А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. С. Ершова
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ 8 КЛАССА
Разноуровневые дидактические материалы
«ИЛЕКСА»
«ГИМНАЗИЯ»
Москва — Харьков
2001
I 1особис содержит самостоятельные и контрольные работы ио всем imiiriniiiiM
темам курса алгебры и геометрии 8 класса.
Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности.
Дидактические материалы предназначены для организации дифференцирован-
ной самостоятельной работы учащихся.
Рецензенты:
Ю. В. Гандель, доктор физико-математических наук,
профессор Харьковского государственного университета,
Отличник народного образования;
Е. Е. Харш:, Соросовский учитель, учитель-методист,
преподаватель математики физико-математического
лицея № 27 г. Харькова.
Художник-оформитель Курдюмов М.Л.
Пособие прошло экспериментальную проверку
в Академической гимназии № 45 г. Харькова.
Перепечатка отдельных разделов и всего издания - запрещена.
Любое коммерческое использование данного издания возможно
только с разрешения издателя.
Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геомет-
рии для 8 класса.— М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2001,— 160 с.
ISBN 5-89237-044-5
ДР № 064344 от 9.12.95.
Печать офсетная. Формат 60x 90/16.
Тираж 50 000 экз. Заказ
ООО «Илскса», 121354, г. Москва, а/я 282.
Творческое объединение «Гимназия», г. Харьков, ул. Тобольская, 46а.
Заказы по телефонам: в Москве (095) 365-30-55, в Харькове (0572) 11-80-62, 32-98-50
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат Комитета РФ по печати
142300, г. Чехов Московской области
© Ершова Л. П.,
Голобородько В В ,
I jhiioh.i А < ' . Ю9Ч
и । ( И И 1 мПисщ ,|» 1999
ISBN 5-89237-044-5	'Г' I ( > «I iimii.iчин», 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные особенности предлагаемого сбор ника
самостоятельных и контрольных работ:
1.	В одной сравнительно небольшой книге содержится полный
набор проверочных работ (включая итоговые контрольные
работы) по всему курсу алгебры и геометрии 8-го класса,
благодаря чему достаточно приобрести один комплект книг
на класс.
Контрольные работы рассчитаны на урок, самостоятельные
работы — на 20-35 минут, в зависимости от темы.
Для удобства пользования книгой в названии каждой само-
стоятельной и контрольной работы отражена ее тема-
тика.
2.	Сборник позволяет осуществить дифференцированный кон-
троль знаний, так как задания распределены по трем уров-
ням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обяза-
тельным программным требованиям, Б — среднему уровню
сложности, задания уровня В предназначены для учеников,
проявляющих повышенный интерес к математике, а также
для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях
с углубленным изучением математики. Для каждого уров-
ня приведено 2 расположенных рядом равноценных вариан-
та (как они обычно записываются на доске), поэтому на
уроке достаточно одной книги на парте.
3.	Как правило, на одном развороте книги приводятся оба ва-
рианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому
учащиеся могут сравнить задания различных уровней и, с
разрешения учителя, выбрать подходящий для себя уровень
сложности.
4.	Наряду с использованием книги в классе можно предлагать
ученикам также домашние самостоятельные и контроль-
ные работы (в таком случае ученики после выполнения ра-
боты должны прокомментировать решения).
В конце книги приведены ответы ко всем контрольным
работам.
5.	Тематика и содержание работ сориентированы на учебник
"Алгебра-8" под редакцией СА. Теляковского и учебники по
геометрии А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна и др., однако
предлагаемые задания могут быть использованы и при
работе с другими учебниками.
4
A.'l ITJIPA
АЛГЕБРА
С-1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Вариант А1	Вариант	А2
1.	Найдите значение выражения:
а - 5	,	а2 _ !
при а = -1.	£---£ при а = -3.
а +5	а-5
. 14b3
а)иг: б)
2г/-1
2.	Сократите дроби:
г2 _ q	, 16b	_ 4 т -16
а)^;б)^
2-Зу
3.	Укажите значение х, при которых
не имеет смысла выражение:
х - 1	х + 3
Вариант Б1	Вариант Б 2
1. Найдите значение выражения:
а +1 а
----+-----,
а а - 1
при а = 0,5.
а а - 5	_ _
----, при а - 2,5.
а
. 6х3у2	_
а) W; б)
В)^Л1
1-Г
2. Сократите дроби:
2Ь +18
b2 + 18b+ 81
6
9х3у4 * ’ б)
в) -	.
у2 - 4г/ + 4
15х2у'
а)
b2 + 10b + 25
5b + 25
х +1
х - 3
а - 2
3. Укажите допустимые значения пе-
ременной в выражении:
1 х - 2	х +1	1
х2 + 1 х2 - 1	х2 - 4 х2 + 4
АЛГЕБРА
5
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Найдите значение выражения:
а)
в)
2. Сократите дроби:
х7	-х5	2-	2Ь2		а3-а5	„ 2Ь2 -86 + 8
	9 ; б)		а)		б) 	х—
X	- х9	4Ь2 -	8Ь + 4		а - а	16 - 4й2
X3	- Зх2 + 2х - 6			х3-	- 8
	х3 - 27		в)	х3 - 2х2	+ х - 2
3.	Найдите область определения функ-
ции:
X	X
С-2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
Вариант А1	Вариант А2
1. Выполните действия:
а)	Зх	х + 8 х - 4 ’	а)	4.г	х - 3
	х - 4			х +1	х +1
б)	У- х у2-9	х - 3 9-/ '	б)	2 — х ±-у2	_ Х + У у2
2.	Представьте в виде дроби:
b - a b - а	а - b а - b
а)	—— +  -2-- ;	а) —— + 	- ;
ab b	a ab
...	2	2х2	о 2х2
б)	х2 -1-----.	б) 2х +--------.
х - 2	1-х
3.	Докажите, что при любых допус-
тимых значениях у значение вы-
ражения не зависит от у.
у2 -2у-3	4	9 у2 -Зу + 2
у2 _ 1	+ 2у - 2 ’	Зу + 6 + у2 _ 4
6
АЛГЕ’ВРА
Вариант Б 1
Вариант Б2
1.	Выполните действия:
2х + 17	10+ х	3-2х	8-х
й 49 - х2 49 - х2 ’	а х2 - 25 х2 - 25 ’
б у2 -Sy _ 9 +2г/	</2 +30 _ 6-12у
У-З 3-у	у - 6	6-у
2. Представьте в виде дроби:
. 15b -2 5 + b		х 3-&	2 - 9Ь
a)	„  -I „ ,	а) 	т-	1	Q >
	1062	5J?3	3t>4	6Ь3
б)	х 3	~Х	б) х + 5	Зх-10
	X о х + 2		х - 2
3. Докажите, что при любых допусти-
мых значениях переменных значе-
ние выражения не зависит от х и у:
2у2 2ху - х2
ху + 2у2 х2 - 4 у2
х2 + 2ху 2у2
х2 - 4у2	2у2 - ху
1. Выполните действия:
х2 - 6х 2х - 16
х2 - 16 х2 - 16 ’
2х2 + 2х ху + у
2	2 4	2 ~А 2 ’
4х - у у - 4х
. 5х2 + 4х х2 - 1
а) ---5--------5---;
4х2 - 1	4х2 - 1
ху — х	Зу-Зу2
х2 -9у2	9у2 - х2
2. Представьте в виде дроби:
ч 11 +За2 2Ь2 +11 а)	о	о ; ЗЗа3Ь	22аЬл б) ^^1-2</ + 3. У	,7а - 3b 7Ь - 2а а)	- „ -	„ 21аЬ2	14а2& б)	^iil-3y-i. 2у
3. Докажите, что при данном усло-
вии значение выражения являет-
ся положительным числом:
а - 2 6а	„ а -1 За
—т “------н—J--, при а >2.	—--------1-— , при а > 1.
а2 + 2а + 4 ал - 8	а2 + а +1 а -1
АЛГЕБРА
7
К-1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
Вариант А1	Вариант А2
1. Сократите дроби:
а)	2ху3 8х2у2 ’	а)	Зх4у 9х3у2 ’
	Зх2 + 9х		2х2 - 6х
б)	Зх	б)	2х
в)	а - 3	в)	а + 1
			
	а2 - 6а + 9		а2 + 2а+ 1
2. Преобразуйте в дробь выражения:
а)	а2 + 3 а3	3 - а За ’	а)	а + 4 а- 2 4а	а2
б)	X	X	б)	Зх	Зх
		х + 1 ’		1
	х - 1			х + 3 х - 3
в)	X	4/ .	в)	9х2	у
	х-2у	х2 - 2ху		Зху - у2 Зх - у
г)	2а + Ь -	4аЬ	г)	о,	6а& CL 3b +
		2а+ b'		
				а - 3b
3.	Упростите выражение:
3	3 2х	12	4:
- ' -	...... . •}“ 1	.	-р 	—	*
X + 3 X2 - Зх 9-х2	X + 2 X2 ~2х	4-х2
4. Найдите допустимые значения
переменной в выражении:
х — 2	х + 3
х2 - х	х2 + х
8
ЛЛГКБРА
Вариант Б1	Вариант Б2
	1. Сократите дроби:		
	15х4 * - 25х3		6х2 + 18х4
а)	5хб	а)	12х3
б)	9f/2 - 1 .	61	25у2 ~4 .
	9</-з ’		25г/ +10 ’
	а2 + 4а + 4		9-а2
в)		в)	
	4 - а2		а + 6а + 9
2. Преобразуйте в дробь выражения:
а)	х + 2	х - 1 х + 3 х	а)	х	х + 2 х - 4 х - 2
б)	2и 4j/2	1 •	б)	6 г/ +	- 1 ; Gy -1
	2j/-l		
в)	5а2	b	в)	а	ЗЬ2
	5ab - b2 25а - 5Ь ’		За - 9& а2 - ЗаЬ
			
г)	х2 1	1	г)	х2	1 О	 "1	- 	 	.
			
	х3 - х 2 - 2х		х3 - 4х 4 - 2х
. 3. Докажите, что при всех допусти-
мых значениях а выражение то-
ждественно равно нулю:
4(а + 1) а	1 2а +1 ! а ,	1
а3 - 8 а2 + 2а + 4	2~^а ' а3 -1 а2 + а + 1	1 - а ’
4. Определите, при каких натураль-
ных значениях п данное выраже-
ние принимает целые значения:
2п + 12	Зп-18
2п	Зп
АЛГЕБРА.
9
Вариант В 1
Вариант В 2
1. Сократите дроби:
(а - 1)(а + 1)
а4 - 2а2 + 1
4у2 - 1 .
1 + 8г/3 ’
х2 - у2 + 2х - 2у
х + у + 2
(а + 2)(а - 2)
а4 - 8а2 + 16 ’
27 у3 +1.
1-9г/2 ’
х2 - у2 - Зх -- Зу
х - у - 3
2. Преобразуйте в дробь выражения:
ab 1 + ab
ab - 1 ab
х ху ~ 2 ху
а)-----Л----;
ху 2 + ху
б) 1--------J—;
1 - 2х + х х - х
в)
г)
^±А-ЗЬ + 1;
ЗЬ - 1
2а + 8	а + 2
 -	-f--------—
а3 ~ 8 а2 + 2а + 4
3. Докажите, что при всех допус-
тимых значениях переменных
выражение тождественно рав-
но нулю:
111 111
----------------—---------. 	1-----------------1--------.
(х- 1)(х-(1-^(1-г^ (у-%-1)	(у-^у+% (x+3(x-z^ (х+%+3
4. Зная, что = 2, найдите зна-
чение выражения:
2Ь - а
а + 2Ь
2а
10	АЛГЕБРА
С-3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ
Вариант А1	Вариант А2
1. Выполните действия:
ч 12х3	5 а)		; 25	4х4 х2 б)	12х - 6)	; х — 3 z „ .2 . ( За ] в)	Ы:	ч 2	9х4 а) —г— Зх3 4 б)(х + 2!'зх'б; Л *3Т. в I 2Ь) ’
г) У2 -У 2х 2хг/ у2 - 1	. У2-4	3У2 Зу у2 -2у'
2. Представьте 4а ( а " 5«2 V Юе* J ’ б) m	4т - 3/ij ; т2 ч 2х - 1	1 - 2х в) „	: 2 х - 6х + 9 х — Зх ч 2а - 4 а2 - 4а + 4 Г) „	:	. а2 + 4 а4 - 16	в виде дроби: х За3 ( а } а) - —у:	т ; 2b2 1 4Ьг J 9т.2 - п2 б) 	:115т + 5ni ; „ х2 + 2х х2 + 4х + 4 ;	  2 - Зх Зх - 2 а4 - 1 а2 + 1 г) 	;			 . а2 + 2а + 1 2а+ 2
Вариант Б1	Вариант Б2
1. Выполните действия:
18х3 145 . 7Ь4 9х2 ’	ч 9х 5Ь3 а) "о	ч > 10Ь2 Зх3
б)	(6а 2Ь); 9а2 - b2 v	7 f 2а4 У в) -77Г ; V ои /	Q б> 2	„2 (5а + 10b)-, а - 4Ь ( 3“S f в)	х ; 4fe3
АЛГЕБРА
11
х3 -16х бу	. 4ху 2х2 - 50
---------------.	г) -------- -----
Зху 2х + 8	х2 - 5х бу
2. Представьте в виде дроби:
х с3+7с2 49 -с2
а)	. о >
2b 4Ь2
Зт -(in. / о	. 2\
б) ------; тп - 4тп + 4п ;
тп '	'
, ах - За 9-х2
ту I -	'		•
2х + 6 х2 + 6х + 9 ’
. а3 + 1 а2 - а + 1
г) --- :,
а - 1 а2 - 1
с2 -36 Г 6с + с2>|
а)	9Ъ3 V 3*2 )’
б)	:1т2 + бтп. + 9п
пт '
ч а2 - 4	16 - 8а
в)	—--------:------—;
а + 4а + 4 ах + 2х
ч а + 1 а2 - 1
г)	——-------------•
а —1 а + а +1
Вариант В 1	Вариант В2
1. Выполните действия:
(2ab2f 9с8
й) Зс3 J ' 4aV :
б) (- у2 + бу - 9) 	;
'	’ у3 +27
ч х4 - 1 X
в) —-----------
X - X 1 + X
ч 5а + 10Z?	15 - За
г) ------------j•
а - 5 4Ь + 4аЬ + а
f о 2 А2 01.5 2
, За 8Ъ с
а) ——--------—;
t453cj 27а3
6) Д (-^-4);
X2 1-х8 
1-х4 х6 * + х2
х 12а - 4b 1 + 6а + 9а2
г)----------------
За + 1	5Ь-15а
2. Представьте в виде дроби:
a2b - ЗбЬ3 _ а2 + 6аЬ
6а352 а4Ь
(3”*'3)2-(зт2 31-
3 V >
х2-!®) х^+лу+Юх+Юу.
+ху-10х-10у	i?-i-2xy+i?
xs + Зх2 + Зх + 1.х2 + 2х + 1
?Т1	2-2х
а3 - 64а62 ab - 8Ь2
8а3Ь3	' а2Ь4
8т2 - 32 , х2
б) ---------:(2zn + 4) ;
в) х2-Ъку+у2 ж?-ху+7х-7у.
х? -ху-7х+7у	-49
х3-Зх2+Зх-1 х2-2х+1
3 - Зх2	х +1
12
АЛГЕБРА
С-4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Вариант А1	Вариант А2
1. Выполните действия:
а)	1 х	-1J--	ху-у .
	< -Г — 1		X
б)	2 а а	- ъ2	а + Ь
	ь	ь2 	Ь ’
			
в)	(у + 3	г/-3	1	12у
	U-3	г/+3	/ у2 + 6г/ + 9
			
а)	;
Д X + 1 J ху + у
_ Ь а2 -Ь2 а
б)-----------------•
а а2 а+Ь
в)	f У	+ У + 2 I 2у2 + 8
U + 2 у-2) у2 + 4г/ + 4
Вариант Б 1
Вариант Б2
1. Выполните действия:
, 2аЬ А а2 - Ь2
а + Ь------- — --- ;
а + Ь) а2 + Ь2
т 1 \ п
тп - п2 т - п) п - т ’
а)
б)
(	, 2ab '\ а2 - Ь2
а - b ------ —------ ;
I а - b ) а- + ь2
( 1	п \ т
\ т - п т2 - тп) п-т’
а)
б)
4х2 - 9 2х 3	4-х
в) —----------:------+------.
9х2 - 6х+1 Зх - 1 1 - Зх
9х2 - 4 Зх-2 х + 3
- —-	•-----J — 
4х2 - 4х + 1 2х -1 1 - 2х
Вариант В1	Вариант В2
1. Выполните действия:
4г/ х хг - 4у
.JL-----	 а)
хг — Зху ху - Зг/2 ) Эху2 - ху
п2-5п	25 А| 5 + п
--------+-----------. 0)
пг-10гг+25 п2-25J 125-гг3
-4^
а)
б)
к 2ху - if
' 16_
п2 -16 +
1
т
1
х - 1
в)-------
1 -
1 +
,2
»!/ _________
2х2 - ху) ху2 - 2э?у
п2 + 4п
п? + 8и +16
4-п
64+п3 ’
АЛГЕБРА
13
Дополнительные задания
1.	Упростите выражения:
______1_____________1____________1______.
) - у)(х '3) Гу - 3)(у - х) (3 - *)(3 ~ у) ’
1 +____________1____+ 1 .
(а + 4)(& + 4) (а - &)(а +4) (& + 4)(& - а)
__1_ _ _______1_____________1_____4 1 . .
«(а + 2) (а + 2)(а + 4) (а + 4)(а + б)	(а + б)(а + 8)
1} b(b + 3)	i;-3i<'6|	(& + б)(б + 9)	~(Ь + 9)(& + 12) ’
2.	Вычислите:
а2 - ab + Ь2 ,	, „
а)------------, если о : а = 1: 2;
а2 + Ь2
xZ “ у2	1 9
6)	--------7 ’ если х : у = 1: 2.
х2 + ху — у“
3.	При каких натуральных п значения данных
выражений являются целыми числами:
„ п2 + Зп - 2
а)-----------
п + 2
тг“ - Зп + 5
б)---------------------
п -- 1
4.	Докажите, что если — = —, то верны сле-
Ъ d
дующие производные пропорции:
а + b с± d	a±b
а)----=----;	б) __	=
ас	b
-------= _ = . г;	
b + d b d	с + d
а + b с + d
а - b с - d
с + d
d
о. _ b
с d
14
АЛГЕБРА
С-5. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
И ЕЕ ГРАФИК
Вариант А1	Вариант А2
1.	Функция задана формулой:
6	6
у = -;	у = —;
X	,	X
а)	найдите значение у
при х = -2;	при х = 3;
б)	найдите значение х, при ко-
тором
</ = 1;	у = -б;
в)	принадлежит ли графику
функции точка
А(0;6)?	В(-6; 0)?
г)	Постройте график данной
функции.
2.	Функция задана формулой у = —.
X
Найдите число k, если известно, что
график функции проходит через
точку
С(0,25; -16).	D(-0,2; 15).
Вариант Б 1
Вариант Б2
1.	Функция задана формулой:
16	16
а)	найдите значение функции, если
значение аргумента равно
-4;	-8;
б)	найдите значение аргумента, при
котором значение функции равно
1;	-16;
АЛГЕБРА
15
в)	какие из точек А, В, С, D принад-
лежат графику этой функции, если
( 1	А	( о	>
А(-0,5; 32); В(32; 0,5); С - 1-;-12 ;	В1-;-10?
I	3	)	\ 5	J
г)	Постройте график данной функции.
2.	График обратной пропорциональности
проходит через точку М. Проходит ли
он через точку N, если:
М(-2; -5); МО,2; 50)?	М(2; -2); М-0,8; 5)?
Вариант В1	Вариант В2
1.	Функция задана формулой:
20	_ 20
а)	найдите значение функции, если
значение аргумента равно
-15;	16;
б)	найдите значение аргумента, при
котором значение функции равно
25;	-30;
в)	при каком значении т график
данной функции проходит через
точку А, если
А(т; -10)?	M-Ю; т)?
г)	Постройте график данной функции.
2.	График функции у = — проходит
X
через точку В. Найдите число k,
если
B(ft2; -0,5).
в[-ft2; .
3
16
АЛГЕБРА
К-2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Вариант А 1
Вариант А2
1. Выполните действия:
х 24а4	64 
й Ь3 8а4 ’
' т + 2п т2 - п2
в)-----------------;
т - п 5т + 10п
ч х2 - 2х + 1 х - 1
г) -.---------~х----
х" -- 25 х ' + 5х
24Ь3
а
б) 21х3у:--^;
ч т - 8п т2 - п2
в)-------------;
т + п Зт - 9 и
s х2 - 16 х2 - 4х
г) ,,-------------------
х“ + 4х + 4 х + 2
2. Постройте график функции:
3. Упростите выражения:
1. Выполните действия:
28аЬ2	18с5 _
9с3	35а2Ь ’
/ 9	. 2\ х +2ц
6)
8т -2п	9 + 6п
2п + 3 32m2 - 2п2 ’
г) ___У + 6___ бу + 36
у2 -12у + Зб'у3 - бу2
ч 17а2	89b3с2
9Q	л *
26&2с3	34а4
б) ^JL(16x2 А.
4х '	'
ч 3m + 1	3m + 9п
J3|	___ ___ _______•
3m2 - 27л.2	2+6m
г) 7V 49.У"7________
у2 + 7у у2 + 14у + 49
АЛГЕБРА
17
2. Постройте график функции:
12
У = —
х
12
У =-----
3. Упростите выражения:
CLJ----------Г	-----,
ab \ а + Ь
\ /
( х+2	6x43; 2х2+4г+8
б)-------------;--------------
\з?+2х+4 л?-8/	З-Х
( а2 + Ь2 Л 2аЬ
а)----------1--------;
I 2ab а-Ь
V	7
Г х-2	Зх2-6х+12
\л2-2х+4 х?+8)	1~х
Вариант В 1	Вариант В2
1.	Выполните действия:
a3b ~ ab3 -а + 2Ь
а)	~~2Ъ~^1Г ~а4~^~Ь4 ’
б)	££±12:(2х2 + 20х + 50];
Зх	>
х2 - 4у2 (x + 2yf -вху
Xs + 8уа 2у- х
ч т6 + т3 т5 + т4
г)-------у'----X----•
(2т - 2)“ 4m - 4m
2а - Ь а4 - 4Ь2 .
& a2b - 2Ь2 -Ь + 2а
б) £SZ_E:(3X2 -18x + 27h
2х \	!
8х3 - у3 у +2х
4х2 - у2 (2х - г/)2 + бху
) 9m.2 - 9m (3m - 3)
т4 + т3 т3 + т4
2.	Постройте график функции:
18
18
3.	Упростите выражения:
2ab + 4b-3a-6 4Ь2 +21	^9а2-8 ДЗах.-2х + 9а2 -6а
2b + 2b2	\ 2Ъ + 2	\ За-З J За2-За
( 1	х+1 К 9	9 V Х~1	1
<х-1 х2+х + 1Д х -1J к х3+1Дх"-х + 1 x + lj
18
АЛГЕБРА
С-6. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ
КОРЕНЬ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Вычислите:
б) 0,172500 ;
а) 1/1;
г) 7196 - lOy/ofii .
а) 4725 +781 ;
б) 0,274900 ;
2.	Найдите значение выражения:
7йх - 3 , при х = 1,5.	7з — 6х , при х = 0,5.
3.	Найдите значение х (если оно су-
ществует), при котором верно ра-
венство:
a)	-Jx = 9 ;
б)	277 - 20 = 0 ;
в)	77 + з = о.
а)	77 = 4 ;
б)	з77- 27 = 0;
в)	2 + 7х = 0 .
4. При каких значениях х имеет
смысл выражение:
7i7 ?	?
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Вычислите:
а)	2749 -3725;
б)	|7збОО ;
в)	зД
V 81
г)	10^3,24 - 7256 .
а)	4716 - 278? ;
б)	—7б400;
4 ____
В) Ю. Д ;
У100
г) ТзбТ - ю72,89 .
2.	Найдите значение выражения:
72х + 5 , при х = -2,5.	74х + 2 , при х - -0,5.
АЛГЕБРА
19
3.	Найдите значение х (если оно существу-
ет), при котором верно равенство:
а) у/х - 25 = 0 ;	а) 16 - у/х - 0 ;
б)-Тх-5 = 1;	б)-Тх-1 = 2;
2	3
в) у[х + 3 = 2,4 .	в) 2 + 4х - 1,3 .
4.	При каких значениях х имеет
смысл выражение:
Вариант В 1	Вариант В2
1. Вычислите:
a)	Vlb V225 -
б)	1-л/4900 ;
7
. 6 Пэ
в)	—, 1 —
7 V 36
а) л/9  V196 - 4>/б4 ;
б) 1- V2500 ;
5
г)	^/To^l - л/0,0081 .
2. Найдите значение выражения:
y[tec^~tey^ , при х = 0,5, у = -1.	^х^-25у^ , при х = 1, у
-0,2.
3. Найдите значение х (если оно су-
ществует), при котором верно ра-
венство:
а)
б)
в)
tex - 3 = 9;
7--V1 -х = 3;
3
1 + >/2х = 0 .
a)	tex - 2 - 4;
б)	9--л/2 -х = 3;
_____4
в)	л/4х +2 = 0.
4. При каких значениях х имеет
смысл выражение:
х+ 2 ?
te-X
х - 3 ?
4х
20
АЛГЕБРА
С-7. УРАВНЕНИЕ х2 = а. ФУНКЦИЯ у = 4х
1. Вычислите:
а)	(зТз)2;
б)	7? • 7? ;
в)	2(711) + 71 .
а)	(зТг)2;
б)	7з 7з ;
в)	7Г + 2(Ти )2.
2. Решите уравнения:
а)	х2 = 25;	а)	х2 = 36;
б)	х2 - 5 = 0;	б)	х2 -- 6 = 0;
в)	9 + х2 = 0.	в)	16 + х2 = 0.
3. Сравните числа:
а) ТГз и 715 ;
б) 8 и 7бЗ .
а)	7з и 77;
б)	4 и 717
4. Принадлежит ли графику функ-
ции у = у[х точка
А(4; -2)?	В(49; -7)?
5. При каких значениях у верно
равенство:
(У - I)2 = 4?
(у + 1)2= 1?
Вариант Б1	Вариант Б2
1. Вычислите:
а) (-475 )2 ;
б) -572-72 ;
Г Г"}2
в) 4Ьу- -з71 
а)	(-5Тз)2 ;
б)	зТГГ (-7и);
в) 9
-271 •
2. Решите уравнения:
а) 2х2 = 0,98;	а) Зх2 = 0,75;
АЛГЕБРА
21
б) 1 - х2 = -4;
в) х2, + 5 = 4.
б) 2 - х2 = -1;
в) 9 + х2 = 8.
3.	Расположите в порядке возраста-
ния числа:
а)	71  л ” 1/1 
б)	V24 ,у/27 и 5.
б) 3, 78 и Til.
4.	Выберите среди данных точек
точки, принадлежащие графику
функции у = -fx :
А(0,1; 0,01); в(2; 7Г); С(81; -9).
А(-4; 2); В(0,2; 0,04); Цб;7б).
5.	При каких значениях у верно ра-
венство:
(У - 2)2 = 3?
(У + З)2 = 2?
Вариант В 1	Вариант В2
1. Вычислите:
а) (^)2-4(Л)2:
2. Решите уравнения:
а)	4.г2 -9 = 0; б)	10--|х2 =0; в) 0,4 - 2,х2 - 0,6.	а)	9х2 - 1 = 0; б)	7 -~х2 = 0; 2 в)	Зх2 + 2 = 1,7.
3. Расположите в порядке возраста-
ния числа:
б) -7, - ТбО и -747 .	б) - ТбО , -8 и - Тбб .
22
АЛГЕБРА
4. Точка А(т; п) принадлежит гра-
фику функции у - 4х . Найдите
тип, если известно, что
т = Зп.	т = 5п.
5. При каких значениях у верно ра-
венство:
—*^ = 6.	-^_ = з.
(2х - 1)	(2х + 1)
С-8. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ДРОБИ, СТЕПЕНИ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Вычислите:
a) 725 400 ; б)
в) ^(-1б)2 .
а)	716 900 ; б) J3—;
V 16
в) ^(-25)2 3 .
2. Используя свойства корня, найди-
те значения выражений:
в) 7б2  24 .
а) 7з-727; б)
в) 7з2 104 1 .
а)
б)
3. Упростите выражения:
лМх2 , если х > 0;	а) у1$х2 , если х > 0;
77-	б)7^.
Вариант Б 1
Вариант Б2
1. Вычислите:
а) 71,44 36 ; б) ;
а) 725 1,69 ; б) . 2— ;
V 49
АЛГЕБРА
23
в) 2у(-81)2 .
в) 3^(-25)2\
2. Используя свойства корня, найдите
значения выражений:
а) 719^6	;	а) ^22,5 • ^0,4 ;
6)#; л/240 в) 7б4 • 26 .	б)^; V26 в) >/28 З4 .
3. Упростите выражения:
a)	д/0,64х2 , если х > 0;
б)	~\у6 , если у < 0.
а)	д/0,25х2 , если х > О;
б)	если у < 0.
Вариант В 1	Вариант В2
1. Вычислите:
а) >44 0^5 16 ;
б)
в)
а) ^2,25 0,16 49 ;
б)	-^= ;
V 144
в) -0,2^(-64)2 .
2.	Используя свойства корня, найдите
значения выражений:
в)
3.	Упростите выражения:
/,	,2
а)	Jia - Ь) , если а > Ь',
б) \l~4x2 - 8х + 4 .если х < 1.
а) у/х2 - 2х + X , если х > 1;
б)	^9(х - у)2 , если у > х.
24
АЛГЕБРА
К-3. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ
КОРЕНЬ И ЕГО СВОЙСТВА
Вариант А 1	Вариант А2
1. Найдите значение выражения:
а)	7144 + bJofiA ; б)	(4л/2)2 ;	а) 4;у[0$1 + J196 ; б) (з7т)“;
в) д/0,16 25 -6^-.	в) Jo,04  81 - 7Л — . V 49
2. Вычислите, используя свойства
корня:
a) J11  J44;	a) J7  J28 ;
J44 б) ^=; J11	б) — V7
в) Тб*.	в) л/з\
3. Решите уравнения:
а)	- 3 ; б)	х2 = 3; в)	х2 = -3; г)	х2 - 2,25 = 0.	а)	ух = 6 ; б)	х2 - 6; в)	х2 = -6; г)	х2 -• 1,21 = 0.
4. Укажите все целые числа, расположен-
ные на координатной прямой между
числами /2 и 5.	1 и л/10 .
5. Упростите выражения:
а)	2а4а^, если а > 0; б)	-^49с2 , если с < 0.	a)	b2Jb2 , если b > 0; б)	-Jsid2 , если d < 0.
АЛГЕБРА
25
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Найдите значение выражения:
а) ^-7324 +20^0,36 ; б) (-эТз)2; в) 70,81 625	а)	|Т256 + 3070,64 ; б)	(-вТг)2; в)	70,49 225 - ^1Ц .
2. Вычислите, корня:	используя свойства
а) 71,3  75,2 ;	а) 71,1 • 79,9 ;
7бз в) j(-7)4 .	712 в) -j(-3) 
3. Решите уравнения:
а)	у/х -4 = 0; б)	—-х2 = 3; 3 в)	-4х2 = —; 4 г)	-2х2 + 2,42 = 0.	а)	у!х - 9 = 0 ; б)	— х2 =2; 2 в)	-5х2 = - ; „	5 г)	-Зх2 + 2,43 = 0.
4.	Укажите все целые числа, расположен-
ные на координатной прямой между
числами
*7 и 413 .	Я и 710 •
5. Упростите выражения:
а)	; х8 |9а^ б)	, —лг > если а > 0, b < V Ь10	. 1 Г7 а) —  vx ; X : 0.	б) .—- , если а < 0, b > 0. У 4Ь2
26
АЛГЕБРА
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Найдите значение выражения:
а) -710^24 +-T5J6 ;
4	6
14	4
в) J2—----
V 121 25
2.	Вычислите, используя свойства
а)
б)
в)
кория:
л/147 .
л/48 ’
JhP7-
в) J(-6)‘ • 4s .
3.	Решите уравнения:
a)	V13.r- 1 = 5;	a)	Vsx+T = 7 ;
б)	(х - З)2 + 6х =	10;	б)	(х + 2)2 - 4х = 5;
в)	1 - х2 - -2х2;	в)	-Зх2 = 2 + х2;
г)	(д/Зх)2 = 9 .
4. Укажите все целые числа, расположен-
ные на координатной прямой между
числами
г) (V2xj - 4 .
5. Упростите выражения:
a) -yla4bG если Ъ > 0;	a) -yla10b^ если а > 0;
3x5	, ,л	^4т5 6
б) 7=тг > если х < °-	б) , если х < 0.
V9x10	2х3
АЛГЕБРА
27
С-9. ВНЕСЕНИЕ И ВЫНЕСЕНИЕ
МНОЖИТЕЛЯ В КВАДРАТНЫХ КОРНЯХ
Вариант А1
Вариант А2
1.	Вынесите множитель из-под знака
корня:
а) 728 ; б) 0,2л/75 .
а) 444 ; б) j-750 .
2.	Внесите положительный множи-
тель под знак корня:
а) 4 Тб ; б) -34а .	а) $44 ; б) -24b .
3.	Сравните значения выражений:
а)	444 и 4л/з ;	а) 444 и 4л/2 ;
б)	3^2 и 2>/з.	б) бТз и зТб .
4.	Вынесите множитель из-под знака
корня:
а)	;	а) fey^, если у > 0;
б)	7^-	б) J7-
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Вынесите множитель из-под знака
корня:
а) 444 ; б) 0,017800 -
а) 798 ; б) 0,02^1200 .
2.	Внесите множитель под знак кор-
ня:
а) з44а; б) -107^26 . а) 544а ; б) -2оТоД6 .
3.	Сравните значения выражений:
а)	~Тб4 и 3;	а) 2 и -748 ;
3	4
б)	4Тб0 и бТз2 .	б) 5444 и зТтб .
28
АЛГЕБРА
4. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) б) ^8у6 , если у < 0.	а)	^25уъ ; б)	-J18y2 , если у < 0.
Вариант В1	Вариант В2
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
a) 7112; б) -0,12бТз20 .	a) 7126 ; б) -0,2бТб12 .
2. Внесите множитель под знак корня:
. 1 /т-	[Г а)	у/6х ; б) а. — . 3	Уа	а) - —VlOx ; б) — 72а . 5	а
3. Расположите в порядке возраста-
ния числа:
a) 743, 2710, З7б; б) -2ТбО , -4718 , -7162.	а) зТб , Тб5 , бТ2 ; б) -4727 -7243 , -2>[Т5 .
4. Упростите выражения:
а) — 7-27%; б) аб2,М—. Зх	уа3Ь4	а)	; б) -^asb3 . х1/ 8	а4Ь
С-10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Вариант А1	Вариант А2
1. Упростите выражение:
Тзбб - 7166 + 2y[b .	7816 - 7256 + з7б .
2. Выполните действия:
а)	{з^З + 718)  72 ; б)	[2а - 4b^2a + 71); в)	(7з + 7г)2 - 724 .	а)	7з -(2712 + 748); б)	(Та + 3б)(7а -Зб); в)	(Тб - 7F)2 + 71о .
АЛГЕБРА
29
3. Сократите дробь:
7х + 7з х -.3	х - 4 7х - 2
Вариант Б 1	Вари ант Б 2
1. Упростите выражение:
у/2а - 2718а + 772а .	Тба - 3720а + 7125а .
2. Выполните действия:
a)	(47F - 2Тб) • 7з + ТбО ; б)	(713 + 4^4 - 713); в)	(2Тз - 1)2 + 2712 .	а)	(зТ2 + 277)  72 - Тбб ; б)	(77 - з)(з + 77); в)	(зТ2 + 1)2 - 2718 .
3. Сократите дробь:
X + 7х X - 1	х - 4 х - 2у[х
Вариант В1	Вариант В2
1. Упростите выражение:
-727а - 0,17300а - 27147а . 3	0,27200а - -78а - 27162а . 2
2. Выполните действия:
а) (2Тб + з77)(75 - Те);	а) (4Тз + з72)(7г7 - 72);
б) (711 - О,5722)(о,б722 + Til);	б) -Те + 771 77--Те I; I3	Л 3 )
в) (Т42)2 - (гТё - з77)2.	в) (Tii)2 - (гТб + 4Т7)2.
3. Сократите дробь:
27-Зх х - зТх	4Тх - х 2х - 32
30
АЛГЕБРА
К-4. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ
АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Вариант А1	Вариант А2
а)	472+750-718 ;
б)	7з • (гТз + 712);
1. Упростите выражения:
а)	7Тз - 748 + 727 ;
б)	72(78 + 472) ;
в) (75 - 2)2 ;
D (7з-7з)(7з+ 72).
в) (7з + б)2 ;
г) (Тб + 7з )(7s - 7з).
2.	Сравните значения выражений:
377 и 4Тб.	2Тб и 472.
3.	Сократите дроби:
б)
4Ь - 2
27b-72
б)
9Ь - 3
зТь + 7з ’
4.	Освободитесь от знака корня в
знаменателе дроби:
5.	Решите уравнение, предварительно
упростив его правую часть:
х2 = 7710-3  7710+3 . х2 = 7717+4 • 7717 - 4 .
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Упростите выражения:
а)	-712 - 2727 + 775 ;
2
а) -718+З7в-798 ;
3
АЛГЕБРА
31
б)	Зл/2(б72 - л/32);
в)	(4 - 5л/2)2 ;
г)	(V7 - 2л/з )(77 + 2л/з).
б) 25/5(5/20-35/5);
в) (з + 25/F)2;
г) (5/1Г + 25/5)(л/ГГ - 2л/з).
2. Сравните значения выражений:
3. Сократите дроби:
а)
б)
5-5/5
5/10-65/2 ’
4а2 + Itajb + b
4а2 - b
а)
б)
5/З-З
З5/2 - 5/6 ’
9а-Ь2
9а - 6bja + b2
4. Освободитесь от знака корня в
знаменателе дроби:
а)
б)
10
З5/5 ’
11
25/З+1 ’
15
2д/б ’
19
25/i-1 '
5. Докажите, что данное уравнение
имеет целые корни, и найдите их:
Z ------ ---------к 2	X .----.=	.------
х2 = V6 + 25/5 - д/б - 25/5 . х2 = V7-2'/6 - V7 + 25/6
Вариант В 1	Вариант В2
1. Упростите выражения:
a)	I5/3OO-4J—-5/75;
5	V16
б)	(З5/2 -1^5/8 +2);
в)	(5/5 +’2)2 - (з - 5/5 )2 ; '
a)	-5/2OO - 7J— - 5/72 ;
2	V 49
б)	(25/5 + 1^5/20 - 2);
в)	(5/З - 1)2 - (2 + 5/З )2 ;
32
АЛГЕБРА
г) 1 - (з7? + в)(з7? - 8).
г) 1 - (4^5 - 9^4Тб + 9).
2. Сравните значения выражений:
—Ц=,иш2.	+-TJ— и ш!.
- ,/Я 9 4- Ля V I	~ 1	4. 1	'	/
а)
б)
3. Сократите дроби:
aja + 27
-----т=--.	б)
а -Зуа + 9
5-715
715-3 ’
а + 27а + 4
аТа - 8
4. Освободитесь от знака корня в
знаменателе дроби:
а)
б)
2
Та + 2
22
1 + 727-73'
5. Решите уравнение:
х2 = (Тб - 2^9 + 4\/б . х2 = (2 - 7з jJT+TTs .
С-11. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вариант А1
Вариант А2
1.	Решите уравнения:
а)	2х2	- 18 = 0;	а) Зх2 - 12 = 0;
б)	х2 + 2х = 0;	б) х2 - Зх = 0;
в)	4х2	= 0;	в) -7х2 = 0;
г)	4х2	- 11 = х2 - 11 + 9х.	г) 7х + 3 = 2х2	+ Зх + 3.
2.	Найдите корень уравнения:
х2 - 2х + 1 = 0.	х2 - 4х + 4 = 0.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Решите уравнения:
а)	9х2 -4 = 0;	а) 4х2 - 25 - 0;
АЛГЕБРА 33
б)	2х2 - Зх;	б) Зх2 = -2х;
в) 2 = 7х2 + 2;	в)9х2-1=-1;
г) (2х + 1)(х - 4) = (х - 2)(х + 2). г) (2х - 9)(х + 1) = (х - 3)(х + 3).
2.	При каком значении а один из кор-
ней данного уравнения равен 1:
Зх2 - а = О?
Зх2 - ах = О?
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Решите уравнения:
а)	-0,2х2 +4 = 0;
1	2	1
б)	— х + — х = 0 ;
3	9„
в)	(2х - I)2 = 1 - 4х;
г)	3 - (4х + 1)(3 - х) = х2.
а)	3 - 0,4х2 = 0;
б)	—х2 - —х = 0;
4	%
в)	(Зх + 2)2 = 4 + 12х;
г)	х2 - (2х - 3)(1 - х) = 3.
2.	При каком значении а корни дан-
ного уравнения являются проти-
воположными числами:
х2 + (а - 2)х + а - 6 = 0?	х2 + (а + 1)х + а - 8 = О?
С-12. ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО
УРАВНЕНИЯ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Решите уравнения:
а)	х2 - 5х + 6 = 0;	а) х2 - 7х + 10 = 0;
б)	у2 + 8у + 16 = 0;	б) у2- 10у + 25 = 0;
в)	-t2 - 3t + 1 = 0;	в) -t2 + t + 3 = 0;
г)	За2 + а = 7.	г) 2а2 - а = 3.
2. При каких значениях х равны
значения многочленов:
(х + I)2 и 7х - Зх2 ?	(х - I)2 и 2х - 2х2 ?
34
АЛГЕБРА
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Решите уравнения:
а)	х2 1 + 7х - 44 = 0;	а)	х2 - 10х - 39 = 0;
б)	9у2 + бу + 1 = 0;	б)	4г/2 - 4у + 1 = 0;
в)	-2t2 + 8t + 2 = 0;	в)	-3t2 - 12t + 6 = 0;
г)	а + За2 = -11.	г)	4а2 + 5 = а.
2.	При каких значениях х равны зна-
чения многочленов:
(2 - х)(2х + 1) и (х - 2)(х + 2)?	(1 - Зх)(х + 1) и ( х - IX* + 1)?
Вариант В 1
Вариант В2
1. Решите уравнения:
а)	х2 + х - 72 = 0; б)	2у2 - 2у + 0,5 = 0;	а)	х2 - 5х - 84 = 0; б)	8у2 + 4у + 0,5 = 0
в) -15 = 3t(2 - i);	в) 10i = 5(£2 - 4);
1	i. л г) — а = а + 4. 3	1	9 г) — а = ст + 1 . 7
2. При каких значениях х равны зна-
чения многочленов:
Зх-1
2
и х - 1?
х2 _	—1 и 2х + 4?
3
С-13. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА
ВИЕТА
Вариант А1
Вариант А2
1. Решите уравнение и выполните
проверку по теореме, обратной
теореме Виета:
х2 + Зх - 18 - 0.	х2 - 2х - 24 = О.
2. Решите задачу:
Одно из двух натуральных
чисел больше другого на 5.
Найдите эти числа, если их
произведение равно 24.
Одно из двух натуральных
чисел меньше другого на 6.
Найдите эти числа, если их
произведение равно 27.
АЛГЕБРА
35
3.	Запишите обратную теорему Вие-
та для данного уравнения и най-
дите подбором его корни:
х2 - 12х + 20 = 0.	х2- 7х + 12 = 0.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Найдите подбором корни уравне-
ния:
х2 - х - 20 = 0.
х2 + Зх - 28 = 0.
2. Решите задачу:
В прямоугольном треугольни-
ке один из катетов на 7 см
больше другого. Найдите пе-
риметр треугольника, если
его гипотенуза равна 13 см.
Одна из сторон прямоуголь-
ника на 2 см меньше дру-
гой, а его диагональ равна
10 см. Найдите периметр
прямоугольника.
3. Один из корней данного уравне-
ния равен 2. Найдите второй ко-
рень и коэффициент а:
х2 + ах - 12 = 0.	х2 - 7х + а = 0.
Вариант В 1
Вариант В2
1. Найдите подбором корни уравне-
ния:
х2 + 20х + 36 = О.	х2 + 14х + 24 = 0.
2. Решите задачу:
Сумма катетов прямоуголь-
ного треугольника равна
23 см. Найдите катеты тре-
угольника, если его гипоте-
нуза равна 17 см.
В прямоугольном треуголь-
нике сумма гипотенузы и
одного из катетов равна
32 см, а второй катет равен
24 см. Найдите неизвестные
стороны треугольника.
3. Один из корней данного уравнения
в 2 раза больше другого. Найдите
корни уравнения и коэффициент k:
2х2 - Зх + k = 0.	2х2 - kx + 4 = 0.
36
АЛГЕБРА
Длина прямоугольника на
5 см больше ширины, а его
площадь равна 36 см. Най-
дите стороны прямоугольни-
ка.
К-5. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Решите уравнения:
а)	х1 2 - 4х + 3 = 0;	а)	х2 - 6х + 5 = 0;
б)	х2 + 9х = 0;	б)	х2 - 5х = 0;
в)	7х2 - х - 8 = 0;	в)	6х2 + х - 7 = 0;
г)	2х2 - 50 = 0.	г)	Зх2 - 48 = 0.
2.	Решите задачу:
Ширина прямоугольника на
6 см меньше длины, а его
площадь равна 40 см2. Най-
дите стороны прямоугольни-
ка.
3.	Определите значения у, при ко-
торых верно равенство:
7	9
4.	Один из корней данного уравне-
ния равен 4. Найдите второй ко-
рень и число а.
х2 + х - а = 0.	х2 - ах - 8 = 0.
5.	Составьте квадратное уравнение,
корни которого равны
-5 и 8.	9 и -4.
Вариант Б 1
Вариант Б2
1. Решите уравнения:
а) х2 + 2х - 63 - 0;	а)	х2 + 18х +	65 =	0;
б) 0,9г - Зх2 = 0;	б)	0,6х + 2х2	= 0;
в) 2х2 - 5х + 2 = 0;	в)	2х2 - Зх -	2 = 0;
г) х2 - 2х - 6 = 0.	г)	х2 + 2х - 4	= 0.
2. Решите задачу:
Найдите длины сторон пря-
моугольника, периметр ко-
торого равен 32 см, а пло-
щадь равна 55 см2.
Найдите длины сторон пря
моугольника, площадь кото-
рого равна 51 см2, а пери
метр равен 40 см.
АЛГЕБРА
37
3.	Определите значения у, при кото-
рых верно равенство:
У2 + 6*/ _ 2t/ + 3 _ 12	у2 + Юг/ _ 2г/ + 5 _ 2Q
6	2	10	2	’
4.	Решите задачу:
Один из корней уравнения Один из корней уравнения
2Х2 + 10х + q=0 на 3 болыпе дру- Зх2 - 21х + q — 0 меньше другого
того. Найдите свободный член q. на 1. Найдите свободный член q.
5.	Составьте квадратное уравнение,
корни которого равны
с	1	о	1
-3 и---.	-2 и---.
3	2
Вариант В 1
Вариант В2
а)	х2 + х = 90;
б)	-4х = 7х2;
в)	-х2 + х - 10 = 0 ;
5
г)	х2 + 4х + 5 = 0.
1.	Решите уравнения:
а)	х2 - х - 110;
б)	-Зх2 = Их;
1	9
в)—х — х - 3 = 0;
4
г) х2 - 2х + 3 = 0.
2. Решите задачу:
Когда от квадратного листа
фанеры отрезали прямо-
угольную полосу шириной
2 м, площадь листа состави-
ла 24 м2. Найдите первона-
чальную площадь листа.
От прямоугольного листа карто-
на длиной 16 см отрезали квад-
рат, сторона которого равна ши-
рине листа. Площадь оставшего-
ся прямоугольника равна 60 см2.
Найдите ширину листа картона.
3. Определите значения х, при кото-
рых верно равенство:
(х - З)2 (х - 2)2 _ 1-х	(х + 1)2 _ (х - 1)2 _ 2х - 1
16	4	~ 2 ‘	12	3	"	4
4. Решите задачу:
Разность корней уравнения Разность корней уравнения
2х2-5х + с = 0 равна 1,5. 2х2-Зх + с = 0 равна 2,5.
Найдите с.	Найдите с.
5. Составьте квадратное уравнение,
корни которого равны
2 + 7зи2-7з.	1-72 и 1 + J2.
38
АЛГЕБРА
С-14. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Вариант А1	Вариант А2
1. Решите уравнения:
2 z; . х - о	X х - 3 ~ х - 3 ’ б) — = 9 _ Х ; X ч х - 4 2х + 10 в)	=	. ' х	х + 4	ч х2 + 2х	8 а) 	=	; х + 4 х + 4 б)^ = 7-х; X х + 3 2х + 10 в) 	=	. х	х - 3
Вариант Б1	Вариант Б2
1. Решите уравнения:
ч х2 - 12 х а) 	=	; х- 3	3-х 2х2 - 5х + 2 л . б) 	= 4х + 1; х-2 . 2х - 3	1	4х - 6 в)	о ~ 2 х	X + 2 х + 2х	х2 - 8х 15 а) 	=	; 5-х х-5 6)g^-l=3x + l; х + 1 Зх +1	5	6х- 2 х 'х-2 х2 - 2х
Вариант В 1	Вариант В2
1. Решите уравнения:
„ Зх2 + 2х - 1 „ а)		= 5 ; х + 1 б)	х	2	_	32 х - 4 х + 4 х2 - 16 ’ ч 1	х-4	2 в)	9 +	9 ~	9 • 2х - х 2х + х 4 - х	. 5х2 - 4х - 1 „ •» - ^Г" = в; х + 3 х — 3	— 9 .х-2	1	2 в) 2	+ 2	= о , х-х х +х X - 1
АЛГЕБРА
39
С-15. ПРИМЕНЕНИЕ ДРОБНЫХ
РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Вариант А1
Вариант А2
1. При каком значении х значение
функции
Зх + 2	„„	2х + 4
у =----- равно 8?	у =------ равно 10?
х - 1	х - 2
2. Решите задачу:
Числитель обыкновенной
дроби на 2 меньше знамена-
теля. Если числитель увели-
чить на 1, а знаменатель
увеличить на 3, то получит-
ся дробь, равная данной.
Найдите данную дробь.
Знаменатель обыкновенной
дроби на 1 больше ее числи-
теля. Если к числителю дро-
би прибавить 2, а к знамена-
телю прибавить 3, то полу-
чится дробь, равная данной.
Найдите данную дробь.
3. При каком значении у
« - 1 У
сумма дробей — и ----
У У~^
равна их произведению?
„ 1 у
разность дробей — и ----
У У +1
равна их произведению?
Вариант Б 1
Вариант Б2
1. Найдите абсциссы точек пересече-
ния графиков функций:
х - 8
г - 20 2
6
И 4/ = —
X
х - 1
х^2
У
У =
х
2. Решите задачу:
Моторная лодка прошла
60 км по течению реки и
36 км по озеру, затратив на
весь путь 5 часов. Найдите
собственную скорость лод-
ки, если скорость течения
реки равна 2 км/ч.
Расстояние между пристаня-
ми равно 112 км. Двигаясь
по течению, катер прошел
это расстояние на 1 час быс-
трее, чем обратный путь.
Найдите собственную ско-
рость катера, если скорость
течения реки равна 1 км/ч.
40
АЛГЕБРА
3. При каких значениях у
у + 1	у + 3
сумма дроби ----- и дроби, разность дроби ----- и дроби,
v-i	у-з
обратной данной, равна 2,5? обратной данной, равна 1,5?
Вариант В 1	Вариант В2
1. Найдите координаты точек пере-
сечения с осью абсцисс графика
функции:
хэ - Зх2 + 2х	х3 - х2 - 2х
------------ .	IJ = ------------
2. Решите задачу:
Путь от А до В, равный
20 км, турист должен был
пройти за определенное вре-
мя. Однако он был задержан
с выходом из А на 1 час, поэ-
тому ему пришлось увели-
чить скорость на 1 км/ч,
чтобы ликвидировать опоз-
дание. С какой скоростью
должен был идти турист?
На участке пути длиной
300 км поезд увеличил ско-
рость на 10 км/ч, в резуль-
тате чего прибыл на конеч-
ную станцию на 1 час рань-
ше, чем планировалось по
расписанию. С какой ско-
ростью должен был идти по-
езд по расписанию?
3. При каком значении у равны
значения выражений
Зу +1 1	2у-1	1
9у2 + Зу + 1 Зу - 1	4у2 - 2у + 1 2у + 1
Зу2-13у + 1	бу2 + у + 2
и ---------- И "-------------------- I
27у3-1	8у3 +1
К-6. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Найдите корни уравнений:
. х2 1	X2 1
а) ----- —;	а) ---= —;
х + 6	2	х + 3	4
АЛГЕБРА
41
х2 - х 12
х + 3 х 4~ 3
х2 -10 Зх
о) -------=-------
х + 2 х + 2
2.	Решите задачу:
Катер прошел 80 км по течению
реки и вернулся обратно, затратив
на весь путь 9 часов.
Найдите собственную ско- Найдите скорость течения ре-
рость катера, если скорость ки, если скорость катера в
течения реки 2 км/ч.	стоячей воде равна 18 км/ч.
3.	Функция задана формулой
х2 - Зх + 2	х2 - 5х + 6
х2 - 1	х2 - 4
Определите, при каком значении х зна-
чение данной функции равно нулю.
4.	Решите уравнение:
3,4	2	15
а + 2 а2 + 4а + 4	а - 3 а2 - 6а + 9
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Найдите корни уравнений:
Зх + 1 2х — 10
а) -----=--------;
х - 2 х + 1
„ х + 2 х 6
б) ---- +----- = —---.
X — 1 х + 1 х -1
4х - 1 _ 2х + 12 .
х + 2	х - 1
х -1	х 8
-----}----_ —---- е
х + 2 х - 2	х2-4
2. Решите задачу:
Из города в село, расстоя-
ние до которого равно
120 км, выехал велосипе-
дист. Через 6 часов вслед за
ним выехал мотоциклист,
скорость которого на
10 км/ч больше скорости
велосипедиста. Определите
скорости велосипедиста и
мотоциклиста, если в село
они прибыли одновременно.
Расстояние 700 км экспресс
проходит на 4 часа быстрее
товарного поезда, так как
его скорость больше скорос-
ти товарного поезда на
20 км/ч. Определите ско-
рость каждого из поездов,
если известно, что они дви-
жутся с постоянной скорос-
тью без остановок.
42
АЛГЕБРА
3. Функция задана формулой
2х2 - 5х - 3	2х2 - 7х + 6
х2 — 9	х2 — 4
Определите, при каком значении х график
этой функции пересекается с прямой у = 1.
4. Решите уравнение:
1 4	_ 1	4	_ 1____________
а2 - 4а + 4 а2 - 4 а + 2 а2 - 4 а2 + 4а + 4 а - 2
Вариант В 1	Вариант В 2
1. Найдите корни уравнений:
а)
х2 -12 х
х2 -4 + х-2
х 11
Х + 1 X X2 + X
х	1	4
х-2 х х2 - 2х ’
2. Решите задачу:
Два слесаря, работая со-
вместно, могут выполнить
задание на 8 дней быстрее,
чем один первый слесарь, и
на 18 дней быстрее, чем
один второй. Сколько дней
потребуется слесарям на со-
вместное выполнение зада-
ния?
Мастеру на выполнение зака-
за потребуется на 5 дней
меньше, чем его ученику, но
при совместной работе они
выполнят заказ на 4 дня быс-
трее, чем мастер, работаю-
щий в одиночку. За сколько
дней выполнит заказ мастер,
работая в одиночку?
3. При каких значениях а уравнение
х2 - 8х +15	х2 + 4х - 21
х - а	х + а
будет иметь один корень?
4. Решите уравнение:
1 + 2 . 5	1 3 _	3
а-2 а2 + 1 а3-2а2 + а-2	а-1 а2+2 а3-а2 +2а-2~
АЛГЕБРА
43
С-16. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ
НЕРАВЕНСТВ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Сравните числа а и Ь, если
а - b = 0,04.	а - b - -0,01.
2.	Докажите, что при любом значе-
нии х верно неравенство:
- З)2 > х(х ~ 6).	(х + 5)2 > х(х + 10).
3.	Зная, что 5 < с < 6, оцените зна-
чения выражений:
а)	с - 4;	а) с 4- 3;
б)	-2с.	б) -4с.
4.	Дан прямоугольник со сторона-
ми х см и у см. Известно, что
1,2 < х < 1,3 и 4 < у < 5.
Оцените периметр прямо- Оцените площадь прямо-
угольника.	угольника.
Вариант Б1
Вариант Б2
1. Зная, что а < Ь, сравните значе-
ния выражений:
-2а и -2ft.	- — 6 и -—а .
2	2
х2 4- 1 > 2(3х - 4).
2. Докажите неравенство:
х2 + о > 10(х - 2).
3.	Зная, что 4<х<5и1<у<2,
оцените значения выражений:
а)	ху,	а) х + Зу;
б)	2х - у.
б) -.
У
4.	Решите задачу:
Дана трапеция с основаниями
а см и ft см. Известно, что
2,4 <а < 2,6 и 3,6 < ft < 4. Оцени-
те среднюю линию трапеции.
Дан треугольник с углами а,
[) и у. Известно, что
30° < а < 32° и 95° < Р < 96°.
Оцените угол у.
44
АЛГЕБРА
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Известно, что а < Ъ, с > Ь.
Сравните значения выражений
111
—, — и —, если
а Ъ с
а,Ь,с — положительные чис-
ла.
а, Ъ, с — отрицательные чис-
ла.
2.	Докажите неравенство:
х2 + 5 > 4х - 5.	х2 - Зх > Зх - 11.
3.	Зная, что 2<х<4и1<у<2,
оцените значения выражений:
а) х - 4у;	а) у - 2х;
х	х2
б)—.	б)—.
У	У
4.	Решите задачу:
Докажите, что правильная
а
дробь — (а > 0; Ъ > 0) при
Ъ
увеличении числителя и
знаменателя на одно и то
же положительное число
увеличивается.
Докажите, что неправиль-
а
ная дробь — (а > 0; Ъ > 0)
Ь
при увеличении числителя
и знаменателя на одно и то
же положительное число
уменьшается.
К-7. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ
СВОЙСТВА
Вариант А1	Вариант А2
1.	Докажите неравенства:
а)	2(4х - 1) + х < 3(3х + 2);	а) 3(2х - 5) - х < 5(х + 1);
б)	(у - 1)(у + 1) > Н - 2.	б) (у - 2)(у + 2) > у2 - 5.
2.	Зная, что
8<х<10и2<у<4,	4 < х < 6 и 1 < у < 2,
оцените значения выражений:
а) х + у, б) х - у, в) ху, г) —.
У
АЛГЕБРА
45
3. Решите задачу:
Сторона равностороннего тре-
угольника равна а см. Извест-
но, что 1,1 < а < 1,2. Оцените
периметр треугольника.
Периметр квадрата равен
Р см. Известно, что
4,4 Р < 4,8. Оцените сто-
рону квадрата.
4. Пользуясь тем, что 1,7 < л/3 < 1,8 ,
оцените значения выражений:
а)	-4>/3;	а) Зл/з ;
б)	2>/з + 1 .	б) 5 - 2>/з .
5. Какие целые значения может
принимать у, если
0,125 < - < 0,25 ?
У
0,25 < - < 0,5 ?
У
Вариант Б 1
Вариант Б2
1. Докажите неравенства:
а)	(х + 2)2 > 4(х + 1);	а) (х - З)2 > 3(3 - 2х);
б)	(а - 2)(а - 5) < (а - 3)(а - 4).	б) (а + 1)(а - 4) < а(а - 3).
2. Зная, что 1<х<2иЗ<у<4,
оцените значения выражений:
а) 4х + у; б) Зху;	а) х + Зу; б) 2хуг
п	X
в) 2у - х; г) — .	в) Зх - у, г) — .
х	у
3. Решите задачу:
Оцените периметр равнобед-
ренного треугольника с осно-
ванием а см и боковой сторо-
ной Ъ см, если 5,1 < а < 5,2 и
2,9 < Ь < 3.
Оцените среднее арифмети-
ческое чисел а и Ь, если из-
вестно, что 2,4 < а < 2,5 и
3,6 < Ь < 3,7.
4. Пользуясь тем, что 1,4 < л/2 < 1,5
и 2,2 < т/б < 2,3 , оцените значе-
ния выражений:
а) 718 - Тб ;
а) 720 - V2 ;
46
АЛГЕБРА
б) 410 + л/б .
б) /2 + УН) •
5. Даны три последовательных нату-
ральных числа.
Сравните удвоенный квадрат
среднего из них с суммой
квадратов двух других чисел.
Сравните квадрат среднего
из них с произведением
двух других чисел.
Вариант В 1	Вариант В2
1.	Докажите неравенства:
а) 4аЬ < (а + 6)2;	а) 2&(а - 2Ь) с. а(а - 2Ь);
> ]	1	9
б)4х2+~—>4.	б) > 10 - 25х2 .
х2	хг
2.	Зная, что 9 < х < 12 и 3 < у < 4,
оцените значения выражений:
а) 2х + 3//; б)-----------— ;
х у
в) х2 - г/2; г) —У.
у2
а) Зх ч- 4//; б)---------;
У х
в) у2 - х2; г) - У—.
х
3.	Решите задачу:
Основания трапеции равны
а см и Ь см, средняя линия —
т см. Известно, что 4 < т < 5
и 6 ' Ъ < 7. Оцените величину
а.
Угол при основании равно-
бедренного треугольника ра-
вен а, а угол, противолежа-
щий основанию — Р- Извест-
но, что 50° < 3 < 52°. Оцените
величину а.
4.	Пользуясь тем, что 1,4 < д/2 < 1,5
и 1,7 < ->/з < 1,8 , оцените значе-
ния выражений:
а)	4б + 412 ;	а) 48 - 4б ;
б)	б)
4з - 42	yis + 42
5. Докажите неравенство:
а2 + b2 + 2а ~ 4Ь + 5 > 0. а2 + Ь2 - (за + 2Ь + 10 > 0.
АЛГЕБРА
47
С-17. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
1.	Решите неравенства:
а) 7х - 3 > 11;	а) 4х + 7 < 11;
б) 2у - 4,8 -i 4у + 1,2.	б) Зу + 1,3 > Бу - 0,1.
2.	При каких значениях а
двучлен 21 - 7а принимает двучлен 15 - За принимает
положительные значения? отрицательные значения?
3.	Решите неравенство и найдите наибольшее
целое число, удовлетворяющее неравенству:
3(2х - 1) < 5,4 - х.	2(5х + 1) < 6,8 + 2х.
4.	При каких значениях у имеет
смысл выражение:
[ 1 + 2// ?	fey - 2 ?
ГТ ’	V 4~ '
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Решите неравенства:
а) 2(х + 3) < 3 - х;	а) 3(х - 2) > х - 12;
б) 1,4х - 3 > 2(0,5х - 2,6). б) 1,8х -! 6 < 3(0,7х - 0,1).
2.	При каких значениях а дробь
11-4а	„„	13-2а
------ является правильной? --------является неправильной?
3	5
3. Укажите наименьшее целое ре-
шение неравенства:
- 2х < 2 . 5	х +1 	 4х < -7 . 3
4.	Укажите допустимые значения пе-
ременной в выражении:
-2х - 3	[-Зх — 4
4
b
48
АЛГЕБРА
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Решите неравенства:
а) 4(1 - х) - 3(х + 2) < 5;	а) 3(х + 1) - 2(2 - х) > -11;
б) (х - 4)2 > (х + 4)(х - 4).	б) (х + 3)(х - 3) < (х + З)2.
2.	При каких значениях а
„ За - 5	„ 4а +1
дробь ------- является пра- дробь ------- является не-
а - 1	а - 2
вильной?	правильной?
3.	Укажите наибольшее целое реше-
ние неравенства:
х-2 Зх + 2	2	х 2х-1^х-9
__	_	'---х.	- +	g < ~
4.	Укажите допустимые значения
переменной в выражении:
х-1	х + 1
-7-х -1
дЛ-Х + 1
С-18. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ.
Вариант А1	Вариант А2
1.	Решите системы неравенств:
(Зх + 9>0,	(2х - 10 < 0,
а)	1	а) (
[х - 5 < 1;	[х + 4 > 5;
(2 - у > 3,	(бу - 4 > 6,
б)	(	б) ( у
[Зу -1 < 2.	[4 - у < 3.
-2 < а + 1 < 7.
2. Решите двойное неравенство:
-1 < а - 3 < 5.
3. При каких х значения дроби
х - 1	х + 2
2	3
принадлежат промежутку [-1; 1]?
АЛГЕБРА
49
Вариант Б 1
Вариант Б2
1.	Решите системы неравенств:
\3х - 1 < х + 5,
а) 1
[7х + 4 > Зх;
6)
|1 - 5у < у - 5.
2х + 3 > х - 1,
a) S
19х - 5 < 4х;
б)
2 - 4у >2у~10,
‘ 3 > 2(у + 3).
2.	Решите двойное неравенство:
2а + 1
3
-7 <
За - 2
2
< 5 .
3.	При каких х значения дроби
8-х	2-х
~~4~	5
принадлежат промежутку [-1; 4)?
Вариант В 1	Вариант В 2
1. Решите системы неравенств:
а) '	3(х - 2)(х + 2) < х(3х - 1), 5х - 6 > 4 - 5х; у < 4у + 6,	а) 	(х - 4)(5х -1) - 5х2 > х + 40, 2х - 4 < 6 + Зх; 2у <9у + 21,
б)	- - 1 < 0, 2	б)	- - 2 < 0, 2
	7 - у < 8.		2 - у < 4.
2. Решите двойное неравенство:
1 - За
2
-3,^<1.
3
< 2 .
3. Решите неравенство:
|2х - 1| < 3.	|4х + 2| < 6.
50
АЛГЕБРА
К-8. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Решите неравенства:
а) 1 + 4х < 17;	а) 6х - 7 > 5;
б) 2х - 1 > 4х + 1;	б) х + 3 < Зх - 5;
в) 4(х + 1) - 5х < 3.	в) 5(х - 1) + 6 > 6х.
2.	Решите систему неравенств:
(3 - х < 5,
[4х-2< 8.
|2х + 9 < 6,
[7 - х > 1.
3.	Решите двойное неравенство:
-10 < 8х - 2 < 14.	-2 < 5х + 3 < 13.
4.	При каких значениях а корень
уравнения х + 3 = а является
положительным числом? отрицательным числом?
5.	При каких значениях у имеет
смысл выражение
72</-4+ 5-Ъ
V
6. Решите задачу:
Длина прямоугольника 4 см.
Какой должна быть его шири-
на, чтобы периметр прямо-
угольника был меньше 20 см?
Ширина прямоугольника 3 см.
Какой должна быть его дли-
на, чтобы периметр прямо-
угольника был больше 30 см?
Вариант Б1	Вариант Б2
1.	Решите неравенства:
а)	х - 9 < 8х + 5;	а)	2х + 5 > 7х - 10;
б)	4(х - 11) - 5(2х - 7)	> 0;	б)	2(3х + 7) - 8(х + 3) <	0;
в)	— + 9 < х .	в)	— - 6 > х .
3	7
2.	Решите систему неравенств:
2(х + 3) - 3(х - 2) > 0,
2х + 3(2х - 3) < 7.
3(х - 4) - 4(х + 3) 0
Зх + 2(3х - 2) > 5.
АЛГЕБРА
51
3.	Решите двойное неравенство:
х — 3	„
----- о .
2
-2 <
х + 1
3
< 7.
4.	При каких значениях а
уравнение х2 = 2а - 3 имеет Уравнение х2 = За + 2 не
два корня?	имеет корней?
5.	При каких значениях у имеет
смысл выражение
71Т^з7+?	7177+—!==?
6. Решите задачу:
Магазин должен заказать по-
ставщикам столько же кило-
граммов сахара, сколько и му-
ки. Сахар расфасован в 50-
килограммовые мешки, а му-
ка — в 60-килограммовые. По
сколько килограммов сахара
и муки может заказать мага-
зин, если в хранилище поме-
щается не более 22 мешков?
Спортсмены отправляются в
поход на байдарках по реке,
скорость течения которой
равна 3 км/ч. Собственная
скорость байдарок 15 км/ч.
На какое расстояние от места
старта могут отъехать спорт-
смены, если они должны вер-
нуться к месту старта не поз-
же, чем через 5 часов?
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Решите неравенства:
а)	-(4х + 1) < 3(х + 9);	а) -(Зх + 10) > 2 - х;
б)	х2 - (х + 3)(х - 3) < Зх; б) х2 - (х - 4)(х + 4) > 2х;
„ х + 3 х	. х - 2 х п
в)	> 3 .	в)----------г 2 .
’	‘	2	6	3
2.	Решите систему неравенств:
4
.2
х + 1 х
__ -
4х + 1 х
7	2
3.	Решите двойное неравенство:
< 2	-2 <
4	3
4.	При каких значениях а выполня-
ется равенство
|9 - 2а| = 2а - 9?	|4 - За| = 4 - За?
52
АЛГЕБРА
5. При каких значениях у имеет
смысл выражение
6. Решите задачу:
Боковая сторона равнобедрен-
ного треугольника равна
9 см. Каким может быть его
основание, если периметр
треугольника больше 24 см?
Основание равнобедренного
треугольника равно 8 см. Ка-
кой может быть его боковая
сторона, если периметр тре-
угольника меньше 22 см?
С-19. СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вариант А1
Вариант А2
а)
1.	Представьте в виде степени с
отрицательным показателем:
a)A.;6)i.
х5 2	а7 6
2.	Найдите значения выражений:
а) 2 7 26; б) 5:5~2;	а) 3 3~4; б) 9 3;9 4;
3.	Упростите выражения:
а) 2х~3у2(Зх~2у'4);
,, Г1 V2
б) I-ху
ч 25х~3
а)	4х3у 4(2х	2);
б)	;
у О	J
4х	п
В)
у2 2х3
у2
5х~5
Вариант
Б1
Вариант Б2
1.	Представьте в виде произведения:
2х х2	ч Зу2 _ х
а) —; б) —a) -Y; б) — .
У 5у4	х2 2у
АЛГЕБРА
53
2.	Найдите значения выражений:
а) - 2 2 ;
8
4#
в) (-ОД2)'1.
а) 25 5“3;
w
в) (-ОД-1)2-
3.	Упростите выражения:
а)	4х~3у2(2ху'3)~2;	а) 27х3у 2 (Зху~1) 3;
б)	—г	81xi/;
[у )
в)	(х~2 - у~2) (х + у)1
Вариант В 1	Вариант В 2
1.	Представьте в виде дроби:
а)	ху~2 + х 2у;	а) х~ги - ху1;
б)	(1 - хл3)(1 - х)-1.	б) (х~3 - 1) (х - I) 2.
2. Найдите значения выражений:
в) 125~3:(0,2“4)~2.
в) 32-2:(0,5~3)-3.
3. Упростите выражения, если п —
натуральное число:
а)
б)
2~n +1
2п +1
в)
grt—1 г^п+1
21п
54
АЛГЕБРА
К-9. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вариант А1
Вариант А2
1. Вычислите:
а) 3 3“4; б) 5~6:5~У в) (2 3)2. а) 2 22 3; б) 4 2:4; в) (Г2)'1.
2.	Упростите выражения:
а) (а~5)2 а12; б) 0,5аУ3-4а~2Ь4. а) (а’4) З а“10; б)6а25~4 — а3Ьг>.
3
3.	Представьте число в стандартном виде:
а) 210000000; б) 0,00016. а) 480000; б) 0,000025.
4.	Преобразуйте в дробь выражения:
а) (Ba^b^y^Qa'^b;	a) (4afe 3)']16a 2ft 3;
б) аЬ~^ - Ъа л.	б) ab 2 - Ьа‘У
5.	Скорость света равна ЗЮ5 км/с.
Какой путь пройдет свет за За сколько времени свет прой-
1,4107 с?	дет расстояние 1,5107 км?
Вариант Б1
Вариант Б2
1. Вычислите:
<1Y3
а) 2~3 + I-I ; б) 25 4:5 7;
Z , ч-З
Г1Г2
а) 3~2 + -	; 6) 4'9:16“4;
z ч \-5
2. Упростите выражения:
рГ2 п-8	а'Ча
а) ^4--------;	а) ----Ц-
а 3	а 9
2 V3	< « v~2
4 -а5&'8
Ь J
б)
а3
б) -у
I Ь2
4
•Л'3
3. Представьте число в стандартном виде:
а) 5201,4; 6) 0,00214.	а) 3025,1; 6)0,0149.
АЛГЕБРА
55
4. Преобразуйте в дробь выражения:
X ( 2 -2,яТ2 8д4
а)1 а2Ь3	.
< о ) а
(	ж.\“!
/ о _о \ / а + Ъ )
б) Ь~2 - а 2 • ----------
'	' I аЬ )
, ( 5 3.-2) 125а4
а)----а b ----------
Ч з ) ъ
5. Плотность воздуха при температуре
0° С равна 1,2910"3 г/см3.
Какую массу имеют Какой объем занимает
1200 см3 воздуха?	322,5 г воздуха?
Вариант В 1
Вариант В2
1. Вычислите:
а)(-2)°-Ц] ’ б)
\ Zi J
в) (2,5) 3.4	.
З3 93
27 2
2. Упростите выражения:
3. Представьте число в стандартном виде:
а) 20410”5; б) 0,00312106. а) 420110 8; б) 0,0175 107.
4. Преобразуйте в дробь выражения,
если п — натуральное число:
дП+2 _ дп КП
а)-----------------; б)
15n+1	12“"
а'1 -1) 1
а-1+1
у71+1 । уП
8n+1	28 " ’
5. Решите задачу:
Найдите гипотенузу прямо-
угольного треугольника с ка-
тетами 8 10* м и 1,5 IO5 м.
Результат запишите в стан-
дартном виде.
В прямоугольном треугольни-
ке с гипотенузой 2,510 6 м и
катетом 710у м найдите дли-
ну второго катета. Результат
запишите в стандартном виде.
56
АЛГЕБРА
К-10. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант А1	Вариант А2
1.	Решите уравнение:
2х2 + х - 1 _	2х2 - 5х - 3
х2 -1	'	х2 - 9
2.	Решите неравенство:
2(5х + 3) - 1 > 7х - 2.	4(2х + 3) - 3 6х - 7.
3.	Упростите выражение:
(4 - 72 )2 + 4л/8 .	(>/з + 2)2 - 2л/12 .
4.	Представьте степень в виде про-
изведения:
(о,2а Vy3.	(о,5х4(/-3)
5. Решите задачу:
Две машинистки должны бы-
ли напечатать по 60 страниц
каждая. Вторая машинистка
печатала за 1 ч на 2 страни-
цы меньше, поэтому закон-
чила работу на 1 ч позже.
Сколько страниц в час пе-
чатала первая машинистка?
Рабочий и ученик должны
изготовить по 40 деталей.
Рабочий выпускал за 1 ч на
3 детали больше, чем уче-
ник, поэтому весь заказ он
выполнил на 3 ч раньше.
Сколько деталей выпускал
за 1 ч ученик?
Вариант Б1	Вариант Б2
1. Решите уравнение:
2х2 + 5х - 3 _ Q	2х2 - 7х - 4 _
2х2 - х	2х2 + х
2. Решите систему неравенств:
2х + 3 > 5(2 - х);
Зх - 4 < 2х + 5.
5х - 18 < 3(х + 2);
4х - 8 > Зх - 12.
3. Упростите выражение:
(8 - 2у/15 р5 + >/з )2 .	(л/б - 72 )2 (8 + 2д/12 ).
АЛГЕБРА
57
4. Преобразуйте выражение:
Ьу~2 J
18х2/ .
Z \-2
21аъь*. 21
\а 1)
5. Решите задачу:
Бассейн наполняется двумя
трубами за 3 ч. Первая тру-
ба, действуя одна, может
заполнить бассейн на 8 ч
медленнее, чем вторая. За
сколько часов наполнит бас-
сейн одна вторая труба?
Две бригады, работая вместе,
могут выполнить заказ за 2 ч.
Первой бригаде, если она бу-
дет работать одна, потребуется
на выполнение заказа на 3 ч
больше, чем второй. За сколь-
ко часов может выполнить
заказ одна вторая бригада?
Вариант В1	Вариант В2
1.	Решите уравнение:
х 5	2	2 х _ 4х
г-1 х + 1	х2-1	г + 3	х-3 х2 - 9
2.	При каком значении х опреде-
лено выражение
+	+ М-'2) + 3 ?
^5 - 2(х + 1)	V5 - 2х
3.	Упростите выражение:
y/o QOSla^b^, где а < 0.	^0,0144х8у6 , где у < 0.
4.	Представьте в виде степени
с основанием 2:	с основанием 5:
0,1254п+2.	0,008 25" А
5. Решите задачу:
Две машинистки перепеча-
тали часть рукописи за 2 ч,
а затем первая машинистка
за 1 час самостоятельно за-
кончила работу. За сколько
часов первая машинистка
самостоятельно перепечата-
ла бы рукопись, если, рабо-
тая одна, она потратила бы
на 4 ч меньше, чем вторая?
После того как первая труба
за 1 час заполнила часть бас-
сейна, включили вторую тру-
бу и они вместе заполнили
бассейн через три часа. Если
бы бассейн наполняла каж-
дая труба в отдельности, то
первой трубе понадобилось
бы на 2 ч больше, чем второй.
За сколько часов самостоя-
тельной работы заполнит
бассейн первая труба?
58
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
С-1. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Вариант А1	Вариант А2
1.
Один из углов параллело-
грамма равен 55°. Найдите
остальные углы.
1.
Один из углов параллело-
грамма равен 138°. Найдите
остальные утлы.
2.
Периметр параллелограмма
равен 64 см, а одна из его
сторон больше другой сто-
роны на 4 см. Найдите сто-
роны параллелограмма.
2.
Периметр параллелограмма
равен 36 см, а одна из его
сторон больше другой сто-
роны в 2 раза. Найдите сто-
роны параллелограмма.
Дано: Z1 = Z2;
Z3 = /4.
Доказать: ABCD — парал-
лелограмм.
Дано: zl = z2;
Z3 = z4.
Доказать: ABCD — парал-
лелограмм.
Вариант Б2
Вариант Б 1
Дано: ABCD — параллело-
грамм;
лВСА = 20°;
zBAC = 30°.
Найти: углы параллелограм-
ма ABCD.
Дано: ABCD — параллело-
грамм;
,АВК = 40°;
ВК — высота.
Найти: углы параллелограм-
ма ABCD.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
59
2.
Сумма двух сторон паралле-
лограмма равна 24 см, а пе-
риметр — 56 см. Найдите
стороны параллелограмма.
2.
Полупериметр параллело-
грамма равен 26 см, а сумма
двух сторон — 22 см. Найди-
те стороны параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм;
М — середина ВО;
N — середина DO.
Дано: AMCN — параллелограмм;
ОМ = МВ;
ON = ND.
Доказать: AMCN — парал-
Доказать: ABCD — парал-
лелограмм.
лелограмм.
Вариант В 1
1.
В параллелограмме ABCD
AM — биссектриса zBAD.
Найдите углы параллело-
грамма ABCD, если
zBAM = 25°.
Вариант В 2
1.
В параллелограмме ABCD
ВК — биссектриса ZABC.
Найдите углы параллело-
грамма ABCD, если
ZBKA = 50°.
Дано: ABCD — параллелограмм;
ВС - 12 см;
Pcod = 24 см;
Paod ~ 28 см.
Найти: Pabcd-
Дано: ABCD — параллелограмм;
Раов = 17 см;
ВС - 9 см;
CD = 6 см;
Найти: Paod-
Дано: zOAD = zOCB;
ВО = OD.
Дано: zABD ~ zCDB;
zA = zC.
Доказать: ABCD — парал-
лелограмм.
Доказать: ABCD — парал-
лелограмм.
60
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-2. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
Вариант А1	Вариант А2
1.
Диагональ ромба образует с
одной из его сторон угол
20°. Найдите углы ромба.
1.
Сторона ромба образует с
одной из диагоналей угол
50°. Найдите углы ромба.
2.
Диагонали прямоугольника
пересекаются под углом 20°.
Найдите углы, которые об-
разует диагональ со сторо-
нами прямоугольника.
2.
Диагональ прямоугольника
образует с одной из его сто-
рон угол 40°. Найдите ост-
рый угол, образующийся
при пересечении диагоналей
данного прямоугольника.
3.
Докажите, что если диаго-
нали ромба равны, то он
является квадратом.
3.
Докажите, что если диаго-
нали прямоугольника пер-
пендикулярны, то он явля-
ется квадратом.
Вариант Б 1
1.
Сторона ромба образует с
его диагоналями углы, один
из которых в 4 раза больше
другого. Найдите углы ром-
ба.
Вариант Б2
1.
Диагонали ромба образуют с
его стороной углы, один из
которых на 50° меньше дру-
гого. Найдите углы ромба.
2.
Диагональ делит угол пря-
моугольника в отношении
2:7. Найдите углы между
диагоналями данного пря-
моугольника.
2.
Углы, образовавшиеся при
пересечении диагоналей
прямоугольника, относятся
как 2:7. Найдите углы, ко-
торые образует диагональ со
сторонами данного прямо-
угольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
61
На диагонали АС квадрата
ABCD отложены равные от-
резки AM и CN. Докажите,
что BNDM — ромб.
На продолжении диагонали
АС квадрата ABCD отложе-
ны равные отрезки AM и
CN. Докажите, что BNDM
— ромб.
Вариант В 1
1.
Высота ромба, проведенная
из вершины тупого угла,
делит сторону ромба попо-
лам. Найдите углы ромба.
Вариант В 2
1.
В ромбе ABCD биссектриса
угла ABD проходит через
середину стороны AD. Най-
дите углы ромба.
2.
В прямоугольнике ABCD
биссектриса угла А образует
с диагональю BD углы,
один из которых равен 106°.
Найдите угол между диаго-
налями прямоугольника.
2.
В прямоугольнике ABCD
биссектриса угла А образует
с диагональю АС угол 20°.
Найдите угол между диаго-
налями прямоугольника.
з:
Докажите, что середины
сторон квадрата являются
вершинами другого квадра-
та.
3.
На сторонах квадрата ABCD
от вершин В и D отложены
равные отрезки ВК, ВМ,
DN и DP. Докажите, что
точки К, М, N и Р являют-
ся вершинами прямоуголь-
ника.
62
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
К-1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Вариант А 1
1.
Один из углов параллело-
грамма на 50° меньше дру-
гого. Найдите все углы па-
раллелограмма.
2.
Биссектриса угла прямо-
угольника делит его сторону
на две части, каждая из ко-
торых равна 5 см. Найдите
периметр прямоугольника.
3.
Периметр ромба равен
40 см, а один из его углов
равен 60°. Найдите длину
диагонали, противолежащей
этому углу.
Вариант А2
1.
Один из улов параллело-
грамма в 3 раза больше дру-
гого. Найдите все углы па-
раллелограмма .
2.
Биссектриса угла прямо-
угольника делит его большую
сторону пополам. Меньшая
сторона прямоугольника рав-
на о см. Найдите периметр
прямоугольника.
3.
Один из углов ромба равен
120°, а диагональ, исходя-
щая из вершины этого угла,
равна 10 см. Найдите пери-
метр ромба.
Вариант Б 1
1.
Градусные меры двух углов
параллелограмма относятся
как 4:5. Найдите все углы
параллелограмма.
2.
В параллелограмме ABCD
биссектриса угла А делит
сторону ВС на отрезки ВК и
КС. Найдите периметр па-
раллелограмма, если из-
вестно, что АВ = 4 см и ВК
в 2 раза меньше КС.
3.
Докажите, что параллело-
грамм, у которого углы рав-
ны, а диагонали перпендику-
лярны, является квадратом.
Вариант Б2
1.
Разность двух углов парал-
лелограмма равна 40°. Най-
дите все углы параллело-
грамма.
2.
В параллелограмме ABCD
биссектриса угла А делит
сторону ВС на отрезки ВК и
КС. Найдите периметр па-
раллелограмма, если из-
вестно, что КС = 3 см и
AD = 10 см.
3.
Докажите, что параллело-
грамм, у которого стороны
равны и диагонали равны,
является квадратом.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
63
Вариант В 1
1.
Угол между высотами па-
раллелограмма, проведен-
ными из одной вершины,
равен 125°. Найдите углы
параллелограмма.
2.
Через середину основания рав-
нобедренного треугольника про-
ведены прямые, параллель-
ные его боковым сторонам.
а)	Определите вид образовав-
шегося четырехугольника.
б)	Найдите периметр этого
четырехугольника, если
боковая сторона тре-
угольника равна 8 см.
3.
Биссектрисы двух углов
прямоугольника делят его
сторону на три части, каж-
дая из которых равна 3 см.
Найдите периметр прямо-
угольника. Сколько реше-
ний имеет задача?
Вариант В 2
1.
Из вершины одного угла
параллелограмма проведены
биссектриса этого угла и
высота. Угол между ними
равен 30°. Найдите углы
параллелограмма.
2.
Через середину гипотенузы
прямоугольного треугольни-
ка проведены прямые, па-
раллельные его катетам.
а)	Определите вид образовав-
шегося четырехугольника.
б)	Найдите периметр этого
четырехугольника, если
катеты треугольника
равны 6 см и 8 см.
3.
Биссектрисы двух углов
прямоугольника делят его
сторону на части, равные
4 см, 2 см и 4 см. Найдите
периметр прямоугольника.
Сколько решений имеет за-
дача?
С-3. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
Вариант А2
Дано: АВ = 10 см; АК = 5 см;
АС | | КМ.
Доказать: ВМ = МС.
Дано: ЕС = 4 см; ВС = 8 см;
DE | | АС.
Доказать: AD - DB.
64
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
2.
В треугольнике АВС точки
М и N — середины сторон
АВ и ВС соответственно.
Периметр треугольника
АВС равен 22 см. Найдите
периметр треугольника
MBN.
2.
В треугольнике АВС точки
М 11 N — середины сторон
АВ и ВС соответственно.
Периметр треугольника
MBN равен 22 см. Найдите
периметр	треугольника
АВС.
Точки К, L, М, N — сере-
дины сторон четырехуголь-
ника ABCD. Докажите, что
KN | | LM.
Точки К, L, М, N — сере-
дины сторон четырехуголь-
ника ABCD. Докажите, что
KL | | NM.
Вариант Б1
Вариант Б2
Дано: АК = КВ; zl = z2.
Доказать: ВМ = МС.
Дано: BE = ЕС; zl = Z2.
Доказать: AD = DB.
2.
Точки Р, R и S — середи-
ны сторон треугольника
АВС. Периметр треуголь-
ника PRS равен 12 см.
Найдите периметр тре-
угольника АВС.
2.
Точки Р, R и S — середи-
ны сторон треугольника
АВС. Периметр треуголь-
ника АВС равен 12 см.
Найдите периметр тре-
угольника PRS.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
65
Точки К, L, М, N — сере-
дины сторон четырехуголь-
ника ABCD. Докажите, что
KN = LM.
Точки К, L, М, N — сере-
дины сторон четырехуголь-
ника ABCD. Докажите, что
KL = NM.
Вариант В 1	Вариант В 2
Дано: zB = 58°; zC = 32°;
ЕЕ ± АВ; АЕ = ЕВ.
Доказать: BF = FC.
Дано: zB = 65°; zC = 25°;
КМ 1 АС; ВК = КС.
Доказать: AM = МС.
2.
Периметр треугольника ра-
вен 76 см. Стороны тре-
угольника, образованного
средними линиями данного
треугольника относятся как
4:7:8. Найдите стороны
данного треугольника.
2.
Стороны треугольника отно-
сятся как 7:8:11. Периметр
треугольника, образованно-
го средними линиями дан-
ного треугольника равен
52 см. Найдите стороны
данного треугольника.
3.
Докажите, что прямая,
проходящая через середины
противолежащих сторон па-
раллелограмма, проходит
через точку пересечения его
диагоналей.
3.
Через точку пересечения
диагоналей параллелограм-
ма проведена прямая, па-
раллельная двум его сторо-
нам. Докажите, что эта
прямая проходит через се-
редины двух других сторон
параллелограмма.
66
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-4. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
ТРАПЕЦИИ
Вариант А1 1. В трапеции ABCD с основа- ниями AD и ВС угол А ра- вен 50°, а угол С равен 100°. Найдите остальные углы трапеции. 2. Средняя линия трапеции равна 7 см, а большее осно- вание — 10 см. Найдите меньшее основание трапе- ции. 3. Диагональ равнобокой тра- пеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Най- дите периметр трапеции. Вариант Б1 1. Разность противолежащих углов равнобокой трапеции равна 20°. Найдите углы трапеции. 2. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, а средняя линия — 10 см. Найдите периметр трапе- ции.	Вариант А2 1. В трапеции ABCD с основа- ниями AD и ВС угол В ра- вен 95°, а угол С равен 110°. Найдите остальные углы трапеции. 2. Средняя линия трапеции равна 11 см, а меньшее ос- нование — 6 см. Найдите большее основание трапе- ции. 3. Диагональ равнобокой тра- пеции с основаниями 4 см и 10 см является биссектри- сой тупого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. Вариант Б2 1. Противолежащие углы рав- нобокой трапеции относятся как 2:7. Найдите углы тра- пеции. 2. Периметр равнобокой тра- пеции равен 32 см, а сред- няя линия - 9 см. Найдите боковые стороны трапеции.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
67
Диагональ АС делит прямо-
угольную трапецию ABCD на
два треугольника — прямо-
угольный и равносторонний.
Найдите среднюю линию
трапеции, если се большее
основание равно 12 см.
Диагональ АС делит прямо-
угольную трапецию ABCD на
два треугольника — прямо-
угольный и равносторонний.
Найдите среднюю линию
трапеции, если ее меньшее
основание равно 12 см.
Вариант В 1
Вариант В 2
1.
Диагональ делит равнобо-
кую трапецию на два равно-
бедренных треугольника.
Найдите углы трапеции.
1.
Три стороны трапеции равны
между собой, а ее диагональ
равна одному из оснований.
Найдите углы трапеции.
2.
По одну сторону от прямой а
отмечены точки С и D. Се-
редина отрезка CD отстоит
от данной прямой на рас-
стояние 12 см. Найдите рас-
стояние от точек С и D до
данной прямой, если точка
С находится втрое дальше
от прямой, чем точка D.
2.
По одну сторону от прямой а
отмечены точки С и D. Се-
редина отрезка CD отстоит
от данной прямой на рас-
стояние 12 см. Найдите рас-
стояние от точек С и D до
данной прямой, если точка
D находится на 8 см дальше
от прямой, чем точка С.
3.
В равнобокой трапеции с
острым углом 60° биссек-
триса этого угла делит
меньшее основание, равное
16 см, пополам. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
В равнобокой трапеции с
тупым углом 120° биссек-
триса этого угла делит
большее основание, равное
16 см, пополам. Найдите
среднюю линию трапеции.
68
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
К-2. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЕ ЛИНИИ
ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ
Вариант А1	Вариант А2
1.
В равностороннем треуголь-
нике АВС со стороной, рав-
ной 10 см, точки К и М —
середины сторон АВ и ВС
соответственно.
а)	Докажите, что АКМС --
трапеция;
б)	Найдите периметр АКМС.
2.
Средняя линия трапеции
равна 16 см. Найдите осно-
вания трапеции, если они
относятся как 3:5.
3.
Диагональ трапеции делит
среднюю линию на отрезки
4 см и 9 см. Найдите осно-
вания трапеции.
1.
В равнобедренном треуголь-
нике АВС с основанием АС,
равным 12 см, и боковой сто-
роной, равной 10 см, точки D'
и Е — середины сторон АВ и
ВС соответственно.
а)	Докажите, что ADEC —
трапеция;
б)	Найдите периметр ADEC.
2.
Средняя линия трапеции
равна 20 см. Найдите осно-
вания трапеции, если они
относятся как 3:7.
3.
Основания трапеции равны
8 см и 14 см. Найдите от-
резки, на которые диаго-
наль трапеции делит сред-
нюю линию.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.
В равнобедренном треуголь-
нике АВС АВ = ВС = 10 см.
Точки К, N и D — середины
сторон АВ, ВС и АС соответ-
ственно. Определите вид че-
тырехугольника KBND и
найдите его периметр.
1.
В равностороннем треуголь-
нике АВС со стороной, рав-
ной 6 см, точки D, Е и F —
середины сторон АВ, ВС и
АС соответственно. Опреде-
лите вид четырехугольника
ADEF и найдите его пери-
метр.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
69
2.
Биссектрисы острых углов
равнобокой трапеции пересе-
каются в точке, лежащей на
меньшем основании трапе-
ции. Большее основание тра-
пеции равно 18 см, а боковая
сторона — 4 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
Докажите, что если диагона-
ли четырехугольника пер-
пендикулярны, то середины
его сторон являются верши-
нами прямоугольника.
2.
Биссектрисы тупых углов
равнобокой трапеции пересе-
каются в точке, лежащей на
большем основании трапе-
ции. Меньшее основание тра-
пеции равно 8 см, а боковая
сторона — 9 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
Докажите, что если диаго-
нали четырехугольника рав-
ны, то середины его сторон
являются вершинами ромба.
Вариант В 1
Вариант В 2
1.
Диагонали трапеции делят
среднюю линию на три от-
резка, два из которых рав-
ны 5 см и 7 см. Найдите ос-
нования трапеции. Сколько
решений имеет задача?
1.
Диагонали трапеции делят
ее среднюю линию на три
отрезка, один из которых
равен 3 см. Найдите сред-
нюю линию трапеции, если
большее основание равно
14 см. Сколько решений
имеет задача?
К
Средняя линия данной тра-
пеции разбивает ее на две
трапеции, средние линии
которых равны 10 см и
18 см. Найдите основания
данной трапеции.
2.
Средняя линия длиной 21 см
разбивает данную трапецию
на две трапеции, средние ли-
нии которых относятся как
2:5. Найдите основания дан-
ной трапеции.
3.
Докажите, что если в рав-
нобокой трапеции диагона-
ли взаимно перпендикуляр-
ны, то ее высота равна
средней линии.
3.
Докажите, что если в рав-
нобокой трапеции высота
равна средней линии, то
диагонали трапеции взаим-
но перпендикулярны.
70
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-5. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Вариант А1
1.
Катеты прямоугольного
треугольника равны 6 см и
8 см. Найдите длину гипо-
тенузы.
2.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
5 см, а высота, опущенная на
основание, — 4 см. Найдите
периметр треугольника.
3.
Найдите катеты равнобедренного
прямоугольного треугольника,
гипотенуза которого равна у/~2 см.
Вариант А2
1.
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 15 см, а
один из его катетов — 12 см.
Найдите длину второго катета.
2.
Основание равнобедренного
треугольника равно 8 см, а
высота, опущенная на осно-
вание, — 3 см. Найдите пе-
риметр треугольника.
3.
Найдите сторону квадрата,
диагональ которого равна
уЛ8 см.
Вариант Б 1
1.
Диагональ прямоугольника
равна 13 см, а одна из его
сторон — 12 см. Найдите
периметр прямоугольника.
2.
Найдите периметр прямоуголь-
ной трапеции, основания кото-
рой равны 2 см и 8 см, а боль-
шая боковая сторона — 10 см.
3.
Медиана равностороннего тре-
угольника равна л/з см. Най-
дите сторону треугольника.
Вариант Б2
1.
Периметр прямоугольника
равен 34 см, а одна из его
сторон равна 5 см. Найдите
диагональ прямоугольника.
2.
Найдите периметр равнобо-
кой трапеции, основания
которой равны 3 см и 9 см,
а высота — 4 см.
3.
Биссектриса равностороннего
треугольника равна 2уЗ см.
Найдите сторону треугольника.
Вариант В 1
Вариант В2
1.
В окружности радиуса 13 см
проведена хорда на расстоя-
нии 5 см от центра окружно-
сти. Найдите длину хорды.
1.
В окружности радиуса 15 см
проведена хорда длиной 18 см.
Найдите расстояние от центра <
окружности до данной хорды.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
71
2.
В прямоугольной трапеции
большая диагональ равна
15 см, а боковые стороны
12 см и 13 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
2.
В прямоугольной трапеции
меньшая диагональ равна
13 см, а боковые стороны —
12 см и 20 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
Одна из сторон прямоуголь-
ника на 2 см меньше диаго-
нали, а другая сторона рав-
на 8 см. Найдите периметр
прямоугольника.
Стороны прямоугольника
относятся как 3:4, а его
диагональ равна 50 см.
Найдите периметр прямо-
угольника.
С-6. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ
ПИФАГОРА. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Вариант А1
1.
Докажите, что треугольник
со сторонами 8 см, 15 см и
17 см является прямоуголь-
ным. Определите длину гипо-
тенузы этого треугольника.
Вариант А2
1.
Докажите, что треугольник
со сторонами 5 см, 12 см и
13 см является прямоуголь-
ным. Определите длины ка-
тетов этого треугольника.
2.
Из точки, не лежащей на
данной прямой, проведены
перпендикуляр к прямой,
длина которого 24 см, и на-
клонная длиной 25 см.
Найдите периметр образо-
вавшегося треугольника.
3.
Из точки, не лежащей на
данной прямой, проведены
к’ прямой две наклонные
и проекции которых
равны' 5 см и 8 см соответ-
ственно. Какая из наклон-
ных имеет большую длину?
Ответ объясните.
2.
Из точки, не лежащей на
данной прямой, проведены
перпендикуляр к прямой и
наклонная длиной 26 см.
Проекция наклонной на дан-
ную прямую равна 10 см.
Найдите периметр образо-
вавшегося треугольника.
3.
Из точки, не лежащей на
данной прямой, проведены
к прямой две наклонные
~ 14 см и 1% = 13 см. Ка-
кая из наклонных имеет
большую проекцию? Ответ
объясните.
72
ГЕОМЕТРИИ 11(> IЮГОРКЛОВУ
Вариант Б 1
1.
Стороны треугольника пропор-
циональны числам 7, 24 и 25.
Докажите, что данный тре-
угольник — прямоугольный.
2.
Из точки А, не лежащей на
прямой а, проведены к этой
прямой перпендикуляр AD и
две наклонные — АВ и АС.
Найдите расстояние между
точками В и С, если AD ~ 12 см,
АВ = 15 см, АС - 20 см и точ-
ка D лежит на отрезке ВС.
3.
В треугольнике АВС
АВ = 11 см, ВС = 7 см, BD
— высота. Какой из отрез-
ков больше — AD или DC?
Почему?
Вариант Б2
1.
Стороны треугольники н|х>нор-
циональны числам 8, 15 и 17.
Докажите, что данный тре-
угольник — прямоугольный.
2.
Из точки А, не лежащей на
прямой а, проведены к этой
прямой перпендикуляр AD и
две наклонные — АВ и АС.
Найдите расстояние между
точками В и С, если AD = 8 см,
АВ =17 см, АС = 10 см и точ-
ка D не лежит на отрезке ВС.
3.
В треугольнике АВС высота
BD делит сторону АС на от-
резки AD = 7 см, DC = 8 см.
Какая из сторон больше —
АВ или ВС? Почему?
Вариант В 1
1.
Докажите, что если а > 1, то
треугольник со сторонами
а2 + 1, а2 - 1 и 2а — прямо-
угольный. Определите длину
гипотенузы этого треугольника.
2.
Из точки, не лежащей на пря-
мой, проведены к этой прямой
перпендикуляр и две наклон-
ные. Найдите длину перпен-
дикуляра, если наклонные
равны 25 см и 30 см, а длины
их проекций на данную пря-
мую относятся как 7:18.
3.
Проекции катетов на гипоте-
нузу прямоугольного треуголь-
ника равны 9 см и 16 см. Най-
дите катеты треугольника.
Вариант В2
1.
Докажите, что если а > b > 0,
то треугольник со сторонами
а2 + Ъ2, а2-Ь2 и 2аЬ — прямо-
угольный. Определите длины
катетов этого треугольника.
2.
Из точки, не лежащей на пря-
мой, проведены к этой прямой
перпендикуляр и две наклон-
ные, Найдите длину перпен-
дикуляра, если длины на-
клонных относятся как 3:4, а
их проекции на данную пря-
мую равны 9 см и 16 см.
3.
Катеты прямоугольного тре-
угольника равны 15 см и
20 см. Найдите их проекции
на гипотенузу.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
73
С-7. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1	Вариант А2
1. Существует ли треугольник со сторонами а, Ъ и с, если а = 8 см, b = 5 см, с - 3 см? Ответ объясните.	1. Существует ли треугольник со сторонами а, b и с, если а = 4 см, b = 9 см, с = 5 см? Ответ объясните.
2. Две стороны равнобедренно- го треугольника равны 9 см и 4 см. Какую длину может иметь третья сторона? Почему?	2. Две стороны равнобедренно- го треугольника равны 11см и 5 см. Какую длину может иметь третья сторона? Почему?
3. Докажите, что сторона па- раллелограмма меньше по- лусуммы его диагоналей.	3. Докажите, что боковая сто- рона равнобедренного тре- угольника больше половины основания.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Пересекаются ли окружно- сти с радиусами 7?, и R? и расстоянием между центра- ми d, если jRj = 9 см, = 4 см, d - 11 см? Ответ объясните.	1. Пересекаются ли окружно- сти с радиусами и _й2 и расстоянием между центра- ми d, если Ri = 6 см, Д2 ~ 5 см, d = 13 см? Ответ объясните.
2. Две стороны треугольника равны 0,8 см и 1,8 см. Ка- кую длину может иметь третья сторона, если ее дли- на измеряется целым чис- лом сантиметров?	2. Две стороны треугольника равны 2,2 см и 1,1 см. Ка- кую длину может иметь третья сторона, если ее дли- на измеряется целым чис- лом сантиметров?
3. Докажите, что сумма диа- гоналей параллелограмма меньше его периметра.	3. Докажите, что сумма диаго- налей параллелограмма боль- ше половины его периметра.
74
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
Вариант В 1
1.
Диагонали параллелограмма
равны 6 см и 10 см. Может
ли его сторона иметь длину
9 см? Ответ объясните.
2.
В треугольнике АВС
АВ ~ 7 см, АС = 16 см. В
каких пределах может ме-
няться длина медианы AD?
3.
Докажите, что средняя ли-
ния трапеции меньше полу-
суммы ее диагоналей.
Вариант В 2
1.
Две стороны треугольника
равны 4 см и 8 см. Может
ли отрезок, соединяющий
их середины, иметь длину
6 см? Ответ объясните.
2.
В треугольнике АВС
АВ = 4 см, АС - 6 см. В ка-
ких пределах может ме-
няться длина медианы AD?
3.
Докажите, что разность ос-
нований трапеции меньше
суммы ее боковых сторон.
К-3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Вариант А1
1.
Стороны прямоугольника
равны 9 см и 12 см. Найди-
те диагонали прямоуголь-
ника.
2.
Периметр равностороннего
треугольника равен 6 см.
Найдите его высоту.
Вариант А2
1.
Катеты прямоугольного
треугольника равны 5 см и
12 см. Найдите периметр
треугольника.
2.
Периметр ромба равен
20 см, а одна из его диаго-
налей равна 8 см. Найдите
вторую диагональ ромба.
3.
Основания прямоугольной
трапеции равны 2 см и
10 см, а боковые стороны
относятся как 3:5. Найдите
периметр трапеции.
3.
Основания равнобокой тра-
пеции равны 8 см и 16 см, а
боковая сторона относится к
высоте как 5:3. Найдите пе-
риметр трапеции.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
75
Вариант Б 1
1.
Периметр равнобедренного тре-
угольника равен 16 см, а его
основание равно 6 см. Найди-
те биссектрису треугольни-
ка, проведенную к основа-
нию.
2.
Основания прямоугольной
трапеции равны 26 см и
36 см, а большая диагональ
является биссектрисой ост-
рого угла. Найдите пери-
метр трапеции.
3.
Диагонали ромба относятся
как 3:4, а сторона равна
50 см. Найдите диагонали и
высоту ромба.
Вариант Б2
1.
Периметр равнобедренного
треугольника равен 36 см, а
его боковая сторона равна
13 см. Найдите медиану тре-
угольника, проведенную к ос-
нованию.
2.
Основания прямоугольной
трапеции равны 15 см и
6 см, а меньшая диагональ
является биссектрисой ту-
пого угла. Найдите пери-
метр трапеции.
3.
Большая диагональ ромба
равна 40 см, а меньшая
диагональ относится к сто-
роне как 6:5. Найдите сто-
рону и высоту ромба.
Вариант В1
1.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
17 см, а высота проведенная
к ней, равна 8 см. Найдите
основание треугольника.
2.
Диагональ равнобокой тра-
пеции перпендикулярна бо-
ковой стороне и относится к
ней как 4:3. Большее осно-
вание трапеции равно 50 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
3.
Диагонали параллелограмма
равны 30 см и 26 см, а высо-
та равна 24 см. Найдите сто-
роны параллелограмма.
Вариант В 2 t
1.
Сторона ромба равна 25см, а
высота — 24 см. Найдите
меньшую диагональ ромба.
2.
Диагональ равнобокой трапе-
ции равна 20 см и перпенди-
кулярна боковой стороне.
Боковая сторона и большее
основание трапеции относят-
ся как 3:5. Найдите среднюю
линию трапеции.
3.
Стороны параллелограмма рав-
ны 15 см и 25 см, а высота,
проведенная к большей сто-
роне, равна 12 см. Найдите
диагонали параллелограмма.
76
ГЕОМЕТРИИ НО ПОГОРЕЛОВУ
С-8. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
Вариант А2
Дано:
ZC = 90°;
zA = а;
АВ~с;
Найти: АС,
ВС, zB.
Дано:
ZC = 90
ZB = P;
АВ = с;
Найти: АС,
ВС, ZA.
В прямоугольном треуголь
нике ABC zC = 90°, АС - 4 см,
sin zB = 0,8. Найдите АВ и ВС.
3.
Основание равнобедренного
треугольника равно 4уЗ см, а
боковая сторона равна 4 см.
Найдите углы треугольника.
В прямоугольном треуголь-
нике ABC zC = 90°, ВС = 3 см.
cos zB = 0,6. Найдите АВ и АС.
3.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
10 см, а высота, проведенная
к основанию, равна 5л/з см.
Найдите углы треугольника.
A a D	с
Дано: BD РАС; zDBC = а;
ZA = 45°; AD = а;
Найти: DC.
A a D С
Дано: BD ± AC; zA - а;
ZC = 45°; AD = а;
Найти: DC.
1.	А к	Дано: zC = 90°;
\	zA = а; АС = а;
а \	Найти: неизвест-
\	ные стороны и
\	углы треуголь-
СЦ------ника АВС.
Дано: zC = 90°;
ZB = р; АС = Ь;
Найти: неизвест
ные стороны и
углы треуголь-
ника АВС.
2.
В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна 25 см, а синус
одного из углов равен 0,28.
Найдите катеты треугольника.
2.
В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна 34 см, а коси-
нус одного из углов равен 8/17.
Найдите катеты треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
77
3.
Диагональ прямоугольника
равна 8, а одна из его сто-
рон — 4л/з . Найдите ост-
рый угол между диагоналя-
ми прямоугольника.
А а С
Дано: ABAC = ABCD = 90°;
zABC = Р; zBDC = а;
АС = а;
Найти: DC.
3.
Стороны прямоугольника
равны 2д/з и 2. Найдите
острый угол между диаго-
налями прямоугольника.
Дано: /.BAD = zCBD = 90°;
zBCD = a; ABDA = p;
СВ = b;
Найти: АВ.
Вариант В 1
Дано: ZABC = 90°; BD 1 АС;
BD -h; zA = а;
Найти: стороны треуголь-
ника АВС.
2.
В треугольнике ABC zC = 90°,
ВС = 6, tg zB = 1/3. Найди-
те АВ и АС.
Вариант В2
Дано: zABC = 90°; BD А АС;
BD = h; zABD = а;
Найти: стороны треуголь-
ника АВС.
2.
В треугольнике ABC zC = 90°,
АС = 6, tgzB = 1/2. Найдите
АВ и ВС.
3.
Боковые стороны прямо-
угольной трапеции относят-
ся как 1:у/2 . Найдите углы
трапеции.
3.
Боковая сторона равнобокой
трапеции относится к высо-
те как 2:7з . Найдите углы
трапеции.
Дано:
АВ = ВС;
zB = (3;
AD 1 ВС;
AD = h;
Найти: AC.
Дано:
АВ = ВС;
zC = а,
AD ± ВС;
AD = й;
Найти: АВ.
78
ГЕОМЕТРИЯ ИО ПОГОРЕЛОВУ
С-9. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Вычислите:
tg 45° - sin 30°.	cos 60° + tg 45°.
2.	Упростите выражения:
а)	(1 + sin ос)(1 - sin а)	а) (1 + cos а)(1 - cos а);
б)	tg а • cos а;	б) tg а —;
. ,	9-2	А • SinOt 2
в)	1 + cos" а - snra.	в) 1 + snra - cosJa.
3.	Найдите значение
cos а, если sin а = 0,6.	sin а, если cos a = 0,8.
4.	Какой из углов больше — а или р, если
sin a = 0,25, sin [3 = 0,2? tg a = 0,4, tg (3 = 0,41?
Вариант Б1
Вариант Б2
1. Вычислите:
4tg 60° - 2cos 30°.	sin 45°_A/3tg 30°.
2. Упростите выражения:
a)	sin a cos atg a + cos2 *a;
6)	(sina+cosa)(sina-ooso^+2cos2a;
, sin a cos a
в)--------
1 - sin a
a)	tg2acos2a + cos2a;
6)	(oasa-sin(z)(cosa+sina)H-2sin2cy.;
, 1 - cos2 a
в)---------------
sin a cos a
3. Найдите значения
,	.	5	12
cosa и tga, если sina = — . sma и tga, если cosa = —.
13	6	13
4. Какой из углов больше — а или 0, если
1	ft 1 9	2	ft 2 9
cosa = —; cosp = — !	cosa - —; cosp = — ?
6	7	5 H 3
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
79
Вариант В1
Вариант В2
1. Вычислите:
sin 60° cos 30°--—.
tg45°
tg 30° tg 60° - ^2 cos 45° .
2. Упростите выражения:
a)	sin4 a - cos4 a + 2cos2a;
6)	—-7----tg2 a - sin2 a ;
cos2 a
sin3 a + cos3 a
в)	hsinacosa.
sin a + cos a
a)	cos4 a - sin4 a + 2sin2a;
6)	—-------cos2 a - tg2 a ;
cos2 a
4 sin3 a - cos3 a
в)	sin a cos a .
sin a - cos a
3. Найдите значения
3	х 4
sin a и cos а, если tga = —. sin a и cos a, если tga - —.
4	3
4. Расположите в порядке возрастания
углы a, [3 и у, если
3	„ 2	7	2	„ пг7	11
cosa = —; cosp = —;	cosy	= — .	cosa = —;	cosp = 0,7;	cosy	= —.
8	5	20	3	15
Дополнительные задания
1. Упростите выражения:
„ sina - sin3 a
a) -----з-----
cos a
Q
, sin a
a)------------
cosa - cos a
cos a
6) ---------+ tg a ;
1 + sin a
1 sina
6) ----+---------;
tga 1 + cosa
в) (1+sin a+cos a)(sin a+cos a -1);
b)(1 -sina-cosa)(l + sina+cosa);
, 1 -4sin2 acos2 a „ .
r) ------------— + 2smacosa;
(sina + cosa)
, l~4sin2acos2a „ .
r) —--------------2 sm a cos a;
(sina-cosa)
д) tg2a(2cos2a + sin2a - 1).
д) (2 sin2 a + cos2 a - 1)——
v	'tg2a
80
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
К-4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
(ОБОБЩАЮЩАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА)
Вариант А1
1.
В прямоугольном треуголь-
нике гипотенуза равна
4^2 см, а один из катетов
равен 4 см. Найдите второй
катет и острые углы тре-
угольника.
Вариант А2
1.
В прямоугольном треуголь-
нике гипотенуза равна 2 см,
а один из катетов равен
л/2 см. Найдите второй ка-
тет и острые углы треуголь-
ника.
2.
В треугольнике АВС высота
BD, длина которой равна
12 см, делит сторону АС на
отрезки AD = 5 см и
DC = 16 см. Найдите пери-
метр треугольника.
2.
В треугольнике АВС высота
BD делит сторону АС на от-
резки AJD и DC. Известно,
что ВС - 20 см, AJB = 13 см,
BD =12 см. Найдите пери-
метр треугольника.
3.
Один из углов ромба равен
60°, а диагональ, проведен-
ная из вершины этого угла,
равна 4V3 см. Найдите пе-
риметр ромба.
3.
Один из углов ромба равен
120°, а диагональ, прове-
денная из вершины другого
угла, равна 2-\/з см. Найдите
периметр ромба.
Вариант Б 1
Вариант Б2
1.
Диагональ прямоугольника
равна 8 см и образует с од-
ной из сторон угол 60°.
Найдите стороны прямо-
угольника.
1.
В прямоугольном треуголь-
нике с гипотенузой 6 см
один из углов равен 30°.
Найдите катеты треуголь-
ника.
2.
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 8 см, а ме-
диана, проведенная к нему,
равна 2-V13 см. Найдите пе-
риметр треугольника.
2.
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 8 см, а ме-
диана, проведенная к дру-
гому катету, равна -^73 см.
Найдите периметр тре-
угольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
81
3.
Диагональ прямоугольной
трапеции равна 4-^2 см и
делит трапецию на два рав-
нобедренных прямоуголь-
ных треугольника. Найдите
стороны и острый угол тра-
пеции.
3.
Высоты равнобокой трапе-
ции делят ее на квадрат и
два равнобедренных тре-
угольника. Боковая сторона
трапеции равна 4V2 см.
Найдите основания и тупой
угол трапеции.
Вариант В1
1.
Основание равнобедренного
треугольника равно 4л/з см,
а высота, опущенная на не-
го, в 2 раза меньше боковой
стороны. Найдите неизвест-
ные стороны и углы данного
треугольника.
Вариант В2
1.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника отно-
сится к основанию как
1: д/з , а высота, опущенная
на основание, равна 2 см.
Найдите стороны и углы
данного треугольника.
2.
Две стороны треугольника
равны 17 см и 25 см. Высо-
та делит третью сторону на
отрезки, разность которых
равна 12 см. Найдите пери-
метр треугольника.
3.
Из вершины тупого угла
ромба, равного 120°, прове-
дены перпендикуляры к
сторонам ромба. Расстояния
между основаниями перпен-
дикуляров равно 6 см. Най-
дите периметр ромба.
2.
Одна из сторон треугольни-
ка на 2 см меньше другой.
Высота делит третью сторо-
ну на отрезки длиной 5 см и
9 см. Найдите периметр
треугольника.
3.
Один из углов ромба равен
120°. Точка пересечения
диагоналей ромба удалена
от стороны ромба на 2д/з см.
Найдите периметр ромба.
82
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-10. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ.
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Вариант А1
1.
Даны точки А(-1; 7) и В(7; 1).
а)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
2.
а)	Запишите уравнение ок-
ружности с центром в точ-
ке М радиуса R, если
М(2; -1), R = 3.
б)	Проходит ли данная ок-
ружность через точку
0(2; 2)?
3.
Концы диаметра окружно-
сти находятся в точках
Е(3; -4) и F(-3; 4). Найдите
радиус окружности.
Вариант А2
1.
Даны точки А(9; 4) и В(1; -2).
а)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
2.
а)	Запишите уравнение ок-
ружности с центром в точ-
ке М радиуса R, если
М(-3; 2), R = 2.
б)	Проходит ли данная ок-
ружность через точку
П(-3; 4)?
3.
Окружность с центром в на-
чале координат проходит
через точку К(- 3; -4). Най-
дите диаметр окружности.
Вариант Б 1
1.
Даны точки Л(-7; -3) и
М(-4; 1). Точка М — сере-
дина отрезка АВ.
а)	Найдите координаты вто-
рого конца отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
2.
Окружность с центром в
точке 0(0; 4) проходит че-
рез точку К(4; 1).
а)	Запишите уравнение этой
окружности.
б)	Найдите точки окружно-
сти, которые имеют абс-
циссу, равную 3.
Вариант Б2
1.
Даны точки Af(2; 1) и
В(6; -2). Точка М — сере-
дина отрезка АВ.
а)	Найдите координаты вто-
рого конца отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
2.
Окружность с центром в
точке О(-4; 0) проходит че-
рез точку К(-1; 4).
а)	Запишите уравнение этой
окружности.
б)	Найдите точки окружно-
сти, которые имеют ор-
динату, равную 3.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
83
3.
Дана окружность с центром в
точке О, заданная уравнени-
ем (х - 2)2 + (у + I)2 = 4 и
точка А(2; 3). Докажите, что
данная окружность проходит
через середину отрезка ОА.
Вариант В 1
1.
Даны точки А(-2; 3), В(-3; 1)
и С(1; 3). AM — медиана
треугольника АВС.
а)	Найдите координаты точ-
ки М.
б)	Найдите длину медианы
AM.
2.
Отрезок CD — диаметр ок-
ружности. Запишите урав-
нение этой окружности, ес-
ли С(-3; 1), D(l; 5).
3.
а)	Найдите центр и радиус
окружности, заданной
уравнением
х2 + 2х + у2 - 4у + 1 - 0.
б)	Найдите точки пересече-
ния этой окружности с
осями координат.
Дана окружность с центром в
точке О, заданная уравнени-
ем (х + 2)2 + (у - I)2 — 9 и
точка А(4; 1). Докажите, что
данная окружность проходит
через середину отрезка ОА.
Вариант В2
1.
Даны точки А(-2; 2), В(0; 3)
и С(-2; -1). AM — медиана
треугольника АВС.
а)	Найдите координаты точ-
ки М.
б)	Найдите длину медианы
AM.
2.
Отрезок CD — диаметр ок-
ружности. Запишите урав-
нение этой окружности, ес-
ли 0(1; -3), Р(5; -1).
а)	Найдите центр и радиус
окружности, заданной
уравнением
х2 - 6х + у2 + 2у + 1 - О.
б)	Найдите точки пересече-
ния этой окружности с
осями координат.
84
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-11. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Вариант А1	Вариант А2
1. а) Составьте уравнение пря- мой АВ, если А(0; 4), В(-2; 0). б) Проходит ли эта прямая через точку 0(2; -1)?	1. а) Составьте уравнение пря- мой АВ, если А(0; -6), В(2; 0). б) Проходит ли эта прямая через точку С(-3; 1)?
2. В каких точках пересекает- ся с осями координат пря- мая, заданная уравнением Зх + 2г/ - 12 = 0?	2. В каких точках пересекает- ся с осями координат пря- мая, заданная уравнением 2х - 5г/ + 20 = 0?
3. Параллельны ли прямые, заданные уравнениями г/ = Зх - 1 и у = 4 + Зх? Ответ объясните.	3. Параллельны ли прямые, заданные уравнениями г/ = 3-2хиг/ = -2х + 5? Ответ объясните.
4. Запишите уравнение пря- мой, которая проходит че- рез точку (-2; -3) и парал- лельна оси Ох.	4. Запишите уравнение пря- мой, которая проходит че- рез точку (-2; -3) и парал- лельна оси Оу.
Вариант Б1	Вариант Б2
1. а)	Составьте уравнение пря- мой проходящей через точки А(2; -3) и В(4; 1). б)	Найдите координаты точ- ки пересечения данной прямой с осью абсцисс.	1. а)	Составьте уравнение пря- мой проходящей через точки А(-1; -2) и В(2; 10). б)	Найдите координаты точ- ки пересечения данной прямой с осью ординат.
2. Найдите координаты точки пересечения прямых, за- данных уравнениями 2х + Зг/ -10 = 0 и х - 2г/ + 9 = 0.	2. Найдите координаты точки пересечения прямых, за- данных уравнениями х + 2г/-5 = 0и Зх - г/ - 8 = 0.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
85
3.
Запишите уравнение пря-
мой, которая проходит че-
рез точку (3; 7) и парал-
лельна прямой у = 2х - 3.
4.
Даны точки А(-2; 1), В(2; 5),
С(4; 1). Для треугольника
АВС составьте уравнение
медианы BD.
3.
Запишите уравнение пря-
мой, которая проходит че-
рез точку (1; 1) и парал-
лельна прямой у = -Зх - 2.
4.
Даны точки А(-2; 1), 23(2; 5),
С(4; 1). Для треугольника
АВС составьте уравнение
медианы СК.
Вариант В 2
Составьте уравнение прямой,
изображенной на рисунке.
2.
Найдите координаты вершин
треугольника, стороны кото-
рого лежат на прямых, за-
данных уравнениями у = О,
х - у + 2 = О, х + 2г/ - 4 = 0.
3.
Даны точки А(-2; 1), В(2; 5),
С(4; 1). Составьте уравнение
средней линии треугольни-
ка АВС, которая параллель-
на стороне ВС.
4.
Дана окружность радиуса 5
с центром в начале коорди-
нат. Некоторая прямая пере-
секает эту окружность в точ-
ках Р и Q. Найдите коорди-
наты этих точек и длину хор-
ды PQ, если прямая задана
уравнением х - у + 7 = 0.
Составьте уравнение прямой,
изображенной на рисунке.
2.
Найдите координаты вершин
треугольника, стороны кото-
рого лежат на прямых, за-
данных уравнениями х = 0,
х - у - 1 = 0, х + 2у - 4 = 0.
3.
Даны точки А(-2; 1), В(2; 5),
С(4; 1). Составьте уравнение
средней линии треугольни-
ка АВС, которая параллель-
на стороне АВ.
4.
Дана окружность радиуса 5 с
центром в начале координат.
Некоторая прямая пересекает
эту окружность в точках Р и
Q. Найдите координаты этих
точек и длину хорды PQ, если
прямая задана уравнением
х + у - 7 = 0.
86
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
К-5. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Вариант А1
1.
Даны точки А(1; 5), В(-3; 1).
а)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
в)	Определите, какая из
данных точек принадле-
жит прямой х - у + 4 = 0.
2.
Дана окружность радиуса 5 с
центром в начале координат,
а) Запишите уравнение этой
окружности.
б) Найдите точки пересече-
ния данной окружности с
прямой х = 3.
3.
Даны точки М(-2; -1), А(-3; 1),
А(0; 1). Найдите координа-
ты точки Р, зная, что
MNKP — параллелограмм.
Вариант А2
1.
Даны точки А(4; 8), В(2; -2).
а)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
б)	Найдите длину отрезка АВ.
в)	Определите, какая из
данных точек принадле-
жит прямой х - у + 4 = 0.
2.
Дана окружность радиуса 10 с
центром в начале координат,
а) Запишите уравнение этой
окружности.
б) Найдите точки пересече-
ния данной окружности с
прямой у = 8.
3.
Даны точки ЛД-2; -1), М-3; 1),
К(0; 1). Найдите координа-
ты точки Р, зная, что
MNPK— параллелограмм.
Вариант Б 1
1.
Прямая задана уравнением
Зх + 2у - 12 = 0.
а)	Найдите координаты точек
А и В пересечения пря-
мой с осями координат.
б)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
в)	Найдите длину отрезка АВ.
2.
Даны точки С(3; -4) и/)(-3; 4).
Известно, что СГ - диаметр
некоторой окружности.
а)	Найдите координаты цен-
тра окружности.
Вариант Б2
1.
Прямая задана уравнением
4х + Зу - 24 = 0.
а)	Найдите координаты точек
А и В пересечения пря-
мой с осями координат.
б)	Найдите координаты се-
редины отрезка АВ.
в)	Найдите длину отрезка ИВ.
2.
Даны точки С(4; 3) иВ(-4; -3).
Известно, что СВ — диаметр
некоторой окружности.
а)	Найдите координаты цен-
тра окружности.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
87
б)	Найдите радиус окружно-
сти.
в)	Запишите уравнение ок-
ружности.
3.
Даны точки А(0; 1), В(2; 5),
С(4; 1) и Д(2; -3). Докажи-
те, что
a)	ABCD — параллелограмм;
б)	ABCD — ромб.
б)	Найдите радиус окружно-
сти.
в)	Запишите уравнение ок-
ружности.
3.
Даны точки А(1; 5), В(-2; 2),
С(0; 0) и Z>(3; 3). Докажите,
что
a) ABCD -X- параллелограмм;
б) ABCD —+ прямоугольник.
Вариант В 1
1.
Даны точки А(2; -1) и В(0; 7).
а)	Найдите расстояние меж-
ду точками А и В.
б)	Запишите уравнение пря-
мой АВ.
в)	Составьте уравнение пря-
мой, которая проходит че-
рез середину АВ и парал-
лельна прямой у = 2х + 5.
2.
Прямые у - х + 4 и у = -2х - 5
пересекаются в точке О.
а)	Найдите координаты точ-
ки О.
б)	Запишите уравнение ок-
ружности с центром в
точке О, которая прохо-
дит через точку А(1; -2).
в)	Найдите точки пересече-
ния этой окружности с
осью Оу.
3.
Даны точки А(1; 6), В(-2; 3)
и 0(0; 1).
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС — прямоуголь-
ный.
б)	Найдите точку D такую,
что ABCD—прямоугольник.
Вариант В 2
1.
Даны точки А(-2; 0) и В(4; 6).
а)	Найдите расстояние меж-
- ду точками А и В.
б)	Запишите уравнение пря-
мой АВ.
в)	Составьте уравнение пря-
мой, которая проходит че-
рез середину АВ и парал-
лельна прямой у = 2х + 5.
2.
Прямые у = х + 4 и у~ -2х + 1
пересекаются в точке О.
а)	Найдите координаты точ-
ки О.
б)	Запишите уравнение ок-
ружности с центром в
точке О, которая прохо-
дит через точку В(2; -1).
в)	Найдите точки пересече-
ния этой окружности с
осью Ох.
3.
Даны точки A(-i; 1), В(1; 5)
и 0(3; 1).
а)	Докажите, что треуголь-
ник АВС — равнобедрен-
ный.
б)	Найдите точку D такую,
что ABCD — ромб.
88
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-12. ДВИЖЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ И ОСЕВАЯ СИММЕТРИИ.
ПОВОРОТ
Вариант А1
1.
Дана точка А(2; -3).
а)	Постройте точку В, сим-
метричную точке А относи-
тельно начала координат.
б)	Постройте точку С, сим-
метричную точке А отно-
сительно оси Ох.
в)	Укажите координаты то-
чек В и С.
Вариант А2
1.
Дана точка А(-1; 4).
а)	Постройте точку В, сим-
метричную точке А относи-
тельно начала координат.
б)	Постройте точку С, сим-
метричную точке А отно-
сительно оси Оу.
в)	Укажите координаты то-
чек В и С.
2.
Сколько осей симметрии
имеет равносторонний тре-
угольник? Ответ подтверди-
те чертежом.
3.
Дан отрезок АВ. Постройте
фигуру, в которую он пере-
ходит при повороте на 60°
по часовой стрелке относи-
тельно точки А.
2.
Сколько осей симметрии
имеет квадрат? Ответ под-
твердите чертежом.
3.
Дан отрезок АВ. Постройте
фигуру, в которую он пере-
ходит при повороте на 90°
против часовой стрелки от-
носительно точки В.
Вариант Б1
1.
Даны точки А(-3; 1), В(1; 5)
и 0(1; 1).
а)	Постройте отрезок А'В',
симметричный отрезку
АВ относительно точки С.
б)	Постройте точку С', сим-
метричную точке С отно-
сительно прямой АВ.
в)	Укажите координаты то-
чек А', В' и С'.
Вариант Б2
1.
Даны точки А(-1; -1), В(2; 2)
и 0(2; -1).
а)	Постройте отрезок А'В',
симметричный отрезку
АВ относительно точки С.
б)	Постройте точку С', сим-
метричную точке С отно-
сительно прямой АВ.
в)	Укажите координаты то-
чек А', В' и С'.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
89
2.
Сколько осей симметрии
имеет ромб, не являющийся
квадратом? Ответ проиллю-
стрируйте чертежом.
3.
Дан квадрат ABCD. По-
стройте фигуру, в которую
он переходит при повороте
на 90° по часовой стрелке
относительно точки С.
2.
Сколько осей симметрии име-
ет прямоугольник, не яв-
ляющийся квадратом? Ответ
проиллюстрируйте чертежом.
3.
Дан квадрат ABCD. Построй-
те фигуру, в которую он пе-
реходит при повороте на 90°
против часовой стрелки отно-
сительно точки А.
Вариант В 1
1.
Дана точка А(1; 1) и прямая
а, заданная уравнением
у = х + 2.
а) Постройте точку А', в ко-
торую переходит точка А
при симметрии относи-
тельно прямой а. Укажи-
те координаты точки А'.
б) Постройте прямую а', в
которую переходит прямая
а при симметрии относи-
тельно точки А. Запишите'
уравнение прямой а’.
2.
Дан равносторонний тре-
угольник АВС. Постройте
фигуру, в которую он пере-
ходит при симметрии отно-
сительно прямой ВС. Мож-
но ли получить ту же фигу-
ру с помощью центральной
симметрии? Если да, ука-
жите центр симметрии.
3.
Дан квадрат ABCD. Постройте
фигуру, в которую он перехо-
дит при повороте на 90° по
часовой стрелке относительно
середины стороны ВС.
Вариант В2
1.
Дана точка А(1; 2) и прямая
а, заданная уравнением
у=~х+ 1.
а) Постройте точку А', в ко-
торую переходит точка А
при симметрии относи-
тельно прямой а. Укажи-
те координаты точки А'.
б) Постройте прямую а', в
которую переходит прямая
а при симметрии относи-
тельно точки А. Запишите
уравнение прямой а'.
2.
Дан равносторонний тре-
угольник АВС. Постройте
фигуру, в которую он пере-
ходит при симметрии отно-
сительно точки В. Можно
ли получить ту же фигуру с
помощью осевой симмет-
рии? Если да, укажите ось
симметрии.
3.
Дан квадрат ABCD. Постройте
фигуру, в которую он перехо-
дит при повороте на 90° про-
тив часовой стрелки относи-
тельно середины стороны AD.
90
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-13. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Вариант А1	Вариант А2
1.
Параллельный перенос за-
(х' = х + 3,
дан формулами^
[у' = У -1-
а)	В какую точку при таком
переносе переходит точка
А(2; 0)?
б)	Какая точка при таком
переносе переходит в
точку В'(1; -1)?
1.
Параллельный перенос за-
(х' = х - 2,
дан формулами^
[у' = у + 4.
а)	В какую точку при таком
переносе переходит точка
А(2; 0)?
б)	Какая точка при таком
переносе переходит в
точку В'(1; -1)?
2.
Даны точки А(0; 1), В(3; -2),
С(-2; 1) и П(1; -2).
а)	Существует ли парал-
лельный перенос, при
котором точка А перехо-
дит в точку В, а точка С
— в точку D?
б)	Если такой перенос суще-
ствует, задайте его фор-
мулами.
2.
Даны точки А(0; 1), В(3; -2),
С(-2; 1) и £)(1; -2).
а) Существует ли парал-
лельный перенос, при
котором точка А перехо-
дит в точку С, а точка В
— в точку £>?
б) Если такой перенос суще-
ствует, задайте его фор-
мулами.
Вариант Б1
1.
При параллельном переносе
точка А(-1; 1) перешла в
точку А'(0; 3).
а) Задайте этот параллель-
ный перенос формулами.
Вариант Б2
1.
При параллельном переносе
точка А(-1; 1) перешла в
точкуА'(2; 0).
а)	Задайте этот параллель-
ный перенос формулами.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
91
б)	В какую точку при таком
переносе переходит нача-
ло координат?
в)	Какая точка при таком
переносе переходит в
точку В'(2; -2)?
б) В какую точку при таком
переносе переходит нача-
ло координат?
в) Какая точка при таком
переносе переходит в
точку В'(2; -2)?
2.
Дан параллелограмм ABCD.
Известно, что при парал-
лельном переносе точка А
перешла в точку В. В какую
точку при таком переносе
переходит точка D? Ответ
объясните.
2.
Дан параллелограмм ABCD.
Известно, что при парал-
лельном переносе точка В
перешла в точку С. В какую
точку при таком переносе
переходит точка А? Ответ
объясните.
Вариант В 1
1.
Концы диаметра окружности
находятся на точках А(-5; -4)
и В(3; 2). При параллельном
переносе центр окружности
переместился в точку О'(1; 2).
а)	Задайте этот перенос
формулами.
б)	Запишите уравнение ок-
ружности, полученной
после переноса.
Вариант В2
1.
При параллельном переносе
концы диаметра окружно-
сти с центром в начале ко-
ординат перешли в точки
А'(4; -5) и В'(-2; 3).
а)	Задайте этот перенос
формулами.
б)	Запишите уравнение ок-
ружности, полученной
после переноса.
2.
Параллельный перенос за-
(х/ ~ х_______________2
дан формулами <
[У' = У + 3.
Какими формулами задает-
ся преобразование, обратное
данному?
2.
Параллельный перенос за-
С х' — х_2
дан формулами-^
[У' = У + з.
Какими формулами задает-
ся преобразование, полу-
ченное в результате после-
довательного выполнения
такого переноса дважды?
92
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-14. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО
ВЕКТОРОВ
Вариант А1
1.
Даны точки А(-1; 3), В(3; 6).
а)	Найдите координаты век-
тора АВ .
б)	Найдите абсолютную ве-
личину вектора АВ .
Вариант А2
1.
Даны точки А(2; -3), В(-1; 1).
а)	Найдите координаты век-
тора АВ.
б)	Найдите абсолютную ве-
личину вектора АВ .
2.
Начертите параллелограмм
ABCD. Укажите на чертеже
вектор, равный вектору
АВ, и вектор, равный век-
тору DA.
3.
Дан вектор а (3; 2). Извест-
но, что а = КМ . Найдите
координаты точки М, если
*(1; -1).
2.
Начертите параллелограмм
ABCD. Укажите на чертеже
вектор, равный вектору
CD, и вектор, равный век-
тору ВС .
3.
Дан вектор п(3; 2). Извест-
но, что а = КМ . Найдите
координаты точки К, если
М(5; -2).
Вариант Б1
1.
Даны точки А(-2; 4), В(-2; 1)
и С(2; 1).
а)	Найдите вектор АВ .
б)	Найдите абсолютную ве-
личину вектора АС.
в)	Найдите координаты точки
D, для которой верно ра-
венство АВ = CD.
Вариант Б2
1.
Даны точки Д(1; 3), В(1; -1)
и С(-2; -1).
а)	Найдите вектор АВ .
б)	Найдите абсолютную ве-
личину вектора АС .
в)	Найдите координаты точки
D, для которой верп* ра
венство АС = BD .
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
93
2. Дан прямоугольник ABCD. Выберите среди данных ра- венств верные:	2. Дан прямоугольник ABCD. Выберите среди данных ра- венств верные:
а) АВ = CD; б) DA = СВ ; в) АС = BD ; г) |сА = вБ|.	а) ~ВС = ~AD ; б) ОС = ~ВА ; в) ЯВ = СА ; г) |ас| = |Бв| .
3. Дан вектор а абсолютная величина которого равна л/б. Известно, что а(1; р). Найдите р.	3. Дан вектор а .абсолютная величина которого равна л/б . Известно, что a(fe; -2). Найдите k.
Вариант В 1	Вариант В2
1. Даны точки А(-4; 7), В(2; -1).	1. Даны точки А(3; -5), В(-5; 1).
а) Найдите координаты точки О, для которой верно ра- венство АО = ОВ .	а) Найдите координаты точки О, для которой верно ра- венство ВО - ОА .
б) Найдите координаты и абсолютную	величину вектора АО.	б) Найдите координаты и абсолютную величину вектора ВО .
2. О — точка пересечения диа- гоналей	прямоугольника ABCD. Среди данных утвер- ждений выберите верные:	2. О — точка пересечения диа- гоналей	прямоугольника ABCD. Среди данных утвер- ждений выберите верные:
а) АВ < ~АС ; б) ~ВО = OD ; в) ~Бд = ~АО ; г) |са| > |сй|.	а) ВО = СО; б) СА>СО; в) АО = ОВ ; г) |вд| < |вБ|.
3. Дан вектор а(-3; 2) Отло- жите вектор, равный а , от точки 3; 2).	3. Дан вектор а(-3; 2) Отло- жите вектор, равный а , от точки Af(3; -2).
94
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-15. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ В
КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ. КОЛЛИНЕАРНЫЕ
ВЕКТОРЫ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Даны векторы а (4; 0) и Ь (1; -2).
а)	Найдите координаты и абсолютную
величину вектора с , если _
с =а + b .	с-а - b.
б)	Найдите координаты и абсолютную
величину вектора d , есл_и
d = -За .	d = 2а .
б)	Будут ли векторы а и d сонаправ-
лены? Ответ объясните.
2.	Даны векторы
7п(1; -1) и п (х; 4).	7п(2; х) и п (4; -2).
При каком значении х данные векторы
будут коллинеарны?
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Даны векторы а (6; -8) и Ь (2; -3).
а)	Найдите вектор с , если
_ 1 _ -
с=-а-ЗЬ.	с = 4Ь - 2а .
б)	Найдите число А, если
|Аа| = 20.	|Аа | = 5 .
в)	Какие координаты будет иметь
вектор d , если известно, что
d противоположно направ- d противоположно направ-
лен с F и |d| = 2jbl ?	лен с а и |d| = -|а| ?
1111	I I 2' 1
2.	Даны точки А(—1; 0), В(-2; 2), 0(2; -1) и
D(0; т). Найдите значение т, при ко-
тором _____ ___________________ _____
векторы АВ и CD колли- векторы ВА и DC колли-
неарны.	неарны.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
95
Вариант В 1	Вариант В2
1.	Даны точки Д(1; 3), В(0; 1) и С(-2; -3).
а)	Найдите вектор а , если
а = 2 АВ - ЗВС .	а = -BA + 2АС .
б)	Найдите координаты точки М, для
которой верно равенство
~АМ = 2 АВ .	ВМ = -ЗВА .
в)	Используя понятие коллинеарности,
докажите, что
точки А, В и С лежат на од- точка В лежит на отрезке
ной прямой.	АС.
2.	Дан вектор 6 (-1; 2). Найдите коорди-
наты вектора а , если известно, что
|а| - л/30 и а и Ъ сона- |а[ -- -/45 и а и b противо-
правлены.	положно направлены.
С-16. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ В
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Вариант А 1
Постройте векторы:
а + b , а -Ъ , -0,5а .
Вариант А2
Постройте векторы:
а + b , b - а , 2Ь .
2.	В~—----
А^~~------“^4)
Дан параллелограмм ABCD.
Постройте векторы:
АВ + ВВ, ва + вс, вв-Бс.
2.
D
Дан параллелограмм ABCD.
Постройте векторы:
~^+CD, CB + CD, AD-AC.
96
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
В треугольнике АВС точка
N — середина ВС, СВ = а ,
СА = b . Выразите через а
и b векторы АВ и NA .
В треугольнике АВС точка
N — середина ВС, СВ = а ,
СА = b . Выразите через а
и b векторы ВА и AN .
Даны векторы а , b и с .
Постройте векторы:
а - с , Ь - с , 0,5а + Ъ .
Даны векторы а , b и с .
Постройте векторы:
а + с , а - b , b + 2с .
О — точка пересечения диаго-
налей параллелограмма ABCD.
О — точка пересечения диаго-
налей параллелограмма ABCD.
Постройте векторы:
ОА-ОВ, CD + 2 DO ,
AB + BD + DC .
Постройте векторы:
OD - ОС, 2ВО + РА ,
CD + РВ + ВА .
А ' К С
AD и ВК — медианы тре-
угольника АВС. Выразите
через b = ВС и т - AD
векторы АВ и АК.
АР и В К — медианы тре-
угольника АВС. Выразите
через b = ВС и т = АР
векторы ВА и КС .
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
97
Вариант В 1
Вариант В2
Даны векторы а , b нс.
Постройте векторы:
а + b + с , а + 2с , 0,56 - 2с .
Даны векторы а , Ъ и с .
Постройте векторы:
а - b + с , с + 0,5а , 2Ь - 0,5а .
Дана трапеция ABCD. Точ-
ки М и N — середины бо-
ковых сторон АВ и CD соот-
ветственно.
Дана трапеция ABCD. Точ-
ки М и N — середины бо-
ковых сторон АВ и CD соот-
ветственно.
Постройте векторы:
----- — ,
2АМ + ВС, -IMD-MC
2 \
-|аБ +вс).
2 \	>
Постройте векторы:
AD + 2DN, -(NB-NA
2\
-(Бд + св).
2\	/
AD и ВК — медианы тре-
угольника АВС. О — точка
их пересечения.
Выразите: ______ _____
а)	ВК через ВС и АР;
б)	КО через ВА и ВС.
3. В
А К С
AD и ВК —- медианы тре-
угольника АВС. О — точка
их пересечения.
Выразите: _____ __
а)	AD через АС и ВК ;
б)	DO через АС и АВ .
98
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
С-17. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Найдите скалярное произведение
векторов а и Ъ , если
а)	а(1; -3), Ь (-4; -2);
б)	|а| = 2, |&| = 3, cos
Аа,Ь
'	1 6
а)	а (-2; 2), b (-3; -1);
б)	|а| = 1, j&| = 6, cos Аа, b) = — .
2.	Докажите, что векторы ВА и ВС
перпендикулярны, если
А(0; 1), В(2; -1), С(4; 1).	А(0; 1), В(2; 3), С(-1; 6).
3.	Найдите косинус угла между век-
торами а и b , если
а (-4; 3), b (0; 1).
а (-1; 0), b (-3; 4).
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Найдите скалярное произведение
векторов а и Ь , если
а[4з; - 1), |&| = 2, z(a, b) = 60° .	|а| = 1, b(T2; -1), z(a, b) = 30° .
2.	Найдите значение т, при котором
векторы а и b перпендикуляр-
ны, если
а (иг; -8), b (4; 3).	a (-2; 1), b (9; т).
3.	Найдите ABAC, если
А(1; 4), В(-2; 1), С(1; -3). А(2; 3), В(-1; 3), С(-2; -1).
Докажите, что zABC — ту- Докажите, что аВСА — ост-
пой.	рый.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
99
Вариант В 1	Вариант В 2
1.	Дан квадрат ABCD со стороной 1.
Найдите скалярное произведение
векторов
АС и AD.	ВА и BD.
2.	Даны векторы а (1; 4) и Ь (-3; 2).
Найдите значение X, , при котором
вектор а + ХЬ перпендикулярен
вектору b .	вектору а.
3.	Даны векторы а и b . Известно,
что
|а| = 7, |&| = 8, z(a, b) = 60° .	|а| = 8, |&| = 7, z(a, Ь) = 120° .
Найдите абсолютную величину
вектора а + b .	вектора а - b .
4.	Найдите угол между единичными
векторами а и Ъ , если известно,
что
векторы а - ЗЬ и а - 0,26 векторы 0,4а - 2Ь и За - b
перпендикулярны.	перпендикулярны.
К-6. ВЕКТОРЫ
Вариант А1	Вариант А2
1.	Даны точки
А(—1; 4), В(3; 1), С(3; 4).	А(2; -1), В(2; 3), С(-1; -1).
а)	Найдите координаты и абсо-
лютную величину
вектора АВ .	вектора КВС .
б)	Найдите вектор, равный
СА + АВ.	ВС + СА.
100
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
в)	Найдите угол между векторами
СА и СВ .	АС и. АВ.
2.	Даны векторы
а (2; 6) и &(2; 1).	а (-1; 2) и b (0; 5).
а)	Найдите вектор
с = а - 4Ь .	с = 2а - b .
б)	Докажите, что векторы а и с
перпендикулярны.
в)	Постройте вектор с началом
точке (0; 0), равный вектору с .
3.	О — точка пересечения диагоналей
параллелограмма ЛВСО. Выразите
через векторы АВ = а и AD - Ь
векторы DB и АО .
векторы BD и ОС .
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.	Даны точки
А(2; 1), В(1; 1), С(2; -1).	А(-1; 2), В(1; 2), С(-1; 0).
а)	Найдите координаты и абсо-
лютную величину
вектора - 2АВ .	вектора ЗАС .
б)	Найдите вектор, равный
ВА-ВС.	СВ-СА.
в)	Найдите zCAB.
2.	Даны векторы а (2; 0), Ь (1; 2),
с (-3; т).
а)	Найдите значение т, при котором
векторы Ь и а - 2с пер- векторы Ь и а + 2с пер-
пендикулярны.	пендикулярны.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
101
б)	Найдите значение т, при котором
векторы а+Ь и с колли- векторы а - b и с колли-
неарны.
неарны.
в)	Будут ли эти коллинеарные век-
торы еонаправлены? Ответ объ-
ясните.
3.	В параллелограмме ABCD точка
М — середина стороны CD, точка
К — середина стороны ВС. Вырази-
те через векторы АВ = а и AD = Ь
векторы
МВ и КМ.
векторы KD и МК.
Вариант В 1
Вариант В2
1.	Даны точки А(3; 8), В(-7; 5), С(п; 11).
а)	Найдите значение п, при котором
векторы ВА и ВС перпен- векторы АВ и АС перпен-
дикулярны.
дикулярны.
б)	Найдите значение п, при котором
векторы ВА и ВС колли- векторы АВ и АС колли-
неарны.
неарны.
в)	В случае коллинеарности векторов
определите аналитически, какая
из точек А, В и С лежит между
двумя другими.
2.	Сумма и разность векторов а и
Ь имеют координаты соответст-
венно:
(2; 1) и (-4; 3).
(5; 10) и (3; -4).
а) Найдите координаты векторов а и Ъ .
102
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
б)	Разложите по векторам а и Ъ
вектор с (10; -5).	вектор с (-2; 11).
в)	Найдите угол между векторами
а и Ь .
3. В параллелограмме ABCD на сто-
роне ВС отмечена точка К так,
что ВК:КС - 1:2. Разложите по
векторам АС — а и DB = Ь
векторы ВА и АК.	векторы DC и KD .
К-7. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант А1	Вариант А2
1.
Диагонали ромба равны
10 см и 24 см. Найдите пе-
риметр ромба.
1.
Периметр ромба равен
40 см, а одна из его диаго-
налей — 12 см. Найдите
вторую диагональ ромба.
2.
Боковые стороны прямо-
угольной трапеции равны
5 см и 13 см, а меньшее ос-
нование — 7 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
2.
Дана равнобокая трапеция с
меньшим Основанием 10 см,
диагональю 20 см и высотой
12 см. Найдите среднюю
линию трапеции.
3.
Даны три вершины парал-
лелограмма ABCD'. А(1; 3),
В(2; 0), С(-1; -3). Найдите
координаты вершины D.
3.
Даны три вершины парал-
лелограмма ABCD: В(-1; 1),
С(2; 3), В(1; -1). Найдите
координаты вершины А.
ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ
103
Вариант Б1
1.
Разность диагоналей ромба
равна 10 см, а его периметр
— 100 см. Найдите диаго-
нали ромба.
Вариант Б2
1.
Сумма диагоналей ромба
равна 70 см, а его периметр
— 100 см. Найдите диаго-
нали ромба.
2.
Боковые стороны прямо-
угольной трапеции относят-
ся как 4:5, а одно из осно-
ваний на 9 см больше дру-
гого. Большая диагональ тра-
пеции равна 20 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
2.
Боковые стороны прямо-
угольной трапеции относят-
ся как 4:5, а одно из осно-
ваний на 9 см больше дру-
гого. Меньшая диагональ тра-
пеции равна 20 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
Даны точки: А(1; 1), В(2; 3),
С(0; 4), О(-1; 2). Докажите,
что ABCD — прямоуголь-
ник.
3.
Даны точки: А(-3; 0),
В(0; 3), 0(2; 1), О(-1; -2).
Докажите, что ABCD —
прямоугольник.
Вариант В1
1.
Сумма диагоналей ромба
равна 70 см, а сторона —
25 см. Найдите высоту ромба.
2.
Диагональ равнобокой тра-
пеции является биссектри-
сой острого угла и делит
среднюю линию на отрезки
13 см и 23 см. Найдите вы-
соту трапеции.
Вариант В2
1.
Разность диагоналей ромба
равна 10 см, а сторона —
25 см. Найдите высоту ромба.
2.
Диагональ равнобокой тра-
пеции является биссектри-
сой тупого угла и делит
среднюю линию на отрезки
3 см и 13 см. Найдите высо-
ту трапеции.
3.
Даны точки Л(1;-1), B(-l; I),
0(1; 3), D(3; 1). Докажите,
что ABCD — квадрат.
3.
Даны точки Д(-1; -1), В(-4; 2),
С(-1; 5), 0(2; 2). Докажите,
что ABCD — квадрат.
104
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
С-1. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Вариант А1
1.
Периметр параллелограмма
равен 46 см. Найдите стороны
параллелограмма, если сумма
трех его сторон равна 42 см.
2.
Сумма двух углов параллело-
грамма равна 84°. Найдите
углы параллелограмма.
Вариант А2
1.
Периметр параллелограмма
равен 56 см. Найдите стороны
параллелограмма, если сумма
двух его сторон равна 20 см.
2.
Сумма трех углов параллело-
грамма равна 154°. Найдите
углы параллелограмма.
Дано: ВС | | AD;
/ВАС = /DCА.
Доказать: ABCD — паралле-
л о грамм.
Дано: ABCD — параллелограмм;
ВЕ= DF.
Доказать: AECF — паралле-
лограмм.
Вариант Б 1
1.
В параллелограмме ABCD
О — точка пересечения диа-
гоналей. ВН = 12см, AD =8 см,
АО = 7 см. Найдите периметр
треугольника ВОС.
Вариант Б2
1.
В параллелограмме ABCD
О — точка пересечения диа-
гоналей. CD -15 см, АС = 24 см,
DO - 9 см. Найдите периметр
треугольника АО В.
Дано: ABCD — параллелограмм;
BE — биссектриса уг-
ла ABC; /ЛЕВ = 62°.
Найти: углы параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм;
АЕ — биссектриса уг-
ла BAD; ZAEC =132°.
Найти: углы параллелограмма.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
105
Дано: ABCD — параллелограмм;
/ВАМ = /DCN.
Доказать: AMCN —параллелограмм.
Дано: MBND — параллелограмм;
/ADM = /CBN.
Доказать: ABCD—параллелограмм.
Вариант В1
Вариант В2
Дано: ABCD — параллелограмм;
AM и DN — биссектри-
сы углов BAD и ADC;
АВ = 6 см; Рдвсо - 28 см.
Найти: MN.
Дано: ABCD —параллелограмм;
AM и DN — биссектри-
сы углов BAD и ADC;
MN - 8 см; Рдвсо = 44 см.
Найти: стороны параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм;
АЕ 1 ВС; AF 1 CD;
/EAF больше /BAD в 8 раз.
Найти: углы параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм;
BE 1 AD; BF 1 CD;
/EBF меньше /АВС на 100°.
Найти: углы параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм;
ААг = CCt; ВВ1 = DDV
Доказать: A^^Di — парал-
лелограмм.
Дано: ABCD — параллелограмм;
ААг = ССг; ВВ1 = DDX.
Доказать: A1B1C1D1 — парал-
лелограмм.
106
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-2. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
Вариант А1	Вариант А2
Дано: ABCD — прямоугольник;
zABD = 48°.
Найти: aCOD, zCAD.
Дано: ABCD — прямоугольник;
ZAOB = 36°.
Найти: Z.CAD, aBDC.
2.
Угол ромба равен 32°. Най-
дите углы, которые образует
его сторона с диагоналями.
3.
Докажите, что если диаго-
нали прямоугольника пер-
пендикулярны, то он явля-
ется квадратом.
2.
В ромбе угол между диаго-
налью и стороной равен 25°.
Найдите углы ромба.
3.
Докажите, что если диаго-
нали ромба равны, то он
является квадратом.
Вариант Б 1
Вариант Б2
Дано: ABCD — прямоугольник;
/АВН больше Z.CBD на 20°.
Найти: углы треугольника
AOD.
Дано: ABCD — прямоугольник;
zADB : zCDB = 4:5.
Найти: углы треугольника
АОВ.
2.
Из вершины тупого угла
ромба проведен перпенди-
куляр к его стороне,., деля-
щий эту сторону пополам.
Найдите углы ромба.
2.
Сторона ромба в 2 раза
больше перпендикуляра,
проведенного к ней из вер-
шины тупого угла. Найдите
углы ромба.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
107
3.
Докажите, что ромб являет-
ся квадратом, если его сто-
рона образует с диагоналя-
ми равные углы.
3.
Докажите, что параллелограмм
является ромбом, если его сто-
рона образует с диагоналями
углы, сумма которых равна 90°.
Дано: ABCD — прямоугольник;
BE -LAC; АВ = 12 см;
АЕ : ЕС = 1 : 3.
Найти: диагонали прямо-
угольника.
Дано: ABCD — прямоугольник;
СЕ 1 BD; CD = 10 см;
DE : ОС = 1:2.
Найти: диагонали прямо-
угольника.
2.
Из вершины тупого угла
ромба проведен перпенди-
куляр к стороне. Этот пер-
пендикуляр пересекает диа-
гональ ромба под углом 60°.
Найдите длину этой диаго-
нали, если длина перпенди-
куляра равна 6 см.
3.
Докажите, что середины
сторон прямоугольника яв-
ляются вершинами ромба.
2.
Из вершины тупого угла
ромба проведен перпенди-
куляр к стороне. Под каким
углом пересекает этот пер-
пендикуляр большую диа-
гональ, если длина перпен-
дикуляра — 5 см, а длина
этой диагонали — 10 см?
3.
Докажите, что середины сто-
рон ромба являются верши-
нами прямоугольника.
Дополнительное задание
Дано: ABCD — прямоуголь-
ная трапеция; AC ± BD;
гВАС = 30°; АО = 12 см.
Найти: ВС.
Дано: ABCD — прямоуголь-
ная трапеция; AC ± BD;
zCAD = 60°; ВС= 4 см.
Найти: AD.
108
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-1. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Вариант А1 1.	В/	-гг?	7 С А*^————! и Дано: ABCD — параллело- грамм; АЕ — биссектриса /BAD; АВ - 7 см; ЕС = 3 см. Найти: периметр паралле- лограмма. 2. Докажите, что ромб, у ко- торого угол между диагона- лью и стороной равен 45°, является квадратом. 3. Постройте ромб по диагона- ли и стороне. Вариант Б1 L в!	lQ А*^-	'D Дано: ABCD — параллелограмм; АЕ — биссектриса ABAD; Pabcd = 56 см; BE : ЕС = 3:1. Найти: стороны параллело- грамма.	Вариант А2 Дано: ABCD — параллело- грамм: BE — биссектриса /АВС; АЕ - 8 см; ED = 2 см. Найти: периметр паралле- лограмма. 2. Докажите, что параллело- грамм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом. 3. Постройте прямоугольник по стороне и углу между этой стороной и диагональю. Вариант Б2 "	м—т J- 	—4 Дано: ABCD — параллелограмм; BE — биссектриса /АВС; Pabcd - 48 см; АЕ больше ED на 3 см. Найти: стороны параллело- грамма.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
109
2.
Докажите, что четырех-
угольник, у которого две
стороны параллельны и уг-
лы, прилежащие к одной из
этих сторон, прямые, явля-
ется прямоугольником.
3.
Постройте параллелограмм
по диагоналям и углу меж-
ду диагоналями.
2.
Докажите, что четырех-
угольник, у которого все
стороны равны, является
ромбом.
3.
Постройте параллелограмм
по стороне и двум диагона-
лям.
Вариант В1
Вариант В2
Дано: ABCD — параллелограмм;
AD = 11 см; CD = 4 см.
Рвос = 26 см.
Найти: РАОв-
2.
Докажите, что биссектрисы
углов произвольного парал-
лелограмма при пересече-
нии образуют прямоуголь-
ник.
3.
Постройте ромб по тупому
углу и расстоянию между
параллельными сторонами.
Дано: ABCD — параллелограмм;
Раов = 21 см; Рвос = 24 см;
CD = 6 см.
Найти: Pabcd-
2.
Докажите, что биссектрисы
углов произвольного прямо-
угольника при пересечении
образуют квадрат.
3.
Постройте ромб по острому
углу и расстоянию между
параллельными сторонами.
С-3. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА,
КВАДРАТА
Вариант А1
1.
Найдите площадь прямо-
угольника, если его пери-
метр равен 144 см, а сторо-
ны относятся как 5:7.
Вариант А2
1.
Найдите площадь прямо-
угольника, если его пери-
метр равен 74 см, а разность
сторон 17 см.
110
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
2.
В прямоугольнике одна сто-
рона в 3 раза меньше дру-
гой, а площадь равна
48 см2. Найдите площадь
квадрата, построенного на
большей стороне прямо-
угольника.
2.
В прямоугольнике одна сто-
рона в 4 раза больше дру-
гой, а площадь равна
36 см2. Найдите площадь
квадрата, построенного на
меньшей стороне прямо-
угольника.
3.
Как изменится площадь
прямоугольника, если одну
его сторону увеличить в 2
раза, а другую — в 4 раза?
3.
Как изменится площадь
прямоугольника, если одну
его сторону уменьшить в 3
раза, а другую — в 4 раза?
Вариант Б 1
1.
Расстояние от точки пересе-
чения диагоналей до сторо-
ны прямоугольника на 8 см
меньше, чем эта сторона.
Найдите площадь прямо-
угольника, если его пери-
метр равен 88 см.
Вариант Б2
1.
Расстояние от точки пересе-
чения диагоналей до сторо-
ны прямоугольника в 8 раз
меньше, чем эта сторона.
Найдите площадь прямо-
угольника, если его пери-
метр равен 80 см.
2.
Площади квадратов, по-
строенных на сторонах пря-
моугольника, равны 49 см2
и 144 см2. Найдите пери-
метр прямоугольника.
2.
Площади квадратов, по-
строенных на сторонах пря-
моугольника, равны 64 см2
и 121 см2. Найдите площадь
прямоугольника.
3.
Как изменится площадь
прямоугольника, если одну
его сторону увеличить в 4
раза, а другую — умень-
шить в 8 раз?
3.
Как изменится площадь
прямоугольника, если одну
его сторону увеличить в 9
раз, а другую — уменьшить
в 3 раза?
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
111
Вариант В 1
1.
Площадь прямоугольника
равна 48 см2. Найдите пло-
щадь шестиугольника, вер-
шинами которого являются
середины сторон и две про-
тиволежащие вершины дан-
ного прямоугольника.
2.
Найдите площадь квадрата,
диагональ которого равна
6 см.
3.
Докажите, что площадь
ромба равна полупроизведе-
нию его диагоналей.
Вариант В2
1.
Площадь шестиугольника,
вершинами которого явля-
ются середины сторон и две
противолежащие вершины
прямоугольника, равна
24 см2. Найдите площадь
этого прямоугольника.
2.
Найдите площадь ромба,
диагонали которого равны
6 см и 8 см.
3.
Докажите, что площадь
квадрата равна половине
квадрата диагонали.
С-4. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА,
РОМБА, ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1	Вариант А2
1.
Стороны параллелограмма
равны 8 см и 14 см, а один
из углов равен 30°. Найдите
площадь параллелограмма.
1.
Стороны параллелограмма
равны 10 см и 12 см, а один
из углов равен 150°. Найди-
те площадь параллелограм-
ма.
2.
Найдите высоту ромба, сто-
рона которого равна 6,5 см,
а площадь — 26 см2.
3.
Найдите сторону треуголь-
ника, если высота, опущен-
ная на эту сторону, в 2 раза
меньше нее, а площадь тре-
угольника равна 64 см2.
2.
Найдите сторону ромба,
площадь которого равна
12 см2, а высота 2,4 см.
3.
Найдите высоту треуголь-
ника, если она в 4 раза
больше стороны, к которой
проведена, а площадь тре-
угольника равна 72 см2.
112
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
Вариант Б1
1.
Периметр параллелограмма
равен 32 см. Найдите пло-
щадь параллелограмма, ес-
ли один из углов на 60°
больше прямого, а одна из
сторон равна 6 см.
2.
Найдите периметр ромба,
высота которого равна 7 см,
а площадь — 84 см2.
Вариант Б2
1.
Периметр параллелограмма
равен 36 см. Найдите пло-
щадь параллелограмма, ес-
ли его высота равна 4 см, а
один из углов на 60° мень-
ше прямого.
2.
Найдите высоту ромба, пери-
метр которого равен 124 см,
а площадь — 155 см2.
3.
Найдите площадь равнобед-
ренного прямоугольного
треугольника с гипотенузой
14 см.
3.
В прямоугольном треуголь-
нике острый угол равен 45°,
а высота, проведенная к ги-
потенузе, равна 9 см. Най-
дите площадь этого тре-
угольника.
Вариант В 1
1.
Периметр параллелограмма
равен 56 см. Два угла па-
раллелограмма относятся
как 1:5, а две стороны как
2:9. Найдите площадь этого
параллелограмма
2.
Найдите углы ромба, если
его периметр равен 16 см, а
площадь — 8 см2.
3*.
Найдите площадь треуголь-
ника, одна из сторон кото-
рого равна 12 см, а к ней
прилежащие углы — 30° и
75°.
Вариант В2
1.
Периметр' параллелограмма
равен 40 см. Разность двух
его углов равна 120°, а раз-
ность двух его сторон —
2 см. Найдите площадь па-
раллелограмма.
2.
Найдите углы ромба, если
его высота равна 7 см, а
площадь — 98 см2.
3*.
В равнобедренном треуголь-
нике угол при основании
равен 75°. Найдите боковую
сторону этого треугольника,
если его площадь равна
16 см2.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
113
С-5. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ.
Вариант А1
1.
Разность оснований трапе-
ции равна 6 см, а высота
трапеции равна 8 см. Найди-
те основания трапеции, если
ее площадь равна 56 см.
2.
Высота, проведенная из
вершины тупого угла пря-
моугольной трапеции, отсе-
кает квадрат, площадь ко-
торого равна 16 см2. Найди-
те площадь трапеции, если
ее тупой угол равен 135°.
Вариант А2
1.
Высота трапеции равна 7 см,
а одно из оснований в 5 раз
больше другого. Найдите ос-
нования трапеции, если ее
площадь равна 84 см2.
2.
Высота, проведенная из
вершины тупого угла пря-
моугольной трапеции, делит
трапецию на квадрат и тре-
угольник. Площадь тре-
угольника равна 16 см2.
Найдите площадь трапеции,
если ее острый угол равен 45°.
Вариант Б1
1.
Высота трапеции в 3 раза
меньше одного из оснований
и в 5 раз меньше другого.
Найдите основания и высо-
ту трапеции, если ее пло-
щадь равна 100 см2.
2.
В равнобедренной трапеции
угол при основании равен
45°, а высота равна меньшему
основанию. Найдите площадь
трапеции, если большее ос-
нование равно 12 см.
Вариант Б2
1.
Одно из оснований трапеции
на 3 см больше высоты, а
другое — на 3 см меньше.
Найдите основания и высо-
ту трапеции, если ее пло-
щадь равна 100 см2.
2.
В равнобедренной трапеции
тупой угол равен 135°, а вы-
сота в 3 раза меньше больше-
го основания. Найдите пло-
щадь трапеции, если мень-
шее основание равно 6 см.
Вариант В1
1.
В равнобедренной трапеции
с острым углом 30° сумма
оснований равна 22 см, а
периметр равен 30 см. Най-
дите площадь трапеции.
Вариант В2
1.
В равнобедренной трапеции с
тупым углом 150° боковая
сторона равна 6 см, а пло-
щадь трапеции — 66 см2.
Найдите периметр трапеции.
114
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
2. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, а сумма ос- нований равна 18 см. Най- дите площадь трапеции.	2. Меньшая диагональ прямо- угольной трапеции перпен- дикулярна боковой стороне, острый угол трапеции равен 45°, большее основание тра- пеции равно 8 см. Найдите площадь трапеции.
С-6. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Вариант А 1	Вариант А2
1. Найдите катет прямоуголь- ного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а другой катет — 12 см.	1. Найдите гипотенузу прямо- угольного треугольника, ес- ли его катеты равны 6 см и 8 см.
2. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба.	2. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон — 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.
3. Докажите, что треугольник со сторонами 12 см, 35 см и 37 см является прямоуголь- ным.	3. Докажите, что треугольник со сторонами 9 см, 40 см и 41 см является прямоуголь- ным.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1. Катеты прямоугольного тре- угольника относятся как. 3:4, а гипотенуза равна 15 см. Найдите периметр треугольника.	1. В прямоугольном треуголь- нике гипотенуза относится к катету как 5:3. Найдите пе- риметр треугольника, если второй катет равен 12 см.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
115
2.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
17 см, а биссектриса, прове-
денная к основанию — 15 см.
Найдите площадь и пери-
метр этого треугольника.
2.
Медиана, проведенная к ос-
нованию равнобедренного
треугольника, равна 12 см, а
боковая сторона равна 13 см.
Найдите периметр и пло-
щадь этого треугольника.
3.
Докажите, что треугольник
является прямоугольным,
если его стороны пропорцио-
нальны числам 5, 12 и 13.
3.
Докажите, что треугольник
является прямоугольным,
если его стороны пропорцио-
нальны числам 7, 24 и 25.
Вариант В 1
1.
В равнобедренном треуголь-
нике высота, проведенная к
боковой стороне, делит эту
сторону на отрезки длиной
12 см и 3 см, считая от
вершины треугольника,
противолежащей основа-
нию. Найдите площадь и
периметр треугольника.
Вариант В2
1.
Высота, проведенная к бо-
ковой стороне равнобедрен-
ного треугольника, равна
15 см и отсекает на боковой
стороне отрезок длиной
8 см, считая от вершины,
противолежащей основа-
нию. Найдите площадь и
периметр треугольника.
2.
В прямоугольной трапеции с
острым углом 45° большая
боковая сторона равна
1бл/г см, а меньшая диаго-
наль равна 20 см. Найдите пе-
риметр и площадь трапеции.
2.
В равнобедренной трапеции
угол при основании равен
45°, боковые стороны равны
9у[2 см, а диагональ —
15 см. Найдите периметр и
площадь трапеции.
3.
Докажите, что сумма квад-
ратов медиан прямоугольно-
го треугольника равна 3/2
квадрата гипотенузы.
3.
Докажите, что сумма квад-
ратов двух медиан прямо-
угольного треугольника, про-
веденных к катетам, равна
5/4 квадрата гипотенузы.
116
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-2. ПЛОЩАДИ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Вариант А1	Вариант А2
1.
Стороны параллелограмма
равны 12 см и 9 см, а его
площадь равна 36 см1 2. Най-
дите высоты параллело-
грамма.
1.
Высоты параллелограмма
равны 2 см и 6 см, а его
площадь равна 48 см2. Най-
дите стороны параллело-
грамма.
2.
В прямоугольном треуголь-
нике с острым углом 45°
гипотенуза равна 3^2 см.
Найдите катеты и площадь
этого треугольника.
2.
В прямоугольном треуголь-
нике катет, лежащий про-
тив угла 60°, равен 3-Уз см.
Найдите две другие стороны
этого треугольника и его
площадь.
3.
В прямоугольной трапеции
основания равны 6 см и
9 см, а большая боковая
сторона равна 5 см. Найдите
площадь этой трапеции.
3.
В равнобедренной трапеции
основания равны 6 см и
14 см, а боковая сторона
равна 5 см. Найдите пло-
щадь этой трапеции.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.
В параллелограмме тупой
угол равен 150°. Биссектри-
са этого угла делит сторону
параллелограмма на отрезки
16 см и 5 см, считая от
вершины острого угла. Най-
дите площадь параллело-
грамма.
1.
В параллелограмме острый
угол равен 30°. Биссектриса
этого угла делит сторону
параллелограмма на отрезки
14 см и 9 см, считая от
вершины тупого угла. Най-
дите площадь параллело-
грамма.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
117
2.
Две стороны треугольника
равны 7л/2 см и 10 см, а угол
между ними равен 45°. Най-
дите площадь треугольника.
2.
Две стороны треугольника
равны 4>/з см и 6 см, а угол
между ними равен 60°. Най-
дите площадь треугольника.
3.
В равнобедренной трапеции
боковая сторона равна
10 см, диагональ 17 см, а
разность оснований 12 см.
Найдите площадь трапеции.
3.
В прямоугольной трапеции
боковые стороны относятся
как 4:5, разность оснований
равна 9 см, а меньшая диа-
гональ 13 см. Найдите пло-
щадь трапеции.
Вариант В 1
1.
Высоты параллелограмма,
проведенные из вершины
острого угла, образуют угол
150°. Найдите площадь па-
раллелограмма, если его сто-
роны равны 12 см и 18 см.
Вариант В2
1.
Высоты параллелограмма,
проведенные из вершины ту-
пого угла, образуют угол 30°.
Найдите площадь параллело-
грамма, если его стороны
равны 16 см и 20 см.
2.
Две стороны треугольника
относятся как 5:8, а высота,
проведенная к третьей сто-
роне, делит ее на отрезки
7 см и 32 см. Найдите пе-
риметр треугольника.
2.
Две стороны треугольника
равны 75 см и 78 см, а вы-
сота, проведенная к третьей
стороне, делит ее в отноше-
нии 7:10. Найдите периметр
треугольника.
3.
В равнобедренной трапеции
высота и основания отно-
сятся как 3:5:13, а боковая
сторона равна 15 см. Най-
дите площадь трапеции.
3.
В равнобедренной трапеции
периметр равен 64 см, раз-
ность оснований равна
18 см, а высота относится к
боковой стороне как 4:5.
Найдите площадь трапеции.
118
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО
БИССЕКТРИСЫ УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1	Вариант А2
--с-------- --------С-------
1.
Стороны треугольника рав-
ны 5 см, 3 см и 7 см. Най-
дите стороны подобного ему
треугольника, периметр ко-
торого равен 105 см.
1.
Стороны треугольника отно-
сятся как 4:5:7. Найдите
стороны подобного ему тре-
угольника, если его пери-
метр равен 96 см.
2.
У подобных треугольников
сходственные стороны рав-
ны 7 см и 35 см. Площадь
первого треугольника равна
27 см1 2. Найдите площадь
второго треугольника.
2.
Площади подобных тре-
угольников равны 17 см2 и
68 см2. Сторона первого
треугольника равна 8 см.
Найдите сходственную сто-
рону второго треугольника.
3.
Найдите две стороны тре-
угольника, если их сумма
равна 91 см, а биссектриса,
проведенная к третьей сто-
роне, делит эту сторону в
отношении 5:8.
3.
Найдите две стороны тре-
угольника, если их разность
равна 28 см, а биссектриса,
проведенная к третьей сто-
роне, делит ее на отрезки
43 см и 29 см.
Вариант Б 1
1.
Стороны треугольника отно-
сятся как 7:13:19. Найдите
периметр подобного ему
треугольника, разность ме-
жду двумя большими сто-
ронами которого равна
132 см.
Вариант Б2
1.
Стороны треугольника рав-
ны 14 см, 42 см и 40 см.
Найдите периметр подобно-
го ему треугольника, сумма
наибольшей и наименьшей
сторон которого равна
108 см.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
119
2.
Сходственные стороны по-
добных треугольников рав-
ны 6 см и 4 см, а сумма их
площадей равна 78 см1 2 3.
Найдите площади этих тре-
угольников.
3.
В прямоугольном треуголь-
нике биссектриса острого
угла делит катет на отрезки
10 см и 6 см. Найдите пе-
риметр этого треугольника.
2.
Сходственные стороны по-
добных треугольников отно-
сятся как 8:5, а разность
площадей треугольников
равна 156 см-2. Найдите
площади этих треугольни-
ков.
3.
В прямоугольном треуголь-
нике биссектриса прямого
угла делит гипотенузу на
отрезки 20 см и 15 см. Най-
дите периметр этого тре-
угольника.
1.
В трапеции ABCD ВС | j AD,
АВ - 9 см. Диагональ АС
делит трапецию на два по-
добных треугольника АВС и
ACD. Найдите большее ос-
нование трапеции, если эта
диагональ равна 12 см.
2.
В равнобедренном треуголь-
нике АВС с основанием АС
биссектриса AD отсекает
треугольник CAD, подобный
АВС. Найдите углы тре-
угольника АВС.
1.
В трапеции ABCD ВС | | AD,
АВ = 4 см. Диагональ АС
делит трапецию на 2 подоб-
ных треугольника АВС и
ACD. Найдите эту диаго-
наль, если большее основа-
ние трапеции равно 9 см.
2.
В треугольнике АВС биссек-
триса AD отсекает треуголь-
ник подобный треугольнику
АВС. Докажите, что тре-
угольник АВС — равнобед-
ренный, и найдите его углы.
3.
В равнобедренном треуголь-
нике биссектриса, прове-
денная к боковой стороне,
делит ее на отрезки 30 см и
25 см, считая от основания.
Найдите периметр тре-
угольника.
3.
В равнобедренном треуголь-
нике боковая сторона равна
55 см, а высота, проведен-
ная к основанию, — 44 см.
Найдите длину отрезков, на
которые делит боковую сто-
рону биссектриса угла при
основании.
120
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-8. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
Вариант А2
Дано: АВ | | DC.
Доказать: лАОВ т \COD.
Дано: ABCD — трапеция.
Доказать: &AOD кСОВ.
Подобны ли треугольники,
изображенные на рисунке?
Почему?
Подобны ли треугольники,
изображенные на рисунке?
Почему?
3.
Два равнобедренных тре-
угольника имеют равные уг-
лы, противолежащие основа-
ниям. В одном из треуголь-
ников боковая сторона и вы-
сота, проведенная к основа-
нию, равны 5 см и 4 см.
Найдите периметр второго
треугольника, если его бо-
ковая сторона равна 15 см.
3.
Углы между боковыми сто-
ронами двух равнобедрен-
ных треугольников равны.
В одном из треугольников
основание и высота, прове-
денная к основанию, равны
8 см и 3 см. Найдите пери-
метр второго треугольника,
если его основание равно
24 см.
Вариант Б 1
Вариант Б2
Дано: AD ± ВС;
СЕ Л. АВ.
Доказать: &ADB &СЕВ.
Дано: ABCD — параллелограмм;
BE 1 AD; BF 1 CD.
Доказать: ьАВЕ ™ дСВД.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
121
Подобны ли прямоугольные
треугольники АВС и А'В'С'?
Подобны ли прямоугольные
треугольники АВС иА'В'С'?
3.
Основания трапеции 4 см и
8 см, высота равна 9 см.
Найдите расстояния от точ-
ки пересечения диагоналей
до оснований трапеции.
3.
Расстояния от точки пересече-
ния диагоналей до оснований
трапеции равны 3 см и 9 см, а
сумма оснований равна 24 см.
Найдите основания трапеции.
Вариант В 2
Вариант В 1
Дано: АВ ± ВС; СЕ ± АВ.
Доказать: &АВС М)ВЕ.
Дано: AD ± ВС; СЕ 1 АВ.
Доказать: ьАВС оз ADBE.
Подобны ли прямоугольные
треугольники АВС иА'В'С'?
Подобны ли прямоугольные
треугольники АВС иА'В'С'?
3.
Углы между боковыми сто-
ронами двух равнобедрен-
ных треугольников равны.
Биссектриса угла при осно-
вании одного треугольника
делит высоту, опущенную
на основание, в отношении
5:3. Найдите стороны вто-
рого треугольника, если его
периметр равен 48 см.
3.
Углы между боковыми сто-
ронами двух равнобедренных
треугольников равны. Бис-
сектриса угла при основании
одного треугольника делит
медиану, проведенную к ос-
нованию, на отрезки 10 см и
6 см. Найдите стороны вто-
рого треугольника, если его
периметр равен 64 см.
122
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-3. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
1.
В одном равнобедренном тре-
угольнике угол при вершине
равен 24°, а в другом равнобед-
ренном треугольнике угол при
основании равен 78°. Подобны
ли эти треугольники? Почему?
2.
Найдите отношение площа-
дей двух треугольников, если
стороны одного равны 5 см,
8 см, 12 см, а стороны дру-
гого — 15 см, 24 см, 36 см.
Вариант А2
1.
В одном прямоугольном тре-
угольнике острый угол равен
22°, а в другом прямоуголь-
ном треугольнике острый
угол равен 68°. Подобны ли
эти треугольники? Почему?
2.
Отношение площадей двух
подобных треугольников рав-
но 9:1. Стороны первого равны
12 м, 21 м, 27 м. Найдите сто-
роны другого треугольника.
Дано: АВ - 24 см; СВ - 16 см;
AM = 9 см; BN = 10 см.
Доказать: MN 11 АС.
Дано: АО = 15 см; ВО = 8 см;
АС = 27 см; DO = 10 см.
Доказать: ABCD — трапеция.
Вариант Б 1
1.
Один из острых углов прямо-
угольного треугольника в 4
раза меньше другого. В дру-
гом прямоугольном треуголь-
нике разность острых углов
равна 54°. Подобны ли эти
треугольники? Почему?
2.
Стороны одного треугольника
равны 21 см, 27 см, 12 см.
Стороны другого треуголь-
ника относятся как 7:9:4, а
его большая сторона равна
54 см. Найдите отношение
площадей этих треугольников.
Вариант Б2
1.
Острые углы прямоугольно-
го треугольника относятся
как 1:5. В другом прямо-
угольном треугольнике раз-
ность острых углов равна
60°. Подобны ли эти тре-
угольники? Почему?
2.
Найдите отношение площа-
дей двух треугольников, ес-
ли стороны одного равны
36 см, 24 см, 42 см, стороны
другого относятся как 4:6:7,
а его меньшая сторона рав-
на 8 см.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
123
Дано: АВ | | CD; АВ : CD = 3:5;
СВ = 64 см.
Доказать: АО СО = ВО DO.
Найти: ВО и СО.
Дано: ABCD — трапеция;
АО : СО = 7:3; BD = 40 см.
Доказать: ВО АО = СО DO.
Найти: ВО и DO.
Вариант В 1
1.
Сумма двух углов прямо-
угольного треугольника рав-
на 130°, а сумма двух дру-
гих углов этого треуголь-
ника равна 140°. У второго
треугольника углы относят-
ся как 4:5:9. Подобны ли
эти треугольники?
2.
В трапеции ABCD AD и ВС
— основания, О — точка
пересечения диагоналей.
BO:OD = 3:4. Найдите от-
ношение площадей тре-
угольников ABD и АВС.
Вариант В 2
1.
Сумма двух углов равнобед-
ренного треугольника равна
60°, а сумма двух других
углов этого треугольника
равна 150°. У второго тре-
угольника углы относятся
как 1:1:4. Подобны ли эти
треугольники?
2.
В трапеции ABCD AD и ВС
— основания, О — точка
пересечения диагоналей.
Площади треугольников
AOD и ВОС относятся как
9:4. Найдите отношение
площадей треугольников
ABD и CBD.
3.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
15 см, а основание — 10 см.
К боковым сторонам тре-
угольника проведены биссек-
трисы. Найдите длину отрез-
ка, концами которого явля-
ются основания биссектрис.
3.
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
9 см, а основание — 6 см. К
боковым сторонам тре-
угольника проведены высо-
ты. Найдите длину отрезка,
концами которого являются
основания высот.
124
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-9. ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Вариант А1
Вариант А2
Дано: АВ =10 см;
ВС = 8 см;
АС - 7 см.
Найти: Pmnk-
Дано: MN = 7,4 см;
NK = 5,2 см;
МК = 4,4 см.
Найти: РАВс-
Дано: zACB = 90°;
CD ± АВ;
АВ = 10 см;
BD = 6,4 см.
Найти: CD, АС, ВС.
3.
С помощью циркуля и ли-
нейки разделите отрезок дли-
ной 6 см в отношении 1:4.
Дано: ZACB = 90°;
CD ±АВ;
АВ = 15 см;
AD = 5,4 см.
Найти: CD, Рдвс-
3.
С помощью циркуля и ли-
нейки разделите отрезок дли-
ной 7 см в отношении 2:3.
Вариант Б2
Вариант Б 1
Дано: К, L, М, N — середи-
ны сторон параллело-
грамма ABCD;
АС = 10 см; BD = 6 см.
Найти: PKLMn-
Дано: К, L, М, N — середи-
ны сторон квадрата
ABCD;
АС = 10 см.
Найти: PKMNL.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ 125
Дано: хАСВ = 90°;
CD 1 АВ;
BD = 16 см;
CD = 4 см.
Найти: AD, АС, ВС.
Дано: хАСВ = 90°;
CD ± АВ;
CD =12 см;
ВС = 13 см.
Найти: BD, AD, АС.
3.
Постройте треугольник по
двум углам и высоте, прове-
денной из вершины третьего
угла.
3.
Постройте треугольник по
двум углам и медиане, про-
веденной из вершины
третьего угла.
Вариант В 1
1.
Сумма диагоналей данного
четырехугольника равна
22 см. Найдите периметр
четырехугольника с верши-
нами в серединах сторон
данного четырехугольника.
Вариант В2
1.
Найдите сумму диагоналей
данного четырехугольника,
если периметр четырехуголь-
ника с вершинами в середи-
нах сторон данного четырех-
угольника равен 24 см.
CD LAB;
АВ = 13 см;
CD = 6 см.
Найти: AD, BD, АС, ВС.
3.
Постройте треугольник АВС
по углу А и расстоянию от
точки пересечения медиан
до вершины С, если
ABAC = 3:4.
Дано: zACB = 90°;
CD ± АВ;
AD = 1 см;
ВС = 5л/26 см.
Найти: BD, AC, CD.
3.
Постройте треугольник АВС
по углу В и расстоянию от
точки пересечения медиан
до стороны ВС, если
АВ-.ВС = 2:5.
126
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-10. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
1.
Найдите синус, косинус и
тангенс большего острого
угла прямоугольного тре-
угольника с катетами 7 см и
24 см.
2.
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 25 см, а
синус одного из острых уг-
лов равен 0,6. Найдите ка-
теты этого треугольника.
3.
Найдите острые углы прямо-
угольного треугольника, если
гипотенуза равна 7 см, а один
из катетов — 3,5>/3 СМ.
Вариант А2
1.
Найдите синус, косинус и
тангенс меньшего острого
угла прямоугольного тре-
угольника с катетом 40 см и
гипотенузой 41 см.
2.
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 20 см, а
косинус одного из острых
углов равен 0,8. Найдите
катеты этого треугольника.
3.
Найдите острые углы прямо-
угольного треугольника, если
его катеты равны 2, 5л/з СМ и
2,5 см.
Вариант Б 1
1.
Найдите синус, косинус и
тангенс острого угла равно-
бедренной трапеции, раз-
ность оснований которой
равна 8 см, а сумма боко-
вых сторон — 10 см.
2.
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 24 см, а
синус противолежащего уг-
ла равен 12/13. Найдите
другие стороны этого тре-
угольника.
Вариант Б2
1.
Найдите синус, косинус и
тангенс острого угла прямо-
угольной трапеции, мень-
шая боковая сторона кото-
рой равна 5 см, а разность
оснований — 12 см.
2.
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 30 см, а
косинус прилежащего ост-
рого угла равен 15/17. Най-
дите другие стороны этого
треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
127
3. Найдите острые углы прямо- угольного треугольника, если высота, проведенная к гипо- тенузе, равна 5>/Зсм, а про- екция одного из катетов —	3. Найдите острые углы прямо- угольного треугольника, если один из его катетов равен 6д/з см, а его проекция на гипотенузу — 9 см.
15 см.
Вариант В 1	Вариант В2
1. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла ромба, если его периметр равен 52 см, а площадь — 120 см2.	1. Найдите синус, косинус и тангенс угла при вершине равнобедренного треугольни- ка, периметр которого равен 36 см, а основание — 10 см.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 82 см, а тангенс одного из углов равен 9/40. Найдите катеты этого треугольника.	2. Катет прямоугольного тре- угольника равен 14 см, а косинус противолежащего угла равен 24/25. Найдите другие стороны этого тре- угольника.
3. Найдите острые углы прямо- угольного треугольника, ес- ли проекции катетов на ги- потенузу равны 2 см и 6 см.	3. Найдите острые углы прямоугольного треуголь- ника, если проекции ка- тетов на гипотенузу отно- сятся как 3:1.
128
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И
УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Вариант А1
1.
Средняя линия равнобед-
ренного Треугольника, па-
раллельная боковой сторо-
не, равна 13 см, а медиана,
проведенная к основанию,
— 24 см. Найдите среднюю
линию, параллельную осно-
ванию треугольника.
Вариант А2
1.
Средняя линия равнобед-
ренного треугольника, па-
раллельная основанию, рав-
на 16 см, а биссектриса,
проведенная к основанию, —
30 см. Найдите среднюю
линию, параллельную боко-
вой стороне треугольника.
2.
В прямоугольном треуголь-
нике катет равен 15 см, а
его проекция на гипотенузу
— 9 см. Найдите гипотену-
зу, а также синус и косинус
угла, образованного этим
катетом и гипотенузой.
3.
В прямоугольном треуголь-
нике гипотенуза равна с, а
острый угол — а. Выразите
периметр треугольника че-
рез с и а.
2.
В прямоугольном треуголь-
нике высота, проведенная к
гипотенузе, равна 12 см, а
проекция одного из катетов
на гипотенузу — 9 см. Най-
дите этот катет, а также си-
нус и косинус угла, образо-
ванного этим катетом и ги-
потенузой.
3.
В прямоугольном треуголь-
нике катет равен Ь, а про-
тиволежащий ему угол — р.
Выразите периметр тре-
угольника через b и р.
Вариант Б 1
1.
Две стороны треугольника
равны 10 см и 17 см, а вы-
сота, проведенная из вер-
шины угла между ними,
равна 8 см. Найдите отрез-
ки, на которые эта высота
делит среднюю линию, пер-
пендикулярную ей.
Вариант Б2
1.
Высота треугольника равна
12 см и делит среднюю ли-
нию, перпендикулярную ей,
на отрезки 4,5 см и 2,5 см.
Найдите периметр тре-
угольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
129
2.
Из вершины прямоугольни-
ка на диагональ опущен
перпендикуляр, который
делит ее на отрезки длиной
9 см и 16 см. Найдите тан-
генс угла, образованного
меньшей стороной и диаго-
налью.
3.
Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна с, а ост-
рый угол — а. Найдите бис-
сектрису, проведенную из
вершины этого угла.
2.
Из точки пересечения диа-
гоналей ромба проведен
перпендикуляр, который
делит сторону ромба на от-
резки длиной 18 см и 32 см.
Найдите тангенс угла, обра-
зованного стороной ромба и
меньшей диагональю.
3.
Катет прямоугольного треуголь-
ника равен Ь, а противоле-
жащий ему угол — р. Най-
дите биссектрису, проведен-
ную из вершины этого угла.
Вариант В 1
1.
В прямоугольном треуголь-
нике проведены три средние
линии. Найдите стороны и
площадь этого треугольни-
ка, если площадь треуголь-
ника, образованного сред-
ними линиями, равна
60 см2, а тангенс одного из
острых углов равен 8/15.
2.
Из вершины прямоугольника
на диагональ опущен перпен-
дикуляр длиной 36 см. Осно-
вание перпендикуляра делит
диагональ в отношении 9:16.
Найдите диагональ прямо-
угольника и тангенс утла, об-
разованного меньшей сторо-
ной и диагональю.
3.
Угол между медианой и бис-
сектрисой, проведенной из вер-
шины прямого угла прямо-
угольного треугольника, равен
у, а гипотенуза равна с. Най-
дите площадь треугольника.
Вариант В2
1.
В прямоугольном треуголь-
нике проведены три средние
линии. Найдите стороны и
площадь этого треугольни-
ка, если периметр треуголь-
ника, образованного сред-
ними линиями, равен 30 см,
а синус одного из острых
углов равен 5/13.
2.
Из точки пересечения диаго-
налей ромба проведен пер-
пендикуляр длиной 12 см,
который делит сторону ром-
ба на отрезки, разность ко-
торых равна 7 см. Найдите
тангенс угла, образованного
стороной и меньшей диаго-
налью.
3.
Угол между высотой и биссек-
трисой, проведенной из вер-
шины прямого угла прямо-
угольного треугольника, равен
у, а гипотенуза равна с. Най-
дите площадь треугольника.
130
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-11. КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Вариант А1
1.
Прямая АВ касается ок-
ружности с центром в точке
О и радиусом, равным 9 см,
в точке В. Найдите АВ, если
АО = 41 см.
2.
К окружности с центром в
точке О из точки А прове-
дены две касательные, угол
между которыми равен 60°.
Найдите радиус окружно-
сти, если ОА - 16 см.
3.
Вершина А прямоугольника
ABCD является центром ок-
ружности радиуса АВ. До-
кажите, что прямая ВС яв-
ляется касательной к дан-
ной окружности.
Вариант А2
1.
Прямая АВ касается ок-
ружности с центром в точке
О и радиусом, равным 7 см,
в точке А. Найдите ОВ, ес-
ли АВ = 24 см.
2.
К окружности с центром в
точке О из точки А проведе-
ны две касательные, угол
между которыми равен 120°.
Найдите длины отрезков ка-
сательных, если ОА = 24 см.
3-
Вершина С прямоугольника
ABCD является центром ок-
ружности радиуса СВ. До-
кажите, что прямая АВ яв-
ляется касательной к дан-
ной окружности.
1.
Из точки А к окружности с
центром в точке О проведе-
на касательная АВ. Найдите
радиус этой окружности, ес-
ли /ОАВ = 60°, АО = 14-Уз см.
1.
Из точки А к окружности с
центром в точке О проведе-
на касательная АВ. Найдите
АО, если радиус окружно-
сти равен 12-/2 см, а
zOAB = 45°.
2.
К окружности с центром в
точке О и радиусом 6 см из
точки А проведены две каса-
тельные. Найдите угол меж-
ду этими касательными, если
ОА = 4у[з .
2.
К окружности с центром в
точке О радиусом 5 см из
точки А проведены две каса-
тельные АВ и АС (В и С —
точки касания). Найдите
/ВАС, если АВ - 5-Уз СМ.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
131
3.
Вершина В ромба ABCD яв-
ляется центром окружно-
сти, радиус которой равен
половине диагонали BD.
Докажите, что прямая АС
является касательной к этой
окружности.
3.
Вершина А квадрата ABCD
является центром окружно-
сти, радиус которой равен
половине диагонали квадра-
та. Докажите, что прямая
BD является касательной к
этой окружности.
Вариант В 1
1.
Через точку окружности ра-
диуса г проведены каса-
тельная и хорда, равная
г-х/з . Найдите угол между
ними.
Вариант В 2
1.
Угол между касательной и
хордой равен 60°. Найдите
длину хорды , если радиус
окружности равен г.
2.
Из точки А к окружности с
центром в точке О проведе-
ны две касательные, угол
между которыми равен а.
Найдите длину хорды, со-
единяющей точки касания,
если О А = а.
2.
Из точки А к окружности с
центром в точке О проведе-
ны две касательные, угол
между которыми равен а.
Найдите ОА, если длина
хорды, соединяющей точки
касания, равна Ь.
3.
В треугольнике АВС
АВ = а см, ВС = ajs см,
АС = 2а см. Докажите, что
прямая ВС является каса-
тельной к окружности с
центром в точке А и радиу-
сом АВ.
3.
В треугольнике АВС
АВ = а см, ВС = а см,
АС = а^2 см. Докажите, что
прямая АВ является каса-
тельной к окружности с
центром в точке С и радиу-
сом ВС.
132
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-12. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Вариант А1	Вариант А2
а = 21°
[3 = 49°
а = 19°
Р = 47°
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окруж-
ности).
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окруж-
ности).
2.
Вершины треугольника АВС
делят окружность в отно-
шении 2:3:4. Найдите углы
этого треугольника.
2.
Вершины треугольника АВС
делят окружность в отно-
шении 1:3:5. Найдите углы
этого треугольника.
3.
Расстояния от точки ок-
ружности до концов диа-
метра равны 9 см и 12 см.
Найдите радиус окружно-
сти.
3.
Радиус окружности равен
10 см, а расстояние от одно-
го конца диаметра до точки
окружности — 16 см. Най-
дите расстояние от другого
конца диаметра до этой
точки.
Вариант Б 1
Вариант Б2
а = 12°
[3 = 64°
а = 18°
[3 = 46°
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окруж-
ности).
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окруж-
ности).
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
133
2.
Вершины четырехугольника
ABCD делят окружность в
отношении 1:2:8:7. Найдите
углы этого четырехугольни-
ка.
2.
Вершины четырехугольника
ABCD делят окружность в
отношении 1:2:5:4. Найдите
углы этого четырехугольни-
ка.
3.
Перпендикуляр, опущенный
из точки окружности на
диаметр, равен 24 см и де-
лит диаметр в отношении
9:16. Найдите радиус ок-
ружности.
3.
Хорда, перпендикулярная
диаметру, делит его на от-
резки, разность которых
равна 7 см. Найдите радиус
окружности, если длина
хорды равна 24 см.
Вариант В 2
Вариант В 1
По данным рисунка найдите
угол х.
По данным рисунка найдите
угол X.
2.
Окружность касается сторон
прямоугольной трапеции с
острым углом 40°. Найдите
градусные меры дуг, на ко-
торые делят окружность
точки касания.
2.
Окружность касается сторон
равнобедренной трапеции с
острым углом 50°. Найдите
градусные меры дуг, на ко-
торые делят окружность
точки касания.
3.
Из точки окружности про-
ведены две перпендикуляр-
ные хорды, разность кото-
рых равна 7 см. Найдите
длины хорд, если радиус ок-
ружности равен 6,5 см.
3.
Из точки окружности про-
ведены две перпендикуляр-
ные хорды, длины которых
относятся как 5:12. Найди-
те длины хорд, если радиус
окружности равен 13 см.
134
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-13. ТЕОРЕМА О ПРОИЗВЕДЕНИИ
ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
Вариант А2
Дано:
АВ = 0,7 см;
BE = 0,5 см;
СЕ = 0,4 см.
Найти:
DE, DC.
Дано:
CD = 0,8 см;
DE = 0,2 см;
АЕ = 0,24 см.
Найти:
BE, АВ.
2.
Дано:
AD, СЕ — высо-
ты дАВС;
лАСВ = 28°.
С Найти: лСВО.
Дано:
AD, СЕ — бис-
сектрисы &АВС;
лВАС = 40°;
лВСА = 60°.
Найти: лСВО.
3.
В треугольнике со сторона-
ми 5 см, 6 см и 7 см по-
стройте точку, равноуда-
ленную от сторон треуголь-
ника.
3.
В треугольнике со сторона-
ми 5 см, 6 см и 7 см по-
стройте точку,’ равноуда-
ленную от вершин тре-
угольника.
Вариант Б 1
Вариант Б2
Дано:
АЕ = 4 см;
BE = 6 см;
DE больше СЕ
на 5 см.
Найти: DE, СЕ.
Дано:
CD = 17 см;
СЕ = 5 см;
АЕ-.ВЕ = 3:5.
Найти: АЕ, BE.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
135
2.
В остроугольном треугольни-
ке АВС высоты AAj и ВВг
пересекаются в точке О.
а)	Докажите, что хАСО = хАВО.
б)	Найдите углы треугольника
АВС, если хАСО = 22°,
хАгАВ = 11°.
3.
В треугольнике АВС О —
точка пересечения середин-
ных перпендикуляров,
АО = 10 см. Найдите пери-
метр треугольника ВОС, ес-
ли ВС - 12 см.
2.
В остроугольном треугольни-
ке АВС высоты АА1 и ВВ^
пересекаются в точке О.
а)	Докажите, что хВАО = хВСО.
б)	Найдите углы треугольника
АВС, если хВСО = 28°,
хАВВ} = 44°.
3.
В треугольнике АВС О —
точка пересечения биссек-
трис. Расстояние от точки О
до стороны АВ равно 4 см.
Найдите площадь треуголь-
ника ВОС, если ВС = 12 см.
Вариант В 1
Вариант В 2
Дано: АЕ:ЕВ = 6:1;
CE:ED = 1:3;
АЕ больше BE на 20 см.
Найти: отрезки хорд АВ и CD.
Дано: АЕ больше BE на 4 см;
DE меньше СЕ на 16 см;
CE-.DE = 3:1.
Найти: отрезки хорд АВ и CD.
2.
В неравнобедренной трапе-
ции постройте точку, рав-
ноудаленную от боковых
сторон и концов верхнего
основания.
2.
В неравнобедренном прямо-
угольном треугольнике по-
стройте точку, равноуда-
ленную от катетов и концов
гипотенузы.
3.
В треугольнике АВС биссек-
трисы углов А и В пересе-
каются в точке О. Найдите
хАСО, если хАОВ = а.
3.
В треугольнике АВС биссек-
трисы углов А и В пересе-
каются в точке О. Найдите
z АОВ, если хАСО = а.
136
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
С-14. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Вариант А1
1.
Периметр равностороннего
треугольника равен 12>/з .
Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник.
2.
Около окружности описана
равнобедренная трапеция,
боковая сторона которой
равна 8 см. Найдите пери-
метр трапеции.
3.
Около прямоугольного тре-
угольника описана окруж-
ность радиуса 10 см. Най-
дите периметр и площадь
этого треугольника, если его
катет равен 16 см.
Вариант А2
1.
Радиус окружности, вписан-
ной в равносторонний тре-
угольник, равен 6-/з. Най-
дите периметр треугольника.
2.
Около окружности описана
равнобедренная трапеция,
периметр которой равен
24 см. Найдите боковую
сторону трапеции.
3.
Около прямоугольного тре-
угольника описана окруж-
ность радиуса 2,5 см. Найди-
те периметр и площадь это-
го треугольника, если его
катеты относятся как 3:4.
Вариант Б 1
1.
Радиус окружности, вписан-
ной в прямоугольный тре-
угольник, равен 5 см, а один
из катетов — 12 см. Найдите
периметр треугольника.
2.
Около окружности радиуса
12 см описана равнобедрен-
ная трапеция, периметр ко-
торой равен 100 см. Найди-
те основания и площадь
трапеции.
3.
Около равнобедренного тре-
угольника описана окруж-
ность радиуса 25 см. Осно-
вание треугольника равно
48 см. Найдите площадь
треугольника.
Вариант Б2
1.
Точка касания вписанной в
прямоугольный треугольник
окружности делит катет на
отрезки 3 см и 12 см. Найди-
те периметр треугольника.
2.
Около окружности описана
равнобедренная трапеция,
основания которой равны
6 см и 24 см. Найдите ради-
ус окружности и площадь
трапеции.
3.
Около равнобедренного тре-
угольника описана окруж-
ность радиуса 25 см. Расстоя-
ние от центра окружности до
основания равно 7 см. Най-
дите площадь треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
137
Вариант В 1
1.
Докажите, что радиус ок-
ружности, вписанной в пря-
моугольный треугольник с
катетами а и b и гипотенузой
с, вычисляется по формуле
а + b - с
г --------.
2
2.
Около окружности описана
прямоугольная трапеция.
Точка касания делит боль-
шую боковую сторону на
отрезки 9 см и 16 см. Най-
дите основания и площадь
трапеции.
3.
Центр окружности радиуса
R, описанной около трапе-
ции, лежит на одном из ос-
нований. Найдите периметр
трапеции, если один из ее
углов равен 60°.
Вариант В2
1.
Докажите, что сумма ра-
диусов вписанной и описан-
ной окружностей в прямо-
угольном треугольнике рав-
на полусумме катетов.
2.
Около окружности описана
прямоугольная трапеция.
Расстояния от центра ок-
ружности до концов боко-
вой стороны равны 15 см и
20 см. Найдите основания и
площадь трапеции.
3.
Центр окружности радиуса
R, описанной около трапе-
ции, лежит на одном из ос-
нований. Найдите углы
трапеции, если одна из бо-
ковых сторон равна R.
К-5. ОКРУЖНОСТЬ
Вариант А1
1.
Два угла треугольника рав-
ны 60° и 80°. Найдите гра-
дусные меры дуг, на кото-
рые вершины данного тре-
угольника делят описанную
окружность.
2.
Радиус вписанной в равно-
сторонний треугольник ок-
ружности равен 2 см. Най-
дите периметр треугольника
и радиус описанной окруж-
ности.
Вариант А2
1.
Угол при вершине равнобед-
ренного треугольника равен
100°. Найдите градусные ме-
ры дуг, на которые вершины
данного треугольника делят
описанную окружность.
2.
Радиус описанной около
равностороннего треуголь-
ника окружности равен
8 см. Найдите периметр
этого треугольника и радиус
вписанной окружности.
138
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
3.
Диагонали ромба равны
30 см и 40 см. Найдите ра-
диус окружности, вписан-
ной в ромб.
3.
Сторона ромба равна 50 см, а
одна из диагоналей — 60 см.
Найдите радиус окружно-
сти, вписанной в ромб.
Вариант Б 1
1.
В треугольник, углы кото-
рого относятся как 1:3:5,
вписана окружность. Най-
дите углы между радиуса-
ми, проведенными в точки
касания.
2.
В равнобедренный треуголь-
ник с основанием 12 см и пе-
ри. ггром 32 см вписана ок-
ружность. Найдите радиус
этой окружности.
3.
Диагональ равнобедренной
трапеции перпендикулярна
боковой стороне. Найдите
радиус окружности, опи-
санной около трапеции, ес-
ли диагональ равна 12 см, а
боковая сторона — 9 см.
Вариант Б2
1.
В треугольник вписана ок-
ружность. Углы между ра-
диусами окружности, прове-
денными в точки касания,
относятся как 2:3:4. Найди-
те углы треугольника.
2.
В равнобедренный треуголь-
ник с боковой стороной 15 см
и периметром 54 см вписана
окружность. Найдите радиус
этой окружности.
3.
Диагональ равнобедренной
трапеции перпендикулярна
боковой стороне. Найдите
диагональ трапеции, если
радиус описанной окружно-
сти равен 13 см, а боковая
сторона — 10 см.
Вариант В 1
1.
В треугольник с двумя уг-
лами аир вписана окруж-
ность. Найдите углы тре-
угольника, вершинами ко-
торого являются точки ка-
сания.
2.
Центр вписанной в остроуголь-
ный равнобедренный треуголь-
ник окружности делит высоту,
проведенную к основанию, в
отношении 5:3. Найдите ра-
диус описанной окружности,
если высота, проведенная к
основанию, равна 32 см.
Вариант В2
1.
Найдите углы треугольни-
ка, в который вписана ок-
ружность, если два угла
другого треугольника, вер-
шинами которого являются
точки касания, равны аир.
2.
Радиус вписанной в тупо-
угольный равнобедренный
треугольник окружности
равен 8 см, а высота, прове-
денная к основанию, —
18 см. Найдите радиус ок-
ружности, описанной около
треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
130
3.
Около окружности радиуса
4 см описана равнобедрен-
ная трапеция, площадь ко-
торой равна 80 см2. Найдите
периметр этой трапеции.
3.
Угол при основании равно-
бедренной трапеции равен
30°, а площадь трапеции
равна 72 см2. Найдите ра-
диус окружности, вписан-
ной в трапецию.
С-15. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
Постройте векторы а + Ъ ,
а - Ъ и b + с .
2.
В параллелограмме ABCD
АВ = а , AD = Ъ . Выразите
векторы АС и BD через
векторы а и Ъ .
3.
В прямоугольнике ABCD сто-
роны равны 9 см и 40 см.
Найдите IdB - DA + Bel.
Постройте векторы а + b
Ъ - а и с + а .
2.
В параллелограмме ABCD
ВА = а , ВС = b . Выразите
векторы АС и BD через
векторы а и b .
3.
В прямоугольнике ABCD диа-
гональ равна 25 см, АВ = 7 см.
Найдите |вС - ВА + сБ\ .
Постройте векторы а + Ъ ,
а - Ъ , Ъ + с и b - с .
Постройте векторы а + b ,
b - а , а+ с и а — с.
140
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
2.
В треугольнике ABC AM —
медиана, АВ = а , АС = Ъ .
Выразите векторы AM , СВ ,
МС через векторы а и b .
2.
В треугольнике ABC AM —
медиана, АВ = а , АС = b .
Выразите векторы МА , ВС ,
МВ через векторы а и Ь .
3.
В равностороннем треуголь-
нике ABC BD — биссектриса.
Найдите |aD + СА - Св|, ес-
ли АВ = 2у[з см.
3.
В равностороннем треуголь-
нике ABC AD — высота.
Найдите |сВ + DC - Ва| , ес-
ли AD - д/з см.
Вариант В 1
Вариант В2
Постройте векторы а + Ь ,
а -b , а+ с и с - а.
Постройте векторы а + Ь ,
Ь - а , а + с и с-а .
2.
В треугольнике АВС М —
точка пересечения медиан,
МА = а , МВ = Ь . Выразите
векторы АВ, ВС, СА через
векторы а и Ь .
2.
В треугольнике АВС М —
точка пересечения медиан,
МА = а , МС = с . Выразите
векторы ВА, СВ , АС че-
рез векторы а и с 
3.
В ромбе ABCD О — точка
пересечения диагоналей.
Сторона ромба равна 17 см.
Найдите | АВ + Ы - СВ + Со|,
если АС =16 см.
3.
В ромбе ABCD О — точка
пересечения диагоналей.
Сторона ромба равна 25 см.
Найдите |сВ-AB-DA + Оо|,
если BD - 48 см.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
141
С-16. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Вариант А1	Вариант А2
1.	Начертите два неколлинеарных век-
тора а и Ь . Постройте векторы:
2.	В параллелограмме ABCD точки М и N — сере-
дины сторон ВС и CD, АВ = а , AD = Ь .
а)	Выразите векторы
AM BN через векторы AN и DM через векторы
а и b .	а и b .
б)	Докажите, что векторы
BD и MN — коллинеарны. DB и NM — коллинеарны.
Вариант Б1	Вариант Б2
1. Начертите два неколлинеарных век-
тора а и Ъ . Постройте векторы:
-а-35; - 2а+-5-45 .	1,25а+ 26; -I За ~-Ъ + 35
2	31	2	1	2(	2
2. В параллелограмме ABCD точки М и N лежат на
сторонах ВС и CD, причем ВМ:МС = 3:1,
CN-.ND = 1:2, АВ = а , AI) = h .
а)	Выразите векторы
BN к MN через векторы DM NM через векторы
а и Ъ .	а и Ъ .
б)	Докажите, что векторы
MN и — AD - — АВ кол- NM и —AD-—AB кол-
2	3	4	3
линеарны.	линеарны.
142	ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
Вариант В 1	Вариант В2
1.	Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь .
Постройте векторы:
— a --b, 42а + 2b .	~	
2	2	V2 3
2.	В параллелограмме ABCD М — середина сторо-
ны ВС, АВ = а, AD -Ъ . Р — точка пересечения
AM и BD.
а)	Выразите через векторы а и Ъ
векторы ВР и РА .	векторы DP и РМ .
б)	Докажите, что векторы PN и AD
коллинеарны,
если N лежит на стороне АВ если N лежит на стороне CD
и AN:NB = 2:1.	и CN:ND = 1:2.
С-17. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Вариант А1 1. Меньшее основание трапе- ции равно 32 см, а средняя линия — 48 см. Найдите большее основание трапе- ции. 2. Периметр равнобедренной трапеции равен 150 см, а боковая сторона — 30 см. Найдите среднюю линию трапеции.	Вариант А2 1. Большее основание трапе- ции равно 64 см, а средняя линия — 36 см. Найдите меньшее основание трапе- ции. 2. Боковая сторона равнобед- ренной трапеции равна 18 см, а средняя линия — 16 см. Найдите периметр трапеции.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
143
Вариант Б 1
1.
В равнобедренной трапеции
высота, проведенная из
вершины тупого угла, делит
нижнее основание в отно-
шении 5:8. Меньшее осно-
вание трапеции равно 6 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
Вариант Б2
1.
В равнобедренной трапеции
высота, проведенная из
вершины тупого угла, делит
большее основание на от-
резки, один из которых в 5
раз больше другого. Боль-
ший отрезок равен 35 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
Диагональ трапеции ABCD
делит ее на два прямоуголь-
ных равнобедренных тре-
угольника. Найдите сред-
нюю линию трапеции, если
Sacd = 36 см1 2.
Диагональ трапеции ABCD
делит ее на два прямоуголь-
ных равнобедренных тре-
угольника. Найдите сред-
нюю линию трапеции, если
Sabc = 18 см2.
Вариант В 1
1.
Средняя линия описанной
около окружности трапеции
равна 10 см. Найдите пери-
метр трапеции.
Вариант В2
1.
Периметр описанной около
окружности трапеции равен
48 см. Найдите среднюю
линию трапеции.
2.
Докажите, что если в рав-
нобедренной трапеции вы-
сота равна средней линии,
то диагонали трапеции вза-
имно перпендикулярны.
2.
Докажите, что если в рав-
нобедренной трапеции диа-
гонали взаимно перпенди-
кулярны, то ее высота равна
средней линии.
144
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-6. ВЕКТОРЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Вариант А1
1.
М, N, К — середины сторон
АВ, ВС и АС треугольника
АВС, АМ = а, АК=Ь .
а)	Выразите векторы AN, ВС,
ВК через векторы а и Ъ .
б)	Докажите с помощью
векторов, что МК | | ВС.
Вариант А2
1.
М, N, К — середины сторон
АВ, ВС и АС треугольника
АВС, СК = а, CN = Ь .
а)	Выразите векторы СМ, АВ,
AN через векторы а и Ь .
б)	Докажите с помощью
векторов, что KN | ) АВ.
2.
Одно из оснований трапеции
больше другого на 8 см, а
средняя линия равна 14 см.
Найдите основания трапе-
ции.
2.
Основания трапеции отно-
сятся как 5:6, а средняя
линия равна 22 см. Найдите
основания трапеции.
Вариант Б 1
1.
Точки D и Е — середины
сторон АВ и ВС треугольника
АВС, а точки М и N лежат
на стороне АС, причем
AM=MN=NC,AM=a, AD=b.
а)	Выразите векторы AE,BN,
EN через векторы а и Ъ .
б)	Докажите с помощью
векторов, что BN | | DM.
Вариант Б 2
1.
Точки D и Е — середины
сторон АВ и ВС треугольника
АВС, а точки М и N лежат
на стороне АС, причем
AM=MN=NC, CN = а,СЁ = Ь.
а)	Выразите векторы CD, МВ,
MD через векторы а и b .
б)	Докажите с помощью
векторов, что MB | | NE.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
145
2.
Меньшее основание трапе-
ции относится к средней
линии как 1:3, а большее
основание равно 30 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
2.
Большее основание трапе-
ции относится к средней
линии как 4:3, а меньшее
основание равно 12 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
Вариант В 1
Вариант В2
Дано: ABCD — параллело-
грамм; __________
ОС = п; OD~b;
AM = MB;
BN : АС - 2:1;
AK : KD = 1:2.
а) Выразите векторы BK и
NM через векторы а и b .
Дано: ABCD — параллело-
грамм; ___________
ОС = а ; OD = Ъ ;
AM = МВ;
BN : АС = 2:1;
AK : KD = 1:2.
а) Выразите векторы MN и
КВ через векторы а и Ь .
б) Докажите
векторов,
диагонали
прямой
АЕ-ЕС 1:4.
с помощью
что точка Е
АС лежит на
МК, если
б) Докажите
векторов,
диагонали
прямой
с помощью
что точка Е
АС лежит на
NL, если
АЕ-ЕС = A:1,CL = LD.
2.
В равнобедренной трапеции
угол при основании равен
60°. Диагональ трапеции
делит среднюю линию в от-
ношении 2:5. Найдите сред-
нюю линию трапеции, если
ее боковая сторона равна
12 см.
2.
В равнобедренной трапеции
угол при основании равен
60°. Диагональ трапеции
делит среднюю линию па
отрезки, разность которых
равна 5 см. Найдите сред-
нюю линию трапеции, если
ее периметр равен 140 см.
146
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
К-7. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант А1
1.
Диагональ прямоугольника
равна 41 см, а сторона —
40 см. Найдите площадь
прямоугольника.
2.
Основания трапеции отно-
сятся как 3:11, длина диа-
гонали равна 42 см. Найди-
те отрезки, на которые де-
лит эту диагональ другая
диагональ трапеции.
3.
Хорда, перпендикулярная
диаметру, делит его на от-
резки 5 см и 45 см. Найдите
длину хорды.
Вариант А2
1.
Диагональ ромба равна
30 см, а сторона — 17 см.
Найдите площадь ромба.
2.
Сумма оснований трапеции
равна 36 см. Диагональ тра-
пеции точкой пересечения с
другой диагональю делится
в отношении 2:7. Найдите
основания трапеции.
3.
Хорда длиной 30 см, пер-
пендикулярная диаметру,
делит его в отношении 1:9.
Найдите диаметр окружно-
сти.
Вариант Б 1	Вариант Б2
1.
Диагонали ромба относятся
как 3:4, а площадь ромба
равна 24 см". Найдите пе-
риметр ромба.
2.
Точка пересечения диагона-
лей трапеции делит одну из
них в отношении 7:15,
средняя линия трапеции
равна 44 см. Найдите осно-
вания трапеции.
1.
Диагонали ромба относятся
как 3:4, а периметр равен
200 см. Найдите площадь
ромба.
2.
Точка пересечения диагона-
лей трапеции делит одну из
них на отрезки 5 см и
17 см, а разность оснований
трапеции равна 36 см. Най-
дите среднюю линию трапе-
ции.
ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ
147
3.
В окружности проведены
две пересекающиеся хорды.
Одна из них делится на от-
резки 3 см и 12 см, а другая
— пополам. Найдите длину
другой хорды.
3.
В окружности проведены
две пересекающиеся хорды.
Одна из них делится на от-
резки 2 см и 6 см, а длина
другой хорды равна 7 см.
Найдите отрезки другой
хорды.
Вариант В 1
1.
Высота, проведенная из
вершины тупого угла ромба,
делит его сторону на отрез-
ки 5 см и 8 см, считая от
вершины острого угла. Най-
дите площади частей, на
которые делит ромб эта вы-
сота.
2.
В равнобедренную трапецию
вписана окружность. Точка
касания делит боковую сто-
рону в отношении 9:16, вы-
сота трапеции равна 24 см.
Найдите среднюю линию
трапеции.
3.
Из точки окружности про-
ведены диаметр и хорда.
Длина хорды равна 30 см, а
ее проекция на диаметр
меньше радиуса окружности
на 7 см. Найдите радиус ок-
ружности.
Вариант В 2
1.
Высота, проведенная из
вершины тупого угла ромба,
равна 24 см и делит сторону
в отношении 7:18, считая от
вершины острого угла. Най-
дите площади частей, на
которые делит ромб эта вы-
сота.
2.
В равнобедренную трапецию
вписана окружность радиу-
са 6 см. Точка касания де-
лит боковую сторону на от-
резки, разность между ко-
торыми равна 5 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.
Из точки окружности про-
ведены диаметр и хорда
длиной 30 см. Проекция
хорды на диаметр относится
к радиусу окружностй как
18:25. Найдите радиус ок-
ружности.
148
ОТВЕТЫ (АЛГЕБРА)
ОТВЕТЫ
АЛГЕБРА
К-1	А1	А2	Б 1
1а)	г//4х	х/Зг/	(Зх - 5)/х2
16)	х + 3	х - 3	(Зу + 1)/3
1в)	1/(а - 3)	1/(а + 1)	(а + 2)/(2 - а)
2а)	(а3 + 9)/За3	(а2 + 8)/4а2	3/(х2 + Зх)
26)	2х2/(х2 - 1)	6х2/(х2 - 9)	(1 - 4у)/(2у - 1)
2в)	{х + 2у)/х	(Зх + у)/у	(5а + fr)/56
2г)	(4а2 + Ь2)/(2а + Ь)	(а2 + 9b2)/(a - 3b)	1/(2х + 2)
3	(х - 3)/(х2 + Зх)	(х + 2)/(х2 - 2х)	—
4	X* 0, X * 1 '	х Ф 0, х Ф -1	1, 2, 3, 6
	Б 2	В 1	В 2
1а)	(1 + Зх2)/2х	1/(а2- 1)	1/(а2- 4)
16)	(бу - 2)/5	(2.1/ -l)/(4i/2 -2.Z/ + 1)	(9у2 - Зу + 1)/(1 - Зу)
1в)	(3 - а)/(а + 3)	х - у	х + У
2а)	8/(х2 - 6х + 8)	1/(а262 - а.Ь)	-4/(2ху + х2у2)
26)	(Збу2 + 1)/(6У - 1)	2/х(х - 2)2	1/х(х - I)2
2в)	(а + ЗЬ)/За	-12i>/(2& + 3)	6Ь/(ЗЬ - 1)
2г)	1/(2х + 4)	1/(а - 1)	1/(а - 2)
3	—		—
4	1, 2, 3, 6	0	1
К-2	А 1	А2	Б 1
la)	зь	4а	8Ьс2/5а
16)	1/4х	9/J/	2ху - 4у2
1в)	(т + п)/5	(т - п)/3	3/(4т + п)
1г)	(х2 - х)/(х - 5)	(х + 4)/(х2 + 2х)	у2/(бу - 36)
За)	О ~ У)/У	(х + у)/х	а + Ь
36)	(х - 4)/Зх	4х/(х - 5)	, (6 - 2х)/(х - 2)
	Б2	В 1	В 2
1а)	ЗЬ/4а2с	ab/(a2 + Ь2)	(а2 + 2Ь)/Ь
16)	1/(16х2 + 4ху)	1/(Зх2 + 15х)	1/(2х2 -- 6х)
1в)	1/(2тп - бп)	-1	1
1г)	(7 у + 49)/у	т2/(т - 1)	т2/(т - 1)
За)	а - Ь	(а + 2)/(262 - ЗЬ)	(За2 - 2а)/(х + За)
36)	(3 - Зх)/(х + 2)	1/(х2 - 2х + 4)	х2 + 2х -1- 4
ОТВЕТЫ (АЛГЕБРА)
149
1 К-3	А1	А2	Б 1	Б 2	В 1	В 2
1а)	16	17,6	18	28	2,7	2,8
16)	32	63	243	128	2/3	5/3
1в)	1	0,8	21	9,3	-41/63	-23/55
2а)	22	14	2,6	3,3	9	10
26)	2	2	2/3	3/2	7/4	5/6
2в)	36	27	49	27	216	800
За)	9	36	16	81	2	6
36)	± л/з	+ Тб	±3	±2	±1	±1
Зв)	0	0	0	0	0	0
Зг)	±1,5	±i,i	±1,1	±0,9	± Та	±7i
4	2; 3; 4	2; 3	2; 3	2; 3	-4, -3	-6, 5,-1,-3
5а)	2а2	Ь3	1/х4	1 /х2	-а2Ь3	-a5t>4
56)	7с	9d	За/б5	-а3/2Ь	-1	-1
К-4	А1	А2	Б 1	Б 2	В 1	В 2
1а)	бТг	бТз	0	0	- 473	- 2 77
16)	12	12	6	-10	10 + 4.7а	18-277
1в)	9 175	28 । 107з	66-4072	37 +12^7	107б-5	-бТз - 3
1г)	1	2	-5	-9	2	2
2	меньше 7з । 2	меньше	больше	больше	меньше	меньше
За)		। । 77 1	1 72	1 72	(1 V3	Я
36)	2\' b +5/2	з7?> 7з	2а + 7b 2а - -Jb	зТа ± Ъ ЗтГа - b	Та + 3	_1	 Та - 2
4а)	27? 7	4711 11	275 3	бТб 4	а 7а - 1 а - 1	27а + 2 а + 2
46)	2 - 7г	5 + 2-Js	зТз -1	2 77 ± 1	бТг - 2	477 - 2
5	±1	±1	±2	±2	±1	±1
150
ОТВЕТЫ (АЛГЕБРА)
К-5	А1	А2	Б 1
1а)	•3; 1	5; 1	-9; 7
16)	0; -9	0; 5	0; 0,3
1в)	1 - 1; 1- 7	1; -1^ 6	1 2; - 2
1г)	±5	±4	1 ± 77
2	4 см и 9 см	4 см и 10 см	5 см и 11 см
3	1; 2/7	1; 2/9	±9
4	-5; 20	-2; 2	8
5	х2 - Зх - 40 = 0 или приводимое к данному	х2 - 5х - 36 = 0 или приводимое к данному	Зх2 + 10х + 3=0 или приводимое к данному
	Б 2	В 1	В2
1а)	-13; -5	-10; 9	-10; 11
16)	0; -0,3	0; -4/7	0; 11/3
1в)	2; -1/2	-10; 5	-2; 6
1г)	- 1 ± л/б	корней нет	корней нет
2	3 см и 17 см	36 м2	10 см или.6 см
3	±15	5; 1	р
4	36	2	-2
5	2х2 + 5х + 2 = 0 или приводимое к данному	х2 - 4х + 1 = 0 или приводимое к данному	х2 - 2х - 1 = 0 или приводимое к данному
К-6	А1	А2	Б 1	Б2	В 1	В 2
1а)	2; -3/2	1; -3/4	-19; 1	-1; 11,5	-4	-2
16)	4	5	-2	-1,5	2	-1
2	18 км/ч	2 км/ч	10 км/ч, 20 км/ч	50 км/ч, 70 км/ч	12 дней	10 дней
3	2	3	2	5	3; 5	-7; 3
4	-1; -6	6; -2	3 '	-3	-4	2
ОТВЕТЫ (АЛГЕБРА)
151
- V Ч К-7	А1	А2	Б 1
2а)	10 < х + у < 14	5 < х + у ' 8	7 < 4х + у < 12
26)	4 < х - у < 8	2 <х - у < 5	4 < 2у - х < 7
2в)	16 < ху < 40	4 < ху < 12	9 < Зху < 24
2г)	2 < х/у < 5	2 < х/у < 6	3/2 < у/х < 4
3	3,3 < Р < 3,6	1,1 £. а < 1,2	10.9 - Р < 11,2
4а)	- 7,2 < -4Тз < 6,8	5,1 < зТз < 5,4	2,9 < 7 20 - Тг < 3,2
46)	4,4 < 2>/з + 1 < 4,6	1,4 < 5 - зТз < 1,6	5,28 < 710 -1 Тб < 5,75
5	б, 6, 7	2, 3, 4	Сумма квадратов больше
	Б2	В 1	В 2
2а)	10 < х + 3г/ < 14	27 < 2х + Зг/ < 36	39 < Зх + 4у < 52
26)	-1 < Зх - у < 3	65 < х2 - у2 < 135	-135 < у2 - х2 < -65
2в)	6 < 2ху <16	1.1.1. 5_ 4 х у 36	5	1	11 36 у х 4
2г)	1/4 < х/у < 2/3	-4/3 < -х/у2 < -9/16	-16/9 < -у2/х < -3/4
3	3 < (а + &)/2 < 3,1	1 я 4	64° < а < 65°
4а)	1,9 < 718 - Тб < 2,3	5,78 < Тб +712 < 6,3	0,1 < 7Ь - Тб < 0,62
46)	4,48 <75 + 710 < 4,95	3,1<1/(73-7^<3,3	0,2<1ДТз+ Тз) <0,4
5	Квадрат среднего больше	Указание: представьте левую часть в виде суммы квадратов двучленов	
К-8	А 1	А2	Б1	Б 2	В1	В 2
1а)	(—со; 4)	(2; ~)	(-2;	(-<»; 3)	[-4; ~)	(—сю; —6]
16)	(-«; -1]	14; -)	(—;-1,5]	[-5; <*>)	(8; оо)	; 8)
1в)	[1; ~)	( + 11	[13,6; «>)	(—; -7]	(—; -9]	[ -14; «о)
2	[-2; 2,5)	(-»;-1,5)	(	2]	(1; °°)	(-“4; ©о)	(-2; «)
3	(-1; 2)	(-1; 2)	( 5; 9]	(-7; 20]	[ -5; 7)	(1; Ю]
4	я > 3	а < 3	и. > 1,5	а < -2/3	а + 4,5	а < 4/3
5	[2; 10]	[-4; 3]	(-2; 4]	[-4; 3)	(0; 1)	(1; ~)
6	меньше 6 см	больше 12 см	не более 600 кг	не более 36 км	больше 6 см и меньше 18 см	больше 4 см и меньше 7 см
152
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ)
К-9	А1	А2	Б 1	Б2	В 1	В 2
1а)	1/27	1/32	г-1 | СО 00	9* 9	-27	4
16)	1/25	1/64	1/5	1/4	128	1/27
1в)	1/64	49	1	1	32/81	32/625
2а)	а2	а2	а	1/а2	а4	а4
26)	2Ь/а	2Ь/а	Ъ/а	ab	9/Ь	-а3/9Ъ
За)	2,1 108	4,8 105	5,20141с3	3,0251 103	2,04 10'-	4,201 Ю^5
36)	1,6 10'4	2,5 1(Г5	2,1410'1	1,49 10~2	3,12 10s	1,7510б
4а)	ЗЬ“2	4« "3	18а2Ь"2	-27а“5&5	42п	72п
46)	2	,2 а - b ab	3	,3 а - Ъ 2.2 а Ъ	а - Ъ ab	Ъ + а ab	1 + а 1 - а	а2 - 1 а2 + 1
5	4,21012км	50 с	1,548 г	2,5 IO5!:»!3	1,7 105 м	2,4Ю'е м
К-10	А1	А2	Б1	Б2	В 1	В2
1	0,5	-0,5	-3	4	3	-2
2	(-7/3; оо)	(-«; -8]	(1; 9]	(-4; 12]	[0,75; 1,5)	[1,25; 2,5)
3	18	7	4	16	-0,09аЬ2	-0,12xV
4	125а3Ь-6	4x”V	8/У	ЗаЬ	22n + 1	52Л~7
5	12 стр.	5 дет.	4 ч	3 ч	4 ч	8 ч
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
К-1	А1	А2	Б 1
1	65°и 115°	45° и 135°	80° и 100°
2	30 см	30 см	32 см
3	10 см	40 см	—
	Б 2	В1	В 2
1	70° и 110°	55°и 125°	60° и 120°
2	34 см	ромб; 16 см	прямоугольник; 14 см
3	—	24 см или 30 см	28 см или 32 см
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ)
153
К-2	А 1	А2	Б1
1	25 см	28 см	ромб; 20 см
2	12 см и 20 см	12 см и 28 см	13 см
3	8 см и 18 см	4 см и 7 см	—.
	Б 2	В1	В 2
1	ромб; 12 см	14 см и 24 см или 10 см и 24 см	10 см или 11 см
2	13 см	6 см и 22 см	3 см и 39 см
3	—	—	—
К-3	А 1	А2	Б1
1	15 см	30 см	4 см
2	s/з см	6 см	112 см
3	28 см	34 см	60 см, 80 см и 48 см
	Б2	В 1	В2
1	12 см	2-У17 см	30 см
2	48 см	32 см	16 см
3	25 см, 24 см	14 см, 4-\/37 см	20 см, 10л/13 см
К-4	А1	А2	Б 1
1	4 см, 45", 45"	л/г см, 45°, 45°	4-\/з см, 4 см
2	54 см	54 см	24 см
3	16 см	8 см	4,4, 8 и 4л/2 см, 45°
	Б2	В 1	В 2
1	3-/з см, 3 см	4 см,4 см, 30", 30°, 120°	4 см, 4 см, 4д/з см, 30°, 30°, 120°
2	24 см	70 см	42 см
3	4 см, 12 см, 135°	16-Тз см	32 см
154
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО ПОГОРЕЛОВУ)
К-5	А1	А2	Б1
1а)	(-1; 3)	(3; 3)	(4; 0); (0; 6)
16)		2.726	(2; 3)
1в)	А	А	2 713
2а)	х2 + у2 = 25	' х2 + у2 = 100	(0; 0)
26)	(3; 4); (3; -4)	(6; 8); (-6; 8)	5
2в)	—	—	х2 + у2 - 25
3	(1; -1)	(-1; 3)	—
	Б2	В 1	В 2
1а)	(6; 0); (0; 8)	2л/17	6-/2
16)	(3; 4)	у = -4х + 7	у = х + 2
1в)	10	у = 2х + 1	у = 2х + 1
2а)	(0; 0)	(-3; 1)	(-1; 3)
26)	5	(х + З)2 + (у - 1 )2 - 25	(х + I)2+(у - З)2 = 25
2в)	х2 + у2 = 25	(0; 5); (0; -3)	(3; 0); (-5; 0)
3	—	(3; 4)	(1; -3)
К-6	А1	А2	Б 1
1а)	(4; 3); 5	(-3; -4); 5	(2; 0); 2
16)	СВ (0; -3)	ВА (0; -4)	СА (0; 2)
1в)	90°	90°	90°
2а)	(-6; 2)	(-2; -1)	2
26)	—	—	-2
2в)	—	—	нет
3	а - Ь, 0,б(а + б)	Ъ - а, 0,5(а + 6 j	0,5а - 6, 0,55 - 0,5а
	Б2	В 1	В 2
1а)	(0; -6); 6	-8,8	2,1
16)	АВ (2; 0)	13	13
1в)	90°	А	А
2а)	1	(-1; 2); (3; -1)	(4; 3); (1; 7)
26)	6	с = -а + ЗЬ	с = -а + 2Ъ
2в)	ПОТ	135°	45°
3	0,55 -- <7, 0,5а - 0.56	- 2	1 - - 0,5а - 0,56, ~ а + -• b	- 1	5 - 0,5а 4 0,56, — а - — b 6	6
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ)
155
К-7	А1	А2	Б 1	Б 2	В 1	В 2
1	52 см	16 см	30 см и 40 см	30 см и 40 ем	24 см	24 см
2	13 см	16 см	11,5 см	20,5 см	24 см	24 см
3	(-2; 0)	(-2; -3)	—	—		—
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
I [ К-1	А1	А2	Б 1
1	34 см	36 см	12 см и .1 6 см
	Б2	В 1	В 2
1	15 см и 9 см	19 см	30 см
; К-2	А1	А2	Б 1
1	3 см и 4 см	24 см и 8 см	168 см2
2	3 см, 3 см и 4,5 см"	3 см, 6 см и 4,5т/з см2	35 см2
3	30 см"	30 см2	120 см2
	Б 2	В 1	В2
1	161 см"	108 см2	1 60 см2
2	1 К см2	104 см	204 см
3	1 14 см"	243 см2	204 см2
К-3	А1	А2	Б1	Б2	В 1	В 2
1	да	да	да	Да	да	да
2	1.9	4 м, 7 м, 9 м	1:4	9:1	4:3	3:2
3	—	—	24 см и 40 см	28 см и 12 см	6 см	л 2 4— см 3
156
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ)
К-4	А1	А2	Б 1
1	10 см	17 см	3 см и 7,5 см
2	25 см; 0,8; 0,6	15 см; 0,8; 0,6	4/3
3	с(1 + sina + cosa)	Ъ 1 +	+ —-— tg р sin Р)	с cosa a cos — 2
	Б2	В 1	В 2
1	42 см	16, 30 и 34 см; 240 см2	10, 24 и 26 см; 120 см2
2	4/3	75 см, 4/3	4/3
3	Ь tgPcos|	~с2 sin(45°+y)cos(450+'y)	
К-5	А1	А2	Б 1
1	80°, 120°, 160°	80°, 80°, 200°	80°, 120°, 160°
2	12у[з см,4 см	2-i4?> см,4 см	3 см
3	12 см	12 см	7,5 см
	Б2	В 1	В 2
1	20°, 60°, 100°	a + В	а	р 	-, 90°	, 90°-- 2	2	2	180°-2а, 180°-2р, 2a + 2Р - 180°
2	4 см	25 см	25 см
3	24 см	40 см	3 см
К-6	А1	А2	Б 1
1	_AN = а+ Ъ ВС = 2Ь - 2а ВК = Ъ -2а	СМ = а+ Ь АВ = 2Ь - 2а AN = Ь -2а	АЕ = b + 1,5a BN = 2a - 25 EN = 0,5a - b
2	10 см, 18 см	20 см, 24 см	18 cm
	Б2	В 1	B2
1	CD = b + 1,5a МВ = 2Ь -2а MD = b - 0,5a	ВК = -Ь --а 3	3 		7 _ 1 - NM - —а	Ъ 6	6	'л 1 CO I co +	1 Is t- 1 CO CM | 00 " 11 li is 	i
2	18 см	14 см	60 cm
ОТВЕТЫ (ГЕОМЕТРИЯ ПО АТАНАСЯНУ)
157
К-7	А1	А2	Б 1
1	360 см2	240 см 2	20 см
2	9 см и 33 см	8 см и 28 см	28 см и 60 см
3	39 см	50 см	12 см
	Б 2	В 1	В2
1	2400 см2	30 см2 и 126 см2	84 см2 и 516 см2
2	33 см	25 см	13 см
3	3 см и 4 см	25 см	25 см
ЛИТЕРАТУРА
1.	Алгебра 8. Под ред. С.А. Теляковского. М. 1991
2.	Ш.А. Алимов и др. Алгебра 8. М. 1997
3.	М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник за-
дач по алгебре для 8-9 классов. М. 1992
4.	Л.И Звавич и др. Задания для проведения письменного
экзамена по математике в 9 классе. М. 1996
5.	А.В. Погорелов. Геометрия 7-9. К. 1995
6.	Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9. М. 1990
7.	А.II. Киселев, Н.А. Рыбкин. Геометрия, планиметрия.
М. 1995
8.	Л.М. Лоповок. Сборник задач по геометрии 6-8. К. 1985
9.	Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г Баханский. Задачи по геомет-
рии для 7 1 1 классов. М. 1991
10.	В.Б. Полонский, КМ. Рабинович, М.С. Якир. Учимся
решать задачи по геометрии. К. 1996
158
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ
АЛГЕБРА................................................ 4
С-1	Рациональные выражение. Сокращение дробей..........4
С-2	Сложение и вычитание дробей......................  5
К-1	Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей....7
С-3 Умножение и деление дробей. Возведение дроби
в степень..................................10
С-4	Преобразование рациональных выражений.............12
С-5	Обратная пропорциональность и ее график...........14
К-2	Рациональные дроби................................16
С-6	Арифметический квадратный корень..................18
С-7	Уравнение х2 = а. Функция у =	 20
С-8	Квадратный корень из произведения, дроби, степени.22
К-3	Арифметический квадратный корень и его свойства...24
С-9	Внесение и вынесение множителя в квадратных
корнях............................................27
С-10 Преобразование выражений, содержащих
квадратные корни...........................28
К-4	Применение свойств арифметического квадратного
корня.............................................30
С-11	Неполные квадратные уравнения.....................32
С-12	Формула корней квадратного уравнения..............33
С-13 Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Теорема Виета............................  34
К-5	Квадратные уравнения..........................    36
С-14	Дробные рациональные уравнения....................38
С-15 Применение дробных рациональных уравнений.
Решение задач..............................39
К-6	Дробные рациональные уравнения....................40
С-16	Свойства числовых неравенств .....................43
К-7	Числовые неравенства и их свойства................44
С-17	Линейные неравенства с одной переменной...........47
С-18	Системы линейных неравенств.......................48
СОДЕРЖАНИЕ 159
К-8	Линейные неравенства с одной переменной	и
их системы..................................  50
С-19	Степень с отрицательным показателем..........52
К-9	Степень с целым показателем...................54
К-10 Годовая контрольная работа....................56
ГЕОМЕТРИЯ (По Погорелову)..........................58
С-1	Свойства и признаки параллелограмма...........58
С-2	Прямоугольник. Ромб. Квадрат..................60
К-1	Параллелограмм..............................  62
С-3	Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника....63
С-4	Трапеция. Средняя линия трапеции..............66
К-2	Трапеция. Средние линии треугольника	и трапеции ....68
С-5	Теорема Пифагора..............................70
С-6	Теорема, обратная теореме Пифагора.
Перпендикуляр и наклонная.....................71
С-7	Неравенство треугольника......................73
К-3	Теорема Пифагора..............................74
С-8	Решение прямоугольных треугольников...........76
С-9	Свойства тригонометрических функций...........78
К-4	Прямоугольный треугольник
(обобщающая контрольная работа)...............80
С-10 Координаты середины отрезка. Расстояние между
точками. Уравнение окружности.................82
С-11	Уравнение прямой..............................84
К-5	Декартовы координаты..........................86
С-12 Движение и его свойства.
Центральная и осевая симметрии. Поворот.............88	'
С-13	Параллельный перенос..........................90
С-14	Понятие вектора. Равенство векторов...........92
С-15 Действия с векторами в координатной форме.
Коллинеарн ы е векторы....................... 94
С-16	Действия с векторами в геометрической форме...95
С-17	Скалярное произведение........................98
К-6	Векторы.....................................  99
160 СОДЕРЖАНИЕ
К-7 Годовая контрольная работа......1..........102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасяну).......................104
С-1	Свойства и признаки параллелограмма.......104
С-2	Прямоугольник. Ромб. Квадрат..............106
К-1	Четырехугольники..........................108
С-3	Площадь прямоугольника, квадрата..........109
С-4	Площадь параллелограмма, ромба, треугольника.111
С-5	Площадь трапеции........................  113
С-6	Теорема Пифагора..........................114
К-2	Площади. Теорема Пифагора.................116
С-7	Определение подобных треугольников.
Свойство биссектрисы утла треугольника....118
С-8	Признаки подобия треугольников............120
К-3	Подобие треугольников.....................122
С-9	Применение подобия к решению задач........124
С-10	Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника...............126
К-4	Применение подобия к решению задач.
Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника...............128
С-11 Касательная к окружности..................130
С-12 Центральные и вписанные углы..............132
С-13 Теорема о произведении отрезков пересекающихся
хорд. Замечательные точки треугольника.....134
С-14 Вписанная,и описанная окружности..........136
К-5 Окружность................................ 137
С-15 Сложение и вычитание векторов.............139
С-16 Умножение вектора на число................141
С-17 Средняя линия трапеции....................142
К-6 Векторы. Применение векторов к решению задач..144
К-7 Годовая контрольная работа.................146
ОТВЕТЫ........................................ 148
ЛИТЕРАТУРА ................................... 157

МАТЕМАТИКА
ISBN 5-89237-044-5
9'785892
370448