П. Кусис

Введение

в теорию пространств Нр

с приложением
доказательства Волффа
теоремы о короне

London Mathematical Society Lecture Note Series 40

Introduction to Hp Spaces

With an Appendix on Wolff’s Proof of the
Corona Theorem

Paul Koosls

Professor of Mathematics
University of California, Los Angeles

Typed by Charlotte Johnson

CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
CAMBRIDGE
LONDON NEW YORK NEW ROCHELLE
MELBOURNE SYDNEY
IMO
П. Кусис

Введение
в теорию пространств Я

с приложением доказательства Волффа
теоремы о короне

Перевод с английского

В. В. ПЕЛЛЕРА и А. Г. ТУМАРКИНА

под редакцией

В. П. ХАВИНА

Москва «Мир»
1984
ББК 22.161.5

К 94
УДК 517.53

Кусис П.

К 94 Введение в теорию пространств Нр: Пер. с англ.—
М.: Мир, 1984. — 368 с., ил.

Монография профессора Калифорнийского университета охватывает щи*
рокий круг вопросов современной теории функций одной комплексной пере*
менной. Автору удалось сочетать глубину рассматриваемых результатов с
доступностью изложения. Книга содержит богатый материал, ранее не изла-
гавшийся в монографическом виде.

Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов
университетов.

К

1702050000—305
041(01)—84

23—84, ч. 1

ББК 22.161.5

517.2

Редакция литературы по математическим наукам

© Cambridge University Press, 1980

© Перевод на русский язык, с добавлениями,
«Мир», 1984
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Классом Харди Н» (0 < р < +°°) называют множество
всех функций А аналитических в единичном круге D и таких,

что

и
sup< \

Символом Я~ обозначают множество всех функций, аналити-
ческих и ограниченных в D.

В таком виде классы Харди появились и изучались в два-
дцатых и тридцатых годах в классических работах Ф. Рисса
и М. Рисса, Г. Харди и В. И. Смирнова, оставаясь поначалу
«строго внутри» теории аналитических функций. Впослед-
ствии изучение этих классов оказало существенное влияние
на теорию рядов и интегралов Фурье и на теорию сингуляр-
ных интегралов. Классы Яр оказались очень полезными в тео-
рии линейных операторов и в теории вероятностей. За послед-
ние 15 лет обнаружились новые связи классов Харди с веще-
ственным анализом. Появились их многомерные аналоги,
причём оказалось, что пространства Яр при р е (0,1)
находятся в естественной двойственности с классическими
пространствами гладких функций, а при р = 1 — со сравни-
тельно «молодым» пространством ВМО, которое играет в ана-
лизе всё более заметную роль.

Книга П. Кусиса представляет собою хорошее и доступ-
ное для начинающего введение в современную теорию клас-
сов Харди. Оставаясь неизменно «комплексной» и «одномер-
ной», она тем не менее знакомит читателя почти со всеми
существенными идеями и результатами теории. Изучив эту
книгу, можно смело приступать к чтению журнальной лите-
ратуры и более объёмистых монографий (укажем на книги
Дж. Гарнетта «Ограниченные аналитические функции» щ
Н. К. Никольского «Лекции об операторе сдвига»).

Представление о содержании книги можно получить из
авторского предисловия и оглавления. Особо отметим при-
надлежащее автору и замечательное по своей простоте дока-
зательство теоремы Вуркхолдера — Ганди — Силверстейна
(глава VIII). Это доказательство было обобщено автором
(и независимо от него А. Б. Александровым) на пространство
R". Для специалиста представит интерес также норма Гарсиа
для ВМО, изучаемая в главе X.

Книга Кусиса — это несколько расширенная и не очень
отделанная обработка лекционных записей. Автор стремится
сохранить атмосферу живой лекции. Формулы и формули-
ровки, заключённые в рамку (как на доске), многочисленные
подчёркивания, имеющие целью выделить главное, передать
интонацию, а иногда и выразить эмоции, очень свободная
манера изложения — всё это как бы переносит читателя
в аудиторию и в какой-то мере восполняет отсутствие непо-
средственного общения с лектором. Некоторая шероховатость
изложения при этом просто неизбежна, и, пожалуй, тоже
составляет одно из достоинств книги. Внимательное прочтение
такого текста позволит читателю активно овладеть предме-
том — как это всегда бывает при тщательном разборе записей
хороших лекций.

При переводе устранены некоторые неточности (в том
числе и любезно указанные автором) и несколько расширена
библиография; подчеркнём, что (как отмечает и автор) лите-
ратурные указания и библиография довольно случайны
и далеки от полноты. Главы I—V переведены А. Г. Тумар-
киным, всё остальное — В. В. Пеллером. В соответствии
с пожеланием автора к переводу добавлены два приложения,
написанные редактором.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга — запись курса лекций по элементарной теории
пространств Нр, прочитанного мной в Стокгольмском техно-
логическом институте (tekniska hogskolan) в 1977—1978 учеб-
ном году. Изложение в курсе было сосредоточено почти
исключительно на конкретных аспектах этой теории в про-
стейших случаях; более абстрактному подходу, представлен-
ному, например, в книге Гамелина, было отведено мало вре-
мени. Основная цель заключалась в том, чтобы подготовить
студентов, владеющих основами теории функций комплекс-
ной переменной и немного знакомых с функциональным ана-
лизом, к чтению современных журнальных статей о простран-
ствах Нр или статей, в которых используется теория этих
пространств. Поэтому техническим приёмам и тем идеям, ко-
торые, как мне кажется, стоят за этими приёмами, уделялось
больше внимания, чем накоплению результатов.

Тем не менее в этих лекциях о пространствах Нр в еди-
ничном круге и в верхней полуплоскости мне удалось про-
двинуться достаточно далеко, чтобы включить теорию интер-
поляции и теорию пространства ВМО, но не настолько, чтобы
включить теорему о короне. Этот пробел был, однако, воспол-
нен в добавлении к книге, что стало возможным благодаря
недавним результатам Т. Волффа. Его доказательство тео-
ремы о короне, приведённое в этом добавлении, — красивое
приложение некоторых из методов, развитых для изучения
пространства ВМО.

По поводу оригинального доказательства теоремы о ко-
роне, принадлежащего Карлесону, читатель может обратиться
к книге Дьюрена. Более свежие приложения геометрических
конструкций, использованных Карлесоном в его доказатель-
стве, (такие, как теорема Зискинда) в книгу не вошли. Не
рассматриваются и работы Дугласа, Сарасона, С.-Ю. Чанг
и Маршалла об алгебрах, лежащих между Я°° и L°°.

Время не позволило мне охватить результаты Ханта, Мак-
кенхаупта и Уидена о весовых неравенствах для оператора
гармонического сопряжения. Однако я привёл доказательстве
теоремы Хелсона — Сегё. В книге приведено и доказательстве
теоремы Маршалла (о равномерно замкнутой выпуклой обо-
лочке произведений Бляшке), хотя я не давал её в лекциях,
а изложение теоремы Линделёфа (о поведении конформного
отображения вблизи граничной точки, в которой существует
касательная) расширенно по сравнению с лекциями.

В общем же книга очень близка к прочитанным лекциям.
Стиль свободный и неформальный. В тексте нет ни точных
библиографических ссылок, ни исторических очерков в конце
глав, как того можно было бы ожидать. Приводимая библио-
графия очень неполна; её цель не в том, чтобы полностью
охватить предмет или воздать должное всем работавшим
и работающим в этой области, а в том, чтобы предложить
читателю литературу для дальнейшего чтения.

Некоторые темы, не затронутые здесь, а также различные
ответвления изложенных в книге результатов представлены
в обширной монографии Гарнетта, которая находится сейчас
в последней стадии подготовки к печати1). Эта моногра-
фия рекомендуется всем читателям, желающим двигаться
дальше.

Мне хочется поблагодарить Харольда Шапиро, Матса Эс-
сена и Магнуса Ииертза из отделения математики Сток-
гольмского технологического института за помощь в органи-
зации этого курса лекций. Я также признателен студентам
и другим моим слушателям, выдвинувшим и реализовавшим
идею расширить курс, первоначально запланированный на
один семестр, до полного учебного года. Это были: Иоккум
Анианссон, Матс Линдберг, Ларс Свенссон и Андерс Эстранд.
Бьёрн Густафссон присутствовал на большей части лекций;
также много лекций посетил д-р Стормарк. Для меня было
большой честью присутствие на всех лекциях д-ра Г. О. То-
рина. Всем им моё глубочайшее почтение и наилучшие поже-
лания.

Лос Анджелес
26 мая 1979

Она уже вышла (см, список литературы), — Прим, ред.
Глава I

Функции, гармонические в круге {|z| < 1}.
Элементарные факты

А. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ СТЕПЕННОГО РЯДА

Пусть U (г) — вещественная функция, гармоническая в
круге {|z]<R}. (Это означает, что U(z) бесконечно диффе-
ренцируема в этом круге и удовлетворяет уравнению
~дОГ "I- ~ду* ~ О’ Мы всюду записываем z = х + iy.) Тогда
можно построить другую вещественную функцию V (z), гармо-
ническую в {|г|</?}, такую что функция

F(z)=U(z) + iV(z)

является аналитической в этом круге. Такая функция V
обычно называется гармонически сопряжённой с U, а функ-
ции U (г) и V(z) — сопряжёнными гармоническими функ-
циями. Построение функции V вполне элементарно; один из
способов состоит в следующем.

Мы хотим найти функцию V, бесконечно дифференцируе-
мую в {|z| < /?}, которая вместе с U удовлетворяла бы урав-
нениям Коши — Римана	*	,

дУ ~ ди

дх ду 9 ду дх 9

d2V d2V

(Тогда мы автоматически имеем +	—0-) Из курса

анализа известно, что такая функция V может быть найдена,
если dx — dy есть полный дифференциал в {| z | < R).
тт .	dW , aw „

Но это действительно так, ведь	= 0! Опять же из

курса анализа следует, что любые две найденные нами функ-
ции V будут отличаться на константу. Обычно константа
выбирается таким образом, чтобы V (0) = 0.

Как только функция V найдена, мы получаем для |z| <
t/(z)= ReF(z),

где F(z) как аналитическая функция в {|z| < R} разлагается
ОО

в степенной ряд У, апгп, который равномерно сходится на
о

компактных подмножествах круга {|z| < /?}.
Записав z — reiQ, мы легко найдём, что

со
U(rei9) = ^АпАп'е1п\
— ОО

где

А = —а

™п — 2 Un’

Ло — Re Яо-

Лл а_ п>

п> 0,

п < 0.

Таким образом, любая функция U(z), гармоническая в круге
{ г < /?}, допускает представление в виде ряда

U(ret6) = f AnAn\eine,
— ОО

равномерно сходящегося на компактных подмножествах круга



В. ФОРМУЛА ПУАССОНА

Формулу, которую мы вывели в предыдущем пункте,
можно записать в замкнутом виде.

Если R > 1, то мы легко находим, что при г <_ 1

Л	ОО

и (ге{6) = J- ( и (е“) Е Н
J	-©о

к

Суммируя две геометрические прогрессии, получаем

У*, fl »

1 - г2

1 + г2 — 2r cos <р

при О^г < 1.

Таким образом, мы приходим к представлению Пуассона:
если t/(z)— гармоническая функция в {|z|<R}, где R > 1,
то при 0 г < 1 имеет место формула * 1

!/(«'•) = 5^ $

- л

(1 - г2) и (е“)

1 + г2 — 2г cos (в — 0

dt.

Эта формула является фундаментальной для всей теории. Мы
сейчас увидим, что она справедлива при намного более общих
условиях, чем указанное выше. Функция

1 _ г3

Pr в 1 4-r2-2rcos0

называется ядром Пуассона для круга {|z] < 1}.
С. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПУАССОНА ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ НЕКОТОРЫМ КЛАССАМ

Пусть известно лишь, что функция U(z) гармонична в
круге {|г|<1}. Замечательно, что часто её всё же можно
представить в этом круге по формуле Пуассона.

Теорема. Пусть р > 1, и пусть U(z)— гармоническая функция
в {|z|< 1}. Предположим, что средние

J | U (reie) I" dQ
—л

ограничены при г<1. Тогда существует такая функция
F е Lp (—л, л), что

C/(re«e) = — j + Г2 _ 2г cos (0 - /)f dt
-Л

для г < 1, 0 е[—л, л].

Доказательство. При р > 1 пространство Lp является
сопряжённым с IS, где у +	Для функций Un(Q) =

(вместо 1 —подходит любая последова-
тельность гп, стремящаяся к 1 снизу) имеем || t/n||р С
(II Ир здесь, конечно, берётся по отрезку (—л,л)), так что
канторовским диагональным процессом мы можем выделить
из них подпоследовательность Unh такую что для всех функ-
ций G, пробегающих некоторое счётное всюду плотное под-
множество пространства Lq, существует предел

LG = lim ( G (0) C7n, (0) d0.

Так как || Unt ||Р<С, то этот предел LG на самом деле суще-
ствует для всех G е А’ (простое упражнение), и LG является
ограниченным линейным функционалом на L4. Следовательно,
поскольку пространство Lp сопряжено с то существует
такая функция F е Lp, что	_

LG= J F(0)G(0)d0

-Л

для всех G е Lq.
Теперь, для каждого п функция ип (z) — U Ц1 — -i-) z} гар-
монична в 11 z | <	|. так что если г < 1, то

Л	л

5 Л(0-О«П/(«")Л=^ $ pr(e-t)un/(t)dt.

-л	"	-л

Зафиксируем произвольное r< 1 и любое 0 и возьмём G(t) =
= Рг(6 —/), G ® L4. Тогда

lim ( Pr(Q-t)Un(t)dt^LQ^ { Q(i)F(t)dt=*
/>«> J	I	J

-л	~л

«=» $ Pr(Q-t)F(t)dt.

-Я

В этом равенстве слева стоит

lim 2пи (rei6) = 2nU (гв,в).

i+«> ni

Таким образом,

Л

$ Pr(Q-t)F(t)dt,
-Л

где F е Lp. Q. Е. Ь.

Замечание. Тот же результат справедлив с тем же дока-
зательством и при р = оо, если мы немного изменим форму-
лировку теоремы!

Теорема. Если U(z) — ограниченная гармоническая функция
в {Н< О, то существует функция F ® L00 (—л, л), такая что

Л

—л

Если я не ошибаюсь, эта теорема была доказана Фату
в его знаменитой диссертации “Series trigonomfetriques et
s6ries de Taylor”, опубликованной перед первой мировой вой-
ной1*. Этот результат служит на самом деле отправной точ-
кой для всего предмета этой книги. Многие идеи первой части
нашего курса берут своё начало в диссертации Фату.

*’ Работа Фату была опубликована в 1906 г. (см. Фату [1906]).—
Прим. ред.
А что же в случае р =* 1? Пространство Ll(—я, л), к со-
жалению, не является сопряжённым ни с каким другим. Но
М — пространство конечных вещественных мер ц на [—л, л]
с нормой ||р||, равной полной вариации меры р,— сопряжено
с С [—л, л] — пространством непрерывных функций на
[—л, л]. Если gE Ll(—л, л), то мы можем связать с g меру
Pg, положив

Л	л

$ Q(t)dpg(i)=~ J Q{t)g(f)dt\

-л	-л

при ЭТОМ ИМ = llglli.

Теперь рассуждение, проведенное при доказательстве пер-
вой теоремы этого пункта, показывает, что справедлива такая

Теорема. Если U(x) — гармоническая функция в круге {|z| <_
•< 1} и средние

Л

JI и (гв*) । de

-л

ограничены при г <Z 1, то существует конечная вещественная
мера ц на [—л, л], такая что

Л

£/(ге«9)==— $ i +ja_2z.cos(0_f)dp(0

для О С г < 1.

Следствие (Эванс). Пусть U(z) — функция, гармоническая
и положительная (здесь и далее «положительный» означает
«неотрицательный») в круге {|z| < 1). Тогда существует ко-
нечная положительная мера р. на [—л, л], такая что

Л

Г7(ге«) = ± J Pf{e-t)dp(t), 0<г<1.
—л

Доказательство. Для г < 1 (используя, например, рая-
СО

ложение U (гегв) = 2 апг*п ^‘пв, имеющее место в {|г|<1})
— ОО

получаем
л	л

2лС/ (0) — J U (rei9) de — J | Щгв'9) | de,

-я	-я
так как U 0. А теперь применяем теорему. Мера ц положи-
тельна, потому что в этом случае (см. опять доказательство
первой теоремы этого пункта) оказывается, что интеграл
"я

$ G (t) dp. (t) положителен для любой положительной функ-
—л

ции 6 е С[—л, л] как предел положительных чисел!

D. ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ

Если мы имеем одно из представлений

Л

C/(re*e)__ $ । + г2 _ 2r cos (в _	(0 dt>

-л

£7(ге*0) = — J ! + _ 2г cos (е _ ц	(0.

-л

выведенных в предыдущем пункте, то возникает задача на-
хождения связи между U(z) и функцией F(t) или мерой

1° Свойства суммируемости гармонических функций,
заданных формулой Пуассона

Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточ-
ные для многих рассмотрений.

Ядро Пуассона

рм-

— ОО

обладает следующими свойствами:

а)	Рг(ф)>0, г< 1;

Ь)	Рг (<р 4-2л) == Рг(ф);

Л

с)	Рг (0 dt — 2л для любого г < 1.

-л

Свойства а) и Ь) очевидны, а с) следует из разложения
в ряд для Р,(ф).

Если F Е Lp (—л, л), то удобно считать, что функция F
периодически продолжена на всё множество R: F(f-|-2n) =
= F(t). Отныне будем это предполагать. Справедливы обра-
щения теорем о представлениях, полученных в пункте С.
Теорема. Если 1, Р е U (—л, л), a U(rei6) = ^ $ Рг(0 —

-л

— t)F{t)dt, то функция U (г)—гармоническая в круге
{| z | < 1} и $ | U (ге1Ъ) |р dO const, г < 1.

-Л

л

Доказательство. Пусть $ e~latF(/)di = Ап.

-я

Тогда для 0 г < 1 имеем

U (reie) = У, Апг>п lein*.
— ОО

Непосредственно проверяется, что функция U (г) гармонична
в {|z|< 1}, так как ряд сходится равномерно во внутренно-
сти круга (что означает равномерную сходимость на компакт-
ных подмножествах — таков уж язык комплексного анализа!).
(Если функция Р — вещественная, то ряд, очевидно, является
вещественной частью аналитической функции, которая легко
выписывается.)

Для данного г < 1 в силу свойства Ь) и 2л-периодичности
функции F мы можем, кроме того, записать

Л

^е) = ^ $ F(Q-s)Pf(s)ds.

-п

Возьмём теперь GeL’(—л,л), ||G||9=1, так что (для
любого фиксированного г; функция G, конечно, будет зави-
сеть от г)

Р / л	я

А/ $ |G(re'e)|Pd0 = J £7 (reie) G (0) d0.

-л	-л

По теореме Фубини интеграл справа равен

Л л

± J J Pr(s)F(0-s)G(0)d0ds,

—Л -Л

что по модулю не превосходит

л

J Pr(s)||F||p||G||,ds = ||F||p
“Л

(в силу выбора G и свойства с)).
Наконец,
я
J I U(re*) f d0<||F||₽.

-Л
Вот и всё.

Теорема. Пусть ц — конечная вещественная мера на [—л, л].
Тогда функции

Л

-л
гармонична в {|г| < 1} и

| U (retQ) | dQ const, г < 1.

-Я

Доказательство. Гармоничность устанавливается так
же, как и выше.Пусть дано г,и пусть функция GeL°°(—л, л),
|| G || ОО   1 J такова, что

J | и (re">) | tZ0 = J G (0) и (ге{6) dQ.
-я	-я

Интеграл в правой части по теореме Фубини равен

Л л

J Pr(0-t)G(0)rf0rfp(O

-я -я
и в силу а)—с) по модулю не превосходит
ля	ял

$ $ M0-0IIGIM0|<M0l“IIG|k J |dp(OI“ $ |dp(01-
-я-я	-я	-я

Вот и всё.

2° Первоначальное изучение граничного поведения

Ядро Пуассона Рг(0) обладает и четвертым свойством:
d) Для любого б > О

РГ(0)->О равномерно для б 101 л при

Это сразу следует из формулы для Рг (0).

Теорема. Пусть функция F непрерывна на R и Р(< + 2л)=,
= F (/). Пусть

л

-я
Тогда U(z)-> Г(ф), когда z-^e*’’, и сходимость равномерна
по ф.

Доказательство. Этот результат восходит к самому
Пуассону, который полагал, что отсюда вытекает сходимость
ряда Фурье функции к ней самой (на самом деле из теоремы
это не следует!).

Запишем

Л

t/<rei0) = 2^ 5 F(9 — t)Pr(t)dt.

-л

Для заданного произвольного числа ф мы имеем по свой-
ству с)
п

F(ф) = 2^ $ F(ffiPr(t)dt.

-Л

Следовательно,

Л
tZ(r?e)-F(<p) = ± [Г(9-0-^(ф)]Рг(0Л.

-л

Пусть б <-2- таково,что |F(s)—Г(ф) | < в при |s — ф| < 26;
число б здесь зависит только от в, а не от ф, из-за (равно-
мерной!) непрерывности функции F.

Запишем интеграл в правой части в виде суммы двух:

|c/(re'e)-Ffo)l<Л ( |Г(е-о-Р(ф)|/>г(ол +
XrJL J
1«|<в

+ i $ |F(0-O-Ffo)|Pr(Odt
в<Н1<л

Если |0 — ф | < б, то первый интеграл справа не превосходит
£ $ Pr(t)dt<s.

нКв

Пусть М — верхняя грань величины |F(/)|. Тогда второй
интеграл не превосходит

в<|М<я

что меньше в, если г достаточно близко к 1, в силу свой-
ства d).

Таким образом, \U(reie) — Г(ф)|<2е, если |0 — ф|<6,
а г достаточно близко к 1. Q. Е. D.
а

Замечание. Свойства а), Ь), с) и d) вместе взятые пока-
зывают, что Рг (0) представляет собою так называемую
аппроксимативную единицу. Доказанная теорема имеет место
в силу этих свойств: не только для ядра Пуассона, но и для
других ядер, являющихся аппроксимативными единицами,
справедливы аналогичные результаты.

Теорема. Пусть FeL'f—л,л), и пусть функция F(t) непре-
Л	-----

рывна в точке 0о. Тогда U — J Pr(Q — t)F (f)dt стре-
~л

мится к F(0o) при стремлении reie к е<0°.

Доказательство такое же, как у предыдущей теоремы.

Теорема. Пусть FeL₽(—л, л), 1 р < со (sic!), и пусть
Л

-Л

Тогда J |£7(re/e)-F(0)|pd0 —> О при г->1, т. е. U(reie)
-Л

стремится к Г(0) в /Анорме при r-> 1.

Доказательство. Положим Fr(0)» U(ге‘в). Тогда

Л

F,(0)-F(e)-± J [F(0-t) — F(&)]Pr(t)dt.

-Л

Используя свойства а) и с) (мы рассматриваем Fr(0)— Г(0)
как предел выпуклых комбинаций функций F(Q — t)— F(0),
считая t параметром, а 0 — переменной), имеем по очевид-
ному обобщению неравенства треугольника
р /“й	я Р /“л

Л/ J |Fr(0)-F(0)|₽d0<± J д/ J |F(0-O-F(0)|pd0 х

* -л	-л ¥ -л

XPr(t)dt.

Полагая	____________________

Ф(0== д/J |F(0-/)-F (0)|pd0,
получим
л
J Ф(0Рг(Г)Л.
-я

I
Но Ф (<)->-О при /->-0! Это так, потому что сдвиг непрерывен
в £р-норме для 1 р < ею. Это следует в свою очередь из
элементарных фактов теории функций вещественной перемен-
ной. Действительно, пусть даны F^LP(—л, л) и е > 0. Най-
дем непрерывную функцию G, периодическую с периодом 2л,
п

такую что ||Р—G||p < е. Тогда, очевидно, 16(0 — /) —

-л

—6(0) |р</0<ердля |f|<б при достаточно малых б в силу
равномерной непрерывности; следовательно,

||Р(0 —0-F(0)||₽ < Зе для |/|<б.

Во всяком случае, функция Ф(0 непрерывна в 0, где она
равна нулю.

Поэтому, по предыдущей теореме, ||Fr — F|| -► 0 при
г->1. Q. Е. D.

При р = оо всё, что мы имеем, — это о>*-сходимость:

Теорема. Если F е L" (—л, л) и

Л

J
—л

то U (re19) —► F (0) при г —► 1.

Доказательство. Возьмём произвольную функцию Ge
е L1 (—л, л). Нужно доказать, что

J U (re19) G (0) dQ —► J F (0) G (0) dQ
-л	-л

при г—>1. Но это так, потому что (используем чётность
Рг(ф)!)

j G(0)Pr(0-Od0= j Pr(t— Q)G(Q)dQ
-я	—л

стремится к G(t) при г->-1 по предыдущей теореме. Остаётся
только применить теорему Фубини.

Аналогично справедлива

Л

Теорема. Пусть U (ге19) =	$ Рг (0 — /) du (/), где ц — конеч-

—л

ная вещественная мера на [—л, л]. Тогда U(reiQ) d0~* dp (0)
при г—> 1, т. е. для любой непрерывной функции G(0), пе-
риодической с периодом 2л,

J U (reiB) G (&) d8-> J G(0)dp(0),
-л	-л

когда г—»• 1.

Доказательство. Применяем теорему Фубини вместе
с первым результатом этого подпункта.

3° Дальнейшее изучение граничного поведения.
Некасательные граничные значения и теорема Фату

Если функция U(г), гармоническая в {|г|< 1}, допускает
одно из представлений

t7(re/0)= ’ f Pr(e-t)F(t)dt, F^Lp{-n,n),

2 л J

-л

Л

у(^г0)=^5 Pr(0-OrfH(O.

-л

то надо ещё исследовать поточечное поведение U(z) при г,
стремящемся к точке е‘6 на границе единичного круга.
Нельзя изучить это поведение на основе одних только свойств
а)—d) аппроксимативной единицы; для этого требуется более
детальное рассмотрение ядра Рг(0).

Оба записанные выше представления для U(reie) содер-
жатся во втором, так как если Ре£р(—л, л) и мы возьмём
dp,(0) = F(Q)dQ, то р. будет, конечно, мерой на [—л,л].
Имея дело с такой мерой, удобно ввести функцию ц(0) огра-
ниченной вариации на [—л, л], задаваемую формулой

е

ц(0)=
о

(с обычным толкованием интеграла при 0 < 0). Тогда мы
имеем следующий результат:

Теорема (Фату). Пусть —л<фо<л, и пусть производная
Л

и'(фо) существует и конечна. Тогда U(rete)*=^~ \ Рг(0 —/)Х
Z Л J

"Л
Х^МО стремится к |х'(<ро) при reie, стремящемся к е1*
внутри любого сектора вида |0 — фо| с(1 — г).

Замечание 1. Таким образом, предписывается, чтобы точка
z = reie стремилась к е1^, оставаясь внутри сектора рас-
твора < 180° с вершиной в точке е1^, симметричного отно-
сительно радиуса, ведущего из 0 в е1<^ (рис. 1). В таком
случае говорят, что L/(re‘e)->p/(<po) при reie, стремящемся

Рис. 1

к е*ъ> по некасательным направлениям. Мы будем это запи-
сывать так:

U (ге1в) ->• ц' (ф0) при ге16-*. в{ч*.

Замечание 2. Аналогичный результат имеет место и для
фо = ±л при условии, что там существует надлежащим обра-
зом определённая производная ц'(фо). Мы предоставляем чи-
тателю выясни'гь, в каком смысле следует понимать произ-
водную.

Доказательство. Чтобы упростить запись, возьмем фо =
= 0. Тогда если производная ц'(0) существует и конечна
и если |ег|Сс(1—г),то нам надо показать, что

л

5л $ 1+ г» - 2г cos (0r -1) dfl ®
-л

при r->-1. Без потери общности можно считать, что ц'(0) = 0;
в противном случае мы рассмотрели бы dp,(t) — p'(O)dt вме-
п

сто d|i(0> а РГ(8Г — t)n'(O)di равняется р.'(0).
J	- * 1  	। а  । 

—я

Пусть число б > 0 таково, что | р(t) |	8111 для |/|^б.

Если 1 — г очень близко к нулю, так что 2|0Г| намного
меньше 6, то

л

2л 1 + г2 - 2г cos (t - 0Г)	(0 = О (1) +

—л

I * 6 * * *	1	2

*"2л$ 1 + г2 - 2г cos (t - 0Г)
-д

где о(1)->0 при г->1. Проинтегрировав
в

if	1 - г2 j ti\

2л J 1 + г2 - 2г cos (0Г -/) а|ИГ'
—6

по частям, получим проинтегрированный член (который

будет о(1)) плюс

6

1 f 2r (1 - г2) sin (t - 0Г) ц (0 dt

2л J [1 + г2 - 2r cos (f - 0r)]2	'

— 6

Предполагая (без потери общности!), что 0, > 0, разобьём
последний интеграл на три:
в

Г2) sin (t — 0Г) Ц (О ,,_Т I IT I 1Г|

-[Г+;»-2гсо8а-ег)р"dt -1 +11 +1П-

Тогда

29

11 2л J (1—г)3

• ztdt С

4е0’
л (1 — г)3

так как О^0г^с(1—г). Для 20r t S выполняются
неравенства | F (/) | в/	2в (t — 0Г), следовательно,

в

I ттт |	с С	2 (1 г2) г sin (/	0r) z,_« ,	,,

' 1111	я J	[1 + г2 — 2г cos (/— 0Г)]2	0"	dt

20г

в-9,	я

в	Г	2г (1 — г2) sin t ...	в С	2г (1 — г2) sin t	...

“л	J	(1 + г2 - 2г cos о2 га^ л J	(1	+ г2 - 2г cos о2	tat‘

ег	о

Этот последний интеграл проинтегрируем по частям (в на-
правлении, противоположном первоначальному нашему инте-
грированию по частям!), что даёт



(1 - г2) dt

1 + г2 — 2r cos t

= 84-0(1).
Аналогично 11|	+ б(1). Следовательно, |1 + П4-Ш|^

(4с3/л + 3/2)е + о(1) при г-*!, и так как в > 0 — произ-
вольное число, то доказательство закончено.

Замечание. Монотонность ядра Рг(0) на каждом из интер-
валов [—л, 0] и [0, л]—вот основной момент, на котором
«работает» вышеприведенное доказательство.

Теорема (Фату). Если —л<фо<л, а производная р/(фо)
существует и бесконечна, то для

Л
^(^e) = ^iJ Pr(0-/)rfn(O,
—я

выполняется соотношение
{/(ге;0)-»-р,',(фо) при г-»-!.1»

Замечание. Таким образом, даже когда производная
р/ (фо) бесконечна, мы всё равно имеем

t/(z)->p'(<Po)>

когда z радиально стремится к ег<₽°.

Доказательство. Возьмём фо = 0 и предположим, что
ц,(0)=4-оо. Выберем число б>0 настолько малым, чтобы
p.(/)sign t Аф| для |/|^S. Тогда, рассуждая так же, как
при доказательстве предыдущей теоремы, получаем

в

Щг) = о(1)4-5Ц

V v ' 1 2л J (1 + г2 — 2r cos О2 r '

—d

6

zi\ । Af Г 2(1— r) sin t ...

> o (1) H--\	,—£----лт tdt.

' 1 л J (1 + r2 — 2r cos 02
0

Проделывая обратное интегрирование по частям, видим, что
последний интеграл есть о(1) + М при г, достаточно близ-
ких к 1.

Схолия. Можно ли заменить	радиально» в формули-

ровке только что доказанной теоремы на «г-^е/(₽1»? Можно,
если U(z)^0 в {|z|< 1}, т. е. если мера р положительна.

В связи с этой теоремой и с остальным материалом этого пункта
укажем на статью Рудина [1978]. — Прим. ред.
Лемма (теорема Гарнака). Пусть гармоническая функция
U(z) положительна в {|г|< 1}. Тогда

Доказательство.

U (ге1в) = j 1 + Г2 _ 2г cos (0 _ ц	(/) >

-л

-л

если dn(t) 0.

Теперь предположим, что (/(г)>0 и t/(z)-»-oo при

Пусть S— произвольный сектор с вершиной в 1, симметрич-
ный относительно положительной вещественной полуоси, рас-
твора, меньшего 180°, и пусть S' — аналогичный, но немного

Рис. 2

больший сектор (рис. 2). При 0 < г < 1 пусть Кг — круг
с центром в точке г, касающийся сторон сектора S, и К'г —
аналогичный круг, касающийся сторон сектора S'. Очевидно,
что величина у = (радиус Кг)/(радиус К'/) не зависит от г
и меньше чем 1. Тогда, так как функция U(z) положительна
в К'г, то для г, принадлежащих Кг, на основании леммы
получаем

откуда U(z)-*-oo при z->-1 внутри S.
Тем не менее результат, полностью обобщающий вторую
теорему Фату на случай, когда г стремится к границе нека-
сательным образом, неверен.

Этот факт составляет содержание приводимой ниже
задачи.

Для облегчения последующих вычислений сделаем замену
переменной, соответствующую конформному отображению

а> = гегв = 4-=-2-, z — x-\-iy,
I Z

при котором верхняя полуплоскость переходит в круг
{|ку | < 1}, а точка z = 0 — в точку w = 1.

Тогда если е*т= , то, как легко проверить,

1 + г2 — 2r cos (0 — т) ~ (X - о2 + у2
где
24ц (t)	j г к

Задача 1. Построить вещественную меру ц на [0, 1], такую
что н'С+О) == °°, но t/(x -J- ix), где

U “ $ (х -t)2 + у2 ®'
о

не стремится к оо при х-*~ +0.

Процедура решения. Будут индуктивно получены положи-
тельные числа t0 = 1, *о = 1/2, ti < xq, Xi < ti, 4 < Xi и т. д.,
и мера ц будет построена последовательно на каждом из
йнтервалов [4, 4], [4, 4), [4, t2),... .

Построенная дискретная мера р будет удовлетворять сле-
дующим условиям:

1)

2)	н+ ([4, 4-i)) = 9 [V4Z? — д/41 и ц_ ([4,4-1)) “

= 8 [ V4-1 —^4Ь

где и |л_ обозначают соответственно положительную и
отрицательную части меры р.

Сначала возьмем t\ < хо/10 настолько малым, чтобы
9 V4 < 1 — V4== А1. и на [4,4] положим d\x(t)®
9A!d60(/—4) — 8Aid6o(< — *о), где 60 обозначает единичную
точечную массу, сосредоточенную в 0. Покажите, что если
получаемая в конце построения мера р обладает свойством
(2), то
1
С *0 j zj\ —ЗД| 3
\ 7---------------А2'1~~2 <И) <-----L < —= ♦

0J («0-0 + х0	х0 гд/хо

Теперь возьмем Xi <Z t\ столь малым, чтобы
1	2

J (/_Х1)2 + х2 ®	~

(на [/i, 1] мера р уже построена!). Предполагая, что р будет
удовлетворять условию (2) в конце построения, найдите, как
надо выбрать /г < *i и как определить р на [fg, 6), чтобы
выполнялись неравенства

1

г Xidp (0	<2Дд <  1

о (*i-02 + *? *i Vxi

где Д2= V/i —

Покажите, что это построение можно выполнить таким
образом, что полученная в конце концов мера р на [0,1]
будет удовлетворять условиям (1) и (2), причём р' (+0) = °°»
но
f *k dp (0	'

о (<“хл)2 + 4 Vxft

Пусть F s Lp(—я, л), р	1, и пусть

Л

-я

Классическая теорема Лебега утверждает, что производная
е

почти всюду существует и равна F(0). Вместе
о

с первой теоремой подпункта это дает:

U(re{6)-*F(ф) п. в. при гею->е1<р.

Таким образом, в сочетании с теоремой пункта С мы полу-
чаем следующий результат:
Теорема. Пусть 1 Ср^оо (sic!), и пусть U(z)—гармониче-
ская функция в круге {|z| <Z 1}, для которой

У J | U (ге'е) |р de < с

-л

при 0«С г < 1. Тогда для почти всех 0 при г-+ею функция
U (г) стремится к конечному пределу, скажем t/(eze), и для
О С г < 1

И= h j T+T.--b-^FiFU•
-л

Обозначение. Функция U(eiQ) называется (угловой или нека-
сательной) граничной функцией для функции U(z)\ мы будем
часто писать

t/(e,e)= lim U (z) п. в,

z-»ei0

к

В дальнейшем всякий раз, имея дело с функцией U, гармони-			
ческой в {	Z	< 1} и удовлетворяющей предположениям пре-	
дыдущей тео		)емы (для р> 1), мы будем считать её автома-	
тически продолженной п. в. вплоть до {			z|= 1} в описанном
выше смысле.			

Для р ж 1 теорема сохраняется не полностью. В этом слу-
чае мы имеем меру dp(0). Теорема Лебега о разложении
утверждает, что тогда производная у/(9) по-прежнему суще-
ствует и конечна п. в., что	—л, л), но что dp(0) не

есть в общем случае pz(6)rf9. Вместо этого мы имеем

dn(0) = n'(0)d0 + do(0),

где о — некоторая сингулярная мера, т. е. мера, сосредоточен-
ная на множестве лебеговой меры нуль.

Таким образом, если мы знаем лишь, что средние

J | U (гею) | dQ

-п

ограничены для г < 1, мы по-прежнему имеем существование
п. в. конечных угловых пределов

lim t/(z) = n/(9),

2->e*0

*
но мы не можем восстановить U(z) по этой граничцор функ-
ции. Вместо этого мы имеем

Л	л

Pr(e-/)n'(0^ + ^$ pr(Q-t)do(t)
-л	-л

с некоторой сингулярной мерой о.

Уже в простейших случаях мы видим, что действительно
в таком представлении может появляться ненулевая мера о;
одним из примеров является само ядро Пуассона

1 - г2 ,
1 + г2 — 2r cos 0

В самом деле, lira U (z) •= 0 всюду, кроме 0 = 0, и

я

=	Pr(0-O-2nd6o(O.

-л

где бо — единичная точечная мера, сосредоточенная в нуле.

Различие между случаями р = 1 и р > 1 является одной
из основных сложностей всей теории, и мы увидим в дальней-
шем, что оно имеет глубокие и далеко идущие следствия.

В. ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|z| < 1}, для
которой имеет место одно из рассматриваемых представлений.
Мы приступаем к исследованию граничного поточечного пове-
дения функции, гармонически сопряжённой с U. В начале
этой главы мы уже говорили, что гармоническая функция
V(z\ называется гармонически сопряжённой с U(z), если
U (z) + i V (z) —• аналитическая функция в {| z | < 1}. Сопря-
жённые функции определены с точностью до прибавления кон-
станты; работая в единичном круге, обычно требуют, чтобы
V(0)= 0; полученная таким образом гармонически сопря-
жённая с U (г) функция V(z) обозначается через О (г). Обо-

значение гармонически сопряжённой функции с помощью
волны („тильды") общепринято.

1° Формула для гармонически сопряжённой функции
Предположим, что

U (Ге«>) = J 4„г1» । в^, 0 < г < 1;

— ОО
тогда

90

О (ret9) = — X i sign п Anrf п ,е1пв,

— ОО

где, как всегда, sign 0 = 0.

В самом деле, функция О(ге19), очевидно, гармонична
в {|г| < 1} (ряд в этом круге сходится абсолютно) и (7(0) =0.
Кроме того,

U (ге‘9) 4- IU (гв19) = Ло + £ 2Anrnein9

— аналитическая функция (это очевидно!) в {|z|< 1}.

Л

Теперь, если U (ге19) =	( Рг (0 — /) dfi (/), где р.— мера

& Л J

—я

на [—л,л], то в вышеприведенном разложении функции U
Я

в ряд Л„ = »- \ e~lntdfi (I). Рассматривая разложение в ряд
2 Л J

— Л
для О, мы видим, что

tj (rei9) = — У I sign nr1" lern<e- (/).

— Л —CO

Назовем

— У i sign nr1" ,e,ne = Qr (0)
— 00

сопряжённым ядром Пуассона. Непосредственным суммиро-
ванием двух геометрических прогрессий найдём, что

п — 2г 8|п е
'	1 + г2 — 2г cos 0

Таким образом, справедлива

Теорема. Если U (ret9) =	( [(1 — r2)/(l + г2 —2r cos (0—/)] X

2Л J

-л

Xrfp(0(c мерой р), то гармонически сопряжённаяс U функция
С7 задаётся формулой

£7(ге«в) = _^	i+r2_2r(cos(0_/)

—л
2° Поведение гармонически сопряжённой функции вблизи дуги,
на которой исходная функция имеет непрерывную производную

Особенный интерес представляет граничное поведение
функции O(z), когда

Л

t/(re'6) = 2^S Pr(Q-t)F(t)dt

—л

с некоторой функцией F (принадлежащей, скажем простран-
ству Lp(—л, л), р	1).

Предполагая, как всегда, функцию F определённой на R
с помощью 2л-периодического продолжения, запишем

л/ (rei6} = — ( _____2r 81n <е ~р ц\ fit

uVe> 2я J 1 + г2-2г cos (0-0 Г V’a

-л

-4 5 1+;^ео„ [Г (в - *) - F(е +«))*’
о

Мы имеем (г sin s)/(l + г2 — 2r cos s) =

= (2rsin-|-cos-0/((l — r)2-j-4rsin2-0, так что если
Л

$ (| F (0 — s) — F (0 4- s) |/s) ds < oo, то мы, очевидно, полу-
0

чаем, что при r-> 1

СЯ Р(9-О-П0 + О

о	tgy

причём интеграл в правой части абсолютно сходится.

Это, конечно, имеет место, если производная F'(&) суще-

ствует и конечна.	i

Больше того, если F'(0) непрерывна для, скажем, а <
0 < Р, то О (г) обладает непрерывным продолжением вплоть
до любой замкнутой дуги, целиком принадлежащей открытой
дуге {е‘е; а < 0 < р) единичной окружности, и для таких 0

Л

и (егв) = lim и = — ( / fJg+JL dt,

S 2tg4

где интеграл сходится абсолютно.
Задача 2. Докажите только что сформулированное утверж-
дение. (Указание: примените формулу конечных приращений
для производных.) Докажите также следующее:

Если функция F О 2л-периодична и непрерывна как
отображение в промежуток [0, 4~°°] (т. е- функции F разре-
шается принимать значение оо, но если Г(0о)=оо, то тре-
буется, чтобы Г(0)->оо при 0-»-0о), и если F^Ll(—п,л),
то
--	л

и(ге*) = ±\ Pr(e-t)F(t)dt

-Л
непрерывно продолжается вплоть до {|z|=l} как отобра-
жение в промежуток [0, 4-°°].

3° Радиальное граничное поведение гармонически
сопряжённой функции вблизи точек Лебега
исходной функции

Оказывается, радиальные граничные значения

O^ = l\^-J)TJLL?±.!Ldl

Л

функции U (гею) = £- ( Qr (0 — t) F (/) dt существуют для п. в.
2 л J	ч

-л

0 при очень общих условиях на F. На самом деле диффе-
ренцируемость функции F не нужна. Конечно, при этом еле-
Л

дует правильно понимать интеграл ( - (б — 0 — F (Э + 0
о

Как мы увидим, достаточно будет рассматривать его как пре-
дел интегралов

?/(8-О-.^е+о dt
в	2tgy

при е-> 4~0.

Определение. Пусть периодическая функция F принадлежит
Ll(—п, л). Говорят, что точка 0 является точкой Лебега функ-
ции F, если
h

-И |Р(е+0-^(е)|л->0

—л

при й->-0.
Теорема (Лебега!). Почти все точки 0 являются точками
Лебега функции F.

Доказательство. Для любого рационального числа г
функция |F(Z) — г| принадлежит L1 и, следовательно, рав-
няется п. в. производной своего неопределенного интеграла.
То есть для всех 0, не принадлежащих некоторому множеству
нулевой меры, скажем Е, соотношение

0+h

lira -J- ( | F(0) — г |d/ = |F(0) — г|
h->o * J

имеет место одновременно для всех рациональных г.

Пусть 0^£, и пусть дано 8 > 0; если г — рациональное
число, такое что |F(0) — г|< е, то

h

4^|F(0 + /)_F(0)|d/<
о

0+Л	0+h

$ |F(n-Nrf/ + IF(0)-r|<e + 4- ( |Р(0-г|Л.
в	в

Величина, стоящая в правой части, стремится к в + |F(0) —
г| 2б при А—>0, следовательно,

h

Пт 4Л|^(6 + О-^(0)|Л<28,
h->o * 0J

если 0^£. Так как е — произвольное число, большее нуля,
то
h

4-$|F(0 + /)-F(0)|dZ-O
о

при Л-+0, и это выполнено для всех В^Е, т. е. для почти
всех 0.

Теперь докажем основной результат.

Теорема. Пусть F(t 2л)« F(t), F^Ll(—л, л). Тогда
п	л

и -----nsi-----Г(0_()Л_± С f<e-»-f(e + o it

” +rB-2rccsi	i-r	2 tg

стремится к нулю при г -*• 1 для всех точек Лебега 0 функ-
ции F, т .е. почти везде.
Замечание. Идея состоит в том, что интеграл

J_f F(0-/)-F(e + f) .

Л J 2tg(//2) al
8

для почти всех 0 сравним с О((1 — е)е‘е)— значением гармо-
нически сопряжённой функции внутри единичного круга — при

достаточно малом а.

Доказательство. Сопряжённое ядро Пуассона (гsin/)/
(1 -|- г* I 2 — 2r cos /) — нечётная функция переменной t, так что
рассматриваемая разность не изменится, если F всюду заме-
нить на F— F(0).

Сделаем эту замену. Тогда разность разбивается на две
части, первая из которых
1—Г

1=4- ?	ix 2SinJ----г [F (0 - 0 - F (9)1 dt.

я J	1 + г2 — 2r cos t 1 '	'	' ,l

-d-г)

Имеем для 111	1 — г

I г sin t I	| sin 11	1

I 1 + r2 - 2r cos t I	(1 - r)2	1 - r ;

следовательно,
l-r

—(1—Г)

где правая часть стремится к 0 при г->-1, если 0 есть точка
Лебега функции F.

Удобно обозначить △ — 1 — г. Тогда оставшаяся часть
нашей разности есть

И = 4 $ 1 rSin* 7-------------[F (0 - /) - F (0+ 01 dt.

Д<1*Кл | А2 + 4г sin2 у	4 sin2 у J

Выражение в фигурных скобках преобразуется к виду
________________________— д2 sin t______

4 (д2 + 4г sin2 у) sin4 у

что для г, ббпыпих, скажем, 1/2, по абсолютной величине не
превосходит с((1 —г)2/|113), где с — числовая постоянная.

Таким образом,

|П|^= л J	|/|» al'

Зак. 857
Чтобы оценить, например,

Mid,
д

проинтегрируем по частям. Получим
л	А

(Q)\di +
о	о

Я | F (0 - 0 - F (0) I dt

Первые два слагаемых, очевидно, стремятся к 0 при Д->0,
если 0 — точка Лебега функции F.

Пусть дано в > 0. Подберем фиксированное число т) > О,
такое что -у $ | F (0 — t) — F (0) | dt < е для 0 < s < т). Тогда
о
последнее слагаемое не превосходит
4Д2 -y-ds + 4Д2 (4 (|F(0 - 0 -F (0)\dtds<

Г	nJn oJ

<-^е+-^-$1^(О-О-/?(0)|Л = 2в + Д2^.,
О

если 0 < Д < т). Это в свою очередь меньше, чем 4е, если Д
достаточно мало; поэтому, в силу произвольности е, мы ви-
л

дим, что Д2 $ (| F (0 — t) — F (0) I//8) dt, а следовательно и П,
д

стремится к 0 при Д->-0.

Теорема полностью доказана.

4° Существование f (0) для f из L2

Теперь мы используем материал пуйктов С и D вместе
с теоремой сравнения из подпункта 3° для того, чтобы пока-
зать, что
Л

Um (Г!»-»>-»» +'>.д
2|g±
п. в. существует всякий раз, когда f&L2(—п, п)! Это первая
по-настоящему глубокая теорема всей главы.

Сначала короткое замечание. Соотношения

1 С	<ЯЙ	Г°»	п	т’

— \ etnee-{medG = < ,
2п J	II,	п = /п,

-л	4 ’	’

с учётом абсолютной сходимости показывают, что если функ-
ОО

ция U (ге1в) = У, Апг>п1е1пе гармонична в {|z| < 1}, то
— ОО

Л	°®

J |C/(re<e)pd0 = 2n£|4„pr2l'»l
— Л	—ОО

для 0 < г < 1. Из этого равенства и пунктов С, D мы немед-
ленно получаем следующий результат:

Лемма. Если функция U(z) гармонична в {|z|< 1}, то

Л

—л

с F е L2 (—л, л) тогда и только тогда, когда

-Л

ЕI р < оо.
— 6о

Теорема. Пусть Р — 2л-периодическая функция, FeL®(—л, л).
Тогда

существует для почти всех 0, Ге£2(—л, я), и ||F||2 < ||Р||2.
Если

Л

£/(re'0) = 2^$ Pr(Q~t)F(t)dt,
-л
ТО
л

&(r*i0) = 2^ Qr(e-t)F(t)dt
-л
совпадает с

л
Доказательство. По лемме

U(rei6)=f, AnrMein0
— ОО

Е I |2 < оо;
— ОО
следовательно, опять-таки по лемме, сопряжённая функция

U (ге1в) = — i Е sign пАпАп,е1пв
— ОО

должна фактически иметь вид
Л

ДЛ Pr(Q-t)G{t)dt

A JL J

-Л

с некоторой функцией G е L2 (—п, п).

Как доказано в пункте D,

O(z)-»-G(0) при z-*e®

для почти всех 0; • В частности, lim U (rei6) = О (0) п. в. Из
последней теоремы подпункта 3° мы теперь видим, что инте-
грал

Л

я J 2tg(f/2) al
1-r

должен также стремиться к 0(0) для почти всех 0 при г-» 1.
Так что, взяв в качестве F(Q) функцию 0(0), мы сразу полу-
чаем справедливость большинства утверждений теоремы!

Остаётся проверить неравенство для норм. Но это не-
сложно. В силу результатов пункта D

|| F ||| = lim J | U (геге) |2 dQ,
—л

что в соответствии со сделанной выше выкладкой равняется
ОО

2л У, | Ап |2; в то же время
— 00

л

(напомним, что sign 0 = 01). Доказательство закончено.
Обсуждение проблемы. Если предел

F(0) = lim
е->0

1 f F (0 - /) - F (0 + О
я J 2 tg (//2)

е

существует, то он равен в точности

(в-е

Нт
е-»0
л

F (/) dt

2 18^'

6 2

Это характеризует его как главное значение в смысле Коши.
Мы будем часто писать

?(0) =

1 г F (/) dt

чтобы подчеркнуть, что выражение вычисляется путем вы-
брасывания малого интервала с центром в точке 6, а затем
устремления длины этого интервала к нулю. Симметричность
относительно 0 играет тут решающую роль —вообще говоря,

Г Ftt^dt



не является интегралом в обычном смысле.
Мы пишем также

?(в)_Х( f(«-<)-?(» +Од.

Несмотря на то что функция F(0) получается из F с по-
мощью такого тонкого предельного перехода (обязательна
симметричность выбрасываемого интервала, стягивающегося
к 0!), посмотрите, как тесно она связана с F в метрическом
смысле! Действительно, F линейно зависит от F и ll^lb^ll-Hla!

Утверждения об F(0), взятые сами по себе, составляют
чисто вещественный результат. Тем не'менее, чтобы его полу-
чить, мы использовали много фактов из теории функций ком-
плексного переменного (гармонические функции и их сопря-
жённые); а именно, во время доказательства мы построили
такую цепочку:

F-> U(z) ->	Z7(z) -* Р .

функция, функция граничная
гармоническая гармоническая функция
в единичном в единичном
круге	круге

И ещё мы использовали дифференцируемость некоторой функ-
ции, связанной с F, для того чтобы сравнить 0((\—s)e'e)
л

с — tg т v" di- Веб это вместе — в высшей сте-
е

пени запутанная вещь. В начале века Лузин поставил перед
собой задачу найти более прямое доказательство1), которое
бы не использовало теорию функций комплексной переменной.
Он полагал, что это прольёт свет на действительный меха-
низм интерференции сдвигов функций на вещественной оси,
которая должна происходить для того, чтобы интеграл

? f(e_o_F(e4-/)

1	2tg(//2) al

+0

существовал п. в. Ибо на самом деле здесь имеет место на-
стоящий процесс интерференции (см. следующий подпункт!).

В существенном, п-я частичная сумма ряда Фурье функ-
Я

ции F(0) даётся выражением $ F (0 — t) sll| dt, очень по-
-Я

хожим на формулу для /(0), за исключением множителя
sin nt под знаком интеграла. Лузин предполагал, что если
окажется возможным понять, почему в самом деле п. в. суще-
ствует предел, определяющий f (0), то может появиться шанс
доказать, что ряд Фурье всякой функции из L* сходится п. в.
В известном смысле он был прав. Знаменитое доказательство
Карлесона этой сходимости (опубликованное в 1966 г.2>),
существенно использует тонкие свойства оператора, перево-
дящего F в F.

Задолго до результата Карлесона были найдены «веще-
ственные» доказательства существования функции F. Одно из
них получил сам Лузин. Они все труднее, чем вышеприведен-
ное классическое доказательство.

1) См. книгу Лузин [1951], стр. 213—223, 287—319, где содержите#
очень живое и выразительное обсуждение вопросов, аатронутых в этой
подпункте. — Прцм, ред.

См. КарЛёсон [1966]. — Прим, ред.
5° Контрпример

В предыдущем подпункте мы сказали, что существование
предела

Л

1( »»-<>-;<«+» dt

п J	„ . t

+о	2tgy

— это глубокий факт, который вытекает из сложного явления
интерференции. Существование этого предела следует в дей-
ствительности из взаимного погашения положительного и от-
рицательного вкладов, а не из-за малости |f (0 — t) — f(0-H)|
даже в случае, когда f непрерывна. Это показывает сле-
дующая

Теорема. Существует непрерывная функция G, периодическая
с периодом 2л, такая что

о

в каждой точке 01)-

Доказательство (от противного, с использованием тео-
ремы Бэра о категории).

Обозначим через пространство 2л-периодических непре-
рывных функций. Введение обычной нормы || f || = sup | f (0) |
е
превращает & в полное нормированное пространство.

Предположим, что для любой функции /еУ существует
по крайней мере одна точка 0, в которой

Л

с IfR+o-fte-DI д<оо.

о

это приведёт нас к противоречию. Для каждого 1, 2, 3,...
положим

по крайней мере для одного 0

Явную конструкцию такой функции см. в книге Зигмунда [1965],
т. 1, стр. 216—218. — Прим. ред.
По предположению (J Еп = ^. Далее, каждое множество Еп
п—1

замкнуто в топологии нормированного пространства В са-
мом деле, предположим, что fk^En и || fk — f ||	0. Надо

доказать, что f^En. Для каждой функции fk существует
точка в которой

J \fk (O* + f)-ffe(efe-f)| dt п
о

Благодаря 2л-периодичности можно взять 0^0*^ 2л, и
тогда, не умаляя общности, можно считать, что 0*^-^ 0»
0	0 2л (в противном случае мы просто перешли бы

к подпоследовательности). Имеем

I (f (9 +t) - f (0 -0) - (h(h + /) - fk(Qk - 0)l<

< I (f (h + 0 - f (0* - 0) - (fk (0* 4- 0 — fk(Qk - 0) I

+ lf(0 + O-f(oft + O-f(o-/) + f(9*-ni,
а это стремится к нулю при Л->оо равномерно по t, так как
f е ®’. В частности,

lf(0 + n-f(9-OI = lim \fk(Qk + t)-fk(Qk-01
fe->oo

для всех t; следовательно, по теореме Фату о предельном
переходе под знаком интеграла Лебега

с lf(e + 0-f (6-о I lim f ifk(Qk + t)-fk<ek-t)\ dt>
о	{	о	1

что не превосходит n. Итак, f e En.
oo

По теореме Бэра, раз (J Еп = <ё>, то замкнутость множеств

Еп влечёт существование по крайней мере одного Еп, содер-
жащего целый шар. То есть найдутся Ге®’ и р > 0, такие
что из fe®* и ||f — Г|| < 2р следует, что f^En. Возьмём
функцию Го (например, тригонометрический многочлен)
с 1|Го —Г||<р, такую что производная F'0(Q) существует
всюду и конечна. Если, скажем, || F'o || К. (число К может,
конечно, быть огромным!), то мы имеем

^Р.(е+,)г„,е,)|д<2як
о

для всех 0, по формуле конечных приращений.
Теперь пусть ge®’, и пусть llgll < р. Тогда ||F0 + g —
F|| < 2р и, следовательно, Fq + g е Еп. Ввиду предыдущего
неравенства это означает, что найдется по крайней мере одна
точка 0, в которой

С 1»<е+<>-«<8-01 d<<„ + gwJC,
О

т. е. из Hg|| < р следует, что по крайне^ мере для одного

Л

числа 0 интеграл J (| g(0 + О — g (0 — О I/O dt не превосходит
о

некоторого фиксированного числа, скажем М.

Но этого не может быть. Возьмём произвольную непрерыв-
ную функцию h периода ат, такую что ft (0 + 0 — h(Q — t) не
обращается тождественно-в нуль по t ни для какого числа 0.

Пример такой функции дан на рис. 3. Тогда для всех 0
п

интеграл $ | й(0 + 0 — ft(9 — 0 \dt не меньше, чем, скажем,
о

а > 0. Для т = 2, 3, 4, ... пусть числа 0т е [0, л] таковы,
что mQ — 0m является кратным л. Тогда

|й(т(е+0)-Л (m (0-0)1

|/»(em + s)-ft(em-s)l ds

л	тп

dt
о	о

> J I h {Qm+s)-h {Qm-S) I ds+ 4- JI ft(0m+O-A (0m-s) I rfs+...
0	л

...+-1 J | ft (0m + S) - ft(0m -- S) | ds

>a(i+4+-.. +4)~ai°sm-
Взяв такую функцию h с ||/г|| < р, мы видим, что для g(t) =
h (mt) не существует точки 0, в которой

О

при условии что число т достаточно велико. Это противоре-
чит нашему предположению и доказывает теорему.
Глава II

Теорема братьев Рисе.

Введение в теорию пространства Н1

А. ТЕОРЕМА Ф. и М. РИССОВ

Пусть р—комплексная мера на [—л,л]. В 1917 г. в тру-
дах Четвертого скандинавского математического конгресса
Ф. и М. Риссы (эту работу должен прочитать каждый анали-
тик!) опубликовали свой знаменитый результат:

Л

Теорема. Если^ eM0dp(9) ==0 для n= 1, 2, 3, .... то мера р
-я

абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Эта теорема не только очень глубока, но и является осно-
вой для большой части последующих исследований. Мы тща-
тельно разберем три доказательства этого результата: два
здесь, а третье — в главе IV.

1° Оригинальное доказательство братьев Рисе

Оригинальное доказательство Ф. и М. Риссов, являющееся,

наверное, простейшим, состоит в следующем.

Предположим, что мера р не абсолютно непрерывна.
Тогда найдётся такое множество Е а [—л, л] лебеговой меры
нуль, что

J ei0dp (0) У= 0.
в

Обозначение. Как часто принято, мы будем отныне обозна-
чать лебегову меру множества Е через | Е .

Из элементарных фактов теории меры следует, что в каче-
стве Е можно взять замкнутое множество.

Будем, в этих предположениях, действовать следующим
образом. Обозначим (попарно непересекающиеся) открытые
интервалы, дополнительные к Е, — так называемые смежные
интервалы — через (ап, ря); их существует не более чем счёт-
ное множество. Другими словами, дуги {eiQ: ап < 0 < ₽«}
попарно не пересекаются и вместе с {е‘0: 8е£} заполняют
в точности всю единичную окружность {|г| = 1).

Из |Е| = 0 следует, чтоХ (0„ — а„) = 2л. Возьмём по-
п

следовательность рп -> оо, рп> 0, такую что £ pn(Qn—ап)<
я-*°°	п

< оо. Такие числа рп всегда можно найти. Затем определим
функцию Г(0) следующим образом:

i)	F(0 + 2л) = F(0);

ii)	F(0) = оо, 0eE;

iii)	если an < 0 < 0Я, то

где ln — g (Рп ®п) и уп =2 (Рп 4“ ®п)*
^п

Тогда $ F(&)dQ — npnln и, следовательно, F<=Ll(—л, л) —
“п	, ,

из-за выбора рп, так как |£| = 0. Функция F(0) также непре-
рывна как отображение из R в [0, оо] (с включённой точкой
оо). В самом деле, если 0о е (ая, Рп) для некоторого п, то
непрерывность функции F в точке 0о очевидна. Если 0о е Е
и какая-нибудь последовательность точек стремится к 0о, то
мы её разобьём на две °:

Первая подпоследовательность будет состоять из точек,
лежащих в конечном числе смежных интервалов (ая, 0Я)—на
самом деле не более чем в двух из них — и стремящихся к не-
которой их общей концевой точке. Из формулы в iii) ясно,
что по этой подпоследовательности F(0)-»- оо.

Другая подпоследовательность пробегает бесконечно много
интервалов (ая, 0Я). Так как, по построению, F(0)J>p„ на
(ая, ря) и рп-+ оо, мы опять имеем F(0)-»-oo. (В этом при-
чина данного выше определения чисел ря!)	’

Теперь положим	!

'J («'•)- R $

-л

что мы можем сделать, так как Fe/.1. По одному из j
утверждений задачи 2 (см. гл. I, п. D) U(z)^> F(e‘e) при

Не нарушая общности, можно предполагать, что наша последова-
тельность не содержит точек из Е, — Прим, перев.	|


z-*-eie, т. е. U является непрерывной функцией из {|z|^ 1}
в [0, оо]. Рассмотрим также

я

2г sin (0 - t) р .
rs-2rcos(0-f) F Wdt-

U(rete) —

-л

По утверждению той же задачи 2 функция О (г) непрерывно
продолжается вплоть до любой открытой дуги {е‘®. ап < 0 <
рп}, так как на каждой такой открытой дуге F(0) принадле-
жит классу 3?1 (и даже ^°°).

Теперь положим

«В+ШИ + 1

Так как F(0)>O, то U(z) также больше нуля, поэтому функ-
ция q>(z) аналитична в единичном круге, и в нём |ф(г)|< 1.
Она даже непрерывно продолжается вплоть до {|z|=l}.
Ибо если 0о фЕ, то, как мы только что видели, U(z) и О (г)
стремятся к непрерывным пределам при г, стремящемся
к точкам из некоторой малой дуги, содержащей е*6». А если
0о еЕ, то U(z)-+oo при z-*e<0«, следовательно, независимо
от того, как ведет себя О (г), функция

ф(г)=	t/(z) + tU(z)_

’ U(z)+iU(z) + \

при	Для точек 0^Е, но стремящихся к точке 0о из

Е, мы также, ясно, имеем для граничной предельной функции

Ф(^)=—_________________>1,

v ’ F (0) + i F (0) + 1

так как F(0)-»-oo. Рассматривая функцию ф(г), так продол-
женную по непрерывности до {|z| = 1), мы теперь видим, что
|ф(г)|<1 везде в {|z|^l} (sic!), за исключением точек
z = е‘в с 0 е£, в которых ф(ег6) = 1. И эта функция ф(г)
является непрерывной в {|z| ^1} и аналитической в {|z| < 1}.
Первое построение такой функции было, в существенном, сде-
лано Фату в его диссертации; братья Рисе его и использовали!
(Однако Фату никогда не думал о теореме, которую они до-
казали с помощью этой конструкции!)

Пусть k= 1, 2......Функции (ф(г)]* также аналитичны

в {|г|<1} и непрерывны в {|г|^ 1}, следовательно, как
доказано в пункте С главы I, [ф (ге‘е) ] * [ф (е'в) ]k равно-
мерно при г->1. (Функция [ф(г)Р есть комплексная линей-
ная комбинация двух вещественных гармонических функций,
поэтому представление по формуле Пуассона для неё имеет
место — с комплекснозначной и непрерывной граничной функ- :
цией!). Так что для любого k

$ [<p(re,e)]*e»dn(0)-> J fo(e'e)]Mdn(0)
-я	-я

при Г-+- 1.

Далее, в силу аналитичности функции ф, для г < 1 имеем

[ф(ге«))]*= £ апгпе1пв,
где ряд сходится равномерно.

Следовательно, по условию доказываемой теоремы

J [ф(ге'0)]М(/ц(0) = О.
-Л

Устремляя г к 1, получаем

$ [ф (ei0)]Mdp (8) = 0, k — 1, 2......

-л

Но, пр построению, ф (ег0) = 1 для 9 s Е, в то время как
всюду вне этого множества |ф(е‘0)<1. Следовательно, по (
теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

J [ф (e<0)]fte,0dp (0) -> J (0)

-я	В	j

при k -> оо, т. е. \ e,0dp (0) = 0 для любого замкнутого мно- |
в	I

жества Е лебеговой меры нуль. Поскольку, как уже отмеча- 

лось в начале доказательства, для меры ц, не являющейся i
абсолютно непрерывной, должно найтись такое множество Е, j
что e,0dp (0) =/= 0, то мы пришли к противоречию, доказы- 
в	:

вающему теорему.	•

2° Современное доказательство Хелсона и Лауденслегера

Современное доказательство теоремы Ф. и М. Риссов при-
надлежит Хелсону и Лауденслегеру (1958 г.).	j

Пусть дана конечная положительная мера v на [—л,л].

Обозначим через L2(dv) гильбертово пространство, получен- j

1
ное в результате пополнения пространства непрерывных 2л-
периодических функций со скалярным произведением

Л

<f,g)v=\ f(9)?(O)rfv(0)
-л

по норме II f ||v = V<f, f)v.

i) Напишем dp(0) = h(Q)dQ + ds(Q), где h&L1, a s —
Л

сингулярная мера, и предположим, что e/n0dp. (0) = О,

-Л

п = 1, 2, ... . Наша главная задача состоит в том, чтобы
л

доказать равенства ein0ds (0) = О, п = 1, 2, .... Введём

новую меру dv(0), полагая cfv(0) — (1 +|Л(0) |)</0 + |ds(0) |.

Рассмотрим 31 — подпространство пространства L2(dv)
(sic!), порождённое функциями {е'"в: п=1, 2, ...}.

Пусть F еЯ — элемент пространства Я, доставляющий
Я

минимум интегралу $ 11 — F (0) |2dv (0). Так как rfv(0)^s dO,
-Л

ТО
л

J 11 - F(0)|2dv(0)>
-л

> inf IJ 11 - Р (0) М: Р (0) = а1е1в + а2е2<в + ... + аре₽<01=2л.
'•-л	J

Из элементарной геометрии гильбертова пространства
известно, что в этом случае 1 — F ± Я в L2 (dv); в частности,
1—F J_e-n0(l—F(0)) в L2(dv)

для п=1,2,...:
я

J 11 - F (0) i2e-lnedv (О) = 0, п = 1, 2.

— Я

Так .как dv(0)>O, то, производя в этих равенствах ком-
И) Из |1 — F(0) |2dv(0) = edv вытекает, что мера |1 —
F(0) |2dv (0) абсолютно непрерывна, поэтому

11 —F(0) 12|ds(0) | = 0, или F(0) s 1 п. в. по мере |ds|.

Теперь, так как

11 — F(0) 12dv(0) = 11 — F(0) |2(1 + |ft(0|)d0,
to |1 — F|2(l 4-|й|) = с, или

I 1 г I	ъ

следовательно, ,

-------------------------------j

11 — F |(1 +1ЛI) =	L2.

iii)	Так как F(0)= 1 п. в. по мере |ds|, то

(1 -F(0))dv (0) = (1 -F(0j)(1 +1h(0)I)de.

Из этого равенства и ортогональности 1 — F к Я в L2(dv) по-
лучаем

ein0[l—F(0j] (14-1 ft(0)|)de, n=l, 2...

-Л

т. е., поскольку T-Ly=(l-F)(14-IA(0)l),

( . 'po^de^O, п= 1, 2, 3, ... .
J 1 — г (и)
-л

Вместе с включением -рзтуе L2 эти последние равенства
показывают, что существует последовательность многочленов
Gn (z), для которых || Gn (ei0) -	||2	0.

л

iv)	Из того что e,n0dp(0) = O, п= 1, 2, .к., и F(0) при-
-л

надлежит замыканию в L2(dv) линейной оболочки функций
eine, п 1, где dv(0)^ dp(0), очевидно, вытекают равенства

$ е“0(1 — F (0)) dp (0) = 0, *=1,2,....
-л
Но ф(0) = Л(0)</0-|-сЩ0) и 1—F(6) = 0 п. в. по мере
|ds(0)|. Следовательно,

J e'fe0[l-F(0)]A(0)d0 = O, k = l, 2, ... .
-л

По И) функция (1—F)h<=L2, поэтому, если Gn — после-
довательность многочленов из iii), то, используя неравенство
Шварца, получаем

Л	л

J ei40A(0)d0 = J eik* -fZ *,	[ 1 - F (0)] h (0) dG =

—л	~л

л

= lim ( e»0G„ (е“>) (1 - F (0)) h (0) dQ.
П-* ОО J

Но каждый из этих последних интегралов, согласно предыду-
щему равенству, заключенному в рамку, равен нулю, так как
Gn (z) — многочлен по г. Вывод:

J e/fteA(0)d0 = O, £=1,2,....
“Л

v)	Только что полученный результат показывает, что

Л

J eWs(9) = 0, £ = 1, 2, ... .
-л

Так как F лежит в замцкании линейной оболочки мно-
жества е'е, е2/0, ... в пространстве L2(rfv), где dv |ds|, то

Л

J F (0) (fs (0) = О,
-Л

л

т. е. $ ds(0) = O, поскольку F(0)=1 п. в. по мере |ds|,
-я

согласно И).

Мы видим, таким образом, что справедливы даже равенства

Л

$ eife0 • e-i0ds(0) = O для £=1, 2.........

• л
Теперь применим рассуждения шагов i)— iv) к новой
мере р, задаваемой формулой dp(0) = e~ieds(Q). Так как эта
мера р уже чисто сингулярна, мы для неё получим

Я

е{Ме~^(1ц (0) = 0, k = 1, 2, 3, ... ,

-я
т. е.

я

J eikee-2ieds (0) = о, k = 1, 2, 3..

-я

Взяв теперь новую (сингулярную) меру р, задаваемую фор-
мулой dp(0) = e~2i9ds(Q) и проведя уже для неё всю цепочку,
видим, что

j etk9e-3l6ds (0) = 0, k = 1, 2, ... .

-л

Повторяя рассуждения, мы, таким образом, получаем, что
Я

ell*ds (0) = 0 для всех целых /, откуда ds (0) = 0.

-Я

Итак, мы доказали, что для данной первоначально меры р
выполняется равенство dp(0) = h(Q)dQ. Следовательно, мера
р абсолютно непрерывна. Q. Е. D.

В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА Я1

Ввести в рассмотрение комплекснозначные гармонические
функции можно непосредственно: просто назовём гармони-
ческой любую комплексную линейную комбинацию обычных
(вещественнозначных) гармонических функций. (Мы до сих
пор избегали этого понятия, чтобы иметь возможность гово-
рить, что каждая гармоническая функция является веществен-
ной частью аналитической!). Теперь удобно допустить и ком-

плекснозначные функции, потому что тогда мы сможем рас-
сматривать аналитические функции как гармонические. Тео-
ремы о представлениях из пункта С главы I, конечно, имеют
место и для комплекснозначных гармонических функций — их
распространение на этот случай тривиально.

Определение. Говорят, что функция F(z), аналитическая в
{|z|<l}, принадлежит пространству Н1, если её средние
Л

IF (reie) | dQ ограничены для г <Z 1.

-л
Iе Представление Пуассона для функций из Н1

Пусть FeH1. Поскольку функция F(z), в частности, яв-
ляется гармонической в {|г|< 1), по теореме пункта С
главы I,

Л

F(ге/е) 2л i + r2-2rcos(e-<)

-Л

для некоторой меры (здесь — комплекснозначной!) р. на
[—л, л]. По пункту D главы I

F(re'e)-^dp(0)

при г—>1. Так как функция F аналитична в {|z|< 1}, то
теорема Коши (или непосредственное вычисление со степен-
ными рядами) даёт для г < 1

J eW(ref0)d9 = O п=1, 2.........

—я

Следовательно,

J eWp(0) = O, п = 1, 2, 3.......

-я

Но теорема братьев Рисе, приведенная в пункте А, обеспе-
чивает абсолютную непрерывность меры р, т. е. dp(0) =
h (0) d0, с некоторой функцией h^L' (—л, л).

Поэтому на самом деле в этом случае мы имеем представ-
ление

Л

-Л

с функцией h. Различие между этим случаем (функция F —

аналитическая) и более общим, рассмотренным в пункте С
главы I (функция F—просто гармоническая), имеет очень
большое значение для всего последующего развития теории.

Теперь, из пункта D главы I следует, что F(z)->h(e‘e) п.в
при z -> е16; поэтому если, как в пункте D главы I, мы вве-
.. (
дем граничную функцию

F(e“>)= lim F(z),

*
то тогда

л

-л

для F е Нх.

2° /.'-сходимость к граничным значениям

Из формулы подпункта 1°, заключенной в рамку, и элемен-
тарного свойства аппроксимативной единицы ядра Рг(0)
(глава I, пункт D, подпункт 2°) следует, что

J | F	- F (0) | dQ -> 0 при г->1.

-л

3° Формула Коши

По формуле Коши для |z| < R <Z 1

F(Z)= ‘ f ^Ldt.
' ’ Ini J E — z *

1С1-Я

Устремив R к 1 при фиксированной точке z, |z| <Z 1, на осно-
вании подпункта 2° заключаем, что

Это — формула Коши для функций из Я1.

С. ОТСТУПЛЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Односвязную область, граница которой содержит более
двух точек, можно конформно отобразить на внутренность
единичного круга. Этот факт составляет содержание теоремы
Римана, доказательство которой входит в обязательный курс
теории функций комплексной переменной.

Верно также, что если границей односвязной области яв-
ляется жорданова кривая, то тогда функция, отображающая
эту область на {|z|< 1}, допускает непрерывное взаимно-
однозначное продолжение вплоть до границы, которую она
отображает на {|z|= 1}.
Это утверждение в курсах комплексного анализа часто
приводится без доказательства. Так как мы иногда им поль-
зуемся в настоящем курсе, то ниже в подпункте Г мы дадим
его полное доказательство. В этом доказательстве предпола-
гается известной теорема Жордана, но в остальном оно яв-
ляется независимым.

1° Теорема Каратеодори о непрерывности конформного
отображения вплоть до граничной жордановой кривой

Определение. Жордановой кривой называется непрерывный
взаимно-однозначный образ в .С, единичной окружности. Не-
прерывная взаимно-однозначная функция, отображающая

{ z| = 1} на жорданову кривую, называется параметризацией
кривой.

С помощью своей параметризации любая жорданова кри-
вая очевидным образом порождает естественный порядок на
самой себе. Значит, мы можем говорить о дугах на жорда-
новой кривой и пр.

Определение. Жордановой дугой называется непрерывный
взаимно-однозначный образ в .С. интервала вещественной пря-
мой (включая или не включая концы).

Жорданова кривая может быть очень сложным объектом
(рис. 4).

Рис. 4

Следующую теорему Жордана мы принимаем без доказа-
тельства: Пусть Г — жорданова кривая. Тогда ,С.\Г состоит
из двух связных компонент О и Q, одна из которых содержит
все г с достаточно большим модулем. Если точка ш е Г, то
любая её окрестность содержит как точки из О, так и точки
из Q.
Определение. Пусть Q — компонента £Х\Г, содержащая все
точки с достаточно большим модулем. Тогда Q называется
внешностью кривой Г. Другая компонента О называется
внутренностью кривой Г.

В теории функций комплексной переменной используется
следующее определение:

Связное открытое множество G в _Cj называется одно-
связным, если для любого жорданова многоугольника П, ле-
жащего в G, внутренность П также лежит в G.

(Жорданов многоугольник — это жорданова кривая, со-
ставленная из прямолинейных отрезков, т. е. простая замкну-
тая ломаная. Теорема Жордана для жордановых многоуголь-
ников элементарна (хотя и не тривиальна) и может быть
доказана по индукции.)

Лемма. Пусть Г — жорданова кривая, а О — её внутренность.
Тогда О односвязна.

Доказательство. Предположим противное. Тогда суще-
ствует жорданов многоугольник П внутренность кото-
рого О' не лежит в О. Следовательно, существует точка
zеО', такая что либо ге Г, либо гей, где Q — внешность
кривой Г. Если г е Г, то пусть Л9 — окрестность точки г, удов-
летворяющая условию №<=^0'. По теореме Жордана Л9 со-
держит точку z/ из Q. Значит, в любом случае, если бы ре-
зультат был неверен, то множество О' имело бы внутри себя
точку г'ей. Так как связное открытое множество является
линейно связным, то мы можем соединить г' с оо некоторым
путём Л, лежащим в й и, в частности, не пересекающимся
с Г. Точка z' принадлежит О' — внутренности П, поэтому
путь Л должен пересечь П, скажем в точке z". Ясно, что
z"&.О. Но тогда Л соединяет z" с оо, не пересекая Г, что
невозможно. Следовательно, лемма справедлива.

Замечание. Проведённое рассуждение ещё не раз будет
использовано в дальнейшем. Мы будем ссылаться на него
как на жорданово рассуждение.

Пусть теперь Г — жорданова кривая, а Я) — её внутрен-
ность. Теорема Римана гарантирует, что существует конформ-
ное отображение Ф единичного круга {|z|< 1} на Я>, так
как по лемме область Я) односвязна. Наша задача состоит
в том, чтобы показать, что отображение Ф можно непрерывно
продолжить на весь круг {|z|	1} так, чтобы оно переводило

{|z| = 1} в Г непрерывно и взаимно-однозначно.

Лемма. Найдётся функция т, (б), определённая при всех доста-
точно малых б > О, такая что для данных а, b е Г с | а —
b | б существует одна и только одна дуга кривой Г, имею-
щая концами точки а и Ь, диаметр которой не превосхо-
дит Т] (б).

Доказательство. Пусть <р(е“)— параметризация кривой
Г и число б0>0 настолько мало, что, как только |ф(£) —
Ж)1=^бо, так |£ —£'|<2. Для £ и £'с |ф(?)-ф(£') | < б0
обозначим через а (единственную!) кратчайшую дугу единич-
ной окружности с концами £ и £', и пусть у = ф (<т). В силу
непрерывности функции ф и обратной к ней, diam у-> 0 равно-
мерно при |ф(£) — Ф(£')|-»-0, какие бы точки с |ф(£) —
Ф(Н1<бо мы ни взяли на {|z| = 1}. Теперь для б < б0 по-
ложим

т] (б) = sup {diam у: |Ф(£) —ф(£')|^б}-

Тогда т](б)—>0 при б—►О. Пусть число 6i <Z бо настолько
мало, что (dx) <-i diam Г. Тогда утверждение леммы выпол-
нено для б бь

Определение. Пусть а, &еГ и расстояние \а— б| доста-
точно мало. Единственная дуга кривой Г с концами а и б,
имеющая диаметр, не превосходящий т;(|а — б|), называется
малой дугой кривой Г, соединяющей aub.

Рис. 5

Лемма. Пусть Ф конформно отображает {| z [ < 1} на область
3), ограниченную жордановой кривой Г. Пусть |£| = 1. Тогда
ПтФ(х) существует и предельная точка принадлежит Г.

-

Это утверждение составляет основную часть нашей задачи;
его доказательство будет получено в несколько этапов.

i) Без ограничения общности можно рассмотреть вместо Ф
отображение F(z) полуплоскости {Imz>0} на 3) (рис. 5).
Нам надо доказать, что lim F (z) существует и принадлежит
------------------- ------------------------

Г; этого будет достаточно. Обозначим через уг полуокруж-
ность reiQ, 0 < 0 < л, и рассмотрим (открытую) жорданову
дугу F(yr)cz3). Имеем

л

длина F (уг) = $ IF' (ге‘в) | rdQ.

о

Но

оо > площадь 3)= j J | F' (z) I2 dxdy =

{Im z >0}

о о

что по неравенству Шварца не меньше, чем

оо

$ {[длина F (yr)]2/nr} dr.
о

Следовательно,

( -у [длина F (yr)]2dr < оо.
о

р

Так как для любого р>0 интеграл \ у- =оо, то должна
о

существовать последовательность rn->0, для которой
/(Yrn)”*®- (NB: Примеры показывают, что, вообще говоря,
длина F(yr) не стремится к нулю при г->-0!). Зафиксируем
такую последовательность гп и положим уг„ = уп. ii)

ii) Поскольку длина F(yn) < <», то пределы a=\imF(rne№)
0->0

и b = lim F (rnete) существуют. Докажем, что точки а и b
0->Л	---------- ---------------------------

принадлежат Г. В самом деле, предположим, что, например,
ае®, и пусть <U— окрестность в 3) точки a:	Пусть

zo = 77-1(a), lmzo>0. Выберем окрестность настолько
маленькой, чтобы множество F~l строго лежало в
{Imz<0}. Это возможно в силу непрерывности Г-1! Тогда
для любого числа 0 > 0, достаточно близкого к 0, точка
F(rnei0) лежит в <U, а следовательно, гпе‘6 — в 77"1 (<?/), что
неверно при достаточно малых 0. Итак, а и b лежат на Г.
Присоединим очевидным образом точки а и b к F(yn), с тем
чтобы получить либо

а) замкнутую жорданову дугу F(?n), если а ф Ь\ либо
Ь) жорданову кривую, если а = Ь.

В случае а), так как |а — 6(длина Г(уя)), что малб при
больших п, то по предыдущей лемме существует единственная
малая дуга Гаь кривой Г, соединяющая точки а и Ь. В этом
случае F(yn) и Га& вместе образуют жорданову кривую. До-
казательство этого факта состоит в записи параметризации
для /7(уп)11Габ, выраженной через имеющиеся в нашем рас-
поряжении параметризации дуги F(yn) и кривой Г, и является
настолько прямым и стандартным, что мы его опускаем.

iii)	Пусть Оп— это внутренность жордановой кривой
Г(?п)иГаб в случае а) из ii) или кривой F(yn) в случае Ь).
Тогда On cr S).

Доказательство. Замечаем, что	и повторяем

жорданово рассуждение, уже использованное при доказатель-
стве первой леммы.

iv)	Пусть число п достаточно велико, a Sn и Тп — области
в {Imz>0}, показанные на рис. 6. Тогда F(Sn)^On— внут-
ренности кривой Р(уп)11Га6 (или кривой F(?n), Р.СЛИ й — Ь).

Доказательство. По iii) имеем Оп^2£>. Возьмём произ-
вольную точку wo^On, тогда wo = F(zo), где Imzo>O. По-
скольку о>о Ф- F (уп), то или гр е Sn, или zo е Тп.

а) Если zoeSn, то F(Sn)<=On, и всё в порядке. Действи-
тельно, множество Sn открыто и связно, а потому то же верно
и для F(Sn). Так как F(Sn)^ 5>(=.С|\Г) и S«nv« = 0, то
F(Sn) целиком лежит в дополнении к жордановой кривой,
ограничивающей область Оп (F(yn) в одном случае или
^<Тл)иГа» в другом). Область F(Sn) имеет общую точку,
а именно точку wq, со связной компонентой Оп этого дополне-
ния. Следовательно, F(Sn) целиком лежит в этой компоненте,
т. e.F(S„) <=(?„.

b) Если Zo^Tn, то, как в а), можно доказать, что
F (Тп) s On. Однако мы сейчас покажем, что это невозможно
при п, достаточно больших. В самом деле, площадь F(Tn) =
площадь 3)— площадь F(Sn), что стремится к площади 3)
при п->-оо, так как П5„ = 0.С другой стороны, обозначив
п

через бя длину Г(уя), имеем по i): бя->0 и |а — Ь| бя,
поэтому по второй лемме Гаг> имеет диаметр, не превосходя-
щий т](бя), а эта величина стремится к нулю при га->оо. (Мы
считаем, что Га& в случае а = b — это {а}. Точки а и Ь, а сле-
довательно, и Го» зависят, конечно, от п, но для облегчения
чтения в наших обозначениях мы этого не отражаем!) Для
любого достаточно большого номера п пусть Д„— круг ра-
диуса бп + т](бп) с центром в конце а дуги Г(уя); тогда вся

жорданова кривая /•'('уп)иГаб лежит в Дя (рис. 7). Из этого
следует, что внутренность Оп кривой F (?«)() Га& также лежит
в Дя — доказательство получаем повторением жорданова рас-
суждения.

Следовательно, площадь Оп	л [бя + т) (б„) ]2 О при

п->-оо; в то же время, как мы видели, (площадь F(7*_)) —>
П->оо
(площадь £>} > 0. Поэтому для достаточно больших п
включение F(Tn)^On невозможно, и мы получаем F(Sn)s
On. Q. Е. D.

v)	Имеем S„ = Sn+i = ... . По iv), для достаточно боль-
ших п выполняется включение F(Sn)^On, и, как уже гово-
рилось, diam(?„<6„ + т)(бп) -> 0.


Теперь предположим, что Im z* > 0 и zk 0. Точки
{F(z*)} в конце концов попадают в любое F(Sn), а
diamF (Sn) Следовательно, F(zk) стремится (по крите-
рию сходимости Коши) к определенному пределу, скажем w,
и w не зависит от выбора последовательности {z*} точек,
стремящихся к 0. По доказательству утверждения iv) рас-
стояние от любой точки из F(Sn)sun до Г не превосходит
бп + лСМ» что стремится к 0 при п->оо; следовательно,
we Г. (Это также можно получить с помощью рассуждения
из начала шага И).)

Мы завершили доказательство нашей третьей леммы.

Вернёмся обратно к функции Ф(г), которая отображает
{|z|< 1} конформно на 2D. Только что доказанная лемма
показывает, что для любой точки t, |t|= 1, предел ПтФ(г)

«-Н
существует и принадлежит Г.

Обозначение. Положим lirn Ф(z) = Ф(£) для |£|=1.

Лемма. Функция Ф(£), определенная таким образом, непре-
рывна на {|£|« 1}.

Доказательство является лёгким и стандартным, поэтому
мы его опускаем.

Лемма. Функция Ф(£) взаимно-однозначна на {|£|« 1}.

Доказательство. Предположим противное. Тогда, ска-
жем для точек а и ₽ на единичной окружности, а 0, мы
имеем Ф(а) = Ф(0). Пусть о—показанный на рис. 8 путь.

Рассмотрим Ф(о). Поскольку отображение Ф взаимно-одно-
значно в f|z|< 1}, то нетрудно видеть, что Ф(о) — это жор-
данова кривая, лежащая целиком в S), за исключением един--
ственной точки Ф(а)™Ф(0), лежащей на Г. Повторное при-
менение жордарова рассуждения показывает, что внутрен-
ность О кривой Ф(о) лежит в 3). Пусть S и Т — два обозна-
ченных на рисунке сектора в (|z| < 1}. Рассуждение, исполь-
зованное на шаге iv) доказательства третьей леммы, даёт
нам:	или Ф(Т)^(У. Пусть для определённости

<D(S) = (7. Тогда, «ели ге$ и |г|->1, мы должны иметь
Ф(г)-»-Ф(а). В самом деле, все предельные точки множества
Ф(г) должны по пункту ii) лежать на Г, если |г|-»-1. Кроме
того, Ф(г) принадлежит множеству (?, имеющему на Г един-
ственную предельную точку Ф (а). (Доказательство: О = 3)\
поэтому если w— предельная точка множества (?, принадле-
жащая Г (а следовательно, не принадлежащая ЗУ), то, ко-
нечно, и)ф.О. Таким образом, w лежит на Ф(<т)— границе
множества (У. Но единственной точкой множества Ф(о), при-
надлежащей Г, является точка Ф(а)1) Итак, Ф(г) обяза-
тельно стремится к Ф (а).

Из того что граница множества S содержит целую дугу
единичной окружности (от а до Ь) и функция Ф(г) анали-
тична в {|z| < 1}, следует, что она должна на самом деле
быть постоянной в {И< 1}. а именно равной Ф(а)1). Это
абсурдно. Лемма доказана.

После продолжения функции Ф(г) указанным способом на
{|z|	1} она становится непрерывной на замкнутом круге

и переводит взаимно-однозначно {|z| = 1} в Г.

Лемма. Ф отображает {| z | = 1} на Г.

Доказательство. Пусть Wq е Г. По теореме Жордана
существует последовательность точек wn е сходящаяся
при п->оо к о>о. Пусть точки zn, |zn| < 1, таковы, что
Ф (z«) = Wn, тогда Ф (zn) w0. Без ограничения общности
можно считать, что zn -^Zq, |z0|	1. Случай |zo|<l

невозможен, так как тогда точка TF0 = lim Ф (z„) = Ф (z0)
/1->оо

лежала бы в 3>. Следовательно, |zo|== 1, и, согласно выше-
описанному продолжению функции Ф, Ф (zo) = «»о-

Теорема. Койформное отображение Ф единичного круга
{|z[< 1} на внутренность 3> жордановой кривой Г обладает
непрерывным взаимно-однозначным продолжением вплоть до

4) Это утверждение следует из принципа симметрии или из теоремы
пункта В главы III. — Прим. ред.
{|z| = 1} и, будучи так продолженным, отображает {|z| = 1}
на Г.

Доказательство содержится в последних четырёх
леммах.

Замечание. Этот результат принадлежит Каратеодори
(примерно 1912 или 1914 г.). Изложенное выше доказатель-
ство я узнал частично от моего учителя Рафаила Робинсона:
он привел аналитическое рассуждение, использованное на
шаге i), в своих лекциях в Беркли осенью 1951 г. Я подозре-
ваю, что всё рассуждение использует широко известные идеи.

2° Теорема Линделёфа о поведении конформного отображения
вблизи граничной точки, в которой существует касательная

Предположим, что <Z>— односвязная область, ограничен-
ная простой жордановой кривой Г, и примем (это не ограни-
чит общности), что ОеГ. Пусть функция f(z) конформно

Рис. 9

Рис. 10

отображает {|z|< 1} на 3). Как мы видели, f допускает
непрерывное взаимно-однозначное продолжение вплоть до
{|z| = 1}, отображающее эту окружность на Г, которое инду-
цирует параметризацию кривой Г. Без ограничения общности
можно предположить, что f (1) = 0 (рис. 9).
В 1917 г. (в тех же трудах Скандинавского конгресса, где
появилась знаменитая статья Ф. и М. Риссов) Линделёф опуб-
ликовал теорему, в которой рассматривался случай, когда Г
имеет в точке 0 касательную. Его результат утверждает, что
для |z| < 1, z-ь-1 мы имеем

arg f (z)—ar g (1 — z)	const.

Это означает, что конформные образы секторов единичного
круга с вершинами в 1 асимптотически являются такими же,
как секторы в S) того же раствора с вершинами в нуле
(рис. 10).

Предположим на секунду, что справедлива

Лемма. Функция arg/(z) ограничена в {|z|< 1}.

Тогда доказательство теоремы Линделёфа проводится сле-
дующим образом.

Поскольку функция f(eie) непрерывна и f(ete)^Q при
ete 1 (Г — простая жорданова кривая!), то функция
arg/(eie) (определённая как lim argf(z)) является непре-
рывной для всех точек а’6, кроме точки 1; лемма утверждает,

что она ограничена.

То что Г имеет касательную в точке 1, означает, что
arg/(a,e) стремится к определённому пределу, скажем а, при
0 ->-4-0 и стремится к а плюс нечётное кратное я при 0-*—0.
Из соображений ориентации представляется правдоподобным,
что этим цраТным будет просто я; принимая этот факт (кото-
рый будет доказан после леммы), мы видим, что функция
argf(e^)— arg(l —егв) непрерывна в 0, где она равна
а —-у. Поскольку функция argf(z)—arg(l—z) гармо-
нична и ограничена в {|z| < 1), то из пункта С главы I сле-
дует, что

arg / (reie) — arg (1 — re16) »

Л

—л

для |z| < 1. Вышеупомянутая непрерывность даёт нам теперь
по теореме подпункта D.20 главы I

arg/(z) — arg(1 — z)-*a — у при
Чтобы сделать это доказательство строгим, нам надо ещё
доказать лемму и утверждение об arg Строгое дока-
зательство использует теорему Жордана,

Без ограничения общности можно предположить, что каса-
тельная к Г в нуле вертикальна. Тогда для любого данного
т] > 0 существует б > 0, такое что все точки w = f (ег0) на Г
с |w| < б лежат в одном из углов |arga>±yl<i] (рис. 11).

Найдутся точки Р на оси х, как угодно близкие к 0, не при-
надлежащие £Z>. В самом деле, пусть Ф — конформное отобра-
жение {|z|> 1} (sic!) на внешность кривой Г. Рассмотрим
кривые уп — Ф (Хп), где Хп — последовательность малых дуг
с центром в 1, лежащих в {|z|> 1), радиусы которых стре-
мятся к 0 (рис. 12). Поскольку отображение Ф взаимно-одно-
значно и непрерывно вплоть до {|z|= 1}, то каждая дуга уп
является жордановой дугой, лежащей во внешности Г, за
исключением двух своих концов, принадлежащих Г. Эти кон-
цевые точки различны; обозначим их через Ф(е±/а), где число
а > 0 мало, если радиус дуги Хп достаточно мал. Так как
Ф(е!0) является параметризацией кривой Г, а Г имеет вер-
тикальную касательную в нуле, то Ф(е/а) и Ф(е~'“) должны
лежать по разные стороны от нуля в объединении двух вер-
тикальных углов | arg f | < П при достаточно малых
а > 0. Это означает, что дуга уп имеет начало по одну сто-
рону от оси х, а конец — по другую. Следовательно, она
пересекает ось х. Обозначив точку пересечения через Р, ви-
дим, что Р лежит во внешности кривой Г.

Теперь, если мы проделаем это построение при достаточно
малом радиусе дуги Кп, то получим, что 0 < |Р|< б (рис, 13),

Тогда если Р > 0, то весь сектор | arg w | < у — т) круга
{|а>|<б} лежит во внешности кривой Г, так как любая
точка w этого сектора может быть соединена с Р кривой, не
пересекающей Г. Аналогичное утверждение, конечно, выпол-
няется и для Р < 0.

Далее, область {|z|< 1} односвязна, а функция f(z) ана-
литична, ограничена и не обращается в ней в нуль; следова-
тельно, мы получаем, что функция logf(z) однозначна, ана-
литична в {|z|< 1} и ограничена на любом множестве, на
котором |f(z) | б, где б > 0. Но, как мы только что видели,
все w, |w| < б, с | arg и> |<у — п лежат во внешности
кривой Г, т. е. не в Sb\ это означает^ что если |f(z) | < б, то
точка /(г) должна лежать в дополнительном секторе

-у — T]<argf(z)C-y +т].

Так что по крайней мере функция arg f(z) = Imlogf(z) про-
должает оставаться ограниченной для |f(z) | < б, и лемма
доказана.

Предполагая и в дальнейшем касательную вертикальной,
давайте выясним, почему arg/(e~10)« argf(eie)-|-л, если
число 0 > О мало. Мы только что видели, что для | z | < 1
и, скажем, |z—11 < е приращение функции argf(z) не пре-
восходит л + 2т), так как тогда |f(z) | < б, и точка f(z) обя-
зана лежать в секторе раствора л + 2т]. Следовательно, по-
скольку | argf(e±<0) ± -у | < г), если 0 мало, а Г в точке О
имеет касательную, есть только две возможности:

arg f (е~10) « arg f(ete) + л
или

arg f(e~i0) « arg f (ei0) — n.

Нам надо установить, что осуществляется первая возмож-
ность, а не вторая.

Функция f(z) является конформным отображением круга
{|z| < 1} на 3), поэтому если Р ф. 3) и г < 1, то приращение
arg(f(z) — Р) на окружности {z = re‘6} равно нулю. По-
скольку функция f(z) непрерывна вплоть до {|z|=l}, мы
можем устремить г к 1 и получить

Дг arg (w — Р) — 0, Рф.3).

Так как, с другой стороны, отображение f(z) конформно, то
по принципу аргумента для Р'^3) при г < 1, достаточно
близких к 1, приращение arg(f(z) — Р') на {z — reiQ} равно
2л. Устремляя г к 1, получаем

Дг arg (w — Р') = 2л,
если Р' е S>.

Только что при доказательстве леммы мы видели, что
найдутся точки РфЗ)с произвольно малым |Р| > 0, лежа-
щие на оси х; без ограничения общности можно предпола-
гать, что эти точки находятся на положительной полуоси.
Тогда весь круговой сектор | arg w | < у — т), | w | < б, лежит
вне 3). Полностью аналогичное рассуждение показывает, что

3 Зак. 8В7
существуют точки Р' в S), лежащие на оси х. Мы видим, что
круговой сектор вида ~ + Л < argtw <	— т), | о* | < 6, ле-

жит в 3) (рис. 14).

Теперь возьмём малое фиксированное число а > 0 и поло-
жим Q = f(e‘a), Q' = f(e~ia). Пусть Г1—дуга кривой Г, со-
единяющая Q' с Q (отвечающая изменению параметра 0 от

—а до а), и Гг — дополнительная дуга, соответствующая
изменению 0 от а до 2л — а. Пусть Р > 0 мало; тогда, как
мы только что видели,

Дг arg (w — Р) = О,

Дг arg (w + Р) = 2л.

Следовательно,

Дг, arg (w — Р) + Дг, arg (w — Р) = О,
Дг, arg (о> + Р) + Дг, arg (w + Р) = 2л.

Если точка Р близка к нулю, то два вторых члена отличаются
на пренебрежимо малую величину (Гг лежит вне некоторой
окрестности нуля); поэтому мы находим, что

Дг, arg (w + Р) — Дг, arg (w —• Р) —> 2л при Р-» +0.

Теперь, если Q' = f(e_/“) лежит в нижнем из двух углов

a Q = f(eia)—в верхнем, то для Р, близких к нулю,

| Дг, arg {w + Р) — л | < 2т),

| Дг, arg (w — Р) + л | < 2т).
Если же Q' лежит в верхней полуплоскости, a Q — в ниж-
ней, то

I ДГ| arg(o> + Р) + л | < 2т),

| ДГ1 arg (w — Р) — л | < 2т].

Первая возможность даёт

Дг, (arg (w + Р) — arg (w — Р)) =« 2л,
а вторая

Дг, (arg (w + Р) — arg (а) — Р)) « — 2л.

Следовательно, на самом деле мы имеем первую:
f (eia) лежит в верхней полуплоскости,
f(e~ia)— в нижней.

Поскольку точки отрицательной полуоси оси х, близкие к О,
принадлежат 3), мы видим, что (в соответствии с тем, как
определено аналитическое продолжение в {|z|< 1} функ-
ции logf(z)),

|arg/(e(a) — у| <2т),
|argf(e-/0) + y| <2т],

и наконец, так как q — произвольное наперёд заданное число,
то argf(e~ta) — argf(eta)-»-n при <х->4-0.

Теорема Линделёфа, таким образом, полностью доказана.

Этот результат имеет важные приложения к исследованию
граничного поведения функций, аналитических в областях,
ограниченных простыми жордановыми спрямляемыми кри-
выми. Спрямляемая жорданова кривая имеет касательную
почти в каждой своей точке.

Следовательно, почти во все граничные точки такой обла-
сти (т. е. области, ограниченной простой жордановой спрям-
ляемой кривой) переносится с помощью конформного отобра-
жения из единичного круга понятие углового предельного
значения. Такое конформное отображение переводит всякий
сектор, лежащий в единичном круге, раствора, меньшего
180°, с вершиной в прообразе граничной точки в подмноже-
ство области, являющееся асимптотически сектором того же
раствора с вершиной в точке на границе.
Этот факт вместе с важной теоремой Ф. и М. Риссов,
которую мы докажем ниже в пункте D, позволит нам распро-
странить многие результаты следующей главы о граничном
поведении функций, аналитических в {|z|< 1}, на функции,
аналитические в области, ограниченной спрямляемой жорда-
новой кривой.

D. ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ
ЖОРДАНОВОЙ КРИВОЙ

Рассмотрим теперь область 3), ограниченную спрямляе-
мой жордановой кривой.

Пусть Ф — конформное отображение единичного круга на
3>— область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой
Г (рис. 15).

Рис. 15

По теореме Каратеодори, доказанной в подпункте С. 1°, Ф
обладает непрерывным взаимно-однозначным продолжением
вплоть до {|z| = 1} и отображает эту окружность на Г. По-
этому ясно, что если [e<e°, ei01, ... ,ef0p] — разбиение окруж-
ности {|z| = 1), то[Ф(е/ео), Ф(е*01).Ф(е'9р)]— разбиение

кривой Г.

1° Производная конформного отображения
принадлежит классу Я1

Теорема. Ф' (z) е Я*.

Доказательство (Беккенбах). Пусть е = е2я,/'1. Тогда
функция

$(г) = |Ф(вг) —Ф(г)|+ |Ф(е2г) — Ф(вг)Ц-...-Ь

+ |Ф(впг)-Ф(8п-'г)|

является субгармонической в {|z|< 1}; она непрерывна для
|z|<Cl в силу непрерывности Ф(г). Поэтому, по принципу
максимума, при | z | < 1

S(z)^maxS(g).

Но если |£| = 1, то точки
[Ф(£), Ф« Ф(в2О.....................Ф(в^)]

образуют разбиение кривой Г; следовательно, по определению
длины кривой (!)

S(t) длина Г < оо.

Итак, если |z| < 1, то S(z)^ длина Г. Теперь зафикси-
руем г <. 1. Мы имеем

S | Ф (eV) — Ф (е*~’г) | < длина Г.

Устремляя п к бесконечности и используя непрерывность
функции Ф'(ге‘е) по 0 для г < 1, получаем в пределе

2я

( IФ' (ге<е) | rdQ < длина Г,
о

и поскольку это выполняется для всех г<1, то Ф'(г)е
Я*. Q. Е. D.

2° Образы множеств меры нуль на единичной окружности

По подпункту С. Г, если Л — дуга кривой Г, то Ф взаимно-
однозначно отображает некоторую дугу J окружности
{|2|=1} на Л. Само определение длины дуги теперь нам
даёт

длина Л =е $ | t/Ф (е,е) |.
j

Теорема (Ф. и М. Риссы). Если У —дуга единичной окруж-
ности и Л = Ф (7), то

длина Л = $ | Ф' (е<6) | </0.

1

Доказательство. По теореме предыдущего подпункта
Ф'(г)е Н1, поэтому по В.2°

J |Ф'(е'е)-Ф'(гег9)|с?0->О приг->1,
Пусть Т (0) — непрерывно дифференцируемая 2л-периодиче-
ская функция. Интегрируя по частям, находим
2л	2л

\ Т (0) йФ (е<0) = - ( Ф (е'0) Г (0)	=

о	а

2я

= — lim ( Ф (ге*0) Г'(0) </0

(по теореме подпункта С.Г). Но при любом г < 1

- ( Ф (ге/0) Т' (0) de = j 1ге16Ф' (reie) Т (0) de.

Правая часть этого равенства по замечанию, сделанному вна-
2л

чале, стремится к $ /е/еФ' (е£6) Т (0) d0. Итак,
о

( Т (0) d<D (ei0) = J Т (0) /е'еФ' (ег«) de,
о	о

какова бы ни была 2л-периодическая непрерывно дифферен-
цируемая функция Т. Пусть теперь 0ое(0,2л), а Тл(0)— рав-
номерно ограниченная последовательность таких функций,
сходящаяся к единице в (0, 0о) и к нулю в [0,2л] \ (0, 0о).
Подставляя Тп вместо Т в последнее равенство и переходя
к пределу, по теореме Лебега получаем

Оо

ф (ei0«) = ф (1) + J 1е*ф' (е'«) de (0 < 0О < 2л).
о

Следовательно,

длина А = | d<5> (е<0) | = | Ф' (ei0) | de.

'/ 1

Теорема доказана.

Длина дуги кривой Г может быть очевидным образом
использована для определения линейной меры на Г. Сначала
пусть С*сГ — (относительно) открытое подмножество Г;
тогда О есть счётное объединение попарно непересекдющихся
открытых дуг А*, и мы положим	длина А*. Для

ft
произвольного подмножества .£с:Г определим |£| как
inf (|<7|: O’er 5, <7 открыто в Г}. Так как Ф — гомеоморфное
отображение окружности {|z|= 1} на Г, то легко показать,
основываясь на вышеприведенной теореме, что

|Ф(Е)| = ^|Ф'(е'е)|</0
в

для борелевских множеств Е на единичной окружности.
Имеет место следующий важный результат:

Теорема (Ф. и М. Риссы). Если Е— подмножество единичной
окружности и |Е| = 0, то |Ф(Е) | = 0.

Доказательство. Пусть — открытые множества на
{|z|=l}, £2ЯхэQn+i .... Е, такие что |Qn 0»
Тогда |Ф(Е) |	|Ф(Й«) | для всех п. Но из предыдущей тео-

ремы и следующего за ней обсуждения вытекает, что
|Ф(Й„)|=$|Ф'(е“>)|</0,

%

а этот интеграл стремится к нулю при п -* оо, так как
|| —* О.и Ф'(е‘8)е£1(—л, л). Q. Е. D.

3° Ряд Тэйлора конформного отображения
абсолютно сходится вплоть до границы

Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(г) абсолютно
сходится вплоть до {|z| = 1}.

Доказательство. По подпункту Г имеем Ф'(г)е//*.
Кроме того, поскольку отображение Ф конформно, то Ф'(г)
не обращается в нуль в {|z| < 1}. Следовательно, мы можем
определить аналитическую в {|z|< 1} функцию Чг(2:)=*
«= Уф^г). Теперь, для |z|< 1 запишем

Ф' (2) = Z ап гп.
о

Тогда

4^(2) =
о

где

b2o = а0, b'b0 + bQbl -flp 6Д 4- ЬД + bj>2 *= a,
и т. д.

Так как Ф,(г)е№, то средние

J |4f(n?za)|2de
ограничены при г < 1. По равенству Парсеваля отсюда сле-
дует, что

Теперь положим

♦ (*)= $1Мгя. '

Используя равенство Парсеваля, получаем, что средние

J I Ф (ге,в)
-л
ограничен# при r< 1.

Пусть 0 (z) = [ф (z) ]2 разлагается, скажем, в степенной
оо

ряд 2 Anz"‘ Тогда, с одной стороны, 0(z)e Я1, а с другой —
О

Ап = L I bk I! bn_k |> | Z bkbn_k I = I ап I.
о	о

Имеем

Ф(г) = с0+5Т^Тг',+1,
так что для доказательства абсолютной сходимости степен-
ного ряда функции Ф(г) вплоть до {|z|= 1} нам надо пока-
оо I I
зать, что >.	, , < оо.

о я + I

Для |z|< 1, взяв главную ветвь логарифма, получаем

-у <Imlog(l-z)< у
и

iog(i -z)= -£4,
так что

Im log (1 — z) = у £ S1^.n

4 -OO I n I

oo

для z = rel°, 0^г<1; умножая на 0(z) = У. Anzn и ис-
o

пользуя абсолютную сходимость и ортогональность находим,
что
ОО	2л

- л/ £	= $ в И,в) Im log (1 - re'0) rfO,

1	Q
2л

а это по абсолютной величине не превосходит ( | в(геге) | dQ,
9

что равномерно по г < 1 ограничено, скажем, константой М.
Поскольку Лп^О, то мы получаем, устремляя г к 1, что

оо

AJn М/п, как и требовалось.
1

Задача 3. Пусть Г — жорданова спрямляемая кривая, ограни-
чивающая область S). Докажите, что если функция f(z)
аналитична в и непрерывна в <25, то $ f (z) dz = 0. (Указа-
г

ние: используйте соответствующее конформное отображение.)
Глава III

Элементарная теория граничного поведения
аналитических функций

А. СУЩЕСТВОВАНИЕ П. В. КОНЕЧНЫХ НЕКАСАТЕЛЬНЫХ
ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Напомним, что, согласно пункту В главы II (или просто
согласно общим результатам главы I),

если F(z)e№, то угловой предел
F (<?“>) = lim F(z)
z-»eie

•К

существует и конечен для почти всех 9.

В частности, справедливо

Следствие (Фату). Если функция F(z) регулярна и ограни-
чена в {|z|< 1}, то почти всюду на единичной окружности
она имеет угловые предельные значения.

В. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ Н'

Теорема. Пусть F(z)e№. Предположим, что для некоторого
множества Е положительной меры /7(е'9) = 0 при 9е£.
Тогда F (г) s 0.

Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
тать, что 0 < |Е| < 2л. Положим для 0 г < 1

5 Р,(е-0Л.

В	[0,2л] \В

Тогда функция U(z) является гармонической в {|z|< 1} и

“ 2л-|£|	1ЁТ'

Кроме того, U (0) = 0 и

~ 2л—|£| П₽И Z?eie

для почти всех 9 из [0, 2л] \£. Обозначив через О (г) функ-
цию, гармонически сопряжённую с t/(z), мы видим, что
функция

ф («1e exp [U(z) 4- iO(z) J
ограничена в {|z|< 1}, |ф(0)| = 0 и для почти всех Ое
[О, 2л] \Е

|ф(^)| = ехр(-2я2;|£|).

(Существование п. в. граничной функции ф(е16) обеспечено
по пункту А) I

Поскольку функция ф(х) ограничена, то хдля каждого k
функция [ф(г)] *F(z)e Я1. Предположим, что F(z)^0; без
ограничения общности мы можем считать, что F(0)¥=0,—
в противном случае мы рассмотрели бы вместо F(z) функцию
F(z)/zm, принадлежащую Я1, где т — порядок нуля функ-
ции F в точке г = 0. По пункту В главы II теперь получаем

2л

Ф (0)*F (0) - J [ф (e“»)]*F (е'0) dQ

Q

=	$ [ф(е‘9)]‘Г(е<в)</0,

|0,2я]\В

так как F(el°) — 0 при 0 е Е. Откуда

|/?(0)| = l<p(0)lV(0)K^exp(- 2я^-|Ж) $ I F(e*)\dQ.

[0,2л]\Е

Правая часть стремится к нулю при £-*-оо (функция F(eie)
принадлежит L1!). Следовательно, F(0) = 0,— противоречие!
Теорема доказана.

С. ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ
ЗНАЧЕНИЙ

1° Функции с положительной вещественной частью

Теорема. Если f(z) регулярна в круге {|z|<; 1} и в нём
Ref(z)2>0, то limf(z) существует и конечен для почти
г-те1&

К

всех 0.

Доказательство (Титчмарш). Функция F (г) = ।
регулярна и ограничена в {|z| < 1}, следовательно, по пункту
А, для почти всех 0 функция F(z) стремится к конечному
пределу F(ez0) при z->e,e. Поскольку f(z') = ^—1, то f(z)
стремится к конечному пределу ртж — 1 при г -+ е1в,
если только F(e/e) не есть 0. Так как, по пункту В, для F 0
почти всюду F(e/0)	0, то всё доказано.
2° Существование F(в) для F из Г1

Прежде всего вспомним обозначения пункта Е главы I.
Там (в подпункте Е.4°) мы доказали существование п. в. со-
пряжённой функции F(0) для FeL2(—л, я).

Теорема. Пусть F(Q + 2л) — F(0) и FeL'(—л,л). Тогда
главное значение

Л

? (0) =	j 2 tg ((0-f)/2) dt

-л

п. в. существует и является конечным.

Доказательство (Титчмарш). Без ограничения общности

Л

можно считать, что Г(0)	0. ПоложимU (refe) =	\ Рг (0 —

ZJl J

-л

— t)F(t)dt, и пусть (7(z)—функция, гармонически сопряжён-
ная с U(г).

Функция f(z) = t/(z)4- iO(z) регулярна в круге {|z| < 1},
и в нём Ref(z)^O. Следовательно, по подпункту Г, функция
f(z) стремится для почти всех 0 к конечному пределу /(0) при
z eie. В частности, для почти всех 0 предел

lim(7(rei0) = Im/(eie)
г-*1

существует и конечен. По подпункту Е.3° главы I

I—г<|<—0|<л

при г-> 1 для почти всех 0. Это завершает доказательство.

D. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ЛУЗИНА—ПРИВАЛОВА

1° Эскимо-конструкция Лузина—Привалова1*

Определение. Для |£|= 1 положим

St = {z:|z|>-^=-, I arg($ — z)|<-j-|.

Например, Si —это заштрихованная область на рис. 16.

1> Словом «эскимо» переведено словосочетание «ice-cream cone»;

см. рис. 16. — Прим. ред.
Сделаем ряд очевидных замечаний:

a)	U Sc —это всё кольцо (-U- < | z I < 11

it 1-1	— IV2	J

b)	Если —= < |z| <1 для некоторого z, то {£: |£| == 1 &

есть (открытая) дуга единичной окружности,
построенная, как показано на рис. 17.

с)	Если J = £1, £2 — ДУга единичной окружности, стягиваю-
щая угол не более 90°, то множество точек z, < | z | < 1,
таких что z содержится лишь в тех множествах Sj, у которых

Sе/, образует замкнутый криволинейный треугольник Г, по-
строенный на J, как показано на рис. 18. Это легко следует
из а) и Ь).
Если дуга J стягивает угол, больший 90°, то множество
точек z, -^=- < |z|<l, принадлежащих лишь тем множе-
ствам у которых образует замкнутую криволиней-
ную трапецию Т, изображенную на рис. 19.

Теперь мы можем описать конструкцию Лузина — Прива-
лова. Для данного замкнутого множества Е на единичной
окружности пусть {/*} — множество (не более чем счётное)

Рис. 19	Рис. 20

дуг окружности, смежных (дополнительных) с Е. Используя
каждую дугу Jk в качестве основания, построим на ней тре-
угольник или трапецию Тк в соответствии с процедурой, опи-
санной в с). Возьмём замкнутую область

k k

(Значок ° обозначает внутренность, а черта сверху обозна-
чает замыкание.)

Наша область обладает следующим важным свойством:

Каждая точка г по модулю бблыпая

1

V2"

принадлежит для некоторого g е Е.

Это непосредственно вытекает из замечаний а) и с), сделан-
ных выше.

На рис. 20 дана картинка области 2D.
Заметим, что dS> — жорданова кривая. В самом деле, если
обозначает ту единственную точку, в которой луч, идущий
из 0 в е‘е, пересекает dS>, то £в будет непрерывным взаимно-
однозначным отображением единичной окружности на дФ.
Граница S) будет даже спрямляемой жордановой кривой, так
как для каждого k периметр Тк не превосходит С| /*|, где
С — константа, которую можно подсчитать из геометрических
соображений.

Обозначим через внутренность области S). Мы видим,
что к S) применимы все результаты пунктов С, D главы II.

Замечание. Кроме подпункта 3° ниже, где она исполь-
зуется при доказательстве теоремы Лузина — Привалова, об-
ласть S) (или её аналог для верхней полуплоскости) появ-
ляется в главе VIII в ходе изучения максимальных функций
и мер Карлесона.

2° Применение теоремы Егорова

Теорема. Пусть f(z)—аналитическая в {|z|< 1} функция.
Положим для | £ | = 1

Mf(£) = sup {|f(z)|, ZG=SC}.

Тогда функция Aff(^) измерима по Лебегу.

Доказательство. Пусть п 3. Возьмём гп = 1— -~
и положим для |^|=1

Мп (0 = sup || f (z) |: -^= < |z |<г„& | arg(r„£ - z)|<

(см. рис. 21). Поскольку функция f(z) непрерывна при
|z|^rrt, функция Mn(z) также непрерывна. А так как, оче-
видно, Мп (О Mf (?) в каждой точке £, то функция
Mf(£) измерима по Лебегу.

Теорема. Пусть функция f(z) регулярна в {|z|< 1}. Пред-
положим, что существует множество G положительной меры
на единичной окружности, такое что

lim f (z) = О
г-*С

К

для каждого g е G. Тогда найдётся замкнутое множество
EczG, |Е| > 0, такое что f(z)->0 равномерно при |z|-»-l,
если z принадлежит объединению множеств S ; по всем £ е Е,
Доказательство. Для п > 3 и |£| = 1 положим

P„(g) = sup{|f(z)|:z(=S6&|z|>l —

Рассуждение, проведённое при доказательстве предыдущей
теоремы, показывает, что каждая функция Рп(£) измерима
по Лебегу.

По предположению Р„ (£)	0 для £ е G и 16| > 0. По

теореме Егорова найдется такое множество EqS G, | Ео| > 0,
на котором Pn{Qравномерно. Взяв замкнутое множе-
ство EczE0 с |Е| > 0, получим утверждение теоремы.

3° Теорема единственности Лузина — Привалова

Теорема (Лузин — Привалов [1924]). Пусть f(z)—аналити-
ческая функция в {|z]<l}. Предположим, что G— множе-
ство положительной меры на единичной окружности, такое
что

lim f (z) = 0 для g е G.

Тогда функция f тождественно равняется нулю.

Доказательство. По подпункту 2° мы можем найти
замкнутое множество Е, |Е| >0, на единичной окружности,
такое что f(z)->0 равномерно при |z|->l, если z принадле-
жит объединению множеств Sj, £ s Это значит, что если
мы проведем конструкцию Лузина — Привалова, описанную
р подпункте Г, отправляясь от множества Е, то получим
область S>cz {|z|< 1}, на которой f(z)-»-0 равномерно при
|z|-► 1, z е 3).

Вспоминая построение подпункта Г, мы видим, что дЗ)
состоит из отрезков в {|z| <. 1), идущих в точки множества Е
на единичной окружности, и, кроме того, из самого множе-
ства Е. Следовательно, если мы определим функцию f(z)
нулем на Е, то получим непрерывную на 3) и аналитическую
в 3> функцию.

В соответствии с изложенным в подпункте Г, дЗ) яв-
ляется жордановой спрямляемой кривой. Возьмём любое кон-
формное отображение ф круга {|а>| < 1} на 3) и для |а>| < 1
положим F(w) = f(<p(w)). По теореме Каратеодори (глава II,
пункт С) ф в действительности продолжается вплоть до
{|а>|= 1} и отображает эту окружность взаимно-однозначно
и непрерывно на дЗ). Это значит, что F(w) непрерывно про-
должается вплоть до {|а>|=1}, так как f(z) непрерывно
продолжается вплоть до дЗ). Пусть S = ф-1 (£). Тогда
f(a») = 0 для Подмножество Е спрямляемой кривой
дЗ> имеет положительную линейную меру. Следовательно, из
теоремы Ф. и М. Риссов (глава II, пункт D) вытекает, что
|S| > 0. Поскольку функция F(w) регулярна в Е|а»| < 1), не-
прерывна на замкнутом единичном круге и равна нулю на S,
то на основании пункта В мы,заключаем, что F = 0. Откуда
f(z)ss0. Q. Е. D.

Замечание 1. Теорема Лузина — Привалова справедлива
для функций f(z), предполагаемых лишь мероморфными
в {|z|<l}. В самом деле, теоремы подпункта 2° имеют
место (с теми же доказательствами) и для таких функций;
поэтому мы можем, рассуждая, как выше, в начале доказа-
тельства теоремы Лузина — Привалова, получить область 3),
в которой f(z)-»-0 равномерно при |z|->l, ze®. Это зна-
чит, что обязательно найдется г <Z 1, такое что f(z) не имеет
полюсов в с |z|> г. Следовательно, все полюсы функции
f в 3) находятся в {| z |	г}. Но функция f, будучи мероморф-

ной во всём единичном круге, имеет в {|г|^ г} не более ко-
нечного числа полюсов, скажем zi, ...» zm- Тогда функция
g(z) = (z —Z1) ... (z —zm)f(z)

регулярна в 3>, непрерывна на и равна нулю на Е cz дЗ).
Остальная часть доказательства теоремы Лузина — Прива-
лова применима к g вместо f, и мы, как и раньше, видим,
что g s 0, а следовательно, f = Q,
Замечание 2. В формулировке теоремы Лузина — Прива-
лова (когда не налагается никаких ограничений на рост
|f(z) | при |z|-»-l) решающим моментом является то, что мы
рассматриваем угловые граничные значения (на множестве
положительной меры, где они предполагаются равными
нулю), а не только радиальные. Действительно, можно по-
строить ненулевую функцию f(z), регулярную в {|z|< 1),
для которой

lim f (reie) ш 0 при почти всех0 0 е [0,2л]
г-*1

Мы не приводим здесь такие конструкции. Одну из них можно
найти в книге Привалова по граничным свойствам аналитиче-
ских функций, второе русское издание которой вышло в 1950 г.
(Имеется её перевод на немецкий язык.) Позднее конструк-
ция, описанная в этой книге, была упрощена, как мне ка-
жется, Рудином * 2>.

Е. ОБОБЩЕНИЯ ПРИНЦИПА СИММЕТРИИ ШВАРЦА

1° Аналитическое продолжение функций из Я*
через дугу единичной окружности

Теорема. Пусть Ге Я1. Предположим, что Im Г (£) = () п. в.
для 5, принадлежащих некоторой дуге J единичной окруж-

ности. Тогда функция Г(г) может быть аналитически продол-
жена через / в {|*1> 1}, если для |z|< 1 положить F(z*) =
F(z), где z* обозначает 1/z (рис. 22).

!) Я благодарен П. Дж. Риппону, указавшему мне на ошибку, допу-
щенную в английском издании в этом месте.

2> Это упрощение опубликовано на стр. 215—217 книг# Коллингвуд#
# Дор#тера [1971]. —Прим. ре$.
Доказательство. В соответствии с пунктом В главы II.
для 0 г ,< 1

F (re16) — JL J Рг (0 -t) F (е“) dt,

-л
откуда

Im F (гею) = ^- ( Рг (0 - 0 Im F (elt) dt,
&И J

-л

что по предположению равняется (если немного вольно ис-
пользовать обозначения!)

-±-	(	Рг (0 - 0 Im F (еа) dt.

1-я. я|\/

На основании пункта 3) главы I мы теперь заключаем, что
при г->1 Im F(re‘e)-»0 равномерно по е<е, пробегающим лю-
бую замкнутую дугу, целиком лежащую внутри J. Поэтому
нужное нам утверждение следует из классического принципа
симметрии Шварца.

2° Одна теорема Карлемана

Докажем теперь один результат Карлемана об аналити-
ческом продолжении, имеющий приложения также в гармо-
ническом анализе.

Теорема. Пусть F и G принадлежат пространству Я1, J — дуга
единичной окружности. Предположим, что F(g)=G(£) п. в.
для Тогда функция F(z) может быть аналитически
продолжена через /; это продолжение получается, если для
| z | < 1 положить F(z*) = G(z), где z* = 1/z.

Доказательство. Для |z|< 1 рассмотрим функции
S(z) = F(z)+ G(z) и D(z)=F(z)—G(z)-, S и D принадле-
жат пространству Я1, и по предположению

ImS(g) = 0 п. в для geZ,
ReD(g) = 0 п. в для

Следовательно, по подпункту 1° функции *S(z) и D(z) можно
аналитически продолжить через J, положив для |z|< 1
и z* = 1 /г

S(z’) = S(z),

D(z‘)----D(z).
Отсюда видно, что функция F(z) = у (S (г) + D (z)) также ана-
литически продолжается через У: надо положить для |z|< 1

F(z*) = l(S(7)-DU)) = G^j. Q.E.D.

Задача 4. Пусть U(z)— гармоническая в (|z|< 1} функция
и V(z)—гармонически сопряжённая с ней (в {|z|< 1}).
Предположим, что имеется измеримое подмножество Е еди-
ничной окружности, такое что lim U (z) существует и конечен
Z-*C

для любой точки £ g= Е. Показать, что Hm V (z) при этом
z->c

к

условии существует и конечен для почти всех £&Е. Тре-
буется привести достаточно короткое решение.
Глава IV

Применение формулы Йенсена.
Разложение в произведение
внутренней и внешней функций

А. ПРОИЗВЕДЕНИЯ БЛЯШКЕ

Если 0<|гя|< 1, п= 1, 2, 3, .... и бесконечное произ-
ведение

ТТ I гП I гп — 2

11 z„ 1 — z„z

1

сходится для |z|< 1, то оно представляет некоторую функ-
цию, аналитическую в единичном круге; она называется про-
изведением Бляшке. Можно даже допустить равенство конеч-
ного числа чисел zn нулю — просто в этом случае множители,
соответствующие	*  заменяются на г.

1° Критерий сходимости

Имеем

\znV Zn — Z	  1 —(z/zn) _

Zn \—znz	1 n 1 1 — z„z

_ | z | _|_ (Zn— (l/zB))|z„|z = | z | I z„ I2 — 1 I Zn I z
”	1 — ZnZ	n 1 — znz zn '

откуда

T1 \-~ZZZ = 1 + {|Z„|- 1} { 1 +	.2};

следовательно, рассматриваемое бесконечное произведение
сходится при z = 0 тогда и только тогда, когда

Z(l-|z„|)< оо.
п

Но если S (1 I zn I) < 00 > то по той же только что най-
п	  '  —. .. .... ——•

денной формуле

Е| 1 — l2«l zn — z I _

I1 z„ i-2„z I
П

= S[l-|z„|]|i +-^ЬЛ1М.2|<ОО

I	Zn Ц — ZnZ) I

n
при |z|< 1; поэтому бесконечное произведение сходится
в {|г|<1}, если (I — |z„|) < оо. Таким образом,
п

П '\п 9 У сходится *> В { |z I < 1}

Lx 2ц I Z/fZ

тогда и только тогда, когда

£(1 -Iz„|) < «>•

2° Граничные значения почти всюду равны по модулю
единице

Пусть £(1— |z„|)<oo, так что	СХ0‘

п	п

дится в {|z|< 1} и представляет функцию B{z), аналитиче-
скую в этом круге. Согласно элементарной теории функций
комплексной переменной, из того, что каждый сомножитель
произведения по модулю меньше 1 в {|z|< 1}, вытекает, что
|B(z) | < 1 для |z| < 1.

Следовательно, для почти всех £, |£|=1, предельная
функция B(£)=limB(z) при z—►£ существует (теорема
Фату, пункт А главы III).

Теорема. | В (е'0) | = 1 п. в.

Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
тать, что все точки гп отличны от нуля (в противном случае
мы рассмотрели бы функцию B(z)/z* вместо B(z)). Тогда
log|B(0)| = Е log|z„ |. Теперь из того, что У. (1 — |zn|) < оо,
п	п

вытекает, что Е log|z„|> —оо. (NB: log|z„|< 0 для каж-
П

дого п.) Возьмём число г, 0 < г < 1, не равное ни одной из
величин |zn|. Тогда в силу простейшей разновидности фор-
мулы Йенсена 2)

Л

log | В (0) | = £ log + j- J log | В (ге«) | d0>
|г„|<г	-я

В этой формулировке, как и в некоторых других, имеется в виду,
что предел частичных произведений может равняться нулю; это проис-
ходит при г == гп (и только в этих точках). — Прим. ред.

См. Титчмарш [1980]. гл. III, § 3.61. — Прим. ред.
т. е.

yiog|z„| = У, Iog-*^- + -^r j log | В (re<e) | de,
n	\znl<r	-Я

ИЛИ

л

-i. Jlog|B(^»)|<»= £

-Я -	l‘nl<r	*

Выберем и зафиксируем какое-нибудь число р, такое что
У. log(1/|z„ I) < е, и возьмём r< 1 настолько близким к 1,
п>р
чтобы при л=1, 2, р все точки zn лежали в круге
{|г|< г}. Тогда из предыдущего соотношения получим

я	р	р

W J log | В (rei9) I dQ > £ log - £ log -jj-p - 8,
-л	I	I

или, если взять г < 1 достаточно близким к 1,

Л
logl Ide > -28.
AVV J

Это значит, что

firn J log | В (reside >0,
r"** °	-я

поскольку число e > 0 было произвольным.

Но В(ге,0)->-В(е‘е) п. в. при г-> 1, и
log | В (ге“>) | < 0.

Следовательно, по лемме Фату (переходим к пределу по по-
следовательности чисел г, стремящихся к 1)

я

( log | В (е/9) I de < 0.
XJv J

-Л

Поскольку | В (е*9) |	1, мы получаем, что log|B(e‘e) | =r. Q

р. в. Q. Е. D.
В. ВЫДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ БЛЯШКЕ В КАЧЕСТВЕ
СОМНОЖИТЕЛЕЙ

1° Возможность построения произведения Бляшке,
имеющего те же нули, что и у заданной функции,
аналитической в единичном круге

Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|< 1}
и Zn — её нули в этом круге, ]z„| <1. Предположим, что
интегралы

j log | F (геш) 140

-л

ограничены сверху при г < 1. Тогда

Z(l-I*nl)<°o,
п

так что произведение	—

В(2) = П ^В|
±1 Zn 1 — znz
п

сходится в {|г|< 7}, и имеет место равенство F(z)=B(z).
G(z), где функция G(z) регулярна и не имеет нулей в круге
{|г|< 1>.

Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
тать, что F(0)=/=0; иначе мы рассмотрели бы функцию
F(z)/zk вместо F(z). Тогда если 0<r< 1 и не существует
точек zn с | zn | = г, то по формуле Йенсена

log|F(0)|= £ log|-^-| + ^- Jlog|F(r^)|40,
|г„|<г	-я

т. e., по предположению,

У log|^-|<Af-log|F(0)|,

I Ъ’П I
|гп1<г

где М не зависит от г. Устремляя г к 1, получаем, что для
любого фиксированного числа р

£log-f^r<Al-log|F(0)|;

следовательно,

Zl0«-ra'<“=-
Существование произведения Бляшке В (г) теперь следует из
подпункта А.Г. Наконец, определим функцию G(z) в круге
{|z|< 1} по формуле G(z) = F(z)/B(z). Вот и всё.

2° Классы Нр 0 < р < оо. Факторизация

Определение. Если р > О (sic!), то пространство Нр состоит
из функций F(z), аналитических в {|z| <_ 1}, для которых

sup ( | F (re19) |₽ dQ < оо.

0<Г<1 J

(Я1 получается как частный случай этого определения.)

Теорема. Пусть F(z)^Hp. Тогда существуют произведение
Бляшке В (г) и функция G (г) е Нр, не имеющая нулей
в {|z| < 1}, такие что F(z) = B(z)G(z).

Доказательство. Если г <Z 1, то по неравенству, связы-
вающему среднее арифметическое и среднее геометрическое,

я	л

$plog|F(re'«)Id0<log-^- J | F (re‘°) |р dQ,

-л

-л

что по предположению не превосходит константы log С, не
зависящей от г. Следовательно, по подпункту 1°, если' точки
zn — это нули функции F(z) в {|z| < 1}, тоE(1-|Z„|) <оо,
п

и по ним можно построить произведение Бляшке В (г). Функ-
ция G(z) = -y||| не имеет нулей в {|z|< 1).

Пусть

N

Влг(2) = П-1гД1- .Zn~Z .

±1 Zn 1 —

Произведение, определяющее функцию В (г), сходится в
{|z|< 1), и оценки из А.Г показывают, что BN(z) <> В (г)
равномерно на {|z|	г), если г <Z 1. Возьмем такое число г,

для которого не существует нулей функции F с |z„| == г. Тогда

л	л

( | G (re,e) |р d0 = lim (

j	N->oo J

'“Л	—Л

F(rei6)

Bff(re19)

p
dQ.
Но для каждого N функция

Ct (-,\_ F (2)

G^Z>-Bn(z)

регулярна в круге {М<1}; следовательно, функция
|Gn(z)|p является в нем субгармонической, и поэтому для
любого фиксированного г < 1

(| Сд, (re10) |р dO < Пт ( | GN (Re*) |р de.

-я	Л

С другой стороны, для фиксированного N, как легко видеть,
| Вц (Re*) |->-1 равномерно при R -> 1, откуда

Пт {I Gw (/?ег0) |р d0 =s Пт (| F (Re*) |р de.
«-»! J	R-»l J

—я	—я

Последний интеграл по предположению не превосходит, ска-
жем, 2лС. Тогда для каждого г <i. 1

л

-л

при всех ЛГ, и, наконец, по предыдущему

J |G(re'e)|pd8<2nC.

—л

Поскольку г < 1 было взято произвольно, то О е №. Q. Е. D.

Схолия. Отметим, что в приведенной факторизации
л	я

sup J | Q (re*) f de = sup $ | F (re*) |p d8.
—я	—Я

Действительно, из рассуждений в конце только что закончен-
ного доказательства следует, что

я	л

sup J | Q (re16) |р do < sup J IF (re19) f dO.
< —л	—л

С другой стороны, так как F== BG и |B(z)	1 в {|г|< 1},

то справедливо также и обратное неравенство.
Следствие. Если f е Н\ то мы можем найти такие две функ-
ции g и h, принадлежащие Н1 и не имеющие нулей в {| z | < 1},
что

$|£(e/0)|de< J|f(e<e)|d0,
-л	-л

л	л

J |A(e«»)|d0< J |f(ew)|d0

-л	-л

И f — g -^h.

Замечание. Этот технический результат оказывается часто
полезным, так как многие неравенства для функций из И1
легче доказывать для функций, не имеющих нулей в {|z| <!}.

Доказательство. Пусть В(z) — произведение Бляшке,
построенное по нулям функции f(z). Тогда по предыдущей
теореме f = BF, где F(z) не имеет нулей в{|2|<1},^бЯ*и

J|F(e<e)|d0= J|f(eie)|dO.

-л	-л

Мы получаем требуемый результат, полагая
g(z) = ±(\+B(z))F(z),

ft(z)=y (I — B(z))F(z),

поскольку, как непосредственно проверяется (или же следует
из ст'рогого принципа максимума), |B(z)|< 1 для |z|< 1.

Следствие. Пусть функция f е Нр. Тогда её можно предста-
вить в виде

f(z) = B(z)[g(z)]I/p,

где В (г) — произведение Бляшке, а функция g принадлежит
Н1 и не имеет нулей в {|z|<l}.

Доказательство. Функция f(z) допускает представление
f = BF, где функция F^Hp не имеет нулей в {|z| < 1}. По-
ложим g(z) = [F(z)]p для |z| < 1. Тогда функция g(z) одно-
значна и регулярна в круге {|z|< 1), поскольку F нигде
в нём не обращается в нуль,
С. ФУНКЦИИ КЛАССА №>

Определение. Для функций Fe Нр, р 1, введём

11F |,р=?<? д/ $1F (rei9y>|Р dQ;

-л

ДЛЯ 0 < Р < 1 ПОЛОЖИМ	;

л

IIFII, = sup ( |F(re»»)|pd9
г<1 J
— л

(без извлечения корня р-й степени!).

Тогда || - ||р во всех случаях удовлетворяет неравенству тре-
угольника (и, следовательно, задаёт в пространстве Нр мет-
рику), однако является положительно однородной (т. е. нор-
мой) только при р 1.	'

1° Граничные значения. Норма

Теорема. Для р > 0 и F существует конечный предел
lim F(z) при г-^->е<0для почти всех точек е‘в, и если обозна-
чить этот предел F(e19), то

J | F (е^) |р dQ = || F И,, 0<р<1,
-л

л

$ IF (eie) |₽ d9 = || F ||р,	р>1.

-Л

Доказательство. Согласно схолии из подпункта В.2°,
функция F представляется в виде Р = BG, где В — произве-
дение Бляшке, G(z) не имеет нулей в {| z | < 1} и

ИЛд =IIG||„

Далее, как и во втором следствии подпункта В.2°, G(z) =
= [/i(z)]1/p, где h^H\ и, согласно подпункту С.2° главы II,

||/г|11 = Пт ( | h(re'e)|d9 = ( |	|d9,

-я	-я

причём угловые граничные значения й(е,е) функции h(z) су-
ществуют п. в. (глава П, подпункт С.1°). Теперь, предпола-
гая, конечно, что F Ф 0, на основании пункта В главы III
заключаем, что для почти всех 0 h (еге) =/= 0. Следовательно,
для почти всех 0 при z ei6 существует lim G(z) =
lim [ft (z)] Обозначим этот предел G(e‘0). Тогда поскольку
В (z)—>• В(е16) при z -£*• ею для почти всех 0, то F(z)->- В (е16) ♦
G(ei0) при z-g-e‘6 для почти всех 0; назовём эту предель-
ную функцию F(e‘e).

Наконец, если 0 < р < 1, то

Л

IIF ||р = || G ||, = || А1/Р||р = (очевидно) = || А ||, = J | А (е'0) | de =
-л

л	л

= J |G(e,0)|₽d0 = J | F (е{6) |de,
-я	-л

так как | В (е10) | = 1 п. в.

При р 1 мы получаем тот же самый результат, только
днтегралы в этой цепочке равенств и ||A|h возводятся в сте-
пень 1/р. Вот и всё.

2° Сходимость в среднем к граничным значениям.
Третье доказательство теоремы Ф. и М. Риссов

Теорема. Если / е Яр, то

Л

Jlf(re<0)-f(e'0)lpd0->O

-я

при г->1, где f(ei6) — это угловое граничное значение функ-
ции f(z), которое по предыдущей теореме существует п. в.

Доказательство. Если B(z)—произведение Бляшке, по-
строенное по нулям функции f(z), то f(z) = B(z)F(z), где
F&H? и F(z) не имеет нулей в {|z|<l}. Для г < 1
и 0 < р < 1

я	я

$ | f (et0) - f (re16) |р de < J|B (re16) lp | F (e;e) - F (re16) |p de
-я	— я

+ J |B(e'0)-B(re'9)|p|F(eie)|prf0
-Я

< J |F (e16) - F (re16) |p de + J | В (re16) - В (ei6) |p | F (e<0) |p d0,
Для р 1 имеют место аналогичные неравенства с той лишь
разницей, что из интегралов извлекают корни р-й степени.

Теперь из того, что | В (z) |	1, В(ге‘0)-> В(е‘0) п. в. при

г —>• 1 и |F(s/e) |р е L1, следует по теореме Лебега о мажори-
рованной сходимости, что

Л

J |B(rei0)-B(ei0)|p|F(ei0)|pd0->O при г->1.

-Л

Итак, мы видим, что достаточно доказать следующий
факт:

п

J | В (ге/0) — В (еге) |р d0-> О при г->1
-л

для функций F^HP, не имеющих нулей в {|z|< 1}. ,
Если р 1, то это просто, так рак по подпункту В.1°
главы II

Я

F<re'9> = i \Pr®-t)F(e")dt.

—л

ибо заведомо ВеЯ1. По Г функция F(e“)^.Lp, если F^Hp\
следовательно, в силу того, что ядро Рг— аппроксимативная
единица,

J |F(re<0)-F(e<0)|pdO->O

-Я

при г->1.

Предположим, что р> у. Используя остроумный приём
Зигмунда, положим G (z) = aJF (z); квадратный корень в этом
случае корректно определён, так как функция F(z) нигде не
обращается в нуль в {|z|< 1}. Тогда 6еЯ2р и 2р^1.
Имеем

J |F(re,0)-F(e/0)|pdO =

—Я

== $ I [G (ге'е) - G (ei0)] [G (re/0) + G (е<0)] |pd0,

-Я
что по неравенству Шварца не превосходит

J | G (ге1в) - G (ei0) |2₽ dQ •	J | G (re<0) + G (ei0) |2p dQ

— Я	— Я

J \G(rei9) — G(eie)\2pdQ,
-Л

где С не зависит от г, поскольку G е Н2р. Но в силу того, что
2р> 1, и доказанного выше последнее выражение стремится
к нулю при г->1. Следовательно, доказано, что требуемый
результат справедлив при р 1/2.

Если теперь р 1/4, то, опять вводя вспомогательную
функцию G = л/F, будем рассуждать, как и выше, используя
только что доказанный результат.

Таким образом мы докажем теорему последовательно для
р > 1/4, р > 1/8, р > 1/16 и т. д. и ВСЁ ПОЛУЧИМ.

Схолия. Идеи только что приведенного доказательства можно,
слегка их видоизменив, использовать для получения нового
доказательства знаменитой теоремы братьев Рисе (глава II,
пункт А).

Прежде всего заметим, что доказанная выше теорема
в случае р = 2 элементарна. В. самом деле, если функция
оо

f(z) = У- Anzn принадлежит пространству Н2, то
о

Я	ОО

J I f (re*) I2 d0 = л | A„ |2r2ra,
—я	0

вследствие абсолютной сходимости и ортогональности, по-
оо

этому X М„ |2 < оо.
О	'

По теореме Рисса — Фишера существует функция f(e,0)e
оо

L2(—л, л) с рядом Фурье У*, Апе'л0. Теперь, с помощью пря-
о

мого вычисления легко проверить, что для г < 1

Я

/И<0) = -^- $ Pr(Q-t)f(e")di

-я

(используем разложение в ряд1), так что в действительности

/(2)-*7(е,в) п. в. при z—-»-еге
и

j If (re<0) —f(ei0)|2d0-*O
-я

при г->• 1, согласно основным результатам пункта D главы I.

С помощью этого результата мы можем доказать теорему
Ф. и М. Риссов следующим образом. Возьмём любую меру р
на [—л, л], такую что

J eMe4i(9) = 0, п= 1,2,3........

-л

и ПОЛОЖИМ

*	л

F(re<e)==^_ Jpr(0-Odp(O

-л

для 0 г < 1. Как легко видеть,

F (гею) = апгпе1п9,
о

где
Л
-л

следовательно, функция F(z) регулярна в {|z| < 1} и, по под-
пункту D.10 главы I, F^H{. Как и в начале доказательства
предыдущей теоремы, мы можем функцию F представить
в виде F (г)» В (z) G (г), где В (z) — произведение Бляшке,
а бе//* 1, причём функция G(z) не имеет нулей в {|z|< 1}.
Следовательно, существует аналитическая в {|z|< 1} функ-

ция f(z), такая что G = f2; практически очевидно, что f <= №.
Теперь используем частный случай только что доказанной
теоремы: положим F(eie) = В(е1в) [f(e'0)]2; тогда F(eze)e

Ll(—л, л). Имеем

я	я

J | F (гег0) - F (е'0) | d0 < J | В (rete) - В (е10) 11 f (ei0) |2 d0
-я	-я

л

+ $ I в (ге/0) 11 (f (re™))2 - (f (е»))21 do.
-л

При г—»-1 первый интеграл в правой части стремится к нулю
по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Второй же
не превосходит

л

$|[f(re<e)]2-[f(e«We>

-л

а эта последняя величина стремится к нулю при r-> 1 (рас-
суждаем так же, как при использовании приёма Зигмунда,
учитывая тот уже доказанный факт, что

J |/(гегв)-/(егв)М-*0
-л

при г—»• 1). Наконец,

J IF (re1'0) — В (е‘0) | г/0-» О, г->1.
-л

Но по пункту D главы I при r-> 1

F(rei0)d0-^dp(0).

Следовательно, dp(0) = F(eie)dQ и мера р, абсолютно непре-
рывна, что и доказывает теорему Ф. и М. Риссов.

3° Теорема Смирнова

Теорема (Смирнов). Пусть f е Нр. Если р' > р и f (ею) е Lp',
то / е Нр'.

Доказательство. Имеем f = BF, где В — произведение
Бляшке и F— функция, не имеющая нулей в {|z|< 1}. По-
скольку |B(z) |	1, то достаточно доказать, что F^HP',

если F (е10) е /Л. Поскольку F — функция без нулей, мы мо-
жем положить

G(z) = [F(z)p.

Тогда Ge Я1 и G(e<0)е Lp lp с р'/р > 1. Достаточно дока-
зать, что G (z) е Нр1р. Но, используя результат подпункта
В.Г главы II, по которому

G (ге<0) = -±- J Рг (0 - /) G (е“) dt,
ZJl J
-л

и тот факт, что G(elt) е Lp',p с р'/р > 1, мы видим, что

J | G (re'9) \р'/р d0 < J|G (ei0) \p'lp dQ
-л	-л

для г <_ 1. Вот и всё.

4 Зак. 857
D. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ СОМНОЖИТЕЛИ

1° Лемма об абсолютной непрерывности

Лемма. Пусть Ф(х)/х->оо при х-»-оо, ф(х)^0. Предполо-
жим, что неотрицательные функции fn(t) удовлетворяют не-
равенству

Л
\<D(fn(t))dt^c,
-л

и L (/) dt---► du (/), где ц — мера на [—л, л]. Тогда мера ц

П-> оо	------ 		

абсолютно непрерывна.

Доказательство. Для К. > 0 обозначим через т)к точную
верхнюю грань величины ф^-у при х К. Тогда т]к-* 0 при
К->-оо. Пусть Е— компактное подмножество отрезка [—л, л]
и | £ | == 0; нам нужно доказать, что ц(Е) = 0. Зададимся про-
извольным числом в >• 0 и возьмём открытое множество
СУ=>£ с |С7|< е, и пусть ф(0— непрерывная на [—л, л]
функция,. 0	ф(/)1, такая что $(/) = 0 вне О и ф(/) — 1

на Е. Поскольку f_ (/) dt - а>-*- dp (/), то

л	л

p(£)C (	Hm ( ty(t)fn(f)dt Ciim \ fn(t)dt.

J	n->OO J	n->0O J

—Л	—Л	(7

Для заданного большого К и произвольного п положим

СУ (К, п) = {/е=СУ: Ш^К}.

Тогда

П)1+ J fn(t)dt

О	0\О(К, п)

<*|СЧ + ПХ $ Ф(^(0)^<А-|^1 + ЛкС</Св + СТ)К-

По б > 0 выберем сначала число К настолько большим, чтобы
cryc < 6/2, затем возьмём е > 0 таким малым, чтобы /Се <
S/2. Получим, что ц(£)<6. Поскольку б >0 произвольно,
то р(£) = 0. Q. Е. D.
2° Лемма о средних

Лемма. Если F(z) — функция, регулярная в {|z|< 1}, и ве-
личины

J log+|F(re<0)|d0
-л

ограничены при 0 г < 1, то для F О при 0 г < 1 огра-
ничены и

	я	* 3 * * * 7 В

r	Jllogl F (reside.

-л

Замечание. Этот результат имеет важные применения
в теории функций.

Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
тать, что Г(0)=#0 (в противном случае вместо F надо взять
функцию F(z)/zk). Тогда по неравенству Йенсена

Л

-оо <log|F(0)|<-^- J log|F(reside

-я

я	л

$ |log|F(re,e)||d0,

-я	-я

где 0 < г < 1. Следовательно,

л	я

$ I log |F(re<0)||d0 <2 J log+|F (rei9) | d9 — 2л log | F (0) |,

-я	-я

откуда и вытекает требуемый результат.

3е Выражение аналитической функции

через ее вещественную часть

Запишем следующее тождество:

1 —г2 . 2ir sin 0	(1 + Ге<0)(1 — re~f0) = 1 + ге<0

1 + — 2г cos 0	1 + г2 — 2r cos 0	(1 — reib) (1 — re~/0)	1 — re/0

В силу результатов главы I, если функция F(z) регулярна
в области, содержащей внутри себя {|г|^1},и0^г<1, то

-я

где с — вещественная постоянная (равная ImF(O)l).
Итак, мы получаем часто употребляемую формулу

1 С Л«4-Гйгв

F-И'9) = J	Re F (е«) dt + i Im F (0).

-я

4° Разложение на внутренний и внешний сомножители

Теорема. Пусть F(z)^Hp, р>0, и В (г) — произведение
Бляшке, построенное по нулям функции F(z). Тогда суще-
ствует сингулярная мера о 0 на [—л, л], такая что

л

Л

j Лу2—^(0
F(z) = B(z)e	eic 

где с — вещественная постоянная.

Доказательство. По подпункту В.2° мы можем записать
F(z) = B(z) G(z), где G^Hp и G(z) не имеет нулей в
{121< 1}. Таким образом, можно определить функцию ф(г)—
log G(z), которая оказывается аналитической в {|z|< 1}.
Теперь, для 0 г < 1 в силу неравенства, связывающего
среднее арифметическое со средним геометрическим,

я	я

Jplog+|O(re«)|d9<^- J log{|O(re«)|р + 1}d9<

-л	-л

л

dog-^- ( (|G(re'e)|p + l)d0<C,

—	J

-Я

л

и поскольку ОеН1’, то величины log+|G(rei9)|d0 ограни-
-я

чены сверху при 0 < г < 1. Следовательно, по 2°, и интегралы
Л

j I log | G (rei9) | |d0 ограничены сверху при 0 г <. к

-я

ОБОЗНАЧЕНИЕ. Положим
log" IG |-| log |G11 - log+1G |.
(Таким образом, log-1 G|>0!)
Найдутся последовательность чисел rv, стремящихся к 1,
гу < 1, и меры на [—л, л],	0,	0, такие что

log+1 G (гче16) | de	dn+ (0),

log" | G (rve,e) | de dn_ (0).

Теперь по формулам подпункта 3° после замены переменной
при фиксированном z, |z| < 1, имеем

я lt

<р(rvz) = iIm<р(0) +	J * Reф(rveH)dt

-я
л it

- i Im ф (0) + ± J log | G (M«) | dt.

-Л

В силу вышеуказанной w*-сходимости правая часть стре-
мится к	-

i Im ф (0) + --L $	(0 - dp- (/)],

-л

а левая часть — к ф (z). Итак,	;

я и

Ф(г) -1 Im ф(0) + -=L (	(0 -	(0)«

j е —* t
-л

Покажем теперь, что мера щ. абсолютно непрерывна. В са-
мом деле, поскольку G е №, то мы можем применить Iе; по-
лучим

log+1G (м«) | de	dp+ (0).

В то же время

t |G(rve,e)|pd0<C,
'	-я

поэтому, конечно,

J exp (р log+ | G (rve'e) |) de < С + 2л.
-Я

Но	при х-*ео. Следовательно, мы имеем

.	(0) = h+ (0) de, h+eLx.
Тем не менее всё, что мы можем сказать о мере ц, — это что

(0) = h_ (0) d0 + da (0),

где h- e Ll и da > 0 — сингулярная мера, не обязательно рав-
ная нулю.

Итак, если положить h = h+ —	L1, то

я it

' <p (z) = i Im <p (0) + ± J	(Л (0 dt - da (/)).

-л

Это, в частности, даёт (после перехода к вещественным час-
тям — вспомните формулу подпункта 3°!)

л

-л

Поэтому, по подпункту D.3° главы I, в любой точке 0о, в ко-
торой существует о'(0о), а производная неопределенного инте-
грала от h(t) равняется Л(0О),

log | G (z) |-> A (ei9«) —• а'(Оо) при

Но так как мера da сингулярна, то о'(0) = 0 п. в. Кроме того,
из включения G е Яр следует существование п. в. угловых
пределов G(ei9), не равных п. в. нулю (по А.2°, В.2° и пунк-
ту В главы III). Следовательно, log|G(ei0)| имеет смысл
п. в., и поскольку | G (еге) | = |F(e'9) | п. в., то мы можем кон-
кретизировать вид вещественной интегрируемой функции Л:

Л (е*в) = log | F (е'е) | п. в.

Итак, мы доказали, что

ф (z) = I Im ф (0) + J еец + гг [log IF (elt) \dt —da (0].

-Я

Наконец,

F (г) = В (z) G(z) = B (z) а* <г>,
и справедливость нужного нам представления установлена.
Q. Е. D.

Схолия. В качестве побочного продукта проведённого дока-
зательства мы получаем, что log|F(e“) |е Ll(—л, л) для вся-
кой ненулевой функции F е Я"; этот факт представляет собой
количественную форму результата пункта В главы III. Он
следует также, и более непосредственно, из 2° и леммы Фату.

Определение. Формула

1 С elt+z	1 С

F(z) = B(z)e а" е г eice ~п



называется каноническим представлением функции F е Нр.
Назовём (следуя Бёрлингу) функцию

( п а

h («) = ei°B (г) exp ] — -25Г J 7FZ7 da (О

-л

внутренним сомножителем функции F(z), а функцию

aF(z) — expf 2п $
\ -л

log|F(e»)|d/

— внешним сомножителем F(z).

Заметим, что (do^O!) |/f(z) |	1 при |z|< 1, и из ска-

занного выше следует, что |/г(^)|=1п. в. при |£|=1
(см. рассуждение, показывающее, что Re<p(z)->-/i(e‘e) п. в.
при z—>ei0).

Е. ТЕОРЕМА БЕРЛИНГА

1° Аппроксимация многочленами

Лемма. Пусть р > 0. Если F е Нр, то существуют много-
члены P(z) со сколь угодно малой нормой ||F— Р||р.

Доказательство. По С.2°, если г < 1 достаточно близко
к 1, то ||P(z) — P(rz)||<e. Но ряд Тэйлора функции P(rz)
сходится равномерно на {|z|^l}. Обрезая его достаточно
далеко, мы получаем многочлен P(z) с ||F — Р|| < 2е.

2° Обобщение теоремы Смирнова

Лемма. Пусть F и G принадлежат (возможно, разным) про-
странствам Нр. Если для отношения их внешних сомножите-
лей k(z) = 0F(z)/(?o(z) мы имеем k (e;e) е Lp' для некото-
рого р', то (УР (z)/<?а (г) е Нр' (обобщение теоремы Смир-
нова) .
Доказательство. При г <. 1 по неравенству для среднего
арифметического и среднего геометрического имеем

(NB: 2я J i + г2 - 2г cos (0 - 0 dt ~ 1
\	- л	/

рlog|Л(re«)। = i + rJ2rLs(e-0 logI осЯIdt

Л

<1O„JL C________i -r2

g 2л J 1 + r2 _ 2r cos (0 - 0
— Л

F(e“)

G(e“)

Г dt.

Следовательно,

Л

I k (reie) i" de <

-Я

1
2л

-л -я

1 - г2__________

1 + г2 — 2r cos <6 — t)

F(e")

G(e")

P

dtdQ —

f(e“)
G(e«)

dt,

и всё закончено.

3° Теорема Бёрлинга для №

Теорема (для случая р = 2 принадлежащая Бёрдингу). Пусть
F = If0f е Нр, р > 0. Замыканием в Нр линейного многооб-
разия F(z) • {многочлены от г} является в точности h'Hp.
(Общий случай рассмотрен Сринивасаном и Вангом.)

Доказательство, а) Указанное замыкание содержится
в IfHP. В самом деле, пусть G^Hp, и пусть Ря(г)—много-
члены с || FPn — Q ||	0. Мы можем без ограничения общ-

ности считать, что ||FPn— FPn+illP < 2~п. Тогда поскольку
| h (в'0) | = 1 п. в., то, по С.1°, при 0 < р < 1

J | Ог («'») Р, (е") - Ог (е“) Р.+, (Л) Г л < 2-”,
-Л

а при р 1 аналогичное неравенство выполняется для корня
р-й степени из написанного выше интеграла. Так как 0f^Hp,
если F^Hp (ср. с доказательством из подпункта 2°!), то
0рРп^Цр, и, по С.Г, НбМ’л — СМ’л-нИр < 2~я. Применяя не-
равенства такого же типа, как в 2°, легко видеть, что ряд

<УР (z) Рх (г) 4- Е [СР (z) Р„+1 (г) - ОР (г) Рп (г)]
П-1

сходится равномерно внутри {|z|< 1} к некоторой аналити-
ческой функции, скажем /? (z), и по неравенству треугольника
для ||-||р (NB: справедливому также для 0<р< 1!) в слу-
чае r< 1 имеем (в предположении, что р < 1; если р~^ 1,
то из интеграла извлекается корень р-й степени)

Л	ОО

$ IR (ге1в) |р de < || ОРРх ||, +	II 0PPn+i ~ 0РР* II, < °° •

-Л	П = 1

поэтому R е Нр.

Далее,
(	п~ 1	*1

FPn = 1Р0РРа = 1Р { 0ррх + Е (0РРт+1 - W } —Г IPR-

Так как ЦГР- — G|L—>0, то мы заключаем что G = IFR
лежит в 1РНр *>.

Ь) Рассматриваемое замыкание содержит множество
1Р-Нр. Так как |/f(z) |	1 для |z|< 1, то достаточно пока-

зать, что линейное многообразие (Ур-{многочлены} плотно
в Нр.

Сначала предположим, что р 1. Тогда мы можем вос-
пользоваться соображениями двойственности. Пусть | + у "
«= 1; возьмём функцию k е Lp, для которой

Я

J е1пЮР (eie) k (0) dQ = 0 при п — 0, 1, 2, ....
-я

Л

Достаточно доказать, что 0= $ G(e,0)£(0)tZ0 для любой
-л

функции G&Hp. Так как б?г(е‘0)-Л(0)е L1, то из равенств
Л

J е1пЮР (е‘в) k (0) de = 0, п — 0, 1, 2.

-л

4> Вот иное, более краткое оформление тех же соображений: |(Л7> —,
— lip = II	Нр (иб° IM«U9) 1 и О» так что последователь-

ность {dFPn} сходится в себе в полном метрическом пространстве Нр (до-
казательство пункта а) фактически и есть замаскированное доказательство
полноты). Полагая R » lim видим, что|| G — /„/? IL e lim IIFP

р п ’ u F пр л 4
“ 1Р°РРП И “ °- “ ПРим-
следует, что бУр(еге)£(0) = е‘'0Я(е'0), где ЯеЯ1. Отсюда
л (Л19Х

0Р(е1в)

Таким образом, по 2° функция Oh/Gf — R принадлежит Я’
и k(Q) = e’e/«(e‘0)P(eze). Поэтому если G^Hp, то

G (е<0) k (0) = ei6IH (е‘в) G (е'е) Я (е<0)

с 1HGR е Я1, так что

J e,n0*(0)G(ez0)d0 = O для n = 0, 1, 2.....

-я

Мы закончили доказательство для случая р 1.

. Теперь, используя идею . Зигмунда, предположим, что
F G И” с р 1/2. Ясно, что мы можем взять A (z) == VGF(z).
Тогда Fi (z) e Я2р и Gf, — Fi. Следовательно, если G — произ-
вольная функция из Я2р, то по сказанному выше можно найти
многочлен Р с ПАР—G||2p<e. Используя неравенство
Шварца, мы тогда получаем ||<УрР — FiG||0 < VlI^pllpV6
(или другой вариант (с корнем р-й степени), в зависимости
от того, р 1 или нет).

В частности, если Q — многочлен, то мы можем найти дру-
гой многочлен Р, такой что ПбУрР — FiQflp б, где б > 0 —
произвольное наперёд заданное число. Теперь, пусть Я е Яр.
Воспользуемся сначала результатом подпункта 1° и найдём
многочлен Р с ||Я — ЯПр^б. Тогда, как мы заметили выше,
можно подобрать другой многочлен Q, для которого ||FiQ —
Plkp будет меньше любого наперёд заданного положительного
числа. Используя неравенство Шварца, видим, что можно
выбрать Q с ||FiQ — Р||р б. Наконец, мы имеем многочлен Р
с ИбУрР- FiQllp С б, откуда ||Я-бУрР||р < ||Я-Я||Р + ||Р -
FiQllp+IIFiQ — СУрР||Р<Зб. Тем самым результат, который
мы доказываем, распространён на все значения p^s 1/2.

Те же самые рассуждения можно теперь использовать,
чтобы распространить на все р 1/4, затем на все р^ 1/8
и т. д. Вот и всё.	__

F. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Пусть $ — гильбертово пространство с ортонормирован-
ным базисом {еп: п = 0, ±1, ±2, ...}. Рассмотрим унитарное
преобразование V, определённое на $ соотношением

Кбд — вп+1*

Задача состоит в изучении инвариантных подпространств опе-
ратора V.

Отобразим $ изометрически на L2 (—л, л) так, чтобы еп
соответствовало -,= ein0: тогда V будет соответствовать
у/2л

умножению на е‘0.

Теорема. Пусть Е— такое замкнутое подпространство в
L2(—л,л), что е®Е = Е. Тогда Е = хаЕ2, где %а — характе-
ристическая функция некоторого измеримого множества
A cz (—л, л).

Доказательство. Если EczL2(—л,л) (включение стро-
гое!) , то 1 Е. В противном случае е'0 и, следовательно, е2'0,
е3,е и т. д. принадлежали бы Е. Кроме того, из е‘вЕ = Е мы
получаем e~iQE = Е, так что из включения 1 е Е следовало
бы, что е-10 е Е, е~2‘в е Е, е-310 е Е и т. д., откуда, оконча-
тельно, Е должно было бы совпадать с Е2.

Пусть ф — ближайший к 1 элемент из Е. Тогда, рассуждая
как выше, получаем

е<п0Ф е Е, п = 0, ± 1, ± 2, ...,
откуда

1 — Ф ± ein%, п е Z.

Значит,

я

$ егп0(ф(0)-|ф(0)|2М0==О, neZ,
-л

так что ф = |ф|2 п. в., и, наконец, ф(0)= 1 или 0 п. в.; следо-
вательно, ф = ха для некоторого измеримого А. Поэтому
ХаеЕи хд£2 = Ё. Очевидно, хаЕ2— замкнутое подпростран-
ство пространства L2. Если хлЕ2 не совпадает с Е, то суще-
ствует элемент ipeE, ортогональный к хлЕ2* В частности,

Ха (0) ♦ (0)е<п0 ^0 = 0, п s= Z,

-л

так что фхд as 0, и ф а 0 п. в. на А. Но в то же время
е‘п0ф е Е для neZ; следовательно, поскольку 1—хл ~
1 — ф ± Е,

$ (I-Хд(О))'1’(О)е",04/0 = О, neZ,
-Л
т. е.
л
$ Xl_Jl>n)4A(0)t(9)e,ned0 = O, ne=Z.
-л

Таким образом, > 0 п. в. на (—л, я)\Л. Значит, i|> s О
п. в., — противоречие! Итак, %д£2 — Е Q. Е. D.

Теорема. Пусть Е — замкнутое подпространство в L2 и
е‘вЕаЕ (строго). Тогда Е = соЯ2, где |со(0)|г 1 п. в.

Доказательство. Подпространство е‘вЕ также является
замкнутым. Пусть (йе£, ю #= 0 и со ± ei9E. Тогда, в част-
ности,

со ± ein0co, п = 1, 2, ...;

следовательно,

J |<a(0)|2e"ied0 = O, п=1, 2,....
-л

Комплексное сопряжение даёт

J |<o(0)|2e-/n0d0 = O, п=1, 2,...,
-я

откуда, окончательно, | со (0) | = const п. в. Без ограничения
общности можно считать, что |со(0) | = 1 п. в.

Далее, со, е£0со, е2,есо, ... все принадлежат Е\ следова-
тельно, соЯ2 <= Е. Я утверждаю, что соЯ2 = Е. Подпростран-
ство соЯ2 замкнуто в L2, и так как |<о(0) | = 1, то ортогональ-
ным дополнением к соЯ2 в L2, как легко показать простым
вычислением, является е-/0со(0)Я2.

Но если F е Е, g&H2, то gF^E, так что eiegF^et9E;
поэтому в силу выбора со

со ± el9gF,
т. е.

_ j e-‘0g(0)<o(0)F(0jd0 = O,

-я
или	__

е_,0со(0)Я2 ± £.

Получаем, что из Р е L2 и Р ± соЯ2 вытекает, что Р ± Е. По»
этому Е г соЯ2, и, следовательно, Е = соЯ2.




Следствие. Пусть Е — подпространство в Н2, такое что
е'°£ = Е, Е ф {0}. Тогда Е = со№, где со — внутренняя функ-
ция *>.

Доказательство. Если е1вЕ = Е, то eln6E — Е для п = 1,

2, ...; поэтому Е = П е1п6Н2. Но это пересечение состоит
П = 1

только из 0. Следовательно, е‘вЕ а Е (строго). Поэтому Е =
аН2, где |<о(0)|= 1 п. в. ишеЕс//2. Значит, со — внутрен-
няя функция. Q. Е. D.

Следствие. Пусть дано семейство функций fa = где /а —
внутренняя, а — внешняя функция из Н2. Запишем

s	г

/а (г) = & a (z) бХр <	2^ J eit z (0 ?

\	-л	)

с произведениями Бляшке Ba и сингулярными мерами
doa 0. Пусть Е — инвариантное подпространство в И2, по-
рождённое функциями fa; другими словами, Е — наименьшее
замкнутое подпространство в fi2, содержащее все [а, такое
что ё‘вЕ cz Е.

Тогда Е = mH2, где

co(z) = B(z)expl — — J do(/)l.
I -л	)

Здесь В (г)— наибольший общий делитель функций Вм{г),
a da 0 — наибольшая мера, не превосходящая всех daa.

Доказательство. По предыдущему следствию Е пред-
ставляется в виде <оН2, где со — внутренняя функция.

Каждая функция fa е Е; поэтому /а = /аС7о имеет вид cog,
g е Н2. Следовательно, если мы запишем

<o(z) = B(z)expf — jj * da(t)j,
\ -л	/

то, принимая во внимание внутренний сомножитель функции
g, увидим, что В | Ва. и da	daa-

Теперь предположим, что существуют произведение Бляш-
ке Б и сингулярная мера а', такие что Б делит каждое Ва,

> То есть функция, внешний сомножитель которой тождественно ра-
вен 1.




и do' не превосходит ни рдной daa. Если также В | Б и da
da', причём хотя бы одно из этих соотношений строгое, то,
полагая

Q (z) = Б (z) exp f	J + * da' (/Л.

\ -я	/

мы ВИДИМ, что

оЯ2 QH2

(строго). Но каждая функция fa принадлежит ЙЯ2 вследствие
выбора Б и а'. Значит, в этом случае мы имели бы Е £ QH2,
и Е не могло бы равняться аН2. Но они равны!

Следовательно, со является в точности такой, как утверж-
дается в следствии. Q. Е. D.

Задача 5. 1. Пусть fa(z) — внешние функции, принадлежащие
какому-нибудь пространству Нр, р > 0. Предположим, что
IA (г) | > |fe(z) I > 1/з(г) | > •.. при |z|< 1 и

равномерно внутри {|z| <. 1}. Доказать, что если функция
f(z) не равна тождественно нулю, то она внешняя.

2.	Если /(z)s//1 и Ref(z)>0 для |z|< 1, то функция
f(z) — внешняя. (Указание: рассмотрите функции -i-4- f (z).}

3.	Пусть со (z) — непостоянная внутренняя функция. Для
каких комплексных а функция ш(г) — а является внешней?
(Указание: в случае |а|< 1 рассмотрите

G. ПРОСТРАНСТВО Я“. ТЕОРЕМА ФРОСТМАНА О РАВНОМЕРНОЙ
АППРОКСЙМАЦИИ ВНУТРЕННИХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ
БЛЯШКЕ

Определение. Обозначим через Я00 множество всех функций,
аналитических и ограниченных в {|z|< 1). Для БеЯ°° по-
ложим

||F||oo = sup{|F(z)l: |г|< 1}.

Большинство результатов пунктов А — D справедливо
и для Н°° после замены || • ||р на || • [!<».

Примечательным исключением является теорема
подпункта С.2°, утверждающая, что || F (ге‘в— F (е/е) ||р -> 0
при r-»l, если F г Яр. Это утверждение в общем слу-
чае НЕВЕРНО для функций F е Я”, если для них
использовать норму || • Щ
В самом деле, если Ге Я00 и для неё ||F(e‘0) — F(reie)||«>-»-0
при r->oo, то функция F(et9) должна быть непрерывной. Но
существует очень много функций F^HX, для которых F(e‘e)
не непрерывна!

Тем не менее и для F е Н°° верно, что || F ||м = ess sup | F
0

(е/в) |. (Если F^H°°, то F принадлежит всем пространствам
Нр, следовательно, угловые граничные значения F(e/0) суще-
ствуют п. в.!) Результаты пункта D также продолжают быть
справедливыми и в этой ситуации. Доказательство того, что
они переносятся на случай пространства Я00, предоставляется
читателю — в’сё это легко следует из результатов, уже изло-
женных в этом курсе.

Важный подкласс функций в пространстве Я00 образуют
внутренние функции, т. е. такие функции, внешние факторы
которых равны 1. Внутренние функции co(z) обладают тем
свойством, что |а>(е‘е)| = 1 п. в. В важности таких функций
мы уже убедились выше в пунктах Е, F.

Как это следует из подпункта D.4°, всякая внутренняя
функция <o(z) допускает представление

со (2) = е1сВ (z) exp j — J da (0 ? •
L -я	)

где c e R, В (z) — произведение Бляшке и da 0 — сингуляр-
ная мера на [—л,л].

Лемма. Внутренняя функция <o(z) отличается от произведе-
ния Бляшке постоянным множителем тогда и только тогда,
когда

Л

log | со (ге19) | dQ -> 0 при г->1.

-Л

Доказательство. Рассуждения, проведённые в подпункте
А.2°, показывают, что

log | В (ге19) | ЯО —> 0 при г —> 1

-Л

для сомножителя Бляшке В (г) функции <o(z). Что же ка-
сается «сингулярного» сомножителя

S (z) = exp

Л

1 f

2л J

-л

eif + z
elt — z

da (0
ТО

log IS (rei6) | = — — $ j + r2 _ 2r cos (0 -1) da
-Я

поэтому

$ log | S (re16) | dQ -> — $ da (/)

-Я	-Л

при r-> 1, и поскольку da 0, то последнее выражение равно
нулю тогда и только тогда, когда osO, т. е. когда S(z)s 1.

Теперь установим следующий замечательный результат.

Теорема (Фростман; переоткрыта через много лет Д. Дж. Нью-
меном). Пусть (o(z) — внутренняя функция. Тогда для любого
заданного е > 0 существуют произведение Бляшке В (г) и ве-
щественное число с, такие что

||(о — efcB||oo < е.

Замечание. Таким образом, измеримая функция е‘сВ(в‘6)
(п. в.) отличается меньше, чем на е от (о(е<е).

Доказательство. Пусть число <о удовлетворяет условию
| |	1, и. пусть 0 < р < 1. Тогда справедлива элементарная

формула

Я	£ф

2^5 log	d<p=max(logp> log I® о.

Полагая <о = ш(гег/) и интегрируя ещё раз, получаем
iff, ш(ге»)-рег<₽ .

2я J J 10g l-pe-'Mre")	“

-л-л	г	'

л

= $ max (log р, log | <в (relt) |) dt.

-Я

Но ] <о (re'*) |	1 и log | и (relt) |—> log | <» (е**) | = 0 п. в. при г-И.

Поэтому (logp>—оо!)

Л

$ max (log р, log | о (relt) |) dt -> 0 при г->1
-я

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком инте-
грала,
Следовательно, по теореме Фубини,

л . л

*4 {5 1ое

-я х-я

Поскольку

о (геп) — ре* *ф

1 — ре^юО-е1*)

log

dt > d<p -> 0 при г —> 1.

а (г) — ре*ф

1 — ре~,ф® (г)

<0,

то внутренний интеграл в предыдущем выражении неположи-

Л

телен, и по лемме Фату, применённой к ( ( ) dtp,

*  ...........		   	J

-Л

а (гец) — ре<ф

1 — ре_<фа (relt)

d<p = O.

Теперь, так как 0 < р < 1, то для каждого <р функция

ю (2)= <о(*) —Р**ф .
ф 1 — ре %) (г)

регулярна и ограничена в {|z|< 1} (|<o(z) ^1 в этом
круге) и на самом деле является внутренней функцией, по-
тому что | (оф (elt) | s 1 п. в., вследствие того что |(o(et7) | и 1
п. в.

Из леммы (и её доказательства) вытекает, что существует

л

lim $ log |©ф(ге//) \dt.

r->1 -л

и что, если этот предел равен нулю, то а# (г) есть умноженное
на константу произведение Бляшке. Из вычислений, произве-
денных выше, следует, что этот предел должен быть нулём
для почти всех <р. Поэтому почти каждая функция соф(г)
равна произведению Бляшке, умноженному на константу.

Наконец, при |z|< 1

1®(г)-соф(2)| =

ре1ф — ре~ *ф [<о (г)]2
1 -ре-<ф[а(г)]

2р

1 -р

а эта величина не превосходит е (для всех z, | z | < 1), если
число р > 0 достаточно мало. Вот и всё.

Схолия. Доказанный результат имеет ряд приложений при
более глубоком изучении пространства Я00 (например, в до-
казательстве Карлесона теоремы о короне, не излагаемом
в этом курсе; его можно найти в книге Дьюрена [1970]).
Глава V

Неравенства для норм
гармонически сопряженных функций

А. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА ФУНКЦИЙ ИЗ £»

Напомним следующий результат подпункта Е.4° главы I:

Теорема. Пусть f(0)e£2(—л, л). Положим для 0 г <Z 1

U (ге16) — 2 я $ 1 + Г2 _ 2г cos (0 - 0
-л

& h J l + r.-2rV(0-()»'>^
-я

так что О (г) — функция, гармонически сопряжённая с U(z),
и 0(0) = 0. Тогда (если принять /(0-|-2л) равным /(0))
функция

F(0) = lim^ ( {f(0_O/2tg|}d/
е"*° Я е< |i I < л	2J

существует п. в., ИЛЬ < llflh и

Л

°('•»")5

-я

а следовательно, £7(z)-»-7(0) п. в. при г —> е16.

В соответствии со сказанным в подпункте Е.4° главы I
главное значение по Коши интеграла, определяющего функ-
цию 7(0) в этой теореме, обычно записывают следующим
образом:

Пусть дана функция /(0)е£2(—л,л). Из теоремы немед-
ленно следует, что F(z) = U(z) + iO (г) лежит в Н2. Гранич- /
ные значения F(ei6) п. в. удовлетворяют равенству F(ei6) =
f(e‘e) + if (9), поэтому если feL2 вещественна, то мы полу-
чаем способ построения F е Н2 с Re F(e16) — f (0) п. в.


Далее, в подпункте С.2° главы III мы видели, что если
f^L' (—л, л) и f (0 4- 2л) = f (0), то функция

-я

п. в. существует и конечна.

Опредедени-е. Эта функция f(0) называется преобразованием
Гильберта функции f(0). Иногда, допуская некоторую воль-
ность речи, мы на основании теоремы, приведённой в начале
пункта, будем её называть гармонически сопряжённой с /(0).
Было бы правильней говорить просто „сопряжённая с /(0)“.

Неравенство Ц/lh	Ilf Иг имеет аналог и для других про-

странств Lp.

В.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА ФУНКЦИЙ ИЗ 1 < р < оо

1° Одно тождество

Лемма. Пусть U(z), V(z)— функции, гармонические в {|z| <
1}, и О (г), P(z) — гармонически с ними сопряжённые, такие
что О(0) = 0, F(0) = 0. Тогда для 0 г < 1

J C/(re<0)V(re«)d0== - J U (rei6)V (rei6)dQ.
—л	-я

Доказательство. Если

U(ret6) = £ AnAnW”*,
— оо

V(re">) = J Bnr|/l|efa0,
— оо

ТО

(7 (rei6) — 2 ( — i sign n) А„г^е‘пв,

V (re16) — £ ( ~ I sign n) Bnr^eln6.

Все эти ряды абсолютно сходятся при r< 1, так что требуе-
мое соотношение может быть непосредственно проверено по-
членным интегрированием.
2° Теорема М. Рисса

Теорема (М. Рисе). Пусть /(0)е£р, 1 < р < оо (sic!),
и пусть

Я

U're 2л j 1 + г2 — 2г cos (0 —/) ’

-л

а О — гармонически сопряжённая с U функция, удовлетворяю-
щая условию 0(0) = 0. Тогда (функцию f мы, как всегда,
считаем 2л-периодической)

7______Lнт ( Не-О-Не + о dt

'W"aJ3J 2tg(//2) at

8

существует п. в., 1 е U> и

О <геы=_!_ €	(1-г2)7(о<и

и Vе ' 2я j 1 4-г2 - 2г cos (0 - о

-л

для г< 1. Найдётся константа КР, зависящая только от р,
такая что |17НР < КР||/||Р.

Доказательство. Для р = 2 это результат, цитирован-
ный в пункте А, поэтому мы можем предполагать, что
1 < р < 2 или 2 < р < оо.

Как отмечалось в пункте А, существование п. в. функции
7(0) было уже доказано в подпункте С.2° главы III в пред-
положении, что f е L1, которое, конечно, выполняется для
f^LP, р> 1. Таким образом, достаточно показать, что

Л

$ | й (re*) М < (Кр II f ||р)р
-л

для 0 г < 1, ибо тогда по пункту С главы I существует

функция g <= Lp с ||g||p < KP||f||P, такая что

Л

U(rei9)-±{	(\-r*)g(f)dt

) — 2jlj i r2 _ 2f cos (0 — t)

-Л

и, рассуждая, как в подпункте Е.4° главы I, можно убедиться,
что g(O) = l(O) п. в. (Рассуждение подпункта Е.4° главы I
доказывает и в данной ситуации существование п. в. функции
7(0) и её равенство g(0), так что на самом деле в этом месте
мы не нуждаемся в теореме подпункта С.2° главы III!)
Сначала докажем, что
л
$ |и(rei6) IpdQ<(КрII f ||р)₽, 0<r < 1,
-Л

для случая 1 < р < 2, а затем, используя лемму из под-
пункта Г и соображения двойственности, получим тот же
результат и для 2 < р < оо.

Следующее рассуждение принадлежит Кацнельсону.
(Впрочем, в существенном оно представляет собой элегант-
ное оформление соображений, содержащихся во втором изда-
нии книги Зигмунда.) Достаточно доказать требуемое нера-
венство для случая /(0)^0, так как в общем случае мы
можем представить вещественную функцию f е U в виде
разности двух положительных и использовать неравенство
треугольника для /Л-норм вместе с тем фактом, что

и; м мн II м; > с, (ьл+11/4,)’

для f = f+ —	где f+-f- = 0 п. в.

Предположим, что f^O и f&Ol Возьмём F(z) — U(z)-\-
iO(z), |z|< 1. Так как ReF(z) = U(z) > 0 при |z|< 1, то
F(z) не имеет нулей в открытом единичном круге, и мы мо-
жем рассмотреть аналитическую в нём функцию G(z) =
= [f(z)]p. Поскольку F(0)= 1/(0) ^0, то, по теореме Коши,
для 0 С г .< 1

J Re G(re'9) d0 = 2л Re G (0) — 2л (G (0))p >0.
-Л

Теперь, для заданного г < 1 разобьём [—л, л] на два
взаимнодополнительных множества Е\ и Ег следующим об-
разом. Возьмём у, 0 < у < у, такое что у < ру < л (та-
кое число у существует, так как 1 < р < 2), и положим

£, = {0: — у < arg F (геш)< у),
Я2 = {0: Y <1 argF(re'e)|<|).

Поскольку ReF(z)>0, то | arg F (z) | < у и, следовательно,
Ei (J Ег = [—л, л]. Далее, мы имеем

J Re G (re<e) dQ + J Re G (rei(f) dQ = J" Re G (re16) dQ >0.

Ei	Et	"* л


Рис. 23

Для 6е£2 функция ReG(re‘e) отрицательна и не превос-
ходит — | Q (ге19) 11 cos ру | — взгляните на вторую из двух кар-
тинок на рис. 23. Следовательно, в силу (*),

| cos ру | J | Q (ге19) | de < J Re G (re<e) de.
E2	Ei

Для 0 e Ei (первая из двух картинок!)

|F(re<e)|<|C7(re<e)|/cosY;
поэтому

IG (re19) I < cos -py | U (re19) |p,
что после подстановки в предыдущее соотношение даёт
$ | G (ге19) | de I sec PY I § IО (re19) | de
В,	Ег

(cos_p у) | secpy | $ | U (re19) |pd0.
в,

Мы также видим, что

J | G (ге19) | de С cos~p у J | U (re{9) |р de.
Ei	Е,

Так как Ei U Е2 = [—л, л] и Е\ П Е2 = 0, то, складывая два
предыдущих неравенства, получаем

$ | G (ге«») | de <	$ IU (re19) |р d6;
следовательно,

\U(rei9) |pd0<

1 +1 sec ру |
cosp y

n

J | U (re19) |pd9,
- Л

поскольку G (z) = [(/ (z) + iO (z) ] ₽. Окончательно

Л

j l&^lMc 1+Joy/Tl II

в силу свойств Pr(0) (подпункт D.l® главы I), и для случая
1 < р < 2 всё доказано.

Замечание. Этот искусный приём похож на тот, с по-
мощью которого мы в подпункте D.20 главы IV доказали, что

Л

величины $ I log |Г (ге/е)||</0 ограничены, если ограничены
-Я

j log+| F (re19) |d0.
-Л

В случае 2 < p < oo мы докажем, что

Л	л

J |г/(гег0)М<Ср J |£7(ге«)М,
-л	-л

следующим образом. Пусть ± = 1 —	. Тогда 1 < q <_ 2,

и по неравенству Гёльдера величина

р /л
l|C/(rei9)||p=	|l/(r^)M

-л

равна точной верхней грани величин
взятой по всем конечным суммам

Л

J U(rel9)T(rel9)db
“Л

T(rei9)='EBnrMetn9,
П

таким что

HWe)ll«=V$ |Т(ге'0)|^0<1.
Но поскольку 1 < q < 2, то для любой такой суммы Т по I
только что доказанному	|

Ц7-(™“)||,<КЛГ(ге'=)||.:	!

следовательно, в силу леммы из подпункта Г,	f

я

U (re16) Т (re16) de = J U (re16) Т (re16) de

-п

< II f (ге16) ||, || U (ге16) ||р < К, || Т (re*) ||, || U (ге*) ||, <

<tfe||C7(re«U,
откуда

||&(г^)||р</С,||£7(г^)||р

для 2 <. р <. оо, как и требовалось. Вот и всё.

С.	f (в) для f из и

Пусть f(0 + 2л) = f(0), fe£*(—л,л). По подпункту С.2° f
Л
у	1 f f — t) „

главы III функция f (0) = 2nJ tg(772j" ai существует и ко- *

-л	:

нечна п. в.	:

1° Определение функции распределения.
Теорема Колмогорова

Определение. Если А —измеримая функция, заданная на
[—л, л], то мы положим для X > 0

тл(Х) = |{0е[—л, л]: |А(0)|>Х}|.

Очевидно, что тл(0) = 2л, /Пй(Х) убывает и тл(Х)->-0 при
К->- оо, если функция й(0) конечна п. в.; называется функ-
цией распределения функции h.

Теорема (Колмогоров). Если f е L1 и X > 0, то/и^(Х)<-у-X 1
X || f Hi, где К — постоянная, не зависящая от f и X.

Доказательство (Карлесон; в интерпретации Кацнель-
сона [1968]). Пусть 7(0) = £(0) + Л(0). Тогда если |7(0)|>Х,
то должно быть либо | g (0) |	•=•, либо | h (0) |	, поэтому

пц (X) те (у j + mh (у ). Следовательно, достаточно дока-
зать теорему для случая f(0)^O, поскольку по сделанному

» Напомним, что |£|—это мера Лебега множества Е.— Прим. ред.
наблюдению мы можем затем распространить этот результат
на общий случай, взяв константу К. побольше.

Итак, предположим, что /(0)>=О; поскольку гармониче-
ское сопряжение — линейная операция, то без ограничения
общности можно принять, что ||f||i = 2л; всё будет сделано,
если мы покажем, что mj (А)	.

Для |г|< 1 положим

Я it

251 J elt — z

-я

тогда ReF(z)>0, и по подпункту С.2° главы III для почти
всех 0

F (г) -+ f (0) + if (0) при z е*.

Пусть дано А > 0. Рассмотрим

Заметим, что отображение wi—* 1 + (рис. 24) яв-

ляется конформным. Под действием этого отображения 0>—>0,

Рис. 24

2

11—* -утру и полуокружность, соединяющая ZA с —ZA,
переходит в диаметр, идущий от 1 + i к 1 — i. Очевидно,
|ф(г)|^2 при |z|< 1, поэтому по подпункту В.3° главы II

2л<р(0) = $ ф(еге)^0,
-л
т. е.

2л Re Ф (0) =	Re ф (е/0) dQ.

-л

Далее, так как f{0)	0, то по предположению

Л

= = =1,
iJll J
-л

2

и, следовательно, ф (0) = -f+T • Кроме того, Re ф (е/0)	0.

Наконец, если |/(0) | ^Х, то | F(ei6) | откуда Кеф(е,0)^1.
Из равенства

Л

$ Реф(ег0)^0 = т^г
-я

вытекает теперь, что | (0: Re ф(е/0)	1} |, т. е. mj (Х)<^ д,—

больше, чем нам было нужно. Вот и всё.

Схолия. Если f 0, но Hflli 2л, то мы можем сделать за-
мену переменной в более точном неравенстве, найденном
в конце доказательства, и получить, что

МЛ.

|1Л1. + 2лХ •

Наконец, если про функцию f известно только, что она веще-
ственна, то, учитывая, что f = f+ — f- с f+, f-^0 и llflh =
IIМi + llf-lli, и используя неравенство	и

только что приведенный результат, мы получим
4« II /+ II. , 4л || М|,
IIMI. + лД f HMIi + яА, •

Заметим, что при фиксированном X функция является
монотонно возрастающей по х, 0; следовательно, для ве-
щественных интегрируемых f

	8я||/||,
mi у	llflh+«x ‘

Иногда это более точный вариант последней теоремы оказы-
вается полезным.
2° Второе доказательство теоремы М. Рисса,
основанное на теореме Колмогорова
и интерполяционной теореме Марцинкевича

Сейчас мы воспользуемся результатом подпункта Г вме-
сте с теоремой, цитированной в пункте А, и получим новое
доказательство теоремы М. Рисса (подпункт В.2°), которое
доставит нам пример применения принадлежащей Марцинке-
вичу техники теории интерполяции линейных операторов. Как
показывают соображения двойственности (см. конец под-
пункта В.2°), результат, доказанный ниже, на самом деле
покрывает все значения р, 1 < р < оо, если учесть ещё про-
стой случай р = 2, рассмотренный в пункте А.

Теорема (М. Рисе). Если 1 < р < 2, то существует константа
К, зависящая только от р, такая что

||С7(ге«)||р<Кр||£7(ге«)||р

для любого г < 1 и любой функции U(г), гармонической
B{|21<1}.

Доказательство. Положим f(0) = f/(re‘e). Тогда 7(9)==
О (reiQ). Здесь функции f и 7 обе непрерывны, следовательно,
по определению интеграла

J |/(0)|pd0 = - J (Л),

-Я	О

J |7(0)|pd0 = -

-я	О

Наша задача состоит в том, чтобы оценить второй интеграл
через первый. Поскольку функция 7(9) здесь непрерывна, то
пц (X) = 0 при достаточно больших X, и интегрирование по
частям даёт

( |/ (0)|pd0 = pJxp-1mf(X)dX.

-я	О

Предположим, что f = g + h. Тогда, рассуждая так же,
как в Г, видим, что 7 = g + Я и

т} (X) С та (у) + тн	.
Марцинкевичу пришла в голову безумная идея использовать I
это неравенство для того, чтобы оценить разбив f на 1
две функции g и ft, зависящие от XI

Пусть дано 1> 0. Положим	5

(f (0), если |/(0)| <Л,
(0 в противном случае,
_ ("О, если | f (0) | < Л,
1/(0), если | f(0) |>Л.

Смысл здесь в том, что функция g не очень велика и потому
принадлежит L2.

В самом деле, по пункту А

х

IIgIlf<IIgIII =	$	If (0)l2<*0 = - $ s2dtnf (s),

l«0)l < x	oJ

откуда

««(!)<£ ник

к

s2dmf (s).
о

Для h мы используем результат подпункта Г, который ,
утверждает, что
00

$ If(0)|d0-

|« е> । >х	х

Следовательно,

mj (X) С —	(s) —	(s dmf (a),

о	x

Далее,

J |f (0)|”d0 = p	(X)dX<

-л	0

< - 4p? Xp-3 ( s2dmf (s) dk — 2KP\ Xp“2?s dmf (s) dk. i
Sa	ex
По теореме Фубини

—	$ ^Р~3 $ s2^mf (s)dk = — j J X₽-3s2dldmf (s) =
0	0	Os

---2=7 $ sp~2s2dmf (s) = - J spdmf (s) =	,
о	0

поскольку —2 <Zp — 3 < —1.

Аналогично

—	( Лр-2 ( sdntf (s) dk = — ( ( kp~2sdkdtnf (s) =
ok	oo

1 C pa n HfHp
= - —l\sPdmf(s) = ^<

0

так как —1 <Z p — 2 < 0.

Окончательно получаем

Ш’<24^+7=т]|1/||р- Q- E-D-

3° Теорема Зигмунда о классе L log L

Оказывается, что интегрируемости функции f недостаточно
для того, чтобы гарантировать интегрируемость f. В этом
случае применим следующий результат, принадлежащий
Зигмунду»

Теорема. Существует константа с, такая что

Я	л

J |f(0)|d0<cj lf(0)|(l + log+ |f(0)|)de + 2«.

-Л	“Я

Аналогичное неравенство имеет место при замене функции
f(0) на U(re‘e) и функции 7(0) на О(ге‘°).

Замечание. Функция x(l + log + x) выпукла при х > 0;

Л

Отсюда следует, поскольку Рг0 и $--( Pr(t)dt—\, что для

-Л

Л

Pr$-t)fV)dt

-Л


мы по неравенству Йенсена имеем при г < 1

Л	л

$ I и (rea) | (1 + log+ | и (rs«) I) dQ < J | f (0) | (1 4- log+1 f (0) |) dQ.

-я	-л

Следовательно, условие | f (0) | log+1 f (0) | e L* l ( — n, л)
гарантирует, что

-я

Доказательство теоремы. Используем неравенство
для mj (X), полученное в 2° (формула, заключенная в ра-
мочку) , для того, чтобы оценить

J |f (9)|d8= — J Xmf(X) = J/nf(X)dX<2n + Jmf(X)dX

-Я	0	0	1

(mj (Л) 2л для всех Х^О!). По формуле подпункта 2°
имеем

J mf (X) dk < - 4 J Х“2 * * * * * В J s2dmf (s) dX - 2K J X“* ( sdmf (s) dX.

1	10	к к

Поскольку dtnf (s)	0, последнее выражение не превосходит

- 4 Ц -J- dmf (s)dX -2K. j j -J-dXdmt(s) =

00 00	00

= — 4 H -jj- dXdmf (s) —г 2/( ( slogs dmf (s) —
о »	i

= — ( (4s + 2Ks log+ s) dtnf (s)
oJ

= - J I f О) I (4 + 2K log+1 f (0) I) dQ,

-Я
откуда и следует требуемый результат.

4° Обращение теоремы Зигмунда для положительных функций

В случае f(0)>O последняя теорема допускает обраще-
ние!
Теорема (М. Рисе). Пусть f(0)^0. Предположим, что функ-
ция

-л

принадлежит пространству Я1. Тогда

If (0)|log+|f (0)|е £'( —л, л).

Доказательство. Пусть G(z) = 1 + F(z). Тогда
ReG(z)> 1 при |z|< 1 и значение G в нуле G(0) = 1 + F(0)
вещественно. Поэтому мы можем выделить однозначную и ре-
гулярную ветвь функции log G(z) в {| z | < 1} с вещественным
и положительным log 6(0). * В

По теореме Коши, для г <. 1

G (0) log G (0) =	О (ге‘в) log G (ге1в) de,

/Л J
-Л

следовательно,

Re G (0) log G (0) = Д [Re G (re«) log | G (re'0) | -
Z JL j

— Im G (re10) arg G (re'0)] d0«

В нашем случае Re G (z) > 0, откуда — -у < arg G (z) < у и

J Re G (re'0) log | G (reie) | d0 < 2л Re G (0) log G (0) +

+ -2-J | Im G (re10) | d0.
-Л

При r-> 1

Re G (re'0) log | G (re'0) | -> [1 + f (0)] log 11 + f (0) + if (0) |
почти везде; в то же время

J I Im G(re'0) |d0C 2л+ || F|||.

-п
Следовательно, по лемме Фату,
л

$ (1 + f(9))iog|i + f(0) + tf(0)|d0<

<2л [1 4- IIF||,] log [1 + IIFII,] + 2л ч- IIFII,
(мы использовали тривиальную оценку для G(0) = 1 -j- F(0)).
Поскольку /(0) > 0, отсюда всё следует.

5° Еще одна теорема Колмогорова

Используя 4°, легко построить примеры функций f^ L* 1,
для которых не принадлежит пространству L1 ни на ка-
ком интервале. Тем не менее справедлива

Л

Теорема (Колмогоров). Если feL1, то $ |f(0)|pd0< оо для

-л
любого р, 0 < р <_ 1, и, следовательно, функция

-л

принадлежит пространствам Нр для всех р, 0<р< 1.

Доказательство. По результату подпункта 4°, если
О < р < 1, то

J |f(0)|pd0 = — Jx₽d/nf(X)==pJxp->mF(X)dX<
-л	о	о

< 2лр + р J Xp->mf (X)dX < 2пр + Kp\\f II, IХр~2dX

1 1

= 2np + Kp||f||1I47-, Q. E. D.

Замечание. Воспользовавшись фактически доказанным в
Г неравенством, которое приведено в схолии к этому под-
пункту:

(для вещественных f), мы можем получить более точное нера-
венство вида

Л

$ |f(0)|p^<c₽i№ о<р<ь
-л
В самом деле,

-л	О	О

= 8«р|Ш?$
О

а для О < р < 1 последний интеграл конечен.

Существует, правда, намного более лёгкий путь *> полу-
чения того же результата. Без ограничения общности мы
можем, как обычно, взять f (9) ;> 0. Образуем аналитическую
функцию
i

I и применим теорему Коши к (/7(re‘e))*’, 0<р< 1, заметив,
। что |argF(z)|^y. Требуемое неравенство получается теперь
/ сразу.

I D. ГДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ИЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ f

1° Суммируемость функции ехр 1|7|

Теорема. Если функция f(9) вещественна и || f = ess sup
1	------------ -я<е<л

II f (9) I не превосходит , то для любого К <С 1
 '

-л

с константой, зависящей только от X.

Замечание 1. Таким образом, хотя из условия feL°° не
следует, что J е L00, всё же функция J удовлетворяет довольно
сильным ограничениям на её рост.

Замечание 2. Эту теорему нельзя усилить так, чтобы она
покрывала и случай Х= 1; это видно из рассмотрения сле-
дующего примера:
f (9) = X {характеристическая функция какого-нибудь
интервала}.

° Предложенный В. И. Смирновым (см. Привалов (1950]). — Прим,
ред. 5

5 Зак »57
Доказательство. Положим

-rt

Тогда если функция f вещественна и|/(0Ку, To|ReF(z)|
^Ди Im F(0) = 0; отсюда для 0 X < 1, по теореме Коши,

Л

$ е-IKF (refe) JQ — 2пе-lKF <°>.
-л -

Выделяя вещественные части, получаем

$ Re е~ ™ (",e> de < 2л | е~ ™ <°) | = 2л.

Но

large zx,/?(re*0)|^yА,
поэтому

$ е~1М! (rei0)|COs(y x)d0 =
— Я

= $ е* Im F (««) cos (Л	|е-ар (ге«) | dQ	2л

- л	-л

и окончательно

J exp (X Im F (re16)) de < 2n/cos (у x).
-я

Аналогично, взяв exp(/XF(z)), получим

J exp (- X Im F (rei6)) de < 2л/соз (£ x).
-n

Поскольку Imf (re‘e)-*H9) п. в. при справедливость
теоремы следует теперь из леммы Фату.

2° Случай непрерывной периодической функции f
Следствие. Если функция f(0) непрерывна, 2л-периодична
и вещественна, то ехрХ|/(0)| принадлежит пространству L1
для всех X.
Доказательство. Пусть дано е > 0. Мы можем найти
конечную сумму S (0) = £ AneinQ, такую что для g(0) =
--------------- п

/(0) — 5(0) выполняется оценка IlgllooCje. Тогда expX|g(0)|e
L1 для	Но f(Q) = g(0) 4- 5(0), а функция 5(0), бу-

дучи конечной суммой того же вица, что и 5(0), ограни-
чена. Q. Е. D.

Е. КЛАССЫ ЛИПШИЦА

Часто бывает полезен следующий результат:

Теорема1). Пусть функция /(0) принадлежит классу Lipa,
0 < a < 1, и 2л-периодична. Тогда f (0)е Lip a.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если Л>0,
то

я	h

г w-iS	<15

h	0

h

о

для 0<а<1. Поэтому можно вместо рассмотреть,
скажем,

1 с f(Q-<)-f(e + o
tg(f/2)

если мы желаем оценить J (0 + h) — / (0).

Можно также считать, что f(0) = O, так как /(ср) и

Л

±	—0 —f(<P + O]ctgyd/

2Л -

не изменятся, если f(s) заменить на f(s) — Таким обра-
зом, мы можем предполагать, что |f(0 —	Имеем

f(6 + h-t)-f(9 + h + t) _ г /(е-/)-не + <) .. _
tg(</2)	. ai } tg (</2) ai~

2Л

_ сгке+л-п	no-ci .t , c f(Q + n-f(e + л + о

“ JL tg(</2)	tg(//2) J°‘ 4" )	tg(//2)

2h	2h

м Этот результат принадлежит И. И. Привалову (Sur les fonctions con-
juguees, Bull. Soc. Math. France, 44 (1916), 100—103). — Прим, перед.
Оценим первый интеграл в правой части (второй рассматри-
вается аналогично). Этот интеграл равен

f(e-s)

tg±±*

6	2

не - s)
tg±±A
8	2

л-ft

* tg-

- J /(е~° d/ = O(/za) +

л—Л tg ~

"?Л	*8 7 - ‘8 ~7~

+ \ f$-()-——

*	tgytg-^-



поскольку |f(0 — /)|^O(f“). Но последний интеграл не пре-
восходит

Л	ОО

«Гл h 1.	. f М* dt	, в а ~~

const • \ t ,, dtconst • \ —75— — const • h ,

J	t (t -I- ft)	J	?

2ft	2ft

так как 0 < a < 1. Вот и всё.


Глава VI

Пространства Нр в верхней полуплоскости

Для изучения некоторых классов функций, аналитических
или гармонических в полуплоскости {Imz>0}, рассмотрим
конформное отображение

I — Z
z W —	---

t + 2
этой полуплоскости на единичный круг {|w|< 1} (рис. 25)
и применим результаты, уже полученные в предыдущих
лекциях.

Рис. 25

А. ФОРМУЛА ПУАССОНА ДЛЯ ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Пусть Imz > 0 и t — вещественное число. Тогда при опре-
делённом выше конформном отображении z переходит в

a t — в

Z ~~ Z	.д

w — -г-г— = ге‘°,
I + г

Мы хотим преобразовать ядро Пуассона. Имеем

______"1 -Г2	,	• 1 — j-W-p dto

1 + г2 — 2r cos (0 — т) T I w — о I2 la ’

2i 1	. j	2Z dt

<0 = 7+T-1’	••	=

л da> _	2df _ 2 dt

& ia ~ (i + t)(i-t) t2 + 1 '
Таким образом,
1 — I1-2 Г
1 — | I2 do _________________I t' + z I 2 dt _______

| w — о |2 /о I iI — z	i — t I2 ’ t2 + 1

I / + г i + И

|z + i |2 — | z — 112

_____________	2dt _
i«+o_________(i+z) и___________________*

______, 9 d/ — 2y dt
— | 2/ (z - OF ~ \z-t\2 

Поэтому ввиду теорем главы I справедлива

Теорема. Пусть V — гармоническая и ограниченная функция
в {Imz> 0}. Тогда предел V(/) = lim V(z) при z-g- t суще-
ствует при п. в. t из R, и при Imz > 0 справедливо равенство

со

^>4 S

— оо	ф

Теорема. Пусть V — гармоническая и неотрицательная функ- I
ция в {Imz > 0}. Тогда существуют константа а > 0 и мера *

S°° du (t) _
l + p- < оо, та-

— CO

кие что при Im z > 0 справедливо равенство

V (z} — an -4- — ( y

У{2) — ау±я (x-rp + yi-
— oo

Доказательство. Положив U(w) = V(z) при соответ-
i — z

СТВИИ Z H-» w =	2 , мы получим

л	;

U (rete) —	j 1 +r2-2rcos (0 —r) '

-Я

где v — некоторая (конечная) положительная мера на

—л, л]. При

манкмжиос:
dp.(t) определяется соотношением

а а — просто точечная нагрузка (v (— л) + v (л)).

Замечание. Число а часто интерпретируется как «нагрузка
в точке оо».

Что представляет собой функция, гармонически сопряжён-
ная с
оо

Заметим, что функция
у_______________________.	* (х — О _ i

(х - О2 + у2 “г (х - О2 + у2 г-t

при всех t из R аналитична в {Imz>0}.

Итак, в качестве функции, гармонически сопряжён-
ной с V, можно выбрать функцию
оо

И S (х - О2 + У2 dv"
— ОО

Этот выбор часто используется.

Написанная выше формула применима, если только

Но в самой общей ситуации мы знаем лишь, что

(см. предыдущую теорему о представлении Пуассона для по-
ложительных гармонических функций).

В этом случае мы используем гармонически сопря-
жённую функцию
оо

« $ ( (х — О2 + л2	<2 +1)

— со
Здесь уже интеграл абсолютно сходится, как только

г | du (0|

J 1 + <2

Таким образом, для V (z) = -^ $ (х _	+ у2 dp (t) у нас

есть-два следующих выбора гармонически сопряжённой
функции:
ОО

Jt S (х - О2 + У2
— ОО

ОО

& л 5 ( (х - О2 + У2 + f2 + 1 ) dfl

В. ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ

ОО

Теорема. Пусть 7(z)=-i	_ ^2 у2 dp (t), а р —веще-

— ОО

ОО
о	С I du (t) I _

ственная мера на К, такая что j JД < оо. Тогда для
любой точки to, где производная р'(/р) существует и конечна,

имеем V (z)^>~ (to) при г—► t0.

Доказательство. Если = геге, * 1~*. = eix, то

I + Z	I + t

л

V(z) = (/(re“>)=-^-	—!^__dv(T),

-л

где связь между v и р задается равенством
rfv(T) = -^-.

•»	л 2 dt	g, dv (т) du (t)

Мы также ммеем ах = тзг72» и, стало быть, =“Лт—

1 + *	dx dt

Вьиду^результатов главы I, если производная v'(t0) суще-
ствует и конечна, то

1	U (w) -> vz (т0) при w —► е<То.

"К

Таким образом, наше утверждение получается путем непо-
средственной «пересадки».
Замечание. Поучительно также провести прямое доказа-
тельство этого утверждения, оперируя с самим ядром
у/((х— 02 + У2)> н0 следуя схеме главы I (интегрирование *
по частям). Окажется, что вычисления здесь проще!

И это — не исключение, а общее правило, так что
часто даже утверждения для {| w | < 1} начинают дока-
зывать с того, что переходят в полуплоскость {Imz > 0}.
С ядрами

X — t
(X - О2 + У2

. у______ &

(X - о2 + у2 а
работать проще, чем с

1 - г2

2г sin (0 — т)

1 + /2 — 2r cos (0 — т) “	1 + г2 — 2r cos (0 — т)

соответственно!

Аналогично, прямым переносом из главы I получается

Теорема. Пусть V(z) = ±- J -(x_ty + y2 dp(t), где J * 1

< oo. Если производная ц'(/0) существует и бесконечна, то
V Vo + iy) / (<о) при #->() + .

. Г |F(0|^

Теорема. Пусть	14Г/2— < °°> и пусть

— 00
00

V ~ It $ ( (х - о2 + у2 + /2 + 1) F ® dt'
— 00

Тогда при почти всех х из R

i J (тЬ-.+т4т)^(ол-г(х+^)->о

I t-x\>y

при

о	п 7 I (О I

Замечание. В случае \	< оо мы просто имеем

— оо

-оо	I t-X

при «/->0,
Таким образом, существование главного значения

оо

— оо

ДС *	1/->0 я J

F(t)
x — t

dt

почти всюду равносильно существованию предела
— 00

Имеются и более грубые утверждения о граничном пове-
дении, которые здесь нетрудно проверить.

Отметим, что
оо
— ( ——у — dt — 1
л J (х-О2 + у2 1	’

— оо

у >0
(x-ty + yt =^и
и

| $ (x--n2+'Fd/^0 при w"*°
I t-X | > 6

для всех 6 > 0.

Отсюда обычными рассуждениями легко выводится
Теорема. Если функция <р ограничена на R, то
оо

| $ (х2.-^~ф(/М/~>ф(Х(,)

— СО

при z->-xo, если хо — точка непрерывности функции <р. В слу-
чае когда функция <р равномерно непрерывна, сходимость
равномерна.

Теорема. Пусть р,— мера с конечной вариацией на R, Поло-
жим для у > О
у	00

dpj, (х) = f	J (х _ /)2 + уг dp (0 ) dx.

\ —оо	/

Тогда И при у-^-0.

(Доказательство — предыдущая теорема и соображения
двойственности!)
Теорема. Пусть Fе Лр(—сю, со), 1 р < сю. Положим

ОО

Ру^~"я $ (x-t)2 + yi F(t)dt.
— ОО

Тогда HFj, — Flip-* *0 при //->0.

С. ПРОСТРАНСТВА Нр в (Imz > 0}

Определение. Говорят, что функция F, аналитическая в
{Imz>0}, принадлежит пространству Я₽({1тг>0}) (или
просто Нр, когда известно, что речь идет о верхней полупло-
скости), если существует константа С, С < оо, такая что

J \F(x + iy)\pdx^C
— оо

при всех у > 0. Мы будем использовать это определение при
всех р > 0.

Замечание. Пространство Нр ({Im z>0}) НЕ является
образом пространства Нр в {|ш|< 1} при конформном
отображении! В дело должен входить ещё и некоторый
множитель (зависящий от р)1

с

Лемма. Если F е Нр, то | F (z) | для некоторой кон-
станты С, зависящей от F.

Доказательство. Если Im z > 0, то ввиду субгармонич-
ности функции |Г|р при р>0 справедливо неравенство

2л

|77(z)l₽<iS |F(z + p^)|pd<p
о

для 0 < р < у. Отсюда, интегрируя по р от 0 до г, г < у,
получаем
г 2л

•	J |F(z + pdq>dp<

x+ry+r

J 5 |F(S + ZT))l₽dnd|
x-ry~r
(см. рис. 26), что по условию не превосходит (изменяем
порядок интегрирования!)

‘ .С-2г	;

2л	л

2С

поэтому IF (z) |р . Теперь устремляем г к у — и всё
готово.

Рис. 26

Лемма. Пусть f	1, и пусть /t > 0. Тогда

F(z + tA) =1 (

Ju J

yF (t + ih}
(x - t)2 + y*

Доказательство. Применяем теорему Коши. Пусть

Г« — отмеченный контур, показанный на рис. 27, R— очень
большое число, и пусть R sin 0о = Л. Тогда

Ffe + /A) = _L ( F® dr = -L_ ( F® 
гл

1

2л/

R cos Oo

- R cos 0o

F(t + ih) dt
t — z

Я-0О
1 Г
2л/ J.
00

F(re'9)
Z?e<0 — ih — z

z7?ei0dO-
При очень больших R второй интеграл ограничен числом

л-0о

0Q

Теперь воспользуемся неравенством | F(Reie) | ^k(R sin 0)-1/Р,
доказанным в предыдущей лемме. Если р > 1, то мы сразу

Я

получаем / ^k'R~1/p, так как J d0/^\/sin 0 < оо при р>1.
о

Если р = 1, то, используя неравенства sin 0 ^ const -0 на
(0о, зх/2] и sin 0 const-(л— 0) на [л/2, л — 0о), получаем

л _______k" ,	л/?

2 sin 6о ~ R 10g 2Л '

Это также стремится к нулю при R-+<x>. Стало быть,

Д'

DZ-. I -«Л	1-	1 С F(t + ih)dt

F{z^th)=hm^	.-

Далее, z + ih— вне Гя, а значит, опять по теореме Коши,

1 f F(C)

2nz J 5 — th — z
ГД

R cosOt

1 Г F(t + ih)dt ,

2ш J t - z +

-д cos e0

1

2ni

T F{Re^)

iRet9dQ.

Ввиду приведённых выше рассуждений второй интеграл ->0
при R -*• оо. Итак,

Д'
о= Пт _L- (	+

Д'-X» 2Ш J	t — 2

•“А

Вычитая это из предыдущего равенства, заключённого в рам-
ку, и используя важное тождество

1	1 _ 2iy _

t^.z t - z ~ U - z |2 (x - О2 + У2 ’
получаем

R1

-R

Замечание. Мы определяем Н°° как множество функ-
ций, аналитических и ограниченных в {Imz > 0}. Тогда
доказанная лемма справедлива также при р = оо.

Отметим, что здесь мы не можем доказать, что интегралы

f F(Rete)

J Rei9 — ih — z

Re{9 dQ и

"f8* F {Rei9) Rei9 dQ
J Rel9 — ih — z

в отдельности стремятся к нулю при R — оо. Но их разность
1 1

к нулю стремится, так как	——--------—-—— —

= О (/?-2) при больших' /?!

Замечание. Если в приведенном выше доказательстве
(для 1 р < оо) мы сложим, а не вычтем, то получим

причём интеграл абсолютно сходится при 1 р < оо. Это
уже неверно, если р — оо.

Теорема. Пусть Ре Яр(1шг > 0), р>1. Тогда при почти
всех t из R предел

lim F(z) = /?(O существует,
Z-*t	----------

•К

F Lp(— оо, оо)
И



Доказательство. Если р>1, то мы можем выбрать
последовательность {hn}, > О, стремящуюся к нулю и та-
кую, что последовательность Fh„,



.гста л	~ пт лги iimnww инигг
слабо сходится к некоторой функции FeLp(—00,00), так
как по условию ||Гй||р С, h>0. Подставим функции Г»
в формулу, полученную в предыдущей лемме: зафиксировав
точку z, 1ш г > 0, мы видим, что

оо	оо

F (z + ih) — — J (x _ + yi Fh (/) dt -> — $ (x _ + yi F(t)dt,
— co	—oo

когда Л—>0, пробегая элементы выбранной последовательно-
сти. Так как и F(z + ih)-+F(z), то формула, обведённая рам-
кой, доказана.

Итак, FeLp(—оо, оо), р > 1; поэтому если

X

<D(x)=^F(t)dt,
о

то производная Ф'(х) существует и совпадает с F(x) п. в.
Отметим, что функция Ф'(/)/(1 +/2) = F(/)/(l +/2) абсо-
лютно интегрируема, и, как учит нас одна из теорем пункта В,
F(z)-*-F(x0) при z—► х0 для п. в. хо из R. Для р> 1 дока-
зательство закончено (NB: включая случай р = оо, ввиду
предшествующего замечания!).

Для случая р = 1 мы знаем лишь, что

dFh —► dp

для какой-то стремящейся к нулю последовательности чисел
оо

h, где ц — некоторая мера на R, для которой $ |dp({)1 < оо.

— 00
Приведенные выше рассуждения дают

оо

$ (х _ ty 4- у» (О-
— оо

Но теперь мы сможем применить теорему Ф. и М. Риссов.

• Если Imz>0, то второе обведённое рамкой соотношение
в доказательстве предыдущей леммы гласит, что при h > О

Следовательно, ввиду того, что dFh —, мы имеем

( 7^ = 0, Imz>0,
J t — z

^99
Положив z = ik, k > 0, видим, что

t + ik

k>Q.

Дифференцируя последовательно по k, получаем

*Р(П

(t + ik)n

О, п=1, 2...

В итоге имеем

оо

(0 = я = 1, 2, ... .

— оо

Используя конформное отображение

при котором

Z и->

1 — 2

i + z ’

/



определим теперь меру v на [—л,л], положив dv(x) =
_ dp(.9. .т0Гда дЛя п — 1, 2,...

X ““ г

л	«

$ einx dv (т) =

-я	-«

(Z-0"-1
(/+<)"



но правая часть равенства может быть переписана в виде

dp (О
(Z + О*

и, следовательно, равна нулю. Итак,

eint dv (т) = О, п=1, 2, 3, ...»
-л

и по теореме Ф. и М. Риссов мера v абсолютно непрерывна.
Поэтому таковой же является, мера dp — t), а стало
быть и р; отсюда dp = Fdt для некоторой функции F из
Ll(—оо, оо). Теперь доказательство завершается так же, как
и в случае р > 1. Q. Е. D,
Теорема. Если F е Нр, 1 р < оо (sic!) и Imz > 0, то

F(t)
t — z

dt — F(z)

и



Доказательство. Используя обе обведённыё рамкой
формулы из доказательства предыдущей леммы, получаем

t — z

с F. (0 dt

0= $ -	. где Fft(O = F(/ + ZA).

— оо

Но ввиду предшествующей теоремы

fa(x) = 1

Г hF(t)dt

} (х-П2 + Л2 ’

где F^Lp(—оо, оо). Значит, в силу пункта В, ||ГА — FHp-M)
при Л-»-0. Устремив теперь h к нулю, получаем нужный ре-
зультат.

Первая из установленных выше двух теорем имеет ана-
лог для гармонических функций.

Теорема. Пусть U — функция, гармоническая в {Imz>0}.
Предположим, что для некоторого числа р, 1,

J \U(t + iy)\pdt^C <оо
— оо

(равномерно по у). Если р > 1, то

оо

= S	Imz>0,

— оо

где и е оо, оо). Если р = 1, то

оо

и (г) = J + ?	(0, Im z > 0,

-Р9
где мера у удовлетворяет условию
оо
5 Ни (01 < со.
— ОО

Доказательство. Функция |1/|р субгармонична, что
легко усмотреть из формулы Гаусса для среднего значения
и неравенства Гёльдера; следовательно, к ней могут быть
применены рассуждения из первой леммы этого пункта,
и мы заключаем, что | U (z) | C/yi,p при y=Imz>0.

В частности, каждая функция Uh, Uh (z) ~U(z + ih),
h>0, ограничена (и гармонична!) в {Imz>0}. Теперь мы
можем применить конформное отображение *— и>, по-
ложить Uh(z)=0h(w) и воспользоваться известным пред-
ставлением (формулой Пуассона) для функции Oh(w), гар-
монической и ОГРАНИЧЕННОЙ в круге {| w | < 1}. Если
мы вернёмся в z-плоскость, то представление Пуассона, вы-
ражающее Oh(rei6) через Оь(е1х), превратится в формулу, вы-
ражающую Uh(z) через t/&(0> fsR. Это вычисление уже
было проделано в пункте А, и мы получаем, что

т. е.

С/ (z + ih) = - ^ (x-ty + y2 dt‘
— оо

Конец доказательства состоит в предельном переходе при
й-+0и является в точности таким же, как и при доказатель-
стве формулы Пуассона для №-функций. Сделано!

Замечание. Приведённое доказательство работает также
и при р = оо (U — ограниченная функция в {Imz>0}).

Теорема. Если Fe #₽((Imz > 0)), р>1, и f(w) = F(z)
при ш= .7*  то f <= Яр((|о>| < 1)).

I П“ Z

Доказательство. В силу первой из приведённых выше
теорем

-ОО
где FeL’f—00,00). Указанная в формулировке теоремы за-
мена переменных z-+-w была рассмотрена в пункте А; это
рассмотрение позволяет заключить, что

оо

f (ге‘ч) =	$ 1 + Г2 _2гcos (ф-т) ?dx'

— 00

где

Далее,
Л	оо	оо

$1/(*‘т)1р^== $ 2|fffJ |F(0|₽d/<oo.

— Л	—оо	—оо

Л

Отсюда следует (см. гл. I), что средние | f (re‘f) |₽ dtp

-Л

ограничены. Стало быть, f е №({|о>| < 1}). Q. Е. D.

Замечание. Вычисления, проведённые при доказа-
тельстве предыдущей теоремы, показывают, что ОБРАТ-
НОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

f<=Hp({\w\< 1})=>F е Яр({1тг > 0})
HEBEPHOI

Правильный критерий таков:

в том и только в том случае, когда

где

Теорема. Если 0 < р < 1 и F е//?({Imz >• 0}), то /е

Я₽({|а»|< 1}), где


Доказательство. Функция |F|p по-прежнему субгармо-
нична, и, следовательно, мы по-прежнему имеем |F(z)|^
в частности, функция |F|, а вместе с ней и функция
|F|p, по-прежнему ограничена в каждой из полуплоскостей
{Im z h > 0}. Следовательно, функция | FA | p,Fh (z) = F (z +
+ ih), ограниченная и субгармоническая в полуплоскости
{Im z > 0}, мажорируется там ограниченной гармонической
функцией, имеющей те же граничные значения на R, т. е.

|F(z + z70lp<

J (х - Гр + у* •

Далее,

oo

$ |Fa(/)M<c, л>о,

— oo

поэтому, устремив	h к нулю, мы найдём обычным образом оо
меру ц, для которо	й $ | dfi (t) | < оо и — оо
IF	оо  — 00
Переходя к	
получаем	л
IfW	< _L С	i — г2	d ( )  2л J 1 + г2 - 2r cos (0 - т) аУ  —я
где	< / ч 2 dp, (0 rfv(T)=	,
при условии, что  Следовательно, npi	t и т связаны соотношением	—  а всех г < 1
л	| f (г^) Г d<p < 2 $
-л	— оо
(по теореме Фубш	ш). Но ( ।	1' < °° • Всё*  z	J 1 *Т" *
Ввиду этих теорем всякую функцию из Яр({1тг>0})
можно разложить в произведение внутреннего и внешнего
сомножителей.

I

I

Теорема. Пусть F е Нр (Im z > 0). Тогда при Im z > 0

F(z) = e<VP(z).(7F(z);

здесь:

(i)	у — вещественное число;

(ii)	Ip — внутренний множитель функции F, равный

ZP(z) = B(z)exp^ J +

в этой формуле

а)	В — произведение Бляшке в {Imz>0},

где Zk — нули функции F в {Imz > 0}, а вещественные числа
а* выбраны так, чтобы

l~zk

b)	а 0 — некоторая сингулярная мера на R, для ко-
торой

с)	а 0 («масса в точке оо» равна —а);

iii) (Ур — внешний множитель функции F, равный

(ОО	ч

— оо	/

Доказательство. Возьмём соответствующую факториза-
цию для функции f в Нр ({| w | < 1}) и сделаем в ней замену
переменных

«’ = 7777. f(w) = F(z),

Соответствующие вычисления в основном уже были прове-
дены в пункте А.
Схолия. В терминах нулей zk необходимое и достаточное
условие сходимости произведения Бляшке В таково:

ПI а — zk)/(i — zk) I > 0.
- k

Это можно записать более простым образом. А именно,
имеем

i-zk 2 |zt + f|2|Zft-,f|2 41mzk

1~Ч	+	l*k + ‘l2*

Следовательно, произведение П | (i — zk)/(i — zk) | сходится
к некоторому положительному числу в том и только в том
случае, когда

57 Im*fe

4i^+zi2< 

Это обычно формулируют следующим образом:

Рис. 28 показывает, что наглядно представлять себе про-
изведения Бляшке в5 верхней полуплоскости гораздо легче,

чем в круге. Из рисунка ясно видно, почему члены произве-
дения имеют модуль < 1 в точности в полуплоскости
{Im z > 0} I

Схолия. Конечно, если Fe ffp(Imz > 0), то

Г 1 log I (О II ' оо

J 1 + t2






Это получается из соответствующего результата для круга
(см. гл. IV) с помощью замены переменных.

Замечание. Приведенная выше факторизация для полу-
плоскости иногда приписывается Неванлинне. Большинство
из напрашивающихся аналогов теоремы Бёрлинга (гл. IV,
п. Е) справедливо.

D. ТЕОРЕМЫ М. РИССА О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ГИЛЬБЕРТА

Если и е Lp(—оо, оо), 1 р оо, то мы можем обра-

зовать функцию

£7(2) =	уи (0 dt "я J (х — t)2 + у2 ’ — оо

гармоническую в {Imz>0} и такую, что U(z)-* U{t) при
z---► t ДЛЯ П. в. t (пункт В).

•К

Если при этом р <_ оо (sic!), то мы можем образовать
гармонически сопряжённую функцию

г, м__L ( (* — О в (0 dt

U{Z,~n } (х - О2 + у2

(пункт А).

Функция И + 10 АНАЛИТИЧНА в {Imz>0).

Лемма. Если Ге Я1 ({Imz> 0}), то

J F(t)dt = Q.

Доказательство. В силу одной из теорем пункта С

Г F(t)dt _п
J t + iN — и

— ОО

при всех N > 0. Так как	то, согласно пункту С,

F е L1 (—оо, оо) и поэтому

оо	оо

( F(t)dt = lim ( /1л» F(t)dt — O. Q. Е. D.

j	yV->co j Г "Г 4/V

— oo	— oo

Лемма. Пусть 1 < p 2,	—oo, oo) и функции U и О

определены выше формулами в рамках. Тогда существует
константа Кр, зависящая только от р, такая что при всех
Л>0
оо	оо

J [U(x + ih)\pdx^Kp J \U(x + ih)\pdx.
— ОО	—оо

Доказательство. Ясно, что, не умаляя общности, мы
можем предполагать функцию и вещественной, так как об-
щий случай следует из этого частного, хотя, быть может,
и с худшим значением Кр.

Мы также можем предполагать, что и имеет компактный
носитель. Действительно, в общем случае мы можем найти
последовательность {ип} функций с компактными носите-
лями, такую что || ип — и ||„ —► 0; тогда если
г п

со

UAz) = ±- \yun(t)dt/\2-t?
Jv J
— оо
и

л м — L { (х~()((>at
un\z)—„ )	|z-f|2

то для каждого фиксированного й > 0 мы будем иметь

со	оо

( \Un(x + ih)-U(x + ih)[pdx^ ( | un(t) - u(t) \pdt—^0,
J	J	n

— co	— oo

a Un (x + ih) —► 0 (x + ih) равномерно на компактных под-
множествах и, стало быть, по лемме Фату,

( | U (х + ih) |р dx lim inf ( | Un (х + ih) |р dx;
J	П->оо J

тем самым справедливость доказываемого неравенства для
всех п повлечёт его справедливость для О и U.

Итак, впредь, не умаляя общности, мы предполагаем, что
и — функция с компактным носителем.

Предположим теперь, что и 0 и и Ф 0.

Пусть F — U 4- iO. Тогда при любом й > 0 мы имеем
U =sReF > 0 в {1шг>-й}, и поэтому функция F не цмеет
нулей ни в какой из таких полуплоскостей. Следовательно,
функция

G(z) = (F(z + /A))p

также аналитична в {Im z 0}.

Далее, G е Я1 ({Im z < 0}). Действительно,

$ (I/ (х + iy + ih))p dx^C <оо
— со

при всех у > 0; в то же время

функция |G (z + ih) | ограничена в {Imz^O}, А ТАКЖЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ТАМ О (у) , так как и имеет компактный
носитель,

так что при у 0

$ | U (х + iy + ih) \р dx const,
— оо

ибо р> 1. (NB: константа зависит от Л, но мы об этом
сейчас не заботимся!)

оо

Следовательно, $ | F (х + iy + ih) \р dx^. с, у>0, и Gs
— со

еЯ1. ___________________________________________

Стало быть, по предыдущей лемме

G(x)dx = 0.

Теперь мы можем воспользоваться методом Кацнельсона
и Зигмунда (гл. V). Запишем

G(z) = (Fa(z))p,	1<р<2,

где Re Fk — Uh > 0.

Выберем число у, 0 < у < у, такое, что у < ру < я;
мы можем это сделать, поскольку 1 < р 2. Пусть

E = {xgR: |argFft(x)Ky).	_
Рис. 29. Мы рассматриваем эти две взаимоисключающие ситуации.

В силу последнего соотношения в рамке

J Re (Fa (х))р dx + J Re {Fh (x))p dx = 0
~e	в

(где ~E обозначает дополнение к Е в R). При хе ~Е

Re (Fh (х))р < — | Fk (х) |р | cos ру |

(см. правую часть рис. 291). Следовательно,

J | Fh (х) |р I cos ру I dx < J Re (Fk (x))p dx < $ | Fh (x) |p dx.
~e	e	e

При x e E (левая часть!)

IF MК
haWK”C0SY
и поэтому

(|Fft(x)|₽dx< ’ J(t/ft(x))pdA
E	' E

В итоге мы видим, что

$ |Fft(x)|pdx = A + h|Fft(x)|pdx
- ОО	\Е Е/

«cosv)”(‘+i45bvi)S(u'w>’&’
Е

или, поскольку Он (х)	| Fh (х) |,

f|t/A(x)|pdx^(cosY)-p(l	$ Wh(x))pdx,

— оо	—оо

как и требовалось, в случае и 0.
Теперь мы хотим избавиться от этого предположения.
Отметим, что, конечно же,

оо	оо

$ \Uh(x)\pdx^Kp J (u(t))pdt,
— оо	— оо

где

Kp = (cosy) Р(1

1

| cos ру

в случае и 0. Для произвольной вещественной функции «
с компактным носителем положим и = и+ — и-, где и+
и и- — неотрицательные функции с компактными носителями,
причём {и+ > 0} П {«- > 0} = 0. Тогда

оо	оо	оо

$ I «(0|р = I«+ (0|рdt + J | w_ (0 \pdt.
— со	—оо	—оо

В очевидных обозначениях имеем

Uh(x) = Ut (x)-Un (х);

поэтому II Uh Up < | Uh lip + II Uh Ip и

J \Uh(x)\pdx^2p~1( J | Ut (x)|P + J I Uh (x)|Pdx
— oo	\— co	—oo

а это ввиду уже доказанного не превосходит

\— оо	—оо	/

= -^-(1 4-.* ,) ( \u(t)lpdt.
cosp у \	• I cos ру I / J 1 4,1

— оо

Тем самым неравенство

J Iи(х + ih) fdx^Kp J |и(0\p~dt

теперь доказано для произвольной вещественной функции и
переменного знака и с компактным носителем (а следова-
тельно, согласно приведённым выше рассуждениям, для про-
извольной вещественной функции и с любым носителем).
Этого было бы достаточно для многих целей.

1SL, •'-«ЯЛ
Мы, однако, хотим доказать лемму в таком виде, как она
была сформулирована.

Доказательство будет основано на одном трюке '
с ядром Пуассона и сопряжённым ядром Пуассона.

Заметим, что для фиксированных вещественного числа
хо и h > 0 функция

z — Хо + ih

гармонична и ограничена в {Im z > 0};
пункту С,

пс 1	С~ 1

z - Хо + ih	л J П ё - ХО + ih

поэтому, согласно

ydl -

т. е. (после перемены знака)

оо

______Хо — X_________Г Хр —g	у

(хо - х)2 + (у 4- Л)2 Я J (Х0-?)2 + Л2 • (g_X)2 + i,2
— СО

Следовательно,

оо

ОО оо

= GO S S (хо-6)2 + Л» ’ (l-tY + y2 “dt'
— ОО —оо

Вычисление, основанное на теореме Фубини (мы можем счи-
тать, что и имеет компактный носитель!), показывает, что
это равно
оо

Таким образом,
— оо

Ввиду только что доказанного

J |{7(х + ч/ + *Л)|р</хСЯр J \U(t + iy}\pdt
— оо	—со
при всех h > 0, причём константа КР зависит только от р.
Теперь, зафиксировав у, у> 0, устремим h к нулю, так что

U (х + iy + ih) -* U (х + iy)
равномерно на компактных подмножествах, и воспользуемся
леммой Фату. Мы получим в пределе, что

оо	оо

J I и (X + iy) f dx < Кр J \U(t + iy)\pdt,
— со	—оо

т. е. в полной мере то, что требовалось. Q. Е. D.

Схолия. В случае р — 2 можно сказать больше. Так как
в этом случае функция F2 регулярна в {Imz>>0} вне зави-
симости от того, будет ли U 0 или нет, то

J (F(x + ih)2dx = 0
— оо

при всех h > 0 (ибо Ff е Я1). Взяв вещественные части,
получаем

J ((С/ (х + ih))2 -(&(* + ih))2 dx = О,
— оо
т. е.

J (U (х 4- ih))2 dx = J (U (x + ih))2 dx.
— co	—co

При p = 2 имеет место равенство!

Теперь уберем ограничение р 2, используя соображе-
ния двойственности.

Теорема (М. Рисе). Пусть 1 < р < оо, и пусть и е
—оо, оо). Положим для Imz>0

оо

- оо

Тогда при всех h > О

J |l/(x + £A)|₽dx<Kp J \u{t)\pdt.
Доказательство. Если 1 <Z р 2, то наше утверждение
содержится в предшествующей лемме, поэтому предполо-
жим, что 2 < р <. оо, и пусть + у = 1; тогда 1 < q 2.
Согласно теории функций вещественной переменной, для вся-
кого числа е>0 можно найти функцию и из £’(—оо, оо)
с компактным носителем, удовлетворяющую условию

оо

J 1»(0 |’л = 1
— оо

и такую, что

Но

оо

$ Uh{x)v(x}dx
— оо

$ Uh(x)v(x)dx =

l^LH^ll^dtdx
(х -	+ Л2 ai ax

по теореме Фубини

•(-_-^)2Тр-р- ° dx ) «(0 dt = -



где



Поскольку 1 < q 2, то по лемме

II r ft llfl JX$II v lip -

поэтому, в силу неравенства Гёльдера,

Итак, ||СМ1р — в /Щ°Ир- Теперь «ужимаем», в. Теорема до-
казана.

У этой важной теоремы имеется много следствий.

Следствие. Если и е Lp(—оо, оо) и 1 < р < оо, то

оо

Р(г) = ^-	и Re F(z)->«(/)

* ОО

при г —для п. в. t.
• Следствие. Если ueLp(—оо, оо) и 1<р<оо, то предел

6(x) = lim-^ ( ~^tdt
существует п. в., ||й||р ХР||м||Р и

оо	оо

°<г>4 $	= 7	2<'><"

— оо	—оо

Замечание. Таким образом, //^-функция

F^=i 5

и (0 dt
z — t

из предыдущего следствия удовлетворяет условию
ImF(/)= H(t) п. в., в то время как ReF(0 = «(О-

Доказательство следствия. Рассмотрим функцию О;
она гармонична в {Imz>0}. Поскольку иеР, то по тео-
реме М. Рисса
оо

$ |Щх + *!/)1₽<С, У>0.

Так как 1 < р < оо, отсюда следует, ввиду одной из теорем
пункта С, что существует функция о, ueL’f—оо, оо), такая
что

Гк?\ — 1 С (0 di

Согласно одному из результатов пункта В, C?(z)-*u(/) при
г —► t для почти всех t. В частности, предел lim й (t + iy)
к	у->о

существует и конечен при п. в. feR. Поэтому, в силу дру-
гого результата пункта В, при почти всех х предел

lim 4-
е->0 я

С и (0 dt

J x-t
t-x | >е

существует и имеет то же значение, что и lim U (х + iy) = v (х).
Таким образом, используя уже привычное для нас обозначен
ние для главного значения, мы можем записать

u(t)dt ✓ ч
~7=Т = v W

п. в.

Этого достаточно. Q. Е. D.
Определение. Функция

называется преобразованием Гильберта функции и из
Lp(—оо, оо), 1 <z р < оо.

Следствие. Если 1 < р < оо и usLp(—оо, оо), то и — —и.

оо

Доказательство. Положим F(z) = С	Тогда

Fe=Hp, ReF(t)=u(i) и ImF(0 = «(0- Пусть

G(z)~~ 5
— оо

Согласно пункту С,

-ТО + адЧ f

— оо

S ^Ял--2.Т(2).
— 00

Поэтому G(z) =—iF(z). Следовательно, при почти всех х .

й (х) = lira Im G (х + iy) = — lim Re F (x 4- iy) =

= —u(x). Q. E. D.

Следствие. Для всякого 1 < p < oo существуют константы
Cp и Dp, такие что

Ср||и||р<||й||р<Ор||и||р)

и преобразование Гильберта изоморфно отображает про-
странство £р(—оо,оо) на себя.

Доказательство. Это вытекает из двух предыдущих
следствий.

Замечание. В случае р — 2 мы имеем изометрию:

J |«(х)|Мх= J | u(t) fdt-
Действительно, «(0 + id (t)= F(t), где F е Н2, поэтому
оо

F2^.H\ и, таким образом, $ (F (t))2dt =0. Остаётся взять

вещественные части.

Следствие. Если -^- + -у = 1> 1 < Р <. 00, u^Lp, то
оо	оо

$ u(t)v (/) dt = $ й (х) v (х) dx
— оо	—оо

и	_____________________________________

оо	оо

$ и (/) v (0 dt = — $ й (0 v (/) dt,
— оо	— оо

причем интегралы сходятся абсолютно.
оо

Доказательство. Положим F(z)—-^ ft ( G(z) =
— оо
оо

= 1 S V-r; тогда F^HP> F(t) = u(t) + iu(t)
п. в., Q (t) = v (t) + iv (t) п. в. Имеем FG<s.H\ и поэтому
в силу первой леммы этого пункта

оо

J F(t)G(t)dt — Q.
— 00

Переход к вещественным частям даёт нам первое обведённое
рамкой соотношение. Переход к мнимым частям дает второе.
Абсолютная сходимость этих интегралов следует из неравен-
ства Гёльдера.

Е. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ТЕОРЕМА ПЭЛИ —ВИНЕРА

Пусть F^Lp(—оо, оо). Теорема Хаусдорфа — Юнга
утверждает, что для 1 р 2 (и, вообще говоря, ни для
каких больших значений р!), если положить

N
Fn(X)= ^eiKtF(t)dt,
-N

в Зак. 857
то при Я-»-оо функции PN стремятся в Lq(—оо, оо) к неко-
торой функции F, называемой преобразованием Фурье функ-
ции F; здесь 1/^=1 — 1/р. Преобразование Фурье F удов-
летворяет неравенству

Если р = 1, то эти утверждения очевидны; в этом случае
функция Р даже непрерывна и обращается в нуль в ±оо.
Для р = 2 они являются частью теоремы Планшереля. Этих
двух случаев (р = 1 и р = 2) достаточно для многих при-
ложений.

Теорема. Пусть 1 р 2 и F(t)^Lp{—оо, оо) — функция,
являющаяся граничным значением функции F из Нр. Тогда
F(A) = О при п. в. А 0.

Доказательство. Прежде всего, если р= 1, т. е. F^HX,
то функция eitJ!F(z) также принадлежит пространству №
при А 0 (для таких А мы имеем |е‘Хг| 1 при Imz^O!).

оо

Стало быть, в этом случае $ etMF (/) dt = 0. т. е. F (А) = 0

ввиду одной леммы из пункта D.

Если FеНр при 1 < р «С 2, то рассмотрим функции F^-,,
F{k}(z) — -^Yi^F(z),	k>0. Ясно, что FweHl. Поэтому

p(ky (А) = 0, А>0. Но поскольку НЛ*) —Е||р-»-0 при £-»-оо,
то по теореме Хаусдорфа — Юнга (или прямо по теореме
Планшереля в случае р = 2) ||F(*) —	при &->оо, где

1/^=1 — 1/р. Так как каждая функция Pw тождественно
обращается в нуль на [0, оо], то там же f(A) = O п. в.
Q. Е. D.

Замечание. В случае р = 2 обратное утверждение также
справедливо. Именно, если ФеР(—оо, оо) и Ф(А) = 0
п. в. при А 0, то существует функция F из Я2, для которой
F (А) = Ф (А). Достаточно положить

N

F(t)= -к-l.i.m. ( е~‘мФ(А)</А.

АГ-*00

(Здесь 1. i. m. = “limit in the mean” обозначает предел по
норме L2.) Действительно, если ф(А) = 0 на (0, оо), то

N

F (t) — -4— l.i.m. ( ел‘Ф (- A)dA.

tf->oo J
При всех у > 0 имеем е~уКФ(—k)^Ll(—00,00), и поэтому

со	оо

еагф (_ х) dK = е*хе-«*Ф (— Л) dl,
о	о

причём интеграл сходится абсолютно и определяет функцию
2nFi(z), регулярную в {Imz>0}. По теореме Планшереля

J |Fi(x + z«/)|2dx = 2jt J е~2у>-1Ф (- A) |2d% < 2л || Ф ||2;

• оо	О

таким образом, Fi е Н2.

Наконец, Це-уХФ(—Л) — Ф(—%)„г-*0 при у-* О, и тогда
опять по теореме Планшереля

оо

$ |Fi(/ + iy)~ Р(012Л->0 при у->0.

Следовательно, функция F является граничным значением
для некоторой функции Fi из Н2. Формула обращения для

Рис. 30

преобразования Фурье в L2 позволяет заключить теперь, что
f (Х)= Ф(Х).

Теорема (Фрагмен — Линделёф). Пусть f — функция, анали-
тическая в {Im z > 0} и непрерывная в {Im z :> 0}. Предпо-
ложим, что

(0 I f(z) К const • exp (const • |z |) в {Imz^O};

(ii)	I f(x) |<M, x e R;

(iii)	lim (log | f (iy) \/y) = a.

y->oo

Тогда | f (z) I Me011, Im z 0.

Доказательство. Выберем произвольное число s > 0.
В квадрантах I и II (рис. 30) функция g, g(z) = e,(a+8>2f(z),
удовлетворяет условию log|g(z)sC O(|z|), и на границе

в*
каждого из этих квадрантов она ограничена. Каждый квад-
рант имеет раствор 90° < 180°, и поэтому в силу обычной
теоремы Фрагмена — Линделёфа’> функция g ограничена
в квадрантах I и II. Следовательно, функция g ограничена
в {Imz 0}.

Отсюда, в силу, другой элементарной теоремы Фрагме-
на— Линделёфа, следует, что

| g (z) | С sup | g (/) |C M в {Imz> 0},
t s R

и, стало быть,-там |f(z) | С Ме(а+8Ч Остается ужать е.

Определение. Целая функция f называется функцией экспо-
ненциального типа, если существуют константы А и В, для
которых |f(z) | С Аев>г1.

Теорема (Пэли и Винер). Пусть f — целая функция экспонен-
оо

циального типа, и предположим, что $ | f (х) |2dx < оо.

Пусть

.. log If 0» I
а = lim sup —s

—ОО I У ’
,	<• log | f (iy) |

b = lim sup —61	.

#-><» У

Тогда

ь
f(z)=
-a
где
b

| ф(Л) |2dX < °o.

—a

Доказательство. 1. Допустим сначала, что мы также
знаем, что функция f ограничена на R; скажем If (01 С м
для вещественных t. Тогда в силу приведённой выше теоремы
Фрагмена — Линделёфа | eibzf (z) | С М при Imz^O, т. е.
elbef(z)e Я“({1т > 0}). Следовательно, по пункту С, при
Imz > 0

е^(2) = 1 J —L^7(0df.

» См., например. Титчмарш [1980]. — Прим. ред.
Поскольку f(t) и, следовательно, eibtf(t) принадлежат про-
странству L2(—00,00), отсюда вытекает, согласно пункту В,
что

*	оо

J |ei6u+/«)f (/4-Z^)|2d/^c, у > О,
— оо

т. е. в действительности eibzf(z)^ №({lmz > 0}).

Таким образом, в силу первой теоремы этого пункта,
функция

f (Л) = l.i .ш. (	6) /[eibtf dt

N^°° Л

обращается в нуль п. в. при X — 6^0, т. е. f(k) = O п. в.
при X, Ь.

Если вместо полуплоскости {Imz>0} мы проделаем то
же самое в полуплоскости {ImzC.O}, то получим, что
f (X) = 0 п. в. при X —а.

Формула для обращения преобразования Фурье в L2 даёт

N

f (х) = l.i.m.( eixKf (X.)dk, xeR.

JV->oo	J

В нашем случае это просто сводится к

ь

f \e~ixKf(Mdb.

-а

Ъ

Так как feL2, то интеграл [e~izKf(X)dk на самом

-а

деле абсолютно сходится при всех комплексных z и яв-
ляется целой функцией от г. Эта целая функция совпадает
с целой функцией f(z), когда z— вещественное число. По-
этому эти целые функции тождественно равны. Тем самым
всё доказано, если функция f ограничена на К

2. Но функция f действительно ограничена на IR! Мы
имеем неравенство

Xes,zl

для некоторых констант А и В. Для всякого положительного
числа h > 0 положим

h
тогда fh также является целой функцией и удовлетворяет
неравенству \fh(z) ЛЛев| 2| с той же самой константой В,
что и выше, независимо от значения ft.

Так как \\f\\2 < оо, то ввиду неравенства Шварца

"у п

т. е. функция fh ограничена на R, и, кроме того, Н/лНг^
II/U2- Следовательно, результат, уже полученный в первой
части доказательства, гарантирует, что все преобразование
Фурье th обращаются в нуль п. в. при X < —В или при
X > В. Следовательно, в силу уже использованной формулы
обращения,
в

f»(*)=-% $ elxK^)dk,
-В

откуда по неравенству Шварца

в

im*)i2<-^- J
-в

По теореме Планшереля правая часть равна	l| fh II», что,

л z

как мы отметили, <-^-||f|^. Таким образом, для веществен-
ных х

lfA(x)l< V£llf,k

при всех h > 0. Поскольку, очевидно, fA(x)->-f(x) при Л->0,
мы, наконец, получаем, что | f (х) |	-\/Ь/я\\ f II2, т. е. функция

f ограничена на R.

Теорема полностью доказана.

Замечание. Ясно, что если <реL2 и

ь
f(z) =

-а

то f является целой функцией экспоненциального типа,
со

I1 &)l!dx < 00 и

•-©О

I f (iy) I const • еЬу при у-*оо,
I f(iy) К const • еа,у при i/->—оо
(в предположении, конечно, что —а<Ь\). Теорема Пэли —
Винера является обращением этого элементарного факта.

Замечание. Если в условии теоремы Пэли — Винера мы
оо	оо

предположим, что $ |f(x)|dx < оо вместо | f (х) fdx < оо,
— оо	—со

то,, сохранив остальные предположения без изменений,
мы п°"пРежнемУ получим, что

ъ

№ =	\e~^f(X)dk,

— а

причём здесь функция / даже непрерывна.

Доказательство этого варианта такое же, как и у самбй
теоремы Пэли — Винера.

F. ТЕОРЕМА ТИТЧМАРША О СВЁРТКАХ

Определение. Если функции <р, ф принадлежат пространству
£'(—оо, оо), то их свёртка определяется соотношением

оо

(ф«ф)(Х) = $ ф(Л — т)ф(т)йт.
— оо

Можно показать (используя теорему Фубини), что инте-
грал в правой части сходится абсолютно при п. в. X из R
и что ф*ф = £1(—оо, оо). Путём замены переменных уста-
навливается, что ф*ф = ф*ф. (Я прощу прощения за оби-
лие греческих букв. Так уж получилось, что в этой главе
латинские буквы обозначают почти исключительно преобра-
зования Фурье функций из L1, особенно если эти преобразо-
вания аналитичны в некоторой полуплоскости.) Как хорошо
известно, переход к преобразованиям Фурье превращает
свёртку в умножение, т. е.

Ф*Ф(О = Ф(ОФ(О-

Определение. Для (реА!(—оо, оо) под несущим интервалом
функции ф понимается минимальный замкнутый (возможно,
бесконечный!) интервал, который содержит носитель функ-
ции ф, т. е. вне которого ф = 0 п. в.

Пусть а — правый конец несущего интервала функции ф,
а b — правый конец несущего интервала функции ф. Прямое
исследование интеграла, определяющего свёртку, показывает,
что (ф * ф) (X) = 0 при X > а + Ь. Что замечательно, так это
то, что если а и b < оо, то не может иметь места никакого
взаимного погашения за счёт интерференции и справедливо
утверждение, обратное к только что указанному факту:

Теорема. Пусть а — правый конец несущего интервала функ-
ции ф, b — правый конец несущего интервала функции ф-
Если оба числа а и & конечны (sic!), то правым концом не-
сущего интервала функции ф * ф будет в точности а + Ь.

Доказательство. Обозначим правый конец несущего
интервала функции ф*ф через с. Мы уже знаем, что
а + Ь. Нам надо доказать, что а + b с.

Для этого используем обратное преобразование Фурье:

/(г) = ф(—z)= ( e~izK(p(K)dk9

— оо
ь

£(г) = ф(—z) = $ e~izKty(h)dk,
— со

С

5(г) = ф*ф(— z) — $ е-{гК(ц> * ф) (k)dk.
— оо

Имеем S (z) = f (z) g (z).

Так как a, b и с — конечные числа, то f, g и S — анали-
тические в {Imz > 0} функции, и поскольку ф, ф и ф »ф <= L1,
то функции f, g и S непрерывны вплоть до R и ограничены
на R. На самом деле очевидно, что в {Im z 0}
\f{z)\^Keay, \g(z)\^Leby, \S(z)\^Mecy

для некоторых констант К, L и М.

Я утверждаю, что

lim —6	1 в точности равен Ь.

у-*оо	У

Обозначим этот lim через Ь'. Мы, несомненно, имеем Ь' Ь.
Предположим, что Ь' <_ Ь. Для h > 0 положим фй(Л) =
h

~~^h 5 $ dx- Тогда Ифл — ф|| i -> 0 при h -> 0, и поскольку
-h

преобразование Фурье переводит свёртку в произведение, то
t ч sin bz о , v sin hz z ч
ФА(-г) = -т-ф(-г)=-^г-^(2),
Но фле L2(—оо, оо), и поэтому формула обращения для
преобразования Фурье в L2 даёт

N

ФА(Л)==-^-1л.т. \

Заметим, однако, что для достаточно больших I функция

(— z) = е11г g (z)

принадлежит пространству №({Imz > 0}). Действительно,
поскольку

У^ОО	У

то | g (z) | Ьеь"ч в силу теоремы Фрагмена — Линделёфа из
пункта Е, и отсюда непосредственно видно, что е“гфй(—г)е
И2 при I = b' + h. Следовательно, в силу первой теоремы
пункта Е, фл(Х,) = 0 п. в. при Л. b' + ft. Устремив h к нулю,
мы заключаем, что ф(Л) =з О п. в. при X Ь', а это противо-
речит тому, что b — правый конец несущего интервала функ-
ции ф. Итак, Ь' — Ь.

Таким же образом можно доказать, что верхний предел
lim log । в точности равен а.

у-^оо У

Теперь, для k=\, 2, 3, ... положим М(k) = sup |g(x +
№ R

+ ki) Для произвольного положительного числа в должно
выполняться равенство М (k + 1)/М (k) > eb~* при некото-
ром k, Иначе, как легко видеть, мы имели бы

1ЙЙ l0g|gfa4»-8.

у-^<х> У

Итак, зафиксировав е > 0, выберем число k, для которого
выполняется указанное выше неравенство, и возьмём точку
Хо из R, такую что

|g(x0 + (* + l)t) I 6_e
M(k)	•

Чтобы упростить обозначения, мы теперь
предположим (не умаляя общности!), что хо = О.

Будем работать в полуплоскости	По теореме

Фрагмена — Линделёфа из пункта Е, |g(z) | M(k)eb<lf-It)
при Imz^sk, поэтому функция e‘6zg(z) ограничена в этой
полуплоскости, и, согласно пункту С, можно найти такое
произведение Бляшке Б в верхней полуплоскости, для кото-
рого функция g(z)/E(z— ki) не имеет нулей в {\mz>k}.
Отсюда видно, что существует функция h из Я°°({1т z > 0}),
такая что ||Л||оо	1, h не имеет нулей в {Imz>0} и

g(z) = e~ib (z-W)Af(fc) Б(г — ki) h(z — ki) при lmz>k.

Таким же точно образом мы найдем произведение Бляш-
ке В в верхней полуплоскости и функцию L из Н°° ({1ш г >
0}), не имеющую нулей в {Im z > 0} и такую, что

S(z) = e-<c(z-*<>B(z _ ki) L(z — ki) при Imz > k.

Частное S(z)/g{z) = f (z) — регулярная в {Imz>A:}
функция. Следовательно, произведение Бляшке В должно
иметь достаточно нулей, чтобы погасить нули произведения
В! Таким образом, В/Б = В\—также произведение Бляшке
и

f (z) —	= в, (г___ki\ е{ (b-c)(z-ki)£j2.________!____

М '	g(*) М ’	Af(fe) h(z-ki)

при Imz>k,
откуда

е<с-Ь)у

I f (z) К const |Л(г-2_ Ы) | ПРИ Im 2 > k-

Далее, функция h не имеет нулей в круге {Im z > 0}
и по модулю не превосходит в нем 1, поэтому функция
log|l/ft(z)| положительна и гармонична в {Imz>0}. Зна-
чит, согласно формуле Пуассона, полученной в начале этой
главы,

оо

1оё|т^~| = ^ S	rfn(O + Pg при Imz>0

— оо

для некоторых положительной меры ц и положительного
числа р. Ввиду нашего выбора числа k

|g((fe +1)01
М (k)

<eb\h{i)\

I
(ибо х0 и |Б|	1), откуда log| 1/А(Z) | е, или

л

С dy (О

J t2+ 1

+ Р <е.

Отсюда ясно, что при у 1

logl h(iy) | я 5 <2 + У +03'^84'’
— оо

поскольку р. О и р 0. Подставляя это в одно из преды-
дущих неравенств, получаем

I f (iy} I ’С const • е*с-6> «'e8 <»-*>

при у k + 1, т. е.

ПЖ -МШ

у-^оо У

^.с — 6 4-е.

Однако, как мы видели выше, верхний предел в левой части
неравенства в точности равен а. Следовательно, а с —
— 6 4-е. Ужимая е, получаем а 4- b с, что и требовалось.
Сделано!

Следствие (теорема Титчмарша о свёртках). Пусть функция
Ф из L' имеет конечный несущий интервал [аь а2], а функ-
ция ф— конечный несущий интервал [61, 62]. Тогда несущий
интервал функции <р*ф в точности равен [дц 4-&i, аг 4~ &г] *

Доказательство. Доказанная теорема утверждает, что
правый конец несущего интервала функции <р * ф равен
«2 4-^2. Аналогично можно убедиться, что левый конец равен
а14-6ц ОДИН из возможных способов — сделать сначала за-
мену переменной —%, а затем снова применить теорему.

Замечание 1. Конечность чисел ai и 61 здесь существенна
для того, чтобы в качестве левого конца получить ди 4- 61
(равно как и конечность а2 и 62 существенна для того,
чтобы в качестве правого конца получить аг-Ь^)- Это легко
видно на примерах.

Замеч-ание 2. Теорема Титчмарша о свёртках — замеча-
тельный пример чисто «вещественного» результата, получен-
ного методами теории функций комплексной переменной. Ми-
кусинский и другие дали вещественные доказательства. Боль-
шинство из них сложнее, чем приведенное выше,
оо

Задача 6. а) Вычислить ke(x)—± j х**—f для функции
—-оо

'о,

|/|<е,

М0 =

U 1>е.

Ь) Для 1 <Z р < оо, —оо, оо) и б > 0 положим

(ЗДИ—I	J

I t—X |> 6

Используя функцию из а), показать, что существует кон-
станта Ср, не зависящая от 8, такая что

||7>Нр<Ср11«11р.
Глава VII

Двойственность пространств нр

А. ПРОСТРАНСТВА И» И ИХ СОПРЯЖЁННЫЕ. ТЕОРЕМА CAPACOHA

1° Некоторые пространства и их сопряжённые

Мы рассматриваем в основном случай единичного круга;
сходные (и в известном смысле более симметричные) резуль-
таты для верхней полуплоскости устанавливаются аналогич-
ными методами и будут приведены в табличке в конце этого
подпункта.

Ограничивая своё внимание лишь граничными значениями
f(eie) функций f на Нр, мы видим, что пространство Нр
можно рассматривать как || • ||р-замкнутое подпространство
пространства Lp(—л, л). Впредь именно так мы и будем
делать.

Определим еще три пространства:

&= {ft f непрерывна на [—л, л]};

.я£ = ‘ё’ П #°° — множество функций из <&, допускающих
аналитическое продолжение в открытый круг {|z| < 1}, даю-
щее непрерывную функцию в замкнутом единичном круге.

Пространства и «s£ снабжаются sup-нормой IHloo.

Л — множество конечных комплексных мер Радона на
{|£| = 1} с нормой

Л

||р||=» $|dp(e'e)|.

-Л

Отметим, что Л— пространство, сопряжённое с в силу
классической теоремы Ф. Рисса.

Обозначение.

Hp(0) = $ft=Hp: J f(e{e)dB = o\ = zHp.

_	ч	“Л	)

Теорема. Если 1 •< р < оо и -^- + -^-= 1, то Яр(0)— про-
странство, сопряжённое с LP/Hp, a L4/Hq{Q)—пространство,
сопряжённое с Нр
Замечание. Имеющаяся здесь незначительная, но раз-
дражающая асимметрия — одно из последствий того, что мы
работаем в единичном круге. Она исчезает, если перейти к
верхней полуплоскости.

Доказательство теоремы, а) Пусть Л—(ограничен-
ный) линейный функционал на L’/H’. Ясно, что Л порождает
линейный функционал на L4, и, стало быть, для f е Lq

=	+ Hq)= J f(ei0)£(eie)dO,

-л

где L — некоторая функция из Lp (теорема Ф. Рисса о пред-
ставлении). Имеем A(g) = 0 при g^Hp\ в частности,

$ eMe£(e<9)rf0 = O, n = 0, 1, 2, ....

-л
оо

и тем самым ряд Фурье функции L имеет вид У, Апе1"9,
------------------------- п^1

а поскольку L е Lp, то L е гНр = Нр (0). Обратно, всякая
функция L такого вида действительно задаёт по приведённой
выше формуле линейный функционал на пространстве

b) Если LeL’ и f — произвольная функция из Я’(0), то
линейная форма Л,

л

Ag = J (L(e'0) + f(e‘0))g(e'0)d0,

-л

определённая при всех g из Нр, не зависит от f. Поэтому
L + #’(0) является ограниченным линейным функционалом
на Нр.

Обратно, возьмём произвольный линейный (непрерывный)
функционал Л на Нр. По теореме Хана — Банаха мы можем
распространить Л на всё пространство Lp, получив тем самым
функцию L из для которой

Ag = $ L (е‘е) g dQ, g<=Lp.

-л

Если мы теперь снова сузим Л на Нр, то окажется, что функ-
ционал Л задаётся классом смежности L4-№(0) по той же
формуле, что и выше. Q. Е. D.
Теорема. Пространство, сопряжённое с L'/H', совпадает
с Я°°(0).

Пространство, сопряжённое с Я1, совпадает с £°°/Я°°(0).
Доказательство — теми же рассуждениями, что и в пре-
дыдущей теореме.

Теперь, однако, на сцене появляется

Теорема. Пространство, сопряжённое с 'В/st, совпадает с
Я«(0).

Доказательство. Поскольку Л — пространство, сопря-
жённое с то сопряжённым с Ч?/st будет пространство

р е	f (е16) dp (0) = 0 при f е st

-л

В частности, для того чтобы мера р входила в это простран-
Л

ство, она должна удовлетворять соотношениям j еме dp (0) = 0,

п = 0,1,2.....

Следовательно, по теореме братьев Рисе, dp (0)=g (е*9) d0
для некоторой функции g из L1 (— л, л), и легко про-
верить, что (0).

Обратно, ясно, что всякая функция g из Я*(0) определяет
функционал Л на /st по формуле

Л (<р + st) = J g (ei9) Ф (е‘е) d0.

— л
Сделано!

Замечание. Распространяя очевидным образом предыду-
щие обозначения, положим

st (0) — {etef (ete); f^st}.

Такими же рассуждениями, как и выше, мы получаем, что
пространство, сопряжённое с tf/stlO), совпадает с Я1. Таким
образом,

^/st (0) имеет сопряжённым Я1, а для Я1 сопряжённым
служит L°°/H°°(0).
В частности, мы видим, что Н' — сопряжённое простран-
ство, в то время как более широкое пространство L1 не яв-
ляется таковым. Это имеет важные следствия — единичный
шар в Н1 (секвенциально) а>*-(относительно ff) компактен,
а единичный шар в L1 (секвенциально) о>*-плотен в единич-
ном шаре пространства (мер!) Л. У Н' есть и некоторые
другие свойства, похожие на. свойства (рефлексивных!) про-
странств Lp, 1 < р < оо, а не пространства L1. Об этом
имеется статья Д. Ньюмена в Proc, или Bull. А. М. S., по-
моему в начале шестидесятых годов ”.

В следующей табличке собраны полученные выше ре-
зультаты вместе с некоторыми другими, которые устанавли-
ваются точно таким же образом.

Для единичного круга

пространство	сопряженное пространство
8	8	8	8  V	V	V	V  «а.	о.	а.	а.  V/	V/	V/	V/  »-Ч  ~	а"	а	£  —	5.	5.  5:	о sd	(0), -L = 1 - -1 2_ = 1 _ JL q	р  Н9 (0),	— = 1 - —  q	р  нч, q	р  Н' (0) н1

Очень похожие (и более симметричные) результаты спра-
ведливы для пространств Нр в верхней полуплоскости, вве-
дённых в главе VI. Пространства и Ж заменяются здесь
на

^о = {Р: Р непрерывна на R; F(x)->-0 при х->±оо},
^o = <Fof)//~({Imz>O}).

•s^o— это пространство аналитических в {Imz>0} функ-
ций, имеющих непрерывное продолжение на R и обращаю-
щихся в нуль на оо в замкнутой верхней полуплоскости

Как «’о, так и снабжаются sup-нормой.

Доказательства утверждений, представленных в следую-
щей табличке, очень похожи на соответствующие доказатель-
ства для единичного круга.

° По-ви димому, речь идет о статье Ньюмен (1963]. — Прим. ред.
Для верхней полуплоскости

пространство	сопряженное пространство
8	8  V	V  е,	<а_  V/	V/  W—*  £	-|а. -|с». 1	1  II	1  S: О

2° Аппроксимация //^-функциями. Метод двойственности
Хавинсона и Рогозинского — Шапиро

Изложенные выше результаты о двойственности позво-
ляют нам получить некоторые теоремы об аппроксимации
//^-функциями. Мы приводим здесь только результаты для
случая единичного круга; аналогичные утверждения спра-
ведливы и для случая верхней полуплоскости.

Теорема. Пусть F е Lp(—л, л),	1 < р < оо. Положим

\\F — Hp\\p = inf {||F - h\\P: h e Hp}. Тогда

(i)	И-Яр||р =

= sup

F (eie) g (ei0) dQ : g e H4 (0) & ||g ||, = 1

(ii)	существует функция ho из Hp, для которой ||F — Нр\\р —
||F — ЛрЦр (т. е. infimum достигается);

(iii)	существует функция go из //’(0), для которой

Л

И'-Яр||р = J F(eie)g0(el6)dQ
-л

(т. е. supremum достигается).

Доказательство, i)—это метрическая переформулиров-
ка факта двойственности LP/Н» и //’(О).

Чтобы доказать ii), рассмотрим последовательность {hn}
функций из Нр, для которой || F — hn ||р —|| F — Нр ||р.
Тогда нормы ||ЛЛ|| ограничены, и, стало быть, можно выде-
лить подпоследовательность {hnf}, слабо сходящуюся в Lp
к некоторой функции Ло; легко проверить, что Лое Нр,
Тогда F — hnj F — ho (слабо). Отсюда легко следует, что
IIF - ho ||, < lim inf || F - htt/||p = || F - Hp ||,,
и поэтому ||F — Л0||р =||F — Яр||р. Вот доказательство — для
начинающих:

Возьмём произвольное число е > 0 и выберем функцию
g е ||g||9 = 1, так, чтобы

Н^-Ло11Р<

п

J (F(e*)-ho(e*))g(e*)dQ

-л

Правая часть неравенства, ввиду ш*-сходимости последова-
тельности {F — hnf] к F — ho, равна

lim

Но

Л

$ (F(e*)-haf(e^)g(e*)dQ + 8.

—л

(F (е«) - Лп/ (е«)) g И) dQ < || F - ГЦ р,

поскольку tig'll, = 1.

Выделяя опять подпоследовательность, получаем

l|/7-Aolp<Hm||F-ft„.| +8.

/~>ОО м	/ н*7

Остается ужать 8.

Теперь мы должны доказать iii). По теореме Хана — Ба-
наха существует линейный функционал А на ГР/Н? единич-
ной нормы, такой что A(F-|- Hp) = \\F — Яр||р. В силу первой
теоремы подпункта Г
оо

Mf + Hp)= \f(e^gQ(e^de
— оо

для некоторой функции go из Я<?(0) нормы 1. Сделано!

Теорема. Пусть F е L1 (—л, л). Тогда существует функция
h0 из Я1, для которой ||F — ЯЧ|]=||Г— Aolli, и существует
функция go из Я’ДО), такая что ||goll«> = 1 и

(F (е1в) - ho (е'в)) g (е‘6) = IF (е«) - й0 (е">) |
почти всюду.

Доказательство. Как уже отмечалось выше, единичный
шао пространства Я1 w* (относительно ^?)-компактен; поэтому
можно доказать существование функции ho из Я1, минимизи-
рующей ||F — ftoII, таким же образом, как и в доказательстве
предыдущей теоремы.

Как и в доказательстве части iii) предыдущей теоремы,
мы можем найти функцию go из Я°" (0), такую что ||g0||oo = * и

л

||F-tf‘lh=IIF-Mi= $ F (eie)go(ei6)de =

-Я

л

= (F(eie) —ho(el6))go(ete)de.

-л

Поскольку |go(ez0)|^ 1, то из равенства интегралов

л	л

J IF (ег9) - ho (ete) | de и J (F (ег9) - Ло (ег0)) g0 (е1в) de

-я	-я

следует, что функция go отвечает всем предъявляемым к ней
требованиям.

Теорема. Пусть Fe Тогда

i) l|F —^L = ||F —Я“||оо =

= sup

F (e'0) g (e<0) de : g e H1 (0) & || g ||, = 1

(ii)	существует функция go из Я1 (0), такая что ||golli = 1 и
||F-^||0O = J F(e^)g0(e^de-,

-л

(iii)	существует функция ho из Я°°, такая что

|F(e<e)-fto(ew)| = ||F-^IL п. в.

Доказательство. Я°° :z> и потому, несомненно,
|| F — Ято||оо	||F — $4-||оо. Поскольку Я1 (0)— пространство, со-

пряжённое с то существует функция go из Я*(0), удов-
л

летворяющая условию ii). Но /i(eze)go(ei9)d0 = O при

-л

h s Я”, поэтому, очевидно,

F (е<0) go (е,е) de < || g0 II, || F — Я°° ||„,
откуда ввиду выбора функции g0 вытекает, что HF — ^||«>
IIF — //°°||оо, что и доказывает i).

Далее, пространство Нж — сопряжённое (с Ь1/Н{(0)), и
поэтому теми же рассуждениями, которые применялись ра-
нее . (о>*-компактность!), можно показать, что существует
функция hp из Н°°, для которой ||F —Я°°||оо =||Г — Л0||оо.
Тогда

Л

l|F-ftollo0 = ll/7-^“||00 = ||F-^||00= J F (eM)g0{ei9)dQ
-л

= J (F(e‘9)-ho(ei9))go(e‘9)dQ,
-л

(Л	К

поскольку $ | g0 (ete) | d0 = 1 )

-л	/

Л	ОО

J (F (е«) _ h0 (e/e)) gQ (е«) dQ = || F - ho IL J I g0 (e«) I dQ.

-Л	-OO

Поэтому |F(e/0) — ho(e‘°) | =||F — Aoll«> п.в. на носителе функ-
ции go. Так как gQ^Hl(0), то |g0(e<e)|>0 п.в., в силу од-
ной нашей старой теоремы (из пункта В гл. III). Таким об-
разом, |Г(е/е) — Ло(е,е)|=||Г — Ло11« п.в. Q.Е.D.

Схолия. Если то существует ТОЛЬКО ОДНА ФУНК-
ЦИЯ h из Я°°, для которой ||Г — Л||«>=||Р—Я°°||а>. В самом
деле, допустим, что имеются две такие функции (скажем, hi
и hz). Возьмём функцию go из Я'(0), существование которой
утверждает теорема. Как и в приведённом выше доказатель-
стве, получим, что

я	я

$ (F (е,е) — Л* (е<6)) g0 (eze) d0 = IIF - hk IL J |g0(e‘e) |d0

-Л	—Л

при k— 1, 2; значит, поскольку |g0(e‘e) | > 0 п.в., то

F (е">) - hi (е«) = \\F-hi ||м	п. в.,

go\e )

F (е">) - h. (ею) = || F - /^IL 1 g0 1 п. в.
go w )

Ввиду равенств || F — hi ||„ = IIF — hi IL = IIF — H°° IL
отсюда вытекает, что
Л1 (е1в) = F (eia) - IIF - Я~|| то = Л2 (е<0)	в.,

что и требовалось.

Для F можно сказать лишь следующее:

Теорема. Пусть F е Л°°. Тогда существует функция Ло из Я00,
такая что || F — ho ||то = || F — Н°° IL =

= sup

F (eie) g (e‘e) dd : g s Hl (0) & || g ||, = 1

Доказательство. Существование функции ft0 следует из
ш*-компактности единичного шара пространства Я00, а осталь-
ное— из предшествующих результатов о двойственности.

Замечание. Вообще говоря, supremum в этой теореме не
достигается, если функция F из £“ не является непрерывной.
Рассуждение, проведённое в предыдущей схолии, показывает,
что он не может достигаться (на функции g0 из Я'(0)
нормы 1), если множество F — Н°° содержит БОЛЕЕ ОД-
НОГО элемента нормы ЦЕ — Я°°||<х>, т. е. если существует бо-
лее одной функции h из Я00, минимизирующей норму ЦЕ —
Случаи, когда существует несколько функций h из Я00, мини-
мизирующих норму ЦЕ — ЛИ», являются практически важ-
ными в различных вопросах.

Историческое замечание. Этот (основанный на двой-
ственности) подход к экстремальным задачам был предложен
Рогозинским и Шапиро и независимо от них Хавинсоном *>. Он
неоднократно переоткрывался различными людьми (напри-
мер, мной!), которые не знали о предшествующих работах.
Об этом имеется исторический комментарий Шилдса в
A.M.S. Translations, Ser. 2, 1963, Vol. 32.

Изложенные выше результаты, очевидно, играют большую
роль в изучении аппроксимационных проблем различного
рода, и область их приложений продолжает расширяться.

Если функция Е из НЕ НЕПРЕРЫВНА, то supremum
в предыдущей теореме может не достигаться даже тогда,
когда существует только одна функция h из Я00, минимизи-
рующая норму ЦЕ — ЛЦоо.

о Статья Рогозинского и Шапиро появилась в 1953 г., а первые пуб-
ликации Хавинсона — в 1949 и в 1951 гг. — Прим. ред.
Пример (Адамян, Аров и Крейн). Пусть Е[ и Е2— дизъюнкт-
ные множества положительной меры на {|z|=l}, объедине-
ние которых составляет всю окружность {|z|=l}, и пусть

Не существует ненулевой функции h из Я°°, для которой
II/7-ЛИОО 1. Но не существует и функции g0 из Н1(0), для
которой

л

J He‘Vo(e/9MO = llgolh==l-
-л

(В качестве Et и Е2 можно взять даже дополняющие друг
друга дуги, так что функция F будет иметь только две точки
разрыва очень простого вида.)

Доказательство. Такой функции g0 нет. Допустим, что
она была бы. Тогда мы должны были бы иметь

go(e‘9)>O п. в. на Ej,

' go(eie)<O п. в. на Е2,

так что функция g0 вещественна п. в. Поскольку g0 е Я1, то
обобщение принципа симметрии Шварца, данное в главе III,
показывает, что если мы положим

go (г) = £о(-|7[г)

для |z| > 1, то функция gQ становится регулярной всюду в С
(даже и на {|z|=l}). Поскольку go(O) = O, то и g0(<x>)~ О,
и, значит, функция go всюду ограничена, а следовательно, яв-
ляется константой, и эта константа должна быть нулевой;
итак, go = 0. (Другой способ убедиться в этом — заметить,
что функция Im go должна тождественно обращаться в нуль
в единичном круге и потому функция go должна быть кон-
стантой и, тем самым, равной нулю.)

Предположим теперь, что Л Ф 0, ЛеЯ“ и JF(e‘e)—
Л(е’0)|^1 п. в. Тогда при е‘в е Ei значение Л(е10) лежит
в правом круге на рис. 31, а при eie е Е2 — в левом. Как
известно из пункта В главы III, Л(е;е) = 0 только на множе-
стве меры нуль, так что функция h на {е‘е: —л <9 0}
действительно принимает некоторые значения (отличные от
нуля) в правом круге и в левом круге.

Все значения h(z) при |z| < 1 находятся в этих двух кру-
гах. В самом деле, пусть точка а>0 расположена вне этих

кругов (рис. 32). Предположим, что /t(zo)=a>o. По теореме
Рунге существует полином Р, для которого |Р(ау) |	1, если

| w — 11	1 или | w -(- 11	1, но P(wo) = 2.

Ясно, что P°h^.H°°, и | Р (Л (е‘е)) | <: 1 п. в. по построе-
нию. Следовательно, из представления Пуассона для
Я°°-функций вытекает, что |Р(Л(г0)) |	1. Но равенства

ft(zo)= w0 и P(wo) = 2 приводят теперь к противоречию. По-
этому функция h отображает круг {|z| < 1} в заштрихован-
ную область на рис. 33, и так как некоторые её граничные

Рис. 33

значения лежат справа от 0, а некоторые — слева, то в круге
{|z|< 1} она должна принимать значения в каждом из этих
двух кругов. Следовательно, по соображениям связности
должна существовать точка z0, |z0|<l, для которой
h (zo) = 0. В силу принципа сохранения области, значения
функции h в круге | < 1 должны заполнять некоторую ок-
рестность нуля — НО НЕ ЗАПОЛНЯЮТ!

Таким образом, не существует ненулевой функции h с ука-
занными свойствами, Вот и всё.
3° Теорема Сарасона о замкнутости (по норме)
класса Ч? + Н°°

Вернёмся к цепочке пространств

Итак, если В — это банахово пространство ^/^(0), то
В** = Ь.°°/Нж (0). Пространство В можно каноническим об-
разом изометрически вложить в пространство В**, отожде-
ствив В с линейными функционалами на В*. В данном случае
элемент пространства	соответствующий элементу

F + .5^ (0), Ге#,— это класс смежности Ф4~Я°°(0),
Ф е L°°, определённый равенством

я	я

J F(et9)g(e^)dQ = J g (ег0) Ф (е<0) dQ

-я	-я

при всех g из Я1. Ясно, что это бывает тогда и только тогда,
когда Ф е F + Я°° (0), т. е. при каноническом вложении про-
странства ^/j^(0) в	элементу F +	(0), F

соответствует элемент F -f- Я°° (0), Образ пространства
$7.я£(0) в	при этом вложении равен, стало быть,

множеству

^ = {Г+ Я°°(0): Fe’g’}.

В частности, множество g* замкнуто по норме в факторпро-
странстве £°°/Я°°(0).	——

Далее, канонический гомоморфизм 0: £°°-> L00/#00 (0) не-
прерывен. Следовательно, подпространство	замкнуто

по норме в L°°. Но 0-‘(^) совпадает с ^4-Я°°(0), т. е.
с 3? + Я00, поскольку 1 е= <в. Итак, верна

Теорема (Сарасон). Множество $? + Я°° замкнуто в норме
II-U

Отсюда мы можем получить следующее утверждение:

Теорема (Сарасон). Если F, G + Я°°, то Гбе^’ + Я00,
т. е. Ч? + Я°° — алгебра.

Доказательство. Достаточно показать, что если F г
и G е Я“, то FG е -|- Я°°. Пусть Fn, N = 1, 2, .... — функ-

N

ции вида У. Ak{N)elk*, такие что Fn-*-F равномерно, тогда
и FnG -> FG равномерно, поэтому если при всех N мы имеем
FnG е Я00, то FG Н°°, по предыдущей теореме.

Но если

G(z) = £ а/еГ,

оо
то, очевидно, GN(z)=^ anzn Н°° и
----------- n=N

N

FN (е,е) Gn (ei9) = n	«д W eMG„ (е<9) е Я00,

ибо einSGN (е’°) е Я°° при п = —N, —Я 4-1, —N 4- 2....

Наконец, Fn(G — GN) как тригонометрический полином при-
надлежит пространству &. Поэтому FnG = Fn(G — GN) +
4- FnGn е Ч? 4- Я00. Готово!

Приведённое доказательство опирается на то, что Я1 —
пространство, сопряжённое с ^”/^(0), и тем самым в конеч-
ном счёте на теорему Ф. и М. Риссов. Но, как показал Сара-
сон, замкнутость множества 4~ Я°° по норме — факт, не за-
висящий от теоремы Ф. и М. Риссов. (Сарасон сделал это в
своём обзоре, опубликованном в Bull. А. М. S. в 1973 г., но
сама идея принадлежит Залкману.) В 1974 г. в своей лекции
в Университете Мак-Гилла Уолтер Рудин, обобщив рассуж-
дения Залкмана, получил следующую более общую теорему,
представляющую самостоятельный интерес:

Теорема. Пусть В — банахово пространство, а Е и F — замк-
нутые по норме подпространства пространства В. Предполо-
жим, что существует семейство £ линейных операторов в В,
удовлетворяющее следующим условиям:

- >) 1ИЛ| М для всех Т из St;

ii)	ТВс^Е для каждого оператора Т из £;

iii)	TFczF для каждого оператора Т из £;

iv)	если и^Е и е > 0, то существует оператор Т из £,
для которого || Ти — и|| < е.

Тогда подпространство Е + F замкнуто по норме в В.

Доказательство. Пусть х — элемент замыкания (по
норме) множества Е 4- F. Тогда можно найти элементы
ип е Е, vn^F, такие что ||un 4- fnll^ 2~п при п^2 и
оо	оо

Х= У (ип + vn). Положим Хп — Un + Vn. Ясно, ЧТО X = 2 хп
п-1	--------- л-1

И	Хп === (Цп—ТnUn	ТпХп) (Vn — TnVn),
где для каждого числа п оператор Тп из 5 выбран таким об-
разом, что ||ип — Тпип\\ < 2-". Далее, йп = ип — Тпип +
ТпХп^Е и ||йп||^ 2-'*4-||7’пХл||^ 2~я(1 М) при м^2, так
как ||xnll^2-n. Кроме того, vn—Tnvn = vn<=F и ||бя||^

оо

||йя|1 + llxnll(2 + М)2~п при п 2. Следовательно, ряд У, йп
	п—1

сходится к некоторому элементу и из Е (ибо подпростран-
оо

ство Е замкнуто), а ряд У, vn сходится к некоторому эле-
п-1

менту v из F (ибо подпространство F замкнуто). Поэтому

х= 2 хп= У («я + йп) = и + v е Е + F. Q.E.D.
П—1	/1=1

Следствие. Множество 4F -|- Нж замкнуто в норме || • ||<».

Доказательство. Положим В = L°°, Е = <ё‘, F = H°a,H

пусть £ = {Ты: N = 1, 2, ...}, где для F е L°°,F ~ У Аае{п6,

И--ОО

(Г^)(^) = £(1 -1А1)л„е^
— N

(N-я сумма Фейера ряда Фурье функции F). Тогда
|||Tv|||^ 1 и для каждой функции F из мы имеем
||	— F Нов0. Очевидно, TNL°° cz # и ТцН°° Же- :

лаемый результат получен.

Можно также дать много других подобных приложений I
этой общей теоремы.	|

1

В. ПОСТОЯННЫЕ ПО МОДУЛЮ ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССОВ СМЕЖНОСТИ {
ИЗ L°°IH°°.	]

ТЕОРЕМА МАРШАЛЛА	I

1° Теорема Адамяна — Арова — Крейна	]

Если F е L°°, то, как мы видели в предыдущем пункте, ,|
в некоторых случаях (например, в случае когда функция F
непрерывна) класс смежности F + Н°° содержит элемент
с постоянным модулем, равным ||Г — Я°°||оо.

Нас интересует вопрос, в каких ещё случаях в классе |
смежности F + Н°° встречаются элементы постоянного мо- 1
дуля.	I
Теорема (Адамян, Аров и Крейн). Если F <= и
||Г— Н00||зо<1, то класс смежности F + Н°° содержит эле-
мент со, для которого | (о (е‘0) | = 1 п. в.

Доказательство (Гарнетт). Идея состоит в том, чтобы
найти функцию © из F + Н°°, ||©||оо	1, которая максимизи-

рует величину

©(ei0)d0

-л

и'показать, что такая функция

обладает нужным свойством.
Положим

a = sup

J ©(ei0)d© :	+ С

-л

1

Функция © из F + Н°°, для которой ||<о||<х>	1 и

J©(e<0)d0 =

-л

=а, действительно существует. В самом деле, если выбрать по-

следовательность {(ол} функций из F + Н°°, такую что

—>а, то мы можем взять в каче-
п

стве со слабый (в L°°) предел некоторой сходящейся подпо

J®„(ei0)d0

-л

следовательности {©„}, и тогда ||©||«>	1,	J ©(ei0)d0 -л	= а,

поскольку 1 е L1!

Л

Мы будем в дальнейшем предполагать, что $ © (ei&) dQ — а;

-Л

это не налагает никаких ограничений, поскольку вместо функ-

ции F всегда можно рассмотреть функцию e^F, где у — не-

которая вещественная константа.

Теперь, во-первых, 11(0110.= 1. Ибо если ||®||«> = 1—е при
е > 0, то ш + ее ш-|-Н°° = F + Н°° (NB: ш е F + Я", так
как <лп е F + Н°° и подпространство Я00 является о>*-замк-
нутым!), ||ш + е]|оо sC 1 и

J (© (еге) + е) d0 = а + 2ле > а,
-Л

что противоречит выбору функции ©.

Во-вторых, ||© — Я°°(0)||оо = 1. Ибо в противном случае
II©-Я-(0)||00	1 > и тогда существует функция h из Я°°(0),
для которой ||со — Л||а> = 1 — е, е > 0. Тогда —Л fee Н°°, и
поэтому

со-й + ееГ + Я00, ||ш - Л + е^С 1,

а поскольку h е Я00 (0), то

$ (© (ею) — h (е/е) 4- в) dQ = j © (е1в) dQ + 2пе = а + 2ле > а,
-л	-я

что опять противоречит выбору функции (о.

Далее, поскольку ||со — №°(0)||оо=1, то ввиду теорем о
двойственности, полученных в пункте А, существует после-
довательность {/„},	||fnll= 1, для которой

л

J <»(e*)fn(eie)dQ-+l.
-л

Начиная с некоторого места мы должны иметь |/п(0)|^с
для некоторого числа О 0. Действительно, если это не так,
то, не умаляя общности, можно считать, что fn(O) = cn, где
са—> 0. Тогда fn — Cn^ Н' (0), || f„ — сп ||t —> 1; но

П		. .ц

$ © (е'е) (/„ (е(в) — сп) dQ также —1.
-л

Следовательно, ввиду упомянутых теорем о двойственности,
||<о—‘Я°°||оо 1, т. е. ||Г — Я°°||оо>1 (ибо © е F + Н°°), что
противоречит нашему предположению о том, что
||F —Н°°||=о< 1. Итак, |f„(0) |> с > 0.

Покажем теперь, что последнее неравенство влечёт
|©(ei0)|sl п. в. Предположим, что это не так. Тогда для
некоторого числа X < 1 существует измеримое множество Е
положительной меры, такое что |©|^Л на Е\ не умаляя
общности, можно предполагать, что |£|<2л, так что и
| ~ ЕI > 0. Поскольку всегда | © (е‘е) |	1, то ввиду равен-

ства II Mb = 1 имеем

л

J ® (е1в) fn (е,е) dQ < 1 - (1 - X) $ | fn (е‘<>) | dQ,

-л	Е

и для того, чтобы левая часть стремилась к 1 при п->оо,
мы должны иметь

^И„(ег®)1</е—>о.

Е
Следовательно,

|||- JloglM^l^logf-r^- $lf„(e<e)|d0)_>-oo.
Е	\ Е	/

В то же время

pry, $ log|f„(ei9)|de<log J^L. = iog-rbT<oo,
~е

откуда

J log|fn(e/0)|d0-^> —оо.
-Л

Итак, уже внешние сомножители функций стремятся к
нулю в начале координат, и тем более | fn (0) | —> 0. Но это
противоречит тому, что | fn(0) | с > 0. Таким образом,
|<o(ei0)| = 1 п.в. Q.E.D.

Следствие. Пусть f е Н°°, ||f||oo < 1, и пусть Q — произволь-
ная внутренняя функция. Тогда класс смежности f + QH°°
также содержит внутреннюю функцию.

Доказательство. Применим доказанную теорему к
функции F — f/Q. Ясно, что ||F||oo < 1 и, значит, ||F —
Я°°||оо< 1; поэтому существует функция h из //“?, такая что
|F (<?«») +ft (ez0)|== 1 п.в. Тогда /4-Ййё=Я~ и |Де«'0) +
Q{ei9)h(eie)\= 1 п.в., а стало быть, f + Qft — тоже внутрен-
няя функция.

Замечание. Адамян, Аров и Крейн доказали также, что
если F е L°° и ||F — Я0°||оо=1, а класс смежности F — Н°°
содержит более одного элемента единичной нормы, то суще-
ствует функция со из F.— Нж, для которой |(о(е,0)|= 1 п. в. *>
У Гарнетта есть другое функционально-аналитическое доказа-
тельство этого утверждения, но мы не будем на нём оста-
навливаться в данном курсе. Для одного частного случая,
относящегося к интерполяционным задачам, теорему Адамя-
на — Арова — Крейна и утверждение, сформулированное в
этом замечании, установил Неванлинна с помощью теоретико-
функциональных методов.

•’ Приведённые в списке литературы работы Адамяна, Арова и Крей-
на содержат наряду с этими результатами и другие важные приложения
теории линейных операторов к классическим задачам теории функций.—
Прим. ред.
2°. Теорема Маршалла. Единичный шар пространства Н°°
совпадает с замкнутой по норме
выпуклой оболочкой произведений Бляшке

Приблизительно в 1975 г. Д. Маршалл доказал справед-
ливость долгое время остававшейся открытой гипотезы о рав-
номерной аппроксимируемости Я°°-функций линейными ком-
бинациями произведений Бляшке. Прежде чем сформулиро-
вать его результат, установим сначала одно более лёгкое и
хорошо известное утверждение о пространстве L°°.

Теорема. Пусть f е L00(—Л,я) и Hflloo С I. Тогда для любого
числа е > 0 можно найти функции «1...............L°° с

|«ft(0)|=l п.в. (так называемые унимодулярные функции)
и числа Л1....> 0 с У, = 1, такие что

k

Ilf— У < е.

II & lloo

Другими словами, замкнутая по норме выпуклая оболочка
множества унимодулярных функций в L” в точности совпа-
дает с единичным шаром этого пространства.

Доказательство. Функциюf можно равномерно аппрок-
симировать измеримой функцией нормы ^1, принимающей
лишь конечное множество значений, а эту новую функцию
можно равномерно аппроксимировать выпуклыми комбина-
циями унимодулярных функций, как показывает элементар-
ная конечномерная теория двойственности (теоремы отдели-
мости для выпуклых тел).

Имеется другое доказательство, которое здесь более по-
учительно. Не умаляя общности, можно считать, что
Н/Ноо^ 1 — у*» иначе вместо функции f возьмём функцию
(1 — у) f и заметим, что |f—Су- Поэтому
мы можем предположить, что | f (0) | С 1 — у всюду, а тогда
по ТЕОРЕМЕ КОШИ (!)

f ЦП = 1	dt

' ( ) 2л J i +?(ё)е“

—Л

Далее, каждая из функций ut,

«/(0) =

1-Н(0)е"
лежит в L“ |(0) s= 11 Кроме того, поскольку Н/Il
1—у, то ||ut—U/'IKy, если |/ — f| меньше некоторого
положительного числа б, зависящего от в. Отсюда вытекает,
что при больших N

Следовательно, f —-L	u*ikiN

. в

<~2, и доказательство за-

k-i

кончено.

Унимодулярные функции в Н°°— это как раз внутренние
функции, т. е. функции, имеющие модуль, равный единице
п. в. на единичной окружности (см. гл. IV, пункты D — G).
Весьма естественно предположить, что в пространстве Н°°
замкнутая по норме выпуклая оболочка множества внутрен-
них функций совпадает с единичным шаром. Маршалл дока-
зал это.

Лемма (Дуглас и Рудин). Пусть « е £°°, |м(£) | = 1 п. в. при
|£| = 1. Тогда при всех в > 0 существуют внутренние функ-
ции а и Q в Я°°, такие что

п,в” ,sl=1-

Доказательство (Маршалл). Для k=\,...,N обо-
значим через Ек подмножество окружности {|5|=1}, состоя-
щее из точек £, для которых -^-(fc — l)^argw(g) <^-k.
Множества £* дизъюнктны и покрывают всю окружность.
Положим

&=Ек,

=	1ФЕк, |g| = l.

Каждая функция ик унимодулярна, принимает только два
значения, и

||и— иги2- ... -«лгИооС-^--

Таким образом, ясно, что достаточно установить результат
для каждого сомножителя ик, т. е. для унимодулярных функ-
ций, принимающих только два значения, ибо произведение
внутренних функций, конечно, внутренняя функция.
Итак, пусть унимодулярная функция и принимает только
два значения, скажем 1 и у, | у | = 1, у =/= 1, и пусть

«(0 = {

1. $е=Е,
Y>

Е

(где ~Е обозначает дополнение к Е относительно единичной
окружности). Используя формулу Пуассона, построим функ-
цию V, гармоническую в {| z | < 1} и имеющую -«^-граничные
значения

(О

п.в. на Е,
п.в. на ~Е.

Тогда функция ft = exp(V + tP) аналитична и ограничена
в {|z| < 1} и принимает там значения в открытом кольце

Рис. 34

{е-л < |z| < 1}. Далее, |й(£) |= 1 п. в. на Е и |й(£)| = е-л
п.в. на

Пусть Фк — конформное отображение кольца {е~к<.
|а>|< 1} на бесконечную область (включающую точку оо),
полученную выбрасыванием из CU{°°} двух отрезков [—е, 0]
и [/, Г], где 1 = 1 । _|_у » а Г > 11). Выберем отображение Ф*
таким образом, чтобы оно отображало множество {|а>|=1}
на [—8,0], а множество {|а>|==е-к}—на [/,/'] (рис. 34).
Число 8 > 0 может здесь быть выбрано столь малым, на-
сколько мы пожелаем, но тогда число /'(>/) не произвольно,
а зависит от радиуса е~к меньшей окружности. Тем не менее
справедливо, что Г-*-1 при К-*оо, так как ясно1), что Ф«
стремится к конформному отображению круга {|а>|< 1} на
(CU{°°})\[—е,0], переводящему 0 в /. Для заданного чис-
ла е > 0 зафиксируем число К, столь большое, что /' < I + 8.

*> См. Голузин [1966]. — Прим, перев.
Определив таким образом К и Фх, положим
у(ш)==2_-фИ")

* W i + Фк (ш)

при егк |а>|	1. Функция Т конформно отображает кольцо

{е~к <|а>|< 1} на дополнение В CU{°°} двух дуг -*—е , 1
и у, у', лежащих на единичной окружности (рис. 35). Здесь

точка yz = L близка к точке у = 4- ввиду выбора чис-
I I I	t I' I

ла К’, фактически диаметр каждой из двух дуг-4~~~, 1 иуГу'
меньше 2s.

Из построения функции h видно, что значения Т(Л(^))
i 4- в
лежат на дуге , 1 при почти всех £ из £ и на дуге
у, у' при почти всех £ из ~£. Следовательно, |Т(Л(^))—
и(£)|<2е п.в. на {|£|=1} и, значит, функция ЧМ по мо-
дулю п. в. равна там 1, т. е. унимодулярна.

Функция Toft мероморфна в круге {|z|< 1}. Действи-
тельно, поскольку Т — конформное отображение, то в
{е~к < |а>| < 1} существует в точности одна точка, скажем
с, для которой Т(с) = оо, и Т имеет простой полюс в с. Во
всех остальных точках кольца {е~к < | щ| < 1} функция Т
регулярна. Поэтому функция Т ° h регулярна в точках г,
|z|< 1, в которых ft(z)=#c, и имеет полюс в точке z, для
которой ft(z) = c, причём порядок этого полюса равен поряд-
ку нуля, который имеет в этой точке функция h — с.

Функция ft — с принадлежит пространству Н°°; ввиду
пункта D главы IV мы можем записать

h(z) — c — Q(z)0(z),

7 Зак. 867
где Q — внутренний сомножитель функции h — с, а О — её
внешний сомножитель. Имеем

{1 — | с | > 0 п. в. при 5 из Е,
I е I — е-* > 0 п. в. „ри С из ~Я.

Таким образом, функция |С7| п. в. отделена от нуля на
{|£|== 1} и, стало быть, ввиду подпункта Е.2° главы IV,
1/иеЯ“. Другими словами, функция |й/(й— с) | ограни-
чена сверху в {|z| < 1}.

Из того, что мы сейчас доказали, легко вытекает, что
функция © = Й-(ЧГ°Л) принадлежит пространству Я00. Эта
функция, конечно, аналитична в {|z|< 1), потому что каж-
дый полюс функции Y ° h подавляется соответствующим ну-
лём функции Q— внутреннего сомножителя функции h — с.
Она ограничена в {|z|< 1}. Действительно, возьмём произ-
вольное маленькое число S > 0; тогда на множестве {е~к <
|w| < 1, |а> — с| S} функция Т ограничена. Следователь-
но, функция Woh, а вместе с ней и функция QfWoh), огра-
ничена на множестве {|z|< 1,	|Л(г)— с|^6}. При

|о>— с|
|ft(z) —

имеем jTfay) |	— с|, поэтому

если

| Q (г) Ч (Л (г)) | < А | Q (г)/(Л (г) - с) |.

Но, как мы только что установили, выражение в правой '
части ограничено в {|z| <. 1).

При почти всех £, |£|=1, имеем |©(5) | = |й(5) |Х'
IWfftfS)) |= 1. Следовательно, © — внутренняя функция, как:
и Q. Поскольку V (Л ($)) = то | и (5) —	1 =“ | и (£) — ;

—W (Л(0) | <2еп. в. при |£| = 1. Тем самым лемма доказана
(с константой 2е вместо е).

Следствие. Пусть f е L00, ||f||oo < 1, и пусть 8 > 0. Тогда су-

Шествуют внутренние функции ©ь ..., ©л, Qi.....Q„ и

чис-

п

1, такие что

п

f(C)-S	<е п.в. при U|=l.

Доказательство. Это следует из леммы и первой
ремы этого подпункта.

тео-
Замечание. Все функции Q& могут быть выбраны рав-
ными — надо только перейти к общему знаменателю! (А про-
изведение внутренних функций — внутренняя функция.)
Лемма. Пусть f е Н°°. Тогда можно найти внутренние функ-
ции Q, и, ®1, ..., Мп и вещественные константы a, ai.ап,

такие что

__аа> + «i°>i + • • • + ап®п Моо.

О g —----------Q-------- *= п ,

ii) Ilf-gll< 28.

Доказательство. Можно считать, что llflloo^l. Тогда
в силу предыдущего следствия существуют внутренние функ-
ции (01, ..., (On, Q и числа X* > 0, такие что

п

f(0-S^№(0

<8 П.В. При 151=1.

ТРЮК. Положим F (5) = kka>k (£)/□ (5). Поскольку
f s Я00 (!), предыдущее неравенство показывает, что ||F —
Я“||оо<8. Следовательно, по теореме Адамяна — Арова —
Крейна существует функция g из Я°°, для которой | g (5)
Г (5) I = 8 п.в.! Очевидно, Ilf — glk sgllf — .F||°o+IIF — glL <
2e. Кроме того, Qg— Qf e Я°°, так как QF = У, А*ю* e Я°°.
Поэтому, ввиду того что |Q(5)|= 1 п.в. при |5|=1, функ-
ция Qg— QF должна быть равна функции ею для некоторой
внутренней функции ю, так что она принадлежит простран-
ству Я°° и имеет постоянный модуль s п.в. на {| £ | = 1}. Та-
ким образом,

g © — 6 QTgj- + 2j Q(£) ‘
fe=l

Сделано!

Теорема (Маршалл). Пусть f <= Я°° и llflloo 1. Для всякого
числа е > 0 можно найти внутренние функции и\, ..., tin и
п

положительные числа М, ...» X ^* = 1, такие что
-------------------- k=\

<4е.

|| fe	Uoo

Доказательство. Не умаляя общности, можно предпо-
лагать, что Hflloo^l—2е; в противном случае мы просто
стали бы работать с (1 —2e)f, а не с f. По предыдущей лем-
ме можно найти функцию g из Н°- очень специального вида

£ a*co*/Q,

где а* — вещественные константы, а <щ, Q — внутренние
функции, такие что ||f — gH^ < е. В частности, ||g||«, < 1 — е.
Теперь, поскольку при |£|=1 почти всюду |фл(£)|=1,
|П(О|= 1.то

k в

Пусть Qi — произведение функций это — внутренняя функ-
ция, и, хотя сама функция g(£) обычно не принадлежит про-
странству Я°°, функция Qjg(^) принадлежит ему!

Если функция g обладает этим свойством, мы можем при-
менить к ней некоторую модификацию рассуждений с инте-
гралом Коши, которые были использованы при доказатель-
стве первой теоремы этого подпункта.

Поскольку |g(£) |^1 — е п. в., то по теореме Коши
я и

1 С Y* _+ f ® dt

2л Д * 1 + g (£,)уен

где у — произвольное число, по модулю равное 1.

Применим теперь приём Бернара и положим у = Q] (£)!

Тогда получаем

g(€) = J_ С	+

Каждая из функций ut,



а. (£) ен + g (£)

1 +Й1 (C)g(D elt

принадлежит пространству Н°°, так как ему принадлежат
функции Qi, g и Qig и так как ||Qig||«> < 1 — е < 1 ! По-
скольку |Q)(£)|=1 п.в. при |£|= 1, то |и<(£)1=1 п.в. при
|£|= 1, т. е. функции ut — внутренние.


Поскольку Ц^Ноо 1—е, мы можем применить рассужде-
ния, использованные при доказательстве первой теоремы
этого подпункта (аппроксимация интеграла суммами Рима-
на), и заключить, что

£ X U2n k/N
fe=i

8,

ОО

если число W велико.



f—XU2itk/N

Следовательно,

< 2s для нашей функ-

*-1

ции /, у которой Н/Ноо < 1 — 2е; если мы знаем лишь, что
IlfU^l, то получим аналогичное приближение к f с точ-
ностью 4е вместо 2s. Q. Е. D.

Напомним теперь теорему Фростмана из пункта G гла-
вы IV. Она утверждает, что всякую внутреннюю функцию
можно равномерно аппроксимировать произведениями Бляш-
ке. Объединяя это. утверждение с предыдущим результатом,
мы непосредственно получаем, что справедлива

Теорема Маршалла. Пусть	||/||оо	1. Тогда для лю-

бого 8 > 0 существуют произведения Бляшке Вь ..., Вп и

п

положительные числа X*, У Xfe=l, такие что

| f — S	II < ?•

0	k	IL.

Итак, единичный шар в Н°° является замкнутой по норме
выпуклой оболочкой произведений Бляшке. Поистине превос-
ходный результат!

С. ТЕОРЕМА СЕГЕ

Пусть р — конечная положительная мера на [—л, л], и
пусть ^*(0)—класс полиномов P(z), таких что Р(0) = 0, т. е.
полиномов без постоянного члена. Пусть 1 р <. оо. Мы ин-
тересуёмся, сколь малым можно сделать выражение

J 11 - Р (е10) |р dp (в) при Р(=& (0).
—л
Теорема. Если а — положительная сингулярная мера, то

inf f J 11 -Р(е‘0)|р</ст(0): Ре ^(0)1 = 0.
ч -л	)

Доказательство. Предположим, что infimum положи-
телен Тогда если	то существует функция G из

Lq (ст), такая что

J G (ei0) ein6dc (0) — 0, п = 1, 2, ...,
-л
НО
л
$ G(e“>). Uct(0)> 0.
-Л

По неравенству Гёльдера G е L1 (о), поэтому мера s,
ds = Gdo, — конечная мера Радона на [—л, л], сингулярная
вместе с ст. Но

'J e<n0ds(0) = O, л=1, 2...........

-л

Значит, по теореме Ф. и М. Риссов
мера s абсолютно непрерывна!

Следовательно, мера s должна быть нулевой. Но, с другой
Л

стороны, 1 • s ds (0) > 0. Получили противоречие. Теорема
-л
доказана.

Теорема (Колмогоров). Пусть dp,(0) = y(0)d0 + do(0), где
w е D, w 0, о 0 и мера ст сингулярна. Пусть 1 р < оо.
Тогда

Л	я

inf 11 - Р (е<0) Г w (0) dQ = inf С 11 - Р (<?<0) |р dp (0).

Ре^ (0) _Jn	Ре^ (0) _уя

Замечание. Таким образом, имеет значение только абсо-
лютно непрерывная компонента меры ц.
Доказательство. Ясно, что
л	л

inf (| 1 -P(^0)|p^(0)de< inf h 1 -P(e^)|pdg(0),
Pe<^(0) J	/W(0) J

— л	-я

поэтому достаточно доказать противоположное неравенство.
Пусть

К= inf f 11-P(e<9)|pay(0)d0.
Pge^(O) J
— я

Тогда существует полином Р из ^(0), такой что

J 11 - Р (е<9) |р ay(0)d0 < К + 8.
-я

Достаточно найти полином Q из Ф (0), для которого

J 11 — Q(er9)|p(a>(0)d0 +do(0)) </< 4-4е.
— Я

Прежде всего, ввиду первой теоремы этого пункта мы мо-
жем найти полином Pi из ^(О), удовлетворяющий неравен,
ству

j |l-Pi(e<e)|pdCT(0)<8.

-Я,

Пусть Р2 «= Pi — Р; тогда Р2 €Е ^*(0) и

J 11 - Р (е/в) - Р2 (ei0) |р da (0) < в.
-я

Поскольку мера а сингулярна, она сосредоточена на некото-
ром борелевском множестве В лебеговой меры нуль. Выберем
замкнутое подмножество Е множества В, такое что

$ (1+1Р (ei0) | +1Р2 (е‘9) |)р da (0) < в.
~Е	,

Хогда с помощью конструкции, использованной в одном из
доказательств теоремы Ф. и М. Риссов, приведённом в гла-
ве II, мы можем найти функцию h из st-,такую что /i(e‘9)=s 1
при е‘8е£ и |Л(е‘0)|< 1 при е‘0^£. Таким образом, при
п = 1, 2, ...

$ 11 - Р (е'е) - (Л (ei0))n Р2 (е<0) |р da (9)
е

= J 11 - Р (е'«) - Р2 (eie) |р da (0) < в.

Е

Поскольку в любом случае |ft(e;0) |	1, то ввиду выбора мно-

жества Е получаем, что

J 11 - Р (е;0) - (ft (ei0))" Р2 (еге) |р da (0)

<?+ J (1 +1 Р(е‘0)Ц-|Р2(е«0)|)р</о(0) < 2в.
~Е

Так как |й(е,0)|< 1 вне Е, а следовательно п. в., то

1 _ р (е/0) - (Л (е‘е))п Р2 (е™)	1 - Р (е*е) п. в.,

откуда, ввиду включения w е L1, по теореме Лебега о мажо-
рированной сходимости имеем

.я	/

J 11 — Р (е/е) - (й (eiQ))n Р2 (е*) |р w (0) dQ
-я

j 11 -P(eiQ)\pw(Q)dQ<K + 2e.

-л

Таким образом, существует (достаточно большое) число п,
при котором

J 11 - Р (e‘Q) - (Л (ei0))n Р2 (ег0) |р да (0) J0 < К + е.
-я

Отсюда, наконец, получаем

$ 11 - Р (е<0) - (ft (e,0))n Р2 (е<0) |р du (0) < К + 2в + 2в = К + 4s.
-л

Теперь, поскольку h е S4-, функция h может быть сколь
угодно точно равномерно аппроксимирована полиномом

N

akelke.
Имеем	так как Р2 е ^(0), и если

\£=0 z

полином £ аке1кв достаточно близок к Л, то мы также имеем

J 11 — Q (еге) |р dp (0) < К + 4s
-л

для полинома Q из ^*(0), определённого равенством

CN	\П

а^м] Р2(е1Ъ). '

Это завершает доказательство.

Наше исследование сводится, таким образом, к вычисле-

нию

л

inf ( |1-P(e<9)|₽w(0)d0

Ре<Г(0) J

при aieL'(_л,л). Эта задача полностью решается следую-
щим чрезвычайно красивым и элегантным результатом:

Теорема Сегё. Если 1 р < оо, то

л

Доказательство. Предположим сначала, что $ log”
—л
ay(0)d0<oo, так. что	logojeUf—л, л).	(Конечно,

л

$ log+ w(0)d0 < оо, ибо weL1.) Удобнее работать с функ-
—я
цией wi, задаваемой равенством

/	п

о>1 (0) = w (0) • exp I —	log w (t) dt

\	- п

Тогда при
(л

J log ш (/)<//




л

мы имеем w — Kw\ и $ log (0) de — 0. Мы получим нуж-
-л

ный результат, если покажем, что х
л

inf ( 11 - Р (е<в) |р о»| (0) dQ = 2л.

Pe<P(0) J
— Л

Поскольку log a>i е £*(—л, л), мы можем образовать ана-
литическую функцию,
" а

f(z)=~ (	+-* log wx(t)dt, |z|<l;

2л J е11 — z

— Л
имеем

Л

=	5 loga»i(0^ = 0.

-л

Поскольку logwisL1, то, согласно вычислениям подпункта

Е.2° главы IV, функция ехр(//р) принадлежит пространству
Нр. Она является внешней, и, в силу пункта D главы I,
р_________________________

| ехр(Де/9)/р) | =	(0) п- в.

Если Ре^(О), то G = (l—P)exp(f/p) также принадле-
жит пространству Нр, и G(0)= 1, поскольку f(0)—1. По-
Л

этому при г < 1 справедливо неравенство-^- ( | G (re16) |р de >1.

-лЛ J

-Л

Поскольку Q(rei9)-*- Q(eie) в Ь₽-норме при г->-1 (гл. IV,
Л	Л

п. С), мы получаем, что ~ $ | G (е/9) |р d0J> 1, т. е. $ 11 —
-я	-л

—Р(ete) |р о»!(0)с?0^2л для всякого полинома Р из iP(0), ввиду
связи между f и а>ь Таким образом, исследуемый infi-
mum > 2л.

Чтобы доказать противоположное неравенство, заметим,
что поскольку функция exp (f/р) является внешней, то по тео-
реме Бёрдинга (гл. IV, п. Е) существует последовательность
полиномов {Qn}, такая что

Q„exp(f/p)->l

в Яр-норме. Поскольку exp(f(O)/p)= 1, то Q„(0)—1; по-
этому также

Р р ч
в //"-норме. Мы можем записать Qn/Qn(O)=l — Рп, где
Рп е ^(0), и тогда, несомненно,

Л

$ |l-P„(^)|pa>1(0)d0=
-л
л	л

' = J |1 -P„(e<e)|P|ef(e*e)|d0—> $ l"d0==2n,
'-п	-л

откуда вытекает, что оцениваемый infimum 2л.
Таки‘м образом, при сделанном предположении нужная
формула доказана.
Я

Если теперь log w(Q)dQ = — оо, то положим
"	-л

wn (0)=max	(0),	;

Л

тогда при всех п имеем legate/,1. Ясно, что j loga>n(0)X
-л

Х</0~^* — оо.Для каждого числа п имеет место неравенство
а»п(0)> ау(0), и поэтому

Л

inf ( |1-P(e‘V®(0M0
Рв^(0) J
— л

Л	/	-	Л	ч

inf ( 11 — Р (егв) |р wn (0) d.Q = 2л exp | -±- ( log wn (0) </0 |
Pe^(0) J	V	J	J

—л	\	—л	/

в силу того, что уже доказано. Поскольку это справедливо
дли каждого * числа п, то, устремляя п к оо, получаем, что

inf ( 11 — Р (ef0) |р да (0) с?0 — 0.

Pe=W) J
—л

/	л	\

Но в настоящем случае это равно 2л ехр| 4— log w (0) dQ ).

%	e J	/

4	-л	7

Теорема Сегё полностью доказана.

Замечание. Приведённые рассуждения вскрывают тес-
ную связь рассматриваемых вопросов с теоремой Бёрлингд
(гл. IV, п. Е), и их вполне можно было бы поместить и в
конце главы IV.	ч
D. ТЕОРЕМА ХЕЛСОНА-СЕГЕ

В 1960 г. в статье в Annali Хелсон и Сегё получили харак-
теризацию конечных положительных мер ц на [—л,л], для
которых неравенство

J | Т (0) I2 dp (0) С const J | Т (0) I2 dp (0)
-л	-л

справедливо для всех тригонометрических полиномов Т.

Тригонометрический полином Т — это просто конечная
сумма вида У, а„е,пв, и для такой функции Т гармонически
п — •
сопряжённая функция (гл. I, п. Е) Т представляется в виде
— (sign ri)anein* (мы полагаем signO = 0).
п

Определение. Положительная мера р называется мерой Хел-
сона — Сегё, если

Л	л

$ 11 (0) I2 dp (0) < const J I Г (0) I2 dp (0)

-л	"	—Л

для всех тригонометрических полиномов Т.

Простое непосредственное вычисление показывает, что
мера dp(0)=d0 является мерой Хелсона — Сегё.

Теорема. Всякая мера Хелсона — Сегё абсолютно непрерывна.
До казательство. Предположим, что Е — замкнутое
множество, |.Е | = 0, но р(Е)>0. Конструкция Фату, исполь-
зованная в одном из доказательств теоремы братьев Рисе
(гл. II, п. А), позволяет нам найти функцию h из si (см.
подпункт А.1°), такую что ft(ei0)== 1 на Е и |й(е'в) | <. 1 вне
Е. Пусть а = h (0); несомненно, | а | < 1. Положим Fn =
hn — а". Тогда Fn е si и Еп(0) = 0, поэтому Re Fn = —Im F„.
Поскольку p—мера Хелсона — Сегё, получаем

$ I (Re Е„) (е'в) f dp (0) < с J | (Im Fn) (е») |2 dp (0),
—я	-я

ибо (ввиду того что Fn е si) для каждого числа п суще-
ствует последовательность тригонометрических полиномов
{Тт}, такая что Тт-> ImF„ равномерно и Тт-+ — ReF„ рав-

померно. Теперь, на Е

(Re Г„) (е‘9) = 1 — Re ап-+1,
поэтому

л

lim J| (Re F„) (e'0) p dp (0) > p (E) > 0.

-Л

Однако | (Im Fn) (e10) |	1 +1 a | " < 2, и как при ei0 е Е

(ImF„)(ei0) = — Ima"->0,
п

так и при е10 $= Е

I (Im Fn) (ei0) | < | h (е'0) |" - Im ап -> 0.
п

Таким образом, последовательность (Im Fn) (е'в) ограничена
и всюду сходится к нулю, следовательно,

Л

J |(ImF„)(^0)|2dp(0)rO.

“Л

Получили противоречие, что и доказывает теорему.

Теорема. Ненулевая мера Хелсона — Сегё обязательно имеет

Л

вид dp(0) = w(0)d0, где w 0, w е D и J log да (0) d0> — оо.

-Л

Доказательство. В силу предыдущей теоремы dp(0) —

Л

w (0) d0, w е Ll, w 0. Предположим, что J log w (0) dQ = — оо
— Л

и воспользуемся теоремой Сегё (п. С), чтобы прийти к про-
тиворечию Действительно, в этом случае мы можем найти
последовательность тригонометрических полиномов, принад-
лежащнх нашему старому другу £?(0) из пункта С (множе-
ство конечных сумм вида £ а»6*"0) и таких, что

ri> о

J |1 - Pn(0)|2a>(0)d0-^O.
-л

Положим Trt(0)= 1 — Ря(0). Тогда Рп=Тп, и поскольку
w(Q)dQ — мера Хелсона — Сегё, то

л	л	л

J |Р„(О)|2®(0И0= J 1 Tn(8)|2a>(0)d0<C J I Тп (0) |2да (0) dQ

—Я	—л	-л

л

<С2 J I Тп (0) |2w (0) dQ 0.

-л
л

Таким образом, $ | Рп (0) |2w (0) dQ -+ 0, откуда получаем
-л

$ 12ау (0) dQ = 0, т. е. т. е. ау(0) = О п. в. Сделано!
-л

Итак, описание всех мер Хелсона •— Сегё сводится
к исследованию мер вида w(Q)dB для положитель-
ных функций w из L1, удовлетворяющих неравенству
л

$ log W (0) С?0 > — оо.
-л

Хелсон и Сегё ввели вспомогательный оператор, связан-
ный с оператором .

Определение. Если Т (0) = £ aneinQ тригонометрический
------------------- п ---------------------------------
полином, то положим

(ПГ)(0)=Еап^в.

я>0

Мы будем использовать также следующие обозначения:

Л

<U><,= $ f(0)iWa>(0X
-л

llfllw== д/ J |/(0)|2w(0)d0.

Лемма. Неравенство ||T||W КИЛЬ имеет место для всех
тригонометрических полиномов Т и некоторой константы К
в том и только в том случае, когда справедливо неравенство
||П7'||ф СЦТЦ» для всех таких Т и некоторой константы С.

Доказательство. 1. Если ||ПТ||»	С|| Т||», то заметим,

что для Т (0) = У, апе‘пв мы имеем Т (0) — У, а_„е‘"в, и поэтому

(ПТ) (0) = £ «пеМ0. откуда
п<о

Т= -Л1Т4-/(ПТ)-

Ясно, что ЦЛ1» =11Л1ш, и, таким образом,

II т Д» < II ПТ II», + II ПТ ||» < СIIТ||» + СIIТIU = 2СIIТII».
2. Если ||f||w /CIlT’Hw, то заметим, что 2яТ = —t + iT,
откуда linTILC	Q-E.D.

Лемма. Мера w(Q)dQ является мерой Хелсона — Сегё в том и
только в том случае, когда существует число р < 1, такое что
для всех полиномов Р, Q из j’(O) справедливо неравенство

Re

Р (eie)e~ieQ(eie) w(Q) dQ < р || Р ||w • UQU

Доказательство. Согласно предыдущей лемме, мера
te>(0)d(3 является мерой Хелсона — Сегё тогда и только тогда,
когда ||ПТ||Ю sg С||Т||Ю для всякого тригонометрического поли-
нома Т. Всякий такой полином может быть представлен
в виде Р(0) + e‘eQ(e‘e), где Р, Qe^(O) и Р = ПТ, и по-
скольку |е‘9| н= 1, то

Л

IIТ 1g, = || Р 1g, +1| Q ||2 + 2 Re J Р (е'0) е~'0 Q (е«) w (0) dQ.
-л

Если неравенство из формулировки леммы имеет место, то
последнее выражение >||Р lg, +IIQII^ — 2p||P||J|Q||w==(l —
- Р)2П Р1g, + (РIIР Ц - HQ L)2 > (1 - Р2) IIР Hi = (1 - Р2) II ПТ И*,
откуда вытекает, что ||ПТ Ig, < t Jp2|| Т |g,.

Обратно, если || Р |g, < С21| Т ||ш (можно считать, что С> II),
то при ||Р||да = IIQIIw = 1 имеем HTIg,^^-, откуда, применяя
приведённую выше формулу для || Т 1g,, получаем

1 + 1 + 2Re ( P(ei0)e-ieQ(ef9)ay(0)d0>^-,

-л

Re J Р (е<0) е~ i0Q (е‘0) w (0) dQ > - (1 -	.

-л

Повторяя эти рассуждения с заменой Р на —Р, получаем
после перемены знака

Re f Р (ei0) е~ if>Q (е1*) w (0) dQ < 1 - Л.

-л

Последние два неравенства эквивалентны неравенству из фор-
мулировки леммы, с р=1—2^2. Лемма доказана.
Теорема Хелсона и Сегё. Если для меры ц, справедливо нера-
венство

Л	л

$ | Т (0) I2 dp (0) < с $ IТ (0) I2 dи (0)

-л	-л

для всех тригонометрических полиномов Г, то она обязатель-
но имеет вид

^и(0) = е«(ен*<0) d0,
где и и v — вещественнозначные функции,
функция |и| ограничена, а

I V (0) К -у — е, б > 0.

Обратно, если

d|A(0) = e“(0> +»<М0,

а функции и и о удовлетворяют указанным условиям, то при-
ведённое выше неравенство справедливо при некоторой кон-
станте С.

Доказательство. В силу первых двух теорем этого
пункта мы можем ограничиться рассмотрением мёр вида
л

dp.(0)—ш(0)</0,где о/<= L1 и j loga>(0)d0> — оо. Возьмём

-л

произвольную такую функцию w и положим

(л it	\

2л 5 log VHOdH;

-л	'

поскольку ф s L1, то Н2 (и является внешней функ-
цией!), и, согласно пункту D главы I,

IФ (е'е) |2 = а? (0) п. в.

Положим В



В силу предыдущей леммы мера w (0) d0 является мерой Хел-
сона — Сегё в том и только в том случае, когда существует
р < 1, такое что для всех полиномов Р, Q из #*(0) с ЦРЦа, 1,
IIQlit»	1 справедливо неравенство

л

Re J ф (е‘0) Р (е{6)  ф (еге) е~ ieQ (е10) el<a <0> de < р.

-л

Если заменить Р на е^Р и заставить у пробегать все веще-
ственные числа, то легко видеть, что последнее неравенство
эквивалентно следующему:

J Ф (е,е) Р (е'«) • ф (eie) е~ “>Q (ei0) е'“ <0» de < р || ф Р ||2 • ||<pQ ||2
-л

для всех Р, Q из ^Р(О).

Но по теореме Бёрдинга (гл. IV, п. Е) множество
Ф0* (0) плотно в Н2 (0) и множество е~<е<р • S? (0) плотно * В

в Н2.

Поэтому предыдущее неравенство эквивалентно следующему:

J elw <0>F (е/0) G (е<0) de < р || F Ih • || G ||2
— Л

для всех F из №(0) и G из №.

В силу результатов главы IV всякая функция f из Н1 (0)
может быть представлена в виде f = PG, где Fe№(0),
ое№и и f ih=о о Ог=ТоТой

Итак, o>(0)d0— мера Хелсона — Сегё в том и только в
том случае, когда для некоторого числа р < 1 справедливо
неравенство
л

/ея‘(0).

-л

Согласно подпункту А.2°, это равносильно тому, что

Предположим теперь, что (0) = es<0*, I о (0) | ^ у — е, е
> 0. Сразу видно, что соответствующая внешняя функция фо,
/ п и	___ \

Фо(г)=ехр(^ $ prolog
' -я	<
удовлетворяет соотношению (<₽о (е/0))2 = ё° (0) ~ tv (0), и, стало
быть, wo(0) / (фо (е‘в))2 = е‘”(0). Поскольку | v (0) | у — е
(рис. 36), то |е‘®(0)— sin е| cos в < 1, а постоянная функ-
ция sin в принадлежит Я°°; таким образом, последнее обве-
дённое рамкой условие выполнено при р = cos в < 1 и ® = v.

Тогда, как мы видели выше, || Т ||ш, К0И Г II»,* Если теперь
а>(0) = e“(0%o(0) и —с<и(0)<с, то мы также имеем

IITILCe^oliriU

Тем самым наше условие на w достаточно.

Оно и необходимо. В самом деле, если справедливо не-
равенство, содержащееся в последней рамке, то существует
функция h из Я°°, для которой

|	- Л (г‘«) | -1	- Л («-•) | < Р < 1..

Умножая на |<р|2 = w, получаем

I (ф(ei0))2A (е1в) — w (0) | рш(0) п. в.,
/ л	\

где tw(0)>O п.в. (ибо $ log да (0) <20 > — оо I. Таким обра-
зом, граничные значения (ф (ei0))2h (е10) функции <р2Л е Я1
лежат п. в. в секторе {| arg z | arc cos р < -yj, и по формуле
Пуассона для Я*-функций (гл. II) значения <p2(z)/i2(z) при
|z|< 1 также лежат в этом секторе. Следовательно (см. за-
дачу 5), ф2Л — внешняя функция, а потому не имеет нулей
в	Значит, аг£ф2Л(г) определён и непрерывен в
{|z|< 1}. Отсюда ф2й(г) = ав(г), где g— аналитическая в
{| z | < 1} функция, такая что | Im g (z) | < arc cos р < у. По-
ложим o = Img. Тогда (ф2/г)(г) = ес+°(г)+где с —веще-
ственная константа.

Наконец, из неравенства | ei<o(0) — h (e‘e) | р < 1 следует,
что

_!_<______!____

1 + р | Л (е,0)|	1-р ’

eu(0) t Где веществен-

Поэтому мы можем положить-----------тт—

IЛ (е,в) I

ная функция и ограничена (сверху и снизу!). Тогда |о>(0)| =

| ф (е‘е)21 ==e“(0)+»(0), причём | v (0) | arc cos р < у. Q. Е. D.

Замечание 1. Это — один из наиболее удовлетворитель-
ных результатов в данной области. Исследования в этом на-
правлении были продолжены Хелсоном и Сарасоном, а также
мною.

Замечание 2. В 1970 или 1971
Уиден полностью охарактеризовали
для которых

г. Хант, Маккенхаупт и
все весовые функции и>,

J | Т (0) |р w (0) d0 < J | Т (0) |р W (0)
-Л	-л

где 1 < р < оо. Их характеризация совсем непохожа на ха-
рактеризацию Хелсона и Сегё и при р = 2 состоит в сле-

дующему

Мера a>(0)d0 является мерой Хелсона —Сегё в том и
только в том случае, когда для всех интервалов I

где с — некоторая конечная константа, не зависящая
от I.

Недавно Койфман и Фефферман [1974] дали упрощённое
доказательство результатов Ханта, Маккенхаупта и Уидена
Условие в рамке должно быть эквивалентно тому, что
log о»—ие £°°(—я, я) для некоторой функции о с || о ||ю < у .
Почему это так — не столь очевидно. Этот вопрос связан
с теорией пространства ВМО (класса функций ограниченной
средней осцилляции), которая будет изложена в главе X.
Примерно в то время, когда читался этот курс, Гарнетт и
Джонс нашли непосредственное доказательство упомянутой
эквивалентности, которое, однако, не дает точной оценки -у
для Hollo». Их работа опубликована в Annals of Math, в 1976 г.

Задача 7. Пусть со е £°°(—я, я) и ] со (6) | и 1 п. в. Задача за-
ключается в том, чтобы показать, что существует ненулевая
функция h из Ню, для которой

|©(0) —Л(0)|<1 п. в.	(1)

в том и только в том случае, когда существует ненулевая

функция из №, для которой

®(0)= |У(0)| п. в.	(2)

*

1) Покажите, что если существует функция / из Н1, удов-
летворяющая условию (2), то функция h = f/(Р + iP) вхо-
дит в Н* * й удовлетворяет условию (1), где Р(0) = |/(0) |.

Ь) Покажите, что если существует ненулевая функция h
из Н°°, удовлетворяющая условию (1), то he^~‘^ е Н1, где
функция ф, —у ф (0) -у-, такова, что e-W®)© (0) h (0) >» О
п. в. Используя этот факт, найдите функцию f е Я1, удовлет-
воряющую условию (2).

НАМЕК: см. рис. 37>






Глава VIII

Применение максимальной функции
Харди — Литтлвуда

Эта глава основана на некоторых довольно старых рабо-
тах в области анализа, тем не менее именно с них начался
современный этап развития теории пространств Нр.

К. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В данной главе мы рассматриваем лишь функции, кото-
рые почти всюду конечны.

Определение. Для всякой п. в. конечной комплекснозначной
функции на R положим

mf(A) = |{x:|f(x)|>Ml (А, > 0).

Функция называется функцией распределения функции f.

Ясно, что функция mf не возрастает; ничто, конечно, не
мешает ей принимать бесконечные значения при некоторых
или при всех значениях % > 0.

По определению (!) интеграла Лебега мы, очевидно,
имеем

J |f(x)|₽dx=J kp(—dmf(h))
-оо	о+

при р > 0. Кроме того, справедлива следующая

оо	оо

Лемма. $ | f (х) |₽ dx = р $ kp~imf (A.)dk при 0 < р < оо.
— ОО

Доказательство проводится интегрированием по ча-
стям. Имеется, однако, небольшое осложнение, связанное с
тем, что R имеет бесконечную меру.

Если для некоторого положительного числа с неравен-
ство nif (А.) с выполняется при всех % > 0, то интеграл

ОО

J Kp~lmf(k)dk, несомненно, бесконечен; но, очевидно,
о
J I f (х) Г dx V • с при всех X > О, значит, и этот интег-
рал бесконечен.

Таким образом, нам надо рассмотреть только случай,
когда mf (%)-> О при X -> оо.

Пусть 0 < 8 < R < оо. Тогда
R	R

— J V dm, (1) = 6p/nf (е) - Rpmf (/?) + р J Kp~lmf (К) dK. (*)
8	8

оо	е

i)	Если $ kp~lmf (Л) dk < оо, то р ( Лр-1/п^ (X)dA—>0 при
о	о

6 -> 0, т. е. (поскольку ntf — невозрастающая функция)

$ pAp-ldA—>0
о

при е —>• 0, а значит, и 8pmf(e)->-0 при е->0.

Далее, для всякого положительного числа б существует
столь большое число А, что при всех /?>Д справедливо не-
fl

равенство р kp~imf(K)dk < б. Следовательно,
А

а

mf (R) J pkp~'dk = (/?" - Ap) mf (/?) < 6,
A	*

и, таким образом, при достаточно больших R > А мы имеем
Rpm.f (R)< 26. Это означает, что 'Rptnf (/?)->•О при /?->оо.

Устремляя ек0и/?коов («), получаем, что

р J Kp-lmf(k)dk= - J'lpdmf(%)= J |f(x)|pdx
О	o+	-oo

в случае, когда самый первый из этих интегралов конечен,
оо

ii)	Предположим теперь, что — $ hpdmf (К) < со. Как
о+

уже отмечалось выше, мы можем считать, что т^(Л)->-0 при
оо	оо

А. -► оо, и тогда Rpmf (R) — — Rp dmf (Л)	— $ Лр dntf (Л);

R	fl

поэтому Rpm.f(R)->-0 при /?-»-оо. Если мы в (*) устремим ,
/? к оо; то получим, что для любого 8 > О

epmf (в) + р $ Хр lmf (X) dk = — $ Хр (Л),
е	е

т. в.

р J X₽“'/nf (X) dk < - J kpmf (k).
e	e

oo

Устремив в к нулю, заключаем, что $ kp~4nf (X) dk < оо, и мы
о

снова оказываемся в ситуации, рассмотренной., в i). Итак,
лемма верна. *>

В. МАКСИМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ХАРДИ - ЛИТТЛВУДА

1° Теорема Харди — Литтлвуда,
доказанная с помощью конструкции Ф. Рисса

Определение. Пусть f — измеримая функция на R. Макси-
мальная функция Харди — Литтлвуда fM определяется равен-
ством

Г

5

fM(x)= sup

Очевидно, если функция f ограничена, то |/л,(х) | ^||f||«>.

Теорема Харди и Литтлвуда.

trtfM (А»)	Zy $ lf(x)|dx, X-	>0.'
		

!> Есть более короткое доказательство. Положим g(t)	По

теореме Фубини

оо	оо	X

( kpdg (X) = j р $ to-1 dt dg (А) = ptp~ldt dg (A)

о	о	o’	{i<M

.	oo po	oo

=,p $ tp~l ^dg(k)	dt=*	- p^ tP-'g (0	dt,

0	t	0

так как g(°o) == 0. Вот и всё. — Прим. ped.	I
Доказательство. Можно считать, что /	0. Положим

x+h
fi(x) = sup-j- С f(t)dt,
л>о Л J

X
f2(x) = sup-j- ( f(t)dt.
h>0 ft J
x-h

Для заданного положительного числа X рассмотрим следую-
щие три множества: Е\ = {х: ft(x) > X}, Е% = {х: fz(x) > X},
Е = {х: fM (х) > X}; поскольку

Птг \ fW>di

“Г tl2 J
x-hi

= -i.hL r(4-	f(0^+-fc h2~T: (-Г- S

4" A? I Ai J	I	h\ -f- hi I Zt? j	I

\ x-ht	/	\	x	/

то E c: Ei и Ел, так что mfM (X) mfi (X) + mfi (X), и, очевидно,
теорема будет доказана, как только мы покажем, что

mf,(X) = -i-$ f(x)dx,

Ei

= J f(x)dx.

E,

Мы довольствуемся доказательством первого соотноше-
ния, ибо второе доказывается аналогично. - Положим

X ---------

F (х) =	используя обычное соглашение в случае х < 0.

о

Ясно, что мы можем предполагать интеграл, фигурирующий
в формулировке теоремы, конечным. В таком случае функ-
ция F непрерывна на R, принимает конечные значения и
F(0) = 0. Функция F не убывает, и множество Е\ представ-
ляет собой счётное объединение дизъюнктных интервалов Jk
(обязательно конечной длины), которые строятся по графику
функции F с помощью следующей конструкции, принадлежа-
щей Ф. Риссу (см. рис. 38). Параллельный пучок света па-
дает сверху на график функции F в направлении линий на-
клона X. Тогда Jk — это интервалы оси х, лежащие прямо
под (или прямо над) частями кривой, оставшимися в тени1).

*> Формальное описание этой конструкции см. в книге Рисса и Сёке-
Фальви-Надя [1979]. — Прим, ред.
217

Из рисунка видно, что для каждого интервала Л

Л | Jk |  приращение функции F на Jk = J f (t) dt.

’k

Собирая вместе' все интервалы lk, получаем

f(t)dt,
в,

т. е.

mfl(A) = |EI| = X-1 J f(t)dt,
в,

как и надо было. Сделано!

Схолия. С помощью теоремы Харди — Литтлвуда можно по-
лучить быстрое доказательство того, что если f е L1 и

X

F(x)—^f(f)dt, то производная F'(x) существует и равна
о

f(x) почти всюду (теорема Лебега).

Действительно, если f е L1, то мы можем построить по-
следовательность непрерывных функций {<рп}, таких что

оо

11<Р»П I 4-" при м > 2 и ряд £ ф„ сходится к f и в L’-норме,
яп. в. Для каждого числа п^2 положим 0п ~{х: Ф„ (*) >
и Gm = U Если хфвт, то
п>т

x+h

$ Е».«>

x-h п>т

dt< £ <w<r-j
п>т

т

поэтому если Фт (х) = S Фл (х), то при х ф Qm имеем

О
x+h	x+h

4- ( /(0Л<Фт(х) + 2-т,
h^an J	h-»o ft J

ибо функция Фот = f — Xi Ф« непрерывна и, следовательно,
п>т •-------------------------------------

х

производная Фт (t)dt существует всюду и равна Ф«(х).
о

Теперь, теорема Харди — Литтлвуда утверждает, что
|б7„|<2п||фя||1<2-'' при п>2,

поэтому | Gm |	2~т. Это вычисление показывает, что если

х ф Gm для всех достаточно больших т и предел lim Фт (х)
существует, то производная F'(x) также существует и равна
этому пределу. Но Фт (х) f (х) п. в. и Gi 6г Оз =>...,
причём G = П Gm — множество меры нуль, так как
7П>1	------------------------

|Gm|C2-m. Итак, производная F'(x) существует и равна
| (х) при почти всех х ф G, т. е. почти всюду.

2°. Неравенства для норм максимальной функции
Харди — Литтлвуда fм

Теорема. Если р > l(sicl), то ||fM||P «С cP||fl|P для некоторой
константы Ср, зависящей только от р.

Доказательство. Можно было бы, привлекая очевид*
ное неравенство ||fM||oo ^llflloo и максимальную теорему Хар-
ди— Литтлвуда, применить рассуждения Марцинкевича по-
добно тому, как это было сделано в подпункте С.2° главы V
при доказательстве соответствующего неравенства для гар-
монически сопряжённой функции J.

Здесь, однако, проходит один простой приём. Можно счи-
тать, f :> 0. Мы можем аппроксимировать функцию f снизу
ограниченными функциями с компактным носителем. Для каж-
дой такой аппроксимирующей функции <р функция <рм ограни-
чена и ведёт себя как б7(1/|х|) на оо. Взяв набор монотонно
возрастающих функций <р, мы получим последовательность
функций {О’”}, стремящуюся к функции /м снизу, так что
норма ||/м||р равнй пределу норм Таким образом, до-
статочно показать, что ||фм||р	ср||<р||р для каждой из функ-

ций <рп.

Прежде всего, мы заведомо имеем ||фм||Р < оо, ибо р> 1,
а функция <рм ограничена и есть б7(1/|х|) в оо. Дальше рас-
суждаем следующим образом. Ввиду пункта А

оо

||ФМ||' = Р $

О

что не превосходит

2р $ /	$ ф (х) ЛА V~2d%

о \{фм(х)>х}	/

в силу максимальной теоремы Харди — Литтлвуда. Меняя
порядок интегрирования(!), видим, что последнее выражение
равно

оо фМ(Х)	°°

2р $ J Лр“2ф (х) dX dx =	$ ф(х)(фм(х))р~1 dx.

— оо 0	—оо

Неравенство Гёльдера позволяет теперь заключить, что пра-
вая часть равенства не превосходит ||ф|Ц<рм||g~‘; по-
этому

11фм11?<7^т11ф11р-11фмГ1-

Поскольку ||фМНр-1 < оо, мы можем сократить на эту вели-
чину обе части неравенства (!), откуда вытекает, что ||фм||р^

j- IIФНр- Это доказывает теорему, с ср = t . Q.Е. D.

3° Критерий интегрируемости функции на множествах
конечной меры. Теорема Стейна

В случае р = 1 для вещественной прямой R не существует
никакого заменителя теоремы из предыдущего подпункта.
Это происходит потому, что R имеет бесконечную меру.

Положим, например,

'Mi:

1х|<1,
|х|>1.
Тогда, как легко видеть, fM(x);> при больших |х|, и
поэтому	несмотря на то что функция f принад-

лежит всем пространствам Lp и имеет компактный носитель.

Правильный заменитель для ^Л-случая получается, если
рассматривать пространства Ll(E) для множеств Е конечной
меры, и его можно получить с помощью рассуждения Мар-
цинкевича, аналогичного тому, которое использовалось при
доказательстве теоремы Зигмунда (подпункт С.3° главы V).

Теорема. Если |.Е| < оо, то

оо

$ fM(x)dx<2|E| + 4 J | f (х) | log* | 2f (х) | dx.

Е	—со

Доказательство. Пусть р, (X) = | {х е Е : /м (х) > X} |;
тогда

(fM(x)dx<|£| + $X(-dp(X)),
Е	1

причём, как нетрудно показать с помощью интегрирования
по частям, правая часть не превосходит (а на самом деле
равна)

оо	оо	оо

|£| + M1)+UW^<2|E|+ U(X)dX<2|E| +

iii

Чтобы оценить функцию мы воспользуемся приёмом
Марцинкевича и для заданного числа X > 0 запишем функ-
цию f в виде

f(x)=gK(x) + hK(x),

где

gk(x) =

’fix),

lfWI<4-

If Wl>4’

M*) =

ifwi<4’
if wi> 4-

Ясно, что fM(x)<g" (х) + й*(х) и	так что

IlSk ||oo<4- Следовательно, из того, что fM(x)>X, вытекает,
что й”(х) > 4> и тем самым

(Х)<

| |х : Нк (х) > 4} |
что в силу максимальной теоремы Харди — Литтлвуда не
превосходит

-jjjj- $ \hK(x)]dx = -j-	$ |f(x)|dx = -£-$s(—dmf(s)).

Следовательно,

J f*(x) dx < 2'| EI + J mfM(X)d%<2| E |+
E	1

— dmf(s)) jdA

co 2s	oo

= 2|£|+ J J^-dX(-dmf(s)) = 2|E|+ J (4siog2s)(-d/nf(s))
£ 1	2

2	2

= 2|£| + 4	J | f (x) |log| 2f (x) |dx

{। f w i>4}

oo

= 2|£| + 4 J I f (x) |log+(2| f(x) |)dx. Q. E. D.
— oo

Ввиду того что функция fM зависит только от модуля |f|
функции f, сама форма того частичного обращения теоремы
Зигмунда, которое было получено в подпункте С.4° главы V,
наводит на мысль, что только что полученный результат так-
же допускает обращение. Однако, несмотря на то, что про-
шло уже много времени с тех пор, как изложенная теорема
стала известной (она имеется в первом издании книги Зиг-
мунда!), обратное утверждение не было замечено вплоть до
1969 г., когда его опубликовал И. М. Стейн. В действитель-
ности практически все шаги в приведённом выше доказатель-
стве могут быть обращены!

Теорема. Пусть f—функция из L!(R) с компактным носите-
лем. Тогда интеграл $ f^(x)dx конечен для каждого множе-
Е

ства Е конечной меры только в том случае, если

оо

$ l/W|log+|f(x)|dx<oo.
Доказательство. Если f—функция с компактным носи-
телем, то ясно, что fM(x)^ при больших |х|; поэтому
множество Е= {х: fM(x)> 1} имеет конечную меру. Доста-
точно установить конечность интеграла ^fM(x)dx для этого

Е
множества Е.

Рассмотрим частичную максимальную функцию

А(х)=sup
Л>0 п J

уже использованную в подпункте Г при доказательстве тео-
ремы Харди — Литтлвуда. Очевидно, что fi(x)^fM(x), и по-
этому

$ fi (х) dx $ fM (х) dx < оо.

Но
со	оо	оо

(	f t (х) dx = — Л dtn^ (Л) = mft (Л) +	tnfi(k)dk,

{fi(x)>l}	i	•	‘

значит, последний интеграл должен быть конечным.

При доказательстве теоремы Харди — Литтлвуда мы в
действительности показали, что

(М*)>М

Поэтому

= | J |f(x)|dx-Y-
i	i {fi (»>>*)

Mx)

=	$ J lf(x)|-^dx = J lf(x)|logA(x)dX.

{fiU»O 1	{f.U»l}

Ho fi(x)^ |f(x) | п. в., так что последний интеграл	_

> J lf(x)|iogA(x)dx> J	I f (x) | log | f (x) | dx

{f(x»l}	{f(x)>l}

= J IfW I log-»-1 f (X)\dx.
В итоге получаем

оо

$ fi(x)dx> J lf(x)|iog+|f(x)|dx,
{fl (*)>П	-оо

причём интеграл в левой части конечен; значит, конечен и
интеграл в правой части. Вот и всё.

С. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ ИЛИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
И В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ

1° Оценка интеграла Пуассона через f№

Лемма. Пусть

г |f (f)|df
J 1 + *2

< оо. Положим при Im г > О

я $ (х -1)2 + у2 f
— оо

Тогда

I +	2)fM(0).

Доказательство проводится с помощью вычислений,
в основном таких же, как и в подпункте D.3° главы I. Мы
можём предположить, что fM(0)<oo— иначе нечего дока-
зывать.

Интегрирование по частям даёт

I V{x + iy) | <4- | у—
— оо

(x-t)2 + y2 $I {((х-\)2 + \2)2' $lf(s)lrfsV#-
О	—оо	—оо\	0	/

Поскольку fM(0)< оо, то первый член в правой части равен
нулю. Второй член можно переписать в виде

Т $ «х-%• (у $ I f («) Ids^df.
— co	\ О	/

t

Отметим, что у JI f (s) Ids fM (0) по определению. Имеем
о

2y(t-x)t	2y(t — x)2	,	2y(<-x)x

((X - o2 + У2)2	щ-х)2 + у2)2	((t - x)2 + y2)2 •
и это по абсолютной величине не превосходит

2у + 1 * I
(/ - х)2 + у2 •
оо

Поскольку -i- $ (<_x)2 + yr^=b ТО из предыдущего нера-
— оо
венства вытекает, что

I И* + iy) К (2 + -Ш.) fM(0). Q.E.D.
\ у /

2° Некасательная максимальная функция
/•*(%),----------ОО < X < оо

Определение. Пусть F — функция, определённая в полупло-
скости {Imz > 0}. Для xsR положим

F‘(x)==sup{|F(^ + iT])|:O<|g —х|<т)}.

-'Таким образом (см. рис. 39), F*(x)—это верхняя грань
|F(£) | в секторе S* с углом раствора 90° и вершиной в
точке х, симметричном относительно вертикали, проходящей

через х. Вместо 90° можно взять любой другой угол, меньший
чем 180°; мы выбрали 90° просто ради удобства записи.

Функцию F* обычно называют некасательной максималь-
ной функцией для функции F.

Теорема. Пусть р> 1 (sic!) и V—функция, гармоническая
в {Im z > 0}. Предположим, что величина

|| У |g = sup I l,V(x + ifi)lPdx

конечна. Тогда

J (VW)p^<7<p||V|g.

где константа KP зависит только от р,
Доказательство. В силу пункта С главы VI существует
функция feL₽(R), такая что норма ||f||p равна норме ||V||P,
определённой выше, и

со

— оо

Ввиду леммы из подпункта 1°, после соответствующего сдвига
вдоль .оси х имеем

V*(x)<3fM(x).

Но ||fM||p CpHfHp (см. В.2°). Следовательно, l|V*||p^
3Cp||f||p = 3Cp||V||p. Q.E.D.

Теорема. Пусть р>Ои Fe #p({Imz > 0}). Тогда

оо

$ (r(x))pdx<tfp||F||<rt
— оо

для некоторой константы Кр, зависящей только от р. Здесь
(как и в гл. IV)

J1, 0<р<1,
IP, Р>1-

Доказательство. Ввиду пункта С главы VI мы можем
записать F = BG, где В — произведение Бляшке в верхней
полуплоскости (так что, в частности, F*(x)^ G*(x)!), a G
не имеет нулей в {Imz> 0} и принадлежит Яр({1тх > 0}),
причём || G||p = ||F||p.

Следовательно, функция V, определённая равенством
V = G2p, является аналитической, а значит и гармонической
(комплекснозначной) в {Im z > 0}; кроме того, || V III = IIG ||р *
= ||Р||р). Имеем (F*(x))₽ ^(G*(x))p = (V*(x))2. Желаемый
результат следует теперь из предыдущей теоремы.

Следствие. Если F е Я1 ({Im г > 0}), то для U = ReF и
V = Im F имеют место неравенства

J U’(x)dx^ С ||Hu J V*\x)dx <С||Лр
— оо	—оо

3° Некасательная максимальная функция /* (0), —л	0 л

Определение. Для всякой функции f, определённой в
{|z| < 1), и всякого вещественного числа 0 положим
f*(0)= sup {|f(z)| :ze=Se},

где Se — область, заштрихованная на рис. 40.

8 Зак. 857
Рассуждениями, аналогичными тем, которые были исполь-
зованы в подпункте 2°, можно установить следующие резуль-
таты:

Рис. 40

Теорема. Пусть р>1 (sic!) и v — гармоническая функция
в {|z| < 1}. Предположим, что величина

л

= sup ( | о (reie) |р d0
r<l Л

конечна. Тогда для некоторой константы kp, зависящей \
только от р, справедливо неравенство

л

-л

Теорема. Пусть f е Нр ({| z| < 1}) для некоторого положи- I
тельного числа р. Тогда для некоторой константы Кр, зави-
сящей только от р, справедливо неравенство

л

-я

где (p)=sup (1, р).

Следствие. Если f е Н1 и и = Re f, то

Я

$ и*(0И9<С||/ ||Р

-Я
4° Максимальное преобразование Гильберта

Лемма.

J t ai } t* +у* ai

<(l + 2«)fM(0).

Доказательство. Выражение слева равно
v
С ______Е!___f (a dt  ( Ю dt

j /(„2 + <2) I	\ t2 + yiUl

\H>y	-y

у	OO

<27 j lf(OI^+ $ -^5-^17(01^
.	-{/	-oo

oo

< fM (0) + sup ( f (t)\dt < (I + 2Л) fM(0)
y>o J 1 +У
— oo

ввиду леммы из подпункта Г. Q.E.D

Теорема. Пусть 1 < р < оо (sic!) и fe£₽(R). Тогда так
называемое максимальное преобразование Гильберта
f(x)=sup-i- ( Т“7Л|

е>0	I

удовлетворяет неравенству

llfllP<*PllfllP.

Доказательство. Для г из {Im z > 0} положим

оо

— ОО

Ясно, что V—функция, гармоническая в {Imz>0}, и, ввиду
пункта D главы VI, при всех h > 0

60

J | V(x + /Л)|Р^<СРНЛ1Р
— оо

для некоторой константы Ср, зависящей только от р (тео-
рема М. Рисса). Следовательно, ввиду подпункта 2°, ||У*||Р^
/<р|| У||р для некоторой константы КР. Применяя сдвиги, за-
ключаем на основании последней леммы, что

8*

_1_
л

-f^-dt
x — t.

-V(x+iy) <(±+2)fM(x)






для каждого положительного числа у. Следовательно,

К* *)<(4+2)/м(х) + Г(А

Но мы знаем, что ЮР С Cpllfllp (см. подпункт В.2). По-
скольку || У*||р ^#p||f||p, всё готово.

Замечание. Аналогичный результат имеет место и для
единичного круга.

D. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА Re#1
В ТЕРМИНАХ МАКСИМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Если Fe//1({Imz>0}) и t/ = Re/7, то, как утверждает
следствие из подпункта С.2, t/*eL'(R). В 1971 г. Буркхол-
дер, Ганди и Силверстейн обнаружили (с помощью теории
вероятностей), что имеет место и ОБРАТНОЕ УТВЕРЖ-
ДЕНИЕ!

Iе Теорема Вуркхолдера, Ганди и Силверстейна

Теорема. Если U — вещественнозначная функция, гармониче-
оо

ская в {Imz>0}, и $ U*(x)dx < + оо, то l/ = Re Г для
-оо

некоторой функции F из Я1 ({Im г > 0}).	7

Доказательство основано на двух идеях Феффермана
и Стейна из их статьи 1972 г. в Acta и подработано специ-
ально для этих лекций.

Для А:>0 и Imz>0 положим Uh (г) = U (z ih). Отме-
тим, что, поскольку 17* е£1, то нормы ||ЯА||1 (обозначение
из подпункта С.2), разумеется, конечны при всех h > 0.
В этом случае функция V, гармонически сопряжённая с функ-
цией U, определяется в любой полуплоскости {Im z > ft > 0}
равенством
оо

кич s	им*.

— оо

Утверждается, что U + iV е Я1.

Для того чтобы доказать это, мы покажем, что

J |VA(x)|dx<4 J U’(x)dx

*0»


при всех h > 0. В действительности мы установим неравен-
ство
оо	оо

J |Vh(x) |dx<4 $ U*h(x)dx,
— оо	—оо

которое сильнее, ибо U*h (х) U* (х), как видно из рис. 41.

Рис. 41

ОО	оо

Поскольку U* (х) dx < -f- оо, величины | U (х + ih) | dx,
ft > 0, ограничены и, следовательно, ввиду пункта С гла-
вы VI, |(7А(г)К-^^-при Imz> 0, откуда (в силу того что
||£/|li < + оо) вытекает, что фактически

J (Uk(x +iy))2dx^.Ch при «/>0
— оо

(числа Ch могут быть огромными при малых положитель-
ных Л, но здесь нас это не трогает!). Ввиду пункта D гла-
вы VI мы заключаем, что

J (Vft(x-+-ij/))2dx<Cft при г/>0,
— оо

так что в действительности Uh + iVh е Н2( {Im г > 0}) при
всех Л > 0. Функция Uh + iVh непрерывна в {Imz>0} и
стремится там к нулю при z->- оо, так как (гл. VI)

ОО

при Im z 0.

Положим для Л > О

т(г) = |{х:С/;(х)>Л}|,

1*(Х) = |{х:|УА(х)1>М|.
Теперь мы собираемся оценить ц(Х) через /п(Х). Пусть
О= {х : U*h(х) > Л} и £x=R\6?x. Имеем |(Д|=т(Л), и
ясно, что

I* (X) < | {х е Ек: Vh (х) > М1 +1	|

= m(X) + l{xe=Ex:|VA(x)|>X}|.

Тем самым дело свелось к оценке второго члена в правой
части.

Как ограниченное открытое множество является дизъ-
юнктным объединением конечных открытых интервалов Ju

Рис. 42

(рис. 42). Построим над каждым интервалом ]к крышу Тк
с углами ската 45°, как показано на рисунке, и пусть
Т = у Тк и Г — кривая, состоящая из всех Тк и множества
Ек — R\(7ji, ориентированная так, чтобы при движении точ-
ки z по Г координата х = Re z возрастала (рис. 43).Так как

Рис. 43

Uh + iVh е Н2 и множество (h, а следовательно и Т, явля-
ется ограниченным, то по теореме Коши и лемме, приведён-
ной в начале пункта D главы VI,

\(Uh(z) + iVM2dz = Q.
г

После перехода к вещественным частям это равенство пре-
вращается в такое:

$	- Vh) dx + J (UI - VI) dx - 2 $ UkVh dy = 0,

Г	T
Далее, на каждом куске Тк множества Т мы имеем dy =
± dx, и поэтому

т	т

подставив это в предыдущее равенство, получаем

J V2hdx^ J U2hdx + 2\u\dx.

Ек	Ек	т

Но | Uh (г) | Л на каждом сегменте множества Т,
ибс каждый такой сегмент опирается одним концом на
множество Ек = {х: U*h (х)	Л}. (Это первая идея

Феффермана и Стейна.)

Следовательно,

( V2h dx < J (С/;)2 dx + 2Л2 J dx = J (£/*ft)2 dx + 2Vm (1),
в*	г Ек

так как

(Я.).
т

Далее,
к

J (£/;)2dx =	5	(uh W)2 dx=\s2(-dm (s));

{u*h ию}	0

- \

Значит (и в этом состоит вторая идея Феффермана и
Стейна),
к

| {х е : |VA (X) | > м I	$ (П)2 dx ^\s2(-dm (s))+2/n (Л).

вк	°

В силу приведенного выше неравенства для р(Х) это даёт

к

«2( — rf/n(s))4-3/n(X).

о
Из леммы пункта А вытекает теперь, что

J |Vft(x)|dx = | ц J J^-( —dm(s))dA, + 3 J/n(X)dX
— oo	ООО	О

= 3 J U'h(x)dx-\- J J^-dX(-d/n(s))
-oo	Os	>

= 3 j U*h(x)dx + Js( — dtn(s)) = A: J U*h(x)dx,
— oo	0	—oo

как и надо было.

Теорема полностью доказана.

Аналогичным образом может быть установлена

Теорема. Пусть и — гармоническая функция в {|z| < 1}.
Л

Тогда и + Ш g= Я1, если $ и* (0) dQ < + оо.

-л

(Определение и* (0) см. в подпункте С.З.)

2° Характеризация пространства Re Я*
в терминах радиальной максимальной функции

Теорема Буркхолдера, Ганди и Силверстейна может быть
усилена. Для гармонической функции и функция |u|p при
О < р <. 1 не обязана быть даже субгармонической. Мы ис-
пользуем один замечательный результат, заменяющий эту
отсутствующую субгармоничность.

Лемма (Фефферман и Стейн, 1972). Пусть и — гармониче-
ская функция в некоторой области, содержащей множество
{|г1 и пусть 0< р <. 1. Тогда существует константа
Ср, зависящая только от р, такая что

С Л2я
l«(0)|p<^J ^и(гею)\р rdrdQ.

Доказательство. По соображениям однородности мы
можем предполагать, что R = 1 и

12я

( ( | и (re19) jprdr dQ = 1.

о о
Для 0 <. г < 1 ПОЛОЖИМ

2л

М (г) = sup |«(rei0) |, 7 (?) = ( | и (ге*е) |р dQ.
°	о

Согласно только что сделанному предположению,
1	1

(/(r)rdr=l; поэтому, конечно, 7(г)-у-^4, ив силу со-

О	1/2

отношения между средним арифметическим и средним гео-
метрическим

	М/(г)2А

йЫ iog/(r)-T<1°g\-!te—/<1ое(1^2-)’
1/2

откуда

J 10g/(r)-£<K,
1/2

где К — некое число, точное значение которого нас здесь не
волнует.

Пусть а > 1. Используя формулу Пуассона (гл. II), легко
проверить, что

2л

Прологарифмировав, получаем

log М (r“) < (1 — р) log М (г) + log 7 (г) + log ra~i)

Теперь (ТРЮК!) умножим обе части на — = — ~ и про-
------ .	------------------- г аг --------------
интегрируем от 1/2 до 1. Положив в левой части /® = р и
воспользовавшись неравенством в рамке, получим

i	1

М logM(p)-J-<(l-p)UogAf(r)^+К
U J	р	J	г

(1/2)а	V2

1

+ log
1/2

2 Xdr
Здесь число

।

конечно и зависит только от а. Выберем теперь а столь
близким к 1, чтобы 1/а > 1 — р; мы можем это сделать, ибо

О < р <. 1. Тогда будем иметь

1/2	1

I J 10gM(r)4 + (4-(l-p))J 10gAl(r)4<Ca.
(l/2)«	1/2

Отсюда видно, что существует число /а, зависящее только*
от а, такое что logM(r) 1а для некоторого числа г, (1/2)“^
г^1. Поэтому по принципу максимума | и (0) | ехр 1а.
Положив теперь Ср = exp pla для зафиксированного выше а,
заключаем, что сформулированное в лемме неравенство дей-
ствительно имеет место. Q.E.D.

’ Определение. Для всякой функции U, определённой в
{Im г > 0}, и всякого х е R положим

C/+(x) = sup |С/(х4-/«/)|.

0>О

U+ — это так называемая радиальная максимальная функция
для функции U. Ясно, что U+ U*.

Теорема (Фефферман и Стейн, 1972). Если [/ — веществен-
ная гармоническая функция в {Imz>»0} и t/+eL* 1(R), то
U — ReF для некоторой функции F из Я1({1ти>0}),

Рис. 45

Доказательство. Мы покажем, что если (Z+eL1, то
[/♦ е L1. Этого достаточно в силу теоремы подпункта Г.

Для Imz>0 положим W(z) = | U(z) |1/2. Как видно из
рис. 44, если xeR и — х| < ц, то круг {Z: \Z —
(£	й]) | < tj} лежит в {Imz>0} и поэтому, в силу преды-

дущей леммы с р = 1/2,

№(£ + *)) <4	$$ M(Z)dXdY
(здесь Z = X-}-iY). Следовательно, тем более (см. рис. 45)
2П8+П	5+п

№(1 + *пХ^$ $ W(Z)dXdY^2£- J W+(X)dX,
о J-n	5-n

так как W(Z)^. W+(X). Таким образом, при |£— х|<т]

x+2r)

О + Й1)<^ J W+(X)dX^8C(W+y*(x),

X—2l)

по определению максимальной функции Харди — Литтлвуда
(для IF+)! Перейдя к sup по | + й] при 0	— х| < т), по-

лучаем, наконец, что_Ц7+(х) ^8C(lF+)M(x). Но IF (z) == Vf7 (z),
поэтому W+ = -\/U+^L2 по условию. Ввиду подпункта
В.2°, || (IF+)M fe < К || IF+ Ik = К д/ll t/+ Ih; отсюда в силу пре-
дыдущего। соотношения вытекает, что Vl|£/*Hi =11^’1Ь^
^.8СК Vll^+lh- Это доказывает, что ||f/*||i < °° при
11£/+111< оо. Сделано!

Таким же образом может быть доказана

Теорема. Пусть и — гармоническая функция в {|z|< 1}, и
пусть функция и+, u+(0) = sup | и (ге‘в) |, принадлежит про-
0<г<1

странству Ll(—л, л). Тогда и + Ш е №({|z| < 1}).

3° Обсуждение вопроса

Замечание. Отметим, что в определениях наших двух
максимальных функций знаки абсолютной величины стоят
в различных местах:

Л

и+(е)=^<Р> i S 1+г*-2гсез/ «(е-Orf/ .
""	—л

k

uM(e) = supoT^- J|«(0-Z)|d/.

—А

(Здесь мы пишем u(s) вместо u(eis).) Очевидно, первая из
этих функций значительно более чувствительным образом за-
висит от свойств функции и (от её возможных колебаний), чем
вторая. Легко привести пример функции и из L1 (—л, л), для
которой и+ е U (—л, л), но им ф. L1 (—л, л). Действитель-
но, в силу второй теоремы из подпункта В.3° и следствия
из подпункта С.3° всякая функция f е Н1 ({|z| < 1}), для
которой функция и = Re f имеет переменный знак и
log+ |u|(—л, л), даёт нам пример такой функции м.

Невольно приходит мысль определить такую максималь-
ную функцию Харди — Литтлвуда, которая была бы более
чувствительным образом связана с функцией и, например
положив
k

и(0) = sup * . ( и(0 — t)dt .

h,k>0 » + « J

В своей статье 1972 г. в Acta Фефферман и Стейн показали,
что это определение не является полезным. Можно привлечь
и другие аппроксимативные единицы, кроме ядер Пуассона,
использованных при определении и+, но при этом необхо-
димо потребовать от них некоторую гладкость.

Е. МЕРЫ КАРЛЕСОНА

Определение. Положительная (необязательно конечная) ме-
ра р в полуплоскости {Im z > 0} называется мерой Карле-
сона, если существует такая константа К, что при всех F из
№({Imz>0})

|F(z)|d|*(z)<K ИЦ,.	(*)

{Imz > 0}

Меры Карлесона служат важным инструментом в двух
дальнейших главах. Следующая теорема даёт их геометриче-
скую характеризацию.

Теорема (Карлесон). Мера ц является мерой Карлесона то-
гда й только тогда, когда при всех х е R и всех h > 0

р((х,х + Л)Х(0,Л))<СЛ, |	Q

где С — некоторая константа, не зависящая от х и h.

Доказательство. Только тогда. Пусть заданы х0е R и
h > 0. Пробная функция f,

(z-Xt+ih)2 ’

принадлежит пространству Я* ({Imz>0}), и llflh =л. Кроме
того, |f(z)|>^ при zeS»=(x0, xo + ft)X(O, Л) (рис. 46),
поэтому если справедливо неравенство (*), то

^p(SA)<	|f(z)|dg(z)<nK,

{Im z >0}
т. е. и (•$&) 2nK-h, чем и доказано неравенство j с
С = 2лЯ.

Тогда. Достаточно доказать неравенство (*) для всех
функций FeH1 специального вида F(z) = fh(z) = f(z + ih),
где f e Я1 ({Im z > 0}) и h > 0. Возьмём произвольную та-
кую функцию F. Из представления Пуассона для f в верхней

Рис. 46

полуплоскости (гл. VI) видно, что функция F непрерывна
при Imz^O и стремится к нулю при z->oo в верхней полу-
плоскости. Нам надо установить неравенство (*) с констан-
той К, не зависящей от F.

С этой целью положим для А, > 0

Af(A) = n({z: Imz > 0&| F(z) | > А,}).

Используя одну идею Хёрмандера, мы покажем,
^Стр* (Л), где С — константа, из неравенства

что М (%) sgZ
f*Y Здесь

F* — некасательная максимальная функция для функции F
(подпункт С.2), а тР* — функция распределения функции F*
(пункт А).

Пусть E\={xeR: F*(x)^K} и <A = iR\E\=={xe R:
F(x)>%}, так что тР* (А.) = 1|. Если x0_^Ei, то для каж-
дой точки z = х + iy, лежащей в секторе Sxt = {z : | х — х01

I/ & ^ > 0} (рис. 47), справедливо неравенство |F(z) |гС %,
и, следовательно, множество {z: Imz>0, |F(z) | > Л,}
должно содержаться в Q' — дополнении в {Im z > 0} к мно-
жеству J Sxt.
------

В нашем случае, поскольку функция F непрерывна в
{Imz^O} и равна нулю в оо, 0>x = R\£x— ограниченное
открытое подмножество в R и, следовательно, является дизъ-
юнктным объединением конечных интервалов Jk. Для каж-
дого k обозначим через А* открытый равнобедренный тре-
угольник с основанием Jk и углом при основании 45°, лежа-
щий в {Im z > 0} (рис. 48). Таким образом, мы используем
здесь аналог для верхней полуплоскости конструкции При-
валова, описанной в подпункте D главы III. Рассуждая
так же, как и там, мы видим, что определённое выше множе-
ство равно объединению множеств А*. Следовательно,

Рис. 48

cz у ДА и М (X) = р (QJ	И СМ* Но для каждого k,

ввиду	C|J*| (см. рис. 49), и поэтому

М (Л) < С £ | Jk | = С | О J = CmF. (Л).

Теперь воспользуемся результатами пункта А. Приведён-
ная там лемма справедлива не только для меры Лебега на

прямой, но и (с тем же доказательством) для функций рас-
пределения, определённых исходя из произвольных о-конеч-
ных мер. Следовательно,

|F(z)|dp(z) = $ M(X)dX.

{Im2>0}	О

Ввиду уже полученного, интеграл справа	’

оо	оо

$ mF*(X)dk = С F*(x)dx,
О	—оо

снова по лемме пункта А. Но (Fe ЯЧ)

оо

J F’Wdx^CdlFllj,
в силу второй теоремы из подпункта С.2°. Итак,

$$ |F(z)|dn(3)<CC1||F||,

{Im z >0}

для F е Н1 нашего специального вида, а следовательно и
для всех F е Н'. Сделано!

Аналогичным образом можно доказать аналог этого ут-
верждения для единичного круга:

Теорема0. Пусть ц — положительная мера Радона в круге
{|z| < 1}. Тогда

$$ |f(z)|dp(z)<*||f||i
{|«1< 1)

для всех функций f е И1 в том и только в том случае, если



для всякого криволинейного прямоугольника ВА показанного
на рис. 50 вида.

Задача 8. Пусть 0 = х0 < х; < х2 < ... < х„ = 1 — произ-
вольное разбиение отрезка [0, 1] на неперекрывающиеся ин-
тервалы Jk = [xk-i, хА]. Положим |/*| = 2Д*, xfc = y(xfc_1-f-
+ xk), и пусть

» л2

Д(х)=	----VT7T-

*> Интересный подход к теоремам такого типа предложен С. Аг-Вино-
градорым. (см Никольский [1980], лекция VIII). — Прим, ред,
Покажите, что при % > О

| {хе [0, 1]: Д(х) > Л) |<2е-сх
для некоторой числовой константы С, не зависящей ни от Л,
ни от выбора разбиения {х*}. (Я думаю, что годится
с=бЬ>

Намёк. Пусть <7=1,2, 3, ...,-уЧ~ = 1 и feLp(0,l).
Оцените ( &(x)f(x)dx через llfllp и отсюда получите оценку
о
1

для (Д (х))4 dx. Заметьте, что
о

еРШ)= £ (рД(х))’/?!.
Глава IX

Интерполяция

Определение. Пусть Im zn >• 0, n = 1, 2.Последователь-

ность {гп} называется интерполяционной последователь-
ностью для верхней полуплоскости, если для всякой ограни-
ченной последовательности {сп} существует функция F е
Н°° ({Im z > 0}), такая что

F(zn) = cn, /1=1,2.....

Интерполяционные последовательности допускают прос-
тое геометрическое описание.

А.	НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Г Лемма о равномерности

Лемма. Последовательность {гп} является интерполяционной
тогда и только тогда, когда существует такая константа К,
что для всякого числа N и всякой конечной последователь-
ности {с„}, п=1, 2.....N, |сп|^1, существует функция

F^H°° с НЛоо^К, такая что F(zn)=cn, п= 1,2, ..., N
(причём К не зависит от N).

Доказательство. Тогда. Пусть К — число с указанным
свойством, {с„}, п = 1, 2, ..., — произвольная последователь-
ность с |сп|=^1, и пусть для каждого .N функция FN^.H°°
удовлетворяет условиям ||Лг||«> К и

Fn(zn) = cn при п = 1, 2, ..., N.

Поскольку IlFwIloo^ К, то из последовательности {/>} можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно
на компактных подмножествах полуплоскости {Im z > 0} к
некоторой функции	причём НГЦоо^К. Ясно, что

Г(гя)== сп при всех п.

Только тогда. Пусть {zn} — интерполяционная последова-
тельность. Для каждого положительного числа L обозначим
Через Si подмножество пространства	состоящее из
последовательностей {F(zn)}t построенных по функциям
F е Н°°, таким что ||Г||<» L.

(Как обычно, мы обозначаем символом N множество всех
положительных целых чисел.)

оо

По предположению J St = /°°(N). Далее, каждое мно-
жество Sl замкнуто в /“(N). Действительно, если Fk^Hx,
IlFdloo^ L и {cn}e/°°(N)— такая последовательность, что

II {Fk (z«) — Ml /°° = sup | Fk (zn) — сп | -> 0 при k -► оо,
то, выбирая равномерно сходящуюся на компактах подпосле-
довательность из {/'*}• получаем, что её предел F принадлё?
жит пространству Н°° и удовлетворяет условиям ||Г||<»^ L
и F(zn) — cn, nsN. Таким образом, {c-JeSl и множе-
ство Si замкнуто в l°° (N)'

Теперь теорема Бэра о категориях утверждает, что для
некоторого числа L множество St содержит шар радиуса,
скажем, р > 0 с центром в одной из своих точек, скажем в
последовательности {Fo(zn)}, F0^H°°, IIFolloo^ 1. Это зна-
чит, что если |cn — Fo(z«) 1^ р при всех п, то существует
функция F^H00, такая что IIFIIo»^L и F(zn)=cn, neN.
Следовательно, если |dn|^ р при всех п, то можно найти
функцию Ge//00, такую что ||G||«> 2L и G(zn) — dn, neN.
(Достаточнее положить сп — dn + F0(zn) и взять G = F — Fq,
где F—функция из предыдущего утверждения?)

Отсюда вытекает, что если |ая|^ 1, nsN, то существует
функция ЯеЯ00, такая что ||//||оо^ 2£/р и H(zn)—an при
всех п. Итак, лемма верна, с константой К = 2L/p.

2°. Числа ГТ ——должны быть отделены от нуля
Цп\^п-гк\>

Лемма. Для того чтобы последовательность {zn} была интер-
поляционной, необходимо, чтобы существовало S > 0, такое
что для каждого п

п

%П — zk



(*)

Доказательство. Пусть {г„} — интерполяционная после-
довательность. Из предыдущей леммы вытекает, что суще-
ствует число К, такое что для каждого п можно найти функ-
цию F е Я00, для которой ||F||<»^ К и
к ( 1> k—n,
Г(г‘) = {о,^п.

Согласно пункту С главы VI, мы можем образовать произве-
дение Бляшке В с нулями Zk, k^n, функции F. Поэтому
F (г) — В (z) G (z) для некоторой функции G^H™, такой что
ЦОИ.» = HFHoo К. Имеем

|B(z„)l= ТТ|т^Й =
j-Х I Zn —
k^ni

следовательно, 1 = | F (zn) | = | В (zn) | • | G (zn) | < К | В (zn) |, от-
куда сразу же вытекает (*), с б = 1/К.

В.	ТЕОРЕМА КАРЛЕСОНА

Необходимое условие (*) для интерполяционности после-
довательности {zn} является и достаточным. Этот замечатель-
ный результат принадлежит Л. Карлесону и восходит при-
мерно к 1958 г. Позже Шапиро и Шилдс нашли более про-
стое доказательство теоремы Карлесона, осуществив серию
последовательных редукций с помощью теории двойственно-
сти, изложенной в подпунктах А.1° и А.2° главы VII. Их до-
казательство приводится в книгах Дьюрена и Гофмана °.

Здесь мы дадим доказательство, которое в большей сте-
пени напоминает оригинальное доказательство Карлесона.
Оно. упрощено за счёт непосредственного применения теоремы
о мерах Карлесона, приведенной в пункте Е главы VIII.
Благодаря одной идее Хёрмандера этот результат удалось
изложить сравнительно просто.

1° Одна лемма вычислительного характера

Лемма. Если для каждого п

П| Zn — Zk

I Zn — ?k
k^n

то для каждого числа п
ZIm zn lm zk 1 ,_______________________1

k^n

См. также приложение 1. — Прим. ред.
Доказательство. Полагая z* = х* + iyk, zn = хл + iyn,
имеем

1	_ I zn~zk I2 __ kn — gft I2 — кд — Zfe I2

I z„ — zk I	I zn — z* |2

(xn — Xft)2 + (Уп + Ук}2 — (*д — XkY — (Уд — Ук)2

I Zn — zk I2

= 4«/„i/ft|z„-zft|-2.

Положим pk=l(zn — Zk)/{.zn — z*)|. Ввиду только что про-
деланных вычислений,

2	log —= log-——2V
Pk *—(J—P/J

= 4 Im z„ Im zb I z — z. I-2
п Я I П Я I •

Так как У 2 log (~) <^2 log (1/6), то лемма доказана.

2° Одна мера Карлесона

Лемма.' Если для всякого п

п

k^> п

Zn — Zk
Zn—Zk

>6>0,

(*)

то мера ц в {Im z > 0}, определённая равенством

Ц = Е Im гпд2п
п

(другими словами, тойке гп приписывается масса Imzn), яв-
ляется мерой Карлесона.

Доказательство. Мы покажем, что для любых xoeR
и h > 0

И ([х0, х0 + h] X (0, Л)) < (1 + 51og |) Л;

ввиду пункта Е главы VIII это влечёт карлесоновость
меры ц.

Выберем произвольные %о^РиЛ>Ои обозначим че-
рез S квадрат [х0, *о + h] X (0, h) (рис. 51). Нам надо пока-
зать. что

У Imz„<(l +510g-|)ft.

z„sS
Очевидно, это неравенство будет установлено, если нам
удастся доказать, что для каждого N

У	+5 log-J-) Л.

z„eS

Зафиксируем некоторое большое N. Если в S нет точек z*
при 1 k N, то нужное неравенство, конечно, справед-
ливо.

Рис. 5J

Предположим теперь, что в S имеются некоторые точки гь
при 1 k N. Если для одной из них, скажем для zn,
Im zn А/2, то нужное неравенство выполняется. Действи-
тельно, воспользовавшись предыдущей леммой, получаем

У* ImZfe, !1?Л" ,2

Z-I *|z» —Zfcl2
k^n

1 1	1

>ylog-6

Заметим, что если при k #= п точка z* принадлежит множе-
ству S, то заведомо

___Ifn	1
| 2П — Zk |2	10Л ’

так как | zn — zk |2 = (хп — xk)2 + (уп + У к)2 h2 + 4ft2 = 5А2,
a Im А/2. Следовательно, в силу предыдущего соотно-
шения,

Ж S Imz.cjlogl

n

и поскольку Im гя Л, то

Imzft < A + 5A log-j,
Zftes

что и дает нам нужное неравенство (для каждого
Может, однако, случиться, что в S имеются точки Zk при
1	М и ни ,одна из них не удовлетворяет условию

Im Zk h/2. В этом случае мы разобьём квадрат S на верх-
ний прямоугольник R и два нижних квадрата Si.i, Si,2, как

показано на рис. 52. Поскольку при 1 k п в S нет то-
чек z^ таких что Im Zk h/2, то таких точек нет в R и,
следовательно,

Е ImzJk=S(SI.1)+E(S,.2),

где до конца доказательства используется обозначение
ЕМ) = Е Im гк.

zkpA

Теперь если в Si,i существует точка zn, 1 п /V, для ко-
торой Im zn h/4, то, как показывают проведённые выше
рассуждения, £(S1>1)<(l+51ogl)4. А если Su во-
обще не содержит точек гк при 1 k N, то 2 (Si, i) = 0.

Аналогично (Slt2X (1 + 5 log-у) Л, если в Si, 2 есть
точка zn, 1 =£= n N, для которой Im zn Л/4. Если же в Si,2
вообще нет точек гк при 1 k N, то S (Si, 2) = 0.

Далее, если в Si, i есть точки гк при 1 k N, но все
они удовлетворяют условию Imz*<ft/4, то мы возьмём два
нижних квадрата Si, i, ь Si, i, 2 в Si, i (рис. 53), каждый из
которых имеет сторону длины h/4, и посмотрим, имеются ли
там точки zn при 1 п N, для которых Im zn й/8, или
там вообще нет точек гк при 1 k N. Мы проделываем
то же самое для Si, 2, если там есть точки Zk при 1 k N,
но ни одна из них не удовлетворяет соотношению Imzt^/t/4,

и продолжаем действовать таким образом, пока нам не по-
падётся квадрат, в котором либо вообще нет точек Zk при
I k N, либо существует такая точка Zk, для которой
Im Zk не меньше половины стороны квадрата. Этот процесс

не может продолжаться бесконечно, так как мы имеем дело
лишь с конечным числом (N) точек Zk-

Вот пример, показывающий, как может развиваться про-
цесс. На рис. 54 каждый заштрихованный квадрат имеет
точку Zk при 1 k N, для которой Im Zk не меньше поло-
вины стороны квадрата. Незаштрихованные квадраты и пря-
моугольники не содержат точек Zk при 1 k N,
Только что описанная конструкция приводит к конечному
числу неперекрывающихся интервалов, скажем 1\, 1г, ...
..., 1р, лежащих в интервале / = [х0,Хо + й], причём длина
каждого из них равна длине интервала I, разделённой на не-
которую степень двойки. Каждый интервал Ik является осно-
ванием квадрата, скажем $<*>, лежащего в S, и все точки Z4,
1 k N, принадлежащие S, содержатся в. объединении
множеств S(fc). В каждом квадрате есть точка z*,
1 k N, для которой Im zk ± | Ik |.

В силу рассуждений, проведённых в начале доказатель-
ства,

S($<*>)<(1+5log-±-)IM. й = 1. 2, .... р.

1

Следовательно,	|

р	р	I

S(S)<£ S(S,fe))<(l	+ 51og4) Е |/*1<(1 + 51og4)|/l. I

4-1	4-1

(
т. е.	:

У,	Im«4<(l	+5log4) А,	।

а это и есть нужное нам йеравенство. Лемма полностью
доказана.

3° Доказательство теоремы Карлесона	'

Теорема Карлесона. Если для последовательности {гп} в •’
верхней полуплоскости справедливо неравенство

n|i^j>S>0	(.) i

4¥=n п k	

для каждого п, то эта последовательность является интерпо- |
ляционной.	'

Доказательство. Ввиду подпункта А.1° достаточно по-
казать, что существует фиксированная константа К, такая
что для всякого положительного целого числа N и для лю-
бых чисел сП, п = 1,2, ..., N, |сп|^1, существует функция I
F е Нж, для которой ЦЕЦоо^ К и	1

F(zn) = с„, п = 1, 2.N.	’


Зафиксировав N, возьмём конечное произведение Бляшке

При 1 п N

где

так что, конечно, 10П | б, поскольку выполнено (*).

Пусть с„, 1	^N, — заданные числа, |сп|^1. Вот

одна из функций F е Я0?, удовлетворяющая соотношениям

F(zn)—Cn,

N	N

F(z) = Fo(z) = В(z)£ ,	= 2iB(z)£ imZn z — z'

*—* D \zn) I* — zn)	Pn z — zn

n=l

Всякая другая функция F^H°°, для которой F(zn)=cn при
1 п Я, имеет вид Fq 4~ BG, где G g Я00, и обратно. По-
этому давайте выясним, не допускает ли норма ||Во — ВН00^
оценку, не зависящую от N; если да, т. е. если при любом N
эта норма не превосходит, скажем, К, то НАЙДЕТСЯ функ-
ция F Н°°, такая что ||В||оо^К и F(zn)=cn, п=1, 2, .... N,
и всё будет готово, поскольку К не зависит от N.

Идея (принадлежащая Д. Дж. Ньюмену)z состоит в том,
чтобы для вычисления нормы ЦВо — ВЯ°°||оо воспользоваться
теорией двойственности, изложенной в подпункте А.2° гла-
вы VII. Так как |B(x)|ssl при xeR (именно поэтому мы
и взяли В!), то

|| Во - ВЯ°° IL = inf {|| (Fo/B) - G ||то : G <= Я”}.

В силу аналога одной из теорем подпункта А.2° главы VII
для верхней полуплоскости (см. табличку в конце подпунк-
та А.1° главы VII), последний inf равен



sup

||flh< H.

— oo
Для всякой функции f из Н1

оо	N оо

$ Wf(x)dx=2/S S -у х-z tw*

— оо	П«1 -ОО

N
=-4лЕ^1тг.ж
п-1

Поскольку |₽п|^б и |ся|^ 1, то последнее выражение по
N

абсолютной величине <4лд_* ]£ Imz„|f(zn)l- Но согласно
П-1

лемме подпункта 2° мера, приписывающая каждой точке гп
массу Im гп, является карлесоновой. Следовательно, для
/<=Я>

4 л б-1 £ Imze|f(z„)|<4«S-,C||f||1.
л-1

Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем, что
||Г0— ВЯ°°||<х>^ 4лб-1С, причём константа не зависит от N.
Доказательство завершено.

Замечание. Доказательства леммы подпункта 2° и тео-
ремы о карлесоновских мерах из пункта Е главы VIII пока-
зывают, что в качестве константы С, фигурирующей в
конце только что проведённого доказательства, можно взять
С (1 + 5 Tog -у), где С — численная константа, не зависящая
от 6, а следовательно и от {zn}. Это значит, что если только
|сд|^1 при всех п, то мы* можем найти функцию ВеЯ00,
такую что ||F||«< К и F(zn) = сп, п 1, где константа К за-
висит от б из (*) как К -j log -у. где К — некоторая числен-
ная константа.

Теорему Карлесона можно непосредственно „пересадить"
в единичный круг с помощью конформного отображения.
Мы лишь сформулируем результат:

Теорема. Пусть |zn|< 1, n= 1, 2, ... . Для того чтобы для
каждой ограниченной последовательности {сп} существовала
функция f еЯ“({|г|<1}), такая что f(zn)=c„, п^=1, 2, ...»
необходимо и достаточно, чтобы для всех п

где б не зависит от п.
В действительности Карлесон именно в таком виде впер-
вые опубликовал свой результат.

С. ВЕСОВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЯМИ ИЗ ПРОСТРАНСТВ Я»
ТЕОРЕМА ШАПИРО И ШИЛДСА

Теорема (Шапиро и Шилдс). Пусть 1 р ^оо и Imzn>0.
Последовательности {(Imzn)1/p/:'(zn)}, где F пробегает про-
странство Я₽({1т z 0}), заполняют пространство /p(N)
в том и только в том случае, когда {гп} — интерполяционная

последов ательность.

Доказательство. Рассуждая так же, как и при доказа-
тельстве леммы подпункта А.1°, мы видим, что последова-
тельности ((Imzn)1/pF(zn)}, где F пробегает Нр, заполняют
/p(N) в том и только в том случае, когда существует число
К < оо, такое что для всякого целого положительного чи-
сла W и любой конечной последовательности {cn}, 1 п N,
для которой У, | сп |р 1, существует функция F^Hp, та-
п

кая что HFHp^ К и

(Imz„)l/pF(zn) = cn, п=1, 2, .... N.

Я утверждаю, что если это свойство выполнено, то {zn} —
интерполяционная последовательность.

Действительно, зафиксируем произвольное п и положим
{0, k п,
1, k = n.

Для сколь угодно большого W мы можем найти функцию
F е Нр, для которой ||F||p^ К и

(ImzA)l/pF(zft) = cft,

Ясно, что F = BG, где G^Hp, ||G||P^ К, а В — частичное
произведение Бляшке:

В(2)= П -Нг*

k^n *

Поскольку 1 =(1ш г„) 1/₽|F(zn) | = |B(zn) | (Im zn)yp\G(zn) |,
должно выполняться неравенство

п

k&n

Zn~Zk

*n~zk

> 1

> (1«п*п),/р10(мГ


Так как G^Hp, мы можем воспользоваться формулой

Пуассона (гл. VI) и получить, что при у = 1 —

(Im zn)llp | G (zn) | =

1 r (Im zn)*+1/p Q (t) dt
1г»-н2

<-II Clip

уя+ян>

««.-о2+«:)•"J '

Ho ||G||p^ К, а интеграл в правой части равен

f А’-'

А «+’’)• А <>’+!)•

— конечному числу, скажем Ср, зависящему только от р.
Отсюда (Im zn)'/р | G (zrt) l^jir'KCp, ибо ||G||P^ К, и из по-
лученного в предыдущем абзаце вытекает, что

k^n
l^k^N

Z — Zu
n k

z„ “ zb

П к

вне зависимости от N. Устремляя N к оо, видим, что усло-
вие (*) в теореме Карлесона (подпункт В.3°) выполнено и
потому {zn}—интерполяционная последовательность.

Обратно, предположим, что {zn} — интерполяционная по-
следовательность, скажем

k^n

z — zh
n к

Z — Zu
n . k

при всех п. Пусть N — произвольное конечное положительное
целое — зафиксируем его, — и пусть сп, п = 1, 2, ..., N,—

N

такие числа, что S|cn|p^l. Положим, как и в подпунк-

те В.3°,

N
ви=П
п==1

Z~Zn
z — zn9

z^ — zb

Bn= —-------

Z —Zu
n

п

Л
Пусть yn = (Imzn)-I/',Cn, л = 1, 2, .... N. Тогда, как и в до-
казательстве теоремы Карлесона, функция Fo, задаваемая
формулой

N

F0(Z) = 2iB(Z)£-g*-^-,

• Рп Z — zn
n=l

удовлетворяет условию Го(гп) = уп, т. е. (Im znYlpF0(zn) = сп,
и всё будет закончено, если мы сможем показать, что суще-
ствует конечное число К, не зависящее от N и от набора
{сп}, п = 1,2, ..., N, такое что ||Го — ВНр]\р^ К.

Поскольку |B(x)|ss 1, xs R, мы можем применить тео-
рию двойственности, изложенную в пункте А главы VII:
|| Fo - ВНР ||р = || FJB - Нр ||р
~ оо

= sup| [-^f(t)dr.fe=H‘', ||f||?<ll.

V — со	J

Как и в подпункте В.3°, для f интеграл
со

$ (Го (0 f (t)/B (t) dt оказывается равным
— оо

N

— 4л£ ImZrtY«f (2л)/Рп>

что в нашем случае, как видно из неравенства Гёльдера, по
абсолютной величине не превосходит

/N	\Wp/N	\Uq

4л (£ Im гп | у„|р/|Рл И I E ImZ„|f(Zn)|?) .
\n-l	✓ \n-l	/

Здесь 1тгя|уя|р = |Сп|р и |P»|₽ > бр, и поскольку £ | сп |р< 1,
п

то видно, что последнее выражение

/ со	ч 1 lq

<4лб_1( Е 1тг„|/(г„)|’1 .

Для f^Hq и Hfll, 1 мы, конечно, имеем f(z) = b(z)g(z),
где b — произведение Бляшке (и, следовательно, по модулю
<1 в {1тг>0}), a g<=Hq, IlglU = Hfll?, — функция, не име-
ющая нулей в верхней полуплоскости. Поэтому g4 ^Н1 и
Ug’lli 1, а следовательно, в силу леммы подпункта В.2°,

Е Im zn | f (zn) I’ < E Im za | g (zn) |’ < C || g* ||, < C,

n-l	n-l
так как мера, приписывающая массу Im zn каждой точке гп,
является карлесоновой.

Итак,

||Го-ВЯр||р<4лб-,С1/«,

причём правая часть не зависит ни от N, ни от выбора чисел
ся, удовлетворяющих условию У, | сп |’<1. Теорема пол-
п

ностью доказана.

D.	СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ УСЛОВИЯМИ
НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ {zn}

При доказательстве леммы подпункта В.2° мы фактически |
показали, что если для всех п выполнено неравенство	i

Т т	в

ZIm гп Imzk v
я l2n~2ft|2 "

с константой К, не зависящей от п, то мера, приписывающая
массу Im zn каждой точке z„, является карлесоновой.

Верно и обратное:



Лемма. Если мера, приписывающая массу Imzrt каждой
точке Zn, является карлесоновой, то существует константа К, I
такая что	:

при всех п.

Доказательство (Гарнетт). Пробные функции Fn(z) = <
Im Zn/(z— гп)2 принадлежат пространству Н1 и ||Fnlli=n (
для каждого п. Поэтому, ввиду карлесоновостн рассматри- i
ваемой меры,

k	k	J

причём константа не зависит от п. Q.E.D.	|

Лемма (Гарнетт). Если существует положительное число т|, |
такое что I (zn—zn)/(Zn—'Zm) ц при n^=m (другими I
словами, если гиперболическое расстояние между различными |
точками последовательности {гп} отделено от нуля), и

Е
к

Imz Im zh

____п_____ft

I2»-2*!2
при всех п, то при всех п

п

k^n

>6>0

(*)

для некоторого подходящего S и, следовательно, {гп} — ин-
терполяционная последовательность.

Доказательство. Возьмём произвольные числа п и k,
k^n, и введём временное обозначение г = | (гп — z*)/(zn —
Zk) |. Ясно, что 0 < г < 1 и

/—1	m—0

Если г т|, то последнее выражение

оо
<(1-г2)£(1-пТ=-^г1.
/п**0

Согласно вычислениям подпункта В.Г,

1 — г2

4 Im z„ Im z.
п к
|2п-2л|2

и поэтому ввиду предыдущей оценки

I гп~гк
I гп “ Ч

_Рхп (_ 4|тгп 1тгП

ч2 J“ex4 ^zn-,kf)-

Воспользовавшись теперь условием

, получаем

п

k^n

гк

Z, ~ 2ь

71 Л

что и доказывает (*), с S = Сделано!

Этот результат в сочетании с леммой подпункта В.1° даёт
следующую теорему

Теорема. Пусть {гп} — последовательность комплексных чи-
сел из верхней полуплоскости. Условие

для некоторого д и всех п )

(*)

П	R

“ 2.

п	К

с?	।

«> Другой подход к приводимой ниже теореме изложен в книге Ни-
кольский [1980]. — Прим. ред.
эквивалентно условию

Е
k

Im z Im z,
n J

; “ I2
П к I

для некоторого К, не зависящего от п,

плюс условие равномерной гиперболической отделённости
|^=-^|>т]>0, п^т.

I zn — 2щ I

Стоит резюмировать связи между различными свойствами
последовательностей {гп} в {Im г > 0} в виде схемы, пред-
ставленной на рис. 55.

У	независимо от п

к \zn-zkiz

ЭКВИВАЛЕНТНО ТОМУ, что

2 1т21,^СЛдля любого квадрата
z*eSh

H/,=[xB,xo+h]x(O,h)

ЭКВИВАЛЕНТНО ТОМУ, ЧТО
{z$ -интерполяционная
последовательность B{Imz>0}

Рис. 55

Е.	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОГРАНИЧЕННЫМИ ГАРМОНИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ. ТЕОРЕМА ГАРНЕТТА

Для того чтобы установить следующий результат, нам по-
надобится рассмотреть усреднение выражения (zbai±a2±
а3 ±... ±аы)2 по всем возможным выборам знаков „+“ и
„—" (всего имеется 2ЛГ возможностей).
Это среднее значение равно попросту aj + + of + ... + a2Nt
так как все величины 2{±ak)(±ai), k ф I, возникающие
при возведении в квадрат, обращаются в нуль после усред-
нения.

Теорема Гарнетта (са. 1970). Пусть 1тгя>0. Предположим,
что для любой ограниченной последовательности {ся} суще-
ствует функция U, ограниченная и гармоническая (не обя-
зательно аналитическая!) в {Imz>0}, такая что U(zn)=cn.
Тогда {zn} — интерполяционная последовательность для
{Imz > 0).

Доказательство (Варопулос, са. 1972). Если последо-
вательности {U(zn)} заполняют всё пространство /°°(N), ко-
гда U пробегает пространство ограниченных гармонических
функций, то рассуждения, использованные при доказатель-
стве леммы подпункта А.Г, показывают, что существует чи-
сло К, такое что для любой последовательности {ся}, | сп |	1

существует гармоническая функция U, для которой
| t/(z) | К, Im z > 0, и U(z„) сп. В случае когда {ся} —
вещественная последовательность, это утверждение справед-
ливо для вещественнозначных гармонических функций U,
ибо если U — (комплекснозначная) гармоническая функция,
то гармонической является и функция Re U.

Для заданного числа п положим

( 0, k =£ п,
с* = {1, k = n,

и возьмем вещественнозначную гармоническую функцию U,
такую что |t/(z)|^K в {Imz>0} и U(zk) = ck. Тогда
функция U(z)+K гармонична и ^0в {Imz>0}, U(zn) +
К = К + 1 и U(zk) К. = К при k ¥= п. Из теоремы Гарнака
вытекает теперь, что

К+1	+ К l+|K-zft)/(z„-zfe)|

к и(гк) + к i-| (*я-* **)/(*„ Л'

откуда видно, что
— Zb	1

 ++ >й+т,	-	<+>

Эквивалентности, установленные в пункте D, показывают,
что если бы мы смогли доказать, что

2} Imzfc<CA

**eS* >

9 Зак 887
для всех квадратов S* вида [хо, хо + Л]X(О, Л), то всё было
бы сделано, благодаря неравенству (+).

Прежде всего заметим, что

П	-ОО П	;

для всякой последовательности {ап} из P(N). Действительно,
можно найти числа {сп}, |сп|=1, такие что Slanl —
п

— S апсп> и построить гармоническую функцию U в{1ш z>0},
п

Рис. 56

такую что | t/(z) | К и U(zn) = cn. В силу результатов гла*
вы VI,

— оо

причём | U(t) | К п. в., и поэтому

(гп} = - 5 (X |г" — <"2 '1^(0^,
п	п	п	-оо \ п	/

что по абсолютной величине

ап Im г»
I z„ - f|2

dt.

Пусть zn = Xn+ iyn, и пусть Sh — произвольный квадрат -
co стороной длины h, основание I которого лежит на R
(рис. 56). Нам нужно показать, что

где константа С не зависит ни от h, ни от положения интер*
вала / на R.
Пусть число М столь велико, что

К С ds	1

л j	s2 + 1	4 •

(М-1)/2

Зафиксируем это число М раз и навсегда. Для всякого ин-
тервала /, являющегося основанием квадрата S, мы можем
рассмотреть интервал Iм на R с той же серединой, но в Л1
раз длинее (см. рисунок).

Если zn е Sh, то наш выбор числа М даёт

К f Im zn л, 1 t 1 _ 1

Т ) |Zft_d2^<-4+T-T’

как легко проверить, выполнив замену переменной (/ —
Xn)/yn = S.

Идея Варопулоса состоит в том, чтобы для оценки
величины У, уп использовать неравенство (§) с Лп=±уп>
---:	гпеЗл
если z„eSA, и ап = 0 в противном случае, а затем
произвести усреднение по всем возможным выборам
знаков плюс и минус!

По техническим причинам мы ещё ограничим область изме-
нения п значениями 1,2, ..., N, где N — некоторое (произ-
вольно большое) число. Наши оценки не будут зависеть
от N, и поэтому в конце мы сможем устремить N к бесконеч-
ности. Таким образом, в дальнейшем во всех суммах п про-
бегает значения от 1 до N, но это ограничение не будет явно
указываться. Из (§) вытекает, что

2 Уп= Е ।$

гпе5Л гпе5Л

Е±Уп

1«« —Л2

гп^Ь

dt.

Как мы только что видели, наш выбор числа М гарантирует,
что выражение в правой части неравенства

Е±Уп л, t V*	С	л

^tvdt+ L — J
Вычитая -- У*д уп и умножая на 2, получаем

dt.

,М znesk

ПУСТЬ # ОБОЗНАЧАЕТ ОПЕРАЦИЮ УСРЕДНЕ-
НИЯ ПО ВСЕМ ВОЗМОЖНЫМ ВЫБОРАМ ЗНАКОВ
ПЛЮС И МИНУС.

Тогда

»neSA	«г»е5Л	/M znsSh

В силу неравенства Шварца выражение справа

Квадрат среднего значения не превосходит среднего значе-
ния квадрата, поэтому последнее выражение

(мы воспользовались замечанием, сделанным в начале этого
пункта). Нр

.	„4	00 И4	°°	J

Г	л	С	л/	С

J |Zn-i|4	dt	J |z„-f|4	dt	—Уп	J	($2 +	!)2 — сУп>

— oo	— oo

где с — абсолютная константа, значение которой, однако, нас
здесь не волнует.

Подставляя это в предыдущее выражение и возвращаясь
к началу цепочки неравенств, мы видим, что

£ Уп^^Гл/мк-с £ уп.

.гл*зк	V глв5л
Как было оговорено выше, суммирование здесь на самом деле
производится при 1 п N и, следовательно, сумма заве-
домо является конечной. После возведения в квадрат и взаим-
ных сокращений получаем

4К2Мс

Коэффициент справа не зависит от N, поэтому, устремляя
теперь W к бесконечности, заключаем, что

X

Уп<

4К2МС
л2

Поскольку условие (f) также выполнено, теорема пол-
ностью доказана.

Задача 9. Обозначим в этой задаче через подпространство
пространства Н°°, состоящее из функций, непрерывных в
{Im z 0} и стремящихся к нулю при z —»<х> в замкнутой
верхней полуплоскости. Символ со обозначает, как обычно,
подпространство пространства /°°, состоящее из последова-
тельностей, стремящихся к нулю.

Пусть Im гп > 0 и zn > оо. Докажите, что

. . а) если для каждой последовательности {уп}ес0 суще-
ствует функция Ф е такая что Ф (zn) = уп, то {zn} — ин-

терполяционная последовательность;

* Ь) если последовательность {zn} является интерполяцион-
ной, то для всякой последовательности {ул} е с0 существует
функция Ф е ^о, такая что Ф (zn) — уп.

(НАМЕК. Покажите сначала, что можно построить функ-
цию ф е «$/0, такую что НфЦ^С К sup | ук | и | ф (z„) — у„ К
k

^4-sup | Yj |. Примите во внимание свойства непрерывности
2 к

произведения Бляшке с нулями {z*}.)
Глава X

Функции ограниченной средней осцилляции

На протяжении всей этой главы мы будем рассматривать
случай круга {|z|<: 1}. Аналогичные результаты (с анало-
гичными доказательствами) справедливы и для полуплоско-
сти {Im z > 0}.

Как мы видели в главе VII, сопряжённым с простран-
ством №(0)={zf(z)	является пространство

В конце шестидесятых годов Ч. Фефферман заметил, что
сопряжённое с Re И1 (0) может быть реализовано как настоя-
щее пространство функций, а не как факторпространство.
Функции из этого пространства выделяются простым геомет-
рическим условием, а именно ограниченностью средней осцил-
ляции. Это условие появилось за несколько лет до того в до-
вольно далёких отсюда исследованиях Джона ° и Нирен-
берга по дифференциальным уравнениям, и то, что оно воз-
никает при изучении пространств Нр, было довольно неожи-
данным.

А. ПРОСТРАНСТВО, СОПРЯЖЁННОЕ С ReH'(O)

1° Одно тождество

Если ф есть 2л-периодическая функция класса L°°, то, как
мы знаем из пункта Е главы I, гармонически сопряжённая
с ней функция

-я

определена п. в. и принадлежит пространству L2(—я, я).
В действительности, как мы видели в главе V, $eLp(—
при всех р <. оо (и даже более того!).

«= Йона — Прим, реек
Лемма. Пусть ф— 2л-периодическая функция класса L°°. То-
гда для всякой функции f е Н1 (0) предел

lim U(0)Ref(re,0)d0

Г->1 J

-я
существует и равен

— $Ф(0)1т/(е'9Ж

-Я

Доказательство. Мы можем предполагать, что функ-
ция ф вещественна, общий случай легко следует отсюда.

Так как ф-НфеЯ2 (см., например, пункт Е главы I),
то при f е И1 (0) и г < 1 функция

(Ф(0) + »Ф(0))/(Г^в)

заведомо принадлежит классу Я1 (0), поэтому по теореме
Коши

j (ф (0) + /ф (0)) f (re16) de = 0.
-я

Переходя к мнимым частям, находим, что

J Ф (0) Re f (re16) d0 *= - J Ф (0) Im f (re*6) de.

-Л	- я

Так как f e Я1, то

$|f(re'0) —f(e/0)|d0->O при г->1,
-Я

согласно пункту В главы II. (Мы очерёдной раз используем
теорему братьев Рисе!) Поскольку фе£°°, отсюда вытекает,
что

j ф (0) Im f (re16) d0-> j ф (0) Im f (ei6) de
-Я	-Л

при r-> 1. Лемма доказана.

2° Вещественные линейные функционалы на Я'(0)

Теорема. Всякий вещественный линейный функционал L на
Я1 (0) может быть записан в виде

Lf = lim J (ф (0) + ф (0)) Re f (re'0) de, f <= Я1 (0),

где ф и ф — вещественные 2л-периодические функции из
Обратно, если ф и ф— вещественные 2л-периодические
функции из L°°, то предел в правой части равенства суще-
ствует при всех f е Н1 (0) и определяет вещественный линей-
ный функционал на Н1 (0).

Доказательство. Обратное утверждение непосредствен-
но вытекает из предшествующей леммы и теоремы пункта В
главы II, используемой при её доказательстве.

Установим теперь прямое утверждение. Пусть L — веще-
ственный линейный функционал на №(0). Тогда при fe
Я*(0)

Lf = ReAf

для некоторого комплексного линейного функционала Л на
Я'(0) (теорема Боненблюста — Собчика). Согласно резуль-
татам главы VII, функционал Л можно отождествить с неко-
торым элементом факторпространства	Таким обра-

зом, существует ограниченная 2л-периодическая функция
ф-|-1ф (где ф и ф — вещественные функции), такая что

л

Af = J (ф (0) + /ф (0)) f (е16) de,
-л

Переходя к вещественным частям, получаем

Lf = (ф (0) Re f (е,е) — ф (0) Im f (е,е))	,

-л

Ввиду леммы и уже использовавшейся теоремы пункта В
главы II это равно

lim (ф (6) + ф (0)) Re f de.

Сделано!

Схолия. Существует только одна функция f е Н1 (0) с задан-
ной вещественной частью Re f. Следовательно, мы можем рас-
сматривать Re/PfO) как вещественное банахово простран-
ство с нормой

II Re f||=Ilf Hi, fe№(0).

Всякому линейному функционалу на Re№(0) соответствует
вещественный линейный функционал на № (0), и обратно.
По доказанной теореме (вещественное) пространство, со-
пряжённое с Re/7*(0), можно отождествить с множеством
сумм Re L°° + Re L°°. Когда такая сумма <р + ф соответствует
нулевому функционалу на Re Н1 (0)? Другими словами, когда

lim $(q>(0) + $(0))Ref(re“»)cra==O
-л

при всех fe№(0)? Положив сначала f(z) — zn, а затем
f (z) = iz", п — 1, 2, 3, ... , мы видим, что

Sinn0)d0 = O, п = 1,2,3.......

cos п0 )

и, таким образом, <р + ф = const. Обратное утверждение
тоже, очевидно, верно. Итак:

Пространство, сопряжённое с Re /Р (0), —
это Re L” 4~ Re Ь” по модулю постоянных

функций.

п

$(ф(0)+ф(0))

-л

В. ВВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ВМО

Функция, которая может быть записана в виде ф + ф,
где ф. и ф — вещественные 2л-периодические ограниченные
функции, очевидно, может быть записана так не единствен-
ным образом. Поэтому было бы важным получить внутрен-
нюю характеризацию таких сумм, и такая характеризация
была найдена Фефферманом.

1° Определение пространства ВМО

Обозначение. Для всякой локально-суммируемой функции G
и произвольного интервала I мы будем впредь использовать
обозначение __________________________

Gf = 14г J G (0М0.

Gi — это среднее значение функции G на интервале I.
Определение. Говорят, что локально-суммируемая 2л-перио-
дическая функция G является функцией ограниченной сред-
' ней осцилляции (запись: G е ВМО), если

-р-р $ | G (0) — G] | dQ некоторой конечной константе

для всех интервалов I с: R.

Для G е ВМО мы будем использовать обозначение

IIG ||, = sup-p-j-$ | G (9) — G; | d0,

где sup берётся по всем интервалам /.

Комментарий. Чудовищно обозначать пространство функ-
ций тремя буквами (ВМО), но использование этого обозна-
чения стало теперь стандартным!

Замечание 1. Если С — константа, то ||С||. = 0 и
||G — С||* = ||G||, для Ge ВМО. Это очевидно из опреде-
ления.

Замечание 2. Если G — локально-суммируемая функция
периода 2л (а в этой главе систематически только такие
функции и рассматриваются), то,

для того чтобы заключить, что || G ||, < оо,
достаточно проверить, что числа

-щ- J|G(0)-GJdG

ограничены сверху для всех интервалов I,
длина которых не превосходит произволь-
ного заданного числа I > 0.

Доказательство этого утверждения, важного для прило-
жений, предоставляется читателю в качестве упражнения.

Замечание 3. При изучении пространства, сопряжённого
с Re Я1 ({Im г > 0}), приходится рассматривать непериоди-
ческие функции ограниченной средней осцилляции. Их опре-

ВМО — это сокращение английского термина “bounded mean oscilla-
tion”. — Прим. ред.
деление формально такое же, как и данное выше^для перио-
дического случая. Однако в непериодическом случае заме-
чание 2 уже, конечно, неприменимо.

2° Если <р и ф — ограниченные функции, то функция
<р + ф принадлежит пространству ВМО

Лемма. Пусть / — произвольный интервал. Тогда для лю-
бой константы С

щ (| G (0 - G,\dt C-jlj- J | G(t)— C\dt.
i	/

Доказательство. G(0—Gi = (G(t)— C) — (Gi — C). Ho
| Gy — C |	-p-j- $ | G (t) — C | dt, и, таким образом,

T]TJ|G(O-G/|d/<-f|TJ|G(O-C|d/ + |G/-C|<
<-р|-$Ю(0-С|Л.
Всё.
Первая связь между результатом пункта А и простран-
ством ВМО устанавливается следующей теоремой:

Теорема. Пусть G = <р + ф, где <р, ф — ограниченные 2л-пе-
риодические функции. Тогда G е ВМО.

Т	' Ф ....д>г	s

I J I
V---------- --------

J'
Рис. 57

Доказательство. Очевидно, что llq>||»^2]|<р||<х>, поэтому
достаточно проверить, что ||ф||.< оо. Ввиду замечания 2 из
подпункта Г достаточно показать, что

для всякого интервала J длины .
Мы установим это, применяя типичную „ВМО-технику",
хотя в данном случае и элементарную. Для данного интер-
2л

вала J длины, не превосходящей обозначим через /' ин-
тервал с тем же центром, но втрое большей длины (рис. 57).
Положим

Ф1(0 = *

при t е (J (/' + 2лп),
п = — ОО

в противном случае,

о

ф2(0=Ч>(0 —

(см. рис. 58). Так как ф = ф1 + ф2, Фу=(Ф1)у +(^2) у,'то

+ -|7|-(|Ч'2(О + (^2)у|^-

По лемме

1 f ~	~	9 Г ~

Т7|- J I ti (0 - (ФО/ \dt <-j7|- J I ti (О Idt.

Для оценки правой части воспользуемся неравенством Гиль-
берта. Имеем
/ ” \|/2

$|^(01^<(|/| $1Ф1(0М) .
/	\ -я	/

В силу неравенства Гильберта (часть теоремы подпункта Е.4°
,	2л	.1/2

главы I), это не превосходит 11J | ( | (/) |2d/1 . Так как на
\ oJ	/

интервале [0, 2л] функции ф1 обращается в нуль вне неко-
торого множества меры |/J = 3|J|, то последнее выражение
<(|/|-3|J|-||i|)t)l/2 = V3|J|.H||oo и, значит, 4

-[7Т S1 (/) “IЛ < 2 V3 Н Н«.

Перейдем теперь к оценке выражения-р-р if2(/) —
j

В силу леммы оно

<]7Т $1^2(0 —с |Л.

Здесь мы выберем константу с равной (гп) (где m — сере-
дина интервала /). Не умаляя общности, мы можем предпо-
лагать, что / =(— а, а), 0 < а л/3. Тогда /п=0, с=ф2(0)
и в [—л, л] функция ф2 обращается в нуль на J'—[—За, За].
Следовательно,

с = ф2(0) = —

-L	(	-^-dt

2 л	J	igW2)

За < | f | < л

Таким образом, нам надо оценить выражение
а

liT J "2я J (tg ((0 - <)/2) + tg (f/2)) ♦ W dt dQ-

-а За<|*|<я

Ясно, что оно оценивается сверху величиной

WL С С I 1		« I

4ла ) J |tg((e-o/2)"r tg(//2) Г1аа'

-а2а<| t |<я

Это вычисление было бы проще, если бы мы имели дело
с гармонически сопряжёнными функциями в верхней полу-
плоскости. Как бы там ни было, в рассматриваемом случае
мы имеем

1	, I 1 + tg 2" *е Т ,	1	_

+lg|-

. о , t
toy «ее» у

toyftoy-to y)
откуда при— а	0 а

2а<|*| <я

____!____+ _J_
tg ((0-0/2)^ .t

g 2

dt

f rftg4
J ~ГГ* . * , 0
2а < Н | < л	2 "" 2^2

dx

T2

tg а

tga ’

и наконец,

1 Г -	~	9 Г ~

РТ J I Фг(б) - (Фг), I de < Щ J | ф2 (0) - c Id0
j	I

л	a

1 Г -	-	4||ф|| f 0 1	4

=1 Jl^(9)-t2(O)|d0<-^ J tgyp0<-HL.
-a	-a

Учитывая предыдущую оценку для -щ- $ I ifo (0) — (ф()/ |d0,
мы заключаем, что

щ JI ♦(/) - ♦/1	(2 V3 +1) II t Ноо»

1 J
2л
если 11К -5-. Сделано!
о

Замечание. Проведенное выше вычисление вместе с ут-
верждением из замечания 2 подпункта 1° (тем самым, до-
казать которое было предоставлено читателю!) показывают,
что

11ф + Н<Я(11ф11« + 11Ф11«)

для 2л-периодических функций ф и ф, где К — абсолютная
константа.

С. НОРМА ГАРСИА

Гарсиа заметил, что на классе ВМО имеется другая нор-
ма, с которой легче работать.

Если ф — локально-интегрируемая 2л-периодическая функ-
ция, то при |z| < 1 положим

Л

t/ф (2?) = -7^ $ |	* |2 Ф (0
1/ф — это гармоническое продолжение функции <р в круг
{И < 1}.

1° Определение нормы 9t(<p)

Лемма. Пусть |z|< 1. Тогда
^(3)-(^(z))2
Л л

=	5 S (<₽~ф(S))2 |z|2 * |г-У I4 dtdS'

— Л —л

Доказательство. Раскрываем скобки в подынтеграль-
ном выражении.

Определение. Для всякой вещественнозначной 2л-периодиче-
ской функции <р положим

9?(Ф)= sup
|г|<1

Будем называть 91 (<р) нормой Гарсиа функции ф. Это дей-
ствительно норма:

Лемма. 91 (а<р) = | cz | SQ (tp) для любой вещественной констан-
ты а, и 91 (ф + Ф)	9Цф) + ЭЦф).

Доказательство. Первое соотношение очевидно. Второе
следует из предыдущей леммы и неравенства треугольника
для нормы в гильбертовом пространстве, ибо ввиду этой
леммы при каждом фиксированном z функционал (£/<₽> (г) —-
— (£7Ф (z))2)l/2 может рассматриваться как норма функции
ф(э)—ф(/) в гильбертовом пространстве /Лфункций на
[[—л, л]Х[—л, л] относительно некоторой положительной
меры на этом квадрате.

2°. Два простых неравенства для Я(ф)

Оказывается, что норма 91 эквивалентна введенной в
пункте В норме || • II, на пространстве ВМО.

Пока мы только заметим, насколько легче работать с 91,
чем с || «||..

Теорема. Если ф и ф— вещественные 2л-периодические огра-
ниченные функции, то

Я(ф + ф)<72(||ф||м + ||Ф11оо).

Доказательство. Как легко видеть (например, из пер-
вой леммы подпункта Г),

91 (Ф) < V21| ф IU.
Далее, элементарное тождество (-ф -Нф)2 = ф2— ф2 + 2/фф
позволяет заключить, что функция (U^(z))2— (U$(z))2 гар-
монична в круге {|z| < 1}. Поскольку ф + /ф е Нр при всех
р < оо (гл. V), то гармоническая функция (U^(z))2 —
(£/$ (z))2 может быть восстановлена по своим граничным
значениям ф2 — ф2 с помощью формулы Пуассона, т. е.

(z))2 - (I/* (z))2 - U^, (z) = U* (г) - U* (z).

Таким образом, мы получаем тождество

U^(Z) -(^(Z))2 = t/^(Z) -(^(z))2.

Отсюда видно, что 91 (ф) = 91 (ф) I Стало быть, Э? (ф) = 91(ф)

И'Ф Но»ввиду утверждения, установленного в начале до-
казательства. Комбинируя последнее неравенство с этим ут-
верждением, завершаем доказательство.

Неравенство 91(<р)^ const |]<р||# будет доказано в пункте F;
оно является следствием довольно тонких результатов Джона
и Ниренберга — первооткрывателей пространства ВМО. Про-
тивоположное неравенство, однако, совсем элементарйо.

Теорема. Если ср — вещественная 2л-периодическая функция,
то

11ФН.<КЯ (Ф),
где константа К не зависит от ф.

Доказательство. Для произвольного интервала 7, в
силу неравенства Шварца,

-|7j- $ IФ (0 — Ф/1 dt < (ру j (ф (0 — ф;)2^1^

= ( 2177 $ $ (Ф (0 — Ф («))2 dt ds^12

(последнее равенство становится очевидным после раскры-
тия скобок в подынтегральных выражениях).

Предположим, что 111	2л. Можно считать, что 1 =

i= [—а, а], 0 < а л. Воспользуемся формулой

= ‘8яг 5 $(ф(5)-ф(0)2 i4-r2 —2rCoss ’ 1-|-г2 — 2r cos { dsdt,

-я-п
взяв в ней

«	. а

Г = 1 — Sin у .

Для этого значения г и —	имеем

1-г2	=	(1 + г) (1 — г) >	1	> 2

1	+ г2 — 2r cos t .. ч, . . . 9 t е . а 5а *
(1 —г)2 + 4r sin2-75- 5sin —
Л	й

и, таким образом,

^(/•)-(^(r))2>TO- $ $(ф(«)-ф(0)2^

-а -а

= ("бл”) ’ 21 / р $ § (ф (s)— Ф (О)2 ds dt.

Сравнивая это с неравенствами, полученными в начале
доказательства, мы видим, что

щ $ 1ф(0-Ф/|Л<-у-Жф)

при | /1	2л.

Пусть, наконец, п — натуральное число, для которого
2лп < |/|^2л(п+1), и пусть' / zd I—интервал длины
2л (п + 0- Тогда

-|7у IФ(0 “ Фу1dt <	рт $ IФ (0 — фу\dt

< -рт $1 фЮ “ ф/

2п

Но, ввиду 2л-периодичности функции ф, <р, = с =	$ <p (s) ds

о

и

177 $1ф(0 — Ф/1^ = ^г $1ф(0 — c\dt.
J	-я

В силу уже доказанного правая часть этого равенства

Таким образом, по лемме подпункта В.2°

17у § IФ (0 *“ фу1 dt	рт^ IФ (0 “ Ф/1 dt

- < рт S1 ф (/) ” ф'1 dt с 1 Оя$п (ф) •
Мы доказали, что ||ф||»^ ЮлЭЦф) (и между делом почти
полностью решили за читателя упражнение, которое было
предложено ему в подпункте В.Г (замечание 2), если только
он (или она) его уже не выполнил!). Всё сделано.

Замечание. Взятые вместе две последние теоремы дают
другое доказательство неравенства Иф 4-фИ»^ С(||ф||оо+
Halloo), уже доказанного в пункте В. Однако метод разбие-
ния, использованный в доказательстве, данном в пункте В,
является важным техническим приёмом, часто применяемым
при изучении пространства ВМО. Именно поэтому мы и пред-
почли дать то доказательство.

Наша деятельность в следующих двух пунктах осно-	
вана на непосредственном использовании нормы Гар-	
сиа У?. К первоначальной норме ||  ||, в	пространстве
ВМО мы вернёмся в пункте F.	
	

D. НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ
НА ФОРМУЛЕ ГРИНА

1° Некоторые тождества

Лемма. Пусть W— функция класса Ч?2 в {|z|^ 1}, причём

W (0) = 0. Тогда	__.

W(e*)dQ= П (log-ITT) ^w^dxdy-

-я	{|г|<1)

Обозначение. Как обычно,
Д1Г==±^ + ^..
дх2 ду2

Доказательство леммы. Положив z = ге‘в и зафикси-
ровав р, 0 < р < 1, получаем по формуле Грина
[(log 1) AF - Wlogy]dxdy

Р<Г<1	Р<Г<1

2л
_S[10gl	О

о
2л
Поскольку W (0) = 0, то W (ре'9 = О (р) и, следовательно,
второй интеграл в правой части стремится к нулю при р->0.

2Л

Первый интеграл в правой части равен просто $ W (ete) сЮ.
о

Утверждение леммы получается теперь предельным перехо-
дом при р -► 0.

Лемма. Пусть lF(z) = |z| W'i(z)’, где IFi — дважды непрерыв-
но дифференцируемая функция в {|z|^l}. Тогда

Л

JlF(e<e)d9 = JJ [\og^r)^{z)dxdy.

-Л

Доказательство точно такое же, как в предыдущей
лемме.

Обозначение. Введём (часто используемый физиками)
вектор-оператор

7 = 1-4-1 —
v ! дх J ду ’

где 1 и j — единичные векторы в направлении осей х и у
соответственно. Мы будем употреблять символ  для
обозначения скалярного произведения двумерных век-
торов.

Теорема. Пусть и и v — гармонические функции в {|z| < R},
где R > 1, причём м(0) = 0. Тогда

Доказательство. Функция W — uv удовлетворяет усло-
вию первой из предшествующих лемм. Следовательно, инте-
грал слева равен	,, -

Однако

Д(«и)='(Ди)о + «До + 2V«-Vv = 2Vu- Vo,
так как Ди = Ди s 0 (гармоничность). Вот и всё.
2° Стейновское представление Я'-нормы
в виде двойного интеграла

Лемма» Пусть f—аналитическая функция в круге {|z| </?},
R > 0, которая обращается в нуль только в начале коорди-
нат. Тогда |/1 принадлежит классу в {0 < |z| < /?} и

А|/| = У.*е{^к.е?, 0<|z|</?.

(Этот результат принадлежит Стейну (Р. Stein [не
Е. М. Stein!]), са. 1933.)

Доказательство. Положив f = и + iv, где и и о — веще-
ственные гармонические в {|zf< Я} функции, мы видим, что
функция |f | — (и2	v2)'h принадлежит классу всюду, кро-

ме начала координат, ибо и2 + о2 0, если только мы не в
начале координат.

Нетрудно проверить, что

31/1 : дх  з2|/1	uux + vvx	*   UUXX + ™>ХХ	(иих + vvx)2
	(и2 + а2)1/2 +		
дх2	(а2 + и2)1/2	1 (и2 4- о2)1/2	(и2 + V2)312
Аналогично			
з2!/1	_ иу+4	ииуу + туу__	(ииу + voy)2
ду2	(и2 + о2)1/2	(и2 + о2)1/2	(u2 + v2)3/2
Поскольку их	= О». иу = -	—vx,~to	
(uux + vvx)2 + (uuy		+ t4Q2=(“2 +	»’) (“5+“’,)•

Это соотношение вместе с равенствами +	=	+

vyv — 0 Даёт

32|f| . 32|f| _ и2х + и2
дх2 ду2 (й2 + о2)'^2

вне начала координат, что и доказывает лемму.

Теорема. Пусть f—аналитическая функция в круге {|z| <
/?}, где Я > 1. Предположим, что у f есть простой нуль в на-
чале координат и нет никаких других нулей в {|z| </?},
Тогда

[|/(.»)|Л= $5 (1°е4т) TRi7('J|Be'

“Я	l|z|<l)
Доказательство. Применим вторую лемму из подпунк-
та Г, с №(z) = |f(z) | = |z| • |f(z)/z|. Функция f(z)/z не об-
ращается в нуль в круге (|z| <Z R} и аналитична в нём; по-
этому, как было установлено при доказательстве предыду-
щей леммы, функция |f(z)/z| принадлежит классу в”30 в
{|г|< R}, и тождество, установленное в предыдущей лемме,
дает нам нужный результат.

3° Различные способы выражения того факта,
что F порождает линейный функционал на ReZf'fO)

Вернёмся теперь к задаче отыскания внутренней характе-
ризации функций вида <р 4~ ф, где ф и ф — вещественные
2л-периодические измеримые ограниченные функции. Мы уже
знаем из подпункта С.2°, что если F = (p4-ip, то 91(F) < оо,
а теперь отправляемся в путь за доказательством того, что
если 91(F) <оо, то функция F МОЖЕТ быть представлена
в виде суммы ф + ф, где <р и ф — вещественные ограничен-
ные 2л-периодические функции. Согласно теореме пункта А,
это будет ДОКАЗАНО, если нам удастся показать, что
предел

lim (Ref(Re'e)F(0)d0
«->> i

существует при всех (0) и определяет ЛИНЕЙНЫЙ
(НЕПРЕРЫВНЫЙ) ФУНКЦИОНАЛ на Re#'(O) при
91(F) < оо.

Для этого мы проделаем ряд последовательных редукций
нашей задачи.

Лемма. Предел

Л

lim ( Re f (Re‘e) F (0) </0

существует и определяет линейный функционал на РеЯЦО),
если существует константа С, такая что для всякой функции
и для всякого числа R, O<R<1, справедливо

неравенство

Ref(Rei0)F(e«)d0 ССЦ/И,.
Доказательство. Пусть fe#l(0) и в>0. По суще-
ству в силу теоремы братьев Рисе (гл. II, п. В), существует
такое R <. 1, что

Jlf(e'9)-f(R'ei0)|d0<8
Л

при R < R' < 1. Пусть R < Ri < /?2 < 1. Тогда если R' =
R1/R2, то /?</?'< 1. Поэтому если g(z) = f(z)— f(R'z), то
g^H'(Q) и llglh < в. Следовательно, если справедливо не-
равенство из условия леммы, то

Reg(R2ei9)F(0)d0 <Св,

т. е.

J Re f (R2ete) F (0) dQ - J Re f (R^16) F (0) dQ < Cz

при R < Ri < R2 < 1. Отсюда следует, что нужный предел
существует; ясно, что по абсолютной величине он ^С||/||ь
Q. Е. D.

Лемма. Пусть F е L1 (—л, л). Тогда предел

Я

lim ( Ref(Re,9)F(Q)dQ

R-»l J

существует при всех f е Я1 (0) и определяет линейный функ-
ционал на Re/f'(0), если существует константа С, такая что
для любых R, р < 1 и для всех f е Н1 (0)

Л

Ref (Re/9)t/j,(pet0)d0 CCHflb.

я

Доказательство. Если R <. 1, то функция f(Re,0J
непрерывна; следовательно, поскольку (гл. I!)

J| UF(pete) -F(0) |d0-*O

-я /

при р-»-1, то при R <Z 1

{ Re f (Re(e) F (0) dQ = lim ( Re f (Re'0) UP (pe«) dQ.

Наш результат следует теперь из предыдущей леммы.
Лемма. Пусть Fel'f-n.n). Для того чтобы доказать, что
предел

я

lim ( Ref(Re*0)F(e)d0

R-*l J

существует при всех f е Н1 (0) и определяет линейный функ-
ционал на Re№(0), достаточно показать, что существует
константа С, такая что при всех R < 1 и р < 1

Ref(№)Up(pe")dQ <C||f||b

-л

для всякой функции /€=#‘(0), которая имеет простой нуль
в начале координат и не имеет никаких других нулей в
{|^|< 1}.

Доказательство. Воспользуемся одним приёмом, кото-
рый уже применялся в главе IV. Пусть fe//'(0). Тогда мы
можем представить f в виде f(z) — zB(z)g(z), где В — про-
изведение Бляшке, g не имеет нулей в {|z|< 1} и llglh —
Hflli. Положим

fi(z) = yz(B(z) — l)g(z),
f2(z) = ±z(B(z)+l)g(z).

Каждая из функций fi, f2 имеет простой нуль в начале коор-
динат и не имеет других нулей в единичном круге. Но, оче-
видно, f = fi + f2, следовательно, если неравенство из фор-
мулировки леммы справедливо при указанных там условиях,
то

2

л

Л

J Re f (Re*0) UP (pe*0) dQ < £ J Re fk (Re*0) UP (pe*0) rfO <

fe<=l

-Л

-Л

<C(|| All, + ||f2||1)<2C||f||b

ибо llfilh Hflli, llfalli llflh. Наш результат вытекает те-
перь из предыдущей леммы.

Из последней леммы в сочетании с теоремой подпункта
Г следует

Теорема. Пусть Ге£*(—л, л). Для того чтобы доказать, что
предел

Л

lim ( Ref(Re*0)F(0)d0
существует при всех	и определяет линейный функ-

ционал на Re//'(О), достаточно показать, что существует
константа С, такая что для всякой функции f^H1 (0), имею-
щей простой нуль в начале координат и не имеющей других
нулей в {|z|< 1}, и для всех R, р < 1

И

{| г КП

(Vu • Vo) dxdy

< СII fill,

где и (z) — Re f (Rz), v (z) = uF (pz).

E. ТЕОРЕМА ФЕФФЕРМАНА С НОРМОЙ ГАРСИА

Продолжим, отправляясь от несколько нескладной тео-
ремы подпункта D.3°. Согласно этому результату и теореме
пункта А, если нам дана 2л-периодическая функция F, для
которой 91 (F) < оо, то мы сможем заключить, что F е Re L00-^
ReL°°, как только докажем, что существует числовая кон-
станта К, такая что

при любых R < 1 и р < 1

(Vu-Vv)dxdy </< Ilf Ik 91(F),

{| г КО

где «(z) = Ref(Rz), »(z) = (/F(pz),

для всякой функции f из Я‘(0), имеющей простой нуль в на-
чале координат и не имеющей других нулей в {|z|< 1}.

Этот пункт — сердцевина всей главы — целиком посвящён
доказательству заключённого в рамку неравенства.

Мы продолжаем придерживаться обозначений
и (z) =~Re f (Rz) и v (z) = UF (pz), где f&H'jO), a R,
p — произвольные положительные числа <1.

Г. Использование неравенства Шварца

Мы рассматриваем случай, когда функция f из №(0)
имеет простой нуль в начале координат и не имеет других
нулей в единичном круге. Фефферману принадлежит идея
применить неравенство Шварца к выражению в левой части
неравенства в рамке, с тем чтобы воспользоваться теоремой
подпункта D.2.
А именно, мы имеем

(V« • Vu) dxdy

( 5 $ (log ।z।) Л<Лпdxdy}

Xf log-jyr(Vy • Vu)\f(Rz)\dxdy
\{|z|<l}

Таким образом, мы ввели множитель |f(/?z)|, которого во-
обще не было!

Поскольку u(z)= Ref(Rz), a f удовлетворяет нашим
условиям, теорема подпункта D.20 утверждает, что

Л

{|г|<0	-л

поэтому наше неравенство, обведённое рамкой, будет дока-
зано, коль скоро мы установим, что

log Д- (V® • W) | f (Rz) \dxdy^K\\f lb (91 (F))2,	(•)

I л I

{I 2 KO

для всех f e Я1 (0) вышеупомянутого вида и некоторой чис-
ловой константы К.

2°. Одна мера, о которой будет доказано,
что она карлесонова

В подпункте Г ограничение на функцию f е Н1 (0), за-
ключающееся в том, что она должна иметь простой нуль
в начале координат и не иметь никаких других нулей в еди-
ничном круге, было наложено ввиду требований из теоремы
подпункта D.20. По той же причине нам понадобилась
и третья лемма подпункта D.3°.

Теперь, однако, нет никаких препятствий к доказатель-
ству неравенства (*) для всех функций /е//'(0). Заметим,
что при feH'(O) функция g(z) = f(Rz)/z лежит в простран-
стве №, и ясно, что ||g||i IlfHi. Следовательно, достаточно
показать, что

JS l*l10gT7T(Vv‘Vt’),g(z) lrf*^<WF))2||g|h

для всех функций g е Н1 и некоторой числовой константы К.
Вспомним теперь определение мер Карлесона (для еди-
ничного круга), приведённое в пункте Е главы VIII. Итак,

нам надо доказать, что

I z I log (V» • Vv)dxdy

— карлесонова мера с «константой Карлесона», крат-
ной (31(F))* 2.

Часть этой программы осуществить довольно легко.
Лемма.

Ц I г I log Дг (Vn • Vo) | g (z) I dx dy < К' (31 (F))21| g ||,
(I г 1<1/2)

для всех g е Я1 и некоторой числовой константы К'.

Доказательство. Если |г |^4-, то I z I log-Дт — и
z	I z | е

2

IЯ(z)К —IIglli- Поскольку v(z) = UF(pz) при 0 < р < 1, то
•ГС

л

(Vo)(z) = V£/F(pz)-Vt/Fl(pz), где.Fl(G)=F(Q)-J F(l)dl.

-л

Выполнив непосредственное дифференцирование в формуле
Пуассона, мы видим, что при |z|

Л

I V£7F1(pz)|<4 J IF,(Old/,

-Л

т. e.

Л

|Vt/F,(pz)[<-^- J F (0)

“Я

при|г|^у. Из доказательства
C.2° видно, что. правая часть
^20%9l(F). Отсюда следует, что

Л

-Л

второй теоремы подпункта
предыдущего неравенства

$$ 1*1 l°gT7r(Vv • Vv)lg(z)|dxdg с-^(ад)2№

{|г|<1/2}

Q.E.D.
3° Основная лемма

Теперь мы подошли к основному месту этой главы, кото*
рое состоит в том, чтобы доказать, что

$$ |z|log ^(Vo . Vo)|g(z) |dxdy(9?(F))2||gIh

{l/2C|z|<l)

для некоторой числовой константы К" и всех функций
g е Я1. Это доказательство опирается на приведённую в

пункте Е главы VIII фундаментальную теорему о мерах Кар-
лесона.

Лемма. Пусть 0 < h и Sh — произвольный криволи-
нейный прямоугольник вида 1 —	< 1, 0О < 9<%-|-/г

(рис. 59). Тогда для некоторой числовой константы С
справедливо неравенство

$$ IZ | log -A- (Vo . Vo) dxdy (F))2 • h.

sh
-----------------------------------------------—------

Доказательство. Можно считать, что 0О = —• 4 > так что
л

SA = {re* s * * В * i0:1 -	< 1, - у

В этом случае для оценки нашего интеграла мы сначала сдё-

лаем замену переменных z->£, где	Это — кон-

формное отображение круга {|z]< 1} на полуплоскость
{Imz>0}. Как обычно, мы пишем £ == |	‘
Положим V(z)=tw(£), где z и £ связаны между собой
описанным выше образом.

Имеем при у < | z | < 1

l*|log-[ir<iloe 17Г=-Ч£И-(1 + |<1-1гР>!

+ у (1 -1г IV + . )<< 2d -1 г 0.
Поскольку |г|2 = [&2 + (т| —l)2]/fc2 + 0l+l)2L то1 —|z|2=
— tF <г^4т). Таким образом,
9 ~ I \ * I ^|/

|z|log-j4|-<8TinpH 4-<|z|< 1.

Далее, пусть множеству S/, при отображении z->£ соответ-
ствует множество У. н (рис. 60). Тогда, поскольку замена

переменных является конформной, выражение

2Л
которое мы хотим оценить, равно

что не превосходит

2Л
ввиду последнего неравенства в рамке,
Поскольку	то множество S», как показы-

вают простые вычисления, содержится в квадрате
вА={м:О<П<Л}

(см. рис. 61). (В действительности очевидно без всяких вы-
числений, что при	множество SA всегда содер-

жится в Вен для некоторой числовой константы С, и чита-
тель может довольствоваться этим очевидным утверждением.

Рис. 6)

Мы берём здесь допустимое значение С= 1 исключительно
как меру борьбы с размножением числовых констант в на-
ших формулах!) Следовательно,

$$,г|	т|(®| + dldi\,

sh	Bh

и наша лемма будет доказана, если мы покажем, что выра-
жение справа К" (91 (В))2 для некоторой числовой кон-
станты К".

Применим теперь один трюк. Множество ВА целиком со-
держится в полукруге {|£| < 2h, i] > 0}, и при £ е ВА мы
имеем 1—(|^|/2Л)> 1/4. Следовательно,

^T](ay2 + ay2)dgdT)<4 Jj (1 — -^) П('^ + tw2)dgdr|.

В*	1СК2Л

п	1)>0
Сомножитель (1 — |£| /2Л)т) в подынтегральном выражении
справа обращается в нуль на границе области интегрирова-
ния; как мы сейчас увидим, это обстоятельство нам поможет.

Имеем w(t,) = v(z), если z —	. Следовательно,

функция w гармонична в {Im£>-0}. (Напомним, что всюду
в этом пункте v(z) = UP(pz), где р — фиксированное, но
произвольное положительное число <1. Напомним также,
что
Л
—л

— интеграл Пуассона функции F.) Ввиду гармоничности функ-
ции w имеет место тождество (ТРЮК1)

(Во втором издании книги Зигмунда уже содержится одно
применение этого тождества для изучения близких вопро-
сов.) Наша задача сводится, таким образом, к оценке инте-
грала

ICI < 2Л
т»0

через h и 91 (F).

В подпункте С.Г норма 91(F) была определена как -
sup (UF,(z)-(UP(z)W*.

|г|<1

Отсюда следует, что если положить Р (г) = Uг (z) — (UP (z))2
при |z] < 1, то

0<P(z)C(9l(F))2.

I__T

Далее, если г — {, то

(w (?))2 = (UF (pz))2» U? (pz) - Р (pz),

где стоящая справа функция C7F»(pz) является гармониче-
ской. Следовательно, если мы положим

f»(a=p(pz).
то получим

( д2	д2 \ ,	/ д2Ь , д2Ь X

(dg2	dt|2J“’ ~ (di2 + dr)2/’

и интеграл, который мы должны оценить, сводится к

'--2 55

где

0<6(£)<(ВД)2

д2 д2

Пусть теперь	. Применяя к только что

выписанному интегралу формулу Грина, получаем

-2 JJ S(S)At{n(l

0^*1 +

+ 2ц4(0мт _л(1
г



где Г — контур, показанный на рис. 62, а д/дп^ обозначает
частную производную по направлению внешней нормали к Г
в точке £.

Интеграл по Г отрицателен. Действительно, *1(1 —
|£|/2Л)н=0 на Г (теперь ясно, зачем мы ввели множитель
1— |^|/2Л 1); кроме того, i)(l — | £|/2/г)> О внутри Г, по-
этому, очевидно, ?	О на Г. Следовательно,

Z> (g) g	l/2/0) на г> ВВИДу неравенства, заключён-

ного в рамку, и, значит, интеграл по Г в самом деле оказы-
вается отрицательным. (Если читателю здесь трудно уследить
за знаками, то он (или она) может просто оценить интеграл

р koi -	। •


используя полярные координаты, и найти, что его значение
const h sup | b (£) | C const h (91 (F))2.)

Таким образом,



ICl<2ft
t|>0

Чтобы оценить этот интеграл, используем полярные коорди-
наты £ = сте'Ч’. Имеем

.	\ д ( д , Л . 1 д2

& а да V да	a2 dtp2

и г) (1 — | £ | /2А) = (1 — a/2ft) a sin ф, откуда легко вытекает,
что

At(T|(l-i:i/2A))= -2| Sinxp.

Подставляя в оцениваемый интеграл, получаем

Л 2ft

sinФadodq>

oJ о

Л 2ft

< | (91 (F))2 J J sin ф a da dtp = 12 (91 (F))2A.

0 0

Мы подошли к концу наших оценок. Возвращаясь к на-
чалу, находим, что

$ $ I z I log I Vo |2 dxdy < 32/ < 384 (9? (F))2 h,
sh

и лемма доказана.

Комбинируя эту лемму с теоремой о карлесоновых мерах
для единичного круга, приведённой в конце пункта Е гла-
вы VIII, мы получаем следующий результат:

Теорема. Существует число К", такое что

И IZ | log -Д (Vo • Vo)1 g (г) | gxdy < K” № (F))21| g Hi
1/2<|г|<1

для всех g e Я1.

4°. Теорема Феффермана с нормой Я

Комбинируя теорему подпункта 3° с леммой подпункта 2°,
мы видим, что существует числовая константа К, такая что

Ц	VN4£(W^<WF))2|l£lli

tel<i 11
j

s

E.	Теорема Феффермана с нормой Гарсиа.	289	t

для всех g е Н1. В частности, имеет место неравенство (*),
приведённое в конце подпункта Г. Исследование, приведён-
ное нами в 1°, показывает, что справедливо неравенство
в рамке в самом начале этого подпункта, откуда, согласно
теореме, данной в конце подпункта D.3°, вытекает, что верна
Теорема. Пусть F — вещественнозначная 2л-периодическая
функция. Если 91(F) < оо, то предел

lim ( Re f (Rei0)F (0)d0

«•*•* Л

существует для любой функции f е Я1 (0) и определяет ли-
нейный функционал на Re Я1 (0).

Схолия. Норма линейного функционала на ReЯ1(0), опреде-
лённого в формулировке теоремы, const 91(F).

Действительно, доказательства лемм подпункта D.3 по-
казывают, что норма этого функционала ^2С, где С — кон-
станта, фигурирующая в формулировке теоремы подпунк-
та D.3.- Обведённое рамкой неравенство в самом начале
этого подпункта в точности такое же, как неравенство в тео-
реме подпункта D.3, с константой C = A9l(F), где К — чис-
ловая константа. А мы доказали это обведенное рамкой не-
равенство в подпунктах 1°—3°.

Мы, однако, можем сказать даже больше, а именно: 91(F)
также не превосходит нормы этого линейного функционала,
умноженной на некоторую константу!

Действительно, положим для (0)

Lf = lim ( Ref(Reie)F(0)d0
«-•Л

и обозначим норму функционала L через |||Ь|||. Приведенные
в пункте А рассуждения, основанные на теореме Хана — Ба-
наха, показывают, что можно найти вещественные 2л-перио-
дические функции <р и ф класса £°°, такие что

Нф + Моо< III bill
и
я

bf=Re$ (ф(0 + *Н0)/(*")Л

-л

Ю Зак. 857

5
для f е/Р(0). По лемме пункта А

Lf = lim € Re f (Re») (<p (/) + $ (0) dt,
л->1Л

так что

Г(О = Ф(О+Ф(О+с

при некоторой константе с, согласно схолии в самом конце
пункта А.

В силу первой леммы подпункта С.1°

31(F) = 91(ф + ф).

Но ввиду подпункта С.2° выражение справа < ^2 (|| <р IL +
4- II Ф IL) < 2^21| Ф 4- W L < 2 V2 HI L |||.

Соединим теперь приведённую здесь теорему вместе с её
схолией, теорему пункта А и первую теорему подпункта С.2°.
Получается следующее утверждение:

Теорема Феффермана в интерпретации Гарсиа. Пусть F —
вещественная 2л-периодическая функция. Следующие уело*
вия на F эквивалентны:

Я

i)	предел lim \ Ref(Re,0)F(0)d0 = LRef существует для
*->* Л

всех функций f из /7*(0), и L — линейный функционал на
Re//1 (0);

ii)	Г«ф4~ф, где ф и ф— вещественные 2л-периодиче*
ские ограниченные функции;

iii)	81(F) < оо.

Кроме того, нормы ||| L ||| (линейного функционала L на
Re//‘(0)) и 91(F) эквивалентны, 91(F)<V2 (IIФ IL 4-IIФ IL)>
где ф и ф — ограниченные функции из ii), и в L” можно
найти вещественнозначные 2л-периодические функции фь фь
такие что

/?(0) = Ф1(0)4-Ф1(О)4-с

для некоторой константы с и

11ф11Ьо4-11Ф111со<ЛЪад,

где М — числовая константа.
F.	ТЕОРЕМА ФЕФФЕРМАНА С ВМО-НОРМОЙ

Теперь мы покажем, что в теореме подпункта Е.4° усло-
вие 91(F) <оо можно заменить условием l|F||, < оо, т. е.
условием, что F е ВМО. Поскольку, как мы уже видели
в подпункте С.2°, ||F||* < const-9l(F), то здесь нам доста-
точно установить обратное неравенство 91(F) const-||F||»,
из которого будет вытекать эквивалентность норм 91(*)
и || -||». Доказательство этого обратного неравенства опи-
рается на некоторые глубокие результаты Джона и Нирен-
берга. -

1° Теорема Джона и Ниренберга

Напомним прежде всего определение из пункта В:

IIFII^supjlr j|F(O-Ft\df,

здесь / пробегает множество всех интервалов.

Лемма. Если F е ВМО, а I и J — интервалы с общей сере-
диной, /с J (рис. 63), то -

IF/ —F;|^2(log2-|-yy 4-1)||F Ц,
(log2 обозначает двоичный логарифм).

Доказательство. Прежде всего, если |J|^2|/|, то

<17Т $ |F ।dt < 17Т \ ।F (/) ~ ’dt < 2IIFII.

что и доказывает наше утверждение для этого случая. (Здесь
мы использовали лишь то, что IczJ и |J|^2|/|.)



I

Рис. 63

В общем случае будем рассуждать по индукции. Если
2"|7|<|/|<2п+,|/| и утверждение уже доказано для интер-
валов J', удовлетворяющих условию |Г|< 2»|/|, то возь-
мём в качестве /' интервал, имеющий ту же середину, что
v	..Mill III IBL
и J, но длины вдвое меньшей, так что 1 сг /' cz J. По предпо-
ложению индукции

I F, - F;, К 2 |)F ||. (log2 + 1).

Поскольку |J|=2|J'|, то в силу проведённых выше рассуж-
дений |F/ —Гу/|^2||Г||, и, следовательно,

<2||F||. + 2||F|L (log2-|^ + l) = 2||F|L(log2-Hi+ 1),

т. e. наше утверждение верно при 2n|/| <|/|	2я+1|/|. Вот

и всё.

Фактически пространство ВМО появилось впервые, когда
был опубликован следующий результат, в котором функция Е
предполагается вещественной:

Теорема (Джон и Ниренберг). Для любого интервала /
и любого натурального числа п справедливо неравенство

|{хе/: F(x)-F/>4||F||<n}|^2-'*|7|.

Доказательство (Гарнетт). Изменяя масштаб, мы мо-
жем свести нашу ситуацию к случаю || F ||, у, а при этом
предположении достаточно доказать, что

|{х(=7: F(x) — Л>2п}|>2-«|7|.

Произведя, если надо, замену переменной, мы можем счи-
тать, что /= [0,1]; не умаляя общности, мы можем также
предположить, что Fi — 0.

Приняв все эти предположения, мы будем далее иметь
дело с диадическими подынтервалами интервала / = [0,1],
Это — интервалы очень специального вида \k/2n, (k + l)/2n],
где k и п — целые числа,

Диадические интервалы обладают весьма	приятным
свойством: если два из них налегают друг	на друга,
то один из них содержится в другом.	
	

Пусть E={xs/: F(x)>2n}. В силу теоремы Лебега
(о дифференцировании неопределённого интеграла) почти
каждая точка х из Е лежит в некотором маленьком диади-
ческом интервале J, таком что Fj 2п. Для всякой такой
точки х обозначим через 1{х) максимальный из диадических
интервалов J, таких что хе/ и 7*7 > 1. После удаления из
Е некоторого множества меры нуль мы будем иметь

Fez U Цх).
хеЕ

Пусть & = U / (*•)• В действительности множество & мо-
хеЕ

жет быть представлено как объединение попарно неперекры-
вающихся интервалов J(x). В самом деле, если х, у^Е,
a J(x) и /(«/) перекрываются, то J(x) = J(y). Действительно,
в силу сделанного выше замечания либо J(x)cz/(t/), либо
7(«/)czJ(x). Пусть, скажем,	J(x). Если |/(у)|>

|/(х) |, то хе/(у) и F/(j,) > 1, а это противоречит тому, что
J = J(x).— максимальный диадический интервал, содержа-
щий точку х и такой, что Fj > 1. Поэтому если /(i/)z>/(x),
то |/(у) | = |/(х) |, а следовательно, интервал J(y) должен
совпадать с J (х).

Отсюда видно, что можно выделить последовательность
точек Xi е Е, такую что интервалы / (х<) не налегают друг
на друга и

U/(*<)=#.

(Это объединение может быть и конечным. Счетного числа
интервалов /(х) хватает для того, чтобы покрыть <$, ибо
каждый интервал /(х) содержит открытое множество.) Это
разбиение множества <S на счётное число попарно неперекры-
вающихся интервалов называется разбиением Кальдерона —
Зигмунда.

Покажем, что | <8 | < 4-| 11. Действительно, если 7*7=0,

ТО

•jjp J F (х) dx < J | F (х) - F, | dx < F (х) - Ft | dx

в то же время

I|r$F(x)dx = TL-2 $ F(t}dt
(ибо интервалы J(xi) не налегают друг на друга), и это j
равно	1

TnS|/wl=Ji7i--

Следовательно, | S |/| 11 < у.

Поскольку £а$, то для случая п = 1 теорема доказана.

Для случая п > 1 применим индукцию. Я утверждаю, что j
для каждого i имеет место неравенство 2. В самом ;
деле, пусть J' — диадический интервал, I' = 7, содержащий 1
/(Xf), длины вдвое большей, чем 7(х,). (Существует только

J*	J*

в		«.........—•

t ,	ИЛИ	в_______

J(Xl)	j(Xi)

Рис. 64

один такой интервал — см. рис. 64.) В силу требования мак-
симальности, в соответствии с которым был выбран интер-
вал J (Xi),

Ввиду первой части предыдущей леммы, с J — J' и 7 = J(xi),
имеем IF//—гГдХ/)|^2||Г||, < 1 и тем самым £д*р^2, что
и утверждалось.

Пусть теперь E(]J(xi)*=Ei. Поскольку интервалы 7(х<)
не налегают друг на друга и покрывают множество & Е,
то

£= и |£ |= Е|£г|.

Если х е Е,, то Г(х) > 2п, и поскольку F/(X<)	2, то

F(x)-F/(xp>2(n-l).

Отсюда видно, что мы можем провести шаг индукции. Дей-
ствительно, как мы только что установили,

Е{ <= {х е= J (xt): F (х) — Fz(X/) > 2 (га — 1)}.

Поэтому если теорема верна при п — 1 вместо п, tq ’


Следовательно, поскольку /(%/) — неналегающие друг на
друга интервалы, покрывающие 9, то

I	I

и теорема верна для п. Сделано!

Следствие. Если F е ВМО, то для любого йнтерйалй /
j(F(x) - Р,)^Х<С||£|К,

где С — некоторая числовая константа.

Замечание. Это что-то вроде обратного неравенства
Шварца!

Доказательство. Пусть m(A) —|{хе/: |F(x)— Л|>
>• А} |. По только что доказанной теореме Джона и Нирен-
берга, для каждого натурального п

т (X) < 2 • (у)п 111, если X > 41| F ||,rt

(дополнительный множитель 2 появился из-за того, что мы
рассматриваем меру множества точек х, где Е(х)— Fi <—X
или F (х) — Fj > X). Следовательно,

m(A)<2|/|eXp(-[71jLr]log 2),

где [?] обозначает наибольшее целое число

Ввиду пункта А главы VIII

( | F (х) - Fj \2dx = $ X/n(X) dX <41ZI $ Хехр (-log 2[jppJ) dX

-= 64111 . || F IB • J se~ l-si io»2 ds .= Q| F Iffl 11
0

при некоторой числовой константе С. Это доказывает лемму.

Замечание. Ясно, что можно получить значительно более
сильные неравенства для интегралов по /, в подынтегральные
выражения которых входит |Г(х)—А|.
2°. Эквивалентность ВМО-нормы и нормы Гарсиа

Лемма. Пусть f е L1 (—л, л) и f 0. Тогда существует чис-
ловая константа С, такая что

л	я	Г	S	\

$ 1 + г2 — 2г cos t Hftdt^C J ((/_ f)S + s2)2 I 27 $ f (0 dt\ ds.

-Л	0	x _s	/

Доказательство. r^Z^” °	"Л*’И ЯСН0’

что правая часть этого равенства fe ц J. при 0^г<1
и —л t л для соответствующей числовой константы k.

Положим 1 — г = и. Тогда (поскольку f (/)	0)

j цХггео,, tf (0 + /(-/))л< 4 j^тг (/W+f (-0) dl
о	0

2л

0

Но последнее выражение равно
oo	oo	OO	S

(0 + f (-
0	0	0	0

oo	/	S	\

= $ («2 + s2)2 ( 2s J HO Vs.
0	x	/

т. e. как раз правой части неравенства из формулировки
леммы.

Теорема. Если F— вещественная 2л-периодическая функция,
то

9l(F)< OFIU

для некоторой числовой константы К.

Доказательство. Используя обозначение, введённое в
начале пункта С, мы можем записать

(Я (F))2 = sup (UP, (z) - (UP (z))2).
1г |<1

Достаточно оценить U Рг (z) — (U Р (г))2 через ||Г||». Поскольку
функция F и её сдвиги Fh(x) — F(x — h), разумеется, имеют
одинаковые ВМО-нормы П-11#, то, не умаляя общности, мы
можем положить г = г при 0 < г < 1. В силу первой леммы
подпункта С. Г

п , (г\ _ а, = _L f f	(1 — г*)г (F (s) — F (t))2 dsdt

F ' ' I F\ ))	8л2 j J (1 + r2 — 2r cos s) (1 + r2 — 2 cos 0

-я -я

Так как (F(s)—‘F(t))2 0, то мы можем дважды применить
предыдущую лемму для оценки двойного интеграла в правой
части равенства и получить, что он

5 5 (и2 + s2)2 ‘ (и2 + f2)2 flsF $ $	(а)	^(т))2с?<Т(/т1г/з dt,

0 0	*" -s —t	J

где и = 1 — г, a С — числовая константа.

Далее, если I и /—интервалы с общей серединой, то

(ТУТ  ТУТ S j<f (о) “ F w>!	’’

< (ттт ТУТ j $(F <” - F'}’

+ (|7T-77T,SS<F<'>-F'№‘ioy‘

+ (17TTnJj(F'-F'>’^y’

- (fTi j (f (®> - W (|4| J (F (x) - F,F

+ |F,-F,|.

Ввиду следствия из теоремы Джона и Ниренберга (см. 1°)
это

а по лемме, приведённой в начале подпункта 1°, последнее
выражение в свою очередь

<2VC||FIL + 2||FII (1 + log2]j|).

Стало быть, при s, t > 0

Ii J $(F(a)-F(T))2dadTlA

L -*s -t	J

<2c||F||, + 2||F||,(l+|log2(s/Z)|).
Подставляя это выражение в четырехкратный интеграл
в конце первого абзаца доказательства, получаем, что

rr тх ат i ххъ^Л С wWp £(l + log(e/0)2
t/я (г) (Uf (г)) J \ (tt2 + S2)2 („2 + /2)2	ds dt

о о

для соответствующей числовой константы К и и = 1 — г.
После замены переменных = х, ~ — У интеграл справа
принимает вид

<KiF^\^^^»dxdy.
о о

Однако двойной интеграл в правой части последнего нера-
венства несомненно конечен, и его числовое значение не за-
висит от и, а следовательно, и от г. Стало быть, для некото-
рой числовой константы L справедливо неравенство

(с/я(г)-(С/Нг))Т<£|1П,

т. е. 31(F) < LIIFIU. Q. Е. D.

Следствие. Нормы || • ||* и 31 эквивалентны.

Доказательство. Это следует из только что доказанной
теоремы и второй теоремы подпункта С.2°.

3°. Теорема Феффермана

Комбинируя теорему Феффермана в интерпретации Гар-
сиа (см. Е.4°) с установленным в подпункте 2° фактом экви-
валентности норм 31 и ||-||», мы получаем следующую фунда-
ментальную теорему о пространстве ВМО:

Теорема Феффермана. Пространство, сопряжённое с
ReН* 1 (0), — это ВМО/(постоянные функции). Если F— ве-

щественная 2л-периодическая локально-интегрируемая функ-
ция, то следующие условия на F эквивалентны:

Я

i) предел lim \ Re f (Re*0) Р (0) dQ = L Re f существует
. Л .

для любой функции f из Я'(О), и L — линейный функционал
ii)	F(0) = ф(0)4~Ф(0), где <р и ф— вещественные 2л-пе-
риодические ограниченные функции;

iii)	F е ВМО.

В случае когда F е ВМО, норма линейного функционала L,
определенного в i), эквивалентна норме ||F||* функции F
в пространстве ВМО, и можно найти ограниченные измери-
мые функции <рь ф1 периода 2л, такие что

F(0) = ф1 (0) 4- ф1 (0) + const,
причем

||<Р11|~ + hllloo < ЛИЛ. < В ( НфЛоо + НФЛ»)

для некоторых числовых констант Л и В. Таким образом,
ВМО = Re LM 4- Re L°°.

Замечание. В то время, когда читался этот курс лекций,
ещё можно было сказать, что не известно, как по произволь-
ной функции F из ВМО явным образом построить функции
Ф, ф из L°°, такие что ф 4- ф = F. Единственное известное до-
казательство существования такого разложения было непря-
мым и основывалось на комбинации соображений двойствен-
ности, опирающихся на теорему Хана — Банаха (см. пункт
А), и неравенств, установленных в пунктах D, Е и настоящем
пункте. Конечно, теорема Хана — Банаха имеет и конструк-
тивный аспект, по крайней мере если речь идет о линейных
функционалах на сепарабельных банаховых пространствах.
Если отождествить рассматриваемое сопряжённое простран-
ство с некоторым пространством функций, то внимательное
изучение того, что означают конкретно в данной ситуации
шаги, проводимые при доказательстве теоремы Хана — Ба-
наха, может иногда привести к явной конструктивной про-
цедуре для функций, соответствующих линейным функциона-
лам. Как бы то ни было, приведённое здесь доказательство
существования в том виде, как оно изложено, конечно, не
является конструктивным.

Тем не менее конструктивная процедура для нахождения
такого разложения была найдена. Это сделал Питер Джонс.
На самом деле он как раз работал над этим в то время,
когда эта глава читалась в лекциях (конец весны 1978 г.),
и получил этот результат к тому моменту, когда лекции были
закончены!

*> См. Джонс [1980]. — Прим. ред.
О. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ВМО ЧЕРЕЗ РАДИАЛЬНО
ОГРАНИЧЕННЫЕ МЕРЫ

Установленную в предыдущем пункте теорему Феффер-
мана можно соединить с характеризацией пространства
Re Я1 в терминах радиальной максимальной функции
(гл. VIII, D.20) и получить по двойственности некоторое лю-
бопытное представление функций из ВМО. Это представле-
ние чем-то похоже на разложение ВМО = Re L°° + Re L°°
и сыграло важную роль в развитии теории. А именно, Кар-
лесон предложил некую конструктивную процедуру получе-
ния такого представления в 1976 г., когда конструктивный
метод для разложения произвольной функции из ВМО
в сумму функций из ReL00 и ReL°° ещё не был известен
(см. замечание в конце подпункта F.30). Это представление
интересно и само по себе, оно вскрывает связь между резуль-
татами пункта D главы VIII и результатами настоящей
главы.

1°. Радиально ограниченные меры. Они порождают
линейные функционалы на ReHj(O)

Мы будем рассматривать вещественные меры v на {|г|С
СО которые, грубо говоря, могут быть представлены в виде

dv (rei6) =	(г) dQ,

причём интегралы $ | dpe (г) | ограничены в совокупности при
о

0 С 6 < 2я. Чтобы избежать различных тонкостей и отступ-

лений, относящихся к теории меры, мы просто примем сле-
дующее

Определение. Мера v в круге {|z|C 1} называется ради-
ально ограниченной, если существует константа С, такая что
для любого сектора (Nota bene!) вида

Sh= {ге‘в: ОС rd, 0о<0<0оЧ-А}

(см. рис. 65) мы имеем

Наименьшее значение константы С, для которой справедливо
это неравенство (при всех 5л), обозначим через ||v||*.
II • ||* — норма в пространстве радиально ограниченных
мер, а обычная норма в пространстве мер

II v || =	$ | dv (z) I,

' {1«|<П

очевидно, ^2jt||v||*. В силу последней теоремы пункта Е
главы VIII, радиально ограниченные меры обязательно яв-
ляются мерами Карлесона.

Лемма. Всякую радиально ограниченную меру v мржно
представить в виде суммы р + ст, где

i)	ц— радиально ограниченная мера, сосредоточенная
в открытом круге {|г|<1};

ii)	мера а сосредоточена на окружности {|z|= 1} и
do(eiQ) = s(G)dQ для некоторой функции $ из L00.	(

Доказательство. В качестве ц возьмём просто суже-
ние меры v на {|z|< 1}, а в качестве о — сужение меры v
на {|г|=1}- Тогда если / — произвольная дуга окружности
{| z | = 1}, то

| dCT|^||v||* • длина I;
i

поэтому мера ст абсолютно непрерывна относительно линей-
ной меры Лебега на {|z|= 1} и имеет ограниченную плот-
ность относительно последней, т. е. da(e‘e) = s(0)d0 для не-
которой функции f из L°°.

Определение. Пусть v — радиально ограниченная мера и v =
= ц + ст, где мера ц сосредоточена в {|z|< 1}, а о —
на {|z|e О» причём do(e‘0) = s(0)d0. Положим

Замечание. Интеграл справа абсолютно сходится при
почти всех 0 и определяет функцию из L1 [—л, л]. На самом
деле это верно для любой, конечной меры р в {|г|< 1}.

Действительно,

( И n5^d^(z)|d0
-я|г|<1

___!_ с с с 1 -И2

— 2я И J | г _ е'0 |2

|г|<1-я	1

del dp (2)1= J J I dp (г) |.

В этом пункте мы установим в конечном счёте, что про-
странство ВМО совпадает с множеством всех функций Pv,
когда v пробегает множество всех радиально ограниченных
мер. В настоящем подпункте мы покажем, что PveBMO,
v — радиально ограниченная мера.

Лемма. Если U — функция, гармоническая в {|z| < 1} и не-
прерывная в {|г|	1}, то

J t/(ei0)Pv(0)d0 = U(z)dv(z)
-Я	|2|<1

для любой радиально ограниченной меры v.
Доказательство. Запишем v = p + o, где р — сужение
меры v на {|z|<l}, a do(e;9) = s(0)d0, seL”. По опреде-
лению имеем	*	я

pv(0)₽pg(0) + s(0) и 5 t/(e<e)s(0)d0= j U (ei&) da (е1в).

-я	-я

В силу все той же формулы Пуассона (гл. I), при |z|< 1
£'<г’=^$п5т4с/(‘,м>л’

—л

откуда по теореме Фубини

J J t/(z)dp(a)= J t/(eie)Pg(0)d0.
|»|<1	-Я

Сделано!
Теорема. Если v — радиально ограниченная мера, то Pv е
ВМО и IIPvIl.^CHvll* для некоторой числовой константы С.

Доказательство. В силу первой леммы подпунктаD.3°
и схолии из подпункта Е.4° достаточно показать, что суще-
ствует числовая константа С, такая что

$ Ref(Re‘e)Pv(6)d0 <С||/||,|МГ

для всех fe№(0) и всех R, 0^R< 1. Ввиду предыдущей
леммы

J Ref(Re‘e)Pv(0)d0 = Re f (Rz) dv (z),

|г!<1

ибо функция Ref(Rz) гармонична в {|z|< 1} и непрерывна
в {|z|^ 1). В силу этой непрерывности интеграл в правой

Рис. вв

части можно аппроксимировать суммами Римана по секто-
рам вида

Sh={reie: 0<г<1, 0о<0<0о + Л}

(рис. 66). Для больших N положим h = -fi- и Sft(n) =
{ге’0: 0 «С г 1, nh 0 (n + l)ft) при п = 0, 1, ..., N—1.
Пусть zneSk(n). Тогда если число N достаточно велико, то
N-1	--

Ref (Rz„) v(SA (п)) отличается от Ref (Rz) dv (z)
л-O	lz|<l

меньше чем на в. Если zn = rne/e« (при «Л 0П ^(«+1)Л),
TQ Только что образованная сумма Римана по дбсол{отрор
величине

ЛГ-1

< У* sup |Ref(Re<e«)| ( ( |dv(z)|	I

s’A

N-l	1

<||vir£ sup |Ref(Reie«)l-^.
»-o 0<r<1	N

по определению нормы || • ||*. Поскольку sup |Ref(Rei0)| для
0<г<1

R <_ 1 является непрерывной функцией от 0, то при больших

N последнее выражение отличается не более чем на е от

2л

||v||-( sup \Ref(Rre"W.

J 0<г<1

«Ужимая» е, видим, что

2л

< IIV и* ( sup | Re f (RreiQ) | dQ.
J «Г<1

J J Ref(Rz)dv(z)
Z|<1

Следовательно,

Ref (Re/0)Pv(0)d0 <||v||’ ( sup |Ref (rei0)|dQ
J 0<r<l

-л

для всякой функции f e Hl (0) и любого числа R, R < 1 (ис-
пользуем формулу, полученную в начале доказательства).
Ввиду следствия, приведённого в конце подпункта С.3° гла-
вы VIII,

sup |Ref (ге1в) ИО^СЦ/Н,
0<г<1

для f е Я1. Подставляя это в предыдущее неравенство, за-
ключаем, что

Ref(Rei0)Pv(6)d0 <C||vH’||f ||,.



Вот и всё.

Замечание. Данное выше доказательство опирается толь-
ко на «легкую часть» теоремы Феффермана,
2° Все линейные функционалы на ReJf*(O)
порождаются радиально ограниченными мерами

Теперь мы намереваемся установить утверждение, обрат-
ное к теореме подпункта 1°.

Лемма0. Пусть ||v*||* М, k= 1, 2, 3.......Существует под-

последовательность последовательности {v*}> такая что

а>*

Vft,--> V

*/ /

в Jt{lz|^l}, где v = v'+ сб, мера v' радиально ограни-
чена, llv'll* М, ||с|| ^2лА4, а б— единичная точечная масса
в начале координат.

Доказательство. Ввиду замечания, приведенного в на-
чале подпункта 1°, Hvfell 2«||v*||* 2лМ, и тем самым су-
ществует подпоследовательность последовательности {v*},
о>*-сходящаяся к некоторой мере v в {|z|^ 1}. Не умаляя
(W*)

общности, мы можем предполагать, что vk —► v. Пусть

теперь v == сб + v', где мера v' не имеет нагрузки в начале
координат. Ясно, что | с| 2пМ. Осталось показать, что мера
v' радиально ограничена и ||vz||* М.

Зафиксируем сектор Sh— {re№-. О г 1, 0о 0 Оо + й}
и покажем, что $ $ | dv' | Mh. Из соображений двойственно-
sh

сти легко усмотреть, что

$ | dv' | = sup J J ф dv
sh	sk

где sup берётся по множеству всех непрерывных в Sh функ-
ций <р, таких что ф(0) = 0 и sup | ф (?) |1. Пусть б > О,
а ф — непрерывная функция в Sh, такая что ф(0) = 0,
sup | ф (?) |	1 и \ \ ф4у \ \ | dv' | — б. Тогда для всякого

\J	J„J

sh	sh

e > 0 существует функция <p, непрерывная в круге {|z|	1}

обращающаяся в нуль вне сектора $л = {ге*0:	1,

Оо — e^O^Oo + ft-j-e} и такая, чтоф|$. =ф и sup|ф(?)«1.

ft 1€1<1

1 Я благодарен Дж. Томсону, который заметил ошибку в первоначаль-
ной формулировке леммы.
(W*)

Поскольку vk—>v, то

— lim j J <pdvft ^Л1(Л + 2е),





ибо ||v*||*	М. Далее, так как S* с: Sk при 8j < ej, а П S*;

8>0

«s=Sft, то

1

4	sh

Выберем теперь такое в < б, что

И

ф dv < б. Тогда

Ф dv 4- б

$dv + 26 <М (h + 26) + 26.

Теперь ужимаем б. Сделано!

Теорема. Для всякой вещественной 2л-периодической функ-
ции F из ВМО существует радиально ограниченная веще-
ственная мера v, такая что

F(0) = pv(0) + const.

Меру v можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла нера-
венству ||v||* < KIIFIL для некоторой числовой константы К.

Замечание. Если р.— сужение меры v на {|z|< 1}, то
в силу леммы подпункта Г

F(0) = const + 3(0)+-^- (( ‘"'Ур'Мг).

2 л <J J | z — е |

где s е L°°. Это отдалённо напоминает наше основное раз-
ложение

F = ф 4- ф,

р ф и ф из 4°°,


Доказательство. Ввиду трудной части теоремы Феф-
фермана (F.3°) функция F из ВМО определяет ограниченный
линейный функционал L на Re Я1 (0) по формуле

L (Re f) = lim f Re f (Re*0) F (0) d0, f g= Я1 (0),

и для. некоторой числовой константы справедливо неравен-
ство ||| L UI < Л||Г||..

Положим для каждого М > 0

Км — {Rv: мера v вещественна, || v ||‘ М ||| L |||).

Ясно, что Км — выпуклое множество.

Я утверждаю, что при достаточно больших М функцио-
нал L лежит в а>*-замыкании (относительно Re^*(0)) мно-
жества линейных функционалов, соответствующих функциям
Pv из Км-

Если v — радиально ограниченная мера, то удобно обо-
значить символом Ly линейный функционал на Re№(0), со-
ответствующий функции Ру, он задаётся формулой

£v (Re f) = lim ( Re f (Re*0) Pv (0) dQ, f s ГЦ (0).

**' Л

Нам предстоит доказать, что если М — достаточно большое
число, то L лежит в ^‘-замыкании функционалов Ly, ||v||*
М||| L |||.

Предположим, что для заданного числа М функционал L
не лежит в w*-замыкании множества {Ly-. ||v||*	M|||L |||}.

Тогда существует ^’-замкнутая гиперплоскость, отделяю-
щая L от этих Ly, т. е. существует функция g е Re Н' (0),
такая что Lv(Reg)< L(Reg) при ||v||*	Л1||| L |||. Далее,

наше множество функционалов Ly содержит 0 и отобра-
жается на себя при уменьшении на —1. Следовательно,
|Lv(Reg) | < L(Reg) при ||v||*	Af|||L |||, и, не умаляя общ-

ности, мы можем считать, что L(Reg)= 1; в противном слу-
чае можно просто умножить функцию g на соответствующую
положительную константу.

Итак, при || у |Г < М ||| L ||| мы имеем |Lv(Reg)| < 1,
в то время как L(Reg) = l.

Введём временно обозначение Af||| L ||| = В. Можно вы-
брать меру у с ||у||* = В так, чтобы число Lv (Re g) было бы
столь близким к
л

в( sup | Reg(re'e)|d0,
_ая°<г<1

сколь мы пожелаем. Действительно, по теореме Лебега о мо-
нотонной сходимости мы можем сначала найти такое R < 1,
для которого

Я

В \ sup | Re g (reiQ) | dQ

отличается от предыдущего выражения не более чем, ска-
жем, на е. Поскольку функция g+(0)== sup | Re g (RreiQ) |
*	0<г<1

непрерывна, то ясно, что сумма

П-1

в свою очередь лежит в пределах е от предыдущего инте-
Q-,
грала для достаточно больших чисел N. Пусть для 0„ = — п

супремум

sup I Re g (Rrei9n) | = g* (0„),
0<r<l	A x '

являющийся в действительности максимумом, достигается
при г = гл. Тогда предыдущая сумма равна

л

в£|Кег(Лг.е“")1т-

П-1

Функция Reg(/?z) равномерно непрерывна при |г| sg 1. Сле-
довательно, если число N велико, то Reg(/?r„e‘e) изменяется
не более чем на , когда 6' пробегает значения от
--5- (п — 1) до -у- п, вне зависимости от значения rns[0,1].
Значит,

-^-Reg(Rr„eie«)- j Re g (Rr„eie) d0

e
2лВ

при n = 1,2, ..., N вне зависимости от того, какие гп
мы выбрали, коль скоро число N велико. Пусть ел =


sign Re g (RrТогда

N 9Я

( Reg(Rrnet9*)tad6

П-1 0Л-1

отличается не более чем на 8 от
м

В £ |ReHW“")l£

П«1

и, следовательно, не более чем на Зе от

л

В ( sup | Re g (rei6) I dQ
A0<r<1

для достаточно больших N.

Для такого большого N, которое мы теперь зафиксируем,
определим меру v на {|z|	/?} следующим образом: в сек-

торе 0n-i < 6 < 0л мера у сосредоточена на дуге |z| = Rr„
(рис. 67), и на этой дуге

dv (Rrnei6) = Be,ndQ, 0я-1 < 0 < 0Я.

Ясно, что

" 9Я

В У, Re g (Rrneie) в„ dQ = J J Reg(z)dv(z),
n-l 9Я-|	|2|<Д

и очевидно, что ||v||* = В.
Поскольку мера v сосредоточена на {|z|^ R}, то

J J Re g(z)dv (z) = lim J J Reg (rz)dv(z) =
г|<1	г"*1 |г|<1

= lim \ Re g(ref9)Pv (0) d0
r-»l J

—Л

(последнее равенство имеет место в силу леммы подпункта Г,
ибо функция Reg(rz) непрерывна в {|z|1} и гармонична
B{|z|<l}).Значит,

Lv(Reg)= JJ Ref(z)dv(z).

I ? l<i

Таким образом, мы построили меру v с ||v||* = В, такую что
Lv(Reg) находится в пределах Зе от

я

В ( sup | Re g (ге1в) | dO,
JJ(O<r<l

что и доказывает сделанное выше утверждение.

Ввиду этого, из того, что |Lv(Re g) | < 1 при ||v|]*
Af||| L HI, вытекает, что

МHIL||| ( sup |Reg(re<e)|d0<l.

J °<r<l

Далее, согласно подпункту D. 2° главы VIII, существует
числовая константа /С, такая что

II g 111 < К sup | Re g (ге1в) | dd
40<r<1

для g<=Hl(0).

С учётом этого факта мы заключаем, что |||L||Hlflli К/М.
Однако мы имеем также L(Reg)=l. Следовательно,

HIL |||-1|fill > 1, а значит, 1 К/М, т. е.

М^К.

Отсюда ясно, что L несомненно лежит в w*-замыкании
множества {£v: llvll* < M|||L|||}, если М>К, где К — число-
вая константа из теоремы Феффермана и Стейна (гл. VIII,
D.2°). Это означает, что для таких М мы можем найти после-
довательность мер Vkt удовлетворяющую условиям ||v*||*
Mill L III и

Лемма, приведённая в начале этого подпункта, показы-
вает теперь, что некоторая подпоследовательность последо-
вательности {v*} слабо сходится (В ПРОСТРАНСТВЕ МЕР)
к некоторой мере v на {|z|	1}, такой что v = v'-|~c6, где

б — точечная масса, сосредоточенная в начале координат,
|с|^2лМ, a v'— радиально ограниченная мера с ||v'||*^M.
Не умаляя общности, мы можем считать, что

V

в пространстве мер.

Напомним, что L — линейный функционал на Re№(0),
соответствующий функции Р из ВМО:

Л

£(Ref) = lim ( Ref(re«0)F(0)d0.

Я->1 J

—л

Я утверждаю, что

F(0) = pv,(0) + const.

При п = 1, 2, 3,
каждая из функций

. функция zn лежит в Я*(0), поэтому

г"

S1H л	.

>п0 лежит в Re№(0). Возь-
, cos )

мём любую такую функцию и обозначим её через U. По-
скольку функция U непрерывна в {|z|^ 1}, то, очевидно,

L£7 = lim
г->1

л	л

J и (re19) F (0) de = J и (егв) F (0) de.

—л	-л

Аналогично для каждой меры v*

LVjU= J U(el9)PVk(e)de.
-л

Ввиду непрерывности функции U в {|z|	1} и её гармо-

ничности во внутренности этого круга, имеем по лемме под-
пункта Г
Я

j U (е‘в)Pvk (0) d0 = $$ U (z) dvk(г).

??	'	|г<41
Поскольку функция U непрерывна в {|z|^ 1} и vk v
в пространстве мер, то

U(z)dvk(z)^ $$ U(z)dv(z),
|zl<l	lzl<l

It

а интеграл справа равен U (e,e) Pv (9) dQ, в силу той Же

-л
леммы. Таким образом,

Цки J U (e'9)Pv(0) dQ.
-л

Но в силу ^’-сходимости функционалов LVk к L

LV.U -+LU ={ U (ei0) F (0) dQ.
ч k	J

“Л

В итоге получаем

J U (ег9) Pv (0) dQ = J U (е«) Р (0) dQ,
-Л	-л

если С/(еге) имеет вид cosn0 или sinn0, п=1, 2, 3, ....
Отсюда вытекает, что

P(0) — Pv(0) = const,

а поскольку Pe(0) в 1, то

P(0)-Pv/(0)= const.

Здесь ||v'||*<A1|||L||KA1A||PL, где А — некоторая числовая
константа, а М— произвольное число, большее К.— число-
вой константы из теоремы Феффермана и Стейна (гл. VIII,
D.2°).

Теорема полностью доказана.

Замечание. Из этой теоремы и теоремы подпункта Г вы-
текает, что пространство ВМО совпадает с множеством всех
функций Pv, отвечающих радиально ограниченным мерам v.

Задача 10. Пусть Ф — функция класса |®’°о в {|г|<1}, НЕ
ОБЯЗАТЕЛЬНО ГАРМОНИЧЕСКАЯ ТАМ. Предположим
также, что радиальные граничные значенйя Ф(е10) суще-
я

ствуют п. в. и j | Ф (ei0) — Ф (реге) | dQ -> 0 при р -> 1.

-я	________

Покажите^^гго если | УФ | dx dy = V®* + Ф» dx dy — мера
Карлесона в {|г\ < 1), то Ф(е'е)е ВМО.

Намёк: покажите сперва, что если ГеЯ'(О), #<1,
F(Rz) = u(z) + iv(z) (с вещественными и и у) и Фр(х) —
Ф(рг), р < 1, то

J и (е«) Фр (е«) dQ =	А - у dx dy.

“Я	|z|<l
ТЕОРЕМА О КОРОНЕ

А. ГОМОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ И ЕЁ
МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ

Пространство Я00 является банаховой алгеброй над ЗС1,
так как если f, g&H°°, T<yfg(=H°° и llfgll<x> «С llfl|oo||g||«>. По-
скольку Н°° обладает мультипликативной структурой, есте-
ственно рассматривать алгебраические мультипликативные
гомоморфизмы алгебры Я°° на .С.

Пусть L:	— такой гомоморфизм. Поскольку Ы =

1еЯ°°, мы должны иметь £(1)=1. Если /еЯ°°, а А —
произвольное комплексное число, по модулю >||/||оо, то
функция (X — f)-1 принадлежит пространству Я°°; поскольку
(л — f(z))-1(X — f(z))=l, то, применяя функционал L к
обеим частям равенства, мы видим, что L(X — f) не может
обращаться в нуль. Беря в качестве X все комплексные числа,
модуль которых >||/||«, мы заключаем, что |L(f) |	||f|[«>.

Итак, всякий алгебраический мультипликативный гомомор-
физм алгебры Я°° на С. обязательно непрерывен, а его норма
как линейного функционала на пространстве Н°° не превос-
ходит 1. В действительности его норма равна 1, ибо £(1) = 1.
Множество таких L, очевидно, есть ^’-замкнутое подмноже-
ство единичного шара пространства, сопряжённого с Я*,
и тем самым является ш*-компактным.

Если L — мультипликативный гомоморфизм из Я00 на 1CJ,
то множество ш всех элементов из Я00, на которых L прини-
мает значение 0, является максимальным (собственным)
идеалом в Я00, так как .С, — поле. Итак, каждому гомомор-
физму соответствует некий максимальный идеал. Обратно,
каждому максимальному идеалу соответствует некоторый
гомоморфизм из Я°° на .С..

Действительно, если ш — собственный идеал в Я00, то та-
ковым же будет и его замыкание по норме ш. В самом деле,
если и || 1—Лк < 1, то /-1 е Я°°, а потому ш не мо-
жет содержать f, иначе функция 1 также входила бы
в т. Таким образом, поскольку ш — собственный идеал, то
Ilf — mil о» > 1 и, следовательно, 1$=т. Отсюда вытекает, что
если m — (собственный) максимальный идеал, то обязательно
m = m.

Пусть m— произвольный максимальный идеал. Так как
он замкнут по норме, то факторалгебра Я°°/т является (пол-
ной!) банаховой алгеброй над LCJ. Ввиду максимальности
идеала m она будет полем. Но знаменитая теорема Гель-
фанда — Мазура утверждает, что единственное полное нор-
мированное поле над .С — это само С! Итак, в действитель-
ности Я°°/т и lCj изоморфны, и канонический гомоморфизм
алгебры Н00 на №°/т фактически является гомоморфизмом
алгебры Н°° на .С.; мы можем определить L(f) как един-
ственное комплексное число X, для которого X — fem (такое
число должно найтись ввиду изоморфности Я°°/т и С).

Итак, множество мультипликативных гомоморфизмов L
алгебры Я00 на .С, находится в естественном взаимно-одно-
значном соответствии с множеством максимальныхидеалов
алгебры Н°°.

Если ш — такой максимальный идеал, a L —. мультип-
ликативный гомоморфизм алгебры Н°°, ему соответст-
вующий, то обычно для L(h) используют обозначение
Л(т).

В дальнейшем мы так и будем делать.

Обозначим множество всех максимальных идеалов ал-
гебры Я00 через 24. Мы будем наделять 24 топологией пото-
чечной сходимости максимальных идеалов (как мультипли-
кативных гомоморфизмов, определённых на Я“). В этой
топологии 24 — компакт, как уже объяснялось в начале этого
пункта.

Таким образом, пространство Я°° можно рассматривать
как банахову алгебру функций на множестве её максималь-
ных идеалов 24, сопоставляя каждой функции f е H°° функ-
цию mi—>70Й). Множество 24 называется^прострамстволс мак-
симальных идеалов алгебры Н°°. Этот подход, довольно
абстрактный, оказался чрезвычайно плодотворным; в дей-
ствительности это — основная точка зрения, принятая в кни-
гах типа книги Гамелина. Имеется, правда, одно затрудне-
ние, состоящее в том, что пространство 54 слишком велико;
оно столь обширно, что обладает многими причудливыми
свойствами.

Однако у нас под рукой есть простое подмножество про-
странства Зй. Для всякого г, |г| < 1, функционал вычисления
значения в точке z

Ь-И(г)	. ;

является гомоморфизмом алгебры Н°° на .С.! Итак, каждой
точке г открытого единичного круга очевидным образом со-
ответствует некий максимальный идеал, а именно идеал
функций f е Н°°, обращающихся в нуль в г. Мы будем обо-
значать этот максимальный идеал той же буквой г. При
этом соглашении открытый единичный круг {|z| < 1} можно
рассматривать как подмножество пространства максималь-
ных идеалов ЭД.

Теперь возникает естественный вопрос: является ли мно-
жество {|z| < 1} ш*-плотным в ЭД? Если да, то имеется не-
которая надежда прийти к более конкретному описанию
весьма сложного пространства ЭД. Гипотеза, состоящая в том,
что ответ положителен, была известна как гипотеза о короне.
Знаменитая проблема короны состояла в том, чтобы дока-
зать её или опровергнуть.

Карлесон решил проблему короны в 1962 г. в положи-
тельном смысле. Его доказательство этого — ставшего из-
вестным как теорема о короне — утверждения основывалось
на очень трудной геометрической конструкции комбинатор-
ного характера. Эта конструкция оказалась полезной и при
изучении некоторых других задач, особенно в руках Гарнетта
и его учеников. Однако овладеть ею столь трудно, что это
отваживало многих от попыток вникнуть в детали доказа-
тельства теоремы о короне.

Положение дел изменилось весной 1979 г., когда Т. Волфф
дал новое доказательство теоремы о короне. Именно поэтому
у нас появилась возможность включить в книгу в виде на-
стоящего добавления полное доказательство этой теоремы.

Теорема о короне имеет две эквивалентные формулировки:

1)	Для всякого ней существует обобщённая последова-
тельность {za}, |za|< 1, такая что zo—в ЭИ.

2)	Если fi.fn е Н°° и

sup | fk (z) |> б
к
для некоторого б > 0 я всех z, |z| < 1, то существуют функ-
ции gt....gn е Н°°, такие что figi + f2g2 + ... + fngn = 1

в {|z|< 1}.

Докажем их эквивалентность.

Пусть имеет место 2), и пусть шеЗЯ. Предположим, что
не существует обобщённой последовательности точек z,
Р|< 1, которая а>* *-сходилась бы к ш. По определению сла-
бой топологии найдутся функции hi, .... hn^H°° и б > О,
такие что для каждого z, | z | < 1, должно быть выполнено
по крайней мере одно из неравенств

jhk(z) — hk(m) | > б,

k = 1.....п. Положим fk(z) = hk(z) — hk(m); fk e Тогда

все числа ffc(m) равны нулю, но для всякой точки z, |z|< 1,
при некотором k мы имеем | fk (г) | б > 0. Поэтому, со-
гласно 2), существуют функции git ..., gne№°, такие что
gifi + ... +gnfn= 1. Таким образом, сумма gi (m) fi (m) + ...
... + gn(m)fn(m) должна равняться 1! Ho ffc(m) = O при
всех k, 1 k п, — противоречие!

Пусть теперь имеет место 1), и пусть fi, ..., fn удовлетво-
ряют условиям, указанным в 2). Если бы не существовало
таких функций gi,..., gn е Н°°, что

gift + ••• +£вА»в1»

то множество всех сумм вида gift + ... 4- gnfn составляло бы
собственный идеал в Н°°. Стандартным применением леммы

Цорна можно показать, что этот собственный идеал должен
содержаться в некотором максимальном идеале, скажем ш.
Тогда, конечно, fft(m) = 0 для каждого k. Ввиду 1), суще-
ствует обобщённая последовательность {га} точек единич-
ного круга, такая что h(za)-*ffc(m) = 0 для fe=l......п.

Но это противоречит тому, что sup | fk (г) | б. Таким обра-
------------------- д

зом, существуют gi, ..., gneH°°, такие что gift + ...

• • • + gnfп « 1.

На самом деле, после того как стало известно, что тео-
рема о короне верна, усилиями ряда математиков, особенно
Гофмана, удалось получить весьма полное описание про-
странства ЗЯ, рассматривая его элементы как пределы точек
из {|z|< 1}. При этом, как оказалось, очень важную роль
играют интерполяционные последовательности, изучавшиеся
нами в главе IX.
В. д-УРАВНЕНИЕ

В доказательстве Волффа теоремы о короне системати-
чески используются следующие два дифференциальных опе-
ратора:

*Ч(£-'£). *Ч(£+‘£)-

Функция f класса <₽г°° является аналитической в том и только
в том случае, когда df = 0, и в таком случае f' = df. Лап-
ласиан Д равен 4дд.

Пусть g —функция класса ®’00 с компактным носителем.
Можно ли решить уравнение

df{z) — g{z)

при |z|<2, если искать решение, скажем, среди произволь- «
ных функций f класса <ё"х> (необязательно с компактным но-
сителем)? Можно — одним из решений будет

С	>

где £ = £ 4- й).	|

Чтобы убедиться в этом, сделаем замену переменной |
z — £ = w	= и + to,	после которой выписанный	выше	двой- j

ной интеграл	(вместе с коэффициентом 1/л)	примет	вид	з

ItrxSzi**.	I

Л Jj W	1

С	1

Поскольку функция g имеет компактный носитель, то, огра- |
ничиваясь рассмотрением точек z с |z|< 2, мы можем пере- |
писать этот интеграл в виде	’	1

Iff/ ч du dv

для некоторого большого /?. Поскольку g е в’00 и

f f dudv
i тл-<“’

(“’«я

то дифференцировать предыдущее выражение (назовём его
f(z)) можно под знаком интеграла, что даёт

Э/= 3? У ^g(z -
Я утверждаю, что правая часть равна g(z). Можно считать,
что 2 = 0, так что нам надо вычислить

dudv
w

Здесь мы можем заменить д на —а-Г-г-Ч-гА
——	2 \ди 1 dv

Тогда,

поскольку

последнее выражение превратится в

2я о_>0 JJ \ а» / 9о \	®	//

Р<|«а>|</?

По формуле Грина это в точности равно

_ ' lim f g(_a>)^ + '^+ 1

2я o_*0 J '	w 1 2ft J s '	' t»

1®|“Р	1®1-Я

Поскольку число /? очень велико, а функция g имеет ком*
пактный носитель, интеграл по {| w | = /?} равен нулю. Поло*
жив w = ре*’’, мы видим, что интеграл по {|а>| = р} равен
2я
2^ $ s ( — ре,ф)
о

и так как р~>0, то это стремится как раз к g(0). Таким об-
разом, наша функция f действительно удовлетворяет равен-
ству df(O) = g(O), и точно таким же образом можно убе-
диться, что df(z) = g(z). Далее, функция /, определяемая
нашим двойным интегралом, очевидно, принадлежит классу
<ё”х>, ибо функция g принадлежит ему.

В дальнейшем нас будут интересовать решения f урав-
нения df(z) = g(z) в несколько более широком круге (чем
единичный), и притом такие, для которых выражение

sup | f (еге) | не слишком велико. Нам понадобится
е	----------

Лемма (Волфф). Пусть h — функция класса Vя в круге
где R > 1. Предположим, что в {|г|< 1} меры

и |z | log | dh (г) | dx dy

являются карлесоновыми с „константами Карлесона“ А
и В соответственно. Тогда можно указать функцию v класса
9°° в некотором круге {|г| < R' > 1, такую что
dv(z) = h(z), |z|<l,

причём | v (eiQ) | < 9 (V-4 + #)•
Примечание. По поводу определения карлесоновых мер
и их свойств см. пункт Е главы VIII.

Доказательство леммы (упрощённое Варопулосом
и Гарнеттом). Прежде всего мы можем переопределить функ-
цию h вне, скажем, круга ||z|<——|, так чтобы она
стала бесконечно гладкой на всей комплексной плоскости jCi
и имела компактный носитель. Тогда ясно, что приведённая
выше формула даёт функцию с>о класса <8>о°, удовлетворяю-
щую условию

dvo(z) = h(z).

Трудность, конечно, состоит в том, что значения |t>o(ei0)|
могут быть очень велики.

Если функция f аналитична в некотором круге {|z| </?'},
R' > 1, то при v = Vo — f мы, конечно, имеем также

dv — h

в этом круге, ибо df = 0. Идея заключается в том, чтобы
так выбрать функцию f, чтобы значения | v (е‘ф) | были не
слишком велики.

Функция vo несомненно принадлежит пространству
(мы используем обозначения, введённые в пункте А гла-
вы VII). Если существует функция f е^(=ЯооП<₽’)> такая
что || ц<> — f IL = SUPI °o (e*0) — f (e‘6) I < d, и если число г < 1
0

достаточно близко к I, то ||»о — М» по-прежнему при

fr(z) = f(rz), и функция fr принадлежит классу ®’00 в {|г|<
1/г). Таким образом, нам надо оценить норму ||оо — «$^11«;
тогда для любого числа d, большего чем ||vo — «s^lloo, мы смо-
жем найти решение v, удовлетворяющее нужным условиям
и такое, что | v (е‘е) | d.

Согласно теории двойственности (гл. VII, п. А),

||и0 —^IL = SUp

2л

Vo (ei0) F (е/0) dQ : F е= Я* (0), || F ||, < 1

Ясно, что можно ограничить множество функций ГеЯ'(О),
по которому берётся sup, функциями F, допускающими ана-
литическое продолжение в некоторый больший круг {|z|<
Re} радиуса	зависящего от F.

Для таких функций F мы применим формулу Грина, как
в подпункте D.10 главы X, и получим

2л

J Оо (ег0) F (е16) dQ = J J log -туг Д (и0 (z) F (z)) dxdy,

О	|г|<1

ибо функция оо во всяком случае принадлежит классу
в замкнутом единичном круге. Имеем Д(ооГ) = 4dd(v0F) ==
4dvpdF + 4Fddvo, так как dvQ и ddF тождественно обра-
щаются в нуль. Кроме того, нам дано, что dvo = Л, так что

ddvo = dh. Следовательно, A(o0F) = 4hF' -j- 4dhF, и преды-
дущий двойной интеграл оказывается равным

4

F (z) dh (z) log -щ dxdy + 4

F'(z)ft(z) log-щ dxdy.

Первый из этих двух членов по абсолютной величине

<	|-^-| • 1<ЭЛ(г)| • |г | log-Л dxdy.

|г«1

Поскольку Fe//'(0), то F(z}fz принадлежит пространству
Я1 и имеет ту же Я'-норму, что и F. Значит, по условию
и по определению карлесоновых мер первый член по абсо-
лютной величине ^4B||F||i.

Что касается второго члена, то мы применим к нему не-
равенство Шварца точно так же, как и в подпункте В.1’
главы X, и получим, что этот член

4а/ И log|z| 'ifUi
v 1г|<1

X a/1-1 h (z) I2-1 z I log-Д- dxdy.

* |z|<l

Так же, как и в подпункте D.30 главы X, мы видим, что
достаточно оценить это выражение для функций F е Я1 (0),
имеющих лишь простой нуль в начале координат и не имею-
щих других нулей, ибо всякая функция F s Я1 (0) может
быть представлена в виде суммы двух таких функций, каж-
дая с нормой не большей, чем её собственная. Но для таких

функций F

$$ log 1*1 'if'SI — ИИь
l*l<i
в силу теоремы подпункта D.2® главы X. Опять по условию
имеем

$$ |-ф-||А(2)12И logЛ-ЗДС^IIFIh
И<1

для ВеЯ'(О).

Отсюда следует, что для произвольной функции F из
Я'(0), аналитической в замкнутом круге {|z|^ 1}, справед-
ливо неравенство

4	F'(z)h(z) \og-±rdxdy

|г|<1

<8VA||F||,

(в правой части стоит константа 8, а не 4, поскольку в об-
щем случае функция F не удовлетворяет тем условиям, ко-
торые были наложены на неё перед применением неравенства
Шварца).

Соединяя обе наши оценки, получаем

2я

оо (e,e) F (е,е) dQ < 8 (д/А + В) || F ||t

для функций F е Я1 (0), аналитических в замкнутом единич-
ном круге. Следовательно, || t>o — «^llooC8(VA + В), и лем-
ма доказана.

С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВОЛФФА ТЕОРЕМЫ О КОРОНЕ

Теорема (Карлесон, 1962). Пусть fi, ...,	Предполо-

жим, что НМ 1 при k=l, ..., п и что для некоторого
положительного числа 6

sup|fA(z)|> б
k

при всех z, |z|< 1. Тогда существует число ЛГ(б, п), зави-
сящее только от б и п, такое что

gift + gifz + ••• +£j«=l в круге {|z|< 1}
для некоторых функций g\....gn е Я“, удовлетворяющих

условию

1Ы1=о ^М(б, п).

Доказательство (Волфф, 1979). Основная аналитиче-
ская идея относится к случаю п = 2, который мы и разберём
сначала,
Достаточно доказать теорему для случая, когда вместо
функций fk мы имеем функции, аналитические в круге, чуть
более широком, чем единичный. Действительно, если это уже
сделано, то мы можем рассмотреть функции f^> (z) = fk (rz),
где г<1, и получить некоторые функции	такие

что + ... + gfflp 1 при |z| < 1, причём нормы
||g(£> ||то будут ограничены числом, не зависящим от г. Следо-
вательно, устремляя г к 1, мы можем, применяя принцип
нормальности, получить функции	(с нормами IlgJIoo,

ограниченными тем же числом), такие что

gifi + ••• ~(rgnfn=l-

Сейчас у нас п = 2, т. е. имеются функции fi и fs, такие
что Hfilloo < 1, UMI» 1 и при всех z, |z| < 1,

|fi(z)|>6 или |f2(z)|>6.

Пусть U(w)—функция класса <й’°°, зависящая от | w | и та-
кая, что

... . /О при | w |<б/2,
U(w) =< ,	,	„

11 при | w | б,

причём 0 < U(w)^2 1 всюду. Положим
m М — u(fk (г))

U(ft(z)) + U(ft(z))

при k — 1, 2. Ясно, что функции <р* принадлежат классу ®’00
в некотором круге {|z|<7?}, R > 1, и <Pi (z) + ф2 (z) s 1.
Кроме того,

. . = ( 0 там, где | fk (г) | < 6/2,
Z ~ 11 там, где | fk (z) | > б.

Заметим, что по условию ф2(г)= 1, если ф1(г)=0, и
Ф1 (z) == 1, если ф2(г) = 0. Далее,

Беда в том, что функции y\/f\ и ф2//2 не аналитичны! По-
этому, используя одну идею, восходящую к Хёрмандеру, бу-
дем искать некоторую новую функцию v, для которой
функции

£1 = 77 +^2 И §2 = ^ -vfl
аналитичны в {|z|< 1}. Любая такая функция v автомати-
чески даёт нам

gih + £2/2 = 1

В <1*|< 1).

Для того чтобы функции gi и g2 были аналитическими,
нам надо, чтобы dgi = dg2 = 0 в {|z|< 1). Поскольку
dfi = dfi — 0, мы получаем условия

^- + /^о=0, ^-f1do = Q.

Ввиду того что epi + ф2 s 1, имеем дф1 4- дф2 s 0; следова-
тельно, указанные два условия совместны и эквивалентны
следующему:

Заметим, что ф2(г)=1_на открытом множестве (|fi(z) |<
6/2}, и, значит, там же дф2(г) = 0; а на открытом множестве
{|f2(z) | < 6/2} имеем ф2(г)==0, что даёт дф2(з) = 0. Сле-
довательно,

в круге {|z| < 1}, и
n{Z) A(z)Mz)

является хорошей функцией класса 'S’00, определённой в неко-
тором круге {| z | < R}, R > 1.

Теперь применим лемму пункта В! Мы ищем решения о

уравнения до = h в некотором круге, чуть более широком,
чем единичный. Как мы только что видели, при |z|< 1

I h ы к- 4 I м I = 4 1 и V' ^~ди ~ и <г»ди V' <г» ।

I п (г) 1^ б? I oq>2 Ю | =	। и (fl (2)) + и {f2 (2)) р •

Поскольку t/(fi(z))+t/(f2(z))> 1, то, в силу цепного пра-
вила, последнее выражение С Ke (I f 1 (z) | +1 /г (2) |), где
Ke = 4d-2sug|gradtf(tw)l зависит только от 6. Следовательно,

(О

\h (г) I21 г | lop -fly < 2Ке (I f\ (2) г + I /2 (2) I2) | z | log ||| .

Но функции fi, fi принадлежат пространству Я00 и, в част-
ности, являются гармоническими в круге {|z|< 1}; кроме
того, они удовлетворяют там условиям | f 1 (z) j < 1, | f2 (г) | < 1,
Из лемм подпунктов Е.2° и Е.3° главы X вытекает
теперь, что мера

(I fi (z) I2 + I f'z(z) I2) I z I log jyp dxdy
является карлесоновой и притом с константой Карлесо-
на, не превосходящей некоторого фиксированного числа.

Следовательно, мера

\h(z)\2\z\ log-r^rdxdy

является мерой Карлесона, с константой Карлесона 4$, за-
висящей только от б. (Замечательно, что обведённое рамкой
утверждение можно получить непосредственно, не обра-
щаясь ни к пункту Е главы X, ни к теореме о мерах Карле-
сона!— см. упражнение в конце настоящего добавления.
Впервые это было отмечено Гамелином и Дэйви, см. упраж-
нение в конце этого добавления.)

Рассмотрим теперь

dh~ hh f.h Vi + h)'

Второй член (вычитаемое) в правой части тождественно об-
. £ । д । £ । . д
ращается в нуль на множестве, где | л | < у или | f2 | < у,
а на дополнении к этому множеству по абсолютной величине

< 8б-3 sup | grad U (w) | (| ft (г) | + |f'(z)|)2.

СО

Первый член тоже тождественно обращается в нуль на
только что упомянутом открытом множестве, а на его допол-
нении равен

____1 А (	t/(b(z)) Ч

4/! (2) h (2) а к С/ (fl (2)) + С/ (/г (г)) ) '

Но Afi(z)= Afz(z)^ 0, и поэтому в последнее выражение
входят только f|(z) и f2(z), и по модулю, оно, очевидно,
< ^6 (I f'i № |2 +1 f'2 (z) |2)’ Где С» зависит только от б. Итак,
мы получаем

I dh (z) 11 z I log |4| < L6 (| f [ (z) |2 + J f'2(z) |2)I z I log.
Ввиду подпунктов Е. 2° и Е.3° главы X отсюда выте-
кает, что мера

|<?/г(г)| • |z| log-jyj-dxdy

является мерой Карлесона, с константой Карлесона В6,
зависящей только от б, ибо | f ] (z) | 1, | f2 (z) I 1 при
{И<1}.

Таким образом, лемма Волффа даёт нам функцию v
класса в некотором круге, более широком, чем единич-
ный, такую что до=йв{|г|<;1}и | о(е<е)|^9(V^e + £«)•
Функции

St = 77 + vf2 и £2 = 77 — vfi

будут принадлежать классу Н°° (и даже и в круге
{|z[< 1} будут удовлетворять условию £ifi+ £2/2 = 1.
Ясно, что при IZ | 1

I Ф1 (2) I <-• 2	I Фа (2) I <- 2

I f I (2) |	6 ’	I h (z) I 6 ’

и, таким образом, при k = 1, 2

l£Heie)l<| + 9(V46 + Be),
т. е.

Halloo <4 +‘9(VX+ Be).

что доказывает теорему для случая п = 2.

При п > 2 ситуация сложнее алгебраически. Если функ-
ции fi, .... fn удовлетворяют условиям ИЫ«> 1 и sup | fk(z) I

> б при всех z из единичного круга, то, взяв ту же функ-
цию U, положим для k = 1,2, ..., п

фИг) =____________"Ш________________

™ U if, (2)) + U {ft (2)) +...+U (f„(z)) •

Каждая функция <pft тождественно обращается в нуль на
множестве, где |fft| < 6/2, и

п

£<Рл(2)^ 1 в круге {|г| < !}.
1

L.
Предполагая каждую функцию fk аналитической в замк-
нутом единичном круге (что мы можем делать), будем ис-
кать аналитические функции gk в виде

/

где Vkj — неизвестные функции, от которых мы потребуем,
чтобы они удовлетворяли условиям vkj = —Vjk, vkk = О,
с тем чтобы автоматически получить

glfl + • • • + gnfn = 1.

Для аналитичности функций gk нам надо, что dgk ss 0;
последнее означает, что функции vki должны удовлетворять
условию

/

Это условие выполнено, например, если

— ф& — ф/ —

э,,«=-ыГ^--ьй^

как легко проверить_непосредственно, используя тождества
Ф1 + ... + Фл в 1, дф1 + ... + дфп « 0. Мы сначала ре-
шим каждое из уравнений

а затем положим vk, = wkj — Wjk, так что t>*/ — —Vjk автома-
тически. Лемма Волффа, применённая таким же образом,
как и в случае п = 2, даёт нам возможность найти решения
wkj класса ®’ов в некотором круге, более широком, чем еди-
ничный, удовлетворяющие условию | wkl- (е‘е) |	М6, где

число зависит только от б. Тогда (аналитические) функ-
ции gk, полученные из этих функций wkj при помощи vkj, бу-
дут удовлетворять условиям

ИЫоо<| + 2(/г-1)Мв

glfl + g2f2 + • • • + gnfn — 1 В круге {| z I < 1).

Теорема о короне полностью доказана!

Упражнение. Пусть f е Я00. Показать непосредственно, без
привлечения лемм из подпунктов Е.2°, Е.3° главы X и тео-
ремы из конца пункта Е главы VIII, что мера
|z| logjTj-lf (z)\2dxdy

является карлесоновой.

НАМЕК. Можно предположить, что функция f аналитична
в круге, чуть более широком, чем единичный, и не имеет там
нулей. Если функция ЕеЯ'(О) имеет лишь один простой
нуль в начале координат и аналитична в замкнутом круге
{|z| 1}, то применимо неравенство

I (f')2F |< 2| Л-^тгг" + 21 Л215г

(идея А. М. Дэйви).
В, П. Хавин

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЖОНСА

1.	П. Джонс предложил удивительно простое и непосред-
ственное доказательство теоремы Карлесона об интерполя-
ции (подпункт В.3° главы IX). Мы изложим здесь это дока-
зательство, имея в виду второй вариант теоремы Карлесона
(т. е. случай круга, а не полуплоскости; см. конец под-
пункта В.3° главы IX).

Пусть {£„}"_] — последовательность попарно различных
точек круга D= {|z| < 1}, и пусть

|z1|<|z2|< ....	Е(1 —|zn|)< 4-оо.

п

Нам понадобятся произведение Бляшке

в=П^,
л-1

где Ъп (г) =	Zn~J-(zn	0) [bi(z) = z, если 2| = 0], и

zn 1 — znz

произведения

Предположим, что

def

d - inf | B„(z„) I >0.	(1)

n

Теорема Карлесона утверждает, что при условии (1) для
любой ограниченной последовательности w = {«>„} ком-
плексных чисел найдётся такая функция feHM, что

f(za) = wn, п=1, 2, ....	(2)

Предположим, что нам удалось построить функции Фп,
n=s=l, 2, ..., аналитические в круге D и обладающие сле-
дующими свойствами:

(а)	ФДгй) = Р’ /?, п=1,2, ...;
UCI

(Ь)	$(*)=£ |ФЛ(2)|<К< 4-00
/1 — 1

при всех z из D.

Тогда решением интерполяционной задачи (1) будет функ-
ция

def “
f(2) = 2^n°rt(z).	(3)

n=l

В самом деле, в силу (Ь) ряд (3) сходится всюду в D, а его
частичные суммы равномерно ограничены в D (числом
К sup |	|). Отсюда легко следует (например, в силу теорем

п

о нормальных семействах), что f(z) аналитична в D и при-
надлежит Н°°. Равенства (2) следуют из (а). Кроме того,
llflloo<Ksup|a»n|, так что задаваемое формулой (3) отобра-
жение определяет линейный оператор с нормой, не
превосходящей К, Действующий из пространства /°° всех
ограниченных числовых последовательностей в пространство
Я°° и сопоставляющий каждой точке w е /°° решение f интер-
поляционной задачи (2).

Существование последовательности {Ф«}, обладаю-
щей свойствами (а), (Ь), было доказано (при условии (1))
Карлесоном и П. Бёрдингом (см. Гарнетт [1984], гл. 7, § 2).
Впоследствии П. Джонс указал совершенно элементарный
способ построения функций Ф„ (Джонс [1980]). Здесь мы
воспроизведём упрощённый вариант формулы Джонса (т. е.
интерполяционной формулы (3), где Фл определены равен-
ствами (4) — см. ниже), следуя работе Виноградов, Горин,
Хрущёв [1981]. Другие варианты и приложения к задачам
интерполяции даны в статье Виноградов [1983]. Е. А. Горин
указал видоизменение формулы Джонса, пригодное для ин-
терполяции функциями класса Я00, непрерывными вплоть
до единичной окружности; в связи с кратной интерполяцией
в Я00 см. работу Мартиросян [1981].

Положим

» = (21ogs4-)‘‘. <.„(*) = £

к~п	(4)

Ф„ (z) = (-7~'-n|2Y	ехр [8 (а„ (г„) - ал (г))].

\ 1 — znz J Bn (zn)

Здесь б определено равенством (1). Ряд, определяющий
функцию аЛ, сходится равномерно в каждом круге {|z|	г}9
где г < 1, так как

l + zkz

1 — zkz

(1-I**l2)<—— (1 —

1 — г

(Iз| < г, £=1,2 ...).

Функции Фп, очевидно, удовлетворяют условию (а). Условие
(Ь) также выполнено. Более того,

S(2)<-^-log£ (|г|<1).	(5)

Для доказательства неравенства (5) введём величины

7	(1 - |гп|?) (1 - |2ft|2)

t'k, п	I, — |2	•

I 1 — Zkzn I

Аналог нижеследующей леммы для полуплоскости был
установлен в лемме 1 пункта В главы IX.

+ 00

Лемма. У Zk, п х-, п = 1, 2, ....

Доказательство. Проверим, что

1— |Mz*)l2 = ?*.«•	(6)

В самом деле,

__ (1 — znzfe) (1 — ZnZfe)_— (гп — Zfe) (z« — z&)
|1—Z^Zfcl2

Остаётся раскрыть скобки и привести подобные члены в чис-
лителе.

Напомним теперь, что —Iog(l —() при /е(0,1). По-
этому, в силу (1) и (6),

2 log	— log J Вп (zn) f = — У log | bk (гп) |2

k^n

ОО
(1-I6ft(z„)i2)=y у zkta,
k^n	k^n	A—n+1

и лемма следует теперь из определения величины в и из того,
что Zn,n = 1,
Следствие. Re an (zn) -1, п = 1, 2.....

Действительно, если k п, то |zfc|:>|zn|, и 1—|z„p|zfe|a
1 —|г„ |4. Поэтому

Re «„ Ы < £	(1 -1 0 «

• 1 ZkZtl I

»~|Zn Г

I 1 - Z*z„ I2

oo

(1 -\zk |2)<2£
k=n

Завершим теперь доказательство оценки (5). Из (1) сле-
дует, что	< у (n = 1, 2, .... I z | < 1). Приведён-

ное выше следствие показывает, что при | z | < 1

I Ф« (z) К -г ( и"1- '? У ехР (~ 6 Re (г))-	(7)

О \ I 1 — ZfiZ I /

+°°	2	2

Положим Yn(z) = £	)’ так чт0

k=*n

у„ (z) - Y»+1 (z) = ( .I" W-Y. Y« (z) | о (I z I < 1).

>	\ I 1 — znz I /

Далее,
oo

Re a„ (z) = У	(1 -1 zk I2) > Yn (z).

так как 1 —|z|2|z*|2 > 1—|z*|2 (|z|< 1). Возвращаясь
к (7), получаем

S (z)< i E ~ ya+i exp ( — eYn (l 2 1 <
n»l

Воспользуемся элементарным неравенством t гС e* — 1 при
t = в (уп (z) — y«+i (z)) • Получим

S (z) < £ £ (ee (z,’v«+‘ (z)> - 1) в"67»(г)

* у (e- evn+i (’) _ e-^n (*)) C 2..

08 Zu 4	08

n=t

Неравенство (5) доказано.
2. „Мысль изречённая есть ложь” — эти тютчевские слова
в полной мере относятся ко многим важным теоремам. За-
ключённая в тесные рамки своей формулировки, теорема не
говорит о себе всей правды и пригодна разве лишь для
включения в справочник. Подлинный её смысл неотделим от
доказательства (или доказательств — если их несколько).

Доказательство Джонса побуждает нас постараться ещё
раз осмыслить и „старое” доказательство интерполяционной
теоремы Карлесона, изложенное в главе IX. Оба приводят,
казалось бы, к одному и тому же результату — к описанию
интерполяционных последовательностей. Но в действитель-
ности они решают раз н ы е задачи.

Чтобы это увидеть, рассмотрим конечное подмноже-
ство Е круга D. В этом случае сама по себе возможность
продолжения функций, заданных на Е, до функций класса
Н°° очевидна (вспомним, например, об интерполяции по Ла-
гранжу). Но оценки таких продолжений в зависимости от
свойств множества Е — дело другое. О них и пойдёт речь.
Начнём издалека.

Обозначим через Reif) след функции f на множестве Е.
Условимся через Вт(Х), где т > 0, обозначать множество
всех функций ф: Х-»-С, таких что sup|ф 1^/п. Ясно, что
х

RE(Bi(D))= Bi(E) (Е — это по-прежнему конечная часть
круга D). Иными словами, любую функцию ф, по модулю
не превосходящую единицы на Е, можно проинтерполировать
на Е функцией f из В\ (D); при этом f можно даже считать
гладкой. Совпадение f с ф на множестве Е никак не сказы-
вается на величинах |f(z)| при геГ)\Е. Совершенно
иначе обстоит дело с аналитическим продолжением.
Принцип максимума модуля показывает, например, что если
Е содержит более одной точки, то Re(Bi (D )П Я°°) =/= Вг(Е)
(функция, принимающая на Е значения -)-1 и —1, непред-
ставима в виде Reif), где fe Bi( Ю)П^")- Из простейших
оценок производной функции класса Н°° следует, что если ф
сильно колеблется на Е, то модуль любого её аналитического
продолжения в D должен принимать достаточно большие
значения. Интерполяция функциями класса 7/°°П^|(Ю) на
множестве Е „не вполне свободна”; она может быть лишь
„более или менее свободной”.

Введем меру этой свободы: с любой функцией ф: Е-*-[С'
свяжем величину

М(ф,£) = т1{||Л|оо:	/ЫП-Ф1

и положим

Carl Е =» (sup {М (ф, Е): ф ® В, (£)))“*.
---------------------------------------------------------- . jj
Величину CarlE мы будем называть карлесоновостью мно- $
жества Е. Ясно, что Carl Е < 1, если Е содержит более од-
ной точки. Чем ближе Carl Е к единице, тем „свободнее" у
интерполяция на Е функциями класса Н°° П Bi (D). Действи-
тельно, Carl В— это наибольшее из чисел т, для которых $
/?£(Я“ПВ1(О))=>Вт(В). Условие sup| ф |Carl Е доста- h

Е	’

точно для разрешимости уравнения ф = Be(f) с „неизвест-
ной" f Е B°°nBi(D); если же Carl Е < sup | ф | < 1, то это |
е

уравнение разрешимо, вообще говоря, лишь при некоторых
специальных и трудно обозримых дополнительных условиях, ч.
налагаемых на ф.

Изучение карлесоновости множеств представляет интерес *
в связи с задачей описания интерполяционных последователь-
ностей. Легко видеть, что последовательность интерполяци-
онна тогда и только тогда, когда карлесоновости всех её ко-
нечных частей равномерно отделены от нуля.

Естественно ожидать, что карлесоновость множества тем -
больше, чем более „разбросаны" его точки. Меру такой „раз- "
бросанности" неплохо улавливает величина	<

6 (В) = min {| ВСЕ (?) |: $ <= Е},
где	{

i
В самом	деле,	f

Carl E > A—(8)	I

10W)	I

где A — абсолютная положительная постоянная. Именно |
к этой	оценке и приводят	оба	обсуждаемых доказательства	|

теоремы Карлесона. Можно показать (Гарнетт [1984], гл. 7,	|

§ 1), что оценка (8) неулучшаема — в том смысле, что суще-
ствуют множества Е со сколь угодно малым б (В) и с /
Carl В < Ai &	1

ъап£ я,! 10gd(£)| •	4

Если видеть цель доказательства в неравенстве (8), то t
преимущества доказательства Джонса бесспорны: оно позво- h|
ляет (вместе с оценкой (8)) в явной форме предъявить ли- ’
нейный оператор, осуществляющий интерполяцию; кроме
того, оно несравненно короче и элементарнее.	|

Но суть «старого» доказательства далеко не только |
в оценке (8)! Дело в том, что (как мы увидим ниже) харак- |
теристика б (В) всё-таки слишком груба и в принципе не поз- |


воляет дать хорошую двустороннюю оценку карлесо-
новости. Для этого нужна другая величина. Положим

z г(1 — ।ei2)(1 — ini2) пеС)

с (E) == sup f Z I Bt«) ГП 6 El.

Вот результат, к которому на самом деле приводит „старое"
доказательство:

Теорема. Для каждого конечного множества Е czD
^cCarlEC^,	(9)

где а — абсолютная положительная постоянная.

Это неравенство почти без потерь улавливает связь кар-
лесоновости множества с его геометрией. Из него непосред-
ственно вытекает и оценка (8) —ведь с (Е) С -*tW log
(см. лемму из первого пункта этого приложения). С другой
стороны,

dE)>T(^.	(10)

В самом деле, пусть точка £обЕ такова, что 6 (Е) = | Eto(?o) I-
Тогда c(E)^Zilhl. |BU (go)Г1 = (б(Е))-1, так как ZE„Co=l.
Из (9) и (10) следует, что

А

log(e/d(E))

<Саг1Е<б(Е)

(11)

(правое неравенство можно вывести и непосредственно из
леммы Шварца).

Между левой и правой частями этого неравенства имеется
„зазор" (логарифм в знаменателе слева!). Устранить его не-
возможно. В самом деле, мы уже видели, что бывают мно-
жества Е, „почти реализующие" левое неравенство (11).
Рассмотрим теперь „двоеточие" Ех — {—х, х}, где хе (0, 1).

Несложные подсчёты показывают, что Carl Еж=х, б(Ех)=
2х

= , так что

1 +V, _(6(£х))2 •

При малых х множество Ех „почти реализует" правое нера-
венство (И). Кроме того, Саг1Ех~б(Ех) при х-»-1. Итак,
(9) несёт больше информации, чем (11).
Отметив ещё, что оценка (8), очень полезная при малых
6(E), становится бессодержательной при 6(E), близких
к единице. Можно показать (с помощью „нелинейного" ме-
тода Эрла, см. Гарнетт [1984], гл. 7, § 5), что 1 — Саг1Е =
= О(д/1 ~ 6(E)) (6(E)—> 1). В. А. Толоконников заметил,
что порядок малости здесь точен; это видно из рассмотрен-
ного выше примера двоеточия.

Наметим доказательство неравенств (9).

Теми же рассуждениями, что и в подпункте В.3° главы IX
(„приём Ньюмена"), легко показать, что если Ке(1)==^>, то

M(i|), E) = sup|-^-

= sup

г|=1

№)

4—^

ВЕ (2)

:геЯ‘, ||g||i< 1



: g^H1, llgflh < 1

Поэтому

(Carl E) 1 = sup (M (i|>, E): e B1 (£)}

=SUp( X	-isi2)

I	Bt (?)

g<BHl, IlglhCl

= sup{ J|g|dp£: ge№, ||g||i<l},

(12)

где p£ = £ т-ДН- a — единичная нагрузка в точке g.

Здесь ||g||,=-^- J |g(z)||dz|.

1*1-1

Пусть t|sD, gn(z) =	• Имеем gn<s Н1, ||gn|li = l,

и потому

(Carl Е) 1	$ | gn | dp.£ =	Z4, j ।	।.

Переходя к supremum’y no i]GE (или даже D), получаем
правое неравенство в (9).

При доказательстве левого неравенства (9) будем исхо-
дить из следующей характеризации карлесоновых мер
(в D), найденной С. А. Виноградовым:

Предложение. Пусть ц—неотрицательная борелевская мера,
сосредоточенная на подмножестве К круга D. Следующие
утверждения равносильны;
1)	найдется такое число М > 0, что

J I h |2dp II й||ар (АеЯ2);

D

2)	s(н) == sup Н Zn> cdjx (С): ц е дЛ < + оо;

<•0	>

3)	S(ji) = sup I j Zn>5dp(g): p.(=d1 <4-00.
to	'

Если выполнено 1), то s(p) S(p) a\M a2s(p), где
Oi, a2 — абсолютные постоянные.

С. А. Виноградов дал прямое «гильбертово» доказатель-
ство этого предложения (см. Никольский [1980], с. 195—198),
не опирающееся на геометрическую характеризацию карлесо-
новых мер (последняя теорема главы VIII) и не использующее
максимальной функции. Оно использует лишь некоторую про-
стую и общую оценку интегральных операторов („тест Вино-
градова— Сеничкина*1) и оценки ядра Пуассона. Геометриче-
ская характеризация карлесоновых мер легко следует из при-
ведённого выше предложения (верно и обратное). Подчеркнем,
однако, что для доказательства теоремы Карлесона об интер-
поляции (или неравенств (9)) эта характеризация не нужна!
Не нужна, в частности, и лемма подпункта В.2° с её „диади-
ческой техникой**. Наглядность этой геометрической характе-
ризации обманчива: бывают ситуации, когда гораздо более
практичными оказываются менее эффектные на вид критерии
2) и 3). Одна из них — доказательство левого неравенства
(9), к которому мы и возвращаемся.

Если ge№, ||g||i	1, то g = bh2, где h<=H2,	||/i||B! =

=||£|li<3> a b— произведение Бляшке. В силу предложения
(К = Е)

$ I g I < $ I h |2 dp.B < a's (pB) = a'c (B).

Переходя к supremum’y no g, получаем в силу (12) левое
неравенство (9). Теорема доказана.

Почти тривиальная проверка карлесоновости меры цв про-
ведена здесь по схеме, предложенной С. А. Виноградовым еще
в 1974 г. Далеко идущее развитие этой схемы дано в статье
Виноградов, Рукшин [1982]. Там, кроме того, рассмотрены
такие интерполяционные задачи (кратная интерполяция с уз-
лами неограниченной кратности), когда джонсовское доказа-
тельство невозможно (отсутствует какой бы то ни было линей-
ный оператор интерполяции), а путь, идущий через двойствен-
ность и карлесоновы меры, приводит к цели.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СЛАБАЯ ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА L'/B1 (0)

1.	Последовательность {хЛ точек нормированного про*
стр»нства X назовём слабо сходящейся в себе, если lim х* (х„)

П->оо
существует для любого функционала х* е X*. Будем говорить,
что эта последовательность слабо сходится, если существует
такая точка х е X, что lim х* (х„) = х* (х), каков бы ни был
п-»оо

функционал х* е X* (ив этом случае мы говорим, что после-
довательность {хп} слабо сходится к этой точке х).

Слабо сходящаяся в себе последовательность не обязана
слабо сходиться — даже в случае банахова пространства X.
Пример. Пусть (х„}“=1 — такая последовательность функций,
непрерывных на отрезке [0,1], что

lim х„ (/) =

1,

0,

/ = 0,

sup||xn||y(I0, i])<l.
п

Тогда lim \ x„dji = p.({0}), какова бы ни была комплексная
юГи

борелёвская мера ц на отрезке [0,1]. Это означает (в силу
теоремы Ф. Рисса об общем виде линейного функционала
в пространстве непрерывных функций), что последователь-
ность {хп} слабо сходится в себе в пространстве ^([0,1]).
Однако {хп} не сходится слабо. В самом деле, слабый пре-
дел х последовательности {хп} должен был бы удовлетворять
условию

J хйц = и ({0})	(1)

[0,1]

для любой борелевской меры на [0,1], что невозможно (под-
ставляя в (1) g = Sf, где /е(0,1], а б/ — единичная на-
грузка в точке t, мы видим, что х(/) = 0 на (0,1]; но тогда
х(0) = 0 по непрерывности, и (1) нарушается при р = бо).

Определение. Нормированное пространство X называется
слабо полным, если всякая слабо сходящаяся в себе последо-
вательность его точек слабо сходится.

Строго говоря, наши слабо полные пространства следо-
вало бы называть секвенциально слабо полными, но
мы предпочтём здесь более короткий термин.

Пространство ^([0,1]) не является, как мы видели, слабо
полным. Обширный класс слабо полных пространств обра-
зуют рефлексивные нормированные пространства. В самом
деле, пусть {х„} — слабо сходящаяся в себе последователь-
ность в банаховом пространстве X. Положим
Ф(х‘)=Итх‘(хя) (х'еХ').

(2)

По теореме Банаха — Штейнгауза Ф принадлежит второму
сопряжённому X**. Если X рефлексивно, то найдётся такая
•точка хф е X, что

Ф(х*) = х*(хф) (х*еХ*).

К ней и будет слабо сходиться последовательность {хя}.

В частности, слабо полны все Lp при ре(1,4-оо) и все
их замкнутые подпространства (ведь замкнутое подпростран-
ство рефлексивного пространства рефлексивно). Поэтому
слабо полны и классы Харди Нр (для круга и для полупло-
скости), если 1 < р < -|-оо (рефлексивность этих прост-
ранств следует, впрочем, и непосредственно из результатов
главы VII).

2.	Примером нерефлексивного слабо полного простран-
ства служит L1, (этот символ обозначает здесь пространство
Ll (Т, пг), где Т — единичная окружность, a m — нормиро-
ванная мера Лебега на Т, m(T) = 1, хотя слабо полно и L1
на пространстве t мерой общего вида). В этом прилоЯсёнии
мы докажем слабую полноту факторпространства £’/я’(0)
fa попутно и пространства L1).

Пусть cL°°( — L°°(T, гп)). Будем говорить, что после-
довательность {fn} функций класса L1 (Т, ш) °Ц-слабо схо-
дится в себе, если lim \ fny существует при любой функции
<•	П->оо J

всюду ниже обозначает $ F drn).

- ’ Множество cz L°° назовём богатым, если для всякой
‘У-слабо сходящейся в себе последовательности {fn} най-
дётся такая функция feL1, что для любой функции
’	lim \fny = ( fy.	<3)

П-»оо J	v

Д1ы докажем, что множества L°° и Н°° богаты. Это и будет
означать, что пространства Z,1 и L'/H' (0) слабо полны (ведь
(L1)’ ~ £°°, (L'/Я1 (0))* последний изоморфизм установ-
лен в главе VII, см. первую табличку сопряжённых прост-
ранств в подпункте А.Г).

Перечислим четыре свойства множества О/, обеспечиваю-
щие, как мы увидим ниже, его богатство. В формулировке
первого свойства будут участвовать так называемые ау-сходя-
щиеся последовательности. Будем говорить, что последова-
тельность {уп} функций класса £“ ш-сходится к функции
у е L°°, если sup || уп ||те < + оо и lim уп (г) = у (z) при т-почти
П	П-><х>

всех геТ. Подмножество пространства L°° назовем w-замк-
нутым, если оно содержит w-предел любой w-сходящейся
последовательности своих точек.

I.	Щ есть w-замкнутая подалгебра в L°° (в частности,
— замкнутое по норме подпространство в L°°).

II.	Для любого замкнутого множества есТ лебеговой
меры нуль можно подобрать равномерно ограниченную по-
следовательность функций класса П поточечно на
окружности Т сходящуюся к (характеристической функ-
ции множества е); мы пишем вместо SF(T).

III.	Любая функция класса есть w-предел некоторой
последовательности точек множества Я? П 'V •

IV.	С каждым измеримым по Лебегу подмножеством е
окружности Т можно связать функции ke, Ке, такие что

(a) |^(z)l + |Ke(z)|^ 1 (z<=T);

(b)sup|Ke — 1 |->0, (|Ке|—>0	при/п(е)->0;

е	J

(c)sup| ke |—>0, \|1—&е|->0 при/п(е)->0.
е

Пара Ke, kt образует нечто вроде разбиения единицы для
окружности Т: если лебегова мера множества е мала, то Ке
равномерно близка к единице на множестве е и мала „в сред-
нем“, a ke равномерно мала на е и близка к единице „в сред-
нем“. Вот простейший (и тривиальный) пример: = L°°,
kg %Т\е•

Теорема. Если множество cz L°° обладает свойствами I—
IV, то оно богато.

Слабая полнота пространства L1 (т. е. богатство всего
пространства L°°) сразу следует из этой теоремы. Свойством I
пространство £°°, очевидно, обладает. Непрерывные функции
/ \	/1 dist (z, е) \n /

yn(z) = ( 1---- \ (z е Т) образуют ограниченную

последовательность, поточечно сходящуюся к %е, так что
условие II тоже выполнено. Условие III легко проверяется,
например с помощью теоремы Фату об интегралах Пуассона,
а условие IV мы уже проверили.

Проверка условий I—IV для О/ — Н°° требует большего
труда, и мы произведем её ниже в пункте 3. А пока присту-
пим к доказательству теоремы. Оно опирается на лемму
о правильных функционалах в L00.
Определение. Пусть cz L°°. Функционал Ф е (£““) * назо-
вем ^/-правильным, если найдётся такая функция feL1, что
Ф (У) = $ fy	(4)

для любой функции у е б/.

Пример. Продолжим (по теореме Хана — Банаха) функцио-
нал „значение в точке 1“ с ‘F на L00. Легко видеть, что по-
лучится функционал, не являющийся ^-правильным (и тем
более //“-правильным).

Лемма. Пусть 'V— подпространство в обладающее свой-
ствами II, III, и пусть Фе(£°“)*. Следующие утверждения
равносильны:

1)	Ф ^-правилен;

2)	Ф непрерывен на относительно ay-сходимости, т. е.
lim Ф (//„) = 0 всякий раз, когда последовательность {уп}
П->оо
точек множества w-сходится к нулю.

Доказательство. 1)=>2) по теореме Лебега о предель-
ном переходе под знаком интеграла.

2)=>1). Положим Ф?= Ф| ('S’DV)- По теореме Хана —
Банаха Ф? допускает непрерывное продолжение с подпрост-
ранства пространства на всё Поэтому в силу
теоремы Ф. Рисса найдётся такая комплексная борелевская
мера v на окружности Т, что Ф<г {у) — ydv (у е & П V)-
Если выполнено 2), то v обязана быть zn-абсолютно непре-
рывной. Действительно, пусть е — замкнутое подмножество
окружности Т. Достаточно доказать, что если /п(е) = 0, то
v (е) = 0. Пусть же {уп} — последовательность функций
класса £УП®’> соответствующая множеству е по условию II.
Тогда, в силу 2), lim Ф? (уп) — lim Ф (уп) = 0 (так как
w- lim уп = 0 1). Но по теореме Лебега

П->оо

lim Ф? (уп) = lim yndv == ( ^dv = v (е).

П-»оо	П->ОО J	J

Итак, v /n-абсолютно непрерывна, так что v = fm, где
f—некоторая функция из L1, и (4) верно для любой у^.

Из условия 2) и из свойства III пространства сле-
дует теперь, что (4) верно при любой у^О/, Q. Е. D.

Продолжим доказательство теоремы. Пусть {fn}—^-сла-
бо сходящаяся в себе последовательность. Положим (ср. (2))

Фп (//) = ( fny> Ф (У) = Ит Ф„ (у) (у е W
V	п->ео
По условию I, есть замкнутое подпространство в L“.
По теореме Банаха — Штейнгауза функционал Ф непреры-
вен на СЦ. Продолжим его с сохранением непрерывности
и линейности на всё пространство £°° (продолженный функ-
ционал по-прежнему будем обозначать буквой Ф). Теорема
будет доказана, если мы проверим, что Ф ^-правилен.

Положим =	||#||«><1}. Определим на

новое расстояние, полагая

Р (^р У2)= J |У1 ~ У21 (Уу У2 е ^у)-

Шар 91 наделённый расстоянием р, оказывается пол-
ным метрическим пространством. В самом деле, если после-
довательность {#„} точек шара $у р-сходится в себе, то
В силу полноты пространства L* найдётся такая функция
i/eL1, что

lim — #| = 0.	(5)

П-»оо J

В таком случае из последовательности {#„} можно извлечь
-подпоследовательность, w-сходящуюся к у, и, в силу усло-
вия I,	(5) означает теперь, что у е 9$v, lim d (у, у )=

= 0. Полнота шара относительно метрики р установлена.

Обозначим через <рп сужение функции Фп на шар %у.
Положим ф = Ф|^у. Из теоремы Лебега о предельном пе-
реходе под знаком интеграла следует, что все функции ф„
р-непрерывны. Функция ф, будучи их поточечным пределом
на полном метрическом пространстве р-непрерывна
в некоторой точке b шара 9) v (по известной теореме Бэра;
её доказательство приведено, например, в книге Иосида
[1967]).

Ясно, что w-сходимость точек шара 9tv влечёт их р-схо-
димость. Поэтому наша точка b е 91у такова, что

lim Ф (zn) = Ф (6), какова бы ни была р-сходящаяся к b

последовательность точек шара 9iv.	(6)

Выделенные в этой формулировке последние слова очень су-
щественны. Если бы их можно было отбросить, то доказа-
тельство теоремы закончилось бы сразу: взяв w-сходящуюся
к нулю последовательность {*„} точек пространства Мы
записали бы тождество

-ф(хй)=-ф(&)+'ф(2„),
где Zn — b — хл, и убедились бы в том, что lim Ф (х„) = О
П->оо

(ведь lzn — b |->о). Функционал Ф оказался бы пра-
вильным (по лемме). Но беда в том, что точки zn, стремясь
к Ь, могут покидать шар &v, и нам предстоит ещё некоторая
работа.

В нашем распоряжении два свойства функционала Фъ
свойство (6) и его непрерывность относительно нормы про-
странства £°°. Поэтому величина |Ф(х)| мала, если вектор
хе^ есть сумма фиксированного числа векторов, из кото-
рых каждый либо очень мал по £°°-нормё, либо представим
в виде ±(Ь — о), где v лежит в и p-близок к Ь.

Пусть же {хп} — w-сходящаяся к нулю последователь--
ность элементов пространства Проверим, что Ит Ф (хл)=

П->ОО

= 0. Не умаляя общности, можно считать, что х„е

(п = 1, 2, ...), так как можно перейти к-. Возьмём

'	'	Г	SUp||Xn||oo

п

малое число о > 0 и положим

‘en(=e„(o))= {zeT: |xn(z) |><г}.

Ясно, что lim m (е„) = 0. Запишем следующее тождество:
П->оо

“ (К‘пХ* + М -b) + {b~ kenb} + (1 - Кеп) х =
def

==(v0)_6) + (6_y(2)) + v(3).	. (7)

Здесь Ке, ke — „разбиение единицы" из условия IV. Мы сей-
час увидим, что если п велико, то величины Р^’.Ь),
р (о®, 6) малы, причем »<„*>, tH2) е Это позволит нам до-
казать, что и число |Ф(хп) | мало.

Функции Кепх, kenx, kenb (а с ними и о(пл, / = 1, 2, 3) при-
надлежат так как ‘У есть подалгебра в L00. Оценим
H’V Если	то |o<,3)(z) |<sup| 1 — Яе„|->0 (ибо

m(еп)->- 0); если же z е Т\ел, то | и<,3) (z) | < 2 | хп (г) |	2о.

Итак,

ЦОп’Цоо ^2ст при всех достаточно больших п.	(8)

Включения	(/=1, 2) вытекают из свойства

IV (а) функций Ке, ke и из включений хп е &v, b
Далее,
р» +	- о. р«М)<

**	w	П->оо

< J|»-*en| -0-
J	П->оо

Поэтому из (6) следует, что lim Ф (о<*> — Ь\= ИтФ (»<2) — Ь) =
Zl->oo	/2->оо	'

= 0, и в силу (7) и (8)

Jim | Ф (х„) | < || Ф || lim | о») ||м 2а || Ф ||,

каково бы ни было число а > 0. Итак, lim Ф(х„) =0,
П-»оо

и теорема доказана.

3. Осталось проверить, что == Н°° обладает свойствами
I—IV.

Свойством I Я00 обладает потому, что коэффициенты
Фурье суть ^-непрерывные функционалы, а принадлежность
функции f е А" пространству Нх означает обращение в нуль
её коэффициентов с отрицательными индексами.

Свойство II легко установить с помощью функции Фату <р,
построенной в подпункте А.Г главы II для множества Е
(е — в наших обозначениях); нужной последовательностью
будет

Свойство III. Если у е Н^, то по теореме Фату у (е‘*) =
= lim у (те1*) m-почти везде, где

2л

у (ге‘») = 2^- у (<?») J _ 2г cos (0 _ 0 + r2 dt.
о

Ясно, что sup| у (relt) |<||у Ц^, причём функция z*—*y(rz)
(z е Т) принадлежит # П Я00.

Свойство IV. Проверка этого условия несколько более
сложна. Требования, предъявляемые, например, в IV(с) к
функции ke (регулярной и не превосходящей по модулю еди-
ницы в DI), не так легко совместить. С одной стороны, она
должна быть всюду на Т (а значит, в известном смысле,
и всюду в D) p-близкой к единице. С другой стороны, на
множестве малой, но всё же положительной меры она должна
быть равномерно мала, а это влечёт ее малость в D.

Пусть т (е) > 0. Положим fe = -7===- (%е + /%е), где %е —
Vm (е)
характеристическая функция множества е, %е — её гармони*
чески сопряжённая (см. гл. I, п. Е). Функция fe продолжима
с окружности Т в единичный круг D как регулярная функ-
ция с положительной вещественной частью, fe(0) == л/т(е),
Re fe =	m-п. в. на е. Положим X(x) = |logx

Vm (е)

(х <= (0,1)) и введём следующую функцию gt, регулярную
в D:

def / 1 \*(«<«»

ge ~ ( 1 + fe )

Функция ge (точнее, её граничные значения на Т) — это уже
почти наша ke, а 1—ge — почти Ке. В самом деле, Re((l +
+/«)-*> О в D (это и позволяет определить однозначную
ветвь (1 +	Далее, 11 4- fe| 1 + Refe > 1 в D,

а потому все значения (1 +/«)“*(z) (геО) находятся
в правом полукруге Dn{Rez>0}. Если мера т(е) мала,
то мал и показатель Л(т(е)), так что множество ge(ID)
расположено в узком секторе (раствора лХ(т(е)) круга D
с биссектрисой [0,1]. Значит, при т(е)->-0 множество ge(D)
умещается в эллипсе Э(т(е)) с фокусами 0, 1 и с полуосями
| + о(1), о(1), т. е.
4

lge(z)l + l 1 — ge(z)|<I +и(т(е)) (zeD), (9)

где р.— некоторая положительная функция, заданная на
(0,1), с lim j*(x) = O. Заметим ещё, что при т(е)->-0

х -> О

ge(0) = (i + fe(0)H<M«))_> 1,
ь (т (е))

sup I ge К (т (е)) 2 ->0.

е

(10)

Наконец, положим

h __ ее	V___	• — Че

к‘ 1 + ц (т (в)) ’	Л«—14-и(т(в)) •

Условие IV(а) выполнено в силу (9). Первое из условий
IV (с) вытекает из (10). Чтобы проверить второе, достаточно
доказать, что

5 Ige — 1|->0 при m(<?)-► 0.

(Н)

Функция | Im ge| равномерно мажорируется малой полуосью
эллипса 3(m(e)), a Rege(z)e(0,1] (zaD), Поэтому (11)
равносильно соотношению

\ Regedm-> \ 1dm = 1,
которое следует из (10) (так как ge (0) = Re ge (0) =
= J Re ge}. Свойства IV(b) функций Ke следуют очевидным
образом из доказанного.

Итак, к Н°° применима теорема, так что оно богато, а
L‘/№(0) слабо полно. Этот факт был установлен независимо
и разными способами в работах Муни [1972] и Хавин [1973],
см. также Амар [1973]. Впоследствии доказательство было
упрощено (Хавин [1974]), хотя конструкция разбиения еди-
ницы оставалась сравнительно сложной. Мы воспроизвели
здесь совсем простую конструкцию, предложенную Гар-
неттом.

В связи с этим приложением см. книгу Гарнетт [1984].
Теорема о слабой полноте пространства L1 — классический
результат (см. теорему Витали — Хана — Сакса в книге
Иосида [1967]).
ЛИТЕРАТУРА О

А. Монографии

Бари Н. К.	' *J

v [1961] Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз.

Браудер (A. Browder)

[1969] Introduction to Function Algebras. Benjamin, New York.

Гамелин (T. Gamelin)

•'[1969] Uniform Algebras. Prentice-Hall, Englewood Cliffs. [Имеется
перевод: Равномерные алгебры. — М.: Мир, 1973.]
Гарнетт (J. Garrfett) ‘	u

[1980] Bounded Analytic Functions. Academic Press, Nevr York.
Ймеется перевод: Ограниченные аналитические функции.—

Мир, 1984.]

Г-олузин Г. М.	...

[1966] Геометрическая теория функций комплексного переменно-
го.— 2-е изд. — М.: Наука.	..

Гофман (К. Hoffman)

[1962] Banach Spaces of Analytic Functions. Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs. [Имеется перевод: Банаховы пространства ана-
литических функций.— Мл ИЛ, 1963.]	. ...	. ' -j

Гусман (М. de Guzman).

[1975] Differentiation of Integrals in R". Leet. Notesun Math. 481.
Springer, Berlin. [Имеется перевод: Дифференцирование Ин-
тегралов в Rn. — М.: Мир, 1978.]

Дьюрен (Р. Duren)

к^[1970] ,	Theory..of Яр. Spaces. Academic Press, New York.

Зигмунд (A. Zygmund)

[1935] Trigonometrical Series. First edition. Monografje Matematy(>>

<... ...... zne, Warsaw. [Имеется, перевод: Тригонометрические ряды,—
М. — Л.: Гостехиздат, 1939.]

[1959] Trigonometric Series. Two volumes, Cambridge. . [Имеется
перевод: Тригонометрические ряды. Т. 1, 2.—М.: Мир, . 1965.]

Ц.осида (К. Yosida)

*[1967] Функциональный анализ. — М.: Мир.

Кацнельсон (Y. Katznelson) ..

[1968] An Introduction to Harmonic Analysis. Wiley, New York.

Коллингвуд, Ловатер (E. Collingwood, A. Lohwater)	. Ai

-,*[19.71] Теория предельных множеств. — M.: Мир. . .	. -

Лузин Н. Н.

*[1951] Интеграл и тригонометрический ряд. — М.:. Физматгиз.

Никольский Н. К.	...	.	.

*[1980] Лекции об операторе сдвига. — М.: Наука.

Привалов И. И.	...............

.к. [1950] . Граничные свойства аналитических функций. — М.: ГИТТЛ.

. 9 Звёздочкой помечен^ работы, добавленные при переводе. — Прим,
ped~ ~	................ *	_ , _	‘
Рисе Ф.> Сёкефальви-Надь (F. Riesz, В. Sz.-Nagy)

*[1979] Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир.

Сарасон (D. Sarason)

[1978] Function Theory on the Unit Circle. Dept, of Math., Virginia
Poly. Inst, and State Univ., Blacksburg.

Стейн (E. M. Stein)

[1970] Singular Integrals and Differentiability Properties of Func-
tions. Princeton Univ. Press. [Имеется перевод: Сингулярные
интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.:
Мир, 1973.]

Титчмарш (Е. С. Titchmarsh)

[1948] Introduction to the Theory of Fourier Integrals. Second edi-
tion. Oxford. [Имеется перевод 1-го изд.: Введение в теорию
интегралов Фурье. — М.: ГИТТЛ, 1948.]

*[1980] Теория функций.— М.: Наука.

Хелсон (Н. Helson)

[1964]	Lectures on Invariant Subspaces. Academic Press, New York.
Цудзи (M. Tsuji)

[1959J Potential Theory in Modern Function Theory. Tokyo.

В. Статьи

Адамян В. M.

[1973] Невырожденные унитарные сцепления полуунитарных опера-
торов.— Функц. анализ и прил., 7. № 4, с. 1—16.

Адамян В. М., Аров Д. 3., Крейн М. Г.

[1968а] О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщённых задачах
Каратеодори — Фейера и Ф. Рисса. — Функц. анализ и прил.,
2, № 4, с. 1—19.

[1968b] Бесконечные ганкелевы матрицы и обобщённые задачи Ка-
ратеодори — Фейера и Шура. — Функц. анализ и прил., 2,
№ 4, с. 1—17.

[1971а] Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора
и обобщённая задача Шура — Такаги. — Мат. сб., 85, 33—73.

[1971b] Бесконечные блочно-ганкелевы матрицы и связанные с ними
проблемы продолжения. — Изв. АН Арм. ССР, сер. мат., 6,
№ 2—3, с. 87—112.

Амар (Е. Amar)

[1973] Sur un theoreme de Mooney relatif aux fonctions analytiques
Ьогпёеэ. Pacific J. Math. 49, 311—314.

Беренс (M. Behrens)

[1971] The maximal ideal space of algebras of bounded analytic
functions on infinitely connected domains. Trans. A. M. S. 161,
359—380.

Interpolation and Gleason parts in L-domains. Trans. A. M. S.,
to appear.

Бёрдинг (A. Beurling)

[1949] On two problems concerning linear transformations in Hil-
bert space. Acta Math. 81, 239—255.

Бернар, Гарнетт, Маршалл (A. Bernard, J. Garnett, D. Marshall)

[1977] Algebras generated by inner functions. J. Funct. Analysis. 25,
275—285.

Буркходдер, Ганди, Силверстейн (D. Burkholder, R. Gundy, M. Silverstein)
[1971] A maximal function characterisation of the class Hp. Trans.

A. M.S. 157, 137—153.

Варопулос (N. Varopoulos)

[1972] Sur un probleme d’interpolation. C, R. Acad. Sci. Paris 274,
Ser. A, 1539—1542.
[1977а]	ВМО functions and the d-equation. Pacific J. Math, 71, 221—3.

[1977b]	A remark on BMO and bounded harmonic functions. Pacific

J. Math. 73, 257—259.

Виноградов C. A.

*	[1983] Несколько замечаний о свободной интерполяции ограничен-
ными и медленно растущими аналитическими функциями. —
Зап. научн. сем. ЛОМИ, 126, с. 35—46.

Виноградов С. А., Горин Е. А., Хрущёв С. В.

*	[1981] Свободная интерполяция в Н°° по П. Джонсу. — Зап. научн.
сем. ЛОМИ, 133, с. 212—214.

Виноградов С. А., Рукшин С. Е.

*	[1982] О свободной интерполяции ростков аналитических функций
в пространствах Харди. — Зап. научн. сем. ЛОМИ, 107,
с. 36—45.

Гамелин (Т. Gamelin)

[1970]	Localization of the corona problem. Pacific J. Math. 34, 73—
81.

[1974] The Shilov boundary of H°°(U). Amer. J. Math. 96, 79—103.

Гарнетт (J. Garnett)

[1971]	Interpolating sequences for bounded harmonic functions. In-
diana Univ. Math. J. 21, 187—192.

[1977]	Two remarks on interpolation by bounded analytic functions,
in: Banach Spaces of Analytic Functions, Leet. Notes in Math.
604, Springer, Berlin, 32—40.

[1978]	Harmonic interpolating sequences, Lp and BMO. Ann. Inst.
Fourier Grenoble 28, 215—228.

Гарнетт, Джонс (J. Garnett, P. Jones)

[1978]	The distance in BMO to L°°. Ann. Math. 108, 373—393.

Гарнетт, Лэттер (J. Garnett, R. Latter)

[1978]	The atomic decomposition for Hardy spaces in several comp-
lex variables. Duke Math. J. 45, 815—845.

Глисон, Уитни (A. Gleason, H. Whitney)

[1962]	Tne extension of linear functionals on H°°. Pacific J. Math.
12, 163—182.

Гофман (К. Hoffman)

[1967]	Bounded analytic functions and Gleason parts. Ann. Math. 86,
74—111.

Джон, Ниренберг (F. John, L. Nirenberg)

[1961]	On functions of bounded mean oscillation. Comm. Pure Appl.
Math. 14, 415—426.

Джонс (P. Jones)

[1979a] Extension theorems for BMO. Indiana Univ. Math. J. 29, 41—
66.

[1979b] A complete bounded complex submanifold of c3. Proc. A. M.
S. 76, 305—306.

[1980a] Carleson measures and the Fefferman — Stein decomposition
of BMO(R). Ann. Math. Ill, 197—208.

[1980b] Bounded holomorphic functions with all level sets of infinite
length. Michigan Math. J. 27, 75—79.

[1980c]	Factorization of Ap weights. Ann. Math. Ill, 511—530.

*[1980d]	L°°-estimates for the ^-problem. Preprint, Dept. Math. Univ.

Chicago.

*[1981] Ratios of interpolating Blaschke products, Pacif. J. Math. 95,
№ 2, 311—321.

Дуглас (R. G. Douglas)

[1968aj Toeplitz and Wiener —Hopf operations in + Bull. A.
M. S. 74, 895—899.
[1968b] On the spectrum of a class of Toeplitz operators. J. Math,
and Meeh. 18, 433—435.	....

[1969] On the spectrum of Toeplitz and Wiener —Hopf operators,
in: Proc, of the Conf, on Abstract Spaces and Approximation,.
Oberwohlfach, 1968. I. S. N. M. 10, Birkhauser V., Basel.

Дуглас, Рудин (R G. Douglas, W. Rudin)

[1969] Approximation by inner functions. Pacific J. Math. 31, 313—
320.

Дуглас, Сарасон (R. G. Douglas, D. Sarason)

[1971] A class of Toeplitz operators. Indiana Univ. Math. J. 20,
891—895.

Дэйви, Ганелин, Гарнетт (A. Davie, Т. Gamelin, J. Garnett)

< [1973] Distance estimates and pointwise bounded density. Trans. A.
M. S. 175, 37—68.

Зискинд (S. Ziskind)

[1976] Interpolating sequences and the Shilov boundary of Я°°(Д).
J. Funct. Analysis 21, 380—388.

Карлесон (L. Carleson)

[1952] On bounded analytic functions and closure problems. Arkiv
for Mat. 2, 283—291.

[1958] An interpolation problem for bounded analytic functions. Amer.
J. Math. 80, 921—930.

[1960] A representation formula for the Dirichlet integral. Math.
Zeitsch. 73, 190—196.

' [1962] Interpolation by bounded analytic functions and the corona
problem. Ann. Math. 76, 547—559.

[1965]	Maximal function and capacities. Ann. Inst. Fourier Grenoble
15, 59—64.

[1966]	On the convergence and growth of partial sums of Fourier
series. Acta Math. 116, 135—157.

[1976]	Two remarks on Hl and BMO. Adv. in Math. 22, 269—277. ,
Карлесон, Гарнетт (L. Carleson, J. Carnett)

[1975]	Interpolating sequences and separation properties. J. d’Ana-
lyse Math. 28, 273—299.

Карлесон, Якобс (L. Carleson, S. Jacobs)

[1972]	Best uniform approximation by analytic functions. Arkiv for
Math. 10, 219—229.

Кахан (J.-P. Kahane)

[1967]	Another theorem on bounded analytic functions. Proc. A. M. S.
18,827—831.	,

Койфман, Фефферман (R. Coifman, C. Fefferman)

[1974] Weighted norm inequalities for maximal functions and singu-
lar integrals. Studia Math. 51, 241—250.	'

Kycuc (P. Koosis)	-J

[1957a] On functions which are mean periodic on a half-line. Comm.

Pure Appl. Math. 10, 133—149.

[1957b] Interior compact spaces of functions on a half-line. Comm.
Pure Appl. Math. 10, 583—615.	;

[1971] Weighted quadratic means of Hilbert transforms. Duke Math.
J. 38, 609—634.

[1973] Moyennes quadratiques de transformees de Hilbert et fonc-
'	tions de type exponeritieE C.' R. Acad. Sci. Paris 276; Ser. 'A,

1201—1204.

[1978]......Sommabilite de la fonction maximale et appartenance a H1?
............С. P. Acad Sei. Paris’286, Ser. A, 1041-1043. _
[1979]	Sommabilite de la fonction maximale et appartenance а Я1.
Cas de plusieurs variables. C. R. Acad. Sci. Paris 288, S£r. A,
489—492.

Лакс (P. Lax)

[1957]	Remarks on the preceding paper. Comm. Pure Appl. Math. 10,
617—622.

[1959] Translation invariant subspaces. Acta Math. 101, 163—178.
де Леу, Рудин (К. de Leeuw, W. Rudin)

[1958]	Extreme points and extremum problems in Hl. Pacific J. Math.
8, 467—485.

Ли, Сарасон (M. Lee, D. Sarason)

[1971]	The spectra of some Toeplitz operators. J. Math. Anal. Appl.
33, 529—543.

Линделёф (E. Lindelof)

[1916] Sur la representation conforme d’une aire simplement connexe
sur 1’aire d’un cercle, in: Quatrieme Congres des Mathemati-
ciens Scandinaves, Stockholm, 59—90.

Лузин H. H., Привалов И. И.

[1924] Sur I’unicite et la multiplicite des fonctions analytiques. C. R.
Acad. Sci. Paris 178, 456—459.

Лэттер (R. H. Latter)

[1979] A decomposition of Я”(РЛ) in terms of atoms. Studia Math.
62, 92—101.

Маккенхаупт (В. Muckenhoupt)

[1972a] Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function.
Trans. A.M. S. 165, 207—226.

[1972b] Hardy’s inequality with weights. Studia Math. 44, 31—38.

Мартиросян В. M.

*[1981] Эффективное решение задачи кратной интерполяции в Н°°
применением метода биортогонализации М. М. Джрбашяна..-гг-
Изв. АН Арм. ССР, сер. мат., 16, 339—357.

Маршалл (D. Marshall)

[1976] Blaschke products generate Я00. Bull. A.M.S. 82, 494—496.

~ [1976b] Subalgebras of L°° containing Я°°. Acta Math. 137, 91—98.
Муни (M. Mooney)

[1972] A theorem on bounded analytic functions. Pacific J. Math. 43,
457—463.

Неванлинна (R. Nevanlinna)

[1919] Uber beschrankte Funktionen die in gegebenen Punkten vd’r-
geschriebene Werte annehmen. Ann. Acad. Sci. Fenn. 13,
№ 1.

[1929] Uber beschrankte analytische Funktionen. Ann. Acad. Sci.
Fenn. 32, № 7.

Ньюмен (D. J. Newman)

’ [1963] Pseudo-uniform convexity in Я1. Proc. A. M. S. 14, 676—679.

Рисе Ф., Рисе M. (F. Riesz, M. Riesz)

[1916] Uber die Randwerte einer analytischen Funktion, in: Quatrld-
me Congres des Mathematiciens Scandinaves, Stockholm, 27—
44.

Рогозинский, Шапиро (W. Rogosinski, H. S. Shapiro)

[1953] On certain extremum problems for analytic functions. Acta
Math. 90, 287—318.

Рудин (W. Rudin)

- *[1978] Tauberian theorems for positive harmonic functions. Proc,
Con. Ned. Acad. Wetensh. A81, № 3, 376—384.
Сарасон (D. Sarason)

[1967]	Generalized interpolation in Я°°. Trans. A. M. S. 127, 179—
203.

[1972a] Approximation of piecewise continuous functions by quotients
of bounded analytic functions. Canad. J. Math. 24, 642—657.

[1972b]	An addendum to «Past and future». Math. Scand. 30, 62—64.

[1973]	Algebras of functions on the unit circle Bull. A.M.S. 79,

286—299.

[1975]	Functions of vanishing mean oscillation. Trans. A. M. S. 207,
391—405.

[1976]	Algebras between L°° and H°°, in: Leet. Notes in Math. 512,
Springer, Berlin, 117—129.

[1977a] Toeplitz operators with semi almost-periodic symbols. Duke
Math. J. 44, 357-364.

[1977b] Toeplitz operators with piecewise quasicontinuous symbols.
Indiana Univ. Math. J. 26, 817—838.

Сринивасан, Ванг (T. Srinivasan, J.-K Wang)

[1965]	On closed ideals of analytic functions. Proc. A. M. S. 16, 49—
52.

Стейн (E Stein)

[1969]	A note on the class LlogL. Studia Math. 33. 305—310.

Уидом (H. Widom)

[1965]	Toeplitz matrices, in: Topics in Real and Complex Analysis,
ed. by I. L Hirschman. Math. Assoc, of America, 197—209.

[1966]	Toeplitz operators on Hp. Pacific J. Math. 19, 573—582.

Учияма (A. Uchiyama)

[1982]	The construction of certain BMO functions and the corona
problem. Pacific J. Math. 99, № 1, 183—204.

Фату (P. Fatou)

[1906]	Series trigonometriques et series de Taylor. Acta Math. 30,
335—400.

Хс^вин В. П.

[1^71] Обобщение теоремы Привалова — Зигмунда о модуле непре-
рывности сопряженной функции. — Изв. АН Арм. ССР, 6,
с. 252-258.

[1973] Слабая полнота пространства L1/#1 (0). —Вестник ЛГУ, 13,
с. 77-81.

*[1974] Пространства Н°° и LX!H\.— Зап. научн. сем. ЛОМИ, 39,
с. 120—148.

Хавинсун С. Я.

*П$49] Об одной экстремальной задаче теории аналитических
функций.— У МН, 4, № 4, с. 158—159.

[1951] О некоторых экстремальных задачах теории аналитических
функций. —Уч. зап. МГУ, 148, с. 133—143.

[1955] Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических
функций в конечно-связных областях. — Мат. сб., 36,
с. 445—478.

Фефферман, Стейн (С. Fefferman, Е. М. Stein)

[1972]	Нр spaces of several variables. Acta Math. 129, 137—193.

Хант, Маккенхаупт, Уиден (R. Hunt. В. Muckenhoupt, R. Wheeden)

[1973]	Weighted norm inequalities for the conjugate function and
Hilbert transform. Trans. A. M. S. 176, 227—251.

Хелсон, Лауденслегер (H. Helson, D. Lowdenslager)

[1958]	Prediction theory and Fourier series in several variables. Acta
Math. 99, 165-202.

[1961]	Prediction theory and Fourier series in several variables, II.
Acta Math. 106, 175—213.
Хелсон, Сарасон (Н. Helson, D. Sarason)

[1967] Past and future. Math. Scand. 21, 5—16.

Хелсон, Сегё (H. Helson, G. Szego)

[1960]	A problem in prediction theory. Annali di Mat. Рига ed Appli-
cata 4, 51, 107—138.

Шапиро, Шилдс (H. S. Shapiro, A. Shields)

[1961]	On some interpolation problems for analytic functions. Amer.
J. Math. 83, 513—532.

Эрл (J. Earl)

[1970]	On the interpolation of bounded sequences by bounded func-
tions. J. London Math. Soc. (2) 2, 544—548,
Адамян В. М. 182, 189, 348

Александров А. Б. 6

Амар (Е. Amar) 346, 348

Анианссон (J. Aniansson) 8

Аров Д. 3. 182, 189, 348

Бари Н. К. 347

Беренс (М. Behrens) 348

Бернар (A. Bernard) 348

Бёрлинг A. (A. Beurling) 103, 104,
348

Бёрлинг П. (Р. Beurling) 330

Браудер (A. Browder) 347

Буркхолдер (D. Burkholder) 228,
348

Ванг (J.-K. Wang) 104

Варопулос (N. Varopoulos) 257,259,
320, 348

Виноградов С. А. 239, 330, 336, 337,
349

Волфф (Т. Wolff) 7, 316, 318, 322

Гамелин (Т. Gamelin) 7, 315, 325,
347, 349, 350

Ганди (R. Gundy) 228, 348

Гарнетт (J. Garnett) 5, 8, 187, 189,
212, 254, 292, 316, 320, 330, 334,
336, 346—350

Гарсиа (Garsia) 270

Глисон (A. Gleason) 349

Голузин Г. М. 192, 347

Горин Е. А. 330, 349

Гофман (К. Hoffman) 243, 317, 347,
349

Гусман (М. de Guzmdn) 347

Густафссон (В. Gustafsson) 8

Джон (F. John) 262, 272; 291, 349

Джонс (Р. Jones) 212, 299, 329,
330, 333, 334, 349

Дуглас (R. G. Douglas) 7, 191, 349,
350

Дьюрен (Р. Duren) 7, 113, 243, 347

Дэйви (А. М. Davie) 325, 328, 350

Залкман (L. A. Zalcman) 185 t

Зигмунд (A. Zygmund) 39, 97, 106,
117, 125, 153, 221, 286, 347 j

Зискинд (S. Ziskind) 7, 350	j‘

Иосида (К. Yosida) 342, 356, 347	%

йиертз (М. Giertz) 8

Йон см. Джон	J

Каратеодори (С. Caratheodory) 61
Карлесон (L. Carleson) 7, 38, 113,
120, 243, 251, 300, 316, 322, 330,
350	?

Кахан (J.-P. Kahane) 350	*

Кацнельсон (Y. Katznelson)	117,	I

120, 153, 347	t

Койфман (R. Coifman) 211,	350	J

Коллингвуд (Е. Collingwood)	82,	я

347

Крейн М. Г. 182, 189, 348

Кусис (Р. Koosis) 5, 6, 350	$

Лакс (Р. Lax) 351	4

Лауденслегер Д. (D. Lowdenslager)
46, 352

Леу, де (К. de Leeuw) 351

Ли (М. Lee) 351

Линдберг (М. Lindberg) 8

Линделёф (Е. Lindelol) 8, 62, 351

Ловатер (A. Lohwater) 82, 347

Лузин Н. Н. 38, 80, 347, 351

Лэттер (R. Latter) 349, 351

Маккенхаупт (В. Muckenhoupt) 7,
211,351,352	<

Мартиросян В. М. 330, 351	>

Марцинкевич (J. Marcinklewicz) t

123, 124, 218, 220

Муни (М. Mooney) 346, 351

Неванлинна (R. Nevanlinna) 151,
189, 351
Никольский Н. К. 5, 239, 255, 337,
347

Ниренберг (L. Nirenberg) 262, 272,
291, 349

Ньюмен (D. J. Newman) 112, 249,
336, 351

Пеллер В. В. 6

Привалов И. И. 80, 82, 129, 131,
347, 351

Риппон (Ph. J. Т. Rippon) 82

Рисе М. (М. Riesz) 5, 43, 45, 62, 68,
351

Рисе Ф. (Е Riesz) 5, 43, 45, 62, 68,
173, 174,^16, 348, 351

Робинсон (R. Robinson) 61

Рогозинский (W. Rogosinski) 181,
351

Рудин (WJ Ruditt) 23, 82, 185, 191,
350, 351

Рукшин С. Е. 337, 349

Сарасон (D. Sarason) 7, 185, 211,
347, 350—352

Сегё (G. SzegoL'7, 204, 211, 353.

Сёкефальви-Надь (В. Sz.-Nagy) 216,
348

Свенссон ,(L. Svensson) 8

Силверстейн (М. Silverstein) 228,

-.348, ....

Смирнов В. И. 5, 129

Сринивасан (Т. Srinivasan) 104,352

СтейнИ. (Е. М. Stein) 221, 228,.

231, 235, 236, 276, 348, 352

Стейн П. (Р. Stein) 276

Стормарк (О. Stormark) 8

Титчмарш (Е. С. Titchmarsh) 75,
76, 86, 164, 348

Толоконников В. А. 336

Томсон (Thomson) 305

Торин (G. О. Thorin) 8

Тумаркин А. Г. 6

Уиден (R. Wheeden) 7, 211, 352

Уидом (Н. Widom) 352

Уитни (Н. Whitney) 349

Учияма (A. Uchiyama) 352

Фату (Р. Fatou) 12, 45, 352

Фефферман (С. Fefferman) 211,228,
231, 235, 236, 262, 265, 280, 350,
352

Фростман (О. Frostman) 112

Харди (G. Н. Hardy) 5

Хавин В. П. 329, 346, 352

Хавинсон С. Я. 181, 352

Хант (R. Hunt) 7, 211, 352

Хелсон (Н. Helson) 7, 46, 204, 211,

348, 352, 353

ХёрманДер' (L. Hormander) 237, 243,

Хрущёв С. В. 330, 349

Цудзи (М. Tsuji) 348

Чанг (S.-Y. Chang) 7

Шапиро (Н. S. Shapiro) 8, 181, 243,
251 351 353

Шилдс (A. Shields) 181, 243, 251,.
.353 .

Эрл (J. Earl) 336, 353

Эссен (М. Essen) 8

Эстранд (A. Ostrand) 8

Якобс (S. Jacobs) 350
Адамяна — Арова — Крейна теоре-
ма 182, 187
аппроксимативная единица 18

Беккенбаха теорема 68

Бернара приём 196

Бёрлинга теорема 104

Бляшке произведение 85

— сомножитель 111

богатое множество 339

Боненблюста — Собчака теорема
264

Буркхолдера — Ганди — С алее р-
стейна теорема 5, 228

Виноградова — Сеничкина тест 337

внешний сомножитель 103

внешность кривой 54

внутренний сомножитель 103

внутренность кривой 54

внутренняя функция 111

Волффа лемма 319

вычисления функционал 316

гармоническая функция 9, 50
гармонически сопряжённая функция

9, 115

Гарнака теорема 24

Гарнетта лемма 254

— теорема 257

Гарсиа норма 6, 271

Гельфанда — Мазура теорема 315

Гильберта неравенство 268

— преобразование 115, 160

-----максимальное 227

гипотеза о короне 316

граничная функция 27
граничное значение радиальное 23

----- угловое 27

Джона — Ниренберга теорема 292

Джонса интерполяционная формула
330
диадический интервал 292

Дугласа — Рудина теорема 191

Егорова теорема 79, 80

Жордана теорема 53

жорданов многоугольник 54

жорданова дуга 53

—	кривая 53

жорданово рассуждение 54

w-замкнутое множество 340

Зигмунда теорема 125, 127

интерполяционная последователь-
ность 241

—	формула Джонса 330

Йенсена формула 86

Кальдерона — Зигмунда разбиение
293

каноническое представление функ-
ции из Нр 103

Карлемана теорема 83

Карлесона теорема 236, 248, 250,
322

карлесонова мера 236

класс Харди 5

Колмогорова теорема 120, 128, 198

конструкция Лузина — Привалова
(эскимо) 76, 78

—	Привалова 238

—	Фату 204

корона 316

Коши — Римана уравнения 9

Коши формула для функций из №
52

Лебега теорема 26, 32, 217

—	точка 31

лемма Волффа 319

—	Гарнетта 254

—	о средних 99

— об абсолютной непрерывности
98
Линделёфа теорема 62

линейная мера 70

Лузина —Привалова теорема 80

----эскимо-конструкция 76, 78

разбиение Кальдерона — Зигмунда
293

Римана теорема 52

Рисса М. теорема 116, 123, 157

Риссов теорема 43, 69, 71

максимальная функция некасатель-
ная 224

---- радиальная 234

----Харди — Литтлвуда 215

---- частичная 222

максимальных идеалов простран-
ство 315

малая дуга 53

Марцинкевича приём 220

Маршалла теорема 195, 197

мера Карлесона (карлесонова) 236

— линейная 70

— радиально ограниченная 300

— Хелсона — Сегё 204

нагрузка в точке оо 135

некасательное граничное значение
21

неравенство Гильберта 268

несущий интервал 167

норма Гарсиа 6, 271

Ньюмена приём 336

односвязное множество 54

параметризация кривой 53

Планшереля теорема 162

V-правильный функционал 341

преобразование Гильберта 115, 160

----максимальное 227

—	Фурье 162

Привалова конструкция 238

приём Бернара 196

—	Марцинкевича 220

—	Ньюмена 336

проблема короны 316

пространство максимальных идеа-
лов 315

— слабо полное 338

Пуассона формула 10, 133

----сопряжённое 29

— ядро 10, 133

Пэли — Винера теорема 164

радиально ограниченная мера 300

— стремится 23

радиальное граничное значение 23

Сарасона теорема 184

свёртка 167

Сегё теорема 201

сингулярный сомножитель 111

слабо полное нормированное про-
странство 338

— сходится 338

--- в себе 338

^-слабо сходится в себе 339

смежные интервалы 43

Смирнова теорема 97

---обобщённая 103

сомножитель Бляшке 111

—	внешний 103

—	внутренний 103

—	сингулярный 111

сопряжённые гармонические функ-
ции 9

среднее значение 265

Стейна теорема 221

стремится по некасательным на-
правлениям 21

—	радиально 23

сумма Фейера 186

сходимость слабая (в себе) 338

—	-слабая (в себе) 339

w-сходимость 339

теорема Адамяна — Арова — Крей-
на 182, 187

— Беккенбаха 68

— Бёрлинга 104

— Боненблюста — Собчака 264

— Буркхолдера — Ганди — Силвер-
стейна 5, 228

—	Гарнака 24

—	Гарнетта 257

—	Гельфанда — Мазура 315

—	Джона — Ниренберга 292

—	Дугласа — Рудина 191

—	Егорова 79, 80

—	- Жордана 53

—	- Зигмунда 125, 127

—	Карлемана 83

— Карлесона 236, 248, 250, 322

— Колмогорова 120, 128, 198

— Лебега 26, 32, 217

—	Линделёфа 62 (

—	Лузина — Привалова 80
— Маршалла 195, 197  — о короне 316  	мерах Карлесона 236  —	Планшереля 162  —	Пэли — Винера 164  — Римана 52  — Рисса М. 116, 123, 157  — Риссов 43, 69, 71  — Сарасона 184  — Сегё 201  — Смирнова 97  	обобщённая 103  — Стейна 221  — Титчмарша 171  — Фату 20, 23, 74  — Феффермана 298  	в интерпретации Гарсиа 290  — Феффермана — Стейна 232, 234  — Фрагмена — Линделёфа 163, 164  — Фростмана 112, 197  — Харди 74  — Харди — Литтлвуда 215,  —	Хаусдорфа — Юнга 161  —	Хелсона — Сегё 208  —	Шапиро— Шилдса 251  —	Эванса 13  тест Виноградова — Сеничкина 337  Титчмарша теорема 171  точка Лебега 31  тригонометрический полином 204	Фрагмена — Линделёфа теорема 163, 164  Фростмана теорема 112, 197  функционал вычисления 316  — ^-правильный 341  функция внутренняя 111  — гармоническая 9, 50  — гармонически сопряжённая 9,  — граничная 27  — максимальная см. максимальная функция  — ограниченной средней осцилля- ции 266  — распределения 120, 213  — унимодулярная 190  — экспоненциального типа 164  Фурье преобразование 162  Харди класс 5  — теорема 71  Харди — Л иттлвуда максимальная функция 215  	 теорема 215  Хаусдорфа — Юнга теорема 161  Хелсона — Сегё мера 204  	 теорема 208  Шапиро — Шилдса теорема 251
угловое граничное значение 27 угловой предел 27, ,67	,  унимодулярная функция 190 уравнения Коши — Римана 9	Эванса теорема 13  экспоненциального типа 164 эскимо-конструкция Л узина — При-
	валова 76
факторизация 89  Фату конструкция 204  — теорема 20, 23, 74  Фейера сумма 186  Феффермана — Стейна теорема 232, 234  Феффермана теорема 298.  	в. интерпретации Гарсиа 290  формула Джонса 330  — Йенсену .86  — Пуассона 10, 133	ядро Пуассона 10, 133  	сопряжённое 29  ВМО 5, 7, 266  ©-замкнутое множество 340  w -сходим ость 339  ©♦-сходимость 19  ^-правильный функционал 341  ^-слабо сходится в себе 339
ВМО 266
С 13
Carl 334
д, д 318
Gj 265
Нр 50, 89, 139
Я₽(0) 173
Л, j 275
Ip 103
Lp 11
l.i.m. 162
lim — lim sup
lim = lim inf
log" 100
M 13
Pr 10
173

J^(0) 175
176
39, 173
176
л 173 . :
Op 103
'С комплексные числа
D 329

N натуральные числа

R вещественные числа
T 339

§ 106

m, Н» 314, 315

91 271

П 206

Д 274, 318

V 275

f 37

° 78

“ 78

~ 167

~ 28

~ 154

* 224, 225

* 167

• 275

I I 43

II Нр 92

IIII» 206

III |Н 185, 289

( , >» 206

19

21, 27
ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода.............................................5

Предисловие ......................................................7

Глава I. Функции, гармонические в круге {|z] < 1}. Элементарные
факты...........................................................  9

А.	Представление в виде	степенного ряда......................9

В.	Формула Пуассона..........................................Ю

С.	Представление Пуассона для гармонических функций, принад-
лежащих некоторым классам.....................................11

D.	Граничное поведение.......................................14

Г Свойства суммируемости гармонических функций, заданных
формулой Пуассона...........................................14

2° Первоначальное изучение граничного поведения.............16

3° Дальнейшее изучение граничного поведения. Некасательные
граничные значения и теорема Фату...........................20

Задача 1	 25

Е.	Гармонически сопряжённая функция..........................28

Г Формула для гармонически сопряжённой функции..............28

2° Поведение гармонически сопряжённой функции вблизи дуги,
на которой исходная функция имеет непрерывную производную 30
Задача 2....................................................31

3° Радиальное граничное поведение гармонически сопряжённой
функции вблизи точек Лебега исходной функции................31

4° Существование |(0) для f из L2...........................34

5° Контрпример .............................................39

Глава II. Теорема братьев Рисе. Введение в теорию пространства Я1 43

А.	Теорема Ф. и М. Риссов...................................43

1° Оригинальное доказательство	братьев Рисе................43

2° Современное доказательство Хелсона и Лауденслегера ... 45

В.	Определение и основные свойства пространства Я1...........50

Г Представление Пуассона для функций из Я1..................51

2° ГЛсходимость к граничным значениям.......................52

3° Формула Коши.............................................52

С.	Отступление в теорию конформных отображений...............52

Г Теорема Каратеодори о непрерывности конформного отобра-
жения вплоть до граничной жордановой кривой.................53

2° Теорема Линделёфа о поведении конформного отображения
вблизи граничной точки, в которой существует касательная . . 61

D.	Области, ограниченные спрямляемой жордановой кривой . . 68
1° Производная конформного отображения принадлежит клас-
су Я1 ........................................................68

2° Образы множеств меры нуль на единичной окружности . . 69
3° Ряд Тэйлора конформного отображения абсолютно сходится
вплоть до границы...........................................71

Задача 3	................................................‘°

Глава III. Элементарная теория граничного поведения аналитических
функций.......................................................   74

А.	Существование п. в. конечных некасательных граничных значе-
ний...........................................................74

В.	Теорема единственности для функций из Я1..............  •	74

С.	Дальнейшие теоремы существования граничных значений . . 75

Г Функции с положительной вещественной частью...............75

2° Существование Г(0) для F из L1...........................76

D.	Теорема единственности Лузина — Привалова.................76

Г Эскимо-конструкция Лузина — Привалова.....................76

2° Применение теоремы Егорова...............................79

3° Теорема единственности Лузина — Привалова................80

Е.	Обобщения принципа симметрии Шварца.......................82

Г Аналитическое продолжение функций из Я1. через дугу еди-
ничной окружности...........................................82

2° Одна теорема Карлемана...................................83

Задача 4....................................................84

Глава IV. Применение формулы Йенсена. Разложение в произведение
внутренней и внешней функций..................................  85

А.	Произведения Бляшке......................................85

Г Критерий сходимости......................................85

2° Граничные значения почти всюду равны по модулю единице 86

В.	Выделение произведений Бляшке в качестве сомножителей . . 88
Г Возможность построения произведения Бляшке, имеющего те
же нули, что и у заданной функции, аналитической в единичном
круге .......................................................88

2& Классы Я?, 0 < р < оо. Факторизация.....................89

С.	Функции класса Нр........................................92

1° Граничные значения. Норма..............................92

2° Сходимость в среднем к граничным значениям. Третье дока-
зательство теоремы Ф. и М. Риссов..........................93

3° Теорема Смирнова .......................................97

D.	Внутренние и внешние сомножители.........................98

1° Лемма об абсолютной непрерывности.......................98

2° Лемма о средних.........................................99

3° Выражение аналитической функции через её вещественную
часть .....................................................99

4° Разложение на внутренний и внешний	сомножители .... 100

Е.	Теорема Бёрлинга.........................................103

Г Аппроксимация многочленами..............................103

2° Обобщение теоремы Смирнова.............................103

3е Теорема Бёрлинга для Нр.................................104

F.	Инвариантные подпространства.............................106

Задача 5....................................................ПО

G.	Пространство Я°°. Теорема Фростмана о равномерной аппрок-
симации внутренних функций произведениями	Бляшке.............ПО

Глава V. Неравенства для норм гармонически сопряженных функций 114

А. Преобразование Гильберта функций из А2....................114

В.	Преобразование Гильберта функций из Lp, 1 < р < оо . . .115
Г Одно тождество ...........................................Иб

2° Теорема М. Рисса........................................116

С.	Г(0) для f из L1.........................................120

1° Определение функции распределения. Теорема Колмогорова . 120
2° Второе доказательство теоремы М. Рисса, основанное на тео-
реме Колмогорова и интерполяционной теореме Марцинкевича . 123
3° Теорема Зигмунда о классе LlogL........................125'

4° Обращение теоремы Зигмунда для положительных функций . 126
5° Ещё одна теорема Колмогорова............................128

D.	f для ограниченных или непрерывных периодических функций f 129
Г Суммируемость функции ехр Х|/|............................126

2° Случай непрерывной периодической функции f..............133

Е.	Классы Липшица...........................................131

Глава VI. Пространства Яр в верхней полуплоскости ....... 133

А.	Формула Пуассона для верхней полуплоскости...............133

В.	Граничное поведение...................................... Вб

С.	Пространства Нр в {Im z > 0}.............................139

D.	Теоремы М. Рисса о преобразовании Гильберта..............151

Е.	Преобразование Фурье. Теорема Пэли — Винера..............161

F.	Теорема Титчмарша о свёртках.............................167

Задача 6..................................................172

Глава VII. Двойственность пространств Нр.......................  173

А. Пространства Нр и их сопряжённые. Теорема Сарасона . .	173

Г Некоторые пространства и их сопряжённые.................. 173

2° Аппроксимация ^-функциями. Метод двойственности Хавин
сона и Рогозинского — Шапиро................................. Ш

3° Теорема Сарасона о замкнутости (по норме) класса + Н°° 184
В. Постоянные по модулю элементы классов смежности из L*/#*.
Теорема Маршалла..............................................186

1° Теорема Адамяна — Арова — Крейна ........................186

2° Теорема Маршалла. Единичный шар пространства Я°° совпа-
дает с замкнутой по норме выпуклой оболочкой произведений
Бляшке	............................................ВО

С.	Теорема	Сегё.........................................197

D.	Теорема	Хелсона — Сегё....................................204

Задача 7.................................................  212

Глава VIII. Применение максимальной функции Харди — Литтлвуда 213

А.	Использование функции	распределения......................213

В.	Максимальная функция	Харди — Литтлвуда..................215

1° Теорема Харди — Литтлвуда, доказанная с помощью кон-
струкции Ф. Рисса..........................................215

2° Неравенства для норм максимальной функции Харди—Литтл-
вуда fM....................................................218

3° Критерий суммируемости функции fM на множествах конечной
меры. Теорема Стейна.......................................219

С.	Приложение к изучению функций, аналитических или гармони- ,
ческих в верхней полуплоскости и	в единичном круге..........223

Г Оценка интеграла Пуассона через fM.......................223

2° Некасательная максимальная функция Г*(х), —оо < х < оо 224
3° Некасательная максимальная функция f*(9), —л	0 я 225

4° Максимальное преобразование Гильберта...................227
D.	Характеризация пространства Re Я1 в терминах максимальных
•функций .................................................  228

Г Теорема Буркхолдера, Ганди и Силверстейна................228

2°-Характеризация пространства Re Я1 в терминах радиальной
максимальной функции.......................................232

3° Обсуждение вопроса......................................235

Е.	Меры Карлесона...........................................236

Задача 8 . ................................................239

Глава IX. Интерполяция........................................  241

А.	Необходимые условия.....................................241

1° Лемма о равномерности...................................241

2° Числа JI(|z„ — z*|/|z„ — Zk |) должны быть отделены от нуля 242
ky=n

В.	Теорема Карлесона................ .......................243

Г Одна лемма вычислительного	характера . ..................243

2° Одна мера Карлесона.....................................244

3° Доказательство теоремы	Карлесона........................248

. С. Весовая интерполяция функциями из пространств Нр. Теорема
Шапиро и Шилдса..............................................251

. D. Связь между некоторыми условиями на последовательности {zn} 254

Е. Интерполяция ограниченными гармоническими функциями. Тео-
рема Гарнетта...............................................256

Задача 9...................................................261

Глава X. Функции ограниченной средней осцилляции...............  262

А. Пространство, сопряжённое с КеЯ!(0).......................262

1° Одно тождество ..........................................262

2° Вещественные линейные функционалы на Я’(0)...............263

В.	Введение пространства ВМО................................265

Г Определение пространства ВМО..............................265

2° Если ф и ф — ограниченные функции, то функция ср + ф при-
надлежит пространству ВМО...................................267

С.	Норма Гарсиа.............................................27о

1° Определение нормы 9Ц<р)..................................271

2° Два простых неравенства для 91 (ф).......................271

D.	Некоторые вычисления, основанные на формуле Грина .... 274

1° Некоторые тождества......................................274

2° Стейновское представление Я1-нормы в виде двойного ин-

теграла .................................................276

3° Различные способы выражения того факта, что F порождает
линейный функционал на Re Я1 (0).........................277

Е.	Теорема Феффермана с нормой Гарсиа.....................280

1° Использование неравенства Шварца......................280

2° Одна мера, о которой будет доказано, что	она карлесонова . 281

3° Основная лемма........................................283

4° Теорема Феффермана с нормой 91........................288

F.	Теорема Феффермана с ВМО-нормой........................291

Г Теорема Джона и Ниренберга.............................291

2° Эквивалентность ВМО-нормы и нормы	Гарсиа.............296

3° Теорема Феффермана....................................298

G.	Представление функций из ВМО через радиально ограничен-
ные меры...................................................300

1° Радиально ограниченные меры. Они порождают линейные
функционалы на Re Я1 (0).................................300

2° Все линейные функционалы на КеЯ^О) порождаются ра-
3

диально ограниченными мерами............................ 305

Задача 10.................................................312	|

Добавление. Теорема о короне ...	 ........................314

А.	£омоморфизмы алгебры Н°° и	её	максимальные идеалы . . . 314 J

В.	д-уравнение ...........................................318

С.	Доказательство Волффа теоремы	о	короне................322

Приложения. В. П. Хавин........................................329

Приложение 1. Интерполяционная	формула	Джонса..............329

Приложение 2. Слабая полнота пространства	.... 338

Литература.....................................................347

А.	Монографии.............................................347

В.	Статьи.................................................348

Именной указатель..............................................354

Предметный указатель...........................................356

Указатель обозначений ........................................ 359
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании
книги, ее оформлении, качестве пере-
вода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-ПО, ГСП,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство
«Мир».
Пол Кусис

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОСТРАНСТВ

Ст. научный редактор В. И. Авербух
Мл. научный редактор Л. А. Макарова
Художник Ю. С. Урманчеев
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова
Корректор В. С. Соколов

ИБ № 3797

Сдано в набор 04.11.83. Подписано к
печати 11.09.84. Формат 60Х90>/1в. Бумага
типографская Кг 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Объем 11,50 бум. л. Усл. печ.
л. 23,00. Уч.-изд. л. 20,09. Усл. кр. отт. 23,26.
Изд. № 1/2910. Тираж 4200 экз. Зак. № 857.

Цена 1 р. 80 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО <МИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2, головное
предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техни-
ческая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29.
Имеется в продаже книга
издательства «Мир»

ю. люк

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ И ИХ АППРОКСИМАЦИИ

Перевод с английского, 1980, 1 р. 90 к.

Справочник по специальным функциям с таб-
лицами, приспособленными для использования их
на ЭВМ. При расположении таблиц в памяти
машины важно, чтобы они занимали минималь-
ный объем. Именно такого рода таблицы содер-
жатся в данной книге. Для каждой функции
приводится краткий перечень необходимых опре-
делений и формул и даются коэффициенты ап-
проксимаций. В книге представлены обобщенные
гипергеометрические функции, гауссовские гипер-
геометрические функции, функции Бесселя, Лом-
меля, Струве и др. Библиография содержит более
600 названий.

Предлагаемая книга Ю. Люка примечатель-
на в том отношении, что она является не только
справочником по специальным функциям, но и
содержит большой табличный материал, причем
представленные таблицы, несомненно, близки к
оптимальным. Как правило, это либо таблицы
коэффициентов разложения функции в ряд Фу-
рье— Чебышёва, либо таблицы коэффициентов
рациональных аппроксимаций Паде.

Оглавление: 1. Гамма-функция и функции,
с ней связанные. 2. Биномиальная функция.
3. Элементарные функции. 4. Неполные гамм а-
функции. 5. Обобщенная гипергеометрическая
функция pFq и G-функция. 6. Гипергеометриче-
ская функция Гаусса 2Л- 7. Конфлюэнтная ги-
пергеометрическая функция. 8. Идентификация
pFq и G-функций со специальными функциями.
9. Функции Бесселя и их интегралы. 10. Функ-
ции Ломмеля, функции Струве и функции Бес-
селя, связанные с ними. 11. Ортогональные много-
члены. 12. Вычисления с помощью рекуррентных
формул. 13. Некоторые аспекты рациональных и
полиномиальных приближений. 14. Разное.

Книга нужна каждому специалисту по при-
кладной математике и многим инженерам.

Эту книгу Вы можете приобрести в магази-
нах книготоргов, распространяющих научно-тех-
ническую литературу. Если в ближайшем от Вас
магазине ее не окажется, заказ можно направить
по адресу:

121019 Москва, просп. Калинина, 26, п/я 42,
магазин № 200 «Московский Дом книги»;

103050 Москва, ул. Петровка, 15, магазин
№ 8 «Техническая книга»;

117334 Москва, Ленинский проспект, 40, мага-
зин № 115 «Дом научно-технической книги»;

191040 Ленинград, Пушкинская ул.» 2, мага-
зин № 5 «Техническая книга».
Книга И. Кусиса представляет собою хорошее и до-
ступное для начинающего введение в современную тео-
рию классов Харди. Оставаясь неизменно «комплексной»
и «одномерной», она тем не менее знакомит читателя
почти со всеми существенными идеями и результатами
теории. Изучив эту книгу, можно смело приступать
к чтению журнальной литературы и более объёмистых
монографий...

Книга Кусиса — это несколько расширенная и не
очень отделанная обработка лекционных записей. Автор
стремится сохранить атмосферу живой лекции. Формулы
и формулировки, заключённые в рамку (как на доске),
многочисленные подчёркивания, имеющие целью выде-
лить главное, передать интонацию, а иногда и выразить
эмоции, очень свободная манера изложения — всё это
как бы переносит читателя в аудиторию и в какой-то
мере восполняет отсутствие непосредственного общения
с лектором. Некоторая шероховатость изложения при
этом просто неизбежна и, пожалуй, тоже составляет
одно из достоинств книги. Внимательное прочтение та-
кого текста позволит читателю активно овладеть пред-
метом — как это всегда бывает при тщательном разборе
записей хороших лекций.

Из предисловия редактора перевода и