Банаховы пространства аналитических функций - Гофман К.

Автор: Гофман К.

Теги: математика математический анализ функциональный анализ теория функций банаховы пространства

Год: 1963

Похожие

Справочная математическая библиотека. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы

Топологические векторные пространства и их приложения

Действительный и функциональный анализ: университетский курс

Текст

BANACH SPACES
OF
ANALYTIC FUNCTIONS
KENNETH HOFFMAN
Department of Mathematics
Massachusetts Institute of Technology
PRENTICE-HALL, INC.
Englewood Cliffs, N. J.
1962

К. ГОФМАН
БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Перевод с английского
Б. С. МИТЯГИНА
Под редакцией
Е. А. ГОРИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963

АННОТАЦИЯ
Небольшая книга американского математика К. Гофмана опи-
описывает методы функционального анализа в применении к теории
аналитических функций. Эти методы, развитые за два последних де-
десятилетия в трудах советских и американских ученых, оказались
чрезвычайно плодотворными и привели к серьезному сдвигу в та-
такой классической области математики, какой является теория ана-
аналитических функций.
Книга доступна и полезна студентам-математикам, начиная с
третьего курса, а также физикам и инженерам, желающим ознако-
ознакомиться с одним из сложных методов современного математического
анализа. Большое число хорошо подобранных задач облегчит чита-
читателю активное овладение излагаемыми методами. Краткость изло-
изложения и изящество, с которым написана книга, привлечет к ней и
внимание специалистов.
Редакция литературы по математическим наукам

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Теория коммутативных нормированных колец (иначе на-
называемых банаховыми алгебрами) была создана в сороковых
годах И. М. Гельфандом. Эта теория пролила свет на ряд
разделов анализа, связав воедино разрозненные факты из раз*
личных его областей.
В последнее время наметились новые связи общих мето-
методов теории коммутативных нормированных колец с теорией
аналитических функций одной или нескольких переменных.
Именно эти связи зачастую позволяют добиваться успеха
в тех случаях, когда общие методы банаховых пространств
оказываются недостаточными.
Монография американского математика Кеннета Гофмана
посвящена одной из тех областей, где отчетливо проявляется
такая связь. Основное внимание автор уделил применениям
к теории граничных свойств аналитических функций. Вместе
с тем в книге нашли отражение и вопросы, специфические
для общего функционально-аналитического подхода (такие
как теорема Вермера о максимальных алгебрах, теория
Бьёрлинга — Рудина замкнутых идеалов и др.).
Естественно, что в небольшой по объему книге вводного
характера автор не мог (да и не ставил себе целью) осве-
осветить всех вопросов применения теории нормированных колец

6 От редактора перевода
в теории функций комплексного переменного. В частности,
в книге не нашли места интересные результаты Вермера,
Бишопа и др. по теории приближений!).
Книга написана живо, оригинально и вполне доступно.
Она заинтересует и начинающих, и специалистов.
Е. А. Горин
') Этим результатам посвящен сборник переводов .Некоторые во-
вопросы теории приближений", готовящийся в русском издании в Из-
Издательстве иностранной литературы.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Существует лишь немного книг, посвященных взаимосвя-
взаимосвязям между функциональным анализом и теорией аналитиче-
аналитических функций. Одной из причин сказанного является то, что
многое в методах функционального анализа имеет „вещест-
„вещественный" характер и неприменимо непосредственно к задачам,
относящимся собственно к теории аналитических функций,
например к задачам теории конформных отображений или
римановых поверхностей. Но есть и такие разделы теории
функций, которые становятся намного изящнее, если исполь-
использовать в них понятия и методы функционального анализа.
Здесь открывается много возможностей для исследований
аналитика с широким диапазоном интересов. В основе этого
лежат следующие три причины: а) к постановке многих ин-
интересных задач, связанных с аналитическими функциями,
приводит алгебраическая точка зрения; б) когда задачи ре-
решаются сочетанием методов и аппаратов двух разделов ма-
математики, каждый из них при этом углубляется; в) методы
функционального анализа часто приводят к ясности и изяще-
изяществу в доказательствах классических теорем, и тем самым
делают возможным распространение этих теорем на более
общие случаи.
Главная цель этой монографии — дать введение в один из
разделов математики, где успешно сотрудничают функцио-
функциональный анализ и теория аналитических функций. По духу
этот раздел близок к абстрактному гармоническому анализу,
и действительно, иногда мы будем сталкиваться с предметом
последнего. Так как книга носит вводный характер, то мы
не пытаемся достичь ни глубины, скажем, книги Зигмунда
по тригонометрическим рядам, ни общности некоторых книг
по гармоническому анализу на группах. Наши рассмотрения
ограничиваются банаховыми пространствами аналитических
функций в единичном круге, грубо говоря, пространствами,

8 Предисловие
близкими к пространствам Харди Нр A <; р <!оо). Истори-
Исторические указания ради краткости обычно опускаются. Неко-
Некоторая попытка таких указаний сделана в конце каждой гла-
главы в параграфах, озаглавленных „Литературные примечания",
но некоторые существенные ссылки все же опущены (напри-
(например, ссылка на статьи А. Тейлора в Studia Mathematica,
1950—1951 гг.). Материал не рассматривается в его макси-
максимальной общности. Там, где доказательства могут быть пере-
перенесены на более общие случаи, этот перенос, как правило,
не рассматривается; обычно доказательства даются для еди-
единичного круга и дальнейшие обобщения лишь намечаются.
Первые четыре главы посвящены доказательствам класси-
классических теорем о граничных значениях и интегральных пред-
представлениях по граничным значениям функций, аналитических
в единичном круге, из классов Харди Нр(\ ^.р^Соо).
В первую очередь излагаются некоторые основные результаты
о (С, 1)-суммировании рядов Фурье—не потому, что они
необходимы, а потому, что читатель, не знакомый с рассуж-
рассуждениями об аппроксимативной единице, сможет понять их
в случае суммирования по Чезаро столь же успешно, как
и в случае суммирования по Абелю — Пуассону. Предвари-
Предварительное рассмотрение чезаровских средних помогает также
вскрыть „вещественную" природу основных предложений о гра-
граничных значениях //^-функций, т. е. обнаружить тот факт,
что доказательства не используют аналитичность как таковую,
а зависят от теории сходимости, интегрирования и меры
и от нескольких основных фактов о банаховых простран-
пространствах. В недавней работе Хельсона и Лоуденслегера найдены
такие „вещественные" доказательства некоторых теорем
Ф. и М. Риссов о пространстве И1, полученных первона-
первоначально с большими трудностями в теории аналитических
функций.
Пятая глава содержит теорию факторизации #р-функций,
которая — в своем полном объеме—существенно зависит
от того факта, что речь идет об аналитических функциях
одного комплексного переменного. В этой главе рассма-
рассматриваются также некоторые обобщения факторизации и
кратко описывается классический подход к теоремам первых
пяти глав.
Рассмотрение пространств Нр в полуплоскости отнесено
(по редакционным причинам) в гл. 8. Основные факты полу-

Предисловие
чаются сведением к их аналогам для единичного круга. Это
не совсем естественно, но к этому нас побудили две при-
причины: 1) желание избежать подробного рассмотрения преоб-
преобразования Фурье — естественного аппарата для исследования
функций в полуплоскости; 2) желание получить детальное
описание соотношения между пространствами Нр в круге
и Нр в полуплоскости.
В остальной части монографии исследуется структура
различных банаховых пространств и банаховых алгебр ана-
аналитических функций в единичном круге: Нр как банахово про-
пространство; теория идеалов алгебры функций, непрерывных
в замкнутом круге и аналитических внутри него; инвариантные
подпространства оператора сдвига в пространстве Н2; про-
пространство максимальных идеалов алгебры ограниченных ана-
аналитических функций в круге. Материал этой части книги отли-
отличается от материала первой части прежде всего тем, что во-
вопросы, рассматриваемые в ней, возникли в алгебраическом
анализе. Есть также разница и во времени — основная часть
результатов первой половины книги датируется 1925 и преды-
предыдущими годами, в то время как результаты последних глав —
1949 и более поздними годами. Влияние работы Бьёрлинга ощу-
ощущается во всей последней части книги, и не только потому,
что Бьёрлингу принадлежат многие результаты, но также
и потому, что он сыграл большую роль в привлечении ин-
интересов специалистов по функциональному анализу к клас-
классической теории аналитических функций.
Книга по своему уровню доступна аспирантам и студен-
студентам старших курсов. В гл. 1 собраны необходимые предва-
предварительные сведения, и их достаточно для большей части
книги; однако в последних главах лишь со ссылкой на дока-
доказательства используются некоторые дополнительные сред-
средства анализа, например теорема Планшереля, теорема
Крейна — Мильмана, существование шиловской границы для
алгебры функций и теорема Шилова о существовании идем-
потентов в банаховой алгебре. В предварительных сведениях
ничего не сказано и об аналитических функциях, так как необ-
необходимые знания из этой области элементарны. В книге сто
упражнений, с их обычной двойной целью.
Эта монография возникла из моих заметок, и я бла-
благодарю тех, кто указал на ошибки в этих заметках, особенно
Р. Эски, С. Бохнера, Г. Хельсона, Г. Лейбовица, В. Рудина

10 Предисловие
и Н. Старра. Я хочу поблагодарить также следующих мате-
математиков за использование при подготовке книги их неопуб-
неопубликованных результатов: Р. Аренса, Г. Вера, Э. Бишопа,
Л. Карлесона, А. Глисона, П. Халмоша, Г. Хельсона, Д. Лоу-
денслегера, Д. Ньюмана, В. Рудина, Г. Шапиро, А. Шилдса
и Дж. Вермера. Я хочу особенно поблагодарить Р. Аренса,
И. Зингера и Дж. Вернера за многочисленные и очень полезные
обсуждения.
Наконец, я признателен м-сс Юдифь Бауэре, которая на-
напечатала большую часть рукописи, и сотрудникам издательства
Prentice-Hall за их нелегкую работу.
Кеннет Гофман

Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Мера и интегрирование
Пусть X — множество; совокупность всех подмножеств
множества X образует кольцо с операциями объединения
(А\}В) — (А(\В)
и пересечения
АВ == А П В.
Подкольцо кольца всех подмножеств X, замкнутое относи-
относительно счетного числа объединений (и, следовательно, замкну-
замкнутое относительно счетного числа пересечений), называется
а-колъцом подмножеств X.
Предположим, что X — локально компактное хаусдорфово
топологическое пространство, например «-мерное евклидово
пространство или его замкнутое подмножество. Бэровские
подмножества X суть элементы наименьшего о-кольца под-
подмножеств X, содержащего все компактные множества типа О8,
т. е. все компактные подмножества X, представимые как пе-
пересечение счетного числа открытых множеств. Борелевские
подмножества X суть элементы наименьшего о-кольца под-
подмножеств X, содержащего все компактные множества.
В евклидовом пространстве каждое компактное (замкнутое
и ограниченное) множество является множеством типа О8; сле-
следовательно, если X — замкнутое подмножество евклидова
пространства, то бэровские и борелевские подмножества сов-
совпадают. Если X — вещественная прямая или замкнутый интер-
интервал прямой, то кольцо бэровских (борелевских) подмножеств
X может быть описано как о-кольцо, порожденное полуоткры-
полуоткрытыми интервалами [а, Ь).
Если X — локально компактное хаусдорфово пространство,
то положительная бэровская (борелевская) мера на X

12 Гл. 1. Предварительные сведения
есть функция \i, которая каждому бэровскому (борелевскому)
подмножеству X относит неотрицательное вещественное число
(или 4-со), причем так, что
л-1 / я-1
для любой последовательности Ах, А2 попарно непере-
непересекающихся бэровских (борелевских) множеств в X. Боре-
левская мера \l называется регулярной, если для каждого
борелевского множества А выполнено соотношение
где нижняя грань берется по всем открытым множествам U,
содержащим А, Бэровская мера всегда регулярна, и каждая
бэровская мера имеет единственное расширение до регулярной
борелевской меры. По этой причине (и некоторым другим)
мы будем рассматривать только бэровские меры на X.
Положительная бэровская мера (i называется конечной,
если [х (А) конечно для любого бэровского множества А. Если X
компактно, то мера jx конечна тогда и только тогда, когда \i(X)
конечно.
Предположим, что X—вещественная прямая или замкну-
замкнутый интервал. Пусть F — монотонная возрастающая (неубы-
(неубывающая) функция на X, непрерывная слева:
F (x)= sup F(t).
t<x
Определим функцию ц на полуинтервалах [а, Ь), полагая
р([a, b)) = F(b) — F(a).
Тогда мера (х имеет единственное расширение до положитель-
положительной бэровскоя меры на X. Мера \>- конечна тогда и только
тогда, когда функция F ограничена. Если X — веществен-
вещественная прямая, то каждая положительная бэровская мера на X
строится таким же образом по некоторой возрастающей не-
непрерывной слева функции F. Если X—замкнутый интервал,
то монотонная функция на X с необходимостью ограничена;
поэтому каждая конечная положительная бэровская мера на
X возникает из такой возрастающей функции. Если X — пря-
прямая или интервал, то мера, порождаемая функцией F(x) = x,
называется мерой Лебега.

Мера и интегрирование 13
В случае общего локально компактного пространства X
бэровская функция на X есть комплекснозначная функция /,
такая, что f~l (S)—бэровское множество для любого бэров-
ского множества 5 плоскости. Каждая непрерывная функция
является бэровской функцией. Простой бэровской функ-
функцией для меры \i называется комплекснозначная функция /
на X вида
где
A) <Xj чп— комплексные числа;
B) Е1 Еа — непересекающиеся бэровские множе-
множества конечной jx-меры;
3) iE обозначает характеристическую функцию множе-
множества Е.
Простые функции образуют векторное пространство над по-
полем комплексных чисел. Для таких простых бэровских функ-
функций / мы определяем операцию интегрирования, полагая
ft-i
Если / — простая функция, то такой же функцией будет ее
модуль, | /1, и
Бэровская функция / называется интегрируемой по
мере (л, если существует такая последовательность функ-
функций {/„), что
A) каждая /л есть простая бэровская функция для меры (i;
B) lim Г |/,„-/„ |^ = 0;
C) последовательность /п сходится к функции / по мере,
т. е. для любого е > 0
lim |i({*:
Я'+ОО
фия / интегу
довательности {/„} последовательность ] f fttdy\ сходится и
Я'+ОО
Если функция / интегрируема, то для любой такой после-

после14 Гл. 1. Предварительные сведения
предел этой последовательности (который не зависит от вы-
выбора {/„}) обозначается через Г/rfp.. Обозначим класс ^.-ин-
^.-интегрируемых функций через Ll(dp). Тогда L1 = L1 (dp)—
векторное пространство, и соответствие /-> I f dp— линей-
линейный функционал на L1. Комплексная бэровская функция / лежит
в D тогда и только тогда, когда ее вещественная и мнимая
части лежат в L1, а это эквивалентно тому, что |/| лежит
в L1 (dp.). Если / лежит в L1, то
Если / — неотрицательная бэровская функция, то нетрудно
определить \ f dp, допуская и значение -f- оо : либо / интег-
интегрируема, либо для любого /С> 0 существует такая простая
функция g ^ /, что Г g dp > К- В последнем случае, по оп-
определению, I fdp = -\- оо.
Подмножество 5 пространства X имеет р-меру нуль, если
для любого е > 0 существует такое бэровское множество А,
содержащее S, что р (А) < е. Можно при желании распро-
распространить меру р на класс р-измеримых множеств; такое
множество отличается от бэровского множества на множество
[д.-меры нуль. Для наших целей это распространение,
как правило, не будет необходимым. О любом факте,
справедливом для всех точек, кроме множества р.-меры нуль,
говорят, что он имеет место почти всюду (относительно
меры р). Можно также распространить понятие интегрируе-
интегрируемости на функции, совпадающие почти всюду с бэровскими
функциями.
Основная теорема об интегрировании — теорема Лебега
о сходимости: если {/„} — последовательность интегрируе-
интегрируемых функций, для которой почти всюду существует предел
f(x)= lim fn(x) и такая интегрируемая функция g, что
|/л1^1#1 для всех п< т0 пРеДел / — также интегрируемая
функция и
= lim [/„dp.
Л-ЮО «

Мера и интегрирование 15
Другой важный результат — теорема Фубини, слабая форма
которой состоит в следующем. Предположим, что мера (i
конечна и / — неотрицательная бэровская функция на про-
пространстве-произведении X X X. Если функция f(x, у) ин-
интегрируема по х при каждом фиксированном у и по у при каж-
каждом фиксированном х, то
. (у) = / [ J /(*. у) dp (у)
Если р — положительное число, то пространство V {d<f) со-
состоит из всех таких бэровских функций /, что \f\p лежит
в i'№)- Если
то (fg) ^ i1 (dp.) и {неравенство Гёльдера)
Сделаем несколько замечаний по поводу пространств W
когда X — компакт и (i — конечная мера. В этом случае
каждая непрерывная функция на X интегрируема и прост-
пространство непрерывных функций плотно в/,1, т. е. если f^L1
и s > 0, то существует такая непрерывная функция g, что
Аналогично, если р >> 1, то пространство № содержится
в L1, и непрерывные функции образуют плотное подпрост-
подпространство в Lp:
Г |/ — S \p dp <C е-
Пусть (л1 и {а2 — положительные бэровские меры на X',
мы говорим, что мера jij абсолютно непрерывна относи-
относительно меры (л2, если каждое множество меры нуль для ц2
является множеством меры нуль и для pv Теорема Ра-
Радона — Никодима утверждает следующее: пусть рх и (х2 — ко-
конечные меры; мера (х, абсолютно непрерывна относительно
меры (х2 тогда и только тогда, когда
dpx = / dp2.

16 Гл. I. Предварительные сведения
где / — некоторая неотрицательная функция из L1 (d|A2). Мы
говорим, что меры ^ и ^ взаимно сингулярны, если
существуют такие непересекающиеся бэровские множе-
множества Bt и Вг, что
V>j(A) = V>№nBj). j =1,2,
для всех бэровских множеств А. Обобщенная теорема
Лебега о разложении состоит в следующем: если р1 и
(л2 — любые две конечные положительные бэровские меры,
то |Xj единственным образом представима в виде
Pi = ft, + ft*
где (ia — мера, абсолютно непрерывная относительно |х2, a
\xs и [j^ взаимно сингулярны. Иначе говоря,
где f^D(d\^, а меры \>.s и (х2 взаимно сингулярны. Обыч-
Обычно / называется производной (ij относительно (х2.
Рассмотрим это разложение в том случае, когда А' —
замкнутый интервал, а (х2 — мера Лебега. Пусть (л—положи-
(л—положительная мера, определяемая возрастающей функцией F.
Тогда всюду, кроме множества лебеговой меры нуль, функ-
функция F дифференцируема, и, если f = dF/dx, то / интегри-
интегрируема по Лебегу и
d\>. = fdx-\-d]>.s,
где (Ху взаимно сингулярна с мерой Лебега. Последнее
просто означает, что мера t^ определяется такой возрастаю-
возрастающей функцией Fs, что dFJdx = 0 почти всюду относитель-
относительно меры Лебега.
Мы хотим сделать несколько кратких пояснений по пово-
поводу мер, которые принимают любые — как вещественные, так
и комплексные значения. В этом случае есть некоторые техни-
технические трудности, но они не возникают, если иметь дело
только с конечными мерами. Пусть снова Л" — локально ком-
компактное пространство. Конечная вещественная бэровская
мера на X есть счетно аддитивная вещественнозначная функ-
функция (х на классе бэровских множеств. Способом построения
такой меры может служить вычитание одной конечной поло-
положительной бэровской меры из другой: [1 = 11! — р2. Теорема
Жордана о разложении утверждает, что это есть единственный

Банаховы пространства 17
пример таких мер. Именно для данной вещественной меры
р. существуют непересекающиеся бэровские множества Ву и
В2 и конечные положительные меры (j.j и (i2 на В1 и В2
соответственно, такие, что (i = (i1 — |Х2> Это представление
(с непересекающимися множествами Вх и В2) единственно.
Положительная мера 1*1-1-1*2 называется полной вариацией
меры (л и обозначается через |р|. Можно определить абсо-
абсолютную непрерывность и сингулярность вещественных мер,
используя их полные вариации. Очень легко распространить
теорему о разложении на абсолютно непрерывную и сингу-
сингулярную части, например на случай, когда Ц; — вещественная
мера. Если X —замкнутый интервал на вещественной прямой,
то конечные вещественные бэровские меры на X суть меры,
порождаемые вещественнозначными непрерывными слева
функциями ограниченной вариации. Разложение Жордана
для такой меры соответствует каноническому представлению
функции ограниченной вариации в виде разности двух воз-
возрастающих функций.
Конечные комплексные бэровские меры определяются
аналогично. Если угодно, такая мера ц есть функция вида
(J.J -j- /р,2, где (л, и (х2—конечные вещественные бэровские
меры. На этот случай очевидно также распространяются
некоторые из приведенных выше теорем. И, конечно же,
такая мера на конечном интервале порождается комплексно-
значной функцией ограниченной вариации.
Банаховы пространства
Пусть X — вещественное или комплексное векторное
пространство. Норма на X есть неотрицательная вещественно-
значная функция ||... || на X, такая, что
(О IIх\\ ^-0; IIхII =0 тогда и только тогда, когда дг = О;
B) ||* + у||<1И + 1М|;
C) ||Х*|| = |Х|.||*||.
Вещественное (комплексное) нормированное линейное про-
сшранство есть вещественное (комплексное) векторное про-
пространство X вместе с заданной нормой на X. На таком
пространстве имеется метрика р, определяемая соотношением
2 Зак, 1057.

18 Гл. 1. Предварительные сведения
Если X полно в этой метрике, то X называется банаховым
пространством. Полнота, таким образом, означает, что если
последовательность \хп} элементов X такова, что
lim ll-^m — -^лН =°.
т, л->оо
то существует такой элемент х в X, что
lim ||д—лсв||=О.
л->оо
Пример 1. Пусть X — га-мерное евклидово простран-
пространство и норма вектора х = (хх х„) определяется со-
соотношением
||JCI|2_ | х 12 I __(_ I jc 12
Тогда X—банахово пространство.
Пример 2. Пусть 5 — локально компактное хаусдор-
фово пространство и (х — фиксированная положительная
бэровская мера на S. Выберем число />!>1, и положим
X — Lp (dp). За норму функции / ? L? принимаем ее /.''-норму
На пространстве //, как оно было определено выше, это
не есть норма, так как возможно равенство ||/||р = 0 без
того, чтобы f = 0. Поэтому мы условимся отождествлять
впредь две функции из Lp (d(i), если они совпадают почти
всюду относительно меры (i. Строго говоря, теперь элемен-
элементами V'(fityO будут классы эквивалентности функций; однако
мы сохраняем те же обозначения, просто отождествляя функ-
функции, равные почти всюду. После этого соглашения простран-
пространство W (tf[i) (/O>1) есть банахово пространство с //-нормой.
Важное свойство полноты этого пространства состоит в том,
что если последовательность {/„} функций из V такова,
что
то в V существует такая функция /, что ||/—/J|p->-0.
Функции /п не обязательно сходятся к / поточечно; однако
всегда существует подпоследовательность, сходящаяся к /
почти всюду. В эти рассуждения мы хотим включить и слу-
случай р = оо.

Банаховы пространства 19
Пространство /.°°(^) есть пространство ограниченных
бэровских функций с (х-существенным максимумом в ка-
качестве нормы:
= ess eup|/(x)|.
что означает нижнюю грань всех sup | g(x)\, когда g про-
х
бегает все ограниченные бэровские функции, совпадающие
с / почти всюду относительно меры (х. Конечно, рассматри-
рассматривая L°°(d[i,), мы отождествляем функции, равные почти всюду.
Пример 3. Пусть 5 — компактное хаусдорфово про-
пространство и X = C(S) — пространство всех непрерывных
вещественных (или комплексных) функций на 5. Снабдим
СE) sup-нормой (или равномерной нормой)
= sup|/(*)|.
?S
Тогда C(S) — банахово пространство.
Пусть X — банахово пространство. Рассмотрим простран-
пространство А'* всех непрерывных линейных функционалов F на X,
т. е. функционалов, для которых соотношение ||лгп — л:||—>0
влечет соотношение
Множество А'*, очевидно, образует векторное пространство.
Существует также естественная норма на А'*. Определение
этой нормы основано на том, что линейный функционал F
непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен, т. е.
тогда и только тогда, когда существует такая постоянная
/С>0, что
\F(*)\<K\\x\\
для всех х из X. Наименьшее из таких чисел К называется
нормой функционала F, т. е.
= sup ||
||||<
С такой нормой X* становится банаховым пространством —
сопряженным пространством пространства X.

20 Гл. 1. Предварительные сведения
Пример 1. Если X—евклидово пространство, то вся-
всякий линейный функционал на X непрерывен. Такой функ-
функционал F имеет вид
Пример 2. Пусть 5 — локально компактное простран-
пространство и р. — положительная бэровская мера на 5. Пусть
1 ^ р < оо и X = W (dp). Тогда сопряженное пространство
для X есть Lq{dp), где —-|- —= 1. Если />=1, то Л"* =
= ?°°(</|i). Если g?L9(d]).), то g" порождает непрерывный
линейный функционал /* на W при помощи соотношения
Всякий непрерывный линейный функционал на V имеет та-
такой вид, и
\\П =
Сопряженное пространство к О° (dy.) содержит Ll(d\x); но
кроме тривиальных случаев, оно существенно шире, чем L1'
Пример 3. Пусть 5 — компактное хаусдорфово про-
пространство и X=C(S) — пространство непрерывных веще-
вещественных (комплексных) функций на 5. Сопряженное про-
пространство к С (S) есть пространство конечных вещественных
(комплексных) бэровских мер на S. В этом состоит утвер-
утверждение теоремы Рисса о представлении. Оно получается
примерно следующим образом. Предположим, что (х — такая
мера на 5. Линейный функционал, соответствующий мере ц.,
определяется соотношением
Норма этого функционала F называется общей вариацией
меры (л на 5. Если (* — вещественная мера, то общая вариа-
вариация (х на 5 есть просто |ia|E), где |[а| определяет меру,
известную уже как полная вариация меры р.. Если р, ком-
комплексна, то общую вариацию меры (л на 5 удобнее предста •
влять как норму соответствующего функционала на С (S),

Банаховы пространства 21
так как связь этого числа с общими вариациями веществен-
вещественной и мнимой частей меры довольно сложна. Конечно, если
(л — положительная мера, то норма функционала F есть
просто (л E). Нет необходимости говорить, что основная
часть теоремы Рисса заключается в утверждении, что для
любого заданного ограниченного линейного функционала F
на С (S) существует такая конечная мера (х, что F(f) = \ f dp.
Чтобы доказать это, надо, используя ограниченность функ-
функционала F, распространить его на класс ограниченных бэров-
ских функций и затем положить (i (Е) = F (%Е) для всякого
бэровского множества Е.
Пусть X — банахово пространство. Одно из важнейших
свойств непрерывных линейных функционалов на X есть
теорема Хана — Банаха о расширении. Если F — огра-
ограниченный линейный функционал на подпространстве Y про-
пространства X, то F может быть расширен до линейного
функционала на X, который имеет в точности ту же норму,
что и F.
Кроме метрической топологии в сопряженном простран-
пространстве X*, нам придется рассматривать и другую топологию,
называемую слабой топологией на X*. Она определяется
следующим образом. Положим F0?X* и выберем конечное
число элементов
хи ..., хп ? X и е > 0.
Пусть
U={F?X*: \F(xk)-F0(xk)\<e, A=l и].
Такое множество U есть базисная окрестность функционала Fo
в слабой топологии. Множество, открытое в слабой тополо-
топологии, есть объединение таких базисных окрестностей U. Те-
Теперь мы имеем топологию на X*. Это слабейшая топология
из всех топологий на X*, для которых при любом х?Х
функция F->F(x) непрерывна на X*. Топология на мно-
множестве есть, грубо говоря, способ определения того, какие
две точки близки друг другу. В слабой топологии два ли-
линейных функционала близки друг другу, если близки их
значения на конечном числе элементов пространства X.
Так, последовательность [Fa\ сходится к F в слабой

22 Гл. 1. Предварительные сведения
топологии тогда и только тогда, когда для всякого х из X
л->оо
Нам нужен следующий важный результат о простран-
пространстве X* со слабой топологией. Если В — замкнутый единич-
единичный шар в А'*, т. е. если
то В — компакт в слабой топологии. Это простое следствие
того факта, что декартово произведение компактных про-
пространств есть компакт. Мы будем использовать это предло-
предложение следующим образом. Если [Fn]—последовательность
линейных функционалов на X, для которой \\Fn\\ -^ 1, то эта
последовательность имеет в слабой топологии предельную
точку в единичном шаре, т. е. существует такой линейный функ-
функционал F?X*, \\F\\^l, что F(x) есть предельная точка
последовательности [Fn {х)\ при всяком х ? X. Например, если
{v-n} ~~ последовательность положительных бэровских мер на
компактном пространстве S, и jxn E) <] 1 при всех я, то сущест-
существует конечная мера р., такая, что I f dp есть предельная точка
последовательности Iff d\>.n \ для всякой функции / ? С E).
Гильбертово пространство и ряды Фурье
Пусть Н—вещественное или комплексное векторное
пространство. Внутреннее произведение на Н есть функ-
функция (.,.), которая относит каждой упорядоченной паре век-
векторов из Н число, причем таким образом, что
(I) {xx + x2, y) = (xv y)-H*2, у);
(И) (\х, у) = \(х, у);
(III) (у, х) = (х, у);
(IV) (х, х) >- 0; (х, х) — 0 тогда и только тогда, когда
х = 0. Такое пространство Н вместе с фиксированным вну-
внутренним произведением на нем, называется пространством
с внутренним произведением. В любом пространстве
с внутренним произведением выполняется неравенство
Коши — Шварца:
К*. У)?<{х, х){у, у).

Гильбертово пространство и ряды Фурье 23
Это неравенство очевидно, если у = 0. Если у ф 0, то не-
неравенство вытекает из соотношения 0 -^ (х -\- \у, х-\- Ху),
где
х_ (¦*, У)
{У. У) '
Из неравенства Шварца легко получить, что ||л||=(л, х)'!г
есть норма на Н. Если Н полно в этой норме, то мы гово-
говорим, что Н есть гильбертово пространство. Таким образом,
гильбертово пространство есть банахово пространство, в ко-
котором норма вводится при помощи внутреннего произведе-
произведения. Разлагая формы (х — у, х — У)и(х-\-у, x-j-y), легко
показать, что норма, порожденная внутренним произведением,
удовлетворяет правилу параллелограмма:
Пример 1. Пусть Н — я-мерное евклидово простран-
пространство; внутреннее произведение двух векторов
* = (*1 хп) и y = (yv .... у„)
определяется соотношением
(х, у) = х1у1+ ... +хау„.
Тогда Н — гильбертово пространство.
Пример 2. Пусть X — локально компактное простран-
пространство и р. — положительная бэровская мера на X. Пусть
I2f И
внутреннее произведение на нем. Тогда Н—гильбертово
пространство.
Второй пример нас особенно интересует. Для этого про-
пространства мы уже знаем один из основных результатов
о гильбертовом пространстве Н: всякий линейный непрерыв-
непрерывный функционал на Н есть „внутреннее произведение с не-
некоторым фиксированным вектором из Н"; иными словами,
если F — ограниченный линейный функционал на Н, то су-
существует единственный вектор у в Н, такой, что F(x) =
= (х, у) для всех х из Н. Норма функционала F равна
1И1 №

24 Гл. 1. Предварительные сведения
Два вектора х и у в Н называются ортогональными,
если (х, у) = 0. Если х и у ортогональны, то
Теорема. Пусть S — замкнутое выпуклое множе-
множество в гильбертовом пространстве Н. Тогда S содер-
содержит единственный элемент с наименьшей нормой.
Доказательство. Выпуклость означает, что если х
и у лежат в 5, то и вектор Хлг —|— A—Х)у при любом X,
0<;Х^1, лежит в 5. Пусть К = inf ||jt||. Выберем после-
довательность {ха} элементов из 5 так, что lim ||дгп|| = К.
Так как 5 выпукло, то векторы '/г (хт ~\~ хп) лем<ат в 5;
поэтому \\хп-\- хт\\^-2К. Правило параллелограмма утвер-
утверждает, что
Так как
lkmll2+ll^ll2) = 2^2 и
т, п
ТО
11т ||хт-хп\\=0.
т, п
В силу замкнутости 5 последовательность {хп} сходится
к элементу х, лежащему в 5. Очевидно, что
||*||= Нга ||*я || =*.
Более того, х—единственный элемент в 5с нормой, равной К.
Действительно, если бы у также был таким элементом, то
последовательность х, у, х, у, . . . оказалась бы сходящейся
в силу проведенных выше рассуждений, а потому у — х.
Если 5—любой набор векторов в Н, то ортогональ-
ным дополнением называется множество S^ всех векторов
в Н, которые ортогональны к каждому вектору из 5. Легко
показать, что 5 —замкнутое подпространство Н.
Теорема. Пусть S — замкнутое подпространство Н.
Тогда имеет место разложение Я = 5ф5-1, т. е. вся-
всякий вектор х из, Н единственным образом представим
в виде x = y-\-z, где у?5, a ^

Гильбертово пространство и ряды Фурье 25
Доказательство. Фиксируем вектор х0 в Я. Так
как 5 — замкнутое подпространство, то, как легко видеть,
множество
замкнуто в Н. Пусть z0— единственный элемент с наимень-
наименьшей нормой в х0 — 5 и г0 = дг0 — у0, yQ(:S. Покажем, что
zo?S^-. Пусть у?S. При любом X вектор z0 — Ху лежит
в х0 — 5, так что
I|
o
Если положить
X — (*¦» У)
Л — - Т ' '— »
(У. У)
то получим, что |(у, 20)|<;0; поэтому (у, z0) —0. Един-
Единственность векторов у0 и z0 в представлении x0—y0-\-z
есть простое следствие ортогональности подпространств
5 и 5х.
Элемент у (в формулировке теоремы) называется орто-
ортогональной проекцией вектора х на замкнутое подпростран-
подпространство 5. Легко видеть, что у есть просто ближайший к х
элемент в 5.
Пусть N—любой набор векторов в Н. Мы назовем N
ортогональным множеством, если два любых различных
вектора в N ортогональны. Ортонормированное множе-
множество есть ортогональное множество, каждый вектор которого
имеет норму, равную 1.
Теорема. Пусть N== {я, х„) — конечное орто-
ортонормированное множество. Для любого вектора х в Н
ортогональная проекция х на подпространство, поро-
порожденное множеством N, равна
п
У = 2 (х, xk) xk.
п
Доказательство. Пусть y=^i(x, xk)xk', положим
k -л
z = х — у. Тогда у лежит в подпространстве, порожденном
вектора «ш л:, хп, и, используя тот факт, что(дг;, х^ — Ь^,
легко видеть, что вектор z ортогонален к каждому вектору xk,
а, следовательно, ортогонален и к любой линейной комби-
комбинации векторов xv .... хп.

26 Гл. 1. Предварительные сведения
Следствие (неравенство Бесселя). Если
\xv ..., хп\—конечное ортонормированное множество,
то для любого вектора х в Н имеет место нера-
неравенство:
2 к*. **)|2<|И2.
Равенство в нем имеет место тогда и только тогда,
когда вектор х лежит в подпространстве, порожден-
порожденном векторами xv ..., хп, т. е. тогда и только тогда,
когда
х = (х, *,)*!+ ... + (*, хп)ха.
Доказательство. Пусть, как и выше, имеем разло-
разложение x = y-\-z. Так как (у, z) —О, то
Используя соотношения (х(, х}) = 8^, получаем
Эти результаты можно распространить на произвольные
ортонормированные множества. Для простоты мы приведем
их только для случая счетных ортонормированных множеств.
Теорема. Пусть \хп)—счетное ортонормированное
множество векторов в Н. Пусть х — любой вектор в Н;
тогда
оо
2 |(Jd ¦*„)|2<С И*II2 {неравенство Бесселя).
п = 1
п
Последовательность sn = 2 (х, xk) xk сходится к орто-
к = \
гональной проекции вектора х на замкнутое подпро-
подпространство, порожденное системой [хп]. Таким образом,
следующие условия эквивалентны:
(I) х лежит в замкнутом подпространстве, поро-
порожденном системой \хП};
(И) ||*ц2^ 2 К*. ^пI2;
я-1
(III) litn sn = x.

Гильбертово пространство и ряды Фурье 27
Доказательство. Пусть Sn — замкнутое подпро-
подпространство, порожденное конечной системой [xlt ..., хп],
а 5 — замкнутое подпространство, порожденное всей после-
последовательностью [хп\. Применяя предыдущую теорему к под-
подпространству Sn, мы получаем неравенства:
при всех п. Таким образом, бесконечный ряд 2 \{х, хк)\2
сходится, и его сумма не превосходит ||дг||2. Если
sn = (x, *,)*!+ ... + (*, х„)ха.
то при п > m мы имеем
1К-*„!12= 2 К*. **I2.
k=m+\
так что \\sm— 5л||->0, если т, я->оо. Положим y = limsn.
Легко видеть, что
(у, xk)= lim (sn, xk) = (x, xk)
Л->оо
при всех k. Таким образом, вектор z = x — у ортогонален
ко всем xk, а следовательно, и к 5. Так как у лежит в 5,
то ясно, что у — ортогональная проекция вектора х на 5.
Поэтому х лежит в 5 тогда и только тогда, когда х — у.
Легко видеть, что
=S|(*. *„)Г.
Тем самым условия (I), (II) и (III) эквивалентны.
Если х (в предыдущей теореме) лежит в замкнутом под-
подпространстве, порожденном последовательностью [хп\, то
обычно пишут
00
* = S (*• Хп) Х„,
л-1
понимая под этим, что limsn = .x\ Несомненно, наиболее
важным в последней теореме является тот случай, когда
замкнутое подпространство, порожденное системой {*„},
есть все пространство Н. Результаты в этом случае прини-
принимают следующий вид.

28 Гл. 1. Предварительные сведения
Теорема. Пусть N—[xn]— счетное ортонормиро-
ванное множество в Н. Следующие условия эквива-
эквивалентны:
(I) система N полна, т. е. единственным вектором,
ортогональным ко всем векторам хп системы N является
нулевой вектор;
(II) система N замкнута, т. е. замкнутое подпро-
подпространство, порожденное системой N, есть все про-
пространство Н;
(III) для любого вектора х в Н имеет место ра-
равенство
(IV) для любого вектора х в Н имеет место раз-
разложение
со
* = 2 (х, хп)хп.
Доказательство. Пусть 5 — замкнутое подпростран-
подпространство, порожденное последовательностью \хп). Так как
то мы знаем, что 5 = Н тогда и только тогда, когда 5-1 = {0}.
Таким образом, условия (I) и (II) эквивалентны. Утвержде-
Утверждение эквивалентности условий (II), (III) и (IV) содержится
в последней теореме.
Рассмотрим теперь случай, который нас особенно инте-
интересует. Пусть H = L2(—л, ::) — пространство (комплексно-
значных) функций на замкнутом интервале [—я, я] с инте-
интегрируемым по Лебегу квадратом. Внутреннее произведение
на нем задается соотношением
Другими словами, L2(—тс, it) = L2 (dp), где ц — нормирован-
нормированная мера Лебега: ф га= ^- dx. Пусть <р„ (х) =г е'пх. Тогда,
как легко проверить, множество {<P/,}"«_ge ортонормировано.

Гильбертово пространство и ряды Фурье 29
Это ортонормированное множество полно. Мы отмечаем это
сейчас, а докажем позже. Если f?L2(—it, iv), то числа
называются коэффициентами Фурье функции /. Формаль-
Формальный ряд
2 с„е1пл
Л" — со
называется рядом Фурье функции /.
Проведенное выше рассмотрение гильбертова простран-
пространства говорит нам о следующем. Пусть нам дана функция
f?L2(—it, я) и ее коэффициенты Фурье сп определены так,
как это сделано выше. Пусть я^-0 и мы хотим прибли-
приблизить функцию / в ?2-норме тригонометрическим многочле-
многочленом вида
/>(*)= 2 akeikx-
Тогда наилучшее приближение дается многочленом
л
е (V\ У - Jb-*
т. е. если положить ak = ck. Мы знаем также, что после-
последовательность коэффициентов Фурье квадратично сумми-
суммируема, и
SI, |2_ II /||2_ J_
л- — оо
(Здесь мы используем полноту системы {<р„}.) Более того,
со
/= 2 си?„,
т. е. функция / есть сумма (в смысле гильбертова про-
пространства) своего ряда Фурье. Это, конечно, означает, что
я-я частичная сумма sn ряда Фурье сходится к / по
?2-норме;
lim J-

30 Гл. 1. Предварительные сведения
Заметим также, что имеет место теорема Рисса — Фишера:
всякая квадратично суммируемая последовательность ком-
комплексных чисел есть последовательность коэффициентов Фурье
некоторой функции из L2(—я, тс). Если
2i |С„|'<ОО,
л» —оо
то надо положить
п
sn\x)— Zt cke •
k= -n
и заметить, что последовательность [sn\ сходится в L2 к функ-
функции / с коэффициентами Фурье са.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Предварительные сведения о мерах и интегрировании имеются
в книгах Халмоша [83], Сакса [74], Люмнса [50], Титчмарша [77],
Данфорда и Шварца [34], Рисса и Секефальви-Надя [68]. По поводу
материала о банаховых пространствах см. книги Банаха [7], Лю-
миса [50], Данфорда и Шварца [34], Рисса и Секефальви-Надя [68].
Наиболее изящное изложение основ теории банаховых пространств
дано, по всей вероятности, в книге Люмиса. По поводу материала
о гильбертовых пространствах и ортогональных системах в них
см. книги Зигмунда [35], Стона [76], Рисса и Секефальви-Надя [68],
Халмоша [82], Титчмарша [77].

Глава 2
РЯДЫ ФУРЬЕ
В этой главе мы будем иметь дело с замкнутым интер-
интервалом [—я, я] вещественной оси. Если / — комплексно-
значная интегрируемая по Лебегу функция на этом интервале,
то ее коэффициентами Фурье называются комплексные
числа
сп = ~ ff(x)e-inxdx, я = 0, ±1, ±2
— тс
а рядом Фурье функции / — формальный ряд
спе .
я= —со
Возникает два основных вопроса о функции / и связанном
с ней ряде.
(I) Определяется ли функция / своим рядом Фурье?
(II) Если это так, то как восстановить функцию / по
данному ряду Фурье?
В первом из этих вопросов мы рассматриваем функцию /
как элемент пространства D (—ж, л) и тем самым отожде-
отождествляем функции, которые отличаются друг от друга лишь
на множестве лебеговой меры нуль. Таким образом, первый
вопрос состоит в том, совпадают ли почти всюду две инте-
интегрируемые функции, если они имеют одинаковые последо-
последовательности коэффициентов Фурье. Как мы вскоре увидим,
ответ на этот вопрос положительный. Второй вопрос на-
намного сложнее, в частости потому, что он поставлен
довольно неопределенно. В качестве первой попытки реше-
решения вопроса 2 быть может следует образовать частичные
суммы
*»(*>= 2 '*«'**

32 Гл. 2. Ряды Фурье
и спросить, сходится ли последовательность этих функций $п.
Здесь можно спросить, сходится ли последовательность
функций sn поточечно, сходится ли она поточечно почти
всюду, сходится ли равномерно или сходится по некоторой
норме. Если эта последовательность сходится, то сходится ли
она к функции /?
Если / квадратично интегрируема, то, как мы уже пока-
показали, частичные суммы сходятся к функции / по /Лнорме
(мы предполагали полноту системы {einx\). Можно было бы
подумать, что для функции / из Z.1 последовательность sn
сходится к / по /.'-норме; однако это, оказывается, не обя-
обязательно. Можно было бы подумать, что если функция / не-
непрерывна и /(—¦7т) = /(тг), то последовательность sn схо-
сходится равномерно к /, но и это тоже неверно. В действи-
действительности для непрерывной функции / может случиться так,
что последовательность sn не сходится даже поточеш о.
Конечно, при таком подходе не может быть ничего лучше,
чем случай пространства L2, но останавливаться на нем —
значит, зайти в безнадежный тупик. Поэтому обычно ищут дру-
другие способы восстановления функции / по ее ряду Фурье. Ниже
мы рассмотрим один такой способ. Прежде чем перейти
к его изложению, заметим, что для „гладких" функций /
частичные суммы sn сходятся поточечно; так, например,
будет, если / — функция ограниченной вариации. Если функ-
функция /, скажем, дважды непрерывно дифференцируема, то
легко проверить, что последовательность {sn} сходится рав-
равномерно; действительно, двойное интегрирование по частям
показывает, что с„ = ОA/га2).
Чезаровские средние
Чезаровскими средними (или первыми чезаровскими
средними) ряда Фурье функции / называются средние ариф-
арифметические
°л = 7ГE°-г- ••• +*«-i). n = I, 2, ...
последовательности частичных сумм. Как мы увидим, если
функция / лежит в V (— те, те), 1 -^ р < оо, то чезаровские
средние о„ сходятся к / по /Анорме. Если же / непре-
непрерывна (и /(—it) ==/(«)), то последовательность ап сходится
к / равномерно.

Чезаровские средние
33
Имеем
«--л
А--я
Таким образом,
-к *--я
— 71
где Кп(х) — д-е чезаровское среднее ряда
Но
(п 1
к"- 1
1-
и так
п к
1-е
как
+i (
ix
Кх
X)
1 1
1
(*) =
[X)
— 1
1-
1,
1 Г
п[
<V
\х
,-1
— е
то
!_
Ь
2 -
я
(я+1)ж
-1ДГ
легко
- COS ПА
-COS*
л
J
видеть,
1
J n
я
А-0
cos л* — с
что
sin
sin
1 —
л
1
я
ft-i
os (л + I) л
cos*
2
Функции /<¦„ называются ядрами Фейера. Мы показали,
что для любой интегрируемой функции / на интервале
[—тг, те] п-е чезаровское среднее ее ряда Фурье равно
те
«»(*) = ^ f/(t)Kn(x-t)dt,
-те
где АГ„ — ядро Фейера. Отметим некоторые свойства функ-
функций /Ся.
(О А-я>0;
3 Зак. 1057.

34 Гл. 2. Ряды Фурье
(III) Если / — любой открытый интервал, содержащий
точку х = О, то
Iim sup |#„(*)!=:О (|*|<тс).
Свойство (I) очевидно в виду полученного выражения для
ядра Кп. Свойство (II) просто утверждает, что га-е чезаров-
ское среднее ряда Фурье постоянной функции 1 равно 1.
Свойство (III) вытекает из нескольких простых неравенств.
Если 0 < 5 < тг и тс > | л; | > 8, то
I sin y х \ > I sin -^ 61 ,
так что при 8<;|х|<^тс имеем
. 1 Л2 '
п I sin -у 81
Заметим также, что Кп — четная функция, но пользоваться
этим фактом мы не будем. Все, что мы хотим знать о че-
варовских средних, будет доказано с использованием только
трех отмеченных выше свойств ядер Фейера.
Любую последовательность интегрируемых по Лебегу
функций Кп, обладающих отмеченными выше свойствами
(I), (II) и (III), будем называть аппроксимативной едини-
единицей (для пространства Z.1; иногда ее называют положитель-
положительным ядром). Смысл этого термина станет понятен позже.
Мы приведем в дальнейшем и другие примеры аппроксима-
аппроксимативных единиц. В качестве примера, слегка отличного от
ядер Фейера Кп, можно рассмотреть последовательность
\ о, — *<*<().
Теорема. Пусть функция f лежит в Lp{—тс, тс),
где 1 <; р < оо. Тогда чезаровские средние ее ряда Фурье
сходятся к f по Ьр-норме. Если функция f непрерывна
и f (— тс) = / (тг), то чезаровские средние сходятся к f
равномерно.

Чезаровские средние 35
Доказательство. Мы имеем
1С
Если продолжить / до периодической на всей веществен-
вещественной прямой функции с периодом 2и, то можно написать
п
Условие периодичности /(—тг) = /(тс) несущественно для
функций / из Lp, так как функция f (х) известна лишь
почти всюду; однако при рассмотрении непрерывной функ-
функции / это условие важно, так как оно делает периодическое
продолжение / непрерывной функцией. Рассмотрим сначала
случай непрерывных функций. Так как Г/е„ = 1, то
<,„(*)-/(*) = -L f[/{X-t)-f(x)]Kn(t)dt.
Если 8 > 0, то можно написать
оя(х)-/{х) = ± f[f(x-t)-f(x)]Kn(t)dt +
8
f
-8
+ i / 1/(*-О-
И МЫ ВИДИМ, ЧТО
l SUP l/(* —О —/(*I +
85
+ 2H/IL- sup KJt).
\t\>>'
Цели функция / непрерывна в точке х, а 8 мало, то число
|/(лг — t) — f(x)\ мало при |/|<8, а так как
Iim sup
Я-»? 8
ТО
л->оо
3*

36
Гл. 2. Ряды Фурье
Если / непрерывна на замкнутом интервале а -< х ^ Ь, то /
равномерно непрерывна на нем, и легко видеть, что оп(х)->
-*¦ f (х) равномерно на [о, Ь\.
Для функции / из Lp нам надо оценить норму
К-/II,-
Пусть g — любая функция из Lq% где ~+ —»1. Тогда
1
ъ
и
1
2*
г Л-.(*)
потому
—л
— f(x)]g(x)dx =
1 ГГ[/(дг_,)_
\itr J J
<
—те —я
В силу неравенства Гёльдера внутренний интеграл не пре-
превосходит по модулю числа
где ft(x)=f(x — t). Таким образом, для любой функции
" ~ч выполнено неравенство
те
^ fK(x)-f(x)]g(x)dx <
—к
тс
<ll«V]sr/ll/<-/ll,-*«(<)<».
—ТС
Поэтому
Действительно, так как Lq — пространство, сопряженное к Lp,
то для всякой данной в W функции h можно найти (по тео-

Чезаровские средние
37
реме Хана — Банаха) такую функцию g в L9, что ||iT|L =
и /А* =
,.
Далее, если 8 > 0, напишем
г
25"
< sup ||/,-Л|,+ 2 И/И,, sup *„(*).
Если 8 мало, то при |^|-^8 и норма ||/, —/||, мала, т. е.
сдвиг непрерывен по /.''-норме. Таким образом, имеем
Теорема. Если функция / лежит в L°°(—те, те), то
чезаровские средние ее ряда Фурье сходятся к f в сла-
слабой топологии V°.
Доказательство. Как мы заметили выше, для любой
функции g из U выполнено неравенство
fl°a(x) — f(x))g(x)dx
< sup
г<*<
^ flf(x-t)-f(x)]g(x)dx
4-2II/IL- "Р/.О-
Таким образом, нам надо лишь доказать, что
lim
или что

38 Гл. 2. Ряды Фурье
Это вытекает из того факта, что функция / ограничена и
||gr — gt\\i—*-0. Таким образом, для любой функции g из L1
5Г f °n(*)g(*)<**-+¦& (f(x)g(x)dx,
т. е. о„->/ в слабой топологии.
Следует, пожалуй, отметить, что аналог этой последней
теоремы имеет место также и для мер. Если (i — произволь-
произвольная конечная комплексная бэровская мера на интервале
[—те, те], то можно определить ее коэффициенты Фурье
.-/¦
e-tnxd\i(x)
и связанный с ней ряд Фурье. Коэффициенты сп часто на-
называются коэффициентами Фурье—Стильтьеса этой меры.
Мы не надеемся на то, что чезаровские средние для меры (i
сходятся как функции, но можно думать, что меры -^—<sn(x)dx
сходятся к мере (i в слабой топологии пространства мер.
Это действительно так, но мера (i должна иметь период 2те.
Это означает, что если мера (i имеет „точечную массу"
в точке те или —те, то эти массы должны быть равны:
(i({—ic}) = |i,({ic}). Лучший способ сформулировать это
условие — сказать, что мера ц в действительности задана
на окружности, полученной отождествлением точек —те и те.
Теорема. Пусть р — конечная (периодическая) ком-
комплексная бэровская мера на интервале [—те, те] и оя —
п-е чезаровское среднее ряда Фурье меры (л. Если f —
любая непрерывная функция с периодом 2те, то
i /7 (*) о.
т. е. меры -п-о„(х)dx сходятся к р в слабой топо-
топологии.

Чезаровские средние 39
Доказательство. Имеем
± f/(x)cn(x)dx =
— It
i ff(x)Ka(x-t)dx d?(t) = f х„
где т„ — ra-e чезаровское среднее функции /. Так как тя ->¦ /
равномерно, то теорема доказана.
Одним из следствий приведенных выше теорем является
теорема Фейера: всякая непрерывная функция с периодом 2тс
есть равномерный предел последовательности тригонометри-
тригонометрических многочленов
к--п
Отсюда вытекает, что ортонормированное семейство \einx)
полно в L2{—тс, те); действительно, замкнутая линейная
оболочка этих функций содержит все непрерывные функции,
а они плотны в ZA Конечно, утверждение о полноте со-
содержится и в том факте, что для любой функции / из L2
последовательность оя сходится в L2 к /.
Мы также знаем теперь, что всякая интегрируемая функ-
функция определяется последовательностью своих коэффициентов
Фурье; более того, мы знаем, что всякая периодическая мера
определяется своими коэффициентами Фурье.
Нужно сделать несколько замечаний, чтобы придать ре-
результатам о чезаровских средних форму, удобную для обоб-
обобщений. Из определения коэффициентов Фурье, скажем,
интегрируемой по Лебегу функции ясно, что при сложении
двух таких функций соответствующие коэффициенты Фурье
складываются. Для функций / и g из Ll{—it, тс) можно
также определить умножение (хотя и не поточечное). Умно-
Умножение, которое мы имеем в виду, есть свертка

40 Гл. 2. Ряды Фурье
Используя теорему Фубини, легко показать, что функция f*g
снова лежит в V- и
Ясно также, что свертка ассоциативна и превращает L1
в линейную алгебру, га-й коэффициент Фурье функции f*g
есть произведение п-х коэффициентов Фурье функций / и g.
те
± fe-inx(f*g)(x)dx =
ЯГ
Можно также определить свертку двух мер. Сделаем это
только в случае, когда одна из мер абсолютно непрерывна
по мере Лебега, т. е. имеет вид ¦=— f(x)dx, где f^L1.
Свертка / и (а есть функция
(Теорема Фубини показывает, что это определение имеет
смысл.) Снова легко проверить, что коэффициенты Фурье /*[л
суть произведения соответствующих коэффициентов Фурье
/ и [а. Наиболее важным является случай, когда [а есть
дельта-мера Дирака, т. е. точечная масса, сосредоточен-
сосредоточенная в 0. Эта мера 60 приписывает меру 1 бэровскому мно-
множеству, если оно содержит точку 0, и меру 0 — в любом
другом случае. Если /^А1, то f*\ — f, т. е. So играет роль
единицы при свертке. Это соответствует тому факту, что все
коэффициенты Фурье меры 80 равны 1.

Описание типов рядов Фурье 41
Если f^L1, то чезаровские средние / сходятся к / в L1.
Поэтому an = f*Kn и меры -^Kn(x)dx аппроксимируют
дельта-меру 80. Именно поэтому мы называем {Кп\ аппрок-
аппроксимативной единицей для Z.1. Конечно, ядро Фейера Кп есть
как раз га-е чезаровское среднее ряда Фурье дельта-меры 80.
Результаты, отмеченные выше, имеют место, когда
[Кп] — любая аппроксимативная единица для D; т. е. {f*Kn}
сходится равномерно к /, если / непрерывна, сходится к /
по //-норме, если 1 <; р < оо, сходится в слабой тополо-
топологии L°°, если f?L°°, и, наконец, {(**/(„} сходится к [а
в слабой топологии пространства мер, если (а — мера на
окружности. Если каждая функция Кп ограничена, то дока-
доказательства в точности те же, . что и выше. Этот случай
основной для рассматриваемых нами аппроксимативных единиц.
Если Ка неограничены, то надо сначала проверить, что
свертка функции из L1 и функции из Lp лежит в V; далее
доказательства проводятся, как и выше.
Описание типов рядов Фурье
Чтобы завершить наши предварительные рассуотрения
рядов Фурье, мы вернемся к следующему вопросу. Пусть
нам дан формальный ряд Фурье
Как узнать, является ли он рядом Фурье некоторой функции
из L1? Или функции из Lp? Или меры? Или непрерывной
функции? Для L2 ответ нам известен: последовательность \сп}
должна быть квадратично суммируемой. В других случаях
можно пользоваться некоторыми грубыми условиями. Напри-
Например, последовательность коэффициентов Фурье любой конеч-
конечной меры должна быть ограничена (общей вариацией этой
меры на [— те, тг]). Это включает и случай абсолютно
непрерывной меры ¦=— f(x)dx, f^L1. В этом случае можно
утверждать большее — коэффициенты Фурье интегрируемой
функции стремятся к нулю,
lim |cn|=0,
1л|-+со

42 Гл. 2. Ряды Фурье
Последнее утверждение — лемма Римана — Лебега, и ее не-
нетрудно доказать. Например, ее можно сначала доказать для
случая, когда / — характеристическая функция интервала [а, Ь].
В этом случае имеем
ь
[«"'"«-'"I
ТЭК ЧТО
Отсюда следует, что утверждение леммы выполняется для сту-
ступенчатых функций, т. е, линейных комбинаций характеристиче-
характеристических функций интервалов. Так как характеристические функции
плотны в L1, то мы получаем и общий результат. Конечно,
коэффициенты Фурье меры не обязаны стремиться к нулю.
Довольно удовлетворительный ответ на наш вопрос
о формальных рядах может быть дан в терминах чезаровских
средних этих рядов.
Теорема. Формальный ряд Фурье есть ряд Фурье
(I) функции из Lp, 1 < р <; со;
(II) функции из L1;
(III) непрерывной функции периода 2тг;
(IV) конечной меры;
(V) конечной положительной меры
тогда и только тогда, когда чезаровские средние ап
(I/ ограничены по Ьр-норме;
(II/ сходятся по D-норме;
(III)' сходятся равномерно;
(IV)' ограничены по О^-норме;
(V)' все неотрицательны.
Доказательство. Большинство утверждений k —>• k'
уже доказано, остальные проверить нетрудно. Например,
если о„ — я-е чезаровское среднее ряда Фурье конечной веще-
вещественной меры, то
JL /|о„(*)|*к<^- / jX(*-0rf|H(')<**=H([-«.«1).

Описание типов рядов Фурье 43
В случае комплексной меры надо рассмотреть отдельно ее
вещественную и мнимую части.
Теперь нам остается доказать, что если с„ удовлетворяют
условию k', то мы имеем ряд Фурье типа к. Заметим сна-
сначала, что для любого формального ряда выполнено соотно-
соотношение
Действительно, если п > |/в|, то /и-й коэффициент Фурье
, я— | /и I
функции ап равен —L • ст.
Пусть чезаровские средние ограничены по //-норме, где
I <?. р ^ со. Без ограничения общности можно считать, что
II II ** 1 „ 1 О О
||оя||р<-1, я=1, z, о
Функции оя лежат в единичном шаре сопряженного простран-
пространства L9, где 1 = 1. Так как этот единичный шар слабо
компактен, то в V существует функция /, ||/||р -^ 1, такая,
что всякая слабая окрестность / содержит функции ап при
бесконечном числе значений п. Другими словами, для любой
функции g ? L9 числа f cng dx лежат около Г fg dx при
бесконечном числе значений п. Каждая функция ешх при-
принадлежит L4; так как m-Vi коэффициент функции ап стремится
к ст, то tn-Pi коэффициент Фурье функции / должен рав-
равняться ст. Тем самым доказано (I).
Если сп сходятся по U-норме, то они сходятся по этой
норме к интегрируемой функции /. Так как
1
то ст — /и-й коэффициент Фурье функции /.
Если с„ сходятся равномерно, то они сходятся к непре-
непрерывной функции / и эта функция — по тем же соображе-
соображениям — имеет заданные коэффициенты Фурье.
Пусть теперь
KHi<l. я= 1.2,3

44 Гл. 2. Ряды Фурье
Тогда обшие вариации мер d\>.n = -н- оп (л:) </л: ограничены
числом 1. Пространство мер сопряжено банахову простран-
пространству непрерывных функций. Все меры jin лежат в единичном
шаре этого сопряженного пространства; следовательно, они
имеют в слабой топологии предельную точку [х. Так как
каждая функция в'тл непрерывна, то рассуждения того же
типа, что использовались выше, показывают, что мера (д,
имеет ваданные коэффициенты Фурье.
Пусть, наконец.
n()> n=l, 2. 3
Тогда
Kill =21 fan(x)dx = c0.
—*
Таким образом, функции о„ ограничены по D-норме. Ввиду
последнего результата наш ряд есть ряд Фурье конечной
(периодической) меры (х. Мера |л есть слабый предел мер
к— an(x)dx, т. е. для любой непрерывной функции g (пе-
(периода 2ir) выполнено соотношение
и it
± fg(x) ап (х) dx= fg (x) dp (x).
— it —it
Если ?>0. то ?on>0 и потому J gd^.^.0. Таким обра-
зом, мера [* положительна.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Основными справочниками по рядам Фурье являются книги Зиг-
Зигмунда [35] и Бари [99). В них можно найти различные усиления и обоб-
обобщения результатов о рядах Фурье. Можно также обращаться к кни-
книгам Титчмарша |77] и Рудина [71J. Теорема Фейера была доказана
в |81|. Описание рядов Фурье различных типов было дано Штейн-
гаузом 1951 и Гроссом [33] для L\ дж. и В. Яигами |98] для Lp,
р > 1, Б. Янгом [971 для мер, Герглотцем [27] для положительных
мер См. также работу Каратеодори [37J о рядах Фурье возрастаю-
возрастающих функций (положительных мер).

Упражнения 45
УПРАЖНЕНИЯ
со
1. Ряд V — sin nx есть ряд Фурье функции из L%. Какой именно
Л-1
функции?
2. Пусть /—бэровская функция на интервале (—я, я) и
\f(x) | < 1. Доказать, что каждое чезаровское среднее ряда Фурье /
удовлетворяет неравенству | а„ (х) | ^ 1. Если при некоторых п и х
мы имеем |а„(д:I = 1, то функция / постоянна.
3. Пусть 2 ап — бесконечный ряд; пусть чезаровские средние
этого ряда сходятся к некоторому числу о, и пусть также
а„ = 0|—J. Доказать, что частичные суммы этого ряда также схо-
сходятся к а (Г. X. Харди [85]).
4. Представить частичные суммы ряда Фурье интегрируемой
на интервале [—я, ж] функции / в виде
fV)Dn(x-t)dt,
т. е. найти явное выражение для ядер (Дирихле) Dn. Воспользо-
Воспользоваться результатом упражнения 3 для доказательства того, что если
/—функция ограниченной вариации, то
lim sn(*)=-i lim [/С* + 0+/(•* —91-
/»->со
5. Положим
Ая (X) = <
показать, что {Л'л} — аппроксимативная единица для L1. О чем кон-
конкретно говорят различные теоремы о сходимости настоящей главы
в этом частном случае аппроксимативной единицы?
6. Доказать, что при ?>1 свертка функции из L1 и функции
из Lp лежит в Lp. Доказать, что при р = со свертка — функция
непрерывная.
7. В том случае, когда мы не отождествляем точки — я и л,
привести на интервале [— я, я] пример двух различных мер, кото-
которые имеют один и тот же ряд Фурье.
8. Доказать, что если /€ L2, то функция
непрерывна. Каково поведение ряда Фурье функции

46 Гл. 2. Ряды Фурье
9. Для конечных мер н-, и ц.2 свертку Ц| * ц2 определим как
ту единственную меру ц, которая порождается линейным функцио-
функционалом L на пространстве непрерывных функций:
^ (л) dp2 (у).
Доказать, что если мера ц, абсолютно непрерывна по мере Лебега,
то такой же будет и мера Ц| * ц2 и ее производная задается той
формулой свертки, которая использовалась в настоящей главе для
определения свертки функции и меры.
10. Используя теорему Фейера, доказать теорему Вейерштрасса
о приближении: на замкнутом интервале вещественной прямой вся-
всякая непрерывная функция есть равномерный предел многочленов.
11. Доказать, что частичные суммы ряда Фурье функции с огра-
ограниченной вариацией равномерно ограничены.

Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ
Пусть D обозначает открытый единичный круг комплекс-
комплексной плоскости,
D={z:\z\<\),
а С — единичную окружность
С= {3:1*1 = 1}.
Напомним, что комплекснозначная функция / аналитична
в D, если она есть сумма сходящегося степенного ряда
Это в точности означает, что функция / имеет производную
в каждой точке D. Комплекснозначная функция и на D гар-
гармонична, если она удовлетворяет уравнению Лапласа
дЧ . дЧ _»
дх3 i~ ду3 ~~
Любая аналитическая функция является комплекснозначной
гармонической функцией. Вещественная функция и гармо-
гармонична тогда и только тогда, когда она является веществен-
вещественной частью некоторой аналитической функции f — и -\- lv.
Если и — вещественная гармоническая функция, то любая
функция v, такая, что u-\-iv аналитична, называется гармо-
гармонически сопряженной к и. Для данной гармонической и
имеется такая вещественная v, что вместе с и она удовле-
удовлетворяет уравнениям Коши—Римана
да dv ди dv
дх ду ' ду дх

48 Гл. 3. Функции в единичном круге
Гармонически сопряженная к и функция единственна с точ-
точностью до аддитивной постоянной. Другими словами, для
данной вещественной гармонической функции и существует
единственная вещественная гармоническая функция v, сопря-
сопряженная к и и равная нулю в начале координат.
Ядра Коши и Пуассона
Для аналитической (или гармонической) в единичном
круге D функции / мы хотим исследовать вопрос, имеет ли
функция / граничные значения и как она определяется по
этим значениям. Грубо говоря, мы исследуем условия, при
которых пределы
существуют и определяют функцию на единичной окружно-
окружности С. Затем мы зададимся вопросом, как функция / опре-
определяется этой функцией на окружности. Если / аналитична
в круге радиуса 1+е, то, конечно, / имеет граничные зна-
значения и определяется по ним интегральной формулой Коши
Для наи IX целей будет удобнее писать формулу Коши в сле-
следующем виде:
Если же / — гармоническая функция в круге радиуса 1 —|— е,
то для нее нет интегральной формулы Коши; однако мы
можем восстановить / по ее граничным значениям при помощи
интегральной формулы Пуассона. Обе эти формулы для
круга тесно связаны с рядами Фурье; прежде чем переходить
к формуле Пуассона, мы выясним связь между гармониче-
гармоническими функциями и рядами Фурье, Мы это сделаем не самым
коротким из возможных способов. Но эти дополнительные
рассуждения помогают понять то, что делается в даль-
дальнейшем.

Ядра Коши и Пуассона 49
Предположим сначала, что / аналитична в открытом
круге, оо
/(*) = 2 Vя.
п = 0
Пусть fr(ft) = f(re!u). При фиксированном г-функция /,.
определена на единичной окружности, т. е. если мы рассмат-
рассматриваем функцию / лишь на окружности радиуса г, то мы
получаем непрерывную функцию, которую можно также рас-
рассматривать как функцию на единичной окружности. Далее
имеем оо
/,(»)= 2 <V"e'»»,
п = 0
т. е. я-й коэффициент Фурье функции /,. равен апгп при
п ^- 0 и нулю при п < 0. Если / аналитична в замкнутом
круге, то функция граничных значений /j имеет своими
коэффициентами Фурье числа ап. Рассмотрим с этой точки
зрения формулу Коши:
Условимся писать f(t) вместо /(е"); тогда мы имеем
где
Другими словами, fr есть свертка fr = f* Cr; здесь через /
обозначена функция / на единичной окружности. Таким
образом, коэффициенты Фурье функции fr суть произведения
коэффициентов Фурье функций f(eu) и Сг:
оо
л-0
СО
л-0
оо
/,(»)=2в,л»
л-0
4 Зак. 1057.

50 Гл. 3. Функции е единичном круге
Пусть и гармонична (и вещественна) в круге. Тогда и
вещественная часть аналитической функции, или
где / аналитична. Если
2
л-0
ТО
и (z) = 2 Re ao+ Je/ + 2 *«*".
Если рассмотреть и на окружности радиуса г, то получим
оо
иг (&) = и (/•<?'»)= 2 crrl я 'в'"».
где co = 2Reao, cn = ап при ге > 0 и с„==а_п при п < 0.
Если й гармонична в замкнутом круге, то коэффициенты
Фурье граничной функции и1 равны сп. Конечно, сп = сп,
так как и — вещественная функция. Поэтому иг получается
из и (в'9) умножением ее коэффициентов Фурье сп на г|п|.
Это как раз и означает, что ит есть свертка и (е19) с функ-
функцией Рт, коэффициенты Фурье которой равны г1:
= Re[2Cf(»)—1] =
1 — 2r cos 9 + z-2 "
Это семейство функций РГ называется ядром Пуассона. Как
мы только что заметили, для любой вещественной гармони-
гармонической в замкнутом круге функции а имеем
тс
ат @) =- и (re») = ± f и (t) Р, (» -1) dt.

Ядра Коши и Пуассона 51
где, как обычно, через и (t) обозначена функция a (elt). Оче-
Очевидно, отсюда непосредственно вытекает, что интегральная
формула Пуассона справедлива и для любой комплекснознач-
ной гармонической в замкнутом круге функции; в частности,
она справедлива для аналитической функции /. Таким обра-
образом, как ядро Коши, так и ядро Пуассона, восстанавливают
при помощи свертки аналитические функции по их гранич-
граничным значениям. Нетрудно понять, почему это так. Функции
Рг и Сг имеют одинаковые коэффициенты Фурье с неотри-
неотрицательными индексами; поэтому, когда мы свертываем их
с „аналитической" в круге функцией, результаты будут оди-
одинаковы. Различие же в том, что в то время как коэффи-
коэффициенты Фурье функции Рг симметричны (на множестве целых
чисел) относительно нуля:
коэффициенты Фурье функции Сг при отрицательных индек-
индексах обращаются в нуль:
_{ \ о, «<о.
Обращение в нуль отрицательных коэффициентов Фурье
функции Сг просто означает, что Сг „ортогональна" к со-
сопряженной функции любой аналитической функции, равной
нулю в начале координат, т. е. если / аналитична в замкну-
замкнутом круге, то
л«0
С другой стороны, так как / гармонична, имеем

52 Гл. 3. Функции в единичном круге
Ядро
1— re19
также представляет интерес потому, в частности, что
Но еще интереснее тот факт, что если / = а -f- lv анали-
тична в замкнутом круге « /@) вещественно, то
к
/(/¦«'») =tJ- [u(t)Hr(b-t)dt,
— И
т. е. fr = u* Hr Это легко проверить; действительно,
= /(«'*)+ /@)-Re/@).
Поэтому, если /@) вещественно, то fr = u * Нг Эта фор-
формула может быть переписана так:
или
е'—г
—и
Положим теперь

Граничные значения 53
Это ядро называется сопряженным ядром Пуассона. Из
сказанного выше ясно, что формула
«>) = ± f a
дает функцию v, гармонически сопряженную кии равную
нулю в начале координат. Ядра Р, (д) и Qr (Ь), конечно, суть
гармонически сопряженные функции в круге.
Граничные значения
Прежде чем начать подробное исследование граничного
поведения гармонических функций, иы рассмотрим задачу
распространения функции, заданной на единичной окружности,
до гармонической функции в круге. Первой задачей такого
типа была задача Дирихле: для данной на единичной окруж-
окружности вещественной непрерывной функции / найти непре-
непрерывную функцию в замкнутом круге, которая равна / на
окружности и гармонична в открытом круге D. Эга задача
полностью решается интегральной формулой Пуассона. Надо
лишь показать, что семейство функций Рг, 0 -^ г < 1, есть
аппроксимативная единица в L1 на окружности. Так как
^@)- l-2rcos» + r»*
то выполнены следующие условия:
(I) Я, (8)^-О (и Рт непрерывна на окружности);
= 1. 0<г<1
(потому, что этот интеграл есть значение постоянной функ-
функции 1 в точке г = г);
(III) если 0<8<1г, то
lim sup |Pr(&)| = 0.
r->I |8| > 8
Действительно, если 5.<|Ь|<it, то

54 Гл. 3. Функции в единичном круге
Теорема. Пусть / — комплекс позначна я функция
в LP на единичной окружности, 1 <^/? < оо. Определим f
в единичном круге по формуле
= -L J
Тогда расширенная функция f гармонична в открытом
круге, а при г —> 1 функции fr(b)=zf(relu) сходятся
к f no Lp-норме. Если f непрерывна на единичной окруж-
окружности, то fT сходятся к f равномерно; таким обра-
образом, расширенная функция f непрерывна в замкнутом
круге и гармонична внутри него.
Доказательство. Так как [Рг] — аппроксимативная
единица, то доказательства //-сходимости и равномерной
сходимости в точности такие же, как и соответствующие
доказательства о чезаровских средних. Единственное сущест-
существенное отличие состоит в том, что мы рассматриваем также се-
семейство функций j/rj как гармоническую функцию в откры-
открытом круге. Убедиться в гармоничности этой функции можно
различными способами. Один из них — заметить, что если
исходная функция / вещественна, то функция f (reib) есть
вещественная часть аналитической функции
я
1
Теорема. Пусть f — ограниченная бэровская функ-
функция на единичной окружности и
= _L J f{t)Pr{b-t)dt.
Расширенная функция f—ограниченная гармоническая
функция в открытом круге, и при /¦—>1 функции
fr{$) = f(relb) сходятся к f в слабой топологии Z.00.
Доказательство. Этот факт — следствие того, что
[Рг] — аппроксимативная единица.

Граничные значения ЬЪ
Теорема. Пусть ^ — конечная комплексная бэровская
мера на единичной окружности и
с
Тогда / гармонична в открытом круге и мери
сходятся к jj, в слабой топологии пространства мер.
Во всех рассмотренных выше случаях представляется
более удобным говорить, что гармоническая функция f (re19)
есть интеграл Пуассона соответствующей функции или меры
на окружности. Это избавит нас от лишних слов при повто-
повторении такого процесса. Так же, как мы это делали при
рассмотрении "езаровских средних, спросим теперь: если
дана гармоническая функция в круге, как нам определить,
является ли она интегралом Пуассона функции некоторого
типа или меры на единичной окружности? Если / гармо-
гармонична, то
f(reib)= 2 cnr\niela*,
п= —со
так что вопрос на самом деле состоит в следующем: когда
[сп] есть последовательность коэффициентов Фурье функции
какого-либо типа или меры? Ответ, конечно, имеет ту же
форму, что и в случае чезаровских средних (см. теорему
на стр. 42), и доказательство такое же.
Теорема. Пусть f — комплекснозначная гармони-
гармоническая функция в открытом единичном круге и
(I) Если 1 < р -^ оо, то f есть интеграл Пуассона
функции из У на единичной окружности тогда и
только тогда, когда функции /г ограничены по L"-
норме.
(II) Функция f есть интеграл Пуассона интегри-
интегрируемой функции на окружности тогда и только тогда,
когда ft сходятся по V-норме.

56 Гл. 3. Функции в единичном круге
(III) Функция f есть интеграл Пуассона непрерыв-
непрерывной функции на единичной окружности тогда и только
тогда, когда fr сходятся равномерно.
(IV) Функция f есть интеграл Пуассона конечной
комплексной бэровской меры на окружности тогда и
только тогда, когда fr ограничены по D-норме.
(V) Функция f есть интеграл Пуассона конечной
положительной бэровской меры тогда и только тогда,
когда f неотрицательна.
Следует сделать несколько замечаний по поводу разных
частей этой теоремы. Часть пункта (I) об L00 часто называют
теоремой Фату. Интересным является тот факт, что всякая
ограниченная гармоническая функция в круге есть интеграл
Пуассона ограниченной бэровской функции на окружности.
Утверждение пункта (V) часто называют теоремой Герглотца:
всякая неотрицательная гармоническая функция есть интеграл
Пуассона положительной меры. Следует заметить, что в лю-
любом из рассмотренных выше случаев гармоническая функция /
вещественна тогда и только тогда, когда вещественна соот-
соответствующая 1р-функция или мера.
Теорема Фату
Многочисленные результаты для гармонических функций,
полученные нами, полностью аналогичны нашим прежним ре-
результатам, для чезаровских средних. Действительно, на эти
результаты можно смотреть просто как на другой способ
суммирования ряда Фурье (суммирование по Абелю). Одна
из теорем о суммировании по Чезаро—мы ее не доказывали —
есть теорема Лебега: если / интегрируемая на [—it, it]
функция, то чезаровские средние ряда Фурье для / сходятся
к / поточечно почти всюду. Этот результат имеет аналог
при суммировании по Абелю: если / расширить до гармо-
гармонической функции в единичном круге, то функции /г схо-
сходятся к / поточечно почти всюду. Это — теорема Фату, и
мы ее сейчас докажем.
Теорема (Фату). Пусть ja — конечная комплексная
бэровская мера на единичной окружности и f — гар-
гармоническая в единичном круге функция, определяемая

Теорема Фату 57
формулой
fir, &) =
Пусть Ьо — любая точка, где f* дифференцируема по
мере Лебега. Тогда
Mm / (г, К) = 2it I —Л (d0) — 2тг[)/ (Ьо).
г-»1 \«*/
Более того,
lim/(r, d) = 21ф.' (&,,),
когда точка г = re'8 стремится к eib° no любому пути
в открытом круге, не касательному к единичной окруж-
окружности.
Доказательство. Мера |* порождается комплексно-
значной функцией F ограниченной вариации на интервале
[—it, «]:
Теорема утверждает, что если F дифференцируема в точке Ьо,
то Wxa f{r, Ь) = 2-kF' (»„),
когда ле/в->е'&» вдоль любого некасательного пути, т. е.
f(z) стремится к производной F (или, что то же, jj.) по
нормированной мере Лебега. Для доказательства заметим
сначала, что справедливость теоремы очевидна в случае ле-
лебеговой меры (а, когда dp = d&. Поэтому без ограничения
общности мы можем (вычитая из dp кратное db) считать,
что f*(C) = O. Тогда функция F удовлетворяет условию
F (— it) = F (тг). Положим теперь
Р<Г- *> = i J Pr(b-f)F(t)dt.
— V
Тогда
it
^_ J p'rib~
1

58 Гл. 3. Функции в единичном круге
К/С. ») = i
Докажем сначала радиальную сходимость, так как ее дока-
доказательство проще; имеем
тс 1С О
О -ТС
О
= f P'r
Так как Рг — четная функция, то
2^f(r. »)-аГ J Kr(f)'- 2Ш dt'
где
Теперь легко проверить, что [Кг\, 0 <а<1,—аппрокси-
<а<1,—аппроксимативная единица в L1. Если Z7 дифференцируема в точке 8„
то функция
a it\ —
и {I) —
непрерывна в точке t = 0 и имеет в этой точке значение
G@) = lim
/->о
Так как \КГ\ — аппроксимативная единица и О непрерывна
в точке 0, то
1С
lim ±- f (л %) = lim J- Г Kr (t) G if)dt =G @) = F' (Ьо).

Теорема Фату 59
Теперь докажем сходимость по некасательным направле-
направлениям. Пусть мы имеем дугу в круге, которая подходит
к точке elb\ не касаясь окружности. Это означает, что мы
имеем две непрерывные функции г —г (а), Ь = Ь(а), опре-
определенные при 0-^а^С1. такие, что 0^г(а)<1 при 0^
<^а<1, аA)=1, &A) = &о. Без ограничения общности
можно считать, что &0 = 0. Так как дуга не касается окруж-
окружности, то функция
0(
ограничена при <х<1. Пусть
K.<f) = *ntPrfi-f) {,er(e)#
так что
Мы можем также предполагать, что F @) = 0, так как этому
условию можно удовлетворить, вычитая постоянную из F,
что не меняет ни dp, ни условия периодичности F(—тс) =
*=F(k). Тогда
Докажем теперь, что функции Ка удовлетворяют следую-
следующим условиям:
тс
(I) Г \Ka{t)\dt ограничены при а->-1;
(II) lim^ [ Ka(t)dt=l;
(III) Если 0 < S < тг, то
lim sup |^(^)|=:
Условие (III) легко проверить, так как
• sin (t —
2rsintsin(t — b) p a
— 2rcos(& — t) + r* ' r( ~t}>

60 Гл. 3. Функции в единичном круге
и если I^l^-S, то при Ь, близких к нулю, sintPr(b — t)
мало при г, близких к 1. Условие (II) вытекает из соотно-
соотношения
^ f sintPr(b—t)dt=± f
Именно при проверке условия (I) используется некасатель-
ность дуги:
ТС Х
—« —*
к it
<|sin»| -~ J\p'r(t)\dt + ^ f \sintP'r(t)\dt.
—« -«
Так как sin tP'r(t) есть аппроксимативная единица, то
второй интеграл ограничен при г->1. Имеем также
--I- f\P'r(t)\dt =
—n
0
= |sin&|I
о
—«
=v I sin & I [t=7 ~ TT7J "
Так как отношение |&|/A—г) ограничено на нашей дуге,
то мы делаем вывод, что интегралы Г|/С„| ограничены при
Используя эти три свойства функций Ка, ны заканчиваем
доказательство. Положим

Теорема Фату 61
Тогда
^ -/(а)/"@)=:^. / G(t)Kt(t)dt.
Так как О непрерывна в нуле со значением G @) = 0, то
при достаточно малых 8 интеграл
-6
мал в силу условия (I) на Кл. Далее, интегралы
ОАГ.
\t\>b
малы в виду условия (III). Так как lim/(a) = l, то
«-и
2*
Это завершает доказательство.
Следствие. Пусть f — интегрируемая по Лебегу
функция на единичной окружности. Тогда интеграл
Пуассона функции f имеет предел по некасательным
направлениям почти во всех точках единичной окруж-
окружности, и эти пределы почти всюду равны f . Более
общо, интеграл Пуассона конечной меры р. имеет пре-
пределы по некасательным направлениям, равные почти
всюду производной меры р относительно нормирован-
нормированной меры Лебега.
Доказательство. Пусть |а— конечная (комплексная)
бэровская мера на окружности и dp = •»- / d& -)- d\xs — раз-
разложение Лебега для р. Тогда ja дифференцируема почти
rfu. 1 , л
всюду и -jr — 9^"/ почти всюду. Остается лишь применить
теорему Фату.
Следствие. Пусть f — комплекснозначная гар-
м нич еская функция в единичном круге, и пусть

62 Гл. 3. Функции в единичном круге
интегралы
тс
f
ограничены при г->1 для некоторого р, 1
Тогда для почти всех 9- радиальные пределы
г-И
существуют и определяют функцию f в Lp на окруж-
окружности. Если р > 1, ото / ес/я& интеграл Пуассона функ-
функции f. Если р = \, то f есть интеграл Пуассона (един-
(единственной) конечной мери, абсолютно непрерывная часть
которой равна ^г / db. Если /—ограниченная гармо-
гармоническая функция, то граничные значения существуют
почти всюду и определяют ограниченную измеримую
функцию /, интеграл Пуассона которой равен /.
Конечно, в последнем следствии пределы по некасатель-
некасательным направлениям существуют так же, как и по радиусу.
Обратим внимание еще на одно
Следствие. Неотрицательная гармоническая функ-
функция в единичном круге имеет пределы по некасатель-
некасательным направлениям почти в каждой точке единичной
окружности.
Из различных теорем, полученных выше, вытекает сле-
следующее. Пусть 1 ^ р ^ оо; рассмотрим класс таких гармо-
гармонических функций / в открытом круге, что функции /г Ф) =
=/(г?'8) ограничены по ?р-норме. Этот класс гармонических
функций образует банахово пространство с нормой
При 1 <Ср^.со это банахово пространство изоморфно про-
пространству W на окружности. Этот изоморфизм устанавли-
устанавливается соответствием /->/, где /—граничная функция
для /. Если 1 < р < оо, то мы имеем не только соотноше-
соотношение
11/11,-"Ч1/,И,.

Пространства Н* 63
но также и соотношение
При р = 1 это банахово пространство изоморфно простран-
пространству конечных (бэровских) пер на окружности, причем изо-
изоморфизм осуществляется соответствием /->{*, где / — инте-
интеграл Пуассона меры [а.
Пространства №
Наши результаты для гармонических функций применимы,
в частности, к аналитическим функциям. Если 0</>^оо,
то мы обозначаем через Нр (Н в честь Харди) класс анали-
аналитических функций / в единичном круге, для которых функ-
функции fr(b) = f{rem) ограничены по /,р-норме при г->1.
Если 1 -^ р ^ оо, то Нр— банахово пространство с нормой
т. е. Нр— замкнутое подпространство соответствующего
пространства гармонических функций. Если 1 < р ^ со, то
мы можем отождествить Нр с замкнутым подпространством Lp
на окружности. Это пространство мы также будем, в виду
изоморфизма, обозначать через Нр. Оно состоит из всех
функций / в Lp, интегралы Пуассона которых аналитичны
в круге, т. е. всех таких функций / в Lp, что
= O, /1=1,2,3
Если jt7=l, то мы получаем отождествление//1 с замкну-
замкнутым пространством конечных мер jx на окружности, кото-
которые „аналитичны":
= 0, n— 1,2,3
Именно здесь обнаруживается очень существенное различие
между гармоническим и аналитическим случаями. Теорема
Ф. и М. Риссов утверждает, что всякая мера jj., аналитическая

64 Гл. 3. Функции в единичном круге
в указанном выше смысле, с необходимостью абсо-
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Эта теорема
позволяет нам отождествить Н1 с пространством интегрируе-
интегрируемых по Лебегу функций на окружности, таких, что
J
/1=1,2,3,
Нашей следующей задачей, таким образом, будет доказа-
доказательство теоремы Ф. и М. Риссов вместе с некоторыми при-
примыкающими к ней результатами.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Основные факты об аналитических и гармонических функциях
можно иайти в книге Титчмарша [77], .Альфорса [2] и во многих
других местах. Более подробно о задаче Дирихле см. книгу Ку-
Куранта [44]. Теорему Фату см. в [80]. Различные результаты о гра-
ннчных значениях можно найти в книгах Зигмунда [35], Эванса [95],
Бибербаха [8], Неванлинны [59] и Привалова [63]. Об аналитических
функциях см. работы Ф. Рисса [66] и Ф. и М. Риссов [67].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если функция / гармонична и функция zf(z) тоже гармо-
гармонична, то / аналитична.
2. Если {е„}—ограниченная последовательность, то функция
оо
f{r, »)= 2 V1^"8
Л« —оо
гармонична в круге.
3. (а) Проверить, что функция Рт (&) гармонична.
(б) Если функция и гармонична и 0<и(г, 9)<Pr(S), то
и (г, 8) = ХРГ (8) с некоторой постоянной X.
(в) Множество всех неотрицательных гармонических функ-
функций в единичном круге, равных 1 в начале координат, выпукло.
Каковы крайние точки этого множества?
4. Пусть /—аналитическая функция в единичном круге, не имею-
имеющая нулей, и |/|< 1. Доказать, что
sup 1/(г)|2< inf |/(г)|.
UK'/, UI<V,
5. Пусть v — гармонически сопряженная к вещественной гар-
гармонической функции и в круге функция, равная нулю в нуле.

Упражнения 65
Является ли отображение ur -> vr непрерывным по sup-норме? по
L'-норме?
6. Для вещественной гармонической функции и следующие
условия эквивалентны: (I) и есть разность двух неотрицательных
гармонических функций; (II) L'-нормы функций и, (&) = и (г, &)
ограничены.
7. Дать пример аналитической функции в круге, которая не
принадлежит ни одному классу Нр, но имеет пределы по некаса-
некасательным направлениям почти во всех точках единичной окружности.
8. Дать пример аналитической функции в круге, которая не
имеет пределов по некасательным направлениям почти во всех
точках единичной окружности.
9. Доказать, что множество всех аналитических функций
в единичном круге, для которых
= f J\/(z)\*dxdy<co,
есть гильбертово пространство с нормой N(f). Доказать, что Н*
есть (линейное) подпространство этого гильбертова пространства.
Плотно ли Н2 в нем? Найти ортогональный базис в этом гильбер-
гильбертовом пространстве.
10. Доказать теорему Герглотца: всякая аналитическая функция
в единичном круге со значениями в правой полуплоскости, такая.
что /@) > 0, имеет вид
где (а — конечная положительная мера на единичной окружвости.
Множество всех /, аналитических в круге | г | < I и удовле-
удовлетворяющих условиям Re/>0 и /@) = 1, выпукло. Каковы крайние
точки этого выпуклого множества?
11. Пусть и — вещественная гармоническая функция в круге,
определенная некоторой конечной вещественной мерой на окруж-
окружности. Доказать, что сопряженные гармонические функции v имеют
пределы по некасательным направлениям почти во всех точках
окружности.
12. Показать, что теорема Фату может быть распространена и
на следующий случай. Если /—вещественная интегрируемая функ-
функция на единичной окружности н если 90 — такая точка, что
lim /(») = + оо, то
lim / (г, »„) = + оо.
1
5 Зак. 1057.

Глава 4
ПРОСТРАНСТВО ff
Подход Хельсона — Лоуденслегера
Большинство теорем этой главы обобщается на некото-
некоторый класс функциональных алгебр — так называемых алгебр
Дирихле. Мы. будем давать доказательства для случая еди-
единичного круга, но таким образом, что они переносятся на
общий случай. Обобщения эти будут даны позже. Может
случиться, что эти доказательства не всегда будут кратчай-
кратчайшими из возможных в классическом случае круга; однако их
отличает несомненное изящество. Несколько приводимых
ниже доказательств принадлежит Хельсону и Лоуденслегеру.
Обозначим через А набор функций, непрерывных в зам-
замкнутом единичном круге и аналитических в каждой внутрен-
внутренней его точке. Тогда А — равномерно замкнутая линейная
алгебра непрерывных комплекснозначных функций на зам-
замкнутом круге. В частности, А — банахово пространство
с sup-нормой:
II/IL= sup
\г\<\
Каждая функция / из А представима, конечно, как интеграл
Пуассона своих граничных значений:
it
/(„><»)= _L ff(e")Pr(b-t)dt.
— 1С
Имеем также
||/||co = SUP|/(*«)|.
Это немедленно вытекает из принципа максимума модуля для
аналитических функций. Или, если угодно, этот факт (т. е.
принцип максимума модуля для функций из А) можно вы-
вывести прямо из формулы Пуассона. Таким образом, мы мо-

Подход Хельсона — Лоуденслегера 67
жем отождествлять функции из Л с их граничными значениями;
при этом получается изоморфизм между Л и банаховым про-
пространством непрерывных функций на окружности, таких, что
= O, /г=1, 2, 3
Эта алгебра непрерывных функций также будет обозначаться
через А. Тригонометрические многочлены вида
/>(»)= 2«*
,ikb
лежат в Л и равномерно плотны в Л. Это вытекает, напри-
например, из того факта, что если функция / непрерывна на
окружности и ее коэффициенты Фурье с отрицательными
индексами равны нулю, то чезаровские средние ее ряда
Фурье образуют последовательность тригонометрических
многочленов указанного выше вида, сходящуюся равномерно
к функции /. Последнее соответствует тому факту, что А
как алгебра на круге состоит из всех функций, которые
могут быть равномерно аппроксимированы многочленами от z,
/>(*) = 2 akzK
ft = 0
То свойство алгебры А (на окружности), о котором мы хо-
хотим сказать, есть не что иное, как теорема Фейера в сле-
Д)ющей форме.
Теорема. Вещественные части функций из А равно-
равномерно плотны в пространстве вещественных непрерыв-
непрерывных функций на единичной окружности. Другими сло-
словами, если [а — конечная вещественная бэровская мера
на окружности, такая, что f/ф = 0 для всех функ-
функций f из А, то [J. — нулевая мера.
Доказательство. Среди вещественных частей функ-
функций из А находятся все тригонометрические многочлены вида
km-tl
б*

68 Гл. 4. Пространство Н1
т. е. все вещественные тригонометрические многочлены.
Если функция / вещественна и непрерывна на окружности,
то все чезаровские средние для / суть многочлены такого
вида. Следовательно, такие многочлены плотны в простран-
пространстве вещественных непрерывных функций.
Если [а - конечная вещественная мера на окружности,
„ортогональная" ко всем / из А, то jx ортогональна к веще-
вещественной части каждой функции / из А. Поэтому jj. орто-
ортогональна ко всем вещественным непрерывным функциям и
должна быть нулевой мерой.
Следствие. Если jj. — конечная вещественная мера
на окружности, такая, что Г / dp = 0 для всех f из А,
равных нулю в нуле, то [а есть кратное мери Лебега.
Доказательство. Положим
jx и ф, = dp — ~X db.
Тогда jxj—вещественная мера, ортогональная ко всем f?A,
Таким образом, имеем
1*, = 0 и dp = ~Xdb.
Далее некоторое время все наши рассуждения будут
вестись для единичной окружности. Тогда А, Н2 и т. д.
будут пространствами функций на единичной окружности.
Одна из теорем, которые мы докажем, — упоминавшаяся
ранее теорема Ф. и М. Риссов: „аналитическая" мера на еди-
единичной окружности абсолютно непрерывна относительно меры
Лебега. Мы докажем также теорему Сегё; утверждение этой
теоремы состоит в следующем. Пусть дана конечная поло-
положительная мера [а на окружности; мы хотим узнать в гиль-
гильбертовом пространстве L2(dp) расстояние от постоянной
функции 1 до подпространства, порожденного функциями
из Л, равными нулю в нуле, т. е. мы хотим вычислить
inf j\ I — f\2dp,

Подход Хельсона — Лоуденслегера 69
Нас будет особенно интересовать характеристика мер [а, для
которых эта нижняя грань равна нулю, т. е. мер, для ко-
которых функция 1 лежит в замкнутом подпространстве L2(d\>.),
порожденном функциями «'"*, п]>1. Теорема Сегё утвер-
утверждает, что квадрат расстояния (нижняя грань, написанная
выше) равен
~logA(»)d» ,
где h — производная меры [а по нормированной мере Лебега:
d\x. — -=- h db -\- dps, мера \>,s сингулярна.
В частности, это расстояние зависит лишь от абсолютно
непрерывной части меры [а. В действительности, Сегё дока-
доказал формулу для расстояния в случае абсолютно непрерыв-
непрерывных мер, а Колмогоров и Крейн распространили ее на общий
случай.
Наш план таков. Мы начнем с теоремы Сегё и полу-
получим один предварительный результат. Этот результат будет
использован для доказательства теоремы Риссов. Затем мы
вернемся к теореме Сегё и закончим ее доказательство.
Обозначим через Ао множество функций f?A, таких,
что Г /rfft —0. Если мера [а положительна, то нас интере-
интересует расстояние в L2{dy) от 1 до Aq. Квадрат этого рас-
расстояния равен
/С
| 1 — /12 rfji. = I | 1 — F |2 d[A,
где F — ортогональная проекция 1 на замкнутое подпро-
подпространство в L2(d\>.), порожденное функциями из Ао.
Теорема. Пусть [а — конечная положительная бэ-
ровская мера на окружности и 1 не лежит в замкну-
замкнутом подпространстве L2 (dp), порожденном функциями
из Ао. Пусть F—ортогональная проекция 1 на это
замкнутое подпространство.
A) Мера |1—F\2d\L есть ненулевое кратное меры
Лебега. В частности, мера Лебега абсолютно непре-
непрерывна относительно меры р.

70 Гл. 4. Пространство Н1
(II) Функция (I — /7) ' лежит в Н2.
(III) Если h — производная меры у. относительно нор-
нормированной меры Лебега, то функция A — F) h лежит
в пространстве
Доказательство. Пусть 5 — замкнутое подпростран-
подпространство L2(d\>.), порожденное функциями из Ао. Так как F—
ортогональная проекция 1 на 5, то функция A — F) орто-
ортогональна к S, т. е. A—F) ортогональна к Ло. Но A—F)
ортогональна также к функции A—F) f при любой /?Л0,
так как F есть предел в L2(dp) последовательности элемен-
элементов /п из Ао, а если / — фиксированный элемент Ао, то
функции /A—/„) лежат в Ло и сходятся к /A—F).
Утверждение, что A — F) ортогональна к A — F)f при всех
/ ? Ао, означает, что
Следовательно, мера |1—F\2d\>. есть кратное меры Лебега.
Множитель кратности отличен от нуля потому, что 1 — F Ф 0,
т. е. 1 не лежит в 5. Тем самым доказано (I).
Для доказательства (II) заметим, что
и, если через \>.а обозначена абсолютно непрерывная часть \х,
то
rf|ie = |I— F\~2kdb;
этим доказано, что функция A — F)'1 лежит в L2 =
~ L2 \2к а^) ' ПУСТЬ /6 Ао> тогда
= k J(l — 7)f\ 1 —
ввиду того, что A — F) ортогональна в L2(d\>.) к /. Так
как это условие выполнено для всех функций / из Ло

Подход Хельсона — Лоуденслегера
(в частности для /(Ь) = еш, я=1, 2, 3, ...), то функция
A — FT1 лежит в Я2.
Для доказательства (III) положим d(j.=-~— hd% -(- dps,
мера \>.s сингулярна. Так как мера |1—F\2d\>. есть кратное
db, то функция A—F) равна нулю почти всюду относи-
относительно меры [Aj. Поэтому
|l_,F|2d I \\—f\2hd§.
Но |1—F\2d\>. = kd%, так что |1—F\2h равно ненулевой
постоянной р почти всюду относительно db. Но тогда
и так как |1—F\~l лежит в I2/-^—rf^Ji то и A—F) h
лежит в этом пространстве.
Следствие 1. Если [а— положительная мера на
окружности с абсолютно непрерывной частью [ха, то
inf Г|1-/|2ф= inf
В частности, для любой сингулярной меры \х. функция 1
лежит в замыкании Ло по норме L2(d\>.).
Доказательство. Пусть F — ортогональная проек-
проекция 1 на замыкание Ло ио норме L2(d\>,). Квадрат расстояния
от 1 до Ао в L2(d\}.) тогда равен Ml—F\2d\>.. Как отме-
отмечалось при доказательстве теоремы, функция A —F) обра-
обращается в нуль почти всюду относительно сингулярной части
меры \>.. Если рассматривать F как элемент L2(d\>.a), то F
лежит в замыкании Ао в этом пространстве. Более того,
так как A — F) обращается почти всюду относительно d\>,s
в нуль, то легко видеть, что A—F) ортогональна к Ао
в Z,2(d[Aj). Таким образом, A—F) является минимизирующей
функцией также и для меры \>.а, и доказательство закончено.
Следствие 2. Пусть [J. — конечная комплексная
бэровская мера на окружности, ортогональная к Ао,
т. е. Г/ф = 0 для всех f(z\. Тогда абсолютно

72 Гл. 4. Пространство Нх
непрерывная и сингулярная части р. порознь ортогональны
к Ао.
Доказательство. Пусть р — любая конечная поло-
положительная мера с двумя следующими свойствами:
(I) р. абсолютно непрерывна относительно р и производ-
производная Радона—Никодима dp/dp ограничена;
Если dp = -=- h db -\- dps, то одной из таких мер будет мера
где d | jis | — полная вариация комплексной меры ps. Вместо
d | (Aj | можно воспользоваться суммой полных вариаций веще-
вещественной и мнимой частей ps.
Пусть / ? Ао. В силу свойства (II) меры р имеем
Если F — ортогональная проекция 1 на замкнутое подпро-
подпространство L2(dp), порожденное Ло, то
По теореме, A—F)'1 ?Н2, и так как A — F)h?L2, то
A — F)(l + |h|) лежит в L2 = L2^~\
Пусть g?A0; тогда
Действительно, выберем последовательность элементов /я ^ Ао,
сходящуюся к F в L2(dp). Так как ф/йр ограничена, имеем
((l-F)gdV.= lim ({l—f
Все функции A — /„) g" лежат в Ао, и так как мера ц. орто-
ортогональна к Ао, то

Подход Хельсона — Лоуденслегера 73
Далее, A—F) равна нулю почти всюду относительно син-
сингулярной части меры р, и потому равна нулю почти всюду
относительно dy.s. Таким образом,
и мы имеем
Пусть gn — последовательность элементов из А (не Ао),
сходящаяся к A—F)~l в Z/M-g—d&J. Мы чожем найти та-
такую последовательность, так как A—Fy1 ?H2. Тогда для
всех / ? Ао
Так как A—F)h?L2 и gn сходится в L2 к A —F) \ то
можно перейти к пределу по п. и мы получаем
fhdb — 0 для всех / ? Ао.
Это доказывает, что абсолютно непрерывная часть р орто-
ортогональна к Ао.
Теорема (Ф. и М. Риссы). Пусть |х — конечная
комплексная бэровская мера на единичной окружности,
такая, что
f
= 0. n=\, 2, 3
Тогда мера р. абсолютно непрерывна относительно мери
Лебега.
Доказательство. Мы предполагаем, что мера р
ортогональна к Ао. Если р. = р.а -(- \i.s, где рв — абсолютно
непрерывная часть, а |а5 — сингулярная, то по следствию 2
обе меры [Аа и ps ортогональны к Ао. Рассмотрим сингу-
сингулярную меру ]xs. В силу следствия 1 можно найти последо-
последовательность функций /„ из Ао, сходящуюся к 1 в L2 по поло-
положительной сингулярной мере |J

74 Гл. 4. Пространство Я1
Так как р.5 ортогональна к Ао, то
Поэтому [as ортогональна также и к 1. Сингулярная мера
e~®d\>.s тогда ортогональна к Ло; следовательно, она орто-
ортогональна к 1, т. е.
Тогда e~w* djjbs ортогональна к Ао и потому ортогональна
к 1. Повторяя этот процесс, мы получаем, что
Ге1пЬdps(&) = 0, я = 0. ±1, ±2, ...
и мера \>.s должна быть нулевой мерой. Тем самым, наша
исходная мера р. абсолютно непрерывна.
Теорема Сегё
Теперь мы закончим доказательство теоремы Сегё. Мы
сведем задачу к тому, что для абсолютно непрерывной поло-
положительной меры d\i =-н- h db квадрат расстояния [в L2(d\>.)]
от 1 до Ао равен
ехр
_ ~тс
Для этого мы докажем сначала следующую теорему.
Теорема. Пусть h — любая неотрицательная инте-
интегрируемая по Лебегу функция на единичной окружно-
окружности. Тогда
ехр
Левую часть следует считать равной нулю, если функ-
функция \ogh(b) неинтегрируема.
Доказательство. Так как logh ограничен сверху
неотрицательной интегрируемой функцией h, то log h неинте-
^- flog A (ft)rfft =infJ- [
_ -Я J -It

Теорема Ceil 75
грируем лишь в том случае, когда
Г log hdb = — со.
Но независимо от того, интегрируем ли log А или нет, вы-
выполняется неравенство
Если Л— простая функция, то это хорошо известное нера-
неравенство между средним арифметическим и средним геоме-
геометрическим конечного набора положительных чисел. Это
неравенство мы применим к функции he8, где g — любая
вещественная интегрируемая функция. Если функция g такова,
что С gdft — 0, то неравенство принимает вид
В частности, оно выполняется, если ? = Re/, /?Л0. Таким
образом, мы имеем
где g =
Нетрудно видеть, что две последние нижние грани равны.
Функции Re/, f?A, плотны среди вещественных непрерыв-
непрерывных функций, и, следовательно, плотны среди вещественных
^.'-функций. Поэтому функции Re/, /?Л0, плотны среди
тех вещественных ^-функций, для которых I gdb = 0. Это
еще не доказывает равенства двух нижних граней, так как
при переходе к показательной функции возникают некоторые
трудности. Они могут быть преодолены следующим образом.
Если g — вещественная ^-функция, такая, что fg"d& —О,
то можно найти такую последовательность вещественных функ-
функций gn ?i°°, что \ gndb = Q и gn монотонно сходятся к g.
Ввиду монотонной сходимости ясно, что значение нижней

76 Гл. 4. Пространство Я1
грани одно и то же, как для класса вещественных ^-функ-
^-функций, так и класса вещественных ^.'-функций. Но каждая ве-
вещественная ?°°-функция равна почти всюду поточечному
пределу некоторой ограниченной последовательности функ-
функций из Re Л. Далее, по теореме Лебега, нижняя грань будет
одной и той же для вещественных ?°°-функций и для функ-
функций из Re A.
Теперь мы хотим получить обратное неравенство. Пред-
Предположим сначала, что log А интегрируем. Пусть
и пусть g = \—log А. Тогда g вещественна, лежит в D и
f gdb = 0. Имеем также
Таким образом, нижняя грань достигается на функции g и
неравенство превращается в равенство.
Если log h неинтегрируем, то для любого е > 0 функция
og(A-f-e) интегрируема, так что
exp [^ f log (A + е) d J = М^ ~[(h + t) e^fdb.
Устремляя е к нулю, мы получаем утверждение теоремы.
Теорема (Сегё, Колмогоров — Крейн). Пусть
(л — конечная положительная бэровская мера на еди-
единичной окружности и А—ее производная относительно
нормированной меры Лебега. Тогда
— /|2d,i==exp ^ f
\og h(b)db
Г?А> ' " ....
Доказательство. В силу последней теоремы
[-J- Г log hdb] = inf 4" Г,

Теорема Сегё 77
Далее, e2Res= \е«\2. Если g?A0, то функция ее имеет вид
ее — 1 — /, /? Ло, так что e2Re? = 11 — /|2. Таким образом,
Мы получим теперь обратное неравенство, применяя послед-
последнее неравенство к различным функциям h. Пусть g
положим Л—|1—g\2. Тогда неравенство примет вид
± f |i -/-
>
В частности, функция log-11 —g\2 интегрируема по Лебегу и
Следовательно,
где р — вещественная i'-функция, такая, что \ pdb = 0,
а постоянная k^-U Поэтому, если вернуться к исходной
функции h, то мы имеем
f inf -^
Переходя к нижней грани по g, получаем
inf i/l1-
В следствии 1 было доказано, что нижняя грань равна
inf Г|1_/|2ф.
/ел-'
Это завершает доказательство теоремы.
Конечно, в последней теореме Ао можно заменить семей-
семейством многочленов, обращающихся в 0 в начале координат.
Непосредственным следствием теоремы Сегё является утвер-
утверждение о том, что замкнутая линейная оболочка функций е1пй,

78 Гл. 4. Пространство #'
л^>1, в L2(d\>.) содержит постоянную функцию 1 тогда и
только тогда, когда
Как легко видеть, это эквивалентно уверждению о том, что
эти функции порождают все пространство L2(d\>.).
Завершение рассмотрения пространства Н1
Напомним, что пространство Нр определялось как класс
аналитических функций / в открытом единичном круге, для
которых функции fr (Ь) — / (ге1Ъ) ограничены в ?р-норме.
При 1 < р <^ оо мы смогли без труда отождествить Нр
с пространством таких //-функций на окружности, что
= O, я=1, 2, 3
При этом испельзовалась только гармоничность функций
из Нр. При /> — 1 тот факт, что функция / из И1 гармо-
гармонична, позволил нам отождествить функцию / с конечной
мерой р. на окружности (/ — интеграл Пуассона меры р.).
Тот факт, что / аналитична, говорил нам о том, что мера р
„аналитична", т. е.
=iO, я = 1, 2, 3
Теперь у нас есть теорема Ф. и М. Риссов, утверждаю-
утверждающая, что tf[i. = у- fdb, где f^L1, и, конечно, / есть инте-
интеграл Пуассона функции /. Функции /г сходятся к / по L1 -норме,
и предельнее соотношение для некасательных направлений
/(*)= lim /С?)
выполнено почти при всех 6. Так что теперь мы можем
отождествить Я1 с пространством ^.'-функций на окружности,
которые „аналитичны" точно так же, как это делалось для
пространств Нр, /> > 1.
Мы хотим теперь установить несколько частных свойств
#р-функций на окружности, в частности тот факт, что если
/^Я1, то log|/(&)| интегрируем по Лебегу.

Завершение рассмотрения пространства Н{ 79
Теорема. Пусть f — любая функция из Я1, удо-
удовлетворяющая условию
Тогда функция log|/(&)| интегрируема по Лебегу а
Доказательство. Предположим сначала, что / ? Я2.
Применяя теорему Сегё к мере у- \f\2db, мы получаем
Для g из Ло имеем
где />^Л0. Последний интеграл не меньше, чем |/@)|2.
Отсюда вытекает, что
Если / не лежит в Я2, то выберем последовательность
функций /„ в Я2 так, что /п@)==/@) и /„ сходится к /
в L1. Например, возьмем за /„ я-е чезаровское среднее ряда
Фурье для /. Тогда
|1ереходя к пределу, мы получаем желаемый результат.
О предельном переходе следует сделать несколько замечаний.
Если взять любое е > 0, то функции log(|/n| -f-s) будут схо-
сходиться к log(|/| + e) в L1 и к пределу можно перейти без
всяких трудностей:
Устремляя е к нулю, мы завершаем доказательство,

80 Гл. 4. Пространство №
Следствие. Для любой ненулевой функции f из Я1
функция log|/(&)| интегрируема, и
Доказательство. Мы можем представить / как функ-
функцию в круге в виде / (z) = z"g (z), где g(Q) Ф 0. Ясно, что g
тоже лежит в Я1 и |g"(^'*)| = \f(eib)\ почти всюду. Остается
применить теорему к функции g.
Следствие. Если f лежит в Я1, то f не может
обращаться в нуль на множестве положительной ле-
лебеговой меры на окружности, не будучи тождествен-
тождественным нулем.
Неравенство
есть просто обобщение неравенства Иенсена со случая ана-
аналитических граничных значений на случай интегрируемых
граничных значений. Мы рассмотрим в следующей главе рас-
распространение формулы Иенсена на разность некоторых двух
величин. Мы дадим другое доказательство интегрируемости
функции log |/| для / ? Я1, когда будем рассматривать алгебры
Дирихле. Это доказательство будет также распространено
на общий случай алгебры Дирихле и будет при этом проще,
так как оно не использует теоремы Сегё.
Отметим различие между последним следствием и поло-
положением в случае гармонических функций. Если / гармонична
в круге, и функции fr($) = f(re'9) ограничены в А'-норме,
то функция / имеет граничные значения по некасательным
направлениям почти во всех точках окружности. Эти гранич-
граничные значения суть производная относительно меры Лебега,
той меры, интегралом Пуассона которой является функция /.
Эти граничные значения могут равняться нулю почти всюду,
и это случается тогда и только тогда, когда мера, соответ-
соответствующая функции /, сингулярна. Но если / аналитична, то
некасательные граничные значения не могут равняться нулю
даже на множестве положительной лебеговой меры, кроме
того случая, когда / = 0.
Теорема. Всякая функция из И1 есть произведение
двух функций из Я2.

Завершение рассмотрения пространства Я1 81
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что /?Я' и /ф)Ф0. Тогда log|/| интегрируем,
и для положительной меры dp. = -=- |/1 db постоянная функ-
функция 1 не лежит в А2(й?[А)-замыкании Ао—'Совокупности не-
непрерывных Я'-функций, равных нулю в нуле. По первой
теореме этой главы почти всюду выполнено равенство
|/| = &|1— F\~2, где F— ортогональная проекция 1 на
?,2(й[А)-оболочку Ао, a k — ненулевая постоянная. По той же
теореме A—F)~l ?Я2 и A — F)f?L2. Без труда прове-
проверяется, что, так как /^Я1, то функция A—F) f лежит не
только в А2, но и в Я2. Поэтому возможна такая фактори-
факторизация функции /:
Теорема. Пусть А — неотрицательная интегрируе-
интегрируемая по Лебегу функция на окружности. Для того
чтобы А можно было представить в виде А=|/|2, где
/ — ненулевая функция из Я2, необходимо и достаточно,
чтобы функция log А была интегрируемой.
Доказательство. Если А—|/|2, где / — ненулевая
функция из Я2, то мы знаем, что log А интегрируем. С дру-
другой стороны, если log А интегрируем, то |А|=6|1—F\~2,
как в доказательстве предыдущей теоремы.
Эта теорема имеет и другое доказательство, использую-
использующее более специальные свойства круга.
Теорема. Пусть А— неотрицательная интегрируе-
интегрируемая функция на окружности. При этом А есть модуль
ненулевой Н1-функции тогда и только тогда, когда
log /г интегрируем. Если неотрицательная функция h (j A00,
то h — модуль ненулевой функции из Я°° тогда и только
тогда, когда log А интегрируем.
Доказательство. Оба утверждения доказываются
одним приемом. Предположим, что log А интегрируем. Положим
6 Зак. 1057.

82 Гл. 4. Пространство
Тогда функция / аналитична в круге и
1/1=*".
где и — интеграл Пуассона функции log А. Далее, имеем
±
те
= JL J еХр
Так как rffj. = -у Рг (& — f)«# — положительная мера с мас-
массой 1, то
t
ехр [и (/•«»)] = exp ^ J Я, (д — 0 log A @ dt <
1С
<^ JPr(b-t)h(t)dt
и, таким образом,
Поэтому /?W и
lim |/(re'»)| =!im ехр [и (ле'"9)] = А(»)
1 1
почти всюду. Если А ограничена, то эти оценки показывают,
что /?Нт, т. е. / — ограниченная аналитическая функция.
Алгебры Дирихле
Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и
Л —равномерно замкнутая комплексно-линейная алгебра не-
непрерывных комплекснозначных функций на X, содержащая
постоянные функции. Мы говорим, что Л — алгебра Дирихле,
если вещественные части функций из А плотны в смысле
равномерной сходимости на X в пространстве вещественных
непрерывных функций на X. Эта терминология принадлежит
А. М. Глисону. Конечно, мы только что имели дело с одним
примером алгебры Дирихле — алгеброй непрерывных функций
на единичной окружности, у которых коэффициенты Фурье

Алгебры Дирихле 83
с отрицательными индексами равны нулю. Вот еще один
пример. Пусть X — тор, т. е. произведение единичной окруж-
окружности на себя. С каждой непрерывной функцией / на X
можно связать двойной ряд Фурье
т, я
где коэффициенты Фурье стп определяются соотношениями
Удобно считать, что коэффициенты Фурье проиндексированы
по структуре целочисленных точек (/я, л) на плоскости. Если
5 — множество в этой структуре, то назовем его полупло-
полуплоскостью, если
(I) для любых целых чисел т, п одна и только одна
из точек (т, п) и (—т, —л) принадлежит S;
(II) для (т, п) и (т0, поу из 5 и сумма (т-\-т0, п-\-п0)
лежит в S.
Если 5 — полуплоскость точек структуры, то через А
обозначим множество всех непрерывных функций на торе,
коэффициенты Фурье которых равны нулю вне S. Тогда
А — алгебра Дирихле на торе. Некоторые полуплоскости
с очевидностью могут быть использованы для этого построе-
построения. Интересный пример получается, если взять иррациональ-
иррациональное число а и положить
5 = {(/и, л): т + ла^ 0}.
Другой пример (включающий оба предыдущих) получается
следующим образом. Пусть X — компактная абелева группа,
группа характеров X которой содержит такую подгруппу S,
что 5 „вполне упорядочивает" X, т. е.
(I) нуль (единица) группы X лежит в S;
(II) для любого ненулевого элемента у ? X либо у,
либо —у лежит в S, но не оба одновременно.
Пусть А — алгебра непрерывных функций на X, пре-
преобразование Фурье которых обращаются в нуль вне S. Тогда
А — алгебра Дирихле.
В 1958 г. в статье в „Acta Mathematica" Г. Хельсон и
Д. Лоуденслегер распространили большинство теорем этой
6*

84 Гл. 4. Пространство Я1
главы на случай группы, описанной в последнем примере.
Как мы отмечали раньше, большинство изящных доказательств,
приведенных нами, принадлежит им. Некоторые результаты
о рядах Фурье в случае нескольких переменных были полу-
получены Бохнером и другими. Арене и Зингер еще раньше пере-
перенесли некоторые факты теории функций комплексного пере-
переменного на случай групп. После появления статьи Хельсона—
Лоуденслегера Бохнер заметил, что их результаты обобщаются
на случай некоторых колец функций. По-видимому, наиболее
удобной общей формой при подходе к вопросам, рассмо-
рассмотренным в этих работах, являются алгебры Дирихле.
Пусть А — алгебра Дирихле на компактном простран-
пространстве X. Если [J. — конечная положительная бэровская мера
на X, то через Нр (dp) будем обозначать замыкание в W (d\f)
функций из А. Если X — окружность, г А — наш стандарт-
стандартный пример, то пространства Нр суть Нр = Нр i-~- dv\.
Специальное соотношение между алгеброй А и мерой -г;— db,
использованное нами, состоит в том, что эта мера мульти-
мультипликативна на А, т. е.
В общем случае алгебры Дирихле А мы выделяем любую
ненулевую положительную бэровскую меру m на X, которая
мультипликативна на А. Теперь мы перейдем к изучению
пространств Hp^=Hp(dm). Обозначим через Ао множество
функций / в А, таких, что f/dm = 0. Те же доказатель-
доказательства, что были проведены выше, позволяют получить сле-
следующие результаты.
A) Пусть [J. — положительная мера на X, такая, что 1
не лежит в замкнутом подпространстве L2(d\i), порожден-
порожденном Ао. Пусть F — ортогональная проекция 1 на это под-
подпространство. Тогда мера II — F\2d\L есть ненулевое кратное
меры dm; функция A—F)~ лежит в Н2 (dm), и если h=dp/dm,
то функция A — F)h лежит в L2(dm).
B) Если [J. — положительная мера на X и d]xa=(d^ldm) dm,
inf f |l_/|2d|l= inf f |l_

Алгебры Дирихле 85
В частности, если мера (J. взаимно сингулярна с мерой т,
то 1 лежит в замкнутом подпространстве L2(d\>.), порожден-
порожденном Ао.
C) Если [J. — конечная комплексная мера на X, ортого-
ортогональная к Ао, то абсолютно непрерывная и сингулярная части
меры (J. (относительно т) порознь ортогональны к Ао.
D) Если [а — положительная мера на X, то
E) Если / — функция из Hl(dm), такая, что Г
то функция log |/| интегрируема по мере т и
F) Всякая функция / ? Hl (dm), для которой Г / dm Ф О,
есть произведение двух функций из H2(dm).
G) Пусть h—неотрицательная функция в Z.1 (dm). Функ-
Функция h представима в виде Л=|/|2, где f?H2(dtn) и
Г / dm Ф 0, тогда и только тогда, когда log h ? Z.1 (dm).
Стоит сделать несколько замечаний. Утверждение D) го-
говорит о том, что теорема Сегё справедлива для алгебр Дирихле.
С другой стороны, теорема Ф. и М. Риссов обобщается
в различных формах со случая окружности. Мы установили,
что если мера (J. ортогональна к Ао, то абсолютно непре-
непрерывная и сингулярная части (J. тоже ортогональны к Ао, и
что всякая сингулярная мера, ортогональная к Ао, ортого-
ортогональна также к 1. Вот здесь общее утверждение уже неспра-
несправедливо. Классический результат был получен потому, что
мы могли сдвигать сингулярную меру на окружности и прий-
прийти к выводу, что она равна нулю. В общем случае алгебр
Дирихле существуют ненулевые меры, ортогональные к Ао
и взаимно сингулярные с т (см. упражнение 11).
Интегрируемость логарифма ненулевой Я'-функции не
имеет места для произвольной алгебры Дирихле. Мы имеем
log I f fdm < Г log |/| dm,

88 Гл. 4. Пространство Я1
так что log |/| интегрируем, если f /dm ф О, но если по-
последний интеграл равен нулю и / ф О, то может случиться,
что log |/| неинтегрируем. Как мы отмечали раньше, нера-
неравенство Иенсена имеет очень простое доказательство, не
использующее обобщенной теоремы Сеге, а использующее
по существу лишь определение алгебры Дирихле. Это нера-
неравенство для алгебр Дирихле было впервые доказано Аренсом
и Зингером. Следующее короткое доказательство сообщил
автору Джон Вермер.
Пусть X, А и m — те же, что и выше. Пусть / — любая
функция из А. Обозначим через f(m) интеграл I f dm. Мы
хотим доказать, что
Возьмем ? > 0; тогда log(|/|-|-e)—вещественная непрерыв-
непрерывная функция на X. Следовательно, мы можем найти такую
функцию g" = */ + /¦& в А, что
l« —log(|/|+ е)|<? на X,
Пусть h = e~z, так что h?A и |Л|—е~". На X мы тогда
имеем
|/Л| = |/«-'1 = 1/1 «""<«¦
при нашем выборе функции g. Так как мера m мультипли-
мультипликативна на А, то мы также имеем:
Поэтому
или
log 1/A11I —и (ш)<е.
Далее, на X имеем и < e + log(|/|+е): следовательно,

Литературные примечания 87
и мы получаем
log |/(«)l<2e + J*log(|/|+«)*«•
Устремляя б к нулю, мы приходим к неравенству Иенсена
для произвольной функции / из А.
Для доказательства неравенства для функций / из Я1 (dm),
надо лишь аппроксимировать / в Ll{dm) функциями из А.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Теорема Сегё доказана им в [75]. Описание Я'-функцнй и ин-
интегрируемости функции log |/| даны Ф. и М. Риссами [67]. Было
дано много доказательств теоремы Риссов; см., например, Хель-
сон [87]. Указания на работы последнего времени, связанные с этим
результатом, можно найти в статьях Бишопа [9], Вермера [17], Гоф-
Гофмана [30] и Хельсона — Лоуденслегера [88]. Из последней работы
заимствовано большинство доказательств этой главы. Бохнер [13]
обратил внимание на общность их рассуждений. См. также более
раннюю работу Бохнера [14]. Определение алгебр Дирихле было
дано Глисоном [28]. Много фактов об алгебрах Дирихле было
обнаружено Вермером [18, 19]. Доказательства Хельсона — Лоуден-
Лоуденслегера, как заметил Бохнер, переносятся иногда и не на алгебры
Дирихле. Основные предположения в данных здесь доказательствах
состояли в следующем: (I) А — алгебра непрерывных комплексно-
значных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X,
содержащая постоянные функции; (!1) m — положительная мера
на X, мультипликативная на А; (III) если (л. — положительная мера
на X, совпадающая с m на А, то р = /и; (IV) функции из А и их
комплексно сопряженные функции порождают i* (dm); (V) всякая
вещественная функция / из L°° (dm) есть поточечный предел почти
всюду ограниченной последовательности функций нз Re А. Эти
условия выполнены, если А — алгебра ограниченных аналитических
функций в единичном круге, X — пространство максимальных иде-
идеалов алгебры ограниченных измеримых функций на единичной
окружности, и m — мера на X, соответствующая мере Лебега на
окружности. Условие (III) выполнено по теореме Глисона
и Уитни [29], см. гл. 10. При желании получить результаты лишь
для алгебр Дирихле доказательства иногда можно упростить, дока-
доказывая сначала для функций алгебры неравенство Иенсена так, как
это сделано в конце этой главы. Неравенство Иенсена для алгебр
Дирихле было доказано Аренсом и Зингером [4]. На самом деле
их доказательство показывает, что неравенство Иенсена вытекает
из условий (I), (II) и (III), приведенных выше. Следует отметить,
что условие (V) использовалось только при доказательстве теоремы
Сегё, а все результаты, перечисленные на стр. 84—85, кроме D),
вытекают из условий (I) — (IV). Мы увидим в гл. 10, что при получении
теоремы Сегё условие (V) может быть заменено другими условиями.
Как прообразы этих обобщений теории функций в единичном круге

88 Гл. 4. Пространство Я1
см. результаты работ Бохнера [12], Макки [52], Аренса и Зин-
Зингера [5] и Винера и Мазани [54]. Неравенство Иенсена для алгебр
Дирихле было впервые доказано Аренсом и Зингером [4]. Интегри-
Интегрируемость функцин log |/| для некоторых колец непрерывных функ-
функций была доказана Аренсом [3]. Об аналитических функциях, рав-
равных нулю на множестве положительной меры, см. статью Лузина
и Привалова [49] или книгу Привалова [оЗ]; результат состоит
в том, что если /— произвольная аналитическая функция в еди-
единичном круге и существует множество положительной меры на
окружности, такое, что некасательные пределы / на нем суще-
существуют и равны нулю, то / тождественно равна нулю.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть \х — положительная мера массы 1 и /— вещественная
функция в D (ф); доказать, что
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда /=0 почти
всюду по мере dy..
2. Пусть /—ненулевая функция нз Н1. Доказать эквивалент-
эквивалентность двух следующих свойств функцин /.
я
(а) log 1/@I = ^- Jlog|/|(»)lrf».
— It
(б) /(*) = * ехрМ- Г el + Z logl/(»)|tf» , где*-по-
2я J е№ — г
L -я J
стоянная, по модулю равная едннице (такие функцин / называются
внешними).
3. Пусть (л —конечная положительная бэровская мера на еди-
единичной окружности, и пусть 1 не лежит в L2 (йц)-замыкании Ао —
аналитических функций с непрерывными граничными значениями,
равных 0 в начале координат. Пусть F—ортогональная проекция 1
на L2 (ф)-замыкание Ао, н пусть G = A — Р)~1. Доказать следую-
следующие предложения.
(а) G лежит в Н2; О есть внешняя функция (упражнение 2);
а @) = 1.
(б) Абсолютно непрерывная часть меры р. равна
где k =. Inf J 11 —

Упражнения 89
(в) Если Е—бэровское множество, такое, что мера ца сосредо-
сосредоточена на Е, а мера ц, (сингулярная часть ц) — на дополнении
к Е, то характеристическая функция множества Е лежит в Н2 (ф)
L2 (й(х)-замыкании А.
(г) При сделанных предположениях
4. Пусть (х — конечная положительная бэровская мера на еди-
единичной окружности. Доказать эквивалентность следующих утвер-
утверждений.
(а) 1 не лежит в L2 (^(х)-замыканни А&
(б) Н2 {dv) ф L* (ф).
(в) Если ввести в A L2 (й(х)-норму, то значение в 0 есть огра-
ограниченный линейный функционал на А.
(г) Для каждого г в открытом круге .значение в точке г"
есть ограниченный линейный функционал на А в L2 (ф)-норме
на А.
(д) Для всякой функции / из Н2 (rf(x) существует такая анали-
аналитическая функция g в единичном круге (отношение двух обычных
#2-функций), что пределы g по некасательным направлениям со-
совпадают с / почти всюду по мере Лебега.
5. Для всякой точки а, | о ] < 1, значение в ней есть ограни-
ограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве Н2.
Этот функционал, следовательно, есть .внутреннее произведение с"
некоторой функцией из И2. Какой именно?
6. Воспользоваться теоремой Сегё для доказательства следую-
следующего предложения. Если /—функция из L2 на окружности, то
функции «'"*/(&), n>-0, порождают L2 на окружности тогда
н только тогда, когда
(а) / не обращается в нуль на множестве положительной лебе-
лебеговой меры;
(б) log | /1 не интегрируем по Лебегу.
7. Пусть ft] и ji2 — положительные меры на окружности. По-
Пополняя в каждом из /.^пространств многочлены, мы приходим
к гильбертовым пространствам Я8(ф|) н //2(d[xs). В каждом из
этих пространств рассмотрим линейный оператор умножения на г.
Доказать, что этн операторы умножения унитарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда
(а) меры (л, и (х2 абсолютно непрерывны друг по другу;
(б) функции log(d^j/db), ] = 1, 2, одновременно интегрируемы
илн неинтегрируемы по Лебегу.
8. Пусть / лежит в Lp на единичной окружности С, 1 < р < оо;
определим функцию g в открытом круге соотношением
Лежит ли g в НР7

90 Гл. 4. Пространство Нх
9. Доказать, что для любой функции /, аналитической в круге
| г | < 1, //"-нормы
монотонно возрастают по г.
10. Если х — конформное отображение круга на себя, то пере-
переводит ли при этом отображение /(г)->/(т (г)) пространство Н2
в себя?
11. Рассмотрим тор 7"= {(е'в, в''-V)} и меру Лебега dm =
dftd4 на нем-
а) Доказать, что функции е'к& • e'"V образуют ортогональное
семейство в Z.2 (dm).
(б) Найтн ядра Фейера, дающие чезаровские средние ряда
Фурье функции из D (dm). Доказать аналог теоремы Фейера,
полноту системы функций пункта (а) и т. д.
(в) Выберем иррациональное число а и предположим, что А
состоит из всех непрерывных функций на торе, коэффициенты
Фурье акп которых при k -f- па < 0 обращаются в 0. Доказать,
что А — алгебра Дирихле на торе.
(г) Показать, что теорема Ф. и М. Риссов для алгебры А не
имеет места. Именно, пусть Ао — множество функций из А, обра-
обращающихся в нуль в нуле:
/¦
/rf/и =0.
Показать тогда, что мера (л, определяемая соотношением
оо
f/ф- [ f(e-lt,e-ut)(\~it)-2dt,
J J
Т -со
сингулярна, отлична от нулевой и ортогональна к Ао.

Глава 5
ФАКТОРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ Н"
Внутренние и внешние функции
Пусть / — ненулевая функция класса Н1 в единичном
круге. Тогда / имеет пределы по некасательным направле-
направлениям почти во всех точках единичной окружности,
/(«'•)= lim f(z)
Известно также, что функция log|/(e'')| интегрируема по
Лебегу. Положим
Тогда F — аналитическая функция в единичном круге. Более
того, F лежит в Н1, так как
Это вытекает из того факта, что | F | = еи, где и — интег-
интеграл Пуассона функции log|/|. Ясно, что JF^I/I почти
всюду на единичной окружности. Функция F, конечно, не
имеет нулей в открытом круге, и
log | F (re1') | = ± f log | / (*«) \-Pr(b-t) dt.

92 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах HP
Таким образом, во всех точках z открытого круга
\F(z)\~>\f{z)\. Действительно,
1С
|<^ f log\f (е")\ ¦ Pr(b-t)dt = log\ F(re*)\.
Последнее неравенство является следствием неравенства
Иенсена в той его форме, в которой оно было доказано
в предыдущей главе, с использованием меры
сШ1 = 7^Рг(Ъ — t)dt
вместо меры ^-dt. По существу, это есть утверждение о том,
что log| /1 — субгармоническая функция, т. е. всюду не пре-
превосходит гармонической функции log|F|, принимающей
те же граничные значения, что и log|/|.
Рассмотрим функцию
1M
Это ограниченная аналитическая функция в открытом круге;
действительно, в круге
F(z)
Кроме того, | g (e's) | = 1 почти всюду на единичной окруж-
окружности. Тем самым, мы представили / в виде произведения
f = gF ограниченной аналитической функции, равной по
модулю единице на границе, и /Л-функции F весьма спе-
специального вида. Теперь нам удобно ввести следующие опре-
определения.
Внутренняя функция есть аналитическая функция g
в единичном круге, такая, что |g"(z)'|-^l и |^(е'а)| = 1
почти всюду на единичной окружности. Внешняя функция
есть аналитическая в единичном круге функция F вида
где к — вещественная интегрируемая функция на окружности,
а X — комплексное число, равное по модулю 1. Легко
видеть, что такая внешняя функция F лежит в Я1 тогда

Внутренние и внешние функции 93
и только тогда, когда интегрируема функция ek; если F —
внешняя функция из Я1, то необходимо
= \og\F(eib)\ почти всюду.
Для нас будут полезны следующие свойства внешних функ-
функций.
Теорема. Пусть F—ненулевая функция из Н1.
Следующие условия эквивалентны.
(I) F — внешняя функция;
(II) Если /— произвольная функция из Нх, такая,
что \f\-\F\ почти всюду на единичной окружности,
то \F(z)\^-\f(z)\ в каждой точке z открытого еди-
единичного круга.
(III) log |F @)| = .l
— ТС
Доказательство. Выше доказано, что из (I) выте-
вытекает (II). С другой стороны, если выполнено (II), то пусть
G — внешняя функция, определяемая формулой
Тогда | F (z) | < | G (z) |< | F (z) | в круге. Следовательно,
функция F/G аналитична и всюду по модулю равна единице.
Поэтому F = \G, где |Х| = 1, чем и доказано, что F —
внешняя функция. Очевидно, соотношение (III) выполнено
для любой внешней функции из Н1. Предположим теперь,
что условие (III) выполнено для функции F. Определим
функцию G, как и выше; мы видим, что функция FjG огра-
ограничена числом 1 в круге и имеет при z = 0 значение, рав-
равное по модулю 1. Следовательно, F/G = \, где X—по-
X—постоянная, |Х| = 1.
Теорема. Пусть f—ненулевая функция из Н1.
Тогда f может быть представлена в виде f = gF, где
g—внутренняя функция, a F — внешняя функция. Эта
факторизация единственна с точностью до постоян-
постоянной, равной по модулю 1; внешняя функция F лежит
в Н\

94 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах HP
Доказательство. Как отмечалось выше, если
то F— внешняя функция из Я1 и f/F — g есть внутренняя
функция. Если мы также имеем / = giF1, где g:— вну-
внутренняя, a Fl — внешняя функции, то l^l^l/7,! на гра-
границе. Ясно, что F = X/7, с некоторой постоянной X, равной
по модулю 1. Поэтому X^/^j = g1Fl и gi = ^g.
Произведение Бляшке и сингулярные функции
Мы теперь хотим разложить каждую внутреннюю функ-
функцию в произведение двух внутренних функций более спе-
специального вида. Первая из них — произведение Бляшке —
будет учитывать нули данной внутренней функции. Второй
множитель будет определяться сингулярной мерой на
окружности.
Теорема. Пусть f — ограниченная аналитическая
функция в единичном круге, и пусть /(О)ФО. Если
{ап\ —последовательность нулей функции f в открытом
круге, причем каждый из них повторяется со своей
кратностью, то произведение JJ | ал | сходится, т. е.
п
2A-|а„|)<оо.
Доказательство. Предположим для простоты, что
|/|^1. Если функция / имеет лишь конечное число ну-
нулей, то не возникает вопроса о сходимости их произведе-
произведения. В противном случае / имеет счетное число нулей
ар <х2, а3> .... и нам надо доказать сходимость бесконечного
произведения
Пусть В„ (г) — конечное произведение

Произведение Бляшке и сингулярные функции 95
Функция Вп (z) — рациональная функция, аналитическая
в замкнутом единичном круге, и |В„(е'в)] = 1, так как
каждая из функций
по модулю равна единице на единичной окружности. Сле-
Следовательно, f/Bn— ограниченная аналитическая функция
в круге. Так как
почти всюду.
то | / (г) | <; | Вп (z) | в круге. В частности,
Так как |ай|<1 при всех k и каждое из частичных про-
п
изведений ТТ I ak 1 не меньше, чем | / @) |, то бесконечное
произведение сходится; доказательство закончено.
Мы здесь хотим по нулям функции / построить такое
бесконечное произведение, чтобы, деля функцию / на него,
получить функцию без нулей. Можно было бы надеяться,
что сходится бесконечное произведение
1Л»
Пг — °л .
однако это, вообще говоря, не так. К счастью, если мы
просто заменим ге-й член на его произведение с —ап/|ал1-
то новое бесконечное произведение уже сходится.
Лемма. Пусть {ап)—последовательность ненулевых
комплексных чисел в открытом единичном круге. Для
того чтобы бесконечное произведение
л-1

96 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах HP
сходилось равномерно на компактных подмножествах
круга, необходимо и достаточно, чтобы сходилось
произведение JJ | ап |, т. е. чтобы
оо
20 —к |х оо.
Если это условие выполнено, то произведение опреде-
определяет внутреннюю функцию, нули которой образуют
в точности ту же последовательность atj, <x2, ....
Доказательство. Докажем сначала последнее утвер-
утверждение. Образуем частичные произведения
Каждая функция ВП аналитична в замкнутом единичном
круге и равна по модулю 1 на единичной окружности.
Если последовательность \ВП) сходится равномерно на ком-
компактных подмножествах круга | z | < 1 к функции В, то ясно,
что В ограничена единицей и аналитична внутри единичного
круга. Конечно, равномерная сходимость бесконечного
произведения означает больше, чем равномерная сходи-
сходимость функций Вп. Она означает, что на каждом ком-
компактном подмножестве открытого круга лишь конечное
число сомножителей произведения имеет нуль, и, когда эти
сомножители опущены, частичные произведения оставшегося
бесконечного произведения сходятся равномерно к функции
без нулей на этом компактном множестве. Равномерная схо-
сходимость бесконечного произведения на компактных мно-
множествах порождает ограниченную аналитическую функцию,
нули которой суть а1% а^, ... . В частности, из этой схо-
сходимости вытекает соотношение
2(|п|
л-1
Предположим теперь, что последовательность ап удо-
удовлетворяет этому последнему условию. В этом случае,
конечно, не более чем конечное число сомножителей беско-

Произведение Бляшке и Сингулярные функции
97
нечного произведения имеет нуль в любом данном ком-
компактном множестве. Мы хотим установить равномерную
сходимость произведения в каждом замкнутом круге | z | <
< г < 1. Пусть
Тогда
Если \г\
то
I «л 1 L I—«я* J'
ряд
Так как 2 0 — 1ал1)<°°> т0 мы видим, что
21 1 — /п (z) I равномерно суммируем в круге | г | ^
а следовательно, произведение JJ /„ (z) сходится в этом
круге равномерно и абсолютно.
Имеется и другое доказательство сходимости бесконечного
произведения в предположении, что выполняется условие
2A—|ая|)<оо; оно интересно, и о нем следует сказать.
В этом доказательстве без труда показывается также, что
произведение есть внутренняя функция. Пусть Вп, как
и выше,—частичные произведения. Легко показать, что [Вп\
сходится в Н2 на окружности. Действительно,
—ж —я
Так как каждая функция Bk равна по модулю единице на
окружности, то
I
Поэтому
_1_
2*
7 За к. 1057.

98 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах
Если п > ш, то функция Вп/В1П аналитична и
Таким образом, имеем
Так как бесконечное произведение JJ |ak| сходится, то мы
видим, что Вп—>В в Н2. От сходимости в L2 на границе
легко прийти к равномерной сходимости функций Вп к функ-
функции В на компактных подмножествах круга. Подпоследо-
Подпоследовательность функций Вп сходится поточечно почти всюду
к В на окружности, откуда ясно, что функция В равна по
модулю единице, т. е. В — внутренняя функция.
Произведение Бляшке есть аналитическая функция В
вида
7. а. — г 1рп
где
(I) р, /?], р2, — неотрицательные целые числа;
(II) ап — различные ненулевые числа в открытом единич-
единичном круге;
(III) произведение JJ | ап \р" сходится.
л
Мы только что показали, что такое произведение сходится
равномерно на компактных множествах, что у функции В
будет нуль порядка р в начале координат, нуль порядка рп
в каждой точке а„ и никаких других нулей не будет. Ко-
Конечно, если /7 = 0 или /?п=0, то соответствующий член
в произведении может быть опущен, так что в произведении
останутся только сомножители, порождающие нули. Мы до-
допускаем порядки, равные нулю, лишь потому, что хотим
иметь единое определение произведения Бляшке.
Теорема. Пусть / — ненулевая ограниченная ана-
аналитическая функция в единичном круге. Тогда f един-
единственным образом представима в виде f — Bg, где

Произведение Бляшке и сингулярные функции 99
В — произведение Бляшке, a g (с необходимостью огра-
ограниченная) аналитическая функция без нулей.
Доказательство. Так как / Ф 0, мы можем написать
f (Z) = zph (z), где h @) Ф 0. Пусть В — произведение zp
на произведение Бляшке, порожденное нулями функции п.
Тогда функция g — f/B аналитична и ограничена в круге.
Факторизация f — B-g единственна, так как произведение
Бляшке однозначно определяется своими нулями.
Если применить эту теорему к внутренней функции /,
то мы получим представление / = В • g, где В — произве-
произведение Бляшке, a g — внутренняя функция без нулей.
Теорема. Пусть g — внутренняя функция без нулей
и g@) положительно. Тогда существует единственная
сингулярная положительная мера jj. на единичной
окружности, такая, что
Доказательство. Так как g аналитична в круге
и не имеет нулей, то g = e~h, где h—аналитическая функ-
функция в круге. Так как g ограничена единицей, то веществен-
вещественная часть h должна быть неотрицательной в круге. Пусть
h = u -\-tv, так что и ^ 0. Неотрицательная гармоническая
функция и единственным образом представима в виде
где (j. — положительная мера на окружности. Так как
?@)>0, то г»@) = 0 (или, во всяком случае, мы так
можем считать, вычитая, если нужно, 2ftit/ из функции Л).
Таким образом,
Далее, | g \ = 1 почти всюду на окружности. Так как
|g-| = e~", то это как раз означает, что пределы функ-
функции и по некасательным направлениям должны равняться
нулю почти всюду на окружности. Но эти пределы по не-
1 <&х
касательным направлениям равны -я—-тт- Поэтому мера (*
сингулярна, и доказательство закончено.

100 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах Нр
Наиболее важным моментом в приведенном доказательстве
является тот факт, что если аналитическая функция Л при-
принимает значения в правой полуплоскости и Л@)>0, то она
представима в виде
e™ — z
где (j. — некоторая положительная мера на окружности. Это
предложение обычно известно как теорема Герглотца. Оно
эквивалентно теореме о том, что неотрицательная гармони-
гармоническая функция в круге есть интеграл Пуассона положитель-
положительной меры, также известной под именем теоремы Герглотца.
Внутреннюю функцию без нулей, положительную в начале
координат, мы будем называть сингулярной функцией.
Теорема о факторизации
Теорема. Пусть /ФО — функция из Н1 в единич-
единичном круге. Тогда f однозначно представима в виде
f = BSF, где В— произведение Бляшке, S — сингуляр-
сингулярная функция, a F—внешняя функция (из /Л).
Доказательство. Мы знаем, что f = gF, где g—
внутренняя функция, a F — внешняя функция, и это пред-
представление единственно с точностью до постоянной, равной
по модулю единице. Если В — произведение Бляшке, по-
порожденное нулями функции g (т. е. нулями функции /), то
g = BS, где 5—внутренняя функция без нулей. Умножая g
на постоянную, равную по модулю единице, мы можем
добиться того, что 5@) > 0, т. е. сделать 5 сингулярной
функцией. Тем самым определяется постоянная при внешней
функции F, и теорема доказана.
Теперь мы окончательно распишем факторизацию / =
— BSF. Пусть р — порядок нуля в начале координат,
и ар а2> ... — остальные нули функции /, причем кратность
ап равна рп. Тогда
.

Теорема о факторизации 101
где a-arg(//5)@); далее,
с некоторой положительной сингулярной мерой jj.. Отсюда
можно получить, кроме многих других следствий, обобщен-
обобщенную формулу Иенсена. Если /@)^=0, то
Если / аналитична в замкнутом круге, то „сингулярная
часть' функции / равна нулю, В— конечное произведение
Бляшке, и мы приходим к обычной формуле Иенсена.
Мы будем называть F внешней частью функции /,
а B-S— внутренней частью /. Мы знаем, что F лежит
в Я1, а В и S ограничены. Следует также заметить, что
произведения Бляшке и сингулярные функции аналитичны
в области, много большей, чем открытый единичный круг.
Чтобы подчеркнуть этот факт, мы сформулируем его в виде
отдельных теорем.
Теорема. Произведение Бляшке с нулями
al- «2- a3 °<lanl< *
сходится во всех точках z комплексной плоскости,
кроме точек компактного множества К, состоящего
из
(I) точек z = l/an;
(II) точек z единичной окружности, предельных для
последовательности {<*„}.
Сходимость равномерна на любом замкнутом мно-
множестве плоскости, не пересекающемся с К, а произ-
произведение B(z), тем самым, аналитично вне К.
Доказательство. На любом замкнутом множестве,
не пересекающемся с К, числа 11 — anz \ равномерно отде-
отделены от нуля. Те же оценки, которые были использованы
для доказательства сходимости в круге, применимы и теперь.
Следует отметить, что функция B(z) имеет полюс в каж-
каждой точке l/an и существенную особенность в предельных

102 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах Нр
точках последовательности ап. В частности, В не может
быть непрерывно продолжена с внутренности круга на все
такие предельные точки, так как значение расширенной
функции В должно быть нулем, в то время как пределы В
по некасательным направлениям равны по модулю единице
почти всюду.
Теорема. Если S—сингулярная функция, опреде-
определенная положительной сингулярной мерой ц, то S
аналитична всюду в комплексной плоскости, кроме
множества на единичной окружности — замыкания
носителя меры ц. Функция S {или даже \S\) не может
быть непрерывно продолжена с внутренности круга
на все точки замкнутого носителя меры ц.
Доказательство. Замкнутый носитель меры ц, есть
дополнение к объединению всех открытых множеств на
окружности, имеющих ц,-меру нуль. Обозначим этот замк-
замкнутый носитель через К. Если z(?K, to функция
аналитична в точке г, и ее производная равна
Функция S = e~h аналитична вне К. Здесь мы не исполь-
использовали сингулярность меры р.
Предположим, что точка е'ь° на окружности такова, что
функция |5| распространяется непрерывно в эту точку.
Тогда, конечно, |S(e'9»)| = 1, и потому Ren должна быть
ограничена около этой точки, т. е. существует такое поло-
положительное Ь, что ReA(re'8)) ограничена при \Ь — $|6
Пусть и = ReA, тогда
и (г. b) =
Если gr — сужение функций иг на интервал \Ь — &0|<;8,
то [gT\ — ограниченное семейство непрерывных функций на
этом интервале. Поэтому существует ограниченная измери-
»*ая функция g, являющаяся предельной точкой этого семей-
семейства в слабой топологии L*". Пусть F — любая непрерывная

Теорема о факторизации 103
функция на окружности, равная нулю вне интервала \Ь — &о|-^8.
Тогда
HmJ- С F(b)u(r,b)db= f
г-И г% •> J
It
и интегралы
± / F(b)u{r,b)db
имеют предельной точкой число
Vq-Г
— Г
Так как функция F обращается в нуль при |& — Ъо\ > 8,
то последний интеграл должен равняться I F dp. Так как
это равенство имеет место для всех функций F, то сужение
меры [л на интервал |& — &0|<8 абсолютно непрерывно
относительно меры Лебега на этом интервале и -р- =-~- g.
Так как мера [л сингулярна, то g = 0 и е'8° не принадлежит
замкнутому носителю меры [л. Это завершает доказатель-
доказательство.
Теорема. Пусть f - функция из Ни, эта функция
лежит в Нр 1«/-^ос, тогда и только тогда, когда ее
внешняя часть лежите Нр'. Если /непрерывна на единич-
единичной окружности, то такой же будет и ее внешняя часть.
Доказательство. Утверждение об W-функциях оче-
очевидно. Предположим, что / непрерывна на окружности.
Пусть К -—замкнутое множество точек окружности, в кото-
которых /(е'а) = 0. Пусть f = BSF — каноническая факториза-
факторизация /. Конечно, каждая точка накопления нулей произве-
произведения Бляшке В содержится в К, так что функция В ана-
литична (и не равна нулю) во всех точках окружности, не
принадлежащих К. Внешняя функция
F(z)--=exp
непрэрывна (и равна нулю) на К, потому что |/7| = |/|.
Так как \F\ и В непрерывны вне К, то и |5| непрерывен.

104 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах HP
В силу последней теоремы замкнутый носитель меры jt,
определяющей сингулярную функцию S, должен содержаться
в К. Следовательно, 5 аналитична вне К. Отсюда вытекает,
что F = f/BS непрерывна вне К, а следовательно, функ-
функция F непрерывна на всей окружности.
Абсолютная сходимость рядов Тейлора
В этом коротком параграфе приводятся две интересные
теоремы. Одна из них — теорема Харди и Литльвуда — ут-
утверждает, что функция из Я1 ограниченной вариации на
единичной окружности имеет абсолютно сходящийся ряд
Тейлора. Другая — теорема Харди о росте коэффициентов
Фурье функций из Н1. Мы сначала сформулируем вторую
теорему.
Лемма Римана — Лебега утверждает, что коэффициенты
Фурье интегрируемой функции стремятся к нулю. Для функ-
функций из Я1 можно утверждать гораздо больше.
Теорема (Харди). Пусть /— функция из Н1 со
степенным рядом
Тогда
Доказательство. Предположим сначала, что ап
п = 0, 1, 2 Тогда
Im f{reib) — 2 а „г" sin яд.
Так как
2%
1
П
О
то мы получаем
оо 2л
1
R=l О
2л

Абсолютная сходимость рядов Тейлора 105
Устремляя г к 1, мы приходим к желаемому результату
в предположении, что ап ^ 0. В общем случае представим /
в виде f=hg, где g и h суть Я2-функции, определяемые
соотношениями
а В — произведение Бляшке по нулям /. Если
Л (г) =2 спг\
то по теореме Рисса — Фишера функции
также лежат в Я2; действительно,
\\O\\2=\\g\\2 и
Пусть F — GH\ конечно» F лежит в Я1 и
где а„^-0. Ясно также, что |йл|^й„. В силу первой части
нашего доказательства
Но
и все доказано.
Теорема. Пусть f — функция на единичной окруж-
окружности, лежащая в Н1 и имеющая ограниченную вариа-
вариацию. Тогда
(I) / есть абсолютно непрерывная функция;
(II) ряд Фурье функции / сходится абсолютно.

106 Гл. Ь. Факторизация функций в пространствах Нр
Доказательство. Так как / имеет ограниченную
вариацию, то ее коэффициенты Фурье равны
а =— Г f (Ь) e~inbdb = — —— Г e~in* df (&) {п Ф 0).
—тс —тс
В частности, мера df аналитична. По теореме Риссов df
абсолютно непрерывна, т. е. df = gd§, где g?Hl. Поэтому
ап = — • Ьп, где Ьп — ге-й коэффициент Фурье функции g,
д=1, 2, 3 В силу последней теоремы имеем
п=1 я=1
Это завершает доказательство.
Замечания о классическом подходе
Сделаем теперь несколько замечаний о более стандартном
подходе к теоремам этой и предыдущей глав. Определив
классы Нр в единичном круге, р > 0, можно сразу перейти
к рассмотрению случая /? > 1. Эти рассмотрения мы про-
проводили с использованием слабой компактности единичного
шара в Lp. Необходимо отметить, что случай /7 = 2 наиболее
легкий; действительно, если
ТО
п-0
и если / лежит в Н2, то, полагая г -> 1, мы приходим
к выводу о квадратичной суммируемости последователь-
последовательности [аП]. По теореме Рисса—Фишера ап суть коэффи-
коэффициенты Фурье некоторой ?2-функции на окружности, и поэ-
поэтому ясно, что / есть интеграл Пуассона такой функции.
Далее можно доказать теорему Фату, так же, как мы ее
доказывали, и прийти к сходимости по некасательным на-

Замечания о классическом подходе 107
правлениям функции / почти всюду к ее граничным значе-
значениям. Если функция / ограничена, то ввиду сходимости
по некасательным направлениям ясно, что граничные значе-
значения / определяют ограниченную измеримую функцию. Это
доказывает теоремы о граничных значениях, по крайней мере
в тех случаях, когда рассматриваются пространства Ям и Я2.
Для любого р > 0 и любой аналитической функции /
сравнительно легко показать, что ?р-нормы функций fr(b) =
= / (ге1Ь) возрастают при г->1. Отсюда для функции /
из Нр видно, что бесконечное произведение модулей ее
нулей сходится. Таким образом, всякая функция / из Нр
имеет вид f = Bg, где В— произведение Бляшке, a g—
функция из Нр без нулей. Так как g не имеет нулей, то
функция gpl2 аналитична и лежит в Я2. Поэтому gpli имеет
пределы по некасательным направлениям почти всюду. Сле-
Следовательно, такие пределы существуют для функции
В частности, если / лежит в Я1, то мы имеем
т. е. / есть произведение двух Я2-функций. Тем самым мы
получаем теорему Ф. и М. Риссов о том, что всякая функ-
функция из Я1 есть интеграл Пуассона L1 -функции на окруж-
окружности, причем эта ^'-функция есть произведение граничных
значений функций В Yg~ и Yg~.
Граничные значения функции из Нр определяют ^-функ-
^-функцию на окружности, и при любом р^-\ интеграл Пуассона
этой функции есть /. Конечно, не следует ожидать такого
интегрального представления при р < 1. Интегрируемость
функции log |/(e'8)| для f?Hp получить довольно просто.
Если положить для
, 0],
log~A = min [log A, 0],
то имеем следующее. Так как log х <; х° при больших х
и фиксированном положительном а, то легко видеть, что

108 Гл. 5. Факторизация функций в пространствах Нр
для любой функции / из Нр интегралы
1С
ограничены при г->1. По классическому неравенству Иен-
сена
к it
Предполагая, что /@)=?0, мы видим, что интегралы
— тс
ограничены при г—>1. Отсюда очень легко получить инте-
интегрируемость функции log|/(e№)|.
Теория факторизации для Н[ может быть теперь постро-
построена так, как это было сделано выше.
Функции ограниченной характеристики
Факторизация, полученная нами для Я^-функций, обоб-
обобщается на класс функций ограниченной характеристики,
т. е. мероморфных функций, которые являются отношениями
двух ограниченных аналитических функций. Если f = g/h,
где g и Л — ограниченные аналитические функции, и h
не есть тождественный нуль, то ясно, что / имеет конечные
пределы по некасательным направлениям почти во всех
точках окружности. Предположим, что мы записали g и h
как произведение трех функций — произведений Бляшке,
сингулярных функций и внешних функций, т. е. g = BgSgOg,
h = BhShOh. Отношение OgjOh имеет вид
где X — число, равное по модулю единице, и

Литературные примечания 109
Следовательно, оно есть внешняя функция (не обязательно
из Я1).
Отношение SgjSk имеет вид
где [а — вещественная сингулярная мера, т. е. [i = [j.A — р ,
где [ал и ]xg—положительные сингулярные меры, полученные
из функций hug.
Мы приходим к выводу, что всякая функция ограничен-
ограниченной характеристики имеет вид
где р — вещественная мера на окружности, а В1 и В2—
произведения Бляшке. Абсолютно непрерывная часть меры р
равна 7>-log|/|d&. Можно, конечно, сделать так, чтобы Bt
и В2 не имели общих множителей, и такое представление,
как легко видеть, единственно.
Конечно, функция из Нр есть отношения двух ограни-
ограниченных аналитических функций. Это достаточно показать
для внешней функции / из Нр. В этом случае / есть отно-
отношение ограниченных внешних функций, определяемых функ-
функциями log"|/| и —log+|/|.
Функции ограниченной характеристики характеризуются
тем свойством, что интегралы функции log+|/| по окруж-
окружности радиуса г ограничены при г—> 1. По поводу этого
результата мы отсылаем читателя к книге Неванлинны
„Однозначные аналитические функции".
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Факторизация /У-функций принадлежит, вероятно, Риссу [66] и
Герглотцу [27]. Обобщение на функции ограниченной характери-
характеристики см. в книге Неванлиниы [59]. Хорошим обзором многих фун-
фундаментальных результатов является работа Бьёрлинга [15], где
введены поиятия виутренней и внешней функции. См. также Руднн
[70], Зигмунд [35], Бибербах [8], Привалов [63]. Теорема об абсо-
абсолютной сходимости ряда Фурье принадлежит Харди и Литльвуду [86].

ПО Гл. 5. Факторизация функций в пространствах Нр
Многие примыкающие вопросы освещены в книге Зиг-
Зигмунда [35]. По поводу похожей факторизации матричнозначных
//^-функций см. работы Мазани [53], Винера и Мазани [54] и
Потапова [62].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что
1 ЩА
log л
не есть ряд Фурье никакой конечной меры на окружности.
2. Используя теорему Харди — Литльвуда, доказать, что ряд
Тейлора относительно начала координат функции A—г)''! сходится
абсолютно в круге.
3. Доказать, что ограниченная аналитическая функция в пра-
правой полуплоскости, равная нулю во всех целочисленных точках,
есть тождественный нуль.
4. Пусть /—функция из //'; предположим, что функции z"f,
л>0, порождают пространство //'. Доказать, что /—внешняя
функция.
5. Пусть F—внешняя функция из //'. Предположим, что /
лежит в //' и f/F интегрируема на единичной окружности | г\ = 1.
Доказать, что f/F лежит в Н1. Показать, что это свойство харак-
характеризует внешние функции.
6. Пусть /— аналитическая функция в единичном круге. Дока-
Доказать, что / есть произведение Бляшке тогда и только тогда, когда
(I) 1/(*М<1,
(II) Нт
Г->\
— тс
7. Можно ли распространить произведение Бляшке с откры-
открытого единичного круга в любую точку окружности, где накапли-
накапливаются его нули?
8. Пусть | а | < 1 и <р — дробно-линейное отображение
1 — аг
Тогда !f порождает отображение /->/.<р в пространстве аналити-
аналитических функций в круге. Сохраняет ли это отображение класс НЧ
класс внутренних функций? класс внешних фунщш из Я1?
9. Пусть /—ограниченная аналитическая функция в единич-
единичном круге; предположим, что существует такое положительное
число 8, что

Упражнения 111
Доказать, что существуют такие ограниченные аналитические
функции g и Л в круге, что
(Указание. Показать, что можно так выбрать Л, что /Л аналити-
аналитически продолжается в окрестность точки г — 1 и имеет в этой
точке значение 1.)
10. Пусть /— аналитическая функция в единичном круге. До-
Доказать, что / есть отношение двух ограниченных аналитических
функций тогда и только тогда, когда интегралы
ограничены при г -> 1. {Указание. Воспользоваться 1ой+-условием
для доказательства сходимости произведения Бляшке нулей функ-
функции /; написать / = Bg и взять g в классе log+. Написать g = eh,
и выяснить, что следует для А из принадлежности g к классу log+.
Детали см. в книге Неванлинны [59].)
11. Пусть /Ф0—аналитическая функция в единичном круге,
и /€//'. Допустим, что о пространстве Н1 мы не знаем ничего,
кроме его определения. Норма в Я1 задается соотношением
или
Г \f{reib)\db
J
тс
Ц/11 ,= sup JL f|/(re'8)|rf».
г < 1 *n J
Доказать, что значение в начале координат ограничено в Н\
т. е. что
1/@) |< k n/ii,.
Пусть теперь аи а2, ... — нули функции / в открытом круге,
отличные от 0; показать, что рассуждения, проведенные нами
в случае аналитических функций, доказывают сходимость произве-
произведения Ц|а„|
• Пу
12. Пусть /— функция из НК Доказать, что если выполнено
одно из следующих условий, то /—внешняя функция:
(а) 1// лежит в Я1;
(б) Re/>0 при |г|< 1.
Доказать, что если /—внутренняя функция, то 1-f-/—внешняя
функция.
13. Пусть 5—сингулярная функция, определяемая положитель-
положительной сингулярной мерой (д.. Пусть а — любая точка единичной окруж-
окружности из замкнутого носителя меры \х. Доказать, что существует
такая последовательность точек гп в открытом круге, что
lim гп = \ и lim S (гп) = 0.

Глава 6
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С НЕПРЕРЫВНЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
В настоящей главе мы исследуем алгебру А непрерыв-
непрерывных функций в замкнутом единичном круге, которые ана-
литичны в открытом круге. Существуют различные варианты
описания алгебры А. Например, А есть равномерное замы-
замыкание многочленов p(z). Или, если мы отождествим каждую
функцию из Л с ее граничными значениями, то А состоит из не-
непрерывных функций на единичной окружности, коэффициенты
Фурье которых с отрицательными индексами равны 0. Помимо
многочленов, алгебре А принадлежат, очевидно, функции,
имеющие абсолютно сходящийся ряд Тейлора
со со
Такие функции не исчерпывают всей Л, так как Л также
содержит, например, функции, являющиеся суммами равно-
равномерно (но не абсолютно) сходящихся рядов Тейлора. Мы
доказали в предыдущей главе, что всякая функция из А
ограниченной вариации на единичной окружности обязательно
имеет абсолютно сходящийся ряд Тейлора.
Основная цель этой главы — дать полное описание замк-
замкнутых идеалов алгебры А. При этом описании будет суще-
существенно использована теория факторизации, изложенная в пре-
предыдущей главе, а также ряд новых фактов, которые будут уста-
установлены в этой главе. Прежде чем перейти к рассмотрению
теории идеалов, мы хотим сделать несколько замечаний
о функциях из Л.
Если /фО — функция из Л, то мы знаем, что функция
log|/(e's)| интегрируема по Лебегу на единичной окруж-
окружности. В частности, если К — (замкнутое) множество нулей
функции / на окружности, то К имеет лебегову меру нуль.
Нам понадобится обратное утверждение, именно, если К—¦

Сопряженные гармонические функции 113
произвольное замкнутое множество лебеговой меры нуль
на окружности |г| = 1, то существует в А функция, нули
которой в замкнутом единичном круге в точности совпадают
с точками множества К. Это — результат Фату, и мы его
вскоре докажем; на самом деле, мы докажем обобщение
этого результата, принадлежащее Рудину: для любой непре-
непрерывной комплекснозначной функции g на К существует
такая функция / в А, что f — g на К. Для этих построе-
построений нам надо иметь некоторые сведения о поведении сопря-
сопряженных гармонических функций на границе.
Сопряженные гармонические функции
Пусть / — интегрируемая по Лебегу функция на окруж-
окружности. Предположим для простоты, что / вещественна.
Функция
аналитична в открытом круге. Вещественная часть h есть
интеграл Пуассона от /. Таким образом, мы знаем, что,
если h — u-\-tv, то гармоническая функция и имеет пределы
по некасательным направлениям, которые существуют и сов-
совпадают с / почти всюду на окружности. Что можно сказать
о гармонически сопряженной функции v? Другими словами,
если
где Qr — сопряженное ядро Пуассона,
п /*ч т l + relt 2rsmt
Q^0 = Iffl_JE_ =______,
то имеет ли функция v пределы по некасательным напра-
направлениям почти всюду? Если да, то чему они равны? Оче-
Очевидно, Qr не являются аппроксимативной единицей (положи-
(положительным ядром), подобно ядрам РГ. Тем не менее пределы
по некасательным направлениям для v существуют почти
всюду. Это легко показать. Достаточно доказать это при
услопии / ^- 0. Если / ^. 0, то написанная выше аналити-
8 Зак. 1057,

114 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
ческая функция h имеет неотрицательную вещественную часть.
Поэтому е~н—ограниченная аналитическая функция. Следо-
Следовательно, е-(«+'г') имеет пределы по некасательным напра-
направлениям почти всюду на окружности, и так как эти пределы
не могут обращаться в нуль на множестве положительной
меры, то обе функции и и г» имеют конечные пределы по
некасательным направлениям почти всюду.
Это не отвечает на вопрос о том, чему равны пределы.
Так как
^ 1(
то можно предположить, что
15
lim v (г, ») = ~ f f (Ь -1) ctg 11 dt.
Это и есть ответ. Так как
i ;
— —-йГ J
то мы можем утверждать, что при г->1 v(r, Ь) стремится
почти всюду к
тс
-— г
/(94-0-/(9-/)
В частности, этот интеграл существует почти при всех (К
Мы докажем лишь достаточность существования этого инте-
интеграла.

Сопряженные гармонические функции П5
Теорема. Пусть / — интегрируемая функция на
окружности и
v{r, ») = -jr ff(b-t)Qr(t)dt.
—я
Если Ь — любое число, такое, что существует инте-
интеграл
mo limw^, b) = v(b).
Г-Н
Доказательство. Пусть
так что мы можем считать функцию <р9 интегрируемой.
Далее,
Если
,. _ A — гI
Sr УЧ — ! _ 2r cos < + г2
то 0 < gr (t) < 1 и lim gr (/) = 0 всюду, кроме t — 0. Так как
функция <р9 интегрируема, то мы имеем \ Чъёт~>®> т* е>
lim «(г, b) = v(b).
г->1
Следствие. Если / дифференцируема в точке Ь,
то существует предел
8»

116 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
Если же f непрерывно дифференцируема на замкнутом
интервале \ Ь—&0 j ^ Ь, то на этом интервале функции vr
при г->1 сходятся равномерно.
Доказательство. Ясно, что функция <р» интегрируема
на любом интервале 11 | ^> s > 0. Если / дифференцируема
в точке Ь, то <р9 ограничена при t—>0, так что <р& инте-
интегрируема. Если / непрерывно дифференцируема на интер-
интервале \Ь — &о1~^^' т0 Функции <р9 равномерно ограничены
для & из этого интервала и при достаточно малых t; легко
видеть, что функция v(r, &) равномерно близка к v (8).
Теоремы Фату и Рудина
Предыдущее следствие позволяет нам строить конкретные
аналитические функции с непрерывными граничными значе-
значениями.
Теорема (Фату). Пусть К — замкнутое множество
лебеговой меры нуль на единичной окружности. Суще-
Существует функция из А, равная нулю в точности на К.
Доказательство. Пусть w — расширенная веществен-
вещественная функция на окружности, такая, что
(I) w = — оо на К, и стремится непрерывно к —со,
когда е1й приближается к К;
(II) «/<; — 1 на окружности;
(III) w конечнозначна и непрерывно дифференцируема на
С —К;
(VI) w интегрируема.
Так как множество К имеет меру нуль, такую функцию w
можно найти. Простой способ построения такой функции
состоит в следующем. Так как К замкнуто, то дополнение
С — К есть объединение счетного числа непересекающихся
открытых интервалов (дуг) /„. Пусть е„ — длина дуги /„.
Выберем строго положительную и непрерывно дифферен-
дифференцируемую функцию уп на /„ так, что уп-^е~1, уп стремится
к нулю около концов /„, и

Теоремы Фату и Рудина 117
Если положить у = 0 на К и у = у„ на /л, то О^у-^е-';
нули функции у суть в точности точки множества К; у не-
непрерывна на С и непрерывно дифференцируема на С — К)
наконец, logy интегрируем. Положим w = log у.
Далее, определим функцию
Тогда h аналитична в открытом круге, и ReA<^— 1. В силу
свойства (III) функции w и предыдущего следствия, функ-
функция А действительно непрерывна на дополнении К в замкну-
замкнутом круге. Так как w стремится к — оо в каждой точке
множества К, то функция
п
Re А (г, 0) = ^- fw(t)Pr(b —
—к
стремится по радиусу к —оо в каждой точке Ь?К.
Положим
Ясно, что ??-<4, Re g"<^ 0 и нули функции g на замкнутом
круге в точности совпадают с точками множества К. Заметим,
что Re g = 0 в точности на К.
Теорема (Рудин). Пусть К — замкнутое мно-
множество лебеговой меры нуль на единичной окружности
и F — любая непрерывная комплекснозначная функция
на К. Существует функция из А, сужение которой на К
равно F.
Доказательство. Предположим, что К непусто.
В алгебре А можно найти такую функцию /, что
(I) /(г)==1, если z? К;
(II) |/B)| < 1, если z — точка замкнутого круга, не
лежащая в К. Для этого надо построить функцию g, как
в предыдущей теореме, и положить /=е«\
Идея доказательства такова. Пользуясь этой функцией /,
мы докажем, что алгебра непрерывных функций на К, по-
получающихся при сужении алгебры А на К, равномерно замк-

118 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
нута (на К). Потом мы покажем, что эта алгебра суженных
функций (равномерно) плотна в пространстве непрерывных
функций на К.
Пусть Л — любая функция из А. Так как / = 1 на К, и
| /1 < 1 вне К, то
sup|A| = llm ||/nA|L,
К п-Уса
где ||... Ц^ означает sup-норму на всем замкнутом круге.
Каждая функция /"А совпадает с А на А". Это означает, что
f"fi — h-\- g, где g— функция из А, равная нулю на К.
Мы имеем
sup | Л| = inf ||Л-|- g-H^, g?A. g = 0 на К.
к s
Пусть 5 — подпространство функций из А, равных нулю
на К; S — замкнутое подпространство А, и
sup | Л | = inf
к
Число в правой части есть стандартная фактор-норма A-f-S
при факторизации по подпространству 5. Легко проверить,
что если 5 — замкнутое подпространство банахова простран-
пространства А, то фактор-пространство A/S полно по фактор-норме.
Мы приходим к выводу, что сужение А на К равномерно
замкнуто.
Совсем легко показать, что если К — любое собственное
замкнутое подмножество окружности, то сужение А на К
плотно в пространстве непрерывных функций на К. Пусть
Ак — равномерное замыкание на К сужений функций из А.
В виду возможности вращений, мы можем считать, что в К
нет точек открытой дуги | Ь \ < а окружности. Если х —
положительное число, большее 1, то (z — л:) лежит в Ак;
действительно, эта функция лежит в А. Пусть х0 — нижняя
грань вещественных чисел х> - 1, для которых (z—х)~1 ? Ак.
Покажем, что х0— - 1. Предположим, что х0 >—1. Тогда
можно найти такие х > х0 и е > 0, что х — х0 < е, но К
лежит вне круга \z — х|<е, и (z — х)'1 принадлежит Ак.
Пусть w = {z — х), так что К лежит в круге |г»|-<;1/8.
Далее, функция (z — хо)~х аналитична в круге |«/|<Г1/е,
и, следовательно, является в этом круге равномерным пре-

Теоремы Фату и Рубина 119
делом многочленов от w. Мы приходим к выводу, что
(г — хо)~]^Ак; более того, те же самые соображения по-
показывают, что (z — t)~x?AK при любом t, удовлетворяющем
условию | х — 11 < е. Ясно, что существует такое веществен-
вещественное t, меньшее, чем х0. Это противоречит определению
точки х0. Тем самым, хо= — 1; в частности, функция 1/2 =
= г лежит в Ак. Тогда, по теореме Фейера, Ак содержит
все непрерывные функции на К.
Отметим, что вторая часть доказательства (т. е. тот факт,
что на любом собственном замкнутом подмножестве окруж-
окружности всякая непрерывная функция есть равномерный предел
многочленов) есть очень старая теорема, имеющая много
различных доказательств. Доказательство, приведенное
нами, — одно из самых элементарных; оно моделирует до-
доказательство теоремы Рунге о приближении. Другое инте-
интересное, но менее элементарное, доказательство основано на
теореме Риссов об аналитических мерах. Пусть К—соб-
К—собственное замкнутое подмножество окружности и Ак — равно-
равномерное замыкание на К многочленов. Предположим, что
АкфС(К). Тогда, по теореме Хана — Банаха, существует
ограниченный линейный функционал на С (К), отличный от
нулевого, но равный нулю на Ак. Другими словами, суще-
существует ненулевая конечная комплексная мера \х на К, такая,
что Г/7 </[*• = О для всех многочленов р. По теореме Риссов,
всякая такая мера на окружности имеет вид d\i = f db, где
/?#'. Так как р. сосредоточена на К, то / обращается
в нуль на открытой дуге окружности, так что / = 0 и
(г = 0; это приводит к противоречию.
Следует отметить, что Рудин доказал больше, чем мы
сформулировали в теореме. Он показал, что если F непре-
непрерывна на замкнутом множестве К меры нуль, то существует
в А такая функция /, что / = F на К, и / ограничена
в круге максимумом модуля функции F на К.
Бишоп следующим образом обобщил теорему Рудина.
Пусть А — равномерно замкнутая алгебра непрерывных комп-
лекснозначных функций на компактном хаусдорфовом про-
пространстве X A ? А). Пусть К— любое замкнутое подмно-
подмножество X со следующим свойством: если р — комплексная

120 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
мера на X, ортогональная к А, то полная вариация меры \х
на К равна нулю1). Тогда сужение алгебры А на К есть С (К)
(без замыкания).
Замкнутые идеалы алгебры А
Как мы говорили, мы хотим описать все замкнутые идеалы
алгебры А. Вопрос об описании идеалов представляет су-
существенный интерес для любого кольца R. Надо сказать,
что обычно этот вопрос очень труден. Если R— коммута-
коммутативное кольцо с единицей, то говорят, что нам известна
„теория идеалов" кольца R, если мы можем ответить на
следующие важные вопросы.
A) Каковы максимальные идеалы кольца /??
B) Является ли всякий собственный идеал пересечением
максимальных идеалов?
C) Каковы примарные идеалы кольца R, т. е. идеалы,
содержащиеся лишь в одном максимальном идеале?
D) Является ли всякий идеал пересечением примарных
идеалов?
В топологическом кольце (или банаховой алгебре), таком,
как наша алгебра А, естественно ограничиться рассмотре-
рассмотрением замкнутых идеалов. Задача описания даже только замк-
замкнутых идеалов, как правило, ожидает своего решения; однако
в случае алгебры А мы можем полностью и очень конкретно
описать все замкнутые идеалы. Эта теория идеалов была
построена Бёрлингом, но он не публиковал своих резуль-
результатов. Позднее Рудин независимо получил эти результаты
(Canadian Journal of Mathematics, 1957).
Так как А — коммутативная банахова алгебра с одной
образующей, то легко найти максимальные идеалы алгебры А;
для этого надо воспользоваться общим результатом о том,
что для любого максимального идеала в коммутативной ба-
банаховой алгебре с единицей фактор-кольцо по этому идеалу
есть поле комплексных чисел. Мы объясним это позже,
а сейчас не будем использовать этого факта, так как описа-
описание максимальных идеалов будет получено непосредственно.
') Таким образом, доказательство Бишопа использует, по суще-
существу, теорему ф. и М. Риссов из гл. 4.— Прим. ред.

Замкнутые идеалы алгебры А 121
Если X — точка в замкнутом единичном круге, то
— максимальный идеал в А. Мы вскоре покажем, что дру-
других максимальных идеалов нет. Есть ли в А другие замк-
замкнутые идеалы? Конечно, например z2A — множество функ-
функций из А, таких, что /@) = /'@) = 0. Этот идеал примарный,
так как он содержится в единственном максимальном идеале
{/:/@) = 0). Таким образом, не всякий замкнутый идеал
в А есть пересечение максимальных. Этот пример можно
очевидным образом обобщить. Выберем последовательность
точек <хя открытого круга и последовательность неотрица-
неотрицательных целых чисел рп и обозначим через J множество
функций из Л, имеющих в точках <хя нули порядка, не
меньше рп. Ясно, что У—замкнутый идеал. Может случиться,
что У=0. Но если <хл приближаются к границе достаточно
быстро, числа рп не слишком велики и предельные точки а„
не есть множество положительной меры на окружности,
тоУ=?0; например, если ап = 1—2~" , рп = п, то J Ф 0-
Мы привели очевидные примеры замкнутых идеалов в Л —
идеалов, определяемых предписанными порядками нулей в точ-
точках открытого круга. Используя предыдущие построения, мы
можем заключить, что существуют и другие идеалы. Пусть К—
замкнутое множество меры нуль на окружности и JK — мно-
множество функций из Л, равных нулю на К- Мы знаем, что
JK — ненулевой идеал (он, очевидно, замкнут). Более тонким
является то, что существуют идеалы другого типа. Они опре-
определяются скоростью стремления к нулю принадлежащих им
функций, когда z приближается к границе. Простой пример
такого типа состоит в следующем. Пусть
Тогда Р не лежит в Л, но есть внутренняя функция. Дей-
Действительно, F есть сингулярная функция, определяемая одно-
одноточечной массой в точке 2=1. Пусть М — (максимальный)
идеал всех функций из Л, равных нулю при z== 1, и J=FM.
Тогда J—замкнутый идеал в А. Действительно, если g?A
и ?"(О = 0> т0 Fg?A' потому что F аналитична и равна
по модулю единице во всех точках окружности, кроме 2 = 1.
Конечно, идеал J замкнут, потому что замкнут М, а функ-

122 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
ция F равна по модулю единице почти всюду. Более того.
J Ф М, так как A —?)(?-/• В противном случае A —z)F~l
была бы ограниченной функцией, что неверно.
Теперь мы приведем пример замкнутого идеала значи-
значительно более общего вида. Далее мы покажем, что идеалами
такого вида исчерпываются все замкнутые идеалы в А.
Теорема. Пусть К — замкнутое множество лебе-
лебеговой мери нуль на единичной окружности. Пусть F —
такая внутренняя функция, что
(I) если о^, а2, ... — нули функции F в открытом
круге, то все предельные точки последовательности ал
лежат в множестве К;
(II) мера, апределяющая сингулярную часть F, со-
сосредоточена на К.
Обозначим через J множество функций вида Fg,
где g ? А и равны нулю на К. Тогда J — замкнутый нену-
ненулевой идеал в А.
Доказательство. Пусть F = BS, где В — произве-
произведение Бляшке с нулями а,, а2 a 5 — внутренняя функ-
функция, определяемая положительной сингулярной мерой [а.
Всякая предельная точка последователь юсти осл лежит в К.
Поэтому В аналитично в дополнении К в комплексной пло-
плоскости. Замкнутый носитель меры [а содержится в К. Следо-
Следовательно, 5 аналитична в дополнении К. Если g — любая
функция из А, равная нулю на К, то в виду ограничен-
ограниченности F очевидно, что Fg лежит в А. Если J—множество
функций вида Fg, то, конечно, J — идеал в А. Этот идеал
также отличен от нулевого, так как равенство нулю меры
множества К гарантирует существование функции g Ф О,
g?A, равной нулю на К. Для доказательства замкнутости J
рассуждаем следующим образом. Пусть {Fgn) — последова-
последовательность функций из J, сходящаяся к функции / в А. Тогда
и, так как F по модулю равна единице на окружности, то
(существенная верхняя грань на окружности). Таким образом,
{gn} сходится равномерно к функции F/ на окружности.

Замкнутые идеалы алгебры А 123
Поэтому Ff = F~lf = g, где g=-\\mgn. Ясно, что / лежит
в J (т. е. f = Fg).
Теперь мы покажем, что всякий ненулевой замкнутый
идеал в А имеет такой же вид. Пусть J—замкнутый идгал
и К—замкнутое множество меры нуль на окружности, по-
полученное пересечением нулевых множеств на окружности
всех функций из J. Как получить внутреннюю функцию F?
Эта функция F должна быть внутренней функцией, делящей
всякую функцию / из J. На самом деле, чувствуется, что F
должна быть „наибольшим общим делителем" их внутрен-
внутренних частей. Нам будет нужно следующее предложение.
Если F и О — внутренние функции, то мы буден говорить,
что F делит О, если G/F—ограниченная аналитическая
функция. Если F делит G, то ясно, что Q/F снова внут-
внутренняя функция.
Лемма. Пусть $~ — любое непустое семейство
внутренних функций. Тогда существует единственная
внутренняя функция F с двумя следующими свойствами:
(I) F делит каждую функцию из <&'•,
(II) если Fi — внутренняя функция, делящая каждую
функцию из (&~, то Ft делит F.
Доказательство. Пусть F = BS и Fl = В^ —
внутренние функции. Если F делит Fv то ясно, что В де-
делит В{, т. е. всякий нуль функции F в открытом круге
(с учетом кратности) есть также нуль функции Fy Если F
делит Fv то ясно, что 5 должна делить Sy Далее, имеем
где (а — положительная сингулярная мера, определяющая 5,
а [*! — соответствующая мера для Sv Функция SJS ограни-
ограничена тогда и только тогда, когда р. — [а, -^ 0, т. е. тогда и
только тогда, когда (^ >- (а.
Для данного семейства $~ отыскиваемая нами функция Р
определяется следующим образом. Произведение Бляшке
для F строится по общим нулям всех функций из 3^. Мерой ц
для F будет „наибольшая" положительная мера на окруж-
окружности, которая не превосходит соответствующих мер всех

124 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
функций из 4F'• Если такая мера существует, то ясно, что
мы нашли нужную нам функцию F.
Нам надо лишь доказать, что любое семейство положи-
положительных мер имеет наибольшую нижнюю грань. Это легко
проверить. Если {ца}—такое семейство мер, то наибольшая
нижняя грань мер {д,в есть мера [а, определяемая соотношением
H(?) = ini 2 lnf !*.(?,).
Р j-l а
где Р пробегает всевозможные разбиения множества Е на
непересекающиеся бэровские множества Ех, .... Еп. По-
Показав, что {д, есть мера, мы завершаем доказательство.
Следует сказать, что функция F называется наибольшим
общим делителем внутренних функций семейства 47~,
Теорема. Пусть J—ненулевой замкнутый идеал
в А и К — пересечение нулевых множеств функций из J
на единичной окружности. Пусть F — наибольший об-
общий делитель внутренних частей ненулевых функции
из J. Тогда J совпадает с множеством функций вида Fg,
где g пробегает все функции из А, равные нулю на К.
Доказательство. В соответствии с определением F
и К, всякая функция / из J имеет вид Fg, где g — функ-
функция из А, равная нулю на К. Надо лишь за g взять отно-
отношение внутренней части / к F, умноженное на внешнюю
часть /.
Если J—множество функций из А вида fjF, где /?У,
то ясно, что 7—замкнутый идеал в А, содержащийся
в идеале всех функций, равных нулю на К. Мы должны
докавать, что оба эти идеала совпадают. В силу сказанного
нам достаточно доказать теорему лишь в случае F=\.
Допустим, что J—замкнутый идеал в А, такой, что наи-
наибольший общий делитель внутренних частей его ненулевых
функций равен 1. Пусть К — общие нули функций из J
на окружности и / = / (К) — идеал всех функций из А, рав-
равных нулю на К. Мы докажем, что J = /(K). Для этого
достаточно доказать, что любая комплексная мера на окруж-
окружности, ортогональная к /, также ортогональна к /. Это озна-
означает, что на У и /, как замкнутых подпространствах про-

Замкнутые идеалы алгебры А 125
странства непрерывных функций на окружности, обращаются
в 0 одни и те же ограниченные линейные функционалы.
Пусть \х — конечная комплексная бэровская мера на окруж-
окружности, ортогональная к J, т. е.
Фиксируя функцию / из J, мы имеем (так как J—идеал)
f ^fdp^O, л = 0, 1, 2,
Это означает, что /flfji.— „аналитическая" мера. Тогда по
теореме Риссов имеем
где Н/^Н1. Заметим также, что Hj равна нулю в начале
координат.
Пусть
разложение Лебега для меры (* (т. е. ер ? L1, и (i, — сингу-
сингулярная мера). Из сказанного выше ясно, что/ d\Ls=0 для любой
функции / ? У. Так как функции идеала J не имеют общих
нулей вне множества К, то мера [а5 сосредоточена на К.
С каждой функцией / из J мы связали //'-функцию Hf,
такую, что /<р = Ht почти всюду. Если / Ф 0, то функция tp
совпадает почти всюду с пределами по некасательным напра-
направлениям мероморфной функции Hflf в круге. Наряду
с другими фактами, мы видим, что мероморфная функция HJf
(при /фО, f?J) не зависит от /. Если /, g — ненулевые
функции из J, то имеем Hjjf = Hglg почти всюду на окруж-
окружности; следовательно,
gHf—/Я^ = 0 почти всюду на окружности.
Но функция gHf — fHg лежит в Н1. Поэтому эта функция
равна тождественно нулю в круге
Hf (г) Не{г)
/(*> = g(*) '
Обозначим эту мероморфную функцию через М. Заметим,
что на самом деле М аналитична, так как мы предположили,

126 Гл. б. Функции с непрерывными граничными значениями
что н. о. д. внутренних частей функций из J равен единице.
Поэтому для любой точки X открытого единичного круга
найдется функция / ? J, такая, что / (X) ф 0. Так как M=Hf/f,
то М аналитична в тот е X.
Докажем, что М лежит в Я1. Так как пределы по не-
некасательным направлениям функции М совпадают с функ-
функцией <р почти всюду, то этим будет показано, что <р ? Я1.
Конечно, функция М может быть нулем, но этот случай ни-
никаких рассмотрений не требует. Если выбрать функцию
/ ф 0, f?J (или воспользоваться тем фактом, что М — функ-
функция ограниченной характеристики) и вспомнить, что М —
функция аналитическая, то станет ясным, что
М (z) - IB (z) ехр ? J i?±? dp (») J ,
где В — произведение Бляшке, а р — вещественная мера,
определяемая соотношением
= i log \9\db + dPl-dp2,
причем pj и р2 — положительные сингулярные меры на окруж-
окружности. При любой функции f?J функция fM лежит в Я1.
Это, очевидно, означает, что если ^—мера, определяемая
сингулярной частью функции /, то P/^Pi- Но внутренние
множители функций / имеют н. о. д. 1, так что рх = 0.
Таким образом,
М(z)- ХВ(г)ехр [- f ^±^dp2 j X
где (p^i1, loglfpl^I1, a p2—положительная сингулярная
мера. Поэтому М лежит в Я1, т. е. ср лежит в Я1 на окруж-
окружности. Функция М равна 0 в начале координат, так как
каждая функция Hj обладает этим свойством.

Замкнутые идеалы алгебры А 127
Пусть теперь h — любая функция из А, равная нулю на К.
Тогда
Так как функция ер лежит в Я1 и обращается в 0 в на-
начале координат, то первый интеграл равен 0. Так как
мера \ls сосредоточена на К, а Л обращается в 0 на К, то
второй интеграл также равен 0. Это завершает доказательство.
Следствие. Всякий максимальный идеал алгебры А
имеет вид
где X — некоторая точка замкнутого единичного круга.
Доказательство. Сначала следует заметить, что если
J—любой собственный идеал в А, то замыкание J—тоже
собственный замкнутый идеал в А. Ясно, что замыкание J
есть идеал; надо показать лишь, что он собственный. Если /
принадлежит к идеалу J, то должно выполняться соотноше-
соотношение || 1—/Иоо^-1. Если || 1—/lloo<l. то, очевидно, функ-
функция 1// лежит в Л, а никакой элемент собственного идеала
не может быть обратимым. Таким образом, соотношение
|| 1 —/Иоо^-1 будет также выполняться для всех функций /
из замыкания J. Если М — максимальный идеал, то в силу
сделанных замечаний ясно, что он замкнут. Даннэе выше
описание замкнутых идеалоз показывает, что М должен со-
совпадать с одним из идеалов Мх.
Следствие. Если /,, ..., /„ — функции из А, не
имеющие общих нулей в замкнутом круге, то сущест-
существуют в А такие функции g{ gn, что
Доказательство. Множество всех функций вида
fxgK -)-... -f- fngn есть идеал. Если он не содержит еди-
единицы, то он является собственным идеалом и долж?н (по
лемме Цорна) содержаться в некотором максимальном идгале.
Следствие. Всякий замкнутый идеал в А является
главным замкнутым идеалом, порожденным функцией g
из А.

128 Гл. б. Функции с непрерывными граничными значениями
Доказательство. Нулевой идеал, конечно, является
главным. Если J — ненулевой замкнутый идеал, то пусть К
и F — те же, что и в теореме. Пусть g—любая функция
из А, нули которой в точности совпадают с множеством К
и имеющая функцию / своей внешней частью. Тогда ясно,
что функция Ff порождает идеал J.
Следствие. Примарные (т. е. содержащиеся только
в одном максимальном) замкнутые идеалы в А бывают
только двух типов:
(I) У—главный идеал, порожденный функцией (z— а)*,
где k — положительное целое число, а а — точка откры-
открытого единичного круга.
(II) J — (замкнутый) главный идеал, порожденный
функцией
где |Х| = 1, а р — неотрицательное вещественное число.
Доказательство. Если У—примерный идеал, содер-
содержащийся в максимальном идеале Ма, где |а| •< 1, то соот-
соответствующее множество К пусто, а соответствующая вну-
внутренняя функция должна равняться
Если J—примарный идеал, лежащий в Мх, где |Х| = 1, то
/С = {Х}, а соответствующая функция F должна равняться
F(z) = ехр — I ..^ du. (Ь) ,
где (* — положительная мера, сосредоточенная в точке X. Если
положить р = р.({X}), то получим (II).
Не всякий замкнутый идеал в А есть пересечение при-
марных идеалов. Если J, К и F — те же, что
и выше, то легко проверить, что J есть пересечение примар-
ных идеалов тогда и только тогда, когда мера {д,, опреде-
определяющая сингулярную часть функции F, дискретна, т. е.
является суммой счетного числа точечных масс.
Подведем итоги. Пусть J— замкнутый идеал в А, 0 =?7^А,
Тогда идеал J содержится в некотором множестве макси-

Замкнутые идеалы алгебры А 129
мальных идеалов. Это множество обычно называется обо-
оболочкой У. Таким образом, оболочка У есть множество общих
нулей в круге функций из У. Об оболочке (У) можно ска-
сказать следующее.
(I) Оболочка (У) есть непустое собственное замкнутое
подмножество круга |z|<С 1.
(II) Существует конечное или счетное множество точек
открытого круга, принадлежащих оболочке (У). Если таких
точек otj, а2, ... бесконечное число, то
(III) Пересечение оболочки (У) с единичной окружностью
есть замкнутое множество К лебеговой меры нуль, содер-
содержащее все предельные точки последовательности ая из (II).
Ясно, что любое замкнутое множество, удовлетворяющее
условиям (I), (II) и (III), есть оболочка некоторого за: кну-
того идеала в А, именно идеала всех функций из А, равных
нулю на этом множестве. Этот идеал есть просто пересече-
пересечение всех максимальных идеалов, содержащих У, где У—любой
идеал, имеющий это множество своей оболочкой. Это пере-
пересечение обычно называется ядром оболочки У.
Если Н—оболочка, то мы имеем полное описание всех
замкнутых идеалов У, имеющих множество Н своей обо-
оболочкой. Всякий такой идеал получается следующим образом.
Для каждой точки ал из Н выберем положительное целое
число рп. Единственным ограничением при этом выборе рп
является условие 2 Рп(^—1ал1) "^ °°- Выберем конечную
положительную меру [а на ЯП С. Пусть У—множество функ-
функций / из А, таких, что
(а) / равна нулю на Н;
(б) / имеет нуль порядка не меньше рп в точке ал;
(в) функция
ограничена при |г|->1. При каждом таком выборе последо-
последовательности рп и меры р. мы получаем замкнутый идеал У,
и при различных выборах получаются различные идеалы.
Последовательность рп характеризует порядки нулей внутри
9 Зак. 1057.

130 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
круга, а мера (х характеризует „порядок" обращения функ-
функций в нуль у границы.
Тот случай, когда Н состоит из единственной точки, мы
уже рассматривали. Если Н = {X} и |Х |< 1, то получается
счетное число замкнутых идеалов с оболочкой Н. Если
|Х| = 1, то существует континуум различных замкнутых идеа-
идеалов с оболочкой Н.
Коммутативные банаховы алгебры
Мы хотим доказать теорему Вермера о том, что А есть
максимальная замкнутая подалгебра алгебры непрерывных
функций на единичной окружности. Для этого нам не пона-
понадобится теория идеалов, построение которой мы сейчас
закончили; однако нам будет нужно описание максимальных
идеалов алгебры А (мы его имеем). Как отмечалось раньше,
описание максимальных идеалов легко получить, если знать
одну фундаментальную теорему о коммутативных банахо-
банаховых алгебрах, и мы сейчас выведам результат о максималь-
максимальных идеалах из этой теоремы, так как используемые при
этом понятия будут существенны при доказательстве тео-
теоремы Вермера.
Коммутативная банахова алгебра есть коммутатив-
коммутативная комплексная линейная алгебра В, снабженная нормой,
в которой она является банаховым пространством, причем
норма связана с умножением следующим соотношением:
Если в В есть единица по умножению, то также требуется,
чтобы единица имела норму 1. Ясно, что А является именно
таким объектом, т. е. это коммутативная банахова алгебра
с единицей (при sup-норме). В качестве другого примера
возьмем
Я = /Г. ||/|| = sup|/(z)|, |г|<1.
Пусть В — коммутативная банахова алгебра с единицей.
Обозначим единицу алгебры В через 1 и — для краткости —
XI через X.
Лемма 1. Если || 1 — х||< 1, то элемент х обратим.

Коммутативные банаховы алгебры 131
Доказательство. Так как ||у"|КП|у |". то ряд
1-)-A—х)-\-(\—хJ + ... сходится в В к элементу
лг^П-О-лОГ1.
Лемма 2. Если |Х|>[|х||, то элемент (х— X)
обратим.
Доказательство, (л: — X) = XI у х — 1).
показать, что обратим элемент 1 г- х. Но
Достаточно
так что элемент 1 — уХ обратим в силу леммы 1.
Лемма 3. Множество обратимых элементов ал-
алгебры В открыто, и на этом множестве отображение
х-*х~1 непрерывно.
Доказательство. Пусть х — обратимый элемент
и у — любой элемент В, такой, что
\\х-у\\<\\х-Ц-К
Тогда
Таким образом, в виду леммы 1 элемент х~1у обратим;
поэтому обратим и элемент у. Это показывает, что множе-
множество обратимых элементов открыто. Если воспользоваться
геометрической прогрессией для обратного к элементу (х~1у),
то легко показать, что
это доказывает непрерывность операции обращения.
Лемма 4. Множество комплексных чисел X, таких,
что элемент (х — X) обратим, открыто в комплексной
плоскости; его дополнение компактно и непусто.
Доказательство. Множество таких чисел X открыто
ввиду леммы 3. Его дополнение называется спектром эле-
элементах. Оно компактно, так как (по лемме 2) содержится
в замкнутом круге радиуса ||х||. Для доказательства
9*

132 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
непустоты спектра рассуждаем следующим образом. Пусть
F— любой ограниченный линейный функционал на В. На до-
дополнении к спектру элемента х определим комплекснознач-
ную функцию /, полагая
Функция / аналитична. Действительно,
= jF[h(x — 'k — А) (х — X)] =.
= /7[(*_Х— А)^ — X)'1].
Если положить h -»0, то ясно (ввиду непрерывности опе-
операции обращения и функции F), что / дифференцируема и
Заметим, что lim /(X) = 0, потому что
|М->оо
yJt-*O при IXI -> oo и (так как обращение и функция F
непрерывна)
Если спектр элемента х пуст, то для каждого ограни-
ограниченного линейного функционала F связанная с ним функ-
функция / является целой и стремится к нулю на бесконечности.
По теореме Лиувилля /(А)==0; в частности, 0 = /@)==/='(д;~1).
На элементе х~1 всякий ограниченный линейный функционал,
таким образом, равен нулю. Поэтому лг~1 = О, но это
невозможно.
Лемма 5. Коммутативная банахова алгебра, явля-
являющаяся полем, есть поле комплексных чисел (изоморфна
полю комплексных чисел).

Коммутативные банаховы алгебры 133
Доказательство. Пусть В — поле их — элемент В.
По лемме 4 существует такое число X, что элемент х— X
необратим. Но В — поле, так что х— Х = 0. Таким образом,
каждый элемент В есть числовое кратное единицы.
Теорема. Пусть В — коммутативная банахова
алгебра с единицей и М — максимальный идеал в В.
Фактор-алгебра В/М изометрически изоморфна полю
комплексных чисел. Таким образом, М есть ядро гомо-
гомоморфизма В на поле комплексных чисел. Кроме того,
М замкнут, и этот гомоморфизм непрерывен.
Доказательство. Для каждого элемента х из М
|| 1 — х Ц^-1. Иначе М содержал бы обратимый элемент
и не был собственным идеалом. Это же неравенство выпол-
выполняется для всех элементов х замыкания М. Это замыкание,
следовательно, есть собственный идеал, содержащий М
и потому равный М.
Фактор-пространство В/Ж несет на себе естественную
фактор-норму
||* + M||=inf||* + y||, y?M.
С этой нормой В/М — банахово пространство. Кроме того,
В/М — коммутативная линейная алгебра. Легко проверить, что
A-\-М) имеет норму 1, и
следовательно, В/М — коммутативная банахова алгебра с еди-
единицей. Так как М — максимальный идеал, то В/М — поле.
Ввиду леммы 5 В/М изоморфно полю комплексных чисел.
Фактор-отображение В на В/М можно теперь рассматривать
как комплексный гомоморфизм В. Он не только непрерывен,
но и не увеличивает нормы. Это завершает доказательство.
Если В — коммутативная банахова алгебра с единицей
и <р — гомоморфизм В на поле комплексных чисел, то ядро ср
есть максимальный идеал в В. В силу последней теоремы
это ядро замкнуто и гомоморфизм <р автоматически непре-
непрерывен; действительно, | <р (х) | ^ | х |. Последняя теорема по
существу устанавливает взаимнооднозначное соответствие
между комплексными гомоморфизмами алгебры В и ее макси-
максимальными идеалами. Другими словами: максимальные идеалы
алгебры В можно отождествить с теми (ограниченными)

134 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
линейными функционалами ср=?О на В, которые мультипли-
мультипликативны, т. е. ср (ху) = ср (х) ср (у).
Эта теорема, конечно, решает вопрос о максимальных
идеалах в алгебре А функций, непрерывных в замкнутом
круге и аналитических внутри него. Пусть М — максималь-
максимальный идеал в А; тогда М — ядро гомоморфизма ср из Л на
комплексные числа. Этот гомоморфизм ср непрерывен, так как
Пусть Х==ср(г). Тогда |Х|-^1. Поэтому на многочленах ср
определяется соотношением
т. е. ср равен значению многочлена в точке X, Многочлены
плотны в А, а так как ср непрерывен, то ср должен совпа-
совпадать со значением в точке X. В частности, М есть множество
функций из А, равных нулю в точке X.
Теорема Вермера о максимальности
Мы теперь обратимся к теореме Вермера о максималь-
максимальности. Далее в основном мы будем рассматривать А как
равномерно замкнутую алгебру функций на единичной окруж-
окружности.
Теорема (Вермер). Алгебра А есть максимальная
замкнутая подалгебра в алгебре непрерывных компле-
кснозначных функций на единичной окружности. Дру-
Другими словами, если /— непрерывная комплекснозначная
функция на окружности, не принадлежащая А, то мно-
многочлены от z и / плотны в алгебре непрерывных функ-
функций на окружности.
Доказательство. Пусть С — алгебра всех непрерыв-
непрерывных комплекснозначных функций на окружности. Предпо-
Предположим, что В—равномерно замкнутая подалгебра С, содер-
содержащая А. Мы докажем, что либо В = А, либо В = С. Это
будет сделано путем рассмотрения комплексного гомомор-
гомоморфизма ср алгебры А — значения функций в начале координат —
и
1

Теорема Вермера о максимальности 135
Предположим сначала, что ср не может быть расширен до
комплексного гомоморфизма В, т. е. что не существует комп-
комплексного гомоморфизма В, сужение которого на А совпа-
совпадает с со. Тогда в В не существует комплексного гомомор-
гомоморфизма, переводящего функцию z в нуль, так как tp — един-
единственный гомоморфизм Л, обладающий этим свойством. Это
означает, что z не лежит ни в одном максимальном идеале В,
и, следовательно, z не лежит ни в одном собственном
идеале В. Поэтому zB~B, так что \\z =-z?B. По теореме
Фейера В = С.
Предположим, что существует комплексный гомоморфизм tp
алгебры В, сужение которого на А совпадает с tp. В част-
частности, tp — линейный функционал на В с нормой 1; он может
быть (по теореме Хана — Банаха) расширен до линейного
функционала с нормой 1 на С. Поэтому на окружности
существует такая конечная комплексная мера [а, что
для всех / из В и полная вариация меры (а равна 1. Так
как <рA)=1, то |d(A=l. Легко видеть, что комплексная
мера, полная вариация которой равна 1 и интеграл от которой
равен 1, должна быть положительной мерой. Так как В со-
содержит А, то
Г einb dp (») =v(zn) —
= ?(*") =
= г"@) =
= 0
для всех п=\, 2, 3 Так как jj. — вещественная мера,
то отсюда вытекает, что dp = -к- db. Пусть теперь/ — любая

136 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
функция из В. Тогда
= ?(*") •*(/) =
для всех п=\, 2 Таким образом, / лежит в А. Отсюда
вытекает, что В —А.
Первоначальное доказательство Вермера этой теоремы,
хотя и не длинное, опиралось на более классические методы,
чем проведенные выше рассуждения (в основном на неко-
некоторые теоремы о граничных значениях в пространствах Нр).
Данное выше доказательство принадлежит Зингеру и Гофману.
П. Коэн, ознакомившись с этим доказательством, извлек из
него весьма элементарное доказательство, которое стоит
привести здесь. Пусть В — замкнутая подалгебра С, содер-
содержащая подалгебру Л и не совпадающая с ней. Ясно, что
в В можно найти функцию /, (—1)-й коэффициент Фурье
которой равен 1. По теореме Фейера можно найти такие
многочлены р и q, что
zf=\ + zp-\-~zq+h,
где h — непрерывная функция с sup-нормой, меньшей чем 1/2.
Выберем положительное число M^.\\zq—zqW^. Для лю-
любого 8 > 0
так как функция zq — zq чисто мнимая. Далее,
bzq =. 8 (zf — 1 — zp) — 8А =
= zg — bh — 8,
где g?B. Так как |А| < 1/2, то мы имеем

Литературные примечания 137
Если выбрать 8 так, что 8 < 1/B/И2), то
Функции g, q и z лежат в В, так что это неравенство
показывает, что элемент z{g-\-bq) обратим в В. Но тогда
и z обратима в В, т. е. z лежит в В. Тогда В— С по тео-
теореме Фейера.
Следствие. Если К — собственное замкнутое под-
подмножество единичной окружности, то каждая непре-
непрерывная комплекснозначная функция на К есть равно-
равномерный предел многочленов.
Доказательство. Конечно, мы уже дали два дока-
доказательства этого факта, но новое доказательство также инте-
интересно. Пусть В — множество всех непрерывных функций /
на окружности, таких, что сужение / на К равномерно
приближается на К многочленами. Ясно, что В — равномерно
замкнутая алгебра функций на окружности, содержащая А.
Так как К — собственное замкнутое подмножество окруж-
окружности и В содержит (в частности) все непрерывные функ-
функции, равные нулю на К, то В не может совпадать с А.
В силу максимальности А множество В совпадает с алгеброй
всех непрерывных функций на окружности.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Бьёрлинг не опубликовал теорию идеалов алгебры А. Основ-
Основные идеи см. в статье Бьёрлинга [15] '). Статья Рудина о теории
идеалов — [70]; его статья [69] содержит распространение непре-
непрерывных функций с множества нулевой меры. Это было сделано
также Карлесоном [38]. Обобщения см. в статье Бишопа [10]. Ориги-
Оригинальная работа о нетривиальном продолжении нулевой функции —
статья Фату [80]. Поведение сопряженных гармонических функций
на границе изучено в книге Зигмунда [35]. Теорию коммутативных
банаховых алгебр см. в статьях Гельфанда [25] или Гельфанда — Рай-
Райкова— Шилова [26]. Теорему Вермера о максимальности см. в его
работе [16]. Доказательство, приведенное нами, принадлежит Гоф-
Гофману и Зингеру [32]. Доказательство Коэна см. в его работе [42].
Максимальные алгебры непрерывных функций были детально рас-
') Важные результаты были получены Г. Е. Шиловым [1041,
который, в частности, обнаружил в кольце аналитических функции
континуальные цепочки вложенных примариых идеалов. — Прим. ред.

138 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
смотрены в работе Гофмана — Зингера [32]. См. работы Бишопа
о непосредственном обобщении теоремы Вермера: на односвязном
компактном множестве плоскости, имеющем внутренние точки,
равномерное замыкание многочленов есть максимальная замкнутая
подалгебра алгебры непрерывных функций на границе. Максималь-
Максимальность есть специальный вид аппроксимационной теоремы. Подробнее
о приближении аналитическими функциями см. книги Уолша [79]t
Ахиезера [6], статьи Мергеляна [55, 56], Шаца [93] и Мюнтца [57]]
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что функция /(Э) = A — е'*)ехр tb непре-
непрерывна на единичной окружности, что существует аналитическая
функция в круге, имеющая почти всюду пределы по некасательным
направлениям, равные /, и что / не есть равномерный предел мно-
многочленов.
2. Если /6//°° и /2€А то вытекает ли отсюда, что f?A
(А — равномерное замыкание многочленов)? Что будет, если пред-
предполагать лишь непрерывность граничных значений функции /2?
Ответить на оба эти вопроса (зная, что функция /2 непрерывна
в замкнутом круге или имеет непрерывные граничные значения),
когда/—ограниченная гармоническая функция.
3. Пусть /—непрерывно дифференцируемая функция на еди-
единичной окружности и
вычислить интеграл
1С
ДИ—l±dt.
— Г
4. Всякая ли функция /нз Н°° является производной функции
из А1 Что можно сказать о функциях / из /У1?
5. Доказать следующую теорему Рунге [73] о приближении:
если К — компактное множество на плоскости со связным дополне-
дополнением, то всякая функция, аналитическая в окрестности К, может
быть равномерно приближена на К многочленами. Вот набросок
доказательства. (I) Воспользоваться теми же рассуждениями, кото-
которые мы применяли к множеству К на окружности, для доказатель-
доказательства того, что функция l/(z — а) при любом а, не лежащем в К,
может быть приближена. (II) Для данной функции /, аналитнческой
в открытом множестве U, UzzK, выбрать спрямляемый замкнутый
контур Г в У так, что он обходит каждую точку из К ровно одни

Упражнения 139
раз. Написать для / ее интегральное представление Кошн по зна-
значениям на контуре Г и заметить, что интегральные суммы дают
равномерное приближение / рациональными функциями.
6. Пусть (?>„}—последовательность замкнутых кругов с цент-
центрами в начале координат, такая, что Dn лежит внутри Ол^,,
и объединение всех Dn есть открытый единичный круг. В круге ип
выберем замкнутое множество Кп, лежащее внутри Dn и не пере-
пересекающееся с Ьп-\. Предположим, что Кп имеет связное дополне-
дополнение в плоскости. Используя теорему Рунге (упражнение 5), дока-
доказать, что всякая функция /, определенная и аналитическая
в окрестности объединения множеств К„, может быть равномерно
приближена на этом объединении функциями, аналитическими
в открытом единичном круге. Вот набросок доказательства. Для
дан.юй функции / н числа г > 0 выберем многочлен ри прибли-
приближающий / на D, равномерно с точностью до е/2. Выберем, далее,
многочлен рг, приближающий равномерно с точностью до е/4
многочлен р, на D, и функцию / на Кг- Затем приближаем рг на
D2 и / на /Сз с точностью до е/8 многочленом pit и т. д. После-
Последовательность многочленов [р„] сходится к функции, приближаю-
приближающей / с точностью до е.
7. Используя результат упражнения 6, построить:
(а) аналитическую функцию в единичном круге, не имеющую
радиальных пределов ни в одной точке единичной окружности;
(б) (Реммерт) три аналитические функции /, g и h, разде-
разделяющие точки круга; в каждой точке производная хотя бы одной
из них не равна нулю, H|/|-j-|g-|-|-]/t| около границы равномерно
стремится к -\-со. (Положить h(z) = (\ — г)~1, а функции fug
получить как в упражнении 6, используя последовательности непол-
неполных колец с выемкой у положительной полуоси.);
(в) последовательность аналитических функций в круге, схо-
сходящуюся поточечно к нулю, но не сходящуюся равномерно на
компактных множествах.
8. Для каких функций / из А (равномерного замыкания мно-
многочленов) / принадлежит замкнутому идеалу, порожденному функ-
функцией /2?
9. Пусть /,, ..., /„ — аналитические функции в открытом еди-
единичном круге, не имеющие общих нулей в ней. Доказать, что су-
существуют аналитические функции gt, ..., gn в круге | г | < 1, такие,
4T°/i?'i+ ... +/л?п = 1- (Указание. Пусть Dk — замкнутый круг
радиуса 1 — lj(k-\-\). Используя соответствующий результат для
аналитических функций с непрерывными граничными значениями,
найти функции g^\..., g^\ непрерывные на Dx и аналитические
внутри Dj, такие, что 2^(^'>=^ на ^1" Затем доказать,
что существуют функции gf\ .... g1® непрерывные на D2 н ана-
аналитические внутри него, такие, что 2 f j^f1 = 1 на ^2
и | g^p — gj>\ < 1 на Dj. Выберем функции gf*. .... ?(п3) так, что
IifjSf-=l на D3, |42)-43>1 <J на °2 и т. д.)

140 Гл. 6. Функции с непрерывными граничными значениями
10. Пусть Н(D) — полное кольцо аналитических функций на
некотором открытом множестве D в комплексной плоскости. До-
Доказать, что всякий гомоморфизм Н (D) в поле комплексных чисел
есть значение функций в точке D. Если D непусто, доказать, что
ядрами этих гомоморфизмов не исчерпываются все максимальные
идеалы кольца Н (D).
11. Доказать обратную теорему Винера [20]: если /—непре-
/—непрерывная функция на единичной окружности без нулей, имеющая
абсолютно сходящийся ряд Фурье, то функция 1// также имеет
абсолютно сходящийся ряд Фурье. {Указание. Пусть В— алгебра
всех непрерывных комплекснозначных функций / на единичной
окружности, имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье
Введем на В норму, равную этой сумме. Проверить, что В — ком-
коммутативная банахова алгебра с единицей. Показать, что всякий
гомоморфизм В на комплексные числа есть значение в некоторой
точке единичной окружности. Применяя основной результат о ба-
банаховых алгебрах, мы докажем сформулированное утверждение.)
12. По методу упражнения 11 доказать следующее. Если
/(г) — 2 anz"< 2 ' а"' "^ °° и f не имеет нУлеи в замкнутом еди-
единичном круге, то функция 1// также имеет абсолютно сходящийся
ряд Тейлора.
13. Привести пример неотрицательной функции на единичной
окружности, логарифм которой интегрируем, но которая ие является
модулем функции из А.

Глава 7
ОПЕРАТОР СДВИГА
Оператор сдвига в пространстве Н2
Многие задачи анализа тесно связаны с классификацией
инвариантных подпространств ограниченных, линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве. В статье 1949 г. в Acta
mathematica" Бьёрлинг дал полное описание всех инвариант-
инвариантных подпространств оператора „умножения на z" в гильбер-
гильбертовом пространстве Н2. Эта работа была продолжена в раз-
различных направлениях Лаксом, Хельсоном и Лоуденслегером,
а также Халмошем. Теперь она тесно связана с гармоническим
анализом на вещественной прямой, теорией предсказаний,
представлением алгебр, представлением полугрупп и изуче-
изучением функциональных алгебр (алгебр Дирихле). Надо пола-
полагать, что исследования, продолжающие работу Бьёрлинга, еще
далеки от своего завершения. Тема, которую мы собираемся
обсудить (и соответствующие доказательства), достигли теперь
такого уровня, что можно начать с небольшого общего рас-
рассмотрения частичных изометрий в гильбертовом пространстве,
а затем получить многие результаты, конкретизируя эти изо-
изометрий. Именно так делал Халмош в своей недавней работе:
однако эта общая точка зрения не всегда дает самые корот-
короткие и наиболее поучительные доказательства в конкретных
елучаях. (В некоторых случаях это все же так.) Мы начнем
с исходной задачи Бьёрлинга, используя доказательство Хель-
сона — Лоуденслегера, после чего остановимся на различных
обобщениях. Такой способ приведет к повторениям некото-
некоторых доказательств, но это, быть может, и к лучшему.
Линейный оператор, который мы собираемся изучать,
обычно называется оператором сдвига (в Н2). Этот линей-
линейный оператор Т в гильбертовом пространстве Н2 может быть
описан различными способами:

142 Гл. 7. Оператор сдвига
A) Я2—пространство квадратично суммируемых после-
последовательностей комплексных чисел
s = [a0, av a2, ... ] и T(s) — [0, ao, аг, ...].
B) И2— пространство /Лфункций на единичной окруж-
окружности, коэффициенты Фурье которых с отрицательными ин-
индексами равны 0, и
GУ) (») = «
C) W2 — пространство аналитических в единичном круге
функций, таких, что функции fr{b) = f(re1^) ограничены в ?2-
норме, и Т есть „умножение на z".
Мы не будем существенно различать второе и третье
описания оператора. Задача состоит в следующем: найти все
замкнутые подпространства 5 в Н2, инвариантные относи-
относительно умножения на г, т. е. такие, что
Очевидным примером такого подпространства является про-
пространство функций, равных нулю в начале координат, ил»
пространство функций, равных нулю на любом фиксирован-
фиксированном множестве точек в открытом круге. Это, конечно, очень
напоминает теорию идеалов в алгебре А, которую мы по-
построили в предыдущей главе. Сходство в действительное™
настолько велико, что приводит нас немедленно к более об-
общему примеру инвариантного подпространства:
5 = FH2,
где F — фиксированная внутренняя функция. Мы, однако,
напомним, что замечательное наблюдение Бье'рлинга состояло
как раз в том, что внутренние функции тесно связаны
с описанием инвариантных подпространств оператора сдвига.
Именно эта его работа и была предпосылкой к теории идеа-
идеалов алгебры А.
Заметив, что каждое FH2 есть инвариантное подпростран-
подпространство, можно предположить, что других инвариантных под-
подпространств на существует. Это действительно так. Приняв
это, естественно спросить: если S = FH2 для некоторой
внутренней функции F, то как, зная S, найти F? Понятно,
что функция F будет наибольшим общим делителем внутрен-
внутренних частей функций из 5. Это также было замечено Бьёрлин-

Оператор сдвига в пространстве Н2 143
гом и кажется нам естественным, потому что мы уже подробно
рассмотрели случай непрерывных граничных значений. Бьёр-
линг заметил также, что если F@) Ф 0, то F— числовое
кратное ортогональной проекции 1 на S. Пусть F — внутрен-
внутренняя функция и \=F@). Тогда XF есть ортогональная про-
проекция 1 на FH2:
— IF),
JL
= (F@)—T)g@) =
для любой функции g из Я2. Это замечание приводит нас
в конечном счете к следующему доказательству Хельсона и
Лоуденслегера.
Теорема. Пусть S—ненулевое замкнутое подпро-
подпространство Я2; 5 инвариантно относительно умножения
на z тогда и только тогда, когда S = FH2, где F —
внутренняя функция.
Доказательство. Первая половина утверждения три-
тривиальна. Предположим, что нам дано инвариантное подпро-
подпространство 5. Без ограничения общности можно считать, что
в 5 существует, по крайней мере одна функция, не равная
0 в начале координат. Действительно, если k — наиболь-
наибольший порядок общего нуля функций из 5 в точке 2 = 0,
то S = zkS0, где So — инвариантное подпространство и
содержит функцию, не равную 0 в начале координат.
Пусть О — ортогональная проекция постоянной функции 1
на 5:
—О).
где G?S, а A—G) ортогональна к 5. Мы полагаем, что
О Ф 0, так как 1 ортогональна к 5 тогда и только тогда,
когда все функции из 5 обращаются в нуль в начале коорди-
координат. Докажем теперь, что модуль функции О сохраняет по-
постоянное значение на единичной окружности. Так как 0^5,
то z"G ? 5 при «=1,2,3 По определению, A — О)
ортогональна к 5, и так как z"O равны 0 в начале

144 Гл. 7. Оператор сдвига
координат, то мы имеем
тс
= — ~ f
Положительная мера | О |2 d& ортогональна к функциям е1гЛ,
га—1, 2, 3, ... и должна поэтому быть кратной мере Ле-
Лебега.
Покажем, что 5 = GH2. Так как модуль G сохраняет
постоянное значение на окружности и так как G ? 5, то ясно,
что 5 содержит GH2. Пусть / — функция из S, ортогональ-
ортогональная к GH2. Докажем, что / = 0. Так как / ортогональна
к Gz", /г = 0, 1, 2 то мы имеем
0=-^- С fGe-inOdd, « = 0,1,2
ZTL J
— тс
По определению функции G функция (I — G) ортогональна
к znf, т. е.
тс
1
= 2JT
Следовательно, функция /G есть тождественный нуль; так
как q — ненулевая функция, постоянная по модулю, то / = 0.
Мы приходим к выводу, что S = GH2. Если умножить функ-
функцию G на соответствующую постоянную, то мы получим

Оператор сдвига в пространстве Н2 145
внутреннюю функцию F, такую, что 5 = FH2. Эта функ-
функция F, конечно, определена с точностью до постоянной,
равной по модулю единице.
Следствие. Если S — нетривиальное замкнутое
подпространство в И2, инвариантное относительно
умножения на z, то S = FH2, где F — наибольший об-
щий делитель внутренних частей функций из S.
Следствие. Пусть / — функция из И2. Функции z"f,
л = 0, 1, 2, ... порождают Н2 тогда и только тогда,
когда f — внешняя функция, т. е. тогда и только тогда,
когда f Ф 0 и
= -1- J log |/
Доказательство. Оболочка функций znf есть просто
наименьшее замкнутое подпространство Н2, содержащее /
и инвариантное относительно умножения на z. Это подпро-
подпространство совпадает с Н2 тогда и только тогда, когда внутрен-
внутренние части функций из него имеют наибольший общий делитель,
равный 1, а это означает, что внутренняя часть функции /
равна 1, т. е. / — внешняя функция. Когда мы первый раз
встретились с внешними функциями, было отмечено, что их
характеристическим свойством является обращение неравен-
неравенства Иенсена в равенство.
Следует, быть может, сказать, что описание инвариант-
инвариантных подпространств позволяет явно обрисовать образуемую
ими структуру. Каждому ненулевому инвариантному подпро-
подпространству 5 мы ставим в соответствие единственную внутрен-
внутреннюю функцию F. Если дано другое такое подпространство Sv
то ясно, что 5 содержится в 5, тогда и тодько тогда, когда Ft
делит F. Всякий набор инвариантных подпространств имеет
наименьшую верхнюю грань, именно, подпространство, соот-
соответствующее наибольшему общему делителю связанных с ними
внутренних функций. Процесс этот, конечно, обратим, т. е.
«ожно воспользоваться данным описанием для доказательства
того, что любой набор внутренних функций имеет наиболь-
наибольший общий делитель.
10 Зак. 1057.

146 Гл. 7. Оператор сдвига
Еще несколько слов об алгебрах Дирихле
Центральный момент в данном выше описании переносится
на случай алгебр Дирихле, введенных в гл. 4. Напомним, что
алгебра Дирихле есть равномерно замкнутая алгебра А не-
непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаус-
дорфовом пространстве X, такая, что вещественные части
функций из А плотны в пространстве вещественных непре-
непрерывных функций на А'. Если/я — любая ненулевая положитель-
положительная мера на X, мультипликативная на А, то мы определяем
пространство H2(dm) как замыкание в L2{dm) функций из А.
В этом пункте мы хотим рассмотреть „инвариантные под-
подпространства" И2 (dm). Конечно, речь пойдет не об операторе
сдвига в H2(dm). Мы рассмотрим подпространства, инва-
инвариантные относительно умножения на все функции / из А.
Если А — алгебра непрерывных функций на единичной
окружности, коэффициенты Фурье которых с отрицательными
индексами равны нулю, а /и — нормированная мера Лебега,
то H2(dm) = Н2, и подпространства, инвариантные относи-
относительно умножения на функции из А, и есть в точности ин-
инвариантные подпространства оператора сдвига. Таким образом,
положение, описанное нами, есть обобщение случая инвари-
инвариантных подпространств оператора сдвига.
Пусть Л—алгебра Дирихле на компактном пространстве X
и m — фиксированная положительная мера на X, мультипли-
мультипликативная на А.
Теорема. Пусть S — замкнутое подпространство
H2(dm), инвариантное относительно умножения на функ-
функции из А. Предположим, что существует по крайней
мере одна функция g?S, такая, что I gdm Ф 0. Тогда
существует функция F в H2(dm), равная по модулю 1
почти всюду по мере т, и такая, что S — FH2(dm),
Доказательство. Мы набросаем доказательство, по
существу совпадающее с данным нами доказательством соответ-
соответствующей теоремы в случае круга. Сначала без труда проверя-
проверяется, что мера т мультипликативна на Я2 (dm). Если 5—подпро-
5—подпространство, данное в условиях теоремы, то 1 не ортогональна
к S. Пусть G—ортогональная проекция 1 на 5. Пусть Ло—мно-

Еще несколько слов об алгебрах Дирихле 147
жество функций / из А, таких, что I / dm = 0. Так как
Г Gf dm= Г fdm- Г G dm = 0
для любой функции / из Ло> то
0= ГA — G)Gf dm —
= -ff\G\2dm
для любой функции / из Ло. Так как А — алгебра Дирихле,
то мера \G\2dm есть кратное меры dm. Поэтому \G\=k,
где k — ненулевая постоянная. Тогда ясно, что S содержит
GH2(dm). Если g лежит в 5 и ортогональна к GH2(dm),
то мы имеем
J gGfdm = 0, f?A.
Но по определению функции О, если / ? Ло, то
0 =
= -fgG/dm.
Таким образом, мера gG dm равна нулю, откуда вытекает, что
g = 0 почти всюду по мере dm.
Подпространства H2(dm), в которых все функции обра-
обращаются в нуль по мере т, не могут быть описаны функ-
функциями, равными по модулю 1. Пусть, например, X — тор.
Выберем иррациональное число а и примем за А алгебру всех
непрерывных функций на торе, коэффициенты Фурье которых
равны 0 в полуплоскости т-\- «а^-0. Тогда Л —алгебра
Дирихле. Если dm —-j-j d6 dty, то пространством H2(dm)
будет пространство квадратично интегрируемых функций на
торе с рядом Фурье
Л11-ла>0

148 Гл. 7. Оператор сдвига
Если взять за 5 подпространство функций /, для которых
йод = 0, то 5 инвариантно относительно умножения на функ-
функции из А, но не представимо в виде S = FH2(dm).
Критерий того, что функция порождает пространство
H2(dm), также обобщается следующим образом.
Теорема. Пусть g — функция из H2(dm). Замкну-
Замкнутая линейная оболочка функций fg, f ? А, совпадает
с И2 (dm) тогда и только тогда, когда
Г log | g | dm = log Г gdm
J I J
>— oo.
Доказательство может быть получено без труда,
если воспользоваться теоремой Сегё для алгебр Дирихле, до-
доказанной в гл. 4. Пусть g — функция из И2 (dm). Предпо-
Предположим, что Ag плотно в H2(dm). Тогда в А существует
такая последовательность функций gn, что
Поэтому ясно, что
Мы можем, следовательно, считать, что gn=^^~1 — /„, где
/л 6 Л> — множеству функций / из А, таких, что lfdm = 0.
Далее,
Отсюда мы делаем вывод, что
Таким образом,
inf Г|1-/|2Ы2<*/и<|Х|2 = | [gdm
Но обратное неравенство выполнено для всех g. Поэтому
нижняя грань равна |Х|2. Теорема Сегё утверждает, что эта

Инвариантные подпространства Н7 в полуплоскости 149
нижняя грань равна
zxp[flog\g\*dm],
так что мы получаем
j log | g | dm = log |J g dm
>—со.
Нетрудно, обращая проведенные рассуждения, показать,
что если последнее условие выполнено, то 1 лежит в за-
замыкании Ag; следовательно, Ag порождает все простран-
пространства И2 (dm).
Инвариантные подпространства пространства Н2
в полуплоскости
Рассмотрим полуплоскость Re (w) > 0. Если / аналитична
в этой (правой) полуплоскости и интегралы
ограничены при X > 0, то мы говорим, что / принадлежит
классу Я2. Теорема Пэли — Винера утверждает, что всякая
такая функция / имеет пределы по некасательным направле-
направлениям почти во всех точках мнимой оси, эти граничные зна-
значения квадратично интегрируемы, и функция / есть интеграл
Пуассона своих граничных значений:
¦dt.
Допустим на некоторое время, что эта теорема верна. (В сле-
следующей главе мы ее докажем.) Тогда Н2 в полуплоскости
становится гильбертовым пространством с внутренним про-
произведением
(/. g) = f(it)g(it)dt.
j
— CO
В статье 1959 г. в „Ada Mathematica" П. Лаке перенес
результат Бёрлинга об инвариантных подпространствах опе-
оператора сдвига на "инвариантные" в некотором смысле под-
подпространства Н2 в полуплоскости. В действительности Лаке

150 Гл. 7. Оператор сдвига
изучал векторнозначные аналитические функции; мы их рас-
рассмотрим позже. Сейчас мы хотим рассмотреть задачу об
описанном выше пространстве Я2 числовых функций и показать,
что результат Лакса эквивалентен результату Бьёрлинга.
Теорема Лакса о числовых функциях состоит в следую-
следующем. Если 5 — замкнутое подпространство Я2 в правой по-
полуплоскости, то 5 инвариантно относительно умножения на
функции e~lw, X;>0, тогда и только тогда, когда S—РЯ2,
где F — внутренняя функция (т. е. F аналитична в полу-
полуплоскости, ограничена единицей и по некасательным направле-
направлениям почти всюду на мнимой оси имеет пределы, равные
по модулю 1). Если воспользоваться теоремой Пэли — Винера
в сильной форме (ее мы не будем приводить), то всякая
функция / из Я2 имеет вид
00
f(w) = j f(x)e-™dx,
о
где / квадратично интегрируема, т. е. всякая функция /
из Я2 есть преобразование Лапласа (или Фурье) квадратично
интегрируемой функции на положительной полуоси. Подпро-
Подпространство 5 в Я2, инвариантное относительно умножения
на e~lw при всех Х;>0 является поэтому просто „преобра-
„преобразованием" подпространства Z.2@, oo), инвариантного относи-
относительно всех правых сдвигов.
Мы хотим установить простое соотношение между про-
пространствами Я2 в круге и Я2 в полуплоскости. Если отобразить
круг на правую полуплоскость преобразованием
w =
1—г'
то Я2 в круге отобразится при этом на некоторое простран-
пространство аналитических функций в полуплоскости; мы хогим
установить связь между этим пространством и пространст-
пространством Я2 в полуплоскости. На границе дробно-линейное пре-
преобразование имеет вид
откуда легко получить, что
^• = 1A+«г1 л.

Инвариантные подпространства Н2 в полуплоскости 151
Таким образом, если g измерима на окружности и /()
= g(em), то функция g интегрируема тогда и только тогда,
когда функция / интегрируема по мере (\ -\-t2)"x dt; если g
интегрируема, то
В частности, это будет выполнено для функций g из Я2.
Если g лежит в Я2, то ее значения внутри круга опреде-
определяются по формуле
Если определить функцию / (да) = g (z) = g (—хт)> т0 эта
интегральная формула Пуассона для ?• переходит в формулу
Пуассона
ИЛИ
Таким образом, Я2 в круге преобразуется в пространство
аналитических функций в правой полуплоскости, которые
являются интегралами Пуассона (как в приведенной выше
формуле) функций на мнимой оси, лежащих в L2 ( . г dt\.
Другими словами, как подпространство L2 на окружности, И2
преобразуется в подпространство L? I . . ,2 dt\ тех функций,
интеграл Пуассона которых аналитичен при Re w > 0.
Далее, Н2 в правой полуплоскости состоит из всех функ-
функций, аналитических при Re w > 0 и являющихся интегралами
Пуассона функций на мнимой оси из L2(dt). Поэтому ясно, что
если / принадлежит И2 в полуплоскости, то функция

152 Гл. 7. Оператор сдвига
принадлежит Я2 в круге. Мы хотим показать, что и функция
I _ g (z) принадлежит Я2 в круге. Действительно,
Так как f (it) ? L* (dt) и 11-|-й|2= 1+*2, то A
лежит в L2i 1,р dt\ ¦ Таким образом, функция j
квадратично интегрируема на окружности. Очень просто про-
проверить, что если функция g лежит в Я2 в круге и ^ g(e^)
лежит в L2 на окружности, то функция . _ g (z) лежит в Я2.
Мы приходим к выводу, что если функция / лежит в Я2
в правой полуплоскости, то A -\-w)f(w) при отображении
w = -г-^— является образом некоторой Я2-функции на еди-
единичном круге. Обратное утверждение также имеет место.
Предположим, что / аналитична при Rtw > 0 и A -\-w)f(w)
получается из некоторой Я2-функции в круге. Это означает
лишь, что граничные значения функции (I-\-it) f (it) суще-
существуют почти всюду, что они лежат в L2l . 3 dt\ и A -\-w)f
есть интеграл Пуассона этих граничных значений. Ясно тогда,
что / (it) ? L2 (dt). Далее, / является интегралом Пуассона
своих граничных значений, потому что /, очевидно, полу-
получается из некоторой Я2-функции в круге, если такова функ-
функция A -\-w)f(w) (деление на (\-\-w) есть по существу
умножение на A—z) в круге). Доказанное нами (в предпо-
предположении теоремы Пэли — Винера) может быть резюмировано
следующим образом.
Теорема. Пусть f — аналитическая функция в пра-
правой полуплоскости. Функция f лежит в Я2 тогда и
только тогда, когда функция A -\-w)f(w) переводится
отображением z~—ц-у в функцию h из Я2 в единич-
единичном круге. На самом деле, отображение /->уИп есть
изометрия Я2 на Я2 в круге.
Для исследования „инвариантных" подпространств нам
нужны две простые леммы.

Инвариантные подпространства А/2 в полуплоскости 153
Лемма. Пусть S — замкнутое подпространство Н2
в круге. При этом S инвариантно относительно умно-
умножения на z тогда и только тогда, когда оно инвари-
инвариантно относительно умножения на любую ограниченную
аналитическую функцию.
Доказательство. Конечно, это утверждение очевидно
ввиду бьёрлинговского описания инвариантных подпространств
оператора умножения на z, однако это просто установить
и непосредственно. В одну сторону утверждение тривиально.
Пусть 5 инвариантно относительно умножения на z. Ясно,
что S инвариантно относительно умножения на любой мно-
многочлен от z; следовательно, S инвариантно относительно
умножения на /, где / — любой равномерный предел много-
многочленов. Если г< 1, то при любой заданной функции / ? //°°
fr{z) = f(rz) есть равномерный предел многочленов. Если
g?S, то frg^S при всех г<1. Если h?L?(db), и если
при всех г < 1
то I fghdb = 0, так как ft ограничены и fr—>f поточечно
почти всюду. Таким образом, fg лежит в замкнутой L2-
оболочке системы [frg\. Следовательно, S инвариантно от-
относительно умножения на функции из Н00. (Можно заменить /,.
чезаровскими средними ол функции / и провести те же са-
самые рассуждения.)
Лемма. Пусть S — замкнутое подпространство Н2
в правой полуплоскости. При этом S инвариантно от-
относительно умножения на функции e~Xw, Х^-0, тогда
и только тогда, когда S инвариантно относительно
умножения на все ограниченные аналитические функции
в правой полуплоскости.
Доказательство. В одну сторону утверждение снова
тривиально. Предположим, что 5 инвариантно относительно
умножения на e~Xw при всех Х^-0. Пусть / — ограниченная
аналитическая функция. Мы хотим показать, что 5 инвари-
инвариантно относительно умножения на /. Из рассмотрений, про-
проведенных выше для случая круга, мы знаеи, что функция / есть

154 Гл. 7. Оператор сдвига
поточечный предел почти всюду ограниченной последователь-
последовательности многочленов от —~ТГ\- Таким образом, если доказать
... w — 1
инвариантность относительно f(w) = —ц-р то лемма будет
2
доказана. На самом же деле / (w) — 1 = , .¦¦ и ясно, что
нам надо доказать лишь инвариантность S относительно ум-
умножения на (l-\-w)~ . Мы имеем
оо
—J— = Ce-I1+W)xdx.
1 -f- w J
о
Пусть
Аппроксимирующие суммы этого интеграла показывают, что/я
есть ограниченный поточечный предел линейных комбинаций
функций e~lw, X^-0. Таким образом, S инвариантно отно-
относительно умножения на функции /я. Но /„ ограничены рав-
равномерно и fn{w)->(\ -\-w)~l поточечно. Тем самым лемма
доказана.
Теорема (Лаке). Пусть S — ненулевое замкнутое
подпространство Н2 в правой полуплоскости и S ин-
инвариантно относительно умножения на e~lw при всех
к^О. Тогда S имеет вид S=-FH2, где F — внутренняя
функция.
Доказательство. Рассмотрим гильбертово простран-
пространство
с внутренним произведением
со
— оо
Выше было доказано, что f(w)-> ]ЛгA -\- w) f (w) есть изо-
метрия Н2 на Н2 и что Н есть полный образ Н2 в круге

Изометрии 155
при дробно-линейном преобразовании z = —-цу. Очевидно,
что S = (l+w)S — замкнутое подпространство Н.
Из последней леммы мы знаем, что S инвариантно от-
относительно умножения на любую ограниченную аналитическую
функцию. Ясно, что S обладает этим же свойством. При
дробно-линейном преобразовании Н переходит на Н2 в круге,
a S — на его замкнутое подпространство. Так как это отобра-
отображение сохраняет класс ограниченных аналитических функций,
то из результата Бьёрлинга непосредственно вытекает, что
S = FH, где F — внутренняя функция. Таким образом, 5 =
№2
Здесь уместно сделать несколько замечаний. Во-первых,
как мы отмечали раньше, проведенные выше рассмотрения
показывают, что теоремы Бьёрлинга и Лакса эквивалентны.
Во-вторых, внутренняя функция, связанная с подпростран-
подпространством S, единственна с точностью до постоянной, равной
по модулю 1. В-третьих, одной из идей, помогающих объе-
объединить теоремы для круга и для полуплоскости, было вве-
введение подпространств, инвариантных относительно умно-
умножения на все ограниченные аналитические функции. Эти
теоремы оказываются связанными с частными типами пред-
представлений алгебры ограниченных аналитических функций; их
мы рассмотрим позже.
Изометрии
Недавно Халмош заметил, что один или два элементарных
результата об изогетриях в гильбертовом пространстве про-
проливают свет на задачи типа задачи об инвариантных подпро-
подпространствах. Эти результаты не упрощают описания инвариант-
инвариантных подпространств оператора сдвига; они, однако, вносят
перспективу в наши исследования. Они также существенно
Зпющают доказательство теоремы Лакса для случая век-
торнозначных функций и облегчают изучение инвариантных
п дпространств относительно умножения на г в L2 на окруж-
окружности. В последнем случае эти идеи очень похожи на те,
которые использовались Хельсоном и Лоуденслегером.
Пусть Н — гильбертово пространство. Изометрия в Н
есть линейное преобразование (оператор) из Я а Я, сохра-

156 Гл. 7. Оператор сдвига
няющее внутреннее произведение
(Тх, Ту) = (х, у).
Если Т отображает Н на Н, то Т называется унитарным
оператором. Канонический пример изометрии, не являющейся
унитарным оператором, — оператор сдвига в Н2, или — что
то же — умножение на г в Я2 в круге. Несколько более
общим является следующий пример. Пусть К — произвольное
гильбертово пространство. Пусть Н2(К) — пространство по-
последовательностей
h~[h0, hv Aj, ...]
элементов из К, таких, что
Внутреннее произведение в Н2(К) определяется соотношением
оо
(g. *) =- 2 с*- hJ-
Пусть Т—оператор „сдвига" в Н2(К):
74*0. й„ ...) = @. *„. А,. ...).
Ясно, что Т—неунитарная изометрия в Н2(К). Оператор
сдвига в Н2, конечно, есть частный случай этого примера,
когда К = С — пространству комплексных чисел.
Лемма. Пусть Т—изометрия в гильбертовом про-
пространстве Н и N— ортогональное дополнение к области
значений Т. Тогда подпространства
Л = 0, 1, 2, 3, ...
попарно ортогональны.
Доказательство. Следует заметить, что так как Т —
изометрия, то подпространства N, T(N), Т^(М), ... замкнуты.
Пусть 0<!У<А и х, y?N- Мы хотим показать, что
= 0. Так как Т—изометрия и k~>J, то
(Г'*. Т*У)^х,

Изометрии 157
и внутреннее произведение в правой части равенства равно
О, поскольку Т^к~!)у лежит в области значений опера-
оператора Т, а х лежит в N.
Теорема. Пусть Т — изометрия в гильбертовом про-
пространстве Н. Пусть N—ортогональное дополнение
к области значений Т, а М — ортогональное дополне-
дополнение к оболочке пространств Tk(N), k^-Q. Тогда
(I) H = M®N@T(N)@T*(N)® ...;
(II) подпространство М инвариантно относительно Т;
сужение Т на М есть на самом деле унитарный опера-
оператор в М;
(III) подпространство М состоит из всех векторов h
из Н, ^безгранично делимых' на Т, т. е. всех таких
векторов h, что h лежит в области изменения опера-
оператора Тк при любом неотрицательном целом числе k.
Доказательство. По лемме, пространства 1*(N),
k^-О, попарно ортогональны. Следовательно, по определе-
определению подпространства М соотношение (I) выполнено. Пред-
Предположим, что т ? М. Так как т ортогонален к N, то вектор т
должен лежать в области значений Т, т. е. m = Th при не-
некотором п?Н. Но вектор h также лежит в М; действи-
действительно, если k ^- 0 и n?N, то
(Т*п, Л) =
= 0.
Таким образом, М с Т(М). Это показывает, что всякий
вегтор m ? М „безгранично делим" на Т. Легко также пока-
показать, что М инвариантно относительно Т. Если m ? М и
п ?N, то внутреннее произведение
(Т*п, Тт)
равно 0 при А^-1, потому что т?М, и равно 0 при
k = 0 по определению N. Тем самым доказано (II). Поло-
Половину утверждения (III) о том, что векторы из М безгранично
делимы на Т, мы уже доказали. Обратно, если h?H и для
любого k^-О существует такой вектор hk ? И, что A =*i Г* (АА),

158 Гл. 7. Оператор сдвига
то легко подсчитать, что п?М. Например, если к = Тпг,
то h ортогонален к N. Если h = T2h2, то h ортогонален к N
и к T{N) и т. д.
Следствие. Пусть Т — изометрия в гильбертовом
пространстве Н. Тогда существуют подпространства М
и N в И, такие, что Т есть прямая сумма унитарного
оператора на М и оператора на М^~, унитарно экви-
эквивалентного оператору сдвига на H2(N).
Доказательство. Пусть М и N обозначают те же
подпространства, что и выше. Пусть Т1 — сужение Т на М
и Т2 — сужение Т на М-Ч Тогда Тх унитарен и оператор 7
есть прямая сумма операторов 7\ и Т2. Далее,
М1 = N ф T(N) 9 Т2 (N) © ... .
Совершенно очевидно, существует изоморфизм между М1
и H2(N), переводящий Т2 в оператор сдвига в H2(N).
Следствие. Пусть Т—изометрия в гильбертовом
пространстве Н. Следующие три свойства изометрии Т
эквивалентны.
(I) Не существует ненулевого подпространства Н,
на котором Т унитарен.
A1) Не существует ненулевого элемента в Н, „без-
„безгранично делимого" на Т.
(Ill) Существует гильбертово пространство N, такое,
что оператор Т унитарно эквивалентен оператору
сдвига в H2(N).
Доказательство. Наиболее трудная часть работы
уже проделана. Так, мы показали выше, что условия (I) и (II;
эквивалентны и что из каждого из них вытекает (III). Дока-
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что оператор
сдвига на И2 (N) обладает свойством (II). Это очевидно.
Таким образом, мы охарактеризовали оператор сдвига
в Н2(К), где К — некоторое гильбертово пространство, свой-
свойствами (а) быть изометрией; (б) не быть унитарным ни на
каком ненулевом подпространстве. Это позволяет очень легко
получить (вслед за Халмошем) описание инвариантных под-
подпространств этого оператора, найденное первоначально Лаксом.
Сначала мы покажем, как можно охарактеризовать оператор

Изометрии 159
сдвига в Я2 (числовой случай). Когда это будет сделано, мы
:нова применим (в следующем параграфе) эти идеи к описа-
описанию всех инвариантных подпространств оператора сдвига в Z.2
на окружности. Затем мы вернемся к инвариантным подпро-
подпространствам оператора сдвига в Н2{К), где К — гильбертово
пространство.
Теорема. Пусть Т— неунитарная изометрия в гиль-
гильбертовом пространстве Н. Следующие условия эквива-
лентны.
(I) Т унитарно эквивалентен оператору сдвига в Я2
(т. е. эквивалентен умножению на z в Н2 в круге).
(II) Не существует нетривиального подпростран-
подпространства Я, которое вполне приводит оператор Т (т. е.
если S — замкнутое подпространство Я, такое, что S
и S1 инвариантны относительно Т, mo S — {0} или S = Н).
Доказательство. Покажем сначала, что умножение
на г в Я2 обладает свойством (II). Достаточно показать, что
если /, g ? И2 и zmf ортогональна к z"g при всех т, п ^ 0,
то или / — 0, или g = 0. Но это ясно; действительно, г ы
имеем
= 0 т.
Таким образом, fg = 0 почти всюду на окружности. Поэтому
либо /, либо g должна равняться нулю на множестве поло-
положительной меры на окружности, а для функции из Н2 это
означает, что она есть тождественный нуль.
Предположим теперь, что Т— неунитарная изометрия в Н
без (нетривиальных) вполне приводимых подпространств.
В частности, если принять за Л/ ортогональное дополнение
к области значений оператора Т, то мы должны иметь
Так как Т не унитарен, то не может быть N=0; следова-
следовательно, в разложении
должно быть Л1={0}. Другими словами, (II) обеспечивает
¦ам, что Т „есть" оператор сдвига в Я2(Л/), и наша задача

160 Гл. 7. Оператор сдвига
теперь доказать, что N одномерно. Пусть п — ненулевой
вектор в N и 5—Г-инвариантное подпространство, поро-
порожденное вектором п, т. е. векторами Ткп, k >• 0. Покажем,
что S инвариантно относительно Т. То, что T?S^-, озна-
означает, что
(Ткп, h) = 0 для k = 0, 1, 2
Таким образом, при k — 1, 2, 3, ... мы имеем (Ткп, 77г) = 0.
Но (п, Th) = 0 по определению N, так что Th лежит в S^.
Так как Бф {0}, то ввиду (II) должно быть S1 — {0}. По-
Поэтому S = H, т. е. всякий вектор h в Н единственным обра-
образом представим в виде
к = аф-\- а{Гп -f- а^Рп + ...,
где 2 I ak I2 < °°- В частности, легко видеть, что каждый
вектор в Af есть числовое кратное вектора п.
Оператор сдвига в пространстве L2
Вернемся теперь к оператору сдвига (умножения на е'в)
в пространстве L? на единичной окружности. Мы опишем
инвариантные подпространства этого оператора. Ксн.'чно,
примером инвариантного подпространства может служить Н2,
или, более общо, любое подпространство Н2, инвариантное
относительно умножения на z. Нашей целью будет распро-
распространение на случай L2 полученного выше описания инвари-
инвариантных подпространств для оператора сдвига в Я2.
Пусть S — замкнутое подпространство L2 на окружности,
такое, что elsS с S. Может оказаться, что 5 инвариантно
также относительно умножения на е~'ь. Это как раз озна-
означает, что S есть подпространство, на котором оператор
сдвига унитарен, или что S инвариантно относительно умно-
умножения на любую ограниченную измеримую функцию. Хорошо
известно, что всякое такое подпространство имеет вид S=iL2,
где х — характеристическая функция некоторого бэровского
множества; другими словами, такое подпространство S состоит
из всех функций в L2, равных нулю на некотором фиксиро-
фиксированном бэровском множестве.
Теорема. Пусть S—замкнутое подпространство L2,
инвариантное относительно умножения на z.

Оператор сдвига в пространстве Is 161
(I) Если zS—S, mo S состоит из всех функций в L3,
равных нулю на некотором фиксированном бэровском
множестве на окружности.
(II) Если гБфБ, то 5 = /?Я2, где F —измеримая
функция, равная по модулю 1.
Доказательство. Как мы уже сказали, предложе-
предложение (I) хорошо известно и проверяется без труда. Предполо-
Предположим, что гБфБ. Пусть N—ортогональное дополнение к zS
в S. Тогда
где М состоит из всех функций из 5, которые „безгранично
делимы* на z в S. Предположим, что / лежит в N; тогда /
ортогональна к функциям zkf при k = 1. 2, 3 или
, k=\, 2, 3
Поэтому | /1 — постоянная почти всюду на окружности.
На подпространстве М в LP- оператор умножения на z
унитарен. Поэтому M = %L2, где х— характеристическая
функция некоторого бэровского множества. Выберем в N
функцию / Ф 0. Такая функция / существует, так как zS Ф S.
Тогда г*/ ортогональна к х при всех k = 0, 1, 2 т. е.
= 0. Л = 0. I. 2
Таким образом, /х лежит в Я2. Очевидно, х =? I • так чт0 /X
обращается в 0 на множестве положительной меры. Но /х
лежит в Я2, так что должно быть /х = 0 почти всюду.
С другой стороны, / — ненулевая функция, постоянная по
модулю. Отсюда мы делаем вывод, что х = 0-
Теперь мы имеем
Подпространство N одномерно. Показать это можно несколь-
несколькими способами. Во-первых, это следует из того факта,
что всякая функция из N постоянна по модулю. Во-вторых,
если функции / и g из N ортогональны друг к другу, то /
11 Зак. 1057.

162 Гл. 7. Оператор сдвига
ортогональна к zkg при 4>0 и zkf ортогональны к g при
&^>0, так что fg = 0 и (ввиду постоянства модуля) либо
f = 0, либо ^ = 0. В-третьих, в силу общего результата
предыдущего параграфа, достаточно показать, что не суще-
существует нетривиального подпространства в 5, которое приводит
оператор умножения на z. Это означает, что если /, g ? 5
и z' f ортогональна к zkg при всех j, & ;> 0, то или / = 0,
или g — О, т. е. если /, g?S и fg = 0, то или / = 0, или
g — 0. Это можно сделать, показав с самого начала, что любая
функция из S, обращающаяся в 0 на множестве положитель-
положительной меры, равна тождественно 0.
Так как N одномерно, то мы можем выбрать функцию F
в N, равную по модулю 1, и тогда 5 будет состоять из
всех функций вида
а0Р+ axzF + a2z2F + ....
где S I а„ I2 < оо. т- е- S = F№.
Аналогичная теорема имеет место и для пространства L2
на вещественной прямой. Если воспользоваться теоремой
Пэли — Винера и связью между пространствами Я2 в круге
и /f2 в полуплоскости, то этот результат получается немед-
немедленно. С каждой функцией g в L2 на окружности мы связы-
связываем функцию / на мнимой оси, определяемую соотношением
Тогда / лежит в L2(dt). Действительно, с точностью до
постоянной, отображение g-*f есть изометрия простран-
пространства L2 на окружности на пространство L2 на прямой. Это ото-
отображение переводит Н2 на окружности на Н2 на мнимой оси,
т. е. на пространство граничных значений функций из Н2 в пра-
правой полуплоскости. В предыдущей теореме рассматривались
подпространства L2 на окружности, инвариантные относительно
умножения на z, т. е. инвариантные относительно умножения
на граничные значения всех ограниченных аналитических функ-
функций. Эти подпространства переводятся в подпространства
L2(dt), инвариантные относительно умножения на граничные
значения таких же функций в полуплоскости, или — что
то же — в подпространства L2(dt), инвариантные относительно
умножения на е~ш при всех Х^>0. Результат для круга

Оператор сдвига в пространстве L3 163
теперь переносится на наш случай непосредственно. Он зву-
звучит, быть может, более естественно, если сделать поворот
на 90° и воспользоваться верхней полуплоскостью.
Теорема. Пусть Н2— пространство квадратично
интегрируемых функций на вещественной прямой, кото-
которые являются граничными значениями функций из Н2
в верхней полуплоскости. Пусть S — любое замкнутое
подпространство в Я2 на прямой, инвариантное относи-
относительно умножения на eiXx при всех \ ^ 0. Тогда S является
подпространством одного из двух следующих типов:
(I) S состоит из всех функций из L2, равных 0
на некотором фиксированном бэровском множестве.
(II) S = FH2, где F — измеримая функция, равная по
модулю 1.
Если воспользоваться теоремой Пэли — Винера в ее силь-
сильной форме, которую мы уже рассматривали, то ясно, что
можно получить описание всех подпространств в L? на пря-
прямой, инвариантных относительно правых сдвигов. Для этого
придется еще использовать теорему Планшереля. Если / —
интегрируемая функция на прямой, то преобразование Фурье f
есть функция /, определяемая соотношением
Теорема Планшереля утверждает, что (а) если / ? D f| L2, то
f?L2 и ||/Ц2= Н/Иг. если пользоваться лерой -=dt\
(б) отображение из Lx П L? в L2, определяемое соответствием
/-*¦/ имеет единственное расширение до унитарного ото-
отображения L2 на L2. Это расширение определяет преобразование
Фурье любой функции из А2. Теорема Пэли—Винера утверждает,
что пространство Н2 из предыдущей теоремы есть множество
всех преобразований Фурье функций из L2, равных нулю на
полупрямой (—оо, 0). Сдвиг функции / на \ соответствует
умножению преобразования Фуръе на е1Хх. Предыдущая тео-
теорема может быть поэтому сформулирована следующим образом.
Теорема. Пусть Н2—пространство преобразований
Фурье функций из L2, равных нулю на левой полупря-
11*

164 Гл. 7. Оператор сдвига
мой. Предположим, что S — {замкнутое) подпростран-
подпространство L2, инвариантное относительно правых сдвигов.
(I) Если S инвариантно относительно всех сдвигов,
то S состоит из всех функций в L2, преобразование
Фурье которых обращается в 0 на некотором фикси-
фиксированном бэровском множестве Е', т. е. S = XEL2.
(II) В противном случае 5 = FH2, где F — измеримая
функция, равная по модулю 1.
Можно отметить одно интересное следствие из получен-
полученного описания указанных инвариантных подпространств в ZA
Пусть / — А2-функция на единичной окружности. Функции
е'л*/(д), л^О, при этом порождают все L2 тогда и только
тогда, когда
(а) / не обращается в 0 иа множестве положительной
меры;
(б) log|/| не интегрируем.
Вот эквивалентная формулировка. Пусть / лежит в L?
на прямой; правые сдвиги / порождают L? тогда и только
тогда, когда
(а) преобразование Фурье / не обращается в 0 на
множестве положительной меры;
(б) функция °V{ з не интегрируема.
На самом деле эти результаты мы знали и до описания
„инвариантных" подпространств. Они являются следствием
теоремы Сегё, доказанной в гл. 4.
Случай векторнозначных функций
Теперь мы дадим описание инвариантных подпространств
оператора сдвига в пространстве Я2 (УС), где К — гильбертово
пространство. Впервые это было сделано Лаксом. Следуя
Халмошу, мы получим эти результаты как следствие дока-
доказанных выше результатов об изометриях. Приводимое ниже
доказательство кратко, но полно; отметим, однако, что мы
не обсуждаем вопросов, связанных с интегрированием век-
векторнозначных функций и аналитическими функциями со зна-
значениями в банаховом пространстве, ограничившись лишь
несколькими замечаниями.

Случай векторнозначных функций 165
Напомним, что для любого гильбертова пространства К
мы определили Н2{К) как пространство всех последователь-
последовательностей
Л = [Л0, hx, Aj. • • •]
элементов К, для которых 2 ll^nll2^00' Каждый элемент
Н2{К) может быть также интерпретирован как аналитическая
в единичном круге функция со значениями в Ki
2Ч
я=о
Это приводит к рассмотрению А как квадратично интегри-
интегрируемой функции на окружности со значениями в Л" и распро-
распространению А на круг по интегральной формуле Пуассона.
Полученные таким образом функции в круге характеризуются
тем свойством, что интегралы
J* II а («'•
ограничены при г—>1. Каждая такая функция в круге, как
и в случае числовых функций, может быть отождествлена со
своими граничными значениями, и мы можем отождествить
Н2(К) с этим пространством аналитических функций в еди-
единичном круге. Естественно, при этом оператор сдвига ото-
отождествляется с „умножением на г". „Теорема об инвариант-
инвариантных подпространствах" принимает тогда следующий вид.
Теорема. Пусть К — гильбертово пространство и
S—ненулевое подпространство Н2(К), инвариантное
относительно умножения на z. Тогда существует такое
гильбертово пространство N и такая функция F, что
(I) F — аналитическая функция в единичном круге со
значениями в пространстве ограниченных линейных
операторов из N в К; если |*|<1, то \\F(z)\\ < 1;
почта во всех точках eib единичной окружности опера-
оператор F(eif>) есть изометрия;
(II) S=:FH2(N), т. е. S состоит из всех элементов g
из Я2(К) вида
где f — функция из H2(N).

166 Гл. 7. Оператор сдвига
Доказательство. Если сузить оператор „умножения
на z" на подпространство S, то получится изометрия на 5,
не унитарная ни на каком подпространстве 5. Таким обра-
образом, если обозначить через N ортогональное дополнение в 5
к подпространству zS, то мы имеем:
Это позволяет нам отождествить 5 с Н2(М). Функция F
определяется следующим образом. Пусть |г|<1; тогда
F(z) — линейный оператор аз N в К, ставящий в соответ-
соответствие каждому элементу N его значение (как функции в круге)
в точке z. В силу полученного выше разложения 5 в прямую
сумму имеем S = FH2 (N). Другие свойства функции F, отме-
отмеченные в (I), проверяются без труда, если не обсуждать тех
вопросов, о которых мы говорили выше. Два любых есте-
естественных определения аналитических функций со значениями
в банаховом пространстве эквивалентны. Можно воспользо-
воспользоваться существованием производной. Всякая функция А ? Я2 (К)
дифференцируема, так как является суммой сходящегося сте-
степенного ряда. Легко видеть, что функция F дифференцируема,
причем F' (z) — оператор, переводящий функцию п из N
в вектор п! (z). Очевидно, что
1 при И<1.
так что F имеет граничные значения почти в каждой точке
окружности. Это — аналог теоремы Фату об ограниченных
числовых аналитических функциях, и доказательство может
быть получено тем же способом. Чтобы показать, что эти
граничные значения являются изометриями почти всюду, надо
лишь воспользоваться тем фактом, что всякая функция я из N
постоянна по норме почти всюду на окружности (п ортого*
нальна к z"n при k=l, 2, 3, ...).
Следует отметить, что подпространство N имеет размер-
размерность не большую, чем размерность основного гильбертового
пространства К. Теорема была бы намного изящнее, если бы
всегда N было изоморфно К\ однако простейшие примеры
показывают, что могут быть случаи, когда dim N < dim К.
Результат будет выглядеть как более естественное обобщение
со случая числовых функций, если мы „вложим" N в К.
Выберем изометрию N на некоторое замкнутое подпростран-
подпространство Кй в К. Будем считать, что функция F принимает зна«

Представления алгебры Н°° 167
чения в пространстве ограниченных операторов из Ко в К.
Для каждой точки z положим оператор F(z) равным О
на /ftf и продолжим тем самым F (z) до ограниченного линей-
линейного оператора на К. На границе оператор F (е1Ь) есть (почти
всюду) частичная изометрия на К, т. е. оператор, изометрич-
ный на некотором подпространстве и равный 0 на его
ортогональном дополнении. Теорема тогда утверждает, что
всякое подпространство в Н2 = Н2{К), инвариантное относи-
относительно умножения на z, имеет вид FH2, где F — аналитиче-
аналитическая функция на единичном круге, значениями которой являются
ограниченные операторы на К; \\F(z)\\^.l и почти в каж-
каждой точке единичной окружности F(eib)—частичная изометрия.
Ясно — и мы на этом не останавливаемся, — что различ-
различные теоремы о векторнозначных функциях могут быть пере-
перенесены со случая круга на случай полуплоскости, в котором
они и были первоначально доказаны Лаксом.
Представления алгебры Н°°
В этом параграфе будут рассмотрены представления (огра-
(ограниченными линейными операторами в гильбертовом простран-
пространстве) алгебры ограниченных аналитических функций в единич-
единичном круге. Параграф этот короткий, и результаты в нем
достаточно простые. Мы включили этот параграф по двум
причинам. Во-первых, как мы отмечали ранее, эта точка зре-
зрения вносит перспективу в некоторые из полученных выше
результатов. Во-вторых, представления алгебры Н°° являются
важным объектом исследования.
Под представлением алгебры Н^ мы понимаем отобра-
отображение f-+T] из И°° в множество ограниченных линейных
операторов в некотором гильбертовом пространстве, которое
является алгебраическим гомоморфизмом и переводит 1 в то-
тождественный оператор. Изложенное выше связано с частным
классом представлений, получающихся следующим образом.
Выберем гильбертово пространство К и будем представлять
функцию / оператором „умножения на /" в гильбертовом
пространстве Н2 {К):

168 Гл. 7. Оператор сдвига
Это стандартное представление Н°° на Н2 (К) имеет, конечно,
ряд специфических свойств. Перечислим некоторые свойства,
имеющие интерес и с точки зрения более общих представ-
представлений:
(I) для любой внутренней функции / оператор Т. изо-
метричен; если / Ф 1, то Tf не унитарен ни на каком не-
ненулевом подпространстве;
(И) Н/11оо= II7/11 • т« е- представление есть изометрия;
(III) если /„ — ограниченная последовательность, и /„-»•/
поточечно почти всюду, то Ttn -*¦ Tf в сильной операторной
топологии, т, е. Tfn(x)-*-Tf{x) для каждого вектора х.
Результаты об изометриях, рассмотренные выше, показы-
показывают, что .стандартные" представления характеризуются не-
некоторыми из этих свойств.
Теорема. Пусть /-*¦ Tf — представление алгебры ff°.
(I) Представление унитарно эквивалентно стандарт-
стандартному представлению Я°° на И3 (К), где К — некоторое
гильбертово пространство тогда и только тогда,
когда оператор Тг изомешричен и не унитарен на на
каком ненулевом подпространстве.
(II) Представление унитарно эквивалентно стандарт-
стандартному представлению на Н2 в круге тогда и только
тогда, когда Тг есть ненулевая изометрия без нетри-
нетривиальных вполне приводимых подпространств.
Доказательство. Полагая, что оператор Тх изомет-
ричен и не унитарен ни на каком ненулевом подпростран-
подпространстве, обозначим через N ортогональное дополнение к области
значений оператора Тг. Основное гильбертово пространство Н
имеет тогда вид
Другими словами, существует изоморфизм этого простран-
пространства на H2(N), переводящий оператор Тг в оператор „умно-
„умножения наг". Надо проверить, что для любой функции /^Я°°
»тот изоморфизм переводит Т. в оператор умножения на /.
Так как Tf—ограниченный линейный оператор, достаточно

Представления алгебры Н" 109
это доказать на пространстве /V, т. е. доказать, что если
и n?N, то
Далее,
7,A») — аоп = (Т, — с,/) и = 7,(я).
где g(z) = f(z) — а0. Так как ?@) = 0, то при некоторой
функции А ? Я00 мы имеем g = гА. Поэтому
Г, (в) = 7, G»),
и 7i.(n) лежит в области значений оператора 7г. Отсюда
вытекает, что вектор аоп является ортогональной проекцией
вектора п на подпространство N. Если рассмотреть вектор
f (г) — а0 — axz, то те же рассуждения показывают, что
вектор u(/i-\- alTz(n) является ортогональной проекцией Tf(n)
на NQTZ(N). Продолжая эти рассуждения, мы доказываем
утверждение (I).
Утверждение (II) есть просто повторение описания опера-
оператора сдвига в Я2 в круге.
Теоремы об инвариантных подпространствах оператора
сдвига на языке представлений принимают следующий вид.
Теорема. Пусть К — гильбертово пространство и
f-*-M.— стандартное представление Я°° на Н2{К),
т.. е. Mj — оператор умножения на f. Пусть S — любое
подпространство И2 (К), инвариантное относительно
этого представления. Тогда индуцированное представле-
представление на S унитарно эквивалентно стандартному пред-
ставлению Я°° на Н2 (N), где N — некоторое гильбертово
пространство размерности dim N -^ dim К.
Доказательство. Это — простое следствие утвержде-
утверждения (I) последней теоремы.
Естественно спросить, что можно сказать о представле-
представлении f -*-Tf алгебры Я°° при дополнительных предположениях.
Например, что можно сказать, если оператор 7, — нзометрия?

170 Гл. 7. Оператор сдвига
Не очень много; существует, например, представление алге-
алгебры Я°° с такими свойствами:
00 H7VIKH/IL;
(б) для каждой внутренней функции / оператор 7\ изо-
метричен;
(в) по крайней мере для одной внутренней функции /
изометрия Tj не унитарна ни на каком ненулевом подпро-
подпространстве;
(г) Tz— тождественный оператор.
Если же кроме изометричности оператора Тг, предполо-
предположить в более сильной форме непрерывность представления,
то можно будет сказать намного больше. Это условие непре-
непрерывности состоит в том, что для любой ограниченной последо-
последовательности /„, сходящейся поточечно почти всюду к функ-
функции /, в сильной операторной топологии имеет место сходи-
сходимость Tfn->Tf. Пусть Tz—изометрия, и пусть выполнено
это условие непрерывности. Если обозначить через N орто-
ортогональное дополнение к области значений Tz, то основное
пространство можно разложить в прямую сумму
М @ N @
где М состоит из всех векторов этого пространства, безгра-
безгранично делимых на Тг. Легко показать, что М инвариантно
относительно всех операторов Tf. При этом условие непре-
непрерывности не используется; М инвариантно относительно
любого оператора, коммутирующего с Тг. Условие непрерыв-
непрерывности обеспечивает инвариантность подпространства
относительно всех операторов 7^; это пространство, конечно,
инвариантно относительно Tf для любого многочлена /,
а многочлены плотны в Н^ при топологии ограниченной
поточечной сходимости почти всюду на единичной окружности.
Таким образом, представление разлагается в прямую сумму
двух представлений, одно из которых эквивалентно стандарт-
стандартному представлению на H2(N). Другое—«а подпространстве
М — вполне определяется унитарным оператором U, который
получается при сужении Тг на М. Конечно, U не может быть
произвольным унитарным оператором; очевидно, этот унитар-
унитарный оператор обладает тем свойством, что для любой последо-

Упражнения 171
вательности многочленов {/„}, ограниченной и сходящейся
почти всюду на окружности, операторы fn(U) сходятся
в сильной операторной топологии, т. е. сходятся поточечно
на М. Это условие выполнено, если U является прямой сум-
суммой унитарных операторов, каждый из которых эквивалентен
умножению на eib в пространстве Z.2(rf(i), где (i — некоторая
положительная мера на окружности, абсолютно непрерывная
относительно меры Лебега.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Отправным пунктом рассмотрений этой главы является работа
Бьёрлинга [15]; см. также статью Карунена [41]. Задачи в сл)чае
числовых и векторнозначных функций в полуплоскости рассмотрены
Лаксом [45]. Обобщение на алгебры Дирихле по существу принад-
принадлежит Хельсону и Лоуденслегеру [88]. Случай пространства L2 н
некоторые его обобщения рассмотрены в недавней работе Хельсона
и Лоуденслегера [89]. Применения результатов об нзометриях
к этим вопросам были начаты Халмошем [84]. В его работе содер-
содержится подробное обсуждение случая векторнозначиых функций. Мы,
например, не включили в эту главу теорему единственности. Вер-
мер [19] воспользовался основным результатом об инвариантных
подпространствах для вложения „аналитического круга" в простран-
пространство максимальных идеалов алгебры Дирихле.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть {<*„}—последовательность точек в открытом единич-
единичном круге, такая, что 2J О— 1ал1)<°°- Пусть S—множество
всех функций / из Я2, таких, что /(<*„) =/' (<х„) = 0 при всех п.
Доказать, что S — замкнутое подпространство Нг, инвариантное
относительно умножения на г. Найти внутреннюю функцию F, та-
такую, что 5 = FH1.
2. Привести пример ограниченной аналитической функции /
в круге и замкнутого подпространства Я2, инвариантного относи-
относительно умножения на /, но не имеющего вида FH2.
3. Пусть /—ограниченная аналитическая функция в единичном
круге. Доказать, что функции 1, /, /2, /3, ... образуют ортонорми-
рованный базис в Н3 тогда и только тогда, когда /(г) = Хг, где
|Х|=1.
4. (Бьёрлинг) Для функции / из Н2, f ф 0, определим
Ь (f) = exp log |/@) | -i- f log I/ (em) \db\.
I -« J

172 Гл. 7. Оператор сдвига
Доказать, что 0<8(/)< 1 и что 8 мультипликативно. Показать
также, что функции *"/, л > О, порождают Я2 тогда н только тогда,
когда 5 (/) = 1.
5. Пусть S — подпространство Я2, состоящее из всех функций /,
таких, что /fl j) = 0 для всех п, больших некоторого положи-
положительного целого числа Nf. Что будет замыканием S?
6. Пусть /—квадратично интегрируемая функция на единичной
окружности. Из одного результата этой главы (или из теоремы
Сегё) вытекает, что функции е'пЬ/(Ь) при я > 0 порождают L2 тогда
и только тогда, когда функции е1пЬ f(b) при п<0 порождают I?.
Очевидно ли это a priori?
7. Какие из следующих функций иа вещественной прямой обла-
обладают тем свойством, что их правые сдвиги порождают ?'?
б) f(x) « j-i^; (в)
8. Пусть р. — конечная положительная бэровская мера на еди-
единичной окружности, и Н2(а"р) — замыкание по I2 (^)-норме мно-
многочленов от г. Описать замкнутые подпространства H2(d\x), инва-
инвариантные относительно умножения на г. Некоторую помощь при
решении может оказать упражнение 3 гл. 4.
9. Пусть F — непостоянная внутренняя функция в круге н Т —
оператор .умножения иа F" в Я2.
(а) Доказать, что Т — изометрия, не унитарная ни на каком не-
ненулевом подпространстве.
(б) Доказать, что оператор Т унитарно эквивалентен умноже-
умножению на г тогда н только тогда, когда
где |Х| = 1 н |«|<1.
10. Пусть / лежит в Я1 в круге; доказать, что функции arf,
п>0, порождают //' тогда и только тогда, когда /—внешняя
функция.
11. Пусгь 0 < г < 1 и Тг — линейный оператор в Я* в круге,
определяемый соотношением
(TV/) (*)-/<«).
т. е. Т, — сужение на круг радиуса г. Найти все инвариантные
подпространства оператора 7>. (Указание. Показать, что Т, — по-
положительный вполне непрерывный оператор.)

Глава 8
ПРОСТРАНСТВА № В ПОЛУПЛОСКОСТИ
№ в полуплоскости
В этой главе наши рассмотрения будут вестись в полу-
полуплоскости Re(w)^0. Если функция / аналитична в откры-
открытой правой полуплоскости, то мы говорим, что / принад-
принадлежит классу Нр, если //-нормы
ограничены при х > 0. Мы получим некоторые результаты
относительно этих пространств. Их изучение в большей сте-
степени связано с теорией преобразований Фурье, чем с теорией
рядов Фурье. Мы будем иметь дело с преобразованиями
Фурье; однако для получения некоторых основных фактов
мы будем пользоваться и тем, что знаем о пространствах Нр
в единичном круге. Это кажется несколько неестественным,
но имеет то преимущество, что позволяет избежать повто-
повторения доказательств и установить простую связь между про-
пространствами Нр в круге и в полуплоскости.
Прежде всего следует сделать несколько простых заме-
замечаний. Условия, накладываемые на W-функцию в полупло-
полуплоскости, являются (в частности) более ограничительными, чем
соответствующие условия в круге. Чтобы аналитическая функ-
функция / принадлежала Нр, надо сначала потребовать, чтобы
ее 1р-нормы на вертикальных прямых были конечными,
а затем — чтобы они были ограниченными. В круге не су-
существует вопроса о конечности //-норм на окружности ра-
радиуса г. Если мы требуем ограниченности //-норм на вер-
вертикальных прямых, то ограниченность их при больших х
так же важна как и при малых х, т. е. на вертикальных

174 Гл. 8. Пространства HP в полуплоскости
прямых, близких к границе. Функция
квадратично интегрируема на каждой вертикальной прямой,
и интегралы
ограничены в любой полосе 0 -^ х ^ с, но эти интегралы,
очевидно, не ограничены при лг-^оо.
Главной задачей для нас будет доказательство существо-
существования граничных значений (на мнимой оси) и установление
интегральной формулы Пуассона для нахождения функции
по ее граничным значениям. Для нахождения ядра Пуассона
для полуплоскости рассмотрим дробно-линейное отображение
w— 1
z
полуплоскости Re да > 0 на единичный круг |г|<1. На
границе это отображение имеет вид
,. it— 1
откуда легко получить, что
2* dt « (-1^Г > •
Другими словами, нормированная мера Лебега на окружности
соответствует (распределению Коши) мере
1 dt
на мнимой оси. Если g — измеримая функция на единичной
окружности, и

в полуплоскости 175
то g интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда /
интегрируема по мере . , а dt. Если g интегрируема, то
Теперь можно легко „перенести" формулу Пуассона,
с круга на полуплоскость. Ядро Пуассона в точке z в круге
равно
Так как
it — I да—
eib—z
_ it + 1 + w
itw — 1
it — w
то ядро Пуассона в точке w в правой полуплоскости должно
быть равно
¦ itw — 1
—О1 '
Мы должны, конечно, пользоваться этой функцией с мерой
— . . г. , так что более естественно называть ядром Пуас-
сона в точке w функцию
itW-l
tW-l I
и —• J"
Из теоремы Фату для круга мы получаем следующее.
Теорема. Пусть F — измеримая функция на мни-
мнимой оси, интегрируемая по мере A -М2) dt. Определим
в правой полуплоскости функцию /, полагая
i / F{lt)Px{y-t)dt.

176 Гл. 8. Пространства Нр в полуплоскости
Тогда функция f гармонична и имеет пределы по не-
некасательным направлениям, совпадающие с функцией F
почти во всех точках мнимой оси.
Доказательство непосредственно вытекает из тео-
теоремы Фату для круга и проведенных выше вычислений. Сле-
Следует отметить, что некасательные дуги сохраняются, так как
отображение круга на полуплоскость конформно.
Сделаем несколько замечаний. Во-первых, теорема верна,
в частности, если F принадлежит пространству Lp по мере
Лебега на мнимой оси при некотором р^-1. Во-вторых,
можно, конечно, дать прямое доказательство этой теоремы,
не обращаясь к соответствующему результату в круге.
В-третьих, если F— сужение на мнимую ось функции, ана-
аналитической в некоторой полуплоскости Re (w) > — е, то
отсюда не вытекает, что / аналитична. Для выполнения этого
необходимо некоторое ограничение на поведение аналити-
аналитической функции в бесконечности. Ясно, например, что фор-
формула Пуассона восстанавливает по граничным значениям вся-
всякую ограниченную аналитическую функцию, но не восста-
восстанавливает, скажем, функции ew. Перечислим некоторые
свойства функции /, когда Р на самом деле принадлежит
L"(dt).
Теорема. Пусть р ^ 1 и F — функция из V (— оо, оо).
Пусть f — гармоническая функция в правой полупло-
полуплоскости, определяемая соотношением
оо
»1 J F(t)Px(y-t)dt.
(I) При всех х > 0 функция fx(y) = f(x-\-ty) лежит
$ L"(—oo, оо).
(II) Ьр-нормы ||/ж||р ограничены при х > 0. Более
того, ||/ж||р — убывающая функция от х при х > 0.
(III) Функции fx сходятся к F в Lp(—оо, оо) при
(IV) /(да) стремится равномерно к нулю, когда чю
стремится к бесконечности внутри любой фиксирован-
фиксированной полуплоскости Re (да) >- 8 > 0.

Я? в полуплоскости 177
Доказательство. Мы имеем дело не с пространст-
пространством конечной меры, так что функция F может быть неинте-
грируемой. Но так как — Рх интегрируема, то ее свертка
с F есть функция fx из W. Имеем также
и так как Р^^О и
I / px(t)dt=l,
то
Чтобы показать, что \\fx\\p — убывающая функция от х,
положим JCj < x2. Остается проверить, что
со
/х, (У) = 1Г / /х. (О Рх.-Хг(У ~ t) dt.
1Г /
— ОО
и повторить проведенные выше рассуждения, заменяя F на
fx, и Рх на Рх,-х,- Сходимость fx к F в Lp вытекает из
стандартных рассуждений об аппроксимативной единице, ко-
которые мы уже проводили несколько раз.
Для доказательства (IV) заметим, что так как — Px(y—t)dt—
положительная мера с массой 1, то мы имеем
со
i f\F(t)\pPx(y-t)dt.
Пусть в > 0. Так как F лежит в V, можно выбрать такое
Г > 0, что
-Г со
J \F\'dt+ f \F\pdt<*.
—со
12 »«*• 1067.

178 Гл. 8. Пространства HP в полуплоскости
Далее, Рх(у— t) -^—, и если выполнено неравенство
х ]> 8 > 0, то будет выполняться соотношение
г
При фиксированном Т предыдущий интеграл, очевидно, имеет
порядок 0{\x-\-iy\~1) в полуплоскости х~^>Ъ.
Граничные значения функций из И"
Теперь мы хотим доказать, что если функция / лежит
в Нр в правой полуплоскости при некотором р 1> 1, то /
имеет пределы по некасательным направлениям почти в ка-
каждой точке мнимой оси, функция граничных значений F
лежит в V и / является интегралом Пуассона от F. Как
мы увидим, это довольно просто вывести нз того факта, что
такая функция / удовлетворяет условию (IV) предыдущей
теоремы.
Теорема. Пусть функция f лежит в Нр в правой
полуплоскости при некоторой р^\. Тогда f(w) рав-
равномерно стремится к 0 при w, стремящемся
к бесконечности в любой фиксированной полуплоскости
Доказательство будет получено при помощи сведе-
сведения к предыдущей теореме, т. е. будет показано, что при
Re (w) > х0 > 0 функция / может быть представлена как
интеграл Пуассона своих значений на прямой Re (w) = х0.
Фиксируем w, Re(w)>0. Выберем положительные числа хо,
х и у так, что
хп < Re (да) < х,
— у < Im (да)< у.
Представим / по интегральной формуле Коши, примененной
к прямоугольнику с вершинами х0 ± iy, x ± ly. Мы

Граничные значения функций из № 179
получаем
у ¦ J
<c-\-it) .. . г
it — w J
xo-\-it—w
-y -y
f f(s-iy) f
f f(s-iy) f
J s-iy-w as~ J
Xt Xo
= /,(*; у) —Л(*о; y) + /a(y) —/a(—y).
Выберем большое положительное число Y, скажем, К>21 Im w |.
Мы будем усреднять полученное выше выражение для f (w)
на интервале (К, 2К). Заметим сначала, что
2К 2Y X
У У хо
х 1У
<ys / / \f(s±iy)\dyds,
х„ У
так как \s ± (у — w|^> К/2 в рассматриваемой области изме-
изменения у. Оценим внутренний интеграл по неравенству Гёль-
дера, используя тот факт, что существует фиксированная
постоянная М, такая, что
f
Если q сопряжено с р, т. е. если — + — = 1, то эта оценка
дает
2К X
±r J \It(±ty)\dyKyi f
->0 при К->оо.
Усредняя 2ntf(w), мы получаем
1Y
= lim \ Г [I^x; y) — /1(x0; y)]dy.
12»

180 Гл. 8. Пространства HP в полуплоскости
Легко видеть, что
2К
2Y
оо
= 1 f
r
К —о
Это — непосредственное следствие того факта, что
Мы получаем, таким образом, что
2itf/ (w) = /t (*; оо) — ^(хр; оо).
Положим лг->-оо. При /»=1
а при р > 1
г оо -il/<7
так что 1х(х, оо)—>-0 при х—>-оо. Таким образом, при лю-
любом х0, удовлетворяющем условию 0 < х0 < Re да, выпол-
выполнено соотношение
Итак, мы имеем интегральное представление Коши для
функции /, откуда без труда можно получить интегральное
представление Пуассона. Пусть
Тогда Re <w' < .*„, и если воспользоваться интегральной фор-
формулой Коши и повторить те же рассуждения, что и выше.

Граничные значения функций из НР 181
то мы получим
Если вычесть это равенство из нашей формулы Коши для
/(да) и вспомнить, что w — w' = 2(S — х0), то мы получим
-± /
0<х0<1
Из утверждения (IV) предыдущей теоремы непосредственно
вытекает, что / (да) равномерно стремится к 0, когда да
стремится к бесконечности внутри фиксированной полупло-
полуплоскости Re w > 8 > 0.
Теорема. Пусть р > 1 и f — лю(Гая функция из Нр
в правой полуплоскости. Пусть g — функция в единич-
единичном круге, определяемая соотношением
*«-/(¦{?)•
Тогда g лежит в Нр в круге.
Доказательство. Пусть Сг — окружность радиуса г
в круге: Cr= [z :\z\ = r]. Мы хотим оценить сверху инте-
интегралы
при г -> 1.
При каждом 8 > 0 прямая х = 8 в правой полуплоскости
переводится нашим дробно-линейным преобразованием в ок-
окружность Г» в круге, которая касается единичной окруж-
окружности в точке z = 1. Для данного г < 1 можно выбрать
8 > 0 настолько малым, чтобы окружность Сг лежала внутри
круга, ограниченного Г8. По предыдущей теореме функция /
непрерывна в полуплоскости Re (да) ^-8, включая и беско-
бесконечно удаленную точку. Это означает, что g аналитична

182 Га 8. Пространства HP в полуплоскости
внутри окружности Г8 и непрерывна в замкнутом круге,
ограниченном Г5. Так как Сг лежит внутри этого круга, то
cr
f\g(z)\
»\dz\.
Мы объясним это неравенство ниже. Предполагая, что они
выполнено, мы получаем
Re w-'i
со
— uo
00
-oo
где М — верхняя грань для ?р-норм функции / на верти-
вертикальных прямых. Отсюда следует, что g лежит в Ир
в круге.
В доказательстве нами было использовано неравенство,
которое может быть получено следующим образом. Пусть
g — аналитическая функция внутри окружности Г, непре-
непрерывная в замкнутом круге, ограниченным Г. Если С — окруж-
окружность внутри этого круга, то
с г
Для доказательства предположим, что Г—единичная окруж-
окружность. Утверждение тогда состоит в том, что если g непре-
непрерывна в замкнутом единичном круге и аналитична внутри
него, а С—окружность в открытом единичном круге, то

Граничные значения функций из НР 183
Если представить g интегралом Пуассона от ее граничных
значений, то неравенство это проверяется без малейшего
труда.
Теперь мы можем получить теорему, которая и была
нашей основной целью.
Теорема. Пусть р^-l, и f — функция из Нр в пра-
правой полуплоскости.
(I) / имеет пределы по некасательным направле-
направлениям почти в каждой, точке мнимой оси.
(II) Граничные значения f лежат в LP, и
00
(III) Функции fx(y) = f(x-{-ly) сходятся по Lp-норме
к f (iy) при х->0.
Доказательство. Пусть g— функция в единичном
круге, определяемая соотношением
В силу предыдущей теоремы g лежит в Нр в круге. Таким
образом, g имеет пределы по некасательным направлениям
почти в каждой точке единичной окружности и g является
интегралом Пуассона своих граничных значений, т. е.
Так как дробно-линейное преобразование круга на полу-
полуплоскость конформно, то отсюда непосредственно вытекает,
что функция / имеет пределы по некасательным направле-
направлениям почти в каждой точке мнимой оси. Как было отмечено
в начале этой главы, граничные значения / лежат в про-
пространстве Lp I. . л ) и функция / представима по формуле
Пуассона (II). В действительности, конечно, граничные зна-

184 Гл. 8. Пространства № в полуплоскости
чения / лежат в W (dt). По лемме Фату
ОО 00
Г |/(Ю|'Л<1нп" Г
Этим доказаны (I) и (II). Утверждение (III), как было отме-
отмечено в предыдущей теореме, вытекает из (II). Мы еще раз
обращаем внимание на это утверждение.
Связь между пространствами Нр в круге и
в полуплоскости
В доказательстве последней теоремы существенно исполь-
использовался тот факт, что всякая функция / из Нр в правой
полуплоскости переводится дробно-линейным преобразованием
—
в функцию g из Нр в круге:
,«-/(??).
Мы имеем, таким образом, отображение из Нр в полупло-
полуплоскости на подпространство Нр в круге. Легко описать это
подпространство. Оно состоит из всех таких функций g
из Нр. что функция
(l-z)~2"*(z)
также лежит в Нр в круге. Если g лежит в Нр в круге,
то соответствующая аналитическая функция / в правой по-
полуплоскости не обязана лежать в Нр в полуплоскости.
В этом случае можно лишь утверждать, что функция / ана-
литична при Re (w) > 0 и является интегралом Пуассона от
функции на мнимой оси, лежащей в пространстве Lp по
мере A -j-/2)"^. Другими словами, функция
\ЩУР
интегрируема по Лебегу. Пусть нами выбрана аналитическая
•етвь логарифма от 1 -\-w в правой полуплоскости. Тогда

Пространства Нр в круге и в полуплоскости 185
функция
/(в)
лежит в L? на мнимой оси. Таким образом, функция / ле-
лежит в Нр в правой полуплоскости тогда и только тогда,
когда функция A ~{~wf/pf(w) лежит в пространстве
Lp(dt/l -\-t2) на мнимой оси (если мы предполагаем, как
всегда, что функция g лежит в Нр в круге). Так как
то мы видим, что / лежит в Нр в полуплоскости в точности
тогда, когда функция
лежит в Lp на единичной окружности. Для дальнейшего нам
необходима следующая
Лемма. Пусть /?>-1, <х>0 и g — функция из Нр
в круге. Для того чтобы функция
A-*)'
лежала в Нр, необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция h(eib) лежала в Lp на единичной окружности.
Доказательство. Мы имеем
| g (z) \р < ехр Г± f log | g (е«>) \р Рг (») db ,
Г± f
так что
-к

186 Гл. 8. Пространства Нр в полуплоскости
Таким образом,
те те
j \ h(relt)\pdt ^ (\h(elt)\pdt.
—л —те
Следует подчеркнуть, что единственным свойством функции
A—zf, использованным в лемме, было то, что она — внеш-
внешняя функция. Возвращаясь к функции g, рассматривавшейся
перед леммой, мы видим, что g преобразуется в функцию
из Нр в полуплоскости тогда и только тогда, когда функция
также лежит в Нр в круге. Доказанное нами собрано в сле-
следующей теореме.
Теорема. Пусть g — аналитическая функция в еди-
единичном круге, а / — аналитическая функция в правой
полуплоскости, определяемая соотношением
Если р^1, то f лежит в Нр в правой полуплоскости
тогда и только тогда, когда
где О — функция из Нр в единичном круге. Иначе го-
говоря, g лежит в Нр в единичном круге тогда и только
тогда, когда
f{w) = {\-\-w)Vp F{w),
где F—функция из Нр в правой полуплоскости.
Можно, пожалуй, сделать несколько замечаний. Содер-
Содержание последней теоремы станет, быть может, намного яснее,
если ее сформулировать более описательно. Связь между
двумя W-пространствами такова. Начнем с пространства Нр
в круге; используя дробно-линейное преобразование, переве-
переведем это пространство в пространство Нр функций в правой
полуплоскости; выберем аналитическую ветвь (\-\-w)lp при
Rew>0; разделим каждую функцию из НР на A -j-wJlp',
результирующим пространством является Нр в полуплоско-

Теорема Пэли —Винера 187
сти. Более того, с точностью до постоянной это отображе-
отображение есть банахова изометрия между двумя //^-пространствами.
Если
то
— СО
Так как Нр состоит из всех аналитических функций / в пра-
правой полуплоскости, представимых интегралом Пуассона от
функции, лежащей в V (dt/l -\-t2) на мнимой оси, а Нр со-
состоит из всех аналитических функций /, представим ых инте-
интегралом Пуассона от функции из Lp (dt) на мнимой оси, то
соотношение
оказывается очевидным. Довольно ясно, что оно выполнено
на границе. Надо лишь проверить, что после умножения
#р-функции на {\-\-wflp результирующая аналитическая
функция также является интегралом Пуассона своих гранич-
граничных значений. Именно это и было доказано в лемме.
В случае р = 2 получается соотношение Н2 = A -j-tw) И2,
рассмотренное в предыдущей главе.
Теорема Пэли — Винера
Если воспользоваться теоремой Планшереля, то из наших
результатов можно получить теорему Пэли—Винера.
Теорема (Пэли—Винер). Комплекснозначная функ-
функция f в правой полуплоскости принадлежит классу Я2
тогда и только тогда, когда f представила в виде
где / — некоторая функция из L2@, оо). Это предста-
представление единственно.

188 Гл. 8. Пространства Я? в полуплоскости
Доказательство. Функция / определяется соотно-
соотношением
Строго говоря, это определение имеет смысл лишь в случае,
когда / интегрируема. Теорема Планшереля утверждает, что
если / принадлежит L1 П L2, то / лежит в L2, ||/||2 = ||/||2
и множество таких функций / плотно в L?, так что преоб-
преобразование Фурье /—*¦/ может быть единственным образом
продолжено до унитарного отображения L2 на L2. Тем
самым преобразование Фурье / определено для любой
функции / из L2. Мы находим функцию / по приве-
приведенной выше формуле, имея в виду, что она корректна в
случае /??*, а в общем случае должна пониматься в
смысле предела. При таком соглашении о пределах мы
имеем также формулу обращения
ff(x)
e-»*dt.
Теперь совсем легко проверить, что если / лежит в L?
и обращается в 0 на левой полупрямой, то соответствую-
соответствующая функция / является функцией граничных значений
Я2-функции. Надо лишь распространить / в правую полупло-
полуплоскость по формуле, справедливость которой утверждается
в теореме.
Мы хотим доказать, что если / лежит в Я2, то ее пре-
преобразование Фурье / обращается в 0 на левой полупря-
полупрямой. Заметим сначала, что это достаточно доказать для того
случая, когда / лежит в Я1, так как Я1 П Я2 плотно в Я2.
Если / лежит в Я2, то она есть предел по ?2-норме функций
каждая из которых лежит в Я1 П Я2.
Пусть / ? Я1 и х < 0. Положим
A (w) = A — w2) e™f (w) = ^J ««A + «О2 / (да).

Факторизация HP-функций в полуплоскости 189
Функция A -f- wf f (w) лежит в Я1 — образе пространства Я1
в круге. Очевидно, что функция h также лежит в этом про-
пространстве, так как дробь у^— ограничена при Re (w) ^- 0,
а при х < О функция exw тоже ограничена в этой полупло-
полуплоскости. Поэтому
Здесь мы воспользовались тем фактом, что [тс A —|— ^2I—1 —
ядро Пуассона для точки w = 1. Это завершает доказатель-
доказательство.
Факторизация #р-функций в полуплоскости
Прямым переносом соответствующих результатов со слу-
случая единичного круга мы получаем следующие результаты
о ненулевой функции / из Нр в правой полуплоскости,
1
(I) Если рр р2, ...—отличные от 1 нули функции /
в полуплоскости Re (w) > 0, то
'
это условие является необходимым и достаточным для схо-
сходимости произведений Бляшке
Конечно, через k обозначен порядок нуля функции / в точке
w = 1, и поэтому
— \ — /
— функция из Нр без нулей.
(II) Граничные значения / не могут обращаться в О
на множестве положительной лебеговой меры; действительно,

190 Гл. 8. Пространства Н? в полуплоскости
Функция
F (w) = ехр
со
т J
лежит в Wp; имеем также \F\ =|/| почти всюду на мнимой
оси и \F(w)\^.\f (w)\ в полуплоскости.
(III) Если \ — е'а, где a = arg(^-J(l), то функция
единственным образом представима в виде
5(w) = *-?• ехр [- J
где (i — конечная сингулярная положительная мера на мнимой
оси, а р—неотрицательное вещественное число.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Основные результаты о пространствах HP в полуплоскости
принадлежат Пэли и Винеру [64] в случае р=2 и Бохнеру [11]
в случае р = 1. Рассуждения, проведенные здесь, заимствованы
в основном у Хилле и Тамаркина [90] и похожи на методы Пэли —
Винера и Габриеля [22]. Возможны другие подходы, в частности
связанные в большей степени с преобразованием Фурье и в мень-
меньшей— с кругом; см., например, Титчмарш [78]. Связь между про-
пространствами HP в круге и в полуплоскости как будто не освеща-
освещалась в литературе. Преобразования Фурье, теорему Планшереля и
т. п. см. в книгах Пэли и Винера [65], Винера [21] и Титчмарша [78].
Результаты о факторизации функций, аналитических в полуплоско-
полуплоскости, см. в работах Габриеля [22, 23]. Неравенство для интеграла
I \f\P\dw\ по кривым было рассмотрено Габриелем [24] и Карл-
Карлсоном [40] для субгармонических функций.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть /—аналитическая фуикция в правой полуплоскости #
a g — фуикция в единичном круге:

Упражнения 191
Рассмотрим интегралы
(а) Если эти интегралы ограничены, то функция g лежит в Н*
в круге.
(б) Привести пример такой функции g € Иг, что эти интегралы
не ограничены.
2. Пусть /— функция, аналитическая в полуплоскости Re w > 0.
Показать, что / лежит в Нг тогда и только тогда, когда сущест-
существует такое положительное число 8, что
(I) интегралы
ограничены при 0 < х < 8;
(И) функция / ограничена в полуплоскости. Re w !> 8.
3. Для функции / из Н2 в правой полуплоскости положим
Показать, что U—унитарное отображение Н1 на Н2. Заменяя ин-
инверсию конформным отображением полуплоскости на себя, доказать
тот же самый результат; при этом получается группа унитарных
операторов на Нг.
4. Пусть /—функция, аналитическая в полуплоскости Re (г») >
> 0. Доказать, что функция / лежит в Н1 тогда и только тогда,
когда f—gk, где g и h — функции из Н1 в правой полуплоскости.
5. (Акутович [1]). Пусть /—функция, аналитическая в полу-
полуплоскости Re (w) > 0. Доказать, что / есть произведение Бляшке
тогда и только тогда, когда
(а) |/(аО|<1;
F) Hm f iog\/(x + iy)\j^s- = 0.
— 00
6. Пусть /—неотрицательная гармоническая функция в пра-
правой полуплоскости. Доказать следующее:
1 Г х
(а)/(-* + 'У)='Р-* + — Г2 I tv—лг^@. где р — неотри-
эстоянная, а ц — конечная п
(б) /
цательная постоянная, а ц — конечная положительная мера на мни-
мнимой оси;
всех х

192 Гл. 8. Пространства Н* в полуплоскости
(в) (Люмис—Уиддер [51]) Если / гармонична при л:>0 и
равна 0 при х = 0, то f(x + ly) =* рх
7. Пусть а > 0 и Та — лииейиый оператор в Н* в правой полу-
полуплоскости, определяемый соотношением (Taf) (w) = /(а + w). Ис-
Используя теорему Пэли—Винера, описать инвариантные подпростран-
подпространства оператора Та.
8. Пусть g€Ll(—оо, оо). Если /(iy) —граничные значения
функции из Нг в правой полуплоскости, то полагаем
Доказать, что Tg — ограниченный линейный оператор в Н* (рас-
(рассматриваемом как подпространство L3 на мнимой оси). Пусть а > 0,
и Та — оператор упражнения 7. Доказать, что Т„ является одним из
операторов Tg и что любое подпространство Н*, инвариантное от-
относительно Т^, инвариантно также относительно любого опера-
оператора Те.
11 \
9. Отображает ли оператор (Tf){w)=f\-^w\ пространство Н1
в себя? Если это так, то является ли Т ограниченным оператором?
10. Доказать, что всякая функция / из L1 иа вещественной пря-
прямой .единственным образом представима в виде /=>/++/-. гДе
/+ — функция из Я* в верхней полуплоскости, а /_ — функция из Н*
в нижней полуплоскости. Показать, что
Re(w)>0-
н что аналогичная формула определяет функцию /_ при Re (w) < 0.
11. Пусть Н+ — множество функций из L3 на прямой, которые
являются граничными значениями функций из Я2 в верхней полу-
полуплоскости, а Н~ определяется аналогично при помощи нижней по-
полуплоскости. Показать, что Я+ и Н~ ортогональны, /.* = Н+ Q Н~
и оба пространства Н+ и Н~ инвариантны относительно сдвига.
Найти все разложения L* = S ф Т в прямую ортогональную сумму,
такую, что S и Т — (замкнутые) подпространства, инвариантные
относительно сдвигов.

Глава 9
Нр КАК БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО
Настоящая глава посвящена обзору некоторых работ по-
последних лет о структуре пространств Нр, р%-\, в единич-
единичном круге как банаховых пространств. Как обычно, про-
пространство Нр мы рассматриваем или как пространство функций,
аналитических в единичном круге, для которых функции
/г(&) =/(re'8) ограничены по //-норме, или же как про-
пространство функций / нз У на единичной окружности, таких,
что
J = O, л =1,2, 3
При последнем способе описания легко видеть, что Нр
является коммутативной банаховой алгеброй со сверткой
в качестве умножения; однако рассмотрение пространств Нр
с этой точки зрения увело бы нас слишком далеко, и мы
будем заниматься прежде всего их линейной структурой.
Оказывается, пространство Нт также является коммутатив-
коммутативной банаховой алгеброй при поточечном умножении. Эта
банахова алгебра будет детально рассмотрена в следующей
главе, однако и в этой главе мы в какой-то мере вынуждены
коснуться изучения ff°, так как ее алгебраическая структура
оказывает существенную помощь при изучении //°° и И1 как
банаховых пространств. Излагаемый ниже материал состоит
в следующем: A) описание крайних точек единичного шара
в Нр; B) изометрии пространств Я°° и Я1; C) проекции W
на Нр.
Крайние точки
При изучении банахова пространства X одной из задач,
представляющих существенный интерес, является геометрия
единичного шара
{ |
13 Зак. 1057.

194 Гл. 9. Нр как банахово пространство
В частности, хотелось бы найти крайние точки шара Е, т. е.
точки в ?, которые не являются собственной выпуклой ком-
комбинацией никаких двух различных точек из ?. Если X—
гильбертово пространство, то крайними точками Е будут
точки единичной сферы, т. е. точки с нормой 1. Это также
справедливо в случае пространств W, 1 < р < со. С другой
стороны, единичный шар в D не имеет ни одной крайней
точки, и следует думать, что именно это типично для бана-
банаховых пространств. Конечно, при этом описание крайних
точех Z не несет в себе полной информации о геометрии
шара Е. Тем не менее такое описание может быть очень
полезным.
Нас интересуют крайние точки единичного шара в Нр,
1 ^ Р -^ °°- В случае 1 < р < со здесь нет никакой задачи,
так как — это было отмечено выше — каждая точка единич-
единичной сферы в V является крайней точкой единичного шара
в W. Очевидно поэтому, что крайние точки единичного шара
в Нр совпадают в точности с функциями единичной нормы
A < р < со). Остаются два случая: р — 1 и р — со. В слу-
случае р — 1 совсем не очевидно, что единичный шар должен
иметь хотя бы одну крайнюю точку, так как единичный
шар в U их не имел совсем. Но Я1 существенно отличается
от D тем, что оно является сопряженным пространством для
некоторого банахова пространства. Общая теорема Крейна —
Мильмана утверждает, что если банахово пространство X
изометрически изоморфно сопряженному к некоторому бана-
банахову пространству V, то единичный шар в А' не только
имеет крайние точки, но и этих точек достаточно много,
чтобы «охватить» единичный шар. Эта теорема полезна нам
в следующей форме.
Теорема (К ре й н—М и л ь м а н). Пусть У — банахово
пространство, а К — непустое выпуклое подмножество
сопряженного пространства Y*. Пусть К — компакт
в слабой топологии на Y*. Тогда К имеет крайние точки;
более того, К является слабым замыканием выпуклой
оболочки своих крайних точек.
Теорема применима, в частности, к тому случаю, когда
К — единичный шар в У*. Немного позже эта теорема нам
понадобится, и мы будем ею пользоваться без доказательства;
однако многое в этой главе не зависит от этого результата.

Крайние точки 195
Мы привели эту теорему для того, чтобы показать, что еди-
единичные шары в Я1 и Яа имеют „достаточно много" крайних
точек. Конечно, чтобы применять эту теорему, нам нужно
доказать следующее.
Теорема. Каждое пространство Нр,
изометрически изоморфно сопряженному к некоторому
банахову пространству.
Доказательство. При 1 < р < оо этот результат
более или менее очевиден ввиду соответствующего факта
для LP. Как пространство функций на единичной окружно-
окружности, Нр определяется как множество всех функций / нз V,
которые аннулируются функциями е1пЬ при л^.1. Так как
V является сопряженным пространством к L9, где —|— =
= 1, то мы видим, что Нр — аннулятор замкнутого подпро-
подпространства Lq, натянутого на функции е'пЬ, п = 1, 2, 3
Этим пространством является Щ — пространство функций
из Нч, равных 0 в точке 0. Поэтому легко отождествить
Ир с пространством, сопряженным к фактор-простран-
фактор-пространству If/Hq. В частности, Нх „есть" сопряженное простран-
пространство к фактор-пространству Ll/H0. Сопряженность простран-
пространства Н1 не так очевидна. В этом по существу состоит
содержание теоремы Ф. и М. Риссов о мерах: мера (л на
окружности, аннулирующая все е'л8, п~^-\, абсолютно не-
непрерывна относительно меры Лебега, т. е. имеет вид </[*=»
= /ге?&, где h?Hl. Используя этот результат и тот факт,
что пространство конечных комплексных мер на окружности
сопряжено пространству С непрерывных функций, можно —
как и выше — отождествить И1 с сопряженным пространст-
пространством к С/Ао, где Ао — равномерное замыкание многочленов,
равных 0 в точке 0.
Прежде чем отыскивать крайние точки для Н1 и Я", сде-
сделаем несколько простых замечаний о единичном шаре ?
в банаховом пространстве X. Во-первых, утверждение о том,
что х — крайняя точка Е означает просто, что если х =
=-s-(у-|-г), и у, 2??, то x=y=z. Действительно, если
13»

196 Гл. 9. HP как банахово пространство
где а и Ь — различные элементы Е и 0<Х< 1, то можно
выбрать на отрезке прямой между а и Ь две такие различ-
различные точки у и г, что х = -я- (у + z). Во-вторых, всякая
крайняя точка ? с необходимостью имеет единичную норму;
действительно, если ||ж|| < 1, то можно написать х —
= -~-(y-\-z), где у и z— различные числовые кратные век-
вектора х, имеющие норму меньше 1. В-третьих, то,
что х — крайняя точка Е, может быть также сформулиро-
сформулировано следующим образом: если t — любой элемент X, такой,
что ||х + *||<1 и ||х — *||<1, то * = 0. Действительно,
если х = -у (у -j- z), у, 2??, то, полагая t = x — у, по-
получаем
Условие x = y = z эквивалентно тому, что ? = 0.
Рассмотрим теперь Н°°—пространство аналитических
ограниченных функций в единичном круге. Так как единич-
единичный шар Я00 состоит из тех функций, которые отображают
круг в круг, то кажется вероятным, что крайними будут те
функции, которые принимают крайние значения очень часто.
Для пространства L00 это дает полный ответ: крайними
в шаре являются функции, равные по модулю 1 почти всюду,
т. е. функции, значения которых являются крайними в круге.
Ясно поэтому, что любая функция / из Нт, равная по мо-
модулю 1 на единичной окружности (любая внутренняя функ-
функция /), будет крайней в единичном шаре Я™. Однако суще-
существуют и другие крайние точки. Например, пусть / лежит
в Я00, | / К 1 и | / | = 1 на любом множестве Е положи-
положительной меры на окружности. Тогда / — крайняя точка шара
в Я°°; действительно, если / = -^ (g -j- h), где | g \ <; 1 и
|А|^1, то должно выполняться соотношение f=zg=.h
на множестве Е. Так как мера Е положительна, а функции /,
g и h аналитические, то / = g = h. Однако и эти функции
не исчерпывают всех крайних точек. Полный ответ состоит
в следующем.

Крайние точки 197
Теорема. Функция f из Яот является крайней
точкой единичного шара в Н°° тогда и только тогда,
когда |/(г)|<1 и
log[1—|/(«'»)Ц«/0 = — оо.
Доказательство. Предположим, что это условие
выполнено. Пусть g — любая функция из Н20, такая, что
II + IL<1 ||/-*IL<1. Тогда
Следовательно,
и поэтому
'»)|d»<2l2+ Jl[l|/('»)|]rf» = — oo.
Отсюда вытекает, что ?¦ = (), и, тем самым, что / — край-
крайняя точка.
Предположим теперь, что интегральное условие для /
не выполнено, т. е. функция logA — |/(?<9)|) интегрируема.
Пусть
2Л J е^ — г
_
Тогда g — ненулевая ограниченная аналитическая функция;
более того,
Поэтому ||/ + ^||со<1 и ||/ — ?||от<1. так что функ-
функция / не является крайней.
Следует отметить, что полученный результат имеет место
также и в случае банахова пространства А непрерывных
функций в замкнутом круге, аналитических внутри него.
Первая половина доказательства проводится так же, как и
выше, потому что если / — крайняя точка единичного шара
в Н00, то ясно, что она является крайней точкой в единич-
единичном шаре подпространства Л. Для второй половины дока-

198 Гл 9 № как банахово пространство
зательства нам надо обеспечить непрерывность граничных
значений функции g. Если / лежит в Л и log A — | / (е'*) |)
интегрируем, то можно выбрать непрерывную функцию а
на единичной окружности так, что O^a^l — |/|, log a
интегрируем и и непрерывно дифференцируема на каждой
открытой дуге множества, где |/| Ф 1. Если положить
то функция g имеет непрерывные граничные значения и удо-
удовлетворяет неравенству
Поэтому снова функция / не является крайней.
Обратимся теперь к более интересной задаче о крайних
точках в единичном шаре Я1. Здесь мы не можем восполь-
воспользоваться как наводящим соображением соответствующим
результатом для L1, так как единичный шар в L1 не имеет
крайних точек. Нам надо отыскать класс функций в Я1,
обладающих свойством экстремальности. Им будет класс
функций, состоящий из внешних функций единичной нормы.
Внешняя функция / из Я1 может быть охарактеризована
свойством экстремальности: если g лежит в Я1, и |/|^-|^г|
на окружности, то | / (z) \ ^. | g (z) | для всех точек z круга.
Поэтому не вызывает удивления следующая
Теорема (Рудин — де Леу). Пусть f — функция
из Я1. Тогда f является крайней точкой единичного
шара в Я1 в том и только в том случае, когда
f — внешняя функция единичной нормы.
Доказательство. Покажем прежде всего, что если
||^||t = l и /— внешняя функция, то эта функция крайняя.
Пусть / — любая L'-функция на окружности с L'-норюй 1,
не обращающаяся в 0 на множестве положительной меры.
Пусть g — такая функция в L1, что ||/ ± g\\x <. 1. Конечно,
должно иметь место равенство, т. е.

Крайние точки 199
Пусть <р = gjf, так что функция <р интегрируема по мере
dp = -5— | /1 d&. Тогда [л — положительная мера массы 1 и
условия, наложенные на функцию g, дают
Но
|
и так как мера [л имеет массу 1, то мы имеем
почти всюду. Отсюда вытекает, что <р — вещественная функ-
функция, и —1^<р^1 почти всюду. Таким образом, любая
функция g из U, такая, что ||/±?ili-^ii имеет вид
g = <pf, где — 1<<р<1.
Предположим теперь, что / лежит в Я1 и ||/||(=1.
Функция / не обращается в 0 на множестве положи-
положительной меры на окружности; следовательно, если g лежит
в Я1 и ||/±^11^1, то мы имеем (на окружности) g — yf,
где —1<;<р<^1. Таким образом, на окружности |#|<;|/|
и если / — внешняя функция, то отсюда вытекает, что на
единичном круге
1
Следовательно, cp = gy/ — ограниченная аналитическая функ-
функция с вещественными граничными значениями и потому по-
постоянная. Но так как
то ср = 0, т. е. g = 0. Таким образом, /—крайняя точка
в единичном шаре Н1.
Предположим теперь, что / — ненулевая функция в И1,
которая не является внешней. Это означает, что f — IF,
где / — непостоянная внутренняя функция, a F — внешняя
функция. Напомним, что эта факторизация функции / един-
единственна с точностью до постоянной, равной по модулю
1, что
JJ log |/(

200 Гл. 9. Нр как банахово пространство
и что I = fjF. Подберем постоянную К входящую во внеш-
внешнюю часть F так, чтобы
Положим теперь
Тогда g — ненулевая (так как / ф const) функция из И1.
Так как
|/(«*»)| = 1 и 2Re(z) = ±±^- при |г| =
то ясно, что
Таким образом,
| / («») ± g- (**) | = | / (**) | [ 1 ± Re
Следовательно,
потому что функция | /1 Re / имеет на окружности интеграл,
равный 0. Эти рассуждения показывают, что если
II/Hj^I и функция / не внешняя, то / не может быть
крайней точкой единичного шара в Я1.
Теперь нам хотелось бы привести несколько следствий
(также принадлежащих Рудину и де Леу) этой теоремы,
устанавливающих несколько замечательных фактов о еди-
единичном шаре в И1. Быть может, наиболее замечательным
из них является
Следствие 1. Пусть f — функция в единичном
шаре S пространства И1.
(I) Если 11/1^ = 1 и f не является крайней точкой Е,
то f = -к- (/i -j-/г)> г&е f\ u fi — различные крайние
точки 2.
(II) Если Ц/lli < 1, то f — выпуклая комбинация не-
некоторых двух крайних точек S.

Крайние точки 201
Доказательство. (I) Пусть 11/1^ = 1. Построим
функцию g, как в доказательстве теоремы, и положим
f, = f — g. Тогда
В силу теоремы все будет доказано, если мы покажем, что
функции /j и /2 внешние. Мы установим, что / ± tg— внеш-
внешние функции при любом вещественном t~^\. В силу опре-
определения функции g и равенства f = IF мы имеем
Выберем вещественное число s так, что cos s — — -т-. Тогда
(± t/2 + 2/ ± t) = ± t A ± «'7) A ± е-"/),
так что
^ ±eisl)(\ ±e-isl).
Так как произведение внешних функций есть внешняя функ-
функция, то достаточно показать, что сомножители в правой
части последнего тождества суть внешние функции. Это сво-
сводится к тому факту, что если h — внутренняя функция, то
1 -f- h — внешняя. Доказать этот факт не трудно. Действи-
Действительно, если е > 0, то A +e)-f- A — he. будучи ограничен-
ограниченной и отделенной от 0 функцией, является внешней.
Таким образом,
log'
-I
) *
I
При ?->0 функции log|/iE| монотонно убывают к logf | Л —(— 11,
так что по теореме Лебега последняя формула остается
верной, если заменить в ней А, на A -f- Л). Следовательно,
\-\-h—внешняя функция.
(II) Пусть II/H, — 8 < 1. Если / — нулевая функция, то
утверждение тривиально. Если 8 > 0 и / — внешняя функ-
функция, то оно также тривиально, так как / лежит на отрезке

202 Гл. 9. HP как банахово пространство
прямой, соединяющем крайние точки у/ и —•*-/. Пред-
Предположим теперь, что 0 < 8 < 1 и / не является внешней
функцией. Построим функцию g, как в теореме, и выберем
числа tj > 1 и t2 > 1 так, что
По доказанному выше функции /-(-^i^ и / — hS — внешние
(и потому крайние точки шара), а / лежит на отрезке,
соединяющем эти функции.
Следствие 2. Замыкание множества крайних
точек единичного шара в Я1 состоит из всех функ-
функций f в Я1, таких, что
(а) 11/11, = 1;
(б) / не имеет нулей в открытом единичном шаре.
Доказательство. Пусть / лежит в Я1 и ||/„— /||г->0,
где /„ — внешние функции с единичной нормой. Ясно, что
||у||1==1. Так как /„—>/ по i'-норме на окружности, то
/„->/ равномерно на компактных подмножествах открытого
единичного круга. Следовательно, или / не имеет нулей
в круге, или /==0. Последнее невозможно, так как ||/||j=l.
Пусть теперь функция / удовлетворяет условиям (а) и (б).
Положим fr(z) = f(rz) для 0<г<1. Тогда ||/r — /||i->0
при г->1 и функции /г—внешние, так как они отделены
от нуля. Если gr = WffW^ff, то gr — крайняя точка еди-
единичного шара в Я1 и gr->f при г->1.
Изометрии
В этом параграфе мы опишем изометрии банаховых про-
пространств Я1 и Я°° в себя. В обоих случаях все изометрии
порождаются конформными отображениями единичного круга
на себя. Изучение изометрии пространства Я1 может быть
сведено к изучению изометрии пространства Я00. Это было
сделано де Леу, Рудиным и Вермером после того, как
де Леу нашел сначала изометрии Я1 довольно длинным спо-
способом. Изометрии Я°° были также найдены Нагасава, кото-
который пользовался другим методом. С помощью теоремы
Крейна — Мильмана изучение изометрии Я°° может быть

Изометрии 203
сведено к изучению алгебры автоморфизмов Н00, описанной
впервые Какутани. Мы начнем, таким образом, с описания
автоморфизмов алгебры Н°°.
Теорема. Пусть ср— автоморфизм на себя алгебры
ограниченных аналитических функций в единичном
круге. Существует такое конформное отображение х
круга на себя, что (ср/) (X) = / (т (X)) для всех ограни-
ограниченных аналитических функций /. Обратно, при
любом х так определенное ср является автоморфизмом
алгебры аналитических функций в круге.
Доказательство. Если х—конформное отображение,
то ясно, что /->/(*) есть автоморфизм алгебры Я°°. Пред-
Предположим, что нам дан автоморфизм ср. Так как ср ф 0, то
<рA)=1. Пусть / — ненулевая функция из #°°. Функция /
имеет нуль в какой-либо точке открытого единичного круга
тогда и только тогда, когда существует такое целое поло-
положительное число п, что / не является я-й степенью никакой
функции из Я0". Так как <р — алгебраический автоморфизм,
то из / можно извлечь корень «-й степени тогда и только
тогда, когда это можно сделать с ср(/). Следовательно,
ср отображает класс функций без нулей (в круге) на себя.
Но так как ср A) = 1, то отсюда вытекает, что <р сохраняет
область изменения каждой функции; действительно, функция
<р (/ — X) = ср (/) — X имеет нули тогда и только тогда, когда
функция / — X имеет нули.
Обозначим через z функцию z (X) s= X и положим х = ср (г).
Докажем, что т — конформное отображение круга |Х|<1
на себя. Надо показать, что х взаимно однозначно. При
любом X, |Х| < 1, функция z — X проста в кольце Н°°, т. е.
если z — X = fg, где f,g? #°°, то или /, или g должна
быть обратимой функцией в Н°°. Следовательно, и функ-
функция ср (г — X) = х — X должна быть простой в W*\ Поэтому
очевидно, что х— X не может иметь двух различных нулей
в открытом круге, иначе х — X делилось бы на z — X, и
г — Xj. Таким образом, т взаимно однозначно, и является
конформным отображением единичного круга на себя.
Пусть теперь ф — автоморфизм Н"°, получающийся как
композиция ср и автоморфизма / -»¦ / (f1):

204 Гл. 9. HP как банахово пространство
Тогда ф — такой автоморфизм #°°, что ty(z) = z. Ясно, что
такой автоморфизм ф является тождественным. Действительно,
пусть / ? Яю и | X | < 1; тогда
Так как ф (z — X) = z — X, то мы имеем
Ф(/) — /&¦) = (* —W(
и (ф/) (X) = / (X). Так как ф—тождественный автоморфизм, то
для всех / из #"°.
Конечно, полученный результат имеет место и для
алгебры А функций, непрерывных в замкнутом единичном
круге и аналитических внутри него. Приведенное выше дока-
доказательство переносится на этот случай, если учесть два сле-
следующих простых замечания. A) Если t — конформное ото-
отображение круга на себя, то т имеет непрерывные (даже
аналитические) граничные значения. Таким образом, /—>/(х)
есть автоморфизм алгебры А. B) Если / лежит в Л и не
имеет нулей в открытом круге, то из / можно извлечь
корень «-й степени в А при любом п. Еще одной алгеб-
алгеброй, в которой справедлива эта теорема, является алгебра
всех аналитических функций в круге.
Доказательство предыдущей теоремы использовало одно-
односвязность круга, так как оно содержало рассуждение о корнях.
Можно дать другое элементарное доказательство, предста-
представляющее интерес и не содержащее рассуждений о корнях.
Пусть <р— автоморфизм алгебры //°°. Пусть /?Л/°° и
X—любое комплексное число. При этом X принадлежит
замыканию области значений функции / тогда и только
тогда, когда (/ — X) не обратима в Яю. Так как <рA)=1,
то области значений функций / и ср/ имеют одно и то же
замыкание. Положим t = yz. Область изменения т—открытое
гножество, замыкание которого — замкнутый единичный круг
(т непостоянно, так как <р взаимно однозначно). Таким обра-
образом, х отображает открытый круг на открытый круг. Пусть
|Х|< 1 и /?ЯЮ. Тогда |х(Х)|< 1 и

Изометрии 205
где g?H°°. Следовательно,
<Р/ —/(*(*)) = (* —
так что ср/— /(t(X)) равно нулю в точке X, т. е.
Таким образом, ср— отображение /->/(т), и так как ср ото-
отображает Я°° на Я00, то ясно, что т есть конформное ото-
отображение (т — функция, которую ср отображает на 2).
Обратимся теперь к изометриям пространства Н™. Основ-
Основной результат состоит в том, что если Т—линейная изо-
метрия Н°° на Н°°, то Г —аср, где а—постоянная, равная
по модулю 1, а ср — алгебраический автоморфизм Н°°, т. е.
при некотором конформном отображении т. Это — следствие
очень общего результата об алгебрах непрерывных функций.
Мы дадим доказательство общей теоремы. Доказательство
существенно опирается на теорему Крейна—Мильмана, сфор-
сформулированную в начале этой главы; теорему же Крейна —
Мильмана, как уже говорилось, мы доказывать не будем.
Теорема. Пусть X — компактное хаусдорфово
пространство и А — комплексная линейная подал-
подалгебра алгебры С(Х) всех непрерывных комплекснознач-
ных функций на X. Допустим, что А содержит
постоянную функцию 1. Предположим, что Т—изо-
метричное взаимно однозначное линейное отображе-
отображение А на А, т. е.
Тогда Т имеет вид
где а — фиксированная функция из А, равная по модулю
1, 1/а лежит в А, а ср — автоморфизм алгебры.В част-
частности, если ГA)=1, то Т мультипликативен.
Доказательство. Отметим сначала два факта. A) Без
ограничения общности можно считать, что А равномерно
замкнута, потому что любая изометрия А может быть един-
единственным образом расширена до изометрии равномерного

206 Гл 9 HP как банахово пространство
пополнения А. B) Также без ограничения общности можно
считать, что А разделяет точки X. Этого всегда можно
добиться, отождествляя те точки X, в которых функции /
из А принимают одни и те же значения.
Рассматривая А как банахово пространство с sup-нор-
sup-нормой, обозначим через ? единичный шар сопряженного про-
пространства А*. Мы хотим выделить некоторые специальные
элементы шара S, именно — значения в точке
Теорема Крейна — Мильмана гарантирует существование
крайних точек шара Е. Мы хотим показать, что всякая
крайняя точка L шара Е имеет вид L = \LX, где | X | = 1 и
Lx — одно из указанных выше значений в точке. Предпо-
Предположим, что L — крайняя точка шара ?. Тогда ||?.|| = 1 и
теорема Хана — Банаха обеспечивает существование ограни-
ограниченного линейного функционала F на С(Х), являющегося
расширением L и такого, что \\F\\ — ||?|| = 1. Пусть
S—множество всех таких расширений функционала L. Ясно,
что 5 выпуклое и слабо компактное подмножество С(Х)*,
Выберем (снова используя теорему Крейна — Мильмана) край-
крайнюю точку F множества 5. Тогда F является на самом
деле крайней точкой единичного шара в С{Х)*. Если
4
и если Lf — сужение Ff на А, то каждое L, лежит в S и
L = -п (Lx + L2). Так как L — крайняя точка, то Ll = L2 = L.
Таким образом, каждое F) есть сохраняющее норму расши-
расширение L (т. е. лежит в S), и так как F—крайняя точка в S,
то F^ = F2 = F. Крайние точки единичного шара С(Х)*
легко описываются. Этот единичный шар есть множество
всех комплексных бэровских мер на X, полная вариация
которых не превосходит 1. Крайние точки, следовательно,
имеют вид d\x = Xdbx, где |Х| = 1, а 8^ — единичная масса,
сосредоточенная в некоторой точке х в X. Отсюда вытекает,
что наш экстремальный функционал F имеет вид

Изометрии 207
и, ограничиваясь алгеброй А, получаем, что экстремальный
функционал L в L имеет вид
Так как А разделяет точки X, то точка х, связанная с L,
единственна; следовательно, множитель X также единственен.
Пусть теперь Е—множество крайних точек шара Е. Для
любой функции / из А
pl
Это устанавливается следующим образом. Так как L из Е
есть линейный функционал на А с нормой 1, то
Предположим, что ||/||оо=1. Так как X — компакт, то /
достигает своего максимума на X в некоторой точке хй,
/(*o)=ll/IL = l- ПУСТЬ
Тогда М — непустое (?*„ лежит в М), выпуклое и слабо
компактное множество. По теореме Крейна — Мильмана М
имеет крайнюю точку L. Такая точка L должна быть
крайней и для единичного шара Л. Действительно, если
L = -кФ\ + ^г)' ^/6^" т0 из соотношений 11/11^ = 1 и
L(f)=l вытекает, что Lj(f)=l, /=1, 2. Поэтому, так
как L — крайняя точка в М, мы имеем Ll = L^ = L. Таким
образом, „множество максимумов" М для / содержит край-
крайнюю точку шара И, и
причем максимум действительно достигается.
Рассмотрим, наконец, заданную банахову изометрию Т
пространства А. Сопряженный оператор Т*, определяемый
соотношением
является тогда изометрией А* на А*. Таким образом,
Т* должен переводить в себя как единичный шар, так и

208 Гл. 9. HP как банахово пространство
множество Е крайних точек шара. Положим
В={х?Х: Lx— крайняя точка в 2}.
Так как Lx— крайняя точка тогда и только тогда, когда
при всех X, равных по модулю 1, являются крайними и
точки \LX, то множество Е совпадает в точности с множе-
множеством функционалов \LX, |X| = 1 и х^В. Если х? В, то
T*LX также должно быть крайней точкой шара S. Тем самым
с каждой точкой х связано комплексное число а(х), равное
по модулю 1, и точка х(лг) в В такая, что
или
(Г/) (*) = <* (*)/(*(*)) для всех / из А.
Полагая /—1, мы видим, что а(лг) = (Г1)(дг) для всех х?В,
т. е. что а есть (суженная на В) функция из А.
Теперь воспользуемся кольцевой структурой А. Пусть
/, g?A и х?В. Тогда
(Т \fg\) (х) = а (х) (fg) (х (х)) =
Умножая на л(х), получаем
«(*) (Т [fg]) (х) == (Tf) (x) (Tg) (x).
Мы знаем, что для функций h из А норма ЦАЦд, равна
верхней грани значений \L(h)\ для L из Е, т. е.
Только что было показано, что для любых / и g из А
функция
обращается в 0 на В. Следовательно, мы имеем
для всех / и g из А. Если положить / = gr = 7~1(l), то
непосредственно видно, что функция 1/а лежит в А. Так как
обе функции а и а равны по модулю 1 на В и каж-
каждая из них достигает своего максимума на В, то |а(л;)| —1

Изометрии 209
для всех х ? X. Поэтому, если определить ср соотношением
то ясно, что ср — алгебраический автоморфизм А.
Следствие. Пусть Т—любая банахова изоме-
шрия Н°° на Я°°. Тогда Т имеет вид
где а— комплексное число, равное по модулю 1, а х—
конформное отображение открытого единичного круга
на себя.
Доказательство. Мы, конечно, воспользуемся дока-
доказанной теоремой. Чтобы это сделать, надо показать, что Н°°
изометрически изоморфно алгебре непрерывных функций
на компактном хаусдорфовом пространстве X. Один из спо-
способов сделать это состоит в следующем. Для каждого X,
|Х| < 1, примем за Lx комплексный гомоморфизм алгебры Я°°,
определяемый соотношением Lx{f) = f (к). Пусть X — слабое
замыкание множества всех таких Lx в сопряженном про-
пространстве (Z/00)*. Так как L^ лежит в единичном шаре (//°°)*,
то множество X является компактным хаусдорфовым про-
пространством в слабой топологии. С каждой функцией / из Н°°
свяжем функцию / на X при помощи соотношения
°°
Каждая функция / непрерывна на X по определению слабой
топологии. Так как каждый L} мультипликативен на Н°°,
то ясно, что /—>/ есть изометрический изоморфизм (при
sup-норме) Н03 и алгебры непрерывных функций на X.
Если теперь применить теорему, то получим, что каждая
изометрия Яю имеет вид Т/ = аср/, где <р — алгебраический
изоморфизм Н°°, а а — функция из Ню, равная по модулю
1 на единичном круге. Такая функция а постоянна, а <р,
как мы доказали, имеет вид
где т — некоторое конформное отображение. Итак, все
доказано.
14 Зак. 1057,

210 Гл. 9. tfp как банахово пространство
Отметим снова, что такое же следствие справедливо и
для алгебры А функций, непрерывных на замкнутом круге
и аналитических внутри него. Доказательство даже короче,
потому что А уже является алгеброй непрерывных функций
на компактном пространстве.
Теорема. Всякая линейная изомешрия Я1 на Я1
имеет вид
где а — комплексная постоянная, равная по модулю
1, а т — конформное отображение открытого еди-
единичного круга на себя. Обратно, для любых таких
а. и z так определенный оператор Т является изоме-
трией Я1 на Я1.
Доказательство. Обратное утверждение уже про-
проверено. Предположим теперь, что Т — линейная изометрия
Я1 на Я1. Тогда Т сохраняет в Я1 единичный шар и его
крайние точки. Следовательно, Т сохраняет замыкание мно-
множества крайних точек. Но это множество состоит из функций
с единичной нормой, не имеющих нулей в открытом еди-
единичном круге. Отсюда вытекает, что функция / из Я1 имеет
нуль тогда и только тогда, когда Tf имеет нуль.
Положим F = T(l). В силу сделанного замечания F не
имеет нулей в открытом круге. Аналогично, если /?Я' и
X — комплексное число, то / — X имеет нули тогда и только
тогда, когда имеет нули Tf— \F. Другими словами, функ-
функции / и TfjF имеют одну и ту же область значений
в открытом круге. Положим
Тогда U отображает подпространство Я™3 на себя; действи-
действительно, U изометрично на Я°° (при sup-норме), так как
U/ и / имеют одно и то же множество значений. Более
того, U отображает Я00 на Я°°, потому что если g ? Яга.
то функция f = T l (Fg) лежит в Яя и Uf = g. Наконец,
f/(l)=l. Следовательно, U является автоморфизмом алге-
алгебры Hv и имеет вид

Изометрии 211
где г — некоторое конформное отображение. Таким образом.
для любой ограниченной функции / из Н1.
Из этого представления для Т мы получаем
1С
для /?//°°. Но для любой
— я —тс
Так как оператор Т изометричен, то
для всех ? ? #°°. Поэтому для любой ограниченной неотри-
неотрицательной измеримой функции р (так как возможно пред-
представление pJ\-b = \g\ при любом е > 0, g?H°° и log(/?-[-e)
интегрируем) имеем
Таким образом, |/г| = |х'| почти всюду на окружности.
Но обе функции F и х' внешние; F внешняя, так как
/г = 7A), а 1—внешняя функция; то, что х' — внешняя
функция, устанавливается прямым подсчетом производной
дробно-линейного преобразования. Отсюда вытекает, что
|/-Л(Х)| = |т'(Х)| при |Х|<1, или что /?(Х) = ах'(Х), где
а — постоянная, равная по модулю 1. Мы знаем теперь, что Т
имеет желаемый вид на №°, а так как Я°° плотно в И1.
то все доказано.
Насколько нам известно, вопрос об описании всех изо-
метрий Нр при рФ\, 2, сю остается открытым. Можно,
в частности, спросить, будет ли всякая банахова изоме-
трия Н" при рф 2 индуцироваться конформным отображе-
отображением круга на себя.
14»

212 Гл. 9. Н* как банахово пространство
Проектирование из V на Нр
Одно из важных свойств гильбертовых пространств Н,
делающих их особенно полезными в приложениях, состоит
в том, что всякое замкнутое подпространство S в Н имеет
естественным образом определенное дополнительное замкну-
замкнутое подпространство S . Разложение в прямую сумму
//^Зф^-1- связывает с каждым 5 ограниченное проекти-
проектирование Р, имеющее 5 своей областью значений, a S^ —
нулевым пространством. Для гильбертова пространства это
так естественно, что обычно Р к S отождествляются. В пре-
предыдущих рассмотрениях мы (часто неявно) пользовались
этим фактом в том случае, когда /7=12 и S = Н2.
Если X — банахово пространство и 5 — замкнутое под-
подпространство X, то обычно не существует ни одного такого
замкнутого подпространства Т, что А"=5фГ, не говоря
уже о „естественном" Т с этим свойством. Если иметь
в виду лишь линейность пространства, то существует много
подпространств Т, дополнительных к 5. Лишь тогда, когда
мы требуем замкнутости Т, возникает ряд трудностей. Если
X — S © Т, то существует единственное проектирование
из X на S, имеющее Т нулевым пространством:
Px=s.
Если Т замкнуто, то Р—ограниченный (т. е. непрерывный)
линейный оператор на X, и хотя Т, быть может, и не
„естественен", существование этого ограниченного проекти-
проектирования А' на 5 может быть очень полезным.
Нами будет рассмотрен случай банахова пространства W
на единичной окружности и замкнутого подпространства
НР'0- ^ Р ^ °°) в нем- В этом случае естественно предпо-
предположить, что замкнутым подпространством, дополнитель-
дополнительным к Нр, является пространство функций, комплексно со-
сопряженных к //^-функциям и равных 0 в начале коор-
координат. Другими словами, если /?LP и

Проектирование из L.P на HP 213
то можно надеяться, что / = g -f- h, где
со
g ~ 2 спе1пЪ,
n = 0
-1
и что это расщепление ряда Фурье функции / действительно
определяет две функции g и h в /Л Это, конечно, верно
в случае р = 2. На самом деле, ниже будет доказана тео-
теорема М. Рисса, утверждающая, что это верно и в случае
1 < р < оо; однако при р = 1 и р = оо это не так. Напри-
Например, легко показать, что
у sin я»
Z
— ряд Фурье ограниченной функции на окружности, а
л-1
не является рядом Фурье ограниченной функции, т. е. функ-
функции из И00. Несколько труднее показать, что
оо
Scos л а
log га
л-2
— ряд Фурье функции из L1; но, как было доказано ранее,
СО
*~^ 1
2j iogTe"
ле является рядом Фурье функции из И1 (V . = оо|.
Обозначим через Н% пространство функций, комплексно
сопряженных к /¦/''-функциям, равным 0 в начале коор-
координат. Конечно, /?о — замкнутое подпространство №. Как
мы говорили, будет показано, что
LP=H"QHP, 1<р<оо.

214 Гл. 9. Н' как банахово пространство
В случае р = 1 мы имеем
Конечно, множество функций / в L1, представимых в виде
f = g-\- h, где g ? /¦/' и Л? Wo. плотно в I1, так как три-
тригонометрические многочлены допускают такое представление.
Но отображение
*.«*•»
л-0
не ограничено в L'-норме. Позже мы докажем результаг
Д. Ньюмаиа о том, что Н1 не имеет в L1 ни одного допол-
дополнительного замкнутого подпространства.
В случае р = оо положение (в некотором смысле) еш-
хуже. Как было отмечено,
но, более того, функции вида g -+- h, где g g Я00 и А ? Я ,
даже не плотны в ?°°.
Теорема. Замкнутая линейная оболочка функций
из Н°° и их комплексно сопряженных функций не ис-
исчерпывает всего пространства 1°°.
Доказательство было сообщено нам Ньюманом.
Для любой функции / из lf° положим
= -^ J / (ft - 0 Q,(f) dt.
где Qr — сопряженное ядро Пуассона. Если / вещественна,
то /—гармоническая функция, равная 0 в начале коор-
координат и сопряженная к гармоническому продолжению /.
Идея доказательства такова. Для всякой функции / из L00.
лежащей в замкнутой линейной оболочке //°° и //^.функ-
//^.функция / растет не очень быстро на положительной оси. Точ-
Точнее.

Проектирование из LP на Нр 215
С другой стороны, если /@)=-д-(те — 0) при 0<^
то ее рядом Фурье будет
оо
Ssin/zft
~7Г~'
так что
и условие малости порядка роста не выполнено для всех
функций / из U".
Нам надо доказать лишь, что условие роста для f вы-
выполнено для функций из замыкания НМ+НЛ. Это ясно,
если / лежит в //""-{-Я00, так как тогда / — ограниченная
функция в круге. Так как
О н\ 2r sin *
то ясно, что функции
log(l-r)
ограничены по ^-норме при г->1. Таким образом, если
/„->•/ по sup-норме, то
Л (г)
log A — г) log A — г)
равномерно по г, и условие роста выполнено для функции /
из замыкания Ях-(- ЯЛ.
Обратимся теперь к нашему основному положительному
результату.
Теорема (М. Рисе). Пусть 1 < р < оо и f — функ-
функция из IP на единичной окружности с рядом Фурье
Тогда ряд

216 Гл. 9. Hi> как банахово пространство
является рядом Фурье функции g из У, и
\\g\\P<Kp\\f\\p.
где Кр — постоянная, зависящая только от р, но не
зависящая от /. Эквивалентная формулировка: если
функция h = u-\-iv лежит в Нр и v обращается в О
в начале координат, то
Ы\Р<Мр\\и\\р.
где Мр — постоянная, не зависящая от h.
Доказательство. Покажем сначала эквивалентность
этих двух формулировок. Ясно, что достаточно доказать
утверждения для того случая, когда / и h — тригонометри-
тригонометрические многочлены. В первом случае мы можем также
считать, что / вещественно, т. е. / = А-)-й, где h — много-
многочлен; первое утверждение заключается в том, что отобра-
отображение и в Л ограничено по //-норме, в то время, как вто-
второе заключается в том, что отображение и в г» ограничено.
Теперь их эквивалентность очевидна.
Для доказательства предположим, что h~u-\-iv — ана-
аналитическая функция с непрерывными граничными значениями
и что v обращается в 0 в начале координат. Мы дока-
докажем, что
ЫР<мр\\и\\р.
Предположим сначала, что и > 0; таким образом, Л отобра-
отображает круг в правую полуплоскость. Тогда соответствующая
ветвь функции hp аналитична и имеет непрерывные гранич-
граничные значения. Вспоминая, что ¦у@) = 0, мы имеем
< i f
Оценим теперь интеграл \\hp — {iv)p\db. Ясно, что
a+lv
(u + tvf — (ivf = J pzp~xdz,

Проектирование из У на HP
217
и поэтому
\hp — (lvfl-4. pu\u + iv]"-1 = ри (и2 -f v2fp~1)/2.
Так как (Л + B)r < 2' (Ar -f fir) при r > 0, то мы имеем
Применяя неравенство Гёльдера к интегралу
мы получаем
1
2[^ f
Комбинируя это с предыдущей оценкой, находим
Далее,
так что
Но
i/Re
Re ^ J (^)p d» | < | ± f (ivf db
и мы, таким образом, получаем
Используя оценку предыдущего интеграла и полагая
II и II» '
мы имеем

218 Гл. 9. #р как банахово пространство
Если рфЪ, 5, 7 т. е. если cos y-?-1=^=0, то мы прихо-
приходим к выводу, что IMIp/ЦиЦр ограничено для и > 0. Огра-
Ограничение и > 0 легко обойти. Если задана h = и -f- iv, то
и = и+ — и~, где и+ и ц~ — положительные непрерывные
функции. Если аппроксимировать и+ и ц~ равномерно вещест-
вещественными частями аналитических функций с непрерывными
граничными значениями, то простое применение неравенства
треугольника (вместе с ограниченностью для и > 0) показы-
показывает, что IMIp/ЦиЦр ограничено.
Доказательство завершено для всех значений показателя,
кроме /? = 3, 5, 7 Для этих значений р возьмем
сопряженный показатель q, т. е. —| =1. Тогда мы
имеем теорему для случая показателя q.
Заметим, что
{\v\\p = sup
где s пробегает все вещественные части аналитических функ-
функций с непрерывными граничными значениями (или вещест-
вещественные части многочленов), удовлетворяющие условию
||s||?=l. Для такой функции s обозначим через / гармо-
гармонически сопряженную к ней функцию, равную 0 в на-
начале координат. Тогда
J vsdb= — J utdb,
так как (и -f- iv) (s -j- //) вещественна в начале координат.
Следовательно,
= мя\\и\\р.
Доказательство тем самым закончено.
Теорема (Д. Ньюман). Не существует замкну-
замкнутого подпространства L1, дополнительного к /У1. Иначе
говоря, не существует ограниченной проекции из L1
на НК

Проектирование из L' на Н* 219
Доказательство (Рудин). Идея доказательства со-
состоит в том, чтобы показать, что если существует хотя бы
одно ограниченное проектирование из L1 на И1, то и „есте-
„естественное" проектирование должно быть ограниченным. Пред-
Предположим, что у нас есть линейное преобразование Я, ста-
ставящее в соответствие каждой функции / из L1 функцию Р/
из Я1 таким образом, что
(I) ||Я/Id ^Л'||/Hi. К — положительная постоянная;
(II) Я/=/ для всех / из Нх.
Определим для функции / из L1
Здесь через /8 обозначен 0-сдвиг (или поворот) функции /:
При фиксированной функции /??' отображение &—>/, есть
непрерывная функция на окружности со значениями в L1,
и так как Я непрерывно, то отображение &-»-(Я/8)_а не-
непрерывно. Поэтому у нас не возникает сомнений о смысле
интеграла, определяющего функцию Я/. Теперь ясно, что Я —
ограниченный линейный оператор в L1. Так как Н1 инва-
инвариантно относительно поворотов, то очевидно, что Я ото-
отображает L1 в //'; более того, простой подсчет показывает,
что
Р(е )==i 0, я<0.
Отсюда мы приходим к выводу, что Я—„естественное про-
проектирование" из U на НК во всяком случае, на тригоно-
тригонометрических многочленах. Так как это проектирование не
ограничено, мы приходим к противоречию.
Это рассуждение применимо также к проектированиям
из Lp на Нр и при 1 <р<оо; оно показывает, что если
существует какое-то ограниченное проектирование из Lp
на Нр, то и естественное проектирование ограничено. Это
вытекает из непрерывности поворота в ^/-норме. Различие
состоит в том, что при 1 < р < оо естественное проекти-
проектирование — в силу теоремы М. Рисса — ограничено, а при

220 Гл. 9. Нр как банахово пространство
р = 1 — не ограничено. Доказательство переносится также
непосредственно на проектирования из пространства С не-
непрерывных функций на окружности на пространство А не-
непрерывных функций, коэффициенты Фурье которых с отри-
отрицательными индексами равны нулю. Действительно, вращение
ft->/ft непрерывно в sup-норме, если /—непрерывная функ-
функция. Отсюда мы приходим к выводу, что не существует ог-
ограниченного проектирования из С на А.
В случае А°° и Я°° рассуждения не так просты, потому
что вращение не непрерывно в sup-норме для фиксирован-
фиксированной функции из Lm; однако требуется лишь небольшое из-
изменение доказательства.
Теорема. Не существует ограниченного проекти-
проектирования из L°° на Н°°.
Доказательство. Предположим, что Р — такое ог-
ограниченное проектирование. Воспользуемся обозначением
Если / ? L00, то определим функцию Pf из Lm при помощи
соотношения
1С
(Pf, g) = 75— I [Pf&< ?»] d& для всех g из L1.
Так как Р ограничено, то при фиксированной функции /
интеграл в правой части определяет ограниченный линейный
функционал на L1, а этот линейный функционал есть „внут-
„внутреннее произведение с" некоторой функцией из L°°. Эту
функцию и примем за Pf. Теперь, как и раньше, можно
проверить, что Р — естественное проектирование Lm на Нт,
и оно также ограничено; это противоречит построенному
выше примеру.
Доказательство последней теоремы было сначала пока-
показано нам Р. Аренсом, который вместе с П. Куртисом неза-
независимо нашел доказательство Рудина о проектированиях из
У на Нр. Осведомленный читатель заметит, что из послед-
последней теоремы вытекает несуществование ограниченного про-
проектирования из L1 на Я1. Если бы существовало замкнутое
подпространство L1, дополнительное к Я1, то сопряженное

Упражнения 221
пространство Z.°° было бы прямой суммой аннулятора этого
замкнутого пространства и аннулятора Нх. Таким образом,
существовало бы замкнутое подпространство L°°, дополни-
дополнительное к пространству Л/°°-функций, равных 0 в начале ко-
координат.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Теорема Какутани об автоморфизмах доказана в [36]. Описание
крайних точек единичного шара было дано Аренсом, Буком, Кар-
лесоном и Гофманом в 1957 г. во время Конференции по аналити-
аналитическим функциям в Институте высших исследований. Крайние точки
единичного шара в Я1 были найдены де Леу и Рудиным [47].
В этой статье содержатся как два следствия полученного описания,
так и обсуждение некоторых других экстремальных задач в Я1.
Теорема Крейна — Мильмана приведена в работе [43]. За доказа-
доказательством можно обратиться к книге Данфорда и Шварца [34].
На теорему, которую мы доказали об изометриях алгебр функций,
я обратил внимание благодаря статье Аренса и Зингера [4]; однако
она была обнаружена независимо многими математиками, и я не
знаю, кому следовало бы отдать предпочтение. Изометрии в Я1
были впервые найдены де Леу [46]. Доказательство, приведенное
здесь, принадлежит де Леу, Рудину и Вермеру [48]; причем их
результаты были независимо получены Нагасавой [58], который
также описал изометрии Я00. Доказательство М. Рисса ограничен-
ограниченности естественного проектирования из Lp на Нр A < р < оо)
можно найти в книге Зигмунда [35] вместе с другими различными
доказательствами этой теоремы; см. еще одно доказательство
в статье Бохнера [13]. В той форме, в которой мы его привели,
доказательство непосредственно переносится иа случай алгебр
Дирихле; на это мне указал Дж. Вермер. Пусть А — алгебра Дирихле
на компактном хаусдорфовом пространстве X, т — положительная
мера на X, мультипликативная на А. Допустим, что всякая веще-
вещественная функция / в А постоянна. Если и — вещественная часть
функции из А, то существует единственная функция v, такая, что
v dm = О и и -f- lv € А. Теорема тогда утверждает, что отобра-
отображение и в v ограничено в Lp (йт)-норме при 1 < р < со. О невоз-
невозможности проектирования из L1 в Я1 см. статью Ньюмана [61].
Рудин [72] нашел приведенное здесь доказательство и дал некото-
некоторые обобщения.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть /? А, т. е. /непрерывна в замкнутом единичном круге
и аналитична внутри него. Если / не имеет нулей при | г \ < I, то
из / можно извлечь корень я-й степени в А при всех я — 1, 2, 3, ...
2. Доказать, что единичный шар в IJ не имеет крайних точек.

222 Гл. 9. Н* как банахово пространство
3. Если 1 <р < оо, то доказать, что всякая функция единичной
нормы является крайней точкой в единичном шаре в Lp.
4. Доказать, что всякий элемент единичной нормы в гильбер-
гильбертовом пространстве Н является крайней точкой единичного шара в Н.
5. (де Леу — Рудин) Рассмотрим Н1 как подпространство про-
пространства, сопряженного к пространству непрерывных функций на
окружности. Доказать, что слабое замыкание множества крайних
точек единичного шара в Н1 состоит нз всех функций / из //',
таких, что ||/|| ,<1 и / не имеет нулей в открытом единичном
круге, и нз нулевой функции,
6. Пусть К—замкнутое подмножество единичной окружности,
и Вк — подпространстно функций из Н00, непрерывных в каждой
точке К- Найти все изометрии (при sup-норме) Вк на В^.
7. Рассмотреть второе данное нами доказательство того, что
всякий автоморфизм Н°° индуцируется конформным отображением.
Пользуясь им, доказать, что если D — любая ограниченная область
плоскости, совпадающая с замыканием своих внутренних точек, то
каждый автоморфизм алгебры ограниченных аналитических функ-
функций на D индуцируется конформным отображением D на D.
8. Пусть D и R— ограниченные области плоскости. Пусть
9 — гомоморфизм алгебры ограниченных аналитических функций
на D иа алгебру ограниченных аналитических функций на И, <?ФО
(а) Показать, что <рA) равно или I или 0 на каждой компо-
компоненте R; если Ro — объединение тех компонент, на которых <р A) = 1.
то v является гомоморфизмом в алгебру ограниченных аналитиче-
аналитических функций на Ra (так что мы можем считать <р A) = 1)l
(б) Если <р A) = 1 и т == <р (г), то т (/?) содержится в D (замы-
(замыкании области D).
(в) Если внутренность D совпадает с D, <рA) = 1 и т не по-
постоянно, то
(г) Если <р взаимно однозначно и есть отображение на, а
Int D = D, то
где t — конформное отображение R на D.
оо
9. ([35], стр. 253')) Доказать, что ^ <^L0l есть ряд Фурье
п-1
2е1п
не лежит в И1.
л-2
') Страницы указаны по второму английскому изданию книги
Зигмунда. — Прим. ред.

Упражнения 223
10. ([35], стр. 253) Доказать, что V есть ряд Фурье
оо
ограниченной функции, но V — е'пП не лежит в Я°°.
оо
11. ([35], стр. 253) Доказать, что V — сходится равно-
равномерно к непрерывной функции на единичной окружности, но
оо
V — е1пЬ не является рядом Фурье функции из А (т. е. не-
непрерывной функции).

Глава 10
Я°° КАК БАНАХОВА АЛГЕБРА
Эта глава посвящена алгебре Я00 ограниченных аналити-
аналитических функций в единичном круге. В гл. 9 мы отчасти
рассматривали эту алгебру; были классифицированы ее авто-
автоморфизмы и — благодаря этому — банаховы изометрии. Здесь
мы сосредоточим свое внимание на пространстве максималь-
максимальных идеалов //°°, изложим известные результаты о его струк-
структуре и сообщим некоторые новые сведения. Прежде всего
поясним термин „пространство максимальных идеалов".
Рассмотрим коммутативную банахову алгебру В (с еди-
единицей). Как было доказано в гл. 6, существует взаимно
однозначное соответствие
(р<-> М
между гомоморфизмами <f алгебры В на алгебру комплекс-
комплексных чисел и максимальными идеалами М в алгебре В. Это
соответствие задается соотношением М — Kernel (cp). Было
также показано, что каждый идеал М замкнут и, следова-
следовательно, каждый комплексный гомоморфизм ср непрерывен,
Поэтому комплексные гомоморфизмы В суть ограниченные
линейные функционалы на В, которые мультипликативны:
Норма такого функционала f равна в точности единице, так
как срО)—1- Обозначим через Ш(В) множество всех ком-
комплексных гомоморфизмов В. Тогда Ш (В) — подмножество
сопряженного пространства В*, и, более того, содержится
в единичной сфере В*. Множество Ш (В), кроме того, замк-
замкнуто в слабой топологии на В*. Пусть L — ограниченный
линейный функционал на В из слабого замыкания Ш(В).

Я* как банахова алгебра 225
Если х и у — элементы В и е > 0, то существует такой
элемент <р в Ш(В), что
\Цху)-<р(ху)\<*.
Так как tp (лгу) = <р (л:) • ф (у), то ясно, что
\L(xy)-L(x) ¦ L(y)\< e(
Таким образом, L мультипликативен, т. е. L?Wi(В). Так как
единичный шар в В* слабо компактен, то отсюда вытекает,
что Ш(В) — если его снабдить слабой топологией — ком-
компактное хаусдорфово пространство. Это компактное про-
пространство называется пространством комплексных гомо-
гомоморфизмов алгебры В или (ввиду соответствия между гомо-
гомоморфизмами и максимальными идеалами) оно часто называется
пространством максимальных идеалов алгебры В. Мы
будем пользоваться последним термином; тем не менее мы
будем продолжать мыслить элементы Ш (В) как гомоморфизмы.
С каждым элементом х в В свяжем комплексную функ-
функцию х на 2ЯE), полагая
Всякая функция х непрерывна на ЭД?E); действительно, по
определению, слабая топология является слабейшей (наимень-
(наименьшей) из топологий на Ш (В), при которых каждая функция х
непрерывна. Если В — множество всех функций х, то нами
построено представление (алгебраический гомоморфизм)
из В на В — алгебру непрерывных комплекснозначных функ-
функций на Ш (В). Оно обычно называется гельфандовским пред-
представлением. Вообще говоря, это представление не является
точным, т. е. может быть х = 0, хотя х Ф 0. Оно, однако,
будет изоморфизмом во всех рассмотренных нами случаях.
Такое представление никогда не увеличивает нормы,
15 Зек. 1057.

226 Гл. 10. Н0" как банахова алгебра
Это просто повторение того факта, что каждый комплекс-
комплексный гомоморфизм В ограничен единицей.
Естественно спросить, что делает представление х->х
таким интересным. Прежде всего это происходит потому,
что простейшими коммутативными банаховыми алгебрами
являются, пожалуй, алгебры С (X) всех непрерывных ком-
плекснозначных функций на компактном хаусдорфовом про-
пространстве X; ясно, что поэтому имеет смысл представлять
общую алгебру В в такой алгебре (или ее подалгебре).
Среди таких представлений гельфандовское представление
является важнейшим, потому что оно очень тесно связано
с алгебраической структурой В. Например, утверждение
о том, что элемент х (j В необратим, переходит в утвержде-
утверждение о том, что функция х не имеет нулей на простран-
пространстве ЗИ
Максимальные идеалы в Н°
При поточечном сложении и умножении и норме
||/||= sup |/(г)|
|2|<1
Н™ является коммутативной банаховой алгеброй с единицей.
Поэтому все сказанное выше можно применить к алгебре //°°;
это дает нам представление Нт /->/ в алгебре непрерыв-
непрерывных функций на компактном пространстве максимальных
идеалов Ш{НС"). Мы хотим исследовать структуру этого
пространства. Каковы максимальные идеалы (комплексные
гомоморфизмы) алгебры Нт? Ответа получено не будет;
представляется довольно ясным, что никакого конкретного
ответа и не может быть дано. Но мы получим ряд фактов
о структуре пространства 2№(//°°), и это оправдывает наши
усилия.
Очевидными комплексными гомоморфизмами алгебры Я00
являются значения в точках
где X — точка открытого единичного круга. Ясно, что суще-
существуют и другие гомоморфизмы. Например, если /—мно-
/—множество таких функций /?Нт, что /(X) стремится к О,
когда X стремится к 1 по положительной оси, то / — соб-

Максимальные идеалы в Н°° 227
стненный идеал в Я°°. Поэтому / содержится в некотором
максимальном идеале, т. е. существует комплексный гомо-
гомоморфизм <р алгебры Н"°, такой, что (р(/) = 0 для всех /?/.
Но ср не совпадает ни с одним из функционалов ср*. так как
не существует точки X, в которой все функции / из / обра-
обращаются в 0. Нет нужды говорить 6 том, что существует
много таких „новых" гомоморфизмов; их число необозримо.
Заметим, что наличие функционалов ер* показывает, что
гельфандовское представление /—>/ взаимно однозначно;
если / = 0, то / (<рх) = / (X) = 0 для всех X в открытом круге.
Более того, видно, что это представление изометрично:
= sup
vest (я00)
Мы знаем, что Ц/Нда-^Ц/Ц; используя функционалы <рх, по-
получаем
sup |/(90| = H/ll.
U1
Таким образом, Я°° изометрически изоморфно Я00, равно-
равномерно замкнутой подалгебре непрерывных комплекснознач-
ных функций на пространстве максимальных идеалов 2Я(Я°°).
Существует естественное непрерывное отображение Ш (Я^
в замкнутый единичный круг на плоскости. Если z — коор-
координатная функция на круге, то отображение, о котором мы
говорим, переводит гомоморфизм ср в его значение на функ-
функции z. Другими словами, отображение есть функция z. Чтобы
избежать недоразумений мы будем для обозначения z поль-
пользоваться символом те:
Теорема. Отображение те есть непрерывное ото-
отображение Ш(Н°°) на замкнутый единичный круг пло-
плоскости. Над открытым единичным кругом D -к взаимно
однозначно, и те отображает D гомеоморфно на
открытое подмножество Д в 9К(Я°°).
Доказательство. По самому своему определению
как функции г п есть непрерывное отображение из ffl(Hm)
в замкнутый единичный круг. Каждая точка X открытого
круга лежит в области значений it, так как Tu(cpJ = X. Так
15*

228 Гл. 10. Я00 как банахова алгебра
как 2U (Я00) — компакт, то и его те-образ компактен; следо-
следовательно, областью значений it должен быть весь замкнутый
единичный круг. Предположим, что | X | < 1 и те (ip) = X.
Если / (X) = 0, то / = (г — X) g, так что
?(/) = ?(* — *)•?(/) = 0 •?(/) = <>.
Так как <р(/) = 0 для всех функций /, равных 0 в X,
то ср совпадает со значением в точке X. Это показывает,
что it взаимно однозначно на D. Если Д = it (D), to it ото-
отображает Д гомеоморфно на D, так как топология Д — сла-
слабая топология, определяемая функциями /, а топология
D — слабая топология, определяемая функциями / из Я00.
Удобно считать те проектированием 9Й(Я°°) на замкнутый
круг. Как мы видели, те взаимно однозначно на D, так что
открытый единичный круг гомеоморфно вкладывается в ЗК
при отображении X -> срх. Оставшуюся часть Ш? те отображает
на единичную окружность. Если |а| = 1, то мы будем назы-
называть те" (а) слоем Ш? над а и обозначать этот слой через Ша,
Ша = те (а) = {<р € 2«: ср (*) = а}.
Слой Ш?а — замкнутое подмножество 2U и состоит из гомо-
гомоморфизмов Н°°, похожих на „значение в точке а". Точнее,
справедлива
Теорема. Пусть f — функция из Я°° и а — точка
единичной окружности. Пусть {Х„} — последователь-
последовательность точек открытого единичного круга, сходящаяся
к а; предположим, что существует предел C = lim/(XB).
Тогда найдется комплексный гомоморфизм ср в слое Tia,
такой, что ср(/) —ч.
Доказательство. Пусть J — набор функций g из Я00,
для которых lim g" (Xn) = 0. Тогда J является идеалом в Я00
и содержится в некотором максимальном идеале, т. е. суще-
существует комплексный гомоморфизм ср алгебры Н™, такой,
что cp(g-) = O для всех g?J- Обе функции (г — а) и (/—(.)
лежат в J. Таким образом, ср (z) = а и ср (/) = С.
Теорема. Функция f постоянна на слое Ш?а тогда
и только тогда, когда f непрерывно расширяется на

Максимальные идеалы в Н" 229
Доказательство. Если / непрерывно продолжается
на DU(f), то существует такое комплексное число С, что
Пт/(ХЯ)=:С для любой последовательности точек \tt?D,
сходящейся к а. Мы хотим показать, что / имеет постоян-
постоянное значение С на слое Шл. Допустим, что С = 0. Пусть
h (k) = -н- A -(-аХ), так что h (а) = 1 и | h | < 1 всюду на осталь-
остальной части замкнутого единичного круга. Так как / непрерывна
в точке а со значением 0, то A —h") f сходится равномерно
к / при ге->оо. Если <р — комплексный гомоморфизм Я™ из
слоя Ша, то ср(^) = 1- Следовательно, <р[A—h")f]=O,
а так как ср непрерывен, то ср(/) = О. Таким образом, /тож-
/тождественно равна 0 на слое 2йа.
Если / постоянна на Ш?а, то из предыдущей теоремы
непосредственно вытекает, что / непрерывно продолжается
на DU {а}.
Теорема. Пусть f — функция из Н°° и а— точка
единичной окружности. Предположим, что существует
комплексный гомоморфизм <р в слое Ш?а, такой, что
(р(/) = 0. Тогда существует такая последовательность
точек \n?D, что limXn = <x и lim/(Xn) = 0.
Доказательство. Если такой последовательности
точек найти нельзя, то существует открытый круг N с цен-
центром а, такой, что
Представим / в виде / = BSF, где В — произведение Бляшке,
5 — сингулярная функция, a F — внешняя функция. Так как
/ отделена от нуля в окрестности а, то В и 5 аналитичны
на части единичной окружности С, лежащей в N. (Нулей В
нет внутри N, а сингулярная мера, определяющая S, должна
быть сосредоточена на С — N.) Включая постоянную, рав-
равную по модулю 1, во внутреннюю функцию BS, мы можем
считать, что

230 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Далее, так как | /1 >. 8 > 0 на D[\N, то функция
l^9)! ограничена на N(\C. Поэтому функция
= expf-i- f i?±i.(_
является ограниченной и аналитической. Более того,
/(X)A(X) = B(X)S(X)exp| ± J i^±i ft (ft) db I.
где А; — интегрируемая функция, тождественно равная 0
на N[\C. Отсюда вытекает, что fh аналитически продол-
жима через часть единичной окружности, лежащей в N,
и что | fh | = 1 на NftC. В силу предыдущей тео-
теоремы представляющая функция (fh) постоянна на слое Ша,
и эта постоянная имеет модуль 1. Следовательно, если (р ? Ш?а,
то
так что (р (/) ф 0. Это противоречит условию ср (/) = 0, где
ср — некоторый элемент Ша.
Следствие. Если f — функция из Н°° и а — точка
единичной окружности, то область значений функ-
функции f на слое Ша состоит из всех комплексных чисел С,
для которых существует последовательность точек
Хп ? D, такая, что limXn = a и lim/(Xn) = C.
Это следствие придает точный смысл грубому утвержде-
утверждению о том, что каждый гомоморфизм (р в слое 9К„ подобен
„значению в точке а". Оно также показывает, что каждый
слой 3Wa состоит из несметного числа гомоморфизмов Н°°.
Топологическая структура пространства ИО1(Н°°)
Рассмотрим теперь различные топологические вопросы
о пространстве максимальных идеалов алгебры Н™. Функ-
Функционалы значений в точках срх вкладывают открытый единич-
единичный круг в Ж как открытое подмножество Д. Остальные
гомоморфизмы лежат в слоях Ша, и, как показывает пре-
предыдущее следствие, являются в некотором смысле пределами
точек из Д. Встает естественный вопрос: являются ли эти

Топологическая структура пространства 501 (Н°°) 231
гомоморфизмы действительно пределами ерь в топологии Ш?
Другими словами, плотен ли открытый круг D в 2U? Этот
вопрос остается нерешенным J). Хотя этот вопрос кажется
совершенно абстрактным, его можно легко свести к очень
конкретному вопросу об ограниченных аналитических функ-
функциях (см. Литературные примечания).
Теорема. Необходимое и достаточное условие того,
что открытый круг Д плотен в ffl(Ha), состоит в сле-
следующем. Если Д fn — ограниченные аналитические
функции в открытом единичном круге, такие, что
то существуют такие ограниченные аналитические
функции gl gn, что fxgx-\- ...
Доказательство. Предположим, что существует ком-
комплексный гомоморфизм сро алгебры /f00, не лежащий в замы-
замыкании Д. По определению топологии на ЭД? тогда существуют
функции /),..., /я в Н°° и положительное число 8, такие,
что Фо(//) = О. 7 = 1. •••. п, но открытое множество
8. 7 =
не пересекается с Д. В частности,
на открытом единичном круге, но fv ..., /„ лежат в соб-
собственном идеале Я00, именно ядре сро- Утверждение о том,
что /j, ..., /„ лежат в собственном идеале, эквивалентно
тому, что 1 не лежит в идеале, порожденном этими функ-
функциями, т. е. не существует таких функций glt ..., gn в На,
что
flgl+ ••• +fnSn = 1-
Легко видеть, что эти рассуждения обратимы.
Следует сказать несколько слов о постановке задачи
о плотности Д в Ш. Если
') В настоящее время этот вопрос уже решен; см. работу
Карлесона [101]. — Прим. ред.

232 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
то сравнительно легко найти такие аналитические функции
gl gn- ЧТО
Для этого нужно лишь, чтобы функции /j, ..., fn не имели
общих нулей при |Х| < 1. В упражнениях гл. 6 был указан
один способ построения такой системы функций gx, ..., gn.
Трудность состоит в том, чтобы найти ограниченные gv ..., gn
в том случае, когда сумма модулей fj отделена от нуля.
В некоторых частных случаях задача решена. Например,
один из частных случаев разобран в последней теореме преды-
предыдущего параграфа. Доказательство того факта, что если /
обращается в 0 в некоторой точке 2Ча, то / стремится к 0 на
некоторой последовательности, сходящейся к а, является
по существу доказательством того, что если
то 1 лежит в идеале, порожденном функциями (z — а) и /.
Более трудные частные случаи были разобраны Ньюманом
и Карлесоном в их работах об интерполяционной задаче в Я00.
Множество ЗИ — Д называется „короной".
Хотя вопрос о том, имеет ли Ш? — Д внутренние точки,
мы решить не можем, мы получим ряд фактов о топологии
WI — Д. Имеется разложение
ая-д= U та.
I « |-1
Легко показать, что различные слои Tia гомеоморфны.
Алгебра Я°° инвариантна относительно вращений, и каждое
вращение индуцирует гомеоморфизм Ш, которой переводит Д
на Д и „вращает" слои Шл. Более общо, пусть ф — любой
алгебраический автоморфизм Я°°. Тогда сопряженное ото-
отображение ф*, определяемое соотношением
(f?) СО = ?(+/).
отображает Ш гомеоморфно на Ш. В предыдущей главе
было доказано, что ф имеет вид
(Ф/) (*) = /(*(*))•
где т—конформное (дробно-линейное) отображение круга
на себя. Поэтому
*

Топологическая структура пространства 9К (Н°°) 233
так что ф* отображает Д на Д. Если <р лежит в слое Т1а,
то ясно, что ф*<р лежит в слое 9Яг (а), так как
(<1Лр) (г) = <р (фг) = <р (х) = х (а).
Здесь мы используем непрерывность т на единичном круге
и вытекающее из нее соотношение <р(х) = т(а). Мы видим
также, что ф* отображает Т1Л гомеоморфно на Т1Х (а).
Так как различные слои ШЛ гомеоморфны, можно было бы
предположить, что разложение
есть прямое разложение, т. е. Ш — Д естественным образом
гомеоморфно топологическому произведению единичной окруж-
окружности на один из слоев 9ЭТа. Можно фиксировать слой, на-
например, 2Rj и отождествить, используя вращения, Ш — Д
с множеством С X 2>?i- Пусть Ra — вращение на угол а : X —> аХ,
так что Ra — гомеоморфизм Ш. Тогда
— взаимно однозначное соответствие между WI — Д и С X ЗИр
но это не гомеоморфизм, потому что отображение a—>-R*-y
разрывно. Другими словами, группа окружности как группа
гомеоморфизмов Ш является не непрерывной, а лишь ди-
дискретной группой. Действительно, если фиксировать элемент
<р в Ш — Д, то его орбита
группы вращений не является замкнутым подмножеством Ш.
Теорема. Если {<р„}—любая сходящаяся последо-
последовательность точек из WI — Д, то все они, кроме, быть
может, конечного числа, лежат в одном и том же
слое Ша. Следовательно, если S — любая функция на
единичной окружности со значениями в Ш — Д, такая,
что тс о 5 — тождественное преобразование окружности,
то множество значений S не может быть замкнутым,
и тем самым S не может быть непрерывной.

234 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Доказательство. Пусть {ср„}—последовательность
точек из WI — Д, причем <р„ ? 9М„ , т. е. тс (<р„) = а„. Если
множество а„ бесконечно, то можно считать, что все ап раз-
различны с самого начала. Выберем около каждой точки ал
открытую дугу /„ так, что дуги /„ попарно не пересекаются.
Пусть
(—1)". если а?/„,
О, в противном случае.
Определим функцию
так что /?//°° и |/| = с" на окружности С. По определе-
определению функции и функция / непрерывна на каждой из дуг /„,
и потому
1е при п четном,
1
— при п нечетном.
е
Это показывает, что последовательность {<р„} не сходится.
Второе утверждение теоремы — о сечениях проекционного
отображения тс — с очевидностью вытекает из этого резуль-
результата о последовательностях в Ш — Д.
Это утверждение показывает, что „проектирование" ж из
24 — Д на С не имеет непрерывных сечений. Поэтому раз-
разложение
I a | = 1
не является прямым. Своеобразная топологическая структура
этого разложения еще яснее обрисовывается следующим
предложением.
Теорема. Пусть W+ — объединение слоев Tla, Im (a) >
> 0, а W_ — объединение слоев Tla, Im (а) < 0. Каждая
точка слоя 9}^ лежит или в замыкании W+, или в за-
замыкании W'_, или ни в одном из этих множеств; эти
три возможности взаимно исключают друг друга, и
каждая из них осуществляется.

Топологическая структура пространства S№ (H°°) 235
Доказательство. Пусть и — гармоническая функция
в единичном круге с граничными значениями
(О, Im(a)>0.
M(a)==|l. Im(a)<0.
Пусть f = eu+iv, где v — гармонически сопряженная к и
функция. Тогда /?//°° и J /1 = е". Функция / непрерывна
во всех точках единичной окружности, кроме а=±1.
Следовательно, представляющая функция / имеет постоянный
модуль 1 на W+, и постоянный модуль е на W_. Ясно, что
W+ и W_ имеют непересекающиеся замыкания, т. е. ни одна
точка из 97?! не может одновременно лежать в обоих этих
замыканиях W+ и W_.
Так как проекции n(W+) и n(W_)— компакты, то
тс (W _) = {а ? С : Im (а)< 0}.
Очевидно поэтому, что существует точка в слое fflv принад-
принадлежащая W+, и такая же точка, принадлежащая W_. Но в Шх
существуют также точки, не лежащие ни в W+, ни в W_.
Рассмотрим функцию /, определенную выше. Очевидно, что
\f\=e"=Ye всюду на единичном интервале. Отсюда вы-
вытекает существование такого гоморфизма ср в Шх, что |<р(/)| =
= Ye • Таких <р нет ни в Ц/+) ни в W_. Это завершает
доказательство.
Неформальное изложение этой теоремы показывает стран-
странный характер топологии Ш—Д. Если рассмотреть любой
слой 2Ма, то точки ср ^ *Ши попадают в одну из трех катего-
категорий: <р может быть приближена точками слоев 9ЭТр, где C
близко к а и лежит с одной стороны а, или ср может быть
приближена точками слоев 9Л?. где (J близко к а и лежит
с другой ее стороны, или ср не может быть приближена ни-
никакими точками Ш — Д, кроме точек слоя Ш.Л. Существование
элементов ср третьего типа просто показывает, что слой Ша
имеет непустую внутренность в пространстве Ш — Д.
Имеет ли Ша внутренние точки в пространстве максимальных
идеалов Ш, неизвестно, так как это эквивалентно вопросу

236 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
о плотности Д в 24, т. е. вопросу, имеет ли 24 — Д внутрен-
внутренние точки.
Позже мы получим еще несколько топологических ре-
результатов о 2Ч(Я°°); основные из них — установление связ-
связности Ш — Д и каждого из слоев 2ЙЯ.
Круги в слоях
В этом параграфе мы докажем существование гомеоморф-
ного и аналитического вложения открытого единичного круга
в любой из слоев 2Ча. Именно, мы найдем гомеоморфизм <]>
открытого единичного круга D в 2Ча, такой, что
(I) для каждой функции / из Я°° композиция /<>ф ана-
литична на D;
(II) /->/"о <]> есть алгебраический гомоморфизм Я°°
на Я00.
Пусть L — дробно-линейное отображение
Конечно, L есть конформное отображение замкнутого круга
на себя, и Х=1—единственная точка замкнутого круга
DUC, сохраняемая преобразованием L. Пусть ?(л) — п-я
степень преобразования L. Тогда
ni ft —
я n + 1 +9
\ + ni(\-\)' n — Q,±\.±2,....
Определим теперь последовательность отображений D в про-
пространство максимальных идеалов Ш, полагая
ф я=1. 2
т. е. фл (X) — комплексный гомоморфизм Я°°, равный на функ-
Bп)
ции / ее значению в точке Lr '(к). Каждое фя есть анали-
аналитическое отображение D в WI, т. е. / о фя есть аналитическая
функция на D для любой / из Я°°:
В пространстве отображений из D в 24 последовательность
имеет предельную точку <]>, так как SDi — компакт. Та-

Круги в слоях 237
кое ф также будет аналитическим отображением из D в ffl,
так как для любой / из Н°° последовательность / ° ф„ рав-
равномерно ограничена и, следовательно, равностепенно непре-
непрерывна на каждом компактном подмножестве D.
Теперь мы докажем, что
(I) ф отображает D в слой Т1г;
(II) <j>—гомеоморфизм;
(III) для любой функции / из Я°° существует в Нх та-
такая функция g, что g о ф = /.
Утверждение (I) доказать нетрудно. Мы имеем
для всех X ^ D. Следовательно, тс (Ф (X)) = 1 при всех X, так
BП)
как тс(ф(Х)) есть предельная точка для LK '(X).
Для доказательства утверждения (II) рассуждаем следую-
следующим образом. Определим функцию
й(Х) = )
На любом компактном подмножестве круга
Полагая здесь л = — 2*. k = 0, 1, 2, .... мы видим, что
бесконечное произведение сходится равномерно на компакт-
компактных подмножествах круга к аналитической функции h. Так
как | L(n) | < 1, то мы также имеем |/г(Х)|<1. При помощи
этой функции будет показано, что <ji — гомеоморфизм. Уста-
Установим, что
Если ограничиться рассмотрением компактного подмноже-
подмножества D и воспользоваться неравенством

238
Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
то мы имеем
1 ( BЛ) )
= 14
оо
ft - 0
л-1 к оо t
^(Х)П
<
п-1
*-o
-i
к<2"-2Й>(х)-1| <
J
Л-Л+1
п-1
J
оо -1
-2*)+ 2 B*-2"Г!
*=o
И->-0О.
При переходе от строки 3 к строке 4 в этих неравенствах
мы воспользовались соотношением
1 —
I
справедливым для любой последовательности точек из D.
Так как h°ty = z, то ясно, что ф—гомеоморфизм. Обратное
к <|> отображение есть сужение h на область значений ф.
Утверждение (III) о том, что /->/°ф отображает Н°°
на Я°° теперь совершенно ясно. Действительно, если / —
любая функция из Я°°, то положим g = / о Л; тогда
Обсудим доказанное нами. Отображение <J> есть гомео-
гомеоморфизм круга D в слой Sij. Множество ф(?>) тогда топо-

Круги в слоях 239
логически является кругом. Можно воспользоваться гомеомор-
гомеоморфизмом ф для введения на ф(О) аналитической структуры
непосредственным перенесением аналитической структуры D.
Если так сделать, то для любой функции / из Я°° сужение
представляющей функции / на ^(D) будет ограниченной ана-
аналитической функцией на круге ф (D). Более того, это сужение
будет отображением на все ограниченные аналитические
функции на ty(D). Положим
Грубо говоря, B = HM(ty(D)). В любом случае В есть
равномерно замкнутая алгебра непрерывных функций на <|> (D),
изоморфная Я33. Если пользоваться sup-нормой, то В — ком-
коммутативная банахова алгебра с единицей. Пространством
максимальных идеалов В является
Ш (В) = {<р ? Ш (Я") : <р (/) = 0, если только / = 0 на ф (D)}.
Действительно, так как В есть гомоморфный образ Нх, то
мы можем отождествить комплексные гомоморфизмы В
с теми комплексными гомоморфизмами Я00, которые „вполне
определены" на В. Пространство максимальных идеалов В
есть, следовательно, подмножество слоя Шг. Так как В изо-
изоморфно Я°°, то мы приходим к выводу, что 3D?! содержит
гомеоморфный образ всего пространства максимальных идеа-
идеалов 2Ч(Я°°). Каждый из слоев, примыкающих к ф(О), будет
содержать круг, к которому примыкают слои, содержащие
круги и т. д. Таким образом, пространство максимальных
идеалов 9Я воспроизводит само себя бесконечное число раз
внутри каждого из слоев 9ЭТа.
Быть может, следует подчеркнуть тот факт, что рассмот-
рассмотренное выше отображение /->/°ф есть не увеличивающий
норму алгебраический гомоморфизм Я°° на Я°°, который
каждую функцию с непрерывными граничными значениями
переводит в постоянную функцию. Действительно, всякая
функция, непрерывная в точке а=1, переходит в постоян-
постоянную функцию.

240 Гл. 10. ff° как банахова алгебра
Vю как банахова алгебра
Обозначим, как обычно, через ?°° пространство ограни-
ограниченных измеримых (или бэровских) комплекснозначных функ-
функций на единичной окружности. Если отождествить функции,
равные почти всюду относительно меры Лебега, то L°° ста-
становится банаховым пространством при норме — существенной
(по Лебегу) верхней грани значений функции —
Ц/11 =ess sup |/(•'•)!.
Если ввести поточечное умножение, то А00 — коммутативная
банахова алгебра с единицей. Пространство максимальных
идеалов Vю есть вполне (даже экстремально) несвязное ком-
компактное хаусдорфово пространство X, и L°° изометрически
изоморфно (ввиду гельфандовского представления) С (X)—
алгебре всех непрерывных функций на X. Эти факты имеют
различные доказательства. Мы приведем прямые доказатель-
доказательства, так как они легки и так как они позволят нам ввести
обозначения и терминологию, используемые в дальнейшем.
Пусть X = Ш (L°°) — пространство комплексных гомомор-
гомоморфизмов ?°". Тогда мы имеем гельфандовское представление
/-*¦/. определяемое по формуле /(<р) = ср(/).
Лемма. Для всех f из L°° sup| /(<р)| = ||/||.
v
Доказательство. Мы знаем, что ||/ Ц^-^ II/II-
Для доказательства обратного неравенства выберем комплекс-
комплексное число X так, чтобы |Х| = ||/|| и множество {|/ — \\ < е}
имело положительную меру при всех е > 0. Такое X можно
найти в силу определения существенной sup-нормы. Тогда
(/ — X) необратима в L°°, так как в противном случае об-
обратная функция должна была бы иметь модуль, больший
1/е на одном и том же множестве положительной меры при
любом е > 0. Таким образом, (/ — X)Z.°° есть собственный
идеал в ?°°; он содержится в максимальном идеале, и потому
существует комплексный гомоморфизм <р алгебры L°°, такой,
что
1<р (/Л = 14 = 11/11-

L°° как банахова алгебра 241
Лемма. Пусть Е пробегает измеримые подмноже-
подмножества единичной окружности. Тогда открыто-замкнутые
множества
образуют базу топологии X. В частности, X вполне
несвязно.
Доказательство. По определению, множества вида
U=l\fj\<*. J=l *L
где /lf .... fn?L°° и е > 0, образуют базу (слабой) топо-
топологии на X. Ступенчатые функции
плотны в IS™. Отсюда легко видеть, что определяя базисные
открытые множества U, мы можем ограничиться функциями /у,
которые являются характеристическими функциями измеримых
множеств. Но если Е— измеримое множество, то Хя==Хя>
так что Хе принимает лишь значения 0 и 1. Следовательно,
если е < 1, то
{XEj<e- J=l »} = {?ву =0.7=1 Л} =
где Е есть объединение Ег Еп. Это доказывает лемму.
Теорема. Гельфандовское представление L00 ото-
отображает L°° изометрически и изоморфно на С(Х).
Представление сохраняет также комплексное сопря-
сопряжение.
Доказательство. Мы знаем, что гомоморфизм f-*¦
—*•/ изометричен и, следовательно, есть также изоморфизм.
Пусть F — непрерывная функция на X. Так как открыто-
замкнутые множества {^я = 0} образуют базу топологии
на X, то можно приблизить F функциями вида
lt> Зак. 1057,

242 Гл. 10 Н°° как банахова алгебра
Используя теперь изометричность гельфандовского пргдста-
вления, мы видим, что ступенчатые функции 2 ^jXe ¦ сходятся
в L°° к функции /, для которой f = F. Таким образом,
L°° — С(Х). Приближение ступенчатыми функциями делает
также очевидным, что сопряженной к / является функ-
функция (/).
Следствие. Подмножество К в X открыто и замк-
замкнуто тогда и только тогда, когда /(—{^? = 0} для
некоторого измеримого множества Е на единичной
окружности.
Доказательство. Множество К и открыто и замкнуто
тогда и только тогда, когда его характеристическая функция
непрерывна. Так как /—>/ отображает Z.00 на С(Х), то мы
видим, что К открыто-замкнуто тогда и только тогда, когда
Хд- = / для некоторой функции / ? V°. Так как -fy = ^,
то /2 = /. и тем самым / = Хе для некоторого измеримого
множества Е.
Мы видели, что Л" = 332 (Z.00) вполне разрывно, т. е. имеет
базу из открыто-замкнутых множеств. Как мы упоминали
раньше, X экстремально разрывно, т. е. каждое открытое
подмножество X имеет замыкание, которое также открыто.
У нас не будет необходимости в этом факте. Совсем легко
доказать его, используя тот факт, что всякий набор измери-
измеримых множеств окружности имеет наименьшую верхнюю грань.
Для данного открытого множества U в К обозначим через Е
наименьшую верхнюю грань измеримых множеств 5, для ко-
которых {х5=11 содержится в U. Тогда [х? = 1 j есть за-
замыкание U.
Пространство максимальных идеалов L°° имеет естествен-
естественную проекцию на единичную окружность, похожую на
проекцию пространства максимальных идеалов Я°°. Если эту
проекцию обозначить через о, то она определяется соотно-
соотношением
т. е. о — z. Так как | z |2 = 1 на единичной окружности, то
мы имеем |z|2=l на X. Следовательно, о отображает X

I00 как банахова алгебра 243
в единичную окружность, и ясно, что это есть отображение
на окружность. Если а — точка единичной окружности, то
множество Xв, состоящее из всех комплексных гомоморфиз-
гомоморфизмов Lm, которые переводят z в а, будем называть слоем X
над а:
«о-» (а).
Теорема. Пусть f — функция из L°°. Множество
значений функции f на слое Ха состоит из всех ком-
комплексных чисел С, обладающих следующим свойством:
для любой окрестности N точки а и любого е > О мно-
множество
имеет положительную лебеговскую меру.
Доказательство. Число С не лежит в множестве
значений / на Ха тогда и только тогда, когда не суще-
существует собственного идеала Lm, содержащего и (z — а) и
(/ — С), т. е. тогда и только тогда, когда существуют та-
такие функции g и h в L°°, что
Это просто означает, что существует такая измеримая функ-
функция Л, что функция
\
существенно ограничена. Такая функция h существует тогда
и только тогда, когда / — С существенно отделена от нуля
в окрестности точки а.
Следствие. Пусть f — функция из Lm, a a — точка
единичной окружности. Любое значение, которое f при-
принимает на слое Ха, принимается на непустом откры-
открытом подмножестве Ха.
Доказательство. Предположим, что / принимает
значение 0 на Ха. Выберем окрестность iVj точки а. Множе-
Множество /Vj П {|/ | < Ч имеет положительную меру. Мы можем,
следовательно, найти замкнутое множество Ех на единичной
окружности, такое, что ?\ имеет положительную меру, Е1 не
16*

244 Гл. 10. If как банахова алгебра
содержит а, и |/| < 1 на ?j. Пусть N2— окрестность а, не
пересекающаяся с Ev Мы можем тогда найти замкнутое мно-
множество Е2, которое содержится в Л^2, имеет положительную
меру, не содержит а, и такое, что |/| < '/г на Е2. Выберем
затем окрестность N3 точки а и найдем замкнутое множе-
множество Е3 положительной меры, не содержащее а, не пере-
пересекающееся с ?j и ?2 и такое, что | /1 < '/з на ^з- Про-
Продолжим этот процесс до бесконечности; тогда ясно, что
окрестности Nk удовлетворяют соотношению
ft-1
Мы имеем тогда последовательность попарно непересекаю-
непересекающихся замкнутых подмножеств Ek единичной окружности,
такую, что
(I) множества Ek сходятся к точке а,
(II) |/KV* на Еь.
Пусть Е — объединение множеств Ek. Покажем, что/ обра-
обращается в 0 на множестве Хл П Ь == Ч и чт0 это мно"
жество непусто. Это множество непусто в силу последней
теоремы, потому что множество, где 7?=1, имеет положи-
положительную меру в каждой окрестности точки а. Функция yEf
стремится непрерывно к 0 в точке а. По теореме, Хе/
равна 0 тождественно на Ха, т. е. / обращается в 0 в каж-
каждой точке Хл, где 7? = 1. Предложение доказано.
Это следствие дает только топологические сведения о слоях
Ха. Оно утверждает, что Ха есть компактное хаусдорфово
пространство с тем свойством, что любая непрерывная
функция F, равная 0 в некоторой точке, равна также О
на непустом открытом подмножестве Хл. Заметим, что от-
отсюда не вытекает открытость множества нулей F, а выте-
вытекает лишь утверждение, что это множество или пусто, или
имеет непустую внутренность.
Граница Шилова
Вернемся теперь к алгебре И°°, которую мы представили
как алгебру Н°° непрерывных функций на компактном про-
пространстве максимальных идеалов Ш = Ш (Н°°). Основной те-

Граница Шилова 245
мой этого параграфа будет отождествление шиловской гра-
границы для Н°° с пространством максимальных идеалов для Z,°°.
Прежде всего сделаем несколько замечаний о „границах"
функциональной алгебры.
Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и Л —
алгебра непрерывных комплекснозначных функций на X, со-
содержащая постоянные функции и разделяющая точки X.
Граница алгебры А есть подмножество S в X, такое, что
sup | /I = max I/1 для всех / из А,
х s
т. е. такое, что каждая функция из А достигает своего
наибольшего по модулю значения на множестве 5. Если S
замкнуто, то это как раз означает, что
sup 1/| = sup |/|
х s
для всех / из А. Среди замкнутых границ А существует
наименьшая. Другими словами, пересечение всех замкнутых
границ А есть граница для А. Эта наименьшая замкнутая
граница называется границей Шилова для А. За доказа-
доказательством ее существования мы отсылаем читателя к книге
[50], стр. 80. Если В — коммутативная банахова алгебра
с единицей, X — пространство максимальных идеалов В и
А — представляющая алгебра В, то мы назовем эту границу
границей Шилова для алгебры В.
Стандартный пример понятия границы Шилова получается,
если принять за А алгебру непрерывных функций на замкну-
замкнутом единичном круге, аналитических внутри него. Теорема
о максимуме модуля для аналитических функций показывает,
что граница Шилова для А есть подмножество единичной
окружности. Легко видеть, что оно должно быть всей ок-
окружностью, потому что А инвариантно относительно враще-
вращений; кроме того, если |а| = 1, то /(z) = 7г A -)-az)—
функция из А, достигающая максимума в замкнутом круге
именно в точке z =а.
Что можно сказать о шиловской границе алгебры Я°°?
Так как единичный круг вложен как открытое подмноже-
подмножество Д в пространство 232 = Ш (#°°), то принцип максимума
модуля для аналитических функций утверждает, что шилов-
ская граница для Я°° (т. е. для //°°) содержится в тополо-

246 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
гической границе Д в пространстве 5Ш. Первым может быть
предположение о том, что шиловская граница есть все Д — Д,
однако это не так. Вот простое доказательство этого факта.
Пусть
так что / лежит в Я00, / не имеет нулей в открытом еди-
единичном круге и f(z) стремится к 0, когда z приближается
к 1 по положительной оси. Следовательно, представляющая
функция / должна иметь нуль где-то на Д— Д. Ни один из
нулей / не может лежать в шиловской границе. Действи-
Действительно, мы должны иметь |/| = 1 на шиловской границе.
Пусть U — открытое подмножество Ш, на котором |/| < 1.
Если U пересекается с шиловской границей, то минималь-
минимальность этой замкнутой границы указывает на то, что суще-
существует такая функция g в Н°°, что |^| не достигает своего
максимума на дополнении к U. По определению U, мы
тогда имеем \f g\ < \]g\\M на всем Ш. Но граничные значе-
значения / равны по модулю 1 почти всюду на единичной окруж-
окружности, так что умножение на / есть изометрия. Таким об-
образом, мы получили противоречие
Отсюда вытекает, что шиловская граница есть собственное
замкнутое подмножество Д — Д. Позже мы покажем, что на
самом деле Д — Д намного больше, чем шиловская граница,
потому что первое множество связно, а второе вполне раз-
разрывно.
Для рассмотрения шиловской границы алгебры Н™ по-
поступим следующим образом. Если отождествить каждую
функцию / из Я™ с функцией F из Lr°, определяемой гра-
граничными значениями /, то Н"° можно рассматривать как
замкнутую подалгебру lf° (алгебру функций из L"°, коэф-
коэффициенты Фурье которых с отрицательными индексами равны
нулю). Это приводит нас к естественному отображению т из
Л' = 2)? (Z-00) в 2K = 2K(tf°°). Это отображение т определяется
сужением каждого комплексного гомоморфизма L°° на под-
подалгебру //°°. Легко видеть, что х непрерывно.

Граница Шилова 247
Теорема. Отображение т есть гомеоморфизм X
в Ш, и образ х(Х) есть шиловская граница для Я";
т. е. х(Х) есть наименьшее замкнутое подмножество 20?,
на котором модуль каждой функции f (/ из Я°°) до-
достигает своего наибольшего значения.
Доказательство. Так как X — компакт и х непре-
непрерывно, то для доказательства того, что х гомеоморфизм,
достаточно показать, что т взаимно однозначно. Это означает,
что функции из Я00 разделяют комплексные гомоморфизмы Z.00;
вскоре станет очевидным, что это условие разделения выпол-
выполнено.
Модуль каждой функции /, / ? //°°, достигает своего
максимума на замкнутом множестве *(Х), потому что если
F— „граничные значения" /, то
|/| |||| ||||||
т х х (
Таким образом, х (X) есть замкнутая граница для Н°°. Кроме
того, не существует собственных замкнутых подмножеств
(i)X, на которых бы модули всех функций /^достигали
максимума. Этот факт можно доказать так. Для любого соб-
собственного замкнутого подмножества X существует не пере-
пересекающееся с ним открыто-замкнутое множество U. Такое
множество U имеет вид
где Е — некоторое измеримое подмножество окружности.
Если и — гармоническое продолжение %Е на круг, v — гар-
гармонически сопряженная с и функция и f — eu+iv, то функ-
функция / лежит в Нт и | /1 = ехр (%Е) почти всюду на окружности.
Если F — граничная функция для /, то [ F\ = zxp (хе) на ^,
или
на U,
на X — U.
Таким образом, | F\ не достигает своего максимума на X— U.
Мы приходим к выводу, что не существует собственного
замкнутого подмножества X, на которон бы все функции

248 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
F, представляющие /¦/'"-функции, достигали своего максимума
по модулю. Проведенное выше построение показывает также,
что элементы #°° различают комплексные гомоморфизмы Z,°°.
Следовательно, X гомеоморфно т(Аг), и не существует соб-
собственного замкнутого подмножества х{Х), на котором бы
модули всех функций /, / ? Н°°, достигали максимума.
В нескольких последних параграфах мы рассмотрели раз-
различные отображения типа сужения одного пространства
максимальных идеалов на другое. Подведем итоги этих рас-
рассуждений. Пусть снова А — алгебра непрерывных функций
на окружности, коэффициенты Фурье которых с отрицатель-
отрицательными индексами равны 0. Тогда мы имеем
Ш(А)
Конечно, Ш(А) есть замкнутый единичный круг на плоскости.
Первоначально мы определяли тс не как указанное отобра-
отображение сужения, а как „значение на функции z". Пространство
максимальных идеалов алгебры А отождествляется с замкну-
замкнутым кругом, если гомоморфизму <в из ffl(A) поставить в со-
соответствие точку <p(z). Это отождествляет тс с отображением
сужения из TiiH™) в Ш(А). На нашей диаграмме нам из-
известно следующее.
(I) тс есть гомеоморфизм над открытым единичным кру-
кругом;
(II) тс многозначно над точками единичной окружности;
(III) т есть гомеоморфизм X в 332 (//°°);
(IV) т(Л") есть собственное замкнутое подмножество
Д—Д и является шиловской границей для алгебры Н°°;
(V) о = тс о х.
С этой точки зрения мы будем отождествлять X и
х (X) и рассматривать тем самым X как подмножество 2)?(#°°).

Внутренние функции и граница Шилова 249
Внутренние функции и граница Шилова
Пусть / — внутренняя функция из Н°°. Тогда |/| = I почти
всюду на единичной окружности; таким образом, ясно, что
представляющая функция / равна по модулю 1 на шиловской
границе X = ffi (?°°). В этом параграфе мы докажем теорему
Д. Ныомана, которая, в частности, показывает, что это
свойство модулярности характеризует границу Шилова. Эта
теорема утверждает, что если <р—комплексный гомоморфизм
алгебры Нт, то следующие условия эквивалентны: (I) <р при-
принадлежит шиловской границе, т. е. расширяется до комплекс-
комплексного гомоморфизма алгебры L°°; (II) ]ср(/)| = 1 для любой
внутренней функции /; (III) | ср (В) | = I для любого произ-
произведения Бляшке В; (IV) <р(/)=?0 для любой внутренней
функции /; (V) у (В) ФО для любого произведения Бляшке В.
Можно, конечно, переформулировать этот результат также
в терминах максимальных идеалов, или — что то же — комплекс-
комплексных гомоморфизмов. Так как максимальный идеал М в Нт
лежит в шиловской границе тогда и только тогда, когда М
есть пересечение #°° с максимальным идеалом в Z/*, то ос-
основная часть сформулированного предложения состоит в том,
что всякий максимальный идеал в Я00, не лежащий в шилов-
шиловской границе, содержит произведение Бляшке. Сначала мы
докажем следующую теорему, представляющую и самостоя-
самостоятельный интерес.
Теорема. Каждая внутренняя функция есть равно-
равномерный предел произведений Бляшке.
Доказательство. По данному в гл. 5 определению
произведения Бляшке В, функция В вполне определяется
последовательностью своих нулей. Здесь мы позволим себе
умножать В на постоянную, равную по модулю 1, и полу-
полученную функцию все же называть произведением Бляшке.
Пусть /—внутренняя функция. Мы хотим приблизить /
произведениями Бляшке. Можно предположить, что / @) Ф 0.
Если |а| < 1, то положим

250
Гл. 10. Н00 как банахова алгебра
Ясно, что ga—внутренняя функция. Мы найдем такую по-
последовательность чисел <хл, что ап—>0 и каждая ga есть
произведение Бляшке. Тем самым теорема будет доказана.
Определим функцию
Функция ga есть произведение Бляшке тогда и только тогда,
когда lim У (г, a) = 0; действительно, этот предел равен
1
— I rf(A, где {j, — положительная сингулярная мера на окруж-
окружности, определяющая сингулярную часть ga. Положим
У(а)= \imj(r, a).
Так как мы интересуемся лишь достаточно малыми значе-
значениями а, то можно считать, что | сс| < |/@)|. Тогда ga@) Ф
Ф 0, и потому сходимость У(г, а) к У(а) ограниченная:
logk«@)|<y(r, a)<0.
Рассмотрим положительное число р<|/@)|. Тогда функ-
функция У(г, а) равномерно ограничена на окружности |я|=р.
Следовательно,
= lim -!- С J(r,
f _^ j Ztz J
=}[™Л !^Г S
\г\-т
где
d».

Внутренние функции и граница Шилова 251
Имеем
По формуле Иенсена второй интеграл равен 0, а первый
равен
/р (*)= max (log р, log|/Br)|).
Так как / внутренняя функция, то
lim log|/(re")|=0
>1
для почти всех t. Таким образом, IAre1*) стремится к О
при г —> 1 для почти всех значений t. Но функции / {relt)
ограничены в совокупности. Поэтому
--L
— 1С
а так как У^О, то почти всюду У=0. Следовательно,
существует такое значение а, что |а| = р и У(а) = 0, т. е.
ga есть произведение Бляшке. Так как такое а можно найти
для любого р< |/@)|, то доказательство закончено.
Теорема. Пусть <р—комплексный гомоморфизм
алгебры Н°° и для любого произведения Бляшке В
cp(fi) Ф 0. Тогда
(I) |<р(?)| = 1 для любого произведения Бляшке В;
(И) \<?(Л\=:1 &ля любой внутренней функции /;
(III) для любой функции f из Я°° число ср(/) лежит,
в множестве значений f на шиловской границе X = Ш (?°°).
Доказательство. (I) Если <р не обращает в 0 ни-
никакое произведение Бляшке, то ср не есть значение в фик-
фиксированной точке открытого единичного круга. Таким об-
образом, |<р(,г)| = 1, и, более того, |<р(??)| = 1 для любого
конечного произведения Бляшке В. Таким образом, нам надо
лишь доказать, что |ср(?)| —1, если В имеет вид

252 Гл. 10. Я00 как банахова алгебра
Выберем неубывающую последовательность положительных
целых чисел р„ так, что
Если N—положительное целое число, то определим функции
1\
/1=1
п
где
\\
тогда
Как мы только что заметили, |<р(^у)| = 1 и> конечно,
|ср(<?дг)| -^ 1. Следовательно,
При N->oo мы имеем pN-*-oo, и потому |срE)| = 1.
(II) Так как всякая внутренняя функция есть равномер-
равномерный предел произведений Бляшке, а ер непрерывен, то ут-
утверждение (II) вытекает из утверждения (I).
(III) Пусть / — функция из Я00, такая, что / нигде не
обращается в 0 на границе Шилова. Тогда |/| сущест-
существенно отделен от 0 на единичной окружности. Таким
образом, если f = gF, где g — внутренняя, a F — внешняя
функция, то (/"I отделен от 0 на окружности, а из этого
вытекает, что \jF — ограниченная аналитическая функция.
Следовательно, ср (/•") Ф 0. Мы имеем
Это доказывает утверждение (III).

Внутренние функции и граница Шилова 253
Лемма. Пусть у — любой комплексный гомомор-
гомоморфизм алгебры Я°°. Если и — вещественная функция из Vя,
то определим функционал
W = log I?(Fu)\.
где Fa — ограниченная аналитическая функция.
Тогда I — ограниченный и положительный линейный
функционал в пространстве вещественных ^-функций.
Более того, функция t|>, определяемая соотношением
<]> (/) = I (Re <]>) + tt (Im ф),
есть линейный функционал единичной нормы на L°°,
сужение которого на Я°° совпадает с (р.
Доказательство. Покажем сначала, что / аддитивен.
так что I аддитивен.
Ясно, что I ограничен единицей; если |«|-^1, то
и (так как Fa обратима в Н°°) мы имеем
или
Так как I аддитивен и ограничен, то он непрерывен и, сле-
следовательно, линеен.
Положительность / вытекает из того факта, что |[/|| =
= /(!)= 1. Это можно показать прямым подсчетом при

254 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
помощи тех же рассуждений, что и выше. Если и ^- 0, то
имеем
Так как I — положительный функционал нормы 1, то и
его комплексное расширение ф, определяемое соотношением
<1> (и -f iv) — I (и) -f il (v),
есть положительный линейный функционал нормы 1 на Lm.
Если f—u-\-lv?Н°°, то <]*(/) = ср(/). Достаточно доказать
это для функций /, равных 0 в точке 0. Имеем
F =e~if,
и тем самым
= ?(/)•
Эта лемма по существу дает явное (сохраняющее норму)
расширение Хана — Банаха функционала ср на Я°° до линей-
линейного функционала <]* на L00.
Теорема. Если да — комплексный гомоморфизм ал-
алгебры Н™, то следующие условия эквивалентны.
(I) <р лежит в шиловской границе Н°°.
(II) ср есть сужение на Н0" комплексного гомомор-
гомоморфизма <|> иа i°°.
(III) |cp(/)|=:l для любой внутренней функции /.
(IV) |ср(В)| = 1 для любого произведения Бляшке В.
(У) ?(/)^=0 для любой внутренней функции /.
(VI) cp(B)=;tO для любого произведения Бляшке В.
(VII) Для любой функции f из Н^ число ср(/) лежит
в множестве значений функции / на шиловской гра-
границе для Я,

Внутренние функции и граница Шилова 255
Доказательство. Большая часть работы уже сде-
сделана. Действительно, мы закончим доказательство, если пока-
покажем, что из (VII) вытекает (II). Предположим, что ср обладает
свойством (VII) и используем обозначения предыдущей леммы.
Покажем сначала, что для любой вещественной функции и
из Z.°° число /(«) = log \<?(FU)\ принадлежит множеству
значений и на пространстве X — Ш (i00). Это ясно ввиду того,
что | <р (/^ц) | принадлежит области значений Fu на X и
l°g|^ul = м- Это замечание и тот факт, что X вполне раз-
разрывно, показывают, что линейный функционал / есть просто
значение в точке из X, т. е. существует такой элемент х?Х,
что / (и) = и (х) для всех вещественных и из L°°. Так как X
вполне разрывно, то конечные линейные комбинации харак-
характеристических функций (ступенчатые функции) плотны в V°.
Если такой точки не существует, то для всякого х ? X
существует идемпотентная функция е в Z.°°, такая, что
е(х)=1, но 1(е) = 0, потому что для любой такой функ-
функции е значение 1{е) должно быть или 0, или 1. Так как
X — компакт, то можно найти конечное число идемпотент-
ных функций е1 еп, таких, что
= 0, Л=1 п.
Если положить и = е1 -\- .. • -J- еп, то / (и) = 0 не лежит
в множестве значений и на X.
Мы знаем теперь, что / есть значение в некоторой точке X,
т. е. что I мультипликативен. Следовательно, его комплекс-
комплексное расширение tf есть комплексный гомоморфизм L°°,
сужение которого на Н°° есть (р.
В связи с этой теоремой следует упомянуть о двух
фактах, доказываемых позже. Во-первых, для любой инди-
индивидуальной внутренней функции / множество тех точек ЗЯ (#°°),
где |/| = 1 всегда больше шиловской границы. Во-вторых,
максимальный идеал М, не лежащий в шиловской границе,
содержит произведение Бляшке В, однако не обязательно,
чтобы М лежал в замыкании последовательности нулей В
в единичном круге.

256 Гл. 10. Н00 как банахова алгебра
Представляющие меры и аннулирующие меры
Для алгебр функций одно из полезных свойств границы
Шилова состоит в том, что всякий комплексный гомоморфизм
алгебры может быть представлен как интеграл по некоторой
мере на границе. В этоп параграфе мы рассмотрим такие
„представляющие меры" для алгебры Я°°, а полученные
результаты дадут нам некоторые сведения и об аннулирую-
аннулирующих мерах алгебры Я°°.
Пусть Y — компактное хаусдорфово пространство и Л —
равномерно замкнутая разделяющая алгебра непрерывных функ-
функций на К, содержащая постоянные функции. Пусть Л" — шилов-
ская граница для А, и (р—комплексный гомоморфизм А.
Алгебра А — коммутативная банахова алгебра с единицей,
так что ер непрерывен,
|?(/)| -OUP|/| Для всех / из А.
Отображение /—>/[х- сужающее каждую функцию / из А на
шиловскую границу, есть сохраняющий sup-норму изомор-
изоморфизм А на подалгебру алгебры С{Х). Таким образом, мы
можем рассматривать А как подалгебру С(Х), а <р есть
ограниченный линейный функционал на этой подалгебре,
Л
По теореме Хана — Банаха <р можно расширить до линейного
функционала с нормой 1 на С(Х). Такой функционал опре-
определяется конечной комплексной бэровской мерой т на X,
так что
х
для любой функции / из А. Здесь т —комплексная мера
с общей вариацией 1 и I йт^=\. Нетрудно проверить,
что т должна быть положительной мерой.
Мы приходим к выводу, что для всякого комплексного
гомоморфизма (р алгебры А существует по крайней мере
одна положительная мера т на шиловской границе X,
такая, что
<f{f)=\fdm4 для всех / из А.

Представляющие меры и аннулирующие меры 257
Любую такую положительную меру мы будем называть
представляющей мерой для гомоморфизма ср. Заметим,
что в проведенных рассуждениях мы могли бы заменить X
любым замкнутым подмножеством S в X, таким, что
Такое множество мы будем называть носителем ср, так как
это множество будет носителем представляющей меры для 9.
Если применить эти результаты к алгебре Я00, то мы
получим, что для всякого комплексного гомоморфизма ср
на Я°° существует по крайней мере одна положительная
мера т на шиловской границе Ar = 3K(L0C), такая, что
Как мы вскоре увидим, всякий гомоморфизм ср из ЗК(Я°°)
имеет на самом деле единственную представляющую меру т .
Какого типа условия на алгебру могут гарантировать
единственность представляющих мер? Если есть две поло-
положительные меры т и а на шиловской границе, предста-
представляющие один и тот же гомоморфизм ср, то их разность
т —(J. есть вещественная мера на границе, ортогональная
к алгебре. Таким образом, самое очевидное условие, обес-
обеспечивающее единственность представляющих мер всех гомо-
гомоморфизмов, состоит в том, что на шиловской границе не
существует ненулевой вещественной меры, ортогональной
к алгебре. Это в точности означает, что алгебра есть алгебра
Дирихле на своей шиловской границе, т. е. что веществен-
вещественные части функций алгебры плотны в пространстве веществен-
вещественных непрерывных функций на шиловской границе. Однако Я°°
не есть алгебра Дирихле на своей шиловской границе, т. е.
вещественные части функций из Я00 не плотны (равномерно)
среди вещественных функций из ?°°. Мы дали одно доказа-
доказательство этого факта в гл. 9, где было показано, что любая
функция в замыкании Я^-р-Я00 имеет сопряженную гармо-
гармоническую функцию с ростом о [log , _ 1 в круге. Суще-
Существует более абстрактное доказательство; оно короткое, и
его стоит привести здесь.
17 Зак. 1057.

258 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Теорема. Пусть X— вполне разрывное компактное
хаусдорфово пространство и А— алгебра Дирихле
на X. Тогда А = С{Х).
Доказательство. Пусть S — любое открыто-замкну-
открыто-замкнутое подмножество X, a Xs —ег0 характеристическая функ-
функция. Тогда %s — вещественная непрерывная функция на X.
Следовательно, существует функция / ? А, такая, что
IXs-Re/K-g-
на X. Множество значений функции / не пересекается с пря-
прямой Re z = -n в плоскости. Следовательно, можно найти
последовательность многочленов рп (г), сходящихся равно-
равномерно к 1 на той части множества значений /, которая
лежит справа от прямой Rez = -n, и сходящихся равно-
равномерно к 0 на той части множества значений /, которая
лежит слева от прямой Re z = -к • Тогда р„ (/) — последо-
последовательность функций из А, равномерно сходящаяся к функ-
функции %s. Таким образом, Xs?^- Так как ^ вполне разрывно
и А содержит характеристические функции всех открыто-
замкнутых подмножеств X, то А = С (X).
Если применить эти рассуждения к //°°, то мы получим,
что Ято не есть подалгебра Дирихле в Z.°°; действительно,
мы видим, что равномерное замыкание Re//0" не содержит
характеристической функции ни одного измеримого мно-
множества Е на единичной окружности, кроме множеств Е,
имеющих (нормированную) лебеговскую меру 0 или 1.
Несмотря на это, представляющие меры единственны для
всех комплексных гомоморфизмов Я00. Это происходит потому,
что Ято обладает свойством, очень близким к свойству Ди-
Дирихле: всякая вещественная функция и в L°° есть логарифм
модуля обратимой функции F из /У°°:
e —i
Теорема. Пусть X — компактное хаусдорфово про-
пространство, и А — равномерно замкнутая подалгеб-

Представляющие меры и аннулирующие меры 259
ра С(Х), содержащая постоянные функции. Предполо-
Предположим, что существует плотное подпространство S
вещественных непрерывных функций на X, такое, что
всякая функция и из S имеет вид и = log|Fu|, где Fu—
обратимый элемент алгебры А. Если ср— комплексный
гомоморфизм А, то ср имеет единственную предста-
представляющую меру т на X. Более того, мера т^ опреде-
определяется соотношением
Доказательство. Пусть тир — две (положительные)
меры на X, каждая из которых представляет ср. Пусть
и ? S, и = log | Fa |, где Fu — обратимая функция в А. Так как
то мы имеем
Но ср (FJ . (P(fJI)= 1; поэтому
Так как 5 — подпространство, то это неравенство справед-
справедливо и при замене и на tu, где t — любое вещественное
число. Следовательно,
при любом вещественном t, т. е.
l+tfudm-\-?;fu*dm+ ... > 1-И /*
17*

260 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
при всех вещественных t. Ясно тогда, что
Г и dm ^ j и dp.
Так как это верно для всех функций и из S, a S плотно
в СК(Х), то р-^m. Так как р и т — положительные меры
массы 1, то р = т.
Если u?S, то определим /(и) = log| <?(FU)\, где Fu —
любая обратимая функция из А, такая, что log \ Fu\ =^и.
Ясно, что / — вполне определенная функция на S; она адди-
аддитивна, так как ср мультипликативен. Имеем также:
= log \\еа ||<
-^ max и.
х
Следовательно, 11(и) К1|м||. т. е. / имеет норму 1. Так
как I аддитивен и ограничен, то он непрерывен и линеен
на S. Существует единственное расширение I до ограничен-
ограниченного линейного функционала на CR(X), и расширенный
функционал задается положительной мерой mf на X. Чтобы
убедиться, что т. представляет гомоморфизм ср, нужно лишь
показать, что Г
как a = log \e*\,
д, рд рф р, у
показать, что Г и dm — Re cp(/), если M==Re/, /?A Так
a = log \e*\, то
J udmv = l (и) =
= Recp(/).
Это завершает доказательство теоремы.
Другой путь к установлению единственности состоит
в следующем. Если линейный функционал ср на Л мульти-
мультипликативен, то существует единственное (сохраняющее норму)
расширение Хана — Банаха ср до линейного функционала
на С(Х). Следует отметить, что условия предыдущей тео-
теоремы выполнены, если А — алгебра Дирихле на простран-

Представляющие меры и аннулирующие меры 261
стве X. Действительно, пространство 5 = Re А обладает
требуемым свойством: если H = Re/, /? А то a = log|e^|.
Как мы говорили, условия теоремы также выполнены,
если X = Ш(Ц°), а А— алгебра Й°°. Здесь за 5 мы можем
взять пространство всех вещественных непрерывных функ-
функций на X. Таким образом, всякий комплексный гомомор-
гомоморфизм ср на Я°° имеет единственную представляющую меру от
на X = Ш (Z.00). Она определяется следующим образом:
если и — вещественная /.""-функция, то
где Fu — любая внешняя функция из/^°°, такая, 4io\og\Fa\ = u
почти всюду на единичной окружности. В том случае, когда ср
есть значение в точке X открытого единичного круга, един-
единственность меры от была доказана Глисоном и Уитни. В этом
случае описание меры от приводит к формуле
f
~
где Рх— ядро Пуассона для точки X. В частности, если <р —
значение в начале координат, то единственное расширение
Хана — Банаха для (р до линейного функционала <|* на Z.°°
дается формулой
Если соединить эти результаты с методами Хельсона и
Лоуденслегерл (рассмотренными в гл. 4), то можно получить
ряд результатов о связи между представляющими мерами
для Я°° и аннулирующими мерами для Я"°, а также произ-
произвольными положительными мерами на шиловской границе.
Неудивительно, что мы можем многое сказать о предста-
представляющих мерах для точек открытого единичного круга, но
первый результат, который следует рассмотреть, —теорема
Cere, справедливая в условиях предыдущей теоремы.
18 Зак. 1057.

262 Гл. 10. Н00 как банахова алгебра
Теорема. Пусть А — равномерно замкнутая алгебра
непрерывных комплекснозначных функций на компакт-
компактном хаусдорфовом пространстве X A ? А). Предполо-
Предположим, что класс функций \og\F\, где F—обратимый
элемент А, содержит подпространство S, плотное среди
вещественных непрерывных функций на X. Пусть т —
любая положительная мера на X, мультипликативная
на А, и Ао — множество функций f из А, таких, что
Г fdm = 0. Тогда для любой положительной меры \х
на X
Доказательство. Можно считать, что т — предста-
представляющая мера некоторого комплексного гомоморфизма ср
в А. Как доказано в предыдущей теореме, т является един-
единственной представляющей мерой для ср и определяется соот-
соотношением
f и dm = log|cp (Fu)\,
х
где и ?S, a Fa — обратимый элемент А, такой, что
и — \og\Fa\. Пользуясь специальным видом меры т, легко
показать, что т удовлетворяет неравенству Иенсена:
log|<p(/)l = l°g \ffdm < /1°gl/|dm Для всех f?A.
Пусть дака функция /?А и е > 0. Тогда log(|/)-j-e) —
непрерывная функция на X. Выберем в подпространстве 5
функцию u = \og\Fa\ так, что
« —e<log(|/|-M)<a-r-t.
Тогда \fFu1\<ee на X. Следовательно,
Если взять от обеих частей этого неравенства логарифм, то
мы имеем
—fudm<e.

Представляющие меры и аннулирующие меры 263
Но и < е H-log(|/| -f~s) на X, и если проинтегрировать
по мере т, то получаем
f и dm < е + J log (|/| + е) dm.
Поэтому
log|?(/)| < 2е + J log(|/| + e)dm,
и если положить е->0, то получится неравенство Иенсена.
Пусть теперь р— любая положительная мера на X, и
пусть
/({>.)= inf f |I—/|2d|*.
Если d\i = hdm -\-d\>.s — лебеговског разложение (а относи-
относительно m, то /(ц) = /(цв), где dpa = hdm — абсолютно
непрерывная часть (а. Это выводится из единственности
меры m при помощи рассуждений Хельсона — Лоуденслегера,
которые были использованы в части (I) теоремы на стр. 70
гл. 4 и ее следствии 1. Это сводит задачу к случаю dp = hdm,
где h — неотрицательная функция из Z.1 {dm). В этом случае
мы покажем, что
Если / ? Ло, то в силу неравенства Иенсена
= ехр[f log| 1 — /|2с?от] ехр [ f logh dmj >
>explog|cp(l —/)|2expf J loghdmj =
= 1 • ехр Г log h dm .
Следовательно,
/((j.)>exp [J log A dm].
Так как от—положительная мера массы 1, то
ехр Г Г log A dm] = inf f he" dm, g = g t Z.1 (dm), Г gdm~0.
18*

264 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Доказательство см. на стр. 75. По понятным соображениям
при подсчете нижней грани мы можем ограничиться лишь
непрерывными функциями g (см. стр. 76). Таким образом,
ехр [ Г log Л rfmj = inf f hee dm, g?CR(X), jgdm = 0.
Если g?CR(X), то g можно равномерно приблизить функ-
функциями u — log\Fu\2, где Fu— обратимый элемент А. Если
Г g dm = 0, то можно приближающие функции и выбрать
так, что cp(Fu)=l. Для этого нужно лишь заменить Fu
на [y(Fu)]~[ Fu. Следовательно,
Inf [hegdm = mi fh\F\2dm, <p(F)=l, F, F'1 ? A.
g J F J
Если cp (F) = 1, то F = 1 — /, где / ? Ao. Таким образом,
exp [ J log Л dm] = inf f h\F\2dm^.
> inf f h\\ —f\2dm =
= /(!*).
Это завершает доказательство.
Приведенная выше теорема Сегё справедлива, конечно,
в том случае, когда X = %)l (L00), А = п, а т — предста-
представляющая мера любого комплексного гомоморфизма Нт. Для
мер, представляющих точки открытого единичного круга, мы
также имеем теорему Ф. и М. Риссов.
Теорема. Пусть т0 — единственная положительная
мера на Ar = 2)J(icc)> представляющая гомоморфизм-
^значение в начале координат" — на алгебре Я°°, и Я™ —
множество функций /, таких, что /?Н°° и равна О
в начале координат. Пусть \>. — конечная ком-
комплексная бэровская мера на X, ортогональная к #о°.
Тогда абсолютно непрерывная и сингулярная части
меры (л относительно меры т0 порознь ортогональны
к #о°, а сингулярная часть ортогональна также к 1.

Представляющие меры и аннулирующие меры 265
Доказательство по существу совпадает с доказа-
доказательством общей теоремы Ф. и М. Риссов в гл. 4 (стр. 73).
Необходимо лишь следующее: (I) ш0 мультипликативна на Я*;
(II) любая положительная мера на X, совпадающая с т0
на Я°°, равна т0; (III) вещественные части функций из Я™
плотны в пространстве вещественных функций из L2(dm0).
Условие (III) просто означает, что вещественные части
функций из Нт плотны среди вещественных функций из L2
на окружности.
Следствие. Если \х — (ко. плгксная) мера на X,
ортогональная к Я00, и если ja взаимно сингулярна с т0,
то (* ортогональна также ко всем функциям /, где f
лежит в замкнутой подалгебре Н°°, порожденной Я°°
и z.
Доказательство. Этот результат вытекает из пре-
предыдущей теоремы, если провести рассуждения, похожие на
те, которые использовались в гл. 4 при доказательстве тео-
теоремы Ф. и М. Риссов. Так как ц сингулярна и ортогональна
к Я°°, то сингулярная мера z rfji ортогональна к Яо° и, сле-
следовательно, ортогональна к 1. Таким образом, (z2)~ dp
ортогональна к /7fj° и т. д.
Следствие. Пусть ja — любая конечная веществен-
вещественная мера на X, ортогональная к Я°°. Тогда \з. взаимно
сингулярна с т0 и, следовательно, \з. ортогональна к f
для любой функции f из замкнутой подалгебры А°°,
порожденной Я°° и z-
Доказательство. Пустьcfjx == hdm0-\-d\is — лебегов-
ское разложение ja относительно т0. Тогда меры hdm0
и d\>.s порознь ортогональны к Я°°; каждая из этих мер
вещественна, так как \х вещественна. Таким образом, h —
вещественная функция из D (dm), ортогональная к функциям
из Н°° и их комплексно сопряженным. Если воспользоваться,
например, чезаровскими средними, то легко показать, что h

266 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
ортогональна к L°°. Таким образом, А = 0 почти всюду по
мере dm0.
Мы знаем теперь, что ц — сингулярная мера, и можем
воспользоваться предыдущим следствием.
Алгебры на слоях
Пусть а — точка единичной окружности. Обозначим через А7
алгебру, полученную сужением Н™ на слой 9Иа в простран-
пространстве максимальных идеалов Ш — Ш(НГ°). В этом параграфе
мы изучим алгебру Аа, главным образом, потому, что она
является интересным примером функциональной алгебры,
и еще потому, что при ее изучении будут получены неко-
некоторые результаты об алгебре //°.
Теорема. (I) Аа есть равномерно замкнутая подал*
гебра С(Ша). (II) Пространством максимальных идеа-
идеалов Аа является слой Tt^. (Ill) Шиловская граница
для Аа содержится в Ха = Х ft Ша.
Доказательство. Пусть f(z) =-^A -\-o-z). Как мы
уже отмечали несколько раз, функция / лежит в ЛГ° и
/= 1 на слое Ша, а на остальной части Ш |/| < 1. Все три
утверждения теоремы вытекают из существования такой
функции /. A) Так как Н°° равномерно замкнута на 9К и
так как Ша—-множество, где функция нормы 1 равна 1, то
сужение Н°° на Ша равномерно замкнуто. Алгебра Аа изо-
изоморфна фактор-алгебре H°°/Ia, где /а — идеал функций из Н°°,
равных нулю на Ша. Так как идеал /в замкнут, то Аа полно
при фактор-норме, порожденной банаховыми пространствами
Нт и /?. Если воспользоваться функцией /, то нетрудно
показать, что фактор-норма на Ал эквивалентна sup-норме
на Ша. За деталями мы отсылаем читателя к доказательству
теоремы Рудина о расширении в гл. 6. (И) Всякий компле-
комплексный гомоморфизм Аа индуцирует комплексный гомомор-
гомоморфизм И00, если рассмотреть сужение / на Аа. Таким обра-
образом, можно отождествить комплексные гомоморфизмы Ал
с теми комплексными гомоморфизмами ср алгебры Н°°, ко-
которые вполне определены на Аа, т. е. такими ср, что ср(^)=О,

Алгебры на слоях 267
если только g = 0 на Ша. Но эти гомоморфизмы суть
в точности гомоморфизмы из слоя 5Ше, потому что 1 — /
равна 0 на 9Иа и только на нем. (III) Пусть ср — комп-
комплексный гомоморфизм АЛ, т. е. ср лежит в Wla, am — пред-
представляющая мера для ср на шиловской границе X алгебры Z/00.
Если воспользоваться построенной выше функцией /, то
видно, что
1 = /(/)" *«,-
X
Но при возрастании п последовательность (/)" ограничена
и сходится поточечно к характеристической функции мно-
множества ШЛ. Таким образом,
и мера т должна быть сосредоточена на Ха. В частности.
так что шиловской границей для алгебры Аа является под-
подмножество Ха.
Следствие. Если ср—комплексный гомоморфизм
алгебры Н00, лежащий в слое ШЛ, то представляющая
мера для <р сосредоточена на Ха.
Следствие, Каждый слой Ша связен.
Доказательство. Теорема Шилова [94], которую мы
доказывать не будем, утверждает, что если пространство
максимальных идеалов алгебры функций несвязно, то алгебра
содержит нетривиальную идемпотентную функцию. Так как
мы знаем, что 5Ш„ — пространство максимальных идеалов
алгебры Аа, то связность Ша будет доказана, если показать,
что Аа не содержит нетривиальных идемпотентов. Таким
образом, надо показать, что если g?H°° и функция (?J—g
равна нулю на 5Wa, то или g есть тождественный О
на Ша, или g есть тождественная 1 на Ша. Ранее было
доказано, что множество значений g на слое Ша состоит

268 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
из всех комплексных чисел X, для которых существует
такая последовательность точек zn открытого единичного
круга, что Iimzn=a и limg^z,,) — X. Поэтому ясно, что
если бы множество значений g на Ша состояло точно из
чисел 0 и 1, то функция g должна была бы отобракать
достаточно малую окрестность точки а на несвязное множе-
множество. Это приводит к противоречию.
Следствие. В пространстве максимальных идеа-
идеалов алгебры Н°° дополнение открытого единичного круга
связно.
Доказательство. Предположим, что 9W — Д несвязно.
Тогда Ш — Д есть объединение двух непустых непересекаю-
непересекающихся замкнутых множеств Ко и Kv Каждый слой Tta есть
поэтому объединение непересекающихся замкнутых множеств
Ко П 2К„ и Ki П Ша- Так как Ша связно, то одно из этих
множеств пусто. Единичная окружность, таким образом,
разбивается на два непересекающихся замкнутых множества
{а:2К„<=К0} и {агаИ.с^}.
что невозможно.
Теперь мы докажем, быть может, наиболее поразительное
свойство алгебры Аа. Для этого нам нужны следующие
определения.
Пусть А — набор непрерывных комплекснозначных функ-
функций на топологическом пространстве S. Мы говорим, что А
регулярно на S, если для любого замкнутого множества К
в S и любой точки р^К существует в А такая функция g,
что g = 0 на К, но g(p) + Q- Мы говорим, что А нор-
нормально на S, если для любой пары непересекающихся
замкнутых множеств Ко и К\ в 5 существует в А такая
функция g, что g = 0 на Ко и g = 1 на Kv
Теорема. Алгебра АЛ регулярна на простран-
пространстве Ха; более того, набор функций [ \ F\ : F? AJ нор-
нормален на Ха.
Доказательство. Напомним, что Ха есть та часть
шиловской границы X, которая лежит в слое ШЛ. Мы знаем,
что шиловская граница Аа содержится в Ха, так что мы
вполне можем отождествить Ал с ее сужением на Ха. Так

Алгебры на слоях 269
как X вполне разрывно, то и Ха вполне разрывно. Нам
надо доказать, что для любого (относительно) открыто-
замкнутого подмножества К в Ха существует в Я°° такая
функция А, что А = 0 на К и |А| = 1 на Ха — К.
Для простоты положим а= 1. Пусть К — открыто-замкну-
открыто-замкнутое подмножество Xv Так как X вполне разрывно, то К
есть пересечение некоторого открыто-замкнутого подмно-
подмножества X с Хх. Другими словами, на единичной окруж-
окружности существует такое измеримое множество Е, что
Положим
я (*'») = A—**(«»)] log|l — *'»|.
Тогда и лежит в L1 на окружности и ограничена сверху.
Следовательно, функция
лежит в Я00. Почти всюду на единичной окружности
1 на Е
1 — ет | вне Е.
Отсюда видно, что функция /, определяемая соотношением
измерима и ограничена. Таким образом,
где /?Z.°°. Пусть ср — любой комплексный гомоморфизм Z.00
из слоя Xv такой, что <р(Хд) = О- Тогда
= 0- 9(/)-f-0- ср(Л) =0.
Таким образом, функция h обращается в 0 на множе-
множестве К. Но
[1 — | h | ] %Е = 0 почти всюду,
так что | h | = 1 в любой точке X, где ^?=1. В частности,
мы имеем А = 0 на К и |А|=1 на Хх — К.

270 Гл. 10. Н" как банахова алгебра
Большинство других свойств алгебры Аа, которые мы
хотим рассмотреть, являются следствием этого результата.
Вот два из этих свойств: A) Ха есть шиловская граница
для Аа; (II) Аа не содержится ни в какой максимальной
замкнутой подалгебре С(Ха). Мы докажем эти результаты
для любой алгебры функций А, регулярной на компактном
хаусдорфовом пространстве X, Ввиду этого естественно
спросить, что выделяет АЛ среди алгебр функций. Дело
в том, что алгебра Аа, насколько мне известно, является
первым примером равномерно замкнутой алгебры, регу-
регулярной на компактном пространстве X и отличной от всей
алгебры С(Х). Это также первый пример алгебры, не со-
содержащейся в максимальной алгебре.
Теорема. Пусть X — компактное хаусдорфово про-
пространство и А — равномерно замкнутая алгебра не-
непрерывных комплекснозначных функций на X, такая,
что А различает точки X и содержит постоянные
функции. Предположим, что А регулярна на X. Тогда
(I) X есть шиловская граница для А;
(II) любая функция из А, равная 0 на непустом
открытом подмножестве X, равна 0 также и на не-
непустом открытом подмножестве пространства макси-
максимальных идеалов А;
(III) если <р — комплексный гомоморфизм А, К — наи-
наименьший носитель ср и f—функция из А, равная 0 на
открытом подмножестве X, пересекающемся с К, то
<р(/) = 0;
(IV) X есть пространство максимальных идеалов
алгебры А тогда и только тогда, когда А нормально
на X;
(V) если К — такое замкнутое подмножество X,
что сужение А на К не плотно в С (К), то в К есть
такое собственное замкнутое подмножество S, что
сужение А на S не плотно в С (S);
(VI) А не содержится ни в какой максимальной
собственной подалгебре С(Х).
Доказательство. (I) Это утверждение хорошо из-
известно (и очевидно). Пусть К— шиловская граница для А.
Если бы К не было всем X, то в Л существовала бы функ-

Алгебры на слоях 271
ция, равная 0 на К, но не равная 0 тождественно.
(II) Пусть / — функция из А, равная О на непустом
открытом множестве U в X. Тогда существует непустое
открытое множество V, замыкание которого содержится
в U. Так как А регулярно на X, то в А существует функ-
функция g, равная 0 на дополнении V, но не равная 0 тождест-
тождественно. Тогда fg=zO. Положим
Множество N есть непустое открытое подмножество Т1 (А),
и ср(/) = О для всех ср из N. (III) Напомним, что носитель
комплексного гомоморфизма ср есть замкнутое подмноже-
подмножество К в X, такое, что
I <Р (/) |< sup | /1 Для всех / ? А.
К
p
К
Предположим, что К — наименьший носитель ср. т- е. что
не существует собственного подмножества К, являющегося
носителем ср. Пусть / — функция из А, равная 0 на
открытом подмножестве U в X, таком, что U(]K не пусто.
Тогда ср(/) = О; действительно, допустим, что ср(/)=?О.
Если т — представляющая мера для ср, сосредоточенная
на К, то
А'
для любой функции g из А. Положим й?ц = —Yf-f dm^. Тогда
(i—конечная комплексная мера, замкнутый носитель кото-
которой содержится в Л"—U, и
?(?•) =
для всех g из А. Поэтому существует такая постоян-
постоянная А, что
p|g|
к-и
для всех g из А. Это означает, что ср есть ограниченный
комплексный гомоморфизм суженной алгебры A L „. Сле-
Следовательно, ср расширяется до комплексного гомоморфизма
равномерного замыкания этой суженной алгебры. Это замы-
замыкание есть коммутативная банахова алгебра с единицей, так

272 Гл. 10. Я°° как банахова алгебра
что любой комплексный гомоморфизм на ней автоматически
имеет норму 1. Таким образом,
p|ff|
К— U
а К—U — носитель ср. Эго противоречит минимальности К.
(Следует отметить, что в доказательстве (III) регулярность А
не использовалась.) (IV) Хорошо известно, что коммутатив-
коммутативная банахова алгебра, регулярная на своем пространстве
максимальных идеалов, на самом деле нормальна на нем.
За доказательством мы отсылаем читателя к книге [50J,
стр. 84. Здесь нас интересует, главным образом, обратное
утверждение, доказанное Бишопом. Предположим, что А
нормально на X. Докажем, что X является пространством
максимальных идеалов алгебры А. Пусть ср— произвольный
комплексный гомоморфизм алгебры А. Мы докажем, что ср
сопоставляет функции ее значение в некоторой точке X.
Пусть К—наименьший носитель ср. Существование такого
множества есть простое следствие леммы Цорна. Предпо-
Предположим, что К содержит по крайней мере две точки. Тогда
в X можно найти два замкнутых подмножества, Ко и Kv
такие, что внутренность каждого из них имеет непустое
пересечение с К. Так как А нормально на X, то суще-
существует в А такая функция /, что / — 0 на Ко и / = 1
на /С[. В силу (III) мы имеем ср(/) = О и срA—/) = 0, что
приводит к противоречию. Мы приходим к выводу, что К
состоит из единственной точки, а следовательно, ср(/) есть
значение / в этой точке. (V) Предположим, что А \к не
плотно в С (К). Тогда существует конечная комплексная
бэровская мера jj. на множестве К, такая, что jj. Ф 0 и р
аннулирует А:
Пусть х — точка из замкнутого носителя меры [>.. Носи-
Носитель jj. должен содержать более одной точки; следовательно,
существует в X открытое подмножество U, пересекающееся
с носителем [J., но такое, что его замыкание не содержит х.
Пусть / — такая функция в А, что / = 0 на U, но f(x) Ф 0.
Пусть ??(*! = / dp; ясно, что мера ^ аннулирует алгебру А.
Ясно также, что мера ^1 сосредоточена на замкнутом мно-

Алгебры на слоях 273
жестве S = К — U — собственном подмножестве К. Так
как х лежит в носителе jj., а /(х)фО, то не может
быть {1.J = 0. Мы имеем ненулевую меру на S, аннулирую-
аннулирующую А; поэтому сужение А на 5 не плотно в С (S).
(VI) Пусть В— максимальная собственная замкнутая под-
подалгебра С(Х). Мы докажем, что В не регулярна на X
и, следовательно, не может содержать А. Решающим момен-
моментом при рассмотрении максимальной алгебры В является
следующий факт. Если К — замкнутое подмножество X, то
или В\к плотно в С (К), или В содержит все непрерыв-
непрерывные функции на X, равные 0 на К. Для доказательства
обозначим через В' множество всех функций / из С{Х),
таких, что f\K лежит в равномерном замыкании В \к. Ясно,
что В' — равномерно замкнутая подалгебра С(Х), содержа-
содержащая В. В силу максимальности В или В' =С(Х), или В' = В.
Г ел 1 В' ~С(Х), то любая непрерывная функция на К есть
равно ерный предел функций из В \к. Если В' = В, то вся-
всякая функция / из С(Х), для которой /\к?В\к' лежит в В.
В частности, всякая функция / из С(Х), равная 0 на К.
л^жит в алгебре В. После того как установлен этот основ-
основной факт, мы рассуждаем следующим образом. Пусть jj. — не-
ненулевая комплексная мера на X, аннулирующая В, и
К — замкнутый носитель jj.. Тогда В\к не плотно в С (К).
Пусть 5 — любое замкнутое подмножество К. Мы докажем,
что A \s плотно в С(S), Если A |s не плотно в С (S), то
всякая непрерывная функция, равная 0 на 5, лежит в В.
Сужение меры jj. на К — 5 есть поэтому мера, аннулирую-
аннулирующая все непрерывные функции на К — S, равные 0 на
бесконечности. Следовательно, это сужение есть 0 и мера jj.
сосредоточена на 5. Это противоречит определению К.
Ввиду части (V) теоремы ясно, что В не может быть регу-
регулярной на X, так как мы построили такое замкнутое под-
подмножество К в X, что А \к не плотно в С (К), но A\s
плотно в С(S) для любого замкнутого подмножества S в К.
Если применить эти результаты к алгебре Аа на слое Ша,
то мы получим следующее. Пространством максимальных
идеалов Аа является слой Ша; шиловской границей Аа
является Ха; Аа регулярна на Ха; Аа не содержится ни
в ьакой максимальной подалгебре С(Ха); Ша связно; Ха вполне

274 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
разрывно. Есть еще одно очень интересное свойство
алгебры Аа, вытекающее из топологической природы про-
пространства Ха. В параграфе, где рассматривалась алгебра 2.°°,
было доказано, что ХЛ — топологическое пространство, обла-
обладающее следующим свойством: если / — непрерывная функ-
функция на Ха, то любое свое значение / принимает на непу-
непустом открытом подмножестве Ха. В силу части (II) преды-
предыдущей теоремы мы имеем поэтому следующее. Пусть
/ — любая функция из алгебры Аа. Любое значение / на
шиловской границе Ха принимается функцией / на непустом
открытом подмножестве пространства максимальных идеа-
идеалов Ша. Мы видим также, что в некотором смысле А9
близко к тому, чтобы быть нормальным на пространстве Ха.
Если К — любое открыто-замкнутое подмножество ХЛ, то в Аа
существует такая функция /, что / = О на /Си |/|=1
на Ха — К. Если X лежит в множестве значений / на Xа,
то / = Х на некотором непустом открыто-замкнутом под-
подмножестве К\ в Ха. Для всякого такого X, равного по
модулю 1, множества К и Кх образуют пару непересекаю-
непересекающихся замкнутых множеств, и для них в Аа существует
функция, равная 0 на К и 1 на К\. Если ср — произволь-
произвольный комплексный гомоморфизм Аа и 5 — наименьший носи-
носитель (р, то мы знаем, что 5 не может пересекать и К,
и К\ и не может пересекать два различных множества К\.
Следовательно, 5 не имеет внутренних точек в простран-
пространстве Ха, и (грубо говоря) всякий комплексный гомомор-
гомоморфизм Аа сосредоточен на очень „тонком" подмножестве Ха.
Максимальность
В этом параграфе мы докажем, что Я°°—максимальная
слабо замкнутая подалгебра Z." и что Н™ не содержится ни
в одной алгебре, максимальной среди собственных равно-
равномерно замкнутых подалгебр L°°.
Теорема. Пусть В — любая (равномерно) замкну-
тая подалгебра L°°, содержащая Н°°.
A) Если В ф Н°°, то В содержит z.
(II) Если В Ф L°°, то на единичной окружности суще-
существует такая точка а., что сужение В на слой Ха
есть собственная замкнутая подалгебра C{XJ.

Максимальность 275
Доказательство. (I) Пусть <р0— гомоморфизм Н°°,
определяемый значением в начале координат. Либо ср0 расши-
расширяется до комплексного гомоморфизма алгебры В, либо нет.
Предположим, что расширение возможно, т. е. на В суще-
существует такой гомоморфизм ф, что ф(/)=/@) для всех /
из Нх. В силу гельфандовского представления L°° алгебра В
представляется как равномерно замкнутая подалгебра В
в С{Х). Таким образом, существует положительная мера (*
на X = Ш (Z.°°), такая, что
Эта положительная мера [а является, в частности, представляю-
представляющей мерой для ср0. По теореме Глисона — Уитни, для сро
существует единственная представляющая мера т0. Таким
образом, (J. = т0, и
w)==w ff(ei*)db, /ев.
— тс
Если / — произвольная функция из В, то при л > 0 уы
имеем
= 0,
откуда вытекает, что / лежит в Н~°. Таким образом,
если В Ф Я°°, то гомоморфизм ср0 не расширяется на В.
Следовательно, не существует комплексного гомоморфизма В,
переводящего г в 0, так как ср0 является единственным ком-
комплексным гомоморфизмом //°° с этим свойством. Но если Z
не лежит ни в каком собственном идеале алгебры В, то г
обратим в В, или \jz^z лежит в В.
(II) Предположим, что В — замкнутая подалгебра Z.°°,
содержащая Я°°. Если |а| = 1, то функция / (z) = -~ A + &z)
лежит в В, /= 1 на Ха и |/| < 1 на остальной части X.

276 Гл. 10. Я00 как банахова алгебра
Как мы уже отмечали несколько раз, это означает, что
алгебра Ва, полученная сужением В на Ха, равномерно
замкнута. Предположим теперь, что Ва = С(Ха) для каждой
точки а на окружности; мы докажем, что В = L00. Пусть
ср—произвольный комплексный гомоморфизм В и <х = ср(,г).
Тогда |а|=1, так как ввиду утверждения (I) теоремы z?B
и должно выполняться соотношение ср (z) ср (г) = 1. Восполь-
Воспользуемся снова функцией / из В, равной 1 на Хя и меньшей
по модулю, чем 1, на всем остальном X. Так как ср(г) = а,
то ?(/) — ! и любая представляющая мера для ср должна
быть сосредоточена на Ха. Это означает, что ср на самом
деле является комплексным гомоморфизмом В, примененным
после отображения сужения В —»¦ Ва. Так как Ва = С (Ха),
то ср должно быть значением в точке Ха. Мы приходим
к выводу, что всякий комплексный гомоморфизм В есть зна-
значение (функции из В) в точке из X, т. е. X есть про-
пространство максимальных идеалов алгебры В. Пространство X
вполне разрывно. Теорема Шилова [94] утверждает, что В
должно содержать характеристическую функцию всякого
открыто-замкнутого подмножества пространства своих макси-
максимальных идеалов. Таким образом, В содержит характеристи-
характеристическую функцию каждого измеримого подмножества окруж-
окружности, так что B = L°°.
Следствие. Я°° есть максимальная слабо замкну-
замкнутая подалгебра L00.
Доказательство. Пусть В — слабо замкнутая под-
подалгебра Z.00, содержащая Н°°. Мы докажем, что или B = L°°,
или В=Н°°. Если В Ф Н^, то в силу утверждения (I) тео-
теоремы В содержит функцию z. Так как тригонометрические
многочлены слабо плотны в L, то В = U°.
Следствие. Не существует алгебры, содержа-
содержащей Н°° и максимальной среди собственных равномерно
замкнутых подалгебр Z.00.
Доказательство. Пусть В—собственная замкнутая
подалгебра L"°, содержащая Я°°. В силу утверждения (II)
теоремы на единичной окружности существует такая точка а,
что Ва является собственной замкнутой подалгеброй С(ХЛ).

Интерполяция 277
Если В максимальна, то, очевидно, и Ва должна быть максималь-
максимальной подалгеброй С(Ха). Но Вл содержит алгебру Aa = H°°\x ,
а
которая, как было доказано в предыдущем параграфе, не
содержится ни в какой максимальной подалгебре С(Ха). Мы
приходим к выводу, что В не является максимальной замкну-
замкнутой подалгеброй L°°.
Интерполяция
Пусть [zk] — последовательность точек в открытом еди-
единичном круге. Мы назовем {гк} интерполяционной после-
последовательностью, если для любой ограниченной последова-
последовательности комплексных чисел {wk} существует в Я°° такая
функция /, что f(zk) = wk при всех k. Основная цель этого
параграфа — дать описание таких последовательностей. Мы
решили включить этот вопрос в наше рассмотрение Я°° как
банаховой алгебры потому, что он тесно связан с различ-
различными вопросами о пространстзе максимальных идеалов Я°°.
Здесь следует привести один пример такой связи. Нами уже
обсуждался вопрос о том, плотен ли открытый единичный
круг в Ш (//°°). Мы показали, что этот вопрос эквивалентен
следующему: если /1 /„ — функции из Я°°, такие, что
в круге, то существуют ли такие функции gx gn
в Я°°, что
Если п — 2 и \zk] — последовательность нулей функции fv
то функция g2 должна принимать значения l//2(?ft) в точ-
точках гк. Если {zk} — интерполяционная последовательность
и /, — просто произведение Бляшке для этой последователь-
последовательности, то легко видеть, что функции gt и g% могут быть
найдены. Как мы увидим позже, этот же результат верен и
для любого п, т. е. если одна из функций /. есть произве-
произведение Бляшке для интерполяционной последовательности, то
соответствующие функции gv ..., gn могут быть найдены.
Конечно, это очень частные случаи вопроса о плотности
круга в Т1(Н°°), но именно они привели Р. Бука к вопросу
о существовании интерполяционных последовательностей.
Л. Карлесон, У. Хейман и Д. Ньюман независимо друг от

278 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
друга занимались интерполяционной задачей, и каждый из
них доказал существование очень многих интерполяционных
последовательностей; например, всякая последовательность,
имеющая предельную точку на единичной окружности, со-
содержит подпоследовательность, являющуюся интерполяцион-
интерполяционной последовательностью. И Карлесон, и Ньюман дали
необходимое и достаточное условие того, что \zk) является
интерполяционной последовательностью. У Ньюмана было
два условия, наложенные на последовательность, в то время
как Карлесон доказал более сильный результат, заключаю-
заключающийся в том, что одно из этих условий необходимо и доста-
достаточно. Карлесоновское описание интерполяционных последова-
последовательностей удивительно просто, и хотя оно не приводит не-
непосредственно к решению каких-либо глубоких вопросов
о ЗМ(Я°°), оно вносит ясность в эти задачи.
Рассмотрим интерполяционную задачу. Если \zk)—после-
\zk)—последовательность точек открытого единичного круга, то мы рас-
рассмотрим линейный оператор R, который каждой функции /
из //°° ставит в соответствие последовательность ее значе-
значений в точках zb:
f(z2), ...).
Мы хотим знать, при каких условиях R отображает Яда на
/°° — пространство всех ограниченных последовательностей
комплексных чисел. Очевидное необходимое условие состоит
в том, что точки zk различны. Другое необходимое условие
состоит в том, что
Это условие необходимо для того, чтобы можно было найти
в Я°° такую функцию /, что f(zk) = Q при k ^-2, но
/(г^фО. Если воспользоваться основной теоремой о бана-
банаховых пространствах, то можно получить новое необходимое
условие, которое, как мы покажем впоследствии, является
и достаточным. Пространство /°° есть банахово пространство
с sup-нормой, a R— не увеличивающее нормы линейное
преобразование Я°° в Г°. Если R отображает Н°° на /°°,
то Iе0 изоморфно фактор-пространству Й°°/1, где / — идеал
всех функций из Я°°, равных 0 на последователь-

Интерполяция 279
ности {zk\. Если ввести на /У00// фактор-норму
то H°°jl становится банаховым пространством, a R поро-
порождает взаимно однозначное не увеличивающее нормы линей-
линейное отображение Я00// на /°°. Следствие теоремы о замкну-
замкнутом графике утверждает, что взаимно однозначное ограни-
ограниченное линейное преобразование банахова пространства на
банахово пространство обязательно имеет ограниченное обрат-
обратное отображение. Таким образом, существует такая постоян-
постоянная М > 0, что если w= \wk\ ?/°°, то в Я°° найдется такая
функция /, что Rf = w и
Другими словами, все последовательности, ограниченные по
норме единицей, могут быть интерполированы равномерно
ограниченным набором функций. В частности, для любого k
можно найти в Я°° такую функцию /к, что
Если через Bk обозначить произведение Бляшке, нули кото-
которого суть точки z, при j ф k, то Bk делит Д. Так как
||/ft]|^M и fk(zk)=l, то должны выполняться неравен-
неравенства \Bk {zk)\ %¦ \jM. Если положить Ъ=1/М, то мы при-
приходим к выводу, что любая интерполяционная последова-
последовательность [zk) обязательно удовлетворяет условию
(С) Ц
>8>0, /s = l, 2,
Теорема Карлесона утверждает, что условие (С) является
также и достаточным для того, чтобы последователь-
последовательность \гк) была интерполяционной. В то же самое время,
когда Карлесон доказал эту теорему, Ньюманом независимо
было показано, что [zk\ является интерполяционной после-
последовательностью тогда и только тогда, когда она удовлетво-
удовлетворяет условию (С) вместе с условием
(N) 2'/ О*) К1 — I ** I )< °о для всех / из НК

$0 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Из сказанного ясно, что на самом деле из условия (С) выте-
вытекает условие (N); основная часть работы Карлесона и была
посвящена установлению этого включения. Теперь мы хотим
доказать достаточность условия (С). Первым шагом будет
доказательство результата Ньюмана. Это делается методами
банаховых пространств. Затем, используя недавнее доказа-
доказательство Шапиро и Шилдса, мы покажем, что из (С) выте-
вытекает (N).
Теорема (Карлесон; Ньюман). Пусть {zk}— по-
последовательность точек открытого единичного круга.
При этом [zk] является интерполяционной последова-
последовательностью тогда и только тогда, когда выполнены
условия (С) и (N).
Доказательство. Допустим, что мы имеем последо-
последовательность различных точек zk. Пусть iw = {wk\—ограни-
{wk\—ограниченная последовательность комплексных чисел. Ясно, что
можно найти функцию в Н°°, которая интерполирует w
в любом конечном числе точек zk. Одна из возможностей
сделать это состоит в следующем. Положим
Построив функции
мы имеем fn{zk) — wk, 1<!&<я. Более общая функция
из Я°°, интерполирующая w в точках г1 zn, имеет вид
Если \zk) — интерполяционная последовательность, то все
последовательности w из единичного шара 1°° могут быть
интерполированы равномерно ограниченно. Поэтому, если
!»,(«)= mf н/„-над.

Интерполяция 281
то должно выполняться соотношение
sup sup mn (да)< оо, ||w||<:i.
It W
Но обратное также справедливо. Если эта верхняя грань
конечна, a w — элемент единичного шара в Г°, то можно
найти такую последовательность функций gn в Н°°, что
ёп (**) = »». 1 < * < я.
Последовательность {§¦„} образует нормальное семейство,
и поэтому существует подпоследовательность, равномерно
сходящаяся на компактных подмножествах круга к функ-
функции g из Я°° и ||#||-<Л1 Ясно, что g(zk) = wk для всех k.
Мы приходим к выводу, что конечность верхней грани
sup sup mn (w) является необходимым и достаточным усло-
Л «1
вием того, что последовательность {zk) — интерполяционная.
Мы имеем
mn{w)= inf ||
где Fn = fjBn, а через ||... Ц^ обозначена существенная верх-
верхняя грань значений измеримой функции на единичной окруж-
окружности. Мы здесь воспользовались тем фактом, что | Вп \ = 1
на единичной окружности. Таким образом, мы видим,
что mn (w) есть норма множества Fn -j- Я°° в фактор-про-
фактор-пространстве L^jH00. Далее, L°° есть сопряженное пространство
к банахову пространству L1, а Н°° есть аннулятор простран-
пространства Но, состоящего из функций из Я1, равных О
в начале координат. Таким образом, мы можем отожде-
отождествить L^jH00 с пространством, сопряженным к банахову
пространству ti\. В частности,
!»„(»)= inf ||/
= Норма Fn как линейного функционала на н\ =
sup
/
19 Зак. 1057,

282
Гл. 10. Н" как банахова алгебра
Если
1, то
ft=l
л-
fe-1
*»1
Мы имеем теперь
тп (w) = sup
Таким образом, если w лежат в единичном шаре Г°, то
sup mn (w) =
Если положить теперь
р2
. то видно, что
и вспомнить, что |?ЯЙ|
М < sup sup тп (да) < М
Условие (С) показывает, что inf | ?nfc | ^ 8, и мы тем самым
приходим к выводу, что \zk\ является интерполяционной
последовательностью тогда и только тогда, когда выполнено
условие (С) и М < сю. Теорема будет доказана, если мы
покажем, что М < оо тогда и только тогда, когда

Интерполяция 283
для любой функции / из Я1. Очевидно, в этом соотноше-
соотношении несущественно, умножаем ли мы числа |/(^й)| на
A — \zk\) или на A—|^й|2). Если М < оо, то ясно, что
для любой функции / из Я1. Обратно, если сумма конечна
для любой функции /, то соотношение
т/= {1№)|A -Ы2)}
определяет линейное отображение Я1 в банахово простран-
пространство I1 всех абсолютно суммируемых последовательностей.
Условие М < оо означает просто, что Т есть ограниченное
линейное преобразование Я1 в I1. По теореме о замкнутом
графике Т ограничен, если его график замкнут. Это озна-
означает, что если /„->/ в Я1 и последовательность Tfn схо-
сходится к последовательности Х={ХЙ} в I1, то Г/ = Х. Инте-
Интегральная формула Коши (или Пуассона) показывает, что
если /„->/ в Я1, то fn(z)->f(z) на компактных подмно-
подмножествах круга; поэтому ясно, что график оператора Т
замкнут.
На самом деле мы доказали немного больше, чем утвер-
утверждалось в теореме. Прежде чем сформулировать эти допол-
дополнительные сведения в виде следствия, мы для облегчения
нашей дальнейшей работы перейдем от пространства Н1
к пространству Я2. Рассмотрим верхнюю грань
2
фигурировавшую в доказательстве теоремы. Сравнительно
легко показать, что
g * = 1
Так как квадрат любой функции g из единичного шара Я2
лежит в единичном шаре Я1, то ясно, что вторая верхняя
грань не превосходит М. С другой стороны, если / — функ-
функция из единичного шара Я1, то ее можно представить

284 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
в виде / = Bg2, где В — произведение Бляшке, a g — функ-
функция из единичного шара Я2; при этом
Тем самым установлено и обратное неравенство.
Следствие. Пусть \zk) — последовательность то-
точек единичного круга, удовлетворяющая условию (С).
При этом {zk\ является интерполяционной последова-
последовательностью тогда и только тогда, когда верхняя
грань
конечна. Если М конечно, то всякая последовательность
из единичного шара Iе0 может быть интерполирована
функцией из Я°°, норма которой не превосходит у М.
Теперь перед нами стоит задача — показать, что усло-
условие (С) автоматически обеспечивает конечность М. Мы будем
следовать Шапиро и Шилдсу в сведении этой задачи к задаче
весовой интерполяции для функций из Н2. Это сведение со-
содержится в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть {zk) — последовательность точек
открытого единичного круга. Предположим, что суще-
существует такая постоянная К, что для любой квадра-
квадратично суммируемой последовательности {Хй) комплек-
комплексных чисел в Я2 найдется функция g, удовлетворяющая
следующим условиям:
CD IHKS
(И) g{zk){\-\zk\*f' = \, k = l, 2
Тогда для любой функции g из Я2 выполнено неравен-
неравенство
Доказательство по существу будет совпадать с до-
доказательством первой теоремы этого параграфа, если заме-
заменить Я°° на Я2. Мы начнем с последовательности X ={X}

Интерполяция 285
удовлетворяющей условию 2|XJ2<;1, т. е. с X из единич-
единичного шара в пространстве последовательностей I2. Как и
раньше, мы рассматриваем специальные функции /я, дающие
решение интерполяционной задачи для первых п точек. Учи-
Учитывая условие (II), эти функции можно представить в виде
л
Как и ранее, определим
т„(Х)= inf ||/
г€Я>
где Fn—fJBn. Таким образом, т„ (X) есть норма Fn как
линейного функционала на пространстве н\. (Здесь мы ото-
отождествляем ограниченные линейные функционалы на L2
с ^-функциями, пренебрегая комплексным сопряжением,
участвующим в определении внутреннего произведения в L2.)
Если применить интегральную формулу Коши к слагаемым
Г Fnf d&, то мы получим
тп (X) == sup
Таким образом, если брать X лишь из единичного шара I2,
то
/
Следовательно,
rsupsupmn(X)]2>sup 2
Мы допустили, что всякая последовательность X в единичном
шаре I2 может быть интерполирована с выполнением усло-
условия (И) функцией из Я2, квадрат нормы которой не пре-
превосходит К. Таким образом,
ppn(
и доказательство леммы закончено.

286 Гл. 10. И°° как банахова алгебра
Мы хотим показать теперь, что всякая последователь-
последовательность \zk\, удовлетворяющая условию (С), удовлетворяет
также предпосылкам леммы 1. Это будет сделано ниже
в лемме 4, а сначала мы установим два факта, которые,
хотя и элементарны, но без некоторых размышлений не оче-
очевидны.
Лемма 2. Пусть {а{,}—двойная последовательность
комплексных чисел, а„ = at,, т. е. последовательность
самосопряженная, и пусть существует такая постоян-
постоянная N, что
2M<
Тогда для любой квадратично суммируемой последова-
последовательности комплексных чисел {kk}
Доказательство. Предположим, что А = [a,j\ — са-
п
мосопряженная (я X я)-матрица, такая, что 2 1а//|^^ ПРИ
всех /. Тогда
есть норма А как линейного оператора в комплексном евкли-
евклидовом пространстве С. Норма этого оператора, в свою оче-
очередь, равна наибольшему модулю собственных значений А.
Если с — такое собственное значение, то для некоторого
ненулевого вектора (\ Хл) мы имеем
2 аи\ = с\р j = 1 п.
Таким образом,
Если мы просуммируем эти неравенства по У и разделим
сумму на 2|*/|> т0 получим |c|^iV. Это доказывает лемму

Интерполяция
287
в конечном случае. Более того, если заменить at, на \аг,\,
то условия не изменяются, так что
при всех п. Лемма теперь очевидна.
Лемма 3. Если последовательность \гк) удовлетвО'
ряет условию (С), то
У ( ~"'*/l>- ~\Zk } < 1 — 2logS, ft = I, 2. 3
^ 11 — г,гк |2
Доказательство. Легко проверить, что
?(._г, 2 П _ I ,, I2W1 _ I ,и |2\
= 1 —-
— ZjZk
Условие (С) показывает, что
й
I — 2:Z^ I*
или что
—21og8.
Если воспользоваться теперь приведенным в начале доказа-
доказательства тождеством и неравенством
*<-log(I-*),
то мы придем к заключению леммы.
Лемма 4. Если последовательность \zk) удовлетво-
удовлетворяет условию (С), то для любой квадратично сумми-
суммируемой последовательности {Xfc] существует в Н2 такая
функция g, что
(I)
Iх*!2-
(II)
=1, 2, 3

288 Гл. 10. Н" как банахова алгебра
Доказательство. Снова исходя из квадратично сум-
суммируемой последовательности {Хй}, мы решаем задачу весовой
интерполяции для первых п точек; однако теперь мы опреде-
определяем функции
f M — \ h
/n w ~ Zd f^1
Легко показать, что
Установим теперь равномерную ограниченность норм функ-
функций /„. Заметим сначала, что
Н/Я11Н(/Я. /„)= 2 J^
где (/, g) — обычное внутреннее произведение в L2 на окруж-
окружности. Далее,
<*„!. ёп]) = (} - \*i\2)l - \zj\*)th([z-z,r*. lz-zf2),
так как Вп на окружности равна по модулю 1. Если вос-
воспользоваться интегральной формулой Коши, то сравнительно
легко подсчитать последнее внутреннее произведение и по-
получить
Так как A — |z2|2)'/2(l — l^l2O' <| 1 — z,Zj\. то из леммы 3
легко следует, что
Тогда по лемме 2 мы имеем

Интерполяция 289
Так как функции /„ все лежат в фиксированном шаре Н2,
то некоторая подпоследовательность (/„) будет слабо схо-
сходиться к функции g из того же шара. Эта слабая сходимость
обеспечивает (по крайней мерг) поточечную сходимость на
единичном круге, так что функция g удовлетворяет усло-
условиям (I) и (II) теоремы. Доказательство закончено.
Если теперь объединить леммы 1 и 4 со следствием пер-
первой теоремы этого параграфа, то мы получим результат, ко-
который и был нашей основной целью.
Теорема. Пусть [zk\—последовательность точек
в открытом единичном круге. Необходимое и доста-
достаточное условие того, что {zk}—интерполяционная по-
последовательность, состоит в существовании такого
положительного числа 8, что
П
*> >8 й = 1, 2. 3
— гри
Если это условие выполнено, то для любой ограниченной
последовательности \wk) существует в Я00 такая функ-
функция /, что
(I) /(-)=: да k=l, 2, 3
<П> H/ll<-|r(l-2log8)8upK|.
Прежде чем сформулировать некоторые следствия, нужно
сделать одно замечание к доказательству леммы 4. Функ-
Функции /и, выбранные здесь как решения интерполяционной
задачи для первых п точек, не есть функции минимальной
/Лнормы. Этот остроумный выбор функций /я, сделанный
Шапиро и Шилдсом, приводит к сравнительно короткому
доказательству леммы 4, установленной ими же.
Следствие (Хейман; Ньюман). Пусть \zk)—по-
\zk)—последовательность точек в открытом единичном круге,
экспоненциально сходящаяся к границе, т. е.
Тогда {zk}—интерполяционная последовательность.

290
Гл. 10. Я™ как банахова алгебра
Доказательство. Так как для любых точек а,
единичного круга
ТО
П
Если j > ft, то
и, таким образом,
С другой стороны,
Таким образом,
ту
1J
~ "
Если У < ft, то
-1**К '*-'О-
Таким образом,
л
и ясно, что \zk) удовлетворяет условию (С).
Следствие. Любая последовательность [zk], такая,
что lim|2ft| = l, содержит подпоследовательность,
являющуюся интерполяционной последовательностью.
Доказательство. Это очевидно ввиду предыдущего
следствия.
Следствие (Хейман; Ньюман). Если [zk)—воз-
[zk)—возрастающая последовательность точек положительной

Интерполяция 291
оси, то [zk\ — интерполяционная последовательность
тогда и только тогда, когда
Доказательство. Мы уже показали, что интерполя-
интерполяция возможна, если zk стремятся к границе с экспоненциаль-
экспоненциальной скоростью. Обратно, если интерполяция возможна, то
существует такое положительное 8, что
Последние следствия показывают нам, что если [?ft| стре-
стремится к 1 достаточно быстро, то [zk)—интерполяционная
последовательность; однако не следует думать, что есть
какое-нибудь условие роста, необходимое для интерполяции,
кроме очевидного условия
За три года до решения задачи интерполяции в Н°° А. Г. Наф-
талевич показал следующее. Если \zk\ — любая последова-
последовательность ненулевых чисел, удовлетворяющая этому послед-
последнему условию суммируемости, то существует последователь-
последовательность [zk\, удовлетворяющая условию (С) и такая, что
\гк\ = \г„\. k=\, 2, 3
Существуют различные способы формулировки необхо-
необходимых и достаточных условий того, что последовательность
{zk} является интерполяционной. Условие (С), конечно, самое
простое, но есть и другие интересные условия. Вот
одно из них: всякая последовательность 0 и 1 может быть
интерполирована некоторой функцией из Я°°. Хейман дал
прямое доказательство того, что если всякая такая идемпо-
тентная последовательность может быть интерполирована, то
последовательность [zk\ удовлетворяет условию (С). Это
вместе с результатои Карлесона показывает эквивалентность
задач об интерполяции всех ограниченных последовательно-
последовательностей и интерполяции идемпотентных последовательностей.
На самом же деле эта эквивалентность есть следствие более
общего результата Бейда и Куртиса для банаховых алгебр.

292 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Теорема. Пусть В— коммутативная банахова
алгебра с единицей и S=^{pk\—последовательность
различных точек пространства максимальных идеа-
идеалов В. При этом следующие условия эквивалентны:
(II) B\s содержит всякий идемпотент в /°°.
(III) 5 дискретно в своей относительной топологии
как подмножество ffl(B); его замыкание S в Ш(В) го-
меоморфно чеховскому расширению S; S есть оболочка
в Ш[В).
Доказательство. Очевидно, из (I) вытекает (II). Мы
докажем теперь, что из (II) вытекает (I). Здесь мы воспользу-
воспользуемся результатом Бейда и Куртиса(Amer. Journal Math., I960,
Oct., стр. 858, следствие 3.5). Он утверждает следующее.
Пусть А — комплексная линейная подалгебра /°°, содержащая
все идемпотенты в 1°^. Если на А существует какая-либо норма,
при которой А становится банаховой алгеброй, то А = 1т. Мы
применим эту теорему к случаю A = B\S. Надо доказать
лишь, что А — банахова алгебра при некоторой соответствую-
соответствующей норме. Но это ясно. Пусть / — (замкнутый) идеал, со-
состоящий из таких элементов х?В, что х = 0 на 5. Тогда
соответствие
есть изоморфизм между фактор-алгеброй В/1 и алгеброй B\s.
Стандартная фактор-норма на В/1 есть норма банаховой
алгебры; это заканчивает доказательство того, что из (II)
вытекает (I). Пусть теперь выполнено (I); докажем (III). Так
как каждая ограниченная функция на последовательности S
есть сужение на 5 непрерывной функции х, то ясно, что
каждое pk отделено от точек pj, j ф k. Другими словами,
5 дискретно как топологическое подпространство Tt(B). Рас-
Рассмотрим его замыкание 5 в Ш(В). Всякая ограниченная
функция на 5 имеет, в силу (I), непрерывное расширение
на 5. Функции х, х^В, разделяют точки S, так как они
разделяют точки Ш (В). Так как S плотно в S, то S — че-
чеховское расширение 5, т. е. наименьшее компактное хаус-
дорфово пространство, содержащее 5 и обладающее тем
свойством, что всякая ограниченная (непрерывная) функция

Интерполяция 293
на S имеет непрерывное расширение на содержащее про-
пространство. Оболочка S есть множество всех точек р в Ш (В),
таких, что х(р) = 0 для всех функций х, равных 0 на S,
т. е. для всех х из идеала /. Для любой р из оболочки 5
соответствие
определяет комплексный гомоморфизм алгебры B\s. Но
В \s = /°°—алгебре, которая изоморфна алгебре всех непрерыв-
непрерывных функций на 5. Этот гомоморфизм есть, следовательно, зна-
значение в точке S, т. е. p?S. Мы приходим к выводу, что
5 = hull E). Этим закончено доказательство включения
A)—>-(Ш). Предположим теперь, что выполнено (Ш). Дока-
Докажем (II). Как мы уже отмечали, B\s есть коммутативная
банахова алгебра при норме, перенесенной из В\1. Легко про-
проверить, что всякий комплексный гомоморфизм B\s есть зна-
значение в точке оболочки S. Так как hull (S) = 5, a S — че-
чеховское расширение дискретного счетного пространства S,
то пространство максимальных идеалов Ъ\3 есть вполне раз-
разрывное пространство 5. По теореме Шилова [94], B\s должна
содержать всякую идемпотентную функцию на 5. Следова-
Следовательно, выполнено (II).
Если применить эту теорему к алгебре Н°° и соединить
ее с нашими предыдущими результатами, то ясно следующее.
Если S = {zk} — последовательность различных точек откры-
открытого единичного круга, то следующие условия эквивалентны:
(I) 5 есть интерполяционная последовательность; (II) 5 удо-
удовлетворяет условию (С); A11) примитивные идемпотентные
последовательности (т. е. последовательности из одной еди-
единицы и остальных нулей) могут быть интерполированы огра-
ограниченным набором функций; (IV) всякая идемпотентная
последовательность может быть интерполирована; (V) замы-
замыкание 5 в пространстве максимальных идеалов Я°° гомео-
морфно чеховскому расширению натурального ряда, и если
В — произведение Бляшке с нулями \zk), то все нули В
на ЯЯ(Н°°) лежат в замыкании 5.
Следствие. Пусть В — произведение Бляшке, нули
которого образуют интерполяционную последователь-

294 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
ноешь, и /t /я — функции в Я°°. При этом сле-
следующие условия эквивалентны.
(I) Существуют в Н"° такие функции g, gt gn,
что
(II) Существует такое 8 > 0, что
на единичном круге.
(III) Существует такое Ь > О, что
на последовательности нулей В.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Относительно пространства максимальных идеалов коммутатив-
коммутативной банаховой алгебры см. статьи Гельфанда [25], Гельфанда —
Райкова — Шилова [26] или книгу Люмиса [50]. Результаты о про-
пространстве Ш (Н^), приведенные во втором, третьем и четвертом
параграфах этой главы, содержатся в статье И. Шарка [92]. Основ-
Основные результаты об L°° как банаховой алгебре хорошо известны;
см., например, Данфорд—Шварц [34]. Отождествление шиловской
границы Н^ с SQtCZ.00) также взято из статьи Шарка [92]. Един-
Единственность представляющих мер для точек открытого единичного
круга была доказана в статье Глисона и Уитни [29] вместе с раз-
различными обобщениями. То, что на вполне разрывном пространстве
не существует нетривиальных алгебр Дирихле, было впервые заме-
замечено Глисоном. Доказательство, приведенное здесь, сообщил мне
Бер. Регулярность алгебры Ха на слое 5Ша была доказана в статье
Гофмана и Зингера [32] вместе со следствиями: Аа не лежит ни
в какой максимальной подалгебре С (Ха); Я°° не лежит ни в какой
максимальной подалгебре L . Связность слоев 2Яа и пространства
Ш — А была доказана в статье Гофмана [31]. Различные следствия
того факта, что алгебра А регулярна на пространстве X, не зависят
от того, что А равномерно замкнута, и справедливы, если А — ком-
коммутативная банахова алгебра при некоторой норме. Основной ма-
материал об интерполяционной задаче в Н содержится в статьях
Карлесона [39], Ньюмана [60] и Хсймана [Ann. de I'lnsCtute Fourier,
13 A958)]. Доказательства, использованные нами, даны в статье
Шапиро и Шилдса [91]. Их статья содержит превосходное рассмо-
рассмотрение этой и других интерполяционных задач и полную бнблио-

Упражнения 295
графию по этим вопросам. Недавно я получил рукопись Л. Карле-
сона; им, кажется, доказано, что открытый единичный круг плотен
в ЯК//00).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что дополнение открытого единичного круга
в Ш(Н°°) есть пространство максимальных идеалов замкнутой
подалгебры L , порожденной Н ч z.
2. Пусть А — равномерно замкнутая подалгебра С (X). Пусть
ср—комплексный гомоморфизм А, который не есть значение в точке X.
(а) Доказать, что среди всех носителей у существует минималь-
минимальный носитель (не обязательно один).
(б) Доказать, что любой минимальный носитель ср есть совер-
совершенное множество. (Указание. Пусть х0 — изолированная точка
S9 — замкнутого носителя представляющей меры mv для у; выбрать
функцию /€ А так, что f(xu) = О и ср (/) = 1, и рассмотреть fdmr)
3. Рассмотреть алгебру Ах, полученную при сужении Н°° на
слой Шл в ЭКС//00). Доказать следующее.
(а) А, содержит непостоянную вещественную функцию.
(б) Каждая точка шиловской границы Ха лежит в замыкании
та-х
(в) Если К—любое открыто-замкнутое подмножество Ха, то
сужение Аа на К не плотно в С (К).
(г) Если К—замкнутое подмножество Хф то сужение Аа на К
есть С (К) тогда и только тогда, когда всякая мера на Ха, орто-
ортогональная к Ах, имеет на К нулевую общую вариацию.
4. Используем обозначения упражнения 3. Пусть ср — комплек-
комплексный гомоморфизм Аа, Sv — замкнутый носитель (единственной)
представляющей меры для ср. Доказать следующее.
(а) Если 9 6 Ша — Ха, то Sv есть совершенное подмножество Хл,
не имеющее внутренних точек в Хл.
(б) Для любого ср ? Ща носитель Sv есть пересечение множеств
„пнков" для функций из Я00, т. е. подмножеств 9Л(//°°) вида
{/=1}, где /6//°° и Ц/11 =1.
(в) Если 9 б Шл — Х„ то существует ф 6 2Й„ — Ха, такой, что
S,j, — собственное замкнутое подмножество Sr
(г) Если К—открыто-замкнутое подмножество Ха, то суже-
сужение Аа на К не является равномерно замкнутым, кроме случаев,
когда К пусто или К = Ха.
5. Пусть [zk]—последовательность точек в открытом единич-
единичном круге. Доказать, что S = [zk]—интерполяционная последова-
последовательность тогда и только тогда, когда справедливо следующее:
если Si и Ss — две любые непересекающиеся подпоследовательно-
подпоследовательности S с соответствующими произведениями Бляшке В, и В2, то В{
и В2 не лежат ни в каком собственном идеале Н°° одновременно.
Предположим, что [г^] и {zh}—непересекающиеся интерполя-
интерполяционные последовательности с соответствующими произведениями

296 Гл. 10. Н°° как банахова алгебра
Бляшке В и ff. Доказать, что объединение двух последовательно-
последовательностей есть интерполяционная последовательность тогда и только
тогда, когда В и В не лежат ни в одном собственном идеале Я°"
одновременно.
6. Доказать эквивалентность трех утверждений заключительного
следствия этой главы. Дать пример произведения Бляшке, для ко-
которого эти утверждения эквивалентны, но нули не образуют интер-
интерполяционной последовательности.
7. Пусть А — равномерноэ замыкание многочленов в единичном
круге. Если {zk} —последовательность различных точек в открытом
единичном круге, то следующие два утверждения эквивалентны:
(I) Если g — любая непрерывная функция на замкнутом еди-
единичном круге, то существует такая функция /? А, что f(zk) =» g (гй)
А = 1, 2, 3,....
(II) {zk) — интерполяционная последовательность для Нт, и
множество предельных точек [гь] на единичной окружности имеет
лебеговскую меру 0.

ЛИТЕРАТУРА
А к у т о в и ч (Akutowltz E. J).
[1] A qualitative characterization of Blaschke products In
a haif-piane, Amer. J. Math., 78 A956).
Альфорс (Ahlfors L.)
[2] Complex analysis, McGraw-Hill, New York, 1953.
Арене (А г е n s R.)
[3] The boundary integral of log | <p I for generalized analytic
functions, Trans. A. M. S., 86 A957).
Арене и Зингер (Arens R., Singer I. M.)
[4] Function values as boundary integrals, Proc. A. M. S., 5
A954).
[5] Generalized analytic functions, Trans. A. M. S., 81 A956).
Ахиезер Н. И.
[6] Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, М., 1947.
Банах С.
[7] Курс функц!онального анал1зу, Радяньска Школа, КиТв,
1948.
Бибербах (Bieberbach L.)
[8] Lehrbuch der Funktionentheorie, В. I., В. II, Leipzig, 1927.
Бишоп (Bishop E.)
[9] Boundary measures of analytic differentials, Duke Math. J.,
27 A980); готовится русский перевод в сборнике «Неко-
«Некоторые вопросы теории приближений», ИЛ, 1963.
[10] A generalized Rudin — Carleson theorem, Proc. A. M. S.,
13 A962), № 1.
Бохнер (Bochner S.)
[11] Лекции по теории интеграла Фурье, Физматгиз, 1962.
[12] Boundary values of analytic functions in several variables
and of almost periodic functions, Ann. Math., 45 A944).
[13] Generalized conjugate and analytic functions without
expansions, Proc. Nat. Acad. Scl., 45 A959).
[14] Additive set functions on groups, Ann. Math., 40 A939).
20 Зак. 1057,

298 Литература
Бьёрлинг (Beurling A.)
[15] On two problems concerning linear transformations in Hil-
bert space, Ada Math., 81 A949).
Вермер (Wermer J.)
[16] On algebras of continuous functions, Proc. A. M. S., 4
A953).
[17] Subalgebras of the aigebra of all complex-valued conti-
continuous functions on the circle, Amer. J. Math., 78 A954).
[18] Banach algebras and analytic functions, Academic Press,
1952; готовится русский перевод в сборнике «Некоторые
вопросы теории приближений», ИЛ.
[19] Dirichlet aigebras, Duke J. Math., 27 A960).
Винер (Wiener N.)
[20] Tauberian theorems, Ann. Math., 33 A932).
[21] Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физмат-
гиз, 1963.
Г а б р и е л ь (Q a b r i е 1 R. М.)
[22] Concerning the zeros of a function regular in a half-plane,
J. London Math. Soc, 4 A929).
[23] An improved result concerning the zeros of a function
regular in a half-plane, J. Lond. Math. Soc, 4 A929).
[24] An inequality concerning the integrals of positive subhar-
monic functions along certain curves, /. Lond. Math. Soc,
5 A930).
Гельфанд И. М.
[25] Normierte Ringe, Машем, сб., 9 E1) A941).
Гельфанд И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е.
[26] Коммутативные нормированные кольца, Успехи Мат.
Наук, 1:2 A2), 1946.
Герглотц (Herglotz О.)
[27] Ober Potenzreihen mit positivem, reeilem Teil im Einheits-
kreis, Berl. Verhandl. sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. Klasse, 63 A911).
Глисон (Qleason A.)
[28] Алгебры функций, Сб. Математика, 5:2 A961).
Глисон и Уитни (Qieason A., Whitney H.)
[29] The extension of linear functionals defined on tf°, Paci-
Pacific J. Math., 12, 1 A962).

Литература 299
Гофман (Hoffman К.)
[30] Boundary behavior of generalized analytic functions, Trans.
A. M. S., 87 A958).
[31] A note on the paper of I. J. Schark, J. Math, and Mech.,
10 A961), № 5.
Гофман и Зингер (Hoffman К., Singer I. M.)
[32] Maximal algebras of continuous functions, Ada Math., 103
A960).
Гросс (Gross W.)
[33] Zur Poissonschen Summierung, Sitzber. Akad. Wiss.,
Wien, Math. Naturw. Klasse, 124 A915).
Данфорд и Шварц (Dunford N., Schwartz J.)
[34] Линейные операторы, ч. I, ИЛ, 1962.
Зигмунд (Zygmund A.)
[35] Trigonometric series, 2 ed., Cambridge Univ. Press, 1959;
готовится к печати русский перевод (ИЛ).
Какутани (Kakutani S.)
[36] Rings of analytic functions, Lectures on functions of a
complex variable, Ann. Arbor, 1955.
Каратеодори (Caratheodory C.)
[37] Uber die Fourierschen Koeffizienten monotoner Functionen.
Sitzber. preuss. Akad. Wiss. Berlin, 30 A920).
Карлесои (Carleson L.)
[38] Representations of continuous functions, Math. Zeit., 66
A957).
[39] On bounded analytic functions and closure problems, Ark.
for Mat. A952).
Карлсон (Carlson F.)
[40] Queiques inequalites concernant les fonctions analytlques,
Arkiv. Mat. Astron. Fysik, И A943).
Карунен (Karhunen К.)
[41] Uber die Struktur statlonarer zufailiger Funktionen, Ark.
Mat., I A950).
К о э н (Cohen P.)
[42] A note on constructive methods in Banach algebras, Proc.
A. M. S., 12 A961).
Крейн М. Г. иМильман Д. П.
[43] On extreme points of regular convex sets, Studia Math.,
9 A940).
20*

300 Литература
Курант (Courant R.)
[44] Принцип Дирихле, конформные отображения и мини-
минимальные поверхности, ИЛ, 1953.
Лаке (Lax P.)
[45] Translation invariant subspaces, Ada Math., 101 A959).
д е Л е у (de L e e u w K.)
[46] The isometries of Hl (mimeographed note, Stanford, I960)
деЛеу и Рудин (de Leeuw K.,Rudin W.)
[47] Extreme points and extremum problems in #\ Pacific J
Math., 8 A958).
де Леу, Рудин и Вермер (de Leeuw К., Rudin W.
Vernier J.)
[48] The Isometries of some function spaces, Proc. A. M. S.
11 A960).
Лузин Н. Н. и Привалов И. И.
[49] Sur l'unicite et la muitiplicite des fonctions analytiques,
Ann. Sci. Be. Norm. Sup., 42 A925).
Л ю м и с (L о о m 1 s L.)
[50] Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, 1956.
Люмис и Уиддер (Loomis L., Widder D.)
[51] The Poisson integral representation of functions which arc
positive and harmonic in a half-plane, Duke Math. J., 9
A942).
Макки (Mackey O.)
[52] The Laplace transform for locally compact abelian groupb
Proc. Nat. Acad. Set., 34 A948).
Мазани (MasaniP.)
[53] Четыре заметки в Compt. rend., Paris, 249 A959).
Мазани и Винер (Masani P., Wiener N.)
[54] The prediction theory of multlvarlate stochastic processes,
I and II, Ada Math., 97 A957), 98 A958).
Мергелян С. Н.
[55] О представлении функций рядами полиномов на замкну-
замкнутых множествах, Докл. АН СССР, 78 A951), 405—408.
[56] Равномерное приближение функций комплексного пере-
переменного, Успехи Мат. Наук, 7 :2 D8) A952).
Минц (Muniz Ch.)
[57] Ober den Approxlmationsatz von Weierstrass, H. A. Fest-
Festschrift, Berlin, 1914.

Литература 301
Нагасава (Nagasawa M.)
[58] Isomorphisms between commutative Banach algebras with
an application to rings of analytic functions, Kokai Math.
Sem. Rep., 11 A959).
Неванлинна (Nevanlinna R.)
[59] Однозначные с.налитические функции, Гостехиздат, М.,
1941.
Н ь ю м а н (Newman D. J.)
[60] Interpolation In Н°°, Trans. A. M. S., 92 A959).
[61] The non-existence of projections from Ll to #', Proc.
A. M. S., 12 A961).
Потапов В. П.
[62] О голоморфных ограниченных в единичном круге матриц
функциях, Докл. АН СССР, 72 A950), 849—852.
Привалов И. И.
[63] Граничные свойства аналитических функций, Гостех-
Гостехиздат, М.—Л., 1950.
Пали и В и н е р (Р а I е у R. Е. А. С, W i e n e r N.)
[64] Notes on the theory and application of Fourier transforms,
I—II, Trans. A. M. S., 35 A933).
[65] Fourier transforms In the complex domain, Amer. Math.
Soc. Colloq. Publ., v. XIX, New York, 1934.
Рисе Ф. (Riesz F.)
[66] Ober die Randwerte einer analytischen Funktion, Mat.
Zeit., 18 A922).
Рисе Ф. и Рисе M. (R i e s z F., R i e s z M.)
[67] Ober dte Randwerte einer analytischen Funktion, Quatrieme
Congres des Math. Scand., 1916.
Рисе Ф. и Секефальви-Надь (Riesz F., Sz.-Nagy B.)
[68] Лекции по функциональному анализу, ИЛ, М., 1954.
Р у д и н (R u d i n W.)
[69] Boundary values of continuous analytic functions, Proc.
A. M. S., 7 A956).
[70] The closed ideals in an aigebra of continuous functions,
Can. J. Math., 9 A957).
[71] Fourier Analysis on groups, (lnlersci. Tracts Pure anj
Appl. Math., № 12). New York — London, Int., 1962, X.
[72] Projections on invariant subspaces, Univ. of Wisconsin MRC
Techn. Rep., 222, 1961.

302 Литература
Р у н г е (R u n g e О.)
[73] Zur Theorle der eindeutigen analytischen Funktlonen,
Ada Math., 6 A885).
Сакс (Saks S.)
[74] Теория интеграла, ИЛ, 1949.
Cere (SzegO Q.)
[75] Beitrage zur Theorle der toeplitzen Formen (Ersten Mit-
teilung), Math. Zeit., 6 A920).
Стон (Stone M.)
[76] Linear Transformations In Hilbert Space, A. M. S., Colloq.
Publ. XV, 1932.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
[77] Теория функций, Гостехиздат, М., 1951.
[78] Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, М.,
1948.
Уолш (Walsh J. L.)
[79] Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями
в комплексной области, ИЛ, М., 1961.
Фату (Fatou P.)
[80] Series trigonometrlques et series de Taylor, Ada Math.,
30 A906).
Фейер (Fejer L.)
[81] Untersuchungen fiber Fouriersche Relhen, Mat. Ann., 58
A904).
X а л м о ш (Н a 1 m о s P. R.)
[82] Introduction to Hilbert Space, Chelsea, New York, 1951.
[83] Теория меры, ИЛ, М., 1953.
[84] Shifts on Hilbert spaces, J. fur relne und angewande
Mat., 1961.
Харди (Hardy Q. H.)
[85] Theorems relating to summability and convergence of
slowly oscillating series, Proc. London Math. Soc, 8 A910).
Харди и Литтльвуд (Hardy О. Н., L i 111 е w о о d J. E.)
[86] Some new properties of Fourier constants, Math. Ann.,
97 A926).
Хельсон (Helson H.)
[87] On a theorem of F. and M. Riesz, Colloq. Math., 3 A955).
Хельсон и Лоуденслегер (Helson H., Lowdens-
lager D.)
[88] Prediction theory and Fourier series in several variables,
Ada Math., 99 A958).

Литература 303
[89] Invariant subspaces, Proc. of 1960 Jerusalem Conf. in Anal.
Хилле и Тамаркин (Hille Е„ Т am a r kin J. D.)
[90] On the absolute integrability of Fourier transforms, Fund.
Math., 25 A935).
Шапиро и Шилдс (Shapiro H. S., Shields A. L.)
[91] On some interpolation problems for analytic functions,
Amer. J. Math, (в печати).
Шар к (Sch ark I. J.)
[92] The maximal ideals in an algebra of bounded analytic
functions, J. Math, and Mech., 10 A961), № 5.
Шац (Szasz O.)
[93] Ober die Approximation stetlger Functionen durch Ilneare
Aggregate von Potenzen, Math. Ann., 77 A916).
Шилов Г. Е.
[94] О разложении коммутативного нормированного кольца
в прямую сумму идеалов. Мат. сборник, 32 A953).
Штейигауз (Steinhaus H.)
[95] Sur quelques proprietes des series trigonometriques et de cel-
les de Fourier, Rozprawy Akademji Umiejetnosci, Cra-
Cracow, 56 A925).
Эванс (Evans 0. C.)
[96] The Logarithmic Potential, A. M. S. Colloq. Publ., v. VI,
1927.
Янг В. (Young W. H.)
[97] On the condition that a trigonometrical series should have,
a certain form, Proc. Lond. Roy. Soc. (A), 88 A913).
Янг. Дж. и Янг В. (Young О. С, Young W. Н.)
[98] On the theorem of Riesz — Fischer, Quart. J. Math., 44
A913).
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ
Бари Н. К.
[99] Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961.
Гельфанд И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е.
[100] Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, М.,
1960.
Карлесон (Carleson L.)
[101] Interpolations by bounded analytic functions and the
Corona problem (в печати).

304 Литература
Колмогоров А. Н. и Фомин СВ.
[102] Элементы теории функций и функционального анализа,
вып. 1 и вып. 2, Физматгиз, М., 1954, 1960.
Качмаж С. иШтейнгауз Г.
[103] Теория ортогональных рядов, Физматгиз, 1961.
Шилов Г. Е.
[104] Об одном граничном свойстве аналитических функций,
Уч. зап. МГУ, сер. машем. 146, вып. 3, 1949.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность 15 Внутренняя функция 92, 142, 249
— сходимость 105, 140 — часть 101, 102
Абсолютно непрерывная функ- произведение 21
ция 105
мера 40, 68, 69, 72, 85 Гельфаида — Музура теорема
Автоморфизм 203, 222 132
Алгебра функций 83, 146, 206, Гельфандовское представление
257, 262, 295 226
Аналитическая мера 63, 73, 78 ¦ для Н" 226
— функция 47, 164 L°° 240
Аппроксимативная единица 34, Граница алгебры функций 24S
41, 54, 58 — Шилова 245, 254
Граничные значения по векаса-
Баиахова алгебра 130, 292 тельным направлениям 57
Н°° 224 гармонической
L<° 240 функции 61, 62, 115
Банахово пространство 17, 18 обращение в нуль
Бесселя неравенство 26 80, 89
Бляшке произведение 98, 249, — Я?-функций в по-
293 луплоскости 183
в полуплоскости 189, 191
Бореля мера 11 Дирака дельта-мера 40
— множество 11 Дирихле алгебра 82, 146, 221,
Бэровская мера 11 257, 260
— множество 11 — задача 53
— функция 13 — ядро 45
Вариация меры 17, 22 Жордана теорема о разложении
Вейерштрасса теорема о прибли- 16
жении 46
Взаимная сингулярность 16 Замкнутое множество векторов
Винера теорема об обращении 28
140
Внешняя функция 98, 148, 172, Идеал главный 128
190, 198 — замкнутый 121, 123
в полуплоскости 190 — максимальный 121, 127, 133
— часть 102, 103 — примариый 122

306
Алфавитный указатель
Идеалов теория 120
Иенсена неравенство 80, 87, 92,
263
Измеримое множество 14
Изометрии 155
— алгебры функций 205
Я°° 209
Н1 210
Инвариантные подпространства
алгебры Дирихле 147
Я2 в полуплоскости 153,
163
оператора сдвига 142, 143,
160, 164
правых сдвигов 163, 164
Интегрируемая функция 13
Интегрируемость log jfl 80
Интерполяционная последова-
последовательность в Я°° 277
Интерполяционная теорема 289,
290
Коммутативная банахова алгеб-
алгебра 130, 292
Комплексный гомоморфизм 133
носитель 257, 295
представляющая мера 257,
295
Конечная мера 12
Корона 232
Кошн интегральная формула 48,
49
— ядро 48
Крайние точки 194, 206, 221
единичного шара вН°° 197
Я1 198
Крейна — Мильмаиа теорема 194
Лебега мера 12
— теорема о подчиненной схо-
сходимости 14
разложении меры 16
Максимальность 134, 270, 276
Максимальный идеал 121, 127,
133
Максимальных идеалов про-
пространство 225, 292
Мера абсолютно непрерывная 40,
68, 69, 71, 72, 85
— аналитическая 63, 73, 78
— борелевская 11
Мера бэровская 11
— вещественная 16
— Дирака 40
— комплексная 17
— конечная 12
— Лебега 12
— мультипликативная 84
— нулевая 14
— периодическая 38
— положительная 11
— производная 16
— Пуассона интеграл 55
— регулярная 11
— сингулярная 71, 85, 99
— Фурье ряд 38
Наибольший общий делитель 124,
145
Неотрицательная гармоническая
функция 61, 191
Неравенство Бесселя 26
— Гёльдера 15
— Иенсена 80, 87, 92, 263
— Коши — Шварца 22
Нормальное семейство функций
268
Норма, существенная sup- 19
Нормированное линейное про-
пространство 17
Носитель гомоморфизма 257, 295
Оболочка 129, 292
Ограниченной вариации функция
17, 46, 105
— характеристики функция 108
Ортогональное дополнение 24
— множество 25
— проектирование 25
Ортогональные векторы 24
Ортонормированиое множество
25
Параллелограмма правило 23
Периодическая мера 38
Планшереля теорема 188
Полная вариация 17, 20
Полное множество векторов 28
Положительная мера 12
Полуплоскость в структуре це-
целых точек 83
Представления Н°° 167
Представляющая мера 256, 295
Привалова теорема 88

Алфавитный указатель
307
Проектирование Lp на Нр 212,
218, 220
— ортогональное 25
— теорема М. Рисса 215
Простая функция 13
Пространство комплексных гомо-
гомоморфизмов 225
— максимальных идеалов 225
— А, Ао и т. д., см. Обозначения
пространств
Пуассона интегральная формула
50
— ядро 50, 175
для полуплоскости 175
Пэли — Вииера теорема 149, 150,
163, 187
Радона — Никодима теорема 15
Регулярная борелевская мера 11
Регулярное семейство функций
268
Римаиа — Лебега лемма 41, 42
Рисса теорема о представлении
20
Рисса — Фишера теорема 30
Рисе М., теорема о проектиро-
проектированиях из L%a Hp 212, 218,
220
Риссы Ф. и М., теорема о ме-
мерах 73, 78, 85, 90, 107, 265
Руиге теорема 138
Свертка 39, 45
Сдвига оператор 141
его инвариантные подпро-
подпространства 142, 143, 160, 164
Сегё теорема 74, 85, 264
Сигма-кольцо 11
Сингулярная функция 100, 102,
190
Слабая топология 21, 222, 225
Слой 228, 243
Сопряженная гармоническая
функция 47, 61
граничные значения 115
Сопряженное пространство 19
C(S) 19
Нр№
Сопряженное пространство Lp 20
— Пуассона ядро 53, 113
Спектр 131
Субгармоническая функция 92
Суммирование по Абелю 53—55
Чезаро 34, 37, 39
sup-иорма 19
— существенная 19
Топология слабая 21, 222, 225
Унитарный оператор 156, 191
Факторизация Я^-функций 100
в полуплоскости 189
Фату теорема 56, 175
Фейера теорема 39
— ядро 33
Фубини теорема 15
Функция абсолютно непрерыв-
непрерывная 105
— аналитическая 47
— бэровская 13
— внешняя 92, 148, 172, 190, 198
— внутренняя 92
— гармоническая 47, 61
— интегрируемая 13
— класса Нр 63, 173
— ограниченной вариации 17, 46,
105
характеристики 108
— сингулярная 100, 102, 190
— субгармоническая 92
Фурье коэффициенты 29, 31
меры 38
— преобразование 163
— ряд 29, 31
абсолютная сходимость
105, 140
меры 38
— — суммирование по Абелю
29, 31
— — частичные суммы 31
чезаровские средние 32, 42
Хана — Банаха теорема 21
Харди класс 63, 173
Частичные суммы 31

308
Алфавитный указатель
Чезаровские средние 32, 42 Ядро положительное 34
Чезаро суммирование 34, 37, 39 — Пуассона 50, 175
сопряженное 53
Ядро Коши 48 — Фейера 33
Обозначения пространств
А 66, 84, 112
Ао 69, 85
C(S) 19
Нр (</ц) 84, 88, 89
//Р63>
НЦК) 156
1°°(йц) 19
Lp(dv) IS
3R (В) 224
X* 19

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава 1. Предварительные сведения И
Мера и интегрирование 11
Банаховы пространства 17
Гильбертово пространство и ряды Фурье 22
Литературные примечания 30
Глава 2. Ряды Фурье 31
Чезаровские средние 32
Описание типов рядов Фурье 41
Литературные примечания 44
Упражнения 45
Глава 3. Аналитические и гармонические функции
в единичном круге 47
Ядра Коши и Пуассона 48
Граничные значения 53
Теорема Фату 56
Пространства Нр 63
Литературные примечания 64
Упражнения 64
Глава 4. пространство W 66
Подход Хельсоиа — Лоудеислегера 66
Теорема Сегё • 74
Завершение рассмотрения пространства Я' .... 78
Алгебры Дирихле 82
Литературные примечания 87
Упражнения 88

310
Оглавление
Глава 5. Факторизация функций в пространствах Нр . . 91
Внутренние и внешние функции 91
Произведения Бляшке и сингулярные функции . . 94
Теорема о факторизации 100
Абсолютная сходимость рядов Тейлора 104
Замечания о классическом подходе 106
Функции ограниченной характеристики 108
Литературные примечания 109
Упражнения 110
Глава 6. Аналитические функции с непрерывными гра-
граничными значениями 112
Сопряженные гармонические функции 113
Теоремы Фату и Рудина 116
Замкнутые идеалы алгебры А 120
Коммутативные банаховы алгебры 130
Теорема Вермера о максимальности 134
Литературные примечания 137
Упражнения 138
Глава 7. Оператор сдвига 141
Оператор сдвига в пространстве Н2 141
Еще несколько слов об алгебрах Дирихле .... 146
Инвариантные подпространства пространства Н2
в полуплоскости 149
Изометрии 155
Оператор сдвига в пространстве L2 160
Случай векторнозначиых функций 164
Представления алгебры Нм , 167
Литературные примечания 171
Упражнения 171
Глава 8. Пространства Нр в полуплоскости 173
Нр в полуплоскости 173
Граничные значения функций из Н 178
Связь между пространствами Нр в круге и в полу-
полуплоскости 184
Теорема Пэли — Винера 187
Факторизация //^-функций в полуплоскости .... 189
Литературные примечания 19о
Упражнения 190

Оглавление 311
Глава 9. Нр как банахово пространство 193
Крайние точки 193
Изометрии 202
Проектирование из W на Нр 212
Литературные примечания 221
Упражнения 221
Глава 10. Я°° как банахова алгебра 224
Максимальные идеалы в Н^ 226
Топологическая структура пространства ЧЛ(Н^) . 230
Круги в слоях 236
L°° как банахова алгебра 240
Граница Шилова 244
Внутренние функции и граница Шилопз 249
Представляющие меры и аннулирующие меры . . 256
Алгебры на слоях 266
Максималоность 274
Интерполяция 277
Литературные примечания 294
Упражнения 295
Литература ¦ 297
Литература, добавленная переволчиком 303
Алфавитный указатель 305
Обозначения пространств 308

К. Гофман
БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Художник В. П. 3 а и к и и
Технический редактор В. П. Сизова
Сдаио в производство 15/1 1963 г.
Подписано к печати 27/IV K63 г.
Бумага 84х108'/и=4,9 бум. л. 16 печ. л.
Уч.-изд. л. 14,2. Изд. I* 1/1757.
Цена 1 р. 19 к. Заказ J* 1057.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УЦБ и ПП Леисовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.