Рецензенты:
ВЛ. Абрамова, Соросовский учитель,
учитель-методист средней школы № 1 г. Харькова;
О.Ф. Крижановский, Соросовский учитель,
учитель высшей категории, руководитель математического
кружка «Эврика» Харьковского областного дворца детского
и юношеского творчества;
А.Ф. Крижановский, Зволужыхаът учитель Украины,
преподаватель математики СОУВК № 45
«Академическая гимназия» г. Харькова
Перепечатка отдельных разделов и всего издания запрещена.
Любое коммерческое использование данного издания возможно
только с разрешения издателя.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре
и геометрии для 7 класса.— М: Илекса, 2005.— 176 с.
ISBN 5-89237-123-9
Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по
всем важнейшим темам курса алгебры и геометрии 7 класса.
Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности.
Дидактические материалы предназначены для организации диф-
ференцированной самостоятельной работы учащихся.
BN 5-89237-123-9
©Ершова А.П.,
Голобородько В.В.,
Ершова А.С., 2004
©ООО «Илекса», 2004
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные особенности предлагаемого сборника
самостоятельных и контрольных работ:
1.	Сборник содержит полный набор самостоятельных и конт-
рольных работ по всему курсу алгебры и геометрии
7 класса.
Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятель-
ные работы — на 15-30 минут, в зависимости от темы и
уровня подготовки учащихся.
2,	Сборник позволяет осуществить дифференцированный кон-
троль знаний, так как задания распределены по трем уровням
сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным
программным требованиям, Б — среднему уровню сложности,
задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих
повышенный интерес к математике, а также для использова-
ния в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным
изучением математики. Для каждого уровня приведено 2 рас-
положенных рядом равноценных варианта (как они обычно за-
писываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной кни-
ги на парте.
3.	Как правило, на одном развороте книги приводятся оба вариан-
та всех трех уровней сложности. Благодаря этому учащиеся мо-
гут сравнить задания различных уровней и, с разрешения учите-
ля, выбрать подходящий для себя уровень сложности.
4.	В книгу включены домашние самостоятельные работы, содер-
жащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучае-
мой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания
могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в
качестве зачетных, а также использоваться как дополнитель-
ные задания для проведения контрольных работ. По усмотре-
нию учителя выполнение нескольких или даже одного такого
задания может оцениваться отличной оценкой.
Ответы к контрольным и домашним самостоятельным рабо-
там приводятся в конце книги.
5.	Тематика и содержание работ охватывают требования дейст-
вующей программы по математике для 7 класса. Для удобства
пользования книгой приводится таблица тематического распреде-
ления работ по учебникам JO. Н. Макарычева и др., Ш. А. Али-
мова и др., А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др.
Наш адрес в Интернете: www.axiom.com.ua.
АЛГЕБРА
Выражения, тождества,
уравнения
С-1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВЫРАЖЕНИЙ
Вариант А1	Вариант А2
О
Преобразуйте выражения, используя
законы умножения:
a)	-2х(-3</);	а) 4а(-36);
б)	-4(х - 2);	б) 8(2х - 3);
в)	(Зх - 1)-2.	в) (4 - х)(-3).
0
Раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые:
а)	2х - 3 + (Зх ”2);	а) х + 5 + (4х - 6);
б)	(4 - х) - (5 - 2х);	б) (Зх - 2) - (5х - 8);
в)	6 + 2(1,5х - 3).	в) 20 + 5(0,2у - 4).
0
Упростите выражение и найдите его
значение при а = -1,5:
3(а - 2) - (а + 4).	2(а - 4) - (1 - 2а).
О
Докажите, что значение выражения
равно нулю при любом у:
6(3</ - 4) - 2(9г/ - 11) + 2.	8(2г/ - 5) - 4(3у - 10) - 4у
©
Раскройте скобки:
а - (b - (а + d)).	z - (у + (г - £))•
Выражения, тождества, уравнения
5
Вариант Б 1
Вариант Б2
Преобразуйте выражения, используя
законы умножения:
a)	0,4a(-5Z?);	a) -0,2x(-5t/);
б)	(2х - 1)(-0,2);	б) (-2х - 4)0,1;
в)	3(-х - 1).	в) -5(2 - х).
Раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые:
а)	(4а - Z?) - 5а + ЗЬ;
б)	-(Зх - 0,4) + (0,4х - 3);
в)	9 - 2(х + 1) + х.
а)	-6а - 2а + (8а + Ь);
б)	(8х - 0,5) - (0,5х - 8);
в)	4 - 3(х - 2) - х.
©
Упростите выражение и найдите его
значение при а ~ -1,5 и Ь - -1:
3(а - 3&) - 5(а - 2Ь).	-4(а - Ь) + 2(3а - 6).
о
Докажите, что значение выражения
не зависит от у:
0,4г/ - 0,6(1/ - 4) + 2(—1 х 0,1г/).	2,3г/ - 1,7(г/ - 2) + 0,3(4 - 2у).
©
Упростите выражение:
5а - (4а - (За - 2)).	6а - (5а - (4а - 3)).
Вариант В1	Вариант В2
О
Преобразуйте выражения, используя
законы умножения:
a)	2,5r-(-4i/)(-0,l);	а) (-0,5г/)-20(-Зх);
б)	(у - 2х - 1,6) (-3);	б) (~а + ЗЬ - 1,2)-5;
в)	1,2(ЗЬ - с + 2).	в) -2,1(х - 2у + 3).
6
АЛГЕБРА
©
Раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые:
а)	2,Id - 3,4а - (d - 2,6а);
б)	х - (4х - 11) + (9 - 2х);
Г 2^
в)	10-9 а--1 + 5а-16.
I 3J
а)	4,6а - 4d - (-3,8d + 3,5а);
б)	2а - (8 - а) - (За - 2);
в)	8-бГ2х--^ + 12х-2.
I 2)
©
Упростите выражение и вычислите
его значение при	1 а = —: 3
9 2(0,За-1)--(За--5). 5	3(0,9а-1,5)-|(За-9).
О
Докажите, что значение выражения
не зависит от у:
~ 3(1/ - 4)) + 9г/. ‘	-(4г/ - 9(2г/ - 1)) - 14г/.
©
Найдите значение выражения:
За + 36 - 6, если а + 6 ~ 2.	2а - 26 + 4, если а - 6 = 3.
С-2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Вариант А1
О
Решите уравнения:
а)	6х ~ 12 - 4х - 8;
2
б)	~х - 18 ;
3
в)	(2х - 5) - (Зх - 7) = 4;
г)	5(х - 1,2) - Зх = 2.
Вариант А2
а)	5у - 8 = 2у - 5;
о
б)	-х = 27 ;
4
в)	(2 + Зх) - (4х - 7) = 10
г)	2(х - 1,5) + х = 6.
Выражения, тождества, уравнения
7
При каком значении у равны значе-
ния выражений:
1,8г/ - 2 и 0,6г/ + 4?
1,2у - 1 и 0,4*/ + 3?
Вариант Б 1
Вариант Б2
О
Решите уравнения:
а)	0,Зх + 8 = 2;
б)	4 - х = 1 + 4х;
в)	7 - 2(х + 3) = 9 - 6х;
г)	4(х - 0,5) - 2(х + 0,3) = -2,6.
а)	0,4х - 6 = -12;
б)	х + 6 = 5 + 4х;
в) 13 - 3(х + 1) = 4 - 5х;
г) 0,2(Зх - 5) -0,3(х - 1) = -0,7.
При каком значении у
значение выражения 7у - 2
больше значения выражения
Ъу ~ 4 в 2 раза?
значение выражения 8г/ ч- 2
больше значения выражения
5 г/ + 3 на 5?
Вариант В 1
Вариант В2
Решите уравнения:
а)	0,9х + 1 = 0,2х - 6;
б)	1(х-6)-3 = -х;
2'	’	3
в)	4 = -1 - (Их - 5);
г) 0,5(8х - 3) = -4(2,5 - х).
а)	1,3х - 2 = 2,6х + 11;
9	1
б)	— (х + 9) - 2 =—х ;
3V 7	6
в)	-6 = -2 - (4 + 9х);
г) 1,2(5 - 4х) = -6(0,8х + 1).
При каком значении у
произведение числа 3 и вы- сумма числа 4 и выражения
ражения 2у + 1,5 больше их Зу - 0,5 меньше их произве-
суммы на 8?	дения на 3,5?
8
АЛГЕБРА
С-3*. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ
И ПАРАМЕТРОМ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О
Определите, при каких значениях
параметра а
а)	уравнение |х| = а - 2 имеет
один корень;
б)	уравнение |х| = а2 - 9 не
имеет корней;
в)	уравнение |х + 1| - а2 + 1
имеет два корня.
а)	уравнение |х| = а + 3 име-
ет один корень;
б)	уравнение |х| = а2 - 4 не
имеет корней;
в)	уравнение |х + 4| = а2 + 4
имеет два корня.
Решите уравнения с параметром а:
а)	ах = -2;
б)	(а + 2)х = 3;
в)	(а - 3)х = 3 - а;
г)	(а + 3)х = (а + 3)(а - 2).
а)	ах 5;
б)	(а - 3)х ~ -I;
в)	(а + 1)х = а + 1;
г)	(а - 2)х (а ~ 2)а.
©
Решите уравнения с модулем:
а)	|2х - 3| = 1;
б)	[lOOlx + 14| =-1;
в)	|х2 — х| 0 ;
Г) ||х-1|-4| = 3;
д)	|||х--3|-3|-3| = 3;
е)	|8 - |х + 2|| = 7 ;
ж)	|х 1| +15 - х| = 20 ;
з)	|х -1| + |х + 2| = 3 ;
и)	|8 + х| + |7-х| = 10 ;
к)	||2х - 3| - 1| = х .
а)	[Зх + 2| = 4 ;
б)	|125х - 34| = -2;
в)	|х2 + х| = 0 ;
г)	||х + 3|-4| = 1;
Д) |||х-3| + 3|-3| = 3;
е)	(10 - |х -1|| = 8 ;
ж)	|х -1| +15 - х| ~ 18 ;
з)	|х - 3| + |х +1| = 4;
и)	|9 - х| +11 + х| = 8 ;
к)	||3х + 2| - 4| = х .
Выражения, тождества, уравнения
9
К-1. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА,
УРАВНЕНИЯ
Вариант А1
Вариант А2
О
Упростите выражения:
а)	(2а - 3d) - (а - 6);
б)	5 + 2(х - 1).
©
Периметр прямоугольника
равен 28 см. Его длина
больше ширины на 4 см.
Найдите длину и ширину
прямоугольника.
©
Решите уравнения:
а)	6х - 10,2 ~ 4х - 2,2;
б)	15 - (Зх - 3) = 5 - 4х;
в)	2(х - 0,5) + 1-9.
О
На первой полке в 3 раза
больше книг, чем на второй.
Когда с первой полки пере-
ставили на вторую 32 кни-
ги, на обеих полках книг
стало поровну. Сколько
книг было на каждой полке
первоначально?
©
Решите уравнение:
|х| = 25.
а)	-(46 - а) + (56 - 2а);
б)	3 + 4(х - 2).
©
Периметр прямоугольника
равен 24 см. Его ширина в
3 раза меньше длины. Най-
дите длину и ширину пря-
моугольника.
а)	8х - 15,3 = 6х - 3,3;
б)	18 - (6х + 5) - 4 - 7х;
в)	6(х + 0,5) - 3 - 9.
О
В первой корзине в 2 раза
меньше яблок, чем во второй.
Когда из второй корзины пе-
реложили в первую 14 яблок,
то в обеих корзинах яблок
стало поровну. Сколько яблок
было в каждой корзине пер-
воначально?
|х| = 49.
Дополнительное задание
Найдите значение р, при котором
число 2 является корнем уравнения
2рх = 32.	Зрх = 24.
10
АЛГЕБРА
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Упростите выражения:
а)	2а - (Зд - а) + (ЗЬ - 2а);
б)	6(а - 2) - 3(2а - 5).
©
Одна из сторон треугольни-
ка на 2 см меньше другой и
в два раза меньше третьей.
Найдите стороны треуголь-
ника, если его периметр ра-
вен 22 см.
©
Решите уравнения:
4
а)	2х - - = 0 ;
7
б)	7(3х + 1) - Их = 2;
в)	Их = 6 - (4х + 66).
О
В двух бригадах было одина-
ковое количество рабочих.
После того, как из первой
бригады перевели во вторую
8 рабочих, в ней стало в
3 раза меньше рабочих, чем
во второй бригаде. Сколько
рабочих было в каждой бри-
гаде первоначально?
©
Решите уравнение:
(х + 3)(2 - х) = 0.
а)	5х + (7г/ - х) - (Зх + 7у);
б)	8(х - 3) + 4(5 - 2х).
©
Одна из сторон треугольни-
ка на 6 см меньше другой и
на 9 см меньше третьей.
Найдите стороны треуголь-
ника, если его периметр ра-
вен 33 см.
а)	Зх - — = 0 ;
И
б)	4(2 - 4х) + 6х = 3;
в)	9х = 5х - (72 - 2х).
О
В двух папках было одинако-
вое количество тетрадей. По-
сле того, как из второй папки
переложили в первую 6 тетра-
дей, в первой папке. тетрадей
стало в 3 раза больше, чем во
второй. Сколько тетрадей бы-
ло в каждой папке первона-
чально?
(х - 4)(1 + х) = 0.
Дополнительное задание
Найдите значение гл, при котором
имеют общий корень уравнения
2х - 3 = 7 и т - Зх - 1.	5 - Зх = -1 и 5х - тп = 3.
Выражения, тождества, уравнения 11
Вариант В 1	Вариант В2
О
Упростите выражения:
а)	х - (2х + 3) + (2 - 0,5х);
б)	2 + 3| y-i |-2(0,5 + г/).
о
Периметр треугольника АВС
равен 28 см. Сторона ВС в
2 раза больше стороны АВ, а
сторона АС на 2 см меньше
стороны ВС. Найдите сторо-
ны треугольника.
О
Решите уравнения:
а)	~(2х + 0,1) = 3(0,5 - х);
б)	19х - (Зх - 4) = 4(5х - 1);
в) 4(0,25х - 6) = 8(0,125х + 3).
0
В первом бидоне в 5 раз боль-
ше молока, чем во втором. По-
сле того, как из первого бидо-
на перелили во второй 5 лит-
ров, в первом бидоне стало в
3 раза больше молока, чем во
втором. Сколько литров моло-
ка было в каждом бидоне пер-
воначально?
а) 1 + (0,5х - 3) - (1,5х - 4);
б) 1-4^ + ^ +5(0,2-у).
0
Периметр треугольника АВС
равен 21 см. Сторона АВ в
2 раза меньше стороны СВ, а
сторона СВ на 4 см больше
стороны АС. Найдите стороны
треугольника.
а)	2(2,5х - 1) - -(1,8 - 4х);
б)	10х - (2х - 4) - 4(3х - 2);
в) 16(0,25х - 1) = 5(0,8х - 3,2).
О
В двух пакетах было по
11 конфет. После того, как
из первого пакета взяли в
3 раза больше конфет, чем из
второго, в первом пакете ос-
талось в 4 раза меньше кон-
фет, чем во втором. Сколько
конфет взяли из каждого
пакета?
©
Решите уравнение:
(|х| + 2)(|х| - 3) = 0.	(4 + |х|)(|х| - 1) = 0.
Дополнительное задание
Найдите значение а, при котором
имеют общий корень уравнения
5х - 1 = 2а - 2 и	2х + 1 = а + 5 и
Зх + 2 = а + 5.	Зх - 7 = 2а - 2.
12
АЛГЕБРА
Функции
С-4. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Вариант А 1	Вариант А2
О
Функция задана формулой
у = 2х - 3;	у ~ Зх + 2;
а)	найдите значение у
при х = 4;	при х - -1;
б)	найдите значение х, при котором
i/=l;	t/ = 8;
в)	принадлежит ли графику функции
точка
А(-1; -5)?	В(2; 0)?
0
Одна из сторон прямоугольника рав-
на х см, а другая 5 см. Выразите
формулой зависимость
площади прямоугольника S периметра прямоугольника
от х.	Р от х.
0
Выразите из формулы р = —
переменную т.
переменную V.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Функция задана формулой
у ~ -х 4- 3;	у - 4 - Зх;
а)	найдите значение функции, если
значение аргумента равно
~2;	-4;
функции
13
б)	найдите значение аргумента, при
котором значение функции равно
4;	1;
в)	какие из точек А, В, С, D принадле-
жат графику этой функции:
А(0; 3); В(2,5; -0,5);	А(0; 4); В(-1,5; 8,5);
сГб—; 2-\ В(-4; 7)?	с(-; 1 |; В(-2; 2)?
I 3 3J	1з J
0
Расстояние между пунктами А и В
равно 60 км. Из пункта А в пункт В
выехал велосипедист.
Первые t часов он ехал со
скоростью 12 км/ч. Вырази-
те зависимость оставшегося
пути s от t.
Первые 4 часа он ехал со
скоростью v км/ч. Выразите
зависимость оставшегося пу-
ти s от о.
0
Выразите из формулы s - s0 + vt
переменную и.	переменную t.
Вариант В 1	Вариант В2
О
Функция задана формулой
1 1
w - — х - 6 ;	ц = — х + 4 :
3	.	2
а)	найдите значение функции, если
значение аргумента равно
6;	-8;
б)	найдите значение аргумента, при
котором значение функции равно
-0,5;
3
в)	какая точка графика этой функции
имеет абсциссу, равную ординате?
0
При делении числа т
на 7 неполное частное равно на п неполное частное равно
Q, а остаток 4.	5, а остаток 4.
14
АЛГЕБРА
а)	Задайте формулой зависи-
мость т от q.
б)	Задайте формулой зависи-
мость q от т.
а)	Задайте формулой зависи
мость т от п.
б)	Задайте формулой зависи
мость п от /п.
©
переменную s.
Выразите из формулы t = t0 + —
v
переменную и.
С-5. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. ПРЯМАЯ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Вариант А1	Вариант А2
О
Постройте график функции
у = 2х - 1.	у = х + 3.
©
Не выполняя построений, найдите
координаты точек пересечения гра-
фика функции
у = -х + 4	у ~ 4х - 8
с осями координат.
©
Постройте график функции
У = 2х.	у = -х.
Принадлежит ли этому графику точка
А(400; 200)?	В(-40; -40)?
О
Постройте график функции
У = -4.	У = з.
функции
15
В какой точке этот график пересекает-
ся с осью
Вариант Б1
Вариант Б2
-4х 4- 6.
О
Постройте график функции
у = 2х - 3.
Не выполняя построений, найдите
координаты точек пересечения гра-
фика функции
6х - 11
у - 8 - 10х
с осями координат.
-0,5х.
-1.
Постройте график функции
у = 0,8х.
Найдите координаты точки пересе-
чения этого графика с прямой
Z/-4.
А(1,5; -3),
График прямой пропорциональности
проходит через точку А. Проходит ли
он через точку В, если
В(-11; 22)?
А(-0,5; 4), В(2; -16)?
У =
У =
У =
У =
Вариант В1
Вариант В2
Постройте график функции
у = 2 - 0,5х.	у ~ 0,4х + 1.
0
Не выполняя построений, найдите
координаты точек пересечения гра-
фика функции
у = 3(х - 1) + 2	у = 2(х + 3) - 5
с осями координат.
16
АЛ
У = <3
1.
А(6; 2)?
Постройте график функции
ГО, 2х,
i 1-
если х < 3;
если х < 5
если х > 5
если х > 3.
Проходит ли этот график через точку
А(10; -2)?
С(2; 1),
Р(-4; т).
График прямой пропорциональности
проходит через точку С. Найдите зна-
чение иг, при котором он проходит че-
рез точку D, если
С(—4; 8),
D(m; -2).
С-6*. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1			Вариант	2
		о		
		Найдите область определения функции:		
а)		Зх - 6	.	х - 7 а) У = „ 2х + 4	
	У ~	х -1		
б)		2	б) у ~	%	
	у ~	(х + 3)(1 - х) ’	(4 + х)(х	-2)’
в)	У =	х + 4 |х| “ 4	ч	х - 5 в) у = । । _; |х|-5	
г)	У =	2х - 8 |х - 4| ’	ч	4х + 8	
д)		х -1	ч	х + 4 д) У= 2	• х+4	
	у -	X2 + 1		
функции
17
0
Постройте графики функций:
а) У =	] —х, если х < 1, [2х - 3, если х > 1;	а) у =	^Зх + 5, если х <-1. [ -2х, если х > -1:
б) У =	|х| -1;	б) у =	1-Н;
в) У =	|2х-4|;	в) У =	|3х + 3|;
г) </ =		г) У =	||х-2Нф
д) У =	|ЮН;	д) У =	
е) У =	|х| + х;	е) У =	|х| - х ;
ж) У =	х -1 |х-1|	ж) у =	|* + 2| ' -{X + 2) ’
К-2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Вариант А1	Вариант А2
О
Найдите значение функции
у = 15х - 1 при х = 2.	у ~ 6х - 3 при х = 4.
©
На одном чертеже постройте графи-
ки функций:
у - 2х; у = —х ч- 1; у = 3.	у = -Зх; у = х ч- 2; у = -2.
©
Найдите координаты точек пересе-
чения с осями координат графика
функции
у ~ 2х + 4.	у ~ 4х - 4.
°
Не выполняя построений, найдите коор-
динаты точки пересечения графиков
у ~ -8х - 5 и z/ = 3.	у - —5х + 1 и у ~ -4.
18
АЛГЕБРА
©
Среди перечисленных функций
у = 2х - 3, у = -2х, у = 2 + х, г/ = 1 + 2х,
у - -х + 3 укажите те, графики
которых параллельны графику
функции
у = х - 3.	у = 2х + 3.
Вариант Б 1	Вариант Б 2
О
Определите, при каком значении ар-
гумента функция у = 7х - 6 прини-
мает значение, равное
22.	-20.
©
На одном чертеже постройте графи-
ки функций:
у - 2,5х; у ~ -4;	у - -Зх; у = 3;
у = -2х +1.	у - 1,5х 4- 1.
©
Найдите координаты точек пересече-
ния с осями координат графика
функции
у - 8х - 8.	у = 7х 4- 7.
О
Не выполняя построений, найдите ко-
ординаты точки пересечения графи-
ков функций
у = 10х -14 и у--3х 4-12.	у = 6 - 9х и у = 5х - 8.
©
Задайте формулой линейную функ-
цию, график которой проходит через
начало координат и параллелен пря-
мой
у = 9х - 3.
У = ~7х - 2.
функции
19
Вариант В 1
Вариант В2
О
Найдите координаты точек пересече-
ния с осями координат графика
функции
у = 36х - 18.	у = -42х + 21.
О
На одном чертеже постройте графи-
ки функций:
3	2
z/-- —х + 2;у = 0;	у =	- 3; у = <
у = -2,5х.	у = -0,25х.
0
График прямой пропорциональности
проходит через точку
С(-1; 4).	С(1; -3).
Задайте эту функцию формулой.
0
Не выполняя построений, найдите
координаты точки пересечения гра-
фиков
х
Зх - 5.
у =----и у - 12 - х.
3
0
Задайте формулой линейную функ-
цию, график которой параллелен
прямой
у - 2х + 11	у = -х + 8
и пересекается с графиком
У = х - 3	у = 5х + 1
в точке, лежащей на оси ординат.
22
АЛГЕБРА
16 ~ 0,5х5 при х = ~2.
Найдите значение выражения
1-—х3 при х = -3.
27
Упростите выражения:
а) —

а)
) с
с22
I о \2
а
в) (-Заде)3.
б)
а9
в) (-5xyz)3.
Вычислите, используя
свойства степени:
б)
З63 • 6'
210 'З10 ‘
a) 1 ;
111 J
„ 1003 IO7
6 
©
Представьте в виде степени
с основанием у:
(/’4)ЧН/4)2)3.
С-8. ОДНОЧЛЕН
Вариант А1	Вариант А2
О
Найдите значение одночлена
5ху2 при х = -1; у = 2.	За2Ь при а = 2; b - -1.
©
Приведите одночлены
к стандартному виду:
Степень с натуральным показателем.
23
а) 2а3 (-0,5а); б) -Ьс6-2с5Ь3.	а) -46 0,25b4; б) -За2Ь (-Ь4а3).
О
Упростите выражения:
а) (2а2Ь)3; б) -За3-(-аЬ2)4.	а) (Зх2г/)2; б) 2Ь2 (-а2Ь)3.
О
Замените М одночленом так, чтобы по-
лученное равенство стало тождеством:
a)	6a5b3 = ЗаЬ2М; б)	М2 = 25хвг/2.	а)	12х7у* = 4хУ-М; б)	М2 = 49а2Ь8.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Найдите значение одночлена
2х2г/3 при х = -0,5; у = -2.	За3Ь2 при а = -3; b ~ —
е
Приведите одночлены
к стандартному виду:
, о Г 2	й а) ~9у. \ -~ху ; \ <5	) б) -0,4x2z/-5z/3x4.	а) 21Х3/ • уХ^ ; б) -0,25a2b4(-8ba3).
О
Упростите выражения:
a) (-0,3ab4)3; б) (~а!Ь2)2АаЬ\	а) (-0,2хг/5)3; б) 8x5z/.(-xV)4.
О
Представьте в виде:
а) квадрата одночлена выражение
__Л14. 2 —а ь ; 49	— xV6; 36
24
АЛГЕБРА
-27 х3у\
б) куба одночлена выражение
-8а12Ь3.
Вариант В1	Вариант В2
О
Найдите значение одночлена
-200xt/3 при х = -- ; у = -0,1.	-800а3Ь при а = - —; b =
2	2
0,1.
©
Приведите одночлены
к стандартному виду:
2	1
a)	— ab2 • (-0,6а3Ь);	а) — х2у • (-1,2х*у2) ;
3	3
б)	-12а2Ьс (-0ДаЬ2с\ос2.	б) 8х2г/-(-0,4хг/3г)(-5хг).
О
Упростите выражения:
a) (Зхуя)' --^=ху-
a)	1 • 81а5Ь ;
к 3	)
б) -(-а3д2)3-(-0,6а62)2.	б) -(-а&6)2-(-0,4а26)3.
О
Известно, что 2а2Ь = т. Выразите
через т значение выражения:
а)	4а4Ь2;	а) 8а6Ь3;
б)	40сЛ>3.	б) 12aV.
Дополнительные упражнения
о
Найдите сумму, разность, произведе-
ние и частное чисел х и у, если:
х = 2,7107;	х = 3,8-10°;
£/ = 4,5-10°.	у = 2,4-105.
Степень с нашуралъным показателем
25
0
Упростите выражения:
а)	хп-х"'2:х2"';	а) х"’'-хп 3:х2"‘];
б)	(y'^)4-y-n.	б) 23":z3:(2" ')3.
©
Вычислите при натуральном п:
(-1)" 3 (-1)"-(-1)2"-’.
С-9. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
ПОГРЕШНОСТИ
Вариант А1
Вариант А2
числа 12,3.
О
Округлите до единиц и найдите аб-
солютную и относительную погреш-
ности приближенного значения
.	числа 4,8.
©
Какое из приближенных значений
3	5
числа —	числа —
8	16
точнее:
0,3 или 0,4?	0,31 или 0,32?
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Округлите до десятых и найдите
абсолютную и относительную по-
грешности приближенного значения
числа 1,56.	числа 0,84.
©
Какое из приближенных значений
2	4
числа —	числа —
11	11
26
АЛГЕБРА
точнее:
0,181 или 0,182?	0,363 или 0,364?
Вариант В 1	Вариант В2
О
Округлите до сотых и найдите абсо-
лютную и относительную погрешно-
сти приближенного значения
числа 1,1959.	числа 0,9959.
е
Выберите среди данных приближен-
ных значений числа л = 3,141592...
наиболее точное:
3,14; 3,1416; 3—; 3—. 22	29	9	5 3,1; 3,142; 3—; 3—. 15	36
К-З. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ.ОДНОЧЛЕН
Вариант А 1 О	Вариант А2
Вычислите:
а) -102 0,2; б) нг	а) -2“0,5; б) f-2—l ; 1 2J
В) г - (-1)7. 0	в) (-D8 - I9.
Выполните действия:
а)	х4 х; б)	уъ-у2; в) (-2с6)4.	а) х3-х7; б) у4-.у; в) (-Зс4)2.
Степень с натуральным показателем
27
©
Постройте график функции
у = X2.	у = х\
Определите по графику
значение у
при х = -2.	при X = 2.
О
Упростите выражения:
а) 2а5Ь2-Ьа3;
б) (-0,1х3)'10х;
Л о	\3 9
в) -ab2 -—а3Ь2.
13	) 2
а) За2Ь-Ь4а4;
б) (-0,2х2)3-5х2;
, (3 ’aY 7 а’
в) -а о -—о а .
U 3
©
Используя свойства степени, найди-
те значение выражения:
5.26	05 . З3
З23	813
Дополнительное задание
Вычислите а + Ь, а - Ь, а-b, а:Ь, если
а = 4,2-Ю3,
b = 2,1-Ю2.
а = 6,410',
b = 1,6103.
Вариант Б1
О
Вычислите:
а)	З4 - (-1)4;
( 1Y
б)	-3-	0,027;
I 3J
/ о А2
В) (~72)- I .
Вариант Б2
а)	22 - (-3)2;
б)	|-24 -0,06.
I 2J
( 2 V
в)	(-51). -- .
28
АЛГЕБРА
е
Выполните действия:
ч х3 • X а (X2)2 ’ б) (-0,4а3б)2; в) (/n3-/n2)2'(2m)3, 0	X • X б) (-0,2лЬ5)3; в) (6х)2’(Х’Х5)4.
Постройте график функции
У = X2.	з у = X.
Определите по графику значение х,
соответствующее значению у = 1.
О
Упростите выражения:
а) 5а4Ь-(-8а3д2); <1 у б) -24x^^-/J ; в) (-ab2)3-(-5a2b)2.	а) -За8Ь3-2ад6; ( 1 А2 б) -98xi/3 -1 ~х2 1 ; в) (-4ab3)3-(-a2d)2.
0
Используя свойства степени, найдите
значение выражения:
95 • 45 6ю •	257  47 1013
Дополнительное задание
Вычислите а + Ь, а - Ь, a b, а\Ъ, если
а = 610"и, b - 310",	а = 810"’2, b = 41Ол+3
где п — натуральное число.
Вариант В1 О	Вариант В2
Вычислите:
а) 21,4° - 1,42;	а) 1,5° - 21,52;
Степень с натуральным показателем
29
А 4 V	(	5 У
b)[1~-(-3)2J .	B)|^A.(_2)3j .
©
Выполните действия:
. (х4*2)3 .
а х17	’
(2 г У
б) -1 — а3Ьс5 ;
I 7	)
в) ~(-2а4)3-2а4.
Г	1	,Л'3
б) -1 — ab4c2 ;
Ц	3	)
в) -(-ЗЬ3)2-ЗЬ3.
О
Постройте график функции
9	2
У = X \	у = х\
Найдите все значения /г, при которых точ-
ка A(k; 1) принадлежит данному графику.
Упростите выражения:
б)
а)	-—a3b-(-a2b4)-4b3a;
2
1	( 2	V
б)	2-c3d- --cd2 ;
4	I 3	J
в) (-10ab3)3-(-0,la3b2)3.
©
Используя свойства степени, найди-
те значение выражения:
186
32-274 ‘
8 I 3 J
в) (-2а2Ь3)3-(-0,5а^)3.
245
47 -81
0
Упростите выражение:
(-1)".(-1Г.(_1)''.(_1)'’> (-1)2":(-1):(-1),
где п — натуральное число.
30
АЛГЕБРА
Многочлены
С-10. МНОГОЧЛЕН. СЛОЖЕНИЕ И
ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Вариант А1	Вариант А2
О
Вычислите значение многочлена при
х = -1:
х2 - 2х ~ 3.	х2 - 6х - 7.
0
Приведите к стандартному виду
многочлены:
а) 4х2 + Зх - 5х2 + х3;	а) -2х2 + Зх3 + х2 - 5х;
б/ 2хуЪу - 3z/’3x2.	б) 6а-2аЬ - 4Ь2-3.
©
Найдите сумму и разность многочленов:
2х2 - Зх и 5х - х2.	4х2 + 2х и Зх - 2х2.
О
Карандаш стоит х коп., а ручка —
у коп. Петя купил 6 карандашей и
4 ручки, а Вася — карандаш и 2 руч-
ки. Запишите в виде выражения,
сколько копеек уплатили на сколько копеек больше
вместе Петя и Вася.	заплатил Петя, чем Вася.
©
При каком значении х
разность многочленов 2,3г -1,4	сумма многочленов 2,Зх-1,4
и 2,8 - 0,7х равна -4,2?	и 2,8 - 0,7х равна 1,4?
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Является ли число -2 корнем уравнения
-Зх2 - ах + 2 = 0?	-5х2 - Эх + 2 = О?
Многочлены
31
0
Приведите к стандартному виду
многочлены:
а)	-х + 5х2 + Зх3 + 4х - х2;	а) 4х2 - Зх3 - 5х2 + х + х3;
б)	2х-4ху2 - 8х£/2 - 2г/2-Зх2.	б) 4х2-3ху - 12xt/ - 2у-6х3.
0
Найдите сумму и разность
многочленов:
х2 - Зх - 4 и х - 2х2 -1.	х2 + х - 2 и 3 - Зх - 2х2.
О
От пристани в противоположных направ-
лениях вышли одновременно 2 одинако-
вых катера. Собственная скорость каждо-
го катера х км/ч, а скорость течения
у км/ч. Запишите в виде выражения,
каково будет расстояние ме-
жду катерами через 1 час
после начала движения.
на сколько большее расстоя
ние пройдет за 1 час катер
идущий по течению.
О
Замените М многочленом так,
чтобы получилось тождество:
М + (6х2 - Зху) = х2 - ху + у2. М - (4ху + Зу2) = х2 ч- ху - у2.
Вариант В1	Вариант В2
о
Является ли число корнем
уравнения
-Зх2 + 5х + 2 = О?	-Зх2 - 10х - 3 = О?
0
Приведите к стандартному виду
многочлены:
а)	тп2 - 3m + т3 - 4m2 + 3m - 2;	a) -2m + 4m2 - т3 + т - rri2 + 2;
б)	2х2- 7xif ~ 4xif{-xy) - Зх- 5хлД	б) Ъх^-Зу2) - 2х?у-8х + 6х2у2-3х.
32
АЛГЕБРА
©
Найдите сумму и разность
многочленов:
8х2 - ху - Зг/2 и
-7х2 + ху - Зг/2.
-х2 + 2ху - 2у2 и
4х2 + 2ху + 2г/2.
В первый день пути турист прошел
х км, а в каждый последующий день
проходил на у км больше, чем в преды-
дущий. Запишите в виде выражения,
какое расстояние прошел какое расстояние прошел
турист за 3 дня.	турист за второй и третий
день вместе.
Докажите, что сумма
двух последовательных не- трех последовательных не-
четных чисел кратна 4.	четных чисел кратна 3.
С-11. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
Вариант А1
Вариант А2
Выполните действия:
а)-Зх(2х - 1);	а) (4г/- 2)-(-2г/);
б) (2а - b)Sb + 8д2.	б) 5а(а - 2Ь) + 10а&.
0
Вынесите за скобки общий
множитель:
а)	Зах + 4а;
б)	6х2 - Зх.
а)	2Ъс ~ Зс;
б)	Юг/3 + 2г/.
1 час на 3 стра-
Печатая за
ницы больше, чем планиро-
Машинистка затратила на
перепечатку книги на 1 час
Многочлены
33
валось, машинистка перепе- чатала книгу за 6 часов вме- сто 7 часов по плану. Сколь- ко страниц в книге?	меньше, чем планировала, так как печатала в час 21 страницу вместо 18 по плану. Сколько страниц в книге?
о
Решите уравнения:
а) 5х - 2(х + 1) = 13; х - 3	. б) х 2	= 4 .	а)	8х + 5(2 - х) = 13; о	х + 1 о б)	2х	- 3 . 3
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Выполните действия:
а) (-762 - b + 2)(-263); б) 0,5а(2а - Ь) - 0,56(26 - а).	а) -За2(-а + 9а2 - 2); б) 10x(t/ - 0,2х) - 101/(х - 0,21/).
©
Вынесите за скобки общий
множитель:
a) 2ab~ - ab; б)18х‘+ 12х\	а)	7ху'! + ху; б)	9/ - бу1.
© За 8 часов по течению мо- торная лодка проходит рас- стояние, в 2 раза большее, чем за 5 часов против тече- ния. Какова скорость тече- ния, если собственная ско- рость лодки 13,5 км/ч?	© За 8 часов по течению мо- торная лодка проходит рас- стояние, в 2 раза большее, чем за 5 часов против тече- ния. Какова собственная ско- рость лодки, если скорость течения 1,5 км/ч?
О
Решите уравнения:
а) Зх(2х + 1) - х(6х - 1) = 10; б) £—1 _ £11 = х 2	3	а) х(4х - 2) - 2х(2х t- 4) --- 4; б) — -£11=1. 5	2
2 Самост. и контр, алгебра и геометрия 7 класс
34
АЛГЕБРА
Вариант В 1	Вариант В2
о
Выполните действия:
4 (	1 >	о	(	1А
а)	-—а- 2,1а3-0,7а + — ; а) --х3 • -0,9х2 + 1,5х - - ;
7 I	4J	3	2)
б)	5а(а + Ь) - (За - Ъ)Ъ +	б) 6Ь(а - Ъ) + ЗЬ(2а - Ь)-
+ 2Ь(Ь - а).	- (6а - b)b.
0
Вынесите за скобки общий множитель:
а)	-а7 - 5аи - За6;
б)	8х4у2 - 12х2у3 + 4x2t/2.
0
У продавца было одинаковое
количество гвоздик и роз.
Он составил букеты из роз
(по 3 цветка в букете) и из
гвоздик (по 5 цветков в бу-
кете). Всего получилось
16 букетов. Сколько роз бы-
ло у продавца?
О
Решите уравнения:
а)	4х2 - Зх - 0;
_ 6х -1 2-х Зх + 2
б)	-----------=-------.
5	4	2
а)	-х5 - Зх7 - 2х\
б)	Зх3у - 6х3у2 + 9х4у.
©
В библиотеке было столько
же атласов, сколько и кон-
турных карт. Атласы разло-
жили в пачки по 10 штук, а
карты — в пачки по
15 штук. Всего получилось
15 пачек. Сколько атласов
было в библиотеке?
а)	2х2 - 5х - 0;
^2x 3 4-х	х-1
б)	=---------------
6	3	2
К-4. МНОГОЧЛЕН
Вариант А1	Вариант А2
О
Выполните действия:
а) (х2 + 4х) - (х2 - 4х);	а) (2а - а2) ~ (а2 + 2а);
Многочлены
35
б) -х(х2 - Зх);
в) 2х(х + 6) - Зх(4 - х).
О
а)	8аЬ - 4ас;
б)	х4 + х3.
О
За три дня продано 50 кг
риса. В первый день прода-
но на 5 кг меньше, чем во
второй, а в третий столько,
сколько в первый и второй
вместе. Сколько риса прода-
но в каждый из дней?
О
Решите уравнения:
а)	х2 - х = 0;
б)£13_х = 3
4	2
Вынесите общий множитель за скобки:
б)	(За2 - а)-(-а);
в)	6х(3 - х) - 2х(х + 9).
а) Зху + Ъау\
б) у3 - у\
о
В трех седьмых классах
30 мальчиков. В 7-Л на
3 мальчика больше, чем в
7-Б, а в 7-В столько, сколь-
ко в 7-А и 7-Б вместе.
Сколько мальчиков в каж-
дом классе?
а)	х2 + х = 0;
б)	^—1 _ £ = 2 .
6	2
©
Известно, что 2а - Ь = 5. Вычислите
4а - 26.	6а - 36.
О
Выполните действия:
а)	(8а - За2 + 1) - (а - За2);
б)	16а3 - 2а2(8а - 3);
в)	2а6(а + 6) - а6(а - 6).
а) (4а2 + 9а) - (а2 - 1 + 9а);
б) 6а’ - 2а2(3а2 + а);
в) ху(х - у) - 2ху(х + у).
е
Вынесите общий множитель за скобки:
а)	14х{/ + 21 у2;	а) 10а2Ь - 25£г;
б)	Зг/3 - бу6.	б) 2х2 + 4х\
36
АЛГЕБРА
Перевозя за день 8 т груза
вместо 6 т, водитель выполнил
задание на 2 дня раньше, чем
планировал. Сколько тонн
груза перевез водитель?
выполнил заказ за
вместо 8 дней, так
день вытачивал на
Токарь
6 дней
как в
2 детали больше, чем плани-
ровал. Сколько деталей бы-
ло заказано токарю?
Решите уравнения:
а) х2 + 5х = 0;
х-2
б) 2-
9	3
О
Докажите, что выражение
85 + 213 делится на 10.
а)	х2 - 4х - 0;
л х 4-1 х + 5
б)	4---------=--------
6	2
96 - З10 делится на 24.
Вариант В1
Вариант В2
Выполните действия:
а) (х3+1,3х2-2х)-(1,3х + 2х2);
б) 4х(0,75х2 - х) - Зх3;
в)	(3 - 2a)ab2 - (ab - 3&)2а£.
а) (1,8х - х2) - (х2 - 0,2х + 2);
б) 8у2(у - 0Д25</2) + у4-,
в) (1 - у)3х2у - (Зху - х)ху.
Вынесите общий множитель за скобки:
а) 8а462 - 12а2д3 + 4а2;
б) х(у - 5) - 6(5 - у).
Длину прямоугольника умень-
шили на 4 см и получили
квадрат, площадь которого
меньше площади прямо-
угольника на 12 см2. Найди-
те сторону квадрата.
О
Решите уравнения:
а) Зх - 27х2 = 0;
a)	6x2t/3 + 12x5i/3 - 2у3;
б)	а(3 -Ь)- 2(Ь - 3).
о
Ширину прямоугольника уве-
личили на 5 см и получили
квадрат, площадь которого
больше площади прямо-
угольника на 40 см2. Найди-
те сторону квадрата.
а) 4х - 20х2 = 0;
Многочлены
37
2х 2х + 1 Зх - 5
б) —	- 4
©
Докажите, что при целом
п2 - п — четно.	п2 +
б) 3 х
+1 ох
2~~ Т
п. — четно.
С-12. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ.
СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
Вариант А 1
Вариант А2
Упростите выражения:
а)	(х - 2)(х + 3);	а) (х - 1)(х + 7);
б)	(2х2 - у2)(3у2 - х2).	б) (а2 - 462)(62 - 4а2).
а)	ха + xb + 6а + 66;
б)	х3 - х2 + х - 1;
в)	ab - 2а - 26 + 4.
Разложите на множители:
а)	ас + Ьс + 2а + 26;
б)	а3 - 2а2
в)	Зх + 9 -
1-	а - 2;
ху - Зу-
Упростите и вычислите при х =
2 - (х ~ 1)(х + 1).	5 - (2 + х)(2 - х).
О
Решите уравнение:
(3 - х)(х + 4) + х2 = 0.
3:
(4 - х)(х + 5) + х2 = 0.
Вариант Б 1
Вариант Б2
3
п
О
Упростите выражения:
а)	(4х - 3)(8х + 6);	а) (6х + 4)(2 - Зх);
б)	2У(У2 - 1)(2 + у).	б) х2(х - 3)(2 4. х2).
38
АЛГЕБРА
а)	ах + Зау + 5х 4- 15г/;
б)	х5 4 2х4 - х - 2;
в)	ab - ас - а2 4- Ьс.
Разложите на множители:
а)	2Ьс 4- ас 4- 6d 4- За;
б)	х4 4- Зх3 - х - 3;
в)	ху - а2 - ах + ау.
Упростите
4у3 - (1 + 2у)(2у2 - у).
1
и вычислите при у = —:
9
У3 ~ (Зг/ 4- У2)(У - 3).
Решите уравнение:
(1 - х)(2 - х) = (х + 3)(х - 4).
(2 - х)(3 - х) = (х + 2)(х - 5).
Вариант В1
Вариант В2
Упростите выражения:
а)	(9 ч- а2 - За)(а2 + За);	а) (х2 - 2х)(2х + 4 + х2);
б)	(а - 2)(а - 3)(а + 1).	б) (а ч- 2)(а + 3)(а - 1).
Разложите на множители:
а)	2ху - Зау 4- 2х2 - Зах;
б)	а2Ь2 4- 2a2b - 2ab - ab2;
в)	(х - у)2 4 3(г/ - х).
a)	4ad - be + 4а2 - ас;
б)	х2у - ху2 - ху 4- х2;
в)	(а - 2)2 - 5(2 - а).
Упростите и вычислите при b =	:
d(2 - 2Ь)(Ь + 3) +
1-	(b - l)(2b2 + 6b).
2(2 - d)(d2 4- 2d) +
+ (2d2 - 4d)(d + 2).
Решите уравнение:
0.	х2 + бх 4- 8 = 0.
Многочлены 39
Дополнительные задания
О
Разложите на множители многочлены:
а)	а2 - а - ab2 + b - 2аЬ + 2;
б)	abx2 + Ьху - аху - у2;
в)	ам - а + ak - 1;
г)	а2"41 - а"'1 + а" - 1;
Д) xi + 16х2 + 28.
0
Вокруг дачного домика, длина которого на 2 м больше шири-
ны, заасфальтировали дорожку шириной в 1 м. Площадь до-
рожки на 16 м2 меньше площади под домом. Найдите длину и
ширину домика.
К-5. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ.
СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
Вариант А 1	Вариант А2
О
Упростите выражения:
а) (2х + 1)(х - 1);	а) (х + 2)(2х - 1);
б)	(3 - у'2)(у - 4); в)	а2 + (2 - о)(а + 5); г)	(b - l)(b2 + b - 2).	б)	(2 - у)(у2 + 3); в)	(а + 4)(1 - а) + а2; г)	(b + 2)(b2 - b + 2).
©
Разложите на множители:
а)	ху + Зу + ха + За;	a) ab + 26 + ас + 2с;
б)	2а - ab ч- 6 - 36.	б) 9 - 2у + Зх - ху.
О
Докажите тождество:
Зх(1 - 2х)(2х + 1) = Зх - 12х3.	2х(2 - 3х)(3х + 2) = 8х - 18х3.
40
АЛГЕБРА
О
Представьте в виде произведения:
а)	х3 4-. 4х2 - х - 4;
б)	а3 - ЗаЪ -- 2a2b + 6Ь2.
©
Квадрат задуманного числа
на 14 меньше, чем произве-
дение двух чисел, больших
задуманного на 1 и на 2 со-
ответственно. Найдите заду-
манное число.
а)	2х3 4 х2 - 2х - 1;
б)	4аЬ - Ь3 - 8а2 + 2аЬ2.
©
Квадрат задуманного числа
на 16 больше, чем произве-
дение двух чисел, меньших
задуманного на 1 и на 2 со-
ответственно. Найдите заду-
манное число.
Вариант Б 1
Вариант Б2
Упростите выражения:
а)	(2х - 5)(3х 4- 4);
б)	(х - 3i/)(2f/ - 5х);
в)	а(а - 5) - (а - 2)(а - 3);
г)	(2d г l)(4d2 - 2b + 1).
а)	(2х - 3)(4х + 1);
б)	(Зх - у)(2у - 7х);
в)	а(а + 4) - (а - 2)(п + 6);
г)	(1 - 3b)(9b2 + 3b + 1).
Разложите на множители:
а)	х3 ч 2х2 - х 4- 2;	а) Зх3 + х2 + Зх + 1;
б)	4х - 4z/ ь ху - у2.	б) 2х 4- 2у - х2 - ху.
Докажите тождество:
2х2(4х2 - 3)(3 + 4х2) -	Зх3(2х2 4- 5)(5 - 2х2) -
= 32х6-18х2.	-75х3-12х7.
а)	а2 - be + ab - ас;
б)	За + ab2 - a2b - ЗЬ.
Представьте в виде произведения:
a)	cb - ab - са 4- Ь2;
б)	а2Ь -2d 4- ab2 - 2а.
Если длину прямоугольника
уменьшить на 2 см, а ширину
увеличить на 1 см, то полу-
Сторона квадрата на 2 см
меньше одной из сторон пря-
моугольника и на 3 см боль-
Многочлены
41
чится квадрат, площадь кото-
рого на 4 см2 меньше площади
прямоугольника. Найдите сто-
рону квадрата.
ше другой. Найдите сторону
квадрата, если его площадь
на 10 см2 больше площади
прямоугольника.
Вариант В1	Вариант В2
Упростите выражения:
а)	(Зх2 + у)(2у - 5х2);
б)	(7х - 1)(х2 - 4х + 2);
в)	(а2 + b2)(2a - b)- ab(b - а);
г)	-8Ь(& + 3)(2 - Ь2).
а)	(4х2 + Зд/)([/ - 2х2);
б)	(5х + 2)(х2 - 2х - 3):
в)	(а2 - b2)(2a + b) - ab(a - Ь);
г)	-36(1 - д2)(5д + 2).
О
Разложите на множители:
а)	2х5 + 5х4 - 2х2 - 5х;	а) х7 + 9хб - х2 - 9х;
б)	За - ЗЬ + (а - Ь)2.	б) (а г Ь)2 + 2а 4- 2Ь.
©
Докажите тождество:
хЧ 1 = (х + IX*4 - Xй3 4- X2 - X 4- 1).	X4 - 1 =(х 4 1)(х3 - X2 4- X - 1).
О
Представьте в виде произведения:
а)	х2 - 2ху 4- х - xz 4- 2yz - 2;
б)	аЛ - ab - а2Ь + а2.
©
Найдите три последователь-
ных натуральных числа, ес-
ли произведение двух мень-
ших чисел меньше произве-
дения двух больших на 14.
а)	х2 4- ху - х - ах ~ ау 4- а\
б)	ab2 - b2 - ab 4- Ь3.
©
Найдите три последователь-
ных натуральных числа, ес-
ли квадрат наименьшего из
них на 20 меньше произве-
дения двух других чисел.
42
алгебра
Формулы сокращенного
умножения
С-13. КВАДРАТ СУММЫ
И КВАДРАТ РАЗНОСТИ
Вариант А 1	Вариант А2
О
Выполните действия:
а)	(4 + а)2; б)	(2х - I)2; в)	(2а + 3£>)2; г)	(xs - З)2.	а)	(5 + х)2; б)	(1 - Зх)2; в)	(За - 106)2; г)	(х2 + 4)2.
0
Представьте трехчлен в виде
квадрата двучлена:
а)	х2 + 6х + 9;	а) 4 + 4а + а2;
б)	25х2 - 10х + у2.	б) а2 - 8ab + 1662.
е
Упростите выражения:
а) (4х + З)2 - 24х; б) 18с2 - 2(3с - I)2.	а) (2х - 5)2 + 20х; б) 36с - 3(1 + 6с)2.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Выполните действия:
а)	(11 - х)2; б)	(2х + 0,5)2;	а) (у + 15)2; б) (5х - 0,2)2;
Формулы сокращенного умножения____________________________43
в) (-За + 2Ь)2; г) (а2 + Ь3)2.	в) (-2а ь 7b)2; г) (а3 т Ь’)2.
©
Представьте трехчлен в виде
квадрата двучлена:
а)	х2 + 49 - 14х; б)	25^2 + 20хг/ + 4х2.	а)	12х + х2 + 36; б)	16х2 - 24xt/ + 9</2.
©
Упростите выражения:
а)	(5х - 3z/)2 + 30xi/; б)	4х4 - 2(х4 + I)2.	а) (6а + 2Ь)2 - 24аЬ; б) —6х3 - З(х3 - I)2.
Вариант В 1 О	Вариант В2
Выполните действия:
( i У а) |2у + -| ; б)	(-7х - I)2; в)	(а2 - 2Ь)2; г)	(8х + х3)2.	(	1Y а)	Зх - — ; 1	3J б)	(—6х - I)2; в)	(4а - Ь2)2; г)	(х1 - 9х)2.
©
Представьте трехчлен
двумя способами в виде
квадрата двучлена:
а)	ЮОх2 + 1 - 20х; б)	х4 + 4у2 + 4х2у. ©	а) 1 + 81у2 - 18у; б) 8аЬ3 + 16а2 + Ь6.
Раскройте скобки:
а)	(За - Ь)2 - (За + Ь)2; б)	(а + (Ь - с))2.	а)	(2х + у)2 - (2х - у)2; б)	(е - (а + Ь))2.
44
АЛГЕБРА
С-14. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ
Вариант А1	Вариант А2
О
Упростите выражения:
а)	(3 - а)(3 + а);	а)	(а - 4)(а + 4);
б)	(Ь + 2а)(2а - by	б)	(5х + у)(у - 5х);
в)	(х2 - 1)(1 + X2).	в)	(1 - х3)(х3 + 1).
0
Разложите на множители:
а)	у2 - 100;	а) 49 - х2;
б)	-0,16г2 + у2-,	б) -0,01а2 + Ь2;
в)	а4 - 25.	в) 9 - а4.
е
Решите уравнения:
а)	(х - 1Хх + 1) - х(х - 2) = 0; а) (х + 2Хх - 2) - х(х - 3) = 0;
б)	х2 - 4 = 0.	б) х2 - 1 = 0.
О
Представьте в виде
произведения:
а)	у3 ч 8;	а) у3 + 1000;
б)	а3 - 1.	б) Ь3 ~ 8.
О
Упростите выражения:
а)	(х - 12)(х +	12);	а) (14 + х)(14 - х);
б)	(За + 2Ь)(2Ь	- За);	б) (5а + ЗЬ)(ЗЬ - 5а);
в)	(~4п3 + а)(п	+ 4а3).	в) (2п2 + п)(-2л2 + п).
0
Разложите на множители:
а) 400 - у2\	а) х2 - 121;
Формулы сокращенного умножения 45
б) -0,25г2 + y2z2; в) (х + I)2 - 4.	б) -0,04а2 + Ь2с2; в) (х - I)2 - 9.
О
Решите уравнения:
а)	х2 - (х + 3)(х - 3) = Зх; б)	4х2 -9 = 0.	а)	х2 - (х - 4)(х + 4) = 2х; б)	25х2 -16 = 0.
О
Представьте в виде произведения:
а) 27хя - у3-, б) у3 + 64.	а)	За3 + у3; б)	х3 - 125.
Вариант В1 О	Вариант В2
Упростите выражения:
а) (5а + 0,2)(0,2 - 5а); б) (-6а - 2Ь)(6а - 2Ь\, в) (Ь2 + 4)(Ь - 2)(Ь + 2).	а) (10х + 0,3)(0,3 - 10х); б) (7а - ЗЬ)(-7а - 35); в) (х2 + 9) (х + 3) (х - 3).
е
Разложите на множители:
а)	-а4 + 16; б)	64х2 - (х - I)2; в)	(Зх - З)2 - (х + 2)2. О	а)	-а4 + 81; б)	25х2 - (х + у)2; в)	(Зх - 2)2 - (х + I)2.
Решите уравнения:
а)	(2х -1)2 - 4(х - 2Хх + 2) = 0; б)	-х2 =0,16. 4	а)	(Зх +1)2 - 9(х + 1)(х -1) =0; б)	-х2 =0,81. 9
О
Представьте в виде произведения:
а) 8х3 + 0,064 у3-, б) х3 - 64.	а) 27хя + 0,008у3; б) 1 - X6.
46
алгебра
С-15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛОГО
ВЫРАЖЕНИЯ В МНОГОЧЛЕН. СПОСОБЫ
РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Вариант А1	Вариант А2
О
Разложите на множители:
а)	2г/2 - 18;	а) Зг/2 - 27;
б)	2х2 - 12х + 18.	б) Зх2 + 12х + 12.
0
Упростите выражения:
а)	(2а + 3)(а - 3) - 2а(4 + а);	а) (5 - а)(3а + 1) - За(4 - а);
б)	(1 - х)(х + 1) + (х - I)2.	б) (2 - х)(х + 2) + (х + 2)2.
©
Докажите тождество:
х4 -27х = (х2 - Зх)(х2 + Зх + 9).	х5 + 8х2 - (х3 + 2х2)(х2 - 2х + 4).
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Разложите на множители:
а)	64а - а3;	а) г/5 - 25i/3;
б)	х3 - 10х2 + 25х.	б) 16х + 8х2 + х3.
©
Упростите выражения:
а)	(а + b)(a - 2b) + (2Ь - а)(2Ь 4- а);	а) (За - Ъ)(а + Ь) + ф - За)(Ь + За);
б)	(Зх + 2)2 - (Зх - I)2.	б) (2х + З)2 - (2х - I)2.
©
Докажите тождество:
(х2 + З)2 =	(4 - х2)2 =
= (х2 - ЗХх2 + 3) + 6(х2 + 3).	= (4-х2Х4 + х2)+2х2(х2-4).
Формулы сокращенного умножения
47
Вариант В1	Вариант В2
О
Разложите, на множители:
а)	х3 - ху2 - бу2 + 6х2;	а) а3 - 2а2 + 18 - 9а;
б)	8х4у - ху\	б) аьЬ2 + 27а2/?5.
О
Упростите выражения:
а)	(2х + 3)(2х -1) - (2х + 1)(2х -1);	а) (Зх + 1)(х -1) - (Зх - ЦЗх +1);
б)	(За - 3d)2 - 3(а - Ь)2.	б) (2а + 2d)2 - 2(а + Ь)2.
©
Докажите тождество:
(а2 + 4)2 - 16а2 -	(4а + If (4а - If =
= (а 4- 2)2(а - 2)2.	. - (16а2 + If-64а2.
С-16*. ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О
Разложите на множители:
а) ЗОх - 9х2 - 70у + 49у2;	а) 64х2 - 48х - 25г/2 - 30г/;
б)	20а2 -45b2 + 30/?-5;	б)	18а2 + 24а + 8 - 2OOZ?2
в)	х4 + 4х2 + 3 ;	в)	х4 + 8х2 + 15 ;
г)	а2 - 3ab + 2Ь2;	г)	а2 ч- 4ab + З/?2;
д)	28х3 - Зх2 + Зх - 1.	д)	126х3 4- Зх2 +3X4-1.
	©		
Докажите, что при любых значениях
переменных многочлен
х2 + 2х + у2 - 4г/ + 5	х2 - 4х + у2 + 6г/ + 13
принимает неотрицательные значения.
48
АЛГЕБРА
О
Решите уравнения:
а)	х2 - 2|х| + 1 - 0;
б)	(х + 1)2 -б|х + 1| + 9 = 0;
в)	X3 + |х| 0 ;
г)	|х| + х + |х| ’ х = 0 ;
д)	|х| • х -- х + 2 (х| - 2 = 0 ;
е)	х2 + х + 1 - |х|° .
а)	х2 - 4 |х| + 4 = О ;
б)	(х-3)2 - 1О|х - 3| + 25 = О
в)	х3 - |х| = О ;
г)	|х| - х - |х| • х = 0 ;
д)	|х| • х - 3|х| - х + 3 ~ О ;
ч 2	1 I 1°
е)	х - х + 1 ~ х .
О
Докажите, что при любом натуральном п
а)	(п2 + п){п + 2) кратно 3;
б)	п3 - п кратно 6;
в)	если п? - 1 четно, то
п2 - 1 делится на 8;
г)	5" -1 кратно 4;
д)если п нечетно, то
1 + 2" + 7" +8" кратно 9.
а)	8п3 - 2п кратно 3;
б)	(п2 + п)(п + 5) кратно 6;
в)если п3 - 4п четно, то
п3 - 4п делится на 48;
г) 10" -1 кратно 9;
д)если п нечетно, то
6" + 4" + 3" + 1 кратно 7
К-6. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Вариант А2
Вариант А1
о
Упростите выражения:
а)	(с + 4)(с - 1) - с2;
б)	5(х - 4) - (х + 4)(х - 4);
в) (3 - 4х)16х + (8х - З)2.
а)	(с - 2)(с + 3) - с2;
б)	7(х + 8) + (х + 8)(х - 8);
в)	(х + 5)4х - (2х + 5)2.
0
Разложите на множители:
а) 8х2 ~ 8г/2;	а) ах2 - ау2\
Формулы сокращенного умножения 49
б) -а2 + 6а - 9;	б) -х2 - 10х - 25;
в) ab3 - Ьа3.	в) ахЬ2 - ЬЛа2.
О
Решите уравнение:
х(х - 2)(х ч- 1) - х2(х - 1).	х(х ч- 3)(х - 1) = х2(Х'+ 2).
О
Представьте в виде произведения:
а)	Зх - Зг/ ч- х2у - ху2;	а) х2у ч- ху2 - 2х - 2у;
б)	а3 ~ 8.	б) а3 + 27.
©
Докажите, что при любых значениях
х и у значение выражения
неотрицательно:
4х2 - 2Охг/ ч- 25г/2.	9х2 ч- 24хг/ ч- 16г/2.
Вариант Б 1	Вариант Б2
о
Упростите выражения:
а)	-Зх(2 - х) + (Зх + 1Хх - 2);	а)	-2х(1 - х) + (2х - • 3)(х - 1);
б)	3(2х - I)2 + 12х;	б)	4(1 + Зх)2 - 24х;
в)	(х + З)2 - (х - 2)(х + 2).	в)	(х + 4)(х - 4) - (х - З)2.
О
Разложите на множители:
а)	36х3 - х;	а) у - 100г/3;
б)	2а2 ч- Sab + 8Z?2;	б) 7а2 - 14а6 ч- 7Ь2;
в)	а4 - 1.	в) 16 - у\
©
Решите уравнение:
(х2 - 1Хх2 ч- 3) = (х2 ч-1)2 ч- х.	(х2 - 6)(х2 ч- 2) — (х2 - 2)2 - х.
О
Представьте в виде произведения:
а) х3 - ху2 ч- Зг/2 - Зх2;	а) ху2 - хч- 5 - 5г/2;
50
АЛГЕБРА
б) 8m1 - т1.	б) /и8 + 27тг\
0
Докажите, что при любых значениях
х выражение принимает положи-
тельные значения:
х2 - 10х + 29.	хг + 8х + 19.
Вариант В1 О	Вариант В2
Упростите выражения:
а) (1 - 2х)(4х2 + 2х + 1) + 8х3; б) (2 - х)(2 + х)(х -1) + Ах -1);	а) (1 + ЗхХ9х2 - Зх + 1) - 27х3; б) (х + 2)(3 + х)(3 - х) + х2(х + 2);
в) (х ~ 5)2 - 4(х + 5)2.	в) (х + 4)2 - 9(х - 4)2.
0
Разложите на множители:
а)-Зх2 - 12х - 12; б) 24/ - 3/; в) 16263 - 2а ’Ь. ©	а)	-5х2 4- ЗОх - 45; б)	2у' + 54t/; в)	Зх/ - 147х3.
Решите уравнение:
/ + 3/ - t/ - 3 = 0. О	х3 + х2 - 4х - 4 = 0.
Представьте в виде произведения:
а) (х2 + 2)2 - 4(х2 + 2) + 4; б) а'2 - х2 - 6х - 9.	а) (х2 - I)2 + 6(х2 - 1) + 9; б) а2 - х2 + 4х - 4.
©
При каких значениях у выражение
-у1 + 4г/ - 5.	-у2 — 2г/	3.
принимает наибольшее значение?
Найдите это значение.
Системы линейных уравнений
51
Системы линейных
уравнений
С-17. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ.
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Вариант А1	Вариант А2
О
Решите графически систему уравне-
ний. Выполните проверку, подставив
найденные решения в уравнения
системы:
[у -1 = х,	\у ~ 2 = х,
[у ~ 3 - х.	[v = 2х.
0
Решите систему способом
подстановки:
Jx = у “3,	Ji/ = 5-х,
[2у - х = 6.	[Зх - у = 11.
0
Не выполняя построений, найдите
координаты точки пересечения
графиков уравнений:
5х - 2у = 0 и х + 2у = 12.	4х + Зу = 0 и х - Зу = 15.
О
График уравнения х - у ~ а прохо-
дит через точку
К(-2; 3).	М4; -1).
Найдите число а.
52
ЛЛГЕБРЛ
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Решите графически систему уравне-
ний. Выполните проверку, подставив
найденные решения в уравнения
системы:
\у - 2х = 4,	ГЗх - у = 2,
[х - Зу = -2.	[х + 2у = 10.
О
Решите систему способом
подстановки:
(Зх + у ~ 7,	Jx - Зу ~ 6,
[9х - 4у = -7.	[2 у - 5х = -4.
©
Не выполняя построений, найдите
координаты точки пересечения гра-
фиков уравнений:
2х 4- Зу = -1 и 8х - бу = 14. Зх - 2у = 4 и 6х + 4у = 16.
0
Определите, имеет ли данная система
решения и сколько:
[х - Зу 2,	|4х - бу - 2,
[бу - 2х - -4.	[Зу - 2х = 1.
Вариант В1
Вариант В2
О
Решите графически систему
уравнений. Выполните проверку,
подставив найденные решения
в уравнения системы:
j3x-4(/ = 7,	|7х-Зг/ = 1,
[2г/ + 5х = 3.	[5</-8х = 2.
Системы линейных уравнений
53
е
Решите систему способом
подстановки:
3(х 4- у) + 1 = X + 4г/,
7 -2(х - у} = х-8у.
1 + 2(х- у) = 3x-4i/,
10 - 4 (х + у) = Зу - Зх.
е
Не выполняя построений,
найдите координаты точки пересе-
чения графиков уравнений:
£_У=1и£+^=з.
2 6	4 3
£_£ = 3 и—+ - = -2.
3 9	6 3
0
Определите, при каком значении а
данная система имеет бесконечно
много решений:
Зх - 5г/ - 4, ах + 15i/ = -12.	Г-2х + Зг/ - -1, (4х + ау - 2.
С-18. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Вариант А1	Вариант А2
О
Решите систему способом сложения:
Зх-2г/ = 4,	|2х + 3г/ -10,
5х + 2г/-12.	}-2х + 5г/ = 6.
Решите задачу с помощью системы
уравнений.
Периметр прямоугольника
равен 26 см. Его длина на
3 см больше ширины. Найди-
те стороны прямоугольника.
Периметр прямоугольника
равен 16 см. Его ширина на
4 см меньше длины. Найдите
стороны прямоугольника.
54
АЛГЕБРА
Решите систему:
1
2
6
£
з
Вариант Б1
Вариант Б2
О
Решите систему способом сложения:
х - 4 у - 9,	f2x + у = 6,
3x4-2г/ -13.	|-4х4-Зг/ = 8.
В
Решите задачу с помощью системы
уравнений.
Туристическую группу из
42 человек расселили
двух- и трехместные номера.
Всего было занято 16 номе-
ров. Сколько среди них бы-
ло двухместных и сколько
трехместных?
За покупку канцтоваров на
сумму 65 коп. Таня расплати-
лась пяти- и десятикопеечны-
ми монетами. Всего она отда-
ла 9 монет. Сколько среди них
было пятикопеечных и сколь-
ко десятикопеечных?
Решите систему:
2х 4- 1 _ у - 1
5	~ 2~’
4х 4- 5г/ = 23.
х - 5 _ Зу + 2
3	4
4х + 9у = -10.
Вариант В 1
Вариант В2
О
Решите систему способом сложения:
2х-7г/-3,	Г5х4-2г/--9,
Зх + 4у = -10.	[4х - 5г/ = 6.
Системы линейных уравнений
55
©
Решите задачу с помощью системы
уравнений.
Сумма цифр двухзначного
числа равна 7. Если эти
цифры поменять местами,
то получится число, боль-
шее данного на 45. Найдите
данное число.
Сумма цифр двухзначного
числа равна 11. Если эти
цифры поменять местами,
то получится число, мень-
шее данного на 9. Найдите
данное число.
Решите систему:
X + у = 3,
z - у = 4,
X - 2 = 5.
X + у + 2 = 9,
<Х + у - 2 = 7,
Х~у = 2.
С-19*. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
С НЕСКОЛЬКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О
Постройте графики уравнений:
а)	х2 + ху ~ 0 ;
б)	9х2 - у2 = 0 ;
в)	ху + Зу - 5х = 15 ;
г)	х2 + 4х + 4 + у2 - 0 ;
д)	|х - у -1| + х2 + 2ху + у2 = 0;
е)	|г/| = х +1;
Ж) |z/| = |х|;
У
а)	2х2 - ху = 0 ;
б)	у2 - 4х2 = 0 ;
в)	Зх - ху + 3 = у ;
г)	х2 + у2 - 2у +1 = 0 ;
д)	х2 -2ху + у2 +\х + у-2\ = 0;
е)	|j/| = х —1;
ж)	х2 = у2;
з)	— = |i/| • у;
X 1
56
АЛГЕБРА
и)	х = у2 -1;
И) х = у2 + 1;
к) М ~ У = х .
Решите системы уравнений:
а)
б)
f 1 1 .
— 4 — ~ О,
X у
*-3=-5;
X у
х - у ~ z = О,
х + у ” z ~ 4,
X + у + Z ~ 6.
1 1 .
" У
— = 11;
У
х + у - z ~ 5,
б) <! х - у + z ~ 3,
х-z/-^ = -l.
а) <
5
а)
б)
Решите уравнение
— в натуральных числах:
2х + Зу ~ 7 ;	а)	Зх + 2у - 7 ;
4х2 - у2 = 11;	б)	х2 - 4у2 ~ 5 ;
— в целых числах:
в) (х + 1)(г/+ 2) = 3 ;	в)	(x-2)Q/-1) = 5;
г) ху 4- X + у = 1.	г)	ху ~ х - у ~ 2 .
К-7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Вариант А2
Вариант А 1
о
Решите системы уравнений:
[а + b ~ 6,	(а + b - 7,
а)	[5а - 2Ь = 9;	•	а)[5а-3£> = 11;
[х + 2у = 5,	6}[2Х~У = 3'
]х + 3у = 7.	[Зх-у = 5.
Системы линейных уравнений
57
©
На 1 плащ и 3 куртки по-
шло 9 м ткани, а на 2 пла-
ща и 5 курток — 16 м.
Сколько ткани требуется на
пошив плаща и сколько —
на пошив куртки?
0
За 1 булку и 4 бублика за-
платили 68 коп., а за 2 бул-
ки и 3 бублика — 76 коп.
Найдите цену булки и цену
бублика.
0
Прямая у = kx + Ь проходит через
точки А и В. Найдите числа k и Ь
и запишите уравнение этой прямой,
если
А(0; 2), В(3; -1).	А(2; -5), В(0; 1).
О
Найдите значения а и Ъ, при кото-
рых решением системы уравнений
является пара х = 1, у = 1:
Jax + 4z/ = 6,	|Зх + ш/--5,
[Ьх ~3у = -2.	[7х - by = 6.
Вариант Б1
О
Решите системы
[2а + ЗЬ = 10,
а) 1
]а-2Ь = -9;
(2х -5у = 9,
б) <
[4х + 2у = 6.
0
2 гири и 3 гантели весят
47 кг, а 3 гири тяжелее 6 ган-
телей на 18 кг. Сколько ве-
сит гиря и сколько — ган-
тель?
Вариант Б2
уравнений:
(а + 2Ь = 5,
а) 1
[За-b = 8;
ГЗх-2</^8,
[бх + Зу = 9.
0
4 блокнота и 3 ручки стоят
90 коп., а 3 блокнота доро-
же 2 ручек на 25 коп. Най-
дите цену блокнота и цену
ручки.
58
АЛГЕБРА
©
График линейной функции проходит
через точки А и В. Задайте эту
функцию формулой, если:
Л(-5; 32) и В(3; -8).
О
Разность квадратов двух на-
туральных чисел равна 25, а
сумма этих чисел тоже рав-
на 25, Найдите эти числа.
А(4; -5) и В(-2; 19).
О
Разность квадратов двух на-
туральных чисел равна 64, а
разность самих чисел равна
2. Найдите эти числа.
Вариант В1	Вариант В2
О
Решите системы уравнений:
а - ЗЬ + 2 = О,
2а-46 +1 = 0;
За + 7Ь - 8 = 0,
а + 5Ь - 4 - 0;
б)
5(х + у)-7(х-у) = 10,
4 (х + г/) + 3(х - 4/) = 51.
©
Катер за 3 ч по течению и 5 ч
против течения проходит
76 км. Найдите скорость тече-
ния и собственную скорость
катера, если за 6 ч по течению
катер проходит столько же,
сколько за 9 ч против течения.
(2х - у) + 3 (2х + г/) = 32,
(2х-4/)-2(2х+4/) = 4.
©
Катер за 3 ч по течению и
5 ч против течения прохо-
дит 92 км. За 5 ч по тече-
нию катер проходит на
10 км больше, чем за 6 ч
против течения. Найдите
собственную скорость катера
и скорость течения.
©
График линейной функции проходит
через точки А и В. Задайте эту
функцию формулой, если:
А(4; 2) и В(-4; 0).	А(2; -1) и В(-2; -3).
О
Решите уравнение:
|х + у - 2| + х2 - 2ху + г/2 = 0.	|х - у - 3| + х2 - 4x4/ + 4г/2 - 0.
Годовая контрольная работа
59
К-8. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант А1
Вариант А2
О
Упростите выражения:
а) 4х4-(~2х2)3;	а) 5х2(-Зх3)2;
б)	(Зх - 1ХЗх + 1) + (Зх + I)2. б) (2х - I)2 + (2х + 1Х2х - 1).
а)	25а - ab2;
б)	За2 - ба + 3.
Разложите на множители:
а)	Ь2с - 9с;
б)	2а2 + 12а + 18.
О
Решите уравнение:
х - 4
-----ь Зх = 5.
2
О
Одно полотно разрезали на
5 равных частей, а другое,
длина которого на 10 м
больше, на 7 таких же час-
тей. Какова длина каждого
полотна?
О
Муку рассыпали в 8 одина-
ковых по весу пакетов, а са-
хар — в 6 таких же пакетов.
Сколько весит мука и сколько
весит сахар, если сахара было
на 10 кг меньше?
©
Постройте график функции
у - 2х - 3.	у - Зх - 5.
Найдите координаты точки пересе-
чения этого графика с прямой
у = -5х + 11.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Упростите выражения:
а) 5х(/3 (-2х2(/)4;	а) 10х2г/(-Зхг/2)3;
60
АЛГЕБРА
б) (2у - Зх)2 - (Зх + 2t/X2</ - Зх).
б) (х + 4г/)2 - (4у - хХх + 4у).
е
Разложите на множители:
a)	4ab3 - a3b;	a) ab3 - 9а3Ь;
б)	-9Ь - 6д2 - Ь3.	б) -25а + 10а2 - а3.
О
Решите уравнение:
5 - х 4х - 3 .	5х - 4 х + 2 _
----+------= 4 .	------------- 2.
2	3	4	3
О
Расстояние по реке между
пунктами А и В туда и обрат-
но катер проходит за 8 часов.
Найдите это расстояние, если
собственная скорость катера
8 км/ч, а скорость течения
2 км/ч.
0
Над выполнением заказа уче-
ник работал 8 часов, а мастер
выполнил такой же заказ за
6 часов. Сколько деталей со-
ставляет заказ, если мастер и
ученик за 1 час вместе изго-
товляют 7 деталей?
О
Постройте график функции
у - Зх - 5.	у - 4х - 7.
Найдите координаты точки пересе-
чения этого графика с прямой
у = х + 82.
Вариант В 1	Вариант В2
О
Упростите выражения:
а) (2х2у)3-(-ху3)2;	а) (-хяу2)‘(3ху2)3;
б)(-х - ly)2-(х+ ЧуКу - х). б) (Зх + 5у)(5у-Зх) + (-Зх~5у)г.
о
Разложите на множители:
а)	27а2 - а5;	а) %4 - 125х;
б)	а2 + 2аЬ + Ь2 - 9.	б) а2 + 4ab + 4£г - 9.
61
Годовая контрольная работа
©
Решите уравнение:
х - 2 Зх + 2 2
-----------_ — х
5	6	3
О
В первый день велосипедист
проехал на 30 км больше, чем
во второй. Какое расстояние
он проехал за два дня, если
на весь путь затрачено 5 ча-
сов, причем в первый день он
ехал со скоростью 20 км/ч, а
во второй — 15 км/ч.
х 2х -1 Л х - 9
_ +------2 =-----.
4	9	6
О
Лодка прошла по озеру па
9 км больше, чем по тече-
нию реки, затратив на весь
путь 9 часов. Какое общее
расстояние прошла лодка,
если ее скорость по озеру
6 км/ч, а скорость течения
— 3 км/ч.
©
Постройте график уравнения
2х - Зу = 5.	4х + Зу = 7.
Найдите на графике точки, у кото-
рых абсцисса и ордината равны по
модулю.
ГЕОМЕТРИЯ
(по Атанасяну)
Начальные геометрические
сведения
С-1. ПРЯМАЯ И ОТРЕЗОК. ЛУЧ И УГОЛ1
Вариант А1	Вариант А 2
О ....
А В С D
На прямой отмечены точки А, В, С, D.
а)	Какие из данных точек принадлежат
отрезку BD?	отрезку АС?
б)	Отметьте
на отрезке АС точку Е та- на отрезке BD точку F та-
кую, что Е ё АВ.	кую, что F & ВС.
в)	Проведите прямую, которая
пересекала бы отрезок AD, пересекала бы отрезок AD,
но не пересекала отрезок АС. но не пересекала отрезок BD.
Дан угол ВОС и точка А, лежащая в
его внутренней области.
а)	Постройте луч А К, который
пересекал бы луч ОВ, но не пересекал бы луч ОС, но не
пересекал луч ОС.	пересекал луч ОВ.
1 Здесь и в дальнейшем в задачах рассматриваются углы с градусной мерой
не больше 180°.
Начальные геометрические сведения
103
б)	Постройте луч OD так, чтобы
угол DOC был развернутым. угол DOB был развернутым.
в)	Лежит ли точка А во внутренней области
угла BOD?	угла COD?
0
Каждая из трех прямых а, Ь, с
пересекается с двумя другими.
Могут ли эти прямые иметь
менее трех точек пересече- более одной точки Пересе-
ния?	чения?
Ответ объясните.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
А В С D Е
На прямой отмечены точки А, В, С, D, Е.
а)	Какие из данных точек
принадлежат отрезку AD, но принадлежат отрезку BE, но
не принадлежат отрезку СЕ? не принадлежат отрезку АС?
б)	Отметьте точку Я так, чтобы
выполнялись условия
К е АЕ, К £ BD, De СК.	К е AD, К ВС, Be СК.
в)	Проведите прямую, которая
пересекала бы отрезки
AD и СЕ.	АС и BE.
©
Дан угол АОВ и точка С, не лежащая
в его внутренней области.
а)	Постройте луч CD, который
пересекал бы лучи ОА и ОВ. не пересекал бы лучи ОА и ОВ.
104
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
б)	Постройте
развернутый угол СОК.	развернутый угол FOC.
в)	Какие из точек А, В, С лежат
во внутренней области
угла КО А?	угла AOF1
О
Какое наименьшее число прямых
нужно провести на плоскости,
чтобы они имели
три точки пересечения?	четыре точки пересечения?
Ответ подтвердите чертежом.
Вариант В 1	Вариант В2
О
А В С D Е F
На прямой отмечены точки А, В, С,
D, Е, F.
а)	Какие из данных точек
принадлежат лучу BE и от- принадлежат лучу ЕА и от-
резку AD?	резку FC?
б)	Точка X удовлетворяет условиям -
X е BF, X е AD, F t СХ	X е АЕ, X е CF, А е XD
и совпадает с одной из данных то-
чек. С какой?
в)	Проведите прямую, пересекающую
отрезок ВС,	отрезок DE,
и назовите все отрезки с концами
в данных точках, которые пересе-
каются с этой прямой.
0
А\ В/
\	/ ,К
О с
Начальные геометрические сведения
105
Лучи ОА, ОВ и ОС имеют общее
начало в точке О. Точка К лежит
во внутренней области угла ВОС.
а) Постройте точку В, такую, что
из нее можно провести луч,
пересекающий все три дан-
ных луча в трех различных
через нее можно провести
прямую, 'не пересекающую
ни один из данных лучей.
точках.
б) Постройте развернутый угол
с вершиной в точке О так, чтобы
точки А и В лежали внутри точки В и С лежали внутри
этого угла.	этого угла.
в) Назовите все неразвернутые
углы, во внутренней области которых
лежит точка К.
©
Определите, могут ли четыре раз-
личные прямые иметь
три точки пересечения.	пять точек пересечения.
Ответ подтвердите чертежом.
С-2. СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ
ОТРЕЗКОВ
Вариант А1	Вариант А2
О
На отрезке АС отмечена точка В.
Известно, что
АС = 16 см, АВ = 11 см.	АС - 20 см, ВС = 13 см.
а)	Сравните длины отрезков АВ и ВС.
б)	Найдите расстояние от точки В
до середины отрезка АС.
©
На прямой отмечены точки М, N, К
так, что
106
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
MN = 3 дм, NK - 9 дм,	MN = 8 дм, NK ~ 6 дм,
МК = 6 дм.	МК = 2 дм.
Какая из трех точек лежит между
двумя другими?
©
Отметьте ту часть отрезка АВ, где
может располагаться точка S, если
AS > BS.	AS < BS.
Вариант Б 1	Вариант Б 2
• На отрезке АС отмечена точка В.
Известно, что
АС - 21 см, а АВ больше АС = 28 см, а АВ меньше
ВС на 5 см.	ВС в 3 раза.
а)	Найдите длины отрезков АВ и ВС.
б)	Найдите расстояние от точки В
до середины отрезка АС.
Па прямой отмечены точки М, N, К
так, что
MN = 4 дм, МК = 9 дм.	MN = 7 дм, NK - 5 дм.
Какой может быть длина	Какой может быть длина
отрезка NK?	отрезка МК?
Рассмотрите два случая.
©
Отметьте ту часть прямой АВ, где
может располагаться точка S, если
AS > BS.	AS < BS.
Вариант В 1	Вариант В 2
О
На отрезке АС отмечена точка В.
Известно, что
АВ : АС = 2:7, а ВС - 10 см. ВС : АС = 3:5, а АВ = 4 см.
а) Найдите длины отрезков АВ и ВС.
Начальные геометрические сведения
107
б) Найдите расстояние от точки В
до середины отрезка АС.
©
На прямой отмечены точки М, N,
К, Р так, что
MN = 3 дм, NK - 1 дм,	MN = 2 дм, NK = 3 дм,
КР = 4 дм.	КР = 5 дм.
Какой может быть длина отрезка МР1
Рассмотрите все возможные случаи.
О
На данной прямой АВ укажите все
точки S, удовлетворяющие условию
AS = 3BS.	BS = 3AS.
С-З.СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ
УГЛОВ
Вариант А1	Вариант А2
О
Луч ОВ делит угол А ОС на два угла.
а)	Найдите углы АОВ и ВОС, если
ЛАОС = 120 °, а угол АОВ в ЛАОС = 150 °, а угол АОВ в
3 раза больше угла ВОС.	4 раза меньше угла ВОС.
б)	Луч OD — биссектриса угла АОС.
Найдите угол BOD.
©
0 м
На рисунке ЛКОМ = 90° , ОР —
биссектриса угла LOM.
Найдите ЛМОЬ, если Найдите ЛМОЬ,
ЛРОК = 70°.	ЛКОР = 50 °.
если
108
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Угол, равный 120°, разде-
лен тремя лучами на четыре
равных угла. Сколько углов,
равных 60°, при этом
образовалось?
Вариант Б 1
©
Угол, равный 160°, разде-
лен тремя лучами на четыре
равных угла. Сколько углов,
равных 80°, при этом
образовалось?
Вариант Б2
О
Луч ОВ делит угол АОС на два угла.
а)	Найдите углы АО В и ВОС, если
ZBOC = 80 °, а угол АОС в	ZBOC = 60 °, а угол АО В в
3 раза больше угла АОВ.	4 раза меньше угла АОС.
б)	Луч OD — биссектриса угла АОС,
Найдите угол BOD.
На рисунке луч ОК — биссектриса
угла N0M, а луч ОР - биссектриса
угла КОМ.
Найдите ZPON, если
ZPOM = 15°.
©
Угол, равный 150°, разде-
лен лучами, исходящими из
вершины, на пять равных
углов. Сколько прямых углов
при этом образовалось?
Найдите ZP0M , если
ZP0N = 75°.
©
Угол, равный 150°, разделен
лучами, исходящими из вер-
шины, на пять равных углов.
Сколько углов, равных 60°,
при этом образовалось?
Вариант В 1
Вариант В2
О
Прямой угол разделен лучами,
исходящими из вершины, на три
Начальные геометрические сведения
109
Z 1 на 10°
Z 2 и Z 3, а
неравных угла. Найдите эти углы,
если
больше суммы
Z 1 + Z 3 - 60°.
Z 2 на 10° меньше суммы
Zin Z3, a Z1+ Z2 = 60°.
Найдите
AKOL = 80 °, АРОМ
На рисунке луч ОМ — биссектриса
угла NOK, а луч OL — биссектриса
угла NOP.
А.КОР, если
= 70°.
Найдите АРОК, если
АРОМ = 55 °, ALOK = 65 °.
Через точку на плоскости проведены
три прямые.
Какое наименьшее количе-
ство острых углов может
при этом образоваться?
Какое наибольшее количе-
ство тупых углов может при
этом образоваться?
С-4. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Вариант А 1	Вариант А2
О
Один из смежных углов
в 2 раза больше другого.	в 7 раз меньше другого.
Найдите эти углы.
0
Найдите все неразвернутые углы,
образованные при пересечении двух
прямых, если
один из них равен 29°.	один из них равен 134°.
110
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Углы АОВ и ВОС — смежные.
Луч DO перпендикулярен к лучу ВО
и делит угол ВОС на два угла.
Найдите ACOD, если Найдите ZAOB, если
ZAOB - 35°.	ZCOD =50°.
Вариант Б 1	Вариант Б2
О
Один из смежных углов
на 30° больше другого.	на 50° меньше другого.
Найдите эти углы.
©
Найдите все неразвернутые углы,
образованные при пересечении двух
прямых, если
сумма трех из них равна 307°. сумма двух из них равна 212°.
©
Углы АОВ и ВОС — смежные. Пря-
мая DO перпендикулярна к прямой
АС. Какой может быть величина
угла DOB, если
ЛАОВ= 70°?	ZBOC-100°?
Рассмотрите два случая.
Вариант В1	Вариант В2
о
Найдите смежные углы, если
их разность и их сумма их разность и их сумма
относятся как 2:9.	относятся как 5:18.
©
Найдите все неразвернутые углы,
образованные при пересечении двух
прямых, если
один из них на 60° больше один из них на 240° меньше
суммы двух других.	суммы двух других.
Начальные геометрические сведения
111
©
Через точку пересечения двух пер-
пендикулярных прямых проведена
третья прямая. Найдите среди об-
разованных углов
наибольший тупой, если наи-
больший острый равен 70°.
наименьший острый, если
наименьший тупой равен 115°.
С-5*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ОБ ОТРЕЗКАХ И УГЛАХ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
О
Вариант 2
Определите наибольшее и наи-
меньшее число точек пересечения
четырех попарно пересека-
ющихся отрезков.
четырех попарно пересекаю-
щихся лучей.
©
На прямой отмечены точки А и В
так, что АВ = 6. Укажите на дан-
ной прямой расположение точки
(или множества точек) С, удовле-
творяющих условию:
а)	АС > СВ',
б)	АС -г СВ - 7;
в)	АС - СВ - 2;
г)	СВ = ЗАС.
а)	АС < СВ\
б)	АС + СВ = 8;
в)	СВ - АС = 4;
г)	АС - 2СВ.
©
На плоскости отмечены точки
М, N, К так, что
MN = 10, NK = 6.
= 8, NK = 7.
112
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Найдите наибольшее и наименьшее
расстояния между точками М и К.
О
Докажите, что
угол, дополняющий мень-
ший из двух смежных углов
до прямого, равен по-
луразности этих смежных
углов.
если а и Р - смежные углы,
то 2 |сх - 90° | = |а - р|.
©
Через точку О проведены три прямые.
Известно, что один из обра-
зованных при этом углов -
прямой. Сколько еще образо-
валось прямых углов с вер-
шиной в точке О?
©
Два равных угла имеют
общую вершину, а биссек-
триса одного из них являет-
ся продолжением биссек-
трисы другого. Докажите,
что данные углы - верти-
кальные.
Рассмотрите тройки несо-
седних углов, сумма кото-
рых равна 180°. Сколько
таких троек образовалось?
©
Два угла имеют общую .сто-
рону, а биссектрисы этих
углов взаимно перпендику-
лярны. Докажите, что дан-
ные углы - смежные.
К-1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
Вариант А1
О
Вариант А2
На отрезке АВ отмечены точки Си/).
а) Найдите длину отрезка
CD, если АВ = 8,4 см, АС =
= 2,1 см, BD = 1,3 см.
а) Найдите длину отрезка
АС, если АВ = 9,2 см, BD =
= 1,9 см, CD = 6,3 см.
б) Какая из данных точек лежит
между точками В и С?
Начальные геометрические сведения
113
©
М\ N
А
На рисунке BN - биссек-
триса угла МВС.
а)	Найдите ZABM , если
ZMBN =55°.
б)	Постройте угол АВК, вер-
тикальный с углом NBC, и
найдите его градусную меру,
в) Найдите градусную меру
угла СВК.
О
Угол АОВ, равный 135°,
разделен лучами ОС и OD на
три равных угла. Сколько пар
перпендикулярных лучей об-
разовалось при делении?
Вариант Б1
в с
На рисунке ВМ ~ биссек-
триса угла ABN.
а)	Найдите /LNBC, если
Z.MBN = 65°.
б)	Постройте угол СВК, вер-
тикальный с углом АВМ, и
найдите его градусную меру.
в)	Найдите градусную меру
угла АВК.
©
Угол АОВ, равный 120°, раз-
делен лучами ОС, OD и ОЕ на
четыре равных угла. Сколько
пар перпендикулярных лучей
образовалось при делени?
Вариант Б2
О
На отрезке АВ отмечены точки С и D.
а)	Найдите длину отрезка а) Найдите длину отрезка
AD, если АС = 1,2 см, ВС = BD, если АС = 2,4 см, СВ =
= 5 см, BD ~ 3,8 см.	== 7,6 см, AD ~ 6 см.
б)	Какая из данных точек лежит
между точками В и С?
АВС
На рисунке BN - биссек- На рисунке ВМ - биссек-
триса угла МВС.	триса угла ABN.
114
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
а)	Найдите AN ВС , если он
на 15° меньше угла АВМ.
б)	Постройте угол АВК, вер-
тикальный с углом МВС, и
найдите его градусную меру.
в)	Найдите градусную меру
угла NBK.
а)	Найдите ААВМ , если он
на 15° больше угла NBC.
б)	Постройте угол СВК, вер-
тикальный с углом ABN, и
найдите его градусную меру.
в)	Найдите градусную меру
угла МВК,
О
Через точку О проведены прямые
а, Ъ, с, d так, что а ± Ь, с ± d.
Найдите острый угол между
прямыми а и d, если тупой
угол между прямыми b и с
равен 110°.
Найдите тупой угол между
прямыми а и с, если острый
угол между прямыми Ъ и d
равен 20°.
Вариант В1	Вариант В2
О
На отрезке АВ отмечены точки Си/).
а)	Найдите длину отрезка
CD, если АВ =11 см, ВС =
= 7,2 см, AD = 6,9 см.
а) Найдите длину отрезка
CD, если АВ = 10 см, AD =
= 6,1 см, ВС ~ 7,1 см.
б)	Какая из данных точек лежит
между точками В и С?
0
А
На рисунке BN - биссек-
триса угла МВС.
а)	Найдите AN ВС, если
градусные меры углов АВМ
и NBC относятся как 8:5.
б)	Постройте луч ВК - про-
должение луча ВМ, и
назовите все образованные
пары вертикальных углов.
В С
На рисунке ВМ - биссек-
триса угла ABN.
а) Найдите AABN, если
градусные меры углов АВМ
и NBC относятся как 11:14.
б) Постройте луч ВК ~ про-
должение луча BN, и назо-
вите все образованные пары
вертикальных углов.
Начальные геометрические сведения
115
в)	Найдите угол между бис-
сектрисами углов АВК и
MBN.
в) Найдите угол между бис-
сектрисами углов СВК и
NBC.
©
Через точку О проведены прямые
а, Ь, с, d так, что а ± b, с ± d.
Найдите наибольший из
образованных острых углов,
если наибольший из обра-
зованных тупых углов ра-
вен 140°.
Найдите наименьший из
образованных острых углов,
если наименьший из обра-
зованных тупых углов ра-
вен 110°.
116
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Треугольники
С-6. ТРЕУГОЛЬНИК.
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
Вариант А2
О
Треугольники АВС и MNK равны.
Известно, что
АВ = MN, ВС = NK,	ZA - AM, АВ = AN, ВС =
АС = 75°, МК - 4 см. Най-	= 8 см, АК = 32°. Найдите
дите АС и АК .	NK и АС .
Доказать: AAOD - АВОС.
Дано: АВ = AD,
ABAC = ADAC.
Доказать: ААВС = AADC.
Треугольники АВС и А^С^
равны (см. рисунок). Точки
М и - середины отрезков
Треугольники АВС и А^С}
равны (см. рисунок). Точки
D и D} - середины отрезков
Треугольники
117
АВ и АХВ] соответственно.
Докажите, что СМ = С}М}.
Вариант Б1
АС и AjCj соответственно
Докажите, что BD == BXD}.
Вариант Б2
О
Треугольники АВС и MNK равны.
Известно, что
za - zw, zb - z#,zc < zb.
Сравните углы М и К.
е
АС - MN, ВС = KN, АВ>АС.
Сравните отрезки МК и MN.
Дано: AD = ВС, Zl = Z2.
Доказать: AADB = ACBD.
Дано: АС = DC, Zl - Z2.
Доказать: ААВС = ADBC.
На рисунке ААОВ = ACOD.
Докажите, что AD = ВС.
На рисунке AAOD - АСОВ.
Докажите, что АВ = CD.
Вариант В1
Вариант В2
О
Треугольники АВС и MNK равны.
Известно, что
АВ == NK, BOMN, АС<МК.
Найдите в треугольнике
MNK угол, равный углу В.
ZB - ZM, ZA > Z.K, ЛС < /-N.
Найдите в треугольнике
АВС сторону, равную сто-
роне MN.
118
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
е
A	D
Дано: АС = BD, /LCAD=ZBDA
Доказать: AABD = ADCA.
Дано: АВ = ВС, AD = СЕ.
Доказать: ААВЕ = ACBD.
На рисунке ААВС = A.CDA.
Докажите равенство тре-
угольников ABD и CDB.
На рисунке AABD - ACDB.
Докажите равенство тре-
угольников АВС и CDA.
С-7. МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА
И ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА.
СВОЙСТВО РАВНОБЕДРЕННОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А 1
О
Периметр равнобедренного
треугольника равен 34 см.
Найдите стороны треугольни-
ка, если его основание на 2 см
меньше боковой стороны.
Вариант А2
О
Периметр равнобедренного
треугольника равен 28 см.
Найдите стороны треугольни-
ка, если его основание на 4 см
больше боковой стороны.
е
Треугольники
119
В равнобедренном треуголь-
нике АВС с основанием АС
на медиане BD выбрана точ-
ка М. Докажите равенство
треугольников АВМ и СВМ.
©
В треугольнике MNK MN =
= NK. Точки А, В и С -
середины сторон МК, MN и
NK соответственно. Дока-
жите, что Z.MAB = ZKAC.
Вариант Б1
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС к основанию
АС проведена биссектриса
BD, равная 7 см. Найдите
периметр треугольника АВС,
если периметр треугольника
ABD равен 18 см.
В равнобедренном треуголь-
нике АВС с основанием АС
на высоте BD выбрана точ-
ка М. Докажите равенство
треугольников AMD и CMD.
©
В треугольнике MNK MN =
= NK. Точки А, В и С -
середины сторон МК, MN и
NK соответственно. Дока-
жите, что Z.MBA = ZKCA.
Вариант Б2
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС к основанию
АС проведена высота BD,
равная 8 см. Найдите пери-
метр треугольника BDC,
если периметр треугольника
АВС равен 38 см.
В равнобедренном тре-
угольнике АВС с основани-
ем АС на продолжении вы-
соты ВМ выбрана точка D.
Докажите, что треугольник
ADC “ равнобедренный.
©
В треугольнике MNK на
равных сторонах MN и NK
D
В равнобедренном тре-
угольнике ADC с основани-
ем АС на продолжении ме-
дианы DM выбрана точка
В. Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный.
©
В треугольнике MNK на
равных сторонах MN и NK
120
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
выбраны точки А и В соот-
ветственно так, что МА = КВ.
Найдите длину отрезка КА,
если МВ - 3 см.
Вариант В 1
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС с основани-
ем АС к боковой стороне АВ
проведена ^медиана CD, рав-
ная 13 см. Периметр тре-
угольника DBC больше пе-
риметра треугольника ADC
на 19 см. Найдите стороны
треугольника АВС, если его
периметр равен 53 см.
выбраны точки А и В соот-
ветственно так, что NA ~ NB.
Найдите длину отрезка МВ,
если КА^ 7 см.
Вариант В2
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС с основани-
ем АС к боковой стороне ВС
проведена медиана AD, рав-
ная 13 см. Найдите стороны
треугольника АВС, если
периметры треугольников
ABD и ADC равны 49 см и
30 см соответственно.
е
В равнобедренном треугольнике
АВС с основанием АС медианы
AAt и ССГ пересекаются в точке О.
Найдите среди образовавшихся
треугольников два равных тре-
угольника
с общим углом В	с общей стороной АС
и докажите их равенство.
©
На продолжении основания
MN равнобедренного тре-
угольника MBN выбраны
точки А и В так, что AN =
= МС (см. рисунок). Найди-
На основании АС равнобед-
ренного треугольника АВС
выбраны точки М и N так,
что AN = МС (см. рисунок).
Найдите длины отрезков
Треугольники
121
те длины отрезков АВ и ВС,
если АС = 14 см, Рддвсг"
= 42 см.
МВ и BN, если MN = 6 см,
Р ДМ BN = 22 см.
С-8. ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А 1
Вариант А2
О
в
Дано: АО = DO, ЛА = AD.
Доказать: ААОВ = ADOC.
АВ = AD, СВ = CD.
Доказать: ZB = ZD.
Дано: BD - биссектриса
ZABC, AADB = ZCDB.
Доказать: /\ABD = ACBD.
е
о
Докажите признак равенст-
ва равнобедренных тре-
угольников по основанию и
углу при основании.
Дано: АВ = AD, СВ = CD.
Доказать: ZB = ZD.
©
Докажите признак равенст-
ва равнобедренных треуго-
льников по основанию и
боковой стороне.
122
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Вариант Б1
О
Вариант Б2
о
Дано: АО = DO, Zl = Z2.
Доказать: АЛОВ = ADOC.
О
во = ос.
Доказать: &АОВ = ADOC.
О
Дано: AD = ВС, АВ = CD.
Доказать: ZA ~ Z.C.
О
Докажите признак равенст-
ва треугольников по высоте
и двум углам, на которые она
делит угол треугольника.
В ар и а н т В 1
Дано: AD = ВС, АВ = CD.
Доказать: ZB = ZD.
О
Докажите признак равенст-
ва треугольников по двум
сторонам и медиане, прове-
денной к одной из них.
Вариант В2
О
Дано: АВ = ВС, Zl = Z2.
Доказать: АЕ = CD.
в с
A	D
Дано: Zl = Z2, Z3 = Z4.
Доказать: ZB = ZC.
Треугольники
123
Дано: АС = BD, АВ = CD.
Доказать: ZB = ZC.
Дано: АС = BD, АВ = CD.
Доказать: ZA = ZD.
0
Используя дополнительные
построения, докажите
признак равенства треугольников
по двум сторонам и медиа-	по медиане и двум углам,
не, исходящим из одной	на которые она делит угол
вершины.	треугольника.
С-9. ОКРУЖНОСТЬ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
НА ПОСТРОЕНИЕ
Вариант А1	Вариант А2
О
Точки А, В, С, D лежат на
окружности с центром в точке О.
Докажите, что если
ZAOB = ZCOD, то АВ = CD.
0
Дан отрезок АВ. Постройте
его середину - точку С. На
луче АВ постройте отрезок
CD, равный АВ.
АС = BD, то ZAOC = ZBOD.
е
Дан острый угол АВС. По-
стройте его биссектрису -
луч ВМ. Постройте угол
MBN, равный углу АВС.
124
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Дан отрезок АВ. Постройте
окружность радиуса АВ
такую, чтобы точки А и В
лежали на окружности.
Постройте хорду АС, пер-
пендикулярную к хорде АВ.
Вариант Б 1
©
Дан отрезок АВ и лежащая
на нем точка С. Постройте
окружность с диаметром
АВ. Постройте хорду этой
окружности, проходящую
через точку С и перпенди-
кулярную к АВ.
Вариант Б2
О
Отрезок AD — диаметр окружности
с центром в точке О. На окружно-
сти отмечены точки В и С так, что
хорды АВ, ВС и CD равны.
Найдите величину угла АОС.
е
Дан произвольный тре-
угольник АВС. Постройте
его медиану ВМ. Постройте
биссектрису угла ВМС.
©
Дана прямая а и точка М,
не лежащая на ней. По-
стройте прямую, проходя-
щую через точку М и пер-
пендикулярную к прямой а.
Постройте окружность с
центром в точке М, имею-
щую с прямой а одну об-
щую точку.
Найдите величину угла BOD.
©
Дан произвольный тре-
угольник АВС. Постройте его
биссектрису ВМ. Постройте
середину отрезка ВМ.
©
Дан отрезок АВ. Постройте
прямую а, перпендикуляр-
ную к данному отрезку и
проходящую через его сере-
дину. Постройте окружность
радиуса 0,5АВ с центром на
прямой а, имеющую с отрез-
ком АВ одну общую точку.
Вариант В 1
Вариант В2
О
Точка А лежит на окружности с
центром в точке О. АВ и АС ~ рав-
Треугольники,
125
ные хорды окружности, AD — ее
диаметр. Докажите, что
биссектриса угла BDC. AD ~ биссектриса угла ВАС.
DA -
е
В треугольнике АВС угол В -
тупой. Постройте отрезок
АН - высоту треугольника
АВС, и отрезок AM ~ бис-
сектрису треугольника АВН.
О
Дана прямая а и точки М и
N такие, что М g a, N £ а.
Постройте на прямой а
точку К, равноудаленную от
точек М и N. Постройте
окружность, проходящую
через точки М, К и N.
0
В треугольнике АВС угол С -
тупой. Постройте отрезок
AM - медиану треугольника
АВС, и отрезок АН - высоту
треугольника АСМ.
©
Дан неразвернутый угол
MNK и прямая а, пересека-
ющая его стороны (точки М
и К не лежат на прямой а).
Постройте па прямой а точку
О такую, что AMNO =~-
= AON К. Постройте окруж-
ность, проходящую через точ-
ки М, К и О.
К-2.
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Вариант А 1
О
Вариант А2
тре-
с
На данном рисунке
угольник АВС - равнобед-
ренный с основанием АС,
AABD = АСВЕ.
На данном рисунке тре-
угольник АВС - равнобед-
ренный с основанием АС,
AD = СЕ.
126
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
а)	Докажите, что треуголь-
ник DBE - равнобедрен-
ный.
б)	Найдите ZADB , если
ABED = 70°.
©
Дан отрезок и неразверну-
тый угол. Постройте точку,
лежащую на биссектрисе
данного угла и удаленную
от вершины угла на рас-
стояние, равное длине дан-
ного отрезка.
О
В окружности с центром О
проведена хорда АВ. ОС -
радиус окружности, пер-
пендикулярный к АВ. До-
кажите равенство хорд АС и
ВС.
Вариант Б1
О
А
На данном рисунке тре-
угольник DBE - равнобед-
ренный с основанием DE,
ЛАВЕ - ЛВВС.
а) Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный.
а)	Докажите, что треуголь-
ник DBE - равнобедрен-
ный.
б)	Найдите ЛВВЕ, если
ЛВЕС = 115°.
О
Дан отрезок и прямая. По-
стройте прямую, перпенди-
кулярную к данной, и от-
метьте на ней точки, уда-
ленные от точки пересече-
ния прямых на расстояние,
равное длине данного от-
резка.
©
В окружности с центром О
проведена хорда АВ. ОС -
радиус окружности, пер-
пендикулярный к АВ. До-
кажите, что луч СО - бис-
сектриса угла АС В.
Вариант Б2
На данном рисунке тре-
угольник DBE ~ равнобед-
ренный с основанием DE,
АЕ - DC.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный.
Треугольники
127
б)	Найдите Z.BDE, если
сумма углов BDA и ВЕС
равна 230°.
©
Дан отрезок АС. Постройте
его середину - точку D.
Постройте точку В такую,
чтобы отрезок BD был ра-
вен отрезку АС и являлся
биссектрисой равнобедрен-
ного треугольника АВС,
©
Докажите, что если в тре-
угольнике два угла равны,
то биссектрисы этих углов
также равны.
б) Найдите АВЕС, если
сумма углов BDE и BED
равна 140°.
О
Дан неразвернутый угол с
вершиной В. Постройте его
биссектрису. Выберите на
биссектрисе угла точку D и
постройте на сторонах угла
точки А и С такие, чтобы
отрезок BD был медианой
равнобедренного треуголь-
ника АВС.
©
Докажите, что если в тре-
угольнике две стороны рав-
ны, то медианы, проведен-
ные к этим сторонам, также
равны.
Вариант В1
Вариант В2
О
На данном рисунке высота
треугольника АВС является
медианой треугольника
DBE, AD = СЕ.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный.
б)	Найдите Z1, если
Z2 + Z3 - Z4 = 30°.
На данном рисунке высота
треугольника АВС является
биссектрисой треугольника
DBE, ZABD = ZCBE.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный.
б)	Найдите Z2, если
Zl + Z4 - Z3 = 165°.
128
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
О
Дан угол АОВ и точка С внутри
него. Постройте прямую, которая
проходит через точку С
и пересекает лучи ОА и ОВ и отсекает на лучах ОА и
под равными углами.	ОВ равные отрезки.
О
Две окружности с равными радиу-
сами пересекаются в двух точках.
Докажите, что их общая
хорда перпендикулярна к
отрезку, соединяющему цент-
ры окружностей.
Докажите, что отрезок, сое-
диняющий центры окруж-
ностей, делит пополам их
общую хорду.
Параллельные прямые
129
Параллельные прямые
С-10. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ПРЯМЫХ. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРЯМЫХ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Вариант А1	Вариант А2
О	о
По данным рисунка докажите, что а ||Ь .
Дано: AD = ВС, АВ = CD.
Доказать: АВ||ВС.
Дано: АО - СО, ВО - DO.
Доказать: AD\\ВС.
О
Через точки А и С проведи-
те прямые лис, парал-
лельные BD. Верно ли, что
all с? Ответ объясните.
Через точки С и D проведи-
те прямые с и d, парал-
лельные АВ. Верно ли, что
c||d? Ответ объясните.
5 Самост. и контр, алгебра и геометрия 7 класс
130
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Вариант Б 1	Вариант Б2
о	о
а_____1/4	а \________
/	А
Ъ />,______ &__________________X
з\
Дано: ZL-Z2=20°, Z3=80°. Дано: Z1 = 120°, Z3 = 2Z2.
Параллельны ли прямые а и Ь?
0
А	С
Дано: AD = BE, ZA = Z.E,
FE = AC.
Доказать: ВВ||ВС.
О
Точка D - середина стороны
АВ треугольника АВС. Че-
рез точки В и D проведены
прямые bud, параллель-
ные АС. Пересекаются ли
прямые b и d? Ответ объяс-
ните.
Дано: AD = CF, ZC = ZF,
FE = СВ.
Доказать: АВ||ЛЕ.
©
Точка К - середина стороны
ВС треугольника АВС. Че-
рез точки С и К проведены
прямые с и /г, параллельные
АВ. Пересекаются ли пря-
мые с и k? Ответ объясните.
Вариант В2
О
а А
В С
Дано: АС = ВС, Zl - Z2 .
Дано: АС = ВС, Zl = Z2 .
Параллельны ли прямые а и Ь?
Параллельные прямые
131
Дано: АВ = BD, CD - DE,
АЕ = АС.
Доказать: BD\\ АЕ.
©
АВ и АС - равные хорды
окружности с центром О.
Проведите через точки О и
А прямые, параллельные ВС.
Какие углы образуют эти
прямые с диаметром AD?
Дано: АВ = ВС, AD = DC,
BE = ED.
Доказать: BC||,DE.
©
АВ и АС - равные взаимно
перпендикулярные хорды
окружности. Проведите че-
рез точки В и С прямые,
параллельные диаметру AD.
Какие углы образуют эти
прямые с данными хордами?
С-11. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРЯМЫХ
Вариант А1
О
Вариант А2
О
Дано: а||b, Z1 = 132°.
Найти: Z2, Z3.
Дано; а||b, Z1 = 47°.
Найти: Z2 , /3 .
132
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
е
В треугольнике ABC Z.B -
= 90°. Через вершину С про-
ведена прямая, которая па-
раллельна стороне АВ и
образует с АС угол 36°.
Найдите углы А и С.
О
В треугольнике ABC /LB =
= 90°. Через вершину В про-
ведена прямая, которая па-
раллельна стороне АС и
образует с АВ угол 48°.
Найдите углы А и С.
По данным рисунка найдите угол х.
Вариант Б 1
О
Вариант Б2
О
Дано: а||&, Zl + Z2=250°.
Найти: Z3.
Дано: a||i>, Z1 + Z2 =86°.
Найти: Z3.
0
Дан угол АВС, равный 82°.
Через точку D, лежащую на
его биссектрисе, проведена
прямая, параллельная пря-
мой ВС и пересекающая
сторону АВ в точке Е. Най-
дите углы треугольника
BDE.
0
Через точку D, лежащую на
биссектрисе ВМ неразвер-
нутого угла АВС, проведена
прямая, параллельная пря-
мой АВ и пересекающая
сторону ВС в точке Е. Най-
дите углы треугольника
BDE, если	64°.
Параллельные прямые
133
По данным рисунка найдите угол х.
Вариант В 1
О
Дано: а || 6, Zl + Z2 + Z3 =
- 290°.
Найти: Zl, Z2, Z3.
©
Внутри неразвернутого угла
АВС проведены параллель-
ные лучи AD и СЕ, Найдите
ZABC, если ZDAB = 132°,
ZBCE = 118°.
Дано: а|| b, Zl + Z2 - Z3 =
= 145°.
Найти: Zl, Z2, Z3.
©
Вне неразвернутого угла
АВС проведены параллель-
ные лучи AD и СЕ, Найдите
ZABC, если ZDAB-68°,
ЛВСЕ - 42°.
©
По данным рисунка найдите угол х.
134
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
К-З. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ПРЯМЫЕ
Вариант А1
О
Вариант А2
О
На данном рисунке Z1 =
= 82°, /2 = 119°, Z3=82°.
а) Найдите Z4 .
б) Сколько углов, равных
Z4, изображено на рисун-
ке? Отметьте эти углы.
е
Из точек А и В, лежащих
на одной из сторон данного
острого угла, проведены
перпендикуляры АС и BD
ко второй стороне угла.
а)	Докажите, что АС||ВВ.
б)	Найдите AABD, если
АСАВ =125°.
На данном рисунке Z1 =
- 112°, /2=68°, Z3=63°.
а) Найдите Z4 .
б) Сколько углов, равных
Z4, изображено на рисун-
ке? Отметьте эти углы.
©
Из точек С и В, лежащих
на одной из сторон данного
острого угла, проведены
перпендикуляры к этой
стороне, пересекающие вто-
рую сторону угла в точках
А и В соответственно.
а)	Докажите, что АС||ВВ.
б)	Найдите АСАВ, если
ZABB =55°.
©
На сторонах АВ и ВС
треугольника АВС отмечены
точки D и Е соответственно.
Докажите, что
если ABDE - ABAC, то если ABED = ZBCA, то
ABED = ZBCA .	ABDE = ABAC .
Параллельные прямые
135
Вариант Б1
О
Вариант Б2
О
На данном рисунке ОС -
биссектриса угла АОВ,
/1 = 128°, Z2 = 52°.
а) Докажите, что АО = АС.
б) Найдите ZACO .
О
Дан угол АВС, равный 52°.
Через точки А и В проведе-
ны прямые AD и ВК, пер-
пендикулярные к прямой
ВС (точки А и К лежат по
одну сторону от ВС).
а)	Найдите ZBAD.
б)	Найдите ZBKA, если
/.ВАК - 40°.
©
Отрезки MN и КР пересе-
каются в точке О так, что
МО = NO и AW||MP. До-
кажите, что -КМЦМР.
Вариант В1
На данном рисунке Z1 =
= 130°, Z2 = 72°, Z3 = 50°.
Найдите Z4 .
На данном рисунке ОС -
биссектриса угла АОВ,
Z1 = 128°, Z2=52°.
а) Докажите, что АО = АС.
б) Найдите ZACO .
©
Дан угол АВС, равный 115°.
Через точки А и В проведе-
ны прямые AD и ВК, пер-
пендикул*ярные к прямой
ВС (точки А и К лежат по
одну сторону от ВС).
а)	Найдите Z.BAD .
б)	Найдите ЛАК В, если
ЛВАК = 36°.
©
Отрезки КМ и NP пересе-
каются в точке О так, что
KN = МР и ХДГЦМР. До-
кажите, что 7£Р||М2У.
Вариант В2
О
На данном рисунке Z1 ~
- 25°, Z2=82°, Z3 = 155°.
Найдите Z4 .
136
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
0
Из точек А и В, лежащих
на одной из сторон данного
острого угла с вершиной О,
проведены перпендикуляры
АС и BD ко второй стороне
угла.
а)	Найдите ZABD, если
АСАВ = 130°.
б)	Используя дополнитель-
ное построение, найдите
угол АОС.
О
0
Из точек С и D, лежащих
на одной из сторон данного
острого угла с вершиной О,
проведены перпендикуляры
к этой стороне, пересекающие
вторую сторону угла в точ-
ках А и В соответственно.
а)	Найдите ZABD, если
АСАВ = 130°.
б)	Используя дополнитель-
ное построение, найдите
угол АОС.
О
В
D
На данном рисунке АВ||СВ,
АВ = CD, АЕ == CF. Дока-
жите, что ad||bc.
На данном рисунке АО||ВС,
AD = ВС, AF = СЕ. Дока-
жите, что АВ||СВ.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
137
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
С-12. СУММА УГЛОВ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1	Вариант А2
О
Найдите острые углы
прямоугольного треугольника,
если
один из них на 60° больше
другого.
0
Внешний угол при основа-
нии равнобедренного тре-
угольника равен 140°. Най-
дите углы треугольника.
0
Определите, является ли
треугольник АВС тупоуголь-
ным, если два его внешних
угла равны 135° и 160°.
один из них в 8 раз меньше
другого.
0
Внешний угол при вершине
равнобедренного треуголь-
ника равен 100°. Найдите
углы треугольника.
0
Определите, является ли
треугольник АВС прямо-
угольным, если два его внеш-
них угла равны 125° и 145°.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Найдите углы равнобедренного
треугольника, если
один из них на 90° больше один из них на 120° меньше
другого.	другого.
138
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
В прямоугольном треуголь-
нике градусные меры
внешних углов относятся
как 3:4:5. Найдите острые
углы этого треугольника.
©
Определите, является ли
треугольник АВС тупо-
угольным, если его биссек-
трисы пересекаются в точ-
ке О и ZAOB = 140°.
Вариант В1
0
В прямоугольном тре-
угольнике градусные меры
наибольшего и наимень-
шего внешних углов отно-
сятся как 7:5. Найдите
острые углы этого тре-
угольника.
©
Определите, является ли
треугольник АВС прямо-
угольным, если сумма его
внешних углов при верши-
нах А и В равна 270°.
Вариант В2
О
Найдите углы равнобедренного
треугольника, если
градусные меры двух из один из них в два раза
них относятся как 2:5.	меньше другого.
Сколько решений имеет задача?
©
В прямоугольном треуголь-
нике сумма двух внешних
углов при различных вер-
шинах равна 200°. Найдите
острые углы этого тре-
угольника.
©
Определите, является ли
прямоугольным треуголь-
ник, в котором сумма двух
внутренних и одного внеш-
него угла равна 180°.
©
В прямоугольном треуголь-
нике разность наибольшего
и наименьшего внешних
углов равна 70°. Найдите
острые углы этого тре-
угольника.
©
Определите, является ли
прямоугольным треуголь-
ник, в котором сумма двух
внешних и одного внутрен-
него угла равна 360°.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
139
С-13. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А 1
О
В треугольнике АВС угол В -
тупой, AD - биссектриса
треугольника. Докажите,
что AD>AB.
Вариант А2
О
В треугольнике АВС угол В -
тупой, AD - медиана тре-
угольника. Докажите, что
ZADC > ZDAC.
е
м
В треугольнике KMN ZK =•
= ZN. На высоте МН отме-
чена точка D. Докажите,
что треугольник KDN -
равнобедренный.
О
Две стороны равнобедрен-
ного треугольника равны
3 см и 8 см. Определите,
какая из них является ос-
нованием треугольника.
N
В треугольнике KDN ZK =
= ZN. На продолжении
медианы DH отмечена точ-
ка М. Докажите, что тре-
угольник KMN - равнобед-
ренный.
©
Две стороны равнобедрен-
ного треугольника равны
10 см и 4 см. Определите,
какая из них является бо-
ковой стороной.
Вариант Б1
Вариант Б2
О
В треугольнике ABC BD -
биссектриса. Докажите, что
AB>AD.
О
В треугольнике ABC BD -
биссектриса. Докажите, что
CD<CB.
140
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
На данном рисунке АВ =
= CD, ABAD = ACDA . До-
кажите, что треугольник
AOD - равнобедренный.
©
Определите, существует ли
треугольник с периметром
28 см, в котором одна из
сторон меньше другой па
4 см и меньше третьей на
9 см.
На данном рисунке АВ =
= CD, АС = BD. Докажите,
что треугольник AOD -
равнобедренный.
©
Определите, существует ли
треугольник с периметром
32 см, в котором одна из
сторон больше другой на
9 см и больше третьей на
7 см.
Вариант В1
Вариант В2
О
На катете АС прямоугольно-
го треугольника АВС (АС=
90°) отмечена точка D.
Докажите, что BA > BD > ВС.
О
В равнобедренном тупо-
угольном треугольнике АВС
с основанием АС проведена
медиана CZX Докажите, что
ABCD < ААВС < AADC .
©
D	В
Равные отрезки АВ и CD
пересекаются в точке О,
Равные отрезки АВ и CD
пересекаются в точке О,
Соотношения между сторонами и углами треугольника
141
причем AC||BD. Докажите,
что треугольник АОС - рав-
нобедренный.
е
Докажите, что любая диа-
гональ четырехугольника
меньше половины его пери-
метра.
причем АС|| BD. Докажите,
что треугольник BOD - рав-
нобедренный.
О
Докажите, что сумма диа-
гоналей четырехугольника
меньше его периметра.
С-14. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Вариант А 1
о
Высота прямоугольного
треугольника делит прямой
угол на два угла, один из
которых в 4 раза больше
другого. Найдите острые
углы данного треугольника.
0
Угол АВС равен 120°. Из
точки А проведен перпен-
дикуляр AM к прямой ВС,
Найдите длину отрезка ВМ,
если АВ = 18 см.
Вариант А2
О
Высота прямоугольного
треугольника делит прямой
угол на два угла, один из
которых на 40° больше дру-
гого. Найдите острые углы
данного треугольника.
0
Угол АВС равен 150°. Из
точки А к прямой ВС про-
веден перпендикуляр AM,
равный 12 см. Найдите
длину отрезка АВ.
0
Прямоугольные треугольники АВС и
ABD имеют общую гипотенузу АВ.
142
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Известно, что АВ ~ биссек-
триса угла CAD. Докажите,
что ВА - биссектриса угла
CBD.
Вариант Б1
О
В прямоугольном треуголь-
нике биссектриса наиболь-
шего угла пересекает гипо-
тенузу под углом 80°. Най-
дите острые углы данного
треугольника.
©
В прямоугольном треуголь-
нике АВС ЛВ ~ 90°, АВ =
~ 8 см, АС = 16 см. Найди-
те углы, которые образует
высота ВН с катетами тре-
угольника.
Известно, что ВА - биссек-
триса угла CBD. Докажите,
что АВ - биссектриса угла
CAD.
Вариант Б2
О
В прямоугольном треуголь-
нике биссектриса наимень-
шего угла пересекает катет
под углом 110°. Найдите
острые углы данного тре-
угольника.
©
В прямоугольном треуголь-
нике АВС /^С = 90о, АВ =
= 10 см, ВС = 5 см. Найди-
те углы, на которые высота
СН делит угол С.
©
Прямоугольные треугольники АВС и
ABD имеют общую гипотенузу АВ.
Известно, что АС||ВВ. До-
кажите, что AD — ВС.
Вариант В1
о
В прямоугольном треуголь-
нике медиана, проведенная
Известно, что АС — BD.
Докажите, что АЛ||ВС.
Вариант В2
о
В прямоугольном треуголь-
нике медиана, проведенная
Соотношения между сторонами и углами треугольника
143
к гипотенузе, делит прямой
угол на два угла, один из
которых в 8 раз меньше
другого. Найдите острые
углы данного треугольника.
е
В прямоугольном треуголь-
нике ABC ZB = 90°, ZA =
= 60°, AD - биссектриса
треугольника, AD = 8 см.
Найдите длину катета ВС.
к гипотенузе, образует с
гипотенузой углы, один из
которых на 100° больше
другого. Найдите острые
углы данного треугольника.
О
В прямоугольном треуголь-
нике ABC ZB - 90°, ZC =
= 30°, ВС = 18 см. Найдите
длины отрезков, на которые
биссектриса AD делит ка-
тет ВС.
D
Прямоугольные треугольники АВС и
ABD имеют общую гипотенузу АВ.
Известно, что ZCBA = ZDAB.
Докажите равенство тре-
угольников АСО и BDO.
Известно, что AD ~ ВС.
Докажите равенство тре-
угольников АСО и BDO.
С-15*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О
СООТНОШЕНИЯХ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
О
Внутренние углы треуголь-
ника относятся как 3:7:8.
Найдите отношение внеш-
них углов треугольника.
Вариант 2
О
Внешние углы треугольни-
ка относятся как 5:6:7.
Найдите отношение внут-
ренних углов треугольника.
144
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Внутренний угол треуголь-
ника равен разности двух
внешних углов, не смежных
с ним. Докажите, что
данный треугольник - пря-
моугольный.
О
Высота прямоугольного тре-
угольника делит прямой
угол па два угла, один из
которых вдвое больше дру-
гого. Докажите, что эта
высота делит гипотенузу в
отношении 3:1.
О
Биссектриса угла при осно-
вании равнобедренного тре-
угольника равна основанию
треугольника. Найдите его
углы.
©
Из точки пересечения высот
равнобедренного треуголь-
ника его основание видно
под углом 150°. Найдите
углы треугольника.
©
Сумма двух внешних углов
треугольника при разных
вершинах втрое больше
третьего внешнего угла.
Докажите, что данный тре-
угольник - прямоугольный.
О
Внешний угол прямоуголь-
ного треугольника равен
120°. Докажите, что катет,
прилежащий к этому углу,
равен среднему арифмети-
ческому отрезков, на кото-
рые высота треугольника
делит гипотенузу.
О
Биссектриса угла при осно-
вании равнобедренного тре-
угольника пересекает боко-
вую сторону под углом,
равным углу при основа-
нии. Найдите углы тре-
угольника.
©
Из точки пересечения высот
равнобедренного треуголь-
ника его боковая сторона
видна под углом 110°. Най-
дите углы треугольника.
©
Пусть BD — биссектриса треуголь-
ника АВС.
Докажите, что если Докажите, что если
АВ>ВС, то AD>DC.	AD>DC, то АВ>ВС.
Соотношения между сторонами и углами треугольника 145
К-4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
О
В треугольнике АВС угол А в
4 раза меньше угла В, а угол
С на 90° меньше угла В.
а)	Найдите углы треуголь-
ника.
б)	Сравните стороны АВ и ВС.
О
В прямоугольном треуголь-
нике АВС с гипотенузой АС
внешний угол при вершине
А равен 120°, АВ = 5 см.
Найдите длину гипотенузы
треугольника.
е
В равнобедренном тре-
угольнике MNK точка D -
середина основания МК, DA
и DB - перпендикуляры к
боковым сторонам. Дока-
жите, что DA = DB.
Вариант Б1
О
В треугольнике АВС АВ =
= 90°, CD - биссектриса тре-
угольника, ABDC = 70°.
а)	Найдите углы треуголь-
ника ACD.
б)	Сравните отрезки AD и СВ.
0
Два внешних угла тре-
угольника равны 142° и
Вариант А2
О
В треугольнике АВС угол С в
2 раза меньше угла В, а угол
В на 45° больше угла А.
а)	Найдите углы треуголь-
ника.
б)	Сравните стороны АВ и ВС.
©
В прямоугольном треуголь-
нике АВС с гипотенузой АВ
внешний угол при вершине
В равен 150°, АС + АВ =
~ 12 см. Найдите длину ги-
потенузы треугольника.
О
В равнобедренном тре-
угольнике MNK точка D -
середина основания МК, DA
и DB - перпендикуляры к
боковым сторонам. Дока-
жите, что AADN = ABDN.
Вариант Б2
О
В треугольнике АВС АА -
= 90°, BD - биссектриса тре-
угольника, AADB - 50°.
а)	Найдите углы треуголь-
ника BDC.
б)	Сравните отрезки BD и CD.
О
Два внешних угла тре-
угольника равны 150° и
6 Самосг. и контр, алгебра и геометрия 7 класс
146
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
82°. Найдите углы, на кото-
рые высота треугольника
делит его наибольший угол.
©
В остроугольном треуголь-
нике MNK из точки D -
середины стороны МК -
проведены перпендикуляры
DA и DB к сторонам MN и
NK. Докажите, что если DA —
= DB, то треугольник MNK -
равнобедренный.
Вариант В1
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС основание
АС меньше боковой стороны.
Биссектриса AD образует со
стороной ВС углы, один из
которых равен 105°.
а)	Найдите углы треуголь-
ника АВС.
б)	Сравните отрезок AD со
сторонами треугольника АВС.
©
В треугольнике ABC BD -
высота. Внешние углы тре-
угольника при вершинах А
и С равны 135° и 150° соот-
ветственно. Найдите длину
отрезка AD, если ВС = 24 см.
О
В прямоугольном треуголь-
нике MNK с гипотенузой
NK проведены биссектриса
KD и перпендикуляр DE к
78°. Найдите углы, которые
биссектриса наибольшего
угла треугольника образует
с его наибольшей стороной.
©
В остроугольном треуголь-
нике MNK из точки D -
середины стороны МК -
проведены перпендикуляры
DA и DB к сторонам MN и
NK. Докажите, что если
ZADM - ABDK, то тре-
угольник MNK - равнобед-
ренный.
Вариант В2
О
В равнобедренном тре-
угольнике АВС основание
АС больше боковой сторо-
ны. Биссектриса AD образу-
ет со стороной ВС углы,
один из которых равен 75°.
а) Найдите углы треуголь-
ника АВС.
б) Сравните отрезок AD со
сторонами треугольника АВС.
е
В треугольнике ABC BD -
высота (точка D лежит на
отрезке АС). Внешний угол
треугольника при вершине
А равен 135°, ZDBC = 60°,
AD = 8 см. Найдите длину
стороны ВС.
©
В прямоугольном треуголь-
нике MNK с гипотенузой
NK проведены биссектриса
KD и перпендикуляр DE к
Соотношения между сторонами и углами треугольника 147
гипотенузе. Докажите, что	гипотенузе. Докажите, что
если MN = 3MD, то NE =	если NE = ЕК, то MN =
= EK.	- 3MD.
С-16. ПОСТРОЕНИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1	Вариант А2
между прямой АВ и пря-
мой, проходящей через
точку С параллельно АВ.
В треугольнике ABC Z.B =90°,
АВ = 5 см, ВС = 12 см.
а)	Найдите расстояние
от точки А до прямой ВС.	от точки С до прямой АВ.
б)	Найдите расстояние
между прямой ВС и пря-
мой, проходящей через
точку А параллельно ВС.
е
Постройте прямоугольный
треугольник
по катету и гипотенузе.	по катету и прилежащему
острому углу.
О
Постройте треугольник
по двум сторонам и медиа-	по стороне, прилежащему
не, проведенной к одной из	углу и биссектрисе, исхо-
них.	дящей из его вершины.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
В треугольнике АВС АВ = ВС,
АС = 16 см, BD — медиана.
а)	Найдите расстояние
от точки А до прямой BD.	от точки С до прямой BD.
148
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
б)	Найдите расстояние
от точки С до прямой, про-	от точки А до прямой, про-
ходящей через точку А па-	ходящей через точку С па-
раллельно BD.	раллельно BD.
о
Постройте равнобедренный
треугольник
по тупому углу и медиане, по боковой стороне и бис-
исходящей из его вершины. сектрисе угла при вершине.
О
Постройте треугольник
по двум углам и высоте, по двум углам и высоте,
проведенной из вершины	проведенной из вершины
одного из них.	третьего угла.
Вариант В1	Вариант В2
О
В окружности с центром О CD —
хорда, АВ — диаметр, АВ 1 CD ,
CD = 8 см, = 120°.
а)	Найдите расстояние
от точки А до прямой ВС.	от точки А до прямой BD.
б)	Найдите расстояние
от точки В до прямой, про-	от точки А до прямой, про-
ходящей через точку D па-	ходящей через точку С
раллельно АВ.	параллельно АВ.
©
Постройте прямоугольный
треугольник
по катету и медиане, прове- по острому углу и медиане,
денной к гипотенузе.	проведенной к гипотенузе.
О
Постройте треугольник
по медиане и двум углам,	по двум сторонам и медиа-
на которые она делит угол	не, исходящим из одной
треугольника.	вершины.
Соотношения между сторонами и углами треугольника 149
С-17*. СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ И
СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
О
Постройте:
а)	окружность данного ра-
диуса, проходящую через
две данные точки;
б)	множество точек, равно-
удаленных от двух данных
непараллельных прямых;
в)	точку в прямоугольном
треугольнике, равноудален-
ную от гипотенузы и катета
и находящуюся на равном
расстоянии от вершин ост-
рых углов.
е
Постройте треуз
а)	равнобедренный - по углу
при основании и высоте,
проведенной к боковой сто-
роне;
б)	прямоугольный ~ по ост-
рому углу и периметру;
в)	прямоугольный - по ост-
рому углу и разности гипо-
тенузы и противолежащего
данному углу катета;
г)	прямоугольный - по ги-
потенузе и проведенной к
ней высоте;
д)	по двум углам и сумме
противолежащих им сторон.
Вариант 2
а)	окружность, проходящую
через две данные точки, с
центром на данной прямой;
б)	множество точек, равно-
удаленных от сторон данно-
го угла на расстояние, не
превосходящее данного;
в)	точку в равнобедренном
треугольнике, равноудален-
ную от основания и боковой
стороны и находящуюся на
равном расстоянии от вер-
шин углов при основании.
а)	равнобедренный - по углу,
противолежащему основа-
нию, и высоте, проведенной
к боковой стороне;
б)	равнобедренный - по углу
при основании и периметру;
в)	прямоугольный - по ост-
рому углу и разности гипо-
тенузы и прилежащего к
данному углу катета;
г)	прямоугольный - по ги-
потенузе и одному из от-
резков, на которые высота
делит гипотенузу;
д)	по двум углам и разности
противолежащих им сторон.
150
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
К-5. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
Вариант А1
О
В треугольнике ABC ZA =
= 70°, ZC = 55°.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный,
и укажите его основание.
б)	ВМ - высота данного
треугольника. Найдите уг-
лы, на которые она делит
угол АВС.
Вариант А2
О
В треугольнике ABC ZA -
= 100°, ZC =40°.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный,
и укажите его боковые сто-
роны.
б)	СК - биссектриса данного
треугольника. Найдите уг-
лы, которые она образует со
стороной АВ.
е
Отрезки АВ и CD
пересекаются
в точке О, которая является
серединой каждого из них.
а)	Докажите, что ЛАОС
- ЛВОВ.
б)	Найдите ZOAC, если
AODB = 20°, ЛАОС = 115°.
О
В равнобедренном треуго-
льнике с периметром 64 см
одна из сторон равна 16 см.
Найдите длину боковой
стороны треугольника.
а)	Докажите, что &AOD =
= лвос.
б)	Найдите ZOBC, если
ZODA = 40°, АВОС= 95°.
О
В равнобедренном треуго-
льнике с периметром 80 см
одна из сторон равна 20 см.
Найдите длину основания
треугольника.
Вариант Б1
Вариант Б2
О
В треугольнике АВС высота
BD делит угол В на два
угла, причем ZABD =40°,
ACBD -10°.
О
В треугольнике АВС высота
CD делит угол С на два уг-
ла, причем AACD = 25°,
ABCD =40°.
Годовая контрольная работа
151
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС ~ равнобедренный,
и укажите его основание.
б)	Высоты данного тре-
угольника пересекаются в
точке О. Найдите ZBOC.
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС - равнобедренный,
и укажите его боковые сто-
роны.
б)	Высоты данного тре-
угольника пересекаются в
точке О. Найдите ZBOC.
е
Отрезки АВ и CD пересекаются в
точке О, которая является серединой
каждого из них.
а)	Докажите равенство тре-
угольников АСВ и BDA.
б)	Найдите ZACB, если
ZCBD -68°.
0
Две стороны треугольника
равны 0,9 см и 4,9 см. Най-
дите длину третьей сторо-
ны, если она выражается
целым числом сантиметров.
а)	Докажите равенство тре-
угольников ACD и BDC,
б) Найдите ZCBB , если
ZACB = 118°.
О
Две стороны треугольника
равны 0,8 см и 1,9 см. Най-
дите длину третьей сторо-
ны, если она выражается
целым числом сантиметров.
Вариант В1
О
Биссектрисы треугольника
АВС пересекаются в точке О,
причем ZAOB = ZBOC = 110°.
а) Докажите, что треуголь-
ник АВС ~ равнобедренный,
и укажите его основание.
б)	Найдите углы данного
треугольника.
Вариант В2
О
Высоты треугольника АВС
пересекаются в точке О,
причем ZAOB = АВОС = 110°.
а) Докажите, что треуголь-
ник АВС ~ равнобедренный,
и укажите его боковые сто-
роны.
б) Найдите углы данного
треугольника.
О
Равные отрезки АВ и CD точкой пе-
ресечения О делятся в отношении .
АО:ОВ = CO:OD = 2:1.
а)	Докажите равенство тре- а) Докажите равенство тре
угольников ACD и САВ.	угольников BAD и DCB.
152
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
б)	Найдите Z.OAD, если
ZOCB = 50°.
©
Высота прямоугольного
треугольника, проведенная
к гипотенузе, равна 12 см.
Может ли гипотенуза иметь
длину 20 см? Ответ объяс-
ните.
б) Найдите ZOBC , если
ZODA = 40°.
©
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 26 см.
Может ли высота, прове-
денная к гипотенузе, иметь
длину 14 см? Ответ объяс-
ните.
Варианты вступительных
экзаменов по математике
в 8-е профильные классы
Время работы: 2 академических часа (1 час 30 минут)
ХИМИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ
Вариант ХБ1	Вариант ХБ2
О
Упростите выражение
(а2 + 4а)2 - а\а ~ 2)(а + 2) -
- 4а2 (2а - 3) и найдите его
1
значение при а ~	.
О
Когда к 60 г 45% -ого рас-
твора соли добавили воды,
содержание соли в растворе
составило 20%. Сколько
граммов воды добавили в
раствор?
(2Ь + д2)2 + 62(5 - Ь)(5 + Ь)-
- 46(£г - 5b) и найдите его,
значение при b = - у .
0
Кусок сплава меди с оловом
имеет массу 12 кг и содер-
жит 40% олова. Сколько
чистой меди следует доба-
вить к этому сплаву, чтобы
содержание олова в нем со-
ставило 25% ?
Решите уравнение:
о . 2х-1 ,2
2х-1--------= 6—.
3	3
. л 4х +1 . г 3
4х + 1-----= 15—.
4	4
Найдите число,
квадрат которого при увели-
чении этого числа на 2 уве-
личивается на 20.
квадрат которого при умень-
шении этого числа на 1
уменьшается на 11.
154
МАТЕМАТИКА—7
©
В треугольнике АВС
углы В и С относятся как
5:3, а угол А на 80° больше
их разности. Найдите углы,
на которые высота треуголь-
ника AD разбивает угол А.
©
Докажите, что
в равнобедренном треуголь-
нике биссектрисы углов при
основании равны.
угол А на 50° больше угла
В, а угол С составляет пя-
тую часть их суммы. Найди-
те углы, которые образует
биссектриса угла А со сторо-
ной ВС.
в равнобедренном треуголь-
нике медианы, проведенные
к боковым сторонам, равны.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ
Вариант Э1	Вариант Э2
О
Разложите на множители:
а)	2&5 - 16 Ь\
б)	х2 - 4ху + 4г/2 + 2х - 4у.
О
В конце года банк начисля-
ет 10% годовых к сумме,
находящейся на счету в на-
чале года. Каким станет
первоначальный вклад в
1000 р. через три года?
а)	За - 81а4;
б)	9х2 + бху + у2 - 6х - 2у.
©
В конце года банк начисля-
ет 10% годовых к сумме,
находящейся на счету в на-
чале года. По истечении
трех лет клиент получил
2662 р. Каков был его пер-
воначальный вклад?
©
Решите систему уравнений:
х - 2 у + 3
<~з Г~
Х + у = 8.
х + 1 у - 3
<~i Г
х + у = 12.
Варианты вступительных экзаменов в 8-е профильные классы
155
О
Известно, что
а + b = 5,
ab = 6.
Найдите а3 + Ь3.
О
Высоты равнобедренного тре-
угольника, проведенные из
вершин при основании, при
пересечении образуют угол
140°. Определите углы дан-
ного треугольника.
©
Докажите, что
в равнобедренном треуголь-
нике две высоты равны.
а - b = 2,
ab = 24.
Найдите а3 - Ь\
о
Высоты равнобедренного тре-
угольника, проведенные из
вершины при основании и
из вершины, противолежа-
щей основанию, при пересе-
чении образуют угол
110°. Определите углы дан-
ного треугольника.
если в треугольнике две вы-
соты равны, то этот тре-
угольник — равнобедренный.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ
Вариант ФМ1
Вариант ФМ2
Решите уравнение:
х2 - 10х 6 - Зх . ~
---------------+ х -1 = 0 .
4	2
От пристаней А и В по реке,
скорость течения которой
равна 2 км/ч, одновременно
вышли навстречу друг другу
два одинаковых катера и
встретились через 7 ч. Най-
дите собственную скорость
х2 ~ 10х 5 - 2х . Л
-------------+ х +1 = 0 .
6	3
о
От пристаней А и В, рас-
стояние между которыми
369 км, одновременно вы-
шли навстречу друг другу
два одинаковых катера, име-
ющих собственную скорость
32 км/ч. Найдите скорость
156
МАТЕМАТИКА-7
катеров, если известно, что
расстояние от Л до В равно
347 км и катер, идущий по
течению, сделал в пути по-
луторачасовую остановку.
течения реки, если извест-
но, что катера встретились
через 6 ч и катер, идущий
против течения, сделал в пути
получасовую остановку.
©
Разложите на множители:
а)	28х:{ + Зх2 + Зх + 1;	а) 2х3 - Зх2 + Зх - 1;
б)	х2 f 4х - у2 - 2у + 3.	б) х2 + 2х ~ у2 ~ бу - 8.
О
Определите аналитически, пересека-
ется ли график функции
Р = ||х-1|-1|	у = ||х + 2| - 2|
с прямой
У = 1-	У = 2.
Постройте график этой функции.
©	©
Биссектриса угла при осно-	Биссектриса угла при осно-
вании равнобедренного тре-	вании равнобедренного тре-
угольника равна основанию	угольника пересекает боко-
треугольника. Определите уг-	вую сторону под углом, рав-
лы данного треугольника.	ным углу при основании.
	Определите углы данного
	треугольника.
©	
Докажите, что	
если биссектрисы двух углов	внешний угол треугольника
треугольника образуют при	в два раза больше острого
пересечении угол 135°, то	угла между биссектрисами
этот треугольник — прямо-	углов, не смежных с ним.
угольный.
ОТВЕТЫ
ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО АЛГЕБРЕ
К-1	А1	А2	Б 1
1а)	а - 2Ь	-а \ b	а
16)	2х <- 3	4х - 5	3
2	9; 5	9; 3	5; 7; 10
За)	4	6	2/7
36)	-13	-9	-0,5
Зв)	4,5	1,5	-4
4	96: 32	28; 56	16
5	25; -25	49; 49	-3; 2
6	8	4	16
	Б 2	В 1	В 2
1а)	X	-1,5х - 1	-X 4 2
16)	-4	У	- 7 у - 2
2	6; 12; 15	6; 12; 10	5; 10; 6
За)	2/11	1,6	0,2
36)	0,5	2	3
Зв)	-36	реш. нет	х — любое
4	12	50; 10	9; 3
5	4; -1	3; -3	1; -1
6	7	18	2
К-2	А1	А2	Б 1
1	29	21	4
3	(—2;0); (0;4)	(1;0); (0; 4)	(1;0); (0;-8)
4	С-1; з)	(1; -4)	(2; 6)
5	i/=x + 2	у-2х-3; у~1 + 2х	г/ - 9х
158
МАТЕМАТИКА—7
	Б 2	В 1	В 2
1	-2	(0,5; 0); (0; 18)	(0,5; 0); (0; 21)
3	(-1;0); (0;7)	у = -4х	у = - Зх
4	(1; -3)	(2; 1)	(18; -6)
5	У = -7х	У -2х-3	у = -х-1
К-3	А1	А2	Б 1
1а)	-20	-8	80
16)	-64/27	25/4	1
1в)	2	-2	-4
2а)	х5	X10	1
26)	г/4	У3	0,16абЬ2
2в)	16с24	9с8	8m’3
3	4	8	1; -1
4а)	2а8Ь3	ЗаЮ	-40а763
46)	0,001х13	-0,04х8	-ЗХ6£/7
4в)	(4/9)aV	(3/7)а364	-25а768
5	2	3	1
	Б2	В 1	В2
la)	-5	0,04	-3,5
16)	- 1	1	1
1в)	-16	-1/27	1/16
2a)	1	X	X
26)	-О.ООвсЛ15	(81/49)aW°	-(64/27)а3612гб
2в)	Збх26	16а16	—27t>9
3	1	1; 1	1
4a)	- QaW	2а6&8	Л12
46)	-2х*у2	c5d5	-Л/8
4в)		а12д15	Л21
5	10	6	2
Ответы
159
К-4	А1	А2	Б 1
la)	8х	-2а2	7а 4- 1
16)	-х3 + Зх2	-За3 4 а2	ба2
1в)	5х2	-8х2	а2Ъ + Зад2
2а)	4а(2Ь - с)	Зг/(х + 2а)	7/2х + Зу)
26)	х3(х + 1)	у3(1 - !/)	3/(1 - 2/)
3	10; 15; 25	9; 6; 15	48
4а)	0; 1	0; -1	0; -5
46)	-9	-14	5
5	10	15	—
	Б2	В 1	В2
la)	За2 4 1	х3 - О,7х2 3,3х	-2х2 + 2х - 2
16)	-2а3	-4х2	8/
1в)	-х2у ~ Зху2	9ад2 - 4а2д2	4х2у - 6х2г/2
2a)	5Ь(2а2 - 56)	4а2(2а2д2 - Зд3 4- 1)	2/(Зх2/ -г 6х5 - 1)
26)	2х2(1 + 2х2)	(у - 5)(х + 6)	(3 - 6)(а + 2)
3	48	3	8
4a)	0;4	0; 1/9	0; 1/5
46)	2	2,6	0,24
5	—	—	—
К-5	I	А1	А2	Б 1
la)	2х2 - х - 1	2х2 4 Зх - 2	6х2 - 7х - 20
16)	4/ - / + Зу - 12	2/ - у3 - Зу + 6	17xi/ - 5х2 - бу2
1в)	10 - За	4 - За	-6
1г)	63 - 36 +2	63 + 62 + 4	863 + 1
2a)	(х + 3)(у + а)	(5 + с)(а + 2)	(х2 + 1)(х + 2)
26)	(а 4- 3)(2 - Ъ)	(3 I- х)(3 - у)	(4 ь у)(х - у)
4a)	(х2 ~ 1)(Х 4- 4)	(х3 - 1)(2х + 1)	(а 4- Ь)(а - с)
46)	(а - 2Ь)(а2 - 35)	(Ь 2а)(4а - Ъ2)	(ab - 3)(5 - а)
5	4	6	6
160
МАТЕМАТИКА-7
	Б 2	В 1	В 2
la)	8х2	10х 3	х2у - 15х4 + 2у2	Зу2 - 2х2у - 8х4
16)	13xt/ - 21х2 - 2у2	7х3-29х2ч 18х - 2	5х3 - 8х2 - 19х - 6
1в)	12	2а3 -1- ab2 - Ь3	2а3 - ab2 - Ь3
1г)	1-2763	8i>* + 24tf -16£r-48b	15b4 + 6Ь3 -- 15b2 - 6b
2а)	(х2 4- 1)(3х 1 1)	х(х3 - 1)(2х ♦ 5)	x(x5 - l)(x t 9)
26)	(2 - х)(х + у)	(а - b)(3 -и а - Ь)	(a + b)(a + b 2)
4а)	(Ь + с)(Ь - а)	(X - 2у + 1)(х - z)	(x - У - l)(x a)
46)	(ab  2)(а 4 b)	а(а - b)(a + 1)	b(b - l)(a + b)
5	4	6; 7; 8	6; 7; 8
K-6	I	A1	A2	Б 1
la)	c - 6	3c 4	6x2 - 1 lx - 2
16)	x2 4 7x ' 8	-x2 4- 5x - 4	12x2 + 3
1b)	-25	9	6x + 13
2a)	8(x + y)(x - y)	a(x + y)(x - y)	x(6x ~ l)(6x -- 1)
26)	(a - 3)2	-(x + 5)2	2(a + 2b)2
2b)	ab(b * a)(b - a)	d2b2(a 4- b)(a - b)	(a - l)(a 4 l)(a2 + 1)
3	0	0	-4
4a)	(x - y)(3 + xy)	(x y)(xy - 2)	(x - 3)(x + y)(x - y)
46)	(a - 2)(a2 + 2a < 4)	(a + 3)(a2 - 3a 9)	m4(2 - m)(4 + 2m 4
5	—		mb
	Б2	В 1	В2
la)	4x2 - 7x 4- 3	1	1
16)	4 i 36x2	4x - 4	9x + 18
1b)	6x 25	-3x2 - 50x 75	- 8x2 f 80x - 128
2a)	j/(l - lOyXl + lOy)	3(x - 2)2	-5(x - 3)2
26)	7(a - b)2	3/(2j/-W-2i/.l)	2y(V '! 3)(./-3i/+9)
2b)	(2-y)(2^y)(4 + y2)	2b(9b - a)(9b a)	3x(i/	7x)(y 4- 7x)
3	16	1; 1; 3	-1; 2; -2
4a)	(x-5)(</- IXP+D	x4	(x2 4- 2)2
46)	m\m + 3\m2 'c3m+ 9)	(a x - 3)(a 4- x + 3)	(a - x + 2)(a + x - 2)
5	—	-1 при у - 2	-2 при у - -1
Ответы
161
К-7	А 1	А 2	Б 1
la)	3; 3	4; 3	-1; 4
16)	1; 2	2; 1	2; - 1
J		3; 2	20; 12	16; 5
3	У = -X + 2	у - --Зх i 1	у = -5х - 7
4	а ~ 2; b - 1	а - 2; b ~ 1	13; 12
	Б2	В 1	В 2
1а)	3; 1	2,5; 1,5	1,5; 0,5
16)	2; -1	7; 2	3; 2
2		15; 10	10; 2	12; 2
3	у - --4х + 11	у -- (1/4)х + 1	z/ = (1./2)x-2
4	17; 15	х = 1; у = 1	х ~ 6; у = 3
К-8	|	А1	А2	Б 1
1а)	-32х1()	45+	80x‘V
16)	18х2 + 6х	8х2 - 4х	-12хг/ 1 18х2
2а)	а(5 - 5)(5 - Ъ)	с(Ь 3)(6 + 3)	ab(2b - а)(2Ь + а)
26)	3(а - I)2	2(а + З)2	Ь(Ъ ~ З)2
3	2	-2	3
4	25; 35	40; 30	30
5	(2; 1)	(2; 1)	(44; 127)
	Б 2	В 1	В 2
1а)	-270+/	8х8у9	27xI5i/14
16)	2х2 -г 8x1/	2х2 г 14xz/	ЗОх# 4 50г/2
2а)	ab(b - За)(Ь 4 За)	а2(3 - а)(9 г За а3)	х(х ~ 5)(х2 + 5х + 25)
26)	- а(5 - а)2	(а + b - ЗХа + b 4 3)	(ач 2b-3\a^ 2b i 3)
3	4	2	2
4	24	90	63
5	(30; 113)	( 5; 5); (1; 1)	(1; 1); (7;-7)
162
МАТЕМАТИКА-7
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО АЛГЕБРЕ
С-3*	Вариант 1	Вариант 2
1а)	а = 2	а = -3
16)	-3 < а < 3	-2 < а < 2
1в)	при всех а	при всех а
2а)	при а ф 0 х = 5:а, при а = 0 корней нет	при а ф 0 х = -2:а, при а = 0 корней нет
26)	при а ф 3 х — -1:(а-3), при а = 3 корней нет	при а ф -2 х = 3:(а+2), при а = -2 корней нет
2в)	при а ф -1 х = 1, при а = -1 х - любое число	при а * 3 х = -1, при а = 3 х - любое число
2г)	при а * 2 х ~ а. при а = 2 х - любое число	при а -3 х == а-2, при а = ~3 х - любое число
За)	1; 2	1 to СО I to
36)	корней нет	корней нет
Зв)	0; 1	-1; 0
Зг)	-6; 0; 2; 8	-8; -6; 0; 2
Зд)	-6; 0; 6; 12	0; 6
Зе)	-17; -3; -1; 13	-17; -1; 3; 19
Зж)	-8; 12	-6; 12
Зз)	-2 < х < 1	-1 < х < 3
Зи)	корней нет	корней нет
Зк)	см | со	1 2
Ответы
163
С-16*	Вариант 1	Вариант 2
la)	(7у -3x)(7t/ + 3x-10)	(8х -f- 5z/)(8x — 5г/ — 6)
16)	5(2а + ЗЬ - 1)(2а - ЗЬ +1)	2(3д +10&+ 2)(3а -10&+ 2)
1в)	(х2 4- 1)(х2 + з)	(х2 + 3)(х2 + 5)
1г)	(а - 2b)[a - Ь)	(а -г 36)(а + Ь)
1д)	(4х - 1)(7х2 + х +1)	(бх + 1)(21гг -Зх + 1)
2	Указание: представьте данный многочлен в виде суммы квадратов двух двучленов	
За)	“1; 1	-2; 2
36)	-4; 2	-2; 8
Зв)	~1; 0	0; 1
Зг)	0	0
Зд)	-2; -1; 1	“1; 1; 3
Зе)	-1	1
С-19*	| Вариант 1	Вариант 2
2а)	tO I I-* СО I	ТТЛ-*' to 1 н*
26)	(3; 2; 1)	(4; 3; 2)
За)	(2; 1)	(1; 2)
36)	(3; 5)	(3; 1)
Зг)	(2; -1), (0; 1), (-4; -3), (-2; -5)	(7; 2), (3; 6), (-3; 0), (1; -4)
Зв)	(-3; -2), (-2; -3), (1; 0), (0; 1) Указание. Прибавьте к правой и левой части 1 и разложите правую часть на множители	(-2; 0), (0; -2), (4; 2), (2; 4) Указание. Прибавьте к правой и левой части 1 и разложите правую часть на множители
164
МАТЕМАТИКА-7
ОТВЕТЫ
К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ
(Погорелов)
к-1.	А1	А2	Б 1
1	6,8; С	1,8; В	12,7 или 7,9
2	36°; 144°	55°; 125°	69°; 111°
3	60°	60°	75°; 105°
	Б 2	В1	В2
1	10,3 или 5,3	0,9 или 9,3	1,1 или 6,3
2	79°; 101°	45°; 135°	30°; 150°
3	18°; 162°	90°- а/2	180°- 20
К-2	А1	А2	Б1
1	10; 10; 15	18; 18; 6	25; 25; 20
	Б 2	В1	В 2
1	20; 20; 8	30; 40; 40 или 33; 33; 44	11; 11; 8 или 9; 9; 12
к-з	А1	А2	Б 1
1	8; 16; 16	14; 14; 7	20; 20; 8
	Б2	В 1	В2
1	12; 18; 18	6; 6; 4	8; 8; 4
К-4	А1	А2	Б 1
1	51°; 129°	39°; 141°	140°; 40°
2	10°; 120°	30°; 70°	30°; 60°; 90°
3	90°; 35°; 55°	45°; 20°; 115°	60°; 30°
Ответы
165
	Б 2	В 1	В 2
1	75°; 105°	20°; 160°	20е; 160°
2	20°; 60°; 100°	20е; 60°; 100°	20°; 100°; 60°
3	80е; 10°	20°; 135°; 25°	45°; 110°; 25°
К-5	I	А1	А2	Б 1
1	45°	65°	
2	69°; 69°	78°; 78е; 24°	36°; 36°; 108 е
	Б2	В 1	В 2
1	—	140°; 20°; 20°	110е; 35°; 35е
2	80°; 80°; 20°	70е; 70°; 40° или 40°; 40°; 100°	65°; 65е; 50е или 50°; 50 е; 80°
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ (Погорелов)
1 С-4*	I Вариант 1	Вариант 2	
2	т'.(т+п) или т:(т~п) или т:(п-т)	п:(т±п) или п:(т-п) или п:(п~пг)
За)	луч МА без точки М, где М - середина от- резка АВ	луч МВ без точки М, где М - середина отрезка АВ
36)	отрезок АВ	луч, дополнительный к лучу В А
Зв)	таких точек не суще- ствует	таких точек не существует
Зг)	точки луча МВ без точки М, где М - точ- ка отрезка АВ, такая, что AM = 6	точки луча МА без точки М, где М - точка отрезка АВ, такая, что AM = 3
5	4	4
6	нет	нет
166
МАТЕМАТИКА-7
С-11*	Вариант 1	Вариант 2
1	90° + - или 90” - - 2	2	а или 180" ~ а
2	8 см	12 см и 4 см
3	90\ 60° и 30°	72°, 72° и 36е
4	25°	40"
5	45	135=
ОТВЕТЫ
К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ
(Атанасян)
1 К-1	А1	А2	Б1
la)	5 см	1 см	2,4 см
16)	D	D	D
2a)	70°	50’	55°
26)	f	55"	65°	110°
2в)	125’	115	125°
3	2	2	70°
К-1	52	В1	В2
la)	4 см	3,1 см	3,8 см
16)	D	D	D
2a)	65°	50е	110°
26)	130°	АВК и МВС, АВМ и КВС	АВК и NBC, ABN и КВС
2в)	115°	155°	90°
3	160°	50°	20’
Ответы
167
К-2	А1	А2	Б 1	Б2	В 1	В 2
| 1б)	110°	65"	65’	ПО’	110°	65"
К-3	А1	А2	Б1	Б2	В1	В2
1а)	61°	63=	-	-	158э	107
16)	три угла	три угла	64е	26°		
2а)	-	-	38е	25"	50	50°
26)	55°	125ь	102°	119’	40°	40’
К-4	А1	А2	Б 1
1а)	30", 120°, 30’	45°, 90е, 45°	50, 20’, 110°
16)	АВ = ВС	АВ = ВС	AD < CD
2	10 см	8 см	52° и 46"
К-4	Б2	В1	В2
1а)	40°, 130°, 10’	70°, 40°, 70е	50°, 80°, 50"
16)	BD < CD	AD < АВ, AJD < ВС, AD < АС	AD > АВ, AD > ВС, AD < АС
2	99° и 81е	12 см	16 см
К-5	А1	А2	Б1
1а)	ВС	АВ и АС	АВ
16)	35° и 20°	60е и 120°	130‘
26)	45’	45°	112е
3	24 см	20 см	5 см
168
МАТЕМАТИКА-7
К-5	Б2	В1	В 2
1а)	АВ и ВС	АС	АВ и ВС
16)	115°	40°, 100°, 40е	70°, 40°, 70°
26)	62°	50°	40°
3	2 см	нет	нет
ОТВЕТЫ
К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ
РАБОТАМ ПО ГЕОМЕТРИИ
(Атанасян)
о > сл • *	Вариант 1	Вариант 2
1	6 И 1	6 и 1
2а)	луч МВ без точки М, где М " середина отрезка АВ	луч МА без точки М, где М - середина отрезка АВ
26)	две точки и С2 вне отрезка АВ, такие, что С.А = С2В = 0,5	две точки С! и С2 вне отрезка АВ, такие, что С}А = С2В = 1
2в)	точка С отрезка АВ, такая, что АС = 4	точка С отрезка АВ, такая, что АС - 1
2г)	две точки: С! вне отрезка АВ, такая, что СгА =3; СХВ = 9 и С2 на отрезке АВ, такая, что С.А = 1,5; С2В = 4,5	две точки: С\ вне отрезка АВ, такая, что СХА =12; С.В = 6 и С2 на отрезке АВ, такая, что СА = 4; С2В = 2
3	16 и 4	15 и 1
5	три угла	две тройки
С-15*	1 Вариант 1	Вариант 2
1	15:11:10	4:3:2
4	72°, 72", 36°	72°, 72°, 36е
5	75°, 75°, 30°	70°, 70°, 40е
Ответы
169
ВАРИАНТЫ
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
В 8-е ПРОФИЛЬНЫЕ КЛАССЫ
ХБ1		ХБ2	Э1
1	32а2; 2	49b2; 1	2b\b - 2) х X (b2 + 25 + 4); (х - 2у)(х - 2у + 2)
2	75	7,2	1331
3	5,5	5	(5; 3)
4	4	6	35
5	60°; 40°	80°; 100°	70°; 70°; 40°
	Э2	Ф М 1	Ф М 2
1	За(1 - За) х х (1 + За + 9а2); (Зх + z/)(3x + у - 2)	-4; 4	-2; 2
2	2000	28	2
3	(3; 9)	(4х + 1) х х (7х2 - х + 1); (х 4- у + 3) X X (х - у + 1)	(2х - 1)х х (х2 - х + 1); (х + у + 4) х х (х - у - 2)
4	152	-1; 1; 3	см 61 1
5	70°; 70°; 40°	72°; 72°; 36°	72°; 72°; 36°
170
МАТЕМАТИКА-7
Литература
1.	Алгебра 7. Под ред. С.А. Теляковского. М. 1991
2.	Ш.А. Алимов и др. Алгебра 7. М. 1997
3.	А.В. Погорелов. Геометрия 7-9. К. 1995
4.	Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9. М. 1990
5.	А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. Геометрия, планиметрия.
М. 1995
6.	Л.М. Лоповок. Сборник задач по геометрии 6-8. К. 1985
7.	Б.Г.Зив. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы.
С.-П. 1995
8.	В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. Учимся ре-
шать задачи по геометрии. К. 1996
Математика-7
171
Содержание
Работа			стр.
АЛГЕБРА	Макары- чев	Алимов	
С-1. Тождественные преобразо- вания выражений	§ 1, 2	Глава I	4
С-2. Решение уравнений	§ з	Глава II	6
С-3*. Линейные уравнения с мо- дулем и параметром (до- машняя самостоятельная работа)	§ з	Глава II	8
К-1. Выражения, тождества, уравнения	Глава I	Главы I, II	9
Функции			12
С-4. Функции и их графики	§4	§ 29, 30	12
С-5. Линейная функция. Пря- мая пропорциональность	§ 5	§ 31, 32	14
С-6*. Функции и графики	Глава II	Глава VI	16
К-2. Линейная функция	Глава II	Глава VI	17
Степень с натуральным показателем			20
С-7. Степень и ее свойства	§ 6	§ 9, 10	20
С-8. Одночлен	§ 7	§ 11, 12	22
С-9. Абсолютная и относитель- ная погрешности	§ 8	—	25
К-3. Степень с натуральным показателем. Одночлен	Глава III	§ 9-12	26
Многочлены			30
С-10. Многочлен. Сложение и вычитание многочленов	§ 9	§ 13-15	30
С-11. Умножение многочлена на одночлен. Вынесение об- щего множителя за скобки	§ ю	§ 16, 19	32
К-4. Многочлен	§ 9, 10	§ 13-19	34
С-12. Умножение многочленов. Способ группировки	§ И	§ 17, 20	37
К-5. Умножение многочленов. Способ группировки	§ и	§ 17, 20	39
172
МАТЕМАТИКА-7
Формулы сокращенного умножения			42
С-13. Квадрат суммы и квадрат разности	§ 12	§ 22	42
С-14. Разность квадратов. Сумма и разность кубов	§ 13	§ 21	44
С-15. Преобразование целого выражения в многочлен. Способы разложения на множители	§ 14	§ 23	46
С-16*. Все действия с многочле- нами	Глава V	Главы III, IV	47
К-6. Формулы сокращенного умножения	Глава V	Глава IV	48
Системы линейных уравнений			51
С-17. Уравнения и системы. Уравнения с двумя пере- менными. Способ подста- новки	п. 39-42	§ 33, 34	51
С-18. Системы линейных уравне- ний. Способ сложения. Ре- шение задач с помощью систем уравнений	§ 43,44	§ 35, 37	53
С-19*. Уравнения и системы с несколькими переменными	Глава VI	Глава VII	55
К-7. Системы линейных уравне- ний с двумя переменными	Глава VI	Глава VII	56
К-8. Годовая контрольная работа			59
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)	Погорелов	Атанасян	62
Основные свойства простейших геометрических фигур			62
С-1. Измерение отрезков	п. 1-4	Глава I, § 1, 3, 4	62
С-2. Измерение углов	п. 8-10	Глава I, § 2, 3, 5	64
С-3. Смежные и вертикальные углы	п. 14-16	Глава I, §6	66
С-4*. Измерение отрезков и углов (домашняя самостоятель- ная работа)	§ 1, 2	Глава I, § 1-6	67
Математика-7
173
К-1. Основные свойства про- стейших геометрических фигур. Смежные и верти- кальные углы	§1,2	Глава I, § 1-6	69
Признаки равенства треугольников			71
С-5. Первый и второй признаки равенства треугольников	п. 20-22	Глава II, §1.3	71
С-6. Равнобедренный треуголь- ник	п. 23-25	Глава II, § 2	74
К-2. Первый и второй признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник	п. 20-25	Глава II, § 1-з	77
С-7. Третий признак равенства треугольников. Свойство медианы равнобедренного треугольника	п. 26-27	Глава II, § 2, 3	79
К-3. Три признака равенства треугольников. Равнобед- ренный треугольник	§ з	Глава II	81
Сумма углов треугольника			84
С-8. Параллельные прямые	п. 29-32	Глава III	84
С-9. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника	п. 33, 34	Глава IV	86
С-10*. Сумма углов треугольника (домашняя самостоятель- ная работа)	п. 29-34	Глава IV	88
С-11. Прямоугольный треуголь- ник	п. 35, 36	Глава IV	89
К-4. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника	§ 4	Главы III, IV	91
Геометрические построения			94
С-12. Окружность	п. 38-41	Глава II, § 4	94
С-13. Задачи на построение. ГМТ	п. 42-49	Главы П, IV	96
С-14*. Геометрические места то- чек. Задачи на построение (домашняя самостоятельная работа)	§ 5	Глава IV	97
К-5. Годовая контрольная работа			99
174
МАТЕМАТИКА-7
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)	Атанасян	Погоре- лов	102
Начальные геометрические сведения			102
С-1. Прямая и отрезок. Луч и угол	Глава I, §1,2	п. 1-8	102
С-2. Сравнение и измерение отрезков	Глава I, § 3, 4	п. 1-8	105
С-3. Сравнение и измерение углов	Глава I, §3,5	п. 1-8	107
С-4. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые	Глава I, §6	§ 2	109
С-5*. Дополнительные задачи об отрезках и углах (домашняя самостоятельная работа)	Глава I	§ 1, 2	111
К-1. Начальные геометрические сведения	Глава I	§ 1, 2	112
Треугольники			116
С-6. Треугольник. Первый при- знак равенства треугольни- ков	Глава II, § 1	п. 20	116
С-7. Медиана, биссектриса и высота треугольника. Свойство равнобедренного треугольника	Глава II, § 2	п. 23, 25, 26	118
С-8. Второй и третий признаки равенства треугольников	Глава II, § 3	п. 22, 27	121
С-9. Окружность. Простейшие задачи на построение	Глава II, §4	п. 38, 42-47	123
К-2. Треугольники	Глава II	§ 3, 5	125
Параллельные прямые			129
С-10. Признаки параллельности прямых. Аксиома парал- лельных прямых и ее следствия	Глава III, п. 24-28	п. 29-31	129
С-11. Свойства параллельных прямых	Глава Ш, п. 29	п. 32	131
К-3. Параллельные прямые	Глава III	п. 29-32	134
Математика-7
175
Соотношения между сторонами и углами треугольника			137
С-12. Сумма углов треугольника	Глава IV, § 1	п. 33, 34	137
С-13. Соотношения между сторо- нами и углами треугольни- ка. Неравенство треуголь- ника	Глава IV, §2	п. 66, 111	139
С-14. Прямоугольные треуголь- ники	Глава IV, § з	п. 35, 36	141
С-15*. Дополнительные задачи о соотношениях в треуголь- нике (домашняя самостоя- тельная работа)	Глава IV, § 1-з	§4	143
К-4. Соотношения между сторо- нами и углами треугольни- ка	Глава IV, § 1-з	§ 4	145
С-16. Построение треугольника	Глава IV, § 4	§ 5	147
С-17*. Свойства биссектрисы и серединного перпендикуля- ра. Задачи на построение (домашняя самостоятель- ная работа)	Глава IV, § 4	§ 5	149
К-5. Годовая контрольная работа			150
Варианты вступительных экзаменов по математике в 8-е профильные классы			153
Химико-биологический профиль			153
Экономический профиль			154
Физико-математический профиль			155
ОТВЕТЫ			157
ЛИТЕРАТУРА			170
СОДЕРЖАНИЕ			171