка лопасти (/,ре).
жесткость проводки управления, положение оси вращения лопасти. Необходимые
условия отсутствия флаттера лопасти:
1) для любой центровки
mar dr
2) для передней центровки лопасти
Xэ
mbr dr
С ростом скорости поступательного полета V критическая угловая скорость сни-
снижается примерно на 5—10% с изменением кинематического параметра \i = V/QR
до значений 0,2—0,3.
18. КОЛЕБАНИЯ ОРИЕНТИРУЮЩИХСЯ КОЛЕС САМОЛЕТА—ШИММИ
При качении колеса шасси по поверхности аэродрома образуется колебатель-
колебательная система колесо — стойка шасси [29]. Движение этой системы характеризуется
следующими кинематическими параметрами (степенями свободы): т|) — углом пово-
поворота стойки относительно оси (рис. 19); б — углом поворота ориентирующейся
части шасси относительно оси у; 6х — углом поворота ориентирующейся части шасси,
обусловленным перемещением демпфера шимми; к — боковым смещением контакта
колеса вследствие деформации шины.
При известных сочетаниях конструктивных параметров в этой колебательной
системе возможна потеря устойчивости. Принимается гипотеза увода: угол увода
пропорционален боковой деформации ф =-j- К, где а —
поперечная жесткость колеса; k — коэффициент бокового
увода.
Колебания системы колесо—стойка шасси описыва-
описываются следующей системой уравнений:
б + V— 6 — alk =0;
Рис. 19
где 1Х, Iу, 1Х11 — соответственно осевые и центробежный моменты инерции шасси;
га — радиус инерции колеса относительно оси вращения; t, r — вынос и радиус
колеса; а, Ь — поперечная и пяточная жесткость колеса; k — коэффициент бокового
увода колеса; h — коэффициент вязкого трения демпфера шимми; I — длина стойки;
V — скорость движения самолета.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 509
Если жесткости С$ и Сд достаточно велики, величину необходимого демпфиро-
демпфирования можно вычислить по формуле
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абгарян К. А., Рапопорт И. М. Динамика ракет. М., Машиностроение. 1969. 378 с.
2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке
газа. М., Наука. 1971. 767 с.
3. Беляев Н. М. Системы наддува топливных баков ракет. М., Машиностроение, 1976, 334 с.
4. Бесплиггхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит.,
1958. 799 с.
5. Буньков В. Г. Учет деформаций сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения
методом многочленов. — Ученые записки ЦАГИ, т. III, 1972, № 4, с. 111 — 119.
6. Буньков В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач
аэроупругости. — Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969, с. 38 — 54.
7. Буньков В. Г. Полная проблема собственных значений матриц в расчетах на флаттер. —
Ученые записки ЦАГИ, т. VI, № 2, 1975, с. 82—92.
8. Вахитов М. В., Селин И. С. Численное решение задачи устойчивости и колебаний сво-
свободного составного тела с упруго подвешенными массами. — Труды КАИ, вып. 118,
1970, с. 8 — 27.
9. Гроссман Е. П. Курс вибраций частей самолета. М., Оборонгиз, 1940. 310 с.
10. Гликман Б. Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей. М.,
Машгиз, 1974, 396 с.
11. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. — Труды ЦАГИ, 1945,
№ 564. 32 с.
12. Ким Л. П. Метод расчета упругих колебаний летательного аппарата с использованием
конечного элемента. — Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1976, с. 3 — 14.
13. Ким Л. П., Минаев А. Ф. Расчет поперечных упругих колебаний стержней при действии
продольных сил методом конечного элемента. — Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1976, с. 15 — 22.
14. Кожинов В. Я. Программа для расчета матрицы жесткости упругого летательного ап-
аппарата с крылом малого удлинения. — Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1969. 26 с,
15. Колесников К. С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М., Машиностроение,
1969. 298 с.
16. Колесников К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем.
М., Машиностроение, 1971. 260 с.
17. Колесников К. С, Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматиче-
автоматического управления. М., Машиностроение, 1974. 266 с.
18. Краснов Н. Ф. Аэродинамика. В 2-х т. Т. 1—2. М., Высшая школа, 1976. Т. 1. 382 с;
т. 2. 364 с.
19. Махин В. А., Присняков В. Ф., Белин Н. М. Динамика жидкостных ракетных двигате-
двигателей. М., Машиностроение, 1969. 834 с.
20. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично запол-
заполненными жидкостью. М., Машиностроение, 1968. 532 с,
21. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, со-
содержащими жидкость. М., Машиностроение, 1971. 562 с.
22. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.,
Машиностроение, 1978. 247 с.
23. Минаев А. Ф., Кадыров X. С. О численном определении комплексных чисел и форм дей-
действительной матрицы. — Изв. АН УзССР, № 3, 1959, с. 24—35.
24. Минаев А. Ф., Тозырева В. А. О вычислении корней уравнений аэроупругости с макси-
максимальной вещественной частью. — Ученые записки ЦАГИ, т. V, 1974, № 6, с. 70 — 74.
25. Миль М. Л., Некрасов А. В., Браверман А. С, Вертолеты (расчет и проектирование).
Т. I. Аэродинамика. 455 с. Т. П. Колебания и динамическая прочность. 423 с. М., Ма-
Машиностроение, 1967.
26. Мошкин Е. К- Динамические процессы в ЖРД. М., Машиностроение, 1964. 256 с.
27. Набиуллим Э. Н. Метод расчета нестационарных аэродинамических нагрузок на тонкое
крыло конечного удлинения, совершающее упругие гармонические колебания в дозву-
дозвуковом потоке. — Ученые записки ЦАГИ, т. III, 1972. № 6, с. 94 —100.
28. Натанзон М. С. Продольные автоколебания жидкостной ракеты. М., Машиностроение,
1977 206 с.
29. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М., Наука, 1967. 520 с.
30. Основы строительной механикл ракет / Л. И. Балабух, К. С. Колесников, В. С. Зару-
Зарубин и др. М., Высшая школа, 1969, 494 с.
31. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость
летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1965. 467 с.
32. Пилипенко В. В., Задонцев В. А., Натанзон М. С. Кавитационные автоколебания и ди-
динамика гидросистем. М., Машиностроение, 1977. 352 с.
510 ВЫНОС. ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН И КОНСТРУКЦИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
33. Поповский В. Н. Программа расчета частотных характеристик упругого летательного
аппарата. — Труды ЦАГИ, вып. 1119, 1969. 33 с.
34. Риз П. М., Пожалостин А. И. Вибрация и динамическая прочность воздушных винтов. —
Труды ЦАГИ, 1947. № 609, 79 с.
35. Стрелков С. П., Харламов А. А. Исследование флаттера крыла с элероном. — Научные
доклады высшей школы. Сер. физико-математические науки, 1959, V» 3, с. 18 — 24.
36. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М. Наука, 1964. 437 с.
37. Фыи Я- Ц* Введение в теорию аэроупругости. М. физматгиз, 1950. 523 с.
38. Шаталов А. С, Топчиев Ю. И., Кондратьев В. С. Летательные аппараты как объекты
управления. М., Машиностроение, 1972. 283 с.
Глава XX
ВЫНОСЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
1. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАГРУЖЕННОСТИ
Если уровень амплитуд переменных напряжений достаточно велик, то в эле-
элементах механических систем происходит накопление усталостных повреждений,
образование и развитие усталостной трещины, заканчивающееся разрушением.
При расчетах на выносливость вводят понятия регулярного и нерегулярлого нагру-
жений.
Регулярным нагружением называют такой периодический закон изменения на-
напряжений, при котором в течение одного периода имеются один максимум и один
минимум напряжений, а параметры цикла (среднее напряжение
ст=~2(атгх+°тт)> амплитуда напряжений о^-^-(amax-amin), где сттах,
°тт — максимальное и минимальное напряжения цикла, форма цикла) не изменя-
изменяются в течение всего периода эксплуатации. На совокупности однотипных деталей
машин определенной марки величины аа и ат являются, как правило, случайными.
Нерегулярным называют любое другое переменное нагружение, не удовлетво-
удовлетворяющее указанным условиям. К. нерегулярному нагружению можно отнести перио-
периодическое нагружение с числом экстремумов в одном периоде больше двух, гармони-
гармоническое нагружение при издменении амплитуд или средних напряжений цикла по
определенной программе, полигармоническое, случайное нагружение (стационарное
и нестационарное) и т. д.
Блоком погружения (/§) называют совокупность последовательных значений пе-
переменных напряжений, возникающих в детали за какой-либо характерный период
эксплуатации, по отношению к которому вычисляют ресурс детали (например, 1 км
пробега транспортных машин, 1 полет самолета, 1 ч работы машины и т. п.). Число
циклов повторения амплитуд напряжений в одном блоке нагружения обозначим
через V6-
Долговечность детали до появления усталостного разрушения можно охаракте-
охарактеризовать числом блоков нагружения %, или суммарным числом циклов до разруше-
разрушения Л/,-,.,,, или ресурсом L, выраженным в километрах пробега, часах работы и т. п.
Очевидно
NCVM = Xv6; 1
Случайные процессы изменения напряжений при расчетах на выносливость схе-
схематизируют, выделяя различными способами амплитуды напряжений.
По способу максимумов в качестве амплитуд напряжений принимают разности
между напряжениями в точках максимума и общим средним напряжением, опреде-
определяемым для всего процесса по известным правилам (рассматривают максимумы,
лежащие выше среднего уровня).
ХАРАКТЕРИСТИКИ НАГРУЖЕНЯОСТИ 511
По способу размахов в качестве амплитуд напряжений принимают полуразности
значений напряжений, соответствующих максимуму и непосредственно предшеству-
предшествующему ему минимуму. Если при этом не принимают во внимание среднее напря-
напряжение каждого цикла ат,- (? = 1, 2, ...), то такую схематизацию называют одномер-
одномерной. Если учитывают также и величины ami, то такую схематизацию называют дву-
двумерной. В результате двумерной схематизации получают корреляционную таблицу
величин (аа;, ami). Один из возможных способов учета среднего напряжения цикла
ami состоит в приведении амплитуд асимметричных циклов к эквивалентным по уста-
усталостному повреждению амплитудам симметричного цикла 0а;э:
где ^=0,1 -р- 0,3 — коэффициент влияния асимметрии цикла на предельные
амплитуды напряжений. Известен также ряд других способов схематизации (спо-
(способы экстремумов, учета одного экстремума между двумя соседними пересечениями
среднего уровня, размахов, превышающих заданную величину, полных циклов
и др.) [3, 4].
В настоящее время рекомендуется использование метода полных циклов. Этот
метод заключается в учете вначале размахов малых уровней, затем исключении этих
размахов из процесса и учете размахов второго уровня во вновь полученном про-
процессе; далее исключаются из процесса размахи второго уровня, и подсчитываются
размахи третьего уровня и т. д.
Указанная обработка записей случайных процессов делается на ЭВМ по имею-
имеющимся программам [3].
В результате статистической обработки получают функции распределения
амплитуд напряжений, характеризующие число повторений v,-g амплитуд уровня
aai в одном блоке нагружения в случае ступенчатого задания этих функций. Ука-
Указанные функции могут быть заданы в виде таблицы парами чисел оа,-, ti при / =
= 1, 2, ..., г и величиной ve, где
т — число ступеней амплитуд напряжений в блоке нагружения.
Функции распределения амплитуд напряжений могут быть заданы также в виде
плотностей распределения, соответствующих различным законам (табл. 1).
Вследствие влияния ряда факторов, обычно не регламентируемых при тензоме-
трических испытаниях (состояние погоды, индивидуальные особенности данной ма-
машины, квалификация оператора и т. д.), параметры функций распределения ампли-
амплитуд также являются случайными величинами. Опытные данные показывают, что для
ступенчатых функций распределения амплитуд можно принять
оа« =aafi, C)
где
е=1+«Л, D)
здесь aai — среднее значение амплитуды t'-ro уровня; s — нормально распределен-
распределенная случайная величина, имеющая среднее значение, равное единице; с/е — коэффи-
коэффициент вариации; ир — квантиль нормального распределения; по опытным данным,
ре = 0,1 -5- 0,2.
Обычно в процессе эксплуатации машина работает в различных режимах с от-
относительными временами работы р^ в каждом режиме (р& = Ь 2, ...).
Плотность распределения амплитуд смешанного закона и его параметры нахо-
находят по соотношениям
-9a)],
E)
512
ВЫНОС. ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН И КОНСТРУКЦИИ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
где среднее значение амплитуды при k-м режиме работы
от
sak = M {Vak} = \ Oaf ft (Pa) doa;
fk (°a) — плотность распределения амплитуд при fe-м режиме; Vk = Soak/<5ak —
коэффициент вариации амплитуды в k-м режиме; аа, S^ — среднее значение и дис-
дисперсия амплитуды смешанного закона распределения,
1. Формулы для ? и плотностей распределения амплитуд
Закон
распре-
распределения
амплитуд
Плотность распределения
Формулы для ?
Примечание
Рэлея
' (аа) =
при аа > О
О при а <0
Экспонен-
Экспоненциальный
f (°«) =
4)
при «а Э= О
О при о" < О
2)-p
0,5a_
1д
(aa) =
Правая
ветвь
нормаль-
нормального
закона
2 / °а
7=ехР -ТГ7
0,5 а__
1д
при &а> О
при <т < О
0]
2. РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ
ПРИ РЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖЕНИИ
Расчет на выносливость элементов машин и конструкций при регулярном нагру-
жении в детерминистической постановке производится путем вычисления коэффи-
коэффициентов запаса прочности и сопоставления их с нормативными. При возникновении
в детали нормальных напряжений коэффициент запаса прочности определяют по
формуле
ст-1д /R4
rta = — F)
или по вытекающей из нее формуле С. В. Серенсена
где
G)
(8)
РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖЕНИИ 513
<poD = tya/KaD — коэффициент, учитывающий влияние среднего напряжения цикла
на предельную амплитуду детали; KaD = а^1/а_^ж — суммарный коэффициент, учи-
учитывающий влияние всех факторов на сопротивление усталости; а_ъ о_)д — пределы
выносливости соответственно гладкого лабораторного образца диаметром 7,5 мм
и натурной детали.
При возникновении в детали одновременно нормальных и касательных напря-
напряжений результирующий коэффициент запаса прочности находят по формуле
где nt — коэффициент запаса по касательным напряжениям, определяемый по фор-
формуле, аналогичной формуле G), если в ней буквы 0 заменить на т. Деталь считается
работоспособной, если п 5= [я], где [п] = 1,5 -f- 2,5 —нормативное значение я,
обычно устанавливаемое в каждой отрасли машиностроения применительно к опре-
определенным группам деталей на основе расчетов, проектирования и доводки машин
с учетом уровня технологии, ответственности конструкции, однородности материа-
материалов и других факторов.
Если известны параметры рассеяния характеристик прочности и нагружен-
ности, то расчет на выносливость целесообразно производить вероятностными мето-
методами.
Кривые усталости возможно представить в виде прямых линий в двойных лога-
логарифмических координатах lg о — lg N, которые описываются уравнениями
<ЛГ=О-1дЛГ0 при Оа^О_и;
N = co при с "~
или
cOTliV= а"Ч »7 Л^п ПРИ с
а -1ДЛГ. о „ .„..„.
o"'N =<fiaA,iVe при г --
где °"_гдлго — предел ограниченной выносливости детали, соответствующий точке
перелома кривой усталости (при числе циклов No); aa, N — текущие значения ам-
амплитуды напряжений и числа циклов; тг, т2 — параметры кривой усталости, харак-
характеризующие наклон соответствующих линий.
Уравнения A0) соответствуют наличию горизонтального участка у кривой уста-
усталости, что имеет место у конструкционных сталей малой и средней прочности (сгв <
< 120 кгс/мм2) и титановых сплавов при нормальной температуре и отсутствии кор-
коррозии.
Уравнения A1) соответствуют кривой усталости в виде двух наклонных пря-
прямых в координатах lg о — lg JV, что справедливо для всех других материалов, кроме
указанных выше (материалов при повышенной температуре и наличии коррозии, вы-
высокопрочных сталей и легких сплавов и материалов при нормальной температуре и
отсутствии коррозии).
Формулы для расчета вероятности разрушения при регулярном нагружении
представлены в табл. 2. После вычисления квантиля ир вероятность разрушения
находят по таблицам нормального закона распределения. Для кривой усталости
с горизонтальным участком величины цр и Р не зависят от долговечности при N >
> No = A -~ 3I06 циклов. Для кривой усталости с двумя наклонными участками
величины Up и Р зависят от числа циклов N, поэтому вводят индекс iVy величин пре-
пределов выносливостей, условных коэффициентов запаса п, квантилей ир. Поэтому
в последнем случае, задаваясь рядом значений N и определяя соответствующие им
значения вероятности разрушения Р, можно построить функцию распределения
ресурса.
17 п/р. Ф. М. Диментберга и К. С. Колесникова, т. 3
514
ВЫНОС. ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН И КОНСТРУКЦИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
ч
-
<яв
с
-
,va
116
Q.
3
о.
ь
СО
1
з
t
ю
о
о
о
\
[Ito1
1
D
'ее
1
С
S
ч
73
О)
§
О.
о
1
1
«г
я
к
а)
РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖ.ЕНИИ 515
3. РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ
ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖЕНИИ
Расчет ресурса при нерегулярном нагружении и линейном напряженном состоя-
состоянии рекомендуется проводить по формулам корректированной линейной гипотезы
суммирования усталостных повреждений, приведенным в табл. 3. В этих формулах
/ (°а) — функция плотности распределения амплитуд напряжений; остальные обо-
обозначения пояснены ранее. Из приведенных выражений можно найти усталостную
долговечность, выраженную числом блоков % до появления трещины.
Для ряда законов распределения амплитуд интегралы, входящие в формулы
табл. 3, могут быть выражены через табулированную функцию интеграла вероятно-
вероятностей хЧ1, 2):
Р{х,п)=— \ у2 е 2 dy. ..
Из A2) следует
со «_,
$ f e 2dy=2q(n)P(x, n), A3)
f 2dy=
где if> (я) =22 Г (я/2); Г (а) —гамма-функция Эйлера. Значения 1|> (я) можно найти
по формулам [2]
(ft — 2)!! l/ -g- при нечетном п;
»_, ' (И)
2 (-^— 1 j! при четном п,
здесь (п— 2)!! = 1-3-5 ... (я — 4)(я — 2); г|з A) = Ц> C) = l/ y;ij)B)=l; iED) =
= 2; if) E) = 3l/ -уит.д. Формулы для определения ? из табл. 3 с учетом A2)—A4)
для некоторых законов распределения амплитуд приведены в табл. 1. По извест-
известным значениям ? определяют величины ар по формуле, приведенной в табл. 3.
Формулы для подсчета ресурса, выраженного числом блоков нагружения X
до появления трещины, полученные путем подстановки плотностей распределения
/ (аа) из табл. 1 в формулы табл. 3 и определения из них X с учетом A2)—A4), при-
приведены в табл. 4, 5. Эти формулы справедливы для линейного напряженного состоя-
состояния или чистого сдвига, если в них а заменить на х.
При расчете функции распределения ресурса, т. е. зависимости вероятности
разрушения от усталостной долговечности X [или связанных с ней величин iVcyM, L],
по формулам, приведенным втабл. 4, 5, или вболее общем случае — в табл. 3, строят
зависимость X от предельного коэффициента нагруженности яр = о"отах/а_1д, под-
подсчитывая X для ряда значений яр. Далее для этих же яр находят квантили ир, соот-
соответствующие вероятности разрушения Р (в %), по формуле
где я = пр/п — относительный коэффициент запаса; п=аа тах/о_1Д — предельный
коэффициент нагруженности по средним значениям.
17*
516
ВЫНОС. ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН И КОНСТРУКЦИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
3. Формулы для расчета на выносливость по корректированной линейной гипотезе
при нерегулярном нагружении
Форма кривой усталости
С двумя наклонными участками
[уравнение A1)]
С горизонтальным участком
[уравнение A0)]
21
v
at (б) Р
V, om.v ., = a
Z-l Ш F P
ПРИ aa max ^ a—IaA'o.'
om? v .,= a
at 16 P
ПРИ CTa max
, = oo при оа
ПРИ са max < а-1дЛ'о
, Г °а ma
Л'о „т, J
La-lfl/Voa_lA/
-|д ст-1д
при аа тах 2= a_t
ь = оэ при o"a
< а
_1д
о
°а тах
Формулы для а
max - °.5<Г_1Д '
«P = s =
1
"a max
a max
f
0,5a
-U
РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖЕНИИ 517
4. Формулы для расчета на выносливость по корректированной линейной
гипотезе для кривой усталости в виде двух наклонных прямых
в координатах lg а — lg N
Закон
распреде-
распределения
амплитуд
напряже-
напряжений
Рэлея
Экспонен-
Экспоненциальный
Правая
ветвь
нормаль-
нормального
закона
"р
>1
>1
SJ1
>1
Формулы для подсчета ресурса
V6l l \ ь I L \ "р /
") /пв\тг
— Р (б2, т, + 2) +1|) (т2 + 2) (—1- X
V 1 1 Р> 1 т ~1~ 9 1 1 v
Л 1 1 ^^ г г^ , 412 \~ \ \{
apN0 г , пр \т, ^ \ —i
1 1 "р \т>
— Р BЬ, 2т, + 2) -f ф Bт2 -f" 2) I 1& } X
1
X— v и^фBт.+ 2) / 1 "[1 Я B6, 2т2 + 2)]!-
я арЛ'о fa*(»1 + l)/».p\mIr /*• ^ \
v6 \ /2я У Ь / 1 { п*р ' * " /
1 2ф(т2 + 1) / п„ \т,
ц, р /f,? т 1 \\ \ 1 \ V \ V
J /2л \ Ь )
Примечание
аа max
п ^-^ ;
°"а max
6 .-s
°а max
rt = . ;
, °а так
о = ¦
°а
'отах
пп ^^ '
u aa max
518
ВЫНОС. ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН И КОНСТРУКЦИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
5. Формулы для расчета на выносливость по корректированной линейной гипотезе
для кривой усталости с горизонтальным участком
Закон
распреде-
распределения
амплитуд
напряже-
напряжений
Рэлея
Экспонен-
Экспоненциальный
Правая
ветвь
нормаль-
нормального
закона
apN
6
V6
V6
Формулы для подсчета ресурса X
¦i-
(*(
г 2i|)
1
tm 1 ''W ^1 IP/ m ¦ 1 ° 1 .-
\ ь 1 L \ "р У
— Р (б2, m + 2) 1
— Р B*, 2ш + 2) 1
,„,+ !,/„„ у»Г /Ь2 \
/й- ( * J L \"р >ш ' 7
~ii—1
— Р (Ь2, m -)- 1) \\
Примечание
"о
"р
аа max .
о
°атах
S
аа max .
°-1Д '
°о max
аа max
а *
°а max
Таким образом находят искомую зависимость вероятности Р от долговечности X.
Расчет функций распределения ресурса при линейном напряженном состоянии
можно выполнить по методу, основанному на учете постепенного снижения предела
выносливости вследствие циклических перегрузок [4, 5]. Расчеты по этому методу
и на основе корректированной линейной гипотезы приводят к близким результатам.
Последний метод более удобен при проведении расчетов на ЭВМ.
Расчет функции распределения ресурса при нерегулярном нагружении и плос-
плоском напряженном состоянии (совместное действие касательных и нормальных на-
напряжений) может быть выполнен следующим образом. Определяют медианный ре-
ресурс детали Я из выражения
'16)
где А.а, Хх — медианные ресурсы, найденные при учете только нормальных или только
касательных напряжений по вышеприведенным формулам.
В случае та= щ— т
-_\2
I 1 т I \ тп ]
A7)
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
519
Дисперсия логарифма ресурса
1
1 —.
где
= @,434mJ (va_u + vl)'t
x1.= @,434mJ (»?_„ +»S).
Функцию распределения ресурса строят по уравнению
A8)
A9)
B0)
где
Lp, Up— ресурс детали, выраженный в км, ч и т. п., и квантиль нормального рас-
распределения, соответствующие вероятности разрушения Р.
Практическое применение изложенных вероятностных методов расчета в ряде
отраслей машиностроения показало их эффективность и перспективность [4, 5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., Наука, 1965.
464 с.
2. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М., Стройиздат, 1965.
279 с.
3. Дмитриченко С. С. Анализ нагруженности элементов машин. М., Машиностроение, 1977.
37 с.
4. Когаев В. П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М , Маши-
Машиностроение, 1977. 232 с
5. Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович P. м. Несущая способность и расчеты деталей
машин. М.., Машиностроение, 1975. 488 с.
Глава XXI
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Механические колебания в электрических машинах специфичны вследствие на-
наличия переменного магнитного поля и особенностей их конструкции. Обилие типов
электрических машин, имеющих различное целевое назначение, обусловливает раз-
разнообразие колебательных явлений в них. Наибольшее внимание уделяется изуче-
изучению механических колебаний в электрических машинах большой мощности, с вы-
высокой частотой вращения ротора, при тяжелых динамических режимах, повышенных
требованиях к уровню шумности машин и др.
Самыми мощными электрическими машинами являются генераторы электриче-
электрической энергии, относящиеся к типу синхронных машин переменного тока. Роторы
таких генераторов представляют собой электромагниты с 2р-парами полюсов. Рабо-
Рабочая частота вращения ротора <о = 50/р Гц.
Колебания турбогенераторов. Турбогенераторы приводятся во вращение паро-
паровыми или газовыми турбинами и устанавливаются на тепловых или атомных элек-
520 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
тростанциях. С помощью турбогенераторов вырабатывается основное количество
электроэнергии. Мощность наиболее крупных турбогенераторов достигает 1 млн. кВт
и более. Роторы турбогенераторов тепловых электростанций обычно имеют одну пару
полюсов (р = 1), атомных электростанций — в основном две (р = 2). Турбогенера-
Турбогенераторы не только являются наиболее мощными электрическими машинами, но и одно-
одновременно из-за малого числа пар полюсов их роторы имеют высокую частоту враще-
вращения. Поэтому проблема вибраций турбогенераторов очень важна и досконально изу-
изучается.
Исследование колебаний турбогенераторов проводят в двух направлениях:
а) определяют перемещения и в некоторых случаях напряжения при стационарных
колебаниях в рабочем режиме с целью обеспечения длительной прочности и малошум-
ности турбогенераторов; разрабатывают и реализуют способы снижения вибраций
в стационарном режиме работы; б) оценивают запасы кратковременной прочности
в наиболее тяжелых нестационарных (переходных) режимах, возможных при эксплу-
эксплуатации турбогенераторов, — при внезапном сбросе нагрузки, внезапном коротком
замыкании в цепи статора генератора, при рассогласовании частоты тока в сети ста-
статора и частоты вращения ротора (асинхронный ход с возбуждением).
Колебания ротора. Ротор турбогенератора представляет собой вращающийся
электромагнит с неявно выраженными полюсами (обмотка ротора утоплена в пазах
вала ротора). Масса ротора мощ-
мощного турбогенератора составляет не-
несколько десятков тонн, длина про-
пролета между опорами более 10 м.
Вал ротора располагается горизон-
горизонтально и опирается на два под-
подшипника скольжения. Сечение ва-
вала ротора двухполюсного турбо-
турбогенератора на двух опорах, ослаб-
ослабленное пазами, изображено на
рис. 1; вал обладает двоякой жест-
жесткостью при изгибе.
Основные типы поперечных
Рис- ' колебаний ротора турбогенерато-
турбогенератора в стационарном режиме:
1) вынужденные гармонические колебания ротора, вызванные действием неурав-
неуравновешенных центробежных сил; частота колебаний равна частоте вращения ротора;
2) параметрические колебания под действием веса ротора при наличии двоя-
двоякой изгибной жесткости вала; частота колебаний равна удвоенной частоте вращения
ротора;
3) вынужденные колебания с частотой, равной частоте вращения, за счет неточ-
неточности соединения роторов генератора и турбин;
4) автоколебания вала ротора на масляной пленке; частота колебаний близка
к основной критической частоте вращения ротора.
Снижение уровня вибраций типа 1 достигается за счет балансировки (уравнове-
(уравновешивания) роторов на специальных балансировочных стендах. С целью уменьше-
уменьшения вибраций типа 2 «выравнивают» изгибные жесткости вала. Устранение автоколе-
автоколебаний вала достигается увеличением радиального зазора в подшипнике скольже-
скольжения. Ограничение колебаний типов 1 и 2 обеспечивается отстройкой критических
частот вращения ротора не менее чем на 10—15% рабочей частоты вращения. Это
требует надежной оценки критических скоростей, поскольку рабочая частота враще-
вращения может превышать одну или несколько критических частот вращения и распола-
располагаться между двумя близлежащими.
В переходных режимах возникают колебания ротора турбоагрегата, состоя-
состоящего из соединенных между собой роторов турбогенератора и турбины. Эти колеба-
колебания вызываются внезапно приложенным к ротору генератора переменным крутя-
крутящим электромагнитным моментом. При этом возникают крутильные колебания вало-
провода турбоагрегата и соизмеримые с ними по перемещениям и напряжениям из-
гибно-крутильные колебания наиболее длинных лопаток последних ступеней цилиндра
низкого давления турбины. Запасы прочности вала турбогенератора при этих коле-
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
521
баниях обеспечиваются за счет инерционности ротора генератора и надлежащего
выбора диаметральных размеров вала ротора.
Колебания статора. Статор состоит из шихтованного сердечника с помещен-
помещенной в нем обмоткой и цельносварного корпуса. Корпус закрепляется на фундаменте
турбоагрегата. Массы сердечника статора — несколько сот тонн, корпуса —десят-
—десятков тонн. Колебания статора турбогенератора в стационарном рабочем режиме вы-
вызываются действием переменного магнитного поля, создаваемого в основном вращаю-
вращающимися электромагнитами ротора. Переменные электромагнитные силы возбуж-
возбуждают вибрации сердечника и обмотки статора. Для уменьшения передачи вибраций
с сердечника на корпус турбогенератора и фундамент турбоагрегата сердечник эла-
эластично подвешивается в корпусе (рис. 2, где / — ротор турбогенератора; 2 — сер-
сердечник статора; 3 — упругая подвеска; 4 — корпус статора; 5 — фундамент турбо-
турбоагрегата). Наибольшие напряжения возникают при вибрации статора двухполюс-
двухполюсного турбогенератора, ибо при большем числе полюсов соответственно больше уз-
узлов имеет по окружности форма колебаний сердечника статора и тем меньше ампли-
амплитуда колебаний и напряжения. Сложность
проблемы для мощных турбогенераторов
обусловливается как действием значитель-
значительных переменных электромагнитных сил, так
и тем, что статор представляет собой сбор-
сборную конструкцию с возможными зазорами
между сердечником и элементами эластич-
эластичной подвески, между сердечником и обмот-
обмоткой статора. Это в ряде случаев порождает
виброударные явления, приводящие к уста-
усталостному разрушению элементов статора.
В настоящее время во избежание недопусти-
недопустимых вибраций обмотка, сердечник и корпус
статора соединяются с помощью предвари-
предварительно напряженных упругих элементов.
Причем создаваемый упругий натяг не менее
чем на порядок превышает возможные отно-
относительные вибрации.
Весьма сложной является задача огра-
ограничения вибраций обмотки статора, выз-
вызванных как переменными магнитными силами, так и воздействием колеблющегося
сердечника. Это особенно относится к выступающим из сердечника лобовым частям
обмотки. Для снижения вибраций лобовых частей статорной обмотки в мощных
турбогенераторах отдельные стержни соединяют при помощи формующегося мате-
материала, а затем обмотку закрепляют относительно сердечника, используя предвари-
предварительно напряженные элементы.
Методы расчета и экспериментальное исследование колебаний. Методы расчета
колебаний турбогенераторов различаются в первую очередь степенью сложности
используемых моделей.
При решении задачи о стационарных поперечных колебаниях типов 1, 2, 4 ча-
часто ограничиваются рассмотрением отдельного ротора турбогенератора на двух опо-
опорах— подшипниках скольжения [7]. Такой подход оправдан тем, что и после
присоединения турбогенератора к турбине отчетливо проявляются парциаль-
парциальные свойства ротора турбогенератора. При уточненных расчетах учиты-
учитывают связь ротора турбогенератора с роторами турбины и динамические свой-
свойства фундамента, на котором устанавливаются подшипники скольжения
(см. гл. VII).
Изучение совместных колебаний роторов турбогенератора и турбины в переход-
переходных анормальных режимах в первом приближении проводят в предположении аб-
абсолютной жесткости лопаток турбины. Задача сводится к рассмотрению нестацио-
нестационарных крутильных колебаний вала ротора турбоагрегата с распределенными инер-
инерционными и упругими параметрами [2]. Допущение абсолютной жесткости лопа-
лопаток не оказывает, по-видимому, существенного влияния на величину расчетных на-
напряжений в валу ротора турбогенератора. Разработаны более точные методы расчета
Ряс. 2
522
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
колебаний ротора турбоагрегата в переходных режимах с учетом изгибно-крутильных
колебаний лопаток турбины [1].
Наиболее простой метод расчета стационарных колебаний статора турбогенера-
турбогенератора основывается на представлении его как системы двух упругосвязанных колец,
схематизирующих сердечник и корпус [10, 11]. Эквивалентный модуль упругости
сердечника определяют экспериментально. Такой метод с приемлемой точностью
позволяет оценивать вибрации сердечника и эффективность эластичного крепления
его в корпусе. Имеются работы, в которых сердечник рассматривается как толстый
ортотропный цилиндр [3], а корпус — как тонкая оребренная оболочка [12]. Даль-
Дальнейшее развитие методов расчета колебаний турбогенераторов осуществляется в на-
направлении исследования взаимосвязанности колебаний в системе турбогенератор —
турбина — рамный фундамент (см. гл. VII, XII).
Наибольшее распространение получили методы расчета, которые основываются
на более простых моделях и вместе с тем учитывают основные характерные особен-
особенности данного типа колебаний. Внедрение уточненных
h расчетов сдерживается как их трудоемкостью, так и
j недостаточной достоверностью исходных данных.
^ При вибрационном обследовании головных образ-
образцов каждой новой серии турбогенераторов осущест-
осуществляется постоянный контроль за вибрациями опор
ротора и выборочный контроль вибраций корпусов
статора, а также проводятся измерения напряжений
в амортизирующих элементах конструкции турбогене-
турбогенератора. Существенны вибрации лобовых частей обмот-
обмотки. Эти вибрации не поддаются надежной расчетной
оценке. Проверка эффективности мер, направленных
на снижение вибраций обмотки, осуществляется
опытным путем на макетах и реальных турбогенера-
турбогенераторах.
Экспериментальные исследования колебаний и ме-
механических напряжений в элементах турбогенераторов
в переходных режимах на электростанциях выполнены
в недостаточном объеме ввиду сложности их проведе-
проведения. Изучение колебаний турбогенераторов в переход-
переходных режимах ограничивается в основном расчетно-
теоретическими и модельными исследованиями.
Колебания гидрогенераторов. Гидрогенераторы
приводятся во вращение гидравлическими турбинами.
Мощность наиболее крупного гидрогенератора Саяно-Шушенской ГЭС составляет
650 тыс. кВт.
Колебания ротора. Ротор гидрогенератора представляет собой электромагнит
с большим числом пар полюсов. Поэтому частота вращения ротора гидрогенератора
обычно значительно меньше частоты вращения турбогенераторов. Масса ротора круп-
крупного гидрогенератора составляет несколько сот тонн. Вал ротора круглый, часто
с вертикальной осью. Схема ротора гидрогенератора показана на рис. 3, где / — вал
ротора; 2 — подшипники; 3 — подпятник; 4 — полюса ротора; 5 — обод; 6 — спицы
ротора. Проблема колебаний ротора для гидрогенераторов имеет меньшее значение,
чем для турбогенераторов, вследствие малых частот вращения, отсутствия двоякой
изгибной жесткости и вертикального расположения оси вала. Ротор гидрогенератора
удерживается от поперечных смещений подшипниками скольжения. Автоколебания
вала не наблюдаются, поскольку подшипники снабжаются поворачивающимися
колодками. Рабочая частота вращения ротора обычно ниже наименьшей критиче-
критической частоты. В гидрогенераторах возникают источники возбуждения колебаний
ротора, не свойственные турбогенераторам. Таким источником, например, является
вращающаяся вместе с ротором сила одностороннего магнитного притяжения ротора
к статору. Эта сила может возникнуть при эксцентричном расположении наружной
окружности ротора относительно оси вала или при отключении питания части полю-
полюсов ротора. Большее влияние электромагнитных сил на вибрации ротора в гидроге-
гидрогенераторах по сравнению с турбогенераторами объясняется как многополюСностью,
Рис. 3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 523
так и относительно меньшим радиальным зазором между ротором и статором. От
вертикальных смещений ротор гидрогенератора удерживается подпятником. При рас-
расчете критических частот вращения ротора гидроагрегата, состоящего из гидрогене-
гидрогенератора и гидротурбины, следует учитывать противодействие повороту оси вала в том
сечении, где установлен подпятник. Крутильные колебания и скручивающие моменты
на валу ротора гидрогенератора, возникающие в анормальных переходных режимах,
оцениваются теми же методами, что и для турбогенераторов. Величина дополнитель-
дополнительных скручивающих моментов на валу в этих режимах составляет небольшую часть
от номинального момента в рабочем режиме, так как ротор гидротурбины имеет ма-
малый момент инерции по сравнению с моментом инерции ротора гидрогенератора.
Колебания статора. Переменная составляющая распределенных по окружности
сил магнитного притяжения между ротором и статором гидрогенератора, создавае-
создаваемых 1р электромагнитами вращающегося ротора, имеет также 2р волн по окружно-
50
сти. Частота этой составляющей сил магнитного притяжения ротора 2р<о = 2р— =
= 100 Гц. Поскольку ротор гидрогенератора имеет большое число полюсов, можно
ожидать, что вызываемая вращающимся магнитным полем ротора форма колебаний
статора будет иметь большое число узлов по окружности и малую амплитуду коле-
колебаний. Однако статор гидрогенератора из-за большого диаметра изготовляют не це-
целиком, а по частям, между частями сердечника имеются зазоры, существенно снижа-
снижающие его жесткость. По этой причине могут возникать повышенные вибрации сер-
сердечника статора, особенно вблизи стыков. С целью снижения вибраций сердечника
статора в последнее время у крупных гидрогенераторов сердечник собирают в еди-
единое кольцо непосредственно на электростанции. Описанные стогерцовые колебания
статора, создаваемые вращающимся магнитным полем ротора, имеют место как при
холостом ходе генератора, так и после включения его в сеть. Существует еще один
тип колебаний статора, который обнаруживается только у включенного в сеть гид-
гидрогенератора (синхронной машины переменного тока). Эти колебания создаются
переменным магнитным полем статора, возникающим в результате появления тока
в обмотке статора. Гармонические составляющие магнитного поля статора могут
иметь как большее, так и меньшее, чем 2р, число волн по окружности с различными
частотами вращения. Наблюдались повышенные вибрации статора с небольшим чис-
числом волн и малыми по сравнению со 100 Гц частотами. Эти вибрации устраняются
выбором схемы обмотки статора [5].
Колебания в асинхронных двигателях. В асинхронных двигателях перемен-
переменного тока весьма мал зазор между ротором и статором. Поэтому силы односторон-
одностороннего магнитного притяжения между ротором и статором, возникающие при попереч-
поперечных колебаниях ротора, оказываются сравнимыми с неуравновешенными центро-
центробежными силами. В случае недостаточной жесткости вала или опор ротора значи-
значительные колебания ротора могут привести к задеванию его за статор, а следовательно,
и к выходу из строя двигателя. Формулы для вычисления сил одностороннего маг-
магнитного притяжения при эксцентричном расположении ротора относительно статора
для электрических машин, имеющих произвольное число пар полюсов, можно найти
в работе [14]. При малых колебаниях эти силы пропорциональны смещению ротора
относительно статора и направлены в сторону смещения, т. е. при малых колебаниях
вал ротора можно рассматривать как стержень, лежащий на упругом основании
с отрицательным коэффициентом основания [9]. Наблюдались повышенные вибрации
и усталостные разрушения стержней короткозамкнутой обмотки ротора, которые
были устранены расчеканкой зубцов ротора для закрепления стержней в пазах.
Колебания в машинах постоянного тока. Машины постоянного тока главным
образом используют для работы в нестационарных режимах с переменным крутя-
крутящим моментом на валу и изменяющейся частотой вращения.
Крутильные колебания ротора. Для двигателя постоянного тока основной яв-
является задача о периодических крутильных колебаниях вала ротора. Колебания про-
происходят под действием переменного момента на конце вала со стороны приводимого
в действие агрегата и переменного электромагнитного момента. Задача расчета коле-
колебаний, вообще говоря, нелинейная, так как величины обоих моментов определяются
движением вала. Нередко изменение крутящего момента на валу двигателя посто-
постоянного тока имеет резкий и даже импульсный характер (например, в металлургиче-
524
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ской промышленности, когда двигатель постоянного тока используется для привода
валков прокатных станов). В этих случаях задачу о крутильных колебаниях ротора
двигателя постоянного тока можно решать в линейной постановке, пренебрегая из-
изменением частоты вращения и электромагнитного момента за время колебаний.
Колебания из-за изменения магнитной проводимости под полюсами. Можно
указать на еще один тип механических колебаний электрических машин как по-
постоянного, так и переменного тока, вызываемых переменными электромагнитными
силами. Эти колебания наблюдаются в машинах, имеющих электромагниты, переме-
перемещающиеся при вращении ротора относительно зубцов якоря, образованных пазами
для электрической обмотки. В машинах переменного тока электромагниты распо-
расположены на роторе, а зубцы имеет сердечник статора. Для машин постоянного тока,
наоборот, электромагниты помещены в статоре, а ротор имеет зубцы. Если число
зубцов якоря, приходящееся на „- часть окружности, является дробным, т. е. =—=
= п-| , где г — число зубцов якоря; 2р — число полюсов; п, q — целые числа,
то при вращении ротора картина расположения зубцов относительно каждого полюса
будет периодически изменяться, повторяясь через период времени Т = 2nq/(az, где
ш — частота вращения ротора. Это влечет за собой периодическое изменение магнит-
магнитного потока под каждым полюсом с периодом Г и со сдвигом по фазе для двух со-
соседних полюсов на угол 2n/q. Наряду с этой частотой изменения магнитного потока
существует также пульсация потока под полюсами с еще более высокой «зубцовой»
частотой, равной шг. Механические колебания статора электрической машины посто-
постоянного тока, вызванные указанной причиной, описаны, например, в работе [13].
Снижение этих колебаний достигается скосом зубцов якоря.
Ниже приведены методы расчета колебаний турбогенераторов, рассмотрены ста-
стационарные колебания ротора, статора и фундамента, совместные переходные коле-
колебания роторов турбогенератора и турбины.
2. КОЛЕБАНИЯ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА
При исследовании малых колебаний отдельный ротор двухполюсного турбоге-
турбогенератора, опирающийся на подшипники скольжения, представляют как вал перемен-
переменного сечения, опирающийся по концам на линейные анизотропные упругодемпфер-
ные опоры. Характеристики опор в линейном приближении определяют с учетом
свойств масляной пленки (см. гл. VII).
Вал ротора турбогенератора имеет двоякую
изгибную жесткость, но разность изгиб-
ных жесткостей составляет всего несколько
процентов от их среднего значения. По-
Поэтому при рассмотрении колебаний типов
1, 3, 4 в первом приближении полагают
вал круглым. Наоборот, при приближенном
решении задачи о колебаниях типа 2 опоры
считают изотропными. Такие упрощения
позволяют существенно облегчить получе-
получение расчетных формул для практической
оценки колебаний ротора турбогенерато-
турбогенератора. При приближенном определении кри-
критических частот вращения вала опоры
полагают упругими изотропными и вводят
некие эквивалентные коэффициенты упругости опор, подбираемые с таким расче-
расчетом, чтобы вычисленные частоты свободных изгибных колебаний вала на упругих
опорах были бы близки к измеренной частоте вынужденных колебаний при критиче-
критической частоте вращения. Зависимости амплитуды вибрации опоры турбогенератора
мощностью 300 МВт от частоты вращения при колебаниях с частотой вращения A)
и при колебаниях с удвоенной частотой вращения B) показаны на рис. 4. Основ-
Основная критическая частота близка к первой частоте свободных колебаний. Причем для
А.пкм
60
50
АО
30
20
1С
0
'[
'А
\
ч.
—-^
•
1
Л
/1
4 1
10
20 30 40 50и,Гц
Рис. 4
КОЛЕБАНИЯ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА 525
этой частоты свободных колебаний влияние упругости опор относительно мало, и
первую частоту свободных колебаний можно оценивать для вала на абсолютно жест-
жестких опорах.
Ротор турбогенератора с достаточной для расчетов точностью можно считать сим-
симметричным относительно середины пролета. При вибрационных испытаниях на стенде
завода его устанавливают на двух одинаковых подшипниках. В случае симметричного
вала на двух одинаковых опорах (см. ниже) построение решения задачи о колеба-
колебаниях ротора существенно упрощается.
При расчетах вводят неподвижную и вращающуюся вместе с валом с частотой
вращения ш прямоугольные системы координат Ost]s и Ouvs. Начало координат О
совмещают с левой опорой вала. Ось Os направлена вдоль вала так, что 0 <s </
(I — длина вала), и совмещена с осью недеформированного вала. Ось О| направлена
по горизонтали, ось От| — по вертикали. Оси Ои, Ov параллельны осям инерции се-
сечения вала. Вал имеет распределенную массу р (s), главные моменты инерции попе-
поперечного сечения вала 1'v (s), Ju (s).
Уравнения колебаний вращающегося вала переменного сечения с двоякой изгиб-
ной жесткостью имеют вид
Мг+pz — iLi = po+Pltiat; w" — $(Mw — TMw)-6Mw = 0 A)
где ю-частота вращения вала; p=-g-(Р„+Р,,); в=у (Р„-Рв); ?«=?/;'>
f>v = -prj-; Mz (s, t), z (s, t), Mw (s, t), w (s, t)— изгибающие моменты и динамиче-
ские прогибы, вещественные и мнимые части которых представляют собой проек-
проекции соответственно на неподвижные и вращающиеся оси; р1 (s) — распределенная
нагрузка от неуравновешенных центробежных сил, комплексная функция s; po(s) —
весовая нагрузка, чисто мнимая функция s; (i (s) > 0 — коэффициент внешнего тре-
трения; Г — оператор,
^, x)...dT,
1 =— 00
здесь Т — 2jt/w; у — коэффициент, характеризующий внутреннее трение в матери-
материале вала; штрихи указывают на дифференцирование по координате s, точки — по
времени /.
Граничные условия на концах вала при s = 0, /:
B)
где AQ = AM' — скачок перерезывающей силы на опоре;
здесь C|j, С|Ч, Сф Сщ, хц, щ^, Хф Хщ — коэффициенты жесткости и демпфиро-
демпфирования опоры.
Решение задачи A) с учетом B) ищут в виде ряда по гармоническим функциям
времени. Для коэффициентов разложения — функций координат — получают си-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти функции в свою очередь
можно искать также в виде рядов по формам свободных колебаний вала, шарнирно
опертого на концах. Такой способ удобен в тех случаях, когда приходится рассчи-
рассчитывать колебания при различных частотах и характеристиках опор, поскольку су-
существенная часть расчета — определение форм и частот свободных колебаний —
526 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
выполняется один раз. Частные случаи. Колебания круглого вала на анизотропных
упругодемпферных опорах. Для круглого вала
6 = 0. D)
При пренебрежении трением решение уравнения A) с учетом D) имеет вид
я = I гс=1
M(s,t)= ? Mn(s)e1»^, z(s,t) = ? zn(s)t'™(. E)
n=—1 n=—1
Индексу n = 0 соответствует задача о статическом изгибе вала на упругих опорах.
Ее решение известно. Для динамической составляющей изгибающего момента и про-
прогиба индекс п = 1 соответствует прямой, а индекс п = —1 — обратной прецессии
вала.
Прогиб вала
z»(s) = C*(s) + b»b(s) (я 1. 1), F)
где wn is) — упругий прогиб вала на абсолютно жестких шарнирных опорах; %п (s) —
смещение жесткого вала на упругодемпферных опорах.
Для симметричного вала на двух одинаковых опорах симметричные и кососим-
метричные колебания разделяются:
?«<«) = *«?(*), G)
где 2п — гп @); 1 (s) = 1 для симметричных и g (s) = 1 — 2 у- для кососимметричных
колебаний.
Выразим Мп (s) и wn (s) в виде рядов, т. е.
аз оо
Mn(s)= 21 ««*«*(«); wn{s)= ? Pnk4(s) (я= —1, 1), (8)
k=\ л=1
где trik (s), гд, (s) (A = 1, 2, ...) — формы изгибающего момента и упругого прогиба
вала, удовлетворяющие уравнениям
т? = Я,!рг/г = О; zl — $mk = 0 (O^ssgi, k=\, 2, ...)
и граничным условиям шарнирного опирания
mk = zk = Q при s = 0, / (А = 1. 2, ...).
На основании этих уравнений и граничных условий
2 I
\pzkzj ds = 6к/; f p/n/OTft ds=Я|бй/,
о о
где bkj — символ Кронекера.
В рядах (8) суммирование производится отдельно по симметричным или кососим-
метричным формам в зависимости от того, какие колебания рассматриваются.
Из уравнений A) и D) с учетом E) —(8) после преобразований и интегрирова-
интегрирования по s от 0 до I следует
где
г=1, 2, ...), (9)
о 8
КОЛЕБАНИЯ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА 527
Из граничных условий B) вытекает система алгебраических уравнений для опре-
определения гармонических составляющих перемещения конца вала Zn:
AnZn+B_nZ_n = Pn (n = -l, 1), A0)
где
Ап = о (ясо) + с -f- mcox; В_л = d + iruav;
_l[p _ V (П(йJ и. (««>)'
* = i
при Рп0 = j рл? ds; tf0 = j p?3 ds.
о о
Из системы A0) с учетом A1) получаем
A3)
Формулы E)—(9), A2) дают решение задачи A) при условиях B) и D). Прибли-
Приближенное решение можно получить, если ограничиться конечным числом членов в ря-
рядах (8). Для реальных турбогенераторов достаточно удержать три — пять членов
ряда.
Учет трения. Если коэффициент внешнего трения ц (s) = v p (s), то в ре-
результате повторения процедуры построения решения получим, что при малом тре-
V
нии в формуле (9) вместо А.| следует поставить Я|A -)- iyn), где у — —при п = 1
V
и уп = —HV ПРИ п = —'• Если же х (s) = v (s) p (s), v (s) > 0, то приближенно
Ц следует умножить на A + iynk), где V/»ft=^j при « = 1 и ynk= ^+У при
я = — 1, vk = I xzlds.
о
о
В случае изотропных упругодемпферных опор (d = v == 0)
A4)
т. е. вал совершает прямую прецессию. При этом задача о свободных колебаниях
без трения (х = 0) приводит к равенству А11 = 0 или при Zj^O к равенству
Отсюда при заданной жесткости опор определяют критические частоты враще-
вращения вала со = сот (т = 1, 2, ...) или по измеренным критическим скоростям нахо-
находят жесткость опоры при частоте вращения ротора а = шт (т = \, 2, ...).
528 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Исследование устойчивости вращающегося вала.
Решение задачи A) при условиях B) и D) при отсутствии нагрузки на вал имеет
вид
M(s, /)= 23 Мя (s) e'»+'»i»'; г E,0= 2 гя (s) е<г+'"«»'. A6)
« = —1,1 « = — 1,1
Исследование устойчивости сводится к оценке знаков вещественных частей по-
показателей экспонент в равенствах A6). Удобно применить один из критериев устой-
устойчивости, например критерий Коши—Михайлова—Найквиста (см. том 1, с. 98). Для
этого в формулах A6) следует положить q = 0,
M(s,t)= 23 М„ (s) *'"/>'; z(s, 0= 2j zB(s)e'»^ A7)
n = —1, 1 n = —1, 1
и отделить в определителе А (о) вещественную и мнимую части. На основании C),
(П), (И)
Д(р) = Д1(р) + 1Д2(Р). A8)
где
дг (р) = яг (р) - 0 (p) (cS5 + ст) + сцсщ — cfyfjfc + р2 (x^Xj,! - и?|ИЧ1|); A9)
Аг (р) = — о- (р) (хц+ипт1) + Q?Xm+сщ%^—c^i—с^х?т); B0)
Положение вала устойчиво, если с возрастанием р >= 0 поочередно выполняются
уравнения
Ai(p)=O; Д2(р)=0. B2)
Приближенно эти условия проверяются при конечном числе членов ряда (8).
Коэффициенты жесткости и демпфирования опоры (подшипника скольжения)
зависят от частоты вращения вала ш, поскольку вместе с ш меняется толщина масля-
масляной пленки. Возникает задача о границах устойчивости — частотах вращения вала,
разделяющих области устойчивого и неустойчивого состояний. Необходимое усло-
условие, которому должна удовлетворять граница устойчивости со = со*, заключается
в том, что при ш = ш* существует вещественный корень характеристического урав-
уравнения задачи Д (р) = 0. При этом удовлетворяются одновременно оба уравнения
B2). На основании второго уравнения B2) ст (р) = ф (о), где
т= " " ^~ ^—- ^U^J. с« = »в(ш)
Согласно первому уравнению B2)
— ф2 + ф (сц+ст) — q
B3)
Из равенства B1) следует уравнение для определения границы устойчивости:
0. B4)
Частоту автоколебаний на границе устойчивости р2 (со*) определяют затем по B3).
Если наименьшее значение со* превышает рабочую частоту вращения ш^1Ш >
> сйр, то положение уравновешенного вращающегося вала при рабочей частотевра-
щения устойчиво. Практически устойчивость обеспечивается и в том случае, когда
КОЛЕБАНИЯ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА 529
^rnin > 0,7 -f- 0,8 cup. По-видимому, при не очень большом превышении частоты вра-
вращения над границей устойчивости еще не успевают развиться практически замет-
заметные автоколебания вала на масляной пленке.
Колебания горизонтального вала с двоякой изгибной жесткостью на изотропных
упругодемпферных опорах. При отсутствии неуравновешенных центробежных сил
(pj = 0) и наличии изотропных опор id = v = 0)
M(s,t)= 2 М„ (s) е'»<»'; z (s, /) = 2] гп (s) е'"«*. B5)
п = 0, 2 л = 0, 2
На основании A), B) при неучете распределенного трения переменные состав-
составляющие изгибающего момента Мп (s) и прогиба гп (s) удовлетворяют системе урав-
уравнений
zn = 0; г"а-$Мп=еп (я = 2), B6)
где еп — 8М0, и граничным условиям
АМ'п = — (cZn + KZn) (п = 2). B7)
Решение задачи B6), B7) выражается формулами F) — (8). Аналогично выра-
выражениям (9), A4) получаем
B9)
К — 1
где Ап вычисляется по формуле A1) при п = 2.
Если в уравнениях A) сохранить член, учитывающий внутреннее трение в мате-
материале вала и повторить решение, то в формулах B9), C0) величина %\ (k = 1, 2, ...)
окажется умноженной на A -J- iy), что соответствует учету внутреннего трения
по гипотезе Е. С. Сорокина.
Приближенное решение общей задачи о колебаниях неуравновешенного горизон-
горизонтального вала с двоякой изгибной жесткостью на анизотропных упругодемпферных
опорах выполняется при
л=2 л=2
M(s,t)= 2 /И„ <s) е'"»'; г (s, t) = ? г„ (s) e'»°><. C1)
« = — 2 л = — 2
Переходные крутильные колебания. Эти колебания валопровода паротурбоагре-
гата существенны при внезапном коротком замыкании в цепи статора турбогенера-
турбогенератора. Ротор наротурбоагрегата состоит из нескольких последовательно соединенных
роторов турбины и турбогенератора. При стационарном номинальном режиме работы
турбоагрегата суммарный крутящий момент турбины и тормозящий электромагнитный
момент генератора (плюс момент сил трения) взаимно уравновешены. Внезапное корот-
короткое замыкание в цепи статора генератора, если оно произошло вблизи генератора, со-
сопровождается появлением переменного электромагнитного момента, наибольшее зна-
значение которого в несколько раз превышает номинальный момент. Расчет переменного
скручивающего момента в валопроводе турбоагрегата при его крутильных колебаниях
в режиме внезапного короткого замыкания в цепи статора генератора является опре-
определяющим при оценке кратковременной прочности валопровода. Задача о колебаниях
валопровода рассматривается обычно без учета действия сил трения и затухания
530
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
переменного электромагнитного момента, поскольку эти факторы мало влияют
на наибольшее значение крутящего момента в начале процесса короткогозамыкания.
Обозначим' j (s) — распределенный массовый момент инерции валопровода тур-
турбоагрегата; Р (s) — распределенная податливость валопровода при кручении; s —
координата, отсчитываемая вдоль валопровода, 0 <s </; / — длина всего вало-
валопровода. Электромагнитный момент предположим равномерно распределенным по
длине активного участка ротора турбогенератора. В наиболее тяжелом режиме двух-
двухфазного внезапного короткого замыкания на валопровод турбоагрегата действует
дополнительный (к номинальному) распределенный крутящий момент
A (s, t) = [i (s) (a0 + ах sin at + а2 sin 2a>t), C2)
где со = 50 Гц ¦
= 7 Т- ПРИ sl
частота тока в цепи; \i (s) = 0 при 0 sgs <s1? s2 < s < /, ^i (s) =
< s < s%, Mu — номинальный тормозящий момент турбогенератора;
21
формулы для подсчета коэффициентов а0, ах, а2 приведены в работе [8].
Уравнение крутильных колебаний валопровода
— M' + jQ — |j, = 0; в' — ?Ш=0,
где 6 (s, t)
ю~ кгс
ПЮ, itsccn
20
угол поворота сечения валопровода; М (s, t)
валу при
ниях. На
M(t,
C3)
крутящий момент в
крутильных колеба-
концах валопровода
) = M{t, /)=0. C4)
В начальный момент вре-
времени t = 0 (момент начала ко-
короткого замыкания)
M(s, 0) = M(s, 0). C5)
Введем величины 6 k (s).
rrik (s) (k = 1, 2, ...) — формы
угла поворота и крутящего мо-
момента; А.? — частоты при свободных крутильных колебаниях валопровода. Тогда
уравнение, описывающее свободные крутильные колебания, имеет вид
— т'к — К%вк = 0; e'k— pMft = 0 F=1,2,...)
при s = 0, /; mft = 0.
Уравнениям C3) при граничных начальных условиях C4), C5) удовлетворяет
переменный крутящий момент [2]
/
001
I
\
\
0.02 "
/
/
' аоз
\
\
\
/
ода
006 t,c
Рис. 5
М
(s, t) = сс0 ,и (s) — ^ И*т* 00 cos V —
L *=) J
,
2ш
\Я*
а2 1
fkmk(s)
(О
*= 1
¦-(г
¦ mft (s)
2<о \
1-
2ш\
: "»* (S)
sin
sin2w/.
C6)
Зависимость расчетного крутящего момента во фланцевом соединении тур-
турбины и турбогенератора мощностью 300 МВт при внезапном коротком замыкании
в цепи статора турбогенератора от времени приведена на рис. 5.
КОЛЕБАНИЯ СТАТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА 531
3. КОЛЕБАНИЯ СТАТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА
Стационарные колебания статора вызываются действием на сердечник статора
радиальных сил магнитного притяжения вращающегося электромагнитного поля
турбогенератора. Угловая частота вращения магнитного поля равна частоте вра-
вращения ротора турбогенератора. Сердечник статора упруго подвешивается в корпусе.
Корпус статора своими лапами закрепляется на фундаменте (см. рис. 2).
Упрощенно статор рассматривают как систему двух колец (схематизирующих
сердечник и корпус статора упруго-связанных между собой в радиальном и танген-
тангенциальном направлениях). Упругое взаимодействие распределяется непрерывно и
равномерно по наружной окружности сердечника и внутренней окружности корпуса.
В работах [10, 11] учитывается закрепление корпуса (наружного кольца) на фунда-
фундаменте. Фундамент схематично заменяется вертикальными и горизонтальными пружи-
пружинами, прикрепленными к корпусу статора в местах расположения лап корпуса.
В приведенном ниже наиболее простом методе расчета колебаний статора прене-
пренебрегают закреплением корпуса на фундаменте, но оценивают вибрацию сердечника
и эффективность упругой подвески сердечника в корпусе. Эффективность упругой
подвески определяется отношением амплитуд вибраций сердечника и корпуса.
В полярной системе координат г, ф с центром на оси турбогенератора угол ф
отсчитывается от вертикали. Индукция в зазоре между ротором и статором изме-
измеряется по закону B = fi0cos 6, где Во—максимальная индукция в зазоре; 8—угол,
отсчитываемый от оси полюсов ротора. Справедливы зависимости ф = 6 — (ft,
В (ф, t) = Во cos (ф — Ш). Распределенная радиальная нагрузка на внутреннее
кольцо (сердечник) от сил магнитного притяжения пропорциональна квадрату ин-
индукции, т.е. 2/0 cos2 (ф — mt) = f0 [I + cos 2 (ф — Ш)]. Колебания сердечника
вызываются переменной составляющей радиальных сил магнитного притяжения
/(ф, /)=f0cos2(q> — at). C7)
Плоская изгибная деформация кольца описывается уравнениями
-Р'+-|-Р=0; "+»'=0;
— AT— Q — ц = 0; $¦' — {Ш = 0,
где R — радиус кольца; Q, Р — перерезывающая и растягивающая силы; М — изги-
изгибающий момент в кольце; и, v — радиальное и тангенциальное перемещения; # —
угол поворота сечения кольца; q, р — проекции внешней нагрузки на радиус и каса-
касательную; (х — распределенный момент внешних сил. Штрихом обозначено дифферен-
дифференцирование по s = Дф. К уравнениям C8) добавляют условия периодичности иско-
искомых величин по ф. Уравнения C8) справедливы как для внутреннего кольца (сер-
(сердечника), так и для наружного кольца (корпуса). Величины, относящиеся к сердеч-
сердечнику, имеют индекс 1, а к корпусу — индекс 2. Наружный и внутренний радиусы
сердечника обозначены соответственно через /?12 и R21. Силы взаимодействия между
О | Г>
сердечником и корпусом распределяются по окружности с радиусом R = 12 7" ai.
Суммарные радиальная и тангенциальная распределенные нагрузки на сердечник
и корпус
R " R
^ . 1 11 ф 12 Ri,
. R ¦¦ R ( '
<72 = Р2 + сг (и1 — и2) К" i Pi ~ Р2Ц2 + Сф (V12 — Vn) д-,
где Pl р2 — распределенные массы сердечника и корпуса; у12 = v1-\-(R1 — R12) dt,
v21 = f2 + (i? — ^21)^2 — тангенциальные перемещения на наружном радиусе сер-
сердечника и внутреннем радиусе корпуса, найденные с учетом поворота сечения колец.
532 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Целью расчета колебаний статора турбогенератора является определение ампли-
амплитуд радиальных колебаний сердечника и корпуса Ult U2 и их отношения — коэффи-
коэффициента эффективности упругой подвески сердечника. Уравнениям вида C8) для сер-
сердечника и корпуса при нагрузках C7), C9) удовлетворяют выражения
щ (ф, 0 = U1 cos 2 (ф — erf); и2 (<p, t) = U2 cos 2 (<р —erf). D0)
Влиянием упругого взаимодействия с корпусом на колебания сердечника можно
пренебречь, тогда
77 к ^? (А\\
l_f^\236?lJl'
UJ
где ?j ¦— эквивалентный модуль упругости сердечника; Jx — момент инерции се-
сечения сердечника; Xj — низшая частота свободных упругих колебаний сердечника;
при п = 2
Коэффициент эффективности упругой подвески сердечника
*!-??9, <42>
* 5 ?2J2' l
где Х2 — частота свободных колебаний корпуса;
36 ' '» —r/-ru36
Обычно i = 5-r 10.
4. КОЛЕБАНИЯ ФУНДАМЕНТА ТУРБОАГРЕГАТА
Фундамент рассматривается как пространственная стержневая конструкция,
состоящая из прямолинейных стержней постоянного сечения, как это имеет место
в действительности. Концы стержней либо соединены между собой в узлах под пря-
прямым углом либо жестко защемлены в основании. Каждый стержень системы совер-
совершает колебания крутильные, продольные и поперечные в двух перпендикулярных
плоскостях. Учитывается внутреннее трение в материале, сдвиговая деформация,
инерция поворота сечения стержня.
Силы, действующие со стороны турбоагрегата на фундамент в стационарном ра-
рабочем режиме, известны весьма ориентировочно, и расчет колебаний фундамента
носит оценочный характер. Более определенным является расчет динамических
лодатливостей под действием единичных гармонических сил, приложенных к попе-
поперечным стержням (ригелям) верхнего пояса системы, где установлены подшипники,
и к продольным стержням (балкам), где закреплены лапы статора турбогенератора.
Эти динамические податливости являются наиболее естественной характеристикой
динамических свойств фундамента при оценке его пригодности для установки турбо-
турбоагрегата. Динамические податливости могут быть использованы также при расчете
колебаний валопровода турбоагрегата и статора турбогенератора (см. гл. VII, XIII).
Метод решения задачи о вынужденных гармонических колебаниях стержневой
системы под действием распределенных и сосредоточенных нагрузок основывается
на использовании спектральных свойств (форм и частот свободных колебаний) от-
отдельных стержней.
КОЛЕБАНИЯ ФУНДАМЕНТА ТУРБОАГРЕГАТА 533
При рассмотрении колебаний отдельного прямолинейного стержня постоянного
сечения введем прямоугольную систему координат osyz с началом О на левом конце
стержня. Ось Os направим вдоль стержня, ось Оу — по вертикали, ось Ог — по го-
горизонтали; 0 <s </, где I —длина стержня. Гармонические продольные, крутиль-
крутильные и поперечные колебания стержней соответственно вдоль оси Os, вокруг оси Os
и в плоскости sOy вызываются продольной нагрузкой р (s, f), поперечной нагрузкой
q (s, t), внешним распределенным моментом h (s, f) относительно оси Os и внешним рас-
распределенным моментом ц (s, t) относительно оси Ог.
Обозначения: Р (s, t) — продольная внутренняя сила в стержне, Q (st) — пере-
перерезывающая сила; Н (s, t), M (s, t) — соответственно крутящий и изгибающий мо-
моменты в стержне. Положение стержня при колебаниях определяется продольным
и поперечным перемещениями и (s, t), v (s, t), углом поворота сечения стержня
¦в1 (s, f) относительно оси Os и углом S (s, tj относительно оси Ог. Если все функции
времени гармонические, то р (s, f) = р (s)\'At, u (s, t) = u (s)elAt и т. д. В дальней-
дальнейшем р (s), u (s), ... означают комплексные функции координаты s. Введем обозначе-
обозначения: F — площадь поперечного сечения стержня; J у, J z — моменты инерции сече-
сечения относительно осей Оу, Ог; Jр = /й + Jz — полярный момент; Ук — момент
инерции сечения стержня при кручении; р — распределенная масса стержня.
Действие внутреннего трения в материале стержня учитывается (по методу
Е. С. Сорокина) введением комплексного множителя A—iy) t=&g . перед харак-
характеристиками упругости стержня.
Уравнения, к которым сводится задача о вынужденных гармонических колеба-
колебаниях стержня, записывается в единой операторной форме
Dl — l?R4=f, D*T)-(l-i7)Bg = 0, D3)
где 1 — обобщенная сила в стержне; г) — обобщенное перемещение стержня; D,
D*—дифференциальные операторы; R, В — алгебраические операторы, характе-
характеризующие соответственно распределенные инерционные и упругие свойства стержня;
/ — обобщенная внешняя нагрузка на стержень.
При продольных колебаниях стержня |=Р; ц = и; f=p; D = —т-; ?)*=—;
* = р, В = Ъ. где Ь = ±;
при крутильных колебаниях 1=#, rj = -в1, f = h; D=—-т-\ D* = — \ R = j;
els els
при поперечных колебаниях | = (Q, М); ц = (и, в); /= (q, ц);
1
6 = -7т=г; P="p7~j Для прямоугольного сечения а = -=-.
KJJ1 С. J ? О
Решение исходных уравнений D5) при произвольных граничных условиях
ищем в виде
1 1 D4)
где 1, г) — соответственно сила и перемещение, удовлетворяющие на концах стержня
простым однородным условиям, которые выбираются так, чтобы облегчить нахожде-
534 КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ние форм и частот свободных колебаний стержня; |, т) — члены, соответственно учи-
учитывающие силы на концах стержня и перемещения концов там, где 1 и rj подчинены
однородным условиям. Первые слагаемые в D4) ищем в виде рядов
ОО OD
1= 2 а*?*' Ч= 2 Мй. D5)
где ?,(,, т)д, (k = 1, 2, ...) — соответственно формы сил и перемещений при свободных
колебаниях стержня, удовлетворяющие системе уравнений
Dlk — klRn\k = O; D*T)ft — ??fe = 0 F=1,2,...) D6)
при выбранных однородных граничных условиях. В силу однородных условий работа
сил на перемещениях по концам стержня
i*r]ftls-o./ = O- D7)
Функции %ь. Ц/г (k = 1, 2, ...), удовлетворяющие условиям D7), обладают свой-
свойством ортонормированности
1 г
Rx\kf\j ds = 6ft;-; V |/B|ft ds = Я!8,-?, D8)
где Ьц = буй — символ Кронекера.
Вторые слагаемые в D4) представим в виде
|= 2 Х*дсА; ч= 2 i'*»*. D9)
fe = i fe = i
где ж*, yk(k= 1, 2, .... m)—совокупность всех линейно независимых решений
уравнений,
Z>*fe = 0, O*yfe = 0 (fe=l, 2, .... m);
•Xfc. У*(^ = 1| 2, ..., m) соответственно усилия на концах стержня и перемещения
его концов.
Для определения искомых коэффициентов разложений D5) а^, Р^ (k = 1, 2, ...)
используем условия Галеркина, т. е. записываем выражения
l I
= Q. E0)
После подстановки соотношений D4), D5), D9) в условия Галеркина и преобра-
преобразования их с учетом свойств форм свободных колебаний |^, т)^ (k = 1, 2, ...) получаем
систему алгебраических уравнений
= A-("Y) 2 B*/x/ (fe=l, 2, ...), E1)
/ = 1
где,
г i i
fft =
КОЛЕБАНИЯ ФУНДАМЕНТА ТУРБОАГРЕГАТА 535
На основании E1) коэффициенты а^, $k (k = 1, 2, ...) выражаются через силы
и перемещения на концах стержня X*, У ь (к = 1, 2, ..., т);
? ? ,) (* = 1, 2), E2)
/=i 7=1
где f *, ?*, Gw, #*/, rft/, Zw (? = 1, 2, ...; f = 1, 2, ...) зависят от lk (k =1, 2, ...),
Л и параметров стержня, a F*, ?^ (k = 1, 2, ...) — также от вша нагрузки на стер-
стержень.
Путем подстановки D5), D9), E2) в D4) получаем решение задачи о колебаниях
стержня при произвольных силах и смещениях на концах стержня. Приближенное
решение можно получить, если ограничиться в рядах D5) конечным числом членов.
Рассмотрим продольные, крутильные и поперечные колебания прямолинейных
стержней постоянного сечения.
При продольных и крутильных колебаниях выбираем следующие граничные
условия закрепления стержня:
Ы0 = Ч* <°) = ° (*='• 2- •••)•
Решение уравнений D6) при этом имеет вид
?л = ЛАсов^<2*-1), ^ = Bftsin|Bfe-l) (fe=l, 2). E3)
• vl
Частота продольных колебаний Х^^тл (k = l, 2, ...), крутильных колеба-
ний — \k = -a-. (k = \, 2, ...), где Vk=Ki {2k — 1), х1=у1 = 1.
Р/ ^'
При этом
1=хл; ч=^й; ^i=s W; Ух=л@. E4)
При поперечных колебаниях наиболее простое решение задачи о свободных
поперечных колебаниях стержня с учетом деформации сдвига и инерции поворота
сечения имеет место, если предположить, что опора концов стержня шарнирная,
когда
1, 2. ...).
Это решение
^) =l, 2, ...). E5)
Частоты свободных колебаний удовлетворяют биквадратному уравнению вида
Ц-ЬкЦ+Aк = 0 {k= 1, 2, ...).
При расчете колебаний реальных фундаментов турбоагрегатов для получения
удовлетворительной точности достаточно сохранять в рядах D5) небольшое число
C—5) первых членов. Для определения нескольких первых частот свободных коле-
колебаний пригодна приближенная формула А,§ = -т^ (й=1, 2, ...).
Силы % и перемещения ц при изгибных колебаниях стержня записываются
в виде
E6)
где *!=#! = (—-р, 1—4-); ха = »/!! = (-г, 4") ">*1« Ха —изгибающие моменты;
Кг, Y2 — смещения на концах стержня.
536
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Найденное решение в случае колебаний стержня при произвольных усилиях
и перемещениях на концах используется для рассмотрения колебаний стержневой
системы в целом. Фундамент турбоагрегата можно представить себе состоящим из
Рис. 6
А.мкм
плоских рам, узлы которых соединены с узлами соседних рам стержнями, перпенди-
перпендикулярными к их плоскости.
Рассмотрим вектор Uk (k = 1, 2, ..., г), характеризующий силы, действующие
на k-ю раму со стороны стержней, соединяющих ее с (k — 1)-й рамой, и вектор Vk,
определяющий перемещения узлов fe-й рамы. Из условий равновесия и сопряжения
для всех узлов получаем систему ал-
алгебраических уравнений, приводимую
к виду
CkkWk+Ck,k+lWk+l=H
(fe=l, 2, .... г),
где Wk = (Uh, Vk).
Исключив вектор перемещений Vk,
придем к системе уравнений относи-
относительно вектора сил:
\
У
1/=*
1
и;
—^—
E7)
17
65 а/г я, Гц
(fe=l, 2, .... /¦). E8)
Эта система при условиях Uo =
= Ur+1 = 0 решается методом прогон-
прогонки с помощью рекуррентных формул
Рис. 7
Bk = — Akt k-iBk-iAk
Pk = Nk-Ak,k^Bk- iPk-i- E9)
На рис. 6 изображена схема фундамента паротурбоагрегата мощностью 1200 МВт
(k — номер рамы фундамента), а на рис. 7 приведены зависимости амплитуды верти-
вертикальных вибраций ригелей от частоты гармонической единичной вертикальной силы,
приложенной к ригелю рамы (k = 4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреев В. А. Совместные колебания вала и лопаток ротора паротурбоагрегата в режиме
внезапного короткого замыкания. — Машиноведение, 1970, № 6.
2. Будникова Т. В., Загородная Г. А., Фридман В. М. Крутильные колебания вала турбо-
турбоагрегата при внезапном коротком замыкании. — Вестник электропромышленности,
1961, № 2.
3. Глазенко А. В., Школьник В. Э. Расчет частот собственных колебаний сердечника статора
турбогенератора. — Электротехника, 1976, № 7.
СПИСОК ЛИТЕРАИРЫ 537
4. Загородная Г. А., Кожевников И. Ф.» Курилович Л. В. Вибрация статоров турбогенера-
турбогенераторов с гибкими корпусами. — Вестник электропромышленности, 1963, № 10.
5. Проектирование гидрогенераторов / Б. В. Домбровский, Ф. М. Детинко, А. С. Еремеев
и др. Л., Энергия, 1968.
6. Сусси И. Р. Колебания горизонтального вала на анизотропных упругодемпферных опо-
опорах. — Прикладная механика, 1971, т. 7, вып. 1.
7. Сусси И. Р., Фридман В. М. Колебания и уравновешивание вала с распределенными
параметрами на анизотропных упругодемпферных опорах. — Машиноведение, 1977, № 6.
8. Турбогенераторы, расчет и конструкция / В. В. Титов, Г. М. Хуторецкий, Г. А. Загород-
Загородная и др. Л., Энергия, 1967.
9. Фридман В. М. Об одном приближенном методе определения частот колебании. — В кн.;
Колебания в турбомашинах. М., изд-во АН СССР, 1956.
10. Фридман В. М., Шкода Г. В., Школьник В. Э. Колебания статора турбогенератора, свя-
связанные с вращающимся магнитным полем. — Электросила, 1974, № 30.
11. Фридман В. М., Школьник В. Э. Расчет колебаний статора под действием вращающегося
магнитного поля с учетом закрепления на фундаменте. — В кн.: Труды координацион-
координационных совещаний по гидротехнике, вып. 109, Л., Энергия, 1976.
12. Храновская М. С, Шкапцов В. А. Применение ЭВМ для выбора оптимальных механиче-
механических параметров корпуса статора турбогенератора. — Электротехника, 1978, № 3.
13. Шубов И. Р. Шум и вибрация электрических машин. Л , Энергия, 1974.
14. Kovo A. The Unilateral Magnetic Pull in Asenchronous Motors with Eccentric Potor Trans-
Transaction, A1EE, 111 — B, 1954.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомобиль — Квадраты модулей час-
частотных характеристик 459, 468
— Колебательная система 457—459
легковой — Средние квадрати-
ческие значения линейных вибро-
виброускорений 466
— Отношение масс подрессоренной час-
части с грузом и без груза 469
— Показатели плавности хода 470—
473
— Расчет плавности хода 475, 476
— Шимми 15
Алгоритмы расчета собственных спект-
спектров динамических моделей 360—365
цепных динамических моделей
с варьируемыми параметрами 365—
372
Аппараты летательные — Аэродинами-
Аэродинамические силы 484—488
— Бафтинг 492, 493
— Двигатель, упруго прикреплен-
прикрепленный к крылу 481
— Колебательные свойства 477
— Крыло малого удлинения 481
— Метод обобщенных координат 482,
483
— Метод сосредоточенных масс 482
— Неконсервативность 477
— Стреловидное крыло большого уд-
удлинения с элероном 480, 481
— Управляемый стабилизатор 481
— Упругомассовая схематизация 480
— Численное интегрирование диффе-
дифференциальных свободных колебаний
481, 482
— Шимми 478
В
Вагон грузовой — Движение по балке,
лежащей на сплошном инерционном
упруговяяком основании 417, 418 —•
Характеристики 422
четырехосный — Основные пара-
параметры кузовов 402 — Устойчивость
невозмущеккого движения 399, 404
Вагон-лаборатория с реактивной тягой
411, 412
Вагоны разных типов — Параметры
429
Валопровод — Характерные дефекты
изготовления и сборки 180
Веретена — Двойные амплитуды коле-
колебаний 209
— Критические скорости колебаний
209
— — с гибким шпинделем — Крити-
Критические скорости колебаний 210, 211
с металлическими насадками —¦
Геометрические параметры 2L —-
Коэффициенты, необходимые для
расчета 214
¦ с механическим приводом —•
Классификация 210 — Основные ди-
динамические модели 210
с полужестким шпинделем —¦
Динамика" 211—215
с пол> раздельными опорами в
виде упругой втулки — Особенности
динамического расчета 216, 217
с упругоподатливыми раздель-
раздельными опорами — Колебания в ста-
стационарном и нестационарном режи-
режимах 218—221
— — типа ВПК — Динамические ха-
характеристики 219
Вибрации, обусловленные изгибными
колебаниями — Повышение демп-
демпфирования 287
— Частотная отстройка и применение
упругих опор 285—287
Виброгасители пассивные 145—147
Вибронагруженность водителя — Оцен-
Оценка по ЙСО 470—472
539
— Оценка по санитарным нормам 472,
473
Виброустановка для активного выпуска
руды 381—384
¦ для выпуска и погрузки руды —
Метод расчета при наличии источ-
источника энергии ограниченной мощ-
мощности 384—386
Возбуждение белым шумом 17
• — нестационарного процесса коле-
колебаний с быстрым изменением час-
частоты 17
• стационарных гармонических ко-
колебаний с постепенным изменением
частоты 16, 17
Втулка подвижная — Влияние демпфи-
демпфирования на вынужденные колебания
215, 216
Втулки веретен — Приведенные коэф-
коэффициенты жесткости и собственные
частоты колебаний 217
Гидротурбины радиально-осевые 256,
258
Гипотеза Пстрова-Шахунянца 415, 417,
418
Груз, подвешенный на нити 12
•— — на пружине 12
Д
Двигатели внутреннего сгорания —
Силовые характеристики 352—357—
— Схематизация процесса управления
силовой характеристикой 357—
360
¦ газотурбинные — Оценка интен-
интенсивности вибраций 299 — Спект-
Спектральный анализ вибрации 298, 299
Декремент затухания логарифмичес-
логарифмический — Значения 54
Демпфер вязкого трения 141—143
сухого трения 144, 145
Демпфирование лопаток аэродинами-
аэродинамическое 261, 262
конструкционное 259—261
механическое 259
Диски с лопатками — Расчетная схема
273, 274
i турбин — Конструктивные схе-
схемы 265, 266 — Определение частоты
колебаний вариационными метода-
методами 267—269 — Перемещения и си-
силовые факторы 266, 267
Дробилки — Реологические уравнения
процесса дробления 394—397
вибрационные — Конструктив-
Конструктивные схемы 392—393 — Составление
уравнений движения 397, 398
¦ щековые — Процесс дробления
392—394
Ж
Жесткость динамическая лопатки в осе-
осевой плоскости 271
жесткой 270
переменного счения 271—273
— '— постоянного сечения 271
— — упругой 270
И
Идентификация — Понятие 16
ИСО 2631 — 74 470
К
Камеры пневмомеханических прядиль-
прядильных машин крутильно формирую-
формирующие 227, 228
Колебания автомобиля — Влияние
различных параметров 467—469
в общем случае движения с по-
постоянной скоростью 465—467
1— Расчет параметров колебаний 474,
475
¦ свободные 459—463
•— — установившиеся (вынужденные)
463—465
Колебания аппаратов летательных в
наземных условиях 478
¦ в полете свободные 478
в потоке воздуха 488—490, 492
вынужденные (резонансные) 478
при срывном обтекании 492, 493
при трансзвуковом обтекании
493
¦ совместные с системой автомати-
автоматического управления 493—495
траекторные 478, 479
упругие 477, 478
Колебания в двигателях асинхронных
523
' транспортных газотурбинных —
Анизотропия системы 285 — Влия-
Влияние зазоров в подшипниках роторов
285 — Многовальность двигателя
285 — Связанность колебаний ро-
роторов, корпусов, лопаток с дисками
и валами 285 — Тонкостенность кон-
конструкции 285
Колебания винта воздушного 505, 506
несущего 505, 506
плоского в собственной плоско-
плоскости 59
Колебания в машинах постоянного
тока 523, 524
540
— — транспортных по дороге с не-
неровной поверхностью 463
— — электрических из-за изменения
магнитной проводимости под полю-
полюсами 524
Колебания в металлорежущих станках
автоматические 118—128
— — вынужденные 118, 128—130
Колебания гидрогенераторов 522, 523
гидросистем упругих вынужден-
вынужденные 196—198
Колебания дисков ¦— Краевые условия
278, 279
— Основные уравнения 278
— Расчет по методу начальных пара-
параметров 279, 280
— Условия возбуждения 281
— Формы 280, 281
— Частоты 280, 281
Колебания жидкости в топливных ма-
магистралях 502—505
колес самолета 508, 509
конструкций судовых местные
443, 444, 449—451
Колебания лопаток естественно закру-
закрученных изгибные 238—240
замкнутых на круг 252—254
колес центробежных компрес-
компрессоров 256
незакрученных изгибные 231 —
235
пакетов 254—256
Колебания механических систем вы-
вынужденные крутильные — Внешние
возбудители 336—339 — Силы соп-
сопротивления 339, 340 — Способы
устранения 345—350
линейные — Свойства 341, 342
нелинейные — Итерационный
метод уточнения решения уравне-
уравнений 342, 343 — Особенности 343—
Приближенные методы расчета 335,
336
нерезонансные — Условия воз-
возникновения 339
при неколебательной внешней
нагрузке 344
Колебания пружин конических кру-
крутильные 55, 56
— — поперечные 56, 57
продольные 55, 56
Колебания пружин спиральных плос-
плоских 57, 58
Колебания пружин цилиндрических вы-
вынужденные продольные 44
крутильные 44, 49, 50
— — свободные поперечные 44—49
свободные продольные 42, 43
с переменным шагом 43, 44
Колебания ракет жестких с жидким
топливом в баках поперечные 499,
500
¦ упругих с жидкостным двигате-
двигателем 495—499, 501, 502
Колебания роторов автоматические 153,
157—159
¦ высокочастотные 285
кососимметричные 148
крутильные 283
маятниковые 283, 284
¦ многомассовых 200—207
на подшипниках скольжения вы-
вынужденные 170—173
подвесных свободные 193—196
симметричные 147
турбоагрегата 519—522, 524—
530
Колебания системы ротор — корпус —.
подвеска свободные 294, 295
Колебания стержней вынужденные 34—
36
¦ крутильные 39
— Плоское круговое кольцо 21, 22
поперечные 40
продольные 39
Колебания стержней тонких криволи-
криволинейных без предварительной наг-
нагрузки — 26—33
1 вынужденные 34, 36
постоянного прямоугольного се-
сечения 33, 34
свободные 20—26
— Уравнения колебаний 18—20
Колебания стержня винтового пара-
параметрические продольно-крутильные
59, 60
Колебания судовых конструкций —
Нагрузки второго вида 435—437
— Нагрузки первого вида 433
— Нагрузки третьего вида 437—441
— Общие сведения 434, 435
Конструкция упругая, содержащая жид-
жидкость — Пример 85—88
Корпус судна — Расчет горизонталь-
горизонтальных крутильных колебаний 448,
449
— Расчет общих колебаний в верти-
вертикальной плоскости 444—448
Л
Локомотивы — Исходные данные для
расчета 408, 409
¦— Переходные режимы движения
425—527
•— Схемы расчетные 423—425
541
Лопатки бандажированные — Типы
бандажных связей 251, 252, 276
>— Возбуждение резонансных коле-
колебаний 249, 250
жесткие 274—276
— Интегральное уравнение колебаний
235, 236
— — невращающиеся — Частоты и
формы колебаний 242, 243
¦ незакрученные — Влияние цент-
центробежных сил при колебаниях в осе-
осевой плоскости и в плоскости враще-
вращения 242 — Динамическая и стати-
статическая частоты 240—242 — Метод
приближенной оценки колебаний
240
—- Основные уравнения колебаний 244,
245
— Особенности колебаний 247
¦ постоянного сечения — Влияние
центробежных сил и растяжения на
крутильные колебания 244
— Применение метода Ритца при рас-
расчете колебаний на основе теории
оболочек 248
с большой естественной закрут-
закруткой — Интегральное уравнение
изгибно-крутильных колебаний 245,
246
— Соотношение между частотами кру-
крутильных и изгибных колебаний
243, 244
турбин рабочие — Конструктив-
Конструктивные схемы 229, 230
упругие 274—276
— Упругость материала заделки 236,
237
>— Уточнение расчетных моделей 277
— Учет изгибно-крутилыгой связан-
связанности колебаний 277
— Учет неоднородности 277
М
Машины пневмомеханические пря-
прядильные — Критические частоты ро-
ротора 227, 228
Машины транспортные — Общие све-
сведения 452, 453
— Основные источники возмущений
колебаний 453—457
— Сиденья 473, 474
Метод определения частот и форм не-
закрученных лопаток вариационный
234, 235
¦ интегральный 232, 233
интегрированием системы ди<{
ференциальных уравнений
234
Методы динамического расчета системы
турбоагрегат — фундамент 312—3N
Методы определения коэффициентов
уравнений возмущенного движения
Бубнова — Галеркина 79, 80
оценки частот и присоединенных
масс жидкостей 82—84
разделения переменных 75—79
Ритца — Трефтца 80—82
экспериментальные 84, 85
Метоцы снижения виброактивности зуб-
зубчатых передач — Виброизоляция и
формирование видов колебаний 114,
115
— Отстройка от резонансных режимов
115-117
— Снижение уровня возмущающих сил
112—114
Механизмы пружинные — Учет нели-
нелинейных колебаний 53
Модели динамические — Пара зубча-
зубчатая 90—93
— Редуктор переборный 93—95
— Редуктор планетарный 95—103, 114
Модели механические при связанных
колебаниях 329
Муфты неподвижные 179
подвижные 179
Н
Нагружение нерегулярное — Понятие
510
регулярное — Понятие 510
О
Опоры турбоагрегата — Динамические
характеристики 301, 302
П
Передачи зубчатые — Жесткостные ха-
характеристики 103
— Силы возмущающие 108—111
— Силы демпфирующие 111, 112
Перекрытия судовые — Конструктив-
Конструктивные схемы 449 v
Переменные безразмерные свободных
колебаний 20, 21
Платформа контейнерная — Парамет-
Параметры 406
Податливость коленчатого вала 325—
327
кольца упругой опоры 293
подсистемы динамическая 295
подшипников 293
элементов расчетных схем 289—
293
542
Подвески грузовых автомобилей —
Средние статистические прогибы
462
Подвешивание рессорное — Оптими-
Оптимизация параметров 405, 406
Подшипники газодинамические 170 —
Уравнение Рейнольдса 162
гидродинамические 160—162 —
Уравнение движения при малых
поступательных перемещениях цапф
ротора 165 — Уравнение Рейнольд-
Рейнольдса 160
— — гидростатические 169 — Харак-
Характеристики при ламинарном режиме
164 — Характеристики при турбу-
турбулентном режиме 165
— Динамические характеристики мас-
масляного слоя 301
¦ качения — Колебания неурав-
неуравновешенных роторов 174—177 —
«Поди ипниковые вибрации» 177,
178
¦ скольжения виброустойчивые
168— Влияние на колебание рото-
роторов 159, 160
, устанавливаемые на масляной
пленке 287, 288
• цилиндрические — Характерис-
Характеристики 162
¦ эллиптические — Характерис-
Характеристики 162, 163
Поезда — Границы применимости ли-
линейной теории 428, 429
¦ неоднородные — Применение
численного интегрирования 430—
432 — Электрическое моделирова-
моделирование 430
— Определение усилий при пуске в ход
427, 428
i— Переходные режимы при возму-
возмущениях, распространяющиеся по
длине 432, 433
Процессы колебательные нестационар-
нестационарные — Автоколебания в системе
с фрикционными муфтами 344
— Методы расчета 344
— Особенности при неколебательной
внешней нагрузке 344
— Проходы ДВС через резонанс 344,
345
Пружины витые — Демпфирование
37 — Применение 37
— — вращающиеся — Параметричес-
Параметрические колебания 52, 53
— Коэффициенты демпфирования ко-
колебаний 53, 54
цилиндрические — Основные мас-
массовые и жесткостные характеристи-
характеристики 41
Резонансы параметрические комбини-
комбинированные 51
простые 51
Роторы гибкие несимметричные 139,
140
• с одним диском, опирающиеся на
два одинаковых подшипника сколь-
скольжения 165
Роторы двойной жесткости с одним
диском 148—152
¦ зонтичные — Понятие 190 —
Устойчивость вертикального вра-
вращения 198—200
• изотропные — Поступательные
перемещения 136—138 — Угловые
перемещения 138, 139
• на абсолютно жестких опорах —
Определение частот свободных коле-
колебаний 297
• на 150-градусных цилиндричес-
цилиндрических подшипниках — Граница ус-
устойчивости 166, 167 — Скорость по-
потери устойчивости 167
— Несовершенства в соединениях
179—181
¦— Неуравновешенность 131
одномассовые — Динамическая
модель 190—193
¦ подвесные — Понятие 190
¦ с дисками, имеющими неодина-
неодинаковые экваториальные моменты
инерции 153
с одним диском 131—134
с распределенными параметрами
134, 135, 140, 141, 152
•— Устойчивость 164—170
Самоцентрирование — Понятие 137
Силы аэродинамические, возникающие
в турбомашинах, венцовые 303, 304
надбандажные 304, 311, 312
— — лабиринтные 304
Силы возбуждающие — Конструктивно-
технологические мероприятия сни-
снижения их интенсивности 288, 289
• гидродинамические 160—164
Система несущий винт — фюзеляж
вертолета — Колебания «земной
резонанс» 507
Система ротор — корпус — подвеска —•
Граничные условия расчета 2Q5—
297
— Изгибные колебания 282, 283
•— Определение форм свободных коле-
колебаний 298
543
— Основные положения расчета 294
— Особенности расчета с учетом демп-
демпфирования 298
— Частотное уравнение 297, 298
Система турбоагрегат — фундамент-
Схематизация 300, 301
Системы анизотропные — Неподвиж-
Неподвижная анизотропия 147, 148
¦— Подвижная анизотропия 148—153
Системы колебательные механичес-
механические — Определение параметров
323
¦ эквивалентные (приведенные) —
Построение 323, 325
Системы линейные — Методы расчета
330—334
— — механические — Определение
моментов инерции 327, 328
Системы роторные высокоскоростные —
Общая характеристика конструк-
конструкций веретен 207—209
•— Примеры расчетно-эксперименталь-
ных исследований 184—187
— Расчет колебаний сложных систем
181—184
• с полужестким шпинделем и
внешней амортизацией — Обоб-
Обобщенная динамическая модель 223,
224
Системы структурно устойчивые — По-
Построение 403—405
— — эквивалентные автомобилю или
гусеничной машине — Уравнения
движения 460, 461
Спектры при изменении формы стерж-
стержней с двумя геометрическими пара-
параметрами 29, 30
с одним геометрическим пара-
параметром 28, 29
Спирали — Виды 54
Стержни — Присоединенные массы
31-33
•— — конкретных форм 26—28 —
Вычисление собственных частот
27
1 криволинейные —¦ Нити 18, 20 —
Цепи 18, 20
¦— — постоянного прямоугольного
сечения — Расчет собственных зна-
значений 33, 34
прямые 21
Стержни тонкие винтовые 37, 38
криволинейные — Влияние пред-
предварительной нагрузки 30, 31 —
Понятие 18 — Уравнение колеба-
колебаний 18
Судно — Общая вибрация 441—443
Схема расчетная — Выбор 11—16
— Определение 16—18
Тележка стандартная — Исходные
данные 403 — Схема 403
Теория гибкого вала 13, 14
стержневая 14
Турбоагрегаты — Динамическая устой-
устойчивость 316—320
— Динамические характеристики 313,
314
— Меры снижения вибрации 320—
322
— Основные причины колебаний 300
Турбомашины — Аэродинамические
реакции уплотнений 308, 309
— Силы в однокамерном уплотнении
310, 311
— Силы, действующие на ротор в зоне
уплотнений при круговой прецес-
прецессии вала 309, 310
Угол естественной закрутки лопаток
турбин — Понятие 230
Установки силовые при ограниченном
возбуждении —¦ Нестационарные
процессы 372—380
Устойчивость пружин динамических —
Причина возникновения параметри-
параметрических колебаний 50
Устойчивость роторных систем — Вли-
Влияние гироскопического эффекта 156,
157 — Влияние циркуляционных
сил 154—156
Устройства упругодемпферные 168,
169
Ф
Флаттер винта несущий 507, 508
— — летательных аппаратов 490—
492
Флаттер лопаток изгибно-крутильный
263
решетчатый 263
срывной 262, 263, 493
Формы колебаний лопатки «пластиноч-
«пластиночные» 247
Характеристики взаимодействия под-
подвижного состава и пути статические
420, 421
— —¦ механических систем импульсно-
частотные 340, 341
Характеристики ротора динамические
160, 162
статические 160, 162
544
Ш
Шпиндели веретен — Бигармонические
режимы колебаний 220, 221
— Субгармонические резонансы 221,
222
— Характер колебаний 208, 210
Э
Экипаж рельсовый — Влияние инер-
инерционности пути 414—416
— Двойное рессорное подвешивание
407, 419, 420
— Определение рациональных пара-
параметров 432
— Оценка динамических качеств 421
422
— Устойчивость движения 407
Электроверетена базовых типов — Ос-
Основные характеристики 225
опытные — Двойные амплитуды
колебаний верха 225—227
— Типовые конструкции 225, 226
Элементы машин — Блок нагружения
510
— Расчет на выносливость при нагру-
жении 510—519
— Способ максимумов 510
— Способ размахов 511
ИБ 715
Эдуард Леонович Айрапетов, Исаак Аронович Биргер,
Владимир Львович Вейц и др.
ВИБРАЦИИ В ТЕХНИКЕ
Том 3
КОЛЕБАНИЯ МАШИН, КОНСТРУКЦИЙ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Редакторы И. С. Бояршинова, И. И. Лесниченко
Технический редактор Н. В. Тимофеенко
Корректоры И. М. Борейша и Л. В. Асташенок
Переплет художника А. Я. Михайлова
Сдано в набор 06 04 79. Подписано в печать 05.12.79. Т16974. Формат 60X90'/ie.
Бумага типографская JVTs 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
леч. л. 34,0. Уч.-изд. л. 45,9. Тираж 30 000 экз. Зак. 597. Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Машиностроение», 107885 Москва, ГСП 6, 1-й Басманный пер., 3
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ле*
нинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» име-
имени А. М. Горького «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград,
П-136, Чкаловский пр., 15.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
В СПРАВОЧНИКЕ «ВИБРАЦИИ В ТЕХНИКЕ», ТОМ 2
Стра-
Страница
27
50
52
57
68
69
77
85
88
89
90
106
134
134
142
143
171
174
180
194
202
222
231
231
231
234
241
346
Строка
Табл. 8, № по пор. 10,
графа 4, эскиз
Формула C9), в знаме-
знаменателе
Формула D4)
26-я сверху
8-я снизу
13-я сверху
7-я снизу, в числителе
1-я снизу
17-я сверху
13-я снизу, в числителе
10-я снизу
Формула A57)
6-я сверху
8, 9-я сверху
Формула A4)
17-я снизу
12-я снизу
Формула G)
5-я снизу, в числителе
Таблица, графа 4, 5-я
сверху
4-я сверху
6-я снизу
15-я сверху
12-я снизу
8-я снизу
21-я снизу
2-я снизу
6-я сверху
Напечатано
И (V)
0 <<7 — I!
... , хп; х,
(V+1)
где xs
<»jl (a)
/«п у2
(V1 — N0*
XV, х) = ^ еШ X» '*>
V
cos <p sin ф)
Р
ашац
Х +
—
2л
«= 2я/и = J
0
вибраций
Л<0
<fl>0)
а
W
tnx
тг
внешней
~р,
Ps
устойчивое, & второму
неустойчивое
осредненное
J)
Должно быть
ф (V)
0 (Ц — 1)
... , хп; ... , дг)
-(V+1)
где xs
@[i (а) t
\<°о/
(v» _ н v2
V
cos qp) sin (p
Q
aik- °ii
х ~
1
"°Т
==
2ге
= 2я/ш J
0
либрации
h >D
<Р >0)
«V
Р
внутренней
Р*
^,
Р2* = 0
неустойчивое, а второму
устойчивое
осредняемое
JY