Дж. Гарнетт
ОГРАНИЧЕННЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ

BOUNDED
ANALYTIC FUNCTIONS
John B. Garnett
Department of Mathematics
University of California, Los Angeles
Los Angeles, California
1981
Academic Press
A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers
New York London Toronto Sydney San Francisco

Дж. Гарнетт
ОГРАНИЧЕННЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Перевод с английского
Е. М. Дынькина
под редакцией
В. П. Хавина
МОСКВА «МИР» 198*

ББК 22.161.5
Г 20
УДК 517.63—517.55
Гарнетт Дж.
Г 20 Ограниченные аналитические функции- Пер. с англ.—
М.: Мир, 1984. 469 с, ил.
Монография известного американского ученого отражает обширный круг
вопросов современного комплексного анализа Особое внимание уделено функциям
ограниченной средней осцилляции, теореме о короне и интерполяционным после-
последовательностям. Излагаемые в книге новые методы находят применение не только
в теории функций, но и в смежных дисциплинах.
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов уни-
университетов.
1702050000—273 о< ол « ББК 22.161.5
Г 041@1)-84 2*-84'4-* 517
Редакция литературы по математическим наукам
© 1981, by Academic Press, Inc
(g) Перевод на русский язык, .Мир», 1984

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Содержание этой книги существенно шире ее названия. Она ох-
охватывает большую область современного анализа, которую
трудно четко определить, но которая, тем не менее, объективно
существует как некое единство — на первый взгляд, довольно
причудливое. Представление об этой области можно попытать-
попытаться создать с помощью набора «ключевых слов», и в этот набор
войдут не только «аналитические функции» (и уж тем более не
только «ограниченные аналитические функции»), но и «классы
Харди» (в том числе и современные «вещественные классы Хар-
ди»), и «ВМО», и «интерполяция аналитическими функциями»,
и «теорема о короне», и «равномерные алгебры», и «двойствен-
«двойственность экстремальных задач». Эта область соприкасается и с те-
теорией сингулярных интегральных операторов, и с максималь-
максимальными функциями. Нелегко сказать, что именно объединяет все
эти темы. Но факт остается фактом: аналитик, который зани-
занимается одной из них, живо интересуется и остальными. И как
раз с этими темами связаны большие достижения последних
десяти —пятнадцати лет.
Богатство материала, изложенного в настоящей монографии,
проявляется не только в тематическом разнообразии, но и в ин-
интересных и неожиданных связях между отдельными темами.
Остановимся для примера на задаче описания интерполя-
интерполяционных последовательностей (т. е. подмножеств единичного
круга D, с которых всякую ограниченную функцию можно про-
продолжить до функции, ограниченной и аналитической в D, ко-
короче— до функции класса Н°°). Этой задаче посвящена гла-
глава VII и некоторые разделы других глав. Читатели старшего
поколения еще помнят время, когда само существование беско-
бесконечных интерполяционных последовательностей составляло про-
проблему. Полное же их описание, данное Карлесоном (теоре-
(теорема VII.1.1 этой книги), воспринималось как итог непростого
развития — и идейного, и технического. Сегодня, после «дет-
«детского» доказательства этой теоремы (в части (а)ч=*-(Ь)), дан-
данного П. Джонсом (оно занимает всего несколько строк, добав-
добавленных нами в конце гл. VII), ясно, что значение результата
Карлесона состоит не столько в описании интерполяционных
последовательностей, сколько в открытии новых понятий, живу-
живущих ныне самостоятельной жизнью и работающих в отдаленных
от интерполяции разделах анализа. Под влиянием теоремы Кар-

Предисловие редактора перевода
лесона сложилось целое направление, которое наряду с интер-
интерполяционными задачами охватывает и многое другое: меры Кар-
лесона, безусловные базисы, анализ различных «условий разде-
ленности» точечных множеств и связанных с ними функций (для
примера можно указать на изучение линейных комбинаций ядер
Пуассона в разд. 3 и 4 гл. X).
Еще один пример результата, суть которого совсем не в том,
чем он кажется на первый взгляд, доставляет «теорема о ко-
короне» (одна из основных тем книги). Начнем с того, что это
теорема не столько о короне, сколько о ее отсутствии. Название
ее объясняется тем, что она явилась решением «проблемы ко-
короны». При постановке этой проблемы «короной» именовалась
(гипотетическая) разность между пространством 9Я максималь-
максимальных идеалов банаховой алгебры Н°° и замыканием круга D в ЗИ.
Эта разность оказалась пустой, но слово «корона» прочно при-
пристало к теореме. В действительности только что описанная
абстрактная формулировка лишь маскирует существо задачи,
мало чем помогая ее решению. Элементарно звучащая поста-
постановка «проблемы короны» такова.
Нетрудно показать, что для любых функций /ь ..., fn, ана-
аналитических в замкнутом круге {|г|^ 1} и не имеющих в нем
общих нулей, можно подобрать множители gb ..., gny аналити-
аналитические в том же круге и такие, что f\g\+ ... + fngn ^ 1. Во-
Вопрос состоит в следующем: можно ли функции gj выбрать так,
чтобы max{|g/(z) |: 1 ^ /'^ п, |z|^l} не превосходил величи-
величины, зависящей лишь от min { max |f/(z)|: |з|^1} и max{|f/(z)|:
Kj<, ||}
Положительный ответ на этот вопрос был дан Карлесоном
в 1962 г. с помощью весьма нетривиальной и принципиально но-
новой методики (разд. 5 гл. VIII): Недавно выяснилось, однако,
что сама по себе «проблема короны» в этой методике не нуж-
нуждается: совсем простое доказательство теоремы о короне нашел
Т. Волф (теорема VIII.2.1 и упр. 5 к гл. VIII). Но доказатель-
доказательство Карлесона и само по себе есть результат. Оно содержит,
в частности, глубокий и тонкий анализ строения уровней модуля
ограниченной аналитической функции. Быть может, подлинное
значение «теоремы о короне» — не в оценке множителей gJy о
которых говорилось выше (и, конечно, не в отсутствии некоего
«нароста» при переходе от круга D к пространству Зй), а имен-
именно в этом «анализе уровней».
Книгу Гарнетта можно рассматривать и как учебник (так
охарактеризовать ее позволяет содержание первых семи глав),
и как монографию, подытоживающую некоторые совсем недав-
недавние исследования. Как учебник она продолжает и дополняет
замечательную книгу К. Гофмана «Банаховы пространства ана-
аналитических функций» (опубликованную у нас в 1963 г. изда-

Предисловие редактора перевода
тельством ИЛ), которая и сегодня оставалась бы отличным вве-
введением в предмет, не будь она библиографической редкостью.
Да и к тому же истекшие двадцать лет принесли очень много
нового. В предлагаемом читателю переводе книги Гарнетта
впервые на русском языке будут в систематической форме из-
изложены важные, уже прочно вошедшие в анализ вещи: двой-
двойственность ВМО и Я1, «вещественное» описание классов Харди,
«условие Ар» Макенхаупта, алгебры Дугласа и теорема о ко-
короне с сопутствующим ей техническим арсеналом. Правда,
естественная область действия и фактического появления мно-
многих из этих понятий — это Rn, а не R, что не отражено в книге.
Кроме того, эти понятия и связанные с ними результаты допу-
допускают важное и интересное истолкование в теории линейных
операторов и в гармоническом анализе. С такими трактовками,
не нашедшими места в книге, читатель может познакомиться
по монографии Н. К. Никольского «Лекции об операторе сдвига»
(«Наука», 1980).
Книга написана в свободной, непринужденной манере, в
стиле неформальной беседы у доски после семинара. Этот стиль,
несомненно, имеет свою прелесть. Следует, однако, предупре-
предупредить читателя, что такая непринужденность — при отсутствии
возможности переспросить своего собеседника — создает и опре-
определенные трудности. Формальное «причесывание» некоторых
мест книги (главным образом, в последних трех главах) тре-
требует известного напряжения.
Переводчик и редактор порой пасовали перед языковыми
трудностями, вызванными неформальной манерой автора. При-
Примером может служить наш тусклый перевод заглавия гл. VIII,
которое в подлиннике звучит так: «The Corona Construction».
Область, которой посвящена книга, продолжает развиваться.
Стремясь помочь читателю быть в курсе событий, мы составили
дополнительную библиографию. Но даже после этого библио-
библиография остается минимальной и пригодна лишь для грубой пер-
первоначальной ориентации.
Мы признательны автору, приславшему нам список замечен-
замеченных им неточностей и опечаток. Все они исправлены при пере-
переводе.
В. П. Хавин

Посвящается Долорес
ПРЕДИСЛОВИЕ
Главная цель этой книги — научить технике; методам мы ока-
оказываем предпочтение перед общностью. Многие понятия, кото-
которые мы введем, от субгармоничности и максимальных функций
до интегралов Литтлвуда — Пэли, мер Карлесона и моментов
остановки, естественно, распространяются на евклидово про-
пространство и еще дальше, но ради единства и простоты изложе-
изложения мы ограничиваемся только случаем одного измерения. Не-
Некоторые из этих понятий более полно исследованы в книгах
Стейна [1970] и Стейна и Вейсса [1971].
Наша вторая цель — дать замкнутое изложение современной
теории ограниченных аналитических функций в единичном круге.
Поэтому мы подробно описываем такие понятия, как конформ-
конформная инвариантность, субгармоничность log|/|, двойственные
экстремальные задачи и особенно произведения Бляшке, кото-
которые процесс обобщения еще не выделил из их классического
окружения. Следует предупредить читателей, интересующихся
высшими размерностями или многосвязными областями, что
хуже всего поддаются обобщению именно те доказательства,
которые связаны с произведениями Бляшке и двойственными
экстремальными задачами. Освободить одномерные доказатель-
доказательства от этих понятий — значило бы решить некоторые из самых
трудных сегодняшних проблем для единичного шара в Сп.
С другой стороны, читатели, склонные удовольствоваться од-
одной комплексной переменной, будут вознаграждены гораздо бо-
более разветвленной теорией. Например, основной вопрос об опе-
операторе сопряжения ведет к функциям ограниченной средней
осцилляции, к мерам Карлесона и, далее, через произведения
Бляшке или двойственность, к интерполяционным последова-
последовательностям и теореме о короне. В этой цепи не поддается обоб-
обобщению только последнее звено. Доказательство двойственности
Н1 — ВМО и конструкция, стоящая за теоремой о короне, — они
пригодны и для высших размерностей — сливаясь, приводят к
замечательному описанию замкнутых алгебр между Нх и L°°
в терминах произведений Бляшке.
Эта книга как по методам, так и по материалу, выражает
частную точку зрения; это не энциклопедия. Некоторые темы —
такие, как интерполяционные задачи и теорема о короне — за-
занимают много места, в то время как применения теории бана-
банаховых алгебр или широкое взаимодействие между Н°° и теорией
операторов сведены к минимуму. (По поводу связей с теорией
операторов мы рекомендуем превосходные книги Дугласа [1972]
и Сарасона [1979]1)). Везде, где это возможно, мы пользуемся
конформной инвариантностью и техникой теории функций ве-
1) См. также Никольский [1980*] —Прим. ред.

Предисловие
щественного переменного. За прошедшие двадцать лет возоб-
возобновление интереса кЯ°° вызывалось, в основном, функционально-
аналитическими вопросами, но я полагаю, что решение самых
трудных стоящих перед нами проблем потребует возвращения
к кругу и окружности и более конструктивных доказательств.
Чтение этой книги предполагает знакомство с вводным кур-
курсом вещественного и комплексного анализа; вполне достаточно
будет первых одиннадцати глав учебника Рудина [1974].
В гл. I мы излагаем некоторые вводные сведения, не всегда
присутствующие в университетских курсах.
Главы II — V составляют введение в теорию пространств
Харди, включающее сопряженные функции, двойственные экс-
экстремальные задачи и некоторые свойства Я°° как равномерной
алгебры. Мы опираемся на максимальные функции и субгармо-
субгармоничность (другие подходы см. в книгах Гофмана [1962а] и
Дьюрена [1970]).
Главы VI—X развивают идеи, связанные с теоремой Джо-
Джона — Ниренберга, геометрией интерполяционных последователь-
последовательностей и теоремой о короне. Читатель, уже знакомый с предме-
предметом, заметит, что содержание этих глав выросло, в основном,
из двух работ Карлесона [1958, 1962а]. Большая часть мате-
материала последних пяти глав до сих пор в монографиях не изла-
излагалась.
Изложение в книге замкнуто, и первая ее половина, в сущ-
сущности, служит введением ко второй. Однако первые разделы
глав VI—VIII содержат существенные вопросы классической
теперь теории пространств Яр, а в гл. IV проникли некоторые
весьма специальные проблемы. Лекции Кусиса [1980] дают бо-
более элементарный и менее сжатый очерк некоторых тем, рас-
рассматриваемых нами.
Предложения в книге нумеруются лексикографически в пре-
пределах каждой главы, так что «теорема 1.3» — это третье пред-
предложение в разд. 1 данной главы, а «теорема 1.3 гл. I» или «тео-
«теорема I. 1.3» находится в разд. 1 гл. I. Формулы нумеруются
так же — например, «A.10) из гл. I». В тексте 31 рисунок.
Разобравшись в рисунках, вы разберетесь и в книге.
Каждая глава кончается библиографическими замечаниями
и разделом «Упражнения и дальнейшие результаты». Одни уп-
упражнения рассчитаны на начинающих, а другие —это и есть
«дальнейшие результаты» — являются теоремами, помещенными
вне основного текста. Они обычно содержат литературные ссыл-
ссылки, что служит дополнительным указанием на возможную не-
неэлементарность упражнения. К некоторым упражнениям даются
развернутые указания, и на такие упражнения мы иногда ссы-
ссылаемся в дальнейшем. Особенно важные упражнения помечены
одной, двумя или тремя звездочками *; они принесут особое
удовлетворение тому, кто их выполнит.

БЛАГОДАРНОСТИ
Без помощи и поддержки многих друзей эта книга никогда не
была бы окончена. Мне посчастливилось иметь двух учеников —
Дональда Маршалла и Питера Джонса, и когда я писал эту
книгу, каждый из них стремился склонить меня в свою сторону.
Я благодарен им за многочисленные улучшения в тексте и за
ту математику, которой они меня научили. Долгие годы я нахо-
находил совет и ободряющую поддержку у Теда Гамелина, Пола
Кусиса и Николаса Варопулоса. Ирвин Гликсберг, оставаясь по
сей день моим учителем, бомбардировал меня математическими
и стилистическими исправлениями. Если бы не он, то эту книгу
было бы гораздо труднее читать. Другие, кто внес ценные за-
замечания по поводу текста книги и по существу предмета, — это
Энтони Карбери, Леннарт Карлесон, Дэвид Дрейсин, Джон Фа-
гарасон, Мишель Фразье, Грегори Джиббонс, Лесли Кей, Сти-
Стивен Кранц, Роберт Лэттер, Робин Оуэне, Дональд Сарасон,
Аллен Шилдс.
Рукопись, содержавшую мириад неразборчивых поправок,
перепечатала Дебора Реметч, которой помогала Сара Реметч.
Хочу поблагодарить персонал издательства «Академик
Пресс» за терпение.
Я чрезвычайно признателен Университету Калифорнии в
Лос-Анджелесе, с его приятной атмосферой, квалифицирован-
квалифицированными сотрудниками, близкими NfHe по духу коллегами и любо-
любознательными студентами, за предоставленную мне профессио-
профессиональную свободу. Большая часть книги была написана в уни-
университете Paris-Sud, где я был адъюнкт-профессором и где
мне были предоставлены великолепная библиотека, возмож-
возможность участия в захватывающих семинарах и еще большая про-
профессиональная свобода. Я благодарен его отделу гармониче-
гармонического анализа за восхитительный год.

Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Для начала мы обсудим три темы из вещественного и комплекс-
комплексного анализа, проходящие через всю книгу.
Наша первая тема — лемма Шварца в инвариантной форме.
Она, естественно, приводит к псевдогиперболической метрике,
удобной при изучении ограниченных аналитических функций.
Мы демонстрируем силу леммы Шварца, доказывая теорему
Пика о разрешимости конечной интерполяционной задачи:
f{z,)=wh /= 1, 2 л; |/(г)|<1.
Наша вторая тема относится к вещественному анализу. Это
круг идей, связывающих интегралы Пуассона с максимальными
функциями.
Глава кончается кратким введением в теорию субгармониче-
субгармонических функций и гармонических мажорант. Это наша третья
тема.
1. Лемма Шварца
Пусть D = {.г: |г|<С1} — единичный круг в комплексной пло-
плоскости. Обозначим через & множество всех аналитических в D
функций /, таких, что f(D)czD, т. е. |/(г)|^ 1, если /el Лем-
Леммой Шварца называется следующее простое, но удивительно
сильное предложение.
Лемма 1.1. Если f<=3& и /@) = 0, то
A.1) \Пг)\<\г\, \г\<и
IГ @I^1.
Равенство (при каком-нибудь z) имеет место тогда и только
тогда, когда f(z) ss e'^z, феК.
Для доказательства достаточно заметить, что для аналити-
аналитической функции g(z) — f(z)/z по принципу максимума должно
выполняться неравенство |g|^ 1.
Нам будет нужна инвариантная форма леммы Шварца, при-
принадлежащая Пику. Преобразованием Мёбиуса называется лю-
любое конформное отображение круга D на себя. Каждое такое
преобразование имеет вид
где ф вещественно и |zo|< 1- Ясно, что zo = tt1(Q).

12 Гл. I. Предварительные сведения
Лемма 1.2. Если (^38, то
2) 1 f(z)-f(z0)
*+**
1 — I / <«) I* ^ 1 —
Равенство при некотором z имеет место тогда и только тогда,
когда f — преобразование Мёбиуса.
Для доказательства нужно применить лемму 1.1 к аналити-
аналитической функции (f(z) — f(zo))/(\—f{z^)f(z)) от новой незави-
независимой переменной т(г). Устремляя в A.2) z к zo> получим A.3).
Определим теперь псевдогиперболическое расстояние в круге
D формулой
р(г, го)«
Согласно лемме 1.2, все аналитические отображения D в D
удовлетворяют условию Липшица относительно р:
При преобразованиях Мёбиуса — по той же лемме — расстоя-
расстояние р не меняется:
р(т(г), т(го)) = p(z, w).
Рассмотрим неевклидов круг
) = {г: p(z, го)< г}, 0<г<1.
Сужения функций ия .^ на Kiz^.A устроены так же. как их су-
сужения на круг /(@, г) = {|ш) < г}. Чтобы в этом убедиться, до-
достаточно ввести в Д (zOy r) нойую независимую переменную
^ = х(г) = (г — 2о)/A—z$z) и заметить, что ^ инвариантно
при такой замене. Так, например, хотя производные функций из
Я не образуют конформно-инвариантного семейства, выражение
A.4) |П*)|A-|*|2)
уже является конформно-инвариантным. Для доказательства
применим важное тождество
(Это A.3) для f=«-r, т.е. в случае равенства.) Если теперь
f(z) = g(-с(г)) = g(w), то
и A.4) в самом деле конформно-инвариантно.

1. Лемма Шварца 13
Ясно, что неевклидов круг K(zot г), 0 < г < 1, есть прообраз
круга {\w\ -< г} при отображении
Поэтому ^(зо» О —это обычный евклидов круг Д(с,/?)
= {z: |г —с|</?}, но с центром **•
A.6) с= , _! гТ|^о ,а е0
и радиусом
L
Формулы для с и R проверяются прямым вычислением, но
мы сейчас выведем их геометрически. Поскольку прямая, про-
проведенная через 0 и г0, т-инвариантна, окружность dK(zOyr) =
== I ({\w\= г}) должна быть ортогональна к этой прямой.
Ее диаметр — прообраз отрезка [—гго/|го|, rzo/|zo|]. Так как
z = (w + zo)/(l + ?ош), этот диаметр совпадает с отрезком
/1 оч Г„ о1_Г 1 gQ I —
(L8) [^ PJ L
Концы диаметра [а, 6] — точки из K(zo,r) с наименьшим и наи-
наибольшим модулем. Поэтому с=*(ос + Р)/2, /? = (|Р| — |а|)/2,
и мы получили A.6) и A.7).
Отметим, что при фиксированном г евклидов радиус круга
/С(г0, г) сравним с 1 —|го| при |го|-* 1.
Следствие 1.3. Если f ^3$, то
Доказательство. По лемме 1.2 р(/(г),
поэтому f(z)^'K(f(O), \z\). Теперь A.8) дает нужную оценку
для |/(г)|. Заметим, что равенство в A.9) возможно, только
если / — преобразование Мёбиуса и argz = arg/@) при
f@)=0. П
Псевдогиперболическое расстояние р является метрикой на
D. Неравенство треугольника для р содержится в следующей
лемме.
Лемма 1.4. Для любых трех точек zo> г\9 z2^D
Him P(*o> z2) — p(z2y г,)
U10) ~
*'•'*" 1 - P (*o, *2> P (*2. *l) ^K^UJ ^'^ 1+P(ZO, Z2)P(Z2, *,)'
Доказательство. Так как р инвариантно, мы можем
считать, что z% = 0. Тогда A.10) превращается в неравенство
/1 11\ 1 Zp | — 1 Zt | ^. ^l — Zo ^. 1 2Г0 I + | Z\ |
1 — | Zq J I Z\ I 1 — Zq^i I *T" J Zq \ j Z\ I

И Гл. I. Предварительные сведения
Пусть |zi| = /\ Точка z = {z\ — zo)/(l—Zo^i) лежит на гра-
границе неевклидова круга /С(—-го> г), и поэтому ее модуль заклю-
заключен между |ос| и |р| из A.8). Тем самым A.11) доказано. Ра-
Разумеется, оценку A.10) и особенно A.11) легко получить и не-
непосредственно. D
Преобразование Мёбиуса, которое переводит г0 в ^о, можно
записать в виде
1 — WqW
откуда
Мы уже встречали это тождество как случай равенства
в A.3). Согласно A.12), выражение
A.13)
конформно-инвариантно в D. Мы можем с его помощью опре-
определить гиперболическую длину спрямляемой кривой у в D по
формуле
Г 2\dz\
J 1-М2 '
Y
а затем определить метрику Пуанкаре ^{z\y *г) как точную
нижнюю грань гиперболических длин всех дуг в D, соединяю-
соединяющих z\ и 22- Такое расстояние ^(гь22) конформно-инвариантно.
В частности, легко проверить, что при г > 0
Но любую пару точек z\ и Z2 можно подходящим преобра-
преобразованием Мёбиуса перевести в 0 и р(гь г2)=» | (^! — «j)/(l —
— 2^2) |. Поэтому
, 22).
Очевидно, что радиус является кратчайшим путем от 0 до г.
Поэтому все геодезические, т. е. кратчайшие пути, в метрике
Пуанкаре являются образами диаметра D при всевозможных
преобразованиях Мёбиуса. Это диаметры D и круговые дуги,
ортогональные к единичной окружности dD. Если назвать их
прямыми, то мы получим модель гиперболической геометрии
Лобачевского.
В этой книге мы в основном работаем с псевдогиперболиче-
псевдогиперболической метрикой р, а не с ^, хотя геодезические иногда помогают
нашей интуиции.

2. Теорема Пика 15
Гиперболическая геометрия выглядит чуть проще в верхней
полуплоскости Ж = {г = х + iy: у > 0}. В Ж
а гиперболический элемент длины есть ds — \dz\/y. Геодезиче-
Геодезическими являются вертикальные прямые и дуги окружностей, ор-
ортогональные к вещественной оси. Конформные отображения 36
на себя с неподвижной точкой оо очень просты:
т(г) — az + xOt а > 0, х0 е R.
Горизонтальные прямые {у = у0} при таких отображениях пе-
переходят друг в друга. Для окружностей {|г| = г} в D это не
так. В Ж любые два квадрата
{jc0 < х < jco + К h < у < 2h)
конгруэнтны в неевклидовой геометрии. Соответствующие конг-
конгруэнтные фигуры в круге сложнее. По этим и другим причинам
бывает удобнее использовать в качестве основной области Зву
а не D.
2. Теорема Пика
Конечным произведением Бляшке называется функция вида
Степенью произведения Бляшке называется число п его ну*
лей. Таким образом, произведение Бляшке степени 0 — это по*
стоянная, по модулю равная 1.
Очевидно, что
@ В непрерывно вплоть до dD,
(ii) \B\= 1 на dD,
(Hi) В имеет конечное число нулей в круге D.
Эти три свойства определяют В с точностью до множителя
J& В самом деле, если аналитическая функция / удовлетворяет
(i), (ii) и (iii), а В —конечное произведение Бляшке с теми же
нулями, то \f/B\ ^ 1 и |В//|^ 1 в D по принципу максимума,
и f/B постоянно.
Теорема 2.1 (Каратеодори). Если f^&, то существует по-
последовательность {Bk} конечных произведений Бляшке, пото-
поточечно сходящаяся к f в D.
Доказательство. Пусть

16 Гл. I Предварительные сведения
Применив индукцию, мы построим произведение Бляшке сте-
степени не выше гс, у которого первые п коэффициентов будут те
же, что у /:
Bn(z) = co + ciz+ ... + cn-izn~l + dnzn + ... .
Ясно, что такое построение доказывает теорему. Так как
|| 1, мы можем положить
(если |со|=1, то Во = Со — произведение Бляшке степени 0).
Предположим, что произведение Бляшке Вп-\ уже построено для
любой функции g^38. Положим
г 1 - f @) / (г)
Б сте-
стеи пусть Вп-\ — соответствующее g произведение Бляшке
пени не выше п— 1. Положим теперь
Ясно, что Вп — конечное произведение Бляшке и его степень
равна степени zBn-\(z), т. е. не превосходит п. Но
f(z) — B {Z)= gg<?+^°) гВп-хАг) + f @)
\+Ц0)г8(г) \ + f @) zBn-i (г)
(\+f{0Jg(z))(\+f@)zBn-iW
Поскольку g — Бп-\ имеет нуль порядка п—1 в начале коор-
координат, f — Вп имеет там нуль порядка п. ?
Последовательности коэффициентов {со, С\у ...} функций из
$ были полностью описаны Шуром [1917]. Здесь же мы дока-
докажем теорему Пика [1916], а не теорему Шура. Пусть {г^ ...
..., zn)—данные различные точки D. Пик определил, для ка-
каких {w\y ..., дол} конечная интерполяционная задача
B.1) f{zj)=wh j= I, ..., n,
имеет решение f ^&.
Теорема 2.2. Функция f<=&, удовлетворяющая B.1), суще-
существует тогда и только тогда, когда квадратичная форма
п

2. Теорема Пика 17
неотрицательна, Qn ^5 О Если Qn ^ 0, то существует решение
B.1), которое является произведением Бляшке степени не
выше п.
Конечно, из теоремы Пика сразу следует теорема Каратео-
дори, сама же теорема Пика доказывается труднее.
При п = 2 необходимое и достаточное условие разреши-
разрешимости интерполяционной задачи дается неравенством A.2). По-
Поэтому Q2 ^ 0 тогда и только тогда, когда \w\\ < 1 и A.2) вы-
выполняется. Эту связь легко проверить и непосредственно, так
как Q2 ^ 0 тогда и только тогда, когда |^i|< 1 и определи-
определитель Q2 неотрицателен:
A — I Ш1 |2)A-|ш2|2) ^ A-Uil2)(l-Iz2|2)
Ввиду (L5) последнее неравенство можно переписать в виде
W\ — W2
Z\ — Z2
что совпадаете A.2).
Доказательство теоремы. Мы применим индукцию
по п. Случай п = 1 очевиден, поскольку преобразования Мё-
Мёбиуса действуют в D транзитивно.
Предположим, что п> 1. Если задача B.1) разрешима, то
|^л|^ If а при |^Л|=1 функция / должна быть постоянной и
Wj = wn, I ^ j ^ п. Если же Qn ^ 0, то, полагая tn = 1, t}• = О,
j <С п, мы получим |шЛ|^1. При |шЛ|=1 подстановка // = О,
\фпу ky и разобранный выше случай п = 2 дают wk = wn при
всех k. Поэтому постоянная wn — произведение Бляшке степени
О — является решением задачи B.1), и теорема становится три-
тривиальной.
Итак, мы можем считать, что |пуп|< 1. Переведем теперь zn
и wn в начало координат. Положим
' X~ZnZi '
Пусть g связано с / по формуле
Ясно, что f^ty является решением B.1) тогда и только тогда,
когда geJ является решением интерполяционной задачи
B.3) ?(*'/) =Ч К
Кроме того, fug одновременно являются или не являются
произведениями Бляшке степени п. С другой стороны, форма

18
Гл. 1. Предварительные сведения
Q'n, отвечающая точкам {г\, ..., г'п_х, 0} и {w[, ..., w'n_lt 0},
тесно связана с Qn. В самом деле,
\-z\z\_
" ; *'
\-wtwk
• — Pjpkt
1 -:
откуда
B.4) Qn(tu ••., U) = Q
Стало быть, Qrt^O тогда и только тогда, когда Qn ^ 0. Итак,
мы можем считать, что zn = wn = 0 и, согласно B.1), /@) = 0.
Положим g(z) = f(z)/z. Очевидно, что /<=,$ решает B.1)
тогда и только тогда, когда g^& решает интерполяционную
задачу
B.5) g(z,) = w,/zh /=1, .... я-1.
Кроме того, / и g одновременно являются или не являются про-
произведениями Бляшке степеней п и п—1 соответственно.
По предположению индукции задача B.5) разрешима, если
и только если квадратичная форма
1 — яг#г- ' А
неотрицательна. Теперь теорема сводится к тому, чтобы дока-
доказать, что Qn ^ 0 тогда и только тогда, когда Qn-\ ^ 0, в пред-
предположении, что zn == wn = 0. Но при zn = wn = 0
/1-1 П-\ ,
Однако
/«I
2
I .
— г^Л
и, окончательно,
B.6) Q*(/i, •..

2. Теорема Пика
19
Стало быть, если <3*-i ^ О, то и Qn ^ 0, а подстановка
1
/я = — ? /, показывает, что и, обратно, CU-i ^ 0 при Qn
0. П
Следствие 2.3. Пусть Qn^0. Решение f^33 задачи B.1)
единственно тогда и только тогда, когда det Qn = 0. Если
det Qn = 0« пг < n — ранг Qn, то f является произведением
Бляшке степени пг. Обратно, если среди решений B.1) есть
произведение Бляшке степени пг <С п, то Qn имеет ранг пг.
Доказательство. Так как при |шя|=1 мы имеем
Qnz== 0, m = 0 и / = Wny то можно считать, что zn = wn = 0.
Далее, по B.4) Qn и Qrn имеют одинаковый ранг, а по B.2)
решения задач B.1) и B.3) одновременно единственны или не
единственны. Кроме того, решения B.1) и B.3) одновременно
являются или не являются произведениями Бляшке степени пг.
Итак, мы можем считать, что zn = wn = 0. Решение задачи
B.1) единственно одновременно с решением B.5), и оно яв-
является произведением Бляшке степени m тогда и только тогда,
когда решение B.5) является произведением Бляшке степени
m—1. Поэтому по индукции нам достаточно установить, что
B.7) rank Qn = 1 + rank Ол-ь
Но если (ujk) — матрица Qn-u то матрица Q* есть
1
1
1
Вычитая последнюю строку из всех предыдущих, а затем проде-
проделывая ту же операцию с последним столбцом (что не меня'ет
ранга), мы приведем матрицу к виду
aikzfzk
0
0
_0 ...01 1 _
Очевидно, что ранг этой матрицы равен 1 + гапк(ад). ?
Следствие 2.4. Пусть Qn^0 и det Qn > 0. Пусть далее
и z Ф zj, j = 1, ..., п. Множество значений
W = {f(z): /еД f(z,) = wh /=1 п)

20 Гл. I. Предварительные сведения
есть невырожденный замкнутый круг, целиком лежащий в D.
Если f — решение задачи B.1), то f(z)^dW тогда и только
тогда, когда f — произведение Бляшке степени п. Если w^dW,
то задана B.1) имеет только одно решение f^38y такое, что
/(*)=ш.
Доказательство. Мы опять предположим, что гп =
= wn = 0. По B.7) det Qn-\ > 0. По предположению индукции
W = {g(z): *€=#, g(z,) = w,/zh /¦= 1, .... n-1}
есть невырожденный замкнутый круг в D. Но тогда W =
= {zt>\ ?е Щ—тоже замкнутый круг в D. Поскольку w e dW
тогда и только тогда, когда w/z^dW, все остальные утверж-
утверждения также следуют по индукции. ?
К теме настоящего раздела мы еще вернемся в гл. IV.
3. Интеграл Пуассона
Пусть и — непрерывная функция в замкнутом единичном круге
В. Если и гармонична в открытом круге D, т. е.
А д2и . д2и Л
то по теореме о среднем
2я
Пусть теперь го = г?<00 — произвольная точка круга D. Для
значения u(zq) можно написать аналогичную интегральную
формулу, если перевести г0 преобразованием Мёбиуса в начало
координат. В самом деле, пусть t(z) = (z — Zo)/A—Zoz). По-
Поскольку единичная окружность dD т-инвариантна, мы можем
написать т(е/0)== е'ф, и дифференцирование дает
w- ^ de | e*e _ 2о р , _ 2г cos (е _ 6о) + г2 ^ w •
Функция Pro (В) называется ядром Пуассона (представляю-
(представляющим точку го). Функция u(x~l(z)) снова непрерывна вСи гар-
гармонична в D и по теореме о среднем
2я 2л
и (г0) = и (т-1 @)) = -йг J и (*'в) *Ф

3. Интеграл Пуассона 2Г
Это равенство называется интегральной формулой Пуассона..
Заметим далее, что
77
и поэтому при фиксированном 0 ядро Пуассона есть гармони-
гармоническая функция от 2. Следовательно, функция
C.2) "(z) =
гармонична в D при любом f^Ll(dD). Так как, кроме того,
Pz@) непрерывно по 6, то, заменяя в C.2) /@)i0 произволь-
произвольной конечной мерой d^i@) на 3D, мы снова получим гармони-
гармоническую в D функцию. Далее, из C.1) ясно, что формулу Пуас-
Пуассона можно интерпретировать как свертку:
и C.2) принимает вид
О
= {Р' *
Это отражение того факта, что пространство гармонических в D*
функций инвариантно относительно вращений.
Теперь отобразим D на верхнюю полуплоскость Ж по фор-
формуле w-+z(w)=i(\—ш)/A+ш). Пусть wo&D и zq =
= г(иУо) —его образ в Ж Так как наше отображение перево-
переводит 3D в R U{°°}, то Для ш = eiee dDt тф—1, имеем z{w) =
= /eRh дифференцирование дает
я (*о""
Р2о(/) называется ядром Пуассона для верхней полуплоскости..
Отметим, что Pz«(t) = Py0(xo — t) (это обозначение не приводит
к путанице, потому что го — точка из Ж, a yQ — нет). Делая
замену переменной w-+z в формуле Пуассона, мы сразу по-
получаем
C.3) и (г) = J Р2 (/) tt (/) Л = J Л, (х - /) и (t) dt,
если функция и непрерывна в Ж[){оо} и гармонична в 36. Так
как
то при фиксированном /gR ядро Пуассона есть гармоническая
в Зё функция от z. Из определения ясно, что Pz{t)^cz/(\ -f

Гл. I. Предварительные сведения
+ /2), где сг — зависящая от z постоянная. Поэтому
^ Lq(R) при любом q, I ^ q ^ оо, и функция
<3.4) ti{*)
гармонической в Ж для /eLp(R), 1 ^ р ^ оо. Поскольку
Pz{t)—непрерывная функция от ty функция C.4) останется гар-
гармонической, если заменить f(t)dt произвольной конечной мерой
d\x(t) на R и даже произвольной бесконечной положительной
мерой d\k{t), для которой
-]rd\i(t)<<x>
что интеграл Пуассона \ Pz{t)d\x(t) сходится).
Рис. I. 1. Линия уровня функции © (z).
Пусть теперь / — характеристическая функция интервала
(t\, <2)ci'R. Возникающая гармоническая функция
= \ Pz
t
зазывается гармонической мерой этого интервала (представ-
(представляющей точку г). Ее можно вычислить явно:
где а — угол, под которым интервал (tu t2) виден из точки z
(см. рис. 1.1). Для всех точек круговой дуги» проходящей че-
через t\y h и г, этот угол одинаков и равен углу между веще-
вещественной осью и касательной к этой дуге. В упр. 3 дается ана-
аналогичная геометрическая интерпретация гармонической меры
для единичного круга D.
Ясно, что формула Пуассона для верхней полуплоскости
снова имеет вид свертки:
В этом проявляется инвариантность пространства гармониче-
гармонических в Ж функций относительно сдвигов z-+z + x0, хо&к.

3. Интеграл Пуассона
Оно инвариантно также относительно растяжений z-+az> а > 0„
и из-за этого
т.е. Ру@—однородная функция степени —1.
Рис 1.2. Ядра Пуассона Я1/4 и
Перечислим важнейшие свойства ядра Пуассона (иллюстри-
(иллюстрируемые рис. 1.2):
0) Py(t)>0, \py(t)dt=l;
(ii) Py(t) четна, Py(t) = Py(—t);
(iii) Py (/) убывает при / > 0;
(v) sup Py(t)-+O (y^O) при любом й>0;
11\>6
(vi)
(y->0) при любом 6>0.
11\>(>
Кроме того, {Ру} является полугруппой относительно сверткиг
(vii) РУ1*Ру, = РУ1+у,.
Первые шесть свойств Py(t) следуют из определений (свой-
(свойства (iv) — (vi) можно вывести и из однородности Ру). Свойство*
(vii) означает, что для гармонической функции C.4) u(z + iy\)
является сверткой Руг и u(/ + /t/i), /eR. Для доказательства

24 Гл. L Предварительные сведения
(vii) рассмотрим функцию и {х + iy) = Ру+Ух (х). Она гармонична
в Ж, непрерывно продолжается на ^U{°°} и по C.3)
Ру^ + Уг (X) = \ Ру2 (X — t)U (t) dt = (Ру} * Руг) (X).
При изучении интегралов типа C.4) нам будет полезно ин-
интегральное неравенство Минковского:
Если \х и v — две о-конечные меры, 1 ^ р < оо и F(x,t)
у X \х-измерима, то
F(xtt)dv(x)\\ <\\\F(x, t)\\p dv(x).
Докажем неравенство Минковского, следуя доказательству его
частного случая для сумм. При р = 1 это просто теорема Фу-
Фубини. При р> 1 мы можем считать функцию F(xft) неотрица-
неотрицательной и простой, так что оба интеграла сходятся. Пусть
Тогда при q = р/(р— 1)
и по теореме Фубини и неравенству Гёльдера
]\F(x, t)dv(х)|[р =\G(/)dit(t) J F(x, t)dv(x) =
= J dv (x) J G (t) F (x, t) dp (t) < \ || О (t) ||L, w || F (x, t) \\lP ^ dv (x)
Сокращая на ||G|| p , получаем неравенство Минковского.
Применяя неравенство Минковского к C.4), получаем
C.5) (\\и(х,
если и(х,у)= Py*f(x)y f e Lp. Аналогично
C.6)
если u(x7y) = (Py*[i)(x)= ^Py(x — t)d\i(t)t \x — конечная
мера на R. При р = оо оценка C.5) тоже справедлива и выте-
вытекает из свойства (i) ядра Пуассона.
Теорема 3.1. (а) Если f<=LPf 1<р<<х>, го \\Py*f —
(

3. Интеграл Пуассона 25-
(b) Если / ^ L°°, то Py*f сходится при у^>-0 к f в слабой.
V-топологии пространства L°°, *
(c) Если [i — конечная мера на R, то меры (Ру * \х) {x)dx
сходятся при у^О к jli в слабой топологии пространства мер.
(d) Если f ограничена и равномерно непрерывна на R, та
Ру * f при # ->- О сходится к f равномерно.
Утверждение (Ь) означает, что для всех g^L1
\g(x)(Py*f)(x)dx^\g(x)f(x)dx9 y^O.
Аналогично утверждение (с) означает, что
для всех ge C0(R) (т. е. для всех непрерывных на R функций,
равных нулю в бесконечности).
Согласно теореме 3.1, функция / е Lp однозначно опреде-
определяется гармонической функцией u(z) = (Py*f) (x) — ее интегра-
интегралом Пуассона, и то же самое верно для меры |л. Кроме того,
из (а) или (Ь) следует, что
Заметим, что ввиду C.5) и (vii) функция y-+\\Py*f\\p моно-
монотонна.
Доказательство теоремы 3.1 опирается на неравенство Мин-
ковского и на непрерывность сдвигов в Lpy 1^р<сю: если
fx(t)—f(t — x), то ||/* — flip-*0 (я->0) (чтобы это установить,
достаточно приблизить f по L^-норме функцией из C0(R)). Ни
в L°°, ни в пространстве конечных мер сдвиги уже не будут не-
непрерывными; поэтому предложения (Ь) и (с) несколько слабее.
В пространстве равномерно непрерывных функций сдвиги, ко-
конечно, непрерывны по норме; по этой причине выполняется (d).
Доказательство теоремы 3.1. Пусть / е Lpt 1 ^ р ^
^ оо, причем для р = оо будем дополнительно считать, что
функция f равномерно непрерывна. Тогда
\\py*f- а=
При любом б > О
l\Py*f-f\\P< \ Py(t)\\ft-f\\Pdt+
М1б
\t\>6
Но сдвиги непрерывны bLp, а \ Py(t)dt^.\ Py(t)dt=\>
m<6

26 Гл. 1. Предварительные сведения
и поэтому \ сколь угодно мал при достаточно малом б.
С другой стороны, при любом 6 > О
\ Py(t)\\ft- f\\Pdt<2\\f\\p \ Py(t)dt-»O (y->0)
I ^ I ^ ^ 1^1 ^ ^
ввиду свойства (vi) ядер Пуассона. Следовательно, \\Py*f —
— /И-*0, и предложения (а) и (d) доказаны. Предложения (Ь)
и (с) следуют из (а) и (d) по соображениям двойственности. D
Следствие 3.2. Если f ограничена и равномерно непрерывна
и если
(Py*f){x), У>0,
-{
го функция и {ху у) гармонична в Ж и непрерывна в Ж.
Это следствие вытекает из предложения (d). Локальный ва-
вариант следствия 3.2 дается следующей леммой.
Лемма 3.3. Пусть f е/Д 1 ^ р ^ оо, и u(xty) = (Py*f)(x).
Если f непрерывна в точке х0, то
lim u(x, y) = f(xQ).
)
(X,
Доказательство. При любом б > 0
и(х, y)-f(xo)\<: \ Py{t)\f(x-t)-f(x0)\dt+
\t\>6
Но \ стремится к 0 при у->0 при каждом б, а \ сколь
|М>0 !М<6
угодно мал при достаточно малых б и \х — хо\. О
Отметим, что сходимость будет равномерной на любом под-
подмножестве EczRy на котором f ограничена и в точках кото-
которого непрерывность / равномерна.
Мы скоро увидим, что неравенства C.5), C.6) полностью
характеризуют интегралы Пуассона ^-функций и мер. Для до-
доказательства этого важного факта нам нужна следующая лемма.
Лемма 3.4. Если u{z) гармонична в Ж и ограничена и непре-
непрерывна в Ж, то
u(z) = \py(x-t)u(t)dt.
Доказательство. Заметим, что и может не быть не*
прерывной в оо, поэтому лемма нетривиальна.

3. Интеграл Пуассона 27
Пусть
Функция U гармонична в Ж, ограничена и непрерывна в ^ и
по лемме 3.3 U к 0 на R. Положим
V(z) = {_
?/<*), </<0.
Функция V ограничена и непрерывна во всей плоскости. Зна-
Значение V в любой точке z0 равно ее среднему значению по ок-
окружности с центром 20 и достаточно малым радиусом (для то-
точек 'R это очевидно по определению, а для остальных вытекает
из гармоничности U). Поэтому функция V гармонична во всей
плоскости и по теореме Лиувилля должна быть постоянной,
V(z) = V@) = 0. Следовательно, U = 0. D
Теорема 3.5. Пусть и —гармоническая функция в верхней
полуплоскости Ж. Тогда
(a) и является интегралом Пуассона функции из Lp, 1 <
< р ^ оо, в ro^i u только том случае у когда
C.7) sup||а(х, 0)llL,Wx)<«>.
(b) и является интегралом Пуассона конечной меры в том
и только том случае, когда
C.8) sup||и(х, У)\\иШ)<<х>.
у
(c) и положительна в том и только том случае, когда
\
где с^О и \i — положительная мера на R, для которой
Доказательство. Мы уже отмечали необходимость
условий C.7) и C.8). Пусть теперь C.7) или C.8) выполняется.
Покажем, что
C.9) 1«(*IШ1
По неравенству Гёльдера при ? =
\и(г)\ =
\
u(Qdtdr\
Д B. У)
Д (г, у)
0

28 Гл. I. Предварительные сведения
Ввиду C.9) наша функция и ограничена во всякой полу-
полуплоскости у > уп > 0 и по лемме 3.4
, (* - t) и (t + *уя) Л.
Пусть теперь #„ \ 0. Последовательность функций /я(*) =
= u(t + iyn) ограничена в LP. При 1 < р ^ <х> по теореме Ба-
Банаха— Алаоглу (замкнутый единичный шар пространства, со-
сопряженного к банахову пространству, компактен в слабой то-
топологии) последовательность {/„} имеет слабую предельную
точку / (= Lp. Но все ядра Пуассона лежат в сопряженном про-
пространстве Lqy q = p/(p— 1), и поэтому
u(z) = limu(z + iyn) = lim\py{x-t)fn(t)dt=[py(x-t)f(t)dt.
Тем самым (а) доказано. Доказательство (Ь) точно такое же,
но теперь уже меры u(t + iyn)dt слабо сходятся к некоторой
конечной мере \i.
Для доказательства (с) мы перейдем в круг D и восполь-
воспользуемся там аналогом предложения (Ь). Если гармоническая
функция и(г) в D положительна, то
и, согласно (Ь) (точнее, согласно аналогу (Ь) для круга с тем
же доказательством), функция и есть интеграл Пуассона в D
некоторой положительной конечной меры v на dD (положитель-
(положительной, так как v — слабый предел положительных мер u(rneie)dQ).
Таким образом, аналог предложения (с) для круга доказан.
Теперь отобразим D на Ж по формуле w^-z(w) = /A —
— w)/(l + w). Если и — функция в Ж из предложения (с), то
функция u(z(w)) будет положительной и гармонической в D и,
следовательно, интегралом Пуассона положительной меры v на
dD. Если мера v целиком сосредоточена в точке w = —1, то
{} {)y
Если же, напротив, v({—1}) = 0, то при отображении w-+z
v перейдет в конечную положительную меру v на R, а так как
при t = z(eie)
P(B) (l+t2)P(t)
то
где \х = пA +^2)л^. Общий случай есть сумма двух рассмотрен-
рассмотренных. D

4. Максимальная функция Харди — Литтлвуда 29
Все результаты этого раздела справедливы и в круге Dt где
их несколько легче доказать. Большинство результатов оста-
останется в силе, если заменить семейство {Ру (t) }y>o какой-нибудь
другой аппроксимативной единицей. Пусть семейство {q()}
интегрируемых функций на R таково» что
(a) \%(t)dt=l,
(b) \\%\\L><M<oo,
(c) lim sup [ ф» (t) | = 0 для любого б > 0,
0| t\>6
(d) lim \ \yy(t)\dt = Q для любого б > 0.
y->°\t\>6
Читатель легко проверит, что теорема 3.1 и ее следствия ос-
остаются в силе, если {Py*f} заменить на {ф^*/}.
4. Максимальная функция Харди — Литтлвуда
С каждой функцией f на R мы свяжем две вспомогательные
функции. Первая измеряет величину /, а вторая — поведение ее
интеграла Пуассона. Первую вспомогательную функцию можно
определить для измеримой функции / на произвольном про-
пространстве с мерой (X, \х). Это функция распределения
определенная при X > 0. Функция распределения т(Х)— убы-
убывающая функция от К — определяет /Анормы /. Если f^L°°y то
т (К) = 0 при X ^ ИЛ1оо и т {к) > 0 при X < ||/||оо, так что
11/1100 = sup{X: m(X)>0}.
Лемма 4.1. Если (X, |л)— пространство с мерой, f(x) изме-
измерима и 0 < р < оо, то
D.1) $ $
О
Доказательство. Мы можем считать, что / обращается
в 0 вне множества а-конечной меры, так как иначе обе части
D.1) бесконечны. Тогда теорема Фубини показывает, что обе
части D.1) равны мере подграфика {(*Д): 0 < X < \f(x) \?}y
а именно
l f\
\

Гл. I. Предварительные сведения
Нам еще понадобится простая оценка m(k)t известная как
неравенство Чебышева. Пусть /е Lp, 0 < р < оо, и
так что \х(Ех) = ш{Х). Неравенство Чебышева гласит:
т(Л)<||/|?ЛЛ
Оно вытекает из следующего наблюдения:
Функция /, такая, что ш(Х)^А/Кр, называется функцией из
слабого пространства LP. Таким образом, неравенство Чебы-
Чебышева утверждает, что всякая //-функция будет и функцией из
слабого LP. Функция jxlogxl^1 на [0,1] не входит в L1, но
для нее m(k) = оA/Я), Я-^оо, и, значит, это функция из сла-
слабого LK
Другую вспомогательную функцию мы определим только для
функций на :R. Напомним теорему Лебега о том, что если f(x)
локально интегрируема на R, то
x+k
D-2) ЙШ S
для почти всех xeR. Чтобы сделать теорему Лебега количе-
количественным утверждением, заменим в D.2) предел точной верх-
верхней гранью и введем под знак интеграла абсолютную величину
|/|. Длину интервала / будем обозначать через |/|. Макси-
Максимальная функция Харди —Литтлвуда для локально интегрируе-
интегрируемой функции / на R — это
Mf(x) = sup1jT\\f(t)\dt.
Если |gLp, p ^s 1, то Mf(x)< оо почти всюду. Это следует из
теоремы Лебега, но скоро мы увидим и другое доказательство
в теореме 4.3. Важное свойство Mf состоит в том, что она мажо-
мажорирует многие другие функции, связанные с f.
Теорема 4.2. Для а >0 и /gR пусть Ya(t)—сектор в 3@
с вершиной t и углом раствора 2 arctg а, изображенный на
рис. 1.3:
Ta(t)=*{{x,y): \x-t\<ay,0>y>°°}.
Пусть f<=Ll(dt/(\ + /2)), и пусть и{х, у) —интеграл Пуассона
для /,
и{х9 y)

4. Максимальная функция Харди — Литтлвуда 31
Тогда
D.3) sup | и(х, у) |< АаМf @, t <= R,
где Ла — постоянная, зависящая только от а.
Условие / е Ll(dt/(l + /2)) гарантирует сходимость интег-
интеграла \ Ру (s) f{x — s)ds.
Доказательство. Мы можем считать, что / = 0, Рас-
Рассмотрим сначала точки @,у) на оси сектора Га@). Тогда
u(O,y)=\Py(s)f(s)ds,
причем ядро Py{s)—положительная четная функция, убываю-
убывающая при положительных 5. Это означает, что Py(s) является
Рис. 1.3. Сектор Га@, а = 2/3.
выпуклой комбинацией площадок (l/2/i)x(-/i, h){s)> которые вхо-
входят в определение Mf. Выберем ступенчатые функции fin(s)>
тоже неотрицательные, четные и не возрастающие при s > О
так, чтобы hn(s) с ростом п стремились, возрастая, к Py(s).
Тогда hn(s) имеет вид
Z
где й/>0и \ hn d$ = V 2a/jC/< 1. См. рис. 1.4. Стало быть,
/ f -xf
Ввиду монотонной сходимости
Фиксируем теперь (х, у)^ Га @). Тогда \х\<ау и Py(x — s)
мажорируется положительной четной функцией ^(s), убываю-

32
Гл. I. Предварительные сведения
щей при s > 0 и такой, что
Эта функция есть ty(s) = sup{Py(x — t): |/|>s}. Прибли-
Приближая tf> (s) снизу ступенчатыми функциями hn(s)y мы имеем, как
и раньше,
\$(s)\f(s)\ds<:AaMf(O),
\и(х, y)
а это и есть D,3). D
Рис. 1.4. Ядро Ру (s) и его приближение hn(s) положительной комбинацией
площадок (\/2xf) %(_ ^ (s).
Теорема 4.2 с тем же доказательством остается в силе и для
интегралов Пуассона функций на dD, когда сектор заменяется
областью
— У I
которая при г->в/(р асимптотически близка к углу с вершиной
е"Р. Это весьма общая теорема. Ее доказательство показывает,
что Ру(х — s) можно заменить любым ядром уу(х — s), огра-
ограниченным положительной четной функцией t))(s), зависящей от
(х, У), убывающей при s >0 и такой, что \iMs)ds<i4a при
{х,у)€вГа@ (см. Стейн [1970]).
Максимальная теорема Харди — Литтлвуда— это следующее
утверждение.

4. Максимальная функция Харди — Литтлвуда 33
Теорема 4.3. Если /eL"(R), 1 ^ р ^ оо, то Mf(t) почти
всюду конечна.
(а) Если /е L](R), то Mf из слабого L1,
(Ь) ?Ъш fetP(R), 1 <р<оо, го M/e
\\Mf\\p < 4P||/|U
Лр зависит только от р.
В (а) мы обозначили через \Е\ меру Лебега множества
Ed R. Тот факт, что М / < оо почти всюду, следует из (а) или
(Ь). Условие (а) означает, что оператор М— слабого типа
A — 1). Неравенство слабого типа в (а)—наилучший возмож-
возможный результат для Mf при fei1. Заметим, что Mf не может
лежать в L1 для / Ф 0, потому что при больших х
Зх
-У \
если llflh^O. Если функция f сосредоточена на конечном интер-
интервале /, то
[ Mf(t)dt < оо тогда и только тогда, когда \ | /1log*\f\dt < оо;
доказательство мы оставляем в качестве упражнения. Полагая
f(t) = (\/h)%(o,h)(t)y A-*0, легко видеть, что постоянную в (а)
нельзя улучшить.
Доказательство теоремы 4.3 использует две дополнительные
теоремы: в части (а) — лемму Витали о покрытиях и в части
(Ь)— интерполяционную теорему Марцинкевича.
Лемма 4.4. Пусть jn — положительная борелевская мера на R
и {/ь ..., 1п)—конечное семейство открытых интервалов в R.
Существует его подсемейство {/ь ..., /т}, такое, что // по-
попарно не пересекаются и
Ну.'О-
Доказательство. По индукции можно заменить семей-
семейство {/ь ..., /„} таким его подсемейством с тем же самым объ-
объединением, что никакой интервал lk не содержится в объедине-
объединении остальных. Пусть lk в этом подсемействе имеет вид (а*, C*);
перенумеруем эти интервалы так, чтобы
«1 ^ а2 ^ ... ^ ап.
2 Зак. 829

34 Гл. I. Предварительные сведения
Тогда Р^+1 > {5fe, так как в противном случае h+i с: /*. Кроме
того, ak+\ > Рл-ь так как иначе Ik a Ik-\ U h+\ Значит, интер-
интервалы с четными и интервалы с нечетными номерами образуют
подсемейства без попарных пересечений. Но
Z n(/*)+ I ii(/*)>ii(u /*).
ft четно k нечетно \fc = l /
и в качестве {//} мы выбираем интервалы с четными или не-
нечетными номерами, смотря по тому, какая из сумм больше. D
Доказательство теоремы 4.3(а). Пусть feL1 и
% > 0. Множество Е\ = {t: Mf(t) > А,} открыто и, следовательно,
измеримо. Для любого /е?^ найдется открытый интервал /,
содержащий t> для которого
и это то же самое, что
D.4) UKJ-Jlflrf*.
/
Пусть К — компактное подмножество множества Е%\ покроем
К конечным числом интервалов /ь ..., /„, удовлетворяющих
D.4). Применение леммы 4.4 к {Л, ..., 1п) даст нам попарно
непересекающиеся интервалы }\, ..., Jm, удовлетворяющие
D.4) и такие, что
п
feU
Теперь
\К\<
и/*
*-' / I,
Заставляя \К\У возрастая, стремиться к |?х|, мы полу-
получим (a). D
Доказательство части (Ь) основано на интерполяционной
теореме Марцинкевича.
Теорема 4.5. Пусть (X, ц) и (Y,v) — пространства с мерой,
1 < Р\ ^ оо. Предположим, что Т — отображение L1 (X, \х) -J-
-f LPl (X, [i) в множество ^-измеримых функций, такое, что
@ \T(f + g)(y) \<\Tf(y)\ + \Tg(y)\',
(И) у {у: \Tf(y)\>b)<№)\\fil /eL1;
(Ш) v{y: \Tf(y)\>K}^((Al/X)\\f\\pf, f&L*
(при p\ = оо мы предполагаем, что \\Tf\\oo ^ i4i|[/||oo).

4 Максимальная функция Харди — Литтлвуда 35>
Тогда при 1 < р < рх
где Ар зависит только от Ло, А\, Р\ и р.
Предположение, что область определения отображения Г
есть L1 {X, \i)-{-Lpl(X, \i)y нужно только для уверенности в tomv
что Tf определено при всех [eip, 1 ^р^Р\. Для /е Lp по-
положим / = /x{m>i) + /x{|M<i> =f + /,- Тогда \{0\<\f\p^Lv
и |/,|<!/!"»€=?».
Прежде чем доказывать нашу теорему, докажем с ее по-
помощью оставшуюся часть (Ь) максимальной теоремы Харди —
Литтлвуда.
Доказательство теоремы 4.3 (Ь). В этом случае
оба пространства с мерой суть (R, dx) Ясно, что оператор М
удовлетворяет условию субаддитивности (i). Условие (ii) мы
доказали как часть (а) теоремы Харди — Литтлвуда. Возьмем
р, = оо; условие (Hi) будет выполнено с А\ = 1 Теперь тео-
теорема Марцинкевича утверждает, что
\\Mf\\p < /IJ/IL ККоо,
что и сказано в части (Ь) теоремы 4.3. Конечно, отсюда следует,,
что Mf <Z оо почти всюду. П
Доказательство теоремы 4.5. Зафиксируем f^Lpv
1 <р < ри и Х>0. Пусть Ех = {у: \Tf(y) |>X}. Мы получим
сильную оценку для v(?^) и затем воспользуемся леммой 4.1,
чтобы оценить \\Tf\\p. Остроумная идея Марцинкевича состоит
в том, чтобы расщепить f на уровне \/2А\. Положим
То= /%{х: j f (х)|>Х/2Л,}» М === 1^{х: \f(x)\ <Х/2Л,}*
Тогда \Tf(y)\^\ TfQ fo)| + | Tf, (У) |, Ел с: Вк [) Сх, где
А-{у: |Щ»)|>Л/2}, Ск = {у: \ Tf{ (у) \ > Х/2).
Теперь по (ii)
у(Вх)<2^11/о11.<2^ \ \f\dpi.
| f\>\/2Ai
Чтобы оценить v(C^), рассмотрим два случая. Если рх = оо, та
llflU<V2i41 и по (iii) Сх = 0. (Это объясняет появление Ai
в определении /0 и /i). Если р\ < оо, то по (iii)
Ш < А./2Л,

36 Гл. I. Предварительные сведения
Теперь учтем, что v(?\) ^ vF*) + v(C\), и применим лемму 4.1.
Случай р\ = оо легкий:
|М>Л/2Л,
потому что р— 2>—1. Стало быть, Г/е/Л Если р\ < оо,
то появится дополнительный вклад от v(Cx,):
Первый интеграл мы уже оценили в доказательстве случая
р, = оо. Второй интеграл равен
оо
BЛ,)*р$|/|* J
2Л I
If!
так как р — р\ — 1 < —1. Вместе эти оценки дают
ШИр<ЛрШр) где i4j<2Mf 1(y^T + -
что доказывает теорему. ?
Интересно, что при р-+\ Арщ:А/(р— 1) при некотором Л,
и если р\ = оо, то lim Л^^Л^ Для максимальной функции мы
получаем Л?<р2р+1/(р - 1).
Другие разбиения / = /o + /i дают более точные оценки за-
зависимости Ар от Ло и Л[ (см. Зигмунд [1968], гл. XII).
5. Некасательная максимальная функция
и теорема Фату
Пусть а > 0; рассмотрим секторы
Га(/) = {ге<3#: \x — t\<ay}> /eR,
Некасательной максимальной функцией для гармонической
в 5$ функции и называется функция
u(t) = sup | «(г) |,
rft«)

5. Некасательная максимальная функция 37
Значение и* зависит от параметра а, но, поскольку а фик-
фиксировано, мы будем пренебрегать этим обстоятельством.
Теорема 5.1. Пусть u(z) гармонична в Ж и 1 ^ р < оо.
Пусть
sup \\u(x + iy)\p dx < оо.
у J
Если р> \, то u*(t)^Lp и
E.1) \\u*\f<Bpsup\\u(x + iy)fdx.
У у J
Если р = 1, то и* входит в слабое О и
E.2) |{/: U*(/)|>MK-T-sup \\u(x + iy)\dx.
у J
Постоянные Вр зависят только от р и а.
Доказательство. Пусть р > 1. Тогда и (z) есть инте-
интеграл Пуассона некоторой функции /eZ/(R) и
По теореме 4.2 u*(t)^: AaMf(t) и теорема Харди — Литтл-
вуда дает E.1).
Если р= 1, то мы знаем только, что и (z)— интеграл Пуас-
Пуассона конечной меры jli на R и что
так как ц является слабым пределом мер u(x-\-iy)dx при
у-+0. Положим
М {d\i) (/) =* sup ~Ш-.
Доказательство теоремы 4.2 показывает, что «*(/) ^ ЛаМ(ф) (/).
А доказательство теоремы 4.3(а) показывает, что M(d\i){t)
есть функция из слабого L1 и
Значит, E.2) выполняется в случае р = 1. ?
Некасательная максимальная функция и* будет важнее для
нас, чем максимальная функция Харди — Литтлвуда Mf. Сле-
Следующее предложение приведено для того, чтобы подчеркнуть
силу теоремы 5.1.

38 Гл. I. Предварительные сведения
Следствие 5.2. Если u{z) гармонична в Ж, а р> 1, то
p
у у
Отметим, что следствие 5.2 при р = 1 неверно. Пусть
u(*,y)=Py*f(x), /eL1, /5*0. Тогда sup|u(*f у) | ^ Mf(x),
но М\фЬ\
Теорема 5.3 (Фату). Пусть u(z) — гармоническая функция
вЗ@и\^р^: оо. Предположим, что
sup\\u(x + iy)\\Lp{dx) <°о.
Тогда при почти всех t существует некасательный предел
lim u(z)
a
Если р > 1, то u(z) есть интеграл Пуассона своих гранич-
граничных значений f(t) и при 1 < р < оо
Если р= 1, то и (г) есть интеграл Пуассона конечной меры
р. на R, связанной с граничным значением f(t) формулой d\k =
= f(t)dt + dv9 где dv сингулярна относительно меры Лебега.
Доказательство. Пусть сначала 1^/?<оо> и пусть
u(z)—интеграл Пуассона ф\нкции f^Lp. Мы покажем, что
u(z) имеет некасательный предел f(t) при почти всех t. Можно
считать функцию / вещественной. Положим
Qf (t) = Ши (z) — lim и (г), z <=Га (/).
По максимальной теореме Qf(t) ^:2u*(t)^:2AaMf(tI и как Qf,
так и верхний и нижний пределы в отдельности конечны почти
всюду. Функция Qf(t) представляет собой некасательное коле-
колебание функции и в точке t, и и имеет некасательный предел в t
тогда и только тогда, когда Q/ (/) = 0.
По теореме 5.1 и неравенству Чебышева при р > 1
E.3) |{/: Qf@>e}|<B
Если теперь g^Lp и, кроме того, ^gCo(R), to по теореме 3.1
Qg = 0 при всех t и, стало быть, Qf = Qf+g. Выберем такое
eC(R), чтобы ||/ + ^11р^е2. Тогда
е} |
Следовательно, Qf(t) = O почти всюду и и имеет некасательный
йредел почти всюду. Этот предел почти всюду совпадает с /(/),

5. Некасательная максимальная функция 39
потому что u(x-\-iy) сходится к )(х) в Lp. Это доказывает тео-
теорему в случае 1 <С р < оо, а также и в случае р = 1 при усло-
условии, что и (г) есть интеграл Пуассона функции из /Л
Пусть /? = сю, a u(z) = (Py*f)(x), /gLw. Пусть Л >0 и
Д0 = Ы0 + Ы0. где f2 = 0 на (-Л.Л) и ft e= L1. Тогда
и(г)= ul(z) + u2(z)> где Uj(z) = (Py*ff) (*)>/ = I, 2. Уже было
доказано, что u\(z) почти всюду имеет некасательный предел
МО» а по лемме 3-3 /2@ = 0 всюду на (—А, А) является пре-
пределом u2(z). Устремляя А к оо, мы получим нужный результат
ДЛЯ р = оо.
Наконец, пусть р = 1 и sup || и (х + /у) ||L, {rfx) < оо. Тогда и (z)
есть интеграл Пуассона конечной меры \i на R. Пусть d\i =
= f(t)dt + dv, где dv сингулярна относительно меры Лебега.
Положим «i(z) = (Pt/*/) (я), «2B) = (Pi/ * v) (x). Тогда «(г)=:
= HiB) + ^2B). Выше было показано, что u\(z) почти всюду
имеет некасательный предел f(t). Так как v сингулярна, то сле-
следующая лемма показывает, что ыгСг) имеет почти всюду нека-
некасательный предел 0, что и заканчивает доказательство. ?
Лемма 5.4. Если v — сингулярная конечная мера на К, то
(Py*v)(jc) почти всюду некасательно стремится к 0.
Доказательство. Можно считать, что v ^ 0. Так как v
сингулярна, то
(б.4) lim v((/-*,« + *»b0
Л0 гп
для почти всех ^ по мере Лебега. В самом деле, если E.4) не-
неверно, то можно выбрать компактное множество К, такое, что
|/C|O(/C) O
2fl
Покроем К конечным числом интервалов//так, чтобы v(U//)<e
и v(//)>a|//|. По лемме о покрытиях 4.4 из {//} можно вы-
выбрать непересекающиеся интервалы {//} так, чтобы
что невозможно при достаточно малом е.
Пусть теперь E.4) выполняется для некоторого /s'R. Пусть
2еГа@. и Для простоты пусть Rez=t. Так как v ^ 0, то
(Py*v)(t)= \ Py(t-s)dv(s)+ J Py(t-s)dv(s).
\s-t\<Ay \s-t\^Ay
Второй интеграл не превосходит {яА2у)~1 \dv. Если мы при-

40 Гл. I. Предварительные сведения
близим Py(s)%nst<A)(s) снизу четными ступенчатыми функ-
функциями, как в доказательстве теоремы 4.2, то увидим, что
\ Py(t-s)dv(s)< sup »«'-*;' + »».
\s-t\<Ay Н<А»
Выбирая А = А (у) так, чтобы при у-+0 было Ау-*О, но
Л2у-^оо, мы получим Ру *v{t)-+Q (#-^0). Оценки в случае
|* — ^|<а# совершенно такие же, и мы оставляем их чита-
читателю. ?
Положительная мера а на Ж называется мерой Карлесона,
если существует такая постоянная N(o)y что
E.5) o(Q)^N(a)h
для всех квадратов
Q = {лго < х < х0 + А, 0 < у < Л).
Наименьшая такая постоянная jV(g) называется нормой Карле-
сона меры а.
Лемма 5.5. Я#сгь а — положительная мера на Ж и а > 0.
Мера а является мерой Карлесона тогда и только тогда, когда
существует такое число А — А (а), что
E.6) <*{\u(z)\>X}^A\{t: u*(t)>k}\t Я>0,
для любой гармонической функции u(z) в Ж Здесь и*(t) —не-
—некасательная максимальная функция для u(z) no сектору
{\х — t\<ay}. Если А—наименьшая постоянная, для которой
выполняется E.6), то
сх{а)А ^N(o)^c2(a)A.
Доказательство. Выберем а=1; для других а до-
доказательство такое же. Пусть а — мера Карлесона. Открытое
множество {t: и*(()>%} есть объединение последовательности
непересекающихся открытых интервалов {//} с центрами с(//).
Пусть Т, — «домик»:
T,={z: |*-c(//)| + «/<|//|/2},
т. е. равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотену-
гипотенузой //. Если \и(г) \ > X, то u*(t)>X на интервале {|/ — х\ < у},
который содержится в одном из //. См. рис. I. 5. Следовательно,
{z: \u(z)\>X)czUJh
В силу E.5)
оо
a {z: | и (г) | > X) < S о (Г,) < Л^ (a) S 11, | = N (а) | {/: и' (/) > Л} |,
и E.6) выполняется.

5. Некасательная максимальная функция 41
Обратно, пусть / = {х0 < t < х0 + Л} и u(z) = Л/ */(*),
где /(*) = 4Ях/(*)- Тогда a(z)>^ в квадрате Q с основанием
/, и по E.6) и максимальной теореме
°{Q) < Л | {^: «'(О > Я} К (ЛСД) Hflh^ ACh,
т.е. а —мера Карлесона. ?
Теорема 5.6 (Карлесон). /7//сгь /е^(К), ы пусть и (г) обо-
обозначает интеграл Пуассона функции f. Если о — положительная
h
Рис. 1.5.
мера на верхней полуплоскости, то следующие утверждений эк-
эквивалентны.
(a) а — мера Карлесона.
(b) При \<р < оо «(г)е^(а) для ecex f
(c) При 1 < р < оо
(d) Для всех /eLl(R) справедливо неравенство
a{z: |иB)|>Я,}<-
(Ь) ил« (с) выполняются для какого-нибудь одного зна-
значения р, 1 <С р << оо, то выполняется (а). Постоянные Ср зави-
зависят только от р и от постоянной N(o) из E.5); в действитель-
действительности можно взять Ср = BpN{o), где Вр — постоянная из тео-
теоремы 5.1 (с а=1). Если (с) или (d) выполняются, то E.5)
выполняется с N(g)^ 4pCp.
Доказательство. Если (а) выполнено, то по E.6) и
теореме 5.1 выполняются (с) и (d). Очевидно, что (с) влечет
за собой (Ь); если же (Ь) выполняется при некотором р, то по
теореме о замкнутом графике для банаховых пространств вы-
выполняется и (с) (при том же р).
Пусть теперь выполнено (d) или (с) при некотором р,
1 <С р <С оо. Как в доказательстве леммы 5.5, положим / =

42 Гл. I. Предварительные сведения
= {хо < / < хо + А}, /(*) = 4Х/(О> и(г) - Р* • /(х). Тогда
||/||р = 4^и«(г)>1 на Q = / X(О, А). Стало быть,
и E.5) выполняется1). П
6. Субгармонические функции
Пусть Q — открытое множество на плоскости. Субгармониче-
Субгармонической функцией в Q называется такая функция v: Я—¦[—оо, оо),
что
(а) v полунепрерывна сверху
v (z0) > !lm v (z), г0 е= Я;
(Ь) для каждого го^Я найдется г(го)>О, такое, что круг
Д(г0, r{zo)) = {z: \z — zo\ < г(г0)} содержится в Я и для лю-
любого г < r(zo)
F.1) „^х-!-. JJ v{z)dxdy.
\*-z*\<r
Полунепрерывность гарантирует, что v измерима и ограни-
ограничена сверху на каждом компактном подмножестве множества Я,
так что интеграл в F.1) или сходится, или расходится к —оо.
Каждая гармоническая функция является и субгармониче-
субгармонической, но главный наш пример субгармонической функции — это
v(z)= log|/(z)|, где / — аналитическая функция в Я. Ясно, что
v полунепрерывна сверху. Условие F.1) тривиально, если
/(го) = О. Если же /(го)^=О, то в некоторой окрестности г0 вы-
выделяется однозначная ветвь log/B), и v(г) = Re(log/(z)) гар-
гармонична в этой окрестности. Значит, при /(го)?=О F.1) выпол-
выполняется со знаком равенства.
Лемма 6.1 (неравенство Иенсена). Пусть (Xy\i)~простран-
(Xy\i)~пространство с вероятностной мерой, т. е. ц(Х)=1. Пусть v^Lx(\x) —
вещественная функция, а у (t) —выпуклая функция на R. Тогда
*) Прямое доказательство оценки (с) теоремы 5.6 (и тем самым тео-
теоремы 4.3 в части (Ь)) при р = 2, не опирающееся на леммы о покрытиях
и на интерполяционные теоремы, дал С. А. Виноградов (см. Никольский
[1980*], стр. 195—200). Это доказательство пригодно и для Rn. О связи
между теоремами 4.3 и 5.6 см. Карлесон [1967] (стр. 75 и 118 русского пе-
перевода). — Прим. ред.

6. Субгармонические функции 43
Доказательство. Выпуклость функции ф означает, что
она является верхней огибающей линейных функций:
Если at + b ^ ф @, то
а точная верхняя грань левой части этого неравенства есть
$ ?
Неравенство Иенсена верно и при \ vd^i = —оо, если пред-
предположить, что ф определена при / = —оо и возрастает на
[—со, со]. В этом случае доказательство тривиально.
Теорема 6.2. Пусть v(z)— субгармоническая функция в Q,
a (f(t) — возрастающая выпуклая функция на [—со, со), непре-
непрерывная при t = оо. Тогда функция ф ° v субгармонична в Q.
Доказательство, ф непрерывна на [—со, со), посколь-
поскольку каждая выпуклая функция непрерывна на R. Значит, ф°и
полунепрерывна сверху. Функция ф возрастает, поэтому при
г0ЕЙиг< r(zo)
SJ v(z)dxdyY
А (г0. г) )
Теперь по неравенству Иенсена
\\ y(v(z))dxdtj,
А (лго, г)
а это и есть F.1) для фоу. D
Например, для аналитической в Q функции f(z) функ-
функция |/(z) \р = ехр(р log|/B) |) субгармонична при 0 < р < со,
Функция log+1 / (z) | = max (log | / (z) |, 0) также субгармонична
в Q. Для гармонических функций ситуация иная —функция
\и\р субгармонична только при р^\ (по неравенству Гёль-
дера).
Теорема 6.3. Пусть функция v: й->[—со, оо) полунепре-
полунепрерывна сверху. Она субгармонична в Q тогда и только тогда,
когда выполняется следующее условие: если u(z) — функцияг
гармоническая на ограниченном открытом подмножестве W а Й,
и
lim {v B) — и (г)) < 0

44 Гл. I. Предварительные сведения
для всех ^е dW, то
v(z)^u(z), z(=W.
Доказательство. Пусть и (г) субгармонична, а и (г)
и W такие, как указано выше. Тогда V{z)=v(z)—u(z) суб-
субгармонична в W и Hm V(z)<0 для всех ^?#.
Сейчас мы покажем, как при обычном доказательстве прин-
принципа максимума, что К<0 в W. Можно считать, что W связно.
Предположим, что а = sup V (z) > 0. Пусть {zn} — последова-
w
тельность в W, такая, что У(г*)->а. Поскольку а > 0, то zn
не могут сгущаться к dW\ стало быть, существует их предель-
предельная точка 2GIF. Ввиду полунепрерывности V(z)=a и множе-
множество
E={zetW: V(z)=a}
непусто. Множество Е замкнуто, так как V полунепрерывна
сверху и а — ее максимальное значение.
Так как V(z)^ а на W, то при г0 е Е неравенство для сред-
среднего F.1) показывает, что V(z) = a почти всюду в А (го, г) при
некотором г > 0. Значит, Е плотно в А (го, г). Так как Е замк-
замкнуто, то A(zo, r)czE и Е открыто. Но W предполагалось связ-
связным. Мы пришли к противоречию и должны заключить, что
Обратно, пусть 2ogQ и А (го, г) czQ. В силу полунепрерыв-
полунепрерывности v найдутся непрерывные функции un(z)y которые, убы-
убывая с ростом пу стремятся на дД(го, г) к v (г) при гг->оо. Пусть
Un(z)—гармоническая функция в А (го, г) с граничными значе-
значениями Ил (г). Функцию Un можно получить из ип при помощи
интегральной формулы Пуассона для единичного круга после
надлежащей замены переменных. Мы знаем из разд. 3, что Un
непрерывны на А (го, г). По предположению у(го)^ Un{zo) и
v (г0) < lim -gj- J ип (г0 + re") dQ = -^ \ v (г0 + re") dQ
по теореме о монотонной сходимости. Усредняя это неравенство
по мере rdry получаем F.1), и v(z) оказывается субгармониче-
субгармонической. ?
Проведенное доказательство показывает, что если v (z) суб-
субгармонична в Q, то F.1) выполняется при всех г > 0, для ко-
которых Д(г0, r)c=Q. Кроме того, мы можем заменить в F.1)
среднее по площади круга средним по окружности, так что
условие
^\ 0<r<r(z0),
эквивалентно F.1).

6. Субгармонические функции 45
Следствие 6.4. Если Q — открытое связное множество, v(z)
субгармонична в Q и v(z)^ —оо, то при Д(г0, г)сй
- оо.
Доказательство. Пусть ип (г) — непрерывные функ-
функции, которые, убывая, сходятся к v(z) на dA(zo> r)y a Un(z) —
их гармонические продолжения в А(г0, г). Если
-оо,
то, так как v ограничена сверху, а ядра Пуассона положительны
и ограничены, мы имеем
Следовательно, Un(z)->— оо при всех г?ДB0,г), и по тео-
теореме 6.3 v = —оо в A(zo, r). Непустое множество {z^Q:
y(z) =—оо в окрестности z) оказывается открытым и замкну-
замкнутым, что приводит к противоречию. ?
Теорема 6.5. Пусть v — субгармоническая функция в единич-
единичном круге D и и(г)Ф —оо. Для 0 < г < 1 положим
v (г), | z | > г,
\1г{Ь)ъ{ге*)йв, \г\<г.
Тогда vr(z) субгармонична в D и гармонична при |г|<г>
vr(z)^ v(z), гЕД и vr(z)—возрастающая функция от г.
Доказательство. Мы знаем из следствия 6.4 и из
разд. 3, что функция vr(z) конечна и гармонична в А @, г) =
= {|z|<r}. Для проверки полунепрерывности vr(z) в точке
го s 5A @, г) нам нужно показать, что
v(z0)^ lim vr(z).
\z\<r
Это следует из аппроксимационных свойств ядра Пуассона и по-
полунепрерывности функции v. Пусть zo = reiQo. Для е>0 най-
найдется б > 0, такое, что v(re®\l< v(zo) + г при |0 —60|<б.
Тогда, если |г|<ги \z — zo| мало, то
1
+ -± (sup v (re*)) J PzJr (9) dQ^v (z0) + 2e.
e ie-eo|>a
Следовательно, иг полунепрерывна сверху.

46 Гл. I. Предварительные сведения
Если мы снова рассмотрим непрерывные функции un(z)t
•стремящиеся, убывая, к v (г) на <ЭЛ(О, /*), то мы получим, как
в доказательстве следствия 6.4, v(z) ^ vr(z). Так как v субгар-
субгармонична, то это неравенство показывает, что vr(z) удовлетво-
удовлетворяет F.1) при всех го, |го| = г. Следовательно, vr{z) субгармо-
нична в D.
Если г > s, то Vr = (vs)r, и так как vr^v для любой суб-
субгармонической функции v, то функции vr(z) возрастают вместе
сг. D
Следствие 6.6. Если v(z)—субгармоническая функция в D,
то
— возрастающая функция от г.
Субгармоническая функция v (г) в Q имеет гармоническую
мажоранту, если существует гармоническая функция U(z), та-
такая, что v(z)^ U(z) в й. Если п связно, v(z)^ — oo и v{z)
имеет гармоническую мажоранту, то процесс Перрона для ре-
решения задачи Дирихле даст наименьшую гармоническую мажо-
мажоранту а (г). Это гармоническая функция, мажорирующая и (г)
и такая, что u{z)^U(z) для любой другой гармонической ма-
мажоранты U{z) функции v(z) (см. Альфорс [1966] или Цудзи
[1959]). Поскольку нас интересуют только односвязные обла-
области, то мы не нуждаемся для получения гармонических мажо-
мажорант в замечательном процессе Перрона, а можем вместо него
использовать ядро Пуассона.
Теорема 6.7. Субгармоническая в D функция v(z) имеет
гармоническую мажоранту тогда и только тогда, когда
sup -=— \ v (re1*) dQ = sup vr @)
r Z7t J r
В этом случае ее наименьшая гармоническая мажоранта равна
и (z) = lim J Pz/r (9) и (re1*) dQ/2n «lim уг (г).
Доказательство. Если suptv@)<oo, то по теореме
г
Гарнака функции vr(z), возрастая, сходятся к конечной гармо-
гармонической функции u(z) в D. Поскольку v(z)^Vr(z)y она будет
гармонической мажорантой v (z). Обратно, если U(z) гармо-
гармонична и v(z)^U(z) в Z), то по теореме 6.3 U(z)^vr(z) при
всех г. Следовательно, supyr@)<oo, и снова u(z) = lim vr(z)
конечна и гармонична. Так как yr(z)^ U{z), то w(^)^ [/(г) и,
значит, и (г)— наименьшая гармоническая мажоранта. D

6. Субгармонические функции 47
Поскольку по непрерывности u(z) = lim u(rz), то наименьшая
гармоническая мажоранта функции v(z) может быть записана
в виде
В частности, если v(z)^0 и если v (г) имеет гармоническую
мажоранту, то ее наименьшая гармоническая мажоранта есть
интеграл Пуассона слабого предела ограниченных положитель-
положительных мер v(reie)dQ/2n.
Теорема 6.8. Пусть v(z)—субгармоническая функция в верх-
верхней полуплоскости Ж. Если
sup \ \v(x + iy)\dx = M < оо,
у J
то v(z) имеет в Ж гармоническую мажоранту вида
u(z)=\Py(x-t)dn(t),
где \х— конечная вещественная мера на R.
Доказательство. Неравенство
F.2) V(z)^
доказывается так же, как аналогичное неравенство C,9) в на-
начале доказательства теоремы 3.5. Пусть у0 > 0; рассмотрим
функцию
и (г) = иУо (z) = J Ру.Уо (x-t)v (/, у о) dt,
гармоническую в полуплоскости {у>Уо}. Мы проверим, что
и (г) ^ u{z) при у > у0. Пусть е > 0 и А > 0 достаточно велико.
Пусть un(t) — непрерывные функции, сходящиеся, убывая, к
v(t-\-iy0) на [—АУА]. Положим
А
Un (г) = \ Ру-у»{* - 0 Ип @ dU У > ft,-
Функция
V()()
субгармонична при у > yQ. При каждом е мы имеем lim V (г) =
е=-оо в силу F.2), и lim V(z)s^0 для t^\A\ при доста-
zMt,yo)
точно большом А. Если |*| < Л, то lim V (z)^v(tf y0) — un(t)^0+
По теореме 6.3 (после конформного отображения) V(z)^:0 при
У>Уо- Устремляя последовательно n-^оо, Л->оо и е-*-0, по-

48 Гл. I. Предварительные сведения
лучаем v(z)^u(z) при у > у0. Меры v(t,yo)dt ограничены при
(/о->0и имеют слабую предельную точку d\i{t)y так что
hmuyo(z)=\Py(x-t)dii(t)
является гармонической мажорантой функции v(z). ?
На самом деле u(z) будет даже наименьшей гармонической
мажорантой функции v(г), но этот факт нам не потребуется.
Замечания
Дальнейшие приложения леммы Шварца см. в книгах Аль-
форса [1973] и Каратеодори [1954, т. II] и в статье Неван-
линны [1929].
Пик [1916] изучал конечную интерполяционную задачу B.1)
для функций, отображающих верхнюю полуплоскость в себя.
Теорема 2.2 легко выводится из работы Пика при помощи кон-
конформного отображения (см. Неванлинна [1919]). Доказатель-
Доказательство в тексте взято у Маршалла [1976с], который до этого
[1974] опубликовал несколько иное доказательство. Теоретико-
операторные подходы к этой теореме см. у Сарасона [1967],
Секефальви-Надя и Кораньи [1956] и Донохью [1974].
Последовательности коэффициентов функций в D с положи-
положительной вещественной частью были описаны Каратеодори
[1911] и Тёплицем [1911]. Теорема Шура [1917] утверждает,
что функция /е 3S с разложением
существует тогда и только тогда, когда неотрицательно опреде-
определена матрица 1п — А*пАп, где 1п — единичная (п-\- 1)Х(л + 1)-
матрица и
с0 сх ... сп
О с0 ... с„_
.0 0 ... со .
Доказательство намечено в упр. 21 гл. IV. См. у Цудзи [1959]
вывод теоремы Шура из результата Каратеодори —Теплица.
Теоремы Пика и Шура вместе содержатся в недавнем результате
Кантора [1981], который нашел матричное условие, необходи-
необходимое и достаточное для интерполяции функцией из J? с конеч-
конечным числом производных в конечном числе точек1).
1) В связи с леммой Шварца н ее обобщениями укажем книгу Жюлиа
[1935*]. О задаче Пика и о других классических интерполяционных задачах
см. Ахиезер [1961*], Уолш [I960], Сарасон [1967], Никольский [1980*], Крейн
и Нудельман [1973*]. — Прим. fkd.

Упражнения и дальнейшие результаты 49
Максимальную функцию ввели Харди и Литтлвуд [1930], но
ее важность была понята значительно позже. В своем доказа-
доказательстве Харди и Литтлвуд использовали перестановки функ-
функций. Лемма 4.4 взята из книги Гарсиа [1970], где она приписы-
приписывается У. Г. Юнгу. См. также у Стейна [1970] другую лемму
о покрытиях, справедливую и в R", и более общее обсуждение
максимальных функций и аппроксимативных единиц.
Книги Зигмунда [1968] и Стейна и Вейсса [1971] содержат
дальнейшую информацию о теореме Марцинкевича и других
теоремах об интерполяции операторов.
Теорема Фату содержится в его классической статье [1906],
написанной вскоре после введения интеграла Лебега. Тео-
Теорему 5.6 см. у Карлесона [1958, 1962а]. Приведенное доказа-
доказательство леммы 5.5 принадлежит Е. М. Стейну.
Мы лишь слегка коснулись обширной теории субгармониче-
субгармонических функций. Среди большого числа важных работ отметим
книги Цудзи [1959] и Хеймана и Кеннеди [1976], которые могут
служить путеводителями по литературе.
Некоторые авторы называют неравенством Йенсена нера-
неравенство
и другие родственные неравенства, но мы сохраняем это назва-
название за неравенством из леммы 6.1. Поскольку логарифм вогнут,
эти два кандидата на название «неравенство Йенсена» наце-
нацелены в разные стороны.
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Пусть /(г)е^, /@) = 0, |/'@)| = 6>0. Если |г|<
< ц < б, то
и в круге {|z|<ti} функция /(г) принимает каждое значение wy
ровно один раз. (Указание. Если ^(г) = Дг)/г, то
Г||
)||)
2. Пусть /(=#.
(a) Если / имеет в D две неподвижные точки, то /(г)=г.
(b) Пусть е > 0; предположим, что p(f(zi), z\) < e и
p(f(z2),z2) для двух различных точек Z\ и z2 из D. Если г
лежит на гиперболической геодезической дуге, соединяющей z\
и г2, то

50
Гл. I. Предварительные сведения
с абсолютной постоянной С. (Указание. Можно считать, что
z = 0, z! = —r<0, z2 = s>0 и f(zx) = zi. Тогда /@)е=
е/((гь г)П/С(г2, s+ е) и евклидово описание кругов K(z\,r) и
/С(г2, 5 + е) дает верхнюю границу для \f @) | = p(f @), 0).)
(с) Пусть eiB и е'ф— различные точки окружности д?>. Пред-
Предположим, что {гп} и {wn} — две последовательности в D, такие»
ie 1 (f{
что Zn
eie
{}
1*, p(f{zn),
и p(f(wn), wn)-+0. Тогда f
оставляет неподвижными все точки на дуге геодезической, сое-
соединяющей eib с е^} и поэтому /(г) = г.
Этот результат появится снова в упр. 9 гл. X.
3. Пусть / = (ЭЬ 92) — дуга единичной окружности 6D. Тогда
в,
ю (г) = [ Рг (9) dQ/2n, z^D,
в,
— гармоническая мера дуги /. Докажите, что ш(г)=а/я —
— @2 — 0i)/2n, где а = arg ((е<9> — z)/(e'e» — г)), как это пока-
Рис 1.6.
зано на рис. 1.6 (см. Каратеодори [1954] или Неванлинна
[1953]).
4. Для г, w e D определим расстояние Глисона
и расстояние Гарнака
Н (z, ^) =
Тогда
: w гармонична в D, и>о\.
Ы (zy w)
где p(z, w) = | (г — ш)/A — wz) |. Для доказательства (i) срав-
сравните ядра Пуассона; для доказательства (п) рассмотрите

Упражнения и дальнейшие результаты 51
— f(w))/(l — fiw)f(z))> f^&- Родственное равенство
(zt w)
следует из упр. 3 и конформной инвариантности. См. по этому
поводу Кёниг [1969] или Бэр [1970]
5. Если g{z) ограничена и аналитична в угле
я если lim g(x) = ay то в любом меньшем угле Г'
lim g(z) = a.
1
Г'
(Указание. Нормальные семейства.)
6 (лемма Жюлиа). Область
представляет собой круг в D, который касается 3D в точке
2=1. Он называется орициклом. Пусть /е^5; предположим,
что существует последовательность {zn} в D, такая, что гя-^1,
l-jn^l^<oo.
Тогда /(№*)<= №л* для fe > О, или, что то же самое,
В частности, Л > 0. (Указание. Выберите г„ так, чтобы
A — | гя |) / A — г л) -* ft. Неевклидовы круги К (zn, rn) сходятся
к Wky а неевклидовы круги /С(/(гя),гя) сходятся к l#W По
лемме Шварца /(К(гл> гл))с К(/(гл),гя). См. Жюлиа [1920]
и Каратеодори [1929])
*7 (угловая производная). Положим для fe^
1 - | f[z) |2 /1 - I z |2 •
(а) Пусть В = сю. Если гл-^1, то по лемме Жюлиа
I - I / (гп) I ^ ^
Следовательно,
Гэг->1 ^ ~" z

52 Гл. I. Предварительные сведения
в любом угле
Г = {гЕЙ: Т^ТТТ <а}> а> L
(b) Пусть В < оо. Тогда S > 0 и по лемме Жюлиа
Возьмем вещественные zn = хп-+ 1. Тогда
|1-/(лгп)|2<ВA-|/(лгп)|2)
и /(хп)-> 1. Более того, неравенства
l A-
показывают, что
Значит, для zn = ^n предположения леммы Жюлиа выполняются
с А = В. Далее,
так что
"' \-\f
Отсюда следует, что arg(l—/(*))-*0 при х-+1 и, следова-
следовательно,
ж->1-П ' — х х->1-0 1—* х->-1 —О 1~х
(с) Снова пусть В < оо. В любом угле Г = {|1—г|/A —
|))
Пользуясь упражнением 5, заключаем, что
Iim '~f(z) =B, Iim f'{z) =
l 1~2 Г эг->1
для любого угла Г.
(d) Существует и другое доказательство, использующее ин-
интегральное представление Пуассона положительных гармониче-

Упражнения и дальнейшие результаты 5$
ских функций. Пусть F(z) = (l + f(z))/(\ — f(z)). Тогда
и найдется положительная мера ц, такая, что
1 - I г |2
где цо уже не имеет нагрузки в 0. Очевидно, что В ^ 1/ц({0}) и:
В = оо при ц({0})=0. Далее
и если z->l внутри угла Г, то последний интеграл стремится:
к 0. Следовательно, В = 1/ц({0}). Так как
то похожее рассуждение дает
¦)
8. Предположим, что отображение /: D^~D таково, что для:
любых трех различных точек гь z2y г3 из D найдется функция
g^3S (зависящая от z\, гг, 2з), для которой
г(г/) = /(г/), /=1,2,3.
Тогда /—аналитическая функция. (Используйте теорему Пика
или непосредственно покажите, что / удовлетворяет уравнениям.
Коши — Римана.)
9. Пусть и (г)— вещественная гармоническая функция в D..
Покажите, что и (г) есть разность двух положительных гармо-
гармонических функций тогда и только тогда, когда
sup [\u(rel*)\dQ
г J
<оо,
т. е. тогда и только тогда, когда u{z)—интеграл Пуассона ко-
конечной вещественной меры на дй. Дайте пример гармонической,
функции, которая не является разностью двух положительных,
гармонических функций.
1) В связи с упр. 5—7 см. Жюлиа [1935*]. — Прим. ред.

t>4 Гл. I. Предварительные сведения
10. Пусть Ecz.R компактно, |?| = 0. Существуют гармони-
гармонические функции Vn(z) на Ж> п = 1, 2, ..., такие, что
(О vn(z)>0,
(ii) lim vn{z) = oo, t<=E,
3%t
(Hi) lim vn (z) = 0, z <= Ж.
rt->oo
11. (а) Будем писать /eL|oc, если f измерима и |/| инте-
интегрируема на каждом компактном множестве. Если feL}oc(R)f
то почти всюду
x+fi
lim ^ t lf@-/(*)l* = 0.
Множество тех jc, для которых это верно, называется лебегов-
ским множеством для /. (Указание. Доказательство теоремы 5.3
доказывает, что почти всюду
x+h
/(x)=lim Jr- \ f(t)dt.
x-h
Заменяя / на \f — c\, где с рационально, получаем нужный ре-
результат.)
(Ь) Пусть ф(л:)е11, \ y(x)dx = 1, и пусть ${х) — наимень-
наименьшая четная убывающая мажоранта \ц>{х) |:
*U)= sup
Если if e L1, то оператор
будет слабого типа A — 1),
\{х: MJ
и будет ограничен в Z/\ 1 < р ^ оо,
Если f e Lp, 1 ^ р ^ оо, то почти всюду
Точнее, (ЕЛ) выполняется в каждой точке лебеговского множе-
множества функции / (которое не зависит от ф).
(с) Сформулируйте и докажите подобный результат для не-
некасательной сходимости и некасательной максимальной функции.
12. Если f(x) сосредоточена на ограниченном интервале I,

Упражнения и дальнейшие результаты 55
то \Mf(x)dx < оо тогда и только тогда, когда \| /|Iog+| f\dx < oo
(Е. М. Стейн [1969]).
13. Пусть \х — положительная борелевская мера на R, конеч-
конечная на компактах. Положим
Покажите, что
p|т
и что
\\MVLf\pd\i^Cp\\f\pd\i, I <p<oo.
Выведите отсюда, что для jn-почти всех х
x+h
x-h
14. Если \х— положительная сингулярная мера на R, та
ц-почти везде
11ГП гт = ОО. 1)
Л->0 ^Л
16. Пусть v (г) — положительная субгармоническая функция
в единичном круге и
Тогда log m{r)—возрастающая выпуклая функция от log г, т.е.
если logr = flogri +A — /)logr2, 0 < t < 1, то
— 01ogm(r2).
16. Если <p(z) принадлежит классу С2 в окрестности замкну-
замкнутого круга А(г0, R) = {z: \z — го|^/?}, то по теореме Грина
Л (г0, R)
*17. Пусть и(г)Ф —оо полунепрерывна сверху в плоской об-
области Q.
(а) Если уеС2 иДу=="^ + -^4->0,то у субгармонична
в Q (см. упражнение 16).
1) Это теорема Валле-Пуссена, См. Сакс [1949*], стр. 190—195. — Прим
ред.

336 Гл. I. Предварительные сведения
(b) Пусть x(z)<= C°°(R2) таково, что
X(z)dxdy = i.
Предположим, что функция х радиальна, х(г) = х(М)» и по-
положим Хв(г) = е-2х(г/е). Тогда
= ^ v(z)%f,(w —
принадлежит С°° в йе={^ЕЙ: dist(w9dQ)> г}. Докажите,
что v субгармонична в Q тогда и только тогда, когда Д(и*Хе)^
^0 в Q8 при всех е > 0. В таком случае v*%ey убывая, схо-
сходятся к v в Q.
(с) Пусть Со° (Q) означает пространство бесконечно диффе-
дифференцируемых функций с компактными носителями, лежащими
в Q. Если qx=Co°(Q) и/еС2(Й),то
\\ fAydxdy = \\
Q п
(снова теорема Грина). Если
O при
"то f субгармонична в Q (возьмите ф(-г) —Хе(го—z))*
Слабым лапласианом функции v ^ Lioc (Q) называется функ-
функционал
Если v полунепрерывна сверху и ее слабый лапласиан неотри-
дателен (т. е.
феСо°°(а), ф>0),
то у*Хе субгармонична при всех е > 0 и, стало быть, v субгарт
монична. Значит, v(z) субгармонична тогда и только тогда,
когда ее слабый лапласиан неотрицателен.
(d) Слабый лапласиан функции log|z — zo|, eo^Q, —это
часто встречающаяся мера. Найдите ее.
(e) Если v (г) субгармонична в Q, то по теореме Рисса о
представлении ее слабый лапласиан есть положительная боре-
левская мера, конечная на компактных подмножествах множе-
множества Q. Обозначим ее через Av. Тогда в Qe
1 Г 1
V^~^~2n) °g | z — w |
тде he(z) гармонична в Qe. Это — разложение Рисса субгармо-
субгармонической функции v(г). (См. Ф. Рисе [1926].)

Глава II
ПРОСТРАНСТВА
Классическая теория пространств Харди Нр представляет собой
смесь вещественного и комплексного анализа. Вторая глава яв-
является кратким введением в эту теорию, с ударением на тех ре-
результатах и той технике, которые нам понадобятся в даль-
дальнейшем.
Вот три краеугольных камня теории:
(i) некасательные максимальные функции;
(и) субгармоничность \f\p и log|/| для аналитической функ-
функции /;
(iii) использование произведений Бляшке для сведения за-
дач к случаю аналитических функций без нулей.
Существуют две №-теории — одна для круга, а другая для
полуплоскости. Это теории-близнецы; мы вводим их одновре-
одновременно.
1. Определения
Пусть 0<р<оо и /(г)— аналитическая функция в D. Мы
скажем, что / е Нр = Hp(D)y если
<оо.
При р = оо мы скажем, что fe//°°, если /(г) —ограниченная
аналитическая функция вДи будем писать
Таким образом, единичный шар в #°°, т. е. {fe#°°: II/IU ^
^ 1}, — это класс $у изучавшийся в первых разделах гл. I.
Замечания о субгармонических функциях из гл. I показывают,
что fEWp тогда и только тогда, когда субгармоническая функ-
функция \\\р имеет гармоническую мажоранту, \\f\\pHP для р < оо —
это значение наименьшей гармонической мажоранты в z = 0.
Это второе определение Нр в терминах гармонических мажо-
мажорант конформно-инвариантно. Оно используется для определе-
определения Нр в произвольных плоских областях или на римановых
поверхностях. Однако пространства Нр в верхней полуплоскости
Ж имеют специальное определение, которое не является кон-

Гл. II. Пространства Нр
формно-инвариантным. Пусть /(г)— аналитическая функция
в 36. При 0 < р < оо мы скажем, что f ^ Нр = Нр (dt), если
При р = оо мы обозначаем через Н°° пространство ограничен-
ограниченных аналитических функций в ^ с нормой II/IL = sup | / (г) |.
Отметим, что в определении Hp(dt) участвуют все у, 0 < у <оо,
а не только малые значения */. Например, если
е~izlp
()
то J [ g (х + iy) \р dx = ney(l + уу\ и g (г) ф Нр (dt).
Пусть z = t(w) = t(l — w)/(\ + ш)— конформное отображе-
отображение круга D на Ж. Ясно, что f °t e H°°(D) тогда и только тогда,
когда f^H°°{di). Однако при р < оо, к сожалению, Hp(D) и
Hp(dt) не переходят друг в друга. Например, HP(D) содержит
ненулевые постоянные, a Hp(dt) — нет. Чтобы изучать Hp(D) и
Hp(dt) вместе, мы докажем две простые леммы.
Лемма 1.1. Если 0<р<<х>, a f e Hp(dt), то субгармониче-
субгармоническая функция \f\p имеет гармоническую мажоранту и в Ж, та-
такую, что и@<A
Доказательство. Это вытекает из теоремы 6.8 гл. I. ?
Лемма 1.1 показывает, что если f^Hp(dt), то g(w) =
и ^1/
Лемма 1.2. Если 0 < р < то ы f — га/сая аналитическая
функция в верхней полуплоскости, что \f\p имеет гармоническую^
мажоранту, то
лежит в Hp(dt) и
0.1) Х
где u(z) — наименьшая гармоническая мажоранта функции
1/(*)|р.
Доказательство. Пусть и(г) — наименьшая гармони-
гармоническая мажоранта функции |/(г)|р. Положительная гармони-
гармоническая функция u(z) имеет вид
0.2) и(г)=су+ \Py(x-t)d\i(t),

1. Определения 59
Г = ^rTFTTTT^' f{z) [P <т tt
где с ^ 0, а \л — положительная мера на R, для которой
Следовательно,
i f (г) Г
и по A.2) и теореме Фубини
= сг/ + J Р1+1, (/) dn @ = - с + и (A+ у) I).
Стало быть, F(z) e Hp (dt). Доказательство теоремы 1.6 показы-
показывает, что \ \F(x + iy) \pdx — убывающая функция у. Значит,
Лемма 1.2 показывает, что если g(w)^ Hp(D), то
где w (г) = тт (г), ||/7I|^p<||^||^/). Мы увидим в разд. 3, что
обратное утверждение к лемме 1.2также верно и ||/г||^р = ||^||^-
Отметим, что {z + i)~2/p в Ж не обращается в 0, и поэтому мно-
множество нулей функции из Hp(D) под действием т снова перехо-
переходит в множество нулей функции из Hp(dt).
При р ^ 1 Нр — нормированное линейное пространство.
При р < 1 неравенство
показывает, что Нр — метрическое пространство с метрикой
Теорема 1.3. При 0 < р ^ оо Нр полно.
Доказательство. Можно считать, что р < оо. Мы да-
дадим доказательство для полуплоскости; в круге оно почти та-
такое же. Ключевое неравенство
A.3) \f{x + ly)\<(±)XIP\\t\\HP, У>0,
следует из F.2) гл. I. Оно показывает, что любая последова-
последовательность Коши {/„} из Нр поточечно сходится в^к аналити-

60 Гл. II. Пространства Нр
ческой функции /. Но лемма Фату дает
\\f(x + iy) -fn(x + iy) f dx < lim J | /m (x+iy)-fn (x+iy) fdx^
< Hm \\fm-fn\\pHP.
Следовательно, ||/ — fjl?p< Hm ||fm — fn\\php, и Нр полно. D
2. Произведения Бляшке
Мы покажем сейчас, что нули {zn} ненулевой функции из Нр
в круге удовлетворяют условию Бляшке
B.1) Е0-1*я|)<оо.
Замечательно, что BЛ) не зависит от р. Если же B.1) выпол-
выполнено, мы построим специальные функции из Н°° — произведения
Бляшке — с множеством нулей {г*}. Произведения Бляшке бу-
будут играть большую и все возрастающую роль в дальнейших
главах этой книги.
Теорема 2.1. Пусть f{z) — аналитическая функция в круге,
[{г)Ф0 и {zn}—нули функции /(г). Если log|f(z)| имеет гар-
гармоническую мажоранту, то
Если (@)Ф0 и u(z) — наименьшая гармоническая мажоранта
функции log|/(z)|, то
Доказательство. Заменяя при необходимости /(г) на
f(z)/zNt мы можем считать, что /@)=т^0. Тогда по теореме 1.6.7
где и — наименьшая гармоническая мажоранта функции log|f|.
Выберем г<1 так, чтобы \zn\^ r для всех п\ пусть
Z\> ..., Zn — все нули с |г/|<л Функция f{rz) аналитична в
замкнутом круге и имеет нули z\/rt ..., zn/r. Пусть
— конечное произведение Бляшке с теми же нулями, и пусть
g(z)= f(rz)/Br(z). Функция g аналитична в D и не обращается
в нуль, а потому

2. Произведения Бляшке 61
Так как \g{eie) \ = \\{гет) |, мы получаем известную формулу
Иенсена:
log rfr =-^ J log |/(re«)|de.
Устремляя г к 1, находим, что
^ ТГТ <lim ^Г \ 1о^' ^ (г^'в) I de~bg I / @) l=w @)— log I f @) f.
Ho 1 — |г/|^ logA/|г/|), и теорема доказана. П
Если f<=HP(D)y то log|f|^(l/p)|/|p и log:|f| имеет гармо-
гармоническую мажоранту. Значит, если f^Hp(D) или (по лемме 1.1)
если f(w) = F(z{w))y где F<=Hp(dt)y то ? A-1*Я1)< «>.
Теорема 2.2. Пусть {zn}—такая последовательность точек
круга Д что
m — число гя, равных 0. Гогйа произведение Бляшке
сходится в D. Функция В (г) принадлежит H°°(D)y а ее нули
суть в точности {zn}> причем каждый нуль имеет кратность,
равную числу его появлений в последовательности {zn}. Кроме
того, |В(г)|< 1 и
почти всюду.
По определению произведением Бляшке в D называется
функция вида B.2).
Доказательство. Можно считать, что |г«|>0 при
всех п. Положим
Произведение Ц bn сходится bDk аналитической функции с ну-
нулями {zn} тогда и только тогда, когда ряд 2|1—bn{z)\ схо-
сходится равномерно на каждом компактном подмножестве круга
D. Но
и сходимость следует из B.1).

62 Гл. II. Пространства Нр
Поскольку \Ьп{г)\^\у то очевидно, что 5(г)еЯ°° и
|()|^1. Ограниченная гармоническая функция В(г) почти
всюду имеет некасательные граничные значения В(еш)у
\В(еш) |^1. Чтобы доказать, что почти всюду \B(eie) |= 1, по-
п
ложны Вп (z) = П bk(z). Тогда B(z)/Bn(z) тоже будет произве-
произведением Бляшке и
В@)
я @)
2я J
I.
Полагая п->-оо, получим
так что |В(г'9) | = 1 почти всюду. ?
Множители —Zn/\zn\ введены с целью сделать сходящимся
ряд ? argbn(z). Для лучшего их запоминания стоит отметить,
что при таком выборе Ьп@) > 0.
По теоремам 2.1 и 2.2 аналитическая функция f(z) допускает
факторизацию
f(z) = B(z)g(z), z^Dy
где B(z)—произведение Бляшке, a g{z) не имеет нулей в D>
тогда и только тогда, когда log|/(z)| имеет гармоническую ма-
мажоранту.
В верхней полуплоскости условие B.1) заменяется на
<0° г = Х + 1У
а произведение Бляшке с нулями'{zn} есть
П J7tJ1
Если модули \zn\ ограничены, то B.3) принимает вид
2 Уп < °°> а множители сходимости в произведении Бляшке
не нужны, так как ТТ z ~~ ?п уже само сходится.
Теорема 2.3 (Ф. Рисе). Пусть 0 < р < оо. Яг/сть Д2:)е
^ HP{D), f Ф 0, {г*} — н//л^ функции f и B(z)— произведение
Бляшке с нулями {zn}. Тогда функция g{z) = f(z)/B(z) при-
принадлежит Hp(D) u\\g \\Ир = || / \\нр.
Доказательство. Как отмечалось выше, произведение
В (г) сходится для f^Hp. Пусть Вп — конечное произведение

2. Произведения Бляшке 63
Бляшке с нулями гь ..., zn> a gn = f/Bn. По теореме 1.6.6 при
Если 1 — R мало, то |Вп(^'е) | > 1 — е и
Так как |g"n|, возрастая, стремятся к \g\, а |g|^|/|, то
lllUP = ll/V- ?
Теорема 2.3 справедлива и для Hp(dt), потому что из дока-
доказательства теоремы 1.6.8 следует
sup \ [ / (х + iy) |p dx = \\m\\f(x + iy) |p dx.
Произведения Бляиже допускают простое описание в тер-
терминах гармонических мажорант.
Теорема 2.4. Пусть f^#°°(D), НЛ1яоо^1. Следующие ут-
утверждения эквивалентны:
(a) f(z) = XB(z)f где X —постоянная, |Х|=1, а В(z) —про-
—произведение Бляшке.
(b) lim \log\f (re1*) \dQ/2n = 0.
(c) Наименьшая гармоническая мажоранта функции
\og\ f(z) | гсть 0.
Доказательство. Эквивалентность (Ь) и (с) доказы-
доказывается теоремой 1.6.7.
Предположим, что f(z)—произведение Бляшке с нулями
{zn)\ пусть е > 0. Мы можем поделить /(г) на такое конечное
произведение Бляшке Bn(z)f что | (f/Bn) @) | > 1 — е. Но Вп
непрерывно в D и \Вп(еш) |= 1, откуда
Так как \og\f/Bn\ — субгармоническая и отрицательная функ-
функция, то
Стало быть, (Ь) выполняется.
Пусть теперь выполняется (с). Положим g{z) = f(z)/B(z),
где В (г)—произведение Бляшке, построенное по нулям функ-
функции /(г). Тогда

64 Гл. II. Пространства Нр
так как Ц/IU ^ 1. Поскольку log|g(z)| является гармонической
мажорантой функции log|/(e) |, то по условию (с) log|g(z)| =
= 0. Значит, g(z) = X, где X — постоянная, |Х|=1, и (а) вы-
выполнено. D
3. Максимальные функции и граничные значения
Пусть f(z)^Hp(dt). Если р> 1, то мы знаем из гл. I, что не-
некасательная максимальная функция /*(/) входит в № и что
/(г) некасательно стремится к //-функции f(t) почти всюду.
Важное свойство пространств Нр состоит в том, что такое по-
поведение сохраняется при всех р, 0 < р ^ со.
Теорема 3.1. Пусть 0 < р < со, и пусть f(z) — функция из
Hp(dt). При любом а > 0 некасательная максимальная функ-
функция
входит в Z/(R) и
C.1) p
где Аа зависит только от а. Далее, при почти всех /sR /(г)
имеет некасательный предел /(f)eP(R), причем
C.2) .
Доказательство. Случай р > 1 нашей теоремы доказан
в разд. 5 гл. I (кроме независимости Аа от р). Чтобы охватить
р, меньшие 1, мы используем теорему 2.3. Пусть [еЯ^, }Ф0,
пусть B(z)—произведение Бляшке с теми же нулями, и пусть
g(z) = f(z)/B(z). Тогда \\g\\HP = \\f\\HP, и так как |f(*)|<
<|g(*)|, то |/M0Kk*@l- пУСть Pi>1. Так как g не
имеет нулей и^е Нру то аналитическая функция gpiP]L принадле-
принадлежит Ир\ Следовательно, (g*)PlPl = (gplpl)* e Lpl, и по теореме
1.5.1
Выбирая pi = 2, мы видим, что C.1) выполняется с постоян-
постоянной, не зависящей от р (ведь /* ^ g*).
Далее, G (z) = g {z)p/Pi имеет почти всюду некасательный пре-
предел G(t). Выбирая р\ так, чтобы pi/p = m было целым числом,
мы видим, что g(z)= G(z)m тоже имеет некасательный предел.

3. Максимальные функции и граничные значения 65
Поскольку B(z) почти всюду имеет граничные значения, мы за-
заключаем, что и /(г) почти всюду их имеет. Теперь из C.1) и
теоремы об ограниченной сходимости вытекает, что f^Lp(R)
и что выполняются C.2) и C.3). ?
Равенство C.2) устанавливает изометрию между Hp(dt) и
замкнутым подпространством пространства LP(R). При р < 1,
хотя LP и не является банаховым пространством, оно является,
как- и Нру полным метрическим пространством с метрикой
d(f> g) = II f — g lip» При p^ 1 это пространство граничных зна-
К-
чений функций из Нр допускает простое описание.
Следствие 3.2. Пусть l^p^oo и f^Lp(R). Функция f(t)
почти всюду совпадает с некасательным пределом функции из
Hp(dt) тогда и только тогда, когда ее интеграл Пуассона
f(z) = Py*f (x) является аналитической функцией в Ж Этот
интеграл Пуассона f(z) и есть соответствующая функция из Нр.
Доказательство. Если feLp(R) и /(z) = Ру */(х)
аналитична, то, согласно гл. I, f{z)^ Hp(dt) и /(г) некаса-
некасательно сходится к f(t). Обратно, предположим, что /(г)—про-
/(г)—произвольная функция из Hp(dt). Если р> 1, то по теореме 1.5.3
f(z) имеет некасательные пределы f(t) и /(г) = Ру *}(х). Слу-
Случай р= 1 покрывается теоремой 3.1. Если /gW1, to по A.3)
и лемме I. 3.4
\ t, e>0.
Согласно C.3), это значит, что /(г) есть интеграл Пуассона
своей граничной функции f(t). О
Некоторые дальнейшие характеристики граничных значений
функций из Нр см. в упр. 2. Ввиду C.2) мы можем отождествить
f(z)^Hp с ее граничным значением f(t) l). Однако мы не ука-
указываем какого-либо метода восстановления f(z) no f(t) при
р>1.
Конечно, теорема 3.1 остается в силе и для круга. Равен-
Равенство C.2) для соответствия f(z)-+f{ei0) показывает, что Hp(D)
изометрично замкнутому подпространству в Lp(dQ/2n). При
р < 1 функция f(z) есть интеграл Пуассона от f(eiQ). Аналог
C.3),
вместе с тем очевидным фактом, что f(rz)> г < 1, является сум-
суммой своего равномерно сходящегося ряда Тейлора, показывает
нам, что пространство граничных значений функций из HP(D)
1) И мы пишем ||/||р вместо |1Л1яр*
8 J*.*. з:э

66 Гл. II. Пространства Ир
при р < оо совпадает с замыканием в Lp(dQ/2n) аналитических
полиномов. Далее, если последовательность полиномов pn{eiQ)
сходится к f(eiQ) в Lpy то по C.2) \\рп — /||?р->0. Поскольку
Hp(D)cz Hl(D)> p^ 1, то при р ^ 1 граничные значения функ-
функций из Hp(D) имеют ряды Фурье
с одними лишь неотрицательными показателями. Коэффициенты
Фурье
совпадают с коэффициентами Тейлора функции |B)=J]fl/,
Таким образом, теория пространств Нр образует мост между
гармоническим и комплексным анализом.
В случае верхней полуплоскости мы выводим из C.3), что
равномерно непрерывные ограниченные функции плотны в Нр.
Действительно, если fs№, то
Шя". у>о.
в силу предыдущего неравенства и леммы Шварца, применен-
примененной к кругу А (г, у/2). Нам понадобятся также некоторые клас-
классы более гладких аналитических функций, которые плотны в
Hp(dt) и будут играть роль полиномов. Пусть N — положитель-
положительное целое число, и пусть Ялг обозначает семейство функций из
Hp(dt)y таких, что _
(i) f(z) непрерывна в Ж и бесконечно дифференцируема,
/6С»;
(ii) lim |zHf(*)| = 0, гшЖ.
\ |
\ Z |
Следствие 3.3» Пусть N — целое положительное число. При
0<р<оо класс §(л/ плотен в Hp(dt). Если же /(г)еЯ°°, то
найдутся такие функции fnGfc, что ll/nlU ^II/IU и fn(t)-+f(t)
почти всюду.
Доказательство. Если бы не условия убывания (и), то
мы могли бы приблизить / гладкими функциями f(z-\-i/n)y ко-
которые сходятся к / в Я" при р < оо и ограниченно сходятся
к /(/) почти всюду при р = оо.

3. Максимальные функции и граничные значения 67
Но существуют такие специальные функции gk(z), что
(a) ftBN«w,
(b) |Ы*I<1> Z^Z6,
(c) j*BhU6«, й^оо.
Заметим перед тем, как строить g*, что функции
fn(z) = gn(z)f(z+\/n)
лежат в %n и дают нужное приближение к /.
Сердцевину доказательства — построение gk(z)— мы дадим
для единичного круга, имея в виду, что w = — 1 соответствует
г = оо. Пусть ак < 1, 0Lk ->¦ 1. Функция
v+l
имеет в точке —a& нуль кратности jV+1. Эти hk{w) ограни-
ограничены по модулю единицей и при фиксированном N сходятся
к 1 равномерно на компактных множествах, лежащих в D\{1}.
Значит, функции
gk (^) == hk (akw)f w = -^j,
удовлетворяют условиям (а) — (с). ?
Теперь мы можем до конца выяснить соотношение между
) и H'{D).
Следствие 3.4. Пусть 0 < р < оо, f (z) — аналитическая функ-
функция в верхней полуплоскости и
1T
Функция \f(z) \p имеет гармоническую мажоранту тогда и толь-
только тогда, когда F е Нр. В этом случае
C.4)
где u(z) — наименьшая гармоническая мажоранта функции
\fiz)\K
Доказательство. Пусть g{w) = f(z), z=i{\ —
— и>)/A+а;). Следствие утверждает, что g^Hp(D) тогда и
только тогда, когда F^Hp(dt), и ||?||P=||FIU Если N > 2/р
и Fe?(^ то соответствующая функция g(w) ограничена в D
и, поскольку с!6/2л соответствует dt/n{l + t2)y то
Но 9t/v плотно в Нр, и из C.2) следует, что g^Hp(D) при
F<=Hp(dt) и ||^||яр = ||/7||яр. Так как по лемме 1.2 F^Hp{dt)
при g<=Hp(D), доказательство закончено. ?

68 Гл. II. Пространства Нр
Тот факт, что вместо неравенства A.1) справедливо равен-
равенство C.4), означает, что в формуле A.2) для наименьшей гар-
гармонической мажоранты функции \f{z)\p всегда с = 0. Мы уви-
увидим в разд. 4, что наименьшей гармонической мажорантой слу-
служит интеграл Пуассона суммируемой функции |f@|p-
Следующее утверждение заслуживает внимания, поскольку
недавно было установлено обратное к нему при р ^ 1. Оно бу-
будет доказано в гл. III.
Следствие 3.5. Пусть 0 < р < оо, и пусть и (z) —веществен-
—вещественная гармоническая функция в верхней полуплоскости Ж. Если
u(z) является вещественной частью функции f(z)^Hp, то
ы*(^) = sup \u(z)\
Ta(t)
принадлежит LP(R).
Доказательство тривиально ввиду теоремы 3.1.
Вернемся теперь к изучению граничных значений в случае
р= 1. Если гармоническая функция u(z) такова, что
sup
У
\ \u(x + iy)\dx < оо,
то она не обязана быть интегралом Пуассона своих граничных
значений u(t). Мы можем сказать только, что u(z) есть ин-
интеграл Пуассона конечной меры. Однако если u(z) вдобавок
аналитична, то эта мера абсолютно непрерывна и ее плотность
совпадает с u{t). Это происходит потому, что максимальная
функция u*(t) теперь интегрируема.
Теорема 3.6. Если f(t)<^Hl(dt)t то f(z) является интегралом
Пуассона своих граничных значений:
C.5) f(z)
Обратно, если \х—конечная комплексная мера на R и интеграл
Пуассона f(z)=Py*\i{x) является аналитической функцией
в Ж, то [I абсолютно непрерывна и d\i = f(t)dt, где f(t) — гра-
граничное значение интеграла Пуассона f(z).
Доказательство. Если f(z)& Н\ то мы уже получили
C*5) при доказательстве следствия 3.2. Обратно, если f(z)~
= Py*\i(x)—аналитическая функция, то по неравенству Мин-
ковского для интегралов она будет Я!-функцией и, следова-
следовательно, интегралом Пуассона своих граничных значений.
Разность мер d\i{t) — f(t)dt = dv(t) имеет нулевой инте-
интеграл Пуассона, и, стало быть, v = 0 по теореме 1.3.1. D

3. Максимальные функции и граничные значения 69
Лемма 3.7. Пусть f(z)t=Hl. Тогда
оо
f(s)= (j f(t)e-2ni°'dt = 0
— оо
при всех 5^0.
Доказательство. Соответствие f->f непрерывно, и мы
можем считать, что /еЯ*. Тогда F(z) = f(z)e~2nisz при s^O
тоже принадлежит Я^. Теперь лемма вытекает из теоремы Коши,
так как
\>Q (#-*оо). П
о
Отметим, что
C.6) р,@„^
Отметим также, что при f^Hl(dt) лемма 3.7 в применении
к (/ —г)-'/@ Дает
= O, Imz>0.
Теорема 3.8. Пусть d\x(t) — конечная комплексная мера на
Z, такаяу что
(b) ii(s)
Гог(9а djm абсолютно непрерывна и d\x = f(t)dtt где /е Я1.
Доказательство. Если выполняется (а), то ввиду C.6)
функция f (г) = Ру * jn(x) аналитична, и наш результат выте-
вытекает из теоремы 3.6.
Пусть выполняется (Ь). Преобразование Фурье ядра Пуас-
Пуассона Ру (t) равно
потому что Py(—s)=Py{s) из-за вещественности Ру, а е~2л18Ж
при 5^0 является ограниченной гармонической функцией с
граничными значениями е~2пШ. Пусть fy{x) = Ру*\х{х). По
теореме Фубини

70 Гл. II. Пространства Нр
Поскольку fy e L1, то имеем по формуле обращения
fy (х) = J e2*ixsfy (s) ds = J <?2™' <*+W 5ji E) ds.
Дифференцирование под знаком интеграла показывает, что
f(z) — fy(x) аналитична, а тогда по теореме 3.6 [(г)еЯ1. ?
Аналог теоремы 3.6 или, что то же самое, теорема 3.8 для
круга — это половина знаменитой теоремы Ф. и М. Риссов. Вто-
Вторая половина утверждает, что если f(z)^H[ и ((г)Ф0у то
|/@ |> 0 почти всюду. Это — следствие более сильного резуль-
результата, который мы докажем в следующем разделе.
Теорема L5.6 о карлесоновых мерах также распространяется
на пространства № при 0<р^ 1, потому что ключевой оцен-
оценкой в ее доказательстве служит максимальная теорема.
Теорема 3.9 (Карлесон). Пусть о — положительная мера в
верхней полуплоскости. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) а — мера Карлесонау г. е. при некотором N(a)
для всех квадратов
Q = {xo<x<xo + hy 0<y<h}\
(b) при всех р, 0 < р < оо,
(с) при некотором р, 0 < р < оо, feLp(a) для всех /е Нр.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы
1.5.6, из C.1) и леммы 1.5.5 вытекает, что (а) влечет за со-
собой (Ь). Очевидно, что (Ь) влечет за собой (с). С другой сто-
стороны, если (с) выполняется, то и (Ь) выполняется при том же
значении р < оо. Это следует из теоремы о замкнутом графике,
которая здесь верна даже при р < 1 (см. Данфорд и Шварц
[1958]). Можно и непосредственно убедиться, что если [„g№,
II/nil/» = 1 и \ \fn\pdo-+oof то функция ? anfn при подходящих
ап будет опровергающим примером к утверждению (с).
Итак, пусть выполняется (Ь) при некотором р > 0. Пусть
Q — квадрат {х0 < х < х0 + yQ% 0 < у < уо} и
Тогда /е=Яр, ||/|?= \pu{t)dt*= 1. Но \((z) |" &Enyo)-\ z<=Q,
и потому o(Q)^a{z: \f(z) | > Em/0)-I/p} < 5пАу0. Следова-
Следовательно, выполнено (а). Р

4. (l/л) f (log[/(Q|/(l+/»))<tt>-oo 71
4. (l/я) J(log|/(r)|/(l + t2))dt> - oo
Условие в заголовке этого раздела выделяет модули #р-функ-
ций среди всех положительных функций в Lp. Этот факт — фун-
фундаментальный результат теории пространств Нр. Для круга он
принадлежит Сегё при р = 2 и Ф. Риссу при остальных р. Иен-
сен [1899] первым отметил приведенное ниже неравенство D.1)
для функций, аналитических вплоть до dD, поэтому оно часто
называется неравенством Иенсена. Мы предпочитаем называть
так неравенство для средних с выпуклыми функциями из тео-
теоремы I. 6.1.
В этом разделе важно, что для функции /е#р субгармони-
субгармоническая функция
мажорируется положительной суммируемой функцией от 6. Вна-
Вначале нам будет проще работать с кругом.
Теорема 4.1. Если 0 < р ^ оо и f(z)t=Hp(D), {(г)ФО, то
Если }(О)ФОУ то
D.1)
Вообще, если f(zQ) Ф 0, то
D.2) log I / (z0) I < "ST $ log | f (e«) | P*o (9) d6.
Доказательство, По теореме 1.6.7 и в силу субгармо-
субгармоничности функции log|/|
log I / (z) | < lim ± \ log | / (r*«) | Рг (9) d9.
Ho \og\f(reiQ)\-+\og\f(eid)\ почти всюду, и все эти функции
ограничены сверху интегрируемой функцией A/р) |/*(9) \р, где
/* — максимальная функция. Значит,
log+1 f (re*) | PZo (9) dQ -> J log+ | / (eiQ) | PZo (9) dB.
К отрицательным частям можно применить лемму Фату и по-
получить
Hm -^ J log | / (гв'°) | Рг, F) dQ < ^ \ log | / (е") | йв.
Это доказывает D.1) и D.2). Оставшееся неравенство полу-
получается удалением нулей из начала координат. D

7U Гл. II. Пространства Нр
Заметим, что тот же результат для верхней полуплоскости
D.3)
получается заменой переменной из теоремы 4.1 и леммы 1.1.
Следствие 4.2. Если f е НР и /(/) = 0 на множестве положи-
тельной меры, то f = 0.
Следствие 4.2 составляет вторую половину теоремы Ф. и
М. Риссов. Если d[i(t)—конечная мера, а Ру*\к(х) аналитична,
то не только d\x абсолютно непрерывна относительно dt, но и
dt абсолютно непрерывна относительно d\i.
Следствие 4.3. Пусть 0 < р, г ^ оо. Если f <^= Нр и если гра-
граничная функция f(t) принадлежит L\ то f^Hr.
Часто это следствие записывается так:
Доказательство. Применение неравенства йенсена
с выпуклой функцией y{s) = ers и вероятностной мерой Ру(х —
— t)dt к неравенству D.3) дает
l/(z)lr^ \\f(t)\'Py(x-t)dt.
Интегрированием по х получаем {е Нг. ?
Теорема 4»4. Пусть h(t) — неотрицательная функция из
Lp(R). Функция f(z)^Hp(dtI такая, что \f{t)\ = h(t) почти
всюду, существует тогда и только тогда, когда
D.4)
Доказательство. Необходимость условия D.4) уже
была доказана. Для доказательства достаточности заметим, что
log Л ^ 0/р) \h\p и D-4) равносильно включению logfts
^Ll{dt/(l + t2)). Пусть u(z)— интеграл Пуассона от log /г (/),
a v{г) — функция, гармонически сопряженная с и(г) (т. е. функ-
функция u{z)-\- iv{z) аналитична; такая функция v{z) существует,
потому что полуплоскость Ж односвязна; она единственна с точ-
точностью до аддитивной постоянной). Мы получим функцию
аналитическую в 3IS. При р < оо неравенство Йенсена дает
и потому /еЯр. При р = сю функция u{z) ограничена сверху,
и потому / е //°°. D

4. A/я) / (log|/(Q|/(l+^))rf/>-oo73
Неравенство D.4) особенно важно при р = оо. Пусть
Л 5* О, AgL°° и, кроме того, А е L°°. Тогда / = eu+ivбЯ°° и
также
Иными словами, / — обратимая функция в Н°°. Мы будем пи-
писать f^(H°°)~\ Чтобы подчеркнуть этот факт, мы сформули-
сформулируем его отдельно, полагая g = logA, так что g e L°° тогда и
только тогда, когда h ^ L°° и 1/Л е L°°.
Теорема 4.5. Каждая вещественная функция g^L°° имеет
вид log|/|, где f ^(Н°°)-{ — обратимая функция из Я°°.
На языке теории равномерных алгебр теорема 4.5 утвер-
утверждает, что Н°° является строго логмодулярной (strongly logmo-
dular) подалгеброй алгебры L00. Она также и логмодулярная
(logmodular) подалгебра алгебры L°°; это значит, что множе-
множество
плотно в пространстве L~ вещественных функций из L°°. Свой-
Свойства Н°° как банаховой алгебры мы будем обсуждать ниже, а
сейчас хотим только сказать, что теорема 4.4— мощное средство
для построения //^-функций.
Пусть А@>0 и
Функция /(г)= eu{zWv(z\ где
D.5) и (г) = Л,» (log А) (х),
а у (г)—гармоническая сопряженная функция, называется внеш-
внешней функцией. Внешняя функция f(z) определяется по h(t) од-
однозначно с точностью до унимодулярного постоянного множи-
множителя. Он возникает из-за неоднозначности в определении гармо-
гармонически сопряженной функции v{z). Функция \f(z)\ почти всюду
имеет граничные значения Л(/), и неравенство йенсена вместе
с D.5) показывает, что f{z)^Hp тогда и только тогда, когда
f(t) eLp. Внешние функции из Нр можно описать по-разному.
Теорема 4.6. Пусть 0 < р ^ оо и fB)G№, {(г)Ф0. Сле-
Следующие условия эквивалентны:
(a) f — внешняя функция;
(b) для всех геЖб D.3) имеет место равенство, т. е.
D.6) log | / {г) | = \ log I f (t) \Py(x- t) dt\
(с) D.6) выполняется для некоторого z0 е Зв\

74 Гл. II. Пространства
(d) если g(z)<=Hp и \g{t)\ = \f(t)\ почти всюду, то
)\\НIЖ
(e) f(z) не имеет нулей в Ж, и гармоническая функция
log|/(z) | есть интеграл Пуассона такой функции k(t), что
Доказательство. Прежде всего, (е) — это просто пере-
переформулировка определения внешней функции —ведь функция
без нулей всегда имеет вид f (z) = eu(z)+iv(z\ w = log|f|. Таким
образом, (а) и (е) эквивалентны.
(а) влечет за собой (Ь) по определению. Если (Ь) выпол-
выполняется, то выполняется и (d), что мы увидим, применяя D.3)
к функции g(z). Далее, если (d) выполнено и g(z) — внешняя
функция, определенная по функции logjf(/)|, то аналитическая
функция f(z)/g(z) должна быть по модулю равна 1, откуда
f = kg, |i|=l, и f — внешняя функция. Значит, (a), (b), (d)
и (е) эквивалентны.
(Ь), очевидно, влечет за собой (с). Пусть теперь выполнено
(с), и снова пусть g — внешняя функция, определенная по функ-
функции log|/@|. Тогда \f(z)/g(z) |^ 1 и (с) вместе с принципом
максимума показывает, что |//g| = l, т. е. / — внешняя функ-
функция. ?
Функция S{z) = eiz не имеет нулей в верхней полуплоскости
и Se tf °°, но S не является внешней функцией, так как
log]5(г) | = — у не является интегралом Пуассона.
Следствие 4.7. Если f е Нр и l/f е Нг при некотором г > О,
то f — внешняя функция.
В самом деле, / удовлетворяет условию D.6).
Следствие 4.8. Пусть f e Нр. При любом из двух следующих
условий f будет внешней функцией:
(a) Re/(z)>0, z<=26\
(b) существует дуга Г класса О с концом в 0, такая, что
f{3g)cC\T.
Доказательство. Если выполняется (а), то / + е бу-
будет внешней функцией при любом е>0 (так как (/ + е)-]е
бЯ°°). Тогда
-*\Py(x-t)dt-*\log\f(t)\Py(x-t)dt9 e->0,
по теореме об ограниченной сходимости на множестве {/: |/@ I ^
^ 1/2} и по теореме о монотонной сходимости на множестве
{'• 1/@1< 1/2}. Значит, D.6) справедливо и / — внешняя
функция,

5. Класс Неванлинны 75
Приведенное рассуждение показывает, что f(z) будет внеш-
внешней функцией, если Ref(z)>0 при |/(г)|<1. Предположим,
что выполнено (Ь). Заменяя f(z) на kf{z), |X|==1, мы можем
считать, что Г имеет касательный вектор (—1,0) при z — 0.
Значит, при достаточно малом б у аналитической функции
g(z) = (/(z)/6I'5 будет Reg{z)>0 при |g(z)|<l. Следова-
Следовательно, g(z) внешняя и / = 65g5 тоже. П
5. Класс Неванлинны
В этом разделе мы по-прежнему используем тот факт, что
log|/(z)| имеет гармоническую мажоранту для [еЯр, но те-
теперь для нас будет важно, что наименьшая гармоническая ма-
мажоранта является интегралом Пуассона.
Аналитическая функция f(z) в D или Ж называется функ-
функцией класса Неванлинны, /eJV, если субгармоническая функ-
функция log+|/(?)| имеет гармоническую мажоранту. Это определе-
определение конформно-инвариантно, так что классы Неванлинны в D и
Зё совпадают, но легче обсуждать класс N в круге, где он опи-
описывается условием
E.1) sup \ iog+ | / (re**) \dQ/2n < оо.
Ясно, что Нр a N, поскольку log4* | / (г) |< — | / (г) |р (р > 0).
Теорема 5.1. Пусть f(z)—аналитическая функция в D,
[(г)Ф0. Функция f принадлежит классу Неванлинны тогда и
только тогда, когда наименьшей гармонической мажорантой
функции log|/| служит интеграл Пуассона некоторой конечной
меры на dD.
Доказательство. Если
log |/(г) |< \ /
для некоторой конечной меры ц, то
\
где ц+ —положительная часть меры \х\ стало быть, Iog+|/(e)|
имеет гармоническую мажоранту.
Обратно, если |eJV, to log+|/(z)| мажорируется некоторой
положительной гармонической функцией 0{г). Так как
\og\f(z) | ^ log+\f(z) |, то log|/(z)J имеет наименьшую гармо-
гармоническую мажоранту u(z)y такую, что u(z)^U(z). Значит,
u(z)= U(z) — (U(z)—u(z)) есть разность двух положительных

76 Гл. И. Пространства
гармонических функций, т. е. u(z) совпадает с интегралом Пуас-
Пуассона конечной меры. ?
Доказательство теоремы 5.1 в действительности показывает,
что субгармоническая функция v (г) мажорируется интегралом
Пуассона тогда и только тогда, когда ^+ = тах(и, 0) имеет
гармоническую мажоранту; в этом случае наименьшая гармо-
гармоническая мажоранта функции v (г) также является интегралом
Пуассона.
Лемма 5.2. Пусть f(z)^N, }Ф0, и B(z)— произведение
Бляшке, построенное по нулям функции f{z). Оно сходится и
g(z) = f(z)/B(z)^ N. Кроме того, log|g^)|— наименьшая гар-
гармоническая мажоранта \og\f(z) |.
Доказательство. Поскольку log|/B)| имеет гармо-
гармоническую мажоранту, то B(z) сходится (см. разд. 2). Пусть
u{z) — наименьшая гармоническая мажоранта для log|f(e)|.
Поскольку | В (г) |^1, то u{z)^\og\g{z)\. С другой стороны,
\og\B(z)\=\og\f{z)\-\og\g(z)\^u(z)-\og\g(z)\.
По теореме 2.4 это означает, что 0 ^ u(z)— \og\ g(z) | и, стало
быть, u(z)=log\g(z)\. Конечно, тогда и g^N. ?
Теорема 5.3. Пусть f^N, {Ф0. Тогда f(z) почти всюду
имеет некасательные пределы f(eiQ), причем
F.2) log|/(e»)|eL'(d6).
Наименьшая гармоническая мажоранта функции log|/(a)|
имеет вид \ Pz(Q)d^(Q)i где
(Б.З) dn(Q)= log|/(в**) JdQ/2n + diis(в),
a d\xs сингулярна относительно dQ.
Доказательство. Пусть g(z) = f(z)/B(z), где B(z)
имеет те же нули, что и /(г). Из теоремы 5.1 и леммы 5.2 мы
знаем, что
E.4) log I ff B?) | =« J P, (в) d|x (в).
Пусть d\x = k{Q)dQ/2n + d\is. где мера \is сингулярна относи-
относительно d6. Ввиду E.4) и теоремы 1.5.3 log|^B)| имеет почти
всюду некасательный предел ?(8). Но |?(^е)|= 1 почти всюду,
значит, и log|/(z)| имеет почти всюду некасательный предел
А(9). Следовательно, E.2) и E.3) будут доказаны, если мы
докажем существование некасательных пределов у f(z).
В силу E.4) log|g(z)| является разностью двух положи-
положительных гармонических функций, \og\g\ = и\ — и2у w/^ 0. Пусть

5. Класс Неванлинны 77
Vj(z) гармонически сопряжена с tij(z). Так как круг односвя-
зен, то vj{z) определены корректно, а при условии )
однозначно. Теперь
откуда
g (*)¦
eice-{u2+iv2)
Ограниченные функции е (tt/+I0/) почти всюду имеют нека-
некасательные пределы, которые не могут обращаться в 0 на мно-
множестве положительной меры. Значит, и g(z)> а с ней и /(г) =
= B(z)g(z) имеют некасательные пределы. П
Если f <= N, f Ф О, то, согласно E.2),
iog|/(e)|de>-o>.
Однако более точное неравенство
E.5) logl/(z)|<$logimi^e)|~,
которое для tf^-функций было доказано в разд. 4, уже не обяза-
обязательно верно для f&N. Рассмотрим функцию
Тогда loglg(z)|= \^1ZZ\2 =Pzi\\ g^N, и мера, соответ-
соответствующая log|gB)|, — это единичная нагрузка в точке eiQ = 1.
Но
и для g(z) E.5) не верно.
Этот контрпример содержит единственную причину, по кото-
которой E.5) может нарушаться для функции из N. Правая часть
E.5) есть гармоническая функция; она мажорирует log|/(z)|
тогда и только тогда, когда она больше наименьшей гармониче-
гармонической мажоранты log|f(z)|, т. е. интеграла Пуассона меры d\i
из E.3). Сравнивая E.3) и E.5), мы видим, что E.5) выпол-
выполняется для функции f^N тогда и только тогда, когда сингу-
сингулярное слагаемое d\is в E.3) неположительно.
Те функции /<=jV, для которых d\is ^ 0, образуют подкласс
N+<^N. Вот его классическое определение1): пусть f^N; тогда
') Класс N+ был введен В. И. Смирновым; его часто обозначают бук-
буквой D и называют классом Смирнова (см., например, Привалов [1950]). —
Прим. ред.

78 Гл. Н. Пространства Нр
/ е N+, если
lim [ iog+ [ f (re*) \dQ = [ iog+1 f(e*) \dQ.
Теорема 5.4. Пусть f&N, f Ф 0. Следующие условия равно-
равносильны:
(a) /e=JV+;
(b) наименьшая гармоническая мажоранта функции
|/() |
(с) (Эля всех
(d) наименьшая гармоническая мажоранта функции
log | f{z) | есть интеграл Пуассона меры
dji = log|/(в) | dG/2ji + d(xs,
где d\is 1 dQ и d\is < 0.
Доказательство. Мы уже доказали, что (с) и (d) эк-
эквивалентны. Если f^N, то log+|/(z)| имеет наименьшую гар-
гармоническую мажоранту
где положительная мера dv является слабым пределом мер
согласно теореме 1.6.7 и последующим замечаниям. По лемме
Фату
Jlog+| /(в) |Р«(в)-^- < Пт J log+1 /(г^«) |Рж(в) -^-=
Значит,
E.6) log^
(ведь мера определяется своим интегралом Пуассона). По оп-
определению / е N+ тогда и только тогда, когда обе части E.6)
имеют равные интегралы. То есть f^N+ тогда и только тогда,
когда
log+l/(e)|-g- = dv,
и (а) и (Ь) эквивалентны.

5. Класс Неванлинны 79
Наконец, сравнение наименьших гармонических мажорант
log|/(z)| и log+|/(z)|, как в доказательстве теоремы 5.1, по-
показывает эквивалентность (Ь) и (d). ?
Из (Ь) или (с) вытекает, что N zd N+=> Нр, р > 0, а также
что }^Нр тогда и только тогда, когда feiV и f(eie)^Lp. Этот
факт обобщает следствие 4.3, имеет такое же доказательство
(неравенство Иенсена и (с)) и может быть записан в виде
N+(] Lp = Нр, р j> 0. Пример перед теоремой 5.4 показывает, что
Мы возвращаемся к теореме 5.3 и используем формулу E.3),
чтобы получить важную теорему о факторизации для функций
из N. Пусть f(z)^Ny f Ф О, а В (г) — произведение Бляшке
с теми же нулями, что и /(г), и пусть g(z) = f(z)/B(z). Тогда
g(z)^N и log|g(z)| есть интеграл Пуассона меры [i из E.3).
По теореме 5.4 f e N+ тогда и только тогда, когда g e ЛИ".
Нетрудно восстановить gy а значит, и f = Bg по мере ц. Мы
будем действовать, как в доказательстве теоремы 5.3, но не-
несколько осторожнее. Положим
E.7) dvL = log | / (8) | -g-
где d\ij ^Ои d\xi 1 dQ. Функция
внешняя в круге, потому что F = eu+iv} где и — интеграл Пуас-
Пуассона функции log|/(e/0)|, a v гармонически сопряжена с и
(с нормировкой у@) = 0). Условие /г@)>0 выделяет F среди
других внешних функций, связанных с log|fF) |.
Аналогично положим
E.8) Sf (z) - ехр (-
Функции Sf аналитичны в D и обладают следующими свой-
свойствами:
(i) S/(z) не имеет в D нулей;
(ii) |S/(z)|<l;
(Hi) | S/ (eiQ) | = 1 почти всюду;
(iv) S,@)>0.
Свойства (i) и (iv) непосредственно вытекают из E.8), a
(ii) выполняется, поскольку [i/^Ои

80 Гл. II. Пространства Ир
Свойство (iii) вытекает из леммы 1.5.4, так как d\ij _L dQ. Функ-
Функция со свойствами (i) — (iv) называется сингулярной. Каждая
сингулярная функция S(z) имеет вид E.8) (с некоторой сингу-
сингулярной положительной мерой \х). Эта мера определяется из
E.9).
Ввиду разбиения E.7)
\og\g(z)\ = \og\F(z)\'«\og\Sl(z)\-\og\S2(z)\.
Так как g{z) не имеет нулей, то logg{z) однозначен в D и
logg(z) = ic + logF(z) + logS, (г) - logS2(z), cgR,
g(z) = e»FB)Sl(*)/S2(z).
Мы доказали большую часть теоремы о канонической фактори-
факторизации.
Теорема 5.5. Пусть f e N9 f Ф0. Тогда
E.10) f(z) = cB(z)F{z)Si(z)/S2(z), \c\=lf
где В— произведение Бляшке, F — внешняя функция, a S\ и
52 — сингулярные функции. Факторизация E.10) единственна с
точностью до выбора постоянной с, |с|=1. Всякая функция
вида E.10) принадлежит N.
Доказательство. Факторизацию E.10) мы уже полу-
получили. С единственностью сомножителей трудности не возникает,
потому что B(z) определяется нулями /(г), F(z) определяется
по \og\f(ei0)\, поскольку \B(e^)\ = \Sl{e^)\ = \S2{eiQ)\= 1
почти всюду, a S\(z) и 52(г) определяются наименьшей гармо-
гармонической мажорантой функции log|/(z)|. Если f(z) имеет вид
E.10), то
и log|/B)| мажорируется интегралом Пуассона. По теореме 5.1
тогда f&N. D
Следствие 5.6. Пусть feN, $Ф0. В разложении E.10) от-
отсутствует второй сингулярный сомножитель, 5гB)= 1, тогда и
только тогда, когда f e N+.
Доказательство. 52(г)^1 тогда и только тогда, когда
d\i = log] f(Q)\(dB/2n) — dvLU
где d\i\ ^ 0, а это значит, что f е Л^+. П
Следующие два утверждения очень важны.
Следствие 5.7. Функция f е Нр, р > 0, имеет единственную
факторизацию
f(z)=cB(z)F(z)S(z),
где | с | = 1, В — произведение Бляшке, S — сингулярная функ-
функция, a F — внешняя функция из Hpf

6. Внутренние функции 81
Следствие 5.8. Пусть f ^ JV+. Тогда f ^ Нр в том и только
том случае, когда ее внешний сомножитель F лежит в Нр.
Доказательства этих следствий предоставляются читателю.
6. Внутренние функции
Внутренней функцией называется такая функция /е//°°, что
\f(eie)\= 1 почти всюду. Каждое произведение Бляшке; как и
каждая сингулярная функция
где мера |л положительна и сингулярна относительно d9, — вну-
внутренняя функция.
По теореме 5.5 о факторизации каждая внутренняя функция
имеет вид
где В — произведение Бляшке, а 5 — сингулярная функция
Если /eiV+и |/(?l9)|= 1 почти всюду, то / — внутренняя функ-
функция, потому что N+ П L°° = Я°°. Однако если / = 1/5, где S — не-
непостоянная сингулярная функция, то / е N и |/(е'е)|= 1 почти
всюду, но / не является внутренней функцией. Иначе при 2GD
получилось бы \f(z) |^ 1 и 11//(г) | ^ 1, что невозможно.
Теорема 6.1. Пусть В (z) — произведение Бляшке с нулями
{zn}> и пусть EddD — множество предельных точек для {г,,}.
Тогда В (г) аналитически продолжается на дополнение множе-
множества
E\j{l/zn: л-1, 2, ...}
на комплексной плоскости. В частности, B(z) аналитична на
любой дуге из dD\E. С другой стороны, \В(г)\ не может быть
непрерывно продолжена из D в какую-либо точку множества Е.
Доказательство. Пусть Вп {z) — конечные произведения
Бляшке, сходящиеся к B(z). Тогда fin(l/z)= \/Bn(z). Значит,
lim Bn(z) существует в {z: |г|> 1}\{1/гл: л= 1, 2, ...} и
является аналитической функцией в этой области. Если г<>е
(=dD\E и 8>0 мало, то каждое Bn(z) аналитично в А =
= Д(го, б) и Bn(z) ограниченно сходятся на dA\dD. Это значит,
что Bn(z) сходятся в А — хотя бы по интегральной формуле Пу-
Пуассона для А. Стало быть, B(z) аналитична всюду вне E\J{\/zn}.
Если гое?, то lim |B(z)| = 0, и так как \B(eiQ)\= \ почти
всюду, то lim |B(z)|=l. Значит, |B(z)| не может быть не-
прерывно продолжена в точку zq- Q

82 Гл. И. Пространства
После произведений Бляшке простейшая внутренняя функ-
функция— это сингулярная функция
порожденная точечной массой в 1. Вычисление показывает, что
S и все ее производные имеют некасательный предел 0 в eiQ = 1,
Посредством w = A + z)/{\ — z) круг D отображается на пра-
правую полуплоскость {Re^>0}, причем г=1 соответствует
ш = оо и д/)\{1} соответствует мнимой оси. Таким образом,
S{z) = e-W аналитична на <?D\{1} и dD\{l} при отображении
S(z) наматывается на dD бесконечное число раз. Вертикаль-
Вертикальная прямая Re w = а, а > 0, переходит в орицикл
тР—¦}
Это круг с центром а/A+а) и радиусом 1/A +а), касаю-
касающийся dD в 1. На этом орицикле \S(z)\ = е~а, и он наматы-
наматывается при S на {|5| = ?~а} бесконечное число раз. Функция
S(z) не имеет нулей в Z), но для каждого ?, 0<|?|< 1, S{z)
бесконечно часто принимает значение ? в каждой окрестности
точки 2=1.
Напомним обозначение
для конической области в D с вершиной еш.
Теорема 6.2. Пусть S(z) — сингулярная функция, определен-
определенная мерой \iy и Е czdD — замкнутый носитель меры jn. Тогда
S(z) аналитически продолжается в С\Е, в частности, S(z)
аналитична на каждой дуге из dD\E. С другой стороны, \S(z) \
нельзя непрерывно продолжить из D ни в какую точку множе-
множества Е. Для любого а > 1 и \х-почти всех 0
Hm S(z) = 0, г<=ЕГа(е<9).
Если
то и для всех производных S(n) (г) функции S (z)
F.2) lim
Доказательство. Для любой меры \х на dD функция

6. Внутренние функции 83
аналитична всюду вне замкнутого носителя меры ц. Значит,
S аналитична в С\?\ Если \х сингулярна, то
F.3)
гп
для jh-почти всех 0. Это выводится из леммы 1.4.4 повторением
доказательства леммы 1.5.4 с переменой мест dx и d\i. Для
2ЕГ«И и |q> —8|< 1—|г|2 имеем
при h = 1 —\z\2 получим
>^n((e-Af 0 + Л))->оо
для г->е'9, 2ЕГа(еш), если только выполняется F.3). Значит,
\S\ нельзя непрерывно продолжить ни в какую точку множе-
множества Е.
Если в точке eid выполняется F.1), то аналогично
Hm (-log|S(z)| + /tlog(l-|e|2)) = oo, n= 1, 2,
9
Значит,
F.4) iim
Пусть теперь 2бГа(9); рассмотрим круги
Д1 = АBг, аA — |2г|2)), Д2 = А(г, ±аA - |z
Если /(?) аналитична в 4i и sup|f (?>) |/A — \?\2)п < е, то
sup|fri(^) |^ С (а, п)е, где С (а, п) зависит только от а и п. Это
д2
простое следствие леммы Шварца или интегральной формулы
Пуассона для Дь Значит, из F.4) следует
5<«>B)->0, п=1у 2, ...,
при г->еш, 2еГаF), если только для 0 выполняется F.1). ?
Теорема 6.3. Пусть f е Н?9 р > 0, ы Г — открытая дуга на
dD. Если f аналитична вплоть до Г, то и ее внутренний и внеш-
внешний сомножители аналитичны вплоть до Г. Если f непрерывна
вплоть до Г, то ее внешний сомножитель непрерывен вплоть
до Г ]).
1) В действительности внешний сомножитель функции / оказывается, гру-
грубо говоря, столь же гладким (в замкнутом круге /5), как и сама /. Этой теме
были посвящены многочисленные работы (см., например, литературу в статье
Широкова [1981*]).— Прим. ред.

84 Гл. II. Пространства
Доказательство. Положим f = BSF, где В — произве-
произведение Бляшке, 5 — сингулярная, a F — внешняя фукнции. Мож-
Можно считать, что [ФО. Если / аналитична или непрерывна вплоть
до Г, то F ограничена на каждом компактном подмножестве
дуги Г, потому что |f| = |/| на Г.
Пусть f аналитична вплоть до Г. Если бы нули B(z) имели на
Г предельную точку, то / имела бы в этой точке нуль бесконеч-
бесконечного порядка. Это невозможно, и, следовательно, В также ана-
аналитична на Г. Пусть |i — мера, определяющая S. Если бы \х
имела на Г точечную нагрузку, то S, а с ней и f, имела бы в этой
точке нуль бесконечного порядка по теореме 6.2. Значит,
|i{e'8} = 0, ОеГ. Если теперь ix(K)>0 для какого-нибудь ком-
компактного множества К с: Г, то К несчетно, и по теореме 6.2 /
должна иметь на /( бесконечно много нулей. Значит, ^(Г) = 0
и S аналитична на Г. Тогда и F = f/BS аналитична вплоть до Г.
Пусть теперь / непрерывна вплоть до Г. Пусть К = {9 е Г:
/(ew) = 0}. Как функция на Г F непрерывна в каждой точке/С,
ибо |F| = |f| на Г и |F| = 0 на К. На Г\/( имеет место нера-
неравенство |/| > 0, так что В и S не могут стремиться к 0 ни в ка-
какой точке из Г\/С. Значит, В и S аналитичны на Г\/С и F не-
непрерывна на Г. Но теперь интегральная формула Пуассона
позволяет заключить, что F непрерывна в D\j Г. ?
По определению компактное плоское множество К имеет по-
ложительную логарифмическую емкость, если на К существует
такая положительная мера 0^0, что логарифмический потен-
циал
Uo(z)= ^ogj^j da (О
ограничен в некоторой окрестности множества К. Если /CczD,
то К имеет положительную логарифмическую емкость тогда и
только тогда, когда К несет такую положительную меру а, что
потенциал Грина
F.5) G0{z)= Jlog
J
do (I)
ограничен в D, потому что член \ log*I 1 — tz\do(t) ограничен
к
в D всегда. Говорят, что произвольное множество Е имеет по-
положительную емкость, если какое-нибудь его компактное под-
подмножество имеет положительную емкость. Поскольку функция
log(l/|E;|) локально интегрируема по площади, то любое мно-
множество положительной площади имеет положительную емкость.
Совершенные множества нулевой емкости существуют, но они

6. Внутренние функции $5
очень разрежены. Например, канторово троичное множество на
[О, 1] имеет положительную емкость (см. Цудзи [1959]I).
Потенциал Грина G0{z)> очевидно, неотрицателен в D. Так
как а конечна и сосредоточена на положительном расстоянии
от dD, то
F.6) Go непрерывен и Go(z) = 0 при z^dD.
Дальнейшую информацию о емкости и потенциалах можно
найти в книге Цудзи [1959], но нам понадобятся только пере-
перечисленные факты.
Если B(z) — произведение Бляшке, то условимся функцию
eicB(z)t cgR, тоже называть произведением Бляшке.
Теорема 6.4 (Фростман). Пусть f(z) — непостоянная внутрен-
внутренняя функция в единичном круге. Для всех ?, |?|< 1, за исклю-
исключением множества емкости нуль, функция
является произведением Бляшке.
Доказательство. Пусть К — компактное множество
положительной емкости и о—мера на К с ограниченным в D
потенциалом Go. Мы покажем, что
а({?е/(: /; не является произведением Бляшке}) = О,
и это докажет теорему. Положим
К
-Jl"
J
Тогда 1/^0 и F ограничена. Так как / — внутренняя функция,
то из F.6) и теоремы об ограниченной сходимости следует, что
Значит, по лемме Фату
Так как а^Ои \og\fz | ^ 0, то это означает, что
Hm$log|ft(re«)||§-~0
для a-почти всех ?. Теорема 2.4 тогда показывает, что /с есть
для a-почти всех ? произведение Бляшке. ?
') См. также Карлесон [1967], Неванлинна [1953], Ландкоф 11966*].—
Прим. пере в.

86 Гл. И. Пространства Нр
Следствие 6.5. Множество произведений Бляшке равномерно
плотно в множестве внутренних функций.
Доказательство. Если / — внутренняя функция, а ?
достаточно мало, то ||/ — /;IL<e. По теореме Фростмана fa
является произведением Бляшке при многих малых ?. D
Следствие 6.5 можно сравнить с теоремой Каратеодори 1.2.1,
в которой получена более слабая сходимость — ограниченная
поточечная, но предполагалось только, что II/IU^ 1.
Пусть f^H°°(D) и zo^dD. Предельное множество функ-
функции / в точке го определяется формулой
С1 (/, г0) = П f(D Г) Д(г0, ')).
г>0
Таким образом, ?^С1(/, 2о) тогда и только тогда, когда суще-
существуют точки zn-+Zo, такие, что f(zn)->t,. Предельное множе-
множество компактно, непусто и связно. Оно сводится к одной точке
тогда и только тогда, когда / непрерывна в D\J{z0}. Множество
повторяющихся значений функции f в точке го определяется
формулой
<Й(/, го)= П f(D П A(zo> r)),
г>0
так* что l^M(fyZo) тогда и только тогда, когда существуют
точки гл->го, такие, что f(zn) = %. Иными словами, <k(f,z0) со-
состоит из значений, принимаемых функцией f бесконечно часто
в каждой окрестности точки г0. Это С?б-множество. Очевидно, что
32(/, zq)cz Cl(f, го). Если / непостоянна и аналитична в точке го,
то С1(/,го) = {Дго)}, а ^(/H
Теорема 6.6. Пусть f — внутренняя функция в D, и пусть
Zo^dD — ее особая точка (r. e. f нельзя аналитически продол-
жить в эту точку). Тогда
Cl(f,zo)=D и
где L — множество логарифмической емкости нуль.
Теорема 6.6 показывает, что, несмотря на теорему Фату, гра-
граничное поведение функции из Н°° может быть довольно диким.
Например, если / — произведение Бляшке, нули которого плот-
плотны на CD, или сингулярная функция, определенная мерой с зам-
замкнутым носителем dDy то заключение теоремы 6.6 выполняется
во всех точках dD, несмотря на существование почти всюду не-
некасательных пределов.
Доказательство. Множество нулевой емкости не имеет
внутренних точек; поэтому достаточно доказать утверждение
ЗД )

6. Внутренние функции 87
Пусть / не является аналитической в точке г0. Если /—про-
/—произведение Бляшке, то го — точка накопления нулей /. Значит,
Оеад г0). Вообще, /с(г) = (/(г)-Б)/A—?/(*)) является
произведением Бляшке при ?^L, где L имеет емкость 0. Но ft
тоже имеет особую точку в го; поэтому 0еЗ?(^, го) и, следова-
следовательно, ?<=52(f, г0). ?
Теорема 6.6 доказана, но теорема 6.2 позволяет получить еще
более точную информацию. Пусть f — внутренняя функция, го —
особая точка функции / и ?^Z)\5?(/, го). Тогда внутренняя
функция ft не является произведением Бляшке и для сомножи-
сомножителя Бляшке в факторизации ft — BtSt точка г0 не может быть
точкой накопления нулей. Значит, В$ аналитично в точке г0.
Стало быть, го является особой точкой функции S$. Могут пред-
представиться два случая.
Если го — изолированная особая точка S^ на д?>, то опре-
определяющая Si сингулярная мера содержит атом в точке г0. В та-
таком случае S& и все ее производные некасательно стремятся
в го к 0. Тогда и ft (г) стремится некасательно к 0 со всеми про-
производными, так что f(z) стремится к С, а все ее производные —
к 0. Эти заключения также справедливы, если в точке го выпол-
выполняется F.1). Легко видеть, что при данном го может быть
только одна такая точка t>^ D\$(f, го).
Во втором случае ^{г0} = 0. По теореме 6.2 г0 есть предел
последовательности точек е1 п> в каждой из которых St имеет
некасательный предел 0, а / — некасательный предел ?. Теперь
теорема 6.2 утверждает еще больше: или мера \х непрерывна в
окрестности го, или (д помещает положительную массу в каждую
точку последовательности е1 п ->г0. В первом случае по тео-
теореме 6.2 в каждой окрестности точки г0 содержится несчетное
множество таких ешу в которых f некасательно стремится к ?•
Во втором — в каждой точке eiQfl f некасательно стремится
к ?, а все ее производные —к 0.
Подытожим эти рассуждения следующим образом.
Теорема 6.7. Пусть f — внутренняя функция в D и г0 — ее осо-
особая точка. Для любого ?, |?| < 1, выполняется хотя бы одно из
условий:
(a) С€=адг0);
(b) / имеет в точке г0 некасательный предел ?, а все f(n) не-
некасательно стремятся к нулю в г0;
(c) г0 есть предел последовательности точек eie, в каждой
из которых выполняется (Ь);
(d) Каждая окрестность точки г0 на dD содержит несчет-
несчетное множество точек, в которых f имеет цекаоательный предел ?.

88 Гл. II. Пространства
Значительно больше о теории предельных множеств можно
найти в интересных книгах Носиро [1960] и Коллингвуда и
Ловатера [1966].
7. Теорема Бёрлинга
Пусть Я— сепарабельное гильбертово пространство с базисом
{?о, Ei, Ё2> ...}. Оператор сдвига S на Я определяется формулой
S(E/) = ?/+i или, что то же самое, S(? afa)= Z«/5/+i- Бёр-
линг использовал внутренние функции, чтобы описать все замк-
замкнутые подпространства, инвариантные относительно 5. Если
отождествить Я с Я2, полагая |& = eike, то оператор 5 перейдет
в умножение на z.
Подпространство М cz Н2 называется инвариантным относи-
относительно S, если zMczM, т. е. zf(z)^M для всех f^M. Эквива-
Эквивалентное определение: М инвариантно, если p(z)M<=M для лю-
любого полинома р. Так как М замкнуто, это то же самое, что
условие Н°°М cz Af, где Н°°М = {gf: g е Я°°, / е Af}, потому что,
согласно упр. 4, любая функция g e Я°° есть ограниченный по-
поточечный предел полиномов.
Теорема 7.1. (Бёрлинг). Пусть М — подпространство в Я2,
инвариантное относительно S. Если МФ{0}, то существует
внутренняя функция G(z), такая, что
G.1) M = GH*= {Gf: f
Внутренняя функция G единственна с точностью до постоянного
множителя. Каждое подпространство вида G.1) является замк-
замкнутым и инвариантным относительно S.
Доказательство. Каждое подпространство вида G.1)
замкнуто в L2, потому что |G|= 1. Очевидно, что оно будет ин-
инвариантно относительно умножения на г. Далее пусть G\ и G2 —
такие две внутренние функции, что G\H2 = G2H2. Тогда Gx =
= G2ft, (?2 = GiAj, ky h e Я2. Ясно, что это означает G\ = XG2i
|X|=1, так как и Gi/G2 и G2/Gi оказываются внутренними
функциями из Я°°. Пусть теперь М — инвариантное подпро-
подпространство и М Ф {0}. Тогда существует fsM, f = алг* +
+ a*+i2*+1 + ... ca^O. Выберем f с наименьшим возможным
fe и положим М == 2*Mi. Подпространство М\ cz Я2 также ин-
инвариантно и замкнуто, так что можно считать М = М\. Таким
образом, мы предположим, что М содержит функцию f0 с
fo(O)=^O. Рассмотрим функцию из Я2, тождественно равную 1;
пусть go — ее ортогональная проекция на М. Тогда go^M ц

7. Теорема Бёрлинга 89
1—go ортогональна М. Следовательно,
= Ot л = 0, 1, 2, ...,
так как zngo(z)^M. Поскольку zngQ(z) обращается в 0 при
z = 0 и п ^ 1, то
^r[e^\go{Q)l2dQ = ^[go{Q)einBdQ===Oi n>L
Значит, коэффициенты Фурье функции |go|2 обращаются в нуль
при /г=й=О, и потому |go|2 — постоянная:
Если go = 0, то 1 = 1 —go ортогональна к М и все функции из
М должны обращаться в 0 при z =* 0, что противоречит нашему
предположению. Значит, ?о=й=О и
является внутренней функцией.
Подпространство М инвариантно, поэтому GH2aM. Пусть
теперь h^M ортогональна к GH2. Но go = G||goll ^ GH2> и
тогда
Поскольку 1 —go ортогональна к Mt a znh eAf, то
так как гпЛ(г) = 0 при z = 0. Значит, суммируемая функция
/igo имеет нулевые коэффициенты Фурье и Л?о = 0. Но |go| > 0
и потому h = 0, т. е. М = ОЯ2. П
Пусть Gi и Ог — Две внутренние функции, a Mi = C?i//2,
М2 = G2//2 — их инвариантные подпространства. Включение
М\ аМ2 верно тогда и только тогда, когда G\ е Л12, т. е. Gi 5e-
лится на G2, иначе говоря, Gi = G2/1, h^H2. Если Gi делится
на G2, то частное G1/G2 снова будет внутренней функцией.
Пусть теперь ^ — непустое семейство внутренних функций.
Существует наименьшее инвариантное подпространство, содер-
содержащее ^, — это просто пересечение всех содержащих его инва-
инвариантных подпространств. Оно имеет вид М = GoH2 при неко-
некоторой внутренней функции Go, и эта Go должна делить все функ-
функции из *$. Если G\ — другая внутренняя функция, делящая
каждую функцию из $, то М{ = G\H2 содержит ^, так что
М cz Mi и G] должна делить Go. Таким образом, Go — наиболь-
наибольший общий делитель семейства $\ единственный с точностью до
постоянного множителя. Мы доказали

Гл. II. Пространства Н*
Следствие 7.2. Каждое непустое семейство внутренних функ-
функций имеет наибольший общий делитель.
Возможен и другой путь доказательства следствия 7.2, ко-
который дает некоторое представление о том, как выглядит Go-
Пусть Go = BoSo, где Во — произведение Бляшке, a So — сингу-
сингулярная функция, порожденная мерой ц0- Если G — BS (=$у то
So делит В, a So делит S. Это значит, что нули Во содержатся
среди нулей В и \io ^ ц, где jii — мера, связанная с 5. Следова-
Следовательно, Во — это произведение Бляшке с нулями П {G~l @):
Ge^}, а цо — точная нижняя грань множества 9) мер, соответ-
соответствующих функциям из 3. Любое непустое множество положи-
положительных борелевских мер имеет точную нижнюю грань jlio. Для
любого борелевского множества Е
/-1
где [Xj пробегают 9>у а {Еу, ..., EN}—произвольное разбиение
Е на борелевские части.
Пусть &> обозначает множество всех полиномов от перемен-
переменной z.
Следствие 7.3. Пусть f e Я2. Функция f внешняя тогда и
только тогда, когда Ipf = {p(z)f(z): pe^} плотно в Я2.
Доказательство. Пусть Л! — замыкание множества &\
в Я2. Ясно, что оно инвариантно относительно сдвига S, и по-
потому М = GH2 при некоторой внутренней функции G. Но / е М
и f=Ghy h^H2. Если f — внешняя функция, то G постоянна и
М = Я2. Пусть теперь f = Fh} где F — внутренняя функция, а
h — внешняя. Если F непостоянна, то f7/2 есть замкнутое инва-
инвариантное подпространство, содержащее ^f, и &\ не плотно в
Я2. ?
Следствие 7.3 утверждает, что для любой внешней функции
f e Я2 существуют такие полиномы ря, что
G.2)
Можно непосредственно доказать более точную версию соотно-
соотношения G.2).
Теорема 7.4. Пусть f(z)—внешняя функция. Существуют
функции {fn} из Я00, такие, что
G.3) \fn(z)f(z)\^l9
G.4) fn(Q)f(Q)-*l почти всюду.

7. Теорема Бёрлинга 91
Доказательство. Положим
где Ап — большое число, которое мы выберем позже. Пусть fn —
внешняя функция с \og\fn\ = ип и fn(O)f(O) > 0. Тогда |/*|^
еАп, и G.3) выполняется, так как wn@)+ log|/F) | ^ 0. Если
l| + l|/|li0 f()f(\ П 4
() , ()+ g|/() |
Л„->оо, то l|Mn + log|/|lii-^0 и fn(O)f(O)^\. Пусть 4„->со
так* быстро, что ?A —/я@)/@)) < °°- Тогда
III 1 - fj II2 = Z{1+ II fnf II2-2 Re /n@)/@)}<
откуда следует G.4), D
Инвариантные подпространства в #р, 0 < р < оо, описы-
описываются в упр. 18. Инвариантное подпространство в Н°° является
идеалом в кольце Я°°. Слабая D-топология в Н°° определяется
базисом открытых множеств
Д {/е Я-:| J fF,dB-
где Fu ...> Fn^Ll и f0 е Н°°. Это — сужение на Я°° слабой /Л
топологии пространства L00.
Теорема 7.5. Пусть I — ненулевой идеал в #°°. Если I слабо
L1-замкнут, то существует такая внутренняя функция G, что
G.5) / = GH°°.
Внутренняя функция G единственна с точностью до постоянного
множителя, и каждое множество вида G.5) является слабо
U-замкнутым идеалом в Н°°.
Доказательство. Ясно, что G единственна и что G.5) —
слабо /Лзамкнутый идеал. Пусть теперь /=^={0}—слабо
/Лзамкнутый идеал, а М — его замыкание в Н2. Покажем, что
G.6) МП#°° = /.
Тогда М = GH2 для некоторой внутренней функции G и / =
= МП Н°° = GH°°, так что G.5) следует из G.6).
Ясно, что / с МП Н°°. Пусть g^M{\H°° и gn^I таковы, что
Wgn — glb-^O. Мы модифицируем некоторую подпоследователь-
подпоследовательность последовательности gn> выбрав такие функции 1гп ^ #°°,
что WhngnWoo < Halloo и hngn-^g почти всюду. Тогда hngn-+g
в слабой /Лтопологии, и g е /, так как hngn е /, а / слабо замк-
замкнут. Выбор hn — ядро доказательства — напоминает доказатель-
доказательство теоремы 7.4. Можно считать, что HglU = 1 и Wgn — gh ^

92 Гл. II. Пространства Ир
1/п2, а значит, gn~+g почти всюду. Поскольку
|*|— 1, то
ll
Пусть hn—внешние функции с log|/in| = —log*\gn\> hn@)>0.
Тогда \hngn\ ^ 1 и
Значит, ? ||1 -Ля||2=?0 + II Л« III—2 Re Лп @))<2Z(I — Ая@)) <
< оо и ЛЛ—> 1 почти всюду. D
Самые интересные идеалы в Н°° — это максимальные идеалы.
Поскольку #°° — банахова алгебра с единицей, то максимальные
идеалы в Н°° являются ядрами гомоморфизмов т: //°°->j? (см.
гл. V). Чтобы слабо /Лзамкнутый идеал GH°° был максималь-
максимальным, внутренняя функция G не должна иметь собственных де-
делителей. Любая сингулярная функция S(z) имеет бесконечно
много делителей — это, например, все ее степени Sf(z)9 0<f<l.
Значит, G не имеет делителей в единственном случае — когда
Тогда максимальный идеал GH°° равен
G.7) {/€«•
а комплексный гомоморфизм т есть m(f)= f(zo). Таковы все
слабо /Лзамкнутые максимальные идеалы.
Н°° имеет много других максимальных идеалов, которые не
являются слабо ZJ-замкнутыми. Лапример, любая непостоянная
сингулярная функция S(z) необратима в Н°° и по лемме Цорна
лежит в некотором максимальном идеале. Но S(z) не имеет ну-
нулей в D, и этот идеал не имеет вида G.7).
Максимальные идеалы в Я°° будут изучаться в гл. V и X.
Здесь же мы только отметим, что идеалами G.7) исчерпываются
максимальные идеалы, допускающие конструктивное описание
(самый термин «конструктивный» остается неопределенным).
Замечания
Обсуждение пространств Харди в общих областях, где Нр нужно
определять через гармонические мажоранты, см. у Парро [1951]
и Рудина [1955а]1).
') Имеются и другие обобщения классов Нр на плоские области. Это так
называемые к пассы & В. И. Смирнова (см. Привалов [1950*], Голузин
[1966*], Хавинсон [1965*]). — Прим. ред.

Замечания 93
Теорема 2.3 принадежит Ф. Риссу [1923]. Произведения
Бляшке были введены Бляшке [1915]. Теорема 2.4 опублико-
опубликована Фростманом [1935].
Теорема 3.1 взята у Харди и Литтлвуда [1930]; аналоги
C.2) и C.3) для круга были ранее доказаны Ф. Риссом [1923].
Теорема 3.6 заимствована из знаменитой работы Ф. и М. Риссов
[1916]; доказательство в тексте принадлежит, по-видимому,
Бохцеру. Некоторые приложения этого фундаментального ре-
результата содержатся в упражнениях. Теорема 3.9 будет очень
важна для нас в дальнейшем.
На окружности суммируемость log|/|, fetf?, впервые была
отмечена Сегё [1921] для р = 2 и Ф. Риссом [1923] для осталь-
остальных р. Теорема о канонической факторизации принадлежит
Смирнову [1929]. Параллельный результат Ф. Рисса [1930]
о субгармонических функциях описан в упражнении 20.
Теорема 6.4 содержится в диссертации Фростмана [1935] —
важной работе, связавшей теорию функций с теорией потен-
потенциала1). Дальнейшие результаты о граничном поведении вну-
внутренних функций см. у Зейделя [1934] и в книгах Коллингвуда
и Ловатера [1966], Носиро [1960] и Цудзи [1959].
Теорема Бёрлинга взята из его знаменитой работы [1949].
Книги Хелсона [1964] и Гофмана [1962а] содержат более по-
подробное обсуждение инвариантных подпространств2).
Различные подходы к теории пространств Харди представ-
представлены в книгах Дьюрена [1970], Гофмана [1962а], Привалова
'[1951] и Зигмунда [1968]3).
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Пусть [е№. Тогда f = ghy где g, ЛеЯ2р и ||g||2p =
= II h ||2p = || f ||J/2. Далее f = /i + /2, где функции f/e№ внешние
и WfjWp ^ ll/llp- (Поделите на произведение Бляшке. Если {—
внутренняя функция, возьмите /i = (/ Н— 1) /2, /2 = (/—1)/2.)
2. (а) Пусть fe LP(R), 1 ^ р ^ оо. Функция / является не-
некасательным пределом функции из Hp(dt) тогда и только тогда,
когда выполняется одно (а потому и все) из следующих условий:
(i) интеграл Пуассона / аналитичен в Ж\
00 \ T~rdt==0^ lmz <°> ПРИ Р<°°> или
t^O) Im*<0 при /> = оо,
1) Результаты, связанные с теоремой 6.4, см. в книге Рудина [1074*] и
в статьях Хейнса [1955*], Гинзбурга, Талюша [1973*], Виноградова [1976*].—
Прим. ред.
2) См. также Никольский [1974*], [1980*]. — Прим. ред.
а) А также в книгах Бари [1961*] и Голузина [1966*]. —Прим. ред.

94 Гл. II. Пространства Нр
где го — фиксированная (но произвольная) точка из нижней
полуплоскости;
(in) j fgdt = О для всех g(=Hq, q = p/(p— 1);
(iv) при 1 ^ р ^ 2 (когда преобразование Фурье опреде-
определено на IP по теореме Планшереля)
N
f{s)= lim ( f{t)e-^isi dt = O
N J
при почти всех s < 0. Это — вариант теоремы Пэли — Винера.
(Ь) Пусть теперь feLp(dD), 1 ^ р ^ оо. Функция f яв-
является некасательным пределом функции из Нр тогда и только
тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
(i) интеграл Пуассона f аналитичен в D;
(ii) J einef(eif))dQ = 0, п = 1, 2, ...;
(Hi) если q = p/(p— 1) и
то
*>? J Т^ = °-
S
ICI-1
3. (теорема о скачке). Если f^Ll(dD), то при
Следовательно, почти всюду
2ш
В верхней полуплоскости этот результат выглядит прозрачнее;
см. ниже упр. III. 10.
4. Пусть f(eiQ)^ L°°(dD). Функция / является некасатель-
некасательным пределом функции из Н°° тогда и только тогда, когда су-
существует равномерно ограниченная последовательность анали-
аналитических полиномов Pn(z), такая, что pn{ei0)-+f(eib) почти
всюду. Если /еЯ°°, то pn(z)-+f(z)y z^D, и рп можно выбрать
так, чтобы Hprtll^H/lloo. (Указание. Используйте средние Чезаро
или аппроксимируйте f(rz), г<1, посредством Яр(г), где
p(z) — полином Тейлора f(rz), а К =H/lloo/||plL.)

Упражнения и дальнейшие результаты
6. (а) Если / €=//*(?), то
, л=1, 2, ....
Эти оценки неулучшаемы с точностью до постоянных множите-
множителей' при любом р; пример доставляет функция
(Ь) Если / е Я2, то в силу равенства Парсеваля или по тео-
теореме Грина
Вообще, при q ^ 2
О
(Указание. Пусть р = A + г) /2, тогда
i г («*•) г2 <
(с) Если /еЯ2,?>2и
0
то /,<
(Указание. Проинтегрируйте по частям, используя оценку
л затем примените неравенства Гёльдера и Шварца.)
(d) Если 0 < р < 1 и / е й", то, согласно (а),
откуда
Следовательно,
<cp\\f \fHp J (i -

96 Гл. II. Пространства Н*
Для / = gp/2t g e #2, интеграл в правой части есть /2/р, и по-
поэтому
1
См. дальнейшие детали у Харди и Литтлвуда [1932а] и Дьюре-
на [1970].
6. Из упражнения 2 следует, что при 1 ^ р < оо простран-
пространство, сопряженное с HP(D), есть Lq\Hl, q = p/(p — 1). При
0 < р < 1 пространство Нр имеет сопряженное, которое можно
отождествить с некоторым пространством аналитических функ-
функций, непрерывных по Липшицу. Мы опишем доказательство в
случае 1/2<р<1. Пусть Аа, 0<а<1, — пространство ана-
аналитических в D функций ф(г), удовлетворяющих условию Лип-
Липшица
(a) Если ф аналитична в D, то ф G Да тогда и только тогда,
когда
W(z)\^c(\-\z\)*-\
Если феЛа, то эта оценка следует из формулы Коши для
окружности {|? — г|==1—|г|}. Для доказательства обратного
проинтегрируйте ф' по контуру, изображенному на рис. II. 1.
(b) Пусть 1/2 < р < 1 и а == A/р)— 1. Если / <= Нр,
то по формуле Грина
?4- JJ f(z)WV)dxdy.
Согласно (а) и 5(d)t
и поэтому предел
|г|-г
существует и определяет ограниченный линейный функционал
на Нр. Если ф(г)= Ха/1гП> то 1ф(гп) = ап.
(с) Обратно, пусть L — линейный функционал на Нр,
1/2 </><!, и |?(П1<В||/||дР, |еЯр. Положим при [ш|<1
п-0

Упражнения и дальнейшие результаты
Рис. II. 1.
Этот ряд сходится в Нр (и даже равномерно) и fw^Hp. По-
Положим
1±м_у-2р
id
2я
Тогда
и легкая оценка
дает
Значит, ф^Ла, 1ф(гл) = 1(г"), л = О, 1, ..., и L = Lqf так
как полиномы плотны в Яр. Полное изложение см. у Дьюрена,
Ромберга и Шилдса [1969]. С другой стороны, на пространстве
Lp, 0 < р < 1, не существует ни одного ненулевого линейного
ограниченного функционала.
7 (Линделёф [1915]). Пусть /<= Я00.
(а) Если
m - ess liml f (e«) | = Jim || f (e'e)^e§ 6)
то
lim
(Используйте субгармоничность log|/B)|.)
(b) Если
lim f(eiB) = a,
TO
где
lim
of 6>0,
1): | arg A — z) |< (я/2) — б}. (Рассмотрите
4 Зак. 829

98 Гл. И. Пространства Ир
(с) Если
lim f(elQ) = at lim f(eiQ)
то а =¦ p и
lim
(d) Ограниченность / несущественна для этих результатов.
Достаточно предполагать, что / & Нр (D f] {| z — 11 < п)) при не-
некотором ц > 0, т. е. что |/|р имеет в Df\{\z—1|<г]} гармо-
гармоническую мажоранту.
8. (а) (неравенство Харди). Если /=- А апгпшН\ то
(Пусть f — gh, II gll22 = IIЛ 112 = 11/11,, в, h&H2. Если j-Jft/,
Н — Z V, то положим G = Е | 6„ |zn, Я — ? | с„ |2П и i7 -= GH.
Тогда
где ф s L°° и ||ф||оо «¦ я.)
(Ь) Пусть f= X ^2ns Я1. Функция f@/e) почти всюду
совпадает с функцией ограниченной вариации тогда и только
тогда, когда f еЯ1; при этом f{ei0) абсолютно непрерывна, f(z)
непрерывна при \г\^. I и ^1ап\< оо. При /' е Я1 почти всюду
(Харди и Литтлвуд [1927], Смирнов [1933].)
*9. Пусть ?1 — односвязное открытое множество, ограничен-
ограниченное жордановой кривой Г, и /: D-+Q — конформный гомеомор-
гомеоморфизм, /(/)] = Q. По знаменитой теореме Каратеодори (см. Аль-
форс [1973] или Цудзи [1959]*)) отображение f(z) продолжается
до взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения
D на Tl.
(а) Кривая Г спрямляема тогда и только тогда, когда
/'о Я1.
*) См, также Маркушевич [1967*]. — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 99
(Ь) Если Г спрямляема и множество ЕаТ замкнуто, то
его длина /(Я) равна
Таким образом, длины множеств Е и f~l(E) равны или не
равны нулю одновременно.
(с) Далее, если Г спрямляема, то отображение / конформно
(сохраняет углы) в почти всех точках еш. Точнее, если /' имеет
в точке еш некасательный предел ('(еш)Ф0 и у — кривая в D
с концом eiQ, для которой угол
а= lim arg{\ —e~iBz)
существует и аФ ±я/2, то кривая f(y) пересекает нормаль к Г
в точке f{eid) под тем же углом а.
Части (а) и (Ь) принадлежат Ф. и М. Риссам [1916], см.
также Смирнов [1933].
*10 (локальная теорема Фату). Пусть u(z)—гармоническая
функция в D. Скажем, что и (г) некасательно ограничена в точке
&м &T = 3D, если и (z) ограничена в некотором секторе
Если Е — измеримое подмножество окружности Г, а u(z) нека-
некасательно ограничена во всех точках множества Е, то и(z) имеет
в почти всех точках множества Е некасательные пределы.
Согласно элементарной теории меры, существуют компакт-
компактное множество F czE, \E\F\ < е, и числа М > 0 и a > 1, та-
такие, что | и (z) |^ М в
Q= U Гв(*'«).
i9
Область Q односвязна (она есть объединение лучей, проведен-
проведенных из начала координат) и 0Q — спрямляемая кривая FQ со-
состоит из F и «домиков» над интервалами, дополнительными к F\
но «домик» над дугой IczT имеет длину, не превышающую
с(а)|/|). Согласно упражнению 9, и (z) имеет некасательный
предел изнутри Q в почти всех точках F. Некасательную сходи-
сходимость изнутри D теперь легко получить: если eiQ есть точка
плотности множества F, т. е.
и„ IF П [9-6, 8 + 6]| _,
и р > а, то при некотором г < 1

100 Гл. II. Пространства HP
Следовательно, предел lim u(z) существует при всех
р > 1 и при почти всех еш е F.
То же самое заключение остается верным, если функцию
и(z) предположить только ограниченной снизу в некотором
угле Га(е'е) при каждом eiQ^E. Можно также заменить гармо-
гармонические функции мероморфными. Из предыдущих рассуждений
следует, что мероморфная функция, имеющая некасательный
предел 0 на множестве положительной меры, тождественно
равна 0. Для радиальных пределов это уже не верно (см. При-
Привалов [1950] или Багемил и Зейдель [1954]). Первоисточник
этой теоремы см. Привалов [1919]; см. также Зигмунд [1968,
v. II]. Другое элементарное доказательство мы дадим в гл. IX.
11 (теорема Плеснера). Пусть /(г) мероморфна в D. Точка
eiQ e T называется точкой Плеснера для f, если угловое пре-
предельное множество f в точке ei0 совпадает со всей римановой
сферой S2, т. е. если для всех а > 1, г < 1 множество
ДГя(в'в)П{|г|>г})
плотно в S2. Окружность Т разбивается на три непересекаю-
непересекающихся борелевских множества, Т = N[) Р(] G, так что
(i) |tf| = 0;
(ii) каждая точка множества Р есть точка Плеснера для f;
(iii) в каждой точке множества G функция / имеет конеч-
конечный некасательный предел.
(Для рациональных w ^ С. положим Ew = {eie: (f—w)~l
некасательно ограничена в eiQ}. Тогда Р — Г \ (J Ew есть мно-
W
жество точек Плеснера для /, и в^ почти всех точках eiB^Ew
функция (/ — w)~x имеет ненулевой некасательный предел. См.
Плеснер [1927] или Цудзи [1959]х).)
12 (теорема Морера). Пусть g(z)^ H](\z\ > 1), т. е.
g(lJz)<=Hl(D). Пусть, далее, f t= H*(D) и f(eiB)= g(e**) почти
всюду на дуге /cz Т. Положим
K)~
Тогда для г0 е / и малого б > 0
-Ш \ F®^zrz = F(z)% геД(г0, 6)\Т,
так что F аналитически продолжается через I(] {\z — zo\<8}
и, следовательно, через /.
13. Пусть f аналитична в D.
(а) Если Re/B)>0, то fe№ при всех р<12). (Пусть
1) См. также Привалов [1950]. — Прим. ред.
2) Это теорема В. И. Смирнова (см. Смирнов [1929]). — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 101
/ = <??, |1т<р|<я/2. Тогда |/f = e?Re(P< (cos-|-p) Re/',
так что \f\p имеет гармоническую мажоранту.)
(b) Если fsff и f(eie) вещественно, то / постоянна. Этот
результат точен, так как A+г)/A—г)е№ при всех р < 1.
(c) Если / e Я1/2 и /(е/е) почти всюду положительно, то /
постоянна.
(d) Утверждения (Ь) и (с) имеют локальные варианты.
Пусть /сГ — дуга. Если /еЯ1 и /(е/е) вещественно почти
всюду на /, то f аналитически продолжается через /: если
A(z)=/(l/z), то АеЯ1(|г|>1) и А(е'в) = /(е*) почти всю-
всюду на /.
Точно так же, если /е Я1/2 и /(е/е) ^ 0 почти всюду на /, то
/ аналитически продолжается через /. Пусть f = Bg2, где ^еЯ1
и В —произведение Бляшке. Тогда g(l/z)e Я1 (|z| > 1) и на /
Значит, по теореме Морера Bg и g продолжаются через /.
Результаты об Я1/2 имеют и другое доказательство, где ис-
используются максимальные функции и субгармоничность вместо
факторизации Рисса. Пусть v (г) = Im д// (г)» причем ветвь
корня выбрана так, что v ^ 0. Функция и (г) определена и суб-
гармонична в D и 0 ^ и(г)^ |/(г) |1/2, так что по теореме 1.6.7
и имеет наилучшую гармоническую мажоранту
Если f (г'°) ^ 0 почти всюду, то v = 0 и / постоянна.
Если f(eie)^ 0 почти всюду на дуге /, то для любого zo^I
найдется такое б > 0, что Os^ u(z)^ 1 в V= Df] {\z — го|^б}.
Тогда 0^v(z)^l в V и, значит, |Im(l+/(*)) | <
^2Re(l +f(z)), z<=V. Следовательно, l+feff(l/). Кон-
Конформно отображая V на D, мы видим, что 1 -+-/ аналитична на
T[\dV. Это доказательство принадлежит Леннарту Карлесону.
Часть (с) получена Хелсоном и Сарасоном [1967] и, незави-
независимо, Нойвиртом и Ньюменом [ 1967]. Результат об Я1/2 в части
(d) принадлежит Кусису [1973].
14. (а) При р^ 1 существует локальный вариант следствия
4.8(а). Пусть f e HX(D). Если Ref^O почти всюду на дуге
/с=7\ то внутренний сомножитель функции / аналитичен на /.
Случай р > 1, который мы используем в гл. IV, легче. Пусть
и (г)—интеграл Пуассона функции %i(Q)argf(eiB), а и (г)—гар-
(г)—гармонически сопряженная к u(z) функция. Согласно упр. 13(а),
er-au+iv) еЯР,р<1, hF = /^(«+^> е Н\/2 Так как f > 0 на /,
то внутренний сомножитель аналитичен на /.

102 Гл. II. Пространства HP
Следующее доказательство для р = 1 принадлежит Кусису.
Заменяя дугу / меньшей, мы можем считать, что / имеет нека-
некасательные пределы в концах 8b 62 дуги /, причем Re/(е<в/)> 0,
/=» 1, 2. Пусть Г — дуга окружности, соединяющая eiQi с eiQi
в D. Изменяя Г, мы можем считать, что inf | / | > 0. Пусть U —
г
область, ограниченная Г[]19 а т — конформное отображение
круга D на U. Покажем, что F = f°x — внешняя функция. Но т
можно выписать явно, и отсюда сразу следует, что
\ log | / (ге«) | dQ = \ log | / (е
г-hJ
для любой компактной дуги /с/, что и означает отсутствие
особенностей у внутреннего сомножителя / на /.
Пусть Г] с: Г — компактная дуга, причем Re/^O на Г\Гь
Положим у = x^^Fi). Тогда Ref^O почти всюду на Т\у, в
то время как F(eiQ) лежит в С°° и нигде не обращается в 0 на у.
Пусть и<=С°°(Т)у « = 0 на Т\у и \и — argf|<n/2 на у. По-
Положим g(z)= u(z)+ iv(z)y где u(z)—интеграл Пуассона от
u(eiB), a v(z) — гармонически сопряженная к u(z) функция.
В следующей главе мы увидим, что g^H°°. Поскольку
ReFe~ie^0 почти всюду и Fe~ie^H\ следствие 4.8 показы-
показывает, что функция Fe~ie внешняя.
(Ь) При р < 1 утверждение (а) становится неверным. Пусть
{zk}—последовательность Бляшке и Bn(z)—конечное произве-
произведение Бляшке с нулями zky I ^ k ^ /г, причем Вп@) > 0. Пусть
vn^L°°y vn(eiQ)= ±я/2 таковы, что
Пусть vn(z) — интеграл Пуассона от vn(eiQ) и un(z) — гармони-
гармонически сопряженная к vn(z) функция, «п@) = 0. Тогда
Re(eu«"^)>0 и Grt = Bneu*-ivn<=~ Hp при всех р< 1, причем
Re Gn(eiQ) ^ 0 почти всюду.
При данном р<1 и уже выбранных z\f ..., zn мы всегда
можем выбрать zn+\ со столь малым 1 — \zn+\\, чтобы
Теперь Gn сходятся в Нр и почти всюду к некоторому G и
ReG(^e)^0, G(zn)=0t n=l, 2, ..., но G Ф 0, так как
I G @) j = Iim I Bn@) |. На аргументы никаких ограничений нет,
п
и мы можем сделать все точки окружности предельными для
{**}• Тогда внутренний сомножитель функции G не может ана-
аналитически продолжаться ни через какую дугу.

Упражнения и дальнейшие результаты 103
15. Пусть / принадлежит классу Неванлинны N. Некасатель-
Некасательная максимальная функция
Г(в)= sup |/B)|, a>0,
Га<9)
удовлетворяет неравенству
Отсюда следует, что / имеет некасательный предел f(eiQ) почти
всюду и
16. Аналитическая в D функция / принадлежит N тогда и
только тогда, когда / = fr/fr, где // & Я00, / =* 1, 2, и /2 не имеет
нулей. Знаменатель /2 можно выбрать внешней функцией тогда
и только тогда, когда fe /V+ (Ф. и Р. Неванлинна [1922]).
17. Пусть !? — множество всех полиномов от г, a f^H2(D).
Тогда Ф\ = GH2, где G — внутренний сомножитель /.
18. (а) Пусть 0 < р < оо. Если М — замкнутое подпро-
подпространство в Нру инвариантное относительно умножения на г, то
М = GHP для некоторой внутренней функции G (см. доказа-
доказательство теоремы 7.5).
(Ь) Пусть М — замкнутое подпространство в /Д 0 < р ^ оо
(при р = оо предположим М слабо /Лзамкнутым). Пусть
гМ с М. Если zM = М, то zM = М и М == Хя^р Для некоторого
борелевского множества Я. Если zM^M, то Л! = (/Я^ для не-
некоторой функции U^L°°y где |^У|= 1 почти всюду.
¦*19. (теорема Литтлвуда о субгармонических функциях).
Пусть |и — положительная мера в Dy такая, что
(ЕЛ) Slo*TTTd|i@<00-
Потенциал Грина
супергармоничен в D (т. е. функция —U^ субгармонична). Для
дискретной меры с единичными нагрузками M'^S^» *пфО,
(ЕЛ) равносильно условию Бляшке Л A — \%п\) < °° и
и^ (г) = —log | В (г) |, где В (г) — произведение Бляшке с нулями
{zn}. Литтлвуд [1929] доказал, что
A) Hm{ t/.(re'e)d9 = 0;
(ii) lim Up {reid) = 0 почти всюду.

104
Гл. II. Пространства Нр
Это обобщения результатов раздела 2 о произведениях Бляшке.
Тождество
! с
2л J
1
log Г,
следует из теоремы о среднем для гармонических функций. По-
Поэтому (i) есть следствие из теоремы Фубини.
(И) мы докажем для верхней полуплоскости и вертикальной
сходимости. Локальность задачи позволяет предположить, что
носитель меры \х лежит в квадрате Q = [О, 1]Х [0, 1]. Условие
(ЕЛ) превращается в
\yd\x{x9 y)<oo,
а потенциал принимает вид
Мы должны показать, что lim Uu(x + iy)= 0 почти всюду на
[О, 1]. Пусть \хп — сужение |я на полосу
Ап = Q П {2~п < Im ? < 2-"+*},
a vn — вертикальная проекция 2-п\хп на [0,1], V/^
оо
= 2-лц(?ХB-л, 2-"+')). Тогда ? IKIK °°- Положим
где
log
*М*)-= \ log Т=Т
Оценим U\ и i/2 по отдельности. При |? —;
Значит,
"@

Упражнения и дальнейшие результаты
105
где M(dv) — максимальная функция Харди— Литтлвуда меры v.
Для любого N
так чрго по оценке слабого типа для М (dv)
со
\{х: lim (/,(* +/у) >е}|< lim i-V ||vJ-0.
0 Н ь **
Для оценки U2(z) предположим, что геЛ„. Круг
< у/4} пересекает лишь Л„_1, Ап и Лл+ь так что
Подынтегральное выражение положительно и четно, и потому
2-»
7Гп
J log
log
Значит,
п+1
и ?Л (* + /#)-* 0 при у-+0 почти всюду.
Близкий результат будет доказан в разд. 3 гл. VIII.
*20. Теорема о канонической факторизации обобщается на
субгармонические функции. Доказательство использует теорему
Рисса о разложении (упражнение I. 17) и теорему Литтлвуда
(упражнение 19).
(а) Пусть v(z) — субгармоническая функция в Д ьф—оо,
и пусть \х ^ 0 — ее слабый лапласиан. Для \z\<i г <? I
v {г) = иГ (z) —
2я
1С1<г
1 —Саг
где ur(z) гармонична при \z\ < г.
(Ь) Если v(z) имеет гармоническую мажоранту, то ее наи-
наилучшая гармоническая мажоранта равна u(z)=*\imur(z) и
г->\
v(z)=u(z) — A/2яI/ц(г). В частности, потенциал сходится
^ее, где v(г) > — оо, и теорема Литтлвуда применима к ?/д(г).

106 Гл. II. Пространства Нр
(с) Если
то наилучшая гармоническая мажоранта функции v(z) есть ин-
интеграл Пуассона конечной меры kdb/2n + асг, где а сингулярна,
так что, согласно части (и) теоремы Литтлвуда, v(z) имеет
почти всюду некасательный предел k(em).
(d) В частном случае v{z) = \og\f(z) |, /eiV, /@)=^=0, мы
получаем теорему 5.5 как следствие (Ь) и (с).
См. Ф. Рисе [1930].

Глава III
СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ
После некоторой подготовки (в ходе которой будет установлено
совпадение оператора гармонического сопряжения с преобра-
преобразованием Гильберта) мы докажем — в нескольких вариантах —
знаменитую теорему Марселя Рисса. Затем мы обсудим более
молодую, но и более важную теорему, утверждающую, что со-
сопряженная функция и некасательная максимальная функция
принадлежат одному и тому же классу /Л
1. Предварительные сведения
Пусть /(8)^LlG), где Т = dD — единичная окружность. Пред-
Предположим вначале, что f вещественна, u(z)— ее интеграл
Пуассона, a u(z) — функция, грамонически сопряженная с и (г)
и нормированная условием й@)= 0. Поскольку
ТО
где
^ (9 —
Эти формулы определяют гармонически сопряженную функцию
й(г) даже для комплексных /. Ядро — CM<p) = Qr(9 — ф) назы-
называется сопряженным ядром Пуассона1). Ядра Qr вовсе не ведут
себя как аппроксимативная единица; они нечетны и ||Qr|li ~
— log 1/A — г). Тем не менее сопряженная функция й(г) почти
всюду на Т имеет некасательные пределы.
Лемма 1.1. Если f&L{(T)f то й(г) имеет некасательный
предел /@) почти всюду на Т.
!) Знак минус в — 0«(ф) обеспечивает равенство Q«(q>) « Ог(ф) гфй**»г.
В наших обозначениях Рк — Юг аналитичиапри | г \ < 1 neiQ->Pr (9) + iQr (в)
продолжается до аналитической при | z \ < 1 функции.

108 Гл. III. Сопряженные функции
Доказательство. Можно считать, что f@)^O. Анали-
Аналитическая функция g(z)= u(z)-\-iu(z) имеет неотрицательную
вещественную часть, и G(z) = g(z)/(l + g(z)) ограничена.
Функция G(z) имеет почти всюду некасательный предел G@),
и G@)= 1 самое большее на множестве меры 0. Значит, g =
= G/A — G) почти всюду имеет конечные некасательные пре-
пределы, как и ее мнимая часть ii(z). ?
Линейное отображение /(Э)->/F) называется оператором
сопряжения. Сопряженную функцию f @) можно представить и
как интеграл в смысле главного значения.
Лемма 1.2. Пусть f<=Ll(T). Для почти всех 0
"e™,e-i,>eCg^ 2 ' Ф 2Л '
б частности, предел A.1) существует почти всюду. Далее,
A.2) я/-"к 1
С — абсолютная константа, a Mf — максимальная функция
Харди — Литтлвуда для /.
Доказательство. При 0 Ф 0
f r\ /i\\ f 2r sin 6 sin Э , 6 л /AV
ImjQr (9) = lim i_2rcos9 + r2 = !_cose = ctgу = Q,(9),
а это — ядро A.1). Пусть е = 1 — г. При е < в < я
/1 __ »Л2 gjn А 1 -
Ql (в) — Qr (в) = A _ С03 в) A _ 2r cos в + г*) =Т+"
Но A— r)Q,(l— r)<2, и потому
A.3) IQ.(8)-Qr(e)|<T^7Pr(e), е<|9|<я.
С другой стороны, при 101 ^ е = 1 — г
A.4) IQr(9)|<-.
в
Теперь
п (reif>) -
1 {
|в-ф|>е
|ф!<е
2^ J I Ql (Ф) — Qr (ф) 11 / (в —

1. Предварительные сведения 109
По A.3), A.4) и теореме 1.4.2 эти два интеграла не превосхо-
превосходят СМДб), и A.2) доказано.
Чтобы доказать A.1), используем тот факт, что нечетные
функции Qr(9) и Qi(fl)X{jei>e} ортогональны константам. Тогда
е<1ф|<д
1фКе
+ -ST \ T+F
|
\
е<|ф|<я
Значит, по A.3) и A.4)
—{
2л J
|ф|<?
ГРг(фI/(в-ф)-
Согласно упражнению 1.11, эти два интеграла стремятся к 0 на
лебеговском множестве функции /. ?
Нетрудно доказать и некасательный аналог оценки A.2):
—ST S
<CaAf/F),
где геГа(9) и е = 1—|г|. Детали мы оставляем читателю.
Неравенство
2 ,9^2
U ? Л
показывает, что главное значение в A.1) ведет еебя так же, как
и преобразование Гильберта
A.6) ГГГ/ЛЧ |!" 1
е<| G-ф |
Функции Hf (9) и f@) не совпадают, но их разность едть сверт-
свертка с ограниченной функцией 2/6— ctg8/2, так что Я/@) сущё*
ствует почти всюду и
A.6) 1/(в)-Я/F)|<|||/||1.
Существуют непрерывные функции /, для которых J даже не
ограничена. Например, пусть F = u + iu — конформное отобра-
отображение круга D на полосу {г: \х\ < 1/A + У2)}> F@) = 0,
F'@)>Q. По теореме Каратеодори о непрерывности конформ-

110 Гл. III. Сопряженные функции
ных отображений ы@) = Пт и(ге1в) — непрерывная функция,
г-»1
но й@) не ограничена. Более простой пример получается из
A.5). Пусть /F) — нечетная функция, так что в A.5) при 9 = 0
не возникает никаких сокращений. Тогда lim и (г) ведет себя как
>1
но этот интеграл может расходиться и для непрерывных /.
Для непрерывной функции /@) на окружности Т пусть
©(fi) = ©,(*)= sup |/(в)-/(ф)|
|e-q>i<6
— ее модуль непрерывности. Модуль непрерывности—ото ае*
убывающая функция, причем
lim со F) = 0 и со F{ + 62) < со (flj) + о) (б2).
б0
Функция называется непрерывной по Дини% если
о
при некотором а > 0.
Теорема 1.3. ?"ош функция /@) непрерывна по Дини на Т,
то ] существует всюду на Г, непрерывна и
A.7)
постоянная С не зависит от f uo.
Заметим, что при малом бо и 0 < б
так что при выполнении условия Дини непрерывность ] следует
из A.7).
При 0<а<1 мы скажем, что /®Лв, если о (б) «¦ О(ба).
Тогда A.7) показывает, что сопряжение сохраняет классы Лип-
Липшица Аа.
Доказательство. Если функция Ь(в) ограничена и

К Предварительные сведения Ш
то при малых б
Поэтому достаточно показать, что Hf (9) существует всюду я
дойускает оценку A.7). Поскольку
|6-ф|>е
то условие Дини обеспечивает существование #/@) в каждой
точке.
Пусть |9i — в21 = 6 и 0з = F, + 92)/2. Константы имеют ну-
нулевое преобразование Гильберта, и можно считать, что /@з) = О.
Предположим, что 0i < 02. Тогда
1/(ф)-/F»)
|Ф-е2|
в
6
Два первых интеграла не превосходят С \ -^-^ dt. Поскольку
о
^@3) = 0, два следующих интеграла не превосходят
26 б
б 6/2
Нашонец, последний интеграл — поскольку /@3) = О — не пре-
превосходит
я п
36/2
Следствие 1.4. Пусть I а Т— открытая дуга. Пусть feL1
и f непрерывна по Дини на дуге I, Тогда f непрерывна во всех
точках этой дуги.
Доказательство. Прежде всего если /@)=О на /, то,
согласно A.1), f на / вещественно-аналитична. Если / — произ-
произвольная компактная часть дуги /, то существует непрерывная

112 Гл. III. Сопряженные функции
по Дини на Т функция g, равная / в окрестности /. По тео-
теореме 1.3
f = g + (f-gr
непрерывна на /. ?
Существует тесная связь между сопряженными функциями
и частичными суммами рядов Фурье. Пусть Д8)е/,! имеет ряд
Фурье
Предположим для простоты, что f вещественна, так что а_п
= ап. Поскольку Рг и Qr вещественны и
то
оо
Рг (9) = ?/¦
— оо
Qr(9)= Z
Стало быть,
оо
= Рг * f F) = ? а„г'
= -/ Z sign (л) аЛг1
гг ^ О
В частности, для тригонометрического полинома X arte'ft9
функция /@) будет полиномом той же степени,
A.8) f(9) = |m(n)a/»9,
где
{— /, /г > О,
О, /г = О,
/, /г < О
—'Мультипликатор Фурье, связанный с оператором сопряжения.
Из теоремы Парсеваля сразу вытекает
Теорема 1.5. Если f e L2, то и f e L2, причем

1 Предварительные сведения 113
где
Рассмотрим теперь оператор
Я(/) (/
который переводит X aneinQ в ? o,nein®. Оператор Р уничтожает
-со О
ап при /t<0 и является ортогональным проектором простран-
пространства L2 на Н2. В любой норме, в которой линейный функционал
/->До(/) непрерывен, оператор Р будет ограничен или неогра-
неограничен одновременно с оператором сопряжения.
Оператор f-+-e-ini)(P(einef)) уничтожает коэффициенты uk
при k < —ft, а остальные коэффициенты не меняет. Таким же
образом оператор f-^e^n+l^P(e-^n^[)Of) уничтожает коэффи-
коэффициенты аи при k <C n -f- 1. Следовательно,
е- шр (einQf) _ е* («+1) ер (е- *
есть частичная сумма 2 <^?ш ряда Фурье.
- п
Подобное же рассуждение показывает, что
Р/= lim ^^„(e-'»9/), f<=L2.
П->оо
Это значит, что знаменитая теорема Марселя Рисса
11/1, ^ Ар\\Пр> КР<°°>
равносильна любому из неравенств
или
Легко видеть, что последнее неравенство справедливо тогда и
только тогда, когда
WSnf — /lip-* 0, ft->oo, 1<р<оо, f&L?.
(В одну сторону используйте принцип равномерной ограничен-
ограниченности; в другую — плотность тригонометрических полиномов
в Lp.)
Для верхней полуплоскости пусть и (z)—интеграл Пуассона
функции f(/)ELp, 1 ^ р < оо. Сопряженная функция й(г) те-
теперь определяется формулой

114 Гл. III. Сопряженные функции
— сопряженное ядро для верхней полуплоскости. Определяющий
й(г) интеграл сходится, так как Qy&Lq при всех q> 1. По-
Поскольку
то функция u{z)-\- iu(z) аналитична в верхней полуплоскости.
Этот выбор п{г) включает в себя нормировку, отличную от слу-
случая круга. Вместой(/) = 0 мы требуем, чтобы lim й(лг + /г/) = О,
потому что только при такой нормировке й(г) может быть
интегралом Пуассона функции из LP, р < оо. Поскольку
Qy^L\ то для р = оо мы возвращаемся к нормировке круга
и полагаем
Тогда й@=0, и при f&L°° указанный интеграл абсолютно
сходится.
Полученные выше результаты о сопряженных функциях в
круге можно тем же путем доказать и в полуплоскости, и мы
не будем сейчас излагать их подробно. Однако мы отметим не-
некоторые небольшие различия между двумя этими случаями.
При р < оо предел ядер Qy{t) при у^О совпадает с ядром
l/nt преобразования Гильберта. Таким образом,
¦e+w-i-
\x-t\
<CMf(x),
\x-T\>y
и при #->-0 оба члена в этом выражении стремятся почти всюду
Ц) Щ{)
Преобразование Гильберта функции /eL°° почти всюду оп-
определяется формулой
Нормировка й(/) = 0 делает интегралы сходящимися при боль-
больших U
Для фиксированного у > 0 функция Ку = Ру + iQy =*
«=—\/ni{t±iy) лежит в L2, и ее преобразование Фурье
*~2пШ

2. LP-теоремы 115
можно вычислить по теореме Коши:
2е~2™У, s > О,
О, s < 0.
Поскольку Py(s)^=:e~2ll^siy1 это дает
:>- 2л | 5 | у пЧ (]
Л15^, 5<0.
Из теоремы Планшереля следует, что Qy*f сходятся в нор-
норме L2 при у-*-0. Поскольку Qy*f^Hf почти всюду, то мы за-
заключаем, что Hf^L2, IIQi/*/ — Я/112->0 и имеют место равен-
равенства
A.9)
A.10)
2. L^-теоремы
Выберем а>1. Максимальная сопряженная функция для
f<=Ll(T)- это
(f)*(9)= sup |й(г)|,
где Я (г)—ссжрлженный интеграл Пуассона для /(в), а Га(в) —
сектор
Теорема 2.1. Существует константа Ла, зависящая только от
а и такая, что
B.1) |{в: G)*(в)> 1}|<(
Доказательство. Если мы докажем B.1) для положи-
положительных /gL1 с постоянной Са, то будет доказан и общий слу-
случай сЛа» 8Са. Поэтому предположим, что f ^ 0. Тогда У7 (г) =»
= (РГ + ^Qr)*/F), z*=*relQf — аналитическая функция в D с
Ref(z)>0 и
Множество {/s: \s\ > X} на мнимой оси имеет в правой полупло-
полуплоскости гармоническую меру

11б Гл. III. Сопряженные функции
Очевидно, что h(w) ^0 и h(w) ^ 1/2 при |1тш|^ X. На поло-
положительной вещественной полуоси
2u
Суперпозиция g(z) = h(F{z)) является положительной гармони-
гармонической функцией в D, т. е. интегралом Пуассона некоторой по-
положительной меры с полной массой
Если | Im ^(г) | > %, то g(z) > 1/2 и, стало быть,
{0: tf)*@)>b}c:{e: g*(в)> 1/2}.
Но для интегралов Пуассона положительных мер справедлива
оценка слабого типа для некасательной максимальной функции
(теорема 1.5.1), и поэтому
|{в: (!)*(в) > Я} |< 2Bag@) = 2Ва^
где Ва зависит только от а. Значит, B.1) доказано для f e L1
с4 = 32ба/я. П
Доказательство B.1) для верхней полуплоскости одной де-
деталью отличается от этого рассуждения.
Лемма 2.2. Если р, — конечная мера на R с интегралом
Пуассона u(z), то
\d\i= lim [ f2y 2 ф(/)= lim nyu{ty).
Эта лемма элементарна.
Чтобы доказать B.1) и для верхней полуплоскости, предпо-
предположим, что feLl(R), / ^ 0. Функция F(e) = (и + ш) (г) =
= {py + iQy)*f(x)> z^x + iy, аналитична в Ж, и ReFB)>0.
Функция же ^(г) = h(F{z)) гармонична и положительна в Ж.
Более того, поскольку 0 ^ giz)^ 1, то ^(г) есть интеграл Пуас-
Пуассона от своего граничного значения g{t). Снова мы получаем
{t: Ш*@>Мс{<: ff'@> 1/2},
где (f)*@ = sup I й(г) | — максимальная сопряженная функция
raw
для верхней полуплоскости. Следовательно,

2. LP-теоремы 117
Но по лемме 2,2
Так как lim й (/г/) = 0, то повторное использование этой леммы
дает
ds 2Ц/11!
s2 як
\s\>K
Значит,
при fe^ /
Теорема 2.1 показывает, что оператор сопряжения имеет
слабый тип A — 1) на L1 (Т) или на L1 (R). Мы видели в разд. lt
что он ограничен в L2, поэтому по теореме Марцинкевича
B.2) \\f\\p<Ap\\f\\P) \<p^2.
Но при 2 < р < оо B.2) можно вывести из соображений двой-
двойственности. Из A.8) или A.10) следует, что
где f, ^ лежат в L2(R) или L2(T). Мы рассмотрим только
1"(К). При р>2, q=,p/(p-l) и /L»(R)A(R)
U = sup
независимо от того, конечна ||f||p или нет. Но q <C 2, и поэтому
Так как U[\LP плотно в Lp> то оценка B.2) справедлива на
всем Lp с постоянной Ар = Л,?. Мы доказали следующую тео-
теорему, принадлежащую М. Риссу.
Теорема 2.3. Если 1 < р < оо, го существует константа АР}
такая, что
\\Пр<Ар\\1\\р
для f € ^(R) uAufe LP(T).
Из интерполяционной теоремы следуют оценки
B-3) AP~J=T- "-*1'
B.4) -4Р~Лр, р-^оо.
Эти оценки точны по порядку. По двойственности B.3) точ-
точна, если точна B.4). Но пусть f(t) = х<о, п@- Тогда ||/||„ = 1

118 Гл. III. Сопряженные функции
при всех р и
так что
Of \^p
\\log t\pdt\ =±
По формуле Стирлинга
Теорема Рисса вместе с максимальной теоремой дает
где
Эта оценка Вр уже может быть улучшена до
Вр~В/(р-1), р-М,
интерполяцией непосредственно между B.1) и оценкой в L2. На
другом конце Вр ~ Вр} р->-оо, так как постоянные в максималь-
максимальной теореме ограничены при р-+оо.
Отметим фундаментальное различие между теоремами 2.3 и
1.3. В теореме 1.3 существенна гладкость /F), в то время как
в теореме 2.3 важно взаимное сокращение значений ядра.
Теорема 2.4. Пусть функция F(z) аналитична в круге О.Если
ReF(z)>0, то F&Hp при всех р< 1 и \\F\\hp *?Cp\F(O)\.
Это утверждение можно вывести из теоремы 2.1, потому что
ReF является интегралом Пуассона конечной меры, а любая
функция из слабого L1 на Т лежит во всех Lpt p <Z I. Однако
теорема 2.4 допускает и простое непосредственное доказатель-
доказательство.
Доказательство. Пусть F = \F\elv, |<р|<я/2. Функ-
Функция Fp аналитична в D и
F р = | F |р (cos рф + i sin /лр).
Но р < 1, и поэтому
\F\p < Ср ReFp, Cp = (cosяр/2)-1.
Значит,
р ± J Re F" (re'») dQ - Ср Re F" @) <

3. Сопряженные функции и максимальные функции 119
Следствие 2.5. Если F(z) аналитична в D и |argf(z) | ^
X ^ я, то F е Нр при всех р < п/2Х.
Доказательство. Применим теорему 2.4 к Fnln. ?
Следствие 2.6. Если /@)<= ?°°(Г) и Ц/IU ^ 1, то при р < я/2
Если /(9) непрерывна на Т, то
при всех р < оо.
Доказательство. Если fGi°° и II/IU ^ 1, то функция
отображает круг в правую полуплоскость. Значит, F е Нр при
всех р< 1. Если же / непрерывна, то найдется тригонометри-
тригонометрический полином gy такой, что ||/ — glU < е. Тогда g тоже три-
тригонометрический полином, так что g ограничена. Стало быть,
expp|f|<exp(p|f — g\)expp\g\
— интегрируемая функция при р < я/2е. ?
Теорема 2.7. Пусть Е<=.Т — измеримое множество меры
и пусть f = %е. Тогда функция распределения
зависит только от \Е\.
Доказательство. Для F(z) = {Pr + iQr)*f(Q)t z=reiey
имеем 0 < Re f (г)< 1, ReF(eiQ) = %E{Q) почти всюду и F@) =
= |?|/2л. Если h (w) — гармоническая функция в полосе
{0<Retiy< 1} с граничными значениями X(.|ima,l>M> T0 огра-
ограниченная гармоническая функция h(F{z)) почти всюду имеет
некасательный предел, равный характеристической функции
множества {9: |?@) | > I). Значит,
I {в: |/(9) | > *} | = 2nh(F(Q)) = 2яЛ(|?|/2я).
Теорема 27 доказана. ?
3. Сопряженные функции и максимальные функции
Теорема Рисса при р = 1 и р = оо неверна. Для р = оо контр-
контрпример был дан в разд. 1; при р = 1 теорема неверна по сооб-
соображениям двойственности.

120 Гл. III. Сопряженные функции
Однако существует близкое неравенство, справедливое для
всех конечных р, из которого теорема Рисса вытекает при
1 < р < оо. Пусть и (г) — гармоническая функция в верхней по-
полуплоскости Ж С помощью секторов
фе=Я?: \x — t\<y], /eR,
определим для нее некасательную максимальную функцию
Теорема 3.1. Если 0 < р < оо и вещественная гармоническая
в Ж функция u(z) такова, что u*^Lpy то существует гармони-
гармонически сопряженная с u{z) функция v(z)y для которой
C.1) sup \ | v (х + iy) \р dx < С Л \ и @ |р dt.
В единичном круге справедлива та же оценка:
C.2) sup ^ | й (re*) \p dQ < с Л \ и* (9) |р dQ, 0 < р < оо,
r<l J J
где й — обычная сопряженная функция с нормировкой п @) = 0, а
C.3) «•(в)
Конечно, в теореме 3.1 несущественно, что раствор сектора
равен я/2. Из теоремы 3.6 мы увидим, что C.1) остается в силе
для секторов любого раствора.
При р> 1 теорема 3.1 вытекает из теоремы Рисса, так что
нечто новое она сообщает лишь для р ^ 1. В свою очередь тео-
теорема Рисса следует из теоремы- 3.1 и максимальной теоремы
Харди — Литтлвуда. Впервые теорема 3.1 была доказана Бурк-
хольдером, Ганди и Сильверстейном [1971] с помощью броу-
броуновского движении. Приводимое ниже элементарное доказатель-
доказательство недавно изобрел Пол Кусис. Мы ограничимся случаем
р < 2 и вначале дадим доказательство для прямой. После этого
мы покажем, как приспособить наши рассуждения к случаю ок-
окружности.
Лемма 3.2. Если F(z)*= u(z) + iv{z)<= Я2,
m{X) = \{t: u*(t)>%}\
и
то
C.4) и (А.) < 2m (к) + тт \ sm (s) ds*
О

3. Сопряженные функции и максимальные функции 121
Доказательство. Пусть U% = {/: а*(/)>Х} и Е% =
= R\U%>так что m(h) = | (Л|. Построим область <Й = U Г@-
Ее граница состоит из двух частей: Ех = d&[\R и r = {j/>O}f|
П<Э5?. Множество Г — это объединение «домиков» над состав-
составляющими открытое множество 11% интервалами, как показано на
Я
рис. III. 1. Поскольку ?(г)еЯ2, то из теоремы Коши и плот-
плотности множества &лг в Я1 следует, что
Раскрывая вещественную часть этого интеграла, получаем
uu rfy =- 0.
2t так что
(и2 - v2) dx + J {и2 - и2) tf* - 2 J
г г
На Г мы имеем \dy\ = dx и —
-2
Значит,
и
C.5)
Но \и(г) | ^ Я на Г, откуда
^Х2 \dx = K2\
г
(Я).

122 Гл. III. Сопряженные функции
Оценим теперь второй член в правой части C.5):
А,
\ и2 dx ^ \ (и*J dx = I \ 2s dsdx ==\ \ dx 2s ds ¦=»
Ел Е* u*<A, О
(m (s) - m (Я)) 25 ds = J 2sm (s) ds - tfm(JL).
о о
Тогда ввиду неравенства Чебышева C.5) дает
I {* е ?Л: | о @1 > М I < iJr $ 2sm(s)ds -
Но
и C.4) доказано. П
Неравенство C.
мы 3.1- Оставшая
Лемма 3.3. Если 0 < р ^ 2 и и* е L", го
Неравенство C.4)—главный шаг в доказательстве тео-
теоремы 3.1- Оставшаяся часть доказательства более стандартна
Доказательство. Пусть у > 0. Тогда
хл-у
lt-x\<yU ^2yJyl
и потому
sup | и (х + iy) | ^ BуУ1/р || и* || .
л;
Поскольку р ^ 2, отсюда следует, что
1/2
. ?
Переходя к доказательству теоремы 3.1 для прямой и для
0 < р < 2, предположим, что и* е Lp, и выберем у0 > 0. По
лемме 3.3 найдется сопряженная к и {г) функция v(z)t опреде-
определенная при у > yOi для которой
sup [\f(x + iy)\2dx <oo, f*=*u + iv.
У>Уо J

3. Сопряженные функции и максимальные функции 123
Для любого уо > 0 может быть только одна такая vt поэтому
v не зависит от у$. Положим
Для uq(z)— u(z-\-iyo) имеет место неравенство и*<и\ и по
лемме 3.2
\i(k)^2m{k) + ^-^sm(s)dsf m(K) = \{t: u*(t)>l}\.
о
Интегрируя его по % с весом рХр~\ получаем
[\о{х + iy0) f
J
о
<2
I и* С-
Правая часть не зависит от у0, и мы получаем C.1) с постоян-
постоянной
р<2.
Рост Ср при р-^2 не имеет значения, так как теорема Рисса
дает при р> 1 другое доказательство оценки C.1). ?
Конечно, случай р ^ 2 теоремы 3.1 может быть доказан и без
обращения к теореме Рисса. При р > 2 теорема по соображе-
соображениям двойственности выводится из уже доказанного случая
р <С 2, а оставшийся случай р = 2 получается интерполяцией.
В единичном круге годятся те же рассуждения, но нам нужно
установить неравенство, аналогичное C.4). Пусть / = и +
+ ffis№, й(О) = О. Пусть ?Уь = {е: а*(9)>Я}, где «• опреде-
определено формулой C.3), Ex = T\Ub и m{%) = \Ub\. Пусть, нако-
наконец, \i(X) = | {6: |й(в) | > X} |. Если т(Х) не мало, то автомати-
автоматически
х
C.6) (л (Я) < Cm (Л) + -jjr J 5m (s) ds.
Это и есть интересующее нас неравенство. Поэтому нам до-
достаточно доказать его при малых значениях т(Х), Как и рань-

124 Гл. III. Сопряженные функции
ше, построим
Снова дЯ = Е\\}Т, где Г —объединение «домиков» над компо-
компонентами связности U\. По теореме Коши
дЯ
2m z 2я '
а на Г
2ni г 2л 2л1 г
При достаточно малом m(X) = \U%\ величина 1—г мала, на Г,
и легко видеть, что почти всюду на Г
dr
< 1.
Раскрывая вещественную часть интеграла, имеем
Поскольку
Г Г
мы получаем
JJ u2dQ +2
при малых т{Х). Неравенство C.6) выводится отсюда так же,
как в лемме 3.2, и, следовательно, справедливо при всех значе-
значениях т(к). Оставшаяся часть доказательства теоремы 3.1 пока-
показывает, что оценка C.2) верна при 0 < р < 2, а теорема Рисса
дает C.2) при 2 < р < оо.
Следствие 3.4. Пусть 0 < р < оо и и (г) — вещественная гар-
гармоническая функция. Равенство u(z)=Ref(z) с некоторой
f e Нр справедливо тогда и только тогда, когда и* е ZA Суще-
Существуют С\ и Сг, зависящие только от р и такие, что
Доказательство. Неравенство Cil|a*||P ^||/||р было до-
доказано в гл. II. Второе неравенство непосредственно вытекает
из теоремы. ?

3. Сопряженные функции и максимальные функции 125
Следствие 3.4, которое, конечно, равносильно самой теореме,
очень важно, потому что оно описывает пространства Нр,
р < оо, без какого-либо обращения к аналитическим функциям.
Пространства Нр можно охарактеризовать, даже не обращаясь
и к гармоническим функциям (Фефферман и Стейн [1972]).
Следствие 3.5» Если 0 < р < оо и u(z)—гармоническая
функция, с «* е Lp, то существует сопряженная к ней функция
v (г) cd*g Lp, причем
\\v*\\;<cp\\u*\fp.
Доказательство. По следствию 3.4 f = и"+ iv e Нр
и II / \\Рр < ср || и* \\рр. По максимальной теореме тогда f*^Lp,
а \\Г\\рр<Ас$\\и'\\рр. Но v* < /*, и потому ||о1?<*р||а*|?. П
Есть еще одно неравенство, более сильное, даже чем C.1),
в котором некасательная максимальная функция заменена на
вертикальную. По-прежнему считая u(z) гармонической функ-
функцией в 2ёу положим
tt+(O = supU(/ + ty)[, t&R.
У>0
Очевидно, что u+(t)^u*(t). И обратно, оказывается справед-
справедливой
Теорема 3.6. Если 0 < р < оо и u(z) гармонична в 3$, то
где ср зависит только от р.
Как следствие мы получаем, что гармоническая функция
и {г) является вещественной частью функции из Нр тогда и
только тогда, когда u+^Lpy и, следовательно, неравенство C.1)
остается в силе для секторов любого раствора.
Доказательство теоремы 3.6 опирается на замечательное не-
неравенство, принадлежащее Харди и Литтлвуду.
Лемма 3.7. Если и (г) гармонична в круге А(г0>/?) и 0<
< р < оо, то
C.7) UWl<i(Pfi \\ \u(z)\pdxdyYP,
где КР зависит только от р.
При р^1 лемма 3.7 —тривиальное следствие теоремы о
среднем значении н неравенства Гёльдера. Но при р << 1 не-
неравенство C.7) неожиданно, так как функция |«(z)|p не обя-
обязана быть субгармонической.

126 Гл. III. Сопряженные функции
Доказательство. Мы ограничимся случаем р < 1 и
предположим без ограничения общности, что го = 0 и R=l.
Пусть
2л
Можно считать, что
S1 Г Г
р л j J
О Л @, 1)
и что moo(r)= sup{\u(z) |: |z| = r}> 1 при 0 <г<1, т« как
иначе C.7) выполняется с КР = 1.
Поскольку р < 1, то
тх (г)< ^- ^ | u (ref9) f rfB/n^ (гI~р = mp (r)pm^(r)!"'.
Оценка максимума ядра Пуассона дает
moo(p)<yz^TT» 0 <р <г < I.
Положим р ==» га, где а > 1 будет выбрано ниже. Тогда
1 i 1
1/2 1/2
1
+ A-р)
1
Первый интеграл справа сходится и равен некоторому Са> а вто-
второй не превосходит
1 1
1/2
Значит,
1
1/2 1/2
Но мы предположили, что logm<x>(r)^0, и замена переменной
дает
1/2a 1/2
1
1/2

Замечания 127
Выбирая аA —р) < 1, мы получим
gm^r) < ^a
Теперь C.7) следует из принципа максимума. D
Лемма 3.7 дает новое доказательство леммы 3.3, но с дру-
другой постоянной.
Доказательство теоремы 3.6. Выберем qf 0 <
<q<p. Пусть z = x + iy^T(t) = {\x — t\<y}. Функция и
гармонична в А(г, у/2), и по лемме 3.7
U()|g<f
Д (г, у/2)
6П<
поскольку \х — t\<y. Последний интеграл не превосходит
CqMg{t)y где g = (a+)*t и Mg— максимальная функция Хар-
ди — Литтлвуда для g. Мы доказали, что
Так как p/q> 1 и g^Lplq, то максимальная теорема дает
+(/)|pd/. D
Замечания
Теорема 1.3 для классов Ла восходит к Привалову [1916]*),
Оценка слабого типа
и ее следствие
(N.2) Il7llp<i4p||f||b 0<р<1,
которые, разумеется, вытекают из теоремы 2.1, принадлежат
А. Н. Колмогорову [1925]. Для преобразования Гильберта оцен-
оценка слабого типа была ранее опубликована Безиковичем [1923].
М, Рисе анонсировал свою теорему в [1924], но публикацию
доказательства задержал до [1927]. Следствие 2.6 принадле-
принадлежит Зигмунду [1929J, а теорема 2.7 взята у Стейна и Вейсса
[1959].
Теорема Рисса имеет много доказательств; доказательство в
тексте выбрано за его краткость и потому, что оно подчерки-
¦) Точные константы в неравенствах, соответствующих теореме 1.3, вычис-
вычислены в статье Александрова [1975*]. — /7р«л«. ред.

Гл. III Сопряженные функции
вает роль гармонических оценок. Доказательство теоремы 2.1
повторяет приводимое Кацнельсоном [1968] доказательство
Карлесона неравенства Колмогорова. Приведенное в тексте до-
доказательство теоремы 2.7 я узнал от Брайана Коула во время
автомобильной поездки по Лос-Анджелесу.
Вещественные доказательства теоремы Рисса, более удобные
для многомерных обобщений, ведут к теории сингулярных ин-
интегралов (см. Кальдерон и Зигмунд [1952] и Сдейн [1970]).
Подход Кальдерона— Зигмунда к теореме 2.1 описан в упр. 11,
его идеи еще появятся в конце гл. VI. Другое вещественное до-
доказательство, связанное с красивой леммой Люмиса [1946],
элегантно изложено Гарсиа [1970].
Заслуживают внимания еще три доказательства теоремы
Рисса: первоначальное доказательство Рисса [1927] (см. у Зиг-
Зигмунда [1955]), его усовершенствование Кальдероном (Кальде-
(Кальдерон [1950а] или Зигмунд [1968]) и доказательство при помощи
формулы Грина, принадлежащее П. Стейну [1933], которое
приводят Дыорен [1970] и Зигмунд [1968] ')•
Наилучшее значение постоянной Ар в теореме 2.3 опреде-
определено Пикоридесом [1972] и, независимо, Б. Коулом (не опуб-
опубликовано). Использовав броуновское движение, Б. Девис [1974,
1976] нашел точные постоянные в неравенствах Колмогорова
(N.1) и (N.2). Более классическое доказательство результатов
Девиса дал позднее Бернстейн [1979]. Идея состоит в сведении
неравенств для норм сопряженных функций к некоторой задаче
о субгармонических функциях во всей плоскости. Начав с не-
неотрицательных функций, мы можем заменить их гармониче-
гармоническими функциями в полуплоскости, расплачиваясь завышением
постоянных и некоторой потерей в общности. Недавняя моно-
монография Гамелина [1979] дает превосходное изложение краси-
красивой теории Коула о сопряженных функциях в равномерных
алгебрах; выводятся также и точные постоянные в нескольких
теоремах.
Теорема Буркхольдера — Ганди — Сильверстейна 3.1 — ре-
результат, в настоящее время фундаментальный. С одной сто-
стороны, она объясняет, почему сопряженные функции удовлетво-
удовлетворяют тем же неравенствам, что и максимальные. С другой сто-
х) Различные варианты «вещественного» подхода к результатам типа тео-
теорем М. Рисса и Колмогорова содержатся в работах Лузина [1951*]
(стр. 287—319), Безиковича [1926*], Полларда [1927*], Полларда и Янга
[1928*]. Исторически первые (и совершенно элементарные) оценки типа B.1)
и, по существу, той же силы, что и B.1), получил Буль [1857*] (см. также
Левштсон [1940*], стр. 68, Виноградов и Хрущев [1981*]). В связи с тео-
теоремой 2.1 см. также результаты П. Л. Ульянова (Бари [1961*], гл. 8) и
А. Б. Александрова (Александров [1981а*], [1981b*]). Многомерный ва-
вариант теоремы 3.1 см. у Кусиса [1979]. Подход к теоремам Рисса — Колмо-
Колмогорова с позиций «абстрактной теории функций» дан р книге Барби и Кёнига
[1977*]. — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты
роны, случай р^ 1 в этой теореме показывает, что некасатель-
некасательна^ максимальная функция — более мощный инструмент, чем
максимальная функция Харди — Литтлвуда. Решающей здесь
оказывается не гармоничность, а гладкость ядра Пуассона. На-
Например, пусть ф(/)— положительная и непрерывная по Дини
функция с компактным носителем на R. По аналогии с инте-
интегралом Пуассона положим для вещественной функции /е
Тогда если 0<р^1, то / = Ref, Fetfp, в том и только
том случае, когда sup | U (x9 y)\^ Lp (R).
у>о
Эту теорему вместе с новым доказательством теоремы 3.2
для Rn можно найти у Феффермана и Стейна [1972]. К сожа-
сожалению, точные условия на ядро ф, необходимые и достаточные
для характеризации №\ остаются нерешенной задачей (см.
Вейсс [1979]).
Другой путь к теореме 3.1 идет через атомную теорию про-
пространств №. См. случай R1 у Койфмана [1974], обобщение на
Rn у Лэттера [1978] и случай шара в Сп у Гарнетта и Лэттера
[1978]. Теория атомов кратко обсуждается в упр. 11 к гл. VI.
Элементарное доказательство теоремы 3.1 в тексте заимство-
заимствовано у Кусиса [1978]. Оно сделало книгу на 10 страниц короче.
Упражнения и дальнейшие результаты
1 (множества пика для диск-алгебры). Пусть Е а Т — ком-
компактное множество меры 0.
(a) (Фату [1906]). Существует функция и: Г->[—оо,0), та-
такая, что u-l{—oo) = E9 u<=Lx(T)y и непрерывна на Тji ие
^О{Т\Е). Тогда функция g = u-\-iu непрерывна в D\E и
ее значения лежат в левой полуплоскости. Функция /0 = ехр?
входит в диск-алгебру До = H°°f\C(T) и fo{z) = O тогда и толь-
только тогда, когда гб?. Таким образом, любое замкнутое множе-
множество меры 0 является множеством нулей для Ло. Обратно, если
ЕаТ является множеством нулей для какой-то функции fS/40)
то |Е| = 0 ($log|/|d6>-oo).
(b) (Ф. Рисе и М. Рисе [1916]). Пусть g — функция из части
(а) и f, = g/(?—1). Тогда /i€=i40, fi = 1 на ? и |/,(г) | < 1
при z^D\E. Значит, Е — множество пика для Ло. Обратно,
любое множество пика для Ло имеет меру 0. (Если f ^ 1 на Еу
то 1 — / = 0 на Е.)
(c) Докажите при помощи (Ь) теорему Ф. и М. Риссов для
круга: если ц — конечная комплексная борелевская мера на Т
5 Зак. 829

130 Гл. III. Сопряженные функции
и \ einbd\i (Э) = 0, /1=1, 2, ..., то |i абсолютно непрерывна.
(Иначе существует компакт Е меры 0, для которого \ eie d\i (8)=^=
0 Е
Но
lim
Я-»оо
Это — первоначальное доказательство теоремы.
(d) (Рудин [1956], Карлесон [1957]).]) Если Е а Т — ком-
компактное множество меры 0, то Е является интерполяционным
множеством пика для Ло, т. е. для данного h^C(E) всегда
найдется функция g^A0, сужение которой на Е совпадает
c/i и
По теореме Рунге найдутся такие gn^AOy что gn^>-h равно-
равномерно на Е. Выберем щ так, чтобы |g"n/+I — gn, | < 2~' в неко-
некоторой окрестности Vj множества ?, и й/ так, чтооы
\snl+l-gni\\f:'\<2-'
на T\Vj} где f\ — функция пика из части (Ь). Тогда
лежит в Ао и g = h на Е. Действуя несколько аккуратнее, не-
нетрудно получить и равенство HglU =||ft||.
(е) Результат (d) можно вывести из соображений двой-
двойственности. Оператор сужения 5: А0-*С(Е) имеет сопряжен-
сопряженный оператор S*: М(Е)-+М(Т)/А^ где М(Е)= С(?)* — про-
пространство конечных комплексных борелевских мер на Е, а Ло" —
подпространство в М(Т) мер, ортогональных к Ло. По теореме
Ф. и М. Риссов из гл. II (теорема П. 3.6) 5* является изомет-
рией. Пусть / = Ker S = {f e AQ: S(/)^0}. По известной тео-
теореме функционального анализа S: А0/1-*С(Е) также является
изометрией и отображает Ао/1 на все С(Е). Теперь если
h^C(E) и е > 0, то существует gG/l0, такое, что g = h на
Е и HglU^O +e)||A||. При подходящих mk функция
равна h на ? и ||g-0|| = ||ft|| (см. Бишоп [1962] и Гликсберг
[1962]).
*) См. также Виноградов, Хавин [1976*], Оберлин [1980*], Виноградов,
Хрущев [1981 *], Пелчинский [1964а*], [1964b*], Дынькин [1979*], Широков
[1982*], Досс [1981 *]. — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 131
•*(f) (Гамелин [J964]). Пусть p(z)—положительная непре-
непрерывная функция в D. Если h е С (Е) и | h (z) | ^ p (z), z e ?, то
существует_функция §еЛ0, такая, что g = ft на ? и \g(z)\^
^p(z) на D.
2. Мы используем в дальнейшем следующее приложение ре-
результатов 1 (Ь) и 1(с). Пусть [х — конечная комплексная боре-
левская мера на Ту сингулярная относительно меры Лебега.
Тогда существуют такие аналитические полиномы рп(г), что
(i) |р„(г)|<1, |z|<l;
(ii) j рпA\1-+Ы;
(iii) pn-+0 почти всюду по мере Лебега.
Вместо условия (iii) можно потребовать, чтобы рп-* — 1
почти всюду по мере Лебега. (Указание. Пусть \х сосредоточена
на \JEn, где Еп — компакты меры 0 и EnaEn+i. Пусть Лл е
п
<=С(Еп), ||АЛ||< 1, \ hnd\i-+1|\х||, и пусть gn^A0 интерполи-
рует hn, \\gn\\<C 1. Возьмите в качестве рп полиномиальные при-
приближения к gn.)
** 3. Пусть Ат обозначает алгебру функций, у которых пер-
первые т производных принадлежат Ло, иЛ°°=П^т- Пусть Ла,
0<а^1, — пространство функций /еЛо, у которых
(a) Пусть Е — замкнутое подмножество окружности Т меры
О и {//} — длины его смежных интервалов. Для того чтобы Е
было множеством нулей для А°° или Ла, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ^ // log l/lj < оо (Карлесон [1952]I).
(b) С другой_стороны, функция f еЛт, такая, что f(z)= 1 на
? и |f|< 1 в Б\Е, существует тогда и только тогда, когда
? — конечное множество (Тейлор и Вильяме [1970]; дальней-
дальнейшую информацию и смежные вопросы см. у Александера, Тей-
Тейлора и Вильямса [1971] и Тейлора и Вильямса [1971]).
4. Теорема 1.3 точна в следующем смысле. Пусть функция
(о (б) непрерывна на [0, 2я],
со @) = 0, со (Si + 62) s? со (Si) + о (82)
оо.
!) См. также Хрущев [ 1977b*], [1978*], а также работу Широкова
[1981 *]. Условие сходимости ряда ^ /у log 1//, в связи с теоремами един-
единственности впервые появилось в статье Берлинга [1939*]. См. также Кахан,
Салем [1963*], гл. XI.—Прим. перев.

132 Гл. III. Сопряженные функции
(а) Существует вещественная функция /еС(Г), у которой
(oF), 6<60,
но J не является непрерывной. (Положите f(t)= co(tf), 0 < / <
<б0; /@ = 0,-1 <* <0.)
(Ь) Существует вещественная функция g^C(T), у которой
но g непрерывна. Вот набросок доказательства.
Пусть К — канторовское троичное множество, тогда {л: — у:
xGi(, ye K} = [— 1, 1]. (Попытайтесь нарисовать КУ^К.)
Пусть АеС(/С), А вещественна и ©а(б) ^ соF). Найдется
g^H°° с непрерывными граничными значениями, равная Л на
{е'е: 8еК}.
5. Если /еС(Г) непрерывна по Дини, то Snf-+f равно-
равномерно. Есть более точный результат: Snf-*f равномерно, если
©F)logl/6-*0 F->0) (Зигмунд [1968]).
6. Если 1 < р < оо и / е= L"f то ||S«/ — /||р ~^ 0.
7. Пусть /eL1 (Л-Если J | /1logB + I /|)d6 < оо, joJeLK
Если /^OHfeL1, то J | /1 log B + | /1) dB < оо. Первое утвер-
утверждение принадлежит Зигмунду [1929], второе — М. Риссу (Зиг-
(Зигмунд [1968]).
8. Докажите две оценки Колмогорова:
Первая верна и на прямой, и на окружности, вторая—только
на окружности.
9. Пусть Е czR имеет конечную меру; положим
1 г
Тогда функция распределения Н%е зависит только от |?|. Точ-
Точнее,
(см. Стейн и Вейсс [1959]).
10 (еще одна теорема о скачке). Пусть feL!G); положим
Почти всюду на Т F(z) имеет некасательные пределы /i(?)
изнутри круга D и пределы /г(?) извне круга D. Далее, почти
всюду
/(t)/(t)

Упражнения н дальнейшие результаты 133
*11. Пусть /ei"(R), 1^/j<oo. Положим
Hff(x) = — [ f/" dt
Л J
8
p
R>0
H*f называется максимальным преобразованием Гильберта.
(а) Покажите, что
где М обозначает максимальную функцию, a Hf — lim HJ.
е->0
Ввиду A.10) отсюда следует, что Ц//7Н2 < C\\f\\2.
(Ь) Предполагая, что Н* имеет слабый тип A — 1), покажите
с помощью интерполяции, что \\H*f\\p ^ сР||/||р, 1 < р < 2.
F SL F Я F
Рис. III. 2. Разложение Q= \Jfj.
(с) Для данного / найдется измеримая функция е(х), 0
< е(х) < оо, такая, что
(этот процесс называется линеаризацией). Поэтому
5 (#7 (х)) I ^ (*) I dx < 2 J | (Нг {x)f (х)) g (x) I dx<2 \\f(x)\ H*g (x) dx,
так что из части (Ь) по соображениям двойственности следует,
||//7llp<Cp||/IU2<p<oo.
(d) Почти очевидно ввиду (Ь) и (с), что ||Я/||Р^ CP|]/IU где
8-»0
(е) Вернемся к оценке слабого типа
(ЕЛ) |{*: //•/W
Пусть Q = {х: Mf (х) > X) и F = R\Q. Положим Q = U //.
где замкнутые интервалы /7 таковы, что dist (/,//) = |//| (см.
рис. III. 2). Так как каждый // содержится в интервале удвоен-
удвоенной длины, пересекающем F, то

134 Гл. III. Сопряженные функции
Положим
g(x) = f (х) xF (х) +
(щ \ f (t) dt\ ъ, (х),
Специалисты по вещественному анализу называют g(x) Хоро-
Хорошей функцией, а Ь(х) — плохой. Функция g хороша, потому что
Wgh невелика:
I
F I I,
Теперь неравенство в L2 из части (а) дает
|{jc: H-g(x)> l}\^-^\\g\\l<~\\f\]1,
и для доказательства (ЕЛ) нам достаточно проверить, ЧТО
По максимальной теореме |й| ^ (С/Я) ||/|||, и нужно только
казать, что
(Е.2) \{x<=F: H'^
Но Ъ (х) = 2 bi М>
blM = (f(x)-j~\f (t) di\ ц (х).
Заметим, что Ъ\ обладают хорошим свойство*! сокращения:
[ j (x) dx = 0. Пусть х е F и е > 0. Тогда
Wr+ Z J
dist (дс. //)>в /; dlst (х, /у)<е | Х4
= Ле(*) + Яе(*).
Пусть // — центр //. При dist (ху //) > е

Упражнения и дальнейшие результаты
188
так как jj bj(t)dt = 0. Для x&F и *е// величина \х — t\/\x —
— tj\ ограничена сверху и снизу, так что
IM0I
откуда
р
е>0
Фокус здесь состоял в том, чтобы за счет сокращения Ь\ заме-
заменить в интеграле первый порядок особенности на второй. Теперь
<2СЦ/И|.
p|
Е>0
Наконец, при dist(jc, //) ^ е мы имеем |//| = dist(/\
K\x-t |<2г
Ho||6|Ii«s?2||/||i,h
\{x<=F:
Теперь (Е.2) вытекает из установленных оценок слабого типа
для sup | Ле (д:) | и supl В,(х)|. (См. Кальдерон и Зигмунд
[1952] иСтейн [1970] )

Глава IV
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Мы начинаем с основного соотношения двойственности
@.1) inf \\f-g\\p =
Оно выводится из теоремы Хана —Банаха в разд. 1. Затем,
прежде чем продолжать углубление общей теории, мы приме-
применяем @.1) к изучению трех важных и нетривиальных задач:
1. Определить, когда непрерывная функция на окружности
имеет в качестве наилучшего равномерного приближения из Н°°
снова непрерывную функцию. Эта задача обсуждается в разд. 2.
2. Описать все положительные меры \i на 7, для которых
для любого тригонометрического полинома р(в). Эта тема по-
появится вновь в гл. VI, где основной результат разд. 3 настоя-
настоящей главы позволит получить информацию о вещественных ча-
частях функций из Я°°.
3. Решить интерполяционную задачу
@.2) f(zi)=wh /=1, 2, .... fe//«\
при дополнительном ограничении, что |f(eie)| постоянно или
что ||/||оо должно быть возможно меньше. Эта задача излагается
подробно, так как приводимая ниже теорема 4.1 имеет в даль-
дальнейшем важные и удивительные приложения и довольно точные
результаты на этот счет требуют более глубоких идей, чем со-
соотношение двойственности @.1).
Чтобы сравнить подход, основанный на двойственности, с бо-
более классическим, мы заключаем главу замечательным реше-
решением задачи @.2), принадлежащим Неванлинне.
1. Двойственные экстремальные задачи
Пусть X — банахово пространство с сопряженным Х*> a Y —
замкнутое подпространство в X. Тогда
у± = {х* <= х*: (у, л-*> = 0, у е У}
— замкнутое подпространство в X*. Теорема Хана — Банаха дает
изометрические изоморфизмы

I Двойственные экстремальные задачи 137
(l.i) у~хуу-ч
A.2) (X/Y)*^Y±.
Они могут быть записаны в виде двух равенств.
Лемма 1.1. Если х* е Х*у то
A.10 sup{|<**, y>|: j/еУ, Ily||<l}=inf{||jc'-*||: 4
Если х ^ X, то
x,/c>|: ?<=У^ Ш< 1}.
Доказательство. Левая часть A.Г) — это норма суже
ния х* на У, а правая — норма факторкласса x*-\-YL в X*/YL.
Согласно A.1), они равны. Аналогичным образом и A.20 сле-
следует из A.2). ?
На окружности Т мы имеем банаховы пространства С с:
с: L°° a LP ci L1, где С=С(Т) — это пространство всех непре-
непрерывных функций на Tt а пространства LP определяются относи-
относительно меры dQ/2n. Нам интересны их подпространства Лос:
аН°° аНр <=Н\ где Ло —это диск-алгебра: Ао= С[\Н°°.
Можно теперь составить таблицу пространств, сопряженных к
X
С
L°°
P
<oo
Y
Ao
Я00
Hp
Hi
X
M
—
Lq
L~
(T)
>
Y±
Hi
—
m
я~
ним пространств и их подпространств. В ней q = р/(р—\),
Яо = (g е Я9: ^@) = 0}, М (Т) — пространство всех комплекс-
комплексных бореллевских мер на Г с полной вариацией в качестве
нормы, а Н[о отождествлено с замкнутым подпространством в
М(Т)У состоящим из всевозможных абсолютно непрерывных мер
FdQ/2n с плотностью F е Я^ Два пробела в строке L°° будут
заполнены в гл. V, но заполняющие их пространства для наших
целей не особенно полезны. Для получения последнего столбца
заметим, что если FeL^, <7>1, и f eineF(Q)dQ = 0, п = 0, 1,
2П..., то F <= Н%. Описание А? как Я^ — это теорема Ф. и
М. Риссов (теорема II. 3.8) для круга.

188 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Теорема 1.2. Если 1 ^ р < оо, /е/; и f<?Hp, то расстоя-
расстояние от f до Нр равно
A.3) dist(/, Яр) = inf || f-«г ||р-
P
Существует единственная функция g e Я'7, для которой
dist (/, Яр) = 11/ — g\\p, и существует единственная функция
Jll'7IU= 1, для которой
A.4) $/FjL = dist(/, Я").
Доказательство. Равенство A.3) следует из A.2').
Пусть gn&H? таковы, что \\f — ^^||p->dist(/, Яр). Интегралы
Пуассона функций / — gn равномерно ограничены на каждом
компакте в Д и, согласно теории нормальных семейств, можно
считать, что gn сходятся к некоторой аналитической функции
8(z): gn{z)-+g{z), z^D. Вычисляя средние по окружностям
радиуса f<l, мы видим, что g^Hp и II/ —g||p ^ lim||f —
— gn\\p =** dist(/, Нр)у так что существует по крайней мере одно
наилучшее приближение, а именно g.
Пусть теперь Fn&Hl \\Fn\\q^\ и J /Fad9/2n->dist(/, Яр).
Поскольку 1 <<7^:оо, то по теореме Банаха —Алаоглу после-
последовательность {Fn} имеет слабую предельную точку F. Тогда
j /, Hp). Так как J
то
A.6) dist(/, Hp)=\(f~g)F^pp
Всюду в A.5) должно достигаться равенство, поэтому Ц/^Ц^ = 1,
и существование двойственной экстремальной функции, удов-
удовлетворяющей условию A.4), доказано.
Пусть теперь g&H? — любое наилучшее приближение для
/, a F «= Яо — любая двойственная экстремальная функция.
Равенство в A.5) влечет за собой равенство в неравенстве
Гёльдера, т. е. должно быть
при р ;> 1. При р = 1 вместо этого получим
(f-g)F-\f-g\.
Пусть р > 1. Поскольку |^| > 0 почти всюду, то первое урав-

1. Двойственные экстремальные задачи 139
нение доказывает единственность функции g. Поскольку F оп-
определяется своими значениями на любом множестве положи-
положительной меры, то второе уравнение доказывает единственность
функции /\
При р = 1 третье уравнение доказывает единственность F и
Im(gf). Но gF e Н\у следовательно, однозначно определено и
gF в целом, а потому и g почти всюду, так как | Z7j >> 0 почти
всюду. ?
Отметим, что наилучшее приближение g^Hp и двойствен-
двойственная экстремальная функция F^Ho, \\F\\Q—l, определяются
равенством A.5):
A.6)
Иногда можно вычислить dist(f, Нр), решая A.6) относительно
g и F (см. упр. 3).
При р = оо некоторые из утверждений теоремы можно
спасти, используя нижнюю строку таблицы вместо второй и
A.Г) вместо A.2').
Теорема 1.3. Если /е L°°, то расстояние от f до Н°° равно
dist(/,//")= inf
Существует g^H°°, для которой \\f — g\\oo = dist(/, H°°). Если
существует F e #J, \\F\\\ ^ 1, для которой
то это наилучшее приближение g e H°° единственно и почти
всюду
|/|
Доказательство. Выражение для расстояния следует из
A.Г). Существование функции наилучшего приближения g^H°°
доказывается, как в теореме 1.2. Если двойственная экстремаль-
экстремальная функция F е Н\ существует, то
и поэтому
A7) f~S = f~s = 7
V } dist (Л //~) П/ — ^Ноо \F\
почти всюду. Значит, g единственна. П
Если F существует, то из A.7) уже не следует ее единствен-
единственность, но следует единственность ее аргумента.

140 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Пример 1.4. Пусть f(9)=e-2''e. Если F0(Q) = e2iQ, то
Значит, dist (/, Н°°)= 1 и Fo — двойственная экстремальная
функция. Однако
— другая двойственная экстремальная функция. В этом при-
примере g = 0.
Пример 1.5. Пусть
г 1, о<е<я/2,
f F) = < 0, я/2 < 9 < Зя/2,
I - 1, Зя/2<6<2я.
Если бы нашлась g <= Я°°, такая, что \\g — flU < 1, то Reg>
>6>0 на @, я/2) и Reg<— б<0 на (—я/2, 0). Поэтому
lim
{[шТ \
Но этот интеграл с точностью до ограниченных слагаемых пред-
представляет собой —lim Im ц (г). Значит, таких ограниченных g не
существует, dist (/, Н°°) = 1 и g = 0 является одним из наилуч-
наилучших приближений. Пусть теперь g—конформное отображение
круга D на полукруг D f| {Im z > 0}. Можно считать, что g A) =
= 0, g(i)= 1 и g(—i)=—1. Вычисляя значения g на трех ду-
дугах, где / постоянна, мы видим, что II/ — ?ГНоо = 1. Значит, наи-
наилучшее приближение не единственно и, по теореме 1.3, двой-
двойственной к f экстремальной функции F е Н10 не существует.
Интересно отметить, где в примере 1.5 не проходит доказа-
доказательство теоремы 1.2. Согласно нижней строке таблицы, суще-
существуют Fn^Ho> \\Fn\\\ ^ 1, такие, что $ fFn dQ/2n ->-1. После-
Последовательность {Fn} имеет слабую предельную точку ae(L°°)*,
и линейный функционал о ортогонален к Н°°. В гл. V мы уви-
увидим, что о есть комплексная мера на компактном хаусдорфо-
вом пространстве максимальных идеалов алгебры L°°. Однако
а не является слабо непрерывной на L°° и не может быть пред-
представлена в виде a(h)= $ hFdQ9 FeL1. На самом деле функ-
функционал а сингулярен относительно d8 в смысле, уточняемом
в гл. V. На классическом языке это значит, что Fn(z)-+0>
2G D. Отсутствие двойственной экстремальной функции F е Н\
часто является главной трудностью в экстремальных задачах
для Я°°. Мы снова встретимся с этой трудностью в разд. 4.

1. Двойственные экстремальные задачи 141
Если функция /eL°° непрерывна, то двойственная экстре-
экстремальная функция F существует и наилучшее приближение g
единственно.
Лемма 1.6. Если /еС, то
dist(/, H°°) = d\st(f, Ло)= inf ||/-gL.
Доказательство. Существует функция #еЯ°°, такая,
что ||f —glL = dist(f, Я00). Пусть fr = Pr*fy gr = Pr*g — ин-
интегралы Пуассона функций / и g> Но \\РГ\\\ = 1, и потому
\\fr-gr\\oo=\\(f-g)*Pr\\oo^\\f-g\\oo.
В то же время gr е Ло и ||f — /vlU < е при малом 1 — г. Значит,
dist(/, Ло)<lim\\f-gr\L<\\f-gIL = dist(/, H°°).
г->1
Обратное неравенство очевидно, так как Я°°=эЛо. П
Множество всех функций вида g + Л, где g e Я°°, /ieC,
обозначим через Я°° + С.
Теорема 1.7. ?с/ш f^H°°-{-C, то существует функция
F<==zH{Q1 ||fib = 1, для которой
A.8) $/F-g = dist(/, Я00),
ы существует единственная функция g e Я°°, для которой
|||U dit/ Я)
Доказательство. Пусть / = g + Л, g е Я°°, Л е С. Тогда
dist(/, //°°) == dist (Л, Я°°), и мы можем считать / непрерывной.
По теореме 1.3 существуют Fn<=H]Q, Ц^Д^ Ь Для которых
J-\fFnd9-+dist(f, Я00).
Выбирая подпоследовательность, мы можем считать, что Fn(z)-+
-+F(z)9 z^D, где F е Я^, ||f||i ^ 1. Отсюда следует сходи-
сходимость коэффициентов Фурье, и поэтому для всех тригонометри-
тригонометрических полиномов р@)
Устремляя ||/ — р||оо к 0, мы получаем
dist(/, "~)
Значит, A.8) выполняется и f имеет единственное наилучшее
приближение из Я°° по теореме 1.3. ?

142 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
В качестве приложения мы заново докажем некоторые ре-
результаты из разд. 2 гл. I.
Следствие 1.8. Пусть ги ...» zn — различные точки круга D,
a w\y ..., wn — комплексные числа. Среди всех /^#°°, таких,
что
A.9) f(zf) = wh /=1, .... п,
существует единственная функция f минимальной нормы. Эта
функция имеет вид сВ(г)у где В (г)— произведение Бляшке сте-
степени не выше п— 1.
Следствие 1.9. Пусть zn+\ e D отличается от Z\y ..., zn.
Предположим, что A.9) имеет решение f e Н°° с ll/IU^l.
Пусть /о—то из решений, для которого \f(zn+[)\ максимально.
Тогда /о однозначно определяется своим значением fo(zn+\) ti
является произведением Бляшке степени не выше п.
Следствие 1.9 просто выводится из следствия 1.8. Экстре-
Экстремальная функция /о, II/oil ^ 1, существует по теории нормаль-
нормальных семейств. Пусть wn+\ = fo(zn+\). Если /бЯ00 удовлетво-
удовлетворяет A.9) и f(zn+i)= Wn+u то ||/||оо ^ 1, потому что иначе при
некотором достаточно малом \к\ функция
удовлетворяет условию A.9), HglU < 1 и \g(zn+\) \ > |/о(гл+1) |.
Значит, fo имеет минимальную норму среди функций со значе-
значениями wu •«•, ^n+i в точках zu • • ¦, zn+\.
Доказательство следствия 1.8. Пусть Во — произ-
произведение Бляшке с нулями z\, •••» zn, a f0— полином, дающий
интерполяцию A.9). Минимальная норма функций из Я°°, удов-
удовлетворяющих A.9), равна
inf \\f0~-Bog\L= inf ||Bo/o-glL.
g-e л g ^ rl
Поскольку 5о/о е С, то существует единственная интерполи-
оующая функция /еЯ°° минимальной нормы и существует
Г е= HI \\F\U = 1, такая, что
Значит, |/| = |fB0|=||f||oo почти всюду, и почти всюду
A.10)
Лемма 1.10. Если функция G класса Н1 почти всюду на дуге
I cz T вещественна, то она аналитически продолжается через /.

2. Теорема Карлесона — Якобса 143
Доказательство. Положим й(г) = G(l/z), |г|>1.
Это Я'-функция при \z\> 1 с некасательными пределами G@)
в почти всех точках /. Пусть Д — кружок малого радиуса, такой,
что ДП^сг/, V = k[\Dy W — ДП i\z\> 1}. Раз мы имеем дело
с функциями из Н\ то при w e к\Т
ад <?к а\г
Это показывает, что G можно продолжить через /. ?
Чтобы закончить доказательство следствия 1.8, отметим, что
G = fF/B0 — функция из Я1 в кольце {r<|z|<l}, г>|г/|.
Используя A.10) и лемму, мы видим, что G аналитична на Т и,
в действительности, G рациональна. Поскольку B0G аналитична
на Г, a //H/IU — внутренняя функция, то f аналитична на Т по
теореме II 6.3. Следовательно, f/ll/IU — произведение Бляшке
конечной степени, а функция F рациональна. Но Во имеет в D
п нулей, a F имеет нуль при г = 0. По принципу аргумента из
A.10) следует, что f имеет не более п— 1 нулей. ?
Экстремальная функция f(z) = cB(z) из следствия 1.8 мо-
может иметь меньше чем п—1 нулей. Например, пусть g — функ-
функция минимальной нормы, такая, что g{Zj) = wjy I ^ j ^ п—1.
Положим wn = g{zn). Тогда f = g имеет не более п — 2 нулей.
Таким же образом и экстремальная функция из следствия 1.9
может иметь менее п нулей. Однако если задача A.9) имеет
два различных решения /ь ]ъ с lifilU^ I, II/2II00 ^ 1, то экстре-
экстремальная функция fo из следствия 1.9 является произведением
Бляшке степени п. Для доказательства отметим, что A.9) тогда
имеет решение f с HflU <С 1 согласно утверждению о единствен-
единственности из следствия 1.8. По теореме Руше /о и fo — f имеют оди-
одинаковое число нулей в D. Но fo(z,) = f(z,-),1 ^ / ^ п, и, следо-
следовательно fo имеет не менее п нулей.
Следствие 1.2.4 дает больше информации, чем мы сейчас
получили, но двойственные методы этого раздела применимы к
более широкому кругу задач.
2. Теорема Карлесона — Якобса
Пусть f@)eC. Мы знаем из теоремы 1.7, что существует един-
единственная функция g e Я°°, такая, что
Мы хотим знать, будет ли это наилучшее приближение g(Q) не-
непрерывным на 7. Хотя необходимые и достаточные для этого
условия, налагаемые на f(9), не известны, имеется точный ре-
результат, параллельный теореме 1.3 гл. III о непрерывности со-

144 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
пряженной функции. Напомним, что модулем непрерывности
функции /@) называется
oF) = cofF)=sup{|/(8)-f((p)|: |8-ф|<6}.
Теорема 2.1. Если /(8) непрерывна по Дини, т. е. если при
некотором г > О
то ее наилучшее приближение g e Н°° непрерывно на Т.
Теорема 2.2. Пусть ш(/) — непрерывная неубывающая функ-
функция, такая, что ш@) = 0, S(t\ + t2) ^ co(^i) + со(/2) и
Тогда существует Д0)еС, со^(б)^ со(б), у которой наилучшее
приближение из Я°° не является непрерывным.
Сначала мы докажем теорему 2.1. Можно предположить, что
llf-?lloo=dist(/, Я~)=1.
По теореме 1.7 существуетF <= И[, l|F||i = l, такая, что
B.1) (f — g)F = \F\ почти всюду.
В доказательстве мы используем только B.1) и непрерыв-
непрерывность f. Нам понадобятся две леммы.
Лемма 2.3. Пусть G = и + iv e Я1 и на некоторой дуге I zzT
почти всюду и > 0, |v| ^ аи, где а > 0. Пусть Jczl — относи-
относительно компактная дуга и V = {reid: го<г<1, 9е/}, Тогда
если arctga<n/2p, то G^Hp(V), т. е. \G\p имеет в V гармо-
гармоническую мажоранту.
Доказательство. Напомним, что по следствию III.2.5
функция из Н\ у которой граничные значения лежат в секторе
5 = {х > 0, \у\<<хх}> входит в Нр при arctga<n/2p. Рас-
Расширяя /, мы можем считать, что G имеет конечные радиальные
пределы в обоих концах дуги /. Тогда М = sup{\G(z) j: z^dV,
\z\< 1} <оо и
имеет в почти всех точках dV граничные значения из сектора S
(см. рис. IV. 1). Поскольку gGW!(F), то интегральная фор-
формула Пуассона (примененная после конформного отображения
области V на D) показывает? что g{V)czS. По следствию III.2,5

2. Теорема Карлесона — Якобса
145
и ввиду конформной инвариантности класса Hp(V) мы видим,
что g^HP(V), а потому и G<=HP{V). О
Лемма 2.4. Пусть функции /еС, g е Я00 и F <= Н10 удов-
удовлетворяют B.1). Гогда
(a) F ^ Нр при всех р < со;
(b) если те [0, 2л), a fj = f — /(t), gx = g — /(т), то q/-
ществуют б > 0 w Го > 0, такие, что \gx(z) \^ 1/2 на
H7t={re*: |в — т|<6/2, го<г<1}.
Доказательство. Для доказательства (а) предполо-
предположим, что /? < оо и е > 0 таково, что arctg(e/l — е) < л/2р. Вы-
Р«с. IV. 1. S — {\и\ < аде, х > 0}. Значения функции g на 0V лежат в объ-
объединении круга и заштрихованного сектора.
берем такое б, что |/(в) — /(т) | < г при |0 — т|<6. На 1Т —
= {0: |0 — т|<6} в силу B.1)
Следовательно, Re(—gxF)>0 и |Im^TF| < e/(l — e)Re(—gTF)
почти всюду на /т. По лемме 2.3 gTfe№(^T). Если заменить
Wx пересечением двух кругов, границы которых пересекаются
внутри /т, то простое конформное отображение показывает, что
\gxF\pdQ<oo.
Так как |#т| ^ II/ — flU — о)(б)^ 1—е на /т, то это означает,
что \ | F \p dQ < оо и, стало быть, F e Lp. Значит, F& Нр по
|9-т|<6/2
следствию II. 4.3.
Чтобы доказать (Ь), выберем столь малое е, что на /т
—g\F = exp(w + iv)t Ibjjoo < л/4.
Тогда Л = ехр (— ivxJ% + ^Х/т)

146
Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
лежит в Я2 по следствию III. 2.6. Тогда ^-функция gxFh ве-
вещественна на /т. По лемме 1.10 и теореме II. 6.3 внутренний
сомножитель функции gxFh аналитичен на /т. Значит, и внутрен-
внутренний сомножитель функции gx тоже аналитичен на /т. Теперь
формула представления для внешних функций показывает, что
\gx{z) |^3/4 в области {го(т)<г<1, |8 — т|<б/2}. Но
go(z) = gx(z) — (/(a) — f(t)) и при |а — т| < б в той же области
\g<j(z)\> 1/2. Это значит, что го(т) можно выбрать не завися-
щим от т, что доказывает (b). D
Доказательство теоремы 2.1. По лемме
функция gx(z) имеет в Wx однозначный логарифм
/А
B.2) log gx (г) = -L \ log | gz (9) | V^ <» + *x (*
l% 9| 6 Z
2.4(Ь)
где Rx{z) — сумма такого же интеграла по |0 — т|>5 и лога-
логарифма внутреннего сомножителя gx(z). Поскольку \gx{z)\^
^ 1/2 в №\, то внутренний сомножитель отделен от нуля и ана-
аналитичен на дуге {eiB: |8 — т|<6/2}. Значит, при некотором
г\ > 0 функция Rt(z) ограничена и аналитична в Дт =
= {\z — eir\<Zr\}', радиус Т\ и верхняя грань sup|/?T| не за-
висят от т. Но |/т — gx\= 1, и мы имеем
так что
Обозначим через Г(т) усеченный сектор
где Гг > 0 выбрано так, чтобы Г(т)с1Ат. При
le-ti
и в силу B.2)
Г(Т),
Ввиду леммы Шварца и равномерной оценки величины Rx(z)
имеем \Rx(z) — RT(w)\^c\z — w\y z, шеГ(т). Стало быть,
\gx(z) — gx(w)\^C\z — w\ + x\{b), zt шеГ(т), где
при 6-^0,

2. Теорема Карлесона — Якобса
14?
Пусть теперь о и т настолько близки, что Г(т)Г)Г(а) содер-
содержит точку z с малым 1 —|г|. Тогда
+ I So (г) - go (ei0)
Если зафиксировать малое б ;> 0 с 2т](б) < е, то
т. е. функция g непрерывна. ?
Пусть теперь со(/) удовлетворяет условиям теоремы 2.2.
Лемма 2.5. Пусть б > 0 и
) (/), 0 < / < 6,
Продолжим f(elt) до непрерывной на [—л, л] и гладкой при
Ь < 111 < л функции с f (—л) = / (л); пусть g e Н°° — ее наилуч-
наилучшее приближение. Если g непрерывна, то
g(l)=±i\\f-g\U
Доказательство. Так как / вещественна, то f^H°° и
\\f—g\\oo>0. Можно считать, что \\f — g\\oo=ly так что
f-8
f-g
= 1 на Т. Докажем, что Reg(l) = 0. Поскольку
= 1, то log|g@| = 0 при —б< /<0. Если Reg-(l) > 0,
то при О <С t < б
log I gr I = — log
s —.
Аналогично если Re g A) < 0, то log | g\ ^ Ceo (t) при 0 < / < б.
Далее, g имеет на множестве {\z—11 <С б, |^|^ 1} непрерыв-
непрерывный логарифм— снова из-за того, что \f — g\= 1. Однако при
R(lH по лемме III. I.2.
Iim|argg(r)
1
I t\>?
со(/)
Это противоречие доказывает, что g(I)= ±/. ?
Для доказательства теоремы 2.2 возьмем 8п = 2~п и поло-
положим

148 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
на [6п, бп-i], (ол(/)=О вне [б„, бл-i]. Пусть
оо оо
Функция / вещественна, значит, f^H00. Легко проверить, что
(Of (б) ^ (о(б). Но если g е Я°° — наилучшее приближение для /,
то по лемме 2.5
и функция g{elt) не может быть непрерывной при t = 0. ?
3. Теорема Хелсона — Сегё
Если р@) — тригонометрический полином на окружности Г,
то его сопряженная функция р(8) — снова тригонометрический
полином, причем среднее значение функции р(8) равно 0. В этом
разделе мы излагаем принадлежащую Хелсону и Сегё харак-
теризацию тех положительных мер ц на 7\ для которых
каков бы ни был тригонометрический полином р(Э). Конечно,
это значит, что оператор сопряжения продолжается до ограни-
ограниченного оператора в L2(\i). В гл. VI будет дана совсем другая
характеризация таких мер, и эти два результата будут приме-
применены к описанию равномерного замыкания в L°° пространства
вещественных частей функций из Н°°.
Прежде всего нам понадобится знаменитая и красивая тео-
теорема Сегё. Пусть 2Г — множество всех полиномов от г, обра-
обращающихся в нуль при г = 0. После сужения на единичную
окружность 2Г совпадает с множеством всех тригонометриче-
тригонометрических полиномов вида
Теорема 3.1 (Сегё). Пусть d\i —конечная положительная
мера на окружности и
где d\is сингулярна относительно dQ. Тогда
C.1) inf
Отметим, что если обе части равенства C.1) равны 0, то ЗГ
плотно в L2{\k), потому что e~'e, ermy ... по индукции также
входят в замыкание множества #".

3. Теорема Хелсока — Сегё 149
Доказательство. Сначала мы избавимся от сингуляр-
сингулярной части \is. Согласно упражнению III. 2, существуют полиномы
Pn^fF, такие, что HpnlL ^ 1, рп-*\ почти всюду относительно-
d\xs и рп-+0 почти всюду относительно dQ. Для любого fo^&~
будет /о + Рп A — h) eE T, так что
inf \| 1 — /|2dn<lim \ | 1 — (f0 + pn A —
, 2 _rf0^
Поскольку d\i7^w-~—. то противоположное неравенство три-
тривиально и
так что мы можем считать \i абсолютно непрерывной.
Пусть ф = log w и \ Ф d0 > — оо. Пусть ф = ф — сопряжен-
сопряженная к ф функция и G = exp((q> +гф)/2). Тогда G — внешняя
функция из Я2, |G|2 = w почти всюду и
G2@)=exp
2я э
а это правая часть C.1). Если /е#", то (l-fJ02e№, и
поэтому
Так как G — внешняя функция, то по теореме Бёрлинга сущест-
существуют такие полиномы ря(г), что p^G->G@) в Я2. Тогда
pn@)G@)->G@)=?0, рл@)-^ 1 и можно считать, что рл@)= 1.
Следовательно, ря = l—fn, fn^&~, и
lim^Jll — fn
Таким образом, C.1) доказано при logw^LK
Если же \ log w rf8== — оо, то log(i0 + e)GL' при г > 0 и,
стало быть,

150 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
inf \ | 1 - f |2ш||< Inf 5 | 1 - / |2(ш + е)^-=
Переходя к пределу при е-*-0, получим
Обращаясь к работе Хелсона и Сегё, положим снова
2n + d\is.
Пусть & — пространство антианалитических тригонометриче-
тригонометрических полиномов вида g = b0 + Ь{е~ш + Ь2е~2Ш + ... и
p = sup
где f и g пробегают соответственно ЗГ и ^ при условии, что
Ясно, что 0 ^ р ^ 1. Подпространства f и ^ ортогональны в
L2(ji) тогда и только тогда, когда р = 0; если их замыкания
9Г и % имеют ненулевое пересечение, то р =_1. Если р < 1, то
говорят, что угол между подпространствами 5Г и ^ положителен
и равен arccosp. В таком случае сумма ^" + ^ замкнута в L2([i)
так что топология ЗГ + & совпадает с топологией прямой суммы
пространств У и $. Существуют примеры замкнутых подпро-
подпространств Т и &у у которых &-(]$= {0}, но р= 1 и д~ + $ не
замкнуто (упр. 9).
Теорема 3.2 (Хелсон — Сегё). Угол между подпространствами
&~ и $ положителен тогда и только тогда, когда
C.2) \is = 0
и
C.3) \ogw = и+д,
где u^L^.v^L00 и HulU < я/2.
Доказательство. Сначала докажем необходимость усло-
условия C.2). Пусть d\is>0. Тогда, согласно упражнению III. 2,
существуют такие рп^&~, что |рл|^ 1, р«->1 почти всюду от-
относительно d\is и р^О почти всюду относительно d8. Но gn =
= р"п^^ и

3. Теорема Хелсона — Cere 151
в то время как
Нормируя рп и gn в L2(ii)y убеждаемся, что р = 1.
Теперь можно предполагать ц абсолютно непрерывной, d\i =
= wdQ/2n. Можно также считать, что log wt=L\ так как иначе
по теореме Сегё $Г плотно в L2(\i)y !?<=^Г и р=1, причем
C.3) не выполняется.
Пусть ф = log w, г|э = ф и G == ехр ((ф + гф) /2), как в дока-
доказательстве теоремы 3.1. Положим Я = G2. Тогда G^H2y
Я е Я1, функции G и Н внешние и |G|2 —|#| = до. Значит,
где sup берется по всем / е ^", ^ е ^, удовлетворяющим усло-
условию
По теореме Бёрлинга {fG: f^3~ } плотно в #о, a
плотно в Я2. Но каждую функцию FgWo можно записать в
виде F = FlF2i где F, е= Я?, Л е Я2 и ||/м 11^ = II ^2II2 == I! ^ Н1-
Поэтому
По двойственности
Лемма 3.3. Пусть t|) — вещественная измеримая функция. Не-
Неравенство
inf lle-^-eriL <l
справедливо тогда и только тогда, когда найдутся е > 0 и
h e Я°°, такие, что
C.4) |А| ^ е no«/rw всюду и
C.5) |i|) + arg/i|< л/2 — e(mod2n).
Доказательство. Если ||е~'* — g||oo<l, ^ е Я°°, то ^
удовлетворяет условиям C.4) и C.5). Обратно, если выпол-
выполняются C.4) и C.5), то \\ет1* — %h\U< 1 при малом Я > О,
(Это доказательство иллюстрируется рис. IV. 2.) Q

152 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Пусть теперь р< 1. Тогда найдется функция ft e #°°, удов-
удовлетворяющая условиям C.4) и C.5). Так как arg//=tf>, то
Значит, hH имеет однозначный логарифм и, полагая v
= —arg(fttf), имеем IMU < я/2— е и
log\hH\=v.
По C.4) и = —log|A| ограничена и, стало быть,
\ogw = log [ //1 = log | AT/1 — log|A|= u + vt
что доказывает C.3).
Рис. IV. 2. Доказательство леммы 3.3. Значения функции h лежат в секторе
{|t|? + argz| < я/2 — е} и в области {|г| > е}. Заштрихованная область со-
содержит все значения функции kh и сама содержится в {| z — е~1^ \ <d<\)
Обратно, предположим, что ц абсолютно непрерывна и
logic имеет вид C.3). Можно считать, что и = 0, потому что
свойство р = 1 не меняется при умножении w на положитель-
положительный ограниченный множитель, отделенный от 0 (упр. 10). Тогда
в прежних обозначениях ф=ф=— v. Но IMU < я/2, и по-
постоянная функция g = cos|M|oo дает II?-'"* —glU < 1, так что
р< We-1* — g\\oo< I. D
Теорема 3.4. Пусть [х — положительная конечная мера на
окружности. Постоянная /С, такая, что
C.6)

3 Теорема Хелсона — Сегё 153
для всех тригонометрических полиномов р, существует тогда и
только тогда, когда (л абсолютно непрерывна, d\i = wdQ/2n и
log w = и + v} где и<= L°°, v e L°° и \\v\\oo < л/2.
Доказательство. Мы покажем, что оператор сопряже-
сопряжения ограничен в L2(\i) тогда и только тогда, когда угол между
подпространствами #~ и *§ в L2{\x) положителен. После этого
наша теорема будет следовать из теоремы 3.2.
Определим оператор Т на тригонометрических полиномах
формулой
Тогда
Поскольку (р — ао) = (—р)^ то при условии C.6) оператор Т
ограничен в 12(м-)- Обратно, если
C.7)
то C.6) выполняется для всех вещественных тригонометриче-
тригонометрических полиномов, а значит, всегда. Таким образом, C.6) и C.7)
эквивалентны.
Каждый тригонометрический полином р(8) имеет вид
p = f — g, \z=i9r, gez$, и Tp = T(f — g) = f. Значит, если Т
ограничен и \ | f \2d\i = \ \ g |2rf[x= 1, то по C.7)
откуда р< 1 — 1/2С2. С другой стороны, если р< 1 и
g?^, TO
Поэтому при р < 1 оператор Т ограничен. ?
4. Интерполирующие функции постоянного модуля
Пусть {гу}—последовательность различных точек круга Д а
{wj}— последовательность комплексных чисел. Предположим,

154 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
что существует функция fo^H°°t решающая интерполяционную
задачу:
DЛ) t(zj)=wh /=1,2
Если точек z\ конечное число, то по теореме Пика или след-
следствию 1.8 задача D.1) имеет решение вида f = cB} где В —
конечное произведение Бляшке, а с — минимальная возможная
норма интерполирующей функции. В этом разделе мы рассмот-
рассмотрим случай бесконечно многих г/, предполагая, что выполняется
условие
— условие, необходимое и достаточное для того, чтобы задача
D.1) имела в Н°° более одного решения.
Теорема 4.1 (Неванлинна). Если существуют две различные
функции нормы 1 в #°°, удовлетворяющие условию D.1), то су-
существует внутренняя функция, также удовлетворяющая D.1).
Если D.1) имеет решение /0 с II/oil < 1, то условие теоремы
выполняется. В самом деле, пусть B(z) — произведение Бляшке
с нулями {г/}; тогда при некоторых s>0 и / < 0 функции
/о + sB и /0 + /В являются различными решениями с нормой 1.
Если интерполирующая функция с нормой 1 всего одна, то это
рассуждение вместе с теоремой 4.1 показывает, что всегда воз-
возможна интерполяция функцией постоянного модуля 1 -f e для
любого е > 0. Прежде чем доказывать нашу теорему, мы при-
приведем пример, который показывает, что в случае единственного
решения единичной нормы оно может не быть внутренним.
Пример 4.2. Пусть limz/= 1, / — открытая дуга окружности
7\ содержащая г = 1, ft=(H™)-\* \\{\\= 1, \{\ф\ и |/|=1 на
/. Возьмем Wj = f(zj). Каждая интерполирующая функция имеет
вид / — Bg, где ge#°°, а В — произведение Бляшке с нулями
{zj}. Покажем, что при II/ —Sgll^l обязательно g = 0. Зна-
Значит, существует только одна интерполирующая функция нормы
1, а именно /, и она не является внутренней.
Итак, пусть g^H°° и ||/ — BgH^ 1. Тогда почти всюду на /
имеем |1— Bg/f\^ 1 и ReBg//^0. Согласно упр. II. 14, внут-
внутренний сомножитель функции Bg/f аналитически продолжается
через /. Но при g Ф 0 он должен быть кратен S, а нули функ-
функции В сгущаются к z = 1. Поэтому g s= 0.
Теорема 4.1 вытекает из следующей теоремы Адамяна, Арова
и Крейна [1968].
Теорема 4.3. Пусть Ao^L00. Если факторкласс fto-f//°°<з
^L^/H00 содержит две различные функции нормы 1, то он со-

4. Интерполирующие функции постоянного модуля 155
держит и некоторую функцию /igL00, у которой |Л|=1 почти
всюду.
Чтобы вывести теорему Неванлинны из теоремы 4.3, положим
Ао =_В/о, где В — произведение Бляшке с нулями {г/}. Если
А е Б/о + Н°° и | /г | = 1, то Bh — внутренняя функция и Bh (zj) =
= Ыг/М=1,2, ... .
Доказательство теоремы 4.3 разбивается на два случая, пер-
первый из которых гораздо проще второго. Стратегия доказатель-
доказательства уже появлялась в следствии 1.9. Для получения унимоду-
лярной функции мы максимизируем некоторый линейный функ-
функционал на множестве
/< = {АеЕЛ0+//~: ||А||< 1}.
Нам понадобится факторнорма
функции Ао в L00///00.
Случай 1. ||Ао + //°°||< 1. Рассмотрим экстремальную задачу
D.2) a
Согласно теории нормальных семейств, существует экстремаль-
экстремальная функция Ае/С с A/2я)\А<29 = а. Мы покажем, что
|А|= 1 почти всюду. Отметим, что
D.3) dist (А, Яо°°) = inf {|| А - g ||: g s Я°°, g @) = о} = 1,
так как иначе А — g + в \ А Л)/2я, gf е Яо°, е > 0, была бы
к
функцией из К с большим средним. С другой стороны,
D.4) dist (А, //~) = || Ао + //«И <С 1.
Поскольку (#')х = #"> то D.3) дает
D.30
а D.4) —
: Fe Я», HFII, < l} < 1.
D.40 sup{| \ hF g
Выберем Fn^H\ \\Fn\\\ ^ 1, так, чтобы
D.5)
Это значит, что
D.6) inf|Fn@)i>0,

156 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
поскольку иначе нашлась бы подпоследовательность, для ко-
которой
Г h Fn - Fn (Q) ae -
J \\Fn-Fni0)h 2Я ~^L
вопреки D.4') ¦
Предположим теперь, что \h\<X< l на некотором множе-
множестве Е положительной меры. Так как \iFn\\\ ^ 1, то из D.5)
получаем
J
Е
Значит, по неравенству Иенсена
Ё T\E
что противоречит D.6).
Прежде чем обратиться к случаю 2, сделаем небольшое от-
отступление и получим дальнейшую информацию для случая 1.
Теорема 4.4. Если \\Hq-\- Н°°\\< I, то существуют Aefto +
+ Н°° и F е Н\ F ф О, такие, что почти всюду
D.7) h = F/\F\.
Доказательство. Пусть А и {Fn}—те же, что в преды-
предыдущем рассуждении. Если последовательность {Fn} имеет в L1
слабую предельную точку F, то по D.5) \ hF dQ/2n = 1. Так как
IIAll ^ 1, то отсюда следует D.7). Допустим поэтому, что {Fn}
не имеет слабых предельных точек. Тогда найдутся измеримые
множества Ek cz Г, такие, что |?*|-^0, но
D.8)
где {Fk}— подпоследовательность последовательности {Fn}
(см. Данфорд и Шварц [1958]),
Лемма 4.5. Если {?*}—последовательность измеримых под-
подмножеств окружности Т и |?*|-^0, то существует последова-
последовательность {gk} функций из Я°°, для которых
(i) suplgfe | ~>0,
Ek
(И) ft@)-*l,

4. Интерполирующие функции постоянного модуля 157
Предположим, что лемма доказана, и закончим доказатель-
доказательство теоремы 4.4. Положим
и —
Тогда Gki Hk<=Hl и по D.5)
Но при достаточно большом k имеем ||#*|li^P/2 ввиду D.8)
и A). Согласно (iii), ||G*Hi+||ЯЛ||, < 1 и D.9) дает
J II Я* 111 2л
Однако из условия (И) вытекает, что tfft@)->0, и мы снова при-
приходим к противоречию с D.4'). ?
Доказательство леммы 4.5. Пусть Ak-+<x>t но
Ak\Ek\-+Oy и пусть fk — интеграл Пуассона функции
Функции fk аналитичны в D и Re/^ ^ 0. Далее, fk@)= Ak\Ek\ и
Re/^^Л/г почти всюду на Ek. Положим Aa = A+/*)~1. Эта
функция отображает D в круг
D.10) \w— 1/2|< 1/2,
и Ла@)-М, в то время как sup|A^|->-0. Положим, наконец,
gk = h\k, 6k > 0. Круг D.10) под действием отображения
о>->до° при малом б сжимается так, что его образ попадает
в эллипс, соответствующий условию (iii), и мы можем выбрать
6k столь медленно стремящимися к нулю, что все условия
(i) —(iii) будут выполнены. ?
Вернемся теперь к доказательству теоремы 4.3.
Случай 2. ||Ао + //°°11= 1. По предположению существуют две
различные функции h\9 Аг^Ао + Я00 с ||Ai|| = ||A2ll= 1. Посколь-
Поскольку А1 Фfi2, то найдется точка 2Efl, для которой
и после применения преобразования Мёбиуса мы можем счи-
считать, что г = 0и
D.11) R

158 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Как и в случае 1, мы ищем унимодулярную функцию
е ho + Н°°у максимизируя
на множестве К ={h^ ho + H°°: \\h\\^iy. Однако на этот раз
нам придется пользоваться доказательством теоремы Хана —
Банаха вместо нее самой. Пространство L^/H00 сопряжено
с #q, а элементы факторкласса /ie/io + #°° с ||А||= 1 соответ-
соответствуют сохраняющим норму продолжениям на L1 функционала
Теперь D.11) утверждает, что есть два сохраняющих норму
продолжения, вещественные части которых различаются на по-
постоянной функции 1 е Ll/Hl0. Доказательство теоремы Хана —
Банаха дает т < М, где
= sup {-
Мы можем выбрать/ze/io+Я00, ||ft|| = 1, так, чтобы Re \ /zd9/2jt=
= Af. Покажем, что | /г| ===== 1 почти всюду. Перепишем два
последних равенства:
D.12) inf
D.13) inf {|| 1 + F|h — Re J ЛA + ^)-^} =0-
Левые части D.12) и D.13) различаются только знаком вто-
второго члена. По D.13) найдутся такие Fn^ H[Q, что
D.14)
Предположим, что |А|<Л< 1 на измеримом множестве
положительной меры. По D.14)
D.15) '
Лемма 4.6. Если Е сиТ имеет положительную меру, то най-
найдется ^еЯ°°, такая, что g@)= 1 и g вещественна и отрица-
отрицательна на Г\?,

5. Параметризация множества К
Считая лемму доказанной, положим 1 + Gn = g(\ + Fn).
Тогда Gn<=Hl и по D.15)
{
С другой стороны, на Т\Е
и по D.14)
Значит,
J {I I + Gn | + Re(A(l + <?„))> Ц--»0,
что противоречит D.12). П
Доказательство леммы 4.6. Пусть G — внешняя функ-
функция, |GJ = e на Е и |Gj=l на Т\Е. Значения G лежат в
кольце {1<|а;|<^} и G@) = ехр|?| > 1. Функция q>(w) =
= w -\-{l/w) — 2 отображает окружность {|ш|==1} на разрез
[—4,0], а наше кольцо — на область между этим разрезом и
некоторым эллипсом. Значит, ф(С@))>0, и функция g =
= Ф о C/(ф о G@)), равная 1 в точке 0, вещественна и отрица-
отрицательна почти всюду на Т\Е. П
5. Параметризация множества К
Мы продолжим наше обсуждение факторкласса ho + H00^
t^L^/H00 в предположении, что К = {h <= ho + Н°°: \\h\\ < 1}
содержит не менее двух функций. Наша цель —это при-
принадлежащая Адамяну, Арову и Крейну [1968] красивая фор-
формула, дающая описание всех функций из /С. Для начала нам
нужны два результата де Леу и Рудина [1958] о геометрии
единичного шара в ИК
Точка х выпуклого множества Ж называется его крайней
точкой, если ее нельзя записать как выпуклую комбинацию
х = tXl+(l—t)x2, 0<t<\}
где jti, *2 € Ж у х\ ф х2.
Теорема 5.1. Функция F является крайней точкой единичного
шара пространства Н1 тогда и только тогда, когда она внешняя
и \\F\\i=l. Если Ft=H\ \\F\U = 1, но F — не внешняя функ-
функция, то
E.1) F=Fx\F2 <
где функции F\ и F2 внешние и \\F{h = \\F2\\\ = 1.

160 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Доказательство. Пусть F^H\ Если ||F|h < 1, то
F = t(F/\\F]\\)+(\-t)-O, *
так что мы можем считать, что ||F|h = 1.
Пусть F не внешняя и F = uG, где функция G внешняя, а и
внутренняя. Выберем такое Я, \Х\= 1, что
E.2) -%
и положим uq = Хи. Поскольку по внутренняя, то
2
Следовательно,
(б.З) / (е'в) = f (е«) Re Uq {eib) = {1 ^G (e«) ы0 И)} {2 Re «0 (eif>)} =
Почти всюду \F±J\ = \F\ A ± Reu0), и, согласно E.2),
Так как F не была внешней, то «оФconst,
F+/ , F-J
не является крайней точкой. Далее
/±F = ljU?(l =h2wo + wo) = y ЛОA ±«оJ
— внешняя функция, потому что 1 ± и0 внешняя. Тем самым
E.1) доказано.
Пусть теперь функция F внешняя и H/^lli ===== 1- Если F —
= tFi +A —t)F2, 0<t<\yro
и всюду здесь достигается равенство. Поэтому ||Filli = il/72ili=l и
Но |/?|>0 почти всюду и, стало быть, F,- = k/F, k\ > 0,
tk\ +A — t)ki — 1. Ввиду субгармоничности функции log|f/|

5. Параметризация множества К 161
так как F — внешняя функция. Поскольку |F@) | ^ ^|Fi @)
-+¦ A — /) | Fi @) |, то неравенство Йенсена дает
Но экспоненциальная функция строго выпукла, и мы должны
заключить, что k\ постоянны и k}¦ =l!77/||/||/r|li = 1. Значит,
Fx = F2 = F и F — крайняя точка ?
К сожалению, функция F из Н{ с единичной нормой не обяза-
обязательно однозначно определяется своим аргументом (который
существует по модулю 2я, поскольку \F\ > 0 почти всюду). На-
Например, если F не внешняя, то обе внешние функции в E.1)
имеют одинаковые аргументы с F (и между собой). Это следует
из построения F\ и Ft или из того, что
и, значит, (F/\F\)Fi = \Fj\ почти всюду. Если fteLw и |А|=1
почти всюду, положим
^, = {Fs№: llflli = l, F/\F\==h почти всюду}.
Геометрически это означает, что Ун— это пересечение единич-
единичного шара в Я1 с гиперплоскостью
E.4)
т. е. выпуклое множество. Конечно, 9*н может быть пустым, но
мы интересуемся случаем &h Ф 0. Если $РЬ содержит только
одну функцию Fy то гиперплоскость E.4) касается шара толь-
только в точке F, т. е. F — выступающая точка шара. Мы не рас-
располагаем хорошей характеризацией выступающих точек единич-
единичного шара в Я1, т. е. таких функций F, что 9?ri\F\ ={F}- Однако
если ^Д содержит хотя бы две функции, то оно оказывается уже
очень большим.
Теорема 5.2. Пусть fteL°°, |A|=1 почти всюду и 9>н со-
содержит две различные функции. При любом zo^D множество
{F(zq): F^L&n) содержит круг с центром в начале координат.
Доказательство. При |го|^1, |zi|^l выражение
(г-гх)(\ -ZjZ) _ (г - г{) г (г - zx)
(Z ~Z0)(\ — ZqZ) (Z — Zq) Z(Z — Zq)
6 Зак. 829

162 Г л IV Некоторые экстремальные задачи
вещественно и неотрицательно на Т. Если найдется функция
F е 9>Ну имеющая в точке zo нуль кратности k, то функция
лежит в 9*h и значения F2x{zq) заполняют некоторую окрестность
нуля.
Осталось показать, что всегда найдется F^SPn с F(zo) = O.
Если выпуклое множество &н содержит две различные функции,
то по теореме 5.1 оно содержит и функцию F = uG с непостоян-
непостоянным внутренним сомножителем u{z). Если /(г) — функция из
E,3), то F + tJ = F(l +tReu0) при 0< / < 1 имеет норму
||jF + tJ\\\ = 1 по E.2), и F -{- tJ е^. Мы также имеем (в силу
E.3))
При 0 < t < 1 уравнение
имеет корень ?(/), |?@|< 1» и эти корни заполняют интервал
(—1,0). Если при всех /е[0, 1) функция F + tJ не имеет нулей
в D, то область значений w0 не пересекается с отрезком (—1,0].
Тогда по следствию II. 4.8 и0 одновременно должна быть внут-
внутренней и внешней функцией, т. е. uq постоянна. Значит, F + tJ
при некотором t имеет нуль 2i e Д а тогда функция
(г — zq)(\ —zqz) /п , п
является функцией из Ун с нулем в точке г0. ?
Возвращаясь к теме предыдущего раздела, фиксируем фак-
торкласс ho + H°° e L^/H00 и предположим, что
содержит более одной функции. По теореме 4.3 К тогда содер-
содержит унимодулярную функцию, которую мы и будем обозначать
через Ло: ho^K, |fto|=l почти всюду. Напомним, что после
подходящей замены координат функция Ло является экстремаль-
экстремальной:
E.5) R
(см. доказательство теоремы 4.3). Параметризация Адамяна,
Арова и Крейна, о которой мы упоминали, — это следующая
формула E.7).

5. Параметризация множества К 163
Теорема 5.3. Существует единственная внешняя функция
F<=H\ ||F|li = 1, такая, что
E.6) ho = F/\F\.
Определим % e H°° равенством
\ + %(г) Д-Ц е* + 2 \F{el*)\d9.
1 - х (г) 2л ) eiQ-~z П
Тогда
E.7) K = {ho-
В качестве следствия параметризации E.7) мы видим, что
при геВ множество
{$**.#: *«Ч
является невырожденным замкнутым кругом. Другое следствие
формулы E.7) — это принадлежащее Неванлинне [1929] описа-
описание всех решений [еЯ°°, 11/11 ^ 1, интерполяционной задачи
f(zt)=wh у = 1,2, ...
(см. ниже разд. 6).
Может показаться, что условие E.6) противоречит теоре-
теореме 4.4, потому что при \\ho-\- Н°°\\<: 1 мы получаем, что экстре-
экстремальная функция Ло имеет две формы:
Fu F2s=eH\ 11^-11! = 1. Однако если F{ e H\ g<=H™ и
то I arg(^JF1) | < arcsin (i — а) < л/2 и по следствию III. 2.5
(gFi)-* <= Я1. Значит, Fil =g(gFi)~l ^ Н1 и E.6) выполняется
при /^FfVI/Tii.
В доказательстве теоремы 5.3 требуются три леммы; первая
использует идею Кусиса [1973].
Лемма 5.4. Существует внешняя функция F е Н\ \\F\\\ = 1,
такая, что Ло = F/\F\ почти всюду.
Доказательство. Мы знаем, что |А0|==1 и что суще-
существует функция g^H°°, g?*0, такая, что ||Ао —fflU^ 1. Зна-
Значит, почти всюду 11 — hog\ ^ 1. Пусть а = argftQg; тогда
| а | ^ я/2 и
б*

164
Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
как показано на рис. IV. 3. Положим ф = eu~ia; по теореме
Ш.2.4 тогда фЕ //*, р < 1, кроме того, #фе Я1, потому что
E.8) | ф (е**) g (eiQ) |< 21 ф {eiQ) cos а (е*) \ = 2 Re ф (е*);
но Rey ^ 0 и
Re
lim
Значит, ф§" е Я'7 f] ^l = //1» Поэтому Fo = ф^/
в единичном шаре пространства Я1 и HoFo ^ 0, т. е.
лежит
Наконец, согласно замечанию после теоремы 5.1, существует и
внешняя функция F, удовлетворяющая E.6). П
Рис. IV. 3. Почему |g|<2cosa.
Лемма 5.5. Пусть F (г) — произвольная функция из Н\
Определим % е Н°° равенством
E.9)
-L Г ll±± | F (в
1 - X (г)
Если ш(г)еЯ°°, |Ы|оо < 1, то функция
_,~ч F(z)i\-%{z))(\-w(z))
F.10)
лежит в Н™ и
E.11)
1 - х (г) а> (г)

5. Параметризация множества К 165
Доказательство. Заметим, что
Пусть |ш(г)|^ 1, и положим
t*>\2) m(z)- l+x(z) I x + w& 2(l-X(z)w(z))
Функция ф голоморфна, и поскольку
1 — ДО (Z) "^ 9
ТО
E.13)
Простое вычисление (с учетом E.10) и E.12)) показывает,
что
g(z) = 2F(z)/<f{z),
так что g е Н°°. Если и» ^ 1, то g = 0, а при ш Ф 1 ф имеет
почти всюду некасательные пределы, причем
тогда и только тогда, когда
*\F(eiB)\ '
Преобразование ?->2Д превращает полуплоскость
^\F(eiQ)\ в круг \\F(eie)\-l — w\^\F(ei9)\-1. Согласно
E.13), почти всюду Re{2F/g)=Req>^\F\\ поэтому выпол-
выполняется E.14) и, следовательно, E.11). П
Лемма 5.6. Функция F^H\ \\F\\\\ = 1, такая, что h0 —
= F/1F |, единственна.
Доказательство. По лемме 5.4 найдется хотя бы одна
такая F, и мы должны доказать, что 9>Нъ состоит только из од-
одной функции. Но если 9hu содержит хотя бы две функции, то
по теореме 5.2 найдется Fi^SPh, с ReFi@)<0. Поскольку
||/71||i= 1, то х@) = 0, где х связана с F\ посредством E.9).
Возьмем ш = -1в E.10); мы получим gGW°°, Reg@)<0, и
в силу E.11) ho — g<^K. Тогда
что противоречит E,5). D

166 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Окончание доказательства теоремы 5.3. По
леммам 5.4 и 5.6 найдется единственная внешняя функция
Fе Я1, II/r|li= 1, удовлетворяющая E.6). По лемме 5.5 любая
функция вида
E-15) /ю-^'Т-х'аГ*0' wetf-.||w|L<l.
лежит в К. Пусть теперь g^H°°, j^O и ||Ао — glloo^l. Мы
должны показать, что ho — g имеет вид E.15). Идея доказа-
доказательства _ содержится в доказательстве леммы 5.4. Полагая
a = avghog и ф = еа~1(Х, мы имеем ф^^Я1 и F = yg/Wygh
в силу единственности функции F. Но Иеф(г)^0 и по E.8)
->-
Положительная гармоническая функция Re2(pB)/||<pg||i являет-
является интегралом Пуассона положительной меры, абсолютно не-
непрерывная часть которой превосходит \F(eiQ)\dQ. Следова-
Следовательно,
2ф(г) 1 + xj
II ф^ Hi
где Rek(z)> 0, т. е.
Теперь
и представимость Ао — g в виде E.15) доказана. ?
6. Доказательство Неванлинны
В частном случае h = 5/, где feJ? (т. е. |/(z)|^l) и Л—
произведение Бляшке с различными нулями {г/}, формула E.7)
описывает все /ей?, такие, что
F.1) Дг/)=ш/, /=1, 2, ...
(в предположении, что F.1) имеет в ^ два различных решения).
Уже'в [1929] Неванлинна располагал подобной формулой для
решений F.1), а его оригинальное доказательство теоремы 4.1
в той же работе появлялось как приложение этой формулы.
После такого количества теории в двух предыдущих разделах
нам следует включить в наше изложение и элементарный под-
подход Неванлинны.

6. Доказательство Неванлинны 167
Идея состоит в повторном применении инвариантной формы
леммы Шварца. Предположим, что ^, т. е. замкнутый единич-
единичный шар пространства Я°°, содержит два разных решения f\ и /2
задачи F.1). Найдется точка го^Д, в которой /i(zo)=^ М^о);
применяя преобразования Мёбиуса, мы можем считать, что
го = 0. Положим
Мы попытаемся найти параметризацию #«> = П^п и показать
с ее помощью, что #<» содержит внутренние функции.
Зафиксируем си \с\\<. 1> которое точно определим в даль-
дальнейшем. Если /е^ь то
для нек??Орой функции /i e #. Обратно, если /i e #, то F.2)
определяет функцию /eefi. Перепишем F.2) в виде
Л! (g) + В, (Z)fx (Z)
С, (г)+ ^B)/, (г) '
где
А{ (г) = и;1A — г,г) + с, (г - г,),
Сх (z) = A - г^) + c{w{ (z —
Тогда F.3) и есть нужная нам параметризация для простой
интерполяционной задачи f(z\)=wu f^3S. Предположим те-
теперь, что /еЙ'л, п ^ 2. Формула F.2) определяет fi(z/) при
2 < / ^ п. Решая F.2), мы получим
F.4) М*/)-а>(А
Ясно, что (шу^^!, потому что fiS^P. Кроме того, случай
I доП) I = 1 при некотором /, 2 ^ / ^ пу невозможен, поскольку
тогда fl^w{}) и %п содержит точно одну функцию. Таким об-
образом, ЫуМ< 1, j = 2, 3, ... . Кое-что мы уже, однако, полу-
получили, потому что F.2) позволяет исключить из рассмотрения
значение f\(z\) и теперь $п описывается л—1 уравнениями
F.4) вместо п первоначальных.
Повторяя эти рассуждения, зафиксируем Сг, |С2|<1, и по-
положим
F.6)
— z2z
Теперь fe<?T2 тогда и только тогда, когда f](z2y) = w^\ а это
случается тогда и только тогда, когда F.5) выполняется для

168 Гл IV. Некоторые экстремальные задачи
некоторой функции f2^&. Далее, если п > 2, то f^&n тогда
и только тогда, когда
f2(z,) = &*>, 3</<«,
где w{f] определяются при помощи F.5). Мы также имеем
w{4 < 1 по тем же причинам, по которым \x&tp\ < 1.
Продолжим по индукции, предполагая все время, что $п со-
содержит более одной функции. Если k^ny то fe^n тогда и
только тогда, когда найдутся такие функции
/о, fu .... f*e«,
что /0 = f, fk(zf) = wf\ k+\ <j^ny где |ш</>|< 1, wf = wp
и что
F.6)
Здесь числа с*, |cft|<l, еще подлежат определению (явные
значения до(/**для нас не важны). Итерируя F.6), мы получим
взаимно однозначное отображение $ на ?Г„. Перепишем F.6)
в виде
где
По индукции получим из F.3) и F.7)
/б9\ ftz) An(z) + Bn(z)fn(z)
(Ь'У) nZ) Cn(z) + Dn(z)fn(z)'
где
FЛ0) C-jjC,
— полиномы от г степени не выше п. Итак, мы доказали сле-
следующую лемму.
Лемма 6.1. Пусть полиномы An(z)f Вп(г)9 Сл(г), Dn(z) опре-
определены согласно F.8) и F.10). Тогда f(z)^&n в том и только

6. Доказательство Неванлинны 169
том случае, когда f(z) удовлетворяет F.9) при некоторой функ-
функции fn{z)<=&.
Полиномы Ля> ВПу Сп и Dn зависят от параметров а, с%
..., сп. Выберем теперь ck = zkw{?~l). Тогда
6л@)=Оя@) = 0,
что вскоре облегчит нам доказательство сходимости.
При [г|<1 F.9) показывает, что множество {/(г): /е
^S'n} —замкнутый круг Дп(г), содержащийся в D и опреде-
определенный формулой
При |z|=l эта формула для Дя(г) сохраняет смысл, хотя
некоторые f^&n могут быть не определены в точке z. Можно
считать, что Д,2(г) = {/(z): /<= ЛоП<^п}, где Ао — диск-алгебра.
Круг An(z) вырождается в точку тогда и только тогда, когда
An{z)Dn(z)—Bn(z)Cn(z)=*O.
Из F.10) по индукции получаем
F.12) AnDn - ВпСп - (улр„ - art
где ш(л0) = шА,. Стало быть, Дп(г) сводится к точке только при
г = г/, 1^/^/г. Простое вычисление дает радиус Дл(г):
Лемма 6.2. ?сла <§пф0, то при |z|=l имеем Дп(г)==
= D, ря(г)= 1 «
|Вя(гI = |Ся(г)|,
F.13) Мя(^I = 1Дя(гI>
Ап (г)/Сп (г) - (Dn (г)/Вя (г)) = ^п (г),
где \Хп(г)\< 1.
Доказательство. Условия F.13) следуют из того, что
An{z)=D ввиду хорошо известного описания дробно-линейных
отображений %->(А + В%)/(С + Dt) круга D на себя. Равен-
Равенство ДАг(г) = О докажем по индукции. Пусть г = е(В и ^бб.
При п = 1 найдется такая постоянная /i e ^?, что

170 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
и F.2) даст нам функцию f&&\ с /(еш) = ?. При п> 1 мно-
множество
непусто, потому что непусто #„. По индукции оно содержит
функцию /,, удовлетворяющую F.14). Как и раньше, из F.2)
тогда следует, что f(eiB) = ?. ?
Лемма 6.3. Cn(z) не имеет нулей в D.
Доказательство. Если Ся(;г) = 0, то, выбирая ? = 0
в F.11), мы видим, что и Ап (г) = 0. Тогда
An(z)Dn(z)-Cn(z)Bn(z) = Oy
так что ввиду F.12) г «ж z/ при некотором /= 1, 2?.-.,,. л. Но,
снова по F.12), определитель AnDn — ВпСп имеет только Про-
Простые нули и, значит,
А\B/)D«(ar/) - Bn(Zf)Cn{z})
Полагая ? = 0 в F.11), получим
.. Лп(ж) А'п{г)
W; = hm = lim —-г
7 ^^U) 2>2С(г)
Если Cn(z/) = 0, то отсюда следует, что и Лп(?|)«*0, а еслиг
Cn(Zj)?=0> то A'n(zj)/Cn(zj) = wh Значит,
Полагая, с другой стороны, S =s 1 в F.11), получки
Bn(z,)=wiDn(z!).
Следовательно,
К{^)Вп{^)--В^,)С'п{г^0.
Это — противоречие. П
Нам будет удобно перенормировать F.9). Положим
Поскольку tyn(z) не имеет нулей в Z), то
— рациональные функции, аналитические в В. Согласно F.9),
мы получаем новую параметризацию множества <$п\
((К \
F.1

6. Доказательство Неванлинны 171
Удобство этой нормировки состоит в том, что теперь в силу
F.12) определитель равен
Рп (г) Sn (z) - Qa (z) Rn (z) = П„ (г) = Д
— «г. г — zh
1 — г. г *
*
т. е. произведению Бляшке с нулями {zb ..., г«}, Пл@)>0.
Далее
9п{ }~ \Rn(z)\2~\Sn(z)P э
и по лемме 6.2
F.16) |/?„(г)|2_|5„(г)|2=1, |г|=1.
По лемме 6.3 Rn не имеет нулей в D, и поэтому
Теперь из F.13) и принципа максимума получаем
\PnB)\<\Rn(*)\>
F.17) \Q
\Sn(z)\^\Rn(z)\, |г|<1.
Теорема 6.4. Предположим, что ?*> = Г\<?п содержит две
функции с разными значениями при 2 = 0. Тогда для некоторой
последовательности п\->оо существуют все пределы
= l\mRnAz)t
i '
= limSn.(z).
i 7
Эти пределы не могут быть все тождественно равны нулю, бо-
более того,
P(z)S(z)-Q(z)R(z) = \l(z)
— произведение Бляшке с нулями {г,). Если fe#, то f^&oc
тогда и только тогда, когда
р (г) +Q (г) foQ {z) \y\s\
для некоторой функции /«> ^ ^.
Доказательство. Раз f]S'n содержит две функции
с разными значениями при г = 0, то limpn@)>0 (pn+{ < рл,

172 Г л IV Некоторые экстремальные задачи
так как Й'^сё'п). Поскольку ?)„@)=0, то после нашего вы-
выбора констант сп в F.6) имеем \Rn@) |2 = |1Ы0) |/рл@) и,зна-
чит,
F.19) lim 1ЛЛ@)|< оо.
Выберем щ так, чтобы ограниченная последовательность
{1/RnAz)} сходилась в D. Поскольку \/Rn{z) нулей в D не
имеет, предельная функция или тождественно равна 0, или тоже
не имеет нулей. Ко в силу F.19) соответствующий предел отли-
отличен от 0 при z = 0 и, стало быть, вообще не имеет в D нулей.
Следовательно, Rn, (z) сходятся равномерно на компактных
подмножествах из Ь к аналитической функции /?(z), не имею-
имеющей в D нулей. По F.17) мы можем разредить последователь-
последовательность [tij] так, чтобы существовали все пределы
/ J
lim Srt/B) ==S(z).
Тогда
P (z) S(z)-Q (z)R (z) = lim ПЯ/ (z) = П (z),
так что предельные функции не могут все быть тождественно
равны нулю. Если /е С\&п, то по лемме 6.1 найдутся [яеЛ,
для которых
f Рп + Qnfn
I D. I С f
А/1 "Т* <>ЩП
Проредим последовательность {п/} так, чтобы и /PJ/(z)-^foo(z)
в D при у->оо, /оо^.#. Тогда сразу получается F.18). Обратно,
если /оо е ^ff, то функции
f(rt) _. ^П + Qnfco
Дп " ^п/оо
лежат в ^„ и пределом функций /(rt/) является /е<§Гоо. П
Оказывается, что Р, Q, /?, S не зависят от выбора подпосле-
подпоследовательности {п/}, а однозначно определяются исходной ин-
интерполяционной задачей F.1) и выбором постоянных сп в F.6).
Однако мы не будем использовать этот факт.
Перед тем как обратиться к доказательству Неванлинны
присутствия внутренних функций в <$<*, отметим одно простое
следствие формулы F.18). Поскольку <gn+\Ci<gn, то круги

6. Доказательство Неванлинны 173
Д„(г), \г\< 1, убывая, стремятся к предельному кругу Aoo(z) =
= {fB): /e^oo}. Согласно F.18),
Так как определитель этого отображения равен П(г), то круг
Доо(г) при гфг\ нетривиален. Его радиус равен
р~ B) = Игл р„ (г) =-¦ ^JiPii^p •
Возвращаясь к ДпBо), |го|<1, и его параметризации F.11),
мы видим, что ]<^<§п решает экстремальную задачу f()
е<?Д(г0) тогда и только тогда, когда
f ф_ Ап (*) + Вп (г) е'ф _ Рп (г) + Qn (г) е*
с постоянной феР. Таким образом, f(z) есть рациональная
функция степени не выше п. Дважды (следствие 1.9 этой главы
и следствие 1.2.4) мы уже видели, что экстремальная функция
/(г)—конечное произведение Бляшке. Это вытекает и из рас-
рассуждений настоящего раздела, потому что по лемме 6.2
|f(z) |=1 при |z| = l. Дальнейший анализ полиномов An(z),
Bn{z)y Cn(z) и Dn(z) показывает, что это произведение Бляшке
имеет степень п. (См. упражнение 20.)
Предыдущее обсуждение помогает найти в <?Гоо внутренние
функции: надо положить /«> = е'ф в F.18). Именно так Неван-
линна впервые доказал теорему 4.1. Приведенное выше доказа-
доказательство теоремы 4.4 основано на той же идее: унимодулярная
функция ho^K получается максимизацией на К функционала
Re Jftd8/2n.
Мы возвращаемся к теореме 4.1, которую переформулируем
следующим образом.
Теорема 6.5. Если &<* содержит две различные функции, а
е'ч> — унимодулярная постоянная, то
— внутренняя функция из <§Гоо.
Доказательство. По теореме 6.4 f^&oo и, в частно-
частности, H/lloo^l. Предположим, что существует множество ЕсТ,
/7ft
%Е (9) ~2п > °> НЭ КОТОрОМ
F.21)

174
Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
Можно считать, что Рп^Р, Qn-+Q, Rn^^R и Sn^S. Выберем
М > |/?@) |. Так как Rn(z) не имеет нулей вбпо лемме 6.3, то
log М > Iogl Rn @) |= ^ \ log I Rn (e«>)\dQ
при больших п (скажем, при п > по). По F.16) \og\Rn(eie) \ > 0
и, стало быть,
|{0: log\Rn(e'*)\>2(logM)/\E\}\*? \E\/2.
Таким образом,если
то \Еп\>\Е\/2, п>по. По F.16) и F.13)
Pn(eiQ)
Rn(eiB)
I Rn (*ie) I2 '
и поэтому на Еп
F.22) .
Rn(eie)
Поскольку /е?Гп, то существует такая функция /п<
.. Рп (г) + Qn (г) U (г)
Rn (г) + S» (г) fn B) '
9, что
Рациональные функции Pn, Qn, Rn, Sn непрерывны в D и
|Р«5П — Qn/?n|=l на Т, поэтому fn(z) имеет радиальный пре-
предел Ме'е) всюду, где его имеет f(z). В частности, на Е он су-
существует и
По лемме 6.2 отображение
есть конформный автоморфизм круга D и потому сохраняет
псевдогиперболическое расстояние:
При п > «о на ?п формулы F.21) и F.22) дают

Замечания 175
Следовательно,
Выберем подпоследовательность {/* } так, чтобы /«.(())->?,
|С|<Л < 1- ТогДа
^ pnj @) + Qn/ @) fnj @) ^ я @) + q @) с
Поскольку P@)S@) —Q@)/?@)=^0, то по F.20) отсюда вы-
вытекает, что ? = е/(р. Это — противоречие. D
Вот интересная и, по-видимому, нерешенная задача: всегда
ли содержится в <§Гоо какое-либо произведение Бляшке (а если
нет, то при каких условиях содержится)?
Замечания
Первое систематическое исследование двойственных экстре-
экстремальных задач дано в работе Макинтайра и Рогозинского
[1950]. Методы функционального анализа были введены Хавин-
соном [1949, 1951] и Рогозинским и Шапиро [1953]. Книга
Дьюрена [1970] содержит несколько иную трактовку и ссылки
на предшествующую литературу. См. также Голузин [1966] и
Ландау [1916].
Раздел 2 заимствован из статьи Карлесона и Якобса [1972].
Кахан [1974] обсуждает различные смежные вопросы. Интерес-
Интересная открытая проблема состоит в нахождении необходимых и
достаточных условий, при которых функция из L°° имеет един-
единственное наилучшее приближение в Н°°. Частичный ответ дается
упр. 17.
Основные ссылки в разд. 3 — это Сегё [1920] и Хелсон и
Сегё [1960]. В упражнениях 8 и 14 описаны некоторые другие
результаты, подобные теореме Хелсона — Сегё.
Большинство материала в разд. 4 и 5 восходит к Адамяну,
Арову и Крейну [1968], но доказательства в тексте сильно от-
отличаются от их спектрального подхода. В [1971] Адамян, Аров
и Крейн распространили свои результаты на матрично-значный
случай. Теоремы 5.1 и 5.2 взяты у де Леу и Рудина [1958].
Раздел 6 возник из статьи Неванлинны [1929], которая вклю-
включает еще много других классических результатов, и все они вы-
выводятся непосредственно из леммы Шварца. Эта фундаменталь-
фундаментальная статья долгое время оставалась незамеченной. Шур [1917]

176 Гт IV Некоторые экстремальные задачи
дал очень похожее изложение проблемы коэффициентов, кото-
которое кратко описано в упр. 21 *).
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Если /eLp(R), 1 ^ р <^ оо, то
inf ||/-g||p= sup \\fGdx
2. Пусть функция /(г) мероморфна вОи входит в Я1 в не-
некотором кольце {/?<|г|< 1} (т. е. |/(г)| допускает там гар-
гармоническую мажоранту). Тогда почти всюду существует f{eiQ).
Докажите, что f(eie)^O почти всюду в том и только том слу-
случае, когда f(z) рациональна и
3. При данных комплексных числах сОу с\у ..., cN рассмотрим
экстремальную задачу
N
М= sup
fe//0
MflL<
/-0
(а) Двойственной экстремальной задачей является
/v
Af= inf \\k-g\\l9 Zj
/-0
Она равносильна задаче на минимум
Ае//1, Л = CV + fv
!) Теория двойственности в экстремальных задачах получила дальнейшее
существенное развитие в работах Хавинсона [1955*], [1963*]; см. также Ха-
винсон [1965*], [1981*], Шапиро [1971*]. В работах Адамяна, Арова и
Крейна [1968*] и Пеллера и Хрущева [1982*] получен ряд результатов о
«гладкости» функции, осуществляющей наилучшее равномерное приближение
в смысле разд. 2. Теорема Хелсона — Сегё (как, впрочем, и целый ряд других
разделов книги) имеет важные приложения к теории вероятностей; в связи
с ними см. Дим, Маккин [1976], Ибрагимов, Розанов [1970*], Пеллер, Хру-
Хрущев [1982*]. Новые интересные связи критерия Хелсона — Сегё с теорией
базисов из экспонент см в книге Никольского [1980*] и в статье Николь-
Никольского, Павлова и Хрущева [1981*]. В связи с разд. 5 и 6 см. Крейн, Нудель-
ман [1973*], Ахпезер [1961*], Уолш [1960], Никольский [1974*]. — Прим.
ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 177
(Ь) Как исходная, так и двойственная экстремальная задачи
имеют единственные экстремальные функции /0 и gQ. Более того,
так что
h (г) (k (г) - g0 (г)) = сг" f[(z- о,) A - ар)/г»,
/-1
где n-\-q = N, 0<|а/|^1, с > 0. Нумеруя аь ..., 0Ln в по-
порядке возрастания модулей, получим такой номер 5, 0 ^ s ^ /г,
что |а;| < 1 при / ^ s и
(с) При достаточно малых |г|
оо
/-о
Положим
S
Если Pn{z) не имеет нулей в D, то найдутся такие а/, /== 1,
..., /V, что 0 < | ау | ^ 1 и
Тогда
Полагая
2- а,
zN~n
мы получим UP2nJzn^0 при |г|=1. Следовательно, функция
fo экстремальна, k{z) —go{z) = P2N{z)/zN и

178 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
(d) Ландау [1913, 1916] другим способом определил значе-
значение М в частном случае с, = 1. Здесь PN = ? ^/з', где
о
B/I
~4'(/!J'
и по формуле Валлиса
М ~ log N/nt N-+oo.
Таким образом, М растет с той же скоростью, что и константы
N
Лебега частичных сумм ряда Фурье HDjvlli, где DN= Y, eikB —
ядро Дирихле.
Двойственная задача из части (а) изучалась Ф. Риссом
[1920] вариационными методами.
4. Назовем функцию f^.C(T) плохо приближаемой, если ее
наилучшее приближение из Н°° есть 0. Покажите, что / плохо
приближаема тогда и только тогда, когда |/(ег6)| — положи-
положительная постоянная, a f(eie) имеет отрицательное число враще-
вращения (см. Пореда [1972] или Гамелин, Гарнетт, Рубел и Шилдс
[1976]).
5. Существует гипотеза, что наилучшее приближение в Н°°
функции / из С(Т) будет непрерывным, если непрерывна сопря-
сопряженная функция f. Однако обратное утверждение неверно; по-
постройте с помощью упр. 4 плохо приближаемую функцию f, у
которой / не является непрерывной (Сарасон, не опубликовано).
6. Пусть f(=C(T)y 1фН°°у ge#°°— наилучшее приближе-
приближение функции / и F e HI —двойственная экстремальная функ-
функция, так что почти всюду
(f-g)F=Wf-g\\~\F\.
(a) Можно выбрать F так, чтобы F(z)/z была внешней.
(b) Если F\^Hq— другая двойственная экстремальная
функция, то функция F/F\ рациональна.
(c) F единственна тогда и только тогда, когда z/F^HK
В этом случае г/fe Нр при всех р < оо.
(d) Вообще, если f^Loo\Hooi F существует и z/F^H\ то
F единственна. (См. де Леу и Рудин [1958], Карлесон и Якобе
[1972].)
7. Если /еЯ°°, то
где Л о = Я°°П С (Г) — диск-алгебра. Константа 2 точна. (См.
Дэви, Гамелин и Гарнетт [1973]).

Упражнения и дальнейшие результаты
*8. Пусть d\i = w dQ/2n + d\is — положительная мера на ок-
окружности. Тогда
где #" —множество всех тригонометрических полиномов У, aneie
(см. Гренандер и Розенблатт [1957]). Этот результат принад-
принадлежит Колмогорову [1941].
9. Найдите в гильбертовом пространстве два замкнутых под-
подпространства ST и $ с Ф П 9 = {0}, но с
1 = sup {|</, «Г> |: fe<F, g<=$, ||fl| = ||g||=l}.
10. Если $F и ^ — подпространства в L2((li), то р = 1 тогда
и только тогда, когда
feS", ge=S, \\f\\>\,
Значит, свойство р = 1 сохраняется при замене d\x на wd\x, где
вес w ограничен и отделен от нуля.
11. Если вес w удовлетворяет условию Хелсона —Сегё C.3),
то при некотором е > 0 имеем w e LI+e и w~] e LI+e.
12. Предположим, что функция logo; непрерывна, за исклю-
исключением конечного числа скачков. Тогда вес w удовлетворяет
C.3) в том и только том случае, когда каждый скачок меньше
я (Хелсон и Сегё [I960]).
13. Для вещественного а постоянная /Са, такая, что
для всех тригонометрических полиномов, существует тогда и
только тогда, когда —1 < a < 1 (Харди и Литтлвуд [1936]).
**14. Пусть &~п — множество всех тригонометрических поли-
полиномов вида 2 я**'*8» а &п = &~п — множество тригонометри-
ческих полиномов вида X bke~ikB. Для положительной конеч-
ной меры \i на Т положим pn=sup wgd[i L где /е^"я,
gs=9n, Jl/|2rffx<l, 5lff|2rffi<l. Пусть d\i =
где \is сингулярна.
(a) Если d[is ф 0 или log w ф L\ то р^ ^ 1.
(b) Пусть d\xs = 0 и <р = log w^LK Обозначим через W
множество всех таких весов ш, что рп-+0 при п-+оо. Тогда
w^W в том и только том случае, когда е-'Фе//°° + С.
(c) Я°° + С — замкнутая подалгебра алгебры L°°.

180 Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи
(d) Пусть Wo — множество всех таких положительных весов
wy что для любого е > 0
ф = log Ш = Г + S + t,
где Iklloc < е, |И|оо <8И/еС. Тогда WQa W, и w e W в том
и только том случае, когда w = \р\2гл)о, где wq^Wo, а р-
тригонометрический полином. (Множество log Wo совпадает
с пространством VMO, изучаемым в гл. VI.) (См. Хелсон и Са-
расон [1967]).
15. Пусть и — унимодулярная функция из L°° и
^={бе№: ||G||i = l, G/\G\ = u}.
(a) Существуют функции и с 9*и = {0}.
(b) Если Fg^« и F~lG~Hl9 то &u = {F}.
(c) Если ^U={F}, |а| = 1, то (г-а)-2,Р(г)^ Я1. (См.
де Леу и Рудин [1958]).
16. Пусть функция /igL00 унимодулярна.
(a) Если dist(A, H°°)< 1, то h = F/\F\y Fetf1, и внешний
сомножитель F обратим в Я1. (См. лемму 5.4.)
(b) Если dist(A, Я~)<: 1, но dist (А, //~)= 1, то А = F/\F\,
F^lHx. (См. случай 1 в доказательстве теоремы 4.4.) Отсюда
следует, что dist (Я, Я°°) < 1.
17. (а) Пусть h^L°°. Если А-)-Я°° является крайней точкой
единичного шара пространства L^/H00, то найдется функция
g е Я°°, для которой | А + g\ *=* 1 почти всюду.
(b) Пусть | А| = 1 почти всюду. Класс А -\- Н°° является край-
крайней точкой единичного шара в L^/H00 тогда и только тогда,
когда ||A + g||>l при всех gs//°°, g^O. Таким образом,
крайние точки шара L^/H00 — это факторклассы, содержащие
в точности одну унимодулярную функцию (см. Кусис [1971]).
(c) Пусть |А|=1 почти всюду. В таком случае ||A + ^IU> 1
при всех g^H°°, g Ф 0, тогда и только тогда, когда Нф Fj\F\y
F^H1. (См. леммы 5.4 и 5.5.) Это — небольшое обобщение
упр. 5. Если |А|=1, то А плохо приближаема (||А — glL> 1,
g<=H°°y g?*0) тогда и только тогда, когда она не является
аргументом функции из Я1. Пример 4.2 показывает, что суще-
существуют плохо приближаемые функции с непостоянным модулем.
(d) Loo/Яoo является сопряженным пространством. Значит,
единичный шар в L^/H00 есть слабо замкнутая выпуклая обо-
оболочка множества факторклассов {А + Я°°: |А|=1, А плохо при-
приближаемо}.
18. Пусть FeH\ \\F\\\=l. Каждая функция g&H00
с ||/71^| —?lU ^ 1 имеет вид F.10) тогда и только тогда, когда
{}

Упражнения и дальнейшие результаты 181
19. Функция f<=H°°y ||f||со = 1, является крайней точкой еди-
единичного шара в Н°° тогда и только тогда, когда
(де Леу и Рудин [1958]).
20. В обозначениях разд. 6 при ck — zk^?~X) полином An(z)
имеет степень не выше п — 1, а Вп(г)—степень п. Полиномы
An(z)-\-Bn{z)ei(v и Cn{z) + Dn(z)ei(v не имеют общих нулей, так
что
Ап (z) + Вп (г) е**
/(*) =
С а (*) + Dn (г) el
является произведением Бляшке степени /г.
*21. Выберем комплексные числа с0, Сь ¦•• и положим
Пусть ус = со и
(а) При |yo
Yol^
^= 1 в <§Г0 содержится только постоянная
Пусть |yo|< 1; запишем /^^0 в виде
Таким образом, <8§ находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с Ы\ /^ЙГ] тогда и только тогда, когда /1@) = yi==
z=e\/(\—|^о|2). В частности, <?хф0 тогда и только тогда,
когда |yi|^ 1, и ^fi содержит более одной функции при |yi|< 1
(п только в этом случае).
(Ь) Продолжая по индукции, мы получим Yo, Ть ¦••, Уп,
Если |yo|< I, |Vi|< К -у \Уп\ < \,то&п находится во взаим-
взаимно однозначном соответствии с 9S по формулам /о = f,
Если \уь\= 1, но |y/|< !» / < k, то $k состоит из одной функ-
функции— произведения Бляшке степени k.
(c) Если S'n?30i то значения коэффициента сп+\ функции
из ^fn заполняют круг с радиусом
(Е.2) <о« = A-М) ... 0-Ы).
(Используйте индукцию и (ЕЛ).)
оо
(d) Пусть П^п#0. Конечно, тогда П ^л = Ш» /= S спгп.
S
Покажите, что

182
Гл. IV Некоторые экстремальные задачи
(Указание. По (ЕЛ) и (Е.2) при |г|= 1
1 i f а _ A-1Уо12)A-1М2) _
1 ' ' j — |1+ Yo2f, I2 ~
n
/-0
Поскольку знаменатель не имеет нулей в D, то
-^- \ log A - | f |2)d9 = 0n + exp^ \ log A -
Для получения обратного неравенства используйте теорему
Сегё. При е > 0 найдется р(г)=1+^1^+ ¦•• + bnzny для ко-
которого
Пусть /¦ е Sn получается при fn+\ = 0. По теореме Сегё
2Jt J J 2л
Но, согласно равенству Парсеваля,
с0 с{
О с0
(е) Пусть
_0 ... 0 с0
и 1п — единичная матрица размера (л+1)Х(я+О- Тогда
&пф0 в том и только том Случае, когда матрица 1п — А*пАя
неотрицательно определена. Если 1п — А\Ап положительно оп-
определена, то <$п бесконечно. Точнее,
(См. Шур [1917]. Часть (d) принадлежит Бойду [1979]).

ИИЬа v
НЕМНОГО РАВНОМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
В этой главе развиваются основы теории равномерных алгебр,
которые нам понадобятся при изучении Н°°. Наше изложение
кратко. Полную картину общей теории читатель сможет найти
в книгах Браудера [1969], Гамелина [1969] и Стаута [1971].
Однако мы подробно занимаемся двумя темами, специфиче-
специфическими для Н°°. В разделе 2 мы доказываем теорему Маршалла
о том, что произведения Бляшке порождают Н°°. В разд. 5 три
теоремы о пространстве, предсопряженном к Я°°, доказаны с по-
помощью представления линейных функционалов как мер на ши-
ловской границе алгебры Н°°.
1. Пространства максимальных идеалов
Банахова алгебра — это комплексная алгебра Л, которая одно-
одновременно является банаховым пространством, причем
A.1) llfelKllfllltell. f, g^A.
Мы всегда предполагаем А коммутативной (fg = gfy f,
g&A) и содержащей единицу 1еЛ (l-f = f9 f^A). Соответ-
Соответствие Х-^X-l отождествляет поле комплексных чисел С с под-
подалгеброй в Л. Мы говорим, что элемент /еЛ обратим, если
fg = 1 при некотором g^A. Этот единственный обратный эле-
элемент g обозначается через /-1. Множество всех обратимых эле-
элементов алгебры А обозначается через Л-1:
Л-'={[еУ1: /-1 существует}.
Комплексным гомоморфизмом, или мультипликативным линей-
линейным функционалом, называется ненулевой гомоморфизм
т:Л-^С алгебры А в поле комплексных чисел. Очевидно,
тA)=1.
Теорема 1.1. Каждый комплексный гомоморфизм алгебры А
является непрерывным линейным функционалом с нормой, не
превосходящей единицы:
||/nH — sup |т(/)|<1.
II f И<1
Доказательство. По определению m линеен и нужно
только доказать, что ||т||^ 1. Если функционал не ограничен

184 Гл. V. Немного равномерной алгебры
или ||/л|| > 1, то найдется такой элемент /еЛ, что ||/||< 1, но
т (/) = 1. Согласно A.1), ряд
/1=0
сходится по норме. Для его суммы выполняется'равенство
A.2) (!-/)! Г =1,
Я = 0
так что 1 — / е Л-1. Но тогда
приводит к противоречию. D
Теорема 1.2. Предположим, что М — собственный максималь-
максимальный идеал в А. Тогда М является ядром некоторого комплекс-
ного гомоморфизма ш: Л-*С.
Доказательство. Оно включает два шага. Сначала мы
покажем, что^деал М замкнут. Его замыкание М — тоже идеал,
причем М cz М. _Но М — максимальный идеал, поэтому либо он
замкнут, либо М = Л. Однако если g<^M, то g ф. А~1 и A.2)
в применении к /= 1 —g показывает, что ||1 —g\\^ 1. Значит,
1 ф М и М замкнут.
На втором шаге покажем, что факторалгебра В = А/М рав-
равна В = С-1, где 1 = 1 +М — единица в В. Тогда отображение
факторизации А-+А/М определяет комплексный гомоморфизм
с ядром М. Поскольку М — максимальный идеал, то В = А/М —
поле, а поскольку М замкнут, В полно по факторнорме
||/ + Af||= inf \\f + g\\
M
и удовлетворяет A.1).
Предположим, что найдется f<=B\C*l. Тогда /
при всех Я^С, потому что В — поле. В круге {|
< 1/11 U-U)-l\\} ряд
A.3) Z (А-ЛО)П((/-ЯОГТ+1
сходится по норме к (f — X)~l в силу тождества
1 1 1
f — Я / — Ло [ 1 — (Я — Ло)/(/ — Ло)] '
Ясно, что /~1=7^=0, и по теореме Хана — Банаха найдется такой
линейный функционал L на Ву что \\Ц\= 1 и
A.4) ЦГ-*)ФО.

1. Пространства максимальных идеалов 185
Но ряд A.3) сходится по норме, и мы имеем
л=0
при \К — Ао|< 1/11 (f — ho)~l\\. Так как ко произвольно, функция
F(l) оказывается целой функцией. Однако при больших |А,|,
согласно A.2),
-1
jt!
n-0
Следовательно, \F{K) \ = \L((f — A,)) | ^ СЩ-* и F = 0 no
теореме Лиувилля. Значит, L(f~l) = /@) = 0 в противоречие
с A.4). ?
Множество WIa всех комплексных гомоморфизмов алгебры Л
называется ее спектром или пространством максимальных идеа-
идеалов. По теореме 1.1 WlA содержится в единичном шаре сопря-
сопряженного банахова пространства Л*. Снабдим ЗЛа слабой тополо-
топологией над Л, в которой любая базисная окрестность V точки
то^ЭДл определяется числом е>0 и элементами /ь /г, ¦••
Эта топология на 9)Ь называется топологией Гельфанда. В то-
топологии Гельфанда ША становится слабо замкнутым подмно-
подмножеством единичного шара Л*, так как
U m(fg) = m(f)m{g), /, g^A}.
По теореме Банаха — Алаоглу, которая утверждает, что еди-
единичный шар Л* слабо компактен, ША —компактное хаусдорфово
пространство. Полагая
мы получаем гомоморфизм /~^/ алгебры Л в СBЧл), алгебру
всех комплексных непрерывных функций на 2Чл. Этот гомомор-
гомоморфизм называется преобразованием Гельфанда. По теореме 1.1
преобразование Гельфанда не увеличивает норму:
||f||= sup |f(m)|<||/||.
По теореме 1.2 /еЛ-1 тогда и только тогда, когда / нигде
не обращается в нуль. В самом деле, если [фА~\ то по лемме
Цорна идеал {fg: g^A} содержится в некотором максималь-
максимальном идеале.
Банахова алгебра Л называется равномерной, если преобра-
преобразование Гельфанда является изометрией, т. е. НЛ1 = ||/||, /еА

186 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Теорема 1.3. Преобразование Г ельфанда является изометрией
тогда и только тогда, когда
A.5) 11/211=Н1/И2, /еЛ.
Доказательство. Поскольку ||/||—это точная верхняя
грань, то ||/2|| = ||/||2, и A.5) справедливо для любой равномер-
равномерной алгебры. Предположим теперь, что A.5) справедливо. По
теореме 1.1 ||/||^||/||. Покажем, что для любого /еЛ с ||f||= 1
и е > 0 будет llfll^l+e. По теореме 1.2 f — Х^Л при
|Я,|> 1 =||jf|| и, согласно A.3), Л-значная функция (/ — X)-1
аналитична пру |Х|>1. Это значит, что скалярная функция
F(k)— L{(f — Я)-1) аналитична при |А,| > 1 для любого L еЛ*.
Ввиду компактности
sup |(f-Al)| = /C< oo.
U|-l+e
Согласно A.2),
м=0
При ||L||= 1 по теореме Коши
\L(fn)\
-Ш \
Следовательно, по теореме Хана — Банаха
|| ГII- sup Ц,(ПКA+в)л+1*.
II/. 11-1
Полагая п = 2*, заключаем из A.5), что
eJfe+Ol2'=l+e. D
Если А — равномерная алгебра, то ее образ А при преобра-
преобразовании Гельфанда является замкнутой подалгеброй в C(SR.i),
изометрически изоморфной А. В таком случае мы отожде-
отождествляем / с f и пишем
f(m) = /(m)=m(f), f&A, rneSR^
Таким образом, мы рассматриваем А как равномерно замкну-
замкнутую алгебру непрерывных функций на 5Ял. Отметим, что А раз-
разделяет точки 2ЯЛ и содержит функции, постоянные на Ша.
Пример 1. Предположим, что А — произвольная алгебра не-
непрерывных комплексных функций на компактном хаусдорфовом
цространстве У. Если А наделена равномерной нормой
= sup|f(#)| и полна, то А — равномерная алгебра. Если А

1. Пространства максимальных идеалов 187
содержит постоянные и разделяет точки множества У, то У го-
меоморфно замкнутому подмножеству пространства Ша и мы
говорим, что А — равномерная алгебра на У. Это основной при-
пример, так как любая равномерная алгебра А является равно-
равномерной алгеброй на своем спектре У = ЗЯа. Если А = C(Y), то
ША — У (см. упр. 5).
Пример 2. Пусть /°° — пространство всех ограниченных комп-
комплексных последовательностей. С нормой || х ||= sup | хп | и пото-
п
чечным умножением {ху)п = хпуп оно становится равномерной
алгеброй в силу теоремы 1.3. Пространство максимальных идеа-
идеалов алгебры /°° обозначается через pN и называется компакти-
фикацией Стоуна— Чеха натурального ряда N.
Преобразование Гельфанда алгебры /°° совпадает с
Чтобы убедиться в этом, заметим, что для вещественного
(т. е. такого, что xn^R, «gN) x{m)—вещественная функ-
функция на 2K/oo=pN, так как (х — X)-1 е /°° при 1п\ХфО. Теперь
равенство /0C = C(PN) следует из теоремы Стоуна — Вейер-
штрасса. Поскольку функционал тп(х) = хп мультипликативен
на /°°, то N отождествляется с подмножеством множества
PN, и топология Гельфанда определена так, что N гомеоморфно
своему образу в pN. Далее, N плотно в pN> потому что любая
функция из C(pN)=/°° однозначно определяется своим пове-
поведением на N.
Возможно и функториальное описание компактификации
Стоуна —Чеха pN-
Теорема 1.4. Пусть У — компактное хаусдорфово простран-
пространство и т: Ы->У — непрерывное отображение. Тогда % имеет
единственное непрерывное продолжение т: pN-^ У.
Если x(N) плотно в У и образы непересекающихся подмно-
подмножеств множества N имеют в У непересекающиеся замыкания,
то х — гомеоморфизм pN на У.
Доказательство. Отображение Г: С(У)->/°°, опреде-
определенное формулой Т[(п) = /°т(/г), является гомоморфизмом
C(Y) в /°°. Поскольку Т непрерывно, сопряженное отображение
Т*: (/°°)*—>-С(У)* тоже непрерывно относительно слабых топо-
топологий. Далее, T(fg)= T(f)T(g), и поэтому для любого мульти-
мультипликативного линейного функционала mepNcr(/°°)* функцио-
функционал Г*(т) на C(Y) также мультипликативен, и, согласно упр. 5,
Г*(т)е У = 5Ис(У). Сужение Т* на pN даст нам отображение
т(пг)=Т*(пг): pN-^У, и х(п) — т(п), /igN, по определению
отображения Т. Отображение т непрерывно, так как pN наде-
наделено слабой топологией пространства (/°°)*, а У = 2Яс(К) — сла-
слабой топологией пространства C(Y)*. Наконец, поскольку N
плотно в pN, то продолжение f определено однозначно.

188 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Пусть теперь для любых двух множеств 5Ь 52c:N если
Sif|52 = 0, то тEi)П тE2) = 0. Тогда найдется функция
f<=C(Y)y для которой /=* 1 на x(Si) и / = 0 на тE2). Можно
считать, что S2=N\Si, так что 77 = xSt. Поскольку линейные
комбинации характеристических функций плотны в /°°, то об-
образ Т плотен в /°°. Если, кроме того, x(N) плотно в У, то
117711 = 11/11, f^C(Y) и отображение Т является изометрией, а
его образ замкнут по норме пространства /°°. Значит, образ Т
замкнут и плотен в /°° одновременно, т. е. Т отображает C(Y)
на /°°. Но ||Ту|| = ||/||, и Т оказывается изоморфизмом банаховых
алгебр. Поэтому Т* определяет гомеоморфизм pN на У. ?
Теорема 1.4 определяет пространство EN с точностью до го-
гомеоморфизма, потому что если Z — другое компактное хаусдор-
фово пространство, содержащее плотную последовательность
{zn}y гомеоморфную N и такую, что теорема 1.4 остается в силе
с заменой |3N на Z, то соответствие п ++¦ zn продолжается до
гомеоморфизма между EN и Z.
Пространство pN чрезвычайно велико. Его можно отобра-
отобразить на любое сепарабельное компактное хаусдорфово про-
пространство. Ни одну точку из pN\N нельзя описать явно.
Пример 3. Пространство L°° всех существенно ограниченных
измеримых функций на единичной окружности с поточечным
умножением и нормой
||/||= inf {а: |/|^ а почти всюду}
является равномерной алгеброй.
Мы закрепим за пространством максимальных идеалов ал-
алгебры L°° постоянное обозначение X, потому что это простран-
пространство время от времени будет появляться дальше. Посредством
преобразования Гельфанда алгебра L°° оказывается изоморф-
изоморфной алгебре всех непрерывных комплексных функций С(Х).
Это доказывается так же, как для /°°. Если / лежит в L°° и ве-
вещественна, то (/ — л)-1 е L°° при ImX#0, f вещественна на
X и ?°° = С(Х) по теореме Стоуна — Вейерштрасса.
Как и pN\N, пространство X велико и не поддается описа-
описанию. Мы не можем построить ни единой его точки. Тем не ме-
менее, это пространство очень полезно в теории ограниченных
аналитических функций. Некоторые сложности, связанные с X,
описаны в упр. 8, дальнейшие детали см. у Гофмана [1962а].
Пусть Л— равномерная алгебра на ЗИл- Замкнутое подмно-
подмножество Kcz3Ra называется границей для Ау если
||/||= sup |/(m)|, ft=A.

1. Пространства максимальных идеалов 189
Теорема 1.5. Существует наименьшая замкнутая граница Ко
алгебры Л, которая содержится в любой другой границе К этой
алгебры.
Эта наименьшая граница называется границей Шилова ал-
алгебры Л. Заметим, что Л является равномерной алгеброй на
своей границе Шилова.
Доказательство. Пусть Ко— пересечение всех границ
для Л; мы должны доказать, что Ко — тоже граница для А.
Лемма 1.6. Пусть /ь /г, •..» fn^A и
U= {пг: |//(т)|<1, /=1, ..., п).
Тогда или И[\КФ0 для любой границы К алгебры Л, или
K\U является границей при любой границе /С.
Закончим доказательство теоремы 1.5, считая лемму дока-
доказанной. Пусть /е Л и |/| < 1 на /Со. Положим / = {m: |/(m) | ^
^ 1}. Достаточно показать, что / = 0 для всех таких /— тогда
Ко окажется границей для Л. Поскольку Jf\Ko — 0, то для лю-
любого те/ по определению Ко найдутся граница Km алгебры Л
и окрестность U точки /л, описанная в лемме, для которых
Uf]Km = 0. Покроем / конечным числом таких окрестностей
Uiy I ^ i ^ N. По лемме 1.6 K\Ui есть граница для Л, если
/( — граница для Л. По индукции
*1 = аид\и ul = (...(vtA\ul)\u2)\u3)\ ... \uN)
есть граница для Л. Так как |/|<1 на К\9 то 11/11 < 1 и
/ = 0. П
Доказательство леммы 1.6. Предположим, что К —
граница для Л, a K\U — нет. Докажем, что тогда U пересе-
пересекается с любой границей для Л. По предположению найдется
функция /еЛ, 11/11=1, у которой sup|/(m)|<l. Заменяя /
/с\ и
на fn, мы можем считать, что sup|/(m)|<e, где е||//|| < 1,
к \ и
/=1, — /г, а /ь ..., fn — функции, определяющие V. Тогда
на U имеем |///|<1 по определению t/, а на K\U имеем
///|< 1 по определению е. Но К — граница для Л, и, значит,
I ///II < 1, / = 1, ..., я. Стало быть,
{пг: |/(т)|=1}с:П {т: |/,(/п) |< 1} = ?/.
Так как {т: \f(m)\= 1 =
для Л, то и U пересекаетс
к {fn: \f(m)\= 1 =11/11} пересекается с любой границей
то и U пересекается с любой границей для Л. ?

190 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Конечно, если Л = С (У), то граница Шилова для Л есть У.
Точка х^$ЯА называется точкой пика для Л, если существует
функция /еЛ, такая, что
Очевидно, что все точки пика принадлежат границе Шилова.
Пример 4. Диск-алгебра Л0-^это алгебра всех функций, не-
непрерывных в замкнутом круге D и аналитических в открытом
круге D. Это равномерная алгебра с нормой ||/|| = sup | f (г) |.
d _
Так как аналитические полиномы разделяют точки круга D, то
Ло— равномерная алгебра на D. По принципу максимума еди-
единичная окружность Т является границей для А. Если IgT и
f(z) = (\+kz)/2, то /(*,)= 1 и |/(г)|<1 при «еД гф%.
Значит, X — точка пика, и Т является границей Шилова для Ло.
Пространство максимальных идеалов алгебры Ло совпадает с D
(упр. 9).
Пример 5. Н°° — равномерная алгебра с поточечным умно-
умножением и нормой
||f||=SUp|/B)|.
Ее пространство максимальных идеалов мы всегда обозначаем
через SOt
Для любой точки t,^D существует m; <= 2R, для которого
Я2? (z) = ? (г — координатная функция), потому что z — ?^
-К Теперь если /еЯ00, то и (/ — /(?))/(? —z)e Я°° и
Таким образом,
и точка т^еЗИ однозначно определяется условием т^(г)=^.
Значит, ?-*т; определяет вложение круга D в Зй. Это вложе-
вложение есть гомеоморфизм по определению топологии Яй. Мы отож-
отождествим ? с т; и будем считать Z) частью 2Я. Тогда D открыто
в Зй, так как
D={m<=m: \t(m)\< 1}.
В дальнейшем мы отождествляем Я°° с ее преобразованием
Гельфанда и представляем Н°° как подалгебру алгебры С(ЗЯ).
Здесь нет неопределенности, так как

1. Пространства максимальных идеалов 191
Пусть теперь |?j = 1. Снова (г— ?)~* ф{Нх)~\ и существуют
точки т^2Я,в которых ?(№.) = ?,. Но мы вскоре увидим, что
при ?^д?> слой Ш ={т: 2(m)=t) оказывается очень боль-
большим.
Преобразование Гельфанда координаты z определяет ото-
отображение
Отождествляя D с i~l(D)9 имеем
Таким образом, мы можем представлять себе Ш1 как круг D
вместе с большим компактным пространством Ш = z~l(i)y ле-
лежащим над каждой точкой ? е dD. Слои SO?; гомеоморфны
между собой, так как вращение т(г)= ?г, |?|= 1, порождает
автоморфизм /->-/ох алгебры Я°° и сопряженное с ним отобра-
отображение отождествляет 9Jti с 2Й?.
Чтобы увидеть, насколько велико ЗЯс. возьмем ?= 1 и рас-
рассмотрим сингулярную функцию S(z) = ехр((г+ l)/(z—1)).
В гл. II мы показали, что ее предельное множество в точке
z = 1 совпадает с замкнутым единичным кругом. (То есть для
любого w, | ад |^1, существует последовательность {zn}<=D,
Zn-+ 1, вдоль которой 5(гл)->ад.) Ввиду компактности простран-
пространства 2W последовательность {гл} имеет предельную точку т в SWi
и S(m)= tc;. Значит, 5 отображает 2Wi на весь круг 5.
Далее, существуют такие последовательности {zn}aDy
zn~-+-1, что любая интерполяционная задача
/(*„) = ая, п= 1, 2, ...,
{а*}^/00, имеет решение /е//°°. Такие последовательности на-
называются интерполяционными и будут обсуждаться в гл. VII;
простой пример приведен в упр. 11. Здесь мы только хотим от-
отметить следующее: если {zn\—интерполяционная последова-
последовательность, то отображение n-+z,i по теореме 1.4 продолжается
до гомеоморфизма PN на замыкание последовательности {zn}
в Эй. Раз \imzn = 1 (в плоскости), то мы видим, что SD?i содер-
содержит гомеоморфный экземпляр пространства pN\N.
По теореме Фату Н°° является замкнутой подалгеброй в L°°.
Она разделяет точки в X = 3RL°oy потому что любая веществен-
вещественная функция из L°° имеет вид w = log|/|, /^(Я00) (теоре-
(теорема II.4.5), а тогда и w(m)= log|/(m) | как функции из С(Х).
Ввиду компактности непрерывное отображение Х->5Я, опреде-
определяемое сужением на Н°° каждого мультипликативного линей-
линейного функционала на L°°, является гомеоморфизмом. Стало
быть, X мы можем представлять себе как замкнутое подмно-

192 Гл. V Немного равномерной алгебры
жество в Tl. Поскольку вложение Н°° a Lx изометрично, то X
является границей для//00. Далее,если К — собственное замкну-
замкнутое подмножество множества Ху то (поскольку C(X) = L°° =
= log| (//°°)-! |) найдется такая функция /е//°°, что
sup log | /1 < sup log I/|,
К X
и К не может быть границей для Н°°. Мы доказали следующую
теорему:
Теорема 1.7. Граница Шилова для Н°° есть X = 3RLo°.
Каждая внутренняя функция имеет модуль 1 на Ху по-
поскольку она имеет модуль 1 как элемент из L°°. Значит, |S|= 1
на X, где S (г) = ехр ((г + 1) / (г — 1)) t S^ (H°°)-1 и S не имеет
нулей в D. Следовательно,
Теорема Карлесона о короне утверждает, что D плотно в 2И.
Иными словами, корона Ш\В пуста. Мы докажем эту знаме-
знаменитую теорему в гл. VIII, а сейчас только переведем ее на клас-
классический язык.
Теорема 1.8. Следующие утверждения равносильны:
a) открытый круг D плотен в 94;
b) если /ь ..., /яе Н°° и
A.6) max |/г/(г)|>6>0, zefl,
\<i<n
то существуют функции g\, ..., gn e Я00, такие, что
A.7) fig\+ ,^ +fngn= 1-
Доказательство. Пусть D плотно в 24. Тогда по непре-
непрерывности
max |Ыт)|>6, т&Ш,
и {/ь ...» М не содержится ни в каком собственном идеале
алгебры //°°. Значит, идеал /, порожденный семейством
{fи .-., М, содержит 1. Но
J= {Ugl+ •" +fngn\ gi^H~)
и (Г.7) выполняется.
Обратно, пусть D не плотно в WI. Тогда некоторая точка
m0 e ЗЛ имеет окрестность, не пересекающую D. Эта окрестность
имеет вид

2. Внутренние функции 193
где 6>0, /ь /2> ..., /.еЯ00 и /у-(т0) = 0. Функции /ь ..., /„
удовлетворяют A.6), потому что V[]D = 0, но не могут удов-
удовлетворять A.7), потому что лежат в идеале {/: /(/ло)=О}. ?
Для_ диск-алгебры Ло «теорема о короне», т. е. равенство
WIa = Df является простым следствием теории Гельфанда (см.
упр. 9). Таким образом, если выполняется условие A.6), то
существуют функции g\y ..., gn> удовлетворяющие A.7). Пред-
Предположим теперь, что для Ло нам известна «теорема о короне
с оценками». Иными словами, допустим, что для любых /i, ...
. ..,/„еЛ0, подчиненных условию A.6), мы можем найти
gu ..., gn^ Ло, удовлетворяющие A.7) с дополнительными
оценками
A.8) II ^ II < С (л, б, maxllf/Ц).
Теперь теорему о короне для Н°° можно получить простым рас-
рассуждением с нормальными семействами: имея /ь ..., /леЯ°°
иг<1, мы можем найти g\r)y ..., ^г)еЛ0) такие, что
Е f,(«)«</>(г) =1, «sD,
n, б, тахЦ/уЦ). Для некоторой последовательности
даст решение A.7) из Я°°. Иными словами, мы можем получить
теорему о короне для #°°, если будем иметь доказательство про-
простой теоремы о короне для Ло, настолько конструктивное, что
оно дает оценки A.8).
2. Внутренние функции
Напомним, что функция «еЯ°° называется внутренней, если
|a(efe)|=l почти всюду. Каждое произведение Бляшке яв-
является внутренней функцией, и по теореме Фростмана II. 6.4
каждая внутренняя функция является равномерным пределом
последовательности произведений Бляшке. В этом разделе мы
докажем, что внутренние функции — и, стало быть, произведе-
произведения Бляшке — порождают Я°° как равномерную алгебру.
Теорема 2.1 (Дуглас — Рудин). Пусть U — унимодулярная
функция из L°°, \U(eie)\= \ почти всюду. Для любого е>0
существуют такие внутренние функции ии U2^H°°, что
\\и-щ/и2\\<г.
Прежде чем доказывать теорему 2.1, рассмотрим аналогич-
аналогичный результат для непрерывных функций на окружности Т. Его
7 Зак. 829

194 Гл. V. Немного равномерной алгебры
можно доказать в несколько строк. Пусть (УеС(Г), 1^1= 1.
Тогда О = znV2y где п — целое число (число вращения или ин-
индекс функции U), а 1/еС(Г), |У|= 1. По аппроксимационной
теореме Вейерштрасса найдется рациональная функция h(z),
которая аналитична на Т и
\V(z)-h(z)\<e, z<=T.
Раз \V\= 1, то и
)— 1/АТГ/г) | < е/A — е),
Рациональная функция
является отношением двух конечных произведений Бляшке, по-
потому что | g (z) | = I, z e T. Ho
\U(z)-g(z)\<B +
Доказательство теоремы 2.1. Пусть Е — подмно-
подмножество окружности Ту имеющее положительную меру. Мы мо-
можем считать, что
потому что произведения таких функций плотны по норме L
в множестве всех унимодулярных функций.
Рассмотрим дуги
Л={е'в: \е1Ь — а|<е/2}, В = {eiQ: \eiQ — p|<
Мы можем считать, что |а — р|>2е и А[\В = 0. Пусть Q —
дополнение множества А[)В до римановой сферы. Область Й
двусвязна, и при некотором г, 0 < г < 1, кольцо
V= {г<|ш|<1/г}
конформно отображается на Q. Конформное отображение
ф: V->Q непрерывно продолжается на V и
ф(|ш| = г)с:Л, ф(|ш|= l/r)czB
(см. Альфорс [1966]1)). Функция ф аналитична всюду в V, кро-
кроме единственного простого полюса Р ее V.
Пусть теперь h e(Я00)-1 —такая внешняя функция, что
|Л| = г%Е + A/г)%т\е почти всюду. Тогда h(D)czV и
WU — фоА||<е.
Мы покажем, что ф о h есть отношение двух внутренних функ-
функций. Заметим, что ф о/г — мероморфная функция в D с полю-
!) См. также Голузин [1966]. — Прим. ред.

2. Внутренние функции 195
сами только на множестве h~l(P). Функция t>(w) = w+ l/w
отображает V на эллипс W. Пусть G(?) — конформное отобра-
отображение W на D с G(C(P))=3 0. Тогда функция i (w) = G(l{w))
аналитична в V и непрерывна в V. Далее |^(ш)|— 1 на dV и
-ф(Р) = 0. Значит, функции ai=(cpt|))°ft и U2 = ty°h внутрен-
внутренние и
\\U — ui/u2\\co^e. ?
Другое доказательство теоремы 2.1 дано в упр. 13.
Напомним, что граница Шилова для Н°° есть X = 3RLoo.
Теорема 2.2 (Д. Дж. Ньюмен). Если т — элемент простран-
пространства Ш максимальных идеалов алгебры Я°°, то следующие усло-
условия равносильны:
(a) we! (границе Шилова для Я°°);
(b) jw(m)|= 1 для любой внутренней функции u(z)\
(c) \В(т) | > 0 для любого произведения Бляшке B(z).
Доказательство. Поскольку Х = 3№^«> и любая вну-
внутренняя функция является унимодулярной функцией из L°°, то
(а) влечет за собой (Ь).
Пусть теперь выполнено (Ь). Покажем, что т продолжается
до мультипликативного линейного функционала на L°°. По тео-
теореме 2.1 алгебра
Г
1
Yj jj A/S C, vy Uj внутренние >
плотна в L°° по норме. Положим на
Е // Y
Благодаря (b) функционал т корректно определен, линеен и
мультипликативен на Э'. Далее
Z
|)
Значит, т ограничен и имеет единственное непрерывное продол*
жение на L°°. Тогда m(f) = f(x), f^J, для некоторого хе!
Мы должны показать, что fn(f) — f(x) при /еЯ°°. Выберем
g =* 2 A/tt/б q 5^ так, чтобы ||/ — ^И» < е. Тогда
Но у^г е я°°, vf^H°° и | m (у) | = 1, так что
по определению т. Значит, \т{\) — f(x) | < 2е и т&Х.
7*

196 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Очевидно, что (Ь) влечет за собой (с). Пусть теперь (Ь) не
выполняется. Тогда \и(т) | < 1 для некоторой внутренней функ-
функции u(z) и по теореме Фростмана \В(т)\< 1 для некоторого
произведения Бляшке В (г). Мы можем считать, что т ф D,
так что \т(Во) |= 1 для любого конечного произведения Бляш-
Бляшке. Значит, В (г)— бесконечное произведение:
-Zf Z — Zj
Выберем az/-^oo так, чтобы 2 Я/A — \z}\) < оо, и построим
произведение Бляшке
/=1
При достаточно большом N имеем В{ = B{QN)B[N)B{2N\ где Бес-
Бесконечное произведение Бляшке, а
Тогда | В^ (т) | = 1, | В^ (т) | < 1 и | В\™ (т)\ = \В(т) |^, так что
\Bl(m)\^\B(m)\n\ N=lt 2, ....
Значит, |В!(ш)| = 0 и (с) влечет за собой (b). D
Пусть 9> — подмножество равномерной алгебры А. Мы гово-
говорим, что & порождает Л, если линейные комбинации произве-
произведений функций из У плотны ho норме в Л. Если У замкнуто
относительно умножения, то оно порождает А тогда и только
тогда, когда замкнутая линейная оболочка 9* есть А.
Теорема 2.3 (Бернар). Пусть А—равномерная алгебра на
компактном хаусдорфовом пространстве Y и
<U= {и<==А: |ц|= 1 на Y}
— множество ее унимодулярных функций. Если °U порождает А,
то единичный шар в А совпадает с замкнутой по норме выпук-
выпуклой оболочкой множества °U.
Доказательство. Пусть f&Af ||/||< 1. Можно считать,
что
п

2. Внутренние функции 107
потому что такие функции плотны в единичном шаре алгебры А.
п
Пусть и= П ui e °tt\ тогда fu e А. Но всюду на У
/ + *»" dt.
1 +etlfu
При каждом t подынтегральное выражение принадлежит °U. Ри-
мановы суммы для этого интеграла сходятся к / равномерно
на У, так как 11/11 < 1. Эти суммы — выпуклые комбинации эле-
элементов множества °Ы. ?
Следствие 2.4. Единичный шар диск-алгебры Ао является
замкнутой выпуклой оболочкой множества всех конечных про-
произведений Бляшке.
Доказательство. Внутренние функции из Ло — это ко-
конечные произведения Бляшке; они порождают Ло, потому что
в Ао плотны многочлены. ?
Теорема 2.5 (Маршалл). Произведения Бляшке порож-
порождают Я°°.
Следствие 2.6. Единичный шар пространства Н°° является
замкнутой выпуклой оболочкой множества всех произведений
Бляшке.
Это следствие непосредственно вытекает из теорем 2.5, 2.3 и
теоремы Фростмана. Заметим, что теорема Каратеодори о по-
поточечной сходимости 1.2.1 гораздо проще следствия 2.6.
Доказательство теоремы 2.5 представляет собой остроумную
комбинацию трех компонент — теоремы Дугласа — Рудина,
приема Бернара из доказательства теоремы 2.3 и теоремы Не-
ванлинны из гл. IV. Это доказательство вскрывает связь между
задачами интерполяции и приближения, которая обнаружи-
обнаруживается всюду в нашей теории.
Доказательство теоремы 2.5. По теореме Фростмана
достаточно доказать, что внутренние функции порождают Я°°.
Пусть /-г- замкнутая подалгебра в Я°°, порожденная всевозмож-
всевозможными внутренними функциями, и
9? = {/ е Я°°: Ju e Я°° для некоторой внутренней функции и}.
Мы должны показать, что / = Н°°. Сделаем два предваритель-
предварительных наблюдения:
(i) Если f = Y* ^/Ыу — линейная комбинация внутренних
функций, то /ей,
(и) Яс/,

198 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Чтобы доказать (i), возьмем а=П"/ и заметим, что
fu = th П и*€=Я«\
/=i k ф /
Чтобы доказать (и), используем идею Бернара из теоремы
2.3. Пусть feS и ||/||< 1. Если и — та внутренняя функция, для
которой {и^Н°°у то (/ + еии)/(\ + еи{и) — внутренняя функ-
функция при любом /eR. Значит, интеграл
2n J \+e"fu
представляет f как равномерный предел выпуклых комбинаций
внутренних функций.
Пусть теперь fe#°°. По теореме Дугласа — Рудина 2.1 и
теореме Фростмана найдутся внутренние функции иь ..., ип,
числа %и .-•> ^п и произведение Бляшке B(z), для которых1)
B.1) 1/— ? 1^Щ< 8.
Теперь мы используем теорему IV. 4.1 для устранения не-
неголоморфного множителя В. Пусть ?=Е^«/. По B.1)
\\Bf — g\\ < е, так что |gBn)|<e в нулях {гп} произведения
В (г). По теореме IV. 4,1 найдется внутренняя функция v(z), та-
такая, что
ev(zn) = g(zn), /i = 1, 2
Значит»
g — sv = Bhy fte Я°°.
Вспоминая, что g= 2j ^/w/> мы видим, что Bh^9t в силу A).
Поэтому существует внутренняя функция и («г), для которой
Лй« е Я°°. Тогда и ВВНи = Я^ е Я°°, А е SR и в силу (ii) A e /.
Но
II/-АН - ЦВ/-ВАЦ < щ-gW + Иг-
с
и, стало быть, /е/. П
!) Здесь имеется в виду несколько усиленная формулировка теоремы 2.1 г
каждую функцию /eL*, II fll ^ 1, можно сколь угодно точно приблизить
(в L00) полусуммой отношений внутренних функций. Для доказательства
нужно рассмотреть функции фь срг, непрерывные и унимодулярные в D \ {0}
и такие, что z =* (ф1 + фг)/2 (в Л \ {0}), и применить теорему 2.1 к каждой
из унимодулярных функций ф,(/) (при этом можно считать, что / отделена от
нуля); в качестве ф/ можно взять функции (г/ | г|)ехр(±/arccos | z |). —
Прим, ред.

S. Аналитические круги в слоях
199
3. Аналитические круги в слоях
Пусть {zn} —последовательность Бляшке в Д т. е. ? A—|2rt |) <
< со. Предположим, что \imzn= 1. Если B(z)—произведе-
B(z)—произведение Бляшке с нулями {г*}, то
п
k, k ¦
1 — z, z
k п
j-fcji- П
Z —Zu
Заменим {zn} такой подпоследовательностью, чтобы
П
¦-v»
= 6>0,
чего легко добиться с помощью диагонального процесса.
Таким образом, мы считаем, что
C.1)
inf(l-|zn|2)|B'Bn)| =
Это условие будет очень важно для нас в дальнейшем, потому
что оно характеризует интерполяционные последовательности.
Здесь же мы воспользуемся им только для того, чтобы построить
нетривиальные аналитические отображения открытого единич-
единичного круга в слой Ш\ пространства S31 над точкой 2=1. По-
Положим
Тогда foLn&H00, если /еЯ°°, и /о/,„@) = f(zn). Рассмотрим
Ln как отображение 2)=з{|^|<1} в 2Я. (Обозначение 3) =«
¦={|^|<1} нужно, чтобы отличить область определения Ln
от ее образа DeI.) Пространство Ш® всех (непрерывных пли
нет) отображений круга 2) в ЗЭТ компактно и хаусдорфово в то-
топологии произведения. Из последовательности {Ln} аШ® вы-
выберем поднаправление {^/гу}, которое сходится к пределу
LeI^ (направления нужны потому, что пространство Ш3* не
метрическое). Мы получим отображение L: 3)-+Ш, причем
C.2) f о L (S) = lim f о lB/ (?) = Mm
,6
Теорема 3.1. Отображение L: 2D-+4R обладает следующими
тремя свойствами:
(a) L(^)c=2n, (Я»! — слой SK «ad г= 1);

200 Гл. V Немного равномерной алгебры
(b) отображение L аналитично, т. е. /oL(?) — аналитическая
функция в 2) при f e Я°°;
(c) отображение L не постоянно.
Доказательство. Согласно C.2),
так что L(S))dTli и (а) выполняется.
Свойство (Ь) следует из C.2) и того факта, что предел лю-
любого ограниченного направления в множестве аналитических в
&) функций снова аналитичен. Из C.2) следует также, что
(/ о LY (?) = lim (f о и})' (?) при / е= Н°°. Стало быть,
и, согласно C.1),
C.3) |(BoL)'@)|>6>0.
Значит, В о L не постоянно и (с) выполняется. ?
В гл. X мы увидим, что L — взаимно однозначное отображе-
отображение SD в 2Wi и что 2J*i содержит несчетное множество непересе-
непересекающихся аналитических кругов вида LB)).
Ввиду C.3) и леммы Шварца (упр. 1.1) существует такое
tj с=з т] (б) > 0, что отображение L взаимно однозначно при
|?| < т]. Множество ?(|?| < ц)<^^и таким образом, параме-
параметризуется точками круга, и все функции из Н°° на нем анали-
тнчны. Это множество L(|?|<t}) называется аналитическим
кругом.
Следующее замечание, возможно, сделает аналитический
круг L(|t|<r|) не столь загадочным. Рассмотрим круги
В евклидовой метрике круги Ап сходятся к точке 2=1. Но в
гиперболической метрике все они конгруэнтны А = {|?| < yj}.
См. рис. V. 1. При f^H°° функции
образуют нормальное семейство, и поведение / на Ап совпадает
с поведением fn на А. При f «= В имеем ]'п @) = В' (zn) A — | zn |2),
и, согласно C.1), никакая предельная функция {fn} не может
быть постоянной. Раз пространство максимальных идеалов
ЗЯ = Шн°о компактно, то найдется направление из индексов
}, такое, что frt/= /(?„,(?)) сходятся для всех /еЯ°°. Это

4. Представляющие меры и ортогональные меры 201
то же самое, что сказать, что Ln}^»L в Ш3*. Следовательно,
мы можем представлять себе направление кругов {ЛП/} сходя-
сходящимся к предельному множеству L(|?|<t|). Согласно C.1) и
Рис. V. 1. Гиперболически конгру-
конгруэнтные кружки Дп.
C.3), предельное множество — круг, на котором функция B(z)
взаимно однозначна, а все функции из Н°° аналитичны.
4. Представляющие меры и ортогональные меры
Теорема 4.1. Пусть А — равномерная алгебра на компактном
хаусдорфовом пространстве Y и т^ЗЯА. Тогда
\\т\\= sup |m(/)|=l.
и f и < i
На Y существует положительная борелевская мера |х, такая, что
ц(У)=1 и
D.1) m(f) =
Положительная мера на У, удовлетворяющая DЛ), называ-
называется представляющей мерой для пг. Любая представляющая
мера оказывается вероятностной, т. е. [х(У)=1, потому что
Доказательство. По теореме 1.1 имеет место неравен-
неравенство ||т|| ^ 1, но ||1|| = 1, так как А — равномерная алгебра, и
поэтому ||т|| ^ |шA) | = 1. По теореме Хана — Банаха линей-
линейный функционал m(f) можно без увеличения нормы продолжить
на С (К), а по теореме Рисса о представлении это продолжение
дается интегралом по некоторой конечной комплексной бореле&-

202 Гл. V. Немного равномерной алгебры
ской мере |и на У. Для меры ц выполняется D.1) и
Но ([ |х [| = 1 == \ rfjjt, откуда следует, что \i положительна и
=1- ?
Обычно теорему 4.1 используют, когда У— граница Шилова
алгебры А. Например, пусть А = Ло — диск-алгебра и У=Г —
единичная окружность. Пространство максимальных идеалов —
это замкнутый круг D (упр. 9). При \z\ = 1 представляющая
мера является точечной нагрузкой Ь2 в точке z. При |г|< 1
представляющая мера дается ядром Пуассона
2я
Каждая точка из D имеет на Т только одну представляющую
меру, потому что для положительной меры [г должно быть
а вещественные тригонометрические полиномы — вещественные
части аналитических полиномов — плотны в пространстве Cr (T)
всех вещественных непрерывных функций на Т.
Вообще, равномерная алгебра А называется алгеброй Ди-
Дирихле на У, если Re Л = {Re/: /еЛ} плотно по норме в Cr (У).
Тогда каждый комплексный гомоморфизм алгебры А имеет
единственную представляющую меру на У. Мы говорим, что
алгебра А логмодулярна на К, если
logU~4 = (log|/|: f&A'1}
плотно в Cr (У). Каждая алгебра Дирихле логмодулярна, по-
поскольку log|ef| = Re/. Однако Н°° не является алгеброй Ди-
Дирихле (упр. 15), хотя она логмодулярна на своей границе Ши-
Шилова X. В самом деле, как мы уже замечали и раньше, если
«sLr и 1/(г)-ее интеграл Пуассона, то f{z) = exp(u(z) +
+ шB))е(Я°°)-1 и log|/| = w. Заметим, что для логмодуляр-
ной алгебры А граница Шилова совпадает с У. Доказательство
не отличается от доказательства теоремы 1.7.
Теорема 4.2. Если алгебра А логмодулярна на У, то каждый
функционал ш^ЗЯа имеет на У единственную представляющую
меру.

4. Представляющие меры и ортогональные меры 203
Доказательство. Пусть juti и |и2—Две представляющие
меры для т и f<^A~l. Поскольку меры juti, \i2 вероятностные,
так что
Поскольку log (Л-1) плотно в Cr (У),
Положим при фиксированном и
А (/) = J е'в rfjii \ e'tu d\i2t t е= R.
Тогда А@)= 1 и h(t)^ 1. Дифференцируя A(f) при / = 0, по-
получим
Так ЧТО |Lli = |Ll2. ?
Поскольку Н°° — логмодулярная алгебра, каждый функцио-
функционал те2)? имеет единственную представляющую меру \im на X.
Для /пб! это точечная нагрузка 6т. Но какая мера представ-
представляет /->/@)? Конечно, /@) = A/2я) J/(^e)d0, /e-tf00, но
d8/2n, строго говоря, не является мерой на X. Однако линей-
линейный функционал
J ZK
T
определяет по теореме Рисса о представлении борелевскую ве-
вероятностную меру [ю на Ху которая и будет той представляющей
мерой, которую мы ищем. Если EczT имеет положительную
меру, то %Е—идемпотент в L°° (т. е. %2Е = %Е)- Поэтому %Е при-
принимает только значения 0 или 1, так что существует открыто-
замкнутое множество Ес^Х, такое, что хЕ = %^» Тогда
Так как простые функции плотны в L°°, то открыто-замкнутые
множества образуют базис топологии на X и D.2) однозначно
определяет борелевскую меру \хо.
Теорема 4.3. При 0 <р^ со соответствие %е-+%ё единствен-
единственным образом продолжается до положительного изометрического

204 Гл. V. Немного равномерной алгебры
линейного отображения S пространства LP(T% dQ/2n) на
Доказательство. Для простой функции / = ? а;Х? по-
положим S/= ? а;0С? .Это единственно возможное линейное про-
продолжение соответствия %е^~%е* По D.2) ||5/||р = ||/||р,
0 < р ^ оо, и по соображениям плотности S продолжается до
положительного изометрического линейного оператора из
LP{T9 dQ/2n) в LP(X9 щ).
Мы должны показать, что образ S есть все Lp(X, \i0). Мно-
Множество L°°(\io) плотно в Lp(jli0), р< оо, a S есть Ар-изометрия.
Поэтому достаточно рассмотреть случай р = оо. Для gG L°°(|io)
выберем {gn}<zC(X) так, чтобы \\gn\\<» ^ HglL и gn-+g почти
всюду относительно \iq. Так как С(Х)—преобразование Гель-
фанда алгебры L°°, а простые функции плотны в L°°, то мы мо-
можем считать, что gn= Sfnt где функции /яе L°° просты и ||/я||оо =
= Н^я11оо. Но 5 —изометрия, и \\fn — /*||2 = IIg« — g*ll2->0. По-
Поэтому в L2(d9/2n) функции /я сходятся к пределу / и S(f) = g.
Но /eL°°, потому что Hf/illoo^ llglloo и некоторая подпоследова-
подпоследовательность {fn } сходится к / почти всюду. ?
При р = оо теорема 4.3 утверждает, что L°°{X, |хо) = С(Х),
— еще одно выражение того факта, что X очень велико и не-
несвязно.
По теореме 4.3 мера на X, представляющая точку z^Dy
равна S(Pz)d\iot где Pz — ядро Пуассона для г. По теореме 4.3
и теореме Радона —Никодима пространство мер на Ху абсо-
абсолютно непрерывных относительно jllo, можно отождествить с
L{(dQ/2n)y так что выражение PzdQ/2n можно вполне безопасно
рассматривать как меру на X.
Пусть А — равномерная алгебра на компактном хаусдорфо-
вом пространстве У. Обозначим через А1 пространство всех ко-
конечных комплексных борелевских мер v на У, ортогональных
к А:
г
Y
Аналогично если m е ЗРЬ, т. е. Ат = {/ е A: f{m) = 0} — макси-
максимальный идеал, то А^ = [ v: \ f dv = 0, f <= Ат \. В частности,
если Яо° = {/еЯ°°: /@) = 0}, то{уе(Яо°I: v < щ} можно по
теореме Ф. и М. Риссов отождествить с Я1.
Теорема 4.4. Пусть А — равномерная алгебра на компактном
хаусдорфовом пространстве У и гп^УЯа. Предположим, что m
имеет единственную представляющую меру ju на У. Если v e Am

4. Представляющие меры и ортогональные меры 206
и v = у а + vs — разложение Лебега меры v по отношению к цг
ТО Va^Am U Vs еЛ1.
Это обобщение теоремы Ф. и М. Риссов. Однако даже в слу-
случае А = Я°° мы уже не можем заключить, что v5 = 0, как в
классической теореме. Мы только сможем утверждать, что
v5 = 0. Нам понадобится в доказательстве следующая
лемма.
Лемма 4.5. Пусть ш^Ша имеет единственную представляю-
представляющую меру \i на У. Пусть Е a Y — множество типа (Fa) и \i(E) =
= 0. Найдутся такие fn^A, что
П) II/JK1,
00 f,,(ff)->0f y<=E,
(Щ fn~+l почти всюду относительно \i.
Доказательство. Сделаем одно предварительное заме-
замечание. Если и е Cr, to
D.3) sup {Re m (/): /еЛ,Ие/<и}«
= inf{Rem(/): /еД Re/> а} =
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим положительный линейный
функционал Re/->Rem(/) на Re Л. Согласно доказательству
теоремы Хана — Банаха, существуют положительные продол-
продолжения этого функционала на все Cr (У), значения которых на
и равны любому числу между левой и правой частями D.3).
Каждое такое продолжение является представляющей мерой
для т. Но представляющая мера единственна, и потому в D.3)
должно достигаться равенство. Пусть Е = \JEn, где все Еп ком-
компактны и ЕпсЕ„+\. Возьмем такие un^C^(Y)y что ип(у)>0,
ип{у)> п при у^Еп и \und[i < \jn2. Это возможно, так как
li(En) = Q. Согласно D.3), найдутся такие gn^Ay что
Regn>un, Regn{m)<\/n27 lmgn(m)=*0.
Положим fn = e~8n- Тогда (i) выполняется, так как Regn;>
> ип > 0, а (и) выполняется, поскольку | fn(y) \^e^Uniy) < e~nf
у^Еп. Докажем (iii). Так как fn(m) = e~*n{m\ то
Значит, fn-**l почти всюду относительно ja. D

206 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Доказательство теоремы 4.4. Поскольку vs сингу-
сингулярна относительно \х, найдется множество Е a Y типа (Fo), та-
такое, что jn(?) = O и \vs\ (Y\E)= 0. Возьмем fn из леммы 4.5 и
dvn = fndv. Множество Ат есть идеал, и потому vn^Am- По
лемме 4.5 и по теореме об ограниченной сходимости vn слабо
СХОДЯТСЯ К Va = V — Vs. ЗнаЧИТ, VflGyli И VS = V — Va^Am-
Наконец, ввиду утверждений (ii) и (ш) леммы 4.5
откуда v e А1, О
В качестве применения теоремы 4.4 мы заново докажем один
результат из разд. IV. 2: пусть h0^ LCO\HCO. Если ||Ло+^0011< 1,
то существует такая функция F е Я1, F + 0, что
D.4) F/\F\e=ho + H".
Доказательство. Как в доказательстве теоремы IV.4.4,
мы выберем такое /iEfto + Я°°, ||А|| = 1, что
и заметим, что dist(ft, Яо°)= 1, но dist(/i, Я°°) < 1. По двойст-
двойственности найдутся Fn^H\ \\Fn\\\ ^ 1, такие что
D.5)
D.6) inf I /?„ @) | > 0.
Пусть dvrt = S(/7n)dMo. Тогда т^^Ся^I и ||у„|| < 1. Пусть
v — слабая предельная точка {vn}- Тогда ге(Яо°I и по тео-
теореме 4.4 dv = S{F)dixo + dvsj где Ft=Hl и у5е(Я°°I. Со-
Согласно D.6), F Ф 0, так как \ dv Ф 0, хотя \dv5 = 0. Далее
llv||^ 1 и \Adv-1 в соответствии с D.5), откуда ||v|| = 1 и
\ hdv= \| dv |== 1. Поскольку v5 сингулярна относительно |л0,
это означает, что \ Mva= \| rfva |. Но тогда
т. е. h = F/\F\ почти всюду. П
Теперь одно предостережение. Множество (Я00I содержит
меры, сингулярные относительно всех представляющих мер
(упр. 17), и в предыдущих рассуждениях есть опасность пороч-

5. Пространство 1ЧЩ 20/
ного круга. Только благодаря D.6) мы смогли заключить, что
va ФО.. Но вообще может случиться, что каждая слабая пре-
предельная точка последовательности S(Fn)diiot Fn^Hl, сингу-
сингулярна относительно pio- В таком случае Fn(z)-+0, |г|<1 (см.
упр. 18 и пример IV. 1.5). Все же в этом направлении есть и
некоторые положительные результаты (см. Гамелин [1973,
1974], Бернар, Гарнетт и Маршалл [1977]).
5. Пространство Ll/Hl
Пространство Я°° сопряжено с Ll/HlQ9 поскольку
Элементы Ll/H{0— самые полезные линейные функционалы иа
#°°, потому что они имеют конкретное представление как ин-
интегрируемые функции на Т. В этом разделе мы докажем три
теоремы о Ll/Hl0.
Замкнутое множество Рс^Х называется множеством пика
для Н°°у если существует функция /<= Я°°, такая, что / s= 1 на Р
и |/| < 1 на Х\Р. Мы начнем с элегантной леммы Амара и Ле-
дерера [1971].
Лемма 5.1. Пусть v — конечная комплексная борелевская
мера на X. Предположим, что v сингулярна относительно ц0.
Для любого г > 0 найдется множество пика Р czXy такое, что
||\
Доказательство. По предположению существует ком-
компакт /(<=#, для которого \10{К)=0 и |v| (X\K) < е. Так как
открыто-замкнутые множества образуют базис топологии в X,
то можно найти открыто-замкнутые Vn, К cz Vn+\ cz Vn, такие,
что
F.1) Zn\io(Vn)<oo.
Пусть un = n%Vn. Поскольку Vn открыто и замкнуто, то Vn =
г={хел==: 1}для некоторого измеримого множества EnczT и ип
можно отождествить с функцией Щдп ^ L°° и даже с гармони-
гармонической функцией un(z) = n \ Pz(Q)dQ/2n. Положим
8п (г) = ип (г) + шп B), G (z) = Z gn (z).
i

205 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Согласно E.1), функция G(z) конечна и аналитична в D и
ReGB)>0. Тогда функция f(z)= G(z)/{\ + G(z)) входит в
Я ||/|U 1
В частности, |1—/(*'в)|< \/(п-\- 1) почти всюду на Бп и
xgV
Множество Р =» {л:: /(х)=1} является множеством пика, по-
потому что для g = (l-f/)/2 мы имеем ^(х)=1 при хеР и
|#(л:)|<1 при jc^P. Наконец, К(=Р, потому что П^П = Р,
и |v|(*\P)<|v|(*\*)<e. D
Теорема 5.2 (Муни). Пусть {уп} — такая последовательность
интегрируемых функций, что предел
существует для всех f ^ Я°°. Гогс5а найдется <р s L1, (Эля которой
F.2)
Линейный функционал вида E.2) на Я°° называется слабо не-
непрерывным. Если Т7 ^ Я^, то
так что множество сла0о непрерывных функционалов находится
в естественном соответствии с L{/H[o. Теорема 5.2 утверждает,
что каждая слабая последовательность Коши в LxjH\ имеет в
LxjH\ слабый предел. Иначе говоря, LxjH\ слабо секвенциаль-
секвенциально полно. Слабая полнота самого L1 была установлена гораздо
раньше (см. Данфорд и Шварц [1958], стр. 315).
Доказательство. Пусть
По принципу равномерной ограниченности sup||LJ| < оо, и пре-
предел L является ограниченным линейным функционалом на Н°°>
По теореме Хана — Банаха найдется такая конечная комплекс-
комплексная мера а на А, что

б. Пространство DjH j 209
Положим do ~ Фй\хо + doSy где Фе1'(ро), а мера os сингу-
сингулярна относительно цо. По теореме 4.3 существует фе!1, для
которой
Мы хотим показать, что 05е(Я°°)х. Это значит, что
как и утверждается в теореме. Заменяя ц>п на фл — ф, мы можем
считать, что
L(f)=\fdos, /<=еЯ°°.
X
X
Пусть Qs&iH00I и ^еЯ°° такова, что \ gdas Ф 0. Применяя
к dv = gdos лемму 5.1, мы построим множество пика PczX,
\io(P) = 0, v (Р) = \ g das ф 0. Пусть /еЯ°°- функция, кото-
р
рая имеет пик на Р. Тогда
E.3) lim
F.4) jirn J /*CTn -g- = 0, «=1,2,...
(потому что (io(^)=0 и fk(x)-*~O вне Р). С другой стороны,
F.5) lim \ /^Фп Dj- = L (f*g) = t /fc dv.
Выберем по индукции лу-->оо и m/-^oo так, чтобы
E.6) Zt/HW"
но чтобы последовательность {1я.(/н?)} расходилась. Это при-
приведет к противоречию, которое и докажет теорему. При данном
е > 0 возьмем п\ = 1 и выберем такое mj, чтобы
Согласно E.3) и E.4), это возможно. Пусть пи ..., па-i и
#*i, ..., trik-\ уже выбраны. Положим

210 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Выберем вначале пк> пк-\ так, чтобы, согласно E.5),
E.7) л*-?(-!)'
/-1 X
Теперь благодаря E.3) и E.4) мы можем выбрать т*
чтобы |В*| < е и
E.8)
Заметим, что из E.7) и E.8) следует
E.9) \Ак — i4*+1|^v(P) —Зе.
Раз |/(г)|< 1 в D и j!o(P)=O, мы можем при этом выбрать
тк растущими столь быстро, что выполняется E.6). Теперь в
силу E.4) для
оо
/ (~~" 1 ) / ^?Ф - ——
имеем |СЛ|< е, k= 1, 2, ... . Но Lnk{hg) = Ak + Bk + Ck, и
из E.9) следует, что
l(Aff)|>(v(P)-3e)-(|Bft| + IBik+I| +
При e<v(P)/7 получаем противоречие. ?
Теорема 5.3. Пусть L — ограниченный линейный функционал
на Н°°. Следующие три условия равносильны:
(a) L слабо непрерывен, г. е. существует фе!1, такая, что
(b) L непрерывен относительно ограниченной поточечной схо-
сходимости: если gn^H°°t WgnW^M и gn(z)-+g(z), z^D, то
L(gn)-+L(g)\
(c) если hk^H°° и
E.10) ElA*(e'e)|<M<oo
почти всюду, то
E.11) 1(ЕА*)=2^(ЛА).
Отметим, что в силу E.10) Е Л&— корректно определенная
функция из Я°°.
Доказательство. Ясно, что (а) влечет за собой (Ь).
Если llgill^M и gn(z)-*g(z)9 то § является единственной с

5. Пространство Lx/Hl
211
бой предельной точкой последовательности {gn} в L00 = (L1)*,
потому что ядра Пуассона лежат в /Л По теореме Банаха —
Алаоглу это значит, что gn-*g слабо, так что
Из (Ь) непосредственно вытекает (с), так как gn=? hk
оо
ограниченно сходятся в D к ? hk.
Пусть теперь L удовлетворяет условию (с). Представим L
мерой а на X и положим do = Ф d\\$-\- dos, где os сингулярна
относительно ц0. Вычитая Ф d\xoy мы можем считать, что 0 = os.
Мы хотим доказать, что ае(Я°°I. Предположим, что сущест-
существует функция g е Я°°, для которой \ g do ФО. Положим
dv = gdo и выберем по лемме 5.1 множество пика РаХ, та-
такое, что |Ло(Р)= 0 и
E.12) |v|(*\P)<
Пусть /еЯ°° — функция, имеющая пик на Р. Заменяя / на
1 —A —/I/2, мы можем считать, что область значений / лежит
в секторе с вершиной 1, так что
<оо.
Положим Ао = ?, hj = Pg — fi~lg, / ^ 1. Тогда
), н0
/-о
Поскольку f= 1 на Р, то по теореме об ограниченной сходи-
сходимости
ОО 00
J SfM(l-/)ff^- 5 8da
и по E.12)

212 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Значит,
оо
МАУ) >\\gdo\-\v\(X\P)>0
/-о
-противоречие. П
Теорема 5.4. Пусть Е — комплексное банахово пространство
с сопряженным ?"*. Если Е* изометрически изоморфно Н°°, то
Е изометрически изоморфно Ll/#o*
Иными словами, Н°° имеет изометрически единственное пред-
сопряженное пространство. Для банахова пространства I1 это
не так (Бессага и Пелчинский [I960]).
Доказательство. По предположению существует ли-
линейная изометрия Т: #°°->?*, \\T(f)\\E* = ||/IL. Сопряженный
оператор Г*: ?**-^(#°°)* изометрически отображает Е d ?** на
замкнутое подпространство T*(E)cz(H°°)*. Мы покажем, что
Т* (Е) = О/Н\у проверяя условие (с) теоремы 5.3 ? Т*()
Предположим, что {hk} cz Н°° удовлетворяет E.10) и h =
оо
= Lj hk- Согласно E.10) и свойству логмодулярности, най-
найдется /io ^ Я°°, такая, что
E.13) |Ао|-
Пусть ф* — слабая предельная точка ограниченной последова-
последовательности \ YjT{hk) г в ?*. Будет достаточно, если мы пока-
покажем, что ф*==Г(Л), так как %тогда
п
L(A)= Hm S L(hk)
при L = 7'*(ф), (ре?.
При любом выборе постоянных {е*}, |е^| = 1, k = 1, 2, ...,
I 0 I |?Ч П->оо|| 0 N+\
Л>оо|| 0 Л^+1 |
потому что Т—изометрия. Значит,

Замечания 213
и, если должным образом выбрать ek для каждого еш, мы по-
получим
Е I k () | + (Ф) () ? , () < М
о
' (Ф-) (**) - ? Л, (
1
почти всюду. Из E.13) теперь следует, что
так что T(h) = ф* *). ?
Результаты этого раздела мы выводили из леммы 5.1, чтобы
продемонстрировать силу и красоту абстрактной техники. Эти
результаты можно получить и классическими методами, быть
может более легкими и информативными. См., например, упр. 19
и 20.
Замечания
Книги Браудера [1969], Гамелина [1969J и Стаута [1971] дают
гораздо более полное освещение общей теории равномерных
алгебр, а Гофман [1962а] приводит больше подробностей о
спектре L°° и о слоях 2fif
Другой подход к компактификации Стоуна — Чеха см. у
Келли [1955]. Доказательство теоремы 1.5 (принадлежащей
Г. Е. Шилову. — Ред.) взято у Хермандера [1966]. Теорема 2.1
заимствована у Дугласа к Рудина [1969], соответствующий ре-
результат для С(Т) был отмечен Хелсоном и Сарасоном [1967].
Ньюмен доказал теорему 2.2 в [1959b], где он переоткрыл в не-
несколько ослабленной форме теорему Фростмана. Следствие 2.4
принадлежит Фишеру [1968]. См. также Фелпс [1965], Рудин
[1969] и Фишер [1971]. Теорема 2.5 впервые опубликована Мар-
Маршаллом [1976а]. Статья Бернара, Гарнетта и Маршалла [1977]
содержит некоторые обобщения и дальнейшие ссылки, равно как
и бернаровское доказательство теоремы 2.3. Некоторые идеи
разд. 2 развиваются дальше в диссертации Маршалла [1976с].
Аналитические круги впервые были вложены в слои 5ГО в статье
Шарка [1961].
В разд. 4 мы лишь поверхностно коснулись общей теории
абстрактных пространств Харди. Полную картину см. у Гоф-
Гофмана [1962b], Гамелина [1969], Люмера [1969], Стаута [1971]
и в указанной там литературе2). Идея использовать доказатель-
!) Это рассуждение доказывает, что Т* (Е) a L}Jh\. Чтобы установить
равенство Т* (Е) « L]/Hq, нужно еще воспользоваться теоремой Хана — Ба-
Банаха и «совпадением» пространства Н°° с ?*. — Прим. ред.
2) См. также Барби, Кениг [1977*]. — Прим. ред.

214 Гл. V. Немного равномерной алгебры
ство теоремы Хана — Банаха в лемме 4.5 и теореме IV. 4.3 исхо-
исходит от Люмера [1965].
О лемме 5.1 см. Амар и Ледерер [1971]. Муни [1973] дал
первое доказательство теоремы 5.2. Доказательство в тексте
заимствовано у Амара [1973], идея сглаживания горбов в этом
контексте введена Каханом [1967]. Хавин [1973] опубликовал
более элементарное доказательство, описанное в упр. 20. Импли-
Импликация (с)=^(а) в теореме 5.3 взята у Барби [1975], а тео-
теорема 5.4 принадлежит Андо [1977]. Дальнейшую информацию
о Ll/Hl0 см. у Хавина [1974], Шома [1978] и Пелчинского
[1977]»).
Структура банахова пространства Н°° еще плохо изучена.
В частности, неизвестно, обладает ли Н™ банаховым свойством
аппроксимации. (То есть неизвестно, существует ли направле-
направление {Та} ограниченных линейных операторов в Я00, каждый из
которых имеет конечномерный образ и \\Taf — f||oo->0 равно-
равномерно на компактных подмножествах Н°°.) Средние Чезаро дают
такую конструкцию для слабой сходимости и для сильной схо-
сходимости в диск-алгебре Ло. Подробности и открытые вопросы
см. у Пелчинского [1977]. Теорема 2.5 может оказаться полез-
полезной для этой проблемы.
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Множество А~х обратимых элементов банаховой алгебры
с единицей открыто, и отображение /->/-1 на нем непрерывно.
На самом деле это отображение аналитическое, т. е. разлага-
разлагается в сходящийся по норме степенной ряд в окрестности каж-
каждого f(=A~K
2. Пусть А — алгебра абсолютно сходящихся рядов Фурье
с нормой ||/1|= X I ап I < °° и поточечным умножением функ-
ций
(fg)) fg
(a) Докажите, что Ша естественно отождествляется с еди-
единичной окружностью.
(b) Если ряд Фурье функции f(eiQ) абсолютно сходится и
f(eiQ) не обращается в 0, то 1// также имеет абсолютно сходя-
сходящийся ряд Фурье. Этот результат принадлежит Винеру. Дока-
Доказательство Гельфанда, которое использовало часть (а) и тео-
теорему 1.2, привлекло большое внимание к теории банаховых
алгебр.
!) А также в статьях Войтащика [1979*], Дельбэна [1979*], Бургэиа
[1981*].— /7р«л«. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 215
(c) Образ преобразования Гельфанда не замкнут в С(Т).
В частности, ни в какой эквивалентной норме А не является
равномерной алгеброй.
(d) Получите аналогичные результаты для алгебры абсо-
абсолютно сходящихся рядов Тейлора
f=Z К*а, 11Л1=Е \К\-
3. Пусть гпи Ш2, ..., trtn — различные точки спектра бана-
банаховой алгебры Л, а аь ..., ап — различные комплексные числа.
Существует элемент / е Л, для которого f(trij) = а/, / = 1,..., п.
4. Если А — банахова алгебра и /еЛ, то
В частности, этот предел существует. Это так называемая фор-
формула для спектрального радиуса.
5. Пространство максимальных идеалов алгебры C(Y) есть
У. Вообще пусть А — равномерная алгебра. Скажем, что эле-,
мент /еЛ вещественный, если / — Jie/I при ImX^O. Если
вещественные элементы А разделяют точки множества ЗЯл, то
A C(W)
6. Последовательность {рп} в спектре равномерной алгебры
А называется интерполяционной, если интерполяционная задача
/(/?„) = а„, «=1,2,..., {ап} ее /°°,
всегда имеет решение /еЛ. Если последовательность {рп} ин-
интерполяционная, то отображение п-+рп продолжается до гомео-
гомеоморфизма pN в замыкание множества {рп} в Ша (см. доказа-
доказательство теоремы 1.4).
7. Если А — равномерная алгебра с пространством макси-
максимальных идеалов 2Ял, то она сепарабельна тогда и только тогда,
когда ЗЙ.4 метризуемо.
8. Пусть X — пространство максимальных идеалов алгеб-
алгебры L°°.
(a) X не метризуемо (см. упр. 7).
(b) X экстремально несвязно, т. е. замыкание любого откры-
открытого множества в X снова открыто.
Это верно потому, что в L& любое ограниченное подмно*
жество имеет наименьшую верхнюю грань.
(c) При |?|=1 пусть Х$ = {m e X: m(z) = t}~ слой мно-
множества X над t Пусть /eL°°. Тогда w^f(Xi) в том и только
том случае, когда
|{в: |е* —?|<е, \f(eiQ)—w\<e}\>0
для всех е > О,

216 Гл. V. Немного равномерной алгебры
*(d) Если f имеет нуль на Ха> то / = 0 на относительно от-
открытом множестве в Ха (Гофман [1962а]).
9. (а) Пусть Л о — диск-алгебра, т ^2Iл0 и ? = i(m) = т (г).
Тогда |t|^l. Если /(?) = 0, то f равномерно приближается
функциями вида__(г— t>)g(z), g^AOy так что m(f)=0. Следо-
Следовательно, <>
(b) Ло состоит из тех f e С(Г), для которых
= O, «=1,2, ... .
(с) (теорема Вермера о максимальности). Пусть В— замк-
замкнутая подалгебра в С{Т)У содержащая Ло. Тогда или В = Ло,
или В = С{Т). Если ze В, тоге В и В = С{Т). Если гфВ~\
то найдется meffls с т(г) = 0, и тогда
потому что сужение т на Ло имеет на Т единственную представ-
представляющую меру. В силу части (Ь) это означает, что В = Ао (см.
Вермер [1953] и Гофман и Зингер [1957]).
(d) Коэн [1961] дал элементарное доказательство теоремы
Вермера. Если В ф Ло, то при некотором /еВ
Пусть zf = 1 + zp + zq +_А, где р и q — полиномы из Ло и
||А||< 1/2. Величина zq — zq чисто мнимая, и при б > О
||1 +6(z<7 — zq)\\ г^A + 62M2)l/2, M = \\zq — г^||.
Но
"" 6(zf— 1— zp)— bh = zg — 6 — 6ft, g = f — ps=B.
Следовательно,
|| A + 6) - г (g - bq) || = || 1 + б (zq - 5?) - 6А || < A
При малых б это означает, что z(g — б^ЕВ, так что геВ-1
и В = С(Т).
*10. Замкнутое множество /( в спектре равномерной алгебры
Л называется множеством пика, если найдется функция f^At
такая, что /(*)= 1, л-е Л', и |/(л) )< 1, х<=ЯЯА\К.
(а) Счетное пересечение множеств пика есть снова мно-
множество пика-

Упражнения и дальнейшие результаты 217
(b) Пусть Е — пересечение (возможно, несчетное) множеств
пика. Если §еЛ, то найдется такое G^A, что G = g на Е и
110Ц-зир{|?(*)|: х^Е).
(c) Следовательно, при |Я|= 1 множество
или пусто, или снова является пересечением множеств пика.
(d) По лемме Цорна в Ша содержатся максимальные пере-
пересечения множеств пика. Согласно (с), они состоят из отдель-
отдельных точек, которые называются сильными граничными точками.
(e) Согласно (с), граница Шилова является замыканием
множества сильных граничных точек. (См. Бишоп [1959].)
11. Пусть zn = / + Юн, п = 1, 2, ..., в верхней полуплоско-
полуплоскости. Последовательность {zn} интерполяционная для Н°°. Пусть
|ал| ^ 1. Положим
5и
Тогда llfill^ А и \fi(Zn) — а*| ^ % < 1, п = 1, 2, ... . Положим
теперь
ая - f 1 (г)
n-1
со
и т. д. Мы получим f= ? h>\\fk\\<:Akk-\f(zn) = an,n=l,2,
. Пусть 2ЯС ^слой в 2»я°° над t><=zdD и С1(/, ^ — пре-
предельное множество функции / е Н°° в точке ?.
(a) С1(ДС)с/(»с).
(b) Если f непрерывна на ?>U{?}, т. е. С1(/, ?)={Я}, то
) = {X}. (Надо приблизить f(z)—X посредством (г—Я))
)
(с) /(ЗГС)С=С1(/, t). Предположим, что 0<?Cl(f, ?). Сущест-
Существует круг Д = {\z — ?|< 25}, в котором |Дг)|>а>0 на
X. Пусть феС°° такова, что
= 1 на Д = {|z —?|<6}, ср = О вне Д, 0<<р< 1,
По теореме Грина
5ф
dz
/(в) 4
т(
^ 1
(г)
»Ф Ч
w)
зф
1<т
г/jc dy
z — w

Гл. V. Немного равномерной алгебры
Изучение этого интеграла показывает, что g(w)—G(w)— \/f(w\
аналитически продолжается в А. Значит, g непрерывна в ?; и
в силу (b) f(w)(G(w) — g(?))etf°° не имеет нулей в 2Й?, так
что 0^fBJ?;). Это доказательство проходит и в произвольных
плоских областях. (См. Гамелин [1970], Гарнетт [1971а]; бо-
более легкое доказательство для круга см. у Гофмана [ 1962а]
в гл. 10.)
13. Вот другое доказательство теоремы 2.1, предложенное
независимо Розэем и Маршаллом. Обозначим [/, g] замкнутую
подалгебру в L°°, порожденную функциями / и g.
(a) Пусть ?с7, |?|>0 и А = ехр(%е + 1%е). Существуют
внутренние функции и\, и2^Н°°у такие, что [и]} u2] — [hy 1/А].
Для доказательства заметим, что А отображает D на кольцо
{1<|ш|<?}, так что hx = <yjejh + hj<\/e отображает D на
эллипс W\. Пусть G\\ W\-+D — конформное отображение, тогда
их = G\oh\ — внутренняя функция. На W\ отображение G\ есть
равномерный предел полиномов, и потому щ е [Л, 1/Л]. На D
функция Gf есть равномерный предел полиномов, и потому
Ais[mi]. Теперь h2 = л/е/h — /г/л/е отображает D на другой
эллипс W2. Пусть G2: W2-+D — конформное отображение. Тогда
u2=G2°h2 — внутренняя функция, ы2е[Л, 1/Л] и А2е[а2].
Следовательно, [wi, ^2] = [А, 1/А].
(b) Из (а) следует, что L°° совпадает с замкнутой алгеброй,
порожденной отношениями внутренних функций.
(c) Пусть U — унимодулярная функция в L°° и V = V2. Со-
Согласно (Ь), найдутся такие внутренние функции и\, ..., ип, v и
комплексные числа Х\у ..., %п, что
НУ —0?М/11~<е.
Пусть u=J[iij, g^YjkfUf^H00. Тогда gu^H°° и g = v\Qy
gu = v2G, где G — внешняя функция, а уь у2 — внутренние. Далее
||V — vvxG\\< е, Ц1/Р —M5/y2Glloo < е/A —е),
так что
\\и-ии{/и2и2\\<2е/(\-г).
14. Пусть
31= {fe/7°°: fи е Я°° для некоторой внутренней функции ц}.
Тогда f е 91 в том и только том случае, когда / е Я00 н
f(e'e) есть некасательный предел мероморфной функции класса
Неванлинны (отношения двух ограниченных аналитических
функций) в {|г|>1}. Действительно, если Ju = g^H°°t то

Упражнения и дальнейшие результаты 219
Обратное получится, если заметить, что {/igW2: f/i e Я2} -
непустое инвариантное подпространство в Я2, и применить тео-
теорему Бёрлинга. Функция ег не входит в $. (См. Шапиро [1968],
Дуглас, Шапиро и Шилдс [ 1970]1).)
15. Н°° не является алгеброй Дирихле на X. Если g(e/e) = 8,
—я ^ 0 < я, то
inf ||?-Re/И = я.
00
Если \\g— и\\ < я, то преобразование Гильберта для и не мо-
может быть ограниченным при б = я (см. пример IV. 1.5).
16» Так как каждый функционал т е Шн<» имеет на X един-
единственную представляющую меру jnm, то Зй гомеоморфно слабо
компактному множеству вероятностных мер \i на А", для ко-
которых
Следовательно, каждое и^ L00 имеет непрерывное продолже-
продолжение на 2Я:
На Z) это сводится к интегралу Пуассона.
*17. (а) Пусть m — мультипликативный линейный функцио-
функционал на равномерной алгебре Л. Он имеет представляющую меру
\im на ее границе Шилова, для которой выполняется субгармо-
субгармоническое неравенство
(E.I) log|/(m)|<Jlog|/|dnm, /еЛ.
У
(Доказательство. Пусть Q — множество тех u^Cr(Y), для
которых найдутся а > 0 и /еЛ, f(m)= 1, такие, что
M>alog|/|.
Q—выпуклый конус в Cr (У), содержащий все строго положи-
положительные функции. Но 0 ф. Q, и по теореме отделимости для вы-
выпуклых множеств (Данфорд и Шварц [1958], стр. 446) сущест-
существует вероятностная мера (ы на У, такая, что \ ud\i^0 для всех
u^Q. Тогда ц — представляющая мера для т и (ЕЛ) выпол-
выполняется (Бишоп [1963]).)
(Ь) Если А логмодулярна на своей границе Шилова Y и
[im — единственная представляющая мера на Y для гп^УЯа, то
') Класс $ и его аналоги играют важную роль в теории операторов и в
теории рациональной аппроксимации. См. Никольский [1980*], стр. 76—79Г
Тумаркин [1966*], Аров [1978 ¦]. — Прим. ред.

220 Гл. V. Немного равномерной алгебры
(ЕЛ) выполняется для цт. Пусть G^Ll([xm) вещественна и
ортогональна к Л:
$/Grfjim = O, f& A.
Y
Тогда
$iog|l+G|d»im>0.
Действительно, если f еЛ-1, то по (ЕЛ)
так что
Приближая функциями из Cr (У) функцию
мы получим нужное неравенство.
(с) Если [I — вероятностная мера, G^Ll(\i) вещественна и
то G~= 0 почти всюду. В верхней полуплоскости
гармонична и неотрицательна. Покажите, что lim U(iy)/y = 0,
и заключите отсюда, что U(z) = 0. Значит, \ log (I + G2) dfx = O
и G = 0 почти всюду. (Часть (с) принадлежит Аренсу. См. бо-
более детальное рассмотрение (Ь) и (с) у Гофмана [1962b] или
Стаута [1971].)
(d) Мы видим из (Ь) и (с), что если \хт — представляющая
мера для логмодулярной алгебры Л, a v^A1 вещественна и
абсолютно непрерывна относительно fim, то v = 0. Поскольку
Я°° не является алгеброй Дирихле на Ху то существует вещест-
вещественная мера, ортогональная к Я°°. Она сингулярна относительно
любой представляющей меры и может быть выбрана как край-
крайняя точка выпуклого компактного множества В ((Я00I) (еди-
(единичного шара в пространстве (Я00I). (См. Гликсберг [1967].)

Упражнения и дальнейшие результаты 221
18. Если г^(ЯО0I, то v сингулярна относительно цо тогда
и только тогда, когда
dv = 0, k=l, 2, ... .
Пусть {Fn}—ограниченная последовательность в //о- Каждая
слабая предельная точка {FndQ} в (L00)* сингулярна относи-
относительно ^о в том и только том случае, когда Fn(z)-+Q при z^D.
Согласно примеру IV. 1.5, такие последовательности существуют.
19. Имеется более простое доказательство импликации
(Ь)=^(а) в теореме 5.3. Пусть L — линейный функционал на Н°°
и L(gn)-+L(g), если ?„е=Я°°, \\g„||< M и gn{z)-+g(z)t zzeD.
Пусть [i — такая мера на единичной окружности, что
f^A0 = H°° ПС (Г).
Пусть ?czT замкнуто и |?| = 0. Тогда Е — множество пика
для Л о, и если /еЛ0 — соответствующая функция, то fn(z)-*Q9
геD, так что
Значит, [i абсолютно непрерывна, ^|д = фй0/2я, фе!1. Пусть
гп/1и gn(z) = g(rnz) для gG?H°°. Тогда
20. В. П. Хавин доказал теорему 5,2, используя более легкую
часть теоремы 5.3 (или упр. 19) и некоторый вариант леммы
IV.4.5. В метрике d{f,g)=\\f — g\dQ/2n пространства L1 еди-
единичный шар пространства Я°° полон и функционалы
непрерывны. По теореме Бэра о категории существует 6еЯ°°,
|| Ъ ||^ 1, такое, что предельный функционал L(/) = Iim Ln (f) не-
прерывен в точке Ь по этой метрике. Пусть /* e //°°, ||/л||^ 1 и
fO почти всюду. По теореме 5.3(Ь) достаточно показать, что
-^0. Пусть е>0 и
Тогда |?fe|-v0. Возьмем функции gk(z) и постоянные
как в лемме IV. 4.5. Тогда || 1 — gk\\i -> 0, так что

222 Гл. V. Немного равномерной алгебры
Предельный функционал L линеен и ограничен, поэтому
I (/*) = L (gkfk) + L (gkb + A - gk) h) - L (gkb)
и
llm |L(f*)| = Mm |L(fifftf*)|<||L|| lim \\gkfk\L.
ft-»oo fc->oo fc-»oo
Поскольку sup|gft|->-0 и eft->0, то
Б»
и lim lL(/*)Ke||L || (см. Хавин [1973]).
fc-»oo
*21. (а) Точка х единичного шара банахова пространства
В называется выступающей, если существует х* е В*, для ко-
торого \\х*\\ = <^*, х> = 1, но \(х\ у>\<1 при \\y\\ ^1, уфх.
Функция f e Я°° является выступающей точкой единичного шара
Я°° тогда и только тогда, когда ||/|| = 1 и
Не каждая крайняя точка является выступающей (см. Фишер
[1969b], Амар и Ледерер [1971]. Случай алгебры Ло обсуж-
обсуждает Фелпс [1965] Ч).
(Ь) Согласно (а) и теореме Бишопа и Фелпса [1961], мно-
множество {/еЯ°°: |f| = ||f|| на множестве положительной меры}
плотно по норме в Я°° (Фишер [1969b]).
1) См. также Хавин [1974]. — Прим. ред.

Глава VI
ОГРАНИЧЕННАЯ СРЕДНЯЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ
Пространство ВМО функций ограниченной средней осцилля-
осцилляции1) является вещественным сопряженным к вещественному
банахову пространству НК Как комплексное банахово простран-
пространство Я1 сопряжено с пространством L^/H™* поэтому ВМО
тесно связано с Н°°.
Кроме того, некоторые идеи этой главы будут важны для
нас в дальнейшем. Выделим три из них.
(i) Техника «моментов остановки», которая вводится в
лемме Кальдерона — Зигмунда в разд. 2 при доказательстве
теоремы Джона — Ниренберга. Такая же процедура сыграет
решающую роль в конструкции из теоремы о короне и ее прило-
приложениях.
(И) Конформная инвариантность пространства ВМО. Это
действительная причина, стоящая за частым появлением ВМО
в теории функций. Инвариантность ВМО тесно связана с ин-
инвариантностью мер Карлесона, которая описана в разд. 3.
(ш) Интегральная формула Литтлвуда — Пэли, позволяю-
позволяющая нам заменять некоторые контурные интегралы интегралами
по площади, которые оценивать легче. В разд. 4 этот метод ис-
использован для доказательства теоремы двойственности; он бу-
будет вновь использован в гл. VIII и IX.
Глава заканчивается обсуждением весовых оценок сопря-
сопряженной функции. Они применяются для получения точных оце-
оценок расстояния от f e L$ до Re#°°. Этот последний раздел
главы несколько труднее предыдущих, а его техника, очень
важная в анализе, не будет использована в дальнейшем. По-
Поэтому менее подготовленные читатели, возможно, предпочтут
продолжать чтение книги, не усвоив еще разд. 6.
1. Предварительные сведения
Измеримая функция cp(t) на R называется локально интегри-
интегрируемой, фе/,^. если функция |<р| интегрируема на любом
компактном множестве. Если qx=Ljoc, а / — ограниченный ин-
1 ВМО —Bounded Mean Oscillation —Прим. ред.

224 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
тервал, то пусть
Ф/ = ГЛ" \ ф dt
обозначает среднее значение ср на /. Если ф
(Ы)
где точная верхняя грань берется по всем интервалам /, то мы
говорим, что ф имеет ограниченную среднюю осцилляцию,
Ф^ВМО. Значение ||ф||* из A.1) — норма ф в ВМО. Поскольку
постоянные функции имеют нулевую ВМО-норму, то мы отож-
отождествляем ф ^ ВМО с ф + а, а = const, и рассматриваем ВМО
как подмножество в факторпространстве /.^/{постоянные}.
Тогда из определения непосредственно вытекает, что ||-||* дейст-
действительно является нормой.
Тот факт, что в A.1) мы вычитаем именно ф/, не важен.
Предположим, что для всякого ограниченного интервала / най-
найдется какая-нибудь константа а/, для которой
A.2) jj
Тогда, очевидно, |ф/ — а/|^М и ||ф||*^2Л1 Ясно, что L°
cz ВМО (точнее, L°°/C c= ВМО) и для фЕ^
Поскольку ||ф — а||* = IIcpll«r при постоянном а,
||q>IL<inf||<p-a|L.
а
Функция log*| ^| — пример неограниченной функции из ВМО.
Если —Ь < а < 6, то
Ь-t
и поскольку logi ^| — четная функция, то мы заключаем, что
log) t\& ВМО. В некотором смысле, который уточняется в
разд. 2, log| /1 — типичная неограниченная функция из ВМО.
Отметим, что log|/| • Х(/>о}(Оуже не лежит в ВМО, потому что
условие A.1) нарушается для малых интервалов с центром в 0.

1. Предварительные сведения 226
Если ф s ВМО, а / и / — такие интервалы, что / сг/, |/|^
2|/|, то
A.3) 1ф/-фу
Лемма 1.1. Пусть ср е ВМО, а I и J — ограниченные ин-
интервалы,
(а) Если IglJ и |/|>2|/|, то
(Ь) Бели |/| = |/|, то
|Ф/ - Ф; \< с logB + dist (/,
Доказательство. В части (а) положим
/«/ic/2c/3c ... сг/л = /,
где |/А+,|<2|/*| и rt<clog(|/|/|/|). Тогда A.3) дает
Часть (Ь) следует из части (а), если сравнить ф/ и ф/ порознь
с ф/с, где К — наименьший интервал, содержащий /U/. Й
Теорема 1.2. Функция фе LioC входит в ВМО гогда м только
тогда, когда
A.5) sup
1тг>0
ede ф (г) «в V Р2 (/) ф (/) dt — интеграл Пуаееона функции ф. Яри
Ci w ^а — постоянные, а А определено в A.5).
Из условия A.4) следует, что j (ф(/)|Рг@Л < °°» так чт©
фЫ существует в каждой точке полуплоскости Ж. Условие
A.Б) очень похоже на A.1) из определения ВМО, но там вместо
ядер Пуассона фигурировали ступенчатые ядраA/2//)х{|/-х|<у}(')-
Доказательство. Предположим, что ф удовлетворяет
условиям A.41 и A.5). Пусть х — центр ограниченного интер-
интервала /, у =яж | / [/2 и z я= х + iy. Тогда

226 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
и в силу (L5)
так что ||ф||* ^ 2дЛ согласно A.2).
Теперь предположим, что феВМО и z = х + iy ^3$. Обо-
Обозначим через /о интервал {|/ — *|<W> a через h интервал
{\t — x\<2ky}, *= 1, 2, ... . Тогда \Ik\ = 2k+ly и
Лемма 1.1 дает
и, следовательно,
fe-l ft-!
Стало быть,
откуда, очевидно, следует A.4). Но отсюда вытекает и
|ф(г) — ф/0 К С || ф ||,, а значит, и
\ |ф-
На окружности Т тоже есть пространство ВМО. Сейчас мы
увидим, что это пространство является образом BMO(R) при
конформном отображении. Пусть ^gL1)/1). Мы говорим, что
i|)eBM0G1), если
где / обозначает любую дугу на Г, |/ |= \ d8/2n —длина /, а
/
~2лГ

1. Предварительные сведения 227
— среднее значение \J) на /. Доказательство теоремы 1.2 пока-
показывает, что эквивалентной нормой в ВМО(Г) является
A.6) sup \
где г|) (г) = \ г|)Рг — . Таким образом,
A.7)
с постоянными С\ и с2 (не обязательно теми же самыми, что и
в теореме 1.2). Отобразим D на верхнюю полуплоскость по
формуле
/ v . 1 — ДО ^
Будем писать z(w) = t(Q) для а; = eiQy Q Фп. Как и в разд. 1.3,
при zo = z(wo)y \wo\< 1,
Следовательно, полагая y^L\0C(R) и ty@) =ф(^F)) и сравни-
сравнивая A.5) с A.6), мы видим, что ф^ВМО(К) тогда и только
тогда, когда я|)^ВМО(Г). Мы также видим, что
A.8)
при некоторых постоянных С\ и с2.
Следствие 1.3. Под действием конформного отображения
BMO(R) и ВМО(Г) переходят друг в друга. Нормы функции
cp<=BMO(R) и ее образа г|)еВМО(Г) связаны неравенст-
неравенствами A.8).
Из условия A.6) вытекает также, что ВМО(Г) имеет экви-
эквивалентную норму, инвариантную относительно мёбиусовых пре-
преобразований.
Следствие 1.4. Пусть ^^Ll(T)y а т — преобразование Мё-
Мёбиуса. Тогда г|эеВМОG") в том и только том случае, когда
г|) оТе ВМО(Г). Существует не зависящая от т постоянная С,
такая, что
Далее, существуют такие постоянные С\ и с2, что
A-9)

228 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
где
Д о к а з ате л ьст в о. Согласно A.6) и A.7), нормы
и Игр||» в ВМО (Г) эквивалентны. Но правило преобразования
C.1) из гл. I показывает, что
для любого мебиусова преобразования т. Это означает, что
11^°х||» ^ С1Ж1*- То же самое правило преобразования дает еще
так что A.9) выполняется. ?
Бывает полезно представлять себе ВМО следующим обра-
образом. Ввиду A.9) t|> e ВМО тогда и только тогда, когда все
расстояния
inf || -ф о -г — а|Ь(г>
а
допускают оценку, не зависящую от выбора мебиусова преобра-
преобразования т. На этом пути ||о ||# можно рассматривать как кон-
конформно-инвариантный вариант факторнормы для Ll(T)/C
Конформная инвариантность этой нормы подсказывает, что
ВМО теснее связано с L°°, чем с другими пространствами Lpy
р <С оо. Эти рассуждения справедливы и для BMO(R). В самом
деле, A.5) показывает, что норма на ВМО лишь несущественно
возрастает при отображении ср^-фот, где %(t) = (t — х)/у —
конформный автоморфизм полуплоскости Ж с неподвижной
точкой в бесконечности. Инвариантность BMO(R) относительно
полной группы конформных автоморфизмов полуплоскости 2в
вытекает из следствий 1.3 и 1.4. Ее также можно доказать и не-
непосредственно, изучая ф(—1//), ф
Теорема 1.5. Если фе1°°, ф—сопряженная функция, то
ВМО и
с универсальной постоянной С.
Доказательство. По следствию 1.3 безразлично, дока-
докажем ли мы эту теорему на прямой или на окружности. Дока-

I. Предварительные сведения
229
зательство для окружности становится совсем прозрачным, если
мы используем следствие 1.4. Нормировка \jp(O)=O сопряжен-
сопряженной функции означает, что (г|) ^т) " = ^ от—Ф(т@)). Тогда тео-
теорема Парсеваля и неравенство Гёльдера дают
Согласно A.9), мы получаем
С||г|)||с«. ?
Поучительно и вещественное доказательство теоремы 1.5,
которое мы приведем для прямой.
Пусть фе1°°(К), / — ограниченный интервал на R и У = 7
концентрический с / интервал длины |/|=3|/|. Положим ф =
= ФХ/+ (Ф ~ ФХ/) = Ф1 + Ф2- Теперь
где лг0 —центр интервала /, и
ф = Яф, + Яф2 + С, X е /,
где с — несущественная постоянная, зависящая от /. По нера-
неравенству Гёльдера и A.10) гл. III
<({jfI/2IML<V3 NIL.
При Are/,
так что при х
Следовательно,
и ввиду A.2)
X — t Хо — t

230 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Пусть а — конечная вещественная мера на верхней полупло-
полуплоскости. Выметанием меры а называется функция
Теорема Фубини показывает, что So(l) существует почти
всюду и
J J|or|= ||a||.
Оператор выметания S сопряжен с интегралом Пуассона
f-+f(z)=\f{t)P2(t)dt, потому что при /eL°°(R) теорема
Фубини дает
Пусть теперь полная вариация |сг| меры а является мерой
Карлесона:
A.10) \o\(Q)<N(o)h,
где Q = {х0 < х < х0 + Л, 0 < у < Л}. Тогда по теор$ие II.3.9
о мерах Карлесона
\\f{t)So(t]dt\<N(o)\\fy9
но пока это мало что говорит нам о функции Sa(t).
Теорема 1.6. Если а—конечная мера на верхней полупло-
полуплоскости, полная вариация \о\ которой — мера Карлесона> то
So ge ВМО и
\\SoL<CN{o),
где N(o) — постоянная из A.10), а С — универсальная посто-
постоянная.
Доказательство. Рассуждение очень похоже на веще-
вещественное доказательство теоремы 1.5. Полагая о = о+ — сг~, где
а* ^ 0 и |а|=а+ + а-, мы можем считать, что о ^ 0. Пусть
/0 — фиксированный интервал, /„ — концентрический ему интер-
интервал длины |/л| = 2п|/0|, п= 1, 2, ..., и
Qn= {z: jce/«, 0<y<\In\)
— квадрат с основанием 1п. Тогда
\ \ Рг (/) do (z) dt^a (Q,) < 2Л^ (а) | /01.

2. Теорема Джона — ЬГиренберга 231
При z е Qn\Qn-u п ^ 2, и * <= /о, to е /0 имеем
Значит,
^ со (Qn) ^ cN i
S| \ (PzCt)-Pz(t0))do(z)
2"
Суммируя, получаем с учетом A.2)
jj-j\ \So-(So)lt\dt^CN(o)
/о
и ||Sa||#<C^(a). ?
Мы предполагали меру \о\ в теореме 1.6 конечной только
ради уверенности в существовании So. Теорема верна и для
бесконечных мер, если
\°\({у>Уо})=О
при некотором уо. Все же некоторые условия на меру необхо-
необходимы для сходимости выметания So: если а= X 2n62niy то 5а =з
^ с»»
Основная теорема о ВМО утверждает, что ВМО — это про-
пространство, сопряженное с вещественным банаховым простран-
пространством Н1. Из нее следует, что каждая функция ср е ВМО имеет
вид
ф = /+#?, I g<^L~.
Это обратная теорема к теореме 1.5. Мы докажем основную тео-
теорему в разд. 4 после того, как обсудим теорему Джона — Ни-
ренберга и введем некоторые важные квадратичные интегралы.
Теорема 1.6 также имеет обратную, которая эквивалентна обрат-
обратной к теореме 1.5 (упр. 7).
2, Теорема Джона — Ниренберга
Теорема 2.1. Если ф^ВМО(Р), а I — интервал, то для лю-
любого X > О
B.1) ^ |{/е/: | ф (/) — Ф/1 > Я> К С ехр ( ^ )»
где постоянные С и с не зависят от у, I и \.
Условие B.1) утверждает, что функция распределения для
|ф — ф/| по нормированной мере Лебега на / ведет себя не хуже,

232 Г i VI Ограниченная средняя осцилляция
чем функция распределения для log(l/tf) на [0, 1]. Теорема,
обратная к теореме Джона — Ниренберга, тривиальна. Мы ви-
видим, что функция logj/| действительно имеет типичную для
ВМО функцию распределения.
Единственная причина, по которой функции из ВМО удов-
удовлетворяют очень сильному условию B.1), состоит в том, что
определение ВМО касается всех подынтервалов интервала /.
Ключ к доказательству — основная лемма, принадлежащая
Кальдерону и Зигмунду.
Лемма 2.2. Пусть I — ограниченный интервал, u^Ll(I) и
\u\dt.
i
Тогда существует конечная или бесконечная последователь-
последовательность {//} попарно не пересекающихся открытых подынтерва-
подынтервалов интервала /, такая, что
B.2) |м|^а почти всюду в / \ U'/>
B.3) «<ТТГ
ч
Доказательство. Мы можем считать, что / = @, 1).
Разобьем / на два интервала: оH = @, 1/2) и coi = A/2, 1). Для
каждого из них возможны два случая:
Случай (l)t щ\\и\<И<а\
О)
Случай A1)! щ\ |u|<ft>a.
По предположению для исходного интервала / имеет место
случай (i). В случае (i) мы разделим со на два непересекаю-
непересекающихся интервала длины |со|/2 и к каждому из них применим
случаи (i) и (ii).
В случае (i) каждый интервал мы поделим снова. Если же
нам попадется интервал со типа (ii), то его мы делить не будем,
а поместим <о в последовательность {//}. Возникшая последо-
последовательность {//} состоит из непересекающихся интервалов, по-
потому что в случае (ii) интервал уже не разбивается.
Если х^/\И//, то для каждого диадического интервала,
содержащего ху имеет место случай (i). По теореме Лебега о

2. Теорема Джона — Ниренберга 233
дифференцировании интегралов это означает, что \и(х)\^а
для почти всех х е / \ L)//, так что B.2) выполняется.
Каждый выбранный интервал // содержится в единственном
Диадическом интервале // с |//| = 2|//|. Раз этот больший ин-
интервал не был выбран, то для него имеет место случай (i) и
]u]dt'
Ч
так что и B.3) выполняется.
Наконец, так как все // — непересекающиеся интервалы типа
(и), то
Ч
Правило выбора интервалов // на самом деле таково: мы
выбираем максимальные по включению из тех диадических ин-
интервалов о = (k2~n, (& + 1J~п)с:@, 1), для которых
Этот метод выбора интервалов — простейший пример так на-
называемой техники моментов остановки, которую специалисты по
теории вероятностей часто применяют к более общему случаю
мартингалов. В оставшихся главах и мы часто будем использо-
использовать подобные рассуждения.
Доказательство теоремы. Ввиду однородности не-
неравенства B.1) мы можем считать, что ||ф||*= 1. Выберем ин-
интервал / и применим лемму 2.2 к и = \<$ — ф/| и а = 3/2. Мы
получим такие интервалы/1/, что |ф — ф/|^3/2 почти всюду в
/
B.5) 1Ф71 -Ф71<3
согласно B.3), и по B.4)
B.6)
К каждому // мы снова применим лемму 2.2 с и = ф-— ф7!
и а = 3/2. Мы получим такие интервалы //. что каждый из них
содержится в одном из //» почти всюду на / \ (J // выполняется
в силу B.5) и B.2) | <р — q>71 < 3/2 + 3 < 6, в силу B.3) и B.5)
IФ 2 — ф I *С 6>
*1 1

234 Гл. VI Ограниченная средняя осцилляция
и, наконец,
Продолжим этот процесс до бесконечности. На шаге п мы
получим интервалы/", такие, что |<р — ф/|<3я почти всюду в
/ \ U // и
I
Если теперь п > 1 таково, что Зп < К ^ Зп + 3, то
/
при с = A/6) log C/2). Значит, для Я ^ 3 B.1) верно. Но при
О < К < 3, очевидно,
|{/ s /: |<р@ - ф71 > X) |< |/1< ё*е-ч\1\,
так что, полагая С = еЪс> мы получаем B.1) при всех к. О
Теорема Джона — Ниренберга имеет много интересных след-
следствий, первое из которых — волшебное обращение неравенства
Гёльдера.
Следствие 2.3. Если ф е L\oc (R) и
SUpyjy ^ |ф —ф/|Л= Ц ф IL <ОО,
го 5ля любого конечного р > 1
постоянная Ар зависит только от р.
Доказательство. Так как ф е ВМО, то в нашем распо-
распоряжении неравенство B.1). Выберем / и положим
Тогда так как ш(К) — это функция распределения для |ф —ф/|,
то

2. Теорема Джона — Ниренберга 235
и из( 2.1) вытекает, что
Постоянная Ар в следствии 2.3 при /?->¦ оо имеет вид Лр ~ рЛ
при некотором А. Действительно, доказательство следствия вме-
вместе с формулой Стирлинга дает Ар ^ рА при больших р, а за-
замечания после теоремы III. 2.3 показывают, что эта оценка ве-
величины Ар точна.
Следствие 2.4. Если <р е Lioc (R), го фЕ ВМО тогда и только
тогда, когда
B.7) sup \ \<р- у (z)\2Pz(t)dt = В2 < оо,
lmz> О J
ф(г)—интеграл Пуассона от ср. Существуют такие постоян-
постоянные С\ и с2у что с{ || ф ||. < ВХ12 <! с21| ФIL-
Перед доказательством отметим тривиальное, но полезное
тождество
B.8) in
которое выполняется потому, что ортогональная проекция функ-
функции ф на постоянные в гильбертовом пространстве L2(Pz(t)dt)
совпадает с ф(-г).
Доказательство. Если интеграл Пуассона от |ф|2 схо-
сходится и выполняется B.7), то, согласно неравенству Гёльдера
и теореме 1.2,
Доказательство обратного утверждения напоминает доказатель-
доказательство теоремы 1.2. Пусть ф е ВМО, z = x + iyy у > 0, и /* —
интервал {\t — x\<2ky}, k = 0, 1, ... , Тогда |/0| = 2# и
Теперь по лемме 1.1
|Ф - Ф/о |2< 2 |Ф - Ф/а р + 2 |<p/ft _ ф/# р< 2 |Ф - Ф/412 + 2с2?2|| ф|р..

236 VI. Ограниченная средняя осцилляция
Значит,
Следствие 2.5. ?сли ф лежит в ВМО, го и сопряженная функ-
функция ф принадлежит ВМО «
при некоторых постоянных с\ и сг, ^е зависящих от ф.
Доказательство. Согласно следствию 2.4, достаточно.
показать, что
Это сводится к равенству Парсеваля
посредством конформного отображения полуплоскости Ж на Df
переводящего точку z в 0. ?
3. Интегралы Литтлвуда — Пэли и меры Карлесона
Начнем с классического тождества типа Литтлвуда — Пэли.
Пусть g(eie)— интегрируемая функция на 7\ a g(z)9 z^D,—
ее интеграл Пуассона. Кеадрат длины вектора градиента
Vg(z) = (-—:, -~) дается формулой
так что для аналитической функции g(z)
Пусть Q — плоская область с гладкой границей, а и и v — две.
С2-функции на Q. По теореме Грина
где А — лапласиан, д/дп — дифференцирование в направлении
внешней нормали к dQy a ds — длина дуги на dQ.

3. Интегралы Литтлвуда — Пэли и мс|н.р Кпплегоца 237
Лемма 3.1. Если g(elt)z= Ll(T)y a g @) =-^-|j g (9) d9 —ее
среднее значение, то
(ЗЛ) i
D
Доказательство. Можно считать, что g@) = 0. Заме-
Заметим, что
Применяя теорему Грина к и(z) = \g(z) |2, v(z) = \og{r/\z\) и
Q= {|г|<г}, г< 1, получаем
|z|<r
— lim
e-»0
\z\ = e
Но g@)=0, а градиент |V^(z)| ограничен при |г|<1/2, и
этот предел равен 0. Значит,
-?jdxdy = ±\ \g(re")fdQ.
При г-*-1 левая часть этого равенства монотонно стремится к
D
а правая-к-jj \g{e^)\2de. Q
Иногда бывает легче работать с несколько иной формой
тождества (ЗЛ).
Лемма 3.2. Если g(eiB)^ Ь1(Т), то
C.2) ^
с абсолютной постоянной С.
Доказательство. Левое неравенство в C.2) следует из
C.1) и того, что 1— H2^2log(l/|e|), |г|<1. Чтобы дока-
доказать правое неравенство, предположим, что двойной интеграл
конечен, и нормируем g условием
^\\ \Vg(z)\2{\-\z\*)dxdy=\.

238 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
При \z\ > 1/4 справедливо неравенство log(l/|2|) ^Ci(l— \z\2)t
так что
При |г|^1/4 субгармоничность |Vg(z)|2 дает при ? = ? + ix\
f SS @ Pd — I C P)rf|rf4 <32.
ltl<l/2
Значит,
|2-|<l/4
Теперь из C.1) мы заключаем, что
\Vg(z)f(l-\zf)dxdy. ?
Для доказательства C.2) можно использовать и ряды Фурье,
тогда получится точная постоянная С = 4. В некоторых зада-
задачах C.2) имеет преимущество перед C.1) из-за отсутствия ло-
логарифмической особенности, но C.1) — тождество, и поляриза-
поляризацией из него можно получить билинейные соотношения, чего
с C.2) сделать нельзя.
Для изучения ВМО мы используем конформно-инвариантные
формы соотношений C.1) и C.2). Пусть zoeD и фе!'G).
Тождество
C.3) ±\\y-
имеет то же самое доказательство, что и C.1), и получается
из него заменой переменной z->(z — г0)/A—Zqz), так как
дифференциальная форма \Vq>(z)\2dxdy конформно-инвариант-
конформно-инвариантна. Таким же образом, используя равенство
-Z02 I2
— zoz
мы получаем инвариантную форму оценок C.2)
C.4) ±

3. Интегралы Литтлвуда — Пэли и меры Карлесона 230
В силу следствия 2.4 ере ВМО (Г) тогда и только тогда,
когда
SUP i [* Ф - Ф(го) Р/>* (в) dO < оо,
и это выражение является квадратом еще одной нормы в ВМО,
эквивалентной норме || ||*. Значит, точная верхняя грань по
гое1) двойных интегралов в C.3) или C.4) тоже определяет
эквивалентную норму в ВМО.
Положительная мера X в D называется мерой Карлесона,
если для некоторой постоянной N{X)
C.5) X(S)^N(X)h
для каждого сектора
S={re®: l — h^r<ly |6 — G0|<A}.
Мы включаем случай h= 1, так что X(D)^4N(X). Мы знаем
из гл. I и II, что мера X будет мерой Карлесона тогда и только
тогда, когда J | / (г) \pdX^Cp\\f Ц? для всех /е L", 1 < р < оо,
или всех /е№, 0 < р < оо. Здесь мы хотим отметить кон-
конформно-инвариантный характер условия карлесоновости.
Лемма 3.3. Положительная мера X в круге будет карлесо-
новой тогда и только тогда, когда
C.6) sup
D
с абсолютными постоянными С\ и C2l).
Доказательство. Пусть выполнено C.6), а 5
= {1—/i^r<l, |6 — 60|<Л}—произвольный сектор. Мож-
Можно считать, что /г<1/4, так как при г0 = 0 C.6) дает X(D)^M
Выберем zo = (l— h/2)el\ П^
1-|2Ор ^ С
и потому
1) Инвариантное условие C.6) и некоторые другие его формы появляются
более непосредственно в доказательстве теоремы II.3.9 (в случае р = 2), при-
принадлежащем С. А Виноградову (Никольский [1980*], с. 195). — Прим. ред.

Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Обратно, пусть А. — мера Карлесона и гое?>. Если |zo|<3/4,
то
S ^ёC'
Если же |го| > 3/4, то положим
Ввиду C.5) /.(?„)< CN(XJn{\—\z0\), л — 1, 2 Но
- Uz V
Следовательно,
оо оо
2сХ (Еп)
!2ЛA-|*о1) ^
. _ . )• П
п
В верхней полуплоскости 3$ секторы в определении мер
Карлесона заменяются квадратами:
Аналог C.6) имеет вид
C.8) sup \ 1 * У% м|ь dk (g) д= М < оо,
и доказательство эквивалентности C.7) и (8.8) геометрич«ски
да^е проще, чем в лемме 3.3.
Следующая теорема — главный результат раздела — кажется
теперь почти очевидной.
Теорема 3.4. Пусть y&Ll(T) и
где V(p(z) — градиент интеграла Пуассона от <р. Тогда <ре
<=BMO(J) в том и только том случае, когда А,р — мера Кар-
Карлесона. Существуют универсальные постоянные С\ и Сг, для
которых
Доказательство. Ввиду C.4) и следствия 2.4
ВМО(Г) тогда и только тогда, когда
C.9)

4. Теорема двойственности Феффермана 241
причем Мх ** || ф ||f. По лемме 3.3 условие C.9) равносильно
карлесоновости меры
dVLf=\V<p(z)\»(l-\t\*)dxdy
и N(\iy) «*||ф||,. Осталось доказать, что K.v и [хФ являются ме-
мерами Карлесона одновременно и что N(X])& N([iy). Половина
этой задачи тривиальна, поскольку 1—|г|2^ 21og(l/|z|) и
11ф^2Хр. При |г|>1/4 обратное неравенство l(l/||)
— |z|2) дает
для секторов 5={1 —А<г<1, |6 — 90| < Л}, Л ^ 3/4.
Это докажет неравенство N(ky)^. CN(\iy), если мы сумеем
показать, что
C.10) М{|г|
Но мы уже касались C.10) в лемме 3.2. Поскольку функция
|Уф(г)|2 субгармонична, то
P l
1/4
55
КК1/2
Это дает C.10) и, значит, N(X^)^ CN(\i^). D
Мера ^Ф (с логарифмом) будет нам полезна, когда в сле-
следующем разделе мы произведем поляризацию равенства C.1).
Важнейшей составной частью теоремы 3.4 является теорема
Джона — Ниренберга, которая позволяет описывать ВМО
квадратичными выражениями.
4. Теорема двойственности Феффермана
Вначале сделаем небольшое отступление и найдем простран-
пространство, сопряженное с Hp(dt)t 1 <; р < оо. Для круга это было
сделано в разд. IV. 1; для полуплоскости рассуждения формаль-
формально те же самые.
Лемма 4.1. Пусть 1 ^ р < оо, q «= р/(р— 1) и g&Lq. Функ-
Функция g лежит в (Яр)х, т. е.
D.1)
тогда и только тогда, когда g e Hq.
Доказательство. Если g&Hq, то fg&H\ и D.1) сле-
следует из леммы II. 3Jt

242 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
С другой стороны, если выполняется D.1), то интеграл 11} ас-
сона функции g аналитичен в полуплоскости Зв. Действительно,
при гЕЖи2ОеЖ функция
лежит в Я" и
Значит, по D.1)
g B) - g (*„) = \g @ {Рг @ - Рг> (/)) Л
т. е. g аналитична. Тогда g^{Hp)x по теореме 1.3.5. П
Доказанная лемма и теорема Хана — Банаха дают
D.2) (Hp)* = Lq/Hqy 1^р<оо,
где билинейное спаривание между fe№ и факторклассом
g + Hq e Lq/Hq дается формулой \ fg dt.
Наша цель в этом разделе — представить {Нр)* как про-
пространство функций, а не факторпространство. Два банаховых
пространства X и Y называются изоморфными, если существует
такое линейное отображение Т пространства X на пространство
У, что
CtWxl x<=X.
Такой изоморфизм называется изометрией, если ||Гх|| = ||*||,
х^Х. О двух изоморфных пространствах можно думать как
об одном пространстве с двумя разными (но эквивалентными)
нормами.
Мы намерены установить изоморфизм между {Нр)* и неко-
некоторым пространством функций. При 1 < р < оо искомый изо-
изоморфизм дает теорема М. Рисса о сопряженных функциях.
Теорема 4.2. При 1 <С р < оо пространство (Нр)* изоморфно
Rq — пространству функций, комплексно сопряженных с функ-
функциями из Hq. Изоморфизм Т: HQ-+(HP)* определен формулой
D.3) (Tg) (f) =\fgdty f es Hp, g <= Н\
Доказательство. Поскольку 1 < q < оо, то преобразо-
преобразование Гильберта Я и оператор S(g) = g — iHg ограничены в
?Л Ядро оператора 5 совпадает с Hqy а образ — с Rq. По тео-
теореме об открытом отображении индуцированное отображение
S: Lq/Hq-*~Rq является изоморфизмом, так что по D.2)

4 Теорема двойственности Феффермана 243
Т = 5-1 — изоморфизм пространства Hq на (Я")* = Lq/№. При
g (= HQ имеем S(g-\- Hq)= gy и D.3) выполняется. ?
При р = 1 эти рассуждения неприменимы, потому что тео-
теорема Рисса неприменима к L°°. Мы увидим, что пространство
функций, изоморфное (Я1)* = L^/H00, — это не Я°°, а ВМО.
Нам будет удобно рассматривать Я1 как банахово простран-
пространство над полем вещественных чисел. Разумеется, каждое комп-
комплексное банахово пространство X является и вещественным.
В то же время комплексные линейные функционалы на X можно
очень просто получить из вещественных линейных функциона-
функционалов. Пусть L— вещественный линейный функционал на Х9 тогда
Lc [x)=L(x)-iL(ix)
— комплексный линейный функционал и
L(x)=4eLc (x).
Поскольку ULcll = sup {ReLc (x): \\x\\= 1}, то функционалы L
и Lc имеют одинаковые нормы. Стало быть, соответствие
L-+Lc является вещественной линейной изометрией между
пространством вещественных линейных функционалов на X и
вещественным банаховым пространством комплексных линей-
линейных функционалов на X.
Например, Нр как вещественное банахово пространство при
1 < р < оо изоморфно пространству Lr вещественных функ-
функций из LP. Изоморфизм снова получается из теоремы Рисса
с помощью формулы
Стало быть, любой вещественный линейный функционал на Н?
дается формулой
L (и + Ши) =
при единственном ueLfc. Соответствующий комплексный ли-
линейный функционал равен
Lc (и + Ши) = J uv dt + i J (Ни) v dt.
Равенства
(Ни) v dt = - J uHv dtt J (Ни) (Hv) dt=\uv dt,
вытекающие из леммы 4.1 или из формул A.9) и A.10) гл. III,
показывают, что
Lc (и + (Ни) = J (и + Ши) gdt, g = (v — iHv)/2 e Hq.
Это возвращает нас к D.3); на самом деле мы просто пере-
перефразировали доказательство теоремы 4.2. Но в случае р = 1

244 Г л VI Ограниченная средняя осцилляция
вещественные линейные функционалы упрощают проблему
двойственности.
Пусть р=1. Как вещественное банахово пространство Я1
изоморфно //!> = {«?/.?: Ни е Z,1J, если наделить Я;? нормой
графика 1!«||я, =11 «II, +||"Ян||г Эта норма выбрана так, что со-
соответствие /-*- Re/ оказывается изоморфизмом Я1 на Яр.
Напомним, что по следствию II. 3.3 множество
плотно в Яр по норме.
Лемма 4.3. Если L — непрерывный вещественный линейный
функционал на Hr, to существуют такие функции qpi, (P2^Lr,
что
D.4) L (и) = J (mpi - (Яы)ф2) d/f и е= Яр.
Я/7И ИЕЙ
D.5) L(a)
Далее, существует единственная вещественная функция
е ВМО, такая, что
ПфН* <
с универсальной постоянной С и
D.6) /.(«) =
По теоремам 1.2 и 1.5 интегралы в D.5) и D.6) абсолютно
сходятся.
Доказательство. Пространство Яр —замкнутое под-
подпространство в L[>©Lr с нормой || (w, 0)||=||m||i + IMIi. Про-
Продолжим L с сохранением нормы до ограниченного линейного
функционала Ф на Lr©Lr. Тогда Ф имеет представление
Ф(и, v) =
где (фь ф2)eLR>фLR и ||Ф|| = maxd^JU, ||ф2||оо) ввиду выбора
нормы в Lr®Lr. Значит, Иф^оо^ ||L||, НфгИ» < ||L||, и выпол-
выполнено D.4), откуда следует и D.5). Тогда ф = ф[ + Яф2 е ВМО
и IML ^ C||L|| по теореме 1.5. Теперь D.6) очевидно как пере-
переформулировка D.5).

4. Теорема двойственности Феффермана 245
Осталось доказать, что функция <р определяется по L одно-
однозначно. Пара (фи ф2)^?р>0?~, соответствующая L, конечно,
не единственна. Пара (фь ф2) определяет на Яя нулевой функ-
функционал тогда и только тогда, когда
D.7) \и (ф1 + Я ф2) di = О, we 91.
Но любая разность Pz(t) — Pz^(t) ядер Пуассона лежит в Я, и
D.7) означает, что функция ф1 + #ф2 имеет постоянный инте-
интеграл Пуассона. Таким образом, ф! + Яф2 — постоянная. Но по-
постоянные имеют нулевую норму в ВМО, так что как элемент
ВМО функция ф определяется из D.6) однозначно. ?
Отметим мимоходом, что ф1 + Яф2 постоянна тогда и только
тогда, когда ф1 + /ф2 е Я°°, так что доказательство леммы снова
показывает, что (Я1)* = L^/H00.
Теорема 4.4 (Фефферман). Пространство, сопряженное с Яр,
совпадает с ВМО. Точнее, если ф е ВМО — вещественная функ-
функция и
D.8) L(u)=\tupdt9 u<=%,
то | L(u) KCjI^UJIu\\Hi. Обратно, если ?е(Я?)\ to найдется
единственная вещественная функция ф е ВМО, для которой
НфН* ^ C||L|| и выполняется D.8).
Хотя интеграл в D.8) имеет смысл только для ие5(, плот-
плотность 51 в Яр и неравенство | L(u) \^C\ \\q>\\J\u\\w позволяют
нам рассматривать феВМО как непрерывный линейный функ-
функционал на всем Яр
Доказательство. По лемме 4.3 каждый функционал
Le(#J0 определяется единственной функцией ф е ВМО с
||<р|| ^ С\\Ц\, для которой выполняется D.8). Главное, что нам
осталось доказать, — это оценка
D.9) | $ иф <// | < Ci Ц ф 11| и \\ич и е 2Г, ф е ВМО.
Доказательство соответствующего неравенства в единичном
круге технически немножко проще, и вместо D.9) мы доказы-
доказываем
D.10)
где феВМО(Г) и ?фй9 = 0. Тогда если и eSt, ф е ВМО (R),
то, так как при eie = (t— i)/(t + t) будет rfG = 2dt/(l + /2),

246 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
где ФF) = ф@— ф@е ВМОG) с нулевым средним, a U(Q) =
= (l +t2)u(t) s=L%( T). Теперь D.9) вытекает из D.10) послед-
последствиям 1.3 и II. 3.3.
Итак, пусть ut=L%{T) и <реВМО(Г). Отметим, что по
следствиям 2.4 и 1.3 интеграл D.10) абсолютно сходится. По-
Положим / = и + Ши\ тогда / е Я1 и
Преимущество работы с / вместо и состоит в том, что мы мо-
можем считать / = g2y g (= Н2. В самом деле, пусть f = BF, где
В — произведение Бляшке, a Fg№ не имеет нулей в D и
ИЛЬ - llflli. Положим f, =(В —1)F, f2 = (B+ l)f. Тогда
llfilli^2||f|lb Ш11<2||Л1, и/ = (/, + /2)/2. Но fi и h не имеют
нулей в D, и поэтому обе имеют вид g2, g^H2. При оценке
\ /фйб мы можем заменить / на f\ и /г, так что мы будем пред-
предполагать, что f = g2y g e Я2.
Можно также считать, что ф@)=0. Билинейная поляриза-
поляризация тождества Литтлвуда — Пэли (лемма 3.1) дает
Но f(z) аналитична и
V/ • УФ = fx<fx + fy% = Г (г) (Фж + щу) = 2g (z) g' (z) (Фх + Apv),
так что
По неравенству Коши — Шварца
По лемме 3.1 первый множитель равен
По теореме 3.4 и теореме о мерах Карлесона в круге второй
множитель ограничен сверху величиной СЦфЦЛ/1|{/2. Следова-
Следовательно, мы получили D.10), и теорема доказана. ?
Доказательство оценки D.9) без перехода в круг см. в
упр. 6. Комплексный линейный функционал на Н\ определяе-

4. Теорема двойственности Феффермана 247
мый функцией ф е ВМО в соответствии с D.8), равен
Lc(u + Ши) = J (и + Ши) ф Л,
потому что Re{—i(H-\-iHu))=Hu. Мы имеем теперь вещест-
вещественный линейный изоморфизм между комплексным банаховым
пространством (Я1)* и вещественным пространством веществен-
вещественных функций из ВМО. Чтобы рассматривать ВМО как комп-
комплексное пространство, изоморфное (Я1)*, заметим, что
iLc (и + Ши) = U (— Ни + ш) = [ (— Ни + ш) ф Л.
Согласно D.4) и D.6), последний интеграл равен
\(u + iHu)H<fdt
по крайней мере для we 91. Если бы мы определили в простран-
пространстве вещественных функций из ВМО умножение на / формулрй
1*ф = Яф, то вещественное ВМО стало бы комплексным банахо-
банаховым пространством, изоморфным (Я1)* при комплексном линей-
линейном изоморфизме L~/tf~3f^Re/ + tf(Im/)eBMO. Необыч-
Необычное правило умножения на комплексные скаляры, которое воз-
возникает при отождествлении Н\> с Я1, — одна из причин, по кото-
которым вещественные линейные функционалы на Я1 обсуждать
легче.
Следствие 4.5. Если <рг/,!сс, то q> e ВМО тогда и только
тогда, когда
D.11) ф = Ф1 + Яф2 + а,
где а — постоянная, а фь Ф2 e L°°. Если ф е ВМО, то ф] и фг
можно выбрать так, чтобы
D.12) ||ф,||оо < CHcpL, ||ф2|1сс ^ С||ф||#
некоторой постоянной С.
Доказательство. Это следствие равносильно самой тео-
теореме. Теорема 1.5 говорит, что любая функция вида D.11) лежит
в ВМО и
D.13) ||ф||,<С(||ф,||ао+||ф2||со).
Если ф е ВМО, то, согласно D.9), функционал L (и) = \ uq>dt
ограничен в % по норме \\и\\ич и по лемме 4.3 найдутся ф1 и
Фг е L°°, такие, что

248 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Как мы заметили после доказательства леммы 4.3, это означает,
что <р — (ф1 + Яф2) имеет постоянный интеграл Пуассона, что
и доказывает D.11) и D.12). ?
Конструктивное доказательство представления D.11), а зна-
значит, и самой теоремы двойственности будет дано в гл. VIII.
Согласно D.12) и D.13), выражение
inf{||<pilU+l|(p2lU: ф = Ф1 + Яф2 + а}
определяет в ВМО норму, эквивалентную ||ср||#.
Следствие 4.6. Пусть f e L°° и
dist(/, Я00)- inf II/ — вГНоо.
Тогда
D.14) Cl\\f-
с абсолютными постоянными С\ и С2.
Доказательство. По D.2) и по теореме Хана — Банаха
disttf, Н°°) = sup {\\fFdt\: Ff=H\ \\F\\X^\].
Мы можем считать, что F = и + Ши и«еЯ. Тогда
fF dt = \ fudt + i \ fHudt= J (/ - lHf)udt.
Беря вещественную и мнимую части этого интеграла, мы видим,
что D.14) следует прямо из теоремы двойственности. ?
Следствие 4.7. Пусть функция f e L°° вещественна и
disttf, Re Я00)- inf Hf-
AlstAHf, Г°)= inf \\Hf-<tl.
Тогда
ddisttf, Re H°°)< dist. (///f L°°)<C2dist(f, ReW°°)
с абсолютными постоянными С\ и С2.
Доказательство. Если g(=H°°, то ImgeL°°n#/ —
— Imjso Я(/ — Reg), так что по теореме 1.5
IIЯ/— ImglL<
Второе неравенство этого следствия глубже и использует
теорему двойственности. Если ф е /-00, то по следствию 4.5
Я/ — ф = ф! + Яф2 + а?

б. Исчезающая средняя осцилляция 249
где
11ф1||со+||ф2||оо< C\\Hf- ф||#.
Тогда
« = ф + ф| + а?1м И Ни — Яф + #ф1 = Ф2 —
так что g = —Яа -f- ш е Я°°. Далее,
||/_-Ке^||оо = ||/
Таким образом,
C,dist(/,
и следствие 4.7 доказано. ?
Один метод оценки dist*^, L°°) в терминах экспоненциаль-
экспоненциальной интегрируемости |ф —ф/| будет дан в разд. 6.
5. Исчезающая средняя осцилляция
Пусть фЕ Lioc(R) и 6>0. Положим
F.1) Мб(ф)= sup -
|/|<б
где / обозначает интервал. Тогда ф е ВМО в том и только том
случае, когда Мб(ф) ограничена, и ||ф||,= ПтЛ1й(ф). Мы гово-
6-*оо
рим, что ф имеет исчезающую среднюю осцилляцию, или ф е
е VMO !), если
(i) феВМО и
(ii) М0(ф)
Легко видеть, что VMO — замкнутое подпространство в ВМО.
Связь между ВМО и VMO очень похожа на связь между L°°
и его подпространством ограниченных равномерно непрерывных
функций. Обозначим через UC пространство равномерно непре-
непрерывных функций на R, и пусть BUC = UC (] L°°.
Теорема 5.1. Следующие условия на функцию ф s ВМО экви-
эквивалентны:
(a) ф<ееУМО;
(b) если фх@=ф(/ — х) — сдвиг ф на величину х, то
Нт||фх — ср IL — 0;
0
(с) если ф(/, у) = Ру* у (t)—интеграл Пуассона oi ф, то
Ит||ф@-Ф(Л
0
l) VMO — Vanishing Mean Oscillation. — Прим. ред.

250 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
(d) ф входит в замыкание множества UCf|BMO в ВМО:
inf II ср — в" || — 0.
CDBMO
Доказательство. Мы проверим цепочку импликаций
Пусть выполнено (а). Выберем 6>0 и разобьем R на ин-
интервалы
// = (/6/2, (/ + 1) 6/2), -оо < / < оо,
длины 6/2. В силу E.1)
Положим
h(t)= Z Ф/Л/О.
/=-00 / /
Мы покажем сначала, что
E.3) 11ф-А||.<5Мв(ф).
Если |/| ^ в, то, согласно E.2),
щ$|Л--А/|Л<4Мб(ф),
так что
т|т \ I (Ф - Л) - (Ф - ЛO |rf/< 5Мб (Ф).
Если |/|>в и /== U //» то |/|<2|/|. Полагая /=*
//П/^0
= /i U h U ... U /iv, имеем .
If ^ 2
f I J
что доказывает E.3). Теперь, если
||Л — А*||оо<2Мй(ф), так что ЦА —А^
тельно,
а|<6, то в силу E.2)
|2Л4()
и, следова-
следоваИтак, (а) влечет за собой (Ь).

5. Исчезающая средняя осцилляция 251
Пусть теперь выполняется (Ь). Тогда
Ф(Л y)=\<f(t-x)Py(x)dx
— взвешенное среднее сдвигов ср* функции ф. По (Ь) величина
||qp — cp*|U мала при |л'| < б, в то время как для любого х имеет
место неравенство ||(р —<p*ll» ^ 2||ф|!#. Но при малом у большая
часть веса Ру(х) сосредоточена при |a:|<8, и поэтому ||ф@—
— ф(/, у) II* мало. Точнее,
Цф(/)-фС, У)К \ \\<p-4xlPy(x)dx + 2\\<fl \ Py(x)dx,
\х\<6 |х|>в
так что
НГП ||ф(/) — ф(/, #)!!,< SUP || ф — <Qx\l
0 \х\<Ь
и (Ь) влечет за собой (с).
Чтобы доказать, что из (с) вытекает (d), мы используем
несложную оценку
E.4) у\Щ(х, у)\^с\\<р\\„
Для фе1°° неравенство E.4) следует из неравенства Гарнака
после замены переменной, а распространение его на ВМО выте-
вытекает из следствия 4.5. Есть, однако, элементарное доказатель-
доказательство оценки E.4), которое опирается вместо теоремы двойствен-
двойственности на теорему 1.2. Простое неравенство y\VPy(x—01^
^сРу(х—/), в котором производные берутся по х и по у, вме-
вместе с теоремой 1.2 дает
Из E.4) видно, что ф(*, у) — равномерно непрерывная функция
от х. Поскольку ф(л', у)еВМО, то мы убеждаемся, что (d)
следует из (с).
Наконец, (d) очевидным образом влечет за собой (а), по-
потому что UCflBMOd VMO, a VMO замкнуто в ВМО. ?
Теорема 5.2. Если ф — локально интегрируемая функция на
R, то tp e VMO тогда и только тогда, когда
E.5) Ф==ф1 + Яф2 + а,
где фь ф2^ВиС и а — постоянная. Если ф^УМО, то фь
е BUC можно выбрать так, чтобы
E.6) 11ф111оо+||ф211оо<
где С — постоянная, не зависящая от

252 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Доказательство. Пусть ср имеет вид E.5) с фь ср2 е
е BUC. Тогда ф ^ ВМО и при малых |л:| имеем ||ф/— (ф/)*1|оо<
< е, / = 1, 2. Значит,
Нф! —(<Pl)*L < в, II (Яф2) —(Яф2)х||* < 8
при малых \х\, ифЕ VMO по теореме 5.1 (Ь).
Обратно, если ф е VMO, то по следствию 4.5 ф = //1+//мг+а»
где \\u\\\oo ^ С||ф||#, ИмгИоо ^ С||ф|и и а — постоянная. По тео-
теореме 5.1 ||ф(х)— ф(лг, уо)Н* ^ Нф11#/2 при некотором у0 > 0. По-
Положим ф{ (х) = и{ (х, у0), ф^ (х) = и2 (х, yQ). Тогда ф^ е BUC,
и ф(лг, #0) = ф| (л:) + Ну{2 (х) + «, так что
|ф-(ф; + Яф»+а)[
Значит,
лежит в VMO и \\R\\U ^ НфН*/2. Повторяя предыдущее рассуж-
рассуждение с R\ и итерируя этот процесс, мы получим
где <pf s BUC, ф| <= BUC и
Это доказывает теорему 5.2. ?
Для круга доказательства теорем 5.1 и 5.2 показывают, что
VMO совпадает с замь!канием множества С = С(Т) в ВМО,
и VMO = С + С.
В гл. IX мы увидим, что VMO оказывается важным средст-
средством при изучении алгебры Н°° + С.
6. Неравенства с весовыми нормами для
максимальных и сопряженных функций
Пусть 1 < р <С оо, a jji — положительная борелевская мера на
R, конечная на компактных множествах. Мы рассмотрим две
проблемы.
Проблема Ь Когда максимальный оператор Харда — Литтл-
вуда ограничен в Lp([i)? To есть когда существует постоянная
BPt такая, что

6. Неравенства с весовыми нормами 263
для всех измеримых функций f(x)y где
p
хе/
Проблема 2. Когда оператор Гильберта ограничен в Lp(\x)}
То есть когда существует постоянная СРу такая, что
для всех функций f e L2(dx)} где
1 г
е->о ^ J
Мы знаем, что при d\i = dx оба оператора ограничены в
Lp, 1 < р < оо. В случае р = 2 теорема Хелсона — Сегё IV. 3.4
дает необходимое и достаточное условие ограниченности опера-
оператора Гильберта в L2\\x). Оно состоит в том, что \х абсолютно
непрерывна, dy. = w(x)dx и плотность w(x) должна иметь вид
logw = u + Hv, ut=L°°, IML<n/2.
Доказательство этой теоремы было дано в гл. IV для единич-
единичной окружности, но теперь читателю должно быть нетрудно пе-
перенести теорему на прямую. При рф2 метод Хелсона —Сегё не
дает удовлетворительных ответов на вопросы, поставленные в
проблеме 2.
С другой стороны, весьма успешным оказался вещественный
подход к этим проблемам, предпринятый Макенхауптом и дру-
другими. Удивительным образом для обеих проблем получилось
одно и то же решение: мера должна быть абсолютно непре-
непрерывной:
dy, = w (x) dx, w e LJoc,
и вес w(x) должен удовлетворять так называемому условию
. /If \ / 1 Г \Р-1
F.1) sup tjTjXwdx И -п-г \ w- '/<"-'> dx) <oo.
Теорема 6.1. Пусть \х — положительная мера, конечная на
компактных множествах, и 1 < р < оо. В таком случае
с Вр, не зависящим от f, тогда и только тогда, когда \х абсо-
абсолютно непрерывна, d\k = w{x)dxy и w удовлетворяет условию
F.1).

254 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Теорема 6.2. Пусть \х— положительная мера, конечная на
компактных множествах, и 1 <С р <С оо. В таком случае
с СРу не зависящим от /, тогда и только тогда, когда \i абсо-
абсолютно непрерывна, d\\ = w(x)dx, и w удовлетворяет условию
F.1).
Прежде чем двигаться дальше, попытаемся понять, откуда
берется условие (Ар)у т. е. F.1).
Лемма 6.3. Если 1 < р < оо, а \х —такая положительная
мера на R, что
то ii абсолютно непрерывна, d\i= zv(x)dx, и w(x) удовлетво-
удовлетворяет условию F.1).
Доказательство. Пусть Е — компактное множество,
|?| = 0, е > 0, и V — открытая окрестность множества Е,
\i{V\E)< е. Тогда \ | f\pd\i < e, raef = xi'\?. С другой сто-
стороны, Mf(x)=l при xg?, потому что |?| = 0. По предполо-
предположению
так что \х(Е)= 0, и [х абсолютно непрерывна.
Положим d\x = w(x)dx, где w e Lioc и и;(л:)^0. Выберем
интервал / и положим f(x)= w(x)a%i(x). Тогда
Приближая f(x) снизу ограниченными функциями, получим
Выберем a = —l/(p— 1)= 1 + pa. Тогда
а это и есть условие {Ар). ?

6. Неравенства с весовыми нормами 255
Лемма 6.4. Если 1 < р < оо, а [х—такая положительная
мера на R, конечная на компактных множествах, что для всех f
то d\x = w(x)dx, где w удовлетворяет условию F.1) (условию
1АР)).
Доказательство. Полагая / = х(о, п, мы видим, что
Пусть g-—вещественная функция из Lq(\x)y q = p/(p—1).
Тогда по предположению леммы и из соображений двойствен-
двойственности найдется такая функция h^Lq{\x), что
\(Hf)gd\i=\fhd[it f^LPhi).
Если f^H2f\Lp(\.i)y то /// = —if, и это тождество принимает
вид
F.3)
Но, согласно F.2) и неравенству Гёльдера, мера
конечна и \ (х — z)~l dv (x) = 0 при Im 2 < 0 в силу F.3). Зна-
Значит, по теореме Ф. и М. Риссов мера v абсолютно непрерывна.
Значит, и мера g{x)d\x(x) = Re( (x-\- i)dv(x)) абсолютно непре-
непрерывна. Раз g^Lq(\i) произвольна, то и сама \х должна быть
абсолютно непрерывна.
Пусть d\i = w(x)dx. Возьмем интервал / и разобьем его на
две равные части I=I\\}h> |Л| = IM —UI/2- Пусть функция
f ^ 0 сосредоточена на 1{. Тогда при х е h
(9.4)
Выбирая f — Xjs получим
\ w dx < С \ w dx.
/2 л
Но по симметрии должно быть и
\ w dx < С \ w dx.

256 n-\ VT Ограниченная средняя осцилляция
P ^c Swl+ap dXt
Выбирая / (х) = w {х)а хЛ, мы далее получим
(Sw dx) (jh Swa dx) S
Снова полагая а = —l/(p—1), имеем
/ \ l /i /
а это и есть условие (Лр). П
Итак, условие (Ар) необходимо как в теореме 6.1, так и в
теореме 6.2.
Предположим теперь, что w удовлетворяет (Ар). Пусть
Ф = log w, *ф = log (w~{j{p-])) = зт'
Тогда (р и if локально интегрируемы, поскольку локально ин-
интегрируемы w и ш/(р~!). Очевидно, что для любого интервала /
так что (Ар) можно переписать в виде
F.5) sup (-± \ в'"" dx\ Г^ \ «¦-¦' ЛЛ
По неравенству Иенсена
Следовательно, (Лр) выполняется тогда и только тогда, когда
каждый сомножитель в F.5) ограничен по отдельности, и мы
имеем следующую лемму.
Лемма 6.5- Если w^O и y = \ogwy то w удовлетворяет
условию (Ар), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда
Таким обраэом, если w удовлетворяет (Ар), то ф=g
е ВМО. Обратно, если \ogw &BMO, то по теореме Джона —
Ниренберга w6 удовлетворяет (Ар) при некотором б > 0.
Прежде чем обращаться к более трудному доказательству
достаточности условия (Ар), отметим два следствия. Случай
р=2 теоремы 6.2 можно объединить с теоремой Хелсона —
Сегё, чтобы получить конкретные выражения для расстояния в
метрике ВМО от ф е ВМО до L°° и расстояния от /eip до

6. Неравенства с весовыми нормами 257
ReH°°. Причина здесь та, что условие Хелсона —Сегё по тео-
теореме 6,2 равносильно условию
— dx\ < оо.
Если ф е ВМО, то ф = / + Hg + а, где /, g e L°° и а — постоян-
постоянная, причем
||ф||' = inf{11/Цоо + llfflU: Ф = f + Hg + a}
— норма в ВМО, эквивалентная ||<р||*. В метрике II II' расстоя-
расстояние от ф до L°° равно
dist (Ф> L°°)= inf ||ф —/ir==inf
По теореме Джона — Ниренберга существуют такие е>0 и
Ь(е)>0, что
Положим
е (ф) = inf {е > 0: F.6) выполняется}.
Ясно, что е(ф)=0 для <p e L°°. По теореме Джона — Нирен-
Ниренберга
()
Следствие 6.6. Если ф е ВМО — вещественная функция, то
dist(q>, L~) = (n/2)e(9).
Доказательство. Из условия F.6) мы видим, что
F.7) sup -туг jj ехр| Лф — Лф/ \dx < оо
при А < 1/е(ф), а неравенство Чебышева показывает, что
А ^ 1/е(ф), если выполняется F.7). Значит,
1 /е (ф) = sup {Л: F.7) выполняется}.
Из F.7) и неравенства Йенсена получаем для любого интер-
интервала
F.8) 1 < щ ^ e±A(»-*i) dx < М.
Обратно, так как при а ^ 1, Ь ^ 1 будет а + b ^ 2aby то
л |ф-ф/ \dx<J-[eA (ф"ф/) dx +
9 Зак. 829

258 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Стало быть, F.8) и F.7) равносильны. Значит, по лемме 6.5 при
данном А > О условие F.7) выполняется тогда и только тогда,
когда вес w = eA(v удовлетворяет условию (Л2), так что
1/е(ср)= sup{;4: еА<* удовлетворяет (Л2)}.
Но (Л2) равносильно условию Хелсона —Сегё, и поэтому
< л/2},
т. е.
ye(9) = inf{||?L: <p = f + Hg, [еГ}. П
Следствие 6.7. Если f ^ L°° — вещественная функция, то
dist(/, Re/T) = inf ||/-ReF||ee = i
Доказательство. Это сразу вытекает из следствия 6.6
и доказательства следствия 4.7. ?
Расстояния из следствий 6.5 и 6.6 можно также связать с
ростом локальных //-колебаний функции ф(х) с помощью тож-
тождества
Установление этого тождества предоставляется читателю для
отдыха (см. упр. 17).
Для того чтобы вывести из (Ар) ограниченность операторов
М и Н в Lp(wdx)y нам понадобятся четыре следствия условия
(Ар) sup f-ijy J o^V^ J «г'ЛР-'tfjfY-1 < со.
Два первых следствия совсем тривиальны.
Лемма 6.8. Если 1 < р < оо, а до удовлетворяет условию
(Л), го
Ы до удовлетворяет (Аг) при всех г > р\
(Ь) ау-1/^-1) удовлетворяет {Ац)у где q = р/(р—1).
Доказательство. Для (а) заметим, что 1/(г —1)<
—1), так что по неравенству Гёльдера
^ \
Для (Ь) заметим, что q—1 = 1/(р— 1), так что если t» =
— до-1/(А>-1>) то V-V(Q-D — w. ?
Два других следствия (Лр) глубже, но их можно вывести
из прекрасного неравенства, принадлежащего Герингу.

6. Неравенства с весовыми нормами 259
Теорема 6.9. Пусть р > 1. Если v(x) ^ 0 и
(в.9)
для всех подынтервалов некоторого интервала /0, то
FЛ0)
яра р < г < р -f л> где л = Л (Р> #) > 0.
Обратное к F.9) неравенство — с постоянной 1—тривиально
следует из неравенства Гёльдера. Поэтому постоянная К в F.9)
обязательно должна быть ^ 1.
Теорема 6.9 тесно связана с теоремой Джона — Ниренберга;
как и там, важно, что F.9) выполняется для многих подынтер-
подынтервалов /о.
Доказательство. Мы можем считать, что /о = [0, 1] и
\vpdx=\. Положим при X > 0
о
?х= {хе/0: v(x)>X}.
Мы хотим доказать оценку
F.11) J vpdx^AXp-{ J vdx, Л> 1,
с некоторой постоянной А = А(ру К). Но сначала посмотрим,
как F.10) следует из F.11). При г*>р
dx = \ vpv pdx = (r — р)
~{г-р)
В силу F.11) последний член этого выражения не превос-
превосходит
~ v
A(r-p) J Лг ^ ud*dA,<i4(r-p) Jof kr~
1 ?л fi о

260 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Значит,
При Л>1 мы получим А (г — р)/{г— 1)< 1, если г<р
+ A)/(Л — 1) = р + тъ л > 0. Для таких значений г
/о f < 1 Ej
Ввиду F.9) и нормировок |/0|= 1, \vpdx=l это доказывает
F.10) и теорему в целом.
Для доказательства F.11) положим р = 2/(Я > К ^ 1. Оче-
Очевидно, что
F.12)
Значит, нам нужна только оценка величины \ vpdx. По лемме
Кальдерона — Зигмунда 2.2 найдутся такие непересекающиеся
интервалы {//}, // cz /0, что
F.13) Pp<^
'/
и у < р почти всюду в /0\ UA- Значит, Е$а (J // с точностью до
множества меры 0, и по (G.13)
F.14)
Но по F.9) и F.13)
Это означает, что
А Г /(Г j ¦ КА, ,
If 11 П Ex
так что ввиду нашего выбора р
| // К у \ v dx.

6. Неравенства с весовыми нормами 261
Подставляя это в F.14), получаем
\ир<1*:<—у- \ vdx^2p+lKpkp~l \vdx,
j Л j j
что вместе с F.12) и дает нам искомое неравенство F.11). ?
Следствие 6Л0. Если 1 < р < оо, а вес w удовлетворяет
условию {Ар), то
(а) существуют б > 0 и С > 0, при которых для любого ин-
интервала I
F.15)
(b) существует такое г > 0, что w удовлетворяет и условию
0V)
Доказательство. По лемме 6.8(а) в части (а) мы мо-
можем считать р > 2. Неравенство Коши — Шварца показывает,
что
а это вмрсте с неравенством (Ар) дает
Поскольку р—1 > 1, то мы можем применить теорему 6.9 к
функции v = ш1/(р-1} и получить
ср- 1<г<р— 1+п, г|>0. При 1+6 = г/(р— 1) это дает
F.15). Чтобы доказать (Ь), мы применим F.15) к весу до-1^1*
удовлетворяющему (AQ)y q = p/(p— 1). Тогда
Выбирая е = F/A +б))(р— 1)> 0, так что (р — г)— 1 =
= (р— 1)/A +б), и умножая обе части последнего неравенства

262 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
на 1/Г1 [wdx, мы получим
и w удовлетворяет (Лр-е). П
Другое доказательство (Ь), близкое по духу к доказатель-
доказательству теоремы Джона — Ниренберга, описано в упр. 15.
Доказательство теоремы 6.1. Мы предположим, что
w(x) удовлетворяет (Ар)у и докажем, что
Обратное было доказано в лемме 6.3.
Применяя к fwl/p и w~l/p неравенство Гёльдера и
что д/р= 1/(р—1), мы получаем
Второй сомножитель можно оценить с помощью (Ар):
где d[i = w{x)dx. Положим
= sup
Переходя к верхней грани по всем интервалам / э х в по-
последнем неравенстве, получаем
F.16) Mf(x)^K(Mix(\f\p))^.
Лемма о покрытии 1.4.4 применима к мере \i, и доказатель-
доказательство максимальной теоремы 1.4,3 без труда приспосабливается
для того, чтобы получить
F.17) \(M»g)rdti^Cr\\g\rdiiy Кг <оо
(см. упр. 1.13). Но поскольку w удовлетворяв еще и условию

6. Неравенства с весовыми нормами
263
(Лр_е)> то F.16) можно заменить неравенством
Mf {x)^ K'M^f \*-*у'&-*).
Это неравенство и F.17) с г = р/(р — е) вместе дают
\ | Mf \p rf|i < к'р $ (ли I / Г e))PrtP~eW < сгк'р \\f\p dn,
что и доказывает теорему 6.1. ?
Для доказательства теоремы 6.2 нам нужны еще одна лемма
и одна дополнительная теорема. Говорят, что мера ф = w dx
удовлетворяет условию {Aj), если
F.18)
где Е — произвольное борелевское подмножество интервала /.
Постоянные С > 0 и а > 0 должны не зависеть от Е и /.
Лемма 6.11. Если w удовлетворяет условию {Ар)у р < оо, то
мера d\i = w dx удовлетворяет условию (Лоо).
Доказательство. Неравенство Гёльдера и следствие
6.10(а) дают для ?с/
\ 6/A+6)
а это и есть условие
, т. е. F.18) с а = 6/A + 6). D
Теорема 6.12. Если мера d\i = w(x)dx удовлетворяет уело-
mito (Лоо), то при 1 < р < оо
Интересующая нас теорема 6.2 сразу следует из леммы 6.11
и теорем 6.12 и 6.1. Наше единственное незаконченное дело —
это доказательство теоремы 6.12.
Доказательство. Максимальное преобразование Гиль-
Гильберта
Я7М —sup
J
по теореме
F.19)
III. 2.1 допускает оценку слабого типа
\{х: //*/(*) >Ml<xS ^ Wdje-

264 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Комбинируя F.19) с (Аоо)у мы покажем, что при 0< у < 1
F.20) |i {х: Я7 (х) > 2К Mf (х) < yX} < Aya\i {H*f (x) > А},
где постоянная А не зависит от у. Теорема легко выводится из
F.20), потому что
= p2l> \
о
< Ар2руа \хр~ l\i {//
о
+ р2р J 1р- 'ц {Mf (x) > vM dX =
о
= А2Руа J | H'f \р d\i + 2ру-р \\М]\Р dp.
Выбирая столь малое у > 0, чтобы А2руа < 1, мы получим
а поскольку, очевидно, |Я/|<Я*/, то это доказывает теорему.
**
Рис. VI. 1.
Чтобы доказать F.20), представим открытое множество
L/X={jt: H*f(x)>X} как объединение непересекающихся от-
открытых интервалов {/*}. Разобьем каждый 1к на замкнутые
интервалы {/?} с непересекающимися внутренностями так,
чтобы
|/f|~dJst(/*,R\/A).
Это семейство интервалов {/у} = U {//}» показанное на рис. VI. 1,
называется разбиением Уитни множества Ux. Оно обладает
тремя свойствами:
dist(/,,

6. Неравенства с весовыми нормами 265
Главный шаг доказательства оценки F.20)—это установление
неравенства
F.21) | {*е=//: H*f(x)> 2K Mf(x)^yX}\^By\If\.
Действительно, F.21) вместе с условием F.18) дает
//: H*j(x)>2K
откуда F.20) выводится суммированием по /.
Таким образом, доказательство теоремы 6.12 сведено бла-
благодаря условию (Лоо) к проверке неравенства F.21), куда ве-
весовые функции не входят. Никакие дальнейшие редукции дока-
доказательства не нужны, и мы переходим к доказательству оценки
F.21). Поскольку {//} —разбиение Уитни для Уъ то существуют
точки Xjy такие, что
dist(xA /,) = |/,| и H*f(x,)^%.
Можно считать, что Mfdfi^.yX при некотором ?/ <= //, так как
иначе F.21) становится тривиальным. Можно также считать,
что у мало, потому что при By > 1 неравенство F.21) снова
становится тривиальным. Пусть 7/ — концентрический с // ин-
интервал длины |7/| = 3|//|. Тогда x/gJ/. Пусть далее// = // —
концентрический интервал длины |//| = 9|//|. Положим f =»
= /i + Ы где /, = fxr*f> f2 = fxR \fy Поскольку lf e /), то
VrII/iHi = t^t \\f\dx^2Mf(l,)<2yX9
/ I Г/!;*
так что F.19) дает
F.22) | {х: Я7, (х) > Я/2} I < BС/Я.) || /, \\{ < 4Су | /} |.
При дге// интеграл Hf2{x) не имеет особенности, и для любого
6>0
I t-x\>e
f(/)l
R\//
|jc-/|2
\t-l,\>*\l,\ ' ' /(
потому что последний интеграл можно рассматривать как сумму
средних значений по интервалам с центром |/. Следовательно,
S* , dt Г
, — t
М/ (|у) | дс - дс; | + Я72 (дсу) < 3C2Y>. + H'h (x,).

266 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
С другой стороны, раз dist (*y, R \/]) = 3 |/у|, то H*f2(xj) не
может быть намного больше, чем H*f(xj). Точнее,
• sup
e>3|/y|
xrt\>e
sup
>3|/
\xrt\>e ' ' ' ' 3| /y |<| Л/-/1<6 j /; |
Первый из этих интегралов ограничен величиной H*j(xj)^X,
а второй не превосходит СзЛ1/(|/)^ СгуХ. Значит,
F.23) H*f2(x) ^ (ЗС2 + С3)уК -{-К х?Е Ih
Поскольку H*f ^ Н% + H*f2i то из F.22) и F.23) следует не-
неравенство
что дает F.21) при (ЗС2+ С3)у< 1/2. П
Замечания
Сейчас существует обширная литература о ВМО и его свя-
связях с теорией однолистных функций, квазиконформных отобра-
отображений, уравнений с частными производными и с теорией ве-
вероятностей. В большой степени именно теорема двойственности
и конформная инвариантность делают ВМО важным в столь
многих областях. Часть этой литературы приведена в библио-
библиографии.
Конформная инвариантность ВМО, которую использовали
многие авторы, кажется, впервые появилась в заметках Гарсиа
[1971]. Большая часть материала разд. 1—4 заимствована из
фундаментальной статьи Феффермана и Стейна [1972], где
впервые была доказана теорема двойственности. Теорема 1.5
впервые доказана Спанне [1966] и независимо Стейном [1967].
Теорема 2.1 принадлежит Джону и Ниренбергу [1961]. Их
простое доказательство имеет широкие применения. Кампанато
[1963] и Мейерс [1964] дали аналогичное описание классов
Гёльдера 1).
Доказательство теоремы двойственности было бы проще,
если бы мера |Уф(г) \dxdy была мерой Карлесона при, ср е
®ВМО(Г). В упр. 9 показано, что это не так, даже
если ф — произведение Бляшке. Выражение Литтлвуда — Пэли
|Уф(г) |2 \og(\/\z\)dxdy — полезное средство для преодоления
х) См. историю вопроса и обзор в статье Брудного [1971*].—Прим. перев,

Замечания 267
этой трудности. Другое средство принадлежит Варопулосу
[1977]; оно описано в упр. 12 и 13. Доказательство теоремы
о короне дает еще и другой путь в обход этой трудности (см.
разд. VIII.6).
Не считая преобразования Фурье, преобразование Гильбер-
Гильберта— это, возможно, самый важный оператор в вещественном
или комплексном анализе. Главная сила теоремы двойствен-
двойственности состоит в том, что она характеризует BMO(R) как мно-
множество функций вида ф = и + # и, и, v <= L°°. Более конструк-
конструктивное доказательство такого разложения будет дано в гл. VIII.
Результаты о VMO и их приложения в гл. IX ниже заимство-
заимствованы из статьи Сарасона [1975].
Теорема 6.1 принадлежит Макенхаупту [1972], а теорема 6.2
впервые доказана Хантом, Макенхауптом и Виденом [1973].
Абсолютная непрерывность меры \i установлена ранее Форелли
[1963]. Приведенные в тексте доказательства теорем 6.1 и 6.2
следуют Койфману и Фефферману [1974]. Неравенство Геринга
из теоремы 6.9 — это, по существу, некоторый результат о макси-
максимальных функциях (см. Геринг [1973]). Имеются несколько
важных неравенств для весов, удовлетворяющих (Ар) (см. Ган-
Ганди и Виден [1974], Макенхаупт и Виден [1974]).
Никто пока не нашел прямого доказательства равносиль-
равносильности (Л2) условию Хелсона — Сегё. Статьи Гарнетта и Джон-
Джонса [1978], Джонса [1980b], Утиямы [1982] и Варопулоса [1980]
проливают некоторый свет на эту проблему; там исследуется
многомерная форма следствия 6.6. Бернстейн в связи с этим
поставил очень интересную задачу: если функция ср <= ВМО та-
такова, что
то можно ли представить ее в виде ср = и + Hv, и е L°°,
1|у||оо^я/2? (См. Никольский, Хавин и Хрущев [1978],
стр. 230.!)) Предложение, обратное гипотезе Бернстейна, очень
простое (упр. 18). Теорема 6.2 вместе с теоремой Хелсона —
Сегё дают другое доказательство двойственности Я1 —ВМО на
прямой.
Неравенство F.21) объясняет, почему преобразование Гиль-
Гильберта и максимальная функция часто бывают ограничены в
одних и тех же пространствах. Дальнейшие сведения о нера-
неравенствах такого типа, которые называются «неравенствами для
хороших X»2), см. у Буркхольдера [1973] и Буркхольдера и
Ганди [1972]. Рассуждение в доказательстве F.20) — это мощ-
мощный метод, развившийся из вещественного доказательства не-
1) Недавно Т. Волф дал отрицательный ответ на этот вопрос. -
ред. ^
*) Good Я inequalities. — Прим. перев.

268 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
равенства слабого типа A—1) для оператора Гильберта (см.
Кальдерой и Зигмунд [1952], Стейн [1970]).
Большинство результатов этой главы на самом деле отно-
относится к функциям в евклидовом пространстве R" или даже в
пространствах однородного типа, введенных Койфманом и Вейс-
сом [1971]. Так они и изложены во многих цитированных рабо-
работах1). Мы ограничили наше обсуждение случаем R1 и Ту чтобы
сохранить простоту изложения и не отрываться от последующих
применений.
Имеются красивые связи между аналитическими функциями
из ВМО, однолистными функциями и функциями Блоха. Очерк
некоторых из этих результатов дан в упр. 22—25. Заметки Са-
расона [1979] и лекция Бернстейна [1980] дают хороший обзор
этого предмета.
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Если ф е ВМО вещественна, то тах(ф, 0)еВМО.
2. ВМО полно.
3. (а) Если ф (ее ВМО, Х/ф е= ВМО и Hxi<PlL < С|М|, ,лля
любого интервала /, то ф ограничена и ||ф||оо ^ C'IML.
(b) Если Л —измеримая функция на Ту то /гф<=ВМОG")
для всех ф <= ВМО (Г) тогда и только тогда, когда fteL°° и
SVP (шlog тп) S'Л/ ~~h'dx
(Стегенга [1976]).
(c) Сформулируйте и докажите подобный результат на
прямой.
(d) Пусть ф <= ВМО, а / — такой интервал, что ф/ = 0.
Пусть 7 —концентрический с / интервал длины |7| = 3|/|.
Тогда существует такая функция t|) е ВМО, что ф = <р на /,
г|) = 0 на R\7 и ||ф||* < С||<р||#. (Указание. Пусть /= \J Jn,
где dist(/rt, dI) = \Jn\, как на рис. VI. 1. Пусть |/о|>|/п|,
пфО, т. е. /о — средняя треть /. Пусть /(„, п > 0, — интервал,
симметричный 1п относительно ближайшего конца /. Положим
1>(*) = <pv xeKn, *W = 0, ^/UU^.)
4. Пусть f(x) — измеримая функция на R. Предположим,
что существуют такие а< 1/2 и ^>0и для каждого интервала
/ существует такая постоянная аи что
'") См. также Фолланд и Стейн Г1982*]. Тематика, связанная с условием
(Ар), продолжает интенсивно разрабатываться; см. обзор Дынькина и Осилен-
кера [1983 *]. —- Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результат 263
Тогда / е ВМО. Доказательство похоже на доказательство тео-
теоремы Джона — Ниренберга. Этот результат уже неверен при
замене 1/2 большим числом (Стремберг [1976]).
5. На окружности имеем (Я1р)*= ВМО, причем билинейное
спаривание между «еЯ* и фе ВМО (Г) дается формулой
а постоянные функции из ВМО не отождествляются между со-
собой, т. е. ВМО снабжается нормой
С той же нормой ВМОА = Н2{\ ВМО сопряжено с классическим
пространством Я1 со спариванием
6. Положим для <pc=Ll(dt/(l
ду/ду)у
где ф(г)—интеграл Пуассона от ф@-
(а) Покажите с помощью теоремы Грина или преобразова-
преобразования Фурье, что
(b) Покажите, что ф ^ ВМО тогда и только тогда, когда
y\Vy\2 dxdy— карлесоновская мера (необязательно конечная).
(c) Если ф^ВМО, a f — голоморфная функция из Я1 без
нулей в Ж, то
Далее, если {е 91, то
|$/(/)ф(/)Л
lim
что доказывает теорему двойственности на прямой.
Отметим, что последнее неравенство не следует непосред-
непосредственно из (а) при помощи поляризации, потому что не пред-
предполагается, что фб?2. Однако для непрерывных / и ф по тео-

270 Гл. VJ. Ограниченная средняя осцилляция
реме Грина тождество А(/(г)ф(г)) = 2У/(г) -VcpB) дает
lim [ f{t)ff(t)dt= lim 2 \[ yVf{z)-y<p(z)dxdy.
* R
7. (а) Пусть T — пространство двусторонних последова»
тельностей
F = {/„: —оо < п < оо}
измеримых функций на R, таких, что конечна норма
= \suplM*)|d*-
J ГС
С этой нормой ?Г является банаховым пространством.
(Ь) Пусть Тъ — замыкание в ?Г множества таких последо-
последовательностей F, что
при некотором N = N(F). Если FEf0, то существует предел
(в Ll) /oo= lim fn . Сопряженное с ^о пространство состоит
из последовательностей ?°°-функций G = {gn: —сю < /i ^ оо}
с нормой
двойственность задается формулой
(F, G) = J /м (jc) g« (х) dA: + J] J /„ (ж) gn (x) dx.
(с) Выберем {уп: —оо < п < оо} так, чтобы уп-+0 (rt->oo),
Уп^-оо (п->—оо) и- 0 <Уп — ^„+i<min(^, 1). Определим
оператор 5: Н\>-+Т формулой1) [5(u)]n(x) = ы(х, ул). Тогда
S отображает Я^ на замкнутое подпространство в ?Г0. (Исполь-
(Используйте вертикальную максимальную функцию u+(x) =
у)|)
(d) Согласно (Ь) и (с), каждый ограниченный линейный
функционал на Яр имеет вид
оо
L (и) = J и (х) gx (x)dx + YJ\u (х, Уп) ёп (*) dx,
где
1) Здесь w(jc, у) —интеграл Пуассона функции и(х) —Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 271
и обратно. Вместе с теоремой двойственности это доказывает
обратное утверждение к теореме 1.6. Если ф е ВМО, то
?ос@+ \Py{x-t)do{x, у),
где |crj—мера Карлесона. Здесь
где dsn — dx на прямой {# = #*}. Отметим, что мера \о\ даже
более чем карлесонова, потому что
Это отражает тот факт, что пространство Н1 определяется через
вертикальную максимальную функцию, равно как и через нека-
некасательную. Намеченное выше доказательство принадлежит
Фефферману (не опубликовано).
***(е) Карлесон [1976] конструктивно получил разложение
оо
ф @ = ?оо @ + ? J РУп (х - о ва @ ш,
оо
I gco I + Z I Sn I ^ L°°> Для любой функции ф е ВМО.
— оо
(f) Предполагая результат (е) доказанным, докажите сле-
следующую максимальную характеризацию Я1: если ue L1 П L2,
то ||//m||i ^ СЦы+Hi. (Указание. Пусть g(=L2QL°°, ||^||oo=l, и
Ф = Hg e ВМО. Тогда
Верхняя грань левой части равна ||Ям||ь)
(g) Выведите из части (е) трудную половину теоремы двой-
двойственности.
оо
8. Пусть ^Еа/^бй1, Докажите при помощи двойст-
0
венности, что
5? (Пэли)>
(Харди).
9. Существуют такие функции и s ВМО, что \4u\dxdy не
является мерой Карлесона. Существует даже такое произведе'

272 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
ние Бляшке B(z)> что
(а) Пусть /(б><е)=2A/я)е<24 Тогда /еВМО. Обозначим
1
кольцо {1 -— 2~п ^ | z | ^ 1 — 2-*-1} через Ап. Тогда
\\\f'(z)\dxdy>c/n.
А
Полагая Ref=ai + , покажите, что существует ограничен-
ограниченная гармоническая функция и (г), у которой \[\Vu\dxdy = оо.
D
Тогда F = ехр(ц + ш) — функция из Н°° с
D
(b) g(?*e)= S апепП(д^ ВМО тогда и только тогда, когда
]Clfl/il2<°°> но \ \ | g'(z) \dxdy < сю тогда и только тогда,
когда Yj \anI < °°-
(c) Если ?\ап\2 < оо, то существует функция F ^ Н°° с
= а„ (см. Фурнье [1974]). Если при этом V | ап | = oof то
$!"-•
(d) Существует такое произведение Бляшке В (г), что
Самый ранний пример принадлежит Рудину1) [I955bJ.
10. Существуют такие функции f\(z), f2(z)^H°°, что
вдоль вейкой гладкой кривой ГсДс концом на Т.
Следовательно, отображение 2->-(г, f\{z), /2B)) есть вло-
вложение единичного круга в С3. Соответствующее многообразие
!) Первый пример функции класса Н°° с несуммируемой производной
принадлежит С. Н. Мергеляну (см. Мергелян [1951 *]), где дана конструк-
конструкция, близкая к намеченной в п. (а). В связи с утверждением п. (с) см. Вино-
Виноградов [1970*]. Описание коэффициентов аналитических функций с суммируе-
суммируемой производной, из которого легко следуют результаты (а) — (с), см. в ста-
статье Пеллера и Хрущева [1982*1, стр. 58—59. См. также Андрианова
[1976*]. —Яры*, ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 273
ограничено и полно относительно внутренней метрики, индуци-
индуцированной евклидовой метрикой пространства jCA
Чтобы построить f\ и fo возьмите сначала
Тогда
так что
вдоль всякой кривой TczD с концом на Г. С другой стороны,
ф(е1>0)еВМО, ф = и + v. Возьмите /i = ви+|'й, /2 = ev+id. Этот
пример принадлежит Джонсу [1979а]. Происхождение этой за-
задачи см. у Янга [1977].
11. Атомом называется функция а(х), сосредоточенная на
интервале / и такая, что
Если {а/} —последовательность атомов, а /1 I ^/1 < °°> т0
||я, ^С X 1^/1- Обратно, по теореме двойственности каж-
каждая функция из tflR имеет такой вид, причем ? | Л/ |^С||/||Я,.
Прямое доказательство атомного разложения, которое снова
влечет за собой двойственность Я1 — ВМО, см. у Койфмана
[1974] или Лэттера [1978].
12 (диадическое ВМО). Диадический интервал — это интер-
интервал вида о) = (j2~n> (/+ 1J~п) с целыми / и п. Положим для
ф
где верхняя грань берется только по диадическим интервалам.
Диадическое ВМО (BMOd) состоит из всех функций <р с ко-
конечным ||ф||г1.
(a) ВМО cz ВМОа, но в BMOd есть функции, не входящие
в ВМО.
(b) Если ф е BMOd, то фе ВМО тогда и только тогда,
когда (ф^ — ФоJ|^^ лля любых смежных диадических интер-
интервалов со, и со2 равной длины. При этом C|||cp|L ^ A + ||©||d ^

274 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
(с) Пусть функция ф е ВМОа сосредоточена на [0, 1]. Су-
Существует семейство *§ диадических интервалов со, такое, что
(E.I) I M<C||<p||d|/|
«с /
для любого диадического интервала /, и существуют числа?
со е ^, такие, что | affl | < СЦсрНа и
Ф = Ф+ Z «Д., фе!00, ||г|)||оо<С||ф||A.
(О €5^
Обратно, любая функция такого вида входит в BMOd. Для
доказательства этого разложения имитируйте доказательство
теоремы Джона —Ниренберга. Пусть l|cplld=l. Возьмите
& = {П) из этого доказательства и % = <pIn — <pln-\, /пс/п"' .
(d) Диадическая максимальная функция — это
где верхняя грань берется по диадическим интервала*. Про-
странство Н\ состоит из функций /eL^O, 1] с
||fd||i — норма в Н\. Пространство, сопряженное с #d, согласно
(с), совпадает с ВМОа.
Диадические пространства Н\ и ВМОа являются частными
случаями мартингальных пространств Я1 и ВМО (см. Гарсиа
[1973]). Технически с ВМОа гораздо легче работать, чем с
ВМО. Например, часть (с) выше довольно проста, а прямое
доказательство аналогичного факта для ВМО — упражнение
7(е) — довольно трудно.
13. (а) Пусть носитель функции ф^ВМО содержится в [0, 1].
Существует функция F <= С°° (<9#), у которой \VF(x, y)\dxdy —
мера Карлесона,
(Е.2) 5$ |VF(*, у)\йхйу<АЫ\Л <2=Ф> a + h]X@, Л],
Q
(Е.З) sup\F(xy y)\<=D
И
(Е,4)

Упражнения и дальнейшие результаты 275
Согласно 12(с), мы можем считать, что
ф(*) = Z <х«Х©(*).
со е= ^
где семейство интервалов S7 удовлетворяет (ЕЛ). Положим
Функция Fo удовлетворяет (Е.2) и (Е.З), но не принадлежит
С°°. Тем не менее градиент \VF0(xy y)\ в смысле обобщенных
функций является мерой Карлесона (используйте упр. 12(Ь)
для контроля над \дРо/дх\). Гладкая функция F(xy у) полу-
получается сглаживанием из Fq. Пусть fteC°°(C), Л(^)^0,
[fidxdy=\ и h(z)=O при |г|>1/2. Положим hn{z) =
=S (hn*Fn)(z).
Функция FgC°°(^) удовлетворяет (Е.2) — (E.4) (Варопулос
[1977а]).
(b) Используйте (а), чтобы дать другое доказательство
двойственности HlR — ВМО.
14. (а) Пространство, сопряженное с VMOG), есть Н\>(Т).
(Ь) Пусть /еВМО. Тогда /eVMO в том и только том
случае, когда
a+h h
j
a 0
|>11Вномерно по cgR, где u(z)—интеграл Пуассона от f(t).
*15. (а) Пусть \|>е=ВМО, ||i|)||#<fio. Если
TT5
то существуют такие б = 6(BOy В{) и В2 = B2{BQy Bj), что
sup •
/ Iy I J
Доказательство является вариантом доказательства теоремы
Джона — Ниренберга. Достаточно показать, что при некотором
а> 1
(Е.5) \{х^1
для любого интервала /.

й7в Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
Возьмем такое X > 0, чтобы
(Е.6) It-t/KJA, /с/, 1/1 = 21/1,
и чтобы
(Е.7)
для всех /. Выберем интервал /о; можно считать, что /0 = [0, 1]
и ^/о = 0. При п= 1, 2, ... пусть {/„/}—максимальные диади-
ческие подынтервалы в /0, такие, что tyinj^nk. По (Е.6)
и в силу (Е.7) существуют подмножества ?л/- с /„/, такие, что
|^л/|^'|/я/|/2 и $(*)>(" — 1 /2)X, x(=Enj. Интервалы {/*/}
при данном я попарно не пересекаются, поэтому для любого
интервала 1ть,
< - V g(n-m-l)X
-m -
<C
'mk
В частности, при п^ т
(Е.8)
Более того, для любого s ^ 2 найдется такое По,
^ т -f" 5, что
В частности,

Упражнения и дальнейшие результаты 277
Выбирая 5 достаточно большим, получим
l^+s /I<g.u+26)JX 6>0
откуда (Е.5) при а = sX следует по индукции.
Это рассуждение принадлежит П. Джонсу и имеет несколько
интересных следствий.
(Ь) Если г|х=ВМО и
(Е.9) supT||
то при некотором е > О
Таким образом, множество {А: выполняется (Е.9)} не содержит
своей верхней грани.
(с) Если вес w удовлетворяет {Ар), то w удовлетворяет
(Ар-г) при некотором е > 0. (Используйте часть (а) и лемму
6.5 cx|) = Iog(^-1/^1)).)
16. Пусть Н — преобразование Гильберта, а В — оператор
умножения на функцию b{x), Bg(x) = b(x)g(x). Коммутатор
[В, Н] определяется формулой
[В, H)g=B(Hg)-H(Bg) = b(x)Hg(x)-H(bg)(x).
Оператор [S, Я] ограничен в L2 тогда и только тогда, когда
/?(х)еВМО, причем
(Указание. Используйте двойственность и факторизацию Рисса;
см. Койфман, Рохберг и Вейсс [1976].) Следующее доказатель-
доказательство оценки II [В, Н] || ^ CII&IU принадлежит Рохбергу. Соглас-
Согласно разд. 6, найдется такое б > 0, что если ||Ь!1* < б, то е2Ь удов-
удовлетворяет условию (Л2). Значит, по теореме 6.2
)у)
„у f(y)dy
допускает оценку ll^flb^ CUflb, поскольку
*bWe-2bM \f(*)?dx.
При |2| = 1 то же самое верно и для оператора TZy в котором
Ь(х) заменено на zb(x). Но
J
2я/

278 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
17. Если A—вероятностная мера, а функция / ^ О изме-
измерима, то
где
A(f) = sup { A: \eAfd\i <oo J.
(Разложите eAf в степенной ряд и используйте признак Коши и
формулу Стирлинга.)
18. (а) Пусть ие!~(Г), ||«IL<y, / = ?>-'<«+'*>. Тогда
|/| — функция из слабого L\ поскольку Re/^ 0. Значит,
Ввиду конформной инвариантности
<oz{6: |й(е/е)—fi(z)|>X} < Ce-\ 2Gfl,
где сог(?) = — \Pzd6. Следовательно, для любой дуги /
Е
(Ь) Подобным же образом из условия Хелсона — Сегё вы-
вытекает и условие (Л2).
19. (а) Пусть |х — локально конечная положительная боре-
левская мера на R, а ее максимальная функция
p
/эх
конечна почти всюду по мере Лебега. Тогда
(Койфман и Рохберг [1980]).
(Ь) Пусть Яс[0, 1] и |?|^4~1/е. Тогда существует такая
функция ф е ВМО, что
1,
Пф11*
где с —абсолютная постоянная. (Указание. Возьмите ф =
= (а + plogMxE)+. Другое доказательство дали Гарнетт и
Джонс [1978].)
*20. (а) Положим при f <= LfOc(R)

Упражнения и дальнейшие результаты 279
Таким образом, /еВМО тогда и только тогда, когда f^eEL™.
По максимальной теореме ||/#||р ^ Cpli/IU 1 < р < оо. Дока-
Докажите обратное:
\\f\\p<C'p\f*l, К/7<ОО,
(Фефферман и Стейн [1972]).
(Ь) Пусть Т — такое сублинейное отображение пространства
R)n^°°(R) в пространство измеримых функций на R, что
II77 Ife < А> II/Ik,
Тогда \\Т{\\р^АрЩр, 2^р^оо. (Используйте G7)* и ин-
интерполяционную теорему Марцинкевича.) Следовательно, тео-
теорема М. Рисса вытекает из теоремы 1.5.
21. Говорят, что положительная локально интегрируемая ве-
весовая функция w(x) удовлетворяет условию (А\), если
< оо.
(a) w(x) удовлетворяет условию (А{) тогда и только тогда,
когда
Mw(x)^ Cw(x)f
где М — максимальная функция Харди — Литтлвуда.
(b) Если w(x) удовлетворяет условию (А\), то w(x) удов-
удовлетворяет (Ар) при всех р > 1.
(c) w(x) удовлетворяет условию (А\) тогда и только тогда,
когда максимальный оператор или оператор Гильберта имеют
слабый тип A — 1) в V(wdx) (Макенхаупт [1972], Хант, Ма-
кенхаупт и Виден [1973]).
(d) Пусть (p = logay; w удовлетворяет условию [А\) тогда
и только тогда, когда
1 С
uPttt \ еф~ф/Лс < °°» sup (ф/ — ess inf ф(дс)) < оо.
suP
Пространство функций, удовлетворяющих последнему условию,
называется пространством функций ограниченной нижней
осцилляции (BLOI). Если ф е BLO, то ф^ВМО, и поэтому
ег($ удовлетворяет условию (А\) при некотором е > 0.
%**(е) Если w\ и ы>2 удовлетворяют условию (Л0, то
w = wxw\~~p удовлетворяет (Ар) по неравенству Гёльдера.
Обратное тоже верно, но очень трудно. См. Джонс [1980с].
Вместе с теоремой Хелсона — Сегё обратное означает, что при
1М|оо<1
Hv = и — Ни\ + Hu2t
l) Bounded Lower Oscillation. — Прим. перев,

280 Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция
где и е L°°, Ци/IU < 1 и //и/ е BLO, /=1,2.
(f) Если w удовлетворяет (A{)t то wl+(i тоже удовлетворяет
(Л1) при некотором б > 0. (Используйте часть (Ь) и следствие
6.10.)
(g) Если ц —локально конечная положительная борелев-
ская мера и M(d\i)<C<x> почти всюду, то (M(d\i))a удовлетво-
удовлетворяет условию (Ai) при 0 < ос < 1 (Койфман и Рохберг [1980]).
**(h) Положим для любой функции w(x) и любого 5>1
Тогда при 1 < р < оо
(см. Кордоба и Фефферман [1976]). Из части (а) легко выте-
вытекает, что
если 1 <С р <С оо, a w удовлетворяет {А]).
22. Положим на единичной окружности ВМОА = #2ПВМО.
При / еВМОА
inf ||/-«rlL<C inf \\f-g\\m.
g^H°° gel00
*23. (а) Пусть f(z) — однолистная функция в единичном
круге. Если она не имеет нулей, то log/(e'e)<= BMO. Далее при
0<р<1/2 функция \f(eid)\p удовлетворяет условию (А2)
(Бернстейн [1976], см. также Чима и Петерсен [1976], Чима
и Шобер [1976]).
(Ь) Функция /(г),.аналитическая в D, принадлежит ВМОА
тогда и только тогда, когда f(z) = <zlogg'(z)y где а — постоян-
постоянная, a g — конформное отображение круга D на жорданову
область со спрямляемой границей Г, такой, что
\y w2) ^c\w\ — W2\, wlyw2<^r,
где l(wu W2) — кратчайшая дуга кривой Г, соединяющая W\ и w2
(Поммеренке [1977]). См. также у Поммеренке [1978] по-
подобное описание VMOA.
*24. Пусть Е — замкнутое множество на римановой сфере и
oog?. Каждая аналитическая в D функция со значениями в
С\Е входит в ВМОА тогда и только тогда, когда
сар(?П A^ — го|<г})>6, 2OeC\?,
при некоторых г > 0, б > 0. Здесь cap E) — логарифмическая
емкость множества S. (Хейман и Поммеренке [1978], Стегенга
[1979]; Бернстейн [1980] дал другое доказательство.)

Упражнения и дальнейшие результаты 281
25. Классом Блоха В называется множество всех таких ана-
аналитических функций f(z) в Z), что
(а) Если /(г) аналитична в D, то / е В тогда и только
тогда, когда семейство функций
нормально.
(b) BMOAcfi.
(c) Z/eB \ BMOA.
*(d) Пусть F аналитична в D и f=F'. Тогда /еВ в том
и только том случае, когда F входит в класс Зигмунда Л*:
F (<же+л>L- /7(е«е-л>) _ 2F(e'e) = О (Л)
(см. Дьюрен [1970], Зигмунд [1968]). Раз Л* содержит сингу-
сингулярные функции (Кахан [1969], Пиранян [1966], Дьюрен, Ша-
Шапиро и Шилдс [1966]), мы снова видим, что В ф ВМОА.
(e) /(г)еВ тогда и только тогда, когда /(г) = alogg'fz),
где а — постоянная, а функция g(z) однолистна в D. (См.
Дьюрен, Шапиро и Шилдс [1966], Поммеренке [1970]. Ср. с
23(Ь).)
(f) С другой стороны, В совпадает с множеством всех ана-
аналитических функций из «плоского» ВМО, определенного в еди-
единичном круге условием
^ \
(Койфман, Рохберг и Вейсс [1976]I).
*(g) Пусть f(z) аналитична в D, a n(w)—число решений
уравнения f(z) = w, z^D. Предположим, что
sup \\ n(w)dudv
woeCii
оо,
Тогда f^BMOA в том и только том случае, когда /еВ, и
f e VMOA = Н2 П VMO в том и только том случае, когда / е Во,
lim A-|2|2)|ГB)| = 0
(см. Поммеренке [1977]).
Андерсон, Клуни и Поммеренке [1974] дали прекрасный
обзор теории функций Блоха.
') О классе Блоха см. также статьи Сарасона и Андерсона на стр. 233—
236 сборника под ред. Никольского, Хавина и Хрущева f 1978]. — Прим. перге.

Глава VII
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность {г/} в круге или верхней полуплоскости
называется интерполяционной последовательностью, если каж-
каждая интерполяционная задача
f(z,)=ah /=1, 2, ...,
с ограниченными данными {а}} имеет решение f(z)^H°°.
Интерполяционные последовательности очень интересны
сами по себе и играют решающую роль в исследовании Н°° в
последующих главах. Например, мы используем их в гл. IX,
чтобы описать все замкнутые алгебры между Н°° и L°°, и они
окажутся неожиданно важными при обсуждении пространства
максимальных идеалов в гл. X.
В этой главе вводится понятие поколений. Так же как мо-
моменты остановки в доказательстве теоремы Джона — Нирен-
берга, поколения естественно появляются в некоторых наиболее
глубоких доказательствах в нашей области. Они часто исполь-
используются в следующей главе. Вводятся и некоторые другие важ-
важные технические приемы, в частности:
(i) решение экстремальных задач с помощью вариационных
методов (разд. 2) и
(и) использование некоторых идей, пришедших из гармони-
гармонического анализа, таких, как процесс усреднения в доказатель-
доказательстве теоремы 2.2 и неравенство Хинчина в разд. 4.
Приводятся два доказательства теоремы об интерполяции.
Первоначальное доказательство Карлесона, опирающееся на
двойственность, помещено в разд. 1, потому что оно проливает
свет на геометрию интерполяционных последовательностей.
Элементарное доказательство Эрла, напоминающее теорему Не-
ванлинны — Пика, помещено в разд. 5.
1. Теорема Карлесона об интерполяции
Пусть {г/} — последовательность точек верхней полуплоскости.
Мы хотим узнать, когда любая интерполяционная задача
A.1) f(zf) = ah /=1, 2, ...
с ограниченными данными {а/} имеет решение Дг)еЯ°°. По-
Последовательность {zj} называется интерполяционной, если за-
задача A.1) имеет решение в Я°° при любых {#/} е /°°. В таком
случае ограниченный линейный оператор Т: f-*{f{Zf)} отобра-
отображает Н°° на /°°. По теореме об открытом отображении сущест-

1. Теорема Карлесона об интерполяции
283
вует такая постоянная Му что задача A.1) всегда имеет реше-
решение f(z), у которого
Наименьшее возможное значение М называется константой
интерполяции:
М= sup inf{||/IL: /e//00, fBr/) = a/> /=1, 2, ...}.
\\ai\\oo<1
Если Zj и Zk — две различные точки интерполяционной по-
последовательности, то существует такая функция f e #°°, что
fB/)=0, f(zk)=l и 11/11 оо ^ Af. По лемме Шварца это озна-
означает, что
= р(г„ г,)< !i_~f
так что
A.2)
>a>0,
ПрИ a = l/M. Последовательность {г/} называется отделимой
или редкой, если для нее при некотором а > 0 выполняется
условие A.2). Мы только что доказали, что любая интерполя-
интерполяционная последовательность является редкой.
Предыдущие рассуждения можно продолжить и получить
такое необходимое условие интерполяционности, которое ока-
окажется и достаточным. Зафиксируем zk, и пусть /еЯ°°, H/IU ^
^ М, интерполирует значения
/(**)= 1, /(г/)=0, \фк.
Если B(k) — произведение Бляшке с нулями (г/, / Ф k) (оно су-
существует, так как /#0), то / = B{k)g, ^^Я°°, \\g\\oo < М и
|гBЛ) | < M
откуда |В(/г)(г^)|^ 1/Af. Поскольку zk выбиралось произвольно,
то мы можем заключить, что для интерполяционной последова-
последовательности
(КЗ)
П
>б>0
при 6= l/M. Теорема Карлесона утверждает, что и, обратно,
необходимое условие A.3) достаточно для того, чтобы после-
последовательность {zj) была интерполяционной.
Прежде чем полностью формулировать теорему, попробуем
интерпретировать A.3) геометрически,

284
Гл. VII. Интерполяционные последовательности
В единичном круге условие A.3) превращается в
A.4) inff П
Обозначим через В (г) полное произведение Бляшке
-*/ z~~zi
\zt\ l~zr
Если, полагая w = (z — Zk) / A — zkz), мы рассматриваем
как начало координат, то нулями В будут точки
~ *k*!
=1, 2
и A.4) равносильно тому, что
п
Но \-\w\
A.5)
log
/,
|, и это дает
так что A.4) выполняется тогда и только тогда, когда сумма
Бляшке A.5) ограничена величиной, не зависящей от выбора
точки Zk» Этот факт, конечно, отражает конформную инвариант-
инвариантность интерполяционной задачи A.1). Вместе с тождеством
1 -
из разд. 1.1 условие A.5) дает
Если заменить здесь верхнюю грань по точкам
гранью по всем точкам круга, мы получаем
(L6)
верхней
В силу конформно-инвариантного описания мер Карлесона
(лемма VI. 3.3) A.6) выполняется тогда и только тогда, когда
мера 2 A — Iz/Duz/ является мерой Карлесона в круге. Теперь
нетрудно убедиться, что из A.4) вытекает (Кб), и, обратно, если
последовательность редкая, то из A.6) вытекает A.4). (Полное
доказательство приведено ниже, в доказательстве теоремы.)
Это обсуждение не доказывает теорему, но проясняет связь

1. Теорема Карлесона об интерполяции 285
между мерами Карлесона и интерполяцией. Исторически меры
Карлесона возникли именно в теореме об интерполяции.
Чтобы сформулировать теорему, мы возвращаемся в полу*
плоскость.
Теорема 1.1. Пусть {zj} — последовательность точек верхней
полуплоскости. Тогда следующие три условия равносильны.
(a) Последовательность является интерполяционной: каж-
каждая интерполяционная задача
f(Zj)=ah j= 1, 2, .... {а/}€=/°%
разрешима в Н°°.
(b) При некотором б > О
A.3)
=l, 2
(с) Последовательность {zi} редкая:
^^Г >а>0,
и существует такая постоянная А, что для каждого квадрата
Q= {xo^x^xo+/(Q), 0<y<^(Q)}
A.7) Е yt<A/(Q).
Постоянная б из A.3) и константа интерполяции
М= sup inf{||/L: /еЯ00, /(z;) = a/( /=1, 2, ...}
IlIL<'
связаны неравенствами
A.8) Т
с абсолютной постоянной с.
Не считая числовой постоянной с, A.8) дает точную верх-
верхнюю границу для М. Иллюстрирующий это пример будет дан
после доказательства.
Конечно, A.7) означает, что мера X #/**/ карлесонова.
Условие (с) геометричнее и часто бывает полезнее, чем (Ь).
Прежде чем переходить к доказательству, рассмотрим два при-
примера. Во-первых, предположим, что точки {г/} лежат на гори-
горизонтальной прямой {#/ = #> 0}. Тогда A.7) будет выпол-
выполняться, коль скоро точки {zj} отделимы. Таким образом, гори-
горизонтальная последовательность является интерполяционной
тогда и только тогда, когда она редкая. Этот факт без особого

286
Гл. VII. Интерполяционные последовательности
труда можно вывести и из A.3). Во-вторых, предположим, что
точки {г/} лежат на вертикальной прямой {х = 0}. Тогда A.7)
бзначает, что
Z
= 1, 2,
Если последовательность редкая, то это условие выполняется.
Если у\ ограничены сверху и так пронумерованы, что tjj+\ ^ у\,
то A.7) выполняется тогда и только тогда, когда точки сходятся
к границе экспоненциально: #/+i/#/^ а < 1. Таким образом,
вертикальная последовательность тоже является интерполяцион-
интерполяционной тогда и только тогда, когда она редкая. Конечно, не каждая
редкая последовательность удовлетворяет условию A.7). По-
Последовательность, удовлетворяющая только условию A.2), не
обязательно является последовательностью Бляшке; ее подпо-
подпоследовательности могут некасательно сходиться ко всем точкам
прямой.
Доказательство теоремы 1.1. Мы уже видели, что
(а) влечет за собой (Ь) с оценкой М ^ 1/6.
Остались два шага доказательства. Во-первых, мы покажем,
что (Ь) и (с) эквивалентны. Для этого нужно только сравнить
бесконечные произведения с бесконечными суммами. Во-вторых,
мы должны показать, что из (Ь) и (с) вместе следует (а). Это
делается при помощи двойственной экстремальной задачи.
Для доказательства эквивалентности (Ь) и (с) нам пона-
понадобится одна элементарная лемма.
Лемма 1.2. Пусть B(z) — произведение Бляшке с нулями
{zj} в верхней полуплоскости. Тогда
A.9)
Обратно, если
то
A.10)
? — 7 . I2
inf р (г
I
inf
/
— г,
2 = X
= а>0,
г — 5 , I»
/I2
Доказательство. Неравенство —log/^1—f, / > 0,
дает
log
— Z,
> 1 —
z — zt
12 —

1. Теорема Карлесона об интерполяции
287
Суммируя, получаем A.9). Обратное неравенство
- log t < -,2_|y о - о < (I + 2 log JL) A - /),
верное при а2 < t <L 1, таким же образом дает A.10). ?
Теперь допустим, что выполняется (с). Тогда, согласно A.7)
и формуле C.8) гл. VI,
A.11)
12/ ~
Для удобства читателя мы непосредственно выведем A.11) из
A.7), повторяя, по существу, доказательство из гл. VI. Фикси-
Фиксируем Zk = Xk + itjk и положим Sn= {z^3@: \z — xk\ ^ 2nyk}>
/i = 0, 1, ... . В силу A.7) Yj Vi ^c2n+li/k. При г/GSo имеем
|Z/-2*|2><4>a если Z/gSA5^,, n^ 1,to|z/ -г,|2> 2**-2у\.
Следовательно,
4УлУ/ ^ A X^ У!
. г—Г7 ^4 > •
' \zi ~ zk V *—* Чь
\ I \ 1— 1<
Zj I Zj 22ni/fe )
Поскольку inf \(zk — Zj)/(zk —
/. /^*
A.10) к произведению Бляшке
чить
и
zi
то можно применить
с нулями {zj\ j=?k} и полу-
i = 6(a, Л).
Значит, (с) влечет за собой (Ь).
Теперь предположим, что выполняется (Ь), т. е.
Тогда, очевидно,
/. t+ь
— Z:
и наша последовательность редкая. Применяя A.9) к произве-
произведению Бляшке В(А?)(г), полученному удалением одного нуля г*,
получим
У

288 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
Рассмотрим квадрат
Вначале мы изучим частный случай, когда его верхняя половина
содержит некоторую точку последовательности г*. Тогда
\гм — */|2<5/(QJ, 2/eQ, так что
Значит,
^ 5/ (Q)
и для квадратов с T(Q) П {^/} # 0 выполняется A.7) с по-
постоянной Л = c(l + log(l/6)).
Чтобы получить A.7) для всех квадратов, мы применим рас-
рассуждение с «моментом остановки». Пусть Q = Qo = {*о ^ х ^
<JC0 + /(Q), 0<y</(Q)}. Разобьем Q\T{Q) на два ква-
квадрата Q\ со стороной <?(Q)/2, каждый прямоугольник Q]\T(Q\)
разобьем на два квадрата Q2 со стороной /(Qi)/2 и так далее.
На шаге п мы получим 2* квадратов Qn со стороной 2~V(Q),
верхние половины которых T{Qn) конгруэнтны T(Q) относи-
относительно гиперболической метрики. Эти квадраты Qn имеют по-
попарно непересекающиеся внутренности и вместе покрывают по-
полосу {2eQ: 0 < у ^ 2"п /(Q)}. Обозначим через Q\ Q2, ... те
из квадратов {Qn}>-n ^ 0, у которых
(i) ТШП{г,}Ф0,
(ii) Qn не содержится ни в каком большем квадрате, удов-
удовлетворяющем (i).
Тогда QC\ {zj} a Ql[)Q2\J ..., и внутренности проекций квадра-
квадратов Q1, Q2, ... на ось {у = 0} не пересекаются, так что
(см. рис. VII. 1). Мы уже видели, что для каждого Q* A.7) вы-
выполняется с А =с(] -f logA/6)). Суммируя по всем Qht полу-
получаем
j)'(Q).

1. Теорема Карлесоиа об интерполяции
т. е. A.7) в общем случае. Значит, (Ь) влечет за собой (сI).
Чтобы получить точное неравенство A.8), мы должны ис-
использовать тот факт, что постоянная А в A.7) имеет вид
A.12) i4<
Теперь нам нужно показать, что из (Ь) и (с) следует (а). Пусть
{aj) е /°°, |а/|<1 1; рассмотрим конечную задачу
A.13) /(*/) = <*/, 1</<л.
Поскольку точки различны, задача A.13), очевидно, имеет ре-
<?> Q2 Q5 Q*
Рис. VII. 1. Заштрихованные квадраты Q1, Q2, ... максимальны среди тех Qrtt
для которых Т (Qn) Л {zj} Ф 0.
шение /(г)еЯ°° (например, можно взять f(z) = p(z)/(z + i)n,
где p(z)—некоторый полином степени п). Положим
АМ{а,>)-i
Mrt= sup
Согласно теории нормальных семейств теорема будет доказана
и неравенство A.8) будет установлено, если мы покажем, что
Пусть
бяB)=П-Ь
~~~ Z 1
1) Простое доказательство импликации (Ь)=**(с), не использующее «диа-
дических» рассуждений с «моментами остановки», дал С. А. Виноградов
(Никольский f!980*], лекция VII). — Прим. ред.
Ю Зак. 829

290
Гл. VII. Интерполяционные последовательности
При фиксированных {а/} пусть /0^Я°°— решение задачи A.13).
Тогда
Мп ({а,}) = inf (|| /о + Bng L: g s Н°°) = inf {|| BJ0 + g \\M: g s Я00}.
Но
и по соображениям двойственности
Mn({af})= sup {\\fQBnOdx
Теперь теорема Коши дает при О
С foBnG dx = \ !»MQ
(х)
V
(В контурном интеграле вклад большой полуокружности с бес-
бесконечно возрастающим радиусом рассматривать не нужно, по-
потому что можно выбрать G(z) из плотного в Я1 подмножества
функций G\(z)y у которых \G\(z) \ = O(|z|~2).)
Поскольку fQ(zj)= а/, то это дает
Мп= sup sup
II ll^1
Для фиксированного G(z) можно так выбрать {а/} с |а/|=1,
чтобы alG(zj)/B/n(zj)^0. Тогда
A.14) Mn =
Но
так что из (Ь) следует
Значит,
По условию (с)
<?(*/)
sup [ Е у, I G (г,) |: Q s
— мера Карлесона, и по теореме II. 3.9
Я1, || C1|, < 1J < С А,

1. Теорема Карлесона об интерполяции 291
где Л — постоянная из A.7). Следовательно,
lim M
и (а) доказано.
Итак, мы показали, что условия (а) — (с) равносильны. Да-
Далее ввиду оценки A.12) для постоянной А мы получаем
{). ?
Вот пример, демонстрирующий точность оценки A.8). Пусть
(х> = expBni/N)—первообразный корень N-ft степени из еди-
единицы. Возьмем в круге конечную последовательность
г/ = ш>, /= 1, 2, ..., N,
где параметры Л/ и г<1 будут выбраны позже. Произведение
Бляшке с нулями г/ равно
Согласно A.4),
Рассмотрим интерполяционную задачу
По теореме 1.2.4 или IV. 1.8 эта конечная задача имеет только
одно решение минимальной нормы, которое имеет вид /B) =
= mB\{z), где В\ — произведение Бляшке с не более чем N— 1
нулями. Поскольку Z/+1 = шг/, a/+i = aHa/, то эта единствен-
единственность требует, чтобы /(г) = со/((о<г). Значит, множество нулей
функции B\(z) инвариантно относительно умножения на со. Ио
раз нулей не более N—1, то все они совпадают с г = 0, и
f(z) = mzpy р ^ N— 1. Простое вычисление дает /(г)= rl-Nzw~l.
Пусть г->1, а N-+oo таким образом, чтобы m = rl-N остава-
оставалось постоянным. Тогда
й = Mm ' г __ 2 и l'm N A — г2) = 2 log m,
так что при больших N имеем 6^(logm)/m. Следовательно,
существуют такие конечные интерполяционные последователь-
последовательности, что
1) Представляет интерес оценка величины М при б, близких к единице
Из доказательства Эрла (см ниже разд. 5, а также Эрл [1970]) видно, что
М — 1 <^ A Vl — о1 , если б е f1/?, 1]; здесь А — лбсолютная постоянная.
В. А. Толоконииков заметил, это »тв оценка точна (в том же смысле, что и
0.8)) (см. Никольский [1983*])» — Прим. ред.

292 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
2. Линейный оператор интерполяции
Пусть {г/} — интерполяционная последовательность в верхней
полуплоскости. В этом разделе мы докажем, что существуют
интерполирующие функции, которые линейно зависят от дан-
данных интерполяции {а/}. Этот полезный результат будет полу-
получен с помощью нелинейной экстремальной задачи.
Теорема 2Л. Пусть {zj}—интерполяционная последователь-
последовательность в верхней полуплоскости с константой интерполяции
М= sup infdl/IL: f^//00, /(^) = ay, /=1,2,...}.
He/IL<1
Существуют такие функции //(г)е Я°°, что
B.1) Ы*/)=1, //(**) = <>, кФи
B.2) El//(г) КМ.
Прежде чем доказывать теорему, укажем два ее применения.
Пусть {a/} s /°°, тогда в силу B.2) функция
B.3) /(г)=Еа///(г)
входит в Н°° и, согласно B.1),
/(«/)=*/, /=1, 2, ... .
Таким образом, B.3) определяет интерполирующие функции,
линейно зависящие от {а/}, и мы имеем линейный оператор ин-
интерполяции S: l^-^H00, заданный формулой S ({ау}) = ? atf}i
норма которого по B.2) не превосходит М, ||S|| ^ M, и
B.4) S({ai}){zk) = ak, *=1, 2, ... .
Поскольку М — константа интерполяции, то на самом деле
|(S|| = М — ведь для любого, даже нелинейного, оператора со
свойством B.4) по определению М должно быть
sup \\S({ai})\L>M.
\\aj\\oo<1
Таким образом, линейный оператор B.3), решающий интерпо-
интерполяционную задачу A.1), имеет наименьшую возможную норму.
Неравенства
показывают, что образ S(l°°) является замкнутым подпро-
подпространством в Я°°, изоморфным /°° как банахово пространство.
Линейный оператор Р: Яоо->5(/о°), такой, что Pg= Zff С2/) fj»
отображает Я°° на 5(/°°), и Р2 = Р. Иными словами, Р — проек-
проектор, а S(l°°) — дополняемое подпространство в Н°° (ядро опе-
оператора Р служит дополнением). Значит, согласно теореме 2.1,

2. Линейный оператор интерполяции 293
Н°° содержит дополняемые подпространства, изоморфные /°°.
Второе применение касается интерполяции ограниченными
аналитическими функциями со значениями в банаховом про-
пространстве. Функция /(-г), отображающая открытое плоское мно-
множество в банахово пространство У, называется аналитической,
если локально /(г) представляется как сумма абсолютно схо-
сходящегося степенного ряда с коэффициентами из У. Равносиль-
Равносильное определение состоит в том, что комплекснозначная функция
z-><(/*, /(г)> должна быть аналитической при всех i/* e У*.
Процитируем Гофмана [1962а]: «Любые два разумно звучащие
определения аналитических функций со значениями в банахо-
банаховом пространстве эквивалентны».
Пусть {zj}—интерполяционная последовательность в верх-
верхней полуплоскости, У—банахово пространство и {а/} — огра-
ограниченная последовательность в У, sup||a/||y < оо. Если {//} —
скалярные функции из теоремы 2.1, то
— аналитическая функция в верхней полуплоскости со значе-
значениями в У. Согласно B.1), она решает интерполяционную за-
задачу
f(z,)=ah /=1, 2, ....
а согласно B.2), она ограничена:
B.5) || f || - sup || / (z) \\Y < sup ? | ff (z) 11| a, ||r < M sup || a, ||y.
z z I
Мы заключаем, что последовательность {г/} является интер-
интерполяционной и для У-значных ограниченных аналитических
функций. Обратное очевидно — последовательность, интерполя-
интерполяционная для У-значных функций, будет интерполяционной и
для скалярных (нужно только проинтерполировать скалярные
кратные одного какого-нибудь вектора из У). Неравенство B.5)
показывает, что константа интерполяции в случае банахова про-
пространства такая же, как и в скалярном случае.
Доказательство т е о р е м ы 2.1. При Хь Я*, ..., кп^0
определим функционал
Z 71 (У)
и поставим экстремальную задачу
B.6) mrt=.m,({?w})esup{(p(G): G <=e H\ ||G||i < 1}.
Это нелинейная задача, к которой методы гл. IV неприменимы.
Но мы можем использовать более старый метод вариационного

294 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
характера. Очевидно, что экстремальная функция Go для B.6)
существует и должна быть внешней, Go = et/o"M^°. Пусть и(х) —
вещественная непрерывная функция с компактным носителем.
Тогда при /gR функция G/ = Goeiu+itu тоже входит в Я1 и
должно быть mn||Gf||i ^ <p(G<), причем при / = 0 здесь дости-
достигается равенство. Перепишем это неравенство в виде mJG/|]i —
— (p(Gt)^O и вычислим производную по / при t = 0; она
должна обратиться в 0, так что
п
«. 510.МИ*)<** = ?*;IG,(*,)!«(»,)-
Но и(х) произвольна, а это значит, что
и почти всюду
B7) т ' У |(?о(а!/)|
Положим теперь
и возьмем Х1 = 2я\В'п(г1}\~ в B.6). Тогда экстремальная за-
задача B.6) совпадает с A.14) и, стало быть,
тп = Мп= sup i
Тогда из B.7) имеем
„ _
-«/I2
почти всюду. Положим теперь
Согласно B.8), почти всюду

2. Линейный оператор интерполяции 295
Но функция Go внешняя, поэтому f{p] eiV+ и
Ясно, что №>(гл) —О, k*f*\, I ^ k ^ п, и непосредственное вы-
вычисление firt(Z/) показывает, что /(/г)B/)=1. Переходя к пре-
пределу при n-^оо, мы получим функции, удовлетворяющие B.1)
и B.2). ?
Вообще говоря, линейный оператор продолжения сущест-
существует не во всех ситуациях. Однако в теории равномерных алгебр
есть один элегантный результат, из которого вытекает тео-
теорема 2.1 с несколько худшей оценкой для ?1//(г)|. Его идея
заимствована из гармонического анализа.
Теорема 2.2. Пусть А — равномерная алгебра на компактном
пространстве Ху {рь ..., рп}—конечное подмножество в X и
М= sup
При любом е > 0 существуют такие /ь ...» fn s Л, что
B.9) //(Р/)-1,
/«I
Согласно теории нормальных семейств, теорема 2.1 следует
из теоремы 2.2 с заменой точного неравенства B.2) на более
слабое
t\
В случае равномерной алгебры общего вида распространить
теорему 2.2 на бесконечные интерполяционные последователь-
последовательности невозможно.
Доказательство. Пусть ю = в п — первообразный ко*
рень n-й степени из 1, и пусть g/еЛ, WgiW ^М + 8 (здесь
б > 0) интерполирует значения
gi(pk) = (*fk, k=l, 2, ..., я.
Положим

Гл. VII. Интерполяционные последовательности
Тогда // е А и // (р/) = 1. Поскольку при / ф j имеем
со<'-/)* = 0, то fj(pi)=Q при 1ф\. Наконец, при малом б
?
П
I. Поколения
Пусть {zj) — последовательность в верхней полуплоскости, мо-
торую мы предположим редкой:
C.1) \zi — zk\^byh кф'и
где Ъ > 0. Это условие C.1), очевидно, эквивалентно A.2), цо
будет удобнее для наших ближайших целей. Тогда последова-
последовательность {г}} будет интерполяционной в том и только том
случае, когда
C.2) ? y,<A/(Q)
для любого квадрата Q == {х0 ^ х ^ д:0+ t (Q), 0 < у (Q)}
с постоянной Л, не зависящей от Q. Условия, подобные C.2),
будут часто встречаться в оставшейся части книги, и мы по-
подробно проанализируем здесь C.2). Уяснение геометрического
смысла условия C.2) делает построение интерполяционных по-
последовательностей очень легким.
Пусть Q — квадрат с основанием на оси {^а=0}, a T(Q)m*
» {z e Q: / (Q)/2 < у ^ /(Q)} — его верхняя половина. Ра-
Разобьем Q\T(Q) на два квадрата Qi со стороной /(Q)/2 и бу-
будем продолжать, как в доказательстве теоремы 1.1. На шаге п
мы получим 2п квадратов Qn со стороной 2~V(Q) (см.
рис. VII. 1).
В гиперболической геометрии все верхние половины T{Qn)
конгруэнтны T{Q). Если последовательность {г/} редкая, то
каждая половина T(Q) или T(Qn) может содержать самое боль-
большее С(Ь) точек {г/}, где Ь — постоянная из C.1). В самом деле,
если разбить T(Qn) на С(Ь) квадратов со сторонами 2~(P+"V(Q),
где 2~р < Ь/2 д/2, то каждый из этих квадратиков в силу C.1)
может содержать не более одной точки 2/, потому что у\ >
>t (Qn)/2 (см. рис. VII. 2).

3. Поколения 297
Первое поколение G\(Q) состоит из тех QnczQ, у которых
О) Qn Ф Q>
(и) Т(Яп){\{г1)Ф(дш
(iii) Qn не содержится ни в каком большем квадрате со
свойствами (i) и (и).
Квадраты Q1, Q2, ..., образующие G\(Q)t имеют непересе-
Рис. VII. 2. Каждый малый квадрат
в Т (Qn) содержит не более одной
ТОЧКИ Z/.
кающиеся внутренности с непересекающимися проекциями на
ось {у =з 0). Значит,
? /(Q*X'(Q).
Oi(Q)
Далее,
{*,: «,eQ}cr(Q)U U 0*.
G,(Q)
Квадраты первого поколения на рис. VII. 1 заштрихованы.
Теперь таким же образом определим G\{Qk) для каждого
оно состоит из всех Qn ^Qk> у которых T(Qn)(]
(){2}}ф0 и которые максимальны относительно этих двух
свойств. Второе поколение — это
G2(Q)= U Gi(Q*).
Следующие поколения Gz{Q), G4(Q)y ... определяются по ин-
индукции:
<?,+.(Q)= U " '"
Op(Q)
Если 2/eQ, то или ?/eT(Q), или Zj<=T(Qk) для какого-ни-
какого-нибудь квадрата Qk в одном из поколений GP(Q)\ в этом случае
У1 сравнимо с ^(Qfe). Положим

298 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
Из определений ясно, что /P+i
Теорема 3.1. Предположим, что последовательность {zj} то-
точек верхней полуплоскости удовлетворяет условию редкости
C.1). Она будет интерполяционной тогда и только тогда, когда
для любого е > 0 найдется такое qt что для любого квадрата Q
C.3) /,= Z k
Наименьшее возможное значение q связано с постоянной А из
C.2) неравенствами
<7<1+^-, A^C(b, е, q\
где Ь — постоянная из C.1).
Доказательство. При z\ e T(Qn) имеем yi ^f{Qn)^
^2у,\ Каждое T(Qn) (или T(Q)) содержит не более С(Ь) то-
точек г/, а каждое T(Qk), Q*sGp(Q), содержит хотя бы одну
точку г/. Поэтому
р-1 ZyeQ V P-
Если последовательность {гЛ интерполяционная, то, согласно
C.2),
p-l
что при q^2A/e дает C.3). Обратно, если для всех квадратов
выполняется C.3), то по определению поколений
р = 1, 2, ..., так что.
Стало быть,
Nq+q
S
Nq+l
j \
и мы получаем C.2). D
4. Гармоническая интерполяция
Доказательство нашей следующей теоремы использует технику
рандомизации, которая бывает очень полезна во многих об-
областях анализа. Поэтому прежде, чем обратиться к теореме о

4. Гармоническая интерполяция
299
гармонических интерполяционных последовательностях, мы ко-
коротко обсудим неравенство Хинчина.
Задавшись конечным набором комплексных чисел аь «2, ...
,.<, ап, рассмотрим всевозможные суммы вида
где знаки ± пробегают все 2п возможных комбинаций. Пусть
р > 0. Неравенство Хинчина — это оценка математического
ожидания
р\
¦(
т. е. среднего арифметического всех 2Л возможных значений
|?±а/Г- Точнее, пусть Q — множество 2п точек вида со =
= (@i, ..., con), со/ = ±1. Определим на Q вероятностную меру
\i, полагая |ш({со}) = 2-л, шей. Положим
так что Х(<&)— это более строгое определение для
[
\|
/-1
Неравенством Хинчина называется следующая лемма.
Лемма 4.1. При 0 < р < оо
D.1)
Ср не зависит от п.
В D.1) важно, что Ср не увеличивается при возрастании п.
Мы докажем лемму 4.1 только в простом случае р ^ 2, потому
что именно он нам здесь понадобится (см. полное доказатель-
доказательство и применения в книге Зигмунда [1968]).
Доказательство для р^2. Случай р^2 легче, по-
потому что представляет собой замаскированное неравенство Гёль-
дера. Пусть Xf (ш) = со/, / = 1, ..., п. Тогда | X*f (со) | «= 1 и
&{Х} Xk)= 0, }фку потому что XjXk принимает значения ±1
с одинаковой вероятностью Г/2, Значит, последовательность

300 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
{Х\у ..., Хп} ортрнормирована в L2(\x). Но X = <х\Х\ +
... + а,пХПу а р<2, так что по неравенству Гёльдера
Это доказывает D.1) при р<2с Ср=1. D
Пусть теперь {г/} — последовательность в верхней полупло-
полуплоскости. Назовем ее гармонически интерполяционной, если лю-
любая интерполяционная задача
D.2) и (г/) = ah /=1,2,..., {a/} es /°°,
имеет решение «(г), которое является ограниченной гармони-
гармонической функцией в верхней полуплоскости. Ясно, что любая
//""-интерполяционная последовательность будет и гармонически
интерполяционной. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 4.2. Если {zj} — гармонически интерполяционная
последовательность, то она будет интерполяционной и для Н°°.
Доказательство. Так как каждая ограниченная гармо-
гармоническая функция является интегралом Пуассона функции из
L°°9 то D.2) равносильно разрешимости в L°° любой проблемы
моментов
D.3) \u(t)Pf(t)dt = ah /=1, 2, ..., {а}}€=Г,
где
— ядро Пуассона для Z/. Мы покажем, что тогда выполняются
геометрические условия A.2) и A.7), так что последователь-
последовательность {г/} является интерполяционной по теореме 1.1.
Для начала нам нужно одно неравенство. Рассмотрим ли-
линейный оператор Т: L00-^/00, действующий по формуле
Этот оператор ограничен, потому что l|P/lli= 1. Предположим,
что Т отображает L°° на /°°. По теореме об открытом отображе-
отображении тогда найдется такая константа М, что проблема момен-
моментов D.3) всегда имеет решение u(t) с
D.4) Utt|L<Afsup|a,|.

4. Гармоническая интерполяция
301
Нужное нам неравенство имеет вид
D.5) ElA/K
и является двойственным к D.4). Равносильность D.4) и D.5)
следует из того, что линейный оператор и его сопряженный
одновременно имеют замкнутую область значений (Данфорд и
Шварц [1958]). (Т сопряжен с некоторым оператором из Iх
в L1.) Но D.5) легко вывести и прямо из D.4). Пусть Хь ..., Хп
даны; пусть и е L00, ||и||оо ^ М, решает проблему моментов
Тогда
а это и есть D.5).
При гф k D.5) дает ||Р/ — Pk\\\ ^ 2/Af, и, хотя бы по нера-
неравенству Гарнака, это означает, что
|г/-г*|/у/>6(А1)> 0, \ФК
и для последовательности {г/} выполняется условие A.2).
Доказательство A.7) использует неравенство Хинчина. Пусть
Q — квадрат {дсе /, 0 < у ^ |/|}, а гь ..., гп —конечное число
точек последовательности {г/}, лежащих в Q. Положим Я/ =
= ±Vh /=-1,2, ..., п. Тогда по D.5)
dt.
Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого нера-
неравенства и при каждом f€sR применим D.1):
D.6)
1/2
dt.
Пусть / — концентрический с / интервал длины |7| = 3|/|. Пра-
Правая часть в D.6) равна
7 R\7
fliffit первого интеграла неравенство Шварца дает оценку
м | л

(о ^

302 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
потому что
Во втором интеграле имеем
где Хо — центр /, так как 2/ е Q. При /
Значит, второй интеграл не превосходит
J
Теперь D,6) дает
/ п \1/2
откуда следует A.7). ?
В доказательстве теоремы 4.2 мы оказались в состоянии за-
заключить, что {z/} —интерполяционная последовательность,
только благодаря геометрическим условиям A.2) и A.7). Гар-
Гармонические функции использовались лишь в доказательстве
D.5). Справедливо обобщение теоремы 4.2 приблизительно с
тем же доказательством, которое совсем не обращается к гар-
гармоничности. Пусть &(t)^Ll(K)\ мы будем трактовать ??(t) как
ядро, полагая
Поскольку ИЛИ! = 11^111, то оператор
отображает непрерывно L°° в пространство всех ограниченных
(на самом деле непрерывных) функций в верхней полупло-
полуплоскости. В частном случае ^(/)= 1/яA +/2), разумеется, <рж
есть ядро Пуассона, а оператор Т решает задачу Дирихле.
Теорема 4.3. Пусть fP(t)^L\ а {г/}—последовательность
в верхней полуплоскости. Если каждая интерполяционная за*
дача
D.7) Tu{z,)~\u(t)Pgi{t)dt~ai9 /=1,2,..., {а^аГ,

4. Гармоническая интерполяция 303
имеет решение u(t)&L°°y то {г/}—интерполяционная последо-
последовательность для Я00.
Доказательство. Мы покажем с помощью D:7), что
распределение точек {zj} удовлетворяет A.2) и A.7). Теорема
1.1 позволит заключить, что последовательность {г/} интерпо-
интерполяционная.
По теореме об открытом отображении каждая проблема мо-
моментов D.7) имеет решение с ЦиН»^ M sup|a/|, где М не зави-
зависит от {а/}. Двойственное рассуждение, как и в доказательстве
теоремы 4.2, дает при всех Яь ..., кп
Для упрощения оценок в конце доказательства выберем непре-
непрерывную функцию K(t) с компактным носителем, такую, что
\\? — Kh < 1/2M. Полагая
мы получим заменой переменных неравенство
< 1/2М. Теперь D.8) дает
D.9) li1^1^2
При ]Фк из D.9) следует \Kzk — Кг\^ 1/2М. Пусть
= (xk — xf) /yh yo = ук/уh Тогда
Поскольку К — непрерывная функция с компактным носителем,
то при достаточно малом 6 > 0
Значит,
так что |г/ — zk\^ tyi и последовательность {z{) редкая.

304 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
Доказательство условия A.7) теперь проще, чем в теореме
4.2, потому что носитель K{t) компактен. D.9) вместе с нера-
неравенством Хинчина дает
1/2
где z\y z<i, ..., zn — точки последовательности {z/}, лежащие в
квадрате Q={x^Iy 0 < у^\1\}. Пусть Л>0 таково, что
K(t) = O при |/|>Л. Поскольку z/^Q, это означает, что
K2f(t) = O при t$J,
J= {t: dist(ty I)<
По неравенству Коши — Шварца
d(
S ф
потому что ^2 @Л = — \/С2@Л. Из D.10) мы теперь пр-
лучаем
1/2
1/21/2
(
что дает A.7). D
В только что законченном доказательстве условие D.9) озна-
означало, что каждая интерполяционная задача вида DJ) с заме-
заменой Рг на Kz имеет решение в L°°. Этот прием с заменой
одного ядра — даже ядра Пуассона — на другое, более простое,
ядро часто бывает полезен.
Теорема, обратная к теореме 4.3, вообще говоря, неверна.
Если &{t) = X(-i,n@» ТО интерполяция невозможна уже на ко-
конечном множестве {i, A+0/2, (—1 + 0/2}, потому что ядра
для этих точек линейно зависимы.
Приведенное доказательство теоремы 4.2 принадлежит Варо-
пулосу [1972], который также нашел и другое элегантное дока-
доказательство той же теоремы. Его второе доказательство исполь-
использует корни из единицы подобно теореме 2.2. Мы дадим это до-
доказательство для более общей теоремы 4.3, но при дополнитель-
дополнительном предположении, что ^gL2. Мы знаем, что каждая ограни-
ограниченная интерполяционная задача
u{zf) = ah /= 1, 2, .¦,
имеет решение с
||a|L<Afsup|ay|,

4. Гармоническая интерполяция 305
Оценка A.2) следует отсюда тривиальным образом, и наша
настоящая задача — установить A.7). Фиксируем квадрат Q =
= {х е /, 0 < у ^ |/|} и конечное число точек гь .., гп нашей
последовательности в этом квадрате. Пусть функции Uj^L°°t
II и/IIоо ^ М решают интерполяционные задачи
Тогда для функций
имеем Uj(zf)= 1, / = 1,2, ..., п, и, как в теореме 2.2,
D.11) Е|?//(/)
/1
почти всюду. Пусть / — интервал {t: dist(/, I)^. cM\I\}t где с
выбрано так, чтобы при Q
Тогда
и по D.1)
RV
Следовательно,
Значит,
5
и по D.11)
Z г// < Dс'J М21Л < Dс'J М3с | /1,
что доказывает A.7). Такое же рассуждение дает и теорему 4.3.
Уточнение теоремы 4.2 будет другим методом получено в
ГЛ. X,

306
Гл. VII. Интерполяционные последовательности
5. Элементарное доказательство Эрла
Существует другое доказательство основной теоремы 1.1, ко-
которое не использует двойственности. Это конструктивное дока-
доказательство, принадлежащее Дж. П. Эрлу, показывает, что если
последовательность {г/} интерполяционная, то интерполирую-
интерполирующую функцию можно выбрать в виде CB(z), где В (г) —произ-
—произведение Бляшке, а С — постоянная. Произведение Бляшке В (г)
имеет простые нули {?/}, которые очень близки в гиперболиче-
гиперболической метрике к {2/}. Отсюда следует, что последовательность
{?/} тоже интерполяционная.
Теорема 5.1. Пусть {z/}— такая последовательность в верх-*
ней полуплоскости, что
E.1)
п
**-*/
**-*#
>6>0, 6=1, 2,
Существует такая постоянная Ку что для любой последователь-
последовательности {а/} е /°° найдется функция f(z)e#°°, для которой
E.2) f(*/)=a/, /=1, 2, ...,
и при этом
E.3)
где В (г) —произведение Бляшке. Нули {?/} произведения В (г)
удовлетворяют неравенствам
<«/3
и
E.4)
п
>б/3,
так что {?/} — тоже интерполяционная последовательность.
Постоянная /(, которая получится в доказательстве тео-
теоремы 5.1, не будет минимальной константой интерполяции: у нас
получится К= О (б"), в то время как константа интерполяции
М — это О F~* log 1/6).
Лемма 5.2. Если О < а < р* < 1, то
Доказательство. Левая часть E.5) равна В (а), где
B{z) — произведение Бляшке с нулями {рп}. По лемме Шварцз

б. Элементарное доказательство Эрла
307
р(В(а)> 5@))^ а, и приведенное в разд. 1.1 евклидово описа-
описание неевклидова круга {p(wy B@))^ а} дает
I ^ WI ^ 1 _ а | в @) | .
что совпадает с E.5). D
Лемма 5.3. Пусть 0 < К < 2Х/A + X2) < б < 1, a {z}} — по-
последовательность в верхней полуплоскости, удовлетворяющая
условию E.1). Если точки {?/} таковы, что р(?/, z/)^X, / =
=1,2, ...,7О
E.6) Д
В частности, если
С*-
б — 2Я/A + Я2)
С*-С/
, г/Хб/3, /=1,2 го
П
>б/3.
Доказательство. При /=/= Л по лемме I. 1.4
Полагая а = 2Я/A + А,2), имеем
Лемма 5.2 теперь дает
С*-С/
П
С*-
1 - ар (гг zk) '
6-1
что совпадает с E.6). При % = б/З прямое вычисление дает
(б — а)/A—аб)>б/3, так что и заключительное утверждение
леммы верно. D
Зафиксируем X ==» б/З и рассмотрим замкнутый круг
Д/= {?• р(?, «/
Пусть при 5/ ^ А/, /=1,2,..., п,
F.7) Brt f>B) =

308
Гл. VII. Интерполяционные последовательности
ТогдаB{;t ;я}— конечное произведение Бляшке,
«=1 и
Следовательно, если
= %' с'> (г/), /=1,2
\ 1 ttj
п,
то непременно {?р ..., ?„} = {?(> •••> Q. потому что разность
этих двух произведений Бляшке — рациональная функция сте-
степени не выше 2п, которая обращается в 0 в 2п + 1 точках
{0, гь ..., zn, zu .... zn}.
Главным шагом доказательства является следующая лемма,
в которой показано, что при малых |а/| каждая конечная ин-
интерполяционная задача вида E.2) разрешима при помощи про-
произведения Бляшке вида E.7).
Лемма 5.4. Пусть при j = 1, 2, ..., п
E.8)
п
Тогда существуют такие точки ^;еД/, /= 1, ,.., пу что
= <*i> /=1, 2, .... я.
Доказательство. Используем индукцию по п.
отображение
переводит Ai в круг {|ш|^б/3}. Оно взаимно однозначно и пе-
переводит dkl={ti\: р(?ь 2i) = 6/3} в окружность {\w\=*6/3}.
Хотя w не аналитично как функция от ?ь но принцип аргумента
можно применить для доказательства того, что образ w{&\) по-
покрывает весь круг {|до|<6/3}. Поскольку w(z\)=*0t то кри-
кривая w(dA\) имеет ненулевое число вращения относительно
точки 0, а значит, и относительно а\ при |ai|<6/3. Поэтому
а\ попадает в образ до (ДО, и при п = 1 наша лемма верна.
Предположим, что лемма верна для п—1. Для любого
t;, s An мы тогда можем найти такие точки ?i = ?i(?*)eE Ai, ...
..., ?я_! в (;„_! (^„) е Ал-1, что
/=1,2, .... п-1,

5. Элементарное доказательство Эрла 309
потому что для этих значений условие E.8) выполняется. Точки
?ь • • • > ?л-1 определяются однозначно и непрерывно зависят от
?л. Рассмотрим непрерывное отображение
Это — значение в точке zn произведения Бляшке вида E,7), ко-
которое независимо от выбора ?п<^Дл интерполирует данные
аи -у cin~\ в точках zu ..., zn-\. Достаточно проверить, что
ш(?л)=ал при некотором ?„еДл. В силу E.8) |ал|^
^inf{|^(^)|: ?ледДл}.- Но ш(гл)=0, и поэтому кривая
w(dAn) имеет ненулевой индекс относительно 0. Следовательно,
она имеет ненулевой индекс и относительно ап% так что в Д„
найдется точка ?л, в которой до(?л)= ал. П
Доказательство теоремы 5.1. Достаточно показать,
что для
. < 6 6 - 6/3 _ 262
' а11 ^ з 1 — 62/3 3 C — б2)
найдутся такие fc/ е Д/, / = 1,2, ..., что e'eB(Zfc) = а*, ? =
= 1, 2, ..., где В(z) — произведение Бляшке с нулями {?/}, a
9 — вещественная постоянная. По E.7), E.8) и лемме 5.4 най-
найдутся такие t\n\ ...» #?\ {^GAy, что
~^i k = 1, 2, ,.., п.
После замены переменной мы можем считать,
0 U Д/.Положим
) = eiQn вп (г), Brt @ > 0.
Выберем такую подпоследовательность {/?*}, чтобы в Пк-+е ,
у * ->J/еД/, /=1, 2, ... .Пусть В (г)—произведение Бляшке
с нулями {?/}, нормированное так, чтобы все его частичные про-
произведения были положительны в точке г = и Покажем, что
E.9)
Из доказательства леммы 5.3 видно, что
lim inf TT
равномерно на компактных множествах. Но поскольку все про-
произведения нормированы условием положительности при г = /,

310 Гл VII. Интерполяционные последовательности
отсюда следует, что Bnk(z)->B{z), k-+<x>, так что E.9) верно.
Мы получаем E.3) с К = 3C — б2)/2б2. По лемме 5.3 нули
{?/} удовлетворяют условию E.4). ?
Замечания
Доказательство в разд. 1 следует оригинальной статье Карле-
сона [1958], но меры Карлесона изложены здесь иначе. Статья
Хермандера [1967b] проясняет геометрию задачи. Шапиро и
Шилдс [1961], а позднее Амар [1977а] подошли к интерполя-
интерполяционным последовательностям с похмощью гильбертовых про-
пространств. Рассуждение из раздела 1 дает результаты и в том
случае, когда последовательность не является интерполяцион-
интерполяционной (см. упр. 9 и Гарнетт [1977]). Интерполяционные последо-
последовательности можно охарактеризовать и в терминах Нр (см.
Дьюрен [1970] и пр. 11). Пример, показывающий, что М ^
^ (l/6)log(l/6), принадлежит А. М. Глисону. Другие современ-
современные изложения теории интерполяции можно найти у Виногра-
Виноградова и Хавина [1974] и Сарасона [1979].
Теорема 2.1 принадлежит П. Бёрлингу (см. Карлесон
[1962b]). Общее обсуждение линейных операторов интерполя-
интерполяции дано Дэви [1972]. О теореме 2.2 см. Варопулос [1971а] и
Бернар [1971]. Источником этой идеи является гармонический
анализ (см. Друри [1970] и Варопулос [1970]).
Другое доказательство теоремы 4.2 дано Гарнеттом [1971b].
Об обобщениях теоремы 4.2 на Lpy р> 1, и ВМО см. Гарнетт
[1978] и упражнение 12.
Теорема 5.1 принадлежит Эрлу [1970], который нашел эле-
элементарный подход и к теореме 2.1 (Эрл [1976]). П. Джонс уточ-
уточнил метод Эрла и получил интерполирующие функции, норма
которых минимальна по порядку величины (см. упр. 10).
Интересная открытая проблема связана с гармонической ин-
интерполяцией в высших размерностях. Рассмотрим верхнее полу-
полупространство R++1 = {(jc, у): x^Rn, у>0). Каждая ограничен-
ограниченная гармоническая функция bR++1 является интегралом Пуас-
Пуассона функции из L°°(Rn). Если последовательность точек
{Pi}~{(xn #/)}е "^++1 является интерполяционной для огра-
ограниченных гармонических функций, то выполняется аналог усло-
условия (с) из теоремы 1.1:
(i) \pi-pk\/yf>a>0, \Фк%
(И) S
для любого куба Q = {(х, у): \xt — х] \ </ (Q)/2, I ^ i ^ п,

Упражнения и дальнейшие результаты 311
Это следует из доказательства теоремы 4.2. Нерешенной
проблемой является обратное: будет ли последовательность с
условиями (i) и (и) интерполяционной для ограниченных гар-
гармонических функций bR++1? (cm. Карлесон и Гарнетт [1975] .)*)
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Пусть B(z) — произведение Бляшке с нулями {г/} в Ж По-
следовательность {г/} будет интерполяционной тогда и только
тогда, когда
inlyi\B/(zl)\>0.
2. Если 5 и Т — две непересекающиеся интерполяционные по-
последовательности, то последовательность S[)T будет интерполя-
интерполяционной тогда и только тогда, когда
p(S, T)=inf{p{z, ш):гЕ5,шеГ}>0.
3. Пусть {zj} — интерполяционная последовательность в 2/ё,
а {а\п)}>п = 0> '» •••» ^» — конечный набор последовательностей,
причем #у | а№ | ^ 1. Существует такая функция / е Я00, что
f\ = ayf /=1, 2, ..., л = 0, 1, 2, .... Л
(f<*> есть я-я производная функции /J).
4. Пусть нули {г/} произведения Бляшке В (г) различны и
образуют интерполяционную последовательность. Если идеал
теЗИяоо таков, что B(m) = Ot то m лежит в замыкании мно-
множества {г/} в топологии Шн«>.
5 (Нафталевич). Если |г/|<1 и X A ~1г/1) < °°> то най-
найдется интерполяционная последовательность {wj} с |ш/| =
ki3)
*) Тематика этой главы имеет обширные и важные связи с теорией опера
торов и с проблемами базисности систем функций (см. Никольский [1980*],
[1983*], Никольский, Павлов и Хрущев [1981*], Виноградов [1976*], Васю-
нин [1978*]). Теорема 1.1 послужила образцом для многочисленных теорем
о свободной интерполяции, относящихся к классам функций, отличным от И06
(см. Виноградов и Хавин [1974], [1976*], Коточигов [1972*], Дынькин
[1979*], Бруна [1980*], Широков [1982*], Виноградов и Хрущев [1981*]).
О «свободной интерполяции» гармоническими функциями см. Толоконников
[1982*] (близкие результаты независимо получили Маршалл, Стрэй и Санд-
берг [1982*1 и Дервиз и Хавин ] 1983*]. — Прим. ред.
2) Разнообразные результаты и библиографические указания, относящиеся
к «свободной интерполяции с кратностями», можно найти в работах Джрба*
шяна [1978*], Шамояна [1976*], Айрапетяна [1980*], Мартиросяна [1981].
Обобщения теоремы 1.1, охватывающие в качестве частного случая кратную
интерполяцию без ограничений величин кратностей узлов, содержатся в рабо-
работах Васюнина [1978*], Никольского [1980*], [1983*], Виноградова и Рук-
шина [1982*]. — Прим. ред.
3) См. Никольский [1980*], стр. 208, 224. — Прим. ред,

312 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
6. Если {г/}—последовательность в верхней полуплоскости
и ? yfoz, — мера Карлесона, то {г/} есть объединение конеч-
конечного числа интерполяционных последовательностей.
7. Если {zj} — интерполяционная последовательность, а
{wj}—редкая последовательность (т. е. {wj} удовлетворяет
условию A.2)) и p(z/, до/)<Я<1, то {wj} тоже интерполя-
интерполяционная последовательность.
8. Пусть X — банахово пространство, а {г/} — последователь-
последовательность линейных функционалов на Ху ||г/||= 1. Предположим,
что для любого {а/} е /°° найдется такой хеХ, что
IM*)«l<
и IU||^/C||a/||oo. Докажите, что последовательность {г/} интер-
интерполяционная, т. е. что при {a/} e /°° найдется х^Х с Zj(x)= a/,
/¦= 1, 2, ... . Предположим теперь что интерполяция возможна
для идемпотентных последовательностей, т. е. когда а/ = 0 или
п} = 1 для любого /. Тогда снова последовательность {zj) ока-
оказывается интерполяционной. (Используйте теорему Бэра о ка-
категории, чтобы показать, что все идемпотенты интерполируются
равномерно ограниченным подмножеством в X.)
9. Пусть {г/} — последовательность в верхней полуплоско-
полуплоскости и
«.- п
U
но inf6fe = O. Если |a/K6/(l + log(l/6/))-*, то найдется
функция /еЯ00, f(zf)=ah /=1, 2, ... . Вообще, пусть h(t)~
оо
положительная убьГвающая функция на [0, оо) и \ h(t)dt < оо.
о
Если ] ос/1 ^ б/йA + logA/6/)), то интерполяционная задача
/(г/) = а/, /=1, 2, ..., разрешима в Я00. Чтобы это доказать,
покажите, что X (\aj\yf/6iNZl — мера Карлесона.
оо
Приведенный результат точен: если \h(t)dt=oo, то най-
о
дутся редкая последовательность {z/} и такие значения а/, что
\ai\ = б/ЛA + logA/6/)), но интерполяция в Я00 невозможна
(см. детали у Гарнетта [1977]).
10. Если {zj}—интерполяционная последовательность и
inf
= б> 0,

Упражнения и дальнейшие результаты 313
то ее можно разбить на /Clog(l/6) (К—абсолютная постоян-
постоянная) подпоследовательностей, и для каждой такой подпоследо-
подпоследовательности {}
¦ п
1/2.
Если Y\y ..., Yn — эти подпоследовательности, Bk— произведе-
произведение Бляшке с нулями (J У/» a f* интерполируют значения
uf/Bk(Zj) на У*, то X Bkfk— интерполирующая функция, норма
которой не превосходит Сб Nog -тгЛ sup| a71.
11. Пусть {zf} — последовательность в верхней полуплоскости
и 0 < р < оо. Определим на Нр линейный оператор
У
Ясно, что \\Tpf\\co^C\\f\\P9f&Hp.
(a) Если Тр ограничен как оператор из Нр в /р, то X #Аг, ""
мера Карлесона. Используя теорему о замкнутом графике, по-
покажите то же самое при условии T(Hp)czlp.
(b) Если Гр(№)=/р, то последовательность {г/} интерпо-
интерполяционная.
(c) Если {zj}—интерполяционная последовательность, то
Тр(Нр) = 1Р, 0<р< оо.
При р > 1 используйте соображения двойственности. При
р ^ 1 пусть Bk (z) — произведение Бляшке с нулями {г/, )фк).
Поскольку 2 Ук I Q>k \P < °°> то
и /(г*) = а*, /fe=l, 2, .... (См. Шапиро и Шилдс [1961].)
12. При р ^ 1 оператор Гр из упр. 11 имеет естественное
продолжение на Lp с помощью интеграла Пуассона.
(a) Если TP(LP)= lp, то Тр: Lp-+lp ограничен, а последова-
последовательность {zj} интерполяционная.
(b) Если 1<р<оо, a Tp(Lp)zdIP или Гос(ВМО)=э Z00, to
последовательность {гу} интерполяционная. Результат о ВМО
или Lp при р ^ 2 получается небольшим изменением доказа-
доказательства теоремы 4.2. При р < 2 нужно другое рассуждение.
(См. детали и обобщения у Гарнетта [1978].)
(c) Если T\(L])z5 1\ последовательность {г;} не обязательно
интерполяционная.

314 Гл. VII. Интерполяционные последовательности
13. (а) Докажите неравенство Хинчина для р = 4:
где С* не зависит от п.
(Ь) Докажите неравенство Хинчина для всех р^2у начиная
со случая целого четного р.
14. Последовательность {z/} в круге называется некаса-
некасательно плотной, если почти каждая точка eid e T является нека-
некасательным пределом подпоследовательности из {г/}. Следую-
Следующие условия для дискретной последовательности {г/} в круге
эквивалентны.
(i) {г/} некасательно плотна.
(И) Для любой точки геО найдутся такие веса Я/ ^ 0, что
для всех ограниченных гармонических функций и.
(ш) Для некоторой точки zo^{z/} найдутся комплексные
числа Р/, 2 I P/1 < °°> такие, что
(См. Браун, Шилдс и Целлер [1960] и Гофман и Росси [1967]*).)
15. Пусть {zj} — интерполяционная последовательность в
круге, {а/} е /°° и / е Я°° — функция с минимальной нормой
И/Ноо, интерполирующая данные {а/}:
f(z,)=ah /= 1, 2, ... .
(a) Если lima/ = 0, то / — единственная интерполирующая
функция с минимальной нормой. Если, кроме того, limz/=l
некасательно, то / лишь постоянным множителем отличается от
произведения Бляшке.
(b) Для некоторых {z/} и {а/} нет единственной интерполи-
интерполирующей функции минимальной нормы (см. Эйма [1977]2),
Добавление редактора перевода. П. Джонс недавно предло-
предложил явную конструкцию функций f/, fj e Н°°у удовлетворяющих
условию B.1) и неравенству B.2), в котором М нужно заменить
на Л1 = е/6е, где г = B\og(eb~2))-{ (так что М = 0F-»jlogrв|)
при б-*0). Мы изложим эту конструкцию для случая круга D
и в упрощенной редакции (Виноградов, Горин и Хрущев
[1981*]). Положим
J) А также Рубел и Шилдс [1966]. — Прим, ред.
*) А также Стрэй и Эйма [1978*]. — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты 315
где
Можно считать, что |2й|^|2л| при k ^ nt так что
Re«.(*,)-? 'n'-f/t1-^^
1 -
(мы воспользовались неравенством, предшествующим оценке
A.6)). Положим
Если |S|<1, то 1-|2А|2<1-|2*|2|^|2. Кроме того,
Поэтому
Из A.4) и неравенства / ^ е*— 1 следует (при t = г(уп-
что

Глава VIII
ТЕОРЕМА О КОРОНЕ
Эта глава представляет собой развернутое обсуждение тео-
теоремы Карлесона о короне. Мы приведем несколько ее доказа-
доказательств, потому что идеи, стоящие за каждым из них, полезны
и в других проблемах. Вначале мы излагаем недавнее элегант-
элегантное доказательство Т. Волфа, которое опирается на интегралы
Литтлвуда — Пэли и в котором аналитичность играет решаю-
решающую роль. Затем мы приводим оригинальное доказательство
Карлесона. Оно заключается в геометрической конструкции, ко-
которая привела ко многим более глубоким результатам теории
и применяется к гармоническим функциям и к более общим
ситуациям.
Мы начинаем с двух теорем об оценке решений некоторых
неоднородных уравнений Коши — Римана. Одна из них исполь-
используется в разд. 2 в доказательстве теоремы о короне и одного ее
обобщения.
В разд. 3 содержатся две теоремы о минимуме модуля. Упро-
Упрощенный вариант основной конструкции затем используется для
доказательства теоремы об отделимости для произведений
Бляшке. В следующей главе появятся важные приложения этой
теоремы.
В разд. 5 обсуждается оригинальное доказательство Карле-
Карлесона, а в разд. 6 — несколько иной, в меньшей степени теоре-
теоретико-функциональный подход к конструкции. В разд. 7 мы об-
обходим соображения двойственности, использованные в перво-
первоначальном доказательстве, и тем самым делаем доказательство
вполне конструктивным. В этом месте снова появляются и иг-
играют решающую роль интерполяционные последовательности.
1. Неоднородные уравнения Коши — Римана
Положим
dz 2 \ дх ^ 1 ду ) '
функция ft (г) аналитична тогда и только тогда, когда dh/d2 =» 0.
Пусть функция G(?) ограничена и непрерывно дифференцируема
в открытом круге D. Мы хотим решить неоднородное уравнение
Коши — Римана
A.1) Ж = °&> |г|<1'

1. Неоднородные уравнения Коши — Римана 317
с хорошей оценкой величины ||/?||ов= sup | F(z)\. Пусть ? =
Ul-l
= I + ill» d% = dl + /dr), d\ sa=s dg — Wtj. Если ф e C°° — функция
с компактным носителем в D, то по формуле Грина
- г
Значит, если уравнение A.1) имеет решения в D, то одно из них
должно иметь вид
A-2) F(z) = ^
Легко видеть, что определяющая F(z) свертка A.2) непрерывна
во всей плоскости, а в открытом круге FeC2. Далее, F(z) яв-
является решением уравнения A.1). В самом деле, если функция
феС00 имеет компактный носитель в единичном круге, то
= — \
1*1-1
откуда
Если мы покажем, что
то A.1) можно будет получить, выбирая сдвиги подходящей
аппроксимативной единицы в качестве ф. Но в силу A.2) и
теоремы Фубини
«ли- \\ О«
ICKI
так что функция A.2) действительно удовлетворяет уравнению
A.1), Конечно, A.2) — не единственное решение уравнения A.1)
в круге D = {(^l < 1}. Но если Ь(г) — любая функция, непре-
непрерывная в D, непрерывно дифференцируемая в D и такая, что
A.3) Ж

&18 Гл. VIII. Теорема о короне
то она обязательно имеет вид 6(г)= F(z)-{- h(z), где dh/dz— О,
и поэтому h(z) принадлежит диск-алгебре Ао = H°°(]C(D). Мы
хотим оценить наименьшую возможную норму решений A.3);
поскольку в конце концов мы будем изучать функции, аналити-
аналитические в D, то наиболее интересная для нас норма равна
p|
\г\ш\
Мы используем двойственность и меры Карлесона, чтобы дать
две разные оценки минимальной нормы решений уравнения
A.3).
Теорема 1.1 • Предположим, что функция G(z) ограничена
в круге D и \G\dxdy — мера Карлесонау г. е.
A.4) \ \\G\d
V
для любого сектора
S={re<»: 1—/(S)<r<l, |в —во|
Тогда существует функция b(z)^C(D)(]Cl(D)t такая, что
с абсолютной постоянной С.
В этой (и в следующей) теореме ограниченность G несу-
несущественна и верхняя граница функции |G(z)| не входит в
оценку для ||6||оо. Мы предположим функцию G ограниченной
только ради уверенности в существовании хотя бы одного огра-
ограниченного решения уравнения A.1) (см. упр. 1).
Доказательство. Общее решение A.3) имеет вид
где F(z) определяется формулой A.2). Минимальная норма ре-
решения равна ini IIF + AIL, где || IU обозначает существенную
верхнюю грань на dD. Но в силу двойственности
inf ||F + A||00 = sup| --jj-J kFdQ
r=sup/ ^-r [ k{z)F{z)dz
{см. теорему IV. 1.3 и лемму IV. 1.6),

1. Неоднородные уравнения Коши — Римлна 310
Так как dk/dz == 0, то по формуле Грина
\г\<\
Следовательно,
inf \\F + /i|L<sup{v W \G{z)\\k(z)\dxdy:k(sHl,\\kKU.
V J Z|< 1 )
Но по теореме II. 3.8 о мерах Карлесона в круге
4" \ \G(z)\\k(z)\dxdy^ClA\\k\\u k^HK
Выбирая С> Си мы получаем решение b — F + h, h^AOt
уравнения A.3) с оценкой ||5||<»^СЛ. D
Вторая оценка включает некоторые идеи из доказательства
двойственности Н1 — ВМО. Положим
dz ~~ 2 V дх 1 ду
Теорема 1.2 (Волф). Предположим, что функция G(z) огра*
ничена и непрерывно дифференцируема в круге D и что
— меры Карлесона в D, г. е.
A.6) J Jl
A.0) \\\-§
$
для любого сектора
S=*{re*: l — /(S)<r<l9 |6 —
Существует функция b(z)& C(D)(] C{(D)f такая, что
db/dz=G(z)y И<1,
1*1-1
с абсолютными постоянными С{ и С2.
Доказательство. Как и выше,
4r\ kFd6
:-g—c}-sup|

320 Гл. VIII Теорема о короне
где F(z) определяется формулой A.2). Функция F(z) дважды
дифференцируема в D, потому что G(z)^CK Она непрерывна
в ?>, потому что G ограничена. Мы можем считать функцию
АеЯо гладкой вплоть до dD\ тогда по формуле Грина
2л
= ^rH A(k{z)F(z))\og-±rdxdy
D
D
потому что Ak = 0, AF = 4{d/dz) (d/dz)F = 4dG/dz и VF-Vk =
*=Fxkx + Fyky = 4;(dF/dz)(dk/dz) = 4G(z)k'(z). Ввиду A.6) no
теореме о мерах Карлесона
Для оценки /2 положим A = (Ai-f &2)/2, где kj^H1 не имеют
нулей в D и \\kj\\\ <: 2 (см. доказательство теоремы VI. 4.4).
Тогда kt{z)=g){z), где g,^H\ \g&<2 и
1/2
Согласно A.5), второй множитель не превосходит (CBi(|^y
<С VSTll^/lk» а в СИЛУ тождеств Литтлвуда — Пэли (лемма
VI. 3.1) первый множитель равен
? S S |v*'|2 log ттгdx rfi/)l
Следовательно, I2^C{ V#i > и теорема 1.2 доказана. D
Хотя теорема 1.2 несколько сложнее теоремы 1.1, мы уви-
увидим, что условие A.5) и A.6) бывает легче проверить, чем A.4).
С другой стороны, теорема 1.1 сильнее, потому что условие A.4)
зависит только от |а|, в то время как A.6) может выпол-
выполняться для G, но не для С

2. Теорема о короне 321
2. Теорема о короне
Единичный круг D гомеоморфно вкладывается в пространство
максимальных идеалов Ш алгебры Н°°. Знаменитая теорема
Карлесона о короне утверждает, что круг D плотен в 2Я. Иными
словами, «корона» 2Jt\D пуста. По определению топологии в Tt
эту теорему можно сформулировать следующим образом: если
fu •.•» fn — такие функции из //°°, что
B.1) 1!//11оо< 1
и
B.2) тах|//(г)|>6>0, гей
то fu • - - > fn не лежат ни в каком максимальном идеале алгебры
Н°°. Это значит, что порожденный функциями /ь ..., fn идеал
содержит постоянную 1, так что в Я°° существуют функции
gu • ¦., gn> для которых
B.3) fxgl+ ... +fngn= 1.
На самом деле верно формально более сильное утверждение:
функции g\y ..., gn допускают оценку, зависящую только от
числа функций п и значения б из B.2). Однако это утверждение
сильнее лишь по видимости, оно равносильно теореме о короне
(см. ниже упр. 2).
Теорема 2.1. Существует постоянная С(пу б), такая, что для
любых функций fu ..., fn^H°°, удовлетворяющих неравенст-
неравенствам B.1) и B.2), найдутся функции g\t ..., gn^H°°, удовле-
удовлетворяющие условию B.3) и такие, что
B.4) \\gi\\oo^C(ny б), 1</^л.
Мы будем называть /ь ..., fn данными, a gu ..., gn — ре-
решениями задачи о короне. В силу теории нормальных семейств
решения с оценкой B.3) достаточно найти_для функций fu ..., fn,
аналитических в окрестности множества D.
Сейчас мы сведем теорему о короне к решению некоторых
неоднородных уравнений Кошп — Римана. Предположим, что
fu ..., fn — данные задачи о короне, т. е. выполняются B 1) и
B.2). Далее предположим, что функции fi, ..., fn аналитичны
в некоторой окрестности замкнутого круга D. Можно найти
функции фь ..., Ф«еС (D), для которых
и при этом
B.5) |q>/B)|<Ci(n, б), 1<1<л.
Этого легко достичь с помощью B.1) и B.2), например, можно
взять
B.6) Ф/ (z) = f/ (z)/^ I f* (г) Р,
11 Зак. 829

322 Гл. VIII. Теорема о короне
Трудность состоит, конечно, в том, что Ф/(г) не будут аналити-
аналитическими; чтобы исправить дело, положим
B.7) gf (г) = Ф/ (z) + t{ alk (z) fk (г),
где функции ujk (г) еще предстоит определить. Потребуем, чтобы
B.8) а,* (г)--а*, (г),
откуда следует, что
f\g\+ ... +fngn= 1, zgD.
Условие антисимметричности B.8) заведомо выполняется
при afk{z) = bjk(z) — bkj{z). Если мы еще потребуем, чтобы
B.9) ^_ф/_^. = О/*(г>. |Z|<i.
то получим
потому что З/л/дг = 0, Yi fktyk = 1 и (<Э/<Эг) У] /^ф^ = 0. Стало
быть, наши функции gj(z) дают аналитическое решение задачи
о короне B.3). (Более систематическое изложение перехода от
Ф/ к g/ см. в приложении к этой главе.)
Но нам еще нужны оценки ||g/||«> ^ С(я, б) (не только для
теоремы 2.1, но и для того, чтобы можно было сослаться на
теорию нормальных семейств и доказать саму теорему о ко-
короне). Поскольку все ф/ ограничены, то взгляд на B.7) убеж-
убеждает нас, что нужно только оценить |ад| или, еще лучше,
|&/*|. Таким образом, доказательство теоремы 2.1 свелось к на-
нахождению решений b,k(z) уравнений B.9), допускающих оценку
B.10) |*/*(*) |< С2(л, б), |*|= 1.
Мы собираемся решить эту задачу четырьмя разными спо-
способами. В каждом случае важен правильный выбор гладких ре-
решений ф/. Первое решение будет изложено сейчас же, осталь-
остальные появятся в разд. 5—7.
Доказательство теоремы 2.1 (Волф). Положим
Согласно B.2), знаменатель ограничен снизу, ф/бС2^),
| ф/ (г) | ^ б-2 и f 1ф1 + ... + fn<pn п- 1 в В.

2. Теорема о короне
323
Как видно из предыдущего, теорема 2.1 будет доказана, если
мы установим, что уравнения
имеют решения, удовлетворяющие B.10).
Мы используем теорему 1.2. Ясно, что Gjk^Cl(D). По-
Поскольку |ф/|< б-2, то
-2
dz
2 1
=o и
/Г
Zi'iP (Ei'iPI
По B.2)
(У I^I2L
По теореме VI.3.4 dXt = |/^|2log(l/|2 \)dxdy — мера Карле-
сона с постоянной N(Xi)^C\\ft||^. Значит, мера
— мера Карлесона, и условие A.6) выполняется с В\ ^ Сп6~6.
Далее, так как -^- = -^ == 0, то
dG
ду,
z
dz dz J ч
(ZlM2JJ I (ZlM2J )+
Ii
2J
(Iim2)
Все члены выглядят более или менее одинаково, и мы получаем
dG
/ft
У \f'\\f'
Снова применяя теорему VI. 3.4, мы получим B.6) сВ2<
В силу теоремы 1.2 решения с оценкой B.10) существуют, и

324 Гл. VIII. Теорема о короне
С2(л, 6)^CnV4~d+CnS-\ Это дает оценку B.4) с С(я,
CC/263 + /z26-4). D
Если повторить все доказательство, заменив теорему VI.3.4
на следующую лемму, то мы получим более точную оценку
С (я, б) < С(п*'26~2 + п28~*)
для постоянной из B.4). Эта лемма используется и в теореме 2.3
ниже.
Лемма 2.2. Если f e= Н2 и f (е/в)е= В МО, то
— мера Карлесона в D, карлесонова норма которой не превосхо-
превосходит /A1/11*, где К — абсолютная постоянная.
Доказательство. Мы можем считать, что f(z) анали-
тична на D. Тогда f(z) имеет конечное число нулей г\у ..., г^фЪ
в-D. При !(г)ФО
Ь(\Пг)\) = \Г(г)\*/\Нг)\.
Пусть Qe при малом е > 0 — это область
DXLJA/,
/-о
где А0={|г|<е}, Л/= {|г —г/| <e}t /*»1, 2f ..., ЛГ. По
формуле Грина (см. разд. VI. 3)
i
-i
где д/дп означает производную в направлении внешней нор-
нормали к дД/. Устремим г к нулю. При / > 0 подынтегральные вы-
выражения остаются ограниченными, а длины дД/ стремятся к 0.
При / = 0 мы получаем
2я
В точках 2/ функция |/'(<г) |2/|/(г) I имеет особенность не силь-
сильнее О(|г — 2/I), и интеграл по площади сходится. Стало быть,
мы получаем
Bл1)
\\f{e«)-f(O)\dQ.

2. Теорема о короне 325
Теперь наша лемма не что иное, как конформно-инвариантная
формулировка оценки B.11). Положим
S={reiQ: 1-Л^г<1, |в —во|<А}.
В силу B.11) мы можем считать, что h < 1/2. Возьмем г0 =
= A —h)eiQ« и w = (г — zo)/(l — zoz). При 2GS
\-\zo\2
так что по формуле A.5) гл. I
Поскольку | /' (г) |2 rfx rft/ = | g' (w) \2dudv, g(w) = f (г), w=u+iv, то
<2nch\\g-g(Q)\dB^c\\flh. О
Пусть теперь f\f ..., /п^Я00, а функция g(z)<=H°° такова,
что
B.12) |*(*)|<|/i(z)l+ ... +|/п(г)|.
В свете теоремы о короне естественно спросить, лежит ли g
в идеале J(f\, ..., /я), порожденном функциями /ь ..., /я, т. е.
возможно ли представление
8 = ?i/i + - •. + «Гл/я
с g/ e Я°°, 1^/^/г? К сожалению, ответ здесь отрицательный
(см. упр. 3). Однако Т. Волф доказал, что g3^J(f\, ..., /л).
Вопрос о g2 остается неразрешенным (см. упр. 4I).
Теорема 2.3. Пусть для функций g, fu ..., fn^H°° выпол-
выполняется условие B.12). Тогда существуют функции g\y ..., gn^
е Я°°, 5ля которых
B.13) ?3 = ?ifi+ ... +g«/«.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 2.1, мы
превратим гладкие решения B.13) в аналитические, используя
теорему 1.2 для контроля за нормами поправок. Предположим,
1) Обозначим через B.12)а неравенство, полученное из B.12) после за-
замены \g(z) | на U (г) |а. Тогда B.12)а=* ff e=/(f,, ..., М приае@, V2).
Если а > 'А, то это уже неверно (Толоконииков [1981*], Утияма [1981*];
об этой импликации при а = 7г см. Шамояи [1981 *], при а = 1 —Толокон*
ников [1983 *J. — Прим. ред.

326 Гл. VIII. Теорема о короне
что II//11^ 1, llgll^ 1. Согласно теории нормальных семейств, мы
можем считать функции g и /ь ..., fn аналитическими на 5, по-
потому что мы намерены получить априорные оценки для g,\ По-
Положим
*/ = «rf//Z I //12 = ЙГФ/. /=1. 2, ..., п.
Тогда |ф/|^ 1, ф/еС°°(Л) (рассмотрите степенные ряды в об-
общих нулях функций /ь ..., fn) и
Предположим, что найдены решения уравнений
B.14) ^i
с оценкой
B.16)
Тогда для функций
п
8i = §2^i + ftZ (*/* - h,) /»
имеем
Далее, |g/| ^ 1 + 2Мп, и поэтому g,- e Я°°.
Оглядываясь на доказательство теоремы 2.1, мы видим, что
так что |^3G/*|2log(l/|2| (dxdy — мера Карлесона. Далее,

2. Теорема о короне
327
и, согласно вычислениям из доказательства теоремы 2.1,
^ — ^
8
a3
8
Значит, по лемме 2.2
\n\
Кар-
лесона с постоянной, зависящей только от п, и по теореме 1.2
уравнения B.14) имеют решения с оценкой B.15). ?
Недавно Гамелин [1981] и, независимо, Дэви улучшили
доказательство Волфа и сумели даже устранить из него поня-
понятие меры Карлесона (см. упр. 5).
Между теоремой о короне и двойственностью Н1 — В МО су-
существует тесная связь. Теорема была сведена к нахождению
таких функций bjk, что
Пусть
B.17)
— то решение B.16), которое дает интегральная формула A.2).
Произвольное решение имеет вид bjk = Fik — hlky hjk e Я°°, и
по следствию VI. 4.6
с\ II Ffk — iF/k I < inf {|| btk IL: bjk удовлетворяет BЛ6)} <
<c2\\F/k-iFikl,
где Fjk — функция, сопряженная с F\k, a cu c2 — постоянные.
Ввиду B.17) функция Fjk аналитична при |г|>1, и поэтому
Fjk&H00 (рассматриваем Fjk как функцию только на окруж-
окружности {|z|-« 1}). Снова по B.17) j^rf6 = 0. Значит, Ffk =
= iFjk, и минимальная норма решений B.16) сравнима с
2||F/^||#. Если функции <р/ определить формулами B.5), то дока-
доказательства теорем 2.1 и 1.2 показывают, что нормы И^/^Н* огра-
ограничены. Мы увидим ниже, что при подходящем выборе ср/ меры

328 Гл. VIII. Теорема о короне
\Gjk\dxdy будут мерами Карлесона, и в таком случае можно
непосредственно проверить, что IIZ7/*!!*^ C(n, б).
Задача о короне равносильна задаче о нахождении оценок
для решений уравнений типа B.16). Чтобы это доказать, рас-
рассмотрим случай двух функций /ь Ь, которые аналитичны в
окрестности замкнутого круга D,
тах(|Ыг)|, |Ь(г) |) > б > 0, |г|< 1, ll/ill< I, ||/2||< 1.
Пусть фь ф2^ С°° таковы, что
Ф^1 + ф2Ь = 1 11ф/11со<С,B, б), /=1,2.
Если g\ и ^2 — аналитические решения задачи о короне, то
fiTl =Ф1 +/2^ ^ J' г2 = ф2 — / ^
так как g\f\ + g2f2= 1.
Функция
n фг — j^2 g\ —
/1 /
допускает оценку II^IU ^ C2B, б) тогда и только тогда, когда
1|?Г/11оо <СB, 6), /=1,2. Но
f,
Значит, ограниченные аналитические решения ^ь ё"г существуют
тогда и только тогда, когда уравнение
dR дф2 дф!
имеет решение с оценкой \\Я\\*> ^ СгB, б), где фЬ Фг — гладкие
ограниченные решения задачи о короне.
3. Две теоремы о минимуме модуля
Пусть u(z)— ограниченная комплексиозначная гармоническая
функция в верхней полуплоскости. Предположим, что HwlU^ 1.
Пусть Q — квадрат с основанием Q* на оси {у = 0}. При
О < а <С 1 положим
?а = (х: х + iy^- Б а при некотором у > 0}.
Ясно, что Е*а — ортогональная проекция множества Еа на ось
{^ = 0}. Через T(Q) будем обозначать верхнюю половину ква-
квадрата Q. Выберем р>0 и предположим, что |w(zo)|>P при
некотором Zo^T(Q) (см. рис. VIII. 1). Если 1—р достаточно

3. Две теоремы о минимуме модуля
329
мало, то в силу интегрального представления Пуассона из оцен-
оценки ||и||к, ^ 1 следует, что при t e Q* величина \u(t)— u(zo)\ мо-
может быть велика только на множестве малой меры. Это значит,
что отношение |?a|/|Q*| мало. Это рассуждение уточняется в
доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3.1. Пусть функция и{г) гармонична в верхней по-
полуплоскости и \\u\\oo ^ 1. При 0<а<1,0<е<1, существует
Рис. VIII. 1. Ситуация из теоремы 3.1.
число р = Р(а, е), 0<р<1, со следующим свойством: если
Q — квадрат с основанием Q* на оси {у = 0} и стороной ^(Q)
= |Q*|, в котором sup|«|^p, то
T(Q)
C.1)
Доказательство. Вертикальная максимальная функция
и+(х)— sup|w(x, у) \
для гармонической в верхней полуплоскости функции u{z) —
подходящее средство для нашего доказательства.
Мы можем считать, что Q = {0 ^ х < 1, 0 < у < 1}; пусть
и 1и(го)|>р. Тогда
C.2) (J | и (/) - и (г0) I Р2« @ dtJ < \ | и @ - и (г0) |2Яго (О Л =

330 Гл. VIII. Теорема о короле
Пусть / = I-1, 2] = 3Q* и f(t) = (u(t)-u(zo))x,(t). На / мы
имеем|Рго|>с„ и по C.2) ||f ||, <ef'(l -$Уг
при ге(? и t<?I, и, значит, при 2e?aczQ
| J (и @ — и (г0)) Я» @ ЛI -\ \u{t)-u{zb)\P,(t)dt>
R\/
снова в силу C.2). При данном а можно выбрать настолько
близкое к 1 значение р, что у > 0. Тогда ?a cz {/: f+ (/) > у}»
и оценка слабого типа для /+ дает
При достаточно малом 1 —р мы заключаем, что \Е*а\ < е. ?
В теореме 3.1 р обязательно должно быть велико. Напри-
Например, если u(t)=* 1 — Х/@> ' = [0. П. то ^о = / при всех a > 0,
в то время как для единичного квадрата Q имеем sup \и{г) \ > 1/2.
T(Q)
Значит, мы обязаны взять р > 1/2 независимо от малости а.
Однако если заменить гармоническую функцию ограниченной
аналитической функцией f(z), то субгармоничность log|/(e)|
позволяет зафиксировать произвольное р > 0 и найти такое
a = a(P)>0, что C.1) останется в силе.
Теорема 3.2. Пусть f(z) — ограниченная аналитическая функ-
функция в верхней полуплоскости и II/IU ^ 1. Для любых р и et
0<р<1, 0<е<1, существует такое а = а(р, е), 0 < a < 1,
что для всякого квадрата Q с основанием на оси {у = 0}, в ко-
котором sup|f(z)j^p, справедлива оценка
T(Q)
где ?a — проекция на ось {у = 0} множества Еа= {гЕ Q:
\Нг)\<*У
Доказательство. Снова предположим, что Q =
= {0 ^ * ^ 1, 0<у^1}, и пусть / = Bg, где В — произведе-
произведение Бляшке с нулями {г/}, а функция g(z) не имеет нулей и
IIIU ^ 1. Тогда Еа с= Fa U Ga, где

3. Две теоремы о минимуме модуля 331
Ясно, что Е*аа:Г*а[}О*а) мы оценим |Fo| и |Оо| по отдель-
отдельности.
Для оценки | Ga| применим теорему 3.1 к функции u(z)*=*
= ^(^)p> где р > 0 будет определено ниже. Выберем ai > 0, и
пусть pi = Р(аь е/3) определяется по теореме 3.L Если теперь
определить р > 0 условием рр = рь a a — условием ар/2 = аь
то |Ga| <e/3 в силу C.1).
Оценка |Fa| опирается на тот факт, что |В(го)|>Р при не-
некотором zq = Хо + Ч/о ^ T(Q). По лемме VII. 1.2
C.3) у 4y°Ui <210gl
Положим 5= {г,-: dist(z/, Q) < 1}. Тогда |г0 — ^/|2/4г/о^7 при
г/ES и, значит,
C.4) J] у,< 14log|.
ZjS S
Рассмотрим кружки
l у].
При достаточно малом е можно предполагать, что ^аП
для Z) ф. S, так что Fa\U Д/ = Ль\ U^/« По C.4) имеем
и поэтому нам осталось оценить меру проекции Fa\(J Д/. Но
йри 2eFa\LJA/ по той же лемме VII. 1.2
Главный вклад в эту сумму вносят г,- е S, потому что при
г/ <?S (т. е. при dist(zy, Q) > 1)
^SUp ][Z_2 .г
Н в силу C.3)
Выбирая достаточно малое а < ао(р, е), мы заключаем, что

332 Гл. VIII. Теорема о короне
Неравенство C.5) позволяет нам оценить |(^a\U^/)*l че-
через максимальную функцию, как в теореме 3.1. Рассмотрим по-
положительную дискретную меру \х = ? 4у/62 . Согласно C.5),
Но, с другой стороны, C.4) дает
\ d^i<56
Если спроектировать меру \х на ось {# = 0}, то интеграл в
C.6) только увеличится, и мы получим положительную меру a
на R, у которой \ do ^ 561og(l/p) и
z(t)do(t)^^—log 1/а, z€=/V\l|A/.
Следовательно,
(Fa \ U Л/Г cr {x: M (do) (x) > B/nc (e, p)) log I/a},
где M(da)—максимальная функция Харди — Литтлвуда для
меры а. Оценка слабого типа для M(do) дает
\(Fa \
если выбрать а достаточно малым.
Итак, при достаточно малом a
|=e, ?
4. Интерполяционные произведения Бляшке
Произведение Бляшке называется интерполяционным, если все
его нули различны и образуют интерполяционную последова-
последовательность. Неизвестно, плотно ли в Н°° линейное подпростран-
подпространство, порожденное интерполяционными произведениями Бляшке
(для всех произведений Бляшке это так). Однако интерполяци-
интерполяционные произведения Бляшке в очень сильном смысле разделяют
точки верхней полуплоскости. Вот точный результат.
Теорема 4.1. Пусть u(z) — ограниченная гармоническая функ-
функция в верхней полуплоскости и |м(/)|= 1 почти всюду на R.
Пусть б>0 и 0<а<1. Тогда существуют такое число
Р = Р(а), 0<р<1, и такое интерполяционное произведение
Бляшке В (г), что
D.1) |Я(г)|<6 при |м(г)|<а

4. Интерполяционные произведения Бляшке 333
U
D.2) Иг)|<Р при В(г)=0.
Далее, если B(z) имеет нули {zk}, то
D.3)
К k Ф п
>60(а, C, 6)>0.
Теорема 4.1 может показаться читателю чересчур специаль-
специальной. Мы поместили ее здесь по двум причинам. Во-первых, она
будет существенным этапом в описании всех замкнутых подал-
подалгебр алгебры L°°, содержащих #°°, в следующей главе. Вторая
причина — педагогическая. Доказательство этой теоремы ис-
использует теорему 3.1 и поколения, введенные в предыдущей гла-
главе, и является упрощенным вариантом первоначальной кон-
конструкции Карлесона.
Прежде чем доказывать теорему 4.1, мы применим ее, чтобы
получить принадлежащее Зискинду уточнение ньюменовской ха-
характеристики границы Шилова алгебры Н°° (см. теорему V. 2.2).
Теорема 4.2. Комплексный гомоморфизм пг алгебры Н°° при-
принадлежит ее границе Шилова тогда и только тогда, когда
\пг(В) |= 1 для любого интерполяционного произведения Бляш-
Бляшке В {г).
Доказательство. По теореме Ньюмена |ra(fi)|=l
для всех пг из границы Шилова и любого произведения Бляшке.
Поэтому нужно только доказать обратное.
Если пг не принадлежит границе Шилова, то по теореме
Ньюмена найдется такое произведение Бляшке Bo(z)y что
m(So) =* 0. Применяя теорему 4.1 к u(z)~ B0(z) и а = 6=1/2,
мы получим интерполяционное произведение Бляшке В (г), для
которого | В (z) |^Г 1/2 при \B0(z) | ^ 1/2. По теореме о короне
найдется (обобщенная) последовательность точек {г/} верхней
полуплоскости, сходящаяся к m в топологии пространства 2Я, т. е.
lim/(e/) = m(f), f^#°°.
Однако m(B0) = 0, а значит, |So(z/)|^ 1/2 для достаточно да-
далеких значений /. Но тогда и |В(г/)|^1/2, и |т(В)| =
= V\m\B{z]) |< 1/2. ?
Для некоторых точек те5й, не лежащих в границе Ши-
Шилова, может и не найтись такого интерполяционного произведе-
произведения Бляшке B(z)y что пг(В) = 0. Это одно из загадочных
свойств пространства максимальных идеалов, которыми мы
займемся позднее (см. упр. X. 2(с)).
Доказательство теоремы 4.1. Пусть Q — замкнутый
квадрат с основанием на оси {у = 0} и, как и выше, T(Q) —

334
Гл. VIII. Теорема о короне
его верхняя половина. Простое сравнение ядер Пуассона пока-
показывает, что при подходящем а' = а/(а)< 1 для любой гармони-
гармонической в верхней полуплоскости функции u{z)y такой, что
|()|
D.4)
inf |u(z)|<a=s*sup|«(z)|<a'.
T{Q) T(Q)
Это значение a'(a) не зависит ни от функции ы(г), ни от
квадрата Q, потому что D.4) конформно-инвариантно. Поло-
\u\>fl
TIQ)
Рис. VIII. 2. Случай I: шесть заштрихованных квадратов образуют G\ (Q).
Это красные квадраты.
жим р = Р(а7, 1/2), так что заключение теоремы 3.1 справед-
справедливо для а'ие= 1/2.
При п= 1, 2, ... образуем 2Л замкнутых квадратов Qn с не-
непересекающимися внутренностями, со стороной i{Qn):= 2~nt(Q)y
которые лежат в Q и имеют основания на оси {у = 0}. Их осно-
основания Q\ дают разбиение Q*. Для специальных квадратов Q
мы отметим некоторые подквадраты Qn с помощью моментов
остановки. Будем различать два случая.
Случай I. sup 1 // (г) | ^ 6.
T(Q)
Определим первое поколение G\(Q) как множество тех
QjCiQ, в которых sup \u(z)\<ar и которые максимальны по
T(Qj)
отношению к этому свойству. Назовем эти квадраты Q/ крас-
красными. См. рис. VIII. 2. Внутренности квадратов из G{(Q) не
пересекаются. По теореме 3.1 ввиду нашего выбора р
D.6)

4. Интерполяционные произведения Бляшке
335
Согласно D.4),
{*€=Q: \uB
Случай II. sup\u(z)\ < p.
(J
Q
В таком случае первое поколение Gi(Q) состоит из тех
QfCzQy в которых sup |tt(z)|^p и которые максимальны по
Г(<?)
отношению к этому свойству. Назовем их синими квадратами.
Рис. VIII. 3. Случай II: заштрихованные квадраты образуют Oi (Q). Это си-
синие квадраты. В области 01 (Q) над синими квадратами | и (z) | < р.
См. рис. VIII. 3. Их внутренности не пересекаются. Положим
U
Область 5?(Q) имеет спрямляемую границу и
D.6) /(d«(Q))<6/(Q),
где /(дЯ) — длина ЗЯ. В области 52(Q) имеем |ы(г)|<р. По-
скольку ^(г) почти всюду имеет некасательные пределы с абсо-
абсолютной величиной 1, а р < 1, то
D.7) |a«(Q)nfo = 0}| = 0.
Начнем с единичного квадрата Q0. Применив случай I или
II, получим первое поколение Gi = {Qi, Q2, ...}. К каждому
квадрату Q) мы снова применим случай I или II и получим
новое семейство поколений Gi(q)). Определим теперь второе
поколение G2 (Q) = U {d (Q))' Q) e Gi) = {Q?. <?i. • • • }• Повто-
Повторяя этот процесс, мы по индукции получим поколения Gp =
"(Qb Qa, ...}• Поскольку а7 < р, случаи I и II будут чере-

336 Гл. VIII. Теорема о короне
доваться при смене поколений, а все квадраты одного поколения
подпадают под один и тот же случай. Иными словами, поколе-
поколения поочередно состоят только из красных и только из синих
квадратов, и следующее поколение состоит целиком из квадра-
квадратов другого цвета. По построению
D.8) {ze=Q°: |u(z)|<a}c= (J ^(Qfl c= {z e= Q°: | u{z) |< p}.
Случай II V У/
Положим
T = Q°n U
Случай II
Вот два важных свойства этой конструкции:
(a) длина дуги на Г есть мера Карлесона и
(b) если B(z) — ограниченная гармоническая функция в по-
полуплоскости и |В(z) |=g6 на Г, то \B(z)\^6 в области
и аду
Случай II v у/
Чтобы доказать (а), достаточно проверить, )
^C/{Q) для любого квадрата Q = Qn из разбиения Q0, по-
потому что произвольный квадрат QaQ° можно покрыть двумя
такими Qn с /(Qft)^2/(Q). Итак, пусть Q = Q* и р — наимень-
наименьший номер, при котором Q содержит квадраты из поколения Gp.
Согласно D.5) и D.6), вклад квадратов из GP\J GP+\\J ... в
длину Г П Q не превышает
asp.
p
Оставшуюся часть Г П Q доставляет одно из поколений Gp-\ или
Gp-2, и их вклад не превышает 6/(Q). Итак, / (FflQ)^ 18/(Q)
и (а) доказано.
Для доказательства (Ь) достаточно рассмотреть одно мно-
множество 5?(Q) и показать, что \В(г) \ < б в 32(Q), если |5(г)|<
<6 на <W?(Q)D {у > 0}. Это следует из D.7) и рассуждения
Фрагмена —Линделёфа, которое мы сейчас напомним. Ввиду
D.7) существуют такие положительные гармонические функции
Vn{z) в верхней полуплоскости, что
lim yn(
(см. упр. 1.10). Тогда при ?<
llm |Д(г) + Кл(г)|<б+ lim Уа(г).

4. Интерполяционные произведения Бляшке
337
В самом деле, при Im?>0 это следует из непрерывности
B(z) + Vn(z), а при Im? = 0 это очевидно, так как lim Vn(z) =
= +00. По принципу максимума для субгармонических функций
\B(z)+Vn(z)\^b+Vn(z), ee«(Q);
устремляя п->оо, получаем (Ь).
Теперь уже нетрудно построить интерполяционное произве-
произведение Бляшке В (г). Сначала построим интерполяционное про-
произведение Бляшке Si (г), для которого D.1) и D.2) выполня-
!, t
(Q).
Рис. VIII. 4. Нули В\ (г) при N = 2. Показаны три области
ются только в точках единичного квадрата Q0. Пусть {Qn} —
всевозможные квадраты из разбиений Q0, включая сам квадрат
Q0. Выберем точки {z/} на \JdT(Qn) таким образом, чтобы
D.9) infpBy, z)<6, ze
D.10) p(zy, гк)>г)>0, \фк.
Для этого отметим на каждом контуре dT(Qn) равноотстоя-
равноотстоящие точки на расстоянии 2-yt{Qn) друг от друга, включая
углы квадрата Qn. Пусть {г/} — множество всех отмеченных то-
точек во всех квадратах. Тогда D.10), очевидно, справедливо, а
при достаточно большом N = NF) будет справедливо и D.9).
Мы определим B\(z) как произведение Бляшке с нулями
{г;: г/еГ} (см. рис. VIII. 4).
В силу D.10) и условия (а) нули B{(z) удовлетворяют гео-
геометрическому условию (с) из теоремы VII. 1.1. Значит, после-
последовательность нулей B\{z) интерполяционная, и, поскольку все
оценки зависят только от а, C и б, для B\{z) выполняется усло-
условие D.3). Согласно D.8), D.9) и условию (Ь), мы имеем

338 Гл. VIII. Теорема о короне
l#i(z)l<6, если zeQ° и |и(г)|<а. Согласно D.8), нули
функции B\(z) лежат в множестве {|«(г)|^р}.
Мы нашли интерполяционное произведение Бляшке Bi(z)>
удовлетворяющее условиям D.1) и D.2) в точках Q0. Чтобы
получить DЛ) и D.2) во всей верхней полуплоскости, найдем
такое интерполяционное произведение Бляшке B2(z)y для ко-
которого условия D.1) и D.2) выполняются с заменой б на 6/2
во всех точках z ф Q0. После конформного отображения кон-
конструкция B2(z) не отличается от конструкции B\{z). Наконец,
произведение B(z) = B\(z)B2(z) всюду удовлетворяет условиям
D.1) и D.2). Оно будет интерполяционным, если inf p(wk> Zj) > О
где {2/} — нули B\(z), a {wk}—нули B2{z). Чтобы этого до-
добиться, выберем е > 0 и устраним из произведения B2(z) все
нули Wk, у которых inf p(wk, Zf) < в. Оставшееся произведение
/
В = В\Въ будет интерполяционным произведением Бляшке,
удовлетворяющим D.2) и D.3). Поскольку для исходного В2
условие D.1) выполнялось вне Q0 с заменой б на 6/2, то при
достаточно малом е D.1) будет выполняться и для нового про-
произведения В = В\В2. ?
5. Конструкция Карлесона
Теорема 5.1. Пусть б > 0. Если функция f(z) аполитична в D
и |/(г)|^ 1, то существует такая функция ^(z)e C°°(D), что
(a) 0<t|>(z)<lf
(b) Ф(г)=1 при 1/(г)|>б,
(С) ifB) = 0 при |/(z)|<e = eF)f
(d) \\\d^/dz\dxdy^AF)/
s
для любого сектора
S= {г = ге*: 60 < в < в0 + ^, I—^<г< 1}.
Постоянные г (б) > 0 и Л (б) зависят только от 6.
Отметим, что теорема 2.1 сразу следует из этого результата.
Пусть )и •••> fn^H°° таковы, что H//IL < 1 и
max |//(z) | > 6 >0, геО.
Теорема 5.1 дает нам при этом б свою функцию г|);(г) для каж-
каждой функции fi(z). Положим Ф/ = Ф////Е'Ф/- Тогда |<p/(z)|<
^ 1/е, 2ЕЙ,и 9ifi + ... + фя/я = 1. Чтобы заменить ф, функ-
функциями из Я00, нужно найти ограниченные решения уравнений

5. Конструкция Карлесона 339
Но поскольку
- ' =» > I tb/ —т~ — гЬь —j~ )/ fb [ / "Ф/ I ,
d? Z-< V' дг ™ <9г /; /А VZ-j TV
то условие (d) и теорема 1.1 гарантируют существование огра-
ограниченного решения для E.1).
Доказательство теоремы 5.1. Мы проведем гюстрое-
ние в верхней полуплоскости и построим ф только в единичном
квадрате Q0 = {0 ^ х ^ 1, 0 < у ^ 1}. Простое конформное
отображение и разбиение единицы в D позволяют построить i|)
и в круге.
Для каждого диадического квадрата Q = {j2~k ^ х ^
^ (/+ 1J~л, 0 < у ^ 2~ft} (= Q° снова обозначим через T(Q) его
верхнюю половину и образуем 2п диадических квадратов Qncz Q
с основаниями на оси {у = 0} и стороной t (Qn) = 2~п~к =
= 2~r2/(Q). Таким образом, Q\T(Q) есть объединение двух
квадратов Qj.
Пусть N = N(b)—целое положительное число. Для каждого
диадического квадрата Q разобьем T(Q) на 22V~! диадических
квадратов S/ со стороной /E/)= 2~V(Q), которые назовем ма-
малыми квадратами. В гиперболической метрике квадраты из раз-
разных T(Q) имеют примерно одинаковые размеры. Пусть 5/ — от-
открытый квадрат, концентрический с S/, со стороной /E/) =
= 3/E,). По лемме Шварца N = NF) можно выбрать таким,
чтобы для каждого S/
E.2) sup |/(z) — /Чш)|<6 • 2~N < 6/10.
Еще увеличивая ДО, мы можем добиться, чтобы для любого
квадрата Q с sup I f (г) | > 6/2 множество Е = {z^Q: |/(г)|<
T(Q)
< 2~ЛГ+2} имело проекцию ?* на ось {у = 0} с
E.3) |?»|</(Q)/2.
Это можно сделать по теореме 3.2.
Мы определим область ^?czQ° как объединение некоторых
из малых квадратов. Она будет обладать следующими двумя
свойствами:
A) Если SkczQn и inf|f(z)|<2~iV, то Skcz&.
(ii) Если, с другой стороны, 5^ с 5?, то sup | f(z) \ < б.
В силу E.2) условия (i) и (ii) совместимы. Полагая 8 =
= е(б) — 2~N, мы видим, что контур д$& отделяет множество
{ге=<2: |/(?)|>б} от {z<=Q: \f (г) | ^ 2~N = е}. Условие E.3)

340 Гл. VIII. Теорема о короне
показывает, что длина дуги на д& является мерой Карлесона с
постоянной А\(Ь). Это значит, что функция <Фо==Хро\я имеет
все нужные свойства (а) — (d), не считая гладкости. Оконча-
Окончательная функция i|) получается как сглаживание г|)о относительно
гиперболической метрики ]). Чтобы определить 31, мы будем раз-
различать два случая по отношению к квадрату Q из разбиения Q°.
Случай I. sup|/(z)|>6/2.
T(Q)
Рассмотрим те из малых квадратов 5/czQ, в которых
inf | f(z) |^ 2~~N и которые не лежат ниже никакого другого ма-
si
лого квадрата с тем же свойством. Пусть A(Q)—семейство та-
таких 5/. Согласно E.2) и E.3),
E.4)
A(Q)
потому что проекции 5* квадратов 5/ имеют непересекающиеся
внутренности. Рассмотрим для каждого S}^A(Q) квадрат
Q\ с основанием 5*. Это диадические квадраты с основаниями
на оси {у = 0} и с непересекающимися внутренностями. Опре-
Определим первое поколение
Gl(Q) = {Q): S,e=A(Q)}.
Согласно E.4),
E.5) ?/(Q})<y/(Q).
Oi(Q)
Пусть, далее, B(Sj) — это множество таких S*, что
SI cz S*h / (Sj) < inf у < inf у.
s s
Таким образом, В (Si) состоит из самого S/ и всех S&, лежащих
под S/, кроме тех, которые содержатся в Qlf. (Если 5/ — кабина
лифта на верхнем этаже, то Q}—-кабина лифта на нижнем, а
B(Sj)—разбиение шахты лифта, за исключением нижнего эта-
этажа. См. рис. VIII. 5). Заметим, что
E.6) Е /(S,)<22V(Sy),
sk = B(sj)
потому что очень малые квадраты Sky лежащие в QI, исключены,
1) Гладкость \|) существенного значения не имеет. Это оплата за отказ от
обобщенных производных. Можно работать прямо с ф0, если заменить фор-
формулу Грина теоремой Коши в доказательстве теоремы 1.1.

б. Конструкция Карлесона
34?
Если z^Q, то неравенство |/(г) | ^ 2~^ возможно только
При z e UQ/ или при z^Sk^ В (Sj) y Sj(= A (Q). Положим
= U
: inf |
Вели Skc:Q\ UQ/ и inf|/B:)|<2~yv, то S*c: <#(Q). С другой
Ш
\f\<2'N
ЖО)
HLL
n(i) n(i)
Рис. VIII. 5. Квадрат Q в случае I при N = 2. Первое поколение G\ (Q) со-
состоит из густо заштрихованных квадратов. Квадраты S& из $ (Q), где
inf |/ (г) | < 2~^, заштрихованы редко.
стороны, в силу E.2) sup|/(z)|<6 при
. Таким об-
разом (i) и (ii) выполняются для Sk a Q \ \J Q}. Согласно E.4)
и E.6),
Случай II. sup | f(z) |< 6/2.
T(Q)
В этом случае первое поколение Gi(Q) состоит из макси-
максимальных среди тех квадратов Qn с: Q, в которых sup \f(z)\^b /2.

342 Гл. VIII. Теорема о короне
Квадраты Q^ из G{ (Q) имеют попарно непересекающиеся
внутренности. Положим
Q\ U Q).
В этом случае картина похожа на рис. VII.3. На Я@)
j / B) К 6/2 и при Sk с 91 (Q) ввиду E.2) sup | / (z) |< б. Поэтому
<5.8) / № (Q)) < 6/ (Q) < 22"+V (Q).
Отправляясь от единичного квадрата Q0 и применяя случай
I или II, мы построим область 52(Q°). Затем применим случай
I или II к каждому квадрату Qlf первого поколения Gi =
= Gi(Q°). Мы получим новые области 52(Q}) и второе поколе-
поколение, состоящее из всех потомков первого поколения, порожден-
порожденных квадратами из G\. Бесконечно продолжая этот процесс, по-
получим дальнейшие поколения Eз, G4, .... Положим
и
По построению для Sk ^> Q0 выполняются (i) и (ii).
Ко всем квадратам данного поколения не обязательно при-
применим один и тот же случай, но каждый квадрат случая II по-
порождает первое поколение, состоящее из квадратов случая I.
Поэтому нам никогда не придется применять случай II два
раза подряд. Из E.7), E.8) и особенно из E.5) мы видим, что
длина дуги на дЯ является мерой Карлесона. В самом деле,
/ (Q П дЖ) < 22'v+V (Q) + 22"+1 E {/ (Q1): QP, <= Q},
но, так как квадраты из разных поколений образуют «гнезда»,
то в силу E.5)
Следовательно,
<5.9)
так что длина дуги на E52(Q)— мера Карлесона с постоянной
i4=3-22jv+l, зависящей только от б. Но нам нужна гладкая
функция $>(z)y и поэтому мы используем несколько иную форму-
формулировку E.9). Положим для любого Q
= {Sk:
Если Sk^&(Q) и Sk — в девять раз больший концентрический
с Sk квадрат, то /(Sk) ^cf(Sk Г) Q0<352), потому что вклад

6. Градиенты ограниченных гармонических функций 34$
в длину дЯ внутри Sk могут дать только квадраты S/ с / E;) ^
^ f(Sk)/2- Любая точка лежит не более чем в девяти квадра-
квадратах Sk, так что из E.9) следует
F.10) ? '(Sk)^c-2™+*/(Q).
Для каждого малого квадрата S/ пусть -ф/ s С00({у > 0}) — та-
такая функция, что % = 0 на S/, if/ =э 1 вне Sj и 0^ф/^1г
\V^i\^c//(Sf). Поскольку любая точка лежит не более чем
в девяти квадратах 5/, то функция
*(*) = П ¦/(*)
бесконечно дифференцируема в полуплоскости и
E.11) |V^B)|<c//(S,), zsS*.
Далее У^>(г)=0 вне квадратов 5ft> пересекающихся с дЯ. Со-
Согласно E.10) и E.11), это значит, что
V^ I dx dy < С • 22ЛГ+l/ (Q)
для любого квадрата Q с основанием на оси {у«=0}. Стала
быть, \Vty\dxdy — мера Карлесона с постоянной А F). Очевидно,
что 0 ^ г|? ^ 1, и (а) выполняется. Ввиду (i) и (и) для точек Су
выполняются также условия (Ь) и (с). D
6. Градиенты ограниченных гармонических функций
Основная трудность в теореме о короне происходит оттого, что
мера \f'(z)\dxdy для функции f e Н°° не обязательно является
мерой Карлесона. См., например, упр. VI. 9. Теорема этого, па-
параграфа указывает путь в обход этого препятствия.
Теорема 6.1. Пусть и (г) — ограниченная гармоническая функ-
функция в верхней полуплоскости Ж и е > 0. Существует такал
функция ср (г) ^ С°° (<?#), что
F.1) |<р(г)-иB)|<е,
и \Vy\dxdy — мера Карлесона, а именно
F.2) \\\W\dxdy^CE-*\\u\tt{Q)
Q
для любого квадрата Q = {а < х < а + /(Q), 0<y^t(Q)}.
Постоянная С в F.2) не зависит от г и и{г).
Эта теорема—компромисс между желаемым и действитель-
действительным, между истинным утверждением о карлесоновости меры

344 Гл. VIII. Теорема о короне
y\S/u\2 dxdy и ложной надеждой на то, что \Vu\dxdy— мера
Карлесона. Теорема 5.1—ее непосредственное следствие. В са-
самом деле, пусть /еЯ°°, li/iU < 1, и б > 0. Возьмем функцию
AgC°°(R), у которой Л(л:)=1 при х > 36/4, h(x)=Q при
х < 6/2 и 0 ^ h(x) ^ 1 всюду. Если ф есть С°°-функция из тео-
теоремы 6.1 при б = 6/4, то функция г|) = /i оф удовлетворяет всем
требованиям теоремы 5.1 при том же значении е.
Наша теорема остается в силе и тогда, когда и(г) является
интегралом Пуассона функции из ВМО, и этот результат, даже
при больших е, дает еще одно доказательство двойственности
Н{ — ВМО (см. упр. 11). В гл. VI доказательство двойствен-
двойственности опиралось на аналог (в круге) неравенства
<6.3)
которое гораздо доступнее, чем F.2). (См. теорему VI. 3.4 и
упр. VI. 5.)
Существуют примеры, в которых функция <р(г) из теоремы
€.1 не может быть гармонической (см. упр. 12).
В теореме 6.1 содержится количественная формулировка тео-
теоремы Фату. Пусть и (г) — ограниченная гармоническая функция
в полуплоскости {у > 0} и б > 0. Обозначим через NB(x), xeR,
целое число, указывающее, сколько раз функция u(x + iy) на
отрезке 0 < у ^ 1 изменяется на величину е. Точнее, мы ска-
скажем, что Ns(x)^ ny если найдутся такие точки
что \u(x + iyt)—w(x + a//+i) | ^ e. Теорема Фату утверждает,
что Ne (л;) < оо почти всюду при любом е.
Следствие 6.2. Если е > 0, и (г) гармонична в полуплоскости
{у > 0} и ||и||го ^ 1, то для любого интервала I единичной длины

(x) dx < Се
Доказательство. Пусть феС°° удовлетворяет условиям
F.1) и F.2) с заменой е на е./2. Если Ыг(х)^п9 то найдутся
точки yo<yi< .. <</п<1, в которых \<p(x + iyj) — y(x +
I ^ e/3. Значит,
J I dy
/-о
i l
J dy

6. Градиенты ограниченных гармонических функций 345-
i
и, стало быть, \ \ду/ду \dy^z Ne(x)e/3. Но при |/|=1 F.2) дает
о
Щ\с1хс1у^сг-7. П
/ о
Это следствие напоминает нам о теореме о гармонической
интерполяции VII. 4.2, потому что оба результата дают оценку
колебаний ограниченной гармонической функции, и теорему о
гармонической интерполяции легко вывести из следствия 6.2.
Связь между теоремой 6.1 и гармонической интерполяцией бо-
более полно обсуждается в гл. X. Вовсе не очевидно, что след-
следствие 6.2 вытекает из неравенства F.3). Однако лемма 6.4 —
аналогичный результат для средних по диадическим интерва-
интервалам— простое следствие мартингального варианта оценки F.3).
См. замечания после доказательства леммы 6.4.
Постоянные г~7 в следствии 6.2 и е~6 в F.9) не точны. Не-
Недавно Дальберг [1980] получил е-1 в F.2). Его локальная тео-
теорема содержит и теорему 6.1, и аналогичный результат об ин-
интегралах Пуассона функций из LPy р ^ 2. Он использует ин-
интеграл площадей Лузина для липшицевых областей там, где мы
будем сравнивать и (г) с более простым мартингалом.
Вот план доказательства теоремы 6.1. Мы знаем, что
y\Vu\2 dx dy — мера Карлесона. В точках, где колебание и (г)
велико, а именно где ц\Чи\ ^б(е), будет \Vu(z) \ ^Ь{г)~ху\ Vw|2.
Стало быть, сужение меры | SJu(z) \dxdy на множества
{г: у\ Vu(z) | ^ 6(е)} уже является мерой Карлесона, и на этом
множестве можно положить <p(z)= а (г). Нам нужно справиться
с множеством, где колебание и (г) мало. Временно отбросим
условие ф е С°°; тогда мы построим кусочно постоянную функ-
функцию ф(г), такую, что \q>(z)— u(z)\<ie в почти всех точках
малого колебания и (г) и что ф(г) испытывает скачки на вели-
величину порядка е на границах некоторых диадических квадратов.
Эти квадраты определяются с помощью моментов остановки
и удовлетворяют условию
? f(Qi)<C(e)f(Q).
Qf<=Q
Как обобщенная функция |Уф(г)| ведет себя подобно длине
дуги на границах Q/ и поэтому является мерой Карлесона. Та-
Таким образом, идея состоит просто в том, чтобы разгладить, на-
насколько возможно, малые колебания u(z).
Нам будет удобно заменить интегралы Пуассона средними
значениями u(t) на диадических интервалах.
Лемма 6.3. Пусть u(z)= Ру * и(х)—ограниченная гармони-
гармоническая функция в верхней полуплоскости, a I czR — интервал.

346 Гл. VIII. Теорема о короне
Тогда при любом б, 0 < б < 1/2,
<6.4) -Лт[и(()(И -1^гт[ u{x + i6\I\)dx
где С не зависит от u{z)y б и I.
Доказательство. Можно считать, что /=»[0, I],
||ы||оо= 1. Точная верхняя грань левой части F.4) равна НЛ1ь
где
Если dist(/, /) > б, то
\F(t)\< 6 [ dx = * (
1 vn ^ я J (х - /J тс \ dist (/, /) 1 + dist (/, /)
Значит,
\
dist (Л
Поскольку HFIloo ^ 1, то
\F(t)\dt+
Остался интервал /«я (б, 1—б). При /е/
О оо
1-6 О
$ 5
6 -оо
1-6
б Г dt
Теперь фиксируем диадический интервал / и положительное
целое число N. При &= 1, 2, ... разобьем / на 2Nk замкнутых
диадических интервалов h длины |/*| = 2-"*|/|. Пусть е > О
и u{t) — ограниченная функция на L Определим первое поко-
поколение G\ =» Oi(/) как множество максимальных среди интерва-
интервалов h <= /, для которых

6. Градиенты ограниченных гармонических функций 347*
Интервалы из G\(l) имеют непересекающиеся внутренности.
Определим таким же образом G\(h)t /*eGi(/), и положим
G2=G2(/) = \J{Gi(h): /*e=Gi(/)).
По индукции определяются дальнейшие поколения G3, G4, ... *
каждый интервал /* ^ Gp+\ содержится в единственном интер-
интервале Ij^Gp и \uik — uij^e. Согласно теореме Лебега, почти
каждая точка лежит в конечном числе интервалов из всех по-
поколений. Нам нужна количественная формулировка этой тео-
теоремы.
Лемма 6.4« Для любого е > 0 и любого N
1
Доказательство. Пусть Go = {/} и Ер = / \ U h+
0, 1,2, ... . Положим
Эогда | Yp—Yp+i| ^ е на U /7, и поэтому
°р
р-1 Ор / р-1
При Ik <= Gp_,
prf/= J u(t)dt+
поскольку на 1к имеем Kn-i^^v T0
Точно так же поскольку ?р ^э ?Р-ь то
YpYp_,dt=-- \ u{tfdt~ \ Y\_xdU
Следовательно,
' pY^di=\YUdt
I

348 Гл. VIII. Теорема о короне
\\Yp- Yp-i fdt = \Y2pdi-2\ YpYp.x dt + \ Y2P.{ dt
-\Y'p-idt.
Значит,
dt =
На самом деле лемма 6.4 — это теорема о мартингалах. На
{Yp} можно смотреть как на мартингал, суженный на последо-
последовательность моментов остановки. В приведенном доказательстве
мажоранта ? I Yp — Yp_x |2 — это квадрат мартингальной
S-функции. Любопытно, что S-функция — это аналог выражения
Литтлвуда — Пэли у\Чи\2dxdy для мартингалов.
Доказательство теоремы 6Л. Сначала мы найдем
разрывную функцию ф2(г), почти всюду удовлетворяющую F.1),
у которой обобщенная функция |Уфг| является мерой Карле-
сона. Эта функция будет построена только в единичном ква-
квадрате Qo = {0 ^ х ^ 1, 0 < у ^ 1}. С помощью разбиения еди-
единицы можно построить такую функцию во всей верхней полу-
полуплоскости. В конце мы ее сгладим и получим С°°-функцию, удов-
удовлетворяющую условиям F.1) и F.2).
Выберем б = 2~N так, чтобы в F.4) было
|<са log ¦!¦<!.
Рассмотрим 2Nk диадических квадратов Qk вида Qk =»
= {/2-** <*<(/+1J-"*, 0<y^2r"k) при ?==1,2
Положим S(Q*)=Q*\UQ*+i = Q*n{y>2-iV/(Qft)}, и пусть
/A = Q* —проекция Qk на ось абсцисс. Наконец, пусть
— среднее значение функции u(z) на нижней стороне S(Qk). По
лемме 6.3 и в силу выбора N
F.5) |flQft(«)-«/J<

б. Градиенты ограниченных гармонических функций 319
Назовем прямоугольник S(Qk) синим, если
F.6) sup |иB)»иИКе/4;
в противном случае назовем его красным. Доказательство со-
содержит два шага. На первом шаге мы приближаем и (г) в синих
прямоугольниках кусочно постоянной функцией, а на втором
исправляем это приближение на красных прямоугольниках.
Мы будем считать, что ||и||оо =1 ие<1.
Шаг I. Нулевое поколение Go состоит из одного квадрата Q0-
Первое поколение Gi = Gi(Q0) состоит из максимальных ква-
квадратов QfcC=Qo, для которых
F.7) К-И/0|>е/4.
Таким же образом определяется первое поколение Gj(Q/), если
Qj e Gi(Qo). Второе поколение G2 = G2(Qo) есть
Q/): Q,e=G,>.
Дальнейшие поколения определяются по индукции. Поколения
квадратов с точностью до замены е на е/4 соответствуют поко-
поколениям интервалов h из леммы 6.4. Для каждого Q/ образуем
область
Q/\ U Q*.
Согласно F.7), 5?(Q,) совпадает с объединением тех прямо-
прямоугольников S(Qn)<^Qj, Для которых | м/?г — «/^ | < е/4. В силу
F.5) это означает, что при S(QM2(Q)
F.8) |aQ/>)
Каждый прямоугольник S(Qn) содержится в единственной об-
области 01 (Q,-). Если Qj^Qky то области 3H(Qj) и &t(Qk) имеют
непересекающиеся внутренности. В открытой верхней полупло-
полуплоскости граница d^(Qi) состоит из горизонтальных и вертикаль-
вертикальных отрезков. Для любого квадрата Q пересечение Q[\d0t(Qf)
имеет суммарную длину не более 6 /(Q). См. рис. VIII. 6.
Для каждого квадрата Q/ любого поколения, включая сам
квадрат Qo, положим у{(г) = uQi{u) во внутренности °
области &(Qi). Таким образом,
Функция Ц)\{г) плохо определена на множестве \Jd9l(Qi),
но это множество имеет нулевую площадь, а мы пока хотим
только найти^функцию ф, для которой |ф — и\<Сг почти всюду.

350
Гл. VIII. Теорема о короне
Предположим, что прямоугольник S(Qn) синий. Тогда в силу
F.6) sup I и (г) — а<э (и) I ^ е/4. Существует единственный
S (Qn) n '
квадрат Q/, для которого S(Qrt)c: 5?(Q/); при этом \qq (и) —
— aQ:(u)\ < Зе/4 по F.8) и, стало быть,
F.9) |Ф,(г)-и(г)|<е
в S(Qn)n^°(Q/)- Значит, F.9) выполняется почти всюду в каж-
каждом синем прямоугольнике.
V\
Рис. VIII. 6. Квадраты Qk при N « 3. Прямоугольник S (Qo) синий. Красный
прямоугольник 5 (Qi) слева заштрихован редко; в нем sup | и (z) — и (до) |>е/4.
Густо заштрихованы квадраты из первого поколения G\ (Qo). В точках неза-
штрихованной области | и (г) — «qo (и) | < е. Область # (Qo) — это объедине-
объединение незаштрихованной области и красного прямоугольника.
Градиент | Vcpi | интересует нас как обобщенная функция в
открытой верхней полуплоскости {у > 0}. Но
/ 0Ф| -0Ф, Л v Y^
р-0
ду )'
Производная д%^0((, Jdy как обобщенная функция в области
{У > 0}—это меРа (—dx) на верхнем основании квадрата Q/
плюс сумма мер dx на остальных горизонтальных отрезках
d52(Q/)n {^/ > 0}. Аналогично, dx%0,Q Jdx — это знакоперемен-
знакопеременная сумма мер dy на вертикальных отрезках d&(Qj). Следова-
Следовательно, мера I Vx^./Q J — это длина дуги на кривой Г/«а
дЯ {i) П {у > 0}. Поскольку | aQ/ (и) | < || и Ц^ = 1, то

6. Градиенты ограниченных гармонических функций 351
где сумма берется по всем квадратам Q/ всех поколений.
Мы покажем, что для любого квадрата Q с основанием на
оси {у = 0}
F.11) Z^(Q
Вместе с F.10) это доказывает, что |Vq>i| есть мера Карле-
сона. В доказательстве F.11) можно считать квадрат Q диади-
ческим: Q = {/2-л <*<(/+1J-", 0<у^2~п}. Рассмотрим
вначале те Qh для которых Q[\ Г/ = Q П <W2(Q/)fl {у > 0} ф 0,
но Q}g!:Q. Если при этом /(Q/)^^(Q), то Q П Г/ — это отрезок
на боковой стороне Q. Эти отрезки попарно не пересекаются, и
совместный вклад таких Q/ в сумму F.11) не превышает 2i{Q).
Может быть не более двух квадратов Q/ с /(Q/) >t{Q) и
(?ПГ/=^=0. В каждом из них ^(Qfl Г/) ^ 6/(Q), и их общий
вклад в F.11) не превышает \2t(Q). Наконец, для квадратов
QfdQ по лемме 6.4
2 '(Q/X6/(Q)+ -J!-/(Q).
Но е<1, поэтому мы получаем неравенство F.11), и мера
|Vcpi| оказывается карлесоновской.
Шаг II. Мы нашли такую функцию (pt(z), что |V<pi| — мера
Карлесона, q>\(z) постоянна внутри каждого прямоугольника
S(Qk) и |ф! — и\<г почти всюду в синих прямоугольниках
S(Qk). Теперь мы приблизим u(z) на красных прямоугольниках
S(Q=* {x<=Iky2-»\h\<y^\Ik\},r№ sup\u(z)-u(w)\>e/4.
(
Объединение всех красных прямоугольников обозначим через 31.
Пусть S(Qk)— красный прямоугольник и точки z\t z2€ES(Qk)
таковы, что \u(zi) — и(г2)|>е/4. На отрезке, соединяющем
Z\ и 2г, есть^ точка г0, в которой \z\ — z2\ \Vu(z0) \ > е/4. Но
U!-2:2|<V2^(Qfe)<2^+1Im2o=2^+1//o)TaK что 2"+*у0\ Vu (z0) \ >
> е, и ввиду субгармоничности \Vu\2
\z-zn\<yof2 I z-zo\<yo/2
Положим S (Qk) = U {г: | z — z01< Im zo/2}\ тогда
FЛ2) JJ y\Vu\2dxdy^ce22-™f(Qk).

352 Гл. VIIL Теорема о короне
Никакая точка не лежит более чем в четырех областях S(Qk).
Раз y\Vu\2 dxdy— мера Карлесона, то F.12) дает
F.13) ?{/(Q*): Qk<=Q, S(Qk)- красный} <ce~223V (Q)
для любого квадрата Q. В частности, длина дуги на д& — мера
Карлесона с постоянной сг~22зы.
С другой стороны, y|V«|^c, и поэтому для любого прямо-
прямоугольника S(Qk)
F.14)
Если прямоугольник S(Qk) красный, то F.12) и F.14) дают
.15) jjjj I V« I dx dy < cNt~22ZN jjjj yWufdxdy,
F
так что \Vu(z)\%% (z)dxdy — мера Карлесона с постоянной
cNe~22™.
Положим теперь
ф2B)
f Ф1 B),
==( «(г),
Тогда |ф2(г)— ti(z) | < е почти всюду в Qo. В смысле обоб-
обобщенных функций
где остаточный член J учитывает скачки $ч{г) на д&. Но
|ф2|<1+е> поэтому / — мера и |/| не превосходит длины
дуги на д31 с % коэффициентом 1 + е. Следовательно, в силу
F.13) это мера Карлесона с постоянной C23Ne~2. По F.15)
%%\Vu\dxdy — тоже мера Карлесона с постоянной CN2ZNz~2.
На первом шаге доказательства мы установили, что |Vcpi| —
мера Карлесона с постоянной Се~2. Но N выбиралось так, чтобы
N2~N ~ е, и наихудшая постоянная во всех трех оценках отве-
отвечает *ьж\Ч\x\dxdy. Поэтому
F.16)
для любого квадрата Q.
Мы построили функцию ф2 в единичном квадрате Qo, у ко-
которой |Уф2| удовлетворяет F.16) и |<р2 — а|<е почти всюду в
Qo. Используя разбиение единицы, легко получить функцию фз
в Ж, удовлетворяющую F.16), для которой |фз — и\<Се почти

6. Градиенты ограниченных гармонических функций 353
всюду в Ж. Функцию у^С°°Bё) со свойствами F.1) и F.2)
мы получим сглаживанием <р3. Пусть Л(г)е C°°(R2), h (z)^ О,
\ h(z)dxdy= 1 и h(z)=0 при |г|^1. Пусть, кроме того,
функция h радиальна: Л(г)=Л(|г|). Положим ht(z) =
= (l/62)/z(z/6) при 6>0. Тогда ф3*/1йеС°°. Если 6<Imz,
то \q>3*h6{z)—и(г)\<г9 потому что ы*/*6 = и в силу гармо-
гармоничности u(z) и радиальной симметрии /гб. Чтобы сохранить
условие б<1тг, разобьем полуплоскость Ж на полосы Тп =
= {2~п ^ у < г-**1} и положим Т„= Г^и^и^+ь Выберем
такие функции gn:= gn(y)^ C°°, сосредоточенные на fn, что
\\ \g/y\?C2n и Ег»Ы-»1- Тогда
— оо
функция
такова, что | ф(г) — и (г) \ < е. Если ге Тп, то (p3*/z2-,i-2(z) =
при
dist(г, ^2
потому что функция фз гармонична в круге {|о;— г] < 2^rt~2}.
Поэтому оценить |Уф|^л:^г/ нужно только в области
K=U?«nfe: dist (г,
— оо
Зафиксируем диадический квадрат Q = {/2~р ^ х ^ (/ +
0<у < 2"р}. Тогда
оо оо
уФ(z) = Z (Ф3 * Л2-„_2 (г)) VgnB) + Z ёп (г)(V93 * Л2_„-2)(г),
— оо — оо
и поэтому
5J
Q(\V n-p-\
ОО
J |Vq>3|*A2-«-*rf*rfy-
Поскольку \QnVf)Tn\^c2-nf(QnTnr\(d$t\J\jrj))y то первый
член не превосходит ce"^/(Q). Вторая сумма не превышает
12 Зак. 829

354 Гл. VIII. Теорема о короне
где Wn = {z: dist(z, Qf\Tn)^. 2~n-2}. Но никакая точка не лежит
более чем в пяти множествах Wn. Объединение U Wп со-
л>р-1
держится в концентрическом с Q и в 16 раз большем квадрате.
Значит,
оо
л -6О-Р
Так как /@)=«2-р, то мы видим, что ц>{г) удовлетворяет нера-
неравенству F.2). П
7. Конструктивное решение уравнения db/dz = ц
В доказательстве теоремы о короне мы использовали сообра-
соображения двойственности, чтобы получить решающую оценку
G.1)
для некоторого решения уравнения
db/dl=*G{z), \г\<\.
Недавно Питер Джонс нашел прямой путь к доказательству
G.1). Его метод одновременно дает конструктивное доказатель-
доказательство основного разложения
G.2) ф «= и + Hvy «je L°°,
для функций из ВМО. Эта конструкция довольно явная и долж-
должна иметь дальнейшие приложения.
Пусть [х — мера Карлесона в верхней полуплоскости; мы
предположим ее положительной и нормированной условием
Джонс решил уравнение
G.3) db/dz = \x, Imz>0,
и получил решение с \b(t)\^C почти всюду на R, используя
связь между мерами Карлесона и интерполяционными последо-
последовательностями. Рассмотрим вначале очень специальный случай.
Случай I. [i = X a}yfiz^ где {г/}—такая конечная после-
последовательность точек, что
<7-4) П
>б>0
(б — фиксированная постоянная) и 0^а/^1. Пусть В{(г) —
произведение Бляшке с нулями {г/}. По формуле Грина обоб-

7. Конструктивное решение уравнения dbjdz = \i 355
щенная функция (d/di)(\/B\(z)) равна
Е -^ *., - j] р,^, к i Р/ к i/б.
Как показывает доказательство Эрла теоремы об интерполяции
(теорема VII.5.1), существует другое произведение бляшке
B2(z) с нулями {?/}, р(?/, г/)< б/З, для которого
где /С—абсолютная постоянная. Рациональная дробь
b{z) = Kb-*B2(z)/Bx{z)
решает уравнение G.3), и \b(t) | ^ /Сб~3, /sR.
Случай П. Снова ц — положительная дискретная мера с ко-
конечным носителем, ц>= X <*/#/**/, но #(|л)^ 1 и коэффициенты
а/ рациональны: а/ = ft//jV. Основное отличие от случая I здесь
в том, что постоянная б в G.4) может быть очень мала. Так как
N() 1, то 1 ^ kj ^ N. Перенумеруем точки так, чтобы точка
повторялась с кратностью kj. Тогда
Поскольку N(\i)^ 1, то верхняя половина любого квадрата Q
с основанием на оси {у = 0} содержит не более 2N точек г/
с учетом кратностей. Сейчас мы разобьем {г/} на 4N интерполя-
интерполяционных последовательностей с равномерно ограниченными
константами интерполяции. Положим
Sn = {z/: 2-"-1 < у/ < 2-}
и перенумеруем z/ eSn в порядке возрастания вещественных
частей: Sn= {zkn = Xkn +iykn}, **-i л ^ **л ^ **+i «• Разделим
{г7} на 2N подпоследовательностей Уь Уг, ..., Y2n, равномерно
распределяя точки в каждом Sn. Точнее, отнесем г,- =» аг^п + ^f/*t
к Кр, если (и только если) k = p(mod2N). Пусть Q — диадиче-
ский квадрат и Mn(Q)—число точек z/ в 5nDQ- Наши подпосле-
довательности выбраны так, что число точек в каждом мно-
множестве Yp(]Sn[]Q не превышает I + Mn(Q)/2N. Следовательно,
Z
Далее, точки Yp f| U ^rt хорошо отделены; для любых двух
« четно
12*

356 Гл. VIII. Теорема о короне
точек г/, 2* из этой подпоследовательности
Таким образом, каждая последовательность Yp есть объедине-
объединение двух интерполяционных последовательностей с большими
постоянными б в G.4). Согласно очень специальному случаю I,
найдется такая рациональная функция bp(z)y \bp(t)\^ C\
t<= R, что
if^E y*6*r
Тогда функция
2N
является решением G.3) и \b(t)\^Cy /eR, где С не зави-
зависит от N.
Случай III. Пусть теперь jn — произвольная положительная
мера на Ж с #(ц)^1. Существует последовательность мер
{[in)у подпадающих под действие случая II, для которых
(Сначала нужно ограничить ц на компактное подмножество
полуплоскости Ж, а затем разбить Ж на гиперболически малые
квадраты и сконцентрировать меру каждого квадрата в его
центре.) Пусть bn(z)—полученное выше решение уравнения
dbn/dz = \in (случай II). Тогда функции {bn(t)} имеют /Лсла-
бую предельную точку b(t) в L°° и llftlloo^C. Далее {bn(z)}
сходятся как обобщенные функции к решению уравнения G.3)
в верхней полуплоскости. Для приложений нужно связать эту
обобщенную функцию в Ж с ее граничной функцией b(t), но
это несущественная трудность. Во избежание технических слож-
сложностей перейдем в единичный круг. Функция bn(z) рациональна,
и по формуле вычетов
Jg- \ f(z)bn(z)dz~\f(z)dvn(z), f^Hl>
1г|-1 D
Следовательно,
<7-5) Ш S f{z)b{z)dz=\f{z)dv{z), feff1.
" D

7. Конструктивное решение уравнения db/дг = ц, 357
Равенство G.5) представляет собой достаточную для наших це-
целей интерпретацию уравнения db/dz = ц. ?
В задаче о короне d\i = (l/n)Gdxdyf где G^C°°(D)y и, со-
согласно A.2), существует функция Fe C{D)f] C°°(D) с dF/dz —
= б(г). По формуле Грина
1*1-1
Ввиду G.5) это значит, что h(eiB) = F(e/e) — 6(e'°)e #°°, и,
стало быть, функция &(e) = F(z)—Л (г) дает гладкое решение,
ограниченное в круге, для которого \b(eiQ)\^C почти всюду.
Если подставить такие функции b(z) в B.7), то мы получим до-
доказательство теоремы о короне, не использующее двойствен-
двойственности.
Подход Джонса особенно выразителен в терминах обобщен-
обобщенных производных. Наше дифференциальное уравнение имеет
вид db/dz = ц, где меру \х можно взять абсолютно непрерывной
относительно длины дуги на контуре Г типа построенных в
разд. 4 или 5. На Г длина дуги — мера Карлесона, а плотность
ц ограничена сверху и снизу. В таком случае появляющиеся
произведения Бляшке легко обозримы, они напоминают произ-
произведение Бляшке, построенное в разд. 4. Решение b (г) можно
представить как среднее интерполяционных произведений Бляш-
Бляшке. (См. пример в конце раздела.)
Переходя к доказательству разложения G.2), предположим,
что ф — вещественная функция из ВМО(Г), ||<p|L^ 1. Согласно
упражнению VI. 13, существуют функции tfEL00, IhHU ^ Л,.
F(z) e C°° (D) и g <= L\ такие, что
<р (9) = -Ф (9) + Hm F (re*) = ф (9) + F (9)
и что \VF\dxdy — мера Карлесона с N(\VF\dxdy) ^ А. Пусть
b(z)—решение уравнения
дЬ I а/7 , -
доставляемое процедурой Джонса. Тогда |6@)|^СЛ и
cp = ^ + b + (F-b)
почти всюду на Т. Рассуждая формально, имеем (F — 6)" =*
= —i(F — 6), поскольку функция F — b аналитична. Поэтому
ф = ф + b + iF — /б,
что после отделения вещественных частей дает

358
Гл. VIII. Теорема о короне
а это и есть G.2). Уточняя эти рассуждения, заметим, что в
силу G.6)
С другой стороны, поскольку \F(reiQ)\^.g{Q)&Ll, то по тео-
теореме об ограниченной сходимости
Следовательно, F(eid) — Ь(еш)^Н\ а поэтому и в самом деле
(F-b)~=-i(F-b).
Привлекательная сторона такого подхода к G.2) состоит в
том, что конструкция Варопулоса для F(z) вполне явная. Метод
настоящего раздела дает также конструктивную процедуру для
нахождения по данной функции f ^ L°° такой функции g^H°°9
что
ll/-?lioo<Cdist(/, //<*>).
Например, запишем число хе[0, 1] в виде дроби по основа-
основанию 5, х= ? с^5~\ и положим ф (х) = ? %Ek (jc), Ek = {х:
аь = 1 или а* = 3}. Тогда среВМО (см. рис. VIII. 7).
ЛИ Ж
Рис VIII. 7. Функция <p(jc).
Если построить функцию F(x, у) с помощью 5-адических
квадратов вместо диадических, то
F(x, у)= ? feftWX(o 5-*)(У)-
Тогда ф(х) = Ит/7(х> у), а мера |VF| ограничена длиной дуги
на кривых в Ж, нарисованных на рис. VIII. 8. Разделим эти
кривые на отрезки ограниченной гиперболической длины и па-
параметризуем каждый вещественным параметром /, 0 < t < 1.
При каждом t пусть B\{t, z)—произведение Бляшке с одним
нулем в положении / на каждом таком отрезке. Нули B\(ty z)
образуют интерполяционную последовательность с константой
интерполяции, не зависящей от t. На рис. VIII. 8 они отмечены

Приложение. Комплекс Кошуля
359
крестиками при t = 0,8. Ограниченное решение уравнения
db/dz = dF/dz имеет вид
B2(t, х) — другое интерполяционное произведение Бляшкз.
го нули отмечены точками на рис. VIII. 8. Разложение G.2)
Рис. VIII. 8. Нули В{ (t, г)
отмечены крестиками, нули
&2 (*, z) — точками.
имеет вид
Приложение. Комплекс Кошуля
Комплекс Кошуля — это общий алгебраический механизм,
который в случае задачи о короне ведет от гладких решений
Фь ..., фя к соответствующим дифференциальным уравнениям
B.9). В нашей ситуации он работает так. Пусть % — кольцо
всех аналитических функций в D и <S — кольцо всех бесконечно
дифференцируемых функций в D\ % — подкольцо кольца <$\ Да-
Далее пусть ^(o,i) есть ^-модуль форм типа @, 1) вида g dzy
g^&. В нашем случае #«>, п и <$ изоморфны, но нам будет
удобно различать функции h(z) и дифференциальные формы
h(z)dz типа @,1). Определим оператор д: S-^S^\) формулой
dh = (dh/dz)dz.
Тогда йсг^ — ядро этого оператора.
Ниже пусть Я обозначает или % или ?\ или ЙГ(ол). Положим
Л°E2) = 32, и пусть Л1 E?) обозначает модуль всех комбинаций
вида
2
где е\ — формальные базисные элементы. Таким образом,
№(Я) прямая сумма п экземпляров Я. Далее, пусть Л2E?)

360 Гл. VIII. Теорема о короне
модуль всех комбинаций вида
hjkef л ekf hjk e $,
где мы предполагаем выполнение обычной аксиомы внешней ал-
алгебры
(АЛ)
Размерность А2(&) над 52 равна п(п—1)/2. Определим опе-
оператор д: Ap(&')^Ap(&(o,i))i р = 0, 1, 2, как почленное диффе-
дифференцирование коэффициентов при е\ или е\ Аек:
д ( Z V/) = Z (dfty) ^, d ( Z Л/^/ A ek) = Z ^/ftey Л е*.
Тогда ядро оператора д есть Лр(91)сг Лр(^). Используя A.2) и
разбиение единицы (если_ наши функции неограничены), мы
видим, что отображение д при всех р сюръективно. Это озна-
означает, что последовательность
точна: ядро каждого следующего отображения равно образу
предыдущего. Пусть те Ар\&)у р = 0, l,ao)G Aq(&)y q = 0, 1,
где 5Z обозначает или &> или <^(о, о. Внешнее произведение
тЛ(о е Лр+^ ($) определяется правилами
f hg = fg> f A ge/ = /в/ Л g = /g-в/, /ву л ё% = /ge7 л еЛ
и требованием ^Г-билинейности отображения (т, со)-*тло (т. е.
оно должно быть ^Г-линейным по каждому аргументу).
Пусть теперь /ь ..., fn — данные задачи о короне. При
р= 1, 2 определим оператор /: АР(Я)-+ АР~Х(Я) формулой
где «крышка» над сомножителем е\к означает, что его нужно
вычеркнуть. Отображение / определяется на всем модуле 52
условием ^-линейности. Множители (—l)*+l делают определе-
определение / совместимым с (А.1). В частности,
Простое вычисление показывает, что J2 = 0, и возникает еще
одна последовательность

Приложение. Комплекс Кошуля 361
Пусть теперь фи ..., уп — решения задачи о короне. Тогда
Ф^ЕфА^ЛЧ*) и /(ф)=Е//Ф/=1. Если ).еА'(Л) и
/(Я)=0, то
/ (ф Л Я) = / (ф) Л Я — ф Л / (Я) = Я.
Следовательно, /-последовательность точна при 52 = <^ или
Я = ^Г(о,1). Наконец, поскольку f/ аналитичны, то Jd = dJ9 и мы
приходим к коммутативной диаграмме
0
4
АЦЩ
4
Л2(<Г)
1*
Л2(<Г<0, „)
4
0
0
4
-^ Л1 (Я)
4
1 ^
-^ л1 (#«>, о)
4
0
0
4
4
—*¦ 0
*" ^@, 1)
4
0
В этой диаграмме точны столбцы и точны две последние
строки. Мы хотим найти такое g = 2 g/?/ е Л1 B1), чтобы
J(g)=Hfigi=1' Но Ф=?фЛ€=Л1(#), /(Ф)=1, и диа-
диаграммный поиск сейчас даст _нам и_ gt и дифференциальные
уравнения B.9). Поскольку /дф = dJcp = 0, то (?ф = /о), о> =
=Ф Л дер е Л2 (ЙГ(о, и). Существует ?=2 6^/ лек^ Л2(#), для ко-
которого (?6 = со. Это в точности система B.9). Тогда dJb =
=s /(9& = /со = ^ф, так что <?(ф — /6) = 0 и g = ф — /&еЛ'(Я).
Но Я = 0, и поэтому
Компоненты вектора geA!(8) как раз и дают решения B.7),
B.8) задачи о короне.
Для задачи о короне в области в .С/1, п > 1, комплекс Ко-
Кошуля содержит больше столбцов и строк, но и там он сводит
задачу к системе дифференциальных уравнений.
Замечания
Теорема 1.1 есть у Карлесона [1962а], а теорема 1.2 — это
недавняя идея Волфа из [1980]. Теорема 2.1 принадлежит Кар-
лесону [1962а], но доказательство в разд. 2 заимствовано у
Волфа [1980].

362 Гл. VIII. Теорема о короне
Связь между теоремой о короне, дифференциальными урав-
уравнениями и комплексом Кошуля отметил Хермандер [1967а]
(см. также Карлесон [1970]), но основные трудности при этом
остались теми же, что и у Карлесона [1962а].
Теорема 3.2 почерпнута у Карлесона [1970]. Теоремы разд. 3
можно также вывести из теоремы о гармонических мерах, из-
известной как лемма Хадла. Пусть Е — такое компактное подмно-
подмножество верхней полуплоскости, что область Q = Ш\Е связна, и
пусть со (г), гей, — гармоническая мера Е. Леммой Халла
называется оценка
где Е= {\z\: z^E}—угловая проекция Е на положительную
вещественную ось, а ядро Пуассона представляет образ
— |*| + Ч/ точки z = x + iy при складке. Доказательство см. у
Дьюрена [1970] или Халла [1937]. После элементарных кон-
конформных отображений это неравенство дает оценки для длины
вертикальной проекции. Лемма Халла имеет некоторые преиму-
преимущества, потому что она дает простые соотношения между аир
в теоремах 3.1 и 3.2 (см. упражнение 7). С другой стороны,
доказательство в тексте иллюстрирует мощь максимальных
функций. Кстати, наилучшая постоянная вместо 2/3 в лемме
Халла неизвестна (Хейман [1974]).
Теорема 4.1 принадлежит Маршаллу [1976b]. Зискинд [1976]
получил чуть более слабый результат в ходе доказательства
теоремы 2.2. Конструкция контура Г происходит из фундамен-
фундаментальной статьи Карлесона [1962а]. Если в качестве Г взять ли-
линию уровня \u(z)\=v> то ничего не получится и придется
приближать линию уровня более короткой кривой (см. упр. 8).
Теорема 6.1 подсказана работами Варопулоса [1977а, Ь].
Мысль о том, что гармонические функции подражают очень
простым мартингалам, блестяще развита в лекции Феффермана
[1974]. Дальберг [1980] существенно усилил теорему 6.1.
Результаты разд. 7 заимствованы у Джонса [1980b]. Столь
эффективное в доказательстве G.2) продолжение F(z) принад-
принадлежит Варопулосу [1977а]. Конструктивное доказательство ана-
аналога G.2) для ft-мерного евклидова пространства — важная
открытая проблема вещественного анализа. Как это часто бы-
бывает с многомерными обобщениями, главный вопрос состоит в
устранении произведений Бляшке1).
!) Еще одну важную открытую проблему составляет вопрос о справедли-
справедливости теоремы о короне для tftx> в шаре или поликруге пространства С ,
п ^ 2 (см. Варопулос f 1977а]). Существуют ограниченные области голоморф-
голоморфности, обладающие короной (Гамелин fl979]). Короной обладают и некото-
некоторые римановы поверхности (Гамелин [1979], гл. IV). Теорема о короне для

Упражнения и дальнейшие результаты 363
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Пусть функция G(z) непрерывна в открытом единичном
круге. Предположим, что существуют функции bn(z) e
<=Cl{\z\<l — l/n}, такие, что dbn/dz = G и |&„|</С, где К
не зависит от п. Тогда рассуждение с нормальными семейст-
семействами показывает, что существует функция b(z)^Cl(D), у ко-
которой db/dz = G.
2. (а) Если G — ограниченная функция с компактным носи-
носителем на плоскости и
то F ограничена, непрерывна и dF/dz =G в смысле обобщен-
обобщенных функций.
(Ь) Пусть f(z) — ограниченная аналитическая функция в
открытом множестве W комплексной плоскости и X^dW. По-
Положим / = 0 в C.\W. Пусть х(<г)^Со° имеет носитель в
{|г — Х|<е}, 0<х^ 1> Х= 1 при \г — %\<е/2 и |d/d|
гЦ1 с/г. Тогда функция
Обладает следующими свойствами:
(i) "^|" = X-^j в смысле обобщенных функций,
(и) F (z) аналитична в W U {\z — Я | > е},
(Hi) |fB)|<Csup{|/(S)|: 1С — Я | < е>.
(iv) }
(с) Пусть Q —открытое плоское множество и ft, ..., /яе
WQ) — ограниченные аналитические функции в ?1 Если су-
суу
ществуют конечное открытое покрытие {Uk}\ области Q и функ-
функции g?€=#°°(Q П ?/л)' такие^ что ZfiSf = l B ЙП^/л, то су-
существуют такие функции gu ..., ^Л^Я°°(Й), что X ffgi=l-
Пусть xk^C™(U^)> Sxfe=l в Q. Исправьте гладкие решения
многосвязных областей обсуждается (с помощью «оператора математического
ожидания» Форелли [1966*]) в работах Толоконникова [1981*], Кшиштофа
[1982*]. Интересное теоретико-операторное обобщение задачи о короне пред-
предложил Б. С.-Надь (Никольский, Хавин и Хрущев [1978], с. 99); частичное ре-
решение задачи Надя дал В. И. Васюнин (Толоконников [1981*]). Зависимость
гладкости решения задачи о короне от гладкости данных изучалась в работах
Шамояна [1981*]> Толоконникова [1983*]. —Ярил. ред.

364 Гл. VIII. Теорема о короне
?х*? чтобы получить аналитические решения g,\ Ис-
Используйте часть (а) для решения возникающих уравнений
Коши — Римана B.9).
(d) Из предположения, что круг плотен в 2Я, вытекает су-
существование такой постоянной С(п, б), что каждая задача о
короне B.1), B.2) имеет решение с оценкой WgWoo ^ С(пу б).
Для доказательства достаточно установить теорему о короне
для открытого множества W= \J {—1<*<1, 2~k~l<y < 2~k}>
которое конформно-эквивалентно счетному объединению непе-
непересекающихся кругов. Итак, пусть /ь ...» fn^ H°°(W), II//IU ^
^ 1, max| fj(z) |^6, 2GIF. По теореме о локализации из части
(с) достаточно найти решения в tt^flll^ —Я|<т]} при неко-
некотором г\ > 0 и —1 ^ % ^ 1. Согласно (Ь), существуют ограни-
ограниченная односвязная область QK^> W(] {\z — Х|<е} и функции
Fu ..., ^ЛеЯ°°(?2х), для которых lim Ff (z) — f, (z) = Q. B Qx
функции Fo(z) = z — X и F\t ..., Fn образуют данные задачи
о короне. Из решений Go, ..., G«, у которых YjFfii= 1» можно
получить решения исходной задачи в Wfld^ — 4<л}-
*(е) Существуют такие постоянные С (я, б, т), что любая
задача о короне в любой плоской m-связной области имеет ре-
решения с \\gj\\ ^ С(пу б, т).
Части (с) — (е) заимствованы у Гамелина [1970]; он также
заметил, что теорема о короне справедлива во всех плоских
областях тогда и только тогда, когда постоянные в части (е)
можно выбирать не зависящими от т\ см. также Беренс [1971].
Для общих равномерных алгебр часть (е) неверна (см. Розэй
[1968]")).
3. Пусть fu ..;, fn е Я~, II//II < 1, g e Я" и
|? (г) |< max If, (*)|.
Отсюда не следует, что g лежит в идеале, порожденном функ-
функциями /ь ..., fn. Если Bi и В2 — такие два произведения
Бляшке с различными нулями, что inf(|?i(z) | + |В2(<г) |) = 0,
то \В{В2\ ^ max(|Bi|2, IB2I2), но ВХВ2 нельзя представить в
виде gxB\ -\-g2B\. Этот пример принадлежит Рао [1967].
4. Пусть g, fu f2e tf~, НяНсо < 1, llf/IU ^ 1 и
f{(z)\, \f*B)\).
l) Оценки решения задачи о короне, не зависящие от количества данных,
получили Толоконников (см. Никольский [1980*], с. 101, Толоконников
[1980*], [1981*]), Розенблюм [1980] и Утияма [1981*]. Оценки решений рас-
рассмотрены также в работе Джонса [1980d]. — Прим. ред.

Упражнения и дальнейшие результаты
365
Представление g2 = g\f\ + g2fa gi
только тогда, когда уравнение
°> возможно тогда и
имеет решение, ограниченное на 0D.
5. Пусть /ь ¦ .., fn — данные задачи о короне. Тогда, со-
согласно B.6),
и аналитичность // можно использовать для того, чтобы решить
уравнение
db dq>k
с оценкой вообще без обращения к мерам Карлесона. Благо-
Благодаря двойственности и формуле Грина, как и в теореме 1.2, до-
достаточно оценить величины
/, =
, || k\l
Но k{z) можно представить в виде k = {k\ + /г2)/2, где k/
не имеют нулей; поэтому мы можем заменить k(z) на g(zJ, где
g е Н2, Hgllf^l. Тогда /i не превышает суммы 2(п—1) чле-
членов вида
Но gj\ = (gfi)f — g'ft> и второй множитель ограничен вели-
величиной
так что /i<26-3||g||2(ll^ll2+llgll2X86-3. Вид выражения
(д/dz) ((pidifk/dz) определен в доказательстве теоремы 2.1; он

366 Гл. VIII. Теорема о короне
показывает, что /г не превосходит суммы 2п2 членов вида
1/2
Дважды повторяя примененный выше прием, получаем /2 ^
< С7г26~4 (см. Гамелин [1980]).
6. (а) Вертикальную проекцию в теореме 3.1 можно заме-
заменить некасательной. Пусть^а = {^: Га@ Л Еа Ф 0},гдеГа(О —
это сектор {г: \t — x\< ay), a > 0. Если ||и||«> ^ 1 usupjtf (г)|>
Т (Q)
>р = Р(а, е, а), то \еЦ < е.
(Ь) В теореме 3.2 положение с некасательной проекцией не-
немного сложнее. Пусть N— положительное целое число, 6>0 и
B(z)— произведение Бляшке с нулями {/S/N + /б, —оо</<оо}.
Тогда В (г) имеет нуль в каждом секторе Fi/^v (/) = {z: \x — /|<
<iy/N}y /sR. Значит, какое бы а > 0 мы ни выбрали, мно-
множество Еа = {|S(z)|<a} пересекает все секторы Fi/^@- Од-
Однако при фиксированном N
Таким образом, при р < е~2лЫ заключение теоремы 3.2 не
•может оставаться справедливым для секторов с углом
2t(l/tf)
g(/)
(с) Однако при данном р > 0 существуют такие N = N(p, e)
и а = а(р, е), что если / е= Я°°, Ц/IU < 1 и sup|f(a:)|> p, то
0}\
{{ (О}\
7. Выведите из леммы Халла следующий вариант теоре-
теоремы 3.2. Пусть R — прямоугольник {О^х^Л, 0 <. у ^ 1} и
0<р<1. Если [(г)еЯ°°, II/IU < 1 и |/(го)|^Р в некоторой
точке го верхней половины /?, то при достаточно большом А
мера вертикальной проекции множества {z^R\ |/(г)|^Р7}
не превосходит 0,9Л. Получите аналогичный результат, в кото-
котором функция log|/(аг) | заменена произвольной отрицательной
субгармонической функцией.
8. Пусть и (г) — ограниченная гармоническая функция в Ж
с граничными значениями
+1, 2л</ <2я+1,
~1, 2ах—
где п — целое число. Длина дуги на линии уровня {и = 0} не
является мерой Карлесона, потому что u(z) = 0 на каждой
вертикальной прямой {х = п}. Значит, существуют внешние
функции, модули которых имеют большие множества уровня.

Упражнения и дальнейшие результаты 367
Пусть В (г) — произведение Бляшке с нулями {/г + '\ — °° <
< п < оо}. На линии уровня {\B(z) | = е~2я} длина дуги не яв-
является мерой Карлесона. Перенося эти функции в круг, мы
получаем множества уровня бесконечной длины. (См. Пиранян
и Вейцман [1978], а также Белна и Пиранян [1981].) Отыскать
функцию, у которой все множества уровня имеют бесконечную
длину, гораздо труднее. (См. статью Джонса [1980].)
9. Докажите с помощью следствия 6.2, что каждая гармони-
гармонически интерполяционная последовательность является //^-ин-
//^-интерполяционной.
10. Пусть 1/е — положительное целое число и
и (eiQ) = П A + * A0е cos 44"e)).
Тогда \u{eie)\^. Си где С\ не зависит от е. Пусть число Лге(в)
указывает, сколько раз гармоническое продолжение функции
и(е1в) на радиусе {reiQ, 0 <С г <; 1} колеблется на величину е
(ср. следствие 6.2). Тогда
2л
где с2 не зависит от е.
11. (а) Если «(х)еВМО, и (г)— Ру *й(х) и 0< б < 1/2, то
для каждого интервала /
где С не зависит от / и u(z).
(b) Если ||u|U^ 1 и 0<е< 1, то найдется такая функция
Ф(г)® С°°{у >0}, что |ф(г) —m(z)|<e и
Можно следовать доказательству теоремы 6.1, но теперь
нужно использовать условие ВМО для контроля за скачками
ФУНКЦИЙ ф1 И ф2.
(с) Используйте (Ь) при е = 1 для доказательства двойст-
двойственности между Я1 и ВМО.
12. Пусть 0<е< 1. Предположим, что для любой ограни-
ограниченной гармонической функции и (г) в круге, ||и||<»^ 1, сушест-
вует другая гармоническая функция ф(г), для которой
|ф(г)— u(z) |< е и [\ | S7<f\dxdy^C(e). Тогда если /ei1 и

368 Гл. VIП. Теорема о короне
среднее значение / равно 0, то
<С sup(l-|z|)|V/(z)[,
где через f(z) обозначено гармоническое продолжение функции
f(t). Но для функции f(z)= 2 z2k это неравенство неверно,
если N достаточно велико. Это значит, что функция <р(г) из
теоремы 6.1 не может всегда быть гармонической.
13. Если функция G(z) непрерывна в замкнутой верхней
полуплоскости и имеет компактный носитель, то методы разд. 7
доставляют такую непрерывную функцию b(z), что db/dz = G
и \\b\\oo ^CN(\G\dxdy), где N(\x) обозначает карлесонову
норму меры [I.
14. При данной функции / е L°° используйте методы разд. 7
для построения такой функции g e Я00, что
H/-glU<Cdist(/, Я~)
с постоянной С, не зависящей от /.
15. Пусть В — наименьшая замкнутая подалгебра в Н°°у со-
содержащая функции г и A —zI. Тогда круг D будет открытым
подмножеством в 2йв, функция |A—z)l\ ограничена в D снизу,
но A— z)-l<?B. Значит, D не плотен в Т1В (Доусон [1975]).

Глава IX
АЛГЕБРЫ ДУГЛАСА
Мы переходим к изложению теории Д. Сарасона, С.-Ю. Чанг
и Д. Маршалла о равномерных алгебрах, заключенных между
Я°° и L00. Эти результаты прекрасны сами по себе, а их доказа-
доказательства представляют замечательное переплетение конкрет-
конкретного с абстрактным. Теорема о короне и доказательство тео-
теоремы двойственности для ВМО из гл. VI дают сложную тех-
технику, но теория максимальных идеалов скрепляет доказатель-
доказательство в целом.
В разд. 5 излагается локальная теорема Фату, фундамен-
фундаментальный результат о гармонических функциях. На самом деле
она могла бы появиться еще в первой главе, но обсуждается
здесь по техническим причинам.
1. Проблема Дугласа
Пусть А — равномерно замкнутая подалгебра в L°*9 содер-
содержащая Я°°. Например, пусть $—некоторое множество внутрен-
внутренних функций из Н°° и А = [Я°°, Щ — замкнутая алгебра, порож-
порожденная множеством Я°°и^ Так как \\В\ + f262 = (f\b2 +
+ /261N162 при // е Я", &/<=,$, то А совпадает с равномерным
замыканием множества функций
« = {/&№... Ык: fe Я~, bu ..,, »*е|}.
Алгебры вида [Я00, Щ называются алгебрами Дугласа Про-
Простейший пример —алгебра [Я00, z) — изучается в разд. 2. Верна
замечательная теорема о том, что вообще каждая замкнутая
алгебра, заключенная между Н°° и L°°, является алгеброй Дуг-
Дугласа. Это утверждение было впервые высказано Р. Дж. Дугла-
Дугласом как гипотеза, а затем доказано С.-Ю. Чанг и Д. Маршал-
Маршаллом, на которых большое влияние оказала ранняя работа
Д. Сарасона.
Для данной замкнутой алгебры Л, Н°° cz A cr L00, положим
$А = {Ь: b е Я°°, b — внутренняя функция и b~x e Л}.
(В этой главе мы обозначаем внутренние функции строчной
буквой bt а привычный символ В обозначает алгебру, располо-
расположенную между Н°° и L00.) Ясно, что &а —наибольшее возмож-
возможное множество SB, для которого Л=>[Я°°, 3$\, и А является ал-
алгеброй Дугласа тогда и только тогда, когда А — [Я00, ЯА]. Если

370 Гл. IX. Алгебры Дугласа
А = Я°°, то 38а состоит из постоянных, равных по модулю 1,
а вопрос Дугласа становится тривиальным. Если А = L°°, то
38а содержит все внутренние функции, и L°° = [Я°°, <$л] по тео-
теореме Дугласа — Рудина V. 2Л. Положим А~х = {/еЛ: /-'еЛ}
и
cUa= {u^A~l: \u\= 1 почти всюду}.
Теорема 1.1. ?с/ш Л—замкнутая подалгебра в L°°, содер-
содержащая Я°°, го cwa порождена множествами Я00 и °11а> т. е.
A [H]
Доказательство. Если f<=A-\ то logj/j^L00 и най-
найдется функция g ^(Н°°)-\ для которой |g| = |/| почти всюду.
Тогда и = g~lf ^°Ua и / = gu е [Я00, %]. Но каждая функция
из Л является суммой постоянной и обратимой функций, что
доказывает теорему. D
Поскольку v4c=L°°, то b~l = 5 при Ь<^$А> и поэтому ^ с:
сг^/л. Для решения проблемы Дугласа нужно показать, что
после уменьшения множества % до $а алгебра А по-прежнему
будет им порождаться как модуль над Я°°.
Центральную роль в доказательстве гипотезы Дугласа иг-
играют пространства максимальных идеалов. Напомним наши
обозначения Щ = Шн°о для спектра, или пространства макси-
максимальных идеалов, алгебры Я°°, и X = $Rl°° — для спектра ал-
алгебры L°°, который совпадает с границей Шилова для Н°°.
Теорема 1.2. Если Л — замкнутая подалгебра L°°, содержа-
содержащая Я°°, то ее пространство максимальных идеалов ЯШа отож-
отождествляется с некоторым замкнутым подмножеством в 2Я, содер-
содержащим X, причем X является границей Шилова для А.
Доказательство. X можно отождествить с замкнутым
подмножеством в $Яа> потому что Л —замкнутая подалгебра в
L°°=C(X), и поскольку Л id Я°°, то А разделяет точки мно-
множества X. Это означает, что X — замкнутая граница для Л. Но
Л—логмодулярная подалгебра в С(Х) (разд. V. 4), и поэтому
X — ее граница Шилова.
Естественное отображение сужения л: Зйл-^ЗДО тождественно
на Х\ нам нужно показать, что оно взаимно однозначно на Ша-
Причина этого в том, что любой гомоморфизм m e ЗЯН<» имеет
по теореме V. 4.2 единственную представляющую меру на X.
Пусть п%и т2е2Ял и \i\, \х2 — их представляющие меры на X по
отношению к алгебре Л. Если n(mi) = tt(m2), то

1. Проблема Дугласа 371
Значит, jlii = ц.2 ввиду единственности представляющих мер для
Я°° и
:==:)gd\i2y g^A.
X X
Стало быть, m\ = Ш2, и я взаимно однозначно. Так как отобра-
отображение я еще и непрерывно, а Т1а — компакт, то я гомеоморфно
отображает 2Ял на некоторое подмножество в 2R. ?
Для любого гомоморфизма m^Tl обозначим через \im его
представляющую меру на X. Конечно, если т^ЗИл, то \im будет
его (единственной) представляющей мерой и по отношению к А.
Из соображений компактности соответствие т->\лт является
гомеоморфизмом между 2Я и некоторым слабо компактным мно-
множеством вероятностных мер на X. Если отождествить каждую
точку xeIc точечной нагрузкой 6*, то этот гомеоморфизм ока-
окажется тождественным на X. По двойственности существует изо-
метрия L°° = С(Х) в пространство С(ЭД), и мы можем отожде-
отождествить L°° с его образом в СEЙ) по формуле
A.1) f(m) =
Если m E D, то A.1) — это просто замаскированная формула
Пуассона. Отображение A.1) не является ни сюръективным, ни
мультипликативным. Действительно, если А — алгебра и Н°° с:
с^с L°°, то по теореме 1.2
A.2) Ша = {т е9Я: f(m)g(m) — (fg) (m), /, g & А}.
Следовательно, если А и В — две алгебры и Н°° а В cz A a L°°,
то ША с 2Kb.
Теорема 1.3. Если А—замкнутая подалгебра в L°°, содержа-
содержащая Я°°, и °U cz °Ыа — такое множество функций из А~\ унимо-
дулярных на Х} что А = [Я°°, °U\, то
Доказательство. Так как A cz L°°, то и~{ = п при
ц g ^л. Для всякого теЗЙ мера цт вещественна, поэтому
п(т) = u(m), u e L°°. Стало быть, 1 = и(т)п(т) = \и(т) |2 для
/пе! и « е%. Обратно, если |w(m) | =11^11= 1, то и = и(т)
на замкнутом носителе меры цт, потому что она вероятностная.
Тогда если |w(m)|=l для всех u^°U, то сужение алгебры
А = [Я00, °U\ на замкнутый носитель меры \im совпадает с су-
сужением Я°°, и гомоморфизм т оказывается мультипликатив-
мультипликативным на А. П
По теореме 1.3 разные алгебры Дугласа имеют и разные
пространства максимальных идеалов, потому что Зйл опреде-

372 Гл. IX. Алгебры Дугласа
ляется внутренними функциями, обратимыми в Л. Таким обра-
образом, вследствие теоремы Чанг — Маршалла каждая замкнутая
алгебра между Я°° и L°° однозначно определяется своим спек-
спектром. Это очень похоже на теорему Вермера о максимальности:
каждая замкнутая алгебра между диск-алгеброй Ло и С(Т) сов-
совпадает или с алгеброй Ло, или с С(Т). Выбор одного из вариан-
вариантов зависит от того, будет ли внутренняя функция z обратима
в данной алгебре, т. е. будет ли пространство максимальных
идеалов содержать точку 0. Гофман и Зингер дали доказатель-
доказательство теоремы Вермера, основанное именно на этом различии.
В наших условиях их рассуждение дает следующий результат.
Теорема 1.4. Если А—замкнутая подалгебра в L°°, содержа-
содержащая Я°°, то или А = Я°°, или А =? [Я°°, г].
Доказательство. Если г е А~\ тогеЛ и Л id [Я00, z].
Если z ф. А~\ то z лежит в некотором максимальном идеале
алгебры А и найдется точка гп^ЗЯа, в которой z(m) = 0. Но
Ша <= 2Я, и поэтому гомоморфизм m может быть только вычис-
вычислением значения функции в точке 0 (т. е. /я(/) = /@)). Значит,
ввиду единственности представляющей меры мера dQ/2n муль-
мультипликативна на Л и
= 0, л=1, 2, ..., /€=Л.
Следовательно, Л а Я00. ?
Итак, существует много алгебр между И00 и L°°, но по тео-
теореме Чанг — Маршалла каждая такая алгебра определяется
своими обратимыми в ней внутренними функциями, или, что то
же самое, своим пространством максимальных идеалов. Дока-
Доказательство Чанг и Маршалла состоит из двух шагов.
(i) Если Л —алгебра Дугласа, а В — другая алгебра с тем
же спектром, то В = Л.
(И) Для любой алгебры 5, Я°° d Я с: L°°, найдется алгебра
Дугласа с тем же спектром, что и В.
Доказательство теоремы 1.4 состоит из двух похожих шагов,
и, глядя в прошлое, можно сказать, что стратегия доказатель-
доказательства Чанг — Маршалла происходит из рассуждений Гофмана—-
Зингера о максимальных идеалах.
С алгеброй Л, Я°° d Л a L°°, можно связать две С*-алгебры.
Первая из них — это
<?л=ЛПЛ
— наибольшая самосопряженная подалгебра в Л. Вторая — это
•-самосопряженная алгебра (С*-алгебра), порожденная мно-
множеством &а всех обратимых в Л внутренних функций. Для

2. H~ + C 373
А = Н°° имеем Qa = Са=С Если A=L°°y то QA=LOOJ и па
теореме Дугласа — Рудина СА = L°°. Но вообще Q>i и СА не
совпадают. По ходу решения проблемы Дугласа мы намерены
изучить С*-алгебры Qa и Са. Вначале займемся простейшим
частным случаем; тогда мы сможем узнать, что ждет нас в
общем случае.
2. Н°° + С
Пусть С = С(Т)— пространство всех непрерывных функций
на единичной окружности, и пусть
Это — линейное подпространство в L°°.
Лемма 2.1. Подпространство Н°° + С равномерно замкнуто.
Доказательство. Напомним, что по теореме IV. 1.6 при
dist(?, tf~)=distte, Ло),
где Ло обозначает диск-алгебру. Если h e L°° лежит в замыкании
//°° + С, то найдутся такие функции fn^H°° и gn^Cy что
НА —(#. + /«I1<2-я. Тогда dist((?„ — ?„+,), Я~)< 2-+1 и
найдутся такие АлеЛ0, что ||g« — gn+\ — AnlU < 2~n+l. Поло-
Положим /Ci = 0 и /(„ = ?!+ ... +?,2-1, д>1. Тогда Gn = gn +
+ Кп?=С и ||Gn— Gn+\\\oo<2-n+K Значит, Gn=?ge=C. Но
Fn = fn — Kn = (fn + gn)—Gn^ H°°y и Fn по норме сходятся к
Л — g\ Поскольку сама алгебра Н°° замкнута, то h — g e H°° и
Л €Е #°° + С. D
Теорема 2.2. Я°° + С является замкнутой подалгеброй в L°°, «
ЯОО + С = [ЯО°, г].
Пространство максимальных идеалов алгебры Н°° + С совпа-
совпадает с 5W\D, г. 5. с дополнением единичного круга в ЭД.
Доказательство. По определению множество функций
плотно в [Я°°, z], а по теореме Вейерштрасса оно плотно в
Н°° + С. Но Н°° + С замкнуто, и поэтому Н°° + С = [Н°°, г].
Теорема 1.3 теперь показывает, что спектр алгебры Я°° + С
совпадает с 5W\D. ?
Следовательно, Н°° + С— алгебра Дугласа. Внутренняя
функция b (z) обратима в Н°° + С тогда и только тогда, когда

374 Гл. IX. Алгебры Дугласа
\Ь(т)\>0 на ЗЙ\О, а это возможно тогда и только тогда,
когда b (г)—конечное произведение Бляшке. Значит, $н°°+с
состоит из всех конечных произведений Бляшке, а соответствую-
соответствующая самосопряженная алгебра Сяоо+С совпадает с С.
Теперь опишем Q#°°+c. Это пространство обозначается сим-
символом QC и называется пространством квазинепрерывных функ-
функций. Конформное отображение f(z) круга D на область
{0<х<1, —2 < у < sin(l/x)} является функцией из Я°° с
непрерывной вещественной частью, но разрывной мнимой. Зна-
Значит, 1т/еЯ°° + С, и так как эта функция вещественна, то
Im / е QC. Следовательно, QC=?C.
Теорема 2.3. QC = L°° П VMO.
Доказательство. Если / е L°° f| VMO, то по теореме
VI. 5.2 существуют такие функции ф, г|э Q С, что / = ф + Яг|). Но
тогда Hty e L°° и г|) + i^t s Я°°. Таким образом,
f = -/(* + *'^) + (ф + /г|))е Я~ + С.
То же самое верно и для f, так что /е(Я°° -f С)П(#°° + С)=а
= QC. Обратно, предположим, что f — вещественная функция
из Я°° + С. Тогда
где и + ///w e Я°°, t; + /ш е С. Но f вещественна, и поэтому
Ни = —до gC и w = Ядо. Стало быть, / = v + Яш, deC,
шеСи/G VMO. Так как вещественные функции из Я°° + С
порождают линейное пространство QC, то QC с: L°° f) VMO. П
Следствие 2.4. Пусть f(z) — интеграл Пуассона функции
f^L°°. Если функция \f(z)\ имеет непрерывное продолжение
на D, то f e QC.
Доказательство. По предположению |f(^r0)| близко к
\f(z) |, если 1 —\z\ мало, а е?'е близко к z/\z\. Тогда
лотому что основная масса ядра Pz(S)dQ/2n сосредоточена
вблизи z/\z\. Значит, feVMO, и f^QC по теореме 2.3. ?
Следствие 2.5. Пусть А — замкнутая подалгебра в L°°, со-
содержащая Н°°. Если Ша = 3R\D, го Л = Я°° + С.
Доказательство. Я°° + С а А, потому что г е Л-1. Если
/, ^еД то функция d(m) = (fg) (m) — f(m)g(m) непрерывна
на ЗЭТ и d(m) = 0 на 9Ял = 3R\D. По непрерывности найдется
такое б > 0, что
B.1) \{fg)(*)-f(z)g(z)\<e9 1-|г|<б.

3. Теорема Чанг и Маршалла 375-
Полагая / = и, g = и, где и <^°11а, мы получим 11 —\u(z) |2| < е
при 1—|z|<6. По следствию 2.4 °UaC1 Я00 + С и по тео-
теореме 1.1 А<=Н°° + С. П
Обратите внимание, как абстрактное условие WIa = Ж\ГУ
проявилось в этом доказательстве. Оно было превращено в бо-
более обозримое условие B.1), условие «асимптотической мульти-
мультипликативности» на А интеграла Пуассона. Поскольку условие
B.1) равносильно по теореме о короне условию Ша =3$DJ\D, мы
видим, что если Я°° с Л с L°° и интеграл Пуассона асимптоти-
асимптотически мультипликативен на Д то или А — Я00, или А = Я00 + С.
Доказательство теоремы Чанг — Маршалла во многом будет
состоять в обобщении теоремы 2.3 и следствия 2.5 на произ-
произвольные алгебры Дугласа.
3. Теорема Чанг и Маршалла
Теорема 3.1. Если В— замкнутая подалгебра в L00, содер-
содержащая Я°°, то существует множество $ внутренних функций us
Я00, для которого В = [Я°°, 33].
Иными словами, каждая равномерная алгебра между Н°° и
L°° является алгеброй Дугласа. Доказательство этой теоремы
разбивается на две части. Мы нарушим исторический порядок
и изложим часть Маршалла первой.
Теорема 3.2. Если В — равномерная алгебра и Я°° а В cz L°%
то существует такое множество к интерполяционных произве-
произведений Бляшке, что Шв==ЗЯ^ноо -].
Теорема утверждает, что найдется алгебра Дугласа с тем же
спектром, что и В.
Лемма 3.3. Если b(z)—интерполяционное произведение
Бляшке с нулями {zn}<^Dy пг^Ш и 6(/л) = 0, то m принадле-
принадлежит замыканию множества {zn} в топологии пространства Ш.
Доказательство. Если предположить противное, та
найдутся такие функции /ь ..., /^ g Я°°, что //(т)=0, а мно-
множество {zn} не пересекается с
П{г:|/,(г)|<1}.
Тогда max | // (zn) |> 1, п = 1, 2, ..., и так как последователь-
последовательность {гп} интерполяционная, то можно найти функции g\y ?2, ...
..., gk е Я°°, такие, что функция G = fig{ + ... + fkgk удовле-
удовлетворяет условиям G(zn)= 1, /1= 1, 2, ... . Значит, 1 = G + bh
при некотором fts//00, а это противоречит тому, что G(m) —
«=0. D

376 Гл. IX. Алгебры Дугласа
Доказательство теоремы 3.2. Мы уже проделали
всю тяжелую работу в доказательстве теоремы VIII. 4.1 Для
каждой функции u^°Ub и каждого а, 0<а<1, теорема
VIII. 4.1 дает нам такое интерполяционное произведение Бляш-
Бляшке Ьа, иу ЧТО В D
C.1) \Ьа,и(г)\*? 1/2, если |и(г)|<а,
и
C.2) |и(г)|<р(а)<1, если Ьа,и(г) = 0.
Положим & = {Ьа,«: и^<ив, 0 < а < 1}. Мы убедимся в том,
что спектры алгебр [Я00, Щ и В совпадают.
Если Ьа,и(/я) = 0, то, согласно C.2) и лемме 3.3, \и(т)\^.
<;Р(а)< 1. По теореме 1.3_это означает, что т^ЭДв. Значит,
все Ьа, и обратимы в В, [Я00, Щ czB и Шв cz 3№[я<х> -j ввиду A.2).
Пусть теперь т <= ЗЙ[яоо -]. По теореме 1.3 |&а,ы(т)|=1
при всех Ьа,и^$. По теореме о короне найдется направление
{zj} a Dy которое сходится к т. Следовательно, lim | ba, u (Zj) \ = 1
/
и C.1) дает |и(т)|=1 для всех функций и^^Ыв. Тогда по
теореме 1.3 т<=Шв и Э^[я« л] <= 2йв. D
Теперь мы переходим к той половине теоремы 3.1, которая
принадлежит Чанг.
Теорема 3.4. Пусть А и В — две подалгебры в L°°, содержа-
содержащие Я°°. Если Ша = %Яв и А — алгебра Дугласа, то А = В.
Ясно, что теоремы 3.2 и 3.4 вместе доказывают основную
теорему 3.1. На самом деле можно утверждать даже больше,
так как в теореме 3.2 говорится конкретно об интерполяцион-
интерполяционных произведениях Бляшке: Каждая равномерная алгебра Л,
Я00 cr A cz L00, порождена Я°° и некоторыми функциями, комп-
комплексно сопряженными с интерполяционными произведениями
Бляшке.
Доказательство теоремы 3.4 зависит от описания алге0ры
Дугласа А = [Я°°, Щ в терминах интегралов Пуассона. Пусть
b(z)—внутренняя функция и 0<6< 1; определим область
G6(b)={z: I6(z) |> 1-6}.
Например, G6(z) — это кольцо {1—6<|z|<l}, a G6{b)y где
6(г) = ехр((г+1)/(г—1)), — это область между Т и окруж-
окружностью в D, которая касается Т в точке г= 1. Положим для

3. Теорема Чанг и Маршалла 377
В разд. VI.3 аналогичная мера, но с |V/|2 вместо \df/dz\2, обо-
обозначалась через A,f. Поскольку
и df/dz = df/dz, то Xf = 2(vf + v?). В частности, меры Xf в
Vf эквивалентны для вещественной функции f. Мы знаем из
упражнения VL 14, что /eVMO тогда и только тогда, когда
каждому е > 0 соответствует такое б, 0 < 6 < 1, что при
0<ft<6
MS (во, А))<ей,
где S(80, Л) —сектор {reie: |в — Э0|<Л, 1 —ft sg г < 1}. Стало
быть, по теореме 2.3 пространство QC = (Я°° + С)(](Н°° + С)
состоит из всех таких / е L°°, что Л^ E (90, ft)) < eft при ft < б =
= б(е, f). Произвольную алгебру Дугласа можно описать похо-
похожим способом, но кольцо {1—6<|г|<1} нужно заменить
некоторой областью G6(b)y Ь^$а. Поскольку мы должны опи-
описать саму алгебру А вместо самосопряженной алгебры Qa =¦
= А П Ау нам еще придется заменить Xf на Vf.
Теорема 3.5. Пусть А = [Я°°, Щ — алгебра Дугласа. Для
функции f ^ L°° следующие условия равносильны:
(i) f€=4;
(ii) для любого е > 0 найдутся такие Ъ е $д м б, 0 < 6 < 1„
C.3) inf -±
(iii) для любого е > 0 найдутся такие b <==3tA и д, 0<б<Ц
что
C.4) v/(G6(ft)n5F0, ft))< eft
(Эля любого сектора
S(QOi h)={reiQ: |e —eo|<ft, 1— А<г<1}.
Прежде чем доказывать эту теорему, мы выведем из нее тео-
теорему 3.4.
Доказательство теоремы 3.4. Пусть А — алгебра»
Дугласа, 5 —другая алгебра, Я°° сг В с L°°, и ЗЛА = 5Ws. По тео-
теореме 1.3 1дсВ и/1 = [Я°°, ^л]с=В.
Для доказательства обратного включения напомним, что ал~
гебра В порождена Н°° и множеством °Ub унимодулярных функ-
функций из В-1. Покажем, что при любом е>0 функции и^Шв
удовлетворяют C.3). Раз 2Яв = ЯЙ/ь то по теореме 1.3 на мно-
множестве

378 Гл. IX. Алгебры Дугласа
мы имеем равенство |и(т)|=1. Благодаря компактности это
означает, что |а|>1—е/2 на пересечении некоторого конеч-
конечного числа множеств вида {\b(m)\ = 1}, fte^. Перемножая
эти Ь, мы получим одну такую функцию Ь^$ау что |w(m)|>
> 1 — е/2 при | Ь (т) | = 1. Следовательно, | и (z) | > 1 — е/2 для
некоторого б > 0 при z e G6 (й). Но тогда
- \u{z)? =
= 1- |u(z)|2<e
этри z^G6{b). Таким образом, условие C.3) выполняется с
постоянной функцией g=u(z). По теореме 3.5 В а А, и тео-
теорема 3.4 доказана. ?
Доказательство теоремы 3.5. Мы докажем, что
(i)=^(ii)=^(iii)=^(i). Предположим, что верно (i). Тогда
II/ — 5h\\co < е при некоторых &е^ийе Я00. Пусть г0 eO6(J)
%i g = b (zq) h. Тогда g e Я2 и
5й(гоIХ
= ||л||2ооA-|бЫГ)<2б||Л||1.
Следовательно,
что и дает C.3) при е < 1/2 и достаточно малом б.
Теперь предположим, что верно (и), и выберем Ь^$А и б,
0<б<1, для которых условие C.3) выполняется. Предполо-
Предположим временно, что G6(b)r\S(Q0> h)cz {\z\> 1/4}. Рассуждение
ч: моментами остановки, уже привычное для нас, позволяет огра-
ограничиться доказательством C.4) только для сектора, внутренняя
половина которого {|9 — 90| ^ Л, 1—А^г<1—А/2} содер-
содержит точку z\^Gb(b). (В противном случае разобьем внешнюю
половину 5@О, h) на два сектора 5(9Ь Л/2) и т. д., остановив-
остановившись на максимальных секторах, внутренние половины которых
пересекают G6{b).) Пусть k{z) = f(z) — g(z), где функция
g^H2 выбрана так, чтобы доставить минимум C.3) в точке
Z\. В гильбертовом пространстве L2(Pz,rf9) функция g является
ортогональной проекцией функции f на Я2, поэтому функция
k(z) сопряжена с аналитической и k{z\) = Q. Следовательно,
и тождество Литтлвуда — Пэли C.3) из гл. VI дает
<з.5) 2И \f-s\2P

3. Теорема Чанг и Маршалла 37$
На G6F)n5(9o, Л)с= {|z|> 1/4} выполняются знакомые нам.
неравенства
так что по C.5)
vf(G6(b)()S(Qo,h))=
< Ch J | / - g \2PZl (9) d% < Се/г
согласно C.3). Это — в точности нужное нам неравенство C.4).
Нам остался случай, когда G6(b)(]S(QOi h){\ {|z|< 1/4}Ф0.
Если функция Ь (г) не постоянна, ее можно заменить на 6(г)^
и Gb(bN)a {|г| > 1/4} при большом ДО. Если же fc(z) = const,,
то 0g(J6F), и C.3) при г = 0 дает C.4) для всех секторов,,
пересекающих {|г|^1/4}. Итак, (Hi) вытекает из (п).
Мы переходим к главному шагу доказательства: (iii)=^(i).
Пусть е>0, а^е^д иб, 0<6<1, выбраны в соответствии
с C.4). Мы оценим расстояние
dist (/, А) < dist(f,ЬпН°°) = dist(bnft Я°°) = sup l^- \ fbnFdB
f-l Frl ' *J
g мы это уже делали в доказательстве двойственности1
Я1 —ВМО в разд. VI. 4. При F €= Я1
V/ • V6"/7 - /, (^Z7), + /у №Л^ -
Поскольку /7@) = 0, то билинейная поляризация тождества
Литтлвуда — Пэли дает
(з.б) ± J /гае=| \\ ? r? \og^
Если F = 60Я, где b0 — произведение Бляшке, а у Я нулей
нет, то F = ((бо - 1) Я + Оо + 1) Я)/2 = (G? + GD/2, где G/ <=
^Я2, l|G/||2<2||F||i. Поэтому мы можем считать F=G2t G<=H2P

380 Гл. IX. Алгебры Дугласа
так что нам нужно оценить
O\O6(b)
2
1И S^'It O'Wlog-^
Применим к этим четырем интегралам неравенство Шварца.
Тогда
благодаря C.4), теореме о мерах Карлесона и тождеству Литтл-
вуда — Пэли. Аналогично
< С A - 6)" (\\f ||. || G у || G ||2 < С A - б)" || / L || FII,,
но вместо C.4) здесь нужно воспользоваться теоремой VI. 3.4.
Чтобы оценить /з и /4, применим неравенство Шварца по
отношению к мере \G |2 log j—r dxdy. Мы получим
<C(B\\G&'(\\bn\\l\\G\\b'''<CB''\\F\\i
снова по C.4) и теореме VI. 3.4. Наконец, поступая с /4 так же,

4. Строение алгебр Дугласа 381
как с /г, и применяя дважды теорему VI. 3.4, имеем
Все оценки вместе дают
= СеЧ
Значит, /Е/4. D
Стоит разобраться в том, какую роль в доказательстве тео-
теоремы 3.1 играет пространство максимальных идеалов. Можно
объединить обе части доказательства и изложить его, почти не
обращаясь к теории банаховых алгебр (см. упр. 13). В настоя-
настоящее время единственное место в доказательстве, где необходимы
пространства максимальных идеалов,-—это применение лем-
леммы 3.3. Вполне возможно, что в будущем появится доказатель-
доказательство, вовсе не упоминающее банаховы алгебры1). Такое дока-
доказательство стоило бы найти ради новых идей, которые оно
могло бы принести. Но первое доказательство теоремы трудно
представить себе без максимальных идеалов. Теория банаховых
алгебр устанавливает каркас, на котором может быть построено
доказательство; она показывает, какие неравенства должны
быть нашей целью, и обеспечивает экономию мысли, необходи-
необходимую в столь длинном и трудном доказательстве.
4. Строение алгебр Дугласа
Многие результаты Сарасона из разд. 2 допускают обобщение
на произвольные алгебры Дугласа. Мы начнем с аналога тео-
теоремы 2.3, поскольку он у нас почта готов. Пусть А — алгебра
Дугласа; напомним, что Qa = А П А—это наибольшая (/"-под-
(/"-подалгебра в А и Я а = {Ь^Н00: Ь — внутренняя функция, 5еЛ}.
Определим УМОл как множество таких функций /еВМО, что
для любого е > 0 найдутся Jg^ иб, 0<6<1, для которых
D.1) Xf(C,(b)f]S(%th))= \\ Wflog-X dxdy < eh
Оъ Ф) ri 5 <e0> h)
для всякого сектора 5(80, Л). Если А = Н°° + С, то VxMO^ — это
в точности наш старый друг VMO.
х) Такое доказательство уже появилось—см. Сандберг [1982*]. — Прим,
ред.

382 Гл. IX. Алгебры Дугласа
Теорема 4.1. Если А —замкнутая подалгебра в ?°°, содержа-
содержащая Я°°, то
Доказательство. Эта теорема прямо следует из тео-
теоремы 3.5. Поскольку kf = 2(vf -\- Vj)y а меры V/ и v^ положи-
положительны, то условие D.1) означает, что как /, так и / удовлетво-
удовлетворяют условию C.4), так что fe/in^=Q.4. Обратно, если
f <=Qa и е > 0, то условие C.4) выполняется для / при некото-
некоторых &ieA и бь 0 < Si < 1. Далее, условие C.4) выполняется
и для f при некоторых Ь2^&а и 62, 0 < 62 <; 1. Тогда DЛ) вы-
выполняется при b = b[b2 и б = minFi, б2). ?
Пространство VMO^ можно описать и в терминах проекто-
проекторов в гильбертовом пространстве. Если feBMO, то f^VMCXi
тогда и только тогда, когда для всякого е > 0 существуют та-
кие &еА и б, 0<б < 1, что
D.2) -L J | / _ / (г) fPz (е) dQ < е, z e= G6 (b).
-L
Вывод оценки D.2) предоставляется читателю как упраж-
упражнение. _
Напомним обозначение СА == [&а, &а] для С*-алгебры, по-
порожденной множеством 98а*
Теорема 4.2. Если А — замкнутая подалгебра в L°°, содержа-
содержащая Я00, то А = Н°° + СА.
Нам нужна лемма, доказательство которой мы временно от-
отложим.
Лемма 4.3. Пусть u^L°° и |и|== 1 почти всюду. Если
D.3) dist(«, tf~)< 1,
но
D.4) dist(u,tf~)=l,
где //-_{/<= я00: f@) = 0}, то йе[я°°,4
Доказательство теоремы 4.2. Мы утверждаем, что
для f ^CA
D.5) disttf, //~)=dist(/, Я-ПС,).
Это обобщает лемму IV. 1.6. Ясно, что dist(/, Я°°)< dist(f, Я°°П
ПСл). Так как при dist(f, Я°°) = 0 равенство D.5) очевидно, то
мы можем считать, что dist(f, Я°°) =1 —е, где е > 0 мало. По-
п
скольку feG, существуют функции g= X! *<}bh bjZ± &A, и
/-1
6о е ^, такие, что \\f — b0g\\oo < е. Тогда distE0g, Я00) < 1.
Вспоминая теорию двойственных экстремальных задач, в част-

4. Строение алгебр Дугласа 383
ности случай 1 из теоремы IV. 4.3, мы видим» что найдется функ-
функция u^L°°y такая, что |и| = 1 почти всюду и
D.6) «-50?еЯ»
а это значит, что dist(u, Я°°)< 1 и что
<4.7) (O
В силу D.6) Ьои^Н00 (на самом деле Ьои — внутренняя функ-
функция) и и^[Н°°у 60]_czAy так что, согласно D.7) и лемме 4.3,
п^А. Стало быть, бой^А и Ь0и&3&А. Значит, и ¦= 6о(Ь)С
им- 5og e С а. Это дает
и D.5) установлено.
Теперь из D.5) вытекает равномерная замкнутость Я°° + d.
Это доказывается так же, как лемма 2.1, но мы проведем это
рассуждение из педагогических соображений. Ядром естествен-
естественного отображения я: СА-+А/Н°° будет Н°°(]СА> и D.5) показы-
показывает, что образ л(Са) этого отображения замкнут в А/И00. Мно-»
жество Я°° -[- Сл — это прообраз множества л (Са) при факто-
факторизации Л-^Л/Я°°. Поэтому Н°° + СА — замкнутое подпростран-
подпространство в А.
Чтсбы закончить доказательство теоремы 4.2, надо показать,
что Н°° + Са плотно в А. Но А — алгебра Дугласа, и достаточно
проверить, что f = bg е Я00 + СА при Ь^$А и g^H°°. Пред-
Предположим, что Н/Н <С 1. Снова случай 1 теоремы IV. 4.3 доставляет
нам унимодулярную функцию и е L°°, для которой
D.8) u-f = u-bg<= Я °°, dist (а, Яп°°) = 1.
Тогда Ьи — внутренняя функция из Я°° и иеА По лемме 4.3
«е[Я°°, w]d/l, так что Ьи^38А. Но и = 5A«)бС
ив силу D.8) f = Bg€=H°° + CA. О
Доказательство леммы 4.3. Пусть /еЯ°° и ||и—/||оо =
= а<1. Покажем сначала, что inf | f(z)\ > 1 — а, так что
Z
функция / обратима в Я°°. Если г0бО и |/(го)|<1—а, то
!к-(/-/(го))||<1. Но f(z)-f(zo) = (z-zo)g(z), je//«, и
тогда при |z| = 1
При A—|го|J/О -f |аго|J ^ t ^ 1 отсюда следует, что

384 Гл. IX. Алгебры Дугласа
потому что круг — выпуклое множество. Полагая t =
= A —|zo|)VI I —^i2, мы получим
\u — '¦
— 7*?\2
— zoz
в противоречие с D.4). Значит, inf |/(z)| > 1 — а и f^(H°°)'
г
Поскольку 11 — п\\ ^ а и поскольку при отображении w ¦
-*A—а2)/до круг {|1—w\<ol} сохраняется, то
<ct.
a/
Следовательно, функция u/f обратима в [Я°°, и], так что
u = f-*(u/f)-*€=[H~9u]. D
Заметим, что проведенное доказательство дает больше: если
( Яо°°)= 1, то dist(fi, #~)=а.
Теорема 4.4. Пусть А — замкнутая подалгебра в L°°, содер-
содержащая Я00, u f e BMO. Следующие условия равносильны:
0) /€
(iii) f = u + v9 u,v^CAi
v обозначает преобразование Гильберта или функцию, со-
сопряженную С V.
Доказательство. Ясно, что (iii)=^(ii), и поскольку про-
пространство УМОл самосопряженное, то по теореме 4.1 (ii)=^(i).
Нам нужно показать, что (i)=Miii).
Лемма 4.5. Если функция f <= BMO удовлетворяет условию
D.1) при некотором Ь^9$Ау то при больших п
D.9) sup
Доказательство этой леммы в точности повторяет доказа-
доказательство теоремы 3.5. Детали оставляются как упражнение чи-
читателю.
Пусть feVMO^i; мы можем считать функцию / веществен-
вещественной. Положим / = и + vf uy ue L°°. Тогда g = и + iv e L°° и
для любой функции F^ Hof\L

5 Локальная теорема Фату и ее приложение 385
потому что v — йе Я2. По определению УМОл для каждого
е>0 найдутся Ь^&а и б, 0<6< 1, удовлетворяющие D.1).
Ввиду D.9) и благодаря плотности H{q[)L2 в HlQi при больших п
sup
Это значит, что dist(g, [Я00, Ь]) ^ Се1/2, и ввиду произвольности
е отсюда следует, что ge/1. Тогда по теореме 4.2 g = k + Л,
Л е= Я°°, Л <= Сл и
/ — if = (и — ш) + (v + iv) = g — ig = Л — //г,
потому что Л — /й = 0. Значит, / = Re(A — /Я), и (iii) дока-
доказано. П
5. Локальная теорема Фату и ее приложение
Оставим на короткое время алгебры Дугласа ради фунда-
фундаментального, но элементарного результата — локальной теоремы
Фату. Впервые ее доказал И. И. Привалов, и набросок его до-
доказательства можно найти в упражнении II. 10. Ниже приво-
приводится более общее рассуждение А. Кальдерона.
Пусть G — открытое множество в верхней полуплоскости Ж.
Мы назовем G некасательно плотным в точке /eR, если су-
существуют такие а = a(t) > 0 и h = hit) > 0, что G содержит
усеченный сектор
Ta(t) = {x + iy: |*-/|<ш/, 0<y<h}.
Функция u(z) называется некасательно ограниченной в точке t,
если она определена и ограничена в некотором секторе Га(/).
С другой стороны, и (г) имеет в точке t некасательный предел,
если для всякого Р>0 найдется такое Л = Л(р, t)>09 что
u(z) определена в Гр(/) и существует предел
lim u(z).
Г||(/)=Э2 -» t
Таким образом, понятие некасательной ограниченности связано
только с одним сектором, а некасательная сходимость — со
сколь угодно широкими секторами.
Теорема 5.1. Пусть Е — измеримое подмножество прямой R,
и пусть G — область в Ш, некасательно плотная во всех точках
мноокества Е. Если и (г) — гармоническая функция в G, некаса-
некасательно ограниченная во всех точках множества Еу то в почти
всех точках этого множества u(z) имеет некасательный предел.
13 Зак. 829

386
Гл. IX. Алгебры Дугласа
В заключении теоремы неявно предполагается, что область
G содержит секторы Гр(/) с произвольно большими значениями
Р в почти каждой точке / е Еу хотя в посылке требуется только,
чтобы G содержала при каждом t^E хотя бы один сектор по-
положительного раствора. Однако простое геометрическое рассуж-
рассуждение о точках плотности позволяет перейти от узких секторов
к широким. Действительное содержание теоремы состоит в пе-
переходе к некасательной сходимости от некасательной ограничен-
ограниченности, а открытое множество G включено в формулировку толь-
только из-за дальнейших приложений.
Доказательство. Мы можем считать, что Е ограничено,
Е а \—Ау А]. Если hn \ 0 и ал\0, то
Е с U {/ е [ - А, А}: г2" (/) <= G, | и (г)
п У
Поскольку эти множества с ростом п возрастают, то, исключая
подмножество малой меры, мы можем считать, что при неко-
Рис. IX. 1. (jc, ^)еЙ тогда и только тогда, когда J [\F Ф 0.
торых а>0, Л>0иМ <оо
Еще раз исключая множество малой меры, мы можем заменить
Е его компактным подмножеством F. Положим
Если ^о — точка плотности для F (т. е. точка Лебега функции
%f) и р > 0, то существует такое Ао = Ао(Р, /о), что Г^° (/0) с= Ж.
В самом деле, пусть (х, у) е Г^°(^о)- Если (х, у)ф31, то интер-
интервал /= {^: I/ — х|<Сау} не пересекается с Z7 (см. рис. IX. 1).
Но /<=:/={/: |/ — ^0| < (а + Р)^/}, и это значит, что
|/| ^ |/| + р1
что невозможно при у <. hQ и достаточно малом h0. Значит, в
каждой точке Лебега для F область 91 содержит секторы сколь
угодно большого раствора.

5. Локальная теорема Фату и ее приложение 387
На 9t гармоническая функция и (г) определена и ограни-
ограничена: \и{г)\^ М. Мы должны показать, что для любого р и
почти каждой точки t^F существует предел
E.1) lim u(z).
*6**niy/)
Положим
Ф«и)=- t + i/пфЯ.
Тогда ф„е/,°°, Цф/illoo^Af и {фп} должны иметь /Лслабую
предельную точку ф е L°°, |]ф||оо < М. Заменим {фп} слабо схо-
сходящейся подпоследовательностью и положим
Ф (г) = J Р2 (О Ф (О Л = lim J Рг (/) Фл (/) Л = lim Фп
Функция г|)(г) гармонична в 5? и |\|>|^2Л1. Мы покажем, что
E.2) lim г!)(г) = О
> t
почти всюду на F. Поскольку ф(г) почти всюду имеет некаса-
некасательный предел ф(/), то E.2) влечет за собой и E.1), причем
предел E.1) равен y(t). Положим
E.3) k (z) = с [у + \ Рг @ xr\f (t) dt)9
где постоянную О 0 мы вскоре определим. Функция k(z) почти
всюду на F имеет некасательный предел 0, и поэтому E.2), а
значит, и теорема следуют из оценки
E.4) | + (г)|<*B), 2^5?!.
Наконец, E.4) справедливо, потому что при больших п
E.5) \^n(z)\^k(z)
при z e Sin = 31П {у < h — \/п} (это та часть 91, где определена
функция фи).
Чтобы убедиться в том, что имеет место E.5), мы должны
так выбрать постоянную с в E.3), чтобы
E.6) /г(г)>2М, z *= дЯ
Возьмем с > SM/h. Тогда й(г)> 2М при y>h—l/n и доста-
достаточно большом п. В остальных точках ге^П^п мы имеем
13*

388 Гл. IX. Алгебры Дугласа
0<#<Л, и интервал /= {/: \t — x\<ay} попадает в R\F.
Тогда
-farctga-
и E.6) выполняется при достаточно большом с.
Теперь если E.5) не справедливо, то найдутся точки г/G^,
такие, что \^n{Zj)\^ a-\- k{zj) при некотором постоянном а>0.
По принципу максимума точки {г/} имеют предельную точку
?<=д&п. Не может быть, чтобы Im?>0, так как в силу E.6)
Значит, Im?—Oii^eRf!д& = F. Но тогда, поскольку <рл (О =
= и (t + */я) в {| / — ? | < a/ft}, наша функция
фЛ (z) = u(z + i/n) - J Я2 @ Фп (О Л
непрерывна в точке ? и 1рлE) ^ 0. Следовательно, lim ^rt(e) = 0.
Это противоречие подтверждает E.5) и доказывает теорему. D
Пусть теперь b (z) — внутренняя функция в круге и 0 < б < 1.
Область О6(Ь) некасательно плотна почти в каждой точке
окружности, потому что |6(е'е)|=1 почти всюду. Мы будем
писать Fe H°°(G6(b)), если F(z) — ограниченная аналитиче-
аналитическая функция в G6(b). По теореме 5.1 функция Fe H°°(G6(b))
почти всюду на Т имеет некасательный предел F(eiQ).
Теорема 5.2. Пусть А — замкнутая подалгебра в L°°, содер-
содержащая Я00, и f e L°°. Функция f принадлежит А тогда и только
тогда, когда для всякого е>0 найдутся такие Ь^$ау б,
0<6 < 1, м F<=H°°{Gb{b))y что почти всюду
\f(eiQ)—F(e^)\<E.
Доказательство. Сначала проделаем легкую часть до-
доказательства. Если / е Л, то существуют такие б?^ и^е Я°°,
что \\f — Bg\\oo<e. Пусть F(z) = g{z)/b(z). Для любого б,
0<б<1, почти всюду F<=H°°(G6(b)) и |F(e'e) — f (eie) \ < г.
Чтобы доказать обратное, мы используем конструкцию из
теоремы о короне. Если b (z)— внутренняя функция и 0 < б < 1,
то существует область U a D с границей Г, такая, что
E.7)
E.8) Ua{\b(z)\<r\}, 0<т|<1, Л =
E.9) ГП^ есть счетное объединение спрямляемых
жордановых кривых
E.10) длина дуги на Г есть мера Карлесона,

5. Локальная теорема Фату и ее приложение 389
См. разд. VIII. 4. Мы можем считать, что каждая компонента
множества ?/, содержащаяся в области {\z\ < г}, 0<г<1, одно-
связна. Действительно, принцип максимума позволяет заделать
дыры в любой такой компоненте, не нарушая E.7) — E.10). При
любом г < 1 область {|z|<r} содержит лишь конечное число
компонент множества U. Положим V — D\U. Согласно E.7),
Vc=G6F) и F(z)^H°°(V). Мы хотим применить к границе V
теорему Коши, но, чтобы избежать несущественных технических
подробностей, мы будем работать с Vr=V(]{\z\<r]. По
двойственности
dist(/, Л) <limdist (/,&*#<»)==
и по предположению
|^5 f(B)bn(9)k(Q)
Зафиксируем k <= H\, || k \ = 1. По теореме об ограниченной схо-
сходимости и максимальной теореме
F) bn (в) * (в) d6 = Hm знг \ F (г) ^
'2 4
потому что, согласно E.8), |[/П{|г| = г}|->0 (г->1). Область
Vr=Vf\f{\z\<r} конечносвязна и dVr = (ГП {\г\< г})[}
\J({\z\ — r}\U) = Tr[)Jr. При надлежащем выборе ориентации
теорема Коши дает
Однако k{z)/z^Hl и \\k{z)/z\\x == 1, так что благодаря F.8) и
E.10) при достаточно больших п
так что /е Л. П
Теоремы 5.2 и 3.5 дают нам три необходимых и достаточных
условия принадлежности функции f e L00 алгебре Дугласа Л.
Каждое из них требует, чтобы функция f была в каком-то
смысле близка к аналитической. Ясно, что означает это заме-

390 Гл. IX. Алгебры Дугласа
чание в случае теоремы 5.2. В теореме же 3.5 условие (и) тре-
требует близости / к Я2 во всех гильбертовых пространствах
L2(PzdQ), zeG6(fr), а условие (Hi) требует малости df/dz в
области Gb(b)y Ь^&а. Таким образом, мы имеем три разных
описания алгебр Дугласа в терминах аналитичности функций.
Каждое из этих условий можно сформулировать так, чтобы они
давали оценку сверху и снизу для dist(/, А) (см. упр. 11),
Замечания
Дуглас [1969] сформулировал свою гипотезу под влиянием
теории операторов. Так же как теорема о короне и теорема-
Гофмана из гл. X, решение проблемы Дугласа является важ-
важнейшим продвижением в теории. Структура Я°° так богата,
что даже очень общие гипотезы, которые вначале кажутся со-
сомнительными, оказываются замечательным образом верными.
Влияние Сарасона на решение проблемы Дугласа трудно пере-
переоценить, и выше мы следовали его изложению ([1973, 1976,
1979]).
Гофман и Зингер обсуждают свое доказательство теоремы
Вермера в [1957, 1960], а его связь с проблемой Дугласа отме-
отмечалась Сарасоном [1976]. Используя теорему Чанг, но не тео-
теорему Маршалла, С. Акслер показал, что каждая алгебра между
Я°° и L°° определяется своим спектром.
Основной источник по поводу Н°° + С — Сарасон [1973,
1975]. Поучительно, как тщательный анализ подобного при-
примера приводит к богатой общей теории.
Источниками разд. 3 являются работы Чанг [1976] и Мар-
Маршалла [1976b]. Теоремы 4.2 и 4.4 принадлежат Чанг [1977а],
а теорема 5.2 и наше доказательство теоремы 4.2 заимствованы
у Чанг и Гарнетта [1978].
Дальнейшее развитие локальной теоремы Фату можно найти
в книгах Стейна [1970] и Стейна и Вейсса [1971].
Чанг и Маршалл [1977] изучали алгебры Н°°{]СЛ. Если
А = Я°° + С, то Я°° Г) С а совпадает с диск-алгеброй Ло, а если
А = L°°, то Н°°[\Са = Я°°. Их теоремы обобщают результаты
этой главы и соответствующие классические результаты об Ло.
Чанг и Маршалл показали, что круг плотен в 2Я#»Псл и чт0
Н°°{]Са порождается внутренними функциями. Второй резуль-
результат обобщает теоремы Фишера [1С58] и Маршалла [1976а].
Они также доказали, что любая алгебра между С а и Н°°[\Са
является алгеброй Дугласа над Я°°ПСь т. е. она получается
обращением некоторых внутренних функций из Н°°{\Са. Тео-
Теорема Вермера о максимальности и теорема 3.1 являются част-
частными случаями этой теоремы. Чанг и Маршалл получили также
аналог теоремы 4.2 для алгебр между Са и Н°°(\Са*

Упражнения и дальнейшие результаты 391
Мы игнорировали в нашем изложении теоретико-оператор-
теоретико-операторные аспекты проблемы Дугласа и отсылаем читателя к недав-
недавнему обзору Сарасона [1979] и обширной библиографии в нем {).
Упражнения и дальнейшие результаты
1. (а) Пусть В — замкнутая подалгебра в L°°, содержащая
Ао. Предположим, что линейный функционал Фо(/)=/(О) до-
допускает единственное продолжение с Ло на В с сохранением
нормы. Тогда или BzdC, или В с= Я°°. (Указание. Если гф.В,
то идеал / = {zf: f e В} удален от постоянной 1 на расстоя-
расстояние 1. Существует функционал феВ*, для которого ф(/) = 0,
фA):== 1 и ||ф||= 1. Отсюда следует, что В с Я00.)
*(Ь) Если В — замкнутая подалгебра в 1°°, содержащая АОу
и В содержит хотя бы одну интегрируемую по Риману функцию,
не входящую в Я°°, то В zd С. (Указание. Функционал ф0 имеет
единственное продолжение на В с сохранением нормы тогда и
только тогда, когда
sup{ReqH(g): g^A0
для всех f e B.)
(с) Пусть К — замкнутое нигде не плотное подмножество Т
положительной меры, а Б —замкнутая подалгебра в L°°, по-
порожденная функциями z и хк- Тогда гфВ. (См. Люмер [1965]
и Сарасон [1973].) Часть (а) обобщает теорему 1.4, а часть (с)
показывает, что в этой теореме Я00 нельзя заменить на Ло.
2. (а) Пусть Е и F — замкнутые подпространства банахова
пространства X. Сумма Е + F замкнута в X тогда и только
тогда, когда при некотором с > О
dist(*, F)^cdist(x, Ef\F)f ig?.
(b) Если Е — замкнутое подпространство в L°°, содержащее
константы и выдерживающее комплексное сопряжение, то
Е-\-Н(Е) замкнуто в ВМО тогда и только тогда, когда Е + Я°°
замкнуто в L°°. Здесь Я(?) = {Ни: и^Е}у где Я—преобразо-
Я—преобразование Гильберта. (См. Чанг [1977а].)
3. Пусть 2Яа = {т е 9Я: /я (г) = а} — слой в 5Л над а, | ее | ===== 1,
и Я°° | — сужение алгебры Я°° на ЭДа. Тогда Я°° |да — замк-
замкнутая подалгебра в СEИа) с границей Шилова ^а = ^П^а.
Если f e L°°, то / е Я°° + С тогда и только тогда, когда
f \x e Я°° |те при всех а. Вообще
dist (f, Я°° + С)= sup dist
I а 1 — 1
l) См. по этому поводу также Никольский [1984*]. — Прим. ред.

392 Гл. IX. Алгебры Дугласа
(Указание. Крайняя точка единичного шара в (Я^ + С)-1, т. е.
в пространстве мер на X, имеет как мера носитель в одном Ха.)
4. Пусть /еЯ°°-{-С. Функция / обратима в Я°° + С тогда
и только тогда, когда |/(г)|^б>0 в некотором кольце
{г<|гг<1}. Следовательно, любая функция /^(Я°° +С)-1
имеет корректно определенное число вращения на Т. Далее,
f е(Я°° + С)-1 тогда и только тогда, когда / = zngei(u+Hv\ где
п — число вращения /, g<=(H°°)-1 и ы, иеС (см. Сарасон
[1973]).
5. (а) Каждая функция / е L°° имеет вид / = bgy где Ь —
произведение Бляшке, a g e Я°° -f С. Каждое измеримое под-
подмножество окружности Т с точностью до множества меры О
совпадает с множеством нулей некоторой функции из Я°° + С
(Акслер [1977]).
(b) Если {//} — последовательность дуг окружности Т и
Yj | //1 < оо, то существует функция <р е VMO, tp ^ 0, для
которой Ф/. ->оо.
(c) Если / е L°°, то существует функция h^QA = QC f| Я°°,
такая, что hfn^QC, n= 1, 2, ... . Следовательно, каждое из-
измеримое подмножество окружности Г с точностью до множества
меры 0 есть множество нулей функции из QCt а каждая после-
последовательность Бляшке является частью множества нулей не-
некоторой функции из QA.
(d) Каждая унимодулярная функция из Н°° + С является
произведением внутренней функции на функцию из QC, а каж-
каждая внутренняя функция является произведением функции из
QC на произведение Бляшке. Следовательно, если u^L00 —
унимодулярная функция, то и = (bi/&2)e/(f+^\ где Ъ\ и Ь2 —
произведения Бляшке, a f, g^C. Части (b) — (d) см. у Т. Вол-
фа [1979].
*#6. Всякая функция /eL°° имеет наилучшее приближение
из Н°° + С, т. е' существует такая функция g e Я°° + С что
II/ —g|| = dist(/, //~+C).
Если при этом f ф. Н°° + С, то это наилучшее приближение не
единственно. Как следствие получаем, что для любого аеГ
существует h e Я°°, для которого
*a
(см. Акслер, Берг, Джуэлл и Шилдс [1979]). Люкинг [1980]
получил соответствующее доказательство с помощью теории
Af-идеалов. Если заменить Я°° + С произвольной алгеброй Дуг-
Дугласа, то существование элементов наилучшего приближения ста-
станет интересной нерешенной проблемой.
*7. В этом упражнении описывается работа Сарасона об ал-
алгебре В\. Рассуждения Сарасона не использовали решения

Упражнения и дальнейшие результаты 393
проблемы Дугласа, и мы предлагаем читателю проработать
детали доказательства без обращения к разд. 3.
Пусть С\ обозначает пространство всех комплекснозначных
функций на единичной окружности, непрерывных всюду, кроме,
может быть, точки г= 1, но имеющих в этой точке односто-
односторонние пределы. Обозначим через В\ = [Н°°, С\] замкнутую
алгебру, порожденную Н°° и С\.
(a) Пусть о{еш)= eiQ/2. Тогда В\ = [Я00,а].
(b) Пусть Ge, е > 0, — область, ограниченная единичной
Рис. IX. 2. Область 08.
окружностью, круговой дугой {e'ecose: е^|0|<я} и двумя
отрезками [1, e±tecose] (см. рис. IX. 2). Если /, g^B[y то
е->0
(с) Существует постоянная /С, для которой
dist(Aa, H°°)<K sup \h(x)\, Л
0<<1
(Указание. Используйте двойственность и примените теорему
Коши к Z)\{O<Jt< 1}. На самом деле можно взять /С= 1.)
(d) Если b (z) — внутренняя функция и sup \b(x)\<l, то
0<х<1
(e) Произведение Бляшке b(z) с нулями 1 — 2~л, п^ 1, ле-
лежит в С\. Значит, Ь<= ВГ1 и Ьх = [#°°, В]. Таким образом, В\ —
алгебра Дугласа.
(f) Если g(z)e#°°(Ge) при некотором е > 0, то g(eie)^ B\.
(Указание. Используйте двойственность и примените теорему
Коши к Ge.)
(g) Пространство максимальных идеалов алгебры В\ равно
где Ша — слой z~x(a) пространства Ш над а, Хх — слой простран-
пространства J = 3Kl°° над точкой 1, а X* = Х[ П{^= ± 1}, где а^
Л/хгч -преобразование Гельфанда элемента oeL°°.

394 Гл. IX. Алгебры Дугласа
(h) Н°°-{• С\—замкнутое подпространство в L°°, но не ал-
алгебра. Часть (h) принадлежит Чанг [1977b], а остальные части
и другие результаты о В\ — Сарасону [1972].
8. Пусть А\ обозначает алгебру, порожденную на веществен-
вещественной оси алгеброй Н°° и всеми равномерно непрерывными огра-
ограниченными функциями. Тогда А\ = [Я°°, е~и]. Если /еЛь то
эта функция обратима в А{ тогда и только тогда, когда ее мо-
модуль \f(z)\ отделен от нуля в некоторой полосе {0 <у < а}.
Если b\z)— произведение Голяшке, нули которого стремятся
к оо, то следующие условия равносильны:
(i) b<=(A{)-\
(И) функция Ь(х) равномерно непрерывна на R,
(iii) производная Ь'(х) ограничена на R.
Считая, что произведение Бляшке Ь(г) обратимо в Аи дока-
докажите, что следующие условия равносильны:
A)
B) \Ь(г)
, 6],
отделен от нуля в каждой полуплоскости
C) производная bf (x) отделена от нуля на R.
(См. Сарасон [1973].)
9. Если f e L°° — непостоянная простая функция, то сущест-
существует такое интерполяционное произведение Бляшке b{z)y что
Г LJoo f I f J-foo Cl
(См. Маршалл [1976с].) Неизвестно, какие алгебры имеют вид
[Н°°, Б] с одним интерполяционным произведением Бляшке b(z).
10. Пусть Л — замкнутая подалгебра в L°°, содержащая Я°°,
и feBMO. Покажите, что f^VN[OA тогда и только тогда,
когда для всякого е > 0 существуют такие &еА иб, 0<б<1,
что
11. Пусть Л—замкнутая подалгебра в L00, содержащая Я00,
a f«=L~
(а) Обозначим через ei точную нижнюю грань тех е > 0,
для которых
inf -±-
при некоторых b ^$а и б, 0 < б < 1.
Тогда dist(f, Л)~е|/2.
(b) Обозначим через е2 точную нижнюю грань тех е > 0,
для которых v;(G6F)nS(fio, h))<zh при некоторых 6е1л и
б, 0<б< 1.
Тогда dlst(/, Л)-е^2.
(c) Обозначим через е3 точную нижнюю грань тех е > 0,

Упражнений й дальнейшие результаты 395
для которых почти всюду
при некоторых Jg^, б, 0 < б < 1, f е=//°°(<Зб(&)). Тогда
dist(/, Л)==е3.
12. Докажите лемму 4.5.
13* Можно объединить оба этапа доказательства теоремы
Чанг — Маршалла, чтобы получить доказательство, более неза-
независимое от банаховых алгебр. В частности, можно обойтись без
теоремы о короне. Рассуждение, которое мы вкратце приведем,
принадлежит Джуэллу [1976]. Пусть В — замкнутая подалгебра
в L°°, содержащая Н°°.
(a) Для каждой функции u<=°UB и каждого а, 0<а< 1,
существует интерполяционное произведение Бляшке Ьа, «, удов-
удовлетворяющее условиям C.1) и C.2).
(b) По лемме 3.3 Vue В.
(c) Пусть Ga, u= {z\ \batu{z)\> 1/2}. Если 1—а мало, то
lim dist (и, b? UH°°) < е.
П->оо
Следовательно, %с[Я°°, {6а, и}], что доказывает теорему
Чанг — Маршалла.
14. Если А — алгебра Дугласа, то ее единичный шар является
замкнутой по норме выпуклой оболочкой множества {6162},
где Ь\ — произведение Бляшке, a b2 e Я а — интерполяционное
произведение Бляшке. (См. Маршалл [1976с].)
*15. (а) Пусть А — алгебра Дугласа, u^°Ua и е > 0. Су-
Существуют такие Ьи Ь2^$а, что
(см. Маршалл [1976с]). Возможное в этой ситуации обобщение
теоремы Дугласа — Рудина, состоящее в том, что \\и — 6i&2lloo<
< е, остается открытой проблемой.
(b) Приведенная выше гипотеза, однако, оказывается вер-
верной в одном интересном частном случае. Пусть Е—произволь-
Е—произвольное подмножество окружности Т. Мы скажем, что [gL^, если
f e L°° и для каждого а^Е можно переопределить / на мно-
множестве меры 0 так, чтобы она стала непрерывной в точке а.
Любую функцию из L°e можно приблизить по норме L°° функ-
функциями, непрерывными в открытой окрестности множества Е.
Если теперь функция и е L% унимодулярна и е > 0, то
существуют произведения Бляшке &ь &2> которые аналитически
продолжаются в точки множества Е и \\и — Ь]б2\\(Х> < г (см.
Дэви, Гамелин и Гарнетт [1973]).
(c) Н°° + L°e — замкнутая алгебра, и часть (Ь) показывает,
что Яю + L™ — алгебра Дугласа. Стало быть, С/яОО+1оо\ = L%.

ГЛАВА X
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ
Мы возвращаемся к интерполяционным последовательностям
и их произведениям Бляшке и, в частности, к неожиданной роли,
которую они играют в изучении запутанного строения простран-
пространства максимальных идеалов. В этой главе обсуждаются три
темы.
1. Аналитическая структура в 3R\D и ее связи с интерполя-
интерполяционными последовательностями. Эта теория принадлежит Кен-
Кеннету Гофману и занимает разд. 1 и 2. Она- опирается на две
теоремы о факторизации произведений Бляшке:
2. Два обобщения теоремы о том, что гармонически интер-
интерполяционная последовательность является и #°°-интерполя-
ционной. Одно из этих обобщений утверждает, что последова-
последовательность является интерполяционной, если ее замыкание в 9Л
гомеоморфно компактификации Стоуна — Чеха множества це-
целых чисел. Ключевым оказывается чисто вещественное рассуж-
рассуждение, которое показывает, когда можно приблизить ядро Пуас-
Пуассона выпуклой комбинацией других ядер Пуассона. Эта идея
развивается в разд. 3 и 4.
3. Совсем недавняя теорема Питера Джонса, уточняющая
теорему Дугласа — Рудина. Весь анализ в ней проводится не
в верхней полуплоскости, а на границе.
Эти три темы мало зависят друг от друга, и их можно
изучать по отдельности.
1. Аналитические круги в 8Й
Нам будет удобно представлять себе два экземпляра еди-
единичного круга. Один из них, D = {г: |г|< 1}, является есте-
естественной областью определения функций из Я°° и вкладывается
в WI = ЗЯноо как открытое плотное подмножество. Второй круг,
ЗЕ> ^ {?: |5|< 1}> будет координатным пространством для все-
всевозможных абстрактных кругов в Эй, в том числе и для D. Точки
круга Ф всегда будут обозначаться через %. При z^D отобра-
отображение Lz\ 2)-+D>
задает параметризацию в D с точкой z в начале координат.
Непрерывное отображение F: SD-^Wi называется аналити-
аналитическим, если все функции /о/7, /еЯ°°, аналитичны в 3), Анали-

1. Аналитические круги в 9Й 3{>7
тическим кругом в Зй называется взаимно однозначное анали-
аналитическое отображение L: 3)-+ЯЯ. Не предполагается, что L —
гомеоморфизм, и есть примеры (см. упр. 8), когда L не может
им быть. Приведенные выше отображения Lz являются приме-
примерами аналитических кругов. В этом и следующем разделах мы
опишем все аналитические отображения в пространство 2R и из-
изложим очаровательную теорию Гофмана, которая связывает
аналитические круги с интерполяционными последовательно-
последовательностями. Но вначале нам нужны некоторые общие факты о воз-
возможных аналитических структурах в 9й.
Определим псевдогиперболическое расстояние между точ-
точками mi, ш2^Ш формулой
P(ml>m2) = sup{|f(m2)|: f е= Я°°, ||fL<l, f(mI) = 0}.
На D это определение совпадает с прежним, из гл. 1, потому
что при т/ = г,бО по лемме Шварца
Расстояние р(т\> т2) сохраняет многие свойства р(гь z<i). Если*
/е//»и 11/!1оо<1,то
, m2),
потому что для функции g{z) = (f(z) — f(m\))/(\ — f(m\)f(z))
будет ||glU<l, g(mi) = 0 и |g(m2) | = p(/(mi), /(m2)). Выби-
Выбирая {/n} так, чтобы Ц/nlloo < 1, fn(mi) = Q и |/n(m2) |->p(mb m2),
мы видим, что
p(mlf m2) = sup{p(f(m,)f f(m2)): f<=H°°t ||/L<1}.
По лемме 1.1.4 при m0, mu
П П P (^o> ff»2> — P ("*2> mi)
H-U i-p(mOi m2)p(m2f mx) ^VV">o> rn{)^ i + p (mo> m2) p (m2, пц) '
В самом деле, доказательство левого неравенства получается
прямо из леммы, если взять р(/(ш0), /(tf^)) очень близким к
p(m0, m2) и заметить, что функция t->(s — t)/(l—st) убывает
при 0^5, /^1; в правом же неравенстве нужно взять
p(/(m0), f(/Wi)) близким к p{mOy mi) и заметить, что функция
(s + 0/0+50 возрастает при 0^5, /^1 по обоим аргу-
аргументам.
Ясно, что р(ть ю2) ^ 1, и, согласно A.1), отношение
mi — m2, если р(гаь т2) < 1,
является отношением эквивалентности в Ш?. Соответствующие
классы эквивалентности называются долями Глисона простран-
пространства 9Я. Пусть
P(m)= {m'eJW: р(т, тг) < 1}

398 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
— доля Глисона, содержащая т. Если т принадлежит X — гра-
границе Шилова алгебры #°°, то Р(т)= {т}. В самом деле, если
т1Фту то \*>т'({т}) ф 1 для представляющей меры точки т', и
ввиду свойства логмодулярности найдется функция / e Я°°,
||/||= 1, для которой \f(m)\= 1, но
так что р(т, т')=\. Нетривиальную долю Глисона представ-
представляет собой открытый круг D, поскольку | г (/л) 1=1 при те
e=3W\D.
Лемма 1Л. Если F: 3)-+Ш — аналитическое отображение, то
F{3)) лежит в одной доле Глисона.
Доказательство. Это в точности лемма Шварца. Если
отображение F: 3)^*81 аналитично и /n/ = f(E/), 5/^2),
/=1,2, то
p(mlf m2) =
< sup {| g fe) I:
так что точки mi и m2 лежат в одной доле Глисона. ?
Таким образом, аналитический круг не может проходить
через одноточечную долю Глисона. Как мы видели, каждая
точка границы Шилова X составляет отдельную долю, и еди-
единичный круг D — это невырожденная доля и аналитический
круг. Теперь нам нужно искать аналитические структуры в
оставшейся части 2JT\(XIJ?>) пространства максимальных идеа-
идеалов, которая является объединением долей Глисона. Это мно-
множество непусто;, любая предельная точка m нулей бесконечного
произведения Бляшке лежит в 2R\(XU0). Если эти нули обра-
образуют интерполяционную последовательность, то множество всех
ее предельных точек гомеоморфно pN\N. Значит, множество
$W\(X(J?) очень и очень велико.
Одна теорема из общей теории логмодулярных алгебр (Гоф-
(Гофман [1962b]) утверждает, что каждая доля Глисона в 2Я либо
состоит из одной точки, либо является аналитическим кругом.
Вскоре мы получим для Н°° более полный результат и поэтому
не будем доказывать эту общую теорему. Давайте, однако, при-
применим ее для нахождения одноточечных долей в 9R\(XL)?).
Предположим, что S(z) — непостоянная сингулярная внутрен-
внутренняя функция. Тогда все степени Sa(z)y a > 0, определены и
||5а|| = 1. Значит, множество
К= {m:

I. Аналитические круги в 2R
есть объединение долей Глисона. В самом деле, если S(m) — О,
то
р(т, т')> lim|Sa(m')|,
a->0
и либо р(т, т') = 1, либо S(m/)=0. Множество /С непусто,
потому что S-l<?H°°y и К<=Ш\(Х[]О)У потому что |5|= 1 на
X. Замыкание множества Н°°\к в С (К) дает равномерную ал-
алгебру А с пространством максимальных идеалов К. Тогда К
содержит сильную граничную точку для алгебры А (упр. V. 10),
и по принципу максимума эта точка не может лежать в каком-
либо аналитическом круге алгебры Н°°\к. По цитированной об-
общей теореме это значит, что в ЗЭТ\(ХиО) есть одноточечные
доли Глисона. Другой путь к этому факту описан в упр. 2.
Один шаг приведенного рассуждения еще понадобится нам
позже. Напомним, что через Р(т) обозначается доля Глисона,
содержащая т е 9Я.
Лемма L2. Пусть т<=Ш, a gt=H°°, llglloo < 1 и g(m)=0.
Предположим, что при всех п = 2, 3, ... возможна фактори-
факторизация
а = р(п)Мп) (?(п)
В Si 62 "'бп
с ^е/Г, J^loo^1 " g{in)(tn) = 0. Тогда g = 0 на P(m).
Доказательство. Если m!e2Я, то
\g{m')\< lim Ш^Ч/пОК Нт (pint, m'))\
так что или р(т, т!) = 1, или \g{т') \ = 0. ?
Множество ЗЯ^ всех (непрерывных или нет) отображений из
2) в Ш в топологии произведения является компактным хаусдор-
фовым пространством. Направление {Fj} имеет в нем предел F,
если Fi(Q->F(t) при всех ?eiZ>, т. е. если /о F/(?)-^/of (^) при
всех ? е S) и f^H°°. Направления нужны нам здесь потому,
что пространство Зй5* не метрическое. Чтобы отличить направ-
направления от последовательностей, будем обозначать направления
через (Zf) или (Fj), а последовательности — через {zn}. Наш
основной объект изучения — множество & czJW55 всех максималь-
максимальных аналитических кругов в 9Й. Максимальность круга L^.9?
означает, что его образ LC)) не содержится ни в каком боль-
большем аналитическом круге. Будет показано, что множество
{aLz\ z^D, |a|= 1} плотно в S?\ этот факт можно рассматри-
рассматривать как уточнение теоремы о короне.
Нетривиальные аналитические отображения в 9^\(XUD)
были явно указаны в гл. V посредством следующего рассужде-
рассуждения. Пусть В (г)—интерполяционное произведение Бляшке с

400 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
множеством нулей S = {гп}. Тогда
Пусть m^2JT\D лежит в замыкании множества 5, и пусть
(zj)—поднаправление, извлеченное из {zn}> которое сходится
к т. Еще раз переходя к поднаправлению, мы можем считать,
что и отображения (?z,) сходятся к Lm^9}l<2). Тогда Lm@) =
= lim L2 @) = m, и при / е Н°° функция / oLm(?) = lim /о Lz.(?)
аналитична в 3). Отображение Lm непостоянно, потому что
| (В о Lm)r @) | = lim I (S о LZj)r @) | = lim A — | Zj |2) | Br (zy) | > 6.
Вот то место, до которого мы продвинулись в гл. V. Давайте
теперь изучим отображение Lm более тщательно. Последова-
Последовательность S интерполяционная, и поэтому ее замыкание SbI
гомеоморфно стоун-чеховской компактификации ЬН натураль-
натурального ряда. Следовательно, любое отображение S в компактное
хаусдорфово пространство, подобное 54^, можно единственным
образом продолжить до непрерывного отображения из S в это
пространство (теорема V. 1.4). В случае отображения zn->Lzn
это означает, что Lm не зависит от выбора сходящегося под-
направления (г/). Мы доказали такую лемму:
Лемма 1.3. Если S — интерполяционная последовательность,
a m e 5, то существует единственное непостоянное аналитиче-
аналитическое отображение Lm: ®-+Ш, такое, что
lim LZ/ = Lm
для любого направления в S, сходящегося к т.
Более точные сведения о Lm дадут нам две леммы о произ-
произведениях Бляшке, первая из которых продолжает тему
разд. VII. 5.
Лемма 1.4. Пусть В {z) — интерполяционное произведение
Бляшке с нулями \zn} и
inf A — |zJ2)|?/(zrt)|>6> 0.
п
Существуют такие К = Х(Ь), 0<^<1, и r = rF), 0<г<1,
что
A.2) lim Я F) =1.
A.3) lim r F) =1,
в-и
и множество S^1(A@, г))= (г: |Б(г)|<г} есть объединение
попарно не пересекающихся областей Vn, таких, что zn^Vn и
A.4). Vncz{z: pB, гп)<Ц.

1. Аналитические круги в 2R 401
B(z) однолистно отображает каждую область Vn на Д@, г) =
= {w: | w | < г}, « лри | до | < г функция
ШУ ' 1 -wB(z)
является (с точностью до постоянного множителя, равного по
модулю 1) интерполяционным произведением Бляшке, имеющим
один нуль в каждой области Vn.
Доказательство. Если А „ (?) = В ((? + *„)/( 1 + *„?)) =
= В о L2fl (g), то ||Ая||оо=1, Ая@) = 0 и |А'я@)|>6. По лемме
Шварца
так что при | % | = X = X (б) < б
> >
ICI ^ 1-1С1|^(о)| ^ 1 — Яб '
откуда
A.5) |Лд(?)|>А=^Л = г = гF), 1Е! = Л.
Согласно принципу аргумента, уравнение А„(?)=до, |ш|<г,
имеет в {|^|<Я} точно один корень. Значит, В (г) однолистно
отображает область
, г)))
на А@, г), zn^ Vriy и условие A.4) выполняется.
Если z^Vn[\Vk, пФ1г, то, согласно A.4),
Л<9 ~\^ р1*п' г) + Р(г- Zk) ^ 2Я
Выбирая такое Х = А,F), чтобы
A.6) ^<Т+^<б)
мы убеждаемся, что Vn[\Vk = 0, пФк. Выбирая X еще и так,
чтобы % = Л (б)-* 1 при б-* 1 и
->1, б->1,
1 -XI
мы получим, что в A.5) !im г (б) = 1. Мы обеспечили выполне-
выполнение A.2) и A.3).
Если |ш|<г, то функция Bw(z) = (B(z)—w)/(\ — wB(z))

402 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
имеет в каждой области Vn точно один нуль zn{w), который
является голоморфной функцией от w. Пусть Aw(z)—произве-
Aw(z)—произведение Бляшке с нулями {zn(w)}. Тогда Bw(z) = Aw(z)gw(z)y где
\\gw\\ ^ 1. Нужно доказать, что Bw = cAW} \c\= 1, и для этого
мы покажем, что \gw@) | = 1. Но
Положим
rt-1
Это произведение сходится в круге {[Н<г}, потому что вес
его частичные произведения ограничены и оно сходится при
w = 0. Теперь, поскольку ||#ш||^ 1,
A.7) |Я(»)|
Обе части этого неравенства — модули аналитических функций
от w} а при w = О здесь достигается равенство
Мы можем считать, что В @)ф0, но тогда равенство в A.7)
должно иметь место при всех да, |да|< г, а потому |gu>@) |= 1
при всех да, за возможным исключением тех, где H(w) = 0, т. е.
ш = В@). Но
Это модуль мероморфной функции в круге {|И<г}; следова-
следовательно, |gu,@)|isl и Bw(z) только постоянным множителем
с, |с|= 1, может отличаться от Aw(z). В частности, функция
Bw(z) не имеет нулей вне \JVn и B~x(\w\< r)= \JVn. Нули
функции Bw(z) образуют интерполяционную последователь-
последовательность, так как по лемме VII. 5.3 любая последовательность
{?л} с р(?я, zn)< К F) будет интерполяционной. ?
Наша вторая лемма использует остроумное комбинаторное
рассуждение В. Миллса.
Лемма 1.5. Пусть B(z) — произведение Бляшке с различными
нулями {zfl}. Оно допускает такую факторизацию В = В\В2у
что
.A.8) ест В{{гп) = Ъ, то (\-\zn\2)\B\(zn)\>\ B2(zn)\t
A.9) если B2{zn) = Q, TQ A -1 *« ft I # (*«) \> lBi (zn) |,

1. Аналитические круги в
403
Следствие 1.6. Если B(z) — интерполяционное произведение
Бляшке с нулями {гп} и
то возможна такая факторизация В = BiS2, что
2, }= 1, 2.
Доказательство. Это сразу вытекает из леммы. Если
Bi(zn) = 0, то по A.8)
A—|г„|2)|В/(гЛ)|=-A -\zn\2)\B\(zn)\\B2(Zn)\<
и 6(Si)>6(B)I/2. To же верно и для В2. D
Доказательство леммы 1.5. Положим
2 — Zh
п\ апп = 0.
Матрица \akn\ вещественна, симметрична (акп = аПк), имеет
нули на главной диагонали и абсолютно суммируемые строки.
Мы покажем, что существует такое множество Е натуральных
чисел, что
(a) Z akn> S аЫу »е?;
k^E кфЕ
(b) Z «Лп Z
кфЕ
Это доказывает лемму, потому что если Вх{г) имеет нули
{zn: n e ?}, то в силу (а)
{(zrt)|= Д
ite?
k Ф п
Zn~Zk
1 — ikzn
кфЕ
Zn~Zk
1 — zkzn
что совпадает с A.8). Точно так же A.9) следует из (Ь).
Чтобы установить (а) и (Ь), предположим сначала, что
akn = 0 при k > N или п > N. Получается конечная задача;
возьмем то множество ?", для которого максимальна функция
h(E)= E akn+ E
кЛ п s ? k, пф Е
и F = ?\ {я}, то
= h(E)-2 Z
Если л
Поскольку h(F)^ h(E), то выполняется условие (а), а по-
поскольку h(E)= h(N\E), то выполняется и (Ь).

404 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Мы имеем при каждом N подмножество ?лгс: {1, 2, ...,#},
для которого (а) и (Ь) выполняются при дополнительном огра-
ограничении ky п ^ N. Но пространство подмножеств N =
= {1,2, ...} —компакт в топологии произведения, в которой
последовательность {Я/} имеет предел Е тогда и только тогда,
когда
n<=E^n<=Eh /s=s /о(п).
(Соответствие Е-+%Е между подмножествами и их характери-
характеристическими функциями устанавливает гомеоморфизм между
пространством подмножеств и пространством {0, 1}N.) Выберем
подпоследовательность {ENj}> которая имеет предел Е. По-
Поскольку Zj I ank I < °°i то
k
akn\
/
При п^Е этот предел будет неотрицательным, а при пфЕ —
неположительным. Поэтому оба условия (а) и (Ь) выполняются
для множества Е. ?
Мы возвращаемся к аналитическому отображению Lm =
= limL , где (zj) — поднаправление интерполяционной после-
последовательности 5 = {zn} и limz/ = m.
Теорема 1.7. Отображение Lm взаимно однозначно и анали-
аналитически отображает 3) на Р(т), долю Глисона, содержащую т.
Для любого г < 1 существует произведение Бляшке ВГу такое,
что Бг(т) = 0 и функция Br^Lm взаимно однозначна в круге
{|?|<;г}. Если (wj) — произвольное направление в D, сходя-
щееся к т, то
Lm = \\mLW/.
Доказательство. Пусть В (г)—произведение Бляшке
с нулями {zn} и 6 = 6(B) = inf(l -\znf)\B'{zn)\>0. Тогда
= V\m\(BoLZj)'@)\%*b. По лемме Шварца, как
и в начале доказательства леммы 1.4, функция В о Lm яв-
является однолистной в области (В о Lm)-! ({|ш| < г (б)}). По-
Поскольку \BoLm(l) |<|?|, это означает, что отображения В оLm
и Lm взаимно однозначны в круге (|?| < г(б)}.
Пусть г <С 1< Согласно A.3) и следствию 1.6, возможна фак-
факторизация В = ВХВ2 ... BN с г(в(Вл))>г, k= 1, 2, ..., N.
Заменим (г/) на такое поднаправление, что Bk(z})=0 при не-
некотором k и при всех /. Предыдущее рассуждение показывает,

1. Аналитические круги в 2R 405
что отображения Bk^Lm и Lm взаимно однозначны в круге
{|?|<г}. Следовательно, Lm взаимно однозначно в 3).
По лемме 1.1 Lm{2))cz P(m). Нам нужно показать, что
LmC>)= Р(т). Если т'и=Р{т), то р(т, т') < 1. По A.2) и по
следствию 1.6 мы можем считать, что р(/л, т')< ^ = Мб (В)),
а по A.3) мы можем также считать, что \В(т') | < гF(#)).
Значит, по лемме 1.4 функция
В - в (т')
1 —В(т')В
есть (с точностью до постоянного множителя) интерполяционное
произведение Бляшке с нулями z'n^Vn. Тогда тг лежит в за-
замыкании множества {г^} в силу леммы IX. 3.3 и можно выбрать
поднаправление (г^), сходящееся к т'. Мы проверим, что если
поднаправление (гП/) исходной последовательности {zn} опре-
определить по правилу z'n. s Ул^ то
A.10)
Пусть /п'7 — любая предельная точка для (zn{)* Тогда
р(т", П^
и в силу A.6)
С другой стороны, если бы т/7 и m были разными предельными
точками S = {гп}у то нашлось бы подмножество Т cz5, замыка-
замыкание которого содержит т, но не /л". Тогда, если fir (z) — произ-
произведение Бляшке с нулями из Г, то
A.12) p(m, m")> lim |Вг(гя)|>б(В).
Неравенства A.11) и A.12) показывают, что m"=my и по-
поэтому A.10) верно.
Окончательно мы имеем
Существуют такие точки ^, |?/|<А.F), что 1гл (^) = z^.. Мы
можем считать, что ?*->?, |?|^Х(б). Тогда р(^-, %)-+0, а по
13 L L С
, ?? |?|()
лемме 1.3 LZn -+Lm. Следовательно,
Lm (?) = lim LZtli (?) = lim L2n^ (?,) e lim 2Л/ = m'f
так что LmB>) = P(m).

406 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Если (wi) — произвольное направление в D с пределом т,
то 1\тВ(wi)= 0 и \B(wi) | < гF(В)) при достаточно больших *'.
По лемме 1.4 wt^Vnr Так как функция B(z) на Vn. одно-
однолистна, то р(wh zni) < с | В (и^) | -> 0.
Значит,
A.13) Р(Ц(У, ^
В частности, zn{->m и по лемме 1.3 LZn->Lm. Тогда A.13)
показывает, что Lw.->Lm. ?
Между прочим, теорема 1.7 приводит к одному интересному
наблюдению, касающемуся размеров пространства 2Я. Если ин-
интерполяционное произведение Бляшке В {г) с нулями {гп} та-
таково, что
и m^$fl\D лежит в замыкании множества {гп}, то отображе-
отображение Lm: 2)-+P{m) — гомеоморфизм (упр. 8). Далее, отображе-
отображение f-*f°Lm является изоморфизмом алгебр #°°|р(т) и Я°°. Это
означает, что нигде не плотное множество Р{т) гомеоморфно
самому ЭД. Более того, Р(т)\Р(т) снова содержит гомеоморф-
ные копии ЗЯ, и так до бесконечности.
2. Теорема Гофмана
Гофман доказал, что все аналитические структуры в 9Й полу-
получаются по способу разд. 1. Иными словами, каждый аналити-
аналитический круг в 9?T\D имеет вид Lm = IimLZ/, где (Zf) — подна-
правление некоторой интерполяционной последовательности.
Это— замечательное достижение: вспомним о размерах про-
пространства %R\D и его неописуемой сложности. Обозначим че-
через G множество всех т^ЗЯу лежащих в замыкании какой-
либо интерполяционной последовательности. Какое-то геометри-
геометрическое представление об этом множестве доставляет упр. 2(d).
Мы знаем, что каждая точка т е G лежит в аналитическом
круге. Вот главное обстоятельство, которое мы должны уста-
установить: если т e2tt\G, то доля Глисона Р(т) сводится к одной
точке, Р(т)= {т}. Из леммы 1.1 следует, что никакое непо-
непостоянное аналитическое отображение F: Й)->Ш? не может со-
содержать т в своем образе. Следовательно, т тогда и только
тогда лежит в некотором аналитическом круге, когда т^ G.
Нашим основным средством будет еще одна теорема о фак-
факторизации для произведений Бляшке. Пусть В (г)—произведе-

2. Теорема Гофмана 407
ние Бляшке с нулями {zn}\ положим при б > О
оо
K6{B) = f\{z: р(г, *„)>«}•
Теорема 2.1. Возможна такая факторизация В = B{B2i что
при 0 < б < 1
B.1) а\В{ (z) \ш<| В,(z) |<i-1 Bj (г) |6, г е= /Сб(В),
где постоянные а = а (б) и b = bF) зависят только от 8. (Мно-
(Множители В\ и В2 от б не зависят.)
Доказательство. Перейдем в верхнюю полуплоскость
Ж При ге/F(В), как показано в доказательстве леммы
VII. 1.2,
с F) log
г —
Мы покажем, что любую последовательность Бляшке {zn} мож-
можно разбить на две части S\ и S2, такие, что при геЖ
с абсолютными постоянными С\ и С2. Образуя произведения
Бляшке Bi и В2 с множествами нулей 5i и S2, мы получим B.1)
с a = exp(C2/Ci и Ь = с(б)/С2. Выберем 7, 0<^<1, обра-
образуем полосы Tk—{z\ Xfe+1 ^ у < Xk}, k = 0, ±1, ... и перену-
перенумеруем точки Zn^Tk в виде (возможно, двусторонней) после-
последовательности Zkf (j целое) в порядке возрастания их абсцисс:
Xkj ^ Xki при / < /. (Благодаря условию Бляшке в каждой по-
полосе Tk находится лишь конечное число точек zn с данной
абсциссой.) Отнесем точку zn\ к Si, если j нечетно, и к S2, если
/ четно.
Доказательство оценок (а) и (Ь) начнем с частного случая,
когда уп = №+{ для всех zn e Tk.
Тогда
В самом деле, при фиксированном z вклад полосы 7^ в B.2)
состоит из знакочередующихся членов, модули ррторых равны

408
Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Эти величины убывают с ростом \х — Xkj\ и стремятся к 0 на
бесконечности. Поэтому общий вклад полосы Tk не превосходит
наибольшего из этих слагаемых:
1-Х
2yXk+l
Суммирование по k даст нам B.2), потому что при
2
X
oo -1
-я
Возвращаясь к общему случаю, положим **/==**/
сравним наши суммы с теми, которые получаются для
Если у > 0 и г« е ^, то
fe1 < 1 2ууп
(у
так что
Ввиду B.2) получаем
я2 г-л "Г" я2
а это и есть (а) и (Ь). ?
Теорема 2.2. Пусть
) 0
1 a /n€=3W\G.
/
= 0, го возможна факторизация / = f,/2, где
< I f() 0
Доказательство. Прежде всего сведем задачу к тому
основному случаю, когда /(г) является произведением Бляшке
с простыми нулями. Пусть /(г) = В(г)?(г), где ?(;г) — произ-
произведение Бляшке, a g(z) не имеет нулей. Если g(m) = Q, то
искомая факторизация дается формулой f = (Bgl/2)gl/2. Теперь
можно считать, что f(z) = B(z). Пусть В = В{В\, где Вх w В2 —
произведения Бляшке, причем В\ имеет только простые нули.
Если В2(пг)=01 то В = (В\В2)В2 дает искомую факторизацию.

2. Теорема Гофмана 409
Таким образом, можно считать, что f(z) = B(z) и все нули В (z)
просты.
Представим B(z) согласно теореме 2.1: В = BiB2. Можно
считать, что ?i(m)=0, а В2(т)Ф0. Согласно B.1), т не при-
принадлежит замыканию в Ш множества К6{В) ни при каком
б > 0. Это значит, что т попадает в замыкание множества ну-
нулей функции В: m&S^ {zn}. В самом деле, если направление
(Zj) в D сходится к т, го по теореме 2.1 найдутся такие г„/,
B(znj)= 0, что p(z/, Z/*/)~>0, так что (znj) тоже будет сходиться
к т. При факторизации В = В^ множество 5 было разбито
на два подмножества S\ и S2, где _5/ — это множество нулей
для Bj(z). Раз В2{т)Ф0, то m ^ 52, а поэтому обязательно
Факторизуем теперь В] согласно лемме 1.5: Вх = ВпВ12.
Снова пусть Вп(т) = 0, В12(т)=?0. Выберем e<|Bi2(m)|.
Тогда т не лежит в замыкании множества {z: |Bi2B) | < е},
но лежит в замыкании множества Si. Значит, множество
содержит пг в своем замыкании. Но лемма 1.5 показывает, что
Т — интерполяционная последовательность, потому что
Стало быть, пг лежит в замыкании интерполяционной последо-
последовательности в противоречие с предположением m^ffl\G. ?
Следствие 2.3. Если m<=W\Gy то доля Глисона Р(т) сво-
сводится к одной точке {пг}.
Доказательство. Пусть пг' ф т. Мы покажем, что
т'ф Р(т). Существует функция §еЯ°°, HglL = 1, для которой
g(m) = 0, но ?(/п')т?0. По теореме 2.2 при каждом п возможна
факторизация
где g<;>Gff°°, l^L^l и gy>(m) = 0. Тогда т'<?Р{т) по
лемме 1.2. П
Подытоживая эти результаты, мы можем дать различные
характеристики точек из 5К\О.
Теорема 2.4. Пусть теЗЙ. Следующие условия равносильны-
О) Р(т)={т}.
(и) ?сл« (Zj)— направление в D с пределом т, то отобра-
отображения LZj стремятся к постоянному отображению L(%)=m.
(Hi) ms?G.
(iv) ?ми /^Я00, llflU^l w /(m)=0, то / = /i/2
f// ||/||1 /() 0

410 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
(v) Идеал /т= {/еЯ°°: /(т) = 0} совпадает с замыка-
замыканием своего квадрата Рт = \ Yj ffif fh Si ?
Условия (iv) и (v) — это соответственно сильнейшая и сла-
слабейшая формы выражения для равенства /т = /^.
Доказательство. Ясно, что из (i) следует (п), потому
что любая предельная точка отображений Lz. в Ш3 аналити-
аналитически отображает 2) в Р(т) по лемме 1.1. По лемме 1.3 из (и)
вытекает (iii). По теореме 2.2 (iv) следует из (Hi), a (iv) вле-
влечет за собой (i) согласно доказательству следствия 2.3. Итак,
из логического круга выпадает только (v).
Очевидно, что (v) следует из (iv). Для завершения доказа-
доказательства мы покажем, что из (v) следует (iii). Если условие
(iii) нарушено, то найдутся аналитический круг Lm с Lm@)= m
и произведение Бляшке B(z)^Jm с (В о Lm)/@)=^=0. Так как
непрерывный линейный функционал f-+(foLm)(Q) на J2m обра-
обращается в 0, то Рт не может быть плотно в /w< ?
Теперь мы можем определить все аналитические структуры
в Ш. Напомним, что при m^G существует аналитический круг
Lm'. 2)-+Р(т), Lm@)=m. По теореме 1.7 т однозначно опре-
определяет Lm в том смысле, что Lm = \\m LZjf каково бы ни было
направление (г/) в D, сходящееся к т.
Теорема 2.5. Пусть F: 2)-*- Зй — непостоянное аналитическое
отображение и F@) = m. Тогда m^G и существует такая ана-
аналитическая функция т: 2)-+2), т@)= 0, что
B.3)
В частности, если L — аналитический круг с образом Р(т),
т = L@), to
при некоторой постоянной а, |а|= 1.
Доказательство. Отображение F непостоянно, поэтому
доля Р(ш) нетривиальна по лемме 1.1. Значит, /пеС по тео-
теореме 2.4, и имеется взаимно однозначное аналитическое отобра-
отображение Lm. Равенство B.3) определяет тогда функцию т: 2)-*2)>
t@) = 0, и нужно проверить ее аналитичность. При любом г < 1
по теореме 1.7 существует такое произведение Бляшке Вг{г),
что функция
однолистна в круге {|?|<г}. Но, согласно B.3),
x(Q = h;loBr°F(Q, |?|<r,

3. Приближенная зависимость между ядрами 411
так что функция т аналитична в области hr{\t\ < г}. Поскольку
/гг@) = 0 и HArlL^l, то она будет аналитична и в круге
{|Б|<г}. Устремляя г к 1, мы видим, что функция т анали-
аналитична в 2).
Если F взаимно однозначно отображает 2) на P(m)t то т
становится однолистным отображением круга 3) на себя, а по-
поскольку т@) = 0, то по лемме Шварца т(?) = а?, |а|=1. ?
Следствие 2.6. Множество аналитических отображений 2) в
D плотно в топологии пространства Ш® в множестве аналити-
аналитических отображений из 2) в 2Й. Множество отображений
плотно в множестве 9? максимальных аналитических кругов
в 2R.
Доказательство. Пусть отображение F ^Ш3 анали-
тично. Если F постоянно, то теорема о короне доставляет сходя-
сходящееся к F направление постоянных из D. Если F непостоянно, то
оно имеет вид B.3) с Lm = limLZy Тогда направление (Fj),
Ff (?) = LZj о т (?), сходится к F. Если L — максимальный ана-
аналитический круг в ЗЯ, то LC))= P(m), m = L@), и найдутся
а, |а|=1, и направление (z,)y Zj-*m, для которых
U (a?) = lim L2j (a?) = a Iim LaZf ft). П
В упр. 7 дается эквивалентная формулировка теоремы 2.5,
не упоминающая максимальных идеалов.
3. Приближенная зависимость между ядрами
Пусть {г/} — редкая последовательность в верхней полупло-
полуплоскости, т. е.
при некотором a > 0. Она будет интерполяционной тогда и
только тогда, когда
C.1) sup S y,/'(QXA<oo,
где Q пробегает множество всех квадратов вида Q = {а ^ х ^
<a + /(Q), 0< #<<? (Q)}. В этом и следующем разделах мы
докажем, что условие C.1) выполняется, когда точки {zj}
можно разделить (в двух различных смыслах) ограниченными
гармоническими функциями. Эти результаты обобщают тео-
теорему из разд. VII. 4 о том, что гармонически интерполяционные
последовательности являются и //""-интерполяционными. Их до-

412 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
казательства представляют самостоятельный интерес, потому
что каждое из них дает количественную формулировку теоремы
Фату. Ключевая идея появляется в лемме 3.3 и состоит в том,
что при нарушении условия C.1) ядро Пуассона, представляю-
представляющее точку z/, можно приблизить выпуклой комбинацией ядер,
представляющих другие точки г*.
Сначала мы покажем, что если условие C.1) нарушается
для некоторой редкой последовательности {г/}, то оно нару-
нарушается и для некоторой ее подпоследовательности, распреде-
распределенной удобным образом.
Лемма 3.1. Пусть N — положительное целое число, N г= 1
(mod3). Пусть {г/}—редкая последовательность, г. е.
C.2) \zi — zk\
Тогда ее можно разбить на n0 = no(ay N) непересекающихся
подпоследовательностей Уь ^2, . • •, Уп0 со следующими свойст-
h
Рис. X. 1. Два интервала из одной последовательности Y{.
вами. Каждому zj соответствует интервал //, |//| = ЗЛЛ", где m
целое, для которого
C.3) ZNy}^\Ij\^3N2yi
и
C.4) dist (xJy dlj) >j\Ij I, x, = Re zf e /,.
Если Zj и zk принадлежат одной подпоследовательности Yi и
1}{\1кф0у то
C.5) Ijdlk или h<^Iiy
причем если // с: /*, то
C.6) |//[<tf-3|/*|
и // входит в разбиение интервала Ik на |/*|/|//| подынтервалов
длины |//|.
Два интервала // и h изображены на рис. Х.1.
Вероятно, эта лемма покажется слишком технической и не-
некоторые читатели захотят отложить изучение ее доказательства
до того, как они увидят ее приложения. Условия C.3) и C.4)
гарантируют при большом jV малость гармонической меры мно-
множества R\Ij в точке г/. Условие C.5) позволяет четко разбить

3. Приближенная зависимость между ядрами 413
точки z\ на поколения, а благодаря условию C.6) при // с h
ядро Пуассона для г* будет почти постоянным на //.
Доказательство. Рассмотрим все интервалы вида
с целыми кит. При фиксированном т средние трети интерва-
интервалов Jkm образуют замощение прямой R. Каждой точке Z/ сопо-
сопоставим тот единственный интервал // = ]km> для которого X/ е
<=[(k+l)Nm, (k + 2)Nm] (это —средняя треть Jkm) и Nm~2 <
^ У/ < Nm~K Условия C.3) и C.4) при этом будут выполнены.
Распределим интервалы Jkm по трем семействам в соответ-
соответствии с остатком 0, 1 или 2 от деления k на 3. В каждом се-
семействе интервалы данной длины образуют разбиение прямой
R. Далее, если интервалы Jpn и Jqm принадлежат одному се-
семейству И \Jqm\<\Jpn\, ТО ИЛИ JQm<^Jpn, ИЛИ Jqm[\Jpn = 0.
Действительно, N s= I (mod 3). Пусть pNn = kNm, k = pNn~m.
Поскольку я > m, то k целое. Раз Nn~m a 1 (mod 3), то k^
= p(mod3). Значит, точка pNn — конец некоторого интервала
Jkm из того же самого семейства. То же будет и на другом конце
(p + 3)Nn интервала Jpn, так что Jqm не может покрывать ни
один из концов Jpn.
Распределим теперь и точки Z/ по трем подпоследователь-
подпоследовательностям, смотря по тому, в какое семейство попадут соответствую-
соответствующие им интервалы // = Jkm, т. е. будет А = 0, 1 или 2 (mod 3).
Если Z/ и Zk принадлежат одной подпоследовательности, то или
If a Ik, или h^Jjy или Ijf\Ik = 0, а если //с:/*, то // появ-
появляется в разбиении Ik на равные подынтервалы длины |//|.
Чтобы получить C.6), мы используем условие редкости C.2)
для дальнейшего разбиения множества {z,-}. В гиперболической
метрике все прямоугольники вида Rkn = (kNn < x < (k + 3)Nn,
Здгл-5 < у <^ ЗЛ^1-1} конгруэнтны, и в силу C.2) каждый из них
содержит не более п\ = П\{а, N) точек последовательности {z7}.
Разобьем каждую из трех уже построенных подпоследователь-
подпоследовательностей на п\ подпоследовательностей так, чтобы любой прямо-
прямоугольник Rkn содержал не более одной точки из каждой. Мы
получим п0 = Зп\ подпоследовательностей Уь ^2, ..., Уп^ для
которых выполняются условия C.5) и C.6). D
Ввиду C.5) точки Z/ каждой подпоследовательности У/ и
соответствующие им интервалы // естественно делятся на поко-
поколения. Если Z/, Zk^Yiy то мы скажем, что zk^G\{Zj) и /* <=
е Gi(//), если h 5 h и интервал h максимален среди всех таких
интервалов. Дальнейшие поколения, как всегда, определяются
по индукции: Gp(//)= U G{{Ik).
Лемма 3.2. Пусть последовательность точек {z/} удовлетво-
удовлетворяет условию C.2), N целое и Yu .,., У^ — подпоследователь*

414 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
кости, построенные в лемме 3.1. Пусть О < у < 1 и г — положи-
положительное целое число. Существует такое А — A (a, N, у, г), что
если условие C.1) при этом значении А нарушается, т. е.
sup ? yj/HQ)>Ai
то
i те
М'/) ' "
'/)
для одной из подпоследовательностей Yi и одной из точек z/ e
еУ,.
Эта лемма утверждает, что в количественном смысле для
установления C.1) достаточно работать со специальными по-
последовательностями Yi.
Доказательство. Если предположить противное, то по
индукции
ГТ^^' nr<cl<(n+l)r,
для всех Yi и z, e У,. Следовательно,
Суммирование по всем Yi дает
i^
1-Yt
а поскольку отношение ykj\h\ ограничено и сверху и снизу,
то отсюда вытекает C.1) при некотором Л = Л(а, N, у, г). D
Пусть N велико. Согласно C.3) и C.4), интервал // содер-
содержит большую часть массы ядра Пуассона Р/, представляющего
точку z\\
R\/y t>Nyfp ^
Разобьем интервал // на N3 подынтервалов 1ц длины |///|
= N'31 //1 ^ N~]yi и построим ступенчатую функцию
/-1

3. Приближенная зависимость между ядрами
416
Тогда Kf(t)^ Pj(t) и на каждом интервале /* cz U Gq(Ij) функ-
функция К} постоянна. При большом N норма ||Я/ — Kj\\\ мала:
N-*
II Я/-^/111 < \ Pj(t)dt +
;?+2
Зафиксируем е > 0 и выберем Ы(г) так, чтобы при всех у
C.7) \\Pi-Kj\U<E/8.
См. рис. X. 2.
Лемма 3.3. Пусть {г/}—последовательность, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию C.2). Пусть е > О, N = N(z) и Y\, ..., УПо, п0 =
Рнс. Х.2. Ядра Pf и Kj.
= По(ау N), — подпоследовательности, построенные в лемме 3.1.
Существуют р = Р(е), 0<р< 1, и положительное целое число
р = р(г)у такие, что если
C.8)
для некоторых У/ и z\ e У/, го существуют такие веса %k выпук-
выпуклой комбинации, 0 ^ Xk < 1, Zj ^ = 1» ^я которых
C.9) 1л-Ел*р*|,<в,

416
Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
= 0, если zk<?Gi(zi)[} ... [)Gp(zi)9
(ЗЛО)
C.11) U
где b = b (N) — постоянная.
Доказательство. Мы хотим найти такие веса Я*, удов-
удовлетворяющие условиям C.10) и C.11), чтобы
(ЗЛ2) 1*/-Ел*/СД<в/8.
Заменяя Xk на Л*/? Я; и используя C.7), мы затем получим
веса со свойствами C.9) —C.11).
Положим fo(t)= Kj(t). Функция МО принимает на каж-
каждом интервале первого поколения Ik^G\(Ij) постоянное зна-
Рис. X. 3. На каждом Ik e= Gk
чение foVk). Эти интервалы не пересекаются, и функция
сосредоточена на h. Положим
f\ =/о —
на
Тогда 0 ^ /i ^ fo, и /i принимает постоянное значение /i(
каждом интервале h e G2(//).
Повторим эту конструкцию с /i вместо /о и продолжим ее
на протяжении р поколений. На этапе q функция fq-\ принимает
постоянное значение fq-\{h) на каждом интервале h^Gq(Ij)y
и мы полагаем
Тогда 0 < fq
II
U-i ^ /о- См. рис. X. 3. Согласно C.4), /^i (/*) s
/|, а согласно C.3) и C.4), ||/(»||„ > c2/|/*|

3. Приближенная зависимость между ядрами
41Г
Значит, Xfe ^ 6|//г|/|//|, что доказывает C.11). Условие C.10)
выполняется, потому что процесс останавливается на построе-
построении fp.
Осталось оценить |/С/ — ^J ^kKkl = \ fpdt. Поскольку
IUto C.7) дает
Udt>(l~^lIk] =(l-b)\Ik\f 0<б<1.
Следовательно, при /* е Gq
\Udt=s\
'k
\ (Kk/\\Kk\L)dt <
Пусть Eo = /,, E, = U /*. ^ = 1, 2, .... p. Тогда Eo => ?i
... гэ ibp, и по индукции
Выберем р таким, чтобы 6° < e/16. Напомним, что H/plU ^
^ II/oil» ^ Cj/|//|, где С) зависит только от е. По нашему пред-
предположению |?р|/|/у| ^ р, где р = Р(е) еще предстоит опреде-
определить. Так, выберем такое р = Р(е), чтобы A — P)ci<e/16.
Мы получим ||/olL|//\?p|<e/16 и
что доказывает C.12). П
Теорема 3.4. Пусть {г/}—последовательность в верхней по-
полуплоскости. Предположим, что существуют вещественные гар-
гармонические функции {uj(z)}> для которых
(i) II«/L<1.
(ii) м,(г/)>б>0>
(Hi) "/(гЛ)<0, *^/f
г^ б >> 0 я^ зависит от /. Тогда {z}} есть Я°°-интерполяцион-
Я°°-интерполяционная последовательность.
Предположения теоремы напоминают условие, характери-
характеризующее интерполяционные последовательности:
¦»• П
Z, — .
— б>0,
1Д14 За к. 829

418 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
но прямого пути для его вывода не видно. Заметим, что эта
теорема обобщает теорему VII.4.2.
Доказательство. Ясно, что точки {zk} редки: ограни-
ограниченная функция ехр(и/ + ш/) отделяет г\ от остальных точек
zk. Мы убедимся, что выполнено условие C.1), и теорема будет
доказана. Если условие C.1) нарушается, то по леммам 3.2 и
3.3 найдутся точка г{ и веса %к ^ О, А,/ = 0, для которых ||РУ —
— ? A*P*Ii <в. Но тогда
=\
— это противоречие. ?
Лемма 3.3 и теорема 3.4 остаются в силе и для аппроксима-
аппроксимативных единиц, более общих, чем ядро Пуассона (см. упр. 12).
4. Интерполяционные последовательности и гармоническая
отделимость
Мы продолжаем рассуждения предыдущего раздела. Теперь
наша цель — новая характеристика интерполяционных последо-
последовательностей.
Теорема 4.1. Последовательность {z/} в верхней полуплоско-
полуплоскости является интерполяционной, если любые непересекающиеся
подмножества множества {г/} имеют непересекающиеся замы-
замыкания в ЗЙ — пространстве максимальных идеалов алгебры Н°°.
Прежде чем углубиться в доказательство, разберемся, что
эта теорема означает. Заметим, что обратное к ней утверждение
тривиально. Если S и Т — два непересекающихся подмножества
интерполяционной последовательности, то найдется функция
f е Я°°, равная 0 на S и 1 на Г, так что S и Т как подмножества
Ш лежат в непересекающихся замкнутых множествах {f = 0}
и {/= 1}. Если дополнительно предположить, что замыкание К
последовательности {z}} в 2Я является оболочкой, т. е. что при
пг^Ш\К всегда найдется функция /еЯ00, у которой 1(щ)Ф0
и f|K = 0, то эта теорема следует из одного общего результата
Шилова и из упр. VII. 8 (см. Гофман [1962а]).
Как мы видели в гл. V, пространство 2Я гомеоморфно слабо
компактному подмножеству сопряженного пространства (L00)*,
и при этом гомеоморфизме точке Z\ соответствует ее ядро Пуас-
Пуассона Р/. Предположение теоремы состоит в том, что непересе-
непересекающиеся наборы {Р/} имеют непересекающиеся слабые замы-
замыкания в (L00)*. Это предположение можно переформулировать

4. Гармоническая отделимость 419*
двумя способами. Во-первых, оно означает, что слабое замыка-
замыкание множества {Р}} в (Loo)* гомеоморфно PN—компактификации.
Стоуна — Чеха натурального ряда, или что замыкание мно-
множества {zj) в ЭД гомеоморфно PN. Таким образом, последова-
последовательность {г/} тогда и только тогда будет интерполяционной,,
когда ее замыкание в 9Я гомеоморфно CN.
Во-вторых, базис слабой топологии в (L00)* состоит из от-
открытых множеств вида
V=Va=* {(pe(L°°)*: <р(ит)<а, 1 < m < М},
где a — вещественное число, а ии ..., «м g jL°°. Пусть S и Т —
два подмножества в {Р}} с непересекающимися слабыми замы-
замыканиями S и Г. Каждая точка qp e 5 имеет окрестность Ка с
Va 11^ = 0. Поскольку Т _компактно, то КзП^ = 0 при неко-
некотором Р > а. Если <p^S|J7\ то <рA)=1, поэтому, заменяя
каждую функцию um на aum + Ъ с постоянными а и 6, мы можем'
считать, что a ==—1 и Р> 1. Наконец, покрывая 5 конечным*
числом таких окрестностей V{-\y 1<я</С, мы придем к еле-
дующей эквивалентной формулировке нашего условия:
Для любых непересекающихся подмножеств S и Т последо-
последовательности {zj} найдутся такие функции {u^jciL00, /С
1 <; m ^ Mf нто
^)Br7)< — 1,
1 }
Полагая /C = M= 1, мы видим, что теорема 4.1 обобщает тео-
теорему VII. 4.2. Грубо говоря, теорема 4.1 утверждает, что после-
последовательность удовлетворяет условиям C.1) и C.2), если она
в каком-то разумном смысле отделима посредством ограничен-
ограниченных гармонических функций.
Доказательство теоремы 4.1 опирается на конкретное усло-
условие D.1). Очень важно, что числа /(, М и
можно выбрать не зависящими от S и Т.
Лемма 4.2. Если любые два непересекающихся подмножества
последовательности {г/} имеют непересекающиеся замыкания &
9Й, то условие D.1) выполняется со значениями Ку М и В =
JI^IL» не зависящими от выбора подмножеств S и Т.
Доказательство. Можно считать, что Т = {zj}\S. Мно-
Множество 9* всех подмножеств S a {zj} компактно в топологии
произведения, в которой окрестность множества So определяется-

420 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
конечным набором индексов /ь ..., \я по правилу
Пусть /С, М и В — положительные целые числа и <&кмв— мно-
множество тех Se?, для которых условие D 1) выполняется с
данными К, М и В. Тогда {J&kmb = У и каждое множество
&кмв замкнуто в топологии У по соображениям теории нормаль-
нормальных семейств. По теореме Бэра о категории одно из &кмь со-
содержит некоторое открытое множество V(So\ /1, *••> /?)• По
определению топологии в У это означает, что после исключе-
исключения конечного набора точек г^, ..., 2/ условие D.1) будет
выполняться с К, А1 и Ву не зависящими от подмножеств 5 и 7\
Добавляя конечное число функций и{? для разделения точек
z^, ..., г/ , мы получим условие D.1) в полном объеме. ?
Мы докажем теорему 4.1, последовательно применяя лемму
3.3. После этого мы покажем, как ее можно вывести из теоремы
VIII. 6.1.
Доказательство теоремы 4.1. По лемме 4.2 после-
последовательность {Zj} является редкой, т. е. выполняется условие
C.2) с некоторым а = а(В). Задача состоит в том, чтобы вы-
вывести из D.1) условие Карлесона C.1). Пусть е = DВК)~\ а
N = iV(e), р = р(г) и р = р(е) взяты из леммы 3.3. Наша стра-
стратегия такова. Если условие C.1) нарушается, то подпоследова-
подпоследовательность Yi содержит такую точку г0, что
S |/*l/|/ol>Y>
где г = 2(?/С+1)р, а 1—у очень мало. Это значит, что для
большей части точек z,- еС9и для большого числа индексов q
реализуется условие C.9). Это противоречит лемме 4.2 при под-
подходящем выборе S и Т.
Если бы при некоторых р < 1 и?^ 2ВКр оценка
была верна для всех подпоследовательностей Yi и всех 2о^ К/,
то для всех го е Yi при каждом / было бы
S
и по лемме 3.2 мы получили бы условие C.2).
Предположим, что оценка D.2) неверна для некоторого
zq^Yi при всех д^2ВКр и р<1. Выберем подмножества
S, Г с {г;} так, чтобы zQ^T при sp < q ^ E + 1)Р> ^ ^ 0,

4. Гармоническая отделимость
421
Gq(z0)= GqdiS для четного s и Gq с: Т для нечетного s. Таким
образом, S и Т сменяют друг друга после каждых р поколений.
Условие D.1) не изменится, если переставить функции
\и\п\ ..., и{$} или индексы {1, 2, ..., К}. Поэтому мы можем
считать, что u\n)(z0} > 1, 1 ^ п ^ К. Положим v = ? w<4
Л» 1
Тогда (Ми ^ ВК и у(го)^/С. По лемме 3.3 найдутся такие
коэффициенты выпуклой комбинации Я/ ^ 0, что
Z ? VN>b
1 М)
Поскольку \v(zj)\^ BK, то отсюда следует (по неравенству
Чебышева для меры X ^Ау)> что
Тогда по C.11) найдутся qu I < q\ ^ p, и ?i с: G,,,, для кото-
которых v (г,) ^ К— 1/2 на ?i и
Ж-1I
_1 I А
Ьр 4ВК ~ °и
где Ь — постоянная из C.11). Допустим, что условие D.2) на-
нарушается при 1— р < 6i/2. Тогда найдется подмножество
F\ с Еи для которого
При z\ e F\cz S условие C.9) будет выполняться с весами kk>
отнесенными только к точкам из Gp+{ [} ... U GiP с: Ту потому
что если q\ < p, то C.8) все еще останется справедливым после
вычеркивания G{{zf)\} ... \}Gp-qi{z}). (По этой причине 2р и
появилось в D.2).)
Зафиксируем Zj&F\. Тогда z\ ^ S, и после перестановки
индексов {1, 2, ..., К) можно считать, что и\Х)(гу) < — 1. Эта
перестановка зависит от точки z-l% что не меняет дела, так как
различные точки z\ e F\ имеют непересекающиеся поколения
\JOq{Zf). ПОЛОЖИМ
14 Зак. 829

422 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Тогда ||i/|L< BK, но v'{z})> K+ 1/2. При подходящих весах
из леммы 3.3
* +-J-
и из неравенства Чебышева следует, что
Рассуждая, как и выше, с помощью C.11) мы получим qj),
Р < <7i(z/X 2p, и E{{zj)<=.Qb{Zjy для которых v'\zk)>K на
E() и
Суммируя по F\, мы найдем индекс ?2, Р <. Яъ <=. 2р, и мно-
множество E2dGqi, такие, что
и что v'(Zk)> К для каждого г^е^ (после надлежащей пе-
перестановки множества {1, ..., /С}). Теперь мы допустим, что
условие D.2) нарушается при 1—р < 62/2. Тогда получим
подмножество /^czZ^, такое, что
и что для каждого zk ^ F2
Далее, поскольку F2eiT, то для каждого Zk^F2 можно так
переставить функции {и\1\ ..., и$}, чтобы u\l)(zk)> 1- Тогда
к
v(zk) = Z и\п)(zk) > К+ I. Если условие D.2) нарушается
при достаточно малом 1 — р, то можно повторить все рассуж-
рассуждения, заменяя zq каждым г^е F% и получить множество
/ч с: GQa а Ту для которого при некотором 64 = 64F2, р)
и (после подходящей перестановки {ы^}) у(г/)>/С + 2, г/е
е /\t. Если теперь условие D.2) нарушается при всех р, близ-

4. Гармоническая отделимость 423
ких к 1, то все это можно повторить (В—1)/С раз и получить
точку Zk, в которой (после надлежащей перестановки функций
{uim}) v(zk)>BK- Это противоречие доказывает теорему. ?
Чтобы вывести теорему 4.1 из теоремы VIII. 6.1, разобьем
верхнюю половину каждого диадического квадрата Q =
= {k2~n^ x^{k+ lJ-rt, 0<*/<2-"} на 22Ы~{ малых ква-
квадратов 5/ со стороной 2-п~ы. Выберем N таким, чтобы
D.3) sup |йB)-и(о;Ж1/2
z, w
для любой гармонической функции и {г) с \u(z)\^B, где В —
постоянная из леммы 4.2.
Зафиксируем диадический квадрат Q. Первое поколение
Ol = |S|} состоит из тех малых квадратов S/с: Q, которые со-
содержат хотя бы одну точку z{f нашей последовательности и не
лежат ни под одним малым квадратом с тем же свойством. Вы-
Выберем по одной точке z^ нашей последовательности в каждом
квадратеS^ и положим F{ = {z{f}. Пусть Q}—диадический ква-
квадрат, основанием которого служит проекция квадрата 5| на ось
{у*=0}. Внутренности квадратов Qlf попарно не пересекаются.
Внутри каждого квадрата Q) выберем малые квадраты S\
таким же образом. Положим G1E^) = {S^ и
Выберем по точке 4е5? и положим F2 = {z\: S2k<==G2). Спу-
Спуская S\ на ось, образуем новые диадические квадраты Q2r Про-
Продолжая этот процесс, мы получим поколения квадратов G3,
G4, • • • и подмножеств F3, F^ ... нашей исходной последова-
последовательности {г/}.
Последовательность {г/} является редкой согласно лемме
4.2. Если Rpk — это прямоугольник со сторонами, параллель-
параллельными осям, соединяющий верхнюю сторону Q[ с верхней сто-
стороной Sg, то
так как наша последовательность редкая. Следовательно, по-
последовательность {г;} тогда и только тогда является интерполя-
интерполяционной, когда
D.4) Z Z/(Sg)<C2/(Q)
14*

424
Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
для каждого диадического квадрата Q с основанием на оси.
оо
Поскольку Zi / E/) < / (Q), то в D.4) оценке подлежит лишь
Сумма D.4) не изменится, если заменить последовательность
{г'} ее подпоследовательностью F\\JF2[) ... . Отнесем все точки
Г/
Рис. Х.4. Из теоремы VIII. 6.1 вы-
вытекает теорема 4.1.
Zj e Fp при нечетном р к множеству S, а при четном р — к мно-
множеству Т. Согласно DЛ) и D.3), найдется конечный набор огра-
ограниченных гармонических функций и{?\ для которых
при S?^Gi(S/ l). По теореме VIII. 6.1 существуют гладкие
функции Ф^Ч2)» такие, что
D.5)
D.6)
m, n
Spk,
1/2,
Q mt n
для любого квадрата Q с основанием на оси {у = 0}.
Пусть Sge=Gp, p>2. Тогда SgeGi^) при некотором
1 Пусть
с соот-
p p
pp-i, и квадрат 5? лежит ниже квадрата S/
— прямоугольник, соединяющий верхнюю сторону

5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина 425
ветствующим диадическим интервалом на нижнем основании
S/~ . Эти прямоугольники имеют непересекающиеся внутрен-
внутренности. См. рис. X. 4. Согласно D.5),
m, n Tp Tp
k h
Поскольку TPk не пересекаются, то D.4) следует из D.6). ?
Из двух приведенных доказательств теоремы 4.1 второе ка-
кажется более прозрачным, но на самом деле не ясно, какое рас-
рассуждение сильнее. Так, например, теорему 3.4, кажется, нельзя
вывести из теоремы VIII. 6.1.
5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина
Теорема 5.1. Пусть и е L°°, |и|=1 почти всюду и е > 0.
Существуют такие интерполяционные произведения Бляшке
B\(z) и B2(z)r что
\\и — В1/В2\\оо<е.
Этот результат уточняет теорему Дугласа — Рудина из
разд. V. 2. Прежде чем доказывать эту теорему, мы приведем
одно ее следствие и две нерешенные проблемы.
Следствие 5.2. Интерполяционные произведения Бляшке раз-
разделяют точки пространства максимальных идеалов Ш алгеб-
алгебры Н°°.
Доказательство. Пусть гп\Ф т2е3й. Возможны три
случая.
Случай 1. Ш\^Х, Ш2^ХУ где X = $tLoo—граница Шилова
для алгебры Я°°. По теореме 5.2 самосопряженная замкнутая
алгебра, порожденная интерполяционными произведениями
Бляшке, совпадает с L00. Следовательно, интерполяционные
произведения Бляшке разделяют точки в A" = 2KLoo.
В двух оставшихся случаях т\ <=ЭЙ\А' или пг2^Ш\Х можно
считать, что пг\^Ж\Х. Напомним обозначение G для мно-
множества всех т<=5ЭД, попадающих в замыкание какой-либо ин-
интерполяционной последовательности.
Случай 2. miGG. Тогда В(т\)=0 для некоторого интер-
интерполяционного произведения Бляшке B(z). Если и В(/п2)= 0, то
Ш\ и т2 лежат в замыкании S множества нулей функции В (г),
а тогда найдутся такие непересекающиеся подмножества Ти
Г2 с: S, что Ш\ е Ть m2^7V Произведение Бляшке с множеств

426 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
вом нулей Т\ отделяет тх от т2. (См. также конец доказатель-
доказательства теоремы 1.7.)
Случай 3. nti^XljO. Тогда т{ и т2 лежат в разных долях
Глисона, и для любого е > О найдется функция /е ^ #°°, ll/ell = l,
для которой !ъ{т\)= О и |/8(w2) | > 1 —е. Согласно следствию
V. 2.6, тогда найдется и внутренняя функция иг еЯ°° с иг(пц) =
= 0, |w8(m2)|> 1 — е. По теореме VIII.4.1 существует интерпо-
интерполяционное произведение Бляшке Bz(z)y такое, что
E.1) \Вг(г)\< 1/4, если |«в(г)|<1/4,
E.2) |w,(z)|<pf если Ве(г) = 0,
где р = р A /4)—постоянная. Далее
F.3) 6(Ве)^6о>О,
где бо не зависит от е. Сейчас мы покажем, что можно выбрать
г\(г) > 0 так, чтобы г](е)->0 при е~>0 и
E.4) |Be(z)|S*l—T|(e), если |ме(г) | > 1 —"е.
Считая E.4) доказанным, мы выберем столь малое 8, чтобы
1—л(е)^ 1/2. В силу E.1) и по теореме о короне |fie(mi)|^
^1/4, а в силу E.4) |Se(m2) | ^ 1/4. Произведение Бляшке
Be(z) интерполяционное, и оно разделяет точки т\ и тг.
Для доказательства E.4) мы используем кое-что из
разд. VIII. 3. Пусть |wt(z)|^l—е. Применяя преобразование
Мёбиуса, мы можем считать, что z = 0. Пусть
Яр = {е: inf |иеB)|<р},
м Г F)
где Г F) —сектор
.•«,-{,: !?
Положим y(e) = |ue(e'6) —«е@)|2. Тогда
2n = 1 — | ые @) t2 < 2е,
И При |«с(г)|< Р
^$ у (9) Pz (в) </9 > | ug (z) - «е @) I2
Оценка слабого типа для некасательной максимальной функции
теперь дает
E.6) |?(>К A_е__рJ •
Представим Бр как объединение непересекающихся открытых
дуг окружности, ?р = U h> и положим
Sy= {re*: бе//, 1_|//|<г< 1}.

5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина 427
Согласно E.2), нули {zn} произведения Бляшке Bt(z) лежат
в U 5/, и в силу E.3) и E.5)
Поскольку р = р A/4) фиксировано, мы заключаем, что
|Ве@)|> 1—л(е), где л(е)-^0 при е-^0. D
Проблема 5.3. Порождают ли интерполяционные произведе-
произведения Бляшке все Н°° как равномерную алгебру}
Проблема 5.4. Можно ли произвольное произведение Бляшке
равномерно приблизить интерполяционными?
Поскольку произведения Бляшке порождают #°°, то поло-
положительное решение проблемы 5.4 дает положительный ответ и
в проблеме 5.3.
Доказательство теоремы 5.1 отличается от тех построений,
с которыми мы уже имели дело.
Лемма 5.5. Пусть г > 0, б > 0, ц > 0, и пусть /ь ..., 1К —
попарно не пересекающиеся замкнутые ограниченные интер-
интервалы в R, а аи •.., ос* — вещественные числа, О < а/ < 2я. Су-
ществуют такие конечные произведения Бляшке B\(z) и B2{z)
с простыми нулями, что
E.6) ? | {х е /у: | о7 - Arg В{ (х)/В2 (х) \ > е/2} |< х\
и
E.7) 0 < Arg В, (х) /В2 (х) < в, х <? U //.
Нули {zn} произведения B\(z) или B2(z) таковы, что
E.8) p(zn,zm)^CB, пФт,
с абсолютной постоянной с и
E.9) xn=ReZn
Далее, если 0<г/<#0(е, б, Л» К)> то все нули zn можно вы-
выбрать на горизонтальной прямой уп = Im zn = f/.
Здесь Arg w означает главную ветвь аргумента, 0 ^ Arg w <
<2я.
Доказательство. Интервалы // не пересекаются, поэто-
поэтому достаточно доказать лемму для одного интервала / (с заме-
заменой ц на г}//(, е на е/2 и б на minF/tf, г/2К)). Пусть У —замк-
—замкнутый интервал; можно считать, что
/=[-Л/4, Л + л/4].
Пусть еще 0 < а < 2л.

428 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Возьмем целое число iV>0 и рассмотрим точки
([t] обозначает целую часть числа t). Пусть X = a/2nNy a
у > О—число, которое мы определим позже. В качестве нулей
X» Х« X* Х« X» X* Х« X* Х« X» X» X* X» X* X» X* X»
\
к0
Рис. X. 5, Здесь а = 2я/3. Нули В2 (г) расположены чуть правее нулей Вх {г).
для Si (г) возьмем г* = ** + /#, 0 ^ k ^ koy а в качестве нулей
для B2(z) возьмем zfk«= xk + Л + ^> 0 ^ ft ^ fe0. См. рис. Х.б.
Поскольку ko/N + X <. А, то выполняется условие E.9). По-
Положим
так что по модулю 2л
Заметим, что
так что
J (* — '
32(X) ~Lj J {x-tJ + y2 —
ft-0 xk
Поскольку промежутки интегрирования попарно не пересека-
пересекаются, то эта величина лежит в интервале @, 2я) и представ-
ко
ляет собой главную ветвь аргумента. Полагая Е = \J [xk,
мы видим, что
Arg Я, (х)/В2 (х) = 2я J Ру (х - /) Хе @ *.
Поскольку dist(?, R\/)^t|/4, to F.10) дает

5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина
429
Стало быть, условие E.7) будет выполнено, если
E.11) У
Пусть теперь / = [г|/4, А—г|/4], так что /<=/ и |/\/| = л-
Мы получим E.6), если
E.12) \a-ArgBl(x)/B2(x)\<e/2y ш/.
Возьмем в качестве первого приближения ^ — [О, х^ + 1/N] и
положим
Выбирая
E.13)
N
имеем xko + 1/ЛЛ > А — 1/N > А - х\/8 и dist (/, R \ F) > rj/8.
Тогда, как и выше,
Tl/8
так что \V(x) — а| < е/4, хе/, при
E.14) у
Но для любого х
E.15)
_af У_
я J (x-tJ-
¦dt —
_9
— Л2 -4- /y2
(x-t
ft-0
-Z
/e-0
i С i
я J (# —
ydt
(О У
P gfe (О У ,
J U - 02 + y2
где
и \ gk{t)dt = O. Следовательно,
T
—
@
tJ
у
+ У
Tdt
2 f
max
{x _ ty + ,
I

430 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Складывая эти величины, мы — ввиду монотонности ядра Пуас-
Пуассона—получим знакочередующийся ряд, так что
| V(x)-ArgBl (x)/B2(x) | < 4/Ny,
и мы получим как EЛ2), так и E.6), выбирая
E.16) Му = с5/г.
Условия E.11), E.13) и E.14) на параметры у и N совместимы
с E.16), и мы получаем E.6) и E.7) с произвольно малым у.
Наконец, из E.16)
р (Zn, Zm) ^ C6\xn — Xm\/y^Z Св, Шфп. ?
Доказательство теоремы 5.1. Вначале рассмотрим
важнейший частный случай, когда носитель функции уо== ArgM
лежите интервале (—1, 1).
Шаг 1. Положим Ло = 1, Л2 =3 1/4. Выберем попарно непе-
непересекающиеся замкнутые интервалы /[, /J>, ..., llKi и числа
<xj, ..., а^, 0 < а] < 2я, для которых
Это возможно, потому что ступенчатые функции плотны в L°°r
а любое измеримое множество можно приблизить по мере ко-
конечным объединением интервалов. По лемме 5.5 найдутся такие
конечные произведения Бляшке В\ (z) и B2(z), что
Положим
Ex = {х: | v0 (x) - Arg B{ (x)/B2 (x) | > 3e/4}.
Тогда |?i|<t)i. Кроме того, нули z}n = x]n + iy{n произведения
B\ (г) таковы, что
Выбирая достаточно малое г\2<г\\/4, мы можем взять
Нули В\{г) обладают теми же тремя свойствами.
Шаг 2. Положим
и(х)В2(х)
Выберем теперь попарно непересекающиеся замкнутые интер-
интервалы 1\, ...» /^2 и числа aj, ..., a^ так, чтобы
Ц/2/|<4|?1|<4тI

5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина
431
и чтобы
F.18)
е/8
По лемме 5.5 найдутся такие конечные произведения Бляшке
В2, (г) и В\{г)у что
E.19) | { х: | ? сфс72 (х) - Arg В\ (хIВ\ (х) | > г/2J | < т]2/2
и что
E.20) 0 < Arg В\{хIВ\{х) < е/8, х <? \JI).
Введем множество
Тогда
Е2 = [?2 П ?, П U /?1 U [?2 \ (?, П U //)] U [?, П (?, A (J /?)].
На ?", П U //. согласно E.18) и E.19),
бе
Ввиду (Б.20)Е2\и//^?р так что Е2
E.17)
| Я2 fl
по модулю 2я, за исключением множества меры ^ т]2/2. Значит^
U//)= 0.Ввиду
откуда можно заключить, что l^l^^- Нули z? = ** + *#?
произведения B]{z) (или B\{z)) таковы, что p(z?, z^)>ce,
пфт, x2n^\J I2j и что t/2 = т]3, где 0 < т]3 < тJ/4 и т]3 сколь
угодно мало.
Шаг р. По индукции мы получаем конечные произведения
Бляшке B\(z)y ..., Bi(z) и ВгОг), ..., В\ (z), для которых мно-
жество

432 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
имеет меру
E.21) |?„|<ть<4-».
Шаг индукции в точности совпадает с шагом 2, но в E.18) и
E.20) нужно писать е-2"*-1 вместо е/8, а в E.19) всегда нужно
писать е/2. На шаге р лемма 5.5 применяется с тем же е, но
<: 6 = е-2-* и у) = Цр/2.
Поскольку е на всех шагах одно и то же, нули z? = *? + ty\
произведений Вр (z) (или Bp(z)) таковы, что
<5.22) p(z?, *р)>я$, пфт,
где с не зависит от р. Далее,
<5.23) ^U/f,
где
E.24)
и
E.25)
Положим теперь
Дополнительные множители для сходимости здесь не нужны,
потому что все нули лежат в ограниченном множестве, и про-
произведения сходятся, если полное множество нулей удовлетво-
удовлетворяет условию Бляшке. Мы докажем больше: нули функции
B\(z) (и B2(z)) образуют интерполяционную последователь-
со
«ость. Рассмотрим только B\(z). Его нули — это U izp\. Это
множество редкое в силу E.22) и E.25). Пусть Q — квадрат
{а<х<а + /г, 0 <. у < h}. Можно считать, что h < r|2, потому
что урп < ti2. Выберем такое q> чтобы г\д+\ ^ h < цЯу тогда в
«силу E.25)
S Ур = 1 Л,+ ЛЮ>'
п
где Np(Q) — число точек zpn в Q. Согласно E.22) и E.25),
\К~xm\**ciei\p+v так что ввиду E.23) и E.24)
_и h)

5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина
Но так как пр ^ 4~р,
4"*
и последовательность U {^S} — интерполяционная. Итак, B\{z)
и B2(z)— интерполяционные произведения Бляшке.
Частичные произведения (в! ... В^)/(в1 ... В$) сходятся
к В\/В2 в L2(dx/(l + х2)), так что некоторая их подпоследова-
подпоследовательность сходится к В\/Вч почти всюду. Значит, ввиду E.21 )*
почти всюду
\vo(x)-ArgBl(x)/B2(x)\^e.
В общем случае положим и = и\п2У где
щ{х)=19 \х\> 1, w2(x)=l, |x|<l.
Мы уже знаем, что почти всюду
для некоторых интерполяционных произведений Бляшке Вц(г)
и Bi2(z). Испрльзуя инверсию 2->—1/г, мы получим и такие
интерполяционные произведения Бляшке ?2i(z) и B22(z), что-
почти всюду
Теорема будет доказана, если произведения Бляшке В\ =
= В\\В2\ и В2 = В\2В22 тоже окажутся интерполяционными. Для:
этого достаточно оценить снизу псевдогиперболическое расстоя-
расстояние между нулями Вц(г) и B2f{z), j= I, 2. Нули функций Ви
и Bi2 лежат в полосе {|дг|<1} на горизонтальных прямых
{у = г|р}, р = 2, 3, ... с г|р+1<г|р/4. Нули функций В2\ и В2?
лежат в области {|jc|>1} на больших окружностях, ка-
касающихся оси абсцисс в начале координат. В области {у ^ ц2}
эти окружности пересекаются с прямыми {х = ±1} в точках с
ординатами у = yQy q = 1, 2, ... . По лемме 5.5 можно сделать
У\ и Уя+х/Уя сколь угодно малыми. Выбирая их так, чтобы
=1>2
Р Ц
мы добьемся того, чтобы B{(z) и 5гB:) были интерполяцион-
интерполяционными произведениями Бляшке. D

434 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Замечания
Разделы 1 и 2 взяты у Гофмана [1967]. Дальнейшие результаты
из его статьи изложены в упр. 1—8. Лемма 3.3 принадлежит
Карлесону [1972]. Теорему 4.1 см. у Карлесона и Гарнетта
[1975], которые также рассмотрели гармоническую интерполя-
интерполяцию в R++1. Теорема 5.1 есть у Джонса [1981]. Идея следст-
следствия 5.2 принадлежит Дэви (см. Дэви, Гамелин и Гарнетт
[1973]).
Упражнения и дальнейшие результаты
1. Пусть т^ВД.
(а) Назовем точку т некасательной, если m лежит в замы-
замыкании некоторого сектора
Каждая некасательная точка лежит в замыкании некоторой
интерполяционной последовательности и, следовательно, в ана-
аналитическом круге. (Указание. Существует конечное число ин-
интерполяционных произведений Бляшке Bj(z), l^jn^N, с ну-
нулями {zjk} и число г, 0 < г< r(8(Bj)) (см. лемму 1.4), такие,
что
r^'9)c=|J {z: p(ztzik)<r).
(b) Назовем точку m орициклической, если она лежит в за-
замыкании области, которую образуют две окружности, касаю-
касающиеся Т изнутри в одной точке. Каждая орициклическая точка
лежит в замыкании интерполяционной последовательности.
(c) Пусть функция гF) непрерывна и убывает при 0^6^ 1,
г@) = 1, а у— кривая {r(Q)e™y О<0^1} с концом в точке
? = 1. Если точка теЗЙ лежит в замыкании кривой у, то m
лежит в аналитическом диске.
2. Обозначим через V круг, касающийся единичной окруж-
окружности в точке еш, а через V — его замыкание в 2Я.
(a) V не пересекается с границей Шилова X.
(b) Существуют точки m^V, не лежащие в замыкании
какой-либо интерполяционной последовательности. (Иначе V
при любом е > 0 можно было бы покрыть псевдогиперболиче-
псевдогиперболическими кругами {p(zy z;)<e}, где {г/} является конечным объ-
объединением интерполяционных последовательностей. Но это не-
несовместимо с геометрической характеристикой интерполяцион-
интерполяционных последовательностей.)
(c) Таким образом, существуют одноточечные доли Глисона,
не лежащие в границе Шилова.

Упражнения и дальнейшие результаты 435
(d) Можно обобщить часть (Ь) и упр. 1. Пусть S — произ-
произвольное подмножество круга D, a {zficzS— редкая последо-
последовательность и S cz U {г: р(г, z\) < 1/2}. В таком случае каж-
каждая точка замыкания множества 5 в 2W лежит в аналитическом
круге тогда и только тогда, когда мера X О — 1г/|N2/ карле-
сонова.
Пусть в верхней полуплоскости Qnj = {j2~n ^ х ^ (/ + 1) 2~",
2-я-1 ^ у ^ 2-*}, —оо < п < оо, —оо < / < оо. Гиперболи-
Гиперболически конгруэнтные прямоугольники Qnj образуют замощение
полуплоскости Ж.
Пусть Sc<3i?; рассмотрим последовательность {г&}> образо-
образованную центрами тех Qnj, которые пересекаются с S. Каждая
точка замыкания множества S в ЗМ лежит в аналитическом
круге тогда и только тогда, когда последовательность {zk} ин-
интерполяционная.
3. Отображение z^~Lz: D-^ЗЯ^ единственным образом про-
продолжается до непрерывного отображения L: ЗЙ-^ЗЙ^. Если
m e G, то t {т) = Lmy если же m ф. G, то L (т) (?) е=е т.
4. Обозначим через <$ш алгебру всех комплекснозначных
ограниченных непрерывных функций на Dy которые продолжа-'
ются до непрерывных функций на 501.
(a) &ш—наименьшая равномерно замкнутая алгебра, со-
содержащая Н°° и Я00.
(b) <Sfад—наименьшая равномерно замкнутая алгебра, со-
содержащая все ограниченные гармонические функции.
(c) Если /еЯ°° и aefl, то
Ал(г) = A-|г|»)»р)(г)€=ггя, п= 1,2, ... .
5. Пусть 5cD; предположим, что при некотором е, 0<е<1,
псевдогиперболическая е-окрестность {г: inf p (z> w) < е} мно-
жества 5 покрывает D. Тогда замыкание S в ЛИ содержит все
точки, не лежащие в замыкании никакой интерполяционной по-
последовательности. (Используйте тот факт, что P(m)= {m} для
таких точек.)
6. Пусть т^Ш. Вот необходимое и достаточное условие
принадлежности т замыканию какой-либо интерполяционной
последовательности: если Е, F cz D и m€=Ef\F, то р(?, F) =
= inf{pB, ш):ге?,^е^ = 0.
7. Пусть 7 — гомоморфизм алгебры Я°° в себя, т. е. ограни-
ограниченный линейный оператор из Н°° в Я°°, для которого

436 Гл X. Интерполяционные последовательности и идеалы
Существуют такое аналитическое отображение г: D-+D, т@)
= 0 и такое направление (г/) в Д что
(E.I)
Функция Tf будет непостоянна для некоторого / е Н°° тогда и
только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
(i) (zi) можно выбрать постоянным, Zi = ?, ^eD.
(ii) (zi) является поднаправлением некоторой интерполя-
интерполяционной последовательности.
Альтернатива (i) имеет место тогда и только тогда, когда
оператор Т непрерывен в слабой /Лтопологии.
Пусть H°°(V)—кольцо всех ограниченных аналитических
функций на римановой поверхности (или на аналитическом про-
пространстве) V. Если Т: HOC(D)-^HCO(V) — гомоморфизм, то су-
существуют аналитическое отображение т: V->D и направление
() в D, удовлетворяющие условию (Е.1).
8. (а) Пусть B(z) — произведение Бляшке с нулями {zn} и
Если m лежит в замыкании множества {zn}y то Lm гомеоморфно
отображает D на Р(пг) (в обычной гельфандовской тополо-
топологии ЗИ), a Lm1 = const-В.
(b) Обращаясь к верхней полуплоскости, рассмотрим дву-
двустороннюю последовательность S={zk = k-{-ii k^Z}. Это
интерполяционная последовательность, и каждая точка m e
^ S\S лежит в аналитическом круге. Назовем подпоследова-
подпоследовательность \zkt^czS тонкой, если \kn+x — &"|~>оо. Если пг ле-
лежит в замыкании тонкой подпоследовательности, то Lm — го-
гомеоморфизм.
(c) Для г* = & + /еЖ координатное отображение (на
верхнюю полуплоскость) имеет вид
Если F{z)= e2niz, то
независимо от ky а поэтому и

Упражнения и дальнейшие результаты 437
Пусть ту т' е S\S. Точки т и т! лежат в одной доле Глисона
тогда и только тогда, когда
?„(?) = !„'(СО
при некоторых ?, ^е2). А это значит, что при некотором целом
п> не зависящем от 5 и ?',
Пусть a(Zk) = Zk+u a: S-+S. Отображение а продолжается до
гомеоморфизма 5\S на себя, и т' — оп{т). Обратно, если
т' = ап(га), то
и/п'бР(т). Таким образом, точки т9 т' е S\S лежат в одной
доле Глисона тогда и только тогда, когда они лежат на одной
орбите группы *3 = {опу —оо < п <С °о}.
(d) Пусть К— минимальное замкнутое подмножество в 5\S,
инвариантное относительно группы $\ оно существует по лемме
Цорна. Если т^Ку то т лежит в замыкании множества
{a"(m)}^r Поэтому некоторое поднаправление последователь-
последовательности {Lm(n/(n + 2/))}*_, сходится к Lm@) и Lm не может быть
гомеоморфизмом. Учитывая часть (Ь), мы видим, что если т
лежит в замыкании тонкой подпоследовательности, то замыка-
замыкание {ffn(w)}rt_i содержит замкнутое собственное подмножество,
инвариантное относительно &.
См. Гофман [1967].
**9. Любое аналитическое отображение т: D->D продолжа-
продолжается до непрерывного отображения 2Я->2И по формуле
(а) Если t(m)=m для некоторой точки m<^G, то
inf p(r(z), z)s=0. Для доказательства предположим, что {z^} —
D
интерполяционная последовательность и me {zn}. При малых
е > 0 кружки Кп == /f (zrt, e) = {p(z, 2Я) < е} не пересекаются и
т не лежит в замыкании множества D\\JKn. Следовательно,
r(zn)^U Kj для бесконечно многих п% множество которых обо-
обозначим через S. При «eSh %{zn) е/С/ положим 7 (я) = /. Наша
задача — показать, что Т имеет неподвижную точку. Определим
отношение эквивалентности на 5, полагая пх ~ п?, если Тр(п\) =
— Tq(ri2) при каких-либо натуральных р и q. Заметим, что
п ~ Т{п)у если /igS и T(n)^S. Пусть п* — наименьший эле-
элемент в S, эквивалентный м. Пусть р \\ q таковы, что Тр(п) =
= Тя(п*) и р + ? принимает наименьшее возможное значение.
Обозначим через Е множество тех п е S, для которых р -\- q

438 Гл. X. Интерполяционные последовательности и идеалы
четно. Если Т не имеет в S неподвижных точек, то при neS
и r(/r)ES только один из номеров п и Т(п) лежит в Е.
Пусть В {г) — произведение Бляшке с множеством нулей S.
Тогда B(m)=Q и В — B\B2} где нули В\ образуют множество
{zn: п^Е}, а нули В2 — множество {zn: n^S\E}. Если е
мало, то предположение об отсутствии у Т неподвижных точек
ведет к противоречию.
(b) Если т имеет две неподвижные точки, лежащие в G в
разных слоях, то %{z)^z. (Используйте упражнение I.2(b).)
(c) Пусть 2ЯХ — слой Ш над Ху |Х|= 1. Отображение т имеет
неподвижную точку в G Г) ЗИх тогда и только тогда, когда в точке
X существует и равна 1 угловая производная функции т. (Об-
(Обсуждение угловых производных см. в упражнении 1.7.)
(d) т отображает границу Шилова в себя тогда и только
тогда, когда функция т(г) внутренняя. (Эти результаты при-
принадлежат Беренсу.)
10. Пусть теЗИ, /еЕ#°° и /(т) = 0. Тогда
НтA-|г|2)Пг)| = 0
в том и только том случае, когда / = f\f2y где // еЯ°°и f/(m) =
= 0. (Интересен только случай произведения Бляшке, потому
что при /I/2 e Н°° оба условия тривиально выполняются. Если
тфд, то оба условия следуют из теоремы 2.4, а при m ^ G
они означают, что (f °Lm)'@)= 0.)
11. Обозначим через Во класс всех аналитических функций
/(г) в D, удовлетворяющих условию
lim A-|
а через VMOA — класс аналитических функций вида и + v, где
и и v гармоничны в D и непрерывны в D. Буква В употреблена
в честь Блоха.
(a) VMOAcrBo.
(b) f(z)<= Н°°{\Во тогда и только тогда, когда функция {(т)
постоянна на каждой доле Глисона в 2DT\D.
Поэтому Беренс назвал этот класс СОР (constant on parts).
(c) Пусть g(z) лежит в диск-алгебре. Класс Зигмунда Л»
определяется условием
Функция g(eie) принадлежит Л* тогда и только тогда, когда
(см. Зигмунд [1968], т. 1). Аналогично g'(z)e Bo тогда и только
тогда, когда g(eid)eh*9 где класс Зигмунда X* определяется
условием

Упражнения и дальнейшие результаты 439
(d) Существует такая непрерывная возрастающая функция
FF) на [0, 2л], что F сингулярна, /?/(9)=0 почти всюду, но
Fg^ (см. Кахан [1969], Пиранян [ 1966]). Таким образом,
F(Q) == \i( [О, 9]), где [х — некоторая сингулярная мера, и вну-
внутренняя функция, определенная \х, лежит в H°°{\Bq. Следова-
Следовательно, Я°° П Во содержит бесконечные произведения Бляшке и
VMOA=7^B0. Сарасон поставил проблему характеризации про-
произведений Бляшке из Во в терминах их нулей (см. Никольский,
Хавин и Хрущев [1978]).
12. Пусть функция !P(t)^Ll(R) неотрицательна и
\ !P{t)dt= I. Пусть {г/} — последовательность точек верхней
полуплоскости; положим
(a) Предположим, что существуют вещественные функции
L™y ДЛЯ КОТОрЫХ ||«/||оо<1, Jtt/(/)^(/)*>6>0 И
\ iij{t)&k{t)dt ^ 0, кф\, где б не зависит от /. Тогда последова-
последовательность {zj} интерполяционная.
(b) Если слабое замыкание множества {9>\} в (L00)* гомео-
морфно PN (компактификации Стоуна — Чеха натурального
ряда), то последовательность {г/} интерполяционная.

ЛИТЕРАТУРА
Адамян В. М., Аров Д. 3., Крейн М. Г.
[1968*] О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Кара-
теодори — Фейера и Ф. Рисса. — Функц. анализ и прил., 1968, т. 2,
№ 1, с. 1—19.
[1968] Бесконечные ганкелевы матрицы и обобщенные задачи Каратеодо-
ри — Фейера и И. Шура. — Функц. анализ и прил., 1968, т. 2, К° 4,
с. 1—17.
[1971] Бесконечные блочно-ганкелевы матрицы и связанные с ними пробле-
проблемы продолжения. — Изв. АН Арм. ССР, Математика, 1971, т. 6,
№ 2—3, с. 87-112.
Айрапетян Г. М.
[1980*] О представлении некоторых подклассов класса #i Харди посредством
систем рациональных дробей. — Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1980,
т. 15, № 1, с 3—14.
Акслер (Axler S.)
[1977] Factorization of L°° functions. — Ann. Math., 1977, 106, 567—572.
Акслер, Берг, Джуэлл, Шилдс (Axler S., Berg I. D., Jewell N. P., Shields A.)
[1979] Approximation by compact operators and the space H°°-\-C. — Ann.
Math., 1979, 109, 601—612.
Акслер, Чачг, Сарасон (Axler S., Chang S.-Y., Sarason D.)
[1978] Products of Toeplitz operators. — Integr. Equat. Oper. Theory, 1978,
1/3, 285—309.
Александер, Тейлор, Вильяме (Alexander H., Taylor В. A., Williams D. L.)
[1971] The interpolating sets for Л00.— J. Math. Anal. AppL, 1971, 36, 556—
566.
Александров А. Б.
[1975*] Норма преобразования Гильберта в пространстве гельдеровых функ-
функций. — Функц. анализ и прил., 1975, т. 9, № 2, с. 1—4.
[1981а*] Essays on поп locally convex Hardy classes. — Lecture Notes Math.
№ 864, 1981, 1—89.
[1981b*] Об Л-интегрируемости граничных значений гармонических функций.—
Матем. заметки, 1981, т. 30, № 1, с. 59—72.
Аллен, Белна (Allen H. A., Belna С. L.)
[1972] Singular inner functions with derivatives in Bp. — Michigan Math. J.,
1972, 19, 185—188.
Альфорс (Ahlfors L V.)
[1966] Complex analysis, McGraw-Hill, New York, 1966.
[1973] Conformal invariants, Topics in geometric function theory, McGraw-
Hill, New York 1973.
Амар (Агпаг Е.)
[1973] Sur un theoreme de Mooney relatif aux fonctions analytiques bor-
nees. — Pacific J. Math., 1973, 16, 191 — 199.
[1977a] These, Fac. des Sciences d'Orsay, Univ. de Paris XI, 1977.
f 1977b] Suites d'interpolation harmoniques. — J. Analyse Math., 1977, 32, 197—
211.
Амар, Ледерер (Amar E., Lederei A.)
[1971] Points exposes de la boule unite de H™(D). — С R. Acad. Sci. Paris,
ser. A., 1971, 272, 1449—1552.
Андерсон (Anderson J. M.)

Литература 441
[1975] A note on a basis problem. — Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 51, 330—
334.
[1979] On division by inner factors. — Comment. Math. Helv., 1979, 54, 309—
317.
Андерсон, Клуни, Поммеренке (Anderson J. M., Clunie J., Pommerenke Ch.)
[1974] On Bloch functions and normal functions. — J. Reine Angew. Math.,
1974, 270, 12—37
Андо (Андо Т.)
[1977] Uniqueness of predual of #°°, preprint.
Андрианова Т. Н.
[1976*] Коэффициенты Тейлора с редкими номерами для функций, сумми-
суммируемых по площади —Записки научн. семин. ЛОМИ, 1976, т. 65,
с. 161 — 163.
Аров Д 3.
[1978*] Аппроксимационная характеристика функций класса ВП. — Функц.
анализ и прил., 1978, т. 12, № 1, с. 70—71.
Ахерн, Кларк (Ahern P. R., Clark D. N.)
[1970а] On functions orthogonal to invariant subspaces.—Acta Math., 1970,
124, 191—204.
[1970b] Radial limits and invariant subspaces. — Amer. J. Math., 1970, 92,
332—342.
[1971] Radial Nth derivatives of Blaschke products. — Math. Scand., 1971, 23,
189—201.
[1974] On inner functions with Hp derivatives. — Michigan Math. J., 1974, 21,
115—127.
[1976] On inner functions with Bp derivatives. — Michigan Math. J., 1976, 23,
107—118.
Ахиезер Н. И.
[1961*] Классическая проблема моментов. — M.: Физматгиз, 1961.
Багемил, Зейдель (Bagemihl F., Seidel W.)
[1954] Some boundary properties of analytic functions. — Math. Zeit., 1954,
61, 186-189.
Барби (Barbey K.)
[1975] Ein Satz uber abstrakte analytische Funktionen. — Arch. Math. (Basel),
1975, 26, 521—527.
Барби, Кёниг (Barbey K-, Konig H.)
[1977*] Abstract analytic function theory and Hardy algebras. — Lecture Notes
Math. № 593, 1977.
Бари Н. К.
[1961*] Тригонометрические ряды. — M.: Физматгиз, 1961.
Безикович А. С. (Besicovitch A. S.)
[1923] Sur la nature des fonctions a carre sommable mesurables. Fund.
Math., 1923, 4, 172—195.
[1926*] A general property of summable functions.— J. London Math. Soc,
1926, 1, 120—128.
Белна, Пиранян (Belna С. L., Piranian C.)
[1981] A Blaschke product with a level-set of infinite length, to be published.
Беренс (Behrens M.)
[1971] The maximal ideal space of algebras of bounded analytic functions on
infinitely connected domains. — Trans. Amer. Math. Soc. 1971 161,
358—380.
[1981] Interpolation and Gleason parts in /.-domains. — Trans. Amer. Math.
Soc, in press.
Бёрлинг (Beurling A.)
[1939*] Ensembles exceptionnels. — Acta Math., 1939, 72, 1—13.
[1949] On two problems concerning linear transformations in Hilbert space.—
Acta Math., 1949, 81, 239—255.
Бернар (Bernard A.)
15 Зак. 829

442 Литература
[1971] Algebres quotients d'algebres uniformes. — C. R. Acad. Sci. Paris,
Ser. A. 1971, 272, 1101 — 1104.
Бернар, Гарнетт, Маршалл (Bernard A., Garnett J. В., Marshall D. E.)
[1977] Algebras generated by inner functions. — J. Funct. Anal., 1977, 25,
275—285.
Бернстейн (Baernstein A.)
[1974] Integral means, univalent functions and circular symmetrization.—
Acta Math., 1974, 133, 139—169.
[1976] Univalence and bounded mean oscillation. — Michigan Math. J., 1976,
23, 217—223.
[1979] Some charp inequalities for conjugate functions. — Proc. Symp. Pure
Math., 1979, 35A), 409—416.
[1980] Analytic functions of bounded mean oscillation. — Aspects of contem-
contemporary complex analysis, Academic Press, New York 1980.
Бессага, Пелчинский (Bessaga С, Pelczynski A.)
[1960] Spaces of continuous functions (IV). —Studia Math., 1960, 19, 53—62.
Бишоп (Bishop E.)
[1959] A minimal boundary for function algebras. — Pacific J. Math., 1959, 9,
629—642. [Имеется перевод: Бишоп Е. Минимальная граница функ-
функциональных алгебр — В сб.: Некоторые вопросы теории приближе-
приближений. — М.: ИЛ, 1963, с. 101—119.]
[1962] A general Rudin — Carleson theorem. — Proc. Amer. Math. Soc, 1962,
13, 140—143.
[1963] Holomorphic completions, analytic continuations and the interpolation
of seminorms. — Ann. Math., 1963, 78, 468—500.
[1964] Representing measures for points in a uniform algebra. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1964, 70, 121—122.
[1965] Abstract dual extremal problems. — Notices Amer. Math. Soc, 1965,
12, 123.
Бишоп, Фелпс (Bishop E., Phelps R. R.)
[1961] A proof that every Banach space is subreflexive. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1961, 67, 97—98.
Бляшке (Blaschke W.)
[1915] Eine Erweiterung des Satzes von Vitali fiber Folgen analytischer Funk-
tionen. —S.-B. Sachs Akad. Wiss. Leipzig Math-Natur. Kl., 1915, 67,
194-200.
Бонд (Boyd D.)
[1979] Schur's algorithm for bounded holomorphic functions. — Bull. London
Math. Soc, 1979, 11, 145—150.
Бочкарев С. В.
[1974] Существование базиса в пространстве функций, аналитических в кру-
круге, и некоторые свойства системы Франклина. — Матем. сб., 1974,
т. 95, Ня 1, с. 3—18.
Браудер (Browder A.)
[1969] Introduction to function algebras, Benjamin, New York, 1969,
Браун (Brown L.)
[1970] Subalgebras of L°° of the circle group. — Proc Amer. Math. Soc, 1970,
25, 585-587.
Браун, Шилдс, Целлер (Brown L., Shields A., Zeller K.)
[I960] On absolutely convergent exponential sums. — Trans, Amer. Math. Soc,
1960, 96, 162—183.
Брудный Ю. A.
[1971*] Пространства, определяемые с помощью локальных приближений.
Труды Моск. Матем. об-ва, 1971, т. 24, с 69—132.
Бруна (Bruna J.)
[1980*] Les ensembles d'interpolation des Ap(D). — C. R. Acad. Sci. Paris,
Ser. A., 1980, 290, № 1, 25—27.
Буль (Boole G.)

Литература 443
[1857*] On the comparison of transcendents with certain applications to the
theory of definite integrals. — Phil. Trans. Roy Soc, 1857, 147, 754—
803..
Бургэн (Bourgain J.)
[1981*] Sur les projections dans //°° et la propriete de Grothendieck.—
С R. Acad. Sci. Paris, Ser. A., 1981, 293, № 1, 47—49.
Буркхольдер (Burkholder D. L.)
[1973] Distribution function inequalities for martingales. — Ann. Probab.,
1973, 1, 19-42.
[1976] Harmonic analysis and probability. — Studies in Harmonic Analysis,
ed. J. M. Ash, Studies in Math., 1976, 13, 136—149.
[1979] Martingale theory and harmonic analysis in Euclidean spaces. — Proc.
Symp. Pure Math., 1979, 35 B), 283—302.
Буркхольдер, Ганди (Burkholder D. L., Gundy R. F.)
[1972] Distribution function inequalities for the area integral. — Studia Math.,
1972, 44, 527—544.
Буркхольдер, Ганди, Сильверстейн (Burkholder D. L, Gundy R. F.f Silver-
stein M. L.)
[1971] A maximal function characterization of the class tfp.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1971, 157, 137—153.
Бэр (Bear H. S.)
[1970] Lecture on Gleason parts. — Lecture Notes Math № 121, 1970.
Варопулос (Varopoulos N. Th.)
[1970] Groups of continuous functions in harmonic analysis. — Acta Math.,
1970, 125, 109—154.
[1971a] Ensembles pics et ensembles d'interpolation pour les algebres unifor-
mes — С R. Acad. Sci. Paris. Ser. A., 1971, 272, 866—867.
[1971b] Sur la reunion de deux ensembles d'interpolation d'une algebre unt-
forme — С R. Acad. Sci. Paris, Ser. A., 1971, 272, 950—952.
[1971c] Un probleme d'extension lineaire dans les algebres uniformes. — Ann.
Inst. Fourier (Grenoble), 1971, 21, 263—270.
[1972] Sur un probleme d'interpolation. — C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A.,
1972, 274, 1539-1542
[1977a] BMO functions and the д equation. — Pacific J. Math., 1977,71,221—
273.
[1977b] A remark on BMO and bounded harmonic functions. — Pacific J.
Math., 1977, 73, 257—259.
[1980] A probabilistic proof of the Garnett-Jones theorem on BMO. — Pacific
J. Math.. 1980, 90, 201—221.
Васюнин В. И.
[1978*] Безусловно сходящиеся спектральные разложения и задачи интер-
интерполяции. — Труды мат. ин-та АН СССР, 1978, т. 130, с. 5—49.
Вейсс (Weiss G.)
[1979] Some problems in the theory of Hardy spaces. — Proc. Symp. Pure
Math., 1979, 35 A), 189-200.
Вермер (Wermer J.)
[1953] On algebras of continuous functions. — Proc. Amer. Math. Soc, 1953,
4, 866-869.
[19601 Dirichlet algebras. — Duke Math. J., 1960, 27, 373—382.
Г1964] Seminar uber Funktionen-Algebren.—Lecture Notes Math., № 1, 1964.
[1971] Banach algebras and several complex variables, Markham, Chicago,
1971.
Виноградов С. А.
[1970*] Интерполяционные теоремы Банаха — Рудина — Карлесона и нормы
операторов вложения для некоторых классов аналитических функ-
функций.— Записки научн. семин. ЛОМИ, 1970, т. 19, с. 6—54.
[1976а*] Базисы из показательных функций и свободная интерполяция в ба-
банаховых пространствах с //-нормой, — Записки научн. семин. ЛОМИ,
1976, т. 65, с. 17-68.
16*

444 Литература
[1976b*] Свойства мультипликаторов интегралов типа Коши — Стилтьеса и
некоторые задачи факторизации аналитических функций. — Матема-
Математическое программирование и смежные вопросы. Труды Седьмой зим-
зимней школы. Дрогобыч, 1974, Теория функций и функц. анализ. — М'
ЦЭМИ АН СССР, 1976, с. 5—39.
Виноградов С. А., Горин Е. А., Хрущев С. В.
[1981*] Свободная интерполяция в Я°° по П. Джонсу. — Записки научн се-
мин. ЛОМИ, 1981, т. 113, с. 212—214.
Виноградов С. А., Рукшин С. Е.
[1982*] О свободной интерполяции ростков аналитических функций в про-
пространствах Харди. — Записки научн. семин. ЛОМИ, 1982, т. 107,
с. 36—45.
Виноградов С. А., Хавин В. П.
[1974] Свободная интерполяция в Н°° и в некоторых других классах функ-
функций. I. — Записки научн. семин. ЛОМИ, 1974, т. 47, с. 15—54.
[1976*] Свободная интерполяция в Я00 и в некоторых других классах функ-
функций. II.— Записки научн. семин. ЛОМИ, 1976, т. 56, с. 12—58.
Виноградов С. А., Хрущев С. В.
[1981*] Free interpolation in the space of uniformly convergent Taylor se-
series. — Lecture Notes Math. № 864, 1981, 169—213.
Войтащик (Wojtaszczyk P.)
[1979*] On weakly compact operators from some uniform algebras. — Studia
Math., 1979, 64, № 2, 105—116.
Волф (Wolff T.)
[1979] Some theorems on vanishing mean oscillation. — Thesis, Univ. Cali-
California, Berkeley, 1979.
[1980] Устное сообщение.
Гамелин (Gamelin Т. W.)
[1964] Restrictions of subspaces of С (X). —Trans. Amer. Math. Soc, 1964,
112, 278—286.
[1969] Uniform algebras, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1969.
[Имеется перевод: Гамелин Т. Равномерные алгебры. — М.: Мир,
1973.]
[1970] Localization of the corona problem. — Pacific J. Math., 1970, 34, 73—
81.
[1972] Lectures on H°°(D), Univ. Nacional de la Plata, Argentine, 1972.
[1973] Extremal problems in arbitrary domains. — Michigan Math. J., 1973,
20, 3—11.
[19741 The Silov boundary of H"(U). — Amer. J. Math., 1974, 94, 79—103.
[1979] Uniform a4gebras and Jensen measures. — London Math. Soc. Lecture
notes № 32, 1979.
[1980] Wolff's proof of the corona theorem. — Isr. J. Math. 1980, v. 37,
№ 1—2, p. 113—120.
Гамелин, Гарнетт (Gamelin T W., Garnett J. B.)
[1970] Distinguished homomorphisms and fiber algebras. — Amer. J. Math.,
1970, 92, 455—474.
Гамелин, Гарнетт, Рубел, Шилдс (Gamelin Т. W., Garnett J. В., Rubel L. A.,
Shields A. L.)
[1976] On badly approximable functions.— J. Approx. Theory, 1976, 17, 280—
296.
Ганди, Виден (Gundy R. R, Wheeden R. L.)
[1974] Weighted integral inequalities for the non-tangential maximal func-
function Lusin area integral and Walsh-Paley series. — Studia Math., 1974,
49, 107—124
Гарнетт (Garnett J. B.)
[1971a] Vitushkin's localization operator. — Indiana Univ. Math. J., 1971, 20,
905—907.
[1971b] Interpolating sequences for bounded harmonic functions. — Indiana
Univ. Math. J., 1971, 21, 187—192.

Литература 445
[1977] Two remarks on interpolation by bounded analytic functions. — Lecture
Notes Math. № 604, 1977.
[1978] Harmonic interpolating sequences, IP and BMO. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble), 1978, 28, 215-228.
Гарнетт, Джонс (Garnett J. В., Jones P. W.)
[1978] The distance in BMO to L-. —Ann. Math., 1978, 108, 373—393.
Гарнетт, Лэттер (Garnett J В., Latter R. H.)
[1978] The atomic decomposition for Hardy spaces in several complex variab-
variables. - Duke Math. J., 1978, 45, 815—845.
Гарсиа (Garsia A.)
[1970] Topics in almost everywhere convergence, Markham, Chicago, 1970.
[1971] A presentation of Fefferman theorem, unpublished.
[1973] Martingale inequalities. Benjamin, New York, 1973.
Геринг (Gehring F. W.)
[1973] The IP integrability of the partial derivatives of a quasiconformal
mapping. — Acta Math., 1973, 130, 265—277.
Гинзбург Ю. П., Талюш Н. А.
[1973*] Матричный аналог теоремы Хейнса и типичная спектральная струк-
структура сжатий. — Функц. анализ и прил., 1973, т. 7, № 1, с. 66—67.
Гликсберг (Glicksberg I.)
[1962] Measures orthogonal to algebras and sets of antisymmetry. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1962, 105, 415—435.
[1967] The abstract F. Riesz and M. Riesz theorem. — J. Funct. Anal. 1967,
1, 109—122.
Голузин Г. М.
[1966] Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.:
Наука, 1966.
Гофман (Hoffman К.)
[1962а] Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1962. [Имеется перевод: Гофман К- Банаховы простран-
пространства аналитических функций. — М.: ИЛ, 1963.]
[1962b] Analytic functions and logmodular Banach algebras. — Acta Math.,
1962, 108, 271—317.
[1967] Bounded analytic functions and Gleason parts. — Ann. Math., 1967,86,
74—111.
Гофман, Зингер (Hoffman К., Singer I. M.)
Г19571 Maximal subalgebras of С(Г). —Amer. J. Math., 1957, 79, 295—305.
[I960] Maximal algebras of continuous functions. — Acta Math., 1960, 103,
217—241.
Гофман, Рамсей (Hoffman К., Ramsey A.)
[1965] Algebras of bounded sequences. — Pacific J. Math., 1965, 5, 1239—
1248.
Гофман, Росси (Hoffman К., Rossi H.)
[1967] Extensions of positive weak ""-continuous functional. — Duke Math. J.,
1967, 34, 453—466.
Гренандер, Розенблатт (Grenander U., Rosenblatt M,)
[1957] Statistical analysis of stationary time series, Wiley, New York, 1957.
Гротендик (Grothendieck A.)
[1955] Une caracterisation vectorielle-metrique des espaces D. — Canad. J.
Math., 1955, 7, 552—561.
Дальберг (Dahlberg B. J. E.)
[1980] Approximation of harmonic functions. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble).
1980, 30, № 2, 97—107.
Данжуа (Denjoy A.)
[1929] Sur une classe de fonctions analytiques. — С R. Acad. Sci. Paris,
Ser. А.—В., 1929, 188, 140, 1084.
Данфорд, Шварц (Dunford N., Schwartz J.)
[1958] Linear operators, part I, Miley (Interscience); New York, 1958. [Име-

446 Литература
ется перевод: Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая
теория. — М.: ИЛ, 1962.]
Дельбэн (Delbaen F.)
[1979*] The Pelczynski property for some uniform algebras. — Studia Math.,
1979, 64, № 2, 117—125.
де Леу, Рудин (de Leeuw KM Rudin W.)
[1958] Extreme points and extreme problems in Hi.— Pacific J. Math., 1958,
8, 467—435.
Дервиз А. О., Хавин В. П.
[1983*] Задача Дирихле и свободная интерполяция. — Вестник ЛГУ, сер. ма-
тем., мех., астр., 1983, № 7.
Джерисон (Jerison D.)
[1976] Sur un theoreme d'interplation de R. Nevanlinna. — C. R. Acad. Sci.
Paris, Ser. A., 1976, 282, 1291—1293.
Джон, Ниренберг (John F., Nirenberg L.)
[1961] On functions of bounded mean oscillation. — Comm. Pure Appl. Math,
1961, 14, 415—426.
Джонс (Jones P. W.)
[1979a] A complete bounded complex submanifold of C3. — Proc. Amer. Math,
Soc, 1979, 76, 305—306.
[1979b] Constructions for BMO (Rn) and Ap(Rn). — Proc. Symp. Pure Math.,
1979, 35A), 409—416.
11979c] Extension theorems for BMO. — Indiana Univ. Mat. J., 1979, 29,
41-66.
[1980a] Bounded holomorphic functions with all level sets of infinite length.—
Michigan Math. J., 1980, 27, 75—79.
[1980b] Carleson measures and the Fefferman — Stein decomposition of
BMO(R). — Ann. Math. 1980, 111, 197—208.
[1980c] Factorization of Ap weights.— Ann. Math., 1980, 111, 511—530.
[1980d] Estimates for the corona problem. —J. Funct. Anal., 1980, 39, 162—
181.
[1981] Ratios of interpolating Blaschke products. — Pactific J. Math. 1981,95,
№ 2, 311-321.
Джрбашян М. M.
[1978*] Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной
интерполяционной задачи в классах Н*> в полуплоскости. — Изв. АН
СССР, сер. матем., 1978, т. 43, № 6, с. 1322—1384.
Джуэлл (Jewell N.)
[1976] Continuity of derivations and uniform algebras on odd spheres. — The-
Thesis, Univ.-Edinburgh, 1976.
Диксмье (Dixmier J.)
[1951] Sur certains espaces consideres par M. H. Stone. — Summa Brasil
Math., 1951, 2, 151-82.
Дим, Маккии (Dym H., McKean H. P.)
[1976] Gaussian processes, function theory and te inverse spectral problem.—
Academic Press, New York, 1976.
Донохыо (Donoghue W. F.)
[1974] Monotone matrix functions and analytic continuation. — Springer-Ver-
lag, Berlin and New York, 1974.
Досс (Doss R.)
[1981*] Elementary proof of the Rudin-Carleson and F. and M. Riesz theo-
theorems. — Proc. Amer. Math. Soc, 1981, 82, № 4, 599—602.
Доусон (Dawson D. W.)
[1975] Subalgebras of tf°°.— Thesis. Indiana Univ., 1975.
Друри (Drury S.)
[1970] Sur les ensembles de Sidon. — С R. Acad. Sci. Paris, Ser. A., 1970,
271, 162—163.
Дуглас (Douglas R. G.)

Литература 447
[1969] On the spectrum of Toeplitz and Wiener-Hopf operators. — «Abstract
Spaces and Approximation theory», Birkhauser, Basel, 1969, 53—66.
[1972] Banach algebra techniques in operator theory. — Academic Press, New
York, 1972.
Дуглас, Рудин (Douglas R. G., Rudin W.)
[1969] Approximation by inner functions. — Pacific J. Math., 1969, 31, 313—
320.
Дуглас, Шапиро, Шилдс (Douglas R. G., Shapiro H. S., Shields A. L.)
[1970] Cyclic vectors and invariant subspaces for the backward shift opera-
operator.—Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1970, 20, 1, 37—76.
Дынькин Е M.
[1979*] Множества свободной интерполяции для классов Гельдера. — Матем.
сб., 1979, т. 109 A51), № 1, с. 107—128.
Дыиькин Е. М., Осиленкер Б. П.
[1983*] Весовые оценки сингулярных интегралов и некоторые их приложе-
приложения.— Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 21. — М.:
ВИНИТИ, 1983.
Дьюрен (Duren P. L.)
[1970] Theory of Ир spaces, Academic Press, New York, 1970.
Дьюрен, Ромберг, Шилдс (Duren P. L., Romberg B. W., Shields A. L.)
[1969] Linear functionals on № spaces with 0<p< 1. —J. Reine Angew.
Math., 1969, 238, 32—60.
Дьюрен, Шапиро, Шилдс (Duren P. L., Shapiro H. S., Shields A. L )
[1966] Singular measures and domains not of Smirnov type.— Duke Math. J:,
1966, 33, 247—254.
Дэви (Davie A. M.)
[1972] Linear extension operators for spaces and algebras of functions.—
Amer. J. Math., 1972, 94, 156—172.
Дэви, Гамелин, Гарнетт (Dayie A. M., Gamelin T. W., Garnett J. B.)
[1976] On Kolmogorov's inequalities || f ||p < Cp \\ / j|b 0 < p < 1. — Trans.
Math. Soc, 1973, 175, 37—68.
Дэвис (Davis B. J.)
[1974] On the weak type A,1) inequality for conjugate function. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1974, 44, 307—311.
[1934] On the distribution of values of bounded analytic functions. — Trans.
Amer Math. Soc, 1976, 222, 179—192.
Жюлиа (Julia G.)
[19201 Extension d'un lemma de Schwartz. — Acta Math., 1920, 42, 349—355.
[1935*] Геометрические принципы анализа. — M.: ОНТИ, 1935.
Зеидель (Seidel W.)
[1934] On the distribution of values of bounded analytic functions.—Trans.
Amer. Math. Soc, 1934,36, 201-226.
Зигмунд (Zvgrriiind A.)
[1929] Sur les fonctions conjugees. — Fund. Math., 1929, 13, 284—303.
[1955] Trigonometrical series. — Dover, New York, 1955.
[1968] Trigonometric series 2nd ed. — Cambridge Univ. Press, London and
New York 1968. [Имеется перевод: Зигмунд А. Тригонометрические
ряды.—М.: Мир, 1965.]
Зискинд (Ziskind S.)
[1976] Interpolating sequences and the Shilov boundary of H°°(?s)— J. Funct.
Anal, 1976, 21, 380—388.
Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А.
[1970*] Гауссовские случайные процессы. — М.: Наука, 1970.
йенсен (Jensen J. L. W. V.)
[1899] Sur un nouvel et important theoreme de la theorie des fonctions.—
Acta Math., 1899, 22, 219—251.
[1906] Sur les fonctions convexes et ies inegalites entre les vaieurs moyen-
nes—Acta Math., 1906, 30, 175—193.

448 Литература
Кальдерон (Calderon A. P.)
[1950а] On theorems of M. Riesz and Zygmund. — Proc. Amer. Math. Soc,
1950, 1, 533—535.
[1950b] On the behavior of harmonic functions near the boundary. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1950, 68, 47—54,
Кальдерон, Зигмунд (Calderon A. P., Zygmund A.)
[1952] On the existence of certain singular integrals. — Acta Math., 1952, 88,
85—139.
[1956] On singular integrals. — Amer. J. Math., 1956, 78, 249—271.
Кампанато (Campanato S.)
[1963] Propreita de holderianita di alcune classi di funzioni. — Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa, 1963, CI7, 175—188.
Кантор (Cantor D. G.)
f 1981] Устное сообщение.
Каратеодори (Caratheodory С.)
[1911] Uber den Variabilitatsbejeich der Fourier'schen Konstanten von positi-
ven harmonischen Funktionen. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 1911, 32,
193—217.
[1929] Ober die Winkelderivierten von beschrankten analytischen Funktio-
Funktionen. — Sitz. Preuss. Akad. Phys.-Math., 1929, 4, 1—18.
[1954] Theory of functions of a complex variable, vols. 1, 2. — Chelsea, New
York, 1954.
Карго (Cargo G. T.)
[1962] Angular and tangential limits of Blaschke products and their succes
sive derivatives. — Canad. J. Math., 1962, 14, 334—348.
Карлесон (Carleson L.)
[1962] Sets of uniqueness for functions analytic in the unit disc. — Acta
Math., 1952, 87, 325-345.
[1957] Representations of continuous functions. — Math. Zeit., 1957, 66, 447—
451.
[1958] An interpolation problem for bounded analytic functions. — Amer. J.
Math., 1958, 80, 921—930.
[1962a] Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem.—
Ann. Math., 1962, 76, 547—559.
[1962b] Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem.—
Proc. Int. Congr. Math Stockholm, 1962, 314—316.
[1967] Selected problems on exceptional sets. — Van Nostrand-Reinhold, Prin-
Princeton, New Jersey, 1967. [Имеется перевод: Карлесон Л., Избранные
проблемы теории исключительных множеств. — М.: Мир, 1971.]
[1970] The corona theorem. — Lect. Notes Math. № 118, 1970.
[1972] A moment problem and harmonic interpolation, preprint.
[1976] Two remarks on Hl and BMO. — Adv. Math., 1976, 22, 269—277.
Карлесон, Гарнетт (Carleson L., Garnett J. B.)
[1975] Interpolating sequences and separation properties. — J. Analyse Math.,
1975, 28, 273—299.
Карлесон, Якобе (Carleson L., Jacobs S.)
[1972] Best approximation by analytic functions. — Arkiv Mat., 1972, 10,
219-229.
Кахан (Kahane J.-P.)
[1967] Another theorem on bounded analytic functions. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1967, 18, 818—826.
[1969] Trois notes sur les ensembles parfaits lineaires. — Enseign. Math., 1969,
15, 185—192.
[19741 Best approximation in V(T).~ Bull. Amer. Math. Soc, 1974, 80, 788—
804.
Кахан, Салем (Kahane J. P., Salem R.)
[1963*] Ensembles parfaits et series trigonometriques. — Hermann, Paris, 1963.
Кацнельсон (Katznelson Y.)

Литература 449
[1968] An introduction to harmonic analysis, Wiley, New York, 1968.
Келлегер, Тейлор (Kellelier J. J.< Taylor B. A.)
[1971] Finitely generated ideals in rings of analytic functions. — Math. Ann.,
1971, 193, 225—237.
К.елли (Kelley J. L.)
[1955] General topology, Van Nostrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1955.
[Имеется перевод: Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука,
1968 и 1982.]
Керр-Лоусон (Kerr-Lawson A.)
[1965] A filter description of the homomorphisms of H°°.~ Canad. J. Math.,
1965, 17, 734—757.
[1969] Some lemmas on interpolating Blaschke products and a correction.—
Canad. J. Math., 1969, 21, 531—534.
Кёниг (Konig H.)
[1969] On the Gleason and Harnack metrics for uniform algebras. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1969, 22, 100—101.
Кларк (Clark D. N.)
[1968a] Hankel forms, Toeplitz forms and meromorphic functions. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1968, 134, 109—116.
[1968b] On the spectra of bounded hermitian Hankel matrices. — Amer. J.
Math., 1968, 90, 627-656.
[1968c] On matrices associated with generalized interpolation problems. — Pa-
Pacific J. Math., 1968, 27, 241—253.
[1970] On interpolating sequences and the theory of Hankel and Toeplitz
matrices.— J. Func. Anal., 1970, 5, 247—258.
Когрэн, Шилдс (Caughran J. G., Shields A. L.)
[1969] Singular inner factors of analytic functions. — Michigan Math. J.,
1969, 16, 409—410.
Койфман (Coifman R. R.)
[1974] A real variable characterization of #". — Studia Math., 1974, 51, 269—
274.
Койфман, Вейсс (Coifman R. R., Weiss G.)
[1971] Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homoge-
nes. —Lecture Notes Math., № 242, 1971.
[1977] Extensions of Hardy spaces and their uses in analysis. — Bull. Amer.
Math., Soc, 1977, 83, 569—646.
Койфман, Мейер (Coifman R. R., Meyer Y.)
[1975] On commutators of singular integrals and bilinear singular inte-
integrals. — Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 212, 315—331.
Койфман, Рохберг (Coifman R. R., Rochberg R.)
[1980] Another characterization of BMO. — Proc Amer. Math. Soc, 1980, 79,
249-254.
Койфман, Рохберг, Вейсс (Coifman R. R., Rochberg R., Weiss G.)
[1970] Factorization theorems for Hardy spaces in several complex vari-
variables.—Ann. Math., 1976, 103, 611—635.
Койфман, Фефферман (Coifman R. R., Fefferman Ch.)
[1974] Weighted norm inequalities for maximal functions and singular inte-
integrals. — Studia Math., 1974, 51, 241—250.
Коллингвуд, Ловатер (Collingwood E. F., Lohwater A. J.)
[1966] The theory of cluster sets, Cambridge Univ. Press, London, 1966.
[Имеется перевод: Коллингвуд Э.( Ловатер А. Теория предельных
множеств. — М.: Мир, 1971.]
Колмогоров А. Н.
[1925] Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier.-^
Fund. Math., 1925, 7, 24—29.
[1941] Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве.—
Бюлл. МГУ, т. 2, № 6.
Кордоба, Фефферман (Cordoba A., Fefferman Ch.)

450 Литература
[1976] A weighted norm inequality for singular integrals. — Studia Math
1976, 57, 97-101.
Коточигов А. М.
[1972*] Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до гра-
границы.— Записки научн. семин. ЛОМИ, 1972, т. 30, с. 167—169
Коэн (Cohen P. J.)
[1961] A note on constructive methods in Banach algebras. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1961, 12, 159—163.
Крейн М. Г., Нудельман А. А.
[1973*] Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. — М : Наука
1973.
Кусис (Koosis P.)
[1971] Weighted quadratic means of Hilbert transforms. — Duke Math J
1971, 38, 609-634.
[1973] Moyennes quadratiques de transformers de Hilbert et fonctions de type
exponentiel. — С R. Acad. Sci. Paris, 1973, ser. A., 276, 1201 — 1204.
[1978] Sommabilite de la fonction maximale et appartenance a H{. — C. R
Acad. Sci. Paris, ser. A., 1978, 286, 1041 — 1043.
[1979] Sommabilite de la fonction maximale et appartenance a H\. — Cas de
plusieurs variables. — C. R. Acad. Sci. Paris, 1979, ser. A., 288, 489—
492.
[1980] Lectures on Hp spaces. Lond. Math. Soc. Lect. Notes Series, № 40,
Cambridge Univ. Press, London, 1980. [Готовится русский перевод в
издательстве «Мир».]
Кшиштоф (Krzysztof R.)
[1982*] Corona theorem for sequences of functions on a finitelyconnected do-
domains. — Bull. Acad. Polon. Sci., ser. sci. math., 1982, 30. 1—2,
59-61.
Ландау (Landau E.)
[1913] Abschatzung der Koeffizientensumme einer Potenzreihe. — Arch. Math.
Phys., 1913, 21, 42—50, 250—255.
[1916] Darsteilung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktio-
nentheorie, Berlin, 1916, Chelsea, New York, 1946.
Ландкоф H. C.
[1966*] Основы современной теории потенциала. — М.: Наука, 1966.
Левинсон (Levinson N.)
[1940*] Gap and density theorems. — Amer. Math. Soc. Coll. Pub!., 1940, v. 26.
Линделёф (Lindelof E.)
[1915] Sur un principe generate de 1'analyse et ces applications a la theorie
de la representation conforme. — Acta Soc. Sci. Fenn., 1915, 46, № 4.
Литтлвуд (Littlewood J. E.)
[1929] On functions subbarmonic in a circle, II.—Proc. London Maht. Soc,
1929, 28, 383—394.
Литтлвуд, Пэли (Littlewood J. E., Paley R. E. A. C.)
[1931] Theorems on Fourier series and power series. — J. London Math. Soc,
1931, 6, 230—233; 42, 52—89; 43, 105—126.
Лузин Н. H.
[1951*] Интеграл и тригонометрический ряд — М.: ГИТТЛ, 1951.
Люкинг (Luecking D.)
[19801 The compact Hankel operators form an M-ideal in the space of Hankel
operators. -Proc Amer. Math. Soc, 1980, 79, 222—224.
Люмер (Lumer G.)
[1965] Analytic functions and the Dirichlet problem. — Bull. Amer. Math. Soc,
1965, 70, 98—104.
[1969] Algebres de fonctions et espaces de Hardy. — Lect. Notes. Math.,
№ 75, 1969.
Люмис (Loomis L. H.)
[1946] A note on the Hilbert transform. — Bull. Amer. Math. Soc, 1946, 52,
1082—1086.

Литература 451
Лэттер (Latter R. H.)
[1978] A decomposition of tfp(R") in terms of atoms. — Studia Math., 1978,
62, 92—101
Макенхаупт (Muckenhoupt B.)
[1972] Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1972, 165, 207—226.
[1974] The equivalence of two conditions for weighted functions. — Studia
math., 1974, 49, 101 — 106.
[1979] Weighted norm inequalities for classical operators. — Proc. Symp. Pure
Math., 1979, 35A), 69—84.
Макенхаупт, Виден (Muckenhoupt В., Wheeden R L.)
[1974] Weighted norm inequalities for fractional integrals. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1974, 192, 261-274.
Макинтайр, Рогозинекий (Macintyre A. J., Rogosinski W. W.)
[1950] Extremum problems in the theory of analytic functions. — Acta Math.,
1950, 82, 275—325.
Марден (Marden M.)
[1966] Geometry of polynomials. — Amer. Math. Soc, Surveys, 1966, № 3.
Маркушевич А. И.
[1967*] Теория аналитических функций, т. 1 и 2. — М.: Наука, 1967.
Мартиросян В. М.
[1981*] Эффективное решение задачи кратной интерполяции в Н°° с пример
нением метода биортогонализации М. М. Джрбашяна. — Изв. АН
Арм. ССР, Сер. мат., 1981, т. 16, № 5, с. 339—357.
Маршалл (Marshall D. Е.)
[1974] An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem.—
Michigan Math. J., 1974, 21, 219—233.
[1976a] Blaschke products generate H°°. — Bull. Amer. Math. Soc, 1976, 82,
494-496.
[1976Ы Subalgebras of L°° containing #«\ — Acta Math., 1976, 137, 91—98.
[1976c] Approximation and interpolation by inner functions. — Thesis, Univ. of
California, Los Angeles, 1976.
Маршалл, Стрэй, Сандберг (Marshall D. E., Stray A., Sundberg G.)
[1982*] Nondiscrinrnating sets for H00. — Proc. Amer. Math. Soc, 1982, 86,
№ 2, 267—273.
Мейерс (Meyers N. G.)
[1964] Mean oscillation over cubes and Holder continuity. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1964, 15, 717—721.
Мергелян С. Н.
[1951*] Об одном инеграле, связанном с аналитическими функциями. — Изв.
АН СССР, сер. матем., 1951, № 4, с 395—400.
Муни (Mooney M. С.)
[1973] A theorem on bounded analytic functions. — Pacific J. Math., 1973, 43,
457—463.
Натцич (Natzitz B.)
[1970] A note on interpolation. — Proc Amer. Math. Soc, 1970, 25, 918.
Неванлинна Р. (Nevanlinna R.)
[1919] Ober beschrankte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebe-
ne Werte annehmen. — Ann. Acad. Sci. Fenn, ser. A, 1919, 13, № 1.
[1929] Ober bf>srhrankte analystiche Funktionen.—Ann. Acad. Sci. Fenn., 1929,
32, № 7.
[1953] Eindeutige analytische Funktionen, Springer-Verlag, Berlin and New
York, 1953. [Имеется перевод 1-го издания: Неванлинна Р. Одно-
Однозначные аналитические функции. — М.: ГИТТЛ, 1941.]
Неванлинна Ф., Неванлинна P. (Nevanlinna F., Nevanlinna R.)
[1922] Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singu-
laren Stelle oder Linie. — Acta Soc Sci. Fenn., 1922, 50, № 5.
Негрепонтис (Negrepontis S.)

452 Литература
[1967] On a theorem of Hoffman and Ramsey. — Pacific J. Math., 1967, 20,
281—282.
Нери (Neri U.)
[1977] Some properties of functions with bounded mean oscillation. — Studia
Math., 1977, 61, 63—75.
Никольский Н. К.
[1974*] Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функ-
функций. -Итоги науки, Матем. анализ. 12. — М.: ВИНИТИ, 1974.
11980*] Лекции об операторе сдвига.— М.: Наука, 1980.
1984*J Treatise on the shift operator. Spectral function theory. — Springer,
Berlin and New York, 1984.
Никольский Н. К., Павлов Б. С, Хрущев С. В.
[1981*] Unconditional bases of exponentials and reproducing Kernels. Lecture
Notes Math. № 864, 1981, 214—335.
Никольский Н. К., Хавин В. П , Хрущев С. В (ред.)
[1978] 99 нерешенных задач линейного и комплексного анализа. — Записки
научн. семин. ЛОМИ, 1978, 81. [Имеется расширенное издание: Li-
Linear and Cmplex Analysis Problem Book. — Lecture Notes Math.,
Kb 1043, 1984.]
Нойвирт, Ньюмен (Neuwirth J., Newman D. J.)
[1967] Positive #1/2 functions are constant. — Proc. Amer. Math. Soc, 1967,
18, 958.
Носиро (Noshiro K.)
[1960] Cluster sets, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1960. [Имеется
перевод: Носиро К., Предельные множества. — М.: ИЛ, 1963.]
Ньюмен (Newman D. J.)
[1959а] Interpolation in #~. — Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 92, 501—507.
[1959b] Some remarks on the maximal ideal space structure of #°°. — Ann.
Math., 1959, 70, 438-445.
Оберлин (Oberlin D. M.)
[1980*] A Rudin-Carleson theorem for uniformly convergent Taylor series. —
Michigan Math. J., 1980, 27, № 3, 309—313.
Оцука (Ohtsuka M.)
[1954] Note on functions bounded and analytic in the unit circle. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1954, 5, 533—535.
Парро (Parreau M.)
[1951] Sur les tnoyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la
classification des surfaces de Riemann — Ann. Inst. Fourier (Grenoble)»
1951, 3, 103—197.
Пеллер В. В., Хрущев С В.
[1982*] Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гаус-
совские процессы. — Успехи матем. наук, 1982, т. 37, № 1, с. 53—124.
Пелчинский (Pelczynski A.)
[1964а*] On simultaneous extension of continuous functions. — Studia Math.,
1964, 24, 285—304.
[1964b] Supplement to my paper on simultaneous extension of continuous func-
functions. — Studia Math., 1964, 25, 157—161.
[1977] Banach spaces of analytic functions and absolutely summing operators,
Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1977.
Петерсеи (Petersen К. Е.)
[1977] Brownian motion, Hardy spaces and bounded mean oscillation, Lond.
Math. Soc. Lect. Notes, 28, Cambridge Univ. Press, 1977.
Пик (Pick G.)
[1916] Uber die BeschrSnkungen analytischer Funktionen, welche durch vorge-
gebene Funktionswerte bewirkt werden —Math. Ann., 1916, 77, 7—23.
Пикоридес (Pichorides S. K.)
[1972] On the best values of constants in the theorems of M. R^z, Zygmund
and Kolmogorov. — Studia Math., 1972, 44, 165—179.

Литература 453
Пиранян (Piranian G.)
[1966] Two monotonic, singular, uniformly almost smooth functions. — Duke
Math. J., 1966, 33, 255—262.
Пиранян, Вейцмаи (Piranian G., Weitsman A.)
[1978] Level sets of infinite length. — Comment. Math. Helv., 1978, 53, 161 —
164.
Пиранян, Шилдс, Уэллс (Piranian G., Shields A. L., Wells I. H.)
[1967] Bounded analytic functions and absolutely continuous measures.—
Proc Arner. Math. Soc, 1967, 18, 818--826.
Плеснер А. И.
[1927] Cber das Verhalten analytischer Funktionen am Rande ihres Defini-
tionsbereichs. — J. Reine Angew. Math., 1927, 158, 219—227.
Поллард (Pollard S.)
[1927*] Extension to Steiltjes integral of a theorem due to Plessner. — J. Lon-
London Math. Soc, 1927, 2, 37—41.
Поллард, Янг P. (Pollard S., Young R. C)
ь
[1928*] On the integral [ dF (t\ . - Proc. London Math. Soc, 1928, BJ8,
J x — f
293—300.
Поммеренке (Pommerenke Ch.)
[1970] On Bloch functions. — J. London Math. Soc, 1970, B) 2, 689—695.
[1977] ScMichte Funktionen und analytische Funktionen beschrankter mittle-
rer Oszillation. — Comment. Math. Helv., 1977, 52, 591—602.
[1978] On univalent functions, Bloch functions and VMOA. — Math. Ann.,
1978, 236, 199—208
Пореда (Poreda S. I.)
[1972] A characterization of badly approximable functions. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1982, 169, 249—256.
Привалов И. И.
[1916] Sur les fonctions conjuguces. — Bull. Soc Math. France, 1916, 44,
100-103.
[1919] Интеграл Cauchy, Саратовский ун-т, Саратов, 1919.
[1950] Граничные свойства аналитических функций. — М.: ГИТТЛ, 1950.
Протас (Protas D.)
[1973] Blaschke products with derivative in H? and Bp. — Michigan Math. J.,
1973, 20, 393—396.
Пэли (Paley R. E. A. C.)
[1933] On the lacunary coefficients of power series. — Ann. Math., 1933, 34,
615-616.
Pao (Rao К V. R.)
[1967] On a generalized corona problem. — J. Analyse Math., 1967, 18, 277—
278.
Рисе М. (Riesz M.)
[1924] Les fonctions conjuguees ct les series de Fourier. — C. R. Acad. ScL
Paris, Ser. А—В., 1924, 178, 1464—1467.
[1927] Sur les fonctions conjuguees. — Math Zeit., 1927, 27, 218—244.
Рисе Ф. (Riesz F.)
[1920] Ober Potenzreihen mit vorgeschrieben Anfangsglieder. - Acta Math.,
1920, 42, 147—171.
[1923] Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. — Math. Zeit., 1923,
18, 87—95.
[1926] Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du poten-
tiel. I. —Acta Math., 1926, 48, 329—343.
[1930] Ibid., II. — Acta Math., 1930, 54, 321—360.
Рисе Ф., Рисе M. (Riesz F., Riesz M.)
[1916] Ober Randwerte einer analytischen Funktion. — Quatrieme Congres
des Math. Scarid., Stockholm, 1916, 27—44.

454 Литература
Рогозинский, Шапиро (Rogosinski W W., Shapiro H. S.)
[1953] On certain extremum problems for analytic functions. — Acta Math.,
1953, 90, 287—318.
Розенблюм (Rosenblum M.)
[1980] A corona theorem for countably many functions. — Integral equat.
oper. theory, 1980, 3, № 1, 125—137.
Розэй (Rosay J. P.)
[1968] Sur un probleme pose par W. Rudin. — C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A.,
1968, 267, 922—925.
Ройден (Royden H.)
[1962] The boundary values of analytic and harmonic functions. — Math. Zeit.,
1962, 78, 1—24.
[1965] Algebras of bounded analytic functions on Riemann surf aces. — Acta
Math., 1965, 144, 113-141.
Рубел, Шилдс (Rubel L. A., Shields A. L.)
[1966] The space of bounded analytic functions on a region.— Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 1966, 16, № 1, 235—277.
Рудин (Rudin W.)
[1955a] Analytic functions of class Hp. — Trans. Amer. Math. Soc, 1955, 78,
46—56.
[1955b] The radial variation of analytic functions. — Duke Math. J., 1955, 22,
235-242.
[1956] Boundary values of continuous analytic functions.—Proc. Amer. Math.
Soc, 1956, 7, 808—811.
[1967] A generalization of a theorem of Frostman. — Math. Scand. 1967, 21,
136-143
[1969] Convex combinations of unimodular functions. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1969, 75, 795—797.
[1974a] Real and complex analysis, McGraw-Hill, New York, 1974.
[1974b*] Теория функций в поликруге. — М.: Мир, 1974.
Сайн (Sine R.)
[1967] On a paper of Phelps. — Proc. Amer. Math. Soc, 1967, 18, 484—486.
Сакс С.
[1949*] Теория интеграла. — M.: ИЛ, 1949.
Сандберг (Sundberg С.)
[1982*] A constructive proof of the Chang-Marshall theorem. — J. Funct. Anal.,
1982, 46, № 2, 239—245.
Сарасон (Sarason D.)
[1967] Generalized interpolation in #°°. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 127,
179—203. ¦
[1972] Approximation of piecewise continuous functions by quotients of boun-
bounded analytic functions. — Canad. J. Math., 1972, 24, 642—657.
[1973] Algebras of functions on the unit circle. — Bull. Amer. Math Soc.
1973, 79, 286—299.
[1975] Functions of vanishing mean oscillation. — Trans. Amer. Math. Soc,
1975, 207, 391—405.
[1976] Algebras between L°° and /Z~. — Lect. Notes Math. № 512, 1976, 117—
129.
[1979] Function theory on the unit circle, Virginia Poly. Inst. State Univ.,
Virginia, 1979.
Cere (Szego G.)
[1920] Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen, I.— Math. Zeit., 1920,
6, 167-202.
[1921] Ober die Randwerte einer analytischen Funktion. — Math. Ann., 1921,
84, 232—244.
Секефальви-Надь, Кораньи (Cz.-Nagy В., Koranyi A.)
[1956] Relations d'un probleme de Nevanlinna et Pick avec la theorie des
operateurs de l'espace Hilbertien. — Acta Math. Acad. Sci. Hungar.,
1956, 7, 295-303.

Литература 455
Сидней, Стаут (Sidney S. J., Stout E. L.)
[1968] A note on interpolation. — Ргос. Amer. Math. Soc, 1968, 19, 380—382.
Смирнов В. И.
[1929] Sur les valeurs limites des fonctions, regulieres a Tinterieur d'un
cercle. — Ж. Ленингр. физ.-мат. об-ва, 1929, 2:2, с. 22—37.
[1933] Ober die Randerzuordnung bei konformer Abbildung. — Math. Ann.,
1933, 107, 313—323.
Сомадаса (Somadasa H.)
[1966] Blaschke products with zero tangential limits. — J. London Math. Soc,
1966, 41, 293—303.
Санне (Spanne S.)
[1966] Sur Interpolation entre les espaces «2^* ф,—Ann. Scunola Norm. Super.
Pisa, 1966, CJ0, 625—648.
Сринивасан, Ванг (Srinivasan Т., Wang J.-K.)
[1965] On closed ideals of analytic functions. — Proc Amer. Math. Soc, 1965,
16, 49—52.
Стаут (Stout E. L.)
[1971] The theory of uniform algebras, Bogden and Quigley, Belmont, 1971.
Стегенга (Stegenga D. A.)
[1976] Bounded Toeplitz operators on tf1 and applications of the duality
between H* and the functions of bounded mean oscillation. — Amer.
J. Math., 1976, 98, 573—589.
[1979] A geometric condition which implies BMOA. — Proc. Symp. Pure Math.,
1979, 35A), 427—430.
Стейн E. M. (Stein E. M.)
[1967] Singular integrals, harmonic functions and differentiability properties
of functions of several variables. — Proc. Symp. Pure Math., 1967, 10,
316—335.
[1969] Note on the class L log L — Studia Math., 1969, 31, 305—310.
[1970] Singular integrals and differentiability properties of functions, Prince-
Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1970. [Имеется перевод:
Стейн Е. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций. — М.: Мир, 1973.]
Стейн Е. М., Вейсс (Stein E. M., Weiss G.)
[1959] An extension of a theorem of Marcinkiewicz and some of its applica-
applications.—J. Math. Mech., 1959, 8, 263—284.
[1960] On the theory of harmonic functions of several variables. — Acta Math.,
1960, 103, 26—62.
[1971] Introduction to Fourier analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ.
Press, Princeton, New Jersey, 1971. [Имеется перевод: Стейн Е. М.,
Вейсс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых простран-
пространствах. — М.: Мир, 1974.]
Стейн П. (Stein P.)
[1933] On a theorem of M. Riesz. — J. London Math. Soc, 1933, 8, 242—247.
Стремберг (Stromberg J.-O.)
[1976] Bounded mean oscillation with Orlicz norms and duality of Hardy
spaces. — Bull. Amer. Math. Soc, 1976, 82, 953—955.
[1979] Bounded mean oscillation with Orlicz norms and duality of Hardy
spaces. — Indiana Univ. Math. J., 1979, 28, 511—544.
Стрэй, Эйма (Stray A., 0yma K.)
[1978*] On interpolating functions with minimal norm. — Proc Amer. Math
Soc, 1978, 68, № 1, 75-78.
Тейлор, Вильяме (Taylor В. A., Williams D. L.)
[19701 The peak sets of Am. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 24, 604—606.
[1971] Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc, — Michigan
Math. J, 1971, 18, 129—139.
Теплиц (Toeplitz O.)

456 Литература
[1911] Ober die Fouriersche Entwicklung positiver Funktionen.— Rend. Circ.
Mat. Palermo, 1911, 32, 191 — 192.
Толоконников В. А.
[1980*] Оценки в теореме Карлесона о короне и конечнопорожденные идеалы
алгебры И°°. — Функц. анализ и прил., 1980, т. 14, № 4, с. 85—86.
[1981*] Оценки в теореме Карлесона о короне. Идеалы алгебры #~, задача
Секефальви-Надя. — Записки научн. семнн. ЛОМИ, 1981, т. 113,
с. 178—198.
[1982*] Свободная интерполяция гармонических функций аналитическими.—
Записки научн. семин. ЛОМИ, 1982, т. 107, с. 209—212.
[1983а*] Интерполяционные произведения Бляшке и идеалы в Н°°. — Записки
научн семин. ЛОМИ, 1983, т. 126, с. 196—201.
[1983b*] Теорема о короне в подалгебрах алгебры Н°°, в печати.
Тумаркин Г. Ц.
[1966*] Описание класса функций, допускающих приближение дробями с
фиксированными полюсами. — Изв. АН Арм. ССР, Сер. матем., 1966,
т. 1, № 2, с. 89—105.
Уолш (Walsh J. L)
[1960] Interpolation and approximation by rational functions in the complex
domain, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1960. [Имеется перевод:
Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функ-
функциями в комплексной области. — М.: ИЛ, 1961.]
Утияма (Uchiyama A.)
[1981*] Corona theorems for countably many functions and estimates for their
solutions. — Univ. California, preprint, 1981.
[1982] The construction of certain BMO functions and the corona problem.—
Pacific J. Math, 1982, 99, N 1, 183—204.
Фату (Fatou P.)
[1906] Series trigonometriques et series de Taylor. — Acta Math., 1906, 30,
335—400.
Фелпс (Phelps R. R.)
[1965] Extreme points in function algebras. — Duke Math. J., 1965, 32, 267—
277.
Фефферман (Fefferman Ch.)
[1971] Characterizations of bounded mean oscillation. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1971, 77, 587—588.
[1974] Harmonic analysis and Hp spaces. — Studies in Harm. Analysis,
Ash J. M., ed., Studies in Math.,1974, 13, 38—75.
Фефферман, Стейн (Fefferman Ch., Stein E. M.)
[1972] Hp spaces of several variables. — Acta Math., 1972, 129, 137—193.
Фишер (Fisher S.)
[1968] The convex hull of the finite Blaschke products. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1968, 74, 1128-1129.
[1969a] Another theorem on convex combinations of unimodular functions.—
Bull. Amer. Math. Soc, 1969, 75, 1037—1039.
[1969b] Exposed points in spaces of bounded analytic functions. — Duke Math.
J., 1969, 36, 479-484.
[1971] Approximation by unimodular functions. — Canad. J. Math., 1971, 23,
257—296.
Фолланд, Стенн (Folland G. В., Stein E. M.)
[1982*] Hardy spaces on homogeneous groups, Princeton Univ. Press, Prince-
Princeton, New Jersey, 1982.
Форелли (Forelli F.)
[1963a] The Marcel Riesz theorem on conjugate functions. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1963, 106, 369—390.
[1963b] Analytic measures. — Pacific J. Math., 1963, 13, 571—578.
П964] The isometrics of tf". — Canad. J. Math., 1964, 16, 721—728.
[1966*] Bounded holomorphic functions and projections. — Illinois J. Math.,

Литература 457
1966, 10, 367—380.
Фростман (Frostman О.)
[1935] Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles asec quelques applica-
applications a la theorie des fonctions. — Medd. Lunds. Univ. Mat. Sem., 1935,
3, 1 — 118.
Фурнье (Fournier J.)
[1974] An interpolation problem for coefficients of H°° functions. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1974, 42, 402—408.
Хавин В. П.
[1973] Слабая полнота пространства Ll/#o- —Вестник ЛГУ, сер. матем.,
1973, т. 13, с. 77—81.
[1974] Пространства И°° и Ll/HlQ.— Записки научн. семин. ЛОМИ, 1974,
т. 39, с. 120—148.
Хавинсон С. Я.
[1949] Об одной экстремальной проблеме в теории аналитических функ-
функции. — Успехи матем. наук, 1949, т. 4, № 4, с. 158—159.
[1951] О некоторых экстремальных проблемах в теории аналитических функ-
функций.—Уч. зап. МГУ, Матем., 1951, т. 148, № 4, с. 133—143.
[1955*] Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических функ-
функций в конечносвязиых областях. — Матем. сб., 1955, т. 36, с. 3, 445—
478.
[1963*] Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функ-
функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области. —
Успехи матем. наук, 1963, т. 18, № 2, с. 25—98.
[1965*] Аналитические функции ограниченного вида. — Итоги науки. Матем.
анализ, 1963. — М.: ВИНИТИ, 1965, с. 5—80.
[1981*] Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитиче-
аналитических функций и их различных обобщений. — М.: МИСИ, 1981.
Халл (Hall Т.)
[1937] Sur la mesure harmonique de certains ensembles. — Ark. Mat. Astr.
Fys., 1937, 25A, 28.
Хант, Макенхаупт, Виден (Hunt R., Muckenhoupt В., Wheeden R. L.)
[1973] Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert
transform.— Trans. Amer Math. Soc, 1973, 176, 227—251.
Харди, Литтлвуд (Hardy G. H., Littlewood J. E.)
[1927] Some new properties of Fourier constants. — Math. Ann., 1927 97,
159—209.
[1930] A maximal theorem with function-theoretic applications. — Acta Math
1930, 54, 81 — 116.
[1932] Some properties of conjugate functions. — J. Reine Angew. Math. 1932
167, 405—423.
[1936] Some more theorems concerning Fourier series and Fourier power se-
series. - Duke Math. J., 1936, 2, 354-382.
Хартман (Hartman P.)
[1958] On completely continuous Hankel matrices. — Proc. Amer. Math Soc
1958, 9, 862—866.
Хейман (Hayrnan W. K.)
[1974] On a theorem of Tord Hall.— Duke Math. J., 1974, 41, 25—26.
Хейман, Кеннеди (Hayman W. K-, Kennedy P. L.)
[1976] Subharmonic functions, Academic Press, New York, 1976. [Имеется пе-
перевод: Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир
1980.]
Хейман, Поммер'..;ке (Hayman W. К., Pommerenke Ch.)
[1978] On analytic functions of bounded mean oscillation. — Bull. London
Math. Soc, 1978, 10, 219-224.
Хейнс (Heins M.)
[1955*] On the Lindelof principle.— Ann. Math., 1955, 61, № 3, 440—473.

458 Литература
Хелсон (Helson H.)
[1964] Lectures on invariant subspaces, Academic Press, New York, 1964.
Хелсон, Сарасон (Helson H., Sarason D.)
[1967] Past and future. — Math. Scand., 1967, 21, 5—16.
Хелсон, Cere (Helson H., Szego G.)
[19601 A problem in prediction theory. — Ann. Mat. Рига Appl., 1960, 51,
107-138.
Херд, Уэллс (Heard E. A., Wells J. H.)
[1969] An interpolation problem for subalgebras of H°°. — Pacific J. Math.,
1969, 28, 543—553.
Хёрмандер (Hormander L.)
[1966] An introduction to complex analysis in several variables, Van Nos-
trand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1966. [Имеется перевод: Хер-
мандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных пе-
переменных. — М.: Мир, 1968.]
[1967а] Generators for some rings of analytic functions. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1967, 73, 943—949.
[1967b] Lp estimates for (pluri—) subharmonic functions. — Math. Scand.,
1967, 20, 65—78.
Хрущев С. В.
[1977a*] Энтропийный смысл суммируемости логарифма. — Записки научн. се-
мин. ЛОМИ, 1977, т. 73, с. 152—187.
[1977b*] Sets of uniqueness for the Gevrey classes. — Arkiv Mat. 1977, 15, №2,
253—304.
[1978*] Проблема одновременной аппроксимации и стирание особенностей
интегралов типа Коши. — Труды матем. ин-та АН СССР, 1978, т. 130,
с. 124—195.
Цудзи (Tsuji M.)
[1959] Potential theory in modern function theory, Maruzen, Tokyo, 1959.
Чаиг (Chang S.-Y.)
[1976] A characterization of Douglas subalgebras. — Acta Math., 1976, 137,
81—89.
[1977a] Structure of subalgebras between L°° and H°°. — Trans. Amer. Math.
Soc, 1977, 227, 319—332.
[1977b] On the structure and characterization of some Douglas subalgebras.—
Amer. J. Math., 1977, 99, 530—578.
Чанг, Гарнетт (Chang S.-Y., Garnett J. B.)
[1978] Analyticity of functions and subalgebras of L°° containing tf°°.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1978, 72, 41—46.
Чанг, Маршалл (Chang S.-Y., Marshall D. E.)
[1977] Some algebras of bounded analytic functions containing the disc al-
algebra. — Lect. Notes Math. № 604, 1977, 12—20.
Чима, Петерсен (Cima J. A., Petersen К. Е.)
[19761 Some analytic functions whose boundary values have bounded mean
oscillation. —Math. Zeit., 1976, 147, 237—247.
Чима, Шобер (Cima J. A., Schober G.)
[1976] Analytic functions with bounded mean oscillation and logarithms of
^-functions. — Math. Zeit., 1976, 151, 295—300.
Шамоян Ф. A.
[1976*] Теоремы вложения, связанные с задачей кратной интерполяции в про-
пространствах Н". — Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1976, т. 11, № 2,
с. 124—131.
[1981*] Приложения интегральных представлений Джрбашяна к некоторым
задачам анализа. — Докл АН СССР, 1981, т. 261, № 3, с. 557—561.
Шапиро (Shapiro H. S.)
[1968] Generalized analytic continuation. — «Symp. Teoretical Phys. Math.»,
vol. 8, Plenum Press, New York, 1968.
[1971*] Topics in approximation theory. — Lect Notes Math. № 187, 1971.

Литература 459
Шапиро, Шилдс (Shapiro H. S., Shields A. L.)
[1961] On some interpolation problems for analytic functions. — Amer. J.
Math., 1961, 83, 513—532.
Шарк (Schark I. J.)
[1961] The maximal ideals In an algebra of bounded analytic functions,—
J. Math Mech., 1961, 10, 735—746.
Широков Н. A.
f 1981a] О модуле граничных значений аналитических функций класса Л*. —
Записки научн. семин. ЛОМИ, 1981, т. 113, с. 258—260.
[1981b*] Division and multiplication by inner functions in spaces of analytic
functions smooth up to the boundary. — Lect. Notes Math. № 864,
1981, 413—480.
[1982*] Свободная интерполяция в пространствах CJ? w. — Матем. сб., 1982,
т. 117, № 3, с. 337—358.
Шома (Chaumat J.)
[1978] Quelques proprietes du couple d'espaces vcctoriels (Ll(m)IH°°^-t H°°).—
preprint, Univ. Paris —Sud, 1978.
Шур (Schur I.)
[1917] Ober Potenzreihen die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind.—
J. Reine Angew. Math., 1917, 147, 205—232.
[1918] Ibid, II. —J. Reine Angew. Math., 1918. 148, 122—145.
Эйма @yma K.)
[1977] Extremal interpolatory functions in H°°. — Proc. Amer. Math. Soo.,
1977, 64, 272—276.
Эксендаль @ksendal В. К.)
[1971] A short proof of the F. and M. Riesz theorem. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1971, 30, 204.
Эрл (Earl J. P.)
[1970] On the interpolation of bounded sequences by bounded functions.—
J. London Math. Soc, 1970, BJ, 544—548.
[1976] A note on bounded interpolation in the unit disk. — J. London Math
Soc, 1976, BI3, 419—423.
Янг П. (Yang P.)
[1977] Curvature of complex manifolds.— Proc. Symp. Pure Math., 1977,
30B), 135-137.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамян В. М. 154, 159, 175, 176, 440
Айрапетян Г. М. 311, 440
Акслер (Axler S.) 390, 392, 440
Александер (Alexander H.) 131, 440
Александров А. Б. 127, 128, 140
Аллен (Allen H. А.) 440
Альфорс (Ahlfors L. V.) 46, 48, 98,
194, 440
Амар (Amar E.) 207, 214, 222, 310,
440
Андерсон (Anderson J. М.) 281, 440,
441
Андо (Ando Т.) 214, 441
Ацлрианова Т. Н. 272, 441
Арене (Arens R.) 220
Аров Д. 3. 154, 155, 175—176, 219,
440, 441
Ахерн (Ahem P. R.) 441
Ахиезер Н. И. 48, 176, 441
Багемил (Bagemihl F.) 100, 441
Барби (Barbey К.) 128, 213, 214, 441
Бари Н. К. 128, 441
Безикович А. С. (Besicovitch A. S.)
127, 128, 441
Белна (Belna С. L.) 367, 440, 441
Берг (Berg I. D.) 392, 440
Беренс (Behrens M.) 364, 438, 441
Бёрлинг A. (Beurling A.) 93, 131, 441
Бёрлинг П. (Beurling P.) 310
Бернар (Bernard АО 196, 197, 207,
213, 310, 441, 442
Бернстейн (Baernstein A.) 128, 267,
268, 280, 442
Бессага (Bessaga С.) 212, 442
Бишоп (Bishop E.) 130, 217, 219, 222.
242
Бляшке (Blaschke W.) 93, 442
Бонд (Boyd D.) 182, 442
Бохнер (Bochner S.) 93
Бочкарев С. В. 442
Браудер (Browder A.) 183, 213. 442
Браун (Brown L.) 314, 442
Брудный Ю. А. 266, 442
Бруна (Bruna J.) 311, 442
Буль (Boole G.) 128, 442
Бургэн (Bourgain J.) 214, 443
Буркхольдер (Burkholder D. L.) 120,
128, 267, 443
Бэр (Bear H. S.) 51, 443
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin Ch. Т.)
55
Ванг (Wang T.-K.) 455
Варопулос (Varopoulos N. Th.) 10,
267, 275, 304, 310, 362, 443
Васюнин В. И. 311, 363, 443
Вейсс (Weiss G.) 8, 49, 127, 129, 132,
268, 277, 282, 350, 443, 449, 455
Вейцман (Weitsman A.) 367, 453
Вермер (Wermer J.) 216, 443
Виден (Wheeden R. L.) 267, 279. 444,
451, 457
Вильяме (Williams D. L.) 131, 440,
455
Винер (Wiener N.) 214
Виноградов С. А. 42, 53, 128, 130,
239, 272, 289, 310, 311, 314, 413
Войтащик (Wojtaszczyk P.) 214, 444
Волф (Wolff T.) 316, 322, 325, 327,
361, 192, 444
Гамелин (Gamelin T. W.) 10, 128,
131, 178, 183, 207, 213, 218, 327,
362, 334, 366, 395, 434, 444, 447
Ганди (Gundy R. F.) 120, 128, 267,
443, 444
Гарнетт (Garnett J. B.) 129, 178, 207,
213, 218, 267, 278, 310—313, 390,
395, 434, 442, 444, 445, 447, 448,
458
Гарсиа (Garsia A.) 49, 128, 266, 274,
445
Гельфанд И. М. 214
Геринг (Gehring F. W.) 207 -115
Гинзбург Ю. П. 93, 445
Гликсберг (Glicksberg I.) 20, 130,
220, 445
Глисон (Gleason A. M.) 310
Голузин Г. М. 92, 175, 194, 445
Горин Е. А. 314, 444
Гофман (Hoffman К.) 9, 93, 213,
216, 218, 220, 293, 314, 372, 390,
396, 398, 434, 437, 445
Гренандер (Grenander U.) 179, 445
Гротендик (Grothendieck A.) 445
Дальберг (Dahlberg В. 1 Е.)
362, 445
Данжуа (Denjoy A.) 445

Именной указатель
461
Данфорд (Dunford N.) 156, 208, 219,
445
Девис (Devis В. J.) 128, 447
Дельбэн (Delbaen F.) 214, 446
Дервиз А. О. 311, 446
Джерисон (Jarison D.) 446
Джиббонс (Gibbons G.) 10
Джон (John F.) 9, 266, 446
Джонс (Jones P. W.) 10, 267, 273,
277, 279, 310, 314, 354, 362, 364,
367, 396, 434, 445, 446
Джрбашян М. М. 311, 446
Джуэлл (Jewell N. Р.) 392, 395, 440,
446
Диксмье (Dixmier J.) 446
Дим (Dym H.) 176, 446
Донохью (Donoghue W. F.) 48, 446
Досс (Doss R.) 130, 446
Доусон (Dawson D. W.) 358, 446
Дрейсин (Drasin D.) 10
Друри (Drury S.) 310, 446
Дуглас (Douglas R. G.) 213, 219,
369, 390, 446, 447
Дынькин Е. ДА. 130, 268, 311, 447
Дьюрен (Duren P. L.) 9, 93, 97, 128,
175, 281, 310, 382, 447
Дэви (Davie A. M.) 178, 310, 327,
395, 434, 447
Жюлиа (Julia G.) 48, 51, 53, 447
Зейдель (Seidel W.) 93, 100, 441, 447
Зигмунд (Zygmund A.) 36, 49, 93,
100, 127, 128, 132, 267, 281, 299,
447, 448
Зингер (Singer I. M.) 216, 272, 390,
445
Зискинд (Ziskind S.) 333, 362, 447
Ибрагимов И. А. 176, 447
Пенсен (Jensen J. L. W. V.) 71, 447
Кальдерон (Caldertfn A. P.) 128, 135,
267, 385, 448
Кампанато (Campanato S.) 266, 448
Кантор (Cantor D. G.) 48, 448
Каратеодори (Caratheodory C.) 48,
50, 51, 98, 448
Карбери (Carbery A.) 10
Карго (Cargo G. T.) 448
Карлесон (Carleson L.) 8—10, 42,
49, 85, 101, 128, 130, 131, 175, 178,
271, 310, 311, 316, 338, 361, 362,
434, 448
Кахан (Kahane J.-P.) 131, 175, 214,
281, 439, 448
Кацнельсон (Katzneson Y.) 128, 448
Кей (Kay L.) 10
Келлегер (Kelleher J. J.) 449
Келли (Kelley J. L.) 213, 449
Кёниг (Konig H.) 51, 128, 213, 441,
449
Кеннеди (Kennedy P. L.) 49, 457
Керр-Лоусон (Kerr-Lawson A.) 449
Кларк (Clark D. N.) 441, 449
Клуни (Clunie J.) 281, 441
Когрэн (Caughran J. G.) 449
Койфман (Goifman R. R.) 129, 267,
268, 273, 277, 278, 280, 281, 449
Коллингвуд (Collingwood E. F.) 88,
93, 449
Колмогоров А. Н. 127, 128, 132, 179,
449
Кораньи (Koranyi A.) 48, 454
Кордоба (Cordob.a A.) 280, 449
Коточигов А. М 311, 450
Коул (Cole B.) 128
Коэн (Cohen P. J.) 216, 450
Кранц (Krantz S.) 10
Крейн М. Г. 48, 154, 159, 175, 176,
440, 450
Кусис (Koosis P.) 9, 10, 101, 120,
128, 129, 163, 180, 450
Кшиштоф (Krzysztof R:) 363, 450
Ландау (Landau E.) 175. 178, 450
Ландкоф Н. С 85, 450
Левинсон (Levinson N.) 128, 450
Ледерер (Lederer A.) 207, 214, 222,
440
де Леу (de Leeuw K.) 159, 175, 178,
180, 181, 446
Линделеф (Lindelof E.) 97, 450
Литтлвуд (Littlewood J. E.) 8, 49,
93, 96, 98, 103, 179, 450, 457
Ловатер (Lohwater A. J.) 88, 93, 449
Лузин Н. H. 128, 450
Лэттер (Latter R. H.) 10, 128, 273,
445, 451
Люкинг (Luecking D.) 392, 450
Люмер (Lumer G.) 213, 214, 391, 450
Люмис (Loomis L. H.) 128, 450
Макенхаупт (Muckenhoupt B.) 253,
267, 279, 451, 457
Макинтайр (Macintyre A. J.) 175, 451
Маккин (McKean H. P.) 176, 446
Марден (Marden M.) 451
Маркушевич А. И. 98, 451
Мартиросян В. М. 311, 451
Маршалл (Marshall D.) 10, 48, 183
193, 207, 213, 218, 311, 362, 369'
375, 390, 394, 395, 442, 451, 458
Мейер (Meyer Y.) 449

462
Именной указатель
Мейерс (Mayers N. G.) 26, 451
Мергелян С. Н. 272, 451
Миллс (Mills W.) 402
Муни (Mooney M. С.) 208, 214, 451
Натцич (Natzitz В.) 451
Нафталевич А. Г. 311
Неванлинна P. (Nevanlinna R.) 48,
50, 85, 103, 163, 166, 173, 175, 451
Неванлинна Ф. (Nevanlinna F.) 103,
451
Негрепонтис (Negrepotis S.) 451
Нери (Neri U.) 452
Никольский Н. К. 8, 42, 48, 93, 176,
219, 239, 267, 281, 289, 291, 311,
363, 364, 391, 439, 452
Ниренберг (Nirenberg L.) 9, 266, 446
Нойвирт (Neuwirth J.) 101, 452
Носиро (Noshiro К.) 88, 93, 452
Нудельман А. А. 48, 176, 450
Ньюмен (Newman D. J.) 101, 195,
213, 333, 452
Оберлин (Oberlin D. М.) 130, 452
Осиленкер Б. П. 268, 447
Оуэне (Owens R.) 10
Оцука (Otsuka M.) 452
Павлов Б. С. 176, 311, 452
Парро (Parrean M.) 92, 452
Пеллер В. В. 176, 272, 452
Пелчинский (Pelczynski A.) 130, 212,
214, 442, 452
Перрон ((Perron О.) 46
Петерсен (Petersen К. Е.) 280, 452,
458
Пик (Pick G.) 11, IB, 48, 452
Пикоридес (Pichorides S. К.) 128, 452
Пиранян (Piranian G.) 281, 367, 439,
441, 453
Плеснер А. И. 100, 453
Поллард (Pollard S.) 128, 453
Поммеренке (Pommerenke Ch.) 280,
283, 441, 453, 457
Пореда (Poreda S. J.) 178, 453
Привалов И. И. 77, 92, 93, 100, 127,
385
Протас (Protas D.) 453
Пэли (Paley R. Е. А. С.) 8, 271, 453
Рамсей (Ramsey A.) 445
Pao (Rao К. V. R.) 364, 453
Реметч Д. (Remetch D.) 10
Реметч С. (Remetch S.) 10
Рисе М. (Riesz M.) 93, 99, 107, 127-
129, 132, 453
Рисе Ф. (Riesz F.) 56, 71, 93, 99, 106,
129, 178, 453
Рогозинский (Rogosinski W. W.) 175,
451, 454
Розанов Ю. А. 176, 447
Розенблатт (Rosenblatt M.) 179, 445
Розенблюм (Rosenblum M.) 364, 453
Розэй (Rosay J. P.) 218, 354, 454
Ройден (Royden H.) 454
Ромберг (Romberg В. W.) 97, 447
Росси (Rossi Н.) 314, 445
Рохберг (Rochberg R.) 277, 278, 280,
281, 449
Рубел (Rubel L. А.) 178, 314, 444,
454
Рудин (Rudin W.) 9, 92, 93, 130, 159,
175, 178, 180, 181, 213, 272, 446,
447, 454
Рукшин С. Е. 311, 444
Сайн (Sine R.) 454
Сакс (Saks S.) 55, 454
Салем (Salem R.) 131, 448
Сандберг (Sundberg G.) 311, 381, 451,
454
Сарасон (Sarason D.) 8, 10, 48, 101,
178, 180, 213, 267, 268, 281, 312,
369, 381, 390—392, 394, 439, 440,
454, 458
Сегё (Szego G.) 71, 93, 175, 179,454,
458
Секефальви-Надь (Sz, Nagy В.) 48,
363, 454
Сидней (Sidney S. J.) 455
Сильверстейн (Silverstein M. L.) 120,
128, 443
Смирнов В. И. 77, 92, 93, 98—100.
455
Сомадаса (Somadasa H.) 455
Спанне (Spanne S.) 236, 455
Сринивасан (Srinivasan Т.) 455
Стаут (Stout E. L.) 183, 213, 220,
455
Стегенга (Stegenga D. А.) 268, 280,
455
Стейн Е. М. (Stein E. М.) 8, 32, 49,
55, 125, 127—129, 132, 135, 266-
268, 279, 390, 455, 456
Стейн П. (Stein P.) 128, 455
Стремберг (Stromberg J.-O.) 269,
455
Стрэй (Stray A.) 311, 314, 451, 455
Талюш Н. А. 93, 455
Тейлор (Teylor В. А.) 131, 440, 449,
455
Теплиц (Toeplitz О.) 48, 455

Именной указатель
463
Толоконников В. А. 291» 311, 325,363,
364, 456
Тумаркин Г. Ц. 219, 456
Хрущев С В. 128, 130, 131, 176, 267,
272, 281, 311, 314, 363, 439, 444,
452, 458
Ульянов П. Л. 128
Уолш (Walsh J. L.) 48, 176, 456,
Утияма (Uchiyama A.) 267, 325, 364,
456
Уэллс (Wells I. H.) 453, 458
Фагарасон (Fagarason J.) 10
Фату (Fatou P.) 49, 129, 456
Фелпс (Phelps R. R.) 213, 222, 442,
456
Фефферман (Fefferman Ch.) 125, 129,
266, 271, 279, 280, 362, 449, 456
Фишер (Fischer S.) 213, 222, 390, 456
Фолланд (Folland G. В.) 268, 456
Форрелли (Forelli F.) 267, 263, 456
Фурнье (Fournier J.) 272, 457
Фразье (Frazier M.) 10
Фростман (Frostman O.) 93, 213, 457
Хавин В. П. 130, 214, 221, 222, 267,
281, 310, 311, 363, 439, 444, 446,
452, 457
Хавинсон С. Я. 92, 175, 176, 457
Халл (Hall Т.) 362, 457
Хант ((Hunt R.) 267, 279, 457
Харди (Hardy G. Н.) 9, 49, 93, 96,
98, 179, 271, 457
Хартман (Hartman P.) 457
Хейман (Heyman W.) 49, 280, 362,
457
Хейнс (Heins M.) 93, 457
Хелсон (Helson H.) 93, 101, 175, 179,
180, 213, 458
Херд (Heard E. А.) 458
Хермандер (Hormander L.) 213, 310,
362, 458
Целлер (Zeller К.) 314, 442
Цудзи (Tsuji M.) 46, 48, 49, 85, 93,
98, 100, 458
Чанг (Chang S.-Y.) 369, 376, 390, 391,
394, 440, 458
Чима (Cima Т. А.) 280, 458
Шамоян Ф. А. 311, 325, 363, 459
Шапиро (Shapiro H. S.) 175, 176,219,
282, 310, 313, 447, 454, 459
Шарк (Schark I. J.) 213, 459
Шварц (Schwartz J.) 156, 208, 219,
445
Шилдс (Shields A.) 10, 97, 219, 281,
310, 313, 314, 440, 442, 444, 447,
449, 453, 454
Шилов Г. Е. 213
Широков Н. А. 83, 130, 131, 311, 459
Шобер (Schober G.) 280, 458
Шома (Chaumat J.) 214, 458
Шур (Schur I.) 16, 48, 175, 182, 459
Эйма @yma К.) 314, 455, 459
Эксендаль @ksendal В. К.) 459
Эрл (Earl J. P.) 291, 306, 310, 459
Юнг (Young W. H.) 49
Якобе (Tacobs S.) 175, 178, 448
Янг П. (Yang P.) 273, 459
Янг P. (Young R. C.) 128, 453

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамяна — Арова — Крейнг теорема
154
параметризация 162, 163
Аналитический круг 200, 397
Аппроксимативная единица 29
Атом 273
Банаха — Алаоглу теорема 28
Банахова алгебра 183
Банахово свойство аппроксимации
214
Бёрлинга теорема 88, 149
Бляшке произведение 15, 85
бесконечное 61
интерполяционное 332, 425
конечное 15
— условие 60
Блоха класс 281, 438
Буркхольдера — Ганди — Сильве р-
стейна теорема 120
Вер мера теорема о максимальности
216, 372
Витали лемма о покрытиях 33
Внешняя функция 73, 74, 98
Внутренняя функция 81
Выметание меры 230
Выступающая точка J61, 222
Гармоническая мжоранта 46
наименьшая 46
— мера 22, 50
Гармонически интерполяционная по-
последовательность 300, 310, 417, 418
Гарнака расстояние 50
Гельфанда преобразование 185
— топология 185
Геринга лемма 259
Гильберта преобразование 109, 114,
127
— — максимальное 133
Глисона доли 397
— расстояние 50
Граница равномерной алгебры 188
— Шилова 189
для Н°° 192, 333
Двойственность экстремальных задач
136—140, 175
Джона — Ниренберга теорема 231,
266
Дирихле алгебра 202
Диск-алгебра 190
Дугласа алгебра 369, 377, 388
Дугласа — Рудина теорема 193, 197,
213, 425
Жюлиа лемма 51
Изометрия 242
Изоморфные пространства 242
Инвариантное подпространство 88
Интеграл Пуассона 20, 21, 25
Интерполяционная задача бесконеч-
бесконечная 136, 154, 191, 282
конечная 16, 48, 142
единственность 19, 142
— последовательность 191, 215, 282
Исчезающая средняя осцилляция 249
Иенсена неравенство 42, 49
Кальдерона — Зигмунда лемма 232
Каноническая факторизация 62, 80,
83, 93
Карлесона мера 40, 239, 285, 343
— норма 40, 239
— разложение для ВМО 271
— теорема вложения 41, 49, 70
об интерполяции 282, 285, 306,
310
о короне 192, 321, 361, 362
Карлесона — Якобсона теорема 143
Комплексный гомоморфизм 183
Константа интерполяции 283
Кошуля комплекс 359, 362
Крайняя точка 159
Лебеговское множество 54
Литтлвуда теорема 103
Литтлвуда — Пэли тождество 237
Логарифмическая емкость 84
Логарифмический потенциал 84
Логмодулярная алгебра 73, 202
Локально интегрируемая функция 223

Предметный указатель
465
Макенхаупта теорема 253
Максимальная теорема 32, 33, 55
— функция вертикальная 125
— — некасательная 36, 64
Харди — Литтлвуда 29, 30, 55
Марцинкевича теорема 34, 49
Мёбиуса преобразование 11
Минковского неравенство 24
Множество нулей 129
— пика 129, 207, 216
Модуль непрерывности ПО, 144
Моменты остановки 213, 233
Морера теорема 100
Мультипликативный функционал 133
Мультипликатор Фурье 112
Наибольший общий делитель 89, 90
Наилучшее приближение 139
непрерывность 143, 188
Неванлинны параметризация 163, 171
— класс 75
— теорема 154, 173, 197
Неевклидов круг 12, 13
Некасательная точка 434
Некасательно ограниченная функция
385
— плотная последовательность 314
— плотное множество 385
Некасательный предел 38, 39, 64, 385
Непрерывность по Дини НО, 14i
Неравенства для хороших X 261, 207
Обратимый элемент 183
Обратное неравенство Гёльдера 261
Ограниченная средняя осцилляция
224
Оператор сдвига 88
— слабого типа 33
— сопряжения 108
Орицикл 51, 82
Орициклическая точка 434
Ортогональная мера 204
— Харди 57, 58, 92
- BLO 279
— ВМО 223, 266
диадическое 273
эквивалентные нормы 225, 227,
237
- VMO 180, 249
Псевдогиперболическое расстояние
12, 13, 297
геодезические 14, 15, 49, 50
Пуанкаре метрика 14
Равномерная алгебра 185, 187
Разложение функций из ВМО 247,
267, 357
VMO 251
Распределения функция 29
Редкая последовательность 283
Рисса М. теорема 113, 117, 127
Рисса Ф. разложение 56
Риссов Ф. и М. . теорема 68, 70, 72,
129, 205
Свободная интерполяция 311
Сегё теорема 148
Сильная граничная точка 217
Сингулярная функция 80, 81
Слабая сходимость мер 25
— /Лтопология 25, 91
Слабое пространство IP 30
Слабый лапласиан 56
Смирнова класс 77, 78
Сопряженная функция 107. 114
максимальная 125
Спектр алгебры 185
loo 188
Я~ 92, 190
Стоуна — Чеха компактификация 187,
213
Строго логмодулярная алгебра 73
Субгармоническая функция 42
Пика теорема 15—17, 48
Плеснера теорема 100
— точка 100
Плохо приближаемая функция 178,
180
Повторяющихся значений множество
86
Поколения 296
Потенциал Грина 84, 103
Предельное множество 86
Представляющая мера 201
Пространство абстрактное 213
— максимальных идеалов см. Спектр
Теорема о скачке 94, 132
Точка пика 190
Угловая производная 51—53
Угол между подпространствами 150
Уитни разбиение 264
Уравнения Коши — Римана 316—-319,
354
Условие (Ар) 253
- (Аг) 257
- (Л,) 279
- (Лоо) 263

466
Предметный указатель
Фату теорема 38, 49, 344
— — локальная 99, 385
Феффермана теорема двойственности
241, 245, 266
Фростмана теорема 85
Халла лемма 362, 366
Ханта — Макенхаупта — Видена тео-
теорема 254
Харды неравенство 98, 217
Харди — Литтлвуда неравенство для
гармонических функций 195
Хелсона — Сегё теорема 148, 150,
152, 175, 253
Чанг — Маршалла теорема 372, 375
Чебышева неравенство 30
Шварца лемма 11, 12, 48
Шура теорема 48
Экстремально несвязное пространство
215
Ядро Пуассона 20—23
сопряженное 107, 114

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода б
Предисловие .... . . .... 8
Благодарности . . 10
Гл. I. Предварительные сведения 11
1. Лемма Шварца 11
2. Теорема Пика 15
3. Интеграл Пуассона 20
4. Максимальная функция Харди — Литтлвуда 29
5. Некасательная максимальная функция и теорема Фату . . 36
6. Субгармонические функции . 42
Замечания 48
Упражнения и дальнейшие результаты 49
Гл. II. Пространства Нр 57
1. Определения 57
2. Произведения Бляшке 60
3. Максимальные функции и граничные значения 64
J 71
фу р
4. (lM)J(log|/(Q |/A+/«))««>-оо
5
J
5. Класс Неванлинны 75
6. Внутренние функции . . . . 8j
7. Теорема Бёрлинга 88
Замечания 92
Упражнения и дальнейшие результаты ; -93
Гл. III. Сопряженные функции 107
1. Предварительные сведения 107
2. LP-теоремы .... 115
3. Сопряженные функции и максимальные фучкцин . . . .119
Замечания 127
Упражнения и дальнейшие результаты . . .... 129
Гл. IV. Некоторые экстремальные задачи .......... 136
1. Двойственные экстремальные задачи 136
2. Теорема Карлесона — Якобса 143
3. Теорема Хелсона — Сегё 148
4. Интерполирующие функции постоянного модуля . . . .153
5. Параметризация множества К 159
6. Доказательство Неванлинны 166
Замечания 175
Упражнения и дальнейшие результаты 176

468 Оглавление
Гл. V. Немного равномерной алгебры .183
1. Пространства максимальных идеалов 183
2. Внутренние функции 193
3. Аналитические круги в слоях 199
4. Представляющие меры и ортогональные меры .... 201
5. Пространство L»/tfJ . 207
Замечания .... 213
Упражнения и дальнейшие результаты 214
Гл. VI. Ограниченная средняя осцилляция 223
1. Предварительные сведения 223
2. Теорема Джона — Ниренберга 231
3. Интегралы Литтлвуда — Пэли и меры Карлесона .... 236
4. Теорема двойственности Феффермана 241
5. Исчезающая средняя осцилляция 249
6. Неравенства с весовыми нормами для максимальных и со-
сопряженных функций . . 252
Замечания ... . 266
Упражнения и дальнейшие результаты 268
Гл. VII. Интерполяционные последовательности 283
1. Теорема Карлесона об интерполяции 283
2. Линейный оператор интерполяции 292
3. Поколения 296
4. Гармоническая интерполяция 298
5. Элементарное доказательство Эрла 306
Замечания 310
Упражнения и дальнейшие результаты 311
Гл. VIII. Теорема о короне 316
1. Неоднородные уравнения Коши — Римана 315
2. Теорема о короне 321
3. Две теоремы о минимуме модуля 328
4. Интерполяционные произведения Бляшке 332
5. Конструкция Карлесона 338
6. Градиенты ограниченных гармонических функций . . . 343
7. Конструктивное решение уравнения db/dz = ц 354
Приложение. Комплекс Кошуля 359
Замечания 361
Упражнения и дальнейшие результаты 363
Гл. IX. Алгебры Дугласа 369
1. Проблема Дугласа 369
2. #~ + С 373
3. Теорема Чанг и Маршалла 375
4. Строение алгебр Дугласа 381
5. Локальная теорема Фату и ее приложение 385
Замечания 390
Упражнения и дальнейшие результаты 391

Оглавление 469
Гл. X. Интерполяционные последовательности и максимальные иде-
идеалы .396
1. Аналитические круги в SW 396
2. Теорема Гофмаиа 406
3. Приближенная зависимость между ядрами ...... 411
4. Интерполяционные последовательности и гармоническая
отделимость 418
5. Конструктивная теорема Дугласа — Рудина ...... 425
Замечания 434
Упражнения и дальнейшие результаты 434
Литература 440
Именной указатель 460
Предметный указатель 464

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2,
издательство «Мир».
Дж. Гарнетт
ОГРАНИЧЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Научный редактор Г. М. Цукерман. Мл. научный редактор Э. Г. Иванова.
Художник Г. М. Чеховский. Художественный редактор В. И. Шаповалов.
Технический редактор Г. Б. Алюлина. Корректор В. И. Киселева.
ИБ № 3445
Сдано в набор 17.10.83. Подписано к печати 24.05.84. Формат 60X90J/ie. Бумага типограф-
типографская №1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 14,75 бум. л. Уел печ. л. 29,50.
Усл. кр.-отт. 29,50. Уч.-изд. л. 26,46. Изд. № 1/2607. Тираж 4100 экз. Зак. 829. Цена 3 р. 60 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». 129820, Москва, И-UO, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Зна-
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфин
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.