L. M. S. MONOGRAPHS
Editors: P. M. Cohn and G. E. H. Reuter
SUBHARMONIC
FUNCTIONS
Volume I
W. K. HAYMAN, F. R. S-
Imperial College of Science and Technology University of London and the late
P. B. KENNEDY
University of York
1976
ACADEMIC PRESS
London New York San Francisco
A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich. Publishers
У. Хейман, П. Кеннеди
СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Перевод с английского
В. В. Вавилова
под редакцией
Е. Д. Соломенцева
Издательство «Мир»
Москва
1980
УДК 517.1
Первый том задуманной авторами двухтомной монографии (второй том еще не вышел в свет в оригинале). В книге развивается современный теоретико-функциональный подход в теории потенциала, излагается фундаментальная теорема Рисса о представлении субгармонической функции, теория распределения значений, теория емкости и другие разделы теории потенциала, которые широко применяются в современной теории функций, в функциональном анализе и математической физике.
Написанная свежо, четко и доступно, книга будет полезна всем математикам, занимающимся развитием и применением математического анализа в самых разнообразных областях.
Редакция литературы по математическим наукам
1702050000
© 1976 by Academic Press Inc. (London) LTD.
20203-012
041(01)_80	°”	© Перевод на русский язык, «Мир», 1980
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Систематическое изучение субгармонических функций началось с основополагающих работ венгерского аналитика Ф. Рисса, опубликованных в 1926 г. Простейшими и важнейшими примерами таких функций являются модуль или логарифм модуля регулярной аналитической функции.
Теория субгармонических функций дает, следовательно, метод изучения свойств аналитических функций комплексного переменного. Однако основное значение этой теории заключено в связях субгармонических функций с теорией потенциала. Дело в том, что другими важными примерами субгармонических функций являются взятые со знаком минус ньютоновский потенциал притягивающих масс или логарифмический потенциал, а основная теорема Ф. Рисса показывает, что и обратно, всякая субгармоническая функция может быть представлена локально как сумма потенциала и некоторой гармонической функции. Таким образом, можно сказать, что изучение субгармонических и гармонических функций есть один из основных аспектов теории потенциала. Роль же теории потенциала в решении и исследовании проблем математической физики, в том числе и самых современных, весьма значительна и описана во многих книгах.
Первый из авторов предлагаемой книги — один из крупнейших современных английских математиков Уолтер Хейман — не нуждается в рекомендациях. Предыдущие его монографии «Многолистные функции» и «Мероморфные функции» пользуются широкой известностью и переведены на русский язык.
Данная книга написана Хейманом в соавторстве с его учеником, другом и коллегой П. Б. Кеннеди, безвременно погибшим в 1966 г.
Из имеющейся на русском языке литературы книга Хеймана — Кеннеди наиболее близка к классической монографии одного иа основателей советской школы теории функций И. И. Привалова «Субгармонические функции», изданной еще в 1937 г. и являющейся в настоящее время библиографической редкостью. Однако за истекшие 40 лет развитие теории далеко шагнуло вперед как в методологическом отношении, так и в части накопления крупных результатов. Поэтому естественно, что о пересечениях с книгой
6
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Привалова можно говорить лишь в первых трех вводных главах книги Хеймана — Кеннеди, трактующих в основном элементарные свойства субгармонических функций, включая (в гл. 3) основную теорему Рисса о представлении; однако и здесь изложение построено на современном понимании меры и интеграла.
Подробный обзор содержания книги читатель найдет во введении. Отметим только, что основные главы 4 и 5 этого тома посвящены некоторым из наиболее важных и увлекательных проблем теории потенциала: исследованию поведения функций, субгармонических во всем пространстве, и вопросам, связанным с понятием емкости множеств.
При переводе были исправлены замеченные мелкие неточности и добавлены некоторые литературные ссылки.
Нет сомнений в том, что перевод книги Хеймана — Кеннеди будет с интересом встречен советскими читателями, занимающимися вопросами математического анализа. Особо следует отметить живой и доходчивый характер изложения, делающий книгу вполне доступной (не формально, а по существу) не только специалистам, но и студентам математических факультетов университетов, педагогических институтов и втузов с повышенной математической подготовкой.
Июнь 1979	Е. Соломенцев
0. ВВЕДЕНИЕ
Пусть / (z) — регулярная аналитическая функция в области D открытой комплексной плоскости г. Тогда
и (z) = log | / (г) |	(0.1)
является субгармонической функцией в D. Другими словами, и (z) полунепрерывна сверху в D и для любого круга | z — z0 |
г, лежащего в D, значение и (z0) в центре этого круга не превосходит среднего значения и (z) на окружности | z — z0 | = г.
В этой книге мы изучаем проблему распространения свойств функций вида (0.1) на субгармонические функции общего вида в областях m-мерного евклидова пространства т 2. Изучение свойств субгармонических функций и связанных с ними классов функций часто называют теорией потенциала. Она представляет собой сейчас обширную область исследований, и воздать ей должное в одной книге было бы трудно. История вопроса хорошо изложена в работе Брело [1972], насчитывающей около 200 ссылок. Среди множества книг отметим следующие: Келлог [1929], Радо [1937], Цудзи [1959], Брело [1960], Ландкоф [1966], Бауер [1966], Карлесон [1967], Мартенсен [1968], Хелмс [1969], Дю Плес-си [1970], Фуледе [1972]. Из них наиболее тесно примыкает к нашей книга Цудзи. Однако она посвящена изучению функций на плоскости и является скорее книгой по теории функций комплексного переменного. Это же можно сказать и о книге Карлесона. Большинство других работ, цитируемых выше, нельзя причислить к книгам по теории функций, но они трактуют иные аспекты теории потенциала. Я рад признать, что многим обязан книгам Брело и Карлесона, которые в особенности помогли мне при написании гл. 5. Настоящая книга является промежуточным звеном между книгами по различным аспектам абстрактной теории потенциала и книгами по теории функций, использующими методы теории потенциала.
Опишу кратко содержание книги. В гл. 1 излагается вводный материал по теории множеств и определяются различные классы функций (полунепрерывные сверху, выпуклые, вещественно аналитические, класса Сп). Здесь же доказана теорема Грина в той форме, которая позволяет изучить основные свойства гармонических функций в Rm, включая формулу Пуассона и ее обобщение
8
0. ВВЕДЕНИЕ
для субгармонических функций, которая играет основную роль во всей теории. Если функция f (z) в формуле (0.1) не имеет нулей, то эта формула определяет гармоническую функцию и (z). Такие функции составляют важный подкласс для наших основных исследований. Далее рассматривается задача Дирихле о нахождении гармонической функции внутри области по заданным значениям на границе; в предположении, что эта задача разрешима, доказывается единственность ее решения. Существование установлено только для гипершара; более общие случаи отнесены в гл. 2 и 5.
В гл. 2 вводится понятие субгармонической функции, даются различные примеры таких функций, изучаются их элементарные свойства и, в частности, принцип максимума. Показано также, что функция и гармонична тогда и только тогда, когда функции и и —и обе субгармоничны. Для решения задачи Дирихле в случае непрерывных граничных значений мы пользуемся методом Перрона [1923]. Решение строится только для регулярных областей и областей, обладающих свойством Пуанкаре — Зарембы 1), которое состоит в том, что любая граничная точка служит вершиной некоторого конуса, лежащего целиком вне области. Основываясь на этом, мы доказываем теорему о выпуклости для средних значений субгармонических функций на гиперсферах. Обсуждается также вопрос о гармоническом продолжении внутрь области полунепрерывной функции, заданной на границе; к этому мы возвращаемся еще раз в гл. 5. Заканчивается глава введением понятия подчинения регулярных функций в единичном круге по Литлвуду. Развитый аппарат используется для доказательства теоремы Литлвуда о том, что средние значения | / (г) | при подчинении убывают; доказываются также различные следствия этой теоремы.
Предположим, что функция f (z) регулярна в некоторой области/). Если е — подмножество области D, то через р (е) обозначим число нулей функции /вес учетом кратностей. Так как р — положительная мера, конечная на компактных подмножествах Е области D, то, задавая Е, можно написать
p(z)= j log |z —С| dp(et).	(0.2)
E
Здесь
у p(z) = log |P(z)|, P(z) = [J (z — £n) n— 1
и Zn — нули функции / на E. Определив теперь функцию и (z) равенством (0.1), имеем
и (z) = р (z) + h (z),	(0.3)
’) Пуанкаре [1890], Заремба [1909]. В работе Зарембы впервые появилось условие с конусом.
ВВЕДЕНИЕ
$
где h (z) = log | / (z)IP (z) | — гармоническая функция внутри E. Таким образом, в равенстве (0.3) функция и (z) локально представлена в виде суммы потенциала и гармонической функции.
В гл. 3 доказывается фундаментальный результат Ф. Рисса [1926, 1930], который устанавливает, что соответствующее разложение имеет место для субгармонических функций общего вида. Отличие состоит только в том, что в качестве меры берется произвольная положительная мера в D, конечная на компактных подмножествах области D и обращающаяся в нуль на тех открытых множествах, где функция и (z) гармонична. Для функций и (ж), субгармонических в области D пространства т >2, (0.2)* заменяется равенством
р(*) = f	(0.2)'
Е
Мера |г единственным образом определяется по функции и (z). Обратно, потенциалы (0.2) и (0.2)', соответствующие любой указанной мере р, являются во всем пространстве субгармоническими-функциями, гармоническими вне компакта Е. Таким образом, изучение субгармонических функций эквивалентно изучению потенциалов р (ж), что и объясняет название «теория потенциала». Случай (0.1) соответствует плоской мере р, принимающей только целые значения. С другой стороны, если и g С2 (D), т. е. функция и непрерывна вместе со своими производными второго порядка в D, то
dp — — V2 (и) dx,	(0.4)-
ет
где е2 = 2л, em = 4nm/2/T	—1), т'^З; dx = dx1 ... dxm —
элемент объема в и
— лапласиан. Для функций общего вида равенство (0.4) справедливо в смысле обобщенных функций.
Существует много доказательств теоремы Ф. Рисса, но я не знаю ни одного достаточно простого. На этом этапе требуются значительные познания в теории меры, и мы используем связь между положительными мерами и положительными линейными функционалами, которая также установлена Ф. Риссом [1909]. Эта идея полезна и по другим соображениям. Мера р затем рассматривается как положительный линейный функционал Lu на классе С” (D) функций, имеющих непрерывные частные производные Всех порядков и равных нулю вне некоторого компактного под
10
0. ВВЕДЕНИЕ
множества области D. Для таких функций v функционал Lu определяется при помощи (0.4) формулой
1 с	1 Г
Lu(p) =--- 1 v\2udx =--- I u^2vdx.
ет J	ет J
Затем функционал Lu (v) единственным образом продолжается на класс Со (D) функций v, непрерывных в D и равных нулю вне компактного подмножества области D, и ц есть мера, ассоциированная с этим функционалом.
Первая половина гл. 3 посвящена развитию указанных выше идей, находящих свое завершение в теореме Рисса. В остальной части главы выводятся различные следствия. Пусть е — некоторое подходящее множество на границе конечной регулярной области D. Гармонической мерой о> (х, ё) по определению называется гармоническое продолжение внутрь области D характеристической функции множества е. Если функция и (х) субгармонична в замыкании D, то имеет место формула Пуассона — Йенсена
и (х) = j и (£) da (х, е£) — g (х, g, D) d[ie^, (0.5) f	i>
где F — граница D и g (x, g, D) — функция Грина области D. Предполагается, что F имеет m-мерную меру нуль и D—регулярная область. Эти предположения устраняются в гл. 5.
Формула (0.5) была установлена Р. Неванлинной (см., например, [1929]) для случая (0.1) и послужила ему отправной точкой для построения теории мероморфных функций, носящей его имя. Мы используем эту формулу для получения аналога первой основной теоремы Неванлинны в случае субгармонических функций для гипершара в В качестве последнего приложения получается представление субгармонических функций в Rm, т 3, ограниченных сверху. Если т = 2, то такие функции с необходимостью являются константами. Оказывается, что для таких функций имеет место формула, аналогичная (0.5), где в качестве F фигурирует точка оо, и (£) = С на F, С — точная верхняя грань и (х), g (х, £) = — | х — % \2~т. Показано, что и (х) С, когда хоо вне некоторого малого исключительного множества, в частности когда х —► оо вдоль почти всех линий фиксированного вида.
Эти рассмотрения естественно приводят к вопросу об общем поведении функций, субгармонических во всем пространстве который изучается в гл. 4. Порядок роста таких функций определяется в терминах неванлинновской характеристики. Мы приводим представление субгармонических функций общего вида и субгармонических функций конечного порядка в терминах массы Рисса ц; в случае (0.1), когда / (г) — целая функция, эти
ВВЕДЕНИЕ
11
результаты принадлежат Вейерштрассу [1876] и Адамару [1893]. Далее мы получаем некоторые неравенства, связывающие величины
B(r)= sup и(х), N(r) = dml ,
‘	I X | =r	J г
где dm = max (1, т — 2), п (t) — масса Рисса в шаре | х | t, и характеристику Неванлинны
<	Т (г) = с ^т-1 ( и+ d(s (*),
ст' J
где и+ (х) = max (и (х), 0), ст — площадь поверхности единичной сферы | х | = 1 в и do (х) — элемент площади поверхности сферы | х | = г. По определению полагаем
т(г,и) =	1	( u~(x)da(x),
	стг	J
где и~ (х) = sup (—и (х), 0). Упомянутая выше первая основная теорема устанавливает равенство
Т (г) = т (г) + N (г) + и (0).
Дефект функции и определяется равенством
б(“)=1_^т77г=1-;5т^-
Для функций порядка X <; 1 в DV” получена точная (относитель-йо А,) оценка сверху для 6 (и). В полной аналогии со случаем Целых функций экстремальные функции имеют массу Рисса, Сосредоточенную на луче, выходящем из начала координат. Более поздний результат Дальберга [1972], устанавливающий точную нижнюю границу для
как функции от X, только упоминается; мы доказываем несколько более слабое, но намного более простое неравенство.
Во второй половине главы приводятся различные аналоги теорем об асимптотических значениях целых функций. Пусть f (z) — такая функция; тогда говорят, что f (z) имеет асимптотическое значение а вдоль пути Г, если f (z) -> а, когда z -> оо вдоль Г. Если f (z) имеет N различных конечных асимптотических значений av, то, как заметил Хейнс [1959], для достаточно большого К множество точек, где и (z) >А, а и (z) задана равенством (0.1), распадается в плоскости по крайней мере на N компонент. Используя только этот результат, Хейнс показал, что если и (z) — суб
12
0. ВВЕДЕНИЕ
гармоническая функция в плоскости и множество точек, где и (z) > К, имеет не меньше N 2 компонент, то порядок функции и (г) не меньше NI2. Этот результат обобщает известную теорему Альфорса [1930].
Полное доказательство теоремы Хейнса дается в гл. 7 второгй тома. Здесь мы доказываем совсем простой, но менее точныо результат общего характера: если функция и (х) субгармонична в а множество точек, где и (х) >0, имеет N 2 компонент, то порядок функции и (х) не меньше А (ш)	где А (т) —
положительная константа, зависящая только от т. Примеры показывают, что эта оценка имеет правильный порядок при фиксированном т и N —► оо.
Наконец, мы доказываем некоторые обобщения классической теоремы Иверсена [1915]. Исходная теорема состоит в том, что если f (z) — целая функция, отличная от константы, то оо является ее асимптотическим значением, т. е. f (z) —► оо, когда z —► оо вдоль некоторого пути Г. Если и (z) определена равенством (0.1), то получаем, что
и (z) —► + оо, когда z —► оо вдоль Г.	(0.6)
Доказывается, что свойство (0.6) распространяется на субгармонические функции в общего вида, исключая тривиальный случай, когда функция и ограничена сверху, который уже обсуждался в конце гл. 3. В полном объеме утверждение (0.6) было впервые доказано Фуледе [1975]. При т = 2 результат принадлежит Талпуру [1975], который доказал также [1976] несколько более слабый результат для случая т >2, заменив путь Г цепочкой континуумов. Мы также изучаем вопрос о том, как быстро стремится к оо функция и в (0.6). Это зависит от того, конечен или бесконечен порядок X функции и. Если порядок % конечен, то всегда существует асимптотический путь Г, на котором и тлеет порядок X. Если же порядок X бесконечен, то существуют пути, на которых функция и имеет произвольно большой конечный порядок, но не обязательно существует путь, на котором она имеет бесконечный порядок.
В последней гл. 5 содержатся некоторые более глубокие результаты классической теории потенциала. Пусть Е — компакт в Rm и
Ко (х) = log | х |, Ка (х) = — | х |-а, а >0.
Если |г — распределение единичной массы на £, то положим
V (ж) = J Ка (х — 5) Е
Выберем р таким образом, чтобы величина
Л(Н)= j v (ж)с?р(я:) = j j Ka(x — y)dp.(x)dy,(y)
E .	ExE
ВВЕДЕНИЕ
13
достигла своего наибольшего значения Va. Если Va = — оо, то a-емкость Са (Е) компакта Е считается равной нулю; в этом случае говорят, что Е есть а-полярное множество. В противном случае полагаем
(ev°,	а = 0,
С«(£)= |(_уа)1/а!	а>0
Мы имеем дело главным образом со случаем а = т — 2; соответствующие а-полярные множества называем просто полярными множествами (Брело [1941]).
В соответствии с недавними результатами Шоке [1955], [1958] введенное таким образом понятие емкости и, в частности, понятие полярных множеств распространяется на любые борелевские множества в Н”1. Замечательная теория Шоке изложена в конце главы 5.
Оказывается, что полярные множества во многих вопросах теории потенциала играют роль пренебрежимых или устранимых множеств. Главная цель этой главы — доказать подобные результаты и их следствия. После некоторого вводного материала мы доказываем в § 5.3, что если Е — компакт или счетное объединение компактных множеств, то субгармоническая функция, которая равна —оо на Е, не будучи тождественно равной —оо, существует тогда и только тогда, когда Е — полярное множество. В конце главы этот результат распространен на любые борелевские множества Е. Далее в § 5.4 исследуются метрические характеристики а-полярных множеств в терминах мер Хаусдорфа. Обозначим через ha (£) a-меру Хаусдорфа компакта Е\ тогда если С^Е} = = 0, то /ig (£) = 0 для любого р >а; если же ha (£) <оо, То Са (£) = 0. Таким образом, например, полярные множества в R2 имеют нулевую длину и, значит, вполне разрывны, но если т 3, то множества конечной длины являются полярными в R”1.
В следующих двух параграфах мы продолжаем изучать свойства полярных множеств. Во-первых, показано, что таким множеством можно пренебречь, формулируя принцип максимума для ограниченных сверху субгармонических функций. Другими словами, если субгармоническая функция и (х) ограничена сверху В области D и
limw(2:)^0
Для множества е граничных точек £ в D, которое непусто и дополнение к которому на границе области D есть полярное множество, то и (ж) <0 или и (ж) == 0 всюду в D. Отсюда следует, что если функция и (х) субгармонична и ограничена сверху в области D, за исключением точек полярного множества Е, то и (х) допускает единственное продолжение во всю область D как субгармониче
14
0. ВВЕДЕНИЕ
ская функция. Если же функция и (х) гармонична и ограничена в D вне Е, то функция и (х) допускает гармоническое продолжение во всю область D (Брело [1934]). Если Е имеет положительную емкость, то эти результаты неверны.
Затем доказана теорема Эванса [1933] о том, что множество нерегулярных (иррегулярных) граничных точек произвольной ограниченной области полярно и, следовательно, им можно пренебречь при решении задачи Дирихле. Следуя Винеру [1924], мы доказываем, что задача Дирихле допускает единственное решение для произвольной ограниченной области D и произвольных непрерывных данных f на ее границе, если потребовать, чтобы решение было ограничено и принимало требуемые граничные значения в регулярных граничных точках области D. Так как значение решения задачи Дирихле в фиксированной точке х g D есть, очевидно, положительный линейный функционал от /, то отсюда следует (Брело [1939а]), что задача Дирихле разрешима также для функций /, интегрируемых по гармонической мере. Это приводит также к обобщению формулы Пуассона — Йенсена (0.5) на ограниченные области, которые не являются регулярными. Затем дано обобщение понятия функции Грина для произвольных областей D в при условии, что т > 2 или что т = 2 и дополнение к D не является полярным множеством. Обсуждается свойство симметрии функции Грина.
Последний параграф гл. 5 посвящен теории Шоке измеримости по емкости. Определение емкости очевидным образом переносится с компактных на открытые множества. Пусть Е — произвольное ограниченное множество; тогда его внутренней и внешней емкостью называется соответственно точная верхняя грань емкостей всех компактов, расположенных внутри Е, и точная нижняя грань емкостей всех компактов, содержащих Е. До сих пор единственными существенными свойствами этой функции множества С (Е), заданной только на компактах, были следующие: (i) С (Е)	0,
(И) С(Е) — возрастающая функция Е (С (Ег) С (Е2), если Е1сЕ2), (iii) функция С (Е) полунепрерывна сверху, т. е. для любого е >0 и любого компакта Е существует компакт ' Е', содержащий Е строго внутри себя и такой, что С (Е') < С (Е) -|- е.
Следуя Шоке, мы доказываем, что если, кроме этого, (iv) С (Еп)-+С (Е), где Еп — расширяющаяся последовательность множеств, такая, что Еп Е, то все борелевские множества оказываются измеримыми по емкости, т. е. их внутренняя и внешняя емкости совпадают. При доказательстве этого утверждения мы следуем Карлесону [1967]. Доказывается также, что свойство (iv) влечет за собой для Cm_2 (Е) при т >2 свойство строгой субаддитивности:
С (Ег U Е2) + С (Ех П Е2) < С (ЕД + С (Е2),
ВВЕДЕНИЕ
15
где С (£) = Ст-2 (Е)т~2. Для т = 2 доказательство свойства (iv) приходится несколько модифицировать.
Во втором томе мы надеемся доказать некоторые дальнейшие результаты, относящиеся по большей части к субгармоническим функциям на плоскости. В нем будут главы о минимуме и максимуме субгармонических функций на плоскости, об асимптотических значениях и родственных проблемах, и о примерах, возникающих при аппроксимации субгармонических функций на плоскости функциями вида (0.1), где f — целая функция. Мы надеемся рассмотреть также некоторые совсем недавние достижения и приложения, такие, например, как теория Бернстейна [1975].
БЛАГОДАРНОСТИ
Я уже воздал должное более ранним исследованиям по данному предмету. В дополнение к этому мне хочется особо поблагодарить профессора Брело за большую помощь в освещении истории вопроса. Часто легче самому доказать классическую теорему, чем найти ее первоначальное доказательство. Я заранее прошу прощения за возможные ошибки. Но без помощи профессора Брело их было бы намного больше.
Профессор Дрейзин прочитал несколько глав, и я признателен ему за ценные замечания. Г-н Дж. Камера внимательно прочитал всю книгу и исправил много неточностей. Он, г-н П. Риппон и г-н Дж. Хиггинсон прочитали все корректуры и составили указатель. Профессор Рейтер, редактор серии, также прочитал корректуры и дал весьма полезные советы. Г-жи П. Эджт Дж. Грабб и Э. Миллз совместными усилиями привели в порядок весьма неприглядные рукописные каракули и проявили незаурядную интуицию, распознав неразличимые символы. Мне очень приятно поблагодарить их здесь.
Я закончу эти замечания на печальной ноте. Работа над этой книгой была начата моим другом и учеником П. Б. Кеннеди, но трагическая гибель в 1966 г. помешала ему ее закончить. Я надеюсь, что эта книга будет своеобразным памятником этому очень добросовестному и очень приятному человеку, которого мне до сих пор сильно недостает.
У. К. Хейман
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А 25
В (г, и) 83, 146
С (х0, г) 18
С, Сп, С°° 25
Со = Со (X), С™ (D) 102
С (X, т) 177
Са (£) 223, 227
С* (Е) 227
<$Е 18
D (ха, г) 18
Рт 51
& юг
I (%, т, 0) 179
К (х) 102
К (х, g) 49
Kq (х, |) 156
L (t) 102, 108
1а (е), 1а (е) 239
т (г, и) 145
N (г, и) 146
Rm 17
X (ж0, г) 18
Т (г, и) 145
Va 222
I х |, х ± У, х-у 17
б (и) 171
Хе 112
со (х, е) 133
V2u 9
91
Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.0. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе излагается математический анализ в евклидовом пространстве размерности т, включая теорию гармонических функций, настолько подробно, насколько это необходимо для наших дальнейших приложений. В первых трех параграфах обсуждаются множества в и различные классы вещественных функций, такие, как выпуклые и полунепрерывные функции. В § 1.4 дается набросок теории интегрирования, который завершается теоремой Грина. В § 1.5 изложенные результаты применяются к гармоническим функциям в Rm.
1.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Мы будем рассматривать функции / (х), где х обозначает точку евклидова пространства R™ размерности т (m 1). Для приложений к классической теории функций необходим плоский случай, т. е. т — 2, однако существует много замечательных обобщений и интересных проблем и в случае т >2.
Пусть х — точка m-мерного пространства с координатами (xn . . ., хт). Через
[х[=]/ х[ + . .. +х?п
обозначается расстояние до точки х от начала координат 0, т. е. от точки (0, 0, . . ., 0). Если х = (хг, . . ., хт) и у = = (Уit   Ут) — две точки, то через х ± У обозначаются точки, 7-е координаты которых суть соответственно Xj ± У). Через х -у т
обозначается число 2 ^ц.Уц- Если X — вещественное число, через 1
'кх обозначим точку с координатами krv.
Если т = 2, мы часто будем писать z вместо х и отождествлять точку с координатами (х, у) с комплексным числом z = х Д- iy. Вообще из контекста всегда будет ясно, какое обозначение используется.
2-0623
18
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Если — точка в R’" и г — положительное число, то полагаем
D (Жо-	г)	=	{х	|	| х	—	|	<г},
С (х0,	г)	=	{х	|	\ х	— х0	I	0 г},
S (ха,	г)	=	{х	|	| х	—	|	= г}.
Множество D (х0, г) будем называть шаром (кругом, если т = 2), С (х0, г) — замкнутым шаром (замкнутым кругом, если т = 2), а 2? (z0, г) — сферой (окружностью, если т = 2). Произвольное множество Е, содержащее шар D (хй, г), называется окрестностью точки хй. Открытым множеством называется множество, являющееся окрестностью всех своих точек. Множество Е замкнуто, если его дополнение ГЕ, состоящее из всех тех точек Rm, которые не входят в Е, открыто. Множество, которое содержится в некотором шаре, называется ограниченным. Множество, одновременно ограниченное и замкнутое, называется компактным.
Символом 0 обозначается пустое множество, не содержащее ни одной точки, a U Еа и Еа — объединение и пересечение а	и
семейства множеств Еа.
Точка х называется предельной точкой множества Е, если каждая ее окрестность содержит более одной точки из Е. Очевидно, что в этом случае каждая такая окрестность содержит бесконечно много точек из Е. Ясно, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. Если Е — некоторое множество, то через Е обозначается его замыкание, т. е. множество, содержащее все точки множества Е, а также все его предельные точки. Замыкание всякого множества замкнуто, т. е. Е = Е. Точка, принадлежащая одновременно Е и ГЕ, называется граничной точкой множества Е. Граница множества Е — это объединение всех его граничных точек.
Пусть Е — некоторое множество. Пара множеств Ег, Е2 называется разбиением Е, если
£1 (J Е2 = Е, Е± П Е2 = 7?! П Е2 = 0 и 7?!	0, Е2 # 0.
Другими словами, Ег и Е2 — такие непересекающиеся непустые подмножества Е, что ни одно из них не содержит предельных точек другого, а их объединение совпадает с Е. Если множество Е не допускает разбиения, то оно называется связным. Открытое связное множество называется областью. Компактное связное множество, содержащее по крайней мере две точки, называется континуумом.
Часто нам придется рассматривать множества, которые являются подмножествами фиксированного множества или пространства S. Для таких множеств можно повторить все предыдущие определе
1.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
19
ния с учетом того, что теперь мы ограничиваемся точками множества S. Так, окрестность в S точки х0 £ S — это любое подмножество из S, которое содержит все точки из S, лежащие в некотором шаре D (х0, г). Подмножество из S, являющееся окрестностью в S всех своих точек, называется открытым в S, или относительно открытым. Подмножество Е cz S называется замкнутым в S, или относительно замкнутым, если каждая предельная точка множества Е, лежащая в S, лежит также и в Е.
Следующий результат играет важную роль в теории множеств и часто используется как определение компактных множеств.
Теорема 1.1. Пусть Е — некоторое множество в R™. Тогда эквивалентны следующие три свойства-
(i)	Е компактно, т. е. ограничено и замкнуто',
(ii)	(свойство Вейерштрасса) если хп — последовательность 'точек из Е, то существует ее подпоследовательность хп , сходящаяся к пределу х £ Е при р —>- оо;
(iii)	(свойство Гейне — Бореля) если Е содержится в объединении открытых множеств Ga, то существует конечная подсистема Ga^, Ga , - • •, Gan множеств Ga, объединение которой покрывает Е.
(i) => (iii)- Предположим, что выполнено условие (i). Так как множество Е ограничено, то оно лежит в некотором гиперкубе Но, т. е. в множестве вида а7«С х}- bj, j = 1, . . т, где Xj есть /-я координата точки х. Гиперкуб Но является объединением 2'" гиперкубов вида а,-1 х< Ь, ь где либо i =
1 1
bj.i = у («;• + bjY либо ajtl = у (ау + bj), bjtl = bj.
Предположим теперь, что Ga — система открытых множеств, покрывающая Е, и что никакая ее конечная подсистема не покрывает Е. Тогда то же самое справедливо для точек множества Е, лежащих по крайней мере в одном из гиперкубов, скажем Н±, длины ребер которых равны половине длин соответствующих ребер Но. Продолжая этот процесс, мы получим такую последовательность гиперкубов HN, что НN+1 ед HN, длина ребер каждого гиперкуба НN составляет 2-л-ю часть длины соответствующих ребер гиперкуба Но и подмножество множества Е, содержащееся в Н N, не может быть покрыто конечным числом множеств Ga. Если задается неравенствами
iV’
то а1.н составляют ограниченную возрастающую последовательность и, значит, стремятся к некоторому пределу cs при N —>оо. Кроме того, bj,N — aJiN^>-0, так что bj,N^>-Cj при N ->оо.
2*
20
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть с — точка (с1( с2, . . ст). Если она не принадлежит множеству Е, то, так как Е замкнуто, она не является его предельной точкой, и поэтому существует ее окрестность М, не содержащая точек Е. Так как НN лежат в М при всех достаточно больших N, это противоречит нашему предположению о том, что лежащая в часть множества Е не может быть покрыта конечным числом множеств Ga. Если же точка с лежит в Е, то она лежит в Ga для некоторого а, а так как это Ga открыто, то оно содержит при всех достаточно больших N. Это снова противоречит сделанному предположению.
Таким образом, свойство (iii) выполняется.
(iii) => (ii). Предположим, что свойство (ii) не выполняется. Тогда существует последовательность хп С Е, не имеющая предельных точек в Е. Это означает, что если х — произвольная точка из Е, то она не является предельной точкой последовательности хп. Поэтому существует шар D (х, г), содержащий хп не более чем для конечного числа номеров п. Объединение таких шаров/) (х, г) для всех точек z С Е образует открытое покрытие Е. Любое конечное подпокрытие этого покрытия содержит лишь конечное число точек хп, и поэтому не может покрывать всего множества Е. Таким образом, свойство (iii) не выполняется. Следовательно, если свойство (iii) выполнено, то выполнено и (ii).
(ii) => (i). Предположим, что множество Е не ограничено. Тогда существует последовательность хп его точек, таких, что | хп | > п. Ясно, что последовательность хп не имеет предельных точек, и поэтому не выполнено (ii). Предположим теперь, что множество Е не замкнуто. Пусть х — предельная точка множества Е, не содержащаяся в Е. Тогда можно найти такую последовательность хп С Е, что \ х — хп | <^Ип. Последовательность хп сходится к z и поэтому не имеет отличных от х предельных точек, т. е. хп не имеет предельных точек в Е. Снова свойство (ii) не выполнено. Таким образом, если выполнено (ii), то выполнено H^(i).
1.2. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
1.2.1. Полунепрерывные функции
Мы в основном будем иметь дело с вещественными и лишь иногда с комплексными функциями / (z), определенными на множествах пространства Rm. Вещественная функция / (х), определенная на множестве £ cRm, называется полунепрерывной .сверху (пн. св.) на Е, если она обладает следующими свойствами:
(i) — оо / (х) < оо, х С Е',
1.2. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
21
(ii) множество {х | х С Е, / (х) < а} открыто в Е для любого а, ,— оо < а < -4* оо.
Функция / (х) называется полунепрерывной снизу (пн. сн.) на Е, если —/ (х) полунепрерывна сверху на Е. Если функция / (х) одновременно полунепрерывна сверху и снизу, она называется непрерывной.
Нам понадобятся следующие теоремы.
Теорема 1.2. Если функция / (z) пн. св. на (непустом) компактном множестве Е, то она достигает максимума на Е, т. е. найдется точка х0 С Е, такая, что
/ (х0)	/ (х) при всех х(Е.
Положим
М = sup / (х).
Х6Е
Если функция / (х) не ограничена сверху на Е, полагаем М = = ф-оо. Если / (х) = — оо, то в качестве х0 можно взять любую точку на Е, и все доказано. В противном случае существует такая последовательность точек хп С Е, что / (хп) —>- М. В самом деле, если М конечно, то в качестве хп можно взять любую точку, для которой
f(xn)>M — —.
Если М = +°о, выбираем хп так, чтобы / (хп) >тг. Переходя, если понадобится, к подпоследовательности, из теоремы 1.1 выводим, что хп —>- £ £ Е при п^- оо.
Предположим теперь, что / (t) = /. < М, и выберем ц так, что X < ц < М. Так как функция j (х) пн. св., то множество
G (ц) = {х | х С Е и / (х) < и}
открыто в Е и содержит точку g; но тогда G (ц.) содержит все точки Е, лежащие в некотором шаре D (£, г), и, следовательно, G (ц) содержит хп для всех достаточно больших п. Таким образом, / (хп) И Для всех достаточно больших п, что противоречит пред-положению / (хп) > М------- . Следовательно, / (£) М. Из опре-
деления М вытекает, что / (£) <; М, и, значит, / (£) = М.
Теорема 1.3. Если fn (х) — убывающая последовательность пн. св. функций, определенных на некотором множестве Е, то / (х) = lim fn (х) — также пн. св. функция на Е.
Так как fn (х) убывает для каждой фиксированной точки х £ Е и /г (z) < + °0, то предел f (х) существует для каждой х £ Е
22
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
и / (z)	/1 (z)	Пусть Е (а) — множество всех точек из Е,
для которых / (х) <^а. Мы должны доказать, что Е (а) открыто.
Пусть £ — некоторая точка из Е (а). Так как fn (£) f (£) и / (t) <найдется такое п, что fn (£) < а. Поскольку /п (|) пн. св., множество Еп (а) тех точек х из Е, для которых fn (z) < а, открыто в Е и потому является окрестностью N точки £ в Е. Ясно, что / (х) И <л в N, и, следовательно, Е (а) содержит окрестность N точки £ в Е. Поскольку точка Н из Е (а) выбиралась произвольно, множество Е (а) открыто.
В обратном направлении справедлива следующая
Теорема 1.4. Если / (z) пн. св. на множестве Е, то существует такая убывающая последовательность fn (х) непрерывных функций на Е, что
/п (*)->“/(*) при п->-оа.
Предположим сначала, что f (х) >0 на Е. Поскольку функция / пн. св. на Е, для любой данной точки %£Е существует такое 6 = 6 (£), что
sup / (z) < + оо для х С D (I, 6) П Е.
Если это неравенство выполняется для некоторой точки g и любых положительных 6, то очевидно, что оно выполняется для всех точек £ и всех положительных 6; в этом случае положим 6 (£) = 1 для всех £. В противном случае определяем 6 (£) как нижнюю грань всех таких 6.
Заметим, что функция 6 (£) непрерывна на Е и что для любых точек g2 С Е
I 6 (Ь) - 6 (D I < I Ы - L I- (1.2.1)
В самом деле, пусть е >0. Тогда для некоторого конечного М в предположении, что | х —	| < 6 (£х) — е, имеем / (х) <М.
Это неравенство выполняется, в частности, для
\Х- ы <6 (^) - е - 1Ь-^Ь и поэтому
6 (Ь) > 6 (|х) - е - | Ь -	|.
Так как е произвольно, отсюда выводим, что
6 (£2) > 6 (^) - |	|.
Аналогично, 6 (£х)	6 (£2) — I — li 1> откуда и следует нера-
венство (1.2.1).
Далее, для /г < 6 (£) положим
М (I, h) =	sup f(x),
х£Е, | x-s | <Ch [6 (x)]/2n
( M(x,t)dt.	(1.2.2)
0
1.2. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
23
Докажем, что последовательность /п (х) обладает требуемыми свойствами. Прежде всего очевидно, что М (£, h) является конечной неубывающей функцией h при 0	<6 (£), и, поскольку
f (х) пн. св., при /г —>-0 имеем М (£, /г) “* / (£)• Значит, интегральное среднее
/(МН 4" f о
существует при h < 6 и также возрастает вместе с h. Действительно, при 0	<^2 <6
Ьг	hi
hlh2[m,h2) — m,hl)] = hl^ M(l,t)dt — h2^ M^,t)dt = о	о
= (hl — h2) \ M (£, t) dt4- hi § M (c, i) dt^ о	ht
'^hl (h2-hj [M (I, kJ- M (I, kJ] = 0.
Таким образом, функция I (c, /г.) возрастает вместе c h и I (£, К) —> —► / (Н) при Л. —>-0. Значит, последовательность /п (х) убывает с увеличением п и при п —> оо имеем /п (х) —>- / (z). Остается показать, что при фиксированном п функция /п (х) непрерывна. В силу неравенства (1.2.1), функция 6 (£) непрерывна, поэтому достаточно показать, что при фиксированном п
6(1)/2п
J M(^,t)dt о
есть непрерывная функция переменной £.
Предположим, что 0</(z)<M при \х — | <6 (£4) и что
I&2-£11	0</21<	0</22< -|-6(g1) И |Л2 —
—	Шар D (^2, t) содержится в шаре D (^, t-[- ц), поэтому
Следовательно,
h2	Л2+Ч
j М (l2, t)dt^ $ M (li,t)dt^. о	n
Maitt)dt+ J M(^t)dt^ 0	hi
hi
j M (gb t) dt -f- 2Mt\.
о
24
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Аналогично,
j	J M(l2, t) dt+2Mi],
о	0
так что
Полагая
hs
I j M(h,t)dt- j М^2.0Л|<2Мт].
о	о
6 (Bl) Z, 6 (B2)	,, о Л
• 4ra ~, ^2 — ' 4„ > выводим из (1.2.1), что
I ^2 — ^1 I
I
Поэтому, если |^2—^|< т] <—6 (^), to
[6(&i)]/2n	[6 (|г)]/2п
I j M(^,t)dt— J M (£2, «)с/«|<2Мт]. о	0
[6 (5)]/2n
Таким образом,	M (E, i) dt является непрерывной функ-
o
цией Е, поэтому непрерывны и функции /п (Е). Это завершает доказательство теоремы 1.4 в случае, когда / (Е) >0 на Е.
Если / (х) > —К на Е, требуемое утверждение можно получить, рассматривая вместо / (х) функцию / (х) Ц- К. И в этом случае функции /п (х) непрерывны.
В общем случае последовательность /п (z) строится так же, как выше, но функция / (х) заменяется функциями gn (z) = = max (/ (х), —ri). Тогда функции fn (z) продолжают оставаться непрерывными. Поскольку последовательность gn (z) убывает с возрастанием п, то же верно и для последовательности /п (х), так как очевидно, что одно и то же 6 (Е) годится для всех функций /п (z). Чтобы доказать, что fn (х) —>- / (х), предположим сначала, что / (Е) = —оо. Тогда при достаточно больших п для произвольной постоянной К имеем
Цх)<К,
k—£1<
6(E)
2п
Поэтому, если п настолько велико, что —п < К, то gn (х) < < К, откуда /п (Е) < К. Значит, /п (Е) -а- —оо. Если же / (Е) > > — оо, то для —п <zf (Е) имеем gn (Е) = / (Е) и, следовательно, М (Е, i) для / (х) то же самое, что и для gn (х). Таким образом, из тех же соображений, что и выше, получаем fn (х) —>- / (х). Это завершает доказательство теоремы 1.4.
1. 2. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
25
Примеры
1.	Пусть функции ult и2, . . ип пн. св. на Е. Докажите, что п
функции и = max uk и v = У где все положительны
1 sSfesSn
k—1
или равны нулю, пн. св. на Е.
2.	Докажите, что функция / (х), определенная на множестве Е, пн. св. на Е тогда и только тогда, когда выполнено следующее-условие. Для данной точки х0 С Е и К >f (х0) существует такое 6, что если | х — х0 | < 6 и х £ Е, то / (х) < К.
3.	Пусть функция и (х) пн. св. на Е и принимает значения
в интервале («, &), а функция / (t) непрерывна и возрастает на
а, Ь). Докажите, что / [к (х)1 пн. св. на
Е.
4.	Пусть функция и (х) пн. св. на компактном множестве 7? и U = sup и (х). Покажите, что и (х) = U на компактном под-х£Е множестве множества Е.
5.	Пусть функция v (х) определена и ограничена сверху на множестве Е и и (х) = lim sup v (у) при у —>- х на Е. Покажите, что-и (х) пн. св. на замыкании Е множества Е. (Если М (х, t) = = sup v (у), то и (х) формально определяется как и (х) =
VED(x, t)f}E
= lim М (х, i).)
«-►0+
1.2.2.	Классы Сп и А
Говорят, что функция / (х), определенная в области D пространства R”1, принадлежит классу С, если она непрерывна в D. Если п 0 и все частные производные функции / вплоть до порядка п принадлежат классу С, то говорят, что функция / принадлежит классу О. Если / (х) есть функция класса Сп для любого-целого положительного п, то говорят, что / (х) принадлежит классу С°°. Заметим, что если / (х) £ Сп, то разные частные производные функции / (х) вплоть до порядка п не зависят от порядка дифференцирования. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно-показать, что
d2j _ дЧ дх^ дх2 дх2 дз\
при т = 2 и / £ С2. Тогда общий результат для Сп можно установить индукцией по п.
26
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Итак, положим
A (h) = f Оо + h, х2 + h) f (xlt x2) — f (xlt x2 + h) —
— f (x± + h, x2) = ф + h) — ф (xj,
где ф (x) = f (x, x2 h) — f (x, z2); тогда, по теореме о среднем значении,
A (h)=h<p'	(ач + еД x2 + h) —	(ач+ОД а/2)} =
V, t/vtj	t/u-j	)
= h2~E^"^ ^Xi + &ih- х2+^,
где 0 < 0! < 1,0 < 02 <
d2f
1. Так как по предположению -—— С С, то
0%%
и, аналогично,
а2/
дх2 дх1
= lim
h-0
AW
Л2
]im
Л-0
A (h) _ д2!
h2 дхг дх2'
Функция f (х), определенная в области D, называется аналитической, или принадлежащей классу А, если при каждом % £ D существует такое е >0, что для любого h = (h1} hz, . . ., hm), | h | < e, имеем
(m)
где (иг) пробегает все наборы из т неотрицательных целых чисел (щ, п2, . . ., тгт),	. hAm, а;т) не зависит от h
и ряд абсолютно сходится.
Легко видеть, что так же, как и в случае т = 1, кратные ряды, сходящиеся при | h | < е, можно почленно дифференцировать по hv любое число раз внутри шара | h | < е и получившиеся ряды, будучи равномерно сходящимися при | h | < Z,e, О </- <1, остаются непрерывными. Полагая после дифференцирования h = 0, получим
пх\п2\ ... nm\a{my
0п! (I)
где п = n± + п2 + ... + пт. В частности, A cz Сх.
Для того чтобы установить, что класс А является собственным подклассом в Сх, докажем следующее утверждение.
Теорема 1.5 (теорема единственности ). Если f С А в области D и f = 0 в шаре D (х0, г), лежащем внутри D, то f = 0 в D.
Обозначим через Е1 множество всех таких точек £ £ D, что /	0 в некоторой окрестности D h) czD. Ясно, что множество
1.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
27
Е± открыто. Пусть, далее, х — предельная точка множества D. Тогда существует такая последовательность хп £ Е±, что хп х в D. Так как f = 0 в окрестности каждой из точек хп, все частные производные функции f обращаются в нуль в точках хп, а следовательно, по непрерывности, и в точке х. Значит, ряд Тейлора функции f в точке х тождественно равен нулю, и поскольку f £ А, то f = 0 в окрестности х. Следовательно, множество Е± замкнуто в D. Так как D — область и Е± непусто, то Е± = D. Это доказывает теорему 1.5.
Пример. Функция
f (х) = ехр {— | х |-2}, | х | > 0, х £	/ (0) = 0,
принадлежит классу Сх, но не принадлежит классу А.
Нетрудно доказать по индукции, что любая частная производная <р (х) функции f (х) может быть представлена в виде
<р(х) = -^-/(х),
где Р (х) — полином от переменных х±, z2, . . ., хт и к — четное число. Следовательно, при х 0 имеем <р (х)	0, откуда выте-
кает, что частная производная <р (х) существует и в точке х = 0, причем ф (0) = 0. Таким образом, / (х) £ Сх. Далее, ряд Тейлора функции / (х) в х = 0 тождественно равен нулю, но сама функция / (х) не обращается в нуль при х =£= 0 и, значит, не может быть задана своим рядом Тейлора ни в какой окрестности точки х = 0. Поэтому f (х) (£ А.
Для того чтобы показать, что для функции класса Сх теорема 1.5 не верна, определим функцию f (х) следующим образом:
f (х) = 0 при х± 0; f (х) = ехр (—х~I 2) при х± >0.
Легко видеть, что f (х) £ С°° и f (х) обращается в нуль в полупространстве х± < 0, не будучи тождественным нулем.
1.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
Вещественная функция f (х) одного вещественного переменного х, определенная на интервале I, называется выпуклой на I, «ели для любых х±, х2 С I, х± Сх2 и любой линейной функции / удовлетворяющей условиям
I (х1) > f (xi), I (*2) > / (*г),
имеем также
I (х) > f (х) (хг сх <х2).
(1.3.1)
(1.3.2)
28
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Если, в частности, взять линейную функцию I (х), совпадающую с / (х) в точках х± и х2, то получим
+	(х{<х<х2). (1.3.3}
2—л-2
Геометрически неравенство (1.3.3) означает, что любая секущая, соединяющая две точки графика функции f (х), лежит над этим графиком.
Субгармоническая функция является обобщением на случай двух переменных понятия выпуклой функции. Кроме того, в дальнейшем мы увидим, что некоторые интегральные средние и другие-функции, связанные с субгармоническими, сами являются выпуклыми. Дадим поэтому краткое описание выпуклых функций.
Простыми преобразованиями получаем из (1.3.3) неравенства
У К) — У (*i)	У К?) — У (*i)	У К2)—У К)	(13 4}
УС УС1	УС 2 " УС *|	УС 2 УС
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 1.6. Если функции f (х) выпукла на открытом интервале I, то в каждой точке I она обладает левой и правой производными, которые являются возрастающими функциями х и совпадают вне некоторого счетного множества. Левая производная непрерывна справа и не превосходит правой производной. В частности, функция f (х) непрерывна на I.
Предположим, что х±, х, х2 — такие три точки из I, что х± <^х <^х2. Значит, выполнены неравенства (1.3.3) и (1.3.4), т. е.
У К) — У U1)	У Кг) — У Ki)
X—Хг	Х-2 —
Поэтому для h >0 функция
/ (^, К} = /^1+/6-УК1)	(1 з 5)
возрастает вместе с hn при /i ->0 + стремится к пределу — правой производной f2 (х). Аналогично, / (х, К) стремится к левой производной Д (х) при Уг. —>- 0 —. Устремляя одновременно х± и х2 к х, выводим из (1.3.4), что Д (х) <; Д (х)-
Тем самым доказано также, что f (х, К) является возрастающей функцией h в предположении, что h 0 и х h лежит в I. Следовательно, если 6 — малое положительное число, то
f (X, —6) Д (X) < Д (х) < / (X, б),
так что обе функции Д (х) и Д (х) конечны в любой точке I. Другими словами, левая и правая производные существуют и конечны. Следовательно, функция / (х) непрерывна. Заметим, далее, что
1.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
29
.если точки х± и х2 лежат в I и х2 — х± — 6 >0, то
Л (*i) < /2 (*i) < f 6) = f (х2, —б) < Л (х2) < /2 (х2). (1.3.6)
Поэтому f± (х) и /2 (х) являются возрастающими функциями х.
Для завершения доказательства нам нужна следующая
Лемма 1.1. Если F (х) — возрастающая функция х на открытом интервале I, то левый и правый пределы F (х — 0) и F (х Д- 0) .существуют всюду на I и совпадают с F (х) вне некоторого не более чем счетного множества Е. Таким образом, функция F (х) непрерывна вне множества Е.
Если x£lwh-\-x£l, то F (г Д /1) — возрастающая функция переменной h. Легко видеть, что при h —>- ОД- имеем F (х Д- h) -> -> F (х Д- 0), где F (х Д- 0) — нижняя грань таких F (х Д- К), для которых x-[-h£l и /i>0. Аналогично, при h—>0— имеем F (х Д- h) -> F (х — 0), где F (х — 0) — верхняя грань F (х Д- К) для h <0. Так как функция F монотонна, для <0 <Z.h2 имеем
F (х Д- h±) F (х) < F (х Д- h2).
Устремляя h± и h2 к нулю, заключаем, что
F (х - 0) < F (х) < F (х Д- 0).
Определим Ь (х) = F (х Д- 0) — F (х — 0) как скачок функции F (х) в точке х. Очевидно, что F (х) непрерывна в точке х = % •тогда и только тогда, когда 6 (£) = 0.
Предположим теперь, что ад =	< |2 < . . . < £4+1 =
= х2, х± £ I, х2 £ I; тогда из монотонности функции F (х) вытекает, что для 1 <С j h
6 (^) = F Д- 0) - F - 0) < F (X) - F(&).
Таким образом, п	п
S 6 UX 2 (F (g-+1) - F	= F (g;+1) - F &) = F (х2) - F (гсД.
2=1	2=1
(1.3.7) Это неравенство справедливо для любого конечного числа различных точек в интервале (х±, х2). Следовательно, может существовать самое большее 2N таких точек %, для которых
2~” [F (х2) - F (Ж1)] < 6 (£)< V-x [F (z2) - F ОД]. Перенумеровав эти точки в порядке возрастания поочередно для N = 1, 2, 3, . . ., мы тем самым перенумеруем все точки интервала (х±, х2), в которых 6 (£) >0. Следовательно, множество таких точек счетно. Так как весь интервал I является объединением счетного числа открытых интервалов, замыкания которых
30
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
лежат в I, а счетное объединение счетных множеств счетно, то это завершает доказательство леммы 1.1.
Теперь мы в состоянии завершить доказательство теоремы 1.6. Пусть Е — множество тех точек, в которых по крайней мере одна из функций Д (х), f2 (х) разрывна. По лемме 1.1, множество Е конечно или счетно. Следовательно, дополнение к Е плотно в I. Пусть хя — некоторая точка этого дополнения. Тогда, согласно (1.3.6), f± (х^	/2 (а?!). С другой стороны, если х2 то из (1.3.6)
вытекает, что f2 (zj) fi (^2)- Поскольку функция Д (х) непрерывна в точке х = хг, можно устремить в этом неравенстве х2 к и получить f2 (х±) (xj. Таким образом, Д (a?x) = f2 (x-^, так что и f2 совпадают вне Е. Следовательно, для xlt лежащих вне счетного множества Е, левая и правая производные функции f (х) существуют и совпадают при х = х±, а значит, существует /' (*i).
Остается доказать, что функция Д (х) непрерывна слева, а функция f2 (х) непрерывна справа. Мы ограничимся доказательством второго утверждения; доказательство первого вполне аналогично. Из (1.3.6) следует, что /2 (а^) гД /2 Д2) при х{ <х2, поэтому, устремляя х2 к х±, получаем /2	+ 0) Д (х^.
С другой стороны, из определения /2 ДД следует, что для заданного е >0 можно так выбрать х2 ^>х±, что
f	У(а>) —УН1)
е.
Тогда из непрерывности / (х) вытекает, что можно так выбрать точку х3, чтобы выполнялись неравенства хя <ix3 <^х2 и
2е.
 "	х2 — х3
Используя определение f2 (х3), выводим отсюда, что
Д (Xl) f2 (Хз)
и, следовательно, f2 (хг) f2 (х± + 0) — 2е. Поскольку число 8 произвольно, Д (a?x) Д (Ж1 + 0), так что /2 (xi) = /2 (xi + 0)-Это завершает доказательство теоремы 1.6.
Примеры
1.	Докажите, что в использованных выше обозначениях функции Д (х) и Д (х) имеют одни и те же точки разрыва.
2.	Докажите, что для каждой точки х £ I
Д (х — 0) = Д (х — 0) = Д (х), Ъ (х 4- 0) = Д (х + 0) = Д (х).
1.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
31
3.	Докажите, что если х± <Zx2 и хА, х2 £ I, то Д (х) и /2 (х) интегрируемы по Риману на [а^, х2] и
х%	х%
(x)dx= ^f2(x) dx = f(x2) — f(xt). Xi	Xi
4.	Из теоремы Лебега Д следует, что возрастающая функция почти всюду имеет производную. Докажите, что если функция Д (х) дифференцируема в точке х — xlt то функция Д (х) также дифференцируема в этой точке и их производные совпадают.
5.	Докажите, что функция f (х) выпукла на открытом интервале I тогда и только тогда, когда она имеет вид
X
f (х) = j <р (i) dt, Xq
где х0 — произвольная точка интервала I и <р (t) возрастает на I.
6.	Пусть f" (х) существует для х £ I. Покажите, что функция / (х) выпукла на I тогда и только тогда, когда f" (х)^ 0 для любой точки интервала I. (Указание. Покажите, что функция /' (х) возрастает тогда и только тогда, когда f" (х)	0.)
7.	Пусть функция f (х) выпукла и / (х)	0 для а < х < b
и, кроме того, / (а)	0, / (6)	0 и / (z0)	0 для некоторой точки
ж0, такой, что а <ixn < Ь. Докажите, что f (х) = 0 при а <^х < < Ь. (Согласно (1.3.3), f (х) гД 0 на [а, Ы. Если f (хг) <0, где, например, ж0<;а:1 <й, то неравенство (1.3.3) с заменой хг, х. х2 на а, х0, х± приводит к противоречию.)
8.	Покажите, что если функция f (х) выпукла на (а, Ь), то / (а Д- 0) и f (b — 0) существуют как конечные или бесконечные пределы. Если эти пределы конечны и значения f (a), f (6) определены произвольно, то функция f (х) остается выпуклой на [а, тогда и только тогда, когда / (а) ^ / (« + 0), f (b) f (Ь — 0).
9.	Покажите, что если функция f (х) выпукла на I, х±, х2 £ I и х± х2, то	 представляет собой возрастающую
#2 —
функцию любой из переменных х±, х2 при фиксированной другой переменной.
10.	Пусть f (х) — выпуклая функция на интервале (а, оо). Покажите, что предел а = lim существует и —оо < < а -Д -Д оо.
Д См., например, Титчмарш [1939, стр. 358].
32
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
11.	Пусть f (х) — выпуклая функция на (—оо, +оо). Покажите, что пределы
= 11m	, а2 = lim
•V —J- ПЛ	V
существуют и что ссх 0 и а2 0 лишь тогда, когда / (х) = = const.
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
1.4.1. Интеграл Лебега
Мы будем рассматривать объемные интегралы в Rm. Пусть х обозначает произвольную точку Rm, а / (х) пусть сначала обозначает ограниченную, положительную, измеримую по Борелю х) функцию с компактным носителем, т. е. обращающуюся в нуль всюду, кроме шара достаточно большого радиуса. Напомним определение и основные свойства^интеграла Лебега. Этот интеграл
/'(/) = | flS.x)\dx = \ / (жь х2, • • • > dxt dx2... dxm
может быть определен следующим образом. Предположим, что / (х) < М, и пусть 0 = Мх < М2 <    < Mk = М — некоторое разбиение отрезка [О, М]. Пусть Ev — такое подмножество в Rm, что Mv < f (х) Mv+l для любой точки из Ev. Тогда Ev — ограниченное измеримое по Борелю множество и, значит, Ev имеет меру Лебега т (Ev). Составим суммы
s (А) = 2 Mvm (Ev), S (А) = У, Mv+im (Ev).
Легко показать, что для любых двух различных разбиений А, А' всегда s (А) S (А'). Таким образом, если /х — нижняя грань всех сумм S (А), а /2 — верхняя грань всех сумм s (А) для всевозможных разбиений А, то /2 di- Если разбиение А таково, что Mv+x — Mv < е при каждом v, то
5(A) —s(A)^e ^m(£v) = em(£),
V=1
где Е — ограниченное множество, вне которого функция / обращается в нуль. Так как е может быть выбрано сколь угодно малым, то /х = /2. Теперь мы по определению полагаем
I (/) =	= /2
’) Это понятие определяется и подробно рассматривается в § 3.1.
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
33
Если f — произвольная измеримая по Борелю функция, неотрицательная, но не обязательно ограниченная, то положим Е N = == С (О, N) и
, . .	( min {/(х), TV}, x£EN,
о,
Очевидно, что последовательность /л, (х) возрастает вместе с N ц, значит, возрастает последовательность I (Jк). Положим
1(f) = lim I(JN)
N-oo
И заметим, что конечный или бесконечный предел I (/) всегда существует. Если/ (/) конечен, функция/называется интегрируемой (по Лебегу).
Далее, если Е — произвольное измеримое по Борелю множество и f — неотрицательная измеримая по Борелю функция на Е, то определим функцию <р (х), полагая
и пусть
j/(z) dx— I (<р).
Е
Наконец, если f измерима на борелевском множестве Е, но не обязательно сохраняет постоянный знак, положим
/г = max (/, 0),	/2 = min (/, 0),
так что f = Д + /2, и пусть
j / (х) dx = Д (x)dx— j (— /2 (х)) dx Е	Ё	Е
при условии, что по крайней мере одна из функций Д, Д интегрируема на Е. Если обе функции Д и Д интегрируемы, то функция / называется интегрируемой.
Мы считаем известными обычные свойства интеграла Лебега, однако напомним теорему Фубини, которая позволяет сводить «-мерный интеграл к повторному. Этот результат можно сформулировать следующим образом Д.
Теорема 1.7 (теорема Фубини). Предположим, что функция f интегрируема на множестве Е и для каждой точки (х2, . . ., хп) обозначим через Е (х2, • . ., хп) множество всех таких xlf для
' Д Более общая форма этого утверждения будет доказана в теореме 3.5. Оригинальную формулировку см. у Фубини [1907].
3-0623
34
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
которых (х±, х2, . . хп} принадлежат Е. Тогда
/ (Жц х2, •  , хп) dx{ dx2    dxn =
Е
= j dx2 dx3 .. . dxn	f (xlt x2, ..., xn) dxt.
E(xa..xn)
Заметим, что так как Е и f измеримы по Борелю, то измеримыми по Борелю являются множества Е (х2, . . zn) и функция / (а\, х2, . . хп~) для любой фиксированной точки (х2, . . zn) из (п — 1)-мерного пространства. Таким образом, правая часть равенства имеет смысл. Если / принимает значения разных знаков, возможна ситуация, когда интеграл
j f(Xi, х2, . .., xn)dXi
Е(х2,. . ., хп)
не существует, поскольку f может быть неинтегрируемой при некоторых (х2, . . ., хп). Однако множество таких точек (х2, . . . . . ., хп) имеет нулевую (п — 1)-мерную меру и поэтому может быть исключено из области интегрирования.
В дальнейшем все множества Е и все функции / будут предполагаться измеримыми по Борелю. Нам понадобится также еще один результат из общей теории интегрирования.
Теорема 1.8. Пусть у — Т (х) — взаимно однозначное отображение области D cz точек х = (х±, . . ., zm) на область D' cz точек у = (у±, . . ., ут). Предположим, кроме того, что Т (х) имеет непрерывные частные производные
дУц	.
= И, v=l, ..., т,
и якобиан
& (гП
Ут} хт)
I Ун, v I
не обращается в нуль в D. Тогда, если функция f (у) интегрируема на D', то
\f(y) dy= \t{T (*)} I J (*)| dx D'	D
в том смысле, что интеграл в правой части равенства существует и равен интегралу в левой части.
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
35
1.4.2. Поверхностные интегралы
Теперь мы определим параметризованные поверхности и интегралы по ним. Параметризованная гиперповерхность в определяется как образ S при взаимно однозначном отображении у = Т (х) некоторой области D в (т — 1)-мерном пространстве точек х — (хх, . . ., Хщ.^ в пространство с координатами (pi, • • •, Ут)- Дополнительно мы предположим, что это отображение принадлежит классу С1, т. е. что все частные производные
^•v="aJ7’	v=l, ..тп-1,
существуют и непрерывны в D, и что в любой точке D не обращается в нуль по меньшей мере один из якобианов
Jv (X) =	= ( _ 1)v- 1 d
V '	д	хт_г)	v
р. = 1, 2, . . ., v — 1, v + 1, . . ., т, v = 1, . . т.
С каждой точкой у £S мы свяжем два единичных нормальных вектора
v = 1, . . т,
и заметим, что пара (t, —t) меняется непрерывно, когда х пробегает D и, значит, когда у пробегает S. Касательная плоскость в точке ц = (тц, . . ., цт) определяется как гиперплоскость, проходящая через ц ортогонально к t, т. е.
т
S 'Hv)= о.
V=1
Заметим, что эти определения не зависят от конкретного выбора параметризации.
В самом деле, пусть для определенности Jm (х) 0 в точке * = £ = (£1......£тп-1) и Т (£) = (т]!, ц2, . . ., цт). Тогда ото-
бражение х f—> (ух, у2, . . ., уm-i) локально обратимо, так что х, В значит, и ут являются в окрестности (цх, . . ., Цщ-!) непрерывно Дифференцируемыми функциями (ух, . . ., ym-i). Итак, имеем
т— 1
dy» = S Vnvdxv, ц=1, ...,m,
V=1
3*
36
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
причем
т
zL Jv. dy^ — О,
Ц=1
поскольку левая часть может быть представлена как линейная функция от dxv, коэффициенты которой суть определители с двумя равными столбцами. Поэтому
и отношения : J2 : ... : Jm зависят только от S как множества точек и не зависят от конкретной параметризации. Значит, и пара векторов (t, —t) зависит только от S.
Теперь для произвольной заданной функции f на S мы определяем поверхностный интеграл, полагая
/~ т— 1
j №= j /[Т(х)]]/ ^JvixYdx. (1.4.1) S	D	V=1
Аналогично, для любого v = 1, . . ., т — 1 полагаем
j f dav = j f [71 (a;)] eJv (x) dx,	(1.4.2)
s	D
где e = ±1 и знак eJv определяется заданием в каждой точке S одного из двух возможных нормальных векторов t или —t и выбором для eJv того знака, который имеет v-я координата t. Применяя теорему 1.8, снова замечаем, что эти определения не зависят от параметризации. В самом деле, на поверхности можно выделить часть S', где одна из координат, например ут, выражается как функция остальных, и если D' — соответствующая область точек (У1, Уг, • • ; Ут-1), то
f d(J = f [У{, • • •, Ут-1, Ут (У1, • • •, J/m-1)] X
8’	D'
Г т— 1
х V 1 + 3	• •  аУ^' (i-4-3)
V = 1
j / dam = j е/ [z/t, y2, ...,ym (yt, y2, ym-i)] dyt ... dy^. S’	D’
Часть поверхности S, где Jv 0, можно разложить в счетное объединение непересекающихся борелевских множеств, в каждом из которых yv локально является функцией других координат, а часть S', где Jv = 0, дает нулевой вклад в интеграл (1.4.2). Таким образом, во всех случаях интегралы (1.4.1) и (1.4.2) зави
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
37
сят от S, а в случае (1.4.2) еще и от локального определения единичной нормали.
Часто не удается параметризовать всю поверхность указанным выше способом, и тогда мы приходим к понятию гиперповерхности. Гиперповерхность — это объединение S конечного или счетного множества параметризованных гиперповерхностей определенных выше, такое, что
(i)	каждая пересекается самое большее с конечным числом различных поверхностей 5V;
(ii)	если ГЦЛ, — часть границы Sv, которая лежит в то ГЦЛ, имеет нулевую площадь поверхности в том смысле, что
г	f 1 на Tuv,
\ f с7сг = О, где / = <	с
J	I 0 в остальных точках дц.
su
I Наши интегралы можно очевидным способом продолжить до Интегралов по S. Действительно, положим
j = 2 j,
l;	S v s°
где через Sv обозначена внутренность (в топологии (т — 1)-мер-ной области Dv, образом которой является Sv) части поверхности jSv, которая не лежит в S1T S2,  • ., Sv-i-
, Заметим, что гиперсфера S:	= 1 является гиперповерх-
ностью в нашем смысле. Действительно, вблизи любой ее точки, где xv 0, координата xv может быть локально выражена через остальные. Возьмем части, задаваемые неравенствами 1/2тн <; <ixv 1, —l/2m Ху —1, v = 1, . . ., т, и заметим, что они покрывают сферу и что их границы Ху = ±1/2т имеют нулевую Площадь.
1.4.3.	Области и их граничные поверхности
•. Пусть D — область в Rm. Предположим, что Р является ве граничной точкой и что в некоторой окрестности V точки Р все граничные точки D лежат на поверхности S, проходящей через Р. Очевидно, что если окрестность V достаточно мала, То две единичные нормали tx, t2 к поверхности S в точке Р больше не пересекаются с S внутри V. Таким образом, tx, t2 лежат либо Целиком внутри, либо целиком снаружи области D.
Положим для определенности, что Р — начало координат и что касательная плоскость к S в точке Р не параллельна оси хг. Тогда вблизи Р поверхность S может быть представлена в виде
*1 = / (х2, . • хт),
38
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
где f — дифференцируемая функция и / (О, О, . . О) = 0. Пусть V+ и V~ — множества, задаваемые соответственно неравенствами
т ,	...,хт),	2*v<e;
2
т
/ (-^2’ • • •,	zLj
2
Ясно, что любые две точки из V+ могут быть соединены кривой в V+. Действительно, пусть
б= sup |/(х2, ..., a;m)|. т
2
Точку (жх, х2, . . ., хт) можно соединить с точкой (26, х2, . . . . . ., хт) в V4, затем (26, х2, . . хт) с (26, а;', . . ., х'т) и, наконец, (26, ж', . . ., Хт) С (х{, х'2, . . ., х'т) ТрбМЯ ПрЯМОЛИНбЙНЫМИ отрезками. Они лежат в V+ и, следовательно, если е и 6 достаточно малы,— в V. Итак, если хг и е достаточно малы, то либо обе эти точки лежат в области D, либо ни одна из них. Аналогично, все либо никакие точки из V~, лежащие достаточно близко от начала координат, находятся в области D. Если область D содержит все точки из У+, но не содержит точек из V~ вблизи начала координат, то говорят, что D лежит над S в начале координат. В этом случае определяем внутреннюю, соответственно внешнюю, нормаль как ту из нормалей tx и t2, которая имеет положительную, соответственно отрицательную, Жх-компоненту.
Если область D содержит точки из V~, но не содержит точек из V+, определяем внутреннюю нормаль как нормаль, имеющую отрицательную Жх-компоненту, и внешнюю нормаль — как нормаль, имеющую положительную ^"компоненту. В любом из этих случаев мы говорим, что S является односторонней границей области D.
Если область D содержит вблизи Р как точки из У, так и точки из V", то говорят, что 5 является локально двусторонней границей D. Поскольку D — область и поэтому содержит все свои внутренние точки, то D не может целиком лежать на 5 и поэтому 5 вблизи каждой точки является либо односторонней, либо двусторонней границей D.
Ясно, что если 5 — односторонняя граница области D, то все достаточно близкие к Р точки внутренней нормали находятся в D, а все близкие к Р точки внешней нормали лежат вне D.
Дадим теперь следующее
Определение. Область D в называется допустимой, если:
(i)	D ограничена;
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
39
(ii)	граница S области D является объединением конечного числа непересекающихся гиперповерхностей;
(iii)	в любой своей точке S является односторонней границей D;
(iv)	множество тех точек из S, в которых касательные плоскости параллельны одной из осей, имеет нулевую площадь;
(v)	любая прямая, параллельная координатным осям, пересекает S не более чем в конечном числе точек.
1.4.4. Теорема Грина х)
Мы закончим этот параграф доказательством теоремы Грина.
Теорема 1.9. Предположим, что D — допустимая область с Rm с границей S и что и£ С1 ии£ С2 eD. Тогда (
j u _ j { V	(1-4.4)
S	D v
(	m
где V2=2 “^2------оператор Лапласа. Следовательно, если
v=l v
и, v E С2 в D, то
5 (и In—v-^')do=^v^2u-u^v)dx.	(1.4.5)
Здесь д/дп обозначает дифференцирование вдоль внутренней относительно D нормали.
Пусть Р (х) g С1 в D; рассмотрим интеграл
(1.4.6)
D
Пусть — проекция D на гиперплоскость хг = 0 и Ег — проекция на эту же гиперплоскость той части S, на которой касательная плоскость ортогональна гиперплоскости хг = 0. По предположению, (т — 1)-мерная мера множества Ег равна нулю. Если £ = (0,	• • ч %т) — точка из DT — Ег, то прямая хх = gv,
v = 2, . . ., т, пересекает D по конечному числу прямолинейных отрезков
£i,2h<*i<£i,2u+i, Н = °> • • •> к = к(Е).
Интегральные тождества и связанные с ними функции, носящие имя Грина, впервые появились в работе Грина [1828].
40
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Следовательно, по теореме Фубини и в силу того, что Ег имеет нулевую (т — 1)-мерную меру,
h Ч. 2Ц+1
j dx2 dx3 • . • dxm 2	dx^t
D1~E1	^=0 2Ц
Поскольку P g C1, dPIdxY непрерывна no xt при фиксированных (x2, xm) и	Поэтому
^1, 2Ц.+ 1
j дх1 ==	(^1. 2ll+l> ^2’ • • • > ^m) P (£1, 2Ш "^2> • • • i %m)'
^1, 2Ц
Следовательно,
2 k
h= j 2 ( — l)1*”1 ^(£i,u,	•••• xm)dx2dx3 .. . dxm. (1.4.7)
©1“ E-£ Jl=0
Рассмотрим теперь интеграл
Ji=^P(x)doi,	(1.4.8)
s
определенный в соответствии с (1.4.2). В каждой точке поверхности S мы должны выбрать один из двух возможных нормальных векторов; возьмем внутреннюю нормаль к поверхности S, т. е. нормальный вектор, направленный внутрь D. Разобьем поверхность S на две части: часть Slr в точках которой нормаль параллельна плоскости Xi = 0, и часть S2 — дополнение в S к Sr. На имеем Jr = 0 для любой локальной параметризации, и поэтому
j Pd^i = Q.
81
Вблизи произвольной точки из S2 можно локально выразить xt через остальные координаты (х2, . . ., хт) и, следовательно,
j Р dot = j + Р (xlt х2, .. ., хт) dx2 dx3 ... dxm. (1.4.9) Sz
Знак «+» в этой формуле выбирается тогда, когда внутренняя нормаль образует острый угол с вектором, указывающим положительное направление оси х±, т. е. когда хг возрастает вдоль внутренней нормали; в противоположном случае выбирается знак «—».
Правую часть формулы (1.4.9) можно переписать в виде
2 Р ("^1? ^2’ * • * 1 ^т) dx2 dx3 . . dxm,
Dz
1.4. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ТЕОРЕМА ГРИНА
4f
где через D<> обозначено подмножество D±, на которое проектируется 5.J, а сумма берется при фиксированных (х2, . . хт) по всем точкам (ar1; х.2, . . хт) на S, касательные плоскости в которых не параллельны оси хъ Таким образом, Z>2 включает в себя все точки множества Dr и, возможно, некоторые точки Еи а именно те, для которых прямая = const, v = 2, . . ., т, пересекает S в точках, где касательные плоскости параллельны оси Так как множество Ег имеет нулевую меру, то
2i Р («Гр • *• • ? dx2 dx3 . •. dxm =
= '2 ± Р , %т) dx2 dx3 ... dxm. (1.4.10) bi
Заметим теперь, что для (Н2, • • •, £т) € Di соответствующие точки (ж1; g2, . . ., gm) — это в точности точки х± = ц, р. = = 0, . . ., 2к. Кроме того, так как отрезки 2ц <Zx± <; S2 2(г+1 лежат в D, то проходимые в направлении возрастания х± они дают острый угол с внутренней нормалью в точках хг = 2ц и тупой угол в точках х± = £р 2ц+1- Таким образом, в точке имеем знак «+», если р четно, и «—», если р нечетно. Используя (1.4.7), (1.4.8) и (1.4.10), получаем Д = — J\, т. е.
j lETdx = ~~ f Pd(^ D	S
Аналогично, для v = 1, . . m имеем
f	dP	,	f	П	7
\	-z—dx= —	\ P	dov
J	J
D	S
(1.4.11)
Заметим теперь, что если (ip . . ., im~i) задает подходящую, локальную параметризацию поверхности S вблизи g = (Нр ^2, . . . . . ., 1т), то в точке |
OV .. U	J S2-r-J
epm---------------------
Л-*0
Г m где e= ±1; j= 1/ 2 J2v и
h,	.... ы
h

9 (^1» ^2» • • • 1 ^m-l)
42
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Таким образом,
Знак е тот же, который приписывается внутренней нормали; таким образом, eJv имеет знак «+», если xv возрастает в направлении внутренней нормали, и знак «—» в противоположном случае. Итак, (1.4.2) и (1.4.11) показывают, что
w d°v = — У f dxv '	— J
v=l D
д / dv . ,
-z— и —— dx = dxv \ дх^ /
т
= - j {“V2n + 3 О	v=l
dx. dxv J
Равенство (1.4.4) доказано. Равенство (1.4.5) получается вычитанием, и доказательство теоремы 1.9 завершено.
1.5.	ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.5.1.	функция Грина и интеграл Пуассона г)
Если и £ С2 в области D и \/2и = 0 в этой области, то функция и называется гармонической в D. Приступим к изучению •свойств гармонических функций.
Если и = f (R) — гармоническая функция в некоторой обла-т
сти Rm, где R = ( 2	— расстояние от точки х = (х^ х2, . . .
v—1
. . ., хт) до начала координат, то т
2 -0-=-т1/'(^)+Г(^)=о, V=1
так что
и — A log В, т = 2,
u = AR2~m-\-B,	т>2.
Это приводит к следующему определению.
Пуассон [1823].
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
43
Определение. Функция g (х, g, D) называется (классической) функцией Грина для х, отвечающей ограниченной области D с Rm и точке £ gD, если:
(i)	g— гармоническая функция х всюду в области/), за исключением точки х =
(ii)	g непрерывна в D, кроме точки х = £, и g = 0 на границе D;
(iii)	g + log | x — g | остается гармонической функцией в точке х = £ при т = 2 или g — | х — g |2~m остается гармонической функцией в точке х = £ при т >2.
В теореме 1.14 мы покажем, что функция g (х, D) единственна (если она существует). Некоторое время мы сможем обходиться без этого результата, и поэтому пока будем называть функцией Грина произвольную функцию, обладающую свойствами (i) — (iii).
Имеет место следующая
Теорема 1.10. Если D — D (0, R) и £ — точка области D, = ER2 | g |-2 и если при т = 2
g(x, £,/)) = log J1 ,	g(x, 0, P) = logJL
Ix Ъ I 11	1,z I
а при m > 2
g(x, I, P)=|a:_^|2-’"_{|^| 1^—
g (x, 0, jD)=|.T|2~ m — R2~m
mo g (x, g, D) является (классической) функцией Грина области D.
Из приведенных выше рассуждений очевидно, что так определенная функция g (х, D) обладает свойствами (i) и (iii). Далее, если | х | = R, то
|Ж-£'|2= И2+ |£'|2_2 ХЧЪ) -^ =
= R2	___) Д2 - Д2
“ I ]£|2 у / I Xvbv ) ]£]2	|£|2	»
так что
|£| 1^— £' | =и к— £|.
Поэтому g (х, D) = 0 при | х | = R, что завершает доказательство теоремы 1.10.
44
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Отсюда получается
Теорема 1.11 (интеграл Пуассона). Если функция и гармонична в D (х0, R) и непрерывна в С (х0, R), то для Н g D (ж0, R) имеем
8(=с0, В)
где d(jx обозначает элемент площади поверхности сферы S (ж0, Л) и ст = 2л’п/2/Г (пг/2).
Без потери общности можно считать, что х0 = 0, поскольку в противном случае мы могли бы вместо функции и (х) рассматривать функцию и (х0 4- х).
Сначала будем считать, что функция и остается гармонической и, значит, принадлежит классу С2 в шаре D (О, R') для некоторого R' Z>R- Тогда мы можем применить теорему 1.9 с областью ОЕ вместо D, где е — малое положительное число и
D, = (|ж | <7?)П (I* - £ I >е).
Вместо функции и мы используем функцию g = g (х, £, D) теоремы 1.10 и положим S = S (0, R) (J S (Ь, е). Так как функции и и g гармоничны в De, из (1.4.5) вытекает, что
j (uV2g — g\?2u) dx = 0.
Итак, на S (0, R) имеем g = 0. Вычислим теперь dgldn на S (0, R). Обозначим £ через А, %' — через А' и произвольную точку х в пространстве — через Q. Пусть О — начало координат. Положим OQ = г, О А = р, и пусть 0 — угол QOA. Тогда
AQ2 — г2-г р2— 2r р cos 0,
.	, Я4	2r R2	„
A Q2 — r2-i—?-------cos 0.
v	1 р2	р
Поэтому
AQ AQ = г — р cos 0,
A’Q — A'Q = г —— cos 0. v dr v	p
Если m = 2, то для Q g S (0, R), поскольку r = R, A'Q = = (AQ) (R/p), имеем
dg   d ] n A'Q   r—p cos (J	r—(Я2/р) cos 0  
~3n ~ ~ ~dir10g ~AQ~	AQ2	A'Q2 ~
1 Го a P2 I о R2	(Я2 — p2)
— AQ2 Pcos0 R2 \R p COS0/J— RAQ2 *
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
45
Для случая т > 2 аналогично получаем
dg д Г 1	/ R 1 \т~2'1_
дп ~ dr L AQm~2 р A'Q / J —
— {т — Г г~~Р cos 9 _ f_5_ \т~2 г—(Д2/р) cos 9 -] _
'L (AQ)m \ р ) (A’Q)m J
=tSkD?“pcos0-'rcos0)] =
_(m — 2) (Д2 —p2)
R(AQ)m
Таким образом, на S (О, R) имеем
_____<Д2~Р2)___ т — 2
дп Я(Я2 + р2 — 2Яр cos 9) ’
dg =	(т-2) (Я2—р2)	т 2
дп Я (Я24-р2 —2Яр cos 9)т/2 ’
Заметим далее, что при е —> 0 на S (£, е) получаем
И(1) = Ц(|) + 0(8), -£-=°(^
g(x) = o(ei~m),	-^-= — е"1 + О(1), тп = 2;
-^-= — (т— 2) е1-т + <? (1), тп>2,
j do = em-‘ j do = cmem“1, S(|, e)	8(0,1)
где cm — постоянная. Поэтому
г ( _dg__ du_\ d _ ( ~c2u(l) + o(i),	m = 2,
s£e)dn S 9n CT- t “(m~2)cm“(s) + °(1)’ m>2.
Следовательно, по теореме 1.8 окончательно получаем
ц zg\_ 1 f __________(Д2 P2) u (x) dcx_
“ ~ Cm	Я (Я2 + р2—2Яр cos 9)m'/2 ’
O(.U, tt)
где постоянная cm равна площади поверхности гиперсферы радиуса 1 в m-мерном пространстве. Легким упражнением является проверка того, что
:	2лт/2
Ст ~ Г (т/2) *
। Мы предполагали, что функция и гармонична в некотором шаре D (0, 7?') для R' Z>R- Если это условие не выполнено,
46
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
то можно применить теорему 1.11 с R± вместо R, где R± <zR стремится к R снизу. Так как функция и (х) непрерывна на С (О, R), очевидно, что правая часть в формуле (1.5.1) остается непрерывной при R, откуда следует общий случай теоремы 1.11.
1.5.2. Принцип максимума для гармонических функций
Интеграл Пуассона является полезным инструментом для исследования свойств гармонических функций. Мы начнем со следующего утверждения.
Теорема 1.12 (принцип максимума). Если функция и гармонична в ограниченной области D с К”1 и непрерывна в D и если и М на границе области D, то либо и <М в D, либо и == М в D.
Пусть М' — максимум функции и в D. Максимум достигается, так как D компактно. Если М' <М, то доказывать нечего. Если М' = М, и <М в D, то снова все доказано. Поэтому можно считать, что М' М и что и (£) = М' в некоторой точке I е d.
Пусть Elt Е2—множества тех точек области D, в которых соответственно и <ZM' и и = М'. Очевидно, что каждая точка D принадлежит Ег или Е2. Кроме того, так как функция и непрерывна, множество Ег открыто. Покажем, что множество Е2 тоже открыто.
Действительно, пусть g g Е2 и D (£, г)сй. Покажем, что D (g, г) с Е2. В самом деле, если р <г, то из теоремы 1.10 следует, что
ni-m Г
U (£) = —--- U (х) dcsx
bm J s(i.p)
и, значит,
0 = п(£) — М’=—----- f (и (х)— М') dax.
ст J
S(L р)
Подынтегральное выражение в этом равенстве неположительно, и так как функция и (х) непрерывна, то и (х) = М' на S (£, р) для р <г, т. е. и (х) = М' в D (£, г). Таким образом, множество Е2 открыто.
Итак, оба множества Ег и Е2 открыты, а поскольку D связно, то одно из них пусто. Поэтому либо и <^М' в D, а в этом случае М' М, что доказывает наш результат, либо и = М' в D и, так как и М на (непустой) границе области D, а. и непрерывна, снова выводим, что М' М. Это завершает доказательство теоремы 1.12.
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
47
Пусть D — ограниченная область с границей S. Задача Дирихле х) заключается в нахождении функции и, гармонической в области D, непрерывной в D и принимающей заданные непрерывные значения на S. Имеет место следующая
Теорема 1.13. Если решение задачи Дирихле существует, то оно единственно.
Действительно, если и±, и2 — два решения задачи Дирихле в области D с данными граничными значениями, то функция и = иг — и2 гармонична в D, непрерывна в D и обращается в нуль на границе D. Поэтому, согласно теореме 1.12, н О В D и аналогично —и О, т. е. и = 0 в области D.
Справедлива также
Теорема 1.14. Классическая функция Грина g (х, g, D) (если она существует) однозначно определяется свойствами (i) — (iii) n. 1.4.2. Кроме того, g (х, g, D) >0 в области D.
Действительно, пусть функции gx (х), g2 (х) обладают свойствами (i) — (iii) для заданной области D и точки Н. Тогда функция g± — g2 остается гармонической в любой точке D, включая и точку £, поскольку вблизи £ можно написать
' gi — gi = gi + log | x — £ | — {g2 + log | x — £ |},	m = 2;
'' gi — g2 = (gi — I x — £ |2"m) — (g2 — | x — £ |2'm),	m >2.
Кроме того, gx — g2 = 0 на границе области D и, по принципу максимума, gx = g2 в D.
- Далее, если А — часть области D, находящаяся вне малой окрестности точки £, то g непрерывна в А, гармонична в А и, согласно условиям (ii) и (iii), g 0 на границе А. Поэтому, применяя к g принцип максимума, мы видим, что либо g >0 в А, либо g=0 в А. Вторая возможность исключается условием (ii), если выбрать окрестность точки g достаточно малой.
1.5.3. Аналитичность
Докажем следующую теорему.
Теорема 1.15. Если функция и (х) гармонична в области D, то и (х) £ А в D.
Для доказательства заметим, что если | х — х0 | = R, I £ — х0 | = р, (х — х0) (£ — х0) = t и р < R/3, то
‘	00
| x-l\-m=(R^-2t + pTml2 = H'm 2
_	0
х) Риман [1857] при обсуждении этой задачи ссылается на Дирихле.
48
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
где bv — биномиальные коэффициенты. Следовательно, если х^, — координаты векторов х — х0, | — х0 соответственно, то
|2г-р2|=|2 3*Л-Ж1^
<2 3 I х» I I 1 + 3 ^<р2 + 27?р<4я2.
Поэтому для | х — х0 | = R, | g — х0 | <7?/3 и g — х0 = = (|1; |2, . . ., gm) мы можем написать
Д2” 1	|2 | Z -1 Г = 3 а((Х) (х)	,
где	. g^m и суммирование ведется по всем набо-
рам из т неотрицательных целых чисел (ц) = (p,b ц2, . . ., цт), а ряд в правой части сходится абсолютно и равномерно. Следовательно, если функция и (х) гармонична в С (х0, R), то этот ряд можно подставить в (1.5.1) и почленно проинтегрировать по х. Получим разложение
^) = 3<W(^
(Ю
которое абсолютно и равномерно сходится для | £ — х0 | <7?/3. Такое разложение можно построить вблизи любой точки х0 £ D, поэтому и (|) £ А. Напомним, что из результатов п. 1.2.2 следует, в частности, что и (х) £ С=°, а по теореме 1.5 функция и (х) определена на D, если заданы ее значения на любом открытом множестве, лежащем в D.
Более глубокий анализ показывает, что ряды для и (£) абсолютно сходятся при р </?/)/2, причем эта оценка точная1).
1.5.4. Задача Дирихле для гипершара
Мы собираемся показать, как можно использовать интеграл Пуассона для решения задачи Дирихле для гипершара. Точнее, справедлива следующая
Теорема 1.16. Предположим, что функция f (х) непрерывна на S (х0, R), и пусть для t £ D (xQ, R)
»®=+ j	(1.5.2)
8(х0, Л)
где dax — элемент площади поверхности сферы S (х0, R). Тогда функция и (|) является решением задачи Дирихле для D (xQ, R) с граничными значениями f (х).
г) Кизельман [1969], Хейман [1970].
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
49
Мы докажем этот результат в несколько шагов.
(i)	Функция и (£) гармонична в D (х0, R). В самом деле, очевидно, что можно произвольное число раз дифференцировать по | под знаком интеграла, поскольку функция / (х) непрерывна и ядро
’	d-5-3)
имеет непрерывные частные производные всех порядков по х, £ при | =# х. Поэтому достаточно показать, что функция К (х, |) гармонична по переменным £ при фиксированном х. Без потери общности можно считать, что х = 0, так как замена х на £ — х не нарушает гармоничности. Пусть | = (Е1; . . ., £т), х(] = = (х1г . . хт), х = 0; тогда
д-г	жу~~Е (£у~жу)2 2 a:vgv /уе2\1-т/2
' ’ *	(Zj^v)”^2	(	£у)т/"	1 V
Как мы видели в п. 1.5.1, второе слагаемое в этом выражении (есть гармоническая функция. Кроме того, если функция и является гармонической, то гармонической будет и функция du/d^,v> так как и вещественно аналитична и поэтому
V2-^- = -|-V2m = 0.
O^V «Sv
Если R = (У}£у)1/2’ то при т ~ 2 функция log R гармонична и, следовательно, функция
также гармонична; при т >2 получаем аналогично, что
_ _1 / „ т
pm — т_2 \2dXv dS,v )
— гармоническая функция. Таким образом, гармонична функция К (х, £), а вместе с ней и функция и (£).
(ii)	Если т Ч / (х) М на S (х0, R), то т и (х) М eD (х0, R). Если f (х) = С = const, то из теоремы 1.11 вытекает, что и (с) = С. Следовательно, для любой постоянной С
— С — J К(х, t,)(f(x)-C)dvx.
S(x0, R)
Так как f (х) М и К (х, с) >0, мы видим, что и (£) М. Аналогично доказывается, что и (^) т.
4-0623
50
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(iii)	Если Nr — окрестность точки хг в S (xQ, R) и т f (х) М в Nly то
zn^limu (E)^lim и
где пределы берутся при £ —> хг, Е £ D (х0, R).
Представим 5 (х0, R) в виде 5 (xQ, R) = N\ J N2 и напишем
п(Е)-7И= [К(х, t)(f(x)-M)dax + TV,
+ ^K(x, l)(f(x)-M)dox = Il-\-I2.
Тогда, по предположению, 1\	0. Для х g N2
К(х,	->0
v ' cmR | S-- x |m
равномерно при E -> xx, так как в этом случае | Е—	Г2-"
|	— х0 |2 = R2, а |Е — х | -> | хг — а: |, причем | хг — х \
ограничено снизу для точек х (t Поэтому при Е имеем 12->0. Следовательно, lim и (Е) М и, аналогично, £->Х1 lim и (Е) 5> т.
(iv) Если хг £ S (х0, R), то и (Е) -> / (хг) при Е -> #1- Действительно, так как функция / (х) непрерывна в точке хг, можно применить (iii), положив т = / (хг) — g, М = / (х^ + 8. Устремляя 8 к нулю, выводим (iv) из (iii).
Теперь теорема 1.16 следует из (i) и (iv).
1.5.5. Свойство среднего значения
Из теоремы 1.11 вытекает, что если функция и (х) гармонична в некоторой окрестности С (х0, R), то
“ Ы =f u(x)dax,	(1.5.4)
стл	J
S(x„, R)
где через dax обозначен элемент площади поверхности сферы 5 (х0, R). Если функция и (х) гармонична в С (х0, р), то можно проинтегрировать правую часть по R от 0 до р и получить
1 Г
U	J	U dx'
т С(х„, р)
(1.5.5)
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
51
где dx
— элемент т-мерного объема, а
dmpm= [ dx = ^- =---------—-----pm
J	m (m \ r
C(0,p)	1
м m-мерного шара радиуса p. Любое из свойств (1.5.4) можно взять в качестве определения гармонических
5)
t— ии bi Д (1-5 функц]
Теорема 1.17. Если функция и (х) непрерывна в области D с cz и для каждой точки xQ £ D выполняется равенство (1.5.5) при некотором произвольно малом р, то и (х) гармонична в D. < Пусть С (х0, г) — гипершар, расположенный в D, и пусть 1> (х) — решение задачи Дирихле в С (х0, г) с граничными значениями и (х), заданными на 5 (х0, г). По теореме 1.16, функция v (х) существует, единственна и задается интегралом Пуассона. , . Положим h (х) = v (х) — и (х) для х Е D (х0, г). Так как, Негласно теореме 1.16, функция и (х) гармонична в D (х0, г), 9о достаточно доказать, что h (х) = 0 в D (х0, г). Заметим, что функция h (х) непрерывна на замкнутом шаре С = С (х0, г) И обращается в нуль на его границе 5 = 5 (х0, г). Поэтому, если Л (х) не обращается тождественно в нуль, она должна иметь положительный максимум или отрицательный минимум в С (х0, г) следовательно, в D = D (х0, г). Предположим, например, что
•	т = sup h (х) > 0.
.1,	х е с
Множество Е тех точек из D, для которых h (В) = т, компактно и непусто, так как функция h (х) непрерывна. Поэтому найдется Такая точка Во £ Е, для которой | с0 — х0 | максимально. Поскольку и (х) удовлетворяет равенству (1.5.5) для некоторого произвольно малого р, а функция и (х) гармонична, h (х) удовлетворяет (1.5.5) для этого же значения р, и поэтому мы можем выбрать Сколь угодно малое р, такое, что
j [h(x) — A (g0)] da: = 0.
ОДо, р)
Подынтегральное выражение здесь непрерывно и неположительно в С (Во, р) и, значит, тождественно равно нулю. В частности, А (Bi) = т, где Bi = Во + -|- (Во — хо)- Но
I Si— хо I = | (1 4"^")[(Во—хо) |, ’то противоречит нашему предположению о максимальности I Во — хо I- Таким образом, функция h (х) должна быть тождественным нулем, и теорема 1.17 доказана.
4*
52
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Примеры
1. Принцип симметрии Шварца. Пусть функция и гармонична в области D с. {х g | х = (хг, . . хт) и хг >0}, граница которой содержится в открытом множестве Д гиперплоскости хг = 0, и остается непрерывной на Д и обращается там в нуль. Докажите, что и можно продолжить как гармоническую функцию в область Dr = D J Д (J £)', где D' — область, симметричная D относительно гиперплоскости = 0. (Положите и(хи . . ., хт) = = —и (—хг, х2,  . ., хт),х g D', и примените теорему 1.17.)
2. Докажите, что если и Е С в некоторой области D с. и частные производные д2и!дх^ существуют в каждой точке D тз. удовлетворяют уравнению \72^ = 0, то функция и гармонична в D. (Пусть D,, — ограниченная область, замыкание которой содержится в D. Покажите, что функция и 4- е | х |2 удовлетворяет принципу максимума в D' для каждого е >0, и, значит, принципу максимума в D' удовлетворяет функция и. Выведите отсюда, что функция и совпадает в каждом шаре, содержащемся в D, с интегралом Пуассона от ее граничных значений.)
1.5.6. Неравенство Харнака и теорема Харнака
Мы собираемся доказать m-мерную форму неравенства, принадлежащего Харнаку [1886].
Теорема 1.18. Предположим, что и (х) — гармоническая и положительная функция в D (х0, г). Тогда для | £ — х0 | = р <z.r имеем неравенства
(Г_р)Г"»-2	(r_f.p) Г"1-2	, ч
(r + P)m-l U (Жо) < U (£) <'(г-р)т- и Ы.
По теореме 1.16 для р <zR <Z? имеем
w(B) = [ и(х)К(х, l)dax,
Sf.xa, R)
где К (х, с) задается формулой (1.5.3), так что
Д2_р2	Д2__р2
/?(/?4-р)т	Д(Л__р)т •
Полагая р = 0, получаем
и (*о) = . вт-f- f u{x)dcx.
cm£i	v
S(x0> H)
Это сразу приводит к требуемому неравенству с R вместо г. Наш результат получим, устремляя R к г снизу.
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
53
Как было показано в и. 1.5.4, функции и r2~l *~*о12 ' Г | X—х1 |т ’
где |	— х0 | = г, являются гармоническими. Рассматривая эти
функции, нетрудно заметить, что неравенства теоремы 1.18 точны. Теперь докажем следующий результат.
Теорема 1.19. Если функция и(х) гармонична и не постоянна $ R”* и 4j(r)= sup и(х), 42(г)= inf и (х), то |х|=Т	|х|=г
AkL<o<iirn AM.
В частности, функция и (х) не может быть ограниченной ни кверху, ни снизу.
Применяя к функции Аг (г) — и (х) в | х ] < г теорему 1.18, получаем при | х | = р <; г
А^г) — и(х)^--(^.У-х2 [А1 (г) — и (0)],
у. е.
Р+Р)'-”1-2 ,,/ПЧ	(г + Р) г^-(г-р)т-1
и	и (°)-------(r-p)m-i-----Ai И) •
Предположим теперь, что существует такая последовательность г= гп, что
гп
Тогда, устремляя г по этой последовательности к бесконечности, получим, что и (х) и (0) в любой точке х пространства Rm. Если функция и (х) не постоянна, то это противоречит принципу максимума. Следовательно,
lim -1 А > 0, и, аналогично, lim А < 0.
3	Г^оо Г
Примеры
1. Докажите, что если и (х) — положительная гармоническая функция в D (0, г), то в точке х = 0
I ди I_т ,АЧ
|t—М(О).
2. Докажите, что если функция и гармонична в D (х0, г), Удовлетворяет там неравенству и < М и и (х0) = 0, то
I ди I_ А (X) М
I дхг | г
54
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
в D (х0, Кг), где 0 < К < 1 и А (К) зависит только от К. Выведите отсюда или иным методом докажите, что для любого р = Pi + + />2+ • • • + Рт
дри
дхР1 дх^2 • • • dx™
Л (А,, р)М гР
в D (х0, Кг),
тде А (К, р) зависит только от К и р.
3. Докажите, что если и (х) гармонична в пространстве и не сводится к полиному, то, в обозначениях теоремы 1.19,
Jog r
(Если нижний предел равен р <сю, покажите, что все частные производные порядков, меньших р, тождественно обращаются в нуль.)
Теперь мы докажем теорему Харнака х).
Теорема 1.20. Пусть ип (х) — монотонно возрастающая последовательность гармонических в области D функций. Тогда либо последовательность ип (х) расходится к + оо всюду на D, либо ип (х) -> и (х) равномерно на каждом компактном подмножестве в D и и (х) — гармоническая функция в D.
Очевидно, что и (х) существует всюду в D как конечный или бесконечный предел. Предположим, что и (х0) < 4-сю по крайней мере в одной точке х0 £D. Тогда для п >»m >А0 (е) имеем ип (х0) — ит (х0) < е.
Если теперь D (х0, г) содержится в D, то, по теореме 1.18, для | х — х0 | = р < г получаем
0 < (х) — ит (х) < е ((r~LPp)rm-i2 , n>m>N0(e).
Значит, последовательность ип (х) равномерно сходится в С (х0, р) для р<гк пределу и (х), и, стало быть, функция и (х) конечна и непрерывна в С (х0, р). Аналогично, из левого неравенства теоремы 1.18 вытекает, что если и (х0) = сю, то и (х) — со в D (х0, г). Таким образом, оба множества точек из D, в которых и (х) = сю и и (х) <°°, открыты в D, и поэтому одно из них обязательно пусто. Если, например, и (х) < сю в D, то сходимость в D локально равномерна. Заметим теперь, что если С (х0, г)сйи || — х0 | = = р <г, то
un(B) = j ип(х)К(х, l)dax,
8(х„, г)
') Харнак [1886].
1.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
55
уде К (х, с) — ядро Пуассона, определенное равенством (1.5.3). Устремляя п к бесконечности, получим
и{^)= j и(х)К(х, z)dax,
S(.x0, I)
откуда, согласно теореме 1.16, следует, что функция и (£) гармонична. Это завершает доказательство теоремы 1.20.
1.5.7. Заключение
Гармонические функции на плоскости имеют особое значение благодаря их связи с регулярными аналитическими функциями. Предположим, что и (х, у) гармонична в плоской области D, Ъ пусть z = х + iy,
s.! \ ди .ди тт , .Т7 /(z) = ----
1 ' ' дх ду
Тогда, поскольку и £ С2,
д2и __ dU _ dV
дх ду	ду	дх ’
и так как функция и гармонична, то
д2и д2и ___ dU	dV __q
дх2 ' ду2	дх	ду
‘ Поэтому функция /(z) = t7 -j- iV удовлетворяет уравнениям Коши— Римана и, так как U, V £ С1, является регулярной аналитиче-
( ской функцией. Если положить вблизи любой фиксированной ‘точки z0 g D
Z
F(z) = ^ fa)dl = Ul + iVl,
1	20
то легко видеть, что иг, иг — гармонические функции и что и (z) = = иг (z) + и (z0). Следовательно, функция и локально является Вещественной частью аналитической функции F (z)-\-и (z0). Этот результат вместе с использованием сопряженной гармонической функции г?! (z) позволяет легко вывести многие свойства гармонических функций на плоскости. Однако, коль скоро установлены теоремы 1.12 и 1.16, их, как мы видели, можно использовать для , получения таких доказательств многих стандартных свойств гармонических функций, которые проходят и в пространствах высших размерностей.
Пример
. Докажите, что если функция и (z) гармонична в плоской обла-, сти Z), а функция z = t (ш) регулярна в области D' и отображает : ее в D, то и [t (tr)J гармонична в D'.
Глава 2
СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.0. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы дадим определение и установим простейшие свойства субгармонических функций. Эти функции связаны с гармоническими точно так же, как выпуклые функции одного переменного связаны с линейными. Вслед за определением и несколькими простыми примерами мы доказываем принцип максимума, который является одним из ключевых свойств субгармонических функций. Из этого принципа выводится, что график субгармонической функции в любом круге лежит ниже интеграла Пуассона, составленного по значениям этой функции на границе круга. Это приводит к центральной части главы, в которой излагается метод Перрона решения задачи Дирихле с помощью субгармонических функций, отсутствие аналитичности у которых делает их очень гибким инструментом. Далее следуют теоремы выпуклости для средних значений по гиперсферам. Эти теоремы будут играть важную роль в следующей главе. Мы заканчиваем главу кратким обсуждением понятия подчиненности для аналитических функций в круге — вопроса, в котором субгармонические функции имеют привлекательные применения.
2.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ
Из теоремы 1.17 вытекает, что в качестве определения гармонической функции можно взять свойство среднего значения. Если в соответствующем равенстве мы поставим знак , получим определение субгармонической функции. График такой функции лежит ниже графика гармонической функции, точно так же как график выпуклой функции расположен ниже графика линейной функции. Действительно, выпуклые функции — это в точности субгармонические функции одного переменного. Эти соображения подсказывают следующее
Определение х). Функция и (х), определенная в области D с сд Rm, называется субгармонической в D, если
х) Эта изящная формулировка принадлежит, по-видимому, Ф. Риссу [1926, 1930].
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ
57
(i	) — сю < и (х) < + оо в D;
(ii	) и (х) полунепрерывна сверху в D;
(iii	) для любой точки х0 £ D существует сколь угодно малое-Положительное число г, такое, что
и (жоХ~ -А— ( u(x)da(x), 'г,	стг	J
8(х0,г)
1де da (х) — элемент площади поверхности 5 (х0, г) х).
' Из (1.5.4) следует, что вещественные кратные гармонических функций суть субгармонические функции. Обратно, мы увидим, ято функция и гармонична тогда и только тогда, когда функции и р—и субгармоничны.
Отметим некоторые свойства субгармонических функций. Первые два свойства очень просты, и их доказательства предоставляется читателю.
Г
" Примеры
Я'-
1.	Если иг, . . uk — субгармонические функции в D и t1; . . . k
. . ., th — неотрицательные вещественные числа, то и =
V=1 также субгармоническая функция в D.
2.	Если и1г . . ., uk — субгармонические функции в D, та ц(х) = sup uv (х) также субгармоническая функция в D.
v v=l. ... . k
3.	Если и £ С2 в области D, то и — субгармоническая функция в D тогда и только тогда, когда \/2и	0 в D. Пусть 0 < р <г.
fe этом случае из теоремы 1.9 вытекает, что если С (х0, г) C.D, то-
f — f 4~^°г== f ^2udx, J J	or	J
S(x„, r) S(x„p)	A(x0, p)
тде Д (x0, p) = D (x0, p) — С (x0, г) и д/дг означает дифференцирование в направлении возрастания г. Предположим сначала, что V2u^?0 в области D. Тогда для данной точки х0 g D и достаточно малого г находим, что р, (г) = гт~г.Г (г) является возрастающей функцией г, где
J = ~с 7m—	( u(x)da(x).
стГ	J
S(xa, г)
1) Здесь и далее ет = 2лт/2/Г (т/2), как в теореме 1.1. Некоторые авторы предполагают еще, что и (х) не равна тождественно —оо, однако мы Рассматриваем функцию, которая тождественно равна —оо, как субгармоническую.
58
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Очевидно, что ц (0) = 0. Поэтому	при г >0 и, значит,
J (г) lim J (г) = и (х0).
г^0+
Так как функция и непрерывна, отсюда следует, что она субгармонична в D.
Предположим теперь, что V2w <0 в некоторой точке х0 области D. Тогда из непрерывности функции v2u вытекает, что V2^ < 0 вблизи х0 и, следовательно, функция ц (г) убывает и отрицательна для малых г. Таким образом, J (г) <; J (0) для достаточно малых г, и поэтому и (х) не является субгармонической функцией вблизи х0.
4.	Если / (z) — аналитическая функция комплексного переменного z в плоской области D, то функция и (z) = log | / (z) | субгармонична в D.
Ясно, что условия (i) и (ii) выполнены. Кроме того, очевидно, что условие (iii) выполняется, если точка z0 является нулем функции / (z), так как в этом случае и (z0) = —оо. Если / (z0) =£= 0, то функция log / (z) аналитична вблизи z0. Следовательно, функция и (z) — log | / (z) | гармонична и тем более субгармонична вблизи точки z0.
2.2.	НЕРАВЕНСТВО ЙЕНСЕНА ’)
Для того чтобы получить некоторые другие классы субгармонических функций, нам нужно одно интегральное неравенство. Мы получим это неравенство в форме, не являющейся самой общей, однако достаточной для всех приложений, которые мы имеем в виду.
Теорема 2.1. Предположим, что и (х) есть функция х, определенная на множестве Е cz Rm, и что <р (и) — выпуклая функция переменного и, определенная на интервале, содержащем область значений функции и (х). Тогда в предположении, что Е — измеримое множество в Rm, a dp обозначает меру Лебега, или что множество Е лежит на гиперповерхности S в R7”, a dy, обозначает элемент площади поверхности S, и что, кроме того, 0 <; ц (А1) < <оо и функция и (х) интегрируема на Е, справедливо неравенство
ф{тгЬг J u(z)dp(z)	j <Р Iй (*)] dp(x). (2.2.1)
Е	Е
Неравенство понимается в следующем смысле. По предположению, интеграл
J = 7W J и Е
х) Йенсен [1905].
2.2. НЕРАВЕНСТВО ЙЕНСЕНА
59
конечен. Если область значений функции и (х) содержится в конечном отрезке [а, 6], то число J также лежит в [а, 6]. Если интервал, содержащий область значений функции и (х), открыт или полуоткрыт, полагаем
ф(а) = Шш ф(ж), ф (&) = lim ф(г-).
Так как функция ф (ж) выпукла, эти пределы существуют, но могут оказаться бесконечными. Таким образом, левая часть неравенства (2.2.1) корректно определена. Если она равна —оо, никакого утверждения не делается. Если она конечна, то правая часть существует как конечный интеграл, удовлетворяющий (2.2.1), или же правая часть равна -|-оо. Если левая часть равна 4-оо, то равна -|-оо и правая часть.
2.2.1. Прежде всего нам необходим дискретный аналог теоремы 2.1.
Лемма 2.1. Пусть функция ф (и) выпукла на [а, &], a О,
i = 1, . . ., к, и 2^ = 1- Тогда если а и, b, i — 1, . . ., к,
ф(2 tiUi)^ 2
Без ущерба'для общности можно считать, что а	и2 . . .
... uk Ь. Применим индукцию по к. При к = 1 лемма тривиальна. При к = 2 неравенство эквивалентно определению выпук-'лости (1.3.3). Допустим, что утверждение леммы уже доказано для к — 1^2. Кроме того, будем считать, что 0	< 1, так
как в противном случае требуемое неравенство следует либо из неравенства для к — 1, либо из неравенства для 2. Напишем
tlul + ^2и2 + • • • + tk-iuk-i — (1 — tk) vh.
k-i
Поскольку 2 tt=i — tk, то ui^.vk^.uk_l, так что vk принадлежит i=l
отрезку [a, 6]. Следовательно, из (1.3.3) находим, что, по предположению индукции,
Ф [(1 — tk) vk + tkuk]С(1 — h) Ф (Ун) + М (wft)
< 2 C-Ф (ui) + M (uk) = 2 *«Ф (“«)•
Это завершает доказательство леммы.
60
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Переходя к доказательству теоремы 2.1, предположим прежде всего, что и (х) — простая функция на множестве Е, т. е. что и (х) принимает лишь конечное число различных значений иъ и2, . . ., uk. Пусть Et — подмножество множества Е, на котором и = щ; положим р (Et) = рг, р (Е) = р, рг/р = tt. Тогда числа ti, ut удовлетворяют условиям леммы 2.1. На основании этой леммы заключаем, что
k
ф {jrb) =ф {2
Е	2=1
k
< S ^ф (“0 = ДЁ) J ф i=l	Е
и в этом случае теорема доказана.
Предположим теперь, что функция и (х) ограничена на множестве Е, т. е. а хС и Ь, и что функция ф (и) выпукла на [а, 6]. Пусть N — достаточно большое целое положительное число. Положим
и
{ut, если Ui_i < и (x)^Ui, i>l;
если u0^u(x)^ul.
Тогда uN (х) — простая функция, так что
ф tb) J Un	5 ф [Ujv (2-2-2)
Е	Е
Заметим, что uN (х) —> и (х) при N —> оо равномерно по х 6 Е. Так как функция ф (и) выпукла, а значит, непрерывна и равномерно непрерывна на [а, &], то, по теореме 1.6, ф [iz-jv (ж)] стремится к ф [и (ж)] равномерно на Е. Следовательно,
f uN (х) dp (х) и (х) dp (х),
Е	Е
j Ф [uN (ж)] dp (х) j ф [и (ж)] dp (х),
Е	Е
и поэтому из (2.2.2) вытекает неравенство (2.2.1).
Далее предположим, что наименьший интервал I, содержащий область значений функции и (х), х g Е, не замкнут, т. е. является открытым или полуоткрытым интервалом, и может простираться в бесконечность. Пусть 1п — расширяющаяся последовательность
2.2. НЕРАВЕНСТВО ЙЕНСЕНА
61
отрезков ап х Ьп, стремящихся к/. Пусть а и & — нижняя и верхняя грани х в I. Если a g I, то мы полагаем ап = а для 'всех га; в противном случае выбираем в качестве ап строго убывающую последовательность, стремящуюся к а при га —> оо. Аналогично, если b g I, то мы полагаем bn = b для всех га, а в противном (Случае выбираем в качестве Ьп строго возрастающую последовательность, стремящуюся к b при га —> оо.
Пусть Еп — подмножество в Е, состоящее из тех точек, в которых ап и (х) Ьп. Тогда функция и (х) ограничена на Еп, а функция ф (га) выпукла на [ап, Ьп]. Кроме того, Еп стремится к Е лри га-> оо, и поэтому р (Еп) стремится к р (Е). Следовательно, р (Еп) положительна для всех достаточно больших га, и, значит, можно применить неравенство (2.2.1), заменяя в нем множество Е множеством Еп. В результате получаем
ф[и(ж)^р(я:).	(2-2.3)
Пусть Е'п — множество, в точках которого и(х) <ап, и Еп — множество, на котором и (х) >Ъп. Так как функция и (х) интегрируема на Е, то при п -> оо
и (х) dp (х) ->0, f и (х) dp (х) —>0.	(2.2.4)
Еп	Еп
Поскольку ф' (х) возрастает, для х0 g (а, &), х0 <^х <5, имеем ф' (ж) ф' (z0) и, следовательно, ф (х) ф (ж0)4-ф/ (ж0) • Ах — х0).
Если ф' (х) <0 для а <^х <^Ь, то функция ф (ж) убывает на (а, Ь) и, следовательно, ограничена сверху при х—> Ь. Значит, в этой ситуации ф (и) ограничена при и —> Ь, за исключением случая Ь = +°°? в котором
Ф (и) = О (| и |) при и -> 4-оо.
Поэтому в этом случае на основании (2.2.4) имеем
f Ф (и (х)) dp (х) = о( f u(a:) dp (х)|4-0 (р(£’"г))—>0 при га-^-оо.
С другой стороны, если ф' (и) положительна, то при и —> Ъ функция ф (и) либо ограничена, либо ф (и) -> +°°- В первом случае
j Ф (и (хУ) dp (х) ->0.
(2.2.5)
62
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Во втором случае либо выполняется (2.2.5), либо для каждого п
Ф (и (ж)) dp. (х) = 4- оо.	(2.2.6)
Еп
Итак, в каждом случае выполняется либо условие (2.2.5), либо условие (2.2.6). Аналогичное заключение справедливо и для множеств Е'п- Из (2.2.4) вытекает, что
Еп	Е
где а J Ъ. Так как функция ф (и) выпукла и поэтому непрерывна, то
Ф J и ф
Еп
где ф (./) определена по непрерывности и в предельных случаях J =a, Ь. Следовательно, из (2.2.3), (2.2.5) и (2.2.6) находим, что
Ф (J)<lim	j ф [и (ж)] dp (^)^jrb) J Ф Iй (z)l И-
Ёп	Е
Это завершает доказательство теоремы 2.1.
2.3.	НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ КЛАССЫ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Воспользуемся теоремой 2.1 для доказательства следующего утверждения.
Теорема 2.2. Если функция и (х) субгармонична в области D, а функция ф (и) выпукла и возрастает на области значений R функции и (х), х £D, или если функция и (х) гармонична в D, а ф (и) выпукла на R, то функция ф [и (ж)] субгармоничнавБ.
Предположим сначала, что и (х) — гармоническая функция в D. Так как ф (и) выпукла и поэтому непрерывна на R, то, следовательно, функция ф [и (ж)] непрерывна и конечна. Таким образом, выполнены условия (i) и (ii). Кроме того,
= f u(x)do(x),
cmf J
S(x„, r)
так что по теореме 2.1
ф[н (ж0)] = ф (—^=i [ u(a:)da(a:))< • Cmr	J	/
8(х0, г)
<7^1 ( ф [и (ж)] da (ж), cmr J
S(x„, г) и субгармоничность в этом случае доказана.
2.3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ КЛАССЫ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 63
& Далее, пусть и (х) субгармонична в D, а функция ф (и) непрерывна и возрастает на области значений R функции и (х),х g D ^включая и = —оо). Тогда функция ф [и (ж)] полунепрерывна сверху и не обращается в 4- оо на R. Значит, остается доказать условие ДШ). Так как ф (и) возрастает, а и (х) субгармонична, по теореме 2.1 ‘имеем
х
ф[^(ж0)]^ф(^Г71 j u(x)d<J(x)}^
",	S(x„, г)
Сг4пЛ ( Ф [и (ж)] da (ж).
ст'
S(x0,[r)
Это завершает доказательство теоремы 2.2. с
Следствие 1. Если функция и (х) субгармонична в области D, то субгармоническими в D являются также функции е'-и для X > О й [и+ (z)]ft, k 1, где и+ (х) = max (и (х), 0).
Следствие 2. Если функция и (х) гармонична в D и k 1, то функция | и(х) |ft субгармонична в D.
Следствие 3. Если функция / (z) аналитична в плоской области D, то функции (log+ | / |)ft, k 1, и | / |х, X > 0, являются субгармоническими в D, где
log+ | / | = max (log | f |, 0).
’ Из примера 2 § 2.1 вытекает, что функция и+ (х) в следствии 1 Цубгармонична в области D. Так как ик выпукла и возрастает на (0, оо) для k 1, а функция выпукла и возрастает на (—оо, Ьо) для X >0, то отсюда вытекает следствие 1.
Если и (х) гармонична, то гармонической будет и функция —и (х). Следовательно, функция | и (х) | = max [и (х), —и (ж)] является субгармонической и, согласно следствию 1, субгармонической является функция | и (х) |ft.
Если / (z) — аналитическая функция в плоской области D, Vo на основании примера 4 § 2.1 функция и = log | / | субгармонична. Тогда, согласно следствию 1, субгармоническими являются также и функции (log+ | / |)ft и | / р- = ех“. Это завершает Доказательство следствий.
Следствие 3 и пример 4 § 2.1 являются основой многих приложений субгармонических функций в теории аналитических функций. Многие свойства функции и (z) = log | / (z) |, где / аналитична, распространяются на произвольные субгармонические функции на плоскости, и зачастую этот подход ведет к упрощению доказательств.
64
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.4.	ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Теорема 2.3. Предположим, что функция и (х) субгармонична в области D cz R™ и что для любой граничной точки £ области D и любого е >0 найдется такая окрестность N точки £, что
и (х) < е в N D.
(2.4.1)
Тогда и (х) <^D в D или и (х) == 0. Если область D не ограничена, мы рассматриваем с - = оо как ее граничную точку и предполагаем, что условие (2.4.1) выполняется для внешней части N некоторого гипершара: [ х [ >7?.
Для доказательства нам потребуется следующая
Лемма 2.2. Если функция и (х) субгармонична и и (х)	0
в D (х0, г), и(х0) = 0, то и (х) = 0 в S (х0, р) для некоторого сколь угодно малого р.
Из условия (iii) определения следует, что найдется сколь угодно малое число р, такое, что
и(хо) = О^  *	[ u(x)do(x).
cmP	J
S(x„, p)
Так как и (х)	0, выводим отсюда, что
и (х) do (х) = 0.
S(x„, р)
Предположим, что в S (х0, р) существует такая точка хг, что и (xi) <0- Тогда, согласно условию (ii) определения, можно найти такую окрестность N\ точки хг, что в этой окрестности и (х) < —Т), где т] >0. Если N2 — пересечение Nr и S (х0, р), а Е2 — дополнение к N2 в S (х0, р), то неравенство
j и (х) do (х) = j + j | и (х) do (х)^. — т] j do (х) < 0
S(Xg, р)	A7a
приводит к противоречию. Следовательно, и (х) = 0 в S (х0, р), и лемма 2.2 доказана.
Переходим к доказательству теоремы 2.3. Пусть
М = sup и (х).
х ев
Если М <0, то доказывать нечего. Предположим поэтому, что М >0, и пусть хп — такая последовательность точек из D, что и (хп) ~* М. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что хп —> £. Если £ — граничная точка D, то, поскольку М >0, условие хп -> £ противоречит нашему основ
2.4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
65
ному предположению (2.4.1) для е = MI2. Следовательно, £ — дочка области D. Кроме того, так как функция и (х) полунепрерывна сверху, неравенство и (£) <; М также приводит к противоречию. Так как, по предположению, и (£) М, остается принять, что и (g) = М.
Таким образом, если Е — множество всех тех точек из D, для которых и (х) = М, то Е не пусто. Если М = 0им<0вД то снова нечего доказывать. Поэтому будем предполагать, что М 0 и множество Е = {х £D ( и (х) = М} не пусто. Поскольку функция и полунепрерывна сверху, множество Е замкнуто. Докажем, что множество Е содержит всю область D.
Предположим противное: в D существуют такие точки хг, х2, что и (хг) <^М = и (х2). Так как D — область, можно соединить точки хг и х2 в D ломаной с вершинами хг =	%2, . . ., с„ = х2,
так что каждый прямолинейный отрезок	j = 1, . . .
. . ., п — 1. Пусть / — последний номер, для которого и (£у) < М. Тогда и (£/+1) = М. Пусть
х (£) = (1 - t) ls + £/+1,
и пусть t0 — нижняя грань тех t, 0 < t < 1, для которых х (i) g Е. Поскольку множество Е замкнуто, х0 = х (i0) £ Е. Применяя теперь к функции и (х) — М лемму 2.2, получаем, что существует такое р, для которого 0 <; р < | ж0 —	| и S (х0, р) cz Е. Тогда
S (ж0, р) пересекает отрезок z0], что противоречит определению t0. Следовательно, множество Е целиком содержит область D и и (х) = М в D.
Если область D ограничена, она имеет по крайней мере одну конечную граничную точку £, и если при этом М >0, то мы приходим к противоречию. Таким образом, М ^0 а и = М в D или же и <^М в D. Если область D не ограничена, она имеет граничную точку оо и опять получается противоречие. Теорема 2.3 доказана.
Из теоремы 2.3 немедленно вытекает
Теорема 2.4. Пусть функция и (х) субгармонична, а функция v (х) — гармонична в ограниченной области D и
lim {и (х) — v (ж)}^.0,
когда х стремится к произвольной граничной точке £ области D изнутри D. Тогда и (х) < v (х) в D или же и (х) == и (х) в D.
Применим теорему 2.3 к функции h (х) = и (х) — v (х), субгармонической в D и удовлетворяющей предположениям теоремы 2.3 при М = 0. Тогда h (х) <0 в D или же h (х) = 0 в D, что и требовалось доказать.
5-0623
66
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если выполнено условие теоремы 2.4, то говорят, что функция v (х) является гармонической мажорантой функции и (х). Такие гармонические мажоранты играют важную роль в теории субгармонических функций.
2.5.	СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
Будем говорить, что функция и (х) субгармонична на множестве Е, если она субгармонична на некотором содержащем Е открытом множестве.
Теорема 2.5. Пусть и (х) — субгармоническая функция в С (х0, R). Тогда для t £ D (х0, R) имеем
u(£)<C j и (х) & (х, Ю	(2.5.1)
S(x„,R)
где К (х, £) — ядро Пуассона, задаваемое формулой (1.5.3), a dax — элемент площади поверхности S (х0, R).
Интеграл в неравенстве (2.5.1) понимается как интеграл Лебега. Поскольку функция и (х) полунепрерывна сверху, она ограничена сверху на S (х0, R), и поэтому интеграл в (2.5.1) конечен или равен —оо. В последнем случае теорема 2.5 интерпретируется как утверждение о том, что и (£) = —оо.
Приступаем к доказательству теоремы 2.5. Так как функция и (х) полунепрерывна сверху на S (х0, R), то, по теореме 1.4, можно найти такую последовательность ип (х) непрерывных функций на S (х0, R), что
ип (х) | и (х), х £ S (ж0, R).	(2.5.2)
Функции ип (ж) можно продолжить на D (х0, R), полагая
ип(£) = J ип (х) К (х, £) dax, leD(x0,R). (2.5.3)
По теореме 1.16, полученная функция ип (х) непрерывна в С (х0, R) и гармонична в D (х0, R). Кроме того, если х — точка S (ж0, R) и £ -> х, % £ D (ж0, /?), то из полунепрерывности сверху функции и (£) — ип (|) в С (х0, R) следует, что
lim (u(E) — ип (%))^и(х) — ип (ж)С°.
Поэтому, согласно принципу максимума, в D (ж0, R)
§ ип(х)К(х, l)dox.
S(x„, R)
2.5. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
67
Устремим в этом неравенстве п к бесконечности. По теореме Фату и из (2.5.2) получаем требуемое неравенство (2.5.1).
Заметим, что так как для фиксированной точки £ функция К (х, с) ограничена сверху и снизу положительными константами, то интеграл
j u(x)K(x,l)dax
S(Xo, R)
конечен или равен —оо во всем D (х0, R) в зависимости от того, конечен или равен —оо интеграл	и (х) dox.
S (xq, R)
Одна из этих возможностей, по существу, не заслуживает внимания, как показывает следующая
Теорема 2.6. Пусть функция и (х) субгармонична в области D и и (х)	—оо. Тогда если шар С (х0, R) лежит в D, то
j u(x)daxz>—оо;	(2.5.4)
S(x0,R)
если Е — произвольное компактное подмножество области D, то
^u(x)dx^>—оо.	(2.5.5)
Е
Предположим, что Е — компактное подмножество в D, для которого условие (2.5.5) не выполняется, так что
^u(x)dx——оо.	(2.5.6)
Е
Пусть 86]/ т — расстояние от множества Е до дополнения к области D. Разобьем пространство на гиперкубы Q типа
mv6 С/ xv sgC (mv-|-l) 6.
Так как множество Е компактно, только конечное число таких гиперкубов, скажем Qr, . . ., QN, содержат точки из Е. Положим
<?= и Qv, F = Q—E.
V—1
Тогда гиперкубы Qv лежат в /), и поэтому функция и (х) ограничена сверху на каждом (?v, а значит, и на F. Следовательно,
^u(x)dx= j и (х) dx + j и (х) dx < |и (х) dx + О (1) = — оо.
Q	Ё	F	Е
5*
68
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Кроме того, так как пересечение fl Qv имеет нулевую тп-мер-ную меру, то
N §u(x) dx = 2 j и (х) dx Q	v=i Qv
и по крайней мере для одного из гиперкубов Qv = Q' имеем j и (х) dx= — оо.
Q'
Пусть теперь £ — точка, расстояние которой от некоторой точки множества Е в Q' не меньше 2бУт и не больше 36]/ т. Тогда для значений г 76У тп — 36У тп = 46У тп шар С (£, г) лежит в D. Кроме того, согласно теореме 2.5, для р 4бУ тп имеем
с^р7”-^ (£)<: j и\{х^ах,
S(L р)
и поэтому
4бУ7й	461/тп
сти(£,) J pm-1dp^ j dp j u(x)dax = j u(x)dx, бУт	&Vm	S(LP)	Ei
где El = D (£,, 46 Уш)— C(c, S /m). Но множество Er содержит гиперкуб Q', и поэтому
^u(x)dx= j и (x) dx-j-§ и (x) dx =—оо/ Et	Ei-Q'	Q’
Следовательно, и (£) = —оо. Поскольку £ — это произвольная точка некоторого гиперкольца, мы заключаем, что если выполнено (2.5.6), то и (х) = —оо на некотором открытом подмножестве области D.
Рассмотрим далее множество М всех тех точек £ g D, для которых и (х) == —оо в некотором шаре С (£, г). Очевидно, что множество М открыто. Кроме того, множество М замкнуто в D. Для того чтобы доказать это, рассмотрим предельную точку £ множества М в D. Тогда для произвольно малого г сфера S (£, г) пересекается с множеством М, и поэтому и (х) = —оо для таких г на некотором открытом подмножестве S (У г). Значит,
j и (х) dox = — оо, s (ё,»г)
и, следовательно, и (х) = —оо в D (Е, г) по теореме 2.5. Поэтому •g g М. Таким образом, множество М одновременно открыто
2.5. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
69
и замкнуто и, как мы видели, если условие (2.5.5) не выполняется, то множество М не пусто. Значит, М содержит всю область D и и == —оо в D. Совершенно так же, если условие (2.5.4) не выполнено, то из неравенства (2.5.1) следует, что D (ж0, R) сп 7И, и поэтому множество М снова не пусто и и (ж) = —оо в D. Теорема 2.6 доказана.
Теперь мы в состоянии доказать следующее утверждение.
Теорема 2.7. Пусть и (х) — субгармоническая функция, и (х) ф. ф. —оо в некоторой области V и С (х0, R) cz V — гипершар. Положим
[ ( и(х)К (х, l)d<Jx, l£D(x0,R), и<Л) = ) S(x„,B)
U(§),	^V-D(x0,R).
Тогда функция v (с) субгармонична в V, гармонична в D (х0, R) и, кроме того,	(Е) в D (х0, R).
Назовем функцию v гармоническим продолжением функции и из S (ж0, R) в D (х0, R).
Неравенство и v в D (ж0, R) есть в точности неравенство (2.5.1). Заметим, что, согласно теореме 2.6, функция v (Е) конечна в D (х0, R). Кроме того, используя убывающую последовательность ип (х), удовлетворяющую условию (2.5.2), и определяя ип (£) равенством (2.5.3), мы видим, что ип (£) — гармонические функции и ип (£) -> v (Е) в D (х0, R). Следовательно, по теореме Хар-нака 1.20, функция v (£) также гармонична в D (х0, R).
Остается показать, что функция v (£) субгармонична в V. Для этого нужно проверить основные условия (i), (ii) и (iii) § 2.1. Эти условия, очевидно, выполняются в D (х0, R) (где функция v гармонична) и вне С (х0, R), где локально и = и. Поэтому рассмотрим некоторую точку х g S (х0, R). Условие (i) здесь, очевидно, выполняется, так как v (х) = и (х). Для того чтобы доказать (ii), устремим точку £ к х. Так как v (х) = и (х) вне D (х0, R) и функция и (х) полунепрерывна сверху, достаточно рассмотреть | из D (х0, R). Пусть последовательность ип (х) определена условиями (2.5.2) и (2.5.3). Тогда v (Е) <1 ип (£) в D (х0, R) и поэтому по теореме 1.16
lim v (с) sC lim ип (£) <Сип (х).
Из (2.5.2) мы заключаем, что lim и (£) и (х). Это доказывает g - Ж
полунепрерывность сверху функции v (Е). Наконец, поскольку v (х) = и (х) и v (£) ф и (£) для всех Е, то очевидно, что функция v (х) удовлетворяет условию (iii), если заменить х0, х на х, £. Этим завершается доказательство теоремы 2.7.
70
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.5.1. Теперь мы установим другое определение субгармонических функций, из которого немедленно получим, что в случае т = 2 субгармонические функции инвариантны относительно конформных отображений z-плоскости.
Теорема 2.8. Функция и (х), определенная в области D пространства К”1, является субгармонической в D тогда и только тогда, когда и (ж) удовлетворяет условиям (i) и (И) § 2.1 и следующему условию х):
(iii') для любой области А, замыкание А которой компактно и содержится в D, и для любой функции v (х), гармонической в А, непрерывной в А и такой, что на границе области А
и (х) v (х),	(2.5.7)
это неравенство выполняется также и во всей области А.
Следствие. Если функция и (z) субгармонична в плоской области D, а функция z = t (w) регулярна при w с: D' и отображает D' в D, то функция и [i (ш)] субгармонична в D'.
(Это следствие является субгармоническим аналогом примера п. 1.5.7.) Из теоремы 2.4 следует, что если функция и (х) субгармонична в области D, то условие (iii') выполнено. Поэтому остается доказать обратное. Предположим, что С (ж0, R) cz D и что функция и (ж) удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii'). Пусть ип (х)— последовательность непрерывных функций на S (х0, R), удовлетворяющих (2.5.2), а ип (|) — гармоническое продолжение функции ип (х) в D (ж0, R), задаваемое равенством (2.5.3). Поскольку и (ж) ип (х) на S (х0, R), то из (iii') следует, что это неравенство выполнено также и в D (ж0, R). Поэтому, устремляя п к бесконечности, получаем, что для любой точки £ g D (х0, R}
и(1)^ $ и (х) К (х, %) dcrx
S(x0, R)
Полагая здесь £ = х0, получаем неравенство
и (ж0)^ - 1	( u(x)d<yx,
стп	J
S (х0, В)
т. е. условие (iii). Таким образом, условие (iii) выполнено для всех г, таких, что С (х0, г) <^D, и, в частности, для всех достаточно малых г. Это означает, что функция и (х) субгармонична в D. Теорема 2.8 доказана.
Для того чтобы доказать следствие, предположим прежде всего, что отображение z = t (ш) однолистно, т. е. является взаим-
) Это условие объясняет название «субгармоническая функция».
2.5. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
71
но однозначным отображением области/)' на некоторую подобласть области D. Пусть А' — область, замыкание которой лежит в D', a v (ш) — функция, гармоническая в А', непрерывная в А' и такая, что на границе F области А' выполнено неравенство
и [Z (ш)] v (w).	(2.5.8)
Обозначим через А образ области А' при отображении z = t (ш); функция (z) = v [Z-1 (z)] гармонична в А, непрерывна в А, а на границе А удовлетворяет неравенству
и (z) v± (z).	(2.5.9)
Так как и (z) субгармонична в D, то неравенство (2.5.9) остается справедливым во всей области А, и, следовательно, неравенство (2.5.8) остается справедливым во всей области А'. Таким образом, функция и [Z (ш)] удовлетворяет в области D' условию (iii'). Поскольку условия (i) и (ii) удовлетворяются для нее очевидным образом, заключаем, что и [Z (ш)] субгармонична в области D'.
Рассмотрим теперь общий случай. Заметим, что если функция t (ш) однолистна в окрестности точки w0 С D', т. е. если t' (w0) =£= О, то на основании проведенных выше рассуждений функция и [Z (ш)] субгармонична вблизи ш0. Поэтому предположим, что t' (ш0) = О в точке w0 £ D'. Тогда в окрестности этой точки
t {w) = a0 + ah (w — w0)h + . . ., ah #= 0, t. e. [z (ш) — a0]Vft = aHh (w — w0)	.
Обозначим [Z (ш)—a0]1/ft через <p (w). Имеем ср' (ш0) =/= 0, т. е. t (ш) = a0 + [<р (ш)]\ Заметим теперь, что функция u(a0 + zh) субгармонична вблизи z = 0. В самом деле, условия (i) и (ii) выполнены. Проведенные выше рассуждения показывают, что функция и (a0-)-zft) субгармонична в окрестности z0 для произвольного достаточно малого z0, не равного нулю; следовательно, условие (iii) выполнено всюду, за исключением точки z0 = 0. Если число R мало, то
2л	2л
4- ( и [a0 + (7?ei0)ft] dQ = -^- f и [a0 + RheMe] dS = I	ZjT J
о	0
2л
= ’Sr j “ lao +	dtp^u (a0),
о
так как функция и (z) субгармонична. Таким образом, условие (iii) выполнено также и в точке z = 0, т. е. функция и (а0 zft) субгармонична в окрестности точки z = 0. Так как <р (ш0) = 0, <р' (ш0)	0, то из предыдущих рассуждений следует, что функция
72
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
н [а0 4- <р (w)k] субгармонична вблизи w0, т. е. что и [t (гг)] субгармонична вблизи w0, как и требовалось.
2.5.2. Исследуя возможность равенства в (2.5.1), мы получаем простое достаточное условие гармоничности.
Теорема 2.9. Функция и (х) гармонична в области D тогда и только тогда, когда и(х) и —и(х) субгармоничны в D.
Прежде всего заметим, что гармонические функции являются субгармоническими, и поэтому сформулированное условие необходимо. Далее, пусть и — субгармоническая функция в области D. Предположим, что С (z0, /?) с/), и определим функцию v так же, как в теореме 2.7. Тогда из теорем 2.4 и 2.7 вытекает, что и (£) <
(£) в D (хй, Д), за исключением случая, когда и (£) = v (£) в D (х0, R), т. е. когда функция и гармонична в D (х0, R). Полагая £ = х0, получаем, что в условии (iii) имеет место строгое неравенство для всех достаточно малых г, за исключением случая, когда функция и (х) гармонична вблизи х0. Если функция —и также субгармонична вблизи точки хй, то для всех достаточно малых г в условии (iii) имеет место обратное неравенство. Поэтому в (iii) должен стоять знак равенства и, значит, функция и (х) гармонична вблизи х0. Если функции и и —и субгармоничны в D, то это рассуждение справедливо для всех точек х0 £ D и, следовательно, функция и (х) гармонична в D.
Между прочим, мы установили, что равенство в (2.5.1) возможно только тогда, когда функция и гармонична в D (х0, Д). То, что в этом случае действительно всегда имеет место равенство, не совсем очевидно; мы отложим доказательство этого результата до § 2.7 (см. теорему 2.19).
Пример
Пусть у = Т (х) — ортогональное преобразование пространства lRm, переводящее область/) в область/)', и и (у) — гармоническая (или субгармоническая) функция в /)'. Докажите, что и [У (я)]— гармоническая (или субгармоническая) функция в D.
2.6. МЕТОД ПЕРРОНА Д И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
Несмотря на то что субгармонические функции имеют много общих свойств с гармоническими функциями или, в случае т = 2, с логарифмами аналитических функций, они обладают существенно большей гибкостью. В то время как, согласно теоремам 1.5
!) Перрон [1923].
2.6. МЕТОД ПЕРРОНА II ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
73:
и 1.15, гармонические и аналитические функции вполне определяются своим поведением на любом открытом множестве, из теоремы 2.7 следует, что субгармоническую функцию, не являющуюся гармонической, всегда можно сделать гармонической в фиксированном шаре, не изменяя ее в остальных точках. Это свойство является одним из главных преимуществ субгармонических функций в различного рода конструкциях. В настоящем параграфе мы воспользуемся этим свойством для построения решения задачи Дирихле.
Пусть D с — область с границей S, а / (Н) — ограниченная функция, определенная на S. Если область D не ограничена, мы включаем в S единственную «бесконечно удаленную» точку, обозначаемую оо, и предполагаем, что определено значение функции / (оо). Мы собираемся при подходящих условиях решить задачу Дирихле, т. е. найти гармоническую в области D функцию и (х), которая стремится к f (£;), когда х стремится к точке | С S изнутри D. Для этого введем класс U (/) функций и, обладающих следующими свойствами:
(а)	и субгармонична в D;
(b)	lim и (х) f (£), когда х стремится к любой точке S изнутри D.
Определим функцию v (х), полагая
v(x)= sup и(х).	(2.6.1)
u£U (У)
Мы увидим, что при подходящих условиях функция v (х) дает требуемое решение задачи Дирихле. Как показано в гл. 1, из принципа максимума следует, что если решение существует, то оно единственно.
2.6.1. Гармоничность
Докажем следующее предложение.
Лемма 2.3. функция v (х) гармонична в области D. Если т :С / (с) 'С М на S, то т v (х) М во всей области D.
Предположим, что т f (£) М. Тогда функция и (х) = т удовлетворяет условиям (а) и (Ь) и, следовательно, принадлежит классу U (/). Таким образом, v (х) и (х) = т для любой точки х £ D. Предположим опять, что и g U (/). Тогда из принципа максимума (теорема 2.3) следует, что и (х) — М 0. Поэтому v(x) = sup и(х)^.М.
u£U(/)
Докажем, что функция v (х) гармонична в области D. Для этого рассмотрим гипершар А, лежащий вместе со своей границей в обла
74
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
сти D. Пусть хг — две точки из А, а и3< п (х) (j = 1, 2; п = 1, 2,. . .) — такая последовательность функций из U (/), что при
7Z —> оо
“Л П (^) V (xj), j = 1, 2.	(2.6.2)
Положим
vi, п(х) = sup и]т(х),	(2.6.3)
u„ (x) = sup [Vj, n (x), v2> n (*)].	(2.6.4)
Определим теперь функции Уу п (х) и Vn (х). В части области D пне А положим VJt п (х) = п (х) (соответственно Vn (х) = vn (х)). В А пусть Vjt п (х) (соответственно Vn (х)) есть гармоническое продолжение функции Vj п (х) (соответственно vn (х)) с границы А в А. Из примера 2 § 2.1 следует, что функции п (х) и vn (х) субгармоничны в D. Очевидно, что они удовлетворяют условию (Ь), поскольку ему удовлетворяют функции и3г п (х). Значит, Vj п (х) £ С U (/) и vn (х) £ U (/). Кроме того, на основании теоремы 2.7 функции УЛп (х) и Vn (х) суб гармоничны в D. Функции Vj п (х) и Vn (я) удовлетворяют условию (Ь), поскольку вне А, а значит, вблизи границы/) они совпадают соответственно с vl n (х) и vn (х). Таким образом, функции Уу п (х) и Уп (х) принадлежат классу U (/).
Заметим теперь, что Уп (х) и Уу>п (х) гармоничны в шаре А и являются возрастающими функциями натурального аргумента п, ограниченными сверху для каждой точки х £ D константой М. Таким образом, из теоремы Харнака 1.20 вытекает, что
lim УЛ п (х) = Vj (х), limVn(x) = V (х), П-*оо	П-+ОО
где Vj (х) и V (х) — функции, гармонические в А.
Поскольку Vj. п (х), Уп (х) g U (/), из (2.6.1) следует, что при .х С D
Vj, П (*) < V (х), Уп (х) $7 v (х), J = l,2, п = 1, 2, . . . .
Отсюда для любой точки х С D получаем
(я) к (х), У (х) v (х).
Из нашего построения и теоремы 2.5 вытекает, что для любого натурального п
“Л n (^) < Vj' п (х}) < Vj' п (Xj) sC v (Xj),	/ = 1, 2,
Ъ, n (x) < Vn (x) < v (x), x£D. (2.6.5)
Первая система неравенств очевидна по построению. Вторая вытекает из (2.6.4) и того факта, что большей функции соответствует большее гармоническое продолжение, что является следствием положительности ядра К (х, £) в теореме 2.7.
2.6. МЕТОД ПЕРРОНА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
75
Из (2.6.2) следует, что
Ъ (*1) = V &j) = » (Xj), j = 1, 2.
Кроме того, в силу неравенства (2.6.5), Vj (х) V (х) в А. Поскольку функция Vj (х) — V (х) гармонична в А, из принципа максимума (теорема 2.1) следует, что Vs (х) = V (х), j = 1, 2, в А, так что (х) = V2 (х) и, в частности,
v (х2) = У2 (х2) = Vr (х2).	(2.6.6)
Фиксируем теперь точку хг £ А и заметим, что приведенная выше конструкция функции (х) совершенно не зависит от выбора точки х2. Заставляя точку х2 пробегать А, из (2.6.6) получаем, что v (х) = V\ (х), и, следовательно, функция v (х) является гармонической в А. Так как в качестве А можно взять окрестность произвольной точки области D, то функция v (х) гармонична всюду в D. Лемма 2.3 доказана.
2.6.2.	Поведение на границе х)
Для того чтобы доказать, что v (х) является решением задачи Дирихле, необходимо показать, что эта функция имеет правильное предельное поведение в граничных точках £ области D. Для исследования поведения функции на границе нам нужно понятие барьера.
Определение. Пусть £0 — граничная точка области D с Rh. Будем говорить, что область D обладает барьером в точке £0, если для точки £0 существует барьерная функция со (х) со следующими свойствами:
(i)	со (х) определена и субгармонична в No = N f) D, где N — некоторая окрестность точки £0;
(ii)	положим ц (6) = sup {со (я)}, причем | х — £0 |	6, если
хбЛ’о
£0 конечно, и | х |	6-1, если £0 бесконечно; тогда ц (6) <0
для 6 >0;
(iii)	если х £0 изнутри множества N0, то со (х)	0.
Граничная точка £0 области D называется регулярной или иррегулярной (для задачи Дирихле) в зависимости от того, обладает или не обладает область D барьером в точке £0.
Докажем теперь следующий результат.
Теорема 2.10. Пусть D — область в пространстве / (£) — ограниченная функция, определенная на границе S области D,
х) Понятия и результаты этого пункта принадлежат Лебегу [1924], который, кроме того, получил более сильный результат, чем теорема 2.11, и привел пример иррегулярной точки — так называемого острия Лебега.
76
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
и £0 6 S — регулярная точка. Если функция v (х) определена равенством (2.6.1), то она гармонична в D и имеют место соотношения
lim f	v (z)^lim v (a:)^;lim f (£),	(2.6.7)’
где внешние пределы берутся при t, £0 на S, а внутренние — при х-+ £0 изнутри D. В частности, если функция f (£) непрерывна в точке £0, то v (х) f (£0) при х £0 изнутри области D.
Если функция f (£) непрерывна на S и все точки границы S регулярны, то v (х) является решением задачи Дирихле для f (£) и области D. Область, все граничные точки которой регулярны, называется регулярной областью.
Предположим, что f (£) < М, если £ £ 5, и / (£) <Л/0 М, если l, С S [) Лг1, где Л\ — некоторая окрестность точки £0. Пусть со (х) — барьерная функция в точке £0 и N — такая окрестность точки £0, что N с N\ и функция <о (х) определена в No = — N f) D, где N — замыкание N.
Положим —т] = sup co (х), где х изменяется вне N. Из условий (ii) и (iii) следует, что при подходящем выборе множества N можно добиться того, что число ц будет конечным и положительным. Положим теперь
(— т], если x£D,x находится вне N, (о1(а;) = <	_
Isup [со (я), —т)], если x£N.
Тогда функция <о1 (х) субгармонична в области/). Для точек, внешних по отношению к N, это очевидно, поскольку там <ох (х) постоянна. Кроме того, вблизи любой точки х0 g N функция о) (х) определена и субгармонична, а
= sup (®
так что на основании примера 2 § 2.1 функция <о1 (х) также субгармонична в окрестности точки х0, т. е. является барьерной функцией в точке £0. Положим теперь
щ (х) = Мо —	<01 (х)
и докажем, что в области D
v (х) Д ь\ (х).	(2.6.8)
Для того чтобы установить это неравенство, предположим, что и (х) £ U (/). Тогда функции и (х), —ь\ (х) и, следовательно, и (х) — v± (х) субгармоничны в области D. Кроме того, если Z Е S f) 7VX, то f (£) <Т/0 и, значит, на основании условия (Ь), и (х) <zM0 для всех точек D, лежащих вблизи в то время как
2.6. МЕТОД ПЕРРОНА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
77
во всей области D имеем vx (х) Мо. Таким образом, в этом случае для всех точек х из некоторой окрестности t, выполнено неравенство
и (х) vT (х).	(2.6.9)
С другой стороны, если ( S, но £ (£ ,Л\, то £ лежит и вне N, и поэтому <о1 (х) = —т],	(х) = М для всех х g D, близких к точ-
ке £. Следовательно, неравенство (2.6.9) выполнено для всех таких аг, когда £ пробегает все точки границы 5. Поскольку и (х) — — vi — субгармоническая функция, из принципа максимума ^теорема 2.1) следует, что неравенство (2.6.9) выполняется для всех точек области D. Так как и (х) — произвольная функция класса U (/), то из (2.6.1) и (2.6.9) вытекает неравенство (2.6.8). Из свойства (iii) барьерной функции о»! (х) получаем, что
lim v (х) lim (х) = Мо.
Так как число Мо можно выбрать таким, что
Мо < lim / (£) + 8,
Е-Чо
тде е сколь угодно мало, то отсюда следует правое неравенство (2.6.7).
Остается доказать левое неравенство (2.6.7). С этой целью предположим, что / (У т на S и что f (£) >m0 т на S |~| М\. Определим функцию о»! (х) так же, как и прежде, и положим
щ (х) = т0 + т°~т а1(х).
Тогда функция и± (х) субгармонична в D, поскольку субгармонична в D функция со1 (х). Кроме того, если £ £ 5 и £ лежит вне Nx, то для всех точек области D, близких к £, имеем оц (х) = —ц, (х) = т / (0? если же £ 6 Nr, то иг (а;) тп0 / (У в окрестности £. Таким образом, функция иг (х) удовлетворяет условию {Ь) и поэтому и± (х) g U (/). Следовательно, v (х) иг (х) и
lim v (х) lim щ (х) = т0.
Поскольку число т0 можно выбрать таким, что т0 > lim f (£) — е, где е сколь угодно мало, то отсюда следует левое неравенство (2.6.7). Среднее неравенство очевидно.
Если функция f (£) непрерывна в точке £0, то внешние члены, а значит, и все члены (2.6.7) становятся равными f (£0). Следовательно, если х -+ £0 изнутри области D или вдоль границы S, то v (х) f (£0). Если мы положим v (х) = / (х) на S, то продолженная таким образом функция v (х) непрерывна в точке £0.
78
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если это выполняется для всех точек £0 g S, получим функцию v (х), непрерывную в D и гармоническую в D по лемме 2.3. Следовательно, v (х) есть решение задачи Дирихле. Это завершает доказательство теоремы 2.10.
2.6.3.	Условия регулярности
и конструкция барьерной функции
С целью практического применения теоремы 2.10 мы получим сейчас простой геометрический критерий регулярности граничной точки области D.
Пусть хй — произвольная точка пространства и I — луч, задаваемый параметрическим уравнением
X = Хо tt„ 0 t < ОО, где t, — некоторая точка пространства. Прямой круговой конус V (Z, а) с осью I и вершиной х0 определяется как множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству
d (х, I) < | х — х0 | cos а,
где d (х, I) — расстояние от точки х до луча Z и 0 <а < л/2. Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 2.11. Пусть D — область пространства и £ — ее граничная точка. Точка £ регулярна, если выполнено одно из следующих условий:
(а)	тп = 2, оо и существует лежащая вне D дуга z = £ + ге№ (г>,	0 -Д г s:C а,
где функция 9 (г) непрерывна на [0, а];
(Ь)	т = 2, £ = оо и существует лежащая вне D дуга
z = — eie(r), 0^г<а, г
где 9 (г) такая же, как в (а)',
(с)	т >2 и £ = оо;
(d)	т >2, £ ф оо и существует прямой круговой конус с вершиной £, все точки которого, достаточно близкие к £, лежат вне области D.
Приведенные выше условия, в частности условия (а) и (Ь), удобные для большинства приложений, могут быть значительно ослаблены. Однако, как мы увидим в гл. 5, при т >2 аналог условия (а) не верен; действительно, в этом случае изолированный прямолинейный отрезок состоит из иррегулярных точек для задачи Дирихле в Rm.
2.6. МЕТОД ПЕРРОНА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
79
Для доказательства (а) предположим, что 9 (г)	90 при г 0.
Можно считать, что | 90 | л, а значит,
| 9 (г) | •< 2л,	0 «С г С/ 6.
Для точки z, не лежащей на дуге у и такой, что | z | <6, положим
z = Z + re’e, 9 (г) < 9 < 9 (г) + 2л,
так что аргумент 9 = arg (z — £) однозначно определен в части N& области D, лежащей в | z — £ | < 6, и | 9 | <; 4л. Положим в
со (z) = —г1/9 cos (9/9).
Функция со (z) гармонична в No и удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii) определения барьерной функции. Аналогично, в случае (Ь) определим No как часть плоскости, для которой | z | >Н0 и z ф у. Так как 9 (г) имеет предел при г 0, то при подходящем выборе Ro можно представить z из No в виде z = реге, р Но, где 9 = arg z однозначно определен и удовлетворяет условию | 9 | <; 4л. Положим теперь
со (z) = —р-1/9 cos (9/9)
и заметим, что со (z) является барьерной функцией в оо.
В случае (с) положим со (х) = —| х |2-т.
Очевидно, что условия (i), (ii) и (iii) выполнены. Заслуживает внимания тот факт, что точка оо всегда регулярна для задачи Дирихле в Rm, если т 3.
Остается рассмотреть случай (d). Для этого нам нужна следующая
Лемма 2.4. Пусть С — прямой круговой конус с вершиной хп и D =	— С. Тогда существует функция щ (х), субгармониче-
ская в D, непрерывная в D и такая, что
и± (х)	0	6
(2.6.10)
примем равенство достигается только в точке х = х0.
Заметим, что при ортогональном преобразовании прямой круговой конус переходит в прямой круговой конус, а данный луч можно отобразить на отрицательную полуось хг. Используя пример в конце п. 2.5.2, мы можем, следовательно, считать, что ось нашего конуса — это отрицательная полуось хъ где (х1, х2, ... • . ., хт) — координаты точки х. Тогда область D задается неравенством
т X^COS (Л-6) ( 2 CCv)1/2, V=1
(2.6.11)
•80
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
т
где 0<6<л/2. Положим р2= 2 xv, и пусть и= g (х{, р) £ С2. v=2
Тогда д2и _ xv д2и . f 1 х\ \ ди ..->.0 TTj" — “р2* ~др2' +	— "Р5" ' ~#Р ’
•так что
т
\72 V	I d2u , т — 2 ди
V U~ 2j дх$ ~~д^~Т~~др2'~' р~‘эр'
V=1
Положим теперь = R cos 9, р = R sin 9, и пусть и = 7?“<р (9). Тогда
‘V2w = 7?“-2 [<р" (9) 4- (т — 2) <р' (9) ctg 9+« (« + "* — 2) <р (9)1.
Пусть <рт (9) — решение уравнения
<Рт (9) + (т — 2) ctg 9<рт (9) = 1, <рт (0) = <р™ (0) = О, лак что
о	t
<9)=j (sj;^ j(sin ^m~2dx-о	о
Функция срт (9) аналитична при 9 = 0 и даже при —л <; 9 <; л.
Выберем а настолько большим, чтобы выполнялось неравенство <рт (9) — а —1, I 9 I </ л — 6/2.
Предположим, что а — малое положительное число, и пусть ur (х) = Ra [<pm (9) — а],	0 R •< оо.
Тогда иг (х) С/ —Ra в области D, определяемой условием (2.6.11), и и± (0) = 0, а отсюда следует (2.6.10). Но если а достаточно мало, то
V2Mi = 7?“-2 [1 + а (а + тп — 2) (<рт (9) — а)] >0
при | 9 | л — 6, так что мх — субгармоническая функция в D. Таким образом, функция иг (х) удовлетворяет условиям леммы 2.4 и, значит, является барьерной функцией в точке
Теорема 2.11 доказана.
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
Среднее субгармонической функции по сфере S (х0, г) обладает важными свойствами выпуклости, к исследованию которых мы сейчас переходим.
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
81
Теорема 2.12. Пусть функция и (х) субгармонична в замкнутом кольце г1 | х — х0 | «С г2 в Rm и не равна там тождественно —ос, Положим
1 (Г' =	J u(x)dG(x).
S(x0, г)
Тогда при т = 2 среднее I (г, и) является выпуклой функцией от log г, а при т ^>2 — выпуклой функцией от г2~т в кольце Г1 siC г ;С если 0 < гх < г2.
Когда гх = 0, т. е. и (х) субгармонична в С (х0, г2), среднее I (г, и) является непрерывной возрастающей функцией переменного г для 0 г г2, если положить I (0, и) = и (х0).
Предположим сначала, что функция и (х) гармонична в кольце ri I х — х0 |	г2. Тогда из теоремы Грина 1.9 следует, что
С	Г j л
J - j 77rfa = 0’ ri^ri<r2<r2-
S(x„,r')	S(x„,r')
Это равенство можно переписать в виде
J “(^7^Г = const, rt^r^r2,
S (х0, г) или
(j.,	_ СоП8^ Г1 <С Г SjC Г2.
Следовательно, в этом случае существуют такие постоянные А и В, что
I (г, и) = A log г -j- В,	Г1 «С г ;С г2, если т = 2,
I (г, и) = Аг2~т + В, rx SC г	если т >2.
Это утверждение остается справедливым, если функция и гармонична в кольце гх < | х — х0 | •< г2 и непрерывна при гх | х — — х0 |	г2, так как ясно, что в этом случае функция I (г, и)
остается непрерывной, когда г-+ т\ + или же когда г г2 —. Значит, и в этом случае I (г, и) является линейной функцией от log Г при 771 = 2 ИЛИ ОТ Г2~т при 777 >2.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть vn (х) — такая последовательность непрерывных функций, что при п оо
vn (х) I и (х) на F = S (ж0, rx) [J S (ж0, г2).	(2.7.1)
Такая последовательность существует по теореме 1.4, так как функция и (х) полунепрерывна сверху на множестве F. Далее, множество F является границей области D: щ <; | х — х0 | <г2, и очевидно, что каждая точка £ С F удовлетворяет условию (а) 6-0623
82
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
или (d) теоремы 2.11 и, следовательно, является регулярной граничной точкой области D. Поэтому, согласно теореме 2.10, разрешима задача Дирихле для области D с граничными значениями vn (х), и, таким образом, функции vn (х) продолжаются до функций, гармонических в D и непрерывных в D.
Положим
I (г, Vn) = Л (г), Г1 < Г < г2-
Так как последовательность vn (х) убывает на S (х, гх) и S (х, г2) с возрастанием п, то 1п (г) убывает с возрастанием п для г = гь г2. Следовательно, по свойству линейности, 1п (г) убывает с возрастанием п для всех г из отрезка гх г г2. Итак, 1п (г) -+1 (г) при п —оо.
Но в силу (2.7.1)
I (гх) = I (гь и), I (r2) = I (г2, и).	(2.7.2)
По принципу максимума (теорема 2.4) получаем, что в области D для каждого п выполняется неравенство и (х) vn (х) и, значит,
Z (г, и) < I (г, vn) = In (г), п = 1, 2, . . ., гх <г <г2.
Следовательно,
I (г, u) < Z (г), гх < г <г2.	(2.7.3)
Если I (гх) = —оо или I (г2) = —оо, то, по линейности функции 1п (г),
I (г, и) = I (г) = —оо, гх •< г <Zr2.
Интегрируя, получаем
Г 2
j и(х) dx= § cmrm~lI (г, и) dr = — оо,
I X I С»2	г,
что в силу теоремы 2.6 приводит к противоречию, за исключением случая, когда и (х) == —оо. Следовательно, за исключением этого случая, I (гх) и I (г2) конечны, I (г) является линейной функцией от log г (т = 2) или r2~m (т >2) и выполняются условия (2.7.2) и (2.7.3). Заменим в приведенных выше рассуждениях числа гх, г, г2 числами г', г, г', такими, что гх г' < г < г' г2. Тогда, исключая случай и (х) == — оо, функция I (г, и) конечна при Г1 Г Г2 И
I (г, и) I (г), г[ <Г <г'2,
где I (г) — линейная функция от log г (т = 2) или г2-т (т >2), удовлетворяющая соотношениям
I (r^ = I	I (г'г) = 1 (г2,и).
Из неравенства (1.3.3) следует выпуклость функции I (г, и).
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
83
Предположим, наконец, что функция и субгармонична в С (х0, г2). Тогда из определения субгармонической функции ((ii) и (iii) § 2.1) вытекает, что I (г, и) и (х0) при г->- 0. Пусть о < г[ < г < г'2	г2; положим J (г) = I (г, и). Если т = 2,
то из определения выпуклости следует, что
J (г)^	log^-iogj; J
' 7^ log r2 — log Гу ' 17	logr2 — log7\ ' 27
Устремим теперь в этом неравенстве г' к нулю. Тогда второе слагаемое в правой части стремится к J (г'), первое слагаемое стремится к нулю, если и (х0) >—оо, и отрицательно, если и (х0) = = —оо. Таким образом, во всех случаях
J (г) j (г;), о <г <« г2.
При т >2 этот результат получается из неравенства /г'^2-7п________________r2-m	r2-m_(г'\ъ-т
Т ( 27	Т (г’\4-	t 17 Т (г'\
'	(г2)2~т —(Д)2-”1 V 17	(r')2-m_ (r;)2-m k 2>'
Следовательно, в обоих случаях J (г) — возрастающая функция г при 0 г <С г2. Это завершает доказательство теоремы 2.12.
Проще доказывается аналог теоремы 2.12 для максимума
В (г, и)— sup и(х).
x£S(x0,r)
Теорема 2.13. В предположениях теоремы 2.12 В (г, и) является выпуклой функцией от log г, если т = 2, и от г^-т, если т >2, гх г г2, 0 <rx <г2.
Если функция и (х) субгармонична в С (х0, г2), то В (г, и) — возрастающая функция переменной г при 0 г г2.
Вторая часть теоремы немедленно следует из принципа максимума (теорема 2.3). Для того чтобы доказать первую часть, предположим, что г\ г' < г < г' г2. Пусть I (г) — линейная функция переменной log г (тп = 2) или г2-т (тп >2), совпадаю2 1цая с В (г, и) при г = г', г'. Тогда функция v (х) = I (| х — х0 |) гармонична для г' | х — х0 | г' и при | х — х0 | = г' и | х — х0 | = г' выполняется неравенство и (х) — v (х)	0. Следовательно, по принципу максимума, и (х) — v (х)	0 для всех х,
удовлетворяющих неравенствам г' < | х — х0 | <г'. Таким образом, на S (х0, г) для г( < г <г' имеем и (х) v (х) = I (г), т. е. В (г, u) I (г), г' <г <г'. Это доказывает выпуклость функции В (г, и).
2.7.1. Некоторые приложения
Теоремы 2.12 и 2.13 играют важную роль в теории субгармонических функций. Получаем, например, что если функция и (х) субгармонична в окрестности сферы S (х0, г) и, значит, в некото-6*
84
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ром кольце т\ <;| х — х0 | <г2, гДе ri <г <г2> то
Цг, и) = u(x)dox>— оо,
S (х0, г)
исключая случай, когда и (х) == —оо. Это неравенство является обобщением неравенства (2.5.4) теоремы 2.6. Кроме того, из свойств выпуклых функций вытекает, что I (г, и) и В (г, и) — непрерывные функции переменного г, обладающие всюду в гх <г <г2 левыми и правыми производными, причем эти производные совпадают вне некоторого счетного множества. Окончательно имеем: функции
г"1"1I (г, и) и г"1"1 -4 В (г, и) ar v '	dr v '
возрастают с возрастанием г.
Отсюда немедленно следует
Теорема 2.14. Если функция и (х) субгармонична в плоскости и не является константой, то существует предел
а = lim	(2.7.4)
Г-оо Jog г	К ’
ма >0. Если, кроме того, функция и не является гармонической, то
P = lim U,(r? ц) >0.	(2.7.5)
Г-оо log г	v
Из теоремы 2.13 следует, что если В (г) = В (г, и), то В' (г)
0, 0 < г < оо. Если В' (г) == 0, то В (г) = и (0), 0 < г < оо, и по принципу максимума функция и (х) = и (0) постоянна в плоскости. В противном случае гВ' (г) >0 для некоторого г >0 и, поскольку В (г) — выпуклая функция от log г, предел а = = lim гВ' (г) существует иО <а ^оо. Если а конечен, то для г-*со
любого данного е >0
а — е < г В' (г) < а, г > г0 (е),
(а —е) log-£-< В (r)~- B(r0)<a log-^-.
г0	г0
Отсюда вытекает (2.7.4).
Аналогичным образом получаем, что предел р существует, Р >0 и р = 0, если I (г, и) = и (0), 0 <г <оо. Обозначим в этом случае через v (х) гармоническое продолжение функции и со сферы S (0, В) в шар D (0, В). По теореме 2.7, в D (0, В) имеем и (х) — v (х)	0. Кроме того,
v (0) = I (В, и) = и (0).
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
85
Следовательно, по принципу максимума, и (х) — v (х) == О в D (О, Я), откуда заключаем, что функция и (х) гармонична в в D (О, R) для любого положительного R, т. е. и (х) гармонична во всей плоскости.
Из теоремы 2.14 следует, что если функция и (х) не постоянна, то она не может быть ограничена во всей плоскости, поскольку R (г, и) растет по меньшей мере так же быстро, как log г. В пространстве размерности больше 2 этот результат уже не верен. В самом деле, функция и — —г2~т субгармонична, ограничена сверху в и является гармонической вне начала координат. Тогда функция шах (—1, и) субгармонична и ограничена в Rm. С другой стороны, гармонические функции в пространстве не могут быть ограниченными. Имеет место следующая
Теорема 2.15. Пусть функция и (х) гармонична и не постоянна в пространстве; предел
конечен, если и (х) — полином степени п от переменных х±, ... . . ., хп, и равен -j-оо в противном случае.
Этот результат является следствием примера 3 п. 1.5.6.
Некоторые частные случаи теорем 2.12 и 2.13 стоит выделить в отдельную теорему.
Теорема 2.16. Пусть функция и гармонична в плоском кольце rj I z I -С г2> а функция f (z) (возможно, многозначная) определена в этом кольце, аналитична всюду, кроме точек ветвления, и такова, что функция | f (z) | однозначна. R этом случае перечисленные ниже величины являются выпуклыми функциями от log г при гг <.г2, а если т\ = 0, то возрастающими функциями переменного г при О г г2:
М (г, f) = sup | f (z) | и log M (r);
|z|=r
2л
Л(г,/) = -^-j |/(re{0)|xde u1) log (r, f) для 0 < X < ос;
о
2л
Z0(r, = j log I f (re50) I d0 и Ik(r, log+/) для k^'i; о
(г, и) для k^i,
в предположении, что функция f = и + iv однозначна.
А»_
£ х) Результат для функций 1%(г, f) принадлежит Харди [1915].
86
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Согласно примеру 4 § 2.1, функция log | f | является субгармонической. Из следствий 2 и 3 теоремы 2.2 вытекает, что субгармоническими будут также и функции | f |х для X >0, | и |ft и (log + | f |)ft для к 1. Отсюда и из теоремы 2.13 немедленно получаем, что М (г, f) и
log М (г, f) =-- sup log | f (z) I |z|=r
обладают требуемыми свойствами. Аналогично, из теоремы 2.12 получаем, что функции (г, f) для X >0, Io (г, f), Ik (г, log + | f |) и Ik (г, и) для к 1 обладают требуемыми свойствами выпуклости.
Остается показать, что log Д (г, f) есть выпуклая функция от log г. Для этого достаточно доказать, что если L (г) = A log г + + В — такая линейная функция от log г, что log Д. (г, /) L (г) для г — т\, г2, то это же неравенство имеет место для <^r <С.г2.
Чтобы доказать это, рассмотрим вместо f (z) функцию <р (z) = = zv-f (z). Очевидно, что <р (z) аналитична в кольце гх < I z | <г2 и ее модуль | <р (z) | является однозначной функцией. Кроме того,
А (г, <р) =	(г, f),
log Д (г, <р) = log h (г, f) -J- Хр log г.
Выберем р таким образом, чтобы —Хр = А, р = —4/Х. Для г = т\, г2 имеем Д. (г, <р) ев, а так как (г, <р) — выпуклая функция от log г, то это неравенство остается справедливым для всех г из интервала <; г < г2. Отсюда
log h (г, f) — A log г < b, log А (г, /) < L (г), гг < г < г2.
Теорема 2.16 тем самым полностью доказана.
Примеры
1.	Положив и = log г, покажите, что Д. (г, и) не является, вообще говоря, выпуклой функцией от log г, когда функция и гармонична и 0	<1.
2.	Применяя к <р (и) = неравенство Йенсена (теорема 2.1), покажите, что если функция и положительна, гармонична и не постоянна в круге | х | < г, то
(А и) <и(0у{. 0	<1.
Следовательно, I-,, (р, и) не является возрастающей функцией переменного р при 0 < р < г.
3.	Пусть функция f (z) регулярна, не обращается в нуль в кольце гх < | z | <г2 и X <0. Покажите, что 7% (г, /) является
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
87
выпуклой функцией от log г при <г2 и что если гх = О, то Д (г, /) есть возрастающая функция от г при 0 г < г2.
Покажите, что если f (z) = z — 1 и —1 <;Х <0, то 1х (г, /) возрастает вместе с г при 0 < г < 1 и убывает при 1 <г <оо, так что 1% (г, /) и log Zx (г, /) не являются выпуклыми функциями переменного г ни в каком интервале, содержащем г = 1 в качестве внутренней точки.
2.7.2.	Гармонические продолжения
В этом пункте мы рассмотрим некоторые обобщения теоремы 2.7. Сначала введем следующее
Определение 1. Пусть D — ограниченная регулярная область в Rm, f (£) — непрерывная функция, определенная на границе F области D. Тогда, если функция и (х) непрерывна в D, гармонична в D и и (£) = f (£) на F, ее называют гармоническим продолжением х) функции / из F в D.
Согласно теореме 2.10, функция и (х) всегда существует. Она единственна по теореме 1.13. Можно распространить это определение на полунепрерывные функции с помощью следующего утверждения.
< Теорема 2.17. Пусть функция f (£) полунепрерывна сверху на F, —оо	< -|-оо и /п (S) — последовательность непрерывных функ-
ций, монотонно убывающая при п —оо и стремящаяся к f (£) для каждого 'Q f F. Пусть ип (х) — гармоническое продолжение функции fn из F в D. Тогда последовательность ип (х) при п —оо убывает и стремится к пределу и (х), который не зависит от выбора последовательности fn и либо является гармонической функцией в D, либо тождественно равен —оо.
Определение 2. Функцию и (х) будем называть гармоническим продолжением функции / из F в D. Если / полунепрерывна снизу, то ее гармоническим продолжением из F в D называется такая функция и (х), что —и (х) есть гармоническое продолжение —/ (х) мз F в D.
Докажем теорему 2.17.
Из теоремы Харнака 1.20 следует, что функция и (х) гармонична в D, либо тождественно обращается там в —оо. Остается показать, что она не зависит от выбора последовательности /п. Для этого покажем, что и (х) есть точная нижняя грань всех функций
х) Следуя Пуанкаре, этот процесс часто называют выметанием (balaya-ge), особенно в контексте теоремы 2.18.
88
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
v (х), которые являются гармоническими продолжениями непрерывных функций g (£) из F в D, удовлетворяющих неравенству g(£) >/(£) на F.
Действительно, предположим, что функция g (£) непрерывна и g (0 >/ (S) на Р- Тогда для данной точки £0 С Р существует такой номер п0 = п0 (So), что /п (So) < g (So) при п > п0. Так как fn„ (S) — g (?) пн. св., то существует такая окрестность No точки ^0, что (S) <g (S) при S € No- Последовательность /п (S) убывает с возрастанием п, поэтому /п (S)	(S) при S € No, п п0.
Так как множество F компактно, то по теореме Гейне — Боре-ля 1.1 существует конечная система таких окрестностей, скажем N\, N2, . . ., Nk, покрывающая F. Пусть nlt n2, . . ., nh — отвечающие этим окрестностям номера; положим п' = max (nx, . . . . . ., nk). Тогда
/n(?)<g(?),	П>п'.
Таким образом, если v (х) — гармоническое продолжение функции g (х) из F в D, то ип (х) < v (х) при п^> п' для всех х £ F. Следовательно, согласно принципу максимума, ип (х) < v (х) при п п' для всех х £ D. Итак,
и (х) ип (х) <; v (х), х g D,
и, значит, и (х) является нижней гранью всех функций v (х).
С другой стороны, если точка х фиксирована и К >и (х), то
— <К, п>п0.
Кроме того, ип (х) + 1/п является гармоническим продолжением функции fn (х)	1/п, которая непрерывна на F и удовлетворяет
там неравенству fn (х)	1/п >•/ (х). Таким образом, К не являет-
ся нижней гранью для всех гармонических продолжений непрерывных функций, больших чем f (х), и поэтому и (х) есть наибольшая из таких нижних граней.
Заметим, что если f (S) непрерывна на F, то можно положить fn (?) = / (S) Для каждого п, так что и (х) является продолжением f из F в D в смысле предыдущего определения. Если функция / одновременно полунепрерывна снизу и сверху, то она непрерывна, и в этом случае определение 2 совпадает с определением 1. Следовательно, определение 2 согласовано с определением 1 и не является противоречивым.
Далее будет доказана
Теорема 2.18. Пусть функция и (х) субгармонична в окрестности V множества D, где D — ограниченная регулярная область в Rm. Обозначим через F границу области D и определим функцию v (х) в V следующим образом: для х f D пусть v (х) — гармониче-
2.7. ТЕОРЕМЫ ВЫПУКЛОСТИ
89>
ское продолжение и (х) из F в D, а для всех других точек х £ V пусть v (х) = и (х). Тогда функция v (х) субгармонична в V и v (х) ^ и (х) в D.
Пусть fn (£) — убывающая последовательность непрерывных функций на F, стремящаяся к и (£), а ип (|) — гармонические Продолжения функций fn (£) из F в D. Тогда функции и (х) — — ип (х) пн. св. в D, субгармоничны в D и и (х) — ип (х) < О’ на F, а значит, по принципу максимума, и в области D. Устремляя в этом неравенстве п к бесконечности и применяя теорему 2.17, получаем, что и (х) v (х) в области D.
Остается доказать, что функция v (х) субгармонична в V. Воспользуемся определением § 2.1. Ясно, что v (х) < + оо в области D. Кроме того, так как v (х) = и (х) вне D и v (х) гармонична в D или тождественно равна там —оо, нужно лишь проверить, что функция v (х) пн. св. на F и удовлетворяет там свойству среднего значения.
Пусть £.0£F. Предположим, что К >и (£0), и выберем п настолько большим, что fn (£0) < К. Так как £0 — регулярная граничная точка области D и функция fn (£) непрерывна, из теоремы 2.10 следует существование такой окрестности No точки £0,. что ип (х) < К при х £ No П D, а значит,
v (х) < ип (х) <К, я 6 jV0 П D.
Кроме того, поскольку функция и (х) субгармонична и тем самым пн. св. в точке £0, существует такая окрестность Nr точки 5о, что если х £ N\ и х $ D, то v (х) = и (х) <Z К. Значит, функция v (х) пн. св. в точке £0. Наконец, так как функция и (х) субгармонична в точке £0, то для всех достаточно малых положительных г
v(£o) = m(£o)^—ijrr ( и(х) do (ж)^—( v(x)do(x). стГ J	Cm* J
ЭДо,г)	8(^о, г)
Следовательно, функция v (х) субгармонична в V.
Если D — шар D (х0, R), то функция v (х) совпадает с функцией, фигурирующей в теореме 2.7. При помощи теоремы о выпуклости 2.12 можно получить следующее утверждение.
Теорема 2.19. Если D — шар D (х0, R), то функция и (х)-из теоремы 2.18 является единственной функцией, гармонической в D (х0, R), равной и (х) во всех точках V, не лежащих в D (х0, R), и субгармонической в V. Таким образом, и (х) является гармоническим продолжением функции и из S (х0, R) в смысле теоремы 2.7.
Определим функцию v (х) так же, как в теореме 2.18, и предположим, что (х) гармонична в D (х0, R), vt (х) = и (х) во всех точках V, не лежащих в D (х0, R), и (х) субгармонична в V.
•90
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
По теореме 2.18, функция v (х) также обладает этими свойствами, -так что мы должны доказать равенство vr (х) = v (х).
Покажем прежде всего, что vt (х) v (х) в D; эта часть рас-суждений совершенно общая. Действительно, пусть fn (%) — последовательность непрерывных функций на F и ип (х) — гармонические продолжения функций fn (£) из F в D. Предположим, далее, что последовательность fn (£) убывает и стремится на F к функции .и (с). Положим
hn (*) =	(*) — ип (х).
Тогда если % g F и х £ изнутри области D, то
lim (х)	(£) = и (£)< fn (%),
lim ип (х) = fn (I),
поскольку функция (х) субгармонична и, значит, пн. св. в точке £, а ип (х) — гармоническое продолжение непрерывной функции /„ (£). Таким образом, если х -+ £ изнутри области D, то lim hn (х)	0. Из этого неравенства и принципа максимума сле-
дует, что в области D
hn (х) < 0, vr (х) < ип (х).
Устремляя в этих неравенствах п к бесконечности и используя тот факт, что ип (х) —v (х), получаем, что vr (х) v (х) в области D.
Теперь из принципа максимума (теорема 2.3) вытекает, что или vi (ж) <и (х) в каждой точке D, или же vr (х) совпадает с v (х). Предположим, что D = D (х0, R), и докажем, что в этом случае vi (хо) = v (хо)- Отсюда будет следовать теорема 2.19.
Так как функция (х) субгармонична в У, а значит, и в С (х0, R), то из теоремы 2.12 следует, что I (г, цх) — непрерывная функция переменного г для 0 <. г R. Кроме того, поскольку функция рх (ж) гармонична в D (х0, R), функция I (г, v±) постоянна при всех 0 г /?. Следовательно,
t>i (*о) = I (R, t>i) = I (R, и) = lim! (R, fn) = lim ип (х0) = v (х0). п-^оо	п-*-оо
Таким образом, v± (х0) — v (х0), и поэтому v\ (х) v (х) в шаре D (х0, R). Теорема 2.19 доказана.
2.8. ПОДЧИНЕННОСТЬ
Здесь удобно обсудить понятие подчиненности, так как в этой теории субгармонические функции находят очень красивые применения. Результаты этого параграфа принадлежат Литлвуду [1924].
2.8. ПОДЧИНЕННОСТЬ
91
Пусть функции f (z) и F (z) мероморфны в круге | z | < 1. Говорят, что функция f (z) подчинена функции F (z) или что F (z) подчиняет f (z) (обозначение / (z) -< F (z)), если f (z) = F (co (z)), где функция co (z) регулярна в | z | < 1 и
| со (z) I < I z I, I z I <1.	(2.8.1)
Таким образом, функция co (z) должна удовлетворять условиям леммы Шварца. Наиболее полезные применения понятия подчиненности вытекают из следующей теоремы.
Теорема 2.20. Пусть функции F (z), f (z) мероморфны в круге '| z | < 1 и отображают его в область D расширенной комплексной плоскости или, более общо, в область D римановой поверхности. Пусть, кроме того, / (0) = F (0) и обратная функция z -= F~r (ш) задает взаимно однозначное конформное отображение области D в круг | z | <1 (если D односвязна) или, более общо, может быть неограниченно аналитически продолжена в D со значениями в | z | < 1. Тогда f (z) -< F (z).
Наиболее полезным является простейший случай, когда D — односвязная плоская область, однако функция F (z) с требуемыми свойствами существует для любой плоской области D, дополнение к которой содержит по крайней мере три точки комплексной плоскости. Эта функция подчиняет себе все функции / (z) со значениями в D и с данным значением f (0) и является наибольшей среди таких функций х).
Для доказательства теоремы 2.20 положим
® (z) = F-1 {f (z)}
и заметим, что по предположению функцию со (z) можно аналитически продолжить в круг | z | < 1 со значениями, удовлетворяющими условиям | со (z) | <1, со (0) = 0. Кроме того, поскольку круг | z | < 1 односвязен, функция со (z) регулярна, т. е. однозначна в | z | < 1. Следовательно, при 0 <;г < 1 функция со (z)/z регулярна в круге | z | г и на окружности | z | = г удовлетворяет неравенству
I со (z) 1^,1 I z | Г *
Из принципа максимума вытекает, что это неравенство выполняется во всем круге | z | г. Фиксируя z и устремляя г к единице, получаем неравенство (2.8.1).
Следующие свойства очень легко выводятся прямо из определения.
х) См., например, Альфорс и Сарио [1960], особенно стр. 181.
92
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 2.21. Пусть в круге | z | < 1
/ (г) = 2 ап^п < F (z) = 2 Anzn.
Тогда а0 = Ао,
Ы<С|А|,	(2.8.2}
|a2|^max(|	|Л2|),	(2.8.3>
М (г,	F), 0<г<1.	(2.8.4}
оо
Полагая f (z) = F [со (z)], где функция со (z) — 2	УД°влет-
1
воряет (2.8.1), имеем
а0 = Л0, ai = Ai(oi, а2 — Л2со^-j-Л !С02.
Из неравенства (2.8.1) сразу же получаем, что | сох |	1, причем
равенство достигается лишь в случае со (z) = zeu, / (z) = F (zei}-). Тем самым доказано неравенство (2.8.2). Кроме того, функция
„	w(z)/z —Wj _ W2Z ,
®1 (z)	.	—	. ,,	4___I l2~ ' "
1—(OjCO (z)/z	1 — I ®1 I
удовлетворяет неравенству (2.8.1), так что
I I С 1 — I Г-
Следовательно,
| а2 | С | Л2 | | oh |2 + Лх (1 - | сох |2) < шах (| Лх |, | Л2 |), откуда получаем (2.8.3). Наконец, из неравенства (2.8.1) вытекает, что
М (г, /) = sup F [со (z)] sup | F (z) I = М (г, F), |z|<r	|z|<r
т. ё. неравенство (2.8.4). Теорема 2.21 доказана.
Теорема 2.22. Предположим, что функция h (z) субгармонична в круге | z | < 1, а функция со (z) регул рна в нем и удовлетворяет неравенству (2.8.1). Тогда
2л ,	2л
j Mco(rei0)]	j h(reie)dB,	0<г<1.	(2.8.5)
о	о
Как непосредственное следствие	отсюда	получается следующая
Теорема 2.23. Если f (z) = и (z) + iv (z) подчинена функции F (z) = U -j- IV, а функция ср (u) выпукла в области значений функции и (z), принимаемых ею в круге | z | <1, то
2л	2л
j ср [и (re10)] ср [£7 (ге10)] ей), 0<г<1.	(2.8.6)
о	о
2.8. ПОДЧИНЕННОСТЬ
93
Если гр (Я) — выпуклая возрастающая функция от log R в области значений функции R = | F (г) |, принимаемых ею в круге | z | < < 1, то
2 л	2 Л
j	j гр (| F (reie) |) d®, 0<г<1. (2.8.7)
о	о
R частности, можно взять (и) — | и |ft, k 1, гр (Я) = Я4- для X >0, гр (R) = (log+7?)ft для к 1 или гр (Я) = log R.
Для доказательства теоремы 2.22 рассмотрим функцию Н (z) — гармоническое продолжение функции h (г) в | z | < г. Без ограничения общности можно считать, что со (z) не равна тождественно ze'1'- для некоторого вещественного X, так как в противном случае (2.8.5) превращается в тривиальное равенство. Таким образом, | со (z) | < г для | z | < г, так что Я [со (z)] — гармоническая функция в круге | z | <7 г, и по теореме 2.7
2л	2л
j Я [со (re40)] dQ = 2лЯ [со (0)) = 2лЯ (0) = j h (re40) d0. о	о
Кроме того, из этой же теоремы следует, что h (£) С Я (£), | £ | < <г, и поэтому
2л	2л	2л
j /i [со (re40)] d0^ j Я [co (re40)] dQ = h(reie)dQ.
0	0	0
Теорема 2.22 доказана.
Из теоремы 2.2 получаем, что в предположениях теоремы 2.23 «функции ср [U (z)] и гр (| F (z)|) субгармоничны в круге | z | <1. Стало быть теорема 2.23 следует теперь из теоремы 2.22. Если взять в (2.8.7) гр (Я) = Я2, то немедленно получаем
2л	2л
j |/(re40)|2d0< J | F(re40) |2d0, о	0
или, в обозначениях теоремы 2.21,
оо	оо
31 «п I2 ^21 An M", о	0
0<r<l.
Устремляя г к единице, получаем
2KI2^2Mn|2 о	о
(2.8.8)
в предположении, что правая часть этого неравенства конечна. Более тонкий подход приводит к следующему результату.
94
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 2.24. В предположениях теоремы 2.21 имеем
3 К|2^ЗМп12,	2,....
о	о
Положим
Р(2)=34пЛ p(z) = P[o>(z)]. о
Тогда
ОО
f (2) = 3 Лп (z)]n = Р (Z) + О (Z«+1), Z -> 0. о
Следовательно, функцию р (z) можно представить в виде
N	оо
p(z) = 2 anz"+ 3 bnzn.
0	A+l
Так как р (z) -< Р (z), то из неравенства (2.8.8) следует, что
IV	оо	N	
ЗК|2+3 1М2<ЗМп|2, О	N+1	О
а это доказывает теорему 2.24. В частности, из теоремы 2.24 следует, что
lanl^/ramaxfl/ljl, | А2 |, ..., | Ап |) , и это неравенство дает правильный порядок роста в общем случае г), хотя для конкретных функций F (z) можно получить более точные оценки.
Область D в ОТ” называется выпуклой, если для любой пары точек хг, х2 из D точки txr + (1 — t) х2 для 0 < t < 1 также принадлежат D. По индукции можно получить, что если хг, х2, . . . . . ., хп — точки выпуклой области D, то
tixi 4* ^2х2 + • • • + tnxn €
где tj — неотрицательные числа, сумма которых равна единице. В частности, центр тяжести
п
х — — X1 х» П
принадлежит области D. Используя это понятие, можно доказать следующую теорему;
Теорема 2.25. Если f (z) -< F (z), где функция F (z) взаимно однозначно и конформно отображает круг | z | < 1 на выпуклую
1) Примеры см. Рогозинский [1943].
2.8. ПОДЧИНЕННОСТЬ
95'
область D, то
|ап |<	|, п = 1, 2, .....
Положим
п Л
/п (z) ~ 2 f = а0 + anzn + a2nz2™ + . .. .
V=1
Депо, что функция /п (z) принимает значения только из области D,. догда | z | <1. Следовательно, при | z | < 1 функция
/п (z1/n) = ао + anz + a2nz2 + . . .
также принимает значения только из области D. Поэтому, по теореме 2.20, /п (z1/n) -< F (z). Применяя к этой функции неравенство (2.8.2), получаем утверждение теоремы 2.25.
Упомянем здесь одно дальнейшее применение теоремы 2.23, для доказательства которого мы сошлемся на результаты, содержащиеся в других книгах.
ОО
Теорема 2.26. Предположим, что функция / (z) = 2 anz” ана-
1
литична в круге | z | < 1 и что все значения f (z) для | z | < 1 лежат-в односвязной области, не содержащей значения d. Тогда
2л
/(r,/) = ^- J	0<г<1;	(2.8.9)»
о
| ап |<4 |d| еп, п — 2, 3,....	(2.8.10)
Так как функция / (z) принимает значения в D, то / (z) -<
ОО
-< F (z) = 2 Hnzn, гДе Р (z) взаимно однозначно и конформно 1
отображает круг | z | < 1 на область D. Поскольку F (z) #= d, из теоремы Кёбе (см., например, Хейман [1958, теорема 1.2]) следует, что |	|	4 | d |. Тогда из теоремы Литлвуда (там же,,
теорема 1.6) получаем, что
/(г,
Используя (2.8.7) с ф (Я) = R, получаем отсюда неравенство» (2.8.9). Далее, интегральная формула Коши дает
I ।	11 f f , dz I_________I (г, /)
/2|=r
Полагая r = (n — i)/n, получаем, что
|an|<4d (zi—1) (1 +~^щУ = ^дп (1 +—’ <4denf
36
ГЛ. 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
т. е. неравенство (2.8.10). Функция
ОО
/(г)=(Т^=2м”
1
удовлетворяет предположениям теоремы 2.26, если в качестве области D взять u-плоскость с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси от —оо до —1/4, так что d = —1/4. Функция I (г, f) в этом случае равна г/(1 — г2). Литлвуд высказал гипотезу, что неравенства (2.8.9) и (2.8.10) можно заменить соответственно неравенствами
Цг, f)^	и | ап [<4 [ d | п.
Первая из этих гипотез недавно доказана Бернстейном [1975]. вторая гипотеза до сих пор остается открытой.
Примеры
ОО
Мы предполагаем, что функция / (z) = V anz” = w + w анали-о
ОО
тична в круге | z | < 1 и подчинена функции F (z) = У, Mnzn.
о
1.	Пусть F(z)=/=0 в | z| < 1. Докажите, что inf |/(z)|> inf |F(z)|, 0<г<1. |z|=r	|z|=r
2.	Пусть /(0) = а + ф и u(z)>0 для |z|<(l. Докажите, что
I «п|<2а.
<2) 1^1 / (°) 14=7-
3.	Пусть функция / (z) не принимает в круге | z | < 1 неотрицательных вещественных значений. Докажите, что | ап |
кп | а0 |. (Рассмотрите функцию g (z) = f (z)1/2 и используйте предыдущий пример.)
4.	Пусть функция / (z) аналитична в круге | z | < 1 и удовлетворяет там условию | / (z) | >1. Покажите, что / (z) подчинена функции
F(z) = exp {a^J-4-ф}
для подходящих положительного а и вещественного р. Выведите отсюда, что | ап |	| Ап | при п > 1 (рассмотрите log / (z) и вос-
пользуйтесь примером 2).
2.8. ПОДЧИНЕННОСТЬ
97
5.	Пусть | v | I в круге | z | <1. Докажите, что | ап |	4//л, п > 1.
6.	Покажите, что равенство в (2.8.3) может достигаться для любой заданной функции F (z) и подходящей функции / (z) и найдите все такие функции / (z) для данной F (z).
7.	Покажите, что равенство в (2.8.4) возможно лишь тогда, когда F (z) постоянна или / (z) = F (zeiK) для вещественного X.
7-0623
Г лава 3
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
3.0. ВВЕДЕНИЕ
Один из наиболее важных результатов теории субгармонических функций, принадлежащий Ф. Риссу [1926, 1930], утверждает, что любая такая функция и (х) может быть локально представлена как сумма потенциала и гармонической функции, т. е.
и (х) = р (х) -j- h (х).
Другими словами, если функция и (х) субгармонична в области D a R.m, то существует однозначно определяемая функцией и (х) положительная мера dp, конечная на компактных подмножествах области D и такая, что если Е — компактное подмножество D и
/>(*) =
log|z —£| dpe%,
т — 2,
(3.0.1)
ш > 2,
то функция h (х) = и (х) — р (х) гармонична внутри Е.
Многие локальные свойства субгармонических функций можно получить при помощи этой теоремы из свойств потенциалов, таких, как р (х). Распределение масс dp также играет важную роль в более тонких вопросах, касающихся субгармонических функций. Так, например, если т = 2 и и (z) = log | / (z)|, где / — аналитическая функция комплексного переменного z, то р, (Е) сводится к числу нулей функции / (z) на множестве Е. С этой точки зрения основное различие между приведенным примером и общей субгармонической функцией заключается в том, что в общем случае «нули» не обязательно сосредоточены в отдельных точках, а имеют произвольное распределение масс.
В случае высших размерностей можно рассматривать dp как гравитационный или электрический заряд, порождающий потенциал р (х). По этой причине теорию субгармонических функций часто называют теорией потенциала.
В этой главе мы докажем цитированную выше теорему о представлении субгармонических функций. Вначале приводятся общие результаты из теории меры, интегрирования и линейных функционалов, включая знаменитую теорему Ф. Рисса [1909] о том, что
3.1. МЕРА И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
99
любой положительный линейный функционал может быть представлен при помощи некоторой меры. После того как будет доказана теорема Рисса о представлении, мы выведем такой вариант формулы Пуассона — Йенсена (теорема 3.14), который позволит выразить произвольную субгармоническую функцию и (х) через ее значение на границе области D и ее меру Рисса в D. Это в свою очередь приведет к обобщению теоремы 2.19 на более общие области D, даст первую основную теорему Неванлинны для функций, субгармонических в открытом шаре, и позволит охарактеризовать ограниченные субгармонические функции в при т 3.
3.1.	МЕРА И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть А и В — два произвольных множества. Через А — В обозначим множество, состоящее из таких элементов х, что х £ А и х § В. Семейство множеств В называется кольцом, если из того, что А Е R и В £ В, вытекает, что
А\]В £В, А - В £В.	(3.1.1)
Так как А (] В = А - (А — В), то, если В — кольцо и А £ В, В е В, имеем также A Q В е В- Кольцо называется о-кольцом, если
ОО
и Апе в	(3.1.2)
?1=1
при условии, что Ап е В, п = 1, 2, ... .
Очевидно, что пересечение любого числа о-колец (т. е. класс множеств, принадлежащих всем о-кольцам) снова образует о-коль-цо. В любом открытом или компактном множестве X czRm пересечение всех о-колец, содержащих открытые и замкнутые множества в X, называется о-кольцом борелевских множеств в X. Любое борелевское множество может быть получено из открытых или замкнутых множеств посредством применения операций объединения и взятия разности конечное или счетное число раз.
Функция / (х), определенная на множестве X, называется измеримой по Борелю, если все подмножества {х £ X | / (х) >а}, {х £ X \f (х)^ а}, {х е X | / (х) < а} и {х £ X | / (х) а} суть борелевские множества для всевозможных вещественных значений а. Если функция / (х) непрерывна, то все эти множества открыты или замкнуты, так что непрерывные функции всегда измеримы по Борелю. Легко проверить, что если функции и /2 измеримы по Борелю, то функции + /2, frf2 и fjf2 (в предположении, что /2 =/= 0) также измеримы по Борелю. Кроме того, если /п, п = = 1, 2, . . .,— последовательность функций, измеримых по Борелю, и
fn(x)-+f(x) при zi->oo	(3.1.3)
7*
100
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
для каждого х £ X, то функция / (х) также измерима по Борелю. В частности, согласно теореме 1.4, все полунепрерывные функции измеримы по Борелю.
Функция множества р, заданная на некотором о-кольце R, содержащем все открытые и замкнутые подмножества множества X и, следовательно, все борелевские множества в X, называется мерой, если выполнены следующие условия:
0 < р (Е)	+ оо для Е £ R.	(3.1.4)
Если Еп — конечное или счетное семейство попарно непересе-кающихся множеств из R, объединение которых есть Е, то
ц(Е) = 2и(Еп).	(3.1.5)
Для данной меры р и измеримой по Борелю функции / (х) на X можно следующим образом определить интеграл Радона г)
j / (х) dp.
х
Предположим вначале, что / (х) — простая функция, т. е. / (х) принимает лишь конечное число различных значений у0,	. . ., уп соответственно на подмножествах Ео, Ег, . . ., Еп сд
сд X, причем у0 = 0 и р (Е;) < оо для i >0. Положим
п
§ f (Х) dli = § f (х) dp (х) = 2 Z/ф (Et).
х	х	i=l
Далее, если / (х)	0 на множестве X, то
/= ^ /(z)dp = sup j g (x) dp, X	X
где верхняя грань берется по всем простым функциям g (х), таким, что g (х) f (х) на X. Следовательно, 0 I + оо. Аналогично, если / (х)	0, полагаем
( f(x)dp = — j ( — f(x))dp. X	X
Наконец, для функции / (х) общего вида положим /+ (х) = max (/ (х), 0), /" (х) = —min (j(x), 0), так что / = /+ — Обозначим
/+=f/+dp, I~ = J Д dp X	X
1)	Радон [1919].
3.2. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
101
И определим интеграл Радона от функции / (х) по мере р, формулой j / d[k~I+ —1~ ,	x
в предположении, что хотя бы один из интегралов /+ или 1~ конечен. Если конечны оба интеграла /+ и говорят, что функция / интегрируема по мере dp.
Определенный таким образом интеграл обладает всеми обычными свойствами. Из них для нас наиболее важны следующие свойства.
Аддитивность. Если / (х) и g (х) — интегрируемые функции, а а и & — вещественные числа, то функция а/ (х) -J- bg (х) также интегрируема и
j (af+bg) d[i = a j fdy + b j gdy,. (3.1.6) X	XX
Монотонная сходимость. Пусть /п (х) — последовательность измеримых по Борелю функций, причем /п (х) -> / (х) при п -> оо для каждого х £ X, за исключением, быть может, множества Хо с: X, такого, что р (Хо) = 0. В этом случае говорят, что /п (х) -> / (х) и-почти всюду на X. Если /п (х) -> / (х) р-почти всюду на X, функции /п (х) интегрируемы по мере р для каждого п и последовательность /п (х) монотонна по zi, то при п -> оо
j /п (*) dp -> j / (х) d[i.	(3.1.7)
Подробное изложение теории интеграла Радона, включая доказательства всех упомянутых результатов, можно найти, например, в книге Рудина [1964], гл. 10.
3.2.	ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Мы уже видели, как исходя из меры, определенной на боре-левских множествах, можно построить теорию интегрирования по Лебегу. Исследуем теперь обратную задачу: построить теорию меры и интегрирования, исходя из понятия положительного линейного функционала, имеющего те же основные свойства, что и интеграл.
Мы будем рассматривать классы функций / (х), определенных на пространстве X, которое будет всегда предполагаться областью или компактным подмножеством IROT. Носителем функции f (х) называется замыкание в Ш”1 множества тех точек, где / (х) =/= 0, т. е. множество всех точек и предельных точек того множества, где / (х) =/= 0.
102
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Пусть Со = Со (X) — класс всех непрерывных функций на X, носители которых являются компактными подмножествами в X. Таким образом, если пространство X компактно, то Со — это просто класс всех непрерывных функций на X. Если X — область D, определим, кроме того, подмножество С™ (D) а Со (Z)), состоящее из функций класса С°°, имеющих компактные носители в D.
Пусть — такой класс функций на X, что если /, g € то функция а/ -J- где а, Ъ — вещественные числа, также принадлежат классу . Такой класс называется линейным. Положительным линейным функционалом или просто функционалом на линейном классе называется вещественная функция L (/), определенная на и обладающая следующими свойствами.
Если / (х) Е .F и / (х}	0, то
0 < L (/) < оо.	(3.2.1)
Кроме того, если /, g Е ¥ й а, Ъ — вещественные числа, то
L (af + bg) =aL(f) + bL (g).	(3.2.2)
Мы хотим показать, что (положительный) функционал, определенный на С™ (D), можно продолжить до функционала на Со (D). Для этого нам понадобится следующая теорема аппроксимации.
Теорема 3.1. Если D — область в Rm, / Е Со (D) и е >0, то существует такая функция g Е С™ (D), что
\f(x) — g (х)\ <е в D.
Рассмотрим в пространстве ОТ” функцию К (х) со следующими свойствами:
К (х) = 0, К (х) > 0,
К (х) е с°°,
К (х) dx = 1,
(3.2.3)
где интеграл берется по всему пространству, или, что эквивалентно, по шару | х | <1. Например, можно положить
К (х) = С ехр [— (1— | х |2)-1], | х | < 1, где нормировочная константа С подбирается так, чтобы выполни лось равенство (3.2.3). Определим функцию g равенством
g&) = J fl(x + £) 8~тК (£/6) dl,	(3.2.4)
где 8 — достаточно малое положительное число. Получим искомую функцию.
3.2. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
103
В самом деле, полагая х -J- | = и, находим, что g(x) = 6~m\f(u)K
Следовательно, можно бесконечно много раз дифференцировать дод знаком интеграла 1), откуда вытекает, что g (х) £ С°° во всем Ьространстве. Кроме того, так как / £ Со (Д), функция / обращается в нуль вне множества F, которое находится на положительном расстоянии б0 от дополнения к D. Поскольку К (£/б) = 0 для | £ | > б, то g (х) =0, если расстояние от точки х до F больше б. Таким образом, если б < б0, то функция g (х) имеет компактный носитель в D, т. е. g (х) £ С™ (D). Наконец,
g(z)-f(x)=6-m J [f(x + Z)~f(x)]K(l)dl.
IJI<6
Пусть число б выбрано таким, что | / (х -J- Е) — / (z)| <8 для | | | <б. Такой выбор возможен, так как функция f (х) непрерывна и имеет компактный носитель, а значит, равномерно непрерывна во всем пространстве. Тогда
|g(*) — f(x)\<e6~m j K^^d^ = e.
&<б
Теорема 3.1. доказана.
Нам понадобится также следующая
Лемма 3.1. Если D — область в W1 и F — компактное подмножество в D, то существует такая функция g (х) £ Cq (D), что g (х)~^ 0 в D и g (х) >0 в F.
Пусть расстояние от множества F до дополнения к множеству D равно 2б0. Обозначим через Fr множество всех точек, находящихся рт множества F на расстоянии не больше б0, и пусть Z)1 — дополнение к множеству Fv Определим функцию / (х) как расстояние от х до множества DT. Очевидно, что она непрерывна, / (х) б0 > Е>0 на F, / (х)	0 всюду и / (х) = 0 вне F1. Следовательно,
/ (х) £ Со (D). Определим теперь функцию g (х) равенством (3.2.4) и заметим, что g (х)	0, так как / (х)	0. Кроме того, если 8 <
<б0, то g (х) >0 в F. Это завершает доказательство леммы 3.1.
Теперь мы можем доказать первую теорему о продолжении.
Теорема 3.2. Если D — область в W1 и L — функционал на С™ (D), то L допускает единственное продолжение на множество (Д).
1) При более общих предположениях это утверждение будет доказано в п. 3.4.1 (теорема 3.6).
104
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Предположим, что / (х) £ Со (D). Пусть gr (х) и g2 (х) — такие функции из Cq (D), что gr (х) f (х) g2 (х) в области D. Назовем g1 (х) нижней функцией, a g2 (х) — верхней функцией. Положим
L" (/) = Sup L (gr), L+ (/) = inf L (g2), где верхняя грань берется по всем нижним функциям, а нижняя грань — по всем верхним функциям.
Поскольку gr g2, то на основании (3.2.1) и (3.2.2) имеем L (g2) = L (gl) + L (g2 - gl) > L (gl).
Следовательно, L~ (/) L+ (/). Покажем, что L~ (/) = L+ (/). С этой целью предположим, что множество F является носителем функции /. Пусть Fr — такое компактное подмножество области D, что F содержится в его внутренности Z)1. Обозначим через h (х) функцию из С™ (D), такую, что h (х)	0 в D и h (х) > 0 в Е1.
Пусть ц — минимум функции h (х) в Рг. Приблизим / (х) такой функцией g (х) Е С q (Z\), что для любых х и некоторого целого положительного п
| / (х) — g (х) I < ц/zi
и / (х) = g (х) = 0 вне множества FT. Следовательно, для всех х имеем
Таким образом, если ввести обозначения g1 = g — hln, g2 = = g + hln, получим
L+ (/)- L~ (/) L (g2) - L (gl) = A L (h).	(3.2.5)
Поскольку число n может быть взято сколь угодно большим, отсюда следует, что L~ (/) = L+ (/). Теперь для любой непрерывной функции / положим L (/) = L~ (/) = L+ (/) и заметим, что в случае, когда / Е Со (Р), это определение совпадает с первоначальным, так как для такой функции можно взять gr = g2 = /. Очевидно, что для полученного продолжения выполняется неравенство (3.2.1).
Далее, если а — положительное число, a gY и g2 — нижняя и верхняя функции для /, то agr и ag2 являются нижней и верхней функциями для af. Если же а < 0, то ag2 и agr — нижняя и верхняя функции для af. Отсюда получаем, что для любого вещественного числа а и функции / £ Со (D) выполняется равенство
L (af) = aL (/).
Если /15 /2 — нижняя и верхняя функции для /, a g2 — нижняя и верхняя функции для g, где /, g Е Со (D), то Д + f2 + g2
3.3. КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
10S
являются нижней и верхней функциями для / 4- g и
(/2 + gi) — L (Д + gr) = L (/2 — Д) + L (g2 — gj.
Правая часть в этом равенстве может быть сделана сколь угодно малой, поэтому L (j -J- g) = L (f) + L (g). Следовательно, продолженный функционал удовлетворяет условию (3.2.2).
Это продолжение единственно, так как из неравенства (3.2.1) для А / <4 А вытекает, что
L (А) < L (f) < L (/2), и поэтому для любого продолжения функционала L на более широкий класс функций / мы должны иметь
L~ (/) <£(/)< L+ (/)•
Метод доказательства теоремы 3.2 в действительности позволяет продолжить функционал L на класс функций, который несколько шире класса непрерывных функций. Полученное таким образом продолжение соответствует интегралу Римана или Римана — Стилтьеса. Однако и этот класс еще недостаточно широк. Например, если X — открытый интервал (0, 1) с Р.1 и
1
L(f)= J /(х) dx, о
где / (х) £ Со° (D), то наш метод приводит к интегралу Римана для функций, интегрируемых по Риману. В самом деле, в этом случае L~ (/) и L+ (/) являются соответственно нижним и верхним интегралами Римана.
3.3.	КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА (ТЕОРЕМА Ф. РИССА)
Предположим теперь, что на Со (X), где X — область или компактное подмножество в !Rm, задан положительный линейный функционал, и попытаемся единственным способом продолжить его на более широкий класс функций. С этой целью добавим в определение функционала еще одну аксиому.
Если последовательность /п монотонно сходится KfnL (/п) определены и конечны для каждого п = 1, 2, . . ., то при п -> оо
L (/п) L (/).	(3.3.1)
Для интеграла Лебега эта аксиома выполняется согласно свойству (3.1.7). Кроме того, для функций / (х), не принадлежащих Со (А), опустим в (3.2.1) требование L (f) <оо. Покажем, что эти дополнительные предположения позволяют получить требуемое продолжение. Прежде всего покажем, что аксиома (3.3.1) согласована с предыдущими аксиомами.
106
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Лемма 3.2. Предположим, что /п £ Со (X), п — 1, 2, . . ., и что последовательность fn монотонна, так что /п —> / при п -> оо и L (/n) -> л. Тогда если g Е Со (X) и g f, то L (g) X, в то время как при g f имеем L (g) X.
Предположим для определенности, что последовательность /п возрастает с возрастанием п. В случае ее убывания доказательство аналогично. Если g f, то g /п для каждого п, и поэтому
L (g) > L (/п).
Согласно (3.2.1) и (3.2.2), последовательность L (/п) возрастает и, значит, стремится к пределу X. Следовательно, в этом случае X L (g), как и требовалось.
Случай, когда g /, немного труднее. Пусть — носитель функции Д, G — носитель функции g и F = Fr J G. Тогда F — компактное подмножество области D, и для точки х, расположенной вне F, имеем
g (х) = о = А (х) < /п (х), « = 1, 2, . . . .	(3.3.2)
Построим теперь такую функцию h (х) £ Со (X), что
h (х) > 0 в X, h (х)	1 в F.	(3.3.3)
Если множество X компактно, можно положить h (х) = 1. Если X — область, воспользуемся леммой 3.1. Пусть р — фиксированное целое положительное число и 8 = р~г. Тогда для каждого х £ F имеем f (x)Z^g (х), так что
/п (*) > g (*) — е, « > «о (*)•
Так как функции /п (х) и g (х) непрерывны, то существует такой открытый шар D (х, г) с центром в точке х и положительным радиусом, что
/п (£) >£(£) — 8, п = «о (*), £ € О (х, г).
По теореме Гейне — Бореля, конечное число Dt, . . ., DN таких шаров покрывает множество F. Если . . ., nN — соответствующие этим шарам номера и т = шах («15 п2, . . ., nN), то мы получаем, что.
/п (£) >£(£) — 8, £ Е F, п>т.
С учетом (3.3.2) и (3.3.3) это дает
fn(x)>g(x) — ^h(x), п^т, х£Х. Г
Таким образом,
L (fn)>L (g) - у L (К), п^т.
3.3. КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
107
Следовательно,
k>L(g)-±-L(h). г
Поскольку р — произвольное положительное число, мы получаем, что L (g) X, что и требуется.
Отсюда немедленно вытекает следующая
Лемма 3.3. Если функции /п, / принадлежат Со (X) и /п -> / монотонно, то имеет место утверждение (3.3.1).
Действительно, в этом случае можно в лемме 3.2 положить g = /, откуда L	и L (/) > X. Мы видим, таким образом,
что в Со (X) утверждение (3.3.1) является следствием (3.2.1) и (3.2.2).
Лемму 3.2 можно использовать для того, чтобы определить L (/) для полунепрерывных функций. С этой целью так же, как в предыдущем параграфе, для любой вещественной функции / (х) определим нижнюю функцию Д (х) и верхнюю функцию /2 (#) как такие функции из Со (X), для которых соответственно Д (х)
/ (х) и /2 (х) f (х). Кроме того, положим
Г (/) = sup L (A), L+ (/) = inf L (/2),	' (3.3.4)
где нижняя и верхняя грани берутся соответственно по всем верхним и по всем нижним функциям. Если множество верхних функций для / пусто, полагаем L~ (/) = —оо. Аналогично, L+ (/) = оо, если пусто множество нижних функций для /.
3.3.1.	Докажем теперь такое утверждение.
Лемма 3.4. Если /п £ Со (X) и /п -> / монотонно, то либо L (/n) -> L~ (/), либо L (/n) -> Z/ (/) в зависимости от того, возрастает или убывает последовательность fn.
Предположим сначала, что последовательность /п возрастает. Тогда для любого п функция /п является нижней функцией для /. Таким образом,
L (/п) <L-(f), п = 1, 2, . . ., и поэтому
X = lim L (/n) < L~ (/). п-*оо
С другой стороны, пусть g — произвольная нижняя функция для /. Тогда, по лемме 3.2, л L (g). Поскольку это верно для любой функции g, то X L~ (/). Следовательно, X = L~ (/). Аналогично, если последовательность /п убывает, то X = L+ (/).
Таким образом, если мы хотим, чтобы выполнялось условие (3.3.1), нужно ввести следующее
108
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Определение 3.3.1. Если / — полунепрерывная сверху функция на X, такая, что / (х)	0 вне некоторого компактного под-
множества в X, то полагаем L (/) = L+ (/). Если же / (х) — полунепрерывная снизу функция, такая, что / (х)	0 вне некоторого
компактного подмножества в X, то полагаем L (/) = L~ (/).
Заметим, что функции, рассматриваемые в этом определении,— это в точности функции, являющиеся пределами монотонных последовательностей из Со (X). В самом деле, по теореме 1.3, монотонно убывающая последовательность непрерывных функций /п (х) сходится к пн. св. предельной функции / (х). Если вдобавок функции /п (х) обращаются в нуль вне компактных подмножеств Fn cz X, то /п (х)	0 вне Fi и» значит, / (х)	0 вне Е1.
Обратно, если функция / (х) пн. св. на X, то, по теореме 1.4, существует убывающая последовательность /п (х) непрерывных функций на X, которая сходится к / (х) при zi-> оо. Если X — компактное множество, то оно может быть взято в качестве того подмножества, вне которого /п = 0 и / <0. Если X — ограниченная область D, предположим, что / (х)	0 вне некоторого
компактного множества Е, и продолжим функцию / (х) нулем вне D. Тогда / (х) пн. св. во всем пространстве !Rm. Кроме того, / (х) ограничена сверху в Жт, и поэтому в доказательстве теоремы 1.4 можно взять б (£) = 1. Так же, как в доказательстве этой теоремы, положим
М (£, h)= sup f(x),
Ix-H^h
но слегка модифицируем (1.2.2) и положим
1/п
/п (я) = 2га j М (х, t) dt.
i/2n
Так, же, как и ранее, доказывается, что последовательность /п (ж) для фиксированного х убывает с возрастанием га и сходится к / (ж) при га—>- оо; кроме того, при фиксированном га функции /п (ж) непрерывны по х. Далее, если точка х находится от дополнения к D на расстоянии, меньшем 1/2п, где га достаточно велико, то М (х, t) = 0 для 1/2га t 1/га, и поэтому /п (ж) = 0. Таким образом, функции /л (ж) обращаются в нуль вне некоторого компактного подмножества в D.
Если область D не ограничена, отобразим гомеоморфно на открытый единичный шар в Rm и применим к преобразованной области описанную выше процедуру. Случай полунепрерывных снизу функций получается аналогично.
Заметим еще, что новое определение допускает ситуации L (/) = —оо (когда / (ж) пн. св.) и L (/) = + оо (когда / (ж) пн. сн.).
3.3. КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
109
Теперь можно дать окончательное определение функционала L (/).
Определение 3.3.2. Пусть / (ж) — произвольная функция, определенная на множестве X. Определим L~ (/) и L+ (/) формулами (3.3.4), где верхняя грань берется по всем полунепрерывным «верху функциям /1? таким, что Ух «С 0 вне некоторого компактного подмножества из X и Ух / на X, а нижняя грань берется по всем полунепрерывным снизу функциям f2, таким, что /2	0 вне неко-
торого компактного подмножества из X и/2 > / на X. Если L~ (/) и L+ (/) совпадают, определим L (/) как их общее значение. Если, кроме того, значение L (/) конечно, то говорят, что функция / L-интегрируема.
3.3.2.	Докажем следующую теорему.
Теорема 3.3. Пусть Р — семейство L-интегрируемых функций. Семейство линейно и определенный выше функционал L (/) удовлетворяет условиям (3.2.1) и (3.2.2). Кроме того, если fn g *р, L (Уп) ограничены и последовательность fn монотонно стремится к j, то j б и выполнено условие (3.3.1). Значение L (/) единственным образом определяется на .р- значением L (/) на Сй (D) и условиями (3.2.1), (3.2.2) и (3.3.1).
С единственностью можно разделаться очень просто. Мы уже видели, что (3.3.1) вместе с исходным определением L на Со (D) задают L на всех нижних функциях Д и верхних функциях /2, которые используются в определении интегрируемости. Таким образом, если L (/) — произвольное продолжение L на линейный класс, содержащий эти полунепрерывные функции, то на основании свойств (3.2.1) и (3.2.2) имеем L~ (f) L (/) L+ (/). Следовательно, если L~ (/) = L+ (У), то L (У) должно равняться общему значению этих двух величин.
Далее, если У 0, то fr = 0 является нижней функцией и Z (Ух) = 0. Поэтому L (У)	0, так что выполнено условие (3.2.1).
Предположим теперь, что L (У) существует, конечно и а — некоторое положительное число. Тогда можно найти такие верхнюю и нижнюю функции Ух и У2, что Ух У 1г и L (У2) < L (f±) + + е. При этом af2 и af± являются верхней и нижней функциями для af и
L (ау2) - L (afj = a {L (УД - L (Ух)} <аБ.
Следовательно, функция af интегрируема. Если число а отрицательно, то af2 и аУх являются нижней и верхней функциями для af, и наш результат получается так же, как ранее. Итак, L (af) = = aL (У).
110
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Предположим, наконец, что функции /, g интегрируемы и что A, g1 — нижние функции соответственно для /, g, а /2, g2 — верхние функции для /, g, такие, что
L (А) - L (А) < 8, L (g2) - L (gl) < 8.
Тогда A +	/2 + g2 суть нижняя и верхняя функции для / + g и
L (h + gJ~L (А + gl) = L (А) - L (А) + L (g2) - L (gl) < 28. Следовательно, функция / + g интегрируема и L (f + g) = L (/) + + L (#)•
Таким образом, класс <fp линеен и выполняются оба условия (3.2.1) и (3.2.2). Заметим, что верхние и нижние функции /7- из нашего определения интегрируемы в смысле нового определения в случае, когда L (fj) конечны. Например, если А пн. св. и А <0 вне компактного подмножества из D, то, согласно определению 3.3.1, существует такая непрерывная функция /2 с компактным носителем в D, что для данного K>L (А)
АСА в D и L (A) <к.
Таким образом, эти функции могут служить функциями /15 /г определения 3.3.2. Аналогичным образом обстоит дело с полунепрерывными снизу функциями.
Остается установить свойство (3.3.1). Предположим вначале, что /п — такая убывающая последовательность пн. св. функций, что А С 0 вне компактного подмножества из X и /п f при и —оо. Тогда, по теореме 1.3, функция / также полунепрерывна сверху. Пусть g (х) g Со (X), g (х) f (х). Тогда в точности так же, как в доказательстве леммы 3.2, можно установить существование такой функции h (х) g Со (X), что для данного 8 >0 найдется такое п0 = пй (б), что
A (*) < g АО + ей. (ж), п > Последовательно, поскольку g (х), h (х) принадлежат Со (X),
L (fn) <L(g) + бТ (h), n > n0.
Таким образом, в этом случае
X = lim L (А) < L (g). 71~*oo
Так как это неравенство верно для любой непрерывной функции g (х), такой, что g (x)f^> f (х), то в силу полунепрерывности сверху функции / (х) имеем X -A L ([). Очевидно, что L (/) A L (fn) для любого п, и поэтому L (/) А X. Следовательно, в этом случае L (/) = X.
Аналогично, если /п — возрастающая последовательность пн. сн. функций, каждая из которых неотрицательна вне ком
3.3. КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
111
пактного множества, то предельная функция / обладает теми же-свойствами и выполнено условие (3.3.1).
Предположим теперь, что /п — возрастающая последовательность интегрируемых функций. Введем обозначения иг = flr Un = fn — fn-1,	так что
fn = и1 + и2 + • • • + ип-
Мы уже доказали, что функции ип неотрицательны и интегрируемы для п >1 и что
п
I4fn}= 2 L(ur).
r=l
оо
Пусть X = lim L (fn) = 2 L (ur). Тогда найдутся такие пн. сн.
71-* ОО	Т=1
функции gr, что ur < gr и L (gT) <zL (ит) + е.2~т. Функция g = ОО
= пн. сн* и по доказанному выше 1 оо	оо
L (g) = /1 T(gr)s^2 L (ur) —f— eA, —f— e. i	i
Кроме того, g является верхней функцией для / и поэтому L+ (/)
L (g) X + е. Поскольку это верно для любого положительного е, имеем
IS (/) < А = lim L (fn).
п-^оо
С другой стороны, /п и поэтому
L- (/) > L~ (fn) = L (fn), так что
L- (/) > X.
Таким образом, выполнено условие (3.3.1), и если X конечно, то функция / интегрируема. Если последовательность /л убывает, (3.3.1) доказывается аналогично. Этим завершается доказательство теоремы 3.3.
Заметим также, что если по крайней мере одна из функций fn интегрируема, то условие (3.3.1) продолжает быть справедливым, даже если L (/) бесконечно. Если, например, последовательность fn монотонно возрастает и L (fn) конечно при каждом п, то L (fn) может стремиться только или к конечному пределу, или к + оо. В последнем случае имеем L~ (/) L~ (fn) для каждого п, и поэтому L~ ( ) = + оо. Следовательно, в этом случае IS (f) —
L~ (/) = + оо.
3.3.3.	Теперь уже нетрудно построить меру, ассоциированную с функционалом L, и показать, что она обладает требуемыми
112
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
свойствами. Пусть Е — некоторое множество. Характеристическая функция Хе множества Е по определению равна 1 на £ и О вне Е. Множество Е называется измеримым, если функция Хв L-интегрируема в смысле определения 3.3.2 или если Е является пределом расширяющейся последовательности таких множеств. (Таким образом, множество Е может быть измеримым, даже если L (Хв) = + °°-) Определим меру ц, ассоциированную с функционалом L, полагая
ц (L) = L (хЕ).
Это определение приводит к теореме Рисса [1909] о положительных линейных функционалах.
Теорема 3.4. Класс измеримых множеств является а-колъцом R, содержащим все борелевские подмножества из X. Кроме того, ц является мерой на R и для любой интегрируемой функции f (х) имеем
L (/) = J / dp.	(3.3.5)
Мера р однозначно задается на борелевских множествах тем условием, что (3.3.5) выполняется для f g Со (X).
Заметим, что если Е — компактное подмножество в X, то Хе пн- св. Кроме того, любое замкнутое подмножество в X является пределом расширяющейся последовательности компактных подмножеств из X. Таким образом, замкнутые подмножества в X измеримы. Следовательно, измеримы и открытые подмножества, так как если A J R = X, А П R = 0, то %А = 1 — Хв-
Предположим далее, что АнВ — измеримые множества, имеющие в X компактные замыкания. Пусть Ха (ж), Хв (ж) — их характеристические функции, и пусть /1? /2 — соответственно нижняя и верхняя функции для Ха и gi, gz — нижняя и верхняя функции для Хв- Рассматривая max (/ь 0) вместо А и inf (А, 1) вместо /2, можно считать, что 0 <1 /1 Ха /2	1 и, аналогично, 0
< £1 < Хв < g2 < 1-
Так как функции A, gr пн. св. и неотрицательны, то функция Agi пн. св. Аналогично, функция /2g2 пн. сн. Кроме того, Agi и /2g2 являются нижней и верхней функциями для ХаХв и, в частности, измеримы. Наконец,
/2^2 — figi = fz (ёг — gi) + gi (/2 — /1) <
A gz gi 4" /2	/i-
Следовательно,
L (fzgz — figi) < L [(^2 — gi) + (/2 — /1)] =
= L (g2) - L (gl) + L (/2) - L (A).
3.3. КОНСТРУКЦИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
113
Правая часть этого неравенства может быть сделана сколь угодно малой, так как функции /_А и измеримы. Следовательно, функция также измерима и, значит, измеримо множество А Q В. •Далее, функция Ха + Хв — ХаХв измерима. Так как она являет-ся характеристической функцией множества A J В, то A (J В .также измеримо.
Кроме того, измерима функция /А — ХаХв, а так как это ^характеристическая функция множества А — В, то и А — В измеримо.
Пусть, наконец, Ап — расширяющаяся последовательность измеримых множеств, обладающих в D компактными замыкания-
N
ми. Тогда, согласно только что доказанному, BN — |J Ап являет-71= 1
ся возрастающей последовательностью измеримых множеств. Пусть Ха (ж) — характеристическая функция BN. Тогда Хх (ж) — воз-растающая последовательность измеримых функций и, значит, функция х (ж) = lim (ж) также измерима и
Д^оо
L{1 (z)} = lim L{Xa(z)}.
2V-»-oo
оо
Следовательно, множество В= (J Ап измеримо и п=1
ц(В) = lim ц (BN).	(3.3.6)
N-*oo
Таким образом, В является сг-кольцом, содержащим все боре-левские множества. Кроме того, если Ап — конечная или счетная х
система непересекающихся множеств в В и BN = (J Ап, то П=1
N
Xbw = 2 Ха • Следовательно, поскольку все функции /А изме-n—i	71
римы, мы заключаем, что
ц(Вх)= 2 нМп)-П=1
Если система счетна, из (3.36) вытекает, что
N	оо
Н (В) = lim р,(BN) = lim 2 Н(Лп)=2и(4)> Г(=1	1
как и требовалось.
Заметим теперь, что равенство (3.3.5) выполняется в случае, когда / — характеристическая функция измеримого множества. Линейность функционала L и интеграла позволяет распространить это равенство на простые функции / и, следовательно, на произ-8-0623
114
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
вольные измеримые функции. Наконец, для доказательства единственности меры р, заметим, что если равенство (3.3.5) выполнено для непрерывных функций, то L (/) является положительным линейным функционалом, удовлетворяющим на непрерывных функциях условиям (3.2.1) и (3.2.2). Из леммы 3.4, определения 3.3.1 и (3.1.7) следует, что равенство (3.3.5) выполняется для функций, которые являются пределами монотонных последовательностей непрерывных функций с компактными носителями и, значит, для любых полунепрерывных функций. Отсюда следует, что равенство (3.3.5) выполняется для класса всех измеримых функций относительно функционала L, где измеримость понимается в смысле определения 3.3.2. В частности, (3.3.5) справедливо, если / — характеристическая функция борелевского множества, и поэтому р, определена на всех борелевских множествах. Это завершает доказательство теоремы 3.4.
3.4.	ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
Меру р,, заданную на подмножестве X евклидова пространства, будем называть борелевской мерой, если X компактно и р, (X) < <+°с или если X открыто и р, (£) <со для любого компактного подмножества Е cz X. Очевидно, что мера, существование которой утверждалось в теореме 3.4, является борелевской. Таковыми же предполагаются и все меры, с которыми мы будем иметь дело в этой главе. Предположим теперь, что в области Dr cz точек х — (хг, . . ., хр) задана борелевская мера р,1? а в области D2 cz R9 точек у = (xp+1, . . ., жр+д) задана борелевская мера р,2. Мы хотим определить и исследовать борелевскую меру р,, заданную в области D = Dr X D2 cz Rp+9, состоящей из всех таких точек z = (хг, . . ., жр+(у), что (я^, . . ., хр) £ Dj и (жр+1, . . ., xp+q) £ D2.
Пусть У (z) = У (ж, у) — непрерывная функция с компактным носителем в D. Положим
Li (У) = [	(ж) [ / (ж, у) (у),
Ь2 (У) = j dp2 (у) j f (х, у) d[it (х).
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 3.5. Определяемые равенствами (3.4.1) функционалы Lr (/) и Ь2 (/) совпадают на Со (D).
Пусть F — носитель функции f в D. Тогда множество F компактно и поэтому компактны его проекции Fx и F2 соответственно на Dr и D2. Следовательно, f (х, у) для каждого х g Dr является
3.4. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
115
непрерывной функцией с компактным носителем в D2. Значит, определена функция
Р (*) = j/(*, У) dp2 (у).
Функция F (ж) непрерывна. Действительно, / (ж, у) непрерывна и, следовательно, равномерно непрерывна на F, а потому в D. Таким образом, для любого данного е >0 существует такое 6, что если
|х'-х"|<6 и \у'_у"\<8,	(3.4.2)
то
I / (ж', у') — / (ж", у")| < е.	(3.4.3)
В частности, если х', х" g Dr и | х' — х" | <6, то
(ж') — F(z")| = | j{/ (х, y) — f(x", y)}dp2 (у) |< ец2 (F2).
Следовательно, функция F (х) непрерывна в Dr и имеет носитель в Fr, так что интеграл Lr (/) корректно определен. Аналогично, корректно определен интеграл Ь2 (/). Так как интегралы Lr (j) и L2 (/) конечны, то выполняется условие (3.2.1). Из определения немедленно следует условие (3.2.2). Таким образом, Lr (/) и Ь2 (/) — положительные линейные функционалы.
Докажем теперь, что Lr (/) = Ь2 (/) = L (/). С этой целью для данного е >0 выберем 6 так, чтобы при условиях (3.4.2) было выполнено неравенство (3.4.3). Пусть б0 — расстояние от множества F до дополнения к области D, и пусть
1 n^2(?+Fmin (6’ 6о)-
Под интервалом I в пространстве Rp+9 будем понимать множество, определяемое неравенствами
mvx\ xv <Z (mv + 1)т), v = 1, . . ., p + q, (3.4.4)
где mv — целые числа. Пусть Z1? . . ., Ih — интервалы, пересекающиеся с множеством F. В силу выбора числа г], все эти интервалы расположены в (60/2)-окрестности F' множества F. Они попарно не пересекаются, и их объединение покрывает F.
Согласно теореме 3.3, оба функционала Lr и L2 могут быть единственным образом продолжены как линейные функционалы на ограниченные измеримые по Борелю функции с компактными носителями в D и, в частности, на характеристические функции Xs (z) интервалов Is. Если Is — один из таких интервалов, задаваемых неравенствами (3.4.4), обозначим через Z*, Ivs проекции Is соответственно на области и D2. Таким образом, If и FJS — интервалы в и R9, задаваемые неравенствами (3.4.4), в которых 8*
116
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
v = 1, . . р и v = р Ц- 1, . . р q соответственно. В этих обозначениях очевидно, что
=	h2(^) = l2(Xs).
Обозначим через Ls общее значение (Xs) = L2 (Xs). Пусть, далее, bs и Bs — нижняя и верхняя грани функции / (ж, у) в Is. В силу (3.4.3) и выбора числа ц имеем
I Bs — bs | < е, s = 1, . . ., к.
Кроме того, для js = 1, 2
k	k	k
МП = M/3 b) = 2 M/XsXS BSLS.
s=l	s=l	s=l
k
Аналогично имеем Lj(f) 2^2 bsLs. Следовательно, 3=1
1М/)~М/)1С2 (5s-&s)Ls<82 Ls<8LH<p), 7 = 1,2, 3=1	3=1
где <p — характеристическая функция F'. Поскольку число 8 произвольно, L2 (j) = Lr (/). Лемма 3.5 доказана.
Теперь мы в состоянии доказать теорему Фубини.
Теорема 3.5. Пусть ц2 — борелевские меры, заданные соответственно на областях DT cz Rp и D2 czz R9, a f (x, y) — измеримая no Борелю функция в D = Z)1 X D2. Тогда повторные интегралы Lr (f) и L2 (/), определенные равенствами (3.4.1), существуют и равны в предположении, что f имеет постоянный знак в D или, более общо, что / g или f —g, где функция g неотрицательна в D и Lr(g) = L2 (g) <оо.
Согласно лемме 3.5, по крайней мере для / g Со (D) имеем Ьх (/) = Ь2 (/) = L (/).
Кроме того, по теореме 3.3, функционал L (j) можно единственным образом продолжить с сохранением свойств (3.2.1), (3.2.2) и (3.3.1) на линейный класс L-интегрируемых функций. Если допустить -|-оо в качестве возможного значения L (/), то L (/) оказывается определенным на всех положительных измеримых по Борелю функциях в области D.
Пусть /п (х, у) — монотонная последовательность неотрицательных измеримых по Борелю функций в D, сходящаяся к / (х, у). Тогда для каждого фиксированного х последовательность
Fn (*) = J fn (х, у) dpt (у)
монотонна и сходится к неотрицательному пределу F (х). Следовательно, если Fn (х) измерима по Борелю в Бг, то F (х) измерима
3.4. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
117
по Борелю в D. Так как интеграл Лебега от положительной функции удовлетворяет условию (3.3.1), то
F (%) = j/(*,*/) d[i2(y)
в предположении, что Fn (х) конечно для некоторого п или что Fn (ж) возрастает с увеличением п.
Поскольку все характеристические функции борелевских множеств могут быть получены путем не более чем счетных объединений или взятия разности компактных множеств, то определения (3.4.1) можно распространить на такие функции, а значит, и на неотрицательные измеримые по Борелю функции, как в § 3.1. Таким образом, единственное продолжение функционала L на все неотрицательные измеримые по Борелю функции может, быть задано любой из двух формул (3.4.1). Аналогичное заключение справедливо и для неположительных измеримых по Борелю функций в D.
Предположим, наконец, что g 0 и что L (g) <; -ф- оо и /
—g. Представим функцию / в виде / = / -ф- g — g. Тогда для 7 = 1, 2 имеем Ls (f) = Ls (f -ф- g) — L} (g), где Lj (/) определен формулами (3.4.1). По доказанному,
Lx (/ + g) = L2 (/ + g), Lx (g) = L2 (g).
Следовательно, Lr (f) = L2 (f), как и требовалось. Теорема 3.5 доказана. Заметим, что, поскольку каждый из повторных интегралов, определенных формулами (3.4.1), является линейным функционалом, он может быть представлен в виде интеграла Лебега относительно борелевской меры dp в D, т. е.
L(/)= J /(z)dp(z).
D
Мы видим, что для интервала I в D выполняется равенство р (Z) = 74 (Iх) ц2 (Iv). Нетрудно показать, что это соотношение задает р на всех борелевских множествах. Мера р называется произведением мер рг и р2. Эта процедура может быть проведена для произведения конечного числа мер. Например, произведение к одномерных мер Лебега дает ft-мерную меру Лебега в пространстве Rft.
3.4.1. Свертка
Пусть К6 (х) — ограниченная борелевская функция в с носителем в шаре | х | < 6, р (х) — борелевская мера в | х | < <6 и / (х) — функция, определенная в ограниченной области
118
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
D cz Rm. Определим свертку формулой
F(x) = j Кь +	(у)
и установим некоторые свойства F (х). Если D — произвольная область, определим 6-внутренность D° (6) множества D как множество всех точек, находящихся от дополнения к D на расстоянии, большем 6. Имеет место следующая
Теорема 3.6. (i) Если функция f (х) субгармонична в D и К6 (у)
0, то F (х) субгармонична в D° (6). Если функция f (х) гармонична в D, то F (ж) гармонична в D° (6).
(ii)	Если dp есть т-мерная мера Лебега, К& (у) g Ср и f (х) интегрируема в D, то F (х) g Ср в области D° (6).
Предположим вначале, что функция / (ж) непрерывна в D и поэтому равномерно непрерывна в D° (60) для некоторого 60 > >0. Пусть число 60 фиксировано. Тогда для данного е >0 существует такое т], что если | хг — х2 | <т] и хг, х2 g D° (60), то I / (xi) — f (^г) I < е- Таким образом, если точки ж1, х2 принадлежат D° (6 + 60) и | хг — х2 | <ц, то
— ^(*2)1 = | j (/(zi + i/) — Нх2 + уУ)Кб(У)^(у)\
I У I <Й
Се j |^6(у)| <7ц(у) = Се, lvl<6
где С — константа. Следовательно, функция F (х) непрерывна. Предположим теперь, что / (ж) пн. св. в D и что К (х)	0. Тогда,
по теореме 1.4, существует убывающая последовательность /п (ж) непрерывных функций в D, сходящаяся к / (х). Положим
En (х) = f К& (у) fn (х + у) dp (у).
Функции Fn (х) непрерывны в й° (6 ф 60) для любого положительного числа 60, и поскольку К& (у) положительна, то последовательность Fn (х) убывает с возрастанием п. Поэтому последовательность Fn (х) сходится к
F (х) = j К6 (у) f(x+y) dp (у).
Следовательно, функция F (х) является пределом убывающей последовательности непрерывных функций и, значит, полунепрерывна сверху.
Для того чтобы завершить доказательство пункта (i) теоремы 3.6, остается показать, что если функция / (х) субгармонична и, значит, удовлетворяет неравенству среднего значения (опреде
3.4. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ	119
ление 2.1, (iii)), то субгармонической является и функция F (ж). Предположим, что х0 g D° (6 Ц- ц) и г < ц. Тогда
1 г
ё -г-^=г F(x)da(x) =
S(x0, г)
= 7-7^ f	[	f(x + y)K6(y)d[i(y) =
ст'	J	<’
S(x0, г)	| у I <б
1	Г	(*
= 7Г7ГГ к& (у) dp, (у) f(x + y)d<y(x)^ ст'	J	J
! у | <б	S (х0, г)
> j K6(y)dn(y)f(x0 + y) = F (х0).
I у I <6
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле законно на основании теоремы Фубини. Действительно, подынтегральное выражение равно нулю вне множества | у |	6' < 6 и | х —
— Хо I г. При этих условиях X + у £ D° (6 + T] — 6' — г) = = Fo, и поэтому функция / (х + у) равномерно ограничена сверху некоторой константой М. Так как К& (у) неотрицательна и ограничена, то функция К& (у) f (х + у) также равномерно ограничена сверху. Кроме того, ц (Fo) <оо. Следовательно, если положить g (х, у) = М для х -j- у g Fo и g (х, у) = 0 в противном случае, то функция g (х, у) интегрируема относительно меры du и / (х 4- у) К& (y)^g \х, у). Таким образом, выполнены все условия теоремы Фубини. Значит, функция F (х) субгармонична в D° (6 -j- ц) для каждого ц >0, т. е. субгармонична в D° (6).
Предположим, наконец, что функция / (ж) гармонична в D. Тогда / (ж) и —/ (ж) суб гармоничны в D, и поэтому F (х) и —F (х) субгармоничны в D° (6). Следовательно, по теореме 2.9, F (ж) гармонична в D° (6). Этим завершается доказательство пункта (i) теоремы 3.6.
Переходим к доказательству пункта (ii). В предположениях этой теоремы можно представить F (х) для х g D° (б) в виде
F (х) = j К6(у) f(x + y) dy = j K6(z — x)f(z)dz, (3.4.5)
где интегрирование распространено на все пространство, но подынтегральное выражение равно нулю для | у |^б, т. е. для | z — х ^б. Следовательно, если хъ х2 g D° (6 + ц), где ц >0, то
^(^i) — F (xz)= j f(z){K6(z — xl) — K6(z — x2)}dz.
D° (Ч)
Если функция K& (у) непрерывна и поэтому равномерно непрерывна в пространстве, то для данного е > 0 можно выбрать такое
120
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Т] >0, что при I !/1 — у2 I <Т] имеем | К6 (уД — К6 (г/2)| <е. Таким образом, если | хх — х2 | <т|, то
I Р (*i) — Р (z2) I < е j I / (z) | dz,
D
т. e. функция F (x) непрерывна в D° (6).
Предположим теперь, что К& (у) g Ср. Тогда можно дифференцировать подынтегральное выражение во втором интеграле в (3.4.5) по переменным х. Действительно, если I обозначает точку на одной из координатных осей, | I | = 1 и К'& (у) — частная производная К в направлении этой оси, то можно выбрать ц настолько малым, что если h — вещественное число, | h | <ц и г/ — произвольная точка, то
Отсюда для хг £ D° (6) и достаточно малого h следует, что
I F (xt + hl) — F (Xi)	f v, .	. , . j I f - , . .. ,
|——---------— + j #6(z —z)/(z)dz|<e j I/(z)| dz.
D
Следовательно, при h^Q
F^ + hl)-^)	K'6(z-x)f (z) dz.
Таким образом, F (x) обладает всеми частными производными первого порядка. Поскольку функция К'6 (у) непрерывна, то по доказанному выше все эти частные производные непрерывны. Если К6 (у) g Ср, р >1, то этот процесс можно продолжить и повторно продифференцировать по х подынтегральное выражение во втором интеграле (3.4.5). Этим завершается доказательство теоремы 3.6.
3.4.2. Теорему 3.6 можно использовать для получения некоторых дополнительных результатов о субгармонических функциях, играющих существенную роль в доказательстве теоремы Рисса. Начнем со следующего утверждения.
Теорема 3.7. Если р, — борелевская мера на компактном множестве Е в R.m и р (х) — потенциал, определенный формулой (3.0.1), то р (ж) есть субгармоническая функция в Rm, гармоническая ене Е. В частности, р (х) почти всюду конечен и интегрируем относительно меры Лебега на любом компактном множестве.
Положим
flog |ж|, т = 2,
I—|ж|2-т, ш>2.
3.4. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
121
Тогда, как было показано в п. 1.5.1, функция / (ж) гармонична всюду в Rm, за исключением начала координат. Поскольку / (ж) стремится к —оо при ж—► О, то очевидно, что f (х) остается субгармонической в начале координат, если положить / (0) = —оо. Определим функцию К& (у) формулой
fl, У^Е, «-Io.
Тогда по теореме 3.6 функция
F(z)= j #6(£)/(ж+5)<7р,е? = / (гс-f- S) rfpieg
Е субгармонична во всем пространстве и гармонична в окрестности-любой точки х, для которой ж -}- £ т= 0, 1- g Е. Следовательно, функция F (—х) = р (х) субгармонична в К"1 и гармонична вне Е. В частности, р (х) конечна вне Е. Последнее утверждение вытекает теперь из теоремы 2.6.
Нашим следующим результатом будет
Теорема 3.8. Пусть функция и (х) субгармонична в ограниченной области D cz Rm. Тогда существует такая последовательность ип (х) субгармонических функций класса в D° (l/zi), что для х g D° (l/zi0) значения ип (х) строго убывают при п >zi0 и стремятся к и (х) при п —г <х>.
Если и (х) = —оо, полагаем ип (х) = —п в D. Предположим теперь, что функция и (х) не равна тождественно —оо. Определим функцию К (х) как ядро, используемое в доказательстве теоремы 3.1, и положим
ип (х) = j и (х +птК (пЕ) d%.
Очевидно, что функции ип (х) определены в D° (1/п) и субгармоничны там по теореме 3.6. Так как, в силу теоремы 2.6, для х g £Z>°(l/zi) функция и (х) интегрируема по шару D (х, Ип), то ип (ж) 6 С°° в D° (l/zi).
Остается доказать, что последовательность ип (ж0), убывая, стремится к и (ж0) при и—► оо. С этой целью положим для 0 < <r < 1 и х0 g D° (г)
/г(Жо) = г-т]\(Жо+ QK&lr)
Т
— r~m \ rfpA: (p/r) С и (ц) do (ц).
о
S(x0, р)
422
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Здесь через к (t) обозначено постоянное значение функции К (х) на S (0, 1), о (ц) — поверхностная мера на S (х0, р). В обозначениях теоремы 2.12 можно переписать /г (х0) в виде
Г
fr (*о) = r~m j cmpm-1/c (p/r) Zp (u) dp. о
Положим <p (i) = cmfm-1A:(i). Тогда
i
/г(*о) = j <P (t) In (u) dt.
0
Функция <p (t) положительна и непрерывна no t при 0 < t <1. Согласно (3.2.3), если и == 1, то /г (ж) == 1. Таким образом,
1
J <р (/) dt = 1. о
Из теоремы 2.12 вытекает, что 1г(и) является возрастающей функцией переменного г. Следовательно, 1п (и) — возрастающая функция г для каждого фиксированного t, и поэтому/г (х0) —возрастающая функция г. Поэтому ип (ж0) = f1/n (ж0) убывает с увеличением номера п. Кроме того, по теореме 2.12, 1Г (и) и (х0) при г —0. Если и (ж0) = — оо, то для любой данной положительной константы К имеем 1Г (и) <; — К, г <^г0, и поэтому /г (ж0) <—К, г < г0. Таким образом, fr (ж0)	—оо при г-> 0и, следовательно,
ип (ж0)->• —00 = и (жо) при п—>~х. Если же и (ж0) конечно, то для данного е >0 имеем
и (жо) h (и) < и (ж0) -4-е, 0 < г < г0.
Это дает следующую оценку:
и (х0) < /г (ж0) <п (я0) + е, 0 <г <г0.
Таким образом, (ж0) —п (ж0) при г —0 и, следовательно, ип (х0) -> и (х0) при и—>-оо. Последовательность ип (х) убывает и стремится к и (х) при и —>- оо. Для того чтобы получить строгое убывание с увеличением п, заменим ип (х) функцией ип (х) + Ип. Этим завершается доказательство теоремы 3.8.
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В ртом параграфе мы докажем теорему Рисса. Будем рассматривать функции в Rm, где т 2, и положим
( log I х I, m = 2,
K(x) = 1	1	(3.5.1
v ' l-| x |2-m, ш>2.	v
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА 123
Тогда теорема Рисса [1926, 1930] формулируется следующим образом.
Теорема 3.9. Пусть и (х) — субгармоническая функция в обла-i emu D cz R , не равная тождественно —оо. Тогда в D существует •единственная борелевская мера р, такая, что для любого компактного подмножества Е сд D
и(х)=^К(х—%) dpe^-\-h (х),	(3.5.2)
Е
где h (х) — гармоническая функция во внутренности Е.
В настоящее время существует много различных доказательств этой глубокой и важной теоремы. Предлагаемое доказательство следует идеям Лорана Шварца [1950] и основано на теории распределений, или линейных функционалов. Мы воспользуемся тремя леммами, на которые в итоге будет опираться доказательство.
3.5.1. Начнем с построения меры, существование которой утверждается в теореме 3.9, и сделаем это при помощи одного линейного функционала.
Лемма 3.6. Пусть и (х) — функция, субгармоническая в области D сд Rm, не равная тождественно —оо. Тогда формула
Lu(v)= u\72v dx	(3.5.3)
D
определяет Lu как функционал на классе функций и £ С™ (Z)).
Предположим вначале, что область D — открытый шар D = — D (х0, г) в Rm. Поскольку t? 6 С” (D) имеет компактный носитель в D, функция v и все ее частные производные обращаются в нуль вне некоторого шара D' = D (ж0, г'), где г' <Zr. Кроме того, согласно теореме 2.6, функция и (х) интегрируема по шару D' и v2f равномерно ограничен в нем. Следовательно, функция Lu (р) корректно определена и конечна. Ясно, что функционал Lu (р) линеен для v £ С” (D). Остается показать, что функционал Lu (р) положителен, т. е. что Lu (р)	0, если v (ж)	0 в D.
Для этого воспользуемся теоремой 3.8. Пусть ип (х) — убывающая последовательность субгармонических функций, бесконечно дифференцируемых в окрестности замыкания С = С (х0, г') шара D', сходящаяся к функции и (х) в С'. Так как v и все ее частные производные обращаются в нуль на границе S' = = S (х0, г') шара D', то по теореме Грина 1.9 имеем
j (zznv2f — vS72un) dxi=0.
D'
124
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Таким образом, если у > 0 в й, то
LUn(p) = j uny2v dx = § uny2vdx = § vS72undx^0. D	D'	D'
Кроме того, поскольку убывающая последовательность ип сходится к и в D', имеем
г	С
j ип dx^r J и dx, D'	D'
т. е.
j (ип — и) dx= § | ип — и | dx О D'	D'
при и. —оо. Далее, функция V2i? непрерывна в С' и поэтому ограничена там некоторой константой М. Следовательно, при п —оо
| j un\72v dx— § иV2f dx || un — и | | S72v | D'	D'	D'
j | zzn— u I dx—rV),
D' t. e.
LUn(p)->-Lu (p).	(3.5.4)
Значит, Lu(v) 0. Этим завершается доказательство леммы 3.6 в случае, когда область D — шар.
Для того чтобы распространить этот результат на общий случай, применим конструкцию, называемую разбиением единицы. Пусть v £ С” (D) и Е — компактное подмножество в D, содержащее носитель функции v. Из теоремы Гейне — Бореля следует, что множество Е может быть покрыто конечным числом открытых шаров Dv = D (xv, rv), v = 1, . . ., TV, замыкания Cv которых содержатся в D. В каждом Dv определим функцию ev (ж) £ С°° (Отт), положительную в Dv и равную нулю вне Dv. Можно положить, например,
ev (ж) = ехр {—(г2 — I х — xv |2)'2}, х Dv.
Определим затем функцию vv (х) формулой
N
Vv^=< v(x)ev(x)/^ev(x), x£Dv, .0,	x $ Dv-
Каждая граничная точка g шара Dtl, лежащая в Е, содержится во внутренности некоторого шара Dv, v 7= ц; следовательно,
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА
125
(£)=#0. Значит, vv (х) £ С°° в окрестности точки х = Если g — граничная точка Dv, находящаяся вне Е, то v (х), а тем самым vv (х) обращаются в нуль в окрестности х = g. Таким образом, pv (ж) 6 С00 (Rm), причем носитель pv (ж) содержится в Z>v.
Кроме того, если v (х)	0, то vv (х)	0. Наконец,
N
V (ж) = У Pv (ж).
v=l
Следовательно, функционал Lu (у), определенный равенством (3.5.3), линеен по и, и если v 0 в D, то
Lu(y) = 3 Lb(pv)>0,
V=1
так как vv (х) имеют носители в Dv. Лемма 3.6 тем самым доказана. Соотношение (3.5.4) остается верным и в общем случае, так как оно выполняется для каждой функции vv.
Из теоремы 3.2 теперь следует, что функционал Lu (р) можно единственным образом продолжить как линейный функционал на класс функций г f Со (D). Рассмотрим это продолжение. Из теоремы 3.4 вытекает существование такой борелевской меры р, однозначно определенной на всех борелевских подмножествах в D, что для v £ Сй (D) и, в частности, для v £ С“ (Z)) имеет место равенство
Lu (р) = v dp,.	(3.5.5)
V <	D
Мы хотим показать, что мера ц, умноженная на некоторую константу, обладает всеми свойствами, указанными в теореме 3.9. Заметим, между прочим, что если функция и гармонична в D, то по теореме Грина Lu (р), а значит, и ц тождественно обращается в нуль в D. Наш следующий результат будет заключаться в доказательстве обратного утверждения.
3.5.2. Для доказательства единственности меры ц в теореме 3.9 установим следующий результат.
Лемма 3.7. Если функции и, и' субгармоничны в D и
Lu (у) = Lu> (р)
для любой функции р £ С” (D), то и (х) = и’ (х) h (х), где h (х) — гармоническая функция в D.
Достаточно рассмотреть лишь такие функции р, носители которых содержатся в открытом шаре D' = D (ж0, г') c^D. Предположим сначала, что функция и субгармонична и принадлежит клас
126
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
су С00 в окрестности шара С' = С (ж0, г2), гДе rz <Zr'• Тогда если О <г2, т0 по теореме Грина
j	j \72udx.	(3.5.6)
S(x0, г,)	D(x0, Г1)
Введя обозначение
1 и) = . L-i f u(x)do(x), ст~ J
S(x0, г)
можно переписать уравнение (3.5.6) в виде
Ггт-1 I (г, и) I = f -J— \2udx.
L dr v 'jr=rt j cm
D(x0, r,)
Положим t = log г при m = 2, t — —r2~m при m >2, и пусть e2 c2, вщ (ш 2) m >2.
Тогда уравнение принимает вид
Г-^-/(г, zz)l = — Г \/2udx.
L at	'Jr=r, em J
D(x0, r,)
Интегрируя его от г = т\ дог = г2, где 0 <Z.rt <г2 получим
/ (г2, и)—1 (rt, и)
dr
гт-1
Jd
--V2w dx, cm
E(xo, r)
Согласно теореме Фубини, в этом двойном интеграле можно изменить порядок интегрирования. Тогда
I (г2, и) — I(rlt и)=	§	g(x)\72udx,	(3.5.7)
П(х0, г2)
где
g(z) =
1 С dr
J
1 ж— Жо 1 Oi,
1	? dr
f,	1 rm-i »
стп v ’
Г1< | X— х01 <г2
|х|
Если g принадлежит С00, то (3.5.7) можно записать в виде
I (r2t и)-1 (г15 и) = Lu (g).	(3.5.8)
Покажем теперь, что это равенство в действительности выполняется для произвольной субгармонической функции и, не обязательно принадлежащей классу С°°.
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА
127
Предположим сначала, что по-прежнему и £ С00 и для всех v £ С” (7)') функционал Lu (р) определен равенством (3.5.3). Тогда для таких v имеем по теореме Грина
Lu (/;) = j l?V2zz dx.	(3.5.9)
Это равенство определяет Lu (р) как положительный линейный функционал на всех функциях v £ Со (D'). Так как по теореме 3.2 продолжение из С” (D') в Со (7)') единственно, то (3.5.9) остается верным для всех функций v £ Со (7)') и, в частности, для g. Поэтому выполнено (3.5.8).
Если и — произвольная субгармоническая функция, не равная тождественно — оо в D', то пусть ип — такая убывающая последовательность субгармонических функций в D' класса С00, что zzn —zz при п—» оо. Тогда из (3.3.1) следует, что для / = 1, 2
I (tj, ип) I (г}, и) при п—»оо.	(3.5.10)
Докажем, что
LUn (g)^- Lu (g) при n^- оо.	(3.5.11)
С этой целью подберем в С” (7)') такие функции glf g2, что
gi < g < g2, Lu (g2) <LU (gj + e. (3.5.12)
Возможность построения таких функций gx и g2 была показана в (3.2.5). Кроме того, из (3.5.4) и определения (3.5.3), которое имеет силу для g1 и g2, следует, что LUn (g}) Lu (gf) при п оо. Отсюда и из (3.5.12) заключаем, что для всех достаточно больших п
Lu (g) — е <LUn (g}) <LU (g) + e, j = 1, 2.
Поскольку LUn (p) при каждом n является положительным линейным функционалом, из этих неравенств и (3.5.12) вытекает, что
Lu (g) — е <LUn (g) <LU (g) + e.
Это дает утверждение (3.5.11). Так как уже доказано, что равенство (3.5.8) выполняется для функций ип из С” (D), то из (3.5.10) и (3.5.11) следует, что (3.5.8) выполняется для произвольной субгармонической функции и.
Предположим, наконец, что функции и, и' удовлетворяют условиям леммы 3.7. Тогда Lu (р) и Lu’ (р) определяют один и тот же положительный линейный функционал на С” (D'}, и поэтому, в силу единственности продолжения (теорема 3.2), на Со (7)'). В частности, в условии леммы 3.7 можно положить v = g и вывести из (3.5.8) следующее соотношение:
I (г2, и) — I Д1, и') = I (г2, и) — I (гь и).
128
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В частности, функция I (г) = I (г, и') — I (г, и) постоянна при О <Zr С г'. Это утверждение справедливо в любом шаре D (хъ р)с а не только в D' = D (хй, г'). Поэтому для фиксированной точки хг £ D функция
1 (*i, Р)
1
СтР7”-1
[и' (х) — и (ж)] do (х)
S(x„ р)
постоянна в предположении, что р < 6 (х^), где 6 (хг) есть расстояние от хг до дополнения к D.
Положим теперь
7г. (xi) ~ I (^п Р), 0 < р < 6 (жД.	(3.5.13)
Тогда из теоремы 2.12 следует, что
и’ Сн) = и (^i) + h (#1),
(3.5.14)
за исключением случая, когда одновременно и’ (х) и и (х) тождественно равны —оо. В этом последнем случае равенство (3.5.14) также имеет место, в том смысле, что обе его части равны —оо. Следовательно, (3.5.14) выполняется во всех случаях.
Осталось доказать, что функция h (х) гармонична в D. Для этого заметим, что h (х) конечна в D и, согласно (3.5.14), для a;i 6 D, Р <6 Ui)
1	с
. рт-Г h И d° = cmP	J
S(x1# p)
= Cmpm-r j [u’(x) — u(x)]do(x) = h(xi).	(3.5.15)
S(x,, p)
Кроме того, так как функции и (ж), и' (х) субгармоничны и не обращаются тождественно в бесконечность, то из (3.5.14) следует, что h (х) интегрируема относительно меры Лебега на компактных подмножествах в D. Пусть функция к6 (р) непрерывна для всех положительных р, равна нулю при р > S, положительна при О <р <6 и удовлетворяет условию
в
j cmpm~lk6 (р) dp = l. о
Тогда полагаем
б
Н(х)-= $ h(l) fc6(| х—	j fcj(p)dp j h(l)do(%) = h(x).
D(x, 6)	0	S(x, p)
По теореме 3.6 функция H (х) непрерывна в Do (6), а значит, там непрерывна и функция h (ж). Так как число 6 произвольно, то h (х) непрерывна всюду в D. Поскольку выполнено равенство
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА
129
(3.5,15), обе функции h (ж) и —h (ж) субгармоничны в D, и поэтому, Ь силу теоремы 2.9, h (х) гармонична в D. Лемма 3.7 доказана
s 3.5.3. Нашим последним вспомогательным результатом будет (Следующая
h Лемма 3.8. Пусть К (х) — ядро, определенное формулой (3.5.1), (С ц — борелевская мера, заданная на компактных подмножествах ^области D. Предположим, что
;	Р^ = ^-\к\<,х— %)dp(t),
ет J
где ет = cmdm и d2 = 1, dm — т — 2, т >2. Тогда
Г (
:	Lp(v)= ^v Ф-
D
Согласно теореме 3.2, достаточно доказать требуемый результат для v £ С” (D). Предположим сначала, что носитель функции v содержится в шаре D' = D (ж0, г'), замыкание которого принадлежит области D. По теореме 3.7 функция р (х) субгармонич-:нав К”1 и, в частности, в области D, Поэтому из (3.5.3) вытекает, что
(р) = у- [ р (х) V2n (х) dx -
D'
= -i- Г \Hv(x)dx Г К(х— g) dp (£).	(3.5.16)
^7П J	J
D'	D
Изменим порядок интегрирования в этом двойном интеграле. Покажем прежде всего, что такое изменение законно. Положим
(ж) = max (V2^ (ж), 0),	— v2 (х) = inf (V2f (ж), 0),
так что (х) и п2 (х) — неотрицательные непрерывные функции. Кроме того, произведение (ж) К (х — g) ограничено сверху некоторой константой Мо и, так как ц (D) < оо,
( Modx f dp (|) < -ф оо.
; г	d' d
Следовательно, по теореме 3.5, можно изменить порядок интегрирования в двойных интегралах
(	(x)dx f К (ж— g) d[i(l), f v2(x) dx\ К (x — ^) dp, (g).
D'	D	D'	D
9-0623
130
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Поэтому можно изменить порядок интегрирования и в двойном интеграле
f V2v(x)dx f К (х—S)dp(£),
в предположении что интегралы для Pj (х) и конечны. Для того чтобы доказать это предположение, допустим, что Мх. Тогда если К~ (х) = —inf (К (х), 0), то
j Vi(x)dx К (х— с) d[i (£)!>— j dx j MYK~ (x— £) dp (g) = D'	D	D' D
= — ( dp(g) ^MtK-(x—l)dx>—co,
D	D'
поскольку функция К (x) локально интегрируема в окрестности начала координат. Таким образом, изменение порядка интегрирования в (3.5.16) законно. Следовательно,
L (р)---L ( dp (g) f v2r (я) К (х - g) dx. (3.5.17)
ет J	J
D	D'
Введем теперь следующее обозначение:
/(!)= J V2u(x)K(x-c)dx.
D'
Для того чтобы вычислить этот интеграл, выберем сначала некоторую точку % £ D' = D (ж0, г') и оценим разность
/е(1) = ( J - j }WK(x-1-)dx, D(x„, г')	D^, е)
где е — малое положительное число. Согласно теореме Грина 1.9, эту разность можно переписать в виде
'<В- J	+
S(x0, г')
+ J	do(x)+ ( [ - J jv\72K(x-^)dx.
S(g, e)	D(x., r') Da,
Поскольку функция К (х — |) гармонична всюду, за исключением точки х = %, последний интеграл обращается в нуль. Функция v и ее частные производные обращаются в нуль на S (ж0, г'), поэте-му интеграл по этой поверхности также равен нулю. Следовательно,
'®= J
S(L е)
3.5. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РИССА
131
Второй интеграл в этом выражении стремится к нулю при е -> —0. Кроме того,
при е—>-0,
где d2 = 1, dm = т — 2, т ^>2. Поэтому
+	j do (х) =~-cmdmv (g)+ о(1), е->-0.
8(1 е)
Отсюда следует, что
I (В) = ети (|).	(3.5.18)
Предположим теперь, что точка | лежит вне шара D'. Тогда функция К {х — £) гармонична на замыкании D', и непосредственное применение к D' теоремы Грина дает
/(В) = f (v^-K^\do(x)+ \v^K(x~^dx = Q. J \ U’v	(J'С J	Л
S(x„, r'}	D'
Если точка g лежит на границе S (х0, г') области D', то выполняется такое же равенство. Действительно, поскольку носитель функции v является компактным подмножеством в £>', можно заменить г' немного меньшим числом. Следовательно, равенство (3.5.18) выполняется для любой функции v, носитель которой лежит в шаре, целиком содержащемся в D. Так как произвольная функция v 6 С” (D) методом п. 3.5.1 может быть представлена в виде конечной суммы функций vn 6	(7)л), где Dn — шары,
содержащиеся в области D, то равенство (3.5.18) верно для всех функций v 6 С” (D). Лемма 3.8 следует теперь из этого факта и равенства (3.5.17).
3.5.4. Доказательство теоремы Рисса
Предположим, что функция и (ж) субгармонична в области Д ей”1 и не равна там тождественно — оо. Для функций v £ 6 С” (D) определим функционал Lu (р) формулой (3.5.3). По лемме 3.6, Lu (р) — положительный линейный функционал, который однозначно продолжается на класс Со (D) и с помощью борелев-ской меры ц, однозначно определенной по и и D, задается формулой (3.5.5).
Пусть Е — произвольное компактное подмножество в D\ рассмотрим потенциал
€т J Е
132
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ о представлении
Из леммы 3.8 вытекает, что если Д — внутренность множества Е и v £ Со (Д), то
Lp(v) = dp — Lu (р).
Поэтому, согласно лемме 3.7, и (ж) = р (х) + h (х), где h (х) — гармоническая функция в Д.
Обратно, предположим, что Д — область, замыкание которой является компактным подмножеством в D. Пусть ц, (х) — конечная мера на Д, такая, что и (х) = рг (х) + hx (ж), где
1 с Pi =	dp^l),
ет J
а функция hi (х) гармонична в Д. Тогда из (3.5.3) следует, что для произвольной функции v £	(Д)
(г) = LPl (р) + Lht (р) = LPi (р) = Lp (р).
Согласно лемме 3.8, отсюда следует, что
J vdp = § vdpi.
Поскольку это равенство справедливо для любой функции v £ £ Cj° (Д), оно остается верным и для продолженного на v £ Со (Д) функционала. В силу теоремы 3.4 отсюда следует, что ц (е) = = (ij (е) для любого борелевского подмножества е с Д. Этим доказана единственность меры ц, а значит, и вся теорема 3.9.
Заметим, что мы доказали теорему 3.9 для меры dp вместо dp, где dp — мера, определенная равенством (3.5.5). Если и £ 6 С2а (D), то из теоремы Грина следует, что в (3.5.5)
dp = S72u dx,
так что в этом случае (3.5.2) принимает вид
и (х) = —— ( К(х—%) dxh (х). ет J
Е
В дальнейшем мерой Рисса функции и мы будем называть меру ц из (3.5.2), а не по-другому нормированную меру (3.5.5).
3.6.	ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
В этом параграфе мы снова обсудим понятие гармонического продолжения, введенное впервые в ц. 2.7.2. Материал, находящийся теперь в нашем распоряжении, позволит углубить понимание этого вопроса. Докажем следующее утверждение.
3.6. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
133
Теорема 3.10 х). Пусть D — ограниченная регулярная область е К1" с границей F. Тогда для произвольной точки х £ D и произвольного борелевского множества е на F существует функция ® (ж, е) со следующими свойствами:
(i)	со (х, ё) для фиксированной точки х б D является борелев-ской мерой на F и и (х, F) = 1;
(ii)	со (х, ё) для фиксированного множества е cF является гармонической функцией х в области D;
(iii)	если / (£) — полунепрерывная функция, определенная на F, то
и (х)= § / (£) da (х, е>;)	(3.6.1)
F
является гармоническим продолжением функции / (?) из F в D. Мера «в (х, ё) = <в (х, е, D) называется гармонической мерой множества е в точке х относительно области D.
Для доказательства теоремы 3.10 обозначим через Lx (/) значение в точке х £ D гармонического продолжения и (х) функции /. Тогда Lx (/) при фиксированном х определено для любых непрерывных функций / на F. По принципу максимума, если / Да 0, то Lx (/)	0. Кроме того, очевидно, что Lx (/) линейно по /. Следо-
вательно, Lx (/) является положительным линейным функционалом на классе непрерывных функций /, определенных на F. Поэтому из теоремы 3.4 вытекает существование такой меры <в (х, ё), однозначно определяемой множеством F, точкой х и областью D, что свойство (iii) выполняется для любой непрерывной функции /. Из теоремы 2.17 и свойства (3.3.1) линейного функционала следует, что и (х) — Lx (f) остается гармоническим продолжением / в D и в случае полунепрерывной функции /. Для произвольной ограниченной и измеримой по Борелю функции / на F определим гармоническое продолжение / из F в D формулой (3.6.1). Поскольку продолжением / = 1 является функция и (х) = 1, то со (х, F) — 1, откуда следует свойство (i) и то, что и (ж) может быть определено формулой (3.6.1) для любой ограниченной и измеримой по Борелю функции /.
Остается доказать свойство (ii). Докажем более общее утверждение, что если функция / ограничена и измерима по Борелю, то и (х) — гармоническая функция от х. Взяв для произвольного борелевского множества е cz F в качестве / его характеристическую функцию мы выведем отсюда свойство (ii).
1) Брело [1939а]. Решение Брело задачи Дирихле для произвольной функции /, интегрируемой относительно da, приводит к тому же результату, хотя и несколько иным способом.
134
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Если функция / пн. св., то из теоремы 2.17 следует, что и (ж) гармонична или тождественно равна — оо. Аналогично, если / пн. сн., то и (ж) гармонична или тождественно равна + оо. Случай бесконечности исключается, если функция / ограничена, так как тогда и (ж) для каждого х заключена между теми же границами. Пусть, наконец, функция / ограничена и измерима по Борелю. Пусть хй — фиксированная точка области D. Тогда / интегрируема относительно со (ж0, е). Поэтому в силу определения 3.3.2 найдутся такие пн. св. на F функции fn (£), что
Lx,(fn) >LXo(f)-l/n	(3.6.2)
и fn / на F. Можно предположить, кроме того, что последовательность /п монотонно возрастает, так как в противном случае можно заменить /п функцией gn = max fv.
ввв, Н
Пусть ип (х) — гармоническое продолжение /п из F в D. Так как функция fn пн. св., то из теоремы 2.17 следует, что ип (х) гармонична по х. Поскольку ип (х) = Lx (fn) — положительный линейный функционал, последовательность ип (х) возрастает для каждой фиксированной точки х £ D. Следовательно, по теореме Харнака 1.20 последовательность ип (ж) сходится к гармонической в D функции и (ж), и на основании (3.6.2) имеем
Ьх. (/) = и (х0).
Кроме того, так как fn / на F, то для х £ D
ип (х) = Lx (/„) < Lx (/), и поэтому
и (х) Lx (/), х £ D.
Аналогичным образом можно выбрать такую убывающую последовательность пн. сн. функций gn (£), что gn (£)	/ (£) на F
и LXo (gn) -> LXa (/) при п -> оо. Тогда если vn (х) — гармоническое продолжение функции gn в D, то последовательность ип (х), убывая, стремится к гармоническому пределу v (х) в D, такому, что v (х0) = LXo (/) и
и (х) > Lx (/), х е D
Таким образом, v (х) — и (х)	0 в области D, причем v (ж0) =
= и (ж0). Из принципа максимума следует, что v (ж) = и (х) в D, и поэтому и (х) = Lx (/) = v (х). Следовательно, Ьх (/) как функция от х гармонична в D.
Наконец, можно определить Lx (/) и для неотрицательных неограниченных функций /, полагая
Lx (/) = lim Lx (/n),
П-»-СО
3.6. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
135
где /п = inf (/, п). Так как последовательность fn возрастает, то возрастает и последовательность Lx (fn) и, следовательно, по теореме Харнака Lx (/) есть гармоническая функция от х или Lx (/) =
оо. Если / — произвольная функция и /+ = max (/, 0), /“ = —min (/, 0), то / — /+ — /'. Положим
Lx (/) - Lx (f) - Lx (/-)
при условии, что обе эти величины конечны в некоторой (а значит, в любой) точке х g D. В этом случае говорят, что / интегрируема относительно гармонической меры. Если Lx (/+) = оо, а
(/“) конечна, полагаем Lx (/) = + оо; если же Lx (/+) конечна, a Lx (/“) = оо, полагаем Lx (/) = — оо. Таким образом, во всех случаях Lx (/) либо есть гармоническая функция от х, либо тождественно равна — оо, либо тождественно равна + оо, либо не определена при каждом х. Этим оправдывается то, что заданная формулой (3.6.1) функция и (х) была названа гармоническим продолжением функции /, когда / — произвольная измеримая по Борелю функция, для которой существует интеграл
j /(g) (1ы (ж, е?). F
Тем самым доказано свойство (ii) и завершено доказательство теоремы 3.10.
Из теоремы 3.10 следует, что со (ж, ё) для любого борелевского подмножества из F является гармонической неотрицательной функцией переменного х. Поэтому по принципу максимума модуля <о (х, е) > 0 в D или же со (х, е) ~ 0 в D.
В первом случае говорят, что подмножество е имеет положительную гармоническую меру, во втором случае,— что е имеет нулевую гармоническую меру. Ясно, что две функции /т и /2, которые отличаются только на подмножестве е cF, имеющем нулевую гармоническую меру, обладают одним и тем же гармоническим продолжением из F в D.
3.6.	1. Следующий результат является, по сути дела, лишь незначительным обобщением теоремы 2.18, однако он естествен-ныхМ образом входит в круг рассматриваемых вопросов.
Теорема 3.11 (принцип гармонической меры х)). Пусть функция и (ж) субгармонична в ограниченной регулярной области D с с R™ с границей F. Предположим, что при х -> g изнутри D
lim и (х) j(g) для любой точки £ F,
х) В несколько менее общей формулировке, когда / — характеристиче ская функция, см. этот результат у Ф. и Р. Неванлинны [1922].
136
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
причем функция / ограничена сверху и измерима по Борелю на F. Тогда
и (х) < Lx (/),
где Lx (/) — гармоническое продолжение функции / из F в D.
Предположение об ограниченноети сверху функции / и. значит, и существенно. Например, если D — единичный круг в R2 и
1__г2
^z)=i-2rcOS-e+r2» 2 = rei0’
то можно взять / (1) = + оо, / (е’е) = 0, 0 <0 <2л. Гармоническое продолжение этой функции / равно нулю, тем не менее функция и (z) гармонична и u(z) >0 при | z | < 1.
Наиболее естественное применение теорема 3.11 находит в случае, когда / (£) = 1 на некотором замкнутом подмножестве е F и / (£) = 0 на его дополнении. В этом случае теорема 3.11 утверждает, что
и (ж) <1 со (ж, е),
где <о (х, е) — гармоническая мера множества е в D. По этой причине теорему 3.11 часто называют принципом гармонической меры.
Переходим к доказательству теоремы 3.11. С этой целью положим
g (?) = lim и (х),
где верхний предел берется при х -> £ изнутри области D. Тогда функция g (£) пн. св. на F. Действительно, если £0 С F и е >> 0, то и (х) <Zg (?0) + е Для всех точек х £ D, принадлежащих некоторой окрестности N в точки £0. Следовательно, g (£) g (£0) + + е для всех точек £ g F f| N. В частности, функция g (£) измерима по Борелю и ограничена сверху, так что функция Lx (g) определена всюду в D и конечна или тождественно равна — оо.
Пусть gn (£) — убывающая последовательность непрерывных функций на F, сходящаяся к g (£), и пусть ип (х) — гармоническое продолжение gn (£) в D. Такая последовательность gn существует, поскольку функция g (£) пн. св. Так как D — регулярная область, то ип (х) -> gn (£), когда х -> t изнутри D. Следовательно,
ПпГ {и (х) — ип (ж)} g (?) — gn (?)	0,
если х -> £ изнутри D, и это неравенство справедливо в каждой точке ? g F. Поскольку функция и (х) — ип (ж) субгармонична в D, из принципа максимума (теорема 2.3) следует, что и (х)
ип (х) в D. Таким образом, для каждого п имеем
u (х) Ls (gn).
Так как последовательность gn убывает и стремится к g при н -> оо, то из (3.3.1) вытекает, что Lx (gn) -> Lx (g) и, значит, и (х)
3.6. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
137
^.Lx(g). Поскольку Lx— положительный линейный функционал и g /, то Lx (g) Lx (/), откуда и следует теорема 3.11.
Выведем теперь в качестве следствия интересную теорему единственности для гармонических функций.
Теорема 3.12. Пусть функция и (х) ограничена и гармонична в регулярной ограниченной области D cz IR”1, а функция g (х) ограничена на границе F области D. Предположим, что и (#)->-£(£) при х £ изнутри D для всех точек £ F, за исключением множества нулевой гармонической меры. Тогда и (х) — Lx (g).
Положим
gi(C) = limu(o:), g2 (О = Нши(а:),
причем оба предела берутся при х£ изнутри области D. Тогда gi пн. св., a g2 пн. сн., так что обе эти функции измеримы по Борелю и ограничены, а следовательно, интегрируемы. Кроме того, g2 = g = g2 вне множества нулевой гармонической меры и поэтому
Lx (gl) = Lx (g2).
Следовательно, функция g также интегрируема и Lx (g) = Lx {gT) = = Lx (g2). Согласно теореме 3.11, и (x) <2 Lx (g2). Применяя теорему 3.11 к функции —и (ж), получим и (ж) Lx (gj. Из этих двух неравенств следует утверждение теоремы 3.12.
Теорема 3.12 дает удобный способ вычисления гармонической меры. Для этого достаточно построить в области D ограниченную гармоническую функцию, граничные значения которой равны 1 во всех точках некоторого множества е cz F и нулю на F — е, за исключением множества нулевой гармонической меры. Если D — открытый шар D (ж0, г) в R”1, то из (1.5.1) следует, что для любой непрерывной функции / (£) выполняется равенство (3.6.1),. в котором
где cZoE — элемент площади поверхности S (х0, г). В частности, гармоническая мера в точке хп пропорциональна площади множества е или телесному углу, под которым оно видно из-начала координат. При т = 2 гармонические функции инвариантны относительно конформных отображений. Поэтому если D — односвязная область и е — некоторое множество на ее границе, то мы можем вычислить со (ж0, е), отобразив D на круг | z | < 1 таким образом, чтобы хп перешла в начало координат. Если е' — образ множества е на окружности | z | = 1, то со (х0, е) = 1/2л, где I — длина множества е'.
138
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В размерностях т >2 метод конформных отображений неприменим и общего способа вычисления гармонической меры не существует.
Пример. Пусть D — полупространство >0 в пространстве точек х = (х17 х2, . . хт). Покажите, что если функция и (х) гармонична и ограничена в D и непрерывна на его границе F = (х I х1 = 0}, то
_ 1 Г 2xtu (|) da (|)
Cm J	’
F
где do (E) обозначает (m — 1)-мерную меру Лебега на F. (Указание. Покажите, что теория, изложенная в настоящем параграфе, обобщается на неограниченные области при условии, что в качестве единственной граничной точки берется £ = оо.)
3.7.	ФУНКЦИЯ ГРИНА И ФОРМУЛА ПУАССОНА -ЙЕНСЕНА
Классическая функция Грина была определена в п. 1.5.1, а ее единственность доказана в теореме 1.14. В этом параграфе мы установим существование функции Грина и затем воспользуемся ею для получения общей теоремы о представлении для субгармонических функций.
Теорема 3.13. Для регулярной области D в пространстве К™ функция Грина g (я:, g, D) существует. (В случае т = 2 область D должна иметь внешнюю точку.)
Нам придется различать случаи т = 2 и т >2. Предположим сначала, что т >2, и пусть g — точка области D. Для точки х, расположенной на границе F области D, положим
/ (*) = -I х - g |2-™.
Пусть и (х) — гармоническое продолжение функции / из F в D Так как / (х) непрерывна и ограничена на F, включая и оо, то-согласно теореме 2.10, функция и (ж) однозначно определяется этими свойствами. Ясно, что функция
g (х, Е, D) = и (х) + I X - Е I2-™ удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функции Грина. Единственность функции Грина доказана в теореме 1.14.
Предположим теперь, что т = 2 и что область D имеет внешнюю точку, скажем х9. Положим
3.7. ФУНКЦИЯ ГРИНА И ФОРМУЛА ПУАССОНА—ЙЕНСЕНА
139
и заметим, что функция / (х) непрерывна и ограничена на границе F области D, включая и точку оо. Если и (х) — гармоническое продолжение функции / (ж) в D, то искомой функцией Грина является
g (х, D) = и (х) Н- log |
3.7.1.	Теперь мы можем доказать несколько более общий вариант формулы Пуассона — Йенсена т).
Теорема 3.14. Пусть D — ограниченная регулярная область в Rm, граница F которой имеет нулевую т-мерную меру Лебега, и пусть и (х) — субгармоническая функция, не равная тождественно —оо в D J F. Тогда для х б D имеем
и (ж) — j и (g) d<£> (х, et)— g (х, £, D) dpe^, (3.7.1) Г	D
где а (х, ё) — гармоническая мера множества е в точке х, g (х, Е, D) — функция Грина области D udy — мера Рисса функции и в D.
Пример. Предположим, что функция и (z) субгармонична в круге | z | г с мерой Рисса dp в | z | < г. Применяя теорему 3.14 к субгармонической функции и (z), получим
2л
и (ре’9) = f и (reiv) ———??	, "2  +
4	>	2.4 J '	' гг—2rp cos (0— ф) + Р2
о
+ f loglJ^- dpei.	(3.7.2)
J I r2 —zE,
Согласно теоремам 1.16 и 3.10, первый интеграл задает гармоническое продолжение функции и (rei4>) в | z | < г. Если и (z) = = log | / (z) 1, где функция / (z) регулярна в | z | г, то ц (е) равно числу нулей функции / (z) на е и второй интеграл превращается в сумму
2 М
У = 1
г (z —av) г2—avz
где av, v = 1, . . ., п, — нули / (z) в | z | <г. Вид функции Грина для этого случая был дан в теореме 1.10. Таким образом, классическая формула Пуассона — Йенсена для регулярных функций полу-
’) См. Р. Неванлинна [1929] для частного случая (0.1). Для субгармонических функций в круге см. Хейман [1952]. Результат с меньшими ограничениями см. в теореме 5.27.
140
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
чается отсюда как частный случай. Так же легко получается и мероморфный вариант формулы, если представить мероморфную функцию как частное двух регулярных функций.
Легко получить и другие формулы, в которых круг | z | г заменен различными односвязными или многосвязными плоскими областями D, при условии, что могут быть вычислены функция Грина области D и гармоническая мера в D. Предположение, что функция и (z) субгармонична на замыкании D области D, более удобно, поскольку в этом случае не нужно требовать непрерывности и (z). Очень полезен также m-мерный вариант теоремы 3.14. Отметим частный случай формулы (3.7.1), когда D — шар D (0, г) в Rm, где т 3. Имеем
! \ If (г2 — | х |2) da (£)	f / t\ j	/о п
“(*) = — J г | |т - ) g	(3.7.3)
т S(0, г)	D
Здесь по теореме 1.10 имеем для х, Е g D g(x,l)=\x-l |2~m - {| g | | x - Г |/r}2—, где g' — точка, которая получается из | инверсией относительно S (0, г).
3.7.2.	Переходим к доказательству теоремы 3.14. Теорема 3.9 позволяет свести общий случай к случаю, когда и (х) = К (х — ц). Докажем теорему 3.14 сначала в этом частном случае.
Лемма 3.9. Пусть D — область, такая, как в теореме 3.14, функция К (х) определена равенствами (3.5.1) и х, ц — соответственно точки D и IV". Тогда
К (х —ц)-{- g (х, ц, D), r^D,
К(х—ц),	ц£.О.
(3.7.4)
Предположим сначала, что ц—внешняя для области D точка, так что ц Q D (J F. Тогда К (£ — ц) является гармонической функцией переменной | на D J Г. Следовательно, в этом случае (3.7.4) вытекает из теоремы 3.10.
Далее, если ц g D, положим
h (g) = К а - п) + g л, D).
Функция h (£) остается гармонической в точке ц, а поэтому всюду в D. Так как функция g (£, ц, D) непрерывно обращается в нуль, когда g приближается к F изнутри D, то функция h (|) непрерывна на F, если положить там h (£) = К (£ — ц). Следовательно, в левой части (3.7.4) функцию К (Е — ц) можно заменить функцией h (Е) и вывести из теоремы 3.10, что в этом случае правая
j К — ц) d<£> (х, D) = F
3.7. ФУНКЦИЯ ГРИНА И ФОРМУЛА ПУАССОНА—ЙЕНСЕНА
141
часть превращается в h (х). Значит, лемма 3.9 доказана для всех т] g за исключением случая, когда т] g F.
Доказательство этого последнего случая сложнее, и именно для него нужно требование, чтобы множество F имело нулевую меру Лебега в Будем считать точку х фиксированной, а точку т] переменной; положим
J (т]) = j К (£ —т]) da (ж, е5, D). F
Так как со (ж, D) есть борелевская мера на F, то из теоремы 3.7 следует, что функция J (т]) субгармонична в IR™. Пусть т]0 — неко торая точка множества F. Из условий (ii) и (iii) субгармоничности § 2.1) вытекает, что при г —> О
1 (F J) = с ^-г ( J (Л) do (л) J (Ло)-S(>lo. г)
Здесь через о (т]) обозначена (т — 1)-мерная мера на сфере S (т]0, г). Следовательно, при г —> 0 имеем также
{ /(Л)йл-^г f/(Р, J)pm-4p^ 7(ло). (3.7.5) cnv J	' J
О(Ч0, г)	О
Здесь через обозначена m-мерная мера Лебега в 0V”. Поскольку множество F имеет нулевую m-мерную меру, можно произвольным образом менять подынтегральное выражение на F, не меняя самого интеграла. В частности, на F функцию J (т]) можно заменить функцией К (х — т]). Так как К (х — т]) —> К (х — т]0) при т] -> т]0 и g (х, т], D) -> 0, когда л -> Ло изнутри D, то из того факта, что лемма 3.9 верна для всех т] g DV” — F, получаем при г —> О
j Лл)^Л = j {^(ж — т]0) + о(1)} сй] = 0(По.'')	D(4o,’)
= -^{^(Ж-Т]о) + о(1)}.
Сравнивая этот результат с (3.7.5), заключаем, что
J (Ло) = К (х — т]0).
Этим завершается доказательство леммы 3.9.
3.7.3.	Предположим теперь, что функция и (£) удовлетворяет условиям теоремы 3.14. Тогда она субгармонична на компактном множестве Е, содержащем в своей внутренности А множество
142
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
D U F. Согласно теореме 3.9, можно выразить и (|) в виде
u(g)= j	(3.7.6)
Е
где через ц (еД обозначается мера Рисса функции ив Е (так что ц (Е) < оо), функция К (£) определена равенствами (3.5.1), а функция h (£) гармонична в Д. Для любой функции / (S), ограниченной сверху и измеримой по Борелю на множестве F, положим
L (/) = j f (I) da (х,	D).
F
В частности,
L {и (£)} = j da (x, eit D)	К (g — ц) dpen -J- L{h (|)}.
F	E
Так как функция h (£) гармонична на D J F, то из теоремы 3.10 следует, что
L {h (g)} = h (х).
Кроме того, функция К (£ — ц) ограничена сверху для g g F, т] g Е и обе меры со (х, F, D) и ц (Е) конечны. Поэтому из теоремы Фубини 3.5 следует, что можно изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. По лемме 3.9 это дает
L{u (g)}= j dy.e^L {К (g — т])} + Д (a;) = E
= К (x — p) d(xen 4- f g (x, t], D) dpen 4~ h (x).
E	D
Используя равенство (3.7.6), мы получаем отсюда теорему 3.14. В оставшейся части главы мы дадим несколько применений этого основного результата.
3.8.	ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И НАИМЕНЬШИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ МАЖОРАНТЫ
Докажем одно обобщение теоремы 2.18.
Теорема 3.15. В предположениях теоремы 3.14 гармоническое продолжение функции и (х) из F в D является наименьшей гармонической мажорантой функции и (х) в D.
Пусть к0 (х) — гармоническое продолжение функции и (х) из F в D. Тогда, согласно теореме 3.10,
р0(ж) = j и (£) da (х, е5).
F
3.8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ
143-
Из теоремы 2.18 вытекает, что v0 (х) является гармонической мажорантой функции и (х) в D, т. е. v0 (х) гармонична в D и v0 (х) > V (х).
Заметим, далее, что функция Грина g (х, £, D) непрерывна в точке (х, £), когда £ g Z), х GD J F и Предположим, что т 3 (случай т = 2 аналогичен). Если х и f удовлетворяют этим требованиям, то функция К (х — |) = — [ х — g |2"т непрерывна по х и £ и, в частности, равномерно непрерывна для х £ F и g из компактного подмножества е <^D. Следовательно, гармоническое продолжение h (х, £) функции К (х — £) переменного х из F в D непрерывно по совокупности переменных х и Е. Кроме того, h (х, £) равномерно непрерывно, когда g С е, а х g D, так как малое изменение g вызывает малое изменение функции К (х — £) на F и, следовательно, по принципу максимума, малое изменение функции h (х, £) для х GD. Таким образом, если положить g = О для х С F, то функция
g (х, l,D)=h(x, l) + \x-l I2-™ непрерывна для g g e и x, расположенных вне e.
В частности, когда х приближается к F, а | С е, g (х, £, D)
—> 0 равномерно по х. Пусть ц — мера Рисса в D и
Р (х) = j g (х, g, D) dpe^. е
Тогда р (х) —> 0, когда х приближается к F. В частности, для данного е > 0 можно найти такое компактное подмножество ег cz D, содержащее е, что, р (ж) <е, х £ D — ег. Следовательно, если* v (х) — произвольная гармоническая мажоранта функции и (х) в D, то
и (х) + р (х) <Z и (х) + е v (х) + е, х £ D — е±.
Так как функция
и (х) -ф- р (х) = v0(x)+ $ g(x, g, Z>) d[ie5 D-e
все еще субгармонична в D, то из принципа максимума следует,, что и (х) + р (х) v (х) + е при х С ev т. е. что и (х) и (х) +
р (х) — е при х £ D. Поскольку число е произвольно, отсюда Получаем, что
v(x)^u(x) + p(x) = ve(x)— g(x, l, D)diiei..
D-e
144
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Тогда для последовательности множеств еп, исчерпывающих D, § g (х, g, D) dpe^ -> 0.
Д-'п
Поэтому v (ж) 7-s v0 (ж) при х g D. Таким образом, р0 (х) является наименьшей гармонической мажорантой функции и (х) в D. Следующий частный случай теоремы 3.14 представляет самостоятельный интерес.
Теорема 3.16. Пусть функция и (х) удовлетворяет предположениям теоремы 3.14 и является гармонической в области D. Тогда и (х) представляет собой гармоническое продолжение функции и (|) из F в D.
Действительно, поскольку функция и (х) гармонична в D, -dp = 0 в D. Это дает
и (х) = j и (£)	(ж, gt).
F
Этот результат позволяет также значительно обобщить тео-рему 2.19. Имеет место следующая
Теорема 3.17. Пусть D, F и и (х) удовлетворяют предположениям теоремы 3.14, а функция v (х) субгармонична на D |J F, гармонична в D и v (х) — и (х) на F. Тогда v (х) совпадает в D с наименьшей гармонической мажорантой функции и (х) и с гармоническим продолжением и (х) из F в D.
В самом деле, согласно теореме 3.15, наименьшая гармоническая мажоранта функции и (х) в D совпадает с гармоническим продолжением и (х) из F в D. Поскольку и = и на F, гармоническое продолжение функции и из F в D совпадает с гармоническим продолжением v из F в D и, по теореме 3.16, с функцией v в D.
3.9.	ТЕОРИЯ НЕВАНЛИННЫ ’)
Мы будем рассматривать функции, субгармонические в замкнутом шаре С (0, г) с Rm и не равные тождественно —оо. Удобно считать, что и (0)	— оо. Если это условие не выполнено, то
можно заменить и (х) в D (0, е) гармоническим продолжением значений функции и (х) на сфере S (0, е) и получить функцию v (х), субгармоническую в С (0, г), гармоническую в D (0, е) и совпадающую с и (х) в кольце С (0, г) — D (0, е). По теореме 3.17 (или даже по теореме 2.19) эти условия однозначно определяют функцию v (х). Тогда формула Пуассона — Йенсена (3.7.2) или (3.7.3)
х) См., например, Р. Неванлинна [1926] для частного случая (0а1).
3.9. ТЕОРИЯ НЕВАНЛИННЫ
145
дает
u (0) = j u(x)do(x)- j g(O,g)dpe5. (3.9.1) m 8(0, r)	D(0, r)
В этой формуле, согласно теореме 1.10,
g (ОД) = log | ,	m = 2,
g (0, g) = I g |2-™_ r2-m m > 2.
Слегка модифицируем формулу (3.9.1). Введем обозначения iz+ (х) = max (и (х), 0), и~ (х) = —min (и (х), 0) и положим 0
7’(Г’Ы) = Т^Т j u+(x)dc(x),	(3.9.2)
8(0, г)
m(r, U)= cmrm~i J u~(x)d<J(x).	(3.9.3)
т 8(0, г)
Пусть, далее, п (0 — масса Рисса замкнутого шара С (0, 0. Тогда
j g(0,l)dliei = dm j-^-,	(3.9.4)
0(0, г)	0
где d2 - 1, dm - т — 2, т >2.
Предположим сначала, что т = 2. Тогда
( g(O,g)dp.e5= ( logd-dn (0 =
0(0, г)	0
= _Iim[log^n(e)+j
8
Так как значение и (0) конечно, то оба интеграла
f g (0 Д) = f log dn (0
D(0, r)	0
конечны, а поскольку n (i) возрастает вместе c i, то при е —> 0
п (е) log	log 4- dn (0	0.
ь J I
0
0 То, что символ т обозначает также размерность пространства, не вызовет, как мы надеемся, никаких недоразумений. 10-0623
146
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Отсюда следует неравенство (3.9.4) в случае т = 2. Если т >2, то аналогичным образом
j g (0, dpe^ j (Z2’m - r2'm) dn(t) = (m-2)\
0(0, Г)	0
откуда получаем (3.9.4). Положим теперь
(3.9.5)
и заметим, что равенство (3.9.1) можно переписать в виде
Т (г, и) = т (г, и) + N (г, и) и (0).
(3.9.6)
Это — первая фундаментальная теорема Неванлинны для субгармонических функций. Функция Т (г, и) называется характеристикой Неванлинны функции и. Она в значительной степени определяет рост функции и (х).
Отсюда немедленно получается интересная теорема о выпуклости.
Теорема 3.18. Если и (х) — субгармоническая функция в С (0, г) и и (0) Ф —оо, то Т (р, и) и N (р, и) — возрастающие функции р для 0 р г. Кроме того, Т (р, и) и N (р, и) — выпуклые функции log р при т - 2 и р2~т при т ^>2.
Так как функция и+ (х) = max (и (х), 0) субгармонична, то утверждения, касающиеся Т (г), являются непосредственными следствиями теоремы 2.12. Утверждения, относящиеся к N (г, и), следуют из (3.9.5). Действительно, всюду, за исключением счетного множества точек, в которых функция п (г) разрывна, имеет место равенство

Это равенство остается справедливым и в точках разрыва функции п (г), если в левой части взять правую производную. Очевидно, что правая часть есть возрастающая функция г.
Нас также интересует максимум функции и (х) на гиперсферах. Положим
В (г, и) = sup и (х). 1я|==г
Величины В (г, и) и Т (г, и) имеют сравнимый рост. Это вытекает из следующего неравенства.
3.10. ОГРАНИЧЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В й"1
147
Теорема 3.19. Если функция и (х) субгармонична в С (0, г), то для 0 <Z р < г имеем
Т (р, U)S^B (р,	' Т (г> и)-
Левое неравенство очевидно. Для доказательства правого неравенства применим к функции iP (х), заданной в D = D (0, г), формулу Пуассона — Йенсена. Вклад от массы Рисса неположителен. Поэтому получаем
5(0, т)
Г2— i S I2 г | r—i |m
i/+ (х) dox^.
r2--p2 г (г — р)т
Т- j и+ (*)da* = 7-рг-? Т и>>-
8(0, Г)
Выбирая | таким, что и+ (£) = В (р, ip), получаем правое неравенство.
3.10.	ОГРАНИЧЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В IRm
Из теоремы 2.14 вытекает, что единственными функциями, субгармоническими и ограниченными сверху во всей плоскости, являются константы. Однако, как было показано в п. 2.7.1, в слу, чае m >2 в пространстве R”* существуют непостоянные ограниченные сверху субгармонические функции. В этом параграфе мы изучаем такие функции. Основным результатом является следующая
Теорема 3.20. Для произвольной данной борелевской меры ц в пространстве Rm (т 3) пусть п (i) — мера замкнутого шара С (О, i). Для того чтобы Ц была мерой Рисса субгармонической в функции и (х), необходимо и достаточно, чтобы
г n(t)dt .
J < °°*
Н
(3.10.1)
Если это условие выполнено, то единственная субгармоническая функция с мерой Рисса ц в и точной верхней гранью С задается формулой
и (х) = С— j	dpeg.	(3.10.2)
Покажем сначала, что условие (3.10.1) необходимо. В самом деле, если и (х) С, то очевидно, что при 0 < г <z оо
Т (г, и) max (С, 0).
ю*
148
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Из формулы (3.9.6) вытекает, что
Т (г, и) — Т (1, и) = N (г, и) — N (1, и) + m (г, и) — m (1, и).
Этот результат остается справедливым при соответствующих изменениях в определении, даже если и (0) = — оо. Таким образом, если г >1 и если, как мы и предположим, функция и (х) не равна тождественно —оо, то при г—> оо
j =	и)-N (1, н)<щ(1, М) + тах(С,0) = б>(1).
1
Отсюда следует условие (3.10.1).
Предположим теперь, что условие (3.10.1) выполнено и что функция и (х) задана равенством (3.10.2), в котором С = 0. Предположим, что | х | <С г, и представим и (х) в виде
и(х) = — $ | z —gp-mdpeg— j | х — g |2-mcfyiet = I5K’-	I5l>r
= ul(x)-\-u2(x).
Тогда, по теореме 3.7, функция иг (x) субгармонична в пространстве. Кроме того, для любого целого N > г функция
^n(^)=— j |z— ё|2-т#е?
r<l||<N
гармонична при | х | <г согласно этой же теореме. Ясно, что последовательность uN (х) убывает с возрастанием N. Следовательно, по теореме Харнака 1.20 функция
u2[(z) - lim^i)
N-*oo
гармонична при | х | <г в предположении, что предел в правой части конечен в некоторой точке из | х | <г, например в начале координат. Теперь имеем
N
(0) = — § II |2~™	= — j t2'm dn (t) =
P<|g|<N	r
N
= - (m-2) j-^--[^н(<.
Согласно (3.10.1), этот интеграл остается ограниченным при 7V->
—>'оо. Кроме того, поскольку интеграл сходится и функция п (t) возрастает с возрастанием i, можно для данного е > 0 выбрать г
3.10, ОГРАНИЧЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В
149
настолько большим, чтобы при г > г0
С п (г) dt
J Р”-1 е'
Следовательно, также и
СО
Таким образом, при г—> оо
°-	(3-10-3)
Отсюда мы заключаем, что
ОО
и2 (0) = lim uN (0) = - (m- 2) j +	> - oo. (3.10.4)
Поэтому функция u2 (x) гармонична в шаре | х | < г и, значит, функция и (х) = иг (х) и2 субгармонична. Кроме того, поскольку функция и (х) — иг (х) гармонична в | х | < г, и (х) имеет в | х | < г и, значит, во всем пространстве меру Рисса ц.
Далее, из (3.10.3) и (3.10.4) следует, что для данного е >0 можно выбрать число г0 настолько большим, что и2 (0) > — е при г > г0. Кроме того, для фиксированного г и | х | > 2г при х —> оо
ui(^)= j	л:|2 m«(r)-=> 0.
Так как функция и2 (х) субгармонична, то для любого t > 0
— e<u2 (0)^-cJm-i j u2{x)dc{x). m S(O,t)
Следовательно, можно найти такую точку х на S (0, t), что и2 (х) > > — е, и, значит, если t достаточно велико, то, кроме того, ui (^) > — е. Поэтому
и (х) = иг (х) + и2 (х) > —2е.
Таким образом, точная верхняя грань функции и (х) в Rm не может быть отрицательной, а поскольку и (х)	0 всюду в 0V”, эта
трчная верхняя грань равна нулю. Следовательно, функция, задаваемая равенством (3.10.2), удовлетворяет всем условиям теоремы 3.20.
Остается показать, что функция и (х), удовлетворяющая этим условиям, единственна. Предположим противное, что существует
150
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
другая функция и0 (х), неположительная в Rm и имеющая там меру Рисса ц. Пусть h (х) = и0 (х) — и (х). Тогда, по теореме 3.9, функция h (х) гармонична в R,m. Кроме того, поскольку и0 (х)	0,
h+ (х) = max (h (х), 0) 5С и~ (х).
Таким образом,
Г (г, h)^-^ $ u-(x)da(x)=m(r,u).
8(0, г)
Мы предполагаем, что и (0) >— оо; в противном случае следует рассматривать и (х0 + х) вместо и (х) для подходящей точки х0. Тогда, используя (3.9.6) и неравенство и (х)	0, получаем, что
Т (г, и) = 0, и поэтому
m (г, и) = О (1) при г-> оо.
Следовательно,
Т (г, К) = О (1) при г-> оо.
Полагая в теореме 3.19 р = г/2, получаем, что функция h (х) ограничена сверху в Rm и, значит, в силу теоремы 2.15, h (х) — константа. Это завершает доказательство теоремы 3.20.
3.10.1. Из теоремы 3.20 следует, что верхняя грань в 0V" функции и (х), заданной равенством (3.10.2), равна С. Мы завершим эту главу доказательством одного более точного результата.
Теорема 3.21. Пусть и (х) — субгармоническая в ОТ" функция с конечной точной верхней гранью С. Тогда для данного q ^>т — 2
и (х) -> С при х->-оо	(3.10.5)
вне конечного или счетного множества замкнутых шаров С (xk, rk), таких, что 2	4 < °°-
В частности, (3.10.5) имеет место, когда х -* оо вдоль почти всех фиксированных лучей, выходящих из начала координат2).
Для доказательства нам понадобится лемма, которая является аналогом соответствующего результата Картана [1928] для функций, субгармонических в плоскости.
Лемма 3.10 (лемма Картана). Пусть ц — такая мера в Rm, что ц (Rm) =|ц0 <оо и 0<р<<7<оо. Тогда если h >0 и
I(x)= |z —(3.10.6)
*) Дени [1948] доказал, что этот результат верен вдоль всех лучей, за исключением множества нулевой емкости. [Как показал Еременко [1979а], условие этой теоремы нельзя ослабить. — Прим, ред.]
3.10, ОГРАНИЧЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В Rm
151
то
I (х) <Zh
(3.10.7)
вне объединения конечного или счетного числа замкнутых шаров С (хп, гп), таких, что
(p0/h)q/p,
п
(3.10.8)
где константа А± зависит только от р и q.
Для каждого фиксированного положительного целого v построим максимальное число попарно непересекающихся замкну-тых шаров Ckv = С (xkv, -yrrv), k = 1, . . ., kv, таких, что и
rv=^IK)i!v^ls,
(3.10.9)
где s = (р + д)/2 и
Н (^”fev)
(3.10.10)
Так как полная мера равна ц0, то ясно, что может существовать не более 2V непересекающихся шаров Cfev для каждого г. Кроме того,
ь
оо v	00
2 2	2V(^)’/P,2-V9'S
V= 1 fe = l	V=1
=	2 2-v(9/s-1) = Л2 ( ^у/Р, (3.10.11)
V=1
где константа Л2 зависит только от q, s и, значит, только от р и q.
Предположим теперь, что точка х находится вне всех шаров С (xhv, rv). Тогда, если п (г) — мера шара С (х, г), то
и (4-rv)<p02-v, v = l,2,....	(3.10.12)
Действительно, если это неравенство для некоторого v не выполнено, то шар С = С (х, rv/2) не пересекается ни с каким из шаров С (xhv, rv/2), k = 1, . . ., kv, и получается противоречие с предположением о том, что множество шаров, удовлетворяющих условию (3.10.10), максимально, т. е. не существует шара, который не пересекается с другими и может быть добавлен к этому множеству. В частности, п (0) = 0.
152
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Таким образом,
I (х) = j |х—	2 j |z—
ts-xt^i/2	V=1 Ar <|E-x|<±r
2 v+l®=ls 2 v
<2₽p0{nP+2 2-v^1} = 2₽p02 2‘-vrv-p =
V=1	V=1
= 2p+ih%2~v+vp/s = A3h, i
где константа A3 зависит только от р и s, т. е. только от р и q. Если мы возьмем A3h вместо h и используем (3.10.11), то получим лемму 3.10 с константой Аг = А2А^р.
3.10.2. Мы в состоянии теперь доказать теорему 3.21. Предположим, что v — положительное целое число и 2V < | х |	2v+1.
Пусть функция и (х) задана равенством (3.10.2), которое можно представить в виде
С — и (х) = Ц (х) + 1г (х) + 13 (х), где
Ц(х) =	§	|х—g|2~mdp,,
Z2(z)= j |x —g|2"mdp,
2v~1<|g|<2v+2
h(x) =	|х-^2-тс/|л.
|£|>2V + 2
Тогда из (3.10.3) следует, что при v -> оо
Л(х)<|±хр j Р’Д^О. (3.10.13)
Кроме того,
ОО
Л(*)< J |4 ^2"И^ = 2m-2 j t2-mdn(t) =
lg|5:2v + 2	2V+2
nm-2 Г n(t) ЧОО	_2	9 Г n(t)dt
= 2	L4^-]2v+2^2	(т“2) J ~^=Г-
2V + 2
3.10, ОГРАНИЧЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В г;т 155
Из (3.10.1) и (3.10.3) следует, что
13 (х) -> 0 при оо.	(3.10.14)
Остается рассмотреть Z2 (#)• Пусть — мера области
2V-1< |g]<2v+2,	(3.10.15).
a ev — положительное число. Тогда из леммы 3.10 находим, что-[3 (х) < ev	(3.10.16)
вне множества Ev(e) шаров радиусов гп, таких, что для q > т — 2
У ( —V/(m"2).	(3.10.17)»
Положим
r]v = pv2(2-m) v
и заметим, что
оо	оо	2V	2V+!	2V + 2	оо
2 nv<2 2(2~m)v J + J + J ^(i)<cj^?<oo, V=1	№1	2V—1	2V	2v+i	1
(3.10.18)»
где C — константа, зависящая от m. В терминах t]v можно переписать неравенство (3.10.17) в виде
2 (^)’< дл^-2)е-^-2).
Положим е?/(т~2) = Л1т)у/(’п-2)-1, так что ev->0 при v->-oo. Заметим, что в области (3.10.15) вне множества шаров, радиусы которых гп удовлетворяют условию
2 (#)’<»..
выполняется неравенство (3.10.16). Из (3.10.18) следует, что-T]v-> 0, поэтому можно считать, что t]v < 4-9, v >v0. Мы отбрасываем все шары при v v0 и те шары при v > v0, которые не пересекаются с областью (3.10.15). Если С (xnv, rnv) — оставшиеся шары, соответствующие области (3.10.15), то rnv <2V-2. Поскольку эти шары пересекаются с областью (3.10.15), имеем | xnv | >2V-2, так что
Таким образом, если х —> оо любым способом вне исключительных шаров, соответствующих области (3.10.15), то для 2V <
154
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
< I х I < 2V+1
С — и (х) < ev + о (1) при v -> оо.
Кроме того, согласно (3.10.18), для исключительных шаров получаем
2 3(-|7л)’<4’ 2ч.<~-
—1	\ Hnv I '
V=V0 п	v=v0
Этим доказано главное утверждение теоремы 3.21.
Можно, в частности, взять q = т — 1. Тогда телесный угол с вершиной в начале координат, вмещающий С (xh, rk), пропорционален (rh/\ xk I)”*-1, и теорема 3.21 утверждает, что для телесных углов <ov, вмещающих исключительные шары Cv, сумма сходится. Не изменяя заключения теоремы, можно выбросить конечное число исключительных шаров, и тем самым добиться того, чтобы
2 (Ov < е.
Для всех лучей, не пересекающих оставшиеся исключительные шары при больших | х |, (3.10.5) выполняется без ограничения. Поскольку е произвольно, заключаем отсюда, что (3.10.5) выполняется без ограничения на всех лучах, выходящих из начала координат, за исключением лучей, пересекающих единичную сферу S (0, 1) по множеству нулевой (т — 1)-мерной меры. Этим завершается доказательство теоремы 3.21.
Пример. При q = т — 2 заключение теоремы 3.21 не выполняется. Например, в случае т = 3 положим для х = (хг, х2, х3)
J ((^1 + 02+^+4}1/2(«+l) ’
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 3.20 с мерой, сосредоточенной на отрицательной части оси хг, и с
t
j -^rr = Iog(i + l),
о
но и (х) = —оо ' всюду на отрицательной части оси хг, и эта ось не может быть включена в множество шаров Ch = С (|й, rh), для которых
VI rh
/lit I оо ,
—1 I Sfe I
.Действительно, если Е — множество, по которому Ch пересекает часть хг <. —1 оси хг, то
(	=	-2М<оо.
J	I I Ik IJ
Е
Глава 4
СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.0. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе была изложена теорема Рисса о локальном представлении субгармонической функции в виде суммы гармонической функции и потенциала. В этой главе будут получены аналогичные результаты для функций, субгармонических во всем пространстве Rm.
Для случая т -- 2 и
и (z) = log | f (z) I,
где f (z) — целая функция, мы докажем, в частности, классические теоремы Вейерштрасса и Адамара о представлении функции / (z) в виде произведения сомножителей, определяемых ее нулями.
Как и в упомянутых выше частных случаях, большую роль играет порядок функции; в частности, используя указанные теоремы о представлении, мы получим некоторые точные оценки для функций порядка не выше первого. Это относится в первую очередь к соотношениям между N (г), Т (г) и В (г).
В конце главы рассматриваются обобщения понятий асимптотических значений и трактов на субгармонические функции в Rm. Несмотря на то что полученные оценки не так точны, как в теореме Альфорса, они тем не менее дают правильный порядок величины числа таких трактов для функции с заданным порядком ц в Rm. Нам удастся также обобщить классическую теорему Иверсена.
4.1. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Пусть К (х) — функция, определенная равенством (3.5.1). Тогда К (х) — гармоническая функция в Rm при т 2, исключая точку х = 0, и, таким образом, К (х — £) гармонична в исключая точку х = В частности, если t 0, то К (х — t) гармонична в окрестности начала координат и, следовательно, разлагается в степенной ряд по переменным xlf х2, . . ., хт, сходящийся в окрестности начала координат. Имеем
ОО
K[x-l) = ^av(x,l),	(4.1.1)
о
156
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
где для фиксированного v и 0 через av (х, t) обозначен однородный полином от хг, х2, . . хт степени v. Положим
Kq (х, I) = Кд (х, I, т) — К (х — ^)— av (х, |). (4.1.2)
v=0
Нам нужно получить некоторые оценки для Кд (х, Ь), но сначала получим оценки полиномов av (х, £).
Лемма 4.1. Полиномы av (х, t) гармоничны по х при фиксированном | и непрерывны по совокупности переменных х, | при | g | =0= 0. Если | х | = р, | | | = г > 0, то имеет место точное неравенство
IM*,	(4.1.3)
где bv<m = 1/v, если т = 2, v 1;
bv< т = (v + гп — 3) (v + т — 4) . . . (v + l)/(m — 1)!, т 3, v 0.
Предположим сначала, что т = 2. Положим z = хг + ix2, £ =	+ г£2; тем самым z и £ — комплексные переменные и
К(х— £) = log|s — £|=Re(logm + log (1—£-)} =
= Re(log|t|-2
V —1
Таким образом, в этом случае имеем для v 1
1Мг.Э| = Нв’(тГН(уГ-
что и требовалось. Заметим также, что если z!t, >0, то имеет место равенство.
В случае т 3 для любых действительных векторов х, £ и комплексного числа h рассмотрим выражение
<р(д)=-^а-н={з ап-ад}~(т/2)+1=- з hva^x, n=1	v=0
Функция <р (h) аналитична относительно комплексного переменного h при достаточно малых h, если квадратный корень выбран так, что <р (0) >0. Имеем
2 ^n-hxn)2 = r2 — 2th + p2h2, П=1
4.1. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
157
т
где t= У %пхп, и, следовательно, 11 |</гр. Таким образом,
<р (h) = {r2 (1 - ah) (1 - р/г)}1 ~(т/2),
где а, р равны (/± i |/г2р2— t2)/r2. Ясно, что | а | — | р | = р/г.
Заметим теперь, что если р — (т—2)/2>0, то
(1 — ah)~p = У cv р {ah)v, о
где
.	Р(р + 1) ••• (p + v — 1)	п
vj
Перемножая, видим, что при | а | = | р | = р/r коэффициенты функции <р (h) максимальны, если а = р = р/r; в этом случае •они являются коэффициентами функции
Г2~т(1----£_ /г)2	&v, mpVr2~m-v^V.
v=0
Неравенство (4.1.3) доказано; если х = А >0, то имеет место равенство.
Заметим также, что К (£ — hx) является действительной аналитической функцией относительно h и хг, . . ., хт в совокупности при | h | <г/р. Таким образом, в любой частной производной можно изменить порядок дифференцирования; в частности,
так как К (£ — hx) при фиксированном h есть гармоническая функция по хг, . . ., хт. Отсюда следует, что все производные (h) функции <р (h) суть гармонические функции по хг, ...
. . ., хт; полагая h = 0, видим, что av (х, £) являются гармоническими полиномами. Это завершает доказательство леммы 4.1.
4.1.1. Оценим теперь функцию Кд /х, £).
Лемма 4.2. Если | g | = г >0, то Кд (х, £) — К (х, £) — гармоническая функция в Rm. Для | х | = р имеет место неравенство
\Кд(х, ^)|<4т+9-^тт- при р<-у.	(4.1.4)
Если q = 0, т = 2, то
Ко (х, g) < log (1 + р/r),	(4.1.5)
158
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
а во всех остальных случаях
К,(Х, I,	А).
(4.1.6)
Если т = 2, то
К0(х, £) = log|z—£| —log|£| = logjl—^-|<log (4 +jf|) >
и, таким образом, неравенство (4.1,5) доказано. Предположим теперь, что р Аг, 0 А < 1. Из (4.1,3) получаем
ОО	00
\Kq(x, |)| = | 2	S	&v,mPVr2-m~V-
V—q+ 1	V=g+1
Заметим, что при m 3 отношение bv+1< m/bv< т убывает с возрастанием v и, следовательно, при v = q 4 I, где I >0, имеем bvm bq+1_ m-bitm!blt m. Таким образом, для т > 3
00
Z=1
(тп+д-2)!{(1 —A)2~m —l}-pg+1 А (д+1)! (тп—2)! rm+'7”1
(4.1.7)
В случае т = 2 получаем
00
1^(ж- ^К^т(т-)’2 (т) ^(д+1)(1-А) ("г)	(4Л-8>
z=i
Заметим, что число
ложения бинома (1 +
(ттг + д—2)! ?! (тп — 2)!
является коэффициентом раз-
1)т+д-2 И) СЛедовательно,
(ттг-|-<7 — 2)!	(т-}-д— 2)! nm+q-z
(<? +1)! (тп—2)! ~~~* ?!(тп— 2)! ~
Полагая А = 1/2, из (4.1.7) при т 3 имеем
\Kq(x,
Р9+1 _ 927Н+9-3 гт+д-1
р9+1 гт+д-1 •
При т = 2 и <7^1 последнее неравенство следует из (4.1.8). Таким образом, доказано неравенство (4.1.4) и для р г/2 неравенство (4.1.6).
4.1. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
159>
Пусть р >г/2. Тогда если тп — 2, q 1, то
9	Ч
К,{г.	(1+А) + 2 (А) (А)’<2А + 2 (-£-)"<
v=l	v=2
(4.1.9>
Если тп > 2, то из неравенства (4.1.3) получаем
9	V
Kq{x, ^7Г(ж_£)+2 dViTO—
v=0
^-Н£г-(1+2+22+ ••• +29)<29+1^тд^.
Так как У, bq, m (-|-)9 = (1 —2	, то bq< m sC 2«+m~2. Таким
9=0
образом,
Kq(x, £)<2W-^-.
Как видно из (4.1.9), это неравенство справедливо и при тп = 2. Следовательно, (4.1.6) доказано во всех случаях. Этим завершается доказательство леммы 4.2.
4.1.2. Сформулируем и докажем теорему Вейерштрасса *).
Теорема 4.1. Предположим, то р. — борелевская [мера в IRm, и пусть п (t) — мера шара D (0, t), a q (t) — положительная возрастающая функция от t, принимающая целые значения, непрерывная справа и такая, что для любого t0 > 0
ОО
J (-^),(i)+m"1dn(Z)< 00.	(4.1.10)
о
Тогда существует функция и (х), субгармоническая в Rm с 'мерой Рисса р, и все такие функции могут быть записаны в виде и(х) = j К (х~ g) dpe5+ j Кд(1^г(х, ^dyei + vix), '(4.1.11) lll<i	l?l>i
где v (z) — гармоническая функция в Ит. Второй ' интеграл в (4.1.11) сходится абсолютно в окрестности оо и равномерно для | х | <2 р при любом фиксированном положительном р.
2) Случай (0.1) см. у Вейерштрасса [1876].
160
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Ясно, что для заданной функции п (t) существует функция q (t), такая, что имеет место (4.1.10). Можно, например, в качестве q (t) взять целую часть [log (и (t) + 1)]; тогда при t e2t0 имеем
Следовательно, для выбранной так функции q (£) неравенство (4.1.10) выполнено.
Предположим, что в условиях теоремы 4.1
q (0 = Q = const, С < ^2, тде 1	< t2 < °о и
W,(z)=	Kq(x, £)dpe?.
Тогда uq (z) — субгармоническая функция в Ет, мера Рисса ц которой сосредоточена на множестве sC | £ | < t2. В самом деле, это справедливо для функции
p(z)= j К(х— g)
в силу теоремы 3.7. Кроме того,
9
Uq(x) — p(z) = 2 j	— av(x, g)
v=Otis£/g(<t2
По лемме 4.1 правая часть здесь представляет собой равномерный предел гармонических полиномов степени не выше q и, следовательно, есть также гармонический полином степени не выше q. По лемме 4.2 для | х | р, | £ | = г, 1 р ^/2 имеем
j (i)"+’-^E=4 j (4)"+-d„(().
Рассмотрим два случая. Предположим сначала, что функция q (t) не ограничена, и пусть q (1) = в случае q ~>qr через rq обозначим наименьшее значение г, для которого q (г) q. Если q (t) ограничена сверху и q2 — максимальное значение q (t), то для q q2 выберем гд, как и раньше, а в случае q > q2 положим rq = rqt + q — q2. Тогда в обоих случаях функция q (Z) постоянна для rq О t <гд+1 и rqi = 1, rq —> оо при q —> оо. Положим
Uq{x)= $ Kq(lsl)(x, ^)dnes.
4.2. ТЕОРЕМА АДАМ АРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
161
По доказанному выше, для | х | р, 1 р < rg/2 имеем
।	/ \ I _— / f / 1р \9(О+т-1
I Uq («) | < 4	\ t/	dll(t).
rq<t<rq+l
При фиксированном р это неравенство имеет место для всех ОО
достаточно больших q. Таким образом, ряд 2 uq (х), в силу
9=9о
(4.1.10), сходится равномерно и абсолютно для | х | р. Сумма ОО
2 uq (х) есть гармоническая функция для | х | р, если г9о >2р, 90
так как представляет собой предел ограниченных гармонических функций; это легко следует из теоремы 1.1.1. Таким образом, функция
g2-i	оо
и (х) = j К (х — 2) due*. + 2 uq (ж) + 2 и1
151 <1	9—91	91
субгармонична при | х | р и имеет меру Рисса ц, как и требо валось. Наконец, если и± (z) — любая другая функция с мерой Рисса ц в Rm, то v (х) = и (х) — иг (х) является гармонической функцией на любом компактном подмножестве в Rm и, таким образом, по теореме 3.9, во всем пространстве Rm. Теорема 4.1 полностью доказана.
4.2. ТЕОРЕМА АДАМАРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Теорема 4.1 обычно не очень полезна для приложений вследствие наличия произвольных функций q(t) и v (х). Наибольший интерес представляют случаи, когда q может быть выбрана постоянной. Дадим следующее
Определение 4.1. Если S (г) — положительная возрастающая функция от г при г г0, то ее порядком X и нижним порядком ц называются числа, определяемые равенствами
r^oo l°gr ’ r — log г
Будем говорить, что S (г) имеет минимальный, средний или максимальный тип, если при 0 < X < оо величина
С = 1пн —V2-г—оо г соответственно равна нулю, конечна и положительна или бесконечна. Кроме того, будем говорить, что функция S (г) принадле-11-0623
162
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
жит классу сходимости или классу расходимости, если соответственно сходится или расходится интеграл
Г S (г) dr
J r^+1 ’
ro
Определение 4.2. Пусть и (z) — неограниченная сверху субгармоническая функция в Rm. Будем говорить, что функция и (z) имеет порядок X, нижний порядок ц, минимальный, средний или максимальный тип и принадлежит классу сходимости или классу расходимости, если этими свойствами обладает одна из функций Т {г, и) или В {г, и), определенных в § 3.9.
Функции В (г, и) и Т (г, и), в силу теорем 2.13 и 3.18, являются возрастающими функциями от г. Покажем, что определения в терминах В (г, и) и Т {г, и) эквивалентны. Это сразу видно из теоремы 3.19. Действительно, полагая в этой теореме г — 2р, при условии, что и (х) положительна на | х | = р для некоторого р, имеем
Т (р, и) В (р, и) < 3 г"1-2?1 (2р, и).	(4.2.1)
Из этих неравенств следует равенство порядков и нижних порядков функций Т (г) и В (г). Кроме того, если X конечно и положительно, то эти неравенства показывают, что функции Т (г) и В (г) одновременно имеют минимальный, средний или максимальный тип и одновременно принадлежат или не принадлежат классу сходимости или классу расходимости (подробнее см. Хейман [1964], теорема 1.7).
Лемма 4.3. Если функция S (г) удовлетворяет предположениям определения 4.1 и для некоторого к О
то к к; если Л — к, то S (г) имеет минимальный тип.
Докажем, что S (г) имеет порядок, не превосходящий к, и минимальный тип. Действительно, если Л < к, то неравенство (4.2.2) имеет место, так как в этом случае можно подобрать такое е >0, что к -]- е к и
S (г) < гы-в, Г>Г1.
Предположим теперь, что выполнено неравенство (4.2.2) и X = к’, в этом случае выберем т\ настолько большим, чтобы
f S(r)dr
J rh+i ^e-
4.2. ТЕОРЕМА АДАМАРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
163
Функция S (г) возрастает вместе с г и, следовательно,
ОО
5 (rt) J < е, т. е. 5(г1)<-^~.
Так как е может быть выбрано сколь угодно малым, лемма 4.3 доказана.
4.2.1. Оценим интегралы в (4.1.11) для случая, когда q (/) — постоянная. Имеет место
Лемма 4.4. Предположим, что ц — борелевская мера в Rm, п (t) — мера шара D (0, t), п (1) = 0 и функция N (г), определенная равенством (3.9.5), принадлежит классу сходимости порядка не выше q + 1. Тогда интеграл
и(х) = Kq(x,	(4.2.3)
сходится абсолютно в окрестности бесконечности и равномерно при | х | р. Кроме того, если р 1, то
р	00
4,)<4-(? + 2){^J^ + (9 + l)p-	(4.2.4)
i	р
В силу теоремы 4.1 для доказательства абсолютной сходимости интеграла в (4.2.3) достаточно проверить (4.1.10), т. е. установить неравенство
00
j -jg+m-x dn (/) < ОО.	(4.2.5)
i
Если 7?>1, то, поскольку я(1) = 0, я	я
J	+ (<7 + т -1) J	(4.2.6)
1	1
Аналогично, так как N (1) = 0, получаем я	я	я
Г п (0 dt 1	• dN(t) 1 /У (Я)	Г N(t)dt , 9
J ti+m dm J w+1 dm tf’+1	tg+2 (4.2./)
1 1 1
По предположению, N (г) принадлежит классу сходимости порядка не выше q + 1 и, следовательно, по лемме 4.3 является функцией
ii*
164
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
минимального типа порядка q + 1. Таким образом, правая часть в (4,2.7) ограничена при R -> оо, а тем самым ограничена и левая часть. Отсюда следует, что функция п (г) принадлежит классу сходимости порядка не выше q + т — 1 и является функцией минимального типа этого порядка. Итак, (4,2,5) доказано, и по теореме 4,1 функция и (х), определенная равенством (4,2,3), является субгармонической в Rm с мерой Рисса ц.
Осталось доказать (4,2,4), Пусть р^ 1; тогда из (4,1,6) следует, что при | х | = р, за исключением случая q = 0 и т = 2, имеем
р	00
“(*) = J Kq(x, £)^<4m+’{J -^dn(r) + J -1^#-} .
151	i	fp
Проинтегрируем дважды по частям, как в (4,2,6) и (4.2.7). За исключением случая, когда q = 0 и т = 2, имеем
рз dn (г) rm+q~2
Г p9+1 dn (г) j
Р
р	оо
= (9 + m_2)p9j±^L + (7 + ^-l)p’+1 i	р
ОЧ-m—1) &т
dN (г) g+i Г dN (г) ) _ гЧ ! J г?+! /
Р
Р
^+й+1)р’«)
р
Так как dm т — 2, то отсюда следует неравенство (4.2.4). Если q = 0 и т = 2, из (4,1,5) аналогично получаем, что
ОО
и (*)^ j log (1 +~) dn (г) = р
1
Г п (г) dr J г(г + р) 1
Г п (г) dr Г п (г) dr _ С N (г) dr
J г Р J Г* - Р J г2 1	р	р
Таким образом, неравенство (4.2.4) верно при | х | = р во всех случаях. По принципу максимума, оно остается верным и при .1 х I <р.
4.2. ТЕОРЕМА АДАМАРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
165
4.2.2. Сформулируем и докажем теперь теорему Адамара.
Теорема 4.2 г). Пусть ц — борелевская мера в Rm, п (t) — мера множества 1 sC | х | < t и функция N (г) определена равенством (3.9.5). Тогда если N (г) имеет порядок не выше q + 1 и принадлежит классу сходимости, то в теореме 4.1 можно положить 7 (I) ::= 9 = const. В частности, если и (х) имеет порядок не выше q -j- 1 и принадлежит классу сходимости, то, кроме того, функция v (z) является гармоническим полиномом степени не выше q.
В силу предположений теоремы 4.2, к функции
щ(х) = и(х)— К (х— |) duet
I6K1
применима лемма 4.4, и, значит, в теореме 4.1 можно положить q (?) = Ч = const.
Пусть и (х) имеет порядок не выше ? + 1 и принадлежит классу сходимости; тогда если т = 2, | х | = р >2, то
j К(х — c)dpes = j log | x — g | dpe^O.
Ill<i	m<l
Если m > 2, to
j К (x — ^)rfpe5->0 при z->oo. /£l<i
В обоих случаях порядок функции и0 (х) не превышает порядка и (z), Следовательно, и0 (х) имеет порядок не выше q + 1 и принадлежит классу сходимости. Ввиду (3.9.6), это же верно для функции N (г). Таким образом, применимы предыдущие рассуждения.
Осталось оценить v (х) в этом случае. Имеем
v (х) = и0 (х) — j Kq(x, l)dpe%.
Предположим, что | х | = р >1, и пусть
и1(ж)= Kq(x, %) dpe%.
Из (4.2,4) следует, что для | х | = р > 1
р
Щ (*)<Р9 j + Р9+1° (1)= 0 (Р9+1)-
1
х) Адамар [1893] доказал эту теорему в случае (0.1), Для функций, субгармонических на плоскости, этот результат при q = 0 получил Хейнс [1948], а в общем случае Кеннеди [1956].
166
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Таким образом, в обозначениях § 3.9 имеем
m(r, v) ---=	{ J » (z)do(z)}^
8(0, г)
< 7Jm-i { J u-(x)do(x) + J u^(x)do(x)j = 8(0, г)	8(0, г)
= m(r, u0) + T(rt wj) = o(r9+1).
Так как функция v (z) гармонична, N (г, и) = 0, и, значит, в силу (3.9.6)
Т (г, v) = о (r«*v).
Применяя (4.2.1), получаем
В (г, и) = о (г®*1), В (г, —и) = о (г9*1).
Отсюда уже следует (скажем, в силу примера 3 п. 1.5.6), что v (х) есть гармонический полином степени не выше q. Это замечание завершает доказательство теоремы 4.2.
4.3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Т(г) И В (г)
Теперь мы в состоянии исследовать порядки различных функций, которые используются для оценки роста субгармонических функций в пространстве. Ясно, что
Т (г, и) В (г, и),
за исключением случая, когда правая часть отрицательна. Последнее имеет место при больших г только в том случае, когда m > 2 и функция и имеет такой вид, как в теореме 3.20. С другой стороны, может быть доказана следующая
Теорема 4.31). Е1ли и (х) — субгармоническая функция конечного нижнего порядка р в Rm, mo
lim BT{L' (И»
1 (r' u>
где К (p, m) 3 {2e (p — l)/(m — l)}m-1 при p m, К (p, m) iC (2me/p)'1 при 0 < p < m и К (0, m) = 1.
Если г = Zp, где Z >1, то по теореме 3.19
х) Наилучшая возможная форма этого результата имеется у Говорова [1969] и Петренко [1969] для и = log I f I , где f — целая функция, и у Дальберга [1972] в общем случае.
4.3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Т(т) И В(г)
167
Предположим, что а и что для всех достаточно больших положительных целых к к0
Т (Xй) > №Т (Xй"1).
Тогда для всех к ки
Т (Kk)^Kaih~h°) Т
Если Хй^р^СХй+1, то из предыдущего следует, что
Т(р)>Т(Х )^Х	Ха№о+1)>Р ха№о+1)-ЛР-
Это неравенство имеет место для всех достаточно больших р, что противоречит предположению о том, что нижний порядок функции и равен ц <а. Таким образом, при некотором достаточно большом р = Xй
Т (Хр) < Х«Т (р).
Для таких значений X получаем
о /	Z“+m-2(l + X) т , ,
В (Р)^	_1)т~!	(Р)
и тем самым
lim ^-Zg+m-2(l + X) — Т(т) (X— I)"1-1 Г-* ОО
Так как а может быть любым числом, большим ц, то в полученном неравенстве можно заменить а на ц. Предположим сначала, что т, и положим X = (а + m — 2)/(а — 1); в этом случае
xa+m-2(1 + X) _ (a-J-m—2)а+’"^2(2а+т —3) (X—1)т-1	—	(Го_1)7п-1(а_1)а	'~'-
a —1-f-m— 1) \т-1 / а — 1 + m — 1)
<3 ( 2е(а —1) 1>п-1 \ m— 1	)
Если же ц <ш, то, полагая X = 1 + m/а, имеем
Хех+т~2(14-Х) _ (a4-zn)g+m~2(2a-|-zn) (a^m)g+m =
(X —I)"1"1 —	mm-1ag "" ттаа
1л , а \т I « + "1 \g_-l ^те \а = (1+^-) HF) <(—) •
Для ц >0 можно в последнем неравенстве положить a = ц, и утверждение теоремы 4.3 в этом случае доказано. Если ц = 0,
168
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
то а может быть выбрано сколь угодно малым, и, так как
( 2те \а Л	Л
( —) П₽И а^0’
теорема 4.3 доказана и в этом случае.
4.3.1. Два примера
Теорема 4.3 для р. = 0 дает точное соотношение
,. В(г, и) .
В других случаях неравенство для К (ц, т) не является точным. Однако оказывается, что функция К (ц, т) имеет правильный порядок роста при ц -> оо для фиксированного т. Например, если m = 2 и а 1/2, положим хг + ix2 = ре’9 и
f p®cosa9, |9|^л/2а, х2) = |	0,	| 9 | > л/2а
Ясно, что и {хг, х2) является субгармонической функцией порядка а и
5(р, и) = р®,
Я! 2 a
Т(р, и) — — f р® cos ад dd = ——.
' я J ‘	ла
о
Таким образом, в этом случае Соответствующие примеры
В (р, и)
Т (г, и)
ла.
можно построить и при m
>2.
Воспользуемся для этого анализом, проведенным в п. 2.6.3.
Положим
m р2=24
2
х{ = R cos 9,
пг
1 p = 7?sin 9,
и = 7?“ф (9);
тогда V2w = 7?“ 2 [<р" (9) + (m — 2) <р' (9) ctg 9-|- a (a + тп — 2) <р (9)]. Пусть А> 2 и
( l-f-cosA9,
<р(0)=|	0;
19| г^л/А, л/А^ |9| ^л.
kA. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ N(r) И T(r)
169
Построенная функция и, очевидно, субгармонична в R™ при условии, что
L (<р) = <р" (0) + (т — 2) ф' (0) ctg 0 + а (а + т — 2) ф (0) >0,.
О<0<л/Х	(4.3.1)
Докажем, что неравенство (4.3.1) имеет место для достаточно-больших а. Действительно, предположим, что л — 6 Z0 < л,, где 6 = л/4 (т — 2). Тогда
ф" (0) + (т — 2) ф' (0) ctg 0= —X2 £cos Х0 + (ш- — 2)	cos 0j >
> Z2 [cos 6— (т— 2) sin 6] > 0, так как tg 6	6 =	 Следовательно, при этих условиях
L (ф) > 0. С другой стороны, если 0 < Z0 л — 6, то
а2
|ф"(0) + (т — 2) ф' (0)| ctg 0| ^(m—1)Z2, а (а + т - 2) ф (0) > а2 (1 - cos 6) = 2а2 sin2 А8(т_2)2 •
Таким образом, если а2 >8 (т — 2)2 (т — 1) Z2, то всегда L (ф) > 0. В частности, можно положить а = 3Zm3''2. Построенная функция субгармонична и имеет порядок а в R,”1. Однако для любой сферы S (0, R) только ее часть | 0 | л/Z вносит вклад в Т (г, и), так как вне нее и — 0. Площадь поверхности этой области не больше, чем А (т) (nfl/Z)™”1. Таким образом,
Т (R, и)^.В(В, А(т) (у-)” 1 ^А^т) В (В, и)а1 т,
где А± (т) — константа, зависящая только от т, и, следовательнс, функция К (ц, т) имеет правильный порядок роста в теореме 4.3-при ц —> оо и фиксированном т.
4.4.	СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ V (г) И Т (г)
Хорошо известно, что целые функции конечного порядка Z,. не являющегося целым числом, принимают все значения (в частности, нуль) бесконечно много раз. Соответствующий результат для субгармонических функций состоит в том, что если такая функция гармонична и имеет конечный порядок в R,”1, то она есть гармонический полином, порядок которого равен его степени. Это утверждение является непосредственным следствием теоремы 4.2. Тем не менее мы можем обобщить более тонкие теоремы, относящиеся к минимальному числу нулей целой функции нецелого или нулевого порядка. Докажем следующий простой результат.
'170
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Теорема 4.4. Предположим, что и {х) — субгармоническая функция конечного положительного нецелого порядка X в Я™. Тогда функция N (г, и) также имеет порядок X и тот же самый тип {максимальный, минимальный или средний), что и функция и {х).
Предположим, что q <Zq + 1, где q — положительное целое число или нуль, и пусть, кроме того,
N {г, и) <zcrK*, г0 <Zr <оо,	(4.4.1)
где с >0, (? -сТц Z. По теореме 4.1
и{х)= Kq{x, I) dpe^ + v{x),
I8i>i
причем для | х | = г
v{x) = O{rq)A-	К{х — %) dpe^.
ieF<i
Если т > 2, то последнее слагаемое отрицательно, а при т = 2
log\х — £| dpe^= О (log |а:|), х^-оа. /si<i
'Таким образом, в обоих случаях
и{х)^ Kq{x, Ddpe^ + o^).
I?l>i
С другой стороны, по лемме 4.4, для р >1, | х | = р, принимая во внимание (4.4.1), имеем
р	оо
w(z)<4(9, m){p« j -V^'ir + pg+1 j N-~Ldr } < i	p
p	OO
^Л(9, m) |cp9 j (2гЦ-ср9+1 j rxi-9-2(Zr-|-o(pxi)|;
i	p
отсюда
5(p, u)^A{q, ro)cpx1[-_L_ +	+o(l)J.
Это приводит к противоречию, если только не выполняется равенство = X, так что функция N {г) не может иметь меньший порядок, чем В {г, и). Аналогично получаем, что если и {х) имеет максимальный тип, то N {г) также функция максимального типа. Если N {г) имеет минимальный тип, то в (4.4.1) можно положить
ЬА. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ N(r) И Т(г)
171
= X и выбрать с сколь угодно малым; следовательно, функция В (г, и) и тем самым и (х) имеет минимальный тип. Так как порядок и тип N (г), согласно (3.9.6), не может превосходить порядка и типа функций В (г) и Т (г), то теорема 4.4 доказана.
Можно доказать теорему, которая в некотором смысле точнее предыдущей. Для ее формулировки определим дефект 6 (и) функции и равенством
(4-4-2)
Если т = 2 и и (z) = log | / (z) |, где / (z) — целая функция, то 6 (и) совпадает с дефектом значения нуль функции / (z) в теории Неванлинны. Имеет место следующая
Теорема 4.5. Пусть и (х) — субгармоническая функция конечного порядка \ в Я™, где q <Zq + 1. Тогда х)
«ЖЖ X) — 1 —
Нам нужна лемма о так называемых пиках Пойа (по поводу этого понятия, которое относится также и к нижнему порядку, см. Эдрей [1969]).
Лемма 4.5. Предположим, что (рх (г), <р2 (г), <р (г) — непрерывные положительные функции от г для r0 <zr <оо, такие, что <р2 (г)/ср1 (г) возрастает и-
lim У^\-=оо, lim =0.	(4.4.3)
r-.oc'PlW	<₽2 (г)	V
Тогда существует такая последовательность г = гп->- оо при
п^~ оо, что
Ф (Р) < <Р(г)
Ф1 (Р)	<Р1 (г) ’
<Р (Р) <- «Р(Н
<₽2 (Р) ф2 (Г) ’
р< оо.
(4.4.4)

Мы построим для любого заданного положительного числа С такое г, что г С и г удовлетворяет (4.4.4). Для этого положим
М{ = sup ro^r^C
ф (г)
<Р1 (г) 
х) Это неравенство не является точным. Для случая 0 СР X < 1 мы докажем соответствующие точные оценки в следующем параграфе. Если X > > 1, то наилучшие известные оценки получены Майлзом и Ши [1973] в случае т = 2 и Рао и Ши [1976] при т > 2.
172
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Так как имеет место (4.4.3), то существует наименьшее из чисел Ri С, удовлетворяющих равенству
Ф(Я1)
<Pi (Я1)

Пусть Т?2 таково, что Т?2 R± и
<р (Д2)	ф (Д)
Фг (Дг)	Фа (Д)
Выберем теперь R3, R1 R3 R2, так, чтобы
<p (Я,)	<p (Д)
Ф1(Дз) -‘Д1<й<й2^ПдГ’
Тогда
Ф(Дз) ф(Д1) _ О ф(Д) Ф1 (Дз) "" Ф1 (Я1)	‘-"ФНД)’	0
(4.4.5)
Таким образом, по построению, для R± <7 R R3 имеем
Ф(Д3) ф(Д) Ф1(Дз) Ф1(Д)
и, следовательно, это неравенство справедливо для r0 R R3.
По (4.4.5) и ввиду того, что функция ф2/ф1 возрастает, для R3 <7 R <7 Т?2 имеем
Ф(Д) = Ф(Д) . Ф1 (Д) < Ф(Д3) . Ф1 (Дз) = Ф(дз)
<р2(д)	^ид) ’ <р2(Д) <fi (Д3) ’ ф2(Д3)	ф2(Д3) ’
и для R^RZ
ф(Д) <: <р(Д2)	ф(Д3)
ф2(д)	ф2(Д2)	Ф2(Д3)
Отсюда для R^- R3 получаем
<р(Д)	<р(Д3)
ф2 (Д) Ф2 (Дз)
Таким образом, г = R3 обладает нужными свойствами, и лемма 4.5 доказана.
Теперь мы можем доказать теорему 4.5.
Пусть q — некоторое целое число, <7^>0, q <iq применим лемму 4.5 к функциям фц (г) = г^~е, <р2 (г) = гх+£, Ф (г) = R (г, и). Предположим, что
N (г, и) К -R (г, и), г г0,
и получим противоречие при достаточно малых К. Пусть г — некоторое большое положительное число, удовлетворяющее неравенствам (4.4.4) леммы 4.5. Тогда из теоремы 4.2 и леммы 4.4
kA. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ N(r) И T(r)
173
следует, что при | х | = г справедливо неравенство
и{х)^ 4m+* (q + 2) К • {qr* j	+
*1
оо
+ (9+l)^+1 f +
Выбирая x таким, что и (х) = В (г), и применяя лемму 4.5, получим
В (г) 4m+« (q + 2) - К • В (г) { qrq j () Л"°	+
1
оо
+ (?+!),•»•' j (7-)1+"-^-}+‘,<г1">-
= 4- (, + 2)-К-В (г) iL_	0
Из (4.4.4) при подходящем выборе г0 имеем
В(г)	В(г0)	г.
К-е	К-г	ь1’
О
разделив на В (г) и устремляя г к бесконечности, получаем
14m+« (q + 2) К (-5—2--+ —----------) •
' I А—е—q	? + 1 — А—е )
Так как е произвольно мало, то
—А) (А—<?) M? + 2)4m+<J
и, таким образом,
Г (г)	В (г)	К(д + 2)ЬтЧ
что и доказывает теорему 4.5.
Заметим, что А (т, А) -> 1, когда А приближается к любому целому положительному числу. Однако А (т, А.) остается ограниченным сверху константой, меньшей единицы, при А -> 0. Действительно, если А = 0, то можно провести все рассуждения, как и выше, и получить А (т, 0) = 1 — 4_т/2. Проведенный анализ можно значительно улучшить и получить точные оценки для функций порядка не выше 1, что и будет сделано ниже.
174
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.5.	ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
Начнем с уточнения оценки (4.2.4). Имеет место следующая
Лемма 4.6. Предположим, что и (х) — субгармоническая функ, ция порядка не выше 1 в R,m, принадлежащая классу сходимости-и \и (0)| <оо. Тогда для всех х имеем
и(х) = и((У)-\- § K0(x,£)dpe%,	(4.5.1)
а для |х| = р
u(x)<u (0) + (m-1) p J (p-qi-jb-- (4-5-2> о
Если и (£) — гармоническая функция всюду, кроме луча £ = —кх, 0 X <оо, то в (4.5.2) имеет место равенство.
По теореме 4.2 имеем
и(х) = j К (х— ^)(Zpe?4- j Ко (х, %) const. (4.5.3) IEIC1	IEI>1
Так как \и (0)| <оо, то из (3.9.4) и (3.9.5) следует, что
JV(1, u) = j g(0, g)dpe5<oo,
D(0, i) где
iog-ilj-. »=2,
m>2.
Из (4.5.3), с учетом того что Ko (х, %) = К (х — В) + g (0, £) + + е, где е = 0 при т = 2 и е = 1 при т > 2, получаем
и (х) = j Ко (х, £) (Zpej const.
Так как Ко (0, В) = 0, то константа равна и (0), что и дает равенство (4.5.1).
Заметим теперь, что для |z| = р, |£| = t
A0(z,£) = l°g|^7^-|^log (1+-р),	т—2, (4.5.4)
К0(х. 5)=	|ж —	(p + i)2-m, т>2. (4.5.5)
g(0, ^) =
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
175-
Если т=2, то
и(х) — ы(0)гС log (1 +-Е-) dn(t) =
-“s Итотн’+И»108 (1+тЮ-В-.ОО е
Слагаемое, отвечающее t = R, пропадает, так как и (х) является! функцией минимального типа порядка не выше 1 и, значит,
п(Я) Л	о
--->- 0 при R -> ос. fl
Аналогично, так как и (0) и N (г) конечны при любом г, то
п (t) log (1/i) -> 0 при i->0.
По тем же соображениям имеем
, ,	,Л. Г	п (t) dt	Г	dN (t)	f°	N	<t) dt
“«-“(OWP J 7?+й—PJ	-<rra-=p	J
0	0	0
Равенство будет только	тогда,	когда	в (4.5.4)	имеет	место равен-
ство для всех тех i, для которых мера р. не равна нулю, т. е. если мера сосредоточена в точках вида —7.x, где Z >0. Это замечание-доказывает лемму 4.6 при т = 2.
При т > 2 аналогичным образом получаем
ОО
и (х)— и (0)^ j {t2~m — (р + t)2~m} dn (i) = о
= (m- 2) j {г1-"1 - (р + п (£) dt = о
оо
= W-U-r><')=
о
= ("-1>р)'(РД„ • о
Равенство имеет место при тех же условиях, что и выше. Этим завершается доказательство леммы 4.6.
176
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.5.1.	Точное неравенство, связывающее (г) и В (г) Докажем следующую теорему х).
Теорема 4.6. Предположим, что и (х) — субгармоническая •функция порядка X <1, не ограниченная сверху в Rm, и |н (0)| < < оо. Тогда
р— N (г)	(т — 2)!sinnX ______ Г (т — 1) Г (Z) sin зтА.
.,. (А,+т-2) “ лГ (т + Х-1)	’ (4-й-ь)
причем правая часть считается равной 1, если X = 0. Равенство в (4.5.6) имеет место тогда, когда и (х) гармонична всюду, за исключением некоторого луча, выходящего из начала координат, и N (г) = гк, 0 С г <оо, при X >0 {и для всех функций и (х) при X = 0).
Применим лемму 4.5 к функциям <р, (г) = гх-£, <р2 (г) = гх+£, чр (г) = В (г) и выберем р, так, чтобы выполнялось (4.4.4), где риг поменялись местами. Предположим, что
N(r)^CB(r), г > г0.
Выберем х так, чтобы | х | = р, и (х) = В (р). Тогда из (4.5.2) получаем
п , __	,	.. f im“2N (i) dt
5(p)^w(0) + (m-l)p J (p+fJTO C
о
__, и л f tm~2B (t) dt .
<(m-l)pf J  (p+^ +O(1)<
о
(1)	+ (m- 1) pC5 (p) | J -(р_ртут--+
о
, f° tm~2 (t/p)K+s dt 1 _
+ J (P + «)m J
P
f f xm~ 2+^—edx C xm~^~^^Edx 1
= 0 (1) + - 1) CB (P) { j (1+^ + J (1 + ./ }  o	i
Разделив на В (p) и устремляя р к бесконечности, имеем
.	Г Г f P”~2+X~8Ar , F Xm“2+X + Edx 1
l^(m !) СI j	(i + x)m	+) (i+x)m J*
0	1
x) Случай, когда и (z) = log I f (z) | , где f (z) — целая функция, изучен Валироном [1935]. [Теорема 4.6, а также теорема 4.9, остается справедливой с нижним порядком X вместо порядка; см. Ерёменко [1978].— Прим, ред.]
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
177
Так как эти интегралы непрерывно зависят от е для малых е, то в последнем неравенстве можно положить е = 0; отсюда
С хт~dx
о
Полагая х = 2/(1 — £), получим
F ^m~2+X	_ Г .m-2+Л,	_ Г(тп-1 + А)Г(1-А) _
1 ИД-зДт аЛ J 1 о о al	Г (т)	~
о
_ Л(ЛН-1) ••• (А+т— 2) Г (А.) Г (1-А.) 
о
(т — 1)! лА(А-|-1) ...	— 2)
(т — 1)! sin лА
Таким образом,
С> Т7?21Т2)!	---97» А>0;	С>1, ^ = 0’
откуда и следует (4.5.6). Заметим, что так как N (г) Т (г) + + О (1) В (г) + О (1), то при к = 0 в (4.5.6) имеет место равенство.
X
Если А >0, положим N (г) = гК, т. е. п (г) = — гК+т~2. dm
Отсюда видно, что в (4.5.2) имеет место равенство, если х± = р, а функция и (х) гармонична вне отрицательной полуоси х±. В этом случае
/•	.т—2+Х
ff(p) = (m-l)p	 = р*7С(А. т),
J (РТЧ о
где
г _ Г (тга —1) Г (A) sinnA С (л, т) —	яГ(х,_|_го—1)
(4.5.7)
что и утверждалось.
4.5.2.	Мы можем теперь уточнить теорему 4.5 при А <1. Справедлива следующая х)
Теорема 4.7. Если и (х) — субгармоническая функция порядка А <1 в Rm, то
6 (и)	1 — С (А, т),
где С (А, т) определена равенством (4.5.7). В частности, если А = 0, то б (и) = 0.
-1) Ср. Ерёменко [1978].— Прим. ред.
12-0623
178
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если е >0, то, по теореме 4.6, для некоторого произвольно большого г
N (г) > (С (Z, т) — е) В (г) (С (Z, т) — е) Т (г), откуда и вытекает утверждение теоремы 4.7. Так как С (Z, т) = 1 при X = 0, то 6 (и) = 0.
При X >0 теорема 4.7 не точна. Однако если 0 <2. <1, то
р	sin лХ.(пг—2)! _	1 sinnX 1 — X
' ’ т	лХ-(тп —1)1	(т — 1)	лХ '"> 4т ’
а значит, неравенство в теореме 4.7 намного точнее соответствующего неравенства в теореме 4.5.
Для малых значений X теорема 4.3 тоже допускает уточнение.
Теорема 4.8. Если 0	<1, то
.. В (г, и) 1 1 im	—г -ft;—г •
---- Т (г, и) С (Л, т)
Теорема 4.8 следует из теоремы 4.6, так как
В (г, и) В (г, и) Т (г, и) ЛГ(г, и) ’
Неравенство теоремы 4.8 является точным при т = 2, 0 </ Z </ 1/2. Действительно, в этом случае
1	_ лХ
С (X, т) sin лХ
Рассмотрим х) и (z) = г1 cos Z0, где z = rei0, | 0 | <; л; тогда при X 1/2 имеем
л	х
Т (г, и) = ± ( r*cosA,0d0 = . r s‘nJtX = N(r, и) Л J	лл
о
и, следовательно, и (0) = т (г, и) = 0.
Ниже мы докажем, что 6 (и) = 0 для 0 </ X </ 1/2 и т = 2, так что теорема 4.7 все еще не является наилучшим из возможных результатов. Однако если т >2, то величина § (и) может быть положительной для произвольно малых Этим свойством обладает экстремальная функция в теореме 4.6. Пусть
р2= |х|2 = 2 xv, Xi = pcos0,
V=1
х) Функция и (z) субгармоническая, так как при малом б, если л — — б < 0 < л -|- б, z = ге’9, то и (z) = max { гл cos Z0. г’'- cos (X (2л — -0))}-
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
179
и предположим, что N (г) = г\ а функция и (х) гармоническая вне отрицательной полуоси х1. Тогда если j обозначает вектор (1, 0, 0, . . ., 0), то
и(х) = j {t2~m—\x + jt\2~m} dn =
0
oo
=	j {i2_m-(t24-p2 + 2tpcos0)1_(m/2)}Zz+m'3(ZL
о
Положим t = py; тогда
w- m^"2~2)	“• 0>-
где
ЦК, m, \ {y2~m-(i +у2+ 2y cos ey-m/2}yt+m-3 dy. (4.5.8) о
Функция I (K, m, 0) является, по существу, присоединенной функцией Лежандра и не может быть выражена через элементарные функции, если т нечетно. Можно выразить I (Z, т, 0) как мероморфную функцию от К (для всех К) при помощи контурного интеграла
1 р zK+m~s dz
I т, 0)= (e2nu_1) J (l-|-z2-|-2z COS 0)m/2-l ’
где Г — некоторый жорданов контур, охватывающий две точки z = —cos 0 + i sin 0
и не пересекающий положительную действительную полуось и точку нуль. Действительно, если контур Г состоит из большой окружности и малой окружности с центром в нуле, соединенных между собой двумя отрезками, лежащими чуть выше и чуть ниже положительной действительной полуоси, то при 0 < К < 1 этот интеграл аппроксимирует правую часть (4.5.8).
Таким образом, при четном т мы можем оценить I (К, т, 0); при помощи вычетов. Например, получаем
ЦК, 4, 0)---“	-sin(?l+1)e. ,
а также рекуррентное соотношение
I (К, т, 0) = (т.—2)sin0-7(Z—1, т + 2, 0),
1 2*
180
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
из которого следует, в частности, равенство
т /у п\____ л cos 0 sin (Х-р2) 0 — (X + 2) sin 0 cos (Х-р2) 0
’ 1 ~ 2 sin лХ '	ДНМЭ	
Заметим, что при 0 <А <1, т>3 функция I (А, ш, в) обладает следующими свойствами:
(i)	I (0) — монотонно убывающая функция от 0, 0 </ 0 < л;
(ii)	I (0) >0 при 0	0 <; л/2;
(iii)	I (0)	—оо при 0 л.
Все эти свойства легко следуют из (4.5.8). Для вывода (iii) заметим, что при 0 -> л
ОО
/ (0) —>- J {у2~т—|1—у\2~т} у^+т~3 dy =—оо. о
4.5.3. Точная оценка для 6 (и); формулировка результатов
Прилагая значительные усилия, можно получить наилучшую .возможную форму теоремы 4.7.
Определим функцию I (А, т, 0) формулой (4.5.8), где 0 <
</. <1 и т)>3 — целое число, и положим
I (А, 2, 0) = cos А0.
Тогда для р = | х | функция
и0 (х) =	(А, т'	(4.5.9)
субгармонична в Rm и гармонична при | 0 | <л.
Наш результат составляет следующая
Теорема 4.9. Если и (х) — субгармоническая функция порядка X в Rm, 0 <А <1, то1)
6(и)<6(и0),	(4.5.10
где функция и0 (х) определена равенством (4.5.9).
По теореме 4.9 проблема точной оценки сверху для 6 (и) сводится к вычислению 6 (и0). Это возможно в терминах элементарных функций только тогда, когда т четно. В частности, имеет место
Теорема 4.10. Если т = 2 и функция и0 (х) задана равенством (4.5.9), то
6(мо)=О, 0 < А < 1/2;
(4.5.11)
6 (и0) = 1 — sin (лА),	1/2 < А < 1.
!) Для и (z) = log I/ (z) I, где f (z) — целая функция, этот результат является частным случаем теоремы Эдрея и Фукса [1960].
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
181
Если т = 4, то
= 1-(X+l)i^(X+l)) 	<4-5-12)
Для доказательства этих результатов нам понадобятся некоторые леммы.
Лемма 4.7. Если
т
И=(3 ^)1/2 = я,
V=1
то пусть р О 0 и 0 таковы, что O^^^nux1 = R cos 0, р = = R sin 0. Тогда если о(0о) обозначает площадь (т — 1)-мерной сферической шапочки | 0 | <0О на гиперсфере \х\ ~ R, то
00
CT(9o) = Cm-i^m'1 J (sin 0)m~2d0, о
где, как обычно, ст = 2лт/2/Г (т/2).
Доказательство является элементарным упражнением в теории функций многих переменных, и мы его опустим.
Имеет место следующая
Лемма 4.8. Пусть f (0) — действительная непрерывная убывающая функция от 0 для 0 <0 < л, такая, что
в
j (sin0)m’2/(0)d0<+ оо о
для некоторого (а значит, и для любого) положительного е. Тогда для любого измеримого множества Е на сфере радиуса R в Rm имеем
j / (0) J / (0) do,
Eq
E
где Eo — сферическая шапочка той же площади, что и Е.
Предположим, во-первых, что / (0)	0 при 0 <0 <9о, / (6) =
= 0 при 0О < 0 < л и что Ей — сферическая шапочка 0 < 0О. В этом случае лемма 4.8 очевидна, так как, обозначая через S всю сферу, имеем
j / (0) j / (0) do = j / (0) da
E	S	Eq
Теперь предположим только, что функция f (0) удовлетворяет условиям леммы 4.8 и, кроме того, / (0О) = 0, а Ео — сферическая
182
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
шапочка 0 <0 < 0О. Пусть
g(0)=/(0), 0<0О; g (0) = 0, 0 >0О;
тогда, применяя предыдущие соображения к функции g (0), получаем
J /(0)do<J g(0)do^J g(0) do = J /(0)do, EE	Eq	Eo
и лемма 4.8 в этом случае также доказана.
Наконец, в общем случае применим только что доказанный результат к функции / (0) — f (0О) вместо f (0). Тогда
J {/(9)-/(9o)}^J {/(G) —/(0о)}^ст,
Е	Eq
т. е.
J /(0)da^ j /(0)do + /(0o){j do-^do], E	Eq	E Eq
что и доказывает лемму 4.8, так как Е и Ео имеют равные площади.
Далее, имеет место следующая
Лемма 4.9. Предположим, что и (ж), иг (х) — субгармонические функции порядка меньше 1 в Rm, функция иг (х) гармонична всюду, за исключением отрицательной полуоси хг, и
N {г, Uj) = N (г, и), 0 <г <оо» и (0) = иг (0).
Тогда если Е, Ей определены так же, как в лемме 4.8, то
j и (х) do (х)^. j (х) do (х).
Е	Eq
По лемме 4.6 имеем
и (ж) = и (0) 4- j Ко (х, 5)dpe?,
51<00 где
К0(х, |) = log|-£=l|,	т = 2;
Яо(яЛ) = |5|2’т-|*-£|2-т, ™>2.
Пусть обозначает точку (—| £ |, 0, 0, . . ., 0); тогда
Ui(a:)=u(0)-f- j К0(х, dpe^.
Rl<~
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
183
Если Е — измеримое множество на сфере | х | = R и Ей — сферическая шапочка на | х | = R, имеющая ту же площадь, что и Е, то J и (х) da (х)— j и (0) da (ж)	j Ко (х, g) da (х). (4.5.13)
И	Е	|?|<оо Е
Порядок интегрирования можно изменить, так как для всех х g Е имеем
Кй (х, |) < Ко (~хъ ^) и, по лемме 4.6,
ОО
( #о( —Я1Л1)йа(я)йц(£)^шс„Лт- J ^д2^(у <
Е	0
Заметим теперь, что можно произвести изометрическое (ортогональное) преобразование или, вращение у = Т (х) в Rm, которое переводит 5 в Так как такое преобразование не изменяет меры da (х), то Е переходит в некоторое множество Ег той же меры, что И Eq.
Таким образом, так как Ко (х, £) зависит только от | £ | •и | а: — 5 |, то
j Ко (ж, |) da (х) = § Ко (у, da (у). Е
Функцию Ко (у, можно представить в виде
Ко (У, L) = fm (0),
где если | | | = t, | у | = R, уг = R cos 0, yt — первая координата у, то
w4MB’+2V-'e-}-
J	(4 5 14)
fm(Q) = t2-m — (R2 + 2tRcosQ + t^i~ml2, m>2.
По лемме 4.8 имеем
J Ко (г/, gj) da (у)<^ j Ко (х, gj da (х), El	Eq
и неравенство (4.5.10) дает
j и (х) da (ж)^ j и (0) da (х) -|- j dye^ $ Ко (х, ^) da (х) =
Е	Е	| 51<оо Ео
= j щ (x)da (х).
Eq
184
TJi. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Лемма 4.9 доказана.
Из леммы 4.9 следует, что при доказательстве теоремы 4.9 можно ограничиться функциями, гармоническими всюду вне отрицательной полуоси Жх- Пусть х = (жх, . . ., жт), | х | = R и 0 определено равенством R cos 0 = хг. Тогда
и (ж) = и (0) + j /т (*, 9, R) dn (0» о
где п (t) обозначает массу Рисса в | | | < t и тем самым на интервале (—t, 0) отрицательной полуоси х1г а функция fm (t, 0, R) определена равенством (4.5.14). Интегрируя дважды по частям, получаем
и (х) = и (0) + f /1---(Яс»»0+<><-‘	) dN т
' '	' J I	(Я’+2гЯсояе-Н*)т/г I '
т. е.
и (х) = и (0) + Г-(4.5.15)
V J (2?2 + 2fJ? cos 0 + f2)m/2+l	'
где
Pm (t, R, 0) = (m - 1) ^-«cosO+T?2^-1 (m + (m - 2)cos20)+
+ Rtm (m — 1) cos 0.	(4.5.16)
Имеет место следующая
Лемма 4.10. Если
<р
0. (I. В, ф) - ( -	да,
К	J (2?2+2f/?cos0+f«)m/2+i
то Qm (t, R, <p)	0 для всех положительных t, R ц	л.
Заметим, что Рт при фиксированных t и R есть полином второй степени от cos 0, который положителен при cos 0 = 1 и отрицателен или равен нулю при cos 0 = —1. Таким образом, Рт (t, R, 0) имеет ровно один нуль 0О, такой, что 0 < 0О л, причем Рт >0 для 0 < 0 < 0О и Рт < 0 для 0О < 0 < л. Таким образом, функция Qm (/, R, <р) возрастает вместе с <р до максимума в точке <р = 0О, а затем убывает, и, следовательно, для доказательства леммы утверждение достаточно доказать при <р = л.
По лемме 4.7 можно написать
о- «• «• ">=^s[ j в> (Л.+2:±С)--'*‘
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
18&
где х — точка на S (О, R) и угол 0 тот же, что и выше. Если т 2,. то
f (t дА —________Pm(t, R, 6)__________ _1___9_	Q R)
’	(^ + 2«/?cos0 + ^)m/2+‘	dm dt1
где d2 = 2, dm = m — 2 при m 3. Отсюда следует, что для-t R
S(0, Я)
Так как fm (t, 0, R) — субгармоническая функция, то правую часть можно найти при помощи формулы Пуассона — Йенсена (теорема 3.14). Таким образом,
1 Г	( О, Я < f,
cm-R”1-1 J	Q'Ry>da^ = { g(t, R), R>t,
S(0, B)	1 6 '	'
где
( ! R
I log t , g(t,R) = {	*
( f2-m__R2-m
m = 2, m>2.
Следовательно, Qm (t, R, л) = 0, R t. При t = R и всех 0
Pm (t, R, 0) = 7?m+1 (1 + cos 0) (m + (m — 2) cos 0) > 0
и, значит, Qm (R, R, <p) >0, 0 <; <p < л и Qm (R, R, л) = = +oo. Это завершает доказательство леммы 4.10.
4,5.4. Доказательство теоремы 4.9
Продолжим применение техники пиков Пойа для функции иг (х), построенной в лемме 4.9. По лемме 4.5 существует такая последовательность значений г = гп -а- оо, что

(4.5.17)

Пусть Е — множество на сфере | х | = г, где и (х) >0, и Ей — сферическая шапочка на | х | = г, площадь которой равна мере Е~ Тогда, по лемме 4.9,
j и{х) Е
do(x)^.\ u1(x)da(x). Eq
186
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если Ей задано неравенством | 0 | < <р, то правая часть, согласно (4.5.15), может быть записана в виде
[ (sin0)m~2<70 (u(0)+ Г------Pm(t, r,Q)N(t) dt	|
1 J ' I v ' J (r« + 2tr cos 0 + «2)^/2+1 J
Предположим, что | <p | <л. Так как порядок функции N (t) меньше 1, то повторный интеграл абсолютно сходится, и, таким •образом, можно поменять порядок интегрирования; получим
ОО
j Ui (ж) do (ж) = j Qm (t, г, <р) N (t) dt-j-u (0) о (Ео). Eq	0
В качестве множества Е на сфере | х | = г выберем такое множество, что и (х) >0 на Е и о (Ёо) <^стгт"1. Тогда
Т(г, u)-^	[ u(x)do(x)s^ [ u^do^x)**
стг j J	стпг J
E	Eo
00
= f Qm (t, г, ф) N (t) dt + max (u (0), 0). (4.5.18) cm J
0
Так как Qm (t, R, <p) > 0, то, используя (4.5.17), получим
TJr, и) N (r) { J (4 ) K~e Qm (t, r, <p) dt + m	0
oo
+ J (y)K+e Qm(t, г, ф) dt} + O(i) = T
1
= _£ш=1_ЛГ(г){Ь^т(8,1, ф)йз + cm	I
0 co
+ SK+eQm<S, 1, ф)<&}+# (!)• 1
Если 1/2 < s-^ 2, то sK~e sK равномерно при e -> 0, и при A, < 1 интегралы
1/2	оо
j sK~eQm (s, 1, <p) ds, § 3x+8Qm (s, 1, ф) ds 0	2
сходятся равномерно для | e | < е0, О ф л. Таким образом, для заданного т] >0 существует такое малое е0, что при 0 ф
4.5. ФУНКЦИИ ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 1
187
-< л, 0 < е < е0
1	ОО
j sK~eQm(s, 1, Ф) ds+ sK+sQm(s, 1, q>)ds<
о	1
оо
< (1 + n) J SKQm (*, 1, ф) ds + Т).
О
Итак, при заданном г] > 0 для некоторой последовательности г = гп -► оо и соответствующей последовательности ф = фп имеем
ОО
Г (г, и)<_ (1 + 2Т]) -^=i- N (г) { ( sKQm(s, 1, ф)^ + т]}^ ст	J
О
00
^(l + 2r])-^-7V(r) { ( sKQm(s, 1, ф0) ds 4- тЛ , ст	U	>
О
где ф0 выбрано так, чтобы интеграл в правой части был максимальным. Так как т] — любое положительное число, то
оо
lim	<s’ Ч’»)ds- (4-5-19)
“—— tV [Г, U) cm J
0
Заметим, что если u0 (x) выбрана так, что вся ее масса сосредоточена на отрицательной полуоси хг, и если ее считающая функция имеет вид N (г) = то и0(х) является функцией вида (4.5.9). Для этой функции и любой сферической шапочки Ео, задаваемой соотношениями | ф | <ф1? | х | = г, где фх <л, имеем
оо
с ,m-i ( “о (ж) da (х) = f Qm (t, г, Ф1) N (Z) dt = cmr J	ст J
Е,	О
1
=	- rK [ sKQm (s, 1, Ф1) ds.
ст J
О
Так как и0 (ж) >0в некотором угле | ф | <ф0, где ф0 не зависит от г, то для всех положительных г
00	00
Й = max 'IT* 1" ( sKQ™(S' 4’ ф)* = -£Г1- ( sX<2m(s, 1, фоЖ
И, и0)	0<ф<л Ст Q	Ст о
и из (4.5.16) получаем
оо
1 - б (и) =-• Йт 4^- >{^- J sKQm (з, 1, Фо) ds} = 1 - б (и0).
Теорема 4.9 доказана.
188
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.5.5. Доказательство теоремы 4.10
Доказательство теоремы 4.10 мы проведем, используя функцию (4.5.9). Если тп = 2, то рассмотрим функцию ий (х) = cr?cos Х6, где X </ 1/2; так как . л	.
™	. сгк Г л n crK sin лХ
Т (г, щ) --= — cos хе de = —, о тп (г, и0) = 0,
то 6 (и0) = 0. Таким образом, для функций и (х) порядка X </ 1/2 при тп = 2 имеем 6 (и) = 0, что и утверждалось в (4.5.11).
Если 1/2 <Х <1, то
х л/2Х	X
т (г, и0) = f cos хе de = -у—, ' и/ л J	Хл ’
о , л	,
/	\	— СГК Г , л ,Q сг (1 — sin лХ)
та(г, «0) = -^— j cos хе de=—, Л/2Х
6	= Ttr’uai = 1 ~ Sin
что и завершает доказательство (4.5.11).
Наконец, если тп = 4, то при | х | = г
, . cr^ sin (X 4-1) 0
Uo (ж) =------ -д — .
и х ' sin 0
Из леммы 4.7 получаем
л/(Х+1)
Т (г, и0) = с'гк Г sin (Х4-1) 6-sin 6 ^6 = с'sin > J	АДА-Г*) Ат1
0
где c, c' — постоянные. Аналогично, л
m(r, u0) = —c'rK § sin (X-)- 1) 6-sin 6d6 = n/(X+l)
= ——— Г(Х 4-1) sin Т“гд— sin (л^) 1 X(X4-2) LK ’	b+1 v 'J
и, таким образом,
я \ m (ri uo) .«	sinnX
0 (Uo) ~ T (r, u0) ~ 1 ~ (X4-l)sin(n/(X-bl)) *
Следовательно, равенство (4.5.12) и тем самым теорема 4.10 доказаны.
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
189
Заметим, что при А, —О
тогда как теорема 4.7 дает только
6 («о) = О (А).
4.6.	ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пусть / (z) — целая функция, имеющая к 2) различных асимптотических значений av, v = 1, . . к. Это означает, что существует к кривых Tv на плоскости переменного z, выходящих из 0 и уходящих в бесконечность, для которых f (z) -► av при z —► оо вдоль Tv.
Так как av все различны, то Tv не пересекаются в бесконечности, и можно без ограничения общности считать их непересекаю-щимися во всей z-плоскости. Предположим, что Tv занумерованы против часовой стрелки вокруг начала, и пусть Tfe+1 = Гг Тогда для любого v = 1, . . ., к кривые Tv и Tv+1 ограничивают одно связную область Dv, причем {] Dv = 0 для ц v. Так как ац+1, то / (z) не ограничена *) в каждой области несмотря на то что на каждой кривой Гц функция f (z) ограничена.
Отсюда Альфорс [1930] получил свое знаменитое доказательство гипотезы Данжуа о том, что нижний порядок f (z) не меньше к/2. С целью обобщения этого результата на субгармонические функции Хейнсом [1959] было показано, что для доказательства этого факта можно использовать только то, что функция и (z) = = log | / (z) | ограничена сверху на кривых Гц, но не ограничена в каждой из областей Div Таким образом, множество
Ем = {z | и (z) > М}
для больших М имеет точки в каждой области D^, но ни на одной кривой Гц, и, следовательно, множество Ем имеет не меньше к компонент. Для функций и (г), субгармонических в R”*, можно показать, что число к различных компонент множества Ем не меньше 2, и получить отсюда оценку нижнего порядка функции и (z). Нижняя граница, которую мы получим, хотя и не точнее оценки к/2 Альфорса, при фиксированном т 2 имеет правильный порядок A:1/*”1-*» как функция от к при к-^-оо. К случаю т = 2 мы вернемся во втором томе. Изложение в этом разделе в значительной степени следует работам Талпура [1975, 1976].
*) См. Титчмарш [1939].
190
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.6.1.	Предварительные результаты
Предположим, что функция и (х) субгармонична в некоторой окрестности компактного множества Е в Rm. Для любого М О множество
Ем = {х I х € Е, и (х) ^ М}
является замкнутым подмножеством компакта Е и, следовательно, также компактно. Мы нуждаемся в более подробном исследовании структуры Ем, и поэтому напомним некоторые понятия из топологии точечных множеств.
Множество Е называется связным, если оно не допускает разбиения на два множества Ех и Е2, такие, что
(а)	Ег J Е2 = Е, П Е2 = 0;
(Ъ)	Е}^= 0,7 = 1, 2;
(с)	Ej замкнуто в Е, j = 1, 2.
Если Е замкнуто и не связно, а (Еъ Е2) — разбиение Е, то последнее условие означает, что Ег и Е2 замкнуты.
Определим отношение эквивалентности для точек х £ Е: хг ~ ~ х2, если существует связное подмножество Е (хг, х2) множества Е, содержащее хг и х2. Ясно, что это отношение симметрично и рефлексивно, так как точка — связное множество. Кроме того, оно транзитивно, так как объединение Е (хъ х2) J Е (ж2, х,) любых двух связных множеств, содержащих х2, также связно. Таким образом, отношение ~ разбивает множество Е на непересе-кающиеся подмножества, которые называются его компонентами. Они являются максимальными связными подмножествами множества Е. В самом деле, компонента Е', содержащая точку xt, есть объединение всех связных подмножеств множества Е, содержащих xlt и, таким образом, сама является связным множеством; по определению, она является наибольшим связным подмножеством, содержащим х±.
Компактное связное множество, содержащее не меньше двух точек, называется континуумом. Нам понадобится следующая
Лемма 4.11. Компонентами компактного множества в JV" могут быть только континуумы или точки.
Пусть Ео — компонента компакта Е, содержащая точку хй. Если Ей состоит только из точки хй, то доказывать нечего. Предположим теперь, что Ео содержит не менее двух точек. Достаточно показать, что Ей замкнуто в Е, так как тогда Ей будет замкнуто и в JV”. Так как, кроме того, Ей ограничено как подмножество Е, то Ео будет тогда компактом, а тем и самым континуумом.
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
191
Чтобы доказать, что Ей замкнуто, покажем, что Ей = Ео, где Ей — замыкание Ей. Для этого достаточно показать, что Ей связно, так как в этом случае Ей лежит в Ей, которое является объединением всех связных подмножеств множества Е, содержащих хй.
Предположим противное, т. е. что Ей допускает разбиение (Е17 Е2), такое, что хг g Д и х2 g F2. Тогда, так как Ео замкнуто,. Fy, F2 также замкнуты и, таким образом, компактны, поэтому они расположены на положительном расстоянии б друг от друга. Пусть Ег, Е2 — подмножества Ео, которые лежат в Fu F2 соответственно. Тогда (Ег, Е2) — разбиение множества Ео.
Действительно, условие (а) очевидно. Предположим, что хг f £ Ey — точка или предельная точка множества Ей. В первом случае Ег не пусто. Во втором шар D {хх, б) содержит точку £ Ео, которая находится на расстоянии, меньшем б, от точки хг £ и, значит, не принадлежит Е2. Таким образом, Ег не пусто, так как 6 Fr [) Ео = Ех. Аналогично доказывается, что Е2 на пусто. Условие (Ь) доказано.
Наконец, Е} = Ео f) Fj, и так как Fj, j = 1, 2, замкнуто, то Ej замкнуто в Ео. Таким образом, выполнено условие (с) и, следовательно, (E-l, Е2) — разбиение множества Ео, что противоречит сделанным предположениям. Это завершает доказательство леммы 4.9.
Следующий результат, несмотря на его вспомогательную роль, в нашей теории, представляет и самостоятельный интерес.
Теорема 4.11. Пусть функция и (х) субгармонична в окрестности компактного множества Е в IRm. Для любого действительного числа К через Ек обозначим подмножество множества Е, на котором и (х) Д К, а через С (К) — некоторую компоненту Ек. Тогда функция
[ и(х), хес(К),
V (X) = i
I К, х$С(К),
субгармонична внутри Е.
Предположим сначала, что и (х) непрерывна. Тогда Ек замкнуто и, таким образом, компактно, а следовательно, по лемме 4.11, С (К) также компактно. Пусть хй £ Е; тогда если v (хй) >-> К, то х0 £ С (К) и, стало быть, и (х0) > К. Так как и (х) непрерывна, то и (х) > К в некоторой окрестности D (х0, г) точки ж0; таким образом, D (ж0, г) аС (К) и, следовательно, v (х) = и (х) в D (ж0, г), т. е. v (х) субгармонична в точке х0. Если v (х0) = К, то предположим, во-первых, что х0 является внешней точкой для С (К). Тогда окрестность D (х0, г) лежит вне С (К) и, таким обра-
192
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
зон, v (х) = К в D (ж0, г). Таким образом, и в этом случае и (х) субгармонична в х0. Аналогично рассматривается случай, когда х0 — внутренняя точка С (К) и и (ж0) = К.
Предположим наконец, что х0 является граничной точкой С (К); тогда и (х0) = К. Ввиду непрерывности, если и (х) или и (х) К в точке х = ж0, то соответствующее неравенство имеет место в некоторой окрестности точки ж0; таким образом, хй — либо внешняя, либо внутренняя точка С (К). Так как и (х) непрерывна в точке хй и v (х) = К = и (ж0) или v (х) — и (х), то v (х) —
—► К = и (х0) при х —х0. Таким образом, v (х) непрерывна в точке х0. Наконец, неравенство для среднего значения в точке х0, очевидно, выполнено, так как всюду v (х) К = v (х0). Теорема 4.11 в случае, когда и (х) непрерывна, доказана.
Общий случай менее очевиден, но может быть доказан при помощи теоремы 3.8. По предположению, и (х) субгармонична в некоторой окрестности множества Е. Тогда, по теореме 3.8, существует последовательность функций ип (х), субгармонических и непрерывных в (меньшей) окрестности множества Е и таких, что ип (г) монотонно убывает вместе с ростом п и ип (х) —и (х) при и-> оо. Пусть хй — фиксированная точка С (К) и Сп (К) — компонента множества
{х | ип (х) К, х£Е},
которое содержит хй\ кроме того, положим
Тогда, как мы только что видели, ип (х) — субгармоническая функция внутри Е. Так как un+1 (я) < un (я), то Сп+1 (К) с
сд Сп (К). Таким образом, если х не принадлежит Сп+1 (К), то
К =vn+i (я) < »п (я);
если же х £ Сп+1 (К), то
К < ип+1 (х) = ип+1 (х) <ип (х) = ип (х).
Отсюда следует, что ип — убывающая последовательность субгармонических функций в Е и, следовательно, по теореме 1.3, функция v0 (х) = lim vn (х) субгармонична в (окрестности) Е.
П-*-оо
Действительно, и0 (х) < +°°, так как ип (х) < и, наконец, в силу того, что ип (х) | ий (х), имеем
j v0 (х) do (х) = lim j vn (x) do (x) S(x„, r)	n—oo
>lim cmrm~lvn (x0) = cmrm‘lv0 (ж0).
n->oo
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
193
Таким образом, функция и0 (х) удовлетворяет условиям § 2.1, т, е. является субгармонической.
Заметим, наконец, что и0 (х) совпадает с функцией и (х), определенной в теореме 4.11. В самом деле, пусть
оо
С0(К)= f) Сп(К).
П=1
Тогда Со (К) является пересечением счетного семейства вложенных друг в друга компактных связных множеств Сп (К), и, таким образом, Со (К) компактно и связно *), т. е. Со (К) или состоит из одной точки или континуум. В Со (К) имеем также для любого п
vn (я) = ип (х) > К
и, следовательно, ий (х) = lim ип (х) = и (х) ^ К.
Так как Сп (К) содержит хй для любого п, то Со (К) также содержит ж0; стало быть, Со (К) — связное множество, содержащее х0, на котором и (х) К, и, следовательно, Со (К) <^С (К). С другой стороны, в С (К) имеем
К < и (ж)< ип (х);
отсюда следует, что С (К) с Сп (К) для всех п. Таким образом, С (К) с Сй (К), т. е. С (К) = Со (К).
Мы видели, что и0 (х) = и (х) в С (К). Если х лежит вне С (К), то х лежит и вне Сп (К) для некоторого пй и, таким образом, для всех п ~^ пй. Следовательно,
1>0 (х) = lim vn (х) = lim К = К = v (х).
П-*-оо	П-*-оо
Итак, v (х) = v0 (х) в Е, а так как i>0 (ж) субгармонична в Е, то теорема 4.11 доказана.
4.6.2.	Предположим, что функция и (х) субгармонична при | а: | <Z где 0 < г0 -С и что множество, где и (х)	0, состоит
по меньшей мере из к 2 компонент в С (0, г) при т\ г <Zro-Мы хотим получить отсюда оценку снизу для функции и (х). Обозначим через Сг (г), С2 (г), . . ., Ск (г) различные компоненты множества, где и (ж)	0 в С (0, г), и положим
[ и (ж), x£Cv(r), МЖ) I 0, z(JCv(r).
Тогда, по теореме 4.11, функция vv (х) субгармонична в D (0, г); кроме того, имеем
(ж) > 0 в С (0, г),	(4.6.1)
Уц (х) -vv (х) = 0 для ц =£ v.	(4.6.2)
г) См., например, Ньюмен [1951].
13-0623
194
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Предположим также, что uv (х) не равна тождественно нулю при I х так что
Bv (гг) = sup uv (х) > 0, v = 1, . . к. (4.6.3) IX | =г,
Мы увидим, что условия (4.6.1) — (4.6.3) сами по себе достаточны для того, чтобы получить довольно много информации о росте функций Vv (х).
Пусть ev (г) — такое подмножество сферы | х | = г, на котором vv (х) >0, и
1	с
9v (Г) = -с ~ т~ cmr	J
ev(r)
где do (х) — элемент площади S (0, г). Множества ev (г), согласно (4.6.2), не пересекаются и, следовательно,
k
2 0v(r)^l.	(4.6.4)
V=1
Далее, если
1 ’ Г Tv (г) = •	uv (х) do (х)
cmr J
— характеристическая функция vv (х) и
5v(r)= sup vv (ж)	(4.6.5)
»e«v(r)
есть максимум vv (х) на сфере | х | = г, то ясно, что
T’v (Г) < 0v (Г) Bv (г).
С другой стороны, по теореме 3.19, для 0 <р <Zr имеем
(р)^ (г_р)т-1	(г_р)7П-1 Bv(r). (4.b.b)
Из (4.6.6), теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом и (4.6.4) получаем
k	k
П	Г И ftWS.WK
v=l	v=l
h
(4.6.7)
V = 1
Теперь можно доказать следующую теорему.
Теорема 4.12, Пусть функции uv (х) удовлетворяют условиям (4.6.1) — (4.6.3) в шаре D (0, г), функция Bv (г) определена равен
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
195
ством (4.6.5) и
50(г) = (П^(г))х/\
V~1
Тогда для т\ г < г0 справедливо неравенство
5«(r)>4(v)e,5o(ri)’	(4-6-8)
где сг (к, т) зависит только от к и т и можно взять
Заметим, что при к —> оо и фиксированном т
Cl(k, m)~-g-10g у (у)
и, таким образом, сг имеет правильный порядок роста как функция от к, по крайней мере при т = 2. Мы покажем на примере в конце главы, что и при т > 2 порядок величины с± также правильный.
Пусть <p=rJLT/(m-1), Х = _*±1, ru = r1X*i-1, 50 (Гц) = 5ц. 1 £/К I	1
Из (4.6.7), полагая r=r1Xg-1, p=r1X*i-2, при г<г0 получаем
г> к (к— l)m-i '>к(^~1\т~*В	— ka>m~lB — — В
> хт-a (Х+1)	1Т+ТI	~ Аф	— 2
Отсюда по индукции при р, 1 имеем
Выберем в качестве р наибольшее целое, при котором Гц<^[г; тогда
я.«>в.ы>(4)и'^.=^(4Г=^(^Г>
где сг = log (3/2)/log X, как и утверждалось.
4.6.3. Компоненты С (К) в областях
Теорема 4.12 позволяет распространить теорему 4.11 на функции, субгармонические в областях, т. е. в открытых связных множествах. Нам понадобится следующая
Лемма 4.12. Пусть функция и (х) субгармонична в некоторой окрестности замкнутого шара С (о^, г), и (х^> > К >>—оо, 13*
196
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
и пусть Сг — та компонента множества {х | и (z) К} в С (z15 г), которая содержит хг. Тогда для заданного Кг, К < <7^ u (z^, существует такое 6 >0, что и (х) <ZKr во всех точках шара D (а:1, 6), не принадлежащих Сг.
Предположим, что х2 — точка открытого шара D (хг, г)» такая, что хй (£ Сг и и (z2) Кг. Пусть С2 — компонента множества {х | и (х) К} в С (х1У г), которая содержит х2. Так как z2 (£ Clt то Сг и С2 не пересекаются. Для v = 1, 2 положим
[ и(х), x£Cvt
uv (х) — \ V	г ГН \ Г
[л, х^1д\хй,г)—Cv;
ио теореме 4.11, функции uv (z) субгармоничны в D (х0, г). Определим функции
vv (х) = uv (хг + х) — К, | х | г, '
и заметим, что они удовлетворяют условиям (4.6.1) и (4.6.2).
Кроме того, если щ = | х2 —	|, то для v = 1, 2 имеем
5v(ri)= sup vv(x)^Kl— К = 50>0.
I X |^Г1
Отсюда, по теореме 4.12 (и в ее обозначениях), при т\ <р <г получаем
Так как
50(Р)< Sup {u(x) — K} = Bi, | х-х, |«£Г
ТО
При р -> г получаем утверждение леммы 4.12 с
s=r
X	/	\	/
Предположим теперь, что и (х) — субгармоническая функция в области D в Rm, возможно, совпадающей со всем пространством. Для п = 1, 2, ... через Еп обозначим компактные подмножества области D, такие, что Еп принадлежат внутренности
ОО
Еп+1 и U Еп — D. Пусть хй — любая точка D; тогда х0 £Еп, П=1
скажем, для п п0. Если
и (х0) К —оо, п п0,
ТО'через Сп (х0, К) обозначим компоненту множества {х | и (х) ^К} ъ Еп, содержащую точку х0.
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
197
Очевидно, что Сп (z0, К) расширяются с возрастанием п. Положим
оо
С = С{хй, К, D) = U Сп(х0,К)
п=п0
и будем называть С предельной компонентой, или иногда просто компонентой множества {х | и (z) К} в D. Следует заметить, что эта терминология допускает некоторую вольность речи. Действительно, множество С, несмотря на связность, не является, вообще говоря, максимальным связным множеством в D, а также не всегда замкнуто в D. Но любые две точки xlt х2 из С принадлежат континууму Сп (z0, К) для достаточно большого п и, следовательно, соединяются с точкой х0, а значит, и одна с другой посредством континуума, на котором и (х) К.
Обратно, если у — любой континуум, содержащий х0, на кото-
ОО
ром и (х)> К, то у с U Dn, где через Dn обозначена внутрен-П=1	W
ность Еп. Таким образом, по теореме Гейне — Бореля, у с U Dn
П=1
для некоторого N, а тем самым y<^DN. Следовательно, ус с СN (х0, К), а значит, у с С. Отсюда следует, что С есть объединение всех континуумов у, расположенных в D, содержащих хй и в точках которых и (х) К. В частности, мы видим, что С не зависит от выбора исчерпывающей последовательности Еп.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 4.13. Если функция и (х) субгармонична в области D, С = С (х0, К, D} обозначает предельную компоненту в D и
f и(х), х£С,
V ’ \ К,	х$С,
то функция v (х) субгармонична в D.
Пусть х± — любая точка D. Для доказательства того, что функция v (х) субгармонична в точке xlt докажем, что она удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii) § 2.1. Будем различать три случая.
(а)	Предположим, во-первых, что хг принадлежит дополнению к С и, таким образом, некоторая окрестность N точки хг не пересекается с С. Тогда v (х) = К в N я, следовательно, и (х) — постоянная, т. е. субгармоническая функция в окрестности точки хг.
(Ь)	Предположим теперь, что х± — некоторая точка С; тогда v (х^ = и (х^ К. Так как и (х) субгармонична, а значит, полунепрерывна сверху, то для заданного е >0 можно найти
198
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
окрестность N (е) точки в которой и (х) < и (хг) + е и поэтому
v (х) max (и (х), К) < и (хг) + е = v (xY) + е.
Таким образом, v (х) — конечная пн. св. функция в точке хг. Осталось доказать, что выполняется неравенство со средним значением. Пусть Ег — компактное подмножество области D, содержащее хг в своей внутренности Dlt а С± — компонента множества {х | и (х) К} ъ Ei, содержащая хг. Положим
i^(z) =
Ф),
К,
х^Е{—
По теореме 4.11 функция vT (х) субгармонична в Dv С другой стороны, Сг — континуум, на котором и (х) К, и потому Сг содержится в С. Следовательно, vT (х) v (х) в Е1У в то время как vi (xi) — v Сн) = и (xj). Отсюда следует, что для всех достаточно малых г
1 Г	1 Г 1
У(и) = Н(и)^7-7тИ- И (z) d(J (z)< - rm_- v(x)da(x). cmr J	cmr J
S(Xi, r)	S(xj, r)
Итак, неравенство среднего значения в точке хг выполнено и, следовательно, и (х) субгармонична в точке х±.
(с)	Предположим наконец, что х± является предельной точкой С и не принадлежит С. Тогда v (х^ = К и v (х)^- К всюду, что влечет за собой свойства (i) и (iii) § 2.1. Осталось доказать, что и (х) полунепрерывна сверху в точке х±.
Предположим, во-первых, что и (xj) К. Тогда, так как и (х) пн. св. в точке xlt можно найти окрестность N точки в которой и (х) < К + е, откуда
v (х) max (и (х), К) < К + е = v (xY) + е.
Таким образом, в этом случае и (х) пн. св. в точке хг
Наконец, предположим, что и (х±) ^>К. Пусть Fr— замкнутый шар | х — х± | rlt содержащийся в D, и С± — компонента множества {х | и (х) К} в F±, содержащая z1. Так как х± не принадлежит С, то Сг не пересекается с С. По лемме 4.12 для заданного е, 0 <е <Zu (хг) — К, можно найти такое 6 >0, что С1 содержит все точки шара | х — х± |	6, в которых и (х) К + е.
Эти точки, следовательно, не принадлежат С и v (х) = К во всех таких точках. Во всех других точках шара | х —	| <' 6 имеем
и (х) max (и (х),'К) <Z.K + е.
Таким образом, и (х) К + е = v (xj) + е при | х — х± | б и, следовательно, и (х) пн. св. в точке х±. Это завершает доказательство теоремы 4.13.
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
199
При помощи теоремы 4.13 можно получить полезную информацию о структуре компонент. Будем называть компоненту С множества {х | и (х) К} в области D тонкой, если и (х) = К на С; во всех остальных случаях будем называть ее толстой компонентой. Как это ни удивительно, существуют субгармонические функции, имеющие континуум различных тонких компонент. Соответствующие примеры мы приведем во втором томе. С другой стороны, толстые компоненты всегда имеют положительную тп-мерную меру и, таким образом, множество этих компонент не более чем счетно. Эти результаты содержит следующая х)
Теорема 4.14. Пусть С — предельная компонента множества точек, в которых и (х) К, в области D. Тогда С уходит к границе области D, т. е. С не принадлежит никакому компактному подмножеству области D. Далее, если С — толстая компонента, то С имеет положительный т-мерный объем.
Предположим, что и (х) не постоянна в D, так как в противном случае теорема 4.14 тривиальна. Пусть сначала С — толстая компонента; положим
[ и (х), хДС, v (х}= {
v ’ \ К, x£D—C.
Функция v (х) по теореме 4.13 субгармонична в D.
Так как С — толстая компонента, то С содержит точку хй, в которой и (z0) > К. Если v (х) постоянна в D, то v (х) = v (z0) = = и (х0) > К. Таким образом, С содержит всю область D и функция и (х) постоянна в D. Пусть теперь и (х) не постоянна; тогда v (х) не может достигать своей точной верхней грани М во внутренней точке области D и, значит, существует последовательность хп точек D, стремящихся к границе области D, такая, что
и(х^-.М >К.
Таким образом, и (хп) > К для всех достаточно больших п и тем самым хп g С. Отсюда следует, что С уходит к границе области D.
Предположим теперь, что хй — точка С, в которой и (х0) > К. Для малого 6 >0 через G± и Сг обозначим подмножества шара D (х0, 6), в которых соответственно v (х) = К и v (х) > К. Если С имеет меру нуль, то это выполняется и для (\ при всех малых 6 и
j j (и (х) — v(x0)) dx = j j (v (x) — v (z0)) dx = (K—v (z0)) m < 0, Dfa, 6)	G,
где m — мера D (z0, 6). Это противоречит тому, что и (х) субгармонична (например, по теореме 2.12). Таким образом, С — множество положительной меры.
г) Талпур [1975].
200
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Осталось доказать, что, даже если С — тонкая компонента, она уходит к границе области D. Для этого рассмотрим произвольное компактное подмножество Е 0 области D, содержащее х0, границу которого мы обозначим через F о- Пусть С — компонента в Е 0 множества точек, где и (х) К, содержащая х0. Докажем, что множества С и Fo пересекаются. Обозначим через Сп содержащую хй компоненту в Ео множества, где и (х) К — Ип. Тогда Сп — толстая компонента, так как и (z0) К, поэтому, согласно доказанному выше, Сп пересекаются с Fo. Положим
оо
Г= П сп.
71=1
Так как Сп+1с Сп, то Г есть пересечение счетного множества вложенных континуумов и, следовательно, непустое связное компактное множество. Кроме того, множества Сп ("] F 0 не пусты и компактны, а потому таковым является и их пересечение Г ("] F 0-Таким образом, Г содержит точку хй и пересекается с границей компакта Ео. Кроме того, ясно, что и (х) К на Г, так что ГсС. Отсюда следует, что пересечение множеств С и Ео не пусто и, следовательно, С уходит к границе области D. -Этим завершено доказательство теоремы 4.14.
Далее, имеет место следующая
Теорема 4.15. Пусть функция и (х) субгармонична и непостоянна в и С = С (К) — толстая компонента множества {х | и (х)	К}, такая, что и (х) М на С, где М — конечное
число. Тогда т^Зи выполняется одно из двух утверждений'.
(а)	С содержит все точки Rm, в которых и (х) > К', в частности, и (х) <^М в IRm.
(b)	Существует по крайней мере одна толстая компонента Сг, не пересекающаяся с С. В этом случае функция и (х) не ограничена сверху и имеет бесконечный нижний порядок на любой такой компоненте Сг. Точнее х), тогда
log Br (7?)/log В -* оо при В -* оо,
где Вг (В) = sup и (х).
| х |	/?, xECj
Следствие. Если функция и (z)| субгармонична в IRm, то существует такое Ко, что и (х) не ограничена сверху на всех толстых компонентах С (К) для К > Кй.
Если С содержит все точки, в которых и (х) > К, то выполнено утверждение (а), и доказывать больше нечего. Поэтому пред-
х) Вообще, мы определяем нижний порядок, порядок и тип функции и (х) на неограниченном множестве С1 при помощи соответствующих соотношений для В^Н).
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
204
положим, что существует точка хг $ С, в которой и (хг) > К. Тогда компонента множества {х | и (х)	К}, которая содержит
точку хг, не пересекается с С. Таким образом, существует по крайней мере одна толстая компонента, не пересекающаяся с С. Предположим, что — такая компонента, скажем, множества, где и (х) Кг, и покажем, что функция и (х) имеет бесконечный нижний порядок в С1. Для этого положим
1Г1 (z) =
и (х)— Kl,	( и (х) — К, х£С,
0,	х$(\,	Уг(Ж)=10,	х$С.
По теореме 4.13 функции (х) и и2 (х) субгармоничны, и достаточно показать, что (х) имеет бесконечный нижний порядок.
Функции vr (х), и2 (х) удовлетворяют соотношениям (4.6.1} и (4.6.2). Определим функции 0V (г) так же, как в п. 4.6.2, функцию Bv (г) — равенством (4.6.5) и воспользуемся неравенством (4.6.6). Для 0 < р < г < оо имеем
Bv (p)<Qv^-~)^Bv (г).	(4.6.10)
Так как компоненты С и С± толстые, то Bv (р) >0 для больших р. Кроме того, по предположению,
В2 (р) -> М — К при р —> оо, где 0 < М — К <Z оо. Таким образом, для любого^ данного е > 0 при всех достаточно больших р и г > р имеем
При г -> оо и фиксированном р получаем 02 (г) >1 — 2е, г > гОт т. е. 02 (г) —> 1 при г—> оо. Отсюда и из (4.6.4) теперь следует, что 91 (г) -С 1 — 02 (г)	0 ПРИ г -> ОО.
Выберем теперь г0 таким, чтобы В± (г0) >0, и положим = = г02^, 0Ц = 0Х (гД. Тогда неравенство (4.6.10) с р = гц, г = = гц+1 дает
В, Ы<^.3.2т^В, (гц+1),
а значит,
Bi (гц+1) - 5 . .—> оо	при	ц, -> оо.
Bi (гД	1	г
Таким образом,
logBi (гц+1)—log Bi (гД ---i-------i---------> 00, log гцп—log
откуда
log Bi (гД
---j------->- оо.
log Гц
202
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если Гц <г <Гц+1, ТО Вг (г) > Вг (гц) и log г < log + log 2, откуда
.togBiW log г
что и доказывает (Ь).
Если, кроме того, т, = 2, то функция v2 (х) ограничена сверху и, следовательно, по теореме 2.14, v2 (х) = М = const. Так как С — толстая компонента, то М >. К, и потому и (х) == М, что противоречит предположениям. Таким образом, т 3.
j Утверждение следствия очевидно, если функция и (х) не ограничена сверху на каждой толстой компоненте. Если существует толстая компонента С (Kj), на которой и (х) ограничена сверху, скажем константой Ко, и С± (К) — какая-нибудь толстая компонента для К > Ко, то С (К±) и С\ (К) не пересекаются и имеет место случай (Ь), так что и (х) не ограничена на С± (К). Это завершает доказательство теоремы 4.15 и ее следствия.
4.6.4.	Тракты и рост
Пусть функция и (х) субгармоничпа и ограничена сверху в Rm. Из теоремы 3.21 следует, что если М обозначает точную верхнюю грань и (х) в Rm, то
и (х) —> М	при х -> оо
(4.6.11)
на почти всех фиксированных прямых.
Предположим теперь, что функция и (х) ограничена сверху константой М на некоторой толстой компоненте С (К). Применим указанный выше результат к функции v2 (х), построенной в предыдущем пункте. Получим, что для почти всех прямых Г
i>2 (х) -> М
при х —► оо
на Г,
т. е.
М — е < и2 (х) < М, х £ Г,
I * I > г0 (е).
Выберем е настолько малым, что М — е > К. Тогда v2 (х) = = и (х) и, следовательно, утверждение (4.6.11) по-прежнему имеет место.
Если функция и (х) не ограничена в Rm, то для любого К существует по меньшей мере одна компонента С (К). Пусть К2 > К± >К0; тогда, в силу следствия теоремы 4.15, функция и (х) не ограничена ни на какой толстой компоненте С и, следовательно, каждая толстая компонента С (Кг) содержит по крайней мере одну толстую компоненту С (К2).
Таким образом, если N (К) обозначает число (возможно, бесконечное) различных толстых компонент С (К), то N (К) не убывает
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
203
при возрастании К, К > Кй, в том смысле, что если N (Ку) = оо для некоторого Ку, то N (К) = оо для всех К > Ку.
Итак, в любом случае существует предел
2V0= lim N (К)
К-х
и 0	7V0 -С °°- Кроме того, 7V0 = 0 тогда и только тогда, когда
•функция и (z) ограничена сверху в Rm, а это может случиться для .непостоянной и (х) только при т 3.
Мы называвши По числом трактов функции и (х). Если No конечно, то 7V (К) = No, скажем, для К > К'а. В этом случае если К2 > KY > К'о, то каждая компонента С (Ку) содержит по крайней мере одну и, следовательно, ровно одну компоненту С (К2). Все точки из С (Ку), в которых и (х) ^>К2, принадлежат одной и той же толстой компоненте С (К2). Если и (z) . = log | / (z) |, где / (z) — целая функция, отличная от постоянной, то 7V0 не меньше числа различных конечных асимптотических значений в классическом смысле. Имеет место *) следующая
Теорема 4.16. Пусть функция и (х) субгармонична в и имеет нижний порядок X. Тогда если и (х) имеет No трактов, где No 2, то
’k>c1 (Not т),
где Су (к, т) — величина, фигурирующая в теореме 4.12. В частности, если Na 2, то к > 0, а если No — оо, то к = оо.
Если X = оо, то доказывать нечего, поэтому предположим, что X конечно. Выберем такое целое положительное число N, что 2	Мо. Тогда функция и (х) не ограничена на каждой
компоненте С (К), скажем, для К Ко. Кроме того, так как N (К) — положительное целое число или оо, то можно выбрать К настолько большим, что N (К) N. Таким образом, существует N попарно непересекающихся толстых компонент Cv (К), v = = 1, . . ., N.
Положим
( и (х) —К, x£Cv(K), vv (х) = ( „
10,	х$С„(К)-,
так как функции uv (х) удовлетворяют соотношениям (4.6.1) и (4.6.2), то по теореме 4.13 они субгармоничпы в К”. Кроме того, функции v„ (х) не равны тождественно нулю, так как компоненты С„ (К) являются толстыми. Таким образом, в теореме 4.12 мы можем выбрать г у настолько большим, чтобы Вй (г±) >0. При-
г) По поводу наиболее точных известных результатов в этом направлении см. Фридланд и Хейман [1976].
204
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
меняя эту теорему, получаем
Во (Г) > | Вй (rj) (у- )С1, г > Гр
Поскольку
5о sup (и (х) — К),
I х 1СГ
отсюда следует, что нижний порядок функции и (х) не меньше щ. Если No = оо, то можно выбрать N сколь угодно большим. Так как Cj (N, т) —> оо при 7V—> оо, то это и означает, что нижний порядок функции и (х) в этом случае бесконечен.
4.6.5.	Теорема Иверсена
Классическая теорема Иверсена [1915] утверждает, что если / (z) — целая функция, то существует такой путь Г, уходящий в оо, что
/ (z) —> оо при z —> оо	на Г.
Мы установим аналог этой теоремы для субгармонических функций. Ряд серьезных проблем возникает здесь из-за того, что эти функции не являются, вообще говоря, непрерывными. Это обстоятельство заставляет нас рассматривать вместо пути Г континуум, уходящий в оо. Дадим соответствующее определение.
Будем говорить, что Г есть континуум, уходящий в оо в (Rm, если
г= и ь, п=1
где Тп — такие континуумы, что
Л Тп+1 ¥= 0, П = 1, 2, . . .,
и для любого компакта Е существует такое 7г0 = тг0 (А), что
Тп П Е = 0> п >п0.
Континуум Г называют асимптотическим континуумом и пишут
и (х) —> а при х —> оо на Г,
если либо а конечно и для любого заданного е > 0 существует такое 7?0 (е), что
| и (х) — а | < е при х £ Г, | х | >7?0 (е),
либо а = -роо и для любого заданного К > 0 существует такое Rо (А), что
и (х) >К при х g Г, | х | >А0 (е).
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
205
Следующая теорема принадлежит Талпуру [1976].
Теорема 4.17. Если функция и (х) субгармонична в и С — толстая компонента множества, где и (х) Ку для некоторого Кх, то существует асимптотический континуум ГаС, такой, что и (х) М при х -> оо на Г, где М — точная верхняя грань и (х) на С. В частности, в качестве М мы можем всегда взять точную верхнюю грань функции и (х) в Rm.
Предположим, во-первых, что М конечна. Тогда, согласно (4.6.11), утверждение теоремы 4.17 имеет место для почти всех прямых Г, проходящих через начало координат.
Если М = +оо, то по теореме 4.15 и ее следствию существует такое Кй, что функция и (х) не ограничена на любой толстой компоненте С (К) при К > Кй. Возьмем К2 = max (Кй, Ку), положим Мп = К2 4- п и выберем такую точку Ху в С (Ку), что и (ху) >Му. Так как М = 4~оо, то такая точка Ху существует. Если точки хп уже выбраны так, что и (хп) ^>Мп, то через Сп обозначим ту компоненту множества, где и (х) Мп, которая содержит точку хп. Тогда и (х) не ограничена на Сп и, следовательно, найдется такая точка хп+1 в Сп, что и (хп+1) >Мп+1. Итак, Ху £ С (Ку) и, следовательно, в Су существует точка х2. Так как хп+1 £ Сп и Мп+1 ^>Мп, то Сп+1 с Сп. Таким образом,
СпаСп.1С. . .^Су^С(Ку).
Точки хп и хп+1 лежат в Сп; значит, существует континуум уп, содержащий хп и хп+1 и такой, что уп с Сп. Положим
оо
Г= U уп;
П=1
Г расположен в Су и, следовательно, в С (К), как и требуется. Кроме того, и (х) Мп на уп. Если Е — произвольный компакт, то и[(х) <С.МПо на Е для некоторого тг0, так что уп не пересекается с Е для п п0. Это означает, что Г является континуумом, уходящим в оо, и и (х) —> оо при х —> оо на Г.
Пусть функция и (х) ограничена постоянной М в Rm и М конечна. По теореме 4.15 можно выбрать Ку <ZM, и тогда М является верхней гранью функции и (х) на единственной толстой компоненте множества, где и (х) Ку. Если М = 4~оо, то выбираем Ку Z>K0, где Кй определено, как в следствии теоремы 4.15. Тогда существует толстая компонента С (Ку), на которой функция и (х) не ограничена сверху. Теорема 4.17 полностью доказана.
Легко видеть, что если функция и (х) непрерывна, то в качестве Г можно выбрать путь. Имеет место следующая
Теорема 4.18. Если в предположениях теоремы 4.17 функция и (х) непрерывна, то в качестве Г можно выбрать кусочно-полиго-
206
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
налъный путь, т. е. в качестве уп в определении Г могут быть выбраны отрезки прямых.
Действительно, в этом случае функция и (х) равномерно непрерывна на любом уп. Предположим, что и (х) Кп > Кп-Г на уп, и положим е = Кп — Кп^. Тогда, ввиду равномерной непрерывности, найдется такое 6П, что
и (я) >Яп-1, ^бТп(бп),
где уп (6П) есть 6п-окрестность уп, т. е. множество всех точек, расстояние которых до уп меньше 6П. Очевидно, что уп (8п) — открытое множество. Если £п,	— точки уп (бп), то они могут быть соеди-
нены с точками хп, х'п в уп отрезками прямых, целиком лежащими в Уп (бп)- Таким образом, £п, могут быть соединены континуумом, лежащим в уп (6П), и, следовательно, уп (8п) — связное открытое множество, или область. Любые две точки в произвольной области D можно соединить ломаной линией, или полигональным путем, лежащим в D. В самом деле, если Dr обозначает множество точек, которые можно соединить таким образом с точкой хг в D, a Z>2 — остальные точки, то множества Z)1 и D2 открыты в D и образуют разбиение D, если D2 не пусто.
Итак, если хп — любая точка из уп f] yn-i, то можно соединить хп с хп+1 ломаной линией, лежащей в уп (8п), на которой и (х)
Кп.г. Так как Kn-Y -> М, то отсюда следует, как и раньше, что Г является континуумом, уходящим в оо, но теперь Г есть счетное объединение прямолинейных отрезков. Теорема 4.18 доказана.
4.6.6.	Построение асимптотического пути
Проблема нахождения пути вместо асимптотического континуума для общих субгармонических функций довольно трудна. Талпур [1975] показал, что в плоскости кусочно-полигональный путь действительно может быть найден. Немного позднее Фуледе [1975] доказал, что такой путь может быть найден и для высших размерностей. Его доказательство опирается на глубокую теорему Нгуен-Хен-Лока и Т. Ватанабе [1972] о броуновском движении. Этот последний результат показывает, что если хг и х2 принадлежат связному множеству G, в котором субгармоническая функция положительна, то хг и х2 в G могут быть соединены путем (по существу, броуновской траекторией). Отсюда немедленно следует, что в определении асимптотического континуума континуумы уп могут быть заменены путями, и тем самым мы получаем в действительности асимптотический путь Г.
Карлесон [1974] при помощи тонких прямых рассуждений показал, что кусочно-полигональный асимптотический путь всегда
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
207
существует; в его доказательстве не используется линейная связность связных множеств, в которых и (х) >0.
Мы не располагаем здесь местом, чтобы изложить все упомянутые результаты, отдельные из которых весьма глубоки. Вместо этого мы докажем несколько более слабую теорему о линейной связности, из которой вытекает существование асимптотического пути, однако не полигонального. Наш результат составляет
Теорема 4.19. Пусть функция и (х) субгармонична в окрестности N континуума F и и(х) К в F. Тогда если хг и х2 — две точки F, то в N существует путь, соединяющий эти точки, на котором и (х) ^ К — 1.
Следствие. В качестве континуумов уп в конструкции множества Г в теореме 4.17 можно выбрать пути. Следовательно, Г есть асимптотический путь, т. е. непрерывный образ положительной действительной полуоси.
При выводе этого следствия достаточно предположить, что М = -|-оо, так как в противном случае в качестве Г можно выбрать прямую. Пусть хп — точки, выбранные при доказательстве теоремы 4.17. Тогда, по построению, хп и хп+1 могут быть соединены континуумом, на котором и (х) К2 -|- п, где К2 — константа, и, следовательно, по теореме 4.19, точки хп и хп+1 могут быть соединены путем, на котором и (х) К2 -|- п — 1. Запишем этот путь в виде
х = а (£), п — 1 t а,
где а (Z) — непрерывная функция и а (п — 1) = хп, а (п) = = хп+1. Выбранная так функция а (£) определена для £	0,
непрерывна и, кроме того, и {а (£)} К2 -|- t — 1 для всех t. Таким образом, путь Г, заданный отображением х = a (t) для /	0, и является искомым асимптотическим путем.
Докажем теорему 4.19, основываясь на лемме 4.12. Однако нам потребуется несколько более точная формулировка результата, установленного в этой лемме.
Лемма 4.13. Пусть функция и (х) субгармонична в шаре С (хг, г) и и{х-^ К h, и(х) К F В в Ct (хг, г), где h, В — положительные константы и К — действительное число. Тогда если и (х2) К + h и | х2 — х± |^6, где
и а — Пщ — положительная константа, зависящая только от т, то точки хг и х2 могут быть соединены в С (хг, г) континуумом, на котором и (х) К.
208
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Продолжим наше построение. Окрестность 7V континуума F содержит множество F' всех точек, расстояния которых до F не превосходят некоторого положительного г. Так как F' компактно, то множество точек, в которых и (х) К — 1 + В, принадлежит F', где В — некоторая положительная величина. Выбрав таким образом В, положим
г =г2-п б = г
где а — константа из леммы 4.13.
Построим положительные целые числа j2, . . ., jn, . . . и точки 0	7 ^7172 • • • 7п, следующим образом. Так как
F связно, в нем существует такая цепочка точек 0	j\, что
£о =	= ^2 И I ^7+1	^7 I < бр
По лемме 4.13 точки и £}+1 могут быть соединены континуумом у], лежащим в С (^, гх), на котором и (х) К — 1 + 1/2. Так как у) — связное множество, на нем можно выбрать конечное число точек, образующих цепочку от к £}+1, в которой расстояния между соседними точками меньше б2. Повторяя точки, если необходимо, мы можем предположить, что в каждой такой цепочке от к число точек равно /2 + 1- Перенумеруем все эти точки и обозначим их через У, 0	7'	Л/'г- Если р — целое,
0 < р < Л, то	Если же pj2 < / < (р + 1) /2, то точ-
ка лежит на континууме ур, соединяющем Ц и £р+1 и располо-женном в С (£р, г2), причем и (х) К —1 + ^-на ур.
Предположим, что точки ££ уже построены для 0 р < 717г • • • 7п и
1^+1 — I <6п,	0<р<7172...7п-1,
w(^)>£-1 + 2‘-".
Тогда точки ££ и £р+1 могут быть соединены в С (£", гп) континуумом, на котором и (х) ~^ К — 1 + 2~п. На этом континууме выберем такие точки g+1, pjn+1 < j < (р + 1) jn+1, что
С = & ^+1)Jn+1 = ^+1,	(4-6.12)
|^-^+1|<бп+1.	(4.6.13)
Таким образом, точки & построены для всех п.
Пусть Q, для некоторого п, обозначает множество всех рациональных чисел t вида
iii2 ••• in ’
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
209
где р — целое, 0 р ii]\ .  • ]п. Определим функцию а (£) на этих рациональных числах равенством
a (Z) =
ввиду (4.6.12) она определена однозначно. Заметим, что функция a (t) равномерно непрерывна на Q.
В самом деле, предположим, что t, t' — такие два числа из Q, что
.	(4.6.14)
/1/2 • • • /П
Тогда t и t' либо оба принадлежат одному интервалу, либо лежат в смежных интервалах вида
.. р .	. П1—.	(4.6.
Illi • • • In	Illi •••In
Пусть точки t, t' принадлежат интервалу (4.6.15). Если t = = qljiji . . . /п+i, то а (£) есть точка континуума, принадлежащего С гп) и соединяющего и £р+1- Таким образом, если t0 = = piiii2 • • • Л, то
| а (0 — a (Zo) | < гп.
Если t принадлежит интервалу (4.6.15) и имеет вид
Illi • • • ln+h
то по индукции получаем
| a (Z) — a (£0) |< гп + гп+1 + . . . + rn+h < 2гп.
Это неравенство имеет место для всех t £ Q, которые удовлетворяют соотношению (4.6.15). Если t, t' связаны неравенством (4.6.14) и лежат в одном и том же интервале или в смежных интервалах вида (4.6.15), то получаем, что
I a (t) — а (£') | < 4гп.	(4.6.16)
Таким образом, функция a (Z) равномерно непрерывна на Q, и так как Q плотно на отрезке [0, 1], то а (£) можно единственным образом продолжить до непрерывной функции на всем отрезке [0, 1]. Для любого t £ [0, 1] нужно только найти такую последовательность tn £ Q, что tn t. Тогда, в силу равномерной непрерывности, последовательность a (tn) также сходится к какому-то пределу, который мы по определению считаем равным a (t). Ясно, что это определение не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности tn. Далее, если t, t' — любые числа из отрезка [0, 1], удовлетворяющие (4.6.14), то неравенство (4.6.16) также имеет место и, следовательно, функция а (£) непрерывна. Итак, х = a (£) есть путь у, соединяющий точки хт и х2. Все точки у 14-0623
210
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
лежат от F на расстоянии, не превосходящем г = 2гх, следовательно, у лежит в N.
Осталось показать, что и (х) К — 1 на у. Для этого предположим, что z = a (t)— некоторая точка на у, и пусть tn — наибольшее не превосходящее t число вида
п iiii • • • iп ’
где р — целое. Положим zn = a (tn); тогда, по построению, точки zn и zn+1 принадлежат континууму уп в С (zn, г„), на котором и (х) К — 1 + 2_". Положим
N
Гх = и Уп-
п=1
Так как для | имеем
п—1	п	п
I £ — 21 К 2 | Zv — Zv+1 I +ГП< 2 '•v = r1 2 21~v<2r1 = r, v=l	v=l	v=l
то отсюда следует, что ГЛ лежит в С (zx, г). Таким образом, ГЛ-полностью принадлежит компоненте С множества точек в С (z17 г), где и (х)~^ К — 1, которая содержит zx. В частности, все точки zn принадлежат С. Так как множество С замкнуто и zn z при п -> сю, то z £ С, т. е. и (z) К — 1, и теорема 4.19 доказана.
Иногда полезно иметь жорданову дугу, соединяющую точки хт и х2, т. е. путь без самопересечений. Такую возможность дает следующая х)
Теорема 4.20. Если у — путь с различными концами хг, х2г принадлежащий множеству Е, то на Е существует жорданова дуга с этими же концами.
Пусть /0 обозначает замкнутый интервал [0, 1], а путь у задан равенствами
х = a (t), t £ 10, а (0) = xlt а (1) = х2.
Если для t=^t' всегда а (£)=/= а (£') > то у — жорданова дуга. Если нет, то пусть (Zx, Z') обозначает такой интервал /х, что разность Z' — максимальна при условии, что а (£') = а (Zx). Пусть интервалы /х, /2, . . ., /п-х определены; тогда в качестве 1п = = (tn, t'n) выбираем интервал максимальной длины, принадлежащий множеству
п—1 /о- U Iv
V=1
1) См. Керекьярто [1923].
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
211
и такой, что a (tn) = а при условии что такая пара различных точек существует. Процесс либо заканчивается, когда уже нельзя выбрать новый интервал 1п, либо продолжается бесконечно. В любом случае мы пишем J = /0 — J Iv. Тогда
(i) J — совершенное множество, т, е, замкнутое множество без изолированных точек, кроме, возможно, точек 0 и 1;
(ii) если t, t’ — различные точки J, не являющиеся концами какого-то одного интервала Iv, то a (Z) =/= а (£').
Ясно, что J замкнуто, так как J Iv открыто. Если бы множество J имело изолированную точку t0 =/= 0, 1, то нашлись бы интервалы /и, Iv, лежащие по)разные стороны от t0. Тогда интервал
U t0 (J Iv имел бы большую длину, чем /и, Iv, что противоречит нашему построению, при котором на каждом этапе выбирались интервалы максимальной длины. Полученное противоречие доказывает (i).
Аналогично доказывается (ii): если а (£) = а (Т), то на некотором шаге величина | t — t’ | будет больше длины интервала Iv, что приводит к противоречию.
Построим теперь функцию р (t), непрерывную и неубывающую на отрезке [0, 1] и такую, что р (0) = О, Р (1) = 1 и р (Z) постоянна на интервалах Iv и только на них. Если точка 0 является концом одного из интервалов Iv, то на замыкании этого интервала положим р (£) = 0. Аналогично, если точка 1 служит концом Iv, то на замыкании Iv положим р (Z) = 1, Если существуют другие интервалы Iv, то выберем один из них наибольшей длины, переобозначим его /j/2 и положим на нем р (Z) = 1/2, Затем выберем левее интервала /1/2 интервал Iv наибольшей длины (если он существует), переобозначим его /1/4 и положим на нем р (t) = ,1/4. Аналогично определяется интервал /3/4, в точках которого полагаем р (t) = 3/4, Предположим, что на каком-то этапе построены точки или интервалы Iv, на которых соответственно Р (t) = ц/29 и р (t) = (р + 1)/29, Если между ними найдется некоторый интервал Iv, то мы полагаем (2р 4- 1)/29+1 на наибольшем таком интервале, С другой стороны, так как множество J не имеет изолированных точек, то в 7 между точками, где р (Z) = pi2q и р (£) = = (р + 1)/29, должен располагаться целый интервал Jo. Определим р (t) на интервале Jo как линейную функцию и, в частности, положим р (t) = (2р + 1)/29+1 в середине интервала Jo.
Так как на каждом шаге функция р (Z) определяется на наибольшем интервале Iv из тех, в которых она не была определена ранее, ясно, что функция р (Z) определена и постоянна на каждом из интервалов Iv и в их концах, В полных интервалах из J между и Iv функция р (Z) непрерывна и строго возрастает. Другие точки t0 являются пределами концов интервалов, где р (Z) опре-14*
212
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
делена, и так как |3 (t) — неубывающая функция там, где она задана, то мы определим Р (t0) как предел соответствующих значений функции р (t). Так как функция р (/) принимает любое значение вида p/2q, она не может иметь скачков и, таким образом, непрерывна. По построению, функция р (t) постоянна только на интервалах Iv и равна там p/2q (с некоторыми р и q).
Для любого т, О т 1, через Р = Р'1 (т) обозначим множество точек t, где р (t) = т. Если Р состоит из одной точки t, то t не может быть концом никакого интервала /v, и мы полагаем h (t) = a (t). Если Р — интервал, задаваемый неравенством t± t /', то (К, /') есть некоторый интервал /v; таким образом, а (К) = а (t'i) и мы полагаем h (т) = a (К) = а (/'). Ясно, что h (т) по-прежнему непрерывна, но принимает в разных точках различные значения, т. е. х — h (т) определяет жорданову дугу, соединяющую точки и хг. Кроме того, значения, принимаемые функцией h (т), образуют подмножество множества значений функции а (/). Это доказывает теорему 4.20.
Заметим, в частности, что путь, фигурирующий в теореме 4.19, всегда можно считать жордановой дугой.
4.6.7.	Рост на асимптотических путях
Естественно спросить, как быстро должна расти к бесконечности функция и (х) на асимптотическом пути. Если ограничиться только оценкой сверху, то на этот вопрос можно дать достаточно полный ответ х).
Теорема 4.21. Пусть функция и (х) субгармонична в не ограничена сверху и имеет конечный нижний порядок X, или, более общо, имеет конечное число No трактов. Тогда для любой заданной последовательности хп, такой, что и(хп)-+оо, существует асимптотический путь Г, содержащий бесконечную подпоследовательность точек хп. Если No = 1, то можно выбрать Г так, что он будет содержать все, за исключением конечного числа, точки хп.
Следствие. Если No <°о, то существует асимптотический путь Г, на котором функция и (х) имеет тот же порядок и тип, что и в Rm.
По теореме 4.16, No конечно, если конечен порядок X. Итак, предположим, что No конечно. Тогда найдется такое число Ко, что при любом Ко существует ровно No толстых компонент Cv (К), v = 1, . . ., No, множества, где и(х) К. Каждая такая
!) В случае, когда и (z) = log |/«z)| , где / (z) — целая функция, два нижеследующих результата получены Хейманом [I960]. [Более сложный вопрос о нижнем порядке на асимптотическом пути см. в статьях Чжан Ганхэ [1977] для случая a = log | / |, / — целая функция, и Ерёменко [1979Ы ,в общем случае т^2.— Прим. ред.\
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
213
компонента содержит ровно одну компоненту Cv (К'), если К' > К. Если хп — такая же последовательность, как в теореме 4.21, то все, за исключением конечного числа, точки хп принадлежат
и cv(K0).
V=1
Таким образом, по крайней мере одна компонента, например Сг (К0), содержит бесконечно много точек хп.
Предположим, что уп — бесконечная подпоследовательность последовательности хп, принадлежащая С\ = Сг (Ко), и пусть, кроме того, и (уп) >п (г/п-х) и и (г/х) > Ко. Выберем Кп так, что и (.Уп) <Кп <и (уп+i), п 1. Тогда компонента Сг (Кп) содержит все точки в в которых и (х) > Кп, и, в частности, точки Уп+ъ У п+2- Отсюда следует, что в (\ (Кп) существует континуум, содержащий точки г/п+1 и уп+2. Тогда, по теореме 4.19, найдется путь уп, соединяющий г/п+1 и уп+2, в точках которого и (х)
Кп — 1. Мы утверждаем, что
является искомым асимптотическим путем. Действительно, Г содержит все точки уп. Кроме того, и (х) ^n-i на Г вне конти-п- 1
нуума J yv и, таким образом, и (х) —> -|-оо при х—> сю на Г.
V—1
Так как и (х) Кп — 1 в точках уп, то уп лежит вне фиксированного компактного множества при достаточно больших п.
Если No = 1, то существует ровно одна толстая компонента С (К) при К Ко, заведомо содержащая все точки хп, в которых п (хп) > К. Без ограничения общности можно считать, что и (хп) не убывает с возрастанием п. Пусть п0 обозначает наименьший индекс, для которого и (хп^) > Ко, а пр — первый такой индекс, что и (^пр)>“(а:пр г); число Кр выберем таким, что
и С К-p < и- (^-яр+х)-
Тогда компонента С (Кр) содержит все точки xv для v nP+i и, следовательно, в С (Кр) существует континуум ур, содержащий все точки xv для пр+х v пР+2- Действительно, построим такой континуум yp,v, содержащий точки яПр+1 и xv> и положим
и Р+2
Ур = U Тр, v-
V=>lp+X
По теореме 4.19, найдется путь соединяющий xv и а\,+1, пР+х
v <тгР+2, на котором и (х)~^Кр — 1. Тогда путь Г = U Тр> р=1
214
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
содержащий все точки xv для v пг, является искомым. Теорема 4.21 доказана.
Для доказательства следствия достаточно построить последовательность хп, на которой рост функции будет максимальным. Если функция и (х) имеет порядок р, то выберем последовательность точек хп из условия
log и (хп)
log I®nl
Если р конечно, а тип функции и (х) не меньше Т, то точки хп выберем так, что
lim	Т’.
П-.ОО lZ7l|P
Тогда если уп — подпоследовательность последовательности хп, принадлежащая Г, то 5Г (| уп |, и) и (уп), и следствие доказано.
Рассмотрим далее случай, когда нижний порядок функции бесконечен; здесь результаты слабее.
Теорема 4.22. Если функция и (х) имеет бесконечный порядок, то для любого р > 0 существует асимптотический путь Г = = Г (р), на котором функция и (х) имеет порядок не меньше р.
Таким образом, существует асимптотический путь, на котором функция и (х) имеет произвольно большой конечный порядок. Однако, как мы увидим, и (х) не обязательно имеет бесконечный порядок на каждом асимптотическом пути.
Начиная доказательство теоремы 4.22, заметим, что если число No трактов конечно, то, как вытекает из следствия теоремы 4.21, функция и (х) имеет бесконечный порядок на некотором асимптотическом пути и, значит, можно предположить, что No = оо.
Выберем положительное целое число N настолько большим, что сх (N, т) >р, где сх (N, т) — величина, фигурирующая в теореме 4.12. Так как N0 = oo, то при достаточно больших Ко найдется N попарно различных компонент Cv = Cv (Ко), v = 1, . . ., N. Докажем прежде всего, что по крайней мере одна компонента Cv обладает тем свойством, что функция и (х) имеет порядок больше р на любой содержащейся в Cv толстой подкомпоненте C’v.
Предположим противное, а именно пусть для v = 1, . . ., N существует принадлежащая Cv толстая компонента C'v = Cv (Kv), на которой функция и (х) имеет порядок не выше р. Положим
f и (х) — Kv, xfC'., yv(*) = |	0, х^С'у.
Функции vv (х) удовлетворяют всем предположениям теоремы 4.12 в D (0, г), где г достаточно велико. Таким образом, для всех боль
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
215
ших г, в обозначениях теоремы 4.12, имеем Во (г) Arci, где А — константа, а следовательно, по крайней мере для одного v
Bv (г) > /1г'1,	(4.6.17)
где В v (г) = Kv + sup и (х). Итак, неравенство (4.6.17) имеет х 6 Су, 1х| =г
место при произвольно больших значениях г по крайней мере для одного v, но это противоречит предположению о том, что порядок функции и (х) на Су не выше р <сх (7V, т).
Пусть теперь С = С (Ко) — такая компонента, что функция и (х) имеет порядок больше р на любой ее толстой подкомпоненте и, в частности, на всей С. Пусть Кп = Ко + п и хг — любая такая точка в С, что и (х±) > К± + | хг |р. Если точка хп уже построена, то выберем в качестве Сп компоненту множества, где и (х) Кп, содержащую хп, и найдем в ней такую точку ;гп+1, что
w (я:п+1) >Кп+1 + | хп+1 |р.	(4.6.18)
По индукции получаем
Сп с С„ -! с . . . с CjC Со.
Так как функция и (х) имеет порядок выше р на Сп, то точка хп+1 существует. Далее, точки хп и хп+1 лежат на континууме уп в Сп, на котором и (х) Кп, а следовательно, существует путь соединяющий х7, и хп+1, на котором и (х) Кп — 1. Таким образом,
ОО г= и Уп п=1
является асимптотическим путем, содержащим точки хп, и ввиду (4.6.18) функция и (х) имеет на Г порядок не меньше р. Теорема 4.22 доказана.
4.6.8.	Три примера
Мы закончим эту главу тремя примерами, которые показывают, что результаты предыдущего пункта не могут быть значительно улучшены.
Примеры
1.	Функция и (х) = | хг |, где х = (о^!, х2, . . ., хт), субгармонична и имеет порядок 1 в Rm, т 2. Если К >0, то множество точек, где и (х) распадается на две компоненты: хг у> К и хТ < —К. Таким образом, существуют два тракта. Если уп — последовательность ((—1)"п, 0, . . ., 0), то и (уп) = п—^ сю. Но любой континуум, соединяющий уп и уп,, где п четно, а п' нечетно,
216
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
должен пересекать гиперплоскость хг = 0. Таким образом, если
оо
г= и уп
п=1
— асимптотический континуум, то все ул, выходящие из определенной точки, должны лежать или в одном и том же полупространстве х± >0 или хг <0. Следовательно, Г не может содержать бесконечно много точек уп как с четным, так и с нечетным п. Итак, условие No = 1 существенно для последней части теоремы 4.21. Можно показать (Фридланд и Хейман [1976]), что если No = 2, то нижний порядок функции не меньше единицы.
2.	Пусть г]п — последовательность положительных чисел,
ОО
такая, что ЗЛп — 2, и еп — последовательность положительных п==1
чисел, для которой при любом фиксированном г >0
епг1/Лп -> 0 при тг->оо.
п
Положим Sn = V 'Hv, s0 = 0, и пусть
V=1
/ \	1 /ЛLL • / 0\
w (z) = enr ’n sin I-—t
X 'In •
где z = reie, nsn_j^6^nsn, n=l, 2, . .. .
Функция и (z) субгармонична в z-плоскости. Для точек z, не лежащих на прямых 0 = nsn, это очевидно, так как вне этих прямых функция и (z) гармонична. На всех этих прямых и (z) = = 0 и, кроме того, всюду и (z)	0. Следовательно, неравенство
со средним значением выполнено и для точек, принадлежащих указанным прямым.
Наконец, функция и (z) всюду непрерывна. Это очевидно для всех точек, кроме точек действительной положительной полуоси. Ясно, что при 0 —> 0 сверху и ограниченном | z |
и (z) = enri,x>n sin ((0 — nsn-j/rin) -> 0.
Если 0-> 2п и г Я, то и (z) = О {en/?l/1in} -> 0. Таким образом, функция и (z) непрерывна и в точках положительной полуоси.
Так как при любом фиксированном п
,. й (г, и)	п
hm ..>еп>0 Г^оо Г п
и г]п —> 0, то функция и (z), очевидно, имеет бесконечный порядок. Нетрудно видеть, что подходящим выбором последовательностей г]п и еп можно заставить В (г, и) стремиться к бесконечности сколь угодно быстро (для этого надо взять очень быстро стремящуюся к нулю последовательность г]п и положить еп = п~1/г*п') или сколь
4.6. ТРАКТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
217
угодно медленно (взяв достаточно быстро убывающую последовательность еп), но так, чтобы функция имела бесконечный нижний порядок (читатель может это проверить самостоятельно).
С другой стороны, и (z) = 0 на всех прямых arg z = nsn.
Таким образом, если Г = J yv — асимптотический континуум, v=l
то и (z) >0 на для v ;> v0, и, следовательно, yv не может пересекать ни одну из этих прямых. Если yVo содержит такую точку z, что
nsn-i < arg z <nsn,
то это неравенство должно иметь место во всех точках yVo, а значит, на Tvo+i. и> следовательно, на всех yv, v v0. Итак, Г лежит в этом угле и, следовательно, порядок функции и (z) на Г не выше 1/г]п, т. е. функция и (z) имеет конечный порядок на любом асимптотическом континууме.
3.	Величина сг (к, т) в теореме 4.12 играет ключевую роль-в теории, и поэтому интересно получить для нее оценку снизу. Мы покажем, что оценка в теореме 4.12 дает по крайней мере правильный порядок при к -+ сю и фиксированном т.
Для этого вспомним примеры п. 4.3.1. Там говорилось, что для заданного X > 2 существует субгармоническая в функция и (х), такая, что
и (х) = 0, л / X 0 л,
и (х) = | х |а (1 + cos Х0),	0^0 < л/Х,
(4.6.19)
(4.6.20)
где
а = ЗХтп3/2.	(4.6.21)
Пусть £ = (lx, • • ., £m) — любая точка на единичной сферн и для любой точки х g Rm, х 0, пусть х' = (х[, . . ., х'т) = = х!\ х | — соответствующая ей точка на той же сфере. Определим 0 формулой
т
COS0= 2
В=1
(4.6.22).
тогда
| х' — £ |2 = 2 (1 — cos 0).
Функция и (х), заданная равенствами (4.6.19)—(4.6.21), где угол О определен соотношением (4.6.22), субгармонична, так как свойство субгармоничности инвариантно относительно ортогональных преобразований в Rm. В частности, построенная функция и (х) неотрицательна, не равна тождественно нулю и равна нулю при \ х' — £ 12 2 (1 — cos у j, т. е. при \х' — £ | 2 sin .
218
ГЛ. 4. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если 6 >0 задано, то можно, конечно, найти N таких точек 7 = 1, . . ., N, на единичной сфере в Rm, что
I - I, I > б >0, 1 с i <;< N, (4.6.23)
где N (l/б)”1-1 и А± — константа, зависящая только от т.
Если 6 > то можно положить N = 1. В противном случае выберем наибольшее целое к >0, такое, что Тсб </ 1/У т, и в качестве точек рассмотрим все точки вида (xlt х2, . . ., хт), где
х} = Vj8, —к $// vj 5^ к, / = 1, . . ., т — 1,
Так как для каждого V; имеется 27с + 1 возможных значений, то мы получаем таким способом N = (2к + I)"1-1 > (1/6/т)™-1 различных точек, находящихся друг от друга на расстоянии не меньше б.
Занумеруем эти точки . . ., выберем а >3тп3/2, определим X при помощи (4.6.21), положим 6 = 4 sin (л/2Х) и построим функции Vj (х) так же, как была построена выше функция и (х), с заменой £ на
Множества, где Vj (х) >0, не пересекаются для разных j, так как не пересекаются множества \х' —	| <2 sin (л/2Х) =
N
= 6/2. Таким образом, если и (х) — 3 Vj (х), то функция и (х) 7=1
субгармонична в К.™, имеет порядок а и средний тип, а при К >0 существует N компонент множества, где и (х) К, и
2V^{4 J/ т sin (л/2Х)}1-т = т sin (1,5л7П3/2/а))1_т^г ^(а/блтп2)7”-1.
В частности, если N выбрано таким образом, то в теоремах 4.12 и 4.16 должно быть
Cf (N, тп)^а <6л7п2М1/(,п_1).
Более точные результаты были получены Бреннаном, Фуксом, Хейманом и Кураном [1976]. Они показали, что правильный порядок величины с± (N, т) с точностью до множителя, равного абсолютной постоянной, равен log N, если 2 <7 N < 2т, и m2V1/<m"1>, если N 2т.
Г лава 5
ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
5.0. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3 было показано, что всякая субгармоническая функция может быть локально представлена в виде суммы потенциала и гармонической функции. В настоящей главе мы исследуем свойства потенциалов, которые получаются таким способом, а также свойства несколько более общих потенциалов (если это не вызовет дополнительных сложностей). Это исследование естественным образом приведет нас к понятию емкости множеств в которое является одним из возможных обобщений таких понятий, как объем, длина или площадь. Некоторые множества емкости нуль оказываются устранимыми множествами в различных вопросах, таких, например, как принцип максимума для ограниченных гармонических функций или задача Дирихле. Это приведет нас к существенно более общему понятию решения задачи Дирихле, функции Грина и формулы Пуассона — Йенсена. Наконец, в последних двух параграфах изложены результаты Шоке о емкостях, которые показывают, что для аналитических и, в частности, для борелевских множеств внутренняя и внешняя емкости совпадают.
5.1.	ПОТЕНЦИАЛЫ И а-ЕМКОСТЬ
Положим
К-a = — I х I а >0, Ко (х) = log | х |.
Пусть Е — компактное множество в пространстве и ц — такая мера на Е, что ц (Е) = 1. Для х £ определим а-потенциал Va (х), полагая
Va(x) = j Еа(х — у) с/ц(г/).
Е
Так как функция Ка (х) суб гармонична в при а <' m — 2, то из теоремы 3.6 (i) следует, что функция Va (х) в этом случае также субгармонична в Rm. Кроме того, если а = т — 2, то Va (х) гармонична вне множества Е. Это наиболее важный для нас случай, поэтому для а = т — 2 функции Ка (х) и Va (х)
220
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
будут обозначаться просто К (х) и V (х). Далее, если а ^>т — 2, то функция Va (х) супер гармонична вне множества Е.
Заметим, что во всех рассматриваемых случаях функция Ка (х) полунепрерывна сверху. Поэтому, в силу теоремы 3.6, функция Va (х) полунепрерывна сверху в По той же причине, функция Va (х) непрерывна вне множества Е. Мы можем: доказать несколько больше.
Теорема 5.1 (принцип непрерывности) х). Если х0 — точка множества Е и потенциал Va (х) непрерывен в хр как функция, определенная только на Е, то Va (х) непрерывен в х0 и как функция, определенная всюду в
Так как Va (х) непрерывен в точке x(i как функция на Е, то Уа (z0) = Ко >—°°- Кроме того, функция Va (х) пн. св., так что
lim Va(x)^V0.
X->XQ
Докажем, что
lim Уа(а:)>У0,	(5.1.1)
в предположении, что это неравенство выполнено, если х х9 по множеству Е.
Так как значение Уо конечно, то мера точки x(i не может быть положительной. Пусть р — малое положительное число. Обозначим через D дополнение к множеству Е и положим
Dp = D П D (х0, р), Ер = Е П С (х0, р).
Если х0 — изолированная точка Е, то х0 не несет никакой массы, и поэтому Va (х) во всяком случае непрерывен в х0. Далее, если ха является внутренней точкой множества Е, то она имеет окрестность D (х0, р0), целиком лежащую в Е, и утверждение теоремы 5.1 выполняется тривиальным образом. Поэтому можно считать, что x(i — граничная точка множеств Е и D.
Пусть х £ Dp и Ху — ближайшая к х точка Ер, так что Ху — х I I х — а, | для всех а £ Ер. Тогда для всех а £ Ер
| Ху — а |	| х — Ху | + | х — а |	2 | х — а |.	(5.1.2)
Выберем теперь для данного е > 0 число р настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
— Ка (х0 — a) dp (а) < е.
х) Эванс [1933].
5.1. ПОТЕНЦИАЛЫ И а-ЕМКОСТЬ
221
Такой выбор возможен, так как Va (х0) конечно. Ясно, что функция j Ка (х— а) dp (а) е-ер
непрерывна в точке хр. Так как для хг £ Е потенциал Va (а^), рассматриваемый как функция переменного х±, непрерывен в точке х0, то
ка(х1 — a)dn(a) = Va (^1)— j Ka(x—a)d\i(d)
Еп	E-En
P	P
как функция x± тоже непрерывен в xQ. Поэтому если | х± — xQ | < <Pi <р, то
j —Ка (xi — a)d[i(a)<Z j —Ка (xQ — a) d\\> (а) + £ < 2s.
Е	Е
Р	Р
Предположим теперь, что | х — х$ | < р2 < рх/2. Тогда, согласно <5.1.2), | хг — х0 | <рР
Если а = 0, то из (5.1.2) получаем
—Ка (я: — а)< — Ка — а) + log 2.
Следовательно, если выбрать р настолько малым, чтобы р (Ер) < < е, то
j — Ка(х—a) dp (а) j — Ка (х^ — a) dp (а) + р (Ер) log 2 < Зе.
ер	ер
Если а >0, то из (5.1.2) следует, что
j —Ка(х — <z)dp(a)^2“j —Ka(xt — a) d\i (а) < 21+“е.
ер	ер
Далее, поскольку функция j Ка (х — a) dp (а) непрерывна в точ-Е-Ер
ке х = хр, то для | х — ха | < р2, а значит, для | хг — х0 | < 2р2 при достаточно малом р2 имеем
I Ка(х — a)d[L(a)— j Ka(xl — a)dp(a)|<8.
E-*Ep	E-Ep
В самом деле, оба входящих в это неравенство интеграла стремятся к j Ка (х0 — a) dp (а). Таким образом, мы получаем окончатель-Е-Ер
222
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
НО, ЧТО
|^а(я:) — Уа(^) |<| ( {Ка{х— а) — Ка(Х1 — a)}rfp(a)| +
' Е~ЕР
+ | j Ка (х— a) dp. (а) | + | Ka(xl—a) dp (а) | < 61+ае. ер	ер
Так как функция Va (xj непрерывна в точке хх = х0, то отсюда следует неравенство (5.1.1). Это завершает доказательство теоремы 5.1.
Аналогичным методом можно доказать также ограниченный принцип минимума, имеющий важные приложения.
Теорема 5.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 5.1 и, кроме того, Va (х) ц0 на Е. Тогда Va (х) р.' в Rm, где ц' = 2ац0, если а >0, и р' = р0 — log 2, если а = 0.
Как и ранее, обозначим через D дополнение к множеству Е в ОУ". Возьмем в качестве х произвольную точку D, и пусть хх — точка Е, ближайшая к х. Тогда точно так же, как в (5.1.2), для любого а £ Е имеем | rq — х | | х — а | и | хх — а | 2 | х—а |. Для а >0 это дает неравенство Ка (х — я) 2аАа (х± — а), так что
Уа (я:) > 2“Уа (ягД > pj,
как и требовалось. Если же а = 0, то Ко (х — а) Ао (х± — а)— — log 2, и в этом случае получаем
У0(^)>Уо(^)-1о82 j Zp>p0 — log2= pj.
E
Положим теперь
Za(p) = j Va(x)dp (*)= j ( Ka(x — y)dp(x)dp(y). E	EXE
Так как функция Ka (х — у) ограничена сверху на множестве Е, то этот интеграл всегда существует. Положим также
ya = sup Za(p) в
и назовем Уа постоянной равновесия множества Е.
Пусть d — диаметр множества Е, так что | х — у \ < d ъ Е. Тогда
Ко (х — у) < log d, Ка (х — у) < — d~a, а > 0.
Поскольку р (Е) = 1, отсюда получаем, что
Уо log d, Va —d~a, a >0.
5.1. ПОТЕНЦИАЛЫ И а-ЕМКОСТЬ
223
Определим теперь a-емкость Са (Е) множества Е, полагая
Со(£') = еуо,	а = 0,
(Е)	= (— Ра)-1/а, а>0.
Так как —оо	Va < +°о, то
0<Са (Е) <оо.
Если Са (Е) = 0, то 1а (pi) = —оо для любой меры pi. Это равенство выполняется всякий раз, когда а т, а также может выполняться для некоторых множеств Е и при а < т.
5.1.1.	Слабая сходимость
Нашей ближайшей целью является доказательство того, что» верхняя грань Va = sup 1а (pi) достигается для подходящей меры pi на Е, которую будем называть равновесным распределением. Для этого нам понадобится следующая теорема о слабой сходимости мер, которая имеет и большое самостоятельное значение.
Теорема 5.3 *). Пусть pin — такая последовательность мер на компактном множестве Е в Rm, что pin (2?) А при всех п, где А — некоторая постоянная. Тогда существует подпоследовательность pinp, слабо сходящаяся к предельной мере pi в Е, т. е. для любой непрерывной функции ср (х) на Е
j ср (х) йрПр ->• j ср (z) cZpi при р оа. Е	Е
Предположим, что множество Е расположено в гиперкубе | xt | sjC М, 1 = 1, . . ., т, где xt — координаты точки х. Рассмотрим все гиперкубы С вида
ai xt bi, 1 = 1, . . ., т,	(5.1.3)
где и bt — такие рациональные числа, что —М si а, < Ъ, si М. Множество таких гиперкубов счетно, и поэтому их можно занумеровать в последовательность Ch, k = 1, 2, ....
Для фиксированного к величины pin (Cft) ограничены константой А, поэтому мы можем найти такую подпоследовательность (п, 1) целых чисел, что pinl (С\)	1± при п-> оо. Затем можно
выбрать такую подпоследовательность (п, 2), что pin< 2 (С2) =>- 12 при п -> оо. Повторяя шаг за шагом этот процесс, для каждого положительного целого к найдем такую подпоследовательность (п, к), что pn< k (Ck) lk при п => оо. Здесь через (п, к) обозначен п-й член к-й подпоследовательности.
х) Фростман [1935].
224
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Рассмотрим теперь последовательность (п, п) и заметим, что для п > к последовательность (п, п) принадлежит к-й подпоследовательности. Следовательно, рп. п (Сk) l-k при п<х> для любого положительного целого к. Обозначим (р, р) через nv. Тогда пр ~^р, так что пр оо при р—>~оо, и поэтому pin (Ck) сходится к некоторому пределу pi (Cft) для каждого гиперкуба Ck, ограниченного гранями с рациональными координатами.
Построим теперь линейный функционал на множестве непрерывных функций на Е. Пусть ср (х) — такая функция. Обозначим через Д = {С\, С2, . . ., Ct} произвольное конечное семейство непересекающихся гиперкубов С, объединение которых содержит Е.
Пусть Мj и mj — точные верхняя и нижняя грани функции ср (х) на кубе Сj. Определим нижнюю и верхнюю суммы, полагая
*(Д, <р)= 2	S(\, ср) = 2
j—i	j=t
Заметим, что если Сj не пересекаются с множеством Е, то (С;) = = 0 для каждого п и, значит, рс (СД = 0. Поэтому соответствующие слагаемые в суммах можно положить равными нулю.
Назовем семейство Д' элементарным подразбиением семейства Д, если Д' получается из Д последовательными разбиениями одного гиперкуба С на два гиперкуба С и С". Если гиперкуб С задается неравенствами (5.1.3), то гиперкубы С и С" могут быть заданы этими же неравенствами для всех значений индекса i, за исключением одного какого-то значения i = i0; для i = i0 имеем
на С и	на С .
Так как
ЦПр(С') + НПр(С") = НПр(С), то pc (С') + pi (С") = pi (С). Далее, если обозначить через т', т", т нижние грани и через М', М", М — верхние грани функции ср (я) соответственно па С", С” и С, то сумма s (Д') не меньше s (Д), так как мы заменяем в s (Д) слагаемое nijp (Сне меньшим слагаемым m)pi (СД + zn'jpi (С"). Если С или С" не пересекаются с Е, то s (Д') = s (Д). Таким образом, подразбиение увеличивает нижние суммы и, аналогично, уменьшает верхние суммы.
Любые два конечных семейства Д и Д', содержащие множество Е, как нетрудно видеть, имеют общее подразбиение Д", которое получается, если взять все гиперкубы, образованные гранями гиперкубов семейств Д и Д'. Следовательно,
s (Д, ср) s (Д", ср) < 5 (Д", ср) 5 (Д', ср), так что любая нижняя сумма не превосходит произвольной верхней суммы.
5.1. ПОТЕНЦИАЛЫ И а-ЕМКОСТЬ
225
Пусть I — точная верхняя грань нижних сумм и J — точная нижняя грань всех верхних сумм; тогда I J. С другой стороны, поскольку функция ср (х) непрерывна на Е, она равномерно непрерывна, и поэтому для любого данного е > О найдется такое б, что если х, х' £ Е и | х — х' | < б, то | ср (х) — ср (х') | е. В частности, такое неравенство всегда выполняется, когда х и х' принадлежат одному и тому же гиперкубу диаметра, меньшего б.
Таким образом, если Д — произвольное семейство гиперкубов С, диаметров, не превосходящих б, то Mt — mt < е, и поэтому J—ср) — х(Д, ф)^2(-^г—mi) И (Сг)^е У, pi (СД^СеА, i	г
поскольку гиперкубы Сг не пересекаются. Так как е произвольно, то отсюда заключаем, что I = J.
Положим теперь
L (ср) = I (ф) = J (Ф)
и покажем, что L (ф) есть функционал в смысле § 3.2. Действительно, условие (3.2.1) очевидно. Далее, если а >0, то s (Д, сир) = = as (Д, ф), так что L (аф) = aL(tp). Аналогично, если а <0, то s (Д, пф) = aS (Д, ф).
Наконец, если f и g — непрерывные функции, то имеют место очевидные неравенства
s (Д, /) + s (Д, g)^s (Д, f + g)<^S (Д, f + g)^S (Д, /) + 5(Д, g).
Если Д — семейство достаточно малых гиперкубов, то первый и последний члены этого неравенства мало отличаются от L (/) + 4- L (g), поэтому
L (f + g) = L (/) + L (g).
Следовательно, условие (3.2.2) также выполнено и L (f) — положительный линейный функционал на Е. В силу теоремы 3.4, функционал L (/) может быть представлен в виде интеграла по некоторой мере pt на Е, так что для любой непрерывной функции / на Е Ь(/)= J fdp.
Е
Остается показать, что для любой непрерывной функции f на Е имеем
j fd\Lnp^L(f)= J fdp при р^оо.
Для этого возьмем некоторое семейство Д гиперкубов Ct. Тогда если тг и М -t — нижняя и верхняя грани функции f на Ci, то
lim f /c/pinp>lim 2	(с*) = 2 mi^(Ci) = s (Д, /).
р->оо	р-гСС	I
15-0623
226
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Аналогично,
lim [ fdpn^S (Д, f).
P^oc j	p
Так как эти неравенства справедливы для любого^семейства А, получаем
Z^lim j /dpnp<lim j fdpn^J, откуда
lim [ fdpn =L(f), p-»OC j	-V
как и требовалось. Это завершает доказательство теоремы 5.3.
5.2. ЕМКОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ *)
Теорема 5.4. Пусть Е — компактное множество в И™ и Va (Е) >—оо. Тогда на Е существует такое распределение единичной массы ц, что
1а (р) = V а (Е).
Пусть рп — такая последовательность распределений единичных масс на Е, что Ia (pn) Va (Е). В силу теоремы 5.3, переходя, если необходимо, к подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность рп слабо сходится к некоторой мере р на Е. Взяв f = 1 на Е, получаем, что
р (Е) = Г j dp = lim \ f dpn = lim pn (E) = 1. n-*OO J	n-*OO
Таким образом, p — единичная мера.
Докажем теперь следующее полезное утверждение.
Лемма 5.1. Если последовательность мер р„ на фиксированном компактном множестве F слабо сходится к мере р и если функция f (х) полунепрерывна сверху на F, то
lim f f (х) dpn(x)^. ( / (х) dp (х).
n— J JF
Так как функция f (х) пн. св., то существует такая убывающая последовательность fm (х) непрерывных функций," что fm (х) -+ / (х) при т оо. Поэтому
j fm(x) dp(x)^ J f (x) dp (я:) при m^oo F	F
*) Результаты этого параграфа по большей части принадлежат Фро-стману [1935].
5.2. ЕМКОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ
227
и, следовательно, для любого е >0 найдется такой номер т, что j fm (х) dp (я) < j / (х) dp (х) + е.
F	F
Таким образом,
lim f /dpn<lim f fmdpn = f /m dp < f f dp-f-e,
F	F	F
что и доказывает лемму 5.1.
Применяя эту лемму к функции Ка (х — у), заданной на множестве Е х Е, получаем, что Ia (р) lim Ia (pn) = Va (Е); противоположное неравенство следует из определения. Теорема 5.4 доказана.
Мера р называется емкостным (или равновесным) распределением на Е, а функция
Ua(y)= j Ка (х — у) dp(x)
Е
— емкостным (или равновесным) потенциалом множества Е.
Здесь удобно определить емкость некомпактных множеств. Сделаем это следующим образом. Пусть Е — произвольное множество; (внутренней) емкостью Са (Е) называется точная верхняя грань емкостей Са (F) всех компактных подмножеств F, содержащихся в Е. Далее, определим внешнюю х) емкость, полагая
С* (Е) = inf Са (С),
нижняя грань берется по всем открытым множествам G, содержащим Е.
Очевидно, что если и Е2 — любые множества, такие, что Ех cz Е2, то Са (Ej) Са (Е2). Следовательно, если Е — произвольное ограниченное множество, то всегда Са (Е) CJ (Е). В случае, когда это неравенство превращается в равенство, говорят, что множество Е измеримо по емкости (или С-измеримо).
В § 5.8 мы покажем, что все борелевские множества измеримы по емкости. Пока же мы вынуждены делать различие между емкостью и внешней емкостью.
Заметим, что если множества Ег и Е2 таковы, что ЕЛ cz Е2, то сх (EJ < СХ (С2).
Далее, из определения следует, что если G — открытое множество, то С(G) = Са (G), так что все открытые множества измеримы по емкости. Следующая теорема доставляет соответствующий результат для компактных множеств.
х) Брело [1939Ы.
15*
228
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Теорема 5.5. Пусть Е — компактное множество и Gn — последовательность ограниченных открытых множеств, таких, что
Gn+1czGn, п = 1, 2, . . ., и П Gn = Е. Тогда
П=1
Са (Gn) Са (Е) при п-^ оо.	(5.2.1)
Таким образом, компактные множества измеримы по емкости.
Из монотонности емкости следует, что если Сп = Са (Gn), то Сп> Cn+1, п = 1, 2, . . . . Далее, для каждого фиксированного п
Са (Е) < Сп.
Следовательно, существует предел С = lim Сп и Са (Е) С.
П^ОО
Пусть — распределение единичной массы на компактном множестве Gn с максимальным значением
^п = ЛДНп)= j Ка(х—y)dp,n(x)d\kn(y).
Gn X Gn
Тогда, согласно теореме выбора 5.3, можно найти подпоследовательность цПр, слабо сходящуюся к единичной мере ц.
Эта предельная мера ц распределена на Gnp для каждого р и поэтому распределена на множестве Е. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, без ограничения общности можем считать, что слабо сходится к ц. Применяя лемму 5.1, получаем, что
limFn = lim f Ка (х—у) dun (х) d^n (z/)< n-*oo	n-*oo _ J_
GnXGn
^y= j Ka (x — y) d)i(x) dp.(y).
EXE
Отсюда и из определения емкости следует, что
С= lim Са (Gn) < Са (Е).
П-*ОО
Это доказывает (5.2.1).
Далее, если Е — некоторое компактное множество, то в качестве Gn можно взять множество точек, удаленных от Е меньше чем на 1/п. Тогда выполнены условия теоремы 5.5, и поэтому имеет место (5.2.1). В частности, для данного е >0 найдется открытое множество Gn, содержащее Е и такое, что Са (Gn) < < Са (Е) 4- е. Таким образом, С£ (Е) < Са (Е) Д- е, и поэтому
(Е) Са (Е). Следовательно, Са (Е) = Са (Е), так что множество Е измеримо по емкости.
5.2. ЕМКОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ
229
Свойство, сформулированное в теореме 5.5, обычно перефразируют следующим образом: емкость полунепрерывна сверху. Это свойство играет важную роль во многих вопросах общей теории измеримости по емкости, к которой мы обратимся в § 5.8.
5.2.1. Природа емкостного потенциала
Теперь мы подробнее исследуем природу емкостного потенциала для произвольного компактного множества Е. Для доказательства основного результата нам понадобится следующая
Теорема 5.6. Пусть Е — компактное множество и v — такое распределение положительной массы на Е, что 0 < v (2?) < оо и
I (v) = j Ка (х— у) dv (х) dv (у) >— оо (5.2.2)
Е
(так что, в частности, Са (Е) >0). Тогда если Е± — компактное подмножество Е, такое, что Са (Е±) = 0, или счетное объединение таких множеств, то v (2Д) = 0.
Так как множество Е компактно, то для всех точек х, у £ Е и некоторого положительного d выполняется неравенство | х — — у | d, так что
Ка (х — у) -^.0, а >0,
Ка (х — у) < log+ d, а = 0.
Следовательно, если положить d± = log+ d, то для любых х, у £ Е
К (х — у) = Ка (х — у) — d± < 0.
Далее, имеет место неравенство
J К (х — у) dv (х) dv (у) >— оо,
Е
и поэтому для всякого компактного подмножества Ег czE
i" К (х — у) dv (х) dv (у) § К (х — у) dv (х) dv(y)Z> — °° •
Е,	Е
Таким образом,
j К (х — у) dv (х) dv (у) >— оо.
Если v (2Д) > 0, то отсюда следует, что С (Е±) >0, а это противоречит предположению.
230
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Если Ел = U Fn, где Са (Fn) = 0. то v (Fn) = 0 для каж-71=1
дого п. Поскольку мера аддитивна, то, как и ранее, v = 0.
Множество Е назовем х) а-полярным множеством, если Е cz
cz J Fn, где Fn — такие компактные множества, что Са (Fn) = 71=1
= 0. Позже мы докажем, что Са (Е) = 0 для а-полярных множеств Е; пока мы сможем обойтись без этого результата. Если некоторое утверждение выполняется вне некоторого а-полярного множества, то мы будем говорить, что оно выполняется а-почти всюду.
Пусть Е — компактное множество и р — распределение положительной массы на Е. Будем говорить, что точка х0 принадлежит носителю Е* меры р, если р {£> (z0, г)} >0 для любого положительного г. Очевидно, Е* замкнуто, так что Е* — компактное подмножество множества Е. Имеет место следующая
Теорема 5.7. Пусть Е — такое компактное множество, что Са (Е) >0, р — соответствующее равновесное распределение на Е и Е* — носитель р. Тогда
Са (£*) = Са (Е).
Прежде всего заметим, что если Ео = Е — Е*, то р (Ео) = 0. Действительно, если х0 — произвольная точка Ео, то найдется открытый шар D с центром в х0, не пересекающийся с Е* и такой, что р (D) = 0. Тогда существует открытый шар Do с центром в точке с рациональными координатами и рациональным радиусом, такой, что х0 £ Do <zzD; следовательно, р (Do) — 0. Множество всех таких шаров счетно, поэтому их можно расположить в такую последовательность Dt, что
I
Таким образом, р является распределением единичной массы на Е* и
Уа(Е'*)> j Ка(х — y)dp.(x) cZp(z/)—-
Е*ХЕ*
= j Ка(х — у) dp(x) tZp (Jj) = Va (Е).
ЕхЕ
Следовательно,
С а (#*) > С а (Е).
х) Термин «полярное множество» был впервые введен Брело [1941] для более широкого класса множеств.
5.2. ЕМКОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ
231
Противоположное неравенство очевидно, так как Е* czE. Теорема 5.7 доказана.
Следующий результат принадлежит Фростману х). Цудзи 11959, стр. 60] не без основания назвал этот результат фундаментальной теоремой о емкостном потенциале.
Теорема 5.8. Пусть Е — такое компактное множество в 3™, что Са (Е) >0, и пусть и (х) — соответствующий емкостный потенциал, р — соответствующее равновесное распределение и Е* — носитель р, так что
Л(р) = j j Ka(x—y)du(x)du(y)^=V>~-oo. (5.2.3) Е*
Тогда всюду на Е*
и(х)== §Ка(х~у) dp(y)^V,	(5.2.4)
Е*
а a-почти всюду на Е
и (х) V,	(5.2.5)
так что, в частности, a-почти всюду на Е*
и (х) = V.	(5.2.6)
Кроме того, в 3™
и (х) > V,	(5.2.7)
где
V = 2aV при а >0 и V = V — log 2 при а = 0.	(5.2.8)
Прежде всего докажем (5.2.5). Пусть Ап — множество таких точек х £ Е, что
1 u(x)^V + -.
Так как функция и (х) пн. св., то множество Ап компактно. Тогда множество А всех точек из Е, для которых не выполнено
СО
(5.2.5), является объединением множеств Ап: А = IJ Ап. Следо-п=1
вательно, для доказательства (5.2.5) достаточно показать, что Са (А.) = 0.
Предположим, что наше утверждение неверно, и пусть Ег — такое компактное подмножество в Е, что для некоторого е >0
и (х) V + 2е, х £ Е±,
и Са (Ej) > 0. Мы можем взять Е± — Ап для подходящего п и положить е = (Зтг)-1.
*) Фростман [1935].
232
ГЛ, 5, ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Согласно теореме 5.7, р является равновесным распределением как на Е*, так и на Е, и
и (х) dp = V.
Е*
В частности, существует такое а0 £ Е*, что и (а0) < V + е. Следовательно, а0 лежит вне множества Elf а так как и (х) пн. св., то в подходящей окрестности D (а0, г) точки а0 выполнено неравенство и (х) < V + е. Выберем радиус г настолько малым, чтобы шар D (а0, г) находился на положительном расстоянии от Е±. Так как а0 £ Е*, имеем р {D (а0, г)} = т >0.
Поскольку Са (£'1) > 0, существует такое распределение положительной массы о на Е±, что
Za(cr) = j Ка(х— у) da (х) da оо, о (Е{) т > 0. E,XEi
Определим на Е распределение масс полагая о1 = о на Е1Г о1 = —р в D (а0, г) и о1 = 0 вне этих множеств. Тогда если 0 < г] < 1, то р1 = р + т]о1 является распределением положительной массы на Е и J cZpx = 1.
Е
Далее, если ц достаточно мало, то
6 (Z) = Ia (pi) — Ia (р) = j j Ка (х— у) d^ (х) dpt (у) —
Е
— j Ka(x — y)dp(x)dp(y) =
ЕхЕ
= 2г] j Ka(x—y)dp(x)dal(y) + Tt]z j Ка (х—у) dol (х) dal(y)= ЕхЕ	ЕхЕ
= 2ц j и (у) dal (у) + (aj >
Е
>2т][(У + 2е) т —(У + е) m +	(<?!)] =
= 2т] (ет-|-у it]Ia (crj) >0.
Это противоречит свойству максимальности 1а (р). Поэтому Са (^п) = о для всех п, и утверждение (5.2.5) доказано.
Докажем теперь неравенство (5.2.4). Для этого снова предположим противное, т. е. что для некоторого х = х0 £ Е* выполнено неравенство и (х) < У — е. Так как функция и (х) пн св.,
5.3. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА
233
то это неравенство выполнено в некоторой окрестности D (хй, г)-точки х0, а поскольку х0 £ Е*, то р {D (хй, г)} = т0 >0.
Пусть Е2 — множество всех таких точек х £ Е*, для которых и (х) > V. Тогда, согласно (5.2.5) и теореме 5.6, р (Е2) — 0. Положим Е3 = Е* р D (хй, г) и Et = Е* — Е3. Тогда
4
V — и (х) cZp = j и (х) с/р =2 и (х) с/р =
Е	Е*	3=2 Ej
'	= j и (х) dp -J- j и(х) dp^.m0 (V — е) + (1 — т0) V = V — т0&.
Это неравенство противоречит нашему допущению, и поэтому доказано, что и (х) V на Е*. В силу (5.2.5), отсюда следует, что и (х) = V a-почти всюду на Е*. Наконец, поскольку мера р распределена на Е*, то, согласно теореме 5.2, из (5.2.4) следует (5.2.7). Это завершает доказательство теоремы 5.8.
5.3. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА
В этом параграфе мы исследуем, на каких множествах потенциал может быть равен — оо. Основной положительный результат содержит следующая
Теорема 5.9. Пусть v — распределение положительной массы на компактном множестве Е,
v(x) = ( Ка(х — у) dv(y) Е
— соответствующий потенциал и Е± — компактное множества в Rm, на котором v (х) = — оо. Тогда
Са (£Д = 0.
Предположим противное, т. е. пусть
Ca(£i)>0.
Пусть и (х) — соответствующий емкостный потенциал, р — равновесное распределение и Е* — носитель р. Тогда, согласно теореме 5.8, в R.™
и(х) = $ Ка (х — у) tZp (z/)>Fz >—оо. El
Далее, поскольку функция Ка (х — у) ограничена сверху, то по теореме Фубини
j v (х) dp (х) = j dp (х) Ка (х— у) dv (у) = и (у) dv (у).
Е*	Е*	Е	Е
234
ГЛ, 5, ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Левая часть этого равенства равна — оо, в то время как правая часть не меньше —V и поэтому конечна. Полученное противоречие доказывает теорему 5.9.
В качестве следствия немедленно получается
Теорема 5.10. Пусть и (х) — не равная, тождественно —оо субгармоническая функция, заданная в окрестности компактного множества Е cz R™, причем и (х) = — оо на Е. Тогда
Ст.2 (Е) == 0.
Пусть F — компактное множество, содержащее Е в своей внутренности и такое, что функция и (х) субгармонична в окрестности F. Тогда из теоремы Рисса 3.9 следует, что во всех внутренних точках множества F
и(х) = Кт_2(х — y)dp(y) + h(x),
F
где h (х) — функция, гармоническая внутри F и поэтому ограниченная на Е. Следовательно,
j Кт_2(х — y)d[i(y)= — оо, х^Е. F
Отсюда на основании теоремы 5.9 заключаем, что Ст~2 (Е) = 0.
Докажем теперь теорему, обратную к теореме 5.10.
Теорема 5.11 х). Пусть Е — такое компактное множество в R™, что Ст-2 (Е) = 0, или, более общо, произвольное (т — 2)-полярное множество. Тогда в R™ существует субгармоническая функция и (х). конечная в произвольно заданной точке хй £ R™ — Е и такая, что и (х) = —оо в Е. Если т	то имеем также
и (х) <0 в Rm. Если множество Е компактно, то функция и (х) конечна вне Е.
Предположим сначала, что множество Е компактно, и пусть D (О, R) — открытый шар, содержащий Е. Пусть Еп — такая последовательность компактных множеств, что Еп+1 лежит внутри Еп,
СО £1С=Д(0, R), П Еп = Е п = 1
и, кроме того, все Еп являются объединениями конечного числа замкнутых шаров. Пусть Gn — дополнение к Еп в D (О, R). Множество Gn содержит S (О, R) как часть своей границы. Тогда на Gn разрешима задача Дирихле, и поэтому можно построить
х) Эванс [1936]; см. также Сельберг [1937].
5.3. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА
235
такую функцию соп (х), что соп (х) непрерывна в С (О, R), гармонична в Gn, соп (х) = 0 на S (О, R) и соп (х) = —1 во всех других точках и, в частности, на Еп.
Очевидно, что функция соп (х) субгармонична в D (О, R). Поэтому из формулы Пуассона — Йенсена (3.7.3) следует, что для у G D (О, R), | у | < г < R
“n(J/) = y- (	(П) И n"'VI (п) — ( g(x, J/, r)dp.n (х),
bm J	' I ч— у |	J
S(0, Г)	Еп
где g (х, у, г) — функция Грина в D (0, г), a do (г]) — элемент площади на S (0, г). Устремляя r^R, получаем
(У) = — [ g (х, У, R) d[in (х).
Еп
Таким образом, рп является мерой Рисса на Еп.
Заметим теперь, что, в силу теоремы 1.10, для х, у £ Е1 справедливо неравенство
|g(x, у, R) + Кт_2(х-у) |^С,	(5.3.1)
где С — константа. Следовательно,
I j Km_z(x — y)dpn(x)- <оп (^)|<Сцп (Еп).
Еп
Положим Цп (Еп) = Мп и vn = рп!Мп. Тогда vn является распределением единичной массы на Еп. Пусть х, у £ Еп. Так как соп (у)	—1 на Еп, то
§	y)dvn(y)^ С Мп.
Еп
Докажем теперь, что Мп 0 при и—>-<х>. Предполагая противное и переходя, если понадобится, к подпоследовательности, можно считать, что МП-1 ограничена и что vn слабо сходится к единичной мере v, которая распределена на Е. Согласно лемме 5.1, имеем на Е
$ Km-2(x — y)dv(y)^—C — lim Мп-
Е
Полученное неравенство противоречит предположению о том, что Cm_2 (Е) = 0.
Таким образом, взяв, если понадобится, подпоследовательность, можно считать, что Мп 2~п. Предполагая это условие
236
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
выполненным, положим
оо
® (у) = 2 “п (у)= — j S (х, У, R) dy (х),
1
причем для любого борелевского множества е в шаре | х | < R имеет место неравенство
ОО	00
H(*) = SMe)<S2-n=l.	(5.3.2)
1	1
Таким образом, р — борелевская мера. Положим, наконец,
и (х) — J Кт_2(х — у) dy(y).
Ег
Тогда из (5.3.1) и (5.3.2) следует, что на Е±
\и(у) - <0 (г/) К С.	(5.3.3)
Очевидно, что со (у), а значит, и и (у) равны —оо в Е. Предположим теперь, что точка у лежит в D (О, R), но вне множества Е. Тогда у расположена вне множества Еп для п па и поэтому находится на положительном расстоянии б от Еп для п > па. Представим w (z/) в виде
Пр-1	оо
<o(z/)= 2 Mn(z/)+ 2 ®п(г/) = 2ц(г/) + 22(г/)-п=1	п=п0
Тогда SiJ(z/) '—п0. Далее, для х £ Еп имеем g (х,£у, R) С (б), поэтому 05
-22(p)< 2 J C(6)dp»<C(6).
п=п„ Еп.
Следовательно, со (у) конечно во всех точках шара D (О, R), лежащих вне множества Е, а значит, в силу (5.3.3), во всех этих точках конечно и и (у). Таким образом, функция со (г/), будучи потенциалом, субгармонична в [R,m и равна —оо на множестве Е и только на нем. Так как мера р распределена на Ег, то функция и (х) гармонична и поэтому конечна вне Е± и тем более вне шара D (О, R). Это завершает доказательство теоремы 5.11 в случае, когда множество Е компактно.
Предположим теперь, что Е cz |J Fn и что Е является (т — 2)-п=1
полярным множеством. Тогда Fn — компактные множества нулевой (т — 2)-емкости. Так как в IR™ существует субгармоническая функция, которая равна — оо на множестве Fn, но не равна —оо
5. 4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
237
тождественно, то, согласно теореме 2.6, Fn должно иметь нулевую m-мерную меру. Следовательно, множество Е также должно иметь нулевую m-мерную меру. Поэтому существует по крайней мере одна точка х0, лежащая вне множества Е. Построим теперь функцию ип (х) со следующими свойствами:
ига (х) еубгармонична в Rm, ип (х) — — оо на множестве Еп и только на нем;
I ип (х0) I < 1/и2;
ип (х) <; 1/п2,
(5.3.4)
(5.3.5)
(5.3.6)
| х | < п.
Функция ип (х), удовлетворяющая условию (5.3.4), была построена выше. Для того чтобы удовлетворить условиям (5.3.5) и (5.3.6), умножим построенную функцию ип (х), если необходимо, на достаточно малое положительное число. Положим
ОО и(х) = 2 ип (х) п=1
и докажем, что функция и (х) обладает требуемыми свойствами. N
Действительно, пусть SN(x)= ип(х). Тогда функция п—1
N	N
1	1
убывает с возрастанием N для достаточно больших N и для х, лежащих в круге | х | < R произвольного фиксированного радиуса R. Следовательно, функция
ОО
и (х) = lim oN (х) + 2 4г
субгармонична в Rm. Далее, oN (х) ~ — оо на Fn для N > п. Поэтому и (х) — — оо на Fn и тем более на множестве Е. В силу (5.3.5), значение и (х0) конечно, так что и (х) не равна тождественно —оо. Если т >2, то неравенство (5.3.6) можно заменить неравенствохМ ип (х) <0 в IRm, поскольку в этом случае Кт.2 (х) < <0 в R/". Следовательно, и (х) <0 в IR™ при т >2. Это завершает доказательство теоремы 5.11.
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
Большую роль в теории потенциала играют (т — 2)-полярные или, короче, просто полярные множества. В предыдущем параграфе мы видели, что полярные множества — это в точности те Fo-
238
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
множества, на которых могут обращаться в —оо субгармонические функции. Поэтому интересно изучить эти множества с точки зрения их размера. Из теоремы 2.6 следует, что если функция и (х) субгармонична и и (х) ф —оо, то множество тех точек х, в которых и {х) = —оо, имеет нулевую m-мерную меру. В частности, этим свойством обладают полярные множества. Однако для полярных множеств справедливы более сильные утверждения. Для того чтобы получить более точные результаты, введем понятие меры Хаусдорфа х) и установим ее основные свойства.
Гиперкуб со стороной d — это множество таких точек х — = {^i, х2, . . ., хт}, что
ai <i^t <Z.di + d, i = 1, . . ., m, где at — вещественные числа. В этом определении разрешается заменять знаки < знаками Если для любого i выполнены строгие неравенства, гиперкуб является открытым, если во всех неравенствах стоит знак гиперкуб является замкнутым.
Предположим теперь, что h (£) — положительная возрастающая функция переменного t, определенная при 0 < t t0, причем h (t)	0 при £ —>- 0. Пусть е — ограниченное множество не —
положительное число. Покроем е не более чем счетным множеством гиперкубов Zv со сторонами dv, не превосходящими е, и положим
Я£(е) = Ш 3/i(dv), V
где нижняя грань берется по всем таким покрытиям.
Тогда Hz (е) — всюду конечная и невозрастающая функция переменного е. Следовательно, существует предел
h* (е) = lim Hz (е) е~* 0
и 0 h* (е) оо. Число h* (е) называется мерой Хаусдорфа множества е, соответствующей функции h (£).
Вместо гиперкубов со сторонами d, для наших покрытий можно использовать шары радиуса d-t или произвольные (или выпуклые) множества диаметра dt. Числа 7i« (е) и Zip (е), соответствующие двум произвольным покрытиям Ua и U к множества е, удовлетворяют условиям ah*^ (е) h$ (е) bh$, (е), где а и Ъ — некоторые ненулевые константы. В большинстве случаев мы будем интересоваться лишь тем, равна ли мера h* (е) нулю, конечна и положительна или бесконечна, а с этой точки зрения все такие покрытия приводят к эквивалентным результатам. Покрытие гиперкубами имеет то преимущество, что они прилегают друг к другу. Заметим, что если h (£) = tm и е с R,m, то h* (е) — это в точности иг-мерная мера Лебега.
х) Хаусдорф [1918].
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
239'
Если а 2> 0 и h (Z) = Z“, то h* (е) называется a-мерной мерой Хаусдорфа; если h (Z) = (log 1/Z)-1, то h* (е) называется логарифмической мерой Хаусдорфа. Следующий результат почти очевиден.
Лемма 5.2. Если h± (t)'h2 (Z) —>- 0 при t—>~()/u h* (е) <оо, то h* (е) = 0.
Действительно, для данного ц > 0 имеем h± (Z) <С 13^2 (^)* t < Ро 01)- Это дает
Н1г (е) = т]#2е (е), е < р0 (т]),
так что h* (е) r\h* (е). Так как число р произвольно, то h* (е) = = 0. Лемма 5.2 доказана.
Обозначим сс-мерную меру Хаусдорфа через 1а (е), а логарифмическую меру через 10 (е). Наш следующий результат приведет к важному определению.
Лемма 5.3. Если в — произвольное ограниченное множество в Rm, то существует такое число а0, 0 а0 т, что
Za (е) = 0 при а >а0, 1а (е) = оо при а <«о-
Число а0 называется размерностью Хаусдорфа множества е.
Заметим, что 1т (е) <оо. Действительно, так как множество е ограничено, оно может быть помещено в некоторый гиперкуб 10 со стороной d < 00. Представим 10 в виде объединения Nm гиперкубов Zv, v = 1, 2, . . ., Nm, каждый со стороной dv = d/N. Ясно, что
V = Арп (d/Nyn =
Если выбрать N таким, что d/N < е, то для функции h (Z) = tm получаем Hs (е) dm. Следовательно, h* (е) :Д rf™. т. е. 1т (е) dm < 00.
Из леммы 5.2 вытекает, что 1а (е) = 0 при а >иг. Определим а0 как нижнюю грань всех таких а>0, что 1а (е) — 0; тогда а0 еД т. Если > а0, то из леммы 5.2 следует, что 1а (е) = 0, так как в противном случае мы имели бы 1а (е) = оо для а < ар Далее, если а <а0’ т0 можно найти такое а2, что а <а2 <«о и 1а (е)>0. Следовательно, по лемме 5.2, 1а (е) = оо. Лемма 5.3 доказана.
Далее нам понадобится следующая
Теорема 5.12. Пусть е — некоторое множество в х0 IR™ — фиксированная точка и Е — множество положительных чисел г, для которых е пересекает гиперсферу S (х0, г). Тогда
Ц (E)^li (е) Vт.
240
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Таким образом, если 1± (е) = 0, то дополнение к Е всюду плотно на положительной полуоси. В этом случае множество е вполне разрывно.
Пусть I — замкнутый гиперкуб со стороной d. Тогда диаметр I равен d У т. Таким образом, множество тех г, для которых гиперкуб I пересекает сферы S (х0, г), представляет собой замкнутый отрезок длины, не превосходящей d т.
Пусть {Zv} — произвольное множество гиперкубов, покрывающих е. Тогда Zv пересекает S (ха, г) для отрезка iv значений г, длина которого не превосходит dv У т, где dv — сторона Zv.
Из наших предположений следует, что объединение интервалов iv покрывает Е. Для каждого е > 0 можно считать, что dv < е и У dv <Z li (в) 4- е. Поэтому T.dv У т <^У т (е) + е), а так как е может быть выбрано произвольно малым, то l± (Е) /Де) ]/ т.
Если 1г (е) = 0, то 1г (Е) = 0, и поэтому множество Е не может содержать никакого интервала [а, Ь], где Ъ >а. Таким образом, дополнение к Е всюду плотно. Если е содержит какое-нибудь связное подмножество е0 с двумя различными точками з\, х2, то е0 должно пересекать сферы S (х±, г) при 0 <Zr < | х2 — хг |, поскольку в противном случае подмножества е0, для которых I х — xi I <г И I х — xi I >г, образовывали бы разбиение е0. Следовательно, если х0 =Д= х±, то множество Е содержит интервал, что противоречит доказанному выше.
Таким образом, е0 содержит самое большее одну точку, т. е. все связные подмножества множества е сводятся к точкам. Значит, множество е вполне разрывно. Теорема 5.12 доказана.
Опишем теперь емкость множеств в терминах мер Хаусдорфа. Для этого нам понадобится следующая принадлежащая Фрост-ману [1935]
Лемма 5.4. Пусть Е — такое компактное множество в !R7”, что h* (Е) >0. Тогда на Е существует такая мера р, что 0 <. < р (Е) < оо и для любой точки а выполнено неравенство
р [ZJ (а, г)] <Ch(r),	0<г<1,	(5.4.1)
где С — константа.
Очевидно, что если найдется такая мера с константой С, то, взяв вместо р меру р/С, мы всегда можем считать, что С — 1. С другой стороны, вместо р можно рассматривать меру р/р (Е), 5=ак что можно предполагать, что р (Е) — 1.
Без ограничения общности можно считать, что функция h (/) определена и возрастает для всех t > 0.
Так как множество Е компактно, его можно покрыть гиперкубом Qo со стороной 2б0, задаваемым неравенствами — б0
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
241
xv < б0, v = 1, 2, . . т. Отметим следующее. Если Е покрывается конечным числом гиперкубов со сторонами dt, то
2 h > n > о,
(5.4.2)
где т] не зависит от покрытия. Действительно, если бы сумму '^\h (di) можно было сделать произвольно малой, то все числа di также были бы малыми. Следовательно, в этом случае мы имели бы Не (Е) = 0 при каждом е > 0, так что h* (Е) = 0 в противоречие с предположением.
Разобьем теперь гиперкуб Qo на 2m(n+1> равных гиперкубов со сторонами бп = 602~п (п = 0, 1, 2, . . .). Положим
v —1, ..., та},
где все kv пробегают целые числа от —2П до 2П — 1. Заметим, что гиперкуб Qo, так же как и все гиперкубы полуоткрыт. Далее, если то Q} и Q)' не пересекаются. Рассмотрим теперь только те гиперкубы Q}n, которые содержат точки Е, и обозначим множество таких гиперкубов Q}n через э/#п. Определим на гиперкубах из а//п распределение масс следующим образом.
На первом шаге определяем плотность в каждой точке гиперкуба Q3n £ еЕп, полагая ее постоянной и такой, что (Q^) — = h (б„).
На втором шаге рассмотрим меры гиперкубов	где
(Д определена выше. Если |Д (Qn.^^h (6n-i), то положим Pn = P7i в Qn-i- В противном случае для множеств e^Q3n_1 положим (е) =	(е), где постоянная С7-<1 выбрана так, что
Pn(<?n-i) = ^(6n-i)> т- е. Cj = h(6n^)/ii1n(Q3n_1).
Определив рассмотрим р* (Q}n_2) для всех гиперкубов (Д_2. Снова для множеств	положим р^ (е) —	(е), где
C7- = inf{l, h(bn_2)l^n(Q3n_2)}.
Продолжая этот процесс, мы определим в кубе Qo меры р£, О к Д п. Наконец, положим р" = рп.
Из построения ясно, что любая точка а £ Е содержится в некотором гиперкубе Qi, таком, что pn (Q''p) = h (6Р). Если таких гиперкубов несколько, мы выбираем тот, который имеет наименьший номер р. Такие гиперкубы мы называем специальными и обозначаем Qd}. Из конструкции очевидно, что различные специальные гиперкубы не пересекаются. Объединение всех специальных гиперкубов содержит множество Е, так что в силу (5.4.2)
(5.4.3)
16-0623
242
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
где 6р(;( — сторона Q{3}. С другой стороны, наша конструкция дает
jrfkMWWo).	(5.4.4}
Более общо, для любого гиперкуба Q}p независимо от того, содержит он или нет точки множества Е, имеем из нашей конструкции
^n(Qjp)^h(8p).	(5.4.5)
Применим теперь теорему 5.3 к последовательности мер рп на замкнутом гиперкубе Qo; это возможно в силу (5.4.4). По теореме 5.3 существует подпоследовательность мер цп , слабо сходящаяся к мере р на Qo. Покажем теперь, что мера р обладает требуемыми свойствами.
Пусть сначала Ео — произвольное компактное множество и <р (х) == 1. Тогда в силу (5.4.4)
p(£0):^f <р (z) dp = lim f <p(z)dfin = lim pn (<?o)^&(60). J	P-rOO J	** p->oo P
Таким образом, если г 60, то выполняется неравенство (5.4.1), причем С = 1.
Пусть теперь г < 60 и число п таково, что б„ = б02-«^г <бп_1.
Выберем г' так, чтобы г <_г’ <Сбп_15 и определим функцию <р (ж), полагая
{1,	| х — « I
sup {1 — ( | х — а | — г)/(г' — г), 0}, | х — а | > г.
Тогда <р (х) непрерывна и <р (х) = 1 на С (а, г), так что если С — С (а. г), С' = С (а, г'), то
ц(С’)^) <р (z)'dft = lim I (р (х) d[tn ^lim pn (С').
J	P-.OO 2	P p-*oo P
Так как С' имеет диаметр 2г' < 46п, то, очевидно, С может пересекать самое большее 5т гиперкубов из причем мера каждого из пересечений, согласно (5.4.5), не превосходит h (6П) h (г). Таким образом, для каждого р имеем щ, (С') 5mh (г), и поэтому ц. (С) 5mh (г), что доказывает (5.4.1) (с С — 5т). Далее, пусть Е' — компактное множество, не пересекающееся с Е. Тогда Е' находится на положительном расстоянии от Е, которое обозначим 26. Положим
<р (х) = sup {0, 1 — d (х, Е’)/д},
где d (х, Е') — расстояние от точки х до множества Е'. Тогда если 6П Ут < 6, то <р (х) = 0 на каждом гиперкубе Q3n, Пересе
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
243
кающемся с Е, и поэтому j <р (х) dpn = 0 при п >в0. Таким образом, р (Б1') j <р (х) dp = 0, т. е. р распределена на Е.
Наконец, положим <р (х) — 1 на Qo. Из неравенства (5.4.3) следует, что
р((?о) = 1 <p(z)dp=lim \ <р (z) dpn J	р.ОО J	Р
так что р (<2о) = Р (Е) > 0. Это завершает доказательство леммы 5.4.
5.4.1. Основные теоремы сравнения
В этом пункте мы сравним емкость и меры Хаусдорфа.
Теорема 5.13 *). Пусть Е — компактное множество и h* (£')> 0, f h(t)
где h(t) — такая функция, что \ dt <Z оо. Тогда Са(Е)>0. о
Таким образом, если Са(Е) = 0, то h*(E) = 0.
Пусть р (Е) — распределение единичной массы на Е, удовлетворяющее условиям леммы 5.4, и
р h (t) dt
Io = j t<x+l •
0
Докажем, что соответствующий потенциал
а (•£)	। (х £) dpe%
равномерно ограничен. Предположим сначала, что а = 0. Пусть п (£) = р (D (х, £)). Тогда если R больше диаметра множества Е (J {х}, то по лемме 5.4
в	в
Vо (*) =	f	log t dn (t) = lim /[n (t)	log — f	" ® dt )	=
о	s.o 1	i 3
в
= lim {n (R) log R + n (e) log —} — Г dt E-o 1	e j Jo
h (t) dt t
В
J 4>-CZ0-logT?. i
x) Фростман [1935].
16*
244
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Следовательно, потенциал Vo (х) равномерно ограничен снизу на множестве Е и Со (Е) >0.
Аналогично, если а >0, то
в	в
V«(x) = j -i-a^(i) = lim{[-^^-]E “а j
*	e->O4L-fJ j t 1	>
0	e
R n (R) Г n (t) dt в* “ J ta+1 ’ 0
откуда следует требуемое утверждение.
Для того чтобы получить обратное утверждение, нам потребуется следующая
Лемма 5.5. Пусть Е — компактное множество, содержащееся в гиперкубе Qa и такое, что h* (Е) < оо для некоторой функции Хаусдорфа h. Пусть ц — распределение массы в гиперкубе Qo и Е± — подмножество в Е, состоящее из тех точек х, для которых
—>- 0 при п—>~оа, h (Sn)
где Qn — определенный в доказательстве леммы 5.4 гиперкуб со стороной б„, содержащий точку х. Тогда ц (Е-^) — 0.
Разобьем Qo на 2m<n+1> гиперкубов Q3n из &#п, как в доказательстве леммы 5.4, и положим
Фп(я)= ^п) , X^Qn-
Очевидно, функция <рп (х) измерима по Борелю. Следовательно, борелевским является множество Ег тех точек х £ Е, в которых
Фп (я)-*- 0 при	и—>- оо.	(5.4.6)
Предположим теперь, что р (Е-^ — 2р0 >0. Тогда, по теореме Егорова Д, в Е± существует такое подмножество Е2, что р (Е2) > > Цо и на -^2 равномерно выполняется соотношение (5.4.6). Выберем теперь число е настолько малым, чтобы 2 -3me7i* (Е) <Цо-Тогда существует такое положительное целое в0, что для х С Е2 и п п0
<Рп (х) < е.	(5.4.7)
Заметим теперь, что, согласно определению h* (Е), найдется система открытых гиперкубов Rv со сторонами dv <бП(), покрывающая множество Е и такая, что (dv) <27i* (Е). Пусть R = Rv — один из этих гиперкубов со стороной d — dv, и пусть
х) Егоров [1911].
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
245
бп d <бп_х, где п >и0. Тогда R может пересекать не больше Зт гиперкубов из ^///п, покрывающих R и имеющих стороны бп d. Взяв сумму по этим гиперкубам Q3n, получим
^h(8n)^3mh(8n)^3mh(d).
Таким образом, заменяя каждый из Rv системой гиперкубов QI из Мп для некоторого п, зависящего от Rv, получим покрытие Е гиперкубами Q}n для п п0. Обозначим эти гиперкубы через QM. Если lv — длина стороны гиперкуба QM, то 2^ (М 2 -3mh* (Е).
Отберем теперь те гиперкубы (Xv>, которые пересекают множество Е2, и заметим, что они покрывают Е2. Согласно (5.4.7), для таких гиперкубов р < е -h (Zv). Таким образом, обозначая через 2' сумму по тем индексам v, для которых (Xv) пересекает Е2, получим
И (Е2) 2 М (<2<V)) :Се 2'	2 • 3meh* (Е) < р0.
Получившееся противоречие доказывает лемму 5.5.
Теперь мы в состоянии доказать результат, обратный к теореме 5.13.
Теорема 5.14 х). Пусть Е — такое компактное множество в IR™, что la (Е) <оо, где а 0. Тогда Са (Е) — 0.
Следствие. Если а0 — размерность по Хаусдорфу множества Е, то Са (Е) = 0 для а, ^>аоиСа (Е) >0 для а <а0. Если Са (Е) = — 0 для а <1, то множество Е вполне разрывно.
Пусть р — распределение единичной массы на Е и
Va (•£) ~ J Еа (х £) dpeg.
Покажем, что во всех точках множества Е, лежащих вне некоторого множества Ег, имеет место равенство
Va = — ОО.	(5.4.8)
Так как, в силу леммы 5.5, р (Е^ — 0, то из этого равенства следует, что
1а (и) = j Va (х) dp, (х) = — оо.
Е
Поскольку это верно для любой меры р, то Iа = — оо и Са (Е) = = 0.
Итак, осталось доказать (5.4.8). Пусть х — некоторая точка из Е — Ег. Тогда существуют такое ц >0 и такая последователь
х) Эта теорема была впервые доказана Эрдёшем и Джиллисом [1937} ; ля случая а = 0.
246
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
ность содержащих точку х гиперкубов <2пр — Rp со сторонами dp = £>пр, что р (Rp) >т]Аа (dp), где ha (t) = (log 1.Т)'1 при а = О и ha (t) = при а >0.
Если мера точки х положительна, то соотношение (5.4.8) очевидно. В противном случае для любого данного р > 0 можно 1
выбрать такое ер >0, что р (Др) >у x\h(dp), где R'p — часть Rp, удаленная от х больше чем на ер.
Далее, взяв, если необходимо, подпоследовательность, мы можем считать, что dp+1]/m <ер, так что множества R'p для различных р не пересекаются. Таким образом,
^а(я)^2 j к^(х — g)dpes + <9(l). р R'p
Если а = 0, то на Rp имеем
Ка (ж-Ю^ ~l°g( . L— ) , \ dp у т f
так что для р >Pq
( Ка(х—1)(1ре^—1о§(	)р(Д;)^
J	\ dp у т '
1 log (1/dp Ут) — Т л 10g (i/dp) < —т*
Отсюда следует (5.4.8). Аналогично, если а >0, то
j Ка(х— g)dpeg< — (dpVm) “ р (R’p) < — -А- т) (/т)
Д' р
Отсюда снова вытекает (5.4.8). Тем самым теорема 5.14 доказана.
Следствие доказывается непосредственно. Действительно, если а0 — размерность Е и а >а0, то, в силу леммы 5.3, la (Е) = 0 и, значит, по теореме 5.14, Са (Е) — 0. Далее, если а <а0, так что а0 >0, выберем такое а15 чтобы а < а0. Тогда, по лемме 5.3, для h (Z) = имеем h* (Е) = оо. В то же времн
1 1
С h (t) dt	Г dt	.
\ ——— = I -------<2 оо.
J ta+1	J jl+«-<Xi
0	0
Таким образом, по теореме 5.13, Са (Е) >0.
Следовательно, если Са (Е) = 0 для некоторого a <1, то а0<1 и поэтому множество Е, в силу теоремы 5.12, вполне разрывно.
5.4. ЕМКОСТЬ И МЕРЫ ХАУСДОРФА
247
Теоремы 5.13 и 5.14 позволяют достаточно точно определить в терминах меры Хаусдорфа, обращается или не обращается в нуль емкость Са (Е). Если а = 0, то необходимым условием для Са (Е) = 0 является равенство h* (Е) — 0, где
h (£) = (log l/i)-1 (log log l/i)_(1+6),	6 >0;
достаточным является условие h* (E) <Z°°, где h (f) = (log 1/f)-1. Если a >0, то необходимым условием является равенство h* (Е) = 0, где h (£) = ia (log 1/7)~(1+в>, а достаточным — условие h* (Е) <оо, где h (t) = ta. Это самые сильные результаты из тех, которые можно получить в общем случае. Полное описание емкости в терминах мер Хаусдорфа невозможно (см., например, Карлесон [1967], гл. IV).
5.4.2. Применение к ограниченным регулярным функциям
Пусть Е — компактное множество на комплексной плоскости и N — окрестность Е. Множество Е называется устранимым множеством по Пенлеве, если любая регулярная и ограниченная функция в N — Е может быть продолжена как регулярная функция на всю окрестность N.
По-видимому, найти необходимые и достаточные условия для устранимых множеств по Пенлеве — трудная задача. Однако имеет место следующая
Теорема 5.15. Для того чтобы Е было устранимым множеством по Пенлеве, достаточно 1), чтобы (Е) =0, и необходимо 2), чтобы (Д (Е) = 0, т. е. чтобы h* (Е) — 0 для любой функции Хаусдорфа h (£), удовлетворяющей условию
11
j t~2h (t) dt <Z°o, о
Теорема 5.15 показывает, в частности, что если а0 — размерность Е, то Е является устранимым множеством по Пенлеве для a0 < 1 и не является таковым для а0 >1.
Предположим сначала, что (Д (Е) >0. Тогда, в силу теоремы 5.8, существует такое распределение единичной массы р, на Е, что для всех комплексных z
[ dii (g) J I г-g |
2
Сх(£) —111'
*) Этот принадлежащий Пенлеве результат, по-видимому, впервые опубликован в книге Цоретти [1905]. Позднее он был переоткрыт Безиковичем [1932] и другими авторами.
2) Несколько более общий результат см. у Карлесона [1967].
248
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Положим
/(Z)= [4^.
Тогда функция / (z) регулярна в расширенной комплексной плоскости вне множества Е. Кроме того,
,, ,	1 Г j m  °(!)	1 , 0(1)
/(z) = — J	(Ю I-=—~1 при z^oo,
так что / (z) =/= const. Если бы f (z) можно было аналитически продолжить на Е, то / (z) была бы целой функцией, и мы получили бы противоречие с теоремой Лиувилля. Следовательно, Е не является устранимым множеством по Пенлеве.
Обратно, предположим, что (£) = 0 и что / (z) регулярна и ограничена на N — Е. По предположению, Е можно заключить в объединение квадратов Сп со сторонами dn, такое, что < <е. Далее, Сп может быть вложен в открытый круг Dn = D (ап, dn), так что объединение этих кругов содержит Е. По теореме Гейне — Бореля, для того чтобы покрыть Е. достаточно взять конечное множество Z\, . . ., Dm этих открытых кругов. Можно считать, что множество Е находится на расстоянии, большем 2е, от замкнутого дополнения к окрестности N, так что каждый пересекающий Е круг Dn целиком лежит в N вместе со своей граничной окружностью.
т
Пусть G = (J Dn. Тогда G — открытая окрестность множе-п— 1
ства Е и функция / (z) регулярна и ограничена в G — Е. Граница множества G состоит из конечного числа дуг окружностей, общая длина которых не превосходит 2е. Фиксируем сначала такую окрестность G = Go с е = е0, а затем для данного ех > 0 построим новую окрестность соответствующую е15 так что Е cz G± cz cGj czG0. Пусть Z>0 — одна из областей окрестности Go, a D± — объединение всех компонент лежащих в Do. Обозначим через С'а и Ci соответственно границы областей Do и Z)1. Тогда из интегральной формулы Коши следует, что для z g Do — D±
f {z) = j _ j	= Fo (z)_ Fi {z),
J b—2	J b z
Co	Ci
Оставляя Co и, следовательно, Fo (z) фиксированными, будем варьировать область D± и вместе с ней интеграл F± (z). Тогда при условии, что z не принадлежит ГД, получаем, что Fo (z) и f (z), а значит, и F± (z) остаются неизменными. Обозначим через б расстояние от точки z до множества Е и предположим, что < < 6/4. Так как все окружности в D± содержат точки из Е и имеют
5.5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
249
радиусы, не превосходящие е15 то расстояние от z до С'х не меньше чем 6/2. Таким образом,
Cl	Ci
где M — верхняя грань функции / (z) в tf, a — граница для: суммы радиусов Сг. Так как Ex произвольно, получаем, что Fj (z) = = 0, т. е.
Со
Это дает требуемое аналитическое продолжение во внутренность Со и, аналогично, во всю область Go, а значит, в частности, на множество Е. Следовательно, Е — устранимое множество по Пенлеве. Теорема 5.15 полностью доказана.
Один из наиболее интересных открытых вопросов теории емкости касается компактных множеств конечной линейной меры. Иванов [1963] показал х), что если множество Е лежит на достаточно гладкой кривой, то оно является устранимым по Пенлеве тогда и только тогда, когда его линейная мера равна нулю. С другой стороны, Витушкин [1959] и Гарнетт [1970] привели примеры плоских множеств канторова типа, которые являются устранимыми по Пенлеве, однако имеют положительную линейную меру. Напомним, что по теореме 5.14 для множеств конечной линейной меры Сх (Е) = 0, так что теорема 5.15 здесь не помогает. Существует (довольно смелая) гипотеза, согласно которой плоское компактное множество Е конечной линейной меры тогда и только тогда является устранимым по Пенлеве, когда оно иррегулярно в смысле Безиковича [1938], т. е. когда любая спрямляемая кривая пересекает Е по множеству нулевой линейной меры.
Далее мы увидим (теорема 5.18), что соответствующие проблемы для субгармонических и гармонических функций значительно проще. Ограниченная гармоническая функция вблизи компактного множества Е из R”1 гармонически продолжается на Е тогда и только тогда, когда Cm_2 {Е) — 0.
5.5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ИЛИ ПРИНЦИП ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЁФА
Исключительно важную роль при изучении субгармонических функций играют (тп — 2)-полярные, или просто полярные, множества. Дело в том, что для многих классов субгармонических
х) Для линейных множеств этот результат принадлежит Данжуа [1909], а для множеств на аналитических кривых — Альфорсу и Бёрлингу [1950].
250
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
функций можно не учитывать их поведение вблизи полярных множеств: это не приводит к значительному ослаблению соответствующих теорем. В этой связи ключевую роль играет функция, построенная в теореме 5.11.
Теорема 5.16 х). Предположим, что функция и (х) субгармонична и ограничена сверху в области D cz DV”. Пусть F — граница D, Е — полярное подмножество F и
lim и (х) М,
(5.5.1)
когда х стремится к точке g g F — Е изнутри области D. Если область D не ограничена, то при т = 2 в Е можно включить точку оо, а при m >2 нельзя. Тогда если F = Е, то и (х) постоянна, в противном случае
и (х) <М в D
или же и (х) = М в D.
(5.5.2)
Отметим следующий важный момент в этой теореме: неравенство (5.5.1) не обязательно выполняется во всех точках F, а лишь только в точках F — Е. Это типичная ситуация для принципа Фрагмена — Линделёфа.
В формулировке теоремы можно опустить условие ограниченности сверху функции и (х), а потребовать лишь, чтобы и (х) ие очень быстро росла вблизи исключительных точек.
Для доказательства теоремы 5.16 предположим сначала, что область D ограничена или что т >2. Построим в области D такую неположительную субгармоническую функцию со (х), что ю (х) = — оо в Е. Это возможно в силу теоремы 5.11.
Пусть хй — некоторая точка D. Предположим, что со (хй) > > — оо. Рассмотрим функцию нЕ (х) = и (х) + ею (х), где е — малое положительное число. Тогда если £ — произвольная точка множества F, то lim ие (х) М, когда х стремится к g изнутри D.
Действительно, если £ $ Е, то это неравенство’ следует из (5.5.1) и из того, что со (х)	0. Если же | g Е, то lim иЕ (х) —
= — оо, поскольку функция и (х) ограничена сверху в D. Таким образом, из обычного принципа максимума, примененного к субгармонической функции ие (х), следует, что ие (х) М в D и, в частности, иЕ (х0) М, т. е. и (х0)	— ею (z0). Так как
значение ю (х0) конечно, а е произвольно, заключаем, что и (х0)
М. Это неравенство верно для любой точки х0 g D. Поэтому из обычного принципа максимума следует, что и (х) <ZM или же и (х) = М в D.
Остается рассмотреть более трудный случай, когда область D не ограничена и т = 2. Так как Е — полярное множество (нуле
г) Асколи [1928].
5.5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
251
вой емкости), то оно является счетным объединением компактных полярных множеств Еп. Согласно теореме 5.13, каждое из множеств Еп имеет линейную меру нуль. Следовательно, можно покрыть Еп объединением квадратов, сумма сторон которых не превосходит е-2'”, так что множество Е покрывается объеди-оо
нением квадратов, сумма сторон которых непревосходит е У; 2_” = 1
= е. Таким образом, множество Е имеет лицейную меру нуль. Поэтому, в силу теоремы 5.12, множество тех г, для которых S (0, г) не пересекает Е. всюду плотно на положительной части вещественной оси. Мы будем называть такие значения г нормальными. Так как множество D не ограничено, то S (0, г) пересекает D для всех г Z>ro- Для любого нормального значения г положим
В (г) = sup и(х).
xED, |х|=г
Предположим сначала, что В (г) М для некоторого произвольно большого нормального г. Пусть х0 — некоторая точка D, г > | л'0| иг таково, что В (г) М\ пусть также Dr — подобласть в D Q D (0, г), содержащая x$. Применяя к Dr уже доказанную часть теоремы 5.16, получаем, что и (х0) М. Так как это верно для любой точки х(1 £ D, то условие (5.5.2) в этом случае выполнено.
Далее, предположим, что В (г) >М, г нормально и г >г0. Заметим, что в этом случае существует такая точка х £ D, что | х | = г и и (х) = В (г). Действительно, можно выбрать такую последовательность точек хп на 5(0, г) Q D, что и (хп) -> В (г) при и —оо. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можем считать, что хп —> х при п оо. Точка х не может принадлежать Е, поскольку S (0, г) не пересекается с Е. Точка х не принадлежит и F — Е, так как в таких точках выполняется неравенство (5.5.1). Следовательно, х должна быть точкой области D, а так как функция и суб гармонична в D, мы получаем, что и (х) ^В (г), т. е. и (х) = В (г).
Покажем, что функция В (г) возрастает для всех достаточно больших г. Действительно, если В (г) ^>М, то, применив только что доказанный результат к функции и (х) во всех подобластях D Q D (0, г), из (5.5.2) найдем, что и (х) В (г) в D Д D (0, г). В частности, для р </' имеем В (р) В (г).
Предположим теперь, что функция В (г) постоянна вне некоторого отрезка. Тогда на множестве | х | = гг найдется такая точка х±, что и (а^) = В (гД = В и В (г) = В для г Z>i\. Значит, и (х) = В в той компоненте Dr множества D ["] D (0, г), которая содержит точку хг. Устремляя г к бесконечности, получаем, что
252
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Dr->-D и, следовательно, и (х) = В в D. Таким образом, в этом случае функция и (х) постоянна.
Если В (г) не является постоянной вне отрезка, то В (г) В при г —оо, и для произвольного фиксированного г имеем В (г) < <ZB. Положим
иЕ (х) = и {х) — в log ( I X |/г)
и применим ко всем подобластям множества (г < | х | < В) ["] D уже доказанную часть теоремы 5.16. Тогда, если для данного 8 > 0 радиус В выбран достаточно большим, то в любой такой подобласти £>0
us (х) max (В (г), В (г) — 8 log (В/г))
max (В (г), В — 8 log (Blr)) = В (г).
Так как для фиксированной точки х можно выбрать 8 сколь угодно малым и затем положить В > | х |, то и (х) В (г) при I х | >г, т. е. В (В) В (г), В >г. Следовательно, В (г) постоянна вне отрезка вопреки предположению. Таким образом, если и (х) не постоянна, то во всех случаях выполняется неравенство (5.5.2).
Если множество Е содержит все F, то условие (5.5.1) не обязательно должно выполняться во всех точках, так что в этом доказательстве мы можем заменить М любым меньшим числом. В частности, можно взять М < и (х0) для некоторой точки х0 g D. Тогда неравенство (5.5.2) становится неверным, и поэтому и (х) — постоянная. В противном случае (5.5.1) выполняется по крайней мере в одной граничной точке | g Е, и поэтому, даже если и (х) = = В = const, имеем В М. Это завершает доказательство теоремы 5.16.
Стоит отметить, что точка оо играет существенно различную роль в случаях т = 2 и т >2. Если т = 2, она играет роль полярного множества. Поэтому если и (х) субгармонична и ограничена сверху вне компактного полярного множества в открытой плоскости, то из теоремы 5.16 следует, что и (х) — константа.
Если неравенство (5.5.1) выполняется во всех конечных граничных точках (в предположении, что имеется хотя бы одна такая точка) и если и (х) ограничена сверху, мы немедленно получаем (5.5.2).
Эти утверждения неверны при т >2, как показывает пример функции и (х) = — \ х |2-™, которая имеет верхнюю грань нуль в открытом пространстве, но ограничена сверху отрицательной константой на любом компактном подмножестве открытого пространства.
5.5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
253
5.5.1. Единственность емкостного потенциала
Воспользуемся теоремой 5.16 для того, чтобы доказать значительное обобщение теоремы 5.8.
Теорема 5.17 х). Предположим, что в теореме 5.8 а = т — 2. Тогда неравенство (5.2.7) можно заменить неравенством
и (х) >7 в Хт.	(5.5.3)
так что
и (х) — V a-почти всюду на Е.	(5.5.4)
Функция и (х) однозначно определяется следующими требованиями: она' субгармонична в IR™, гармонична вне Е, удовлетворяет условиям (5.5.3), (5.5.4) и
и (х) = log | х | + о (1) при х оо, если т = 2,	(5.5.5)
или же
и ( х )->-О при х->-оо, т >2.	(5.5.5')
В частности, емкостный потенциал единствен.
Пусть G — неограниченная область, дополнительная к множеству Е*, F — граница G и Fo — множество тех точек F, в которых и (х) > V. По теореме 5.8, Fo является (т — 2)-полярным множеством.
Рассмотрим теперь функцию и (х) = — и (х), заданную на компоненте G (7?) множества G ["] D (О, В), где В — большое положительное число. Так как а = т — 2, то функция — Ка (х) гармонична вне начала координат, и поэтому и (х) — гармоническая функция вне Е*. Кроме того, функция и (х) непрерывна в граничных точках у множества Е*, не принадлежащих Fo. Действительно, так как функция Ка (х) пн. св., то и (х) в любом случае пн. св. на Е* и на Rm. Далее, и (у) = V и и (х) V во всех других точках х g Е*, так что и (х) непрерывна в точке у как функция на Е*. Следовательно, из теоремы 5.1 вытекает, что функция и (х) непрерывна в точке у и как функция на R™. Это же утверждение верно и для функции v (х). Таким образом, v (х) —> — V, если х ->- у из G (В), где у — произвольная граничная точка G (7?), не содержащаяся в Fo.
Если выбрать 7? достаточно большим, то на S (х0, В) получаем: v (х) <0 при т = 2, v (х) < е при т >2, где е — положительное число, которое может быть выбрано меньшим, чем —V. Таким образом, для любой граничной точки компоненты G (В) вне некоторого полярного множества имеет место неравенство
lim v (х)	— V.
х) Фростман [1935].
254
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Так как функция v (х) субгармонична в G (7?) и, согласно (5.2.7), ограничена сверху, то из теоремы 5.16 следует, что в области G (7?), а значит, вне Е* выполняется неравенство v (х)	— V,
т. е. и (х) V. Согласно (5.2.4), это неравенство выполняется всюду в UV”. Используя (5.2.5), получаем (5.5.4).
Докажем теперь, что выполняется (5.5.5) или соответственно (5.5.5'). Предположим сначала, что т = 2. Тогда
и(х)=^ Iog|rr — y\dp(y) = Е*
= J {log [ .г ] 4-log | 1 —-g-|J dp (г/) = E*
= log IX I |X (£*) + О (I X I'1) = log IXI + О (I X Г1),
t. e. (5.5.5) выполняется. С другой стороны, если m > 2, то u(x)=^ — \x — y\2~mdy.(y')
E*
и, очевидно, выполняется (5.5.5').
Теперь можно доказать единственность функции и (х). Действительно, пусть G — область, дополнительная к множеству Е, и х0 — такая ее граничная точка, что и (х0) = V. Так как функция и (х) пн. св., то
lim u(x)^.V X~>XQ
и, в силу (5.5.3), получаем, что и (х) —> V при х —> х0 изнутри G. Следовательно, этот результат справедлив для всех конечных граничных точек х0 области G вне некоторого полярного множества Fq.
Предположим теперь, что и± (х) — другая функция, субгармоническая' в Rm, гармоническая вне Е и удовлетворяющая условиям (5.5.3), (5.5.4) и (5.5.5) или (5.5.5'). Положим
h (х) = и (х) — иг (х).
Тогда, согласно (5.5.5) и (5.5.5'), h (х) гармонична и ограничена вне Е. Кроме того, h (х)	0, когда х стремится к произвольной
конечной граничной точке множества G или к оо, за исключением точек полярного множества, которое является объединением полярных множеств, соответствующих функциям и (х) и и± (х). Далее, функция h (х) ограничена в G. Поэтому, применяя теоремы 5.16 к функциям h (х) и —h (х), видим, что h (х) = 0 в G, а значит, вне множества Е. В силу (5.5.4), h (х) = 0 a-почти всюду на Е, так что h (х) = 0 a-почти всюду в UV”.
5.5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
255-
Пусть, наконец, х0 — точка полярного множества F, в которой функция h (х) не обращается в нуль. Если и (х0) = иг (х0) = = — оо, то доказывать нечего. В противном случае значение h (х0) корректно определено, и поскольку функции и (х), и (х(1) субгармоничны, a F имеет нулевую m-мерную меру, то из определения § 2.1 следует, что
h(x0)= Иш-т-^р f h (x) dx = 0, r_>o	•>
D(x0, r)
где dm — константа. Таким образом, и (х) = иг (х) в любой точке Ч™. Этим завершается доказательство теоремы 5.17.
5.5.2. Полярные множества как устранимые множества
Легко доказать два других следствия теоремы 5.16.
Теорема 5.18 х). Пусть Е — полярное множество в IRm, G — открытое множество в R™ и и (х) — ограниченная сверху функция, удовлетворяющая условиям субгармоничности (i) — (iii) из § 2.1 в G — Е. Тогда и (х) единственным образом продолжается до субгармонической функции в G.
Если обе функции и (х) и —и (х) удовлетворяют перечисленным условиям, то и (х) продолжается до гармонической функции в G.
Заметим, что, поскольку Е — полярное множество, оно имеет нулевую (т — 1)-мерную меру. Следовательно, сферические средние функции и (х) не зависят от значений и (х) на Е, и сформулированные выше условия имеют смысл.
Докажем сначала первое утверждение. С этой целью для каждого х0 g Е Q G положим
и (х0) = lim и (х) при х —> х0 из G — Е.	(5.5.6)
Так как множество Е полярное, оно не имеет внутренних точек, и данное определение корректно. Ясно, что функция и (х) пн. св. в G. Можно считать, что область G ограничена. Построим такую субгармоническую функцию со (х), что со (х) <0 в G, (о (х) = — оо в Е П G, со (л'о) > —оо, где х0 — заданная точка из G — Е. Это возможно в силу теоремы 5.11.
Мы хотим показать, что если С (у, В) — произвольный шар в G и функция v (х) гармонична в D (у, В) и непрерывна в С (y,iB) и если и (х) <2 v (х) в S (у, В), то это же неравенство выполняется В D (у, В).
Предположим сначала, что х0 g D (у, В), но х0 $ Е. Рассмотрим функцию
hR (х) = и (х) + ею (х) — v (х).
г) Брело [1934].
256
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Очевидно, что она субгармонична в D (у, Л). Действительно, в любой точке, не принадлежащей Е, функции и (х), со (х) и —v (х) удовлетворяют условиям субгармоничности; в точках множества Е функция he (х) стремится к —оо.
Во всех точках S (у, В)
hz (х) ~^ и (х) — v (х)	0.
Следовательно, /ге (х)	0 в D (у, В). Для точки х = х0, не при-
надлежащей Е, устремляя е к нулю, заключаем, что и (х0) < v (х0).
Согласно (5.5.6) и в силу непрерывности функции v (х), это неравенство остается верным для всех точек Е. Отсюда, так же как в доказательстве теоремы 2.5, получаем, что и (х) удовлетворяет неравенству для среднего значения и, следовательно, субгармонична.
Это продолжение единственно. В самом деле, поскольку продолженная функция и (х) субгармонична, имеем для х0 g G
1	С
и (х0) = lim -j—— u(x)dx, D_>0 amv	J
P	D(xq, p)
(5.5.7)
где dm — объем единичного шара в R™. Это равенство следует, например, из определения субгармонических функций, данного в § 2.1. В этом равенстве можно не рассматривать точки множества Е, так как Е имеет m-мерную меру нуль.
Таким образом, (5.5.7) дает другое определение функции и (х) во всех точках Е, так что продолжение единственно.
Предположим теперь, что обе функции и (х) и —и (х) удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме. Тогда, как только что было доказано, функцию и (х) можно определить на Е равенством (5.5.7). Полученная функция субгармонична в G. Это же рассуждение применимо к функции — и(х), так что —и (х), будучи продолженной на Б1 с помощью (5.5.7), оказывается субгармонической в G. Таким образом, функции и (х) и —и (х) субгармоничны в G, поэтому, согласно теореме 2.9, функция и (х) гармонична в G. Это продолжение единственно, так как оно задается равенством (5.5.7). Теорема 5.18 доказана.
Покажем теперь, что требование полярности множества Е необходимо для выполнения теоремы 5.18. Действительно, пусть Е — компактное множество положительной (т — 2)-емкости, и пусть
Vm-2 = Кщ-2 У) (Р)
— соответствующий емкостный потенциал. Тогда функция и (х) = = — Vm-2 гармонична вне множества Е и ограничена в любом фиксированном шаре. Действительно, функция Vm.2 (%) субгар
5.6. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
257
монична в IR™ и поэтому ограничена сверху в любом фиксированном шаре. Кроме того, Vm-2 (х) ограничена снизу по теореме 5.8. Далее,
и (х) ^>С в IR™, и (х) С при х->-оо,	(5.5.8)
где С = 0, если т >2; С = — оо, если т = 2.
Таким образом, и (х) не допускает субгармонического продолжения в Е. В самом деле, в противном случае и (х) была бы субгармонической и, значит, пн. св. всюду в Rm. Тогда и (х) имела бы верхнюю грань М в UV", такую, что М > С. Следовательно, в силу (5.5.8), и (х) должна была бы достигать значения М в некоторой точке хй С Отсюда, согласно принципу максимума (теорема 2.3), следовало бы, что и (х) = М в Rm, в противоречие с (5.5.8). Тем более функция и (х) не допускает гармонического продолжения в Е. Заметим, что теорема 5.18 дает аналог теоремы 5.15 для ограниченных гармонических функций или для ограниченных сверху субгармонических функций. Однако утверждение теоремы 5.18 значительно полнее.
5.6. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
Теперь мы хотим показать, что иррегулярные точки для задачи Дирихле (см. п. 2.6.2) образуют полярное множество. Отсюда будет следовать, что для произвольной области в R™ и любых непрерывных граничных значений задача Дирихле имеет единственное решение, если налагать требование надлежащего граничного поведения только в регулярных точках.
Прежде всего докажем утверждение, показывающее, что условия регулярности можно несколько ослабить.
Теорема 5.19 Д. Пусть D — область в Rm, £0 — граничная точка D, N — окрестность точки £0 и No = N ["] D. Тогда и0 является регулярной граничной точкой области D, если существует такая функция ф (а:), что'.
(i) ф (х) субгармонична в No',
(ii)' ф (х) <0 в No:
(iii) ф (z) —0 при х £0 изнутри No.
В частности, точка £0 = оо всегда регулярна, если область D не ограничена и т ^>2.
Функция ф (х) в этой теореме удовлетворяет всем условиям барьера (§ 2.6), за исключением условия (ii), которое заменяется более простым условием (ii)'.
L) Булиган [1924].
17-0623
258
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Предположим сначала, что £0 — конечная точка и N содержится в замкнутом шаре С (£0, г). Пусть 0 <р <г,
S0 = S (£0, р) A D
и сг0 — площадь поверхности 50. Выберем в 50 компактное подмножество ег с площадью а15 граница которого имеет в So нулевую площадь. Например, в качестве е± можно взять объединение конечного числа замкнутых сферических шапочек из 50.
Определим теперь vp (х) как ограниченную гармоническую функцию в D (£0, р), граничные значения которой на S (£0, р) задаются формулой
{1, если х g So— et, —
О, если х g 5(l0, р) — (So— et).
Такая функция определяется интегралом
|Ур(ж)= j К (х, у) do (у),
So —«1
где К (х, у) — ядро Пуассона на S (£0, р) и do (у) — элемент площади поверхности S (£0, р). Имеем
vP (So) =	>0,
где у0 — отношение площади 50 — gj к площади S (£0, р). Выберем площадь ег настолько большой, чтобы выполнялось неравенство у0 < р/г.
Рассмотрим теперь на границе Го множества = D (u0, г) А A D функцию / (£) = | £ — £0 | и попытаемся решить в области задачу Дирихле с этими граничными значениями. Другими словами, точно так же, как в § 2.6, мы определяем класс U (J) субгармонических функций в которые удовлетворяют неравенству
lim и (х) f (£),	(5.6.1)
когда х стремятся к произвольной граничной точке £ £ АД изнутри Положим v (х) = sup и (х) и напомним, что, согласно
лемме 2.3, функция v (х) гармонична в АД и
0 </ v (х) С х € АД.	(5.6.2)
С другой стороны, и (х) = | х — £0 | сама является субгармонической функцией в АД и удовлетворяет (5.6.1). Следовательно, (5.6.2) можно уточнить следующим образом:
I х — So I < v (х) < г-	(5.6.3)
5.6. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
259
Рассмотрим функцию <в (х) = —v (х). Если мы докажем, что со (х) —> 0, т. е. что
г? (т) —О при х £0,	(5.6.4)
то окажется, что со (х) удовлетворяет всем условиям (i) — (iii) определения барьера (п. 2.6.2).
Итак, приступим к доказательству (5.6.4). Поскольку функция ф (х) субгармонична и ф (х) <0в Уо, то ф (х) пн. св. на компактном множестве е17 и поэтому достигает на ег своей точной верхней грани, скажем —тх. Допустим, что и (х) g U (/), и рассмотрим функцию
h(x) = u(x)~ р +---------rvp (х).
Функция h (х) субгармонична в Np = D [~| D (£0, р). В граничных точках £ области Np имеет место неравенство
11’т/г(ж)^0.	(5.6.5)
Действительно, если t, — граничная точка О, то lim »(j)<|?-So|<P,
и, поскольку ф (х) <0, vp (х) >0, (5.6.5) выполняется. Если же £ g е17 то в силу (5.6.2) имеем
lim и (x)^.v (П^г,	— г,
т1
так что (5.6.5) снова выполняется. Наконец, если t, f So — е17 то
Ит/г(ж)^г—lim п?р (z) = г—г = 0. x->t;	x->t;
Таким образом, неравенство (5.6.5) выполнено во всех случаях, и мы получаем
h(x)^0, u(x)^p-t-rvp(x) +	, x£Np.
Поскольку эти неравенства справедливы для любой функции и (х) g U (/), то
г(ж)^р + п>р(ж) +	, x^Np.
Устремляя в последнем неравенстве х —> £0, получаем
lim v (х)<р ф- rvp (£о)sC2р.
Так как р может быть сделано сколь угодно малым, отсюда вытекает (5.6.4), Следовательно, функция —v (х) удовлетворяет 17*
260
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
всем условиям барьера в точке £0, и £0 — регулярная точка для задачи Дирихле, как и требовалось.
Осталось рассмотреть случай £0 = оо. Если т >2, то функция со (х) = — | х I2-"1 удовлетворяет всем условиям барьера (п. 2.6.2), так что точка оо в этом случае всегда регулярна. Если т = 2, будем обозначать комплексное число, соответствующее точке х, через z. Рассмотрим преобразование комплексной плоскости, задаваемое формулой
Z = Z’1.
Область D отобразится на некоторую область D(l. Так как по следствию теоремы 2.8 конформное преобразование не затрагивает свойств субгармоничности и гармоничности, то оо является регулярной граничной точкой области D тогда и только тогда, когда 0 является регулярной граничной точкой области Do. Применяя к области Do и точке £0 = 0 доказанное выше, завершаем доказательство теоремы 5.19.
Теорема 5.20 т). Пусть D — область в Кт и Е — пересечение дополнения к D с фиксированным шаром С (х0, г), выбранным так, чтобы D находилась в неограниченной компоненте дополнения к Е. Тогда граничная точка £0 области D в D (х0, г) является регулярной для задачи Дирихле, если Ст~2 (Е) >0 и u(£0) = V, где и (х) — емкостный потенциал множества Е и V = Ут_2 — соответствующая постоянная равновесия.
В частности 2), иррегулярные точки для задачи Дирихле образуют полярное множество на границе области D.
В самом деле, пусть и (£0) = V. Тогда емкостный потенциал и (х) есть гармоническая функция вне множества А1 и, в частности, на множестве ДД = D (z0, г) Q D.
Далее, согласно теореме 5.17, и (х) V в No. Так как функция и (х) гармонична и отлична от константы в неограниченной компоненте дополнения к Е, которая включает в себя D, то и (х) > > V в No. Поскольку и (х) — потенциал и поэтому пн. св. в то и (х) -> V, когда х -> изнутри No. Таким образом, функция ip (х) = V — и (х) удовлетворяет условиям теоремы 5.19 и, значит, £0 — регулярная точка для задачи Дирихле.
Предположим теперь, что F — дополнение к области D в Rm. Можно представить F в виде объединения счетного числа компактных множеств Ev, диаметры которых меньше диаметра D, так что D лежит в неограниченной компоненте дополнения к Ev. Следовательно, все конечные граничные точки области D регулярны для задачи Дирихле, за исключением тех точек, в которых для
2) Эванс [1933].
2) Этот последний результат принадлежит Келлогу [1928].
5.6. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
261
некоторого v емкостный потенциал на Ev не принимает значения постоянной равновесия. Согласно теореме 5.17, это исключительное множество иррегулярных точек является подмножеством полярного множества и поэтому полярно. Далее, если область D не ограничена, то оо есть регулярная точка при m >2 и полярное множество при т = 2. Это завершает доказательство теоремы 5.20.
Теперь мы в состоянии получить значительно более общее решение задачи Дирихле. Этот результат принадлежит Винеру [1924].
Теорема 5.21. Пусть D — область в с границей Г и / (ж) — ограниченная функция на Г, непрерывная вне полярного множества Е(1 (Е(1 может включать точку оо при т = 2, но не должно содержать ее при т ^>2).
Тогда если Г — полярное множество, т. е. если т = 2 и область D не ограничена, то все ограниченные гармонические функции в D — константы.
В противном случае в области D существует единстеенная ограниченная гармоническая функция v (х), которая равна / (х) на Г и непрерывна на D вне полярного подмножества Ег сг Г. При этом множество Ег может быть представлено в виде Ео J Е, где Е — множество иррегулярных граничных точек области D.
Построим функцию v (х) точно так же, как в § 2.6. Тогда функция v (х) гармонична и ограничена в D. Далее, если при определении v (х) мы полагаем и (х) = / (х) на Г, то из теоремы 2.10 следует, что функция v (х) непрерывна в D вне множества Et = — Ео J Е. Согласно теореме 5.20, Е — полярное множество, а поэтому и Е} — полярное множество. Таким образом, функция v (х) обладает всеми перечисленными в теореме 5.21 свойствами. Если область D не ограничена, то в случае т = 2 мы включаем точку оо в множество Ег, а в случае т>2 не включаем. По теореме 5.19, при т > 2 точка оо регулярна.
Далее, если т = 2 и Г — полярное множество, то из теоремы 5.16 следует, что функция v (х) постоянна в D. Предположим теперь, что граница Г не есть полярное множество, так что Ег = = E(l [J Е является собственным подмножеством Г. Осталось показать, что функция v (х) единственна. Предположим, что (х) — еще одна функция, удовлетворяющая условиям теоремы 5.21. Пусть h (х) = v (х) — v1 (х). Тогда h (х) гармонична и ограничена в D и h (х) -> 0, когда £ изнутри D, за исключением случая, когда £ принадлежит полярному множеству Е{. Из обобщенного принципа максимума (теорема 5.16), примененного к функциям h (ж) и —h (ж), следует, что h (х)	0 в В и h (х)	0 в D,
т. е. h (х) s 0 в D. Это завершает доказательство теоремы 5.21.
Пусть снова множества D и Г такие же, как в теореме 5.21. Точка £о £ Г называется иррегулярной точкой (для задачи Дирихле),
262
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
если на Г существует функция / (£), удовлетворяющая условиям теоремы 5.21, непрерывная в точке £0 и такая, что соответствующая функция v (х) из теоремы 5.21 разрывна в £0. Можно более подробно описать природу иррегулярных точек и получить обращение теоремы 5.20.
Теорема 5.22. Пусть D — область в и £0 — конечная точка на границе Г области D. Следующие условия эквивалентны:
(i)	£0 — иррегулярная точка для задачи Дирихле',
(ii)	еслиЕ — пересечение дополнения kD с произвольным фиксированным шаром С (£0, г), таким, что D расположено в неограниченной компоненте дополнения к Е, то либо Ст-2 (Е) = 0, либо
и(Л0)>У,	(5.6.6)
где и (х) — емкостный потенциал множества Е, а V — его постоянная равновесия',
(iii)	в точке £0 не существует барьера, удовлетворяющего условиям 2.6.2.
Если область D не ограничена, то точка £0 — оо иррегулярна тогда и только тогда, когда т = 2 и выполняется условие (iii).
Следовательно, множество всех иррегулярных точек на Г образует полярное множество типа Fo.
Мы уже доказали, что (i) => (iii) (теорема 2.10) и что (i) => (ii) (теорема 5.20). Кроме того, из теорем 5.19 и 5.20 следует, что если для некоторого множества Е условие (ii) не выполнено, то в точке £0 существует барьер, так что £0 — регулярная точка. Таким образом, имеет место импликация (iii) => (ii). Остается доказать импликацию (ii) => (i). Этим мы сейчас и займемся.
Предположим сначала, что вся граница Г, включая точку оо, является полярным множеством. Тогда т = 2 и, по теореме 5.16, все ограниченные сверху субгармонические функции в D являются константами. В этом случае выполнены все три условия (i), (ii), (iii) и доказывать нечего. Таким образом, можно считать, что множество Г содержит по крайней мере одну регулярную граничную точку £0.
к Пусть сначала Ст_2 (А1) = 0. Положим / (£) = ctg | £ — £0 | на границе области D и построим на D функцию v (х) с граничными значениями f (£) (теорема 5.21). Тогда v (х) — неотрицательная и ограниченная гармоническая функция в D. Поскольку v (х) > 0 в окрестности регулярной граничной точки области D, то по принципу максимума v (х) >0 в D. Так как Ст-2 (Е) = 0, то в силу теоремы 5.18 существует гармоническое продолжение функции v (х) в окрестность точки £0. Таким образом, по прин
5.6. ПОЛЯРНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
263
ципу максимума v (£0) > 0 и v (х) -> v (£0) ф f (£0), когда х -> £0 изнутри D. Следовательно, £0 — иррегулярная точка.
Предположим теперь, что Ст-2 (-Ё) >0, но выполнено условие (5.6.6). Пусть сначала т > 2. Обозначим через и (х) емкостный потенциал множества Е и зададим граничные значения, полагая / (£) = V в точках £££'['] Г и / (£) = и (£) во всех других точках границы Г (в частности, / (оо) = 0). Пусть v (х) — соответствующее решение задачи Дирихле, построенное по теореме 5.21.
Заметим, что, согласно теореме 5.17, и (ж) = V, и поэтому, в силу теоремы 5.1, функция и (х) непрерывна во всех точках Е Q Г, за исключением некоторого полярного множества. Следовательно, функция / (£) непрерывна и совпадает с и (£) во всех точках Г, исключая полярное множество. Далее, функция и (х) ограничена и гармонична в D, непрерывна в D вне полярного множества и совпадает с / (£) на Г, за исключением некоторого полярного множества. Таким образом, из теоремы 5.21 следует, что v (х) = и (х).
Для того чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно показать, что при выполнении условия (5.6.6) функция и (ж) не может стремиться к V при х -> £0 изнутри D. В самом деле, предположим противное, т. е. что
и (х) -> V, когда £0 изнутри D. (5.6.7)
Тогда для данного е > 0 при всех достаточно малых р имеем и (х) < V + е почти всюду в D (£0, р).	(5.6.8)
Действительно, в силу (5.6.7), это выполнено для точек области D. Точки множества D (£0, р) — D расположены в А1, и поэтому, согласно теореме 5.17, в этих точках и (х) = V вне некоторого полярного множества. Так как полярное множество имеет нулевую m-мерную меру, то
j {и(х) — V}dx^.o(pm) при р-> 0.
ЖЕо, Р)
Поскольку функция и (х) субгармонична, отсюда следует, что и (So) V- Это противоречит неравенству (5.6.6).
Если т = 2, наши рассуждения нужно несколько модифицировать. Пусть t, — точка множества Е и Е (£) — круг | z — S I <
IS— So I- Очевидно, конечное множество таких кругов покрывают часть множества Е, для которой | £ — So I 1/^, и поэтому счетное множество кругов Е (£) покрывают множество Е — {Sol-Так как множество Е не полярное, то существует по крайней мере одна такая точка t, = что множество Er = Е ["] Е (£t) не полярное и поэтому имеет положительную емкость. Пусть
264
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
/(?)= {
Uj (х) и и (х) — соответственно емкостные потенциалы множеств Ег и Е. Положим
У — щ (£)	на Е,
u(t,) — и^) во всех других точках Г.
Тогда, в силу (5.5.5), функция /(£) ограничена на Г и непрерывна вне полярного множества. Поэтому задача Дирихле имеет решение по теореме 5.21; нетрудно видеть, что этим решением является функция
v (х) = и (х) — иг (х).
Так же как выше, получаем, что при выполнении неравенства (5.6.6) нарушается условие (5.6.7). Поскольку функция vr (х) гармонична и, значит, непрерывна в точке £0, функция v (х) не может стремиться к / (£0), когда х —> £0 изнутри D. Следовательно, £0 — иррегулярная точка. Это завершает доказательство импликации (ii) => (i), так что условия (i), (ii) и (iii) эквивалентны.
Покроем теперь конечные точки множества Г счетным числом таких замкнутых шаров С (xv, rv), что 2rv не превышает диаметра области D. Пусть Ev — пересечение дополнения к D с шаром С (xv, rv) и Fv — множество тех точек Г ["] Ev, в которых выполняется неравенство (5.6.6). Поскольку потенциалы являются полунепрерывными сверху функциями, Fv есть множество типа /Д. Следовательно, таким же будет и множество всех иррегулярных точек, так как оно имеет вид (J^v Согласно теореме 5.20, это полярное множество. Теорема 5.22 доказана.
5.7.	ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА
Обобщенное решение Винера задачи Дирихле, которое было получено в теореме 5.21, имеет много важных приложений. В частности, оно позволяет распространить всю развитую в § 3.6—3.8 теорию на произвольные области D cr Rm. Допуская исключительные полярные множества на границе области D, к которым относится и множество иррегулярных точек, можно избавиться от условия регулярности области D. Если подходящим образом модифицировать определения, то многие утверждения и доказательства гл. 3 почти не изменятся. Поэтому в этом параграфе мы ограничимся лишь формулировками определений и теорем, оставляя их доказательства читателю, кроме тех случаев, когда они существенно отличаются от приведенных в гл. 3.
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 265
5.7.1.	Гармонические продолжения
Пусть D — область в [Rm, граница Г которой не является полярным множеством, и пусть / (£) — непрерывная функция на Г. Обозначим через v (х) функцию на D, существование и единственность которой устанавливаются теоремой 5.21. Тогда можно сказать, что v (х) является гармоническим продолжением функции. Ш изГ в D.
Функция v (х) характеризуется следующими свойствами:
(i)	v (х) — ограниченная гармоническая функция в D (причем min / (£) v (х) max / (£));
гег	сег
(ii)	если £ — произвольная регулярная точка границы Г, то* v (ж) -> / (£), когда х -> t, изнутри D. (5.7.1)
В частности, условие (5.7.1) выполняется для всех точек t, £ Г,, которые не принадлежат полярному Fo-множеству Го, не зависящему от конкретного выбора функции /.
Теперь можно распространить наше определение, как в п. 2.7.2, на полунепрерывные функции / (£), принимая во внимание, что. если fn (£) — монотонная последовательность непрерывных функций на Г с гармоническими продолжениями ип (х), то последовательность ип (х) сходится к пределу и (ж), который является гармонической функцией в D или тождественно равен бесконечности. Далее, и (х) зависит только от предела / (£) последовательности (£) и не зависит от конкретного выбора последовательности.
Доказательство этих утверждений идентично доказательству теоремы 2.17, и они позволяют нам определить гармоническое продолжение из Г в D полунепрерывных функций / (£).
При этих определениях остаются справедливыми утверждение и доказательство теоремы 3.10 для любой области из Rm, дополнение которой не является полярным множеством. Для каждой такой области D определена гармоническая мера со (ж, е), где е — борелевское множество на границе Г области D, а х — точка области D, удовлетворяющая условиям теоремы 3.10. При помощи этой меры гармоническое продолжение из Г в D непрерывной или полунепрерывной функции / (£) задается формулой
и(х) = $ f(t)da>(x, е$.	(5.7.2)
г
Затем можно использовать формулу (5.7.2) для того, чтобы определить *) гармоническое продолжение любой конечной боре-
х) Брело [1939а]. Брело также доказал, что даже в этом общем случае-решение совпадает с решением (2.6.1), получаемым методом Перрона.
266
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
левской функции /, интегрируемой относительно меры со (ж, е). Условие интегрируемости снова не зависит от выбора точки х.
Стоит отметить следующее утверждение.
Теорема 5.23. Если D — область в Rm, F — граница области D и е — произвольное полярное множество на F, то е имеет гармоническую меру нуль. В частности, множество иррегулярных точек имеет гармоническую меру нуль. Любая точка ?0 имеет гармоническую меру нуль, за исключением, может быть, случая т 2 и £о = °°-
Предположим сначала, что е — произвольное компактное множество на границе области!). Для любой точки t, обозначим через 6 (?) = 6 (?, е) ее расстояние до множества е и положим
6П (?) = max (1 - пб (?), 0).
Ясно, что 6П (?) образуют убывающую последовательность непрерывных функций на Г и что 6П (?) -> %е (?) при п -> оо, где х₽ (?) — характеристическая функция множества е. Таким образом, если г?п (х) — гармонические продолжения функций 6„ (?), то при п —> оо vn (х) -> (О (х, е),
где со (х, ё) — гармоническая мера множества е.
Предположим теперь, что ?0 — регулярная точка в дополнении d к множеству е относительно границы Г области!). Тогда (?)=0 для п п(1 в некоторой окрестности точки ?0, поэтому существует такая окрестность 7V0 точки ?0, что иПо (х) <е, х £ No. Таким образом, со (х, е) < е, ж С -Уо- Так как со (ж, е) 0 в !), то
со (х, е) -> 0, когда х -> ?0 изнутри D, где ?0 — произвольная регулярная точка множества d. Если е — полярное множество, то из теоремы 5.21 следует, что единственной ограниченной гармонической функцией, обладающей этим свойством, является тождественный нуль, так что в этом случае со (ж, е) = 0. оо
Более общо, если е cr (J ev, где ev — компактные полярные v=l
оо множества, то из свойств меры следует, что со (ж, е)<С У ® (ж, ev) =
= 0. Значит, наше утверждение справедливо для любого полярного множества е.
Приведенные выше рассуждения показывают, в частности, что любая конечная граничная точка имеет гармоническую меру нуль. При т = 2 с помощью конформного отображения это заключение можно распространить и на точку ?0 = оо. Теорема 5.23 доказана.
Если т > 2, то точка ?0 = оо может иметь положительную гармоническую меру. Чтобы привести соответствующий пример,
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 267
рассмотрим в качестве D область | х | >1, ав качестве е точку оо. Тогда со (ж, е) = 1 — | х |2-т.
Вообще, для того чтобы реализовалась ненулевая гармоническая мера, дополнение к D должно быть очень мало в оо. Действительно, пусть со (ж) — гармоническая мера точки £0 = оо в Z); предположим, что со (х) не равна тождественно нулю. Тогда какая-нибудь компонента Do множества {со (х) > е} в D не ограничена при е > 0. В противном случае для граничной точки t, компоненты Z)o имелось бы две возможности:
lim со (ж)^е,	(5.7.3)
если t, g D (так как тогда со (х) непрерывна в точке £), и lim со (ж) = 0,
если t, — регулярная граничная точка D. Следовательно, неравенство (5.7.3) выполнялось бы для всех точек £, за исключением некоторого полярного множества, и поэтому по теореме 5.16 было бы о (г) е в й0 в противоречие с предположением. Таким образом, поскольку со (х) ограничена в Do, из доказательства теоремы 4.15 следует, что 9 (г) = о (гт-1), где 9 (г) есть (т— ^-мерная площадь пересечения дополнения к Do со сферой 5 (0, г).
В частности, если Dr — область в Rm, дополнительная к Do, то гармоническая мера точки £0 = оо равна нулю в Dt.
5.7.2.	Обобщенная функция Грина
Теперь мы можем распространить понятие функции Грина на произвольные области D cz Rm. Пусть Г — граница области D. Предположим сначала, что т = 2 и что Г — полярное множество. Тогда из теоремы 5.16 следует, что единственными ограниченными сверху субгармоническими в D функциями являются константы. В этом случае говорят, что область D не имеет функции Грина. Во всех других случаях можно определить функцию Грина g (ж,	D). Это можно сделать, например, в точности так же, как
в § 3.7, исключая случай, когда т = 2 и D не имеет ни одной внешней точки. Для того чтобы охватить и этот случай, удобна несколько иная конструкция.
Пусть даны область D и точка сей. Будем говорить, что g'(x, %, D) является (обобщенной) функцией Грина области D, если g (х, g, D) обладает следующими свойствами:
(i)	Функция g гармонична в D, за исключением точки х = g.
(ii)' Если t, — граничная точка D, не принадлежащая некоторому полярному множеству Е, то g (х,	D) —> 0, когда х —> t,
268
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
изнутри D; если же то g (х, £, D) остается ограниченной, когда х —> t, изнутри D.
(iii) Функция g + log | х — g | остается гармонической в точке-х = g, если т = 2; функция g — | х — g |2-т остается гармонической в точке х = g, если т > 2.
Условия (i) и (iii) здесь в точности те же самые, что и в определении классической функции Грина (и. 1.5.1). В то же время условие (ii)' является более слабым, чем условие (ii), и переходит в него, если все граничные точки области D регулярны. Таким образом, классическая функция Грина является частным случаем обобщенной функции Грина.
Имеет место следующая х)
Теорема 5.24. Если D — произвольная область в Rm, граница, которой не является полярным множеством, то (обобщенная) функция Грина области D существует и единственна.
Прежде всего докажем единственность. Предположим, что две функции gt (х) и (ж) удовлетворяют условиям (i), (ii)' и (iii). Пусть
h (х) = gr (х) — g2 (х).
Тогда функция h (х) гармонична в D, и если £ — граничная точка) D, не принадлежащая исключительному множеству Е, то
h (х) -> 0, когда х -> £ изнутри D. (Ь.1А}
Покажем теперь, что функция h (х) ограничена в D. Предположим противное, т. е. предположим, что существует такая последовательность точек хп £D, что h (хп) —> оо при п—> оо. Переходя, если понадобится, к подпоследовательности, можно считать, что хп —> х при п —> оо, где х ( Rm или же х = оо. Точка х не может принадлежать области D, так как функция h гармонична и потому непрерывна в D. Точно так же х не может быть граничной точкой D, поскольку в силу (ii)' функции gr (хп), g2 (хп), а значит, и h (хп) остаются ограниченными при хп —> х. Таким образом, мы пришли к противоречию. Следовательно, функция h (х) ограничена в D.
Далее, по условию теоремы граница D не является полярным множеством. В то же время исключительное множество Er Q Е2, соответствующее функциям gt и g2, полярное. Поэтому (5.7.4) выполняется по крайней мере для одной точки £ (возможно, оо). Из теоремы 5.16 следует теперь, что h (х)	0 и h (х) S7 0, так что
х) Обобщенная функция Грина введена Булиганом [1924], который доказал, что исключительное множество в (ii)' — это в точности множество иррегулярных граничных точек.
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 269
h (х) = 0 в D. Следовательно, если функция g (х, g, D) существует, то она единственна.
Установим теперь существование функции g (х, g, D). Допустим сначала, что т > 2, и положим
/. (х) = - I X - В |2-т
на границе Г области D. Тогда f (х) ограничена и непрерывна на Г, включая, возможно, и точку оо. Следовательно, по теореме 5.21, функция / (х) обладает таким гармоническим продолжением и (х) в D, что функция и (х) ограничена в D и и (х) -> / (£), когда х стремится к произвольной регулярной граничной точке t, изнутри D. Таким образом, функция
g (х, %, D) = и (х) + \ х — % |2-т
удовлетворяет условиям (i), (ii)' и (iii).
Предположим наконец, что т = 2. Обозначим через TjV пересечение дополнения к области D и круга | х | S7 N. Если бы ГN для каждого N было полярным множеством, то граница Г также была бы полярным множеством, поскольку х = оо — полярное множество. Но это противоречит условию теоремы. Поэтому для некоторого N > 0 множество Гх имеет положительную емкость. Выберем такое N и определим соответствующий емкостный потенциал
V(x)= j log-) х—
Пусть У — постоянная равновесия. Положим f log) ж— g| — V, x£Tn, log | ж—| —7 (ж), ^Г-Гу.
Тогда функция f (х) непрерывна всюду, за исключением тех точек Гу П (I х I = -^), в которых V (х) т. е., в силу теоремы 5.17, непрерывна вне полярного множества. Следовательно, существует се единственное гармоническое продолжение и (х). Кроме того, поскольку f (х) равномерно ограничена на Г, и (х) равномерно ограничена в R2. Можно положить
g (х, I, D) = и (х) + V (х) — log | х — g |.
Заметим, что, когда х приближается к произвольной граничной точке области D, функция g (х, g, D) остается ограниченной. Более того, для всех регулярных точек £0, в которых потенциал V (х) непрерывен, т. е. для всех £0, не принадлежащих некоторому полярному множеству, g (ж, g, D) -> 0, когда х -> £0. Следовательно, функция g удовлетворяет условию (ii)', а также условиям (i) и (iii). Теорема 5.24 доказана.
Следующая теорема принадлежит Фростману [1935].
270
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Теорема 5.25. Предположим, что функция и (х) субгармонична, в области D с и обладает там гармонической мажорантой v (ж), так что и (х) v (х) и v (х) — гармоническая функция в D. Тогда для х б D
и(х) = Ь(х) — § g (х, g) dpe^,	(5.7.5)
D
где g (х, g) — обобщенная функция Грина области D, h (х) — наименьшая гармоническая мажоранта функции и (х) в D и р — мера Рисса функции и (х) в D.
Для доказательства теоремы 5.25 нам понадобится следующая
Лемма 5.6. Функция Грина g (х, D) является нижней огибающей всех таких функций g (х), которые удовлетворяют условиям (i) и (iii) п. 5.7.1 и неравенству
g (х) >0 в D.	(5.7.6)
Кроме того, если Dn — последовательность областей с компактным замыканием, регулярных для задачи Дирихле и таких, что Dn cz
czDn+1, (J Dn = D, то
n=i
g (x, %, Dn)g (x, D) при n-+oo. (5.7.7)
Покажем прежде всего, что функция g (х, g, D) удовлетворяет (5.7.6). Из определения следует, что —g (х, £, D) субгармонична в D, ограничена сверху и — lim g (х, g, D) О 0, когда х —> t, изнутри D для всех граничных точек £ £ Г, не принадлежащих некоторому полярному множеству. Следовательно, по теореме 5.16, —g 0 в D, а так как g не постоянна, то выполняется неравенство (5.7.6).
Предположим теперь, что и (х) — еще одна функция, удовлетворяющая условиям (i), (iii) из п. 5.7.1 и неравенству и (х) > О в D. Рассмотрим функцию
h (х) = g (х) — и (х).
Она гармонична в D и остается ограниченной сверху, когда х стремится к произвольной граничной точке £ области D. Кроме того, в силу (ii)',
lim h (х)^0
для всех точек t, из Г, лежащих вне некоторого полярного множества. Следовательно, по теореме 5.16, h (х) Д 0 в D. Таким образом, g (х, D) при любом х С D не превосходит любой функции g (х), удовлетворяющей условиям (i), (iii) и неравенству (5.7.6). А поскольку g (х, g, D) сама удовлетворяет этим условиям, то она является точной нижней огибающей, что и характеризует функцию Грина.
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 27f
Пусть теперь Dn — последовательность областей из условия леммы, gn (х) = g (х, g, Dn), g0 (х) = g (х, £, D). Ясно, что функции gn (х) возрастают с возрастанием п. Действительно, если т ^>п, х С Dn, то gm (х) — gn (х) гармонична в Dn. Если Гп — граница области Dn, то gn (х) непрерывна и равна нулю на Г„, в то время как gm (х) >0 на Гп. Следовательно, gm (х) — gn (х)^ 0 в Dn. Таким образом, для фиксированных х и g из D функции gn (х) образуют возрастающую последовательность положительных гармонических функций в окрестности точки х. Поэтому gn (х) —> G (х) при п—> сю, где функция G (х) гармонична и удовлетворяет в D условиям (i), (iii) и (5.7.6), или же G (х) = +оо. Например, для того чтобы проверить условие (iii), заметим, что если g С Dn, то функция gm (х) — gn (х) гармонична в окрестности точки х = £ и, следовательно, в этой же окрестности G (х) — gn (х) есть гармоническая функция.
Итак, в силу первой части леммы, достаточно доказать следующее утверждение: если функция g (х) удовлетворяет в области D условиям (i), (iii) и неравенству (5.7.6), то g (х) G (х). Действительно, функция G (х) будет тогда точной нижней огибающей всех таких функций g (х) и поэтому, по первой части леммы, G (х) = = g (х, £, D).
Заметим, что, по предположению, hn (х) = g (х) — gn (х)	0
на границе Гп области Dn и что hn (х) гармонична в Dn. Следовательно, hn (х)	0, т. е. gn (х) g (х) в Dn. Фиксируем точку х
и устремим п к бесконечности; получим, что G (х) g (х), как и требовалось. Поскольку существует конечная функция g (х) = = g (х, £, D), функция G (х) не равна +<х>, а значит, G (х) = = g (х,	D), как и требовалось. Лемма 5.6 доказана.
Докажем теперь теорему 5.25. Если граница области D — полярное множество, то т = 2 и в D не существует ограниченной сверху субгармонической функции, отличной от константы. Следовательно, в предположениях теоремы и (х) — v (х) = const, так что и (х) гармонична в D и сама является своей наименьшей гармонической мажорантой. Поэтому в этом случае теорема 5.25 верна и интеграл в (5.7.5) равен нулю.
Предположим теперь, что граница области D не есть полярное множество, так что существует функция Грина g (ж, g, D). Пусть Dn — последовательность областей, удовлетворяющая условиям леммы 5.6. Например, в качестве Dn можно взять объединение конечного числа компактных гипершаров. Пусть Е — фиксированное компактное подмножество в D. Будем считать, что последовательность Dn выбрана так, что EczD^. Положим
Фп (х) = j g (x,l, Dn) dpe^.
E
272
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Тогда, как было показано при доказательстве теоремы 3.15,
<рп (х) -> 0, когда х -> £,	(5.7.8)
где t, — произвольная точка на границе Г„ области Dn. Предположим, что v (х) — некоторая гармоническая мажоранта функции .и (х), и рассмотрим функцию
h(x) = и (х) + <pn (х) — v (х).
Из теоремы Рисса о представлении следует, что функция h (х) субгармонична в Dn. Далее, в силу (5.7.8), lim h (х)	0, когда
х стремится к произвольной точке Г„ изнутри области Dn. Следовательно, по принципу максимума, h (х) 0, т. е. v (х) и (ж) + + <Pn (^).
Пусть теперь п-^-оо. Тогда последовательность g (х, g, Dn) монотонно сходится для каждого фиксированного х к функции g (х, £, D), причем все рассматриваемые функции положительны. Следовательно, используя условие (3.3.1) монотонной сходимости для интегралов, получаем, что (х) -> <р (х) при и->оо для каждого фиксированного х, где
<Р (ж) = j g (х, g, D) d^.
E
Таким образом, для любого компактного подмножества Е czD выполнено неравенство
v (х) > и (х) + j g (х, g, D) dpe^.
Е
Взяв теперь вместо Е любую из областей Dn, определим функции gn, полагая gn (х) = g (я:, g, Dn), если х, % £ Dn, и gn (х) = О в противном случае.
Тогда, если точка х выбрана так, что и (х) >> —сю, имеем
gn (х) dpe^v (х) — и (х) < 4- сю. D
Так как функции gn (х) возрастают вместе с п, то, снова применяя условие монотонной сходимости, получаем, что
j g (ж, %, D) d[ie^^.v (х) — и(х) <+<x>. D
Таким образом,
v (х)и (х) 4- j g (х, D) d[ie^ = h (х).	(5.7.9)
D
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 273
Для доказательства теоремы 5.25 нам нужно еще показать, что h (х) является наименьшей гармонической мажорантой функции и (х). Очевидно, что h (х) — мажоранта и (х), а в силу неравенства (5.7.9) h (х) не может превосходить никакой гармонической мажоранты функции и (х). Поэтому остается только доказать, что h (х) — гармоническая функция в D.
Для этого предположим, что х £ Z)15 и представим функцию h (х) в виде оо
h (х) = и (х) + g(x, I, Z))dpe5 + 2 hn (х),
Dt	71= i
где
j g(x,t, Djdpe*.
Bee hn (x) — положительные гармонические функции, поэтому оо
и 2	— также гармоническая функция (поскольку эта сумма
71=1
сю). Согласно теореме Рисса о представлении, функция
h0 (х) =-- и (х) + g (х, с) dye-. = bi
= и (х) + j {g (х, £) + Кт (х— £)} dpe^ — j Кт (х — £) ДнеЕ Г>1	D,
гармонична в Du поэтому гармонической является и функция оо
7г (х) — 2	(%)• Это завершает доказательство теоремы 5.25.
п=0
5.7.3. Свойство симметрии функции Грина
Теорема 5.26. Предположим, что D — область в Rm, дополнение к которой не является полярным множеством. Тогда функция Грина g (х, g, D) удовлетворяет условию
g (х, £, D) = g (g, х, D).
В частности, g является гармонической функцией переменного £ для фиксированного х из D, | х.
Предположим сначала, что D — область с компактным замыканием, регулярная для задачи Дирихле. Тогда
g (х, IY=. — К (х— g) + J К (ц— I) dti) (х, ел), (5.7.10) Г
18-0623
274
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
где К (х) определено формулой (3.5.1). Действительно, функция h (х) = g (х, I) + К (х — I)
гармонична в D и непрерывна в D. Поэтому, согласно теореме 3.10, h (х) — j h (ц) da (х, еД.
г
Кроме того, на границе Г области D имеем g (ц, £) = 0, h (ц) = = К (ц — |), откуда следует (5.7.10).
Фиксируем теперь точку х и будем рассматривать g (х, g, D} в (5.7.10) как функцию от g. Обозначим эту функцию через <р (£) = = g (х,	D). Так как положительная мера со (ж, ел) распреде-
лена на Г, то, согласно теореме 3.6, функция <р (£) определена и гармонична всюду на й, за исключением точки х = g. Далее, функция <р (S) + К (х — '£) остается гармонической в точке g = х и ф (£)	0 в D. Поэтому, по лемме 5.6, <р (£) g (g, х, D),
т. е. g (х, ?) ^> g (£, х). Совершенно аналогично доказывается, что g (g, х) g (х, так что g (х, £) = g (g, х). Для произвольной области это же утверждение следует теперь из леммы 5.6. Таким образом, теорема 5.26 доказана.
5.7.4. Продолженная функция Грина
и формула Пуассона — Йенсена
Мы закончим этот параграф доказательством обобщенного варианта теоремы 3.14. Оказывается, можно опустить требование, чтобы граница области D была регулярна и имела нулевую m-мерную меру.
Теорема 5.27. Пусть D — ограниченная область в Rm. Пусть и Г2 — множества соответственно регулярных и иррегулярных граничных точек области D, так что Г = (J Г2 — граница D. Обозначим через Do = Rm — D внешность D. Тогда для g существует Д единственная функция g (х. g), которая совпадает с функцией Грина для х £ D, равна нулю при х £ Do и субгармонична в — {£}. Для х0 С Г имеем
g {х0, %) = lim g (х, g),	(5.7.11)
где верхний предел берется при х х0 изнутри D.
Более того, если и (х) субгармонична в D с мерой Рисса ц, то для х б D
и(х)= u(^)da (х, еД — j g (ц, х) dpe^, (5.7.12) г,	лиг,
где со (ж, е) — гармоническая мера в точке х.
Д Эти свойства функции g (х, £) см. у Брело [1955].
5.7. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ФУНКЦИЯ ГРИНА 275
Вернемся к уравнению (5.7.10) предыдущего пункта. Оно справедливо для любой ограниченной области Z), поскольку правая часть очевидным образом удовлетворяет условиям (i), (ii)' и (iii) и. 5.7.2. Так как функция К (х — £) непрерывна на Г, то верхний предел в (5.7.11) равен нулю во всех точках Гг С другой стороны, в точках х0 £ Г2 этот предел положителен. Действительно, в противном случае —g (х, Q была бы функцией, удовлетворяющей условиям (i), (ii)' и (iii) теоремы 5.19. Это означает, что хй была бы регулярной граничной точкой D в противоречие с предположением. Таким образом, функция g (ж0, |) положительна на Г2 и равна нулю на Гг
Для произвольной точки х не будем пользоваться для определения функции g формулой (5.7.11), а вместо этого положим
gСгЛ) =-£(£-£)+j Я(n-z)d®Q,ey. (5.7.13) г
Согласно (5.7.10) и теореме 5.26, правая часть совпадает с функцией Грина, когда х и g С D. Далее, для х £ Do функция К (ц — х) гармонична в D. так что правая часть (5.7.13) в этом случае равна нулю. Наконец, в силу теоремы 3.7, эта правая часть является для фиксированного £ субгармонической функцией переменного х в - {£}.
Следовательно, равенство (5.7.13) определяет продолженную функцию Грина g (х, g), удовлетворяющую условиям теоремы 5.27. Покажем теперь, что любая такая функция может быть задана для х0( Г равенством (5.7.11).
Предположим сначала, что х0 £ ГД Тогда, согласно теореме 5.20, Г2 является ограниченным полярным множеством. Поэтому, в силу теоремы 5.11, в существует субгармоническая функция h (х), конечная в точке х0 и равная —сю на Г2. Вычитая, если необходимо, константу, можем считать, что h (х) <0 на Г. Положим для любого е >0
ge (х) = g (х, £) + e.h (х).
Тогда, очевидно, lim ge (х) <0, когда х стремится к произвольной точке хг С Г из Do или из D. Таким образом, точка есть центр шара N (жД, такого, что (ж)<0, х £ N (хг) — Г. Объединение шаров N (жД образует открытое множество N, содержащее Г и такое, что (х) <0 в N — Г. Так как функция ge (х) субгармонична в N, то по принципу максимума (х) <; 0 в N.
Действительно, в противном случае функция g£ (х) достигала бы максимума в N на компактном множестве Г. В частности, ge (ж0) <0, т. е. g (ж0, |) <— e.h (х0). Так как е произвольно, получаем, что g (ж0, g) 0. Следовательно, на выполнено равенство (5.7.11).
18*
276
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Итак, функция g (ж0, g) определена вне полярного множества Г2. Из теоремы 5.18 и из (5.5.6) теперь следует, что на множестве Г2 функция g должна задаваться равенством (5.7.11). Это доказывает единственность g(x, g), а также тот факт, что функции, задаваемые равенствами (5.7.11) и (5.7.13), тождественны на Г.
Уравнение (5.7.13) можно переписать в виде
j К (g— г]) da (х, е$) = К (х—ц) + g (ц, х), x£D, r)£Rm — {х}. г
Это требуемое обобщение леммы 3.9. Доказательство теоремы 5.27 теперь завершается точно так же, как в п. 3.7.3. Так как g (ц, х) = = 0 вне D (J Г2, то второй интеграл в (5.7.12) можно рассматривать лишь на D (J Г2. Далее, поскольку по теореме 5.23 множество Г2 имеет гармоническую меру нуль, то первый интеграл в (5.7.12) нужно брать только по множеству Гр Таким образом, по отношению к формуле Пуассона — Йенсена иррегулярные граничные точки ведут себя как внутренние точки области D.
Теорему 5.27 нельзя распространить на неограниченные области, не делая дополнительных предположений о поведении функции и (х) вблизи сю. Например, функция и (х) = а хг гармонична в Rm и равна нулю на подпространстве хг = 0. Таким образом, и (х) = 0 на границе полупространства D,, задаваемого неравенством хг >0, однако и (х) не является тождественным нулем, как того требует формула Пуассона—Йенсена. В то же время если т = 2, то теорема 5.27 распространяется на неограниченные области D, содержащие внешние точки, в предположении что функция и (х) остается субгармонической в сю. Дело в том, что такие области отображаются на ограниченные области при помощи конформного отображения расширенной комплексной плоскости.
Заметим также, что можно обобщить теоремы 3.15—3.17, хотя понятие иррегулярной граничной точки в этом случае требует некоторой модификации. При условиях теоремы 5.27 из теоремы 5.25 следует, что наименьшая гармоническая мажоранта функции и (х) в D равна
j и (£) da (х, еД — j g (т), х) г,	гг
Эта мажоранта является гармоническим продолжением функции и (х) из Г в D тогда и только тогда, когда р (Г2) = 0. Последнее условие выполняется, например, когда функция и (х) конечна в каждой точке множества Г2. Действительно, если бы в этом случае было ц (Г2) >> 0, то можно было бы найти компактное подмножество Е cz Г2, на котором функция и (х) ограничена снизу и р (Е) >> 0. Тогда множество Е имело бы положительную емкость, что противоречит полярности множества Г2.
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 277
Аналогичные замечания относятся к теоремам 3.16 и 3.17. Так, для а >0 функции a-log \z | гармоничны в проколотом круге D = {0 < | z | < 1}, субгармоничны в открытой плоскости и совпадают на границе области D. хотя и не равны тождественно.
[5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ^ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ
В этом параграфе мы изложим важные результаты Шоке [1955] об измеримости по емкости аналитических и, в частности, боре-левских множеств. В соответствии с этим мы будем рассматривать функцию множества <р (F), определенную на замкнутых (и потому компактных) подмножествах некоторого компактного метрического пространства S. Можно представлять себе S, например, как замкнутый шар в Rm. Потребуем, чтобы наша функция множества удовлетворяла следующим условиям:
(i)	0 <р (F) < оо (гр конечна и положительна).
(ii)	Если F1 cr F2, то <р (Fj) <р (F2) (<р (F) возрастает вместе с F).
(iii)	Для данных F и е >0 существует такое множество Fu содержащее F в своей внутренности, что
<Р (Л) < ср (F) + е
(гр (F) полунепрерывна сверху).
(iv)	Для любой пары компактных множеств и F2
ср и ^2) + ср (Ft n F2) < ср (Л) + <р (F2)
(гр (F) сильно субаддитивна).
Очевидно, из (i) и (ii) следует, что <р (F) <р (5) = Мо <оо, так что функция <р равномерно ограничена. Ясно, что если g (z) — неотрицательная непрерывная строго возрастающая функция на [0, Л/о], такая, что g (0) = 0, то g {гр (F)} удовлетворяет условиям (i) —(iii) тогда и только тогда, когда этим условиям удовлетворяет функция <р (F). В дальнейшем окажется, что функцию g можно выбрать так, что если <р (F) — емкость, то g (ср (F)) удовлетворяет условию (iv). В случае емкости на плоскости придется сделать незначительные изменения, которые, однако, не влияют на окончательные результаты.
Заметим, что определенная в § 5.1 a-емкость, очевидно, удовлетворяет условиям (i) и (ii), если мы ограничимся подмножествами фиксированного замкнутого шара. Из теоремы 5.5 следует, что эти емкости удовлетворяют также условию (iii). Значительно менее очевидно, что a-емкость в или какая-нибудь подходящая функ
278
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
ция от нее удовлетворяет условию (iv); мы получим такой результат только лишь в случае а = т — 2. Заметим также, что любая мера, конечная в компактном пространстве S, заведомо удовлетворяет условиям (i) — (iv), причем в (iv) имеет место равенство. Поэтому из теории Шоке, в частности, следует, что все борелевские множества измеримы относительно любой такой меры. Мы увидим далее, что если определить внутреннюю и внешнюю ф-емкости аналогично тому, как это было сделано в § 5.2, то аналитические и, в частности, борелевские множества измеримы по ф-емкости.
5.8.1. Сильная субаддитивность
Установим сильную субаддитивность некоторых функций множества, чтобы к ним была применима развиваемая далее теория. Так как нелегко работать непосредственно с (т — 2)-емкостью, мы будем иметь дело с аналогом емкости для конечных шаров.
Лемма 5.7. Пусть Е — компактное множество и N — такая его окрестность, что D = N — Е связно. Обозначим через Г множество граничных точек D на Е. Пусть и (х) — ограниченная гармоническая функция в D и
и (х) -> а, когда zg изнутри D,	(5.8.1)
для всех точек g С Г, за исключением, возможно, некоторого полярного множества. Предположим, далее, что и (х) ^>а в D. Тогда и (х) обладает субгармоническим продолжением в окрестность N, удовлетворяющим всюду в N неравенству
и (х) а.	(5.8.2)
Положим и (х) = а для всех точек Е, отличных от иррегулярных граничных точек области D. Так как последние образуют полярное множество, наш результат следует из теоремы 5.18.
Пусть Do = D (О, _й0). Назовем функцию V (х) потенциалом на Do, если V (х) субгармонична в Do, гармонична вне некоторого компактного подмножества Do и
V (х) -> 0 равномерно по х, когда | х | -> _й0.	(5.8.3)
Тогда ясно, что наименьшая гармоническая мажоранта функции V (х) в Do равна нулю. Поэтому теорема 5.25 дает
П*) = — j	(5.8.4)
Е
где Е — компактное подмножество в D (О, R), на котором V (х) не является гармонической. Обозначим через М (V) полную массу Рисса функции V (х). В обозначениях § 3.9 имеем для Ro — б <
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 279
< г < 7?0, где 6 достаточно мало,
1	г/	rm-i J 4	(•
M =	=	V(x)do(x).
V ' dm	dr	v ' dmcm dr rm~i J	' ' v '
8(0, r)
Положим
umcm r J 8 (0, r)
тогда M=rm~1-^-I (г). Так как, согласно (5.8.4), функция V (х) •остается гармонической на 5 (0, _й0), можно положить в этих •формулах г = Ro. Далее, в силу (5.8.3), I (_й0) = 0. Таким образом, получаем
M(V) = lim(-i?r14^-b	(5.8.5)
r-.Ra '	«0 —Г/
•Отсюда следует, что М (V) возрастает с убыванием V, т. е.
если < У2, то М (УД > М (УД. (5.8.6)
Кроме того, М (V) зависит только от поведения V в окрестности (0, ЯД.
Пусть Е — компактное подмножество в Z)o и До — компонента множества Do — Е, содержащая 5 (0, ЯД как часть своей границы. Определим на Е емкостный потенциал VE (х), полагая его равным гармонической функции на До с нулевым граничным значением на 5 (0, Ro) и —1 почти всюду на той части границы До, которая лежит в Do. Согласно лемме 5.7, V Е (х) имеет субгармоническое продолжение на Яо, поэтому определено число М (VЕ (ж)), которое мы будем обозначать просто через М (Е). Докажем, что функция множества М (Е) сильно субаддитивна.
Лемма 5.8. Если Ег и Е2 — компактные подмножества Do, то
М (Ег [JEJ+M (Е, П Е2) < М (Ег) + М (ЯД,
где М (Е) определена выше.
Заметим прежде всего, что если Ег czE2, то
V El	V е2	вне Е21 поэтому М (Е-l) О М (Е2). (5.8.7)
Действительно, УЕ,(ж)^—1 всюду и VEi (х) ->—1, когда х —> из дополнительной к Е2 области Z)2, где | — произвольная граничная точка области D2, не принадлежащая некоторому полярному множеству. Следовательно,
lim (Vе2 (х) — VE1 (х))	0,
когда х стремится к произвольной граничной точке области Z)2, не принадлежащей некоторому полярному множеству. Так как
280
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
VЕг — VЕ1 0 в D2, то получаем первое неравенство (5.8.7), а значит, и второе неравенство (5.8.6).
Рассмотрим теперь в области Д, дополнительной к Ег (J Е2 и содержащей на своей границе 5 (0, 7?0), функцию
ф (ж) =	Рщле, — VE1 — VEi,
гармоническую в Д. Поскольку функции VЕ1 (х), V Ег (х) — потенциалы и потому удовлетворяют условию (5.8.3), то <р (х) = О на 5 (0, 7?0). Кроме того, очевидно, что ср (х) равномерно ограничена на Д.
Пусть, наконец, £ — граничная точка Д, которая не принадлежит ии одному из исключительных полярных множеств для Ег, Е2. Ех (J Е2 или 7?! |~| Е2. Тогда мы увидим, что
lim ср (х)	0, когда х -> £ изнутри Д.	(5.8.8)
Рассмотрим различные частные случаи. Предположим сначала, что £ С ^1 П Еъ- Тогда все потенциалы VEi, VЕг, РЕ1Пе2и KE1UE, стремятся к —1, когда £ изнутри Д, так что неравенство (5.8.8) выполнено.
Предположим теперь, что £ принадлежит Elt но не принадлежит Е2. Тогда
Ve1UE, (я:)-»—1, Те, (ж)-*—1, когда ж->£ изнутри D.
С другой стороны, поскольку 7?! П Е2 сг Е2, то из (5.8.7) следует, что в Д
кЕ1ПЕ,Сг)-РЕ,и)>0.
Таким образом, неравенство (5.8.8) снова выполнено. Совершенно аналогично разбирается случай, когда £ С Е2, но t^E1. Итак, неравенство (5.8.8) выполняется во всех случаях для всех граничных точек £ области D, не принадлежащих некоторому полярному множеству. Из обобщенного принципа максимума (теорема 5.16) заключаем, что <р (х)^0 в Д. Поэтому из (5.8.5) следует, что
М (Е, J Е2) + М (Е, П Т?2) - М (7?t) - М (Т?2) = lim - -^-^<0.
Лемма 5.8 доказана.
Непосредственно выводится следующая
Теорема 5.28. Если С (F) есть (т — 2)-емкостъ в Rm, где ш >2, то <р (F) = С (F)™-2 удовлетворяет условиям (i) — (iv) § 5.8.
Мы уже установили, что функция <р (F) удовлетворяет уело* виям (i) — (iii), в предположении что мы ограничимся лишь подмножествами данного компактного множества. Как и ранее, поло
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 281-
ЖИМ V Е (х) = V Е (х, R) для данного шара D (О, R) и устремим R к бесконечности. Функции V Е (х, R) убывают с возрастанием R в дополнительной к Е неограниченной области D. Поэтому VE (х, R) стремится к гармоническому пределу VЕ (х, оо), причем V Е (х, оо)^—1. Так как VЕ (х, R) убывает с возрастанием R, то VE (х, оо) —1, когда х -> £ изнутри D, для всех граничных, точек £ области/), за исключением, быть может, некоторого полярного множества.
Далее, поскольку функция VЕ (х, R) убывает и остается ограниченной, когда R -> оо по целым числам, то для любого фиксированного г, для которого 5 (0, г) лежит в D, имеем
VE(x, R)-+Ve(x, оо) и -^Ve(x, R)-+-Lve(x, оо).
Следовательно, если М (Е, R) — масса Рисса потенциала VE (х, R), то
rm-i r 4 р
М(Е, R)=r	VE(x, R)do(x)^M(E, оо).
*	J
S(0,r)
Таким образом, в силу леммы 5.8, М (Е, оо) сильно субаддитивна.. Заметим теперь, что для т > 2
gR (х, £) = | х - g |2-m - {| g | -I x - % \!Ry~m,
где g' — образ точки £ при инверсии относительно сферы 5 (0, -R). Поэтому при R —> оо
gR (х Л) -> I X - g |2-m
равномерно для ограниченных х и g. В частности,
VE(x, R)= — ^gR (х, £) d[iR (е6) -н— j | х — £|2-m dp (е5) = Е	Е
— VE (х, оо),
где р — слабый предел мер рд, соответствующих D (О, R). Итак, VE(x, оо)!М (Е, оо) — потенциал единичной массы, равный —ИМ (Е, оо) почти всюду на конечной части границы области D и равный нулю в оо. Следовательно, согласно теореме 5.17, VE (х, оо)1М (Е, оо) есть емкостный потенциал Е. Используя определения § 5.1, выводим отсюда, что
Cm_2 (Е) = М (Е, оо)1/^).
Так как М (Е, оо) сильно субаддитивна, этим завершается доказательство теоремы 5.28.
Ситуация в случае т = 2 сложнее. В этом случае функция £в(я^)= —log Д^|-1= —l°g|a;—^| + log/? + -^-
282
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ II УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
равномерно сходится при R -> сю для ограниченных х и g. Удобно рассмотреть функцию
иЕ (х, R) = -Г log R = -м (^--R) j (— gR(x, £) + log R)d^R(ei)
-> log [x — 1\а^(е^ = иЕ(х, oo),
Ё
где p — слабый предел мер pR (е)/М (Е, R); таким образом, ц — единичная мера. Далее, почти всюду на конечной части границы области D выполняется равенство
и^х-
Отсюда следует, что иЕ (х, сю) — емкостный потенциал Е, так что logC0 (£) = log	R) + o (1).
Следовательно, в этом случае
(5.8.9)
•Это дает
М (Е R} =___________-__________—  1	। J°g Ср (Е)-\-о (1)
v ’ 4 log Я —log (Со (£)) + « (1)	log А ‘ (log Л)2
Подставляя это выражение в лемму 5.8, убеждаемся, что logOf/T?)— субаддитивная функция. Однако этот результат не очень полезен, поскольку если Ег |~| Е., = 0, то левая часть неравенства (iv) для таких функций множества равна —сю. К счастью, субаддитивность М (Е, R) вместе с равенством (5.8.9) позволяет нам все же получить требуемые утверждения.
5.8.2. Внешние емкости
Условия (i) — (iv) § 5.8 были использованы Шоке только для того, чтобы продолжить <р (Е) как функцию множества, удовлетворяющую определенным условиям, на произвольные подмножества из 5. Полученная так функция называется внешней емкостью. Точнее, внешняя емкость <р* (Е) — это функция множества, определенная на произвольных подмножествах Е компактного пространства 5 и удовлетворяющая следующим условиям:
(i) 0 ip* (Е) < сю;
(ii) если Ег czE2, то <р* (Ег) гр* (Е2);
(iii)' для данных Е и е >0 существует содержащее Е открытое .множество G, такое, что <р* (G) < <р* (£) + е;
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБ АДДИТИВНОСТЬ 283
(iv)' для данной последовательности множеств Еп, таких, что Еп сЕл+1, имеем ср* (J Еп) = lim ср* (Еп).
п -> ОО
Условия (i) и (ii) те же самые, что и соответствующие условия на функцию гр, но распространенные на произвольные множества, а условие (iii)' является незначительной модификацией (iii).
Однако условие (iv)' сильно отличается от (iv), и на самом деле (iv) используется лишь для того, чтобы прийти к (iv)'. Соотношения между этими двумя системами условий дает следующая
Лемма 5.9. Пусть <р (F) — произвольная функция множества, определенная на компактных подмножествах компактного метрического пространства S и удовлетворяющая условиям (i) — (iii) § 5.8. Тогда <р (F) можно единственным образом продолжить до функции множества <р* (Е), определенной на произвольных подмножествах S и удовлетворяющей условиям (i), (ii), (iii)' и (iv)' в частном случае, когда все Еп компактны и Еп содержится внутри En+i. Мы будем называть этот случай ограниченной формой условия (iv)'.
Пусть G — открытое множество и <р (F) — функция множества из леммы 5.9. Будем обозначать компактные множества буквой F. Тогда
а = sup <р (F) — <р* (G).	(5.8.10)
FCG
Действительно, <р* (G) /5= <р* (F) = <р (F) для Fc.G, так что <р* (G) а. С другой стороны, пусть Fn — такая последовательность, что Fn содержится внутри Fn+1 и ОТД = G- В качестве Fn можно взять, например, множество точек из G, удаленных от дополнения к G не меньше, чем на 1/п. Тогда если условие (iv)' выполняется для компактных множеств Fn, то ср* (G) == lim <р (Fn) а. Таким образом, <р* (G) — а.
Покажем, что для любой такой последовательности компактных множеств Fn
<Р (Fn)
так что выполняется ограниченная форма условия (iv)'. Для этого рассмотрим произвольное компактное подмножество F множества G. Внутренности Gn множеств Fn покрывают F, поскольку сами Fn покрывают F и Fn c.Gn+1. По теореме Гейне — Бореля, уже конечное число множеств Gn, скажем Gt, . . ., GN, покрывают F. Таким образом, <р (FN+1) <р (F) и lim <р (F N+1)
<р (F). Так как F — произвольное компактное подмножество в G, то lim ср (Fn) а, а поскольку противоположное неравенство тривиально, то <р (Fn) -+ а.
Итак, наше определение <р* (G) для открытых множеств получено из условия (iv)' для компактных множеств Еп, таких, что Еп лежит строго внутри Еп+1, и удовлетворяет этому условию.
284
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Положим теперь для произвольных множеств Е
<р* (Е) = inf ср* (G),	(5.8.11).
где нижняя грань берется по всем открытым множествам, содержащим Е. Дать такое определение нас вынуждают условия (ii) и (iii)'. Далее, из условия (iii) следует, что ср* (Е) — <р (Е) для компактных Е. Итак, равенства (5.8.10) и (5.8.11) определяют единственное расширение ср* (Е) функции ср (F) на произвольные множества. Ясно, что наше новое определение удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii)'.
Мы видели, что функции множества <р, удовлетворяющие условиям (i), (ii) и (iii), единственным образом продолжаются до функций множества ср*, удовлетворяющих условиям (i), (ii), (iii)' и ограниченной форме условия (iv)'. Верно и обратное. Сужение любой функции множества ср*, удовлетворяющей условиям (i)r (ii) и (iii)', на компактные множества, удовлетворяет условиям ii), (ii) и (iii). Не совсем очевидно только выполнение условия (iii). Для того чтобы проверить его, рассмотрим произвольное компактное множество F. Пусть G — такое открытое множество, что ср* (G) < ср* (F) + е. Тогда найдется компактное множество F1? содержащее F в своей внутренности и содержащееся в G. Поэтому ср* (F\) ср* (G) < ср* (F) + е, как и требовалось.
Ввиду соответствия между функциями ср и ср* мы будем обозначать их одной буквой ср. Если ср определена только на компактных множествах, но удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii), то мы будем считать, что ср продолжена на произвольные множества, как в лемме 5.9.
Теперь можно доказать следующее утверждение.
Лемма 5.10. Пусть ср — функция множества, удовлетворяющая условиям (i) — (iv) § 5.8 и продолженная на произвольные множества, как в лемме 5.9. Пусть Еп, Gn — такие множества, что Gn открыто, Еп c.Gn и ср (Gn) < ср (Еп) + еп. Тогда
<р( и £„)<<р( и Еп)+ 2 тг=1	п=1	п=1
Предположим сначала, что множества Еп компактны, и докажем в этом случае лемму индукцией по N. Пусть И — компактное подмножество в 6Д (J G2. Тогда каждая точка множества П может быть заключена в замкнутый шар С, целиком лежащий либо в GH либо в G2. Конечное число таких шаров покрывает И, и мы можем считать, что первые р из них Сг, . . ., Ср лежат в Gb а остальные q — р шаров Ср+1, . . ., Cq лежат в G2. Положим
р	ч
= и сп, я2 = #п и Рп
5,8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 285
Тогда очевидно, что множества Нг и Н2 компактны, <zz СД, Я2 с G2 и Нг U Я2 = Н.
Докажем, что
<р U Н2) < <р (Ег U Е2) + В! + 82.
Можно заменить Я7- большими множествами Hj (J Eh которые по-прежнему компактны и содержатся в Таким образом, можно считать, что
Д сЯ! с ОД, Е2 с. Н2 с. С2.
Заметим теперь, что из сильной субаддитивности следует неравенство
<р (Я, U Н2) + <р (EJ < <р (Е, U Я2) + ср (ЯД.
Действительно, Ег cz (Ег (J ЯД Q Нг и Ег (J Я2 (J Нг = Нг (J Я2. Аналогично,
<Р (Е. U ЯД Д- <р (Е2) < <р (Ег U Е2) Д- <р (ЯД.
Складывая эти неравенства, получаем
<р (Н1 и ЯД Д- <р (АД Д- <р (АД < <р (Е, и Е2) Д- <р (ЯД Д- <р (ЯД. Следовательно,
ф (Я) = ф (Я! (J Н2) < ф (Aj (J АД Д- 61 Д- е2.
Взяв верхнюю грань по всем компактным подмножествам Я множества ОД (J G2, получаем лемму 5.10 для N — 2 и компактных множеств Aj и А2.
Предполагая по-прежнему, что множества Еп компактны, докажем теперь индукцией по N общий случай. Допустим, что неравенство леммы выполнено для N слагаемых, и положим
N	Л’	N
G= U Gn, Е = U Еп, 8= 2 8П.
п=1
Тогда A <zzG и ф (G) <ф (А) + 8. Кроме того, AN+1 <zzGn+1 и по предположению ф (GN+1) < ф (A v+1) + 82у+1. Поскольку лемма 5.10 справедлива для N = 2, получаем
Ф (G U Gn+1) <ф (A U An+1) + 8 + 8х+1,
так что лемма справедлива для N Д- 1 слагаемых (в случае, когда Еп компактны).
Предположим теперь, что множества Еп открыты. Так как «Р (Еп) < ф (Еп) + еп, то из определения функции ф для открытых множеств следует, что можно найти такие компактные подмножества Fn <zz Еп, что ф (Gn) < ф (А,Д Д- еп. Применяя только
286
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
что рассмотренный случай, получаем
<р( U Gn)<(p ( и Fn) + 2	и Еп)+ 2
П=1	П=1	п=1	П=1	п=1
Это доказывает лемму 5.10 для открытых множеств Еп. Наконец, предположим, что множества Еп произвольны. Пусть N
G — открытое множество, содержащее (J Еп, и Fn = G |~| Gn. Тогда П=1
Еп с Fn cz Gn и
<Р (fin) <ср (Еп) + еп < <р (Fn) + еп.
Кроме того, множества Fn открыты. Следовательно, как только что было доказано,
<р( U Gn)<<p( и Fn)+ 2 en<<p(G)+ 2 8n. n=l	n=l	n=l
Это неравенство выполняется для любого открытого множества G, содержащего J Еп. Поэтому, взяв нижнюю грань по всем таким G, получаем окончательно
N	N	Л'
ср( и Gn)^cp( и £„)+ 2- еп, п = 1	п=1	71=1
что и требовалось.
Лемма 5.11. Предположим, что функция множества <р удовлетворяет условиям (i) — (iv) § 5.8. Тогда продолжение <р в смысле леммы 5.9 является внешней емкостью.
Достаточно показать, что ср (Е) удовлетворяет условию (iv)' для внешних емкостей, так как мы уже видели, что остальные условия выполнены.
Пусть Еп — расширяющаяся последовательность множеств. Для данного Еп выберем такое открытое множество Gn, что Еп cz Gn и
<р (Gn) <Ф (Еп) + 82"", п = 1,2,....
Такой выбор возможен в силу (iii)'. Пусть F — компактное подмножество объединения G = (J Gn. По теореме Гейне — Бореля, П=1
N
F лежит в конечном объединении (J Gn для некоторого N. Исполь-П=1 зуя лемму 5.10, получаем
ср(^)С<р( U G„)<<p( и EJ+ 2 8.2-"<(p(£N) + 8. п=1	д=1	п=1
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 287
Пусть а — lim <р (Еп), Е = J Еп. Тогда <р (F) а + е. Это П-*сю	п= 1
неравенство справедливо для любого компактного подмножества F <zG, поэтому <р (G) <1 а + е. Так как Ec.G, отсюда следует, что ср (7?) а + е, а поскольку е произвольно, то <р (Е) < а. Противоположное неравенство очевидно, так как Еп сд Е, и поэтому гр (Е) <р (Еп) для каждого п. Лемма 5.11 тем самым доказана.
Мы закончим этот раздел доказательством следующего утверждения.
Теорема 5.29. ЕмкостиС т-2 (Е) для подмножеств фиксированного компактного множества из являются внешними емкостями при т 2.
Из теоремы 5.28 мы знаем, что для т >2 функции множества Ст_2 (Е')т~2 удовлетворяют условиям (i) — (iv) § 5.8 и потому на основании леммы 5.11 являются внешними емкостями. Следовательно, функции Ст_2 (Е) тоже удовлетворяют условиям (i), (ii)r (iii)' и (iv)' и являются внешними емкостями.
В случае т = 2 эти рассуждения не проходят, и мы изберем иной способ доказательства. Ранее мы видели, что Со (Е) удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii) § 5.8 даже для подмножеств Rm. Поэтому соответствующее продолжение функции Со (Е) удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii)' определения внешней емкости. Остается проверить условие (iv)'.
Пусть Еп — такая расширяющаяся последовательность пло-оо
ских множеств, что множество Е = (J Еп ограничено. Применим 71=1
лемму 5.11 к функции множества М (Е) = М (Е, R), обсуждавшейся в лемме 5.8. Из леммы 5.11 следует, что М (Е, R), продолженная на произвольные множества, становится внешней емкостью. (Мы не доказывали полунепрерывности сверху, но это можно сделать точно так же, как в теореме 5.5. Свойства (i) и (ii) очевидны.) То же самое утверждение справедливо и для функции множества <р (R, Е) = Re~i/M(E, Согласно (5.8.9), <р (R, Е) — -> Со (Е) при R -+ оо равномерно для множеств, лежащих в некотором фиксированном круге. Так как <р (R, Е) — внешняя емкость, то для фиксированного R
<Р (#, Еп) <р (R, Е).
Для данного е >0 выберем R настолько большим, чтобы для Е и для всех множеств Еп выполнялись неравенства
| <р (R, Еп) - Со (Еп) | < 8,	| <р (R, Е) - Со (Е) | < 8.
Фиксируем R и возьмем номер п настолько большим, чтобы гр (7?, Е) <<р (R, ЕТ1) + 8. Тогда Со (Е) <.С0 (Т?п)-|-38, и поэтому а = lim Со (Еп) Со (Е) — Зе. п-*оо
288
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Так как е произвольно, заключаем, что а Со (Е). Отсюда и из очевидного неравенства а<^.С0(Е) следует, что а = С0 (Е). Теорема 5.29 доказана.
Этот результат х) распространяется на емкости Са (Е) для .всех а, удовлетворяющих неравенствам 0 <1 a <_т.
5.8.3.	Измеримость
Емкость в предыдущем пункте названа внешней потому, что в силу (iii)' емкость произвольного множества Е есть нижняя грань емкостей содержащих Е открытых множеств G.
Будем говорить, что множество Е измеримо по функции множества ср, если значение ср (Е) является верхней гранью значений ср (F) по компактным множествам F, содержащимся в Е. Таким образом, множество Е измеримо тогда и только тогда, когда для данного 8 > О существуют такие компактное множество F и открытое множество G, что
F с Е с G, ср (G) < ср (F) + 8.	(5.8.12)
Мы докажем принадлежащую Шоке замечательную теорему, которая утверждает, что все борелевские множества измеримы по внешней емкости ср, удовлетворяющей условиям (i), (ii), (iii)' и (iv)'. В частности, все борелевские множества измеримы по емкости Cm-2 (Е) в Дт.
Из условия (iv)' следует, что все открытые множества измеримы. Из условия (iii)' получаем, что измеримы также все компактные множества. Поэтому естественно было бы попытаться установить, что все измеримые множества образуют сг-кольцо, доказав, что измеримы счетные объединения и пересечения измеримых множеств. Отсюда следовало бы, что измеримы все борелевские множества. Это классическая схема, применяемая в теории Лебега. Однако при переходе к емкости эта схема становится непригодной, так как пересечение двух измеримых по емкости множеств может не быть измеримым по емкости.
Пример. Пусть Е обозначает класс подмножеств замкнутого квадрата | х | О1, | у |	1 на плоскости х, у. Обозначим через
<р (Е) меру Лебега проекции Е на ось х. Очевидно, что определенная таким образом функция <р удовлетворяет на компактных множествах аксиомам (i) — (iv) § 5.8. Действительно, если Ег, Е2 — компактные множества и Ft, F2 — их проекции на ось х, то
х) Случай а > т — 2 см. у Киси [1957]. Из одного результата Фуледе [1965] следует, что результат Киси справедлив также для 0 гС а < т — — 2. Для неограниченных множеств и а = О необходимо воспользоваться одним результатом Шоке [1958]. Для общих емкостей см. также работу Ароншайна и Смита [1955].
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 289
Fi U F2 является проекцией J F2, а проекция Ех Q Ег содержится в Fj П F2. Следовательно, если обозначить через т меру Лебега, то
<Р (Fx U F2) + <р (F, П F2) < т (F, U F2) + т {Fx П F2) =
= т (FJ + т (F2) = <р (FJ + ср (F2).
Таким образом, для <р выполняется аксиома (iv). Остальные аксиомы проверяются тривиально. Пусть теперь Fj — произвольное неизмеримое по Лебегу множество, расположенное на интервале [О, 1] оси х. Тогда Ег не измеримо по <р. Обозначим через F2 весь отрезок [0, 1], а через Е3 — отрезок у = 1, 0 х Й7 1.
Тогда множества Ег [J F3 и F2 оба измеримы и <р (Fj [J F3) = = <р (F2) = 1, в то время как множество F1=(F1 (J F3) Q F2 не измеримо.
Приведенный пример вынуждает нас избрать другой путь для исследования измеримости. Следуя Шоке, мы докажем, что все аналитические множества измеримы, а все борелевские множества аналитичны. Применяемый нами подход принадлежит Карлесону 11967, гл. I].
Предположим, что каждому конечному множеству неотрицательных целых чисел (n17 п2, . . ., пр) сопоставлено компактное множество Ап^ .. ,,Пр из При помощи «операции Суслина» эти множества порождают множество
А = (J АП1 П ЛП11 Пг П ... ("|	п2,..., пр П • • • • (5.8.13)
п» - ...Пр. ...
Возникающие таким образом множества А при различном выборе Ап^ П2....называются аналитическими множествами. Дока-
жем следующее утверждение.
Лемма 5.12. Любое борелевское множество в Rm является аналитическим.
Очевидно, что компактные множества являются аналитическими. Действительно, если F—компакт, положим ЛП1> п ..., п = = F для произвольного набора положительных целых чисел, (n17 п2, . . ., пр), и тогда А = Е.
Далее, если A(h> — последовательность аналитических множеств, порожденных множествами А^, Пг,..., п , то (J A(h) получается применением операции Суслина к множествам п .. „ п •
Покажем наконец, что П A(h> — также аналитическое множество. Для этого упорядочим пары целых чисел (k, р): (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), .... Пусть t — номер, соответствующий при таком упорядочении паре (к, р); например, t = 5 соответствует паре (2, 2). Тогда для произвольной бесконеч-19-0623
290
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
ной последовательности положительных целых чисел (п1, п3, . . . . . nt, . . . ) находим для каждой пары (к, р) ее номер t и полагаем р = nt. Кроме того, мы теперь полагаем
• > п
п2,
k, р‘
Последовательность п1, п3, . . . заменяется двойной последо
вательностью
Например,
п17 п3, п6, . . .
^2’ ^5» ^9’ • • •
П.4, П3, П13, ....
В	—А(2)
Пг, «а, nt, п, —	n6-
Из этого определения непосредственно следует, что операция Суслина, примененная к множествам Вп^ п дает множество Q H<h).
Таким образом, открытые и компактные множества являются аналитическими. Обозначим через наименьший класс множеств, содержащий все компактные множества и замкнутый относительно операций счетного объединения и счетного пересечения. Согласно результатам § 3.1, для того чтобы показать, что S содержит борелевские множества, достаточно установить, что & есть сг-кольцо. В свою очередь для этого достаточно показать, что если A^S, то дополнение А' к А в также принадлежит f. Это можно сделать следующим образом. Пусть Ап — последовательность таких множеств, что их дополнения принадлежат классу S • Тогда А = П Ап Е S и
оо
А'= U А‘п^. п=1
Далее, компактные множества принадлежат вместе со своими открытыми дополнениями. Следовательно, применяя указанные порождающие операции к S, получаем только такие множества, которые принадлежат S вместе со своими дополнениями. Поэтому S есть сг-кольцо, а значит, S содержит борелевские множества. Приведенные рассуждения показывают теперь, что все множества из S являются аналитическими, так что борелевские множества суть аналитические множества. Лемма 5.12 доказана.
Лемма 5.13. Пусть множество А определено формулой (5.8.13). Рассмотрим произвольную последовательность {hi} положительных целых чисел и положим
Fp = и ЛП1ПЛП1(П1П...Г|ЛП1.......Пр. (5.8.14)
5.8. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЕМКОСТИ И СИЛЬНАЯ СУБАДДИТИВНОСТЬ 291
Тогда
F= П Fp	(5.8.15)
р
является компактным подмножеством А.
Ясно, что Fp — объединение конечного числа компактных множеств, поэтому Fp компактно для каждого р. Следовательно, F также компактно. Остается показать, что Fez А. Для этого предположим, что х £ F. Тогда каждому номеру р соответствуют такие целые числа nip ht, i = 1, 2, ...,/>, что
х А1Р А Л1р, п2р П • • • А Ап1р.прр.
Выберем такую последовательность pv, что для каждого i существует предел lim niPv = тщ. Так как nip h} для всех р,
V-*oo
то такой выбор возможен. Таким образом,
€ Ami П -Ат,, т, А • • - А -Ат1, тг, ..., тру
поэтому х£А. Следовательно, Fez А, что и требовалось. Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему.
Теорема 5.30. Если <р (Е) — внешняя емкость, то ограниченные аналитические множества измеримы по <р (£').
Пусть А — аналитическое множество, определенное формулой (5.8.13), и пусть Л<й) — множество
AW = U Л11ПА11,п.П	А4„,....
Пп . •
Тогда множества Л<й) расширяются с увеличением h и Л<й)—> А при h-^ оо. Следовательно, в силу условия (iv)' и. 5.8.2, для каждого е >0 можно выбрать такое h = hr, что множество Аг = = A<hd удовлетворяет условию <р (Л,) > <р (Л) — е/2.
Предположим, что множества Л,, Л2, • • Ар^ уже выбраны, так что
ср (Лу) > ср (Л,.,) — е-2-}, 7 = 1, • • ., р — 1.
Определим множества A'ph>, полагая
Лр =	U ЛП1 п ЛП1> п2 А • • • А Ап„ .....п. А • • • -
...np-^hp-t	* nps^h
Тогда при h-+ оо числовая последовательность <р (ЛрЛ)) сходится к <р (Лр-j), и поэтому можно выбрать h = hp так, что для Ар = = АрЬр’ выполняется неравенство
Ф(Лр)> ср (Лр-,) - 6-2-р.
19*
292
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Следовательно, <р (Ар) <р (Л) — е, р = 1, 2, . . . . Определив последовательность hp, образуем по формуле (5.8.14) множества Fp. Тогда Ар cz Fp, так что
<Р (FP) > <Р И) — е, /7 = 1,2,....
Далее, определенное формулой (5.8.15) множество F является компактным подмножеством А. Если G — произвольное открытое множество, содержащее F, то, согласно (5.8.15), G содержит Fp для р р0, и поэтому <р (G) <р (FPf)) ср (Л) — е. Из условия (iii)' и. 5.8.2 заключаем, что <р (F) <р (Л) — е. Так как е произвольно и для <р = <р* выполнено (5.8.11), то множество Л удовлетворяет условию измеримости (5.8.12). Теорема 5.30 доказана.
Из предыдущих рассуждений следует, что для доказательства измеримости относительно функции множества <р нужно лишь проверить выполнение условий (i), (ii), (iii)' и (iv)'. Практически основная трудность заключается в проверке условия (iv)'. Используя метод Шоке сильной субаддитивности, мы проверили это условие для ограниченных множеств £ из Rm и функции множества Cm-2 (Е). Как было отмечено в конце п. 5.8.2, соответствующий результат для более общих емкостей может быть доказан другими методами.
Во всяком случае, наши результаты можно сформулировать следующим образом.
Теорема 5.31. Если а = т— 2 или а = т — 1, то ограниченные аналитические множества в "<т и, в частности, ограниченные борелевские множества измеримы по емкости Са (Е) в Tlm.
Действительно, если а = т — 2, этот результат следует из теорем 5.29 и 5.30. Если а = т — 1, то вложение Rm в Hm+1 позволяет применить только что доказанный результат к множествам, рассматриваемым как подмножества Rm+1.
Иногда удобно рассматривать емкости неограниченных множеств Е в Rm. Такие емкости формально определяются как верхние грани (возможно, равные -(-оо) емкостей содержащихся в Е ограниченных множеств Ео.
5.9. МНОЖЕСТВА, НА КОТОРЫХ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИНИМАЮТ БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Мы завершим эту главу доказательством утверждения, которое является уточнением теоремы 5.11. Множество Е, которое можно представить в виде счетного пересечения открытых множеств, называется множеством типа G6. Докажем следующую теорему.
5 9. МНОЖЕСТВА, НА КОТОРЫХ С.Ф. ПРИНИМАЮТ БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 293
Теорема 5.32 Д Пусть и (ж) — субгармоническая функция в области D cRm, не равная тождественно —оо. Тогда множество Е c.D,ho котором и (х) = —оо, является G^-множеством емкости нуль. Обратно, для произвольного множества Е из емкости нуль существует субгармоническая в Rm функция и (х), не равная тождественно —оо и такая, что и (х) = —оо в Е.
Дени [1947] доказал более тонкий результат, согласно которому если Е — произвольное Gg-множество емкости нуль, то существует такая функция и (х), что и (х) = —оо на Е и больше нигде. Однако доказательство этой теоремы выходит за рамки настоящей книги.
Первая часть теоремы 5.32 доказывается очень легко. Пусть Gn — подмножество G, где и (х) < —п. Так как функция и (х) пн. св. в G, то множество Gn открыто. Далее, множество Е, на кото-00
ром и (х) = —оо, есть в точности пересечение (] Gn, так что п—1
Е является С6-множеством, Допустим, что Е имеет положительную емкость. Так как Е — борелевское множество, то из результатов предыдущего параграфа следует, что Е измеримо по емкости. Таким образом, в Е существует компактное подмножество Ео положительной емкости. Но это невозможно, согласно теореме 5.10. Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы 5.32.
Для доказательства второй части нам понадобится следующая
Лемма 5.14. Пусть G — ограниченное открытое множество в RTO емкости С. Тогда на его замыкании G существует такое распределение единичной массы ц, что для сех х £ G
с	f log С, т — 2.
V (х)= j Кт_2(х — у) (Zp(y) = | _ С2—т т>2. (5'9Л) G
Пусть Еп — последовательность компактных подмножеств в G, таких, что Еп содержится внутри Еп+1, множество Еп регулярно для задачи Дирихле и J Еп = G. Пусть Vn (х) — емкостный потенциал множества Еп, так что
V п (р) ~	^-т-2 (•* У) (j/)»
где ц„ — распределение единичной массы на Еп. Поскольку Еп регулярно для задачи Дирихле, можно выбрать функцию Vn (х) непрерывной в Rm, постоянной на Еп, гармонической вне Еп и удовлетворяющей в точке оо условиям (5.5.5) или (5.5.5'). Согласно теореме 5.17, эти условия однозначно определяют функцию Vn (ж).
т) Картан [1945].
294
ГЛ. 5. ЕМКОСТЬ И УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА
На множестве Еп имеем также v.W-l 10gC"'	т~2'
I -(С„)2-т, т>2,
где Сп — емкость Еп. Из теоремы 5.29 следует, что Сп -+ С при п оо.
(5.9.2)
Поэтому по теореме 5.3 можно найти подпоследовательность мер р,п , которая слабо сходится к предельной единичной мере у,.
Мера р обязательно распределена на G.
Функции Vn (х), соответствующие мерам рп, сходятся по крайней мере для точек х, не лежащих в G, к предельной функции
V (я) = j Кт,2 (х —у) dy (у).
G
(5.9.3)
Рассмотрим функции
FnW —log сп,
Vn(x) (Gn)m~^,
т = 2, т^> 2.
Функция ип (х) гармонична вне множества Еп. На границе Еп+1 выполняется неравенство ип+1 (х) — ип (х)	0; это же неравен-
ство справедливо и в точке оо. Значит, оно остается верным и внутри множества Еп+1. Таким образом, ип (х) — убывающая последовательность субгармонических функций и, стало быть, ип (х) всюду сходится к субгармоническому пределу и (х). Значит, и последовательность Vn (х) всюду сходится к субгармоническому пределу V (х), который задается формулой (5.9.3) по крайней мере вне множества G. В то же время, поскольку функция V (х) субгармонична в Rm и удовлетворяет (5.5.5) или (5.5.5'), нетрудно видеть, что V (х) представляется в виде (5.9.1), где у— масса Рисса функции Р(х). Так как полная масса может быть вычислена, если известно поведение V (х) на сфере 5 (0, 7?) для достаточно большого R, то полная масса должна быть единичной для любого такого представления.
Далее, если х £ G, то х С Еп для достаточно большого п, поэтому V (х) = lim Vn (х) принимает требуемые значения. Лемма 5.14 тем самым доказана.
Пусть теперь Е — произвольное ограниченное множество в емкости нуль, Gn — последовательность ограниченных открытых множеств, содержащих Е и таких, что Gn+1cGn и
log С (GJ < —2",
С (Gn)2~m >2П,
т = 2, т > 2.
5.9. МНОЖЕСТВА, НА КОТОРЫХ С.Ф. ПРИНИМАЮТ БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 295
Такая последовательность существует в силу свойства (iii)' внешней емкости, поскольку можно выбрать Gn так, чтобы С (Gn) —> О при п -> оо.
Тогда из леммы 5.14 вытекает существование распределения единичной массы цп на Gn, такого, что для любой точки х С Gn Vn(*)-J Km_2(x—y)dy.n(y)^. — 2n.
Gn
00
Пусть |т = 2 2"пцп. Тогда р — распределение единичной массы, 1
и если положить
V (х) = J Кт_2 (х-у) dp (у) = 2 2-nFn (х), 1
то V (х) — субгармоническая функция в Rm, обращающаяся в —оо на множестве Е. Это доказывает теорему 5.32 в случае, когда множество Е ограничено.
Если же множество Е не ограничено, обозначим через Еп часть Е в шаре | х | п. Тогда С (Еп) = 0, и поэтому можно построить такое распределение масс с полной массой 2-п, что соответствующий потенциал тождественно равен —оо на Еп. Поло-оо
жим р = 2 тогда у является распределением единичной п=1
массы в Rm. Если теперь определить V (х) формулой
\ Кт_2(х—у)с?р.(у),	т>2,
j log|x—y|dp(y) + j log —^|</p(y), m = 2, Iv <1	|y|>l
то соответствующий потенциал равен —оо на множестве^ для каждого п, а значит, всюду на Е. Функция V (х) имеет отличный от нуля предел при я оо и потому суб гармонична в Fn не равна там тождественно —оо. Теорема 5.32 полностью доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Книги и статьи, упомянутые в тексте, упорядочены по фамилиям авторов и годам публикаций. Разные работы одного автора отличаются друг от друга указанием года с соответствующими индексами. Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.
Адамар (Hadamard J.) [1893] [Etude sur les proprietes des fonctions entieres et en particulier d’une fonction consideree par Riemann, J. de Math, (4) 9 (1893), 171—215.
Альфорс (Ahlfors L. V.) [1930] Untersuchungen zur Theorie der konformen Ab-bildungen und der ganzen Funktionen. Acta Soc. sci. Fenn. Nova Ser. 1, no. 9 (1930).
Альфорс, Бёрлинг (Ahlfors L. V., Beurling A.) [1950] Conformal invariants and function-theoretic null sets. Acta Math. 83 (1950), 101—129.
Альфорс, Сарно (Ahlfors L. V., Sarlo L.) [1960] Riemann Surfaces, Princeton University Press, 1960.
Ароншайн, Смит (Aronszaijn N., Smith К. T.) [1955] Functional spaces and functional completion. Ann. Inst. Fourier 6 (1955—1956), 125—185.
Асколи (Ascoli G.) [1928] Sulla unicita della soluzione nel problema di Dirichlet. Rendi Accad. d. Lincei, Roma (6), 8 (1928), 348—351.
Бауер (Bauer H.) [1966] Harmonische Raume und ihre Potentialtheorie. Lecture Notes in Mathematics 22, Springer, Berlin, 1966.
Безикович (Besicovitch A. S.) [1932] On sufficient conditions for a function to be analytic, and on the behaviour of analytic functions in the neighbourhood of non-isolated singular points. Proc. London Math. Soc. (2) 32 (1932), 1—9. 11938] On the fundamental geometric properties of linearly measurable plane sets of points II. Math. Ann. 115 (1938), 296—329.
Бернстейн (Baernstein A. II) [1975] Integral means, univalent functions and circular symmetrization. Acta Math. 133 (1975), 139—169.
Брело (Brelot M.) [1934] Etude des fonctions sousharmoniques au voisinage d’un point. Actualites scientifiques et industrielles, No. 134, Hermann, 1934. [1939a] Families de Perron et problem e de Dirichlet. Acta Szeged, IX (1939} 133—153.
[1939b] Sur la theorie moderne du potentiel. C.R. de Г Acad. sci. Paris 2091 (1939), 828.
[1941] Sur la theorie autonome des fonctions sousharmoniques. Bull. Sci. Math. 65 (1941), 72—98.
[1955] A new proof of the fundamental theorem of Kellog — Evans on the set of irregular points in the Dirichlet problem. Rendi. Circ. Mat. di Palermo (2} 11 (1955), 112—122.
ЛИТЕРАТУРА
297
[1960] Lectures on potential theory. Tata Institute, No. 19, 1960.
[1969]* Elements de la theorie classique du potentiel, 4е ed., Paris, 1969.
[Имеется перевод 2-го изд.: Брело М. Основы классической теории потенциала.— М.: Мир, 1964.]
[1972] Les etapes et les aspects multiples de la theorie du potentiel, L'Enseign. math., 18 (1972), 1—36.
Бреннан, Фукс,Хейман, Куран (Brannan D. A., Fuchs W. H. J., Hayman W.K.,_ Kuran U.) [1976] A characterisation of harmonic polynomials in the plane. Proc. London Math. Soc. (3) 32 (1976), 213—229.
Булиган (Bouligand G.) [1924] Domaines infinis et cas d’exception du proble-me de Dirichlet. C.R. Acad. Sci. Paris 178 (1924), 1054—1057.
Валирон (Valiron G.) [1935] Sur le minimum du module des fonctions entieres d’ordre inferieur a un. Mathematica 11 (1935) (Cluj), 264—269.
Вейерштрасс (Weierstrass K.) [1876] Zur Theorie der eindeutigen analytischen-Funktionen. Math. Abh. der Akad. der Wiss. zu Berlin 1876, 11—60.
Винер (Wiener N.) [1924] Certain notions in potential theory. J. Math. Mass. 3 (1924), 24—51.
Витушкин А. Г. [1959] Пример множества положительной длины, но нулевой аналитической емкости. ДАН СССР, 127, в. 2 (1959), 246—249.
Гарнетт (Garnett J.) [1970] Positive length but zero analytic capacity. Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 696—699.
Говоров H. B. [1969] О гипотезе Пэли, Функц. анализ и его прилож., 3, в.2' (1969), 41—45.
Грин (Green G.) [1828] Essay on the application of Mathematical Analysis to the theory of Electricity and Magnetism. Nottingham, 1828.
Дальберг (Dahlberg B.) [1972] Mean values of subharmonic functions. Arkiv. jbr Math. 10 (1972), 293—309.
Данжуа (Denjoy A.) [1909] Sur les fonctions analytiques uniformes a singula-rites discontinues. C. R. Acad. sci. Paris 149 (1909), 258—260.
Дени (Deny J.) [1947] Sur les infinis d’un potentiel. C.R. Acad. sci. Paris 224 (1947), 524—525.
[1948] Un theoreme sur les ensembles effiles. Annales Univ. Grenoble, Sect, sci. Math. Phys. 23 (1948), 139—142.
Дю Плесси (Du Plessis N.) [1970] An Introduction to Potential Theory, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1970.
Егоров Д. Ф. [1911] Sur les suites des fonctions mesurables. C.R. de Г Acad, sci. Paris 152 (1911), 244—246.
Ерёменко А. Э. [1978] * Об одном неравенстве для субгармонических функций.— Теор. функций, функц. анализ и их прил., Харьков, вып. 29, 1978, с. 36—40; вып. 32, 1979, с. 100.
[1979а] * Об асимптотических кривых субгармонических функций в пространстве Rm. Изв. АН Арм. ССР, матем.,1979, 14 (1979), №4, 292—296.
[1979b] * О росте субгармонических функций на асимптотических кривых. ДАН СССР, 248 (1979), №1, 28-31.
Заремба (Zaremba S.) [1909] Sur le principe du minimum, Krakau Anz. 19091 (2), 197—264.
Иванов Л. Д. [1963] О гипотезе Данжуа. УМН, 18, в. 4 (1963), 147—149-
298
ЛИТЕРАТУРА
Иверсен (Iversen F.) [1915] Sur quelques proprietes des fonctions monogenes au voisinage d’un point singulier. Ofv. af Finska Vet. Soc. Forh. 58A, No. 25 <1915—1916).
Йенсен (Jensen J. L. W. V.) [1905] Om konvexe Funktioner og Uligheder mel-lem Middelvaerdier. Ngt. Tids. for Mat. 16B (1905), 49—68.
Карлесон (Carleson L.) [1967] Selected Problems on Exceptional Sets, Van Nostrand Mathematical studies, No. 13, Van Nostrand, 1967. [Имеется перевод: Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств,— М.: Мир, 1971].
[1974] Asymptotic paths for subharmonic functions in Rn. Report No. 1 Institute Mittag-Leffler 1974.
Картан (Cartan H.) [1928] Sur les systemes de fonctions holomorphes a varie-tes lineaires lacunaires et leurs applications. Ann. sei. Ёсо1е norm. sup. (3) 45 <1928), 255—346.
[1945] Theorie du potentiel newtonien, energie, capacite, suites de potentiels. Sull. Soc. Math. 73 (1945), 74.
Келлог (Kellogg 0. D.) [1928] Unicite des fonctions harmoniques, C.R. Acad, sci. Paris 187 (1928), 526—527.
[1929] Foundations of Potential Theory. Grundlehren der Math. Wiss, 31, Springer, Berlin, 1929.
Кеннеди (Kennedy P. B.) [1956] A class of integral functions bounded on certain curves. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 518—547.
Керекьярто (Kerekjarto B. von) [1923] Vorlesungen fiber Topologie I, Berlin, 1923.
Кизельман (Kiselman C. 0.) [1969] Prolongement des solutions d’une equation aux derivees partielles a coefficients constants. Bull. Soc. Math. France 97 <1969), 329—356.
Киси (Kishi M.) [1957] Capacities of Borelian sets and the continuity of potentials. Nagoya Math. J. 12 (1957), 195—219.
Ландкоф H. C. [1966] Основы современной теории потенциала.— М.: Наука, 1966.
Лебег (Lebesgue Н.) [1924] Conditions de regularite, conditions d’irregularite, conditions d’impossibilite dans le probleme de Dirichlet. C.R. Acad. sci. Paris. 178 (1924), 349-354.
Литтлвуд (Littlewood J. E.) [1924] On inequalities in the theory of functions. Proc. London Math. Soc. (2) 23 (1924), 481—519.
Мартенсен (Martensen E.) [1968] Potentialtheorie. Teubner, Stuttgart, 1968.
Майлз, Ши (Miles J., Shea D. F.) [1973] An extremal problem in value distribution theory. Quart. J. of Math., Oxford (2) 24 (1973), 377—383.
Нгуен-Хен-Лок, Ватанабе (Nguyen-Xuan-Loc, Watanabe T.) [1972] Characterization of fine domains for a certain class of Markov processes. Z. f. Wahr-scheinlichkeitstheorie u. verw. Geb. 21 (1972), 167—178.
Неванлпнна P. (Nevanlinna R.) [1929] Le theoreme de Picard — Borel et la theorie des fonctions meromorphes, Paris, 1929.
Неванлпнна Ф., Неванлинна P. (Nevanlinna F., Nevanlinna R.) [1922] Uber die Eigenschaften einer analytischen Funktion in der Umgebung einer singularen Stelle oder Linie. Acta Soc. Sci. Fenn. 50, No. 5 (1922).
Ньюмен (Newman M. H. A.) [1951] Elements of the Topology of Plane Sets of Points. 2nd Ed., Cambridge, 1951.
ЛИТЕРАТУРА
299
Перрон (Perron О.) [1923] Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe fur Au = 0. Math. Zeit. 18 (1923), 42—54.
Петренко В. П. [1969] Рост мероморфных функций конечного нижнего порядка, Изв. АН СССР, 33, в. 2 (1969), 415—454.
Привалов И. И. [1937] * Субгармонические функции.— М.—Л.: Гостехиз-дат, 1937.
Пуанкаре (Poincare Н.) [1890] Sur les equations aux derivees partielles de la physique mathematique. Amer. J. Math. 12 (1890), 211—294.
Пуассон (Poisson S. D.) [1823] Memoire sur le calcul numerique des integrates definies. Memoires de I'Acad, royale des set. de I'Institut de France, vi (1823, опубликовано в 1827), 571—602, особенно стр. 575.
Радо (Rado Т.) [1937] Subharmonic Functions, Berlin, 1937.
Радон (Radon J.) [1919] Uber lineare Funktionaltransformationen und Funkti-onalgleichungen. Sitzungsber. Akad. Wien (2) 128 (1919), 1083—1121.
Рао, Ши (Rao N. V., Shea D. F.) [1976] Growth problems for subharmonic functions of finite order in space. Proc. London Math. Soc. (1976).
Риман (Riemann B.) [1953] Theorie der Abelschen Funktionen. Crelle's J.
54 (1857). См. также Collected works, Dover, 1953, 88—144, особенно стр. 97.
Рисе Ф. ( Riesz F.) [1909] Sur les operations fonctionelles lineaires, C.R. Acad, sci. Paris 149 (1909), 1303—1305.
{1926] Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du potentiel.
I Acta Math. 48 (1926), 329—343.
[1930] II ibid. 54 (1930), 321—360.
Рогозинский (Rogosinski W. W.) [1943] On the coefficients of subordinate functions. Proc. London Math. Soc. (2) 48 (1943), 48—82.
Рудин (Rudin W.) Principles of Mathematical Analysis, 2nd. Ed., McGraw-Hill, New York, 1964. [Имеется перевод: Рудин У. Основы математического анализа,— М.: Мир, 1976.]
Сельберг (Selberg Н. L.) [1937] Uber die ebenen Punktmengen von der Kapa-zitat Null. Ark. Norske Videnskap Akad. Oslo (Mat. Naturvid. KI.) (1937), No. 10.
Талпур ( Talpur M. N. M.) [1975] A subharmonic analogue of Iversen’s theorem. Proc. London Math. Soc. (3) 31 (1975), 129—148.
[1976] On the existence of asymptotic paths for subharmonic functions in Rn. Proc. London Math. Soc. 32 (1976), 181 —192.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.) [1939] The Theory of Functions, 2nd Ed., Oxford, 1939. [Имеется перевод: Титчмарш E. Теория функций.— М.— Л.: Гостех-издат, 1951.]
Фридланд, Хейман (Friedland S., Hayman W. К.) [1976] Eigenvalue inequalities for the Dirichlet problem and the growth of subharmonic functions. Comment. Math. Helv. (1976).
Фростман (Frostman O.) [1935] Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions. Meddel. Lunds. Univ. Mat. Sem. 3 (1935), 1—118.
Фубини (Fubini G.) [1907] Sugli integral! multiple Rendi. accad. d. Lincei Roma (5) 16 (1907), 608—614.
Фуледе (Fuglede B.) [1965] Le theoreme du minimax et la theorie fine du potentiel. Ann. Inst. Fourier 15 (1965), 65—88.
[1972] Finely harmonic functions. Lectures Notes in Mathematics 289, Springer, 1972.
300
ЛИТЕРАТУРА
[1975] Asymptotic paths for subharmonic functions. Math. Ann. 213 (1975), 261—274.
Харди (Hardy G. H.) [1915] On the mean value of the modulus of an analytic function. Proc. London Math. Soc. (2) 14 (1915), 269—277.
Харнак (Harnack A.) [1886] Existenzbeweise zur Theorie des Potentials in der Ebene und im Raume. Letpziger Ber. (1886), 144—169.
Хаусдорф (Hausdorff F.) [1918] Dimension und ausseres Maasz. Math. Ann. 79 (1918), 157—179.
Хейман (Hayman W. K.) [1952] The minimum modulus of large integral functions. Proc. London Math. Soc. (3) 2 (1952), 469—512.
[1958] Multivalent Functions, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 48, Cambridge University Press, Cambridge, 1958. [Имеется перевод: Хейман У. Многолистные функции.— М.: ИЛ, I960.]
[1960] On the growth of integral functions on asymptotic paths. J. Indian Math. Soc. 2A (1960), 251—264.
[1964] Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monograph, Clarendon Press, Oxford, 1964. [Имеется перевод: Хейман У. Мероморфные функции,— М.: Мир, 1966.]
[1970] Power series expansions for harmonic functions. Bull. London Math. Soc. 2 (1970), 152—158.
Хейнс (Heins M.) [1948] Entire functions with bounded minimum modulus; subharmonic function analogues. Ann. of Math. (2) 49 (1948), 200—213.
[1959] On a notion of convexity connected with a method of Carleman. J. Analyse Math. 7 (1959), 53—77.
Хелмс (Helms L. L.) [1969] Introduction to Potential Theory, Wiley Interscience Pure and Applied Matematics, 22, New York, 1969.
Цоретти (Zoretti L.) [1905] Sur les fonctions analytiques uniformes qui posse-dent un ensemble parfait discontinu de points singuliers. J. Math. Pures Appl. (6) 1 (1905),] 1—51.
Цудзи (Tsuji M.) [1959] Potential Theory in Modern Function Theory, Maru-zen, Tokyo, 1959.
Чжан Ганхэ (Chang Kuan-heo) [1977]* Asymptotic values of entire and meromorphic functions. Sci. Sinica 20 (1977), №6, 720—739.
Шварц Л. (Schwartz L.) [1950] Theorie des distributions, 2 vols., Paris, 1950— 1951.
Шоке (Choquet G.) [1955] Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier 5 (1955), 131—295.
[1958] Capacitabilite en potentiel logarithmique. Bull, classe sci. Bruxelles, ii (1958), 321-326.
Эванс (Evans G. C.) [1933] Applications of Poincare’s sweeping out process. Proc. Nat. Acad. sci. 19 (1933), 457.
[1936] Potentials and positive infinite singularities of harmonic functions. Monatsch. fur Math. u. Phys. 43 (1936), 419—424.
Эдрей (Edrei A.) [1969] Locally tauberian theorems for meromorphic functions of lower order less than one. Trans. Amer. Math. Soc. 140 (1969).
Эдрей, Фукс (Edrei A., Fuchs W. H. J.) [1960] The deficiencies of meromorphic functions of order less than one. Duke Math. J. 27 (1960), 233—249.
Эрдёш, Джиллис (Erdos P., Gillis J.) [1937] Note on the transfinite diameter.
J. London Math. Soc. 12 (1937), 185.—192.
предметный указатель
Адамара теорема 165
Аналитическая функция 26
Аналитические множества 289
Асимптотический континуум 204 — путь 206, 207
Барьер 75, 257
Борелевская мера 114
Борелевские множества 99
Замкнутое множество 18
Иверсена теорема 204
Йенсена неравенство 58
Измеримость по Борелю 99
— емкости 227, 288
Измеримые множества 112, 288
Интегрируемая функция 33, 109
Иррегулярная граничная точка 75
— точка для задачи Дирихле 261
-Вейерштрасса свойство 19 — теорема 159
Внешняя емкость 227, 282 — и внутренняя нормали 38 Выметание 87
Выпуклая функция 27
Гармоническая мажоранта 66, 142
— мера 133
— функция 42
Гармоническое продолжение 69, 87, 265
Гейне — Бореля свойство 19
Гиперкуб 19
Гиперповерхность 37
Граничные точки 18
Граница множества 18
Грина теорема 39
—	функция классическая 43, 138
—	— обобщенная 267
—	— — свойство симметрии 273
— — продолженная 275
Дефект 171
Дирихле задача 47, 257, 261
Допустимая область 38
Емкостное распределение 227
Емкостный потенциал 227
— — единственность 253
Емкость 223, 227
Картана лемма 150
Класс расходимости 162
— сходимости 162
ст-кольцо 99
Компактное множество 18
Компоненты связности 190
Континуум 18, 190
— уходящий в бесконечность 204
Коши — Римана уравнения 55
Лебега интеграл 32 — острие 75
Линейный класс 102 — функционал 102
Мера 100
Неванлинны, характеристика 146
Нижний порядок 161
Носитель меры 230
— функции 101
Область 18
Окрестность 18
Открытое множество 18
Относительно замкнутое (открытое) множество 19
302
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Параметризованная гиперповерхность 35
Поверхностный интеграл 36
Подчиненность 91
Пойа пики 171
Положительный линейный функционал 102
Полунепрерывная сверху (снизу) функция 20, 21
Полярное множество 230
Порядок 161
Постоянная равновесия 222
Потенциал 219
Предельная точка 18
Принцип гармонической меры 135
— максимума 46, 64
— непрерывности 220
Простая функция 100
Пуассона — Йенсена формула 139
—	интеграл 44, 66
Равновесное распределение 223, 227
Радона интеграл 100
Разбиение единицы 124
—	множества 18
Регулярная граничная точка 75
Рисса мера 132
—	теорема 112, 123, 131
Свертка 118
Свойство среднего значения 50, 56
Связное множество 18, 190
Сильная субаддитивность 277
Субгармоническая функция 56, 57, 701
Суслина операция 289
Теорема единственности 26
— о продолжении линейного функционала 103
Тип (минимальный, средний или максимальный) 161
Толстая и тонкая компоненты 199;
Тракты 203
Устранимое множество по Пенлеве 247
Фрагмена — Линдел'ёфа принцип 250
Фубини теорема 33, 116
Характеристическая функция множества 112
Харнака неравенство 52
—	теорема 54
Хаусдорфа мера 238
—	— логарифмическая 239
—	размерность 239
Число трактов 203
Шварца принцип симметрии 52
Шоке теорема 288
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода............................................ 5
0. Введение...................................................... 7
Указатель обозначений ........................................... 16
Глава 1.	Предварительные сведения.............................. 17
1.0. Введение ......................................... 17
1.1.	Основные сведения	из	теории	множеств.............. 17
1.2.	Различные классы функций.......................... 20
1.3.	Выпуклые функции ................................. 27
1.4.	Теория интегрирования и теорема Грина............. 32
1.5.	Гармонические функции............................. 42
Глава 2.	Субгармонические функции ............................. 56
2.0. Введение ......................................... 56
2.1.	Определение и элементарные примеры................ 56
2.2.	Неравенство Йенсена .............................. 58
2.3.	Некоторые другие классы субгармонических функций 62
2.4.	Принцип максимума................................. 64
2.5.	Субгармонические функции	и	интеграл	Пуассона ...	66
2.6.	Метод Перрона и задача Дирихле.................... 72
2.7.	Теоремы выпуклости................................ 80
2.8.	Подчиненность..................................... 90
Глава 3.	Теоремы о представлении............................... 98
3.0.	Введение ......................................... 98
3.1.	Мера и интегрирование............................. 99
3.2.	Линейные функционалы............................. 101
3.3.	Конструкция меры и интеграла Лебега (теорема Ф. Рисса).............................................. 105
3.4.	Повторные интегралы и	теорема Фубини............. 114
3.5.	Формулировка и доказательство теоремы Рисса о представлении ............................................ 122
3.6.	Гармоническая мера............................... 132
3.7.	Функция Грина и формула Пуассона — Йенсена . . .	138
3.8.	Гармонические продолжения и наименьшие гармонические мажоранты........................................ 142
3.9.	Теория Неванлинны................................ 144
3.10.	Ограниченные субгармонические функции в R™ . .	147
Глава 4. Субгармонические функции в пространстве............... 155
4.0.	Введение ........................................ 155
4.1.	Теорема Вейерштрасса о представлении............. 155
4.2.	Теорема Адамара о представлении . ............... 161
304
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.3.	Соотношения между Т (г) и В (г)...................... 166
4.4.	Соотношения между N (г) и Т (г)...................... 169
4.5.	Функции порядка не выше 1............................ 174
4.6.	Тракты и асимптотические значения.................... 189
Глава 5. Емкость и устранимые множества........................... 219
5.0.	Введение ........................................... 219
5.1.	Потенциалы и а-емкость.............................. 219
5.2.	Емкостный потенциал и емкость....................... 226
5.3.	Полярные множества.................................. 233
5.4.	Емкость и меры Хаусдорфа............................ 237
5.5.	Обобщенный принцип максимума или принцип Фраг-мена—Линделёфа ...................................... 249
5.6.	Полярные множества и задача Дирихле................. 257
5.7.	Обобщенные гармонические продолжения и функция Грина ............................................... 264
5.8.	Измеримость по емкости и сильная субаддитивность . .	277
5.9.	Множества, на которых субгармонические функции принимают бесконечные значения....................... 292
Литература........................................................ 296
Предметный указатель..................................... 301
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода й другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
У. Хейман, Н. Кеннеди СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1 ТОМ
Ст. науч, редактор Н. И. Плужникова
Мл. науч, редактор Ю. С. Андреева Художник Б. Н. Юдкин Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Т. А. Максимова Корректор С. А. Денисова
ИБ № 1472
Сдано в набор 24.01.80. Подписано к печати 26.06.80.
Формат 60ХЭ0л/16. Бумага типографская № 1. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Объем 9,5 бум. л. Усл. печ. л. 19.
Уч.-изд. л. 17,21. Изд. № 1/0174.
Тираж 6200 экз. Зак. 0623. Цена 1 р. 70 к.
Издательство «Мир». 1-й Рижский пер., д. 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография Ка 7 «Искра революции» Союзполиграфпрома Государственного Комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва 103001, Трехпрудный пер., д. 9.